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NOVA ACTA

REGIA SOCIETATIS

SCIENTIARUM

UPSALIENSIS

SERIEI TERTIÆ VOL. XII.

FASCICULUS PRIOR.

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MDCCCLXXXIV.
PHINTED IN SWEDEN

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NOVA ACTA

REGIA SOCIETATIS

SCIENTIARUM

UPSALIENSIS

SERIEI TERTLA.

VOL. XII.

FASC. I.

1=84.

VI.

WE.
VIII.

C.

M.

INDEX
HUJUS. FASCICULI.

G. FINEMAN: Sur la trombe du 7 juin 1882
danssla valléesdegSaby 1s... Ro es

. DILLNER: Sur l'intégration des équations diffé-

rentielles du pendule conique . . us
FALK: Démonstration du théorème de Ca
sur lintégrale d'une fonction complexe . . .

. SÖDERBLOM: Über die Drehung eines Rota-

tionskórpers um einen festen Punkt

. N. LUNDSTRÖM: Pflanzenbiologische Studien,

I. Die Anpassungen der Pflanzen an Regen
ming! AR NE Aen RO D MEER I RE EEE

. H. HILDEBRANDSSON: Sur la distribution des

éléments météorologiques antour des minima

et des maxima barométriques.........

. BERGER: Sur une sommation de quelques séries

E. ArescHoue: Observationes Phycologice,
P. IV, de laminariaceis nonnullis . . . . . .

Pag
1— 36.
1—12.
1—18.
1—92.
1— 67.
1— 31.
1— 31.
1—23.

I— VI.

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SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882

DANS LA VALLÉE DE SÄBY

C. G. FINEMAN.
AVEC SEPT PLANCHES.

(PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D’UPSAL LE 29 SEPTEMBRE 1882.)

UPSAL
EDY. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1883.

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SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882
DANS LA VALLÉE DE SÄBY.

Les trombes étant encore parmi les phénoménes étranges qui
attendent leur explication, tout ce qui peut contribuer à les faire con-
naitre-doit offrir un intérét particulier et cela surtout, si le lieu de la
scène est un pays où elles ne se montrent que rarement. Car il faut
s'attendre à ce que les causes du phénomène y paraitront comme des
extremes de l'état ordinaire de latmosphére et qu'elles se découvriront
ainsi plus facilement. C’est pourquoi l'on a été fort sensible à la nou-
velle qu'une trombe avait dévasté le 7 Juin 1882 la vallée de Süby située
dans la préfecture de Jönköping. M. le Professeur HILDEBRANDSSON, di-
recteur de l'Observatoire météorologique d'Upsal, qui se trouvait en congé
aux bains de Ronneby, chargea par télégraphe l'auteur de ces lignes de
se rendre à Säby aux frais du dit observatoire, pour y étudier le phé-
noméne aussi soigneusement que possible. Le télégramme me parvint le
12 au soir, et le 14 au matin j'arrivai au domaine de Säby, où les dé-
vastations de la trombe avaieut eu leur plus grande étendue. Je com-
meneal tout de suite mes travaux, qui ont été beaucoup facilités grâce à
Yobligeance et au concours actif de MM. les Barons A. et E. HERMELIN.

Mon travail avait surtout pour but, comme il arrive en pareilles
occurrences, de recueillir des récits de témoins oculaires — en les repro-
duisant, je me suis astreint 4 employer autant que possible les expres-
sions mémes de mes auteurs —, de mesurer la route suivie par la trombe
et de déterminer la position des arbres abattus et des batiments détruits.
Une carte détaillée efit été la base naturelle de mon travail, mais comme
il n’en existe pas, que je sache, pour cette localité, il m’a fallu recourir,
lors de ma première visite, A des cartes territoriales des domaines voi-
sins, ou, à défaut de celles-ci, à des esquisses des cartes que je dressais

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. ]

2 C. G. FINEMAN,

moi-même. Plus tard, je reçus de l'état-major une copie manuscrite de
la carte qui en a été dressée, à l'échelle de 1: 50000, et celle-ci ayant
été portée aux proportions de 20:6, je retournai encore une fois à Säby
pour rectifier mes observations et continuer la mensuration, dans les ré-
gions au N'du lae de Säby jusqu'à Asvallehult et au hameau de Tranås.
Les traces de la trombe devenant de plus en plus irrégulières, je ne
poussai pas plus loin la mensuration. L’intensité de la trombe avait
apparemment diminué en ces lieux et sa circonscription était devenue
plus vague, mais on la pouvait suivre encore sur les bords du lae de
Sommen, jusqu'au domaine de Tranas, à Norraby et à Torsudden; sur le
territoire de Boxholm, situé à environ 16 kilométres au N du cháteau
de Tranås, et à 5 kil. au N du bord septentrional du lae de Sommen,
on remarquait encore des traces de fortes perturbations atmosphériques.

I. TOPOGRAPHIE.

Pour éclairer ce qui va suivre, il ne sera sans doute pas inutile
d'entrer dans quelques détails topographiques.

La vallée dite de Säby, est formée par les déclivités du sol au-
tour du lae de Säby. Cette vallée se prolonge vers le nord par la vallée
de la rivière de Svartå, laquelle vallée s'allonge en zig-zag dans la di-
rection principale du SO au NE et s'étend à partir de l'angle NO à lO
par une vallée marécageuse d'environ 5 kilom. de longueur sur une lar-
geur. maximum de 1350 mètres.

Le lac est situé à environ 160 mètres au-dessus du niveau de la mer.
Il est entouré au $,à l'E et à l'O par des montagnes dont la hauteur varie
de 200 à 300 métres. Au N se présentent des montagnes généralement
moins élévées et moins escarpées, qui sont coupées par des vallons.

Les montagnes situées sur les bords E et S tombent à pic dans
le lac, mais le bord O est au contraire occupé par une grande plaine,
consistant surtout en ce qu'on appelle dans plusieurs dialectes suédois
»mader», c-à-d. des prairies marécageuses- gagnées en partie par l'abais-
sement du niveau du lae. Plus loin s’eleve brusquement jusqu'à une
hauteur de 300 mètres le Tempelberget avec ses ramifications.

A une distance de 2 et ® kilom. au SSO du Tempelberget, on
observera sur la carte le petit lac Wittingen, ot la trombe parait avoir
pris naissance.

Ce lac aussi est bordé du côté de l'E par une montagne assez
basse, mais trés escarpée. A l'O s'élève sur une largeur d'un kilom. une

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. 3

bande de terrain boisée et plus haute que le reste du terrain. Au $,
la vallée se poursuit en plaines basses qui, prés du rivage du lae, sont
marécageuses. Le bord N consiste prés du lac en prairies marécageuses
couvertes de mottes jusqu'à environ 250 métres du rivage, ou commence
une forét formée surtout d'arbres à feuilles. A 450 ou 475 métres plus
loin est située la terre de Lundarp, entourée au N par des champs cul-
tivés et des prairies, tandis que sur les autres cótés et jusque prés des
maisons s'étendent des páturages remplis d'arbres à feuilles. Le champ
cultivé a une étendue d'environ 180 mètres dans la direction du NNE,
ensuite on rencontre de nouveau la forét qui se poursuit presque sans
interruption jusqu'au pare du cháteau de Traneryd. Les montagnes cou-
rent ici presque dans la direction du S au N, elles sont plus élévées à
lO et forment au N et au NNE de Lundarp un plateau d'une largeur
de 250 à 300 métres, qui par une faible déclivité du sol se change en
une vallée ot sont situés les champs cultivés de Siggarp. Vers le N,
le plateau de Lundarp se poursuit par deux collines incohérentes dont
celle de l'E tombe à pic vers l'E. ‘Toutes les deux se confondent avec
les pentes occidentales du Tempelberget. Le vallon de Siggarp ou tombe
la dernière de ces collines a une profondeur d'environ 40 mètres. Il
débouche dans les champs cultivés de Siggarp et son bord E est
formé par une chaine de collines que j'appellerai Tranerydsas.

Comme le vallon n'a qu'une centaine de métres de largeur, il
forme une rigole étroite et profonde qui, dans la direction du S—N,
'sétend jusqu'au pied du Tempelberget. Mais plus on s'en approche,
plus le fond du vallon s'éléve, de sorte que la pente diminue.

Le Tranerydsas est assez large ici [150 métres environ] Au
milieu du plateau étendu se trouve un sillon peu profond et marécageux;
du côté de YE le plateau tombe à pie sur les prairies de Gjutstugan. Ce
sillon ne se transforme qu'en arrivant au Tempelberget, ou il devient
une rigole é:roite entre les deux moitiés de la montagne, dont celle de
YE seulement se poursuit plus loin vers le N, tandis que celle de l'O
finit au Tempelberget ou se confond avec cette montagne.

Le Tempelberget, qui est le point le plus élevé de toute la contrée
environnante, est formé par une colline qui, s'élévant à pic, tombe au
SO vers le vallon de Siggarp et s'enfonce au S au-dessous du niveau
du Tranerydsás. Il s'est ainsi formé un abaissement peu profond entre
la partie occidentale de celui-ci et le Tempelberget, lequel abaissement
aboutit aux deux vallées des deux cótés du Tempelberget. Le fond
s'élève pourtant assez pour que des deux côtés on ait des pentes très

4 C. G. FINEMAN,

fortes. Ce n'est que du cóté du nord que le Tempelberget s'abaisse-
doucement; à quelques centaines de métres de là, les différences du mi-
veau du côté oriental s'aplanissent, parce que le Tranerydsäs et la vallée
du cóté oriental du Tempelberget se confondent avec l'abaissement de-
ce dernier en un plateau élevé. La pente vers lE est encore considé-
rable prés du château de Traneryd, qui est situé au NNE du Tempel-
berget au pied du Tranerydsäs, bien qu'elle soit devenue plus douce qu'à
Gjutstugan, et qu'elle se transforme un peu plus au N vers le NE en
basses prairies et vers le N en un bas plateau doucement incliné vers.
lE. Un kilom. plus loin, elle s'éléve de nouveau en formant des décli-
vités abruptes vers VE et vers le N et forme en ce lieu la frontière entre
la contrée montagneuse et boisée et la division occidentale ci-dessus
nommée de la vallée de Säby.

La contrée la plus rapprochée du cóté de l'E est occupée jusqu'à
Traneryd par des champs cultivés et des prairies remplies d'arbres à
feuilles. Au delà de ces prairies, le sol se relève et est recouvert en
grande partie par une forêt assez épaisse. Le dernier abaissement in-
cliné vers les champs cultivés qui sont situés au-delà de cette forêt et
qui s'élévent peu au-dessus du niveau du lac de Säby, est escarpé, mais
ne dépasse guére 25 métres.

Le bord N du lae de Säby s'avance en formant un promontoire
(voir la carte) où est situó Åbonäs. Ce promontoire s'appuie sur des
vallées qui le limitent à l'E comme à l'O. La vallée occidentale, qui est
celle de la riviére de Svartå, et l'autre, dont la largeur est d'environ 275
mètres et dont le sol est marécageux, se rejoignent à Wriggebo. La pre-
miére est limitée à l'E par le plateau étendu ou sont situés Gummelycka,
Winterstorp et Tästås. Le sol s'élève entre les deux vallées à environ
50 mètres au-dessus de leur niveau. Quelques sommets du plateau at-
teignent une hauteur encore plus considérable.

happelons-nous en résumé que ce sont 3 laes, ceux de Wittingen,
de Säby et de Sommen, qui marquent respectivement le point de forma-
tion de la trombe, le centre de sa trajectoire et le point oü s'est dis-
soute la trombe, que tous ces lacs se trouvent en ligne droite du SO
au NE, qu'entre les deux premiers le sol est occupé par des plateaux et
des vallées, dirigées en général du S au N, et qu'enfin le lac de Sommen
communique avec celui de Säby par la vallée de la riviére de Svartå qui,
à Wrggebo, se divise en deux branches, aboutissant l'une.et l'autre au
lae de Säby.

=

SUR LA TROMBE DU 7 Juin 1882. 5

I. RÉCITS DES TÉMOINS OCULAIRES.

Comme il importe de connaître dans quelles circonstances les dif-
férents récits de cette trombe m'ont été communiqués pour en apprécier
la juste valeur, je crois devoir reproduire »in extenso» les propres paroles
de toutes les personnes dont je tiens des renseignements suffisamment
complets. Ce compte-rendu a été dressé autant que possible par ordre
chronologique.

Dans la paroisse de Frinnaryd au S du lae de Wittingen, le mé-
téore ne semble pas avoir été observé et d'ailleurs on n'y en rencontre
aucune trace. Rien donc n'indique ou n'autorise à croire à une relation
entre la trombe et un phénoméne analogue qui a été observé à 5 h. de
laprés-midi dans les paroisses de Barkeryd et de Jersnüs, situées à en-
viron 30 kilom. au SSO de Lundarp.

Le propriétaire de Lundarp, O.-A. GUSTAFSSON, raconta que le 7 juin
le temps était chaud et calme; du moins il ne put se souvenir d'aucun
courant d'air. Dans l'aprés-midi il tomba une pluie assez forte et móme
un peu mélée de gréle et du cóté du S on vit et entendit de grands
éclairs et des tonnerres. Quand la pluie eut un peu diminué G. se ren-
dit au lac de Wittingen. Il pleuvait pourtant encore »comme en général
quand il tonne» et l'orage se perpétua au S par de forts éclairs. A 4
heures G. arriva au lieu ou il travaillait, c'est-à-dire aux prairies maré-
cageuses, dont nous avons parlé, au N du lae et à la distance d'environ
150 métres du rivage et presque au niveau de la surface du lac. Des
nuages s'amoncelérent venant de l'O comme de lE, mais ils n'avaient
pas de formes particuliéres. Tout à coup G. entendit du cóté du lae
un »siflement violent» qui le fit tressaillir [il était baissé sur sa charrue]
et régarder d’où provenait le bruit. Il vit alors s'étendre sur la surface
du lae des nuages épais et sombres, qui la lui cachérent complétement.
Bien qu'ils arrivassent jusqu'à la région des nuages supérieurs, qui pa-
raissalent des nuages de tempéte ordinaires, épais et sombres, et bien
quils fussent un peu plus clairs vers le haut, ils s'en distinguaient pour-
tant par leur couleur obscure et »noire comme la nuit». Ils étaient mal
limités, mais se présentaient comme une colonne de fumée sur le ciel
clair qui leur servait de fond. Lorsque le sifflement se fit entendre pour
la première fois, l'air qui se trouvait au centre de la masse inférieure
des nuages les plus noirs s'échappa en haut et par secousses, comme »la
vapeur d'une locomotive», mais de sorte que cette masse d'air »lancée»,

6 C. G. FINEMAN,

»s'éleva quelques instants, puis s'étendit") quelque peu pour s'élever en-
core une fois avec rapidité en produisant un sifflement».

Aprés avoir regardé un moment comment s'élevaient »les érup-
tions», G. venant à jeter les yeux sur la partie inférieure de la colonne
de fumée observa que la colonne d'air s'agitait et se berçait en commen-
cant à tournoyer en sens inverse des aiguilles d'une montre, vue d'en
haut. Le tournoiment se fit en spirale, de bas en haut et un peu vers
l'intérieur. Au commencement il était assez lent, mais plus l'air montait,
plus s’accéléraient sa vitesse et sa rotation. Ainsi il se forma comme
un cornet avec la pointe en haut, le décroissement n'étant pourtant pas
trés grand.

A la formation du météore les nuages supérieurs paraissaient
s'abaisser vers les inférieurs, mais pour le reste G. n'observa pas leur
mouvement. |

La rotation se transmit alors à toute la colonne avec un fracas
épouvantable qui empécha d'entendre tout autre son, et G. se convainquit
que ce devait être ce qu'on appelle un »nuage attirant». »C’est pourquoi»,
dit-il, »je l'observais de. plus prés, car j'ai toujours trouvé un grand in-
térêt à ce qui s’est passé de remarquable autour de moi, cherchant à
considérer tout de prés».

Je lui avais laissé poursuivre son récit jusqu'à ce moment, ne l'in-
terrompant que pour lui adresser quelques questions destinées à éclaircir
son récit ou pour avoir plus de détails sur certains points qui me
paraissaient offrir un intérêt capital. Mais alors je lui demandai sl
n'avait rien lu on entendu dire sur ces trombes. Il répondit quil en
avait lu des récits à l'école de la paroisse et qu'un ami, qui en Amérique
avait vu des phénomènes semblables, lui en avait parlé.

Cette réponse, donnée dans toute sa simplicité, ne parut pas devoir
donner lieu à supposer que les observations de G. eussent été influencées
par quelque récit sur la formation des trombes, exposée spécialement
selon les idées de M. Reyer.

La pluie continuait au moment de la formation de la trombe, et
5 minutes encore avant cette formation G. vit un éclair au S où il ton-
nait violemment. Par contre, lors de la formation de la trombe, G. ne
vit pas d'éclair ni aucun autre phénomène lumineux, comme des étincelles,

1) Sur ce détail G. ne pouvait donner des renseignements tout à fait stirs,
mais »il me semble», a-t-il dit, »quand je me rappelle les autres faits, qu'il s'est
passé ainsi.

SUR LA TROMBE DU 7 Juin 1882. fi

des lueurs bordant les nuages etc. G. pensait qu'il s'était écoulé deux
minutes depuis ses premières observations sur »le sifflement» jusqu'à la
formation du cóne mutilé. Là-dessus ce cóne tournoya quelques instants
en se plaçant sur la surface du lac, tantôt d'un côté, tantôt de l'autre,
puis s'élevant un peu il paraissait attirer l'eau du lae sous la forme de
rayons clairs. G. ne sut pourtant pas bien déterminer si ces rayons
étaient formés ou non d'eau, car bien que l'air fåt un peu plus clair
quauparavant prés du sol, il était encore si chargé et obscur (»proba-
blement à cause de la vase, etc. attirée par le nuage») que c'était à peine
si l'on pouvait découvrir la surface du lac. Lä-dessus la colonne s’avanea
en l'air sans remuer l'eau, et les rayons clairs disparurent. En avaneant,
la colonne changeait peu à peu de forme et s'élargissait en haut plus
quen bas. Ainsi elle se trouvait au N au-dessus de la terre vers la-
quelle elle s'abaissa de nouveau lentement pour s'y attacher et arracher
de la mousse, des souches, etc. Elle se transporta ensuite cà et là en
faisant des zig-zags. Ce ne fut qu'alors que G., effrayé, se cacha derrière
une grande souche. La trombe passa tout prés de lui et il erut constater
que l'air de la trombe était plus froid que l'autre. Le mouvement s'étant
prolongé pendant 5 ou 6 minutes, la trombe se dirigea davantage vers
le NNE avec une rapidité plus grande.

Àu commencement, le cóne n'avait qu'une quinzaine de métres de
diamètre à sa base, et il conserva cette largeur en touchant terre. Mais,
savan¢ant en zig-zags la trombe augmenta en hauteur et en périphérie,
de sorte, qu'en arrivant à la forét, elle avait acquis »la largeur d'un clocher,
dont elle surpassait méme un peu la hauteur»). Sur le passage de la
trombe, les bouleaux furent couchés jusqu'à terre et les sapins se brisèrent
comme des cannes.

Aprés la trombe, un calme complet se rétablit, la pluie s'arréta et
le soleil apparut entre les nuages. Deux heures plus tard, la pluie re-
commeneait. L'orage passa directement vers Lundarp et G. se hata
d'aller voir ce qui était arrivé et ce qui était advenu des gens de Lundarp.
Il perdit de vue là colonne, avant qu'elle eát atteint le Tempelberget.

Les habitants de Lundarp racontent comme tous ceux à qui j'ai
pu parler, que ce jour-là il avait fait une chaleur accablante et étouffante
et que l'orage les surprit subitement, les enveloppa entièrement d'obscu-
rité et parut vouloir renverser la maison. Un enfant, saisi par la tem-
péte, fut lancé à une grande distance dans la direction du S au N.

1) La hauteur du clocher de l'église de Säby paraît être à vue d'oeil d'environ
30 mètres.

8 C. G. FINEMAN,

Le propriétaire de Siggarp, W. SAHLSTEDT, s'était occupé dans
laprés-midi d'arranger une haie sur une colline à l'E des champs cultivés
de Siggarp, avec l'aide d'un valet. Contrairement à ce qui se passait à
Lundarp,la pluie était si faible qu'elle ne pénétrait pas sa veste mince.
Au S,il faisait de grands tonnerres et tout à coup on entendit un gron-
dement terrible précédé d'un éclair et trés rapproché comme sl était
tombé. Au méme moment un nuage s'approcha, veuant du N; du cóté du
S au-dessus du lae de Wittingen, on voyait un autre nuage noir qui amena
aussi des détonations, et ces deux nuages s'étant rapprochés, le tourbillon
se forma soudainement. S. était trop éloigné pour rien voir du mouve-
ment interne du tourbillon, sinon que des objets furent lancés trés haut
en l'air, y montant et s'abaissant comme s'ils avaient été »dans une
marmite bouillante». La trombe monta dans le sens du NNE en déraci-
nant surle territoire de Lundarp des sapins entiers ou en enlevant leurs
cimes qui furent lancées en l'air et emportées au-dessus du Tempelberget.
La mousse arrachée aux pierres, ainsi que les branches des arbres, obs-
curcirent le Centre du tourbillon‘). S. n'avait pas observé de phéno-
mènes électriques. Pendant sa marche au travers des forêts de Lundarp
et de Siggarp vers le Tempelberget, la colonne de nuages avait partout
la méme largeur.

Si l'on en excepte G. et S., les quelques personnes qui s'étaient
apercues de la trombe avant son arrivée au Tempelberget n'avaient pas
grand'ehose à en dire; car elles avaient été saisies d'une telle frayeur
que tout ce qu'elles se rappelaient, c'était que la colonne avait eu par-
tout la méme largeur et une couleur noire comme le charbon.

Citons parmi les récits de ces personnes celui du fermier J. GRAN
et de sa femme habitant une petite cabane sur le Tempelberget, qui ra-
contèrent que lorsque la trombe fut arrivée sur la montagne, elle se pré-
cipita en bas avec rapidité en abattant les arbres qui tombaient comme
le blé sous la faux. Ils n'observérent ni éclairs ni aucun autre phéno-
mène lumineux; ils n'entendirent pas non plus de tonnerre pendant le
passage de la trombe, »mais il était possible que le tonnerre existát réel-
lement et qu'il fût assourdi par le bruit de la tempête ou le fracas des
arbres qui tombaient». Les observations nous font dés lors défaut jusqu'à
Traneryd parce qu'au moment du malheur, personne heureusement ne se
trouvait dans la forêt intermédiaire.

v N = : : =
1) C'est là une conclusion et non une observation directe, comme on le voit.

SUR LA TROMBE DU 7 Jum 1882. 9

Le forgeron A. JANSSON était dans la forge de Traneryd, lorsqu'il
vit au Kalfhagen la trombe s’avancer directement du Tempelberget à
Traneryd. Il la décrivit comme haute, noire et ayant partout la méme
largeur. Elle balayait la terre et le mouvement se fit par secousses.
L'ouragan, aprés avoir enlevé les toits du cháteau et de ses dépendances,
les lança en haut avec une vitesse vertigineuse et les fit tournoyer en
sens inverse des aiguilles d'une montre. La trombe mit environ 5 mi-
nutes pour arriver du Kalfhagen à Süby. Une demi-heure environ avant
son arrivée, un violent temps d'orage prolongé, accompagné de tonnerres
et d'éclairs nombreux avait passé du S au NO suivi d'une averse courte
mais forte et mêlée d'un peu de grêle. En même temps le forgeron
C.-J. JOHANSON qui était dans la petite cabane prés de la forge, observa
qu'un nuage venant du SE s’avançait avec rapidité pour s'abaisser presque
aussitót vers la terre qu'il atteignit sur le chemin »non loin de la pente de
la remise, et qu'il balayait la terre de manière à n'y pas laisser le moindre
grain de sable». Sur la pente de la remise, ce nuage en rencontra un
autre qui semblait étre venu du Tempelberget. En se heurtant, ils com-
mencérent à tournoyer dans un sens inverse des aiguilles d'une montre.
Le nuage venant du SE arriva un peu avant l'autre. Aussitót que fut
passé ce premier météore que J. avait pris pour l'essentiel, il sortit et
se rendit vers l'aire. Il trouva alors la température du courant d'air
qui l'entourait bien basse, en comparaison de ce qu'elle avait été aupara-
vant. Mais il observa au-dessus de Traneryd la vraie trombe au de-
vant de laquelle paraissaient aller les nuages venant du N; le tour-
billon nommé ci-dessus s'y réunit également. Sa description de la trombe
concordait complétement avec celle que nous venons de citer. Au-dedans
de la masse des nuages on entendit un »son sifflant» qui décroissait et
se renouvelait alternativement.

Quatre personnes travaillaient dans l'aire. Le bruit général et celui
des arbres qui tombaient attirèrent pour la première fois leur attention,
et lorsquau méme moment la porte fut poussée à l'extérieur par la
pression de l'air, elles accoururent pour la retenir; mais elles aperçurent
en méme temps que la maison commençait »à se tourner et à se bercer».
Elles allérent instinctivement se cacher sous une machine à battre le blé
et échappérent ainsi à la mort qui les eût attendues sous les ruines de la
maison qui s'éeroula. Après être sorties avec peine des décombres, elles
virent la trombe sur les »maders», mais ne s’apercurent pas qu'il faisait
des éclairs au dedans de la trombe. Un calme complet s'était rétabli.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 9

10 C. G. FINEMAN,

Des ouvriers occupés à cultiver la terre au N du parc, aussi bien
que ceux qui travaillaient aux »maders», furent surpris par la trombe.
Leurs récits concordent presque complètement; il suffira done d'en
transcrire le plus complet que je tiens du fermier A. Anpersson. Étant
aux »maders» prés du presbytére de Säby, il n'observa la trombe que
lorsqu'elle fut à côté du Tempelberget et derrière le Tranerydsäs. Vus
de loin, les nuages paraissaient tournoyer. La trombe venant ensuite
droit à lui, enleva le toit du chateau de Traneryd en le faisant tour-
noyer du S à l'O. Elle était moins large à la base qu'au sommet, tout
à fait noire à l’intérieur, mais plus claire à IE qua l'O. ANDERSSON
n'avait pas observé de phénomène lumineux, ni à l’intérieur, ni sur les
bords de la colonne. Comme ses camarades, il s'était jeté la face contre
terre lorsque la trombe passa au-dessus d'eux. Ils n'en conservèrent
aucun souvenir, si ce n'est qu'ils avaient éprouvé un vent violent qui
voulait pour ainsi dire les soulever en l'air. ANDERSSON ne croit pourtant
pas que la trombe passant au-dessus d'eux, ait effleuré la terre, parce
qu'alors elle les aurait saisis avec plus de force. Ceux qui se trou-
valent dans les champs au N du pare furent lancés en l'air par soubre-
sauts, bien qu'ils se fussent jetés, eux aussi, contre terre et qu'ils eussent
essayé de se retenir à des mottes ou à tel autre objet. Tous s’accor-
dent à dire quil leur semblait que la trombe aprés avoir dépassé déjà
le cháteau de Traneryd avait fait un détour pour y revenir encore une
fois »comme si elle n'avait pas achevé son travail, et qu'alors elle détruisait
tout». Avant comme aprés le passage de la trombe, la plupart des nuages
paraissaient se diriger dans le sens du SSE au NNO. Le faible courant
d'air qu'on observait pendant la journée, venait à peu prés du S.

Le valet C. Srrom qui, de la serre de la vigne contemplait la des-
truction, compara la trombe à une toupie tournant de droite à gauche.
Il n'avait pas entendu de tonnerre au passage de la trombe, mais peu
auparavant il avait entendu des roulements au SO et puis à IE. Apres
la trombe il tomba un peu de pluie. Le météore conserva la forme
d'un cône renversé, encore lorsqu'il s'approcha de l'église de Säby.

L'ouvrier Brink observa de son domicile, situé à l'extrómité sep-
tentrionale du lae de Säby”), le passage de la trombe au travers de toute
la vallée. Il décrivit ainsi la premiére apparition de la trombe. Quelque
part au S. deux nuages semblaient aller au devant l'un de l'autre, l'un
venant du SSO, l'autre du SE. Dans le premier il tonnait, et non dans
le dernier. Lorsqu'ils se rapprochérent il se fit entre eux une ouverture

1) Voir la carte générale. Pl. IV.

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. i

lumineuse où brillait le soleil. Les deux nuages s’infléchirent alors
en bas, puis vers l'intérieur, ensuite en arrière pour remonter enfin en
haut, et le mouvement se poursuivit ainsi tout le temps. [B. essaya dil-
lustrer ce mouvement en rapprochant les deux mains l’une de l’autre.
Il les tenait horizontalement, l'extérieur tourné du côté de la terre et les
doigts d'une main en prolongation de ceux de l’autre. Lä-dessus il in-
fléchit les mains en bas à angle droit, les paumes vis-à-vis l'une de l'autre,
et les baissa en les tournant de maniére que les dos des mains étaient
tournés vers sa personne, ensuite il courba les mains en les avançant
en are, de sorte que les paumes regardaient sa personne et décrivaient
enfin un petit are de droite à gauche].

Les nuages s'élevant de nouveau, ils entrérent dans la trombe
elle-même qui s'était formée entre eux, et continuérent ainsi à tourbillonner
avec elle pendant toute la durée de lorage. Lorsque la trombe s’avanga
au-dessus du lac, des rayons s'échappant des bords de la trombe se rap-
prochèrent du lac, en »formant quelque chose que je pourrais comparer à
une main tenue en bas les doigts étendus». Quatre fois, pendant sa
marche au-dessus du lac, des éclairs tombérent dans l'eau, sortant. le
long des bords de la trombe, et toujours des deux cótés à la fois. Le
méme phénomène se répéta pendant la marche de la trombe vers Äbonäs').

Ces éclairs ne brillérent que lorsque la trombe fut au-dessus du
lae, on n'entendit pas de tonnerre, probablement à cause du bruit que
faisait l'ouragan, qui aurait empéché d'entendre ce son aussi bien que le
bruit des arbres qui tombaient. Au-dessus du lac la trombe avait un
diamétre de 150 métres et semblait plus claire en haut, »le soleil éclai-
rant probablement le sommet de la colonne» Au moment méme ou la
trombe passa en face de l'endroit où se trouvait B., la grêle commença
et continua ainsi quelques instants; elle était surtout intense lorsque la
trombe se fut déjà un peu éloignée. Les grélons qui étaient souvent
assez gros venaient obliquement de la méme maniére que »lorsqu'un
grain de blé est lancé au dehors par une meule tournante» et frappèrent
les vitres presque horizontalement. La trombe était trés haute, et lorsqu'elle
se fut assez éloignée pour qu'on püt la voir à distance, on observa
des nuages plus clairs dans la partie supérieure »oü se remarquait un
bouillonnement». B. ne put voir ce qui se passait à l'intérieur de la
masse des nuages.

1) Ces renseignements sont douteux, car aucune autre personne n'a rien vu
de sembable, et à Åbonäs on n'a point observé d'éclair pendant le passage de la
trombe au-dessus du lac, bien qu'en ce lieu ces éclairs aient dû paraître presque au
milieu de la face antérieure de la trombe, si les observations de B. étaient justes.

12 C. G. FINEMAN,

La plupart s’accordent à dire que, pendant le passage de la trombe
à travers la vallée, il régnait un calme complet sur ses deux côtés. C'est
ce qu'on affirma à Trekanten et à plusieurs autres endroits.

Le souffleur d’orgues O. WaLLIN raconta aussi qu'au 8S. 3 nuages
se heurtérent et formérent un tourbillon. Caché d'abord en grande partie
par le Tempelberget, il passa au-dessus dans la direction de l'église de
Säby. Le tourbillon était alors plus large en haut] qu'en bas et la rotation
se fit de l'O à l'E, en passant parle S. On vit la foudre tomber aux »maders».
Près de l'église, B. fut atteint par un vent froid qui le renversa dans la
direction du S au N. A Traneryd le tourbillon se divisa en deux branches
qui se dirigerent toutes deux à l'E de l'église, mais l'une à une plus grande
distance de celle-ci que l'autre, pour se réunir de nouveau au-dessus du
lac prés du rivage. La colonne ainsi formée, qui avait une hauteur d'en-
viron 200 métres sur un diamétre d'environ 50, absorba l'eau de sorte
que W. put découvrir le fond du lae sur une grande distance, aprés quoi .
elle se rapprocha du sol à Âbonäs. L'ouragan passa lentement au-dessus
du cimetiére tantót rasant la terre, tantót dans les hauteurs. Tandis que
la trombe »gambadait ainsi en avant» la foudre éclatait tout le temps à
l'intérieur; on n'entendit pas de tonnerre mais seulement un pétillement.
Lorsque l'orage passa au-dessus de lui, W. sentit une odeur étrange,
aigre comme celle du soufre. W. n'apereut rien de l'autre tourbillon, avant
quils se fussent réunis en un seul. |

La veuve Vir raconta que les nuages qui paraissaient se heurter
avec une grande violence prés du Tempelberget, infléchirent réciproque-
ment leurs bords attaquants vers la terre, aprés quoi la trombe sembla
s'élever vers les nuages comme une colonne de fumée montante et tour-
billonnante. Tantót la fumée s'élevait, tantót elle s'abaissait. Aux envi-
rons de Traneryd la colonne se divisa en 3 colonnes dont lune, plus
grande et noir foncé, précédait les autres dont la couleur était plus
claire. Elles se réunirent pourtant de nouveau prés du lac, et ce ne fut
qu'alors que la trombe lui parut s'étre amalgamée complètement avec les
nuages. Elle se présentait sous la forme d'un triangle à base renversée;
ses bords étaient clairs, le centre noir et »rempli de mille étoiles étince-
lantes» — vraisemblablement des morceaux de verre qui étincelaient
lorsqu'ils étaient lancés en l'air —') et elle attirait l'eau en clairs tourbillons.

A Abonäs on me décrivit la trombe presque de la même manière.
De lå elle avait apparu au-dessus de Traneryd comme un tourbillon de

1) Remarque de WALLIN et de la famille de M. le capitaine ÅBERGH, qui ha-
bite Abonäs.

Sur LA TROMBE DU 7 Juin 1882. 13

fumée qui enveloppait tout le cháteau, d'abord flottant vaguement, puis
prenant peu à peu des limites déterminées. En arrivant au bord du lac
elle parut s'y arréter quelques instants, se limiter et prendre la forme
d'un cône renversé fort pointu, ayant une hauteur de 300 à 400 mètres
sur un diamètre de 50. Elle s’avança lentement au-dessus du lac dans
la direction d’Äbonäs. Tout cela se passait au milieu du silence le plus
complet, et on n'entendit du bruit que lorsque la trombe eut atteint le
corps de logis et que les arbres commencèrent à tomber. A son passage,
elle s'infléchit vn. peu à IE de la maison. Toutefois à Vaile gauche, elle
enleva le toit et chassa à l'extérieur les portes et les vitres. Le toit fut
lancé dans la direction du S—SE—E—NE et tomba à terre à l'ENE
de la maison. La trombe mit environ 15 minutes à traverser le lac de
Säby et à arriver à Aboniis. Immédiatement aprés son passage, le temps
était redevenu calme et serein. Il ne pleuvait plus, ni ne grélait, et la
température semblait s'étre abaissée, au lieu qu'auparavant la chaleur avait
été étouffante.

M. le capitaine Ägerem dit avoir observé par des marques sur les
pierres au bord du lac, que le niveau s'en était abaissé d'un mètre après
l'apparition de la trombe.

Les récits qu'on me communiqua à Hjelmaryd, Wriggebo, Åsvalle-
hult et dans plusieurs autres localités, concordent avec les précédents
sans rien ajouter de nouveau. Le propriétaire d’Asvallehult avait observé
que les nuages supérieurs marchaient dans le sens du NNE. En face
du hameau de Tranås, la trombe parait avoir été accompagnée de plu-
sieurs tombillons secondaires, s'il faut en croire quelques récits, selon
lesquels elle aurait passé comme une colonne de fumée aux bords clairs,
accompagnée de plusieurs autres colonnes. En touchant à la riviére de
Svartå elle attira plusieurs colonnes d'eau »hautes comme des arbres».
Lorsqu'elle se fut un peu éloignée, il tomba à Tranås des grélons aussi
gros que des noisettes, qui se transformérent ensuite en averse. Ici le
météore avait été précédé d'un fort tonnerre et d'un peu de gréle.

Des renseignements de Gripenberg, de Källaryd, de Snällebo et
de Göberg racontent qu'il y est tombé de la grêle très forte par places
— à Göberg les grélons étaient »si nombreux qu'on pouvait en remplir
ses mains pour en faire des boules de neige». Par contre à l'E de la
trajectoire, à Gummelycka et à Winterstorp plusieurs personnes sont una-
nimes à déclarer qu'il n'y est pas tombé de grêle. C'est probablement
sur les bords du Sommen qu'on peut recueillir les derniers renseigne-
ments sur la trombe de Säby. Mais ces renseignements font croire

14 : C. G. FINEMAN,

seulement qu'il n'y a eu que de violents courants d'air, qui ont provoqué
des tourbillons. La perturbation atmosphérique n'y a guére apparu
comme une trombe véritable.

II. OBSERVATIONS SUR LES TRACES DE LA TROMBE.

Pour avoir une idée générale de la trajectoire, on pourra dire
qu'elle est formée d'une ligne allant du SSO au NNE et se courbant
faiblement vers l'O. Partant des environs du lae de Wittingen, elle passe
par Lundarp, Tempelberget, Traneryd, le presbytére de Säby (prés de
l'église), Abonäs, Wriggebo, Asvallehult, pour arriver au domaine de
Tranås et au lae de Sommen. La largeur du territoire dévasté varie
considérablement, entre environ 50 à 750 métres. Les autres circons-
tances sont aussi trés variées. Mais les récits concordants des témoins
oculaires, aussi bien que la position des arbres abattus et des décombres
de maisons qui ont été lancés, tout prouve qu'au dedans de la trombe,
outre le mouvement de translation, il a aussi existé tout le temps un
mouvement de rotation dans une direction »positive».

Entrons dans quelques détails plus circonstanciés.

Un peu au N du lae de Wittingen on découvre les premières
traces de la dévastation de la trombe. Sur une assez longue distance,
un demi kilom. env., elles ne sont que sporadiques, et ce n'est qu'à Lun-
darp qu'on peut suivre la trajectoire du centre. Cette trajectoire court
de là en ligne trés peu courbée vers le N et le NNE, jusque sur les
limites du plateau de Lundarp, aprés quoi elle s'infléchit et se poursuit
vers le NE obliquement au-dessus du promontoire qu'on y rencontre, à
travers le vallon de Siggarp pour arriver sur le Tranerydsás. [Voir Pl. I].
Ce ne fut qu'arrivé à 300 ou 400 mètres au N de Lundarp qu'on put conclure
d'aprés les traces laissées, qu'une trombe y avait passé. Le long de la
trajectoire, les arbres sont abattus dans le sens du N, sauf quelques
exceptions qui pourraient s'expliquer par des circonstances spéciales.

Si l'on admet l'hypothèse d'un mouvement gyratoire au-dedans de
la trombe, et qu'on applique cette hypothése aussi à cette partie de la
trajectoire, la route du centre est déterminée par la ligne de la frontière
occidentale du terrain dévasté, et la position des arbres abattus s'explique
plus facilement ainsi, que par la supposition d'un courant d'air du S ou
d'une trombe sans aueun mouvement gyratoire. La position s'expiique
par la différence de vitesse de chaque cóté de la ligne centrale, et par
les différents mouvements dans le demi-cercle oriental de la trombe. Si

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. 15

une trombe venait à passer par une forêt, où les arbres auraient À peu
prés la méme hauteur, on pourrait peut-être trouver ainsi un chiffre ap-
proximatif plus stir pour la vitesse dans l'intérieur de la trombe, que celui
que l'on communique en général, à supposer que la vitesse de sa trans-
lation fåt connue approximativement. Ici la chose était impossible parce
qu'on ne pouvait obtenir des données chronologiques, pas même ap-
proximatives.

