NOVA AUTA
ACADEMIAE CAESAREAE LEOPOLDIN O-CAROLINAE GERMANICAE
NATURAE CURIOSORUM.
TOMUS LXXXVI.
CUM TABULIS XXIX.
Abhandlungen
der
Kaiserlichen Leopoldinisceh-Carolinischen
Deutschen Akademie der Naturforscher.
86. Band.
Mit 29 Tafeln.
Halle, 1906.
Buchdruckerei von Ehrhardt Karras in Halle a. S.
Für die Akadeınie in Commission bei W, Engelmann in Leipzig.
HARVARD UNIVERSITY.
LIBRARY
OF THE
MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÖLOGY.
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NOVA ACTA
ACADEMIAE CAESAREAE LEOPOLDINO-CAROLINAE GERMANICAE
NATURAE CURIOSORUM.
TOMUS LXXXVI.
CUM TABULIS XXIX.
Abhandlungen
der
Kaiserlichen Leopoldinisceh-Carolinischen
Deutschen Akademie der Naturforscher.
S6. Band.
Mit 29 Tafeln.
/ Halle, 1906.
Buchdruckerei von Ehrhardt Karras in Halle a. S.
Für die Akademie in Commission bei W. Engelmann in Leipzig.
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Seiner Majestät
Wilhelm II.
Deutschem Kaiser und Könige von Preussen
ihrem hohen Schirmherrn
dem erhabenen Gönner und Beförderer aller wissenschaftlichen Arbeit
des deutschen Volkes
widmet die
Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie
der Naturforscher
diesen sechsundachtzigsten Band ihrer Abhandlungen
durch den Präsidenten
Dr. Albert Wangerin.
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Inhalt des LXXXVI. Bandes.
I. Max Brückner: Über die gleicheckig-gleichflächigen, diskon-
tinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder . . . . 8.1—348. Taf. I-XXIX.
I. Karl W. Verhoeff: Vergleiehend-morphologisehe Studie über
die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden, mit besonderer
Berücksichtigung der Seolopendromorpha, ein Beitrag zur Ana-
tomie und Systematik derselben, nebst physiologischen und
phylogenetischen Mitteilungen und Ausblieken auf die Insekten S. 349— 502.
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Vorstand der Kaiserlichen Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akademie
der Naturforscher,
Gegründet am 1. Januar 1652.
Deutsche Reichsakademie seit dem 7. August 1687.
Präsidium.
A. Wangerin in Halle a. S., Präsident. |
J. Volhard in Halle a.S., Stellvertreter.
Adjunkten.
I. Kreis: J. Hann in Wien; ' VII. Kreis: M. H. Bauer in Marburg.
E. Mach in Wien; IX. Kreis: E. H. Ehlers in Göttingen.
G. Stache in Wien. X. Kreis: K. Brandt in Kiel.
U. Kreis: E. Wiedemann in Erlangen; XI. Kreis: J. Volhard in Halle.
R. Hertwig in München. XII. Kreis: E. Haeckel in Jena.
II. Kreis: K. B. Klunzinger in Stuttgart. XIII. Kreis: C. Chun in Leipzig;
IV. Kreis: A. Weismann in Freiburg. F. Zirkel in Leipzig.
V. Kreis: G. A. Schwalbe in Strassburg. XIV. Kreis: A. Ladenburg in Breslau.
VI. Kreis: R. Lepsius in Darmstadt. XV. Kreis: C. A. Jentzsch in Berlin;
VI. Kreis: E. Strasburger in Bonn. R. Credner in Greifswald.
Sektionsvorstände und deren Obmänner.
I. Mathematik und Astronomie:
J. Lüroth in Freiburg, Obmann;
R. Helmert in Potsdam;
G. Cantor in Halle.
IH. Physik und Meteorologie:
G. B. von Neumayer in Neustadt a. H., |
Obmann;
E. Riecke in Göttingen;
E. Mach in Wien.
III. Chemie:
©. Wallach in Göttingen, Obmann;
H. Landolt in Berlin;
J. Volhard in Halle.
Mineralogie und Geologie:
F. Zirkel in Leipzig, Obmann;
H. Credner in Leipzig;
W. Branco in Berlin.
Botanik:
H. G. A. Engler in Dahlem-Steglitz bei
Berlin, Obmann; |
S. Schwendener in Berlin; |
Graf zu Solms-Laubach in Stralsburg,
IV.
VI. Zoologie und Anatomie:
F. E. Schulze in Berlin, Obmann;
E. H. Ehlers in Göttingen;
M. Fürbringer in Heidelberg.
VD. Physiologie:
C. von Voit in München, Obmann;
S. Exner in Wien;
W. Engelmann in Berlin.
VIII. Anthropologie, Ethnologie und Geo-
graphie:
G. C. Gerland in Stralsburg, Obmann;
A. Penck in Berlin;
J. Ranke in München.
IX. Wissenschaftliche Medizin:
E. von Leyden in Berlin, Obmann;
W. ©. von Leube in Würzburg;
H. Waldeyer in Berlin.
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NOVA AGTA,
Abh. der Kaiserl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher
Band LXXXVI. Nr. 1.
Über die
sleicheckig-sleichflächigen, diskontinuierlichen
und nichtkonvexen Polyeder.
Von
Prof. Dr. Max Brückner.
Oberlehrer am Gymnasium zu Bautzen.
Mit 29 Tafeln Nr. I-XXIX.
Eingegangen bei der Akademie am 1. September 1905.
HALLE.
1906.
Druck von Ehrhardt Karras, Halle a.S.
Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmsnn in Leipzig
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Inhalt.
Einleitung .
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. Die Ephenoigngpfrnigen im neisnilkisuhen 2 + EN Aächigen bi er
I. Kapitel. Allgemeiner Teil.
$ 1.. Die Flächen und die Ecken eines Polyeders. Die Formel von Hess.
Von den Grenzflächen eines Polyeders
Von den Ecken eines Polyeders
. Die Formel von Hess und die Einteilung & niehtkonvexen Polyeder
. Die polare Reziprozität der Polyeder.
$ 2. Über die Bestimmung der gleicheckig-gleichflächigen Polyeder
höherer Art.
. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder erster Art . :
. Allgemeine Sätze über die gleicheckig-gleichflächigen Polyeder höherer Art und .
Methoden ihrer Ableitung
$S 3. Klassifikation der gleicheckig-gleichflächigen Polyeder.
I. Konvexe Polyeder
II. Nichtkonvexe Polyeder
II. Kapitel. Die Polyeder des Doppelpyramidentypus.
$ 1. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder erster Art.
. Die vollzähligen Polyeder des Typus
. Die hemiedrischen und hemigonischen Polyeder erden Art des Tyı pus a
. Konstruktion der vollständigen Figuren der gleichflächigen Polyeder des Typus .
$ 2. Die Sphenoidgruppierungen des Doppelpyramidentypus.
. Das quadratische und rhombische Sphenoid
Die Sphenoidgruppierungen in 2 +p +P)- Rächigen 2. a Tor.
. Die Sphenoidgruppierungen, deren Hüllen hemigonische Polyeder des 2.2p- Ecke sind
. Beispiel: Die N im (2+4+ 4)-flächigen 2.2.4-Eck und seinen
Hemigonien
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Max Brückner,
Die Sphenoidgruppierungen, deren Hüllen hemigonische Polyeder des regulären
Prismas sind .
Über die Gier plenuigen. Kekdaer guairälicchen hendide e
Seite
57
59
$ 3. Die Stephanoide und ihre Gruppierungen im Doppelpyramidentypus.
Definition und allgemeine Betrachtung der Stephanoide St, und St‘,
Die Stephanoide zweiter Ordnung St,
Die Stephanoide erster Ordnung St, Ir
Beispiele: Die Stephanoide St‘, St, und St, -
Die Stephanoidgruppierungen im (2+p-+ p)-flächigen 2. 9p- Eck
III. Kapitel. Die Polyeder des Hexakisoktaedertypus.
$ 1. Die gleichflächigen und die gleicheckigen Polyeder erster Art
des Hexakisoktaedertypus.
Übersicht dieser Polyeder .
Analytisch-geometrische Behandlung der gleichflächigen Balyeder enktpn Ar es Trus
Die vollständige Figur des Hexakisoktaeders
Die vollständigen Figuren der speziellen gleichflächigen Polreden eier Int ee Tanne
Das gleicheckige (6 +8 + 12)-flächige 2.24-Eck und die speziellen IE
Polyeder erster Art des Typus.
$ 2. Die Sphenoidgruppierungen des Hexakisoktaedertypus.
Allgemeine Ableitung der sieben Gruppierungen n
Übersicht der drei Gruppierungen quadratischer Ehengide :
Die erste Gruppe der quadratischen Sphenoide .
Die dritte Gruppe der quadratischen Sphenoide.
Die zweite Gruppe der quadratischen Sphenoide
Die polarreziproke Verwandtschaft der drei Gruppen Hühdratischer Achennide
Übersicht der vier Gruppierungen rhombischer Sphenoide
Die erste Gruppe der rhombischen Sphenoide
Die vierte Gruppe der rhombischen Sphenoide .
Die zweite Gruppe der rhombischen Sphenoide.
. Die dritte Gruppe der rhombischen Sphenoide .
Die polarreziproke Verwandtschaft der vier Gruppen vhombischän Sphenntde
$ 3. Die niehtkonvexen Polyeder erster und zweiter Klasse
des Hexakisoktaedertypus.
Übersicht der Stephanoidgruppierungen des Typus
Die erste Gruppe der Stephanoide .
Die dritte Gruppe der Stephanoide .
Die zweite Gruppe der Stephanoide sowie Schlueheiiashiungen. über die Biopkanude
des Typus im allgemeinen Ä
Die kontinuierlichen Nullpolyeder des Preraisoklseheriypus
Die nichtkonvexen Polyeder erster Klasse des Hexakisoktaedertypus
61
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Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 5
Seite
IV. Kapitel. Die Polyeder des Dyakishexekontaedertypus.
$ 1. Die gleichflächigen und die gleicheckigen Polyeder erster Art
des ee
1. Übersicht dieser Polyeder . . . Sage Kurt ze en 6)
2. Analytisch-geometrische Behandiung des DyaBiinesckohtaeders EL Re 165
3. Analytisch-geometrische Behandlung der speziellen gleichflächigen Polyeher ieh
Dyakishexekontaedertypus . . ER EN. ER N 2 1168
4. Die vollständige Figur des Dyakiäherskontattene 2 RR ee I
5. Die vollständige Figur des Deltoidhexekontzeders Et he ee a ra
6. Die volltändm Mi I m ae RR LTE
peziellsten Polyeder
ee N Re
‚iellen gleicheckigen
180
Berichtigung. ontaedertypus. R
flächigen 2.60-Eck
eg Dale
ung ihres Klassen-
In Note IX S. 339 ken ge are letzten Zahlen der Spalte ee g an
Nr. 2: 1,8089; 18,719 und 4.4189.
= % j Be RN 1976 ntaedertypuss . . 208
In Note X S. 340 sind die Werte von B,6; ıtaedertypus . . 216
und 8 die folgenden: 1,9169; 1,3331; 8,2352 und ıtaedertypuss . . 220
73064, —. BrB,, für Nr. 1 ist 3,2392. ıtaedertypus . . 227
; N er ee
' Sphenoide . . 234
deren Einzelkörper
j 237
m Dyakis-
- er macht.dennkicken
aes Hüllpolyeders . . . 239
2. Die Gruppen der Stephanoide st, @) Be den Flächen Er De akichorekontseen 243
3° -DiegersterGrupperderStephanoider SE.) = = = 2 0 Wen 8 nahe nn 249
4 Dieyzweite Gruppe der Stephanoider StE() = 2 = - = 8 > ann a 02 0,258
5. Die dritte Gruppe der Stephanoide St.) - - - . 261
6. Die vierte Gruppe der Stephanoide S,(?) und die Stone Grappierankenk . 266
2. DierfünfielGrnppe@dersStephanolde SE-G@) © > 2 00 Su nei
8. Die sechste Gruppe der Stephanoide St/,(). - - - - N ae
9. Übersicht der polarreziproken Zuordnung der sechs Glen & st, (?) im Dyakis-
hexekontzedeniypunmeen 0. ar 2 ln Be 282
4
6. Die Sphenoidgruppierungen,
Prismas sind .
Max Brückner,
deren Hüllen hemigonische Polyeder des regulären
7. Über die RE TEREN sekundären guaeaäscher Ankencid -
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57
59
$ 3. Die Stephanoide und ihre Gruppierungen im Doppelpyramidentypus.
Definition und allgemeine Betrachtung der Stephanoide St, und St‘,
Die Stephanoide zweiter Ordnung St’, a
Die Stephanoide erster Ordnung St, ö
Beispiele: Die Stephanoide St‘, St; und St...
Die Stephanoidgruppierungen im = +p-+p)-fächigen 2. Se Eck
III. Kapite)
$1. Die gleichflä
Übersicht dieser Polyed
Analytisch-geometrische
Die vollständige Figur
Die vollständigen Figur:
. Das gleicheckige (6 +
Polyeder erster Ar
$ 2. Die Sphı
Allgemeine Ableitung ı
Übersicht der drei Gru
Die erste Gruppe der
Die dritte Gruppe der
Die zweite Gruppe deı
Die polarreziproke Ve:
Übersicht der vier Grı
Die erste Gruppe der
Die vierte Gruppe der
Die zweite Gruppe de
. Die dritte Gruppe der
Die polarreziproke Ve
$ 3. Die nichtkonvexen Polyeder erster und zweiter Klasse
des Hexakisoktaedertypus.
Übersicht der Stephanoidgruppierungen des Typus
Die erste Gruppe der Stephanoide . E
Die dritte Gruppe der Stephanoide .
Die zweite Gruppe der Stephanoide sowie Schluseiractungen über En Benkaure
des Typus im allgemeinen i z
Die kontinuierlichen Nullpolyeder des Hesakssoktuaderty pus .
Die nichtkonvexen Polyeder erster Klasse des Hexakisoktaedertypus
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10.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder.
IV. Kapitel. Die Polyeder des Dyakishexekontaedertypus.
$ 1. Die gleichflächigen und die gleicheckigen Polyeder erster Art
des Dyakishexekontaedertypus.
Übersicht dieser Polyeder .
Analytisch-geometrische Behandinng des Done erden :
Analytisch-geometrische Behandlung der speziellen ar Polyeier der
Dyakishexekontaedertypus en ige ie
Die vollständige Figur des Dyaklihexekontsedbre £
Die vollständige Figur des Deltoidhexekontaeders .
Die vollständige Figur des Triakisikosaeders
Die vollständigen Figuren des Pentakisdodekaeders und ac Ahektelisten Poly oder
des Dyakishexekontaedertypus .
Das gleicheckige (12 + 20 + 30)-flächige 2. 60- Eck und die een eichhekikeh
Polyeder des Typus en ea u A:
$ 2. Die Sphenoidgruppierungen des Dyakishexekontaedertypus.
Allgemeine Ableitung der möglichen fünf Gruppierungen
2. Die fünf Klassen der rhombischen 'Sphenoide im (12 + 20 + 30)- -flächigen 9. 60- Eck
und die sekundären quadratischen Sphenoide . B > e
Die fünf Gruppen der rhombischen ae und die Berinmung ade Kl
charakters . 5 }
Die ‘erste Gruppe der hönmbischen Änheneias im Dy akishexekoitaetlartipue 2
Die zweite Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakishexekontaedertypus
Die dritte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakishexekontaedertypus
Die vierte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakishexekontaedertypus
Die fünfte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakishexekontaedertypus
Die sekundären quadratischen Sphenoide der fünf Gruppen : 2
Die polarreziproke Verwandtschaft der fünf Gruppen rhombischer Bnkenonde
Anhang. Die diskontinuierlichen gleicheckig-gleichflächigen Polyeder, deren ns lkörper
SERIES SERIES
reguläre Polyeder erster oder höherer Art sind .
$ 3. Die Gruppierungen von Stephanoiden St‘,() im Dyakis-
hexekontaedertypus.
Die Stephanoide St‘,() im (12 +20 -+ 30)-flächigen 2.60-Eck nach den Ecken
des Hüllpolyeders -
Die Gruppen der Stephanoide st, & ge den! Flächen de Dyakichexekönlaedere
Die erste Gruppe der Stephanoide St‘, (7)
Die zweite Gruppe der Stephanoide St';(}) -
Die dritte Gruppe der Stephanoide St‘,(?) AugL
Die vierte Gruppe der Stephanoide St,(7) und die autopolkren Gruppienmeen.
Die fünfte Gruppe der Stephanoide St‘, (7) N ee
Die sechste Gruppe der Stephanoide St‘, (?). :
Übersicht der polarreziproken Zuordnung der sechs Grlanen der st, @) im ak
hexekontaedertypus . ER, BEN
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282
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Max Brückner, Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen usw.
$ 4 Die Gruppierungen von Sto(2) und Sto(2) im Dyakishexekon-
taedertypus und die kontinuierlichen Nullpolyeder.
Die (12 + 20 + 30)-flächigen 2.60-Ecke, deren je 2.10 Ecken gleicher Klasse
reguläre Zehnecke bilden.
Die Existenz von Stephanoiden St, im aa + 20+ 30)- fächigen” 2. '60- Eck.
Die fünf Gruppen der Stephanoide Si,,(2) im Dyakishexekontaedertypus
Die fünf Gruppen von je 6 St,,() = 12 St,(f) im Dyakishexekontaedertypus.
Die erste und fünfte Gruppe der Stephanoide St,,(2) - Kaläue
Die zweite und vierte Gruppe der Stephanoide Sto(2) ee:
Die dritte Gruppe der Stephanoide St,(2) und die autopolare Grie hiernug
Die kontinuierlichen Nullpolyeder im Dyakishexekontaedertypus . . . .
$ 5. Die kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder erster Klasse, die
diskontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder erster und zweiter Klasse,
sowie die Möbiusschen Polyeder im Dyakishexekontaedertypus.
Die kontinuierlichen niehtkonvexen Polyeder erster Klasse
. Die Kombinationen nichtkonvexer Polyeder erster und zweiter en
Die Möbiusschen Polyeder
Noten.
Note I. Die korrespondierenden Flächen der gleichflächigen Polyeder des Hexakis-
oktaedertypus.
Note I. Varietäten des Hoxskisoktaeden
Note III. Varietäten des Deltoidikositetraeders .
Note IV. Varietäten des Triakisoktaeders
Note V. Varietäten des Teetrakishexaeders .
Note VI. Die korrespondierenden Flächen der gleichflächigen Se A Decke,
Note VII. Varietäten des Dyakishexekotiedie
hexekontaedertypus .
’
NoteVIlI. Varietäten des Deltoidhexekontaeders.
Note IX. Varietäten des Triakisikosaeders
Note X. Varietäten des Pentakisdodekaeders
Ergänzungen .
Berichtigungen
Erklärung der Tafeln 21-2 9 (RX. XXX)
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347
Einleitung.
Die von ebenen Flächen begrenzten Gebilde im Raume haben um
so frühzeitiger die Aufmerksamkeit der Mathematiker in Anspruch genommen,
ein je höherer Grad von Regelmässigkeit, um ganz allgemein zu sprechen,
ihnen zukommt. Die Lehre von den regulären Polyedern, den fünf plato-
nischen Körpern, gehört bereits dem Altertum an, ebenso wie die Lehre
von den regulären ebenen Figuren, wenngleich deren Theorie, ausgedehnt
auf die sternförmigen Polygone und auf Vielecke von beliebiger Kantenzahl
— man denke an die Kreisteilung — erst in der Neuzeit im wesentlichen
zum Abschluss gebracht wurde. Von den uns durch Pappus überlieferten
halbregulären Polyedern des Archimedes, die auch weiterhin vielfacher
Betrachtung unterworfen wurden — wir erinnern nur an die Arbeiten von
Kästner, Catalan u.a. — schritt man, verhältnismässig spät, unter Ver-
zichtleistung auf die Forderung der Regelmässigkeit der Begrenzungsflächen
zu den sog. gleicheckigen Polyedern fort, deren erste ausführliche Be-
schreibung bei Hessel zu finden ist. Die Lehre von den gleichflächigen
Polyedern, den jenen reziproken, war dann eine naheliegende Folgerung,
die u.a. Catalan zog. Nach Verallgemeinerung des Begriffes des regel-
mässigen Polygons auf die Vielecke mit sich selbst schneidendem Perimeter
gelangte man auch für die räumlichen Gebilde zu einer erweiterten Auf-
fassung, und Kepler beschrieb bereits zwei jener regulären Sternpolyeder,
deren allgemeine Theorie den Inhalt der schönen Abhandlungen von Poinsot,
Cauchy und Chr. Wiener bildet.‘) Die eingehendsten Untersuchungen
endlich über Sternpolyeder ganz im allgemeinen, seien sie gleicheekig oder
1) Hierzu vergl.: S. Günther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der math.
Wissenschaften. Leipzig 1876. Kap.I. Zur geschichtl. Entwickelung der Lehre von den
Sternpolygonen und Sternpolyedern in der Neuzeit.
8 Max Brückner,
gleichflächig oder beides zugleich, verdanken wir E. Hess, der in einer
längeren Reihe von Mitteilungen und Abhandlungen die Geometrie bezw.
Gestaltenlehre mit einer beträchtlichen Anzahl neuer Raumfiguren beschenkt
hat.') Der Begriff des zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeders,
d.h. eines Vielflaches, das von lauter unter sich kongruenten oder symmetrisch-
gleichen Flächen begrenzt wird und dessen Ecken sämtlich kongruent oder
symmetrisch (im Legendreschen Sinne) sind, ist eine Verallgemeinerung des
ursprünglichen Begriffes des regulären Polyeders, wobei lediglich von der
Regelmässigkeit der Grenzflächen und Eeken abgesehen wird. Setzt man
überdies voraus, dass die Flächen eines solchen Polyeders konvexe Viel-
ecke seien und dass die Gesamtoberfläche einen kontinuierlichen Zusammen-
hang besitzt, verlangt man ferner, dass keine überstumpfen Flächenwinkel
an dem Gebilde vorkommen, so ergeben sich nur neun soleher konvexer
gleicheckig-gleichflächiger Polyeder, von denen acht von E. Hess eingehend
beschrieben worden sind.?) Unter Verzichtleistung auf die eben angeführten
Beschränkungen erhält man einerseits die nichtkonvexen, andererseits die
diskontinuierlichen gleicheckig-gleichflächigen Polyeder, über die wir E. Hess
einige Angaben verdanken; doch sind die mehrfach an verschiedenen Stellen
seiner Arbeiten von ihm angekündigten weiteren Ausführungen unterblieben.
Einer an mich im Jahre 1901 seinerseits brieflich ergangenen Aufforderung,
diese erweiterte Untersuchung fort- bezw. auszuführen, verdankt die folgende
Arbeit ihre Entstehung. Um ein Gesamtbild der Theorie der gleicheckig-
gleichflächigen Polyeder allgemein verständlich und für den Leser wenigstens
bis zu einem gewissen Grade unabhängig von den vorhergehenden Arbeiten
geben zu können, ist es nötig, eine Reihe allgemeiner Begriffe und. Defini-
tionen, sowie eine Anzahl Sätze über die Polygone, Polyeder und ihre Ecken
überhaupt, voranzustellen. Das erscheint um so angezeigter, als wir ausser
den kurzen Angaben’) von Hess keine zusammenhängende Darstellung der
?) Über diese Abhandlungen und die mannigfachen Untersuchungen anderer vergl.
M. Brückner, Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte: Leipzig 1900. Wir
eitieren dieses Buch künftig kurz unter V.u.V.
2) E. Hess, Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder. Cassel
1876; künftig kurz unter „Hess“ eitiert.
3) In der Mitteilung: Ueber einige merkwürdige nichtkonvexe Polyeder. Marburger
Berichte. Januar 1877. Nr.1.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 9
allgemeinen Theorie der nichtkonvexen Polyeder besitzen.) Nur die
Arbeiten’) von A. F. Möbius, die bekanntlich in der Entdeckung der auch
nach ihm benannten einseitigen Polyeder gsipfeln, stellen einen höchst be-
achtenswerten Beitrag zur Theorie der von ihm als „aussergewöhnliche“
bezeichneten nichtkonvexen Vielflache dar. Der Vollständigkeit wegen
sollen im $ 3 des ersten Kapitels sämtliche gleicheckig- gleichflächigen
Polyeder, also auch die konvexen und die bereits beschriebenen diskonti-
nuierlichen und die, der Anzahl nach sehr geringen, nichtkonvexen Polyeder
mit angeführt werden. Es bedarf wohl kaum der Bemerkung, dass sich
die folgenden Untersuchungen nur auf Gebilde des dreidimensionalen Eukli-
dischen Raumes erstrecken, die Gültigkeit der Axiome der Euklidischen
Stereometrie also durchweg vorausgesetzt ist. Überdies sei von vornherein
hervorgehoben, dass sich die Betrachtungen, wenigstens der Einzelpolyeder,
in erster Linie auf deren Morphologie beschränken und insoweit wesentlich
der Topologie zuzurechnen sind; doch sollen auch die metrischen Be-
ziehungen nicht ganz vernachlässigt werden, wenngleich in dieser Hinsicht
vieles weiteren Untersuchungen zugewiesen werden muss. Durch die ge-
naueren Ausführungen über die zeichnerische Wiedergabe der Grenzflächen
der Polyeder und deren Darstellung im Modell hoffen wir zugleich einen
brauchbaren Beitrag zur darstellenden Geometrie zu geben. Was die
Figuren betrifft, so sind die zum Verständnis des Textes benötigten besonders
planimetrischen Zeichnungen auf den Tafeln 1, 2,... 20 zu finden, die in
Lichtdruck ausgeführten, nach Photographien der Polyedermodelle her-
gestellten Abbildungen auf den Tafeln 21, 22 ... 28, 29. Bis auf einige
wenige Figuren, die bereits auf den Tafeln in meinem Buche V. u. V. gegeben
wurden, sind sämtliche hier dargestellten Typen, die neu gefunden wurden,
zum ersten Male veröffentlicht.
I) Vergl. die Bemerkungen in V.u.V. S. 213 Nr. 160 usw.
2) A. F. Möbius, Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders. 1865.
Gesammelte Werke, Bd. II.
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 2
I. Kapitel.
Allgemeiner Teil,
$1. Die Flächen und die Ecken eines Polyeders.
Die Formel von Hess.
1. Von den Grenzflächen eines Polyeders. Unter einem Polygon
(n-eck) soll hier nur ein System von n Streeken (Kanten) in der Ebene
verstanden werden, die dergestalt mit einander verbunden sind, dass jeder
der beiden Endpunkte einer Strecke mit einem Endpunkte einer anderen
Strecke zusammenfällt. Gelangt man dabei beim Durchlaufen des Strecken-
zuges, von einem beliebigen Endpunkte ausgehend, durch sämtliche Strecken
nach dem Ausgangspunkte zurück, so heisst das Polygon kontinuierlich
(z. B. das Polygon ABDFEC, Fig. 1 Taf. 1), andernfalls diskontinuierlich.
Ein diskontinuierliches Polygon besteht aus zwei oder mehr kontinuierlichen
Polygonen (vergl. das Sechseck ACE; BDF Fig. 2 Taf. 1). Die allgemeine
Definition schliesst aber nicht aus, dass Endpunkte anderer als aufeinander-
folgender Strecken zusammenfallen; z. B. besitzt der Streekenzug ABDAEC
(Fig. 3 Taf. 1) in A die Endpunkte von vier Streeken. Wir bezeichnen
auch diese Figur als Sechseck, denn sie lässt sich durch einfache Ver-
schiebung der Strecken aus Fig. 1 erhalten. Ebenso schliesst die Definition
nicht aus, dass Strecken teilweise zusammenfallen, wie bei dem Sechseck
ABUODEF (Fig. 4 Taf.1). Durchläuft man den Streckenzug, den Peri-
meter des Polygons, in einem, festgesetzten Sinne, so erteilt man ihm
dadurch ein rechtes und linkes Ufer, die man durch Schraffierung
unterscheiden kann. Es möge das schraffierte Ufer stets als positives,
das andere als negatives bezeichnet sein. Indem man bei Polygonen
mit sich nicht schneidendem Perimeter das innere Ufer schraffiert, schreibt
Max Brückner, Die gleicheckig-gleiehflächigen, diskontinuierlichen usw. 11
man dem Polygone einen einfachen positiven Inhalt zu, bei äusserer
Schraffierung einen einfachen negativen. Nach Schraffierung eines beliebigen
Polygons kommen dessen Zellen bestimmte positive oder negative Ko-
effizienten zu, mit denen ihr absoluter Flächeninhalt zu multiplizieren ist.
Man erhält diese Koäffizienten, indem man aus der unendlichen Aussenebene,
die den Koeffizienten Null hat, den Perimeter überschreitend, der Reihe
nach in sämtliche Zellen dringt und den vorhergehenden Zellenkoäffizienten
um 1 erhöht oder erniedrigt, je nachdem man den Perimeter von dem
unschraffierten zum schraffierten Ufer oder umgekehrt schneidet (Meister-
Möbiussche Regel). Je nach der vorher festgelegten Schraffierung er-
halten dann die Zellen verschiedene Koöffizienten, wie die beiden Sechsecke
Fig. 2 und 5 Taf. 1 erkennen lassen. Der Gesamtinhalt des diskontinuier-
lichen Sechsecks Fig. 2 ist dann gleich der Summe der beiden Dreiecke
ACE und BDF, während der Inhalt des Sechsecks Fig. 5, ebenso wie der
des Sechsecks Fig. 1 bei passender Konstruktion der Figuren offenbar Null
ist.‘) Drückt man den absoluten Betrag eines positiven Zellenkoeffizienten
durch den Grad der Färbung der Gesamtfläche aus, so sind die Zellen
des Koöffizienten Null ungefärbt zu lassen, während die Zellen mit negativen
Koöffizienten auf der Rückseite der Fläche, eventuell mit verschiedenem
Grade, zu färben sind. Ist ein Polygon Grenzfläche eines Polyeders, so
nehmen an dessen Oberfläche nur Zellen mit positiven und negativen
Koöäffizienten Teil, während die Zellen mit dem Koäffizienten Null herausfallen.
Zur weiteren Charakterisierung eines Polygons dienen seine Winkel.
Liegt der Perimeter eines Polygons in bestimmter Weise schraffiert vor,
so beginne man die Durchlaufung des Streckenzuges mit irgend einer
Kante so, dass die schraffierte Seite links bleibt und fixiere so für jede
Kante einen positiven Sinn. Auch für alle Winkel sei ein bestimmter
Drehsinn als positiv festgelegt, z. B. der dem Uhrzeigersinn entgegengesetzte.
Dann heisse Umfangswinkel der Winkel, in welchem eine Kante
in positivem Sinne gedreht werden muss, um in die positive
Lage der nächsten Kante zu kommen. Alle Umfangswinkel liegen
also zwischen 0 und 2x. Gibt man dem Polygone die umgekehrte
1) Das Analoge gilt für die beiden Sechsecke Fig. 6 und Fig. 3 Taf. 1.
2*
12 Max Brückner,
Schraffierung, kehrt also den positiven Sinn aller Strecken um, so sind
die neuen Umfangswinkel bei Beibehaltung des vorigen Drehsinns an jeder
Ecke die Ergänzung der vorigen zu 2x. Die Summe aller Umfangswinkel
sei im ersten Falle U= a.2x, im zweiten U’ — a'‘.2r, wobei a und «a
jedesmal die Art des Polygons genannt wird. Dabei gilt wegen
U+U' = n.2xr die Relation:
1) ata=n,
d. h. die Summe der beiden Artzahlen eines ebenen Polygons
ist gleich der Zahl seiner Kanten.
Innenwinkel (kurz: Winkel) des Polygons heisse derjenige,
um den eine Kante im positiven Sinne gedreht werden muss,
um mit der negativen Richtung der vorhergehenden Kante
zusammenzufallen. Ein Innenwinkel liegt stets auf der schraffierten
Seite des Perimeters, und ergänzt den Umfangswinkel derselben Ecke zu
x oder 3x, je nachdem er kleiner oder grösser als ein gestreckter ist.
Ist J die Summe der Winkel eines Polygons, x die Zahl seiner überstumpfen
Innenwinkel, so ist:
J+U=x.32a +m—x)a,
und wegen U = a.2x: J—=[n+2(«—.a)]x.
Hat man also J= g.x bestimmt,') so ergibt sich die Art des
Polygons zu:
2) d — A. Fk a .
Ist x = 0, so heisse das Polygon konvex, andernfalls nichtkonvex.
Für ein konvexes Polygon, das nur Zellen mit positiven Koäffizienten haben
kann, stimmt die Artzahl « mit dem höchsten Koöffizienten (der innersten
Zelle) überein, wenn im Innern ein Punkt existiert, dem sämtliche Kanten
ihr schraffiertes Ufer zuwenden, und sie bedeutet hier die Anzahl von Kreis-
bedeckungen bei Projektion des Perimeters auf die Peripherie eines das
Gesamtpolygon umschliessenden Kreises aus dessen in jener innersten Zelle
gelegenen Zentrums —. Bei Umkehrung der Schraffierung des Perimeters
1) Vergl. hierzu: V.u.V. 8.4 Nr. 5.
Die gleicheckig-gleichfllächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 13
N— 2% +4
me
erhält man, da J+ J’ = 2nz ist, q = 2n—q, x — n—x, also «—
d.h. wiederum: a + a' — n.')
Vertauscht man also bei einem Polyeder die Aussenseite mit der
Innenseite der Oberfläche, d. h. kehrt den Sinn jeder Grenzfläche um, so
ersetzt man die Art a jeder einzelnen Grenzfläche durch n—a. — Die
sämtlichen Betrachtungen gelten für diskontinuierliche Polygone ebenso wie
für kontinuierliche.
2. Von den Ecken eines Polyeders. Der Untersuchung der Ecken
eines beliebigen Polyeders muss dessen Definition vorangestellt werden.
Wir verstehen unter einem Polyeder schlechthin eine Reihe oder
mehrere Reihen von ebenen Polygonen, die im Raume derart
mit einander verbunden sind, dass je ein Polygon jede seiner
Kanten (Kanten des Polyeders) mit einem und nur einem anderen
Polygon gemein hat. Setzt man dabei voraus, dass alle Polygone so
mit einander verbunden werden können, dass man beim Fortschreiten von
der als oberen Seite festgesetzten Seite eines ersten Polygons über die
Kanten der Reihe nach nur auf Oberseiten aller übrigen Polygone gelangt,”)
so heisst das Polyeder zweiseitig. Für solche Polyeder gilt, dass man
nach Bezeichnung sämtlicher Ecken der Polygone diese so schreiben kann,
dass sämtliche Kanten des Polyeders zweimal, aber im entgegengesetzten
Sinne, auftreten: Möbiussches Kantengesetz. Gilt dieses Gesetz nicht,
so ist das Polyeder einseitig (Möbiussches Polyeder). Die weiteren
Definitionen und Sätze beziehen sich im allgemeinen nur auf zweiseitige
Polyeder.
Unter einer Ecke eines Polyeders versteht man das Gesamtgebilde
der Flächen und Kanten in einem gemeinsamen Eckpunkte
mehrerer Polygone, deren die Ecke also mindestens drei besitzt. Be-
schreibt man um eine Ecke eines Polyeders eine Kugel (die die übrigen
Ecken ausschliesst) so bestimmen die Flächen der Ecke auf dieser ein
sphärisches Polygon, dessen Kanten im Winkel- bezw. Bogenmass
!) Man kann also die Schraffierung immer so wählen, dass « < u. ist.
2) Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass man in negative Zellen der Ober-
seite gelangt.
14 Max Brückner,
gemessen gleich den Innenwinkeln oder Kantenwinkeln der Ecke sind,
dessen Winkel mit den Flächenwinkeln der Ecke übereinstimmen.
Ist auch nur ein Flächenwinkel überstumpf, so heisse die Ecke nicht-
konvex, sonst konvex. Ein Polyeder heisse nichtkonvex, wenn mindestens
eine seiner Ecken nichtkonvex ist. Es braucht also ein nichtkonvexes
Polyeder keine überstumpfen Kantenwinkel zu besitzen.!) — Eine Ecke ist
mit ihrem sphärischen Polygone gleichzeitig kontinuierlich oder dis-
kontinuierlich. Bildet man die Polarfigur des sphärischen Polygons,
d. h. dasjenige sphärische Polygon, dessen Kanten die Polaren (Hauptkreise)
zu den Ecken des ursprünglichen Polygons und umgekehrt sind, so be-
stimmt dieses die Polareeke der ursprünglichen. Für die Artbestimmung
eines sphärischen Polygons kommen nun zwei Zahlen in Betracht, von
denen die eine «, sich auf die in Winkelmass ausgedrückten Kanten, die
andere «, sich auf die Umfangswinkel bezieht. Für die Polarfigur des
Polygons ist dann «; = «, und «,—= a. Es genügt also, direkt aus der
Figur des Polygons «, und aus der Polarfigur «‘, zu bestimmen. Sind nun
©, @ ... die Winkel des Polygons, o,, ö, ... seine Kanten, ®‘, ©, ... und
64, 6% ... bezw. die Winkel und Kanten des Polarpolygons, so gilt zunächst
für ein gewöhnliches Polygon: &; + 0; — x, also Yo; + Yo; — n.x oder
I — Mm —2)r + Io; = 2a.
Es ist aber Yo;— (n—2)x der sphärische Exzess des Polygons oder
seine Fläche F in Winkelmass gemessen, und Y6; — Yw;, d.h. die Kanten-
summe des Polarpolygons gleich der Summe U der Umfangswinkel des
ursprünglichen Polygons, sodass F+ U = 2x ist. Für ein beliebiges Poly-
gon ist dann:
3) FHU= @.2x,
worin @, die obengenannte Artzahl der Ecke ist. Andererseits ist für das
Polarpolygon F+U'—= a,.22 = a.2x. Dabei ist auch U’ — No, d.h.
gleich dem Umfang, F' — D (der sog. sphärische Defekt) für das ursprüng-
liche Polygon. Die Bestimmung der Zahl «, aus der Figur des sphärischen
Polygons auf der Kugel hat den Vorteil, dass man direkt die Flächenteile
!) Fedorow bezeichnete nichtkonvexe Polyeder ohne überstumpfe Kantenwinkel als
Koiloäder.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 15
ablesen kann, während die Bestimmung der Summe der Umfangswinkel
nach demselben Prinzipe, auch für überstumpfe Winkel, erfolgt, wie bei
den ebenen Polygonen. Werden bei einem sphärischen n-eck zugleich die
Seiten und die Winkel durch ihre Ergänzungen zu 2x ersetzt, so sind die
Artzahlen für das neue n-eck: 22 —«, und an—.a,.
Wir erläutern das Gesagte zunächst an den sphärischen Dreiecken,
deren es acht T'ypen gibt (Fig. ”—14 Taf. 1). Der Einfachheit wegen
wählen wir die drei Punkte A,, 4, A, der Kugel, durch welche die drei
>
die sämtlichen Dreiecke bildenden Hauptkreise zu legen sind, als die Ecken
eines Oktanten, dessen Fläche = ist. Wir haben dann bei Beachtung der
Schraffierung des Perimeters für die Flächen und Umfangswinkel der acht
Dreiecke die folgenden Werte, aus denen sich die beigesetzten Artzahlen «,
ergeben, während «, aus der polaren Figur zu entnehmen ist. Es ist der
zweite und dritte, der sechste und siebente Typus polar zu einander, die
übrigen Typen sich selbst polar zugeordnet, d. h. autopolar, wovon man
sich leicht durch Konstruktion der Polarfiguren überzeugen kann.') Es
ist für den
w|8g
a
nypus (Rigz) Bi
2. Typus (Fig.8) P— 7.7. U =. ee?)
3. Typus (Fig. 9) F—3.7+1.(2.7)=5:5- Be ah
2 2 2 2
4. Typus @ig.10) F=3.2+4.(2.2)-115- U-3... m=5. (=).
5. Typus (Fig. 11) F=3.7. A EN
2 2 2 2
6. Typus (Fig. 12) F—5.8. Be
2 2 2 2
nee Ze al ZEN LI 7, U ELITE Baur du: ie:
7. Typus (Fig. 13) #5. Ser 1.(2.5)=7. Vera kr, n—34 (0, 9):
& T OT Tu In „ —% PR “
8. Typus (ig.1) 5.2 +2.(2.2)=0.5 U—1., +2. ee een (er):
1) Die Flächenkoöffizienten sind so zu bestimmen, dass der auf der nicht schraffierten
Seite des Perimeters liegende „äussere* Teil der übrigen Kugelfläche den Koöffizienten Null
hat. Das Übrige ergibt sich von selbst.
16 Max Brückner,
| Für die an Polyedern auftretenden »-kantigen Eeken kommt nur
die Artzahl «, (kurz mit « bezeichnet) in Betracht, die, wenn die Aussen-
seite des Polyeders mit der Innenseite vertauscht wird, d.h. alle ebenen
Kantenwinkel und alle Flächenwinkel gleichzeitig durch ihre Ergänzungen
zu 2x ersetzt werden, in 20»—« übergeht. An dem in Fig. 15 Taf. 1 dar-
gestellten Polyeder kommen sämtliche zu den eben angeführten acht Typen
gehörigen dreikantigen Ecken vor. Wir denken uns zunächst das ganze
Gebilde an der äusseren Seite gefärbt und bezeichnen die Flächenwinkel,
die immer auf der ungefärbten Seite des Polyeders zu messen sind, mit
w; bezw. w,, je nachdem sie kleiner oder grösser als x sind, die Kanten-
winkel in gleicher Weise mit s; bezw. s, (Sie sind auf der Aussenseite
des Polyeders zu rechnen, also =x, je nachdem sie als Innenwinkel ihres
Polygons =x sind.) Dann ist für die
Ecke A: w = 3. S; — 48. verol. STypuRn 2, go
Ecke B: w, = 3. Ser 35: vergl. Typus 2. & = 4.
HekeriG: no, a. — 1. Pr Ns, 0: Bverel! Typus Digaie 9
BekeD: 10: — 1. ja, — 2.05: — 2.058, —Il vers]; Typuss6. ar 3.
Vertauscht man die Aussenseite dieses Polyeders Fig. 15 mit seiner
Innenseite, denkt sich also die Färbung auf der entgegengesetzten Seite
angebracht, und schreibt dann 4’ statt A u. s. w.. so ist für die:
Bickesill: 0, — 3 er vergl. Typus 4 a —5.
Bieker Bi: 0: — 3. De: vergl. Typus 3. & = 2.
Bekem(:000; — 1. u, Des 25, 3 3 very N:
Bekeel). ur — 2. ww, Ma Se Ns, 322) vers Dypnsar a 3:
Zum Schlusse sei noch eine vierkantige niehtkonvexe Eeke (und ihr
sphärisches Polygon) betrachtet, wie sie besonders häufig an den später zu
berücksichtigenden Polyedern auftreten. Wir konstruieren das sphärische
Polygon Fig. 16 Taf. 1 durch vier Hauptkreise so, dass die gesamte Kugel-
oberfläche durch sie in 24 kongruente rechtwinklig-gleichschenklige Drei-
ecke zerlegt wird. Für das Polygon A, 4,4; 4, sind bei der angegebenen
Schraffierung die Umfangswinkel in A,, A, A;, A, bezw. 2. ne 5.5 4. z’ n
14
also U — 4m. Die Fläche ist 4.(2.5)+16.(1.7), d.h. F=4x. Hiernach
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 17
ist «— 4 Für die entgegengesetzte Schraffierung ist, wie man sich leicht
nach Zeichnung der neuen Figur überzeugt, für die Umfangswinkel in der-
h r TR B14 B4 \ 3 Rd
selben Reihenfolge: 4-5; 1:3, 2:5,5.5, d.h. Y=4r und F <16.(1.5)
I
+4.(2.3)< 4x, d.h. es ist « wiederum gleich 4. Eine solche vierkantige
überschlagene Ecke der Art «= 4 besitzt zwei überstumpfe Kantenwinkel
und zwei ebensolehe Flächenwinkel und geht bei Umfärbung des Polyeders
in sich selbst über.
Die Art einer diskontinuierlichen Ecke ist gleich der Summe der
Artzahlen der sie konstituierenden Finzelecken. — Die eingangs gegebene
Definition der Ecke eines Polyeders schliesst nicht aus, dass zwei (oder
mehrere) ihrer nicht aufeinander folgenden Kantenwinkel in einer Ebene
liegen, wie dies Taf. 1 Fig. 4 andeutet, wenn man an Stelle dieses Sechs-
ecks ein sechskantiges sphärisches Polygon setzt, dessen Hauptkreisbogen
AB und DE längs AE zusammenfallen. Ein solcher Fall tritt z. B. sicher
ein, wenn die Polyederecke den Kantenwinkel A des Sechsecks Fig. 6 be-
sitzt. Dann enthält die äussere Oberfläche des Polyeders eine Flächenzelle
mit dem Koöffizienten +2. Einen ähnlichen Fall haben wir, wenn die
Ecke A des Sechsecks Fig. 3 zur Bildung einer Polyederecke beiträgt, bei
welcher dann zwei verschiedene Zellen entgegengesetzten Vorzeichens einer
und derselben Grenzfläche in einer Ebene liegen, während das dazwischen
befindliche Stück der Oberfläche den Koöffizienten Null hat, also eine
(scheinbare!) Öffnung des Polyeders darstellt. (Vergl. z. B. die Polyeder
Taf. 24 Fig. 4 und Taf. 26 Fig. 12.)
3. Die Formel von Hess und die Einteilung der nichtkonvexen
Polyeder. Den weiteren Betrachtungen wird die allgemeinste Definition
des Polyeders zu Grunde gelegt, das nur stets zweiseitig vorausgesetzt ist.
Bildet man die Summe der Polarecken seiner sämtlichen Eeken, indem man
von einem beliebigen Punkte des Raumes Normalen auf die Innenseiten
sämtlicher Grenzflächen fällt und durch je zwei solcher Normalen, die zwei
sich in einer Kante des Polyeders schneidenden Grenzflächen entsprechen,
Ebenen legt, so wird das von diesen sämtlichen Ebenen auf der um das
gemeinsame Zentrum der Normalecken beschriebenen Kugel erzeugte Netz
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. a 3
18 Max Brückner,
von sphärischen Polygonen die Kugel ein oder mehrere Male bedecken.
Die Anzahl dieser Kugelbedeekungen ist die. Artzahl A des
Polyeders. Nun ist die Fläche F eines solchen Polygons, wenn « die
Artzahl der Ecke, U die Summe der Flächenwinkel des Polygons und zu-
gleich die Summe w der ebenen Winkel der Ecke des Polyeders ist, gegeben
durch F—= «.22—w. Beträgt also die Summe aller Polygone A Kugeln, so ist
2rda— Iw — A.An.
Dabei ist für ein Polygon w— nr +2x2—2ar. Summiert man über sämtliche
Flächen des Polyeders, so kommt:
Iw —= a.n +27 %r — 28a.
Es ist aber X» die Kantenzahl sämtlicher Flächen, d. h. die doppelte Kanten-
zahl des Polyeders, so dass bei Tilgung des Faktors 2x aus den vorher-
gehenden die Gleichung resultiert:
4) 2A = Fa+ Ia— dx —K.
Diese für die Art A aller zweiseitigen Polyeder gültige Formel von Hess,
in der Ya und Y« die Summe der Artzahlen aller Flächen und Ecken,
2x die Zahl der am Polyeder vorhandenen überstumpfen Kantenwinkel
und X die der Kanten bedeutet, ist der allgemeinste Ausdruck des Euler-
schen Satzes, in dessen speziellere Form für konvexe Polyeder (und
Koiloöder) sie übergeht, wenn Yx — 0 ist (Wieners Formel), während
sie für Polyeder der Art A=1 (Eulerscehe Polyeder) zufte=K+2
wird, da sämtliche «a und « dann 1 sind. Die Formel gilt auch für dis-
kontinuierliche Polyeder und ist dann gleichwertig mit A = YA, wenn die
4A; die Artzahlen der ; Einzelpolyeder sind. Besitzt ein konvexes Polyeder
die Art A, so ist, falls es einen Punkt gibt, aus dem alle positiven Normalen
auf die Grenzfläche deren Innenseite treffen, A zugleich die Zahl der Kugel-
bedeckungen, wenn man die Oberfläche des Polyeders aus jenem Punkte
auf eine das ganze Polyeder umschliessende Kugel projiziert und stimmt
mit dem höchsten vorkommenden Koöffizienten der räumlichen Zellen überein.
Bestimmt man nämlich nach Festsetzung der äusseren Oberfläche eines
Polyeders den Inhalt der Zellen des Raumes, in die dieser durch die Fläche
des Polyeders geteilt wird, in analoger Weise wie den der Zellen eines
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 19
ebenen Polysons, indem man hier, aus dem Aussenraum mit dem Koöffi-
zienten Null kommend, der folgenden Zelle einen um + « verschiedenen
Koöffizienten beilegt, je nachdem die Grenzflächenzelle mit dem Koöffizienten
a von der äusseren (gefärbten) Seite zur inneren oder umgekehrt durch-
schritten wird, so ergibt sich der gesamte Inhalt des Polyeders als die
algebraische Summe aller Zellen (mal dem Einheitswürfel) und hat für
konvexe Polyeder einen bestimmten positiven Wert. Für nichtkonvexe
Polyeder kann sich die Summe, falls positive und negative Zellen auf-
treten, auf Null reduzieren. Nichtkonvexe Polveder, deren sämtliche Grenz-
flächen aus gleichviel Paaren kongruenter Zellen mit entgegengesetzten
Vorzeichen bestehen, also an sich schon den Flächeninhalt Null besitzen,
wonach auch die Oberfläche des Polyeders Null ist, haben stets den Inhalt
Null’) (ohne dass sie einseitig sind!). Wir bezeichnen solche nichtkonvexe
Polyeder als nichtkonvexe Polyeder zweiter Klasse oder kurz als Null-
polyeder. Für jedes andere nichtkonvexe Polyeder, als erster Klasse be-
zeichnet, kann die Wahl der Aussenseite der Oberfläche stets so getroffen
werden, dass der Inhalt positiv ist. Es sind nun diese Polyeder erster und
zweiter Klasse noch durch ein anderes charakteristisches Merkmal zu unter-
scheiden. Wir untersuchen die Änderung der Artzahl A eines Polyeders
bei Vertauschung seiner Innen- und Aussenseite. An Stelle der Grössen
Xa, Ya, Xx treten in der Formel von Hess für das neue Polyeder:
Na’ — En—a) = En — Na = 2K— Na,
Sa’ —= S(am— ca) = 23m — Da = AR — da,
Ix' — E(n— x) = 2K— 3x,
und da X = K bleibt, so wird:
24' = a’ + Ba — Sr — K —= 2 K—(Sa+ Za— x —K),
d.h. es ist:
5) AI A—IRE
oder: Die Summe der beiden Artzahlen jedes Polyedersist gleich
der Anzahl seiner Kanten. Für ein 'nichtkonvexes Polyeder erster
1) Bezeichnet P irgend einen Punkt ausserhalb der Oberfläche eines Vielflaches und
Pf das Volumen einer Pyramide über der Grenzfläche f mit der Spitze P, so ist die D_Pf,
unabhängig von der Lage von P, der Inhalt des Vielflaches (Möbius a. a. O. 8. 494. V. u. V.
8. 70). Es ist aber Pf = 0, wenn jedes f = 0 ist, —
3+
20 Max Brückner,
Klasse kann die „Färbung“ der Oberfläche stets so gewählt werden, dass
A< = wird. _ Für ein Nullpolyeder ist A= 4'— = wenn bei Vertauschung
der Färbung jede Fläche und jede Ecke in sich selbst übergeht, also
a=«a,x— = und auch @« = «‘ ist.‘) Zu jeder positiven Zelle besitzt ein
solches Polyeder eine, absolut genommen, gleiche Zelle negativen Vorzeichens,
die bei Vertauschung der Art des Polyeders nur ihre Vorzeichen wechseln.
4. Die polare Reziprozität der Polyeder. Zu jedem Polyeder P
lässt sich mit Beziehung auf eine beliebig gewählte Kugel, die nur das
gesamte Polyeder P einschliesst, ein zweites Polyeder P' so konstruieren,
dass die Ebenen der Grenzflächen von P‘ die Polarebenen zu den Ecken
von P als Polen sind, die Ecken von P' die Pole zu den Grenzflächen von
P als Polarebenen, und umgekehrt. Die Anzahl der Kanten beider Polyeder
ist die gleiche; die Zahl der Flächen des einen ist gleich der Zahl der
Eeken des anderen und umgekehrt. Zwei solche Polyeder P und P‘ heissen
polarreziproke. Ist P‘ isomorph mit P, so heisst P (bez. P') autopolar.
Zwei polarreziproke Polyeder sind gleichzeitig zweiseitig oder einseitig.
Besitzt P eine umbeschriebene Kugel, so sind die Ebenen der Flächen von
P‘ die Tangentialebenen in den Ecken von P an diese Kugel und das
Polyeder P' besitzt sonach eine einbeschriebene Kugel. Polarreziproke
Polyeder sind gleichzeitig konvex oder nichtkonvex, kontinuierlich oder dis-
kontinuierlich. Die Artzahl A zweier polarreziproker Polyeder ist dieselbe,
d. h. polarreziproke nichtkonvexe Polyeder gehören gleichzeitig zur ersten
oder zweiten Klasse.’)
$ 2. Über die Bestimmung der gleicheckig-gleichflächigen
Polyeder höherer Art.
1. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder erster Art.
Die Bestimmung der gleichflächig-gleicheckigen Polyeder im Sinne der in
der Einleitung vorangestellten allgemeinsten Definition, die die diskontinuier-
1) Es wird sich zeigen, dass fast alle gleicheckig-gleichflächigen Nullpolyeder den
angeführten Bedingungen genügen. Das Weitere vergl. in Kap.II $3 Nr.5 und Kap. IV $4 Nr.8.
2) Weiteres hierüber vergl. E. Hess a. a. O. 8. 15.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 21
lichen konvexen und die nichtkonvexen Gebilde einschliesst, erfordert die
Voranstellung der Theorie der nur gleicheckigen bezw. nur gleichflächigen
Polyeder erster Art, wie auch historisch das Problem der vollständigen
Aufzählung dieser Polyeder das ältere ist. Indem man auf verschiedenen
für diese Polyeder gültigen Sätzen fusste, gelangte man auf mehrerlei
Weise zu ihrer Auffindung. Hessel') geht zur Ableitung aller gleich-
eckigen Polyeder erster Art davon aus, dass sich deren sämtliche
Gestalten durch bestimmtes Abschneiden der Ecken und Kanten aus dem
regelmässigen n-seitigen Prisma, dem Oktaeder und Hexaeder, dem Ikosaeder
und Dodekaeder erhalten lassen. Es sind dann die Archimedeischen Polyeder
spezielle Fälle (Varietäten) dieser allgemeineren. Die Symmetrieebenen
und Achsen der gleicheckigen Polyeder sind sonach dieselben, wie die der
ursprünglichen Prismen und regulären Polyeder, sofern sie nur durch die
Konstruktion nicht verloren gegangen sind. Auf Grund der Voraussetzungen,
die über das Abschneiden der Eeken und Kanten zu treffen sind, erschliesst
man, dass jedes gleicheckige Polyeder eine umbeschriebene Kugel besitzt.
Es ist leicht ersichtlich, dass dieses Abschneiden selbst nichts anderes be-
deutet, als die Kombination mehrerer Polyeder desselben Achsensystems. —
Einen anderen Ausgangspunkt nimmt E. Hess, nachdem er sich in seinen
früheren Arbeiten zunächst wesentlich an Hessel angeschlossen hatte, in
seinem grundlegenden Werke,’) in dem er an die Spitze seiner Unter-
suchungen die Frage nach denjenigen Teilungen der Kugeloberfläche stellt,
wonach dieselbe mit einem Netze von gleichen und ähnlichen sphärischen
Polygonen, deren Kanten Teile von Hauptkreisbogen sind, lückenlos über-
deckt wird. Zu diesen gleichflächigen Netzen bestimmt er die zu-
geordneten oder speziell konjugierten gleicheckigen Netze, denen die
gleicheckigen Polyeder einbeschrieben, die gleichflächigen Polyeder um-
beschrieben sind. Mit der vollständigen Erledigung des Netzproblems ist
auch: die Klassifikation aller gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder
erster Art geleistet, und es zeigt sich die vollständige Übereinstimmung mit
den Ergebnissen Hessels. Der Satz über die um- bezw. einbeschriebene
1) Hessel, Übersicht der gleicheckigen Polyeder und Hinweisung auf die Beziehungen
dieser Körper zu den gleichflächigen Polyedern. Marburg 1871.
2) E. Hess, Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung ete. Leipzig 1883.
22 Max Brückner,
Kugel bildet also hier den Ausgangspunkt für die Konstruktion der beiden
Klassen von Polyedern, und deren polarreziproke Zuordnung ist ebenfalls
leicht zu erweisen.) Die Symmetrieachsen und Ebenen der Polyeder sind
identisch mit denen der Netze, die lediglich die des „Doppelpyramidentypus“,
des „Hexakisoktaedertypus“ und des „Dyakishexekontaedertypus“ sind. —
Auch zur Auffindung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder
höherer Art hat Hess durch Betrachtung der die Kugel mehrfach bedecekenden
Netze die Grundlagen geschaffen;’) doch ist das allgemeine Problem z. Z.
noch unerledigt, da es bisher nur gelungen ist, die festen, aber nicht die
beweglichen Netze vollständig abzuleiten. Die Bestimmung der gleich-
_ eckigen oder gleichflächigen diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder
höherer Art ist also ebenfalls noch ein ungelöstes Problem. Doch beweist
Hess, dass auch jedes gleichflächige Polyeder höherer Art eine
einbeschriebene, jedes gleicheckige Polyeder höherer Art eine um-
beschriebene Kugel besitzt.) — Die Zusammenstellung und Untersuchung
der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder erster Art, soweit sie
für unsere Arbeit erforderlich ist, soll vor Betrachtung der Polyeder jedes
Typus seinen Ort finden.
2. Allgemeine Sätze über die gleicheckig-gleichflächigen Polyeder
höherer Art und die Methoden ihrer Ableitung. Jedes Polyeder, das
zugleich gleicheckig und gleichflächig ist, nimmt an den Eigenschaften
beider Polyederklassen teil, besitzt also sowohl eine ein- wie umbeschriebene
Kugel. Das gilt also in erster Linie für dergl. Polyeder erster Art, zu
denen ausser den fünf regulären Polyedern nur das quadratische und
rhombische Sphenoid gehören, d. h. die Hemiedrien der geraden
quadratischen Säule und des rechtwinkligen Parallelepipeds. Der gleiche
Satz gilt aber auch für alle solche Polyeder höherer Art, d. h. deren
sämtliche Flächen berühren eine einbeschriebene Kugel und die sämtlichen
Ecken liegen auf einer umbeschriebenen Kugel, so dass die umbeschriebenen
Kreise der Grenzflächen kongruente (kleine) Kreise dieser letzteren Kugel
HER OB. 201.
2) Kugelteilung. S. 434 ff.
3) a.2. 0. 8. 435.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 23
sind. Die innersten Zellen der Grenzflächen sind die kongruenten bezw.
symmetrisch-gleichen Flächen der innersten räumlichen Zelle des gleich-
eckig-gleiehflächigen Polyeders und begrenzen also ein gleichflächiges
Polyeder erster Art. Daraus folgt, dass für das polarreziproke Polyeder,
das ebenfalls gleicheckig und gleichflächig ist, die Ecken die eines gleich-
eckigen Polyeders erster Art sind, d.h. dass die äussersten Doppel-
ebenen der Ecken des Polyeders höherer Art ein der Kugel eingeschriebenes
gleicheckiges Polyeder der ersten Art begrenzen.') Sind P und P' zwei
polarreziproke gleicheckig-gleichflächige Polyeder höherer Art, so ist das
die innerste Zelle von P [von P‘) bildende gleichflächige Polyeder — der
„Kern“ von P [bezw. P] — polarreziprok dem die Ecken von P‘ [von P]
bildenden gleicheckigen Polyeder, — der „Hülle“ von P' [bezw. P]. Ist
P ein autopolares gleicheckig-gleichflächiges Polyeder, so sind Kern
und Hülle polarreziproke Polyeder; doch gilt der Satz nicht umgekehrt.
Zwei Polyeder P und P‘, die jedes polarreziproken Kern und Hülle besitzen,
brauchen, obgleich die Kerne und Hüllen beider dieselben (isomorphen)
Polyeder sind, nicht autopolar zu sein, sondern es ist eines das polar-
reziproke des anderen. Wir nennen solche Polyeder P und P' parapolar. —
Auf Grund der oben angeführten Sätze ergeben sich nun die folgenden
Konstruktionen, mittels deren die sämtlichen gleicheckig-gleichflächigen
Polyeder, auch die diskontinuierlichen und nichtkonvexen, gefunden werden
können, da die Sätze für diese ihre Gültigkeit behalten. Es sind Ver-
allgemeinerungen derjenigen Konstruktionen der regulären Polyeder höherer
Art, die wir Poinsot und Cauchy verdanken. Die erste Konstruktions-
methode geht von den gleicheckigen Hüllen aus. Legt man nämlich durch
die Eekpunkte eines gleicheckigen Polyeders erster Art Diagonalebenen,
und betrachtet diejenigen Flächen, die, indem sie eine Kugel berühren,
ein gleichflächiges Polyeder erster Art bilden, so ergeben sich in diesen
Flächen die Grenzflächen von gleicheckig-gleichflächigen Polyedern höherer
Art, wenn in jeder Ecke der Hülle gleichviel solcher Flächen auftreten
und daselbst kongruente bezw. symmetrisch -gleiche geschlossene Ecken
(kontinuierliche oder diskontinuierliche) bilden. Dabei kann die Grenzfläche
selbst konvex oder nichtkonvex, kontinuierlich oder nicht sein. In den
!) Beweis: Hess, Kugelteilung. S. 447.
24 Max Brückner,
folgenden Untersuehungen wird diese Methode häufig in erster Linie ver-
wandt werden, um die mögliche Existenz von Polyedern höherer Art zu
erschliessen, während die Konstruktion der Grenzflächen und die weitere
Betrachtung der Polyeder sich auf Grund der folgenden zweiten Methode
der Ableitung ergeben wird.
Bringt man die Ebene einer ersten Grenzfläche eines gleichflächigen
Polyeders erster Art zum Schnitt mit sämtlichen Ebenen der Flächen dieses
Polyeders, d. h. konstruiert man die sog. vollständige Figur des
gleichflächigen Polyeders, so erhält man in jener ersten Ebene die
Spuren sämtlicher Ebenen des inneren Kerns eines oder mehrerer gleich-
eckig-gleichllächiger Polyeder, deren Grenzflächen also von einer gewissen
Anzahl dieser Spuren gebildet werden. Um diese Grenzflächen zu finden,
hat man diejenigen Schnittpunkte der Spuren aufzusuchen, die auf einer
Kugel so wie die Ecken eines gleicheckigen Polyeders erster Art liegen.
Diese Schnittpunkte müssen also Punkte eines Kreises sein, und durch
jeden Schnittpunkt müssen gleichviel Spuren laufen, da die Ecken des
zu findenden Polyeders von gleichviel Ebenen begrenzt werden. Bilden
dabei die Verbindungskanten ein konvexes Polygon, dessen sämtliche Kanten
dem Mittelpunkt des Kreises ihre Innenseite zukehren, so ist das gefundene
Polyeder ein konvexes, und zwar sicher ein diskontinuierliches, wenn das
Polygon selbst diskontinuierlich ist.‘) Andernfalls ist das Polyeder stets
nichtkonvex. — Diese Methode hat den Vorzug, dass sich die Konstruktion
in der Ebene der Grenzfläche des gleichflächigen Polyeders leichter aus-
führen und übersehen lässt als die Legung der Ebenen durch die Ecken
der gleicheckigen Hülle. Über die Einzelheiten der Konstruktion ist später
an Ort und Stelle Auskunft zu geben. Wir bringen im folgenden $ zu-
nächst eine vollständige Tabelle aller gleicheckig-gleichflächigen Polyeder,
die der ersten Art sowie die bereits erledigten konvexen Polyeder höherer
Art inbegriffen und geben damit zugleich »ein Schema für die Einteilung
der Polyeder. Dabei beachte man folgende Bemerkungen. Die verschiedenen
Varietäten der „Kerne“ und „Hüllen“ sind durch gewisse Parameter o, 7
und s, t charakterisiert, deren Bedeutung später ausführlich erläutert wird,
!) Doch können kontinuierliche Polygone zu diskontinuierlichen Polyedern gehören.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 25
ebenso wie die Achsen- und Symmetrieverhältnisse der drei Typen, des
Doppelpyramidentypus, des Hexakisoktaedertypus und des Dyakishexekon-
taedertypus, denen sämtliche gleicheckig-gleichflächigen Polyeder nach den
allgemeinen Erläuterungen zugehören müssen. Es dient diese Zusammen-
stellung nur zur vorläufigen Orientierung und nur diejenigen Polyeder
sollen ausführlich charakterisiert werden, die im folgenden nicht weiter
zur Sprache kommen; diese anderweit beschriebenen und abgebildeten
Polyeder sind durch ein *) angezeigt, auch ist auf die diesbezüglichen Quellen-
schriften hingewiesen.') Hierüber sei noch bemerkt, dass mit X und H der
innere Kern bezw. die äussere Hülle bezeichnet ist.
$ 3. Klassifikation der gleicheckig-gleichflächigen Polyeder.
Wir teilen die Polyeder (das Beiwort „gleicheckig-gleichllächig“
wird auch künftig meist weggelassen, wenn kein Irrtum möglich ist) in
erster Linie in die konvexen und nichtkonvexen, die konvexen in kon-
tinuierliche und diskontinuierliche ein, während die nichtkonvexen zunächst
in die beiden Abteilungen der zweiseitigen und einseitigen Polyeder zer-
fallen u. s. w.
Il. Konvexe Polyeder.
(Sie sind stets zweiseitig.)
A. Kontinuierliche Polyeder.
a) Reguläre Polyeder.
(Die Polyeder sind begrenzt von regulären Polygonen, also auch
gleichkantig.)
*)....e) Reguläre Polyeder erster Art. Dies sind die fünf den Ele-
menten angehörenden Platonischen Polyeder: Tetraeder, Oktaeder, Iko-
saeder, Hexaeder und Dodekaeder, von denen das zweite und vierte,
sowie das dritte und fünfte polarreziprok sind, das erste autopolar ist.
1) Es beziehen sich also für die unter *) angeführten Polyeder die Angaben der
Figuren auf die Tafeln in V.u.V.; während die Angaben bei den übrigen Polyedern, so
weit sie sich vorfinden, auf die Figuren der Tafeln der vorliegenden Abhandlung hinweisen.
Nova Acta LXXXVI. Nr.1, 4
26 Max Brückner,
8) Reguläre Polyeder höherer Art. X und H sind reguläre
Polyeder erster Art. Die vier Kepler-Poinsotschen Sternpolyeder:
*),... 1. Das Keplersche zwölfeckige Sternzwölfflach der dritten Art. K:
Das Dodekaeder. H: Das Ikosaeder.
*).... 2. Das Poinsotsche zwölfflächige Sternzwölfeck der dritten Art. K:
Das Dodekaeder. H: Das Ikosaeder.
*).... 3. Das Poinsotsche zwanzigflächige Sternzwölfeck der siebenten Art.
K: Das Ikosaeder. H: Das Ikosaeder.
*),... 4. Das Keplersche zwanzigeckige Sternzwölfflach der siebenten Art.
K: Das Dodekaeder. H: Das Dodekaeder.
Es sind die Polyeder 1. und 2., sowie 3. und 4. polarreziprok zu
einander. (Erste vollständige Ableitung: Poinsot, Memoire sur les polygones
et les polyedres. J. de l’&c. polyt. 10 cah. t. IV. & Paris 1810. S. 16—46.
Die weiteren Abhandlungen von Bertrand, Cauchy, Cayley, Wiener u. a. s.
V.u.V. 8.176f. Abbildungen bei Wiener, Über Vielecke und Vielflache.
Leipzig 1864. Auch V.u.V. Tafel VII, IX, X u. XI)
b) Nichtreguläre Polyeder.
(Sie sind nur gleicheckig und gleichflächig, aber nicht gleichkantig.)
*),... a) Niehtreguläre Polyeder erster Art: Das quadratische und
rhombische Sphenoid (Doppelpyramidentypus). (V.u.V. Taf. VI Fig. 41a
und Fig. 44.)
8) Nichtreguläre Polyeder höherer Art. Solcher gibt es neun,
von denen die acht ersten, dem Dyakishexekontaedertypus zugehörend,
von Hess ausführlich behandelt sind; die Abbildungen sind in V.u.V.
gegeben. Es sind die Polyeder 1. und 2., 3. und 4., 5. und 6., 7. und 8.
polarreziprok.
*).... 1. Das 20.(8+2.3),-flächige 60 &),-Eek') der 5. Art. K: Das Iko-
saeder. H: Die Archimedeische Varietät (kurz: A. V.) des (12-+20 + 30)-
flächigen 60-Ecks. (Hess a. a. 0. 8.40ff. V.u.V. 5. 207 Nr. 154.
Die Abbildung daselbst auf Taf. IX Fig. 17.)
1) Über diese abgekürzte, von Hess eingeführte Bezeichnungsweise, die die Zahl und
Art der Grenzflächen und Ecken angibt, vergl. V.u.V. 8. 165 Nr. 126.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und niehtkonvexen Polyeder. 27
*).... 2. Das 20.8+2.3),-eckige 60(8),-Flach der 5. Art. K: Die A. V\V.
des Deltoidhexekontaeders. H: Das Dodekaeder. (Hess a.a. O. 8. 52ft.
V.u.V. S. 207.)
*),.... 3. Das 20.(8+2.3),-flächige 60.(8),-Eck der 25. Art. X: Das Iko-
saeder. H: das (12 + 20)-flächige 12.5-Eck für t — v5+2 (Hess .a.a. 0.
S.46ff. V. u. V. 8.208 Nr. 155. Die Abbildung ebenda Taf. XI Fig. 14.)
*).... 4 Das 20.(3+2.3),-eckige 60(3),-Flach der 25. Art. K: Das Pen-
takisdodekaeder für —=5(/5—2). H: Das Dodekaeder. (Hess, a.a. 0.
8.59. V.u.V. 8. 208; abgebildet auf Taf. XII Fig. 10 und 16.)
*).... 5. Das 30.4 +4 + &,-flächige 2.60 (3),-Eck der 15. Art. K: Das Tria-
kontaeder. H: Das (12 + 20 + 30)-fächige 2.60-Eck für s — HU ee
= rn (Hess a. a. O., 8. 70f. V.u.V. 8,210 Nr. 157. Die
Abbildung findet sich dort Taf. XI Fig. 4 und Taf. XII Fig. 7.)
").... 6. Das 30.(4 +4 + 4),-eckige 2.60 (3),-Flach der 15. Art. X: Das Dyakis-
MD. „= aus 20,
4 19
flächige 30-Eck oder Triakontagon. (Hess, a.a. ©. 8.87. V.u.V. 8.210;
abgebildet Taf. XII Fig. 11 und 17.)
®).... 7. Das 30.(4 +4 + 4,-flächige 2.60(3),-Eck der 45. Art. K: das Tria-
kontaeder. H: Die A. V. des (12 + 20 + 30)-flächigen 2.60-Ecks. (Hess,
a.a.0. 8.78. V.u.V. 8.211 Nr. 158. Das Polyeder ist auf Taf. XII
in Fig. 8 und 20 abgebildet.)
®).... 8. Das 30.(4+4+ 4),-eckige 2.60(3),-Flach der 45. Art. X: Die A.V.
des Dyakishexekontaeders. H: Das Triakontagon. (Hess, a.a. ©. 8. 90 ft.
V.u.V. S. 211 nebst den Figuren 12 und 21 auf Taf. XII.)
9. Das 48.(6),-eckige 48.(6),-Flach der 24. Art. X: Das Hexakis-
a sr
hexekontaeder für o — H: Das (12 + 20)-
oktaeder für o = —=3—/2. H: Das polarreziproke (6 + 8+ 12)-
flächige 2.24-Eck. (Vergl. diese Arbeit Kap. III $3 Nr. 6.)
B. Diskontinuierliche Polyeder.
a) Reguläre Polyeder.
Ein diskontinuierliches gleicheckig-gleichllächiges Polyeder wird als
regulär bezeichnet, wenn die einzelnen es konstituierenden Polyeder regulär
4*
28 Max Brückner,
sind, überdies aber Kern und Hülle ebenfalls reguläre Polyeder
erster Art sind. Das Polyeder ist also stets auch gleiehkantig. Von den
drei hierher gehörenden Individuen, die sämtlich autopolar sind, gehört das
erste dem Hexakisoktaedertypus, die beiden anderen dem Dyakishexekon-
taedertypus an. Diese oft beschriebenen Polyeder sind später beiläufig
nochmals erwähnt. Die Art ist wie bei allen diskontinuierlichen konvexen
Polyedern natürlich gleich der Anzahl der konstituierenden Einzelpolyeder.
*).... 1. Eine Kombination zweier Tetraeder (die sog. stella octangula
Keplers). K: Das Oktaeder. H: Das Hexaeder. (V.u.V. Taf. VII
Fig. 20.)
*).... 2. Zwei symmetrische Gruppierungen von je fünf Tetraedern. K: Das
Ikosaeder. H: Das Dodekaeder. (Die eine Gruppierung zeigt V.u. V.
Taf. IX Fig. 11.)
*).... 3. Eine Kombination von zehn Tetraedern, deren X das Ikosaeder,
deren Hülle das Dodekaeder ist. Das Polyeder ist die Kombination
zweier symmetrischer Polyeder Nr. 2 und kann auch als 20. (6),-eckiges
20.(6),-Flach der 10. Art bezeichnet werden. (V.u.V. Taf. IX Fig. 3.)
b) Nichtreguläre Polyeder.
Wir ordnen diese Polyeder, deren Kern und Hülle gleichflächig
bezw. gleicheckig von der ersten Art, aber nicht mehr regulär ist, in drei
Klassen ein, je nachdem die Einzelkörper des diskontinuierlichen Polyeders
erster oder höherer Art, gleichkantig oder ungleichkantig sind, und in jeder
Klasse wird nach dem Achsentypus geordnet, dem die Polyeder zugehören.
«) Die Einzelkörper sind von der Art A= 1 und regulär, d. h. gleich-
kantig, sodass auch das Gesamtpolyeder gleichkantig ist.
Dem Doppelpyramidentypus gehören eine Reihe autopolare
Gruppierungen von n>2 Tetraedern an. (Vergl. Kap. II $ 2 Nr. 7.)
Im Hexakisoktaedertypus gibt es eine Reihe autopolarer Grup-
pierungen von je zwölf Tetraedern, die als Spezialfälle der Kombinationen
quadratischer Sphenoide erhalten werden (vergl. Kap. III $2 Nr.5 und als
Beispiel Fig. 11 Taf. 22), deren X und H polarreziproke Hexakisoktaeder
bezw. (6+8+ 12)-flächige 2.24-Ecke besonderer Varietät sind; und eine
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 29
autopolare Gruppierung von sechs Tretraedern, deren X das Tetrakishexaeder
für r — 2+V? ist. (Vergl. Kap. III $2 Nr.5 und Fig. 6 Taf. 23)
Dem Dyakishexekontaedertypus gehören die folgenden beiden
einander polarreziproken Polyeder an:
*),,.. 1. Eine Gruppierung von fünf Hexaedern. X: Das Triakontaeder.
H: Das Dodekaeder. Man kann das Polyeder auch als 20(6),-eckiges
30(4),-Flach der 5. Art bezeichnen. (Hess, a. a. ©. 8. 68. V.u.V.
Taf. XI Fig. 24.)
*).... 2. Eine Gruppierung von fünf Oktaedern, oder das 20(6),-fächige
30(4),-Eck der 5. Art... (Hess, «2.0. 8.39. V.u.V. Taf. IX Fig. 6.)
Vergl. hierzu den Anhang zu Kap. IV $ 2 der vorliegenden Arbeit.
8) Die Einzelkörper sind von der Art A=1 und nicht gleichkantig.
Es sind quadratische oder rhombische Sphenoide.
Die dem Doppelpyramidentypus angehörenden zahlreichen Grup-
pierungen werden in Kap. II $ 2 dieser Abhandlung besprochen.
Dem Hexakisoktaedertypus gehören drei Hauptgruppierungen
von je zwölf stets quadratischen Sphenoiden und vier Hauptgruppierungen
von je zwölf rhombischen Sphenoiden an, deren X und H das allgemeinste
gleichflächige bezw. gleicheckige Polyeder des Typus ist. Für die speziellen
Polyeder erster Art des Typus treten an Stelle der zwölf Sphenoide unter
Umständen deren sechs, und die rhombischen Sphenoide werden für be-
stimmte Werte o und x des Kernes zu quadratischen. Die vollständige
Behandlung dieser Gruppierungen gibt Kap. HI $ 2.
Vom Dyakishexekontaedertypus existieren fünf Hauptgrup-
pierungen von je 30 rhombischen Sphenoiden, die unter Umständen zu
quadratischen werden. Ihre Besprechung bildet den Inhalt von Kap. IV $ 2.
y) Die Einzelkörper des diskontinuierlichen Polyeders sind von höherer
Art. Es existieren zwei von E. Hess gefundene einander polarreziproke
Anordnungen von je fünf Poinsotschen regulären Sternpolyedern, deren K
eine besondere Varietät des Deltoidhexekontaeders, deren Hülle das diesem
reziproke (12 + 20 + 30)-flächige 60-Eck ist. (Vergl. über die zugehörigen
Kugelnetze: Hess, Marburger Berichte 1878 Nr. 2, sowie V.u.V. S. 213
Nr. 159 und für die Polyeder selbst den Anhang zu Kap. IV $ 2 der vor-
liegenden Schrift. Die Abbildungen sind die Figuren 4 und 10 auf Taf. 26.)
30 Max Brückner,
U. Nichtkonvexe Polyeder.
A. Zweiseitige Polyeder.
(Das Möbiussche Kantengesetz erfüllende Polyeder.)
Wie vordem gezeigt, zerfallen diese Polyeder in zwei Hauptklassen,
je nachdem der Inhalt positiv, von Null verschieden, erhalten werden kann
(nichtkonvexe Polyeder erster Klasse), oder identisch Null ist (nichtkonvexe
Polyeder zweiter Klasse oder Nullpolyeder).
a) Nichtkonvexe Polyeder erster Klasse.
«) Kontinuierliche Polyeder.
Diese Polyeder gehören sämtlich den beiden Haupttypen mit mehr
als einer Hauptachse an. Sie sind zum Teil (Nr. 1, 2, 4, 5) von E. Hess
in den Marb. Ber. 1877 (nieht ohne Irrtümer) angegeben.')
Dem Hexakisoktaedertypus gehören die folgenden drei in
Kap. HI $ 3 Nr. 6 beschriebenen Polyeder an:
1. Das 8.3(6),-eckige 24(@2+2+1)-Flach der 18. Art. K: Die A.V.
des Triakisoktaeders. 7: Die A.V. des (6+8+ 12)-flächigen 24-Ecks.
(Fig. 6 Taf. 24.)
2. Das 24(5),-eckige 8.3@+2+1),-Flach der 18. Art. K: Die A.\V.
des Deltoidikositetraeders. H: Die A. V. des (6+s)-flächigen 8.3-Ecks
(Fig. 5 Taf. 24). Polarreziprok dem vorigen.
3. Das 48(5),-eckige 48(4+ 1),-Flach der 36. Art. K: Das Hexakis-
oktaeder für o — N. = 3—|/2. H: Das polarreziproke (6 +8+ 12)-
flächige 2.24-Eck. Das Polyeder ist autopolar. (Fig. 12 Taf. 25.)
Vom Dyakishexekontaedertypus sind die folgenden in Kap. IV
5 Nr. 1 beschriebenen Polyeder:
7/7)
©
).... 4. Das 1265 +5),-eckige 12(5+5),-Flach der 18. Art. X: Das Dode-
kaeder. H: Das Ikosaeder. Das Polyeder ist autopolar. (Hess, Marb.
Ber. 1877 8.7. V.u.V. Taf. IX Fig. 7.)
1) Einige Modelle solcher Polyeder wurden von Hess auf der Ausstellung der
Deutsch. Math. Vereinigung in München 1893 vorgeführt (vergl. d. Katalog). Ihre Abbildungen
s. V. u. V., die übrigen in dieser Schrift. z
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 521
*).... 5. Das 20(3+3),-eckige 20(3+3),-Flach der 10. Art; autopolar (das
sog. Keilikosaeder). X: Das Ikosaeder. HZ: Das Dodekaeder. (Hess,
ebenda S.7. V.u.V. Taf. VIII Fig. 26.)
6. Das 602 +2 +2),-eckige 60@+1+2+1),-Flach der 120. Art
4/5 +5
ums
H: Das hierzu polarreziproke (12 + 20)-flächige 12.5-Eck. Das Polyeder
ist autopolar (Fig. 3 Taf. 28).
7. Das 2.60 (3),-eckige 30 (4 +4 + 4),-Flach der 75. Art. X: Das Tria-
BET
19 ki
(A = 120, A’ = 60). K: Das Pentakisdodekaeder für =
kontaeder. H: Das (12 + 20 + 30)-flächige 2.60-Eck für s — 5V
a er (Fig. 11 Taf. 26.)
8. Das 30(4 +4 + 4),-eckige 2.60(3),-Flach der 75. Art, dem vorigen
polarreziprok (Fig. 7 Taf. 25).
8) Diskontinuierliche Polyeder.
Diese Polyeder sind Kombinationen von den soeben aufgezählten
Polyedern IIA, a) «) und zwar der Polyeder 4. 1. und 2.
1. Eine Kombination von fünf Polyedern Nr. 4. Kern und Hille
stimmen überein mit denen der Polyeder IB, b) y).
2. Eine Kombination von fünf Polyedern Nr. 1. X: Eine besondere
Varietät des Dyakishexekontaeders. H: Ein besonderes (12 + 20 + 30)-
flächiges 2.60-Eck.
3. Eine Kombination von fünf Polyedern Nr. 2. K und H ebenfalls
die allgemeinsten Polyeder des Typus. Das Polyeder ist polarreziprok
dem vorigen. (Über diese drei Polyeder s. Kap. IV $5 Nr. 2.)
b) Nichtkonvexe Polyeder zweiter Klasse.
Bei dem grossen Reichtum hier zu verzeichnender Gestalten sollen
an dieser Stelle nur die kontinuierlichen Polyeder, soweit sie nicht grüssere
Gruppen bilden, einzeln aufgezählt werden, während wir für die diskontinuier-
lichen Polyeder im wesentlichen nur die Hinweise auf die $$ der vorliegenden
Arbeit, in denen sie behandelt sind, zusammenstellen können.
32 j Max Brückner,
«) Kontinuierliche Nullpolyeder.
Dem Doppelpyramidentypus gehören die sog. Stephanoide
1. und 2. Ordnung St, und St, an, deren ausführliche Beschreibung den
Inhalt von Kap. II $ 3 bildet. Diese von überschlagenen Vierecken zweiter
Art begrenzten Polyeder mit vierkantigen Ecken vierter Art sind teils kon-
tinuierliche, teils diskontinuierliche Polyeder (vergl. Fig. 20—24 Taf. 21,
Fig. 17—20 Taf. 22) und konstituieren als Einzelpolyeder den grössten
"Teil der diskontinuierlichen Nullpolyeder des Hexakisoktaeder- und Dyakis-
hexekontaedertypus.
Dem Hexakisoktaedertypus gehören vier kontinuierliche Null-
polyeder an, die in Kap. II $ 3 Nr. 5 beschrieben sind:
1. Das 8.3 (6),-eckige 24(@ +2 + 2),-Flach der 36. Art. K: Die A.V.
des Triakisoktaeders. H: Die A.V. des (6 +8 + 12)-flächigen 24-Ecks
(Fig. 3 Taf. 24).
2. Das dem vorigen polarreziproke Polyeder (Fig. 9 Taf. 24).
3. Das 24(6),-eckige 24(6),-Flach der 36. Art. K: Das Ikositetraeder
ne v3 -: lı- EZ H: Das hierzu polarreziproke (6+8+12)-
flächige 24-Eck. Das Polyeder ist autopolar (Fig. 4 Taf. 24).
4. Das 48(6),-eckige 48(6),-Flach der 72. Art. K: Das Hexakisoktaeder
aa 2
2 ’
flächige 2. 24-Eck. Dieses Polyeder ist ebenfalls autopolar (Fig.11 Taf. 25).
Vom Dyakishexekontaedertypus sind fünf kontinuierliche Null-
polyeder, deren vier, Nr.5—8, von Hess in den Marb. Ber. 1877 Nr. 18.12
fürsor
z— 3—y/2. H: Das dazu reziproke (6 +8 + 12)-
angedeutet wurden (das fünfte dort angegebene Polyeder existiert nicht).
Diese vier Polyeder besitzen alle zu Seitenflächen überschlagene Sechsecke
dritter Art und die Eeken sind sechskantig von der sechsten Art. Je zwei
der Polyeder sind einander polarreziprok zugeordnet. Die ausführliche
Beschreibung findet sich Kap. IV $4 Nr. 8. (Die Gestalten dieser Polyeder
zeigen die Figuren 2, 1 und 3 Taf. 27 und Fig. 5 Taf. 26.)
9. Das 120(6),-eckige 120 (6),-Flach der 180. Art. Der Kern dieses
autopolaren Nullpolyeders ist das Dyakishexekontaeder für o — a
= s— 3/5. (Vergl. Kap. IV $4 Nr. 8 und Fig.5 Taf. 29.)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinujerlichen und nichtkonvexen Polyeder. 33
8) Diskontinuierliche Nullpolyeder.
Die konstituierenden Einzelpolyeder sind entweder die Stephanoide
des Doppelpyramidentypus oder kontinuierliche Nullpolyeder des Hexakis-
oktaedertypus.
ea) Die Einzelpolyeder sind Stephanoide. Hierher gehören
zunächst eine grosse Zahl der Stephanoide des Doppelpyramidentypus selbst
und gewisse Gruppierungen von solchen Polyedern in dem allgemeinsten
Polyeder des Typus. (Vergl. Kap. II $ 3.)
Dem Hexakisoktaedertypus gehören drei Klassen von Gruppierungen
von je sechs Stephanoiden St,(G) an, die in Kap. III $ 3 besprochen sind.
Vom Dyakishexekontaedertypus sind elf Klassen von Stephanoid-
gruppierungen, nämlich sechs Klassen von Gruppierungen von je zwölf bezw.
sechs Stephanoiden St,() und fünf Klassen von Gruppierungen von je zwölf
St’,@), über die in $ 3 und 4 des IV. Kap. berichtet wird. Die in IIA,b, «,
aufgeführten Polyeder sind z. T. Grenzfälle solcher Stephanoidgruppierungen.
88) Die Einzelpolyeder sind andere kontinuierliche Null-
polyeder, nämlich die Polyeder 1., 2., 3. Die ausführliche Behandlung der
hierher gehörenden drei Polyeder des Dyakishexekontaedertypus bringt
Kap. IV $5 Nr. 2.
B. Einseitige Polyeder.
Die hier zu verzeichnenden sechs kontinuierlichen Polyeder gehören sämt-
lich dem Dyakishexekontaedertypus an und bildet ihre Betrachtung den Inhalt
von Nr. 3 des Schlussparagraphen vorliegender Abhandlung. Diskontinuierliche
gleicheckig-gleichflächige Möbiussche Polyeder scheinen nicht zu existieren.
Das einzige im Dyakishexekontaedertypus aufgefundene diskontinuierliche
einseitige Polyeder ist nur gleicheckig. (Vergl. den Schluss dieser Arbeit.)
Nach dieser Übersicht der sämtlichen gleicheckig - gleichflächigen
Polyeder wenden wir uns den Einzeluntersuchungen zu. Hier klassifizieren
wir die Polyeder nach den Achsen bezw. Symmetrie-Ebenen, die ihnen
zukommen, je nachdem sie dem Doppelpyramidentypus, dem Hexakis-
oktaedertypus oder dem Dyakishexekontaedertypus zugehören. Dabei wird
jedesmal eine ausführliche Behandlung der die Kerne und Hüllen bildenden
gleichflächigen bezw. gleicheckigen Polyeder erster Art vorauszuschicken sein.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. ; 5
I, Kapıtel.
Die Polyeder des Doppelpyramidentypus.
$ 1. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder
erster Art.
1. Die vollzähligen Polyeder des Typus. Solcher sind zwei
gleichflächige und zwei ihnen polarreziproke gleicheckige anzuführen.
a) Das ebenrandige (2 + n)-eckige 2n-Flach, d. h. die gerade »-seitige
Doppelpyramide, ein gleichflächiges Polyeder, dessen Seitenflächen 2» gleich-
schenklige Dreiecke sind und von dessen Ecken eine regulär n-kantig, die
n übrigen im allgemeinen (2 + 2)-kantig sind. Für die A. V. sind die vier-
kantigen Ecken regulär. Das dazu reziproke Polyeder, das dieselben
Achsen und Symmetrieebenen besitzt wie jenes, ist das prismatische (2 + n)-
flächige 2r-Eck, d. h. das gerade »-seitige Prisma mit regulären Deckflächen.
Die Ecken sind (2 + 1)-kantig; für die A. V. sind die vierkantigen Grenz-
flächen Quadrate. Die Numerierung der Ecken und Flächen beider Polyeder
ist dadurch in Beziehung gesetzt, dass die Flächen der Doppelpyramide
Tangentialebenen in den Ecken des Prismas an dessen umbeschriebene
Kusel sınd.; Ks seien 1,98, ..... n die „oberen“ Flächen des gleich-
flächigen, bezw. Ecken des gleicheckigen Polyeders, 1‘, 2, 3%, ..... n' die
entsprechenden „unteren“ Flächen bezw. Ecken. Für die Achsen sind zwei
Fälle zu unterscheiden, je nachdem » ungerade oder gerade ist. It a —2p +1,
so hat das gleichflächige Polyeder, dessen Mittelpunkt O sei und dessen
n-kantige Ecken A und A‘ sind, neben den Hauptachsen 0A und 04
n unter gleichen Winkeln gegen einander geneigte, senkrecht zur Haupt-
achse in O stehende Nebenachsen OB, OB,,..... OB, nach den Ecken
B,, B,,... B, und » dergl. Kantenachsen, d. h. Achsen nach den Mitten der
Max Brückner, Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen usw. 35
Kanten B,B,, B,B,,...., die die Verlängerungen OB' der Eekenachsen OB
sind. — Die Eckenachsen des gleichflächigen Polyeders sind zugleich die
Flächenachsen des reziproken gleicheckigen Polyeders und die OB’ sind
zugleich Kantenachsen für beide Polyeder. Ist » — 2», so besitzt das
gleichflächige Polyeder neben den Hauptachsen 0A, 04’ 2p Eckenachsen,
von denen p die Verlängerungen der anderen sind: OB, OB‘, OB, OB‘,
1 ist. Ist o=1, so geht das gleichflächige Polyeder in ein Polyeder «)
1
. ns =. . (ee —— . .
von gleicher Flächenzahl 2.2p über; wird cos 180° , so ergibt sich
ein Polyeder «) von der halben Flächenzahl 2p. Sind b en bs die Abstände
der beiden Arten von Rechtecken des prismatischen @+p+p)-flächigen
2.2p-Ecks von dessen Mittelpunkte, wobei s< 1 ebenfalls ein reeller Para-
meter ist, so ergibt sich für s—1 das reguläre 2p-seitige Prisma, für
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 97
cos 180%
p
ist s.o—1. Die analytisch-geometrische Behandlung der zugeordneten
das reguläre p-seitige Prisma. Für polarreziproke Polyeder
Polyeder ist auch hier leicht durchzuführen.
2. Die hemiedrischen und hemigonischen Polyeder erster Art
des Typus. Die hier aufzuzählenden gleichflächigen Polyeder besitzen nur
die Hälfte der Flächen, die gleicheckigen Polyeder nur die Hälfte der Ecken
der vorher beschriebenen vollzähligen Polyeder. a) Für das ebenrandige
(2 +n)-eckige 2n-Flach ergibt sich die plagiedrische Hemiedrie,')
natürlich nur für gerades »— 2p, wenn von den Flächen der beiden Pyra-
miden nur die abwechselnden oberen und unteren, 1,3,5,7... und 2%, 4, 6%...
erhalten bleiben, nämlich das sog. kronrandige (2+2p)-eckige 2p»-Flach
(für »— %). Die Grenztlächen sind Deltoide (V. u.V. Taf. VI Fig. 40b),
Das dazu 'reziproke kronrandige (2+2p)-flächige 2p-Eck (p - *), die
plagiedrische Hemigonie des n-seitigen regulären Prismas für gerades
n entsteht aus diesem durch Abstumpfung der abwechselnden Ecken der
beiden Deckflächen mittels dreiseitiger Schnitte durch die drei Nachbarecken
(V.u.V. Taf. VI Fig. 40a). Die Seitenflächen des Polyeders sind gleich-
schenklige Dreiecke, die für die A. V. zu gleichseitigen werden. Die Deck-
flächen sind um den Winkel 2 um die Hauptachse gegen einander ge-
drehte reguläre p-ecke. Wir nehmen weiterhin dieses Abschneiden der
Ecken stets so ausgeführt an, dass die Eeke 1) des vollzähligen Polyeders
erhalten bleibt.
Die rhomboedrische Hemiedrie!') des ebenrandigen (2 + n)-eckigen
2n-Flaches ergibt sich für n = 4p‘, wenn je zwei abwechselnde Paare der
unteren und oberen Flächen beibehalten werden, also entweder die Flächen
1,2, 84144 5,16,-74 8°... oder ı die), Flächen 1,2‘, 3%, 45,6 „one, n—Tn
Die zwei entstehenden Polyeder, unterbrochen-kronrandige (2 + 2p)-eckige
2.2p‘-Flache mit je 2p‘ rechten und linken ungleichseitigen dreieckigen
Grenzflächen, sind kongruent. Dasselbe gilt für die beiden rhomboedrischen
Hemigonien des n = 4p‘-seitigen Prismas, unterbrochen - kronrandigen
1) Über diese der Krystallographie entlehnten Ausdrücke vergl. z. B. P. Groth. Phys.
Krystallographie. Leipzig 1885. 8.291 u. 8. 337.
38 Max Brückner,
(2+2p‘)-Hächigen 2.2p‘-Ecken, die als Deckflächen zwei kongruente um
2 gegen einander gedrehte halbreguläre (»'+p)-ecke, als Seitenflächen
2p‘ gleichschenklige Trapeze haben, und dadurch erhalten werden, dass je
zwei abwechselnde Paare von Ecken derselben Deckfläche des »-seitigen
Prismas mittels trapezförmiger Schnitte durch die vier Nachbarecken ge-
tilgt werden.
b) Durch dieselben Konstruktionsmethoden ergeben sich die Hemiedrien
bezw. Hemigonien für das allgemeinste vollzählige Polyeder des Typus.
Die plagiedrische Hemiedrie des @+p+p)-eckigen 2.2p-Flaches ist
das sägerandige (2+2p)-eckige 2p-Flach, dessen Seitenflächen Trapezoide
sind (V.u.V. Taf. VI Fig. 43b). Je nachdem man die eine oder andere
Hälfte der abwechselnden Flächen des vollzähligen Polyeders beibehält,
erhält man das rechte oder linke von zwei symmetrischen Polyedern. Das
reziproke sägerandige (2+2p)-flächige 2p-Eck (V.u.V. Taf. VI Fig. 43a)
hat zu Seitenflächen ungleichseitige Dreiecke, zu Deckflächen reguläre p-ecke,
1800
pP
x 1800 % - a > er
denn für 9 = eo; wird das Polyeder zur gleichen Hemigonie des regulären
die um einen Winkel 9 gegen einander gedreht sind. Dabei ist 0 < pP<
Prismas.
Für dasselbe vollzählige gleicheckige Polyeder ergeben sich natürlich
wiederum zwei hemigonische Polyeder, je nachdem man seine linken oder
rechten Ecken tilgt; doch ist dies später nicht von Belang, da die Ecke 1)
des vollzähligen Polyeders stets erhalten bleiben soll. Die rhomboedrische
Hemiedrie des (2+p+p)-eckigen 2.2p-Flaches, konstruierbar nur für
p = 2p‘, ist das unterbrochen-kronrandige (2 + 2p‘)-eckige.2.2p-Flach (V.u.V.
Taf. VI Fig. 42b für p =35). Dasselbe vollzählige Polyeder gibt wieder
zu mehreren Halbflächnern Veranlassung, die aber hier nicht kongruent
sind. Dies erhellt sofort bei Betrachtung der rhomboedrischen Hemi-
gonie des prismatischen @+p + p)-fächigen 2.2p-Ecks für p = 2p‘ (V.u.V.
Taf. VI Fig. 42a). Bezeichnet man die abwechselnd gleichen Kanten der
Decktläche des vollzähligen Polyeders mit % und 7‘, die an Länge verschiedenen
zweiten Diagonalen mit d, und d,, je nachdem sie parallel einer Kante %
oder % sind, so ist für die eine Hemigonie die Deckfläche ein (p‘+p)-eck
mit den abwechselnd gleichen Kanten k und d,, für die andere Hemigonie
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 39
ein (p'+p)-eck mit den je p‘ Kanten 7 und d,. Diese Deckflächen werden
nur kongruent für k = k‘, d. h. wenn das vollzählige Polyeder zum regulären
Prisma wird. Soll auch jetzt die Ecke 1) des vollzähligen Polyeders er-
halten bleiben, so ergeben sich zwei verschiedene hemigonische Polyeder,
je nachdem die eine oder die andere von 1) ausgehende Kante der Deck-
fläche mit getilgt wird. Die Seitenflächen beider Hemigonien sind gleich-
schenklige, aber verschiedene Trapeze, mit den parallelen Kanten %, d, bezw.
k‘, dy. — Für die Betrachtung der äusseren Hüllen der zu untersuchenden
Sphenoidgruppierungen des Doppelpyramidentypus werden wir die Hemigonien
zu berücksichtigen haben, während die Konstruktion der vollständigen
Figuren der inneren Kerne der vollzähligen gleichflächigen Polyeder
natürlich die Figuren der Halbflächner schon mitergibt.
3. Konstruktion der vollständigen Figuren der gleichflächigen
Polyeder des Typus. a) Die vollständige Figur der »-seitigen Doppel-
pyramide wird für weitere Verwendung nur für gerades » konstruiert (Fig. 12
Taf.2, n=8). Ihre innerste Zelle ist das von den Spuren der Ebenen 2) »)
und 1%) gebildete gleichschenklige Dreieck AB, B,, die Grenzfläche 1) des
gleichflächigen Polyeders. Sämtliche Achsen B und C schneiden die Ebene
dieser Fläche auf der Spur 19, und da die Grösse der Schenkel AB, —= AB;
beliebig ist, nur von der Höhe der Doppelpyramide abhängig, so sind nur
die Distanzen der „Achsenpunkte“ B und C auf der Geraden 1) für
die Konstruktion zu berechnen. Ist O der Mittelpunkt der Doppelpyramide,
so sei O0, —=e, wenn C, die Mitte der Basis B, B, der Fläche 1) ist. Nun
3 1800 e 1800 aa: ar
ist x GOB = = Fu OROCH-HER „ usw. Allgemein ist < (00;
800
N”
N 1809 . 1 | cn nd
Sa also & 0\0B: = @i—3). @= 23,3.... Folglich gilt für
die gesuchten Achsenpunkt-Distanzen:
(EN
„
2i— 3). 1800
ee.
"
GC; = o.tan
(Be — 0 ri
Die Achsenpunkte auf der anderen Hälfte der Spur 1‘) haben die korrespon-
dierenden gleichen Distanzen. Zur Konstruktion der Spuren sämtlicher
Ebenen der Doppelpyramide auf der Ebene 1) beachte man die folgenden
40 Max Brückner,
Tatsachen. «&) Die Spuren aller Ebenen 2) 3) & ...n) gehen durch A.
%) Die Spur der Ebene 5 + 1) läuft parallel 1). 7) Die Ebenen 1), 1%, o)
und i) scheiden sich in einem Punkte, der auf einer Achse B oder € liegt,
je nachdem ; gerade oder ungerade ist. Ist i gerade, so schneiden sie sich
auf der Achse er für ungerades i liegt der Schnittpunkt auf Or, Daraus
folgt: Die Spur der Ebene i geht durch den Achsenpunkt Bi+2 oder Csı
2 372
je nachdem : eine gerade oder ungerade Zahl ist. Mit «) ist also jede dieser
Spuren konstruierbar. Dies gilt natürlich nur, so lange i < 5 +1 ist; für
spezielle Werte von » ergibt sich aber leicht die weitere Konstruktion.
6) Es sind parallel die Ebenen 1) und —ı 1), 2) und 5+ 2), .... allgemein
‘) und +2 Es sind also auch die Spuren dieser Ebene in der Ebene 1)
parallel, wodurch die Richtung aller Spuren @) bestimmt ist. Diese sind
also konstruierbar bei Berücksichtigung des ersten Satzes unter y).
b) Auch die vollständige Figur des gleichflächigen ebenrandigen
(@+p+p)-eckigen 2.2p-Flaches wird nur für gerades p hier untersucht.
(Vergl. Fig.13 Taf. 2 für p=4 und Fig. 2 Taf.3 für p= 10). Das von
den Spuren der Ebenen 2) 1) 2p) in der Ebene 1) gebildete ungleichkantige
Dreieck AB,C, ist die Grenzfläche des gleichflächigen Polyeders und die
innerste Zelle der vollständigen Figur. Sämtliche Achsen B und C schneiden
die Spur 1) und es sind also zunächst wieder die Distanzen der Achsen-
punkte zu bestimmen. Ist O0 der Mittelpunkt des Polyeders und setzt man
0C, =b, OB, —=bo und die Hauptachse 0A=b.r, wobei 6o>1 (s. früher),
z ein beliebiger Parameter >0 ist, so sind die Kanten der Grenzfläche 1):
2 ZE, Bere. / 1800
AG=b/itE, AB =byVor tr, BO —b.|/ 140 —20 cs. Fu
Sind 2 und « die Innenwinkel des Dreiecks B,0C, in ©, und B,, so ist
za! 90%
Ed en ZZ cot Sg (Tangentialsatz)
2 p et
wonach 2 und « zu berechnen sind. Beachtet man nun die Dreiecke
OC,B,, 00,6, 00,B, u.s.w. in der Ebene des Dreiecks OB,C,, so ergeben
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 41
sich die Distanzen €, B,, 0,0, u.s. w. jeweils durch den sinus-satz, und es
ist allgemein:
sin (27— 3) , sin (27— 2) =
a un Pe am GG=b.- ı er a ae
sin 1 sin 12) gr
so lange (2i—3) - 280% - bezw. Gy -ten Gruppierung:
;) Marz 22 32%
54 Max Brückner,
Dazu kommt aber noch die = 1)-te Gruppierung quadratischer Sphenoide:
Ja
>
2 Ü
;+1) I ESTER
Ist 2 ungerade, so fällt die letzte Anordnung in den Quadranten, ergibt also
das quadratische Sphenoid:
2 1 Aeneon nıA We
u) ep EB ET Bl
Es sei dies an einigen Beispielen erläutert. Für n=8(@= 2) ergibt sich
die Gruppierung von vier rhombischen Sphenoiden, deren erstes 1, 5, 2, 6‘
ist und die Gruppierung von vier quadratischen Sphenoiden, dessen erstes
die Ecken 1, 5, 3‘, 7° besitzt. Diese beiden Kombinationen zeigen die Figuren 17
und 11 Tafel 21. Die in der vollständigen Figur der regulären 8-seitigen
Doppelpyramide enthaltenen ‚Grenzflächen finden sich Fig. 12 u. 14 Taf. 2
dargestellt. Für n=123,02—=3) und a=16,(A=4) sind in den Figuren 7,
8, 9, 10, 11 Taf. 2 die Anordnungen der Deckflächen der je 2 2.4-Ecke
gezeichnet, denen jeweils zwei der Sphenoide, ein rechtes und ein linkes,
wie bei allen diesen Gruppierungen eingeschrieben ist. Es ergeben sich
für n= 12 eine Gruppierung rhombischer und eine quadratischer Sphenoide,
deren erstes 1, 7, 2, 8° bezw. 1, 7, 4, 10° ist; für n—=16 erhält man zwei
Gruppierungen rhombischer Sphenoide mit den ersten Einzelkörpern 1, 9, 2, 10°
bezw. 1,9, 4, 12‘, und eine Gruppierung quadratischer Sphenoide, deren erstes
1, 9, 5, 13° ist. Auch diese Beispiele bestätigen das allgemeine Ergebnis:
It n=47=4.2u, so existiert neben « Gruppierungen rhombischer eine
Gruppierung quadratischer Sphenoide; ist n=47 = 4(2u—1), so ist die
1—1
2
quadratischen wiederum gleich 1. Die Anzahl der Sphenoide in einer Grup-
Anzahl der Kombinationen rhombischer Sphenoide a —1 oder ,‚ die der
pierung ist stets 22 = Wir untersuchen nun die Gruppierungen gedrehter
wIS
Sphenoide, d.h. nur linker oder nur rechter, von denen wir je das erste in
folgender Übersicht anschreiben:
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 55
1. Gruppierung) 1, 22+1, 24, 22+2' oder 1, 24-1, 44, 2%;
2. Gruppierung) 1, 22 +1, 3%, 22+3° dern an A, 37T
A—1. Gruppierung) 1, 22 +1, 44, 32° oder 1 Del, 3213. 2-72.
Die 2-te Gruppierung ist identisch mit der bereits vorhandenen Gruppierung
quadratischer Sphenoide; es fallen dann das links und rechts gedrehte
Sphenoid in eins zusammen. Es ergeben sich also 24 —1) — 2 =)
Kombinationen von je 21 —= " rechts oder links gedrehten Sphenoiden. Als
2
Beispiel sei wieder » —8 gewählt. Die vier rechten bezw. linken Sphenoide
sind hier: |
r 5,20 5 5, 8%, 4
‘ ‘ 7 4‘
2,6, 34 7 el 8,4, 7,3
[3 7,4, 8° 73,6, 2°
48,0%, 1: 6.2.5, 1.
Die eine der beiden Kombinationen zeigt Fig. 5 Taf. 21; die Grenzfläche
des diskontinuierlichen Polyeders Fig. 15 Taf. 2. Die Vereinigung zweier
solcher entsprechender Gruppierungen gedrehter Sphenoide ergibt eine
n N 1:
n rechten und 5 linken, derart,
dass in jeder Ecke des Hüllpolyeders zwei Sphenoidecken zusammenfallen
Gruppierung von » rhombischen Sphenoiden
und je zwei Flächen zweier Sphenoide in einer Ebene des Kernes liegen.
Für n—=8 ergibt sich das in Fig. 18 Taf. 21 dargestellte diskontinuierliche
Polyeder, dessen Grenzfläche Fig. 16 Taf. 2 zeigt. Unter den nicht durch
Polyederzellen überdeckten Oberflächenteilen sind hier solche mit dem
Zellenkoäffizienten 2 vorhanden, da das den Grenzflächen zweier Sphenoide
gemeinsame Dreieck doppelt zu zählen ist. — Wir erläutern nun den Zu-
sammenhang dieser gedrehten Sphenoide des regulären Prismas mit denen
des allgemeinsten gleicheckigen Polyeders des Typus. Ist der Winkel, den
die Deekkante des ersten gedrehten Sphenoids mit der Grundkante bildet,
gleich «a, so ist « = = Die Drehwinkel für die aufeinanderfolgenden
Sphenoide sind nun «, 2a, 3a, ..... 2 —1)« oder - 1).. Die Gruppier-
ungen mit den Winkeln 2«, 4a, .... 2x« ergeben sich dann aus den all-
gemeinen Gruppierungen ie +iß für 8 = «. Solcher Gruppierungen sind für
56 Max Brückner,
n—=4)=4.2u an Zahl @«—1, d.h. 5 vorhanden; für n = 42 — 4(2u—|)
n—4
8
@u—1)e für n=8u und «a, 3a, 5a... Qu—3)a für n—4(2u—1) ergeben
ebenso #«—1, d.h. Die Gruppierungen mit den Winkeln «, 3a, 5a, ...
sich aus den allgemeinen Gruppierungen i@a+:iß für ?=0 und ungerades i,
während man für gerades i wieder die vorigen Gruppierungen erhält. Wir
erläutern das an den folgenden Beispielen, indem wir nur die eine Art ge-
drehter Sphenoide, z. B. die linken berücksichtigen. Für das @+p+p)-
flächige 2.2p-Eck sei zunächst 2» =82—=16. Hier gab es E- ei,
d.h. eine Gruppierung gedrehter Sphenoide, also gibt es, für $?=0, nur
eine Gruppierung gedrehter rhombischer Sphenoide im 8-seitigen regulären
Prisma. Ist 29 =82=24, so hat man A—1=2 Gruppierungen gedrehter
Sphenoide u.s.w. Allgemein gilt: Die Anzahl der Anordnungen gedrehter
rhombischer Sphenoide einer Art im »-seitigen regulären Prisma ist gleich
der Zahl der Anordnungen gedrehter Sphenoide im 2» = 2n-seitigen all-
5 . Be N . es N 0)
‚emeinen Prisma für ?=0, d.h. -— 1; davon sind für n = 81 -—1, für
DJ ’ 8 >
4
n—=4(22—1) — auch aus dem 2» = n-seitigen allgemeinen Prisma für
?= «a herzuleiten.
Es sei nun der zweite Fall des (2+n)-flächigen 2»-Ecks zu unter-
suchen, für den » — 2(24 +1) ist. Hier kann es nur Anordnungen gedrehter,
linker oder rechter, Sphenoide geben. Die Ecken des Hüllpolyeders sind
die folgenden:
41+2 1 2 SESE BR 22 BETTER
_—_— an —X. — — — zer 2 27 . _
Aean 1 Ey re au 3 DE N
In die Quadranten fallen keine Ecken, also sind quadratische Sphenoide
unmöglich. Die Gruppierungen rhombischer Sphenoide sind:
1. Gruppierung) 1, 2242, 2, 2443 und 1, 22+2, 42+2,22+1
2. Gruppierung) 1, 22+2, 3), Ira" nn Ve) wen! ee
i. Gruppierung) 1, 22+2, +1, 22+:+2' und 1, 22+2, 44—5+3‘, 22—i+2'
3. Gruppierung) 1, 22 +23, 2+1', 32 +2 und 1,1222, 32 E41 a 2.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 37
Es gibt also 1-7 Gruppierungen rechter und ebensoviel linker
Sphenoide, sowie die gleiche Anzahl von Gruppierungen, die durch die
Vereinigung je zweier solcher Kombinationen entstehen. Die einfachen
Gruppierungen enthalten je : Sphenoide. Als Beispiel sei n—6(@—1) an-
geführt. Taf. 21 Fig. 3 zeigt das aus drei linken rhombischen Sphenoiden
gebildete Polyeder, dessen Grenzfläche in der vollständigen Figur Taf.2 Fig. 24
durch die Spuren der Ebenen 4, 2‘, 5‘ in der Ebene ı der sechsseitigen
regulären Doppelpyramide gebildet wird. Mit der aus drei rechten Sphenoiden
bestehenden Kombination zusammen ergibt sich das Polyeder Taf. 21 Fig. 1,
dessen Grenzfläche Taf. 3 Fig. 1 keiner Erläuterung weiter bedarf.
6. Die Sphenoidgruppierungen, deren Hüllen hemigonische
Polyeder des regulären Prismas sind. Es sei für das reguläre Prisma
»—=44. Bilden wir die plagiedrische Hemigonie, so sind die verbleibenden
Eoken 17 1490 3 4 5.60... 32 1.049, 21,7 1.92- EI sa aa,
Ist also 4 gerade, so existieren die sämtlichen plagiedrischen Hemigonien
mit rhombischen Sphenoiden der ersten Klasse, dagegen keine quadratischen
Sphenoide. Ist 2 ungerade, so existieren für sämtliche rhombischen Sphenoide
und auch für das System quadratischer Sphenoide die plagiedrische Hemigonie.
Beispiel: Für „= 8(4=2) gibt es eine Anordnung rhombischer Sphenoide,
nämlich die Kombination von 1, 5, 2, 6° und 3, 7,4, 8, Taf. 21 Fig. 12.
Die Figur der Grenzfläche ist Taf. 1 Fig. 21. Was die plagiedrische
Hemigonie der gedrehten Sphenoide anbetrifft, so existiert, wie aus der all-
gemeinen Tabelle in Verbindung mit dem obigen Schema der Ecken hervor-
geht, eine solche nur für die 1. 3. 5. .... Anordnung, d. h. für die Anordnungen
mit ungeradem Index. Ist also 2 eine gerade Zahl, so hat die A —1)-te
Anordnung ungeraden Index und ist vorhanden. Es existieren somit für
= 24 die Anordnungen mit den Indices 1, 3,5 .... @«—1), d.h. u=5 An-
ordnungen. Ist 2 ungerade, so hat die (A— 1)-te Anordnung geraden Index,
fehlt also; für 2 = 24 — ı sind somit die Anordnungen der Indices 1,3,5...24—3
s 2—1
vorhanden, d.h. es sind u —1 —
Anordnungen möglich, deren letzte das
Sphenoid 1, 22 +1, 2—1', 32 —ı' enthält. Beispiel: Für n„=8@ = 2) ist
die Anzahl der gedrehten plagiedrisch-hemigonischen Anordnungen — 1.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 3
58 Max Brückner,
Die Sphenoide sind 1, 5, 2, 6° und 3, 7, 4, 8. Es sind also dieselben beiden
Sphenoide, die die plagiedrische Hemigonie der vier rhombischen Sphenoide
der ersten Klasse ergab; dazu findet sich aber noch die Hemigonie der
entgegengesetzt gedrehten Sphenoide 1, 5, 8% 4° und 7, 3, 6, 2. Also existiert
auch die plagiedrische Hemigonie für die Vereinigung beider Gruppierungen.
Diese vier rhombischen Sphenoide zeigt Taf. 21 Fig. 13. Die Figur der
Grenzfläche ist Taf. 2 Fig. 17.
Wir betrachten nun die rhomboedrischen Hemigonien. Wie bereits
früher bemerkt, wollen wir auch hier deren zunächst zwei unterscheiden.
Es mögen vorerst aus dem allgemeinen Schema die folgenden Ecken erhalten
bleiben:?2 ag 1.41, 7, 21 3.4.0502, an TA At aaa ee
d. h. die oberen Ecken sind von der Form 4« und 4#+1. Sollen also
rhomboedrische Hemigonien möglich sein, so darf 22+ ı bei Division durch 4
nur den Rest 1 lassen (da der Rest O0 ausgeschlossen ist), d.h. 2 muss eine
gerade Zahl sein. Wir setzen also 2= 2«(n = 8; die Punkte sind dann:
en 44, Au +1, 40 +2, Au+ 3° ...., d.h. die gestrichelten
Indices lassen bei Division durch 4 die Reste 2 und 3. Die frühere Tabelle
der Sphenoide lautet dann jetzt:
Te A ee:
2) 1, Au +1, 4, Aur4
) 1, 4u +1, 20, Au + 2 (rhombische Sphenoide).
3m) 1, 4u. +1, Zu‘, 6u'
a+1) 1, 40 +1, 20 +1‘, 60 +1' } (quadratische Sphenoide).
Man liest aus ihr ab, dass es rhomboedrische Hemigonien nur für
die 1., 3, 5. ... Anordnung gibt, allgemein für die i-te nur dann, wenn i
eine ungerade Zahl ist; d. h.: Ist in n=44—=8u u eine ungerade Zahl, so
gibt es ® = 2 rhomboedrisch-hemigonische Anordnungen rhombischer Sphenoide
und eine Anordnung dergl. quadratischer Sphenoide. Ist aber a eine
gerade Zahl, so gibt es = Anordnungen rhombischer Sphenoide und
keine quadratischen. Beispiel: Für „=8, also „=1 sind die noch
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 59
vorhandenen Ecken für die Hemigonie: 1, 2, 3%, 4, 5, 6, 7, 8. Es existiert
also die Kombination der beiden rhombischen Sphenoide 1, 5, 2, 6° und 4, 8, 3%, 7,
und die Kombination der beiden quadratischen Sphenoide 1, 5, 3%, 7’ und
4, 8, 2, 6. Betrachten wir nun die sog. zweite rhomboedrische Hemigonie.
Die verbleibenden Eeken sind jetzt: 1, 2, 34, 4, 5, 6..... 4u—1', Au‘, Au+1,
4u+2,... Soll die Ecke 22-+1 vorhanden sein, so muss also 2 wieder eine
gerade Zahl sein. Jetzt lassen aber die gestrichelten Indices bei Division
durch 4 die Reste O0 oder 3. Betrachten wir die vorher angegebene Tabelle
der Sphenoide, so ergibt sich sofort, dass nur die 2. 4. ... Anordnung möglich
ist, d. h. die -te Anordnung existiert nur, wenn i eine gerade Zahl ist.
Ist also in »—=47—=8u u eine gerade Zahl, so existieren die rhomboedrisch-
hemigonischen Gruppierungen 2) 4) 6)... «, d.h. £ Anordnungen rhombischer
Sphenoide und keine quadratischen. Ist aber « eine ungerade Zahl, so gibt
es die rhomboedrisch-hemigonischen Gruppierungen 2) 4) 6)... «+1, d.h.
I Gruppierungen rhombischer Sphenoide und eine Anordnung quadratischer
Sphenoide. — Fassen wir die beiden rlomboedrischen Hemigonien zu-
sammen, so ergibt sich das Schlussresultat: Sei in n =44—8u u gerade
oder ungerade, so gibt es « bezw. «+1 rhomboedrische Hemigonien rhom-
bischer Sphenoide des »-seitigen regulären Prismas, zwei rhomboedrische
Hemigonien quadratischer Sphenoide aber nur, wenn « ungerade ist. — Es
ist leicht zu zeigen, wie sich diese Gruppierungen aus den Hemigonien des
allgemeinsten Polyeders des Typus ableiten lassen. Dabei ist zu bemerken,
dass je zwei Gruppierungen kongruent sind, wenn man nur die A-achse
mit der 4A’-achse vertauscht. — Rhomboedrische Hemigonien gedrehter
Sphenoide gibt es aus leicht ersichtlichen Gründen nicht. — Ist nun endlich
für das reguläre Prisma n = 2 (22 +1), so ist jede plagiedrische Hemigonie
unmöglich, weil die Ecke 22+2 wegfallen würde, und ebensowenig gibt es
rhomboedrische Hemigonien.
7. Über die Gruppierungen sekundärer quadratischer Sphenoide.
Es war bereits in Nr. 1 dieses $ gezeigt worden. dass jedes rhombische
Sphenoid auf zweierlei Weise durch bestimmte Wahl der Länge der Haupt-
achse des 2.4-Ecks, dessen Hemigonie es ist, in ein quadratisches Sphenoid
übergeführt werden kann. Die Bedingungen für das Auftreten solcher
S+
60 Max Brückner,
„sekundärer“ quadratischer Sphenoide in den vollzähligen und hemi-
gonischen Polyedern des Typus wären anzugeben, doch wollen wir uns
auf die Untersuchung des regulären Prismas, für welches n = 42 ist, be-
schränken. Der Radius des Umkreises der Deckfläche sei o, die Höhe des
Prismas sei A, Das erste Sphenoid der i-ten Gruppierung hat die Ecken
1, 22 +1, 2, 22 + 27, also ist seine Deckkante ı, 22 +1—=20. Die anderen
Kanten seien ı, 27 — %, und 2%, 22+1 = X‘; überdies ist 25, 2’ — h. Nun
T
ist der zur Kante ı, 2 des Prismas gehörende Zentriwinkel 57 also der zur
Kante ı, 2: gehörende Zentriwinkel (2i—1) = Demnach ist der Peripherie-
winkel 1, 22+1, 2i gleich (@i— 1) - Er sei mit w; bezeichnet. Dann
sind die beiden Sehnen:
1, 2? — 20.sinw; und 2, 22+1 = 2g.cos w..
Da nun 2 —= 1,277 + h? —= 40? sin? ww; + h?
k'% = 21,24 +1 + A? = 402 cos? ww; +? und 1,22+1° = 4g? ist,
so ergeben sich quadratische Sphenoide, wenn
40? sin? w; + A? — 40?)
und 40? eos? w; + h? — 40?|
| h = 20 cos w;
\und A = 2e sin w; ist; d.h.:
Ist die Hauptachse des n-seitigen Prismas
oder
1 c
— I oder A= 20 sin— —.x,
4 : 5 44
h — 20 c08
so geht die i-te Gruppierung rhombischer Sphenoide (der ersten
Klasse) in eine Gruppierung quadratischer Sphenoide über.
“ UM +1 B S =
Ist für ungerades 4 i — ar, so werden die beiden Werte von h
gleich, nämlich oy2. In diesem Falle wird das Sphenoid, da es an und
für sich schon quadratisch war, zum Tetraeder. Für gerades 2 wird die
2 = &
z + 1)-te Anordnung für denselben Wert von A zur Gruppierung von Tetraedern,
d. h. es gibt Gruppierungen von 4, 6, 8, 10... Tetraedern, deren Hüllen
vollzählige » — 8, 12, 16 ..... . seitige Prismen sind. — Für die gedrehten
IR); in
Sphenoide ist w; = >... = —
„a ea ae
für i—= 1,23, 3...2—1 ergeben sich je zwei Gruppierungen links und
rechts gedrehter quadratischer Sphenoide. — Analoge Betrachtungen gelten
‚ also h — 2g cos = und A — 2g sin a d.h.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 61
für die Gruppierungen im (44—2)-seitigen regulären Prisma, nur sind
Tetraeder unmöglich.
Für die Hemigonien gehen die rhombischen Sphenoide unter den
gleichen Bedingungen wie den eben abgeleiteten zweimal in quadratische
über, die quadratischen einmal in Tetraeder. Es gibt also Gruppierungen
von Tetraedern, wenn es solche stets quadratischer Sphenoide gibt. Diese
Fälle mögen zum Schlusse noch zusammengestellt werden. a) Für n —42
und ungerades 7, d.h. n—=4(24+1) existieren plagiedrisch-hemigonische
Gruppierungen von 1 = 1 — 3,5, 7... Tetraedern, deren Hülle das kron-
randige (2+n)-flächige n-Eck ist. b) Für » —= 47 und gerades 2 — 2 (2W—1)
gibt es rhomboedrisch-hemigonische Gruppierungen von 2u‘ —:+ 1,%d-B.
2, 4, 6 ... Tretraedern, deren Hülle das unterbrochen-kronrandige [2 Een @u'—1)]-
flächige 2.[4.@@—1)]-Eck is. — Die den angestellten Betrachtungen
analogen leicht durchzuführenden Untersuchungen sekundärer quadratischer
Sphenoide und Tetraeder im @-+p-+p)-tlächigen 2.2p-Eck und seinen
Hemigonien übergehen wir, zumal die Resultate weiterhin keine allgemeine
Verwendung finden. Damit sind die diskontinuierlichen konvexen Polyeder
des Doppelpyramidentypus erledigt.
$ 3. Die Stephanoide und ihre Gruppierungen im Doppel-
pyramidentypus.
1. Definition und allgemeine Betrachtung der Stephanoide 82,
und $t‘,. Die Stephanoide') sind zweiseitige nichtkonvexe, gleicheckig-
gleichflächige’) autopolare Polyeder des Doppelpyramidentypus, die von
kongruenten überschlagenen Vierecken zweiter Art begrenzt werden, und
deren kongruente vierkantige Kceken von der vierten Art sind. Da jede
Grenzfläche aus zwei gleichen Zellen verschiedenen Vorzeichens besteht,
so ist ihr Inhalt Null; es verschwindet somit der Gesamtinhalt der Ober-
fläche und damit auch das Volumen des Polyeders („Nullpolyeder“). Es
1) Wir behalten diese von Hess, Marb. Ber. 1877 S. 9, für die einfachsten Polyeder
solcher Art zuerst eingeführte Benennung bei.
2) Über noch allgemeinere Polyeder, die diese Stephanoide als Spezialfälle ein-
schliessen, vergl. die Anm. in Nr.5 $ 3.
62 Max Brückner,
sind zwei Ordnungen von Stephanoiden zu unterscheiden, [St, und St,], die
wir zunächst im folgenden definieren wollen. Wir beginnen mit der De-
finition der St„. Es seien, wie früher, die Ecken eines »-seitigen
regulären Prismas 1, 2,3, ...» und 1, 2, 3, ...»“ Auch für die Achsen,
die übrigens erst später bei der Konstruktion der Stephanoide aus dem
inneren Kernpolyeder wieder in Frage kommen, werden die schon gewählten
Bezeichnungen beibehalten. Es sollen nun unter ‘ und i‘ die Benennungen
irgend zweier Eekpunkte der unteren Deckfläche des Prismas verstanden
werden, wobei ü‘>“ Inder oberen Deckfläche markieren wir die Punkte
i—u und ü+u, und zwar möge der Punkt “ so gewählt sein, dass
i—u>ı und überdies n—[& + W)—d—w] > ü'— ist. Dann bilden die
Kanten i—a, 05 Data ütmüs is i—u ein überschlagenes Viereck
zweiter Art mit kongruenten Zellen entgegengesetzten Vorzeichens und es
lassen sich soleher Vierecke 2» in dem Prisma konstruieren, so dass jedes
Viereck jede Kante mit je einem zweiten Viereck gemein hat, jede Kante
also zweimal, und zwar in entgegengesetztem Sinne genommen, vorkommt,
das erhaltene geschlossene Vielflach also zweiseitig ist. In jeder Ecke
kommen vier Kanten zusammen. Das einfachste Stephanoid ergibt sich,
wenn ’—=2, u=1. also i-u=1,i'—=3, somitü +«=4ist. Der kleinste
Wert von », für den sich dieses einfachste Stephanoid konstruieren lässt,
it n—5. Die Flächen eines solehen St, im fünfseitigen regulären
Prisma sind:
A NER OTETTROT a und
ao; var rw era
Es wird also die zweite Flächenreihe aus der ersten erhalten, indem man
die gestrichelten mit den nichtgestrichelten Zahlen vertauscht. Jede Kante
kommt zweimal vor: 1, 2' und 2, ı u.s.w. Jede Ecke des Polyeders ist
vierkantig: z. B. hat die Eeke 1 die Kanten 1, 2‘; 1, 55; 1,45; 1,3. Die an
ihrer Bildung teilnehmenden Flächen sind 1, 2‘ 4, 3°; 1, 5%, 3, 45 1, 44, 5, 2°;
1, 3, 2,5; so dass wir im Punkte 1 die Kantenwinkel 2‘, 1, 3‘; 3, 1, 5';
5‘, 1,4; 4, 1, 2' haben. Die Ecke ist also überschlagen-vierkantig, d. h.
zwei ihrer Flächenwinkel sind grösser als x. Beachtet man nun den Sinn
der Kantenwinkel, so erweisen sich der erste und vierte von anderem Sinne
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 65
als die beiden mittleren, wir haben also bei zweien die Ergänzung zu 2x
zu nehmen, so dass die Ecke auch zwei überstumpfe Kantenwinkel besitzt.
Sie ist also die Ecke vierter Art Fig. 16 Taf. 1. Von genau der gleichen
Beschaffenheit sind, wie leicht ersichtlich, die Ecken jedes Stephanoides St,
bei beliebigem ». Was die Art A eines St, anbetrifft, so finden wir folgendes.
Die Art jeder der 2» Grenzflächen ist «= 2; für jede der 2» Ecken ist
«—4. Die Zahl der überstumpfen Kantenwinkel ist 2.2», die Zahl der
Kanten 4n, als ist 24 = 2n.2+2n.4—4n—4n, d.h. A= 2n.. Bei Um-
kehrung der Färbung des Polyeders wird «=2, « =4, Yx'=4n, also ist
auch 4 —2n, d.h. 4—= K—A, was nach den allgemeinen Erläuterungen
die charakteristische Bedingung für ein Nullpolyeder ist. Ehe wir auf die
weitere spezielle Untersuchung der St, eingehen, definieren und besprechen
wir die zweite Ordnung der Stephanoide, die St‘.
Es sei vorgelegt ein kronrandiges (2 + 2p)-Hlächiges 2p-Eck, dessen
Deckflächen reguläre p-ecke, dessen Seitenflächen 2.» gleichschenklige
Dreiecke sind. Wir bezeichnen die Ecken der oberen Deckfläche mit
1,3, 5,....29—1, die der unteren mit 2% 4, 6'....2p' und zwar in der.
Reihenfolge, dass die Seitenflächen 1, 2‘, 3; 2‘, 3, 4; 3, 44, 5; ..... 2p— 1, 2p% 1;
2p‘, 1, 2 sind. Nun markieren wir in der unteren Deckfläche die Punkte
2’ und 2%‘, in. der oberen die Punkte :—1—2u und 24 +1+2u, wo u
irgend eine ganze positive Zahl, einschliesslich der Null ist; nur seien die
i,i, und « so gewählt, dass x —1—2u>1 ist, und 2p—[@ü +1+2@
— (2i—1- 2u)] > 2i,’— 2 bleibt. Dann ist das überschlagene Viereck
zweiter Art 23—1—24 24%, 24 +1+2u 2‘ die Fläche eines solchen
Stephanoides St, zweiter Ordnung, deren es 2» besitzt. Der einfachste
Fall ergibt sich, wenn i=1, 2a —=0,i‘=‘'+1 ist. Dann lautet die Fläche
1, 4, 5, 2, und zwei ihrer Kanten, nämlich 1, 2° und 5, 4° fallen mit Kanten
des Hüllpolyeders zusammen. Dieser Fall tritt übrigens zum erstenmal für
p=4 auf. Bemerkungen über die Ecken und die Art eines St, erledigen
sich bei Berücksichtigung der folgenden weiteren Untersuchung. Die Fläche
eines solehen Stephanoides St, ist zugleich die Fläche eines gewissen
Stephanoides erster Ordnung, d.h. das St, ist ein Teilpolyeder eines dis-
kontinuierlichen St,, wie sich sofort ergibt, wenn auf den unbeschriebenen
Kreisen der beiden Deckflächen des kronrandigen (2 + 2p)-Hächigen 2p-Ecks
64 Max Brückner,
zwischen je zwei aufeinander folgenden Ecken in der Mitte des Bogens je
eine neue Ecke interpoliert wird. Diese neuen Ecken bilden mit den
bereits vorhandenen die Ecken eines 2p-seitigen regulären Prismas und das
St‘, ist also die Hemigonie und Hemiedrie eines bestimmten St>,. Die voll-
ständige Figur des (2+2p)-eckigen 2p-Flaches ist in der Tat in der des
ebenrandigen (2 + n)-eckigen 2n-Flaches für »n —= 2p enthalten. Man findet
also die sämtlichen möglichen St,, wenn man in der vollständigen Figur
eines solehen 2»-Flaches die Spuren 2, 4, 6... und 1%, 3, 5°... unterdrückt.
Wenngleich die St, keine holoedrischen Polyeder sind, sollen sie doch
zunächst für sich der Betrachtung unterzogen werden, da schon unter ihnen
diskontinuierliche Polyeder existieren.
2. Die Stephanoide zweiter Ordnung $t‘,. Die beiden Diagonalen
der Grenzfläche eines St, im kronrandigen (2+2p)-tlächigen 2p-Eck sind
Diagonalen der regulären p-eckigen Deckflächen, wobei eine Diagonale
auch durch die Kante des p-ecks ersetzt sein kann. Ist der Zentriwinkel
zur Kante des p-ecks im umgeschriebenen Kreis, also = a so gehören
die Diagonalen des p-ecks zu den Zentriwinkeln 29,39, .... 29, wobei 2
alle Werte bis »—ı annehmen kann. Man erhält nun eine Grenzfläche
eines St,, wenn man irgend zwei Punkte der unteren Deckfläche, 2; und 2‘,
deren Verbindungsdiagonale zum Winkel 29 gehört, mit zwei Punkten
2i—1—2u und 2{+1-+2« der oberen Deckfläche verbindet, deren Diagonale
also den Zentriwinkel A+1-+2u).9 besitzt. Ist ı die erste obere Ecke,
so sind die unteren Eeken 2(u+1)' und 2(u+1+2)' und die zweite obere
Eeke ist 2@@ +1+9)-+1. Wir bezeichnen das Stephanoid, dessen Fläche
diese Eeken besitzt, mit St, jö Tr 5 a nach den Koöffizienten der Winkel,
die zu den Diagonalen der Grenzfläche gehören. Es fragt sich nun, wieviel
und welche verschiedenen St‘, für ein bestimmtes » existieren.
Es sei vorerst » ungerade (»p>5). Wir nehmen zunächst, wie
immer bei den folgenden Untersuchungen, an, dass die Diagonale in der
unteren Deckfläche kleiner sei, als die in der oberen, da wir sonst nur die
Deekflächen zu vertauschen brauchen, um dasselbe Stephanoid wieder zu
erhalten. Bestimmen wir jetzt den Maximalwert 2 von 2. Da für diesen
offenbar nur «= 0 zulässig ist, so muss, damit die obere Diagonale
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 65
die grössere bleibt, py—72+1>7 sein, d.h. ee Es ist also das
Maximum von 2:
— Du
A = 3 .
Es sind nun allgemein solche Werte von « zulässig, für die p—@+1
£ »—(27+1 : :
+2W>7 ist, d.h. es muss u < Dt S 2) sein. Das zu einem gegebenen
Werte von A mögliche Maximum von « ist also:
u — B=@4IH 1) —1,
Da nun zu 7 nur « = 0, zu jedem folgenden um 1 kleineren 2 eine um 1
grössere Anzahl der « gehört, zu 2 — ı aber die Werte u = 0,1,2... ? Er
74
so ist die Anzahl aller möglichen Stephanoide St‘, bei ungeradem p gleich
der Summe 1+2+3 ae, d. h. gleich nn
Beispiel: Für y =7 ergibt sich 7— 2. Es existieren also die
möglichen Werte: = 1,#4«=0 und : = 2, «= 0 und die drei vor-
handenen St, sind: St; 2), St, (4), St, (2).
Nicht alle diese St, brauchen aber kontinuierliche Polyeder zu sein.
Es gilt vielmehr der Satz: Haben in $t, Bu a die Zahlen », 2
und A+1-+2u einen gemeinsamen Faktor so, so ist das Stephanoid eine
Akt a
Gruppierung von o Stephanoiden St, | s 5 j dabei ist o stets eine un-
6 =
gerade Zahl, da » ungerade ist. Ist aber p eine Primzahl, so sind alle St,
kontinuierlich.
Bssiz Bp—=-15, 2=3 u=1. Dam ist S,)=3.8%,()-
Es sei nun zweitens p eine gerade Zahl (»>&. Wir bestimmen
zunächst wieder die zulässigen Werte von 2. Für den Maximalwert 7 ist
Aen & = = .. — = 29
nur @ = 0 möglich; also ist y-?Q+n>2, d.h. ne2 = oder - =
Zur Bestimmung der in Frage kommenden Werte von « haben wir die
Ungleichung p—@+1+2W >, d.h. u < P—@I+)
2
a
Daher ist das zu
: } Er C = p— (21-2) :
einem gegebenen 2 gehörige Maximum von u: 2 — . = . Die An-
zahl der existierenden St, in diesem Falle geraden p’s ist nun leicht zu
Nova Acta LXXXVI. Nr.1, 2
66 Max Brückner,
bestimmen. Zu 7 gehört nur @« = 0, d.h. ein Wert von u; zu jedem um 1
kleineren 7 gehört ein weiterer Wert von «, also ist die Zahl aller möglichen
= : . —4 re —er
Be, da zu 2 = 1die Were: Dame. ee gehören: 1+2+3+..... -
d.h. re Dies gibt den Satz: Die Anzahl der möglichen St’.
ist gleich der Anzahl der St'an+1. Unter diesen St, sind wiederum
diskontinuierliche Polyeder, wenn p, 7 und 2+1-+ 2« einen gemeinschaftlichen
Faktor o haben. ' Dieser kann nie gerade sein, da 2+1+2u und 2 nie
gleichzeitig gerade sein können. Für p = 12 z.B. ergibt sich, wenn =3,
#«— 1 ist, die diskontinuierliche Gruppierung St, ©) = 3 St‘, @). Hierüber
sei noch bemerkt, dass St‘, () das Stephanoid zweiter Ordnung mit der
geringsten Zahl der Flächen und Ecken ist.
3. Die Stephanoide erster Ordnung St„. Die beiden Diagonalen
der Grenzfläche eines St, im »-seitigen Prisma sind Diagonalen der regulären
n-kantigen Deckflächen, wobei die eine Diagonale durch die Kante des
n-ecks ersetzt sein kann. Ist wieder y der Zentriwinkel zur Kante des
\ : Br 3600 . eve,
n-ecks im umbeschriebenen Kreis, d.h. 9 = ‚ so gehören die Diagonalen
in der unteren Deckfläche zu 79% = 1,2....), die der oberen zu (A + 2u).y.
Sind 1,2....n die oberen, 1‘, 2, 3°...n' die unteren Ecken des Prismas,
so sei die erste Fläche des Stephanoides 1, 1+4, 1+24«+2, 1+4+7' und
. or, L . n :
dieses selbst werde mit st ( N, bezeichnet. Wir unterscheiden wieder
ungerades und gerades n. Es sei n zunächst ungerade. Für den
Maximalwert 7 ist jetzt nur « = 1 zulässig. Da wir wieder voraussetzen,
dass die Diagonale in der oberen Deckfläche grösser als die der unteren
- » 3 _ _ = n— 2 .
ist, so ist offenbar 2n—(2+2)>7, d.h. 2< —, und da n ungerade ist,
_ le) eilt ie Unelerhae A en Nah,
i— ,. Für gilt nun die Ungleichung » a +2W>4, d.h.u< ,—;
5 2 > - er n—(2/-+1
also ist das Maximum von « zu einem bestimmten 2: 2 = eich 2x Z.B.