Sur une distance de 250 mètres à la suite, on retrouva les cir-
constances qui se présentent ordinairement au passage d'une trombe.
Le mouvement de translation parait pourtant l'avoir emporté sur celui
de la rotation, vu qu'en général les arbres sont tombés dans le sens de
la trajectoire, ou à angle droit sur elle. Il vaut peut-être la peine d'ob-
server que sur le bord E les arbres sont couchés davantage dans la
direction du SE—NO ou SSE—NNO, tandis qu'à l'O ils le sont presque
toujours de l'O à VE’). Sur cette distance de 250 mètres la relation
était de 8:5 entre les largeurs des cótés droit et gauche, partout ou
l'on pouvait la mesurer avec une assez grande précision.

En s'approchant du bord du plateau de Lundarp, la trombe s'est
un peu détournée vers le N et a suivi le bord de ce plateau. Sur la
pente méme [Voir PI. I] un tourbillon secondaire semble s'étre formé, qui,
allimenté par l'air échauffé et humide venant de la vallée, s'est élargi con-
sidérablement, de maniére à dépasser bientót le premier tourbillon par ce
fait, que l'air apporté possédait probablement un »composant vertical» plus
grand que lair du tourbillon qui s’avancait encore sur le plateau. C'est
ce qui nous permet de croire à un brusque détour vers VE, que le tour-
billon original aurait fait en s'unissant au secondaire, aprés quoi ils au-
raient continué ensemble leur chemin.

La vitesse parait avoir été terrible, du moins sur les 120 métres
les plus rapprochés sur le promontoire, car les arbres y étaient couchés
cóte à cóte du SO au NE dans une trouée de 105 métres de large. Un
seul arbre, assez chétif, au milieu de la trouée, était couché dans un sens
parfaitement opposé.

Lorsque la trombe fut arrivée dans le vallon de Siggarp, ses traces
montrent évidemment que sa rotation intérieure a été dirigée dans le
sens positif.

1) Voilà des faits analogues à ceux qui ont été observés par M. H. H. Hıror-
BRANDSSON — Voir »Sur la trombe près de Hallsberg le 18 Août 1875». Acta Soc.
Reg. Ups.

16 C. G. FINEMAN, 2

Limitée par les deux plateaux paralléles, sur le long des pentes
respectives desquels l'air a été attiré en bas et a abattu les arbres, les
cimes dirigées en bas dans la direction de l'E—O ou O—E, la trombe
a été pour ainsi dire poussée en avant et au N le long du vallon, en
prenant la direction du NNE. Son mouvement intérieur a été accéléré
probablement pour avoir rencontré de l'air chaud et humide, et ainsi
toutes les circonstances typiques des dévastations des trombes se sont
présentées. La relation dans les largeurs des cótes gauche et droit était
ici de 5:3 donnant ainsi les mémes résultats à peu prés qu'auparavant.

Le Tempelberget parait avoir entravé le progrés de la trombe,
car elle s'y infléchit de nouveau, s'élevant dans le petit abaissement entre
la partie occidentale du Tranerydsås et le Tempelberget, se poursuivit
ensuite sur la pente orientale de cet abaissement, s’avanca obliquement
au-dessus de la vallée pour. remonter le plateau et le suivre au NNE
droit au Traneryd. A ce passage encore il semble que la vitesse dans
la trajectoire ait été considérable.

Ua fait assez remarquable et bien visible, c'est que le long des
vallons latéraux, lair a afflué avec une grande rapidité aussitôt après
que la trombe eut passé devant leurs débouchés, ou qu'elle fut de-
scendue dans une vallée. C'est ce qui parait surtout dans les deux
vallées à l'O du Tempelberget et à l'O du plateau, du côté occidental du
vallon de Siggarp.

La position des arbres abattus, prouve jusqu'à l'évidence, cet afflux
de l'air le long du Tranerydsás et de ses pentes. C'est encore cet afflux,
qui en enlevant la toiture de paille à un bâtiment à Gjutstugan, la lança
dans la direction du N—NO.

La trombe ayant atteint la pente du plateau, à peu près au milieu
du Tempelberget et de Traneryd, s'est étendue sur un territoire plus
vaste qu'auparavant. Les circonstances présentent les mêmes partieula-
rités qu'auparavant sur tout cet espace, qui est de 700 métres environ;
au milieu de la trajectoire de la trombe, [Voir Pl. II] les arbres sont cou-
ches dans la direction du S—N ou du N—S; la première alternative s'est
présentée du côté oriental de la ligne centrale, la seconde du côté occi-
dental. Sur le bord occidental du terrain dévasté, ils sont couchés dans
la direction de l'O à l'E; sur le bord oriental dans la direction du SE
au NO, ou quelquefois de l'E à VO.

Un examen attentif semble prouver, que la trombe s'est avancée
par secousses, c.-A-d. avec une rapidité variable; ainsi s'expliqueraient
d'une manière simple les irrégularités dans la position des arbres, même

SUR LA TROMBE DU 7 Juin 1882. Jm

lorsqu'ils sont couchés, comme c'est une fois le cas, de manière à former
un cercle presque complet. [Pl. IT. A). Il faudrait done admettre que la
trombe s'y est arrétée un moment, et cette conclusion serait corroborée
par les observations du forgeron A. Jansson. [Voir pag. 9). Ce n'est pas
dans la nature du terrain qu'on aura à chercher l'explication de ce fait, vu
qu'elle est la méme dans tous les lieux dont il est question, à en juger
du moins d'aprés les apparences.

La trombe aura ensuite continué sa route sur la pente jusqu'au
pare de Traneryd, sous un violent afflux de l'air des prairies situées
plus bas. Puis elle aura parcouru les premiers 300, mètres dans le parc
avec une grande rapidité. Le sol de ce pare est fort humide et criblé
de petits étangs; aussi des masses d'air d'un degré de chaleur trés élevé
et d'un faible poids spécifique, s'y sercnt-elles précipitées vers la trombe
qui, en conséquence, a atteint sa plus grande intensité ici dans ce parc.

Les arbres prennent à ces endroits une position trés remarquable.
A peu prés au milieu du pare [Pl. III] il y avait un monceau d'arbres
sens dessus dessous, et disposés de
telle sorte que ceux d'en bas (A)
[voir le plan ci-joint] étaient dans N
la direction du SO au NE, ceux d'en
haut (B) dans celle du SSE au NNO,
ensuite de l'ENE à l'OSO, (C), puis
du SSO au NNE (D) et aprés de
PESE à l'ONO (E). Enfin un sapin
déraciné (F) avait été lancé sur le
sommet du monceau dans la direc-
tion de YOSO à l'ENE. On trouva
ce monceau prés du bord occidental |
d'un espace qui avait un diamétre de E
35 metres, ou les arbres étaient dans
la direction du SSO. Des deux cótés
de cet espace,les arbres étaient couchés comme s'ils avaient été abattus
par deux tourbilons aux gyrations diverses. Plus loin, tout prés du
chateau de Traneryd, les arbres sont de nouveau couchés de maniére à
former un cercle complet, avec deux arbres abattus au milieu en sens
opposé l'un de l'autre. Un peu au NO de Vaile gauche du château on
rencontre un bouleau dont le diamétre était de 35 cm. à la hauteur de
]a poitrine d'un homme, et qui était couché dans la direction du SSO
au NNE. Il avait été tordu et avait fait au delà d'un tour sur lui même

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

|
|
|

18 C. G. FINEMAN,

avant sa chute, les racines étant restées dans le sol, contrairement à ce
qui était arrivé pour la plupart des autres arbres. La manière la plus
simple d'expliquer ees circonstances sera, sauf erreur, la suivante:

Dans le pare l'air, dont le poids spécifique était déjà fort peu
considérable, entre lors de l'arrivée dela trombe sous une pression moins
forte, ce qui, joint à sa propre qualité, lui donne un composant vertical
de vitesse d'une grandeur considérable. Comme toujours, lorsque le mou-
vement vertical intérieur d'une trombe acquiert une vitesse plus grande,
la trombe se rétrécit; ici le diamétre s'est également amoindri et s'est
réduit jusqu'à 35 métres. Ainsi limitée,la trombe parcourt les 100 métres
suivants avec une trés grande vitesse. Les arbres qui sont indiqués
(A), tombent. Les effets de la trombe sont alors ceux d'un violent courant
d'air, et des deux cótés il se produit des tourbillons; l'un, du cóté occi-
dental, avec une rotation positive, l'autre, du côté oriental, avec une
rotation négative.

Le premier de ces tourbillons abat (B—B) et linstant aprés (C)
tombe. Nourri par l'air qui afflue à la suite de la trombe, il s'élargit et
forme une trombe indépendante, s’avançant ensuite plus au N ou ANNE
[((D—D) et puis (E) tombent.) Apres son passage (F) est lancé sur le
monceau. L'autre tourbillon ayant une gyration opposée à la direction
générale s'efface.

Pendant ce temps la trombe originale s'est arrétée un moment
à gauche, et trés prés du corps de logis, (peut-étre parce que la trombe
secondaire a sucé l'air), aprés quoi l'une et l'autre trombes s’entortillent
à gauche, trés prés de ce point d'arrét. On ne doit pas s'étonner qu'à
cause des effets de ces deux centres d'attraction, l'air ait afflué violem-
ment de tous les cótés, et qu'aprés leur formation la largeur du terrain
dévasté se soit ainsi. accrue soudainement. La plupart des arbres qui
peuvent encore rester, sont alors abattus, mais dans une direction qui
ne s'aecorde que mal avec celle des arbres tombés de leur côté. Ainsi
par exemple, on s'explique que les arbres à l'angle SE du pare sont
couchés, tantôt dans la direction du SE, tantôt de l'E à l'O; ceux-ci sont
tombés sous l'influence de la trombe originelle, ceux-là plus tard.

Réunie à la trombe secondaire, la trombe parait avoir continué
sa route vers l'ENE puis vers le NNE. Le centre de la trombe aura
passé sur la route publique, à peu prés au coin NE du parc. Ce fut alors
que les arbres de l'avenue du cháteau tombérent à leur tour; et les gros
arbres séculaires, au coin NE du pare, le plus prés de la grande route,
qui ont bravé encore la fureur de l'ouragan, tombent alors dans la direction

SUR LA TROMBE DU 7 Jum 1882. 19

c

à peu prés de l'OSO à l'ENE, lorsqu'ils sont attaqués du côté où, par
la ehute des arbres environnants, leurs racines arrachées et mises à nu,
ne pouvaient offrir l'appui ordinaire.

La position des arbres de l'avenue est parfaitement réguliére.
Remarquons pourtant que le dernier arbre abattu était le plus élevé de
cette partie de l'avenue. Sur lespace de 60 métres, qui s'étend entre
cet arbre et l'arbre abattu le plus rapproché, les arbres restérent com-
plétement intacts.

A environ 100 métres à IE de la route publique, à l'endroit où
elle est le plus prés de Traneryd, le sol consistait en champs de blé,
lequel était trop peu avancé pour qu'on y pût découvrir des traces du
mouvement intérieur de la trombe. Les pointes des feuilles des pousses
du seigle avaient pourtant partout jauni et avaient été lacérées. Dans
le jardin de Traneryd, il y avait méme des plantes de raifort abattues
par terre tournées vers le S—N. (PI. III. G]. Sur un espace pierreux cou-
vert d'arbres peu élevés, au milieu dés champs dont nous venons de par-
ler, et de l'autre côté de ces champs, où court un monticule boisé, les arbres
étaient couchés dans la direction du S—N, et sur le bord E dans des di-
rections qui étaient à peu près celle du SE au NO ou méme de l'E à l'O.
La trombe aurait débouché sur les champs, aprés étre sortie de l'angle NE
du pare, comme nous l’avons dit, puis aurait dévié vers le NNE au milieu
de la grande route et de l'espace pierreux susmentionné, en broyant une
grange par où elle a passé.

Par contre on ne saurait donner la véritable explication de la
position de plusieurs arbres, tombés d'une maniére isolée, prés de la
grande route, [voir Pl. II], à environ 750 mètres au S de Traneryd, les-
quels arbres étaient tombés, tournés du SO au NE, del'OSO àl'ENE, et
de O-àA-l E.

Ces circonstances, ainsi que la position des arbres qui étaient le
plus prés vers le SSE du n:o (8) (voir Pl. IID, font pourtant croire à
lexistence d'un tourbillon, autre que les précédents, qui aura marché le
long de la grande route, en dévastant aussi le monticule boisé à l'E
des numéros (15, 14 et 12). Encore ici la rotation parait avoir été
positive).

Au chäteau méme, le toit était enlevé, le cóté oriental de l'étage
supérieur, qui était le troisième étage, était arraché, une cloison (a) entre

1) Comparez les récits du forgeron C.-F. JOHANSSON et de la veuve Vif, qui
semblent indiquer quelque-chose de semblable.

20 C. G. FINEMAN,

^

des appartements de cet étage, avait été transportée plus à l'E (voir la
figure ci-jointe, ou les lignes pointées indiquent l'emplacement des murailles
transportées). Une

cloison extérieure

(b) à l'angle SE,

avalt été trouvée == Es

un peu intérieure- |
ment dans la cham-

bre. Les objets qui $e N
s'y trouvaient; s'é-

taient entassés vio-

lemment en un Rae == Ne

monceau au milieu jb ^

dela chambre. Les

tapisseries avaient

été arrachées des cloisons, sourtout dans les escaliers du vestibule, et
tous les meubles, méme des bibliothéques chargées de livres, avaient été
dispersées dans les chambres.— Toutes les fenótres, sauf quelques-unes,
à l'angle SO avaient volé en éclat.

Les toitures des deux ailes avaient été enlevées; laile N avait
méme changé de place, de sorte qu'elle se trouvait dans un sens oblique
à celui de ses fondations. Son extrémité S avait été transportée à un
demi-métre à l'E de son emplacement original. Des débris du toit de la
maison principale furent retrouvés [voir Pl. II] à (A) et à (D), c.-à-d. au
NNO et à l'O de sa place originale, et l'escalier qui appartenait au 3*"*
étage, fut retrouvé à environ 150 métres plus au N(F). Plusieurs frag-
ments du mortier étaient couchés à (C), immédiament à l'O d'un tuyau
et du toit de l'aile N, lequel toit fut retrouvé à (B).

Du bátiment n:o (4) la moitié méridionale était arrachée, et le
reste fracassé. Sur la maison à (5) le toit avait été brisé, mais le báti-
ment lui-même avait été retenu, grâce à deux gros arbres qui étaient
tombés sur lui.

Sur l’etable (6) le toit et l'étage supérieur étaient enlevés. L'aire
(9) était complètement détruite de sorte que, même dans les chevrons et
dans les cloisons, les poutres étaient disjoints. Il était difficile de découvrir
une direction principale des débris, cependant j'en crus remarquer une
du SSO au NNE. La toiture du magasin au blé (15) était un peu en-
dommagée, mais du reste,les dépendances étaient en général demeurées
plus ou moins intactes.

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. 2if

Sur la route de Säby, la trombe s’avanga sur des champs ouverts
sans y laisser de traces, si ce n'est dans l'aire brisée dont nous avons
parlé, et dans des débris provenant des maisons de Traneryd. Ainsi à
200 mètres de là, on retrouva quelques »moitiés de briques». Des ardoises
du toit de la maison principale, furent retrouvées jusqu'à l'église de Säby,
et des »tavillons» étaient parsemés le long de la trajectoire et jusqu'à 10
kilom. plus au NNE du cháteau.

Au presbytére de Sáby la trombe avait renversé quelques arbres
et endommagé quelques toits; au cimetiére il y avait des arbres couchés
dans la direction de l'O à PE, d'autres, qui étaient AVE de ceux-ci, avaient
été lancés, disait-on, dans le lac.

Ayant traversé le lac, la trombe se mit en communication avec la
terre, à peu prés au milieu du promontoire d’Aboniis, pour entrer dans un
pâturage rempli, en majeure partie, de chênes et de bouleaux. Nombre de
ces arbres ne pouvant résister à l'attaque de la trombe, furent retrouvés
couchés trés régulièrement. Les dépendances d’Äbonäs furent aussi fort
endommagées.

Sur l'espace qui s'étend entre Aboniis et Asvallehult, les circon-
stances présentent les mêmes particularités qu'auparavant, ce qui nous
permet de ne pas y insister. Au milieu de Hjelmaryd et de Tästäs, où
la trombe a passé au fond de la vallée marécageuse, elle a formé sur la
pente occidentale de cette vallée, un tourbillon secondaire assez marqué.

Les dommages causés aux bâtiments par la trombe, sur cet espace,
ayant été réparés déjà lors de ma visite, je ne pus les constater.

bo
bo

IV. ÉTAT GÉNÉRAL DE L’ATMOSPHÈRE.

O. G. FINEMAN,

Pour avoir un résumé des circonstances générales lors de l'appa-
rition de la trombe, des cartes synoptiques ont été dressées pour 8" a.m.,
2" p.m. et 9" p.m. à l'aide des observations suivantes.

AE dle
8h a.m. | 2h p.m. | 9h p.m.
SEP 4| Nestes) p ses c
9EB|EB RE es |**B ee LE $2 228 | eB aa ee
: EXE ee ie ess Beer Ws) Se POs | SS MEE as
Station. |z2&| ES |$E| 28 |gssÉ| 88 $8 "5 lege] ES FSE es
SET | Se sS Sil See Ed ar es Ser Hex m
ME ENS ENSEM EN Van LE TE |, € ER
ge = $ M E^ eo Sr
I. Suede.
Haparanda . . . | 747.6 | +11.4| — S 745.8 | 4-10.0| — | NE, 747.5 | + 7.2) — Ns
Win 00.0 0 00 44.7 | + 9.6} — | SW, 43.9 | +15.4| — | WSW,| 48.4 | +112) — SW;
Östersund ... | 449 |+ 9.0) — | SW, | 49.4 | +13.6| — | WNW, || 50.3 |-+10.4 | — =
Hernósand . . . 44.6 | +15.8| — Ss 47.0 | -E20.6| — Ws; 48.6 | --13.4 | - W,
Bjuråker . . .. — /+17.0| — — — |+22.4) — — — |+11.6) — =
Gefles go 6 2 50.4 | 16.0] 61 | SW, 50.3 | +20.2| 47 S5 49.9 | 414.7) — —o
aA 55555 49.2 | +15.2| 60 | SW, 49.1 | +20.9| 38 | Wo 47.4 | +11.0 | 92 N,
Dale © 30 - 51.2 | +15.9| 68 | SW; 50.9 | +20.8| 48 | SW: 47.7 | +12.8| 97 N,
Westeräs. . . . | 52.9 | +16.0| 64 | WSW;]| 51.9 | +21.0| 44 | WSW, | 48.4 | +12.8| 93 | —o
Karlstad . . . . | 53.4 |--14.0, 78 | SSE, 52.5 | +15.4| 75 8, 48.4 | +11.4| 96 | SSE,
Stockholm . . . | 52.7 | +18.6| 71 | SW, 522 | +20.6 | 45 | WSW: | 49.0 | +14.8| 81 | SSE,
Örebro . . . . . 53.2 | +14.8| 73 | WSW,| 52.1 | +194 | 52 | Wo 48.9 | 112.5| 94 | N,
Askersund . . . | 54.1 | -F1£0| 70 | SW, | 52.9 | +17.0| 64 | S, 48.5 | +12.6| 95 | E,
NOTE 9.98 — +13.7| 79 | SSW| — +17.8| 57 De = +12.7) 87 | Wi
Nyköping ...| 53.4 | +18.6| 62 |WSW,; | 52.1 | +21.4| 46 | W; 48.5 | +15.0) 76 =o
Linköping . .. | 453.0 | +16.6| 83 | WNW;| 51.2 | +18.6; 85 | WNW,| 473 | +15.7| 92 |WNW,
SDs 5 5 5 e 0 55.7 |+14.8| 78 W, 54.1 | +13.8| 94 So 50.1 | +10.4 100 | W;
Wenersborg . . | 55.2 | +15.6| 77 | SSW,| 53.1 | +15.2| 78 | SSW, 50.6 10.8 | 95 | NW,
Strömstad . . . | 54.3 | +15.2| 76 Ws 58.6 | +13.2| 91 | WNW,| 49.6 | +12.0] 86 | NW,
Göteborg. . .. | 54.9 |+150| 76 | WSW.| 51.7 | +12.6 96 | NW, 50.5 | +12.4| 87 |WNW,
Halmstad ... | 55.6 | +16.5| 90 | WSW,| 51.0 | +21.7| 66 | SW, 51.8 | --14.1| 92 | WNW,
Nässjo rn. — +13.8| 87 | SW, — +19.0| 85 | SE, — 146|93 | $,
Jünkôping . . . | 58.0 --17.0| 70 | SS, 56.0 | -F16.0| 73 | NNE, | 52.0 |+16.0| 83 | SW,
Falköping . . . | — +13.0| 82 | SW; — +13.4 80 E, = 11.8} 94 | SW,
Helmershus !) — +16.2| 76 |SW-,| — +23.4 68 Ss — 14.7 | 87 8,
Mexico 56.3 |+17.3| 76 Sy 53.6 | +22.7| 52 | SE; BOT 16.2 | 84 | SW;
Westervik . . . | 55.4 | 1189) 59 | Ws. | 53.8 ! 123.8 51 | SW, | 49.9 | 118.4, 62 | SW;
TMA e E 57.0 | +15.0| 87 S, 54.6 ((+16.8) 74 Ss 51.6 14.9| 86 | SW;
unde 54.8 | 4-19:3 | 70 SE, 50.6 | +23.4| 59 | SE, 50.6 14.5 | 94 |WNW,
Kristianstad . . — --20.0| 66 S, — +21.8| 61 SE, = 16.2 | 87 W,
Karlshamn . . . 56.4 | +17.0| 79 | SSWs| 53.9 | +18.1| 70 Ss 51:3 16.8, 79 Wa
Ronneby . . . . — +17.0| 76 8, — 21.3 | 6t 8, = +15.6 | 76 8,
Wisby.----- 55.2 |+17.2| 74 | SSW,| 54.0 |+421.6 60 | SW, | 51.3 | 17.2) 68 | 5
Préfecture |
de Jönköping: | |
iRefitele M ee. — +17.0| — = — |--21.0 — — — 13.5. — -
Nottebäck . . . | — +17.0) — — — |422.0 — — — 416.0 — —
Préfecture
de Linköping:
Svinhult . . oo a — --15.0| — = — +22.0 — — — +125 — —
Engelholm ?). | — |+19.5| — — — /+195 — — — 416.0, — —
1) Prés de Vernamo. 2) Paroisse de S:te Anna

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. 23

——————————————————————————————

| 8h a.m. | 2h p.m. 9h p.m.
—————————————————— ——n
um S | + | og = ee) ac)
ex Xen eel sO ee ee
eS oe 225 pan E oS ©5 _553 DE os
: cues ess |e, se | ST | Fou lee | E&
RS ee hes [eee SE 25 lees ee 3
iege || se | PSs. = Zo SS ey EE: So
$ © E 8 | n " E B ee
Préfecture
de Kalmar:
Mindoro. — BIEISIG = RAS — ERT PS RE
Blackstad). 2... — +18.6 — = +20.6 — — +19.0 —
Stengärdsnäs !) .. = +19.6 = +23.4 = — +-19.0 —
RETES 2) S S nae = +19.0 | — — +21.0 | — — --18.0 --
Waderum 3).... = +20.2 -— — +22.5 — _ +18.9 —
Sjöände 5 ..... = --18.0| — - +21.2 | — — --19.8 —
Borgholm 5) . .. . — +19.0 — — +25.0 | — — +14.0 —
Applerum ®).... E +19.0 | — — +25.0 | — — +17.0 —
II. Norvège. 85
IE RE ne: 746.9 |4- 9.0 | NW, 747.5 +13.6 | NE, 7479 |+ 9.6 Er
Wonsebt. ens Scns, . 46.6 | +12.6 W, 41.4 +14.1 | ENE, 47.6 |4- 9.7 Si
DDYTO on ann 16.9 !--10.9 | NNE, 47.3 +13 N, 46.1 !+12.4 N,
Granheim. ..... 48.9 |+14.0 | NW, 48.3 +15.6 | NW, 46.0 |+15.0 | NW,
Erusyoldee...... 49.4 | +12.2 S 48.8 +17.7 S 47.3 | +11.4 8,
Raistiania, 2)... . 50.7 |+17.4 | SW, 50.0 +15.9 | SSE, 48.1 | +12.7 S,
Sandösund ..... 52.3 | +14.2 | SSW, 51.2 +12.6 | SSW, 48.9 |4-12.2 | SW,
Torungen...... => +12.4 | SSW, = +12.3 | SE, = +11.3 | SW,
ER EE 52.2 | +13.2 8, 50.8 +12.6 S, 50.2 |+114 | SW,
Mana sa. 52.1 | 13.0 0 50.9 +11.8 | SW, 50.3 | +12.0 =
Skudesnes ..... 50.9 | +12.0 | SSE; 49.7 +12.0 Så 49.7 | +11.6 S,
HAS er = +12.2 | SW, — +12.0 | SW, — +11.2 SW,
Ullensvang ..... EDS 125 | =, 49.8 +16.3 | NW, 49.9 |+ 9.4 | WSW,
«Bergen ea. 49.3 | --13.2 Sa 48.9 --16.4 S, 48.7 |+10.6 | SSE,
IHellisop t t. Le = +11.8 Ss = +14.2 5 = +11.8 | SSW,
INTESTE@R 00 50 a 50.1 |--10.0 | SSE, 50.0 +11.6 | —, 48.7 |+11.8 | SW,
PROVO PFs eve. eus à 48.0 | +12.2 Sa 48.6 +15.4 | SW, |. 48.5 |-+10.9 E,
Domsten ...... 48.8 |+13.0 | SE, 48.6 13.2 | SE, 48.5 |+10.0 SE,
Aalesund ...... 47.5 |+13.6 | SW, 48.6 JR | —. 48.3 |+12.4 | NNE,
Tres EE = +11.0 | SW. - +12.1 E — +11.4 =
Kristiansund . . . 47.5 |+10.2 | WNW, 48.8 4-13.0 | WNW, 48.8 | +12.5 | ENE,
VOTE LR = +10.9 N, — +10.0 | Ww, — + 8.9 | NW,
IBXESLO T u. c= = +10.8 | NW, — STO 7 2 — db Gu || o
Bono 5 254. j 45.1 | + 9.0 | NW, 41.4 ze mE Ww. 44.7 |+ 8.3| SW,
Ten sas sec ERE 45.97.92 E, 47.5 SIDE | —; 48.2 |+ 9.0 8
Be. He | 89) —, 4$ | LA = 47.9 |+ 7.8 =;
ROSE ET ce cote. à 46.1 |+ 6.0 N, 47.5 + 6.6 | NNW, 48.7 | + 5.8 N;
Lüdingen ...... 46.5 | + 7.9 | NNE, 47.2 + 8.6 | NNE; 48.4 |+ 7.4 | NNE,
Fagernes...... AWG) ETES EN RES 41.8 4-10.2 E, 48.3 |+ 7.8 E;
Andenes....... = + 5.6 | NNE; — + 58 | NE, — + 5.0] NE,
ERTOMISÖ EE 48.1 |+ 5.2 | NE, 48.6 77.3 | NES 499 |-- 43 | NE,
ALTER ME B n5 S0 || woah 51.2 + 3.6 | NE, 5912 IE EINES
GjGSYET Lera, ve 2e fe f | Ni 53.2 Ale NES 53 EDS NES
KéStrand ae... 51.4 |+ 2.1 | NE, 52.2 + 20 | NE, 53.4 |+ 0.8 | ENE,
| Karasjok >. >. i. = BG. RENE et NE | as,
Mardoetu a siren va 50.0 |+ 0.5 | NE; 50.6 — 0.2 | NE, Bi = OS NE;
Blyenes 2... s 49.0 |-- 1.6 N, 50.7 EMI Ns 51.1 !— 0.2 NE,
1) Paroisse de Lofta. 2) Paroisse de Hjorted. 3) Paroisse de Tuna.
4) » Odensvi. 5) » Repplinge. 6) » Arby.

T) Les observations du soir ont été faites à 8h p.m. au lieu de 9h p.m.

24 C. G. FINEMAN,

8h a.m. 2h p.m. Sh ou 9h p.m.
ice] ise) [os]
os = © Ej = oO ES
ave = S Te S Se e
Set eb HEIL | EHE | oF lode
GE MEM ES) Ec Mesa CER Tes
eer BR Pas, $E [Pee] gis FE [Pas
ee Wiles whee | cae See S| SS
III. Danmark.
Hammershus ....| 756.3 | +20 SW, | 753.6 +24 SSW, | 752.3 +15 SW,
Kjöbenhavn 55.1 |+18 | SSE, | 514 | +92 | sw | 523 | +15 |wnw,
bog Ida E iL mW +26 Welse +14 | W,
Bere wee qua NC 548 |+18 | SE: | 512 | +26 SE, | 52.9 | +15 W,
AMONG 53 e 9 c v2 54.9 +15 SSW, 49.8 +17 SSW; 49.0 anis) WNW,
Ska p enger Er. 53.9 | +12 SW 51.3 +14 =) 50.6 +11 | WNW,
SAMSÖK EEE ie 54.3 +15 ESE, 49.3 +18 S5 592.9 +14 | WNW.
Wirral s s 5 son c ,99.8 +18 SE, 51.3 +18 WSW, 53.1 +14 NW,
Nano 534 +14 | SW, | 49.9 | +12 |NNWw,| 513 | +11 E
Randerser er 53.6 | +15 Sj 49.0 +14 N; 51.8 +12 =;
LAER EEE 53.1 +14 SSE, 49.5 +16 Ws — +12 =
TEENS > 50 pc 52.9 | +14 Sı |, 20:0 +12 SW; 51:9 +12 SW;
Vestervig...... 53.0 +13 8i 51.0 --13 SSW, 51.1 +12 WSW,
Band Pari rs 52.7 |+14 | SSB, | 515 | 416 |WNW 53.0 | +12 W,
IV. Finland. ')
Phare de Hangö . . 54.9 | +12.2 | SW, 53.7 +13.4 | Sw, 52.6 +10.3 | SW,
m 3m) 5 sc = +13.0 | SW, — +14.0 SW, a +11.5 | SW,
Ville de Hangö .. 55.3 +12.8 | SSW,} 54.0 +143 | wsw,| 52.9 +11.4 | SW,
Marichamn..... 53.0 | +1215 = — 14.8 SW 51.5 +12.0 2
Sóderskür ..... 54.7 | 111.0 | SW 52.6 13.2 | wSW,| 51.9 +10.8 | WSW,
Helsingfors . . . . . 542. |.-11.9 | WSW,| 522 | 416.4 | wSW;| 51.5 | +11.6 | WSW,
Skalskare 2. 2 508 |+118 | SSW,| 91.5 +145 | SW, 50.0 Spill ST
Do MT MES CU 53.8 |+15.5] S 52.5 | 418.5 | sw | (57.7) | +142| SW
WHEN, o 5 o 5 0 x (58.0) |--14.9 | SW, 50.9 +18.6 | SW, 50.9 +15.2 | SW,
Lampis, Kivesmäki 52.4 | +11.8 = 50.9 > 21.2 ar 50.2 +14.9 E
WANE 55 6b 6 « 540 |--13.8 | SW. 5920 + 18.4 SW, 49.3 +15.7| SW,
Sabbskan = v2... 49.1 +12.5 | SW; 49.0 +14.5 | WSWw,| 49.1 +10.5 W,
Tammerfors ... . 52.5 . | +14.9 | SSW, | 50.0 +20.0 | WNW;| 50.7 +141] SW,
DEN o on e 5 5 5 à B sr | SVT 48.9 +18.8 SW = +14.5 —
Sordavala...... 54.4 |4-15.2 | SSH, 51.8 122.2 | SW, 49.4 +17.0 | SSW,
Sulkaya;- . co... 56.2 20548) || SW 52.9 +22.0 | WSW 52.5 +16.0 W
Tohmajärvi..... 514 |+15.0 | WSWg| 50.4 +18.5 | WSw,} 50.2 +16.5 Wa
Skälgrund . . . .. 47.1 10.5 | SSW; 47.0 413.5 | SSW,| 48.6 + 9[:29| NW,
OREN ere 51.5 = SW, 49.4 +19.0 | gw, 47.3 -F17.0| SW,
Pihtipudas ..... = +14.1 | SSW, = +17.9 SW, It +12.9| W,
PEER so E 49.9 | +13.0 | SW; 46.3 +16.0 | Sw, 45.6 11.0! Wi
Ulkokalla NEN (58.0) | + 7.0 Si 44.8 Ji TB SW, 49.0 + 5.2| WNW,
Uleaborg ...... 48.4 | +14.0 à 44.0 412.5 |wSW,| 45.5 | +100! NW,
Gamla Karleby. . . Lad +13.9 | SSW | — +17.8 SW; = + 8.4| NW,
Marjaniemi..... 46.9 |+100| 8 44.4 +12.0 | ESE, 46.2 + 5.0| NNW,
TORNA, po 6 6a 9 o 41.3 + 10.5 = 45.2 +10.5 mks 47.5 + 7.0 =
WV. Autres pays.
Memelj c se « 59.4 +18 SSW, 58.0 +23 SW, 54.6 = =5
Neufahrwasser . . . 59.5 20 SSE, 56.5 +26 SSE, 54.5 LE S,
Swinemünde .... 56.7 +20 SSE, 53.6 +24 S» 52.7 = NW;
WIR 2 oo 0 oo a 55.9 | +20 SE, — = — 53.5 — WNW,
ON ie ed 534 +38 | SE, | 522 | +19 |wsw,| 543 E W,
Hamburg ...... 54.1 | +20 SSE, | 53.3 +20 WSW;| 55.0 WNW,
Create à EE 544 |+18 2 — — — 54.4 WNW,
Kon ARMAR 531 +15 | ESE,| 52.2 | +15 | NW,| 537 — | WSW,
Wilhelmshafen . . : 52.8 | +18 N — — — 55.4 — W,
TWD EE. BAS |) ae We S, 54.1 +17 WSW,| 55.2 — |WSW,

«
1) Les observations du soir ont été faites à 9h p.m. et celles du matin à 7h a.m.

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. 25

On voit par ce tableau que le temps qu'il faisait en Scandinavie
le matin du 7 Juin, est déterminé par une dépression barométrique sur
le Norrland central, et par un maximum sur le Småland septentrional.
Au midi le barométre est descendu un peu partout; le minimum du Nord
est devenu plus marqué, et en se transportant plus à l'E, il se trouve
sur la partie septentrionale du golfe de Bottnie, entre Umeå et Uleåborg.
Une dépréssion secondaire qui est indiquée le matin sur la Mer du Nord,
se trouve sur la partie orientale de Jutland; une dépression analogue
s'est formée sur la plaine de l'Ostrogothie. Au milieu de ces deux dé-
pressions, on observe un maximum secondaire aux environs de Jónkóping,
de sorte que les isobares présentent des courbes assez compliquées.

Les isothermes montrent deux régions de haute température, l'une
au-dessus du Småland central et oriental, l'autre au-dessus du Helsing-
land, de méme qu'un minimum secondaire sur le Blekinge occidental.
Aux environs de la premiere de ces régions, les isothermes s'entrelacent
d'une manière assez singulière. L’isotherme du 14*"* degré a aussi, en
parcourant la Vestrogothie, une direction très étrange. En général les
courbes ont déjà commencé à affecter leurs types d'été, et parcourent la
Suède dans une direction principale du SSO au NNE. Du côté finnois de
l'archipel d’Äland, on retrouve un minimum assez marqué, ce qui est d'autant
plus étonnant, que le vent dans toute cette région souffle du SO ou de l'OSO.

L'humidité relative indique un maximum parfaitement marqué sur
la partie centrale de l'Ostrogothie, sur le Smáland septentrional et sur
la Vestrogothie, et ces circonstances sont analogues à celles du matin,
bien qu'alors elles fussent moins marquées. Au soir lisobare du midi
de 748 mm. a été divisé, et le minimum qui était entre Umeå et Uleå-
borg, s'est retiré vers l'ENE. Le lacet méridional de cet isobare s'est
élargi de maniére à former une nouvelle dépression, dont la partie la
plus marquée (746 mm.) est sur la Dovre, et qui s'étend jusqu'à la vallée
du Mälaren. Sur la plaine de l'Ostrogothie une faible dépression secondaire
(748 mm.) se maintient, ainsi qu'un maximum secondaire peu considérable
(752 mm.) sur le Småland septentrional. Dans la plus grande partie de la
Gothie (midi de la Suède) le baromètre est descendu de 3 à 4 mm.; il est
descendu surtout du cóté oriental. La dépression sur le Danemark s'est
transportée vers le NE et se trouve tout prés de la cóte suédoise. Ses
effets ne se laissent apercevoir que par l'état un peu modifié du vent rég-
nant sur le Cattégat. La circulation de l'air, dans la moitié méridionale de
la Scandinavie, dépend du minimum de Dovre. La température en général
est trés uniformément répartie, les courbes se rapprochent davantage du

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. : 4

26 C. G. FINEMAN,

type du printemps que de celui de l'été, mais sur la partie septentrionale
dela Vestrogothie et sur lile d'Óland,il y a des minima secondaires; on
observe de méme sur la partie la plus méridionale de la prefer net de
Calmar, une région de haute température. Sur le Småland septentrional,
il y a un maximum secondaire au bord SE du lae Wettern, et un mini-
mum secondaire un peu au S du lac Sommen. L’humidité trés grande,
dans la partie méridionale de la Suéde, est uniformément répartie, sauf
du cóté oriental, ou elle est un peu plus basse.

Des temps d’orage se sont présentés pendant l'après-midi en plu-
sieurs endroits du pays. Ils affectent complètement la forme ordinaire des
orages de chaleur, à en juger par les observations suivantes, les seules
qui aient été communiquées des stations de campagne, ou sont relatés
des temps d'orages.

TNA. II
Orages en Suede le 7 Juin 1882.
Préfecture Paroisse Station | Heure | Marche. Remarques
de | à
Gefleborg Hedesunda Hadeholm 4h30m— 5h 15m p.m. | — | — x
» Njutånger Nianfors Pendant l’après-midi. | — | — [Au loin.
St. Kopparberg | Husby Stjernsund » » » = | =
Westeras Kärrbo Frösåker 4h45m pm. = | =
Örebro Hjulsjö Jönshyttan 5hOm p.m. SW | NE [Les nuages vont de SW.
Nyköping Westra Wing- Skenäs 5h5m—5h15m p.m. W ISW |Vent: &. Les nuages
åker vont de W.
TU ND Härad Näsbyholm —8h pm. — | —
Linköping Kullerstad Skärblacka 5h 15m —6h10m p.m. | SW | NE |Vent: E,. Les nuages
vont de W.
» Sund Buhlsjö 3h 50—4h 30m pan. | W | N |Vent: Sj. Les nuages
vont de 8.
» » » Th45m pm. SW I NE |Vent: S,. Les nuages
vont de S.
» S:t Lars Kallerstad 4h 15m—7h35™ p.m. | SW| N |Vent: —,. Les nuages
vont de SSW.
» Jerstad Uddorp 4h10—5h5m p.m. | S | N [Vent: S,. Les nuages
E j vont de S
» » » 5h55m—6h25 p.m. |NW| N |Vent: W,. Les nuages
vont de W.
» t Anna Engelholm 4h 30m p.m. — | —
» — Medevi 6h 0 p.m. — | —
- D Weta Mantorp 4h —6h p.m. — | —
Skaraborg Kyrkefalla Ruder 5hO p-m. —|— ;
» Hvalstad = 40 p.m. — | — [Un fort ouragan, suivi
i de tonnerre, d'éelairs
et de fortes averses
passa, à 4h p.m. en-
viron, à travers de la
= 2 paroisse. Sa direction
Elfsborg Liared Skeppsholmen | 2 30m —3h 20m p.m. |SW | NW| était du S.
Vent: SW,. Les nuages
ae vont de SW.
» — Ojared 2n30m—3h30m p.m. | N | ?
» Tärby Nygärd 3h —4h p.m. -- | —
» Sem Semsholm 3h p.m. env. N|E
Landsvetter — 3h p.m. — | —
Jönköping Reftele Reftele 4h50m—5h0m p.m. ISWI W | _
Kristianstad Munkaljungby | Agard 5h [4m — 5h 18m p.m. | SW |WE
Malmóhus Hven Hven 4h0 p.m. —|—

SUR LA TROMBE pu 7 Juin 1882. 27

Ce qui saute aux yeux, c'est la répartition étrange de la pression
barométrique, de la température et de l'humidité, laquelle répartition s'est
développée peu à peu sur le Småland septentrional pendant un calme
presque complet, et par la combinaison d'une grande humidité (relative
aussi bien qu'absolue) avec une haute température qui atteint son maxi-
mum le soir du 7 Juin. Or, c'est justement cette contrée qu'a devastée
la trombe de Sáby, en méme temps que la trombe de Barkeryd et quelques
autres trombes moins réguliéres qui, partant du lac Vettern, ont pris terre
prés de Grenna. Au méme moment ou peut-étre un peu plus tard, des
orages locaux se sont aussi présentés en grand nombre à ces endroits.