2
gehört zun=5,7=1unda= 1, d.h. es existiert nur das eine Stephanoid
St, @) für n = 5. — Die Anzahl der möglichen Stephanoide eines bestimmten
n ist, da zu nur «= 1, zu jedem um 1 kleineren 4 eine um 1 grössere
“a, Dr
Anzahl der « gehört, gleich der Summe 142+...+ —, ä
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 67
Da nun für ungerades » die plagiedrische Hemigonie des »-seitigen
Prismas nicht existiert, so gilt der Satz: Für ungerades n ist kein Sit,
eine Kombination von mehreren St. Dagegen gibt es Stephanoide
erster Ordnung, die Kombinationen dergleichen soleher geringerer Eckenzahl
sind: Haben in’ St, ( & & ) die drei Grössen n, 4, A+24 einen gemeinsamen
Faktor o, der verschieden von 2 ist, weil n ungerade sein soll, so ist das
+ 2u
St, diskontinuierlich und besteht aus o Stephanoide erster Ordnung St] © |
(2 1
Z e| Z |
= 9 7
— 5 Ä a. 6 )
{77
7 u : Sc . 7
2 j Da =-+2- um eine gerade Zahl grösser ist als -, so er-
£ 6 6 ö
6
kennt man sofort, dass es sich um Stephanoide erster Ordnung handelt.
Es ist z. B. St, ©) 38t,@). Ist » eine Primzahl, so sind natürlich sämt-
liche St, kontinuierliche Polyeder. Es sei nun n gerade Für den
; —2
ö
werden die beiden
N — 2 2
2 ,
n—2 + ij),
2
A LEE 75
. = x 2 -— _Nn—2 a , N
Maximalwert 7 gilt wieder < denn für 2 =
n—4
- Ferner ist u <
Diagonalen der Grenztlächen gleich, also ist 2 —
also, da » gerade, jener Wert also eine ganze Zahl ist: 2 —
Die Zahl aller möglichen St, ist 142 +3+ ....
8
gibt also für n — 6, 8, 10 .... ebensoviel Stephanoide erster Ordnung wie
fürn =5,79...., d.h. die Anzahl der St.„ ist gleich der Anzahl
der Sty„_ı. Die Stephanoide St, für gerades n zerfallen nun in drei ver-
schiedene Gruppen, von denen die erste kontinuierliche, die beiden anderen
diskontinuierliche Polyeder enthält. a) Die Zahlen », 2 und 2+24 haben
keinen allen drei gemeinsamen Faktor. Dann muss, da n gerade ist, A un-
gerade sein. Diese St, sind kontinuierlich. b) Die Zahlen n, 2, 2+ 24
haben bei ungeradem i den gemeinsamen ungeraden Faktor o, so dass
m mor a 46,,& —u06 Dann. ist 5% ae = 6.8 ie on Da
2u gerade ist, so sind die Einzelpolyeder sicher Stephanoide St. Beispiel:
Rs ist Sul =38% 06)... 6) .Es sei’ ‚gerade. Dann ist:
4
ehe
St, u ar
y*
68 Max Brückner,
wenn « eine gerade Zahl ist, und
1
E+«l
St, Kard Er ERS
ee
2
wenn « eine ungerade Zahl ist. Jedes der St. oder St‘. kann dabei für sich
wieder diskontinuierlich sein, wie nach den vorhergehenden Kriterien zu
entscheiden ist. Beispiele:
Sta (is 2 Sy, (}) Sta (,) = 2 Stu) = 2.3840),
St es) = 2804 (}) Sta (ij) = 280, (0) = 2.3 81% (?).
Damit ist die blosse Aufzählung der Stephanoide beider Ordnungen
für beliebiges » geleistet. Die Ableitung der Flächen dieser Polyeder in
der vollständigen Figur der n-seitigen regelmässigen Doppelpyramide bedarf
nur der folgenden Bemerkung. Neben der ersten Fläche 1, ı + u, 142 +2
1+2+' treffen in der Ecke 1 noch drei Flächen zusammen. Die vier
von 1) ausgehenden Kanten, die die Ecke daselbst bilden, sind 1, ı+„';
1, 1+2+u; u, n+1-—u; , n+1—A—u'. Die Fläche dieses Stephanoides,
das ja ein autopolares Polyeder ist, wird also erhalten, wenn man in der
vollständigen Figur der »-seitigen Doppelpyramide in der Fläche 1 die
Spuren der Ebenen 1+4', 1+2+u, n+1—u' und n+1—2—u' bestimmt,
und zwar wird die vierkantige Stephanoidfläche von diesen Spuren in der
eben geschriebenen Reihenfolge gebildet. Hierüber sei noch bemerkt, dass
die St, für 2 — 1 stets nur körperliche Zellen mit den Koäffizienten + ı und
—ı besitzen, so dass für diese Stephanoide die gesamte Fläche jedes Grenz-
vierecks an der äusseren, am Modell sichtbaren Oberfläche des Körpers
teil hat. Über die weiteren Einzelheiten gibt die Betrachtung der folgenden
Beispiele Aufschluss.
4. Beispiele: Die Stephanoide 87‘, Sts und Sti. Die drei be-
reits angeführten Stephanoide zweiter Ordnung für p = 7, nämlich St; (),
St, () und St, () sind konstituierende Teilkörper gewisser diskontinuierlicher
St,,, hier aber für sich als kontinuierliche Nullpolyeder zu betrachten, deren
Hülle das kronrandige (2+2.7)-Hächige 2.7-Eck, deren Kern das reziproke
(2+2.7)-eckige 2.7-Flach ist. Diese drei Polyeder zeigen die Figuren 21,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 69
20 und 22 auf Tafel 21. Die Grenzflächen sind in der vollständigen Figur
der regelmässigen 14-seitigen Doppelpyramide, Fig. 3 Taf. 3 enthalten, in
der also nur die Hälfte der Spuren für die benötigten Flächen in Frage
kommen, es sind die gestrichelten Spuren getilgt zu denken. Die Grenz-
flächen der drei Polyeder in der genannten Reihenfolge sind: 2‘, 4, 14‘, 12°
(vergl. Fig. 4 Taf. 3); 4‘ 6, 12‘, ı0' (Fig. 3 Taf. 3) und 2% 6‘, 14, 10‘ (Fig. 5
Taf. 3). Für die Schraffierung dieser Grenzflächen gelten die folgenden
Bemerkungen ebenso wie für die Schraffierung aller auf den Tafeln dar-
gestellten Polyederflächen, bei denen Zellen entgegengesetzten Vorzeichens
an der Bildung der Oberfläche des Polyeders teilnehmen. Halten wir uns
der Einfachheit wegen an Fig. 4 Taf. 3. Es sei die Zelle MN der Fläche
positiv, also die Zelle QOP negativ. Es zeigt nun die senkrechte
Schraffierung stets an, dass die Oberseite der Fläche die äussere Fläche
des Polyeders bildet, die wagrechte Schraffierung, dass die Unterseite
der Figur die äussere sichtbare Fläche des Körpers ist. Daraus folgt:
Der Koäöffizient des Flächenteils am Polyeder ist positiv, wenn
der Flächenteil der positiven Flächenzelle angehört und senk-
recht sehraffiert ist, oder wenn er der negativen Flächenzelle
angehört und wagrecht schraffiert ist; der Koöffizient des
Flächenteils am Polyeder ist negativ, wenn der Flächenteil
der negativen Flächenzelle angehört und senkrecht schraffiert
ist, oder wenn er der positiven Flächenzelle angehört und
wagrecht schraffiert ist. Es sind also von der Fläche Fig. 4 Taf. 3
am Polyeder gefärbt (aussen positiv) die Zellen MNE und YSP, ungefärbt
(aussen negativ) die Zellen RNQ und OSP. Längs der Kante URQP grenzt
diese erste Fläche des Stephanoids an die Kante PYRM einer zweiten
Fläche, so dass in jeder Teilstreecke der Kante Zellen gleichen Vorzeichens
beider Flächen an einander gefügt sind.')
Die Stephanoide erster Ordnung St sind nicht dargestellt und
hier nur mit Rücksicht darauf erwähnt, dass gewisse von ihnen Teilpolyeder
diskontinuierlicher Vielflache des Hexakisoktaedertypus sind. Es sind die
drei Polyeder St; (), St (5) und St; (), von denen das letzte diskontinuierlich
I) Bei komplizierteren Polyedern werden wir später bei den aneinander zu heftenden
Kanten diese Teilstrecken durch griechische Buchstaben von einander trennen.
70 Max Brückner,
ist, denn es ist mit 2. St‘, @) identisch. Wir haben zwei Stephanoide zweiter
Ordnung, weil der obere Klammerindex um eine ungerade Zahl grösser ist
als der untere. Die Ecken dieser Einzelpolyeder im achtseitigen regulären
Prisma sind 1,2%, 3, 44, 5, 6, 7,8° und 2,3%, 4,5,6,7,8,1. Wir geben zunächst
für jedes der drei Stephanoide die erste Fläche und die.erste Ecke an:
St; (2) : Die Fläche ist: 1, 2‘, 4, 3'; Die Ecke ist: 1—7', 8', 2), 3.
DIA () "on n „1 35 6, 4"; ” ” DE 1% de 3: 4“.
DIR (5) on n DE 1, 2 5, 4'; ” ” DE 1— 6‘, 8‘, 2, 4‘.
Betrachten wir allein das letzte Polyeder weiter. Die Fläche 1,
d.h. die in der Ebene 1 des inneren Kernes liegende Fläche hat die Ecken
7, 3, 8, 2 der äusseren prismatischen Hülle, während der in der Ebene
liegenden Fläche des Stephanoides die Ecken 6, 2, 7, 1‘ des Prismas zu-
kommen, wenn Pyramide und Prisma zusammenfallende Nebenachsen von
gleicher Benennung besitzen. Diese Bemerkung wird genügen bei Be-
stimmung dieser Stephanoide als Teilpolyeder von diskontinuierlichen Körpern
des Hexakisoktaedertypus.
Die Stephanoide St. Von den sechs hier möglichen Individuen
sind nach den allgemeinen Betrachtungen vier kontinuierlich, nämlich die
Stephanoide St, 6), Stu G), Sto (1) und St,, 6), deren Modelle in Fig. 23 Taf. 21
und Fig. 19,17 und 20 Taf. 22 dargestellt sind. Dagegen sind diskon-
tinuierlich die beiden folgenden: St.) = 2.84, (), Fig. 18 Taf. 22 und
Stud) = 2.81,(), Fig. 24 Taf. 21. Die Grenzflächen dieser sämtlichen
Stephanoide sind in der vollständigen Figur der zehnseitigen Doppelpyramide
(Fig. 6 Taf. 3) enthalten, und zwar wird die erste Fläche in der Ebene 1
der Doppelpyramide jeweils von den hier beigeschriebenen Spuren gebildet:
St ©): 2, 3%, 10, 9, die für sich gezeichnete Fläche ist Fig. 7 Taf. 3. —
St): 3% 4%, 9, 8' in Fig. 8 Taf. 3. — Su, (D: 4, 5%, 8%, 7’ in Fig. 6 Taf. 3. —
St O2) 5,910, 7 in) Pig. Dal 3 8, O4 55,9% 7°, Am Fig. 10, Taf. 3
und St, (): 2% 4, 10, 8‘ in Fig. 11 Taf. 3. Die vier kontinuierlichen Stepha-
noide bedürfen keiner weiteren Erläuterung. Von den beiden diskontinuier-
lichen Stephanoiden ist das erste die Kombination zweier Stephanoide erster
Ordnung, deren jedes für sich in einem fünfseitigen Prisma enthalten ist,
da die 2.10 Ecken eines regulären zehnseitigen Prismas zugleich die von zwei,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. “1
um 36° um die Hauptachse gegen einander gedrehten fünfseitigen Prismen
sind. Das zweite diskontinuierliche Stephanoid erklärt sich dadurch, dass
‘ das reguläre zehnseitige Prisma zwei plagiedrische Hemigonien zulässt, bei
deren erster die Ecke 1 erhalten bleibt, während sie bei der zweiten weg-
fällt. Die in beiden Hemigonien enthaltenen St‘, (‘) sind es, aus denen das
St, (4) kombiniert ist. Es sind also bei St, () die Ecken der beiden Teil-
} En 5, 2 TE) u
stephanoide 1 30 59 und EA eu gnıgife bei Sto(d) aber: 2u gu gr gi 1gl
2468 10] : 4 BR it. RER ?
und „urgyf -In beiden Fällen ergibt sich das eine Teilstephanoid
durch Drehung des anderen um 36° um die Hauptachse des Prismas. —
Einer näheren Betrachtung unterziehen wir noch die St, () = 2 St, 6), da
sie als Teilpöolyeder von Gruppierungen im Dyakishexekontaedertypus auf-
treten. Die Doppelpyramide sei im Raume wieder so orientiert, dass die
Achse A senkrecht von unten nach oben und eine Symmetrieebene durch
sie und vier Kanten der Doppelpyramide direkt auf den Beschauer zu ver-
läuft. Die erste obere Fläche rechts von dieser Symmetrieebene ist die
Fläche ı, auf die die übrigen so folgen, dass 10 die letzte Fläche links
der Symmetrieebene ist. Die Lage der Flächen 1‘, ... 10‘ ist dann bekannt.
Örientiert man das reziproke Prisma so, dass die Flächen der Doppel-
pyramide parallel sind den 'Tlangentialebenen an die umbeschriebene Kugel
des Prismas in dessen Eeken, und numeriert die Ecken des Prismas dem-
gemäss, so gilt für die Ecken und Flächen des Stephanoides: Die Fläche ı
wird gebildet durch die Spuren der Ebenen 3‘ 5‘, 7, 9 und hat die Eeken
4, 10%, 8, 2‘ des Prismas; und zwar verbindet 3° die.Eeken 4 und 10, 5‘ die
Eeken 4 und 2, 7 die Ecken 8 und 10%, endlich 9° die Eeken 3 und 2‘.
Danach ist die Lage der ersten Fläche des Stephanoides in Doppelpyramide
und Prisma vollkommen bestimmt und die übrigen Flächen und Eeken sind
leicht einander zuzuordnen. Diese Bemerkung wird für die späteren Unter-
suchungen genügen.
5. Die Stephanoidgruppierungen im (?+»-+p)-Nächigen 2.2p-Eck.
Die Eckpunkte der beiden Deekflächen eines (2+p +p)-flächigen 2.2p-Ecks
bilden je die Ecken von zwei regulären p-ecken, die um den Winkel «
gegen einander gedreht sind, d. h. die Ecken sind die zweier regulärer
He Max Brückner,
p-seitiger Prismen. Es sind also in dem allgemeinsten Polyeder des Typus
als Hüllpolyeder alle die Gruppierungen von je zwei Stephanoiden möglich.
wie sie im @-+p)-flächigen 2p-Eck existieren. Sie lassen sich leicht auf-
zählen: kontinuierliche gleicheckig-gleiehflächige Stephanoide gibt es hier
nicht.) Von besonderem Interesse für später sind die hemigonischen
Gruppierungen. Sind 1,2, 3... 2p—1, 2p bezw. ı, 2, 3°.... 2p—1‘. 2p'
die oberen und unteren Eeken des 2.2p-Ecks, so gehören die Ecken mit
geradem Index dem einen, die mit ungeradem Index dem anderen Stephanoid
an. Beide können überdies kontinuierliche oder diskontinuierliche St oder
St sein. Es ist sofort ersichtlich, dass plagiedrische Hemigonien nicht vor-
handen sein können. weil mit den Eeken 2, 4, 6, 8... des einen Stephanoids
zugleich die Eeken 1“ 3, 5‘, 7... des anderen verschwänden. Rhomboedrische
Hemigonien sind überhaupt nur möglich, wenn p eine gerade Zahl ist. Da
bei einer solehen Hemigonie die Ecken i und ‘ nie gleichzeitig vorhanden
sind, so können nur Stephanoide St' auftreten. Also beginnt die Reihe
möglicher Stephanoide mit p — 8. Wir betrachten, wegen späterer Ver-
wendung nur den Fall p = 10. Von den sechs möglichen Stephanoid-
eruppierungen des vollzähligen Polyeders bleibt für die Hemigonie nur
1) Dagegen existieren sowohl gleicheckige, als ihnen reziproke gleichflächige Polyeder,
Stephanoide im weiteren Sinne, auf die hier, da sie nirgends erwähnt sind, wenigstens für
den einfachsten Fall hingewiesen werden soll. Verbindet man die Ecken eines prismatischen
(2 +3 + 3)-Hächigen 2.2.3-Ecks wie zur Konstruktion eines St, (;) im regulären 6-seitigen
Prisma. so erhält man ein Stephanoid mit zwölf Flächen, von denen je sechs untereinander
kongruent, von den anderen sechs aber verschieden sind. Beide Arten von Vierecken be-
stehen je aus kongruenten Zellen entgegengesetzten Vorzeichens; das erhaltene Stephanoid
ist also nur gleicheekig. Die Flächen sind die zweier gerader dreiseitiger Doppelpyramiden,
die um 60% gegen einander um die Hauptachse gedreht sind, und deren Hauptachsen überdies
verschiedene Längen besitzen. — . Das hierzu reziproke gleichflächige Polyeder hat zum
inneren Kern das ebenrandige (2 +3 + 3)-eckige 2.2.3-Flach. Die Ecken sind die zweier
um 60° um die Hauptachse gegen einander gedrehten prismatischen (2 + 3)-flächigen 2.3-Ecke
(dreiseitige reguläre Prismen), die gemeinsamen Mittelpunkt, aber verschiedene Haupt- und
Nebenachsen haben. Die Grenzflächen dieses Stephanoids sind 2.6 überschlagene Vierecke,
von denen je sechs unter sich kongruent, den anderen sechs aber nur symmetrisch sind.
Jedes Viereck besitzt zwei Zellen, die nicht kongruent sind, so dass der Inhalt einer einzelnen
Grenzfläche nicht Null ist. Dagegen verschwindet der Inhalt der Summe je zweier sym-
metrischer Grenzflächen (vergl. Fig. 12 Taf. 3), so dass die Gesamtoberfläche und der Inhalt
des Stephanoids wieder Null wird. Wird der innere Kern zur regulären 6-seitigen Doppel-
pyramide, so ergibt sich wieder das autopolare gleicheckig-gleichflächige Stephanoid St, ().
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 73
die Gruppierung der 2.2.8? ($) zu untersuchen. Diese Hemigonie besteht
aus 2 St; (2), von denen das eine durch Drehung um den Winkel « um die
Hauptachse mit dem anderen zur Deckung kommt. Die Hülle ist ein unter-
brochen kronrandiges (2+2.5)-flächiges 2.2.5-Eck, dessen Deckflächen
kongruente, um 36° gegen einander gedrehte halvreguläre Zehnecke sind.
Die Ecken dieser Zehnecke sind die von zwei um den Winkel « gegen
einander gedrehten regulären Fünfecken. Ist « — 0, so geht das Polyeder
in ein St; (?) über; ist « = 36%, so entsteht ein St, (!) = 2 %8t,(2). Das
Modell einer solchen Stephanoidgruppierung zeigt Fig. 19 Taf. 21. Da das
Polyeder nach seinen Ecken die Hemigonie des prismatischen (2+2.10)-
flächigen 2.2.10-Ecks ist, so ist es nach den Flächen die Hemiedrie des
diesem reziproken Polyeders; der Kern ist somit ein unterbrochen kron-
randiges (2+2.5)-eckiges 2.2.5-Flach (Skalenoeder), dessen Fläche in der
vollständigen Figur des vollzähligen gleichflächigen Polyeders enthalten ist.
Um die Grenzfläche des Stephanoids zu finden, zeichnet man also die voll-
ständige Figur der Ebenen eines (2+ 2.10)-eckigen 2.2.10-Flaches und
tilgt die Hälfte der Spuren, wie es Fig. 2 Taf. 3 anzeigt. Betrachten wir
die gegenseitige Anordnung der Flächen des Kernpolyeders und der Ecken
des Hüllpolyeders noch genauer. Wir orientieren das ebenrandige (2 + 2.10)-
eckige 2.2.10-Flach im Raume so, dass die Hauptachse A senkrecht nach
oben verläuft, die erste Nebenachse €, wagrecht nach vorn. Fig. 18 Taf. 1,
die stereographische Projektion aus dem Achsenende A‘ der Hauptachse
auf die Hauptsymmetrieebene zeigt dann die Anordnung der übrigen Neben-
achsen. Die schraffierten Flächen sind die für die Hemiedrie verbleibenden
Flächen, d. h. die des unterbrochen kronrandigen (2 +2.5)-eckigen 2.2.5-
Flaches. Orientiert man das Hüllpolyeder in entsprechender Weise, so sind
die Flächenbenennungen des Kernpolyeders zugleich die Eckenzahlen des
Hüllkörpers und man ersieht die folgende Zuordnung. Die erste Stephanoid-
fläche wird in der Ebene ı durch die Spuren der Flächen 3‘, 7‘, 19‘, 15‘ ge-
bildet (Fig. 2 Taf. 3). Die Ecken dieser Fläche auf dem Hüllpolyeder sind
die folgenden: Es schneiden sich die Flächen 1, 3, 7‘ im Punkte 5 der Hülle,
1, 15‘, 19° im Punkte 17; 1, 13‘, 15° im Punkte 19° und 1, 7, 19° im Punkte 3‘.
Bedeuten also in dem Schema:
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 10
74 Max Brückner, Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen usw.
© )
2 DERNG 92410 13714 like)
BGN Klon 3; al 15° 16‘ 19° 20‘
* * * *
© ©
die Zahlen sowohl Ecken- wie Flächenindices, so wird die Stepnanoidfläche
in der Ebene ı von den Spuren der Flächen » gebildet, und besitzt die
Eeken ©. Die weitere Zuordnung der Ecken und Flächen lässt sich danach
leicht übersehen, wenn man die Gerade zum Kreise schliesst. Dieses
Schema wird später weitere Dienste zu leisten haben, wenn es sich um die
Untersuchung der Gruppierungen von Stephanoiden im Dyakishexekontaeder-
typus handelt. Jedenfalls sind im vorstehenden die kontinuierlichen und
diskontinuierlichen Nullpolyeder des Doppelpyramidentypus erschöpft und
es sei nur noch bemerkt, dass weder kontinuierliche noch diskontinuierliche
nichtkonvexe Polyeder erster Klasse, die zugleich gleicheckig und gleich-
flächig sind, für diesen "Typus existieren.
III. Kapitel.
Die Polyeder des Hexakisoktaedertypus.
$ 1. Die gleichflächigen und die gleicheckigen Polyeder
erster Art des Hexakisoktaedertypus.
1. Übersicht dieser Polyeder.
gehören die folgenden gleichflächigen und die ihnen polar entsprechenden
Zum Typus des Hexakisoktaeders
gleicheckigen vollzähligen Körper erster Art, d. h. solehe, die sämtliche
Symmetrieebenen des 'I'ypus besitzen:
(Gleichflächige Polyeder).
. Das (6 + 8+ 12)-eckige 2.24-Flach
oder Hexakisoktaeler.
. Das (6 +8+ 12)-eckige 24-Flach
oder Deltoidikositetraeder.
. Das (6 + 8)-eckige 8.3-Flach oder
'Triakisoktaeder.
4. Das (6+ 8)-eckige 6.4-Flach oder
Tetrakishexaeder.
. Das Rhombendodekaeder.
. Das (reguläre) Oktaeder.
. Das (reguläre) Hexaeder.
DV
Io Qu
(Gleicheckige Polyeder).
. Das (6+8+ 12)-Nächige 2.24-Eck
(kurz: 2.24-[ück).
. Das (6+8+12)-flächige 24-Eck
(kurz: 24-Eck).
. Das (6 + 8)-flächige 8. 3-Eck (kurz:
8.3-Eck).
. Das (6 + 8)-Hächige 6.4-Eck (kurz:
6.4-Eck).
. Das Kubooktaeder.
. Das (reguläre) Hexaeder.
. Das (reguläre) Oktaeder.
Alle Körper des 'ypus sind in dem ersten enthalten, nach dem er
deshalb benannt wird. Die Körper 6. und 7. sind die bekannten regulären;
die 5. sind archimedeische Polyeder, während die übrigen allgemeinere
10*
76 Max Brückner,
Körper darstellen, die nur gewisse archimedeische Körper als spezielle Fälle
enthalten.) Das allen Körpern gemeinsame Achsensystem entsteht bei dem
allgemeinsten gleichflächigen Polyeder des Typus dadurch, dass sämtliche
Eeken mit dem Mittelpunkte der einbeschriebenen Kugel verbunden werden.
a) Die sechs (4+4)-kantigen Ecken geben, da je zwei diametral gegenüber
liegen, sechs zu je zweien eine Achse bildende Strahlen; diese drei Achsen
sind vierzählig, da der Körper in Bezug auf sie als Rotationsachsen vier
identische Stellungen darbietet. Die sechs Strahlen ergeben auf einer
konzentrischen Kugel ein sphärisches Netz von acht kongruenten regulären
Dreiecken, dem als einbeschriebenes Polyeder ein reguläres Oktaeder, als
umbeschriebenes ein reguläres Hexaeder entspricht. Die Endpunkte dieser
Achsen seien mit A,, A», A, bezw. 44, 4%, A‘ bezeichnet (vergl. Fig. 1 Taf. 4).
b) Die acht (3+3)-kantigen Ecken geben acht Strahlen, die vier dreizählige
Achsen bilden. Auf der Kugel ergeben sie ein Netz von sechs kongruenten
sphärischen Quadraten, dem als einbeschriebenes Polyeder ein reguläres
Hexaeder, als umbeschriebenes ein reguläres Oktaeder entspricht. Die End-
punkte der Achsen seien mit (C,, ©, C,, C, bezw. C', C%, C', C', bezeichnet.
ce) Die zwölf (@+2)-kantigen Ecken geben zwölf Strahlen, die sechs zwei-
zählige Achsen bilden. Auf der Kugel entsteht ein sphärisches Netz, das
als einbeschriebenes Polyeder das Kubooktaeder, als umbeschriebenes das
Rhombendodekaeder besitzt. Die Endpunkte der Achsen seien B,, B,,... B;
bezw. DB‘, By, ... B,. Symmetrieebenen sind die drei Ebenen durch je zwei
der Achsen A, sowie die sechs Ebenen durch die Achsen A und die ihnen
benachbarten ©, die insgesamt die Oberfläche der konzentrischen Kugel in
48 symmetrisch-gleiche Dreiecke, 24 rechte und 24 linke, zerlegen. Je
drei benachbarte Strahlen, nämlich ein vier-, drei- und zweizähliger, be-
stimmen also eine dreiflächige Ecke, deren körperlicher Winkel den 48-sten
Teil der Kugel beträgt und deren Flächenwinkel bezw. — > und 5 sind.
Bezeichnet man für das allgemeinste Polyeder des Typus die Länge der
drei Strahlen nach den betr. Eeken mit A, B, C, so sind die Winkel, die
diese Strahlen unter einander bilden, die folgenden. Der Winkel des vier-
zähligen gegen den zweizähligen Strahl, < A|B, ist 9 —= 45°; der des vier-
1) Vergl. V.u.V. die Figuren der Polyeder auf Tafel VI.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. ER
zähligen gegen den dreizähligen, x A|C, sei y, dann ist cos y — H V3 und
x = 54° 44' 8“; der Winkel C|B endlich sei y; so ist cos y — n v6 und
damit » — 35° 15‘ 52“ Legt man durch die Endpunkte je dreier benach-
barter Strahlen A, B, C Ebenen, so erhält man die 48 Grenzflächen des
Hexakisoktaeders, die ungleichkantige Dreiecke sind, und zwar 24 rechte
und 24 linke Flächen. Der polar-reziproke Körper entsteht, wenn man in
den Endpunkten der Strahlen Ebenen senkrecht zu ihnen legt. Die vorhin
angegebene zentrale Ecke ist die Polarecke zu jeder Ecke des entstehenden
gleicheckigen (6 +8+ 12)-flächigen 2.24-Ecks, das 24 rechte und 24 linke
Ecken besitzt. Die gleichflächigen Körper 2. bis 7. ergeben sich aus dem
ersten für bestimmte Längen der Strahlen A, B,C. Es werde für alle
Körper, da nur das Verhältnis der Strahlen in Frage kommt, die Länge ©
des dreizähligen Strahles als konstant angenommen. Für das Hexaeder ist
dann, wenn dessen vier- und zweigliedriger Strahl mit A, und DB, be-
zeichnet werden:
CV6
A, und , =- 5
0/3
3
Für die übrigen Körper sei nun A = A,..r, B—= B,.o, worin r und
co zwei reelle Parameter sind, die nur für das Hexaeder zugleich ı sind;
sonst sind sie >ı, damit das zugehörige Polyeder konvex ist. Die Maximal-
werte sind z= 3 und 0 = = für das Oktaeder; für > 3 und o > = ergeben
sich wiederum niehtkonvexe Polyeder (Koiloöder nach Fedorows Bezeichnung).
2. Analytisch- geometrische Behandlung der gleichflächigen
Polyeder erster Art des Typus. Zur analytisch-geometrischen Behandlung
der sämtlichen Polyeder des Hexakisoktaedertypus bietet sich das System
der drei Achsen A von selbst. dar. In dem rechtwinkligen Koordinaten-
system sei der Strahl A, die senkrecht nach oben gerichtete positive z-achse,
der Strahl A, die wagrecht nach vorn gerichtete positive x-achse und der
Strahl A, die wagrecht nach rechts gerichtete positive y-achse. Für die
acht von den drei Ebenen durch je zwei der Achsen gebildeten Oktanten
ergeben sich dann (wie fernerhin stets vorausgesetzt) die Vorzeichen der
Koordinaten in der Reihenfolge:
78 Max Brückner,
(2) (y) (2) (2) (Y) (@)
B Oktant (A, A; A): + + + 5. Oktant (A, A, 44): + —
2. 5 IR Ar A): 6. In, A): — —
" aA AN): u: 0 a):
4. „(454 4,):— ++ 8, (AaAz A,):— + —
6)
Alsdann durchsetzen die Achsen (\, C,, C,, C, bezw. den 1., 2., 4. und 3. Ok-
tanten; die Achsen B liegen in den Ebenen durch je zwei der Achsen A
und zwar B m 4, Bw A4, 4 m 4,4, B,in 4,45, BD, m AA,
und B, in 4,4‘. Die x-, y- und z-koordinaten der Ecken A, B, € des Hexakis-
oktaeders sind dann die im folgenden angeführten, wenn zur Abkürzung noch
eh gesetzt ist, wobei also a die halbe Kante des Hexaeders ist, dessen
Ecken die Punkte € sind:
4, (0, 0, ar); A, (ar, 0, 0); 4370, ar, 0).
Die Koordinaten von 4‘, 4%, A‘, sind die entgegengesetzt gleichen.
C, (a,a,a); O(a, —a,a); C,—a,a,a); 0, (—a, —a, a).
B, (a0,0, a0); B,(0,a0, «0); B; (a0, a0,0); B,(0, — ao, a0); B; (— 0,0, a0);
B; (ao, — ao, 0).
Die Koordinaten der B‘ und C* sind wieder die der B und C mit
entgegengesetzten Vorzeichen. Jede der 48 Grenzflächen des Hexakis-
oktaeders ist nun durch drei Punkte, A, B, C, bestimmt, wie die folgende
Zusammenstellung angibt, in der die erste vor den drei Achsen stehende
Fläche durch diese selbst, die zweite ihr parallele Fläche durch die Achsen
bestimmt ist, die man erhält, wenn man die ungestrichelten Buchstaben mit
gestrichelten vertauscht, und umgekehrt (vergl. Fig. 1 Taf. 4):
1), 48), A, B, Cı- 7), 46), Aı B2Q;. 13), 39), As Bı C:. 19), 29), Au BC,
2), 41), A, B, O.. 8), 47), Aı BC... 14), 40), A) B, O). 20), 30), A%.B; C,.
3), 42), A, B,O%- 9), 35), As BR C.- 15), 25), Ay B, ©. 21), 31), 4% B, GC.
4), 43), A, Br Cı. 10), 36), As B; C\. 16), 26), AB, C.. 22), 32), Aa BC.
5), 44), Aı B,C,. 11), 37), A» B, 0. 17), 27), Ay B, Cy 23), 33), A; BC;
6), 45), Aı B, Q;. 12), 38), AB, C.- 18), 28), As B’, C.. 24), 34), A; B; O;.
Die Gleichungen der 48 Ebenen sind leicht aufzustellen, da von jeder
Ebene drei Punkte bekannt sind. Da die Abschnitte der Ebenen auf den
drei Koordinatenachsen, absolut genommen, immer dieselben drei Grössen
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 79
sind, so enthalten die Gleichungen nur drei Koöffizienten, in denen neben
den veränderlichen beiden Parametern so und z nur die Konstante a auftritt,
von der lediglich die absolute Grösse des Polyeders abhängt. Je acht
Gleichungen haben in x, y, z dieselben absoluten Koäffizienten und unter-
scheiden sich nur durch deren Vorzeichen. Für die Aufeinanderfolge dieser
gilt das oben gesagte. Die 48 Gleichungen für die links durch ihre Nummer
angegebenen Flächen sind:
1), 2), 5), 6), 44), 45), 48), 41), + (T—06)2x + T(6—1)y-+02—ora
8), 3), 4, 7), 43), 46), A7), 42), +TO—1)2 + (T—0)y + 02—0ra
7) 12), 13), 20), 21), 30), 31), 38), 39), +02 +7T(6—1)y+(T—0)2z—ora
11), 14), 19), 22), 29), 32), 37), 40, +02 + (T—0)y+r(6—1)2—ora
9), 16), 17), 24), 27), 34),035),: 26), to — 1)2 +60Yy + (T—0)2— 0a
10), 15), 18), 23), 28), 33), 36), 25), (T—0)@ + 0y + T(6—1)2—ora
seaceoo
I I
==
=
Zur Bestimmung der Relationen der Ableitungskoöffizienten o und x
der speziellen aus dem Hexakisoktaeder entstehenden gleichflächigen Körper
und zur Aufstellung der Gleichungen ihrer Grenzflächen gehen wir von
den Winkeln benachbarter Flächen des allgemeinen Körpers aus. Dieser
besitzt Kanten dreierlei Art. Die Kanten AB, BC, AC verbinden bezw.
achtkantige mit vierkantigen, sechskantige mit vierkantigen und achtkantige
mit sechskantigen Ecken. Bezeichnet man die Winkel, die zwei benach-
barte Ebenen in ihnen besitzen mit @y4 @,,4 und @y,, So ist für das
Hexakisoktaeder jeder dieser Winkel verschieden von Null, während für
die speziellen Körper, bei denen 2, 4, 6 oder 8 Flächen in eine Ebene
fallen, einer oder zwei dieser Winkel den Wert Null besitzen. Es ergibt
sich nämlich das
Deltoidikositetraeder für &g,, — 0. Rhombendodekaeder für &@,4 — 0, @y4 — 0.
Triakisoktaeder = N Oktaeder 2. oa — 0 oe 0:
Tetrakishexaeder ol: Hexaeder „ 9 = 0, 0: 0.
Drückt man nun in bekannter Weise die cosinus der Winkel zweier
Nachbarflächen durch die Koeffizienten der Gleichungen dieser aus, so er-
geben sich für die cosinus der oben genannten Winkel am Hexakisoktaeder
die Werte:
80 Max Brückner,
2T(6—1)(T—0)+0°?
(— 0)? + 72(6— 1)? +02 '
nr a 2a
ee
(T— 0)? — 7? (6— 1)? + 0?
(T—0)?+172(6—1)?+02
c0o8 dx =
’
c08 DO, =
Setzt man diese Werte der Reihe nach gleich 1, so hat man die
Relationen zwischen o und r für die drei zuerst genannten speziellen Körper,
die vereinfacht wie folgt lauten; es ist für das
Deltoidikositetraeder: 7 — WE, oder 6 = u 5
2 — 0 1+7r
9) Triakisoktaeder: Ts Dolmpdlernor — =
Tetrakishexaeder: 6= 1, r beliebig zwischen 1 und 2.
Für die drei übrigen Polyeder gelten stets zwei dieser Relationen
gleichzeitig, wodurch sich aus 9) für o und 7 bestimmte Werte ergeben
Es ist für das
Rhombendodekaeder: z = 20 und o —= 1, alo 7 — 2.
Oktaeder: Fe 8 und. — 90, 31500 — 2, ws
10)
[SD
|
Q
Hexaeder: = E undeo7 Hr alnoranchez le
159)
Archimedeische Varietäten sind diejenigen, in denen sämtliche Flächen-
winkel gleich sind. Aus den Formeln 8) ergeben sich durch Gleichsetzung
je zweier bestimmter Werte unter Berücksichtigung der Bedingungen 9)
für diese archimedeischen Varietäten die folgenden Ableitungskoäffizienten:
Für das Tetrakishexaeder ist &,; = ®g, also r — 2 o= 1. Für das Tria-
. . = v2 ae FR ‚
kisoktaeder wird &,; = ©, und r=/2+1,0—= 7. Für das Deltoid-
2
4—V2 Für die A.V.
ikositetraeder ist &,, = ao, und r=2%—-1L, 0 —=
2
des Hexakisoktaeders selbst endlich ist &,, = @4 = @,, und es ergibt
E /3 3
RP SEE nn v2,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 8
Für die späteren Diskussionen ist es empfehlenswert, die Abhängigkeit
der Koöffizienten o und r geometrisch übersichtlich darzustellen. Deutet
man o und r als rechtwinklige Koordinaten, wobei die positive o-achse
wagrecht nach rechts, die positive r-achse senkrecht nach oben verläuft, so
stellen die Gleichungen 6 = ı und r = 20 zwei Gerade dar (vergl. Fig. 2,
Taf. 8), von denen die erste, ©, der Figur, parallel der r-achse im Abstandel,
die zweite, G&, durch die Punkte o=14,7=2, undo — 5, 3 But
Die dritte Kurve (;, deren Gleichung 7 =, & r
ist, ist ein Hyperbel durch
die Punkte o=1,r=1 und o = 4 t —= 3. Die Werte der o und z, welche
Punkten dieser drei Kurven innerhalb der angegebenen Grenzwerte zugehören,
bestimmen konvexe Individuen der ersten drei speziellen Körper, während
die genannten Grenzwerte selbst eben den drei übrigen speziellen Körpern
zugehören. Alle konvexen Hexakisoktaeder besitzen solche o und z, die
innerhalb des von den drei Kurven begrenzten Flächenstückes liegen.') —
Ehe wir für die Körper 2)—7) die Gleiehungen der Grenzflächen aus
denen der Flächen des allgemeinsten Polyeders 1) unter Berücksichtigung
der vereinfachenden Bedingungen 9) und 10) ableiten, sind für die Be-
zeichnungen dieser Grenzflächen jedesmal die nötigen Angaben zu machen‘)
Das Deltoidikositetraeder. Die Ecken einer vierkantigen
Grenzfläche, die ein Deltoid ist, sind zwei Punkte B und je ein Punkt A
und ©. Die Kanten AC des allgemeinen Polyeders kommen hier zum Ver-
schwinden. Durch die Punkte A und € sei die Fläche bestimmt. Die Be-
zeichnungen der Flächen sind dann die folgenden, wobei für die Achsen
und die- beiden vor sie gesetzten Flächen die frühere Bemerkung gilt:
1); 24) : 4, C, 4), 22) B 4, G; A); 19) B 4, 6, 10), 14) . Ay‘ (07
2), 23) :Aı Q, 5), 17%): 4,C, 8), 20): 43'0, 11), 15): 4y'G;
3): 21) : 4, C, 6), 18): 4, C, 9), 13) : 4;' C, 12), 16) z Ay (3.
1) Es wird kaum zu Irrtümern Veranlassung geben, wenn wir später kurz von einer
„Triakisoktaedergeraden“ (nämlich C,) bezw. einem „Hexaederpunkte* (dem Schnittpunkte
von C, und C,) u. s. w. sprechen.
2) Note I zeigt tabellarisch die entsprechenden Flächen des Hexakisoktaeders und
der speziellen Körper des Typus, wobei nur das Oktaeder und Hexaeder nicht berücksichtigt
sind, weil sie beide nicht als Hüllpolyeder der weiterhin zu betrachtenden diskontinuierlichen
und nichtkonvexen Polyeder höherer Art auftreten.
Nova Acta LXXXVI. Nr.]1., 11
82 |. Max Brückner,
Die Gleichungen dieser 24 Grenzflächen, die neben der Konstanten «a
nur noch den einen Parameter x enthalten, und bei denen die Reihenfolge
der Vorzeichen der Koöffizienten die früher angegebene ist, sind dann:
1), 2), 3), 4), 21), 22), 24), 23), He —- De+le— N)y+22—2ra = 0.
6), 7), 10), 11), 14), 15), 18), 19), L22 + T—-1)y+(T— 2 —2ra = 0.
5), 8), 9), 12), 13), 16), 17), 20, Fe —N)2+2y+(t—1)2— 2a — 0.
Das Triakisoktaeder. Jede gleichschenklig-dreikantige Grenz-
fläche besitzt zwei Ecken A und eine Ecke C; die Kanten BC des all-
gemeinen Polyeders sind verschwunden. Die Bezeichnung: der Flächen ist
die folgende:
1), 17): A, A2C, 4), 20): 4,4,’ 7), 15): 42 43‘0, 10), 24): Az Ay'Cy'
2), 18): A, A, C, 5), 13): 454,05‘ 8), 16): A, 4A; (6 11), 21): Az A,'03'
3), 19): A243 Oy' 6), 14): A, Ay'05' 9), 23): Aı As Cı 12), 22): A, A3'0..
Auch die Gleichungen dieser 24 Grenzflächen enthalten neben der
Konstanten « nur noch den einen Parameter 7. Sie sind:
1), 8), 20), 13), 4, 5), 17), 16), Ha + Y)ytz—ra — 0.
9), 12), 24), 21), 10), 11), 23), 22), HE —- Dr EY +2 — Ta —0.
2), 7), 19), 14), 3), 6), 18), 15), Ha +y+l— era — 0.
Das Tetrakishexaeder. Jede gleichschenklig-dreikantige Grenz-
fläche hat zwei Ecken C und eine Ecke 4; die Kanten AB des Hexakis-
oktaeders sind verschwunden. Die Flächen sind:
1), 24): ACC, 4), 22): A, 0, O5 7), 13):42 0, 0,‘ 10), 16):43'0, 03‘
2), 18): A, &, 0, 5), 21): 4,0, 05 8), 23): A2Cı Q, 11), 17):.43'°0,C,
3), 19) : 4, (08 C, 6), 12) . 4A; C [0% 9), 15) : 4A, (01 O5 14), 20) B 4A,‘ Q; Q,
und ihre Gleichungen:
1), 3), 19), 24), H(T—-1)C +2 — Ta
4), 2), 18), 22), (e —-1)y +2 —- Ta
8), 14), 20), 23), Er HT —1)2— ra
7), 15), 9), 13), Fol ee
5), 11), 17), 29), Y+(F—-D2— ra
6), 16), 10), 12), HT —1)e + y— ra
oO Dre oe
el el!
Dabei ist die Reihenfolge der Vorzeichen für jede Gleichung:
+H-9+--4.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 83
Das Rhombendodekaeder. Es entsteht, wenn vier bestimmte
Flächen des Hexakisoktaeders oder zwei des Triakisoktaeders oder Tetrakis-
hexaeders in eine Ebene fallen. Die Gleichungen seiner Flächen ergeben
sich am einfachsten aus denen des letztgenannten Körpers, wenn man z
den Wert 2 gibt. Jede der zwölf Flächen ist ein Rhombus, dessen Kante
a/3, dessen Diagonalen 2a und 2ay/2 sind und wird eindeutig durch zwei
gegenüberliegende Ecken A bestimmt. Die Reihenfolge der Vorzeichen ist
die eben. angeführte.
1) An As, 3) 4, 4;‘, 10) 4‘; As, 12) Ay, As‘, EEE 2a —0.
2) 4: A;, 4) 4, As‘, 11) A,‘ A;, 9) 4, r 45‘, SE Y ar 2 —2u = I.
6) 4,, 4;, 7) 45‘, As, 5) Ay 45‘, 8) A, 4,5‘, =E % Ei Y ar 2a — 0.
Die einfachen Gleichungen der Flächen des Oktaeders und Hexaeders
übergehen wir.
3. Die vollständige Figur des Hexakisoktaeders. Die Ebene
der Fläche ı) dieses Körpers werde von den Ebenen aller übrigen Flächen
in Geraden geschnitten, deren Bezeichnung dieselbe sei, wie die der er-
zeugenden Flächen. Die Achsen des Polyeders schneiden die Ebene ı), die
als Zeichenebene gewählt ist, in Punkten — „Achsenpunkten“ — die über-
einstimmend mit den Achsen selbst A, B, © genannt werden. Die Fläche ı)
wird in der Zeichenebene durch die Spuren dreier Ebenen gebildet, die
durch das Zentrum O des Polyeders und die drei Achsen A,, B, und C, gehen.
In diesen Ebenen, die Symmetrieebenen des Polyeders sind, liegt eine be-
stimmte Zahl weiterer Achsen, deren Schnittpunkte mit der Ebene ı) also
auf jenen drei, die Fläche ı) bildenden Geraden liegen, und deren Abstände
von 4,, B,, C, auf diesen Geraden zu berechnen sind, die zugleich die
Spuren der Ebenen 2), 8), 12) des Polyeders vorstellen (vergl. die vollständige
Figur der A. V. des Hexakisoktaeders Fig. 1 Taf. 5). Zur Bestimmung der
weiteren genannten Achsenpunkte betrachtet man die Strahlensysteme der
Achsen in den drei Symmetrieebenen 0A, B,, OB,C, und 0A,C,. Im der
Ebene 0A, B, ergibt sich das in Fig. 2 Taf. 4 gezeichnete Strahlensystem.
Es ist OA, gleich der Achse A, d.h. gleich a OB, gleich der Achse B,
d.h, gleich u .c. Als Masseinheit für alle diese vorkommenden Längen
ale
54 Max Brückner,
sei im folgenden stets die Achse C genommen. Die Winkel der Strahlen
OA, | OB,, 0A, | OB, und OB, | 0A, betragen sämtlich 9 —= 45°. Bezeichnet
man die Winkel OB,A, und 04A,B, mit A und «, so hat man zur Berechnung
der verlangten Grössen A, B,, B,A, und A,B, die Gleichungen:
Ki a He A+u sin
N ar Fri ge Re ee et
ih sin @ sin @
Ir (—9)’ a sin (u— Q)
Das Strahlensystem in der Ebene OB,C, ist das in Fig. 3 Taf. 4
gezeichnete. Hier sind die vorkommenden Winkel der Strahlen:
X B, 00, = (0/3 OB, =— UV = 350 15‘ Dom C>B ist. Gelten andere
Ungleichungen, so sind für die Bestimmung der Winkel 2 und « u.s. w. in
bekannter Weise Änderungen zu treffen. Eine Zusammenstellung der be-
rechneten neun Abschnitte auf den drei Hauptgeraden der vollständigen
Figur für verschiedene Werte von o und z, d. h. verschiedene Varietäten
des Hexakisoktaeders, die später Verwendung finden, zeigt die Tabelle in
Note II. Die beiden ersten Spalten geben die Werte o und r; alle weiteren
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 85
Grössen sind mit C als Einheit gemessen. An Stelle der Grösse A,C, tritt
für gewisse Varietäten, die durch *) hervorgehoben sind, die Grösse 0,0,
wenn also die Achse C,‘ die Spur A,C, schneidet. Die obigen Formeln der
Bereehnung bedürfen dann einer einfachen Korrektur. Sind die im vor-
stehenden angegebenen neun Punkte A, B, C in der vollständigen Figur
nach den berechneten Werten konstruiert, so ergeben sich die sämtlichen
übrigen Achsenpunkte als Schnittpunkte von Geraden, die durch je zwei
oder mehrere der neun Punkte zu legen sind. Ist nämlich M7 irgend eine
Achse des Polyeders, so sei «) diejenige Fläche, die sich dureh Spiegelung
der Fläche ı) an irgend einer der Symmetrieebenen durch die Achse M
ergibt. Die Ebenen aller Flächen, die bei Drehung des Polyeders um die
Achse M mit ı) oder «) zur Deckung kommen, schneiden sich dann in
einem Punkte der Achse M, und da dieser Achsenpunkt M auf ı) liegt, so
schneiden sich in ihm in der vollständigen Figur die Spuren der Ebenen
der genannten Flächen. Für sämtliche Achsenpunkte in der vollständigen
Figur sind hier die durch sie verlaufenden Spuren zusammengestellt:
A: @, 3,4, 5,6, 3); As (2715, 33, A5544,98, 10); 4A, (12, 30, 44, 41, 39, 21,6);
C, (12, 11,10, 9,8); C, (12, 32, 33, 17,4); (3 (10, 26, 39,19, 4); C, (8, 40, 39, 34, 33);
B, (2, 12,13); BD, (10, 23, 6);. B; (8, 43, 44); B, (6, 33, 36); B, (2, 38, 39); By, (4, 44, 47).
Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass sich für besondere Varie-
täten des Hexakisoktaeders in einzelnen dieser Punkte: mehr als die an-
geführten Flächen schneiden. — Nun ist ersichtlich, dass durch die bereits
auf den drei Spuren 2) 8) und 12) liegenden berechneten Achsenpunkte
zunächst die folgenden weiteren Spuren bestimmt sind: 4, (4,0); 6, (Ay, 43);
10, (A2, C)); 33, (As, C,); 39, (A, C) und 44, (4,,(0,). Es sind dies die Spuren
der Ebenen der sämtlichen Flächen «), die im Verein mit den Flächen
2) 8) 12) die Spiegelbilder der Fläche ı) an den sämtlichen Symmetrieebenen
des Hexakisoktaeders bilden. Andererseits sind durch diese Spuren die
noch fehlenden Achsenpunkte bestimmt, nämlich C, durch den Schnitt von
10), 39), 9; die Achsenpunkte B durch je zwei Gerade: B, (6, 10), B, (6, 33),
B, (2,39), B, (4,44) Mit den bisher bestimmten neun Spuren sind als zweite
Gruppe von Geraden die Spuren der zu jenen Ebenen parallelen Ebenen
bestimmt, da jede von diesen Spuren überdies durch wenigstens einen der
86 Max Brückner,
Achsenpunkte geht. Es läuft z. B. die Spur der Ebene 5) parallel der
Spur 44) und durch den Punkt A,, kurz: 5 (44,4). Die zweite Gruppe
der Geraden ist dann: 5 (44, 4,); 13 (39, B,); 23 (83, B,); 38 (12, B,); 36 (10, B,);
47 (8, B,); 45 (6, A»); 43 (4, B;); 41 (2, 45).
Sind nun «) und £) zwei Flächen der ersten und zweiten Gruppe,
von denen «) das Spiegelbild von 1) an der Symmetrieebene E sei, und ist
y) das Spiegelbild der Fläche 3) an derselben Symmetrieebene, so schneiden
sich 1) und «), sowie 3) und y) in Geraden ! und 7!‘ jener Symmetrieebene;
der Schnittpunkt von 7 und ' liegt also auf der Ebene der Fläche 1), d.h.
die drei Spuren «), 3), y) schneiden sich in der vollständigen Figur in einem
Punkte. Dabei sind die Fälle zu tilgen, in denen dieser Punkt mit einem
der Achsenpunkte identisch ist. Bestimmt man für sämtliche Flächen «)
und ) die in Frage kommende dritte Fläche y), so erhält man die dritte
Gruppe der Geraden. Bedeutet 2 dass die Gerade y) durch den Sehnitt-
punkt von «) und $) läuft, so ist diese dritte Gruppe die folgende:')
8. 38.39 4.510739
14 e a); 16 (5 13° =); 18
33 E 10 33 44
23’ 13’ 47
23’ 21’ 5° 36)’
6 12 39 44 4 12 33 8.33 39
en ort 5 eer iv] BE: a ae Ale 1) et ee
= 45’ 5° 25); . (5 43’ se) Sn es 47° ss)
2 10 33 44 4 12 33 4 10 39
> E; rar ss) = ( 23’ 2) e (6 13° 3)
6 19.39 a1 78% 10% 30\ 8 10 19\
a (5 5’ 5) 2 & 47° se) 3% (5 38’ 4
2
42 (2 er 2 ") =): 46 A 4 a) )
47’ 41’ 43’ 45 43’ 45’ 47’ 41
Die noch fehlenden .14 Ebenen sind die Parallelebenen zu denen der
dritten Gruppe. Da jede ihrer Spuren durch einen Achsenpunkt in der
Zeichnung geht, so werden diese Spuren mit Benutzung derer der dritten
Gruppe ebenso gefunden, wie die zweite Gruppe aus der ersten. Es sind
die folgenden 14 Ebenen: 40 (14, C,); 26 (16, 0;); 28 (18, A); 30 (20, 43); 32 (22, O));
34 (24,05); 15 (25, A); 17 (27,6); 19 (29,65); 21 81,4); 9 85,0); 11 87,0,);
3 (42, A,) und 7 (46, A,).
!) Die mehrfache Angabe kann zur Kontrolle der Genauigkeit der Zeichnung dienen.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinujerlichen und nichtkonvexen Polyeder. 87
Hiermit sind die Spuren sämtlicher Flächen des Hexakisoktaeders
in dessen vollständiger Figur bestimmt, da die Ebene der Fläche 48) die
Zeichenebene in der unendlichweiten Geraden schneidet.
4. Die vollständigen Figuren der speziellen gleichflächigen
Polyeder erster Art des Typus. Bei ihrer Konstruktion treten unter
Umständen dadurch Vereinfachungen ein, dass sie eine Symmetrielinie be-
sitzen, die übrigens selbst keine Ebenenspur bedeutet.
a) Das Deltoidikositetraeder (vergl. hierzu die vollständigen
Figuren Taf. 4 Fig. 4 und Taf.7 Fig. 1). Zur Bestimmung der ganzen
Figur berechne man die Distanzen A,C,, GB, AB, = AB, und A, 4A, — A, 4;.
Es liegen A,, B,, A; in gerader Linie, die senkrecht zu A,C, ist. Die zu
verwendenden Gleichungen, mit Hilfe deren die Werte in Note III berechnet
wurden, sind:
sin %
sin 2 ’
NE Ley ee
TEEN r en
Zw sin (u —ıp)” Ana:
Dabei sind die Winkel A, « und A‘ durch die Gleichungen bestimmt:
au 2 0-4 ER RE
tan 5) = Dr tan — 9 y ur E30 m;
—u‘ e Ve] Au‘ tu KR: 6 9
tan Earl BA tan 7° ST re 90 Fi
Die Ebenen durch die Achsen (die Spuren durch die Achsenpunkte)
sind, abgesehen von der Ebene 1):
4, 233: 9% 4, (5565139917.99°16..8, 2); As (4, 11, 19, 23, 21, 14, 6);
C, (5, 6); ©, (6, 15, 16, 9, 3); ©; (8, 10, 19, 20, 5); Cs (16, 19);
b, (6, {0 2); B; (4, 12, 5); b; (21); b, (4, 16, 17) und b, (2, 18, 19).
Durch die Achsen A,, A, Ay, Bu Ba, B,, Cı sind nun schon die Geraden
bestimmt: 2 (4,,B,4); 4 (Au, Ba, Ay); 5 (Ay, 0, Bo); 6 (Bi,C1, As); 21 (As, B;, A;)
4 } : ) 13 5
und überdies die Gerade 3 (21, 4,). Dann ergibt sich: 0; () und 6, 5):
Hierdurch wiederum sind die Geraden 16 (4,,0,) und 19 (4;,C,) bestimmbar,
und damit die Achsenpunkte (, (Geh B, (6) und B, 2) Die nächste
88 Max Brückner,
Gruppe von Geraden ist: 23 (2,4); 22 (4, 4,); 17 (5, B,); 18 (6; B,); 12 (16, B,);
7 (19, B,) und die übrigen noch fehlenden Geraden sind dann: 9 (5 2 c.)
a HN B 35 36 4 6
8 (G m A.) ‚it Fer: 18 As); 14 m = 4,)) 13 (G 13° 4); 10 6 erh 6)
5 ( 6.) und 20 (> 6).
b) Das Triakisoktaeder (s. die vollständige Figur Taf. 4 Fig. 10,
sowie die Wertetabelle Note IV). Durch die Gleichungen:
sin %
el re en 1 0A 0h— sin ge’
E, ‚ np „Ama _ A—C Ar RABEN
a a a ae ee
sind die Achsen A,, As, As, (, C, €, B, und die angeführten Achsenpunkt-
distanzen auf den Geraden 8), 2), 9) und 16) gegeben. Die Achsenpunkte sind:
A, .(8, 12934, 20, 13,521, 9)5 45 (8, 7,76, 5, 4,03, 9); A384, 16, 13);
C (2, 9); D (6, 24); Or (9, 15, 16, 6, 1); 3 (2, 16, 22, 19, 24);
B, (8; B, (2, 13, 14); B; (4, 9, 10); B, (6, 13, 18) und D, (24, 4, 23).
Danach sind nach den vier ersten Geraden weiter gegeben: 4 (A, 43);
13 (A, A); 6 (As, O,); 24 (A,, (5), wodurch man noch die folgenden Achsen
findet: ©; en} B. (5; ;) B,(5 ) B, (5 5) und B, (&) Die übrigen Geraden
sind endlich: 18 @, B,); 23 (9, B,); 20 (4, A,); 5 (13, 4); 14 (6, B,); 10 (24, B,);
P 18 " 9 y 8 Vs, - 2 415 Y
3 (& 4.) 7 (& 4.) 11 kn 0); 12 (5 | ) 15 (& c‘); 19 m C: );
4 Dr
21 = 4) und 22 (5 6h).
c) Das Tetrakishexaeder (vergl. hierzu die vollständige Figur
Taf. 4 Fig. 8, sowie die Tabelle in Note V). Durch die Gleichungen
— o(@ sin db Ad sing a 7 a sinp
GO = 2( sın w, 4, C, = 4, 0 a a 3 CB; — [09 27 = € Sin da Gy) g
Ai A sin % iu C—A. ı+u A+u er LER;
4,6; = 40; — +4 an Ge tan 3 _— CHA tan 5) a 5 — 9 5)
sind die Achsenpunkte A,, C\, ©, O5, C,, B;, B, und die angeführten Distanzen
auf den Geraden 8), 2) und 4) gegeben. Die Achsen sind:
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 89
A, (2, 5 4); A, (6, 10, 19);
GR 5 6.7, 8,882. (8,9, 10.11, 2); CO, (@, 13,.293, 1% 6), ©, (10,21, 23, 15,4);
B, (8); B, (83, 16, 6); B; (4, 18, 19); B, (10, 12, 3); B, (23); B, (19, 22, 2).
Durch die drei ersten Geraden mit ihren Achsen sind dann weiter
gegeben: 23 (C,C}); 6 (C.,Cs); 10 (O,C); 19 (B,„B,) und ferner: 3 (8, A.)
Hiermit sind die noch fehlenden Achsenpunkte bestimmt, nämlich: B;, 6)
Jo (2). da die Achsenpunkte A,, B,, B, bezw. die Mitten der Strecken
B,B,(C,C, und 0,0, sind. Es folgen schliesslich die Geraden: 12 (6, B,);
16 (10, B;); 18 (2, B,); 22 (4, B,); 7 (3: cı); 9 (1 ); iisH, Krk O3); 15.09; O,);
10
17 (7 6); 21 er cı); »01,G) und 11 (17:6)
Was endlich das Rhombendodekaeder anbetrifft, so spricht die
vollständige Figur (Taf. 4 Fig. 7) für sich selbst, da das Verhältnis der
Diagonalen der rhombischen Grenzfläche bekannt ist. Damit sind sämtliche
für die Diskussion der zu besprechenden Polyeder nötigen vollständigen
Figuren konstruiert.
5. Das gleicheckige (6 +5 + 12)-flächige 2.24-Eck und: die speziellen
gleicheckigen Polyeder erster Art des Typus. Die gleicheckigen Polyeder
sind die polarreziproken der gleichflächigen in Bezug auf eine feste Kugel
um das Zentrum der letzteren als Direktrix. Wir nehmen als Radius dieser
Kugel die konstante dreizählige Achse C, die Flächenachse des Oktaeders.
Dann sind dessen beide andere Achsen A, = (ja, die Eekenachse des
Oktaeders, und B, — Eye, die Kantenachse des Oktaeders. Das allgemeinste
gleicheckige Polyeder des Typus, das (6+8-+12)-flächige 2.24-Eck, wird
nun aus dem Oktaeder durch gerade, zu den Achsen senkrechte Abstumpfung
der Ecken und Kanten erhalten. Seien die vierzähligen und zweizähligen
Flächenachsen des entstandenen Körpers A’ und B\, so ist 4° — 4,.t und
B' — B,.s, worin t und s reelle Parameter, kleiner als 1, sind. Da nun
wegen der Polarität 44' = €? und BB' = (02, aber auch 4,.4. = C? und
Bee east, sorist a.s =ir.d—M, dr — -, I— 1. Die Ecken des
gleicheckigen Polyeders sind die Pole zu den Ebenen des gleichflächigen
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 12
90 Max Brückner,
Polyeders als Polarebenen in Bezug auf die Kugel vom Radius C, und
seine Flächen sind die Polarebenen zu den Ecken des Hexakisoktaeders in
Bezug auf dieselbe Kugel. Es lassen sich also die Gleichungen der Grenz-
ebenen und die Koordinaten der Ecken des gleicheckigen Polyeders sofort
angeben. Die Polarebene einer Ecke z,, yı, zı des gleicheckigen Polyeders
in Bezug auf die Kugel 2 +9? +2?—C? —=0 ist nun:
x: + Y-Yı t2.4 020,
und ein Vergleich mit der Gleichung der Ebene 1) des gleichflächigen
Polyeders zeigt, dass die Koordinaten des dieser Ebene polar zugeordneten
Punktes x,, yı, 2, sind:
& = 0V3 en —= (Y3(6-)= A 6,
y = (CV3 en — (Vs 1-9) = 4 (1-9),
A &
Ei — CV3.7 = (Veen
so dass also, unabhängig von A,, die Proportion gilt:
11) FL: Yı:A = 6-9):1—s):t.
Bezeichnet man die 48 Eeken des gleicheekigen Polyeders mit den-
selben Zahlen, wie die ihnen polaren Flächen des gleichflächigen Polyeders,
so kann man die Koordinaten dieser Ecken aus den Gleichungen jener
Flächen sofort abschreiben. Setzen wir die obigen Werte der Koordinaten
des ersten Ecekpunktes x, = 4, yı = w 2 =», so sind die Koordinaten
der 48 Ecken:
@) WW) (@
1), 2) 5) 6) 44), 45), 48), 4): +4, +4 +?
8, 3), Y, 7), -43), 46), 47), 4): ts +4 + V
12),33),120)921), 335 D3H) 3 EEE
11), 14). 19), 22), 29), 32), 37), 40): +, +4 +
ab
=#
12)
9), 16), 17), 24), 27), 34), 35), 26): +
10), 15), 18), 23), 28), 33), 36), 25): +4 +»,
Die Reihenfolge der Vorzeichen ist dabei die bisher immer innegehaltene.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 9
Aus 11) ergibt sich nun weiter:
v i+v
13) BE) go
Atu+tv At+u+tv
Bedeutet für das allgemeine (6+8+ 12)-flächige 2.24-Eck k, die ge-
meinsame Kante einer sechseckigen und achteekigen Grenzfläche, %, die
gemeinsame Kante eines Sechsecks und Vierecks und A, die gemeinsame
Kante eines Vierecks und Achtecks, so ist:
Rh = 2u = 2A (dl -S)
14) k =@—WV2 = 4.02s—t—1) 2,
= w—AM)/2 = 4, (at—s) /2.
Denn es bedeutet « bei dem Polyeder zugleich die halbe Kante des
Vierecks, 2 den Radius des umbeschriebenen Kreises einer achteekigen
Grenzfläche und » den Radius der einbeschriebenen Kugel des Polyeders,
die die Ebene der achteekigen Flächen berührt. Kommen nur die Verhält-
nisse der Kanten in Frage, so ist an Stelle von 14) zu schreiben:
ff: hy, = (2s—t—1):(2t—5):(1—s) Y2 oder
Ir, lo: = A—W):w—A):u Y2-
Aus dem ersten System dieser Gleichungen ergibt sich durch Auf-
lösung nach £ und s:
2k +2, +k, Y2 Ak +2, + 2%, Y2
a ee. a ae
Ah +2h, + 3%, 2 4hı + 2%, + 3, 2
Die archimedeische Varietät des Polyeders folgt für ı = ki, = hy,
d. h. für ne Sl SE — lab
Für die speziellen Polyeder des Hexakisoktaedertypus ergeben sich
dann die folgenden besonderen Relationen und Werte.')
!) Die Werte für die Koordinaten der Ecken der speziellen gleicheckigen Polyeder
sind aus der Zusammenstellung 12) der Koordinaten der Ecken des (6 +8 12)-flächigen
2.24-Ecks in Verbindung mit Note I abzulesen, indem man für jedes spezielle Polyeder die
entsprechenden Relationen (24-Eck: 2 — w 8.3-Eck: =», 6.4-Eck: « — 0) be-
rücksichtigt. Die Tabellen für die Ecken aller dieser Polyeder sind danach leicht aufzustellen.
12*
92 Max Brückner,
a) Das (6+8+12)-flächige 24-Eck. Hier ist %, — 0, folglich
nach 14): s = u Esisti=u=4 Se 2» — Ast — EEE WER
vr 2 2ky) +3, /2
2%, + 2k; Y2 = 3 P ; evt
s=- — ZZ, ots = 81—1):(1—d)\2. Die archimedeische Varietät
a ande re )V
” ” .. a .. /3
ergibt sich für @—4)/2 — 2. oder für % = %,, d.h. wenn t = en
A+V2
7
Ss ist.
b) Das (6+8)-flächige 8.3-Eck. Es ist A, = 0, also nach 14):
2kı + kb /2
4k, + 3kz,)/2
Die archimedeische Varietät ergibt sich für %, = %,, d.h. für A — u) /2 = 2u,
so das t= Ya —1,s = 2(/2—.ı) ist.
s—2t. k:l=(3t—1):1—2)Y2. A=v= At, u= A,l1—20; t—=
c) Das (6+8)-flächige 6.4-Eck, Für %,= 0 wird nach 14):
s—1. Damit it 2 = AlU—Hd), u=0,v —= At;t Zn k:a=U- 5
v “2
:(22—1). Für die archimedeische Varietät ist ı, = k,, 2—u = v—A, d.h.
Dr =, s’=1.
d) Das Kubooktaeder. Hier ist gleichzeitig %, —= 0, %, — 0, d.h.
1 Ber}
BE ak v 2
rel
e) Das Oktaeder. Es ist, =%k—=0, alos—t = 1.
f) DastHexaeder., Es ist % = ch, — 0, also a I
Zum Schlusse sei folgende Bemerkung beachtet. Für die Koordinaten-
werte A, «, » des allgemeinen (6+8-+ 12)-flächigen 2.24-Ecks gilt offenbar
auf Grund der oben angeführten anderweiten Deutung dieser Grössen:
“«<ı<»v. Sind also für irgend eine Ecke eines solchen Polyeders die
Koordinaten 5, 7, £ gefunden, und gelten für deren absolute Werte nach-
gewiesenermassen die Bedingungen Ss 5.
205 23, 1. se all a lan oe (1, 16, 20,5
5, 19, 15. (1, 20, 11, 22. I1, 16, 20, 5.
Nova Aota LXXXVI. Nr.1. 13
1.Gr. I
98 Max Brückner,
Es ergeben sich also folgende Sätze. Für das Triakisoktaeder als
inneren Kern wird die erste und zweite Gruppe quadratischer Sphenoide
identisch. Das diskontinuierliche Polyeder besteht wiederum aus: zwölf
Sphenoiden, bei denen je zwei Flächen verschiedener Sphenoide in eine
Ebene fallen. Je zwei Sphenoide der dritten Gruppe aber fallen völlig
zusammen, so dass sich nur sechs Sphenoide ergeben. Deutet man dieselben
Zahlen als Eekenzahlen, so findet man: Ist die äussere Hülle des dis-
kontinuierlichen Polyeders das (6+8)-Hächige 8.3-Eck, so reduzieren sich
die Sphenoide der dritten Klasse auf sechs, die der ersten und zweiten sind
identisch, und es ergibt sich ein Polyeder, dessen Hülle das eben genannte
8.3-Eck ist, in dessen Ecken je zwei Ecken verschiedener Sphenoide zu-
sammenfallen.
c) Fallen ferner je zwei Flächen des Hexakisoktaeders mit gemein-
samer Kante AB in eine Ebene, so dass aus ihm ein Tetrakishexaeder
entsteht, so werden die beiden ersten Sphenoide der obigen Zusammen-
stellung für die:
1,,3;; 18, 22.
1.4419 516 219. le j1, 24, 14, 20.
2 a
&r
ns 1, 19, 16, 12. 11, 24, 14, 20.
2. Gr
D.h.: Tritt an Stelle des Hexakisoktaeders das Tetrakishexaeder, so ergeben
die erste und zweite Gruppe je sechs Sphenoide, während die Sphenoide
der dritten Gruppe in parallele Ebenen entarten. Dem steht dual gegenüber:
Tritt an Stelle des (6+8-+12)-Hächigen 2.24-Ecks das (6+8)-flächige
6.4-Eck, so reduzieren sich die zwölf Sphenoide der ersten und zweiten
Klasse je auf sechs, während die Sphenoide der dritten Klasse illusorisch sind.
d) Wir erhalten als inneren Kern das Rhombendodekaeder,
wenn die drei Flächen 1, 2, 12 der obigen Zusammenstellung in eine Ebene
fallen. Dann sind die drei Gruppen:
1» 3:09 En LO ker Bo 12, 3, 10.
Is3Gr: IE 3, 11599: 2. Gr. Ir 10,278,,.2. 3. Gr ie 12, 3, 10.
1,10, 8, 7 1, 3, 11, 9. 1, 12,3, 10.
D. h.: Die Sphenoide der dritten Gruppe entarten in parallele Ebenen,
während die erste und zweite Gruppe sechs Sphenoide, die für beide Gruppen
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 99
identisch sind, ergibt. Ändererseits ergeben sich die Sphenoide erster und
zweiter Klasse im Kubooktaeder als identische und zwar besteht die Grup-
pierung aus sechs Sphenoiden, bei denen je zwei Ecken in einer Ecke des
Kubooktaeders zusammenfallen. Wir untersuchen nun die Sphenoide der.
drei Gruppen und ihre polarreziproke Verwandtschaft, indem wir uns der
analytisch-geometrischen Methode bedienen.
3. Die erste Gruppe der quadratischen Sphenoide. Die vier
Grenzflächen des ersten Sphenoids dieser Gruppe fallen in die Ebenen der
Flächen 1, 5, 42, 46 des Hexakisoktaeders und die Ecken des Sphenoides
bestimmen sich als die Schnittpunkte von je drei dieser Flächen. Für die
Koordinaten des Schnittpunktes der Flächen 1), 5), 42) findet man:')
20T?(6 —1)a 20T(T—6)a
ee ud Wi Dre an et
Danach ist, da a<2<» seinmus: = —,2 = wy= », so lange
2 2 Bern
a meer >ndh:
17) T?(6— 1)? + (T—0)?<207(06— 1)
207 (T—0) 2072 (d> 1).
ist, und so lange De Te Er ea er Ru EN REN, d.h.r— 0>7(0—1)
oder
18) => —L
ist. Oder mit anderen Worten: Unter diesen Bedingungen ist die obige
Ecke die Ecke 23) des (6 +8 + 12)-flächigen 2.24-Eeks und die übrigen Ecken
des ersten Sphenoides sind 15 (1,5, 46): + A, —», + u; 37 (5, 42, 46): —v. — A, — u;
29 (1, 42, 46): +», +4, — u, d. h. nach den Ecken ist das Polyeder der
zwölf Sphenoide von der dritten Klasse (vergl. Tabelle A, in Kap. III
$2 Nr.1). Wir deuten nun o und x wiederum als rechtwinklige Koordi-
naten und die Gleichungen zwischen o und r als solche von Kurven in
I) Wir bemerken, dass alle elementaren Rechnungen hier und im folgenden stets
unterdrückt sind, besonders soweit sie sich auf Bestimmung der Schnittpunkte von Ebenen
u. s. w. erstrecken.
13*
100 Max Brückner,
der 6-r-Ebene, um die Abhängigkeitsverhältnisse leicht übersehen zu können.
Die Gleichung 17) ist dann die einer Kurve (vergl. Fig. 1 Taf. 5), die offen-
bar aus mehreren „Zweigen“ besteht. Man erhält ein angenähertes Bild
des Verlaufes dieser Kurvenzweige, wenn man für eine Reihe von Werten
für o zwischen 1 und > (etwa immer um 0,05 fortschreitend), die zugehörigen
Werte von r aus der für x sich jeweils ergebenden quadratischen Gleichung
berechnet und einzeichnet. — Es hat sich nun bei der Untersuchung ge-
zeigt, dass hier und in allen folgenden Fällen immer nur ein Zweig der
zu diskutierenden Kurven für das in Frage kommende Gebiet von Werten
o, r zu berücksichtigen ist. Wir werden deshalb ein für allemal diejenigen
Kurvenzweige, die nicht zu gebrauchen sind, unterdrücken. — Der eine,
für die Kurve 17) hier in Frage kommende Zweig geht zugleich durch
os=-L,r=-ı1unds=S-,r-=3, und verläuft im übrigen völlig innerhalb
2
des Gebietes der co, für die konvexen Hexakisoktaeder; denn 17) gibt
nach r aufgelöst: 7 = En u c, wobei das positive Vorzeichen der
Were
Wurzel eben unbrauchbar ist. Die o und 7 dieser Kurve') C, sind die Werte,
für welche 2 — a, d.h. das Hüllpolyeder ein (6+8+ 12)-flächiges 24-Eck
ist. Die Gleichung 18) gibt die Werte von o und r, für welche 2 = »,
d. h. das Hüllpolyeder das (6+8s)-Hächige 8.3-Eck wird. Es ist aber
z = _° die Gleichung der Kurve C,, d.h. der Deltoidikositetraederkurve
2=ü
. . . T . 6 . oe D
in der Figur, d. h. die Ungleichung = > „_— - ist für alle konvexen Hexakis-
oktaeder erfüllt. Wir haben also diese nun in zwei Abteilungen zu zer-
legen; a) zu (6—1)?+(rT—0)?<2or(6— 1) gehören die Hexakisoktaeder,
deren 6, zwischen den Kurven C, und (©, oder auf C, liegen, sowie die
Deltoidikositetraeder auf C,. b) Zu 7?(6— 1)?+(T—0)? > 207(6—1) gehören
die Hexakisoktaeder innerhalb des Gebietes, begrenzt von den Kurven
C,, ©, C, und alle Tetrakishexaeder und Triakisoktaeder. Für das Gebiet a)
sind die Ecken der Sphenoidgruppierungen, wie schon bemerkt, von der
dritten Klasse. Für das Gebiet b) hat die erste Ecke die Koordinaten
!) In allen Figuren dieser „Kurven“ auf den Tafeln sind der Einfachheit der Dar-
stellung wegen diese Kurven durch gerade. Verbindungsstrecken oder Kreisbögen zwischen
den Endpunkten angedeutet.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 101
z2=—wy=»,z2=4.d.h. der Schnittpunkt der Flächen ı), 5), 42) ist die
Ecke 24) und die Sphenoidgruppierung ist von der zweiten Klasse. Wir
betrachten nun zunächst nur die Hexakisoktaeder a). Für sie gilt also:
_207?(6—1)a 20T(T—0)a
PO MHa TI Tiere —o:
19) A =
Danach ist für das von den Ecken gebildete (6+8+ 12)-flächige 2.24-Eck:
k a 20(7— 0) |
20) A+utv 20?(T—1) + 7?(6—1)? + (T— 0)?’
: A EEE 20?(T—1)
A+ut+v 20? (T—1) + 7? (6—1)? + (T— 0)?
Für das Verhältnis der Kanten ergibt sich:
ff :%y: Rz — [202 (e — 1) — 7? (6 — 1)?— (7? — 02)]
21) \.:Ko@—0)—202(7 —1)] : [7?(6— 1)2+ (e— 0)2]/2.
Wir untersuchen zunächst die folgenden speziellen Fälle. Es sei
der Kern der Gruppierung die archimedeische Varietät des Hexakisoktaeders,
din ee an, ie arlm, Werte, die tatsächlich innerhalb des
hier behandelten Gebietes liegen. Dann sind die drei Koordinaten einer
Ecke des äusseren (6 +8+12)-flächigen 2.24-Ecks: 2 — a, u — 38+/d«
Ü
5 5: ae oh A: En
3(2 ya ‚so dass t— , Zu 2 wird. Für das Ver-
hältnis der drei Kanten ergibt sich:
A u Ai Er ln 2) — 1:13,07:11,66 (mit einiger An-
näherung). Die Fläche des aus zwölf Sphenoiden bestehenden diskontinuier-
lichen Polyeders ist in der vollständigen Figur 1 Taf. 5 der archimedeischen
Varietät des Hexakisoktaeders das Dreieck D,D;D,. Das Modell des
Polyeders zeigt Fig. 6 Taf. 22. Wir fragen nun nach dem inneren Kern
derjenigen Gruppierung, deren Hüllpolyeder die A. V. des (6+8+12)-
flächigen 2.24-Ecks ist. Ist , =k,—k,, so bestehen zwischen den A, «, v
die Gleichungen: — u — v»— 2 — uy2. Danach ist 2 — r(/2 + 1)a, woraus
207 (0—1)
N ar De BON = Yarı
102 Max Brückner,
folgt. Da hiernach » die einfachere Form u +1)a annimmt, so ergibt
die Gleichung »— 2 — r/2 die Relation 6 —r(6—1)(3—/2) und schliess-
lich 0. — Bi 2, Die Einsetzung dieses Wertes in Gl. *) führt unter
8 —V2)+1
Benutzung der eben angeführten Relation zu o = 3r(8/2— 4. Die Gleich-
setzung dieses Wertes für o mit dem vorhergehenden ergibt 7 — 2/2 +9
und damit 6 — 2@-—/2). Für diese Werte ist auf Grund der alllgemeinen
2(8+2/2 2(3V2+5), 2 V2+n)
3 = se, 3
und damit natürlich £ = ar, s- Ze ‚d.h. die A.V. des 2.24-Ecks.
Formeln 2 =
d,v=
= a zu finden,
Die Fläche dieses diskontinuierlichen Polyeders zeigt Taf. 6 Fig. 6; das
Modell des Körpers ist auf Taf. 23 Fig. 3 dargestellt. Dieselben Werte
für o und 7 sind direkt aus den Gleichungen 20) zu berechnen, wenn deren
linke Seiten gleich den Werten s und £ für die A. V. des (6+8+12)-
flächigen 2.24-Ecks gesetzt werden. Wir untersuchen nun zunächst spezielle
Kerne, dann spezielle Hüllen. Ito= a so wird das Hexakisokta-
eder zum Deltoidikositetraeder. Die Werte der Koordinaten der Eekpunkte
des Hüllpolyeders sind dann: =» = Zr 4 = ra, d.h. das Hüllpolyeder
.2 4
ru ee
Für seine Kanten gilt: %,:%, = 8t—1):1—2Y)/2 = @—d):a—ı)y2 Es
ergibt sich danach die A. V. des 8.3:Eeks, wenn dieses Verhältnis den
Wert ı hat, d.h. x — 2y2— 1 ist, also für die A. V. des Deltoidikositetra-
eders als inneren Kern. Wie aus der allgemeinen Übersicht schon bekannt,
ist.
ist ein (6+8)-Hächiges 8.3-Eek, für welches it —
sind hier je zwei Sphenoide in eins zusammengefallen, so dass das dis-
kontinuierliche Polyeder aus sechs Sphenoiden besteht. Die Grenzfläche in
der Ebene ı) des Deltoidikositetraeders wird von den Spuren der Ebenen
3), 22), 23) gebildet. Vergl. Fig. 9 Taf. 4. Das Modell der Gruppierung
zeigt Fig. 12 Taf. 22. — Es seien nun diejenigen Werte von o und z des
Kernpolyeders zu bestimmen, die als äussere Hülle der Sphenoidgruppierung
ein (6+8+12)-flächiges 24-Eck nach sich ziehen. Dann muss 2 = u sein.
Das ergibt zwischen o und x die schon abgeleitete Relation:
I T2(6 — 1)? + (T— 0)? = 207(0—1),
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlicehen und nichtkonvexen Polyeder. 103
d.h. der Kern ist eins der einfach-unendlich vielen Hexakisoktaeder, deren
co und z diese Relation erfüllen. Es wird damit =u=ra, v zn,
o—1
= Fee RL.
Ude a ER ee De Die AV: des 24-
Ecks ergibt sich, wenn v— u — „2, d.h. wenn co = + mE ist.
zıva 4
Durch Einsetzung dieses Wertes in 7) erhält man für o und z: 6 2(2—\/2)
und z—=2. Damit aber ist: = AiLen D— Een wie behauptet. —
Das Hüllpolyeder der Gruppierung ist das (6+8)-flächige 8.3-Eck, wenn
2=vist. Das gibt die Bedingung: r(c—1) = —o, d.h. co = u Ist
also der innere Kern bei der ersten Gruppe quadratischer Sphenoide das
Deltoidikositetraeder, so ist die Hülle stets ein (6+8)-flächiges 8.3-Eck.
Wir untersuchen nur die Sphenoidgruppierungen mit Ecken zweiter
Klasse, wenn das Hexakisoktaeder innerer Kern ist. Die Ecken des
ersten Sphenoids sind jetzt: 24 (1, 5, 42): — u, v, A; 16 (1, 5, 46): u, —», A; 38 (5, 42, 46):
— 9», —ı, — A; 30 (1, 42, 46): v, u, — A; wobei:
a re 2072(6—1)a E 20T(T—0)@
EN ra? re er!
Damit ist:
26(7—0) + 72(6— 1)? + (r— 0)?
20°(T— 1) +72(6— 1)? + (T— 0)?’
l 2 20(T—0) i
20°?(T— 1) + T2(6—1)? + (T— 0)?
23)
Für das Verhältnis der Kanten des Hüllpolyeders gilt:
94 fh : hr: lg = [7?(6— 1)? + (e— 0)? — 207(0—1)]
) \ :[26(e — 0) — 12(6 — 1)? — (T—0)2]: 207 (6— 1) /2.
Betrachtet man z. B. die besondere Varietät des Hexakisoktaeders,
ER a! . 5 88 170 396
wele — 2 7r=2 ist, so finde nu=-, A = — ——
für welche 6 mr 2 ist, so findet man u Ehe 5
: 66 283 „., 7% 2 4 s 5
und damit t = ni? Zion: I:ly:k3 = 41:113 : 44/2.
Ist der Kern der Spbenoidgruppierung, um zu den speziellen gleich-
flächigen Polyedern überzugehen, die hier in Frage kommen, das Triakis-
104 Max Brückner,
t : 80(6—1)a 4064
= = Fr) = =
oktaeder, so ist 7 26 und es wird: 2= 20a, u 6 rr? Ge rt
re On A. > : Pe
t= et er 1y Dieselben Werte werden sich in der
zweiten Gruppe der Sphenoide ergeben, da die Polyeder der ersten Gruppe,
falls der Kern ein Triakisoktaeder ist, mit solchen der zweiten zusammen-
fallen. Dort werden wir sie behandeln. Es sei nun der Kern der Sphenoid-
gruppierung ein Tetrakishexaeder, d.h. o = ı. Dann fallen wiederum je
zwei Sphenoide zusammen, die Gruppierung besteht also aus sechs Sphenoiden.
Die Grenzfläche ı) des ersten dieser Sphenoide wird durch die Spuren der
Ebenen 3), 18), 22) gebildet (Fig. 5 Taf. 6). Die allgemeinen Koordinaten-
2Ta
Se
Hiernach ist
werte der Ecke werden jetzt ue=0,i}=rm,v=—
2
=+1
tischer Sphenoide ein Tetrakishexaeder, so ist die Hülle ein
(6+8)-flächiges 6.4-Eck. Die angeführte Figur gibt die Grenzfläche
ner d.h.: Ist der Kern der ersten Gruppe quailra-
einer solchen Gruppierung firo—1l, 7 — 3 d.h. für die A. V. des Tetrakis-
hexaeders. Für das Hüllpolyeder ist dans= 1,1t= 5 Wir haben also
diejenige spezielle Varietät des (6+8s)-flächigen 6.4-Ecks, für welche
kı:k, = A—D):(@t—1) = 1:3 ist. Das Modell des Polyeders zeigt Fig. 10
Taf. 22. — Die A.V. des Hüllpolyeders folgt aus — mw
Es gilt somit der Satz: Ist der Kern der ersten Gruppierung
quadratischer Sphenoide das Rhombendodekaeder, so ist die
Hülle des diskontinuierlichen aus sechs Sphenoiden bestehenden
Polyeders die A. V. des (6+8)-flächigen 6.4-Ecks. Je zwei Flächen
verschiedener Sphenoide fallen in eine Ebene, gewissermassen ein dis-
kontinuierliches Sechseck zweiter Art bildend. Vergl. die Zeichnung der
Fläche Fig. 7 Taf. 4 in der vollständigen Figur des Rhombendodekaeders.
Das innere Sechseck hat den Koeffizienten 2, also sind auch seine äusseren,
an der Oberfläche des Polyeders sichtbaren Teile doppelt überdeckt zu
denken. Das Modell des Polyeders zeigt Fig. 4 Taf. 22. Wir kommen auf
diesen Körper bei der zweiten Gruppe quadratischer Sphenoide zurück.
a
2 d.h. für —2.
4. Die dritte Gruppe der quadratischen Sphenoide. Das erste
Sphenoid der dritten Gruppe quadratischer Sphenoide hat die Flächen
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 105
1), 20), 31), 41) des Hexakisoktaeders und man findet als Koordinaten des
Schnittpunktes der Flächen 1), 20), 31):
40T (T—0)a oa 40?Ta
Ba aa 9 Ta Yen
Eine wie bei der vorigen Gruppe durchgeführte Untersuchung (s. am
Ende dieser Nr. 4) zeigt nun, dass stets — unter [|] den absoluten Betrag
einer Grösse verstanden —: [x] <[z] <[y] ist, denn es ist immer: 26 >r,
und 7?+(26—r)? > 407 (0—1). Dann ist aber:
25‘) Bon [&]; A [2], 2, —E [%];
d. h. die Ecken des ersten Sphenoids sind: 16 (1, 20,31): u, —», 2; 23 (1, 20, 41):
— 4, », u; 28 (1, 31,41): A, », — u und 35 (20, 31,41): —ı, —», —A. Nach den
Eeken haben wir also Sphenoidgruppierungen erster Klasse, d.h. alle
der dritten Gruppe quadratischer Sphenoide angehörenden Polyeder sind
zugleich von der ersten Klasse und polarreziprok den Polyedern dritter Klasse
der ersten Gruppe. Mit Hilfe von 25) und 25‘) findet man für das von
den Ecken gebildete 2.24-Eck:
46T (0 —1) +72 He
47? (6 — 1) +7? +20 — m)
[ ee — ei —
47? (6—1) +rT2+ (20 — T)?
A
26)
und berechnet für das Verhältnis der Kanten:
(Rı :hy:ky3 = 4r (6 — 1) (20 —T) : [T? + 407 (6 —1) +20 — v)2]
27). el
\ : 47 (6—1) (r—0)/2.
- Wir untersuchen nun zunächst einige besondere Varietäten. Ist der
Kern die A. V. des Hexakisoktaeders, d.h. o = agb, T—- 3CH/D
1
so ergibt sich für das die Hülle bildende (6+8-+12)-flächige 2.24-Eck des
diskontinuierlichen aus zwölf Sphenoiden gebildeten Polyeders die besondere
Varietät s— ia El Fa ), Dies sind aber die reziproken Werte
von o und z für das Kernpolyeder des zweiten in der ersten Gruppe der
quadratischen Sphenoide aufgeführten Vielflaches; wir haben in der Tat
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 14
106 Max Brückner,
. polarreziproke Vielflache; die Hülle des einen ist polarreziprok dem Kern
des anderen und umgekehrt. Das besprochene Polyeder der dritten Gruppe
zeist das Modell Fig. 4 Taf. 23; die Grenzfläche Fig. 3 Taf. 6. Für die
Kanten des Polyeders gilt: A, :y:/y = Tue :(/2 +1). Bestimmt man
in der früher vorgezeichneten Weise diejenige Gruppierung der Sphenoide
dieser dritten Gruppe, deren äussere Hülle die A. V. des (6+8+12)-flächigen
28+2V2) „ _2V2@+Vd
‚ 2
2.24-Ecks ist, so erhält man o = . Dies sind
7
die reziproken Werte von a und 3V — ‚d.h. das durch diese
Gruppierung gebildete diskontinuierliche Polyeder ist polarreziprok dem
ersten allgemeinen Polyeder der ersten Gruppe. Wir untersuchen nun die
Gruppierungen von Sphenoiden, die entweder spezielle Kerne oder spezielle
Hüllen besitzen. Der Kern sei ein Deltoidikositetraeder. Dann
nehmen die Grössen 2, u » für 6 — =, die einfachere Form an:
8Ta 4T(T— 1)a 2a
nv ——
Sp era 1
und damit ist:
ir N er ET
2(?—1)+(—0D?+4 37?—2+3'
% (—1)?+4 2... —2T+5
a ee Bau Doreen
Ferner wird: A, :%,: 1, = 2 (4t—7?— 3): (3—7)?: 2 (r—1)?./2. Die Hülle
ist also ein 2.24-Eck. Ist der Kern speziell die A. V. des Deltoidikositetra-
& e i [3 1 {
eders, d.h. z = 2/2 -— ı, so ergibt sich s = = i2, I: Es sind s
und £ die reziproken Werte zu o = 2(@—y2, und r = 2, für welche das
Polyeder der ersten Gruppe als inneren Kern ein spezielles Hexakisoktaeder,
als Hülle die A. V. des (6+8+12)-flächigen 24-Ecks besass. Für die
äusseren Hüllen aller Sphenoide der dritten Gruppe, deren innerer Kern ein
Deltoidikositetraeder ist, gilt dann die aus der früheren durch Einsetzen
von 6 =: und z =: ableitbare Relation:
(1—S)?+(s—D? = 2t(1—S).
Die gleicheekig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 107
Bei dem besprochenen Polyeder der dritten Gruppe, das überdies zugleich
der zweiten Gruppe zugehört, ist das Verhältnis der Kanten des Hüllkörpers:
hy: —=1: ya: ı. Das Modell dieses Körpers stellt Fig. 16 Taf. 22
dar; die Grenzfläche zeigt Fig. 11 Taf. 4.
Der Kern der dritten Gruppe quadratischer Sphenoide sei nun das
04
o—ı’
d.h.: Für das Triakisoktaeder als inneren Kern ergibt die dritte Gruppe
Triakisoktaeder. Es ist r=2o. Danach wirdi=u=20a vv =
quadratischer Sphenoide Polyeder, deren äussere Hülle ein (6+8+ 12)-flächiges
24-Eck ist. Die Werte für s und 2 sind: s= a, t— —t_. Wählen
46—3 40—3
wir als Beispiel die A. V. des Triakisoktaeders, 6 — v2 4, so ergibt sich
— 42 wmdt—= 3 d.h. die A. V. des (6+8+12)-fächigen 24-Ecks.
2/2 —1 2 y2—1
Das aus sechs Sphenoiden bestehende diskontinuierliche Polyeder zeigt
Fig. 1 Taf. 22. Die Grenzfläche ist in der vollständigen Figur der A. V.
des Triakisoktaeders Taf. 4 Fig. 10 das Dreieck P,P,P, und in Taf. 4
Fig. 6 für sich gezeichnet. Im allgemeinen gilt übrigens für die Kanten
des Hüllpolyeders %,:7%, — (3—20):2(6—1)/2. Jede solche Gruppierung
ist reziprok einem Polyeder der ersten Gruppe, dessen Kern ein Deltoid-
ikositetraeder, dessen Hülle ein 8.3-Eck ist. — Andere als die genannten
Kerne und Hüllen können für quadratische Sphenoide der dritten Gruppe
nicht auftreten, wie hier ausnahmsweise ausführlicher nachgewiesen werden
soll. Die Gleichung A = », d.h.
28) 7?+(20— 7)? = 467(6—1), oder 20(7—1) = 7?
ergibt:
T
Dre
T=0o+0/o—2 oder 6
Es ist also x reell für c>y2. Für o—= y it r—=2, für oc — . ist
z=3 und = Ex d. h. die Kurve 28), nämlich die Kurve (, in Fig. 2
Taf. 8 läuft durch den Oktaederpunkt O0 und hat die Gerade z = 1 zur
Asymptote. Für alle Punkte links der C,, also auch innerhalb des Gebietes
der konvexen Hexakisoktaeder ist stets 7? +(@260— 7)? > 4or(o—1), da der
14*
108 Max Brückner,
Punkt o—=1, r= 1 diese Ungleichung befriedigt. Für alle konvexen
Hexakisoktaeder wird also 2 < », d.h. ein s.3-Eck als Hülle ist unmöglich.
Sollte endlich der Kern ein Tetrakishexaeder sein, d.h. 6 = 1, so wäre
stets » — ©, d.h. solche Gruppierungen sind unmöglich.
5. Die zweite Gruppe der quadratischen Sphenoide. Das erste
Sphenoid der zweiten Gruppe quadratischer Sphenoide besitzt die Flächen
1), 45), 25), 18) des Hexakisoktaeders. Der Schnittpunkt der Flächen 1), 45), 18)
hat die Koordinaten:
ora 20?Ta e 207? (6 —1)a
To IT Tara TORFRo—
Ve
Wir beweisen nun, dass stets, für Werte von o und z, die konvexen
Hexakisoktaedern zugehören, erstens [2] < [y] und zweitens [2] <[z] ist. Zum
ersten gibt [2] = [y] die Gleichung 7 (6—1) = o, d.h. r = = Hiernach
ist z=o fürro-=-ı und :=3 fürco— S; d.h. zwischen o = ı und >
verläuft die Kurve [z] = [y]) oberhalb des Gebietes der konvexen Hexakis-
oktaeder; für diese selbst ist also z < Fan oder [2] < [y]. Zweitens ist [2] = x]
G a 3 A 20T: (6—1) oT
© Ar = 0
gleichwertig mit der Gleichung Peer der
29) 27 (6—1) (T—0) = ® + 7? (6—1)},
BEN na | TErT.E ‚ gu =
d.h. a a ae il 28 es folgt. Da für
o—=1,r= mw ist, so hat die Kurve 29) die Gerade o — ı zur Asymptote;
für o > ist r=3, d.h. die Kurve 29) verläuft ebenfalls oberhalb
a
des Gebietes der konvexen Hexakisoktaeder. Für diese ist also stets
27(6—1) (T—0) <0?+7T2(6—1)?, d. h. [z]<[z]). Untersuchen wir nun das
20?°T Euro :&
0?+72(0—1)? ” rt—0?’ J
nachdem 26 (r—c) Z 0?+7?(6—1)? ist. Betrachten wir die Kurve
Verhältnis von [y] und [2]. Es wird y] = le], d h.
30) 26 (T—0) = +7? (6—1)}.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 109
eo make )seı,dhe= >. Dies ist der Wert z für
die A. V. des Tetrakishexaeders, der in der Mitte zwischen Hexaederpunkt
und Rhombendodekaederpunkt liest. Für o = 5 ist © —= 3, d.h. wir haben
den Oktaederpunkt. Der in Frage kommende Zweig der Kurve 30) — die
Kurve 0, in Fig. 3 Taf. 8 —, verläuft also innerhalb des Gebietes der o, 7
der konvexen Hexakisoktaeder, denn es gilt für jeden der Kurvenpunkte
A Fe (1 —Yı-—3(0—1)). Für das von der Geraden C, und den Kurven
C, und C, eingeschlossene Gebiet ist 26 (7—0) <0?+72(0—1). Für das über
der Kurve (, liegende Gebiet ist dagegen 26 (7—0) > 0?+7?(6—1) Wir
haben demnach wiederum zwei Abteilungen der Hexakisoktaeder für die
Sphenoide der zweiten Gruppe zu unterscheiden. — Für die erste Ab-
teilung ist:
207? (6 —1)a Ta 20?Ta
6° +72(0—1)?’ Be Fi 6? +72(6—1)?
31) u =
und s und z genügen der Bedingung 26 (€—0) > 0?+72(6—1)”. Der Schnitt-
punkt der Flächen ı), 5, 89) te = +, y=—v2:— +, d.h. es ist
die Ecke 15) des (6+8-+ 12)-fächigen 2.24-Ecks. Die übrigen Ecken des
Hüllpolyeders, die dem ersten Sphenoid zukommen, sind 28 (1, 45, 25): A, », — u;
6 (1,18,25): —A,w»; 48 (45, 18,25): — A, —ı, —v, d.h. die Sphenoidgruppierung
ist nach den Ecken von der zweiten Klasse. Dieser Abteilung gehören
von den speziellen Gruppierungen alle die an, deren Kern ein Triakis-
oktaeder oder gewisse Tetrakishexaeder sind (vergl. Fig. 3 Taf. 8). — Für
die zweite Abteilung ist:
_ ‚207? (6—1)a 20?ra % 6TA
— 0?+72(0—1)? 0+rT2(0-12 T—6
32)
wobei o und r der Bedingung 26(€— 0) <0?+7?(6—1)? genügen. Der
Schnittpunkt der Flächen 1), 5, 1) ist ae = +, y=—4z—=+a, d.h
es ist die Ecke 149) des (6+8+-12)-flächigen 2.24-Ecks. Die übrigen
Eeken des Hüllpolyeders, die dem ersten Sphenoid angehören, sind:
29 (1,45, 25): », A, — uw; 21 (1,18, 25): —v, u, A und 38 (45, 18,25): —v, —m, —A;
d.h. nach den Ecken gehören die Sphenoidgruppierungen zur ersten Klasse.
110 Max Brückner,
Von speziellen Kernen finden sich hier die übrigen Tetrakishexaeder und
alle Deltoidikositetraeder.
Wir betrachten nun zunächst die Sphenoidgruppierungen, deren Ecken
von der ersten Klasse sind und für deren A, «, » die Formeln 32) gelten.
Es ist dann:
l 0? + 72(0—1)?
2 (T—0) (6T—T+ 0) +0? + 72(0o—1)?’
20(T—6) + 0? + 7? (0—1)?
2(T—06) (6T—T+0)+0?+T2(0—1)? .
33)
a
und
[ı :ky: 3 — 2 (6 + T— 0) (T— 0) : [0° + T? (6 — 1)? — 20 (T—0)]
34) ı &
| : 27 (6—1) (r—0)/2-
Diese Polyeder, bezw. Sphenoidgruppierungen, sind polarreziprok zu
denen der zweiten Klasse der ersten Gruppe. Setzt man z.B. o = Sa
327° d.h. den reziproken Wert von s und £ jenes dort angeführten
198’
: Para BT a 327
speziellen Polyeders, so ergibt sich « = ee d.h.
BZ 5 = 1". also die reziproken Werte von o und 7 für jenes Polyeder
der ersten Gruppe. Danach wird beiläufig: %,:%,:%, = 7:2:2y2. — Ist
27T
der Kern der Gruppierung ein Deltoidikositetraeder, so ist 6 — _ ı Zu setzen,
; ; 5 ; N EEE
und die Eckenkoordinaten erhalten die Werte x = G—1+4° 1 ap?
2Ta
Big all. dieselben Werte wie für die entspr. Gruppierungen der
dritten Gruppe, mit denen sie zusammenfallen. Sie sind dort besprochen;
die reziproken Polyeder sind die auf der Kurve C, der ersten Gruppe. —
Wir lassen einstweilen die hierhergehörenden Polyeder, deren Kern ein
Tetrakishexaeder ist, bei Seite, und wenden uns zu den Sphenoiden der
zweiten Gruppe, die ihren Ecken nach zur zweiten Klasse gehören.
Für die Werte A, «, » gelten jetzt die Gleiehungen 31) und danach ergibt
sich für das s und ? des von den Ecken gebildeten (6+8-+ 12)-flächigen
2.24-Ecks:
a ——
N
ie 206 (T— 6) +0? + 7? (6—1)?
2 —0)(6T —T+0)+ 02 + 72(0—1)
l: “he 20 (T—0)
2 (T—6) (oT—T+ 0) +0?+72(0—1)?
35)
Die gleicheekig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 111
Für das Verhältnis der Kanten erhält man:
36) [fı : Ay: ka — [o?+ 7? (6—1)?— 2r (6—1)] : [20 (e— 0) — 0? — 7? (6—1)?]
:27(0—1) (@—o)2.
Für die speziellen Werte co — a a) u de ‚d.h. wenn
der Kern der Sphenoidgruppierung die A. V. des Hexakisoktaeders ist, wird
= 3a, u — ran „— 243 Eu a. Das Hüllpolyeder ist diejenige
Varietät des (6+8+ 12)-flächigen 2.24-Ecks, für welche s = 56+VD
= 31+8/2
1 [< Non — * . ..
= z = a5 und k :y:%, — (8/2 —3):(5— 2/2): (3Y2 + 1) ist. Die Fläche
dieses Polyeders ist das Dreieck E,E,E, in der vollständigen Figur der A.V.
des Hexakisoktaeders Fig. 1 Taf.5 und Fig. 8 Taf.5. Das Modell des
Vielflaches ist durch Fig. 2 Taf. 23 dargestellt. Das polarreziproke Polyeder
gehört dieser selben Abteilung der zweiten Gruppe quadratischer Sphenoide
an. Denn setzt man oc — + sV2 Er allgemeinen
5(6+/2) 13 +5//2
F > /5
Formeln ein, so erhält man 2 — ae v2, BELLE E ST,
17 17(7+4/2) 17(7+4)/2)
und damit s = an A el ?, Das sind aber die reziproken Werte
der o und 7 des vorher angeführten Polyeders. Die Fläche dieses zweiten
diskontinuierlichen Vielflaches zeigt Fig. 6 Taf. 7, das Polyeder selbst ist
in Fig.5 Taf. 23 dargestellt.
Wir betrachten nun zunächst Sphenoidgruppierungen mit speziellen
hierhergehörenden inneren Kernen und Hüllen. Der Kern der Gruppierung
Eine 12: % » Mr ..86(6—1)a
sei ein Triakisoktaeder, d.h. r = 20. Dann ist 2 = 20a, u = Tree
BRENNEN m tie es
ee ee een d.h. die Hülle ist ein
(6+8+ 12)-flächiges 2.24-Eck, für welches
kı:ky:ly = [46(0—1)?—36+4] : [6 —46 (6—1)2] : 46 (6—1) Y2
ist. Ist z.B. der Kern die A.V. des Triakisoktaeders, d.h. o = a so
haben die zwölf Sphenoide, bei denen je zwei Flächen in eine Ebene fallen,
112 ; Max Brückner,
zur äusseren Hülle die besondere Varietät des (6 +8+ 12)-flächigen 2.24-Ecks,
für welche s — — u s ist, für deren Kanten also die Proportion
gilt: A: ig: Aks — @—VY2):ı:/2. Dieses diskontinuierliche Polyeder zeigt
Fig. 2 Taf. 22. Die Fläche, bestehend aus den beiden Dreiecken 7: 7,‘ 7,“
und 57,7,“ in der vollständigen Figur der A. V. des Triakisoktaeders
(Fig. 10 Taf. 4) ist in Fig. 2 Taf. 6 für sich gezeichnet. Es fallen diese
Sphenoide, wie schon bemerkt, mit den entsprechenden der ersten Gruppe
zusammen; die reziproken Polyeder gehören aber dieser zweiten Gruppe zu.
Es sind alle diejenigen, für welche die äussere Hülle das (6 + s)-flächige
8.3-Eck ist, d.h. für welche 2 = » wird. Diese Bedingung ergab als zu
befriedigende Gleichung zwischen den o und r des Kernpolyeders die bereits
behandelte Gleichung der Kurve C,, nämlich
6? + 7? (0—1)? — 20 (T—0).
/5 j
Ihr genügt u. a. auch das Wertsystem o — 2 en, T=2, die re-
ziproken Werte der s und ? des vorher besprochenen Polyeders. Als Hülle
ergibt sich die A. V. des (6 + 8)-flächigen 8.3-Ecks, in dessen Ecken je zwei
Ecken verschiedener Sphenoide zusammenfallen. Das diskontinuierliche
Polyeder zeigt Fig. 8 Taf. 23. Hierüber ist schliesslich zu bemerken, dass
diejenigen Polyeder der zweiten Gruppe, deren innerer Kern das Triakis-
oktaeder ist, zu äusseren Hüllen (6 +8+ 12)-Hächige 2.24-Ecke haben, deren
s und ? die Gleichung ??+ (1-3)? — 2t(s—t) befriedigen, die sich aus der
vorhin geschriebenen ergibt, wenn man in ihr o und durch . bezw. - ersetzt.
Es liegt nun nahe, nach den aus quadratischen Sphenoiden der zweiten
Gruppe gebildeten Polyedern zu fragen, die autopolar sind, bei denen also
der innere Kern reziprok der äusseren Hülle ist. Sie können natürlich nur
Werten o und r des Gebietes zwischen den Kurven (,, C, und (C, zugehören.
Für sie ist i — 2, S— 2. Setzen wir in den Gleichungen 35) die rechten
: A! 1 - . x
Seiten bezw. gleich — und 2, 80 erhalten wir durch Wegschaffung der
Nenner zwei Gleichungen, deren eine Seite übereinstimmt; die Gleichsetzung
der anderen Seiten ergibt dann nach naheliegender Vereinfachung
37) 0 +72(6—1)? = 2(r—0)2.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 115
Diese Gleichung zwischen o und ist die Bedingung dafür, dass die
zugehörigen Polyeder autopolar sind. Die dureh die Gleichung dargestellte
Kurve C; (s. Fig. 3 Taf, 8) verläuft, soweit sie für konvexe Kerne in Frage
/g : ß
kommt, folgendermassen. Für 6 —= 1 wird r — 2, d. h. es liegt eine
bestimmte Varietät eines T'etrakishexaeders vor. Es wird für das zugehörige
Hüllpolyeder der Gruppierung nach den allgemeinen Formeln in der Tat
t=2—R= 2, se ee ro, — . wird 7 — 3, und die Kurve €, verläuft
zwischen 6 1,7 = a und 6 — 2 t — 3, wie sich leicht nachweisen
lässt, innerhalb des Gebietes, das von den Kurven C,C, und C, begrenzt
wird. Die auf ihr liegenden Werte von 6 und x gehören autopolaren Grup-
pierungen an, sie zerlegt das Gebiet der Gruppierungen mit Ecken zweiter
Klasse in zwei Teilgebiete, und es sind die Polyeder des einen Teil-
gebietes polarreziprok zu solchen des anderen, wie durch ein
besonderes Beispiel schon erhärtet war. Als Vertreter einer autopolaren
Gruppierung quadratischer Sphenoide der zweiten Gruppe wählen wir das
Polyeder, für welches z — 2 ist. Dann gibt die Gleichung 37) für o den
Wert aim: Hiernach wird a = a, 2 = (1+V/3)a, » = (2+1\/3)a, also t — 3
Be = und es ist A,:%y:%y — Y3:1:/2. Das Modell dieses autopolaren
Polyeders zeigt Fig. 11 Taf. 22; die Grenzfläche ist in Fig. 14 Taf. 6 ge-
zeichnet. — Wir beweisen nun den Satz, dass alle diese autopolaren Grup-
pierungen quadratischer Sphenoide sogar solche von regulären Tetraedern
sind. Zu dem Zwecke könnten wir direkt die Kanten der autopolaren
Sphenoidgruppierungen aus den Eekenkoordinaten berechnen; einfacher aber
verfahren wir hier, indem wir umgekehrt nach allen Sphenoiden der zweiten
Gruppe fragen, deren drei Kanten gleich sind. Nun sind die bereits an-
gegebenen Koordinaten der drei Ecken 15), 28), 6), bezw. A, —», u; A, v, —u;
— A, # v. Allgemein ist schon 28,6 — 15,6, aber verschieden von 15,28. Ist
aber 15.28” — 28,6,, d.h. 492 +4u2 — 42 + (+ W2 + ®— 2, so ist + uw —= 222,
Die Einsetzung der allgemeinen Werte für A, « » aus 31) in diese Gleichung
ergibt nach beiderseitiger Weghebung des sicher von Null verschiedenen
Faktors 02+7?(6—1)? die Bedingung:
2 (T—0)? = 0?+ 7? (6—1)?
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 15
114 Max Brückner,
also wieder die Gleichung 37), d.h. für die der zweiten Gruppe
quadratischer Sphenoide angehörenden autopolaren diskonti-
nuierlichen Polyeder sind die konstituierenden Einzelkörper
stets Tetraeder. Es existiert also im Hexakisoktaedertypus eine einfach
unendliche Reihe von Gruppierungen von je zwölf Tetraedern, deren äussere
Hülle und innerer Kern polarreziproke (6+8+ 12)-flächige 2.24-Ecke und
Hexakisoktaeder sind. Die Kante eines Tetraeders ist 7 — 2/w2+»2, also
Frl“ ora 0°ta
& ? Br
da hier 2 = wen nee Go: 13
oTa
@_0) Vr 2(6—1)2+ 02
oder 7 — ?°*@V?, Für das oben angeführte Beispiel wird diese Kante
T—-0
gleich aya(Y3+1)a. —
Wir haben nun endlich noch alle die Kombinationen quadratischer
Sphenoide der zweiten Gruppe zu untersuchen, deren Kern ein Tetrakis-
hexaeder ist. Durch die Kurve (, wird die Gerade o = ı in die beiden
Strecken vonr=1bis r — - und vonr= 5 bis = = 2 zerlegt. Die erste
Strecke gehört dem unter der Kurve (, liegenden Gebiete an, dessen Polyeder
Ecken erster Klasse besitzen. Für solche Tetrakishexaeder ist x — 0,
ı»— 2a v = = also wird für das Hüllpolyeder jeder Gruppierung
seht = Es sind also die Hüllpolyeder (6 + 8)-Hächige 6.4-Ecke,
1:
: 3 Br: .
deren Parameter {vont=1(c=1ı)bst= = («=5) varüeren. Diese
Sphenoidgruppierungen sind reziprok zu denen der ersten Gruppe, deren
Kern ein Tetrakishexaeder ist, denn die reziproken Werte der Parameter ?
Kae - RE: : er -
von ı bis , sind die Werte vonr=1bis r=2, d.h. sämtliche verfüg-
baren Werte für . Die Grenzfläche eines Polyeders der zweiten Gruppe
ist das von den Spuren 12), 16), 19) in der Ebene ı) gebildete Dreieck. Als
Beispiel für diese Polyeder sei das gewählt, dessen Kern =; zugehört;
dann ist = 5 Dieses Vielflach ist reziprok dem der ersten Gruppe, für
welches 7 — >, u = ist. Da nun allgemein für die Sphenoide der zweiten
Gruppe, deren Kern ein Tetrakishexaeder (e sa ist, die Kanten des Hüll-
polyeders die Proportion %, : ya = (1-9) : (2t—1) = 2(7—1) : (3—2r) befriedigen,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und nichtkonvexen Polyeder. 115
so ist für das spezielle angeführte Polyeder A, :%, = 1:1, d.h. die Hülle
ist die A. V. des (6-+8)-flächigen 6.4-Ecks. Das Modell dieses Polyeders
zeigt Fig. 5 Taf. 22; die Fläche Fig. 3 Taf.5. Die Ecken des ersten
Sphenoids des Polyeders sind die Ecken 9, 7, 14, 23 des 6.4-Ecks. Wir
wenden uns nun zu den Sphenoiden der zweiten Gruppe mit Ecken zweiter
Klasse, für welche der Kern ein Teetrakishexaeder ist, für die also <7<2
Ta
ist. Für die Eckenkoordinaten gilt jetzt: x = 0, 2 = pP —2ra und die
Parameter des Hüllpolyeders sind s— 1, t— , — . Die die Punkte
<ı <2 tragende Strecke der Geraden co — 1 wird durch die Kurve C; in
2 +2
92
zwei Teile geteilt; für den einen Teil ist ® T<- für den anderen
’
/3 : : e 5
. V? für hä = =. Im letzteren
Falle ist das Kernpolyeder das Rhombendodekaeder und diese Gruppierung
gehört zugleich der ersten Gruppe quadratischer Sphenoide an, deren Kern
ein Tetrakisbexaeder ist. Das Polyeder der zweiten Gruppe für r — > hat
zur äusseren Hülle das Kubooktaeder. In jeder Ecke dieses Kubooktaeders
fallen zwei Ecken verschiedener Sphenoide zusammen. Dieses Polyeder zeigt
im Modell Fig. 3 Taf. 22, seine schon besprochene Fläche ist Fig. 8 Taf. 4
wiedergegeben.
Zum Schlusse sei noch bemerkt, dass die quadratischen Sphenoide
der ersten und dritten Gruppe nicht zu Tetraedern werden können. Denn
für die Sphenoide der ersten Gruppe dritter Klasse müsste z. B. die Kante
15*
116 Max Brückner,
15,23 = 15,29 sein; also da 15,23? = 42? +4»”, und 15,29? — v— A? + (+2)?
+4u? ist, so wäre 2?+»? — 2u2, was unmöglich ist, da u<2r(6—1). Damit ist aber, wie sich durch
Beachtung der Zähler ergibt, immer [y]>[x]. Nach dem Verhältnis von
[2] zu [z] haben wir zwei Fälle zu unterscheiden. Setzen wir [2] = [z], so ist:
Ist 7—6 = r(6—1) oder 6 =
38) (T—0)? — T?(6—1)? = 207(6—1).
Diese Gleichung stellt eine Kurve C, (vergl. Fig. 10 Taf. 7) dar, die durch die
Punkte» = 1, r= 1 md co = uxenn t= /2+1 geht, also mit einem Zweige
innerhalb des Gebietes der konvexen Hexakisoktaeder verläuft. Sie teilt
das ganze Gebiet in zwei Teilgebiete zwischen C,, C, und C, und zwischen
C,, C, und C,. Im ersteren ist (—0)?—7?(6—1)? > 267(6—1), im letzteren
aber (r—0)?— 7? (6—1)? < 207(0—1). Also ist für die Sphenoidecken der Polyeder
des ersten Gebietes [x] < [2], d. h.:
207 (T—0)a
(€ —p)2 72 (—1)? ;
ee 207?(0—1)a
ee 12
39) 1=ıa, vv =
Die Ecken des ersten Sphenoides sind hier: 24 (1, 5,43): —u, », A;
16 (1, 5,47): m, —v», A; 31 (1,43, 47): », —w, —A; 39 (5, 43, 47); —v, m —A. Nach
ihren Ecken gehören also die Sphenoidgruppierungen dieses Gebietes zur
zweiten Klasse. — Dagegen ist für die Ecken der Polyeder des zweiten
Gebietes:
207°(6—1)a 20T (T—0)a
(T—0)?— 2? (6—1)? Nez (T—0)?— T?(0—1)?
40) u= ra, A=
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 121
Die Ecken des ersten Sphenoides sind jetzt: 23 (1, 5,43): —A, », u;
15 (1, 5, 49): A, —w, u; 32 (1, 43, 47): v, — A, — u; 40 (5, 43, AR): —v, A, — U.
Wir haben also Sphenoidgruppierungen vor uns, die nach ihren Eeken zur
vierten Klasse gehören, d.h. die erste Gruppe der rhombischen
Sphenoide enthält nach den Ecken Polyeder der zweiten und
vierten Klasse. Für die Hexakisoktaeder der Kurve €, it 2= u d.h.
die Hülle der zugehörigen diskontinuierlichen Polyeder ist ein (6+8+ 12)-
lächiges 24-Eck. — Für die an zweiter Stelle aufgeführten Sphenoid-
gruppierungen, die nach ihren Ecken der vierten Klasse zugehören, sind
die Werte s, t der (6-+8+ 12)-flächigen 2.24-Ecke gegeben durch:
Be, 2) IT
4) 20° —1) + 1-02 2 (01)
| ee ah Aolee) CE
20? (T—1) + (T—0)?— Tr? (6—1)?
Für die Kanten des Hüllpolyeders silt:
[fı : hy: day = [207 (6—1) — (T—0)? + 7? (6—1)?]
22) | :20[7—-6—1(6—1)]: [ea —0)?— 1? (6—1)2]/2-
Als Beispiele wählen wir die beiden Polyeder, bei denen das eine
Mal der Kern, das andere Mal die Hülle die A. V. des betreffenden Körpers
ist, deren o und 7 in beiden Fällen hier zulässige Werte sind. Es sei also
out V, „Son, d.h. der Kern des diskontinuierlichen Polyeders
3(8+V2) ,
7 T
die A. V. des Hexakisoktaederss. Es ist dann: ?=3a, u —
v— 3(/2-+1)a, und damit: s= 18 A t= _— kı:ly:lky — @yV2— 1:7
:(3+)/2). Die Fläche des diskontinuierlichen Polyeders ist in Fig. 1 Taf. 6
dargestellt,') das Modell des Körpers zeigt Fig. 9 Taf. 23. — Ist o— a
t=y2+1, d.h. der Kern eine gewisse besondere Varietät des Hexakis-
oktaeders, so wird = (2/2 +3)a, u=(Y2+1)a, v—= (8Y2 +5)a, t= m
s- TR, d. h. die Hülle des Polyeders ist die A. V. des (6+8+12)-flächigen
I) Das Dreieck ZL, L, L, in der vollständigen Figur der A. V. des Hexakisoktaeders
Fig. 1 Taf. 5.
Nova Aota LXXXVI. Nr. 1. 16
122 Max Brückner,
2.24-Eeks. Dieses Polyeder zeigt im Modell Fig. 7 Taf. 22; seine Fläche
ist in Fig. 11 Taf. 6 angegeben.
Für die Polyeder der Grenzkurve C, gilt das Folgende. Die Werte
cs und r erfüllen die Gleichung 38), und es wird für die zugehörigen Sphenoid-
a ist, die Hülle durch t —
zer ie,
20T— (+0)
bestimmt, so dass 2—=2s—ı ist. Für den Schnittpunkt der
gruppierungen, da au=}=ra,v=
2 ez—I)T
"20T —(t+6)
Kurve C, mit der Triakisoktaedergeraden 7 —= 26 ist 1—4(0—1)? — 4(6—1),
d.h. rn und damit r—/2+1, wie schon angegeben wurde. Mit
diesen Werten wird etLen ee
2ay2 —1 ay2—1
gruppierung die A. V. des Triakisoktaeders, so ist die Hülle die A. V. des
(6+8+12)-flächigen 24-Ecks, während für andere 24-Ecke als Hüllen die
Kerne Hexakisoktaeder sind, deren o und r aber die Gleichung 38) be-
‚ d.h.: Ist der Kern der Sphenoid-
friedigen. Es sei z.B. r=2, also 6 — dann ist =? —=2a, v—6a und
3 4
ie NE
Dadie Triakisoktaedergerade 0, durch den Punkt M (6 = Kae T=/2+ ı)
in zwei Strecken zerlegt wird, deren zugehörige Sphenoidgruppierungen ver-
schiedenen Klassen angehören, so seien zunächst die Gruppierungen zweiter
Klasse weiterer Betrachtung unterworfen. Mit den Werten 39) der 2, «, v
ergibt sich für die Parameter s und t:
206 (T— 6) + (T— 6)? — T?(6—1)?
20627 —1) + (0)? — 72 (6—1)?°
li. .. 20850) 2
20?(T—1) + (T— 0)? — 7? (0—1)?
Ss
43)
und für die Kanten %,, %,,%, des Hüllpolyeders erhält man die Proportion:
[hy : Ra : a = [a —0)?— 7? (6 —1)?— 207 (6—1)]
44 Yz
) \ : 26 (T— 0) — (T— 0)? + 7? (0—1)2]: 257 (6—1)\/2-
Es sei z. B.: 1, t=2. Dann ist u=2a, rt! „= "a, =:
s—=-; kh:ky:k=3:11:4/2. Für die Grenzkurve C, ergeben sich aus 43)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 123
in Verbindung mit 38) natürlich wieder die bereits oben angeschriebenen
Werte s und t für die 24-Ecke.
Es sei nun der Kern der Sphenoidgruppierung ein Triakisoktaeder,
d.h.r—=20. Dann ist für die Polyeder, die ihren Ecken nach zur vierten
80(6—1)a ‚as 404
1—4(6—12’ 1—4(0—1)2’
Für die Kanten der Hüllpolyeder, die
und damit:
Klasse gehören: u —= 20a, 2 —
7 408—0)—=5’" 46ß—=0)—5'
(6+8+12)-flächige 2.24-Ecke sind, ergibt sich die einfachere Proportion:
I: = [46 (6—1)—1]:2(8— 20) :[1—4(6—1)2]/2. Beispiel: 6 = 2 Dann ist
t= s =. und A, :Ry:k, — 1:4:3/2. Für die den Polyedern mit Ecken
zweiter Klasse zugehörenden Sphenoidgruppierungen, deren Kern ein
Triakisoktaeder ist, findet man: « — ne 1=204, = IE also
I< oc, = Freninaa und I: 2:3, — 1-46 (6—1)]: U +4(0—1)2]
:4(6—1)Y2. Ist z.B. on, also = =, so kommt: s— 2, DD 5 und
damit: %,:%,:%, —7:13:5/2. Da für o= 1 die rhombischen Sphenoide der
ersten Gruppe, die also zur zweiten Klasse gehören, mit den früher bereits
erledigten quadratischen Sphenoiden zusammenfallen, so liegt die Frage
nach den sekundären quadratischen Sphenoiden, d. h. solchen die sich
für bestimmte Werte der o und x des Kernpolyeders aus den rhombischen
ergeben, nahe. Wir werden jedoch die Untersuchungen im folgenden von
vornherein auf die Fälle beschränken, in denen ein positives Resultat ge-
funden wird. Für die Kanten der Grenzfläche ı) des ersten Sphenoids eines
nach den Ecken der vierten Klasse zugehörigen Polyeders gilt:
15,23” — 442 +4»?; 15,32° — 2(w—A)2-+4u?; 23,32’ — 2(v-+ A)? + 4u2.
Da 2=0 ausgeschlossen ist, so ergeben sich, wie die Untersuchung zeigt,
nur sekundäre quadratische Sphenoide, wenn 15,23” — 23,32”, d.h. »—2—u/2
ist. Führt man hierin die Werte A, w » in o und z ein, so reduziert sich
die Gleichung, indem sich o weghebt, auf r—=y2-+1. Dies bedeutet die
Gleichung einer Geraden C, (s. Fig. 10 Taf. 7) parallel der o-achse durch
den Punkt M für die A. V. des Triakisoktaeders. Es existiert also eine
einfach unendliche Reihe von Hexakisoktaedern, für welche die rhombischen
16*
124 Max Brückner,
Sphenoide der ersten Gruppe vierter Klasse zu quadratischen werden, wenn
für das genannte Kernpolyeder bei beliebigem zulässigem o der Parameter
z=y2+1 ist. Die Werte von s und £ für die Hüllen dieser Gruppierungen
quadratischer Sphenoide ergeben sich aus den Gleichungen 41). Von be-
sonderem Interesse ist nur diejenige Gruppierung, deren Kern die A. V.
des Triakisoktaeders, deren Hülle die A. V. des 24-Ecks ist. Hier wird
u=ı—=(VY2+1)a v»—(/2+1):.a und die beiden Kanten gleicher Länge
sind 2al/2u0+7| y2), während die dritte von ihnen verschiedene Kante des
Sphenoids 24(@ +2) ist. — Endlich sei noch bemerkt, dass die rhombischen
Sphenoide der ersten Gruppe, die nach ihren Ecken der zweiten Klasse
zugehören, nicht quadratisch werden können, ausser natürlich für den bereits
erledigten Grenzpunkt M, weil er zugleich dem Nachbargebiete angehört.
9, Die vierte Gruppe der rhombischen Sphenoide. Das erste
Sphenoid wird von den Flächen ı), 41), 13), 38) gebildet. Der Schnittpunkt
der Flächen ı), 13), 38) des Hexakisoktaeders hat die Koordinaten:
_ __2066€—0)a 3, ca 20°a
EZ > 3 —— BI
20—r FR 206-7
Dabei ist, wie die Vergleichung der Werte zeigt, stets [x] <[z], so lange
t<26 is. Da r—=26 seiner Natur nach ausgeschlossen ist, da dann
[x] = [2] = ® wird, für Triakisoktaeder als innere Kerne die Sphenoide in
parallele Ebenen entarten, so ist:
__20(T—0)a 172020 20M
> Ey a
so lange a d.h. <20@—o) ist. Nun ist = 20@—o) die
—1 = 20 — —
Gleiehung einer Kurve C, (vergl. Fig. 12 Taf. 7), die durch 6=1,7—2 und
I — _ rT—2y/2—1, d.h. die A.V. des Deltoidikositetraeders, geht.
Diese Kurve teilt also das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder in zwei
Teilgebiete, für welche <=26(2—0) ist. Für das erste dieser Teilgebiete,
sowie für die Kurve (, selbst gelten die unter 45) angegebenen Werte von
2, u» und es sind also die vier Ecken des ersten Sphenoids der Gruppierung
und ihre Koordinaten: 17 (1, 13, 38): —w, —», A; 34 (41, 13, 38): m, —v, A;
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 125
28 (1,41, 13): A, », —u; 23 (1,41, 38): —A, v, u. Sonach gehören diese Sphenoid-
gruppierungen nach ihren Ecken zur ersten Klasse. Für die Parameter
t und s der Hüllpolyeder ergibt sich:
ge 207-7%
46) ser na
26°—T
nern ee
Für die Kanten der (6+8+ 12) -flächigen 2.24-Ecke gilt:
206 — T— 20(0—1)
47) ty = (20 — 7): 2(6—1)
:(T—0) v2.
Die Hülle der Gruppierung ist die A. V. des 2.24-Ecks, wenn
k=k—kis. Au = folgt r—=oya und aus ,y—=%, folgt dann
Br, = Alam, Das sind die reziproken Werte von a,
und t= Ve +1 d.h. diese Gruppierung ist pol iprok zu derjenigen
a a R pI g ist polarrezipro jenig
der ersten Gruppe vierter Klasse, deren Kern die A. V. des Hexakisoktaeders
ist. Nimmt man als Kern für die vierte Gruppierung rhombischer Sphenoide
die A.V. des Hexakisoktaeders — die Werte 6 — suchia) T— seen
befriedigen die Bedingung z <26(2—c) —, so ergibt sich en
2 a Ha »—=3(/2+1)a, und damit = Ya—1, s— ar Ein Ver-
gleich mit den Werten von so und r für den Kern des zweiten diskontinuier-
lichen Polyeders der ersten Gruppe vierter Klasse rhombischer Sphenoide
zeigt die Reziprozität dieser zwei Gruppierungen. Es ist überdies für das
hier besprochene Polyeder %, :%,:%, — (2/2 +1):@—2):(65+3/2). Sein Modell
zeist Fig..1 Taf. 23; die Zeichnung der Grenzfläche ist Fig. 7 Taf. 6,
nämlich das Dreieck 4,4, H, in der vollständigen Figur der A. V. des
Hexakisoktaeders (Fig. 1 Taf. 5). Ist der Kern der Sphenoidgruppierungen
ein Deltoidikositetraeder, d.h. To, so ergibt sich für A, « », natürlich
nur soweit die Deltoidikositetraeder auf Sphenoidgruppierungen erster
Klasse führen:
202 —0)a oa
U ZZ —— rn R — 202 —0)a y ze ——
? 3—20 3—206 o—1
126 Max Brückner,
und damit = 3— 20, s= 26@—+)—ı1. Die Hülle ist ein (6 +8+ 12)-flächiges
2.24-Eck. Es sei z. B. on, also =. Dann ist = 2a 1= 2a, v—5a,
t=5, = Es ist also das Polyeder reziprok dem der ersten Gruppe,
dessen Parameterwerte o, z der Gleichung der Kurve C, genügten. Für die
A.V. des Deltoidikositetraeders, d. h. den Punkt Y der Grenzkurve (vergl.
Fig. 12 Taf. 7) mit den Koordinaten 1 ı
s—2y2—1), d.h. s—=2i. Die Hülle ist also ein (6+8)-flächiges 8.3-Eck
und zwar seine A. V. Bei dem diskontinuierlichen Polyeder, das von solchen
zwölf „rhombischen“ Sphenoiden gebildet wird, liegen also je zwei Flächen
‚= 2y2—1 ist t= /2—1,
verschiedener Sphenoide in einer Ebene, nämlich in einer der 24 Ebenen
des inneren Deltoidikositetraeders, während je zwei Ecken verschiedener
Sphenoide in einer Ecke des umhüllenden (6+8)-flächigen 8.3-Ecks zu-
sammenfallen, eine sechskantige Ecke zweiter Art bildend.. Das Modell
dieses Polyeders, dem wir bei Besprechung der zweiten Gruppe rhombischer
Sphenoide wieder begegnen, zeigt Fig. 12 Taf. 23; die Fläche ist in Fig. 4
Taf. 7 gezeichnet.
Fragen wir allgemein nach denjenigen Sphenoidgruppierungen, deren
Hülle ein 8.3-Eck ist, so folgt auch aus der Bedingung s—=2t durch Ein-
setzen der allgemeinen Werte von s und £ die Gleichung 7 — 26(2—0), deahe
die Gleichung der Kurve (,. Für die Koordinaten der Eeken solcher
Q . . 2 3(3— 206 50 F 1
Sphenoideruppierungen gilt: «„— Da ee elilamit ie Ste
o—1 p—1 5—26
2 s 5 15 1 _ das
s—..., ES sei z.B.: o— gi = = d.h. der Kern eine besondere Varietät
9-20
des Hexakisoktaeders, dessen o, x die Gleichung der Kurve (, befriedigen.
ss n (:k, — 1:2), d.h. das Polyeder
. 5 Er 3 2
Dann ist 5, v=ı=5a, t=-
{9}
} s > PN 5
ist reziprok dem der ersten Gruppe, dessen Kern das Triakisoktaeder — „
0 : ist. Es sind die Sphenoidgruppierungen der Kurve C, reziprok denen
der ersten Gruppe vierter Klasse auf dem Teile MH der Triakisoktaeder-
geraden.
Wir betrachten nun das zweite Teilgebiet der Sphenoide der vierten
26 (T—0)4 064
‚WW
206—T o—1’
Gruppe, für welches z > 20(2—o) ist. Es ist jetzt [x] —
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 127
20°a
al Dabei ist stets: x] < [2], w)[y] ist. Durch die
Kurve [2] =[y] oder DE = die Kurve C, in Fig. 12 'Taf. 7, zer-
fällt das noch verfügbare Gebiet Rd, V, O wieder in zwei Teilgebiete. In dem
ersteren, das von den Kurven (,, C, und C; begrenzt wird, ist [2] < y] < [z}, d.h.:
47) a 20 (7 0)a Ay ca 028
20—T ’ o—1’ nr
während für das von den Kurven C,, €,, €, begrenzte letzte Gebiet [y] <[x]<[z]
ist, so dass
oa 26 (T—6)a 20?a
48) —,— = ze ze
o—1’ 26-7 20—T
wird. Wir betrachten zunächst die Polyeder für die Grenzkurve C;. Die
Gleichung dieser Kurve lässt sich schreiben:
20
une
und ihr Verlauf ist der in Fig. 12 Taf. 7 angedeutete. Denn für o—=1 er-
gibt sich —=2, d. h. der Rhombendodekaederpunkt; und der Schnittpunkt
/3+1 ron 3+2/3
Dr 3
mit der Ikositetraederkurve ist o—! . Die durch diese Para-
meter definierte Sphenoidgruppierung ist autopolar. Es gilt zunächst all-
. r . r 34 52
oemein für die Polyeder der Kurve G: „=? — -* ek
> y —1)’
FR (€—0) (6
ee ee d.h. die Hüllpolyeder dieser Sphenoidgruppierungen
sind (6+8-+ 12)-flächige 24-Ecke. Für o— V u gs 2 v3 ergibt sich
{7} T
Se Pi FE o
nun: t—=2/3—3, s—=/3—1, d. h. die reziproken Werte der eben ge-
schriebenen o und r. Dieses autopolare Polyeder ist der Grenzfall einer
Reihe autopolarer Polyeder, die wir nachher zu besprechen haben. — Für
ein weiteres Polyeder, dessen o, r die Gleichung der Kurve C, befriedigen,
- 2 3/2 aa Ay x 1 r
sei ua also in Es wird für die Hülle s — 3/2, 4 V2—1-
Wir betrachten nun das Gebiet zwischen den Kurven (;, C,, C, selbst. Für
die Koordinaten der Hillen der hierher gehörenden Sphenoidgruppierungen
128 Max Brückner,
galten die Formeln 47) und die Ecken des ersten Sphenoids sind: 4 (1, 13, 38):
— m —A,v; 46 (41, 13, 38): u —A, —v; 29 (1, 41,13): »v, A, —u; 22 (1, 41, 38):
—», }, u. Nach den Ecken gehören also diese Sphenoidkombinationen ‘der
vierten Gruppe zur zweiten Klasse. Es gilt für die Parameter der
Hüllpolyeder:
[= 20(6—1)
Deaeesr
49) 20?—T
Ss
Bo@+)—3r’
und für die Kanten hat man die Proportion:
T—20(T—0), 26 (6—1)— (26 — 7)
2(0—1) 2 (6—1)
50) AK:k:k= :(T—0)\/2.
Es ser BD. == 2,6 ar Dann ist „ta De, 2— (3+2)//2)a,
” =
Aalck: 5/da ee a ei
2 6 6
Ist der Kern der Sphenoidgruppierung ein Ikositetraeder, dessen 6
und z natürlich dem Teile UV der Kurve (C, zugehören, so ist 4 — = I“
I; u
— on a Aue? und damit {= 2(2—0) (6—1), s—= 26@—0)—1. Es sei
o—1 3206
A N 2 Dann ist u = a, 2 Um, v— Sa, es =>.
Wir behandeln endlich die Sphenoide der vierten Gruppe, deren o
und z dem letzten der Teilgebiete Rd, U, O zugehören, und für deren Hüll-
polyeder die Koordinaten A, «, » durch die Gleichungen 48) gegeben sind.
Die Ecken des ersten Sphenoids sind daun: 5 (1,13,38): —A, —u, v; 45 (41,13, 38):
2, —u —v; 30 (1,41, 13): v, ı —A; 21 (1,41,38); —v, m A; d. h. nach den
Eeken gehören diese Sphenoide der vierten Gruppe zur vierten Klasse.
Für die Parameter s und ? der Hüllpolyeder findet man:
27(0—1)
5 — 26(T+1)— 37°
l pr 20 en
20(T+1)—3T
51)
und für die Kanten gilt jetzt die Proportion:
20(T—60)—T
20—T
52) Ehe
:2(0—]): v2.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 129
Da diese Polyeder zugleich der vierten Gruppe und vierten Klasse
zugehören, so finden sich die polarreziproken Gruppierungen innerhalb dieses
selben Gebietes. Wir fragen daher zunächst nach den autopolaren
Ba a 1 5 i+v
A+u+tv T A+u+v
=. gelten. Aus beiden Gleichungen ergibt sich nach Einführung der
Polyedern. Für diese müssen die Bedingungen t —
ı, u, v für o und r die Relation:
26 —T = 2T(0—1)..
Diese Gleichung wird befriedigt durch o=1,7r—=2 und o=/?TZ,
a und stellt also eine Kurve (, (vergl. Fig. 12 Taf. 7) innerhalb
des Gebietes dar, die es in zwei Teilgebiete zerlegt. Die auf ihr liegenden
Werte s und x definieren die autopolaren Polyeder, während die Sphenoid-
gruppierungen des einen Teilgebietes polarreziprok denen des anderen sind.
Ein Beispiel für ein autopolares Polyeder, neben dem des bereits behandelten
r : & he 4 2 : 14
Grenzpunktes U, ergibt sich für o Ex =. Es wird u =4a, 2 = 30
B) : — . ? 5
v a, i— Er Se 3; ku:ly:ly —=1:4:6|/2. Die Polyeder mit Ecken vierter
Klasse, für welche der Kern ein Deltoidikositetraeder ist, dessen o und r
also dem Teile UO der Kurve (, zugehören, sind reziprok zu solchen
Polyedern, deren so und r der anderen Grenzkurve C; des Gebietes angehören.
Es sei z. B. das Deltoidikositetraeder 6— 2, r—y2+1 gewählt. Dann ist
u=(2+Y2)a, A=2(2+Y2)a, v»—=4l/2+1)a und s= 2l/2-ı), t= az
£ /d > >
Das sind in der Tat die reziproken Werte von Bl a, „+ * Über-
dies ist für dieses Polyeder bezw. seinen Hüllkörper: A, :%,:%, — 1:2(/2—1):/2.
Wir fragen nun zum Schlusse wieder nach den sekundären quadratischen
Sphenoiden, die sich aus den rhombischen Sphenoiden der vierten Gruppe
ergeben können. Es zeigt die durchgeführte Untersuchung, dass solche
sekundäre quadratische Sphenoide nur für Werte o, r existieren, für welche
die Polyeder nach den Ecken der ersten Klasse zugehören. Es sind
dann die Quadrate der drei Kanten einer Grenzfläche:
17,34’ —=4m+422; 17,28’ —=2(A+w?-+422; 28,34’ — 2(A—u)?+4v2,
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 17
130 Max Brückner,
und eine zulässige Gleichung zwischen 2, a, » ergibt sich nur für 17,32° — 28,34,
nämlich +4 —»\/2. Hieraus erhält man für cs und 7 die Relation:
53) „ Zaun
20—2+/2
iR : ET... 2
Für o=1 ist danach 7=3, für o= = wird = 2/2—1, d.h.
die durch Gleichung 53) dargestellte Kurve C, (s. Fig. 12 Taf. 7) verläuft
(wie eine genaue Diskussion zeigt) innerhalb des Gebietes Rd, H,V zwischen
dem Rhombendodekaederpunkte Rd und dem Punkte Y für die A. V. des
Deltoidikositetraeders. Es sind die Gruppierungen sekundärer quadratischer
Sphenoide, deren so und r dieser Kurve C, angehören, polarreziprok zu den-
jenigen Gruppierungen sekundärer quadratischer Sphenoide, deren 6 und x
die Gleichung der Geraden (, in dem Gebiete der ersten Gruppe rhombischer
Sphenoide befriedigen, und zwar entspricht der Punkt V der Kurve (C, dem
Punkte M jener Geraden.
10. Die zweite Gruppe der rhombischen Sphenoide. Das erste
Sphenoid der Gruppierung wird von den Ebenen der Flächen 1), 23), 36), 45)
des Hexakisoktaeders gebildet. Aus den Gleichungen von 1), 23), 36) findet
man für den Schnittpunkt dieser Flächen:
oTa 207T2(6—1)a 20?Ta
Vz — — == Pe =
= — 2 ;
en 0—7T2(0—1)?' 0?—T?(6—1)?
Vergleichen wir zunächst [x] mit yl. Es ist x]=[y], wenn
54) 0— 7? (0—1)? = 27 (0—1)(T— 0)
zn d.h. kleiner als
ist. Da füro=1r=o ist und für o=; =
3 wird, so stellt Gleichung 54) eine Kurve (,, dar (vergl. Fig. 11 Taf. 7),
die durch das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder läuft. Die Triakis-
oktaedergerade C, wird im Punkte V': = LEE t=y/2+1 für die A. V.
ehe . . 27T
des Triakisoktaeders, geschnitten. Durch Einsetzung von 6 — SE findet man
für den Schnittpunkt U‘ der Kurve C,, mit der Deltoidikositetraederkurve (;
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 131
die Koordinaten = — ne —23,155., = un —1,366.. Es wird also
das Gebiet .der konvexen Hexakisoktaeder durch €, in zwei Teilgebiete
zerlegt; in dem Gebiete Rd H U'V' ist [x] > [yl, d.h. 6° — 1? (6—1)? > 27 (6—1) (T—0);
in dem Gebiete U'V'O ist k]<[yl, d.h. —72(0—1)? < 27(0—1) (T— 0),
während auf der Kurve C,, die Gleichung 54) besteht und [x] = y] ist.
Vergleichen wir nun [x] mit [2]. Es ist z£]=[x]. wenn
55) 20(7—0) = 2 (0—1)2
ist. Dies ist die Gleichung einer Kurve C, (Fig. 11 Taf.7). Für o=1
ist =; (ein bestimmtes Teetrakishexaeder); für =; ist 3/7 —6= 1,938 ..
d.h. die Kurve C,, durchquert das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder,
und zwar schneidet sie die Kurve C, im Punkte z— 2y2—ı für die A. V.
des Deltoidikositetraeders. Es zerfällt also durch C,, das obengenannte
erste Gebiet RdHU'V' in die zwei Teilgebiete RYM' und RRaV'U'‘M‘. Im
Gebiete RHM' ist 26(7— 0) < 0 —72(6—1)?, d.h. %]< [ae]; in den Gebieten
RRAV'U'M' und UV'O ist 20(7—0) > ®®—12(0—1)2, d.h. [2] > [x], während
für die Kurve C,, [2] = [x] ist. Vergleicht man endlich [y] und [z], so findet
man, dass für alle Werte innerhalb der drei Gebiete [2] > [y] ist, da stets
Ne = ist für alle konvexen Hexakisoktaeder. Das Ergebnis der Gesamt-
untersuchung ist also, dass die Sphenoidkombinationen der zweiten Gruppe
nach den Ecken drei verschiedenen Klassen zugehören, die der Reihe nach
zu diskutieren sind. Wir beginnen mit den Sphenoidgruppierungen des
Gebietes RRAV UM. Hier st = —-,y=—wz=v für die von den
Flächen ı), 23), 36) gebildete Ecke, d. i. die Ecke 5). Die drei übrigen
Ecken des ersten Sphenoids sind also: 41 (45, 23, 36): — A, 4, —v; 15 (1, 45, 36):
1, —v, u; 28 (1, 45, 23): A,»,— u; d.h. nach den Ecken gehören diese Sphenoid-
E e = 207T2(0—1)a 0Ta
eruppieruneen zur zweiten Klasse Da .= - = =
SIDE LIESS # ?—T2?(0—1)?’ T—0’
gg jet:
ar
TE 20(7—0)
(T0+6— 17) (dT— 0— or)’
56) | mes 26 (E60) + 02 mel 1)
(6 +06—T)aT—0— or) '
17*
132 Max Brückner,
Für die Kanten der Hüllpolyeder hat man die Proportion:
57) ff: Ra: = [9?—T?(6—1)?— 27T (6—1) (T— 0)]
| :2 60 —)— 02+172(6—1)2: 27(6—1)(— o)V2-
Als Beispiele von Polyedern, die diesem Gebiete der zweiten Gruppe
angehören, seien die folgenden gewählt. Der Kern des Polyeders sei die
A. V. des Hexakisoktaeders. Für so = en v2 = Saas ist 23a
Be /2) 2 1 — 21/2 =
eva a L und damit = ae ee I: Ra: = (@V2—1)
:1://2. Die Fläche des Polyeders ist das Dreieck K, K;K, in der vollständigen
Figur des Hexakisoktaeders, Fig. 1 Taf. 5. Nehmen wir die reziproken
215+2V2)
31 ;
t=2, die ebenfalls der Bedingung zwischen o und x für das Gebiet ge-
= The ee
ne re mer
Werte von s und ? des ebengenannten Polyeders, nämlich o—
nügen, so finden wir für das Hüllpolyeder 2 =
und damit ?= —E, 3 eh d.h. die Hülle ist die A. V. des (6 +8-+ 12)-
flächigen 2.24-Ecks. Dieses Polyeder, dessen Modell Fig. 10 Taf. 23 zeigt,
und dessen Fläche in Fig. 2 Taf. 7 gezeichnet vorliegt, ist polarreziprok
dem vorigen. Es gilt der Satz: Die Sphenoidgruppierungen mit
Eeken zweiter Klasse des Gebietes RRaV'U'M' sind polarreziprok
zu Polyedern desselben Gebietes. Um diese Zuordnung klarzulegen,
suchen wir die autopolaren Polyeder des Gebietes auf. Für sie ist
t= z, gs n. Man findet dann aus A+«u+v= (+32) die Bedingung
58) 6?— 72 (0—1)? = 2(T— 0).
Die durch diese Gleichung dargestellte Kurve C,, (Fig. 11 Taf. 7)
läuft zwischen den Punkten 6 =1, = an (d. i. ein bestimmtes Tetrakis-
hexaeder) und o—= en ee (d.i. das Deltoidikositetraeder des Punktes
U‘). Durch diese Kurve C,, wird das Gebiet der Polyeder zweiter Klasse in
zwei Teilgebiete zerlegt und die Polyeder des einen Teilgebietes
sind polarreziprok den Polyedern des anderen. In der Tat liegen
die Werte der s und r der beiden oben angegebenen polarreziproken
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 133
Gruppierungen auf verschiedenen Seiten der Kurve C.. Es existiert also
eine einfach-unendliche Schar autopolarer diskontinuierlicher
Polyeder des Hexakisoktaedertypus, aus zwölf rhombischen
Sphenoiden bestehend, deren Kern ein Hexakisoktaeder, deren
Hülle ein (6+8+12)-flächiges 2.24-Eck ist. Dazu kommt ein dis-
kontinuierliches Polyeder, dessen Kern ein Deltoidikositetraeder ist, das
wir : später betrachten werden. Bei Befriedigung der Bedingung 58) ist
0r2(o—1)a „ _ora o6?ra m: Be m v
u nn De eg Die Einsetzung dieser Werte in t — AFur®
v+4 c 2. 1 1 a 4
und s=--- - — ergibt natürlich =- und s=-. Für die Kanten der
i+u+v T 6
Hüllen dieser autopolaren Sphenoidgruppierungen ist: A :%y:%, — [r(@—0)— 0]
:(26—r):r(o—1)/2- — Wir untersuchen nun die Polyeder zweiter Klasse,
deren Kerne bezw. Hüllen spezielle Polyeder des Typus sind.
2 n en c R © 2
Der Kern sei zunächst ein Ikositetraeder. Für o—= = nehmen
E : R e 4T(T—1)a 2Ta
ie allgemeinen Werte die speziellere Form an: u= 27.
die'allg I n (T+1)@—7) T—1’
ji u a 3A Bee Nelor)e
ne N Un ren eezren?
+1]:[7(@+2)— 7]: 2(@—1)?/2 wird. Sind die Kerne der Polyeder Deltoid-
ikositetraeder, so sind also die Hüllen im allgemeinen (6 -+8+ 12)-flächige
= und kı:ky:%, = [3T(2—r)
2.24-Ecke. Es sei als Beispiel für o und. z das Wertsystem 6 — 5 9
gewählt, das dem Stück MU‘ der Kurve (, angehört. Es wird 2—=4a,
u=3a „a, 1, S ky:ky:k, = 1:1:2/2. Das Hüllpolyeder ist
danach ein 2.24-Eck, dessen sechseckige Grenzflächen regulär sind. Das
Modell dieser Sphenoidgruppierung zeigt Fig. 9 Taf. 22; die Grenzfläche
ist in Fig. 1 Taf. 7 dargestellt und besteht also gewissermassen aus zwei,
ein diskontinuierliches Sechseck bildenden Dreiecken. Als weitere Beispiele
werden die angeführt, für welche die Werte so und z die Grenzwerte der
Ikositetraederkurve in den Punkten U’ und M‘ sind. Zunächst ist also
_ 2/21
2
des Ikositetraeders ist. Hier wird «= @y/2—1)a, 2=v— (3+/ da, t= 2-1,
s=2(/2—1, y—=k,k,—=0. Die Hülle des diskontinuierlichen Polyeders
ist also die A. V. des (6+8)-flächigen 8.3-Ecks. Je zwei Flächen’ von
6 ‚r—=2/2—1 zu setzen, wenn der Kern des Polyeders die A.V,
134 Max Brückner,
zwei verschiedenen der zwölf Sphenoide fallen in eine Ebene; in jeder Ecke
des Hüllpolyeders fallen zwei Ecken verschiedener Sphenoide zusammen.
Das Modell dieses diskontinuierlichen Polyeders zeigt Fig. 12 Taf. 23; die
Fläche ist Fig. 4 Taf. 7. Wir waren diesem Polyeder schon in der vierten
Gruppe rhombischer Sphenoide begegnet, wofür sich der Grund sofort zeigen
wird. — Für den zweiten Grenzwert, nämlich pa „ha des
Punktes U’ wird A=u=(2+Y3a, v—= (8+2/3)a, = 2/3 —3, s= Y3—1,
d.h. das Polyeder ist autopolar, wie denn in der Tat die Werte o, x der
Gleichung der Kurve C,, genügen. Für die Kanten des Hüllpolyeders, ein
(6+8-+ 12)-flächiges 24-Eck gilt R:k, = 1. VEHl ya, Je zwei Flächen des
diskontinuierlichen Polyeders liegen in einer Ebene des inneren Deltoid-
ikositetraeders, je zwei Ecken zweier verschiedener der zwölf Sphenoide
fallen in einer Ecke des Hüllpolyeders zusammen, gewissermassen eine
sechskantige Ecke zweiter Art bildend, wie Fig. 8 Taf. 7 zeigt, bei der
zwei Seitenflächen in einer Ebene liegen. Das Modell dieses autopolaren
Polyeders zeigt Fig. 7 Taf. 23; die Fläche ist in Fig. 7 Taf. 5 gezeichnet.
Suchen wir nun ganz allgemein diejenigen Sphenoidgruppierungen,
deren Hülle ein (6+8+12)-flächiges 24-Eck ist, so ergibt die Bedingung
2=u für so und‘ wieder die Gleichung der Kurve C,,. Für diese einfach-un-
elleree Di ea re
endliche Schar von Polyedern gilt u=-2= —,r = == ee
Rt 0.F - TOUR EI SEIN. Paz
rn ly: I, = [6—T(6—1)]: T(6—1) /2-
Die von diesen Sphenoiden gebildeten diskontinuierlichen Polyeder
sind polarreziprok mit den vorhin behandelten Polyedern zweiter Klasse,
deren innerer Kern ein Deltoidikositetraeder war, denn erstens erfüllen die
obigen Werte s und i die Gleichung = 2s—ı, und zweitens erfüllen die
4(T—1) LE (6—T)—1
@+12? (+1
die Gleichung, die sich aus —7?(6—1)? = 27(6—1)(r—+) ergibt, wenn
1
1 - Ra i
=... 7=, gesetzt wird, nämlich die Bedingung
Werte s und ? jener Polyeder, nämlich die Werte =
2? + (1— 5)? = 2 (1—5) (s—}).
Es sind also die Polyeder der Kurve C, und der Deltoid-
ikositetraederkurve MU‘ polarreziprok. Für den Schnittpunkt U’
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 135:
beider Kurven ergibt sich natürlich das schon behandelte autopolare Polyeder.
— Ein Polyeder, dessen innerer Kern Werte o, x der Kurve C,, hat, ist
das zu dem früher behandelten, für welches 3, t—=2 war, reziproke für
2, =. Es wird dann =} = 3a v—6a, u s=,, a: 1/2.
Das Modell dieses Polyeders zeigt Fig. 15 Taf. 22; die Fläche ist in Fig. 8
Taf. 6 dargestellt. Die Ecken, in denen je zwei Ecken verschiedener
Sphenoide liegen, sind gewissermassen sechskantig von der zweiten Art
und haben den Querschnitt Fig. 7 Taf. 7. — Der Gleichung der Kurve (,
genügt aber auch a z=\2+1; in diesem Falle ist also der Kern
der Sphenoidgruppierung die A. V. des Triakisoktaeders. Es ist dann:
u=ı= Yatıla, v— (Yatıla, t— a = u, d. h. die Hülle des
Polyeders ist die A. V. des (6+8+ 12)-flächigen 24-Ecks. Dieses Polyeder
ist also polarreziprok dem schon wiederholt erwähnten. Es ist im Modell
in Fig. 8 Taf. 22 dargestellt; seine Fläche zeigt Fig. 2 Taf. 5. Das Polyeder
gehört zugleich der ersten Gruppe rhombischer Sphenoide an, und ist also
als solches reziprok zu dem genannten anderen, das zugleich der vierten
Gruppe rhombischer Sphenoide angehört.
Fragen wir nach den Sphenoidgruppierungen, deren Kern ein Triakis-
oktaeder ist, soweit sie nach den Ecken zur zweiten Klasse gehören, so
haben wir in den allgemeinen Formeln der Gruppe <= 20 zu setzen. Dann
f ee 20 46@ s 2
kommt: u= ren = 204, v— 14001)’ also t= @6=16—20)
s= 3401’ nd für die Kanten des Hüllpolyeders ergibt sich die
286 1)(5- 20)
Proportion: %,:Ay:%, = 11—46(0—1)]:[1+4(6—1)2]:4(0—ı)/2. Es sind also
die Hüllpolyeder im allgemeinen (6+8+ 12)-flächige 2.24-Ecke. Für o =r
z 5
z.B. ist = a, 2 »— 2a, een
5
37 _
pe, und %,:%,:y —=17:13:5//2.
Für die A. V. des Triakisoktaeders ergibt sich das bereits behandelte Polyeder,
dessen Hülle die A. V. des (6+8+12)-flächigen 24-Ecks ist.
Wir bestimmen endlich diejenigen Gruppierungen, deren Hülle ein
8.3-Eck ist. Dann ist 2—=r und die o und r sind die der Kurve C,.. Es
Ta _ T?(0—1)a
R 5 ö 20
wird dann a N a und damit t == 20+7(0—1) et
-136 Max Brückner,
Für die beiden Kanten des 8.3-Ecks gilt: %:%, = [6—1(0—1)] : T(6—1)/2.
Es sei z. B. on, T ——ı Werte, die der Bedingung 55) genügen. Dann
Baeyet, DT, en re
\ 2, 10 13, 132
dem vorhin behandelten. Es gilt der Satz: Die Polyeder aus rhombischen
Sphenoiden der zweiten Gruppe, deren Kern die Triakisoktaeder von Rd
bis V‘ sind, sind polarreziprok denen, für die die. Werte o, x des Kern-
polyeders der Kurve C,, angehören; die A. V. des Deltoidikositetraeders und
des Triakisoktaeders als Kerne gehören polaren Polyedern zu, während für
die anderen Grenzpunkte der beiden Kurven, die in die Gerade o—1 fallen
d.h. dieses Polyeder ist polarreziprok
=: bezw. >) die Sphenoidgruppierungen zu den quadratischen der zweiten .
Gruppe gehören, die sich für das Tetrakishexaeder als Kern ergeben hatten.
Hiermit sind sämtliche Kombinationen der vierten Gruppe zweiter Klasse
erledigt. Wir fragen nun bereits hier nach den Bedingungen, unter denen
die rhombischen Sphenoide in sekundäre quadratische übergehen. Es
sind die Quadrate der drei Kanten einer Grenzfläche: 5, 41° — 44? + 4»};
515° = 42 +2); 4,15 —=4R+2w+u) Für a—0 ist 5,15°’—=41,15°
—442+2»2, Diese quadratischen Sphenoide sind die stets quadratischen
der zweiten Gruppe für 6—1. Untersuchen wir nun die beiden anderen
möglienen Fälle. Aus 5, 41’ = 5, 15° folgt »„+«— 2/2. Dies gibt für o, 7
sV2+D 7
Y2—1+6
Gleichung einer Kurve C,, (vergl. Fig. 11 Taf. 7) zwischen dem Punkte $
die Relation: —o)/2 = o—1(6—1), d.h. = ist dies die
E Aa — 2 und M' I er 2va-1 |, die im Gebiete der
5
Gruppierungen zweiter Klasse zwischen den genannten Punkten verläuft.
Für die Sphenoidgruppierungen dieser Reihe nehmen die Parameter t und s
s@—V2) „_ str 6) V2-1)
’ To+6—T to+0—r i
worin noch z mittels der obigen Relation eliminiert werden kann. Es sei
ferner 5,41°—41,15. Dann ist »„—„—ıy2. Dies gibt für o und z die
el wur Die
V2+1-6
Gleichung ist die einer Kurve (C,, (Fig. 11 Taf. 7) zwischen dem Punkte $
und dem Punkte Y’ £ —
des Hüllpolyeders die einfachere Forman: t —
Bedingungsgleichung: 6—o7 +7 — (@—o)/2, d.h.
v2
aut T= va+1| für die A. V. des Triakisoktaeders.
D
.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 137
Für die Werte s und ? der Hüllpolyeder der Sphenoidgruppierungen dieser
AU re =) ; 2 ME nanen also
300 0T 3U 0-07
das Ergebnis: Es gibt innerhalb des Gebietes der Sphenoide
zweiter Gruppe zweiter Klasse zwei einfach unendliche Wert-
reihen der so und z, für welche die rhombischen Sphenoide zu
sekundären quadratischen werden. ‚Die Polyeder, deren 6 und x den
Reihe ergibt sich: s —
Kurven C,; bezw. C,, zugehören, sind polarreziprok. Für den gemeinsamen
Punkt beider Kurven 6 —=1, 7 — 2+V2 werden die Sphenoide zu Tetraedern.
5; P
Das ist aber das bereits behandelte autopolare System von sechs Tetraedern,
den quadratischen Sphenoiden der zweiten Gruppe angehörend.
Wir wenden uns nun zu den rhombischen Sphenoiden der zweiten
Gruppe des Gebietes F'U'0. Jetzt it = — u y=—A,z—», wobei
2 I — ‘ 2 . ” u
u —, = en a ne a ist. Die Ecken des ersten
Sphenoides der Gruppierung sind: 4 (1,23, 36): —w —A, v; 42 (45, 23, 36):
— u, A, —v; 16 (1, 45, 36): u, —», A; 27 (1,45, 23): ; », —A; d.h. die diskonti-
nuierlichen Polyeder gehören nach ihren Ecken zur vierten Klasse. Die
Parameter i und s des Hüllpolyeders werden:
ER 20 (T—0)
£ | "@6 +06 —r)(3r—0 — or)’
59) | 2 (T—0)
aeg’
und für die Kanten des umhüllenden (6 +8-+ 12)-flächigen 2.24-Ecks erhält
man die Proportion:
60) hy: : hy = [27 (6—1) (T—0)— 02 + 7?(0—1)?]
:2(06— 7647) (00): [® — 7?(6—1)2] /2:
/2 : i = 1
Y2), Dann ist s—a U
Es sei z. B. r—6(/2 1), =:
d. h.- das diskontinuierliche Polyeder ist reziprok der in der vierten Gruppe
zweiter Klasse angeführten Sphenoidkombination. — Ist der Kern der
Sphenoidgruppierung ein Triakisoktaeder, natürlich nur für Werte o, x der
In ; 2 ER: La 40a
Strecke V7'0 der Geraden (,, so ist: u = 204, 1 — ao ma
Nova Acta LXXXVI. Nr. ]. 18
1386 - Max Brückner,
und damit = = = z 50 dass für die Kanten der Hüll-
@o—)6—20° 52
polyeder sich die Proportion %, :%y:73 = [46 (6—1)— 1]: 2(8—20):1—4(6—1)2]/2
ergibt. Also ist auch hier die Hülle ein (6+8+ 12)-flächiges 2.24- Eck.
Diese Sphenoidgruppierungen sind polarreziprok zu den Polyedern der vierten
Gruppe, deren Werte s und die Gleichung der Kurve (, befriedigen. Sie
fallen zusammen mit Polyedern der ersten Gruppe der Strecke MH der
= FU 3 IE! =
- de dann ist ge = FW
s= 5: kı:ky:l, —=1:4:3/2. Je zwei Flächen verschiedener
Triakisoktaedergeraden. Es sei z.B. o=
en a gt
N. er
Sphenoide liegen natürlich in einer Ebene. Dieses Polyeder zeigt Fig. 11
Taf. 23; die Fläche ist Fig. 15 Taf. 6; es ist reziprok dem beschriebenen
der Gruppe 4 auf der Kurve (C,. Ist der Kern der Gruppierung ein Deltoid-
2a 4T(T—1)a
= ’ A— ’
et | 4— (T—1)?
ikositetraeder des Stückes U‘O der Kurve (,, so ist u —
HATU Bat. I 2%) „_ de) Be
2 und s= ee a a Es sei z.B. o=/2, = 2 +1.
Dann ist s= u = ‚ d.h. das Polyeder ist reziprok dem der
V2+1 3/2 +4
vierten Gruppe zweiter Klasse, dessen o, r auf der Kurve (; liegt. Die
Polyeder der zweiten Gruppe endlich, deren o und x die Gleichung der
Kurve V’'U'=(,, befriedigen, deren Hülle also ein 24-Eck ist, sind polar-
reziprok denen der Ikositetraederkurve im Gebiete der vierten Gruppe
zweiter Klasse, denn für — 2 ) _- ergibt sich für die Hülle = 5 s —
d. h. die reziproken Werte von o und r des dort angeführten Polyeders.
Wir betrachten endlich das Gebiet RM’ H der Sphenoide der zweiten
Gruppe Hier ist y)<[z]<[x] und für die Kurve C,, gilt [J=I[xl. Es
sind also jetzt die Ecken des ersten Sphenoids der Gruppierung: 20 (1, 23, 36):
—v, —u, 1; 39 (45, 23, 36): —», &, —/; 14 (1,45,36): », —A, u; 29 (1, 45, 23):
v, ), —u; d. h. nach den Ecken haben wir Gruppierungen erster Klasse
i 2072 (6—1)a 20?ra oa F
7 RReTsE - , A —— = ‚und d
vor uns. Es ist « lg ee Mer amit
_2e-)+ RN?
| (6 +6 — Tr) (3T—0— 67)’
l Er (o—1)
ey
61)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 139
wonach:
NETT ze nn, SEE a ee
62) kı ıly : kg = (+rT oT): 2G@ 0) :(6 1) V 2
ei 2 ,_2 ns ;
ist.. Es sei z.B. en Dann ist Sue d. h. dieses Po
lyeder ist reziprok dem der ersten Gruppe rhombischer Sphenoide, das der
zweiten Klasse angehörte, für welches o=n, t=2 war. Die Polyeder der
Grenzkurve C,, sind schon besprochen. Ist endlich der Kern der Sphenoid-
gruppierung ein Deltoidikositetraeder des Teiles HM’ der Kurve (,, so ist
tn I Ist z. B. o=,, te so kommt t= 5, s— und
das Polyeder ist reziprok dem angeführten der Grenzkurve C, der ersten
Gruppe zweiter Klasse rhombischer Sphenoide. Hiermit sind alle Sphenoid-
kombinationen der zweiten Gruppe erledigt, und es sei nur noch bemerkt,
dass sekundäre quadratische Sphenoide unter den Polyedern erster und
vierter Klasse der zweiten Gruppe nicht existieren, soweit sie nicht als
Grenzfälle der Gruppierungen der zweiten Klasse zugehören,
11. Die dritte Gruppe der rhombischen Sphenoide. Das erste
Sphenoid der dritten Gruppe wird von den Ebenen 1), 5), 41), 45) des Hexakis-
oktaeders gebildet und der Schnittpunkt von 1), 5), 41) hat die Koordinaten
oTa oa
er, nie nemen Für alle Werte von o und r, die konvexen
Hexakisoktaedern zugehören, ist dann [2]<[2]<[y], denn es wird ?]=[«]
für = 20 und [z] = Y) für =; Danach haben wir £«=ra, ee
„_. zu setzen. Die Ecken des von den oben genannten vier Ebenen
gebildeten ersten Sphenoids sind: 23 (1,5, 41): —A,», u; 15 (1,5, 45): , —v, u;
28 (1,41,45); , », — u; 36 (5, 41,45): —A, —v, —u; d.h. wir haben nach den
Ecken nur Sphenoidgruppierungen der dritten Klasse. Für die Para-
meter des (6+8+ 12)-flächigen 2.24-eckigen Hüllpolyeders findet man damit:
= Te
I =>
63) T2(6 Sa 6)
I 6(T—6)
= 26) + oo)
15*
140 Max Brückner,
und für ihre Kanten:
64) Au:kr:ly = T(6—1) (26 — 7): 6 (27T — 0— 07) :7(6—1) (T—0) V2-
Fragen wir nun zunächst nach den autopolaren Polyedern der Gruppe.
Für sie ist = = und es ergibt sich als Bedingung der Autopolarität:
65) 62:(T—1) = T(T—0).
Diese Gleichung ist die einer Kurve (,; (s. Fig. 13 Taf. 7) zwischen
den Punkten c=1, r—=1 und >, t—3, die also das Gebiet der kon-
.vexen Hexakisoktaeder in zwei Teilgebiete zerlegt. Die Polyeder des einen
Teilgebietes sind polarreziprok denen des anderen. Für das Gebiet RdHO
ist 6471) r(r—o). Es sei z. B. der Kern der Gruppierung die A. V,
des Hexakisoktaeders, d.h. a, ge 38 u: Werte, die in das
Gebiet RdHO gehören. Dann ist 2a — 38 = va 33, v3 a +ya,
= en, > au, k:ka:lkz = (ya—1):(8—VD):1. Dieses Polyeder ist
im Modell dargestellt Fig. 14 Taf. 22; die Zeichnung der Grenzfläche ist
Fig.5 Taf. 7. Das ihm polare Polyeder gehört dem anderen Gebiete dieser
a Jh Sinlichus Sr ee
selben dritten Gruppe an. Setzt man nämlich 6 — - — =
18 +2 14 9/2+1
Ss
Ne!
7
‚so ergibt sich: u =/aV a, = Zen Rule (5 da, ee
s -+74, d.h. die A. V. des 2.24-Ecks. — Um ein Beispiel eines auto-
polaren Polyeders anzuführen, setzen wir r—2, also o—=y5—ı. Es ist
dann „= 2a, 2= (Y5+1)a, v—(3+/5)a, und es ergibt sich, wie notwendig,
i= 5: Be za 5, überdies ist Au:la:ky, = Y5—1):2:2/2. Fürr—=2o, d.h,
wenn der Kern der Gruppierung ein Triakisoktaeder ist, wird u = = 20a,
=, also t= 0 s= 70 dht=2s—1. Die Hülle ist also
ein (6+8+12)-flächiges 24-Eck. — Für = nn d. h. ein Deltoidikosi-
2Ta
DR NS Ede CUT, 2 Stäm
tetraeder als Kern, wird «=ra, a also ee oder
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 141
s—2t. Die Hülle ist somit ein (6+8)-flächiges 8.3-Eck. Es sind die
Polyeder. der einen Grenzkurve (C, reziprok denen der anderen (;; diese
Sphenoidkombinationen aus je sechs Sphenoiden sind identisch mit den stets
quadratischen Sphenoiden der dritten bezw. ersten Gruppe Es sind
überdies die einzigen quadratischen Sphenoide, in die die rhombischen der
dritten Gruppe übergehen können.
12. Die polarreziproke Verwandtschaft der vier Gruppen
rhombischer Sphenoide. Wir stellen nun im folgenden, der Nr. 6 dieses $
analog, die vier Gruppen rhombischer Sphenoide zusammen, um die polar-
reziproke Zuordnung Gebiet für Gebiet und Kurve für Kurve leicht über-
sehen zu können, wobei es, nach dem früher bei den quadratischen Sphenoiden
Gesagten, keiner weiteren Erläuterungen bedarf. Wo nicht anders bemerkt,
sind die Sphenoide rhombische (vergl. hierzu Taf. 7 Fig. 10—13).
1.Gruppe. 2. Klasse. 2..Gruppe 1.Klasse.
Gebiet: Rü—0Q,— H—0,— M—0G,— Rd. | Gebiet: R—0,— H—(G; —M’— C,—R.
Grenzen: Grenzen:
Rd—C,—H (s. quad. Sph. Gr. 1). | R-C\—H (s. quad. Sph. Gr. 2).
(Kern: Deltoidikositetraeder.
\Hülle: 2.24-Ecke.
‚[Kern: Deltoidikositetr. |
|Hülle: 8.3-Eck.
(Kern: Hexakisoktaeder.
|Kern: Hexakisoktaeder.
|Hülle: 24-Ecke.
M |Kern: Triakisoktaeder. |
(Hülle: 21-Eck.
(Kern: Triakisoktaeder.
H—-0,—M H—C,—M'
qu.Sph. qu.Sph.
M-O, Rd M-Ou—R
(Hülle: 2.24-Ecke. (Hülle: 8.3- Ecke.
1.Gruppe. 4. Klasse. | 4.Gruppe. 1. Klasse.
Gebiet: M-0,— H-6,—0-6— 4. \'Gebiet: 74 H-0 —-Rd-0—V.
Teilgebiete: ‚ Teilbgebiete:
mean 0m | VeG=H-0-Rd-0—V.
en 0-0 —N,. | \Rd-G—-V—-G—Ra.
Grenzen: ' Grenzen:
[Kern: Deltoidikositetraeder.
| | Hülle: 2.24-Ecke.
H-—0C,—0O Parallele Ebenen. ı H-0,—Rd Parallele Ebenen.
MC, —H s. 1. Gruppe. 2. Klasse. |F—G,—H
142 Max Brückner,
0-03 ‚Kern: Triakisoktaeder. | a, _y|Kern: Hexakisoktaeder.
° (Hülle: 2.24-Ecke. | " (Hülle: 8.3- Ecke.
N_C_M [quad.Sph.mitallgemeinem | Bi a, yjquad. Sph.mitallgemeinem
Kern und Hülle. Kern und Hülle.
2.Gruppe. 4. Klasse.
Gebiet: 0—G—V— (0, —- U —0,—0.
Grenzen:
| 2.Gruppe. 4. Klasse.
ı Gebiet: Rd—0,—V—0,;—U—C;—Rd.
ı Grenzen:
„|Kern:: Triakisoktaeder. ‚Kern: Hexakisoktaeder.
0701 | Rd-0,—V
|Hülle: 2.24- Ecke. |Hülle: 8.3-Ecke.
‚, |Kern: Triakisoktaeder | '„, |Kern: Deltoidikositetr.| -,_
j } : E d.Sph.
\Hülle-24-Eek [au Sp (Hülle:s.3-Eck a
„|Kern: Hexakisoktaeder. | Kern: Deltoidikositetraeder.
|Hülle: 24-Ecke. | Hülle: 2.24- Ecke.
„JKern: Deltoidikositetr.| autopolar. 7, \ Kern: Deltoidikositetr. autopolar.
|Hülle: 24- Eck len | Hülle: 94-Eck MATT
Kern: Deltoidikositetraeder. |Kern: Hexakisoktaeder.
(Hülle: 2.24-Eck. |Hülle: 24-Eck.
ehe ra oa
I
VG 0 | U-6-Ra
2.Gruppe. 2.Klasse.
Gebiet: U-0,-85-0,-Rd-C,;V'-0,,—- U".
Teilgebiete:
a Se
ER 7 RR, EI ER
2.Gruppe. 2. Klasse.
Gebiet: U'-0,5-8-0,-R-C,,-M-0;-U'.
Teilgebiete:
|U’—0,—8—C,;—M'—0,— U‘.
1S—C—R— (4, —- M—0,—S8.
Grenzen: Grenzen:
x |Kern: Hexakisoktaeder.
ZEN RER
|Hülle: 2.24-Ecke.
Pan |Kern: Hexakisokt.| „Kern: Hexakisokt.)|
S—C,—M' ‚Sph. | S—0,,—V' .‚Sph.
» \Hülle: 2.24-Eckel T? “7 Hülle: 2.24-Ecke| 1
M_6,_v |Kern: Deltoidikositetraeder. v_o,_Uv |Kern: Hexakisoktaeder.
IHülle: 2.24- Ecke.
S—C,—R (s. quadr. Sph. 2. Gr.)
R-0,_M |Kern: Hexakisoktaeder.
|Hülle: s.3- Ecke.
|Hülle: 24-Ecke.
S—C,— Rd (s. quadr. Sph. 2. Gr.)
[Kern: 'Triakisoktaeder.
Rd—0,—V'
|Hülle: 2.24- Ecke.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 143
4. Gruppe. 4. Klasse. | 4.Gruppe. 4. Klasse.
Gebiet: RA 4, —U—0,—Ra. | Gebiet: 00, -U- 6, -Rd—10,]--0.
Grenzen: | Grenzen:
h a „‚Kem: Deltoidikositetraeder.
O6 —
le Ecke.
|Kern: Hexakisoktaeder.
Rd— (02 —U
|Hülle: 24-Ecke.
pajKern: Hexakisoktaeder.
U—(,—
© | Erulle: 8.24-Ecke.
3. Gruppe. 3. Klasse. | 3. SER 3. Klasse.
Gebiet: H-0,,—0—0,—Rd—[C]—H. | Gebiet: H-C 15; —0—0G,—H.
Grenzen: | Grenzen:
H-0,-0 |Kern: Hexakisoktaeder.
Hülle: 2.24- Ecke.
|Kern: Deltoidikosit.|
Hülle: 8.3-Ecke. |
Bi |Kern: Triakisokt.| nn
0-6;
|Hülle: 24- Ecke
qu.Sph.
Die in dieser Zusammenstellung übersichtliche Zuordnung polar-
reziproker Gruppierungen ist in den vorhergehenden Einzeluntersuchungen
wesentlich durch die Beispiele der Einzelfälle erhärtet worden. Es ist
selbstverständlich, dass sich die Beweise für sämtliche Gebiete ganz all-
gemein führen lassen.‘) Man fasse irgend zwei polarreziprok zugeordnete
Gebiete ins Auge, z. B. die Sphenoide der ersten Gruppe vierter Klasse
und der vierten Gruppe erster Klasse. Die Werte der s und £ für
die Hüllpolyeder sind in den beiden Gebieten durch die Gleichungen 41)
und 46) gegeben. Es werde irgend ein Wert 6—= 6, T—r, genommen, für
welchen die Gleichungen 46) die Parameter = t, der Hülle bestimmen.
Be . . 1 _26 gast
Für das reziproke Polyeder ist danno—= ,7=,,d.h.o nu = =
1 b |
20, +) 3%
eu 2 47T e
Setzen wir diese Werte in 41) für 6 und x ein, so ergeben sich s
und i der Hülle des Polyeders der ersten Gruppe als Funktionen von o,
1) Nur wegen der Weitläufigkeit der Rechnungen wurde davon abgesehen, diese
allgemeinen Beweise durchgehends auszuführen.
144 Max Brückner,
und z,, etwa: s— d(s,7,), = #(c,7,) und diese müssen identisch werden
mit 2 und =, falls die beiden durch 41) und 46) definierten Polyeder polar-
1 {I}
reziprok sind. Zum Beweis, dass ®(0,7,).0, —=1 ist, setze man 26, (1 +1)
— 37, —a, 26,?— 7, —b, 20° —t, =e zur Abkürzung; dann ergibt sich nach einiger
2c(a—c) Ark: 2cla
2c(a—c) + (b—c)?—(a—b)? 2cla—c) + 2b(a— c)— (a?—.c?)
Rechnung: #(6,,7,)—
2c BE N - ’ &
re Führt man jetzt die a, b, ce wieder ein, so folgt nach kurzer
1 s 3 f ;
Rechnung &(s,7,) = X Ebenso beweist man die zweite Gleichung
1
1
P (6, T,) = =
l
$ 3. Die nichtkonvexen Polyeder erster und zweiter Klasse
des Hexakisoktaedertypus.
1. Übersicht der Stephanoidgruppierungen des Typus. Nach
Erledigung der diskontinuierlichen konvexen zugleich gleich-
eckigen und gleichflächigen (nicht regulären) Polyeder des Hexakis-
oktaedertypus wenden wir uns zur Betrachtung der nichtkonvexen Polyeder
und beginnen mit denen der zweiten Klasse, deren Oberfläche und Inhalt
Null ist. Die diskontinuierlichen Polyeder dieser Beschaffenheit, die
sämtlich Gruppierungen von Stephanoiden sind, bilden wiederum ge-
schlossene Gruppen, aus denen sich teilweise die weiteren Polyeder
als spezielle Fälle ergeben. Wir beschäftigen uns daher zunächst mit den
Stephanoidgruppierungen des Hexakisoktaedertypus.
Gruppierungen von Stephanoiden können im allgemeinen (6+8-+12)-
flächigen 2.24-Eek nicht existieren, da sich dessen Ecken dreimal nur als
die dreier halbregulärer achtseitiger Prismen anordnen lassen, in diesen
aber Stephanoidgruppierungen unmöglich sind. Sind aber diese Prismen
regulär, d. h. die beiden Deckflächen jedes Prismas regelmässige Achtecke,
so sind Stephanoidgruppierungen nicht ausgeschlossen. Nun gibt es im
achtseitigen regulären Prisma zwar drei Arten. von Stephanoiden, nämlich
die St @), St 6) und St (‘) = 2 St‘, (@), von denen aber nur die letzten im
Hexakisoktaedertypus realisierbar sind, wofür der Beweis nachträglich in
Nr. 4 dieses $ geführt ist. Untersuchen wir zunächst die Bedingungen,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 145
unter denen die Ecken des (6+8+19)-flüchigen 2.24-Ecks sich auf regulären
Achtecken anordnen lassen.
«) Sind die achteckigen Grenzflächen des 2.24-Ecks selbst reguläre
Achtecke, so ist A —%,. Dies gibt nach dem Gleichungssystem 15) [in
Kap. 3 $1 Nr.5 S. 91] für s und t die Bedingung:
66) t= (V2+1)(sY2--1).
In diesem Falle bilden also die Eeken der Reihen a)a‘) der drei
Anordnungen A, 4A, 4; [in Kap. 3 $ 2 Nr..1 S. 94] reguläre Achtecke.
$) Die Ecken der Reihen b) 5) in A,, A, A, sind die regelmässiger
Achteeke, wenn die Strecken 12,9, 9,24 u.s.w. gleich sind. Es ist aber
12,9 diejenige Diagonale der sechseckigen Grenzfläche des 2.24-Ecks, die
parallel %, verläuft und gleich A, + %, ist, während 9,24 — 1, ist. Aus ı +ky=k,
erhält man für s, t die Gleichung:
67) t=A1-9)(V2 +1).
7) Die Ecken der Reihen ce), c‘) schliesslich bilden reguläre Achtecke,
wenn die Strecken 11,10, 10,23 u. s. w. gleich sind. Nun ist 11,10 —%,
10,23 aber ist diejenige Diagonale der achteckigen Grenzfläche, die parallel
einer Kante /; verläuft und somit gleich %,-+7,y2 ist; also ergibt sich die
Bedingung %,+% /2—=%k,. Dann erhält man als Gleichung zwischen s und t:
Ss
68) Br Tai
Von besonderen gleicheckigen Polyedern des Typus genügt den
Bedingungen 66) und 67) gleichzeitig die A. V. des (6 + 8)-flächigen 8.3-Ecks.
den Bedingungen 67) und 68) die A. V. des (6+8+12)-flächigen 24-Ecks,
da für das 8.3-Eck %, = 0, für das 24-Eck k, = 0 ist. — Beschreiben wir
nun in jedes der drei achtseitigen Prismen eines den Bedingungen 66), 67)
oder 68) genügenden 2.24-Ecks die beiden St‘, (), die zusammen ein dis-
kontinuierliches St; (*) bilden. so ergibt sich ein aus sechs St‘, (2) bestehendes
diskontinuierliches Polyeder, dessen äussere Hülle ein 2.24-Eck ist und das
6.8 kongruente überschlagene Vierecke mit je zwei entgegengesetzt gleichen
Zellen zu Grenzflächen hat. Die Gesamtoberfläche, sowie damit der Gesamt-
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 19
146 Max Brückner,
inhalt ist also gleich dem der einzelnen Stephanoide gleich Null (Nullpolyeder).
Die Ecken sind im allgemeinen Falle die vierkantigen Ecken vierter Art
der Stephanoide. Die Art A aller dieser Polyeder bestimmt sich aus der
Art A=16 des S%() zu 3.16 —=48. Dasselbe Ergebnis liefert natürlich
die Formel von Hess für das Gesamtpolyeder. Für dieses ist Ya — 48.2,
Ia—48.4, K—48.2, Yx —48.2, da jede vierseitige Grenzfläche zwei über-
stumpfe Winkel hat; also ist 24—=48.2 +48.4—48.2—48.2—=48.2, d.h.
A=—48, so lange die Hülle des Polyeders allgemein, d. h. ein 2.24- Eck ist. —
Was nun den inneren Kern des diskontinuierlichen Polyeders betrifft, so
entsteht er aus den 3.(2.8) Flächen der drei regulären achtseitigen Doppel-
pyramiden, den inneren Kernen der 3 St, (). Die Hauptachsen dieser drei
regulären Doppelpyramiden fallen mit den Achsen 4A,, As, A; des (6+8-+12)-
flächigen 2.24-Ecks zusammen, d. h. ihre 3.(2.8) Flächen sind die 48 Flächen
eines Hexakisoktaeders. Bezeichnen wir nun ein Polyeder einer der ge-
nannten Gruppierungen mit P, sein polarreziprokes in Bezug auf die um-
beschriebene Kugel mit P‘, so erfüllt der Kern von P' eine Bedingung
zwischen o und r, die erhalten wird, wenn man in 66), 67) oder 68) ti und
s durch : und . ersetzt. Da die St; ({) autopolar sind, so wird das Polyeder
P' ebenfalls eine Gruppierung von St; (%) sein, nur brauchen P und P‘ nicht
derselben der drei Gruppen zuzugehören. Vielmehr wird sich zeigen, dass
reziproke Polyeder P und P' entweder der ersten und dritten oder beide
der zweiten Gruppe angehören. Um nun die Ebenen des Hexakisoktaeders
zu finden, die eine erste Fläche des Polyeders P' erzeugen, betrachten wir
die erste Ecke der Stephanoidgruppierungen im 2.24-Eck. Diese erste
Ecke eines Stephanoids St () sei die Ecke 1) des 2.24-Ecks. Gehört sie
der Reihe a) an, so sind die von ihr ausgehenden Kanten in der Reihenfolge
in der die Ebenen der Ecke durch sie gehen:') 1,43; 1,41; 1,45; 1,47. Die
Fläche des reziproken Polyeders wird also durch den Schnitt der Ebenen
43), 41), 45), 47) mit der Ebene ı) des Hexakisoktaeders erzeugt. — Gehört
die Ecke ı) des 2.24-Ecks der Reihe 5) an, so sind die Kanten der Stephanoid-
ecke 1,5; 1,36; 1,23; 1,41 und die Fläche des reziproken Polyeders wird
durch die Geraden 5), 36), 23), 41 auf der Ebene ı) gebildet. Ist endlich die
!) Vergl. das für die Stephanoide St; (}) in Kap. II $3 Nr. 4 Abgeleitete.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 147
Ecke ı) eine der Reihe c), so sind die Kanten der Stephanoidecke 1,13; 1,45;
1,5; 1,38 und die Fläche. des reziproken Polyeders ist das von den Geraden
13), 45), 5), 38) in der Ebene ı) des Hexakisoktaeders gebildete überschlagene
Viereck. Wir bezeichnen nun die Stephanoidgruppierungen in der Reihen-
folge der eben abgeleiteten Grenzflächen als solche der ersten, zweiten und
dritten Gruppe. Die inneren Kerne genügen dann den Bedingungen 66‘),
67°) und 68‘), die sich aus 66), 67) und 68) ergeben, wenn man £t und s
durch . und B ersetzt. Es wird:
h se {7} V2a—D.
66) a re
67‘) nn sv2—1),
o—1
68‘) “= 0/2.
Diese Gleichungen deuten wir wieder als solche von Kurven in der
Ebene der o, r (s. Fig. 4 Taf. 8). Es ist dann 66‘) eine Hyperbel C, durch
die Punkte o=1,r=1ı und o= t—=Y2+1,d.h. die A.V. des Triakis-
oktaeders. Für die konvexen Hexakisoktaeder, deren Werte o und z der
Bedingung 66‘) genügen, ist also jedenfalls 1 = 0 A Überdies ist das Polyeder
autopolar. Es ist das einzige gleicheckig-gleichflächige kontinuierliche
konvexe Polyeder des Hexakisoktaedertypus.')
1) Das Modell ist nicht dargestellt. Sein Äusseres stimmt mit Fig. 11 Taf. 25 überein,
wenn man sich die nach dem Innern dieses Modells führenden, durch das Ausfallen der
Flächenstücke A, A, A, der Grenzfläche bewirkten Öffnungen durch Fortsetzung der Ebenen
4A,4,A, und A,A,A, geschlossen denkt. ;
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 21
162 Max Brückner, Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen usw.
Zum Schlusse wäre nun noch die Frage zu beantworten, ob in der
Tat mit den bisher besprochenen alle im Hexakisoktaedertypus möglichen
diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder erschöpft seien. Ein strenger
Beweis wird sich dafür umsoweniger führen lassen, als die unbeschränkte
Variabilität der Grössen s und r der Kernpolyeder innerhalb des Gebietes
der konvexen Hexakisoktaeder verlangen würde, eine unendliche Menge voll-
ständiger Figuren des Hexakisoktaeders und der besonderen gleichflächigen
Polyeder zn untersuchen. Es läge immerhin die Vermutung nahe, dass für
besondere Werte von os und r sich weitere nichtkonvexe Polyeder ergäben.
Doch beachte man folgende Bemerkungen. Sicher ist bereits die Reihe
derjenigen Polyeder erschöpft, die Gruppierungen von Sphe-
noiden und Stephanoiden darstellen. Verfolgt man aber ein dis-
kontinuierliches konvexes gleicheckig-gleichflächiges Polyeder zurück auf
die kontinuierlichen Einzelpolyeder, so sind diese selbst konvex und gleich-
eckig-gleichflächig. Sind sie selbst von der ersten Art, so können es nur
quadratische oder rhombische Sphenoide sein, da andere gleichflächig-gleich-
eckige Polyeder erster Art, ausser den regulären Polyedern,') nicht existieren.
Diese Polyeder sind aber gewiss erledigt. Bleibt die zweite Möglichkeit,
dass bereits die Einzelpolyeder von höherer als erster Art sind. Solche
gleicheckig-gleichflächige Polyeder müssten aber selbst dem Hexakis-
oktaedertypus angehören oder dem Doppelpyramidentypus, und deren sind
keine vorhanden, ausser dem einen oben angeführten 48-Flach; d. h. es gibt
keine weiteren diskontinuierlichen konvexen Polyeder. — Was nun die
kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder beider Klassen anbetrifft, so sind
trotz planmässigen Untersuchens der vollständigen Figuren aller irgendwie
ausgezeichneten inneren Kerne keine weiteren als die beschriebenen Polyeder
gefunden worden. Ob es deren noch geben kann, bleibt aber eine offene
Frage, wiewohl es auffällig erscheinen muss, dass alle vorhandenen nicht-
konvexen Polyeder beider Klassen in engen Zusammenhang mit den Sphenoid-
und Stephanoidgruppierungen, die sicher vollständig erledigt sind, gebracht
werden können.
1) Das Tetraeder trat tatsächlich als Spezialfall quadratischer Sphenoide auf!
IV. Kapitel.
Die Polyeder des Dyakishexekontaedertypus.
$ 1. Die gleichflächigen und die gleicheckigen Polyeder erster Art
des Dyakishexekontaedertypus.
1. Übersicht dieser Polyeder. Zum Dyakishexekontaedertypus ge-
hören die folgenden gleichflächigen und die ihnen polaren gleicheckigen
Polyeder erster Art, denen sämtliche Symmetrieebenen des Typus zukommen:
(Gleichflächige Polyeder). (Gleicheckige Polyeder).
1. Das (12+20+30)-eckige 2.60- 1. Das (12+20+30)-flächige 2.60-
Flach oder Dyakishexekontaeder. | Eck (kurz: 2.60-Eck).
2. Das(12+20+30)-eckige 60- Flach | 2. Das (124 20+ 30)-flächige 60-Eck
oder Deltoidhexekontaeder. | (kurz: 60-Eck).
3. Das (12+20)-eckige 20.3-Flach | 3. Das (12+20)-flächige 20.3-Eck
oder Triakisikosaeder. (kurz: 20.3-Eck).
4. Das (12+20)-eckige 12.5-Flach 4. Das (12+20)-flächige 12.5-Eck
oder Pentakisdodekaeder. | (kurz: 12.5-Eck).
5. Das (12+20)-eckige 30-Flach 5. Das (12+20)-flächige 30-Eck
oder Triakontaeder. (Triakontagon).
6. Das (reguläre) Ikosaeder. 6. Das (reguläre) Dodekaeder.
7. Das (reguläre) Dodekaeder. 7. Das (reguläre) Ikosaeder.
Alle diese Körper sind in dem ersten enthalten, nach dem der Typus
daher benannt ist. Die Körper 6. und 7. sind regulär, die 5. sind archi-
medeische Polyeder, während die übrigen allgemeiner sind und nur archi-
medeische Varietäten besitzen. Das allen Körpern') gemeinsame Achsensystem
1) 8. Hess. Über die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen: Polyeder. Cassel
1876. 8. 13 ff. Die Abbildungen der Polyeder s. V.u.V. Tafel VII.
212
164 Max Brückner,
entsteht bei dem allgemeinsten gleichflächigen Polyeder 1. des Typus da-
durch, dass sämtliche Ecken mit dem Mittelpunkt der einbeschriebenen
Kugel verbunden werden. Die zwölf (5+5)-kantigen Ecken des gleich-
flächigen Körpers 1. geben, da je zwei gegenüberliegen, zwölf zu je zweien
eine Achse bildende Strahlen. Diese sechs Achsen sind fünfzählig und er-
geben auf einer konzentrischen Kugel ein sphärisches Netz von 20 kon-
gruenten regulären Dreiecken, dem als einbeschriebenes Polyeder das reguläre
Ikosaeder, als umbeschriebenes das reguläre Dodekaeder entspricht. Die
Endpunkte dieser Achsen seien mit G,, G,, G;, G,, G;, @, bezw. @',, G',, @',, @',, @5, @%;
bezeichnet (vergl. Fig. 6 Taf. 9). Die 20 (3+3)-kantigen Eeken liefern
20 Strahlen, die zehn dreizählige Achsen bilden. Auf der Kugel ergeben
sie ein sphärisches Netz von zwölf kongruenten regulären Fünfecken, dem als
einbeschriebenes Polyeder das Dodekaeder, als umbeschriebenes das Ikosaeder
zukommt. Die Endpunkte der Achsen seien (0,6, .... (,,C,, bezw. C',,C%,
... 09, Co. Die 30 (2+2)-kantigen Ecken endlich liefern 30 Strahlen bezw.
15 Achsen, die zweizählig sind und auf der Kugel ein sphärisches Netz
bilden, dem als einbeschriebenes Polyeder das Triakontaeder, als um-
beschriebenes das (12+20)-flächige 30-Eck entspricht. Die Endpunkte
dieser Achsen seien B,,B;, ... Bu, Bı; bezw. BY, B%,... BY,, B';. Die Ebenen
der 15 grössten Kreise auf der konzentrischen Kugel durch die Achsen
6G,C,B sind die Symmetrieebenen des Dyakishexekontaeders. Je drei be-
nachbarte Strahlen, nämlich ein zwei-, drei- und fünfzähliger Strahl, bestimmen
also eine dreiflächige Ecke, deren körperlicher Winkel den 120. Teil der
Kugelfläche beträgt und deren Flächenwinkel = - und = sind. Bezeichnet
man nun für das allgemeinste Polyeder des Typus die Länge der drei
Strahlen nach den betreffenden Ecken mit G, C und B, so seien die Winkel
die diese Strahlen unter einander bilden: <@,B=g 2GC0=y, x 1, damit das zugehörige Polyeder konvex ist.
Die Maximalwerte o„ und 7. ergeben sich für das Ikosaeder, für 6 > o„ und
t > r. werden die entstehenden Polyeder zu niehtkonvexen (Koilo&dern).
2. Analytisch-geometrische Behandlung des Dyakishexekon-
taeders. Zur analytisch-geometrischen Behandlung der sämtlichen Polyeder
des Typus führen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein, das sich
wegen der Relation 9+2+®»—= 90° von selbst darbietet. Die Lage der
positiven -, y- und z-achse sei die gleiche wie bei dem Koordinatensystem
im vorigen Kapitel, somit auch die Vorzeichen in den acht Oktanten.
1) Für die Rechnung beachte man auch folgende Relationen: cot g—=1-tan g;
et?y—=1+tctpg—=2-+tang; tang—=1—tanapyg—=2—coty; cot!pg—=1-+2cot p;
tan®?gp = 2tan 9—1; ct! —=2+3 c0tg; tanp—=2—3tang.
166 Max Brückner,
Es falle die Achse B, mit der positiven z-achse, die Achse B, mit der
positiven z-achse und die Achse B,, mit der positiven y-achse zusammen.’)
y . .. C . . .
Setzen wir dann noch zur Abkürzung Zee so sind die Koordinaten der
12 +20+30 Ecken des Dyakishexekontaeders die folgenden:
B, (0, 0, ME Bi; (a eot@.o, 0. 0); en (0, a eotgp.o, 0);
a a
B; (2 cot @.0, 5 3 cot?p. 0); Bıı (35 3 cot? 9.0, 2 cot p. o);
B; A cot? 9.0, 5 cot 9.0, 20); b; (-3 cot 9.0, — 56, x et 9.0);
Bi (— 5 e0ot?@.6, 5 ot p- 6, a 50): B,(5 c0t @.0, m Scott. 0);
a a a a a
6, a 9.6, N) Bu (-3 eot? 9.0, N c0t 9.0, 50)
wis 10 ei
B; cot 9.0, =6, > 5 2 eot?p. o); B; E 6, 5 00t?2 9.06, Set. s);
2
Bu (S 6, 5 ct? 9. 6, set p. o); Bu (5 cot? @.0, — 5 ot p. 6, So)
Die Punkte B‘, B%, ... B,, haben die jeweils entgegengesetzt gleichen
Koordinaten.
G, (0, a eos?@.r, a cot@p cos?p.T); @, (0, — a c08?9.T, a cot p cos? p.T);
G; (a eot p cos? @.rT, 0, a cos?p.T); @, (—aec0t @ co8?@.r, 0, @ cos? @.T);
G; (a e08? p.T, a cot@ cos? 9.rT, 0); G, —-4 608? p.T, a cot p cos? @.r, 0).
Die Punkte 6% ...G, haben die jeweils entgegengesetzt gleichen
Koordinaten.
C, (atan y, 0, aeotyp); O, (-atang, 0, acoty); C; (0, acoty, atan y);
C; (0, —acotY, atanp); C, (acotYy, atany, 0); Ci, (a cot p, —atan p, 0);
C; (a, a, a); C, (a, —q4, a); C, a, q, a); O; (—a, —u, a).
Für die Koordinaten der Punkte C',, C% ... C', gilt gleiches wie vorher.
Jede der 120 mit einer Nummer versehenen Grenzflächen des Dyakis-
hexekontaeders ist nun durch drei Punkte G, © und B bestimmt. Die Be-
zeichnung der Flächen und ihre Lage zu den Achsen möge man aus Fig. 6
Taf. 9 entnehmen. — Im ersten Oktanten liegen 15 Flächen des Polyeders;
1) Um nicht zu weitläufig zu werden, verweisen wir für die Lage der übrigen Achsen
auf Fig. 6 Taf. 9, die einen raschen Überblick gestattet.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 167
die 15 Flächen jedes der übrigen Oktanten sind die direkten oder indirekten
Spiegelbilder der 15 Flächen des ersten Oktanten an den drei Koordinaten-
ebenen, die Symmetrieebenen des Polyeders sind. Dreht man nun das
System der 15 Flächen eines Oktanten um die durch seine Mitte verlaufende
Achse C, so kommt es, abgesehen von der identischen Stellung, noch zwei-
mal mit seinen Flächen zur Deckung, d.h. es bilden je drei Flächen eines
ÖOktanten auf den Koordinatenachsen Abschnitte, die bei zyklischer Ver-
tauschung der Koordinatenachsen zur Deckung kommen. Die Gleichungen
solcher drei Flächen enthalten also dieselben Koöffizienten von x, y, 2,
zyklisch vertauscht. Daraus folgt mit dem Vorhergehenden, dass je 8.3
Flächen des Polyeders dieselben zyklisch vertauschten Koeffizienten be-
sitzen, deren Vorzeichen sich nach dem Oktanten richtet, in dem die Fläche
liegt. Die 120 Flächen des Dyakishexekontaeders zerfallen also in fünf
Gruppen von je 24 Flächen, deren Gleichungen in Summa 15 Koäffizienten
enthalten, die von den Parametern o und r abhängen und in denen neben
: c = : . .
der Konstanten «= — noch trigonometrische Funktionen des Winkels p auf-
[3 o
treten. Ist die Reihenfolge der Vorzeichen für die Koeffizienten wieder die
frühere (Kap. III $1 Nr. 2 unter 6.) und setzt man zur Abkürzung r e0s?9 — 9,
aöot 608?p — a69 — d, so sind die fünf Gruppen von Ebenen mit ihren Gleichungen
und Koeffizienten die folgenden:
1) 11) 20) 10) 101) 111) 120) 110) +2 + by + g2e—d—0.
1. Gruppe 143) 53) 58) 48) 63) 73) 8) 69) +42 La y+bz—d—=0.
25) 85) 86) 6) 35) 5) % 6) +2 Lay +m2— d—0.
75)
a, — (6—1)# cot p.
I —0—#.
a4 = #tang.
2 21) 30) 9) 91) 112) 119) 100) +2 + by + 2 —d=0.
2. Gruppe /33) 52) 59) 38) 62) 83) 88) 69) tar +my + be—d—0.
Is 75) 76) 16) 45) 105) 106) 46) +2 + 0Yy + 2 —d—0.
76)
= Stang +, eotp hang.
168 Max Brückner,
2 22) 29) 19) 92) 102) 109) 9) +2 + by+ G2—d—0.
3. Gruppe +34) 74) 77) 37) 44) 84) 87) A) +2 + Gy + b2—d—0.
| 5) 51) 60) 6) 61) 115) 116) 0) +2 +gy +2 —-d—0.
a — ° got u a
Io ;
77) = 29 et? —S,
cH
= et p— Stang.
4. Gruppe IE 42) 49) 28) 72) 93) 98) 79) EU + ay + bez —d—0.
14) 65) 66) 17) 55) 104) 107) 56) ++ 4yt ye—d—0.
= 4 tan 9»—S eotg.
78) “ ee
= 8% ootp+ Stang.
j13) 32) 39) 18) 82) 103) 108) 89) +t;2 +by+ 2 —d=0.
5. Gruppe 124) 64) 67) 27) 54) 9) 97) 57) +2 +, y+b2—d—0.
la 41) 50) 7) 71) 114) 117) 0) +50 + 5 y+ 2 —d—0.
rs —— —#+> > oot.
= eR cor? g— #tan 9—2.
No
6, =% cot oe cot 9—: tan.
3. Analytisch-geometrische Behandlung der speziellen gleich-
flächigen Polyeder des Dyakishexekontaedertypus. Um die Relationen
zwischen den Ableitungskoäffizienten.o und r, bezw. $, für die speziellen
Körper des Typus zu erhalten, bestimmen wir wieder die Winkel zwischen
benachbarten Flächen. Bezeichnen wir mit «;,; den Winkel zweier Flächen '
an einer Kante, die eine :-kantige mit einer j-kantigen Ecke des Dyakis-
hexekontaeders verbindet, so ergibt sich das Deltoidhexekontaeder für
%,6— 0, das Triakisikosaeder für w,,,;—0 und das Pentakisdodekaeder für
“40, während die drei letzten Polyeder des Typus je zwei Gleichungen
Die gleicheckig-gleicehflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 169
gleichzeitig erfüllen. Bestimmen wir nun w,, als Winkel zwischen den
Flächen ı) und 11), wo, als Winkel zwischen 1) und 10), “0. als Winkel
zwischen den Flächen ı) und 2), so ergeben sich für die cosinus der Winkel,
ausgedrückt durch die Koöffizienten der Gleichungen der betreffenden Ebenen
die Werte:
cos w ea 20 wär,
DA Teen
a 4? +b?+c?
= ae
BO N — a
a°+b?°+e
4% +bb5 + CC
c08 Wıye = = ai
Va2+b2+02 Va +b2+ 0%.
Das Pentakisdodekaeder ergibt sich für csws4,—1, d. h.
a —(6—1)#cotg—0, woraus o6—1 folgt. Das Triakisikosaeder wird
für eos 0, — 1 erhalten, d.h. es ist d, — ©—$ — 0, also 6 — 9, oder 6 —r cos?p.
Für das Deltoidhexekontaeder ist eos 0,5 —=1, d.h. (q4?+b?+c,?) (a?
+52 +62) = (4a + bb, +c,6)?. Diese Gleichung lässt sich auf die Form
bringen: |
(b, a, — a, b,)? + (9 — a 9)? + (ba — bi 9)? — 0,
woraus folgt, dass die Quadrate links einzeln verschwinden. Diese drei
Bedingungen ergeben, wenn man die Werte der Koöffizienten einführt und
die Relationen berücksichtigt, die für die trigonometrischen Funktionen von
yp gelten, für das Deltoidhexekontaeder jede dieselbe Gleichung
48 —6—6%c0t?p — 0, d.h.:
A Yogerbe a
— 1+#cot?p (4—0c0t?p)cos?p
0
Für die drei letzten Polyeder des Typus leitet man leicht dann die
folgenden Werte für so und x ab: Für das Triakontaeder ist zugleich
1 T 4%
Bl und o= DZ d. h. rtr= cos?p' Für das Ikosaeder folgt aus 0 Hey
tan? .. .
und o=% o—=#=3tan?p, also =: Für das Dodekaeder endlich
2 48 1 5+/5
Ss —= = = = == 2@.
ist wegen o—1 und 0 TERotG ein To e0s?p
Nova Aota LXXXVI, Nr.]l, 22
170 Max Brückner,
Für die archimedeischen Varietäten der drei ersten speziellen Polyeder
und des Dyakishexekontaeders findet man die Werte für o und r durch
Gleichsetzung je zweier cosinus und Berücksichtigung der für o und r
geltenden eben abgeleiteten Relationen, oder einfacher später aus den Werten
von s und t, die für die archimedeischen Varietäten der gleicheckigen
Polyeder gelten. Es ist für die A. V. des Pentakisdodekaeders o=1,
T su 1m, für die A. V. des Triakisikosaeders: o — av 8, T= 2/53;
für die A. V. des Deltoidhexekontaeders en T= ay 4 Für die
A. V. des Dyakishexekontaeders schliesslich haben o und r die Werte:
_36@V5+1)
2,5
stellen wir die Bedingungsgleichungen für die speziellen Polyeder des Typus
6 e= un, Zur leichteren Übersicht bei späteren Diskussionen
wieder als Kurven in einem rechtwinkligen Koordinatensystem der o und
z dar (vergl. Fig. 4 Taf. 11). Es ist o = ı die Gleichung einer Geraden C,
parallel der z-achse durch die Punkte D (Dodekaeder: 6=1,7—=1) und 7
(Triakontaeder: 06=1, = = —1,381..). Zwischen D und 7 liegen die
Werte von 7, die konvexen Pentakisdodekaedern zugehören. Die
ist die einer Geraden 0, durch 7 und den Punkt I
tan?
eos2p
liegen auf 0, die Punkte o, 7, die zu konvexen Triakisikosaedern ge-
2R . . 0)
hören. Die Gleichung = — Ser
durch die Punkte D und I. Auf ihr liegen zwischen D und I die Werte o, 7
für die konvexen Deltoidhexekontaeder. Das von den drei Kurven (,, C;, €;
. 77]
Gleichung z — — —
C
08?
(Ikosaeder: 6 = 3 tan?p — 1,146..., T — 1,583 ...). Zwischen 7T und I
endlich ist die einer Hyperbel €;
eingeschlossene Gebiet ist das der o und r der konvexen Dyakishexekontaeder.
Wir geben nun für die speziellen Körper des Typus die Gleichungen
der Grenzflächen an, indem wir für deren Bezeichnung auf die Figur des
Dyakishexekontaedernetzes (Fig. 6 Taf. 9) und die Note VI verweisen, die
entsprechende Flächen der speziellen Polyeder und des allgemeinen auf-
finden lehrt.')
') Vergl. überdies für die Netze der speziellen Polyeder des Typus die Tafeln in
der „Kugelteilung“ von Hess.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 171
Das Deltoidhexekontaeder. Die Gleichungen seiner,60 Flächen
ergeben sich aus den Gleichungen der Flächen des Dyakishexekontaeders
.. 6
cos? a
für 7 cos p cot2
zweiten Gruppe überein, wobei m =a, ,=b,«=c, ist. Ferner stimmen
die Gleichungen der fünften Gruppe überein mit denen der vierten Gruppe
und zwar ist ,=c,b,=a, und ,=b,. Die dritte Gruppe ergibt nur zwölf
Gleichungen, da d, — 0 wird. Die Gleichungen, in denen stets d —= aso ist, sind:
Dann stimmen die Gleichungen der ersten und
| 4) 13) 12) 3) 48) 57) 58) 49) Lu + by a2 —d—0.
1. Gruppe /16) 30) 24) 23) 32) 31) 39) 3) a2 +ay+bh2—d— 0.
| 7) 43) 42) 8) 19) 54) 53) 20) +2 + aYy + m2—d—0.
a = (6—1) e0t9; b, = 3—0 001°; c, —=tangp.
jo) 11) 47) 50) +%2 + 2 —d—=0.
2. Gruppe 417) 22) 45) 40) +G2 + a y—d—0.
| 1) 27) 35) 60) Gy + y2 —d—=0.
Die Reihenfolge der Vorzeichen in jeder dieser Gleichungen ist:
TI HIT
Die Koeffizienten sind:
A, — (2 —06c0tp) cot p; C;, = 6 c0t p— 2 tan y.
5) 28) 26) 2) 34) 56) 59) 6) tur + by + a2 —d—=0.
3. Gruppe !19) 29) 25) 10) 33) 46) 51) 37) +42 + uy + y2e—d—(0.
| 6) 44) 41) 9) 18) 55) 532) 51) +2 + a1y + me —d—0.
a —= (6—1)c0ot?y; b, = 2 —coty; y—=1-+2tan P—0c0tQ.
Für spätere Verwendung fügen wir noch die speziellen Werte dieser
Koöffizienten für die A. V. des Deltoidhexekontaeders bei. Für o= u
2 yd e
BB Fe a
wird: a, n : >,
‚=5—2/5, ,—=\5—2,
b, = 4; & — 2u,.
Das Pentakisdodekaeder. Hier ergeben sich ebenfalls nur drei
Gruppen von Gleichungen, die aus den allgemeinen ersten drei Gruppen
für o—1 folgen und in denen stets d= ar e0s?p — a# ist.
| 1) 2) 59) 60) +bhy taz —d=0.
1. Gruppe 24) 23) 38) 377) a2 + b2 —d=0.
l»1) 39) 32) 0) +bh2 + ay—d=0.
22*
172 Max Brückner,
Die Vorzeichenfolge ist die oben angegebene und es it ,—=1—9$,
= »#tang.
6) 5) 4) 3) 57) 58) 55) 65 mr + by + a2 —d—0.
2. Gruppe 18) 17) 16) 15) 45) 46) 43) 4) +62 + %y + b2 —d—0.
\23) 21) 20) 19) 41) 42) 39) 40) +52 +9Yy+ 92—d—0.
— t
As AL en co; db, — ı mr, a —. (1+%tang).
10) 9) 3) D) 53) 54) 51) 2) +2 +by+ 2 —d—0.
3. Gruppe /28) 27) 26) 25) 35) 36) 33) 3) +2 +%y + bz—d—0.
14) 13) 12) 11) 49) 50) 47) 48) +52 +3y+ 2 —d—0.
1
a, = > (0 9-8); b; — 6 — 5 (8 ot p—tang).
Für einige besondere Varietäten nehmen die Koäffizienten die folgenden
5 zı/s = E
Werte an. Für = °+4V3 yird: 4 — 13— 5/5, Bern Vs, a, — 7—V5
11 22 11 22
— 3/5-+1 2/5 —3
b» — a,, 2=@V5, a nn 3. =
’
B+5V8. ir
23 .1€%
a 30, Ua:
die Varietät z = 5(/5—2) ist: , — ei a—=5—2/5, , —b, u —Y5—2,
m, U.
Er E ee De
3/,5—5
2
Das Triakisikosaeder. Die Gleichungen der Flächen dieses
Polyeders erhält man aus den allgemeinen Gleichungen für 6—=#. Dann
fallen die Flächen der dritten Gruppe mit denen der zweiten, die der fünften
mit denen der vierten zusammen, d.h. esist a =a, a, =a, u.8s.w. Da b, —=0
ist, so werden je zwei Gleichungen der ersten Gruppe identisch und es
lassen sich die 60 Flächen des Triakisikosaeders in die folgenden drei
Gruppen bringen, wobei stets d—= ao ist.
j19 1) 60) 59) ur + 12 —d=0.
449) 22) 50) 21) ta2 + my —d—0.
1. Gruppe
I30) 37) 29) 38) +4Yy + mw2—d=0.
a, = (6—1)ecoty; c, —=tang.
(? 11) 18) 2) 56) 59 39) 35) + + bytoe—d—=0.
2. Gruppe /48) 42) 20) 23) 54) 43) 31) 5) a2 + y+b2—d=0.
6) 14) 15) 5) 51) 46) 39) 8) +2 + ay+ a2 —d—0.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 173
a, =; (est —0); by, — " (3 — 6 001?9); % = = (0 eot p—tan p).
8) 12) 17) 3) 55) 58) 33) 6) ty + by + a2 —d—0.
3. Gruppe 447) 41) 19) 24) 53) 44) 32) 6) +aÜ2 + wy + y2—d—0.
| 7) 13) 16) 4) 52) 45) 40) 27) +2 + ay+ me —d—0.
A — = (s—tan?gp); by, =; (0 et? — 2cotpy-+1); C —- (eot?P — 0.c0tp).
Für die A.V. des Triakisikosaeders sind die Koeffizienten:
5—2\/5 2; 5—/5 3/5 —5
= = } el: ‚=, »=4,4—20, 4 — ’
E% _V5 2V5—5
bı = 9, 1 I A 10
Das Triakontaeder. Um die Gleichungen seiner 30 Flächen
abzuleiten, hat man in denen der Flächen des Triakisikosaeders 6—1 zu
setzen. Dann sind die Koöffizienten der dritten Gruppe identisch mit denen
der zweiten und es verbleiben nur die beiden folgenden Gruppen, in denen
d= a ist.
1) 30) +42 —d=0.
1. Gruppe 114) 16) + a2 —d=—=0.
15) 17) Lay—d—0.
c, —tang.
|? 2) 5) 4) 27) 26) 29) 8) mr + by + a2 —d—=0.
2. Gruppe /11) 10) 13) 12) 19) 18) 21) 0) ta + my + b2—d—0.
| 7) 6) 9) 8) 23) 22) 25) 29) +br Lay m —d=0.
_ tanp tan? 1
a Pen
Die Gleichungen der Ebenen des Dodekaeders und Ikosaeders sind
leicht anzuschreiben.‘) Für spätere Verwendung werden hier nur die
Koeffizienten für das Ikosaeder zusammengestellt:
36/5—11)
rn
=b=b—=0 1a = —g—3tmp—3lV5—2),
3(7—3\/5)
un
a = — A; — 3tanyp (2? —3tany) —
4, —b,-bb=-,=6,—=3talg—
1) Vergl. u. a. Hess, Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder,
Cassel 1876, 8. 24fl.
174 Max Brückner,
4. Die vollständige Figur des Dyakishexekontaeders. Nach den
ausführlichen Erläuterungen der vollständigen Figur des Hexakisoktaeders
können wir uns hier kürzer fassen. — Den Ausgangspunkt für die Zeichnung
bildet wieder das System der drei Geraden, der Spuren der Nachbarebenen
2), 10), 11) in der Ebene 1) des Dyakishexekontaeders, mit den Achsenpunkten,
die auf diesen Geraden liegen. Die sämtlichen Spuren zerfallen wieder in
vier Klassen, die der Reihe nach zu erledigen sind: «) Gerade, durch die
Achsenpunkte bestimmt. 3) Parallelgerade zu ihnen durch je einen Achsen-
punkt. 7) Gerade durch die Schnittpunkte der Geraden der ersten und
zweiten Klasse (« und £). 6) Parallelgerade zu den Geraden der dritten
Klasse durch je einen Achsenpunkt. Die zur Bestimmung der Fundamental-
achsenpunkte auf den drei ersten Geraden 2), 10), 11) dienenden Gleichungen
sind im folgenden zusammengestellt, während die numerischen Werte der
berechneten Abschnitte auf den drei Geraden für einige Varietäten des
Dyakishexekontaeders, die in den späteren Entwicklungen auftreten, in
Note VII vereinigt sind. Zur Orientierung über die Lage der Achsenpunkte
sei auf Fig. 1 Taf. 10 verwiesen, die die Punkte @, C, B nebst den 15
durch sie bestimmten Geraden der ersten Klasse für die A. V. des Dyakis-
hexekontaeders zeigt. Die für die Berechnung der Abschnitte der ersten
drei Geraden nötigen Symmetrieschnitte durch das Polyeder sind nach dem
beim Hexakisoktaeder bemerkten leicht zu entwerfen. Den Mittelpunkt des
Polyeders bezeichnen wir mit 0. Alle Strecken seien mit der Länge € des
dreigliedrigen Strahles als Einheit gemessen.')
Die PesapuE der Geraden 11). Hilfswinkel: x C,B,0=4,
u Fe ee) _ Esinp.
BC O0=u. Es ist — 90° „, fan al: tan 7: 10 7:
Tun Bsin(pw+37). . Osiny B
BD sin (A— Bi sin (A—9—g)’ Dit sin (u — N’ 2 — 0082’ denn
ae.
Die Achsenpunkte der Geraden 10). Hilfswinkel: <@,B0—4,
TEE AGB reg sing,
xB0—=; ZF— 05; tan r = gr 5 Dann ist: B,@G, = en
_ Being | Bsn(p+7). Gsiny E.
a sin (A— 9)’ BG sin (A—p—y)’ GR sin (u'—)’ Br cos’
!) Alle folgenden Formeln gelten unverändert natürlich nur, wenn wie bei der AV.
des Dyakishexekontaeders G>C>B ist; andernfalls ist über die Winkel 2 und w in be-
kannter Weise anders zu verfügen.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinnierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 175
Die Achsenpunkte der Geraden 2). Hilfswinkel: < 60,0 =“,
u"; La ai u“ De. u Ur „Nr pe C; WR tu" ]
x 0,60 == ; 2 —z90 PY tan 2 se ar e: 5) v Es 1st
Csiny, a en). Ds sin2p er sap
0a = En sin u“ ’ ıB; = An (u"—g)' GG =G@ I, sin (w* —29p)’ GB—=tC sin (2 —ıp)’
04 ='0 DEE _ In allen drei Fällen ist selbstverständlich stets:
sin (A'— 2%)"
B=0o® BED, G=0! ag zu setzen.
Durch die Geraden der ersten Klasse durch je zwei oder mehrere
der Achsenpunkte der drei Geraden 2), 10) und 11) werden sämtliche Achsen-
punkte bestimmt (Fig. 1 Taf, 10). Die 118 Geraden sind die folgenden
(für die Bedeutung der Symbole vergl. die Betrachtung der vollständigen
Figur des Hexakisoktaeders!):
ae) Die 15 Geraden der ersten Klasse: (Die Achsenpunkte auf
ihnen sind der Figur zu entnehmen) 2) 10) 11) 4) 6) 8) 22) 39) 44) 57) 65) 76)
83) 98) 101). Diese 15 Geraden verlaufen für jede Varietät des Dyakis-
hexekontaeders in der aus der Figur ersichtlichen Weise durch die
Achsenpunkte.
8) Die 15 Geraden der zweiten Klasse: 119 (2, B,.); 111 (10, B,,);
110 (11, B,,); 56 (65, B,); 77 (44, B,); 64 (57, B,); 117 (4, Bi); 115 (6, B,); 113 (8, 2,0);
99 (22, Bj); 82 (39, B,); 45 (76, B,); 38 (83, B,); 23 (98, B,); 20 (101, B,).
i \ 2 44 39 98 101
2) Die 44 Geraden der dritten Klasse: 13 (& mem )
15(% 76 a 7 (8, 6 N, 10 (& 32 a) 2. ( 51 7698 5)
20’ 117’ 115’ 20’ 56 /’ 38’ 20’ 64’ 113)’ 64’ 45’ 115’ 110’ 23)’
(> Es ee); ( 98 IE E 44 39 98 N) (&, 8 22 83 101
113’ 23’ 56 111738” 337° 33789790477. 119) 99’ 38’ 20’ 64’ 113
2
(5 83 I); 3 ( 76 =): il, 65 4 4 8 ): (5 Sm rblTE =)
2
&
38’ 23’ 111 38’ 119’ 45)’ 7,7. 11%72562 3822110, 23° 110’ 45’ 64 115)"
16 (10, 6522 39 m, 5 (& 26 a Eu a (@ 6 101
45’ 111’ 82° 56° 99 45’ 38’ 119)’ 45,204 117). 20’ 56° 115
8:
a5, Me, 55 (20 65 39 2), so (4 65 44 4 2); oA 57 6 76 a
2
56' 82° 99’ 111 38’ 77’ 110’ 56° 117)’ 115’ 23’ 64° 110’ 45)’
57 4 a) (& 44 A) & 8 22 83 )) (2 44 39 98 m
82’ 64° 117 64° 111’ 77)’ 20’ 64’ 113’ 99° 38 77 20’119’82’ 23
10 44 57 (6 6 ) ( 65 4 4 ee) Iae3908
77’ 64’ 111 99’ 77’ 115)’ 1172 102389777563, 113’ 110’ 82
=]
>
SIEHE
le
176 Max Brückner,
85 (7. 4 a) 87 (& 44 39 98 no: (% 65 22 39 I) & 65 22 39 2)
82’119’23’20° 77 82’ 99° 111’45’ 56)” 99° 45’ 56°111'82)’
57 8 22 83 101 Aa EDEN. 2: Ir 00\- BerrsH
Rn er 99° 38° 20° > 52 == 99° ni an (a5 oo); er (25 110° 113)’
0 (a , AA. ;29
45’ 115’ 110’ 23° 64)’ 56.1382 117227 110,183)2 110° 99’ 119
ee 2.210 Er DE 10 ME ICERS
12 (er ; (ps) 116 u)
2 10 4 6 8
tıe = 113° 1191077 Sal
”
Sie S8 Ele
ö) Die 44 Geraden der vierten Klasse: 3 (118, 6); 5 (116, G,);
7 (114, G,); 9 (112, G,); 12 (109, C,); 14 (107, G,); 16 (105, G,); 18 (103, 63); 21 (100, O,);
25 (96, C,); 27 (94, G,); 29 (92, %); 32 (89, G); 34 (87, G,); 36 (85, C;,); 40 (81, O5);
41 (80, G;); 43 (78, O5); 47 (74, C,); 49 (72, G,); 52 (69, G;); 54 (67, C,); 58 (63, O,);
60 (61, G,); 62 (59, G;); 66 (55, %); 68 (53, G,); 70 (51, Cu); 71 (50, Ch); 73 (48, O});
75 (46, &); 79 (42, G,); 84 (37, en 86 (35, C,); 88 (33, Os); 90 (31, G;); 91 (30, @,);
93 (28, Os); 95 (26, C,); 97 (24, G,); 102 (19, G;); 104 (17, C,); 106 (15, C,,); 108 (13, G;).
Damit sind sämtliche Spuren erledigt, da die Ebene 120) die Ebene ı) in der
unendlich weiten Geraden schneidet.
5. Die vollständige Figur des Deltoidhexekontaeders (vergl.
Fig. 1 Taf. 15 und Fig. 1 Taf. 16). Bei Zeichnung der vollständigen Figur
eines Deltoidhexekontaeders ist zu beachten, dass die Gerade durch die
Achsen C; und G, Symmetrielinie der Figur ist, wodurch sich die Ausführung
vereinfacht. Man berechnet die Abstände der Achsenpunkte auf dieser
Symmetrielinie mit und es genügt dann die Bestimmung einer geringeren
Anzahl Distanzen zur Festlegung der gesamten Figur, da die Spuren 27
(durch B,) und 35 (durch B,;) senkrecht zur Symmetrielinie liegen. Das
Gleichungssystem ist das folgende, wenn wir @>B>(C voraussetzen.
Die Achsenpunkte der Symmetrielinie Der Mittelpunkt
des Polyeders sei 0. Hilfswinkel: x @0,0=4, u, So berechnet man
ae sin (2% +2)
6, — (0 as
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 177
Die ee der Geraden 2), Hilfswinkel: <@B,0 —4,,
x BG 0 — ws EEE — 900 — Bin! EEE zn HE BB 60
2 G+B 2
Sr sin BB — sn(+t%) "2 sin w TEN, N
; "sin (u'—y)’ ORT UmeeRrEn | N, 9) ar Bag)
Die Achsenpunkte der Geraden 8). Hilfswinkel: x BC, 0 —4“,
ee a Ne Re EEE a a nel 4 A sin.
= 0,B,0 = u"; sa rn 90 Si tan 2 Bam fan 5 BC, =C Sin
Ba = A) ; 06% = X Die 58 Geraden in der voll-
sin (u — 7 — ) ” sin (ag)
ständigen Figur zerfallen hier in drei Klassen: Die erste Klasse der
Geraden ist durch die Achsenpunkte bestimmt. Diese Geraden mit den auf
ihnen liegenden Achsenpunkten sind: 2 (60H BB); 3 (HC, C'v Bir Bo);
4 (66,00, B,B,); 5 (66;0,0% BB); 7 (6,6050; BB); 8 (6,6500; B; B' 9);
16 (9,6;0,0, B,Bi,); 23 (G,6,00,B,Bi); 27 (6,6300, Bi); 33 (G36;0% 0’, B,B3);
35 (6,6;0'1C, B,); 37 (6,6, 0% 0 Bi BY); 52 (G,@, 0/0 CB; Bo); 55 (30,0; BB).
Die 12 Geraden der zweiten Klasse sind: 6 (52, B,); 9 (55, B,);
25 (33, B,); 29 (87, B,); 31 (23, B,); 39 (16, Bi2); 53 (7, B;); 54 (8, B,); 56 (2, Bio);
57. (8, Bu); 58 (4, Bi); 59 (5; Bio).
Die 32 Geraden der dritten Klasse sind durch die Schnitt-
punkte der vorhergehenden bestimmt und gehen jeweils durch einen Achsen-
h : ae E
punkt. Es sind die folgenden: 10 (6% ee ): 11 (& >):
9’ 25. 52) 58%. 6’ 56° 35
(a) a le
" (& ” 3) 22 (C r 2) w 5)? «(c 5, = z n Di s (0, = en = =);
S
1 98 ss); 30 (0. BREITE. Ss 32 (@ 2 =) 34 (% = ):
29’ 31’ 56’ 53 29’ 53’ 31° 56 » 59’ 31 56
36 (G Bl). 28 (&% u ): 40 (e u 2): 4 (Co ns =):
(nl: (ee) 20 (Or a)'
IIORERE Er EEE ERINNERTE)
BRNO IEN /i. 5 16 83055 2.2108 g F
50 @ —, 5 =): 51 (6 Er zoag; =) Damit sind die Spuren aller 58
Nova Acta LXXXV]I. Nr. |. 23
178 Max Brückner,
übrigen Ebenen in der Ebene der Fläche ı) des Deltoidhexekontaeders
bestimmt.
6. Die vollständige Figur des Triakisikosaeders. Sie ist bereits
konstruierbar, wenn sämtliche Achsenpunkt-Distanzen auf der Symmetrie-
achse B,C, der Grenzfläche ı) bestimmt sind, sowie die Länge von G,6,, da
die Geraden 59) und 10) (vergl. Fig. 1 Taf. 12 und die Figur auf Taf. 20)
senkrecht zur Symmetrieachse liegen. Man hat die Distanzen auf Grund
der folgenden Gleichungen zu berechnen, wenn &>B>C ist.
Bet. an dR . Bde Bd dem BD
Überdies ende man im eh einer genauen RC Bas G;
— GB BG, und BC, = BG 5,6,.1B,6, — Btan y]. Die Geraden zer-
Bi BG;
fallen dann in die folgenden drei Klassen:
Die 14 Geraden der ersten Klasse: 2 (G6,6,0,0,B,B;);
4 (66,050, BB); 6 (HGG,C'o BB); 8 (G@C,Q,B,B,) 10 (6,6C;05B, B,;);
12 (%60,0, B, B,,); 14 (G,6,0,C', B, B\,); 16 (9,G,0,C'o B; Bj0); 18 (626, 020; B, B,);
25 (6,@',0,C; B,B,,); 31 (@,6, 0,0 B,, Bi); 44 (G,@', 0,0, B, B,); 53 (G; 6,030; B;, Bıo);
59 (66,00 0% BY Bı5).
Die 12 Geraden der zweiten Klasse sind: 19 (53, B,); 24 (44, B,);
28 (14, b.); 33 (8, B): 36 (12, B.); 39 (6, Bu); 42 (25, b;); 45 (4, B;); 48 (31, B,);
52 (16, B,); 56 (18, B,); 57 (2, Bio).
Die 32 Geraden der dritten Klasse endlich sind: (5 “ = =)
Eee: el; (3,8)
45’ 28)’ 39’ 52) 33’ 56 48’ 19)’ 57’ 36’ 42) 45 28 39’52
59 53 8 31 £ 30 25\ de 10 31
a. E 48’ 3): PN (= >); 21 (5 52 5): R (2 36’ 19 23 (75 =):
o5[12, 4 2 59. ee a RT 16 44 8\. o(23 8 18\,
57’ 36' 42’ 24)’ 36’ 28’ 52’ 56, 5728’ 48)’ 33’ 52’ 24 33’ 56’ 48
(El); (ame)
57’ 45’ 39’ 33 36’ 28° 52’ 56 45' 36° 19)’ 39'56'42 © ’45’39'33
53 10 25 2 59 - (6: B/an ta 44 10\, 31 2 14
ar, 3); aa (3 36’ 2) a6 ( 45’ 39’ 5); i (= a); 4 (m 28’ 2);
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 179
(8,2); nu 28a aan),
39’ 56’ 42) 36' 28’ 52’ 56/ 33’ 56° 48’ 19) 36’ 28’ 52° 56) '
ae ,8 10
“ (& 25° 39° 3).
7. Die vollständigen Figuren des Pentakisdodekaeders und der
speziellsten Polyeder des Dyakishexekontaedertypus. Zur Konstruktion
der vollständigen Figur des Pentakisdodekaeders (vergl. Fig.1 Taf. 13 und
Fig. 1 Taf. 14) berechne man die Distanzen der Achsenpunkte auf der
Symmetrielinie B,G, der Fläche des Polyeders, sowie die Distanzen der
Achsenpunkte auf der Geraden 2). Es ist B,\C, = B,Q', = Btany; BG, — BG,
au PER? SS A—u G—B, At gu :
— Btan(w+y). Ist Sen 90 ni tan — a amp = für @>B, so ist
_ MP, —_ gun, „a = sinp .
Ba=@ sin?’ BOB sin (u—y)” Bi Br cos 2’ Br—=B sin (A—p) Bı%
FR a I Überdies benutze man B,;6, A .G,Bı;. Die Geraden
sin (A—p—z)' Bere
der drei Klassen sind die folgenden.
Die 14 Geraden der ersten Klasse: 2 (G6,6,0,0B,); 3 (6,6, CC, B,B,);
6 (10,0, BB); 8 (6,050, B,B,); 9 (9G;0,0;B,B,,); 11 (616,030, B,B,);
114 (GG3(0;, 0" BB); 20 (6:6, 0,00 B; Bio); 21 (@,G3 0,0) B3 B, 4); 34 (6,6; 0,0, B; By);
35 (6,6,03C; B,Bi); 43 (6,6005 Bıı Bio); 46 (636,040, BB); 59 (66,0, Co Bi5).
Die 12 Geraden der zweiten Klasse: 15 (46, B,); 18 (43, B,);
26 (35, B,); 27 (34, B,); 40 (21, B,); 41 (20, B,); 47 (14, Bi); 50 (11, B,); 52 (9, Ba);
53 (8, Bo); 55 (6, Bi); 58 (3, Bio).
Die 32 Geraden der dritten Klasse sind: (5 =)
18'53'26°59)"
N (9,3426, 52\,; „(Bd Sb sah 12 (ER); 1 11 50).
15’ 52’ 27 Di 27 15’ 58° 59)’ 26° 18’ 55’ 59 41’ 59 40' 59
0)
16 Ne, 47 nn); 19 ei 22 = a = ı =):
15’ 40’ 26’ 47 18! 41’ 27° 50 50’ 59 47’ 59 41’ 15’ 55
: 2 21 35 2 11 20; IA 11 35
r ee 2 14 21 35\, g(2 1120 32\. „(3 2143\, ..(9 35),
40’ 18’ 58 26’ 15’ 47’ 40 27 18 50'41 18' 58’ 40 26’ 52’ 50
6 20 46 8 14 34 6 8 35 26 3 9 34 27 9 11 35\,
31 a ierlre 32 ’ b) 3 33 Pieter Kerr ic! 36 Pr Fee Br
15’ 55’ 41 27 53° 47 53’ 18’ 55’ 59 52’ 15’ 58’ 59 50’ 26’ 52)’
safe aa (A, ee 9 46 15
ar a7 5)‘ 40° 15’ 47’ 26)" 41’ 18° 50’. 27)’ nn 58’ 52’ 59
SEEN 2 14 35 46\, 2 11 34 43\, 2 9\ 2 8\
= (5 55’ 53’ 2): = (2 26° 15’ ): en (& 27° 18° 2): or (55 =); = nn 58)’
23*
180 cr Max Brückner,
Die vollständigen Figuren der Ebenen des Triakontaeders, Tkosaeders
und Dodekaeders können selbstverständlich in derselben Weise wie die der
bisher besprochenen Polyeder nach Berechnung der Distanzen der. Achsen-
punkte gezeichnet werden; doch kommt man hier in noch einfacherem Ver-
fahren zum Ziele. Die vollständige Figur des Triakontaeders
(Fig. 5 Taf. 14) ist bestimmt, wenn man die vier Seiten des Quadrates
0,C,C,0, je zweimal nach dem goldenen Schnitt innen und aussen teilt,
[in den inneren Punkten M (vergl. Fig. 3 Taf. 14), so dass also GM}’=(,M:
— (,M, .0,C, ist, in den äusseren Punkten O (vergl. Fig.3 Taf. 17), so dass
z. B. (,0,.0,0, — (,C, wird] und dann sämtliche Spuren zieht, wie es die
Figuren zeigen. Die innerste Zelle ist die rhombische Fläche des Tria-
kontaeders.) Die vollständige Figur des Ikosaeders (Fig. 6 Taf. 8)
ergibt sich, wenn man die drei Kanten des regulären Dreiecks G,6,6, je
zweimal innen nach dem goldenen Schnitte teilt [z. B. G,0,° — 6,0,’ — G,6,.C.]
und die Geraden zieht, wie es die Figur anzeigt.) Die vollständige
Figur des Dodekaeders, Fig. 7 Taf. 10, spricht für sich selbst. Damit
sind sämtliche in Frage kommenden Polyeder des Dyakishexekontaedertypus
erschöpft.
8. Das gleicheckige (1?+20+30)-flächige ?2.60-Eck und die
speziellen gleicheckigen Polyeder des Typus. Die eleicheckigen
Polyeder des Dyakishexekontaedertypus sind die polarreziproken der be-
sprochenen gleichflächigen in Bezug auf eine feste Kugel um das Zentrum
dieser als Direktrix. Als Radius dieser Kugel nehmen wir die konstante
dreizählige Achse C, die Flächenachse des Ikosaeders. Dessen beide andere
Achsen, die fünfzählige G; und die zweizählige.B; sind, wie sich aus
G.G=0: und B.B=(Q ergibt: = 03 a
allgemeinste gleicheckige Polyeder, das (12+20 + 30)-flächige 2.60-Eck, wird
nun aus dem Ikosaeder durch gerade, zu den Achsen senkrechte, Abstumpfung
der Ecken und Kanten erhalten. Sind die fünfzählige und die zweizählige
Ir = Cy3.tan 9. Das
1) Die Figuren sind nur soweit ausgeführt, wie sie im folgenden gebraucht werden.
Vergl. Hess, Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder. Cassel 1876,
S. 72 und V.u.V. Tafel II Fig. 18 (mit sämtlichen Spuren).
2) Vergl. V.u.V. Tafel II Fig. 17.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 181
Flächenachse des entstandenen Körpers G' und B‘, so ist € —= G..4, P=B,..s,
worin £ und s reelle Parameter, kleiner als 1, sind. Nun ist wegen der
Polarität G@.G = 6..G..1.7=(%, d.h. t= 2, und ebenso ist s=2.
Die Ecken des gleicheckigen Polyeders sind die Pole zu den. Ebenen
des gleichflächigen als Polarebenen in Bezug auf die Kugel vom Radius (,
und seine Flächen sind die Polarebenen zu den Ecken des Dyakishexe-
kontaeders in Bezug auf dieselbe Kugel: es lassen sich also die Gleichungen
der Flächen und die Koordinaten der Ecken des gleicheckigen Polyeders
leicht angeben. Nun zerfallen aber die Gleichungen der Ebenen des gleich-
tlächigen Polyeders in fünf Gruppen von je 24 Ebenen; ebenso ordnen sich
die Ecken des gleicheckigen Polyeders in fünf Gruppen von je 24 Ecken,
deren Koordinaten wir durch Indices zu unterscheiden haben. Diese
Koordinaten werden ebenso abgeleitet wie früher die des (6+8+ 12)-fächigen
2.24-Ecks; es sollen jedoch hier nur die Resultate zusammengestellt werden.
Die absoluten Werte dieser Koordinaten enthalten entweder noch die Grösse C
oder eine andere Konstante, wie G; u.s.w.; wir werden bei den weiteren
Gruppen nur das Verhältnis der Koordinaten angeben, da es allein später
in Frage kommt, wie denn die absolute Grösse des Polyeders bei allen
folgenden Betrachtungen gleichgültig ist. Endlich werden wir die Para-
meter s und £ durch die Koordinaten der Eeken ausdrücken. Zunächst ist die
j» 11) 20) 10) 101) 111) 120) 110) #2, #9, #4;
1. Gruppe 143) 53) 58) 48) 63) 73) 8 68) +2, #% #+Yı5
I25) 85) 86) 26) 35) 95) 9%) 36) + + +
Die erste Kolonne enthält stets die x-koordinate, die zweite die
y-koordinate, die dritte die z-koordinate des Punktes; die Reihenfolge der
Vorzeichen ist die ein für allemal für die acht Oktanten festgestellte. Es
ist, wie ein Vergleich der Gleichung der Ebene 1) des Dyakishexekontaeders
mit der allgemeinen Form der Polargleichung xx, + yyı + 22; —C? = 0 ergibt:
—1)#cotp _ =
a nr a [6 zZ (1— 5) cotp.C/3 — (1—s) cot?9.G; cos p;
Ne N ar
a cos? ey3 = ac
ut = =
I — nTcy 3=stanp.CVY3 = s.G;c08 9.
0TC08?p
182
Max Brückner,
Also haben wir für die Koordinaten x,, y,, 2, die Proportion:
t—s cos?
= 5 — 127 . = Äh
80) 2: :2) = (1—S) e0t?p: ap 25:
Ist x, = 0, so ergibt sich aus dem allgemeinen gleicheckigen Polyeder
das (12+20)-flächige 12.5-Eck. Für dieses gilt also s=1, wie aus 0=1
für das reziproke Polyeder gleichfalls zu erschliessen ist. Ist y, =0, so
ergibt sich für das (12+20)-flächige 20.3-Eck die Relation: t = s cos?g.
Berechnet man aus der Proportion 80) die Parameter s und ?, so erhält man:
Fin air $,
ee
ko Ntretgpsingcesp _ ntmptz .
u x tan?p + 2ı Di x tan2p+2,' p-
Ferner ist die
2) 21) 30) 9) 91) 112) 119) 100) +
2. Gruppe Io 52) 59) 38) 62) 83) 88) 69) +
15) 75) 76) 16) 45) 105) 106) 46) +
Für die durch Vergleichung der allgemeinen Gleichung der Polar-
ebene mit der der Ebene 2) des Dyakishexekontaeders erschlossenen Werte
der Koordinaten &;, %, 2, ergibt sich nach Einführung der Parameter s und t
statt o und r die Proportion:
1 € t
5 Yo 222 — k cot p 3) cos?p — 5 cot |
| ß [6 — 3 cot29) c08?p+ 1 eotg—stan s) cos?p+ Stan s|
Hieraus findet man nach längerer Rechnung:
82)
DL ERNST RENN
| 2 (ztan?p +2)
lı a Di Das)
_— = — 608?g.
&,tan?p+ 2 2
83)
Weiter ist die
nn 22) 29) 19) 92) 102) 109) 9) +2, + +25:
3. Gruppe 434) 74) 77) 37) 44) 84) 87) A) +2 3%, +9;
Us) 51) 60) 6) 61) 115) 116) 0) +Y, +2» 4%:
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 183
Hier ist:
eotp 1% tan
ae c 2 . Ben
84) 0: Y3 : 23 (? Sa ı) z (45 cot?p u) : (ta t a) :
Für y, =0 fällt der Punkt 12) in die z,z-ebene, d.h. die gemeinsame
Kante eines Sechsecks und Zehnecks verschwindet; es ergibt
Bedingung für das (12+20+ 30)-flächige 60-Eck: s=; (or? +
sich also als
ng) Für
cos?
s und £ des (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecks gilt jetzt wie die Rechnung zeigt:
ne eot@+Yy3 +2; cot?@
| 2 (@,tanp +2; cotp) ’
| tet ectpt2
a —
2, tanp-+ 2, cotp ie
85)
Wir schreiben nun die
3) 31) 40) 8) 81) 113) 118) 0) +7 EYu #24;
4. Grume123) 42) 49) 28) 72) 9) 98) 9) +, 3% E46
14) 65) 66) 17) 55) 104) 107) 56) EYn E25 £ M-
Man findet:
86) %4:Yy:2ı — [e0s?p.(1 + 2stangp) — tcoty]
: [(eot g — 25) eotp cos?p + £] : [eos?p.(2s — coty)+ itan
Daraus folgt:
87) El, ee
cot
ut,
u + Yy Hr 2
Endlich ist die
j13) 32) 39) 18) 82) 103) 108) 89) +4, +Y, +;
5. Gruppe 124) 64) 67) 27) 54) 9) M) 57) + E%u EYs5
|o 4) 5) D m 11 1N) 90) + tm +
Dabei ist:
£ 1
[% :y,:2, — E cot (n— (3) cos? .|
88) ; ;
| iR aD a u :) 608? eota.(s—,
2
9].
il rn
ar anf |,
2 1:02 I Max Brückner,
und hieraus findet man:
2, cotp + Y; + 25 eot?p
25 +9y +3) ;
f 7, cotp + 2;
+%+3%
|
89)
cos? g.
|
Bedeutet nun für das allgemeine (12+20+30)-flächige 2.60-Eck A,
die gemeinsame Kante einer vierkantigen und zehnkantigen Grenzfläche,
k, die einer sechs- und zehnkantigen Fläche und %, die einer vier- und
sechskantigen Grenzfläche, so ist, wie ein Blick auf den Körper zeigt,
kı — 22, k, = 2y, (die Koordinate der Ecke ı)), und A, —2y;, (die Koordinate
der Ecke 12)). Man findet nach einiger Vereinfachung die Proportion:
eot? t cot?p
90) Kı:ka:ls = (1—5) 75 (s ug 1 |2eos2g:( 00:29)
Durch Nullsetzen der einzelnen Kanten ergeben sich wiederum die
Bedingungen für die besonderen gleicheckigen Polyeder. Führt man die
Werte für die trigonometrischen Funktionen des Winkels g ein, so wird:
90) |r : Ra: ik; = (1—5) (8 V5 + 5):2(5 + V5)s—5t— (5 + 2 Y5)]
| :[102— (5 + Y)S].
Für die Parameter s und ? ergeben sich aus 90) bezw. 90) als
Funktionen der Kanten %,, %,, %, die Ausdrücke:
a kı cotp + 2k, th ae (V5 + 1)kı — Ak, + 2k; F
| shtanp+2a tk zZy5—1)k +Aly +2,
I _ (ıeotp+2k)eos?py+k _ 6+3/Y)h +26+VH)Rr+ 10
91)
3k,tanp+ 2%, + k; 15(/5—1)kı + 20%, + 10%,
Die A. V. des (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecks ergibt sich für
/n VE
Keb=k, dıhifirs- z, = 4 5,
Wir betrachten nun die besonderen gleicheckigen Polyeder. Das
(12+20)-flächige 12.5-Eck wird für k, = 0 erhalten. Es ist dann s=1, d.h.:
t cot?p
Back (1 ai — 1
) 2 cos? gp:(t— cos?Y)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und nichtkonvexen Polyeder. 185
oder %y:ky = 5(/5— 2) 1—): [10/5 —9t— (8/5 —5)]. Für t ergibt sich als
Funktion der Kanten: — 6 +V hr 5k, Die A. V. findet man aus
10% + Hk,
k,—=ky, d.h. wenn t= — ist. Für ,—=o und ,—0 ergibt sich das
(12+20)-flächige 30-Eck oder Triakontagen. Es ist dann s—=1,
4/8 — cos? Für 4, —=0, ,—=0 erhält man das Ikosaeder, für das
alsoNs Hi, ter list:
Für das (12+20)-flächige 20.3-Eck ist ,—0, Dann ist t=s cos?p
oder s— re .t. Für die Kanten des Polyeders findet man:
kr: Is = 21—S) : (35 sin?p — c0s?p) — XI—5):13 6 —YH)s— (5 -+Y)],
wonach:
_ Myeotp+ 2k, V5+Dkh+4k,
- ze WIE - un
3hk,tanp+2i, 3(/Y5—1)k, +4k,
t— scos?!p — Carus: Volk +26 Flak ist.
15(/5—1)kı + 20%,
Für A —=k%, ergeben sich die Werte von s und ? für die A. V. des
+25 „_3+2V5,
22 Hi
Triakontagon. Die Werte von s und £ des (12+20+30)-flächigen 60-Ecks
endlich befriedigen die bereits angeführte Relation, die aus y—0 sich
20.3-Ecks zu: s
Für k, —=0 ergibt sich wieder das
ergibt und mit Einsetzung der trigonometrischen Funktionen die Form
r =
s 2 t+ Sr annimmt. Das Verhältnis der Kanten %, und %, ist hier:
I : ky —= (1— 5): (35 — ot?) tan.
Daraus findet man:
_ ketpyth _ (V5 tDh +2 und
Shtanptks 3y5—VA + 2%,
hreotpeos?pg+hz (+3 VdK +10R
t E = — — => -
3k, tanp + k, 15(/5 —1)kı + 10%,
Aus k—=%, ergibt sich für die A. V. des Polyeders: 24305
—1°+12V5, Ist ,—0, so erhält man die Werte s und ti für das
55
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 24
186 . Max Brückner,
1 1
Dodekaeder: s en eot?p eos?g, d.h. s—
+5 „52/58
65 RR,
Für spätere Diskussionen wird es vorteilhaft sein, auch hier die Beziehungen
zwischen den s und t für die gleicheckigen Polyeder als Gleichungen von
„Kurven“ in einem rechtwinkligen Koordinatensystem der s, t zu deuten
(vergl. Fig.6 Taf. 12). Die in Frage kommenden drei Kurven sind nach
dem eben Besprochenen die folgenden. Die der t-achse parallele Gerade C',
mit der Gleichung s—ı für die (12+20)-flächigen 12.5-Ecke läuft durch
den Ikosaederpunkt 7 (1,1) und den Triakontagonpunkt 7 (1, cos?g), für den
t{— 0,72361 ist. Die Gerade C, mit der Gleichung ? = seos?g für das (12+20)-
flächige 20.3-Eck geht durch den Punkt 7 und den Dodekaederpunkt D
Gr: nl De
a} 3
C';, endlich, deren Gleichung ? — 4s eos?p — eot?p cos? für die Parameter des
(12+20+30)-fächigen 60-Ecks ist, verläuft durch I und D. Das von den
drei Geraden (*,, C‘, und C“, gebildete Dreieck ist das Gebiet der Werte s
und £ für die konvexen (12+20+30)-Hächigen 2.60- Ecke.
a! für welchen s — 0,87268, ? —= 0,63148 wird. Die Gerade
/
$ 2. Die Sphenoidgruppierungen des Dyakishexekontaedertypus.
1. Allgemeine Ableitung der möglichen fünf Gruppierungen.
Wir beginnen die Betrachtung der zugleich gleicheckigen und gleichflächigen
Polyeder höherer Art des Dyakishexekontaedertypus mit den diskontinuier-
lichen konvexen Vielflachen, die bis auf einige wenige (vergl. den Anhang
dieses $) Gruppierungen von rhombischen oder quadratischen Sphenoiden
sind. Die zuletzt genannten sind hier nur sekundären Charakters und er-
geben sich aus den vorhergehenden für bestimmte Varietäten der inneren
Kerne der Polyeder. Wir haben nun zunächst die im Typus möglichen
fünf Gruppierungen von je 30 rhombischen Sphenoiden allgemein zu er-
schliessen. Hierzu kann man sowohl von dem inneren Kern als auch der
äusseren Hülle, dem allgemeinen (12+20+30)-Hlächigen 2.60-Eck ausgehen.
Fassen wir zunächst das letztgenannte Polyeder ins Auge. Nach den
Koordinaten der Ecken hatten wir fünf Gruppen solcher zu unterscheiden,
wobei die Ecken jeder Gruppe (dieselben zyklisch-vertauschten Koordinaten-
werte besassen. Jetzt gruppieren wir die 120 Ecken fünfmal in der Weise,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 187
dass in jeder der fünf Gruppen jeder Anordnung diejenigen 24 Eeken ent-
halten sind, die in gleicher Weise zu den drei Achsen der fünf Koordinaten-
systeme liegen, die man erhält, wenn man die fünfmal zu je drei auf einander
senkrechten B-achsen [B, B,,B,;, B, BB}; B,B;B\,, BıBsB,. B,B,B,,) zu Ko-
ordinatenachsen wählt. Die Lage der Ecken zu den fünf Koordinaten-
systemen ist dann bei den fünf Anordnungen in der Reihenfolge der früheren
fünf Gruppen zu nehmen. Mit anderen Worten, wir gruppieren die 120
Ecken des (12+20+30)-flächigen 2.60-Eeks auf fünferlei Weise als die
15.8 Ecken von 15 achteckigen (2+2+2)-Flachen, die sich in das 2.60-Eek
beschreiben lassen, d. h. mit diesem die Eeken gemein haben. Fassen wir,
um nicht sämtliche 120 Eeken fünfmal schreiben zu müssen, nur die senk-
recht stehende mit der z-achse zusammenfallende Achse B, ins Auge, so
sind die acht Ecken des ersten @+2-+2)-Flaches jeder der fünf Anordnungen
die folgenden:
5 Anordnung: 1, 11, 20, 10, 101, 111, 120, 110.
2. m 2,21, 307.9, #91, 112,19), 100:
92) 13- ” 124122,729419,7925°.10294 037739:
B 5 3.6531, 407857581, 11332118.090;
5. n 13, 32, 39, 18, 82, 103, 108, 89.
D.h. die Eeken des ersten @+2-+2)-Flaches jeder Anordnung sind
die Eeken der ersten Reihe in den fünf Gruppen der ursprünglichen Ecken-
gruppierung (s. vorige Nr.). Für die Achsen B,, und B,, lassen sich selbst-
verständlich die Ecken der (2 +2+2)-Flache ebenso aus den beiden anderen
Reihen der früheren Gruppen ablesen, während die Ecken der weiteren
@+2+2)-Flache erhalten werden, wenn man der Reihe nach die vier
übrigen Koordinatensysteme mit dem ersten B,B,,B,, zur Deckung bringt.
Nun sind die Ecken jedes der @+2+ 2)-Flache die zweier einbeschriebener
rhombischer Sphenoide, d.h. die Ecken des 2.60-Ecks sind fünfmal
die Ecken von je 30 rhombischen Sphenoiden. Die angestellten
Betrachtungen lassen sich unter Anwendung des Polaritätsprinzips sofort
auf die 2.60 Flächen des Dyakishexekontaeders übertragen. Diese 120
Flächen ordnen sich fünfmal als die 15.8 Flächen von 15 geraden Doppel-
pyramiden auf (im allgemeinen) rhombischer Basis, und die Tabelle 92)
gibt die Flächen der ersten Doppelpyramide jeder Anordnung, deren Haupt-
24*
188 Max Brückner,
achse mit der Achse B, zusammenfällt. Die abwechselnden Flächen
jeder solchen Doppelpyramide ergeben durch ihre Ebenen ein rhombisches
Sphenoid, d. h. die 2.60-Flächen des Dyakishexekontaeders sind
fünfmal die Flächen von je 30 rhombischen Sphenoiden. Es
ergeben sich also für jede Varietät des Dyakishexekontaeders fünf dis-
kontinuierliche, aus je 30 Sphenoiden bestehende, gleicheckig-gleichflächige
Polyeder, deren innerer Kern das ebengenannte Polyeder, deren 30.4-eckige
Hülle das (12-+20-+-30)-fHächige 2.60-Eck ist. Denn die 30 Sphenoide
bilden zwei Gruppen von je 15 rechten und linken Sphenoiden, die kongruent
bezw. symmetrisch sind und eine gemeinsame umbeschriebene Kugel besitzen
müssen; da der Gruppierung aber die Achsen des Dyakishexekontaedertypus
zukommen, so liegen die Ecken zu je vier auf kongruenten kleinen Kreisen
um die zweizähligen Achsen, sind also die eines (12+20+30)-flächigen
2.60-Ecks. — Wir gehen nun für die weitere Betrachtung von dem inneren
Kern aus und benennen die fünf Gruppen in der Reihenfolge nach den
Flächen wie beim Hexakisoktaedertypus. Schreiben wir für jede Gruppe
diejenigen beiden Sphenoide an, deren gemeinsamer Kern die unter 92)
jeweils angeführte Doppelpyramide ist, sowie diejenigen beiden zusammen-
gehörigen Sphenoide, unter deren Flächen die Fläche 1) des Dyakishexe-
kontaeders enthalten ist, so ergeben sich die folgenden fünf Gruppen.')
ENEI Rrkr, San, A. 1,20, 110,111) L
-Gr 1. Gruppe. Achse B..
1. Gruppe \10, 11, 101, 120. 10, 11, 101, 120) "PP 1
2, 30, 100, 112. 1, 23, 99, 117.)
.G Fe n ? 2 2 N ‘ 2.Gruppe. Achse B,.
Zee 2 in 22, 4, 98, 120.J pP 2
(12, 29, 99, 102. 1, 64, 56, 119.
[3 . G ) \ Ss > .G . A hs B:.
99), | 3 Gmmppe (1090, 99, 109.j Achse Bi- ug)e5, 17,120.) F:@ruppe, Achae Ei
[3, 40, 90, 113. UBER
SU 5 5 BL iR ZEN RE Mer ar"
2 rin 113» 39, 89, 103. er, 15, 10,1 ME
5. Gruppe 19,39, 82, 108.] Blaze! da, RO
!) Für die analytisch-geometrische Behandlung der fünf Sphenoidgruppen ist es
vorteilhaft, stets auf die Sphenoide mit der Hauptachse D, zurückzugehen, während für die
zeichnerische Darstellung es andererseits nötig wird, die Sphenoide der rechten Kolonne ins
Auge zu fassen, da wir die vollständige Figur stets in der Ebene 1) des Dyakishexekontaeders
entwerfen. Für die speziellen Körper des Typus müssen dann die Sphenoide der rechten
Kolonne besonders bestimmt werden, da nicht immer die Fläche 1) des speziellen Körpers
aus der Fläche 1) des Dyakishexekontaeders folgt (vergl. Note VI).
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 189
Die angeführten Zahlen sind nun zugleich die Eckenzahlen für je
vier Sphenoide im (12+20+30)-flächigen 2.60-Eck. An Stelle des Wortes
Gruppe setzen wir dann Klasse und sprechen also von fünf Klassen
rhombischer Sphenoide, wobei wir mit dem Worte Klasse gleichzeitig die
bezw. Ecken des 2.60-Ecks treffen wollen. Wie früher ist der Begriff der
Gruppe mit dem der Klasse nicht vertauschbar, vielmehr ist die Zuordnung
hier eine weitaus kompliziertere als beim Hexakisoktaedertypus. Doch gilt
auch jetzt der im Laufe der Untersuchung zu erhärtende Satz, dass die
Sphenoidgruppierungen der i-ten Gruppe k-ter Klasse polarreziprok sind
denen der k-ten Gruppe i-ter Klasse. Wir untersuchen zunächst die
Änderungen der Gruppierungen für die speziellen Kerne und Hüllen. Wir
ersetzen zu dem Zwecke die obigen allgemeinen Zahlen in 93) gemäss
Note VI durch die Zahlen für die speziellen Polyeder, wobei wir sie sowohl
als Zahlen für die Flächen wie für die Eeken auffassen dürfen, d.h. wir
sprechen ebensowohl vom Triakisikosaeder wie vom (12+20)-Hächigen 20.3-
Eck u.s.w. Wir ordnen die Zahlen für die speziellen Körper in die fünf
Kolonnen I—V und bezeichnen kurz mit 60, 20.3, 12.5, 30 sowohl die gleich-
flächigen wie gleicheckigen betr. Polyeder. Dann ergibt sich folgende Übersicht.)
| | |
| I | u | III | IV V
eh 4, 12, 49, 57| 4, 12, 49, 57 14, 11, 50, 47 | 5, 26, 36, 5615, 25, 37, 46
3,13, 48, 58| 3, 13, 48, 58|11, 14, 47, 50| 2, 28, 34, 5910, 29, 33, 51
o0.5[|1% 1, 59 60 9, 18, 35, 57 9, 18, 35, 57| 8, 17, 36, 58| 8, 17, 36, 58
"®\| 1, 10, 60,-59| 2, 11,56, 34) 2, 11,56, 34| 3, 12, 55, 33| 3, 12, 55, 33
94 - En
) Ira „ii b 2% 59, 60 6, 4, 56, 58 10, 8, 52, 54 6, 4, 56, 58110, 8, 52, 54
2 ee-87, 55,7%, 9, 53, 51.3, 5, 57,557, 9, 58, 51
| ni nn re
a0 [| b 4 30, 30) 3, 5, 28, 26| 3, 5, 28, 26| 3, 5, 28, 26 3, 5, 28, 26
("1.1 303014 2, 27,29)4, 2, 27, 2942 2,2904 2 27, 29
1) Dabei bedeutet *), dass die Sphenoide in parallele Ebenen zerfallen sind, falls
die Zahlen Flächenzahlen bedeuten, in zwei Paar Gegenecken (d. h. Sphenoide aus zwei Paar
zusammenfallenden Ebenen bestelıend), wenn die Zahlen Eekenzahlen sind.
2) Auch in diesem Falle sind die Sphenoide unter IV und V identisch, wie die Tabelle 95)
zeigt, nur ergeben die an vierter und fünfter Stelle bei dem allgemeinen Dyakishexekontaeder
190 Max Brückner,
Die folgende Tabelle unter 95) zeigt die die Fläche ı) enthaltenden
Sphenoide jeder Gruppe, wenn der Kern das links angeführte gleichflächige
Polyeder ist. Bei Weglassung der immer beigefügten Fläche ı) gibt die
Tabelle diejenigen sechs (bezw. zwölf) Spuren in der Ebene der Fläche ı)
der speziellen gleichflächigen Polyeder des Typus, die von den übrigen
Flächen der Sphenoide gebildet werden, denen eine Fläche in der Ebene ı)
des inneren. Kernes zukommt. Oder mit Beziehung auf die Zahlen als
Eckenzahlen zeigt die Tabelle die je zwei Sphenoide bestimmter Klasse
im umhüllenden gleicheckigen speziellen Polyeder, die die Ecke ı) gemein-
sam haben, und bei Weglassung dieser Ecke 1) zeigen also die sechs (bezw.
zwölf) übrigen Zahlen die Ecken an, nach denen die sechs [zwölf] Kanten
von der Ecke ı) aus gerichtet sind. Diese sechs [zwölf] Kanten bilden also
diskontinuierliche sechs'[zwölf]-kantige Ecken (aus zwei [vier] dreikantigen
gebildet) zweiter [vierter] Art für jedes der aus Sphenoiden zusammen-
gesetzten diskontinuierlichen Polyeder.
| I | u Im | Iv | v
|
er 1 1, 6, 59, 53 | 1, 6, 59, 53 | Ki |1, 29, 57, 39 | 1, 29, 57, 39
ib Wa PR Be 56, 54 1, 25, 58, 31 Er 1, 25, 58, 31
enei si Se Fr
so |1, 24, 45, 56 | 1, 24, 45, 56 | 1, 48, 39, 36 Peer 48, 39, 36
el ur |1, 19, 57, 52 |1,.19, 57, 52 | 1, 42, 38, re 42, 33, 28
Bone hin 58
e | Fe
95) ? 1, 18, 47, 52 | 1, 27, 55, 40-11, 18, 47, 52 | 1, 27, 55, 40
12.5) =
ji 1, 15, 50, 53 | 1, 26, 58, 41 1, 15,50, 53 | 1, 26, 58, 41
L \ l j
| ME SEE NER EI Bee Er Ve |
1, 11, 25, 28 | |
bs) ji | 1, 12, 22, 27| eG
| pen 2 | wie 30 |
|1, 18, 26, 23 |
Aus den beiden Tabellen 94) und 95) lesen wir nun für die fünf
MRrURpaR bezw. fünf Klassen im Dyakishexekontaedertypus die folgenden
bezw. (12 420 -+ 30)-flächigen 2.60-Eck angeführten Sphenoide verschiedene Sphenoide
der identischen Gruppierung bei dem Deltoidhexekontaeder bezw. (12 -+20+ 30)-
flächigen 60-Eck.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und nichtkonvexen Polyeder. 191
Ergebnisse ab. a) Die erste Gruppe und Klasse. Ist der Kern der
Gruppierung das Deltoidhexekontaeder, so fallen je zwei Flächen ver-
schiedener der 30 Sphenoide in eine Ebene, die Hülle bleibt im allgemeinen
ein 2.60-Eck. Ist der Kern eines der übrigen speziellen gleichflächigen
Polyeder des Typus, so existieren keine Sphenoide. Ebenso wenig kann
als äussere Hülle eines Polyeders „erster Klasse“ ein 20.3-Eck, 12.5-Eck
oder Triakontagon auftreten, während es Polyeder erster Klasse gibt, deren
Hülle das 60-Eck ist. Dann fallen je zwei Ecken verschiedener Sphenoide
in einem Eckpunkte des Hüllpolyeders zusammen und bilden diskontinuier-
liche sechskantige Ecken, wie überdies auch zwei Sphenoidflächen in einer
Ebene als diskontinuierliche Sechsecke zweiter Art angesprochen werden
können. 8) Die zweite Gruppe und Klasse. . Hier können alle
speziellen Kerne bezw. Hüllen des Typus auftreten. Ist der Kern das
Deltoidhexekontaeder, so werden die Sphenoide identisch mit denen der
ersten Gruppe; ist die Hülle das (12 + 20+30)-flächige 60-Eck, so sind die
Sphenoide zweiter Klasse identisch mit denen erster Klasse. Ist der Kern
das Triakisikosaeder, oder die Hülle das 20.3-Eck, so fallen die Sphenoide
der zweiten Gruppe bezw: Klasse mit denen der dritten Gruppe bezw.
Klasse zusammen. Ist der Kern das Pentakisdodekaeder, bezw. die Hülle
das 12.5-Eck, so werden die Sphenoide der zweiten Gruppe bezw. Klasse
identisch mit solchen der vierten Gruppe und Klasse. Ferner ist zu be-
merken, dass die Sphenoide der zweiten bis fünften Gruppe identisch werden
für den Fall. dass das gleichflächige Kernpolyeder das Triakontaeder ist,
während für das Triakontagon als äussere Hülle die Sphenoide derselben
vier Klassen die gleichen sind. Im ersten Falle liegen vier Flächen ver-
schiedener Sphenoide in einer Ebene, ein diskontinuierliches 4.3-eck bildend,
die Hülle ist ein 2.60-Eck; für das polarreziproke Polyeder, dessen Kern
ein Dyakishexekontaeder ist, fallen vier Ecken verschiedener Sphenoide in
einer Ecke des umhüllenden Triakontagons zusammen und bilden eine 4.3-
kantige diskontinuierliche Ecke vierter Art. y) Die dritte Gruppe und
Klasse. Ist der Kern des Polyeders das Deltoidhexekontaeder, so werden
die Sphenoide zu parallelen Ebenen, also illusorisch; ebensowenig existieren
Polyeder dritter Klasse, deren Hülle ein 60-Eck ist. Ist der Keru der
Gruppierung ein Pentakisdodekaeder, so fallen die Sphenoide der dritten
192 Max Brückner,
Gruppe mit denen der fünften zusammen, analoges gilt für die Klassen-
polyeder. 6, e) Die vierte und fünfte Gruppe und Klasse. Auch
die Sphenoide der vierten und fünften Gruppe bezw. Klasse sind stets vor-
handen, wenn der Kern oder die Hülle des Polyeders, das sie bilden, ein
spezielles Polyeder des Typus ist. Ist der Kern ein Deltoidhexekontaeder,
oder die Hülle ein 60-Eck, so werden die Sphenoide beider Gruppen bezw.
Klassen identisch; dasselbe gilt für das 'Triakisikosaeder und 20.3-Eck als
Kern bezw. Hülle. Die weiteren Kerne und Hüllen spezieller Art sind
aber bereits durch das vorhergehende erledigt. Wir wenden uns nun zu-
nächst zur näheren Betrachtung der fünf Klassen der rhombischen
Sphenoide, da deren Untersuchung sich einfacher gestaltet, als die der
Gruppen und beachten dabei besonders diejenigen 2.60-Eeke und speziellen
Polyeder, in denen an Stelle der rhombischen sekundäre quadratische
Sphenoide treten.
2. Die fünf Klassen der rhombischen Sphenoide im (12 + 20 + 30)-
flächigen 2.60-Eck und die sekundären quadratischen Sphenoide.
Wir untersuchen für jede Gruppierung die beiden Sphenoide in dem recht-
winkligen Parallelepiped, dessen „Hauptachse“ die Achse B,, dessen dazu
senkrechte Querachsen B,; und B,, sind [vergl. hierzu die Tabelle 93)].
e) Sphenoide der ersten Klasse. Das erste Parallelepiped hat die
Ecken 1, 11, 20, 10, 101, 111, 120,110, in der Reihenfolge der acht Oktanten.
Die Kanten des Parallelepipeds sind 2x, 2yı, 24. Für k, = 0 oder %,—0,
d.h. wenn die Hülle des Polyeders ein 12.5-Eck bezw. 20.3-Eck ist, ent-
artet das Parallelepiped in ein Rechteck; für %,—=0, d. h. wenn die Hülle
ein 60-Eck ist, fallen die Ecken mit solchen der Sphenoide der zweiten
Klasse zusammen. Das sind bereits auf anderem Wege gefundene Er-
gebnisse. Wir fragen nun, für welche Hüllpolyeder werden die rhombischen
Sphenoide erster Klasse za quadratischen? Dann muss an Stelle des recht-
winkligen Parallelepipeds mit drei verschiedenen Kanten die quadratische
Säule treten. Das wäre im allgemeinen auf dreierlei Weise möglich, denn
jede der drei verschiedenen rechteckigen Grenzflächen könnte in ein Quadrat .
übergehen; es müsste dann x, =y, oder z, =, oder yı =, sein. Ist, =yı,
d.h. die viereekigen Grenzflächen des Hüllpolyeders sind selbst Quadrate,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 193
so ergibt sich die Beziehung, die dann zwischen s und ? bestehen muss,
t— 2 :
aus — 9 (1—) eot?, d.h. es ist:
sing cos
96) t—= (eot—stang) cos?y.
Deuten wir, wie früher, s und i als rechtwinklige Koordinaten, —
vergl. für das Folgende stets Fig. 6 Taf. 12 —, so stellt 96) die Gleichung
einer Geraden dar, der Geraden L, der Figur, deren Lage wir erkennen,
indem wir ihre Schnittpunkte mit den Geraden C“, (s=1; 12.5-Eck), (0, —=s
c0s?p; 20.3-Eck) bezw. (', (t — [4s— eot?g] cos?p; 60-Eck) bestimmen; ein Ver-
fahren, das auch weiterhin immer angewandt wird. Wir finden: die Gerade Z,
geht durch die Punkte s—=1, t—= cos? (Triakontagon) und = 3
a er), d. i. die A. V. des (12+20-+30)-flächigen 60-Ecks. Da die
[9]
Gleichsetzungen z, — z, yı =, auf Gerade führen, die das Gebiet der kon-
vexen 2.60-Ecke meiden, so gilt: Es gibt nur eine einfach unendliche
Reihe von 2.60-Ecken, für welehe die einbeschriebenen 30
Sphenoide der ersten Klasse quadratisch werden. Den Grenzfall
dieser Reihe bildet die A. V. des 60-Ecks, für den nach obigem überdies
die Gruppierung zugleich zur zweiten Klasse gehört; die andere Grenze,
das Triakontagon, ist ersichtlich auszuschliessen.
8) Sphenoide der zweiten Klasse. Die Ecken des ersten
rechtwinkligen Parallelepipeds mit der Hauptachse B, und den Querachsen
B,, und B,,; sind nach den ÖOktanten geordnet: 2, 21, 30, 9, 91, 112, 119, 100.
Die Kanten dieses Parallelepipeds sind 2=,, 2%, 22. Untersuchen wir zu-
nächst wieder die speziellen Hüllpolyeder. Wird %, —=0, d.h. das 2.60-Eck
zum 12.5-Eek, so fällt die Ecke 2) mit 3) zusammen, d.h. die Sphenoide
werden identisch mit solchen der vierten Klasse. Für %—0 wird die
Ecke 2) = 1), d.h. für das 60-Eck als Hülle fallen die Sphenoide der zweiten
Klasse mit solchen der ersten zusammen (s. oben). Ist endlich A, — 0, so
wird die Ecke 2) = 12), d.h. für das 20.3-Eck als Hülle sind die Sphenoide
der zweiten und dritten Klasse identisch. Fragen wir wiederum nach den
quadratischen Sphenoiden, so zeigt‘ die Untersuchung der drei zunächst
verfügbaren Gleichungen, dass nur 2, — y, auf eine solche zwischen s und : führt,
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 25
194 Max Brückner,
die eine durch das Gebiet der konvexen 2.60-Ecke gehende Gerade dar-
stellt, nämlich
97) t = (2stan?p + 1) tanp.cos?y.
Diese Gerade ZL, der Figur schneidet die Gerade C‘“, im Punkte
t= Toren. und die Gerade C‘, im Punkte a Die erste
Grenze ist ein besonderes 12.5-Eck, die zweite die A. V. des 60-Ecks, d.h.:
Es gibt eine einfach unendliche Reihe von 2.60-Ecken, für
welche die 30 einbeschriebenen Sphenoide zweiter Klasse
quadratisch werden. Für die erste genannte Grenze sind diese
quadratischen Sphenoide identisch mit solchen der vierten Klasse, für die
zweite mit solchen der ersten Klasse.
y) Sphenoide der dritten Klasse. Die Ecken des ersten
Parallelepipeds sind nach den acht Oktanten geordnet: 12, 22, 29, 19, 92, 102, 109, 99;
seine Kanten 22;, 2y,, 22. Für die besonderen Hüllen gilt das Folgende.
Für \=0, d.h. das 12.5-Eck ist 12) = 13), d. h. die Polyeder dritter
Klasse fallen mit solehen der fünften Klasse zusammen. Für %,—=0 wird
das Parallelepiped zu einer Ebene, d. h. es gibt keine Sphenoide dritter
Klasse, deren Hülle ein 60-Eck ist. Für %,—0, d.h. das 20.3-Eck ist
12) = 2), woraus sich das mit 3) übereinstimmende Resultat ergibt. Für
Bestimmung der quadratischen Sphenoide haben wir in 3—=% und 5, — 2;
Gleichungen von Geraden, die das Gebiet der konvexen 2.60-Ecke nicht
treffen. Dagegen ist x, — 2, die Gerade ? en 7 a dach
).008? 3+//5
98 _ cp. cos EN 2+| ar 7.
) t rs ; 0,847
Diese Gerade ZI, der Figur geht parallel der s-achse durch die
2+V5 5+2/5
5 10,,'
(ein besonderes 60- Eck), d.h.: Es gibt eine einfach unendliche
Hanke 8 1,7 (ein besonderes 12.5-Eck) und durch s=
e— 2+V5
5
Reihe von 2.60-Eeken, für welche die 30 einbeschriebenen Sphe-
noide dritter Klasse quadratisch werden. Für die erste genannte
Grenze fällt das Polyeder mit einem solchen der fünften Klasse zusammen,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 195
für die zweite Grenze wird es illusorisch, denn es artet in ein System
zusammenfallender Ebenen aus.
d) Sphenoide der vierten Klasse. Die Ecken des Parallel-
epipeds sind: 3, 31, 40, 8, 81, 113, 118, 90; die Kanten sind: 2x, 2y4, 2z,. Der
Fall 4 —=0, wofür Ecke 3) = 2) wird, ist schon unter £) erledigt. Für
»—0, d.h. für das 60-Eck tritt an Stelle des allgemeinen Parallelepipeds
das, dessen Ecken (nach Note VI) 5, 28, 26, 2, 34, 56, 59, 36 sind. Das sind
auch die Ecken eines Parallelepipeds mit Sphenoiden fünfter Klasse, wie
nachher gezeigt wird, nur tritt bei diesen Sphenoiden eine Vertauschung
der Hauptachse mit einer der Querachsen ein. Für %,—=0, 3)=13), d.h. das
20.3-Eck, fällt die Gruppierung der vierten Klasse direkt mit einer der
fünften Klasse zusammen. Für Bestimmung der quadratischen Sphenoide
gibt die Bedingung y, —=z, nichts brauchbares. Soll z,=y, sein, so eilt
die Gleichung zwischen s und t:
99) t — (25/5 — eot p) sin? g.
Das ist eine Gerade Z, durch den Punkt s=1, = AB, d hs
dasjenige 12.5-Eck, durch welches die Gerade L, ging, wie denn in der
Tat für das 12.5-Eck die Sphenoide vierter Klasse mit solchen zweiter
zusammenfallen. Die Gerade Z, geht ferner durch den Punkt s — Zoot Sir is :
1 2V5+5
t— = 60129. 0329 — ———
BAFSRERST. 15
dingung x; —=z, gibt die Gleichung der Geraden:
i d.h. durch den Dodekaederpunkt. — Die Be-
__ 008? eot?p 25 cos? (1—tany)
v5 v5
Das ist eine Gerade durch den Dodekaederpunkt, die aber im übrigen
ausserhalb des Gebietes der konvexen 2.60-Ecke verläuft. Mit dem vorigen
vereint haben wir das Resultat: Es gibt eine einfach unendliche
100) t
Reihe von 2.60-Ecken, für welche die Sphenoide vierter Klasse
quadratisch sind, deren ein Grenzpolyeder eine besondere
Varietät des 12.5-Ecks, deren anderes Grenzpolyeder das Dode-
kaeder ist; im letzteren Falle werden die quadratischen
Sphenoide zu Tetraedern. Denn hier ist UyU_NM—?r d.h. das
)
25*
196 Max Brückner,
Parallelepiped ein reguläres Hexaeder. Die Sphenoide sind die bekannten
zehn Tetraeder, die sich den fünf Hexaedern im Dodekaeder einschreiben
lassen (vergl. den Anhang dieses $).
e) Sphenoide der fünften Klasse. Das charakteristische erste
Parallelepiped hat die Ecken: 13, 32, 39, 18, 82, 103, 108, 89; die Kanten sind
2% 2%, 235. Für k =0, 13)=12) ist y) zu vergleichen. Für ,—=0, d.h.
das 60-Eck, werden die allgemeinen Ecken zu 15, 29, 25, 10, 33, 46, 51, 37.
Bestimmt man aber die Eeken des charakteristischen Parallelepipeds für
die Sphenoide vierter Klasse für dasjenige Parallelepiped, dessen Haupt-
achse B,; ist, so ergibt sich 15, 33, 46, 29, 10, 37, 51, 25. Da dies die obigen
Eeken sind, so sind für das 60-Eck die Sphenoide der vierten und fünften
Klasse identisch. Der Fall 13) =3) ist unter d) erledigt. Endlich bestimmen
wir auch hier die quadratischen Sphenoide. Die Bedingung x»; —=y, gibt
nichts brauchbares. x, — 2, ergibt die Gerade:
_ 2s—1) cot?900829
101) | t =
v5
Diese Gerade ZL; der Figur geht durch s=1, t= 2+V5, d. h. durch
6]
das besondere 12.5-Eck, für welches die Sphenoide dritter Klasse quadratisch
sind, und durch den Dodekaederpunkt. Da y;—=z, eine Gerade ist, die
ebenfalls durch den Dodekaederpunkt gehend, im übrigen ausserhalb des
Gebietes der konvexen 2.60-Ecke verläuft, so folgt: Es gibt eine einfach
unendliche Reihe von 2.60-Ecken, für welche die Sphenoide
fünfter Klasse quadratisch sind, deren ein Grenzpolyeder ein
besonderes 12.5-Eck, deren anderes Grenzpolyeder das Dode-
kaeder ist. Im letzteren Falle ergeben sich wieder die schon erwähnten
zehn Tetraeder im Dodekaeder. — Ist die Hülle der Sphenoidgruppierungen
zweiter bis fünfter Klasse das Triakontagon, so sind die 30 Sphenoide
rhombische, da keine der Geraden Z,, Z,, Z,, Z, durch den Punkt s= 1,
t — e0s?p geht.')
3. Die fünf Gruppen der rhombischen Sphenoide und die Be-
stimmung ihres Klassencharakters. Um die diskontinuierlichen aus den
!) Den Schnittpunkten der Geraden L; ist keine besondere Bedeutung beizulegen,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 197
30 rhombischen Sphenoiden gebildeten Polyeder einer genaueren Unter-
suchung zu unterwerfen, greifen wir für jede der fünf Gruppen immer das
als erstes Sphenoid heraus, dessen Flächen in erster Linie in der linken
Kolonne unter 93) angeführt sind, dessen vier Flächen also für alle fünf
Gruppen auf den drei Koordinatenachsen durchgängig Abschnitte derselben
Vorzeichen ergeben. Bezeichnen wir dieses Sphenoid für die ö-te Gruppe
mit 4;B;0;D; @—=1,2,3,4,5) und verstehen unter A; die Ecke im vierten
Oktanten, unter B; die im zweiten, unter ©; die im fünften und also unter
D; die im siebenten Oktanten, so sind die vier Flächen jedes Sphenoids in
der Reihenfolge wie sie unter 93) angeführt sind mit ihren Gleichungen:
4A;B;0,) a4 b;y + Gz—d >10:
4A;B;D,) — 42 —b;y + G2—d 0!
4;0;D,;) —1;tC-+ by— iz —d=0.
B:CD) we —by— az —d—0.
Die Koordinaten der vier Ecken des Sphenoids jeder Gruppe ergeben
sich jeweils aus je drei der angeschriebenen Gleichungen. Setzt man zur
Abkürzung ab; —n, so sind diese vier Ecken mit ihren Koordinaten die
folgenden:
2 — _ ba] a m bien —— bieiq x = U,
077 ı77 172 n
a6; N. se lee,
A; U — % B; u d. C; Y N d. D: Yy N d.
BIER LT ee? a ai
N N ”R N
Verstehen wir nun unter der Normalecke N diejenige Ecke im
ersten Oktanten, für welche die drei Koordinaten die drei positiven Werte
m
= d, a, ar besitzen, also die im ersten Oktanten liegende Ecke des
Parallelepipeds, dem das Sphenoid einbeschrieben ist, so gilt für deren
Koordinaten stets die Proportion:
102) 2:y:2 — 016 16 :b,; (W— 1,2,,3,4,5).
Dabei haben die Produkte der rechten Seite für die fünf Gruppen
die folgenden Werte: :
198 Max Brückner,
jabı — — 092 00:9 + 028 cotp + 92 ct — 08 cotgp;
103) ac = 0—9°;
la, 4 = —9tanp-+0%tang.
292 2 2
ab, — = tet ot + 82 ent;
2.92 2 2
104) !ao — 7 cotp + 692 009 et;
029? @"
b,c, — ORT) cot?p + 092 ct — 9 tanp-+ gang.
292 2 2
a,b; — = tg — 0 eotp+ 00 cot p— cat;
292 2 2
105) 18 - opt ep;
023 0?
Dac—_ erg cot?p + 0%? etg—codtanp+ „tan.
292 >) 2
ab, = = ot eotp— 82 +68 et
292 2 2
106 GC Fe ar + 92 tan _0tmp—
4 27 4 4
bycy ran ot? +09? eot?g — 92 cot 0 an i
= 9 9 p+7ztanp
292 2 2
ab, — = cot?p — 09? vor + eat + 92 tan 9—T eotp:
E 292 2 2
107) 0,6; — ZZ ct p + 092 ot cotp— BR eotp +08 tn;
| 0292 6?
b,c,;, — — r PTR AT IE MELITTA
Da für Berechnung der Parameter s und i des Hüllpolyeders nach
den Formeln 81), 83), 85), 87) und 89) nur die Verhältnisse der absoluten
Koordinaten in Frage kommen, so genügt die Gleiehung 102) vollkommen.