Quant à la pression barométrique, et à l'humidité relative, des cir-
constances trés analogues se présentent aussi dans la Vestrogothie, sur-
tout aux environs de Gothembourg. La température, et en conséquence
le degré de l'humidité absolue, sont inférieurs de beaucoup. Du reste, la
force du vent (2 selon l'échelle 0—6), bien qu'elle ne soit pas trés con-
sidérable en elle méme, est plus grande. Aussi n'a-t-on pas remarqué
de trombes dans ces contrées, mais des orages nombreux qui se sont
presentés là encore, rappellent l'analogie des circonstances atmosphériques,
qui a été nommée ci-dessus à propos du temps.

Les mémes circonstances à peu prés régnent aussi au midi sur
les iles danoises, mais il y a une différence marquée, en ceci que la force
du vent n'est pas insignifiante (2 à 3). Iei encore au N de la Fyonie
et au NO du Seeland, il y a eu des orages.

V. CONCLUSIONS ET REMARQUES GÉNÉRALES.

Pour nous résumer, nous remarquerons d'abord que, l'état général
de latmosphère dans la contrée ot la trombe s'est présentée pour la
premiére fois, offre un caractére fort singulier. On retrouve des circon-
stances identiques dans le »Report on the tornadoes of May 29 and 30,
1879, in Kansas, Nebraska, Missouri and Iowa» par Finley; et, à en juger
par le »Character of six hundred tornadoes,» du même auteur, (sans doute
la plus riche collection de matériaux statistiques sur des phénoménes
analogues,) il parait que ces circonstances, dans la plupart des cas, sont
en rapport étroit avec la formation des trombes. Elles doivent donc
étre caractéristiques.

Déjà, les modifications insignifiantes de ces faits, qui se présen-
tent dans les circonstances du reste analogues en Vestrogothie, paraissent
avoir suffi à empécher une semblable perturbation.

28 C. G. FINEMAN,

Mais, comme cette combinaison étrange d'une haute température
avec une grande humidité absolue et relative aux environs d'une dépression
secondaire, mais assez rapprochée pourtant d'une région de fortes pres-
sions pour que le calme puisse se prolonger quelque temps, est trés rare
dans notre pays, on y verra déjà une raison pour laquelle les trombes
s'y présentent rarement aussi.

On doit remarquer encore la frappante analogie avec les orages
de tourbillon que présentent ces trombes au point de vue de leur appa-
rition, d'autant plus que cette analogie se retrouve dans la plupart des
trombes qui ont été soigneusement observées. Aussi l'état atmosphè-
rique que nous venons de prononcer comme caractéristique aux trombes,
est-il caractéristique aux orages en Scandinavie, selon les recherches de
MM. Monn et HiLDEBRANDSSON. Quant à ce qui concerne les trombes
discutées ici; on peut dire qu'elles apparaissent dans des circonstances
de temps analogues, comme une série d'orages en Scanie, en Halland et
en Vestrogothie et sur les iles danoises, et ces orages, pour suivre la
classification ordinaire, doivent être considérés comme des orages de
chaleur. Pourtant l'étude détaillée de la répartition du temps, montre que
ces orages pourraient ici étre considérés comme des orages de tourbillon,
quoique leur étendue soit peu considérable. La direction dans laquelle
ils se sont transportés, est par rapport à la dépression danoise, celle méme
qu'aurait suivie un orage de tourbillon ordinaire. Aussi leur étendue, par
rapport à la grandeur de la dépression danoise, n'est-elle pas inférieure à
celle de plusieurs autres orages bien marqués de tourbillon, par rapport
à la circonférence du cyclone dans lespace duquel ils apparaissent. Car,
quant à la longueur de la trajectoire, il faut l'évaluer à quelques milles
suédois, du moins pour chaque orage, quand il a été possible pour les
observateurs de distinguer quelle direction ils ont suivie, méme aux en-
droits où la distance a été évidemment grande. i

Ce serait pourtant un peu harsardé, selon moi, de conclure de ces
analogies et du fait, qu'en général les orages apparaissent en méme
temps que les trombes, qu'un moment électrique soit nécessaire à leur
formation, quand des effets différents peuvent sortir de causes connexes.
Il est done tout à fait naturel que ces phénoménes présentent certaines
analogies qui font penser justement à l'analogie de leurs causes, tandis
qu'en méme temps, les trombes sont évidemment différentes des orages,
cela en conséquence de la différence originelle dans les conditions de
leur commencement.

Sur LA Trompe DU 7 Juin 1882. 29

Aussi, le eas présent me parait-il indiquer comme vraisemblable,
le fait, que ces orages de chaleur et de tourbillon, et les trombes, appa-
raissent dans des circonstances atmosphériques semblables; il parait pro-
bable aussi que les trombes ne peuvent naitre dans notre climat, ou dans
d'autres climats similaires, que lorsque ces circonstances que nous venons
d'indiquer comme caractéristiques, se trouvent combinées, mais qu'au con-
traire, les orages de tourbillon apparaissent dans des circonstances qui
se rapprochent de celles-lå, et que ces orages atteignent une étendue
en raison directe de la grandeur de l’espace au dedans duquel se trouve
une répartition atmosphérique, telle que celle que nous venons de décrire.
Il parait enfin vraisemblable que ces orages de tourbillon se transforment
en orages de chaleur, si cet espace est trós petit de sorte que la transi-
tion aux circonstances normales, se fait pour ainsi dire, sur le champ.
A cóté de ces derniers, se rangent naturellement d'autres orages locaux,
dont il faut attribuer la formation à quelques singularités dans la confi-
guration du terrain, par exemple les orages aux côtés occidentales de la
Norvége.

Quant au lieu où la trombe aurait pris naissance selon mes ob-
servations, c.-A-d. au lae Wittiugen, nous trouvons que ce lieu est bien
propre à favoriser des circonstances analogues à celles que nous venons
d'indiquer, sur un terrain peu étendu.

Représentons-nous un lac, que de vastes marais environnent im-
médiatement de deux cótés, et qui est environné d'autres parts, à l'E et
à l'O, par des plateaux entre lesquels pénétre une vallée dont la largeur
diminue graduellement. On comprendra alors qu'une stagnation dans la
circulation de l'air se produira facilement, et ainsi exposées à une forte
insolation, les couches inférieures de l'atmosphére atteindront une haute
température et un haut degré d'humidité. Des circonstances analogues se
retrouvent sur plusieurs points, aux environs, et surtout au N dans la
vallée de Säby, dont le caractére est analogue à celui que nous venons
de déerire sur toute son étendue.

A en juger par les notices, malheureusement un peu indécises, que
jai pu avoir sur l'état des nuages pendant la journée, il parait certain
pourtant que cet état a passablement varié et que, par place, le ciel a été
presque découvert, ce qui indique que l'humidité, dans la région ordinaire
des nuages inférieurs, n'a pas été considérable. Une exception bien évi-
dente, est offerte par les récits provenant des environs du lac Wittingen
et de Lundarp. On y raconte que le ciel a été fort nuageux dans l’aprés-
midi, et qu'on y eut une forte averse de pluie dés 1 ou 2 heures de

30 C. G. FINEMAN,

laprés-midi si non plus tôt. En rapprochant ce fait de laffirmation de
M. W. SAHLSTEDT à Siggarp, selon laquelle, sur les montagnes à l'E de
Siggarp, il ne serait tombé, à la méme heure, qu'une pluie fort insigni-
fiante, et des renseignements venus des environs de Traneryd, qui ne
mentionnent une forte averse de pluie qu’immediatement avant le passage
de la trombe, on voit que cette aire de pluie doit avoir eu une étendue
minime. Il en ressort aussi, d'une manière trés vraisemblable, que les nu-
ages d'oü est tombée la pluie sur le lac Wittingen et à Lundarp, ont eu
uue hauteur et une étendue fort peu considérables.

L'analogie qu'offrent ces dernières circonstances avec les temps
de pluie qui précédent et accompagnent les cyclones du golfe de Bengale,
ne saurait être niée’). Je crois donc qu'on peut se représenter la for-
mation du phénoméne de la maniére suivante:

En raison d'une forte insolation se produisant sur une contrée
marécageuse, qui se trouve dans les circonstances atmosphériques indi-
quées ci-dessus, la température s'élève considérablement, tandis qu'il sur-
vient un grand développement de vapeur d'eau. (Comme c'est surtout prés
des dépressions secondaires peu considérables, entre ceux-ci et des régions
de fortes pressions qu'on observe ces circonstances, les trombes appa-
raissent en général dans le »quart de cercle» qui est limité des gradients
du SO et du SE vers un minimum semblable). La chaleur du soleil est
peu absorbée par les couches supérieures de l’atmosphere, pauvres en
humidité, et les couches inférieures deviennent ainsi, par une double raison,
spécifiquement plus légéres, que celles qui se trouvent le plus prés au-
dessus d'elles.

Par diffusion, la vapeur se répand surtout dans le sens de la hau-
teur; car la densité de lair, diminuant vers le haut, fait que la vapeur,
en se répandant aprés son développement, trouve la résistance la moins
grande dans cette direction, et ainsi s'y répand plus rapidement que dans
les autres. Voici une supposition qui n'est pas fondée, sur des observa-
tions directes de la variation de l'humidité avec la hauteur, ou sur des
expériences décisives, mais qui me semble accorder avec les lois de la
diffusion et les expériences sur l'évaporation. (Voir Zeitschrift des Oest.
Ges. f. Meteorologie Bd. X. N:o 2). i

Le calme qui régnait avant la trombe, fait supposer que la vapeur
engendrée tout le temps en grande quantité, s'est répartie dans l'atmo-

1) Voir The Backergunge Cyclone Report. by BLANFORD, et Report on the Ma-
dras cyclone of May 1877 by I. Error.

SUR LA. TROMBE DU 7 JuiN 1882. 31

sphère principalement par diffusion. Par une évaporation continue, l'humi-
dité relative à la surface de la terre s'est maintenue grande. Un état
d'équilibre labile, s'est ainsi formé dans les couches inférieures de l'atmo-
sphére. Dans les couches supérieures, la vapeur d'eau s'est répandue de
la manière que nous venons de dire, de sorte que dans chaque couche
il s'est formé une aire limitée ayant une plus grande humidité que les
couches environnantes. Enfin il s'y est fait une condensation, d'abord
sous forme de nuages et ensuite sous forme de pluie. La chaleur la-
tente alors devenue libre, rend encore plus légère [spécifiquement] cette
portion de l'air et le force à s'élever en haut. Vers l'espace ainsi vidé,
Yair afflue de tous les cótés!), surtout d'en bas, et il se fait une nou-
velle condensation etc. jusqu'à ce que l'afflux atteigne la frontière de
l'espace où régue l'état d'équilibre labile. Au point du premier contact,
il se forme pour ainsi dire »l'explosion verticale» qui paraît être le pre-
mier moment dans la formation de la trombe. L’air de ces couches, qui
est spécifiquement plus léger que celui qui se trouve plus haut, afflue
pour s'échapper au dehors par la soupape ouverte et la trombe est formée.

I] n'est pas nécessaire sans doute de remarquer que ce mode de
la formation du phénoméne qui parait étre le plus vraisemblable dans
notre climat et dans les climats similaires, n'exclue point la possibilité
d'autres modes de formation. Contentons-nous de rappeler les trombes de
sable des déserts, surtout celles du Sahara, ou c’est, évidemment l'abais-
sement excessif de la température en sens vertical, et par suite la diffé-
rence énorme du poids spécifique dans les couches différentes, qui forcent
enfin sur quelque point les couches inférieures de rejeter les supérieures,
et de se former un chemin en haut, pour restituer ainsi une répartition
normale dans latmosphére. C'est alors, et de cette maniére, que doivent
se former ces trombes.

Le récit du propriétaire GUSTAFSSON, nous semble indiquer claire-
ment la maniére de formation de la trombe que nous venons de déve-
lopper, et il n'y a pas de raison quelconque de douter de l'exactitude de
ce récit, malgré son abondance extraordinaire de détails. GUSTAFSSON,
simple paysan, ne peut guére avoir lu aucun traité théorique sur la nais-
sance d'un tel phénomène, et l'ami aussi inculte que lui, qui lui avait parlé
des »tornados» en Amérique, appartenait à la méme paroisse et avait été

1) On pourrait aussi observer ici les récits des témoins oculaires sur la marche
des nuages. lls sont tous unanimes à déclarer qu'ils ont vu les nuages décrire des
trajectoires convergentes vers la région où s'est formée la trombe, ou vers celle où
ils l'ont vue pour la premiére fois.

32 C. G. FINEMAN,

mineur dans la Californie; enfin GUSTAFSSON n'avait aucun intérét à ne
pas raconter les vraies circonstances. Si son intention avait été de nous
offrir un récit merveilleux, il lui aurait donné des formes plus fantaisistes.

Les autres circonstances me paraissent aussi s'expliquer le plus
naturellement, à l’aide de la théorie des MM. Muxoxe et Reve.

L'afflux d'air vers le centre de la trombe, qui se montrait spéciale-
ment fort et bien marqué, quand il provenait des vallons, l’accroissement
de l'intensité de la trombe dans le vallon de Siggarp, et à son entrée
dans le pare de Traneryd, l'explosion soudaine des bâtiments, et l'enléve-
ment de leurs toits, qu'il faut nécessairement attribuer à un amoindrisse-
ment soudain dans la pression de l'air, tous ces faits, rapprochés des récits
des témoins oculaires, prouvent l'existence dans la trombe d'un courant
d'air montant vers le haut. L'intensité de la trombe paraît avoir été
augmentée sur les terrains marécageux ou sur leurs bords.

Il est bien prouvé que le sens de la rotation a été inverse de
celui des aiguilles d'une montre, et il parait que la rotation se soit ac-
célérée en raison directe du courant vertical. |

Nous n’essayerons pas d'expliquer l'origine de la rotation, mais
nous voulons rappeler l'analogie bien claire que présentent les considé-
rations. susdites, avec la sortie d'un liquide qui s'échapperait d'un vase
par un trou dans le fond. Seulement ici l'écoulement se fait sans doute
de bas en haut. Y

La translation du phénomène doit être regardée probablement
comme une »nouvelle formation successive», vu quil paraît avoir marché
dans la direction où a afflué en grande masse l'air, ayant la plus grande
propension à monter en haut. Plus la vitesse de la propagation a été
grande, plus facilement aussi des tourbillons secondaires se sont formés.

Il faut pourtant attribuer une certaine inertie à la trombe, consi-
dérée comme un système avançant, à cause de la pression des masses
d'air affluant après elle. C'est probablement celles-ci qui à la dissolution
de la trombe, se montrent comme des courants irréguliers, marchant dans
la direction de la trajectoire, si on se la représente suivant une ligne
droite.

Remarquons aussi que c'est proprement du cóté gauche de la tra-
jectoire que sont tombées les averses de gréle parfois nombreuses, et que
d'autre part, elles ne se sont montrées que lorsque la trombe eut parcouru
déjà une grande partie de son chemin. Cela s'expliquera facilement, si
l'on tient compte des mouvements à l'intérieur de la trombe. (Voir sur-
tout le récit de l'ouvrier BRINCK). Quant au second fait, U y aura un

SUR LA TROMBE DU 7 JUIN 1882. 33

intérét particulier à le rapprocher de ce qui a été dit dans »Historisch-
Kritische Uebersicht über die Hageltheorien und eine Zusammenfassung
des Status-quo der letzeren Theorien mit Berücksichtigung wissenschaft-
lich festgestellter Thatsachen» par C. WAEHNER pagg. 85 et 73°).

L'activité des forces électriques est moins évidente. A ce sujet
les récits sont même souvent contradictoires. Plusieurs circonstances
me remettent en mémoire la trombe qui sévit à la Chartreuse, prés de
Dijon, le 20 Juin 1779, décrite par M. Marer?), et la trombe célèbre de
Chatenay, observée et décrite par PELTIER.

Une explieation éventuelle du róle qu'a joué ici l'electricité, de-
manderait une comparaison avec des phénomènes analogues, trop étendue
pour être faite ici. Les phénomènes de l'électricité ne paraissent pour-
tant pas nécessaires à la formation des trombes, de sorte que la consi-
dération générale de leur nature de phénomènes secondaires, paraît être
la plus vraisemblable. Mais en qualité de phénomènes secondaires, ils
paraissent être dans un rapport intime avec les changements d'état
daggrégation. On ne les retrouve jamais, ou trés rarement du moins,
dans les trombes de sable, et on ne les y découvre méme pas au moyen
de l’électromètre à en juger par l'observation de M. Picrer sur la trombe
de sable prés de Gizeh. (Voir: D. Corravon: L'étude de la grêle. Ar-
chive des Sciences 1879).

Outre le courant montant dans la trombe, les mouvements des
nuages paraissent indiquer un autre courant, descendant dans le voisinage
immédiat de celui-ci. Ce fait, rapproché de la rotation au dedans de la
trombe, ne doit pas manquer d'importance pour la résolution de la question
de la détermination relativement fort marquée des trombes. Une circon-
stance remarquable est offerte par le dernier arbre abattu dans l’avenue
de Traneryd. C'était l'arbre le plus grand dans cette partie de l'avenue,
et il avait été brisé assez haut au-dessus de la terre, tandis que les arbres
les plus proches paraissaient presque intacts. Pour cette partie du phéno-
mène, le récit du forgeron C. F.Jonawsow ne doit pas être sans intérêt.

Un récit? de la trombe de Barkeryd et Jersnás, cité ci-dessous
nous parait dans plusieurs détails confirmer cette remarque. Je n'ai pu

1) Nieuwe Verhandlingen van het Bataafsch Genootschap der proefondervinde-
lijke Wijsbegeerte te Rotterdam. Rotterdam 1876.

2) »Observations et recherches experimentales sur les causes qui concourent à
la formation des trombes» par M.-A. PELTIER.

3) »Ayant eu l’occasion de voir de mes propres yeux, et sur une distance d'un
quart de mille suédois à peine, le commencement — à ce que je crois du moins — et

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5

34 C. G. FINEMAN,

voir l'auteur, et comme le temps ne m'a pas permis de visiter les loca-
lités de cette trombe, je n'en pus avoir plus de détails.

Quant à la vitesse à l'intérieur de la trombe, elle doit avoir varié
beaucoup, à partir des environs de Lundarp à Traneryd. A Lundarp,
on s'expliquera les effets, en supposant une vitesse de 20 mètres par
seconde du cóté oriental de la trombe, tandis qu'å Traneryd il aura fallu

le développement partiel d'un phénoméne assez peu ordinaire, savoir un tourbillon
ou »nuage attirant» (c'est ainsi qu'on appelle les trombes en suédois), je communiquerai
brièvement mes observations,

Lorsque mercredi dernier, vers 5 heures du soir, un faible orage passa au-dessus
de notre contrée, je me trouvais à un endroit d'où la vue s'étendait au loin, et je
remarquai le fait bien connu, que deux nuages de tonnerre peuvent marcher dans un
sens inverse l’un de l’autre. En les considérant de plus prés, je trouvai qu'un nuage
venait du N ou du NO, et l’autre du S ou du SO. A langle méme qui se forma
au contact des deux nuages, il se produisit un tourbillon trés reconnaissable au com-
mencement aux véritables culbutes qu'on remarquait immédiatement parmi les nuages.
Au méme moment, la masse de nuage s'abaissa pour se relever ensuite peu à peu. On
pouvait alors observer une colonne de nuages, irrégulière au commencement, mais de-
venant ensuite de plus en plus connexe et intensive,au fur et à mesure qu'elle gran-
dissait en étendue et en force, jusqu'à ce qu'elle ressemblát à un cornet énorme qui,
un peu obliquement, se précipita en avant avec la vitesse et le bruit de l'ouragan.
Pendant sa marche, il était facile de la remarquer lorsqu'elle passa au-dessus des
champs nouvellement cultivés, vu que les mottes attirées coloraient la colonne en brun-
foncé; ou quand ‚le tourbillon passait au-dessus des endroits boisés ou des haies des
branchages, parcequ'alors il attirait bien haut dans l'air des branches ou des brancha-
ges, les emportant sur de longs espaces avant de les faire retomber à terre. Enfin
on lapercut bien lorsqu'elle passa au-dessus du lac Nätaren, situé non loin de la place
ou je me trouvais, par le fait que le cercle de la colonne s'y élargissait assez pour
qu'on püt remarquer la différence, et que la colonne devenait plus claire, à cause de
la masse d'eau qu'elle attirait. Là-dessus elle disparut à l'horizon. Pour éprouver la
vitesse du tourbillon se précipitant en avant, j'observai qu'il mit 8 minutes à par-
courir les trois quarts de milles suédois (29 kilométres) sur lesquels je pus suivre sa
marche.

Le soir en retournant chez moi à Barkeryd, je pus constater que, si le tourbillon
ne s'y était pas formé, il y avait du moins laissé des traces visibles de son appari-
tion; des haies renversées et des branches détachées des arbres. On raconta que des
portes avaient été ouvertes avec violence, mais qu'à moins d'un quart de mille de la,
la force du tourbillon s'était tellement accrue que des haies entiéres étaient renversées
et dispersées, et que des arbres avaient été arrachés et transportés sur de longues
distances. Il était aussi assez intéressant de voir, combien au centre du tourbillon, les
arbres, tout en restant en terre, avaient été tordus, et que plus tard ayant été arrachés,
ils avaient tournoyé plusieurs fois dans les excavations qui s'étaient formées lorsqu'ils
furent arrachés. Au bord du tourbillon, les arbres étaient brisés brusquement.

SUR LA TROMBE DU 7 Jum 1882. 35

une vitesse bien plus grande pour le lancement par exemple d’une demi-
brique qui, à sa surface la plus grande, ne peut offrir que 18X15 centi-
métres carrés sur un poids de 3 kilogrammes.

A en juger par la position des arbres, la relation entre les vitesses
par la translation de la trombe, par la gyration et par »l'aspiration» vers
le centre, doit avoir beaucop varié, mais ce seul fait ne saurait donner
la relation.

En méme temps que la trombe de Säby causait les ravages que
nous venons de décrire, au camp de Mohed en Helsingland on observa
un phénomène analogue, bien qu'il eût une étendue moins grande et qu'il
se rapprochát davantage de ces petits tourbillons qu'on voit le sable
former sur les grandes routes dans les journées chaudes. C'est pourtant.
un fait assez caractéristique, que les cartes marquent une répartition de
temps analogue sur cette contrée.

RÉSUMÉ.

Comme résultat des faits observés par rapport à la trombe de
Säby et de la discussion à laquelle nous venons de nous livrer sur cette
trombe, nous croyons pouvoir tirer les conclusions suivantes:

1. La combinaison d'une grande humidité (relative aussi bien qu'-
absolue) et d'une haute température, combinaison qui s'est établie pen-
dant un calme presque parfait et assez prolongé, est caractéristique pour
la formation de trombes.

2. Les trombes et les orages naissent sous l'empire de conditions
atmosphériques à peu prés identiques, et ils apparaissent ainsi comme
les effets de causes connexes. Ces phénomènes diffèrent toutefois en ce
que les propriétés caractéristiques de l'un ne se retrouvent pas toujours
dans l’autre. (Ainsi je regarde les phénomènes électriques comme ce
qui caractérise spécialement les orages, tandis que je vois dans le tour-
billonnement intense ce qui caractérise principalement les trombes).

3. Les deux phénomènes peuvent se présenter réunis, mais aussi
séparément.

4. Il parait qu'on peut conclure des données du »Character of six
hundred tornadoes» et de la discussion ci-dessus, que les deux phéno-
mènes peuvent dériver l'un de l'autre. C’est ce qui arriverait s’il surve-
nait, pendant la durée de l'un,le complexe des causes qui donnent nais-
sance à l'autre. Ainsi, p. ex., si pendant ou aprés un orage les couches
inférieures de l'atmosphére, insuffisamment saturées de vapeur d'eau, le

36 C. G. FINEMAN,

devenaient par la pluie tombante ou tombée, ou si, au contraire, dans
une trombe, une quantité suffisante d'électricité statique devenait libre par
la modification de l'état d'aggrégation, soit à la condensation de la va-
peur d'eau, soit à la formation de la gréle.

5. La trombe décrite a consisté en un fort courant d'air ascen-
dant, tournant en méme temps en sens inverse des aiguilles d'une montre
placée sur la terre.

6. Ce courant, montant en spirale, a formé, des matiéres arra-
chées une colonne ou un cóne renversé, qui s'est transporté en avant avec
une vitesse variable en suivant une trajectoire du SSO au NNE.

7. La trombe a été alimentée par de l'air humide, qui a afflué
avec une accélération de vitesse le long de la surface de la terre et des
couches d’air voisines jusqu'à une certaine hauteur.

8. Plus l'air a été humide, plus la vitesse intérieure de la trombe
a augmenté. Aussi l'afflux d'air des vallons latéraux et des régions ma-
récageuses a-t-il été trés intense.

9. L'air affluant s'est précipité dans la trombe par le bas de
celle-ci, et il s'est ainsi présenté des phénoménes analogues à ceux que
Yon observe quand de l'air froid afflue vers le feu d'une cheminée.

A une certaine distance, le »tirage» vers la base de la trombe est
devenu visible par l'abaissement des parties inférieures des nuages les
plus rapprochés de la terre. Ici le mouvement a reçu par conséquent la
forme d'un courant de réaction. Tout prés de la base de la trombe, la
vitesse de ces courants d'air est devenue considérable; les arbres qui se
trouvaient aux limites du terrain dévasté ont été abattus ou rompus à
une certaine hauteur par ceux-ci, puis lancés à l’intérieur perpendiculai-
rement à la trajectoire de la trombe. +

10. Enfin, des tourbillons secondaires paraissent s'étre formés à
certaines occasions tantót dans un sens, tantót dans l'autre.

En dernier lieu, l'auteur se permet d'appeler l'attention de tous les
météorologistes sur l'étude de la radiation solaire et du mouvement gy-
ratoire des fluides, parce qu'il est profondément convaincu qu'un grand
nombre de questions météorologiques, et parmi celles-ci également celle
des trombes, de leur formation et de leur fréquence, ne peuvent étre
complètement résolues que par une connaissance de ces circonstances,
fondée sur des recherches expérimentales sûres et complètes.

EXPLICATION DES FIGURES.

Pl. I—IIL Les petites fléches indiquent des arbres tombés dans les directions re-

IBI TET.

BIOL:

spectives des fléches. Les grandes fléches sont destinées à rendre plus
clairement le phénomène. Entre les grandes flèches reliées par des
lignes pointées, les arbres sont tombés en grand nombre et paralléle-
ment à la direction qu'indiquent les flèches.

1. Le chateau de Traneryd.
2 et 3. Les ailes du chateau.

6. Étable.

7. Forge.

8. Place de Mr C. F. JOHANSON.

9. Aire. ;

3. La serre de la vigne du cháteau.

Fot = pied suédois = 0.297 métre.

La ligne noire pleine montre la trajectoire de la trombe.

Erratum: pag. 9 au lieu de C. J. JOHANSON lisez C. F. JOHANSON.

trombe etc. PlI

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C.G. Fineman,

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T. Mont Tempelberg‘ ; gE
S. Vallon de Siggarp. NY

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Tranas

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Gripenberg

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de
la vallée de Säby

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Le T juillet 1882.

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C. G Fineman, Sur la trombe etc. PLVL

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B Tl Guillet 1882.

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Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser ll.

C. G.Fineman, Sur la trombe etc. PLVIL

Central Tr. Stockholm

Lei ltr 1882.

SUR L'INTÉGRATION
DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

DU PENDULE CONIQUE

GÖRAN DILLNER.

(PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 4 DÉCEMERE 1882.)

3 UPSAL
EDV. BERLING. IMPRIMEUR DE L UNIVERSITÉ.
1883.

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SUR L'INTÉGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
DU PENDULE CONIQUE.

Dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris,
séances des 5 et 26 décember 1881, M. Hermite a réduit les équations
différentielles du pendule conique à une équation de Lamé, sous forme
complexe, dont lintégrale est connue. Suivant les formules générales
que contiennent mes deux Notes, insérées dans les Comptes rendus du
31 janvier et du 7 février 1881, j'exposerai ici une méthode pour trouver
les intégrales de ces mémes équations sous forme algébrique et loga-
rithmique. J'ai cru que les résultats ainsi obtenus auront à cóté de
ceux de M. Hermite quelque intérét.

Equations du pendule.

1. Des équations différentielles du pendule, mises sous la forme
usitée,

d’x
3 jg + Nx—0,
T
1 2 I pA if = 0
(1) dt? 7 j
dz
LER. Nz =
dt” 2r I:

on tire, en posant,
| D quera

tang 4 = I
x

(2)

I

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 Goran DILLNER,
l'équation des aires sous la forme,
(3) "de = ldt,
où I est une constante. Posons la quantité complexe,
(4) Uu 8 S00) = IF 5
alors à l'aide de l'équation de la sphère du rayon 1,
(5) e+yp+e=al,

et suivant les formules (3) et (4), on obtiendra cette expression de la
quantité complexe Y,

(6) Wes ae e

s

En posant, de la maniére ordinaire,
3 diae dy dz
en.

on tire du système (1) l'équation des forces vives sous la forme usitée,

(7) v? — vi = 29(z—h)
équation qui, en posant

8 ato

(8) 6 2; Us

s'écrira plus commodement,
(9) v = 29@ 46).

Si l'on différentie l'équation (5), mise à l'aide de (2) sous la forme
r — 1—z*, et que lon ajoute le carré du résultat au carré de l'équation
(3), on obtiendra au moyen de (9), en faisant usage de la formule

dr*-pr'de!— dx? + dy?, l'équation différentielle suivante entre la coor-
donnée z et le temps t,

(10) 276,

où l’on a posé,

SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PENDULE CONIQUE. 3

(11) Pe) = 2g(1—2*)@ + c) —P = 29(a—2)(e—8)(e—»),

a, 6 ety étant ainsi les trois racines de l'équation cubique P(z) = 0.
Puisque P(—oe)70 et P(—1) = — À, on a une des trois racines y — — 1;
ensuite, puisque z doit avoir un maximum et un minimum, ces deux va-
leurs seront en vertu de (10) respectivement les deux autres racines 2
et ©, la plus grande racine 2 étant nécessairement positive À cause de
l'équation ab + «y + By 2 — 1, et toutes les deux comprises entre d Jl
et —1 à cause de l'équation (5). Å ces points de maximum et de mini-
mum de z on a

(12) PULVER

V et V, étant les valeurs de v respectivement pour z =e et z = f.
De l'équation (5), deux fois différentiée et combinée avec (9),
on tire,

„€ a d*y
art ae

d'z
pce pec 0:

résultat qui au moyen du systéme (1) se transformera dans l'équation
suivante,
(13) N —3gz--29c.

À laide de cette équation les deux premières équations (1), eu
égard à la formule (4), se transformeront à l'équation suivante du second
ordre et de forme complexe,

(14) =

— + (392 + 2gc) Y =0,

équation qui, aprés l'élimination de z au moyen de (10), prendra la
forme d'une équation de Lamé. Crest en employant lintégrale connue
de cette équation que M. Hermite, dans les Notes citées, a devéloppé les
propriétés du pendule.

Aprés ces préliminaires je vais. exposer la méthode annoncée ci-
dessus.

Formules générales pour exprimer les intégrales du pendule.

2. D'après la formule (2) de ma seconde Note déjà citée, on a

en général, P(z) et 4j(z) étant des polynómes à coefficients constants,
& la r-ième des n racines de 1 et M,,..., M, des entiers positifs,

4 GÖRAN DILLNER,

qe “San CRC M
= SE #2) PG) f(a) Play

Mes y e, log (Z,—s,) + const. ,
(CD) ON =

où l'on a posé, &,...,a, désignant des constantes, le produit,

(16) f@) = G—a)...(G@— as) ,
et le quotient,
P(a,) 1
17 Log as eS - —— E = Il, 2 Cun 9
( ) r Ü (a,) n Gn (a) 3 G CES D x) ?
| P(a,)

les fonction 7 et g étant définies par l'équation algébrique,

(18) Giz) = GG 2). (eZ) POET

où g(z) est un polynôme à coefficients variables d'une dimension supé-

^

rieure à celle du quotient Fe , et où G est le coefficient de la plus

haute puissance du second RUM De plus, les limites d'intégration
2,,... Zu, qui sont les racines d'ordres respectifs M, ,..., M, de l'équa-
tion (18), doivent satisfaire aux JM, +... + M, équations suivantes,

in Nour ,
(19) Leer | 229. —9....,] PRE) oreet pM

équations qui, aprés l'élimination des coefficients variables de g(z), con-
stituent les relations nécessaires entre les u variables z,,..., 2. On
suppose aussi que les limites inférieures d'intégration &, ,..., t, satisfas-
sent au méme systéme d'équations (19), et qui par suite sont à consi-
derer comme des valeurs particulières constantes de z,,..., z,.

SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PENDULE CONIQUE. 5

Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients rationnels.

3. À l’aide de l'équation (10) on aura,

GP GE alae . av GFZ GEO MU PE) dr

E —— = IP Z = .
dt? dz C) dz dt? (2) dz T3 dz dz’
done, la dérivée logarithmique de P(z) étant

a Zz 1 1 1
(19) I,

dz GE Be 25

on pourra mettre l'équation (14) sous la forme,

t PY aloe, Bae PARK =
20 s a5 If y-0
= Ge eae dz dz JA) 1

équation qui est linéaire et du second ordre et dont les coefficients sont
rationnels.
,

L'une des intégrales particulières de l'équation (20) est, d’après
(6) et (10), de cette forme,

ildz
(21) Ÿ = (1 EZ dre

l’autre intégrale particulière étant,

-f ildz

(22) Baus uo cn

Produit des diverses valeurs de Y, exprimé en fonction algébrique des

valeurs de z correspondantes.

4. En considérant, d’après (21), les u intégrales

ildz,

(33) ya me Nile encor N N

les u équations différentielles corresspondantes étant d’après (20),

12 Ghee) Ce BOAT
E ee P Y 0 Gide)

6 GÖRAN DILLNER,

on aura le produit suivant de ces u valeurs de Y,

nz ildz,

2 <—

(25) W Bo Jm = [A —%") RE (1—22)] om (1—2,2) P (27 ju 9

où la somme des u intégrales s'exprimera en fonction logarithmique des

u valeurs z,,...,z, Suivant la formule (15) en y introduisant les rela-
tions suivantes, =

M=...=M,=1 et E

p & = — 1 7
Pe) = = dee G6— f) (z—»)
PO un el one = m ye a at

En effet, l'équation algébrique (18) prend maintenant la forme,
CHE CCS) Ce) RP ER CR
les w valeurs 2, ,..., 2 devant satisfaire aux u équations
(28) P(z,) e G) (HE EEE u);
et d’apres (15) on aura,
E n dz, 1 Ze dl Zz o d
20) 03 l = ] 1 lo t.
Co) 2 LG DPE) A eb TEE aes! TAT | TE
oü d'aprés (17),
; il 1
41 = =
g (1 Gn(l)] >
) E + ) 2
30 i
(30) il 1

CD) qu SED

les limites inférieures & ,.., t, des intégrales (29) devant satisfaire aux
mèmes équations (28) que les limites supérieures z,

... 24. "Doneren-
fin le produit (25) prend la forme algébrique suivante,

= = = ze
3l De = RUE EAN:
(31) = a. Rt

SUR L'INTÉGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PENDULE CONIQUE. 7

ou A désigne une constante. Dans cette équation les quantités com-
plexes Y,,..., Y, satisfont aux u équations différentielles respectives
(24) tandis que les u valeurs 2,,..., 24, contenues dans le second mem-
bre, doivent satisfaire aux relations que l'on tire des u équations (28)
en éliminant les paramètres variables y,,...,g, contenus dans la fonc-
tion g.

La constante d'intégration K se déterminera en assignant aux
Z,,---, 2. les valeurs particulières constantes 5 ,...,t, dans la for-
male (29).

Somme des diverses valeurs de 4, exprimée en fonction logartthinique
de z correspondantes.

5. Une valeur 6, de langle 9 s'exprimera, d’après (3) et (10),
par la formule suivante,

ii ld Zr

2 o
(92) re Ge EC

d’où l’on tirera d'apréz (29) et (30),

r=u r=E f'z. ldz, 1 l + ip (— 1) l + tg (1)
3 » = —_—— re tai à = | S *
p )= E 2 & (1— 23) PG, sj lem gen EYE i (| tenete

ou, d'aprés (27), on a les expressions suivantes de g(1) et de g(— 1),
[s(D =(-@0—4)...—4) — Q1,
Lee ne

expressions qui doivent nécessairement être réelles pour que la somme
6,+...+ 6, soit réelle. Mais une condition nécessaire de cette réalité
est, pour m un entier positif,

(34)

RENE

(85) | u = 2m

c'est-à-dire que u doit étre 4 ou un nombre pair plus grand. Étudions
le cas le plus simple w — 4 et par suite » — 2. Alors, l'équation (27)
prend la forme,

8 GÖRAN DILLNER,
(36) Ga)... @—2,) = P(z) — gp GA) ey

G ayant par suite la valeur négative —g;. Puisque les quantités 9, c,
et c, sont des variables indépendantes, on peut poser,

Dem“
(37) wir
B = Cy = 24;
done léquation (36) prendra la forme simple,
(9E) gi —a)6—2) = 2g(e—Y) + HG —2)C 8),

d'où l'on tire, pour z =z, et z —2z, , les deux équations,

: 29g(2—) 2g(2,—)
9 (jo = = = ,
(39) LECT CE

les valeurs de g(1) et de g(—1) étant par suite,
e) = s (1—2)0— 6),
gC—- 1) —g + 2)(1+08)-

Maintenant, si lon suppose ¢ = « et & — 8, la formule (33)
pourra se mettre sous la forme suivante,

(40)

r=2

= [fe ldz,

1 1 9 — du z
SITUE ee

= arctang ue —arctang a + const. ,

où la constante d'intégration se déterminera en faisant 2, = G et z, = &.

Done, étant donnée une valeur 6, de l'angle 0, correspondante à la
valeur 2, de l& coordonnée z, une autre valeur 0, de 8 se déterminera par
la formule (41) comme correspondante à la valeur z, de z, donnée par la
relation algébrique (39).

Equation de Lamé.