Die Normalecke N kann nun dreimal identisch sein mit einer Ecke
k-ter Klasse, denn es lassen sich in das 2.60-Eck drei rechtwinklige
Parallelepipede mit den Kanten 2x;, 2y;, 22; einschreiben, so dass diese
Kanten parallel den drei Koordinatenachsen sind. Als Hauptachse jedes
Parallelepipeds ist dann die zu bezeichnen, die in ihm so liegt, wie die
z-achse .des ersten Parallelepipeds jeder Klasse, die mit der Achse B, des
2.60-Ecks zusammenfällt. Die 15 Normalecken sind dann:
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 199
u A BULHYENEN. BE een
1) = 12; 9, Yı, 25 l 2) = U; 2, ya 2; 12 = DOIz; 23, Y, 23
1.K1,25) =1y; Yyı, 2, &; 2KlL‘!15) = 1ly; y, 3, &; 3.Kl+ 5) = My; ys 29 %3;
43) = Ir; 21, 2, Yı- 3) lieh a: 34) = Ile; 23, %, %;-
EN N RN
| 3) = IV yo 2; 113 = V2; %, Ya 255
4.Kl.,14) = IVy; yy 2, 24; 5.Kl.) 4) = Vy; Y5, 25,85;
23) = IVz; 2, 2, Yı- leo) Vz; 25 % %5-
Dabei verstehen wir also z. B. unter Ix diejenige Normalecke erster
Klasse, die einem Parallelepiped angehört, dessen Hauptachse mit der
x-achse des Koordinatensystems zusammenfällt u. s. w. Erteilen wir den
Parametern o und r des Dyakishexekontaeders variable Werte, d. h. nichts
anderes als bewegen wir dessen Ebenen stetig im Raume (natürlich in ganz
bestimmter vorgeschriebener Weise), so kommen je zwei der 15 Normal-
ecken der fünf Gruppierungen auf verschiedene Art zum Zusammenfallen,
d. h. an Stelle des 2.60-Ecks treten als Hüllpolyeder die besonderen gleich-
eckigen Polyeder des Typus. Diese möglichen Fälle sind die folgenden,
wobei wir für jedes gleicheckige Polyeder die zusammenfallenden Normal-
ecken und das kurze Symbol anführen:
Dual. — 112% 3.= 125: Nz2==Jllz; 2 =
1= =#3: WIg-—-1IVz;
Pe lo: el lg]: 5= 5; Iy—IMy; 15 = 14; Iy=IVy;
60- J43 = 33; Ie—=IIx; 20.3-)33 = 34; Ix—Ilx; 12.5-)33 = 33; Ux—1Ve;
Eck | 3 = ASHYER—AUTR Eck } 3 — 13; Vz = \z; Eck |j9 = 13; Ig=-Vz;
14 = 24; IVy=\Vz; 14 = 4; IVy= VY; 5= 4 Hy=\Vy;
23 = 13; Wz= Vz: 233 = 34; We= Ve. 34 = 4; Mr —=Ve.
Variieren wir dann für ein Polyeder irgend einer Gruppe mit be-
stimmten Ecken %-ter Klasse des 2.60-Ecks die Ebenen des Dyakishexe-
kontaeders, so geht es in ein Polyeder derselben Gruppe mit Ecken der
Klasse % jeweils durch ein bestimmtes spezielles Hüllpolyeder über, das
sich aus den eben angegebenen Tabellen ablesen lässt. Ein Polyeder z.B.
das nach der Normalecke zur Klasse IIx gehört, geht in ein Polyeder der
Klasse Ix über durch das 20.3-Eck, in ein Polyeder der Klasse Vx durch
das 12.5-Eck als Hüllpolyeder u. s. w. Diese Vorbemerkungen werden für
das Weitere genügen, um die Polyeder jeder Gruppe den verschiedenen
200 Max Brückner,
Klassen zuzuweisen. — Wir untersuchen nun die Sphenoide der fünf
Gruppen analytisch-geometrisch und beginnen mit der ersten Gruppe.')
4. Die erste Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakis-
hexekontaedertypus. Der Gang für die Untersuchung der Sphenoid-
gruppierungen im Dyakishexekontaedertypus kann nicht genau derselbe sein,
wie für die entsprechenden Gruppierungen des Hexakisoktaedertypus; denn
nach Bestimmung der Koordinaten einer Ecke aus drei der Gleichungen
des ersten Sphenoids der zu untersuchenden Gruppe ist nicht wie dort aus
den erhaltenen Werten ablesbar, welcher Ecke die Koordinaten zugehören.
Es muss vielmehr hier irgend eine bestimmte Varietät des Kernpolyeders
zu Grunde gelegt werden, für welche man das Polyeder der Gruppe dar-
stellt und damit direkt die Klassenzahl der Ecke erschliesst. Gehen wir
für die erste Gruppe von der Sphenoidgruppierung aus, deren Kern die
archimedeische Varietät des Dyakishexekontaeders ist, so zeigt sich, dass
die vier Ecken des ersten Sphenoids die Ecken 74 (1, 20, 111); 37 (1, 20, 110);
44 (1,110, 111) und 87 (20, 110, 111) eines (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecks
sind, dass also die Normalecke des Polyeders die Ecke 34) ist, wonach die
Sphenoidgruppierung zur Klasse IIx gehört. Von hier aus sind nun die
weiteren Untersuchungen der Gruppierungen lediglich analytisch zu führen.
Denn es gilt nach dem allgemein Gesagten für die Normalecke des
Polyeders dann:
2:%:Y% —da:G:ab;
und nach den Formeln 85) hat man für die Parameter s und ? des um-
hüllenden gleicheckigen Polyeders:
ac, eotp+ a,b, + bic, cot?p
|’ 7 2e(a,tanp+tb,ectg)
ee OL ann p.
a, tanp + b, cotp
108)
1) Von den diskontinuierlichen Polyedern dieser fünf Gruppen von Sphenoiden ist
nur eine beschränkte Anzahl (ihrer Kompliziertheit wegen) konstruiert und in Modellen auf
den Tafeln dargestellt, wobei besonders auf solehe Individuen Rücksicht genommen wurde,
deren Hüllpolyeder ein allgemeines 2.60-Eck, deren Kern aber ein spezielles gleichflächiges
Polyeder ist, da die vollständigen Figuren für die allgemeinsten Kerne sich im verfügbaren
Raume einer Tafel wenig übersichtlich gestalten. Der Einfachheit wegen sind selbst in den
gezeichneten Figuren meist nur die unbedingt nötigen Geraden gezogen.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 201
Um den Gültigkeitsbereich dieser Formeln zu erkennen, beachte man,
dass eine Sphenoidgruppierung mit Ecken dritter Klasse, deren Normalecke
die Ecke 34) des Hüllpolyeders ist, in eine solche mit Ecken fünfter Klasse
Vz durch den Grenzfall des (12+20)-flächigen 12.5-Ecks als Hüllpolyeder
übergeht, in eine solche mit Ecken zweiter Klasse Ix aber durch den
Grenzfall des (12+20)-flächigen 20.3-Ecks als Hüllpolyeder. Für den ersten
der beiden Grenzfälle muss s— ı sein, während für den zweiten zwischen
s und i die Relation = nina besteht. Nun ergibt sich für s—1ı1 aus der
ersten der Gleichungen 108) zwischen den a,, b,, c, die Beziehung
a, c, tan?p + a,b, — bc, tanp — 0,
oder mit Einführung der Werte aus 103) nach einiger elementarer Rechnung:
el
109) er,
als Gleichung zwischen den Parametern o und r derjenigen Kernpolyeder,
für welche die Hülle der Sphenoidgruppierung ein (12+20)-flächiges 12.5-Eck
wird. In der Ebene der o, r stellt 109) die Gleichung einer Hyperbel (€,
(vergl. Fig. 4, Taf. 11) dar, die durch den Punkt ,o=1,9=1, d.h.
— Er des Triakontaeders und durch den Punkt A, o = Ve T— Auen
der A. V. des Deltoidhexekontaeders entsprechend, geht.')
Für or —g ergibt sich aus 108): a,b, + bc, tanp— a, c, eotp — 0,
older nach Einführung der Werte für die Produkte der «a, b,, a:
110) ee
20°—1—2%tan?gp’
als Relation zwischen den o und r derjenigen Kernpolyeder, für die die
Hülle der Sphenoidgruppierungen ein (12+20)-flächiges 20.3-Eck ist. Der
; ‘ & 1 : \
Gleichung 110) wird genügt durch o=1,7=-_, , d.h. die durch sie
cos?’
1) Zur Auffindung des Verlaufes dieser und der weiterhin zu diskutierenden Kurven
hat man ihre Schnittpunkte mit den beiden Geraden C, und (', und der Hyperbel Ü, zu be-
stimmen. Es sind im folgenden von vornherein nur die als brauchbar befundenen Schnitt-
punkte angeführt; auch sind in den Figuren der Einfachheit wegen die Kurventeile wieder
meist als Gerade gezeichnet.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 26
202 Max Brückner,
dargestellte Hyperbel (€; (s. Fig.4 Taf. 11) geht durch den Triakontaederpunkt 7.
Für den Schnittpunkt 3 der Kurve C, mit der Deltoidhexekontaederkurve (;,
ergibt sich aus 110) in Verbindung mit $ = 1 ‚ für o die quadratische
— 06 c0t?
Gleichung 6?—46tan?p + tan? (6 tan?P— 1) —= 0, deren hier allein brauchbare
Wurzel
c— 3—_ys+ 51 /v5— — 1,06421...
ist. [Das zugehörige x ergibt sich aus 110). Es ist also hiermit die
Gültigkeit der Formeln 108) auf das Gebiet derjenigen Dyakishexekontaeder
beschränkt, das von den Kurven C, und C, und einem Teile von ©, be-
grenzt wird, sowie auf die Deltoidhexekontaeder, deren s und r eben diesem
Teile der €, zugehören. Setzt man in 108) selbst die Werte der a,b, u.s. w.
ein, so ergeben sich hier die verhältnismässig einfachen Formeln:
a 62 — T cos? 07008?°p+0tan?p—T
2(otsin?p-+ otanp—T cos? y)’ ortsin?p+otanp—rcos?p
9
cos? Y.
Im allgemeinen erscheinen die Werte von s und £ für das Hüll-
polyeder nach Einführung der Produkte der a, b;, c; in der Form von Brüchen,
deren Zähler und Nenner offenbar nur algebraische Summen der Glieder
0292, 092, 0°9, 9, 09, 0%, multipliziert mit trigonometrischen Funktionen des
Winkels 9 sind, da höhere Potenzen der 6 und 9, wie sich aus den Formeln
103)— 107) ergibt, nieht auftreten können. Es sind diese ausgerechneten
Werte leicht hinzuschreiben, im folgenden aber meist nicht angeführt, da
die Betrachtung der speziellen Polyederindividuen sich ebenso direkt an
Formeln des Charakters 108) anschliessen lässt. — Von Sphenoidgruppierungen,
die dem bisher betrachteten Gebiete angehören, sind die beiden folgenden
dargestellt. Für die A. V. des Deltoidhexekontaeders als Kern ergibt sich
für die äussere Hülle das (12+20)-flächige 12.5-Eck mit m. Die
Fläche dieses diskontinuierlichen Polyeders zeigt Fig.1 Taf. 15; das Modell
des Körpers selbst Fig. 2 Taf. 25. Die beiden Dreiecke S, 5,8, und 8,838;
sind die Flächen von Sphenoiden der ersten und zweiten Gruppe, da für
das Deltoidhexekontaeder als Kern diese beiden Gruppen identisch werden.
Die Anordnung der Kantenwinkel S in einer Ecke des Polyeders zeigt die
Die gleicheekig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 203
zur Fig. 1 Taf. 15 gehörende Figur auf Taf. 14. Denn diese Ecke ist dis-
kontinuierlich 2.3-kantig, da in jeder Ecke des 12.5-Ecks zwei Ecken
verschiedener Sphenoide zusammenfallen. Es wird sich später ergeben, dass
die Sphenoide für dieses Polyeder quadratisch sind und zwar ist
8, = 5% = I = 8,8, = 2Yy? +22 und 58, = 8,8, — 22,2, also
2a6 j BE er ah Fa
9,9, — 5 Vo—1)? cot?p+tan?p— 2a |/2(25— 2/5), 8,8, — a tan?p—4a
(ey5+3)/Y2. Für die Kanten des umhüllenden 12.5-Ecks findet man aus
Es A
den früher angegebenen allgemeinen Formeln: Ay: %, — m 1.4. Als zweites
7
Beispiel ist das diskontinuierliche Polyeder angeführt, dessen Kern das
; A 3/5 = 5
Deltoidhexekontaeder für « — u — 1,0739, r— 2 Ro
Als Hülle ergibt sich ein (12+20+30)-Hächiges 2.60-Eck mit den Para-
— 1,2451 Ist.
meterwerten s— 1? vs, — +, für dessen Kanten die Proportion gilt:
kıtkyık = ar :2:1. Das Modell dieser Gruppierung von 30 rhombischen
Sphenoiden zeigt Fig. 6 Taf. 27 als Beispiel für eine allgemeine Gruppierung
dritter Klasse mit dreikantigen Ecken. Die Fläche des Polyeders, bestehend
aus zwei Dreiecken, der ersten und zweiten Gruppe der Sphenoide zugehörend,
ist in Fig. 4 Taf. 10 in der vollständigen Figur dieses besonderen Deltoid-
hexekontaeders dargestellt. Es sei noch bemerkt, dass auch die Werte
a 4;
22 33
das die Formeln 108) gültig sind. . Man findet für s und £ des Hüllpolyeders
die Werte T, . der A. V. zugehörig. Was endlich das Grenz-
— 1,279 dem Gebiete IiIz angehören, für
polyeder im Punkte B anbetrifft, so ergeben sich für die Hülle dieser 30
rhombischen Sphenoide [ein bestimmtes (12+20)-flächiges 20.3-Eck] die Para-
meterwerte:')
ALM (5—V5)t
oe ee
!) Diese Gruppierungen von 30 Sphenoiden, deren Kerne und Hüllen spezielle
Polyeder des Typus sind, bieten auch in den folgenden Grenzfällen an und für sich nichts
Merkwürdiges; doch ergeben sich aus ihnen bei veränderter Auffassung der Flächen dis-
kontinuierliche und kontinuierliche Nullpolyeder, auf die in den Zusätzen am Ende dieser
Abhandlung hingewiesen ist.
26*
%“
204 Max Brückner,
Wir erschliessen nun von dem Gebiete IIx aus über die beiden
Grenzkurven weitergehend, die übrigen Klassen der Sphenoide der ersten
Gruppe. Für die jenseits der Kurve C, liegenden Dyakishexekontaeder als
Kerne der Sphenoidgruppierungen sind die Eeken des Hüllpolyeders von
der fünften Klasse, und zwar ist die Normalecke die Ecke 24), für welche
die Proportion 2,:2,:y; = bie, :a,c,:a,b, gilt. Danach ist für das (12+20+ 30)-
flächige 2.60-Eek, (das die Hille der Sphenoidgruppierung bildet, gemäss
den Formeln 89):
PORN. uw Dal uva”
| 2 2 (ab, +b,c +a,cı)
| ac eoty +ba 9
| ab rtrbhn te ae
111)
Diese Formeln gelten für das Gebiet von der Kurve C, aus so weit,
bis die Ecke 24) mit der Ecke 14) zum Zusammenfallen kommt, was für
das (12+20+30)-flächige 60-Eck geschieht, wonach dann die Sphenoid-
gruppierungen der Klasse Vz in solche der Klasse Ivy übergehen. Die
Bedingung hierfür findet man aus ng ent y, worin s und t die
Werte 111) sind, nämlich a, c, — bc, eoty + a,b, tang — 0, oder nach Einführung
der Werte für ab, U.S. w.:
112) 9 —= 20 — 02.
Wir haben in 112) die Gleichung einer Parabel C, (Fig.4 Taf. 11)
vor uns, die durch den Triakontaederpunkt 7’ —=1, o—=1) geht. Für
ihren Schnittpunkt © mit der Deltoidhexekontaederkurve C, ergibt sich aus
02—20(4—y5)+ SI 5) —o der Wert der Koordinate‘s zu:
/ 42— 18/5 = 1,1023...
112°) Ga Va,
Damit sind die Sphenoide der ersten Gruppe mit Eeken fünfter Klasse
Vz auf das Gebiet zwischen den Kurven C, und C, und wiederum einen
Teil von C, beschränkt, und es ergeben sich somit auch solche Gruppierungen,
deren innere Kerne bestimmte Deltoidhexekontaeder sind. Bestimmt man
für dieses Gebiet von den Formeln 111) aus die Grenzkurve gegen die
Polyeder dritter Klasse, so erhält man natürlich wieder die Gleichung von (..
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 205
Übrigens erhalten auch für dieses Gebiet die Formeln von s und t in o
und z eine einfache Form, nämlich:
re er _ 6 +tan?p)— 59 np
20(6—tanp— tan?y)” c6(o—tanpy— Ftan?y) 2
Für die Sphenoidgruppierungen jenseits der Kurve (, ist die Normal-
ecke des Hüllpolyeders die Ecke 14) und die Polyeder gehören zur Klasse IVy.
Es ist dann: y,:2,:2%4 — bie, :aıc,:a,b,, also für das Hüllpolyeder:
113) | 2 (ab +ba + c)
IP date eotg
abs +bhatac
608? .
Das Gebiet dieser Sphenoidgruppierungen vierter Klasse wird einer-
seits von der Kurve (, begrenzt, wonach die Hüllpolyeder 60-Ecke sind,
und deren bereits abgeleitete Gleichung sich wieder ergibt, wenn man
&
cos?
s— 1, denn durch die 12.5-Ecke als Grenzpolyederhüllen gehen die Sphenoide
— 4s—cot?y setzt. Die andere Grenze des Gebietes findet sich aus
vierter Klasse in solche zweiter über. Die Bedingung hierfür ist also:
abtan®y +ba — ucatanp —=O
oder
114) 2 —209 +9 —0.
Diese Gleichung stellt eine Hyperbel C; (Fig. 4 Taf. 11) dar, die durch
den Triakontaederpunkt 7 (9 —=c=1) und den Punkt E für das Deltoid-
hexekontaeder geht, für den sich die o-koordinate nach 114) und der Gleichung
von (C, aus der quadratischen Gleichung 0?—26tan?p—tan®?p—=0 ergibt,
nämlich:
114‘) 03/5 4 /s—aV5 = 1,1088.
Nach Überschreitung dieser Kurve C; gelangt man in das Gebiet
der Polyeder zweiter Klasse IIy, für welche die Normalecke des Hüll-
polyeders die Ecke 15) ist. Dann iSt: 9:23:29 — bc :a,cı:a,b,, wonach sich
für s und t die Werte ergeben:
206 Max Brückner,
H _ ab +b,ctanp-+ajc, eotp
2 (a,b, tan?p + a, c,)
dbatanp+ta,c
ab tan?p+ ac,
115) |
t
cos? .
Für s=ı ergibt sich die Gleichung 114) der Kurve C;. Anderer-
seits wird das Gebiet durch eine Kurve (, begrenzt, deren o und z die-
jenigen Dyakishexekontaeder charakterisiert, für die die Hüllpolyeder der
Sphenoidgruppierungen 60-Ecke sind, und die Ecken zweiter Klasse IIy
mit solchen erster Klasse Iy identisch werden, die Ecke 15) mit der Ecke 25)
zusammenfällt. Die Bedingung hierfür ist: dc, tanp-+ a,b, —a,c, tan?p — 0.
Da für das Triakontaeder a, — b, = 0 ist, so geht diese Hyperbel C, wieder
durch den Punkt 7. Ihre Gleichung in o und # lautet:
116) — 209 +0? cotp-+ #coty— 2ctany —= 0.
Durch Einsetzung von $ — ee, ergibt sich für den Schnitt-
punkt F der Kurven (, und (, für o die Gleichung:
62—6(8—10 tang) — 23tang +15 —0 oder: ®—(13— 5/5) pa anni ug
und daraus für 6 der eine Wert:
= Ba + Yar— 215 = 1,11146.
Nach Überschreitung der Kurve (, endlich gelangt man in das Gebiet
der Polyeder erster Klasse Iy, für welche die Normalecke des Hüllpolyeders
die Ecke 25) ist, so dass yı:z:2, = bi& :a,c,:a,b, wird. Danach kommt hier:
ei
PTntang+ta’
\ ba tanp + a0
ab, tan®p + ac
117)
c08?Y.
Da die Polyeder mit Ecken erster Klasse, wie aus den allgemeinen
Betrachtungen erinnerlich ist, nur durch die 60-Ecke in Polyeder anderer
Klasse, nämlich solcher der zweiten, übergehen können, so ist die Zahl
der Teilgebiete für die konvexen Dyakishexekontaeder nach dieser Seite
hin erschöpft und das Gebiet der Iy erstreckt sich bis zur Triakisikosaeder-
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 207
geraden (,, diese ausgeschlossen. Denn für jedes Triakisikosaeder ist d, — 0,
also ergeben die allgemeinen Formeln 117) dann s—= 1, t— cos?g unabhängig
von o und r. Die Hülle des diskontinuierlichen Polyeders wäre somit das
Triakontagon, in dem aber die Sphenoide erster Klasse illusorisch sind.
Wir kehren nun zurück zu dem Ausgangsgebiete der Polyeder dritter
Klasse II, für die die Normalecke die Eeke 34) des (12+20+30)-Hächigen
2.60-Ecks war. Überschreitet man die Kurve C,, so tritt an Stelle der
Normalecke 34) die Ecke 33) und die diskontinuierlichen Polyeder gehören
. der Klasse Ux an. Es ist dann: z,:2,:9% —=b,c:a,c,:a,b, und damit
PORERIL + a,b, tanp + bc, coty
118) | 2 (a, c, tan?p + bıcı)
I, — Ad tanp+bicı
= z : — 603? .
ac, tan?p + bc, ?
co8?
der Kurve (C,. Die Gültigkeit der Formeln 118) erstreckt sich über das
Gebiet dieser Sphenoidgruppierungen zweiter Klasse bis zu der Grenz-
kurve, für die diese Gruppierungen durch das 60-Eck als Hüllpolyeder in
solche der ersten Klasse Ix mit der Normalecke 43) übergehen. Die Gleichung
dieser Grenzparabel C, ist a,b, tanp + ac, —b;c, tan?p — 0, oder
Für rer —s ergibt sich selbstverständlich wieder die Gleichung 110)
+19) 0?+%tan?p— 2ctanyp — 0.
Die erste Form zeigt, dass die Kurve wiederum durch den Tria-
kontaederpunkt 7 (a, = b, — 0) geht. Für den Schnittpunkt G mit der Deltoid-
hexekontaederkurve C, ergibt sich aus 06 yo, der
eine Wert für o:
see, I — |/2—4/5) = 1,04812.
Es nehmen für diese Polyeder zweiter Klasse überdies die Werte
118) bei Einführung der o und % hier die einfache Form an:
(6? — 9) eotp
—— ur ( — 9) (6 — tan 2) eotp
29 (o—1)taanpg+0— #8]
$(c—1)tanp +0—9 I
S DI
Die Polyeder mit der Normalecke 43) der Klasse Ix des Hüllpolyeders
lassen nun nur den einen Übergang durch das 60-Eck in Polyeder der
208 Max Brückner,
zweiten Klasse Ix zu, so dass die Anzahl der Teilgebiete, in die das
Gebiet der konvexen Dyakishexekontaeder für die Sphenoide der ersten
Gruppe zerfällt, erschöpft ist. Für die zuletzt genannten Polyeder erster
Klasse ist 2:2, :9 =dbic,:a,c,:a,b, und damit
En bi
atan?p+b,'
hi a,b, tangp + bıcı
actan?p+b,c,
Ss
120)
cos? .
Diese Formeln gelten für das ganze Gebiet zwischen der Kurve
und der Geraden C,, wobei die Kernpolyeder der Geraden C, selbst aus-
zuschliessen sind. Denn für die Pentakisdodekaeder ist a, —0, wonach die
Gleichungen 120) s—1, t=cos?p ergeben und die frühere Bemerkung
hierüber zu wiederholen ist. Hiermit sind nun alle Sphenoidgruppierungen
der ersten Gruppe des Typus den Klassen zugewiesen und es hat sich
ergeben, dass die Gruppierungen zweimal zur ersten und zweimal zur
zweiten Klasse in getrennten Gebieten gehören, während jede der drei
übrigen Klassen je einmal vertreten ist. Die Polyeder der Klassen Ix und
Iy sind polarreziprok zu einander, während sich die polarreziproken Polyeder
der anderen Klassen der ersten Gruppe in den späteren Gruppen finden
müssen. Was die erste Behauptung anbetrifft, so lässt sie sich leicht für
die beiden Polyeder erhärten, deren Kerne die beiden Deltoidhexekontaeder
der Grenzpunkte F und G sind. Berechnet man für das Polyeder des
Punktes F nach den Formeln 115) die Parameter s und t des Hüllpolyeders,
so ergeben sich die reziproken Werte der o und x des Kernpolyeders der
Gruppierung im Punkte G. Der allgemeine Nachweis der polaren Rezipro-
zität der Sphenoidgruppierungen zweier bestimmten Gebiete lässt sich im
Prinzip ebenso wie früher bei Betrachtung der Polyeder des Hexakis-
oktaedertypus führen; doch sind die Rechnungen hier so ausgedehnt, dass
es wohl geraten scheint, lediglich im folgenden auf die Lückenlosigkeit
der Zuordnung aller Gebiete hinzuweisen, wie dies in Nr. 10 dieses $
besonders geschehen soll.
5. Die zweite Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakis-
hexekontaedertypus. Da für das Deltoidhexekontaeder als innerer Kern
die Sphenoide der ersten und zweiten Gruppe identisch sind, so trägt die
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und nichtkonvexen Polyeder. 209
Kurve C, für die Polyeder der zweiten Gruppe dieselben Grenzpunkte
4, B,C, E,F,G mit ihren zugehörigen speziellen Hüllpolyedern, die mit
denen der ersten Gruppe zusammenfallen. Daraus folgt aber, dass für die
Sphenoide der zweiten Gruppe mindestens dieselben Klassen existieren
müssen, wie für die Sphenoide der ersten Gruppe, da für diese alle Teil-
gebiete von der Kurve (\, begrenzt werden. Dabei werden natürlich die
Grenzkurven für die Einzelgebiete der Polyeder nach den Klassen einen
verschiedenen Verlauf innerhalb des Gebietes der konvexen Dyakishexe-
kontaeder für beide Gruppen haben. Die Bestimmung der Grenzpunkte
4A, B u.s.w., die für die zweite Gruppe aus anderen Gleichungen erfolgt
wie für die erste, gibt zugleich eine schätzenswerte Kontrolle der Richtigkeit
der bereits berechneten Werte. Wir beginnen die Betrachtung der Sphenoide
der zweiten Gruppe mit denen der zweiten Klasse IIy, für welche die
Normalecke des Hüllpolyeders die Ecke 15) ist, da ein Polyeder dieses Ge-
bietes als allgemeines Beispiel für solche zweiter Klasse dargestellt ist.
Es gilt für die Normalecke 15) jetzt die Proportion: 9:23:20, — b%: 4,6 : a,b,
und für die Parameter der Hüllpolyeder der Sphenoidgruppierungen wird dann:
a,b, + byc, tan p + Qayc, eoty
T 2@btagtmeo) '
; a 2 &tanp-+ ayc,
ud, tan? p-+ a,C,
121)
c08°Y.
Der Gültiskeitsbereich dieser Formeln erstreckt sich einerseits so weit,
bis die Ecke 15) mit der Ecke 25) zusammenfällt, die Polyeder der Klasse IIy
durch das 60-Eck also in Polyeder erster Klasse Iy mit der Normalecke 25)
übergehen; andererseits bis zum Zusammenfallen der Ecke 15) mit der
Ecke 14), wonach die Hüllpolyeder der Sphenoidgruppierungen durch das
12.5-Eck zu solchen mit Sphenoiden der Klasse IVy werden. Die erste Grenze
für die Gültigkeit der Formeln 121) ergibt sich also aus oz 5;
es wird: ab, —a,c, tan?p + bc, tang—0 oder nach Einführung der Werte a,b, u.s.w.:
—485— c00t?9;
292 29
= tan og — 09? (tang-+ coty) + ne (tang-+ coty)
BD)
+9 cat —c#tan?y +7 (1—3tangy) — 0.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. BT
210 Max Brückner,
Um den Schnittpunkt N dieser Kurve (,, (vergl. Fig.5 Taf. 11) mit
der Triakisikosaedergeraden C, zu finden, setzen wir $—=o und dividieren
die Gleichung durch 0? (da o>0 sein muss). Es ergibt sich:
6? —26(1+ e0t?g)—4coty+5cot?p —=0 oder ++ to
und daraus die eine brauchbare Wurzel:
= — V2W5+1) = 1,014...
LEE
6—4eot?y
von C,, mit der Kurve (,, so kommt für o die Gleichung 06?—20(4—5 tany)
Setzt man in 122) 9 — ‚ d.h. bestimmt den Schnittpunkt
+15—23tang —0, d.h. dieselbe Gleichung wie früher für die o-koordinate
des Punktes F auf der Kurve (, bei der ersten Gruppe. Für die zweite
Grenzkurve C,, des jetzt betrachteten Teilgebietes ergibt sich die Gleichung
aus s—=1, nämlich
@yb, tan? p + b3c, — ac, tan py — 0
oder:
292 2% 5\2
123) ne (1—2 coty)— 09 tan?g + = eoty+ (9-3) tanp — 0.
Der Schnittpunkt O der durch diese Gleichung dargestellten Kurve Q,,
mit der Triakisikosaedergeraden ©, ergibt sich für $—=c, d. h. aus der
Gleichung 0?(1— 2 coty) + 26 (eotp—2tan?g) + tanp — 0, nämlich:
or
— 1,03181.
123‘) =’ +2] 5—2|
2 5
Die Deltoidhexekontaederkurve C, wird von C,, in einem Punkte E
geschnitten, dessen o-koordinate sich aus der Gleichung 6? — 26tan?p—tan?p —0
° ___ erhält. Diese
4—6c0t?p
Gleichung ist aber identisch mit der quadratischen Gleichung für die
s-koordinate des Punktes E bei der ersten Gruppe. Hiermit ist das Gebiet
ergibt, die man aus 123) nach Einsetzung von $ —
der Sphenoidgruppierungen mit Eeken der Klasse IIy vollständig begrenzt.
Als Beispiel für ein Polyeder der zweiten Gruppe zweiter Klasse führen
wir das in Fig. 3 Taf. 25 dargestellte an, dessen Kern die A. V. des
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 211
Triakisikosaeders ist. Führt man in die Formeln 121) die in Nr.3, $1
dieses Kapitels verzeichneten Koäffizienten a, bs, c, für die A. V. des Triakis-
23 /5+21 2(11/5+15)
TEE — 0,953; = — E 833:
Für das Verhältnis der Kanten des Hüllkörpers, der ein (12+ 20 + 30)-Hächiges
2.60-Eck ist, erhält man, in bekannter Weise berechnet:
ikosaeders ein, so ergibt sich s —
Die aus zwei Dreiecken bestehende Grenzfläche des Polyeders in
der vollständigen Figur der A. V. des Triakisikosaeders zeigt Fig. 4 Taf. 16.
Nach Überschreitung der Kurve (, gelangt man in das Gebiet der
Sphenoide erster Klasse Iy, für deren Normalecke 25) die Proportion gilt:
Y1:21:% —= br62:QyC,:Qa,b,, wonach für das Hüllpolyeder
[5)
sr ——
| b,tan?p +6,
124) Zune
Fe by; tan +90 6082
a,b, tan? P-+as6,
ist. Dieses Gebiet der Polyeder erster Klasse reicht ohne Grenze bis zum
Ikosaederpunkt, da eine neue Übergangskurve in Polyeder anderer Klasse,
wie schon früher bemerkt, für die Iy nicht existiert. Über die ‘andere
betrachtete Grenzkurve C,, betritt man das Gebiet der Polyeder vierter
Klasse IVy mit der Normalecke 14), für welche jetzt y,:21:% = b»%:4,% :q,by
ist, wonach
ayby eotp + b3& + rc, cot?p
kr: SIEBERT
Im _ bo+4cotp
ab, + b3C&y + Quc,
125)
cos?
wird. Wir bestimmen hier und im folgenden stets nur die neue Grenze
gegen die Polyeder der noch nicht diskutierten Klasse, also hier die Grenze
gegen die Polyeder fünfter Klasse Vx mit der Normalecke 24), mit der die
Eeke 14) zusammenfällt, wenn die Hülle der Sphenoidgruppierung ein 60-Eck
wird. Unter dieser Bedingung ergeben die Gleichungen 125) die Relation:
a,b, tan p — b,c, cotp + a,c, — 0, oder:
ee 0% wor 3
126) — =
212 Max Brückner,
Die Diskussion dieser Gleichung zeigt, dass die durch sie dargestellte
Kurve (,, (vergl. Fig.5 Taf. 11) die Pentakisdodekaedergerade C, in einem
Punkte Z, die Deltoidhexekontaederkurve C, in einem Punkte C schneidet,
der mit dem Punkte C derselben Kurve C, für die Sphenoide der ersten
Gruppe identisch ist. Setzen wir in Gleichung 126) c = 1, so erhalten
wir für die Koordinate x des Punktes ZH die Gleichung:
tan? +29(2 —tany)—3 —=0
oder
92429 cotp/5— 3 cot?p — 0,
3 u
cos? — 2V10—5 = 1,32455 folgt.
Das Gebiet der Sphenoide zweiter Gruppe vierter Klasse wird also von
woraus $ — cotp (2/2—y5) und damit <—
fünf Kurvenstücken — einem Teile von C,, ©, und C,; und den Kurven (,,
und CO), — begrenzt. Wir untersuchen dasjenige Polyeder, für welches der
Kern das Triakontaeder ist, das diesem Gebiete angehört. Es ist für das
Triakontaeder a,b, — nn, bo = a, N — a, also ergeben die
Gleichungen 125):
2tan?p-+ coty
4—ootg _ 3/5+1
Re:
ww 2 (tan p +tan?y-+tandg) Fr 4tang — 0,9635,
21 tan?gp+ coty au. Bein, _ Y5+1 kb
tanp+tan?p+ tandy il 2tang un ZZ TRgRaEr: 0,80902.
Für die Kanten des Hüllpolyeders der Gruppierung findet man hiermit
die Proportion: k:ly:%, —1: rl Das Modell dieses Polyeders, dessen
Hülle also ein (12+30+30)-Hächiges 2.60-Eck mit regulären Zehnecken
ist, zeigt Fig. 1 Taf. 25, die in der vollständigen Figur des Triakontaeders
enthaltene Grenzfläche Fig. 6 Taf. 15. Die vier in eine Ebene des Tria-
kontaeders fallenden Dreiecke 7, 7', 7“, 77,7", T,7',T", und 7,T',7“,, die
ein diskontinuierliches Zwölfeck bilden, sind die Flächen je eines Sphenoids
der zweiten bis fünften Gruppe, für welche also dasselbe Polyeder, wie
auch die weitere Untersuchung zeigt, stets zur Klasse IVy gehört. Das
reziproke Polyeder wird sich also in der vierten Gruppe der Sphenoide
finden, und muss gleichzeitig vier Klassen zugehören, wobei seine Hülle
das Triakontagon ist. — Über die Grenzkurve (,, hinweg gelangt man in
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 213
das Gebiet von Polyedern fünfter Klasse Vz mit der Normelecke 24), für
deren Koordinaten die Proportion 2,:2,:9 — b%:@,6,:qa,b, gilt, wonach für
die Parameter des Hüllpolyeders sich die Formeln ergeben:
__ AdyCy eotp + Aybz + byc, cot?p
dan FT IT3@H Hr SE Fa
) | Ay, eotp + byc,
%b+bo+a,c
cos? p.
Dieses Gebiet geht in das der Polyeder dritter Klasse IIx längs
einer Kurve C\,, über, für welche die Hüllkörper der zugehörigen Sphenoid-
gruppierungen (12-+20)-Hächige 12.5-Ecke sind, deren Gleichung sich also
aus 127) für s—= 1 ergibt. Diese Gleichung wird: ac, tan?p + a,b, —b,c,tany — 0
oder
292 29 52
128) - (4+tang)— 309? + = +92 coty + 0% tan?p—, (4 — eoty) = 0.
Für die o-koordinate des Schnittpunktes A dieser Kurve C,, mit der
Deltoidhexekontaederkurve C, findet man in bekannter Weise die Gleichung:
0—40tanp + 17tanpy—9 = 0, woraus 6 = 5 —1+ on folgt.
Die eine hier zulässiee Wurzel ist also „3059 d.h. der Para-
to} 2 ’
meter für die A. V. des Deltoidhexekontaeders, wonach die beiden Punkte A
für die erste und zweite Gruppe tatsächlich identisch sind. Die betreffende
Sphenoidgruppierung wurde schon betrachtet. Für die r-koordinate des
Schnittpunktes X der Kurve C\, mit der Geraden C, leitet man durch Ein-
setzen von o—1 in Gleichung 128) die Gleichung
LED Even
9? == —
13— 5/5 13— 5/5
ab, woraus sich |
_ 24-5) +4l\/V5—2
13—5//5
%
und damit für x der eine brauchbare Wert
er VEN in
orale V5—2 A NEAR 9033
10— 3/5
ergibt.
214 Max Brückner,
Für die Werte der o und z der folgenden Kurve C,, (vergl. Fig. 5
Taf. 11) gehen die Sphenoidgruppierungen dritter Klasse IIz in solche der
zweiten Klasse IIx über, wobei an Stelle der Normalecke 34) die Normal-
ecke 33) tritt, die für die Hüllpolyeder der Übergangssphenoide, es sind
hier 20.3-Ecke, zusammenfielen. Die Parameter der Hüllkörper der Polyeder
der Klasse IHx mit der Normalecke 34), für welche 3:23 :y; — b,& : 4,6 : @,bs
ist, sind durch die Formeln gegeben:
_ 926, eotp + a,b, + bc, eot?g
2 (asC, tan + bac, cotg) °
= dyCy eotp +b,& 5
082 p.
A, c, tanp + b>C, eoty
- . e 7
Die Gleichung der Grenzkurve (C, ist Fe oder a,b, +b,c,tang
— 4,6, e0tp —0, d.h:
02%? 02% o 062
130) 1 cot?p— 082 c0t?p + 7 cot?p +9 (3 coty—2)— 09 cotp-+ z tan? y —():
Ihr Schnittpunkt Z mit der Geraden 6 = 1 ergibt sich aus:
9 (5 ct —11)+29+tan?p —=0,
fe . 2+4\/5—2
d.h. aus 92 + 2 —0, nämlich $ — v5 aM und damit
5/5—17 5/5—17 17—5/5
15 +2Yd)(ı+2\/5—2y5
130‘) ae A5+2VH)(A+ | =) v5) — 1,1650,
41
da nur das positive Vorzeichen der Wurzel brauchbar ist. Der Schnittpunkt B
von C,, mit C, ergibt sich aus ®®—46tan?p— 17tanp+11=0, d.h. aus
0?— 26 er Lu bei. —o. Man findet: o
|
os
|
=
+
|
|
Da man dafür 3 —y5 + 7 —| y5—2 schreiben kann, so ergibt
sich derselbe Grenzpunkt B wie bei de: ersten Gruppe an derselben Stelle.
Der Gleichung 130) wird übrigens genügt durch die reziproken Werte der
s und 2 des oben beschriebenen Polyeders zweiter Klasse der zweiten Gruppe,
dessen Kern die A. V. des Triakisikosaeders ist, nämlich durch
4.19 99/5 —; 5.19 il;
= ——3V5T21._ 19486 und <= — ee 15
— 1,1996,
23 /5+21 29 2(11/5-+15)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und nichtkonvexen Polyeder. 215
und es ergeben sich aus 129) für diese Werte die Parameter s und t der
A.V. des (12+20)-flächigen 20.3-Ecks.
Über die Kurve C,, gelangt man nun in das Gebiet der Sphenoid-
gruppierungen zweiter Klasse IIx mit der Normalecke 33), für welche
22:273:% —=by&:4C%:Qyb, ist. Danach wird für die Hülle dieser Polyeder:
4x6, + a,b, tan p + byC, cot J
131) 2 (a,c, tan? p + byc,) s
r Rt Ab, tan IL + b2C,
== — —— —- 08? Q.
d3C9 tan? + b3C, 2
Die Grenze gegen die Polyeder erster Klasse Ix endlich ist die
Kurve C,;, für deren 60-Ecke die Normalecke 33) mit 34) zusammenfällt,
die den Sphenoidgruppierungen erster Klasse jenseits dieser Kurve zu-
kommt. Die Gleichung von C,, ist: ab, tang +,&—b,c, tan?g —0 oder
292 + 2
132) = cotp— 08 tan", tang +9 tan?g +69 — (2tang le
Die z-koordinate ihres Schnittpunktes M mit der Geraden O,, s—1
folgt aus
2 —tang V 5
2 2 a =
.; Die enges 5tanp—3
0.
Es ergibt sich nach bekannter Rechnungsweise für x der Wert:
2\/10@5 11V) 5 @— 5 armen a
/ 100 ao Gr 1085 +11) —5@+V5)=1,0901.
132) =
- Für die o-koordinate des Schnittpunktes G von C,, mit C, ergibt sich
die Gleichung 62— 0 (5 v9+14 == —0, d. h. wir erhalten wiederum
denselben Wert für o wie für den gleichen Punkt G in der ersten Gruppe.
Damit sind alle Klassen für die zweite Gruppe erschöpft. Denn für die
zuletzt erwähnten Polyeder erster Klasse, für deren Normalecke 43)
21:%:Y9 —=b»&%°Ay%,:a,b, ist, also s und t die Werte haben:
b;
= ee 5
| a, tan?p-+ b,
a re
Mc tan?p + bc
cos? ,
216 Max Brückner,
existiert keine weitere Grenzkurve des Gebietes wie die schon angegebene
Cı;. Es hat sich also das Resultat ergeben, dass die Klassen der Sphenoid-
gruppierungen der ersten und zweiten Gruppe völlig die gleichen sind; die
15*
Grenzkurven differieren aber in ihrem Verlaufe völlig und die Polyeder
sind, mit Ausnahme derer, für welche der Kern ein Deltoidhexekontaeder
ist, natürlich von einander verschieden. Weiterhin wird sich ergeben, dass
die Grenzpunkte N und O auf der Triakisikosaedergeraden C, in der dritten
Gruppe der Sphenoide, die Grenzpunkte H, K, L, M auf der Pentakisdode-
kaedergeraden C, in der vierten Gruppe wiederkehren, da die Sphenoide
dieser bezw. Gruppen für die angegebenen speziellen Kerne mit solchen der
zweiten Gruppe identisch sind.
6. Die dritte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakis-
hexekontaedertypus. Die Sphenoidkombinationen der dritten Gruppe sind
mit Rücksicht auf ihren Klassencharakter von allen fünf Gruppen die ein-
fachsten, denn hier ergibt sich nicht wie bei den beiden vorigen Gruppen
die Möglichkeit des Vorkommens aller fünf Klassen, sondern nur der ersten,
zweiten und vierten Klasse. Von der zweiten Gruppe her ist bekannt, dass
auch für die dritte Gruppe Polyeder dieser drei Klassen existieren müssen,
da die Sphenoide beider Gruppen für die Triakisikosaeder als Kerne identisch
sind, und es wird nun gezeigt, dass die drei genannten auch die einzigen
Klassen sind, die für die Sphenoide der dritten Gruppe möglich sind. Wir
beginnen mit der Untersuchung der Polyeder zweiter Klasse IIy, deren
Normalecke die Ecke 15) des (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecks ist. Für
die Koordinaten dieser Ecke 15) der Hüllpolyeder gilt jetzt 2:22:23 — bye,
:A3C3:Q;b, und es sind die Werte der Parameter s und t:
Ma b, + bye; tanp + ayC; cotg
| 2 (a; bz tan? F + d3C5)
| ; bzc, tanp+ ayc,
— —- — — — 008? 9,
dy b; tan? + AzCz 2
|
134)
Der Gültigkeitsbereich dieser Formeln erstreckt sich einerseits bis
zu der Grenzkurve (,, (vergl. Fig. 6 Taf. 11) solcher o, z der Kernpolyeder,
für welche die zugehörigen Hüllen der Sphenoidgruppierungen (12+20+ 30)-
flächige 60-Ecke sind und die Normalecke 15) mit der Normalecke 25)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 217
zusammenfällt und andererseits bis zur Grenzkurve (;,, für welche die
Hüllen der zugehörigen Sphenoidgruppierungen (12+20)-flächige 12.5- Ecke
sind, wobei die Normalecke 15) mit der Ecke 14) zum Zusammenfallen
kommt. Die Gleichung der Kurve (,, ergibt sich aus 134) für “ —4s— cot?p
zunächst in der Form b;e,tang—a;c,tan?p-+a,b, —0 und weiter dann in
der Gestalt
135) 69? tanp— 260% (tan + cotg) + 8% tan p — 6 (3 ct y —4) — 0.
Für o=1, d.h. für den Schnittpunkt @ von C,, mit C, ergibt sich
aus 135) für $ die quadratische Gleichung 92 +# ee — 0, woraus
+ — avees und damit —35(/5—2) folgt. Der Schnittpunkt von C,, mit
C, ergibt sich als Lösung der aus 135) für $—=o folgenden Gleichung
für co, nämlich | 2 +25 — 1,07404, und das ist die o-koordinate
des Punktes N, wie sie bei Betrachtung der zweiten Gruppe gefunden wurde.
Die Gleichung der zweiten Grenzkurve (C\,, ergibt sich aus 134) für s—1,
nämlich a,b; tan?y + b,c, — az c, tang — 0, oder
292 52.9 P)
136) T (1—2 eoty)-+ 20%? tangy — eotp-+ z tan p — 0.
Bestimmt man ihren Schnittpunkt O0 mit der Geraden (C,, indem man
#®—=c setzt, so ergibt sich für o die Gleichung a De
Sy Nee = ©
und daraus =’ +2|/?=2V3 wie für denselben Punkt O der zweiten
/ 5
Gruppe. Endlich ist noch der Schnittpunkt P von C,, mit der Geraden (\,
d.h. für o=1ı zu bestimmen. Die sich aus 136) dann ergebende Gleichung
’ as (52
BERGER ı a a as sieh D% V5+1+4| V5—2
6tanpy—1 6tanpy—1 2(8/5—4)
ergibt. Der brauchbare hieraus zu berechnende Wert von x ist:
für $ lautet: 92 — 29
55 +1+4\/V52
11/55
—E1R3 2108
Durch die beiden Kurven C,, und C,, ist das Gebiet im Vereine mit
Teilstrecken der Geraden C, und C, völlig begrenzt und die Gültigkeit der
Nova Aota LXXXVI. Nr.l. 28
218 Max Brückner,
Formeln 134) ist auf dieses Gebiet beschränkt. Die bei Betrachtuug der
zweiten Gruppe besprochene Gruppierung, deren Kern die A. V. des Triakis-
ikosaeders ist, kann natürlich auch hier diskutiert werden. Von besonderem
Interesse ist die spezielle Gruppierung, die sich für das Pentakisdodekaeder
c—=1,7—=5(/5—2) als Kern ergibt, für welche die Hülle ein (12+20+30)-
flächiges 60-Eck sein muss. Dieses Polyeder gehört zugleich zu den
Sphenoidgruppierungen erster Klasse Iy, deren Normalecke die Ecke 25) ist,
und lässt sich mit weniger Rechnung aus den hier geltenden Formeln ab-
leiten. Es ist doch für die Polyeder dieses Gebietes yı :2,:=ı — b3% : 43% : ab;
und also
€3
Ttang+o'
b.c, tang + azcC:
N
a,b; tan? + 4363
137)
Mit Einführung der Werte o, $ ergibt sich s und ? hier in der ein-
fachen Form:
6(#cotpg—tany)
4#tan?p+o%tanpg—o’
ar ($ coty—tang) (44 tan g — 0% cot?p +0)
(4% tan?p + 6% tan p — 0) (cotg — #)
Ss
eos? g.
Für 01,079 ars>, d. h. das oben angeführte Pentakisdodekaeder
ergeben diese Formeln sr, ee d. h. die Parameter der
A.V. des (12+20+30)-flächigen 60-Ecks. Es sei beiläufig bemerkt, dass
die Sphenoide in diesem Falle quadratisch sind (vergl. Nr. 9 dieses $). Das
Modell dieses Polyeders zeigt Fig. 14 Taf. 21. In jeder seiner Ecken, deren
eine Fig. 2a Taf. 10 im Querschnitt zeigt, fallen zwei Ecken verschiedener
Sphenoide zusammen. so dass die Ecke als diskontinuierliche 2.3-kantige
erscheint. Die Fläche der Gruppierung, in der vollständigen Figur dieser
besonderen Varietät des Pentakisdodekaeders (Fig. 1 Taf. 14) enthalten,
besteht aus den beiden Dreiecken V,V;V, und V,V,V,, da das Polyeder zu-
gleich der fünften Gruppe zugehört, und ist in Fig. 2 Taf. 10 für sich ge-
zeichnet. Das Polyeder ist polarreziprok dem der ersten Gruppe, dessen
Kern die A. V. des Deltoidhexekontaeders und dessen Hülle das 12.5-Eck
für 213 ist.
9)
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 219
In Fig. 4 Taf. 25 haben wir das Bild einer Sphenoidgruppierung
erster Klasse der dritten Gruppe, für welche der Kern die A. V. des Dyakis-
hexekontaeders, d.h. 6—3® V5+1) ie 3/5 3542
d 2a, E* 5 10
„also 9 — ist, deren
Ecken dreikantig sind und deren Hülle also allgemein, d. h. ein (12-+20-+ 30)-
flächiges 2.60-Eck ist. Die obigen Formeln für s und t ergeben die Werte
oo Zr — 0,942, t — Den — 0,780 und für die Kanten des Hüll-
polyeders erhält man dann die Proportion %,:%y:%, —1 el; V5—3). Die
Grenzfläche dieses (diskontinuierlichen, aus 30 rhombischen Sphenoiden
bestehenden Polyeders, das polarreziprok ist dem dritten unter der ersten
Gruppe dritter Klasse angeführten, zeigt Fig. 6 Taf. 10. — Die Gleichung
der Kurve (,, wird überdies befriedigt durch o=:; in — 2u3— Bd)
E 13-+//5 41
10 —\/5 c n ö
Dean 5=V3, 4.h. 9=1. Für diese Werte von 6 und x ergeben die
5+V5 2
= . /5 Bi 5 11
Formeln 137) die Parameter s — HF 3/5 — a N nn a Ce
19 11—3/5 99 45—14\/5
(ein bestimmtes 60-Eck), d. h. das hier in Frage kommende diskontinuierliche
Polyeder ist das polarreziproke des zweiten unter der dritten Klasse der
ersten Gruppe angeführten Polyeders, dessen Kern eine besondere Varietät
des Deltoidhexekontaeders ist. Für die Kanten des umhüllenden 60-Ecks
findet man die Proportion: 7, :%, = (/5—2):1.
Es ist nun zu beachten, dass das Gebiet der Sphenoide der dritten
Gruppe erster Klasse Iy das ganze in Fig. 6 Taf. 11 rechts von der Kurve
C,, liegende Gebiet der konvexen Dyakishexekontaeder sein muss, da eine
neue Grenzkurve für die Polyeder der Klasse Iy nieht existieren kann.
Doch werden die Gruppierungen für alle Werte o und x der Deltoidhexe-
kontaederkurve (, illusorisch. Denn für alle Deltoidhexekontaeder ist d, — 0,
also ergeben die Gleichungen 137) s—1, t—=cos?yp, was nach dem früher
Gesagten eine einfache Deutung findet.
Überschreitet man, aus dem Gebiete der Sphenoide zweiter Klasse
kommend, die Grenzkurve (;-, so gelangt man in das Gebiet der Polyeder
mit Ecken vierter Klasse IVy und der Normalecke 14), für welche
"y1:24:% — b56y:QyC; :Qybz ist, So dass die Parameter s und t die Werte erhalten;
28*
220 Max Brückner,
} a,b; cotp + b3C; + ayC; cot?p
| 2 (a3b3 + Q3C3 + b36;)
| b>C; + dyC3 cotp
= co8?g.
a3b; + 436; + b3c; 2
138)
Der Gültigkeitsbereich dieser Formeln erstreckt sich auf den Rest
des Gebietes der konvexen Dyakishexekontaeder bis zum Triakontaeder-
punkte 7, für den sich das schon behandelte Polyeder auch bei Verwendung
dieser Formeln 138) wieder ergibt. Sicher kann keine neue Grenzkurve —
es kämen der Möglichkeit nach zwei solche in Betracht, für die die Polyeder
vierter Klasse IVy in solche fünfter Klasse Vy oder Vx durch das 20.3-Eck
bezw. 60-Eck als Hüllen übergehen — die Gerade €, schneiden. Eine
nähere Untersuchung zeigt nun, dass die nach der bisher immer angewandten
Methode gefundenen Gleichungen der noch vermuteten Kurven durch keine
für das Gebiet der konvexen Dyakishexekontaeder verfügbaren Werte der
co und r befriedigt werden können.
7. Die vierte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakis-
hexekontaedertypus. Die Sphenoide der vierten Gruppe sind ihren Ecken
nach wiederum für alle fünf Klassen vorhanden, da sie für das Pentakis-
dodekaeder als Kern mit denen der zweiten Gruppe zusammenfallen und
hier die Polyeder der Klassen Ix, IIx, Ilx, IVy, Vz existieren. Zu den fünf
Gebieten dieser Polyeder enthält der Bereich der konvexen Dyakishexe-
kontaeder für die vierte Gruppe aber noch ein sechstes Gebiet für die
Polyeder der Klasse IVz, wie jetzt abgeleitet werden soll. Wir beginnen
die Untersuchung mit den Polyedern der vierten Gruppe, die nach ihren
Ecken zur Klasse Vx gehören, also die Normalecke 24) besitzen. Es gilt
für die Koordinaten dieser Ecke hier die Proportion: 5:2;:9 = bc :a4% :ayby
und die Parameter s und £ für die Hüllpolyeder sind gegeben in:
| 0,6, cotp + a,b + bye, eot?Y
5 Du 2b ty +bc)
| a,c, eotp-+ bye,
a,b, + a, + bic;
139) |
t=
cos? g.
Wir bestimmen zunächst den Gültigkeitsbereich dieser Formeln. Die
Ecke 24) kann auf dreierlei Weise zum Zusammenfallen mit Nachbarecken
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 221
kommen: a) mit der Ecke 14) für das (12+20+30)-flächige 60-Eck; die
Sphenoidgruppierungen mit solcher Hülle bilden den Übergang von den
Sphenoiden der Klasse Vz zu denen der Klasse IVy; b) mit der Ecke 23)
für das (12+20)-Nächige 20.3-Eck; die Sphenoide der Klasse Vz gehen in
solehe der Klasse IVx über; «) mit der Ecke 34) für das (12+20)-Nächige
12.5-Eck, wobei die Sphenoidgruppierungen der Klasse Vx in solche der
Klasse IIz übergehen. Alle diese drei Fälle sind hier vorhanden. Die
Grenze gegen die Sphenoide der Klasse Ivy ist gegeben durch die Kurve,
deren Gleichung sich aus arg — 45— cot?p ergibt, nämlich a,Ö,tanp+ azc,
—b,c, cotp —= 0, oder
140) — et! — 09 cot?p + Zu tang + 92 cot?p + 0 ang —. el
Da für das Ikosaeder a, = b, = c, ist und die Relation tanp + 1=cotp
gilt (vergl. die Anm. in $1 Nr. 1 dieses Kap.), so zeigt die erste Form
der Gleichung, dass die durch 140) dargestellte Kurve C,, (vergl. Fig. 4
Taf. 12) durch den Ikosaederpunkt Z/ geht. Für die r-koordinate des Schnitt-
punktes H der Kurve mit C, ergibt sich aus 140) für o—1 die Gleichung
92 +29 cotp/5 —3cot?p—0, d. h. dieselbe Relation wie für den Punkt H in
der zweiten Gruppe, womit die Identität der beiden Punkte H erwiesen ist.
Die Grenze des Gebietes der Sphenoidgruppierungen der Klasse Vz
gegen die der Klasse IVz ergibt sich in der Kurve
cos? —s oder a,b, +b,c, tanp
— 46, ep —0, d.h.:
024
4
24 2
141) eot?p + 09? cotp— - cot?p — 33? + 0% cot?p + 7 tan2Q — (0:
Die durch diese Gleichung dargestellte Kurve C,, (Fig. 4 Taf. 12)
geht, wie die erste Form der Gleichung zeigt, wieder durch den Ikosaeder-
punkt I. Die r-koordinate ihres Schnittpunktes Z mit der Geraden C, ergibt
48 3—/5
17 bVs 17 5/5
d. h. es ergibt sich derselbe Wert von = wie für den Punkt Z in der
zweiten Gruppe. Doch erfüllen die Parameter 6, z der Sphenoide der
sich aus der für o — ı aus 141) folgenden Gleichung 9? — —0,
Klasse Vz nicht das gesamte Gebiet zwischen den Kurven C,;s und C,,, wie
sich sofort zeigt, wenn wir die oben angegebene dritte Grenze der Polyeder
222 Max Brückner,
der Klasse Vx gegen die der Klasse IIx bestimmen. Die Gleichung dieser
dritten Grenzkurve ergibt sich aus der ersten Gleichung 139) für s=1,
nämlich a,b; + 446 tan? —b;c, tan = 0. oder
0?%? 6°# 6?
142) A (4 + tan p) — 09? re +9? tan?p +09(2 — tanp) — 7 (3 —tangp) —0.
Wir bestimmen die Schnittpunkte der durch diese Gleichung dar-
gestellte Kurve C;,,, die nicht durch den Ikosaederpunkt I läuft, mit der
Geraden C, und der Deltoidhexekontaederkurve C,.. Für o=1 erhält man
4—/5 7a Vs.
13—5/5 13—5l/5
t-koordinate des bei Diskussion der zweiten Gruppe der Sphenoide ge-
fundenen Punktes X ergibt. Für den Schnittpunkt R der Kurve (,, mit
aus 142) die Gleichung 9?— 49 —(0, woraus sich die
der Kurve (, ergibt sich durch Einsetzung von $ — en in Gleichung
142) für o die Gleichung:
6 —20c0tp + 7taapg—2=0 oder 6?—6(\/5 Jene ays—ıl —0,
2
und daraus für o der eine verwendbare Wert = Klar \/?-3V5 — 1,07783.
Die zwischen den Punkten X auf ©, und R auf C, verlaufende Kurve Cy
muss nun die Kurve (,, in einem Punkte 7’ schneiden, da die r-koordinate
von K grösser ist als die von Z. Wir bestimmen die Koordinaten o‘, 7
dieses Punktes 7. Für sie gelten gleichzeitig die Gleichungen der Kurven (,,
und C,, in ihrer ersten Form, deren Subtraktion die Relation 2e, (d,tan g— a,)—0
ergibt. Es ist also aa—=b,tanp, und beide Kurvengleichungen nehmen
damit die Form b,tanp—c,tan®?p—=0 an, d.h. es ist weiter d), — c«,tang und
damit a, — c,tan?g. Die Einführung der Werte a,, b,, ec, in die letzten beiden,
Gleichungen ergibt zur Bestimmung von o‘ und 9' das System:
Eee: + cotp) — 9 (cotp +tangy) +, tanp =0,
09 30°
5 0tp+ 9 tan®p — —- tanp = (0,
aus dem man auf elementarem Wege für die Werte der Koordinaten erhält:
Den Se eg 2
3tanp+2 3/5+1 che
2 4
ebene basssiipnusen. Terrg me neun eye
atanp+1 Ya. Vom
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 223
Die Sphenoidgruppierung, deren Kernpolyeder die Parameter o‘ und
t' besitzt, hat nun offenbar zur Hülle das Triakontagon, da die Parameter
s, t dieser Hülle gleichzeitig einem 12.5-Eck und einem 20.3-Eck zugehören.
In der Tat sind die Werte o‘, ‘ die reziproken von s und i des Hüll-
polyeders der der zweiten bis fünften Gruppe angehörenden Gruppierung
von Sphenoiden, deren Kern das Triakontaeder ist (vergl. Gruppe 2 in Nr. 5
dieses $). Das Modell dieses aus 30 rhombischen Sphenoiden bestehenden
neuen Polyeders der vierten Gruppe zeigt Fig. 5 Taf. 25. In jeder Ecke
des umhüllenden Triakontagons liegen vier Ecken verschiedener Sphenoide,
so dass die Ecken der Gruppierung als diskontinuierliche 4.3-kantige er-
scheinen,
Es ist nun der Gültigkeitsbereich der Formeln 139) auf das Gebiet
beschränkt, das von der Kurve C,, vom Ikosaederpunkte I bis zum Punkte
H auf C,, weitere von C, bis zum Punkte X, von C, von K bis 7‘ und
von C,, von 7‘ bis zum Ausgangspunkte I begrenzt wird. Für den Punkt
I ergeben sich Werte s und £ des Hüllpolyeders der Sphenoidgruppierung,
die gleichzeitig einem 60-Eck und einem 20.3-Eck zugehören, d.h. die
Parameter des Dodekaeders. In der Tat berechnet man aus den Formeln 139)
cot?p
& Denn?
in diesem Falle, da a—b,—c, wird: s= und zen ee Pr Nm
Stelle der 30 rhombischen Sphenoide der allgemeinen Hülle treten hier die
bekannten zehn Tetraeder im Dodekaeder, auf die wir in Nr. 9 dieses $
nochmals geführt werden. — Innerhalb des Gebietes der Sphenoide der
vierten Gruppe, die nach den Ecken zur Klasse Vz gehüren, findet sich
auch die Gruppierung, deren Kern die A. V. des Dyakishexekontaeders ist.
3(7— 5) N 3 (7/5—5) 345-4 /5)
Fr iO mw Ace 1
und die zuerst
Es ist dann a, —
für s und £ hingeschriebenen Gleichungen ergeben: s— 65+3V5 _ 0,944;
76
ge stys — 0,7236. Für die Kanten des umhüllenden (12 +20 + 30)-flächigen
2.60-Ecks berechnet man damit: A, :%,: 7%, — Or, 1.
a
Das Modell dieser allgemeinen Gruppierung von 30 rhombischen
Sphenoiden zeigt als Beispiel für ein Polyeder mit Ecken fünfter Klasse
Fig. 6 Taf. 28. Die Grenzfläche ist in der vollständigen Figur der A. V.
224 Max Brückner,
des Dyakishexekontaeders enthalten und mit Berücksichtigung der allein
notwendigen Spuren in Fig. 3 Taf. 16 wiedergegeben.
Wir betrachten nun die weiteren Klassen der Sphenoide der vierten
Gruppe. Über die Kurve C}; schreitend, für deren Parameterwerte 6, x die
Hüllen der zugehörigen Gruppierungen 60-Ecke sind, gelangt man in das
Gebiet der Polyeder der Klasse IVy mit der Normalecke 14), für welche
jetzt yı:2,:2, = biy:a,cy:a,b, ist, so dass
Kr a,b, eotp + bie, + ac, eot?p
| ne 2 (a,b, + a,c, + bycı)
Zr
145)
bic, + ayCy eotp
ab, ++ bc,
|
cos?
wird. Eine eingehende Untersuchung zeigt nun, dass die Kurve (,, die
einzige Grenzkurve des Gebietes der Polyeder der Klasse IVy ist, dass
also dieses Gebiet bis zum Triakontaederpunkt 7 reicht und alle die Grup-
pierungen von Sphenoiden mit enthält, deren Kerne Triakisikosaeder sind,
die nach den allgemeinen Bemerkungen identisch mit den entsprechenden
der fünften Gruppe werden. Als Beispiel einer solchen Gruppierung mit
Ecken vierter Klasse IVy wählen wir das Polyeder, dessen Kern die A.V.
des Triakisikosaeders ist. Die Gleichungen 143) ergeben bei Einführung
der speziellen Werte der a,, b,, c, für diese Varietät des Kernes (vergl. Kap.IV
biayiasyı ns _ 54/5 _ 0%.
— 6 0,912. 0 — 10 0236
und für die Kanten des Hüllpolyeders erhält man die Proportion A, :Ay: 7, —1
$1 Nr. 3) nach einiger Rechnung: s
al Das Modell dieses diskontinuierlichen aus 30 rhombischen
Sphenoiden bestehenden Vielfaches mit dreikantigen Ecken zeigt Fig. 5,
Taf. 27; die Grenzfläche ist die aus zwei Dreiecken bestehende Fig. 7 Taf. 15.
Betrachten wir nun das Gebiet der Polyeder vierter Klasse IVx mit
der Normalecke 23), das jenseits der Grenzkurve C;, des Gebietes der
Polyeder der Klasse Vx liest. Für die Koordinaten der Ecke 23) ist jetzt:
2,:%,:9 — bi61:Q4C4:a,b, und für die Parameter s, 4 der Hüllpolyeder der
Gruppierungen kommt:
a4c, cotp-+ ayby + dic, eot?p
j ” 2 (a,b, + ac, + bic,)
|, _ Bi + Bin cotp
a,b, + ac, + bye,
144)
082g.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 225
Als Grenzkurve der Polyeder dieses Gebietes gegen das der Polyeder
mit Ecken Vz ergibt sich natürlich wieder die Kurve (C,,, denn für er hr
erhält man deren bereits abgeleitete Gleichung: a,b, + bie, tan g—a,c, eotp — 0.
Die Grenzkurve des Gebietes gegen die Sphenoidgruppierungen mit Ecken
der Klasse IIx, in die die Polyeder übergehen, nachdem die Normalecke 23)
für das 12.5-Eck als Hülle mit der Normalecke 33) zum Zusammenfallen
gekommen ist, bedarf jedoch einer erneuten Diskussion, um zu entscheiden,
ob der ausserhalb des Gebietes der Vx liegende Teil der Kurve (,, vom
Punkte 7’ aus bis zum Schnitte R mit C, diese gewünschte Grenzkurve
darstellt. Nun ist aber die erste Gleichung 144) identisch mit der ersten
Gleichung 139), womit diese Frage sofort im bejahenden Sinne beantwortet
ist. Als Beispiel für die Polyeder der Klasse IVx wählen wir die Grup-
pierung, deren Kern die A. V. des Deltoidhexekontaeders ist. Die Formeln
144) ergeben für a, — /5—2, b; — EV a,
Ecks: 0, N 5 und für die Kanten dieser Hülle die Pro-
c, — 2a, die Parameter eines 2.60-
portion: %:ko:k,; = ir Das Modell des diskontinuierlichen, aus
30 rhombischen Sphenoiden bestehenden Polyeders zeigt Fig. 4 Taf. 27;
seine Grenzfläche Fig. 2 Taf. 12.
Die Polyeder dieser Klasse IVz sind polarreziprok zu den Polyedern
der vorher betrachteten Klasse IVy der vierten Gruppe, und zwar ent-
sprechen die Gruppierungen der Kurve (, von R bis I den Gruppierungen
der Kurve C,, von H bis I, so dass sich für Z ein autopolares Polyeder,
die Gruppierung der zehn Tetraeder, ergibt. Die Gruppierungen der Kurve (|,
von 7‘ bis I entsprechen den Gruppierungen der Geraden C, von T bis I,
wobei also die Punkte 7 und 7‘, wie schon gezeigt, reziproke Polyeder
charakterisieren. Den Polyedern der Kurve C,, von 7’ bis R entsprechen
die der Geraden ©, von 7 bis H. Dass die polarreziproken der beiden oben
besprochenen speziellen Polyeder, deren Kerne die archimedeischen Varietäten
des Triakisikosaeders und Deltoidhexekontaeders sind, sich für die reziproken
Werte der s und t der Hüllpolyeder dieser Körper ergeben, die den Gleichungen
der Kurven ©, und C, genügen, bestätigt man leicht durch Einsetzung
dieser Werte in die Gleichungen von C,, bezw. C;; und durch darauf-
Nova Acta LXXXVI Nr.1. 29
226 Max Brückner,
folgende Berechnung der Parameter s und t der neuen Polyeder aus den
Formeln 139).
Wir betrachten nun das Gebiet der Sphenoide dritter Klasse II mit
der Normalecke 34), für welche 23:23:93 = bye :aycy:a,b, ist. Für s und t
ergibt sich:
aa cotp+ a,b, + bye, eot?p
145) | 2 (a,c,tanp-+ bye, coty)
t
aycly cot@ + bic,
a,c,tanp + byc, cotp
c08?g.
Für die Grenzkurve dieser Polyeder gegen die der zweiten Klasse II
mit der Normalecke 33) ergibt sich die Gleichung ner? —s, nämlich
a,c, cotp— a,b, —b,c,tang —=0, d. i. aber die Gleichung der Kurve C,,. Es
ist also bewiesen, dass die Gesamtkurven C,, und C,, zur Begrenzung der
Einzelgebiete völlig hinreichend sind. Sowohl über die Kurve C,, aus dem
Gebiete der Sphenoide dritter Klasse IIx wie über die Kurve C,, aus dem
der Sphenoide vierter Klasse IVx gelangt man in das Gebiet der Sphenoide
zweiter Klasse IIx mit der Normalecke 33), für welche: 2) : 23 :% — bc,:a,c,:a,by
ist, wonach für die Parameter s und ? der Hüllpolyeder dieser neuen Grup-
pierungen
Hl Bau Bug ei
2 2% (ayc, tan?p-+b;c
146) ( 404 f 4 1)
a,b; tan p + byc, cos? F
— aycjtan?g + bicy 2
ist. — Die Gleichung der Grenzkurve (,, dieses Gebietes gegen das der
Polyeder erster Klasse Ix mit der Normalecke 43) ergibt sich, da die Hüllen
der Sphenoidgruppierungen für die Werte o, z dieser Grenzkurve 60-Ecke
sind, aus 146) für se Mt nämlich a,b, tanp +a,c, —b;c, tan?p—0,
cos?
oder:
2.92 2 2
147) er + = tang +9 tang + 0%tan?y 7 (tanp + eotg) = 0.
Der Schnittpunkt M dieser Kurve (,, mit der Geraden C, ist wiederum
der Punkt M der zweiten Gruppe an derselben Stelle. Die o-koordinate
des Schnittpunktes S von (G, mit C, ergibt sich aus der in bekannter
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 227
Weise zu erhaltenden Gleichung 0?— 26 (5—6tang)+ 11(2—3tang) —=0 oder
REBEL E10] — 0, nämlich
147‘) —8—3/5— 5/2021 63V) = 1,0391.
Für die Sphenoidgruppierungen des letzten Gebietes der Klasse Ir
und der Normalecke 43), deren Koordinaten durch die Proportion 2:2 :Yı
— b,:a,c,:a,b; gegeben sind, haben die Parameter s und ? der Hüllpolyeder
die Werte:
b;
| artan2g +
a,b,tanp + bie,
— - 08? g.
a,c,tan?p +b,c, ,
148)
le
Sie behalten ihre Gültigkeit für den Rest des Gebietes der konvexen
Dyakishexekontaeder und der Kurven ©, und €, mit Ausnahme des Grenz-
punktes D für das Dodekaeder. Denn für o=1,r—=1 wird ,—0 und
damit wieder s— 1, t—=ecos?g. Im Triakontagon entarten aber die Sphenoid-
gruppierungen erster Klasse in das System der 15 Achsengeraden durch
die Achsenpunkte B.
8. Die fünfte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakis-
hexekontaedertypus. Sämtliche Sphenoide dieser Gruppe sind nach ihrer
Klasse offenbar durch die Betrachtungen der vier vorhergehenden Gruppen
bereits charakterisiert, da für die Werte o, r der Polyeder, deren Kerne
Triakisikosaeder, Pentakisdodekaeder und Deltoidhexekontaeder sind, die
Sphenoide der fünften Gruppe mit denen der vierten, dritten, bezw. vierten
Gruppe zusammenfallen. Ein inmitten des Gebietes der konvexen Dyakis-
hexekontaeder liegendes Teilgebiet, das von einer geschlossenen Kurve C
begrenzt wäre, die keine der drei Grenzen (\,, ©, €, des Gebietes schnitte,
kann nicht existieren. Denn alle Gleichungen ableitbarer Grenzkurzen sind
von der Form a;b;fi(g) + «a f'(y) + biaf“:(g) = 9, worin die f trigonometrische
Funktionen von 9 sind, und sämtliche a;b,... werden nach 105) — 107)
Null für die Koordinaten c6—=0, r—=0, d: h. sämtliche möglichen Grenz-
kurven © gehen durch den Koordinatenanfang, müssen also, wenn sie Punkte
29*
228 Max Brückner,
innerhalb des Gebietes der konvexen Dyakishexekontaeder besitzen,
mindestens zwei der Grenzkurven (\,, C,, C; (oder eine zweimal) passieren,
da ihr Verlauf ein stetiger ist w. z. b. w.
Wir beginnen die Untersuchung der Sphenoide der fünften Gruppe
mit den Polyedern, die nach der Normalecke 14) zu denen der vierten Klasse
Ivy gehören und die für das Triakisikosaeder als Kern mit den Sphenoiden
der vierten Gruppe identisch sind. Für die Ecke 14) gilt jetzt y:2:%
— b,63:4;6;:a,b, und für die Parameter s und t der Hüllpolyeder hat man:
9b; cotp + b;C; + Q;C, cot?y
5 Ri 2(ab; ta +b,c)
"bc, + 4;c; eoty
a,b; + Q;C; + b; 6;
149) |
De
cos? y.
Fragen wir nun nach dem Gültigkeitsbereich dieser Formeln, so
haben wir zu bestimmen, wann die Polyeder der Klasse IVy in solche der
Klasse Vz, Vy oder IIy übergehen. Es zeigt nun die durchgeführte Unter-
suchung, dass nur für den zuletzt genannten Fall eine Kurve 0, (vergl.
Fig. 5 Taf. 12) sich ergibt, die innerhalb des Gebietes der konvexen Dyakis-
hexekontaeder verläuft und deren Gleichung aus 149) aus bekanntem Grunde
für s—1ı folgt, nämlich: b,c, + a,b, tan?g —a,c, tang—0 oder
292 29 2
149‘) — (1—2eoty)+ a et coty +9? (2tan —1)— 60% eoty + fang —i0:
Diese Kurve (;, kann die Gerade C, nicht schneiden (vergl. die vierte
Gruppe der Sphenoide und Fig. 4 Taf. 12). Ihr Schnittpunkt P mit C, wird
aus der für o — ı aus 149‘) folgenden Gleichung 92 (6 tan 9 —1)— 2% coty +tang —0
gefunden. Diese Gleichung schon zeigt, dass der zu erhaltende Punkt P
identisch mit dem Punkte P auf C, für die Sphenoide der dritten Gruppe
ist. Für die o-koordinate des Schnittpunktes R von C, mit C, ergibt sich
durch Einführung von # Sag in 149‘) die Gleichung 0?—20 coty
+ 7tang—2—0, d. h. der Punkt X ist identisch mit dem Punkte R auf (,
für die Sphenoide der vierten Gruppe. Hiernach erstreckt sich die Gültig-
keit der Formeln 149) auf das ganze Gebiet der konvexen Dyakishexe-
kontaeder oberhalb der Kurve (;,, einschliesslich dessen Grenzen, ©, und
eines Teiles von (,. Doch gehören die Sphenoide der fünften Gruppe,
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 229
deren Kern ein Deltoidhexekontaeder dieses Teiles der ©, ist, die mit denen
der vierten Gruppe zusammenfallen, wie diese zeigen, zur Klasse IV».
Gehen wir jetzt zunächst von diesen Sphenoiden der Klasse IVx aus, deren
Normalecke die Ecke 23) ist, für welche: 2,:2,:9, =b,%:a;c,:a,b,, so be-
stimmen wir für die Parameter s‘ und ‘‘ der Hüllpolyeder dieser Sphenoid-
gruppierungen nun die Werte:
456, cotp-+ a,b, + bc, eot?g
B 5 2 (a; b; Im a, + b, 65) ur”
\v—_ 6565 +6 eotp
a,b; + a;C; + b;c;
150)
0
c08?g.
die von 149) verschieden sind. Wir untersuchen jetzt, für welche Werte
von o und z bezw. 9 die Wertsysteme 149) und 150) übereinstimmen. Die
Gleichungen s—=s‘ und t—=1t‘ lassen sich auf die Form bringen:
a; b, tan p — b;.c, ecoty + a,cC, — 0,
und
a;c; cotp — bc; tan — a, b- ==)
Ihr gleichzeitiges Bestehen zieht die Bedingung b, tang.(a, — c;) = 0
nach sich, d.h. es muss a,—=c, sein. Die Einführung der Werte o und #
hierin führt auf die Gleichung # E — ı) cot?p + ° (eot p+tang)—=0, d.h. es ist:
4 CH o/5
a Pre ag
Dies ist die Gleichung einer Kurve C; (vergl. Fig.5 Taf. 12), die
durch den Ikosaederpunkt / geht, wie direkt aus a,—e, folgt. Die Koordinate
z ihres Schnittpunktes @ mit der Pentakisdodekaedergeraden C, ergibt sich
aus 150‘) für o=1, nämlich — len. 24 5(/5— 2), wonach dieser Punkt
cot?p cos?
@ mit dem gleichbenannten auf der Geraden C, für die dritte Gruppe der
Sphenoide identisch ist. Es schneide die Kurve Cl: die früher abgeleitete C,
im Punkte 8. Dann zerfällt das Gebiet der Sphenoidgruppierungen vierter
Klasse durch C: zwischen 8 und 7 in zwei Teilgebiete auf ihren beiden
Ufern und die Polyeder der beiden Ufer gehören zwar sämtlich zur vierten
Klasse, doch ist die Normalecke das eine Mal die Ecke 14), das andere Mal
230 Max Brückner,
die Ecke 23), während für die Polyeder der Übergangskurve, die, wie in
nächster Nummer gezeigt wird, nichts anderes sind als die sekundären
quadratischen Sphenoide der Gruppe, die beiden Ecken gleichwertig
zur Ableitung der Parameter Verwendung finden können.
Durch die Werte o, z der ©, gehen die Polyeder vierter Klasse in
die zweiter Klasse über. Die Normalecke ist dann die Ecke 15) für welche
Yy2:2,:2%, = b,0,:Q,6,:a,b, ist, wonach
_ 4b, +b,c,tanp+ a,c, coty
2 (a,b, tan?p + a,c;)
bc; tan + a; Cz
a,b, tan?p + a;c;
Ss
151) |
lt
2
cos?
wird. Als Grenzkurve des Gebietes dieser Polyeder ergibt sich neben (3,
andererseits gegen das Gebiet der Sphenoide erster Klasse für = —4s—eot?g
eine Kurve C,;, deren Gleichung a;b; + b;c, tang —a;c, tan?g—0 in den o und
% die Form hat:
42.92 2 2
152) = np — 09: tanp +, (anp+ cotg) + 9tang— ao + "a—3 eotp) — 0.
Die r-koordinate des Schnittpunktes dieser Kurve (,, mit der Geraden
7a
C, ergibt sich danach aus 92+ 29 tan2p + coty— 3 — 0 oder aus 92 + 29.
7° —9, Es kommt g — 3/85
also wiederum den schon mehrfach erwähnten Punkt Q, wie vorauszusehen
war. Die o-koordinate des Schnittpunktes $ von G;, ergibt sich aus der für
und damit —=5(/5—2). Wir haben
9 = en aus 152) folgenden Gleichung 6°— 26(5—6tang) + 11@—3tanp) —0
und ein Vergleich mit den Betrachtungen der vierten Gruppe zeigt, dass
wir wieder den früheren Punkt S auf der Kurve (, vor uns haben. Die
Parameter s und i für das letzte Gebiet sind in bekannter Weise zu be-
stimmen. Damit ist also das Gebiet der konvexen Dyakishexekontaeder
für die fünfte Gruppe der Sphenoide im ganzen in drei Teilgebiete für
Polyeder der vierten, zweiten und ersten Klasse zerlegt.‘) Ehe wir nun
!) Die Polyedertypen der Gruppe, soweit sie dargestellt sind, wurden sämtlich schon
in den vorhergehenden Gruppen erwähnt, denen sie gleichzeitig angehörten.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 231
die polarreziproke Verwandtschaft sämtlicher Sphenoide i-ter Gruppe %-ter
Klasse übersichtlich darstellen, fragen wir nach den sekundären quadratischen
Sphenoiden, die wir jetzt für die einzelnen Gruppen aufsuchen.
9. Die sekundären quadratischen Sphenoide der fünf Gruppen.
Da ein Sphenoid der i-ten Gruppe polarreziprok zu einem Sphenoide der
i-ten Klasse ist, und polarreziproke Sphenoide gleichzeitig entweder rhombisch
oder quadratisch sein müssen, da die Flächen des einen die Tangential-
ebenen an die umbeschriebene Kugel des anderen in seinen Ecken sind,
so erhalten wir die Bedingung für die Parameter o, r einer Gruppierung
quadratischer Sphenoide der i-ten Gruppe, wenn wir in der Relation für
die Parameter s und ? der Gruppierung quadratischer Sphenoide der i-ten
E 1 : ;
Klasse s und t durch S und E ersetzen. a) die Relation zwischen o und =
für die quadratischen Sphenoide der ersten Gruppe ergibt sich demnach ans
Gleichung 96) in ı — (eot n =, tan o) cos?p oder
6
nn — ——,
(s eot —tany) cos?p
153)
Diese Gleichung 153) ist die einer Kurve C. (vergl. Fig. 4 Taf. 11)
in dem Gebiete der konvexen Dyakishexekontaeder, die durch den Tria-
kontaederpunkt 7, für 6 —1, so 35 und den Deltoidhexekontaederpunkt A
für die A. V. des 60-flaches so — Skar?, T— I geht. Die Kurve C. hat
also mit der Kurve C, die Punkte 7 und A gemeinsam, verläuft aber im
übrigen von ihr getrennt im Gebiete der Sphenoidgruppierungen dritter
Klasse Ilx, wie man leicht nachweist, wenn man für beliebiges o zwischen
o—1 und Ban die sich aus den Gleichungen von C, und C« ergebenden
Werte von z vergleicht. Es sind also die sekundären quadratischen
Sphenoide der ersten Gruppe stets von der dritten Klasse,
woraus nach Gleichung 98) folgt, dass der Parameter i der Hüllpolyeder
/5 - .
dieser Gruppierungen den konstanten Wert 2 besitzt. Bestätigung findet
dieses Ergebnis an dem Beispiel für die A. V. des Deltoidhexekontaeders
als Kern, das in Nr. 4 dieses $ besprochen wurde.
232 Max Brückner,
b) Für die quadratischen Sphenoide der zweiten Gruppe ergibt
Gleichung 97) für s=, =! die Relation zwischen 6 und z
ri ocotp
°T Btan?p+ 0)cos2p'
154)
Diese Gleichung stellt eine Kurve C3 (vergl. Fig.5 Taf. 11) dar,
die die Gerade o—=1 in dem Puukte 2 für ten, — 1,26766 schneidet, der
zwischen H und X liegt, während die Deltoidhexekontaederkurve C, in dem
Punkte A für die Werte 38 a, >, d. h. für die A. V. ge-
schnitten wird. Das letzte Ergebnis ist selbstverständlieh mit Rücksicht
auf die Sphenoide der ersten Gruppe. Diese Kurve C» verläuft vollständig
zwischen den Kurven C,, und C,,, wie die Diskussion ihrer Gleichung
erweist. Es sind demnach die Gruppierungen sekundärer quadra-
tischer Sphenoide der zweiten Gruppe sämtlich von der fünften
Klasse, und die Parameter s und i ihrer Hüllen genügen der Gleichung 101),
wie sich für die im Modell dargestellte Gruppierung Fig. 2 Taf. 25, deren
Kern die A. V. des Deltoidhexekontaeders ist und die zugleich zur dritten
/5
Klasse gehörte, durch Einführnng von s—ı, :—?+Y3 in 101) sofort als
[9]
richtig zeigen lässt. Für die Gruppierung quadratischer Sphenoide deren
Kern das Pentakisdodekaeder 6 — 1, r — an (im Punkte 7) ist, berechnet
man die Parameter s und ? der Hülle aus den Gleichungen 127) für
a — b, 7—=V5 &—=ar/5 (vergl. für diese Werte Kap. IV $1 Nr.3 unter
„Pentakisdodekaeder“). Danach wird:
_ 14V 5 eotp(1+ eoty) = 3+/5 5/5+7
s _ — — — 095681;
2(1+2V5) 2/5+1 1
/E 2 /5+2 /5
a1 In Ai RER u u en
2V5+1 2V5+1 19
Wir haben ein bestimmtes (12+20+30)-flächiges 2.60-Eck vor uns,
für dessen Kanten man nach der Formel 90‘ die Proportion berechnet:
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 233
c) Die quadratischen Sphenoide dritter Klasse waren nach Gleichung 98)
durch den konstanten Parameter 1— °*+ zuE charakterisiert. Es ist also für
9}
die Kernpolyeder aller sekundären quadratischen Sphenoide der dritten
Gruppe: r—5(/5—2). Diese Gleichung ist die einer der o-achse parallel
verlaufenden Geraden (, in Fig. 6 Taf. 11, die durch den oft erwähnten
Pentakisdodekaederpunkt Q@ gelegt ist und lediglich in dem Gebiete der
Polyeder erster Klasse verläuft. D. h.: Die Gruppierungen quadra-
tischer Sphenoide der dritten Gruppe sind zugleich solche der
ersten Klasse und ihre Eckenparameter s, £ befriedigen die Gleichung 96).
Unter diesen Polyedern befindet sich das zugleich der dritten und fünften
Gruppe zugehörende Fig. 14 Taf. 21, dessen Kern die eben genannte spezielle
Varietät des Pentakisdodekaeders ist (siehe Nr. 6 dieses $). Es sind die
quadratischen Sphenoide der dritten Gruppe erster Klasse dieser Geraden C,
polarreziprok den Polyedern der ersten Gruppe dritter Klasse der Kurve (x,
wobei sich die Punkte A und Q, sowie 7 und A entsprechen. Für die
letzteren Punkte werden die Sphenoide beider Gruppen illusorisch.
1
0
erhalten wir für die Parameter 6 und der Kernpolyeder der Gruppierungen
d) Führen wir in der Bedingungsgleichung 101) s— E ein, so
T
quadratischer Sphenoide für die vierte Gruppe die Gleichung:
z ce?
(2/5 — 6 coty) cos? 9
155)
Es ist die einer Kurve Cs (vergl. Fig. 4 Taf. 12) die durch den
2
Ikosaederpunkt I (o—3tan29, ln. 2) und einen Punkt # auf C, geht,
cos?p 2
dessen Koordinate z sich für 6—=1 aus 155) ergibt, nämlich „ers
’
wonach dieser Punkt # identisch mit dem gleichbenannten für die quadra-
tischen Sphenoide in der zweiten Gruppe ist, wie zu erwarten war. Da die
Kurve Cs keine der Nachbarkurven G;,, Cjs, ©, schneidet, so sind sämt-
liche Gruppierungen quadratischer Sphenoide dieser vierten
Gruppe von der fünften Klasse und für das Ikosaeder als Kern er-
geben sich zehn Tetraeder im Dodekaeder als Hülle.
e) Für die Parameter der Kernpolyeder sekundärer quadratischer
Sphenoide der fünften Gruppe ergibt sich dem bisherigen analog aus
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 30
234 Max Brückner,
Gleichung 101) die Bedingungsgleichung a deren Dis-
kussion bereits in voriger Nr. geleistet ist. Die durch sie dargestellte
Kurve (0: verläuft vom Ikosaederpunkt 7 ausgehend, durch das Gebiet der
Sphenoidgruppierungen vierter Klasse und zweiter Klasse nach dem Punkte
Q, der mit dem gleichbenannten für die Sphenoide der dritten Gruppe
identisch ist und die Koordinaten 6 —1, t=5(/5—2) besitzt. D. h.: Die
sekundären quadratischen Sphenoide der fünften Gruppe ge-
hören nach ihren Ecken teils zur zweiten und teils zur vierten
Klasse, und zwar gilt das Folgende, wenn wir die polarreziproke Zu-
ordnung direkt an den Kurven (;, Cs und Ca studieren. Die Polyeder der
fünften Gruppe vierter Klasse längs C; von I bis 8 (vergl. Fig. 5 Taf. 12)
sind reziprok den Polyedern der vierten Gruppe fünfter Klasse längs Cs von
I bis # (vergl. Fig. 4 Taf. 12). Die Polyeder der fünften Gruppe zweiter
Klasse längs O0: von & bis @ sind reziprok den Polyedern zweiter Gruppe
fünfter Klasse längs C» von # bis A (vergl. Fig.5 Taf. 11), sodass das
zugleich der zweiten und vierten Gruppe angehörende Polyeder fünfter
Klasse in 7 reziprok ist dem Polyeder der fünften Gruppe in 8, das zu-
gleich von der zweiten und vierten Klasse ist, da x auch auf der Kurve (,,
liegt. Die Koordinaten o, z des Punktes & müssen also die reziproken
Werte der Parameter s und i sein, die wir oben für das Hüllpolyeder der
Sphenoidgruppierung des Punktes # gefunden hatten. In der Tat genügen
5V5—7
4
die Werte 6 — und x — s—3]/5 sowohl der Gleichung der Kurve (;,,
wie der der Kurve C;. (Wir werden dieser speziellen Varietät eines Dyakis-
hexekontaeders weiterhin mehrfach begegnen.) Damit sind die sekundären
quadratischen Sphenoide aller fünf Gruppen erledigt. Stets quadratische
Sphenoide gibt es im Dyakishexekontaedertypus nicht.
10. Die polarreziproke Verwandtschaft der fünf Gruppen
rhombischer Sphenoide. In derselben Weise wie zuletzt in Kap. III $ 2
Nr. 12 nach Erledigung der Sphenoidgruppierungen im Hexakisoktaeder-
typus stellen wir jetzt für die rhombischen Sphenoide des Dyakishexe-
kontaedertypus die polarreziprok verwandten Polyeder der Gruppen und
Klassen einander übersichtlich gegenüber, indem wir jedes Gebiet durch
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 235
seine „Ecken“ und Grenzkurven beschreiben, wobei wir übrigens die bereits
genügend diskutierten sekundären quadratischen Sphenoide beiseite lassen.
Es ist hierzu auf die Figuren 4, 5 und 6 der Tafel 11, sowie 4 und 5
auf Tafel 12 zu verweisen, und zwar findet sich das Gebiet stets in der
Figur, die zu der in der Überschrift angegebenen Gruppe gehört. Die
Polyeder entsprechender Grenzpunkte und Grenzkurven sind hier nicht mehr
wie früher für sich angeführt; sie ergeben sich aber sofort durch Ver-
gleichung der rechts und links vom Strich stehenden Reihen, wobei sich
entsprechende Grenzpunkte und Kurven an gleicher Stelle der Aufzählung
finden. Wir haben hier im ganzen 2.13 einander zugeordnete Gebiete
polarreziproker Polyeder, während autopolare Sphenoidgruppierungen, ab-
gesehen von dem aus zehn Tetraedern bestehenden Polyeder, nicht existieren.
Wenn die Sphenoidgruppierung illusorisch wird, ist der betreffende Grenz-
punkt bezw. die Grenzkurve in () eingeschlossen. Das Ausgangssymbol
ist am Einde der Reihe jedesmal wiederholt, auch ist, wenn die Figur einer
Gruppe mehreremal die gleiche Klasse enthält, der leichteren Übersicht
wegen angegeben, welche der Lage nach gemeint ist.
(1) 1. Gruppe, 1. Klasse 1.) I. Gruppe, Fklasse
(oberes Gebiet). | (unteres Gebiet).
Ha) WR Pr G—(R). (D)—(C)— (DM) —-%—6— &—(D).
(2) 1. Gruppe, 2. Klasse re) 2 Gruppe; 1. Klasse
(oberes Gebiet). | (unteres Gebiet).
a A aa ER, TEHERAN a un).
(3) 1. Gruppe, 4. Klasse. (3) 4. Gruppe, 1. Klasse.
ee Bea), DE mr SS aer D
(4) 1. Gruppe, 5. Klasse. (4) 5. Gruppe, 1.,Klasse.
6002 A 0—(T). D-G5—8—- 1, —9—G—(D).
(5), 1. Gruppe,: 3. Klasse. (5) 3. Gruppe, ,L. Klasse.
Mu AG B—-G— (7). 1. DD. -9 CN GM).
| Für die zwischen D und I liegende
Begrenzungslinie sind die Sphenoide
illusorisch; es entspricht also ge-
' wissermassen die ganze Kurve (,
dem Punkte 7 links.
30 *
236 Max Brückner,
(6) 1. Gruppe, 2. Klasse
(unteres Gebiet).
D—G—- B-G — 4 —G—(T),
(7) 2. Gruppe, 2. Klasse
(oberes Gebiet).
N—0,— 0 — (0, — E—0,— F—Co—N.
(8) 2. Gruppe, 4. Klasse.
0-0, - T-C,-— H-C,-0-6;-E-0,,—0.
(9) 2. Gruppe, 5. Klasse.
H—0, — K— (0,3; — A— 0; —C—(0,—H.
(10) 2.Gruppe, 3. Klasse.
K—0, — L— (1, — B—0;—A— (3 —K.
(11) 3. Gruppe, 4. Klasse.
Pr PO. OT,
(12) 4.Gruppe, 4. Klasse
(oberes Gebiet).
BE E, NEER
(135) 4.Gruppe, 5. Klasse.
T—(y — K— 0, —H— (1-19 —T".
(6) 2. Gruppe, 1. Klasse
(oberes Gebiet).
(D)D)—-%— N— (op — F—(G,—(T).
(7) 2. Gruppe, 2. Klasse
(unteres Gebiet).
B—0,,—L—0(,— M—(,;-—G@G—0;—B.
(8) 4. Gruppe, 2. Klasse.
re eg, OR
(9). 9. Gruppe, 2.. Klasse.
TE BRAD en
(10‘) 3. Gruppe, 2. Klasse.
P—(,-— 0 —G% — N—(,—Q0—0,—P.
(11°) 4. Gruppe, 3. Klasse.
U OR ei
(12) 4.Gruppe, 4. Klasse
(unteres Gebiet).
T'— (y — R— (0, — I— (,;—T'.
Das Symbol 7 ist das einzige, das
sich rechts und links an identischer
Stelle befindet: es charakterisiert die
einzige autopolare Gruppierung.
(13) 5. Gruppe, 4. Klasse.
70 DO na Teen
Die Sphenoide der fünften Gruppe sind bereits in der rechten Spalte
vollständig aufgeführt und es zeigt die Tabelle die lückenlose Zuordnung
aller Gebiete polarreziproker Gruppierungen i-ter Gruppe k-ter Klasse und
k-ter Gruppe i-ter Klasse, wonach die Gebiete der Sphenoide gleicher
Gruppe und Klasse sich im Dyakishexekontaedergebiete derselben Figur
finden.
Damit erledigten wir die Diskussion der konvexen diskontinuierlichen
zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder, soweit sie Gruppierungen
von Sphenoiden darstellen und verweisen die übrigen diskontinuierlichen
konvexen Polyeder in den folgenden Anhang, aus dort angegebenem Grunde.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 237
Anhang. Die diskontinuierlichen gleicheckig -gleichflächigen
Polyeder, deren Einzelkörper reguläre Polyeder erster oder höherer
Art sind. Wir stellen diese Polyeder, da sie schon verschiedentlich be-
handelt wurden, hier nur der Vollständigkeit wegen zusammen, sowie um
Gelegenheit zu finden, ihre z. T. bisher noch nicht veröffentlichten Abbildungen
nach dem Modell geben zu können. Die Kombinationen regulärer Polyeder
haben entweder als diskontinuierliche reguläre Körper höherer Art zu
gelten, oder nur als gleicheckig-sgleichflächige Polyeder. Im ersten Falle
ist die innerste Zelle sowohl wie die äussere Hülle selbst ein reguläres
Polyeder erster Art. Solcher Polyeder gibt es bekanntlich nur drei.
a) Die autopolare Kombination der beiden 'Tetraeder im Hexaeder, deren
Kern das reguläre Oktaeder ist (die sogenannte stella octangula Keplers),
also dem Hexakisoktaedertypus angehörend. b) Die Kombination der zehn
Tetraeder im regulären Dodekaeder, also dem Dyakishexekontaedertypus
angehörend. Die innerste Zelle dieses oft erwähnten Polyeders ist das
Ikosaeder. Je zwei Flächen verschiedener Tetraeder fallen in einer Ebene
des Ikosaeders zusammen, ein diskontinuierliches Sechseck bildend; es sind
die beiden Dreiecke 0,0,C, und (,C,€, in der vollständigen Figur des
Ikosaeders (vergl. Fig. 6 Taf. 8), die in gleichem Sinne zu umlaufen sind,
so dass der Koäffizient der inneren Zelle des Sechsecks 2 ist. In jeder
Ecke des umhüllenden Dodekaeders fallen zwei Ecken verschiedener Tetra-
eder zusammen und bilden eine sechskantige Ecke zweiter Art des Gesamt-
polyeders, das autopolar ist.‘) Je zwei der zehn Tetraeder sind einem der
fünf Hexaeder einbeschrieben, die zusammen für sich das weiter unten an-
zuführende gleicheckig-gleichflächige diskontinuierliche konvexe Polyeder
höherer Art bilden. c) Die Hälfte dieser zehn Teetraeder, die fünf rechten
bezw. fünf linken in den eben erwähnten fünf Hexaedern bilden zusammen
allein ein diskontinuierliches reguläres Polyeder, dessen Kern das Ikosaeder,
dessen Hülle das Dodekaeder ist.)
Von nur gleicheckig-gleichtlächigen Polyedern, die Kombinationen
regulärer Polyeder erster Art sind, sind die folgenden anzuführen. Die dem
Doppelpyramidentypus zugehörenden Systeme von Tetraedern, sowie die
1) Vergl. V.u.V. Tafel iX, Fig. 3.
2) Vergl. V.u. V. Tafel IX, Fig. 11.
238 Max Brückner,
dem Hexakisoktaedertypus zuzuweisenden Kombinationen von sechs bezw.
zwölf Tetraedern sind bereits besprochen.‘) Im Dyakishexekontaedertypus
existieren zwei einander polar zugeordnete Kombinationen von fünf Hexaedern
bezw. fünf Oktaedern, die vielfach beschrieben sind. Der Kern des ersten
Polyeders’) ist das Triakontaeder; seine Flächen in dessen vollständiger
Figur (vergl. Fig. 3 Taf. 17) ist das Quadrat 0,C,0,C,. Die Hülle ist das
Dodekaeder. In jeder seiner E“ken fallen die Eeken zweier Hexaeder zu-
sammen, so dass die Ecken des Gesamtpolyeders sechskantig von der
zweiten Art sind. Die Hülle des polarreziproken aus fünf Oktaedern be-
stehenden Körpers’) ist sonach das Triakontagon, sein Kern das Ikosaeder,
in dessen vollständiger Figur (vergl. Fig. 6 Taf. 8) die beiden Dreiecke
B,B,B, und B,B,,B; mit gleichem Umlaufssinn die Flächen zweier ver-
schiedener Oktaeder sind, zusammen ein diskontinuierliches Sechseck zweiter
Art bildend. Konzentrische Anordnungen von Dodekaedern oder Ikosaedern,
die ein gleichflächig-gleicheckiges Polyeder darstellten, existieren nicht.
Dagegen sind zwei einander polarreziproke Kombinationen von je fünf
Kepler-Poinsotschen zwölfeckigen Sternzwölfflachen bezw. fünf zwölfflächigen
Sternzwölfecken beschrieben worden.‘) Der Kern beider Polyeder ist die
besondere Varietät des Deltoidhexekontaeders, für welche 6 — 4sin?p — a
T = — re ist. Die Hülle ist für jedes das zu diesem gleichflächigen
5 ;
Polyeder reziproke (12+20-+30)-flächige 60-Eck, für dessen Kantenverhältnis
sich aus der allgemein geltenden Formel %,:%, — (1—3s):(3s—eot?g)tang für
s el der Wert A,:k, — 1 ergibt. Da Kern und Hülle reziprok
[7
sind, haben wir hier parapolare Polyeder vor uns. Diese bisher nicht
abgebildeten Polyeder zeigt Taf. 26 in Fig. 10 und Fig. 4. Die zugehörigen
Figuren der Grenzflächen sind in Fig. 3 Taf. 11 und Fig. 4 Taf. 13 ge-
zeichnet. Für einen bestimmten festen inneren Kern, d. h. einen bestimmten
1) Vergl. Kap. I $S2 Nr. 7 und Kap. III $ 2.
2) Vergl. V.u. V. Taf. XII Fig. 24.
8) VerelV.su.2V. ‚Tat los 6-
4) Vergl. hierüber die ausführliche Darstellung bei Hess, Ueber zwei konzentrische
regelmässige Anordnungen von Kepler-Poinsotschen Polyedern. Marburger Berichte. 1878.
Nr. 2 (Febr. — Mai).
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 239
Wert a des Deltoidhexekontaeders fallen die Ecken N,, N,, N;, N, N, der
Grenzfläche beider Polyeder zusammen, diese besitzen also eine gemeinsame
umbeschriebene Kugel. Die Koöffizienten der entsprechenden Flächenzellen
in den Grenzflächen der beiden Körper und damit auch die der körperlichen
Zellen stimmen natürlich nicht überein, da die Fläche des einen Körpers
ein Fünfeck erster Art, die des anderen ein solches zweiter Art ist. Die
Ecken des Körpers sind daher fünfkantig von der zweiten bezw. ersten
Art. Die Art A des Polyeders selbst ist jedesmal 15, nämlich das fünf-
fache der Art A des Kepler-Poinsotschen Einzelkörpers.
Wir haben damit die konvexen diskontinuierlichen gleicheckig-gleich-
flächigen Polyeder überhaupt erledigt, da Polyeder, deren Einzelkörper
andere als die genannten regulären oder die rhombischen und quadratischen
Sphenoide sind, nicht gefunden wurden. Die Betrachtungen über die nicht-
konvexen Polyeder des Dyakishexekontaedertypus beginnen wir nun mit
der Untersuchung der diskontinuierlichen, aus Gruppierungen von Stepha-
noiden bestehenden Polyeder, da diese wie die bisher behandelten Sphenoid-
gruppierungen einen grösseren Komplex bilden.
$ 3. Die Gruppierungen von Stephanoiden St‘ ()
im Dyakishexekontaedertypus.
1. Die Stephanoide $t‘,() im (12+20+30)-flächigen 2.60-Eck
nach den Ecken des Hüllpolyeders. Die 120 Ecken des (12+20 + 30)-
flächigen 2.60-Ecks liegen sechsmal zu je zehn in zwölf parallelen Ebenen,
die senkrecht stehen auf einer Achse G. Örientieren wir zunächst das 2.60-
Eck im Raume so, dass die Achse 6,6‘ senkrecht von oben nach unten
verläuft, so sind die 120 Ecken‘) in den zwölf horizontalen Ebenen die der
Tabelle 156) [S. 240).
Ecken, die gleichweit vom Mittelpunkte des 2.60-Ecks liegenden
Ebenen angehören, bezeichnen wir, wie die letzte Spalte angibt, als von
derselben Klasse, wobei die Ecken zweier Grenzzehnecke des 2.60-Ecks
1!) Die oben und unten stehenden Zahlen und Zeichen sind vorläufig nicht zu be-
rücksichtigen; desgleichen die Spalte am linken Eingang.
240 Max Brückner,
selbst die Ecken erster Klasse sind.‘) Schreiben wir das entsprechende
Schema für jede der fünf anderen Achsen G@' an, so erschöpfen die Ecken
jeder Klasse sämtliche Ecken des 2.60-Ecks, d. h. jede Ecke des 2.60-Ecks
ist eine Ecke jeder der sechs Klassen, je nach Wahl der Achsen G@‘ als
senkrecht orientierte „Hauptachse“ des 2.60-Ecks. So ist z. B. die Ecke 1
eine Ecke erster Klasse in Bezug auf die Achse G,, eine Ecke zweiter
Klasse in Bezug auf G, u.s.w. Fassen wir nun die Ecken einer bestimmten
Klasse für irgend eine Achse, z.B. 6,6‘, ins Auge. Die zwölf in jeder
| oO) | | ©
Flächen la) SH En ie 107 Dis | 18 Ecken
1. Gruppe 1| 2 5| 61 7] 8]7759°17,.107177. Klasse
2. Gruppe La, 13 14 15 | 16 alrl 18 19 20 | 2. Klasse
3.Gruppe | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28| 29 | 30 |3. Klasse
4.Gruppe | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 4. Klasse
5. Gruppe 41 | 42 43 44 45 | 46 47 48 49 50 | 5. Klasse
6. Gruppe 51 52 53 54 55 Ob. 79H 58 59 60 | 6. Klasse
156) | 6. Gruppe | us 6. Klasse
5. Gruppe 5. Klasse
4. Gruppe 4. Klasse
3. Gruppe | | 3. Klasse
2. Gruppe | 104 | 103 | 102 | 101 | 110 | 109 | 108 | 107 | 106 | 105 | 2. Klasse
. Gruppe | 114 113 | 112 | 111 | 120 | 119 | 118 | 1. Klasse
0 WE Da, Ras a al en ne a
6) | | | 9) |
* * * *
der beiden Parallelebenen liegenden Ecken sind die eines gleicheckigen
2.5-ecks mit abwechselnd gleichen Kanten und gleichen Winkeln. Diese
2.5-ecke der beiden Ebenen sind kongruent, aber um 36° gegen einander
gedreht, sodass die Kanten erster Art des einen den Kanten zweiter Art
des anderen parallel laufen und umgekehrt. Diese beiden 2.5-ecke sind
also die Deckflächen eines unterbrochen-kronrandigen (2+ 2.5)-flächigen
2.(2.5)-Ecks, dessen Hauptachse die Achse G,6‘, ist. In Bezug auf diese
Hauptachse lassen sich demnach die 120 Ecken des 2.60-Ecks als die von
sechs solchen kronrandigen 2.(2.5)-Ecken auffassen. Nun sind, wie früher
abgeleitet wurde, einem solchem Polyeder zwei Stephanoide St‘, (%) einschreibbar,
!) Dieser Begriff der Klasse ist also verschieden von dem bisherigen.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 241
von denen das eine mit dem anderen durch Drehung um einen gewissen
Winkel « um die Hauptachse G zur Deckung kommt. Fassen wir die
120 Ecken als die einer bestimmten Klasse i auf, so sind sie Ecken von sechs
kronrandigen 2.(2.5)-Ecken und es lassen sich somit dem 2.60-Eck zwölf
solcher St, €) einschreiben. Es existieren somit im 2.60-Eck sechs
verschiedene Gruppierungen von je zwölf St, (), die wir nach der
charakteristischen Ecke als solche erster bis sechster Klasse bezeichnen.
Ist der soeben mit « bezeichnete Winkel 36°, so sind die Deckflächen des
kronrandigen Polyeders reguläre Zehnecke, und die beiden ihm einbeschriebenen
St, (°) bilden ein diskontinuierliches St, (}) nach der früheren Bezeichnung.
Auf diesen speziellen Fall kommen wir im nächsten $ zurück. Wesentlicher
ist das Vorkommnis @—=0. Dann fallen die beiden St‘, (2) zusammen, und
die Gruppierung besteht nur noch aus sechs St‘, ($). Das geschieht bei den
verschiedenen Klassen für gewisse spezielle gleicheckige Polyeder des Typus.
Tritt nämlich an Stelle des 2.60-Ecks ein 12.5-Eck, 20.3-Eck oder 60-Eck,')
so reduzieren sich die zwölf Stephanoide auf sechs, oder es werden die
zwölf Stephanoide einer Klasse identisch mit den zwölf Stephanoiden einer
anderen Klasse. Da die Gesamtzahl 120 der Flächen dabei erhalten bleibt,
die Zahl der Ecken aber sich auf die Hälfte 60 reduziert, so fallen dann
je zwei Ecken verschiedener Stephanoide in einer Ecke des Hüllpolyeders
zusammen und bilden daselbst eine diskontinuierliche achtkantige Ecke der
achten Art. Die genannten möglichen Gruppierungen von Stephanoiden
St’, (*) zerfallen also in Bezug auf die Eeken in drei Gattungen: a) zwölf
_Stephanoide mit getrennten Ecken, d.h. 120 Flächen und Ecken; b) zwölf
Stephanoide mit zu zwei zusammenfallenden Ecken, d.h. 120 Flächen und
60 Eeken; c) sechs Stephanoide mit getrennten Ecken, d.h. 60 Flächen
und 60 Eeken. Die Art A des gesamten diskontinuierlichen von Stephanoiden
gebildeten nichtkonvexen Polyeders, dessen Oberfläche wie Inhalt Null ist,
da dies für die Teilpolyeder gilt, ist gleich der Artzahl des Einzelstephanoids
mal deren Anzahl, also für die Polyeder der Fälle a) und b) gleich 120,
für den Fall e) gleich 60, d.h. in jedem Falle gleich der Hälfte der Kanten
des Nullpolyeders. — Um nun die Einteilung dieser Stephanoidgruppierungen
1) Vom Triakontagon und Dodekaeder werde einstweilen noch abgesehen.
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 3i
242 Max Brückner,
nach den Ecken, d. h. ihre Klassen, auch für die speziellen Hüllkörper
übersehen zu können, halten wir für das allgemeine Hüllpolyeder eine erste
Grenzfläche jedes der Stephanoide fest, deren Hauptachse die Achse 6, ist.
Wir wählen immer diejenige Fläche, deren vier Ecken die in den Spalten ©
der Tabelle 156) sind, wofür sich der Grund später ergeben wird. Die erste
Spalte der folgenden Übersicht 157) enthält dann die Ecken dieser Grenz-
fläche für die sechs Klassen im (12+20+30)-flächigen 2.60-Eck und gibt,
soweit die Modelle solcher Polyeder dargestellt sind, die betreffenden Figuren
der Tafeln 21—29 an.
A) | Si)
BE a ie E00
(12+20+30)-N. .
Erasie 2.60-Eck | AR NE an ee | Triakontagon | Dodekaeder
| .50 | 3.5.90. | |
9. 3. 116.114) si le 20 | z en Bi us || 4.3. 25. 22
(Tal 29 FE) ar.26 Fig.1)| (Taf.26 Fig.3) STE
7.10. 39.42 | | |
0 an = 6s. 111.15.53.55)) 19 st. (Taf. 24 Fig.7) = = = =
(Tal 29 8-2) (Taf. 26 Fig. 2) | |
| 18. 47. 38. 44 | Taf.24Fig.1
2 “ | | | ( a g )
II Fllen je 8. 18. 30. 36 | 12, 6.8... (5.11. 17.18)
Be [Met 26 Fig. 6)
| |
| | 17. 48. 37. 43
39. 33. 86. 84, | | 6 St.
IV el 12 St. 1125. 16. 42. 45| 6 St. N
(Taf. 29 Fig. 4) | ah“ a (Taf 28 Fig.1, (Taf.26 Fig.9)
a 9.5.10. 8
49. 43.76. 74 | Taf. 26 Fig. U) u
V |(Taf. 29 Fig. 3 | 12 St. | — | n
\ 16. 24. 20. 27 (Taf.
Taf.28 Fig.5) | 10 &t | Mae >
Era 5 19. 49. 15.421)
| 6 St. 3 |
VI. |59. 53. 66. 64 20. 50. 16. 41 | =
| (Taf. 24 Fig. 2,
| | Taf. 26 Fig. 8)
In dieser Tabelle sind die folgenden Tatsachen niedergelegt. Für
das (124-20)-flächige 12.5-Eck?) reduzieren sich die Ecken der ersten und
!) Aus den Ecken fünfter Klasse des allgemeinen Stephanoids gehen die oberen,
aus denen sechster Klasse die unteren Ecken desselben Stephanoids im 20.3-Eck hervor.
2) Die Eekenzahlen der Spalten 2—6 der Tabelle ergeben sich natürlich aus denen
von Spalte 1 in Verbindung mit Note VI.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 243
zweiten Klasse in einer Ebene je auf fünf; an Stelle der (5+ 5)-ecke treten
reguläre gegen einander gedrehte Fünfecke und es ergibt sich in beiden
Fällen eine Gruppierung von sechs Stephanoiden St‘, @). Die Ecken dritter
und vierter Klasse, sowie die fünfter und sechster Klasse fallen zusammen,
und man erhält Gruppierungen von je zwölf St‘, (), bei denen je zwei Ecken
zweier verschiedener, d. h. zu verschiedenen @ als Hauptachse gehörender
Stephanoide zusammenfallen, diskontinuierliche Ecken achter Art bildend.
Für jedes (12+20+ 30)-flächige 60-Eck reduzieren sich die Ecken der ersten
und sechsten Klasse je auf fünf, so dass man sechs St‘, () erhält. Für je
zwei andere benachbarte Klassen fallen die Ecken zusammen und es er-
geben sich zwölf St‘ der geschilderten Art. Für ein (12+20)-tlächiges 20.3-
Eck fallen die Ecken erster und zweiter sowie fünfter und sechster Klasse
zusammen, wodurch sich Gruppierungen von zwölf St‘, (*) mit diskontinuier-
lichen Ecken ergeben. Die Ecken dritter und vierter Klasse bilden reguläre
Fünfecke und es ergeben sich in beiden Fällen Gruppierungen von je
sechs St‘, @). Tritt an Stelle des allgemeinsten Polyeders des Typus das
Triakontagon, so hat man die Zahlen der fünften Spalte. Das diskontinuier-
liche aus sechs St‘, () gebildete Polyeder hat jetzt nur noch 30 Ecken, in
derer jeder zwei Ecken zweier, verschiedenen Hauptachsen angehörenden,
Stephanoide zusammenfallen. Die Zahl der Grenzflächen beträgt noch 60.
Während für die vorhergehenden speziellen Polyeder s und t des Hüll-
polyeders variabel sind, und nur den bekannten Bedingungen genügen, ist
für das Triakontagon s und ? konstant, d. h. es ergeben sich zwei bestimmte
feste Gruppierungen von sechs St/,(). Die Ecken fünfter und sechster
Klasse fallen für das Triakontagon in eine Ebene, und die St‘ werden
illusorisch. Ist die Hülle des Polyeders das Dodekaeder, so: ergeben die
drei ersten Klassen, wie die drei übrigen für sich je eine Gruppierung von
sechs Stephanoiden, die aber, wie später gezeigt wird, völlig in ein eigen-
tümliches Nullpolyeder zusammenfallen.
2. Die Gruppen der Stephanoide $#‘, () nach den Flächen des
Dyakishexekontaeders. Die sechs Gruppierungen von je zwölf Stephanoiden,
die sich einem 2.60-Eck einschreiben lassen, bilden jede ein diskontinuier-
liches nichtkonvexes gleicheckig - gleichtlächiges Polyeder, dessen gleicheckige
31*
244 Max Brückner,
Hülle eben das 2.60-Eck, dessen gleichflächiger Kern aber nichts anderes
sein kann, als ein dem Dyakishexekontaedertypus angehörendes gleichflächiges
Polyeder, d.h. bei 120 Flächen ein Dyakishexekontaeder selbst. Dies folgt
aus der Lage der Flächen der Gruppierung gegen die Symmetrieebenen
und Achsen des 2.60-Ecks. Es handelt sich nun darum, direkt die sechs
möglichen Fälle aus dem inneren Kern abzuleiten, d. h. nach der bisherigen
Auffassung, die die Flächen des Polyeders als erstes Einteilungsprinzip
nahm, die sechs Gruppen der Stephanoidgruppierungen aufzustellen.
Örientiert man das Dyakishexekontaeder im Raume so, dass die fünfzählige
Achse 6,G, senkrecht von unten nach oben verläuft, die dreizählige Achse
C, auf den Beschauer zu nach vorn, so dass die Symmetrieebene durch die
Achsen G, C, B; C, G‘, B; und ihre Gegenachsen zugleich Symmetrieebene
des Beschauers ist, so ist die Stellung gegeben, die bei den folgenden Be-
trachtungen zu Grunde gelegt ist. Die Ebene senkrecht zur Achse 6,
durch den Mittelpunkt des Dyakishexekontaeders werde als eine Haupt-
ebene bezeichnet. Solcher enthält das Polyeder also sechs, senkrecht zu
jeder Achse GG‘; in jeder Hauptebene verlaufen von den Achsen nur je
sechs Achsen B. Schreibt man die 120 Flächen in der Weise an, wie es
Tabelle 156) zeigt, so bilden immer die Flächen derselben Reihe (von links
nach rechts) gleiche Winkel mit der Hauptebene der Achse G,. In jeder
Reihe befinden sich fünf rechte und fünf linke Flächen, und zwei Flächen-
reihen, von denen die eine das um einen gewissen Winkel um die Achse @
gedrehte Spiegelbild der anderen gegen die Hauptebene ist, enthalten die
Flächen derselben Gruppe. Beachtet man nun nur die Flächen einer be-
stimmten Gruppe, z. B. der ersten, und denkt sich alle übrigen Flächen
aus dem Polyeder getilgt, so bilden diese 2.10 Flächen für sich die Grenz-
flächen eines gleichflächigen unterbrochen-kronrandigen (2+2.5)-eckigen
2.2.5-Flaches, dessen Hauptachse die Achse 6,6‘, ist. Genau dasselbe gilt
nun für die Flächen erster Gruppe in Bezug auf die übrigen fünf Haupt-
ebenen des Dyakishexekontaeders und da damit alle Flächen des Polyeders
erschöpft sind, hat man den Satz: die 2.60 Flächen des Dyakishexe-
kontaeders sind die von sechs gleichflächigen unterbrochen-
kronrandigen (2+2.5)-eckigen 2.2.5-Flachen, deren Hauptachsen
die Achsen G sind. Nun gehört aber jede Fläche gleichzeitig allen sechs
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 245
Gruppen an, d.h. die Flächen des Dyakishexekontaeders sind sechsmal die
von je sechs der genannten gleichflächigen Polyeder. Jedes dieser ist der
Kern für zwei Stephanoide St, ($), also ist das Dyakishexekontaeder sechs-
mal gleichflächiger Kernkörper für Gruppierungen von je zwölf Stephanoiden,
deren in Summa 120 Ecken, wieder aus Gründen der Symmetrie, die Eeken
von gleicheekigen (12+20+30)-flächigen 2.60-Eeken sind. Wir erhalten
also auch hier die bereits nach den Ecken betrachteten Stephanoide erster
bis sechster Klasse, die jetzt als Stephanoide der ersten bis sechsten Gruppe
aufgefasst sind, so dass nur noch zu untersuchen bleibt, welcher der Klassen
die Stephanoide einer bestimmten Gruppe zugehören. Man denke sich nun
in ein vorgelegtes 2.60-Eck die Stephanoide der sechs Klassen mit der
Hauptachse G, einbeschrieben und dem gemeinsamen Hüllkörper die Kugel
umbeschrieben. Man erhält dann das jedem Stephanoide polarreziproke,
indem man in seinen 2.10 Ecken an die Kugel die Tangentialebenen legt,
die das 2.2.5-Flach, nämlich den Kern des reziproken Stephanoides bilden.
Die genannten Tangentialebenen durch die Ecken eines Stephanoides be-
stimmter Klasse schneiden sämtlich die Hauptebene von G, unter gleichem
(spitzen) Winkel, da diese Ecken sich auf einem (kleinen) Kugelkreise
parallel dieser Hauptebene befinden. Für die sechs Kugelkreise, die den
Ecken der sechs Klassen zukommen, ist dieser Winkel verschieden und
zwar nimmt im allgemeinen der Winkel mit wachsender Klassenzahl zu,
so dass die Tangentialebenen in den Ecken eines Stephanoides erster Klasse
den kleinsten, die in den Ecken eines Stephanoides sechster Klasse den
grössten Winkel mit der Hauptebene bilden. Es bilden aber die 2.10 Flächen
gleicher Gruppe des Dyakishexekontaeders ‘ebenfalls gleiche Winkel mit
der Hauptebene des Polyeders in Bezug auf G, und zwar die Flächen
höherer Gruppe im allgemeinen den grösseren Winkel. Jedenfalls gilt stets:
Das polarreziproke eines Stephanoides i-ter Klasse ist ein
Stephanoid i-ter Gruppe und umgekehrt. Beachtet man nun die
Klassenstephanoide im 2.60-Eck in Bezug auf die Neigungswinkel ihrer
Ebenen gegen die Hauptebene des Polyeders, so ersieht man leicht, dass
diese Neigungswinkel mit wachsender Klasse im allgemeinen abnehmen,
d.h. es gilt der vorläufige Satz: Ein Stephanoid i-ter Klasse ist
„normalerweise“ zugleich ein Stephanoid (—.)-ter Gruppe [und
246 Max Brückner,
ein Stephanoid ö-ter Gruppe ist zugleich ein Stephauoid (7—)-ter Klasse].
Dieser Satz gilt dann in dieser vorläufigen Form ersichtlich auch für die
Gesamtgruppierungen der Stephanoide, so lange natürlich Kern und Hülle
des Polyeders allgemein sind. Wir bestimmen für die sechs Gruppen im
folgenden zunächst für jede Gruppierung eine erste Fläche des Stephanoids
und ihre Ecken. Bedeuten die Zahlen der Tabelle 156) gemäss dem linken
Eingang die Flächen des Dyakishexekontaeders, so sei die Fläche der
ersten Spalte (1, 11, 21, 31, 41, 51) die erste Fläche der sechs Stephanoide,
wobei das Dyakishexekontaeder im Raume orientiert ist, wie oben angegeben
wurde. Die Ebenen, deren Spuren auf der genannten ersten Ebene die
erste Fläche des Stephanoids erzeugen, sind unter * abzulesen. Bedeuten
die Zahlen der Tabelle zugleich die Eckenzahlen des ebenso im Raume
orientierten 2.60-Ecks, so sind die Ecken der so bestimmten Stephanoid-
fläche in der betreffenden Klasse unter © abzulesen (soweit der obige vor-
läufige Satz gültig ist) gemäss den Zahlen der Ecken der obersten und
untersten Aussenreihe, die nichts anderes sind, als die Zahlen des früher
bei Besprechung der Stephanoide im (2+2.5)-Hächigen 2.2.5-Eck auf-
gestellten Schemas (vergl. Kap. II $ 3 S. 74). Dann hat man folgende
vorläufige Übersieht:')
Die erste Gruppe der St,(). Die Fläche ı trägt die Spuren von
114, 112, 116, 118 und hat die Ecken sechster Klasse: 59 (1, 116, 118); 53 (1,
112, 114); 66 (1, 114, 118); 64 (1, 112, 116), wobei die in () gesetzten Zahlen
drei der Ebenen geben, durch deren Schnitt die Ecke entsteht.
Die zweite Gruppe der St, (). Die Fläche 11 trägt die Spuren
von 104, 102, 106, 108 und hat die Ecken fünfter Klasse: 49 (11, 106, 108);
43 (11, 104, 102); 76 (11, 108, 104); 74 (11, 106, 102).
Die dritte Gruppe der $t,(). Die Fläche 21 trägt die Spuren
von 94, 92, 96, 98 und hat die Ecken vierter Klasse: 39 (21, 98, 96); 33 (21, 94, 92);
86 (21, 98, 94); 84 (21, 96, 92).
Die vierte Gruppe der St, (). Die Fläche 31 trägt die Spuren
von 84, 82, 86, 88 und hat die Ecken dritter Klasse: 29 (31, 88, 86); 23 (31, 84, 82);
96 (31, 88, 84); 94 (31, 86, 82).
!) In dieser Form bedürfen wir der Übersicht für die später folgende analytische
Behandlung.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 247
Die fünfte Gruppe der $t,(}). Die Fläche 41 trägt die Spuren
von 74, 72, 76, 78 und hat die Ecken zweiter Klasse: 19 (41, 78, 76); 13 (41, 74, 72);
106 (41, 78, 74); 104 (41, 76, 72).
Die sechste Gruppe der $t,(). Die Fläche 51 trägt die Spuren
von 64, 62, 66, 68 und hat die Ecken erster Klasse: 9 (51, 68, 66); 3 (51, 64, 62);
116 (51, 68, 64); 114 (51, 66, 62).
Um nun die Verhältnisse für die speziellen Kernkörper des
Dyakishexekontaedertypus übersichtlich darzustellen, braucht man nur die
Tabelle 157) einer anderen Deutung zu unterwerfen. Mit Rücksicht auf
die Darstellung der Flächen der Polyeder in den vollständigen
Figuren der gleichflächigen Kerne soll jedoch hier ein abweichendes
Verfahren eingeschlagen werden. Für alle sechs Gruppen in der folgenden
Tabelle 158) werde stets die Fläche ı) des Kernpolyeders als Zeichenebene
gewählt und die Spuren derjenigen vier Flächen angemerkt, die auf ihr
die erste Fläche des Stephanoides erzeugen. Auch für die speziellen gleich-
flächigen Kernpolyeder gibt 158) stets die Spuren in der Ebene, die als
Zeichenebene verwandt ist [siehe Tabelle 158) S. 248].
Zu dieser Tabelle ist folgendes zu bemerken. Für die speziellen
inneren Kerne können verschiedene Fälle eintreten. Zunächst fallen je
zwei Nachbarfläichen des Dyakishexekontaeders dann in eine Ebene und
die in ihnen befindlichen Stephanoidflächen liegen in dieser Ebene entweder
getrennt, symmetrisch gegen die Symmetrielinie der Fläche des speziellen
Kernes, oder sie fallen zusammen, ein einziges symmetrisch zur genannten
Linie liegendes überschlagenes Viereck bildend. Im ersten Falle haben
wir ein diskontinuierliches aus zwölf Stephanoiden bestehendes Polyeder,
das nach seinen Flächen gleichzeitig zwei Gruppen angehört. Da es 120
Ecken besitzt, gehört es einer bestimmten Klasse an. [Es ist in 158) immer
in der (@—i)-ten Gruppe angeführt, wenn es der i-ten Klasse zugehört].
Im zweiten Falle besteht das Polyeder aus sechs Stephanoiden und es ist
die Klassenzahl im allgemeinen durch Vergleichung der Tabelle 158) mit
der Tabelle 157) leicht festzustellen. Da aber die zweite Gruppe Grup-
pierungen von sechs Stephanoiden aufweist, wenn der Kern des Polyeders
ein Pentakisdodekaeder ist, solche Gruppierungen fünfter Klasse aber nicht
existieren, so ergibt sich schon hieraus, dass die Zuordnung von Gruppe
1
8)
248
Max Brückner,
Kerne. ä
Dyakishexekon- Pentakis- x Triakis- . L
Gruppe Re PER Deltoidhexe- en. Triakontaeder | Ikosaeder
kontaeder
56. 57.58.59 22.26.25.29|
I |t1a. 112. 116.118 ach vr 6 St. hs 40.34 6 St. 15.18. 14.19
| I (Taf.24Fig.2)) | (Taf. 26 Fig.8)
ir | 92: 55. 46. 89 | 53.41.40.52 |\26. 24.43.51 )51.27.35.55 ||, 99 94.08 (Taf.24 Fig.1)
(Taf. 29 Fig. 6) 6 St. (Taf.29Fig.3) (Taf.28Fig.5))” 12.11.16.15
f 42.48.45.52 |124.12.13.25
. .25.16. |
III |80. 37. 59. 107 | BE ” ee 6 St. 6 St. [117.13.16.19
a (Taf.28Fig.1) |(Taf.26 Fig.7)
| 24.19.28.39 |
| 1.10. 20.
IV 1105. 42. 24. 61. Iehai, line is 6 St. 22.10.11.23 |]2. 4. 12. 14
(Taf.28Fig.2) [
(Taf.26 Fig.6,9)
44.7. 5.36 | | (Taf.24Fig.1)
v Bagksn: .“ _|j15.44.19. ka.aı lat
69. 19. 31. 94 (Taf.29Fig.2) 4.19.49 \11.3.43. 261,20. 4. 2, 18/1, | 12, 19
| | Parallele
| 6. 9. 39. 31 | Ebenen
6 St. |)9. 54. 17.32]
VL 87. 30:43.,72 | 33. 4. 10. 45 (par 9pFig123 (Taf.29Fie.1) 1. 5. 3.19 |) 2. 3. 11. 13
| Taf.24 Fig.7) |
und Klasse einer weiteren Untersuchung bedarf. Diejenigen Polyeder
nämlich, die bei allgemeinstem Kerne nach den Flächen einer bestimmten
Gruppe eingefügt werden können, deren Hülle aber ein spezielles gleich-
eckiges Polyeder des Typus ist, so dass sie nach den Ecken gleichzeitig
zwei Klassen angehören, bilden den Übergang zwischen den Polyedern
einer bestimmten Gruppe zweier verschiedener Klassen, so dass das Gebiet
der konvexen Dyakishexekontaeder für jede Gruppe der Stephanoide durch
gewisse Kurven wiederum in Teilgebiete zerlegt wird, deren Polyeder ver-
schiedenen Klassen angehören. Die Polyeder i-ter Gruppe %-Klasse sind
dann wieder die polarreziproken zu denen %-ter Gruppe i-ter Klasse, doch
ist die Zuordnung infolge der Gültigkeit des früher angeführten vorläufigen
Satzes hier eine wesentlich leichter zu übersehende als die der Sphenoid-
gruppierungen.
Die Gruppierungen der St‘, (‘), deren Kern ein spezielles Polyeder
des T'ypus ist, bedürfen einer weiteren Bemerkung, falls sich zwei getrennte
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 249
Vierecke als Fläche in der Zeichenebene ergeben, also die Gruppierung
noch aus zwölf St‘, (2) besteht. Zwei solche überschlagene Vierecke werden
sich im allgemeinen überlagern und ihre Flächen sich teilweise tilgen.
Dadurch ergeben sie wegen ihrer symmetrischen Lage ein aus positiven
und negativen kongruenten Zellen entgegengesetzten Vorzeichens bestehendes
diskontinuierliches nichtkonvexes Achteck, das als Grenzfläche des ent-
stehenden Polyeders zu gelten hat. In diesem Sinne ist die gesamte Grup-
pierung von zwölf St‘, () als ein von 60 diskontinuierlichen Achtecken des
Inhalts Null begrenztes Nullpolyeder aufzufassen, für welches die Artzahl
der 60 Flächen a—=4, die Artzahl der 120 vierkantigen Ecken «—=4, die
Summe der überstumpfen Kantenwinkel X — 60.4 und die Zahl der Kanten
K=240 ist, so dass 24 — 60.4+120.4—60.4— 240 — 240, also A un-
geändert — 120 ist.')
Ist der Kern der Gruppierung das Triakontaeder, so sind nur zwei
aus je sechs St‘, () bestehende Polyeder möglich. Je zwei Flächen ver-
schiedener Stephanoide zweier Gruppen fallen in eine Ebene und bilden ein
diskontinuierliches Achteck, das bei einem der Polyeder aus zwei völlig
getrennten Vierecken besteht. Wir kommen auf dieses Polyeder, sowie
dasjenige, dessen Kern das Ikosaeder, dessen Hülle das Dodekaeder ist, und
dessen Fläche ein von drei überschlagenen Vierecken eigentümlicher Lage
gebildetes diskontinuierliches Sechseck ist, ausführlich zurück, und wenden
uns jetzt zur systematischen Betrachtung der Polyeder der sechs Gruppen.
Dabei legen wir der analytischen Untersuchung das gleiche Koordinaten-
system wie früher zu Grunde. Da aber die Hauptachse @ der Stephanoide
in keine Koordinatenachse fällt, so werden die zu diskutierenden Werte und
Gleichungen hier eine kompliziertere Gestalt annehmen, wie bisher.
3. Die erste Gruppe der Stephanoide St‘, (‘).. Ehe wir zur Dis-
kussion der Stephanoide der ersten Gruppe übergehen können, müssen wir
die Stephanoide sechster Klasse, zu denen wir sie vorläufig normalerweise
rechneten, einer weiteren Betrachtung unterziehen. Es zerfallen nämlich die
I) Diese eigentümlichen Polyeder sind bei Modellierung der Einzeltypen besonders
berücksichtigt, zumal der Klassencharakter der Stephanoidgruppierungen an ihnen ebenso zu
erkennen ist, wie an den mühsamer darzustellenden allgemeinsten Polyedern.
Nova Acta LXXXVI. Nr.1. 32
250 Max Brückner,
(12+20+30)-flächigen 2.60-Ecke in Bezug auf die Ecken sechster Klasse
in zwei verschiedene Ordnungen, je nachdem von den beiden Ebenen durch
die Eeken der beiden Reihen
51, 52, 53, 54, 55, 56, 574, 58, ‚59, 60,
64, 163,7°62,0.61,,270, 269,5263,, 01, 66,065;
die eine oder die andere über oder unter dem Zentrum des gleicheckigen
Polyeders verläuft. Wir sprechen demgemäss auch von Ecken sechster
Klasse der ersten oder zweiten Ordnung, je nachdem die erste oder zweite
Reihe der genannten Ecken der über dem Zentrum gelegenen Ebene an-
gehört. Den Übergang von den 2.60-Ecken erster Ordnung zu denen
zweiter Ordnung bilden alle die 2.60-Ecke, für welche die 2.10 Ecken
sämtlich in einer Ebene durch das Zentrum des Polyeders senkrecht zur
Achse @ liegen. Für solche 2.60-Ecke werden offenbar die Stephanoide
sechster Klasse illusorisch und die analytische Bedingung hierfür ist zu-
nächst abzuleiten. Wählen wir der leichteren Rechnung wegen an Stelle
der angeführten 2.10 Ecken sechster Klasse die Reihen, denen die Ecke ı)
mit angehört, so ist die Bedingung für das Verschwinden der Stephanoide
sechster Klasse darin ausgesprochen, dass die vier Ecken 1), 2), 20), 30) in
einer Ebene liegen. Da die Koordinaten dieser Ecken x, Yı, 21; 2. Yu &3;
— 2, —Yı, 25 —%, —Yr, 22 Sind, so reduziert sich die bekannte Relation
für die Lage der vier Punkte in einer Ebene auf die Gleichung: (x, — a, y»).
(4—2%)=0. Nun ist für das 2.60-Eck 2, = 2, also ist &,y — xy = 0. Drückt
man hierin die Koordinaten durch die Kanten des Polyeders aus, setzt also
k k 7
u = A = %, -; (k, + ki cotp), a = __ ‚so kommt %; (k,—k; cotp) — 0.
Da nvicht allgemein ,—=0 ist, denn nicht alle 60-Ecke können der Be-
eot?p
v5
:(—s eos?g). In Verbindung mit der vorigen Gleichung findet man hieraus:
dingung genügen, so findet man Ak, —%ycotg. Nun ist Aı:ky — (1—s)
t— cos?y, s— beliebig. Es ist aber, wenn man wie früher s und £ als
Koordinaten in der Ebene deutet (vergl. Fig.7 Taf. 12), t = cos? die Gleichung
einer Geraden Z, durch den Triakontagonpunkt, die parallel der s-achse
1 eot?p _5+V5
verläuft und die 60-Ecks-gerade C“, im Punkte P für s — En =
— 0,9045 schneidet. Da nun ersichtlich für das Ikosaeder als gleicheckiges
Die gleicheekig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 251
Polyeder die Ecken sechster Klassen von der ersten Ordnung, für das
Dodekaeder von der zweiten Ordnung sind, so gehören die 2.60-Ecke für
Werte s, t über der Geraden Z, zur ersten, die unter ihr befindlichen zur
zweiten Ordnung und man liest aus der Figur dann ab: Für alle 12.5-Ecke
sind die Ecken sechster Klasse von der ersten Ordnung, für alle 20.3- Ecke
sind die Ecken sechster Klasse von der zweiten Ordnung, während die
60-Ecke beiden Ordnungen angehören können.
Wir bestimmen nun als erste Ecke des Stephanoides St‘, (*) der ersten
Gruppe den Schnittpunkt der Flächen 1), 112), 114) des Dyakishexekontaeders.
Man findet aus den Gleichungen
Ad) ve +by+a2—d—0,
(112) a — buy— 1,2 —d —= 0,
(114) b,2— ce, y— a,2—d — 0,
für die Koordinaten die Werte:
a 2 m. u EL
n n
worin:
159°) m = (m —b;)+ a; (m — a) + cı (m —b;),
159) m’ — b, (b, —aı) + bi (b, —a,) + C; (a, —Q,),
1595) m" — b(a; +4) 5(2 +0) + bi (a; — 0)),
und n — m (ba, — 6) + a; (dia; — cı6;) + b; (bye; — bc) ISt.
Da für die Formeln von s und £ in den Koordinaten der Ecken
(vergl. Kap. IV $ 1 Nr. 8) nur die Verhältnisse der Koordinaten in Frage
kommen, so unterlassen wir stets die weitere Bestimmung von ». Mit Ein-
führung der Werte der «a, 5, c; als Funktionen von os und # nehmen die
Gleichungen 159) nach längerer Rechnung die Form an:
292 2
160°) m —= r cotp + 092 cot p — 0?% ct — 29? tanp + 0% 29 — 5,
2 / [EZ R ; 62
160°) m’ — — 3 were ,09Rcot’n a tan 290 uni
160%) m" —= — 02% tan g— 20% tan?p + 02.
Nun ist aber zu beachten, dass die gefundene Ecke sowohl eine Ecke
sechster Klasse erster Ordnung wie auch sechster Klasse zweiter Ordnung
sein kann.
32*+
252 Max Brückner,
a) Für den ersten Fall lesen wir aus 156) ab, dass die erste
Fläche des Stephanoides die Ecken 59 (1, 116, 118); 53 (1, 112, 114); 66 (1, 114, 118);
64 (1, 112, 116) besitzt, wie sie in Nr. 2 dieses $ angegeben waren. Es sind
also die oben bestimmten Koordinaten die der Ecke 53), nämlich 2, —x,, yı
und wir finden also:
—m n m
= —d = —d 1 —= —d.
! nn gı I n
Danach ergibt sich für die Parameter s und i des Hüllpolyeders der
Stephanoidgruppierung nach der Formel 81) S. 182:
m"
s—
| — m tan?p-+ m
| .. m'tanp-+ m“
m tan?p + m”
161) i
6)
cos? p.
b) Für den zweiten Fall aber hat die erste Fläche des Stephanoides,
wie nach einiger Überlegung aus 156) zu erschliessen ist, die Ecken
67 (1, 116, 118); 63 (1, 112, 114); 60 (1, 114, 118); 52 (1, 112, 116) und die be-
rechneten Koordinaten sind die der Ecke 63), nämlich 2, z,, —yı, wonach
Dann aber ergibt sich für die Parameter s und ? der Hülle der
Stephanoidgruppierungen:
m“
SE = 5) u
mitan?pg + m
— m’ tangp + m”
| — . am c08?p.
162)
mtan?gp + m“
Ist nun der Kern der Gruppierungen der St‘, (2) ein Pentakisdodekaeder
oder ein Deltoidhexekontaeder, so handelt es sich in beiden Fällen nur um
sechs St‘, (;), wie die Tabelle 158) zeigt. Es ergibt aber dann 157), dass
immer die Hülle ein (12+20+30)-flächiges 60-Eck sein muss mit Ecken
sechster Klasse.') Ist dagegen die Hülle ein 20.3-Eck oder 12.5-Eck, so
fallen die Stephanoide sechster Klasse mit solchen der fünften Klasse zu-
I) Der analytische Beweis folgt später.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 253
sammen. Um also das Gebiet der konvexen Dyakishexekontaeder (vergl.
Fig. 2 Taf. 13) in Teilgebiete für ‘Stephanoide sechster und fünfter Klasse
zu zerlegen, müssen wir zunächst diejenige Kurve X, bestimmen, für deren
‘, r sich die Polyeder mit 20.3-eckiger Hülle ergeben. Die Gleichung
dieser Kurve ist rt Für beide Ordnungen der sechsklassigen
Polyeder ist dann, wie sich aus den Gleichungen 161) und 162) ergibt,
m'—=0. Da für das Ikosaeder b, —=0, , —=0, a, = a, ist, so folgt aus 159)
m'—0, d.h. die gesuchte Kurve X, geht durch den Ikosaederpunkt I. Be-
stimmt man den Schnittpunkt der Kurve X,, deren ausgeschriebene Gleichung
0°
2
9 s
cot?p — 092 cot?p — 09 +09 tan?p +29? + = tan?p — 0
ist, mitder Geraden o— 1, so ergibt sich für $ die Gleichung 9?—49sin?p+ sin?g—0
und daraus 9 —= EV + % ze Für folgt dann = 3— 5 + (/5—2),
d. h. der eine brauchbare Wert z—= 1. Die Kurve X, geht also durch den
Dodekaederpunkt D. Durch sie wird nun das Gebiet der konvexen Dyakis-
hexekontaeder zunächst in zwei Teilgebiete zerlegt. Da die Polyeder, deren
Kern ein 60-Flach ist, zur sechsten Klasse gehören, so enthält das rechts
der Kurve gelegene Gebiet Polyeder sechster Klasse, das jenseits angrenzende
solehe fünfter Klasse, während für die Polyeder der Kurve selbst die Hülle
ein 20.3-Eck ist, für welches die Ecken fünfter und sechster Klasse zu-
sammenfallen. Nun sind aber für das 20.3-Eck die Ecken sechster Klasse
stets von der zweiten Ordnung, d. h. das Gebiet VI, rechts der Kurve X,
entspricht den sechsklassigen Polyedern der zweiten Ordnung und auch die
Stephanoidgruppierungen der ersten Gruppe, deren Kern ein Deltoidhexe-
kontaeder ist, gehören nach ihren Ecken sämtlich zur zweiten Ordnung
der sechsten Klasse.
Wir bestimmen nun weiter diejenigen Gruppierungen, für welche die
Hülle ein 12.5-Eck ist, d.h. s=ı wird. Dann ergeben die Gleichungen
161) und 162) übereinstimmend m —0, d.h. die Kurve %,, die das Gebiet
der Polyeder sechster Klasse von dem der Polyeder fünfter Klasse trennt,
hat die Gleichung:
2.92
19
6
D
eot 9 — 09 eotp+ 0?% cotp + 292 tan — 08 ct’ + — — 0.
2
DO
[5
254 - Max Brückner,
Für o—= 1 ergibt sich hieraus neben dem unbrauchbaren Werte 9 >+1
noch +, d. h. die Kurve X, geht durch den Dodekaederpunkt D.
Für den Schnittpunkt A von X, mit der Triakisikosaedergeraden C, (# — 0)
ergibt sich ct +5 —4—=0, d.h. o— Me — 1,0441, wonach der Ver-
lauf der Kurve bestimmt ist (vergl. Fig. 2 Taf. 13). Da die Polyeder,
deren Hülle ein 12.5-Eck ist, der ersten Ordnung der Polyeder sechster
Klasse zugehören, so enthält das Gebiet VI, links von der Kurve X£, die
Polyeder sechster Klasse erster Ordnung. Damit ist das Gesamtgebiet der
konvexen Dyakishexekontaeder in die drei Teilgebiete VI, VI; und V zer-
lest. Für VI, besitzen die Stephanoidgruppierungen Ecken sechster Klasse
erster Ordnung bis an die Grenze gegen V, für welche die Polyeder, deren
Hülle ein 12.5-Eck ist, zugleich zur sechsten und fünften Klasse gehören
und bis zur Grenze des Teiles 7A der Geraden (;, für die die Hüllen der
Gruppierungen noch 2.60-Ecke mit Ecken sechster Klasse erster Ordnung
sind, Polyeder, die mit den entsprechenden der zweiten Gruppe identisch
sind. Für die Polyeder der Geraden o—=1 sind die Hüllen 60- Ecke mit Ecken
sechster Klasse erster Ordnung. Fragt man nämlich nach Polyedern mit
diesen Hüllen, so ergibt sich aus der Bedingung es — 4s—cot?p mit Hilfe
von 161): m—m’tanpg-+m“tan®?p—=0. Führt man die Werte für m, m‘, m“
in o und % ein, so reduziert sich diese Gleichung auf 46%.(1—0)tanp — 0,
d.h. es ist o—=1, w.z.b. w. Für das Gebiet VI, ist analog nur noch nach-
zuweisen, dass die Hülle der Polyeder ein 60-Eck mit Ecken sechster Klasse
zweiter Ordnung ist, wenn der Kern ein Deltoidhexekontaeder wird. Die
Bedingung = — 45—cot?p ergibt aber mit Benutzung der Werte 162) die
Gleichung — m + m’ tanp + m“ tan?p—0 oder 69—4%tan?p-+ otan?p—0, woraus
5 p p ’
are erhält, womit auch diese Behauptung bewiesen ist. Das
Gebiet VI, hängt mit VI, nur im Punkte D zusammen. In der Tat führt
die am Anfange abgeleitete Bedingung t— cos?p für diejenigen Hüllpolyeder
die zugleich der ersten und zweiten Ordnung der sechsten Klasse angehören,
man % —
sowohl von 161) wie 162) ausgehend auf m’ = —mtang, oder
2
/ i 3
91-5) (3 + tanp) — 29? (2 — tan) + 509 sin? — _ — 0.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 255
Das ist aber die Gleichung einer Kurve, die, wie eine nähere Dis-
kussion zeigt, mit dem Gebiete der konvexen Dyakishexekontaeder nur
den Punkt D gemein hat, während sie im übrigen ausserhalb verläuft.
Geometrisch ist dies sofort einleuchtend, denn nur für das Dodekaeder als
Kern fallen die 2.10 Ebenen jedes der sechs Stephanoide der ersten Gruppe
in zwei parallele Ebenen, auf deren unendlichweiten Geraden die Schnitt-
punkte gewissermassen ein unendlichgrosses 60-Eck mit Ecken sechster
Klasse erster und zweiter Ordnung bilden. Es sind nun noch die Formeln
für s und t der Hüllkörper der Stephanoide fünfter Klasse aufzustellen, die
dem Gebiete V der ersten Gruppe zugehören. Die erste Ecke des Stephanoides
ist dann die Ecke 43) an Stelle von 53), wenn der Übergang durch das
12.5-Eck, d.h. über die Kurve X, erfolgt. Nun sind die Koordinaten von
Mi: m m’ m“ ;
43): 2, %&, Yı, also ist jetzt z, =» RN „® = nd und es wird:
AN SR
16 3) mtan?p-+ m
m’ tanp + m"
- mtan?p + m“
|
085? g.
Für die Stephanoidgruppierungen, deren Kernpolyeder ein Triakis-
ikosaeder der Teilstrecke AT (vergl. Fig. 2 Taf. 13) ist, wird wegen $—= o:
3—2tanp
2
m a (—Seotp+ a
Mm‘ — 0% > eot?p+0(2+ cotg)—- cot 9)
m“ — 0? (—6tanp-+ tan?)
und die Formeln 163) werden zu:
At 20— 2 tan?
| — 6(6+2)—3 tan p'
\
1 4
en (6 —2) ceot?g+5cotp—4
o(6 +2) —3tanp
|
c08?g.
Geht nun ein 2.60-Eck sechster Klasse zweiter Ordnung durch Ver-
schwinden der %, in ein 20.3-Eck über, so kommt die Ecke 63) zum Zu-
sammenfallen mit der Ecke 43), d. h. die Ecke der Stephanoide fünfter
Klasse ist auch nach diesem Grenzübergange die Ecke 43) des 2.60-Ecks,
256 Max Brückner,
wonach die Formeln 163) ihre Gültigkeit behalten. Wir betrachten nun
einige besondere Gruppierungen der St‘, (?) der ersten Gruppe der drei Teil-
gebiete, die wir mit Nr. aufzählen, um bei den polarreziproken Polyedern
auf sie verweisen zu können.
1. Polyeder. Ist der Kern der Stephanoidgruppierung das Tria-
kontaeder, so ist die Hülle ein (12+20-+30)-flächiges 60-Eck mit Ecken
sechster Klasse erster Ordnung und es bedarf nur der Berechnung von s.
. = . 4 5
Nun ist für das Triakontaeder m“ — —tan?y, m — = ? und damit s — a
— 2 er Lee ergibt sich daraus ?— 45 + 14/5, Das Ver-
4—3tanp 19 95
hältnis der Kanten des Hüllpolyeders wird %,:%, — ps Diese Grup-
pierung von sechs Stephanoiden St‘, (?) zeigt Fig. 8 Taf. 26, die Figur der
Grenzfläche Fig. 5 Taf. 15. Keines der beiden getrennt liegenden über-
schlagenen Vierecke RR,R,R, und R,R,R,R, trägt im Innern einen der
Achsenpunkte G oder C, wonach das Innere des Polyeders, wie Fig. 8 Taf. 26
zeigt, längs der Achsen G und © mit dem Aussenraume in Verbindung steht.
Die sechs verschlungenen Stephanoide durchdringen sich wie die Haupt-
kreise eines Triakontaedernetzes auf der Kugel. Von aussen gesehen bietet
das Gesamtpolyeder immer abwechselnd positive und negative körperliche
Zellen dar und unter den Achsenpunkten B durchdringen sich je eine
positive und negative Zelle verschiedener Stephanoide, so dass die unter
ihnen verborgenen körperlichen Zellen, die den Aussenraum in einem Punkte
treffen, den Koöäffizienten Null besitzen, d.h. Hohlräume sind, wie das ge-
samte Innere des Polyeders Null ist, so dass der Kern, das Triakontaeder,
hier nicht als wirkliche Zelle existiert.
2.Polyeder. Für das Pentakisdodekaeder 6—1, r— 5(/5—2)—1,18034
ergibt sich die Stephanoidgruppierung mit Eeken sechster Klasse erster
Ordnung, deren Hülle die A. V. des (12+20+30)-flächigen 60-Ecks ist.
3. Polyeder. Als Beispiel einer Gruppierung von sechs Stephanoiden
St‘, (3) mit Eeken sechster Klasse zweiter Ordnung wählen wir das Polyeder,
dessen Kern die A. V. des Deltoidhexekontaeders ist. Dann ergeben die
_55+4/5
Formeln 162) für die Parameter des Hüllpolyeders: s — dem I was
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 257
und für das Verhältnis der Kanten erhält man damit 7:7, — al Das
in Fig. 2 Taf. 24 dargestellte Polyeder lässt deutlich die Einzelstephanoide
erkennen und zeigt die Ecken sechster Klasse zweiter Ordnung für die
besondere Hülle. Das Innere des Polyeders fällt völlig heraus und es
hängt der Innenraum längs der Achsen G und © wiederum mit dem äusseren
Raume zusammen, wie auch die Zeichnung der Grenzfläche der Gruppierung
Fig.5 Taf. 16 erkennen lässt.
4. Polyeder. Ist der Kern der Stephanoidgruppierung das Ikosaeder,
so werden die Formeln 159): m = 2c, (a, — a,), m’ —= 0, m" — — 2c,c, und damit
t .. . as
—— —s,. Führt man nun in s= —
cos? p a, — (a —a,)tan?g
die Grössen a, =2—3tanp
und a, —3tanp(2—3tang) ein, so ergibt sich s 500029, d. h. die Hülle
der Gruppierung ist das Dodekaeder. Die Grenzfläche dieses aus sechs
St‘, @) zusammengesetzten Polyeders (Fig. 1 Taf. 24) zeigt Fig. 6 Taf. 8.
Es gehört sämtlichen sechs Gruppen an, und zwar sind die ersten Flächen
der Stephanoide für die sechs Gruppen die sechs Vierecke: 1. Gr. 0,050,C 0;
2. Gr. 0,0,0,0; 3. Gr. 0,66; 4. Gr. ,6,6,015 5. Gr. 66,0; 6. Gr. GGC;C1.
Sowohl die drei Flächen für die erste bis dritte Gruppe für sich, wie die
drei Flächen für die vierte bis sechste Gruppe überdecken einander mit
ihren positiven und negativen Zellen derart, dass das diskontinuierliche aus
den beiden Dreiecken (;0,0, und 0,C;C,, bestehende Sechseck mit abwechselnd
positiven und negativen Zellen resultiert,') während die innere sechskantige
Zelle, die allein Achsenpunkte @ trägt, Null ist. Der innere Kern samt
dem Ikosaeder fällt also aus dem Polyeder völlig heraus und es besteht,
wie auch die Figur der Grenzfläche lehrt, nur aus körperlichen Zellen mit
den Koäffizienten +1 und —1, die, abwechselnd, längs Geraden zusammen-
hängen. Für dieses autopolare Nullpolyeder haben die Grenzflächen
und die Ecken, die beide bei Vertauschung der Aussen- und Innenseite des
Polyeders in sich übergehen, die Art a=3 und «—=6. Es wird also, da
jede Fläche drei iüberstumpfe Winkel hat, nach der Formel von Hess
20.6 K
=
24 — 20.3 +20.6—20.3— 60, d. h. A= 30, und ebenso ist A’—= ——30,
1) Das Polyeder entsteht also auch aus der Gruppierung von zehn Tetraedern ($. 237),
fünf positiven und fünf negativen.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 33
258 Max Brückner,
da a«—=a, «—=.a, x«—x bleibt. — Die Betrachtung der bisher angeführten
Polyeder 1.—4. lehrt überdies mit Rücksicht auf Fig. 7 Taf. 12, dass die
Gruppierungen mit Ecken sechster Klasse, deren Hülle ein 60-Eck ist, durch
die erste Gruppe noch nicht erschöpft sind, denn ihre Parameter £ sind die
Koordinaten der Geraden DI nur von D über ? bis zu dem Punkte zwischen
P und I, für welchen t — ®° au — 0,8032 ist.
5. Polyeder. Die Wertes nn — ed, 7 er — 1,26766
genügen der Gleichung der Kurve X,; die Hülle der zugehörigen Stephanoid-
gruppierung ist die A. V. des (12+20)-flächigen 20.3-Ecks.
6. Polyeder. Für die A. V. des Triakisikosaeders als Kern ergibt
sich eine Gruppierung von zwölf St, () mit Ecken fünfter Klasse. Die
Formeln 163‘) ergeben für die Parameter des umhüllenden (12+20+30)-
Ws—5 ,„_.36+4Vd
ar
flächigen 2.60-Ecks die Werte s — De a ‚ woraus für die
55
Kanten die Proportion folgt: A, :%,:%, — 1:2: Das Polyeder ist in
V5+1,
2
Fig. 5 Taf. 28 dargestellt und seine Fläche zeigt Fig. 2 Taf. 16. Das
Deltoid, in dem sich die beiden überschlagenen Vierecke, die die Flächen
eines Stephanoids der ersten und zweiten, hier identischen, Gruppe sind,
überdecken, hat den Koöffizienten Null und fällt also am Polyeder heraus.
Da weder ein Achsenpunkt G noch C innerhalb der Vierecke liegt, so ist
der Aussenraum mit dem Inneren des Polyeders, das samt dem Kern-Triakis-
ikosaeder den Koöffizienten Null hat längs der C- und G-achse verbunden,
so dass der Gesamtkörper 12+20 Löcher zu besitzen scheint, durch die
man in das Innere dringt. |
4. Die zweite Gruppe der Stephanoide St‘, (%). Wir gehen davon
aus, dass die Ecken des Stephanoids der fünften Klasse angehören. Der
Schnittpunkt der Ebenen 11), 102) und 104) des Dyakishexekontaeders ist
dann die Ecke 43) des (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecks. Aus
(11) 1x — bhy+a2—d = 0,
(102) ae — by— 2 —d — 0,
(104) ya — ce y— y2—d = 0
»
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 259
ergibt sich für die Koordinaten des Schnittpunktes &— — N — - d,z = a d,
worin
164*) m — 6, (m — bi) + a (a3; — a,) + cı (a, — by),
164) m! — a; (db, — c,) + bu (b; —b,) + a, (4 —b3),
164°) m" — by +a)— ala +) + bi (a —as) ist, oder:
0?92 6?
165°) Mm —— E cotp + 02% cotp — 09? cotp +29? — 0% an9 —n.
029 02
165°) I — rg cot?9 + 092 (3 + c0t9)— 0? +09 — 29? cotp— 5 tan? 9Q,
165°) m" — — 20%? tan p + 0?% tanp + 49? tanpy— 20% cotp + 02.
Es ist jetzt für die Ecke 43): &,:yı:2 —=m:m':m“, und es gilt also
für die Parameter der Hüllpolyeder der Stephanoidgruppierungen:
EN EN ——
166) a ee
| m’ tanp + m
mtan?p+ m“
cos?
so lange diese nach ihren Ecken der fünften Klasse zugehören. Nun sind
für das 12.5-Eck als äussere Hülle die Ecken zugleich von der fünften
und sechsten Klasse. Es wird aber s=1ı1 für m—0, d.h. die Kurve &
(vergl. Fig. 3 Taf. 13) hat die Gleichung:
167) (2 +9—6) os cotp— 292 +0 tanp+ — 0.
Diese Kurve X, trennt das Gebiet der Stephanoide sechster Klasse
von dem für die Stephanoide mit Eeken fünfter Klasse. Ihr Schnittpunkt
44 2 __24+@-V)
mit der Geraden 6 — 1ereibtsich aus %—- — = — + = —=0zu# = s
4 3V5—5 3/5—5 3V5—5
= IE
Die brauchbare Wurzel ist e= 7° — e08?, also r —= 1, d. h. die Kurve X,
geht durch den Dodekaederpunkt D. Um ihren Schnittpunkt A mit der Triakis-
ikosaedergeraden C, zu bestimmen, setzen wir in 167) 9—=o. Dann wird
/ =
die Gleichung für o: 0? eotg + 2tanp—3 — 0, woraus = \/ 2 1,0441
folgt. Der Punkt A ist also identisch mit dem gleichbenannten der ersten
33*
260 Max Brückner,
Gruppe, wie vorauszusehen war, da für das Triakisikosaeder als Kern die
Stephanoide der ersten und zweiten Gruppe identisch sind. Es zerfällt also
das Gebiet der konvexen Dyakishexekontaeder in zwei Teilgebiete. Das
linke, mit VI bezeichnete, enthält alle die Werte o, x der Kernpolyeder, für
welche die Stephanoide der zweiten Gruppe nach ihren Ecken der sechsten
Klasse zugehören, und zwar haben wir Ecken sechster Klasse erster Ordnung,
da dies für die Polyeder des eben genannten Grenzpunktes A und des
Punktes 7 bereits bekannt ist. An Stelle der Ecke 43) tritt für diese
Polyeder die Ecke 53), für welche x, :yı:23 = —m:m‘:m“ ist. Die Para-
meter s und ? sind dann gegeben durch:
“4
241 m
— mtan?pg + m
’ “4?
168) ' u
,_ _ mtanptmt 2
—mtan?p+ m“ ni
Fragt man nach den Gruppierungen, deren Hülle ein 12.5-Eck ist,
so ergibt sich natürlich wieder die Gleichung m —=0 der Kurve X. Für
diejenigen Gruppierungen, deren Hülle ein (12+20+30)-flächiges 60-Eek
ist, erhält man aus ne 45— cot?p die Gleichung: m —m'tang + m“ tan?p — 0,
die nach Einführung der Werte 165) sich auf die folgende reduziert:
4%tanp.(0— 29).(0 — 1) — 0,
wonach o—=1 ist, d. h. für die Pentakisdodekaeder als Kerne sind die Hüllen
der Stephanoidgruppierungen 60-Ecke. — Für die Parameter o, z des Dode-
kaederpunktes D ergibt sich eine Stephanoidgruppierung, deren Hülle zu-
gleich den 60-Eeken und 12.5-Ecken zugehört, somit das Ikosaeder ist,
natürlich nur als nicht realisierbarer Grenzfall. Es sind also durch die
Polyeder der zweiten Gruppe für die Parameter 6, r der Geraden C, die in
Gruppe ı) als noch fehlend bezeichneten Polyeder mit 60-eckigen Hüllen
sechster Klasse erster Ordnung gegeben. — Die Polyeder, deren Kern ein
Triakisikosaeder ist, gehören für Werte o, x der Geraden C, vom Punkte 7
bis A zur sechsten Klasse, für den übrigen Teil von C, zur fünften Klasse
und sind mit den schon behandelten der ersten Gruppe identisch. Für die
Stephanoidgruppierungen der Deltoidhexekontaederkurve C, sind die Hüllen
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 261
(12+20+30)-fächige 2.60-Ecke. — Von speziellen Typen erwähnen wir
hier die folgenden.
1. Polyeder. Der Kern der Stephanoidgruppierung sei die A. V.
des Deltoidhexekontaeders für = — 1,09018. Aus den Gleichungen
i Rene
und danach ist A, :y:k, — an. Das Modell dieses Polyeders ist
166) ergibt sich für die Parameter der Hülle: an av) a» V5+27
in Fig. 3 auf Taf. 29 dargestellt, die Zeichnung der Grenztläche ist Fig. 2
Taf. 18. Das Polyeder ist hohl; längs der Achsen @ steht der Innenraum
mit dem Aussenraum in Verbindung; innerhalb der Grenzfläche liest kein
Achsenpunkt @G. Die sechskantige Zelle der Fläche besitzt den Koeffi-
zienten Null.
2. Polyeder. Für das Grenzpolyeder des Punktes A, dessen Kern
das Triakisikosaeder für 6 — % en also x — u My 5(6/5—13) ist, ergibt
sich als Hülle das 12.5-Eck s=1, t—= m (V0@V5+19—5—3/5) — 0.807.
3. Polyeder. Die Parameter o VER _ 1 94509,0—8—3/5—1,29180
jenes bekannten Dyakishexekontaeders genügen der Gleichung der Kurve A;.
Die Hülle der zugehörigen Stephanoidgruppierung ist das (12+20)-flächige
12.5-Eck s—1, t— “u =: für dessen Kanten die Proportion gilt: %,:%,— 1: Be
Das Modell dieses Polyeders zeigt Fig. 6 Taf. 29. Da in jeder Ecke des
12.5-Ecks zwei Ecken verschiedener Stephanoide liegen, so sind die Ecken
des Polyeders diskontinuierliche (4+ 4)-kantige Ecken achter Art.
4. Polyeder. Für die besondere Varietät des Pentakisdodekaeders
aus e — 1,26766 ergibt sich als Hülle der Stephanoidgruppierung
mit Ecken sechster Klasse erster Ordnung die besondere Varietät des
(12+20+30)-flächigen 60-Ecks, für welche s = ee ist, wo-
$)
ehr ==
nach das Verhältnis der Kanten 7%, :%, — 1:3 wird.
5. Die dritte Gruppe der Stephanoide St‘, (). Für den Schnitt-
punkt der Ebenen 21), 92), 94) des Dyakishexekontaeders, deren Gleichungen
262 Max Brückner,
21) Be —by+ oz —d— 0,
(92) a2 +by— 2 —d — 0,
(94) 52 —a,y—b,2—d — 0,
sind, bestimmt man die Koordinaten od, y—= "nd, 2—= 4, Darin ist:
169") m — by (3 — b,)—b; (b, +) — a; (3 + 6),
169) m! — 63 (0, — 65) + db; (d3 —@y) + € (a3 — 65),
169) m'= a (b,—a)— ec; (b, + b)-+ a, (a,+b;),
oder, wenn man für die a, d, c die Funktionen der 6, $ einführt:
170°) m — 029? 00? — 209 cot?p— 0?* +49 tanp + 20% tan?y,
292 2
170°) m’ = 4029 0129022 +00) +2 ang) rang,
292 2
170) mM'—= — = 0004092 (3cotp—1)— 0?Feotp+6H(tanp+cotg)—2 Het —
Ist nun der Schnittpunkt der genannten drei Ebenen die Eeke vierter
Klasse 33), so ist 22:92:23 —= m: m‘: m“ und für die Parameter der Hüllpolyeder
dieser Stephanoidgruppierungen vierter Klasse erhält man:
m’ an m" tan p Fr m cotp
| are (m’ tan? + m)
= m‘ ie +m
m’tan?p + m
’
171)
cos? g.
Wird das Hüllpolyeder zum (12-+20+30)-fächigen 60-Eck, so fällt
die Ecke vierter Klasse 33) mit der Ecke fünfter Klasse 43) zusammen und
über die Kurve X, (vergl. Fig. 4 Taf. 14), deren Gleichung 2
—4s—.cot?
r 9
ist, gehen die Stephanoidgruppierungen der vierten Klasse in solche der
fünften über. Als Gleichung dieser Grenzkurve X, ergibt sich:
— m tan? gp + m! + m" tanp — 0,
oder mit Rücksicht auf die Formeln 170):
172) —0292+20?9 + 209? tan?9 — 49: tan! — 20%tantp — 0?tanp — 0.
Für das Ikosaeder ist m = —2c.a;, m! = 20, (a, —a,), m'—=0 und es
lehrt schon die erste Form der Gleichung, da 2c,a, tan?p + 2c, (a —a;) = 0
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 265
ist, dass die Kurve X, durch den Ikosaederpunkt I geht. Für o=1 ergibt
© 3tanp—1 tan 3/5—5
. 2 EEE = De rn
sich aus 172): 92+ 29.5 9tang) 5 2tang) 0 oder # es +
Ve DEU 2a, ERS
4 10/53 == 0, und daraus u ae == 005 9, d. h. die Kurv e K, geht
durch den Dodekaederpunkt D.
Es ist nun durch die Kurve X, das Gebiet der konvexen Dyakis-
hexekontaeder in die zwei Teilgebiete IV und V (in Fig. 4 Taf. 14) zerlegt,
für deren erstes die Formeln 171) gelten. Für die Grenze C, dieses Teil-
gebietes sind die Hüllen der Gruppierungen (12+20)-flächige 20.3-Ecke
und die Zahl der Stephanoide St‘, (*) eines Polyeders reduziert sich auf sechs.
Denn fragt man nach den Gruppierungen vierter Klasse, deren Hülle ein
20.3-Eck ist, so ergibt sich aus = —s und den Gleichungen 171) die
Ss?
Relation: m“tang + mtan?p— m'’—0, mit deren Hilfe der Wert von s durch
See . 2 m“ tan m
Elimination von m‘ die einfachere Form s a
m’tan?p + m
t=scos2p ist. Nun wird aber für 6—=#, d.h. das Triakisikosaeder als
annimmt, wonach
Kern m, m‘, m" zu:
My; — 6? (0? cot?p— 6(3 + 2cotyp) + 2 c0tp),
Ma —— 02 fe s@eotpy—1 3
Oi 0) p-+ 6(2eoty ) 3 D
und durch einfache Rechnung erweist man die Richtigkeit der Identität:
m“ ,tanp + m,tan®p — m; =0,
d.h. wenn der Kern der Stephanoidgruppierung ein Triakisikosaeder ist, so
ist die Hülle ein (12+20)-Nächiges 20.3-Eek. Führt man überdies die Werte
M;, m’,, m“, in den letzten Ausdruck für s ein, so nimmt dieser die Form an:
Rey HN—6CcH HA Httang
— 0:(tanp +5) —20(etg+5) +3 (@tanp +1)
Für ein Pentakisdodekaeder als Kern besitzen die Stephanoidgrup-
pierungen (12+20-+30)-flächige 2.60-Ecke zu Hüllen und es vereinfachen
264 Max Brückner,
sich die Formeln nur insoweit, als die Grössen m, m‘, m“ die kürzere Form
annehmen:
m — —Htandp($tanp +1),
es 1
WE (1—2coty) + 29tanp— Ztang,
r 9 1
Il — oe + 9tanp Ze:
Für die jenseits der Kurve X, gelegenen Polyeder der fünften Klasse
sind die Koordinaten der Ecke 43): =2,y=z,2=y, und es ist also:
2: yı :2, — m’:m“:m, wonach für die Parameter der Hüllpolyeder der Stephanoid-
gruppierungen jetzt
m m" tanp + m
SI— = — 0082g
m’ tan? + m’ m’ tan?p + m ?.
wird. Für er — 48 — eot?y ergibt sich wieder die Gleichung der Kurve K..
Für die zweite Grenze C, dieses Teilgebietes V ergeben sich Gruppierungen
von zwölf Stephanoiden St‘, (), deren Hüllen (12+20+30)-Hächige 2.60- Ecke
sind, und die mit den Polyedern der Kurve (0, der zweiten Gruppe zu-
sammenfallen. Spezielle, zum grösseren Teile dargestellte Polyeder der
Gruppe sind die folgenden.
1. Polyeder. Ist der Kern der Stephanoidgruppierung die A. V.
des Triakisikosaeders, d.h. ern so ergibt sich für die Hülle aus der
oben angeführten speziellen Formel für s: s En und damit
8 1% 89
a u — 0,65264 und für ihre Kanten gilt: A,:%, u. 1%
Die Fläche dieses diskontinuierlichen aus sechs St, (%) bestehenden Polyeders
zeigt Fig.5 Taf. 13; das Polyeder selbst ist auf Taf. 28 in Fig. 1 dar-
gestellt. Da die Achsen G@ weder das Innere noch die Kanten der Grenz-
fläche treffen, so muss die innerste Zelle — das Triakisikosaeder — nebst
allen benachbarten Zellen, soweit sie in den Richtungen der Achsen @
liegen, aus dem Polyeder herausfallen, d. h. den Koeffizienten Null besitzen.
2. Polyeder. Ist der Kern der Stephanoidgruppierung das Tria-
kontaeder, d.h. $ = = 1, so werden die oben angeführten Grössen Mg, M'g M'z
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 265
tan? -
= = u — 8 tanp —2) und damit s —
— Un d.h. die Hülle dieses aus sechs Stephanoiden St‘, () bestehenden
Stang —1
4—5 tan
hier: mM; — —tan?y, m; = —
Polyeders ist die A. V. des (12+20)-flächigen 20.3-Ecks. Zwei Flächen
verschiedener Stephanoide fallen hier stets in eine Ebene des Triakontaeders.
Die gesamte Grenzfläche, die gewissermassen ein diskontinuierliches Acht-
eck der Art a=4 darstellt, zeigt Fig. 6 Taf. 17. Die innerste Zelle, ein
der Triakontaederfläche ähnlicher Rhombus, hat den Koeffizienten Null,
fällt also am Polyeder heraus, ebenso wie die beiden deltoidförmigen Zellen,
mit denen sich die überschlagenen Vierecke gegenseitig überdecken. Dadurch
gewinnt das Polyeder das eigentümliche Aussehen, wie es Fig. 7 Taf. 26
zeigt. Der innere Kern, d. h. das T'riakontaeder, hat wie eine Reihe Nachbar-
zellen den Koöäffizienten Null, so dass das Polyeder zwölffach durehbrochen
_ erscheint.
3. Polyeder. Die Werte a t—8—3/5 befriedigen die
Gleichung der Kurve X,. Der Kern der Stephanoidgruppierung ist also
dieses besondere Dyakishexekontaeder; die Hülle ist die A. V. des (12-+ 20 + 30)-
flächigen 60-Ecks, wie sich aus 171) nach Berechnung der m, m‘, m“ für
die besonderen Werte für o, $ ergibt. Die Ecken der Gruppierung sind
zugleich von der vierten und fünften Klasse.
4. Polyeder. Es sei der Kern des Polyeders die besondere Varietät
des Pentakisdodekaeders für x — ar 5_ Dann wird die Hülle das (12 +20 + 30)-
flächige 2.60-Eck für s— in „ HVEFM und es ist: I de
29/5
en d.h. das Hüllpolyeder ist ein 2.60-Eck mit regulären Vierecken.
Die Grenzfläche dieses diskontinuierlichen aus zwölf St, (:) bestehenden
Polyeders zeigt Fig. 1 Taf. 11. Das Polyeder selbst ist auf Taf.29 Fig. 4
dargestellt. und es bedarf nach der vorhergehenden Beschreibung anderer
Typen keiner weiteren Erläuterung dieses eigentümlichen Modells, zumal
aus der Figur der Grenzfläche ersichtlich ist, dass diese neben je zwei
dreiseitigen und zwei vierseitigen Zellen verschiedenen Vorzeichens drei
deltoidförmige Zellen mit dem Koöffizienten Null besitzt, in deren einer
allein die Achsenpunkte @ der Fläche zu liegen kommen.
Nova Aota LXXXVI. Nr. 1. 34
266 Max Brückner,
6. Die vierte Gruppe der Stephanoide 7‘, (:) und die autopolaren
Gruppierungen. Nach den vorläufigen Bestimmungen ist die Ecke 23)
dritter Klasse der Schnittpunkt der Flächen 31), 82), 84) des Dyakishexe-
kontaeders, deren Gleichungen
(31) 42 —by+ 2 —d —=(,
(82) a,x + b,y—c,2—d —= 0,
(84) 2 — a3; y—b,2—d — 0
sind. Als Koordinaten dieses Schnittpunktes ergeben sich 2—d, ‚= 4,
4
m .
2=—-d, worin:
n
1739 m ——b (b;+)— a (5 +) +b,(; —b;),
173°) m! — 6; (a, — 65) + b3 (a, — a;) + & (a; — 65),
173°) m" — 4; (b, — 45) — 6; (b; 3 b,) +4, (+ b,)
ist; oder mit Einführung der o, #:
174°) m — 6?8? cot?p — 2092 cot?p + 0? +49:tanp — 20%tang,
r 0232 6?
174°) m’ = + 09? cotp — 0?9:c0t?p — 29? cotp +09 (3 c0tp —1)— tany,
2.92 2
174°) m — — > eotp 69:tanp + 029. cotp + 29 tanp 09.
Nun sind die Koordinaten der Ecke 33): = 2, y—=2, 2—=y, also
gilt: 2:91:23 = m’:m“:m, und damit erhält man für die Parameter der
Stephanoidgruppierungen mit Ecken dritter Klasse:
m’ cotp + m“ + m cot?p
175) j’ "Er 2 (m + m‘ + m“) ;
l
m“ cot
= — et
Die Gültigkeit dieser Formeln erstreckt sich soweit bis die Ecke 23)
dritter Klasse mit der Ecke 33) vierter Klasse zusammenfällt und auch noch
auf die dadurch entstehenden 12.5-Ecke. Die gesuchte Kurve X, also
(vergl. Fig. 3 Taf. 15), die das Gebiet der Dyakishexekontaeder zunächst
in Teilgebiete zerlegt, wird aus der ersten Gleichung 175) für s=1 er-
halten, nämlich:
m tanp — m’ tan ?p — m" — N.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 267
Mit Rücksicht auf 174°”) nimmt diese Gleichung die Form an:
176) 0?92(2c0t—1)— 209? cotp + 49:tan?p— 20%tanp + 0?tanp — 0.
Der Schnittpunkt der Kurve X, mit der Pentakisdodekaedergeraden 0,
folgt für 6—=1 aus 92— 29 as + an —0,d.h# 48 Die Kurve
geht also durch den Dodekaederpunkt D. Um ihren weiteren Verlauf zu
übersehen, bestimmen wir ihren Schnittpunkt mit der Triakisikosaeder-
geraden $—co. Dann wird die Gleichung für o:
13/5 —2
PR Se = 0.
5 10
Diese hat die brauchbare Wurzel = ?, d.h. die Kurve &,
geht durch den Punkt 4‘, dessen Koordinaten 6, r die Parameter der A.V.
des Triakisikosaeders sind. Für diese und die folgenden beiden Gruppen
der Stephanoide St‘, () werden wir nun den Satz zu beachten haben, dass
die Gruppierungen der i-ten Gruppe %k-ter Klasse polarreziprok sind den
Gruppierungen k-ter Gruppe i-ter Klasse, dessen Richtigkeit wir wie bis-
her wegen der grossen Weitläufigkeit der Rechnungen nicht allgemein er-
härten, sondern nur an speziellen Typen nachweisen. Am Ende wird die
lückenlose Zuordnung der Gebiete wieder übersichtlich zusammengestellt. —
In der Tat enthält das rechts von der beschriebenen Kurve X, gelegene
Gebiet II (vergl. Fig. 3 Taf. 15) die Polyeder vierter Gruppe dritter Klasse,
die denen der dritten Gruppe vierter Klasse in dem dort mit IV bezeichneten
Gebiete (vergl. Fig. 4 Taf. 14) polarreziprok zugeordnet sind. Den Polyedern
der Kurve X, entsprechen die auf C, in der dritten Gruppe, die überdies
mit denen von C, der vierten Gruppe identisch sind. Die Polyeder von €;
in der vierten Gruppe sind polarreziprok denen der Kurve X, der dritten.
Die Stephanoidgruppierungen von (, in der vierten Gruppe vom Punkte 4‘
bis zum Ikosaederpunkte I entsprechen denen der ganzen Triakisikosaeder-
geraden C, der dritten Gruppe von 7 bis I, wie für die Grenze I schon
bekannt ist, für die Grenzen A‘ und 7 weiter unten bewiesen wird. — Fragt
man nämlich nach denjenigen Polyedern der vierten Gruppe dritter Klasse,
deren Hülle ein 20.3-Eck ist, so ergibt sich aus -— s die Bedingung:
cos?
34*
268 Max Brückner,
m“ + m tan p — m’ cotp — 0,
oder
63 cot p— 02% ct p— 29°? +209 — 0,
die sich auf die Form bringen lässt: #($—0)(scotp—2)—0. Es folgt aus
dieser Gleichung $—0o; d. h. für diejenigen Polyeder, deren Kern ein
Triakisikosaeder ist, ist die Hülle ein (12+20)-flächiges 20.3-Eck. Diese
Polyeder bestehen wieder aus nur sechs Stephanoiden St‘, @) und für ihre
m"; + m, cotp
Hallen st: s= =,
Ms + m’; + Mm’;
worin die m. m’„ m“; die Werte haben:
Mg — 0? (0? ot? — 6 (1+2coty) + 2tany);
er En; _ , tanp\,
m. — as o+ 2 ):
“4 2 0? 3
MM; —6 7a: cotyp den h
Die Einsetzung dieser Werte in die vorhergehende Gleichung ergibt
überdies:
ni 02(2 +3 e0t9)— 20(3eotyg+N+4tang+i
—-02(3+c0ot9)— 26(2eotp+1)+3(3tang—1)'
Wir beschreiben im Anschluss hieran zunächst die folgenden speziellen
Stephanoidgruppierungen mit Ecken dritter Klasse.
1. Polyeder. Setzt man in der zuletzt geschriebenen Formel
Vs, d. h. bestimmt das Polyeder, dessen Kern die A. V. des Triakis-
ikosaeders ist, so ergibt sich s—ı und da dann t—= eos?p wird, haben wir
das Ergebnis, dass in diesem Falle die Hülle der sechs St, () das Tria-
kontagon ist, d.h. der Punkt A‘ der dritten Gruppe und 7 der zweiten
Gruppe entsprechen polarreziproken Polyedern. In jeder Ecke des Tria-
kontagons fallen zwei Ecken zweier Stephanoide zusammen und bilden eine
diskontinuierliche achtkantige Ecke achter Art, deren beide vierkantige Teile
bis auf den Scheitel völlig getrennt liegen, wie an dem Modell dieses
Polyeders in Fig. 9 Taf. 26 zu ersehen ist. Die Grenzfläche des Polyeders
ist das überschlagene Viereck B,B,B;B,, in der vollständigen Figur der
A.V. des Triakisikosaeders (Fig, 1, Taf. 12) und liegt in Fig. 3 Taf. 9 für
sich gezeichnet vor. Der innere Raum des Polyeders mitsamt dem 20.3-
flächigen Kerne fällt auch hier heraus und der Körper erscheint zwölffach
durchbohrt.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 269
2. Polyeder. Für das Triakisikosaeder, dessen Parameter
82 2V5—9 6 1V5—20 bi
a = u I Er a
3(0/5+9) Ser n sind, ergibt sich ln
setzen dieses Wertes o in die obige letzte Gleichung für s: s— v5 22%
22
d. h. die Hülle der Stephanoidgruppierung ist die A. V. des 20.3-Ecks.
Dieses aus sechs St‘, () bestehende Polyeder ist polarreziprok dem ersten
Polyeder der dritten Gruppe. Das Modell zeigt Fig. 6 Taf. 26; die Zeichnung
der Grenzfläche ist Fig. 5 Taf.9. Auch dieses Polyeder ist wiederum hohl.
— "1.061235 und T—55— 24/5 — 1,33432 eines Dyakishexekonta-
eders, nämlich die reziproken Werte der Parameter s und t des vierten
Polyeders der dritten Gruppe. Für die Hülle des aus zwölf St‘, () be-
stehenden Polyeders ergibt sich s=1, N d. h. die besondere
a
Varietät des (12+20)-flächigen 12.5-Ecks, für welche %,:%, — Me ist.
In jeder Eeke des 12.5-Ecks fallen zwei Ecken verschiedener Stephanoide
zusammen.
4. Polyeder. Es sei der Kern die A. V. des Deltoidhexekontaeders,
dh Me e—*/5=5. Dann wird die Hülle das (13+20+30)-Hächige
av [5
= a/a 7, „IE WIE nwelchen
18) 19 ;
kei 1:1 u ist, dessen Zehnecke also regulär sind. Die Gruppierung
2.60-Eck mit den Parametern s
von zwölf St, () ist polarreziprok dem dritten Polyeder der dritten Gruppe
und ist in Fig. 2 Taf. 28 dargestellt. Die Fläche zeigt Fig. 1 Taf. 18.
Das Polyeder gehört zugleich zur fünften Gruppe, da für die Deltoidhexe-
kontaeder als Kerne die Polyeder der vierten und fünften Gruppe identisch
sind.
Wir wenden uns nun zu denjenigen Kombinationen der St‘, (?) der
vierten Gruppe, deren o und r dem Gebiete jenseits der Kurve X, zugehören,
wonach an Stelle der Ecke dritter Klasse 23) die Ecke vierter Klasse 33)
tritt, so dass die Koordinaten des Schnittpunktes der drei Flächen 31), 82), 84)
270 Max Brückner, _
des Dyakishexekontaeders <=, y—=%, z—=y, sind. Es ist dann &:%:2
— m':m“:m, und für die Parameter der Hüllpolyeder dieser Stephanoid-,
gruppierungen hat man:
m’ + m" tan p + m cot
Br —— ß u
177) | 2(m'tan?p+m)
m’tnpgtm ,
= ne — C08 P.
gg+m
Für die Grenzkurve X, des Gebietes, nämlich s—1ı, erhält man
wieder die frühere Gleichung. Dass das Gebiet bis zur Grenzgeraden (,
sich erstreckt, folgt daraus, dass für diese die Polyeder noch von der vierten
Klasse sein müssen, da sie mit denen vierter Klasse der dritten Gruppe
identisch sind. Nach dem Satze, dass die polarreziproken Polyeder ;-ter
Gruppe i-ter Klasse Teilgebieten derselben Gruppe angehören, bleibt hier
nur die Möglichkeit, dass das Gebiet DTA‘ in zwei zerfällt, deren zugehörige
Polyeder polarreziprok sind. Um diese Gebiete gegen einander abzugrenzen,
suchen wir die autopolaren Polyeder der Gruppe zu bestimmen. Für
e pa: 1 1 t 1 1
diese muss sich s—=-, {=- oder —-— — „ ergeben. Nun folgt aus
{ T e0os?p TCos?p 0%
m’ + m" tanp + meoty Yen m"tanp + m
2 (m'tan?2gp + m) "m’tan?p + m
die Bedingung:
m’o + m" tanp.(0o— 29) + m (6 ct — 29) — 0.
Führt man in diese Gleichung die Werte von m, m‘, m“ ein, so lässt
to}
sie sich auf die Form bringen:
(+ — 0) (— 0?9? eot?p + 209? (4 + cotg)— 49? cotg — 20%tany + 0?tanyp) — 0.
Da nun offenbar nicht allgemein $—= sein kann, so gibt der zweite
Faktor der linken Seite, gleich Null gesetzt, die Bedingung dafür, dass die
bezw. Werte von o und # auf autopolare Polyeder führen. Deuten wir die
Gleichung als die einer Kurve C‘ (vergl. Fig. 3 Taf. 15), so erkennen wir
deren Verlauf, wenn wir ihre Schnittpunkte mit C, und C, bestimmen. Für
, P 1
tan 9 tan _
7—4eotp 7—4cotp
‘o—1 ergibt sich die Gleichung: 92— 2% —0 mit der
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 271
Wurzel oT 1% >, d.h. die Kurve C* läuft durch den Dodekaederpunkt D.
Für $—= 0 ergibt sich für o die Gleichung:
0— 20 (Ttanpg—3)+6— Ttany— 0,
und daraus erhält man für die o-koordinate des Schnittpunktes © von C
mit ©, den Wert: 6 — Ze +(7—3//5), wovon nur o— als rt — 1,0344
brauchbar ist. Es gibt also eine einfach unendliche Reihe von
Dyakishexekontaedern für Werte der or auf € zwischen dem
13/5 — 27
b) I
Dodekaeder und dem Triakisikosaeder o— T— 23/5 — 50,
für welche die Gruppierungen der S$t,() der vierten Gruppe
autopolare Polyeder werden, deren Kerne und Hüllen also
polarreziprok sind.. Für das eben genannte Grenzpolyeder ist die Hülle
13/5+27 ‚_23/5+50
58 145
ist. Durch die beschriebene Kurve C* zerfällt das Gebiet IV in zwei Teil-
gebiete, deren Polyeder polarreziprok zu einander sind und es zerfallen
das 20.3-Eck, für welches s — also NEN f
überdies die Polyeder der Geraden 74’ in zwei einander polar zugeordnete
einfach unendliche Reihen, deren Grenzpunkte einerseits 7 und A‘, anderer-
seits der Punkt ® für das gemeinschaftliche Triakisikosaeder ist, das ein
autopolares Polyeder ergibt.
7. Die fünfte Gruppe der Stephanoide St‘, (). Der Schnittpunkt
der Flächen 41), 72), 74), deren Gleichungen
(41) 6,2 — c,y+ 2 —d — 0,
(72) yet ay—byze—d = 0,
(74) 2 — a y+bz2—d —= 0
m’
m“ B
d, 2= —-d, worin:
N N
. . . m
sind, hat die Koordinaten x — au
178°) m — a (b; mu d;) —@ (b; + a) + cz (b; + by),
178°) m — bb, — 6) + bb — CH) +; (4 — 63),
178°) m" — 4 (5 — Q3)— 3 (a; + C;) + b; (a3 + a,),
‘oder nach Einführung der a, d, c als Funktionen von 9 und co:
272 Max Brückner,
179°) m —= — 20%:tanp + 49tang— 20% tan,
ab j 09 & 02
179 ) = = Bol +1)+ 609? Ge 2 ea any ur:
u 029 6?
179°) u — —6#2cot?g herein 2tang) — Ang).
Ist nun der Schnittpunkt der oben genannten Flächen die Ecke
zweiter Klasse 13), so ist <=, y=y, 2=2, d.h. 2;:9,:2; = m : m’: m"
und es ergibt sich für die Parameter s und i der Stephanoidgruppierung:
r _ meotp + m’ + m“ cot?p
2 (m + m’ + m“) ;
WR m eotp + m“
m + m’ -+ m“
180)
92
c08?Y.
Nun gehen die Gruppierungen der St‘, (%) zweiter Klasse in solche der
ersten über, wenn für das 20.3-Eck als Hülle die Ecke 13) mit der Ecke 3) zu-
sammenfällt, in solche der dritten Klasse, wenn für das 60-Eck als Hülle
die Eeke 13) mit der Ecke 23) identisch wird. Es ergeben sich also für das
Gebiet der Gruppierungen zweiter Klasse hier zwei Grenzkurven X, und X,
(vergl. Fig. 4 Taf. 15). Die Gleichung der ersten folgt aus me: d.h.
wenn mcotp —m’— m“tanp — 0 ist, oder
181) 0292c0t?9 —2092(2 + coty) + 492 cot y— 209 tan p— 0?:tan?p — 0.
Die Gleichung der zweiten Kurve X; erhält man für — 48— cot?p,
cos?p
nämlich: m + m‘tan g — m“ eoty — 0, oder
182) — 0?9eot?p +209?(2 + c0tp)— 20? cotp — 49?tan?p — 20%tany + o?coty —0.
Nun ist für das Ikosaeder m = — 2a, a, m’ — m" — 2a, (a,—c,), wonach
die linken Seiten der Gleichungen der beiden Kurven in der ersten Form
zu —2a,cty(a +, —c) und —2a,(a +a,—cı) werden. Es ist aber für
das Ikosaeder m +9, —c =0, d. h. die beiden Kurven X, und X, gehen
durch den Ikosaederpunkt I. Wir suchen nun den Schnittpunkt B der
Kurve X, mit der Geraden o=1. Dann ergibt sich für 9 die Gleichung
- DB / ale
392—2$—tang — 0 und daraus die eine brauchbare Wurzel 9 —; (1 SE Ki
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 273
Der hieraus folgende Wert von r ist: == (5-V5+ /106V5—9) 1.2388.
Die Kurve hat also den in der Figur gezeichneten Verlauf. Um die Lage
der Kurve X, zu erkennen, schneiden wir sie ebenfalls mit der Geraden
o—1. Dann kommt für 9 die Gleichung: 59? —29(coty +2) + cot?p — 0.
Ihr wird durch 9 — ad — cos? genügt, d.h. es ist r— 1 und die Kurve X-
geht durch den Dodekaederpunkt D. Es ist also das Gebiet der konvexen
Dyakishexekontaeder in drei Teilgebiete zerlegt. Für das erste, in der
Figur mit II bezeichnete, sind die Stephanoidgruppierungen von der zweiten
Klasse, und die Parameter der Hüllen sind durch die Formeln 180) ge-
geben. Für die Pentakisdodekaeder als Kerne, die hier vom Punkte D
auf C, bis zum Punkte B in Frage kommen, sind die Hüllen 2.60-Ecke
und es fallen übrigens die Polyeder für Werte 6, x der ganzen Geraden (,
mit solehen der folgenden sechsten Gruppe zusammen. Die Polyeder dieses
Gebietes II sind polarreziprok denen der zweiten Gruppe fünfter Klasse des
dort mit V "bezeichneten Gebietes (vergl. Fig. 3 Taf. 13) und zwar ent-
sprechen die Polyeder der Kurve X, von B bis I denen der Geraden C, von
A bis 7 in der zweiten Gruppe; die Polyeder der Kurve X; von D bis I
denen der Kurve (0, von D bis I in der zweiten Gruppe, und die der Geraden
C, von B bis D in der fünften Gruppe sind polarreziprok zu denen der
Kurve X, von D bis A in der zweiten Gruppe.
Für die Koordinaten der ersten Ecke 23) dritter Klasse der Stephanoid-
gruppierungen des Gebietes III gilt: z,:9,:2, = m’:m“:m, und die Parameter
der Hülle sind also:
_ meotp + m" + meot?g
2(m +m’+m“) °
| Ar m’ + mecot 2.
m + m’ + m"
183)
Für die Polyeder des jenseits der Kurve K, gelegenen Gebietes I
ist die Ecke erster Klasse die Ecke 3) der 2.60-Ecke und für deren Koordi-
naten ist 2,:y4:2, — m:m‘:m“, d.h. es wird für die Hüllpolyeder der Grup-
pierungen:
. meotp + m’ + m“ cot?
184) | 2 (m + m’ + m“) $
m’ + m" cotp ’
| m + m‘ + m“ Re
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1, 35
274 Max Brückner,
Die Polyeder dieser beiden Gebiete II und I sind polarreziprok
denen des Gebietes V der dritten Gruppe bezw. ersten Gruppe. Die Grenzen
DC,I und DK;I des Gebietes III der fünften Gruppe entsprechen den
Grenzen DK,I und DC,I des Gebietes V der dritten Gruppe. Die Grenzen
TC,B, BK,I, IC, T des Gebietes I der fünften Gruppe entsprechen den Grenzen
DK;A, AG I, IK,D des Gebietes V der ersten Gruppe, wie für die Grenz-
polyeder -in den Punkten D, 1, 7, A und B gezeigt wird, bezw. schon ge-
zeigt ist. Von speziellen Typen seien die folgenden erwähnt.
1. Polyeder. Ist der Kern das Pentakisdodekaeder 6—= 1, T=5 (/5—2),
so ergibt sich für die Hülle: s— Bush —?V2 #8 und damit Rn 1: SER,
d.h. die Zehnecke des Hüllpolyeders sind regulär. Diese Stephanoidgrup-
pierung, die dem dritten Polyeder der zweiten Gruppe polarreziprok ist,
zeigt Fig. 2 Taf. 29. Die Fläche ist in Fig. 2 Taf. 11 gezeichnet. Sie
besteht gleichsam aus zwei Sternfünfecken entgegengesetzter Perimeter-
schraffierung, die in einer Ecke aneinander grenzen, und zwei sie überdies
verbindenden dreieckigen Zellen entgegengesetzten Vorzeichens, so dass der
Gesamtinhalt wieder Null ist. Die Art dieses diskontinuierlichen Achtecks
ist a—=4. Die Art jeder Ecke ist @—=4. Es ist 24=60.4+ 2.60.4— 60.4
K
—60.4= 240; 4A—=4'=1290 —= Ze
2. Polyeder. Der Gleichung 181) der Grenzkurve X, genügen
ee t :
sau — 1,03262, =: —1,31443, d. h. die Parameter eines be-
stimmten Dyakishexekontaeders. Die Hülle der Stephanoidgruppierung ist die
A. V. des 20.3-Ecks und die Ecken gehören also zugleich der zweiten und
ersten Klasse an. Dieses Polyeder ist polarreziprok dem sechsten Polyeder
der ersten Gruppe, das zugleich der zweiten Gruppe zuzuzählen ist.
N
- — 91/5
3. Polyeder. Auf der Grenzkurve X, liegt der Punkt u
—97\5 . : - .
= 1,05279, = — 1,23787. Das sind die Parameter eines Dyakis-
hexekontaeders, dessen zugehörige Gruppierung von zwölf St‘, @) als Hülle
die A. V. des 60-Ecks besitzt und polarreziprok zum ersten Polyeder der
zweiten Gruppe ist.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 275
4. Polyeder. Für das Pentakisdodekaeder im Grenzpunkte B der
Kurve X;, für welches A A | Neue gefunden wurde, ergibt sich
eine Gruppierung von zwölf St, (‘), deren Hülle dasjenige 20.3-Eck ist,
i 6V5+13
Y 5
dessen Parameter s — / a sind. Bei diesem
diskontinuierlichen Polyeder liegen also zwei Flächen in einer Ebene des
Kernes, und zwei Ecken verschiedener Stephanoide in einer Ecke der Hülle.
Es ist polarreziprok dem zweiten Polyeder der zweiten Gruppe.
8. Die sechste Gruppe der Stephanoide St‘, (*). Zur Erzeugung
der. Stephanoide St‘, () der sechsten Gruppe kommen die Flächen
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60
65, 64, 63, 62, 61, 70, 69, 68, 67, 66,
des Dyakishexekontaeders in Frage. Es zerfallen nun nach der Lage
dieser Flächen die sämtlichen Dyakishexekontaeder in zwei Ordnungen.
Für die erste Ordnung schneidet sich die obere Reihe der Flächen in einem
Punkte der Achse G,, die untere in einem Punkte der Achse 6. Für die
zweite Ordnung aber schneidet sich die obere Reihe der Flächen in einem
Punkte der Achse 6‘, die untere dagegen auf der Achse G,.. Den Übergang
zwischen beiden Ordnungen bildet die unendliche Reihe von Dyakishexe-
kontaedern, für welche sämtliche oben genannten Flächen parallel der
Achse 6,6‘, laufen, was dann natürlich ebenso für die je 20 Flächen in
Bezug auf die übrigen Achsen @ gilt. Man kann die Bedingung, welche
zwischen o und r für diese Reihe von 2.60-Flachen bestehen muss, ana-
lytisch-geometrisch ableiten; einfacher erhält man sie durch die Beachtung
der polaren Reziprozität. Denn wie bei den Grenzpolyedern der sechsten
Klasse (siehe die erste Gruppe), die zugleich zwei Ordnungen angehörten,
je 2.10 Punkte in einer Ebene lagen, so gehen hier je 2.10 Ebenen durch
einen Punkt, nämlich das Unendlichweite. Die Bedingung für diese Grenz-
polyeder erster und zweiter Ordnung der sechsten Gruppe wird also aus
der früheren erhalten, indem man it und s durch E bezw. „ersetzt, und führt
auf z eig (s beliebig). Dies ist in geometrischer Darstellung (vergl.
Fig. 2 Taf. 17) eine Gerade X, parallel der o-achse durch den Triakontaeder-
35*
276 Max Brückner,
punkt 7 und den Punkt @ desjenigen Deltoidhexekontaeders, für welches
EEE,
1-+ eot?p 5
kaeder einschliesslich des Dodekaeders zur ersten Ordnung der Dyakis-
hexekontaeder gehören, so enthält das Gebiet I, auf der der o-achse zu-
gewandten Seite der Geraden X, die Dyakishexekontaeder erster Ordnung,
das andere I, die der zweiten. Es sind also alle Triakisikosaeder von der
zweiten Ordnung, während die Deltoidhexekontaeder in solche erster und
6 v5) — 1,10557 ist. Da nun offenbar alle Pentakisdode-
zweiter Ordnung zerfallen.
Wir bestimmen nun den Schnittpunkt der drei Flächen 51), 62), 64) des
Dyakishexekontaeders, deren Gleichungen
51) a —y +2 —d— 0,
6 (62) 92 + m y—bb2—d — 0,
(64) 52 — a; y+b,2—d —= 0
“4
A m . m! m P
sind. Es kommt: = 4 y= nee d, worin:
185°) m — a, (b, — a5) — a; (b» + a3) + c, (b; + b,),
185°) m’ — b; (bs —6;) + b5 (b; — 62) + a, (n — 65),
185°) m" — 6, (3 —4;)— 6; (3 + 6%) + bz (a; + 0)),
oder
186°) m —20%tanp—20%tangy,
292 2
156°) m'—= u (3cotp +1) +30%cotp + 02% — 29 tanp— 0% cot?p +5 eotp,
292 & :
186°) mi EN + 692tanp 029002924309 @—tang) 1st.
Sind nun die Dyakishexekontaeder von der ersten Ordnung, so ist
der Schnittpunkt der drei genannten Ebenen die Ecke 3) nach der früheren
Ableitung, und es ist dann: z,:94:2,—=m:m‘:m“, wonach für die Parameter
der Hüllen der Stephanoidgruppierungen die Formeln gelten:
_. meotp + m‘ + m“ cot?p
IK Team Emse
| m’ + m” eotp
m + m’ + m"
187)
cos?gp.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 277
Das Gebiet dieser Stephanoidgruppierungen liegt also auf dem dem
Dodekaederpunkt D zugewandten Ufer der Geraden X. Um seine weitere
Begrenzung zu finden, fragen wir nach den Polyedern, deren Hülle ein
20.3-Eck ist, die also nach den Ecken den Übergang von Polyedern der
ersten zur zweiten Klasse bilden. Dann muss Ar —s sein. Dies führt auf
die Bedingung m’—m eot@ + m“tanp —= 0 oder
188) — 0292 cot?p + 2092cot g— 49:tanp +20%tanp + 0?tan?p — 0.
Wir untersuchen nun den Lauf dieser Kurve X, (vergl. Fig. 2 Taf. 17).
Ihr Schnittpunkt mit der Geraden o—=1 hat die r-koordinate, die aus
92 — -H — ——- — folgt. Es ist zunächst 9 — 5 (' -F De und danach
=: ( 5—V5+ / 10 (5 v9), d. h. es ergibt sich derselbe Grenzpunkt B,
wie in der fünften Gruppe. Wir bestimmen ferner den Schnittpunkt C von
[0
4—06 cot?p’
Weglassung des Faktors 0? die ganze Gleichung 188) auf 2° —tanp—4tan?p— 0,
K, mit der Kurve (C;. Setzen wir 9 — so reduziert sich nach
d.h. es it o—= a — 1,07295. Dazu ergibt sich x et — 1,2450.
Die Kurve X, hat also den in der Figur angedeuteten Verlauf. Die zwischen
der Geraden X, und ihr liegenden Werte o, r ergeben Polyeder der ersten
Klasse, die jenseits von ihr liegenden gehören der zweiten Klasse an.
Ist der Kern der Stephanoidgruppierung ein Deltoidhexekontaeder,
also 4 — -, so nehmen die Grössen m, m‘, m“ die Form an:
BET N
4— 0 cot?p
20°[o(tanp + cotp) —4tangp]
Ma —
(4— 6 c0t? p)? ’
y 202?(1—0)tang
ME a ee
(4— 6 c0t?9)?
20°(6 tan ?9—3-+-4tang)
Mia — -
z (4 — 6 c0t? 9)?
Soll nun die Hülle der Gruppierung ein (12+20)-flächiges 12.5-Eck
sein, so ist s—1, woraus sich für m, m‘, m“ die Relation ergibt:
m" tan g— m'— m tan? p — 0.
278 Max Brückner,
Es ist aber:
m". tan p — m’, — matan?p = 0,
d.h. ist der Kern der Stephanoidgruppierungen der sechsten
Gruppe ein Deltoidhexekontaeder erster Ordnung, so ist die
Hülle ein (12+20)-flächiges 12.5-Eck. Führt man die Werte m, m’a, m"a
in die Formel 187) für i ein, so vereinfacht sich diese zu:
83 —tanp— 20 %
während s natürlich gleich 1 wird. — Die Stephanoidgruppierungen dieses
Gebietes I, sind polarreziprok denen des Gebietes VI, der ersten Gruppe mit
Ecken sechster Klasse erster Ordnung. Die Polyeder der sechsten Gruppe
der Kurve X, zwischen B und C in Fig. 2 Taf. 17 sind polarreziprok denen
der ersten Gruppe der Geraden C, zwischen A und 7 zugeordnet, wie für
die Grenzpunkte später noch bewiesen wird. Die Polyeder der sechsten
Gruppe der Kurve C, von C bis G entsprechen denen der ersten Gruppe
der Geraden C, von T bis D. Es wird an den Grenzpolyedern noch gezeigt
werden, dass die Hüllen der Polyeder der sechsten Gruppe auf C, von C
bis @ wirklich sämtliche Werte t für die 12.5- Ecke erschöpfen. Die Polyeder
der sechsten Gruppe der Geraden C, von B bis 7, deren Hüllen 2.60-Ecke
sind, sind polarreziprok denen der ersten Gruppe der Kurve X, zugeordnet,
während die ganze Gerade X, in Fig. 2 Taf. 17 gewissermassen dem Dode-
kaederpunkte D in Fig. 2 Taf. 13 entspricht.
Da für die Polyeder der sechsten Gruppe, die nach ihren Ecken der
zweiten Klasse angehören, dieselben Ebenen 51), 62), 64), wie vorher durch
ihren Schnitt die erste Ecke des Stephanoids ergeben, die aber hier die
Ecke 13) des 2.60-Ecks ist, so erledigen wir zunächst diese Gruppierungen
der St, (). Es ist jetzt ,:%:2, —=m:m’:m“, und damit für die Hüllpolyeder:
m cot p + m’ + m“ cot?p
Ti © ara] Be
| MORGEN
m-+ m’ + m
Für —s ergibt sich wiederum die Gleichung der Kurve &,.
cos
Eine andere neue Grenze besitzt das Gebiet I (vergl. Fig. 2 Taf. 17) dieser
2
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 279
Stephanoidgruppierungen nicht und reicht also bis zum Dodekaederpunkt D.
Die Polyeder dieses Gebietes II sind polarreziprok denen des Gebietes VI
in Fig. 3 Taf. 13 für die St‘, (%) der zweiten Gruppe sechster Klasse. Die
Stephanoide der sechsten Gruppe der Geraden C, von D bis B sind denen
der zweiten Gruppe der Kurve X, von D bis A zugeordnet, die der sechsten
Gruppe auf C, von D bis © sind polarreziprok denen der zweiten Gruppe
auf C, von D bis 7. Es sind also die Hüllen der Stephanoidkombinationen
der sechsten Gruppe zweiter Klasse, deren Kerne Deltoidhexekontaeder sind,
(12+ 20)-flächige 12.5-Ecke. Denn setzt man in der ersten Gleichung 184)
s—1, so kommt die Relation —m tan?p— m'+m“tanp —0. Diese Gleichung
wurde aber identisch durch m = m.,m' — m‘, m" — m“, erfüllt, wodurch die
Richtigkeit der obigen Angabe erhärtet ist.
Wir untersuchen nun die Stephanoide der sechsten Gruppe, deren
Kernpolyeder Dyakishexekontaeder der zweiten Ordnung sind. Die erste
Fläche des Stephanoides liest dann in der Ebene 65) des 2.60-Flaches, denn
das ist die erste Fläche der oberen Zone links von der Symmetrieebene
durch die Achsen G, und ©. Das überschlagene Viereck in dieser Ebene
entsteht als Schnitt mit den Ebenen 52), 54), 58), 60) und zwar sind die Ecken
der Flächen dann die folgenden: 3 (65, 52, 54); 9 (65, 58, 60); 116 (65, 58, 52);
114 (65, 60, 54). Wir bestimmen die Koordinaten der Ecke 3) als Schnitt
der Flächen:
(65) ua — ca yt+y2—d—=0,
(52) „a — my+b2—d—0,
(54) ;2+a,y—b,2—d— 0.
Es ergibt sich, wenn wir die m zur Unterscheidung von den vorigen
2 . m m‘ m“ e
zunächst mit dem Index ı versehen: = — = d, y—= nn = nz d, worin:
190°) U a, (b; +4,)+ a; (a, — b,) — 4 (b, + b»),
190°) m, —b, (5 —b)+b; (a —b)+ a, (n—6;),
190°) m", =(, (a; + c,) + Cz (as —c)—by (a; + As).
Da wir die Koordinaten der Ecke 3) vor uns haben, ergibt sich also:
%,:y:2, —my :m’,:m“,, und es ist für die Parameter der Hüllpolyeder
m, eotp + m’, + m“, cot?p
5 — 77 7; E
191) | 2 (m, + m‘, + m“,)
t
m’ an m“, eotp cos?
m, + m’, + m“, j
|
280 Max Brückner,
Führt man nun in die Ausdrücke 190) von m, m‘ m“, die Werte der
a,b,e ino und # ein, so ergibt sich, dass m, — m, m’, — m‘, m“, = — m“ ist.
— Wir untersuchen nun diejenigen Polyeder der ersten Klasse der sechsten
Gruppe zweiter Ordnung, deren Hülle ein (12 +20+ 30)-Hächiges 60-Eck ist.
Es ist dann = — 4s—eot?y, und mit Rücksicht auf 191):
m, tan?p — m‘; + m", tanp — 0.
Ist nun der Kern der Stephanoidgruppierung ein Deltoidhexekontaeder,
so it9— er in die Werte von m,,m‘,m“, einzuführen, wodurch sie die
einfachere Form m, ,'2,,,“, annehmen mögen. Dann istm,,.=m.,m',.=— m,
m,“ =—m“ı. Die Einsetzung der Werte m,,.,m1,',m,,“. in die Bedingung dafür,
dass die Hülle des Polyeders ein 60-Eck ist, macht deren linke Seite zu
My ;a tan?p— m, + mı,“atang, oder mit Berücksichtigung der vorhergehenden
Identitäten, zu: matan?p +ma—m“atanp.
Dieser Ausdruck war aber nach früherem identisch Null, d.h.: Ist
der Kern der Stephanoide der sechsten Gruppe ein Deltoid-
hexekontaeder zweiter Ordnung, so ist die Hülle ein (12 + 20 + 30)-
flächiges 60-Eck. Führt man überdies die Werte
ne. 20?[o(tanp + coty)—4tany]
En 3 (4— 000129)?
’
m... — lo —Ntangy
Ina. — (4—0c0t?9)2 9
20?(3—4tanp—otan?g)
(4—06c0t?g)?
EN es —
in die allgemeinen Formeln von s und t ein, so erhält man die Werte für die
Parameter der 60-Ecke. Wir benutzen nur die. Formel für ti, da sie eine
einfache Form annimmt und für die Bestimmung der Varietät der Einzel-
ß (2c0t9— 3) cos?g
w Re „
Es wird: t (46—9)tanp+3
Für das Triakisikosaeder als Kern fallen die Stephanoide der sechsten
Gruppe mit denen der fünften zusammen.
Das Gebiet I, (vergl. Fig. 2 Taf. 17) enthält die polarreziproken
Stephanoidgruppierungen zu denen des Gebietes VI, der ersten Gruppe (vergl.
polyeder hinreichend ist.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 281
Fig. 2 Taf. 13). Den Polyedern der Geraden ©, von T bis I der sechsten
Gruppe entsprechen die der Kurve X, von D bis I in der ersten Gruppe;
den Stephanoiden der sechsten Gruppe der Kurve C, von @ bis I entsprechen
die der ersten Gruppe für die Kurve C;, von D bis I. Von der Grenzkurve
K, wurde bereits früher gesprochen. — Wir wenden uns nun zur Betrachtung
einer Reihe spezieller Polyedertypen der drei Gebiete I, II und I, der sechsten
Gruppe.
1. Polyeder. Ist der Kern der Stephanoidgruppierung das Deltoid-
hexekontaeder für maus (die Koordinate des Schnittpunktes C der
Kurven X, und (,), so ergibt die Formel 187) t—= eos?g, d.h. die Hülle ist
in diesem Falle das Triakontagon. Dieses diskontinuierliche Polyeder zeigt
Tafel 24 Fig. 7; die Fläche ist in Fig. 2 Tafel 14 das Viereck B,; BB, B‘,.
In jeder Ecke des Triakontagons fallen zwei Ecken verschiedener der
sechs St‘5 () zusammen, so dass durch jede der Ecken B in der vollständigen
Figur sieben Spuren zu zeichnen sind. Die beiden vierkantigen Ecken, die eine
diskontinuierliche achtkantige achter Art bilden, liegen bis auf die Scheitel
getrennt. Das Polyeder ist polarreziprok dem ersten Polyeder der ersten
Gruppe.
2.Polyeder. Für die A.V. des Deltoidhexekontaeders, d.h. s — oe)
ö
R}
ergibt sich eine Gruppierung von sechs Stephanoiden, für deren Hülle s=1,
‚—_V5+2 ist. Für dieses besondere 12.5-Eck ist ky:k, —=1: Ve Das
o
diskontinuierliche Polyeder, das dem zweiten Polyeder der ersten Gruppe
reziprok ist, zeigt Tafel 26 Fig. 1; seine Grenzfläche ist in Tafel 10 Fig. 3
das Viereck S, 8,8, S,.
3. Polyeder. Der Grenzwert os Bere) für den Punkt @ der
19]
Fig. 2 Taf. 17 führt, wie seine Einsetzung in die allgemeine Formel zeigt,
auf i=1, und da s—=1 ist, so heisst das, die Hülle ist in diesem Falle das
Ikosaeder. Die Gruppierung reduziert sich dann freilich, da beim Ikosaeder
die fünfkantigen Grenzflächen des Pentakisdodekaeders in Punkte zusammen-
geschrumpft sind, auf sechs Gerade, nämlich die G-Achsen. Aber der Wert
zeigt, dass die Gruppierungen, deren Kerne Deltoidhexekontaeder für Werte
o,r der Kurve O0, zwischen C und G sind, wie früher behauptet, sämtliche
Nova Acta LXXXVI, Nr. 1. 36
282 Max Brückner,
möglichen 12.5-Ecke zwischen dem Triakontagon und dem Ikosaeder als
Hüllen erschöpfen.
4. Polyeder. Für die A. V. des Triakisikosaeders als Kern ergibt
sich eine Gruppierung von zwölf St., (z), deren Hüllpolyeder ein (12+20 + 30)-
flächiges 2.60-Eck ist, für welches nach den Formeln 191) s=4(/5—2),
en wird. Damit findet man für die Kanten die Proportion:
lack, = azbt, 4% a5, Dieses Polyeder, als Beispiel einer allgemeineren
Stephanoidgruppierung mit Ecken sechster Klasse zeigt Tafel 29 Fig. 1; die
Fläche ist auf Tafel 20 gezeichnet. Die Gruppierung ist polarreziprok dem
fünften Polyeder der ersten Gruppe.
5. Polyeder. Für das Deltoidhexekontaeder der zweiten Ordnung
= KW 413782 AV — 1448567 ergibt sich eine Gruppierung
von sechs Stephanoiden, deren Hülle die A. V. des (12+20+30)-flächigen
60-Ecks ist. Dieses Polyeder zeigt Taf. 26 Fig. 3; es ist polarreziprok dem
dritten Polyeder der ersten Gruppe. Die Fläche ist Taf. 17 Fig. 4 ge-
zeichnet.
6. Polyeder. Als Beispiel eines Polyeders dieser Gruppe, das nach
den Ecken zur zweiten Klasse gehört, wählen wir diejenige Gruppierung
von sechs Stephanoiden, deren Kern die besondere Varietät des Deltoidhexe-
kontaeders 6—? Sr 1 1,05112, = ae) ist. Die Hülle wird dann
Va Be. -
das 12.5-Ecks—1, t—= a > wonach %y :ky; — 1 Ic: —1 ist, Dieses Polyeder,
das reziprok ist zum vierten der zweiten Gruppe, ist Taf. 26 Fig. 2 dar-
gestellt; seine Fläche zeigt Taf. 13 Fig. 6.
9. Übersicht der polarreziproken Zuordnung der sechs Gruppen
der St‘, (?) im Dyakishexekontaedertypus. Da bei Betrachtung der Kom-
binationen von zwölf bezw. sechs Stephanoiden St‘, (?) der letzten drei Gruppen
die polarreziproke Verwandtschaft im Einzelnen bereits angegeben wurde,
soll hier nur noch übersichtlich die lückenlose Zuordnung der verschiedenen
Klassengebiete für die sechs Gruppen zusammengestellt werden, wobei die
zu berücksichtigenden Figuren jedesmal mit der Benennung des Gebietes
angeführt sind.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 283
1. Gruppe, 6. Klasse, 1. Ordnung.
(Taf. 13, Fig. 2; VI.)
en En
1. Gruppe. 6. Klasse, 2. Ordnung.
(Taf. 13, Fig: 2, V],;.)
I—K—D—(,—1.
1.Gruppe, 5. Klasse,
(Tafel 13, Fig. 2, V.)
A— K—D—K, —I— (0, — A.
2. Gruppe, 6. Klasse,
(Far 13. Fig. 5, 'VL)
Pt ya
2. Gruppe, 5. Klasse,
Ran ts, Rıg.3, V.)
ZIEH 16-4
3: Gruppe, 5. Klasse,
(Taf. 14, Fig. 4, V.)
D—-K,— I—0,—D.
3. Gruppe, 4. Klasse,
(Taf. 14, Fig. 4, IV.)
70 D KR IE
4. Gruppe, 4. Klasse,
(Taf. 15, Fig. 3, IW)
T—C, — D—- 0 — 9— 0, —T.
6. Gruppe, 1. Klasse, 1. Ordnung.
(Taf; Bis; 3,5)
C— @—G—K—T—CG, — B—- K—C\.
6. Gruppe, 1. Klasse, 2. Ordnung.
(Taf. 17, Fig. 2, 1.)
FT Gen EN en. 2,
5. Gruppe, 1. Klasse,
(Taf. 15, Be, 45)
B—0,— T—G, — I—K,—B.
6. Gruppe, 2. Klasse,
(Taf. 1.7,.Bigs2,1],)
C—-0,— D—-QG, — B— K—(.
5. Gruppe, 2. Klasse,
(Taf. 15, Fig. 4, II.)
BO DIR No RB
for!
. Gruppe, 3. Klasse,
(af. 15,5 ie. A; TEE)
D—(,—I— K,—D.
4. Gruppe, 3. Klasse,
(Taf. 15, Fig. 2, III.)
4'— K,— D—-(,— I—G— 4‘.
4. Gruppe, 4. Klasse,
(Taf 15, Bier 3; IV.)
4'— K,— D—C'—9—(, —.4'.
$4. Die Gruppierungen von St. (@) und S7 (@) im Dyakishexe-
kontaedertypus und die kontinuierlichen Nullpolyeder.
1. Die (1?+20+ 30)-flächigen 2.60-Ecke, deren je 2.10 Ecken
gleicher Klasse reguläre Zehnecke bilden. Einem allgemeinen (12+20+-30)-
flächigen 2.60-Ecke für beliebige Parameter s und £ sind keine anderen
Stephanoide einschreibbar, als die im vorigen $ besprochenen St‘, (2), deren
Existenz an die Möglichkeit gebunden ist, die 2.60 Ecken der gleicheckigen
36 *
284 Max Brückner,
Hülle als die von sechs kronrandigen 2.(2.5)-Ecken zu gruppieren. Da-
gegen erhält man weitere Kombinationen von Stephanoiden in gewissen
2.60-Ecken, die besonderen Bedingungen genügen. Liegen nämlich die
Ecken gleicher Klasse, die Klasse hier in demselben Sinne aufgefasst, wie es
zuletzt geschehen, so dass sie zu zehn in jeder ihrer Ebenen ein reguläres
Zehneck bilden, so sind die 2.10 Ecken einer bestimmten Klasse für jede
der sechs Achsen G die Ecken eines regulären zehnseitigen Prismas und
es existieren also bestimmte Varietäten von 2.60-Ecken, für welche die
Ecken jeder gewünschten Klasse wie die von sechs regulären zehnseitigen
Prismen angeordnet sind, denen sich die Stephanoide St,, einschreiben lassen,
wobei hier noch unentschieden bleibt, welche von den überhaupt existierenden
sechs verschiedenen St, im 2.60-Eek realisierbar sind. Es sind also zu-
nächst diese besonderen (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecke zu bestimmen.
Wir orientieren das 2.60-Eck im Raume wie bisher mit der senkrecht von
oben nach unten verlaufenden Achse G,6‘, so, dass die Ecken gleicher
Klasse in je zwei parallele Ebenen zur xy-ebene, die die Hauptebene der
Achse 6,6‘, ist, liegen.
e) Die Ecken erster Klasse sind die der zehneckigen Grenz-
flächen des 2.60-Ecks selbst. Das 2.5-eck 1, 3, 3..... 9, 10 wird regulär
für 1,2 — 2,3 oder k =%,. Dies gibt für die Parameter s und ? nach den
Gleichungen 90‘) die Bedingung sn oder:
A
192«) t=s@+V)—-@+V).
Diese Gleichung ist die einer Geraden im Gebiete der konvexen
2.60-Ecke, die zwischen dem Ikosaederpunkte / (=1, t—=1) und dem für
lERLE [£
die A. V. des 20.3-Ecks verläuft, dessen Koordinaten s — 4: et = no
sind. Es gibt also eine einfach unendliche Reihe von 2.60-Ecken mit regulär-
zehneckigen Grenzflächen, die mit dem einen speziellen Polyeder, der A. V.
des 20.3-Ecks abschliesst, während die andere Grenze, das Ikosaeder,
offenbar für Konstruktion der Stephanoide auszuschliessen ist.
8) Die Ecken zweiter Klasse 11, 13, 13..... 20 des 2.60-Ecks
bilden ein reguläres Zehneck, wenn 11,12 — 12,13, d.h. die zweite Diagonale
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 285
der sechseckigen Grenzfläche gleich der Kante %, ist. Nun ist jene Dia-
gonale') gleich %,+%, und es ergibt die Gleichung y +%,—k, für s und £
nach 90‘) die Bedingung:
192?) ge un @+Vd,
Dies ist die Gleichung einer Geraden im Gebiete der konvexen
2.60-Eeke zwischen dem Punkte s— ‘V kB ib ee Alan für die A. V. des
kıfE VE
20.3-Ecks und dem Punkte stv, ‚59 für die A. V. des
(12+20+30)-flächigen 60-Ecks. Diese beiden speziellen Polyeder sind die
Grenzkörper einer Reihe von 2.60-Ecken mit Ecken zweiter Klasse, die
reguläre Zehnecke bilden. Das erste Grenzpolyeder gehört also gleich-
zeitig den Polyedern unter «) zu.
Debıerkekemidritter Klasse 21, 22,2 ..... 30 ergeben ein
reguläres Zehneck für 21,22 — 22,23, d.h. wenn die Kante %, der sechs-
kantigen Grenzfläche gleich der %, parallelen zweiten Diagonale’) der 2.5-
5 - $ - /5 } :
ecksfläche ist. Diese Bedingung ist %, — k, + k, vet, Daraus ergibt sich
für s und t die Relation:
192) era
1) Sind k, und k, die Kanten AP und BC eines gleicheckigen 2.3-ecks ABODEF,
so sind die beiden Diagonalen 4, —=AC —=YR?+kt2+kk, b=AD=k+Ml..
2) Sind %, und %, die Kanten AB und BC eines gleicheckigen 2.5-ecks ABOD..IK,
so sind die vier verschiedenen Diagonalen:
BG VerrenEak, 3 608360 — | Vartmıa ar
—AD=k + 2%, 60836°—k, + ka (art
L._AE V5 a 1
„= — 40. -(als Diagonale eines regulären Fünfecks, dessen Kante AC ist),
dh =AF=(k +k) WLEe (als Diagonale des Sehnenvierecks AEFG, in dem
ZNBE AG ds, BER — I, FR A — /iy, EG = d, bekannt sind, mittels des Ptolemäischen
Satzes berechnet).
286 Max Brückner,
Die durch diese Gleichung charakterisierte einfach unendliche Reihe
von 2.60-Ecken hat als Grenzpolyeder einerseits die A. V. des 60-Ecks,
für welches die Ecken dritter Klasse mit denen der zweiten zusammenfallen
und andererseits dasjenige 12.5-Eck (k, = 0), für welches 7, — k, VerHn ist,
d.h. neben s—1, ae wird.
dö) Die Ecken vierter Klasse 31, 32, .... 40 ergeben ein reguläres
Zehneck, wenn 31,32 — 32,33, d. h. die Kante %, der viereckigen Grenz-
fläche des 2.60-Ecks gleich der mit A, parallelen grössten Diagonale der
2.5-eckigen Grenzfläche wird. Dies gibt die Bedingung 7, — (k, + %,) — r
und damit
[9]
Für das oben angegebene 12.5-Eck des Parameters — V5+2 fallen
19]
die Ecken vierter Klasse mit denen der dritten zusammen. Als zweites
Grenzpolyeder der durch 192°) charakterisierten einfach unendlichen Reihe
von 2.60-Ecken ergibt sich das (12+20+30)-flächige 60-Eck (y —=0), für
welches 7. — 7 V5+1 dan: „_ 11+3V5 „_ 14V5+45 ist.
P DZ 19,07 95
&) Es bilden endlich die Ecken fünfter Klasse 41, 42,.....50 ein
reguläres Zehneck, wenn 41,42 —42,43, d.h. die k, parallele zweite Diagonale
der 2.3-eckigen Grenzfläche gleich der 7%, parallelen zweiten Diagonale
der 2.5-eckigen Grenzfläche des (12+20+30)-flächigen 2.60-Ecks wird.
Dies gibt die Bedingung %,-+ % un 7 VOele ‚ V5+1
g gung k+k—=ıtkı a oder k,— kı 2 ‚ woraus
1922) _26+2V)—s@V5+5)
10e!"
folgt. Wir haben eine einfach unendliche Reihe von 2.60-Ecken, deren
Grenzpolyeder einerseits das vorhin angegebene besondere 60-Eck für
s- ro, dessen Ecken fünfter Klasse mit denen vierter identisch werden,
und andererseits das Triakontagon sind. Für dieses fallen die oberen und
unteren Ecken fünfter Klasse in eine Ebene und alle Stephanoidgruppierungen
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 287
dieser Klasse werden hier illusorisch. — Die Ecken sechster Klasse 51, 52,... 60
eines 2.60-Ecks können überhaupt keine regulären Zehecke bilden, ausser
für den eben erledigten Grenzfall des Triakontagons. Es sind also im
Ganzen fünf Möglichkeiten vorhanden, 2.60-Eceken, deren Parameter den
Bedingungen 192°)— 192) genügen, Stephanoidgruppierungen einzuschreiben.
Welche von den St, im 2.60-Eck existieren können, soll nun zunächst
entschieden werden.
2. Die Existenz von Stephanoiden 8, im (12 +20 + 30)-flächigen
2.60-Eck. Nach Kap. II $ 3 Nr. 4 lassen sich einem regulären zehnseitigen
Prisma sechs verschiedene Stephanoide St, einschreiben, nämlich die vier
kontinuierlichen St, €), Stio G), St) und St,, (3), sowie die zwei diskontinuier-
lichen St, J)=2 St, (2) und St, ()= 28t, (2). Beschreibt man nun in die
fünfmal je sechs zehnseitigen Prismen, deren Ecken die eines 2.60-Ecks
sind, wie es in voriger Nummer charakterisiert wurde, diese Stephanoide,
so erhält man Gruppierungen, die diskontinuierliche gleicheckig-gleichflächige
Nullpolyeder darstellen, wenn sich als Kern ein gleichflächiges
Polyeder ergibt. Für die vier ersten eben angeführten Stephanoide trifft
dies nicht ein, wie hier ebenso bewiesen wird, wie für gewisse vermutete
Stephanoidgruppierungen im 2.24-Eck (vergl. Kap. II $ 3 Nr.4). Man
fasse in dem 2.60-Eck nur ein Prisma, dessen Ecken die Ecken :-ter
Klasse des 2.60-Ecks sind, ins Auge, etwa das, dessen Hauptachse G, 6‘,
ist, und beschreibe ihm (nach einander) die sechs verschiedenen Stephanoide
ein. Für das Prisma schlechthin sind seine zehn Nebenachsen gleichwertig,
nicht aber in Bezug auf das umhüllende 2.60-Eck. Soll nun ein Stephanoid
St,, zulässig sein, so müssen irgend zwei seiner Flächen in Bezug auf ent-
sprechende Achsenpunkte kongruent oder wenigstens symmetrisch liegen,
wonach sie durch Umkehrung der einen mit einander zur Deekung gebracht
werden könnten. Diese Bedingung ist aber für ‘die vier erstgenannten
Stephanoide nicht erfüllbar. Denn legt man durch die Achse G, 6‘, sämtliche
2.5 Symmetrieebenen des 2.60-Ecks, so zerfallen diese in zwei gleich-
mächtige Gruppen von je fünf, deren in ihnen liegenden gleichzähligen
Achsen bei Drehung des Körpers um 72° zur Deckung kommen, während
für die abwechselnden Ebenen von G, aus gerechnet, die Reihenfolge der
288 Max Brückner,
Achsen G,.B,6,0,B,0,G‘, bezw. G,,0,B,0,G,B,G‘, ist, so dass bei Drehung um 36°
um die Hauptachse 6,6‘ die Achsen der einen Ebene zwischen die der
anderen fallen. Soll nun ein Stephanoid St, im 2.60-Eck zulässig sein,
so darf die Ebene durch den Doppelpunkt der Stephanoidfläche und die
Achse 6,6, nicht mit einer der eben genannten zehn Symmetrieebenen
zusammenfallen, wie dies bei den vier ersten Stephanoiden der Fall wäre.
Denn für eine zweite Stephanoidfläche, die mit jener ersten durch Drehung
des Stephanoides um 36° zur Deckung kommt, ist die genannte Ebene
durch den Doppelpunkt der Fläche identisch mit einer der vorigen benach-
barten Symmetrieebene des 2.60-Ecks, d. h. die Achsenpunkte für die zweite
Stephanoidebene können nicht mit denen der ersten zum Zusammenfallen
gebracht werden. Dann ist aber die Stephanoidfläche nicht Fläche eines
gleichflächigen Polyeders, d.h. die Gruppierung wäre nur gleicheckig,
w.z.b.w. Ein anderes bei den Stephanoiden St, ($) und St, (), bei denen
die Ebene durch den Doppelpunkt einer Grenzfläche und die Achse 6,6‘
nicht mit einer der Symmetriebenen zusammenfällt, sondern den Winkel
zweier benachbarten teilt. Zwei Stephanoidflächen, die durch Drehung des
Stephanoides um 72° um seine Hauptachse zur Deckung kommen, sind
nach den Achsenpunkten völlig kongruent, dagegen zwei Flächen, die bereits
bei Drehung um 36° sich decken, sind nach den Achsenpunkten symmetrisch,
d. h. ihre Achsenpunkte fallen zusammen, wenn man die eine um ihre
Symmetrielinie um 180° dreht, bevor man sie mit der anderen zur Deckung
bringt. Das Ergebnis ist: Es existieren im 2.60-Eck (unter den in
voriger Nr. abgeleiteten Bedingungen) fünf Gruppierungen von je sechs
Stephanoiden St, () bezw. zwölf Si,@) und fünf Gruppierungen
von je sechs Stephanoiden $t,() bezw. zwölf St, (). Die zuerst
angeführten werden im folgenden (Nr. 4ff.) behandelt. Die Gruppierungen
6 St, (4) = 12 St, (£) aber sind offenbar Spezialfälle der bereits besprochenen
allgemeinen Gruppierungen des vorigen $, und entstehen aus ihnen, wenn
die Parameter s, i der Hüllpolyeder den Bedingungen 192«)— 1928) genügen.
Wir wollen diese speziellen Polyeder zunächst betrachten.
3. Die fünf Gruppen der Stephanoide St, (!) im Dyakishexe-
kontaedertypus. Die von Stephanoiden St,, ({) gebildeten diskontinuierlichen
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 289
Polyeder können nur der ersten bis fünften Gruppe der allgemeineren
Gruppierungen, wie sie im $ 3 dieses Kapitels betrachtet wurden, angehören.
Denn existierte ein solches Polyeder für die sechste Gruppe, so gäbe es
ein polarreziprokes Polyeder mit Ecken sechster Klasse, was nach Nr. 1
dieses $ unmöglich ist. Irgend ein Polyeder P der i-ten der noch zulässigen
fünf Gruppen, das eine Kombination von St, (}) darstellt, gehört nun nach
seinen Ecken zur Klasse 1, 2, 3, 4 oder 5 und die Parameter s, i genügen
also einer der Bedingungen 192«)— 192:). Das ihm polarreziproke Polyeder P‘
ist dann gleichfalls eine Gruppierung von St, ({) und zwar der i-ten Klasse,
deren Parameter s, t demnach einer bestimmten der Gleichungen 192) ge-
nügen. Nach den Flächen gehört das Polyeder der 1., 2., 3., 4. oder
5. Gruppe an und da der Kern von P‘ polarreziprok der Hülle von P ist,
so genügen die Parameter o, r des Kernes von P’ einer der fünf Gleichungen,
ya urn 1 1
die sich aus 192) ergeben, wenn in diesen £ und s durch = und - ersetzt
0
werden. Für die Gruppierungen von St, (‘) in den fünf Gruppen des $ 3
dieses Kapitels hat man also für die Kerne die fünf Relationen der o und r
193) (di: Gruppe) nu N
193?) (2. Gruppe): = = ge
193») (3. Gruppe): 7= PER er
193°) (4. Gruppe): = a
1938) (85. Gruppe): 7— nn =
Deuten wir diese Gleichungen als die von Kurven im Gebiete der
konvexen Dyakishexekontaeder jeder Gruppe, so sind die Koordinaten o, 7
aller Punkte der Kurven die Parameter solcher Dyakishexekontaeder, für
welche die zugehörige Stephanoidgruppierung eine solche von St, (i) ist,
und die Klasse dieser Gruppierung lässt sich sofort aus der Figur ablesen,
in der die Kurve für eine bestimmte Gruppe eingetragen ist, da für jedes
Teilgebiet, in dem die Kurve verläuft, der Klassencharakter der Polyeder
Nova Acta LXXXVI. Nr.1l. 37
290 Max Brückner,
bereits bestimmt ist. Wir diskutieren nun zunächst die obigen Gleichungen
193) und zeichnen zur Übersicht die durch sie dargestellten Kurven X,, K;,
K;, K,, K, vorerst in einer Figur ein (Taf. 12 Fig. 3). wie wir sie bei
den späteren Betrachtungen verwenden werden. Danach ist dann jedesmal
die Kurve X; in die Figur für die i-te Gruppe der St‘, () einzutragen.
«) Gleichung 193°) ist die einer Kurve X,, die zwischen dem Dode-
kaederpunkte D und dem Punkte 4 (in Fig. 3 Taf. 12) für allen
t=2/5—3, d.h. der A. V. des Triakisikosaeders, verläuft. In Fig. 2
‘ Taf. 13 für die erste Gruppe der Stephanoide gehört diese Kurve mit ihrer
ganzen Erstreckung dem Teilgebiete V der Polyeder mit Ecken fünfter
Klasse an.
$ In 193?) haben wir die Gleichung einer Kurve X%,, die, das Gebiet
der konvexen Dyakishexekontaeder durchquerend, vom Punkte A für die
A.V. des Triakisikosaeders zum Punkte 4‘, Pb =, ar: — für die
A. V. des Deltoidhexekontaeders geht. In Fig.3 Taf. 13 für die zweite
Gruppe der St‘, () liegt diese Kurve völlig im Teilgebiete V der Polyeder
mit Ecken fünfter Klasse.
y) Die durch Gleichung 1937) dargestellte Kurve X, verläuft in
Fig. 3 Taf. 12 vom Punkte 4‘ für die A. V. des Deltoidhexekontaeders bis
zu dem Punkte 6— 1, r—5(/5—2), der eine besondere Varietät des Pentakis-
dodekaeders definiert. In der Fig.4 Taf. 14 für die St, () der dritten Gruppe
gehört diese Kurve den beiden Teilgebieten V und IV der Polyeder fünfter
und vierter Klasse an.
d) Die Gleichung 193°) ist die einer Kurve X, in Fig.3 Taf. 12
durch den Punkt des eben genannten Pentakisdodekaeders und den Punkt B
für die besondere Varietät des Deltoidhexekontaeders, dessen Koordinaten
us! 5b
=, Te
4 11
der St‘, (‘) verläuft die Kurve zwischen den genannten Punkten, wobei sie
sowohl das Teilgebiet II der Polyeder dritter Klasse, wie das der Polyeder
sind. In Fig. 3 Taf. 15 für die vierte Gruppe
vierter Klasse IV überschreitet.
e) Es ist endlich 193®) die Gleichung einer Kurve X, in Fig. 3 Taf. 12
zwischen dem 'Triakontaederpunkte 7 und dem eben genannten Punkte B
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 291
für die besondere Varietät des Deltoidhexekontaeders. In der Fig. 4 Taf. 15
für die o, r der Stephanoide der fünften Gruppe gehört diese Kurve X,
demnach allen drei Klassengebieten I, I, III an.
Wir betrachten nun der Reihe nach die Gruppierungen der St, ()
in den fünf Gruppen, bestimmen die Grenzpolyeder, zeigen die polarreziproke
Zuordnung der Polyeder in den einzelnen Teilgebieten und weisen auf ihre
Zugehörigkeit zu den Klassen in Nr. 2 dieses $ hin.
Die Polyeder der beiden ersten Gruppen, sowie die der dritten Gruppe,
soweit sie dem dort mit V bezeichneten Teilgebiete zuzurechnen sind, ge-
hören der fünften Klasse an und erschöpfen die Polyeder der fünften
Klasse, deren Ecken der Relation 192:) genügen, deren erstes Grenz-
polyeder als Hülle das Triakontagon, deren anderes ein bestimmtes 60-Eck
hatte. Diese Stephanoidgruppierungen St, (!) fünfter Klasse sind also auf
drei Gruppen zu verteilen. Für das, freilich illusorische, Grenzpolyeder im
Punkte D der ersten Gruppe ergibt sich als Hülle das Triakontagon, weil
D gleichzeitig auf den Kurven X, und X, der Gruppe liegt. Für die A. V.
des Triakisikosaeders als Kern ergibt sich das in $ 3 Nr. 3 beschriebene
7V5—5 „_36 +4/5)
BEBETIBERTT:
die Gleichung 192°) befriedigen. Dieses Polyeder gehört zugleich der
sechste Polyeder der ersten Gruppe, dessen Parameter s —
zweiten Gruppe der Stephanoide an, dort die neue Reihe der St, @)-grup-
pierungen beginnend. Für die A. V. des Deltoidhexekontaeders als Kern
erhalten wir in der zweiten Gruppe das in $3 Nr. 4 angegebene erste
2u5+2/8) „_ 20V5+27
41 41/5
ein (12+20+-30)-flächiges 2.60-Eck ist. Es gehört dieses Polyeder zugleich
der dritten Gruppe an und setzt die Reihe der Gruppierungen fünfter Klasse
Polyeder, mit den Parametern s— der Hülle, die noch
fort bis zu dem Punkte der Kurve X,, in dem diese von der Kurve ge-
schnitten wird, deren Gleichung 1937) ist. Für das Polyeder, dessen Kern-
parameter o, r die Koordinaten dieses Schnittpunktes sind, ist die Hülle ein
60-Eck (weil der Punkt auf X, liegt), und zwar diejenige besondere Varietät,
11 +3V5 la
19 95
angeführte zweite Grenzpolyeder mit Ecken fünfter Klasse, das in der Tat
für welche s—
Es ist das in voriger Nr. unter :)
zugleich der vierten Klasse augehört, da es auf der Grenze des Gebietes IV
37*
292 Max Brückner,
der dritten Gruppe liegt. Die Parameter o, r des Kernes ergeben sich
als Lösungen der beiden Gleichungen 1937) und 172). Führt man den aus
1937) folgenden Wert von $ in der Form 9 — ne in Gleichung 172)
ein, so ergibt sich nach längerer Rechnung für o die Gleichung:
,„ „3a—V5 | 7V5—9 3(4—V5)+5(/5—2)
ar Ya 4 ’
—o und daraus o— Von den
IE
beiden Wurzeln o, — LE und o, — an kommt nur die zweite in Frage,
fg, ah 2 bt sich y 46/5 —65
nämlich o — 1,02786. Das zugehörige ergibt sich aus 1937) zu x = ae
—1,22126. Die Einführung der erhaltenen Werte von o und z in die Formeln 171)
ergibt die oben angeschriebenen Parameter s und t für die besondere Varietät
des (12+20+30)-Hächigen 60-Eeks. Die zu den Gruppierungen von Stepha-
noiden St, () der fünften Klasse erster bis dritter Gruppe reziproken Po-
lyeder gehören der fünften Gruppe an und verteilen sich auf die drei
Gebiete I, u, II (Fig. 4 Taf. 15) erster bis dritter Klasse. Die den drei Ge-
bieten angehörenden Werte o,7 der Kernpolyeder genügen der Gleiehung 193:)
und die Koordinaten der Schnittpunkte der durch diese Gleichung dar-
gestellten Kurve mit den Kurven X, und X, des Gesamtgebietes, für welche
die Hülle der Polyeder 20.3 Ecke bezw. 60-Ecke sind, bedeuten die Para-
meter o, r der Kerne derjenigen Gruppierungen, die nach ihren Ecken zu-
gleich der ersten und zweiten bezw. dritten und zweiten Klasse angehören.
Man erhält als Koordinaten des Schnittpunktes auf der Kurve X, die Werte:
una rn Vo 0 a der Kurge Ko nn
20 3 10 31
Die zwischen dem Triakontaederpunkt 7 und dem ersten der geschriebenen
Punkte liegenden Polyeder erster Klasse erschöpfen die unter «) in voriger
Nr. angeführten Stephanoidgruppierungen St, (}), deren Hüllen vom Ikosaeder
bis zur A. V. des 20.3-Ecks variieren, wobei natürlich für die erste Grenze
die Gruppierung illusorisch wird. Die dem Gebiete II der fünften Gruppe
angehörenden Werte von co und r zwischen den oben angegebenen Grenzen
ergeben sämtliche Gruppierungen von St.() mit Eeken zweiter Klasse
unter ) der vorigen Nr. Für das Polyeder, dessen o, x der Gleichung der
Kurve X; genügt, ist die Hülle die A. V. des 60-Ecks. Im Gebiete III ver-
läuft unsere Kurve 193€) von dem schon angegebenen Grenzpunkte nach
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 293
dem Punkte so — Bu. T= rue der Kurve G;,, für den sich eine
Stephanoidgruppierung ergibt, deren Parameter s, £ des Hüllpolyeders nach
/E 7
den Formeln 174) und 175) s— aha) = re
E}
14
sind, wonach die
dem Gebiete IIT angehörenden Stephanoidgruppierungen polarreziprok sind
denen der dritten Gruppe in dem dortigen Gebiete Vv. Doch sind durch
diese Polyeder der fünften Gruppe dritter Klasse noch nicht sämtliche
St. (4) der dritten Klasse erschöpft. Wir finden vielmehr die übrigen in den
Polyedern des Gebietes III der vierten Gruppe (Fig. 3 Taf. 15). Für das
eben erwähnte besondere Deltoidhexekontaeder fällt die Gruppierung vierter
Gruppe dritter Klasse mit der der fünften Gruppe dritter Klasse zusammen.
Der Verlauf der Kurve, deren Gleichung 193°) ist, im Gebiete der vierten
Gruppe ist bereits angedeutet. Die Kurve schneidet die Grenzkurve X, in
einem Punkte, dessen Koordinaten sich als Lösungen der Gleichungen 193°)
und 176) ergeben. Führt man den aus 193°) folgenden Wert $ a
3V5+4, Eier
x aV5+3 2/5+3
woraus s—>@V5+tN) _ | os11a folgt. Der zugehörige Wert von r ist:
22 =
3 (10—/5) 5 RE, Be > pe :
T— 15 12280. Für dieses Dyakishexekontaeder als Kern ergibt
sich eine Gruppierung von sechs St, (), deren Hülle das 12.5 Eck s=1,
in 176) ein, so kommt für o die Gleichung 0? —
’
„—V5+2 ist, wie man aus den Gleichungen 175) in Verbindung mit 174)
[9]
errechnet. Es ist das unter 7) der vorigen Nr. angeführte Grenzpolyeder.
Die polarreziproken der St,() der dritten Klasse der vierten Gruppe sind
die Polyeder der vierten Klasse dritter Gruppe, deren Kernparameter 6, 7
die Koordinaten der Punkte der Kurve 1937) vom Punkte u.
en bis zum Schnittpunkte mit der Geraden C, sind. Die Koordi-
naten dieses letzteren sind 6—1,r—5(y2—2), und für die Parameter s, t
der Hülle der für diesen Punkt sich ergebenden Gruppierung der St,, ({) erhält
man aus den Formeln 170) und 171) die Werte: s— SZ, t— Sn
d. h. es ist diese Gruppierung polarreziprok der oben angegebenen für den
294 Max Brückner,
Schnittpunkt der Kurve 193°) mit der Kurve X, im Gebiete der vierten
Gruppe. Sie gehört zugleich der vierten Gruppe an, da für die Pentakis-
dodekaeder als Kerne die Stephanoide der vierten und dritten Gruppe identisch
sind. In der Tat ist für die vierte Gruppe die Kurve 193°) über X, hin-
weg durch das Gebiet IV bis zur Geraden €, zu führen, und die Stephanoide
St (3) für Werte o, r der Kurve, die den Punkten dieses Tieilgebietes der
vierten Gruppe zugehören, sind polarreziprok Polyedern desselben Gebietes.
Es ergibt sich also auch eine autopolare Gruppierung von sechs
Stephanoiden St. (). Die Parameter o, r ihres Kernes findet man aus der
Gleichung 193°) in Verbindung mit der Bedingungsgleichung für die auto-
polaren Kombinationen von Stephanoiden (vergl. $ 3 Nr. 6):
0292 cot?9 — 209? (4 + cotp) + 49? cotp + 209 tanp — 0?tanp — 0.
7@a—/)
2
daraus den zulässigen Wert: o— : (? Bu / 10(65—: 29 v5) — 1,0266.
Man erhält dann tür o die Gleichung: 02
c+ in —0, und
(Das zugehörige 7 ist 1,2042..) Damit sind alle Gruppierungen von St, ()
erledigt und es ist ihre lückenlose polarreziproke Zuordnung innerhalb der
fünf Gruppen erwiesen.
4. Die fünf Gruppen von je 6 St, (‘) = 12 St, ) im Dyakishexe-
kontaedertypus. Nach den Untersuchungen in Nr. 1 und 2 dieses $ existieren
fünf Reihen von Gruppierungen von Stephanoiden St, (), die nach ihren
Ecken erster bis fünfter Klasse sind, wobei die Parameter der: Hüllen den
Gleichungen 192°) — 192:) genügen. Da ein Polyeder i-ter Klasse in ein
solches anderer Klasse nur durch ein Grenzpolyeder übergehen kann, dessen
Hülle ein besonderes gleicheckiges Polyeder des Typus ist, so
gehören sämtliche Gruppierungen irgend einer Reihe neben einer bestimmten
Klasse auch einer bestimmten Gruppe nach den Flächen ihres Kernes zu.
Für jede der fünf möglichen Gruppen kommen dieselben Flächenzonen
am Dyakishexekontaeder in Frage, wie für die Stephanoidgruppierungen
des vorigen $; nur sind natürlich die Ebenen des Dyakishexekontaeders,
die in der ersten Fläche jeder Zone die Grenzfigur des Stephanoides St, ()
bilden, andere, und überdies existiert eine Gruppierung nur, wenn die Para-
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 295
meter des Dyakishexekontaeders den Gleichungen 193)— 193°) genügen.
Sämtliche Polyeder einer Gruppe erschöpfen zugleich die einer bestimmten
Klasse: Die Polyeder der i-ten Gruppe, deren Kern der i-ten
Gleichung 193) genügen @=1,...5) sind zugleich von der (6—.)-ten
Klasse und es befriedigen die Parameter s, t die (6—)-te Gleichung
192). Es waren nun die Gleichungen 193) bereits als Kurven in der Ebene
der 6, x in Fig. 3 Taf. 12 dargestellt. Von besonderer Bedeutung ist noch
der Schnittpunkt x der Kurven X, und X,. Seine Koordinaten sind die
Lösungen der Gleichungen 193°) und 193€), nämlich a, T=8—3/5.
_5V/5+7 „_8+3V5
a
Die reziproken Werte s und £, d.h. s - genügen offen-
bar den beiden Gleichungen 192«) und 192%). Da nun für x das Polyeder
der ersten Gruppe von der fünften Klasse, das der fünften Gruppe von der
ersten Klasse ist, so ist der Kern des einen Polyeders polarreziprok der
Hülle des anderen und umgekehrt, d. h. jedes Polyeder hat polarreziproken
Kern und Hülle. Wir haben also zwei parapolare Stephanoidgruppierungen
vor uns. Die polarreziproke Zuordnung sämtlicher Gruppen von St, (6) ist
die folgende (vergl. Fig. 3 Taf. 12). Die Polyeder der ersten Gruppe von
der A. V. des Triakisikosaeders längs der Kurve X, über x bis zum Dode-
kaeder sind reziprok den Polyedern der fünften Gruppe auf X, von der
Varietät _. des Deltoidhexekontaeders über x nach dem Triakon-
taeder, wobei der Wert von o,r für x beider Gruppen also parapolare
Polyeder ergibt. Die Grenzpunkte des Triakontaeders und Dodekaeders
liefern keine Stephanoide. Die Polyeder der zweiten Gruppe auf X, von
der A. V. des Triakisikosaeders bis zur A. V. des Deltoidhexekontaeders
sind polarreziprok denen der vierten Gruppe auf X, von der besonderen
Varietät des Deltoidhexekontaeders, « — _— bis zur besonderen Varietät
des Pentakisdodekaeders, für welches z — 5(/5—2) ist. Die Polyeder der
dritten Gruppe auf X, von der A. V. des Deltoidhexekontaeders bis zu dem
eben genannten Pentakisdodekaeder sind polarreziprok den Polyedern der-
selben Kurve im entgegengesetzten Sinne durchlaufen. Die Grenzpolyeder
gehören zugleich zur zweiten und dritten Gruppe bezw. vierten und dritten
Gruppe nach den Flächen und zur vierten und dritten Klasse, bezw. zweiten
296 Max Brückner,
und dritten Klasse nach den Ecken. Die danach notwendig vorhandene
autopolare Gruppierung auf X, ist später abzuleiten. Wir wenden uns
nun zur analytischen Untersuchung der fünf Gruppen und führen damit
zugleich die Beweise für alle vorhergehenden Behauptungen. Wir beschränken
uns hier auf die Anführung der Formeln in den Koiffizienten a, b, ce der
erzeugenden Kernpolyeder, da eine komplizierte Zuordnung der Gruppen
nicht vorliegt. Überdies führen wir die analytische Untersuchung wie früher
unabhängig von der Darstellung auf der jeweils gewählten Fläche 1), da
sich die Zuordnung von Ecken und Flächen im Anschluss an Kap. II $ 3
Nr. 4 leichter übersehen lässt. Für die geometrische Darstellung aber
wählen wir stets die Fläche ı) des Dyakishexekontaeders bezw. die ent-
sprechende Fläche der speziellen gleiehflächigen Polyeder zur Zeichenebene.
Die folgende Tabelle zeigt dann für die fünf Gruppen der St,, ($) die Spuren
in der Ebene ı), durch welche die erste Fläche des Stephanoids erzeugt
wird, und in den Spalten 2)—4) sind die Spuren in den Flächen der
Grenzpolyeder vermerkt, soweit sie auftreten können. Die nähere Betrachtung
dieser spezielleren Polyeder bleibt der folgenden Nr. 8 vorbehalten.
Dyakishexekon- FREE Pentakis- | Deltoidhexe-
Gruppe tacd Triakisikosaeder dndekander | Bonseder
45. 57. 33. 59
I .113.117. — =
EEE eg 56
AN:
& 39. 59. 27. 54
a a > | | 56. 31. 53. 27
10
| | Ar VE
I 40. 59. 26. 47 5/5 —9
111 |56. 110. 77. 117 — me
56. 110. 77.117 | or. 50 A| 9 5,
R i | B. V. 35. 58. 29. 54
IV |64. 115. 45. 110 - = 55-9 | 25. 53. 35. 57
| | B. V.:
v 164. 113. 38. 99 < | — | 11—3//5
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 297
5. Die erste und fünfte Gruppe der Stephanoide $i,. (). Wir
greifen für die folgende analytische Untersuchung immer eine gewisse
Fläche des Dyakishexekontaeders heraus — nachdem wir dieses so orientiert
haben, dass die Achse G,G‘, von oben nach unten verläuft, die Achsen B,,@,,...
in der senkrechten Symmetrieebene nach vorm liegen — nämlich diejenige
Fläche, die direkt rechts von der Symmetrieebene liegt. Für die fünf
Gruppen sind das die Flächen: ı), 11), 21), 31), 41). Wir bestimmen ferner
dazu die vier Grenzflächen, die in ihr die Grenzfigur des Stephanoids er-
geben, und führen dann die Ecken an, indem wir wie bei dem Einzelstephanoid
in Kap. I $3 Nr.4 verfahren. Für die erste Gruppe sind die Spuren
auf 1) die der Flächen 111), 113), 117), 119) und zwar korrespondiert 111) mit
der Fläche 5) des Einzelstephanoids; weiter ist 113) = 3), 117) = 9), 119) = 7°).
Ein Vergleich mit der Eckenordnung des Einzelstephanoids ergibt, da die
Ecken jetzt der fünften Klasse angehören, dass sich 1), 117), 119) in der
Ecke 48) des 2.60-Ecks schneiden; die übrigen Ecken sind: 44 (1, 111, 113);
26 (1, 113, 119) und 74 (1, 111, 117). Wir bestimmen nun die Hülle des Gesamt-
polyeders, indem wir die Koordinaten der Ecke 44) als Schnitt der Flächen
1), 111), 113), berechnen. Aus deren Gleichungen (vergl. Kap. IV $1 Nr. 2)
ergeben sich für diese Koordinaten die Werte: 2 — 2 y— —a)e |
a a, (bc, —bıcy)
(a4, — a,)b,
2 —— —. A
a, (db, —b,c,)
Nun sind die Koordinaten der Ecke 4): =, y=x, 2= —y,
wonach die für die Formeln 85) der Parameter s, t zu verwendenden ab-
soluten Werte x;, y;, 2, bekannt sind. Es ergibt sich für s:
(4 —a)c, etp+ (a, —a)bı + (bc —bic,) eot?p
: 2 Ka,—a,)cı tan n + (b; c —bıc,) cot 9]
I
oder, da ceotp+b, = o ist:
ne (4 —a)0o+(b,a —bı 64) cot?p
| 2[(ay —a,)c, tanp+ (bye, —bic,) coty]
(u —a)c etp+ba—bic
ee ern nn — 00820.
(a, —a,)c, tanp+ (db, —bic,) te 1“
‚ und dazu:
194)
Wir bestimmen mit Hilfe dieser allgemeinen Formeln nun spezielle
Fälle. Für jedes Triakisikosaeder ist d, —=0. Also wird dann:
Nova Acta LXXXVI. Nr. I. 33
298 Max Brückner,
MB; (a, —a, +5, cotg) cotp ap (a, —a,) cotp+b; Rn
2 (a, —a,)tanp-+ b; cotg] (a, —a,)tanp-+ by, eotp
Nun ist für die A. V. des Triakisikosaeders: a, — 32V, „, 3/23,
= BR Hiernach erhält man für s und ? durch Einsetzen die Werte:
s= el — a d.h. die Parameter eines besonderen 60-Ecks,
denn es ist 2=(4s—cot?g)cos?py. Für die Kanten dieses 60-Ecks hat man
die Proportion: A: — 1 u, — Wir untersuchen ferner die besondere
Varietät des Dyakishexekontaeders, für welche „sn, T=8—3/5 ist.
Die zur Verwendung kommenden Grössen a, b, c sind hier die folgenden:
j __.70— 31/5 N 39/5 — 85 1 __8V5—15 ’ 39/5 — 85 n __8V5—15
1777 10 Y 20 Ei 5 NPsilger, 10 a 10 ’
c _ 25—7V5, Ihre Einführung in die Formeln 194) gibt nach längerer
a 20 > g
Rechnung in der Tat: ee
von 6 und r.
Wir betrachten nun die Stephanoide Si, (@) der fünften Gruppe. In
der Fläche 41), der Fläche ı) des Einzelstephanoids entsprechend, entsteht die
Grenzfigur des Polyeders durch Schnitt mit den Flächen 71), 73), 77) und 79),
die der Reihe nach den Flächen 5), 3), 9), 7) des Einzelstephanoides zugeordnet
t— Ben d. h. die reziproken Werte
sind. Sie ergeben durch ihren Schnitt die folgenden Eeken erster Klasse
des 2.60-Eeks: 8 (41, 77, 79); 4 (41, 71, 73); 116 (41, 73, 79) und 114 (41, 71, 77).
Die Koordinaten der Ecke 4), aus den Gleichungen der Flächen 41), 71), 73)
nee, _ Eh 1 a ee
berechnet, sind: SI oe TE Er Nun hat 4) die
Koordinaten <= y,y=z,2—=z. Die Einführung von z;, 4, 5 in die
Formeln 89) ergibt, da stets ,+a; cotp= o ist:
m; (1 —b;)octp +55 +@
| 2[(a—b;) (a; +6)+bi5 + a,a;]'
2 blend er
(G—b)(; +5)+b5+ aa;
Wir wenden diese allgemeinen Formeln auf das Deltoidhexekontaeder
m ii T= le an. Hier sind die benötigten a, b, c: a, Be
195)
IE ——
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 299
59— 23/5 9V5— 14 31—5/5 N h
a re ein 1%, eye c,—2b, und es ergibt die
Rech : ala rt | \ EN
echnung: s — =, t=———, d.h. die A. V. des (12 + 20)-flächigen
an, 2V5—3
20.3-Ecks. Für das Dyakishexekontaeder « —
5V5—7
‚r=8-3j/5 sind die
Koöffizienten a,, b,, c, bereits oben angeschrieben. Die hier noch notwendigen
} Bir — 23/5 ; E
sind: ,— c,— Es b, — u, Man findet damit aus 195) wieder
die früheren Werte der Parameter s — FERN t—= ala, Es gilt nun
der Satz: Für das eben angeführte spezielle Dyakishexekontaeder haben
die beiden Stephanoidkombinationen der ersten und fünften Gruppe eine
gemeinsame umbeschriebene Kugel, d. h. es ist r? — 3? + 9? +22? — 2? + + 252.
Der Beweis hierfür ergibt sich durch Ausführung der Rechnung. Man findet
dy55 1/5+23)
m Nun ist d=aorcos?p
für den Radius dieser Kugel r —
a ALICE a Führt man diesen Wert ein, so ergibt sich r—ay11(@ 5 +1)
_evs+nyVı1
v3
von C, d.h. ein bestimmtes Dyakishexekontaeder dieser Varietät, die Ecken
Be
oder da San ist: r C. Es fallen also für jeden festen Wert
der beiden Gruppierungen von St, ($) zusammen. Für die Kanten des gemein-
samen Hüllpolyeders erhält man überdies die Proportion A, :Ay:%, —1:1: aa
6. Die zweite und vierte Gruppe der Stephanoide St, (%). Für
die zweite Gruppe wird die erste Fläche des Stephanoides in der Ebene 11)
des Dyakishexekontaeders durch die Ebenen 101), 103), 109), 107) des Kern-
polyeders erzeugt, wobei diese Flächen der Reihe nach den Flächen 5‘), 3), 7), 9)
des Einzelstephanoides St, () korrespondieren. Danach haben wir die
Ecken 34 (11, 101, 103), 38 (11, 107, 109), 84 (11, 101, 107) und 86 (11, 103, 109)
des 2.60-Ecks. Für die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebenen 11),
’ 1 i f _.d (9 —4,)c,d
101), 103) ergibt sich aus deren Gleichungen: x —= a (bean LÖSEN
Rn (;—a)b; d
ab)
hält man für s und i, mit Berücksichtigung von e,cotp+b, = o, die Werte:
38*
Da nun für die Ecke 34) x —2, y=2%, 2—=ys Ist, so _er-
300 Max Brückner,
(3 —a)0+(bi6; +0, b;) ot?
" — —a,)c, tan p + (b, c,+ c, b;) cotp]’
4, — a) ctpy+b,+cb;
(a; ae tan + (b, 6; + c, b,)cotp
196)
c0s?@.
Für die A. V. des Triakisikosaeders als Kern, ergeben sich, wie die
Rechnung ausweist, dieselben Werte von s und ? der Hülle, wie bei der
ersten Gruppe. Für die A. V. des Deltoidhexekontaeders als Kern erhält
man dieselben Werte s, t, die sich bei der dritten Gruppe einfinden werden.
Für die vierte Gruppe der Stephanoide St, () wird die erste Fläche
des ersten Stephanoids in der Ebene 31) des Dyakishexekontaeders durch
die Spuren der Ebenen 83), 81), 89), 87) erzeugt, die mit den Flächen 3%), 5%, 7), 9)
des Einzelstephanoids korrespondieren. Die Ecken dieser ersten Fläche im
Hüllpolyeder sind 14), 18), 104), 106), erzeugt durch den Schnitt der Flächen:
31), 81), 83); 31), 87), 89); 31), 81), 87) und 31), 87), 89). Für die Koordinaten der
Ecke 14) ergeben sich aus den Gleichungen der Ebenen 31), 81), 83) die Werte:
( d gi 4a —ay)d 5 b,(a—a,)d
a,’ u(am4+bb) " Ham + bb; b,)’
und d),+cecotp = 6 wird:
also da 2=y,, y—=2, 2 = Ist
(3 — a,)6 cot + Quycy +b,b,
197) |’ „ v la —a,) (bs +) ++ byb,]’
I, e=wWaotgtnatbb ang.
(3 —a;) (b, + %) + Qyc, + b2b;
Für die Varietät 6—- nv des Deltoidhexekontaeders ergibt sich
ein Polyeder, dessen Hülle die A. V. des 20.3-Ecks ist; für das Pentakis-
dodekaeder 6—5(/5—2) erhält man eine Gruppierung der St, () mit der
A. V. des 60-Ecks zur Hülle, wie hier durch Reehnung auf Grund der
Formeln 197) zu erhärten ist.
7. Die dritte Gruppe der Stephanoide $i,, (©) und die autopolare
Gruppierung. Die der Fläche ı) des Einzelstephanoids entsprechende
Fläche 21) des Dyakishexekontaeders bildet die Grenzfigur der Stephanoid-
gruppierung durch Schnitt mit den Ebenen 91), 93), 97), 99) und zwar ist
91)= 5‘), 93) = 3), 97) = 9), 99)= 7). Es werden die Ecken dieses Vierecks
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 301
im 2.60-Eck: 28 (21, 99, 97); 96 (21, 99, 93); 94 (21, 97, 91); 24 (21, 91, 93). Wir
bestimmen die Koordinaten der Ecke 24) aus den Gleichungen der Ebenen
“ 5 - l © (4 —M)d b, (sy —a,)d
21), 91), 93). Es ergibt sich: = ", „=?“ = DER nn
23199) 5 Ay u Q; (a, + byb,)’ ze Q,(a,% + b2b,) 2
für die Ecke 24) =, y—=a,, z— y, ist, so erhält man mit Berücksichtigung
von b+c,cotp=6 für das Hüllpolyeder die Parameter:
(4 —9)6 + (arc, + b,b,) eot?p
19% 2[(b2 + ©) (4 —@s) + a, + b>b,]
Sl —a)eotp+ayc, + byb, ne;
(db, + 6) (4a —a,) +94 + byb; ö
198)
Als speziellen Fall untersuchen wir zunächst das Pentakisdodekaeder
7—3V5
2
o=1, r=5(/5—2). Hier wird a, — a, — — ‚»—=b,=V5—2, 4, —=9—2V5 4.
N Fi
ee; 4/5+5 d.h
22 15
des 60-Ecks. Die nötigen Grössen a, b, e für die A. V. des Deltoidhexe-
Damit berechnet man: s . die Parameter der A.V.
|
Met FR
kontaeders sind a, — b, — Taralus & V—ı 4—=/)5—23, 4, — er, G=2a,.
2 2
V5+2
Damit erhält man aus 198) die Werte s— 1, 1= d.h. die reziproken
- b}
Werte von o und r des vorhergehenden Polyeders, wie früher angekündigt
worden war. — Wir suchen nun das autopolare Polyeder dieser dritten
Gruppe. Für dieses muss s= RN an a el = — 2 sein. Setzen
6 T cos? Teos?p +
[ a : E t z
wir zur Abkürzung in den allgemeinen Formeln 198) s—— — 7, »
2n’ cos?p n
16 ZU
—- —, woraus die Gleichung
sind die Bedingungen der Autopolarität ran
20—22'9®—0 folgt. Führt man die Koöäffizienten a, b, c als Funktionen
von o und # in z und +‘ ein, so werden diese:
= (@+3000p)+09%(1c0tg +3) 02 9e0tp-2H2eot?g+adtan?p+” (tanp-teotg);
2.9.2 2 209. %
kuss nn @+3c0tg) + (2 ++, cp Hang)", (Stan P—1)
+ z (tang + cotp);
und die Gleichung 20°—22'9— 0 lässt sich nach geeigneten Umformungen auf
die Gestalt bringen:
302. Max Brückner,
292
($—0) = (2+3 cotp)—0%#2(2 cotp +3) + 0?# cotp +29? (2 —tanp)— 0% tan?p
18
6?
Bw. (tanp + ent) —0.
Da +06 sein muss (denn es handelt sich um ein Dyakishexekon-
taeder und nicht Triakisikosaeder als Kern) so ist die Bedingung dafür,
dass 0, % zu einem autopolaren Polyeder Veranlassung geben, das Ver-
schwinden des zweiten Faktors, während zugleich die Relation besteht:
2 t 2
Be Eee)
en 5 2 c0t?p— 6
Wert von # in den gleich Null gesetzten obigen zweiten Faktor ein, so
Führt man diesen
erhält man schliesslich nach längerer Rechnung für o die Gleichung:
3cotp—4 5/5—11
ee re N unless
0?—6 3(3+ 4eotgp) 0 0°—6 4 0,
und daraus: :
o—= + 5W5ZD _ |,9453..
2
a
Aus der Gleichung 7 = ergibt sich dann:
ed
3+/5—6
T— r (2315—40+ V 10@3V5—49) — 1,2442...
Die Werte der Parameter s und ? des Hüllpolyeders dieser auto-
polaren Stephanoidgruppierung sind die reziproken der o und z, nämlich:
——— —
oVsv5—a— 10VE-D 545
ge 2V/ 54 A al 10y5 HD —AV5+5 _ 0,804... Dieses
5/5—11 5(5/5—11)
Polyeder ist die einzige autopolare Gruppierung von sechs Stephanoiden
St, () bezw. von zwölf Stephanoiden St; () im Dyakishexekontaedertypus. —
Damit sind die Gruppierungen von Stephanoiden dieses Typus, die dis-
kontinuierliche gleicheckig-gleichllächige Nullpolyeder darstellen, überhaupt
erschöpft. Es sei aber bereits hier bemerkt, dass noch drei Gruppierungen
von je fünf anderen kontinuierlichen Nullpolyedern, die je ein diskontinuier-
liches Nullpolyeder des Dyakishexekontaedertypus bilden, existieren, auf die
wir jedoch erst später zu sprechen kommen.
8. Die kontinuierlichen Nullpolyeder im Dyakishexekontaeder-
typus. Von den fünf hier zu beschreibenden kontinuierlichen Nullpolyedern
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 303
sind die vier ersten bereits von Hess beiläufig') angegeben, aber nicht näher
untersucht worden. Hier erscheinen sie als Grenzfälle der soeben be-
sprochenen Gruppierungen von Stephanoiden St, (). Die Punkte, in denen
die Kurven X, K;, K,, K,, K, (vergl. die vorige Nr. 3) die Pentakisdodekaeder-
gerade C, und die Triakisikosaedergerade C,. sowie die Deltoidhexekontaeder-
kurve C, schneiden, ergeben die Werte so und z der inneren Kerne dieser
vier Polyeder, deren begrenzende Flächen, sämtlich Sechseceke dritter Art,
ihre Ecken mit denen je zweier Flächen verschiedener Stephanoide gemein
haben, wie jetzt weiter ausgeführt wird.
e) Es sei für die erste und zweite Stephanoidgruppierung der Kern
die A. V. des Trikisikosaeders; (vergl. Fig. 1, Taf. 12). Die beiden ersten
Grenzflächen je eines Stephanoides der beiden Gruppen, die Vierecke ABCD
und EFDC, fallen in der Ebene ı) des Triakisikosaeders zusammen. In
dem Dreiecke CDM überdecken sich eine positive und negative Zelle beider
Grenzflächen, so dass dieses Dreieck den Koffizienten Null erhält und das
kontinuierliche Sechseck dritter Art ABCEFD entsteht, die Fläche eines
kontinuierlichen Polyeders, das von 60 solchen Flächen begrenzt wird. Da
je zwei kongruente Zellen dieses Sechsecks die Koeffizienten +1 und —1
besitzen, so ist sein Inhalt Null, womit der Inhalt des Gesamtpolyeders ver-
schwindet. Dieses Polyeder ist in Fig. 2 Taf. 27 dargestellt. Die Ecken
sind sechskantig von der sechsten Art. Analog der Entstehung der sechs-
kantigen Grenzfläche dritter Art aus zwei überschlagenen Vierecken zweiter
Art setzen sich auch zwei überschlagene vierkantige Ecken vierter Art
zweier Stephanoide zu einer sechskantigen Ecke sechster Art zusammen.
Die Art ist @—6, weil die Ecke bei Vertauschung der Innenseite mit der
Aussenseite in sich selbst übergeht. Den Querschnitt einer solchen Ecke
zeigt die der Fig. 1 Taf. 12 beigefügte Nebenfigur 1’. Die Buchstaben A,B',
ByB“,.... geben beim Vergleich mit der Figur der Grenzfläche des Polyeders
die Zusammensetzung der Ecke aus den Kantenwinkeln A, (B‘,B,,B").... der
Ecken der Grenzfläche an. — Da das Polyeder -— — 180 Kanten besitzt
und 180 überstumpfe Kantenwinkel (jede Fläche drei), so ist für die Art A
nach der Formel von Hess:?) 24 = 60.3 + 60.6— 180— 180 — 180, d. h. A=90,
!) Vergl. Marburger Berichte 1877, Nr. 1.
2) Dasselbe gilt für die drei folgenden Polyeder.
304 Max Brückner,
also auch 4'— 90. Die Hülle ist, wie aus Nr. 5 bekannt, das (12+20+30)-
flächige 60-Eck für s — 2 traum, de > #5 Wie aus der Figur der Grenz-
fläche ersichtlich ist, schneidet keine der Hauptachsen G eine der positiven
oder negativen Zellen der Fläche; es ist also das Gesamtpolyeder längs
dieser Achsen durchbohrt. Auch das Innere hat, samt dem gleichflächigen
Kerne (dem Triakisikosaeder) den Koöffizienten Null, sodass das Polyeder
hohl erscheint.
$) Ist für die vierte und fünfte Gruppe der St.($) der Kern die
11—3|/5 45—14\/5
TEEN
so ergibt sich das polarreziproke Polyeder zum vorigen, dessen Hülle also
die A. V. des (12+20)-Hlächigen 20.3-Ecks ist. Die vollständige Figur
dieses besonderen Deltoidhexekontaeders ist in Fig. 1 Taf. 16 dargestellt.
Die beiden hier in einer Ebene liegenden Flächen zweier Stephanoide sind
die Vierecke ABCD(A) und DEFA(D) mit der gemeinsamen Kante AD. Durch
Aufeinanderfallen dieser beiden Vierecke entsteht mit Tilgung der Strecke
AD das kontinuierliche Sechseck dritter Art ABCDEF(A), mit drei Paaren
zu je zwei kongruenten Zellen entgegengesetzten Vorzeichens, während die
beiden innersten deltoidförmigen Zellen den Koäffizienten Null besitzen. Da alle
Arten von Achsen @,C,B entweder das Innere oder wenigstens den Perimeter
besondere Varietät des Deltoidhexekontaeders für 6 —
’
der positiven und negativen Flächenzellen schneiden, so ist die äussere
Oberfläche des entstehenden Polyeders, das Fig. 5 Taf. 26 zeigt,') geschlossen.
Ein Vergleich der Figur der Grenzfläche (Fig. 1 Taf. 16) mit der ihr bei-
gegebenen Figur des Querschnittes der Ecke (s. Taf. 14), die wiederum
sechster Art ist. zeigt deren Bildung aus den Kantenwinkeln der Fläche.
y) Ist für die zweite und dritte Stephanoidgruppierung der Kern die
A. V. des Deltoidhexekontaeders, (vergl. Fig. 1 Taf. 17), so fallen die beiden
viereckigen Grenzflächen S, 8,8, 8, und 8,8,8,S; in der Ebene des Deltoid-
hexekontaeders zusammen, und bilden bei Tilgung der ihnen gemeinsamen
Kante S,S, das Sechseck dritter Art S, S,8, 8,8; 8, mit zwei Paaren entgegen-
1) Bei diesem kompliziertesten der hier besprochenen vier Polyeder wurde, da das
Modell in gleichem Massstabe wie die übrigen hergestellt werden sollte, und deshalb die
kleinsten Pappteile vernachlässigt werden mussten, nur Wert auf die Darstellung des Gesamt-
charakters gelegt; doch ist aus der vollständigen Figur der Fläche die Zuordnung der Haupt-
teile ersichtlich.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 305
gesetzt gleicher dreieckiger Zellen. Das von 60 solchen Flächen begrenzte
kontinuierliche Nullpolyeder zeigt Fig. 3 Taf. 27. Da die positiven bezw.
negativen Zellen mindestens auf ihren Kanten von sämtlichen Arten Achsen
des Typus getroffen werden, so ist die äussere Oberfläche des Polyeders
eine völlig geschlossene. Die Ecke ist übrigens von derselben Beschaffen-
heit wie die der vorher besprochenen Polyeder und ein Vergleich des bei-
gefügten Eckenschnittes (Fig. 1° Taf. 17) mit der Zeichnung der Fläche des
Polyeders gibt wiederum Aufschluss über die Anordnung der Kantenwinkel
der Fläche in einer Ecke des Polyeders, dessen äussere Hülle diejenige
Varietät des (12+20)-flächigen 12.5 Ecks ist, für welche neben s—=1
‚42 ist.
) Ist für die vierte und dritte Stephanoidgruppierung der Kern die
besondere Varietät des Pentakisdodekaeders 6 — 1, r—5(/5—2), so ergibt
sich das zum vorigen polarreziproke Polyeder, dessen Fläche in Fig. 1
Taf. 14 dargestellt ist. Die beiden überschlagenen viereckigen Grenzflächen
V,V;V;V, und V,V;V,V, der beiden Stephanoide erzeugen mit Tilgung der
ihnen gemeinsamen Kante V,V, das Sechseck dritter Art V,V;V,V,V;V,, dessen
beide innersten deltoidförmigen Zellen wieder den Koeffizienten Null haben,
während die übrigen Zellen paarweise kongruent und entgegengesetzten Vor-
zeichens sind. Die äussere Oberfläche des in Fig. 1 Tafel 27 dargestellten
kontinuierlichen Nullpolyeders ist aus dem schon wiederholt angeführten
Grunde geschlossen. Die äussere Hülle ist die A. V. des (12 + 20 -+ 30)-
flächigen 60-Ecks. Die sechskantige Ecke sechster Art ist im Ganzen
wiederum von demselben Typus wie die der drei vorhergehenden Polyeder,
nur ist die Lage der sechs Kantenwinkel im Raume eine etwas modifizierte,
wie die beigefügte Durchschnittsfigur erkennen lässt (vergl. Fig. 1° Taf. 14).
Hiermit sind die Stephanoidgruppierungen für spezielle Kerne und
Hüllen erledigt und es ergeben sich also aus ihnen nur die vier beschriebenen
kontinuierlichen Nullpolyeder vom Dyakishexekontaedertypus. Hierzu ist
aber noch ein autopolares Nullpolyeder anzuführen, das sich ergibt,
wenn die Stephanoide der ersten und fünften Gruppe denjenigen gemein-
samen inneren Kern besitzen, dessen Parameter o und r sich als Koordinaten
des Schnittpunktes der Kurven X, und X; ergaben, nämlich En
Nova Acta LXXXVI. Nr.1, 39
306 Max Brückner,
t—8-—3)/5. Die vollständige Figur dieses Dyakishexekontaeders zeigt die
Figur der Taf. 19. Die Grenzfläche des Stephanoides der ersten Gruppe
ist das Viereck ABCD, erzeugt durch die Spuren der Ebenen 111), 113), 119),117)
in der Ebene ı) des Kernkörpers. Die Fläche des Stephanoides der fünften
Gruppe ist das Viereck ABEF der Spuren der Ebenen 113), 99), 38), 64) in
der Zeichenebene. Wie. bereits erwiesen, besitzen diese beiden Stephanoid-
gruppierungen bei demselben Kerne eine gemeinsame umbeschriebene Kugel;
ihre Ecken fallen in den Ecken des gemeinsamen umhüllenden (12+20+30)-
flächigen 2.60-Ecks zusammen, und es liegen daher die Ecken A, B,C, D, E, F
der ebenen Figur auf einem Kreise. Dabei bilden die genannten beiden
Vierecke mit Tilgung der gemeinsamen Kante AB das kontinuierliche Sechseck
ADCBEF(A) mit den beiden überstumpfen Winkeln A und D. Nun sind
mit Berücksichtigung der Vorzeichen der Zellen die beiden Vierecke der
Stephanoide, ausgedrückt durch die entstehenden Zellen der Gesamtfigur
(Vergl. auch Fig. 7 Taf. 11).
ABOD=zatb+c+d—e=0,
ABCF= g+b+h—f—d= 0,
folglich ist ADCBEF = a+2b+c+g9+h—e—f=0;
d.h. das Sechseck besteht aus vier Zellen, zwei dreieckigen und zwei vier-
eckigen, mit dem Koöffizienten +1, einer viereckigen Zelle des Koeffizienten
+2, und einer dergleichen mit dem Koeffizienten —ı, während die drei-
eckige Zelle < den Koöäffizienten Null besitzt, denn sie gehört keiner der
ursprünglichen Stephanoidflächen an. Es ist also die Gesamtfläche vom
Inhalt Null, ohne dass hier noch, wie bisher bei allen Null-
polyedern, kongruente Zellen entgegengesetzten Vorzeichens
auftreten. Das von 120 solchen Sechsecken dritter Art!) begrenzte
Polyeder besitzt also in der Tat den Inhalt Null. — Wir betrachten nun
weiter die Ecken dieses in Fig. 5 Taf. 29 dargestellten kontinuierlichen
Polyeders.’) Eine solche sechskantige Ecke hat den in Fig. 8 Taf. 11 an-
1) Vergl. V. u. V. Tafel I, die vierte Figur VIs,;.