6. Si lon pose, comme l'a fait M. Hermite,

mw =3g(aæ— 0),
=)

(42)
| je a—B

= 7

2e;

SUR L'INTÉGRATION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PENDULE CONIQUE. 9
oü t, est une constante, on transformera, en posant
(43) & —z — (a—)z*,

la formule (10) dans la suivante,

(44) du
dot il suit,
(45) = [SA S

et alors l'équation différentielle (14) prendra la forme d'une équation de
Lamé,

(46) Se rug | iita xl | Y,
a-y

dont lintégrale est donnée par M. Hermite. Cette intégrale s’exprimera
suivant (6) et (10) sous cette forme, u, étant une constante,

u ildu
Joe = em)
(47) Y —Í1—[e— («— G)sn'uf fe“ Den "n

et s'évaluera par suite d'aprés les formules données pour les intégrales
elliptiques de troisième espèce.

Méthode pour trouver unmediatement l'intégrale Y.

7. J'exposerai ici une méthode pour trouver l’intégrale Y sans
avoir secours à la méthode mentionnée dans le n? précédent. Pour
cela nons emploierons la formule générale de l'intégration des fonc-
tions doublement périodiques que j'ai donnée dans mon Mémoire sur
les intégrales définies etc., inséré dans les Actes de l'Académie des
Sciences de Stockholm, Tome 18, n° 6. j

En effet, d'aprés la formule (17) du Mémoire cité, on a la for-

mule générale

a
"ApQo]du _ Pre MER Pp] "LIN
(48) J. FT th) + ni] Cd log ST de,

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III., 2

10 GÖRAN DILLNER,

ou p(w) est une fonction doublement périodique uniforme, 44 et F des
polynómes entiers et rationels de p(w), À une constante et a, ,..., 4,

tous les infinis du quotient ipo En considérant le cas particu-
Fo] |

lier ou tous ces infinis sont simples, on a la formule,

L= y

Li re YW tog 2—9 qu. | =A) PO) jpg su
Fip()] ^" z—u, Fo) "aw

en vertu de la quelle la formule (48) prendra la forme,

9 mi.

LO) gy — NE TRECE er
9) | bur m Bem + | HG] CE

où la constante H se déterminera en prenant la dérivée de chaque
membre par rapport à u,

(50) A p Q2]. HANS Y ji (ea) Ip (x) 1

FTp(u)] Een] Fl pla Le USER

et assignant à w une valeur constante convenable U.
8. Reprenons l'intégrale (32), mise sous la forme,

a) if dz 4
JAP Oh

alors, en posant les deux quantités positives,

ji dz Er SIN 5
¢ =a PO! "dell Foren] |

1— a >
Exe s ems BS
a — B 2
(91)
We
UH NM
| YR B
on aura à l’aide des formules (42)-(45), pour L = en , le résultat
suivant,
ro fe du FSC
GE) SELL dö Suri ees far be Gracie al!

où à la valeur t — t, correspondent les valeurs wu = 0 et 8 = 0.

SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PENDULE CONIQUE. 11

Si l'on pose 4 — sna et que lon désigne par u, et u, les deux
suites des zéros de l'expression (sn’«— 4”), on aura d’après la manière
usitée d'écrire,

Gua PENA
a Wo a 2 my TOUTE
(53) "

| uy zou Jb Xy BS AD

il)
done on obtiendra d'aprés (49),

v=Uy v=Ug
fu

Ten en et

Sk Sa S2 Ae E sn?z — A?

ou les sommations s'étendent à toutes les valeurs positives et négatives
des entiers m et » , y compris zéro.

En observant que les dérivées (sn'u,) = 2sna(sna) et (su?*u,) =
— 2sna(sna)', et que l'on peut remplacer u, par —u, dans les sommations,
on pourra écrire la formule (54) de cette manière,

= % du 1 ly U
(55) | SE = Gi SL ine EE
sn?u— A? 2sna(sna d ees
gil- 1

où la constante H se déterminera d’après (50), pour U — 0, par la
formule,

i e 1 = J

= AM sna(sna) ^ uw,

(56)

?

résultats dans les quels on reconnaitra les formules de l'ntégrale ellip-
tique de troisième espèce.

Si l'on pose iB = snib et que l'on désigne par v, et v, les deux
suites des zéros de l'expression (sn°u + B*), on aura les formules,

} vy =ib+2mK+2niK,,
(87) : |
Us, =

i D PO REED aa

done il suffira de remplecer a par ib et uw, par v, dans les formules

(55) et (56) pour avoir les résultats suivants,

ck 1 Op — lll
58 LE NN Hu. eee EN) cies
i! sn’u+ B? ino ib(snib) ^ = v EU

12 GÖRAN DILLNER, SUR L'INTÉGRATION DES EQUATIONS etc.

et
1 1 1
(59) JF | snib(sniby © vw, |

la constante H, étant déterminée par cette dernière formule.
On fera disparaître le signe imaginaire des formules (58) et (59)
de la manière suivante. En observant que

ne 2mK—u+ilb+2nK) 1x lom Zink u (OS Bok
(^ ARA 122 (NONSE ba ön Ka
f DEAN b+ 2m K,
v ERE ÅT ancien OSP I
ÖN oe EI RES

NV

on voit que la première somme du second membre s'annule en assig-
nant à m les valeurs 0,-- 1, —1,--2,— 2, etc.; de plus la somme,

HOUR 1
d qu cer o S5 EN nU

se réduira à une somme des termes réels en attribuant à m les valeurs
0,217, M 2 etc. Done, Imtesrale (58) Prencka a forme,

P? dw 1
60 P ee Nr
ED) J su B "Top 4 B) A+)
b+ 2nK, b+2nK
> aretang EN arcing ET
oe Den een

ou H, est une constante réelle.
Enfin, par les deux formules (55) et (58) on détermine langle 6
dans (52), et par suite l'intégrale Y est trouvée.

DÉMONSTRATION

DU
THEOREME DE CAUCHY
SUR

LINTEGRALE D'UNE FONCTION COMPLEXE

M. FALK.

(PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 7 FÉVRIER 1883.)

UPSAL
EDY. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1883.

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CR:
E.
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LE 7

MET To
# m ni

À Irev RE
m, Ali ut VAS DOCE +

TUS
ya

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY SUR L'INTÉGRALE
DUNE FONCTION COMPLEXE.
En désignant, comme le fait M. WziERsTRAss, par [a] le mo-

dule de a, on a le théoréme connu qui est contenu dans la formule:

Ils
| + 2 +--+ |S] |+]a)+.--+] a

ou
| À als Dla
j "d 4-1
D. Par
P.
[roa
E

Eugen

nous entendons la limite
n

Md =
men (« Ji À
N=0 3-0 n
Nous supposons ici c, /7, t réelles, mais f(t) est supposée com-
Si a et (8 sont finies et que f(t) soit uniforme et continue pour

plexe. ©
3.
toutes les valeurs réelles de t depuis t — a jusqu'à t = (2, la valeur de l'in-

tégrale définie
cg
J ftdt

est finie et parfaitement déterminée.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

2 M. FALK,

En effet, soit
. f() — q() + ivt) ;

ou g(t) et w(t) sont fonctions réelles. Par la définition méme de l'inté-
grale nous avons

[ro = J «6 a if wou :

Maintenant g(t) et w(f) étant par supposition uniformes et con-
tinues, on sait, par la théorie des intégrales des fonctions réelles, que
les intégrales qui figurent dans le second membre de cette formule sont
finies et parfaitement déterminées. Donc il faut que lintégrale du pre-
mier membre le soit aussi, ce qu il fallait bien prouver.

4. Si, f(o,t) étant une fonction de o et de t, on se donne une
quantité positive o, aussi petite qu'on voudra, et que pour chaque va-
leur de ¢ depuis t = « jusqu'à t = f, une autre quantité positive d, puisse
s'obtenir, telle que

a) |/ (o - ^, t)—f@,t|<o pour [Al <9, ’

il ne s'ensuit pourtant pas qu'il existe une quantité positive 9 indepen-
dante de t, telle que pour toutes les valeurs de t en question

P) I/(o 4- 4,0 —f(e, | pour |^|x 9 .
Ainsi, par exemple, désignons par F(t) le développement en série
irigonométrique de l'expression
(mn.

Cette série sera convergente pour chaque valeur de t depuis
t— — n jusquà t — z. Alors on a pour Oc t^ « 7°

HO) = (Ge =

Pour t = 0 cette équation n'a pas lieu, mais la série trigonométrique
donne

AG) = 0.4

1) Voir: Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunc-
tionen einer Veränderlichen, von D:r J. Toomm, Zweite vermehrte Auflage, pp. 15 et 16.

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY. 3

Cela posé, prenous

fe, d=eF®,
dot il suit
f +h,t)—fle,t) =hFO.

Ici pour chaque valeur donnée de t, depuis = — a jusqu'à ae TL,
la fonction F(t) est finie et parfaitement déterminée; par suite on peut
toujours, pour une valeur donnée de t, obtenir une quantité positive 0 de
manière que

|/(o 4- ^,0) —f(o, | Xo pour JA] ET.

Mais il est évident que 9 tendra vers la limite zéro, quand t se
rapproche indéfiniment de zéro) et que, par suite, il n'existe aucune
quantité positive d telle que, pour toutes les valeurs de t en question,

L/(e 4,2) — fe. n1 Eo pour |4]&9.

Dans ce cas on dit que /(g,/) est fonction continue de la seule
variable o pour chaque valeur donnée de t entre t = — x et t = zt, mais
elle n'est, pas fonction continue des deux variables indépendantes @ et #
dans une partie du plan des coordonnées (o , t) dans laquelle sont situés
des points pour lesquelles on a t — 0, puisque la fonction F(t) est dis-
continue pour t — 0.

5. St, au contraire, f(@,t) est fonction continue des deux variables
(e ,t) dans chaque point d'une certaine partie du plan des coordonnées (0 , t),
il existe nécessairement, pour chaque valeur positive de o, une quantité posi-
tive 0 (qui, en général, dépend de ©) telle que, pour tous les points situés
à l’intérieur de la partie mentionnée du plan

|/(e -- 5,2) — (o, 0| o pour |^|S9,

ce qui, par suite, sera vrai pour une valeur donnée de e et pour toutes les
valeurs de t comprises entre deux limites, telles que tous les points déterminés
par ces valeurs de @ et de t soient situés dans l'intérieur de la dite partie
du plan.

En effet, f(o,t) étant, en chaque point de la partie du plan,
fonction continue des deux variables @ et t, on peut, après avoir donné

1) En effet, la valeur absolue de F(f) croît au dela de toute limite, quand £
se rapproche indéfiniment de zéro.

4 M. Fark,

la valeur de c, trouver une quantité positive 9, telle que en tous les
points dans lintérieur de la partie du plan

| (o =S Art Ee) =7@,) |e pour oso mne eto

Supposant ici £ — 0 et choisissant, dans l’intérieur de la partie
du plan, une courbe déterminée par une valeur constante de o, on ob-
tiendra précisement la formule (/7), ce qu'il fallait bien prouver.

CSP OD a EE sont fonctions uniformes et continues des
de

deux variables réelles (o,t) dans l’intérieur d'une certaine partie du plan
et que la courbe décrite par le point mobile (@,t) pour une valeur fixe de
o,t allant de t — a à t= (3, soit tout entière située dans l’intérieur de la
partie mentionnée du plan, on a, « et [) étant indépendantes de 0,

8 ;
i f@,t)dt -{" Ve à 2 ,

a

c’est-à-dire que, dans ce cas, on peut intervertir l'ordre de la differentiation
et de l'intégration, ?)
En effet, soit

f@,D = «(9,0 + ?v(o. 2) ,
y(@,t) et w(e,t) étant fonctions réelles. D'après le n:o 3 nous avons

J'ai = toot +i fotos tt ;

1) Voir: Hlementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen
Veränderlichen, von J. Tuowz, Halle 1880, $ 39.

2) Les conditions énoncées dans ce théorème sont suffisantes mais non pas
nécessaires. On n’a pas, jusqu'à ce jour, réussi à trouver les conditions à la fois né-

cessaires et suffisantes. — Dans une note au bas de la page 23 du Traité: Briot
und Bouquets Theorie der E He Funetionen und insbesondere der El-
liptischen Transcendenten....dargestellt von Hermann Fischer, Halle 1862, on lit:

»Es ist nur dann erlaubt, in diesem Integral» — ffe — die Reihenfolge der

Integration und Differentiation zu wechseln, wenn dite Function f(z) innerhalb des
Raumes, in welchem sich 2 bewegt, endlich bleibt». Mais une telle condition est
évidemment insuffisante, ce qui a été signalé par M. J. THomæ dans son Traité ex-
cellent: Einleitung im die Theorie der bestimmten Integrale, Halle 1875, $. 31, auquel
jai emprunté les conditions suffisantes énoncées dans le théorème ci-dessus.

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY. 5

d'ou l'on obtient

E 8 28
à : 0 . 0
—— | f@,i)dt = zl q (o, t)dt i] (OP) TE

a a

En vertu de la continuité des fonctions f(@,t) et SAGE , les
9

fonctions q, w et leurs dérivées partielles par rapport à o sont aussi
continues. On a par suite, d'aprés un théoréme connu,

pts TAROT,
h 90. er Nu

Maintenant, par supposition, MM est fonction continue des

Q

N
deux variables indépendantes (o,t) dans une certaine partie du plan, et
la courbe le long de laquelle l'intégrale est prise, est située tout entidre

dans l’intérieur de cette partie du plan; donc, en posant

aq(oJ-5h,t) —29(0,0 _,
de 20

et en vertu du n:0 5, nous avons
ls| zo pour |32|€9 ,

9 étant une quantité positive qui ne change pas de valeur, quand t
varie de t —« àt— |. Par conséquent, on obtient

$(9--^,t) —q(o,t) _ dplo,?) ipd
h de

et, par suite,

8 8
3] plo,t)di= lim Alan 2) DZ

n=0 h

8 dd
=| I plo , t) dt a lim | EAT
do À-0 X.

6 M. FALK,

Mais, en vertu des n:os 1 et 2, on a
B aS
If dt | sno. P= 6.180) :
Zr n
a

Puisqu’on peut choisir o si petite qu’on voudra, on a done

A

; 8
lim edt =0

h=0

et, par conséquent,
9 F Fag(e,ù d
= p = = Gb à
se J 90:92 i De

On obtient de la même manière

0 P Pawo , t)
az | ve. - f ar.

Done nous avons

none _ (Postes) Ce
sj fe one fg | s dt =

ee
ce quil fallait bien prouver.
7. Supposons qu'on ait décomposé f(x,y) de la manière
fe, y) = e(m y) p iwi).

où z,9y , p(x,y), V(z,y) sont réelles. Alors pour que CER soit con- '
tinue dans un point ou dans une partie du plan des (x , y), il faut et il suffit
que chacune des deux fonctions g(x,y) et w(x,y) y soit continue.

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY. 7

8. En posant
a + yi ="2 2

Î(æ,y) peut être considérée comme une fonction de la seule variable z,
à ce point de vue que, à chaque valeur de z, il correspond un seul
système de valeurs de v et de y, et si ce système appartient à un
point dans la partie du plan où la fonction f(x ,y) est donnée, cette
fonction devient alors déterminée par la valeur de z. Ces considéra-
tions justifient la notation F(z) au lieu de f(x,y). Par suite, au lieu de
l'équation du n:o 7, nous pouvons écrire

Fz) = plz , y) + iuo sy) -
Cependant on ne fait ordinairement usage de la notation F(z)

que dans le cas où la fonction est monogène (Voir n:o 10).

9. Attribuant à z un accroissement quelconque Az, s et y
éprouveront des accroissements correspondants Ax et Ay, liés à Az
par la relation

Az= NI IE AD co

Le changement de z eu z+ Az équivalant à remplacer à la fois
& par z+ Az et y par y+ Ay, on obtient

F(z-EAs)—qg(z--Az,y-- Ay) +ip@+ Ar,y+ Ay)
pourvu que la fonction soit donnée au POI Aa ENG:
10. Lorsque le rapport

IN des NA) MO)
Az

tend vers une méme limite, quand Az se rapproche indéfiniment de zéro,
d'une manière quelconque, cette limite s'appelle la dérivée de F(z) (par
d F(z)
digne

En chaque point où F(z) admet. une dérivée, la fonction s'appelle
monog ne.

rapport à z); on la représente ordinairement par F'(z) ou par

8 M. FALK,

Même dans un point où la fonction 7(z) n'admet pas de dérivée,
elle peut néanmoins y avoir des dérivées partielles par rapport à x
ou à y.

ll. Lorsque, dans une certaine partie du plan des coordonnées, la
fonction F(z) est uniforme, continue et admet une dérivée, on l'y appelle
fonction synectique. Seulement dans des points isolés, on admet que la dé-
rivée soit discontinue ou quelle ny existe pas. ?)

12. Si l'aire d'une partie du plan est limitée par une ligne
fermée continue, on dit qu'elle est à contour simple; si elle est limitée
par plusieurs lignes distinctes, on dit qu'elle est à contour complexe.

Pour une partie du plan à contour simple nous avons le théo-
reme:

Lorsqu'une fonction F(z) est synectique dans une partie du plan à
contour simple, les intégrales définies

[roat

relatives aux différentes lignes qui vout d'un point z, à un autre z, dans
cette partie du plan, sont égales.
On peut supposer qu'une de ces courbes soit décrite par le point

C, en posant
= PQ)

où g(t) est une fonction complexe uniforme et continue de la variable
réelle t, et en faisant varier t de t=0 à t — f. Alors on aura

Jos rows.

I] faut évidemment supposer l'existence de q'(?), et pour éviter
des complications inutiles, nous supposerons de plus que ¢ soit la lon-
gueur de Parc de la courbe comptée à partir du point z, et aboutissante
au point mobile ¢ Si, de plus, la longueur totale de la courbe est
égale à s, la formule précédente devient

1) Voir: Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale von Dir J.
Tuoma, $. 76.

Miss FOR a

te ee aliqu à inim

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY. 9

(1) Frot - | | Fie@ly@at.

m
£o 0

Grâce à ces conventions, q'(f) ne peut devenir infinie en aucun
point de la courbe. En effet, nous avons

C—§4 in,

£ et 7 étant les coordonnées rectangulaires du point mobile Z, d’où
nous obtiendrons

dto v dt

dé dé . dq
1

et par suite

sdb sehe eau

c'est-à-dire
dc
dt

=],

GS

puisque t est l’arc de la courbe. Mais de € = q(t) nous tirons S pt);
dt

done nous avons |Y(t) | = ls et, par suite, g(t) ne peut pas devenir
infinie sur la courbe.

Soient pour une autre de ces courbes gq, ,f, et s, les quantités
analogues à q , t et s. Alors nous avons

C = qt) °

Posons ici

et
£ sit
Pi (= E x (t ;
l'équation de la courbe devient alors

5= 0)
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 M. FALK,

^

et l'intégrale définie relative à cette ligne s'exprime de la manière
(2) | FLO OA.

L'existence de y'(t) est supposée ici et cette dérivée ne peut ja-
mais devenir infinie sur la courbe, puisqu'on a évidemment

Ix y] = | pi (t) ES =

S

Revenons maintenant à la démonstration du théoréme énoncé. ll
sera démontré, si nous faisons voir que les intégrales 1) et 2) sont
égales, c'est-à-dire que

J HeOwoa = [ FOO,

ou l’on a évidemment

zu = OO) SAVE

3
(3) z = (s) — x(s) .

Maintenant, décomposant y(t) en g(t) + w(t), on déduit des con-
ditions (3)

(4) yO) = ys) — 0 ,

et le théoréme deviendra démontré en faisant voir que lintégrale définie
©) | Fo + ev) +ew)dt
0

relative à la courbe
(6) C= q(t) + oy

a la même valeur, quelle que soit la valeur constante de o depuis o = 0
jusqu'à o — 1. Il est évident que ni g(t) ni w(£) ne peuvent devenir
infinies en aucun point de la courbe, laquelle aussi pour ces valeurs de
9 doit être supposée située à l'intérieur de la partie du plan à contour
simple.

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY. itl

13. Ces conventions faites, nous démontrerons d'abord le théo-
reme dans le cas ot F(z), pt) et w'(t) sont continues. Dans ce cas
aucune des courbes considérées ne sera brisée.

Désignant par J lintégrale (5), on a en vertu du n:o 6

oJ ; ; ce :

SU [Fy ov dt | F(pg+ew)y.(p -ov)dt ,
puisque, par les suppositions faites, la fonction qui multiplie dt sous le
signe f et sa dérivée par rapport à o sont fonctions uniformes et con-

tinues des deux variables indépendantes g et t.
De l'identité évidente

d ! ; ;
a | Fu ten v] = PW teve-@ +ow)+FG+ey)-y

on obtient par l'intégration

0

J Fou. Gr ovt - [Fé 4 ow — [FG cout :

Par suite l'expression de 2j devient
9

ad » Bao + ov(0]v (D

c'est-à-dire, en vertu de (4),

Puisque la dérivée de J par rapport à o est finie pour toutes les
valeurs de @ depuis o — 0 jusquà po — 1, J est elle méme fonction
continue de o; et puisque cette dérivée est égale à zéro, J a aussi la
méme valeur pour toutes ces valeurs de g.") Les valeurs o — 0 etg = 1
nous donnent par suite

1) Voir: Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale, von D:r J.
Tuoma, $. 10.

12 M. FALK,
J Feo od — | Fig + v tr) +wold .

Le théorème est donc démontré dans le cas ou F(z), p(t) et
y(t) sont continues.

14. Supposons comme auparavant que F’(z) soit continue mais
que y(t) soit discontinue au point t = r entre t — 0 et t — s, c'est-à-dire
que la courbe t = g(t) soit brisée au point déterminé par t — v. Alors
nous tragons, dans l’intérieur de la partie du plan, une courbe non-brisée

C= g(t)

par les trois points 6—0, t=r et t=s. En vertu de ce que nous
venons de démontrer au n:o 13, nous avons ici

Jf Flow on = f Ft ouod ,

J Fisco = f Fla@le@ae ,
d'oü par l'addition
[ Fo@ly@at= [Fisco (Od ,

c'est-à-dire que l'intégrale relative à la courbe brisée t = g(t) est égale
à l'intégrale relative à la courbe non brisée ¢ = gift). Cela s'étend de
la méme manière au cas où la courbe ¢= g(t) est brisée en un nombre
fini quelconque de points distincts. Si l’autre courbe = gt) + w(t)
est aussi brisée, on la remplacera de la méme maniére par une courbe
non-brisée passant par les mémes points extrémes et par ses points
singuliers. Les intégrales relatives au deux courbes non-brisées étant
égales en vertu du n:o 13, celles relatives aux courbes brisées le sont
aussi. Le théorème est donc démontré pour le cas ou Æ'(2) est continue et
quand les courbes le long desquelles Vintégrale est prise me sont pas brisées
en un nombre infini de points.

15. Supposons enfin que F'(z) soit discontinue en un nombre quel-
conque de points distincts dans la partie du plan; le théorème restera vrai
aussi dans ce cas.

DEMONSTRATION DU THÉORÉME DE CAUCHY. 13
En effet, supposons quil y ait sur la courbe
c= g(t)

un nombre quelconque de points ou /'(z) est discontinue, mais qu'il n’y
ait de tels points ni sur la courbe

t— gl) +4 ;

ni sur les courbes intermédiaires représentées par

C= 9%) + ov)

pour 0<e<1.. Alors supposant, ce qui est évidemment permis, que
g (t) et w(t) soient continues, on a pour toutes ces valeurs de o '

n.

(1) E y) (9 + pdt = | Flo +ew) CUN NA

Puisque la fonction F(z) elle-méme est continue dans toute da
partie du plan, l'intégrale

(2) | Fly Oly (dt

a une valeur finie et parfaitement déterminée. Nous avons aussi, en
vertu des n:os 1 et 2

(3) || Po + eu) @ + eat [Fig d | e ars

ou M est le maximum de

(4) | F(g + ev) (g + ov) — Flo) 9 |

pour les valeurs de t depuis t=0 jusqu'à ? — s. Mais puisque nous
avons supposé g' et w continues, on peut prendre la valeur de g si
prés de zéro que, pour toutes ces valeurs de +, l'expression (4) soit
<o, quelque petite qu'on ait pris la quantité positive c. Par suite on
a aussi

M Lo.

14 M. Fark,

Mais tant que o reste — 0, la valeur de lintégrale

JFG o9) Gr teat :

est indépendante de o, et l’inégalité (3) par suite démontrant que le
module de la différence de cette intégrale et de lintégrale (2) est plus
petite que chaque quantité positive, il faut que ces intégrales soient
exactement égales. De ce résultat et de l'équation (1) la vérité de
l'énoncé découle immédiatement.

16. Par la même méthode, dont nous venons de faire usage
dans le numéro précédent, on peut démontrer le théorème:

"Si F(2) est uniforme et continue en tous les points de deux courbes

. , . \ Ile . \

qui vont d'un point z, à um autre point z, et dans la partie du plan à la-
quelle l'ensemble de ces deux courbes est un contour simple, et que F(z) sott
synectique dans l'intérieur de cette partie du plan, les intégrales définies
relatives à ces deux courbes sont égales.

17. Si F(2) est continue et uniforme dans une certaine partie du plan
à contour simple et sur ce même contour, et que la fonction soit synectique
dans l'intérieur de la méme partie du plan, l'intégrale définie

prise le long du contour entier est égale a zéro.
En effet, soit ambm,a ce contour simple et désignons par

F(e)dz
(a mb)

l'intégrale de F(z)dz prise le long de la courbe amb dans le sens de
a à b; alors nous avons, par la définition même de l'intégrale,

F(z)dz 2 — [Fas i
> (bma) ©: (amb)
Mais en vertu du théoréme du n:o 16 nous avons

[F@a: = [F@dz

amb) ‘(am b)

DEMONSTRATION DU THEOREME DE CAUCHY. 15

et, par suite, l'équation précédente devient
| 764: = — fred

(bm,a) (amb)

ou

[7e + [F@)dz=0,
(amb) Gr a)

c'est-Á-dire

F(z)dz 20,

(am b ma)
ce qu'il fallait bien prouver.

18. On dit qu'une courbe du contour (simple ou complexe) est
décrite dans le sens positif, si elle est décrite dans un sens tel, qu'un
observateur ait toujours à sa gauche l'aire enveloppée. Cette convention
faite, le théorème précédent peut s'étendre au cas d'une aire à contour com-
plexe, pourvu que l'intégrale

[F (z)dz

soit prise dans le méme sens, par exemple dans le sens positif, le long du
contour complexe total.

En effet, supposons que le contour complexe consiste de deux
courbes fermées, dont l'une est située entièrement dans l’intérieur de
Yaire enveloppée par l'autre et ne rencontrant celle-ci en aucun point.
Alors, dans la partie du plan à laquelle l'ensemble de ces deux courbes
est le contour complexe, nous faisons une coupure allant de l'une des
deux courbes à l'autre. L'ensemble des deux bords de la coupure et
des deux courbes du contour complexe devient alors un contour simple
à la méme partie du plan. En vertu du théorème du n:o 17 l'intégrale

définie
d E@)dz ,

prise dans le sens positif le long de ce contour
simple, est égale à zéro. Cette intégrale se décom-
pose en une somme de quatre intégrales, en sorte
qu'on obtient

16 M, Fark,

[FQ de + froc+ [ras + Jeu: = 0.

u

(abca) (ad) (d fed) (da)

Mais puisque nous avons

{F@de = [Fda ,

(a d) (d a)

l'équation précédente devient

jr@as+ [F@dz=0,
(abca) (fed)
ce qu'il fallait bien prouver.
La démonstration se fait d'une maniére tout semblable dans le
cas général ou le contour complexe consiste d'un nombre quelconque de
courbes distinctes.

19. L'équation précédente peut s'écrire
|Fldde = [F@a:

ta bea) (a ef d)

d'ou l'on a le corollaire:

Lorsque la fonction F(z) est uniforme et continue dans une partie du
plan limitée par deux courbes fermées abca et defd dont l'une est située
tout entière dans l'intérieur de l'aire enveloppée par l'autre, et sur ces cour-
bes mémes, les intégrales

HOT

relatives à ces deux courbes, décrites chacune dans le sens positif par rap-
port à l'aire qu'elle enveloppe, sont égales, pourvu que la fonction soit sy-
nectique dans la partie du plan comprise entre les deux courbes.

20. Lorsque la fonction F(z) est uniforme et continue dans une partie
du plan à contour simple et sur ce mme contour, à l'exception dun point
z — a dans l'intérieur de la partie du plan, dans lequel point la fonction est
infinie ou seulement discontinue de la manière que

lim (z — a) F(z) — 0 ,

DEMONSTRATION DU THÉORÈME DE Caucny. 17

l'intégrale fF) dz relative au contour entier est égale à zéro, pourvu que, à
l'exception du point z — a, la fonction soit synectique dans l’intérieur de la
partie du plan.

En effet, soit C le contour simple et décrivons du point a comme
centre un cercle ¢ avec un rayon infiniment petit r. En prenant les
intégrales relatives à ces deux courbes dans le sens positif par rapport
aux aires qu'elles enveloppent, on a, en vertu du théoréme du n:o 19,

[Fede a i Ode .
0) (c)

Posant dans l’intégrale du second membre

(1) gem -

on obtient
2Tr

(2) [99d = (Flat re)iredd.

(©) 0

De la condition
lim (z — a) F(z) = 0
on tire
| (@ — a) F@)|<o pour |z —a|x9 ,

6 étant une quantité positive donnée toute petite qu'on voudra. Par la
substitution (1) cette derniére inégalité devient

tp [LT ergo est o xaX Pp EV 5
par suite on obtient de l'équation (2) et en vertu des n:os 1 et 2

| [zo <7 06) pounn or.

(0)

Mais lintégrale du premier membre de l'équation (2) étant indé-
pendante de r, cette inégalité exige

F(z)\dz=0,
(0)
ce qu'il fallait bien prouver.
Nova Aéta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 M. FALK, DEMONSTRATION DU THEOREME DE CavcHy.

Le théorème peut aisément être étendu au cas où le contour C
est complexe. On peut aussi admettre que le point z= a, où la fonc-
tion est infinie ou discontinue, soit situé sur le contour même, mais
dans ce cas il faut ajouter à la condition

(8) lim (z — a) F(z) = 0

z—a
LÀ

que la fonction doit être intégrable sur le contour entier, ce qui a évidem-
ment lieu, quand la fonction est continue en tous les points du contour,
mais qui peut n'avoir pas lieu, si #(z) est discontinue das le point
z — a, même quand la condition (3) est remplie. Aussi on étend sans
peine le théorème au cas d'un nombre fini quelconque de points tels
que z — a ?).

21. Le numéro précédent contient le théorème fameux de lllustre
Caucay, aussi général environ qu'il a été énoncé et démontré par M.
J. THoma dans son excellent Traité: Abriss einer Theorie der complexen
Functionen und der Thetafunctionen einer Veründerlichen. Nous renvoyons
le lecteur a cet ouvrage pour les conséquences si dignes d'attention
qu'a tirées M. Tumowz du théorème de Caucuy, relatives à la non-exi-
stence, dans l'intérieur de la partie du plan, de points où la fonction,
définie comme dans le n:o précédent, serait infinie ou discontinue, ainsi
que pour d'autres conséquences également importantes. — Je dois enfin
citer un Traité d'une extrême élégance, c'est le Cours professé à la Fa-
culté des Sciences pendant le 2:itme semestre 1881—1882 par M. Cu. Her-
mite. Malheureusement je n'ai eu l'occasion de consulter cet Ouvrage
important de l'illustre géomètre qu'après la présentation à la Société
Royale des Sciences d'Upsal de ma démonstration actuelle du théorème
de Cavcuvy. Dans ce Cours de M. HermiTe on trouve une exposition
extrêmement belle de la démonstration du théorème de Cavcny laquelle
et due à Riemann et a été fondée par lui sur le théorème de GREEN.

1) Voir: Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafune-
tionen einer Veränderlichen, von D:r J. THOME, Zweite vermehrte Auflage p. 27—31.

UEBER

DIE DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS

UM EINEN FESTEN PUNKT

AXEL SÖDERBLOM.

(UEBERLIEFERT DER K. SOCIETÄT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA D. 7 FEBRUAR 1883).

UPSALA 1883,
DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI,
EDV. BERLING.

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, ce :
= - Y a La
| . ut "d *
#5
Le à B x NSW
a *5 a JE
A A pi 3

Ueber die Bewegung eines schweren, starren Kórpers, von dessen
Haupttrágheitsmomenten in dem Sehwerpunkte zwei einander
gleich sind, um einen festen Punkt auf der dritten
Hauptachse. *)

Die Bewegung möge zu zwei rechtwinkligen Coordinatensystemen
bezogen werden. Der feste Punkt wird zum gemeinschaftlichen Anfangs-
punkt der beiden Coordinatensysteme genommen. Das eine System ist im
Raume fest; das andere denke man sich mit dem Körper fest verbun-
den. x, y, z seien die Coordinaten eines Punktes des Körpers im ersten,
E 7, & die desselben, Punktes im zweiten Systeme. Die pos. z-Achse
sei vertical nach oben gerichtet. Die ¢ Achse falle mit der dritten Haupt-
achse des Körpers zusammen. Die z-, y-, z-Coordinaten eines Punktes
ändern sich also mit der Zeit t. Die &-, »-, t-Coordinaten desselben
Punktes sind dagegen von der Zeit unabhängig.

Wie KircHHOFF in der Behandlung eines ähnlichen Problemes ?),
gebrauchen wir für die Cosinus der Winkel der z-, y-, und ¢Achsen
mit den der x, y und z die Zeichen

(CHENE EL ONE
Es ist dann
d=aEtantat MOST 2=pityn+yé U
eunte IPA = one ey NE ey EL NC)

1) Der zu behandelnde Körper hat also, wenn er homogen ist, rechtwinklich zu
der geraden Linie durch den Schwerpunkt und den festen Punkt (d. h. rechtwinklich
zu der dritten Hauptachse) einen kreisfórmigen oder quadratischen Durchschnitt.

2) Vorlesungen über Mathematische Physik. Leipzig 1877. Ss. 41— . .
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 AXEL SÖDERBLOM, .
mit den Relationen

ai Biel ass + BB; + yoy, = 0
(3) a; + (92 AF y= 1 449 + [RCA 19391 — 0
ep EI arte + Bil + yıya = 0

aj + ual Byı + Beye Gy, = 0
(4) i9: + (CH + b= 1 Via + yat + ¥3%3 = 0
yid yid Yi = 1 ad + es, + 4,8, — 0

Wenn dazu

a1, fen s ya
dr, [o Ya = +1
a3, 185 Y3

genommen wird, so können beide Systeme zu identischem Zusammen-
fallen gebracht werden.
Es ist dann

(5) dy = Bey; ii B,y2 Ca = By = By, Qa = Bıya = By

Hierzu noch 6 Gleichungen durch cyclische Vertauschung der Buch-
staben.
Um den augenblicklichen Zustand des Kórpers vollständig angeben
zu kónnen, genügt es zu kennen:
a) die Lage der ¢-Achse im Raume, d. h.
aa) den Winkel zwischen der t-Achse und der z-Achse — durch den
Cosinus y, angegeben; —
ab) wie viel eine Verticalebene durch dieselben Achsen sich um die
z-Achse seit dem Anfang der Bewegung gedreht hat;
b) wie viel eine in dem Kôrper feste Ebene durch die Figurenachse
desselben sich um diese Achse gedreht hat;
c) die Lage der instantanen Achse in Bezug auf das System der z-,
j- und ¢-Achsen,
d) die Grösse © der Drehungsschnelligkeit um die instantane Achse.
Wenn die Drehungsschnelligkeitscomponenten um die &-, y- und
t-Achsen in dem betreffenden Augenblieke durch

D » d » r

bezeichnet werden, so findet sich ® durch die Gleichung

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 3

o—Yp + +. (6)
Die Winkel zwischen der instantanen Achse und den &-, y- und
£-Achsen werden dann durch die Cosinus
D ( lis
Joa fe dele (7)
[GU 0 Ww
gegeben.

Der in 0) besprochene Winkel W wird dann durch

W = | rdt (8)

gegeben.

Wenn die Drehungsschnelligkeit um die z-Achse mit g bezeichnet
wird, so findet sich der in ab) besprochene Winkel V durch die
Gleichung

ft
"=| odt. (9)
Die Ordnung, in welcher die zu kennenden Grössen am bequem-
sten zu berechnen sind, ist

Ba MD E 0 UD EE to eat:

Wie gewöhnlich werden wir Eurers Differentialgleichungen ge-
brauchen.

Ausser den Drehungsschnelligkeitscomponenten p, 4, r nebst
ihren Ableitungen enthalten diese Differentialgleichungen die Trügheits-
und Drehungsmomente in Bezug auf die z-, »- und ¢Achsen. Jene mó-
gen durch A, B und C bezeichnet werden. Sind X, Y, Z die Com-
ponenten aller auf den Kórper in einem gewissen Augenblicke wirken-
den Kräfte nach den Achsen des festen Systemes, so werden die ent-
sprechenden Componenten der wirkenden Kräfte nach den z-, »- und

t-Achsen durch
A.—eX--AY-ryZ N= ABI IYZ Z-—eX--980,Y- rZ
gegeben.

Die Drehungsmomente um die z-, ;- und ¢Achsen sind dann

SEE ONE NE EA), SB 789)

wo die Summen in Bezug auf alle Punkte des Körpers zu nehmen 'sind.

4 AXEL SÖDERBLOM,

Euters Differentialeleichungen sind dann

a dp == jr GA, = 614)

dt
B = = (C— Arp + 3m(tX — EZ)
oe = (A— B)pq + 3m(E Y, —4 X).

Weil die in dieses System eingehenden Drehungsmomente die
Lésung desselben erschweren, und um so mehr, je complicierter sie sind,
so hat man sich immer zu beeinschrenkenden Specialisierungen gezwun-
gen gefunden.

Wenn man keine anderen wirkenden Kräfte als die Schwere an-
nimmt, so sind

also

Die Drehungsmomente werden also
Zmgiy,— Zmgny = EM (Gye — Ya)
EMYEys — Emmy örn = Xmg(&y, — Gn)
Smgnyı — TMIEy, = FM (mys — Aa) -

(&, 9, & ist der Schwerpunkt des Körpers in Bezug auf das
&-, y-, ¢-Coordinatensystem. |

Weil aber die ¢-Achse durch den Schwerpunkt des Körpers geht,
so sind

wodurch die Drehungsmomente zu
SUG EA 9 == SUG ein, 4 0
oder i
IEEE 0)
vereinfacht werden. -
Weil dazu
A=B

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 5
ist, so bekommt man

5 = — (A_O)qr + My,

^ = GEO) een (10)
(t
Lid
dt

Die letzte Gleichung giebt
"= Const.
r=T, (11)
d. h. die Drehungsschnelligkeitsecomponente um die Figurenachse des
Körpers ist unveränderlich.

Obgleich ich nicht die Absicht habe, wie KIRCHHOFF, die zwei
ersten Gleichungen des Systemes (10) durch Transformation zu den Win-
keln 3 und g zu integrieren, so kann ich jedoch vorläufig dem von ihm
eingeschlagenen Wege folgen.

Durch Multiplication mit p bez. g und Addition bekommt man

=

dp dq L
A (» TUS 49) = M(pys — qn)

also
Ap? + 4?) = 2 M f (pys — qv) dt + Const. (12)

Für die Transformation dieser Gleichung kann man auch ein an-
deres Formelsystem von KırcHHorF mit Vortheil gebrauchen:

Für die kleinen Verrückungen der Punkte des Kórpers (nach den
£-, y- und ¢Achsen und) um dieselben wendet KircaHorr die Bezeich-
nungen (uw, v', w und)

an.
Von den von ihm hergeleiteten Relationen braucht man für die
beabsichtigte Transformation der Gleichung (12) nur

divs = nq — Yep )-

1) (KIRCHHOFF S. 50).