2) Wie sich aus der Figur der Grenzfläche ablesen lässt, besteht die äussere ge-
schlossene Oberfläche dieses Polyeders aus 120.26 — 3120 einfach zusammenhängenden
Flächenstücken, dürfte also wohl den kompliziertesten aller bisher beschriebenen Körper
begrenzen. In der vollständigen Figur Taf. 19 sind auch hier die nicht nötigen Ebenen-
spuren weggelassen.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 307
gedeuteten irregulären Querschnitt, wobei die 2.60 Feken in zwei Gruppen
von je 60, rechten und linken, zerfallen. Ein Vergleich dieses Ecken-
schnittes mit der Figur der Grenzfläche (Fig. 7 Taf. 11) zeigt die Bildung
der Ecke durch die einzelnen Kantenwinkel der Fläche. Der Querschnitt
der Ecke des Stephanoides der ersten Gruppe für sich allein ist das Vier-
eck MNOP, der der Ecke des Stephanoides der fünften Gruppe ist das
Viereck PQRS. Dabei liegt der Kantenwinkel PO der ersten Ecke in der-
selben Ebene mit dem Kantenwinkel PQ der zweiten Eeke. Durch Tilgung
eines Teiles des Kantenwinkels PM, nämlich des Winkels PS, ergibt sich
die sechskantige Ecke MNOQRS, und die an der Ecke teilhabenden
Kantenwinkel tragen nun dieselbe Benennung a, c, g... wie in der Flächen-
figur. Der Kantenwinkel der Ecke D der Fläche wird in die beiden Teile
e und e“ zerlegt, die mit verschiedenen Seiten der Aussenseite der Ecke
angehören. Dasselbe gilt für die Teile % und A“ des Kantenwinkels % in
der Ecke F der Fläche. Der getilgte Winkel PS der Ecke entspricht dem
getilgten Teile d der Fläche in der Ecke B. Es besitzt, wie die Figur
zeigt, die Ecke des Polyeders drei einspringende und drei ausspringende
Flächenwinkel, nämlich die drei überstumpfen Flächenwinkel in 0, @ und 8.
Von den Kantenwinkeln einer Ecke sind zwei überstumpf, nämlich die beiden
Winkel 0Q=n+f und ON=&®+.e“ Die Art der Ecke ist «a=5. Es ist
;: 120.
also für das Polyeder 8a —= 120.3, Sa — 120.5, £2—=120.2 und K= 2300,
somit 24 = 120.3+120.5—120.2— 120.3—=3.120, d.h. A= 180. Vertauscht
man die Innenseite des Polyeders mit der Aussenseite,') so ist «—=3, « —17,
> — 120.4, da jede Fläche jetzt vier überstumpfe Winkel hat; und da
K'—=K=—360 verbleibt, so ist 24’ = 120.3+120.7— 120.4— 120.3 —= 3.120,
d.h. 4=4-8, Der Inhalt des Polyeders ist also wiederum Null, aber
die Grenzfläche besitzt bei verschwindendem Inhalte nur eine positive Zelle,
dafür aber auch eine Zelle mit dem Koäffizienten —2. Während bei dem
ursprünglichen Polyeder (vergl. den Querschnitt der Ecke) die Zelle NMSR..
der Eeke positiv, die andere 0Q.. negativ war, tritt bei Änderung der
Färbung des Polyeders das Gegenteil ein. Verfolgen wir dies beim ur-
I) Das umgefärbte Polyeder bietet hier einen anderen Anblick dar, wie vorher,
wovon man sich durch die zweimalige Ausführung am Modell leicht überzeugt. Bei den
39*
308 Max Brückner,
sprünglichen Polyeder noch genauer. Von der Fläche des Polyeders, wie
sie gezeichnet vorliegt, nehmen ausgemachtermassen die senkrecht schraffierten
Teile mit ihrer Oberseite, die wagrecht schraffierten mit ihrer Unterseite
an der Aussenfläche des Polyeders teil. Es ist also a, c, g, )‘ aussen positiv;
h“ nimmt mit der Unterseite an der äusseren Oberfläche teil, ist also aussen
negativ, wie denn in der Tat der Kantenwinkel A“ zur negativen Zelle der
Ecke gehört. f und 7 nehmen mit der Oberseite der Fläche — die aber
negativ ist — an der Aussenseite der Polyederoberfläche teil und bilden mit
&, dessen obere Seite ebenfalls negativ ist, die negative Zelle der Ecke.
e“ ist oben negativ, nimmt aber mit der unteren positiven Seite am Aufbau
der Ecke teil und gehört. wie die Figur der Ecke zeigt, zur äusseren Fläche
von deren positiver Zelle. — Es ist selbstverständlich, dass die Hülle dieses
autopolaren Polyeders, das (12+20+30)-flächige 2.60-Eck für s— u L
[5 : -
t— En >, polarreziprok dem inneren Kern ist. Für die Kanten der Hülle
war bereits die Proportion %,:%,:%,—=1:1 ne abgeleitet.
Es hat keinerlei wesentliche Schwierigkeit, für die fünf beschriebenen
Nullpolyeder die Längen der verschiedenen Kanten der Grenzfläche, ihre
Winkel u. s. w. zu berechnen, nachdem die Koordinaten der Ecken gefunden
sind. Die Endresultate sind aber bei ihrer verhältnismässigen Kompliziertheit
von geringem Interesse. Wir geben vielmehr zum Schlusse noch für jedes
der fünf Polyeder die Ecken des betreffenden gleicheckigen Hüllpolyeders
an, die der ersten Fläche des Polyeders zugehören, wodurch die Lage der
Grenzfläche innerhalb des Hüllpolyeders deutlicher wird. «) Orientieren wir
das gleicheckige (12+20+30)-tlächige 60-Eck so im Raume, dass die Achse
G, senkrecht nach oben verläuft, die Achse C, in der Symmetrieebene nach
vorn, so sind die Ecken der ersten Fläche des unter «) angeführten. Null-
polyeders, d.h. der in der Zeichenebene ı) des Triakisikosaeders liegenden
Fläche, die Ecken 16), 43), 22), 30), 7), 40) des 60-Ecks, der Reihenfolge nach
den Ecken A, B, C, E, F, D der Grenzfläche korrespondierend. 3) Verläuft
die Achse C; des (12+20)-Hächigen 20.3-Ecks im Raume senkrecht nach
sonstigen Modellen der Nullpolyeder erhält man wegen der Umkehrbarkeit der Ecken immer
dasselbe Gesamtbild der Polyeder.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 309
oben, die Achse G, in der Symmetrieebene nach vorn, so sind die Ecken
der ersten Fläche des Nullpolyeders 3), d. h. der in der Fläche ı) des
Deltoidhexekontaeders liegenden Grenzfläche des Polyeders, die Ecken 22),
53), 17), 49), 26), 12) des 20.3-Ecks, entsprechend den Ecken A, B, 0, D, E, F
in der Fig. 1 Taf. 16. y) Orientiert man das (12 + 20)-flächige 12.5-Eck
im Raume derart, dass die Achse C; senkrecht nach oben, die benachbarte
Achse G, in der Symmetrieebene nach vorn verläuft, so sind die Eeken
der ersten Fläche des Nullpolyeders y), d.h. die Ecken $,, 5, $, S, S;, 8;
der Grenzfläche in Fig. 1 Taf. 17 die Ecken 49), 5), 23), 48), 4), 24) des um-
hüllenden 12.5-Ecks. 6) Es liege das (12+20+30)-flächige 60-Eck im
Raume so, dass die Achse B, senkrecht nach oben verläuft, die benachbarte
Achse G, in der Symmetrieebene nach vorn. Dann sind die Ecken
Vı,P2, P3, Vu 5, V, der Fläche ı) des Nullpolyeders in Fig. 1 Taf. 14 die
Ecken 41), 17), 24), 44), 22), 30) des 60-Ecks. — Die Fläche des zuletzt be- |
schriebenen autopolaren Nullpolyeders ADCBEF in der Ebene ı) des Dyakis-
hexekontaeders endlich besitzt die Eeken 44), 74), 48), 76), 35), 67) des (12+20-+30)-
flächigen 2.60-Ecks, wobei dieses gleich dem inneren Kerne mit der G,-achse
senkrecht nach oben, mit der Achse B, nach vorn auf den Beschauer zu
orientiert ist. — Schliesslich haben wir noch die folgende Bemerkung zu-
zufügen. Man könnte wohl versucht sein (wir verweisen hierzu auf Fig. 3
Taf. 12), ebenso wie für den gemeinsamen Punkt der Kurven X, und K,, so
etwa für den Schnittpunkt von X, und X, u. s. w. die betreffenden Polyeder
zu untersuchen. Es ist aber ausgeschlossen, dass sich hier ähnliche Ver-
hältnisse wiederholen, die auf neue Polyeder führen. Denn bezeichnen wir
die Koordinaten dieses Schnittpunktes von X, und X, mit 0, r‘, die dazu-
gehörigen Polyeder kurz mit P,(o‘) und P,(0), so ist das zu P,(o‘) reziproke
Polyeder ein P, auf dem zwischen z und dem Triakontaederpunkte gelegenen
Teile der Kurve X,, nach der früheren Betrachtung über die Reziprozität;
dagegen das zu P,(c‘) reziproke Polyeder ein P, auf der Kurve X. Diese
P, und P, gehören aber zu gänzlich verschiedenen Werten von o und r,
also besitzen die ursprünglichen Polyeder P, (6) und P,(s‘) Hüllpolyeder mit
verschiedenen Parametern s und £,w.z. b. w. Analoge Betrachtungen lassen
sich für die übrigen Schnittpunkte der Kurven X anstellen. — Über weitere
kontinuierliche gleicheckig-gleichflächige Nullpolyeder vergl. die Ergänzungen
zu diesem $ am Ende der Abhandlung.
310 Max Brückner,
$ 5. Die kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder erster Klasse,
die diskontinuierliehen nichtkonvexen Polyeder
erster und zweiter Klasse, sowie die Möbiusschen Polyeder
im Dyakishexekontaedertypus.
1. Die kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder erster Klasse.
Die nichtkonvexen Polyeder erster Klasse des Dyakishexekontaedertypus haben
sich ebenso wie die bezüglichen Polyeder des Hexakisoktaedertypus bei
Untersuchung der vollständigen Figuren der Kerne ergeben, die für die
Gruppierungen der Sphenoide und Stephanoide in Frage kamen. Es sind
im Ganzen fünf solcher Polyeder gefunden worden, von denen drei auto-
polar, die beiden letzten einander polarreziprok zugeordnet sind. Die unter
a) und db) hier angeführten autopolaren Polyeder sind die von Hess!) bereits
beschriebenen, die übrigen sind neu.
a) Das 12(10),-eckige 12(10),-Flach der 18. Art’) ist seiner
äusseren Oberfläche nach vollkommen identisch mit dem Poinsotschen
zwölfflächigen Sternzwölfecke der dritten Art. Die Fläche ist das Zehneck
ABEADECDBC(A) in der vollständigen Figur des Dodekaeders, Fig. 7
Taf. 10. Seine fünf kürzeren Kanten kehren dem Mittelpunkte die Innen-
seite, seine fünf längeren Kanten ihm ihre Aussenseite zu, wonach die
innerste Zelle, eine Fläche des Dodekaeders, den Koäffizienten —ı hat,
während die an sie grenzenden gleichschenklig-dreieckigen Zellen den
Koöffizienten Null, die fünf äussersten Zellen den Koeffizienten +1 besitzen.
Die zehn Ecken der Fläche fallen zu je zwei zusammen, so dass also
immer je zwei Kantenwinkel in einer Ebene liegen. Die Fläche hat die
Art a=4.”) In jeder (5+5)-kantigen Ecke der vierten Art des nichtkonvexen
Polyeders liegen fünf solcher Flächen. Der sphärische Schnitt der Ecke
bietet den Anblick eines Sternfünfecks ohne die fünf den inneren Kern be-
srenzenden Strecken. Die Art des Polyeders ergibt sich zu A= 18 aus der
!) Hess, Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder, Cassel 1876,
S. 34 und nochmals: Marb. Berichte 1877 Nr. 1 8.7. Die Angaben der Zellenkoäffizienten
sind an beiden Stellen irrtümlich. (Ebenso V.u.V. S. 215.)
2) Vergl. die Abbildung des Modelles in V.u. V. Taf. IX Fig. 7.
3) Vergl. V.u.V. Taf. I Fig. 16.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 311
Gleichung 24 = 12.4+12.4—60, da überstumpfe Kantenwinkel nicht vor-
handen sind. Merkwürdig ist der Aufbau des Gesamtpolyeders. Es be-
steht nur aus zwei einfach zusammenhängenden Oberflächen, nämlich der
äusseren Oberfläche des Polyeders, die sich aus 20.3 gleichschenkligen
Dreiecken zusammensetzt (den äusseren Zellen der zehneckigen Grenz-
flächen) und aussen positiv ist, sowie der Oberfläche des inneren Dode-
kaeders, die aussen negativ ist. Dieses innere Dodekaeder hat nur die
Eekpunkte mit Punkten der äusseren Oberfläche gemein, in denen je drei
der obengenannten Dreiecke aneinander stossen. Es besitzt dann der ge-
samte Innenraum zwischen den beiden Oberflächen den Koäffizienten 1,
während die innerste Zelle, das Dodekaeder, den Koäffizienten Null hat.
Vertauscht man die Färbung, so ist die ganze äussere Oberfläche des
Polyeders negativ (—1), das Dodekaeder aussen positiv (+1). Der
zwischen beiden befindliche Raum hat den Koäffizienten —ı, während das
Innere des Dodekaeders wieder Null ist. Die Art des Polyeders ist in
diesem Falle 4'—= 42; denn es ist 24'— 12.6 +12.16—12.10— 60, weil die
Fläche nun bei entgegengesetzter Schraffierung zehn überstumpfe Kanten-
winkel besitzt. Es ist also A-+4'—=K. Das Polyeder ist autopolar.
b) Das 206),-eckige 20()-Flach der 10. Art.‘) Die Fläche
dieses nichtkonvexen Polyeders erster Klasse ist das Sechseck zweiter
Art 0,0,0,C,C,C,, in der vollständigen Figur des Ikosaeders (Fig. 6 Taf. 8).
Die innerste Zelle, eine. Fläche: des ikosaedrischen Kernes, hat den
Koeffizienten —ı, die drei äusseren den Koäffizienten +1. Die Ecken des
Polyeders sind sechskantig zweiter Art, mit drei ausspringenden und drei
einspringenden Flächenwinkeln. Jeder der drei Doppelpunkte einer Grenz-
fläche (in Fig. 6 Taf. 8 die Punkte G,, G,, G,) gehört nebst dem Ikosaeder
als Ecke zugleich fünf Grenzflächen an, die in den Ebenen der fünf Flächen
der Ikosaederecke liegen. Das Gesamtpolyeder besitzt wiederum nur zwei
Zellen. Die äussere Oberfläche des Polyeders, aus 12.5 Dreiecken der
Art C,C;G, bestehend, ist positiv; die Oberfläche der inneren Zelle, des
Ikosaeders, aussen negativ. Diese beiden einfach zusammenhängenden
geschlossenen Flächen haben die zwölf Ecken G des Ikosaeders als Einzel-
1) In anderer Auffassung oft als „Keilikosaeder“ beschrieben. Vergl. die Abbildung
des Modelles V. u. V. Taf. VIII Fig. 26.
ala Max Brückner,
punkte gemein, und der zwischen ihnen liegende Raum hat den Koöffizienten
+1, während das Innere des Ikosaeders den Koöffizienten Null hat. Für
dieses autopolare Polyeder ist 24 = 20.2+20.2—60, A—= 10, also 4'—= 50.
ec) Das 12.5(6),-eckige 60(6),-Flach der 120. Art. Die Fläche
dieses kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeders erster Klasse ist in der
vollständigen Figur der besonderen Varietät eines Pentakisdodekaeders ent-
+5 ;
halten, für welche neben o—=1, r— aV5+5 ist, eine Varietät, die wir schon
11
bei den quadratischen Sphenoiden anzuführen Gelegenheit hatten. Vergl.
Fig. 1 Taf. 13. Die Grenzfläche des Polyeders ist das nichtkonvexe kon-
tinuierliche Sechseck dritter Art ABCDEF mit zwei überstumpfen Winkeln
in E und F (vergl. auch Fig. 1° Taf. 13). Von den Flächenzellen hat die
eine fünfkantige den Koeffizienten +2, die angrenzenden fünf dreikantigen
Zellen haben die Koeffizienten +1, während die Zelle mit der Kante EF
den Koeffizienten —ı besitzt. Von den sechs Kanten der Fläche kehrt nur
die Kante EF dem Mittelpunkt ihre, Aussenseite zu. Das autopolare
Polyeder, das von 60 solchen Flächen begrenzt wird, ist auf Taf. 25 in
Fig. 3 dargestellt. Das äussere Hüllpolyeder ist also diejenige Varietät
4/5—5
5
die Hülle ist reziprok dem inneren Kern. Jede der 60 kongruenten sechs-
ist, denn
eines (12+20)-flächigen 12.5-Ecks, für welche s= 1, t—=
kantigen Feken des Polyeders — einen Querschnitt zeigt Fig. 1? Taf. 13 —
besitzt zwei überstumpfe Kantenwinkel, #7=E,yd6=F, und vier über-
stumpfe Flächenwinkel 8, y, d, z. Dabei ist die Bildung der Ecke durch
die Zellen der Fläche die folgende: «aß = D'’+ N", Be=E, yd=F, de = A"+A\,
s&=B,ta=(. Die Art der Ecke ist «&—=6. Es gilt also für die Art A
des Polyeders, da &x — 60.2, K= 60.3 ist, die Gleichung:
2A = 60.3 + 60.6— 60.2 — 60.3,
d.h. es it A=120. Für das Verhältnis der Kanten des Hüllpolyeders
fand man: %,:k, — 1:0. Die beiden Grenzflächen des Polyeders, deren
Kante EF mit der Kante ı,2 des Hüllpolyeders zusammenfällt, sind aus-
gedrückt durch die Eekenzahlen des Hüllpolyeders: 1), 2), 41), 32), 31), 42)
und 1), 2), 40), 30), 29), 39), (vergl. Fig. 1° Taf. 13), womit die Lage einer
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niehtkonvexen Polyeder. 313
solchen Grenzfläche im Hüllpolyeder sofort zu übersehen ist. Die Längen
der Kanten der Fläche sind leicht zu berechnen, wenn die Eckkoordinaten
des Hüllpolyeders bestimmt sind. Es ist übrigens mit Berücksichtigung der
Figur der Grenzfläche: AB—=CD, AF—=DE, EF—k, und im Hüllpolyeder
AB= 30,40; AF=1,39; BC—= 29,30; EF= 1,2.
d) Das 120@8),-eckige 30(12),-Flach der 75. Art. Die Fläche
dieses nichtkonvexen Polyeders erster Klasse ist das Zwölfeck PA P,P;.. Pı Ps
in der vollständigen Figur des Triakontaeders (Fig. 5 Taf. 14). Die innerste
Zelle dieses Zwölfecks hat, wenn man die Fläche unabhängig vom Polyeder
betrachtet, den Koeffizienten +3, die daran grenzenden Zellen nach aussen
zu fallend +2 und +1, während die äussersten vier dreieckigen Zellen die
Koäffizienten —ı besitzen. Das Zwölfeck hat acht überstumpfe Winkel
und ist von der Art a—=7 (siehe später). Das von 30 solchen Flächen be-
srenzte Polyeder zeigt Fig. 11 Taf. 26. Die äussere Hülle ist ein (12+20+30)-
flächiges 2.60 Eck und zwar sind die Ecken P,P,P;..Pı,P, der in der
Ebene 1) des Triakontaeders liegenden ersten Fläche die folgenden Ecken
desnsfenseckası Pre Wil Pr =67, PR=50, P= 52,'P, = 64 Pas Br,
P,=24 PR =33, Pu=38 Pı=27, Pı=75, so dass die Fläche 1) im 2.60-
Eck nach den Ecken lautet: 15, 67, 59, 52, 64, 16, 76, 24, 33, 38, 27, 75. Die Ecke
P,=33 ist nun der Schnitt der Flächen ı), 15), 27) des Triakontaeders, deren
Gleichungen
(1) a2-—d = 0, (15) C y—d —0: (27) 4,0% + ba y— 32 —d — 0
sind, wobei cı —tang, a, — -_ b,— "Po — 2 ist. Man findet für die Ko-
; STE | 1 — by +6;
ordinaten des Schnittpunktes 2 — = U = | it au
1 1 Ulah
Ecke 33) = 2, y—=z, 2—= y ist, so ergibt sich: u = =deotyp, 2 —3d eotg,
und damit folgt für die Parameter s und ? des Hüllpolyeders nach den
Formeln 83):
a für die
_ _2eot?p __5V5+?7.
rote 1 Ra
© x /5
ce 1+3 cotp a 3) BrB
4cotp—1 19
Für die Kanten dieses schon früher aufgetretenen Hüllpolyeders ergab
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. i 40
314 Max Brückner,
sich die Proportin A: hy: —=1:1: neh Für den Radius r des um-
beschriebenen Kreises der ersten Grenzfläche (die parallel der zy-ebene liegt)
erhält man aus ?—=22+y?—z23+2% den Wert »—deotpy/ıo. Für den
Radius der umbeschriebenen Kugel findet man R— deoty./11. Besonders
einfach berechnen sich für diesen Körper die Kanten der Grenzfläche, sowie
ihre Winkel. Für letztere z. B. findet man!) direkt durch Betrachtung der
Fig. 5 Taf. 14, wenn d, und d, die kleine und grosse Diagonale der Fläche
des Triakontaeders bezeichnet, da < P, PB = GC, =w und < Pu Pı Pa
—=0%0 eu) ist,
tan u —= > —— V zu:
— c0tg,
d.h. zu = 90°— 9 = 580 16'57,"1.
uw“ __ da
We — ee t
Eule A cotgp,
d.h. «' —= 29 — 63°26'5,8“. Sonach sind die überstumpfen Winkel der Grenz-
fläche: —3. Das von 30 solchen
genommenen Sinne des Perimeters a —
Flächen begrenzte Polyeder zeigt Fig. 12 Taf. 24. Berechnet man die
Koordinaten des Schnittpunktes der Ebenen der Flächen 1), 14), 10) des
Triakontaeders, d. h. die Koordinaten der Ecke M- der ersten Fläche, so
d + —a
ereibt sich z = 2 —= Tr en d, oder mit Einsetzung der Werte a,b, c
t 2
für das Triakontaeder als Funktionen von 9: 2 —=z—=deoty, y— dtan?g.
Wie aus der vollständigen Figur ersichtlich ist, gehen durch jeden Punkt 7
neben der Ebene 1) noch drei Ebenen des Triakontaeders; die Ecken des
entstehenden Polyeders sind überschlagene vierkantige der vierten Art, da
jede Ecke zwei überstumpfe Kantenwinkel haben muss, weil sie von den
abwechselnden Kanten M, 7, = M,M, und M,M,; gebildet wird. Das Polyeder
. .8 . e
besitzt = -—60 Solche Ecken. Nun sind M, und M, wegen ihrer Lage
gegen G, die Ecken einer fünfkantigen Grenzfläche des Hüllpolyeders; M,
und M, aber zugleich die einer sechskantigen Grenzfläche, wie ihre Lage
gegen den Achsenpunkt C, erkennen lässt. Da aber MM, am Polyeder
mit M,M, identisch ist, so ist das Hüllpolyeder ein (12 +20)-flächiges 12.5-
Eck.'") — Es ist nun die Ecke M;, wenn man das 12.5-Eck nach seinen
Achsen in gleicher Weise wie das Triakontaeder orientiert, die Ecke 10)
des Hüllpolyeders, d. h. die aus den Ecken 12) und 13) eines 2.60-Ecks
resultierende Ecke des 12.5-Ecks. Demnach ist x; = 2; — deotp, 9 — dtan?p
und aus den Formeln 85) berechnet man für die Parameter s und t dann:
B) 5, £ Ä 3 i
1, t— 1209 29 — 2/5, Für die Kanten dieses bereits be-
2 + cotp 5
sprochenen 12.5-Ecks hatte man die Proportion %,:%, — AT Nun
grenzt die erste Fläche MM,...M, des Polyeders mit der Kante M,M, an
!) In analoger Weise kann man für sämtliche Polyeder aus der vollständigen Figur
der Grenzfläche bei einiger Überlegung die Beschaffenheit der Hülle erschliessen.
41*
324 Max Brückner,
die Kante M,M, einer Nachbarfläche, d. h. eine negative Flächenzelle an
eine positive, wonach sich das Polyeder sofort als einseitig erweist. Die
Berechnung der Kanten der Grenzfläche, des Radius des umbeschriebenen
Kreises, sowie des Radius der umbeschriebenen Kugel des Polyeders ist
hier eine sehr einfache, da die «- und y-koordinaten der Punkte M,,M,
und M, bekannt sind, nämlich 4; @ = x, y=y), M @—=yy, y—=%) und
M;k@=—-%,y=y) Es ist
M; M; = 22, — 2deotp = d(V5 +1);
M, M; — \/(@& + 93)?+ (&—y39)? — V2(&?+ 93?) — dV/ 2(cot?p + tan ty)
— ay3.\/ 5—V5 — 2dsinp VB.
Demnach ist der Radius des umbeschriebenen Kreises der Grenzfläche:
r—= Var ty: = /5—V5, und der Radius der umbeschriebenen Kugel des
Polyeders: R — Y23?+ y3?+ 23? = d/2cot?p-+tanıp—d ze Für die Unter-
suchung des reziproken Polyeders sei bemerkt, dass die Ecke ı) des
Polyeders, d.h. die Ecke ı) des umhüllenden 12.5-Ecks die Kanten nach
den Ecken 3), 15), 6), 18) besitzt.
ß) Das zweite Möbiussche Polyeder hat zur Grenzfläche das Achteck
0, 0,.... 0; in der vollständigen Figur des Triakontaeders (Fig. 3, Taf. 17)
mit lauter positiven Zellen, wobei aber die zwei Kanten 0,0, und 0,0;
dem Mittelpunkte jetzt die Aussenseite zuwenden. Die Winkelsumme ist
4p+4(R—g)—= 2x7, also hat man für die Art a des Achtecks, das keine
überstumpfen Kantenwinkel besitzt =. — 3. Das von 30 solchen Acht-
ecken begrenzte Polyeder ist in Fig. 10 Taf. 24 dargestellt. Die Ecke 0,
des Polygons, gebildet von den Ebenen ı), 15), 23) des 'Triakontaeders ist
die Ecke 18) eines (12+20)-flächigen 12.5-Ecks, d. h. die Eeke 23) = 33) eines
2.60-Ecks, wie man in gleicher Weise wie unter «) ableitet. Aus den
Gleichungen 1) 42—d=0, 15) 4y—d=0, 3) ya +03y—y2—d—0 folgt:
a—ata gang 4 g,5+V5
c by tandp Der
hält also für die Parameter s und t der Hülle des Polyeders aus den
d
in iwin deotp; 2 — d ‚ und man er-
> ENTE en)
Gleichungen 87) die Werte: s—1, a nl co82p
coLp
besondere (12+20)-Hächige 12.5-Eek ist bereits aufgetreten. Die Ecken
IE *
— ur 5 Auch dieses
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 325
des Polyeders $) sind wiederum vierkantige überschlagene, (für sich betrachtet
sind sie übrigens nicht von der vierten, sondern von der zweiten Art, denn
es treten keine überstumpfen Kantenwinkel auf) und zwar ist die Ecke ı)
durch Kanten mit den Ecken 26), 43), 27), 46) des 12.5-Eeks verbunden. Ist
« 8 y d der vierkantige sphärische Querschnitt einer Ecke, e dessen Doppel-
punkt, so sind die Kantenwinkel der Ecke ausgedrückt durch die Winkel
des Polygons (Vergl. Fig. 3 Taf. 17): «® = 0, Bey — 0, rd = 0 dea — 0,
und es sind 0, und O, aussen positiv, ebenso die Teile de und ße von O;
und O,, während die Teile ex und ey von O, und O0, aussen negativ sind.
Über die Kanten « und y der Eeken geht man also auf der Aussenseite des
Polyeders aus einer positiven in eine negative Flächenzelle über, wonach
das Polyeder sich als einseitig erweist.
Bezeichnen wir die Koordinaten von O0, mit 2=«, y=y‘, («= 2‘),
so besitzen die übrigen zur Berechnung der Kantenlängen der Grenzfläche
nötigen Ecken die Koordinaten: O,(& = —y‘, y — x), O,(e = —x', y=y). Es
sind also die beiden verschiedenen Kanten des Polygons:
0,0, = 22" —(5+Y5)d, 0,0, = Ya +y)?+ @—y)? = V2@?+y),
also da x? — 5d2cot?p Ist, 0,0, — 2deotp.)/3 — d(/5-+1)y3. Für den Radius
des umbeschriebenen Kreises erhält man » —yx'?+y'"? — deotp.y6 und für
den Radius der umbeschriebenen Kugel des Polyeders:
R=yYa?+y?-+ 2? —= deotp.\/7.
7) Das dritte Möbiussche Polyeder hat das Achteck 8,828; ....8, in
der vollständigen Figur des Triakontaeders zur Grenzfläche (vergl. Fig. 5
Taf. 17). Die Art dieser Fläche ist wieder a—3. Wie die Lage der Ecken
S, und S; gegen den Achsenpunkt @, anzeigt, ist die Strecke 8,8; die Kante
eines Fünfecks des Hüllpolyeders. Die Lage von S, und $, gegen (; lässt
erkennen, dass 8,5, die Kante eines Dreiecks ist, d. h. die Hülle des
Polyeders muss ein (12+20+30)-flächiges 60-Eck sein. Eine genauere Be-
trachtung ergibt, dass die von den Flächen 1), 15), 26) des Triakontaeders
gebildete Ecke S;, die im ersten Oktanten liegt, die Ecke 16) des 60- Ecks
ist, d.h. die aus den Eeken 43) und 33) des 2.60 Eceks durch Zusammen-
fallen sich ergebende Ecke des 60-Ecks. Aus den Gleichungen 1) 42—d = 0,
326 Max Brückner,
15) ay—d = 0, 236) a&—byy— 2 —d = 0 ergibt sich nun: y=2 — — deotg,
1
gen +b+0%
94
so erhält man für die Parameter s und # des Hüllpolyeders aus den Formeln 81):
d=(2+3coty)d. Da für die Ecke 43) = 2, y—2,2=yı ist,
__ 2tanp+3 5/5+9 ,_ 3eotpeos?p 3(4/5 +5)
Tetprs TI N T) eds 5)
d. h. die Hülle dieses dritten Möbiusschen Polyeders, das in Fig 11 Taf. 24
dargestellt ist, ist die A. V. des (12+20+30)-flächigen 60-Ecks. Die Ecke ı)
des Polyeders bezw. 60-Ecks besitzt die Kanten nach den Ecken 25), 55), 29), 52).
Wie für das vorige Polyeder wird auch hier die Einseitigkeit erschlossen.
Bezeichnet man die Koordinaten der Ecke $, mit 2x, y—y'\, (= 2) so
sind die zur weiteren Berechnung der Kanten usw. benötigten Ecken:
S,(2 = y', y— —x), S, (ae = —x‘, y—y'), und die beiden verschiedenen Kanten
des Polygons sind:
5,8, — 22' — 2(2+3cotyp)d = (7+3\/5).d,
5% — Va —y®+@ ty)? — V2@*+y) = d|/50+22/>.
Für den Radius des umbeschriebenen Kreises der Grenzfläche ergibt
sich » — al/2s+11V3, und für den Radius der umbeschriebenen Kugel des
Polyeders: R — a/ le
Die folgenden, zu den beschriebenen drei Polyedern a), 8), 7) reziproken
Möbiusschen Polyeder «‘), 3), y'), besitzen nun sämtlich als äussere Hülle das
Triakontagon. «‘) Das erste Polyeder hat zum Kern dasjenige Pentakis-
dodekaeder, für welches x — 5(/5—2) ist. Seine Grenzfläche ist in der voll-
ständigen Fig. 1 Taf. 14 dieses gleichflächigen Polyeders gemäss «) das
überschlagene Viereck, das von den Spuren 3), 15), 6), 18) erzeugt wird, d.h.
das durch die Achsenpunkte B,B,B,B, gebildete Viereck, wie es in Fig. 5
Taf. 10 für sich dargestellt ist. Das von 60 solchen Flächen begrenzte
einseitige Polyeder zeigt Fig. 9 Taf. 25. Jede der 30 achtkantigen Ecken,
deren sphärischen Querschnitt Fig. 6 Taf. 14 andeutet, besitzt zwei über-
stumpfe Flächenwinkel (weil zwei Kanten der Fläche des reziproken Polyeders
die nichtschraffierte Seite dem Mittelpunkte der Fläche zuwenden), wenn man
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierliehen und nichtkonvexen Polyeder. 327
die Eeke zunächst als solche eines zweiseitigen Polyeders auffassen wollte,
und die erste Ecke des Polyeders sendet ihre Kanten nach den Ecken
12), 16), 13), 17), 10), 14), 11), 15) des Triakontagons. Nun ist es an sich klar,
dass das Polyeder einseitig sein muss, da polarreziproke Vielflache stets
zugleich einseitig oder zweiseitig sind;') doch soll hier und auch für das
Polyeder unter 3) direkt der Beweis geführt werden, dass Möbiussche
Polyeder vorliegen. Nehmen wir die Zelle B,B,@, der Grenzfläche positiv,
die Zelle B,B,G, negativ, so dass also die Kantenwinkel B, und B, positiv,
die Kantenwinkel ZB, und B, negativ sind, so nehmen an der Ecke Fig. 6
Taf. 14 die folgenden Kantenwinkel Teil: B,,B,,B,,B,,B,,B,,B-,B, d. h. längs
vier Kanten, nämlich denen nach den Ecken 16), 17), 14), 15), grenzen
positive äussere Flächenzellen an negative äussere Zellen, wonach sich das
Polyeder als einseitig erweist. Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn man
sämtliche 60 Flächen des Polyeders anschreibt: das Möbiussche Kanten-
gesetz ist unerfüllbar. Hierüber sei bemerkt. dass die Längen der Kanten
des Polyeders, ausgedrückt durch die Kante % des Triakontagons, die
folgenden sind:
=E ah;
B,B; fat, 8 13 — 110 ri
2
BB = 1,16 — 114 = 1,17 — 118 = faryaya.
265+/5);
#) Das zu £) reziproke Möbiussche Polyeder hat zum inneren Kern
das Pentakisdodekaeder für = +5 Die Grenzfläche wäre in der voll-
ständigen Fig. 1 Taf. 13 das von den Spuren 26), 43), 27), 46) gebildete Viereck,
nämlich das Viereck der Achsenpunkte B,B,B,,B,, das in Fig. 5 Taf. 8 für
sich gezeichnet vorliegt”) Das von 60 solchen überschlagenen Vierecken
begrenzte Polyeder mit 30 achtkantigen Ecken zeigt Fig. 6 Taf. 25. Seine
Ecke ı) besitzt die Kanten nach den Ecken 14), 24), 15), 23), 16), 22), 17),.25)
des Triakontagons und hat den in Fig. 14 Taf. 7 dargestellten Querschnitt.
Dabei sind die Kanten einer Ecke bezw. Grenzfläche des Polyeders ihren
Längen nach die folgenden Diagonalen innerhalb des Triakontagons:
1) Vergl. V. u. V. 8. 76, Nr. 66.
2) Die Punkte 5, und 5,, sind in dieser Figur aus Versehen nicht bezeichnet. Vergl.
also Fig. 1, Taf. 13.
328 Max Brückner,
I ee
BB=14=15=16 =1,17— „urvaV2
I: ae
Binr-Ba = 1722 > ob „a+tVdV3.
Wir wollen nun die Aussenseite der Zelle, die in der Grenzfläche
Fig.5 Taf. 8 die Kante B,B, besitzt, positiv rechnen, die der anderen Zelle
negativ, so dass also die Kantenwinkel B,; und B, positives, B,, und Ba
negatives Vorzeichen haben, wenn sie mit der Aussenseite an der Oberfläche
des Polyeders teilnehmen. Dabei ist aber zu beachten, dass ein Teil der
Kantenwinkel B, und B,, (vergl. Fig. 14 Taf. 7) an und für sich schon mit
der Innenseite der Fläche an der Aussenseite des Polyeders bezw. der Ecke
teilnehmen, da diese Ecke, wie die Figur zeigt, schon als solche eines
zweiseitigen Polyeders überschlagen wäre. Schreiben wir nun an die Ecke
die Kantenwinkel mit den Vorzeichen, die sie auf den äusseren Flächen
des Polyeders besitzen, so erhalten wir eben das gezeichnete Bild. Es gilt
dann das Folgende. Da B, positiv ist, so ist die Aussenfläche der Ecke
von der Kante ı6) bis zur Doppelkante zwischen 16) und 22) positiv, von
da bis 22) negativ. Da der Kantenwinkel B,, negativ ist, aber zwischen
22) und 17) mit der Innenseite der Ecke zugehört, so ist die Aussenseite
positiv. Für B,= 17,25 gilt das Umgekehrte; B, ist positiv, gehört aber
der Innenseite zu, also ist die Aussenseite negativ. B,, ist zwischen 14) und
der zwischen 14) und 25) liegenden Doppelkante der Ecke aussen negativ,
wie ihr Vorzeichen anzeigt, also zwischen dieser Doppelkante und der
Kante 25) positiv. So verfolge man die Bildung der Ecke, in demselben
Sinne weitergehend: B, ist positiv aussen bis zur Doppelkante zwischen
14) und 24), dann negativ; B,, hat an sich negatives Vorzeichen; da aber
die Fläche der Innenseite zugehört, so ist die Aussenfläche positiv. B, ist
für sich positiv, gehört aber der Innenseite zu, also ist das Äussere negativ.
B, endlich ist für sich negativ, also ist das Stück von 23) bis zur Doppel-
kante zwischen 23) und 16) positiv, der Rest negativ. Es grenzen also auf
der Aussenfläche des Polyeders bezw. einer Ecke längs aller Kanten positive
und negative Flächenzellen an einander, d.h. das Polyeder ist einseitig.
y) Das letzte Möbiussche zugleich gleicheckige und gleichflächige
Polyeder, das reziprok dem unter y) angeführten ist, hat zum Kern die A. V.
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 329
des Deltoidhexekontaeders und die Fläche wird daselbst (vergl. die voll-
ständige Figur 1 Taf. 17) in der Ebene ı) durch die Spuren der Ebenen
25), 55), 29), 52) des Kernes gebildet. Für sich ist die Fläche in Fig. 2
Taf, 9 gezeichnet. Es ist das von den Achsenpunkten B;,B',B;,B'o ge-
bildete überschlagene Viereck. Das von 60 solchen Flächen begrenzte
Polyeder zeigt Fig. 4 Taf. 25. Die Ecke ı) des Polyeders (vergl. Fig. 9
Taf. 11) besitzt die Kanten nach den Eeken 14), 26), 15), 29), 16), 28), 17), 27)
des Triakontagons. Dabei ist
Be BE 2 RW
BWB=-1,B5=-1,6 = 17 = 118 —, (+ /V2;
Eu I IN —ı3 = 1, —kl/srays,
ausgedrückt durch die Kante des Hüllpolyeders. Eine solche Ecke ist
wesentlich von derselben Beschaffenheit wie die des vorigen Polyeders, doch
ist die Anordnung der Kantenwinkel der Fläche an ihr eine andere, wie
die Figur ausweist. Verfolgt man die Zellen der Fläche an der Ecke wie
unter %) geschehen, so ergibt sich wiederum, dass längs aller Kanten der
Ecke positive und negative Flächenzellen aussen aneinander grenzen sollen,
was nur für ein Möbiussches Polyeder möglich ist.
Damit sind wir am Schlusse unserer Betrachtungen angelangt. Dis-
kontinuierliche, zugleich gleicheckige und gleichflächige einseitige
Polyeder haben sich bei Untersuchung der vollständigen Figuren der gleich-
flächigen Polyeder erster Art des Dyakishexekontaedertypus nicht ergeben,
sind auch kaum zu erwarten, da bisher keine Einzelkörper der einfacheren
Typen, die dafür verfügbar wären, bekannt geworden sind. — Setzt man
jedoch an Stelle der fünf Oktaeder, die sich dem Triakontagon einschreiben
lassen (vergl. den Anhang zu Kap. IV $ 2) fünf der bekannten Reinhardtschen
einseitigen Polyeder,') so ergibt sich ein diskontinuierliches Möbiussches
Polyeder, dessen Hülle noch das Triakontagon ist. Es ist aber das gesamte
1) Vergl. V.u.V. 8. 57 Fig. 46, und €. Reinhardt, zu Möbius’ Polyedertheorie, Ber.
d. math. phys. Klasse d. Kgl. Sächs. Gesellsch. d. Wissenschaften, 1885, S. 106.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 42
330 Max Brückner, Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen usw.
Polyeder nur gleicheckig. Seine Flächen schliessen eine Kombinations-
gestalt zweier gleichflächiger Polyeder ein. Es bilden nämlich die 5.4 drei-
kantigen Oktaederflächen der Reinhardtschen Polyeder ein Ikosaeder; die
Mittelpunkte der 5.3 Quadrate dieser Polyeder liegen im Mittelpunkte der um-
beschriebenen Kugel der ganzen Kombination und es sind diese 15 Quadrate
parallel den 2.15 Flächen eines Triakontaeders. Das polarreziproke gleich-
flächige Polyeder ist nicht realisierbar, da die Oberfläche des beschriebenen
gleicheckigen Polyeders das Zentrum der Kugel enthält.
Note I.
des Hexakisoktaedertypus.
Hexakisoktaeder .
Die korrespondierenden Flächen der gleichflächigen Polyeder
Barzunn | 5, 6 7* Pan ul
Deltoidikositetraeder. 1, 0285| 86 |) I | 616
Triakisoktaeder 1. Ren | 24 120,13) 2 2 aa de
Tetrakishexaeder . Ka kr | Ar AB aln6 III, | 8
Rhombendodekaeder. 1 1 4,4 | 3 3 | 2 | 2 | 2 6 | 6 | 1
En | | mo ea l
H-O 13 14 15 16 1718 0 PEESBEPEETEETEEN 26 | 27| 28 29/30
D-I a: at, 10 10|12 1112| | 20 20 13) ı3| 1414
T-O s|7 | 12/2419 ı9 20/13 14 |14 121/15) 2210| 3 | 34
T-H s 9/1 iu laı 12) as 1a | 1alıs 16] 5 |a6 az) ız) 6 | 7|20
R-D 1)5|5 ı|2 | 8 8 3:13.11, | Eee, | 6 |10
—
H-O 31 | Isa 38 |34 35 |36 37 | 38 | 39 40| 41 | 42 43 3 |44| 45 | 4a6| 47 | a8
D-I 15|15 li6 | ı6 |ı7 ız 18 1819 Mer 21 man
T-0 HE ı1 |es | ıs | 18 17 16 | 15 | 16 SA | 5 | 11| 23/17
T-H AR Aula 13 |23 | 33 BES Ir Inn 22| 22/24
R-D s\s|e|» s 2 12 1? |12] 11 |21|10 109 91
Bemerkung. Diese Note gibt zugleich die korrespondierenden Ecken des (6+8+12)-
flächigen 2.24-Ecks und der speziellen gleicheckigen Polyeder des Hexakisoktaedertypus.
42*
332 Max Brückner,
' Note II.
Varietäten des Hexakisoktaeders.
Da für die dreizählige Achse ( als Masseinheit A — 7 I) — TALE, ist, so wird
1)e2,B= LK füro — S\ 6 = 1,2244 ...... (6);
DA He — \/3 = 1,73205 ....... (,);
3)... A=Bfürt= 0/2, .....22.2.20.... (G;).
Es sind 1), 2), 3) die Gleichungen dreier Geraden, die sich in dem Punkte P
: V6, T=)/3 als Parameter dem Hexakisoktaeder zugehören, das
eine umbeschriebene Kugel besitzt (konjugierte Varietät). Es wird durch diese drei Geraden
das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder in sechs Teilgebiete zerlegt, deren Polyeder durch
das Verhältnis der drei Achsen unterschieden sind. Bezeichnet man die Schnittpunkte von
G, mit ©, und C, bezw. mit D, und D,, die Schnittpunkte von G, mit CO, und C, bezw.
mit A, und A», die von @, mit Ü, und (, bezw. mit &, und Ey, so sind diese sechs Gebiete:
HE,P4A,(A0>B |C>B>4A|4>C>B| A=B>0| A>C>B
6 1,1602 I" 1.1716 11ajda „| 12er , 1,17357
T 1,8918 1,6095 |: 21082 | 1,7836 2,0000
A 1,0922 0,92926 12172 | 10297 | 11547
B 0,9472 0,95662 0,93198 1,0297 0,95662
AB, 0,79188 0,72215 | 086364 | 0,78813 0,83036
B 4: 1,2556 1.932065 | 101966 | 1,9028 1,16974
A,B, 3,4967 1,583955 | 10424 1,9028 4,82584
BG, 0,59196 0,5941 0,58879 | 06155 | 0,591
BO; 0,8176 0,84038 0,78278 | 1,0505 0,84038
04, 3,6978 3,4619 41628 | 2,3569 3,4619
AG, 0,96525 0,8891 1.0373 0,93343 1,0000
02, 1,0822 1,4587 0,93603 1,1913 1,0000
4,0; 16.866 3,6649 GC =19,17 7,6913 co
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 339
s—_26+V9 | „—4=V2 | „_245+2V2) nn =:
weeRT 2 31 202 4
Varietät ins a Va-tı | ee MR: 2 De 2
A>B>C ABE>C | A>C>B ABER GE WAS BC
) 1,2612 1,2929 1,1502 1,1847 1,2500
T 2,0000 24142 | 2,0000 1,6754 | 1,8750
A 1,1547 1,3939 1,1547 0,96726 1,0825
B 1,0297 1,0556 0,93918 0,96726 1,0206
A,Bı 0,84372 0,98815 0,82568 0,74032 0,80688
B, 4, 1,4421 1,1390 1,11767 1,7873 1,6137
A, B; 3,2257 13,9209 | 5,4950 1,7873 2,4199
BC 0,6155 0,6249 0,59024 0,5967 0,61239
2% 1,0505 1,1425 0,79898 0,86697 1,0206
ER 2,3569 2,1190 3.9282 0,3068 2,4497
4A,Cı 1,0000 1,1547 | 1,0000 0,90482 | 0,9601
0B; 1,0000 0,81645 | 1,0000 1.1715 | 0,0974
A:C, oo |C10,'=5,5741 eo) 4,6692 | 14,067
AN | av3 \ 6
7 0— EW 0= 5
Varietät g |
GM —— 1 | =, ner
eb =-C | A=0=Bra4 er
6 1,2857 1,1537 1,2000
T 2,2500 2,0000 2,0000
A 12990 | 1,1547 1,1547
B 1,0498 0,94282 0,9798
A, Bı 0,92786 | 0,82622 0,33268
BA; 1,23734 1,1286 1,2490
FARB: 6,49264 5,3411 4,1632
BO, 0,6227 0,59099 0,6000
mie, 1,1209 0,8072 0,9000
GA; 2,2299 | 3,8233 3,0000
ALC, 1,0897 1,0000 1,0000
GB; 0,8718 | 1,0000 | 1,0000
4A, [OR 0, C4=3,7226 | oo | [e.©)
|
354 Max Brückner,
Note IH.
Varietäten des Deltoidikositetraeders.
7 34.6
Aa En.) Fe 01311 o-.
Varietät v2 TA.V. 3 2 m
SINE El |
t—=2/V2 1 T—2 ES er ve
6 | 1,2929 | 1,3333 1,3616 | 1,2500
T 1.8284 | 2,0000 2,1547 1,6667
A 1,0556 1,1547 1,2440 0,96225
B 1,0556 1.0887 1,1154 1,0206
4C, 0.94634 0,99782 1.0541 0,90265
EIER 1,1423 1,0044 0.91288 1.3540
AB AllBs 0,80794 0,8607 0,9107 0,76073
1As,==.4, 848 2,7585 2,5823 2,4883 3,0427
Note IV. Note V.
Varietäten des Triakisoktaeders. Varietäten
- des Tetrakishexaeders.
) 2+1 Ge 3 (6 —1. Es ist stets B — 0,81648).’
= ——_— Fr
Varietät SI a wları 9 - | =
- & 8 Ye | 3 5 2+/2
T=yY2+1 u Varietät 7 | er rn
6 1,2071 1,2500 | |
t 2,4142 \ 2,5000 ee | 12
4 1.3939 1.4434 4A 0,86602 | 0,72168| 0,98560
B 0.0063 1.0206 0,6, | H1,1547 | 1,1547 | 1,1547
G A, ar c As 1,1547 1.19025 C, B; 1,7321 | 3,3154 | 1,291
On00, 3.4136 4,7606 4,0, | 2,5979 | 1,3821 | 5,3205
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 990
Note VI.
Die korrespondierenden Flächen der gleichflächigen Polyeder des
Dyakishexekontaedertypus. (Vergl. die Bem. zu Note I.)
IT Ta N a
10 j11 |12 |,15 | 14 | 15
Dyakishexekontaeder . 1
2|3|4 i7!sle
Deltoidhexekontaeder . |4 4 5 5 lee 3 |13]14|15|6 | 7
Triakisikonaeder. . . [0/9 |s 7 ie 5 a sla/ı w[a/ls| 76
Pentakisdodekaeder . 1212621268 1,142 114 |11 11°]73 | 3, 1 | 2210251020295 1.22
ea aizir is|s/alalı lı fatsırzıı
Ikosaeder I Er E26 Be 2 3. | 1 | Wa ae
Dy-H ı6 |ır lıs |ı9 |ao \2ı a2 |as |aa |a5 | 26 |a7 | a8 | a9 Io |sı
De-H Se ae oe nero ia) 15 | 6 | 7’ 9° oral
Eat Dion Acer | 2 1 ,ıı 11 [47 [47 |30 |30 124 |24 18 1812
P-D 19 w|eını2l; 9.1.18) 1.28 |'317|a9 [6254| 10 mer alt
R 8 |e:l. Bd 15 Kıs [1a Jia | 5°|5 |>
I s|zıa la 2 2 3 |3|4
Dy-H SuE EG, 36 37 138 | 39 | 40 41042 43 44 45 146 47
De-H 29 116 |17 19 |20 22 |23 |25 126 |28 |29 |16 | 17 | 19 j20|22
T-I 12 |48 48 29 29 23 23 12 17 [12 |a1 \a0 [sa |o1 |na ae
P-D a l1sras|sı |29|35 !ı5 | 8 !A |13°|17,)24 |35 |4ı 40 |34
7. 2 Eee 15 | 12 12 5:5 Keil 19 | 24 |24 20
I 4 55 12/12 17 | iz. 81 92 Ba 25 el 1a a
I
79] „7.2 18, Tan ur
DyH .|48|49 |50 51 52 |53 |54 |55 |56 |57 |58 |59 |60 | 61 |e2 |63
De-H .|123 3 26 | 27 30 |s0 |ı8 |ı8 |21 !2ı [2a |24 |27 | 35 |32 |s2
BERN 5 22 19 [16 14,42 |50 53 | 52 ae 121120, Ib, Kaulinz 49
PD. .[23 16 |ı2 [13 |ı7 |24 |35 |aı |40 |34 | 23 |16 ‚12 |49 |45 138
meine |13 | 9 | 6 ıo |ı2 /ıs [as |22 20 16 13 | a 23 |19 114
Ze | |10|8 | BR 16 113) 13710 |uanlar 5
Max Brückner,
Dy-H 4“ 5 E67 PB 1a a a u | Te |7 | 78
De-H. 44 \44 |41 |41 |38 |38 | 35 |s4 |33 |sı |a5 | a3 | a2 | a0 | 89
TER 41 \13 |ı6 |ı9 |22 |25 |28 152 153.150 \42 | 14 | 15 20 | 21
P-D. 27 121 !'20 |26 !37 14a ag |a9 [a5 |38 a7 | 2ı | 20 | 26 | 37
7 10/6 | 9 [a3 16020 oael 2a, ana | 6 9 13.1 16
I 41429 N.9 7a a7 1er ae ee 10: 10 eainee
ı I
B- % ö | | I
Dy-H 79 |so |sı |s82 |83 |84 |85.|86 |87 |88 |89 | so | 91 | 92 | 93
De-H. 37 |36 |34 |33 | 31 |45 ‚43 |a2 |a0 |39 |37 | 36 | a8 |4A7 | 46
TI 26 |27 |55 |55 \as |as |37 [37 |sı |sı |s6 |s6 | 56 | 56 | aa
P-D. 44 |48 | 57 | 53 |46 |36 |32 |30 |33 |a3 |52 | 56 | 57 | 53 | A6
7 90 .|.24 [27 -|.27 -1,18,1,18 21.37.4113 7..1.21,) 21,28, |, 285) 87 07 A215
I 16#|16 ı| 11 | 114-8 | 8.24104|,10., 13.113, 16.|, 163 do, oa iE
Dv-H 94 |95 |96 |97 |98 199 100 101 |102 103 |104 | 105 | 106 | 107 ‚108
De-H. 55 |54 |53 |52 |51 |50 | aglas| a7 a6| 55| 52 | 53. | 52 | 51
T- a4 |38 | 38 |32 |sa |35 | 35 | 60| 57|58| a5 | 56 | 39 | 40 | 33
P-D.. . |s6 |s2 |30 ı 33 |a3 |!52 | 56 | 59 | 54 | 5a | ag | a2 | 39 | 39 | 51
T. 0". fıs 17 |17 \'21 21 |28 | 28-| 30 | 26) 26 | 227) 220 -25 | 25 |29
rel 18 |14 14 19 |ı9 [eo | 20/15 | 15 ıs| ı18| 14 | 12 | 19 | 19
| |
DH 109 | 110 | 111 | 112 | 1138 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120
De-H. 50 | 49 | 57 | 57 | %56l 56.|.)60. | 160 | 2B9r] 59 | 58 | 58
1 sa | 59 | 60 | 57 | 58 | 45 | 46 | 39 | 20 | 33 | 34 | 59
PD. Bl | 59 | 60 ı 58, 58 | 50! 50 | a7 | 47 | 55 | 55 | 60
T 29 | 30 | 30 | 26 | 26 | 22 | 22 | 25 | 55 | 29 | 29 , 30
1 | 2020| 5| 5 | is) 18.) 14 | ı4m19 | 19 780”) 20
| | |
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 337
Note VII.
Varietäten des Dyakishexekontaeders.')
_3@V5+1) | „_V5+2 | je „_25-V5+2V3
ee | ee (V5+1)@+/2)
Varietät A.V. £ | 4 >
„_.3V5 LP a le.
5 11 5+2\/5
6 1.0512 1.05902 1,0451 1,0123
T 1,34164 1,26766 1,2918 1,2743
G 1,0662 1.0074 1.02655 | 1,0127
B 0,9815 | .0,98933 0,97632 0,94524
BG, 0,35995 | .0,36105 0,3593 | 0,3570
BO; 0,39855 0.406377 | 0,9225 | 0,36556
BG, 2.0408 | 2,1600 1,9666 | 1,6064
(OKer 0.95898 0,93462 0,97616 | 1,1000
BB; 7.468 6,4762 8.323 | 30,479
BGı 0,56571 0,54561 0,54944 0,53897
BG 0,66703 0,7454 0.70053 0,65506
BG 3,9784 7.7256 5,205 4,2589
GC, 1.3573 1.0678 1,1853 | 1,2353
Bi Bir 7.4495 | 4.0795 5,2038 | 6.083
eh 0,66503 0,64325 0.649854 | 0,64503
G, B; 0,99807 | 08421 0,88904 | 0.835476
6,6; 22,168 Er 9314 | 7,2862.
GE 0,43134 | 0,45894 0,44802 | 0,45611
GC, 1,1648 21.5285 1,2680 | 1.3108
1) Für die dreizählige Achse (’als Masseinheit ist D — 1 c0otp.0:@ — z cotp.Cosp.T
3 6)
und es wird:
1)... B=( für 6 — /3.tang = 1,0705..... (G,),
tür VE a: (G;),
cos
Be En
DC, bafor 7 — ee T- (G;).
Die Gleichungen 1), 2), 3) sind die dreier Geraden, die sich im Punkte P innerhalb
des Gebietes der konvexen Dyakishexekontaeder schneiden, dessen Koordinaten 6 — v3. tan o,
3.t
= nn die Parameter der konjugierten Varietät sind, die eine umbeschriebene Kugel
p
besitzt. Durch diese drei Geraden wird das Gebiet in sechs Teilgebiete zerlegt. Bezeichnet
man die Schnittpunkte von G, mit (, und (, bezw. mit D, und D,, die Schnittpunkte von
G, mit Ü, und C, mit A, und As, und die von G, mit (, und (, bezw. mit E, und E,,
Nova Acta LXXXVI Nr.]. 43
338 Max Brückner,
Note VII.
Varietäten des Deltoidhexekontaeders.
38/5+1) __3@V5+5) h
a: 6 oe en en S—VE_ |/ao—aya.
| 5, V5—1,/7 = Te =
Nr.3: 0=3—V5+ .— /V5—2. Nr.4: = 83/5; |/ 2(141—63/5).
__g1/B SHAB
9 a 3V5 „8 14/5
4 17
e) Nr.6: 0— = BEER we
A o=4- 5-5 |/ 2 —ı18/5. NWr.s:0= 2 /® 4 |/5—ays.
13—5V5 |\/ar Dane a a ee be
EG: = ara ye, a E RE e Bun
tn — 5059 are Ave
2 3
Varietät | Nr.1 | Nr. 2 Nr. 3 Nr. 4 Nr. 5 Nr. 6
6 | 1,0511 1.014812 | 106421 | 1,0391 1,07295 1,07783
T 1,1638 11532 | 12115 1,1222 1.2451 | 1,2640
G 0,9250 0,91648 0,96274 0,89178 0,98944 1,0045
B 0,98182 | 0,97913 0,99415 0,9707 1,0023 1,0069
GC, 0,62089 | 0,61916 0,6299 0,61479 0,63753 | 0,6423
GB, 0.5152 0,5226 0,48638 0,54604 0,46922 | 0,46054
RO ENT 1,7676 | 1,5053 | 1,9586 1,3925 1,3382
GB, 0,67416 | 0,65948 | 0,74485 | 0,6194 0,80117 | 0,83532
GG; 3,3161 3,1228 4,4772 2,656 5.80297 6,8872
GB; 0,52392 | 0,5215 0.5356 | 0,51459 0,54441 0,54962
GC 0,8272 0,80973 | 0,90926 0,76232 0,95308 | 1,0132
GB | aus] 20878 | 2,5038 | 1,8405 2,8554 | 3,0815
B;6, 0,86908 | 0,88024 | 0,82712 | 0,91403 0,80123 | 0,78828
B;C', | 894,7 9,04 = 32,466) 29,367 G,C,—=14,613| 14,3376 11,227
BG 0,360 | 035965 | 086183 | 0,35869 0,36328 | 0,36417
BG, 2,0445 2,0058 | 22405 | 1,8924 2,3891 2,4751
(6; 0,95784 | 096674 | 092054 | 0,9958 0,89812 0,8862
so sind diese sechs Gebiete die folgenden: a) DE, PD, (G en
Das Verhältnis von dessen Kanten ist Ä, :ky — (11—2y3—3/5):(Y5+ 3V15—3/3—5)
&1:4,42. Ein ungefähres Bild der Grenzfläche des Polyeders ergibt sich für diese besondere
Varietät des Kernes, wenn in Fig. 1 Taf. 15 die Punkte $, und S, zusammenrücken, während
die übrigen Punkte $ allgemeine Lage behalten. Die Kanten der Ecke 1) sind nach den
Ecken 25), 27); 58), 57); 31), 39) des Hüllpolyeders gerichtet.
— 0,9624.
a‘) Für das dem vorigen reziproke Polyeder ist der Kern das Deltoidhexekontaeder
7+/V5+2/3
14°.
wonach für dessen Kanten die Proportion gilt: k:i3= (7 — V5— 2 v3) :(2 v5+ 3 V15— 3 v3 — 10)
» 1,45:1. Die Figur der Grenzfläche denke man sich aus Fig. 2 Taf. 12 dadurch entstehend,
dass die Punkte 31/58 und 39/57 für diese besondere Varietät des Kernes auf der Symmetrie-
linie G,C; zum Zusammenfällen kommen, während die übrigen Ecken der beiden Dreiecke
ihre Lage behalten. Die Kanten der Ecke 1) sind natürlich nach den Ecken 6), 9); 59), 56);
53), 54) des umhüllenden 60-Ecks gerichtet.
147) 8.227 des Punktes $, Fig. 4 Taf. 12, die Hülle das 60-Eck für s — —- 0,9075,
b) Der Kern sei das Deltoidhexekontaeder 114‘) S. 205 des Punktes E Fig. 4
Taf.11. Dann ist die Hülle des entstehenden kontinuierlichen Nullpolyeders das (12 + 20)-
flächige 12.5-Eck für i=} (\ 26—V3)+V5) — 0,917, dessen Kantenverhältnis
a — (6-15 /26=V3):(°| 26V) +V5-5) © 1:4,69 ist. Von den
Spuren der beiden Dreiecke 59), 53), 6) und 56), 54), 9) schneiden sich 53), 9), 6) und 54)
in einem Punkte der Symmetrielinie C;@, der Fläche 1) des 60-Flaches auf ihrer über G,
hinausgehenden Verlängerung, so dass die Gesamtfläche des Polyeders die umgekehrte Lage
der Fläche des Polyeders unter a) erhält. Die Kanten der Ecke 1) liest man wieder aus
den Kanten der Fläche 1) des folgenden Polyeders ab.
b‘) Der Kern des dem vorigen polarreziproken Körpers ist das Pentakisdodekaeder
132%) S. 215 des Punktes M Fig. 5 Taf. 11; seine Hülle das (12+20+30)-flächige 60-Eck
Ze
Kies — VEVErh — 0,902, wonach für dessen Kanten die Proportion gilt:
= (2 Eye "(a es 2V5+1) 18:1, Von den Kanten der
beiden Dreiecke 50), 53), 15) und = 52), 18) schneiden sich 50), 15), 47), 18) in einem
Punkte der Symmetrielinie @, BD, der Fläche 1) des Pentakisdodekaeders und zwar jenseits
des Achsenpunktes G,, so dass die Fläche des Polyeders die Gestalt der Fig. 13 Taf. 6 erhält.
e) Für die besondere Varietät des Triakisikosaeders 123‘) S. 210 im Punkte O der
Fig. 5 Taf. 11 ergibt sich ein kontinuierliches Nullpollyeder, dessen Hülle das (12 + 20)-
[s+2V8 _5+2V8
ächi "5-Eck für = al ii
flächige 12.5-Eck für t 2 5 5
— 0,858 ist. Für die Kanten dieses
Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 345
f; "1 91/8 5.12.91/5
12.5-Ecks erhält man die Proportion Ä,: 7, — (6 +/5— Ve i 5(2 na
3+//5
a
Zusammenrücken der Eckpunkte 45/56 und 52/57 auf die Symmetrielinie C,@, bei Erhaltung
der übrigen Ecken.
c‘) Das letzte, zum vorigen reziproke hier anzuführende Polyeder hat zum Kerne
das besondere Pentakisdodekaeder 130‘) S. 214 des Punktes Z in Fig. 5 Tafel 11 und zur
— ——e 5—V5
) & 8,746 :1. Die Figur der Grenzfläche ergibt sich aus Fig. 4 Tafel 16 durch
Hülle das ‚(12 + 20)-flächige 20.3-Eck für s — Wale — 0,969;
/Ey f — /E A
— \/26+v& — 1720012 Hiemach ist k,:%, —= 10 c > Vae=v3)
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:(6 56 _ 2/5) 2 ıV5—25) ® 1:1,29. In der aus den beiden Dreiecken 15), 50), 53) und
18), 47), 52) bestehenden Figur der Grenzfläche gehen die Geraden 53), 18), 15), 52) durch
einen Punkt der Symmetrielinie BD, G@, der Pentakisdodekaederfläche jenseits des Achsenpunktes
B,;, und ihr Bild entspricht dann ungefähr der Fig. 5, Taf. 4. —
Diese sechs kontinuierlichen, nichtkonvexen Polyeder zweiter Klasse,
(deren Gestalt eine äusserst komplizierte sein dürfte) sind also dem Verzeichnisse auf
8. 32 noch zuzufügen.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 1 44
Berichtigungen.
.22, Z.3 v.u. lies einbeschriebene.
also statt als.
RA — 2 statt A’ —= K—A.
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In den Figuren 1 der Tafeln 15, 16 und 17 ist B,; der Mittelpunkt der Strecke
GG, und statt CO, ist überall C, zu lesen. In Fig. 11 Taf. 7 ist das Gebiet V'U‘O mit
4. Kl. zu bezeichnen. In Fig. 4 Taf. 10 liegt B, in der Mitte der Strecke CC). In Fig. 3
Taf. 12 ist der Schnittpunkt von X, und X, mit x zu bezeichnen.
Erklärung der Tafeln 21—29.
Hinter jeder Figurennummer findet sich in der folgenden Übersicht unter 8. die Seite
der Abhandlung angeführt, auf der das betreffende Polyedermodell besprochen ist. Von den
beiden darunter befindlichen Zahlen gibt die erste die Nummer der Tafel, die zweite (kleiner
gedruckte) die Nummer der Figur auf dieser Tafel an, unter der daselbst die das Polyeder
begrenzende Fläche gezeichnet vorliegt.
(*) bedeutet, dass die Grenzfläche nicht dargestellt ist.
Tafel 21.
Fig. 1. 8. 57. Fig. 2. S. 52. Fig. 3. S. 57. Fig. 4. 8. 52. Fig. 5. S. 55.
(3, 2). (1,20). (2,2). (2,13). (2,%)
Fig. 6. 8.52. Fig.7. S.52. Fig.8. 8.52. Fig.9. S.53. Fig.10. 8.53. Fig. 11. 8.54.
(2, 23). (2, 23). (2, 21). (2, 2). (2, 19). (2, 18).
Fig. 12. 8. 57. Fig. 13. S. 58. Fig. 14. S. 218. Fig. 15. 8. 52. Fig. 16. S. 52.
(1,21). (2, 17). (10, 2). (2, 2). (1,2),
Fig. 17. 8.54.
(2,1).
Fig. 21. 8. 68.
(3, 2).
Fig. 1. S. 107.
(4, 9).
Fig. 5. S. 115.
(5, 3).
Fig. 9. S. 133.
(7, 1).
Fig. 13. S. 126.
(7, 3).
Fig. 17. 8. 70.
(3, 9).
Fig. 18. 8.55.
(2,1).
Fig. 22. 8.69.
(3, 5).
Fig. 19. 8.73.
(3, 2).
Fig. 23. 8.70.
(3,9).
Tafel 22.
Fig. 2. 8. 112.
(6, 2).
Fig. 6. 8. 101.
(2).
Fig. 10. 8. 104.
(6, 5).
Fig. 14. 8.140.
(7, 5).
Fig. 18. 8. 70.
(3,1).
Fig. 3. 8. 115.
(4,9).
Fig. 7. 8. 122.
(6,1).
Fig. 11. 8.113.
(6,1).
Fig. 15. 8. 135.
(6, 8).
Fig. 19. 8. 70.
(3, 8).
Fig. 20. 8. 69.
(3, 3).
Fig. 24. 8.70.
(8,1).
Fig. 4. S. 104.
(4, 7).
Fig. 8. S. 135.
(5, 2).
Fig. 12. S. 102.
(4, 9).
Fig. 16. S. 107.
(4,11).
Fig. 20. S. 70.
(3, 9).
Fig. 1. S. 125.
(6, 7).
Fig. 4. S. 106.
(6, 3).
Fig. 7. S. 134.
(5, 7).
Fig. 10. 8. 132.
(7,2).
Tafel 23.
Fig. 2. 8. 111.
(3, 9).
Fig. 5. 8.111.
(7, 9).
Fig. 8. 8. 112.
(*)
Fig. 11. 8. 138.
(6, 1).
Fig. 3. 8. 102.
(6, 9).
Fig. 6. 8. 115.
(5, 9).
Fig. 9. 8. 121.
(6, 1)
Fig. 12. 8. 126.
(7, 4).
44*
348 Max Brückner, Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen usw.
Tafel 24.
Tafel 25.
Fig.1. 8.257. Fig. 2.8.257. Fig. 3. S.154. Fig.1. S.212. Fig.2. 8.202. Fig. 3. S.210.
(8, 6) (16, 5) (5, 2). (15, 6). (15, 1). (16, 3).
Fig.4. 8.156. Fig.5. 8.160. Fig. 6. S. 160. Fig.4.8.329. Fig.5.8.223. Fig.6.8.327.
(6, 13) (4, 2). (4, 10). (9, 2). (*) (8, 5).
Fig.7.8.281. Fig.8. 8.152. Fig. 9. S.155. Fig.7.8.314. Fig. 8.8.150. Fig. 9. 8.326.
(14, 2). (8, 7). (4, 5). (15, 2). (8, 5). (10, 5).
Fig. 10. 8.324. Fig. 11.8.326. Fig. 12. 8.323. Fig.10.8.149. Fig.11.8.158. Fig.12. 8.161.
(17, 3). (17,5): (14, 3). (8, 9). (gm). (9, 2).
Tafel 26.
Fig. 1. S. 281. Fig. 2. S. 282. Fig. 3. 8. 282.
(10, 3). (13, 6). (17, 3).
Fig. 4. S. 238. Fig. 5. 8. 304. Fig. 6. S. 269.
. (13, »). (16, 1). (9, 5).
Fig. 7. 8. 265. Fig. 8. S. 256. Fig. 9. S. 268.
(17, 6). (15, 5). (9, 3).
Fig. 10. S. 238. Fig. 11. S. 313. Fig. 12. S. 158.
(11, 3). (14, 5). (a:
Tafel 27.
Tafel 28.
Tafel 29.
Fig. 1. 8. 305.
(14, 1).
Fig. 3. 8. 305.
(dia):
Fig. 5. S. 224.
(15, 7).
Fig.2. 8.303. Fig.1. 8.264. Fig.2.8.269. | Fig.1.8.282. Fig. 2. 8.274.
(12, ı). (13, 5).
Fig.4. S.225. | Fig. 3. 8. 312.
(12, 2). (13, 1).
Fig. 6. 8.203. | Fig. 5. 8.258.
(10, 2). (16, 2).
(18, ı). (20, 2). (11,2).
Fig.4. 8.219. Fig.3.8.261. Fig. 4. 8. 265.
(10, 6). (18, 2). dl, 2).
Fig. 6. 8.223. Fig.5.S.306. Fig. 6. 8.261.
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Nova Acta Acad. C.L.C.G. Nat. Cur. Vol. LXXXVI Tab, XXIH.
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Lichtdruck : Römmler & Junas, Dresden
M. Brückner: Polyeder. Taf. 23.
Nova Acta Acad. C.L.C.G. Nat. Cur. Vo. LXXXVI Tab. XXIV.
M. Brückner: Polyeder. Taf. :
Nova Acta Acad.C.L.C.G. Nat. Cur, VOLLXNXNXVL
M. Brückner: Polyeder. Taf. 25.
Nova Acta Acad. C.L.C.G. Nat.Cur. Vol. LXXXVI
M. Brückner: Polyeder. Taf. 26.
Nova Acta Acad. C.L.C.G. Nat. Cur. Vo. LXXXVI.
M. Brückner: Polyeder. Taf. 27.
Nova Acta Acad. C.L.C.G. Nat.Cur. Vo. LXXXVI. Tab. XXVII.
M. Brückner: Polyeder. Taf. 28.
Nova Acta Acad. C.L.C.G. Nat. Cur. Vol. LXXXVI. Tab. XXIN
M. Brückner: Polyeder. Taf. 29.
NOVA ACTA,
Abh. der Kaiserl. Leop.- Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher
Band LXXXVI. Nr. 2.
Vergleichend-morphologische Studie
coxopleuralen Körperteile der Ghilopoden,
mit besonderer Berücksichtigung der Scolopendromorpha,
ein Beitrag zur Anatomie und Systematik derselben, nebst
physiologischen und phylogenetischen Mitteilungen und
Ausblieken auf die Insekten.
Von
Dr. Karl W. Verhoeff (Dresden -Striesen).
Aus dem Berliner zoologischen Museum (Museum für Naturkunde).
Dazu 44 Textabbildungen.
Eingegangen bei der Akademie am 11. Januar 1906.
HALLE.
1906.
Druck von Ehrhardt Karras, Halle a. S.
Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmsnn in Leipzig.
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Inhalt.
I. Geophilomorpha, Kedsshlünier
u Scolopendromorpha, Skolopender 5
a) Bau der typischen Rumpfsegmente bei rrchiallenee Gattunzen
Bisherige Angaben über Pleuren und Hüftteile. Allgemeine und
vergleichende Untersuchungen über die Coxopleuralgebilde. Scolo-
pendra behandelt mit besonderer Berücksichtigung der Costa, Eucoxa
und des Conus. Plutonium, Chromatanops n.g. Trigonoeryptops n.
Öryptops s. str. Newportia, Otoeryptops, Otostigma, Rhysida, Cupips,
Ethmostigmus, Alipes, Arthrorhabdus, Anodontostoma.,
b) Rückblick auf die Scolopendromorpha und Ergebnisse für Phylogenie und
Systematik .
Neue Hatersuheidende inaktero der Geophilkmkinhn und Saoıg-
pendromorpha. Neue Merkmale zur Charakterisierung der Skolo-
pender-Gattungen (und Arten). Über den Bau und die systematische
Verwertung der Stigmen. Interkalarsegmente der Scolopendromorpha.
Phylogenetische Gesichtspunkte (Cryptops). Kritik der bisherigen
Skolopender-Systeme. Superfamilien, Familien und Unterfamilien
der neuen systematischen Darstellung. Schema der verwandtschaft-
lichen Beziehungen der Gattungen. Ableitung der Urformen.
ce) Über die hintersten beintragenden Rumpfsegmente der Seolopendromorpha
III. Anamorpha, Steinläufer
IV. Notostigmophora, Spinnenasseln.
V. Zusammenfassende Betrachtung der ooxoplauralen Bildungen und der
Sternite bei den Chilopoden
VI. Erklärung der Abbildungen
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Vorbemerkungen.
Die Hüftgebilde der Chilopoden sind in der letzten Zeit von mir mehrfach
behandelt worden, teils mit Rücksicht auf die Laufbeine, teils mit Rücksicht
auf die Mundfüsse. Ich nenne folgende Arbeiten:
1. Beiträge zur Kenntnis paläarktischer Myriapoden. XVI. Aufsatz:
Zur vergleichenden Morphologie, Systematik und Geographie der Chilopoden.
Abh. kais. deutschen Akad. d. Naturforscher, Halle 1901, Bd. LXXVI Nr. 5,
I. Abschnitt: Über die Gliederung der Chilopoden-Beine, der Mundteile und
der Kopfkapsel.
2. Beiträge zur vergleichenden Morphologie des Thorax der Insekten
mit Berücksichtigung der Chilopoden. Daselbst Bd. LXXXI Nr. 2, 1902.
(Insbesondere sei auf Taf. IX verwiesen, Lithobius.)
3. Über Tracheaten-Beine. 6. Aufsatz: Hüften und Mundbeine der
Chilopoden. Archiv f. Naturgesch. 1904, Bd. I H. 2, S. 123—156.
4. Über die Entwickelungsstufen der Steinläufer Lithobüden und
Beiträge zur Kenntnis der Chilopoden. Zoolog. Jahrbücher 1905, Suppl. VIII,
Festschrift für K. Möbius. — Besonders sei hier verwiesen auf Abschnitt 4
des II. Teiles, S. 238 und 8. 243—245.
Namentlich in den Aufsätzen Nr. 3 und 4 habe ich dargelegt, dass
eine befriedigende Einsicht in die Beschaffenheit der Chilopoden- Hüftgebilde
nur im Zusammenhang mit einer Betrachtung der Pleuralteile zu erlangen
ist. Die Hüfte im engeren Sinne habe ich als Eucoxra andern ihr benach-
barten Teilen gegenübergestellt und betont, dass der Hüftbegriff im All-
gemeinen verschieden ausfallen müsse, je nachdem man die Hüftnebenteile
mitrechnet oder nicht und dass diese Nebenteile nach Segmenten und
Familien tatsächlich erhebliche Verschiedenheiten aufweisen. „Die hypo-
354 Karl W. Verhoeff, Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. [6]
coxalen Teile haben eine nach den Gruppen sehr verschiedene Ausbildung
und es ist mit Rücksicht auf sie keine ganz scharfe Hüft-Definition zu geben,
während die Hüfte im engeren Sinne und namentlich auch in Hinsicht auf
die Muskulatur, Gelenkknöpfe und Leisten ein sehr deutlich umschriebener
Begriff ist.“ Vielleicht das wichtigste Ergebnis meiner Untersuchungen über
coxopleurale Gebilde liegt in der Feststellung, dass bei COhilopoden „die
Entstehung der Hüften von der der Telopoditglieder grundverschieden ist, da
letztere einfach durch Abschnürungen bestimmter hintereinander gelegener
Teile des von Anfang an hohlkörperartigen Telopodits zur Ausbildung ge-
langten, während die Hüften nach und nach aus anfangs ziemlich flachen
und getrennten Stücken verwuchsen und erst später mehr und mehr hohl-
körperartig wurden.“
Wenn ich auch glaube in den vorgenannten Schriften die allgemeinsten
Verhältnisse der Chilopoden-Hüftgebilde einigermassen geklärt zu haben, so
ist nach dieser Richtung dennoch manches unbekannt geblieben und vor
allem hat noch niemand an der Hand bestimmter Beispiele und mit Be-
nutzung von Vertretern der vier Chilopoden-Hauptgruppen, sowie unter Be-
rücksichtigung aller eoxopleuralen Organteile eine einheitliche Darstellung
derselben zu gewinnen versucht. Der Lösung dieser Aufgabe sind die
folgenden Mitteilungen gewidmet.
I. Geophiloidea, Erdschlüpfer.
In meinem Aufsatze „Über die Interkalarsegmente der Chilopoden‘)
mit Berücksichtigung der Zwischensegmente der Insekten“ habe ich bereits
auf die Wichtigkeit der Interkalarsegmente der Epimorpha hingewiesen. Die
Abb. 1 und 2 anbei von Scolioplanes und Himantarium zeigen uns zwei der
wichtigsten Fälle der Ausbildung der coxopleuralen Gebiete der Geophilomorpha
und zugleich die Sklerite der Interkalarsegmente. Die Interkalartergite sind
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Abb. 1.
Scolioplanes eressipes carniolensis Verh. (Adelsberg).
Ein Hauptsegment und Interkalarsegment aus der
Mitte des Rumpfes auseinandergeklappt. — 60f.Vergr.
stets stärker entwickelt als ihre Sternite, welche letzteren bisweilen ein
einheitliches Querband darstellen, meistens aber in zwei Hälften zerteilt sind.
Im einfacheren Falle (Abb. 1 Scolioplanes) liegen am Interkalarsegment
jederseits zwei Pleurite, ein sehr grosses oberes Interkalarpleurit, das man
auch als interkalares Hauptpleurit bezeichnen kann (tpl), und ein kleineres
unteres ipl 1. Auch bei Himantarıum (Abb. 2) fällt ein Hauptpleurit durch
1) Archiv f. Nat. 1903, Bd. I H. 3 8. 427—441.
356 Karl W. Verhoeff, [8]
seine Grösse besonders in die Augen. Dasselbe gilt für die meisten andern
Geophilomorpha. Besonders ausgezeichnet ist das Hauptpleurit ferner durch
seine Lage genau vor dem Stigmenschild (stp) welcher Träger des Stigmas
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Abb. 2.
Himantarium gabrielis (L.) (Konstantinopel). Ein Haupt- und ein Interkalarsegment aus der Mitte
des Rumpfes auseinandergebreitet. — b0f. Vergr.
ist und sich seinerseits vor einem andern kleineren, dem Stigmanachschild
(poststigmales Pleurit) befindet. Bei den einfacheren Grundformen der Geo-
philomorpha bilden die drei ungefähr in einer horizontalen
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a Reihe gelegenen Pleurite, interkalares Hauptpleurit, Stigma-
N w pleurit und poststigmales die an die Tergite grenzende
(7) _Oberreihe, während bei einem Teil der seementreicheren
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x und abgeleiteterem Gattungen, wie Himantarium, Orya u. a.
Pi zwischen Oberreihe und Tergiten noch besondere Sklerite
eingeschaltet sind, welche bekanntlich auch mit zur Unter-
Abb. 2a.
Eine demselben Seg-
ment angehörige ge- einzelte beschränkte Vorkommnis dieser Pleurite, deren
gabelte Costa coxalis
nebst anstossender
Eucoxa inferior. — dem verfolgen lässt, zeigen uns, dass es sich um Gebilde
275f. Vergr.
scheidung einiger Gattungen benutzt werden. Das ver-
allmähliche Vermehrung von Form zu Form sich ausser-
handelt, welche von R. Heymons in seiner „Entwick-
lungsgeschichte der Scolopender“ Stuttgart 1901 als Paratergite bezeichnet
wurden, nämlich Ablösungen von der Tergiten, welche aber, wie ich gleich
betonen will, bei den betr. G@eophilomorpha, also z. B. Orya, weit stärker
9 Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 357
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und selbständiger erscheinen, als bei der von Heymons untersuchten
Gattung Scolopendra, weshalb ich echte Paratergite (Himantarium) von unechten
(Scolopendra) unterscheide. In seinem bekannten Myriapoden-Handbuche,
Wien 1880 hat R. Latzel bei Himantarium Gabrielis in seiner Abb. 97
neben den Interkalartergiten 2 und neben den Haupttergiten 3 Paratergite
angegeben, während ich bei H. Gabrielis aus verschiedenen Ländern nur
2+1 Paratergite beobachtet habe, d.h. neben den Haupttergiten nur ein
Paratergit (Abb. 2 pt.). Übergänge zwischen den in meinen Abbildungen 1
und 2 dargestellten Fällen bilden z. B. Bothriogaster, wo eigentliche, selb-
ständige Paratergite fehlen, aber nebenan am Interkalartergit ein Paratergit
unvollständig abgesetzt ist und Polyporogaster, wo es selbständig ist, während
andere Paratergite ebenfalls fehlen. Bei Stigmatogaster habe ich auch kein
deutliches Paratergit beobachtet. Bei Bothriogaster fand ich ferner, dass
die interkalaren Hauptpleurite vorn soweit sie dicht neben dem Inter-
kalartergit liegen, eingebuchtet und durch Furche mehr oder weniger in
zwei Zipfel geteilt sind. Ob hiermit der Beginn zu einer Teilung der
Hauptpleurite gegeben ist, muss ich vorläufig dahingestellt sein lassen.
(Wäre das der Fall, dann wären die unteren interkalaren Paratergite, wie
sie Abb. 2 pt 2 vorführt, keine Paratergite sondern Parapleurite.) Die
Eucoxa der Geophilomorpha ist ein kurzer, nicht vollständiger Halb- Ring,
also ein bogenartiges Band, welches nach oben und hinten offen ist und
nur häutig zu einem Ring geschlossen wird. Vorn befindet sich an der
Eucoxa, quer zu dem Bandbogen gerichtet, jene mit ihr verwachsene und
in die Leibeshöhle vorragende, rippenartige Leiste, welche ich als Hüftrippe
oder Hakenleiste, Costa coxalis, schon mehrfach bei Chilopoden beschrieben
habe. An der Stelle, wo die Hüftrippe mit der Eucoxa verwachsen ist,
befindet sich äusserlich eine Längsfurche. Am Eucoxa-Endrande springt
die Hüftrippe in einen Zapfen vor, welcher an der Bildung des Gelenk-
knopfes des Coxo-Telopodit-Gelenkes teilnimmt. Grundwärts gabelt sich
die Hüftrippe in zwei Fortsätze, welche beide nach vorn gerichtet sind und
zwar der grössere schräg nach unten (« Abb. 1), der kleinere schräg nach
oben. Die inneren Enden beider Costa-Zweige befinden sich oberhalb der
Procoxa und weit getrennt vom Sternitseitenrande. Überhaupt lagert die
Eucoxa der Procoxa stärker an als der Metacoxa, Durch die Verwachsungs-
Nova Acta LXXXVI, Nr. 2, 46
358 Karl W. Verhoeff, [10]
linie der Eucoxa und Costa coxalis wird die Eucoxa bei allen Chilopoden in
zwei Abschnitte abgesetzt, von denen der eine, welchen ich Eucoxa superior
nenne, mehr oben und vorn liegt, der andere, Eucoxa inferior, mehr unten
und hinten. Die Zucoxa wird innerhalb der Geophilomorpha mehr oder
weniger deutlich vom Sternit-Seitenrande getrennt durch zwei wulstige
Kissen. Bei Scolioplanes Abb. 1 z. B. ist diese Trennung nur gering, bei
Himantarium Abb. 2 viel bedeutender. Die beiden wulstigen Kissen, welche
ich 1904 als Hypocoxa zusammengefasst habe, übertreffen die Eucoxa be-
deutend an Ausdehnung und umschliessen sie mehr oder weniger vollständig,
zusammen mit einem dritten Gebilde kpl, welches sich oberhalb der Eucoxa
befindet. Man kann diese drei Teile auch als Pericoxra zusammenfassen.
Elastische Häute und chitinige Stränge halten diese drei "Teile zusammen.
Sie bilden in ihrer Gesamtheit einen Schutz für die Eucoxa und zugleich
die elastische Verbindung mit dem Rumpfe. Die Schwäche der Bucoxa der
Geophilomorpha entspricht der Kleinbeit und Schwäche ihrer zum Ersatz
dafür desto zahlreicheren Beinchen. Die mehr oder weniger deutliche
Trennung der Eucoxa von dem Siernit bringt also eine verhältlich hohe
Lage der ersteren mit sich und zugleich einen Gang, bei welchem die
Bauchfläche besonders leicht einer Reibung an der Unterfläche ausgesetzt
ist. Das gegenseitige Grössenverhältnis von Procoxa und Metacoxa unter-
liegt, wie schon die Abb. 1 und 2 erkennen lassen, bedeutenden Ver-
schiedenheiten, doch kann man sagen, dass im allgemeinen an typischen
Laufbeinsegmenten beide Hüftteile stets eine beträchtliche Grösse bewahren.
Das oberhalb der Eucoxa gelegene, den Übergang von ihr und der Hypocoxa
zum Eupleurium bildende Sklerit, welches ich als Katopleure schon mehr-
fach erörtert habe, zeigt innerhalb der Geophilomorpha ebenfalls namhaft
verschiedenes Verhalten, indem es bald (Abb. 1 Scolioplanes) mehr nach
oben abgerückt erscheint und daher den Charakter eines typischen Pleurit
hat, bald (Abb. 2 Himantarium) mit der Hypocoxa zusammen wie ein mehr
einheitlicher ringartiger und wulstiger Wall die Eucoxa umgibt (Perieoxa
typisch). — Zwischen diesen coxalen Organen einerseits und der geschilderten
Oberreihe des Eupleurium andererseits befindet sich nur Pleuralhaut, dagegen
lagern weiterhin noch zwei bis mehrere Euplewrium-Sklerite. Meistens
findet man zwei derselben (Abb. 1a und b) und dann liegen sie gerade
11] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 359
über einander, zwischen poststigmalem Sklerit und Metacoxa. Mit den zu
1—2 vorhandenen unteren Pleuriten des Interkalarsegmentes bilden sie ein
oder zwei Eupleurium-Unterreihen. Zwischen Interkalarsternit und unterstem
Pleurit (ipl 2 Abb. 2) kann noch ein Sklerit vorkommen, pl 3, welches wahr-
scheinlich ein der Hypocoxa der Hauptsegmente vergleichbares interkalares
Gebilde vorstellt, übrigens bei Scolioplanes (Abb. 1) mit den interkalaren
Sternithälften verwachsen ist. Auf die oberhalb der Metacoxa gelegenen
hinteren Pleurite « und 5 werden wir weiterhin zurückkommen. Jetzt sei
nur noch erwähnt, dass sich hinter der Eucoxa ein ausgedehnter häutiger
Bezirk vorfindet (k Abb. 2), welcher dadurch veranlasst wird, dass die Beine,
wenn sie nach Beendigung der jedesmaligen Vorwärtsbewegung des Körpers
mit dem Rumpfe in Berührung kommen, namentlich hinten am Grunde
gegen den Rumpf gedrückt werden, sodass die Körperwandung hier be-
sonders biegsam sein muss, um dem Andrängen nachgeben zu können.
Die eoxopleuralen Gebilde der Geophilomorpha sind zuerst eingehender
beschrieben und abgebildet worden durch F. Meinert im ersten Teil seiner
Myriapoda Musaei Hauniensis; etwas deutlicher dargestellt wurden sie durch
R. Latzel 1880 in seinem Handbuch über die Myriapoden der österreichisch-
ungarischen Monarchie. Später sind sie noch mehrfach bei bekannten und
neuen Formen in ähnlicher Weise von mehreren Forschern berücksichtigt
worden, wobei aber die Behandlung der Geophiliden in dem Buche A. Ber-
leses „Acari, Miriapodi e Scorpioni italiani‘“ Latzel gegenüber einen
Rückschritt darstellt. Neuerdings erschien C. Attems „Synopsis der Geo-
philiden“ in den zoolog. Jahrbüchern 1903, 18. Bd. 2. Hft., wo sich der
Verfasser im Kapitel „Rumpf“ folgendermaassen äussert 8.61: „An die
Ventralplatten grenzen jederseits zwei Platten an, die ich ventrale Pleuren
nenne; jede ist ungefähr dreieckig, und sie umgreifen die Ventralseite der
Beinbasis. Ihre Deutung ist eine verschiedene, Verhoeff will sie als
Hüften aufgefasst wissen, doch spricht ihre Gestalt, flächenhafte Gebilde,
welche auf grosse Streeken hin die Körperwandung bilden, ebenso wenig
dafür wie der Umstand, dass das erste Beinglied nach meiner Auffassung
(zweites Glied nach Verhoeff) aus zwei Halbringen zusammengesetzt ist,
was bekanntlich schon lange als typische Form der Chilopoden-Hüfte erkannt
wurde nie dage en beim Trochanter oder zweiten Glied beobachtet wurde.“
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46*
360 Karl W. Verhoeff, Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. [12]
Eine derartige Schilderung meiner Anschauungen ist nur möglich,
wenn Attems meine betreffenden Arbeiten, also insbesondere den zwei
Jahre vor seiner Synopsis veröffentlichten XV]. Aufsatz meiner „Beiträge“
u.s. w. entweder überhaupt nicht oder nur oberflächlich angesehen hat,
denn dass ich die Eucoxa als „zweites Glied“ aufgefasst hätte, ist ebenso
unrichtig wie die Behauptung, ich hätte die „ventralen Pleuren* (= Hypo-
cora mihr) „als Hüften“ bezeichnet. Nicht minder unrichtig ist die Be-
hauptung, dass diese Teile „flächenhafte Gebilde“ vorstellten, da es sich in
Wirklichkeit um hohle, gewölbte Wülste handelt, welche mit der Gestalt
von Muschelschalen einige Ähnlichkeit haben. Endlich bringt Attems die
alte Latzelsche Anschauung von den „zwei Halbringen“ der Eucoxa
wieder, welche ich bereits 1901 abgetan hatte. Er zeichnet in seiner Abb. 43
(50. Segment von Geophilus electrieus) unter „c“ auch ganz deutlich zwei
vollkommen getrennte Halbringe, daher es so aussieht, als wenn es keine
Costa coxalis gäbe.') 1901 habe ich aber z. B. auf S. 350 ganz ausdrück-
lich über die „vier Abschnitte“ gesprochen, aus welchen „nach meinen
Untersuchungen die Hüften der Laufbeine der Scolopendriden bestehen“, so-
dass jedes Missverständnis ausgeschlossen war. Ausserdem sind auf Taf. XV
in Abb. 12 und 13 entsprechende Teile eines Geophilomorphen (Meeisto-
cephalus) zur Darstellung gebracht worden
Es ist also bisher nicht nur kein eingehender Versuch gemacht
worden, die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden durch vergleichend-
anatomische Untersuchung einheitlich aufzufassen, sondern es sind auch bis
in die neueste Zeit die Hüften der G@eophilomorpha sowohl als auch der
anderen Ordnungen nicht genügend klargestellt worden.
1) In seiner nebenstehenden Abb. 42 hat er für das Kieferfusssegment des @. electricus
ein ganz selbständiges Sternit gezeichnet, was ebenfalls auf einem Irrtum beruht.
II. Scolopendromorpha, Skolopender.
a) Bau der typischen Rumpfsegmente bei verschiedenen Gattungen.
Die Coxopleuralteile zeigen innerhalb der Skolopender - Gruppen
bedeutende Verschiedenheiten. Ich kann hier nicht auf alle bekannten
Gattungen eingehen, aber immerhin soll die Mehrzahl derselben berücksichtigt
werden. Bisher hat auf diesem Gebiete bis in die neueste Zeit ein geradezu
erstaunliches Dunkel geherrscht, was um so merkwürdiger ist, als man bei
den Scolopendriden besonders über die geringe Zahl brauchbarer systematischer
Handhaben klagte, und wiederholt eifrig nach bedeutsamen Organisations-
Unterschieden gesucht worden ist. Latzel sagt auf S. 137 seines Hand-
buches: „Bei der Gattung Cryptops sind die Pleuren, welche bei Scolopendra
zum allergrössten Teile noch ziemlich weich und faltig bleiben und nur
am letzten Segmente eine mächtige, schildartige Entwicklung zeigen, bereits
an allen Segmenten in einzelne Schildehen von bestimmter Lagerung, Form
und Anzahl differenziert.“ Dazu gibt er seine Abb. 51, welche die wichtigsten
eoxopleuralen Gebilde erkennen lässt, doch ist die Eucoxa wenig deutlich
und die Costa fehlt. Bei Scolopendra sagt er S. 139 nur „die Pleuren sind
sehr faltig und zähhäutig, am letzten Segmente schildartig.“
1887 in den „indisch-australischen Myriopoden“ I. Chilopoden, S. 9
schreibt E. Haase: „Bei den Scolopendriden bilden sich die Pleuralschilde
besonders in den Gattungen Oryptops und Cormocephalus aus.“ 8.38: „Von
den Pleuralschilden (der Seolopendriden) sind besonders die vorderen, die
episternalen, stark entwickelt, die hinteren, die epimeralen, seltener. Zwischen
den Rücken- und Bauchplatten entstehen noch oft besondere Schildehen,
welche ursprünglich Faltungen der Weichenhaut (Pleura) entsprechen und
erst bei den Geophiliden festere Umgrenzung und damit grössere morpho-
logische Wichtigkeit gewinnen.“ (Wir werden sehen, dass das letztere
durchaus unrichtig ist, da deutlich umgrenzte Pleurite in mehr oder weniger
362 Karl W. Verhoeff, [14]
grosser Zahl auch bei Scolopendromorpha überall vorkommen.) Bei Scolo-
pendra 8.41 sagt er nur: „Pleuren vorn weich, sehr faltig, nach hinten
‘ zu schildartig ausgebildet.“ — In seiner Abb. 3 und 4 sind die vordersten
Rkumpfsegmente von Scolopendra subspinipes und Cormocephalus aurantüpes
ausgebreitet dargestellt, wobei aber die coxopleuralen Teile so unvollständig
und unrichtig zur Anschauung gelangen, dass ich nicht näher darauf ein-
zugehen brauche.
In seiner „Revision der Scolopendriden“, Hamburg 1903, klagt
Kräpelin über die „Schwierigkeiten“, welche nach ihm „in erster Linie
in den Objekten selbst mit ihrer ungemein gleichartigen Ausbildung fast
aller charakteristischen Organe“ liegen sollen. Nach meinen Untersuchungen
sind allerdings auch Schwierigkeiten vorhanden, aber sie liegen nicht allein
in den Objekten, sondern auch darin, dass die bisherigen Forscher die Schwierig-
keiten hinsichtlich der Beurteilung der Organisation erst zu einem geringen
Teil überwunden haben. Die Objekte selbst sind durchaus nicht „ungemein
gleichartig“. Kräpelin hat seine Untersuchungen offenbar vorwiegend mit
der Lupe angestellt, eine Methode, welche höchstens bei den Riesenformen
gestattet werden kann. Daraus erklärt es sich aber auch, dass er auf S. 15
z. B. sagt: „Da die Chitinhaut, welche Rückenplatten und Bauchplatten
verbindet, nicht, wie bei den Geophiliden, eine Anzahl stärker chitinisierter
und daher scharf abgegrenzter Plättehen oder „Pleuralplatten“ enthält, so
eignet sich die Skulpierung der Seitenteile in den Rumpfsegmenten nur
wenig zur Gewinnung ausgeprägterer Merkmale.“ —
Nach meinen Untersuchungen bieten uns die coxopleuralen Gebilde
der Scolopendromorpha eine Mannigfaltigkeit dar, welche derjenigen der
Geophilomorpha durchaus nicht nachsteht. Im ganzen genommen ist wohl
ein Teil der betreffenden Gebilde der Skolopender weniger auffallend als
bei jenen, aber das ist einerseits bei manchen Gattungen wie Ethmostigmus,
Cryptops und Trigonocryptops überhaupt nicht der Fall, andererseits ist das
jedenfalls kein Grund, diese Gebilde unberücksichtigt zu lassen.
Die Eucoxa der Skolopender ist mehr ausgestaltet als die der @Geo-
philomorpha. Vor allem finden wir nicht einen Halbring- wie dort, sondern
durch Ausbildung eines hinter der Hucoxa inferior gelegenen, meist sichel-
artig gestalteten Stückes, welches ich Eucoxa posterior nenne, ist ein drei
[15] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 363
Viertel-Ring entstanden, d.h. die Umgebung des Telopoditgrundes erscheint
höchstens noch zu einem Viertel häutig und diese Strecke befindet sich
hinten oben (Abb. 19, 24, 25). Ausnahmslos umgreift das obere Ende der
Eucoxa ein gebogenes Pleurit von mehr oder weniger sichelartiger Gestalt
und wölbt sich häufig wulstartig vor, sodass das obere Eucoxa-Ende mehr
oder weniger in die Tiefe sinkt. Es handelt sich um die Katopleure, welche
nach Gestalt und Lage sich als homolog ergibt derjenigen Katopleure,
welche ich in der Arbeit Nr. 2 von Lithobius beschrieben habe. Aber auch
der oben von den Geophtlomorpha genannten Katopleure entspricht dieses
Sklerit, da es die Eucoxa von oben umgibt und auch zur Hypocoxa die
gleiche Lage einnimmt. Das obere Ende der Eucoxa kann nun bei Scolo-
pendriden bemerkenswert verschiedene Ausbildung erfahren, indem sich dort
entweder ein einfacher Bogen oder ein umgebogener Zipfel befindet, so bei
Cryptops Abb. 46, Theatops Abb. 23 und 24, oder der umgebogene Zipfel
mehr oder weniger deutlich von der Eucoxa superior abgesetzt ist, so bei
Newportia Abb. 26, Scolopendra subspinipes und Alipes multicostis Abb. 30,
oder ein ganz selbständiges kleines Sklerit auftritt, welches naeh oben als
Zapfen gelenkig in die Konkavität der Katopleure eingreift, nach unten zu
verbreitert und schwächer ist und vorn ein Grübchen besitzt, in welches
das verschmälerte obere Ende der Eucoxa superior gelenkig eingreift, so
bei Cormocephalus Abb. 25 und Rhysida Abb. 29. Einen Übergang zu der
letzteren Erscheinung bildet Ethmostigmus trigonopodus, indem bei dieser
Form oben an der Eucoxa ein Zapfen in die Katopleuren - Höhlung eingesenkt
ist, aber das zugehörige oberste Stück noch nicht vollständig sich von der
Eucoxa superior abgelöst hat. Endlich zeigt uns noch Trigonoeryptops gigas
(Krpl.) Abb. 21 und 22 einen merkwürdigen Fall. Hier ist nämlich eine
sehr deutliche Zweiteilung der Katopleure erfolgt, die Teilhälften sind offen-
bar etwas gegen einander drehbar, — was geschehen wird, wenn das Bein
stark emporgezogen wird — und unter der Trennungsnaht befindet sich
ein längliches Sklerit, welches ganz selbständig zwischen Katopleure und
Eucoxa liegt. Trotzdem wird aber, im Gegensatz zu den durch Cormocephalus
vertretenen Fällen, der Gelenkhöcker, mit welchem die Kucoxa an die Kato-
pleure stösst (Abb. 22), von der Eucoxa selbst gebildet und nicht von
dem Zwischensklerit. Der Gelenkhöcker bildet übrigens vorn auch eine
364 Karl W. Verhoeff, [16]
schwache Gelenkverbindung mit der Procoxa und trennt diese von dem
Zwischenstück.
Bei den Geophilomorpha kommt ein solches Zwischenstück überhaupt
. nicht vor, dagegen habe ich bei Zithobius 1902 in den Nova Acta ein mit
der Eucoxa in näherem Verband stehendes, oberhalb der Eueoxa superior
befindliches Sklerit als Coxopleure beschrieben. Auch bei Lithobius springt
die Coxopleure nach oben mit einem Lappen gegen die Katopleure vor, sie
ist aber im übrigen grösser als das Zwischenstück der Skolopender und
der Katopleure nicht so stark genähert. Obwohl sie auch kein eigentliches
Gelenk mit der Katopleure bildet, sondern nur ein Widerlager in dieser
findet, wenn sie sich ihr unter Zusammendrängung der Zwischenhaut nähert,
so liegt doch auf der Hand, dass das Zwischenstück der Coxopleure der
Lithobüden homolog ist und daher auch gleich zu bezeichnen. Was soeben
über die Verschiedenheit der Ausbildung dieser Coxopleure der Scolopendro-
morpha gesagt wurde, zeigt schon, dass dieselbe sich innerhalb dieser
Ordnung als eine allmähliche Ablösung von der Eucoxa darstellt, nach der
Ablösung aber verschieden verhalten kann.
Die Procoxa und Metacoxa zeigen hauptsächlich zwei Ausbildungs-
weisen. In dem ersten Falle sind sie an Grösse einander ungefähr gleich
und stossen neben dem mittleren Teile des Seitenrandes ungefähr in einem
Punkte, zugleich mit der Eucoxa an einander; so bei Oryptops Abb. 3 und 4
und Trigonoeryptops Abb. 21. Im zweiten Falle übertrifft die Procoxa mehr
oder weniger stark an Ausdehnung die Metacoxa und die Kucoxa grenzt auf
breiterer Strecke dicht an den Sternitseitenrand, sodass also Pro- und Meta-
coxa breit von einander getrennt sind. Das stärkere Überwiegen der Pro-
coxa kann uns nicht verwundern, nachdem wir gesehen haben, dass bereits
bei den Geophilomorpha die Eucoxa sich mehr der vorliegenden Procoxa
andrängt. Bemerkenswert ist die Gliederung, welcher sowohl die Pro- als
auch Metacoxa anheimfallen kann. Die Gliederung der Procoxa besteht
meist in einer Dreiteilung, die durch Furchen hervorgerufen wird, welche
hinter der Eucoxa ‚superior beginnen und deren obere nach vorn zieht,
während die untere meist schräg nach vorn und unten gegen das Sternit
gerichtet ist, so bei Otocryptops (Abb. 19) und Cormocephalus (Abb. 25), daher
wir eine Procoxa superior, media und inferior zu unterscheiden haben.
[117] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 365
Bei Cryptops (Abb. 3 und 4) handelt es sich nur um eine Zweiteilung, also
Procoxa superior und inferior, wobei aber auffällt, dass die obere Procoxa
besonders scharf abgesetzt ist und mit einem oberen Fortsatz gegen den
oberen Bogen der Eucoxa superior zieht, mit ihr ein schwaches Gelenk
bildend. Die Metacoxa kann einfach sein, so an den hinteren oder auch
allen Segmenten von Cryptops (Abb. 3), ferner bei Theatops (Abb. 23) und
Newportia (Abb. 26) in zwei hinter oder übereinander gelegene Teile zer-
schnürt, wie bei Otocryptops (Abb. 19), Cormocephalus (Abb. 25) und Scolo-
pendra (Abb. 6) oder in noch mehr Stücke zerlegt, wie bei manchen
Segmenten von Trigonoeryptops Abb. 21 und 27. Übrigens befindet sich an
den Sternit-Hinterecken noch ein besonderes, immer durch eine Längsreihe
kurzer Tastbörstchen ausgezeichnetes Plättehen, welches ich in der Arbeit
Nr. 4 auf S. 238 bereits als Suprasternalsklerit erwähnt habe. Es ist manch-
mal schwer zu entscheiden, ob es dem Sternit oder der Metacoxa zuzurechnen
ist, und will ich weiter unten darauf zurückkommen. Bei manchen Scolo-
pendriden tritt an der Procoxa eine mehr unregelmässige Runzel- Furchung
auf, so z. B. in der Vorderhälfte der unteren und mittleren Procoxa bei
Otoeryptops rubiginosa (Abb. 19) und Scolopoeryptops miersü, während bei
Rhysida longipes (Abb. 29) die ganze Procoxa durch Runzel-Furchung ge-
gliedert ist. Parallele Erscheinungen treten auf an der Katopleure und dem
vorderen und hinteren Drittel der Sternite (Abb. 19 und 29), wo es sich
hauptsächlich um quere Furchen handelt. Die Procoxa von Trigonoeryptops
gigas (Abb. 21) ist auffallend durch den vorn erweiterten untersten Abschnitt.
Wir kommen jetzt zu denjenigen Pleuralgebilden, welche sich ausser-
halb der Kucoxa und Pericoxa noch in der Pleurenhaut zerstreut finden und
wollen, anschliessend an die Geophilomorpha zunächst Cormocephalus ins Auge
fassen (Abb. 25). (Sehr ähnlich ist auch Trachycormocephalus mirabilis Porat.)
Cormocephalus büttneri Krpl. besitzt ein so reich gegliedertes Pleural-
gebiet, dass selbst viele Geophiliden dagegen zurückstehen und wenn man
glauben sollte, bei dieser Form fände sich das nur deshalb, weil ihre Pleural-
sklerite zarter Natur sind, so will ich gleich noch Ethmostigmus trigonopodus
anführen, dessen Pleuralgebilde sehr ähnliche Beschaffenheit, zugleich aber
auch stärkere Konsistenz zeigen, im Verhältnis zur Körpergrösse ähnlich
den typischen Verhältnissen bei den Geophrlomorpha.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 47
366 Karl W. Verhoeff, [18]
Cormocephalus besitzt, ähnlich Himantarium (siehe oben), eine Ober-
reihe und zwei Unterreihen. Vor allem fällt auf eine grosse und namentlich
recht langgestreckte Anopleure in der oberen Unterreihe (Mittelreihe). Sie
wird flankiert oben und unten von einem etwas schmäleren und kürzeren
Pleurit, sodass wir obere, mittlere und untere Anopleure unterscheiden können.
In der Oberreihe haben wir also 1. Nachstigmenplatte, 2. Stigmenplatte,
3. Vorstigmenplatte (hintere Oberanopleure), 4. obere Anopleure, 5. oberes
Interkalarpleurit. In der oberen Unterreihe finden sich noch drei Platten
ausser der Haupt-Anopleure, nämlich zwei hintere Pleurite und ein kleines
Interkalarpleurit. In der untersten Reihe haben wir nur die untere Anopleure,
doch können bei manchen Formen hinter der Katopleure noch ein oder
mehrere recht kleine Pleurite auftreten. Die hinter den oberen und mittleren
Anopleuren gelegenen vier Pleurite, Stigmenschild, Poststigmal- und zwei
Substigmalplatten (Abb. 25a, c, stp und stpp) sind in.den stigmentragenden
Segmenten nicht überall gleich gross, namentlich ist ce meistens kleiner als
in dem Fall der Abb. 25, nämlich von ungefähr gleicher Grösse mit a.
Über die starke Entwicklung der vorderen Substigmalplatte c in den stigmen-
losen Segmenten vergleiche man das weiter unten bei T’heatops mitgeteilte.
Ein kleines Sklerit kann namentlich in den stigmenlosen Segmenten auch
noch unterhalb der Platte c auftreten. Diese 4—5 Pleurite (Abb. 25 stp,
stpp, a und c), welche ich oben auch von den Geophilomorpha namhaft ge-
macht habe, zu denen bei manchen Skolopendern noch einige weitere kleine
Sklerite hinzukommen können, fasse ich als peristigmatische oder kurz
Peripleuren zusammen, d. h. also die Pleurite des Eupleurium nach Abzug
der Katopleuren und der Anopleuren. Bei manchen anderen Scolopendro-
morpha wie namentlich Scolopendra (Abb. 6) oder auch Otocryptops (Abb. 19)
ist das Eupleurium viel häutiger beschaffen, weil die Pleurite viel geringere
Entwicklung zeigen. Zum Vergleiche mit den G@eophilomorpha sind daher
Formen wie Cormocephalus und Ethmostigmus besonders geeignet und wert-
voll. Im Vergleich mit den Geophilomorpha begegnen uns bei Cormocephalus
aber dennoch bedeutende Unterschiede, welche zunächst die Interkalar-
segmente betreffen. Zwar sind diese auch bei Cormocephalus noch gut ent-
wickelt, aber doch nicht in der Stärke, wie sie bei den G@eophilomorpha
allgemein beobachtet wird. Die Tergite sind sehr scharf begrenzt, kräftiger
[19] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 367
als bei Scolopendra, aber bei gewöhnlicher Haltung dieser Tiere von aussen
auch nicht deutlich wahrzunehmen, jedenfalls grösstenteils versteckt unter
der Hinterrandduplikatur der Haupttergite, ein Verhältnis, welches für die
Scolopendromorpha als typisch gelten kann, denn selbst bei Thheatops, New-
portia, Oryptops und Trigonoeryptops, wo die Interkalartergite am stärksten
entwickelt sind, bleiben sie zum grösseren Teil verdeckt und mithin schwächer
als bei den Geophilomorpha. Sehr deutlich ist bei Cormocephalus die Zwischen-
haut, welche Tergit und Interkalartergit trennt. Erwähnt wurden schon
zwei obere interkalare Pleurite, grössere in der Oberreihe, kleinere in der
Mittelreihe des Eupleurium liegend. Die Sternithälften (Abb. 25) sind, wie
so oft bei den Skolopendern, jederseits wieder in zwei Hälften zerschnürt,
grössere aussen und kleinere innen gelesen. Vor der Procoxa befindet sich
“ eine längliche, ziemlich grosse untere Interkalarpleure. Zwischen dieser
und den oberen Interkalar-Pleuriten findet man ein grosses häutiges Feld,
ein auffallender Unterschied gegenüber den durch Abb. 1 und 2 erläuterten
Verhältnissen bei den Geophilomorpha. Ferner fällt auf, dass das sehr grosse
Interkalarpleurit der letzteren, welches mehr oder weniger auch in den
Bereich des Hauptsegmentes übergreift, bei Cormocephalus und Verwandten
kein unbedingt sicheres Gegenstück besitzt, während umgekehrt die drei
länglichen, über einander lagernden Anopleuren von Cormocephalus, welche
sich zwischen Atemschild und oberen Interkalarpleuriten ausdehnen, kein
Gegenstück finden bei Scolioplanes und Himantarium, indem deren grosses
Interkalarpleurit dicht vor dem Stigmaschild lagert. Für die interkalare
untere Pleuralplatte von Cormocophalus finden wir bei Himantarium (Abb. 2)
ein Gegenstück, aber über derselben liegen hier wieder die Pleurite pl 1
und :pl 2, welche bei Cormocephalus fehlen. Die Pleurite a, 5b, c von
Himantarium haben ihre Homologa in 2—3 Skleriten, welche wir bei
Cormocephalus und Ethmostigmus ebenfalls hinter der Verbindungslinie von
Stigma- und Katopleure antreffen. In der hinteren Hälfte des Eupleurium
(in den peristigmatischen Pleuriten) herrscht also zwischen Cormocephalus
und Himantarium weitgehende Übereinstimmung, sodass wir die namhaften
Unterschiede in der Vorderhälfte in erster Linie auf Kosten der sehr ver-
schieden starken Entwicklung des Interkalarsegmentes zu setzen haben.
Dasselbe ist bei jenen Geophilomorpha ungefähr halb so ausgedehnt wie
47*
368 Karl W. Verhoeff, [20]
das Häuptsegment, bei diesen Skolopendern dagegen nimmt es nur etwa den
sechsten Teil des Flächenraumes des Hauptsegmentes ein. Hinsichtlich der
Homologisierung von Geophrlomorpha einerseits und Skolopendern wie Cormo-
cephalus und Ethmostigmus andererseits bin ich zu dem Ergebnis gelangt,
dass mit der Verkleinerung der Interkalarsegmente auch die grossen Inter-
kalarpleurite abgeschwächt wurden, sodass die Sklerite «pl und ipl 1 der
Abb. 2 von Himantarium homolog gesetzt werden können den beiden oberen
Interkalarpleuriten von Cormocephalus (Abb. 25). In dem Maasse, wie sich
die Imterkalarsegmente verkleinerten, vergrösserten sich die Hauptsegmente,
sodass mun zwischen dem eine mehr nach hinten gerückte Lage einnehmenden
Stigmenschtld und den oberen Interkalarpleuriten für neue Sklerite Platz
wurde. Vergleichen wir die Atemschildchen der Erdläufer mit denen der
Skolopender, so muss uns bald auffallen, dass die der ersteren durchgehends
viel grösser sind als die der letzteren. Während bei den Geophilomorpha
die Ausdehnung des Stigmas gering ist im Verhältnis zur Stigmaplatte,
sehen wir umgekehrt, dass bei den Scolopendromorpha die Stigmaplatte, so-
weit sie überhaupt das Stigma enthält, im Vergleich mit dem Stigma nur
einen bescheidenen Raum einnimmt (vgl. Abb. 1 und 2 mit 25, 26 und 29).
Aus diesen und den oben geschilderten Verhältnissen ziehe ich den Schluss,
dass die neu auftretenden Pleurite, oder doch wenigstens das erste derselben,
durch Ablösung vorn von der Stigmenplatte entstanden sind, d.h. die Ano-
pleuren Abkömmlinge der Urstigmenplatten vorstellen, wie sie bei den Geo-
philomorpha vorkommen.
Es ist aber noch eine zweite Theorie zu berücksichtigen. Man könnte
nämlich von der Ansicht ausgehen, dass das Vorkommen einer selbständigen
Anopleure den ursprünglichen Zustand vorstelle, eine Möglichkeit, welche
zu prüfen sein wird durch weiteres Studium der Geophilomorpha. Dann
müssten die grossen Interkalarpleurite der Erdläufer sekundär entstanden
sein durch Verschmelzung eines interkalaren, oberen primären Pleurites mit
einer Anopleure. Zur Zeit halte ich aber die erstere T'heorie für die richtige,
zumal wir sonst nirgends eine Verschmelzung von Skleriten der Haupt-
und Interkalarsegmente bei den @eophilomorpha beobachtet haben und die
im Vergleich mit diesen durchgehends schwächeren Interkalarsesmente der
Scolopendromorpha viel eher ein derartiges Vorkommnis erwarten liessen,
[21] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 369
während wir gerade umgekehrt bei den Skolopendern ein oder mehrere
deutliche, wohl umschriebene Anopleuren festgestellt haben.
Cormocephalus und Ethmostigmus (vergl. unten auch Cupipes) liefern
uns aber Fälle der stärksten Pleuritenausprägung unter den Scolopendro-
morpha. _ Bei Otoeryptops (Abb. 19) treffen wir nur eine Anopleure von
ähnlicher länglicher Gestalt wie die Stigmaplatte, auch nur eine kleine
obere Interkalarpleure ipl. Die Interkalartergite sind noch schwächer als
bei Cormocephalus und die Sternithälften bestehen nur aus einem Stück.
Dieser Fall der Ausbildung einer einzigen grösseren Anopleure ist aber
bei den Skolopendern nicht selten, er gilt namentlich auch für Oryptops
(Abb. 3 und 4) sowie T’rigonoeryptops (Abb. 21), wobei diese einzige Anopleure
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Abb. 3.
Oryptops hirsutulus n.sp. Das 18. und 19. Rumpfsegment auseinandergebreitet, nebst den dazwischen
liegenden Interkalarteilen. — Etwa S0f. Vergr.
langgestreckt erscheint und bei letzterer Gattung durch Herandrängen an
die Katopleure unten etwas eingebogen. Diesen beiden Gattungen gemein-
sam ist auch. das Vorkommen eines Suprastigmalpleurites, welches sich in
schmaler, gestreckter Gestalt (Abb. 3 sstp) dicht über dem Stigma befindet,
in stigmenführenden und stigmenlosen Segmenten x. Dahinter steht ein
zweites, längliches Plättchen stpp. Als Paratergite können diese Pleuren,
auf welche ich weiter unten zurückkomme, nicht in Betracht kommen, weil
dann auch vor oder hinter ihnen entsprechende Bildungen erwartet werden
müssten und weil ausserdem bei Cryptops und Trigonoeryptops sehr deutliche,
scharf umgrenzte Paratergite an den Tergitseiten vorhanden sind (Abb. 3
370 Karl W. Verhoeff, [22]
pt1, pt 2, ipt). Die von den Geophilomorpha beschriebenen Substigmalpleurtte
(Abb. 1 und 2 abc), welche bei Cormocephalus (Abb. 25 a, ec) und Ethmo-
stigmus ebenfalls gut ausgebildet sind, fehlen bei Oryptops (Abb. 3) und
Trigonoeryptops (Abb. 21) vollständig, bei Otoeryptops (Abb. 19 y) bis auf
geringe kleine Überreste. Eine Mittelstellung hinsichtlich des Eupleurium
nehmen mehrere Gattungen ein, z. B. Cupipes und Anodontostoma, welche
zwei längliche Anopleuren besitzen und unten näher besprochen werden.
Weiterhin werde ich noch auf das Eupleurium verschiedener anderer
Skolopender-Gattungen zurückkommen.
Hier werfen wir zunächst einen Blick auf das coxopleurale Gebiet
der von mir bereits in der Arbeit Nr. 2 geschilderten Gattung Lithobius.
Von den zahlreichen Pleuriten der
han]
3 pi Geophilomorpha zu den spärlichen
EIN der Lithobius führen uns durch ver-
schiedene vermittelnde Stufen hin-
durch die oben geschilderten und
weiter unten behandelten Gattungen
der Scolopendromorpha, ohne dass
aber eine vollständig zusammen-
Abb. 4. hängende Reihe bis zu den Erd-
Cryptops baltieus n.sp. © Coxopleurale Organteile Jäufern vorläge. Innerhalb der S%olo-
des 19. Rumpfsegmentes. — 1S0f. Vergr.
pender treffen wir eine allmähliche
Abstufung der Eupleurium-Sklerite und die Reihe wird jedenfalls mit weiteren
Untersuchungen auf diesem Gebiete noch geschlossener werden.
Wie Abb. 3 zeigt, ist die Eucoxa von Cryptops im Verhältnis zur
Hypoeoxa immer noch klein zu nennen, aber doch schon kräftiger ent-
_ wiekelt als bei den @eophilomorpha. Pro- und Metacoxa sind stark aus-
gebildet und erstere besonders scharf zerlegt in Procoxa superior und in-
ferior. Hinter der Eucoxa bemerken wir wieder das freie häutige Gebiet,
welches der Beinexkursion nach hinten Raum geben soll. Die Procoxa
superior pcos ist ein ovales bis dreieckiges Stück, welches mit einem ver-
schmälerten Zipfel sich hinten oben an einen bogigen Wulst der Eucoxa
anlehnt und ein unvollkommenes Gelenk mit ihm bildet. Die Eucora weicht
von der der @eophilomorpha nicht unerheblich ab, indem man an ihr, wie
[23] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. a:
schon kurz erwähnt, nicht zwei sondern drei Abschnitte unterscheiden kann,
von denen der dritte, die Zucoxa posterior (eup Abb. 4), von der Eucoxa
inferior deutlich durch Haut getrennt ist und in schmalem Bogen hinten
um den Telopoditgrund herumgreift. Die Costa coxalis ist komplizierter
beschaffen als bei den Geophtlomorpha, trennt aber mit ihrer Anwachsungs-
stelle, die äusserlich durch eine Furche zum Ausdruck kommt, ganz wie
dort Eucoxa inferior und superior. Letztere springt nach oben in einen
gebogenen, schon erwähnten, der oberen Procoxa entgegen gekrümmten
Wulst vor, welcher weiter nach hinten durch einen schmalen Streifen in
den Bogen der Eucoxa posterior übergeht und damit nach oben die Gelenk-
grube zwischen Coxa und Telopodit abschliesst. Die Eueoxa inferior er-
scheint von aussen beinahe viereckig und ist unten abgerundet. Die Kucoxa
inferior berührt beinahe den Seitenrand des Sternit, so dass Pro- und Meta-
coxa ein wenig von einander getrennt sind. Oberhalb des umgeschlagenen
Sternit-Seitenrandes findet sich innen ein länglicher Zapfen (e Abb. 4),
welchen ich als Sternitseitenrandzapfen (Conus lateralis sterni) bezeichne
und welcher der grundwärts nach hinten umgebogenen (« 2) Costa coxalis
als Stütze dient und unten bei Scolopendra genauer behandelt wird. Beide
sind durch einen Chitinstrang verbunden, aber gleichzeitig gelenkig gegen
einander beweglich. Am Endrande der Eucoxa bildet die Costa einen drei-
eckigen, gefurchten Zapfen «@/, um welchen sich der Trochanter dreht.
Ausserdem stellt die Costa keine einfache Kante dar, sondern springt mit
einem starken Fortsatz («) nach innen vor. Dieser Fortsatz (Processus costae)
ist endwärts in der Nähe der Coxo-Trochanteralgelenk-Ebene am längsten,
wird aber gegen den Grund der Eueoxa immer niedriger. Die Costa cowalis
dient Muskeln zum Ansatz und zwar teils den direkten Muskeln, welche
an den Telopoditgrund ziehen, teils sternalen (vergl. Abb. 3 im 6. Aufsatz
über Tracheaten-Beine, Archiv f. Nat. 1904). Der Processus costae bildet
eine verstärkte Stütze für die Eucoxa und das auf dieser ruhende 'Telopodit.
Die Eucoxa von Cryptops ist also weder ein Zylinderglied noch ein vollständiger
Ring, sondern ein konkaves Band, an dessen Mitte sich innen ein mit einem
Fortsatz auslaufendes Endoskelettstück ansetzt und welches vorn und hinten
einen schmäleren Bogen entsendet, welche sich oben als sehr schmales
Bändchen vereinigen. Der wulstige Bogen (6 Abb. 4) oben an der Hucoxa
312
Karl W. Verhoeff,
[24]
superior trennt die obere Procoxa von einem weiter hinten gelegenen Bezirk ,
welcher kein deutliches Sklerit vorstellt, sondern grösstenteils häutiger
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Abb. 6.
Scolopendra subspinipes Leach. Das 12. und 13. Rumpfsegment
von aussen gesehen; die häutigen Bezirke sind punktiert angelegt. —
Ungefähr 5f. Vergr.
Natur ist, oben aber durch einen wulstigen Bogen abgegrenzt erscheint, so
dass er den Eindruck eines hinteren Gegenstückes der oberen Procoxa
hervorruft. Dieser Bezirk y Abb. 4 entspricht der Coxopleure von Trigonoeryptops.
[25] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 373
Scolopendra erscheint nach dem, was ich oben und auch weiterhin
über andere Skolopender-Gattungen ausgeführt habe, als eine Gruppe mit
stärkeren Rückbildungen von Eupleurium-Skleriten. An der Hand von
Scolopendra sollen aber vor allem Eucoxa, Costa coxalis und Conus lateralis
näher ins Auge gefasst werden.
Wir sehen in Abb. 6 und 7 an der Hand von Scolopendra subspinipes,
dass die eigentlichen Hüftteille denen von COryptops nicht sehr fern stehen,
doch muss hier auffallen, dass die Eucoxa verhältlich schwächer ist als
dort, obwohl sie einen noch kräftigeren, weit ins Innere vorragenden Pro-
cessus costae besitzt («e Abb. 7). Auf den ersten Blick scheint die Eucoxa
nur aus zwei Abschnitten zu bestehen, während sich deren bei genauerer
Abb. 7.
Scolopendra subspinipes. Eueoxa eines 13. Lauf-
beines von aussen (vorn) gesehen. (tr — Bein-
tracheen). — 5f. Vergr.
Betrachtung vier (fünf) unterscheiden lassen, jederseits der Anwachsungs-
stelle der Costa coxalıs zwei, nämlich ein nur sehr schmales Stück, welches
zunächst als Eucoxa inferior erscheint und eine durch Naht davon getrennte
scheinbare Eucoxa posterior, ferner eine sichelartige Eucoxa superior und
grundwärts an derselben ein dreieckiges Feld, oberhalb und vor der An-
wachsungsstelle der Costa, welches ich als Euco.ra triangularis bezeichnen
will (en Abb. 7). Diese Verhältnisse lassen sich bei den grösseren Scolo-
pendra-Arten schon mit guter Lupe feststellen. Um aber das Verhältnis
der einzelnen Hucoxa-Abschnitte, den genaueren Bau der Costa coxalis und
ihre Verbindung mit den Nachbarteilen auch mikroskopisch zu prüfen,
nehmen wir zunächst ein halbwüchsiges Stück von Scolopendra cingulata,
dessen coxopleurale Teile nach Maceration schön durchsichtig erscheinen.
Wir begegnen hier im wesentlichen denselben Teilen (Abb. 10) wie bei
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2. 48
374 Karl W. Verhoeff, [26]
subspinipes, doch konnte ich jene Furche, welche die Eucoxa triangularis
absetzt, hier nicht beobachten, aber feststellen, dass von der Costa coxalis
nach vorn ein Nebenast abgeht («/d Abb. 10), welcher so gelagert ist,
dass er sich innen über dem unteren Stück der Eucoxa superior befindet,
daher ich die Furche, welche das dreieckige Stück bei subspinipes ab-
setzt, ebenfalls als einen Ausdruck dieses Costa-Nebenstückes betrachte,
mithin als eine Ausgestaltung der Eucoxa superior. Die Linie «1 w be-
zeichnet die Richtung, in welcher die Costa coxalis an die Eucoxa gewachsen
ist, also auch die Grenzlinie zwischen Eucoxa inferior und superior. Hinter
dieser Grenzlinie findet sich eine über dem Seitenrand des Sternit (vr) quer
X
ng
Abb. 8. Abb. 9.
Scolopendra subspinipes. Trochanter eines Lauf- Scolopendra subspinipes. Coxalteile, Trochanter
beins von der grundwärtigen Fläche aus gesehen und Präfemur des 15. Laufbeinsegmentes, von
mit dem Doppelzapfen. (otr — obere Beintrachee.) aussen gesehen. — 5f. Vergr.
7 f. Vergr.
in die Tiefe ziehende Naht /!, welehe ein zwischen w und I gelegenes
schmales Feld abgrenzt, das wir oben vorläufig als Eucoxa inferior be-
zeichneten, welches aber ebenfalls nur ein Teil und eine Ausgestaltung der
fast den ganzen unteren Teil der Eucoxa ausmachenden Eucoxa inferior
ist, von welcher hinten dann durch einen deutlichen tiefen Einschnitt ein
länglicher Lappen x abgesetzt ist, welcher die im Verhältnis zu Oryptops
kleinere Eucoxa posterior vorstellt (Abb. 7 eup), von der dann oben ein
langer häutiger Bogen 5 wieder nach vorn zur Eucoxa superior führt.
Die Costa coxalis ist nicht nur an sich ein nicht ganz leicht zu
verstehende& Gebilde, sondern sie steht auch in merkwürdiger Beziehung
zu dem schon genannten Sternit-Seitenzapfen (Conus lateralis sternı), weleher
bisher bei Scolopendromorpha ganz unbekannt geblieben ist. Auch hier bei
[27] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 375
Scolopendra cingulata besteht eine Verbindung der Costa coxalis mit dem
Seitenrande des Sternit in der Weise, dass sie mit ihm in ihrer Grundhälfte
verwachsen ist und festgehalten wird durch eine Haut, welche als Fort-
setzung der Seitenrandduplikatur des Sternit nach innen und oben zieht und
den unteren Boden einer ziemlich tiefen Tasche bildet. Diese Seitenrandhaut,
Membrana conigera, verschmälert sich gegen Vorder- und Hinterecke des
Sternit und erscheint dadurch, von der Seite gesehen, annähernd dreieckig
(Abb. 10 77). Durch andere, chitinige Fasern ist das innere grundwärtige
Abb. 10.
Halbwüchsige Scolopendra eingulata Latr. aus Istrien. Ansicht von oben und
innen auf Eucoxa, Costa eoxalis und Membrana conigera (/f1) eines mittleren
Rumpfsegmentes, maceriert.
ng = Anwachsungsstelle des grossen, queren Coxosternalmuskels m.
€ —= Seitenzapfen.
a,a2,«3 — Hüftrippe.
140 f. Vergr.
Ende der etwas nach hinten gebogenen Costa auch mit Eucoxa und Hypo-
coxa verbunden. Die Costa ist bei Scolopendra der grösseren Tiefe der
Seitenrand-Tasche entsprechend viel mehr in das Körperinnere eingesenkt
und auch der Conus lateralis sterni befindet sich nicht, wie wir das oben
bei Oryptops gesehen haben, dicht am Sternit-Seitenrande, sondern tief im
Grunde der Seitenrandtasche versteckt. Das innere Ende der Costa zeigt
sich bei Scolopendra cingulata in zwei Arme geteilt, von denen der eine
(Abb. 10«£) die Fortsetzung der eigentlichen Costa bildet und sich dann
im Bogen nach innen und hinten wendet, (ich nenne ihn den Hornfortsatz),
a5*
376 Karl W. Verhoeff, [28]
während der andere, welcher als Lappenfortsatz «3 bezeichnet werden soll,
mehr nach aussen sitzt, ohrmuschelartig gebogen und nach hinten und
a
/ «3
ee.
Abb. 11.
Scolopendra subspinipes, erwachsen. Ansicht von oben und innen auf Eucoxa,
Costa eoxalis, Membrana conigera (//Z) eines mittleren Rumpfsegmentes, nebst
äusserem Drittel eines Sternit. x — Episternallinie. — (Schwach vergrössert.)
etwas nach innen gerichtet. Unter dem Lappenfortsatz, Lobus costae, befindet
sich an seinem Grunde eine tiefe, gebräunte Gelenkgrube i, in welche der
vordere Zipfel des Conus lateralis sterni eingreift. Letzterer besitzt bei
\
Abb. 12.
Scolopendra subspinipes, erwachsen. Ansicht von oben auf Costa coxalis
und Conus lateralis eines mittleren Rumpfsegmentes. — 30f. Vergr.
eingulata ungefähr die Gestalt eines halb eingekrümmten Fingers e, wird
vorn durch den Hornfortsatz gestützt und ist im übrigen nach hinten und
{er}
[29] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 377
aussen gebogen. Dieser Seitenzapfen ist also gelenkig gegen die Hüftrippe
beweglich, zugleich aber doch mit ihr und der Seitentasche durch Haut ver-
bunden. Der Seitenzapfen (Conus) ist ein eingestülptes Organ in der
Sternit-Seitentaschenhaut.
Abb. 11 zeigt die in Rede stehenden Gebilde von Scolopendra sub-
spinipes in ähnlicher allgemeiner Lage, aber mit auffallend anders ge-
staltetem Seitenzapfen. Ein Hornfortsatz fehlt hier oder er ist doch im
Vergleich mit cingulata so ausserordentlich klein (Abb. 12 2), dass im Zu-
sammenhang damit der Conus eine auffallend andere Lage einnimmt, nämlich
Abb. 13.
Scolopendra subspinipes. Ansicht von oben auf Costa cowalis, Conus lateralis,
die Muskeln beider und die vor der Costa befindlichen Tracheenrohre tr. —
40 f. Vergr.
mehr nach innen gerichtet. Das Gelenk zwischen Hüftrippe und Seiten-
zapfen tritt noch deutlicher hervor, letzterer selbt aber ist nur wenig ge-
bogen und jedenfalls ohne die starke bei cingulata so auffallende Aussen-
krümmung. Der Lappenfortsatz dagegen bedeckt ähnlich wie dort von
oben das Seitenzapfen-Gelenk. Es würde mich von meinem Thema zu
weit abführen, wollte ich alle zu den im vorigen besprochenen Teilen in
Beziehung stehenden Muskeln erschöpfend behandeln. Einige Muskeln aber,
welche zum Verständnis der Funktion des Seitenzapfens und der Hüftrippe
besonders wichtig sind, sollen hier besprochen werden. Quer über das
Sternit ziehen bei Scolopendra sehr starke coxosternale Muskeln (mm Abb. 13),
welche sich unterhalb des grossen Tracheenrohres befinden, welches zwei
378 Karl W. Verhoeff, [30]
Äste auch in das Bein-Telopodit entsendet (Abb. 8). Sie vereinigen sich
aussen vor der Costa zu einer starken Sehne (s. Abb. 11 und 12), welche
grundwärts an der Eucoxa superior ein wenig vor der Hüftrippe befestigt
ist und zwar an einer Stelle, welche bei cingulata narbenartig erscheint
(Abb. 10 ng), bei subspinipes durch ein kleines, ziemlich stark chitinisiertes
Grübchen markiert ist (ng Abb. 12). Am grundwärtigen Rande der Eucoxa
inferior sind mehrere Muskeln befestigt, welche das "Telopodit bedienen,
darunter auch zwei, welche am Rande des Lappenfortsatzes ausgebreitet
sind (Abb. 13 m7 und m 2) und das Telopodit heben (vergl. auch Abb. 8 m
und Abb. 7 s). Oben habe ich schon eine Naht angeführt, welche bei
Scolopendra an der Eucoxa inferior zwei Abschnitte trennt, einen schmäleren
vorderen und einen breiteren hinteren, welche wir als vordere und hintere
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Abb. 14.
Scolopendra subspinipes. Ansicht des Conus-Coxa-Gelenkes und der benach-
barten Muskeln der Eucoxa inferior. (Conus durchschimmernd.) — 30f. Vergr.
Eucoxa inferior unterscheiden können. Ich habe mich durch direkten Ver-
such bei subspinipes überzeugen können. dass diese beiden Teile der Kucoxa
inferior gegen einander beweglich sind. Die Nahtgrenze, welche diese beiden
Abschnitte trennt, zieht ebenfalls tief in die Sternit-Seitentasche hinein und
endet in der Nachbarschaft des Gelenkes zwischen Hüftrippe und Sternit-
Seitenzapfen (vergl. Abb. 10, 12 und 14 7), etwas unter und hinter demselben.
Am Grunde der Eucoxa inferior finden sich nun zwei Muskeln ausgebreitet,
deren einer ausschliesslich an der vorderen (Abb. 14 m5) und zwar gleich-
zeitig an der Hüftrippenhauptleiste, — deren anderer m# ausschliesslich
an der hinteren Hucoxa inferior befestigt ist. Diese Muskeln bedienen nicht
nur den Trochanter, sondern es kann durch ihre Kontraktion auch die
Eueoxa inferior-Wandung eingeknickt werden an der Nahtstelle zwischen
al Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 379
P p
vorderer und hinterer Eucoxa inferior. Im übrigen sind es direkte Coxal-
muskeln ebenso wie die beiden bereits genannten (Abb. 13 mI und m2),
welche am Rande des Lappenfortsatzes befestigt sind. Der Conus lateralis
besitzt bei Scolopendra subspinipes etwa folgende Gestalt: Von der Seite
betrachtet ist er aussen verbreitert, am Ende leicht eingebuchtet, innen mehr
gleichbreit und am Ende abgerundet (Abb. 11—14). Durch Hin- und Her-
drehen kann man sich bald überzeugen, dass das äussere Gebiet des Seiten-
zapfens hinten tief eingedrückt ist, Abb. 15 g, indem der untere Zipfel nach
hinten kantig vorspringt e2, während der obere mehr flach und spitz ist,
übrigens gebräunt und den eigentlichen Gelenkzapfen vorstellend. Abb. 15 ex
zeigt den äusseren Abschnitt des Seitenzapfens im Querschnitt. Die um-
gebogene Ecke e2 umfasst den Grund der Eucoxa inferior und das Ende
der Costa. Abb. 13 zeigt die werschiedenen Muskeln des Conus lateralis,
von denen die Muskeln m e1 und m 2 nach innen, m e3 nach vorn ziehen,
während me4 und me5 nach hinten gerichtet sind. Eine sehr starke
Sehne ist am inneren Teil des Seitenzapfens befestigt und dient mehreren
Muskeln (m e6 und m &7), welche steil nach oden ziehen und den Conus in
verschiedenen Richtungen heben können.
Hinsichtlich der Funktion der Scolopender-Hüften und ihrer Nachbar-
gebilde habe ich folgendes feststellen können: Der Conus lateralis dreht
sich um die Costa coxalis nur in horizontaler Richtung, so dass sich also
die Drehungspunkte & 7 und e 2 der Abb. 15 bei natürlicher Lage ungefähr
über einander befinden.
(In den Abb. 11—13 ist der Conus infolge des Deckglasdruckes der
betreffenden Präparate etwas zu weit nach innen gerichtet dargestellt und
von der breitesten Fläche aus gesehen. In Natur ist er etwas mehr nach
hinten gebogen vorzustellen.) Diese horizontale Drehung der Eucoxa und
zwar des inneren Teiles der Hüftrippe um den Conus entspricht der haupt-
sächlichsten Bewegung der Beine, welche in der Richtung von vorn nach
hinten ruderartig erfolgt. Die auf den Beinenden lastende Körpermasse
drückt, (soweit die Tiere nicht mit den Sternitflächen aufliegen), auf die
Hüften und dieser Druck sucht dieselben in die Weichen einzutreiben. Es
muss demselben also ein Widerstand entgegengesetzt werden, da die weiche
Pleuralhaut zuviel nachgeben würde. Zunächst ist die Hucoxa eingepresst
380 Karl W. Verhoeff, [32]
zwischen Katopleure und Hypocoxa, welche zähe, nach aussen vorgewölbte
Wülste vorstellen, die mit der Festigkeit ihres Zusammenhanges sowohl
als auch der Zähigkeit ihrer Bogenwölbung sich dem Eucoxa-Eindruck
widersetzen. Ausserdem wird die Kucora unten festgehalten durch die oben
geschilderte Membrana conigera. Diese hält aber gleichzeitig fest den grund-
wärtigen Angelpunkt der Hüfte, den Conus, welcher mit ihr und der Hüft-
rippe verwachsen ist. Bei stärkerem Druck würde aber trotzdem ein Hin-
und Herrutschen der Hüfte und ein faltiges Zusammendrücken der Membrana
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Abb. 15. Abb. 16.