6 AXEL SÖDERBLOM,

Wenn man hier den Begriff Zeit einführt, so gehen dy,, p und
q in
dye 4 WU e GÅ
über. Man bekommt also

]
(18) pys— n=— $5

Aus (12) und (13) folgt also
A(p? + q%) = Const. —2 M y,
(14) CA")

wo C, eine noch unbestimmte Constante ist.
Dazu kann man auch die allgemein gültige mechanische Gleichung

d aM ow à 5
Aere ay th tp) = À

wo T die lebendige Kraft des Körpers, und Z, der Drehungsmoment
der wirkenden Kräfte um die feste z-Achse bedeutet, mit Vortheil ge-

brauchen ?).
Weil die Sehwere nur nach der z-Achse wirkt und also keinen Mo-

ment um dieselbe haben kann, so ist

Z,=0.
Man hat also
07 21 s Ze Const.
-

y alow,
"u

Weil der Körper sich um den festen Punkt dreht, und die z-, ;-,
¢-Achsen mit den Hauptachsen des Körpers für den festen Punkt zu-

sammenfallen, so ist

HINES AP I dile eto OR a
Aus diesen zwei Gleichungen bekommt man

Apy, + Bqys + Cry, = Const.

1) (Krnenmorr S. 62).

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 7

A(py + qv) = Const. — Cry,
neh (15)

C, ist eine noch zu bestimmende Constante.

Von zwei mit (14) und (15) analogen Gleichungen geht KiIRCHHOFF
aus, um die Gróssen 9 und g als Functionen der Zeit zu berechnen. In
dem ersten der drei von ihm behandelten, speciellen Fálle nimmt er an,
dass keine Krüfte wirken; in dem zweiten, dass im Anfangsaugenblicke

sind; — in dem dritten, dass

Ist.
Diese Fälle bringt X. zu elliptischen Integralen, oder er macht
dieselben von (sin)am abhängig.

Was die Annahme
By = 0, I = 0

betrifft, so erleichtert dieselbe in hohem Grade die Lésung der Glei-
chungen (14) und (15) auch wenn man dieselbe mit WErERsTRASS's p- oder
&-Functionen durchzuführen sucht. Aber weil dieselbe im Allgemeinen,
wenn nicht immer, eine Annahme gegen die thatsüchliche Begebenheit
ist, so werde ich dieselbe fallen lassen. Oft hat man, wenn nicht

po = 0 ? qo = 0

anzunehmen ist, sich dadurch zu helfen gesucht, dass man die An-
fangszeit auf einen Zeitpunkt, an welchem man alle Bewegung nur um
die Figurenachse des Körpers annehmen dürfe, verlegt hat.

Wie später gezeigt werden wird, kommt oft eine solche An-
fangsbewegung vor, dass man sich nicht eine Zeit denken kann, wo
alle beide Drehungsschnelligkeitscomponenten p und 4 gleichzeitig ver-
schwinden. Die Annahme

Piz 05 qoe 20

erschwert zwar die Lösung des Problemes in hohem Grade; aber ohne
Behandlung dieses Falles kann die Lósung des Problemes nicht als
vollstándig betrachtet werden.

8 AXEL SÖDERBLOM,

Die Gleichungen (14) und (15) gelten fär die Bewegung wäh-
rend der ganzen Zeit derselben, also auch für den Anfangsaugenblick.

Wenn die Lage des Kórpers im Anfangsaugenblicke durch die
Werthe der Cosinus

Deen ED.

gegeben wird, so hat man für die Bestimmung der zwei Integrationscon-
stanten C, und C,

A(pi + d) = 2 MC. — v)

A Cpoyio + Qo Yo) = Cn (C; — jay) c
Seitdem C, und C, in dieser Weise bestimmt worden sind, mógen
sie, weil bequemer als deren ausgeschriebenen Werthe, in der Rechnung
beibehalten werden.
Aus der Gleichung

(14) A(p° + 9) = 2M Gi — 5)

ist ersichtlich, dass die Figurenachse des Körpers nie steiler werden
kann, als dass

(16)

Y3 E (Oh .

Für die Form der Bewegung ist dieser Schlussatz von grösster
Wichtigkeit. — Die verschiedenen Fälle für C,, die man sich denken
kann, sind

GE:

In Falle

Ch > I

kann die Drehung nie um die Figurenachse des Körpers geschehen.
Denn weil
CG; > 0
ist, so kann man mie
p+g=0
bekommen.

Die Figurenachse des Kópers kann dann mit der Lothlinie zusam-
menfallen. Die Drehungsschnelligkeit um die instantane Achse sinkt
dabei — und immer wenn jenes eintrifft — zu einem bestimmten Mi-
nimum.

DREHUNG EINES ROTATIONSKORPERS. 9

Wenn
(CA < 1
ist, kann der Kórper sich nicht mehr aufrichten, als dass
Y
Ma = Ci

wird ; d. h. die Figurenachse des Kórpers kann nie innerhalb eines verticalen,
geraden Kreiskegels, für dessen halben Winkel cos = C, ist, kommen. Jedes
Mal, wenn die Figurenachse des Kórpers mit einer Generatrix dieses
Kegels zusammenfällt, ist die ganze Bewegung zu einer Drehung um
diese Generatrix reduciert.
Wenn
C, —1

ist, kann die Figurenachse des Kórpers senkrecht werden. Die instan-
tane Achse würde dabei mit der Figurenachse des Kórpers zusammen-
fallen. Wenn man die Anfangszeit auf diesen Augenblick verlegt, so
würde man p + 4? = 0 haben; also

Alle Drehung wire also in diesem Augenblicke zu einer Drehung
um die Lothlinie reducirt, und der Schwerpunkt würde senkrecht ober-
halb des festen Punktes liegen, so dass die Schwere keinen Moment um
eim horizontale Gerade durch den festen Punkt haben kann. Dann
würde sich der Kórper von diesem Augenblicke an immer um die Loth-
linie drehen.

Der Cosinus y, ist eine Function der Zeit. Um zu suchen, welche
Function der Zeit y, ist, kann man folgender Weise verfahren:

Aus
A(py, + qy2) = Cro(C2 — xs) (15)

kann man
A (pri + d$ + 2parın) = CC: — Y

und aus
jl.
IPL Ihe — (13)
re 5 dy, Y
A" (ys + d —2pqunr) = 4 m

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

bo

10 AXEL SÖDERBLOM,

bekommen. — Aus diesen zwei Gleichungen folgt

2 2 42 2 xo 9^ 2 2 d 4
Ait + DG + = CRO — + an (T)

oder
2A M(C, — 5) (1 — 5) = C (0 — ny + A? E
woraus
[ree eas
(17) = R;(s)

folet. Für diese ganze, rationale Function von y,, dritten Grades, hat
man den Werth

Zu (Oe ONO. eo 3 2MC, (C22
a À (^5 en] Ji+2 (5 nt

À um

(18) fy.) E

Um die Differentialgleichung (17) durch Werersrrass’s elliptische
Functionsformen integrieren zu kónnen, muss dieselbe zuerst einigen
Transformationen unterworfen werden.

Wenn man

Muro d
wr
substituirt, wird (17) in
dg Y CE MOHN CO M\M
Uy ee ccce ee se

2A MC, COR MP
44:

transformirt.
Wenn man danach

C424 MC
eee Be E

substituirt, so nimmt (19) die Form

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 11

diss

(CE) = 4s? +as+b (20)

dt

an; eine Form, die mit der Form der WrrEnsTRAssIsCHEN Haupt-Differen-
tialgleichung

ds\°
nee (21)
du
stimmt. — Diese Gleichung wird von der einfachsten von WEIERSTRASS'S

elliptischen Functionsformen befriedigt: von

s = pu)
wo 1)
1 ENT wi CE 3929
et do Yong gt ug pube G2
oder

pu) — = qu peut. QUE +...
u

ist, mit der Coefficientenrecursionsformel

3

€? SA ————— Zy €» €; oy

ern)
fus Speer Lb X pur a
Wenn man dann schliesslich in (20)
= Ku

substituirt, so nimmt (20) vollständig die Form (21) an. — Die Inte-
grationsconstante /, kann man zusammen mit dem Argumente u in die
Function p(w) selbst einführen, wodurch

s = p(u—t,)
— HG i)

1) Siehe Scuwarz: Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der ell. Functio-
nen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Prof. K. WEIERSTRAss bear-
beitet und herausgegeben von H. A. Schwarz. Göttingen 1881, 1882. — S. 11.

12 AXEL SÖDERBLOM,

wird. Man bekommt also

Pe 2 , CR 4 2A MC
(23) UO SM plt—t, A) + : 124? m

\

Durch die Constante k müssen zwei Bedingungen erfüllt werden,
was auch in diesem Falle möglich ist.

Erstens muss für t=t,
fay = VED
werden. — Der Bedeutung des y, wegen muss zweitens k der Art sein,

dass nicht p(t—t,—k) eine gewisse Grenze überschreitet, noch weniger
unendlich wird.

Hieraus schliesst man sofort, dass k keine reelle Grösse sein
kann. Denn dann würde die p-Function, also auch y,, periodisch unend-
lich werden.

k muss also complex sein.

Diese complexe Grósse, die die Gleichung

Cr + 2A MC,
XGA

befriedigen muss, hängt von den drei Wurzeln e,, es, e; der Gleichung

ALS — 1,8 == e ess (0)

ab. — Die Grössen g, und 9, sind wieder von den Grössen r,, nebst
po und 9, die in C, und C, eingehen, abhängig — ausserdem dass den

Grössen A, C und JM, je nach der Grösse, der Form und dem Gewichte
des Kórpers alle móglichen, positiven Werthe gegeben werden kónnen.
Von allen diesen Grössen sind die Wurzeln e,, e;, e, abhängig. Noch
ist es auch nicht abgemacht, von weleher Natur diese Wurzeln sind, ob
sie alle reel sind, oder nur eine derselben. Lästig kann es auch werden
den Werth der complexen Grösse k zu berechnen. Wie einfach auch
die Herleitung der Formel (23) für den Werth des y, war, kann es je-
doch, eben wegen der Berechnung des Werthes der k, bequemer sein,
statt

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS, 13

eine andere Transformation zu suchen, welche denselben Vortheil wie
jene Substitution hat, d. h. die Form der Differentialgleichung beizu-
behalten, oder zu einer anderen Differentialgleichung zu führen, die von
einer bekannten und bequemen Functionsform befriedigt werden kann.
Ausserdem muss die neue Substitution, trotz ihrer Relation zu ys,
unendliche Werthe annehmen kónnen. Dadurch würde es bedeutend ein-
facher, den Werth der Constante & zu berechnen. Denn dann wird # reel.
Weil die rechte Seite der Differentialgleichung

(£5) Ra (17)

algebraisch und rational ist, so muss auch die neue Substitution alge-
braisch sein. — Damit dieselbe für endliche Werthe des y, unendliche
Werthe móge annehmen kónnen, ist es erforderlich, dass, wenn dieselbe in
Bezug auf die neue Veränderliche gelóst wird, y, im Nenner des Aus-
druckes der neuen Veränderlichen vorkommt. Sonst wäre es nicht
móglich unendliche Werthe der neuen Veränderlichen für endliche Werthe
des y, zu bekommen. Ks ist also nothwendig, dass der gesuchte Sub-
stitutionsausdruck eine gebrochene Function der neuen Veründerlichen,
oder auch eine gebrochene Function einer Function der neuen Veriin-
derlichen sei.
Die zu versuchende einfachste Substitution wäre also

wo + eine Function der Zeit ist.
Weil y, und z gar nicht gleichzeitig Null und unendlich sein müs-
sen, so wird sofort ersichtlich, dass es zweckmässig wäre, eine willkührliche

Grósse zu = zu addieren. Ihr Werth sollte also durch den Werth des

y; in dem Augenblicke, wenn z unendlich würde, bestimmt werden. —
Die zweite Form der zu versuchenden Substitution wäre also

y= +6.

7

Demnach wäre b der Maximi- oder Minimi-werth des yj, weil x
reel ist und unendlich werden kénnen soll.

14 AXEL SÖDERBLOM,

Vorausgesetzt, dass man für dieses r eine Differentialgleichung
von der Form

(21) E Us AG — Jas — I

du

bekommt, so können die Wurzeln der Gleichung
4 s? — Ja — 93 = 0

entweder alle reel sein, oder nur eine derselben. Im vorigen Falle weiss
man, dass z für reelle Argumentenwerthe nie Null werden kann; nur
periodisch zu einem positiven Minimiwerthe heruntersinken *); zu welchen
Zeiten y; also ihre Maximi- bez. Minimiwerthe annehmen würde. Um
diese periodischen Zeiten mit den wirklichen Zeiten der Maximi- bez.
Minimiwerthe des y, in Uebereinstimmung zu bringen, braucht man
nur zu x in dem Nenner eine willkührliche Grösse c zu addieren.
Wenn dagegen nur eine der Wurzeln reel wäre, so wäre es móg-
lich, dass z für reele Argumentenwerthe durch Null gehen könnte. In
diesem Falle wäre es also um so mehr nothwendig, zu rim Nenner die
Grósse c zu addieren. |
Die Substitution würde also von der Form

ys = HALE SL
r--c
werden. >
Die einzige Beschränkung für die Wahl oder für die Bestimmung
der Grösse c ist, dass nicht z+c gleich Null werden darf, sogar nicht
zu einer solchen Grenze heruntersinken, dass dem y; Werthe beigelegt
werden würden, die derselbe seiner Bedeutung halber nicht annehmen
könnte.
Die Grösse und die Bedeutung der Constante c werden vorläufig
ganz unbestimmt gelassen. Was aber ihr Vorzeichen betrifft, sieht man

sofort, dass, wenn es durch die Substitution
a
Ya —— + b

die Differentialgleichung

(17) (Ceres

1) ScHwArz: Ss. 11, 12.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 15

zu der gewünschten Normalform (21) zu transformiren gelingt, man
wieder diese durch den durch Auflösung der Gleichung

UNS +6
t+c
erhaltenen Werth der Veränderlichen z zu der ursprünglichen (17) trans-
formiren können muss. — Für 7 bekommt man
a
t= —(.
ys — D

Die Werthe des y, und der ; haben nun nicht identisch dieselbe
Form, welches eleganter wire. Von diesem rein formellen Grunde wird
im Nenner, statt z-L c, z — c gesetzt. — Die Substitution wird also

= (24)

(jo (b

mit der Umkehrung

a nc
t= —————
ys— 0

die identisch dieselbe Form wie (24) hat.
Aus (24) leitet man

dy; a dz

"IRIS PEINT

(25)

unmittelbar her.

Werden diese zwei Ausdrücke für y, und SE in die Differential-
gleichung
dys :
ES = Hs) (17)

eingeführt, so bekommt man eine neue Differentialgleichung von der
Form i

(4) - RO. (26)

16 AXEL SÖDERBLOM,

Auf jede Differentialgleichung dieser Form kann man JACOBIS
Transformationsmethode anwenden 5. Durch die Substitution

(27) = it et + As &
bi cB bag nis b, E"

kann man die Differentialgleichung (26) auf die Form

CET

(28) AN Obere OILS ES)
bringen.
Weil, auch wenn nicht N = 1 ist, die Differentialgleichung (28)

zu identischer Uebereinstimmung mit einer der folgenden drei Differen-
tialgleichungsformen

Den ce
n \ 4 AP Sok f 4/ So f

d ur 2 2
(e) = U) {ue + Cast)

du

d£; à 2 9
2) = (eye + EL) (64 — v + 81)

du

gebracht werden kann ?, und diese Differentialgleichungen durch die
zweite Classe der WEIERSTRASSISCHEN Functionen befriedigt werden, d. h.
durch die, die er mit

"MORS A CU 5

bezeichnet, so ist es also a priori bewiesen:

l:o dass y, durch eine dieser Quotientenfunctionen algebraisch
und rational ausgedrückt werden kaun;

2:0 dass die Bewegung der Figurenachse des Körpers perio-
disch ist.

1) Siehe Jacosı: Fundamenta Nova Theorie Functt. Ell p. 6.
2) SCHWARZ: S. 29.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 17

Weiter: In (17) für y,
y m N + b
DSC

zu substituiren, und dann für 7

= un + a, § + 458°
b, + by + bi

einzuführen, ist dasselbe, wie auf ein Mal für ys

ER ab, + ab, & + abs?
© (a, — die) + (a5 — b.0)8 + (085—050) €

;+ 5

_ (ab, + a,b — 0,0) + (ads + md —bbsc)s + (aby + ab — bbc) e
(a, —b,e) + (as — bec) + (as — b.c)

2
(29) xm ene ee
& +4,84 225
einzuführen. Durch eine Substitution von der Form
ENCRES
29 ey ee SRE CRE
OM ea:

wo ®...a, willkührliche Constanten sind, muss es also möglich sein die

Differentialgleichung

dy 2
(17) (25) = Ra)
directe in
; dé À AT 2 2 42
(28) (3) - Na-5 ar
überzuführen.

Dem nächst ist nun zu bestimmen, welche von den drei Functionen

Ej (w) , Szulu) , Bau)
die in die Gleichung (28) eingehende z-Function sein kann. — Ange-

nommen, es ware

= &,(u).
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 AXEL SÖDERBLOM,

Durch Division des Zählers und Nenners in

_ B+BE+ BE

29
oO E at aE agg

mit «° geht die Substitution in

1 ji
Ho cen en
ß an ms

if =
il 1
KERO NG

über. Es ist also gleichgültig, ob £ in (29) £,,(w) oder z;(w) bezeichnet.

Die Function

& = &a(u)
kann also ausgeschlossen werden. Die rückständigen Möglichkeiten
sind also

8 = &,(u)
oder

E = Eu).

Für diese zwei Functionsformen hat man nach WEIERSTRASS'S
Theorie der elliptischen Functionen die Relationen !)

53. (wu) = p(u) — e
und (30)

2 = ICE
Ei (2) = 10) ar

von denen also & (u) als einfacher anzusehen ist.

Ob nun die zu gebrauchende £(w)-Function die £; (u)-Function oder
die &,(u)-Function ist, lässt sich folgender Weise entscheiden:

Wenn die Constanten @...z, in (29) wirklich berechnet wären,
so würde

(29) een
a4 bE a:

1) Scuwarz: S. 21.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 19

nicht nur zur Beantwortung der Frage dienen: welche Neigung hat die

. dr - = -
Figurenachse des Körpers in einem gegebenen Augenblicke? sondern
auch die Frage: wann hat die Figurenachse des Kórpers die gegebene
Neigung y,? unzweideutig beantworten können.

Um einen bestimmten Werth des Argumentes t zu bekommen,
muss man einen bestimmten Werth der Function p(t) haben; also einen
bestimmten Werth der Function z. Wenn man (29) in Bezug auf ¢ löst,
so bekommt man im Allgemeinen zwei Werthe für &, also auch für &.
Aus den Gleichungen (30) würde man also zwei verschiedene Werthe

für p(t) finden. Aus der Gleichung
(22) påö = E JE GP cil Gir Ion oo de me

würde man also für die einem gegebenen y, entsprechende Zeit ¢ in
jeder Periode vier verschiedene Werthe finden. Weil dies unmöglich ist,
muss man also aus (29) nur einen Werth für & bekommen. Daraus
sieht man a priori, dass in

(29) „oo Pre
a + 215 + 225
die Coefficienten
a = BP, = 0
sein müssen.
Die Substitution, die also

d 2
(17) (28) = RG)
directe in
2 , € €
(28) (35) = va—-) a rs
verwandelt, nimmt dann die Form
TEM 2 + B=
a+
an. Statt dieser kann man
(31) = — + €

20 AXEL SÖDERBLOM,

schreiben. Und in dieser Formel (31), oder in der nächst vorhergehen
den, kann man ohne Weiteres x £z; (f) "bedeuten lassen. Wenn man
nämlich für £z

SO)
d. h.
2 | p(0—e
(30) Eu (t) — ae

einführt, so würde ys in

£y(t) — Ben + opt) — Exe;

a p(t) — eu + os p(t) — de,

_ (Ben + Be) — (8 + Be) pt)
(we + 2263) — (4 + s) pt)

übergehen. Dieser Ausdruck enthält aber nur drei willkührliche Con-
stanten, also nicht mehr, als wenn man für #

g(t) = pt) — e

js =

einfiihrt. Es ist also in

(31) ys = PE +é

g (f) für einzusetzen. Die Substitution nimmt also die Form

(32) JS E ENE

a

Creer 1

ys

an. Hiermit ist also a priori bewiesen, dass jede Differentialgleichung
von der Form

dy Ÿ

(£2) = sy)

du

»

in die Hauptform

ds \Ÿ
em x E

durch die Substitution

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 21

a

E po) — 6

verwandelt werden kann, wo p(u) unendlich werden darf, also das Ar-
gument reel sein kann.
Was beabsichtigt war, die Berechnung der complexen Constante

y +6

k in
z = pli —t, +k)
zu vermeiden, ist also erreicht. Seitdem a, b und c bestimmt sind, kann

man k in

Y30 +b

a a
EE

in der für Berechnung eines reellem Aurgumentes gewóhnlichen Weise
berechnen.

Nach Lósung der Gleichung
RG) = 0

kann die Differentialgleichung (17) in der Form

Gy. NES AMI
(33) ( = za (ya — 71) Qa — r3) (ra — 73)

geschrieben werden. Weil A,(y) — 0 eine Gleichung dritten Grades
ist, so ist wenigstens eine Wurzel reel. Wenn nur eine derselben reel
ist, so mag sie mit r, bezeichnet werden.
Aus (24), (25) und (33) entstebt eine neue Differentialgleichung
(84)

= ee Ege pue pce

ee 2M

æ = (b—r)(b— 73) (b — rs) 3

Die einzige Möglichkeit, die rechte Seite der Gleichung (34) zu
einem Ausdrucke dritten Grades zu bringen, ist also als Werth der
Grösse b eine der Wurzeln

zu wählen. Wenn diese alle reel sind, so wird es vorläufig unentschie-
den gelassen, welche derselben man als Werth der Constante b wählen
kann, oder muss.

22 AXEL SÖDERBLOM,

Wäre dagegen r, die einzige reele Wurzel, so muss dieselbe für
b eingesetzt werden, um in den folgenden Formeln complexe Gróssen zu
vermeiden. — Eine solehe Versetzung des Anfangspunktes des y, uebt
auf die linke Seite der Differentialgleichung (17) gar keinen Einfluss
aus. Hätte man also Anfangs y, durch y,’+ 7, ersetzt, so könnte man
den neuen Werth des Ausdruckes R,(y,) durch

UA NESSUN, í ;
RG) = ES Ira — (ry — u) Us — (m — Tu)| Ys

ersetzen. Die zu behandelnde Differentialgleichung wäre also
dy NE 2M D 7
ze)

Für die Constanten 2, g, y, à und « in der dieser Gleichung und
der Gleichung (34) entsprechenden Differentialgleichung hat man dann
die Werthe

a —0

B = a(r, Xr i) Ge = Fra)

y= — ar, 47, — 2r,) — 8ac(r, Ta (r, — 1)

à — a? 4-2a'c(r, + r, — 27,) + Dr) (v, —7,)

e — ale — ale (r, +7, —2r,)—ac(m— Fy) On—= DIE

Auch wenn r, die einzige reele Wurzel wäre, sind die in diesen Con-
stanten g...e eingehaltenen und von den Wurzeln r,, ru und r, abhän-

gigen Coefficienten reel. — ß...e werden also mit a und c reel.
Demnach geht die der Gleichung (34) entsprechende Differential-

gleichung in

d

I Pa) (r,— p) T —{a (ra ar D S 2 1) ain 3c Gi —T,) G = 1) } 5

i fat Del t= a ee EN
— afe — ad (ri +7, — 2%) — crie) Cr |
über.
Um Uebereinstimmung mit Wergrsreass's Hauptform der Differen-

tialgleichung zu gewinnen, hat man dem nächst

CN T, + Tr — 2 Tu
a — 3(r — Tu) (v — tu)

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. Do

zu setzen. Dadurch wird die vorige Gleichung in

dv? 2M
(57) =, [en — n9 0 — n)? + a {a + en tm 2)

mas SE ee ra) |

verwandelt. Wenn man dann

M
(35) = 9 4 (ra FS ru) (rv FT ru)

setzt, wodurch der Grösse c der Werth

(86) urn 2)

gegeben wird, so nimmt die Differentialgleichung die gewünschte Form

an; wo g, und g, die Werthe

2
ie - {a + cQ + ry — 279);
(87)
30 — 9 e39(m, — vu) (ry — m
een ae (ra — Tu) 0 Vu)

(rà — ru) (rv — Ty)

haben. Nach WziERsTRAsS's Theorie der elliptischen Functionen ist also

z= p(t—t, + E)

wo ¢,-—k die reele Integrationsconstante sei").

Es mag nun sein, dass nur eine der Wurzeln r;, r, und r, reel ist,
oder dass sie alle reel sind, so kann man also immer sowohl für a, b
und e, wie auch für 9, und g, reele Werthe haben.

1) Obgleich es weniger richtig erscheinen kann, in derselben Darstellung den
Buchstaben p in zwei verschiedenen Bedeutungen zu gebrauchen, so soll derselbe
jedoch beibehalten werden, weil kein Missverständniss der, an jeder Stelle betreffen-
den, Bedeutung desselben móglich ist. Wenn die Drehungsschnelligkeitscomponente
beabsichtigt wird, so wird nur p geschrieben, wenn dagegen die elliptische Functions-
form, wird immer das Argument zugesetzt, p().

24 AXEL SÖDERBLOM,

Weil in der analytischen Entwicklung der Function p(w)

1 92 2 9 4 UE 6 3929 8
22 = — — a re u _ a AI ETS m
(GE) puncto 5 dec e ve: en
welche Entwickelung »für die Umgebung des Werthes u = 0» gilt 5, alle
Coefficienten algebraische und rationale Functionen der reelen 9, und
g, sind, so ist also z reel für reele Argumentenwerthe #. Die Formeln

(22) und

a

MIGUES E

werden also für die directe Berechnung des Werthes des y, hinreichen.

Warum es nicht genügt, als Integrationsconstante nur die Anfangs-
zeit t, zu schreiben, sondern ¢, — k eingeführt werden muss, wird später
gezeigt werden.

Um die Werthe, die y, annehmen kann, bequemer beurtheilen zu
kónnen, ist es zweckmüssig die zwei Fille, wo es

1:0 alle drei Wurzeln der Gleichung Z(y,)— 0 als reel;

2:0 nur eine der Wurzeln der Gleichung R;(y;) = 0 als reel an-
zunehmen wäre, besonders zu behandeln.

Die Perioden der elliptischen Function p(w) sind der Art, dass,
wenn die Wurzeln der Gleichung

Y3 SF b

N)

mit a. e, und ej bezeichnet werden,
Po) = po+uw)=e > plo) 6-7)
Wenn alle Wurzeln der ursprünglichen Gleichung
Rs(ys) =)

reel sind, so sind auch e,, e; und e; alle reel. Denn nach der allgemeinen
Theorie der algebraischen Gleichungen kann man nicht durch rationale
1) Schwarz: S. 10. — Wenn die Coefficienten g und g, nicht zu gross sind,
so convergirt die Reihe (22) für alle Argumente in dem ersten Viertel des Perioden-
parallelogrammes, und reicht also im Allgemeinen ohne Umbildung, und nach Um-
bildungen immer, für die Berechnung der Functionswerthe hin.
2) SCHWARZ: S. 12.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 25

und reele Substitutionen die Natur der Wurzeln ändern. — Wenn dann
im Falle 1:0 o die reele Periode ist, so ist e, die algebraisch grösste
der Wurzeln. Und weil ihre Summe

€ Le + eg = 0

ist D, so ist nothwendig die Grösse e, positiv; also

Weil nun von der p(w)-Function bewiesen ist, dass ihr Werth
von + co bis e >0, und von e, bis+o geht, wenn das Argument u
von 0 bis w, und von w bis 2» wächst, so hat die p(u)-Function keine
Nullstelle für reele Argumentenwerthe. Wenn es nämlich für reele Ar-
gumentenwerthe eine Nullstelle für den Werth der p(u)-Function gäbe,
so sollte eine solche auf der Strecke zwischen 0 und 2 vorkommen,
also auch zwischen 0 und o, weil

Po — wu) = p(o + wu).

Zwischen 0 und w müsste es dann zwei Nullstellen geben, weil
der Werth der p(u)-Function mit + © beginnt, und mit e, > 0 endet.
Die zwei Nullstellen müssen ausserdem getrennt liegen. Denn, wenn sie
zusammenfielen, würde an dieser Stelle

p(u) = 0

sein. Dies trifft aber zuerst in u =. ein) Daraus folgt, dass im
Falle 1:0 sowohl die p(u)-Function für reele Argumentenwerthe keine
Nullstelle hat, als auch dass e, der kleinste Werth derselben ist. —
Wenn dann c positiv und grösser als e, wäre, so erscheint es, als
ob die rechte Seite der Gleichung

32 2 IN TREE |
(32) Ys muere t

unendlieh werden konnte; was wegen der Bedeutung des y, unmóg-
lich ist.
Von Gründen, die später angegeben werden werden, ist aber

Core

1) Scuwarz: S. 11.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. à 4

26 AXEL SÖDERBLOM,
Demnach ist es also möglich so zu rangiren, dass

a

pt — t, SF k) — c

nie Zeichen wechseln kann, d. h. nie eine gewisse Grenze überschreiten
kann. |

Wenn es móglich ist, dem Kórper eine Anfangsbewegung der Art
mitzutheilen, dass die drei Wurzeln r alle reel sind, und von denselben
die als r, gewählt wird, die die Formel

3 KE a
IDE

zu vollem Uebereinstimmen mit der Bewegung bringt, und dazu

5 = + Te

GO mz» .

a
|:

4 =

sind, so wird sofort ersichtlich, dass die Figurenachse des Kérpers nie
horizontal werden kann. — Wenn dagegen

a
a = 6

> Po

a<0,%>0,|

sind, so wird die Figurenachse des Kórpers periodisch horizontal, mit
oder ohne Durchgang durch die Horizontalebene.

Wenn zweitens die Natur eines zu behandelnden Problemes die
Annahme des Falles 2:0 gestattete, so dass also nur eine der Wurzeln
der Gleichung Rs(ys) = 0 reel wäre, so müsste diese, wie schon gesagt,
als r, gewühlt werden. Weil dann auch a und e reel sind, so würde
also die obige Formel

a

pt— to + k) —'6

den Werth der Veränderlichen y, für jedes reele Argument geben.

Ob in diesem Probleme die drei Wurzeln r, also auch die drei
Wurzeln e, alle reel sein müssen, oder nur eine derselben reel sein
kann, wird später erwiesen werden.

Nach diesen vorläufigen Betrachtungen mógen wir wieder zu der
directen Berechnung des y, durch à

ys — Tu

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. Zn

a

Auen ee

133) + Tu

und

1 J 2 g 4 CE 6 39,9
22) v(t) = —— wed AT oe; ‘ t 9293 ij ;
EE digg borg ge gg! hose met

zurückkehren.
Sobald r, gewählt ist, sind a und c durch die Gleichungen (35)
und (36) gegeben. Die Constante k muss dann aus

a
Y30 Dee ues
d. h. aus

(38) OCT

Wap — Um

berechnet werden. Diese Berechnung hängt nach Werersrrass’s Theorie
mit der der reelen Periode w zusammen.

Weil die Berechnung der reelen Periode w der elliptischen Func-
tion p(w) verschiedene Methoden und Formeln fordert‘), je nach dem
die drei Wurzeln der Gleichung AR,(y,) = 0 alle reel sein müssen, oder
nur eine derselben reel sein kann, so móge zunächst untersucht werden,
ob die zwei Annahmen

1:o alle Wurzeln der Gleichung R,(y,) = 0 sind reel;

2:0 nur eine Wurzel der Gleichung &,(y;)=0 kann reel sein,
wegen der Natur des Problemes zulässig sind.

Weil

( dy; ) 0)

dt
durch die Substitution

a

e

T — C

fe =

nur unter der Bedingung, dass b eine der Wurzeln der Gleichung

Rs(y3) = (0

1) Siehe Schwarz: S. 61....

28 AXEL SÖDERBLOM,

ist, in die neue Differentialgleichung

Gr) = 48 ve

verwandelt werden kann, d. h. in eine Differentialgleichung, deren rechte

Seite dritten Grades ist, und diese Differentialgleichung durch die Um-
kehrung der Substitution

Bor 0)

d. h. durch

in die urspüngliche

zurückgeführt werden können muss, so wird sofort ersichtlich, dass c
eine Wurzel der Gleichung

47? — (at — 93 = 0

sein muss. In derselben Weise, wie an der Seite 26 bewiesen wurde,
sieht man nämlich, dass die Verwandlung jeder Differentialgleichung von
der Form

[e = Ry)

da

in eine andere Gleichung von der Form

wo also auch die rechte Seite dritten Grades ist, durch eine Substitution
von der Form

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 29
unbedingt fordert, dass 6 eine Wurzel der Gleichung

Ry) = 0
ist.
Wenn also die Wurzeln der Gleichung

AT — got — yg, = 0

die Gréssen

€ » C2 4 €3
sind, so muss c eine derselben sein, d. h.
C = Cy.

Wenn nur die Zurückkehrungstransformation beabsichtigt wäre,
so wäre es auch ganz gleichgültig, welche der drei e als e, gewählt
würde.

Weil aber in

a
c= —— +C
(fy mtm

c = ey ist, geht diese, wenn für z eingeführt wird, in

(39) PC — t + E) — eu = = n
uum
über. Daraus folgt sofort, dass e, nicht die der Wurzeln e,, e; und &
sein kann, deren Werth die p-Function für reele Argumentenwerthe
annehmen kann. Denn mit der linken Seite der letzten Gleichung
müsste auch die rechte Seite verschwinden. Dies fordert aber, dass y,
einen unendlichen Werth annehmen sollte. Weil aber nie

Ios

sein kann, so muss also e, eine der zwei übrigen Wurzeln der
Gleichung
42° — gar — gs = 0

sein. Weil die Wurzel, deren Werth die p-Function für reele Argu-
mentenwerthe annehmen kann, reel ist, und weil schon erwiesen ist, dass
auch c reel ist, so dass also auch die zweite Wurzel e, reel ist, so
müssen die drei Wurzeln ¢,, e, und ej alle reel sein.

30 AXEL SÖDERBLOM,

Man braucht also fär die Berechnung der reelen Periode nur die
Formeln für den Fall 1:0: wenn alle Wurzeln e,, e, und e, reel sind.
Die nöthigen Formeln sind nach Wererstrass’s Theorie

E 4
Ve Ge,

(40) l= 7
Vas + Va

(41) het EEE

T DILE DU DAM aee e

Vi.
Je = €,

(42) (MIBR AN de suy m.

E: 2
zen
4
VON EE

Die Convergenz der Reihe (41) fordert nur, dass die Grósse I
dem absoluten Betrage nach den Werth 1 nicht überschreitet?). Dies
wird dadurch erreicht, dass die Indices A, u und v so gewählt werden,
dass

ep > eu > €,

ist, wie unmittelbar ersichtlich ist, wenn man die Formel für / in der
Form

4
€] — €
iene E
7 >= 1 v
nr
a 2
Gi] = €,

schreibt. Von den Werthen der vierten Wurzeln werden die reelen cue
positiven gewählt ^.

1) SCHWARZ: s. 56. 2) SCHWARZ: S. 43.
3) SCHWARZ: S. 57. 4) Scuwarz: S. 61.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 31

Weil e 2 e, ist, so bekommt man aus

39 NEN. v oT
( ) EI UST SEU + Tu

i i So) =a dt

dy, a dp(t — t, +h)

Wenn
DD rain (uy cd ccu ue y
ist, so ist
dpt—t +k) — 0

dt ;
also auch

dy,

= = (0) 2

dt
Nach der ursprünglichen Differentialgleichung

(ers zx R;(73)

dt

kann aber nicht Ls — 0 sein, ohne dass y, den Werth einer der Wur-
U

zeln der Gleichung
Rx) = 0 s
annimmt, also ohne dass
Val

ist. Diesem Raisonnement zufolge ergiebt sich, dass man nach der
Gleichung

pt — t, + k) — ep =

ys — Tu
zwischen den Wurzeln der Gleichung

R;(y3) = (0

1) Scuwarz: S. 11.

32 AXEL SÖDERBLOM,

und den der Gleichung
Zu? — rg — djs =0

die Relation

(43) CE] — €, =

Ep ST

hat. Hier sind e; und e, ein gewisses Paar der Wurzeln der Gleichung

Rv) => 0
sowie 7, und r, ein entsprechendes Paar der Wurzeln der Gleichung
Rz(ys) = 0 D

Wie schon oben gezeigt ist, kann nicht e; — e, = 0 sein.
Ganz analog: wenn

= ig Hh lb
den Werth derjenigen der Grössen o' und » + annimmt, für welchen

p(t — t, +k) nicht den Werth e, annimmt, oder den Werth einer damit
congruenten Stelle, so bekommt man wieder

dpt—t+*) — 0
dt a

also auch

8
und folglich y, gleich dem Werth der einzigen rückständigen Wurzel m;
der Gleichung

Fi ys) = 0
Nebst

a
4 KV a
( 3) 2) “a lip == ip

hat man also auch

44 £y — Eu = 5
(44) i

Weil in (43) und (44) r, dieselbe Grósse bedeutet, so bezeichnet
also, der Relation

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 38
| M
(35) a= 94 (rà EM n) Gy E

zufolge, a in (43) und (44) auch dieselbe Grösse. Durch Division erhält
man also

Can gr VAT

LA ARMATA
e, zum Cu T — r

Hieraus folgt, dass, wenn man nach Lösung der Gleichung
R,(y,) = 0 die Quotienten der Wurzeln, in jeglicher Ordnung genommen,
bildet, man immer die Wurzeln der Gleichung

Rx.) = 0

so in Paare ordnen kann, dass ein Quotient der Wurzeldifferenzen
dieser Gleichung dem der vorigen Gleichung entsprechenden Quotienten
gleich ist.

Reelen Werth fiir / bekommt man, wenn man in

: €; — €
nit.
] e ET IMG

ME,

en

eu die mittlere e, der Wurzeln e,, e, und e, bezeichnen lässt; einerlei,
ob e; der gróssten oder der kleinsten derselben gleich ist. Um aber aus

(42) E c 2 (+2 2415 E.)
IE ej — €, ye

die reele Periode 2» zu bekommen, muss man e; die grösste e, dersel-
ben bezeichnen lassen. Für die Reihe (41) bekommt man dann auch
eine gute Convergenz. Der in die Formel

aera

€) — €y

ex — Cu
RTE

C= ep

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. : 5

34 AXEL SÖDERBLOM,

einzusetzende Werth ist also

CIERRAN.

Aus
ferner ist immer der reele, positive Werth der vierten Wurzel desselben
zu nehmen. Sehr bequehm geben dann die Formeln (41) und (42) den
Werth der reelen Periode 2o.

Berechnung der Integrationsconstante k.

Kann man k — 0 setzen?

Für die Berechnung des Augenblickes, in welchem die Figuren-
achse des Kórpers eine gewisse Neigung zu der Lothlinie hat, würde
man, wenn k — 0 gesetzt werden könnte, nach (39) die Formel

a

Jy fe

p(t —t,) — ep =

zu gebrauchen haben.
Hieraus folgt sofort, dass fiir

y ed

0

730 "u
sein muss, weil die rechte Seite mit der linken gleichzeitig unendlich
werden muss. Also sollte eine der Wurzeln der Gleichung

Y 2 Ci 2
A (Ci — 732) A — 73) — gan (C, — ys) =

eben ya sein, so dass

9M : Cr?
zB (C, —730) (1 —720) ET —— (C, — 7x) =0 -
Weil aber
DM o. ;
(16) = (C, — Ya) = Po + qo »
und
Cr? 2 2

(16) (C, — Yo) = (Poÿ10 + JoY20)

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 35
sind, so sollte also

(på + qo) (1 = Ya) LE Colo + Gy)” = 0

sein, für alle Anfangswerthe, die man sich p und gq zugetheilt denken
kann.

Die ursprüngliche Wahl der & und 7-Achsen in dem Körper kann
vollständig willkührlich gemacht werden, nur dass sie senkrecht zu der
Figurenachse desselben, und durch den Anfangspunkt gelegt werden.
Wählt mann dann zur &-Achse die Projection der ursprünglichen instan-
tanen Achse auf die durch den festen Punkt gehende und zu der Figu-
renachse senkrecht liegende Ebene, und zur 7-Achse die zu den & und

C-Achsen senkrechte Gerade in derselben Ebene, so bekommt man
do = 0.
Soll y, eine Wurzel der Gieichung

Y2,,2
a (CG, — ys) =0

2M

pi (C. = ys) ( ys) m

sein, so muss also, nach der in dieser Weise getroffenen Wahl der &
und 7-Achsen,

2 2 2 VIP]
poll — Yo — Yio) = poyso = 0

sein. 7) ist cos des ursprünglichen Winkels zwischen der 7-Achse und
der z-Achse. Nur wenn die Lothlinie, die Figurenachse des Kórpers
und die instantane Achse in derselben Ebene liegen, ist jener Winkel
ein rechter, und demnach

Sonst müsste
Po = d, —0
angenommen werden. Um dies zu vermeiden, hat man also die Formel

p — à 4- E) = — +

A E cm gs

zu gebrauchen. Hieraus folgt unmittelbar

EI

36 AXEL SÖDERBLOM,

Nachdem bestimmt worden ist, welche der Wurzeln &,, e,, e, bez. r,, 15,
r, mit e, bez. r, bezeichnet sind — was später dargethan werden
wird — hat man für die p(w)-Function

g? (,
plu) = 8,0) + e;
zu substituiren’). Für, die Berechnung des Argumentenwerthes k, wenn

. : a .
der Werth der Function gegeben ist, — + e,, hat man die Formeln
Y30 — Tu

CES ;
20 Ve, ee A are Se, — € o(u) = e mw? 9. (y)

s 2 1 c : 1
= 1% [9A sin vz —2 4 sinSvz-L-

+ 9 A^ gin Dour —. 2l

V2» fee alv) erm o, (0) = eem 2 Neon un + 2 cos Sue
T
Ne |.
va Vm. — eg 0,(u) = emo 9. (y) = e?w( 142h cos 2va--2h* cos4va4-
+ 2h cos6on +..] ,
20 ao Qu) = e270" 9. (y) = e» 1—2h cos 2va--2h* cog4va —

— 2h° cos 6vz +. JE

ist, so bekommt man den bequehmsten Ausdruck, wenn

Ami

1) Schwarz: S. 28. 2) ScHwarz: Ss. 41, 42.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS, 37

gewählt wird. Denn dann fällt der Factor 9 A". weg. Dadurch bekommt
man

sin 37 EC sin dr k
] s ud SL) ise
1 " sin 7 - d sin zz =
- = Su) tg 3 - - — :
M a — es " cos Im — cos 5m —
[| igo o I oe PU
COS 7 rus COS m.
Zo Zo

woraus k in gewöhnlicher Weise berechnet werden kann, sobald der

Werth der &.(k), d. h.

E(k) = | a ae

2 Tu

eingesetzt wird. Weil alles so berechnet ist, dass nicht nur £ und jedes
Argument, sondern auch &,(k), reel sein muss, so ist

PM eR Or
Y30 — Tu

Sehr bequem geben nun die Formeln

a
= — + Tu

pt —t, +k) — en

1 J2 42
(22) CERT ar ab

den Werth des Cosinus y; in einem gegebenen Augenblicke t.

Ganz in derselben Weise wie b, kann nun der Werth des Augen-
blickes t, in welchem die Figurenachse des Körpers eine gewisse
Neigung zu der Lothlinie hat, berechnet werden.

38 AXEL SÖDERBLOM,

Berechnung der Drehungsschnelligkeit & um die instantane Achse in einem
gegebenen Augenblicke; und umgekehrt: Berechnung des Augenblickes t, in
welchem die Drehungsschnelligkeit w einen gewissen Werth hat.

Dafür hat man die Formel

or = pt gm

X on aan
| PET, +h — e

worin die Werthe fiir r, und e, einzusetzen sind. Hieraus folgt, dass &
dieselbe Zeitperiode wie der dem Cosinus 7, entsprechende Winkel hat.

Die Berechnung des einem gegebenen w-Werthe entsprechenden
t-Werthes geschieht wie oben; auch bekommt man reele t-Werthe, wenn
man solche w-Werthe voraussetzt, die w annehmen kann.

Berechnung der Drehungsschnelligkeitscomponenten p und q als Functionen
der Zeit t.

Aus
(14) A(p° + 7) = 2MC, — 75)
und
ME s Du ee
bekommt man
a

(44) Alp ee ef) = LAIT NC m Po =

p(t — t, + k) > Cu

Aus dieser Gleichung hat man p und 4 als Functionen der Zeit
t zu suchen. Dieselbe kann zu einer anderen Form transformirt werden,
die zwar nicht fiir die Berechnung der p und 4 als Functionen der Zeit
t bequemer als (44) ist, die aber eine Eigenschaft der elliptischen p(u)-
Function hervorhebt.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 39
Nach WeiersTRASS's Theorie?) hat man nämlich

(e, EI e3) (e, T e,)
2

pl E o) — & =
PU) — e

wo c, die der Periodenconstituenten ist, die durch
pou) = Eu
definirt ist. Folglich ist

1 pt — ty +k + On) = eu
pli — t + E) — ex (eu — &) (eu — €»)

Statt (44) kann man also auch

LE MAG OPEN CM P aeo Ec e) = fi

C=)

schreiben.

Weil, in Folge der Natur des Problemes, p und ¢ reel sind, so
muss die rechte Seite der Gleichung (45) unter allen Umständen reel
und positiv sein. — In (45) ist o, imaginair oder complex, je nach dem

uw = 3 oder u — 2
- . N
ist, weil 2
C), = i — Ws 4

und o, rein imaginair ist.

Das Argument der Function p(t — t, + k + wu) ist also im Allge-
meinen nicht reel. Es fragt sich also: für welche complexen Argumen-
tenwerthe u + iv hat die Function p(u + iv) reele Functionswerthe?

Nach WeiERsTRAsS's Theorie?) ist

; Cp'(uw) — pP" j
pu + iv) =} A — p(u) — piv) -
* Tr) — p@)?
Die p(u)-Function ist eine gerade Function des Argumentes «.
Also ist p(iv) reel. Und weil p'(u) ungerade ist, also p'(v) rein ima-
ginair, so kann p(u + iv) nicht reel sein, wenn nicht

1) ScHwarz: S. 23. 2) Scuwarz: S. 14.

40 AXEL SÖDERBLOM,
pu) 20 , oder p'(iv) = 0

ist. — Weil im ersten Periodenparallelogramme die Ableitung der ellip-
tischen p-Function nur für

U=W,W+4+0; , 0;

gleich Null werden kann?) so hat die p-Function reele Werthe für Ar-
gumentenwerthe auf den zwei ersten Seiten, auf dem horizontalen und
auf dem verticalen Durchmesser des Periodenrectangels. — Weil ferner
dem ¢ in t—t,+k+o, nur reele Werthe beigelegt werden, so liegen
die Argumentenwerthe der p(t)-Function in dem Ausdrucke für p + 4?
entweder auf der Grundlinie des Periodenrectangels oder auf dem hori-
zontalen. Durchmesser desselben.

Daraus folgt auch, dass der imaginaire Theil des Werthes der
Constante k in (23) der rein imaginairen Periodenconstituente o, der
p(u)-Function gleich ist.

Aus den Gleichungen (44) oder (45) hat man nun p und q als
Functionen der Zeit t zu suchen. Weil diese Untersuchungen mit be-
deutenden Schwierigkeiten verknüpft sind, so wird vorläufig eine beein-
schränkende Annahme gemacht. Wir nehmen also an, dass die ur-
sprüngliche Bewegung nur um die Figurenachse des Kórpers stattge-
funden.

Dieses bedingt, dass

Po =0 und gq, = 0

sind.
Später wollen wir zeigen, wie die Sache sich verhält, wenn
nicht p, — q, — 0 angenommen werden kann.
Weil p, = q, — 0 ist, so muss, nach den Gleichungen (14)
und (15),
3
C, = ^ 30
und
al
6 = 0/0
sein. Die Differentialgleichung

d^ 2 oM . Cr?
ao. - TU nme a Om

1) Scuwarz: S. 11.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 41

geht dann in

À y, \? 2M 2 C
u) (Ff) = G5 19/ 0-1)

mp?

Ae ERA,
dt A? 6 30 ys)
über. — Die verschiedenen Fälle der Stellung des Körpers am Anfang
der Bewegung, die man sich denken kann, sind entweder der Art,
dass der Schwerpunkt desselben über der Horizontalebene durch den
festen Punkt liegt, wobei

Yo > (0)

ist, oder in, bez. unter der eben genannten Ebene liegt, wobei
y 730 = < 0

ist. Weil keine anderen Kräfte als die Schwere auf den Körper wirken,
so kann — in der speciellen Annahme p, = 0 und g, = 0 — der Schwer-
punkt des Körpers in einem folgenden Augenblicke nie hóher als im
Anfangsaugenblicke kommen. Weil dann der Schwerpunkt auf der po-
sitiven Richtung der z-Achse liegt, so muss immer

sein. D. h. y, ist die obere Grenze der Werthe des y;
Es soll nun nächstens entschieden werden, welche der drei reelen
Wurzeln der Gleichung

miu = un)! =

>
wor

(750 —
y» bezeichnet. Zu diesem Zwecke schreibe man (46) in der Form

=) z En =) a 03) Qs — 0),

dt

oder

y =f);
die eine Curve dritten Grades darstellt. Diese Curve ist in Bezug auf
ihren Inflexionspunkt J vollstindig symmetrich, und hat die Form «. —
Weil y positiv sein soll, und die Gleichungs-
curve nur rechts von dem obersten Wurzel-
punkte r,, und zwischen dem mittleren r, und
dem untersten 73, oberhalb der Abscissenachse
liegt, so muss entweder

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6

42 AXEL SÖDERBLOM,

1 SS Was

oder "

Weil nun schon bewiesen ist, dass der Wurzelpunkt 7,, die obere
Grenze der Werthe des y, ist, so muss also ys den mittleren Wurzel-
punkt r, bezeichnen. Die Grösse k ist auch in diesem Falle, wo p, = 0
und q, = 0, wie oben erwiesen, selbst gleich Null. Die Gleichung (44)
geht also in

a

A(p? BN OT Mirna tales ee
(47) (p? +) 30 — Tu BE),

über. — Wenn

t—1, =2mo,
wo m eine ganze, positive Zahl ist, und 2 die reele Periode, so ist

pt — à) = + ©);

also
2M
EST r9.
Weil nicht p?+ q? < 0 sein kann, kann also ri nicht

Up =

sein. Weil (47) auch im Anfangsaugenblicke den Zustand darstellt, so
muss also

Fo s

sein. Die Gleichung (47) geht dadurch in

pene puede Mes LE ll
ENE Tiga PEDE qu E)
über. Aus
COME am M yy ny) Ov — ng)

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 43

bekommt man nun

M
à — — Cr)
aly lin
a <0)
In
(43) ee ceu e

[2] — Cu

oder
a
Dice M sac Se.
eu — €

uU,

-— weil die Indices der e nicht dieselben Zahlen wie die der v bezeich-
nen müssen — kann man r, entweder r, oder r, bezeichnen lassen. Wenn

Dr em FR

ist, so muss

N
RS

EM Hy
sein; wenn dagegen

lm = 1
ist, so muss, bei beigehaltenem e, ,
1

Zi

fu

€
ken

sein. Dies ist nur dadurch möglich, dass e, die mittlere Wurzel be-
zeichnet, d. h.

ist. Man bekommt also schliesslich

a
Va = Yao VG ,
und
2M a 1
48 = pm ;
C ) p +49 A (LESSE I
wo

Bene)

44 AXEL SÖDERBLOM,

und
p(t —t,) 2 62e

ist.
Wird dieselbe speciele Annahme p, = 0 und q, = 0, wobei

Tu = C, = Ÿ30 »
k=0,
auf (45) angewandt, so geht dieselbe in

p 2Ma pest + En) — eu
9° We eS ES 0
Dad "MCA e)

über. Werden nun die zwei der Formel

a

(43) Vy Tu E

= On
wo

PNR

entsprechenden Ausdrücke mit einander multiplicirt, so wird sofort er-
sichtlich, dass das Zeichen des Productes

(eu — 63) (eu — 62)
mit dem des Productes
(ry — 19) (ry — 12)
übereinstimmt, weil a? > 0 ist. Jenes Product ist also negativ.
Es muss also e, e bezeichnen; folglich
Oy = Wo
sein. Es wird also

amu SÅG WG Sh dE) — 5
PISE d CU C Ce

(49) _ 2 Ma : D = s ei tm)
A (ONES -

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 45

Aus der Formel (48), wie aus (49), folgt unmittelbar, dass die
instantane Achse den grössten Winkel mit der Figurenachse des Körpers
macht, wenn

t — t, + o +2mu GSO TUN à)

ist, weil dann

pli —t,) = >
und

pt — to är 03) = pio, är 2(m ar 1)w }
= p(w,) x dg

ist, und folglich p° + 4? seinen Maximiwerth hat.

Für die Bestimmung von p und 4 als Functionen der Zeit t kann
man folgenden Weg einschlagen: p ist die Projection der Drehungs-
schnelligkeit & auf die £-Achse, 4 die Projection derselben auf die 7-
Achse. Mann kann also

p — Yp' 4- q* cosv

q— Yi 4- q* sinv

schreiben, wo v der Winkel zwischen der §-Achse und der Projection der
instantanen Achse auf die §-Ebene ist; also eine Function der Zeit t — t,.
Diese zwei Formeln gelten für alle in der $7-Ebene liegenden und zu
einander senkrechten Richtungen, die als 5- und 7-Achsen gewählt wer-
den. Sie sollen also so gewühlt werden, dass die Bestimmung der ana-
lytischen Function v so viel wie möglich erleichtert werde.

Aus den zwei letzten Gleichungen bekommt man erstens

er
p

SU.

Zweitens: weil v eine analytische Function der Zeit t—t, sein soll,
so ist

ve IG de f (Si) de UGG GP EE oc ve

wo die Coefficienten K,, K,, K,,... zu bestimmen sind.

46 AXEL SÖDERBLOM,

Fär die Bestimmung dieser Constanten hat man sich zu denjeni-
gen Gleichungen, die p und 4 allein betreffen, zu wenden, also erstens
zu den Huler-schen

A E — (A — C)qv + My, ,
(10) en d LOS), eoa
Pie

Wenn y, und 7, gekannte Functionen der Zeit t—t, wären, so

könnte jede dieser Gleichungen zur Bestimmung der Ko, K,, K,,..
durch Coefficientenvergleichung dienen; und jede Methode, durch wel-

che die Winkelcosinen y, und 7, aus diesem System eliminirt werden

können, würde eine resultirende Gleichung in p , q , == 1 a liefern,

durch deren identische Befriedigung die Coefficienten A bestimmt wer-
den kónnten. Die folgende scheint mir die einfachste zu sein:

Weil die Wahl der &- und 7-Achsen frei ist, so werde als §-Achse
diejenige Gerade in der §7-Ebene genommen, um welche eine Drehung
zuerst entsteht, und als 7-Achse die auf dieselbe senkrechte Gerade,
die mit der Figurenachse des Körpers und der §-Achse ein gewöhnli-
ches Coordinatenachsensystem bildet.

Welche ist dann die Gerade in der $5-Ebene, um welche eine
Drehuug in positiver Richtung zuerst entsteht?

Wenn die Schwere auf die Bewegung nicht einwirkte, so kónnte
natürlicherweise jede Gerade durch den festen Punkt die »Lothlinie» er-
setzen. Als solche kónnte man dann die ursprüngliche Richtung der
Figurenachse des Körpers wählen. Dieser Fall wäre also derselbe, wie
wenn, bei Einwirkung der Schwere, die Figurenachse des Kórpers im
Anfang der Bewegung senkrecht wire. Dann würde aber auch dieselbe
immer senkrecht bleiben. Der ursprünglichen Drehung halber — mit

Pp==9,und rz»,

entsteht also nie eine Drehung um eine Gerade in der §y-Ebene. Im
Gegentheil, es ist die Schwere allein, die eine solche Drehung bewirkt

DREHUNG EINES ROTATIONSKÓRPERS.

und einleitet. Die &Acbse ist demnach im An-
fangsaugenblicke senkrecht zu der z¢-Ebene und
horizontal. Als positive Richtung derselben
werde die gerechnet, um welche die £-Achse in
positivem Sinne zum Zusammenfallen mit der
negativen Richtung der 7-Achse gedreht wird.
D. h. wenn man auf der Horizontalebene durch
den Anfangspunkt steht, in der Richtung der
zt-Ebene schaut und gegen die C-Achse hin-

*1

47

TÉ

blickt, so hat man die positive &-Achse links und die positive 7-Achse

hinter sich.

In dem zweiten Augenblicke der Bewegung ist p eine unendlich
kleine Grösse; gleichfalls g. Der Wahl der &- und z-Achse zufolge muss
aber q eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung als p sein. Es

muss also v mit £ — t, unendlich klein werden.

Dadurch bekommt man

K,— 0,
und
JC e oe CE) Eos CIEL
)
Hieraus folgt, dass :
dq dp
d EE
RE SO a qe C mut ca p... et UU
[CR p
= dq dp
rar
CE
ist. — Aus dem Systeme (10) folgt, dass
, dq dq dp | —(A— Oyr — Mpy, — (A — Chr — May.
Begg uy c A
_ AS =

M
= CEE OR

Weil, für p, 24, — 0,
C, = fao
ist, so folgt aus der Gleichung (15), dass

[Diy le = m (a — 73) -

48 6 AxEL SÖDERBLOM,
Man bekommt also

dq dp a=

un
2 -
rer C (p dL yp c oes:

also nach der Gleichung (14)

8 dq Um
dt do 4. MCr än == a

Pee A Xp SW

Es wird demnach
COELO eU EU SEE 1.

Die Coefficientenvergleichung giebt also sofort

und

für p und q:

2Ma 1
p= SSE cos v

A Vp@—t,) —@

Ve (lt — to) - cos (+ STEN

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 49

2Mo . ee.
"E V i Soo (t — to) . SIN (57 — 1) AC — iy) :

Z

Aus diesen Gleichungen ergeben sich Folgerungen, die fär die
Bewegung des Körpers von Wichtigkeit sind.

Weil die Drehungsschnelligkeit der (Projection der) instantanen
Achse um. die Figurenachse des Körpers, d. h.

dv (0)

== = {SSS | il To

dt 24
nur von den Trägheitsmomenten A und C und von r, abhängig ist, so
bekommt man, unter der Voraussetzung

Fr -—

Do = O0 .r—m-,

für denselben Kórper immer dieselbe Drehungsschnelligkeit E , unab-
dt

hängig von dem ursprünglichen Winkel zwischen den & und z-Achsen.
818 D
: | x C
Iu verschiedenen Rotationskórpern, für welche pi denselben

Werth hat, drehen sich also die instantanen Achsen um die Figuren-
achsen der Kórper mit constanter Schnelligkeit.
Diese Senlüsse gelten auch ausser dem Fall

Jo 4- do — 0,

wenn man nur für den Winkel v den Werth

| v (E. -1)se-0

bekommt.
Man denke sich weiter einen Kórper der zu behandelnden Gattung,
in dessen Schwerpunkte

ist. Bei der Verschiebung des festen Punktes làngs der Figurenachse des

Körpers wächst A, = B,, und C bleibt unverändert. Bei Körpern jener

Art kann man also einen Punkt auf der Figurenachse finden, in welchem
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

50 AXEL SÖDERBLOM,

C3

Ab DB =

2

b

ist. Es folgt dann, dass beständig g — 0 bleibt; d. h. dass die instan-
tane Achse sich in einer festen Ebene durch die Figurenachse des Kör-
pers bewegt. Die Bewegung des betreffenden Korpers wird dann
durch das System

^

gegeben.
Wenn t—t, =o ist, bekommt >, seinen kleinsten Werth, um
wieder, wenn t—t, = 2w ist, seinen grössten Werth y,, zu erhalten.
Weil &,(t— t) in dem Ausdrucke der Componente p Factor ist,

so ist nicht 2w die Periode für p. Man hat nämlich ?)

ou+tw) _ il 0,(u)

oa(u + w) Ye, —e, - 6,(w)
und

Wurm) __ Nee, o(u)

o, (t + ©) a TO
also

O(u+2w) _ o(u)

o;(u + 20) FO

Die Periode der Bewegung würde also mindestens 4w sein; und
nicht 2w, die die Periode des y, ist.

Dies wird auch durch das Euler-sche System (10) bestätigt.
Dieses giebt nämlich

——
2 mee V 24a.

107 De fen) ee),
4 M

1) Schwarz: S. 27. »

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 51

weil für

i pete)
- d&y (t — to) = i 1)
dt :
Für
t—t, = 2w
ist wieder
Ja = 0 D
weil dann
i 1 1
Sk(20) = = =0 =

also

D. h. die z-Achse ist wieder horizontal. Für y, bekommt man
dann — weil, wie oben gezeigt,

Soo (t — to + 20) = — Soo (t — to),

woraus
die — tb +20) — ob dE Cat)
dt E dt D
also
d&X20) _ _
dt RE n

wenn rechts das Argument gleich Null gesetzt wird —

D. h. längs der 7-Achse geht es dann abwärts. — Diesen speciellen
Fall lassen wir in Folgendem ganz ausser Acht.

1) SCHWARZ: S. 29.

52 AXEL SÖDERBLOM,

Wenn, wie im Allgemeinen, nicht

ist, so folgt aus dem Ausdrucke des Winkels v,

C
= i = I pun 6) ,
dass, wenn die ursprüngliche Bewegung nur eine Drehung um die Fi-
gurenachse des Körpers ist, die instantane Achse sich um die Figuren-
achse des Kórpers mit uniformer Schnelligkeit dreht — in positiver oder
negativer Richtung, je nachdem

ist.
Die Zeit — von der Zeit t, an gerechnet — nach deren Verlauf

der Winkel v sich zuerst um die Grösse
2n Grm na)

vermehrt hat, und gleichzeitig p und q, wie y,, 72 und ys, die betref-
fenden Werthe, welche sie am Anfange dieser Zeit hatten, wieder anneh-
men, sowie, dass die im Körper feste Ebene durch die £-Achse sich
einen Winkel

2vn (v = ganze Zahl)

um diese Achse gedreht hat, bestimmt also die Periode der inneren Be-
wegung des Körpers. Es muss also

Bu, = on (GAS RENE H

und

sein. Dadurch bekommt man

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 5:5)

Je kleiner die ganze Zahl n ist, und die ganze Zahl m, desto
einfacher ist die Bewegung des Körpers.
Fur 7) = 0 ist auch m — 0.

Wenn
SS eee

2A

würe, würde also » eine ganze negative Zahl sein. Wenn man sich dann
— ry statt r, eingeführt denkt, so würde also n die entsprechende posi-
tive Zahl bezeichnen. Weil in %,(y,) der ursprünglichen Differential-
gleichung nicht r, sonder rj eingeht, so wirkt diese Vertauschung der
Grösse r, nicht auf die Periode 2m, also auch nicht auf die Periode
der Bewegung.
In der letzten Gleichung kann man nie für > den Werth
T
n
ne

bekommen. Denn wegen der uniformen Drehungsschnelligkeit der in-
stantanen Achse um die Figurenachse des Kôrpers müsste dann

n=m=1
sein; und die Bewegungsperiode sollte 4w sein.

Für

würde dann

sein.
Die Curve der &,(t — t,)-Function hat für reele Argumente unge-

fähr die Form ?)

£y» (E-t;)

1) Siehe Schwarz: S. 27—-29

54 AXEL SÖDERBLOM,
Weil

ge eum GK) . eos (CE. 1) = +)

ist, so würde also die Componente p Zeichen wechseln, wenn
í— 1, — 0 , oder t—t,= 3c,

wegen des cos-Factors; wenn
Lip lans QNSE =, = 400,

wegen des &j-Factors; also überhaupt für

gu = fe CHINE SRE PRE
Weil

= Ven SA) Sia [E ) ry(t = ih)

ist, so würde dagegen 4 mie Zeichen wechseln. Dies ist aber wider-
sinnig. Denn die instantane Achse dreht sich mit uniformer Schnellig-
keit um die C-Achse, und o wechselt nie Zeichen, weil der Minimiwerth
derselben r = r, ist.

Dagegen muss es so sein, dass p und g, wegen der uniformen
Drehung der Projection der & auf die £y-Ebene um die C-Achse, in
jedem Umlaufe der Projection der & um die C-Achse zwei Mal Zeichen
wechseln. Dies muss wieder regelmüssig geschehen, also ein Zeichen-
wechsel für jedes Viertel der Umlaufszeit stattfinden. "Weil die Bewe-
gung in den ersten Augenblicken der zweiten Periode identisch mit der
in den ersten Augenblicken der ersten Periode übereinstimmen muss, so
muss, für

== di.

wo T' die Periode der Bewegung bedeutet, ein Zeichenwechsel für p,
und von negativem zu positivem Werthe, stattfinden. Denn eben in die-
sem Augenblicke muss die Stellung des Kórpers dieselbe wie die am
Anfang der Bewegung sein; also der Schwerpunkt des Körpers, gerade

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 55

durch Drehung um die S-Achse, seine höchste Lage erreicht haben,
welche (Lage) von diesem Augenblicke an wieder erniedrigt werden soll.
— Die Zeichenwechsel der Grósse p finden also am Anfang und in der
Mitte der Umlaufszeit, die der g am ersten und dritten Viertel der Um-
laufszeit statt.

Ein solcher Verlauf würde stattfinden, wenn in

gesetzt werden kónnte. — Der uniformen Bewegung halber würde dann,
wie oben erwiesen,

i = i , ig = 2

sein.
Dann wiirde fiir
i—1,— 2o, fo, 600 8o0;,...
G 7 ST
(4-1) - ES 3,7, 2 „2a, .:
sein.

Obgleich der &j-Factor für £— t, = 2w und t — t, — 6w Zei-
chen wechselt, so findet dann für p kein Zeichenwechsel statt, weil
derselbe durch Zeichenwechsel des cos-Factors entnommen wird. Für

t —t, = 4o

tritt er dagegen ein, und zwar vom Positiven zum Negativen; für
ü— ts = 8w

wieder vom negativen zum positiven Werthe.
Die Componente q wechselt Zeichen fiir

t — f, = 26
und fiir
t—t, = 60.

56 AXEL SÖDERBLOM,
Für kleine r — r, ist nothwendig
nM «C ms

denn n verschwindet mit r, wobei w nicht Null wird. Es kann also bei
uniformer Drehung nicht

im = I

sein.
Es muss dann mindestens

QUE 28, et
sein. Während der Periode: d. h. von

t —1,—0 bis t —t, — 4mo,

wobei der Winkel v von

v — 0 zu oO = 2m

uniform wächst, würde p wegen des §, (¢—t,)-Factors 2m Mal, und
wegen des cos-Factors 2» Mal Zeichen wechseln.

Der n-maligen uniformen Drehung um die ¢-Achse halber müssen
die Zeichenwechsel der Componente p nur 2n sein. Weil

mon

ist, so dürfen die Zeichenwechsel der p, des &,-Factors halber, durch
Zeichenwechsel, des cos-Factors halber, nicht vermehrt werden. Im Ge-
gentheil, einige der vorigen müssen durch etliche der letzten aufgehoben
werden; und auf eine solche Weise, dass die rückständigen regelmässig
periodisch werden.

Dasselbe gilt für 1

Die Punkte 0, 1, 2,.. mögen die Zeiten darstellen, zu fann der
&»Factor und einer der trigonometrischen Factoren Ten.

Wo ein Zeichenwechsel, der
wegen des &,-Factors eintreten p) ET
würde, durch den cos-Factor auf- 2 As ?
gehoben wird, also für p ver- q)
schwindet, wird er für q rückstän- aa c. 2 Gd 5
dig, und vice versa. Wenn t — t, = 0
ist, giebt es also für g keinen Zeichenwechsel. Nach der Zeit t — ty = 0
muss also der erste Zeichenwechsel g zu Theil kommen. — Der Zeichen-

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 57

wechsel in 1 muss dann fiir p aufgehoben werden — durch den cos-
Factor. In 1 wechselt also g Zeichen. Dann darf der Zeichenwechsel
in 2 nicht für q rückständig werden. Denn für p muss ein Zeichen-
wechsel zum Stande gekommen sein, seitdem ein solcher am letzten
Mal für g eintrat, d. h. in 1. Also ändert p Zeichen in 2; danach q
ined UBS oW:

Es muss also — bei kleinen Werthen der Componente r — jeder
zweite der Zeichenwechsel wegen des &j(t — t,)-Factors durch den cos-
Factor aufgehoben werden. D. h. während der Zeit 2w muss die Pro-
jection der & auf die $z-Ebene ein Viertel ihres Umlaufs um die ¢
Achse gemacht haben. Es muss also

sein; d. h.

Es muss also für kleine r = 7
n=1l m=2
sein; und die Periode der inneren Bewegung ist

b= ty = OD
Kann
wm
sein?
Wegen des öv (t —t,)-Factors würde p während der Peride 4mw
2m Mal Zeichen wechseln. — Des Winkels

v— 2nn

halber muss p 2n Mal Zeichen wechseln. Wenn n > m sein könnte, so
müsste also die Anzahl der Zeichenwechsel der p — wegen des &,-Fac-
tors — durch einige wegen des cos-Factors vermehrt werden, und in
einer solcher Weise, dass die schliesslichen Zeichenwechsel der p regel-
mässig periodisch würden; gleichso für q.

Wenn dann 0,1,2,.. die
Zeiten darstellen, zu denen der " isa oe EA,
Sva (t — t,)-Factor verschwindet und Zeichen wechselt, so sollte es also zwi-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8

58 ÅXEL SÖDERBLOM,

schen 0 und 1 einen Punkt geben, wo q Zeichen wechseln würde; denn
nach t—t,=0 gehört der erste Zeichenwechsel der Componente q.
Weil aber der &,-Factor zuerst in 1 verschwindet und Zeichen wech-
selt, so würde also q vor 1 einen Zeichenwechsel nur durch den sin-
Factor bekommen können. Ehe aber, nach t—zt, — 0, der sin-Factor
Zeichen wechseln kann, müsste der Winkel v den Betrag x erreicht haben.
Dann aber würde der cos-Factor in dem Ausdrucke der p schon ein
Mal Zeichen gewechselt haben, und mit ihm p selbst. Es würde also
für p zwei Zeichenwechsel vorkommen ohne zwischenliegenden Zeichen-
wechsel für g, welches, der uniformen Drehung der Projection der w
um die C-Achse halber, unmóglich ist.
Es kann also nicht

nm
sein, sondern man muss

n = 1
und

m = 2

haben. Daher folgt, dass die Periode der inneren Bewegung
T= 8o

ist; und für die reele Periode 2« der betreffenden, elliptischen Function
hat man die Gleichung

(50) (QE un] OC EUN

Diese Gleichung gilt für den Fall
Po = do — 0,
wenn nicht auch 7, = 0 ist, oder
C=2A

ist; welcher Fall schon behandelt ist.

Dass eine solche Gleichung wie (50) für die reele Periode der
elliptischen Function p(t — tj existiren kann, und wodurch die so sehr
umstündliche Berechnung derselben vermieden werden kann, hängt nur
davon ab, dass w nicht Zeichen" wechselt, dass die Drehung der Pro-
jection der & um die [-Achse uniform ist, und dass die die Grösse

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 59

Vp! + 9” bestimmende &,-Function regelmässig und zu gekannten Zeiten
verschwindet und Zeichen wechselt. Dieses für die Herleitung der For-
mel (50) so wichtige, regelmässige Zeichenwechseln findet nur in dem
Falle statt, wenn die Bewegung der Projection der instantanen Achse
eine uniforme Drehung um die Figurenachse des Kérpers ist.

Dieses setzt, wie es schon erwiesen ist, voraus, dass in dem Aus-
drucke des Winkels v

Q = Ng is AC tem eds AG C = ag) Su) ae oe
die Coefficienten
R,—0,R,—0,..

waren. Dies war wieder nur dadurch móglich, dass in dem Ausdrucke

der Ableitung E der Faetor
7

durch 1 ersetzt werden konnte, also dadurch, dass die Integrationscon-
stanten C, und C, denselben Werth hatten. — Ausser dem speciellen
Falle, in dem, zu der Zeit t — ^, = 0, die Bewegung eine Drehung um die
Gerade durch den festen Punkt und den Schwerpunkt des Körpers
war — oder dass sich die Bewegung in einem folgenden Augenblicke zu
einer solcher Drehung reducirt, welcher Augenblick danach zur An-
fangszeit gewählt werden mag — kann es noch unter einer anderen
die Anfangsbewegung betreffenden Voraussetzung möglich sein [die Glei-
chung (50) aufrecht zu halten; d. h.] C, und C, gleiche Werthe zu geben.

Es wird also nun vorausgesetzt, dass sich die Bewegung nicht
zu einer Drehung um die Gerade durch den festen Punkt und den
Schwerpunkt des Kórpers reduciren kann. Der Augenblick, in welchem
die instantane Achse sich der Figurenachse des Kórpers am meisten
nähert, werde zur Anfangszeit der Bewegung gewählt; die Projections-
linie der instantanen Achse auf die £7-Ebene möge zur z-Achse genom-
men werden. Dadurch wird

qo =0
und
Po 0.

60 AXEL SÖDERBLOM,
Aus dem Systeme
Api + go) = 2M(C, — 730)

A (PoYıo + 90% 20) = Emo, = 7/30)

(16)
folgt dann
Ap = 2 M (C, — a),
A Poy = Cro (C, — Ya) -

Um gleiche Werthe für C, und C, zu bekommen, ist es also nur
erforderlich dass

A 7110 t Cm
jo 2M
ist, welches
| "s E 2M
Bolo | = er

voraussetzt.
Mit den zwei Fällen

Po = Jo = 0
und
2My,5 — Cporo = 0, 90 = 0

sind die Möglichkeiten fär die uniforme Drehung der instantanen Achse
um die Figurenachse des Körpers erschöpft.

Weil die letzte derselben den Fall p, > 0 voraussetzt, ist es also
nóthig auf diesen noch nicht behandelten Fall einzugehen.

Die Grössen p und q als Functionen der Zeit zu bestimmen, wenn
nicht po = qo = ist.

Wenn nicht p, = go = 0 ist, kann

>
ys z f»

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 61

werden. — Die Möglichkeit y, > yx war bei der speciellen Annahme
Po = % = 0 ausgeschlossen.
Für y, hat man nun den Ausdruck

1
39 He = x T
(39) /s TEE eau
wo k eine reele, positive Grósse ist. Für die Bestimmung des Werthes
der Grósse & hat man

a

en

Ohne r, gewühlt zu haben und den davon abhangenden Werth
der Grösse a berechnet zu haben und noch dazu e, passend gewählt zu
haben, kann man freilich nicht den Werth der & berechnen. So viel
weiss man jedoch von £, dass ihr Werth positiv ist. Denn zwischen 0
und 2o liegen zwei verschiedene Werthe der £, die die Gleichung

a

//30 EX p = eu == Tu
befriedigen:

jg wane! Bo —= 5 c

Weil der Betrag der k auf die Grosse der r,, a und e, einwirkt,
muss man also zwischen k und 2w—k eine Wahl treffen. Die kleinere
Wurzel, O<k<w, möge für k gewählt werden. Demzufolge ist

d p (k) OF
dt ES

also p(t—-t, + k) abnehmend, wenn t von t, aus wächst. Der Cos. 7,

kann nicht die Grenze 1 überschreiten, noch weniger unendlich werden.

Weil
X th + E) — 6
für
—_— to + k = (D
ist, so kann also e, nur e, oder e, bezeichnen.

Wie an der Seite 41, sieht man auch hier an der Gleichungs-
curve, dass man nur rechts von dem hóchsten Wurzelpunkte r,, und

62 AxEL SÖDERBLOM,

zwischen dem mittleren 7+, und dem untersten r,, positive Werthe für

a 2
(22) bekommen kann.
dt

Wenn die Anfangsbewe-
gung, oder, was auf die Wahl
der Wurzel r„ einwirken kann,
die Werthe der p, und q, der
Art sind, dass y, in dem nächst
folgenden Augenblicke kleiner
als y wird, so muss

sein.

ee
p(t — ty +k) — eu

positiv und zuneh-

Denn weil y, abnimmt und der Nenner des Bruches

1

positiv und abnehmend ist, also —— — —— — ——
pt — t+ k) emi

mend, so muss

a «0
sein. In

(35) a= (= Tu) (r, — Ty)

muss also bei anfänglich abnehmendem 7,

fa em Ths
sein.
Wenn dagegen p, und 4, solche Werthe hätten, dass in dem

nächstfolgenden Augenblicke

Y3 > Yso
wäre, so sollte
a > 0

sein. Man hatte dann für r, entweder r, oder r, zu wählen. Das Ge-
biet rechts vom r, muss jedoch auch nun ausgeschlossen werden. Denn

2
weil rechts vom r, kein Wurzelpunkt liegt, so würde im unendlich

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 63

wachsen. Dies aber ist, der Bedeutung des y, zufolge, unmöglich. Das
Gebiet zwischen r, und r, ist auch nun auszuschliessen, weil EUCH

at
complex würde.

Es muss also bei anfänglich zunehmendem 7, für r, der Werth
Th = T3
gewühlt werden.
Dem Falle r, =r, — mit Anfangspunkte in ¢,(1) — entspricht
M
ade (nn) n-n--s, «0;

und dem Falle r, 2 r, — mit Anfangspunkte in t,(2) —

=

M
g4 09 6-7) = B> 0.

Die betreffenden Formeln werden also

1 Be TE ON 3
(61) ul Hoe ee?

e 4 A P
(52) CO M LT

Eine Bewegung, die durch die Formel (51) — für den Fall t,(1)
— dargestellt ist, kann matürlicherweise, nach Verschiebung der An-
fangszeit t,, vermittelst der Formel (52) — für den Fall t,(2) — darge-
stellt werden. — Selbstverständlich braucht nicht k in (51) und (52)
dieselbe Grósse bezeichnen.

Ob e, in (51) und (52) dieselbe der Wurzeln e und e; bezeichnet,
ist nächstens zu untersuchen.

Nach der Gleichung (51) kann y, zu dem Werthe

a

Ta e ee
Er

64 AxEL SÖDERBLOM,

sinken. In diesem Augenblicke hat die Function p(t —t,+k) ihren
Minimiwerth, also auch der Cos. y; seinen, d. h. 73. Es muss also für
eu in (51) die Relation

[04
Ta = ra as 9
On = An
oder
vis M G — vg) (ry — rg)
detis mE :
oder
Mr -—mn
53 REEL UM |
89) BAL Gy Op
gelten.