Scolopendra subspinipes. Ansicht von hinten auf Sceolopendra subspinipes. Costa coxalis.
die äussere Hälfte eines Conus und Nachbarteile a — Processus eostae.
der Eucoxa. i = Gelenkgrube zwischen Costa und Conus.
el = nach oben gerichtete Spitze. «3 — nach oben gerichteter Lappenfortsatz.
€2 — untere Ecke des Conus, welche das untere x — untere Ecke und inneres Ende der Costa.
Costa-Ende umfasst. 30f. Vergr.
xx — Naht zwischen vorderem (ewi!) und hin-
terem Stück (eui 2) der Eucoxa inferior.
40 f. Vergr.
conigera stattfinden können, wenn nicht der Seitenzapfen und mit ihm diese
Haut durch die nach vorn und hinten abgehenden Muskeln, welche oben
genannt wurden, in einer bestimmten Lage festgehalten würde. Diese be-
stimmte Stellung gilt aber nicht allgemein, sondern nur für jeden einzelnen
Fall der Beinhaltung, sonst würden feste Gelenkpfannen erforderlich sein,
wie wir sie bei den Hüften zahlreicher Insekten und Diplopoden antreffen.
Das Conus-Coxwa-Gelenk dagegen ist ein (nach den Umständen) durch Conus-
Muskulatur verschiebbares Scharniergelenk. Wird die Hüfte und damit das
[33] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 381
ganze Bein nach vorn bewegt, so dreht es sich um das Conus-Coxa-Gelenk
und der Conus selbst wird nach hinten gedrängt, während umgekehrt beim
Zurückstossen der Beine (und damit Vorwärtsbewegen des Körpers) Conus
und innerste Costa-Teile nach vorn bewegt werden. Die Drehung im Conus-
Costa-Gelenk schliesst durchaus die Wirkung der nach vorn und hinten
ziehenden Conus-Muskeln auf die Coxa nicht aus, weil beide durch Haut
zäh verbunden sind.
Während das Conus-Costa-Scharniergelenk für die Beinbewegung
von vorn nach hinten, d.h. für die eigentliche Laufbewegung der Skolo-
pender von grosser Bedeutung ist, kommt es bei der rechtwinklig dazu ver-
laufenden Funktion, nämlich dem Heben und Senken der Beine weniger in
Betracht. Am Heben der Beine ist, von der Telopoditmuskulatur abgesehen,
besonders jener starke (aber auch beim Vorwärtsschieben der Beine mitwirkende)
Muskel beteiligt (ng und mm Ab. 10 und 13), dessen Sehne an der Eucoxa
superior unten vor der Costa coxalıs befestigt ist (s Abb. 11 und 12). Für
das Senken der Beine, vor allem demnach eine ankrallende Tätigkeit der
Skolopender, wie sie beim Anklammern an einen Gegenstand oder dem
Umklammern eines Feindes oder Beuteobjektes oder beim Halten von Eiern
und Jungen in Betracht kommt, ist der Conus dadurch wichtig, dass er als
verlängerter Hebelarm eine verstärkte Muskelwirkung vermittelt. Die Eucoxa
dreht sich in diesem Falle um den am Coxatrochanter-Gelenk gelegenen
Processus costae (« Abb. 10, 11 und 13) und wird mit dem inneren Teil
der Costa und dem Conus zugleich gehoben durch die steil von oben
kommenden Conusmuskeln, m 6 und me 7 Abb. 13. Würden diese Muskeln
statt am Conus am inneren Costa-Teile angreifen, so würde ihre Wirkung
verringert sein in dem Maasse wie der Punkt i der Abb. 10 dem Punkte «
näher liegt als die Fläche bei e. Dass bei der Klammerbewegung und der
entsprechenden Hüftherabdrängung Costa und Conus einen einzigen festen Hebel
darstellen, wird ermöglicht einesteils durch die häutige Verwachsung, andern-
teils durch die starke Ineinanderfügung beider Teile, indem die Conus-
Gelenkecke sowohl tief eingreift als auch von oben durch den Lappen-
fortsatz gestützt wird («3 in Abb. 10 und 12). Die physiologische Bedeutung
des Conus lateralis sterni liegt also darin, dass er
1. ein grundwärtiges Scharniergelenk für die Eucoxa bildet,
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2. 49
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Trigonoeryptops gigas (Krpl.). Das obere Stück der Eucoxa superior des
11. Segmentes mit seinem Gelenkzapfen z, welcher unter die nur z. T. an-
gegebenen Katopleuren greift und Procoxa superior von der Coxopleure
trennt. » hinterer Zipfel der Eucoxa superior, von dem ein kleines Stückchen
q gelenkig abgelöst ist. — 60 f. Vergr.
desselben, während es in seine gewöhnliche Lage schon dadurch zurück-
kehrt, dass das Vordergebiet des nächst folgenden Sternites einen ent-
sprechenden Zug ausübt. Die genannten Sternitmuskeln greifen bei Oryptops
(Abb. 28) auf die Suprasternalplatten v/! über, während sie dieselben bei
Trigonoeryptops nicht berühren.
Von den drei geschilderten Dreiecken ist bei Cryptops mihi nichts
zu finden, doch besitzen einige Formen, wie namentlich anomalans (Abb. 28),
jederseits vorn am Endosternit eine abgekürzte, unvollständige und auch
nicht ganz regelmässige Nahtlinie x, welche also eine unvollkommene vordere
394 Karl W. Verhoeff, [46]
Endosternitbegrenzung vorstellen, während von seitlichen Dreiecken keine
Spur zu sehen ist. Die Endosternite sind auch verhältlich kleiner als bei
Trigonoeryptops, so dass nach dieser Richtung kein Zweifel darüber bestehen
kann, dass Oryptops gegenüber T'rigonocryptops die einfachere Grundform
darstellt.
Newportia will ich ebenfalls noch besonders wegen der Rumpf-
segmentsternite erwähnen. Von vorn nach hinten verschmälern sich die-
selben allmählich und lassen deutlich drei Abschnitte erkennen. Unterhalb
der Bucoxa posterior findet sich nämlich eine leichte Einkerbung (Abb. 32 yy)
Abb. 23. Abb. 24.
Theatops erythrocephalus C.L.Koch aus Dalmatien. Theatops erythrocephalus ©. L.Koch ans Dalmatien.
Ansicht auf das 16. ausgebreitete Rumpfsegment. — Eine Eucoxa aus demselben, nebst anstossenden
10f. Vergr. Seitenteilen des Sternit. f Sternitseitentasche mit
Conus lateralis (e). — 60. Vergr.
und ausserdem beginnt hier eine Randverdickung, welche die Hinterhälfte
des eigentlichen Sternit begleitet und neben der Suprasternalplatte an einer
abgerundet vorspringenden Ecke unter rechtem Winkel umbiegt und einen
Querzug bildet (hg), durch welchen das eigentliche Sternit abgesetzt wird
von der dritten und hintersten Abteilung, dem eigentlichen Endosternit.
Dasselbe nimmt in der Längenerstreckung fast genau ein Drittel des
Gesamtsternites ein und zeigt wieder jederseits eine Längsreihe kleiner
Börstchen. Am äussersten Hinterrande springt das Endosternit jederseits
in einen Lappen vor. Unter dem Vorderrand des nächsten Sternites ist es
[47] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 395
gewöhnlich tief eingesenkt und eingeklemmt zwischen den Sternithälften
des Interkalarsegmentes.
Die schon mehrfach erwähnten, sich kreuzenden hinteren Sternit-
muskeln (m Abb. 32) sind auch hier besonders über dem Endosternit aus-
gebreitet.
Nachdem ich die Pleuralsklerite von Nerwportia oben bereits teilweise
besprochen habe, sei hier noch der übrigen coxopleuralen Gebilde gedacht:
die Metacoxa ist im Verhältnis zur Procoxa auffallend klein (mco Abb. 26),
kaum grösser als die Suprasternalplatte. Letztere legt sich in einigen
Segmenten sehr dicht an die Vorderecke (h Abb. 32) des Endosternit, so dass
ein unvollständiges Gelenk zu stande kommt. Eucoxa inferior und posterior
sind sehr deutlich gegen einander abgesetzt und zwischen ihnen findet sich
eine Börstchenreihe, (ähnlich den Verhältnissen der Abb. 31). Auch ist die
Eucoxa inferior durch eine Naht in zwei Abschnitte gegliedert, wie ich das
von Scolopendra geschildert habe, nur mit dem Unterschiede, dass diese
Naht die Kucoxa inferior in zwei beinahe gleiche Teile teilt. Die Hucoxa
superior greift im Bogen von oben stark um die Telopoditgrube und zeigt
ihren zur Eucoxa posterior herübergreifenden Zipfel abgesetzt durch eine
sehr deutliche Naht, sodass wir diesen als Coxopleure bezeichnen können.
Die Eucoxa superior berührt die Katopleure, welche an der Berührungsstelle
eine kurze Naht besitzt, ohne aber mit ihr ein eigentliches Gelenk zu
bilden. Wie die allgemeine Lage der Hucoxa und Hypocoxa von Newportia
derjenigen derselben Teile bei Otocryptops sehr ähnlich, so gilt das auch
‘ für den Conus lateralis und die Membrana conigera, d.h. beide sind kurz
(ähnlich der Abb. 20) und das Gelenk zwischen Seitenzapfen und Hüftrippe
befindet sich dicht über dem Sternitseitenrande.
Die Interkalartergite sind ziemlich gross und scharf abgesetzt, die
interkalaren Sternithälften verhältlich klein, während die zugehörigen Pleurite
denen von Theatops ähneln. Paratergite fand ich an den Hauptsegmenten
nur unvollkommen abgesetzt.
Otocryptops (Abb. 19 und 20) oben schon verschiedentlich erwähnt,
besitzt kein eigentliches Endosternit, weil die hinteren Sternitpartieen nur
wenig versenkt sind. Trotzdem kann man auch hier, wenigstens an den
meisten Segmenten des Rumpfes deutlich drei hinter einander gelegene,
396 Karl W. Verhoeff, [48]
durch Quernähte begrenzte Sternit-Abschnitte unterscheiden, von denen der
mittlere der grösste ist und keine weiteren Nähte enthält (Abb. 19), während
der vordere und hintere Abschnitt durch Quernähte von teilweise unregel-
mässigem Verlauf weiter gegliedert sind und das Bild der schon genannten
Runzelfurchung vorführen. Am hintersten Abschnitt fällt vorn besonders
ein mehr oder weniger dreieckiges Feld auf, welches die Seitenränder nicht
erreicht, sondern von dem hintersten Gebiet halbmondförmig umfasst wird.
Alle diese Nähte dienen zur Erhöhung der elastischen Beweglichkeit dieser
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Abb. 25.
Cormocephalus büttneri Krpl. aus Westafrika. Seitenansicht auf das 12. bein-
tragende Rumpfsegment. — 35f. Vergr.
Tiere und gestatten dem Zuge verschiedener Rumpf- und Beinmuskeln selbst
im Rumpfbereich bis zu einem gewissen Grade gelenkig nachzukommen.
Insbesondere wird die Biegsamkeit des Rumpfes in der hichtung von vorn
nach hinten erhöht.
Im übrigen bemerke ich noch folgendes: Hinter der zweiteiligen
kleinen Metacoxa, welche an manchen Segmenten noch kleiner ist als in
dem Abb. 19 dargestellten Falle, befindet sich die mit Borstenlängsreihe
versehene Suprasternalplatte. Die Eucoxa inferior ist ganz wie bei Newportia
durch Naht in zwei fast gleich grosse Teile zerlegt, während das obere
[49] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 397
Ende der Eucoxa superior sich anders verhält als dort. Die Hälften des
Interkalarsternit sind zweiteilig, die Interkalartergite viel schwächer als bei
Newportia. Paratergite sind nicht deutlich ausgebildet. Hinsichtlich des
Eupleurium zeigen stigmentragende und stigmenlose Segmente keinen nam-
haften Unterschied, abgesehen natürlich von den Stigmen.
Otostigma spinosum Poe. schliesst sich in seinen coxopleuralen
Bildungen so sehr an Cormocephalus (Abb. 25), dass ich mich auf wenige An-
gaben beschränken kann: Drei längliche Anopleuren lagern vorn über der stark
sichelförmigen Katopleure, höchst ähnlich den betreffenden Verhältnissen bei
Cormocephalus. Wie dort gibt es ferner eine selbständige Coxopleure und
eine Gelenkverbindung zwischen ihr
und dem schmalen oberen Fortsatz
der Eucoxa superior, wie dort zwei-
teilige (2—8 teilige) Meta- und drei-
teilige Procoxa, wie dort deutliche
Trennung von Eucoxa inferior und
posterior. Die Kucoxa inferior be-
sitzt. auch eine Zweiteilung wie bei
Scolopendra und Cormocephalus, so-
dass also der vordere Abschnitt be-
deutend kleiner ist als der hintere.
Abb. 26.
Newportia bahiensis Verh.!) Seitenansicht auf die
cephalus büttneri kann ich hier nur coxopleuralen Teile der rechten Flanke des 5. bein-
tragenden Rumpfsegmentes. — 60 f. Vergr.
Als Unterschied gegenüber Cormo-
erwähnen die zahlreicheren Poren-
kanäle, welche vielfach deutlich umwallt sind und das Auftreten solcher
auch im Bereich des unteren Artikulationshautfeldes. Der stark nach hinten
gebogene Seitenzapfen weicht in der Gestalt von dem jenes Cormocephalus
nur wenig ab.
Ichysida longipes Newp. Ein auffallender Unterschied gegenüber
Cormocephalus, Cupipes, Otoeryptops, Otostigmus, Newportia, Plutonium und
überhaupt allen von mir genauer untersuchten Skolopendern, ausgenommen
!) Diese und andere in vorliegender Arbeit genannte neue Formen werden an
anderer Stelle veröffentlicht.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 51
398 Karl W. Verhoeff, 150]
Scolopendra subspinipes, besteht darin, dass fast in dem gesamten zwischen
Tergiten und Sterniten ausgedehnten Plewralgebiet, also auch innnerhalb der
häutigen Bezirke ziemlich grosse Porenkanäle zerstreut sind, welche auch
in Abb. 29 angedeutet wurden. Dass trotzdem die Sklerite nicht verwischt
zu sein brauchen, wurde schon oben für Scolopendra subspinipes ausgeführt
(vgl. Abb. 17), trifft aber in ähnlicher Weise für Rhysida longipes zu. Die
Sklerite des Eupleurium sind auch hier, wie Abb. 29 zeigt, schwach ent-
wickelt und z. T. als rudimentär zu bezeichnen, so namentlich die Anopleure,
welche nur durch einige kleine runde oder ovale Verdickungen angezeigt
ist, während die Katopleure wieder ihre typische Stärke bewahrt hat. Diese
kleinen Skleritstücke sind trotzdem durch ihre diekere Wandung, etwas
gelbliche Farbe, stärkere Wölbung und zahlreichere Porenkanäle, von der
Pleurenhaut deutlich unterschieden. Besonders schön zerklüftet sind die
drei Stücke der Procoxa und zwar durch Nähte, welche grösstenteils dem
Vorderrande der Procoxa parallel verlaufen. Teilweise, namentlich im
hinteren Drittel ist auch die Katopleure durch Runzelfurchung (Nähte) aus-
gezeichnet (Abb. 29). Die Metacoxa ist einfach und recht klein, deutlich
getrennt von der an den Sternithinterecken etwas verdeckt liegenden Supra-
sternalplatte. Die Eucoxa steht derjenigen von Cormocephalus so nahe,
dass ich nicht weiter darauf einzugehen brauche. Besonders deutlich sah
ich bei Rhysida einen Arcus (ar) im Coxotelopodit-Gelenk. Ein solcher
Arcus ist bisher bei Skolopendern fast ganz unbekannt geblieben, er kommt
aber mehr oder weniger deutlich bei allen Scolopendromorpha an den Lauf-
beinen vor. Bei Rhysida geht er rings um die ganze Gelenkgrube und ist
nur durch den endwärtigen, den Trochanter stützenden Processus («, « 1)
der Costa coxalis unterbrochen. Hinsichtlich der Seitenzapfen und Seiten-
haut erinnert Rhysida ebenfalls sehr an Cormocephalus, während die Sternite
denen von Otocryptops ähnlich sind, indem die Episternalnähte‘) sowohl bei
!) Die Episternalnähte sind bei Cormocephalus (büttneri) sehr deutlich ausgebildet
als eingeschnittene Nähte. Dieselben beginnen am Vorderrande hinter den inneren Inter-
kalarsternitstüicken, ziehen fast bis zum Hinterrande durch und biegen dann nach aussen ab
gegen die Suprasternalplatte. Hinter dem Vorderrande aber zieht eine Seitennaht gegen
die Vorderecke (Abb. 25 eps, eps1). Die Episternalnähte als mikroskopisch erwiesene
wirkliche Nähte sind noch nicht gleichbedeutend mit Episternalfurchen, können es aber bis-
weilen sein!
[51] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden, 399
Otoeryptops als auch Rhysida vollkommen fehlen. (Übrigens besitzt auch
Cormocephalus an den Sterniten einen vorderen und hinteren Bezirk mit
allerdings schwacher Runzelfurchung.) Die Sternite von Rhysida zerfallen
also auch, ähnlich Otocryptops, in drei hinter einander gelegene Abschnitte,
welche aber nicht so deutlich gegen einander abgesetzt sind, weil die ent-
sprechenden Quernähte weniger regelmässig verlaufen. Auch ist das naht-
lose Mittelstück viel grösser als das vordere und namentlich hintere Gebiet
mit den Runzelnähten, weil jene hintere Quernaht, welche den bei Otoeryp-
tops beschriebenen dreieckigen Bezirk von vorn begrenzt, bei Rhysida fehlt.
Auch bei dieser Gattung sind die Sternite hinten wenig eingesenkt,
sodass von eigentlichen Endosterniten nicht die Rede sein kann, aber der
hinten im Halbkreis abgerundete Hinterrand, welcher in der Mitte mit einem
Läppchen in die Tiefe greift, wird umfasst von dem eingesenkten Vorder-
randgebiet des nächst folgenden Sternites, ‘das auch besonders stark in
Felderchen zergliedert ist, um sich jenem besonders vollkommen anschmiegen
zu können. Stigmenlose und stigmenführende Segmente zeigen im Eupleurium
keinen namhaften Unterschied und die Stigmenplatte in den stigmenlosen
Segmenten nimmt fast genau den Platz des Stigmas in den stigmen-
führenden ein.
Cupipes impressus Poe. besitzt ziemlich grosse aber durch Naht
nur unvollständig von den Haupttergiten geschiedene Interkalartergite, grosse
zweiteilige Interkalarsternithälften und eine kräftige interkalare Pleuriten-
entwicklung, indem ausser den beiden mehrfach schon beschriebenen, ge-
wöhnlichen Pleuriten, welche ziemlich grosse, ovale Kissen abgeben, zwischen
ihnen noch zwei kleine Pleuritwülste eingeschaltet sind. Es gibt dreierlei
Anopleuren, nämlich 1. eine mittlere Hauptanopleure, welche sich länglich
hinstreckt, etwas hinter dem oberen Interkalarpleurit; 2. eine kleinere,
längliche, obere Anopleure, welche, nur wenig höher als die vorige, sich
gerade über der Katopleure und schräg über und vor der Stigmapleure
befindet; 3. kleine untere Anopleurenplättehen, gerade unter der Haupt-
anopleure und vor der Katopleure. Die letzteren machen den Eindruck,
als wenn eine untere Anopleure, wie sie bei Cormocephalus (Abb. 25 apl)
vorkommt, durch Degenerierung so aufgelöst wäre, dass nur noch drei
kleine hinter einander liegende Inselehen übrig geblieben. Einige (drei)
51*
400 Karl W. Verhoeff, [52]
kleine Plättehen ungewöhnlicher Art finden sich auch noch weiter unten,
also zwischen jenen der Procoxa und den Interkalarpleuriten. Vergleichen
wir diese Pleurenbildungen mit Cormocephalus (Abb. 25), so finden wir eine
weitgehende Ähnlichkeit, bemerkenswerte Unterschiede aber sind das Fehlen
der oberen Anopleure apls, das Fehlen der Substigmalplatte ce und das
Vorkommen mehrerer kleiner geschilderter Plättchen in dem Gebiet zwischen
aplı und ıpl3.
Die Stigmen liegen in der Mitte eines ziemlich grossen, ovalen
Atemschildes, hinter dem’ sich ein ungefähr gleich grosses Poststigmalschild
befindet und unter beiden ein längliches Substigmalpleurit.
Der Vergleich der stigmenführenden und stigmenlosen Segmente von
Öupipes führte mich zu einer bemerkenswerten Feststellung, nämlich einer
Erscheinung, welche ganz auffallend an das Entsprechende erinnert, was
ich über Theatops oben ausgeführt habe. Gerade wie dort zeigt sich
nämlich in den stigmenlosen Segmenten von Cupipes ein grosses längliches
Sklerit, welches sich unter dem hinteren Gebiet des Tergitrandes befindet
und die Stelle einnimmt, welche in den stigmenführenden Segmenten die obere
Anopleure und das Stigmapleurit innehaben, welche beiden als getrennte
Platten hier nicht vorhanden sind. Aus diesem Urstigmenschild, welches
sieh nur in den stiemenlosen erhalten hat, leite ich also, nach dem was
oben über den Vergleich mit den Geophilomorpha gesagt worden ist, d.h.
über Formen mit grossen Interkalarsegmenten überhaupt, die obere Ano-
pleure und Stigmapleure der stigmenführenden Segmente ab, durch vertikale
Zerschnürung desselben. Hinter und über dem Urstigmenschild findet sich
eine nur sehr kleine Poststigmalplatte, während die Substigmalplatte un-
sefähr übereinstimmt mit der in den stigmenführenden Segmenten.
Diese Übereinstimmung mit Theatops ist um so beachtenswerter, als
wir auch in den Endbeinen eine auffallende Annäherung beider Gattungen
bemerken können.
Die Cupipes-Sternite stimmen am meisten mit denen von Cormo-
cephalus überein, namentlich auch hinsichtlich der als Nähte ausgebildeten
Episternallinien. Hinsichtlich der Eucoxa erwähne ich eine zweiteilige
Eucoxa inferior wie bei Cormocephalus, eine einfache obere Abrundung der
Eucoxa superior, ohne Andeutung einer Coxopleure. Der Conus lateralis ist
[53] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 401
ziemlich tiefeingesenkt. Metacoxa mit zwei über einander liegenden Abschnitten,
kaum halb so hoch aufragend wie die viel grössere, 2—3teilige Procoxa.
Ethmostigmaus trigonopodus (Leach) besitzt besonders stark aus-
geprägte Coxopleuralteile, gegen die weisslichgelbe Pleurenhaut sehr scharf
abgesetzte gelbliche Pleurite, welche ebenso wie Teergite und Sternite von
einer grossen Zahl, teils einfachen kleinen, teils drüsigen Hypodermiszellen
gehörigen, grösseren Porenkanälen durchsetzt sind. Diese Porenkanäle sind
zu einem oder mehreren umwallt, d. b. die Dicke der Chitinskelettwandung
ist in der nächsten Umgebung der Kanäle viel bedeutender als an den
übrigen Stellen, sodass, wie die Sklerite durch grössere Dieke von der um-
gebenden Haut abstechen, auch innerhalb je
der Sklerite wieder zahlreiche dickere insel- er - S E
artige Gebiete verschiedener Grösse von dem | EINS SOes
zwischenliegenden dünneren Labyrinth sich Sage er
abheben. Eine Ausnahme hiervon bildet ie '
die Eucoxa, deren Wandung mehr gleich- EN RR =
mässig diek ist und grösstenteils von ein- ; 9,0 X 5 902]
fachen feinen Kanälen durchsetzt, welche (&\_ (9) -
mehr gleichmässig zerstreut sind. Das obere &_
Ende der Eucoxa superior und die Coxo- Abb. 26a.
Ethmostigmus trigonopodus Leach. Hintere
obere Anopleure a des 11. Rumpfsegmentes
mehr derjenigen der übrigen Pleurite. mit Verdickungsinselchen,; db einige der-
selben bei 300 f. Vergr. mit einfachen und
Ausser den dureh Abb. 26a ver- Drüsenkanälen; c ein Stück der Zellstruktur,
welche den Hypodermiszellen entspricht.
pleure nähern sich in ihrer Struktur schon
anschaulichten Verdickungsinselehen ist
noch die zarte Zellstruktur ce zu erwähnen, welche im Pleuralgebiet allent-
halben beobachtet wird, an den Pleuriten aber ebenfalls deutlicher ist als
an der zwischen ihnen liegenden Pleuralhaut.
An Anopleuren treffen wir bei Zthmostigmus 2(3)+1+1, d.h. zwei
obere, eine (zwei) mittlere und eine untere. Die obere, hintere Anopleure
ist in den stigmentragenden Segmenten sehr klein und kann als fast ver-
kümmert bezeichnet werden, in den stigmentragenden Segmenten viel grösser
(Abb. 26a), aber auch nur so lang wie die viel stärkere, längliche, vordere
obere Anopleure breit ist. Am stärksten ist wieder die Mittelanopleure,
402 Karl W. Verhoeff, [54]
welche oberhalb der Katopleurenmitte beginnt und sich bis zum Interkalar-
segment erstreckt. Eine dritte kleine Oberanopleure liegt über ihrem
Vordergebiet, deutlich aber auch nur in den stigmenlosen Segmenten.
Hinter der Mittelanopleure und zwischen hinterster Oberanopleure und Hinter-
hälfte der Katopleure befindet sich eine ziemlich grosse, sehr an c der
Abb. 25 erinnernde, aber längere Substigmalplatte, welche die Fortsetzung
der Mittelanopleure nach hinten vorstellt, aber etwas nach unten geknickt
gegen sie liegt, was offenbar damit zusammenhängt, dass der von den Bein-
hüften ausgehende Druck und Zug, in Anpassung an welchen die Katopleure
unten ausgebaucht ist, sich noch auf die höhere Wulstreihe fortsetzt. Wenn
man will, könnte diese Substigmalplatte auch als hintere Mittelanopleure
bezeichnet werden. Die bei Ethmostigmus bekanntlich sehr grossen Stigmen
haben auch auf ihre Umgebung einen namhaften Einfluss ausgeübt, der sich
einmal zeigt in der undeutlichen Begrenzung und dann in der Kleinheit
der Stigmenplatten, welehe nur noch einen schmalen Rand um das grosse
Stigma bilden, ferner in der weiteren Nachbarschaft, welche hinten, hinten
oben und unterhalb des Stigmas durch einen ganzen Schwarm kleiner,
etwas unregelmässiger Plättchen ausgezeichnet ist. Dicht hinter dem
Stigmaschild aber trifft man eine ziemlich grosse, fast dreieckige Post-
stigmalplatte. Über und unter dieser sind in dem Schwarme der kleinen
Plättchen je 1—2 etwas grössere Supra- und Substigmalplättehen zu be-
merken. In den stigmenlosen Segmenten finden wir statt der Stigma- und
Nachstigmaplatten ein einziges grosses und längliches Sklerit (Stigmatopost-
stigmalplatte), welches ich mir so erkläre, dass diese beiden Sklerite, welche
in den stigmenführenden Segmenten bis zur Berührung genähert sind, auch
in den stigmenlosen eine entsprechende Lage annahmen und dann leicht
zur Verschmelzung gelangten. In der Umgebung dieses grossen Sklerites
findet sich nicht ein solcher Schwarm kleiner Plättchen wie in den stigmen-
führenden Segmenten, sondern, von einigen unbedeutenden Verdickungen
abgesehen, nur ein rundliches kleines Suprastigmalsklerit und etwa 7—8
kleine Substigmalplättchen. Besonders bemerkenswert ist also, dass hier
bei Ethmostigmus in den stigmenlosen Segmenten das an der Stelle des
fehlenden Stigmas auftretende Sklerit weder eine einfache echte Stigmenplatte
(ohne Stigma) ist (wie bei Cormocephalus), noch ein Gebilde, welches Stigmen-
[55] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 405
platte und hinterer Oberanopleure zusammen entspricht (wie bei Theatops),
sondern eine Vereinigung von Stigma- und Stigmanachschild.‘)
Von anderweitigen Bildungen sei für Ethmostigmus noch folgendes
genannt: Eine deutliche Coxopleure (ähnlich dem in Abb. 30 dargestellten
Fall) greift mit ziemlich langem, gebräunten Zapfen in die Konkavität der
Katopleure, ist durch Naht von der Eucoxa superior abgesetzt, ohne aber
init ihr ein Gelenk zu bilden. Eucoxa inferior und posterior sind durch
Naht gegen einander abgesetzt, nicht aber durch Zwischenhaut wie das
sonst meist der Fall ist. Die Zweiteilung der Eucoxa inferior ähnelt der
von Seolopendra. Die Procoxa ist durch tief eingeschnittene Nähte sehr
deutlich in oberen, mittleren und unteren Teil abgesetzt, ausserdem durch
Streifung in ähnlicher aber noch reichlicherer Weise gegliedert als das
Abb. 29 zeigt. Metacoxa ebenfalls 2—3teilig, ungefähr so gross wie die
mittlere Procoxa, Conus lateralis den in Abb. 25 und 29 dargestellten Fällen
ähnlich. Die Interkalarpleurite sind denen von Cormocephalus (Abb. 25)
höchst ähnlich, doch finden sich in dem grossen häutigen Zwischenraum vor
der oberen Procoxa die Rudimente von weiteren Pleuriten in Gestalt von
7—8 und mehr sehr kleinen Plättchen. An den Tergit-Seitenrändern be-
merkt man drei deutliche, nahtartige Einschnitte, erinnernd an die bei
Öryptops, es kommen aber keine vollständigen Paratergite zu stande, weil
die inneren Längsnähte fehlen. Die Ethmostigmus-Sternite stimmen im
wesentlichen mit denen von Cormocephalıs überein.
Alipes multicostis Imhof gibt uns das Beispiel einer Form, welche
hinsichtlich ihres Eupleuriums auf Verhältnisse bezogen werden kann, wie
sie uns z. B. durch Cormocephalus vorgeführt werden. Denken wir uns ein
1) Ich habe bereits mehrfach darauf hingewiesen, dass die Tatsachen zu dem Schlusse
drängen, dass bei Chilopoden eine phylogenetische Verschiebung von einer anfänglichen
Stigmenlage mehr in der Mitte der Segmente, sekundär gegen den Hinterrand derselben
stattgefunden habe. Die verschiedenen Fälle über das Verhalten der Stigmenplatten sprechen
sehr hierfür: Primär zeigt sich die Stigmenplatte mit der benachbarten hinteren Oberanopleure
vereinigt (im Anklang an die Verhältnisse der niedrig stehenden Geophilomorpha), sekundär zeigt
sich die Stigmenplatte selbständig und tertiär vereinigt sie sich entweder mit dem Poststigmal-
pleurit oder ist ihm sehr genähert, wie bei Ethmostigmus, einer Gattung, die alle Forscher,
welche sich darüber geäussert haben, namentlich Haase und Kräpelin, als eine der deri-
vatesten Skolopender-Gattungen aufgefasst haben.
404 Karl W. Verhoeff, [56]
derartiges Eupleurium zusammengedrängt und die drei Lagen Anopleuren
noch mehr verschmälert, gleichzeitig abgeschwächt, so erhalten wir die
Anopleuren von Alipes, auf deren nähere Beschreibung ich nicht eingehen
will. Ich begnüge mich hier mit folgenden Angaben: Eucoxa posterior
dureh doppelte Naht und eine zwischen denselben verlaufende Borstenreihe
br Abb. 31 scharf abgesetzt, Hucoxa inferior durch Naht ähnlich Scolopendra
in zwei Teile gegliedert (Abb. 50). Von der sichelformig nach oben ge-
bogenen und am oberen Ende etwas zurückgekrümmten Eucoxa superior
ist eine Coxopleure mehr oder weniger vollkommen und ohne Gelenkbildung
abgeschnürt. Die Dreiteilung der Procoxa ist nur angedeutet (nicht scharf
durchgeführt wie bei Ethmostigmus), eine auffallende Längsnaht aber teilt
unvollständig das obere und mittlere Gebiet in zwei hinter einander be-
findliche Abteilungen. Metacoxa klein und einfach, fast wie in Abb. 29.
Eine Suprasternalplatte mit Borstenreihe ist scharf umgrenzt. Interkalare
Tergite klein aber durch Naht vollkommen abgegrenzt. Die Teile der
Interkalarsternithälften sind ungefähr gleich stark, die interkalaren Pleurite
dagegen relativ schwach entwickelt, beide noch nicht halb so lang wie
die äusseren Interkalarsternitteile. Das grosse häutige Feld zwischen beiden
führt keine Überreste weiterer Pleurite. Zwei fast runde Pleuritwülste ver-
treten in den stigmenlosen Segmenten die Stelle vun Stigma- und Nach-
stigmaplatte der stigmenführenden Segmente, d. h. beide Arten von Segmenten
stimmen, vom Stigma abgesehen, nahezu überein, auch hinsichtlich der sechs
kleinen Plättchen, welche im Halbkreis oben, hinten und unten Stigma-
und Nachstigmaplatte umgeben. Paratergite sind nicht abgegrenzt und
Episternalnähte höchstens ganz vorn stückweise angelegt. —
Arthrorhabdus (formosus Poc.) besitzt im Eupleurium stark ent-
wickelte Plattenwülste, namentlich sind die Anopleuren recht gross und zwar
in der bei Cormocephalus geschilderten Weise 2+1-+1 über einander ge-
lagert. Überhaupt herrscht eine weitgehende Übereinstimmung mit Cormo-
cephalus, abweichend von dieser Gattung aber verhält sich Arthrorhabdus
in zwei bemerkenswerten Punkten. Einmal fehlt nämlich eine Coxopleure
vollständig, da die Eucoxa superior ähnlich Scolopendra in einfachem Bogen
oben die Teelopoditgrube umfasst und nur mit einem abgerundeten Läppchen
sich etwas unter die Katopleure schiebt. Sodann herrscht eine bemerkens-
[57] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 405
werte Übereinstimmung mit Ethmostigmus hinsichtlich der Stigmenplatten:
In den stigmenführenden Segmenten finden wir die Stigmen von Arthrorhab-
dus dem Tergitrande ziemlich nahe, dahinter ein grosses Poststigmalpleurit,
unter beiden zwei kleinere Substigmalplatten und ein kleines Schildchen
neben der Tergithinterecke, also über dem Poststigmalpleurit. In den
stigmenlosen Segmenten (fand ich dieselben Verhältnisse, ausgenommen ein
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Abb. 27.
Trigonoeryptops bottegi (Silv.). Ansicht von unten auf das Sternit des vierten
beintragenden Rumpfsegmentes.
y = Vereinigungspunkt der Querleisten (sternale Sterigmen);
vx — Endosternit, ho — Seitenhücker desselben;
g = Gelenk zwischen Endosternit und Suprasternalplatte;
iri = unpaares, tril — paarige Sternitdreiecke.
Angegeben sind auch die Hüftteile der rechten Rumpfseite.. — 40f. Vergr.
grosses, beinahe dreieckiges Sklerit hinter den oberen und mittleren Ano-
pleuren, welches die Stelle von Stigma- und Poststigmaschild zusammen
einnimmt und durch Verwachsung dieser beiden entstanden zu denken ist.
Anodontostoma octosulcatum Töm. ist eine höchst eigentümliche
Form, was keineswegs nur für ihre habituell auffällige Erscheinung gilt.
Schon die Sternite sind eigentümlich, indem der unpaaren äusseren Medianfurche
auch eine innere Längskante entspricht. Quere Runzelfurchung fehlt vorne,
auch ist der Vorderrand auffallend bogenförmig gerundet. Im Hintergebiet
findet sich eine schwache Runzelfurchung und ein eingesenkter Hinterrand-
Nova Acta LXXXVI, Nr. 2, k 52
406 Karl W. Verhoeff, [58]
mittellappen wird von dem eingesenkten Vorderrandgebiet des nächsten
Sternites umfasst. An den Interkalarsegmenten sind die Tergite sehr schmal
und schwach, aber trotzdem deutlich durch Naht abgesetzt. In den zwei-
teiligen Sternithälften und den mässig grossen, rundlichen, oberen und
unteren Interkalarpleuriten stimmt Anodontostoma mit mehreren anderen
Scolopendriden-Gattungen überein. Metacoxa einfach, weit getrennt von der
Procoxa, deren unterem Abschnitt sie an Grösse gleichkommt. Procoxa
zweiteilig, der obere Abschnitt grösser als der untere, beide durch Naht
sehr deutlich getrennt. Eucoxa posterior und inferior deutlich getrennt, Zwei-
teilung der Eucoxa inferior wie bei Scolopendra. Eucoxa superior sehr
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Abb. 28.
Cryptops anomalans Newp. aus Krain. Ansicht von unten auf das Sternit
des vierten beintragenden Rumpfsegmentes, nebst Hüftteilen der rechten
Körperseite und einem zum Telopodit gehenden Sternitmuskel.
x — abgekürzte, schräge Nähte. — 40f. Vergr.
ausgezeichnet, indem sie sich nach oben allmählich verschmälert, oberhalb
der Gelenkgrube des Telopodit aber plötzlich zu einer Coxopleure erweitert,
welche eine fast runde Platte vorstellt, die nur unvollständig von der Eucoxa
superior abgeschnürt ist und sich oben unter die Katopleure einschiebt.
Letztere ist etwas eingeknickt, vorn viel schmäler als hinten, wo man eine
feine, meist horizontale Furchung bemerkt. Auf die Gestalt der Costa coxalis,
deren grundwärtige Zipfel weit auseinanderstehen, gehe ich nicht näher
ein, hebe aber hervor die deutliche Ausbildung des ziemlich tief eingesenkten
Conus lateralis. Auffallend ist der vom Processus der Costa nach vorn
[59] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 407
gegen die Procoxa abgehende Seitenast derselben, welcher wie oben bei
Scolopendra näher geschildert wurde (Abb. 10d), an der Absetzung eines
als Eucoxa triangularis bezeichneten Bezirkes beteiligt ist. Dieser Seiten-
ast ist bei Anodontostoma auffallend stark entwickelt und ragt noch eine
beträchtliche Strecke mit abgerundetem Fortsatz in das Gebiet, d.h. in die
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Abb. 29.
KRhysida longipes Newp. aus Indien. Seitenansicht auf das zwölfte beintragende
Rumpfsegment. gx = Gelenk zwischen Coxopleure und Eucoxa superior. —
40 f. Vergr.
Höhlung der Procoxa hinein. Die Hucoxa superior ist überhaupt verhältlich
stark entwickelt. Obwohl im Eupleurium, ausserhalb der Katopleure, nur
vier Pleurite angetroffen werden, nehmen dieselben dennoch einen so grossen
Raum ein, dass die häutigen Bezirke stark dagegen zurücktreten. Es
handelt sich um zwei über einander liegende Anopleuren, einen Atemschild
und ein Substigmalpleurit. Die oberste Anopleure fehlt, die Mittelanopleure
52*
408 Karl W. Verhoeff, [60]
ist sehr gross, länglich und mehr oder weniger dreieckig, während die
untere Anopleure kaum ihre halbe Grösse ausmacht und sieh vor der Kato-
pleure schräg nach vorn und unten erstrekt. Sehr bemerkenswert ist ein
mächtiges Sklerit hinter der Mittelanopleure und dicht unter dem hinteren
Seitenrande des Tergit, welches in seinem vorderen Drittel das grosse
Stigma enthält, in dessen innerem Grunde zwischen gewundenen braunen
Wiilsten, in den Hintergrundspalten die Tracheen einmünden. Da sich hinter
diesem Pleurit keine weitere Platte vorfindet und ebenso wenig oberhalb,
so ergibt der Vergleich mit anderen Skolopendern, dass wir hier in den
stigmentragenden Segmenten jene sekundäre Erscheinung vorliegen haben,
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Abb. 30.
Alipes multicostis Imhof aus Kamerun. Eucoxa
des elften Rumpfsegmentes auseinandergebogen,
nebst vorgelagerter Procoxa. A = Artikulations-
Abb. 31.
Alipes multicostis Imhof aus Kamerun. Eucoxa
posterior noch stärker vergrössert, dazu ein vorn
angrenzendes Stück der Eucoxa inferior, zwischen
beiden die Börstchenreihe br. —
40 f. Vergr.
läppchen vorn über dem Telopoditgrunde. —
Sf. Vergr.
welche ich oben für die stigmenlosen Segmente von Ethmostigmus und
Arthrorhabdus nachgewiesen habe, nämlich Verschmelzung von Stigmapleurit
und Poststigmapleurit zu einem Metasynstigmapleurit. (Den Gegensatz dazu
bildet das primäre Prosynstigmapleurit, Vereinigung von Stigmaschild mit
der davor befindlichen Anopleure.) Das Auffallende ist also, dass hier ein
Metasynstigmapleuritt in stigmenführenden und stigmenlosen Segmenten
gleichermassen vorkommt. Auch in den stigmenführenden Segmenten von
Anodontostoma ist dieses Sklerit durchaus einheitlich und die feinen Furchen-
linien deuten keine Zerteilung an. Das längliche, hinter der Katopleure
befindliche Substigmalpleurit ist sehr klein im Verhältnis zu jenem mächtigen
Atemschild. Die Coxopleuralsklerite sind ausser ihren sonstigen Charakteren
auch dadurch scharf ausgeprägt, dass ihnen zahlreiche Porenkanäle zu-
[61} Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 409
kommen, welche teils einfache Atmungskanäle sind, teils Ausführkanälchen
drüsiger Hypodermiszellen. Den häutigen Zwischengebieten fehlen die
Porenkanäle vollständig. Zwischen Interkalarsternit und Metacoxa fand ich
deutlich umgrenzte Suprasternalplatten mit der bekannten Borstenlängsreihe.
Scharf abgegrenzte Paratergite gibt es nicht, man kann aber das Gebiet
ausserhalb der äussersten Längswülste als unechte Paratergite auffassen.
Abb. 32.
Newportia bahiensis Verh. Das Sternit des zehnten beintragenden Segmentes
nebst Muskeln und das hinterste Stück des neunten.
y = Einschnürung an der Stelle, wo der Sternitseitenzapfen sitzt.
q = Querleiste, welche in seitlichen Höckern h endet und das Endo-
sternit vom übrigen Sternit trennt.
m, ml, m3 — Beinmuskeln.
m2 — longitudinale, schräg zu den Interkalarsternithälften ziehende
Muskeln (im vorliegenden Falle vorn abgerissen).
h1 = seitliche Lappen des Endosternit, an welchen sich die vom
Vorderrande des nächst fulgenden Sternit kommenden, aber
nicht dargestellten Muskeln anheften. Dieselben verlaufen
schräg über einander und kreuzen sich.
40 f. Vergr.
Kräpelin stellte in seiner „Revision der Scolopendriden“ die Gattung
Arthrorhabdus in die nächste Nähe von Scolopendra. Die starke Verkümmerung
der Eupleurium-Sklerite bei Scolopendra weist dieser Gattung jedenfalls
eine abgeleitete Stellung zu, während Arthrorhabdus mit seinen deutlich
ausgeprägten Anopleuren einen mehr ursprünglichen Zustand bewahrt hat.
Für Scolopendra charakteristisch ist also das vorwiegend häutige
Eupleurium-Gebiet, in dem entweder nur kleine rudimentäre Plättchen
statt der Anopleuren vorkommen, oder bei deutlicheren Platten doch nur
410 Karl W. Verhoeff, [62]
ein oder zwei sehr schmale, längliche Anopleuren, welche gegen die aus-
gedehnten Hautbezirke einen geringen Raum einnehmen, mindestens am
1.—12. Rumpfsegment. Ausser den oben schon genannten Scolopendra-
Arten habe ich noch untersucht Scol. mossambica Ptrs. valida Luc. (bei
“ welcher die Eupleurium-Plättchen selbst an den hintersten Segmenten
(17.—19.) sehr klein und schwach sind, viridicornis Newp., heros Ger. und
angulata Newp. (prasina C.K.). Bei den zwei letzten Arten sind die be-
treffenden Sklerite etwas grösser, namentlich fällt eine deutliche Mittel-
anopleure auf. Trotzdem ist auch bei diesen Arten die Haut des Eupleurium
sehr vorherrschend und das Pleuralgebiet auffallend verschieden von dem
des Arthrorhabdus, Cormocephalus und ähnlicher Formen.
b) Rückblick auf die Scolopendromorpha, über den Bau der
Stigmen und Ergebnisse für Phylogenie und Systematik.
Die vorstehenden Ausführungen beweisen, dass die Coxopleural-Gebilde
der Skolopender sowohl eine grosse Verschiedenheit der Ausbildung nach
den Gattungen zeigen, (manchmal und in geringerem Maasse auch nach den
Arten), als auch Organisationsverhältnisse darbieten, welche in ihrer allen
Skolopendern gemeinsamen Ausprägung uns wichtige neue Charaktere dar-
bieten, durch welche sich diese Chilopoden-Gruppe scharf von allen anderen
unterscheidet. Namentlich den Geophilomorpha gegenüber seien folgende
neue Unterschiede hervorgehoben:
1. Besitz eines Conus lateralis sterni, welcher in der Sternitseitenhaut
mehr oder weniger tief eingesenkt ist, mit der Costa coxalis ein Scharnier-
gelenk bildet und zugleich einen verlängerten Hebel.
2. Lage der Costa coxalis (mit ihrem grundwärtigen Abschnitt) nicht
gegen die Procoxa, sondern über dem Seitengebiet des Sternit.
3. Die Eucoxa stellt nicht einen Halbring dar mit zwei Abschnitten,
sondern einen Ring mit ®/ı bis *; Kreis, bestehend aus drei Hauptteilen,
Eueoxa posterior, inferior und superior.
4. Vor dem Stigmapleurit finden sich ein oder mehrere Anopleuren,
welche die Katopleure weit getrennt halten von den oberen Interkalarpleuriten.
[63] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 411
Sind die Anopleuren verkümmert, dann findet sich ein ausgedehnter ent-
sprechender Hautbezirk. Die oberen Interkalarpleurite greifen nicht in das
Gebiet der Hauptsegmente über.
Derartig bedeutsame Unterschiede der Organisation, welche vereint
werden mit einer ganzen Reihe bereits bekannter Differenzen geben den-
jenigen Forschern Recht, welche die Skolopender nicht als einzelne Familie,
sondern als eine höherwertige Gruppe betrachten, welche ich mit Pocock
bezeichne als Ordo Scolopendromorpha.
Innerhalb dieser Ordnung selbst liefern uns die Gebilde der Coxo-
pleuralzonen so vortreffliche Handhaben zur Unterscheidung von Gattungen
(und bei weiterem Fortschreiten auf dem hier eingeschlagenen Wege auch
wohl für viele Arten), dass sich keines der bisher benutzten Merkmale als
gleich wertvoll bezeiehnen lässt, schon deshalb, weil es sich hier um
einen ganzen Komplex von Merkmalen handelt, der eben wegen seiner
Komplikation bisher die Rolle eines „Noli me tangere“ gespielt hat. Aber
auch die Verschiedenheiten im Bau der Sternite sind bedeutender als es
bisher den Anschein hatte, sie liefern uns für mehrere Gattungen wichtige
Merkmale. In Kürze mögen die wichtigsten der im Vorigen behandelten
und systematisch wertvollen Differenzen aufgeführt werden.
1. Vorhandensein oder Fehlen und im ersten Falle Beschaffenheit
eines Endosternit.
2. Vorhandensein oder Fehlen von Sternitdreiecken.
3. Verschiedenartige Ausbildung von Verdickungsleisten des Sternit.
4. Lage von Meta- und Procoxa zu einander.
. Grösse und Zerteilung von Pro- und Metacoxa.
. Vorhandensein oder Fehlen einer Coxopleure und im ersten Falle
Gestalt und Verbindung mit der Eucoxa superior.
7. Tiefe der Seitenrandtasche des Sternit und Grösse sowie Lage
on DO
des Conus lateralis.
8. Zahl, Lage und Gestalt der Anopleuren.
9. Lage der Stigmen und des Stigmapleurit und Trennung von oder
Verbindung mit Nachbarskleriten.
10. Verschiedenartiges oder mehr gleichartiges Verhalten der stigmen-
412 Karl W. Verhoeff, [64]
losen und stigmenführenden Segmente hinsichtlich des Atemschildes und
seiner Nachbarschaft.
11. Ausbildungsweise der Interkalarsternite.
12. Grösse und Abgrenzungsweise der Interkalartergite.
13. Beschaffenheit der Paratergite.
14. Strukturverhältnisse an allen diesen Körperteilen.
Bisher ist die Zahl der Stigmenpaare und in geringerem Masse
auch ihr Bau bei der Unterscheidung der Skolopender-Gattungen mit ver-
wendet worden und ohne Frage sind diese Organe dazu von Wichtigkeit.
Nicht berücksichtigt wurden aber bisher andere Verhältnisse, denen vielleicht
eine ebenso grosse Bedeutung beizumessen ist, nämlich die Lage der Stigmen,
sowohl mit Rücksicht auf das Tergit, als auch auf die Pleurite und zwar
namentlich die Peripleuren und Katopleuren. Wichtig ist ferner der Um-
stand, ob die Stigmen ganz frei für sich liegen, oder (wie bei den Geophilo-
morpha) innerhalb eines Pleurites. In letzterer Hinsicht gibt es allerdings
Übergänge, doch besteht jedenfalls ein bedeutender Unterschied zwischen
den nur von einem schwachen Chitinwall umgebenen Stigmen von Oryptops
und Verwandten einerseits, wo der schwache umgebende Rahmen weder
Borsten noch Porenkanäle aufweist und den Stigmen von Plutonium oder
Scolopendra andererseits, wo das Stigmasklerit sehr deutlich als solches das
Stigma umgibt und mit jenen Eigenschaften versehen ist. Vergleichen wir die in
den Abbildungen 19 von Otoeryptops, 23 von T'heatops, 25 von Cormocephalus,
26 von Newportia dargestellten Fälle, so lassen sich die Unterschiede kaum
anders erklären, als dadurch, dass bei der oben besprochenen Adschnürung
einer hinteren Oberanopleure, das nach derselben zurückbleibende Sklerit,
welches das Stigma umhüllt, im einen Falle noch recht deutlich ausgeprägt
ist, im anderen dagegen kaum noch als solches zu erkennen. Es treten
also Fälle ein, wo es schwer zu entscheiden ist, ob man das vor dem
Stigma befindliche Sklerit als obere hintere Anopleure oder als stigmenlose
Stigmenplatte bezeichnen soll. Es wird deshalb am zweckmässigsten sein,
von Stigmaplatte in den stigmenführenden Segmenten nur dann zu sprechen,
wenn wirklich‘ das Stigma darin enthalten ist, auch in den Fällen, wo diese
Stigmaplatte als solche nur noch sehr schwach ist, wie bei Oryptops. Ich
unterscheide folgende Fälle der Stigmenlage:
[65] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 413
a) Die Stigmen, deren Peritrema stets regelmässig verläuft, befinden
sich deutlich unterhalö der hinteren Pleurite der Oberreihe, vom Tergit voll-
kommen abgerückt, zugleich in meist sehr kleinen Atemschildehen, welche
weder Porenkanäle noch Börstchen besitzen.‘) Von der Katopleure sind
sie mehr oder weniger abgerückt, niemals durch ein Pleurit von ihr ge-
trennt, Stigmagrube ohne stärkere Falten und ohne Klappe. COryptops,
Trigonoeryptops und Chromatanops.
b) Wie bei a), aber die Stigmen dem Tergit mehr genähert, indem
sie mehr oder weniger in die Oberreihe eingerückt sind, von der Katopleure
deutlich aber nur durch häutiges Gebiet getrennt. Atemschildehen klein
aber einen deutlichen Rahmen um das Stigma bildend. Dieses rund bis
länglich, die bogigen Wülste am Peritrema in regelmässiger Folge. Stigma-
boden in der Tiefe ohne Klappe und Falten. Newportia.
ce) Stigmen in ihrer Lage an den Segmenten abwechselnd, in den
einen Segmenten deutlich unterhalb des hintersten Pleurites und vom Tergit
durch dieses getrennt, in den anderen halb eingeschoben zwischen die
Pleurite der Oberreihe und vom Tergit kaum getrennt, in beiden Fällen
umrahmt von sehr deutlichen, beborsteten Atemschildehen. Letzteres in
beiderlei Segmenten der Katopleure nahe und nur durch Haut von ihr ge-
trennt. Stigmen rund, mit regelmässigem Rande. Stigmenboden in der
Tiefe mit wenigen Falten. Plutonium.
d) Stigmen nicht deutlich vom Tergit getrennt und zwar nur halb
in die Oberreihe der Pleurite eingeschoben, vom schwachen Atemschild
umrahmt, von der Vorderhälfte der Katopleure durch die hintere Mittel-
anopleure getrennt, von der Hinterhälfte jener durch Haut. Die bogigen
Wülste am Peritrema in regelmässiger Folge angeordnet. Stigmabogen mit
deutlichen Falten, daher ohne Klappe. Theatops.
e) Stigmen dem Tergit mehr oder weniger deutlich genähert, in der
Pleuriten-Oberreihe gelegen, ohne deutlichen Atemschildrahmen, von der
Katopleure nur durch Haut getrennt. Stigma mit etwas unregelmässig ge-
bogenem Peritrema und Kelchaussengebiet, Kelchboden mit mehr oder weniger
deutlichen Windungen (Falten) und dazwischen liegenden Erhebungen.
!) Bei Trigonocryptops gigas aber haben die Stigmapleurite Porenkanäle.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2. 53
414 Karl W. Verhoeff, [66]
Otoeryptops und Scolopoeryptops, auch Rhysida, aber bei dieser letzten Gattung
ein kleiner Atemschild dicht vorn am Stigma.
f) Stigmen von unten nach oben länglich, neben dem Tergit in der
Öberreihe gelegen, Atemschild einen schmalen Rahmen darum bildend.
Peritrema nicht gelappt, zart und einfach verlaufend. Stigma von der
Katopleure nur durch Haut getrennt, ohne innere Klappe, auch ohne stärkere
Falten, nur zarte im Grunde des tiefen Kelches. Otostigma.
g) Stigmen mitten in einem sehr grossen Pleurit gelegen und durch
dieses vom Tergit etwas abgerückt. Kelch nur mässig tief, dieser und
Peritrema unregelmässig gelappt, Stigmenboden faltig runzelig. Stigmaplatte
von der Katopleure grösstenteils nur durch Haut getrennt. Anodontostoma.
h) Peritrema länglichrund, mitten in einem ziemlich grossen Atem-
schild dicht neben dem Tergit gelegen, von der Katopleure nur durch Haut
getrennt. Stigmenhöhle tief, innen mit einer dreizipfeligen Klappe, nicht so
scharf ausgeprägt wie bei Scolopendra, aber doch im wesentlichen damit
übereinstimmend, ausgenommen die behaarten Zapfen, welche hier fehlen,
indem die Lippenränder einfach glatt verlaufen. Cupipes.
i) Peritrema länglich dreieckig; vorn spitz, Stigma mitten in einem
deutlichen Atemschild gelegen, der sich dicht neben dem Tergit befindet
und von der Katopleure getrennt ist durch einen Substigmalschild und das
hintere Ende der Mittelanopleure. Stigmenkelch mit dreizipfeliger Innen-
klappe, deren Lippen einfach sind und nur am Rande in sehr kleine Läppchen
geteilt, so bei Cormocephalus, oder ganzrandig bei Arthrorhabdus. (Bei
letzterer Gattung ist auch das Vorderende des Stigmaspaltes mehr abgerundet.)
k) Stigma im einem deutlichen Atemschild dicht neben dem Tergit
gelegen, von der Katopleure nur durch Haut getrennt, Peritrema länglich
dreieckig, vorn spitz. Stigmenkelch mit dreizipfeliger Innenklappe, deren
drei Lippen mit kräftigen, behaarten Zapfen oder bäumchenartigen Fort-
sätzen besetzt sind. Scolopendra.
l) Stigmen recht gross, von deutlicher aber schmaler Atemplatte
umrahmt, welche neben dem Tergit liegt, von der Katopleure aber fast nur
durch Haut getrennt ist. Stigmakelch ziemlich tief, am Grunde mit zahl-
reichen Falten und inselartigen gewölbten Kuppen dazwischen. Peritrema
nicht gezackt, sondern gleichmässig verlaufend. Altpes.
167] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 415
m) Wie bei Alipes, aber Stigmakelch mehr oder weniger seicht, die
Falten an seinem Grunde durchschnittlich noch zahlreicher. Peritrema un-
regelmässig lappig-zackig gewunden. Atemschild neben dem Tergit, von
der Katopleure vorn durch die hintere Mittelanopleure getrennt, hinten nur
durch Haut oder kleine Plättchen. Ethmostigmus.
Der Bau der Skolopender-Stigmen ist bisher keineswegs genügend
studiert worden, namentlich darf man sich, um ihn systematisch frucht-
bringend zu verwerten, nicht auf die gröbere äusserliche Gestalt beschränken,
sondern muss auch die anatomischen Verhältnisse berücksichtigen und die
mikroskopische Struktur von Kelch’ und Peritrema. Kohlrausch unter-
scheidet 1878 in seinen „Beiträgen zur Kenntniss der Scolopendriden“
(Marburg, Diss.) ausser der einfachen „spaltförmigen“ Stigmenform das
Spiraculum valvulare, S. branchiforme und S. cribriforme, zwischen denen
man nach ihm keinen wesentlichen, sondern „nur einen graduellen Unter-
schied“ findet. Übergänge kommen vor „sowohl zwischen den siebförmigen
und branchiformen Stigmen als auch zwischen diesen und den Spaltstigmen“.
Für den letzteren Fall führt er Cupipes an. E. Haase unterscheidet (z. B.
in seinen „indisch-australischen Myriopoden“ Dresden 1887) 1. spaltförmige
Stigmen (Oryptops, Cormocephalus, Scolopendra), 2. ohrföürmige (Otostigma)
und 3. siebförmige (Heterostoma). Während er einmal (S. 10) sagt: „von
dem ohrförmigen ist das siebförmige Stigma abzuleiten“, heisst es auf S. 11:
„So ist das siebförmige Stigma dadurch aus dem spaltförmigen entstanden
zu denken, dass letzteres immer flacher wurde, bis endlich nach dem
gänzlichen Verschwinden des Stigmenkelches Aussenrand und Boden fast
in gleicher Ebene lagen. In der Tat ist auch die Gestalt der Schutz-
vorrichtungen bei allen Stigmenformen dieselbe, nur die Ausmündungsart
der Tracheenstämme selbst in den Stigmenboden ist verschieden“. Kräpelin
untersuchte in seiner „Revision der Scolopendriden“ Hamburg 1903, wie
er selbst sagt, die Stigmen „im wesentlichen nur äusserlich“, er schliesst
sich im übrigen E. Haase an, weist aber mit Recht darauf hin, dass bei
den gestreckten Stigmen der horizontale oder mehr vertikale Verlauf der
53*
416 Karl W. Verhoeff, [68]
Stigmen-Längsachse von Wichtigkeit ist. Er sagt S. 11: „Stellt man dieses
Kriterium der Lage und nicht so sehr die Form in den Vordergrund, so
wird man auch bei minder gutem Erhaltungszustande die kurz dreieckigen
bis fast rundlichen, aber in der Vordereeke immer etwas winkligen Stigmen
eines ('upipes verhältnismässig leicht von den kleinen, gerundeten Stigmen
mancher Otostigmus- und Rhysida-Arten unterscheiden können. Ein durch-
greifendes Kriterium zwischen dem siebförmigen und dem ohrförmigen Stigma
dürfte aber nicht existieren, da es sich hierbei im wesentlichen nur um die
mehr oder minder oberflächliche Lage des Stigmenbodens handelt, wobei
alle nur denkbaren Übergänge zu beobachten sind“.
Meine eigenen Untersuchungen über die Anatomie der Scolopendro-
morpha-Stigmen haben mir gezeigt, dass dieselben in der Tat systematisch
und phylogenetisch recht wichtig sind und bisher noch nicht gebührend
gewürdigt wurden, auch möchte ich darauf hinweisen, dass bei mikro-
skopischem Studium die Stigmen z. T. selbst für Artunterscheidung von
Wert sein können, worauf ich aber in dieser Arbeit nicht näher eingehen
kann. Es ist merkwürdig, dass jene Stigmenform, welche Kohlrausch
bereits treffend als Spiraculum valvulare hervorgehoben hat und welche
z. B. durch Scolopendra vertreten wird, von den späteren Forschern nicht
richtig aufgefasst und daher auch phylogenetisch nicht entsprechend ge-
würdigt worden ist. Ich will eine kleine Änderung der Bezeichnung vor-
nehmen und diesen Stigma-Typus als den dreizipfeligen bezeichnen, Spira-
culum trivalvulare. Wenn ich Kräpelin hinsichtlich der natürlichen
Einheitlichkeit derjenigen Skolopender-Gruppe, welche er als seine Scolo-
pendrinae zusammengefasst hat, beistimme, also der Formen „mit triangel-
förmigen Stigmen“, so hat das seinen eigentlichen Grund in dem Umstande,
dass diese Stigmenform noch viel ausgezeichneter und charakteristischer ist
als Kräpelin selbst angenommen hat. Während nämlich Kräpelin
lediglich die äussere Gestalt des Peritrema und damit der Stigmenöffnung
gemeint hat, ist sie tatsächlich zugleich das Anzeichen für eine höchst
charakteristische Klappenvorrichtung im inneren Teil des Stigmenkelches,
wodurch derselbe in einen Aussen- und Innenkelch geteilt wird. Einiger-
massen angedeutet wird das durch jene Abbildung von E. Haase, welche
ich auch in meine Chilopoden-Bearbeitung in „Bronns Klassen und Ordnungen
[69] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 417
des Tierreichs“ aufgenommen habe (vergl. daselbst Taf. VII Abb. 8), doch
treten die Klappen infolge des Schnittbildes nicht richtig hervor, wie denn
chitinige Bauverhältnisse überhaupt immer in erster Linie im Zusammen-
hange studiert werden müssen und dann nach angemessener Zerlegung unter
Berücksichtigung der Gestaltverhältnisse. Bei den dreieckigen Stigmen von
Scolopendra und Verwandten, deren Längsachse ungefähr horizontal verläuft
und mit der Spitze bekanntlich nach vorn gerichtet, ist also der innerste
Teil des Stigmenkelches nach aussen abgeschlossen durch lippenartige
Klappen, welche für gewöhnlich mit ihren Rändern sich aneinander
legen oder doch stark genähert sind, je nach Bedarf aber durch Muskeln
auseinandergezogen werden können. Bei Scolopendra sind die drei Stigmen-
lippen noch besonders ausgezeichnet durch höchst auffallende, aussen vor
den Lippen sitzende und in Reihen ungefähr parallel zum Rande derselben
angeordnete Zapfen, welche sich als behaarte Fortsätze darstellen und
z.B. von Kohlrausch a.a.O. in Abb. 21 und 22 für Scolopendra mor-
sitans als „Schutzzäpfehen“ gezeichnet und beschrieben worden sind. Ganz
ähnliche, nur noch dichter in Reihen angeordnete Schutzzäpfchen be-
obachtete ich bei Scolopendra subspinipes, während sie bei Sc. cingulata eine
etwas andere ‘Gestalt haben, nämlich seitlich behaart und am Ende in eine
lange, spitze Borste verlängert, welche sich im Bogen nach aussen krümmt
und so den etwa eindringenden Fremdkörpern direkt entgegenstemmt. Die
drei Lippen sind nicht von gleicher Beschaffenheit, vielmehr haben wir eine
obere, untere und hintere zu unterscheiden, von denen die beiden ersteren
die bei weitem grössten sind und von ungefähr gleicher Beschaffenheit,
während die hintere einen kleinen dreieckigen Zipfel darstellt, aber bei
Scolopendra trotzdem auch mit Schutzzäpfchen besetzt ist. Bei 8. cingulata
bemerkte ich z. B. an der kleinen Hinterklappe des Stigmenpaares des
dritten Rumpfsegmentes etwa 12—13 Schutzzäpfchen derselben Beschaffenheit
wie an den Hauptklappen. Die obere und untere Lippe oder Hauptschlies-
klappe verlaufen grösstenteils gerade, bilden aber bei Annäherung an die
kleine Hinterlippe einen sehr stumpfen Winkel, wodurch sie sich dieser
anpassen und woraus zugleich hervorgeht, dass der Atemspalt, welcher
zwischen den Hauptlippen einfach ist, neben der Hinterlippe sich gabelt.
Dass die Schutzzäpfchen wirklich eine Filtrierung der Atemluft bewirken,
418 Karl W. Verhoeff, [70]
erkennt man am besten an den Stigmen solcher Individuen, welche in un-
reinem, mit Schmutzteilchen angefülltem Alkohol aufgehoben worden sind und
zwischen den Schutzzäpfehen eine Menge abgefangener Körnchen und Staub-
teilchen führen. Die von Scolopendra cingulata erwähnten Borstenfortsätze
scheinen mir besonders geeignet, kleine Parasiten, namentlich also Milben,
vom Eindringen in die Atemöffnungen abzuwehren. Der Zusammenschluss
der Stigmalippen geschieht passiv durch die Zähigkeit ihres Chitins, während
die Öffnung durch radiäre Dilatoren aktiv erfolgt, nach deren Erschlaffung
sie durch die eigene Elastizität wieder in die alte Lage zurückkehren. Bei
Scolopendra wird durch den Abstand der Schutzzäpfchenreihen von den
Lippenrändern ein Mittelkelch gebildet, während Oormocephalus und Cupipes
eines solchen entbehren, da ihre Stigmen einfacher gebaut sind, bei Cormo-
cephalus im Übrigen zwar Scolopendra höchst ähnlich, aber ohne die
komplizierte Zäpfehenbewehrung, höchstens mit schwachen kleinen Spitzchen
im Aussenkelch, bei Cupipes gleichfalls, aber auch hinsichtlich der Lippen
einfacher, indem statt einer deutlichen dreieckigen Hinterlippe nur ein kleiner
entsprechender Lappen zu beobachten ist, während Unter- und Öberlippe
ganz deutlich entwickelt sind. Arthrorhabdus schliesst sich mit seinen drei-
zipfeligen Stigmaklappen an Cormocephalus an, doch sind die Ränder der
Hauptlippen vollkommen glatt.
Eine wenig glückliche Bezeichnung ist die der „ branchiformen “*
Stigmen, aber Kohlrausch hat vollkommen recht, wenn er zwischen diesen
bei Rhysida und dem „siebförmigen“ von Ethmostigmus „nur einen graduellen
Unterschied findet.“ Aber auch der Name „siebförmiges“ Stigma führt zu
schiefen Vorstellungen. Beide Stigmenformen, das „branchiforme“ und „sieb-
förmige“ gehören zusammen und bedeuten nur Abstufungen desselben Stigmen-
typus, den ich als solchen mit zerklüftetem Kelch oder kurz zerklüfteten
Stigmen (Spiraeula rimata) bezeichne. Besonders deutlich ausgebildet
finden wir diese Stigmen bei Rhysida, Alipes und Ethmostigmus, letztere Gattung
lediglich dadureh ausgezeichnet, dass ihre Stigmen eine im Vergleich mit
jenen seichteren Kelch aufweisen. Unrichtig aber ist es, dass bei Ethmostig-
mus wenigstens am vorderen Stigmenpaare der Stigmenboden oberflächlich
liegen soll oder ein Stigmenwall „absolut fehlen“, denn auch hier ist der
Kelch als Grube deutlich ausgeprägt, wenn auch flacher als das sonst der
[71] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 419
Fall zu sein pflegt. Für diese zerklüfteten Stigmen will ich als charakte-
ristisch folgendes anführen: Man denke sich einen kurzen und unten voll-
kommen abgerundeten Sack, (welcher den Stigmakeleh vorstellen soll) am
Grunde desselben eine Anzahl kurzer, kleiner, von aussen her erfolgender
Einstülpungen, welche im Innern des Sackes als getrennte gewölbte Kissen
zur Geltung kommen und durch Aneinanderdrängen die Vertiefungen
zwischen diesen Kissen möglichst verengen, so hat man den Grundzug
dieses Stigmentypus. Nach Segmenten und Gattungen ist die Zahl der
Kissen oder Hügel am inneren Grunde des Stigmakelches verschieden und
dementsprechend auch die Zahl der gekrümmten Spalte dazwischen. Auch
sind die Hügel von sehr verschiedenartiger, oft unregelmässiger Form. In
den grubenartigen Tiefen der Spalte münden die Tracheen ein und zwar
sind diese Einmündungsstellen dwreh Büschel von steifen Haaren geschütet,
welche von E. Haase entdeckt und bei mehreren Formen beschrieben worden
sind, namentlich gibt er a.a. OÖ. in Abb. 24 einen Stigmalängsschnitt von
Branchiostoma mit „strahlenförmigem Stachelkranz vor der Mündung“ der
Tracheen. Diese „Stacheln“ hat er als einfache borstenförmige Haare ge-
zeichnet. Ich selbst habe die Stigmen von Alipes multicostis zerlegt und
finde, dass dieselben im Vergleich mit Haases Darstellung 24 eine höhere
Ausbildungsstufe vorstellen, indem die Hügel am Stigmaboden kräftiger sind
also auch die Einmündungsstellen der Tracheen noch stärker geschützt, indem
sich vor ihnen in der Tiefe der Spalten Büschel von langen, fadenförmigen,
mit kurzen seitlichen Spitzchen reichlich besetzen Haaren befinden. Es findet
in den zerklüfteten Stigmen eine doppelte Filtrierung der Luft statt, indem
zunächst gröbere Bestandteile, z. B. kleine Sandkörnchen, durch die Kissen
des Kelchbodens festgehalten werden, und die alsdann durch die Spalten in
die Tracheen gelangende Luft weiter von feineren Fremdkörpern durch die
Haarbüschel gereinigt wird.
Derartige Stigmen aber als „branchiforme“ oder „siebförmige“ zu
bezeichnen, scheint mir doch recht unzweckmässig zu sein. Jedenfalls haben
sie mit jenen Stigmen, welche man bei Insekten mit vollem Rechte als
siebförmige bezeichnet hat, weil es sich wirklich um von Löchern durch-
bohrte Platten handelt, wenig zu tun. Wenn man auch die Einmündungs-
stellen der Tracheen für die Siebbezeichnung heranziehen wollte, so dürfte
420 Karl W. Verhoeff, [72]
doch nieht vergessen werden, dass die physiologisch wirksamen Teile die
Luft nicht dureh Siebe reinigen, sondern durch eine Filtrierung. Physiologisch
stimmen die Kelcheinriehtungen der Stigmen von Scolopendra einerseits
und Ethmostigmus, Rhysida, Alipes andererseits überein, aber vergleichend-
morphologisch sind sie grundverschieden, gehören aber auch zwei Scolopendriden-
Zweigen an, zwischen welchen es keinen direkten phylogenetischen Zusammen-
hang gibt, da sich beide Formen unabhängig von einander aus den einfacheren
Stigmenformen entwickelt haben. Den obigen Ausführungen von E. Haase,
dass „das siebförmige Stigma dadurch aus dem spaltförmigen entstanden zu
denken“ sei, „dass letzteres immer flacher wurde“ kann ich mich also
ebenso wenig anschliessen, wie der Behauptung von einem „gänzlichen Ver-
schwinden des Stigmenkelches.“ Es ist auch überhaupt nicht vorstellbar,
wie aus einem so komplizierten Stigma wie es dasjenige der Scolopendra
ist, ein gänzlich anderes aber nicht minder verwickeltes wie das der Eth-
mostigmus entstehen sollte. Als Vorläufer der Stigmen bei Ethmostigmus
und Alipes sind die von Rhysida leicht verständlich, da sie nach demselben
Grundzuge, nur etwas einfacher gebaut sind. Ebenfalls ähnlich und wieder
einfacher sind die Stigmen von Scolopoeryptops und Otoeryptos, indem sie am
Kelchboden noch weniger kissenartige Erhebungen aufweisen. Rhysida und
die beiden vorigen Gattungen stimmen auch in der von unten nach oben
etwas länglichen Gestalt der meisten Stigmen überein. Eine Ausdehnung
mehr von vorn nach hinten zeigen die von diesen Gattungen ableitbaren
Stiemenformen von Ethmostigmus und Alipes nur infolge ihrer allgemeinen
Vergrösserung. Wenn nun Haase mit den „spaltförmigen“ Stigmen, welche
er als Grundlage der siebförmigen ansah, solche spaltförmigen gemeint haben
sollte, wie sie z. B. bei Trigonoeryptops vorkommen, d. h. spaltförmige ohne
dreizipfelige Innenklappe, dann ist auch das schon deshalb ausgeschlossen,
weil diese sich horizontal längs erstrecken, bei jenen aber gerade die ein-
facheren mehr vertikal gerichtet sind. So werden wir von den Stigmen
der Otoeryptops und Rhysida in der Tat zurückgeführt auf die tiefen, ein-
fachen Stigmen von Otostigma.
Von den dreizipfeligen Stigmen der Scolopendra und nächsten Ver-
wandten werden wir natürlich auch auf einfache Stigmenformen zurück-
verwiesen, freilich nieht auf Otostigma, da dem schon die Richtung der
[73] Die eoxoplenralen Körperteile der Chilopoden. 421
Stigmalängsachse widerspricht. Eine irgendwie sichere primitivere Vorstufe
für die von Cupipes erwähnten Stigmen lässt sich vorläufig nicht feststellen,
doch will ich erwähnen, dass ich an einzelnen Stigmen von Theatops den
Eindruck gewann, als wenn eine schwache zweilippige Innenklappe vorläge.
Weitere Untersuchungen mögen das prüfen. Auch Kräpelin weist auf
die Zusammengehörigkeit des „siebförmigen“ und „ohrförmigen“ Stigmas
hin und meint, dass „es sich hierbei im wesentlichen nur um die mehr oder
minder oberflächliche Lage des Stigmenbodens“ handle. Dass es sich nicht
allein um diesen, sondern vor allem um eine stärkere oder schwächere Aus-
prägung der Filtriereinrichtungen handelt, glaube ich im vorstehenden gezeigt
zu haben. Ferner sagt Kräpelin 8. 11: „Bei niederen Formen der Seolo-
pendriden, und ich denke hier vornehmlich an die Gattung Oryptops, ist
augenscheinlich die Differenzierung der Stigmen und die Verteilung typischer
Formen derselben auf bestimmte Gattungen noch nicht eingetreten. Nur
so wenigstens dürfte es zu erklären sein, dass in der Gattung Uryptops
sowohl fast runde wie auch lang schlitzförmige Stigmen auftreten und dass
dieselben überdies bald parallel bald schräg zur Längsachse des Körpers
gestellt sind.“ Diese Anschauung wird schon dadurch etwas geändert, dass
Öryptops der bisherigen Autoren mehrere Gattungen enthält. Ich selbst sah
ausgesprochen gestreckt schlitzförmige Stigmen, wie sie besonders typisch
bei Trigonoeryptos vorkommen, bisher nur in einer Lage ungefähr parallel zur
Längsachse des Körpers. Vor allem aber möchte ich betonen, dass die äusseren
Gestaltunterschiede im Peritrema der Uryptopiden, welches übrigens immer
aus kleinen, regelmässigen Bögelchen besteht, nicht parallel gehen mit der-
artig grossen Bauverschiedenheiten, wie wir sie oben von Scolopendra und
Alipes z. B. besprochen haben.
Die Interkalarsegmente. der Scolopendromorpha sind bisher
ausserordentlich vernachlässigt worden. Ich verweise hier auf meine beiden
Schriften im Archiv für Naturgeschichte, nämlich „Über die Interkalar-
segmente der Chilopoden. mit Berücksichtigung der Zwischensege'mente der
Insekten“ 1903, Bd. I, H. 3 und „Über Tracheaten-Beine, 6. Aufsatz: Hüften
und Mundbeine der Chilopoden“ 1904, Bd. I, H. 2. —
Grade für die phylogenetische Betrachtung der Skolopender sind die
Interkalarsesmente von grosser Wichtigkeit, da sie beträchtliche Unterschiede
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2. 54
422 Karl W. Verhoeff, [74]
hinsichtlich der Stärke der Ausprägung aufweisen. Gehen wir auf Grund
der Geophilomorpha von der Anschauung aus, dass die Interkalarsegmente bei
den niedrigsten Gattungen am kräftigsten ausgebildet sind, so finden wir, dass
die Scolopendromorpha-Gattungen nach dieser Richtung im ganzen und grossen
mit andern Organisationsverhältnissen harmonieren, d. h. dass bei den primi-
tiven Plutonium z. B. auch die Interkalarsegmente viel kräftiger entwickelt
sind als bei den abgeleiteten Scolopendra u. a. Allgemein begegnet man bei
den Gattungen der Scolopendromorpha zwei interkalaren Pleuritenpaaren, einem
oberen neben dem Interkalartergit und einem unteren neben dem Interkalar-
sternit, dazwischen ein breites häutiges Gebiet. Selten nur erlischt die obere
Interkalarpleure. Weniger selten ist das Vorkommen von Skleriten in dem
häutigen Gebiet zwischen den beiden gewöhnlichen Pleuren. Allerdings
sind diese Zwischenbildungen, welche ich als Rudimente der bei den @eo-
philomorpha gewöhnlichen und vorn erwähnten Bildungen auffasse, fast immer
sehr klein, so namentlich bei Cupipes und Ethmostigmus, nur bei Cormo-
cephalus fand ich noch eine deutlichere dritte Interkalarpleure, Abb. 25 ipl 1.
Die Interkalarsternite zeigen drei Ausbildungsweisen, je nachdem sie in
ihren Hälften wieder in zwei Teile zerlegt sind oder nicht und je nachdem
sie in letzterem Falle aussen einfach abgerundet sind oder deutlich ein-
geschnitten. Ganz einheitliche unzerteilte Interkalarsternite kommen bei den
Scolopendromorpha nicht vor, sind aber bei verschiedenen Vertretern der
Geophilomorpha zu beobachten. Die Interkalartergite zeigen bedeutende Unter-
schiede hinsichtlich der Stärke ihrer Entwickelung. Sehr grosse findet man
bei den Oryptopiden, bei T’heatops und Newportia, so dass sie schon bei ge-
wöhnlicher Haltung des Tieres von aussen mit ihrem Hinterrandgebiet mehr
oder weniger etwas sichtbar sind, je nachdem der Körper des betreffenden
Individuums mehr oder weniger zusammengedrängt ist. Ziemlich grosse
Interkalartergite findet man auch noch bei Plutonium und Cormocephalus.
Bei Cupipes sah ich sie ziemlich gross aber unvollkommen abgegrenzt, mehr
oder weniger schwächlich und für gewöhnlich vollkommen verdeckt durch
den Hinterrand der Haupttergite sind sie bei Anodontostoma, Arthrorhahdus,
Scolopendra, Ethmostigmus, Alipes, Otostigma, Otoeryptos und Scolopoeryptops.
Bei Ahysida und zum Teil auch Scolopendra sind die Interkalartergite nicht
nur recht klein, sondern auch nicht ganz vollständig abgegrenzt. Die rück-
75 Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 423
P pP p
schreitende Entwickelung der Interkalarsegmente innerhalb der Scolopendromorpha
ist unverkennbar, zugleich wird man auf zwei getrennte phylogenetische Wege
geführt, ausgehend von den grossen Tergiten und den einfachen, ungeteilten
Sternithälften, wie bei Theatops und Plutonium. Auf dem einen dieser
Wege (Uryptopidae) bleiben die Tergite kräftig und die Sternite werden
aussen quer eingeschnitten; auf dem andern Wege schwächen die Tergite
mehr und mehr ab und die Sternithälften werden abermals ‚zergliedert
(Scolopendridae).
Kräpelin widmete 1903 in seiner „Revision“ einen besonderen Ab-
schnitt der „genetisehen Verwandtschaft der Scolopendridengattungen“, wobei
er sich folgendermassen äussert: „Es drängt sich ganz von selbst der
Gedanke auf, dass wir es in der Gattung CUryptops mit einer Formengruppe
zu tun haben, in welcher eine ganze Reihe der späterhin für die Trennung
grösserer Abteilungen Wert gewinnenden Merkmale noch in buntem Gemisch
und geringerer Differenzierung nebeneinander bei nächstverwandten Arten
auftritt, mit andern Worten, dass die Gattung Cryptops als eine dem Aus-
gangspunkt der Gesamtfamilie nahestehende Formengruppe zu betrachten sei.“
Dieser Ansicht entsprechend stellt Kräpelin in seinem phylogenetischen
Schema für die Verwandtschaftsbeziehungen an den Grund der ganzen
Skolopender „augentragende eryptops-artige Skolopender“ (S. 27). Mit Recht
führt er für diese Anschauung (S. 22) an das Fehlen der Fortsatzbildungen
an den coxopleuralen Bezirken des Endbeinsegmentes und das Fehlen der
Zahnbildungen am Coxosternum des Kieferfusssegmentes, ferner die Gleich-
förmigkeit der Antennenbeborstung. Anders aber steht es mit der Be-
schaffenheit der Sternite, denn es ist unmöglch das Vorkommen „nur einer
einzigen Medianfurche“, welche „bei höheren Formen noch vielfach in Gestalt
seichter Gruben wiederkehrt“, als primär dem Vorkommen der seitlichen
Episternalnähte als sekundär gegenüberzustellen und zwar aus folgenden
Gründen: 1. sind die medianen Bildungen innere Verdickungsleisten, zu
denen bei COryptops noch schräge Querleisten hinzukommen, 2. sind die
Episternalnähte wirkliche Nähte und 3. kommen mediane sehr deutliche
Furchen bei der durchaus nicht primitiv beschaffenen Gattung Anodontostoma
vor, während bei der ebenfalls nicht besonders primitiven Gattung Trigono-
cryptops keine Spur von Episternalnähten zu finden ist. Das Vorkommen der
54*
494 Karl W. Verhoeff, ' [76]
unpaaren Medianfurchen oder Leisten einerseits und der paarigen Episternal-
nähte andererseits bezeichnet daher nach meinen Untersuchungen verschiedene
Entwickelungsrichtungen. Das wird zur Gewissheit, wenn man die übrige
Beschaffenheit der Sternite ins Auge fasst und von der Verschiedenartigkeit
der schon genannten Interkalarsternite abgesehen, sich überzeugt, dass das
hinterste Drittel der Hauptsternite bei den Oryptopiden und Newportia stark
eingestülpt- ist und ein mehr oder weniger deutliches Endosternit bildet mit
besonderen Beziehungen zu den Suprasternalpleuriten, während bei den
meisten übrigen Gattungen der Skolopender das Hauptsternit hinten gar
nicht oder nur unbedeutend versenkt ist und auch die Suprasternalplatten
eine mehr oberflächlicde Lage bewahren. Auch hinsichtlich der Laufbeine
und namentlich Endbeine kann ich Kräpelin nicht beistimmen, wenn er
insbesondere für Oryptops betont, dass „von einer Individualisierung der
zahlreichen Dörnchen des Femur, von der Ausbildung eines Eckdorns u. s. w.
nichts zu bemerken ist.“ Sehen wir zunächst ab von den Formen mit be-
sonders eigentümlichen Endbeinen, also Newportia, Plutonium und Theatops
und stellen Uryptopiden und Scolopendriden einander gegenüber, dann haben
wir es schon mit physiologisch-biologisch verschiedenartigen Bildungen zu
tun, nämlich einerseits Fangbeinen, deren Tibia und 1. Tarsus eine mehr
oder weniger bezahnte, taschenmesserartig einschlagbare Klappe bilden,
während andererseits bei den eigentlichen Scolopendriden einfache Tast- und
Schleppbeine oder bekrallte und bedornte Klammerbeine vorliegen, jedenfalls
ohne jene Klappvorrichtung. Auf S. 25 sagt Kräpelin, dass „die anfangs
über alle Abschnitte der Gehbeine gleichmässig ausgedehnte Behaarung
resp. Bedornung der Gehbeine beschränkte sich mehr und mehr auf die
Enndglieder, lieferte hier die teils in der Einzahl teils doppelt vorhandenen
Tarsalsporne, sowie auch die Klauensporne, bis am Ende der Entwiekelungs-
reihe auch diese Gebilde verschwinden. In gleicher Weise zog sich die
Beborstung der distalen Abschnitte der Analbeine auf das Femoralglied
zurück, wie sie in der Ausbildung des Eekdorns und ausgesprochener Dorn-
Individualitäten ihren Höhepunkt erreichte, während gleichzeitig die Pseudo-
pleuren aus dem einfachen, am Hinterrande regellos mit Dörnchen besäten
Rechteck mehr und mehr in die zu einer langen Spitze ausgezogene,
dornengekrüönte Form übergingen.“ A priori ist diese Auffassung wohl
[77] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 425
einleuchtend, aber sie scheitert an dem Umstande, dass hier zweierlei grund-
verschiedene Gebilde in einen phylogenetischen Rahmen gestellt worden sind,
nämlich Borsten und Stachelborsten einerseits, sowie Dornen andererseits.
(Ich verweise hier auf die betreffenden Abschnitte meiner eingangs Nr. 4
aufgeführten Lithobüden- Arbeit.) Dornen sind einfache Hautskleritfortsätze,
ohne Basalgelenk und ohne Nerv, während Borsten und den durch Ver-
stärkung aus ihnen entstehenden Stachelborsten beides zukommt. Die Ent-
stehung beider Kategorien von Hautskelettbekleidung ist daher vollkommen
unabhängig von einander erfolgt. Aus den einfachen haarartigen Tastborsten,
welche ich nirgends so einfach und gleichmässig angeordnet gefunden habe
wie in den seitlichen Gebieten des Rumpfes der der Dornen am Endbein-
segment entbehrenden Gattung Plutonium, [welche wir aber bei den Orypto-
piden in grosser Mannigfaltiskeit antreffen], gehen durch allmähliche Ver-
stärkung diekere Tastborsten und schliesslich steife Stachelborsten hervor,
welche aber immer das deutliche Grundgelenk zeigen. An den drei letzten
Beinpaaren der Cryptoptden sieht man besonders schön die verschiedenen
Stufen der Tastborstengebilde, indem sich alle Übergänge finden von den
feinen einfachen Borsten bis zu den dicken stiftartigen. Letztere sind bei
Cryptops an allen Beinpaaren vorhanden, besonders reichlich am Telopodit
der Endbeine. Aus diesen Stiftborsten konnten sich also auch die „Tearsal-
sporne“ anderer Skolopender-Gattungen entwickeln, nicht aber die „Klauen-
sporne“, welche, wie ich in Nr. 4 zeigte, Ungulumabspaltungen vorstellen.
Ebenso wenig haben mit Borstenstiften etwas zu tun die Dornen, welche
am Coxopleuralbezirk des Endbeinsegmentes und an den Endbeinsegmenten
selbst vorkommen und bei den typischen Scolopendriden so reichlich ver-
treten sind. Wir finden ja bei Uryptops an den Endbeinen beiderlei Gebilde
neben einander, denn die Spitzen der Endbeinfangklappe sind Dornen, also
starre Hautskelettfortsätze, welche eine von den umgebenden Stiften und
Tastborsten durchaus verschiedene Natur besitzen. Nach meinen Unter-
suchungen weisen uns also auch die Dornen- und Borsten-Bildungen sowohl
am Rumpfe als auch an den Anhängen (Beinen) des Skolopender-Körpers,
übereinstimmend mit dem, was oben über Sternite, Endosternite, Interkalar-
segmente und Endbeingliederung gesagt wurde, auf verschiedene, auseinander-
laufende Entwicklungsrichtungen, welche aber gemeinsam zurückweisen auf
426 Karl W. Verhoeff, [78]
Formen mit gleichförmiger, feiner haarartiger Beborstung, wie sie noch ziemlich
deutlich bei Plutonium erhalten ist. Von diesen verschiedenen Entwicklungs-
richtungen ist die eine ausgezeichnet durch Borstenbildung verschiedenster
Stärke bei spärlicher Dornenausbildung (Oryptopiden, Newportüden), die
andere durch mehr oder weniger vollständige Verdrängung des Borsten-
kleides und reichlichere Dornenentwicklung (Scolopendriden). Dass die
Tibial- und Tarsal-,Sporne“ verdickte Tastborsten sind, erkennt man be-
sonders deutlich auch bei Newportia. Ausdrücklich betonen will ich
schliesslich noch, dass nach dem oben Gesagten die bei Oryptopiden so
reichlich auftretenden, kurzen und dicken Stiftborsten nicht, wie es nach
Kräpelins Darlegung scheinen könnte, als Übergangsbildungen von Borsten
zu Dornen angesprochen werden können, sondern als eine besondere Eigen-
tümlichkeit der Cryptopiden und zwar als eine Ausgestaltung des einfachen
primären feinen und mehr gleichmässigen Borstenkleides.
Kräpelins Darlegung der Skolopender-Phylogenie enthält ferner
einen prinzipiell wichtigen und von ihm nicht weiter begründeten aber in
der Verwandtschafts-Darstellung in wichtiger Weise zum Ausdruck ge-
brachten Punkt, welcher die Auffassung der Zahl der Stigmenpaare betrifft.
"Er leitet nämlich Plutonium mit seinen 19 von Theatops mit nur 9 Stigmen-
paaren ab, ähnlich Scolopocryptops mit 11 von Otoeryptops mit nur 10,
Rhysida und Ethmostigmus mit 10 von Otostigmus mit nur 9 Stigmenpaaren
ab und entsprechend in anderen ähnlichen Fällen. In Wirklichkeit verhält
es sich bei allen diesen Gattungsbeziehungen umgekehrt und zwar auf Grund
eines höchst wichtigen und für die gesammte betreffende Tierwelt gültigen
Grundsatzes, wonach als ursprüngliche Formen diejenigen zu betrachten
sind, welche eine mehr gleichartige (homonome) Segmentierung aufweisen,
während andere Formen um so mehr für abgeleitet (derivat) zu betrachten
sind, je wungleicher (heteronomer) sich die Körpergliederung gestaltet hat,
d.h. also je weiter die Funktionsteilung der einzelnen Segmente gediehen
ist. Bei den Chilopoden (und auch Diplopoden) sind aber mit Rücksicht
auf Stigmen und überhaupt fast alle Organe, welche in segmentaler Folge
auftreten, diejenigen Formen besonders ursprünglich, welche diese segmentale
Folge an möglichst zahlreichen Segmenten gleichmässig bewahrt haben.
Die Geophilomorpha sind als diejenige Gruppe bekannt, bei welcher mit
[79] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 427
Rücksicht auf Stigmen eine höchst homonome Segmentierung herrscht und
unter den bekannten Scolopendromorpha ist Plutonium die einzige Gattung,
welche sich in dieser Hinsicht an jene anschliesst, sie ist daher mit Rück-
sicht auf ihr Tracheensystem die primitivste bekannte Form. Je mehr bei
den Skolopendern die Stigmenzahl erniedrigt ist, um so adgeleiteter ist die
betreffende Gattung. (Ähnliches ist ja auch von Hexapoden mehrfach er-
wiesen worden.) Der Erniedrigung der Stigmenzahl seht aber bei den
meisten Gattungen eine Erhöhung der Komplikation des Stigmenbaues (und
allem Anschein nach des Tracheensystems überhaupt) parallel, oft auch
eine Vergrösserung der Stigmen, wodurch schon auf eine Vermehrung der
Tracheenrohre hingewiesen wird. Kräpelin hat sicherlich recht, wenn er
die Zweiteilung der Skolopender in Holopneusticae und Hemipneusticae
„als wenig glücklich“ zurückweist, denn hierdurch wird in der Tat ein
echt künstliches System nach einer einzigen Merkmalgruppe aufgestellt.
Andererseits kann ich ihm aber auch nicht in das Entgegengesetzte folgen,
die Unterscheidung zweier Gattungen durch ein Mehr von 8—10 Stigmen-
paaren nicht viel höher als ein Mehr von einem Paar zu werten und dem
entsprechend das Verhältnis von Theatops und Plutonium zu gestalten.
Ohne Frage stimmen wir darin überein, dass diese beiden Gattungen ein-
ander am nächsten stehen unter den bekannten Skolopendern. Trotzdem ist
die Kluft zwischen ihnen derartig gross, dass darin zahlreiche Gattungen
Platz finden könnten. Für die Oryptopiden ergibt sich aber wiederum ein
wichtiger Punkt gegen die Möglichkeit, diese Gruppe, auch abgesehen von
den Augen, zum Ausgangspunkte der ganzen Skolopender zu machen.
Anderweitige Folgen für die verwandtschaftliche Auffassung der Skolopender-
Gattungen ergeben sich von selbst.
Die bisherigen Weisen der systematischen Gruppierung der Skolopender
hat Kräpelin in seinem Buche S. 26 bereits erörtert. Für mich kommen
nur die beiden Systeme von Pocock und Kräpelin in Betracht. Pocock
unterscheidet innerhalb der Ordnung Scolopendromorpha die Familien
1. Scolopendridae (augentragende Formen), a) Alipedinae mit Alipes,
b) Scolopendrinae die übrigen. 2. Scolopoeryptidae, 3. Newportüdae, 4. Oryp-
topidae (alle blinden Formen mit 21 Beinpaaren.)
Kräpelin fasst die Skolopender als eine einzige Familie Scolo-
428 Karl W. Verhoeff, [80}
pendridae, welche er in drei Gruppen bringt; 1. Cryptopinae (die augen-
losen Formen), 2. Scolopendrinae (die augentragenden Formen mit drei-
eckigen Stigmen), 3. Otostigminae die übrigen.
Meine Untersuchungen haben mich zu Ergebnissen geführt, welche
von denen beider Forscher abweichen, was mit Rücksicht darauf, dass ich
verschiedene Organisationsverhältnisse untersucht habe, welche bisher gar
nicht oder nur oberflächlich studiert worden sind, auch nieht weiter er-
staunlich sein kann. Immerhin steht das von mir gewonnene System dem
System Pococks wesentlich näher als demjenigen Kräpelins, was in
erster Linie darin liegt, dass Kräpelin die so heterogenen Blindformen in
seine unnatürliche Gruppe der „Uryptopinae“ zusammenbrachte. Fasst man
dagegen die augentragenden Skolopender allein ins Auge, so ist Kräpelins
Scheidung in Otostigminae und Scolopendrinae entschieden naturgemässer
als Pococks Zweiteilung der Alipedinae und Scolopendrinae — Pocock
und Kräpelin stimmen darin überein, dass sie zwischen augenführenden
und augentragenden Formen einen Hauptunterschied machen, aueh sagt
letzterer auf S. 13 seiner „Revision“ ausdrücklich, „dass es sich in der
Familie der Scolopendriden um zwei zur Zeit des Bindegliedes entbehrende
Stämme handelt, die durch den Besitz resp. den Mangel der Augen scharf
von einander geschieden sind.“ Dieser Ansicht habe ich anfangs ebenfalls
gehuldigt, musste sie aber aufgeben mit Rücksicht auf Otoeryptops und
Scolopoeryptops (abgesehen von den mir in natura nicht bekannten Gattungen
Mimops und Pseudoeryptops). Schon im Habitus schliessen sich die beiden
ersteren Gattungen den typischen Scolopendriden weit mehr an als den
übrigen Blindformen, es gilt das aber auch für zahlreiche Bauverhältnisse,
so die Gestalt und Behaarung der Antennen, die Beschaffenheit der Bedornung
des Endbeinsegmentes, die Gestalt der Endbeine und des Endbeinsegmentes
und die Bekleidung der Laufbeine. Besonders beachtenswert ist der Bau
der Stigmen, denn in diesen schliessen sich Scolopoeryptops und Otoeryptops
unmittelbar Rrhysida, Ethmostigmus und Verwandten an, für diese eine
einfachere Vorstufe darstellend. Was sie aber sonst an Eigentümlichkeiten
besitzen, ist nicht geeignet, sie den übrigen Blindformen besonders zu nähern,
ausgenommen (den Augenmangel. Diese Differenz kehrt aber in der Tier-
welt so hundertfältig wieder, dass ich ihr keine besonders grosse Bedeutung
[81] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 429
beimessen kann. Kräpelin betrachtet „die Auffassung der augenlosen
Formen als einer Summe degenerierter, den verschiedensten Gruppen
sehender Skolopender entstammender Blindtiere auf Grund der gesamten
Organisation als unwahrscheinlich.“ Gerade die Entstehung der Augen in
phylogenetischer Hinsicht ist bei den Tracheaten in ein vollständiges Dunkel
gehüllt, sodass es sich empfiehlt, auf diese Frage möglichst wenig Gewicht
zu legen. Mit absoluter Sicherheit lässt es sich überhaupt nicht entscheiden,
ob die Ocellen bei den Epimorpha sekundär verschwunden sind oder primär
bei einem Teil der Scolopendromorpha aufgetreten. Wollen wir das Erstere
annehmen, dann ist die Ocellenrückbildung sicherlich mehrfach und unab-
hängig von einander erfolgt, mindestens dreimal, einmal bei Uryptopiden und
Newportia, das zweite Mal bei Plutonium und Theatops und das dritte Mal
bei Scolopoeryptops und Otocryptops.
Höchst merkwürdig sind die Gattungen Anethops Chamberlin 1902
und Mimops Kräpelin 1903, namentlich die letztere, welche nach der kurzen
Beschreibung nur einen Ocellus jederseits besitzt, ein Umstand, welcher
mehr für die Annahme einer Ocellenrückbildung innerhalb der Epimorpha
spricht. Ohne diese Gattungen gesehen zu haben, kann ich mir nach den
kurzen Diagnosen kein Urteil über die verwandtschaftliche Stellung bilden,
es scheint aber, dass beide einander recht fern stehen. Mimops scheint eine
besondere Gruppe zu vertreten, welche Beziehungen zu den Uryptopiden
zeigt, während Anethops mehr auf die echten Scolopendriden hinweist.
Schliesslich noch einige Worte über die oben bereits bei den ein-
zelnen Gattungen besprochene Coxopleure, welche ein nicht unwichtiges
Merkmal auch für die Skolopender-Gruppen ist. Ihre allmähliche Ab-
trennung von der Eucoxa superior wurde oben schon begründet. Hier be-
tone ich, dass wir hauptsächlich vier verschiedene Fälle zu unterscheiden
haben, nämlich:
1. Bei Oryptopiden entweder ein schwaches Plättchen dicht oben
über der Gelenkgrube des Telopodit oder ein deutlicheres und: mehr ab-
gerücktes Sklerit zwischen Eucoxa und Katopleure.
2. Bei Newportia ein durch Naht abgeschnürtes hinteres Stück am
oberen Bogen, welcher die Telopodit-Gelenkgrube umfasst.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 55
430 Karl W. Verhoeff, - [82]
3. Ähnliche Abschnürungen von mehr oder weniger deutlicher Aus-
prägung bei Ethmostigmus, Alipes, Anodontostoma, Plutonium, Scolopendra.
Die Abschnürungsstelle liegt aber nicht oben hinten wie bei Newportia,
sondern oben vorn, am oberen Ende der steil heraufgehenden Eucoxa superior.
4. Selbständige, unter die Katopleure geschobene Coxopleure, welche
mit der Eucoxa superior ein deutliches Gelenk bildet, so bei Cormocephalus,
Otostigma und Rhysida.
Unter den sonstigen Formen, also namentlich Scolopoeryptops, Oto-
eryptops, Cupipes und Arthrorhabdus habe ich keine Coxopleuren beobachtet.
Die sonstigen verwandtschaftlichen Verhältnisse der Skolopender haben mich
zu dem Schlusse geführt, dass die Coxopleuren unabhängig von einander,
mehrfach und auf etwas verschiedene Weise zur Ausprägung gelangt sind.
= *
‚Meine Untersuchungen über die im Vorigen behandelten Verhältnisse
des Körperbaues der Scolopendromorpha haben mich im Verein mit dem,
was bereits nach dieser Richtung bekannt war, zu den folgenden systematischen
Gruppen geführt. Ich unterscheide sechs Familien der Scolopendromorpha,
welche zu je zwei in näherer Beziehung stehen, nämlich 1. Oryptopidae
und Newportüdae, 2. Theatopsidae und Plutoniidae, 3. Scolopoeryptidae und
Scolopendridae. Mau könnte hieraus zu dem Schlusse neigen, dass sich
drei Unterordnungen unterscheiden liessen. Es sind aber hierfür meines
Erachtens die Unterschiede nicht tiefgreifend genug, sodass ich es, wenn
nicht etwa später noch weitere entsprechende Organisationsunterschiede
nachgewiesen werden, für richtiger halte, die drei Hauptgruppen als Super-
familien aufzuführen und zwar folgendermaassen:
A. Superfamilia Cryptopina mihi. Sternite der meisten
Rumpfsegmente länglich, mehr oder weniger länger als breit, entweder mit
scharf ausgeprägtem Endosternit oder wenn dieses nur unvollständig aus-
gebildet ist, hinten in der Mitte vorspringend und seitlich eingebuchtet. In
die Buchten greifen dann die Suprasternalplatten ein. Episternalnähte
fehlen, häufig sind an den Sterniten laterale, seltener mediane innere Ver-
diekungsleisten ausgebildet. Endbeinsegment nicht auffallend vergrössert,
[83] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 451
Endbeine entweder mit taschenmesserartiger Klappe zwischen Tibia und Tarsus
oder mit in Gliederchen zerschnürtem Tarsus, Kralle nicht ungewöhnlich ver-
srössert. Ocellen fehlen. Interkalarsternithälften einfach oder doch höchstens
mit schwacher Andeutung eines Innenteiles, interkalare Tergite stark entwickelt.
Stigmen stets mit gleichmässig verlaufendem, aus kleinen Bögelchen zusammen-
gesetztem Peritrema, Stigmenkelch ohne Zerklüftung und ohne dreizipfelige
Klappe. 9 oder 11 Stigmenpaare. (Hierhin Oryptopidae und Newportiüdae.)
B. Superfamilia Theatopsina mihi. Sternite so lang wie
breit, hinten einfach zugerundet, ohne Eindosternit und ohne Episternalnähte,
mit Medianfurche. Endbeinsegment auffallend vergrössert, länger und viel
grösser als das 20. Rumpfsegment. Endbeine sehr stark verdickt und zu
einer Kneifzange umgestaltet, deren Kralle länger ist als die beiden Tarsal-
glieder zusammen. Ocellen fehlen. Interkalare Sternithälften einfach.
Interkalartergite stark entwickelt. Stigmen mit aus regelmässig angeordneten
Bögelchen bestehendem Peritrema, der Kelch innen entweder mit deutlicher
Zerklüftung oder mit einer unvollkommenen Klappe. 9 oder 19 Stigmen-
paare. Pro- und Metacoxa nur auf kurzer Strecke durch die Eucoxa ge-
trennt. (Hierhin Theatopsidae und Plutonüdae.)
C. Superfamilia Scolopendrina mihi. Sternite so lang
wie breit oder häufig Dreiter als lang, weder mit vollkommenem noch un-
vollkommenem Endosternit, hinten vielmehr einfach abgerundet, meist mit
zwei Episternalnähten, seltener ohne dieselben und dann manchmal mit
Medianfurche, stets ohne seitliche Verdickungsleisten. Endbeinsegment nicht
auffallend vergrössert, Endbeine weder mit Klappvorrichtung noch mit viel-
gliedrigem Tarsus, noch in Kneifzangen umgewandelt, meist und namentlich
am Präfemur und Femur mit Dornen besetzt. Ovellen meist zu vier jeder-
seits vorhanden, manchmal fehlend. Interkalare Sternithälften entweder
einfach oder aber meistens sehr deutlich zweiteilig. Interkalartergite meist
mehr oder weniger schwächlich, bisweilen überhaupt undeutlich, seltener
kräftig ausgebildet. Stigmen häufig mit unregelmässigem Peritrema, ihr
Kelch entweder mit deutlicher Bodenzerkläftung oder mit dreizipfeliger
Klappe. Stigmenpaare 9, 10 oder 11. (Hierhin Scolopoeryptidae und
Scolopendridae.)
55*
432 Karl W. Verhoeff, [84]
AI Cryptopidae m.: Rumpf mit 21 Beinpaaren und 9 Stigmenpaaren.
Sternite nicht gleichmässig und stark nach hinten verschmälert, Endosternit
entweder schwächer und dann vorn nicht durch innere Querleiste begrenzt,
oder stärker, vorn scharfbegrenzt und dann davor mit drei durch Nähte
von einander geschiedenen Dreiecken und schrägen Querleisten zwischen den
Hüften. Interkalare Sternithälften aussen deutlieh eingeschnitten. Endbeine
und mehr oder weniger auch die eigentlichen Laufbeine mit Borstenstiften
besetzt. Präfemur der Endbeine ohne Dornen, Endklauen derselben deutlich,
Tarsus zweigliedrig, nicht in kleine Gliedehen aufgelöst, zwischen Tibia und
1. Tarsus eine taschenmesserartige Klappvorrichtung. An den meisten Rumpf-
segmenten eine längliche Anopleure. Metaeoxa wenig kleiner als die Pro-
coxa. Coxopleuralbezirk des Endbeinsegmentes hinten nicht in einen Fort-
satz ausgezogen. — Hierhin Oryptops, Chromatanops, Trigonoeryptops (und
allem Anschein nach auch Paraeryptops).
AII Newportüdae Pocock 1895‘): Rumpf mit 23 Beinpaaren und
11 Stigmenpaaren. Sternite auffallend viel länger als breit, nach hinten
trapezisch stark verschmälert, das Endosternit durch innere Querleiste scharf
abgesetzt, vor demselben weder Dreiecke, noch Querleisten zwischen den
Hüften, aber eine Medianleiste.. An die die Querleiste vorn am Endosternit
begrenzenden Seitenhöcker legen sich eng die Suprasternalplättehen. Inter-
kalare Sternithälften aussen ohne Einschnitt. Endbeine ohme Borstenstifte,
Präfemur mit Dornen, Endkrallen fehlen, Tarsus welgliedrig, daher keine
Klappvorrichtung. An den meisten Rumpfsegmenten zwei kurze Anopleuren.
Metacoxa viel kleiner als die Procoxa. Coxopleuralbezirk des Endbein-
segmentes hinten mit einem dornspitzigen Fortsatz. — Hierhin die Gattung
Newportia.
BI Theatopsidae m.: Rumpf mit 9 Stigmenpaaren. Stigmenkelche
innen mit einer unvollkommenen Klappe, Stigmen den Tergiten stark ge-
nähert, Stigmenschildehen schwach. Anopleuren 1+2+1. Endklaue der
Zangenbeine kaum länger als der Tarsus. Metacoxa an den Laufbeinen
einheitlich. — Hierhin Theatops (= Opisthemega).
1) Biologia Centrali- Americana. Chilopoda. London 1895. Part. OXXVI.
8 Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 433
pP pP p
BU Plutonüdae Bollmann 1895: Rumpf mit 19 Stigmenpaaren.
Stigmenkelche innen mit deutlichen, gewundenen Spalten, also zerklüftet.
Stigmen an den bei T’heatops stigmenlosen Segmenten durch ein kräftiges
Pleurit vom Tergit getrennt, Stigmenschildehen sehr deutlich. Anopleuren
0+1—2+0—1. Endklaue der Zangenbeine so lang wie Tarsus und
Tibia. Metacoxa an den Laufbeinen in zwei über einander gelegene Ab-
schnitte zerschnürt. — Hierhin Plutonium.
CI Scolopoeryptidae m.: Stigmen von rundlicher bis länglicher Form,
im letzteren Falle entweder von unten nach oben gestreckt oder mit
seichtem Kelche, jedenfalls vorn niemals spitzwinkelig und nicht mit drei-
eckigem Peritrema. Kelch meistens mit mehr oder weniger reichlicher
Bodenzerklüftung, jedenfalls nie mit dreizipfeliger Klappe. — Hierhin die
Scolopoeryptinae, Anodontostominae, Otostigminae und Ethmostigminae.
CIE Scolopendridae Kräpelin 1903 („Scolopendrinae“): Stigmen der
Körperlängsachse parallel gerichtet, vorn spitzwinkelig, meistens mit drei-
eckigem Peritrema, innen mit dreizipfeliger Klappe im Kelch, bestehend aus
zwei grösseren Lippen oben und unten und einer kleinen hinteren. —
Hierhin die Scolopendrinae und Scolopendropsinae.
* & ES
Die Scolopoeryptidae zerlege ich in die folgenden vier Unterfamilien:
a) Scolopoeryptinae Pocock 1895 („Scolopoeryptidae“): Rumpf mit
23 Segmenten und Beinpaaren, 10 oder 11 Stigmenpaare. Stigmen frei-
liegend, ohne deutlichen Atemschild. Ocellen fehlen. Coxosternum der
Kieferfüsse ohne oder nur mit sehr schwachen Zahnplatten. Coxopleuren
fehlen. Tergite ohne Längsrippen. Sternite ohne mediane Längsfurche,
auch ohne Episternalnähte. Interkalare Sternithälften einfach. Tergit des
Endbeinsegmentes hinten nur wenig vorspringend, die Fortsätze des Coxo-
pleuralgebietes weit auseinander stehend, nach unten steil abfallend. —
(Hierhin Scolopoeryptops und Otocryptops.)
b) Anodontostominae mihi: Rumpf mit 21 Segmenten und Beinpaaren,
10 Stigmenpaaren. Die mässig tiefen und am Kelehboden zerklüfteten
434 Karl W. Verhoeff, [86]
Stigmen in sehr grossem Atemschild gelegen, welcher mit dem Nachstigma-
schild verwachsen ist. Vier Ocellen jederseits vorhanden. Coxosternum der
Kieferfüsse ohne Zahnplatten. Coxopleuren unvollständig abgesetzt. Tergite
mit neun parallelen, rippenartigen Längswülsten. Sternite mit innerer
Medianleiste und äusserer Längsfurche, ohne Episternalnähte. Interkalare
Sternithälften zweiteilig. Tergit des Endbeinsegmentes hinten stark drei-
eckig vorspringend und bis über die Mitte der Endbeinpräfemora hinaus-
ragend. Fortsätze am Coxopleuralgebiet des Endbeinsegmentes sich end-
wärts innen ganz oder fast ganz berührend, unten horizontal ausgebreitet
und daher auffallend breit, plattenartig. — (Hierhin Anodontostoma.)
c) Otostigminae m.: Rumpf mit 21 Segmenten und Beinpaaren,
9 Stigmenpaaren. Stigmen nur von sehr schwachem Pleurit umgeben,
länglich von unten nach oben, mit tiefem aber nicht zerklüftetem Kelch.
Vier Ocellen jederseits vorhanden. Coxosternum der Kieferfüsse mit deut-
lichen Zahnplatten. Coxopleuren vorhanden, gelenkig gegen die Eucoxa
superior abgesetzt. Tergite zuweilen mit Längskielen, nicht aber mit
eigentlichen Rippenwülsten. Sternite mit vollständigen oder nur abgekürzten
Episternalnähten. Interkalare Sternithälften zweiteilig. Tergit des Endbein-
segmentes hinten nicht stark. nur abgerundet oder kurz dreieckig vor-
springend, (selten beim o' mit Fortsatz). Fortsätze am Coxopleuralgebiet
des Endbeinsegmentes sich innen nicht berührend, unten nicht horizontal
ausgebreitet, vielmehr gewölbt und von verschiedenartiger Gestalt, bisweilen
bei 9’ und ? verschieden. — (Hierhin die artenreiche Gattung Otostigma,
welche bei gründlicher Durcharbeitung gewiss in mehrere Gattungen zerlegt
werden wird.)
d) Ethmostigminae m.: Rumpf mit 21 Segmenten und Beinpaaren
und 9 oder 10 Stigmenpaaren. Stigmen gross, mit deutlich zerklüftetem
Kelehboden, in einem Atemschild gelegen, welcher einen nur schmalen
Rahmen bildet und bisweilen auch unvollständig ist. Vier Ocellen vor-
handen. Coxosternum der Kieferfüsse mit deutlichen Zahnplatten. Coxo-
pleuren vorhanden, entweder unvollständig abgeschnürt, oder mit der Eucoxa
superior ein Gelenk bildend. Tergite zuweilen mit Längskielen, nicht aber
mit eigentlichen Rippenwülsten. Sternite mit vollständigen oder nur ab-
[87] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 435
gekürzten Episternalnähten. Interkalare Sternithälften zweiteilig. Tergit
des Endbeinsegmentes hinten nur wenig vorspringend. Fortsätze am Coxo-
pleuralgebiet des Endbeinsegmentes innen getrennt und unten gewölbt.
«) Tribus Zhysidini m.: Die Endbeine mit einfacher Gliederung,
kräftigen Endkrallen. Rumpf mit 10 Stigmenpaaren. — (Hierhin Rhysida
und Ethmostigmus.)
%) Tribus Alipedini Pocoeck: An den Endbeinen sind die drei End-
glieder blattartig erweitert, Endkrallen fehlen. Rumpf mit 9 Stigmen-
paaren. — (Hierhin Alpes.)
Die Scolopendridae lassen sich in zwei Unterfamilien zerlegen, welche
Kräpelin in seiner Revision, wenn nicht dem Namen, so doch der Sache
nach bereits unterschieden hat, nämlich:
a) Scolopendropsinae: Erster Tarsus (grundwärtiger) deutlich kürzer
als der zweite. Coxopleuralgebiete des Endbeinsegmentes hinten vollkommen
abgestutz. — (Hierhin Scolopendropsis und Pithopus, letztere Gattung ist
vielleicht nicht aufrecht zu halten.)
b) Scolopendrinae: Erster Tarsus deutlich länger als der endwärtige
zweite. Coxopleuralgebiete des Endbeinsegmentes hinten in einen mehr
oder weniger starken Fortsatz ausgezogen. — (Hierhin Cupipes, Cormo-
cephalus, Trachycormocephalus, Arthrorhabdus, Scolopendra und noch einige
mit letzterer nahe verwandte Gattungen, welche weiterer Prüfung bedürfen.)
Die Gattungen Asanada Meinert 1886 und Pseudocryptops Pocock
1891 kenne ich nicht in natura, bin aber nach dem, was bisher über ihren
Bau bekannt geworden ist, nieht genügend im klaren, ob sie zu den
Scolopendridae m. gestellt werden dürfen. Ist das der Fall, dann würde
für diese Gattungen eine dritte Unterfamilie zu unterscheiden sein. —
Schliesslich möchte ich hier noch betonen, dass es mir bei meinen
Untersuchungen in erster Linie auf eine Klärung der Gruppen ankam.
436 Karl W. Verhoeff, [88]
Hinsichtlich der Artuntersuchungen habe ich zunächst hauptsächlich die
Öryptopiden ins Auge gefasst. Was die von der Beschaffenheit der Rumpf-
segmente entnommenen Merkmale der Sternite und Coxopleuralgebilde be-
trifft, so betone ich, dass hauptsächlich das £.—16. Rumpfsegment in Betracht
gezogen sind, weil die vorderen und hinteren Segmente mehr oder weniger
starke Abweichungen darbieten. Mit den von mir zur systematischen Be-
arbeitung der Formen neu herangezogenen Merkmalen ist die Zahl der in
dieser Hinsicht verwendbaren Charaktere noch nicht erschöpft, aber ich be-
schränke mich vorläufig auf das Vorstehende. Mit blossen Lupenunter-
suchungen werden unsere Kenntnisse freilich nicht sehr vertieft werden und
deshalb möge daran erinnert sein, dass manche mehr mikroskopisch erkenn-
bare Merkmale, wie z. B. die Beschaffenheit des Stigmakelches, viel wichtiger
und konstanter sein können als andere schon mit der Lupe genügend zu
erkennende aber nicht so komplizierte und auch viel variablere Charaktere,
wie z. B. Dornen und Fortsätze. Selbstverständlich will ich hier nicht eine
abgeschlossene Darstellung der Gattungen geben, auch nicht einmal der
mir bekannten, es genügt mir, der Forschung eine etwas andere Richtung
gegeben und die Erkenntnis der Verwandtschaftsbeziehungen der behandelten
Gattungen um weniges weitergeführt zu haben.
In dem nebenstehenden Schema soll nur das verwandtschaftliche
Verhältnis im allgemeinen zum Ausdruck gebracht werden, nicht die genaue
Grösse des Abstandes der einzelnen Gattungen von einander. Die einzelnen
lebenden Gattungen sind derartig beschaffen, dass wir von keiner derselben
irgend eine andere lebende Gattung ableiten können, wie das auch bereits
E. Haase in seinem Schema a.a. O0. S. 39 zum Ausdruck gebracht hat,
während Kräpelin auf S. 27 seiner Revision von diesem Verfahren ab-
gewichen ist. Wir können einzelne Organe zwar recht gut zu einer ununter-
brochenen phylogenetischen Reihe zusammenstellen, nicht aber die ganzen Tiere,
denn wenn irgend eine Form in zahlreichen Charakteren primitiven Dau
aufweist und daher für das Verständnis anderer, abgeleiteterer Formen be-
sonders wichtig ist, so weist sie (und dies gilt für alle Tiergruppen, welche
ich bisher mit Rücksicht auf Phylogenie untersucht habe!) — in einem
oder einigen anderen Merkmalen eine mehr oder weniger derivate Besonderheit
auf. Das heisst also, dass es nach meinen Erfahrungen keine absolut
Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 437
[39]
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Nova Acta LXXXVI, Nr. 2.
438 ‚ Karl W. Verhoeff, [90]
primitiven Formen in der Jetztwelt gibt. Es liegt ja auch der Gedanke
nahe, dass die ehemaligen rein primitiven Formen, welche unter Verhältnissen
lebten, welche von den jetzigen bedeutend abweichend gewesen sein müssen,
infolge der späteren Veränderungen entweder ausstarben oder sich den
neuen Verhältnissen mehr oder weniger anpassten und daher abänderten.
Von einer Gattung, welche allen jetzt lebenden Scolopendromorpha
als Stammgruppe dienen könnte, kann also nach meinen Erfahrungen nicht
die Rede sein, auch nicht in dem Sinne, dass man nur eine bescheidene
Änderung für eine solche hypothetische Gruppe vornähme, wie also etwa
bei den von Kräpelin angenommenen „augentragenden eryptopsartigen
Skolopendern“, denn dieselben würden ja danach Cryptopiden sein und
also nur als Urformen für diese eine Familie in Betracht kommen können.
Hier wie bei der systematischen Bearbeitung anderer Tiergruppen komme
ich zu dem Ergebnis, dass die phylogenetischen Grundformen nur theoretisch
konstruiert werden können, wenn es sich um Gattungen und höherwertige
Kategorien handelt. Wir konstruieren sie aber dadurch, dass wir durch Synthese
eine Form definieren, indem wir ihr primitive Charaktere geben, welche derartig
sind, dass von denselben logisch alle lebenden Formen abgeleitet werden können.
Hiermit komme ich zunächst auf zwei Urformen, nämlich
1. augenlose Procryptops, welche am Rumpf längliche Sternite besitzen,
nur Andeutungen von Endosterniten, deutlich aber gleichartig beborstete Beine
und einfach beborstete Endbeine, ohne Klappenvorrichtung, ohne Dornen
und ohne Tarsusringelung, mit Endkrallen, Coxopleuralbezirke des Endbein-
segmentes mit geringer Drüsenzahl und ohne Fortsatz, 21 Rumpfsegmente
und /0 kleine Stigmenpaare, von rundlicher Form und einfachem Kelch,
Kieferfusssegment mit deutlich abgesetztem Tergit, an den Kieferfüssen
Präfemur und Tarsungulum aussen nicht in direkter Berührung, Coxosternum
ohne Zahnplatten. Interkalartergite gross, interkalare Sternithälften einfach.
21. Rumpfsegment nicht grösser als das 20. Stigmen in sehr kleinen Atem-
schildehen. Zevei Anopleuren vorhanden (1+1+0), von denen die hintere
höher liegt, aber beinahe in gleicher Höhe mit der vorderen. Eucoxa ohne
Coxopleurenteil. Pro- und Metacoxa fast gleichgross, sich in einem Punkte
berührend, sodass die Eucoxa fast vom Sternit getrennt ist. Conus lateralis
sterni und Sternitseitenhaut recht kurz;
[91] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 439
2. augentragende Proplutonium, welche quadratische Rumpfsternite
besitzen, vollkommen ohne Endosternit, fast unbeborstete Beine, mit Spornen
unten an Tibia und Tarsus, einfache, nackte Endbeine, Hüften der Lauf-
beine ohne Coxopleurenteil. Coxopleuralbezirke des Endbeinsegmentes mit
grösserer Drüsenzahl und ohne Fortsatz. 21 Rumpfsegmente und 19 kleine
Stigmenpaare von rundlicher Form und einfachem Kelch. Kieferfusssegment
mit deutlich abgesetztem Tergit, an den Kieferfüssen Präfemur und Tarsun-
gulum aussen nicht in direkter Berührung, Coxosternum ohne Zahnplatten.
Interkalartergite gross, interkalare Sternithälften einfach. 21. Rumpfsegment
nicht grösser als das 20. Stigmen in ziemlich grossen Atemschildchen.
Drei Anopleuren vorhanden (1+1+1), von deren beiden oberen die hintere
höher liegt aber beinahe in gleicher Höhe mit der vorderen. Metacoxa
entschieden kleiner als die Procoxa, unterhalb der Eucoxa nur wenig von
einander getrennt. Conus lateralis sterni und Sternitseitenhaut recht kurz.
Durch weitere Ausschaltung der abgeleiteten Charaktere kann man
von Procryptops und Proplutonium auf einen Urskolopender kommen, dem
letztere Form bereits näher steht als erstere. Durch die Charakterisierung
von Procryptops und Proplutonium wird zugleich nachdrücklichst darauf
hingewiesen, dass einerseits eine Ableitung der ganzen Scolopendromorpha
von cryptopsartigen Tieren nicht möglich ist und andererseits auch Plutonium
nicht in diesem Sinne verwendet werden kann, dass diese Gattung aber
immerhin der gewonnenen theoretischen Grundform am nächsten steht.
c) Über die hintersten beintragenden Rumpfsegmente
der Scolopendromorpha.
Wie ich schon oben betont habe, weichen die vorderen und hinteren
beintragenden Rumpfsegmente von den fm vorigen behandelten Bauverhält-
nissen der Mehrzahl der Rumpfsegmente mehr oder weniger ab. Am
56%
440 Karl W. Verhoeff, [92]
Hinterende des Körpers gilt das ganz besonders für das Endbeinsegment,
welches meistens zugleich das 21. ist, aber auch für die beiden vorhergehenden,
das 19. und 20. Nachdem ich oben gezeigt habe, dass man bisher selbst
die typischen Coxopleuralgebilde an den normalen Laufbeinsegmenten noch
nicht genügend erforscht hat, kann es als selbstverständliche Folge gelten, dass
für jene letzten Rumpfsegmente weitere Untersuchungen ebenfalls Aufklärung
bringen müssen. Auch auf diesem Gebiete sind die Verhältnisse verwickelter
als bisher angenommen wurde. Eine Einsicht in die vergleichend-morpho-
logische Natur der coxopleuralen Bezirke kann aber nur gewonnen werden
durch den Vergleich verschiedener Gattungen einerseits und den Bau der
entsprechenden Gebilde an verschiedenen Segmenten bei jeder besonderen
Form andererseits. Bisher wurden einfach Schlüsse von den vorhergehenden
Segmenten, also namentlich dem 19. und 20. auf das 21. gemacht, ohne
dass es genügend geprüft worden ist, ob denn das 20. Segment nicht bereits
namhafte Besonderheiten und Schwierigkeiten aufweise. Schon eine ober-
flächliche Betrachtung eines grösseren Skolopenders lehrt, dass in den
Pleuralgebieten das Eupleurium mit seinen z. B. bei Scolopendra sehr aus-
gedehnten häutigen Bezirken an den mittleren Rumpfsegmenten am stärksten
entwickelt ist, an den hintersten beintragenden Segmenten, also namentlich
dem 18.—21., dagegen an Ausdehnung schnell abnimmt und im 21. voll-
ständig verschwunden ist.
Öryptops (Abb. 3) zeigt uns im 18. Rumpfsegment noch ziemlich die
oben erörterten typischen Verhältnisse der eoxopleuralen Gebiete, also ins-
besondere eine zweiteilige Procoxa, deren oberes Stück vom unteren sehr
deutlich abgesetzt ist und mit einem schmalen Zipfel sich an den oberen
Wulst der Eucoxa superior anlehnt. Dachig überwölbt werden Kucoxa und
Procoxa von der grossen, sichelförmigen Katopleure und oberhalb dieser
mehr vorn befindet sich die gestreckte Hauptanopleure. Im 19. Segment
finden wir ähnliche Verhältnisse, nur ist auffallend die Metacoxa. Während
dieselbe im 18. Segment noch ungefähr die Grösse der unteren Procoxa
erreicht, ist sie im 19. nur noch halb so gross als diese. Ausserdem ist
das Eupleurium-Gebiet im 19. Segment wieder etwas mehr zurückgedrängt.
Viel grössere Veränderungen aber zeigt das 20. Segment (Abb. 5), indem
hier das Eupleurium-Gebiet nicht nur weiter verdrängt, sondern auch das
[93] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 441
Stigma aus der horizontalen Lage in eine mehr schräge geschoben ist.
Höchst auffallend ist die kolossale Entwicklung der zu einem einzigen, grossen
dreieckigen Schild verwachsenen Procoxa, an welcher ich keine Absetzung
in oberen und unteren Abschnitt mehr nachweisen konnte, während der
gegen den oberen Wulst der Eucoxa superior gerichtete dreieckige Zipfel
noch ganz klar erkennbar blieb. Dass das Eupleurium wirklich verdrängt
wird und nicht mit der Procoxa verschmilzt, ist am 20. Rumpfsegment von
Öryptops mit aller Deutlichkeit festzustellen, denn wir haben hier die Haupt-
anopleure und die Katopleure wie an den vorhergehenden Segmenten, nur
von geringerer Grösse. Die Lage der Katopleure entspricht den sonstigen
Verhältnissen, indem sie teils über der Procoxa, teils über der Eucoxa
liegt, mit ihrer Hinterspitze unter dem Stigma. Wichtig ist ferner die
Lageverschiebung der Eucoxa, welche im Zusammenhang steht mit der auf-
fallenden Verkleinerung der Metacovxa. Während nämlich in typischen
Segmenten die Ebene der Gelenkgrube, in welcher das Telopodit sitzt,
schräg nach hinten und oben gerichtet ist, (oder genauer, die auf dieser
Ebene senkrecht stehende Teelopoditachse), erscheint sie im 20. Segment viel
mehr nach hinten geschoben. Die Metacoxa ist vielmals kleiner geworden
als die Procoxa, da sie nur noch einen schmalen Streifen zwischen Eucoxa
und Sternit bildet. Sie würde aber ganz verschwunden sein, wenn nicht
das Sternit ebenfalls in Mitleidenschaft gezogen und in seiner Hinterhälfte
noch stärker als an den vorhergehenden Segmenten zusammengedrängt
wäre, wodurch für das verschobene Metacoxastück Platz geworden ist. Die
Hauptanopleure ist nur insofern verschoben, als sie aus der Lage vorn uni
über der Katopleure noch mehr nach vorn gedrängt ist, weil die schmale
Eupleurium-Haut keinen anderen Raum gewährt.
Trigonoeryptops gigas sei hier noch mit einigen Worten erwähnt, da
er sich in den hintersten Segmenten meist wie Uryptops verhält, aber doch
einige Besonderheiten aufweist. Im allgemeinen ist bei dieser Form eine
stärkere Entwieklung der festen Bestandteile der Coxopleuralgebilde auf
Kosten der weichen Hautbezirke zu verzeichnen, sodass mich diese Form
mehr als irgend ein anderer Chilopode an die thorakalen Pleuralteile
mancher anderer Insekten, z. B. Dermapteren und Blattodeen erinnert hat.
Die Paratergite sind auffallend stark entwickelt und nach unten herabgebogen
442 Karl W. Verhoeff, [94]
gegen die Katopleuren. Da Hypocoxa und Katopleure ebenfalls kräftig
ausgeprägt und stark ausgedehnt sind, so bleibt für die häutigen Teile
verhältlich wenig übrig, was für alle beintragenden Segmente gilt. Ein
Teil dieser Hautbezirke ist aber unter den herabgezogenen Paratergiten
versteckt (Abb. 21).
Bei Ethmostigmus trigonopodus zeigt das 18. Segment noch ziemlich
die obon geschilderte Beschaffenheit der Coxopleuralteile, nämlich zwei
recht kleine Oberanopleuren dicht vor dem von deutlichem Atemschild-
rahmen umgebenen grossen Stigma, drei Mittelanopleuren, eine recht gross,
davor und dahinter eine recht kleine, eine Unteranopleure, halb so gross
wie die grösste mittlere und noch ein kleines Sklerit unter der Unter-
anopleure. Die Katopleure ist als starke Sichel über der unvollkommen
abgegrenzten Coxopleure gewölbt und zwar derart, dass der hintere Teil
bedeutend breiter ist als der vordere über der Procoxa befindliche. Über
der Katopleurenmitte trifft man zwei kleine Pleurite, die binterste Mittel-
und die hintere Oberanopleure. Hinter dem Stigma schliesst sich eng das
Poststigmalsklerit an und in dessen Nachbarschaft findet sich wieder
(namentlich oben und unten) ein Schwarm kleiner, porenführender Ver-
diekungen. — Am 19. Segment konstatierte ich im übrigen dieselben Ver-
hältnisse, aber an Anopleuren O+2+1 (statt 2+3+1+]1), d.h. mehrere
der kleinen Plättchen fehlen, während die Hauptanopleure (mittlere Mittel-
anopleure) ungefähr die vorige Stärke aufweist, nur etwas gestreckter er-
scheint. Statt des Stigmas findet man ein Postsynstigmapleurit, hinten von
einem Schwarm kleiner Verdiekungen umgeben. Metacoxa klein aber
deutlich zweiteilig. Procoxa sehr deutlich gegliedert, scharf durch Naht
in obere kleinere und untere grössere Procoxa getrennt, jede dieser Ab-
teilungen wieder in Unterabteilungen zerschnitten, Katopleure und Procoxa
vollkommen und sehr scharf getrennt.
Wieder ist das 20. Segment auffallend abweichend von den vorigen,
z. TV. aber auch vom 20. Segment der Uryptops verschieden. Das häutige
Eupleurium-Gebiet ist noch ziemlich stark ausgebildet, trotzdem befindet
sich in ihm nur noch eine ziemlich kleine mittlere Anopleure (O+1+0).
Der Atemschild ist im Stigmaumkreis gut entwickelt, aber hinter ihm das
Poststigmapleurit in zerstreute kleine Verdieckungen aufgelöst. Die Metacoxa
[95] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 445
ist nur noch in einem Rudiment angedeutet, Eucoxa posterior merklich
verkleinert, während der Eucoxa inferior noch die beiden bekannten gelenkig
gegen einander beweglichen Abschnitte in deutlichster Ausbildung zukommen.
Wieder ist die Procoxa gewaltig verstärkt und durch Verwischung der
Nähte so einheitlich geworden, dass nur noch am Hinterrande einige lockere
Stiickehen bemerkt werden. Das Auffälligste besteht aber in der vollkommenen
nahtlosen Verschmelzung von Procoxa und Katopleure, indem die Procoxa
die noch deutlich vorhandene aber verkleinerte Coxopleure von oben mit
einem Fortsatz in derselben Weise, nur in weniger ausgedehntem Masse
umfasst, wie sonst die Katopleure. Letztere ist also in ihrer hinteren Hälfte
verkümmert, in der vorderen mit der Procoxa verschmolzen.
Scolopendra subspinipes verhält sich in diesen Dingen Ethmostigmus
recht ähnlich, doch kommen an der Procoxa des 20. Segmentes zwei recht
deutliche, nach vorn verlaufende Furchenlinien vor, welche die Procoxa in
drei Teile absetzen, wobei aber zu bemerken ist, dass auch hier die Kato-
pleure mit der Procoxa verschmolz. Am 18. und 19. Segment finden sich
dagegen Katopleure und Procoxa in typischer Weise vollkommen getrennt.
Gehen wir jetzt zur Betrachtung der Coxopleuralteile des Endbein-
segmentes über, so müssen ohne weiteres so bedeutende Unterschiede gegen-
über den vorhergehenden Segmenten ins Auge fallen, dass das Endbein-
segment selbst zunächst einmal beschrieben zu werden verdient, zumal auch
das bisher nicht ganz ausreichend geschehen ist.
Als Unterschiede gegenüber dem Coxopleuralgebiet des 20. Rumpf-
segmentes hebe ich zunächst hervor:
1. das völlige Verschwinden eines häutigen Bezirkes oberhalb der
Hüftteile und zwischen diesem und dem Tergit,
2. das Fehlen selbständiger Hypocoxa- und Eucoxa-Teile,
3. das völlige Fehlen überhaupt irgend welcher selbständiger
Pleuritstücke,
4. das völlige Fehlen eines Sternitseitenzapfens,
5. haben die Telopodite mit Rücksicht auf ihre basalen Gelenk-
gruben insofern eine bedeutende Lageveränderung erfahren, als sie nicht
wie gewöhnlich seitlich am Rumpfe eingesenkt, sondern derartig stark
nach hinten verschoben sind, dass diese Gelenkgruben nicht durch einen
444 Karl W. Verhoeff, [96]
breiten Rumpf getrennt werden, sondern nur eine schmale Brücke, deren
obere Hälfte jener Lappen bildet, welcher vom Hinterrande des Tergites
des Endbeinsegmentes nach unten sich erstreckt und nach Gattungen oder
auch Arten verschiedene Beschaffenheit zeigt und dessen untere Hälfte
dureh jene in der Richtung von unten nach oben oval gestaltete Tasche
gebildet wird, welche die drei letzten kleinen und eingestülpten Rumpf-
segmente enthält, nämlich Genital- Postgenital- und Telson-Segment. —
Infolge des Fehlens der genannten Eigentümlichkeiten zeigt das
Endbeinsegment eine verhältlich einfache Beschaffenheit, indem es sich
hauptsächlich um vier Stücke handelt, Tergit, Sternit und zwei stark ver-
dickte, feste und einheitliche seitliche Stücke. Die Telopodit-Gelenkgruben
sind dem Tergit weit mehr als dem Sternit genähert, liegen also, auf die
Abb. 34 bezogen, ungefähr hinter dem Randbezirk 76. Es hängt dies damit
zusammen, dass die drei kleinen letzten Körpersegmente auf die Rumpf-
längsachse bezogen, entschieden nach bauchwärts herabgekrümmt sind. Das
Sternit des Endbeinsegmentes ist stets selbständig, bedeckt aber mit seinen
Seitenrändern mehr oder weniger den unteren Teil der Seitenstücke. (Vorerst
gebrauche ich diese beschreibende Bezeichnung, im weiteren Verlauf der
Untersuchung wird sich die angemessene vergleichend-morphologische er-
geben.) Gewöhnlich ist das Sternit nach hinten stark verschmälert und
überhaupt ist es weniger ausgedehnt als die typischen Laufbeinsegment-
Sternite, weil teilweise auf seine Kosten die Seitenstücke vergrössert sind.
An den Seitenstücken selbst lassen sich wer Bezirke unterscheiden:
1. Der Drüsenbezirk, pars glandulosa,
2. der Bezirk des neben der Genitalzone befindlichen Vorsprungs,
pars paragenitalis, Genitalbezirk,
3. der Oberbezirk, pars superior und
4. der Unterbezirk, pars inferior.
Eine fernere Eigentümlichkeit der Seitenstücke besteht in einem an
ihrem Hinterrande befindlichen Einschnitt (« Abb. 34), welcher der äussere
Ausdruck ist für ein Gebilde, welches man beim Vergleich mit typischen
Segmenten ohne weiteres als Costa coxalis erkennen wird. Es schliesst
sich nämlich an den Einschnitt ein innerer Wulst, welcher stets nach vorn
[97] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden, 445
gerichtet verläuft und entweder nur sehr kurz ist, wie bei den Uryptopiden
und Newportia oder von verschiedener Länge. Ist er lang ausgedehnt, so
bildet er eine innere Leiste von meist annähernd horizontalem Verlauf,
welche äusserlich durch eine ihr entsprechende, oberflächliche Längsrinne
zum Ausdruck kommt, welche die Grenze bildet zwischen Drüsenbezirk und
Unterbezirk einerseits, Oberbezirk andererseits, so z. B. bei Plutonium und
Theatops, deren Seitenstücke besonders langgestreckt sind. Bei diesen beiden
Gattungen ist diese Grenze überhaupt ungewöhnlich scharf und nahtartig
eingeschnitten, während man bei Scolopendra, Ethmostigmus u. a. auf der
Oberfläche der Seitenstücke eine Grenze nur als feine wulstige Linie an-
gezeigt findet oder überhaupt nur durch eine Änderung in der Richtung
der Öberflächenwölbung. Bei Scolopendra subspinipes fand ich die innere
Leiste sehr lang, zunächst auf längerer Strecke nach vorn ziehend, weiter-
hin im Bogen nach unten abbiegend und so den Drüsenbezirk vorn um-
fassend. Der Trochanter der Endbeine ist mehr oder weniger verkümmert
und mit dem Präfemur verwachsen. Bei Scolopendra finden sich von ihm
nur noch schwache Überbleibsel, während er bei T’heatops sogar noch teil-
weise abgegrenzt blieb. In jedem Falle aber besitzen die Endbeintelopodite
am Grunde aussen eine vorspringende Ecke (wie der Trochanter typischer
Laufbeine) und diesem entsprechend einen inneren Zapfen wie oben ge-
schildert (Abb. 8), nur beide etwas schwächer als an den Laufbeinen. Bei
Ethmostigmus trigonopodus beobachtete ich an der unteren Basis der End-
beintelopodite einen Trochanter, welcher als Halbring ausgebildet ist, aussen
die Gelenkecke führt und auch noch etwas gegen das Präfemur beweglich
ist, wenigstens konnte ich ihn in einem Falle vom Präfemur abheben.
Dem Trochanterzapfen entspricht nun ein deutlicher, von einer Rinne aus-
gehöhlter Processus costae innen neben der Einkerbungsstelle am Hinterrande
der Endbeinsegment-Seitenstücke, wodurch also eine ähnliche Gelenk-
verbindung zu stande kommt, wie ich sie oben von der Eucoxa der Lauf-
_ beine auseinandergesetzt habe. Die Entfernung der Telopoditgelenkgruben
von einander ist nach den Gattungen teilweise verschieden. Am stärksten
sind diese Gelenkgruben bei denjenigen Formen genähert, welche wie
Theatops und Plutonium stark verdickte. zangenartige Endbeine aufweisen,
in welchem Falle nur eine schmale, trennende Medianbrücke vorgefunden
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 57
446 "Karl W. Verhoeff, 198]
wird. In jedem Falle aber sind diese Gruben für die Endbeintelopodite
von den entsprechenden der typischen Laufbeine ausserordentlich abweichend,
da von einem ringartigen Umfassen durch Eucoxa-Bestandteile gar nicht
die Rede ist und nur eine ringartige Haut zwischen dem Tergit des End-
beinsegmentes, dem Genitalsegment und den Seitenstücken ausgebreitet ist,
welche gespannt gehalten wird durch den schon genannten hinteren Fortsatz
des Tergit und verstärkt durch einen schmalen, schon früher von mir
nachgewiesenen Arcus. Schliesslich komme ich zurück auf die oben ge-
nannten Bezirke der Seitenstücke:
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Abb. 33.