Durch ein ganz ähnliches Raisonnement bekommt man für e, in
(52) die Relation

(54) u m

SNS
2A Or = én

Es wird also unmittelbar ersichtlich, dass e, in (51) und (52)
nicht dieselbe Wurzel bezeichnen kann. Weil

in = Va < Fi T3
ist, und e, entweder e, oder e, bezeichnet, so muss also in (51)

eu = 63

und in (52)

sein. Die Formeln fär die Berechnung der Grössen k sind also

TAI ap = Pa — & y M Cr, == Ty) (rs = rs)
ol )) Mi To ph) x & To 24 nO) ix ;
t,(2 gp = 13 ie — y, M (ri — rg) (fe — 73)
cQ Ed LS

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 65

Zusammengefasst können (51) und (52) in der Form

N M Cr m ip) G = Um = AP SPRINT LR nes
ho EET RET |S MEET

geschrieben werden, wo man, um beide Formeln zu bekommen, entweder

u=2 oder u = 3

zu setzen hat.
Aus dieser Gleichung und aus

(14) Alp’ + 45) = 2M(C, — ys)

bekommt man

Hs 2 2M 1 a
2n a =p | > ee,

oder

2 2 2M (t — ty +k + Wu) — Eu
56) D = (egi m 0 u
| rere cd | FOE ESCAS

Mittelst einer dieser Formeln hat man nun p und 4 als Functio-
nen der Zeit zu entwickeln.

Für die Behandlung der Frage ist es zweckmässig die zwei haupt-
süchlich verschiedenen Fille: |

p° + 9° kann gleich Null werden; und

p°+q? kann nicht Null werden; besonders ins Auge zu fassen.

Dies hängt davon ab, in wie fern

a
— ff E = 0
ue LEE

werden kann oder nicht, d. h. wenn

a

(CA = Um —

ist oder nicht. Wenn dies der Fall ist, so ist es zweckmässig die An-
fangszeit zu der Zeit t, zu verschieben, wo t, durch die Gleichung

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 9

66 AXEL SÖDERBLOM,

a

er a >
uU

bestimmt wird. Von den reelen t,-Werthen, die diese Gleichung befrie-
digen, möge der kleinste positive als t, gewählt werden. Für die Be-
wegung hat man dann, wie wenn pj--q,— 0 waren, — weil es auch in
diesem Falle eme bestimmte Zeit t, giebt, zu welcher alle Drehung zu
einer Drehung um die Figurenachse des Körpers reducirt ist —

2Ma .
p ay 5 &y(t — t,) . cos ee em Ce) ,

2Ma . = (©
q= V — AC) in (=> = 1) TG 5) 9

in denen man, um die Drehungsshnelligkeitscomponenten zu Zeiten
zwischen dem Anfange der Bewegung und t, zu bekommen, die Zeit
rückwärts von t, an zu rechnen hat.

Auch wenn nicht p + q — 0 werden kann, hat man

p = VPS cosv, g=Vp?+¢ sinv.

Der Winkel v ist eine Function der Zeit.
Den Formeln (55) und (56) gemäss könnte man nun für v

v = 6$ + Alt — ty + E) e (E— ty + EY + e(t tp EY eee

oder

v= hy + E tsp E + Wu) + hl + b + mu) + RE to + E + OR) +...
schreiben. In einer mit der an der Seite 48 für den Fall p, = q, = 0

analogen Weise könnte man dann durch Coefücientenvergleichung die
Constanten

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 67
äv 9 & be kon, lör k, m bestimmten:

Der analytische Ausdruck des Winkels v wird aber einfacher und
die Coeffieienten desselben leichter zu bestimmen, wenn man statt der
vorgeschlagenen Ausdrücke für den Winkel v die analytische Function

(51) D = db BGG od) ded SP dod p = uas sce
einführt.
Weil für t — t, der Winkel v,

Uy = Ko

ist, so hängt die Grösse A, von der Wahl der &- und 7-Achsen ab.

Wie in dem Falle p, = 9 = 0 , möge zur $-Achse die Gerade in
der &7-Ebene gewählt werden, um welche am Aufange der Bewegung
eine Drehung in positiver Richtung existirt — da: zuerst entsteht
— und zur 7-Achse diejenige Gerade, die mit der ¢- und der §Achse
ein gewóhnliehes System bildet. Dadurch bekommt man gq =0 und
Po > 0.

Wie an der Seite 6 hat man

dy
(13) Pie — 91 =;
also am Anfange der Bewegung
lv
Poy20 = — ( = ) .

Hieraus wird sofort ersichtlich, dass man

51 en d
(51) i 7 m OE =F, SED) = ]
oder
3
(52) ne [

p(t = t 4-5) — es

zu gebrauchen hat, je nachdem am Anfange der Bewegung der Winkel
zwischen der y-Achse und der z-Achse spitz oder stumpf ist.

68 AXEL SÖDERBLOM,

Es muss dann, damit

DE ANNEE CS) IGP te 0)

für t — t, p — p, geben mag,

(58) K,—0
sein. — Ein mit dem an der Seite 48 analoges Verfahren führt zu der
Relation
n - | AC M p»
K, + 2K, (¢—t) + 3K( 4) += 5 e |
(59) Ss nri:

hö : :
VEDI TERES.
Für t = t, bekommt man hieraus

5 CA Cr C. ERA
60 IK = jig, Be EO e Fae Op
> Ug Dar mono

Eine einmalige Differentiirung der Formel (59) leitet zu

Cr, C, —ys— OC, yi E dys
24 | (C, — ys) dt

2 6466 Hr.

(61) C C,—C, dy,

woraus

also nicht K, = 0, wenn nicht

2 My) — Cporo = 0
ist, wodurch

C = 05

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 69

würde, welcher Fall schon behandelt ist, — oder, am Anfange der Be-
wegung, die Lothlinie, die Figurenachse des Kórpers und die instan-
tane Achse in derselben Ebene liegen. Denn nur dann kann — im Falle
Bo— 0,4, —0 — yg — 0 , also auch

( 2) x

t=t

sein.

i (C, — C?) L eingeführt wird, so bekommt man

pe

Wenn für

aus (61)
6.K, + 24K, (E— to) +-- = PX — 7) ^^ + (Ci — 9^ A7]

und
24 K, + 120 K,(t — to) + - - = L[6(C, — 73) * - 4? + 4(6 — y) ys ys +
+ X(5 — 1) Yers + (Ga — 72) nul
= L[6(6, — y) ^ 78° + €(6— 79^ ys «ys + (Gy? 4n].
Weil
(17) ( a ) = BG)

ist, so hat man

d'y, dR,ly) d; d;
2 6o I LEVE 3 ORs = IPG 4 73
dt? dys dt (72)

und

diy, x dy 2 2,
2 ca Const. (2) ae Te:

2, Ar
Hö kann alsokvnickt A ni LUE

= , für t=t,, gleich Null sein;

at
denn dann würden auch alle folgenden Differentialquotienten, für t = #,
gleich Null werden.

70 AXEL SÖDERBLOM,

Es ergiebt sich also, in dem speciellen Falle: Lothlinie, Figuren-
achse und instantane Achse am Anfange der Bewegung in derselben
Ebene, dass

KG ZW 3 EC 0:
Durch Fortsetzung des Differentiiren ergiebt sich, dass auch
K, =0

ist. An der Behandlung des vollständig generelen Falles, — wo also
weder p°+q =0 werden kann, noch die Lothlinie, die Figurenachse,
und die instantane Achse in der selben Ebene am Anfange der Bewe-
gung liegen — wird formel erwiesen werden, dass jedes A mit gera-
dem Index verschwindet.

Aus dem letzten, speciellen Falle, wo

gres IG eod Je t EP Jo Ren):

ward, wird sofort ersichtlich, wie man in dem generelen Falle zu ver-
fahren hat, um eine gleich so bequeme Formel für v zu bekommen: wo
die Anzahl der zu berechnenden Constanten zu der Hälfte reducirt ist.
— Man braucht nur die Anfangszeit zu einem der Augenblicke, wenn

dys _

dt

wird, zu verlegen. Aus den Formeln (51) und (52) ergiebt sich, dass
dies nur dadurch méglich werden kann, dass

ill dpt—t+k) _g
ut —t, + eu} - dt -

ist. Darum muss entweder

tb +h = (@n- Do @ = 07 I Zoo)
sein, also coe 0; oder auch
dt
t —ty-- k — 2no

1
(b+) — «y

sein. Dabei ist eine unendlich kleine Grösse vierter

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. fil

Ordnung, und wen eine unendlich grosse Grösse dritter Ord-
dt

nung, also
d As

29 == ()),
dt

Wenn man den kleinsten der vorigen t-Werthe wählt und
mit t, bezeichnet, so wird 7; durch die den Formeln (51) und (52)
entsprechenden

e

2 ANS pe
(62) - 73 — T$ Pe Bo) Se;
und
BET MOSES
Ge) ein is yams A
gegeben.

Statt durch (55) und (56)
wird nun p’+q° durch

5 2 2M m a
> u |^ js pt—t, 4- e) — Eu |

oder =

> 2M\,n p(t —t, + w+ wu) — e,
5 2 ee C pale.
(6 ) p == q A 1 Tu a (eu as ei) (eu rx ey)

gegeben; und fiir den Winkel v hat man nun den Ausdruck
Ib, SE inccr SG Sar EG) Re

wo also L, der zu der Zeit t, von dem Augenblicke des wirklichen An-
fanges der Bewegung überfahrene Winkel ist. Wünschet man also auch
den von der Projection der instantanen Achse überfahrenen Winkel von
t, an zu rechnen, so hat man

12 AXEL SÖDERBLOM,

des Jb gms OG = GP LICE) dec.

D. h. man denkt sich, dass zu der Zeit t — t, die §- und 7-Achsen in
der &jy-Ebene so gewählt sind, dass zu der Zeit t — t, die §-Achse in
der Ebene durch die Figurenachse des Kôrpers und die instantane
Achse liegt. — Die 7-Achse wird dann zu der Zeit t — t, horizontal.
Denn wegen des sin-Factors wird q = 0 für t =¢,; weil ausserdem

dy
13 fo — ( = — 3
(13) Pys— IN dim

d
dt
horizontal. Es liegen also die Lothlinie, die Figurenachse des Körpers,
die instantane Achse und die &Achse in dem Augenblicke t = 44, in der-
selben verticalen Ebene. — Dies würde auch regelmässig wiederholt wer-
den, wenn der Winkel v den Betrag

und, för t =t,, 2 = 0 ist, so hat man dann y, — 0; also die 7-Achse

Tes (ih Meh lg Ag ggg

erreicht, gleichzeichtig mit dem, dass E — 0 wird, d. h. wenn
— ty = lw 9

wo / eine ganze positive Zahl ist.
Für p und q hat man nun die Ausdrücke

2M a ~
= Lm
(65) EV : proe eee 90 DT
+ LC) L8) +} |
2M a : :
(67) jo Van a; sin (L4 (t — ti) +

LC Sih bey = UP de od) oe

RE > E ES N / SKÖRPERS. 5
DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPER 73

Weil nicht

a

JEU — n els GI s Gr

—0

(t Vu —

werden kann, so kónnen nicht p und 4 gleichzeitig Null werden. Der
trigonometrischen Factoren halber verschwinden sie dagegen abwech-
selnd an jedem Viertel der Umläufe, die die Projection der instantanen
Achse um die £-Achse vollendet. Nach einem solchem Umlaufe ist wieder
q-— 0; p hat auch ihren ursprünglichen Werth wieder erhalten, wenn
die vergangene Umlaufszeit

t—t,—2mo DOE
Ist.
Wenn nicht ¢—t, = 2mw ist, so denke man sich die Bewegung
fortgesetzt, bis der Winkel v zum ersten Mal, und zu der Zeit 2mw,

den Werth
v — 2kn (+k = kleinste, ganze Zahl)

erreicht hat. — Dieser Winkel mag der vollständige Umlauf der instan-
tanen Achse um die Figurenachse des Körpers heissen. — Die für
diese vollständigen Umläufe erforderlichen Zeiten sind aber einander
gleich, — obgleich nicht, wie im Falle, wenn p* + 4? = 0 werden konnte,
die Drehungsschnelligkeit der instantanen Achse um die Figurenachse des

Körpers constant ist. — Denn, wie an der Seite (47), bekommt man
gy SLILA-C, or Boy,
dt A 2A OC, = 9%

Weil y; regelmässig periodisch ist, also die Drehungsschnellig-
keit dieselbe zu den Zeiten t' und t + 2c, so sind auch die Theile des
Kreises, die die Projection während jeder Zeit 2» beschreibt, einander
gleich. Wenn also ein solcher Theil

H 9m

V
während der Zeit 2» durchgelaufen wird (u und v ganze Zahlen), so be-
schreibt also die Projection den Bogen w . 2: während der Zeit v.2«. —

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 10

74 AXEL SÖDERBLOM,

Wenn #=1 wäre, so wären auch die Zeiten, die für jeden Umlauf
der Projection erforderlich sind, selbst einander gleich; wie wenn die
Drehungsschnelligkeit constant war. —

Es ist also möglich, dass auch nun die vollständige Bewegung
eine regelmässig periodische ist; und die Periode 7' der Bewegung wird

T = 2vw,

wo v eine ganze, positive Zahl ist.
dv

In die Gleichung (68) wird fär m

TON quee poe Ne CEE) au ME

eingesetzt. Der Ausdruck für 7,

(62) P ee e

jl — s 2e 9) = &

?

bez. (63), muss vor der Einsetzung in die Formel transformirt werden.

Man hat

a a

13 = dy o ==
pt — ty + e) — 6 + (a — 2) (1 &) (6 — €) Lee)
p(t — t)
A M EE
pti — t) + (& — es)
Es ergiebt sich also
2 nq uo (SAN INN
VEINS os On oP Br a
A 24m ep(t — ty)
qp

pt = ts) =F (& = es)
D Al Op Oa ates coy neh) A)

A JA (CO: — 73 EE voe Der
C=
= = pt — à) +
| C—4A IE CC = ts (Ch Sis) (A=) du
A AMC =a. Oar ATE

— IE i ty) de
(C, — rg) (ei — ex) 5 I

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 15

2) Oa . Cr K Caen

A 2 À PACE) EN
Weil aber, für die Umgebung des Werthes t—1t,—0,
1 QE 2 E 4
p tr) = : EN : = ace
pc 1) (t et A): =F 92 5 al 1) Sr 22 „7 ( 1) E

ist, so ergiebt sich
da de PDA = fa) sb S o mr Sab = Re
S vd
M bp y m (ott

a K al
A 2 [85 |
À hs 4- (t —5)* + SE (ENT

Weil die rechte Seite dieser Gleichung eine gerade Function von
t--t, ist, so müssen

ph pep =) 0

sein; d. h. alle Coefficienten mit ebenen Indices fallen in dem Ausdrucke

des Winkels v weg. Die mit ungeraden Indices sind durch Coefficienten-
vergleichung zu bestimmen.

In ganz ähnlicher Weise, wenn man aus

(63) p

ys = T3 + C= hance

ausgegangen Ware.

Der Winkel v wird also

mes hei) LT) TE TG St) ce

Für q bekommt man also
2M a RE
q= Vs Ve Nr p Home gun 4 Eg d) JE
TG—U + L,¢—t)?+.-}.

Weil v eine ungerade Function von ? — t, ist, so sind für gleiche
Zeiten vor und nach t, die Winkel

(-JQ-v

(wenn diese Winkel während 7 Secunden überfahren sind).

16 AXEL SÖDERBLOM,

Am Ende der ersten Periode durchläuft die Projection der instan-
tanen Achse wieder einen Winkel (— v) während der r letzten Secunden.
Es folgt also, dass die Zeiten, die für den Winkel v nóthig sind, um
von 0 bis wa oder von un bis 242 zu wachsen, einander gleich sind.

Zu dem, das an der Seite 73 von p und g bewiesen ist: dass p
und 4 abwechselnd an jedem Viertel der Umläufe verschwinden und
Zeichen wechseln, kommt also nun noch hinzu, dass in der Mitte jeder
Periode:

1:0) q verschwindet und Zeichen wechselt;

2:0) p ihren Maximi- oder Minimiwerth abwechselnd erreicht. —

Es fängt, wie später erwiesen werden wird, p mit einem Maxi-
mum an, wenn die Anfangszeit zu ¢,(1), oder einer damit homologen Zeit,
verlegt wird. Gleichso kann sie auch mit einem Minimum anfangen,
wenn die Anfangszeit zu 4(2), oder einer damit homologen Zeit, ver-
legt wird; welehes hier vorausgesetzt wird.

Die zu gebrauchenden Formeln sind also

i =? B ler, = uu cruenta eec) — 6.
dw Kip EET Ni Mr (e a) es — 63) t
p är di > A ie ra FUN TEUER 9

L,¢—t) +

p= yes Vice, p . COS

E Reno

Ll et;

OM E p :
= Ta — DRS Jb Bl,
q V 7 Ve, rs rer es sin | 1( i) +

+ Lath) + Latte -

Zu der Zeit t, hat nun 7, seinen Maximiwerth r, und also p° + q
seinen Mimimiwerth; welches nach 2« wiederholt wird. Zu der Zeit

= ön s Eh EU) qr) (U5-—301 ae)

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. Ut

hat ys semen Minimiwerth 7,; p° + q* seinen Maximiwerth. — Weil
V A dp _ p | 1 _ dp(t—t,4-o) Med
9M dt 2V Cr B (p(t—t,--o) —e,” dt ;
p(t—t,--0)——es
: 3 l
VG = rs — iz sin v ae 4
(OG — ta AS WD) — eg dt
und
AN per: p 1 x
ZA p =o) =a
Ci— F3 —
plåt —t, +) — es
| "b PG ty Se ep s
4 | dt
COS v —

des
er Wa en

1 Bplt--t +0) = I. ue |
— > ur ue ) 35 sin i

p WO v Em
Bal ou ———— | cos (FE) eine |

Joa + w)— és

ist, so ergiebt sich für t—t,=0 E = 0 , und
a.

V ZA dp p 1
MEER 2 2
2M dt 2] GRO (ees) dt tt

€1— [21

ALTES

Oy = Op zc js |

78 AXEL SÖDERBLOM,
2 2
Für t =t, ist aber ES eae) 2s an E >0. Wenn

also

B dp AE e) 5 5 r p dv\
ne ua ae ar ex

so hat p für t — t, ihren Minimiwerth. — Für die Maximiwerthe derselben
kan man folgender Weise leichter entscheiden:

= p=VC, —y, cosv ,
u a
He Geo) Nr ino

Wenn nun für einen Augenblick der Anfangspunkt der Zeit zu
i, (1) verlegt wird, wobei

Damen Sms

dt dt

sind, so hat man
dp dp
Zi <0
dt EP

D. h. p hat da einen Maximiwerth. — Nach der Formel (68) ist

Co. CC EC) dy,

tee PA TE dm

und

dv Cr AA AUT 9 = NER dv 2 Cr CC, = Gi d’y;
Sag ana o E

dt

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 79

Es folgt hieraus, dass die Drehungsschnelligkeit E zu den Zei-
dt

ten t—t,=2kw und t—t,=(2k+1)w abwechselnd Maximi- oder
Minimiwerthe hat.

Weil die Zeit von #(2), wenn 7, seinen Maximiwerth hat, ge-
dy a
"T < Ö ist, so hängt es von dem
de
Zeichen der Grösse C, — C, ab, ob die Drehungsschnelligkeit der in-
stantanen Achse um die Figurenachse des Kórpers mit einem Maximum
oder Minimum beginnt. — Man braucht hier nur den Fall, wo nicht
C, = C, werden kann, ins Auge zu fassen.

Diese Constanten werden aus

o dy
rechnet ist, wenn also En = 0 und

Api = 2M(C, —rs)

und
Apoyo = Cr (C, —730)

bestimmt.

Weil der Schwerpunkt am Anfange der Bewegung seine hóchste
Lage hat, und derselbe durch Drehung um die instantane Achse im
folgenden Augenblicke sinkt, so muss diese am Anfange der Bewegung
mehr entfernt von der z-Achse als die C-Achse sein. Es muss also die
&-Achse nach unten gerichtet sein, und also

7/1» < 0
sein.
Man hat also
& = 730 = 0
und
(f = Hen « (0).
Weil
C, — 6 = (Ci — 720) — (C, — 70)
ist, so ist also
(Qu Ce 0)
Es fängt also die Drehungsschnelligkeit der instantanen Achse

um die Figurenachse des Kórpers mit einem Maximum an; und dies gilt
für alle endlichen Werthe der p, und r,, weil sie positiv sind.

80 AXEL SÖDERBLOM,

Bestimmung der Periode der Bewegung.

Nach dem Verlaufe der Periode muss alles, was auf die Lage und
die Bewegung des Körpers beeinwirkt, identisch seinen ursprünglichen
Werth wieder erhalten haben, also erstens der Körper in seine ursprüng-
liche Lage in Bezug auf das xyz-System wieder zurückgeführt sein.

Die Untersuchung wird also sehr erleichtert, wenn man die äussere
und die innere Bewegung besonders betrachtet. Die äussere Bewegung
ist die Bewegung des Körpers im Raume. Nach der vollständigen Pe-
riode der Bewegung muss die Lage des Körpers — in Bezug auf das
æyz-System — identisch mit der ursprünglichen sein.

Das einzige, das in dem Körper beweglich ist, was also bei der
inneren Bewegung zu beobachten ist, ist die instantane Achse. Dazu
gehört auch, dass die Länge derselben, c, variirt, und mit «c die
Drehungscomponenten p und q. Nach der .vollständigen Periode der
Bewegung muss also auch die Stellung der instantanen Achse — in
Bezug auf das £7£-System — identisch dieselbe wie die ursprüngliche
Stellung derselben sein. Die Drehungsschnelligkeit w muss auch ihren
anfänglichen Werth wieder bekommen haben; p und 4 haben dann wieder
ihre anfänglichen Werthe p, und 4,. Wenn die innere und die äussere
Stellung wieder die ursprünglichen sind, so hat auch @ ihren anfäng-
lichen Werth wieder erhalten.

Wenn die Periode der inneren Bewegung 7, und die der äusseren
T, ist, so ist die Periode der Bewegung die kürzeste Zeit, in der 7,
und 7, enthalten werden.

In dem Falle I, weun p® + 4? = 0 werden konnte, oder am Anfange
der Bewegung war, ist erwiesen, dass, wenn man nicht die Winkel W
und V berücksichtigt — auch nicht die Grösse o (S. 3) — also nur die
innere Bewegung ins Auge fasst, die Periode derselben vier Mal die
reele Periode der betreffenden elliptischen Periode betrügt. Es ergiebt
sich also, dass wenn nicht nach dieser Zeit (die Grósse @ ihren anfäng-
lichen. Werth wieder erhalten hat, oder) die Winkel

W=2kn und V = 2k,n

sind — wo k,,k, =1,2,... sind — die Periode der Bewegung /.8o
sein muss — wo l=1,2,3,...

Ehe die Winkel W, V und der Einfluss derselben auf die schliess-
liche Periode der Bewegung in» Betracht gezogen werden, ist es

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 81

zweckmässig auf die Bestimmung der Periode 7’ der inneren Bewegung
für den Fall IL, wo nicht p? qe 0 werden kann, einzugehen; — in
Analogie mit dem Falle I, wo p + q? = 0 werden Kom

Die Gróssen, die ihre ursprünglichen Werthe wieder erhalten ha-
ben müssen, sind r,7,.,0.p,4.

Denn mit w,p,q und r hat auch die instantane Achse ihre an-
fängliche Stellung im Körper wieder erhalten. — Der Cos. ys muss bei
der inneren Bewegung in Betracht gezogen werden, weil derselbe auf p
und q einwirkend ist.

Die Componente r ist constant, r = ry. — Der Cos. y; nimmt nach
2@ seinen anfünglichen Werth 74, an; also auch p° + 4* seinen anfäng-
lichen Werth » + qv; also auch c, und c, weil w nicht Zeichen wech-
selu kann. Es sind also nur die Ausdrücke für p und g, die speciell
untersucht werden müssen.

In dem Falle II, wo nicht p + q? — 0 werden kann, mögen fol-
gende zwei speciellen Fälle besonders behandelt werden:

l:o die instantane Achse dreht sich mit uniformer Schnelligkeit
um die Figurenachse des Körpers;

2:0 die instantane Achse dreht sich mit veründerlicher Schnellig-
keit um die Figurenachse des Kórpers.

Dem Falle I entsprechend, wo

2 Ma - C
= 1). cos (7. le) \
2Ma . : C
= ea Gia jean (Gp ine),

hat man fiir II

cm ER 2M VG eos eund! g= yz VC, = 4, . &in. v,

also für II, 1:o

p= V == VC, —7s - cos Kilt —t)),

1
q = en VOA Sm GG)

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 11

82 ) AxEL SÓDERBLOM,

wo nicht C,-— y, — 0 werden kann. Für Il, 2:0

p- Ve Vo eos Ute) 0 27 ean Ge NN

WA AM
q= jen VC, Sin IL, — 6) + Lift — 6) + L;G— tt) +...) ;

wo auch nicht C, — y, = 0 werden kann.

Man denke sich zwei Kórper a und 5, für welche die Gróssen A, C
und M dieselben sind. Sie mógen (gleichzeitig) in Bewegung um ent-
sprechende Anfangspunkte gesetzt werden. Die Bewegung des a mag
der Art sein, dass für t — t, auch pi +% = ist, wie im Falle I. —
Die §-Achse des Körpers a ist für t — 1, = 0 horizontal; also yw — 0 .

Die Bewegung des Körpers b sei dagegen der Art, dass nicht
p 4-4 —90 werden kann (ID), aber dass p}+ qj der kleinste Werth der
Grösse p°+ 4 sei; und, wie oben, mögen die $- und 7-Achsen so ge-
wählt werden, dass für t — t, die Drehungscomponente q, = 0 ist. Wie
auf der S. 72 hat man also für b

ya) = 0.

Die anfüngliehe Stellung des Kórpers b denke man sich auch der
Art, dass y,, klein ist. Weil für den Körper 6 p+ qj der kleinste
Werth von p'-L4* ist, so ist y der grösste Werth des y,. Es muss
also zu der Zeit t = t, die instantane Achse, die in der verticalen Ebene
durch die Lothlinie und die Figurenachse des Körpers liegt, mehr
entfernt als diese von jener sein. Es folgen also am Anfange der Be-
wegung die z-Achse, die C-Achse, die instantane Achse und die §-Achse,
die in derselben Ebene liegen, in dieser Ordnung auf einander. Es
muss also 7,,<0 sein. Wenn man sich für b (und a) den Winkel
zwischen der z-Achse und der C-Achse sehr spitz denkt, so wird für
b |yı| eine sehr kleine Grösse. Gleichso denke man sich die Grösse
p, sehr klein. — a und b mögen dieselbe Grösse r — r, haben.

Wenn man sich dann die kleinen Grössen y, und p, der Art
denkt, dass

Cr

69 109 = 27

> jig al
(siehe S. 60) ist, welches immer möglich ist — weil man über r, ver-

fügen kann — so bekommt man aus (16) für b

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 83

Ap = 2M(C, — 730) ADY10 = =U (Ce — lao)
und
OC, wu.

Wie auf der S. 48 bekommt man dann für 5

, C
Kk, = Gr = 1) ms
ganz wie für a. Die für den Umlauf der instantanen Achse um die
Figurenachse des Körpers b erforderliche Zeit 7, ist also dieselbe wie
für a, T. Zu der Zeit T haben in a wieder y, und 7, ihre anfänglichen
Werthe; gleichwie y, und y, in b zu der Zeit Tj.

Statt der Differentialgleichung

(2) = Ry)

2M Cr —
E» FR) EN (= 2? ale :

mit

bees eu "ut

) +2 Y

2MC, CC,

A (o dx s
die für a gilt, bekommt man für b eine andere, die sich von daS)
durch andere Werthe der Grössen C, und C, unterscheidet. — Wenn
man aber die Grössen p, und y, klein genug macht — immer die Glei-

chung (69) befriedigend — so kann man immer zu Stande bringen, dass C,
und C, sich wie wenig man will von den C, = C, des Körpers a unter-
scheiden; sogar unendlich wenig. Die Coefficienten der rechten Seite
der Differentialgleichung für b unterscheiden sich also wie wenig man
will von denen der Differentialgleichung für a. Die zwei Gruppen Wur-
zeln der rechten Seiten der Differentialgleichungen unterscheiden sich
also von einander wie wenig man will (unendlich wenig). Es kóunen
sich also die reelen Perioden 2w und 2«, der betreffenden elliptischen
Functionen von einander nur sehr wenig (unendlich wenig) unterschei-
den?) Weil die Periode der inneren Bewegung des a

1) Es wird also auch in diesem Beispiele w — w,, welches auch dadurch
móglich wäre, dass die Periode der elliptischen Function nicht von den Wurzeln
selbst, sonder von den Wurzeldifferenzen abhängig ist.

84 AXEL SÖDERBLOM,
T =4.2w0 ?
ist, und 2w nicht eine unendlich kleine Grösse ist, so muss auch für b

à
T, = 4.20,

sein.
Dann gilt es aber im Allgemeinen für den Fall II, 1:0, dass

T, = 4.20,

ist. Denn wenn man, immer die Gleichung (69) befriedigend, unendlich
kleine Aenderungen in 7, p, und r, macht, so ändern sich auch 7,
und 2w, unendlich wenig. Es muss also immer für den Fall II, 1:o die
Periode der inneren Bewegung

JP == di.

sein.

Den Fall II, 2:0 kann man nun mit II, 1:0 vergleichen.

Der von der Projection der instantanen Achse überfahrene Win-
kel v :

= L( T ty) Ar EC = t) s L(t cx 5) 10 ]

enthält einen Theil, der der Zeit t — ^, proportional ist, und einen Theil,
der nicht für alle ¢— ^, verschwindet, wenn nicht

erts GE
Do 2M

ist. Weil aber jede der Coefficienten Z,, L,,... gleich Null wird, wenn
man 7, p, und r so wählt, dass

ZEE DU
* Po 2M
so muss der Theil [Z,( — t,)? + L,(t — t,)° + . . .] gleichzeitig mit “4° — od
Po
unendlich klein werden. — Dann kann sich auch £L, nur unendlich wenig
von K, = — = 1) r unterscheiden. Hat man dann 7, p, und r so

gewählt, dass ZU — zo

2M sehr (unendlich) klein ist, so kann die Umlaufs-
Po |

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 85

zeit 7, für Il, 2:0 sich nur sehr (unendlich) wenig von der in II, 1:o
unterscheiden. Dasselbe muss von der Functionsperiode 2w für 2:0 in
Vergleich mit 2m in 1:0 gelten. Es muss also auch im Allgemeinen
für II, 2:0 die Periode 7 der inneren Bewegung

P es d.c ma)
sein.

Seitdem also die Relation der Periode der inneren Bewegung zu
der reelen Periode der betreffenden elliptischen Function gefunden ist,
hat man die äussere Bewegung zu betrachten.

Für die Bestimmung der Lage des Kórpers im Raume zu der
Zeit t ist es hinreichend und nothwendig zu kennen:

1:0 den Werth des Cosinus ys;

2:0 wie viel sich die verticale Ebene durch die Lothlinie and die
Figurenachse des Kórpers um jene gedreht hat;

3:0 wie viel sich eine im Körper feste, zu der Figurenachse des-
selben senkrechte Gerade (durch den Anfangspunkt) um diese gedreht hat.

Der Cos. ys ist durch (39) (S. 29) gegeben.

4/3

Der Winkel V in 2:0 wird durch

(9) V= en

gegeben, wo 9 die Drenungsschnelligkeit um die Lothlinie, die z-Achse,
bedeutet.

Weil die Cos. der Winkel mischen den £&, z-, C-Achsen und der
z-Achse y,, 72 und y, sind, so hat man

OS Pinan Menar FO
Weil

(15) pn + 472 = — 7s)

ist, so ist

Hieraus folgt:
a) dass Drehung um die Figurenachse des Kórpers nothwendig ist,
um Drehung um die Lothlinie zu bekommen;

86 AxEL SÖDERBLOM,

b) dass die Drehungsschnelligkeit um die Lothlinie unveränderlich
ist, wenn
A=B=C
ist.
Werden die für y; in I und II zu gebrauchenden d (S.
43) in die Formel für o eingesetzt, so hat man

0 det. „Ast -
queo Sete a A Pr a.

—C, (t — t 4- ex) — 3

"ee AC

Al = © a
= ju + 20; p wm ru

E (A— Chae, (A C)a
= ÿ ay SU Al (er = Ga) @ 3) ju AGENCE)

PE — t, + o) | )
und (S. 71)

C = 0 a
era E sm gel

wenn man die Anfangszeit zu ¢,(2) verlegt, und also die Formel (63) für
ys einsetzt. Also

(Ars + CC, — rs) Am > NU = LOG.)
m A COE AERIS (EN e) =
ae i (A — Chae, tess DOTE)
E zi Aleı — eg) (es — és) A (& — ese — ai

Man hat dann

net (A — C)ae; (A — O)ar ae
a is ar MALS) Ge aie = Ale — 62) (& — es) Pi ope) dt;
und
r _ „An +eGer) _ (A — C)aes
Hsu) A Aleı — es) en eos
p ar

Je WG eo) -

ZU LO m o. TG) "

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 87

Man hat also nur das Integral Spt + w)dt zu berechnen. In
der p(t+,)-Function bewegt sich das Argument den horizontalen
Durchmesser des Periodenrectangels entlang, in dem Mittelpunkte be-
ginnend.

Für die den Winkel V bestimmende Zeit t kann man

RD PU ERUE Bs...)
einführen, wo
T <w
beträgt.
Wenn n eine gerade Zahl ist, so ist
fr (t + w,)dt = n | pt + 3) + | vt + o)dt .
0 0 0

Wenn n eine ungerade Zahl 2k + 1 ist, so ist

[ott odi =D ret oddt + (pt p 4 oat

= Qi) "Pe + o)dt + | pe + wnat.

Es ist also fär gerade n, weil

d*lo(u) |

du?

PU) = — )

und

0, = 0 + o

: t "o Crece BS
om ze Le 4c a)

id o (20 + o») 4,9 0 +0), o(w+w) o(c+w+w)
o(2w+ e») 1 o(w + o?) Dn c(o--o) o(t+w+w)

1) Schwarz: S. 10.

88 AXEL SÖDERBLOM,

o'(r + & + o^) à
OG 2E Mm Jb ay)

= — nan + 7) na + 7) + @ +7)

TG Je ao hw)

=— (o aba NU menor

Nun ist aber

o(u + o + 9») = o(e + o»). URL NOS xA

also
d(u-po-Eo) | ZERO
ec ME E
und

(0 0r + +) o UNUS ()

G(T + w + o) OA(T)

N

Man hat dadurch für gerade n

fot + w,)dt = — nn — as |
é "

Weil

V2» Ja — eg Gg (u) = bee Jv)
7t

o D U :
ist ?), mit v = — , so ist
20

0, (u) re AU as Oa
(u) du lv) du
= N ; Jl I; (v)
x 2o (0)
PEL 2h sin 2vz + 4À* sin 4vz + 64° sin 6vz 4-.. >
TU ds 1+ 2hcos 2um + 2h* cos4vn + 2h? cos 6va+..
1) Scuwarz: S. 9, 10. 2) Scuwarz: S. 21.

3) SCHWARZ: S. 42. 4) SCHWARZ: S. 41.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS.

Für die Berechnung des 7 kann man

on T BRAUN.
6 j| -— SP Jut — mm Sec

gebrauchen. !)

Wenn n ungerade ist, so hat man

(s ; fo (t + o»)
"er TR aa ‚ot+o)

n De o '(r 4- o») ,

o(r + Mm)

Weil

o(u + w') = 0(w') e""os(u)

ist ?), so ist

a (u + oJ) Mom 03 (u)

o(u +o) D ou) |
Weil
UA 2» ov?
V 20 fe —& oec LO
IT
ist ^), wo v = , so ist

03 (u) = (4nov + 9, (v) 1 d
03 (u) d,(v)\ 2o
EM 7 2h sin2vz — Ah? sin 4vz + 65? sin 6vz — ..
w e

| 1— 22 cos 207 + 2h* cos Aux — 2h° cos 6vm + . .

Die Periode der Bewegung P ist

J£ zx sap

1) Schwarz: S. 61.
3) SCHWARZ: S. 21.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

2) Scuwarz: S. 9.
4) Scuwarz: Ss. 41, 42.

12

90 AxEL SÖDERBLOM,

Die Zahl n ist also, wenn es sich um die Periode handelt, ge-
rade und
T = 0.

Der in den Winkel V wegen des veränderlichen Theiles des e
eingehende Theil ist also im Falle I
ini. (AA e e à
Nasa)

und der Winkel wird

(A — Oarn
A(e, == 2) (e — 29)
(4 — C)a a A

A(e, — &) (e — ex) 9o = GE)

V = ry. no + (20 + 1)

= NT Yo. OF

Nach der Formel (50) (S. 58) ist

=: An
C=

Es wird also in I

AY so
2 (1 = (Tears

= ll RA or (4—C)(C—24)ar =S he
= e | 2r(C — 2 A) = AG = es) (a = CA) v Dr |

und in II

V=nr Ar, + CCG, — 13) TL (A — C)aew € | (A— Oangr —
9r(C— 2 4) EGS) (25 63) Ale =) eae)

ef Ars + T) _ (A—C)a
ve Seg 7 ^ ucc se |

2 en CC, — 73) v (A — C)a 7 e A a)
Zip (CE 2 A) A (4 — £3) (65 — 03) BO ji a E jars

1) SCHWARZ: S. 36.

DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS. 91

bs PARC)
dI 3:(0— 2A)

C 4 — C) C2 Aan s oo PAY AY
=e
sale (e, cem es) (e, "em 29) A (1 ER [p i

EE

Diese Formeln für den Winkel V, in dem Falle I und in dem Falle
II, sind unter der Voraussetzung hergeleitet, dass nicht r = 0 ist. Weil
beide den Factor 27 enthalten, so kann also die Figurenachse des Kór-
pers nach der Zeit /.8 w ihre anfängliche Lage im Raume wieder ein-
nehmen. Die ganze Zahl / im » muss so gross sein, dass r Mal die
eingeklammerte Grósse eine ganze Zahl wird.

Wie viel die in 3:0 Pen Dee Gerade sich um die Figurenachse
gedreht hat, wird durch die Formel

nt
W = | r dt = rt

u

0

gegeben. Während der Zeit, für welche der Winkel V berechnet ist,
wird der Winkel W durch die Formel

?nw

I — || Poli PU

“0
gegeben. Es ist also dieser Winkel

An

12 a Sa
( ) ir VOLO) 2

wo, wie früher erwiesen, mindestens n= 8 ist. Die Formel (72) gilt
für den Fall I und für den Fall II, 1:0. Man braucht in (72) n nicht
grösser zu nehmen als die Zahl » in (70) oder (71), wenn für den Fall

(
dp dq . -
II, 1:0 gebraucht.. Denn nach 8 haben p,4, PI 7, hre ursprüng-
| dt

lichen Werthe wieder erhalten. Es haben also auch y, und y, nach
dem Gleichungssysteme (10) die ihrigen wieder erhalten. So ist auch
für y; der Fall. Der Körper hat also nach 8o seine ursprüngliche Lage
in Bezug auf die Lothlinie wieder erhalten. Er hat also seine ur-
sprüngliche Lage im Raume wieder erhalten, wenn er sich 247 um die
Lothlinie gedreht hat. Wenn also der Winkel V nach 8/w zum ersten
Mal

92 AXEL SÖDERBLOM, DREHUNG EINES ROTATIONSKÖRPERS.
beträgt, so muss also der Winkel W

W-2kn

sein.

Gleichso kann man für den Fall IL, 2:0 einen Mittelwerth für die
Drehungsschnelligkeit der instantanen Achse um die Figurenachse des
Körpers finden.

PFLANZENBIOLOGISCHE STUDIEN

AXEL N. LUNDSTRÖM.

I «
DIE ANPASSUNGEN DER PFLANZEN AN REGEN UND THAU.

MIT VIER TAFELN.

(DER K. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA MITGETHEILT AM 7 FEBRUAR 1883).

UPSALA 1884,
DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI,
EDV. BERLING.

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Ad Pr L

INHALTSÜBERSICHT.
Einleitung
Die Anpassungen der Pflanzen an Regen und Thau.
are zenauftansendesbflanzene 29992999 6 6 o o 5 6

II.