Oryptops balticus Verh. Q Ansicht von unten auf das Sternit des 19. bein-
tragenden Segmentes und vorlagerndes Interkalarsternit, daneben die rechten
ausgebreiteten Coxopleuralgebilde. — 60 f. Vergr.
1. Der Drüsenbezirk hängt in seiner Beschaffenheit von der Menge
der Drüsen ab und von dem Vorkommen und der Ausdehnung eines nach
hinten ragenden Fortsatzes. Während manche Oryptops-Arten nur 20—30
Hüftdrüsen mit verhältlich grossen Kanälen aufweisen, treffen wir bei
anderen Formen, z. B. Scolopendra eine unzählbare Menge kleinerer Drüsen,
welche auch mehr oder weniger stark auf dem Fortsatz verteilt sind. Ein
Vorsprung an der hinteren Unterecke der Seitenstücke (unterhalb d der Abb. 34)
ist immer vorhanden, auch bei denjenigen Formen, welche wie Cryptops
[99] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 447
und Theatops denselben nicht als über den Hinterrand vorragenden Fortsatz
entwickelt zeigen, denn es handelt sich auch bei diesen um eine Duplikatur,
welche für die Endbeine an sich nicht unbedingt notwendig wäre. Sie sind
dagegen von Bedeutung als Schutzdeckel für die eingestülpten drei letzten
Segmente und in diesem Sinne ist auch die Ausbildung weiter vorragender
Fortsätze als eine verstärkte Schutzvorrichtung verständlich. Hiermit kommen
wir auf
2. Die pars paragenitalis, welche also teilweise eine drüsenlose
hintere und untere Randpartie darstellt, teilweise das Drüsengebiet und
zwar so weit, als es auf dem genannten Vorsprung oder Fortsatz liegt.
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Abb. 34.
Oryptops anomalans Newp. Coxopleurium vom Endbeinsegment eines 31 mm
langen ? aus Gottschee in Krain. — 60 f. Vergr.
3. Der Öberbezirk ist sehr scharf abgesetzt bei Plutonium und Thea-
tops, um so weniger abgegrenzt aber, je kürzer die innere Leiste ist, welche
vom Hinterrandeinschnitt « beginnend, nach vorn zieht. Hinten ist der
Oberbezirk daher immer abgesetzt, vorn aber um so weniger und zugleich
auch um so mehr eingeengt, je mehr die Drüsen sich nach oben ausdehnen.
4. Der Unterbezirk ist jenes vor dem Randstück «d befindliche,
drüsenlose Feld, welches sich unterhalb der Richtung der Costa coxalis
befindet und daher ebenfalls in seiner Ausdehnung von der Menge der
57*
448 Karl W. Verhoeff, [1100]
Drüsen abhängig ist. Unten geht er ohne scharfe Grenze in den para-
genitalen Bezirk über.
Das Tergit des Endbeinsegmentes stösst immer direkt an die Seiten-
stücke und nur die Art der Verbindung ist verschieden, indem beide Teile
bei Oryptops z. B. durch einen Hautstreifen gegen einander abgesetzt und
daher auch leicht zu trennen sind, während man bei Scolopendra eine völlige
feste Verwachsung beobachten kann. .
Vergleichen wir jetzt die Seitenstücke des Endbeinsegmentes mit
den Coxopleuralteilen der Laufbeinsegmente, so fällt mit Rücksicht auf die
bei beiden vorkommende Costa coxalis die sehr verschiedene Richtung der-
selben auf. Bei den Laufbeinsegmenten zieht die Costa in ihrem Hauptteile
so ausgesprochen und bei allen Gattungen übereinstimmend gerade zum
Sternitrande, dass es mit der Costa des Endbeinsegmentes, welche im
wesentlichen nach vorn gewendet ist, eine besondere Bewandtnis haben
muss, um so mehr, wenn man auch noch das Vorhandensein dort und
Fehlen hier des Sternitseitenzapfens in Betracht zieht. Die Costa der Lauf-
beinsegmente zeigt stets eine deutliche, oben des näheren beschriebene
Gabelung, welche zur Abgrenzung der genannten Kucoxa triangularıs führt.
Ausser der zum Conus ziehenden Hüfthauptrippe geht nämlich nach vorne
ein kürzerer Seitenast, welchem ebenfalls eine kurze äussere Furche ent-
spricht (Abb. 10«1/d). Der zwischen dieser Furche und dem Hauptteil der
Hüftrippe liegende Bezirk der Eucoxa ist eben die Eucoxa triangularis.
Ich erinnere hier daran, dass der Costa-Nebenast an den Laufbeinen be-
sonders stark entwickelt ist bei Anodontostoma octosulcatum. Dieser Neben-
ast der Hüftrippe ist aber, wie aus seiner Lage und Richtung unverkennbar
hervorgeht, derjenige Teil derselben, welcher an den Seitenstücken des End-
beinseymentes, neben dem den Trochanterzapfen stützenden Fortsatz, allein
erhalten geblieben ist, während Hauptrippe und Sternitseitenzapfen vollkommen
fehlen, zwei wichtige und bisher von niemand beachtete Tatsachen. Da
nun die Eucoxa an den Laufbeinsegmenten schmal und demgemäss auch
der Costa-Seitenarm kurz ist, so könnte man auch diejenigen Zustände der
Seitenstücke des Endbeinsegmentes als primitiv betrachten, bei welchen
sich nur ein schwacher innerer Rippenteil an den Hinterrandeinschnitt an-
schliesst, wie bei Oryptops z. B., vorausgesetzt aber, dass man annimmt,
[101] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 449
im Endbeinsegment hätten bei Urformen Verhältnisse geherrscht, welche denen
der typischen Laufbeinsegmente der Scolopendromorpha viel ähnlicher waren,
vor allem also eine selbständige Kucoxa. Leider führt uns zu einer solchen
Annahme nur die Grundanschauung einer primären mehr homonomen Seg-
mentierung, nicht aber spezielle Tatsachen, also etwa irgend welche Organ-
andeutungen, welche auf das ehemalige Vorhandensein einer selbständigen
Eucoxa hinweisen würden. Soll unsere Auffassung des Endbeinsegmentes sich
also nicht durch Ausblicke in eine nebelhafte Ferne vom wirklichen Boden
zu sehr entfernen, dann muss eine Beschränkung eintreten und betont werden,
dass ein genaues Wiederfinden aller einzelnen Bestandteile einer Laufbein-
Eucoxa am Endbeinsegment völlig ausgeschlossen ist, mindestens heute. Es
muss hier aber auch mit Rücksicht auf die physiologische Seite die allgemeine
Situation des Endbeinsegmentes gewichtig in die Wagschale fallen. Die stark
eingestülpte Lage der drei Endsegmente (Telson und Genitalzone), welche für
alle bekannten Scolopendromorpha gilt, ist ein auffallend derivater Charakter,
wie er bei den meisten anderen Chilopoden nicht beobachtet wird. Insbesondere
zeigen die Anamorpha nach dieser Riehtung eine viel ursprünglichere Be-
schaffenheit. Durch die Einstülpung der drei letzten Rumpfsegmente ist aber
der allgemeine Zustand des Endbeinsegmentes bedeutend und zwar in deri-
vatem Sinne beeinflusst worden, sodass dasselbe jetzt tatsächlich den Charakter
eines Schlusssegmentes angenommen hat. Hierdurch ist seine gedrungene
Einheitlichkeit als fester hinterer Körperabschluss noch erhöht worden und
zugleich haben die Endbeine in noch stärkerem Masse diese Eigenart aus-
geprägt und sind aus lateralen zu terminalen Gliedmassen geworden. Wenn
wir nun auch keinen Vertreter der Scolopendromorpha kennen, welcher am
hintersten Rumpfteil eine Beschaffenheit aufweist, welche einige Ähnlichkeit
mit den Zuständen bei den Anamorpha besitzt, so dürfen wir doch schliessen,
dass die Skolopender von derartig beschaffenen Urskolopendern abstammen,
welche ein weniger kompaktes Endbeinsegment und mehr laterale Endbeine
besessen haben mögen. Dann kann auch eine selbständige Fucoxa an-
genommen werden, nicht aber ein Conus lateralis. Da nämlich die anderen
Chilopoden-Hauptgruppen ein derartiges Organ nicht besitzen, so kann man
sich vorstellen, dass auch dem Endbeinsegment der Skolopender von vorn-
herein nie etwas ähnliches zugekommen ist. Gehen wir unter diesen
450 Karl W. Verhoeff, [102]
Gesichtspunkten zu dem Versuch einer Erklärung der Seitenstücke des
Endbeinsegmentes, so deutet uns die Costa darauf hin, dass jedenfalls die
Eucoxa eingeschmolzen in den Seitenstücken enthalten ist. Die Rücksicht
auf die oben erörterten Coxopleuralbezirke des 19. und 20. Rumpfsegmentes
bringt weitere Aufklärung. Wir sahen, dass das Eupleurium nach end-
wärts am Rumpfe immer mehr eingeengt wird und verstehen daher, dass
es am Endbeinsegment ganz oder fast ganz verschwunden ist, ganz, wenn
die Katopleure wie bei Oryptops noch am 20. Segment ihre Selbständigkeit
bewahrt, fast ganz, wenn, wie in den meisten anderen Fällen, die Katopleure
am 20. Segment im hinteren Stück schon verschwunden, im vorderen Stück
bereits mit der Procoxa verschmolzen ist. Dass der Procoxa ein Haupt-
anteil an den Seitenstücken zukommt, zeigt aufs deutlichste das Verhalten des
20. Segmentes, wo der Zustand des 21. teilweise vorbereitet ist. Die Metacoxa,
welche schon im 20. Segment durch das Verschieben der Eucoxa nach
hinten mehr oder weniger verdrängt wird, ist im 21. Segment, wo diese Ver-
schiebung noch viel weiter gediehen ist, vollständig verdrängt, es sei denn,
dass man eine schwache Falte neben der die drei Endsegmente enthaltenden
Tasche als Rest einer Metacoxa auffassen will. Auffallend bleibt es immer-
hin, dass sich an den Seitenstücken des 21. Segmentes keine Naht zwischen
Eucoxa und Procoxa erhalten hat. Die oben angeführten Bezirke der
Seitenstücke fasse ich nach den vorstehenden Ausführungen so auf, dass
der Oberbezirk eine Verschmelzung darstellt von oberer Procoxa mit Eucoxa
superior, der Drüsenbezirk dem unteren Hauptstück der Procoxa entspricht,
der kleine Unterbezirk einen Rest der unteren Eucora-Teile vorstellt und der
paragenitale eine sekundäre Ausgestaltung infolge der Verdrängung der
Telopoditgelenke nach hinten und oben. Aus dem Gesagten ergibt sich
eine angemessene Bezeichnung der Seitenstücke. Kräpelin hat für die-
selben die Bezeichnung „Pseudopleuren“ vorgeschlagen, ein Name, welcher
allerdings richtiger ist als „Pleuren“, aber das Wesentliche auch nicht
genügend hervorhebt, zumal ja meist doch noch Reste des Eupleurium in
die Seitenstücke mit eingeschmolzen werden. Ausserdem kommt in Betracht,
dass an diesen Seitenstücken der gliederartige oder hohlkörperartige Charakter
fast ganz verloren gegangen ist, es sich vielmehr um vorwiegend flächen-
hafte, mehr oder weniger gewölbte Platten handelt, welche topographisch
1103] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 451
ein pleurenartiges Aussehen angenommen haben. Trotzdem handelt es sich
um Gebilde, welche vorwiegend Hüftnatur besitzen und dementsprechend
auch bezeichnet werden müssen. Der Name Coxopleurium, den ich in An-
wendung bringe, erscheint mir zweckmässig, da er den gemischten Charakter
dieser Gebilde ausdrückt und durch die Neutrumendung „ium“ sowohl ein
Unterschied von Coxopleura und Coxopleuralgebilden im allgemeinen gegeben
ist als auch das mehr Unbestimmte des Verschmelzungsgebildes angedeutet wird.
Schliesslich noch einige Bemerkungen historischen Rückblieks: Für
die Beurteilung des Coxopleurium ist in erster Linie massgebend, ob man
die Hypocoxa als Hüftgebilde auffassen will, oder als Pleuralteile, wie das
von seiten der älteren Forscher geschehen ist. Fasst man die Procoxa als
Hüftstück auf, dann enthält auch das Coxopleurium höchstens einen Rest
der Pleuralteile, fasst man es aber als Pleuralstück auf, dann überwiegt
auch im Coxopleurium der pleurale Anteil, und das haben jene Forscher
angenommen. R. Latzel hat sich z. B. auf S. 137 seines Buches nach
dieser Richtung ausgesprochen und sagt bei den Endbeinen, dass „Schenkel-
ring und Hüfte bis zur Unkenntlichkeit verkümmern“, eine Ansicht, welche
auch dann nicht haltbar ist, wenn er die Procoxa als pleural aufgefasst hat.
Ähnlich sagt E. Haase (indisch-australische Chilopoden, S. 39), dass „an
den Analbeinen die beiden ersten Glieder fast vollständig verkümmert sind.
Dafür sind die Pleuren stark entwickelt“ und er spricht daher weiterhin
von „Pleuraldrüsen“ und „Pleuralanhängen“. Ich selbst sprach 1892
(S. 205 der Berl. entom. Zeitschr.) kurz die Ansicht aus, dass die „unteren
Pleuren“ an den Endbeinen „der Scolopendriden eine Verschmelzung sind
von Schenkelring und Hüfte mit Teilen der Pleuren“. Hierauf Bezug
nehmend sagt R. Heymons auf S. 53 seiner „Entwickelungsgeschichte der
Skolopender“ Stuttgart 1901: „Diese Ansicht von Verhoeff wird durch
meine entwickelungsgeschichtlichen Befunde bestätigt, jedenfalls in soweit,
dass das Basalglied der Endbeine die sogenannte „Pleura“ ein Verwachsungs-
produkt des Coxalgliedes mit dem darauf folgenden Extremitätengliede dar-
stellt. Wenn die wahre Natur dieses Basalgliedes der Endbeine erst ver-
hältnismässig spät erkannt ist, so erklärt sich dies durch die Grösse desselben
und namentlich durch den Umstand, dass es sich innig an den umgeschlagenen
Seitenrand des 21. Tergits anfügt. In dem letzteren ist meiner Auffassung
452 Karl W. Verhoeff, [104]
nach auch die Pleura, soweit man von einer solchen überhaupt in diesem
Falle reden kann, enthalten“. Hierauf bezieht sich wieder Kräpelin,
wenn er a. a. O. (ohne Rücksicht auf meine vorige Mitteilung) sagt: die
„grosse, meist von Drüsenporen durchsetzte Platte, die sich an den um-
geschlagenen Rand der letzten Rückenplatte direkt anschliesst ... wurde
früher für das Äquivalent der Pleuralteile in den übrigen Segmenten ge-
halten, bis Heymons 1901 nachwies, dass es sich hier um die zwei ver-
wachsenen Basalabschnitte der Endbeine handle“.
1901 habe ich mit einer eingehenden Untersuchung der Chilopoden-
Hüftteille begonnen (XVI. Aufsatz der „Beiträge“ u.s.w. Nova Acta der
Akad. d. Nat. Halle) und insbesondere für Scolopendriden auf S. 380 vier
Bestandteile unterschieden, namentlich auch den bis dahin so vernachlässigten
Hüftstab (Costa) hervorgehoben. Auch die beiden Hypocoxateile waren
unter diesen Hüftstücken enthalten. S. 401 bin ich auf die Endbeine ein-
gegangen und kam zu dem Schluss, dass „die sogenannten Pleuren die
Hüften der Scolopendriden-Endbeine sind“. Es ist bemerkenswert, dass
ich zu diesem Schlusse gelangte, trotzdem ich (entgegen meiner jetzigen
Auffassung), annahm, dass das Keilstück (Eucoxa inferior) „an den End-
beinen ganz verschwunden“ sei. Schon damals aber habe ich darauf hin-
gewiesen (als ich den Eupleurium-Begriff noch nicht ausdrücklich ausgebildet
hatte), dass „die wirklichen Pleuren bei den Scolopendriden mehr und mehr
von den Hüften verdrängt werden, bis sie im Prägenitalsegmeut ganz ver-
schwinden“. Dort wies ich (meine Mitteilung von 1892 verbessernd) auch
auf die bei Scolopendra erkennbaren Reste des Trochanters der Endbeine hin.
Im JJanuarheft des zoolog. Anzeigers 1904 S. 236 hat dann Börner
geschrieben: „Ich stimme mit Verhoeff nicht darin überein, dass die
Grundglieder der Endbeine, die man ehemals „Pleuren“ nannte, (oxen sind,
aber wertvoll ist Verhoeffs Nachweis, den ich bestätigen kann, dass die
fraglichen Grundglieder aus der Verschmelzung der echten Coxen der Lauf-
beine und der sogenannten Episterna oder Epimera derselben hervorgegangen
sind. Zwar nimmt er diese letzteren als Hüftteile in Anspruch, hat aber
in späteren Aufsätzen diese Anschauung wieder aufgegeben“. (Das Letztere
ist nicht der Fall.) Im übrigen geht aus dem Angeführten hervor, dass
Börners Ansicht (wenigstens im Prinzip) nur eine Bestätigung meiner
[105] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 455
Ausführung von 1901 ist. Wenn er dagegen das Stück „co 1“ meiner
Untersuchung, d. h. den Teil, welcher in vorstehender Arbeit als Metacoxa
beschrieben worden ist, bezeichnet als „eine sekundäre Plattenbildung“
hinter der Eucoxa und die Procoxa, welche er „Merosternum“ nannte, als
etwas ganz anderes auffasst und zwar „als ein Grundglied der Beine“, so
ist das eine durchaus unhaltbare Anschauung, da Pro- und Metacoxa isostiche
und im Bereich eines Segmentes homodyname Körperteile sind, welche
auch in ihrem Bau eine weitgehende Übereinstimmung und zur Eucoxa höchst
ähnliche Beziehungen zeigen, ebenso zum Conus lateralis. Bei den @eo-
philomorpha, welche in dieser Hinsicht primitivere Verhältnisse aufweisen
als die Skolopender, sind Pro- und Metacoxa sogar mehr oder weniger
übereinstimmend gebaut. Die vorstehenden Mitteilungen zeigen aber, dass
diese Teile auch bei den Skolopendern phylogenetisch ursprünglich mehr
gleichartig sind und erst bei den abgeleiteteren Formen immer uwnähnlicher
werden. Übrigens ist Börners Abb. 3 von Scolopendra cingulata wenig
richtig, da die Eupleurium-Sklerite (mit Ausnahme der Katopleure) ebenso
fehlen wie Metacoxa und Conus. Im 20. Segment wird die Procoxa „Sc*
als einfaches Dreieck angegeben. Von den Nähten abgesehen, greift dieses
Stück in Wirklichkeit von oben her deutlich über das obere Ende der
Eucoxa superior weg, ein Zeichen, dass ein Teil der Katopleure ein-
geschmolzen ist. An den von Börner als metacoxalos dargestellten Seg-
menten 18—21 fehlt die Metacoxa in natura durchaus nicht, ist selbst am
20. noch deutlich erkennbar, nimmt aber von vorn nach hinten an Grösse
ab. Er hat ferner die Procoxa mit dem unglücklichen Terminus „Subcoxa“
bezeichnet, den ich in der Arbeit Nr. 4 als eine von Heymons zuerst bei
Ichynchoten angewendete Bezeichnung ebenfalls gebrauchte, aber jetzt, nach
gründlicherer Durcharbeitung der Coxopleuralgebilde und mit Rücksicht auf
die Willkürlichkeit der Anwendung fallen lasse, zumal Heymons selbst in
seiner Arbeit über die Entwicklung der Skolopender ihn nicht benutzte. Wenn
nun Börner ohne weiteres auch von einer „Subceoxa“ der Orustaceen spricht,
so ist das ein weiteres Zeichen dafür, dass die Schwierigkeiten für wirklich be-
rechtigte Homologisierungen noch immer ausserordentlich unterschätzt werden
und vor allem das wichtigste so oft vergessen wird, dass nämlich derartige Homo-
logisierungen überhaupt nur einen Sinn haben auf phylogenetischer Grundlage.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 58
454 Karl W. Verhoeff, [106]
Über die Coxopleurien am Endbeinsegment der Scolopendromorpha
hat also bisher durchaus noch nicht völlige Klarheit geherrscht, weil die
Verhältnisse an den vorhergehenden Rumpfsegmenten nicht genügend ge-
klärt waren, diese aber für die Beurteilung des Endbeinsegmentes sehr
wichtig sind.
Vorausgesetzt, dass die Hypocoxa den Hüftteilen beigerechnet wird,
konnte die bisherige Feststellung, dass die Coxopleurien zum grösseren Teil
coxaler Natur seien, bereits als sichergestellt gelten; die Frage ob und wie
weit aber die einzelnen Teile der Hüfte und der Pleuren in Verschmelzung
getreten seien, war durchaus noch unklar und musste es bleiben, so lange
nicht wie im Vorigen alle Elemente des coxopleuralen Gebietes vergleichend
in Betracht gezogen wurden. Wenn Heymons 1901 (siehe oben) „das
Basalglied der Endbeine“ als ein „Verwachsungsprodukt des Coxalgliedes
mit dem darauf folgenden Extremitätengliede* erklärt, so löst das die
Schwierigkeiten ebenso wenig wie meine genannte kurze Notiz von 1892,
denn er hat über die Natur dieses „Basalgliedes“ gar nichts gesagt, sodass
man weder weiss, ob es überhaupt ein eigentliches Glied ist, noch ob man
damit auf Katopleure, Eucoxa oder Procoxa zurückgreifen soll. Ebenso
wenig ist klar, was mit dem „folgenden Extremitätengliede“ gemeint ist.
Unklar sind ferner seine Ausführungen über die Coxopleuralbezirke der
typischen Laufbeinsegmente. Es sind dabei weittragende Deutungen vor-
genommen worden (vergl. den Abschnitt V!), ohne dass auch nur die auf-
fälligsten Verhältnisse dieser Körpergebiete beim freilebenden Tier berück-
sichtigt wären. Den Conus lateralis der Sternite z. B., welcher einen so
einschneidenden Einfluss auf die ventrale Rumpfmuskulatur ausübt, habe ich
daher selbst in der umfangreichen und sonst in vieler Hinsicht so schönen
Arbeit von Heymons vergeblich gesucht. Die Unklarheit, welche [auch
nach ihm] so lange über die Coxopleurien geherrscht hat, würde er übrigens
schwerlieh mit dem innigen Anfügen „an den umgeschlagenen Seitenrand
des 21. Tergits“ erklärt haben, wenn er auch andere Gattungen, wie z. B.
Öryptops berücksichtigt hätte, wo das Tergit des Endbeinsegmentes mehr
selbständig geblieben ist.
Börner hat a. a. OÖ. das Coxopleurium des Endbeinsegmentes als
„Basipodit“, d.h. Subeoxa + Coxa bezeichnet. Dass dies nicht angängig
[107] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 455
ist, ergibt sich schon aus dem über die Subcoxa Gesagten, aber auch aus
den Mitteilungen auf S, 237 der Lithobüden-Arbeit Nr. 4.
ürhebt man schliesslich die Frage, ob das Coxopleurium am Endbein-
segment im Vergleich mit den Zuständen der Laufbeinsegmente als abgeleitet
oder ursprünglich zu betrachten sei, so kann die Antwort nach den vorher-
gegangenen Ausführungen nur so lauten, dass in den Seitengebieten des
Endbeinsesmentes vielleicht insofern von vornherein ein ursprünglicherer
Zustand gegeben ist, als ein Sternitseitenzapfen total fehlt, also wahrscheimlich
primär fehlt (vergl. auch das auf S. 110 über Lithobüden Ausgeführte),
dass ım übrigen aber ganz ausgesprochen sekundäre, also abgeleitete Ver-
hältnisse vorliegen und zwar Verwachsungszustände, was sowohl der Vergleich
mit den vorhergehenden Segmenten lehrt, als auch die Rücksicht auf den
Zustand der drei eingestülpten Segmente und die physiologische Bedeutung
des Endbeinsegmentes bei den Skolopendern. Dazu kommen dann jene
überhaupt nur für das Endbeinsegment geltenden Eigentümlichkeiten wie
Hüftdrüsen und der nach hinten gerichtete Vorsprung oder Fortsatz. Auch
der Vergleich mit dem Endbeinsesment der Anamorpha und Scutigeriden
lässt die Coxopleurien der Skolopender als vorwiegend derivat erscheinen.
58*
III. Anamorpha, Steinläufer.
1902 habe ich in meinen „Beiträgen zur vergleichenden Morphologie
des Thorax der Insekten mit Berücksichtigung der Chilopoden“ Nova Acta
Bd. LXXXI Nr. 2 bereits kurz die Hüften und Pleuralteile von Lithobius
erörtert, während ich in der eingangs genannten Arbeit Nr. 4 diese Dinge
ebenfalls berührt habe. Meine bisherige Anschauung betreffend Lithobius
kann ich jetzt auf Grund der Untersuchungen an Scolopendromorpha in
einem wichtigen Punkte verbessern. Schon 1902 habe ich auf einen mehr
oder weniger tiefen, nahtartigen Einschnitt hingewiesen (vergl. z. B. in der
Arbeit über den Thorax Taf. IX Abb. 1 und 2), welcher den hinter der
Hakenleiste gelegenen Hüftteil in zwei Abschnitte absetzt. Den hinteren
dieser beiden Abschnitte fasste ich früher als eine Metacoxa auf, welche
mit der übrigen Hüfte mehr oder weniger verwachsen sei. Das trifft aber
nicht zu, wie die Verhältnisse bei den Scolopendromorpha mit aller wünschens-
werten Klarheit beweisen. Das Hüftstück, welches ich oben als Eucoxa
posterior erörtert habe und als allgemein bei den Scolopendromorpha in mehr
oder weniger scharfer Weise ausgeprägt erwiesen, war bisher überhaupt
unbekannt oder jedenfalls unbeachtet, es war daher auch mir bisher nicht
besonders aufgefallen, und da den Anamorpha ein sonstiges auf eine Meta-
coxa zu beziehendes Hüftgebilde nicht zukommt, so folgerte ich, dass jener
hintere Hüftabschnitt von Lithobius der Metacoxa der Epimorpha entspreche.
Tatsächlich entspricht er vollkommen der Eucoxa posterior und die Metacoxa
fehlt den Lithobüden vollständig. Die Hypocoxa steht nämlich in engerem
Zusammenhang mit der Sternitseitentasche und ist mit einem chitinigen
Band verknüpft, welches den inneren Grund der Hüfte umfasst und bei
Scolopendromorpha auch mit dem Seitenzapfen verbunden ist. Dieses Band
[109] Karl W. Verhoeff, Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 457
liegt in der tiefen Falte, dwreh welche Eucoxa und Hypocoxa getrennt sind.
Diese tiefe Falte aber steht einer Verwachsung von Hypocoxa und Eucoxa
zwar nicht als unübersteigliches Hindernis entgegen, (das zeigen ja die
Coxopleurien des Endbeinsegmentes), aber sie erschweren dennoch einen
solchen Vorgang bedeutend. Lässt sich nun ausserdem zeigen, dass einer-
seits, wie das ausgiebig bei den Scolopendromorpha geschehen ist, eine
deutliche Metacoxa und ein mit jenem hinteren Hüftabschnitt von Lithobius
nahezu identisches Hüftgebilde (Eucoxa posterior) gleichzeitig neben einander
vorkommen, während andererseits (wenigstens an einem Teil) der Lithobius-
Segmente hinter den Hüften ein häutiger Wulst steht, welcher verbunden
ist mit einem Chitinband, welches ähnlich wie bei Skolopendern die Hüfte
hinten und unten umfasst und vorn sich an die Procoxa anschliesst (wie
ich das in Abb. 1 bereits 1902 Nova Acta angedeutet habe), so kann kein
Zweifel mehr bestehen, dass bei Lithobüden ein der Metacoxa entsprechendes
Gebilde nicht zur Ausprägung gelangt ist.
1905 habe ich in meiner Lithobüden-Arbeit von der eigentlichen
Hüftrippe oder Hakenleiste Costa coxalıs bereits kurz unterschieden die
Innenleiste, Costa basalıs, worauf ich hier näher eingehen möchte. Die
eigentliche Costa coxalis (Abb. 36 und 37 «2) teilt auch bei den Steinläufern
die Eucoxa in Eucoxa superior und inferior und entsendet von dem vor-
springenden Gelenkzapfen « aus, — der dem Trochanter bei seiner Drehung
als Angel dient — einen schwächeren, abgekürzten Nebenast «1 nach vorn,
welcher jenem Nebenast homolog ist, der bei den Skolopendern zur Ab-
grenzung der Eucoxa triangularis führt. Eine solche kommt bei Lithobius
wegen der Kürze des Nebenastes nicht vollkommen zu stande, ist aber
mehr oder weniger angedeutet. Die Costa coxalis zieht in der Hauptsache
nach unten und innen gegen den basalen Eucoxa-Rand und an diesem selbst
verläuft ım Bogen, weiter nach hinten zu die Costa basalıs «3. Letztere
bildet zusammen mit der Costa coxalis einen stumpfen Winkel unter deut-
licher Kniekung. Bei Lithobius forficatus habe ich diesen Winkel nur am
ersten Beinpaar vermisst und sah hier beide Costae ohne deutliche Grenze
in einander übergehen, im übrigen ist er an den vorderen Beinpaaren
stumpfer als an den weiter hinten gelegenen. Am 1.—10. Segment hängen
die beiden Costae vollständig zusammen, während sie am 11.—15. (Abb. 36
458 Karl W. Verhoeff, [110]
und 37) von einander abrücken und zwar in nach hinten steigendem Masse.
Bekanntlich nehmen aber auch die Hüften im allgemeinen am Rumpfe von
Lithobius in der Richtung von vorn nach hinten an Grösse zu. Mit dieser
Grössenzunahme hält die Vergrösserung der Costa coxalis einigermaassen
Schritt, am 14. und 15. Beinpaar aber werden die Hüftleisten mehr und
mehr verkleinert, am 14. laufen sie vom Endrande kaum noch bis zur
Hälfte herab, am 15. nieht einmal mehr ein Viertel, sodass also an den
hintersten 3—4 Beinpaaren eine erhöhte Hüftvereinheitlichung eintritt. Die
Costa basalis schliesst sich eng an das schon oben bei Besprechung der
Hypocoxa erwähnte Chitinband, welches sich in der Falte zwischen Eucoxa
und Hypocoxa befindet und bildet mit diesem ein kleines, wenig auffallendes
Gelenk (< Abb. 37\, das Coxobasalgelenk, bestehend in einem kleinen, zäpfeben-
artigen Vorsprung an der Costa basalis und einer grübehenartigen ent-
sprechenden Vertiefung in der Seitenhaut neben und über dem Sternit-
seitenrande. Die grübchenartige Vertiefung ist mehr oder weniger chitinisiert
und kann als eine höchst primitive Vorstufe zu dem bei den Scolopendro-
morpha geschilderten Conus lateralis aufgefasst werden. Mit Rücksicht auf
diesen Umstand erscheint es mir wohl interessant, dass dieses kleine Coxo-
basalgelenk bei Zithobius zwar am 1.—13. Laufbeinpaar deutlich ausgeprägt
ist, am 74. und 75. dagegen fehlt, was in Einklang steht mit dem, was
ich oben (S. 107) über das primäre Fehlen eines Comus lateralis am End-
beinsegment der Skolopender gesagt habe.
Dass die Rumpfsegmente der Chilopoden mit 15 beintragenden Seg-
menten in Bezug auf Grösse und Stigmenverteilung auffallend heteronom
sind, ist bekannt, namentlich die sehr verschiedene Grösse der Tergite ist
augenfällig. Es gibt aber noch eine Reihe anderer Örganisationsverhältnisse,
welche diese Heteronomie als noch viel weitgehender erweisen. Ich gebe
daher zunächst mit Rücksicht auf das Eupleurium und die Stigmen neben-
stehende Übersicht.
Die coxopleuralen Organe sind bei Zithobius mit zweierlei Tastborsten
in zerstreuter Anordnung besetzt, langen und kräftigen und kürzeren feinen.
Die stärkeren Tastborsten kommen vor an den drei Eucoxa-Teilen, an
Katopleure, Stigmenschild und Nachstigmenplatten, Kleinere an Coxopleure
und Anopleure, die Procoxa führt die schwächsten Börstchen. Alle Stigmen-
[111]
Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden.
459
Katopleure | Anopleure | Stigmapleurit | Poststigma-
pleurit
ee ross, aber ohn
: One
1. Laufbeinsegment bogen, dem Tergit fehlt SR i fehlt
n Stigma
genähert
schmäler, gebogen,
2. F vom Tergit weiter vorhanden fehlt fehlt
abgerückt
An ross und mit |vorhanden und
3. ” E 5 | fehlt i Stigma länglich
a5 vo ne
4. " E 5 vorhanden fehlt fehlt
AH e
5. N Su a fehlt gross und mit Kprbanden und
&0 3 = Stigma länglich
E=]
6. - en i vorhanden fehlt fehlt
“33
He = =| fehlt fehlt fehlt
Faire
oonr
8. ’ 339 fehlt und fehlt
= mit Stigma
er alt
9, 5 6 5 vorhanden fehlt fehlt
en | S, a fehlend oder | vorhanden und fehlt
j 2 >= vorhanden mit Stigma
11. & vorhanden fehlt fehlt
fehlend oder
12. i it St,
> deutlich gebogen handen mit Stigma fehlt
deutlich, aber
schwächer ge-
13. hand fehl
e bogen ac Toren vorhanden fehlt ehlt
genähert
gedrungen, wenig gross und mit
14. A fehlt Ye fehlt
gebogen Stiyma
rundlich, nicht ge-
15. bogen, nach vorn fehlt fehlt fehlt
geschoben
schilde sind kräftig entwickelt und führen das längliche Stigma mehr oder
Die Procoxa befindet sich stets neben
weniger in der Mitte (Abb. 35 stp).
den Sternitvorderecken und vor der Eucoxa.
1. Beinpaar einfach (Abb. 35),
Die Procoxa ist am
460 Karl W. Verhoeff, [112]
2.—8. Beinpaar durch deutliche Einschnürung in zwei über einander
gelegene Teile abgesetzt (Abb. 35),
9.—11. Beinpaar zweiteilig, aber die Einschnürung schwächer (Abb. 36),
12.—13. Beinpaar einfach (Abb. 57),
Am 14. und 15. Beinpaar fehlt die Procoxa, was um so bemerkens-
werter ist, als daraus hervorgeht, dass dieses Fehlen mit dem Fehlen des
Coxobasalgelenkes in physiologischem Zusammenhang steht, zugleich aber auch
mit der Abschwächung der Costa coxalis, der Hüftenvergrösserung gegen das
hintere Körperende zu, der Haltung des 14. und 15. Beinpaares vorwiegend
nach hinten und der fast vollständigen Verdrängung des Eupleuriums. Aber
auch die Coropleure kommt hier in Betracht. Sie besteht aus Lappenteil
(pars lobata) und Bogenteil (pars arcuata), von denen nur der erstere mit
feinen Tastborsten besetzt ist. Die Coxopleure ist mit der Eucoxa in nach
den Segmenten etwas verschiedener Weise verwachsen, aber gleichzeitig,
da sie nur auf einer Seite mit ihr verbunden ist, wenigstens an den vorderen
Segmenten, leicht gegen sie beweglich, zumal die Verwachsung nur auf einer
schmalen Brücke besteht. Der Bogenteil umfasst von oben die Gelenkgrube
des Telopodit und besteht aus zwei Zipfeln, von denen der Hinterzipfel
sich nach hinten über jener Gelenkgrube in der Haut verliert, während der
Vorderzipfel nach unten sich verschmälernd, herabsteigt, wo er durch eine
verdiekte Leiste der Eucoxa superior, welche ich als Vorderleiste (Costa
anterior) bezeichne, gegen jene scharf abgesetzt wird. Eine feine, in den
einzelnen Segmenten etwas verschiedenartige Nebenleiste schliesst sich an
die Vorderleiste derartig an, dass sie mit ihr ungefähr ein \ bildet und
Lappenteil nebst Vorderzipfel vom Hinterzipfel absetzt. An allen vorderen
Segmenten ist die Coxopleure deutlich abgesetzt in jene zwei Teile und am
2.—9. Segment läuft der Vorderzipfel als schmales Dreieck neben der
Eucoxa superior herunter. An den weiteren Segmenten verkümmert dieser
Zipfel mehr und mehr. Am 1. Segment sind der Bogenteil und seine beiden
Zipfel nur kurz. Der grundwärtige Rand der Eucora ist, namentlich am
9.—12. Segment (Abb. 36 und 37) zweimal deutlich bogig vorgewölbt und
die winkelige Trennung liegt da, wo Costa eoxalis und basalis mehr oder
weniger von einander abgerückt sind. Der Rand beider bogiger Ver-
wölbungen ist durch wulstige Kante gebildet und zwar ist die vordere die
[113] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 461
Costa anterior, die hintere die Costa basalis. Am 13. und noch deutlicher
14. und 15. Beinpaar verschwindet die Absetzung zwischen diesen beiden
Bogen und die Costae verschmelzen so, dass sie einen einzigen gebogenen
basalen Randwulst darstellen. Zugleich ist am 13. und 14. Beinpaar der
Bogenteil der Coxopleure hinten verschwunden, der Lappenteil sehr klein
geworden. Die Trennung von Coxopleure und Eucoxa aber ist dadurch
unvollständig geworden, dass der V-Haken auseinander gerückt ist, indem
ausser der langen Randeosta eine abgekürzte wulstige Linie die Eucoxa
superior nur unvollständig abgrenzt. Am 15. Beinpaar ist die Coxoplewre
vollständig verschwunden. Die Eigentümlichkeiten der typischen Laufbein-
hüfte der Lithobüiden und ihrer pleuralen Nachbarschaft verschwinden an den
einzelnen Segmenten also um so mehr, je weiter nach hinten am Körper
das betreffende Segment liegt.
Die Eucoxa besteht also, wie schon oben angegeben, bei Lithobüden
aus Eucoxa superior, inferior und posterior. Die Eucoxa inferior ist durch-
aus einheitlich und zeigt keine Spur jener bei den Scolopendromorpha ge-
schilderten Zweiteilung. Bei der allmählichen Vergrösserung der Hüften,
von vorne nach hinten am Rumpfe, ist in erster Linie die Kucoxa inferior
beteiligt. Breitet man die Rumpfsegmente, nach Entfernung der Telopodite,
flach aus, so liegt der Arcus der einzelnen Hüften am 1.—10. Segment
ungefähr in der Mitte des Gebietes zwischen Tergit und Sternit, an den
folgenden Segmenten rückt er mehr nach oben und hinten. Am 1.—10.
Segment steht die eigentliche Costa coxalis ungefähr senkrecht auf dem
Sternitseitenrand oder ist nur wenig nach hinten oder vorn herüber geneigt,
je nach der zufälligen Haltung. Dem entspricht auch, dass der Endrand
der Eucoxa inferior am 1.—10. Segment dem Sternitseitenrand ungefähr
parallel verläuft. Dagegen ist am 11.—15. Segment nach hinten zu eine
immer stärkere Neigung der Costa coxalis schräg nach hinten herüber fest-
zustellen und zugleich rückt auch der Endrand der Eucoxa inferior immer
mehr nach hinten herüber, sodass er zu dem Sternitseitenrande eine mehr
schräge Stellung einnimmt, was noch mehr auffallen würde, wenn nicht
auch die Seitenränder der hinteren Sternite mehr als die der vorderen nach
hinten zusammenneigten. Es hängt dies wieder mit dem Umstande zu-
sammen, dass die Hinterecken an den vorderen Sterniten stumpfwinkelig
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2. 59
462 Karl W. Verhoeff, [114]
sind, an den hinteren dagegen mehr und mehr abgerundet. Der Endrand
der Eucoxa inferior nimmt also nach hinten zu am Körper eine Richtung
ein, welche zur Längsachse des Körpers einen immer grösseren Winkel bildet.
Die mehr senkrecht zum Sternitseitenrand gestellten Hüften des
2.—10. Segmentes besitzen vor sich eine zuweiteilige Procoxa, die nach hinten
herüber geneigten Hüften des 12.—15. Segmentes besitzen vor sich eine
Abb. 35.
Lithobius forficatus L. 2. Seitenansicht der drei vordersten Rumpfsegmente, an deren zweitem die
beiden Grundglieder des Telopodit sitzen geblieben. — 60 f. Vergr.
g = Coxobasalgelenk, © 12 — Rudiment einer Anopleure.
einfache oder überhaupt keine Procoxa, den Übergang zwischen beiden
Gruppen bilden die Hüften des 11. Segmentes (Abb. 36).
Die Gelenkgrube für das Telopodit wird umfasst unten von der
Eueoxa inferior, vorn von der Eueoxa superior, hinten von Eucoxa posterior,
oben von der Coxopleure, hinten oben aber ist eine Lücke in dieser Um-
schliessung, indem dort nur durch Haut der Ring vervollständigt wird, ent-
115] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 465
sprechend dem schon geschilderten Bedürfnis des Telopodit bei der Rück-
wärtsbewegung hinten grundwärts am Rumpfe möglichst geringen Widerstand
zu finden. Hucoxa inferior und posterior sind nie so vollkommen von ein-
ander getrennt, wie ich es oben von verschiedenen Skolopender - Gattungen
beschrieben habe, vielmehr geht die Absetzungsnaht höchstens bis zur Hälfte
herab (Abb. 55 x), meist ist sie noch kürzer, sodass diese beiden Hüftteile
mindestens in der Grundhälfte durchaus verwachsen sind. Ein deutlicher
Einschnitt, in welchem sich der Endrand jederseits hineinbiegt, ist aber am
1.—11. Segment vorhanden, während er am 12.—15. in Anpassung an die
Coxaldrüsen fehlt, indem hier die Eucoxa posterior, welche allein Trägerin
EERTLIN
r pl
>
had
Abb. 36.
Lithobius forficatus L. 2. Seitenansicht der coxopleuralen Teile des
11. Rumpfsegmentes,. — 60f. Vergr.
der Hüftdrüsen ist, durch eine winklig geknickte Längskante ganz nach
hinten gerückt ist, sodass die Drüsenmündungen in ein hohles, umrandetes
Feld gebracht worden sind. Im Gegensatz zu den Scolopendromorpha, deren
Hüftdrüsen grösstenteils der Procoxa angehören, ist die Lagerung der Litho-
büden- Hüftdrüsen im Bereich der Eucoxa posterior beachtenswert. Die Ver-
grösserung der Beine und Hüften in der Richtung gegen das hintere Körper-
ende wird bei Zithobius vom 11. Beinpaar an besonders fühlbar. Sie betrifft
also die drei Teile der Eucoxa und fällt an der Eucoxa inferior am stärksten
auf. Die Eucoxa wird vergrössert auf Kosten der Procoxa, Coxopleure und
des Eupleuriums, behält aber sonst die Allgemeingestalt eines oben geöffneten
Halbzylinders bei.
59*
464 Karl W. Verhoeff, [116]
Die Stützen und Widerlager, welche die Eucora an den vorderen und
mittleren Segmenten, wo sie mehr nach aussen herausragt, durch Procoxa
einerseits, Coxopleure und Katopleure andererseits findet, gehen an den
hintersten Segmenten mehr und mehr verloren, werden aber in demselben
Masse, wie diese schwinden, ersetzt durch die breitere Anlagerung an das
Sternit und schliesslich auch Tergit und am vorletzten Beinpaare auch
durch das deckelartige Vorspringen der Eucoxa posterior nach hinten über
die Basis der nächst folgenden 15. Hüfte. Das Wachstum der Eucoxa findet
an den hinteren Beinpaaren in der Grundhälfte statt, wie man an dem schon
geschilderten Verhalten der Costae erkennen kann. Die Costa basalis und
covalis hängen ursprünglich, d. h. an den vorderen Segmenten zusammen,
werden aber durch das basale Wachstum auseinander gesprengt, sodass die
Costa coxalis, indem sie mit dem übrigen Wachstum der Zucoxa nicht mehr
gleichen Schritt hält, vom Grundrande abgelöst und nach oben gehoben
wird. Der Anschluss an das Tergit ist am vollständigsten bei dem 15. Bein-
paar, wo ihm die Eucoxa superior auf breiter Strecke angelagert ist. Trotz
aller Unterschiede zeigt aber das Coxopleuralgebiet an den Endbeinen der
Lithobüiden ‚auffallend geringere Abweichungen von den übrigen Laufbein-
segmenten als wie das oben für die Skolopender geschildert worden ist.
Die Hüften der starken Endbeine erhalten bei den Zithobülden ausser
dem Tergit ihres eigenen Segmentes auch noch durch die vorspringenden
Hinterecken des 14. Tergits Schutz und Stütze. Beachtenswert ist ferner
die fast mondsichelartig gebogene Haut, welche zwischen Telopoditgrund
und Coxopleure ausgespannt ist und beim Emporheben der Beine teilweise
eingestülpt wird. An den hintersten Beinpaaren, namentlich aber dem 14.
und 15. ist auch diese Haut abgeschwächt. Der oben schon genannte
Nebenast der Costa coxalis zieht meist deutlich an oder in der Nähe des
Endrandes der Eucoxa superior nach vorn und oben (Abb. 36 und 37 «1).
Äusserlich kommt er durch eine kurze Furche zum Ausdruck. Am 1.—11.
Segment sah ich den Nebenast gut ausgebildet, am 12. auch noch, wenn-
gleich schon schwächer, am 13. und 14. ist er nur noch kurz und schwächlich,
am 15. fehlt er vollständig. An den mittleren Segmenten verbleibt er nur
anfangs nahe dem Endrande und biegt dann schnell nach grundwärts und
vorn und endet mitten in der Eucoxa superior.
[117] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 465
Die im vorigen genannten Unterschiede zwischen dem 11.—15. Bein-
paare und den vorhergehenden einerseits und dem 13.—15. und den vor ihnen
befindlichen andererseits erinnern daran, dass diese hinteren Beinpaare durch
zwei besondere Larvenstadien, das 3. und 4. erst zur Ausbildung gelangen.
Die Rumpfsegmente der ZLithobiiden, welche im Grossen betrachtet,
wenigstens an der Bauchfläche recht homonom segmentiert erscheinen, haben
wir im Vorigen als mit Rücksicht auf Coxopleuralgebilde recht heteronom
segmentiert erwiesen, obwohl auch hier nicht verkannt werden kann, dass
Abb. 37.
Lithobius forficatus L. 2. Seitenansicht der coxopleuralen Teile des
12. Segmentes, — 60f. Vergr.
die hauptsächlichsten Grundzüge im Bau der Eucoxa an allen 15 Beinpaaren
gewahrt bleiben. Somit bieten uns die Steinläufer in ihren beintragenden
Segmenten ein bemerkenswertes Bild der Mischung von heteronomen und
homonomen Erscheinungen, bei homonomen Grundzuge an der Bauchfläche,
heteronomen Grundzuge an der Rückenfläche, ein Bild, welches allen denen,
welche sich mit phylogenetischer Ableitung stark heteronom segmentierter
Tracheaten beschäftigen, höchst lehrreich sein kann.
Über die Hüften der Lithobüden ist bisher wenig bekannt geworden.
Latzel sagt 1880: „Pleuren der Rumpfsegmente weichhäutig und faltig“.
466 Karl W. Verhoeff, [118]
Über den Bau der Pleurite und Hüften hat er sich nicht geäussert. Haase
sagt ebenso wenig, nämlich „Pleuralschildchen schwach entwickelt“ (8. 32,
1887). Auf S.7 gibt er übrigens hinsichtlich der Chilopoden - Hüften im
allgemeinen folgende komische Beschreibung: „Die Hüften sind nur bei den
Anamorpha besonders (!) ausgebildet, bei den Epimorpha treten sie weit in (!)
den Körper zurück“. Sograffs Anatomie von Lithobius forficatus ist
Latzel und Haase anscheinend nieht bekannt gewesen. Leider ist der
grösstenteils russische Text auch mir unverständlich. Da Sograff aber
fünf auf die eoxopleuralen Organe bezügliche Abbildungen gegeben hat, so
lässt sich ein Bild von seinen Anschauungen nach dieser Richtung gewinnen.
In den Bau der Hüften scheint er nicht näher eingedrungen zu sein. Seine
Abb. 7—-10 von den Pleuralteilen sind schematisch, lassen aber Procoxa,
Katopleure, Anopleure, Stigmapleurit und Poststigmapleurit erkennen. Seine
Abb. 7 bezeichnet die Segmente „II—IV“, es sind aber das 1.—3. bein-
tragende Segment gemeint, deren Pleurite im wesentlichen richtig verzeichnet
wurden. Unrichtig angedeutet (durch Punktlinien) sind die Hüften, und die
Coxopleuren sind nicht verzeichnet. Die Procoxa wird als „pars episternorum
anterior“, die Anopleure als „praescutellum externum“, die Katopleure als
„pars basalis“ beschrieben. Dass Latzels allgemeine Angaben über die
Chilopoden-Hüften S. 11 seines Handbuches — „die Hüfte hat man sich
wohl überall bei den Chilopoden aus zwei Stücken bestehend zu ‚denken,
einem dorsalen, kleineren und einem ventralen, meist grösseren Halbringe,
die durch eine chitinöse Naht an der Vorder- und Hinterseite mit einander
fest verbunden sind“ — nicht der Wirklichkeit entspricht, auch nicht ein-
mal als allgemeinstes Schema gelten kann, verdient schliesslich doch noch
betont zu werden. E. Haase brachte a.a. O. in Abb. 1 der Taf. I eine
Darstellung von Lithobius forficatus, welche im wesentlichen mit Sograffs
Abb. 7 übereinstimmt, von den einzelnen Bestandteilen der Hüfte aber ebenso
wenig erkennen lässt wie von den Coxopleuren.
Die einzige eingehendere bisherige Schilderung der Lithobius- Hüften
gab ich selbst in den Abh. d. Kais. Deutschen Akad. d. Naturforscher Halle
und zwar 1901 im XVI. Aufsatz der „Beiträge zur Kenntniss pal. Myr.“
S. 372—465 und 1902 daselbst in den „Beiträgen zur vergl. Morphol. d.
Thorax d. Insekten, mit Berücksichtigung der Chilopoden“. In letzterer
[119] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 467
Arbeit habe ich auch bereits die drei Hauptbestandteile der Eucoxa und
ausser den Pleuralteilen und Procoxa auch die Coxopleure beschrieben.
An beiden Stellen habe ich hingewiesen auf den in der Gelenkhaut zwischen
Eucoxa und Telopodit ausgespannten schmalen Arcus und 1901 auf S. 379
folgendes mitgeteilt: „Wir müssen zwischen oberem und unterem Bogen
unterscheiden (Arcus inferior und superior). Der obere Bogen ist besonders
deutlich in den Hüften der Endbeine zu sehen. Die Bedeutung dieser Bögen
liegt einmal darin, dass, weil zwischen Hüfte und Schenkelring sich die
grösste Zwischenhaut des ganzen Beines befindet, hier auch ein besonderer
Schutz gegen Fremdkörper und Parasiten erforderlich ist; sodann dienen
sie als federnde Widerlager der hauptsächlich im endwärtigen Hüftgelenk
sich drehenden Beine. Endlich sind die Bögen noch deshalb bemerkens-
wert, weil sie vorgebildete Reissstellen abgeben. Die abgeworfenen Beine
reissen regelmässig hinter den Bögen ab, sodass also nur die Hüften mit
den Bögen zurückbleiben“. Besonders aufmerksam machen will ich hier
noch auf ein kleines Gelenk zwischen vorderem und hinterem Bogen (in
der Arbeit von 1902 Taf. IX Abb. 2 mit „g“ bezeichnet), welches sich
hinten befindet, dem auf dem Processus der Costa coxalis ruhenden Trochanter-
zapfen gerade gegenüber, anbei in Abb. 35 und 37 ersichtlich. Dieses
Areus-Gelenk ist nicht zu verwechseln mit dem hinteren Coxotelopodit-
gelenk, welches weiter unten von Scutigeriden beschrieben wird. (Vergl.
auch Abb. 22 im XV]. Aufsatz 1901.)
IV. Notostigmophora, Spinnenasseln.
In Abb. 2 a. a. O. zeichnet E. Haase Hüften und Pleuren von
Scutigera coleoptrata und zwar die ersteren einheitlich, in den letzteren ein
ungefähr ovales Pleurit als „es Episternen“, welehes von oben durch einen
Bogen umfasst wird. Latzel beschränkt sich S. 23 auf die Angabe: „Die
Pleuren sind weiehhäutig und faltig, die Beine sehr lang und dünn, ihre
Hüften gross, vortretend, alle porenlos“. Unser Wissen über Hüften und
Pleuren ist bei den Scutigeriden mithin noch viel dürftiger als bei den
Lithobiiden. Die Organisation der Spinnenasseln bietet so viel Eigenartiges,
dass diese klaffende Lücke nicht besonders erstaunlich ist, wir werden aber
sehen, dass die Coxopleuralzonen bei den Seutigeriden ebenfalls recht eigen-
artig sind.
Betrachten wir uns zunächst mit einer Lupe die Seitengebiete von
Thereuopoda elunifera (Wood), so fällt gegenüber den drei anderen Chtlopoden-
Hauptgruppen sofort mehreres in die Augen:
1. sind die Hüften sehr gross im Verhältnis zum Sternit, (von unten
gesehen, haben sie ungefähr dieselbe Breite wie ihr Sternit im Durchschnitt);
2. sitzen sie neben dem Sternit mehr gegen dessen Hinterhälfte gerichtet,
grundwärts eingesenkt oberhalb einer Hautduplikatur, welche sich vorn und
hinten nach oben biegt, ohne Pro- oder Metacoxa zu enthalten; 3. sind
Pleurite in der Art, wie sie anderen Chilopoden zukommen, nicht zu be-
merken, vielmehr greifen die Hüften, welche in den Seiten weit vorspringen
und schräg von oben vorn nach hinten unten gestellt sind, mit einer auf-
fallenden gratartigen Kante, welche ich Hüftmesser (Culter coxalis) nennen
will und die ebenfalls schräg von unten hinten nach oben vorn verläuft,
weit in den Flanken aufwärts. Das obere Ende des Hüftmessers aber wird
[121] Karl W. Verhoeff, Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 469
überdacht von einem unten hohlen Bogenwulst (apl Abb. 38), welcher vorn
sich stark nach unten umbiegt und in jene vor der Hüfte befindliche Falte (f)
übergeht, welche bei anderen Chilopoden die Procoxa enthält, hier aber ein-
fach häutig beschaffen ist.
Bewegt man eine Hüfte in der Richtung von unten nach oben und
umgekehrt, so lässt sich bald feststellen, dass sie von unten im Bogen durch
die hypocoxale Haut und weiterhin die Hinterhälfte des Sternit gestützt
wird, oben aber in dem Bogenwulst ein Widerlager findet. Im übrigen
lässt sich mit der Lupe noch folgendes leicht feststellen: Die Grösse der
Hüften nimmt von vorn nach hinten allmählich bedeutend zu, erreicht am
11.—13. Beinpaar ihr Maximum und nimmt am 14. und 15. wieder deutlich
ab. Für gewöhnlich sind die Hüften des 1.—3. Beinpaares etwas nach vorn,
die des 4.—7. nach der Seite, des 8.—15. mehr und mehr nach hinten ge-
richtet. Die Sternite, welche mehr oder weniger ausgehöhlt sind und eine
tiefe Medianrinne führen, sind vorn jederseits stark erweitert. An dieser
Erweiterung finden die Hüften des jedesmaligen vorhergehenden Segmentes
vom 8. an ebenfalls einen Halt. Ferner legen sich die Hüften der fünf
letzten Beinpaare selbst an einander infolge ihrer Grösse und stärkeren
Richtung nach hinten, sodass sie sich fast ziegelartig überdecken.
Das Hüftmesser zeigt, entsprechend der schon genannten Grössen-
verschiedenheit der Hüften, ebenfalls eine nach deri Segmenten verschieden
starke Ausbildung, dasselbe gilt für die an den Messergrat angrenzenden
Stücke. Übrigens gehört, wie wir sehen werden, zur eigentlichen Hüfte
also Eucoxa nur die untere Hälfte des Hüftmessers, die obere gehört dem
Pleuralgebiet an. Man kann im allgemeinen sagen, dass den grössten
Hüften auch das stärkste Hüftmesser zukommt. Am 1.—4. Segment ist
von einem Hüftmesser kaum zu sprechen, erst am 5. Segment wird es
deutlich, nimmt nach hinten an rippenartiger Erhebung zu und zeigt
am 10.—14. Segment die stärkste Ausprägung, am 15. ist es wieder
etwas kleiner.
Entfernt man die Telopodite an den Laufbeinen und blickt senkrecht
auf die Gelenkfläche, in welcher der eigenartige Trochanter sitzen zu bleiben
pflegt, so erkennt man am Grunde des letzteren vorn und hinten einen vor-
springenden Zapfen (g, 921 Abb.41). Oben und unten wird der Trochanter
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 60
470 Karl W. Verhoeff, [122]
von einem sichelförmig gebogenem Hautgebiet umgeben, welches ihn von
der Eucoxa trennt. Das obere dieser Hautgebiete ist nach oben dreieckig
erweitert. Der vordere Trochanterzapfen ruht auf einem Gelenkknopf der
Eueoxa, der sich am Ende der bekannten Trennungslinie befindet, welche an
der Vorderfläche als Rinne ausgebildet, die schmälere Eucoxa superior von der
breiteren Eucoxa inferior trennt (r Abb. 40). Auch das untere der den Trochanter
umgebenden Hautgebiete springt nach unten dreieckig vor und läuft hier
in eine Falte aus, welche Eucoxa inferior und posterior trennt (hr). Der Hinter-
rand der Eucoxa inferior, an welehem sich unfern des Endrandes die Gelenk-
grube für den langen Hüftstachel (Calear) befindet, springt nach hinten
deutlich rippenartig vor. Über diesem vorspringenden Rande versteckt
liegt (Abb. 42) der Unterrand der Eucoxa posterior, deren Oberrand vorn
(aussen) an einem Gelenk endet, auf welchem der genannte hintere Trochanter-
zapfen 91 ruht. Neben dem oberen Rande der Eucoxa posterior befindet
sich ebenfalls eine tiefe Furche. Der hintere Rand der Eucoxa superior,
welcher das untere Stück des Hüftmessers bildet, ist oben etwas kmotig
verdickt. Dieser Knoten ist durch cinen Einschnitt scharf abgesetzt gegen
das obere Stück des Hüftmessers. Oben wird die Gelenkgrube des Telopodit
abgeschlossen durch ein Stück, welches zwischen jenem Knoten liegt und
dem Gelenk, an welchem der hintere Trochanterzapfen beteiligt ist. Während
der unter jenem Knoten (x Abb. 40) und Einschnitt gelegene Teil des Hüft-
messers den vorderen Endrand der Eucoxa bildet, stellt der obere Teil einen
@rat dar zwischen zwei Flächen, deren Haltung nach den Segmenten ver-
schieden ist, aber entsprechend der allgemeinen Normalhaltung der Hüften.
So findet man am 5.—8. Segment, deren Hüften nach aussen gerichtet sind,
dass das Gebiet vor dem Grat steil abstürzt und mehr quer nach aussen
gerichtet ist, das rundliche und etwas napfartig ausgehöhlte Sklerit hinter
dem Grat steil an den Rumpfseiten herabhängt und nur wenig gegen die
15. Segment, deren Hüften mehr
Körperlängsachse geneigt, während am 9.
nach hinten sich wenden, auch die Hüftmesser mehr und mehr nach hinten
gewendet sind, daher denn auch das Feld vor dem Grat in nach hinten
zunehmender Weise nach hinten gedrängt wird, das Feld hinter demselben
aber derartig verlagert wird, dass sein Hinterende immer mehr gegen das
Körperinnere geschoben wird, sodass der Winkel, welchen die beiden Flächen
[123] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 471
vor und hinter dem Grat mit einander bilden, nach hinten am Körper immer
spitzer wird. Die Kante selbst wird am Hüftmesser im mittleren und hinteren
Rumpfdrittel ebenfalls, namentlich auch in ihrer Ausdehnung nach oben
stärker und erreicht ihre höchste Ausbildung am 11. Beinpaar.
Abb. 38.
Thereuopoda clunifera (Wood). Ansicht von aussen auf das Pleuralgebiet
der rechten Seite des 10. Laufbeinsegmentes, dazu die anstossenden oberen
Hütteile.
tg = wulstiger Tergitaussenrand.
k1+ k2 = Hüftmesser, welches durch die Gelenkstelle x in zwei Abschnitte
geteilt wird.
f = Erhebung zwischen zwei von vben nach unten ziehenden Haut-
falten.
g = vorderer Gelenkknopf zwischen Hüfte und Trochanter, rechts
davon die Rinne zwischen Eucoxa inferior und superior.
h = oberes den Trochanter umfassendes Hautgebiet.
40 f. Vergr.
Am 2., 4., 6., 9.. 11. und 13. Rumpfsegment haben die Tergite bei
den Scutigeriden bekanntlich eine so starke Abschwächung erfahren, dass
sie, ähnlich den Interkalarsegmenttergiten bei den Scolopendromorpha, unter
der Hinterrandfalte des vorhergehenden grossen Tergites versteckt liegen.
Die Coxopleuralgebilde dieser Segmente zeigen keine namhafte Abweichung
vom Verhalten ihrer Nachbarn, bemerkenswert ist nur eine tiefe, zwischen
60*
472 Karl W. Verhoeff, [124]
zwei Falten gelegene Rinne vor den Seiten der schwächlichen Tergite und
vor sowie oberhalb jener sichelförmigen Wülste, welche sich oberhalb des
oberen Endes der Hüftmesser befinden.
Schliesslich ist noch zu betonen, dass sowohl die Einbuchtungen,
welche sich zwischen den grossen Tergiten jederseits befinden, als auch die
Einbuchtungen am Seitenrande dieser Tergite selbst dadurch bewirkt worden
sind, dass unter ihnen die Eupleuriumhaut
En stärker in den Körper eingedrückt wurde als
ö \ anderwärts. Dieser Druck bewirkte am Rande
I einen Zug und eine entsprechende Einbuchtung,
/ I der Druck wird aber verursacht durch Er-
hebungen der Beinhüften. Wie schon oben
gesagt, drückt die Hüfte beim Heben des
Beines mittelst des Hüftmessers auf den über
dessen oberen Ende befindlichen sichelförmigen
Wulst. Der Wulst gibt bis zu einem gewissen
Grade nach und zieht wieder an der über
u, L ihm befindlichen Eupleuriumhaut und diese
V/G am Tergitrande.
Bw; e Zur genaueren Feststellung des Baues
Abb. 39. der geschilderten coxopleuralen Bestandteile
Thereuopoda clunifera (Wood). Hinterer und ihrer gegenseitigen Beziehungen bedarf
Bezirk nebst vor demselben befindlicher f F : us
Grat der Katopleure des 9. Laufbein- €8 nicht nur der mikroskopischen Prüfung,
en sondern auch einer angemessenen Präparation
o = oberer Rand. 4
u — unterer Rand. verschiedener Segmente.
er en al Die Eucoxa, welche mit zerstreuten
601. Vergr.
Tastborsten besetzt ist, greift im Greebiet der
hypocoxalen Haut, d. h. in der Tasche über dem Sternitseitenrande ein
namhaftes Stück in die Tiefe, ohne aber irgend eine Auszeichnung hier zu
besitzen, d. h. es gelangt weder ein coxobasales Gelenk noch ein Sternit-
seitenzapfen zur Ausbildung. Die Costa coxalis (Abb. 42 « 2) ist verhältlich
schwach entwickelt, indem sich zwischen Eucoxa inferior und superior nur
eine feine Innenleiste vorfindet, welche nicht bis grundwärts durchläuft.
Am Endrande findet sich eine Gelenkgrube oder vielmehr Rinne in einem
[125] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 473
gebräunten nach hinten ins Hüftinnere vorragenden Costa-Fortsatz (Abb. 40 «).
Auf diesem Fortsatz ruht der vordere Trochanterzapfen (g Abb. 42) und ein
kräftiger, ins Innere des Trochanter vorspringender Zahn (z Abb. 41). Das
endwärtigste Stück der Costa coxalis ist, im Anschluss an den Fortsatz
dunkel gebräunt und auch stärker vorspringend als die übrige Costa-Leiste.
Als verdiekte Leiste läuft am Grunde der Eucoxa superior eine (Costa anterior
herab und die Costa basalıs als deren Fortsetzung («3 Abb. 42). Beide
Costae sind durch eine Einschnürung von einander abgesetzt y, und zwar
befindet sich dieselbe da, wo die der Costa eoxalis entsprechende äussere
Rinne den basalen Rand erreicht. Schon oben betonte ich, dass die Kucoxa
posterior sehr scharf von der übrigen Eucoxa getrennt ist. In der Tat be-
findet sich unten zwischen Eucoxa inferior und posterior eine ziemlich breite
Verbindungshaut und der Unterrand der im übrigen gleichfalls zerstreut
beborsteten Eucoxa posterior (Abb. 42 eup) ist noch besonders ausgezeichnet
durch einen die untere Vordereeke einnehmenden, ziemlich spitzen, drei-
eckigen Fortsatzlappen. Man kann die Kucoxa posterior von der übrigen
Eucoxa vollkommen trennen, da sie fast allenthalben von feinen Häuten
umgeben ist, nur an einer schmalen Brücke hängt sie nach oben zusammen
mit dem, die Telopoditgelenkgrube von oben hinten umfassenden Stück,
welches im Vergleich mit den Lithobiden und Scolopendromorpha sich als
Coxopleure herausstellt. Jene schmale Brücke (Abb. 42 bei 97), welche
Eucoxa posterior und Coxopleure fest verbindet, ist ferner noch dadurch
ausgezeichnet, dass sich an ihr eine auffallend gebräunte Gelenkstelle be-
findet, welche der Coxopleure angehört und dass endwärts ein dreieckiger
Einschnitt an der schmalen Brücke selbst Eucoxa posterior und Coxopleure
gegen einander absetzt. In den dreieckigen Einschnitt greift gelenkig jener
schon genannte hintere Trochanterzapfen ein und umfasst zugleich im Bogen
jenes etwas verdiekte Ende der Coxopleure, welches die gebräunte Gelenk-
stelle führt (91 Abb. 42).
Im Gegensatz zu den Chilopoda-Pleurostigmophora gelangt also bei
den Seutigeriden eine geschlossene, feste obere Umfassung der Telopoditgelenk-
grube zur Ausbildung und zugleich ein deutliches hinteres Gelenk zwischen
Trochanter und Hüfte. Bei den Epimorpha gibt es keine hintere Gelenk-
stelle zwischen Coxa und Telopodit und bei den Lithobüden erinnert nur
474 Karl W. Verhoeff, [126]
das winzige Areus-Gelenk daran, welches im vorigen erwähnt worden ist.
Die merkwürdige Vorstellung, welche bis vor Kurzem über die Chilopoden-
Hüften herrschte und wonach dieselben, wie Latzel es ausdrückt, bestehen
sollten aus „einem dorsalen kleineren und einem ventralen, meist grösseren
Halbringe, die durch eine Naht (an der Vorder- und Hinterseite) mit ein-
ander fest verbunden sind“, kann ich mir nur so erklären, dass eine, auf
oberflächlicher Untersuchung der Hüften der
pl 2 pe Chilopoden mit 15 Beinpaaren gewonnene
hr‘ GV Vorstellung, übereilt auf alle Chilopoden
ausgedehnt worden ist.
Die Coxopleure der Scutigeriden ist aber
/ \ nieht nur hinten durch ihre feste Verbindung
mit der Eucoxa posterior, sondern auch oben
durch ihre Verwachsung mit der Eucoxa
superior so innig mit der übrigen Eucoxa
PR) A DE u \\ verbunden, dass sie mehr als bei allen anderen
Chtlopoden die Hüfte zu einem geschlossenen
A Ber Zylinder gestaltet (Abb. 40 und 38). Bei
ER ' Seutigera coleoptrata fand ich die Coxo-
pleure nach oben verbreitert und mit einigen
„x Yastborsten besetzt (Abb. 42), bei T’hereuo-
_— poda celunifera schmäler, mehr gleichbreit
Abb. 40.
Scutigera coleoptrata L. — 60 f. Vergr. E
Eine Hüfte nebst Trochanter des 6. ben- Eucoxa superior ‘und Coxopleure, welche
tragenden Segmentes, in natürlicher Lage
von aussen gesehen. cag — Gelenkgrube
des Calear. (Sonstige Bezeichnung wie (dennoch eine scharfe Absetzung gegen ein-
vorher.)
und nur von Porenkanälen durchsetzt.
am oberen Hüftende verwachsen sind, zeigen
ander und zwar an der Stelle, wo der untere
Teil des Hüftmessers knotig verdickt ist und an den pleuralen oberen Teil
stösst. Der schon genannte Einschnitt an dieser Stelle ist der Ausdruck
eines Gelenkes zwischen Eucoxa (und Coxopleure) einerseits und den
anstossenden Pleuralteilen andererseits, also zugleich zwischen oberem und
unterem Abschnitt des Hüftmessers. Der Vergleich mit anderen Chilopoden
lehrt, dass das Pleuralgebilde, welches mit der Hüfte ein Gelenk bildet,
nur die Katopleure sein kann. Isoliert man dieselbe (Abb. 39), so lässt
[127] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 475
sich feststellen, dass sie mit ihrem unteren Rande, an welchem sich auch
eine deutliche Grube befindet (x Abb. 38), das obere knotige Ende des unteren
Hüftmesserabschnittes %2 sowohl als auch das obere Ende der Coxopleure
gelenkig umfasst und überdacht. Dass die Katopleure von oben her die
Hüfte schützend umfasst, haben uns bereits im vorigen die anderen Chrlo-
poden gezeigt in einer nach Gattungen verschiedenen Weise. Schon bei
Trigonoeryptops konnte ich hinweisen auf einen Zapfen an der Eucoxa
superior (2 Abb. 22), welcher sich unter die Katopleure schiebt. Auch er-
innert die bei T’rigonoeryptops erwiesene, durch eine Naht bewirkte Zwei-
teilung der Katopleure nicht wenig an die ebenfalls aus zwei Bezirken
Abb. 41.
Seutigera coleoptrata L. Ansicht schräg von end- und auswärts auf einen
Troehanter, z dessen Innenzapfen, welcher sich an den vorderen Gelenkzapfen
anschliesst. «a präformierter Ring zur leichten Ablösung des Telopodits, wenn
dasselbe von einem feindlichen Angreifer erfasst wird. — 60f. Vergr.
(Abb. 38 kpll kpl2) bestehende Katopleure der Scutigeriden. Gleichwohl
besteht morphologisch und physiologisch gegenüber den durch Trigonoeryptops
u. a. dargestellten Fällen ein bedeutender Unterschied. Es handelt sich
nämlich um eine Zweiteilung der Katopleure, welche nicht durch Zerschnürung
zu stande gekommen ist, sondern durch Faltung und zugleich dwreh Ver-
stärkung der Faltenkante und rippenartiges Vortreten nach aussen (k 1 Abb. 42).
Das obere Widerlager für die Hüfte hat also trotz Beibehaltung seiner
allerdings beschränkten Drehbarkeit gegen dieselbe, zugleich und vor allem
seine Widerstandskraft gegen die Hüfte bedeutend gesteigert, indem das Hüft-
messer zu einer einzigen, starken Versteifungsrippe wurde, welche nach oben
nun auf die Anopleure stösst, diese stärker als sonst beeinflusst, nämlich
476 Karl W. Verhoeff, [128]
halbmondförmig von unten her eindrückt, gegen das Tergit drängt und so
schliesslich im festen Tergitrande den ausreichenden Gegenhalt findet.
Die Katopleure besteht also aus drei Abschnitten, nämlich 1. dem
Vorderstück kpl1, 2. dem hohen Hüftmessergrat «2 und 3. dem Hinter-
stück kpl2: Die Pleurite sind weniger scharf abgesetzt als bei den Litho-
Abb. 42.
Scutigera coleoptrata L. Macerierte Hüftteile, von aussen gesehen, Coxopleure
und Eucoxa posterior durchscheinend.
ca = Hüftsporn, Calcar. >
r = Rinne, welche der Costa coxalis parallel läuft.
«4 — Costa anterior, «3 — Costa basalis, y —= die Einschnürung zwischen
beiden.
9 — vorderes, 91 — hinteres Gelenk zwischen Trochanter und Hüfte.
Gelenk zwischen Katopleure und Hüfte.
uu — Unterrand der Eucoxa.
|
60 f. Vergr.
büden, zumal sie nieht so durch gelbliches Pigment ausgezeichnet sind wie
sonst meistens und auch sonst keine besonders auffälligen Strukturverhältnisse
zu verzeichnen sind, auch Tastborsten findet man nur spärlich, bei Thereuo-
poda clunifera z. B. nur wenige am unteren Rande des Hinterstückes und
auf dem Grat. Etwas mehr findet man noch an der sichelförmigen Ano-
pleure. Ausser den Tastborsten sind aber diese Pleurite immerhin vor den
[129] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 477
häutigen Bezirken ausgezeichnet durch ihre etwas stärkere Wandungs-
festigung, daher auch die abweichende Oberflächenbeschaffenheit (mulden-
artige Einbuchtung oder starke Verwölbung), doch ist soviel gewiss, dass
sie keine besonders auffallende Struktur zeigen und daher auch weniger
scharf ausgeprägt sind als bei den übrigen C’hilopoden. Das Vorderstück
der Katopleure ist besonders undeutlich begrenzt, immerhin gegen die
Eucoxa superior schon dadurch genügend abgesetzt, dass an dieser ein
reichlicher Borstenbesatz auftritt und das obere Ende der Costa anterior
(Abb. 38) nach hinten im Bogen abschwenkt gegen die Gelenkstelle zwischen
Hüfte und Katopleure.
Die Besonderheiten der einzelnen Segmente sind oben bereits genannt
worden, die hintersten Segmente einschliesslich des 14. zeigen keine ander-
weitigen Eigentümlichkeiten, und selbst das 15. schliesst sich in den meisten
Punkten an die Beschaffenbeit der übrigen beintragenden Segmente an,
wobei ich besonders das Vorhandensein einer deutlichen Anopleure oberhalb
der Hüfte betonen will. Abweichend verhält sich nur die Katopleure, indem
sie zwar im übrigen die Gestalt wie an den vorhergehenden Segmenten
beibehält, aber fast vollständig mit der Hüfte verschmilzt, eine Erscheinung,
welche an die ähnliche der Skolopender-Endbeine erinnert, aber auch
insofern von ihr recht abweicht, als nicht ein flächenhaftes oder muschel-
artiges Gebilde entsteht, sondern eine stärker vorragende Hüfte, an welcher
hinten innen eine Zucoxa posterior in typischer Weise selbständig ausgebildet
bleibt und durch schmale Brücke verbunden mit der Coxopleure. Auch
sind mehr oder weniger deutliche Furchen vorhanden, welche die Stelle
der Katopleurenverwachsung anzeigen.
Dass, wie ich schon 1903 in meinem 4. und 5. Aufsatz über Tracheaten-
Beine (Nova Acta) erwiesen habe, bei Scutigeriden kein Arcus ausgebildet
ist, vielmehr ein bräunlicher Ring am Endrand des 'Trochanters, welcher
die präformierte Reissstelle bezeichnet, weil bei den Spinnenasseln das
Telopodit ohne Trochanter abreisst, sei hier beiläufig in Erinnerung gebracht.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, 61
V. Zusammenfassende Betrachtung der coxopleuralen
Bildungen und der Sternite bei den Chilopoden.
Dass die vier Hauptgruppen der Chilopoden, nämlich Notostigmophora,
Anamorpha, Scolopendromorpha und Geophilomorpha nicht von einander ab-
geleitet werden können, habe ich schon 1903 im Archiv f. Naturgesch. auf
S. 431 des Aufsatzes „Über die Interkalarsegmente der Chilopoden“ hervor-
gehoben und finde in den vorliegenden Untersuchungen eine neue Bestätigung
dieser Ansicht. Diese vier Hauptgruppen sind parallel laufende Haupt-
stämme, selbständige in der Jetztwelt dwrch keinerlei Übergänge verbundene
Ordnungen, vergleichbar den Ordnungen der Insekten. Von den mangelnden
Übergängen abgesehen, hat jede dieser Ordnungen auch in ihrer Organisation
zu hervorstechende Eigentümlichkeiten und eine so eigentümliche Mischung
von primären und sekundären Charakteren, dass sie nicht von irgend einer
der anderen abgeleitet werden kann. So besitzen z. B. die Scutigeriden in
in ihren Mundfüssen und Kieferfüssen (vergl. meinen 6. Aufsatz über
Tracheaten-Beine, Archiv f. Naturgesch. 1904) verschiedene recht primitive
Merkmale, während sie sonst in den meisten Organisationsverhältnissen
(z. B. Stomata, Pseudofacettenaugen, Laufbeinen, heteronomen Rumpftergiten)
sehr abgeleiteten Gepräges sind. Die Scolopendromorpha (namentlich Plu-
tonium) zeigen fast homonom segmentierten Rumpf, nehmen aber im ganzen
trotzdem eine derivatere Stellung ein als die Zithobüden mit ihrer primär
offen liegenden Genitalzone, ihrem einfachen, der Anastomosen entbehrenden
Tracheensystem, den mit kräftigen Zwischengliedern versehenen Kieferfüssen
und dem einer Reuse entbehrenden Vorderdarm.
Anders liegt die Sache, wenn wir die bekannten Organisationsver-
hältnisse der Chilopoden-Ordnungen im allgemeinen in Betracht ziehen und
[151] Karl W. Verhoeff, Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 479
die allgemeine Höhe der Organisation abwägen. Wir kommen dann, zumal
unter Berücksichtigung der verschiedenen Entwicklungsweise zu zwei Stamm-
paaren, in deren jedem ein Stamm ohne Frage mehr abgeleitet ist als der
andere, zugleich stellt sich heraus, dass innerhalb dieser vier Ordnungen
Notostigmophora und Geophilomorpha einander am fernsten stehen, Scolopendro-
morpha und Anamorpha aber sich dazwischen befinden und zwar so, dass
letztere eine einigermaassen mittlere Stellung einnehmen zwischen Noto-
stigmophora und Scolopendromorpha, während letztere wieder den Geophilo-
morpha weit mehr genähert sind als den beiden anderen Ordnungen. So
ergibt sich folgendes Schema:
Notostigmophora
N Seolopendromorpha
Anamorpha
' Geophilomorpha
\
Wieder anders stellt sich das Verhältnis dieser Hauptgruppen, wenn
wir nieht die primitiven oder derivaten Charaktere betrachten, auch nicht
die allgemeine Höhe der Organisation, sondern ein bestimmtes Organsystem,
in diesem Falle also die eoxopleuralen Organteile. Wir gelangen hier zu
demselben Ergebnis wie bei dem Vergleich der Telopodite, nämlich einer
phylogenetischen Aufeinanderfolge von 1. Geophilomorpha, 2. Scolopendro-
morpha, 3. Anamorpha, 4. Notostigmophora.
Indessen werde ich zeigen, dass selbst bei der phylogenetischen
Behandlung dieses Organsystems für sich allein gewisse Einschränkungen
gemacht werden müssen, wenigstens mit Rücksicht auf die beiden letzten
Beinpaare.
61*
480 Karl W. Verhoeff, [132]
Die eben genannte phylogenetische Folge der coxopleuralen Organ-
teile geht parallel mit der geringeren oder grösseren Leistungsfähigkeit der
Laufbeine, was ich kurz dahin andeuten kann, dass die Geophilomorpha
langsam, die Scolopendromorpha mässig schnell, die Anamorpha schnell und
die Notostigmophora sehr schnell sich fortbewegen, womit wieder allgemein-
biologische Verhältnisse in Zusammenhang stehen, indem die Geophilomorpha
sehr verborgen leben und meist in engen Gängen, die Notostigmophora ver-
hältlich offen und jedenfalls in weiten Räumlichkeiten, unter Steinen, an
Mauern, Felswänden und Baumstämmen. Die beiden anderen Gruppen
nehmen eine Mittelstellung zwischen jenen ein, doch leben die Lithobüden
durchschnittlich, wenn nicht offener, so doch vagabundierender als die
Scolopendromorpha. Jedenfalls ist die Intensität der aktiven Ortsveränderung
innerhalb der vier genannten Gruppen eine bis zu den Notostigmophora ge-
steigerte. Diese Verschiedenheit hängt wieder zusammen mit der ver-
schiedenen Länge der Beine und der verschiedenen Einlenkungsweise der
Hüften. Im allgemeinen kann man sagen, dass, je länger die Laufbeine
sind, desto grösser die Schnelligkeit des Laufes, wobei gleichzeitig zu be-
achten ist, dass die reissendsten Renner auch die geringste Zahl von Bein-
paaren (15) aufweisen, da die grosse Beinzahl (bei Geophilomorpha bis weit
über 100) eine zu starke Haftung und Reibung an der Unterfläche mit sich
bringt. Für vorliegende Arbeit ist die verschiedene Einlenkungsweise der
Hüften besonders wichtig. Bei weitem die schwächste Eucoxa besitzen die
Geophilomorpha, welche zugleich kurze Beine, schwerfälligen Lauf und eine
Bewegung mit z. T. geschlepptem Bauche zeigen. Da diese Tiere ganz
besonders häufig in engen Gängen angetroffen werden, namentlich in Röhren
von Würmern und Larven, so verhalten sie sich nieht nur im oberflächlichen
Habitus, sondern auch in der Bewegungsweise unter den Chrlopoden wurm-
oder schlangenartigen Tieren am ähnlichsten. Die schlängelnden und
knäuelnden Bewegungen der Erdläufer sind ja bekannt genug, sie allein
sind daher auch im stande, ihre Eier und Föti schlangenartig zu umfangen.
Beim Wandern in engen Gängen können sich diese kurzbeinigen Chrlopoden
besonders leicht an den Seitenwänden stützen. Hinsichtlich der Hypocoxa
erhalten wir aber folgende Übersicht:
[133] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 481
1. Geophilomorpha: Pro- und Metacoxa stark entwickelt, durchschnittlich
ungefähr gleich kräftig.
2. Scolopendromorpha: Pro- und Metacoxa vorhanden, bisweilen ist die Meta-
coxa fast so gross wie die Procoxa, meistens aber übertrifft letztere
die Metacoxa an Grösse mehr oder weniger bedeutend.
3. Anamorpha: Procoxa gut ausgebildet, Metacoxa fehlend.
4. Notostigmophora: Pro- und Metacoxa fehlend. —
Die Ausbildung der Hypocoxa ist somit eine ausserordentlich ver-
schiedene und zwar wird sie um so mehr im allgemeinen verdrängt, je höher
organisiert die Laufbeine der betreffenden Chilopoden sind.
Die Eucoxa verhält sich folgendermassen:
1. Geophilomorpha: Die Eucoxa bildet nur einen Halbring, bestehend
aus Eucoxa superior und inferior. (Eucoxa posterior und Coxopleure fehlen.)
2. Scolopendromorpha: Die Eucoxa bildet drei Viertel eines Ringes
und besteht aus Hucoxa posterior, inferior und superior. Eine Coxopleure
ist nicht immer, aber meistens vorhanden und entsteht durch Ablösung
vom oberen Teil der Eucoxa superior in nach Gattungen z. T. ver-
schiedener Weise.
3. Anamorpha: Die Eucoxa bildet ungefähr *s eines Ringes und
besteht aus Eucoxa posterior, inferior, superior und einer gut entwickelten,
mit der Eucoxa superior mehr oder weniger verwachsenen Coxopleure.
4. Notostigmophora: Die Eucoxa bildet einen vollständigen, in seiner
Breite allerdings höchst verschiedenartigen Ring, bestehend aus Eucoxa
posterior, inferior, superior und Coxopleure. Eucoxa posterior und Coxo-
pleure sind also durch eine schmale aber feste Brücke verwachsen.
Der Vergleich der Verschiedenheiten der Hypocoxa mit den Ver-
schiedenheiten der Eucoxa lehrt, dass die Eucoxa um so kräftiger
ausgebildet wird, je mehr die Hypocoxa verschrwindet.
Diese der allgemeinen Beinvervollkonmnung parallel gehende phylogenetische
Entwicklung führt uns somit schliesslich zu einem geschlossenen Hüftzylinder
und zwar zu einem noch viel vollständiger geschlossenen, als es derjenige
der Scutigeriden ist, nämlich zu dem durch die niederen Hexapoden vertretenen
Hüftzylinder.
482 Karl W. Verhoeff, [134]
Nach dem, was ich vorn über die Auffassung der phylogenetischen
Verhältnisse gesagt habe, sollen selbstverständlich keinerlei Herapoden,
weder von Scutigeriden noch Proscutigeriden abgeleitet werden, aber die
Hüften der Hexapoden können von den Hüften der Chilopoden in dem Sinne
abgeleitet werden, dass theoretisch auch die uns unbekannten vielfüssigen
Ahnen der Hexapoden, welche doch den Chrlopoden nicht allzu fern stehen
konnten, eine mindestens recht ähnliche Hüftphylogenie durchgemacht haben.
Die phylogenetischen Beziehungen grösserer Gruppen zu erweisen,
auch ohne dass es möglich ist, eine genauere Phylogenie festzustellen, hat
doch jedenfalls die Bedeutung, dass man durch Vergleich bestimmter Organe
oder Organsysteme der als näher verwandt nachweisbaren Gruppen einen
Einblick in die Art und Weise erhält, wie sich solche Organe entwickelt
haben können und dadurch rücken sie unserem Verständnis näher. Was
nach dieser Richtung hin aber phylogenetische Untersuchungen lehren, ist
das, was bei Gliedertieren in den meisten Fällen allein erreichbar ist. Die
Öntogenie versagt hier entweder vollständig, da sie viel zu sehr durch
physiologische Verhältnisse beherrscht wird, oder sie gibt uns ebenfalls wert-
volle Aufschlüsse, namentlich bei rein embryologischen Vorgängen, die aber
auch erst durch phylogenetische Untersuchungen ins rechte Licht gesetzt
werden können. Dass das berühmte „biogenetische Grundgesetz“ gar kein
Gesetz ist und nicht einmal als eine Regel gelten kann, haben längst zahl-
lose Feststellungen entschieden.
Im Gegensatz zu dem höchst verschiedenartigen Verhalten der Hypo-
cora zeigt sich das Eupleurium, unbeschadet zahlreicher und teilweise er-
heblicher Verschiedenheiten in der Ausbildung seiner Sklerite, Falten und
Strukturen, wenigstens insofern viel beständiger, als sein unteres Hauptgebilde,
die Katopleure, eine auffallend gute und konstante Ausprägung erfahren
hat. Die Katopleure kommt allen typischen Chilopoden-Laufbeinsegmenten
zu und umfasst, trotz der oben geschilderten Verschiedenheiten, stets mehr
oder weniger eng von oben her das obere Ende der Eucoxa, wenn auch die
Art dieses Umfassens, z. B. bei Himantarium und Thereuopoda, eine erheblich
verschiedene ist.
Da nun die Katopleure den Hüftgebilden gegenüber nach unten den
Abschluss des Eupleurium bedeutet, so ist aufs Deutlichste erwiesen, dass
[135] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 485
“ Eupleurium wnd Hypocoxa nicht allen nach Lage und physiologischer
Bedeutung, sondern auch nach phylogenetischer Entfaltung ein höchst. ver-
schiedenes Verhalten zeigen, sodass die Gründe, welche mich früher dazu
führten, die Auffassung der Hypocoxa als pleuraler Bildungen abzulehnen,
noch erheblich verstärkt worden sind. Ich erinnere hier auch wieder an
die Beziehungen der Hypocoxa zur Sternitseitentaschenhaut.
Was die übrigen Sklerite des Eupleurium betrifft, so herrscht natürlich
mit Rücksicht auf das Vorhandensein oder Fehlen der Stigmen und im
ersteren Falle in Bezug auf die Beschaffenheit, Lage und Umgebung der
Stigmen eine grosse Mannigfaltigkeit, welche oben im Besonderen teilweise
geschildert worden ist. Auch die Zahl, Gestalt, Struktur, Form und Lage
der Anopleure wechselt sehr nach Gattungen, ömmer aber ist bei den Pleurostig-
mophora wenigstens an einem Teil der Rumpfsegmente, mindestens eine Ano-
pleure und an einem Teil derselben auch ein deutliches Stigmaschild ausgeprägt.
In der Lithobüden-Arbeit Nr. 4 betonte ich auf S. 243: „Es ist die
Entstehung der Hüften insofern von der der Telopodit-Glieder grundver-
schieden, als letztere einfach durch Abschnürungen bestimmter, hinter ein-
ander gelegener Teile des von Anfang an hohlkörperartigen Telopodits zur
Ausbildung gelangten, während die Hüften nach und nach aus anfangs
ziemlich flachen und getrennten Stücken verwuchsen und erst später mehr
und mehr hohlkörperartig wurden“. Dies wird durch vorliegende Unter-
suchungen grösstenteils bestätigt, während ich (wie schon oben bei Lithobius
angegeben) die a. a. O. versuchte Auffassung der „Subeoxa“ aufgegeben
habe. Eine Einschränkung hat der angeführte Satz jedoch insofern zu er-
fahren, als die Ooxopleure zunächst sich von der Eucoxa superior ablöst
(wie der Vergleich der verschiedenen Skolopender-Gattungen zeigt), dann
aber, nachdem sie sich weiter nach hinten ausgedehnt hat (wie bei den
Scutigeriden), mit der Eucoxa posterior in Berührung kommt und nun wieder
mit der Eucoxa verwächst. Phylogenetisch haben sich die Ohilopoden-Hüften
von vorn nach hinten entwickelt, eine Ausdehnung, welche ihren Ursprung
ganz offenkundig von der Hüftleiste (Costa coxalis) aus genommen hat. Dass
diese nicht lediglich eine der äusseren Rinne entsprechende Verwachsungs-
leiste mit dem Hüftsklerit darstellt, sondern auch ein in die Leibeshöhle
ragendes Endoskelettstück, welches, wie wir oben sahen, verschiedenen seit-
484 Karl W. Verhoeff, [136]
lichen und ventralen Rumpfmuskeln zum Ansatz dient, lässt sich bereits bei
den Geophilomorpha (Abb. 1 und 2) feststellen.
Ursprünglich ist die Eucoxa also nur ein Tragesklerit für die Hüft-
leiste gewesen, während die hauptsächlichste basale Beinstütze die ein Doppel-
kissen bildende Hypocoxa abgab. Diese Hypocoxa ist also ohne Frage physio-
logisch und phylogenetisch namentlich ursprünglich auch ein Hüftgebilde.
Die Chilopoden-Hüften waren von Urbeginn dreiteilig, Procoxa,
Metacoxa und kleine Eucoxa mit Hüftrippe. Wollen wir uns aber von den
jetzigen Geophilomorpha phylogenetisch weiter rückwärts eine hypothetische
Vorstellung machen, so kommen wir auf eine Hypocoxa, an welcher bei
einer sehr schwachen Costa mit einer ebenfalls schwachen Eucoxa , letztere
nur als eine Ausgestaltung der Hypocoxa erscheint. In diesem Zusammen-
hang betrachte ich die Hypocoxa als Urhüfte und die Costa coxalis als den
Ausgangspunkt der eucoxalen Bildungen. Aus dem über Beschaffenheit von
Eucoxa und Hypocoxa in den verschiedenen besprochenen Chilopoden-Gattungen
Gesagten ersieht man aufs Deutlichste, dass die Kucoxa sich in demselben
Masse vergrössert wie die Hypocoxa verkümmert, weil die Funktion der
Hiypocoxa in demselben Maasse von der Eucoxa übernommen wird, wie diese
an innerer Festigkeit gewinnt und durch Vergrösserung geeignet wird,
einerseits unmittelbar auf dem Sternit zu ruhen, andererseits die Basıs des
Telopodits in immer vollkommenerer Weise zu umfassen. Gleichzeitig wird
die Hüfte immer geeigneter aus dem Niveau der seitlichen Körperwand hervor-
zutreten und dem Beine, namentlich grundwärts, eine freiere Bewegung zu
gestatten.
Welch ein Unterschied zwischen dem kurzen, fast wie eine gegliederte
Kralle erscheinenden, ganz nach aussen und unten gebogenen Laufbein
einer Orya z. B. und dem zierlichen, peitschentragenden Rennbein einer
Scutigeride, welches mit dem Trochanter weit nach aussen geschoben ist und
nun fähig, Präfemur und Femur in graziösem Bogen emporzuwenden! Im
ersteren Falle haben wir den schwerfälligen Klammerfuss und einförmig
von vorn nach hinten und umgekehrt tätigen Schiebehebel, im letzteren Falle
ein hochentwickeltes Bein, welches zur Bewältigung unruhiger Beutetiere
nach den verschiedensten Richtungen gewendet werden kann. Im ersteren
Falle ist das Gelenk zwischen Hüfte und Trochanter nur vorn durch einen
[137] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 485
festen Gelenkknopf gestützt, hinten weich und nachgiebig, im letzteren Falle
ruht der Trochanter vorn und hinten mit einem Zapfen auf fester Unter-
lage, sodass ein typisches Scharniergelenk vorliegt, während die freiere Hüfte
selbst eine bequeme, aber nach Segmenten mehr oder weniger weitgehende
Bewegung in der Richtung von vorn nach hinten und umgekehrt gestattet.
Mit der geringeren oder grösseren Beweglichkeit und Festigung der
Hüfte steht im Zusammenhang die Gliederung des Eupleurium, denn wir
sehen bei den Epimorpha mit schwächerer Eucoxa das Eupleurium meist
reichlicher gegliedert, während den Anamorpha ausser der Katopleure nur
höchstens eine Anopleure zukommt, Stigma- und Nachstigmaplatte aber an
den wenigsten Segmenten vorkommen. Endlich bei den Scutigeriden hat
das Eupleurium die geringste Skleritentwicklung und die Katopleure ist
durch Ausbildung der Hüftmesser fast zu einem Hüftteil geworden. Der
geringeren Drehbarkeit der Hüften bei den Epimorpha entspricht also eine
grössere Gelenkigkeit der nachgiebigen Pleuren, während die drehbareren und
freier herausgeschobenen Hüften der Anamorpha und Notostigmophora eines
derartig gegliederten Seitengebietes nicht bedürfen, sodass dasselbe vielleicht
noch mehr unterdrückt wäre, wenn es nicht auch für andere Organsysteme
(Atmung, Ernährung und Fortpflanzung) in Betracht käme.
Da die tatsächlichen Hüftverschiedenheiten im Verein mit den Ver-
schiedenheiten in der allgemeinen Organisationshöhe der Ch tlopoden-Gattungen
mich zu dem Schlusse führen, dass die Costa coxalis massgebend ist für
den Ausgangspunkt der eucoxalen Bildungen, so verdient hervorgehoben zu
werden, dass in dem Masse wie die Eucoxa sich ausdehnt, die Costa coxalis
abgeschwächt wird. Besonders schön lässt sich dies an den verschiedenen
Laufbeinsegmenten eines Lithobius verfolgen, wo die grössten Hüften (15. B.)
auch die schwächste Costa coxalis aufweisen, bis wir dann bei den noch
grösseren Scutigeriden-Hüften die Hüftrippe, mit Ausnahme ihres endwärtigen
für das Gelenk mit dem Trochanter wichtigen Stückes, verkümmert finden
zu einer schwach erhobenen Linie. Aber auch die Coxopleurien an dem
Endbeinsegment der Scolopendromorpha verdienen hier genannt zu werden.
Sind dies auch keine typischen Hüften, so stimmen sie mit den Hüften der
Anamorpha und Scutigeriden dennoch überein in der stärkeren Ausdehnung
und Vereinheitlichung, und wieder zeigen diese Coxopleurien die im Ver-
Nova Acta LXXXVI. Nr, 2, 62
486 Karl W. Verhoeff, [138]
hältnis zu den Laufbeinsegmenten der Skolopender auffallend schwächere
Ausprägung der Costa eoxalis. Es liegt auch auf klarer Hand, dass die
Funktion der Costa als eines 'Hebels, an welchem die der basalen Bein-
bewegung dienenden Muskeln angreifen, um so mehr auf die Eucoxa selbst
übergehen konnte, je mehr diese sich ausbreitete und zu einem festwandigen
Halbzylinder wurde, oder eine noch grössere Geschlossenheit erreichte.
Die Muskeln gewannen hierdurch Raum, sich nach und nach an der Eucoxa
selbst mehr ausbreiten zu können, und zugleich wurden die direkten, das
Telopodit bewegenden OCoralmuskeln verstärkt.
Man könnte hier einwenden, weshalb denn nicht sofort die Eucoxa
bei den niederen Geophilomorpha als breiteres und stärkeres Gebilde aus-
geprägt sei und weshalb ein solcher phylogenetischer Umweg mit einer
Costa coxalis eingeschlagen sei! Die Biologie zeigt uns hier den Weg,
insofern als die vorwiegend in engen Spalten und namentlich Wurmröhren
hausenden Geophilomorpha derartige Hüften wie sie Anamorpha oder gar
Scutigeriden besitzen, gar nicht gebrauchen könnten. Diese vorstehenden
Hüften, welche einer freien, räuberischen Lebensweise angepasst sind,
würden den Erdläufern die Bewegung in engen Gängen zur Unmöglichkeit
machen. Da die Hüften mithin oberflächlich sich nicht ausdehnen konnten,
bedurften sie eines inneren Hebels. Wenn die Beinchen der Geophilomorpha
also unter den Beinen der O’hilopoden allgemein betrachtet, auch die primitivste
Stellung einnehmen, so sind sie für die Verhältnisse, unter welchen diese
Hundertfüssler leben, doch höchst zweckmässig und vollkommen eingerichtete
Werkzeuge.
Dies zeigt wieder einmal aufs Schönste den Zusammenhang von
Bau und Phylogenie einerseits und Biologie‘) andererseits, wie ich ihn
mehrfach betont habe, z. B. auch in den „Beiträgen zur Hymenopteren-
Biologie“ zoolog. Jahrbücher, Jena 1893.
1) Erwähnen möchte ich hier G. Rossis Aufsatz: „Sulla loeomozione dei Miriapodi“
Genua 1901, worin hinsichtlich des „grado di agilitä“ folgende Reihe aufgestellt wird:
„Diplopodi, Geofilidei, Scolopendridei, Lithobidei, Seutigeridei*. Dies stimmt überein mit
meiner Reihenfolge der Chilopoden-Gruppen, während ich die Diplopoden davon ausschliesse,
nicht allein deshalb, weil sie phylogenetisch mit den C'hilopoden keinerlei nähere Beziehungen
haben, sondern auch weil wir innerhalb der Diplopoden auffallende Abstufungen in der
Lebhaftigkeit der Ortsveränderung feststellen können, worauf ich vielleicht an anderer Stelle
[139] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 487
In der vorn erwähnten Arbeit Nr. 4 habe ich die Entwicklung der
Laufbeine und Pleuralgebiete bei Zithobius besprochen und verweise darauf.
Hier sei nur folgendes angeführt: „Die Entwicklung der Beinknospen lehrt
uns, dass die Hüften der Lithobien nicht von vornherein als abgesetzte
Gebilde angelegt werden, sondern dass früher schon eine Absetzung von
Protopleurium und Telopodit stattfindet und dass vor dieser die ganzen Ge-
biete zwischen Sternit und Tergit einheitlich als Pleuropodien angelegt
werden“. Es haben sich also „die Hüften der Opisthogoneata nach und
nach aus dem Gebiet des Protopleurium') entwickelt“, wenn wir onto- und
phylogenetische Befunde gemeinsam berücksichtigen. Etwas Genaueres über
die allmähliche Umgestaltung der Hüftteile, wie sie durch vorliegende phylo-
genetische Untersuchungen erörtert worden ist, haben die ontogenetischen
Befunde nicht geliefert, weder die meinigen bei Lithobius, noch die von
Heymons in seiner „Entwiekelungsgeschichte der Skolopender“ Stuttgart
1901, noch die meinigen, welche ich später an Scolopendra und Alipes
selbst vornahm. Auf Heymons Mitteilungen (S. 45—48) über „Die Bildung
der Tergite, Sternite und Pleuren“ habe ich noch näher einzugehen. Wenn
die Befunde der Entwicklung eines Körperteils für die Auffassung des
fertigen Zustandes von Bedeutung sein sollen, dann ist es selbstverständliche
Forderung, dass über das entwickelte Gebilde wenigstens in den Grund-
zügen Klarheit herrscht. Dieser Forderung ist Heymons bei der Frage
über Sternit und Pleuren nicht genügend nachgekommen. Er sagt auf
S.48: „Unter den Pleuren verstehe ich hier nur die weichen Verbindungs-
häute zwischen Sternit und Tergit, welche die Stigmen enthalten und in
denen kleine Skelettstückchen, die Pleurite sich ausbilden können.“ Ab-
gesehen davon, dass dieselben sich nicht ausbilden „können“, sondern stets
ausbilden, wenn auch, wie das Obige zeigt, in sehr verschiedener Weise,
geht doch aus dieser Pleurendefinition nicht hervor, ob er die so viel um-
näher eingehen kann. Jetzt sei nur kurz verwiesen auf die betreffenden bedeutenden Unter-
schiede zwischen den langsamen @lomeris oder den schnellen Zysiopetalum z. B. oder zwischen
den langsamen Cylindroiulus und den schnelleren Julus oder Tachypodoiulus. Auch zwischen
den langsameren Polydesmus oder schnellfüssigen Chordeuma konnte ich einen auffallenden
Unterschied konstatieren.
1) A.a.0. S. 242 steht statt Protopleuriwn durch einen Druckfehler „Eupleurium“.
62*
488 Karl W. Verhoeff, [140]
strittenen Hypocoxa-Teile zur Coxa oder zu den Pleuren oder zum Sternit
rechnen will. Seine sonstigen Angaben lassen den Schluss zu, dass er die
Hypocoxa jedenfalls nicht zum Sternit gerechnet hat, sondern das Sternit
in derselben Weise aufgefasst, wie es von mir geschieht und auch fast all-
gemein geschehen ist. Diese Feststellung ist notwendig, um das richtig zu
beurteilen, was er über die Dreiteiligkeit der Sternite gesagt hat. Nach
Heymons besitzen die Scolopendra-Embryonen zwischen der sehr breiten
Membrana dorsalis und ventralis zunächst eine gemeinsame Anlage für
Tergit, Sternit und die als Zapfen zwischen beiden vorragenden Beinanlagen.
Diese letzteren rücken, übereinstimmend mit meinen Befunden bei Lithobius
bauchwärts herab, aber bei Scolopendra werden die Membrana ventralis und
dorsalis erst allmählich zurückgedrängt, Sternit und Beinanlage hängen zu-
sammen, die Tergitanlage rückt dorsal ab und nun entsteht zwischen ihr
und dem Beinhöcker eine dünne Haut, welche als „Pleuralhaut“ gedeutet
wird. Dann sagt er S. 48: „Die Stigmen bilden sich in der Mitte der
paarigen Tergitanlagen, gleich weit vom vorderen wie vom hinteren Segment-
rande entfernt, sie befinden sich dagegen nur in verhältnismässig geringem
Abstande von der Extremitätenbasis. Dieser kurze Abschnitt der Tergit-
anlage, welcher sich vom Stigma bis zur Insertionsstelle der Extremität
erstreckt, bleibt nun dauernd zart und weichhäutig und gestaltet sich zu
der Pleuralhaut um, in deren Bereich das Stigma liegen bleibt. Eine ganz
entsprechende Sonderung findet auch in den stigmenfreien Segmenten statt,
indem auch hier der an die Extremität angrenzende Teil der Tergitanlage
eine häutige Beschaffenheit beibehält. Die Pleuralhäute können somit bei
Scolopendra genetisch als abgesonderte Teile der Rückenplatten betrachtet
werden“. Es ist mir nicht einleuchtend, weshalb das von Heymons in
seiner Trextabb. VII mit „pleur.“ bezeichnete Gebiet nicht eben so gut als
Teil der Extremitätenanlage, oder die Tergitanlage mit diesem Zwischen-
gebiet zusammen, als Teil des Zapfens bezeichnet werden soll, zumal die
sogenannte Tergitanlage sich ja tatsächlich vom Extremitätenzapfen ablöst.
Derlei Deutungen haben aber überhaupt keinen Wert, da man Begriffe ver-
wendet, welche von scharf ausgeprägten und funktionierenden Organen ent-
nommen sind und nun mehr oder weniger willkürlich auf Gebilde übertragen
werden, welche lediglich in Wachstum und fortwährender Umbildung begriffene
141 Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 489
pP
Zellmassen vorstellen. Aber selbst hiervon abgesehen, ist Heymons eitierte
„Pleuren“-Definition „zwischen Sternit und Tergit“ absolut nicht in Ein-
klang zu bringen mit dem, was er weiterhin sagt, „dieser kurze Abschnitt
vom Stigma bis zur Insertionsstelle der Fxtremität gestaltet sich zu der
Pleuralhaut um“, denn das sind sehr verschiedene Dinge. Über die „Insertions-
stelle der Extremität“, eine umständliche und mannigfaltige Frage, wie vor-
liegende Untersuchungen zur Genüge zeigen dürften, hat er sich nicht weiter
seäussert. Auffallend ist aber auch folgendes: Einmal sollen sich die Stigmen
„in der Mitte“ der Tergitanlagen bilden und dann in „geringem Abstand
von der Extremitätenbasis“ liegen. Wenn dies richtig wäre, müssten die
Stigmen erstens nach unten wandern, — denn es gibt keinen einzigen
Chilopoden mit paarigen Stigmen, welcher dieselben im Bereich der Tergite
besässe — also aus dem Bereich der „Tergitanlage“ nach unten heraus
und zweitens müssten sie — da es ebenfalls keine Chilopoden gibt, bei
welchen die Stigmen sich „in verhältnismässig geringem Abstande von der
Extremitätenbasis“ befinden — von dieser „Extremitätenbasis“, als deren
obere Grenze doch nur das obere Ende der Eucoxa superior in Betracht
kommen kann, ‚nach oben wandern. Diese Widersprüche einerseits in den
Angaben über den Embryo selbst und andererseits zwischen diesem und dem
Entwickelten fallen fort, wenn man die Auffassung der dorsalen Wülste als
„Tergitanlagen“ fallen lässt und sie als das betrachtet, was sie nach der
von Heymons beschriebenen Lage der Stigmen allein sein können, nämlich
eine gemischte Anlage, aus welcher sowohl das Eupleurium als auch das
Tergit, wenigstens in seinen Seitenteilen, hervorgeht. Über die sogenannte
„Transversalnaht“ an den Scolopendra-Tergiten sprach ich bereits 1903 in
dem genannten Aufsatz über die Interkalarsegmente der Chilopoden.
Nachdrücklich betont hat Heymons die Dreiteiligkeit der Sternite
und Tergite, indem er auf 8. 47 sagt: „Es geht das Medianfeld zum mindesten
grösstenteils aus der Membrana dorsalis bezw. ventralis hervor, während
die beiden Lateralfelder auf die paarigen Tergit- bezw. Sternitanlagen zurück-
zuführen sind“. Hinsichtlich der Tergite stimme ich ihm mit Rücksicht auf
die Epimorpha, welche auch bei den Entwickelten meistens mehr oder weniger
deutlich Episkutallinien zeigen, bei, nicht aber ohne weiteres im Hinblick
auf die Gruppen mit 15 Beinpaaren. Für die Sternite hat die Dreiteiligkeit
490 Karl W. Verhoeff, [142]
überhaupt keine ausgedehntere Bedeutung, da das Vorkommen von Episternal-
nähten zwar für Scolopendra und verschiedene andere Skolopender-Gattungen
zutrifft, für zahlreiche andere Scolopendromorpha aber nicht, am wenigsten
für diejenigen, deren Sternite eine deutliche Zweiteilung erkennen lassen,
oder wie bei den Cryptopiden zwar in Abschnitte zerfallen, aber nicht in
neben, sondern in hinter einander gelegene. Im allgemeinen sind aber die-
jenigen Scolopendromorpha, welche keine dreiteiligen Sternite (im Sinne von
Scolopendra) aufweisen, eher als phylogenetisch primitiv wie als derivat zu
bezeichnen. Da nun auch bei den drei anderen Chilopoden-OÖrdnungen von
einem dreiteiligen Sternit-Typus nichts zu finden ist, so muss ich Heymons
Angabe S. 69, wonach die Dreiteiligkeit der Sternite eine Eigenschaft sein
soll, „deren Ursache in dem ganzen Bauplan des Arthropodenkörpers zu
suchen ist“, um so mehr als unhaltbar bezeichnen, als auch andere Glieder-
tierklassen, wie Diplopoden und Crustaceen, keine erforderlichen Stützen
bieten. Die Dreiteiligkeit der abdominalen Sternite bei manchen Insekten
(z. B. Machilis) hat mit der Dreiteiligkeit der Scolopendra-Sternite gar nichts
zu tun. Bei Machilis betreffen die seitlichen Teile Extremitäten- Überreste
und nur das Mittelstück ist wirkliches Sternit.
Die Entwieklung der Tergite und Sternite an den knospenden Seg-
menten der Lithobüden weicht von der Entwicklung der Tergite und Sternite
bei Scolopendra nicht unerheblich ab. In der Arbeit Nr. 4 konnte ich fest-
stellen (S. 239), dass „an den knospenden Lithobius-Segmenten bei allen
Larven-Stufen die Tergite und Sternite eher ausgebildet werden als die
Beinglieder. Die scharfe Abgrenzung gegen die Pleuralgebiete erfolgt hier
also sehr frühzeitig, daher auch die Auffassung des Eupleurium als Ab-
lösung vom Tergit ganz ausgeschlossen ist. Vielmehr besteht eine nähere
Beziehung zwischen Pleuralgebiet und Bein, indem anfangs zwischen Tergit
und Sternit ein einheitliches Pleuropodium angetroffen wird, welches erst hinter-
her in Protopleurium und Telopodit zerfällt. Vor allem muss aber betont
werden, dass unter den Anamorpha weder bei der Entwicklung der Tergite und
Sternite, noch an den Ausgebildeten irgend etwas Deutliches von Dreiteiligkeit
zu beobachten ist, weshalb ich Heymons Verallgemeinerung nach dieser
Richtung auch mit Rücksicht auf die Tergite nicht unterschreiben kann.
[143] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 491
Das Endbeinsegment der Chrlopoden zeigt nach den vier Ordnungen
eine recht verschiedene Ausbildung, nicht nur in Bezug auf seine allgemeine
Entwicklung, oder die Beschaffenheit der Telopodite, sondern auch hinsichtlich
der eoxopleuralen Gebilde. Das Endbeinsegment der Geophilomorpha, auf
welches ich jetzt nicht näher eingehen will, verdient noch eine besondere
Untersuchung. Hier will ich nur soviel feststellen, dass sich die Grund-
gebilde der Endbeine, welche ebenfalls als Coxopleurium zu betrachten sind,
dureh ihre mehr hohlkörperartige, einen Halbzylinder bildende Gestalt vor
denen der Scolopendromorpha auszeichnen. Bemerkenswert ist ferner, dass
das dem Endbeinsegment vorangehende Lautbeinsegment, welches, wie ich
oben auseinandergesetzt habe, bei den Scolopendromorpha in seinen CoXO-
pleuralen Bildungen teilweise eine interessante Mittelstellung einnimmt
zwischen dem Endbeinsegment und den typischen Laufbahnsegmenten, bei
den Geophilomorpha (wenigstens den von mir daraufhin untersuchten Gattungen)
keine derartige vermittelnde Rolle spielt, indem es sich, von geringeren
Unterschieden abgesehen,, im wesentlichen dem Verhalten der typischen
Laufbeinsegmente anschliesst, sodass die eigentümliche Beschaffenheit der
Coxopleuralgebilde am Endbeinsegment der Geophilomorpha unvermittelter
erscheint. Das Rumpfhinterende der Erdläufer zeigt im Übrigen jedoch
folgende Eigentümlichkeiten, welche es im Vergleich mit den Skolopendern
als auffallend primitiwer erkennen lassen, nämlich:
1. Die stärkere und vor allem viel offenere Lage der drei letzten
Rumpfsegmente (Telson und Genitalzone),
2. das Vorhandensein eines gut ausgebildeten Interkalarsegmentes, vor
dem Endbeinsegment, (während allen von mir daraufhin untersuchten
Scolopendromorpha dieses Interkalarsegment vollkommen fehlt),
3. die starke Ausprägung des Trochanters der Endbeine,
4. die einfache Gliederung derselben bei den meisten Gattungen.
Soviel ist also sicher, dass die Eindbeinsegmente der Epimorpha eine
stärkere Abänderung der coxopleuralen Gebilde im Vergleich mit denen der
Laufbeinsegmente erfahren haben, als die der Endbeinsegmente der Anamorpha
und Scutigeriden im Vergleich mit deren typischen Laufbeinsegmenten.
Während sich Erdläufer und Skolopender hinsichtlich des Coxopleurium des
Endbeinsegmentes einigermassen ähnlich verhalten, aber sehr abweichend
492 Karl W. Verhoeff, [144]
von denen ihrer Laufbeinsegmente, schliessen sich bei den Anamorpha und
Scutigeriden die Hüften der Endbeine im wesentlichen an die Beschaffenheit
derjenigen der typischen Laufbeine an.
In meinem Aufsatze „Über die Endsegmente des Körpers der Chilo-
poden, Dermapteren und Japypden und zur Systematik von Japyx“ Nova
Acta 1903 habe ich gezeigt, dass die Endbeine aller Epimorpha homolog
sind und dass die Tatsachen namentlich in Betreff der Segmentvariation zu
dem Schlusse führen, dass es bei den Epimorpha „drei vor dem Telson
befindliche Segmente gibt, welche (latent) als von vornherein besonders an-
gelegt“ zu betrachten sind, sodass also die beiden Segmente, „welche vor
dem Endbeinsegment liegen, als jüngste“ zu gelten haben. Für die Erd-
läufer ist das tatsächlich richtig, wie die bei manchen Arten weit-
gehende Variation der Segmentzahl zeigt und innerhalb der Skolopender ist
wenigstens die Variation 21, 23 bekannt geworden. Wenn also die Homo-
logie der Endbeine innerhalb der Erdläufer für sich und innerhalb der Skolo-
pender für sich eine Tatsache ist, so kann es immerhin als recht wahr-
scheinlich gelten, dass sich diese Homologie auf alle Epimorpha erstreckt.
1903 suchte ich diese Homologie auch auf die Endbeine der übrigen Chrlo-
poden auszudehnen. Die Untersuchungen über die coxopleuralen Organteile
haben mich aber hiervon abgebracht aus Gründen, welche sich ergeben aus
dem was über den verschiedenen Bau des Endbeinsegmentes im Vorigen mit-
geteilt wurde, d. h. also, ich halte nunmehr das 15. Beinpaar der Anamorpha
und Seutigeriden für homolog dem 15. Beinpaar der Epimorpha, nieht dem
Endbeinsegment der letzteren. Sonach harmoniert die latente Anlage des
Endbeinsegmentes bei den Epimorpha einerseits und ihr Fehlen bei den
Anamorpha andererseits mit der verschiedenen Entwieklungsweise beider
Gruppen. Bei den Anamorpha und Scutigeriden sind also die Endbeine nur
die letzten, abgeänderten, erst bei der 4. Larve auftretenden Laufbeine, während
sie bei den Epimorpha ein Gliedmassenpaar vorstellen, welches von Urbeginn
an als etwas eigenartiges vor der Grenitalzone sich entwickelt hat.
Hinsichtlich der Coxaldrüsen der Endbeine zeigen die Erdläufer eine
grosse Mannigfaltigkeit, manche primitiveren unter ihnen besitzen aber eine
Hüftdrüsenanordnung, welche eine Zerstreuung über den grössten Teil des
Coxopleurium darstellt und daher eine Übereinstimmung mit den typischen
[145] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 493
Erscheinungen am Coxopleurium des Endbeinsegmentes der Skolopender. Bei
den Anamorpha dagegen findet man die Coxaldrüsen in bestimmter Anordnung
auf die Bucoxa posterior beschränkt, ein Umstand, welcher ebenfalls zu
Gunsten jener Homologieenauffassung spricht.
An sämtlichen Beinen der Chilopoden, sowohl Lauf- als auch End-
beinen kommt es niemals zur Ausbildung eines eigentlichen , vollkommenen
Hüftzylinders, wie er so reichlich bei Hexapoden auftritt. Es bieten sich
aber bemerkenswerte Anläufe zu einer solchen geschlossenen Zylinderbildung
nicht allein in den Endbeinen der Geophilomorpha und Anamorpha, sondern
vor allem in den Hüften der Laufbeine der Scutigeriden,, welche den Telo-
poditgrund bereits vollständig umfassen.
Oben habe ich Hypocoxa und Katopleure zum Begriff der Pericoxa
zusammengefasst, auch wurde gezeigt, dass bei manchen Erdläufern z. B.
Orya diese Teile grosse Ähnlichkeit untereinander haben und beinahe einen
Wall um die Telopoditbasis bilden. Diese Ähnlichkeit gilt aber nicht für
alle Geophilomorpha und für die übrigen Chxlopoda überhaupt nieht. Immer-
hin wäre der Gedanke zu erwägen, ob nicht die Pericoxa bei den Vorläufern
der recenten Geophiliden als eine einheitliche, einen wallartigen Ring vor-
stellende Urhüfte entwiekeit gewesen sein könnte, wenigstens bei noch
primitiveren, mehr stummelartigen Extremitäten. Wie dem auch sein mag,
unter den bekannten Chilopoden hat jedenfalls die Katopleure eine phylo-
genetische Entwicklung aufzuweisen, welche von der der Hypocoxa mehr
und mehr abweicht.
Die morphologische und phylogenetische Bedeutung der Interkalar-
segmente ist bisher nicht gebührend gewürdigt worden. Ihr Auftreten bei
den Chilopoden sei durch eine kurze Übersicht veranschaulicht:
Geophilomorpha.: Interkalarsegmente stets kräftig entwickelt, vor dem
Endbeinsegment ebenfalls ein deutliches Interkalarsegment.
Scolopendromorpha: Vor dem Endbeinsegment kein Interkalarsegment.
Vor den Laufbeinsegmenten Interkalarsegmente in nach den Gattungen ver-
schieden starker Weise ausgeprägt.
a) Dieselben sind bei den niederen Gattungen kräftig,
b) bei den höheren Gattungen schwächer entwickelt.
Anamorpha und Seutigeriden ohne Interkalarsegmente.
Nova Acta LXXXVI. Nr. 2, z 63
494 Karl W. Verhoeft, [146]
Es unterliegt keinem Zweifel mehr, dass innerhalb der Ohilopoden die
Interkalarsegmente im ganzen um so stärker entwickelt werden, je primitiver die
einzelnen Gattungen organisiert sind Diese rückschreitende Entwicklung, welche
am deutlichsten innerhalb der Scolopendromorpha zu verfolgen ist und oben durch
genauere Angaben erläutert wurde, kann bei der Beurteilung der Urzwischen-
segmente der Hexapoden ein wichtiger Wegweiser sein. Diese kleineren
Segmente hat man neuerdings lediglich durch Anpassung an bestimmte
Lebensweise erklären wollen, allerdings nur in ganz allgemeinen Ausdrücken.
Offenbar sollte damit gesagt werden, dass gestrecktere Formen einer reich-
licheren Gliederung bedürften. Tatsächlich wird aber damit nichts erklärt,
denn jede Segmentation ist eine Anpassung an das Gelenkigkeitsbedürfnis
des betreffenden Körpers. Wir sehen aber ferner bei zahlreichen Myra-
poden mit langgestrecktem Körper die Gliederung einfach dadurch ge-
steigert, dass die Hauptsegmente vermehrt werden. Die Lithobüden sind auch
noch ziemlich langgestreekte Formen, jedenfalls gestreckter als diejenigen
Insekten, welehe wie Japygiden und Embüden gut entwickelte Urzwischen-
segmente besitzen und dennoch entbehren die Steinläufer der Interkalar-
segmente, trotzdem sie nicht nur höchst gewandte Räuber sind, sondern auch
viele unter ihnen die Gewohnheit haben sich seitlich einzukrümmen. Wer
aber will behaupten, dass den echten Scolopendra, welche so kleine Inter-
kalarsegmente besitzen, dass sie von manchen Forschern ganz übersehen
wurden, (obwohl sie mit blossem Auge bei den grösseren Stücken noch leicht
zu sehen sind), ihre schmalen Interkalartergite einen wesentlichen Nutzen
brächten! Und wenn man das doch behaupten wollte, so müsste diese Be-
hauptung fallen angesichts derjenigen Formen, welche wie Cupipes die Inter-
kalartergite nicht mehr vollständig abgegliedert zeigen, sodass also die physio-
logische Bedeutung der gesteigerten Rumpfgliederung tatsächlieh in dieser
Hinsicht aufgehört hat. Rudimentäre, funktionslose Interkalartergite, welche
durch Übergänge mit den grossen, funktionierenden, d.h. gegen die Haupt-
tergite verschiebbaren Interkalartergiten anderer Gattungen verbunden sind,
können nicht durch eine Annahme des physiologischen Bedürfnisses erklärt
werden. Zweifellos entsprechen die Interkalarsegmente, indem sie die all-
gemeine Rumpfgliederung erhöhen einem physiologischen Bedürfnis und sind
somit für das Leben der betreffenden Tiere nützlich, aber damit wird gegen
147 Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 495
pP
die Segmentnatur dieser Ringe gar nichts entschieden und noch weniger etwas
bewiesen in Betreff des Umstandes, dass bei Tieren von gleicher Länge,
gleicher Beweglichkeit und gleicher Segmentzahl, wie z. B. Scolopendra und
Theatops im ersteren Falle die Tergite der Interkalarsegmente mehr oder
weniger rudimentär sind, im letzterem Falle gut ausgebildet. Ein Ver-
ständnis liefert hier nur die Einsicht in den verwandtschaftlichen Zusammen-
hang der Formen. Besteht ein solcher, so ist die Folgerung berechtigt, dass
die Formen mit den rudimentären Bildungen diese nicht aus Bedürfnis,
sondern durch Vererbung übertragen erhielten. Die Tatsachen der Verbreitung
und der Art des Auftretens der Interkalarsegmente, insbesondere also ihre
starke Ausprägung bei den niedrig stehenden Geophilomorpha, ihr völliges
Fehlen bei den hoch entwickelten Scutigeriden und ihre sehr verschieden-
artige Beschaffenheit bei den dazwischen stehenden Scolopendromorpha führen
zu dem Schlusse, dass diese allen Ohilopoda-Epimorpha zukommenden Segmente
eine uralte von den Vorfahren der heutigen Chilopoden ererbte Eigentümlichkeit
sind, welche ursprünglich , solange nämlich die Extremitäten schwächer und
der Rumpf selbst, infolge schlängelnder Beweglichkeit dünner war, eine hohe
physiologische Bedeutung hatten, indem sie die Gliederung des mehr wurm-
artigen Körpers vermehrten, bei der weiteren phylogenetischen Entwicklung
aber in demselben Masse für das Leben der betreffenden Chrlopoden unwichtiger
wurden, wie der Rumpf sich verstärkte und die Laufbeine vollkommener
wurden.
Es handelt sich somit um Doppelsegmente, bestehend aus je einem
vorderen bein- und stigmenlosen Vorsegment und einem bein- und stigmen-
tragenden Hauptsegment.
Natürlich erinnern diese Doppelsegmente an die andersartigen der
Diplopoden, bei denen beide Segmente bein- und stigmentragend sind. Da es
keinerlei Formen gibt, bei denen die Doppelsegmente so beschaffen wären,
dass etwa die vorderen verkümmerte oder kleinere Extremitäten tragen
würden, d.h. da Übergänge zwischen den Doppelsegmenten der Epimorpha
und denen der Diplopoden nicht existieren, so ist diese Verschiedenheit nur
so verständlich, dass sie von Urbeginn am sich ausgeprägt hat, d.h. dass
Progoneaten und Opisthogoneaten von verschiedenen Anneliden-Formen ihren
Ausgang nahmen, dass in jeder der beiden Richtungen je zwei Segmente
63*
496 Karl W. Verhoeff, [148]
in nähere Beziehung traten, dass aber von den stummelförmigen Urextremi-
täten diejenigen der Urvorsegmente bei den Diplopoden sich weiter ent-
wickelten, bei den Chilopoden dagegen ganz verkümmerten, noch ehe sie zu
einer eigentlichen Beinentwicklung den Anlauf genommen. Diese Auffassung
entspricht auch der sonstigen tiefen Kluft, welche Pro- und Opisthogoneata
scheidet. Es lassen sich also primär homonome und primär heteronome
Doppelsegmente unterscheiden.
Sekundär heteronome Doppelsegmente zeigen uns die Anamorpha- und
Scutigeriden,, in geringerem Masse auch schon die Scolopendromorpha. Bei
letzteren bestehen die sekundären heteronomen Doppelsegmente zugleich aus
zwei primären heteronomen Doppelsegmenten.
Der erste Anlauf zu den sekundären heteronomen Doppelsegmenten
wird durch Plutonium dargestellt, indem die Verschiedenheit von je zwei
aufeinander folgenden Hauptsegmenten, wie oben beschrieben wurde, nur im
Pleuralgebiet zum Ausdruck kommt. Stärker charakterisiert sind diese
Doppelsegmente bei der Mehrzahl der übrigen Skolopender-Gattungen, in-
dem bei je zwei auf einander folgenden Hauptsegmenten meist auch die
Stigmen des einen in Wegfall gekommen sind. Den dritten Schritt zeigen
uns die Lithobüden, wo, abgesehen von einer noch grösseren Heteronomität
im Pleuralgebiet, die Tergite der in Verkleinerung begriffenen Hauptsegmente
eine bedeutende Verkürzung erfahren haben gegenüber ihren Nachbarn.
Den vierten Zustand in dieser phylogenetischen Richtung vertreten die
Scutigeriden, wo die Tergite der in Verkleinerung begriffenen Segmente so
verkümmert sind, dass sie bei natürlicher Haltung dieser Tiere überhaupt
nicht mehr zu sehen sind, sondern versteckt liegen unter der Hinterrand-
duplikatur des vorhergehenden Tergites und übrigens äusserst klein geworden
sind. Im Anschluss an diese vergleichenden Feststellungen will ich noch
einmal kurz auf die beiden Theorien zurückkommen, welche ich zur Er-
klärung der bei Hexapoden vorkommenden Ziwischensegmente herangezogen
habe, zumal dieselben neuerdings vermengt worden sind mit der T'heorie
H. J. Kolbes (vergl. namentlich S. 122 seines Buches „Einführung in die
Kenntniss der Insekten“) über die Komplementärsegmente, welche wertvoll
war als Anregung zur Forschung auf einem höchst dunkeln Gebiet, an und
für sich aber erledigt ist, weil sie von z. T. unrichtigen Dingen ausging
[149] Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 497
und auch heteronome und homonome Doppelsegmente nicht gebührend aus-
einanderhielt.
Nach meiner Auffassung der hier in Betracht kommenden Tatsachen
lassen sich die Zwischensegmente der Hexapoden entweder als Interkalar-
segmente betrachten (und dies ist der mindeste Wert, welcher ihnen zukommt),
oder sie sind verkümmerte Hauptsegmente, indem sie dann an die verkleinerten
Segmente sich anschliessen würden, welche nach dem eben Gesagten unter
den Chilopoden bei den Anamorpha und Seutigeriden bereits ein Stück der
nach dieser Richtung gehenden Rückbildung vor Augen führen.
Die Gründe für die eine oder andere Auffassung habe ich ausgeführt
namentlich in dem 2. und 3. Aufsatz über den T’horax der Insekten (Archiv
f. Naturgesch. 1904 und Nova Acta d. deutsch. Akad. d. Naturforscher 1904).
Welche von beiden Auffassungen nun auch mit der Zeit durch weitere
Forschungen als die begründetere erwiesen werden mag, den Nachweis nehme
ich jedenfalls in Anspruch, dass am Körper der Hexapoden Zwrschensegmente
vorkommen und dass insbesondere jedem der drei Hauptsegmente des Thorax
ein Vorsegment zukommen kann, welches nach den Gruppen der niederen
Insekten verschiedenartig sich verhält, im Grundzuge aber aus Tergit, Sternit,
Pleuriten und einem besonderen Muskulaturabschnitt besteht.
In meiner Arbeit „über vergleichende Morphologie des Kopfes niederer
Insekten“ Nova Acta 1904 habe ich auf S. 81—85 das Tentorium von
Machilis besprochen und als Sterigmen (segmentale Stützgebilde) „alle die
paarigen, ventralen Endskelettbalken“ zusammengefasst, welche als „Tentorien,
Furkulae oder Costae fureillatae“ auftreten. Es gibt aber zwei verschiedene
Sterigmen-Bildungen, nämlich sternale, zu denen die Costae furcillatae gehören
und laterale, als welche die Tentorien des Kopfes und Furkulae des 'T'horax
zu gelten haben.
Bisher sind derartige Sterigmen von segmentalem Vorkommnis bei
Chilopoden nicht nachgewiesen worden. Um so mehr glaube ich deshalb
auf die Sternitseitenzapfen der Scolopendromorpha (Conus lateralis sterni)
hinweisen zu sollen, welche den thorakalen Furkulae der Hexapoden zwar
nicht homolog sind, aber doch sehr nahe stehen und jedenfalls als verwandte
Bildungen ebenfalls zu den Sterigmen gerechnet werden können, nämlich zu
den lateralen. Sternale Sterigmen sind unter den Skolopendern ebenfalls vor-
498 Karl W. Verhoeff, [150]
handen, wenn auch nicht in der Allgemeinheit wie die lateralen. Besonders
ist hier die Gattung Cryptops zu nennen, welche schräge innere Sternit-
querleisten besitzt, die den seitlichen Stücken der bei Japyx vorkommenden
Kantengabeln entsprechen; vergl. in meinem Japygiden-Aufsatz Archiv f.
Nat. 1904 Taf. IV und V, zumal von ihnen hier wie dort sternale Coxal-
muskeln abgehen. Meist verlaufen die Querleisten bei Cryptops bis zur
Mitte, indem sie hier ein wenig getrennt sind (Abb. 28) oder verbunden
(Abb. 27 y). Bisweilen jedoch schliesst sich an die Querleisten eine dieselben
schneidende mediane Längsleiste an, so in besonders schöner Ausbildung an
den Sterniten von Cryptops trisuleatus Brölemannn, wo eine Längsleiste,
welche länger ist als die Querleisten von der Vereinigungsstelle dieser nach
hinten zieht, sodass eine Y förmige Figur entsteht, welche die höchste Ähnlich-
keit besitzt mit den Costae fureillatae der Japygiden. Die Muskeln, welche
von den Querleisten an die Hüften ziehen, habe ich in Taf. VII Abb. 3 des
6. Aufsatzes „über Tracheaten-Beine“ bereits angegeben (Archiv f. Nat. 1904)
für Cryptops hortensis. Bei Oryptops trisuleatus sind sie noch stärker aus-
gebildet, sodass auch hinsichtlich der Muskulatur eine teilweise Überein-
stimmung mit Japyx verzeichnet werden kann. Ein Unterschied gegenüber
Japyc besteht namentlich darin, dass der dort so auffallend ausgebildete
Hinterstiel (Pedieulus posterior) bei Oryptops vollkommen fehlt, indem die
Stielleiste nach hinten nieht über das Sternit hinausgeht, vielmehr dessen
Hinterrand nicht erreicht.
Zum Schluss erwähne ich die bei Cryptopiden und Newportüden auf-
tretenden Endosternite, welche zwar nicht direkt zu den Sterigmen gestellt
werden können, aber doch in einer nahen Beziehung zu ihnen stehen, in-
sofern sie für die basale Beinmuskulatur eine Bedeutung haben, welche
ähnlich ist derjenigen der Fureulae, auch würde diese Beziehung noch be-
deutsamer, wenn man sieh vorstellte, dass diese Endosternite, welche z. B.
bei Nerportia am Hinterrande schon tief eingebuchtet sind (Abb. 32 vx), eine
immer stärkere Zerteilung erführen. An Sterigmen oder analogen Bildungen
fehlt es somit bei den Chilopoden keineswegs und wenn man auch nicht
den Sterigmen bei Hexapoden vollkommen homologe Bildungen nachweisen
kann, so handelt es sich doch um mehr oder weniger ähnliche, welche für
das Verständnis jener von Wichtigkeit sind.
[151] Die eoxopleuralen Körperteile der Chilopoden. 499
In der vorstehenden Arbeit ist eine Homologisierung der Coxopleural-
gebilde aller Chilopoden- Hauptgruppen durchgeführt und damit eine Ein-
heitlichkeit der Anschauung und auch Nomenklatur gewonnen werden. Es
ist nicht unbedingt notwendig, dass bei Hexapoden für die entsprechenden
Körperteile dieselbe Terminologie in Anwendung kommt wie bei Ohilopoden.
Teilweise wird das auch gar nieht möglich sein, weil den letzteren ver-
schiedene Gebilde zukommen, welche ersteren fehlen und umgekehrt.
Notwendig aber ist es, die Homologie der Rumpfsegmente der Chrlopoden
mit der der Thoraxsegmente der Hexapoden so weit als möglich klarzu-
stellen. Zur Ermöglichung einer solehen Homologisierung meine ich im
vorigen einen kleinen Beitrag geliefert zu haben. Die phylogenetische
Entwicklungsrichtung der Bein- und namentlich Hüftvervollkommnung,
welche uns innerhalb der Chilopoden von den Geophrlomorpha zu den
Seutigeriden führt, findet ihre höhere Vollendung und Fortsetzung in den
Hüften der Hexapoden. Insbesondere treten dieselben noch stärker als bei
Notostigmophora aus dem Rumpfe heraus, indem sie noch geschlossener zylindrisch
werden. Ein anderer noch bedentenderer Unterschied aber ergibt sich aus
der veränderten Funktion der Beine, welche die Folge der viel geringeren
Zahl derselben ist und den damit gesteigerten Leistungen jedes einzelnen
Beines. Die Hüften der niederen Hexapoden haben im Vergleich mit den
Chilopoden-llüften eine vollständige Drehung nach hinten herüber erfahren.
Im Zusammenhang damit sind auch die Pleurite nach hinten verschoben.
In meinen „Beiträgen zur vergleichenden Morphologie des Thorax der Insekten
mit Berücksichtigung der Chilopoden“ habe ich den ersten Versuch einer
Homologisierung der coxopleuralen Gebilde beider Klassen unternommen
und zunächst Lithobius herangezogen (Nova Acta 1902 Bd. LXXXI Nr. 2
Taf. IX). Schon oben habe ich hierzu Stellung genommen. Die Durch-
arbeitung aller C’hilopoden-Gruppen (soweit sie mir überhaupt zugänglich
sind) ergab neue Gesichtspunkte, sodass insbesondere die dortige Homo-
logisierung der Coxopleure nicht mehr aufrecht zu erhalten ist, d.h. das,
was ich in vorliegender Arbeit als Coxopleure erwiesen habe, ist der Coxo-
pleure bei Insekten (in meinen Arbeiten über den Thorax) nicht homolog.
Genauer will ich hier auf diese Verhältnisse jetzt nicht eingehen, nur weniges
andeuten: Die Katopleure, welche bei allen Chilopoden eine gute Ausbildung
500 Karl W. Verhoeff, Die coxopleuralen Körperteile der Chilopoden. [152]
zeigt, ist jedenfalls auch für die Beurteilung der Hexapoden-Pleuren sehr
wichtig. Insbesondere sind hier die Scutigeriden zu beachten. Das Hüft-
messer derselben enthält zwischen pleuralem und coxalem Teil ein Gelenk
(x Abb. 42), welches den meisten anderen Ohilopoden fehlt und zu vergleichen
ist mit dem oberen Gelenk an der Hüftbasis der Insekten, also zwischen der
Hüfte und der der Coxopleure (in meinen Thorax-Arbeiten) zugehörigen
Apodeme. Somit könnte der pleurale Anteil des Hüftmessers der Seutigeriden
(im Bereich der Katopleure) als eine Vorbildung für die Apodemen am
Insektenthorax aufgefasst werden. Es würde dann unter den Insekten die
„Coxopleure“ (1902—1904) gleich zu setzen sein der Katopleure, wie ich
sie jetzt für alle Chilopoden nachgewiesen habe. Ich hoffe in einer späteren
Arbeit über den Insekten- Thorax auf diese Dinge zurückkommen zu können.
22. Dezember 1905.
apl
apls
aplm
apli
kpl
kpl
Ipl2
epl
pco
pcoi
pcom
Pcos
mco
mcoi
mcos
eue
eup
eui
eus
Ill le
Erklärung der in den Textabbildungen wiederholt
vorkommenden Abkürzungen.
Anopleure.
obere Anopleure.
mittlere „
untere n
Katopleure.
vorderes Stück der Katopleure.
hinteres „ >
Coxopleure.
Procoxa.
unteres Stück der Procoxa.
mittleres „ n
”
oberes > - >
Metacoxa.
unteres Stück der Metacoxa.
oberes n = >
Eucoxa.
hintere Eucoxa, Eucoxa posterior.
untere " 2 inferior.
obere n n superior.
pt1, pt2 — Paratergite.
ipt — interkalare Paratergite.
stp — Stigmapleurit.
stpp — Poststigmapleurit.
ipl und ipl1—3 — interkalare Pleurite.
t = Tergit.
it — Interkalartergit.
sps — Suprasternalsklerit.
v — Sternit.
iv — äusseres Stück der interkalaren
Sternithälften.
{vl — inneres Stück der interkalaren
Sternithälften.
al,«2 — Costa eoxalis, Hüftrippe.
« — Processus am Ende derselben.
&, el — Sternitseitenzapfen, Conus lateralis
sterni.
tro — Trochanter.
prf —= Präfemur.
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dureh die Buchhandlung von Wilh. Engelmann in Leipzig zu beziehen:
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