Stellaria media Curill.

Melampyrum pratense L. und sylvaticum L.

Thalictrum simplex L.
Trifolium repens L.

Fraxinus excelsior L. .
Alchemilla vulgaris L.

Parnassia palustris L. u. Cornus suecica.

Lobelia Erinus L. .

Silphium ternatum Retz u. perfoliatum L.

Cerastium vulgatum L.
Vaccinium Vitis idea L.
Syringa vulgaris L.

Ajuga reptans L.

Verzeichniss anderer regenauffangenden Pflanzen, systematisch geordnet .

Composite
Valerianacee .
Caprifoliaceæ
Rubiaceæ
Lentibulariaceæ
Labiatæ
Scrophulariaceæ
Solanaceæ
Asperifolieæ . .
Hydrophyllaceæ .
Polemoniaceæ
Apocynaceæ
Gentianacez
Primulaceæ
Ericaceæ
Papilionaceæ

Seite

40

Seite
fosacem foe wx ut We LENS INDORE NS EHE N 1/1;
Onagratem- me. do 9 ut Se ke ey ee TEE OPE MEG
Saxifragaceæ ea a Te ere ao eee oO oe gU. d o o 4T
Ümbelliteræ u... Ga. LR DUE ML ee ea te ea
Buphorbiacess: ss s V T u NER “eh ee eee et NE ERES
Geraniacese alla. Lc x". Nub s ro s. dE
Malvaceæ N EN OR le SA CE M y. . iS
SUICIDE MIDI US, E EUIS e a s c dE
Violates 2 4 030 9 v Me SS a SMUETRYT S CR NNMERO BEER
Cruciferæ RL RE nl nl ere © © e DO
Ranunculaceæ "u... u 9 97 Re ee ee ECRIRE RR
Caryophyllaceæs. fake NNUS cc os OF cus nid eia S. e e . 9i
Polygonaceæ à à + u nen OCR SN ee STR ET
Salicaces: RM MI TR RE ME ER a 0 0 D%
Monocotyledonen Mm. 8. We NN EC SC SE Er

III. Die Wasseraufnahme durch die oberirdischen Pflanzentheile und die Be-
deutung des aufgefangenen Wassers für die Pflanze . . . . . . . 55

IV. Allgemeines . 4-4 soe oO SES ndo MIEL
Erklärumg. der Abbrdungen) Cc ola co 5 oo 8 SE

De Anpassung verschiedener Pflanzentheile an solche äussere Ver-
hältnisse, die das Leben der Pflanze beeinflussen können, kann durch
zahlreiche Beispiele erwiesen werden, und die Formen mancher Pflan-
zenthele können nur in Zusammenhang mit solchen ausserhalb der
Pfanze liegenden Umstiinden erklürt werden. Wir kennen z. B. wie
die Formen der entomophilen Blüthen den Besuchen der Insecten ange-
passt sind, die der fleischfressenden dem Thierfang, die Stellung ausge-
breiteter Blattspreiten der Aufnahme von Licht, Stacheln und Dornen
dem Schutze, Frucht- und Samentheile verschiedenartiger Verbreitung,
Ranken dem Klettern, u. s. w.

Indessen findet sich, besonders bei den hóheren Pflanzen, eine
Menge von Anordnungen, die man nicht erklären kann als irgend einem
jener ebengenannten äusseren Umstiinde oder anderen bisher beachteten
angepasst. Solche bisher unerklärte Gebilde sind z. B. locale Haarbe-
kleidungen, Einsenkungen in Gestalt von Rinnen oder Gruben, eine
Menge von Laubblättern und Nebenblüttchen, die gegenseitige Stellung
mehrerer Pflanzentheile, um von einer grossen Zahl von Haargebilden,
Secretionen u. s. w. nicht zu sprechen. Dass indessen diese Formen
und Anordnungen irgend eine besondere Bedeutung haben, und nicht
allein Producte sind einer launenhaft erzeugenden Natur, kann ja mit
Gewissheit angenommen werden. Ein Versuch verschiedene hierher ge-
hórende Erscheinungen zu erklüren, ist die Aufgabe der Aufsátze welche
hier folgen sollen unter dem gemeinsamen Titel »Pflanzenbiologische
Studien».

Die Beobachtungen, die diesen Aufsitzen zu Grunde liegen, sind
wührend der letzten vier Jahre ausgeführt worden, theils an der bota-
nischen Institution in Upsala, deren alle Hülfsmittel durch das freund-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

liche Entgegenkommen von Prof. Tu. M. Fries mir zu Gebote standen,
theils an verschiedenen Orten in Schweden, besonders in Jemtland,
wo ich im Sommer 1882 als Sederholmscher Stipendiat Gelegenheit
hatte die meisten der Beobachtungen zu machen, auf denen der erste
Aufsatz sich gründet. In diesem werde ich »die Anpassungen der
Pflanzen an den Regen und den Thau» behandeln, indem ich zuerst
eine kleinere Zahl verschiedener Typen von regenauffangenden Pflanzen
ausführlicher beschreibe, dann eine kurzgefasste Darstellung liefere
von verschiedenen anderen Pflanzen, die mit jenen mehr oder weniger
vergleichbare Anordnungen besitzen, und endlich einige Worte beifüge
über die Wasseraufnahme durch die oberirdischen Pflanzentheile und
über die Bedeutung des aufgefangenen Wassers für die Pflanze, nebst
einigen allgemeinen Betrachtungen.

DIE ANPASSUNGEN DER PFLANZEN AN DEN
REGEN UND DEN THAU.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN.

Stellaria media. Curil. Pl. L Fig. 1—5.

Die Internodien dieser Pflanze haben bekanntlich am öftesten
einen Haarrand längs der einen Seite. Jeder Haarrand verbindet eine
Blattachsel mit dem nächsten oberen Zwischenraume der opponirten
Blätter (Fig. 1, Internodien c und d). Diese Haarränder werden von
Wasser leicht genetzt, was bei den übrigen Epidermiszellen des Inter-
nodiums nicht der Fall ist, und von einem herabfallenden Regentropfen
halt der Haarrand einen nicht unbedeutenden Theil fest. Die Ränder
der Spreite sind gegen die Blattspitze und an den Seiten etwas aufge-
bogen, so dass das Blatt mehr oder weniger schalenfórmig wird (Fig. 2,
das untere Blattpaar). Der Stiel ist etwas abgeflacht, rinnenfórmig,
gewimpert und unten breiter. Dieser Stiel wird auch genetzt von dem
Regen der ihn.trifft oder ihm zugeführt wird von der Spreite, an wel-
cher auch die eingesenkten Nerven genetzt werden. Nach einem Regen
findet man auch immer Wasser in den Blattachseln angesammelt, wo es
festgehalten wird durch Adhesion an der Oberseite des Stieles und
durch die am Rande sitzenden weichen Haare, welche sich der Ober-

4 AxEz N. LUNDSTRÖM,

fläche des Tropfens anschmiegen und ihn somit noch weiter befestigen.
Je grósser die Wassermasse ist, um so mehr werden die Haare ausge-
sperrt; je kleiner sie hingegen ist, desto näher liegen sie dem Stiele an.
Die angeschwollenen Knoten, ebenso wie der Haarrand am Steugel,
werden auch von Wasser genetzt, wodurch eine noch gróssere Wasser-
menge kann festgehalten werden. Wenn sich auch in der entgegen-
stehenden Blattachsel Wasser sammelt, vereinigen sich die beiden Was-
sermassen bald, und der Knoten wird von Wasser umschlossen. Wird
diese Wassermenge so gross, dass sie wegen ihrer Schwere nicht lünger
festgehalten werden kann, so drängt sich das Wasser allmählich zwischen
die Blatter hervor, und es geht dann natürlich leichter an der Seite
herab wo der Haarrand sich befindet, weil dieser leicht genetzt wird, ja
sogar wie ein Docht das Wasser weiter hinunterleitet. So läuft nun
das Wasser von der einen Blattachsel nach der anderen, und es bedarf
keines sehr langen Regens, bis man jeden Haarrand von Wasser erfüllt
findet und durchsichtig wie eine erhóhte Glaskante. Ein Blick auf ein
solehes Internodium genügt um uns zu überzeugen, dass wir hier eine
Anordnung haben zum Festhalten des Regenwassers. Die trockenen
Haarränder, die früher Regenwasser geleitet, haben ihre Haare bogen-
formig herabgebogen, was beweist, dass eine Wasserstrómung nach un-
ten zu Statt gefunden hat.

Indessen alle Internodien sind nicht einseitig behaart. Dem hy-
pocotylen Stammtheile fehlen die Haare gänzlich, ebenso wie dem ersten
Internodium, ja meistens sogar dem zweiten. Das dritte ist dagegen
nie kahl, meiner Erfahrung nach, aber móglich ist es zwar, dass Varie-
tüten mit mehr als zwei kahlen Internodien vorkommen. Diese kahlen
Internodien legen sich bald wagrecht an den Boden, und unmittelbar
über ihnen wird die Hauptaxe hóchst selten blüthentragend. Dagegen
kommen zweiseitig behaarte Internodien öfters vor. Exempläre mit sol-
chen Internodien habe ich in grosser Menge an Bjelkens Grube auf
Äreskutan in Jemtland gefunden. Sie wuchsen aufrecht zu dichten üp-
pigen Gruppen vereint. Der Stengel ist bekanntlich sonst gewöhnlich
niederliegend; die Individuen aber, die dicht an einander oder an-
deren Pflanzen wachsen, an welche sie sich stützen können und zwischen
denen sie sich Licht suchen müssen, bekommen aufrechte Zweige. Al-
leinstehend oder zusammen mit kleineren Pflanzen wachsend, breiten
sie ihre Zweige nach allen Seiten aus, und da Stellaria media eine be-
sonders reiche Zweigbildung hat, geschieht es, dass jedes grössere
Exemplar gleichwie ein kleines Rasenpolster bildet. Besonders an der

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 5

Mitte dieser Polster werden neue Zweige gebildet, ja in der Achsel jedes
Keimblattes entstehen oft durch Entwickelung accessorischer Knospen
mehrere Zweige, von denen der erstentwickelte niederliegend wird, die
spüteren aber, wegen Mangels an Raum mach den Seiten hin, aufrecht
werden, wenigstens eine Zeit lang. An diesen letztgenannten, aus den
accessorischen Knospen der Keimblattachsel entwickelten, Zweigen sind
gewóhnlieh die untersten Internodien zweiseitig haarig. Diese Anord-
nung ist vorzüglich passend für diese aufrechten Internodien ohne oben
sitzende Blüthen, weil an ihnen das Wasser sich mit Leichtigkeit von
den Blattachseln aus in die beiden Haarränder verbreiten kann. An allen
Seiten haarige Internodien sind auch nicht selten; ich habe solche ge-
funden an Exemplaren die an trockenem sandigem Boden wuchsen.
Die Blüthen sitzen bekanntlich an ausgezogenen, aufrechten, ebenso
einseitig behaarten Stielen, die nach der Bestäubung sich am Knoten
nach unten zwischen die Blätter biegen, so dass die Frucht während des
Reifens die Stellung einnimmt, die Fig. 1, c zeigt. Eigenthümlich ist
es dabei, dass der Blüthenstiel sich niemals nach derselben Seite zu
biegt, wo der Haarrand an dem unterliegenden Internodium sich befin-
det, sondern immer nach der entgegengesetzten kahlen. Der Vortheil
dieser Anordnung scheint mir auf folgende Weise erklärt werden zu
kónnen. Das Wasser, das sich von der betreffenden Blattachsel nach
abwärts verbreitet, wird dadurch nach beiden Seiten vertheilt, sowohl
längs dem Haarrande des unterliegenden Internodiums als längs dem des
Blüthenstieles (Fig. 1, e). Wenn dagegen der Blüthenstiel sich nach
der anderen Seite gebogen hätte, so hätte er freilich selbst auch an
dieser Seite ebenso gut Wasser von der überliegenden Blattachsel be-
ziehen kónnen, er würde aber dadurch dass er sich in den Zwischen-
raum der Blatter eng hineindrückt, dem Wasser den Weg versperren, das
gerade durch diesen Zwischenraum sich lings dem Haarrande des unter-
sitzenden Internodiums verbreiten sollte. An Exemplaren aus Åreskutan
mit aufrechten, zweiseitig behaarten Internodien habe ich einen Umstand
beobachtet, der mir diese Erklärung zu bestätigen scheint. Obwohl
zweiseitig behaarte Internodien sehr allgemein waren, kamen solche nie-
mals unmittelbar unter einem Blüthenstiele vor '). Unterhalb der Blü-
thenstiele waren alle Internodien kahl an der Seite, nach welcher der
Blüthenstiel sich geneigt hatte; die anderen Internodien dagegen waren

1) Bei Upsala habe ich einige Individuen angetroffen, deren Hauptaxe blü-
thentragend war unmittelbar über einem zweiseitig behaarten Internodium; aber
solche Blüthen waren nicht herabgebogen und lieferten keine reifen Samen.

6 AxEL N. LUNDSTRÖM,

zweiseitig behaart und hatten nach Regen beide Haarränder mit Wasser
erfüllt. Da die Blüthenstiele oft fast senkrecht abwärts gerichtet waren,
so dass sie eng an der kahlen Seite des untersitzenden Internodiums
lagen, mit nach aussen gewendetem Haarrande, schien dieser, zumal da
er mit Wasser erfüllt war, den fehlenden Haarrand des untersitzenden
Internodiums gleichwie zu ersetzen (Fig. 2). Gerade unter einem herab-
gebogenen Blüthenstiele wird somit der Haarrand am Internodium über-
flüssig und fehlt daher da.

Wenn wir danach die Haarränder und die angrenzenden Epider-
misbildungen zum Gegenstand einer näheren Untersuchung machen —
siehe weiteres hierüber Fig. 3—-5, Pl. I nebst Erklärung — so haben
wir uns zuerst die Eigenschaften zu merken welche die Membranen der
Haare characterisiren. Bemerkenswerth ist die Leichtigkeit, womit diese
Membranen von Wasser benetzt werden und es festhalten. Es scheint
dies darauf zu beruhen, dass die Haare selbst, welchen Wachsabsonde-
rung fehlt, fast immer von einem gummi- oder schleim-artigen Stoffe
feucht.oder klebrig sind; denn werden Haare von Exemplaren, die nicht
von Regen nass sind, dem Objectglase entlang sanft geführt, so merkt
man unter dem Microscope deutliche Streifen von den Haarspitzen, durch
eine abgesonderte wasserklare Flüssigkeit erzeugt, die sich vorzugs-
weise an der Membran der Endzelle befindet und bei Zusatz von Wasser
sich leicht mit diesem vermengt. Das Vorhandensein einer solchen
Flüssigkeit wird auch dadurch bezeugt, dass die Haare nach Abdünstung
des Regens oft mit einander zusammengeklebt sind. Diese Absonde-
rung ist am reichliehsten bei den drüsigen Kopfhaaren (Fig. 5) In
Gebirgsgegenden kommen dergleichen Kopfhaare vor, sowohl an den
Knoten als am Kelche; bei Exemplaren aus dem niedrigen Lande habe
ich sie nur am Kelche gefunden. Die Membranen der Haare sind sehr
dünn, werden aber nicht von concentrirter Schwefelsäure aufgelóst, son-
dern zeigen sich im Besitz einer deutlichen, wenn auch dünner, Cuticula,
welehe nach Zusatz von Jod braun gefürbt wird; dagegen ist die Cellu-
lose-reaktion sehr undeutlich. Dies scheint zwar dafür zu sprechen, dass
die Wände nicht permeabel würen; man muss aber nicht vergessen,
dass Schwefelsäure nicht immer ein sicheres Reagens auf Impermeabilitat
ist und dass die Microchemie keine vollständige Kenntniss liefert von den
physikalischen Eigenschaften der Zellwände‘). Durch Anilin-violett wird
die Membran roth tingirt, insbesondere an den Dasalzellen (b, b fig. 3), wo
sie auch dicker ist als bei den Zellen des Haares. Die Querwünde zwischen

1) Siehe Schwendener, Die Schutzscheiden etc. pag. 7—8.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. d

dem Fusszele und der Epidermis sind uhrglasförmig und zeigen sich
punktirt; wahrscheinlich sind sie dennoch nieht perforirt. Der Inhalt
der oberen Zellen ist ein dünnes Wandplasma, das nach langer Behand-
lung mit Alcohol sich etwas von der Zellwand zurückzieht. In leben-
digem Zustande ist der Inhalt klar, durchsichtig, mit wandständigem
Kerne und reichlichem Zellsafte. Wird dieser z. D. durch Glycerin oder
Aleohol ausgezogen, wird die Zelle fast ganz platt. Die stürkste Zu-
sammenziehung zeigen oft die Basalzellen (b, b Fig. 3). Dies scheint
davon abzuhangen, dass die Wände dieser Zellen am leichtesten Wasser
durchlassen: sie sind sehr weich und biegen sich besonders leicht, neh-
men aber auch schnell ihre frühere Gestalt wieder, wenn Wasser zuge-
setzt wird. Sie enthalten einen Stoff, der mehr schwellend ist als der
anderer Zellen, und werden oft durch Jod und Schwefelsäure violett
gefärbt. Dies zeigt sich am besten an den Haaren am Rande des Blatt-
stieles (siehe weiteres in der Erklárung von Fig. 3 und 4 Pl. D. Wie
leicht ersichtlich, bleibt das Wasser, das eine haarbekleidete Oberfläche
benetzt, am lüngsten an der Basis der Haare haften. Dass die Basal-
zellen (b, b Fig. 3) und Fusszellen (a Fig. 4) der Haare nebst den an-
erenzenden Theilen der Epidermis gewissermassen ein Centrum für
Wasseraufsammeln sind, scheint mir aus den feinen Ründern der Cuti-
eula hervorzugehen, welche von der Basis der Haare radial ausstrahlen.
Diese Ränder, die an einem Querschnitte als Fältchen der Cuticula er-
scheinen, fehlen nämlich bei vollkommen turgescenten Zellen. Sie treten
hervor je nachdem der Turgor abnimmt, deswegen dass die Cuticula we-
niger elastisch ist als die Cellulose-membran, so dass bei Zusammen-
ziehung der letzteren die aussenliegende Cuticula feine Fältchen bilden
muss, ganz wie eine etwas erstarrte Masse an einem sich zusammen-
ziehenden Bande von Kautschuk. Auf dieselbe Weise bilden sich auch
oft an der Oberflüche abdünstender Gummi-, Schleim- und Zuckerlósun-
gen Ränder, welche gegen das wasserreichere Centrum radial gehen.

Da die Basalzellen der Haare hier, wie wir gesehen, einen schwel-
lenden oder wasseraufsaugenden Inhalt und permeable Wände haben,
welche leicht benetzt werden, und ausserdem wegen ihrer Lage wäh-
rend der lüngsten Zeit mit dem Regenwasser in Berührung kommen,
das von den Haaren festgehalten wird, scheint es hóchst wahrschein-
lich, dass alle diese Anordnungeu auf irgend eine Weise mit dem
auffallenden Regen in Zusammenhang stehen.

Um die physikalischen Eigenschaften dieser Haare näher zu
erforschen, habe ich folgende einfache Experimente unternommen.

8 AxEL N. LUNDSTRÖM,

Wenn man mit einem scharfen Messer die trocknen Haare von einem
Internodium abschneidet und sie auf das Objectglas legt, erscheinen sie
mehr oder weniger zugeplattet, je nach dem Wasserverluste und dem
Turgorgrade der Exemplare. Die abgeschnittene Zelle nimmt indessen
wegen ihrer Elastieität ihre cylindrische Form theilweise wieder an,
gleichwie ein Kautschukrohr, und Luft dringt in dieselbe ein. Wird nun
Wasser zugesetzt, so bemerkt man leicht wie die zugeplatteten Zellen
der Haare schnell Wasser einnehmen und anschwellen, so dass sie cylin-
drisch werden und die Luftblase aus der abgeschnittenen Zelle hinaus-
getrieben wird. Die Kraft, die hiebei am wirksamsten ist, ist deutlich
die Elastieität der Membran. Bei einer näheren Untersuchung findet
man indessen leicht, dass das Wasser, welches in die Zellen der Haare
eindringt, durch die abgeschnittene Zelle geht; denn die Zellen nehmen
ihre cylindrische Form schneller an, je nachdem sie jener Zelle näher
liegen. Wir haben uns also hier nur die Elasticitát der Membran zu
merken als die Kraft, welche in erster Reihe bei der abgeschnittenen
Zelle die Wassereinströmung bewirkt. Legt man aber ein nicht neulich
bewässertes Exemplar mit den Haaren an das Deckglas, so dass stärkere
Vergrösserung kann angewendet werden, und sieht dabei genau zu, dass
das zugesetzte Wasser nicht durch irgend eine Wunde der Cuticula
eindringen kann, so merkt man auch wie die durch den vorigen Wasser-
verlust etwas zugeplatteten Haare ihre cylindrische Gestalt allmählig wie-
dernehmen; aber dies geschieht jetzt viel langsamer. Wührend im vo-
rigen Falle weniger als eine Minute hinreichte um die Zellen der Haare
zu füllen, sind hier mehrere Minuten erforderlich. Doch ist die Zeitdauer
verschieden für verscaiedene Exemplare und hängt von der Temperatur
und dem Feuchtnissgrade der umgebenden Luft ab. Damit das Experi-
ment gelinge, darf es nicht in zu starkem Sonnenlicht oder in einem
warmen Zimmer vorgenommen werden, weil dann die transpirirende
Wassermenge grösser ist als die welche aufgenommen wird. Am besten
ist das Experiment im Freien bei Regenwetter gelungen, mit dem Mi-
croscope unter einem Regenschirme. Natürlich müssen die Exemplare,
die man anwendet, vorher vor Regen geschützt gewesen sein oder in ein
warmes Zimmer hineingetragen. Man muss Regenwasser, nicht Quellen-
wasser, anwenden, weil das letztere, wie ich glaube bemerkt zu haben,
nicht so leicht durch die Membranen diffundirt. Dass Wasser wirklich
hier aufgenommen wird, ist ohne jeden Zweifel. Dadurch dass man
Exemplare, die etwas von ihrem Turgor verloren, so dass sie schlaff
sind, mit Regenwasser versieht an den Theilen die benetzt werden kón-

/

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 9

nen, und die Transpiration durch eine niedrigere Temperatur und Fin-
sterniss verhindert, kann man ihnen ihren Turgor sehr leicht wiederge-
ben. Ich habe dies Experiment unzählige Male wiederholt. Ob dies
der Hauptzweck ist bei dem Festhalten des Regens, will ich indessen
dahin gestellt lassen. Da die in der Natur wachsenden Individuen bei
Regen ihren Turgor wieder erhalten und vermehren, geschieht dies sicher
hauptsächlich durch das aus dem Boden aufgenommene Wasser und in
Folge der verminderten Transpiration, die während des Regens Statt
hat. Aber der Regen kann auf mehrfache andere Art für die oberir-
dischen Theile der betreffenden Pflanzen nützlich sein (siehe im Folgen-
den), und schon eine oberflächliche Betrachtung sagt uns, wie viel mehr
erfrischend ein Regen direkt auf die Pflanze selbst wirkt, als eine aus-
schliessliche Bewässerung der Wurzel.

Bemerkenswerth ist ferner, dass von der Blattachsel unterhalb
eines Haarrandes ein Zweig ausgeht, während von der Blattachsel unter-
halb der kahlen Seite des Stengels eine Knospe seltener angelegt oder
wenigstens viel später entwickelt wird. Man könnte möglicherweise
hieraus den Schluss ziehen wollen, dass die Haarränder auf irgend eine
Weise, z. B. durch Absonderung einer klebrigen schützenden Substanz,
den Wachsthum der Knospen fördern, ohne in irgend einem Zusammen-
hange mit dem Regen zu stehen. Und es ist freilich wahr, dass das
erste Blattpaar an einem Zweige während des Knospenstadiums dem
Internodium der Hauptaxe eng angedrückt ist, aber dann finden sich
die Haare nicht oder nur andeutungsweise da. Die Knospe in der
Blattachsel unter dem Haarrande wird nämlich früher als der Haarrand
angelegt, und es zeigt sich deutlich, dass diese Haare ihre eigentliche
Ausbildung erreichen, erst nachdem das Internodium sich ausgedehnt
hat oder nicht länger mit dem Zweige längs seinem Haarrande in Be-
rührung steht. Indessen mögen die Haarränder, eben weil sie Regen
nach der Blattachsel leiten, den Zuwachs der dort sitzenden Knospe
fördern, sowohl dadurch dass eine klebrige, gegen zu starke Transpira-
tion schützende, Substanz mit dem Regen über die Theile des jungen
Zweiges ausgebreitet wird, als durch direkte Zufuhr von Nahrung. Wenn
das Internodium zweiseitig behaart ist, werden auch in den beiden un-
tersitzenden Blattachseln Knospen gebildet, welche sich gleichzeitig ent-
wickeln und sich im Übrigen gleich verhalten.

Die eben genannten Anordnungen können schwerlich anders er-
klärt werden als in Zusammenhang mit dem herabfallenden Regen. Es
kann ja nicht eine einseitige Haarbekleidung eine mechanische Bedeu-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 Axez N. LUNDSTRÖM,

tung für ein Internodium haben, noch kann sie in irgend einer direkten
Relation zum Sonnenlichte oder zum Winde stehen. Ebenso wenig kónnen
die einseitigen Haarränder gegen heraufkriechende Insecten schützen,
denn diese könnten ja die andere Seite wählen, wenn der Haarrand für
sie irgendwie hinderlich wäre. Übrigens sind die betreffenden weichen
Haargebilde derart, dass sie auch nicht die kleinsten Thierchen, z. B.
Akariden, am Hinaufklettern hindern; im Gegentheil wird das ihnen
durch die Haare erleichtert. Die Wasseranhäufungen an den Blattach-
seln können auch nicht da sein um die Blüthen vor heraufkriechenden In-
secten zu schützen; denn Wasser findet sich ja da nur zu gewissen be-
gränzten Zeiten, und dies ist vom Regen, und nicht von den Fortschritten
der Bestäubung abhängig. Es könnte die Frage gestellt werden, ob
nicht durch die Haarränder eine locale Transpiration befördert werde
mit begleitender Zusammenziehung von den Zellgeweben, was eine Bie-
gung des Internodiums oder des Blüthenstieles bewirken würde. Es ist
auch wahr, dass die Internodien öfters ihre gegenseitige Stellung ver-
ändern (der Stengel wird knickbogig) und, wie oben gezeigt, die Blüthen-
stiele biegen sich nach abwärts; aber alle diese Bewegungen geschehen
nicht in den Internodien selbst, die gerade bleiben, sondern in den Kno-
ten, die ohne Haare sind. Die Bewegung der Internodien, die verursacht
wird und deren Richtung bestimmt wird von dem einfallenden Lichte,
geschieht ohnedies nicht in dem Plane, wo der Haarrand und die Axe
des Internodiums liegen, sondern in einem anderen der gegen jenen
winkelrecht ist, wenn auch der Blüthenstiel durch eine Drehung seinen
Haarrand endlich in denselben Plan stellt, wo die Biegung Statt ge-
funden (Fig. 1). Die zweiseitig behaarten Internodien wären ausserdem
in Hinsieht einer solehen Bewegung nicht erklürbar. Da die Haare
saftführend sind und folglich die transpirirende Oberfläche der Pflanze
vergrössern, ist es möglich, ja wahrscheinlich, dass sie zu gewissen
Zeiten die Transpiration und damit die Assimilation befórdern, aber weder
die Zusammenstelung der Haare in Reihen noch die gegenseitige An-
ordnung dieser Haarreihen lässt sich mit Bezug auf jenen Zweck erklären.
Dagegen die Annahme, dass wir hier eine Anordnung haben für den
auffallenden Regen und dass die einseitige Haarbekleidung der Interno-
dien in Zusammenhang steht mit den herabgebogenen Fruchtstielen, be-
gegnet keinen Schwierigkeiten, so viel ich habe finden kónnen, sondern
wird, wie oben gezeigt, von zahlreichen Umständen bestätigt.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 11

Melampyrum pratense L. (Pl. II. Fig. 1—6) und
sylvaticum L. (Pl. II. Fig. 7).

Die erstere dieser Arten hat einen unten runden, oben vierkanti-
gen, aufrechten, Stengel. Die Blätter sind bekanntlich enteegengesetzt.
Von jedem Zwischenraume der Blätter aus geht an jeder Seite des Sten-
gels (Fig. 1, c) ein Haarrand zur nächst unterstehenden Achsel nieder,
Der Stengel ist also zweiseitig behaart. Die Haarränder, welche von
den Zwischenräumen der Keimblätter niederlaufen, sind undeutlicher
und kürzer. Die von den Achseln ausgehenden Zweige (Fig. 1 d) bilden
bei dieser Art einen beinahe rechten Winkel gegen die Haüptaxe, und
ihr ganzes erstes Internodium ist fast horizontal; das zweite dagegen
krümmt sich aufwarts (Fig. 1, f) Das erste Blattpaar eines Zweiges
sollte folglich senkrecht gestellte Spreiten bekommen, eine Drehung aber
des oberen Theiles des Blattes gegen das einfallende Licht bewirkt, dass
die Spreite theilweise horizontal wird, wie Fig. 1, e und Fig. 2 zeigen.
Von diesem Blattpaare führt nur eim Haarrand zur Achsel der Hauptaxe,
nämlich an der Unterseite des Internodiums. Das zweite Internodium
(Fig. 1, f) dagegen, das aufrecht ist und seine Blätter in gewóhnlicher
horizontaler Stellung trägt, hat zwei Haarränder, nämlich je einen an
beiden Seiten des Stengels, ganz wie die Hauptaxe. Fig. 4 zeigt einen
Querschnitt durch ein solches Internodium. Die bei dieser Pflanze vor-
kommenden Haargebilde sind zweierlei Art: 1) kurze drüsige Kopfhaare
(Fig. 6, a) mit einem dicken, in Wasser schwellenden, Secret; dadurch
dass diese Haare eingesenkt sitzen, halten sie Wasser zwischen sich
und den umschliessenden Epidermiszellen fest; 2) längere oder kürzere
2—5-zellige protoplasmaführende Haare, welche auch leicht von Wasser
genetzt werden. Die übrigen Epidermiszellen sind übrigens sehr plas-
mareich, sowohl die in der Nähe der Haare vorkommenden wie die an-
deren. Die Cuticula und die übrige nach aussen gekehrte Membran sind
dagegen deutlich dünner bei den Zellen des Haarrandes als an anderen
Stellen, was man sehr gut sehen kann an einem Querschnitte durch das
erste Internodium der Zweige. Dies hat an der Oberseite (Fig. 5)
Zellen mit sehr dicken Aussenwänden, an der Unterseite dagegen (Fig. 6)
sind die Wände dinner, insbesondere in der Nähe der Haare. Bei
Querschnitten durch die einseitig behaarten Zweige löst sich gerade der
Theil des Schnittes ab, wo die Haare sitzen, oder er faltet sich, und es

12 AXEL N. LUNDSTRÖM,

sich zeigt deutlich, dass dies daher kommt, weil der dahingehörende
Theil der Epidermis, besonders die Cuticula, schwächer oder weicher
ist. Dies spricht wiederum für eine grössere Permeabilität. Beiderlei
Haare finden sich auch längs der eingesenkten Hauptnerven der Blätter
und an dem abwärts gewendeten Blattrande, und dienen auch hier zum
Festhalten des Regenwassers.

M. sylvaticum gleicht bekanntlich in mehreren Hinsichten der vor-
hergehenden Art, weicht aber davon ab durch verschiedene Kennzeichen,
von welchen wir hier nur die aufrechten Zweige berücksichtigen, welche
gegen die Hauptaxe einen spitzigen Winkel, etwa 30°, bilden (Fig. 7),
alle Spreiten horizontal gestellt haben und je einen Haarrand an zwei
Seiten des vierkantigen ersten Internodiums besitzen.

Die Regentropfen, welche die Blätter der Hauptaxe treffen (Fig. 7),
verbreiten sich über die Spreiten, welche dadurch benetzt werden, be-
sonders an dem Mittelnerven und an den Blatträndern. Wegen der
schragen Stellung der Blätter gegen die Hauptaxe sammelt sich das
Wasser allmáhlich in die Achseln und verbreitet sich von diesen aus
durch die Zwischenrüume zwischen den Blättern den Stengel hinab längs
den Haarründern, die es festhalten und es wie Dochte zur unterlie-
genden Achsel hinleiten. Wenn da wieder mehr Wasser angehavft
worden als durch Adhesion festgehalten werden kann, lüuft das Wasser
weiter längs den beiden Haarründern des Stengels, und auf diese Weise
werden alle wasserfesthaltende Theile des Stengels mit Wasser versehen;
was nicht festgehalten werden kann, geht längs dem hypocotylen Stamm-
theile bis zur Wurzel herab. Die zwischen den Haarrändern liegenden
Theile des Stengels werden nicht so leicht benetzt. In Bezug auf jene
Anordnungen an der Hauptaxe sind die beiden Arten einander ähnlich.

Wenn wir aber die Seitenaxen betrachten, begegnen uns folgende
Verschiedenheiten. Bei JM.. pratense wird die Wassermasse, welche an
dem horizontal ausgebreiteten Theile des ersten Blattpaares der Seiten-
axen (Fig. 1 e nebst Erklärung) aufgefangen worden, durch die Stellung
der Blattbasis an dem unteren Blattrande gesammelt, und verbreitet sich
von daher längs dem Haarrande an der Unterseite des Zweiges. An
der entgegengesetzten gerade oben liegenden Seite des Zweiges kann
das Wasser natürlich sich nicht anhäufen, und darum führt auch von
daher kein Haarrand, der das iiberfliissige Wasser ableiten kónnte.

M. sylvaticum kommt bekanntlich am liebsten in Wäldern vor,
wo es zusammen mit Myrtilus uliginosa und anderen Pflanzen wächst,
zwischen die es seine Zweige emporschiessen muss, damit diese erfor-

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 13

derliches Licht erhalten und ihre Bläthen den Insecten sichtbar machen
mögen. AM. pratense dagegen zieht Waldründer und Weiden vor, wo es
gewöhnlich mit niedrigeren Pflanzen zusammen wächst und folglich, auch
mit niederliegenden Zweigen, hinreichendes Licht findet. Beide Arten
kommen indessen ófters zusammen vor. Ich habe in Jemtland bei Ena-
fors einige Exemplare von M. pratense angetroffen, die mit fusshohen Pflan-
zen zusammen wuchsen; diese Exemplare hatten aufrechte Zweige wie
M. sylvaticum. Aber diese Zweige hatten auch Haarründer an den Ober-
seiten des ersten Internodiums, was noch weiter meine Annahme bestä-
tigt, dass das Vorhandensein des Haarrandes in Zusammenhang steht
mit der aufrechten Richtung des Zweiges. Diese beiden Pflanzen schei-
nen mir daher eine der besten Illustrationen zu liefern zum Kapitel von
den regenauffangenden Pflanzen.

Thalictrum simplex. Pl. III. Fig. 1—6.

Die schematische Figur 3 zeigt die Stellung des Blattes und der
Blättchen in Verhältniss zu dem Stengel und der Nebenblattschale x.
Das Ganze hat die Gestalt einer Düte, deren Öffning durch die
punktirte Linie bezeichnet ist. Die Blättchen sind durch gerade Linien
bezeichnet und ihre Spreiten müssen als in der Oberfläche des Kegels lie-
gend betrachtet werden; sie bilden kurzum die Wand der Düte. Die
Wassertropfen, die innerhalb der Öffnung fallen und irgend eines der
Blättchen treffen, werden zersplittert und von den Blattchen, die gewóhn-
lich nieht benetzt werden, mehr oder minder direkt zum Grunde der Düte
hinuntergeworfen, wo die wasseraufsammelnde Nebenblattschale (Fig. 1
und 2) sich befindet. Wenn man das Blatt von oben betrachtet, sieht
man dass die Blättchen eine solche gegenseitige Stellung haben, dass
ein Wassertropfen schwerlich kann frei zwischen sie passiren. Da der
Umkreis des Blattes verhältnissmässig sehr gross ist, wird folglich wäh-
rend eines Regens eine sehr beträchtliche Anzahl von Tropfen zum
Grunde der Düte herabgeworfen, wo sie den Stengel gleich oberhalb der
Nebenblättchenschale treffen. Der Stengel wird hier leicht benetzt, wo-
durch das Wasser festhaftet und sich längs demselben abwärts verbreitet
innerhalb der Nebenblättchen, weil diese nicht an der äusseren Seite,
zwar aber an der inneren benetzt werden. Die Möglichkeit für diese

7 -

14 4 AXEL N. LUNDSTRÖM,

Schalen Wasser zu erhalten ist also sehr gross, wiewohl sie weder direkt
vom Regen getroffen werden, noch diesen vermittelst eines rinnenförmi-
gen Blattstieles bekommen, sondern im Gegentheil am ersten Anblicke
scheinen dureh ihre Stellung vor Regen geschützt zu sein.

Als die Nebenblättchenschalen noch jung sind, ist ihre Farbe ge-
wöhnlich weiss und sie nehmen die Stellung ein, die Fig. 1 zeigt. Alter
werden sie braun und trocken und liegeu dann, wenn es nicht regnet,
wie mehr oder weniger zusammengeschrumpfte Schuppen dicht an dem
Stengel. Sie sind sehr dünn (siehe Fig.) und werden, wie oben gesagt,
nur an der dem Stengel zugewendeten Seite benetzt, wo die Cuticula
sehr dünn und permeabel ist. Ein ganz verschiedenes Aussehen zeigen
diese älteren Nebenblüttchen während des Regens oder nach dem Regen
(siehe Fig. 1 und 2; das Wasser ist indessen hier weggenommen). Da-
durch dass die innere Seite der Nebenblättchenschalen und die nüchsten
Theile des Stengels benetzt werden, dringt das Wasser leicht hinein,
wobei die Wände der Schale erweichen und nach aussen biegen, je nach
dem Zuwachse der Wassermenge. Diese Nebenblättchenschalen passen
also gewissermassen ihr Volumen der Menge des Wassers an, das ihnen
zu Gebote steht. Die franzenähnlichen Anhängsel am Schalenrande le-
gen sich über das Wasser in der Schale und tragen dadurch zu dessen
Festhalten bei. Die Zellen der Schale sind der Farbe nach braun, mit
einem gummiartigen Inhalte. Dieser Inhalt wird durch Wasser leicht
gelüst, was direkt beobachtet werden kann, wenn man einen Theil der
trockenen Schale abschneidet und unter das Microscop legt, und dann
Wasser zusetzt. Es zeigt sich dann, dass der Inhalt einer zerschnittenen
Zelle (siehe Fig. 6, die nach oben gewendeten Zellen), der mit Wasser
direkt in Contact kommt, sich beinahe gänzlich auflóst, so dass die
Zele, welche vorher braun war, farblos wird, wührend die nicht abge-
schnittenen Zellen (Fig. 6, die nach unten gewendeten) braun blei-
ben. Diese gummiführenden Zellen nehmen durch Osmose Wasser auf,
was an der Anschwellung der Zellen sich zeigt. Dadurch dass die Scha-
len sich um das aufgesammelte Wasser zusammenschliessen, so dass nur
ein hóchst unbedeutender Theil von demselben mit der atmosphärischen
Luft in Berührung kommt, wird die Abdünstung gehemmt, und mehrere
Stunden, nachdem der Regen aufgehórt hat und die Epidermis der Pflanze
im Übrigen trocken ist, kónnen diese Schalen Wasser enthalten.

Ähnliche Gebilde kommen auch bei verschiedenen anderen Tha-
lictrum-arten vor. Im botanischen Garten in Upsala habe ich Gelegen-
heit gehabt obige Beobachtungen an Th. paradoxum und Th. kemense

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 15

zu constatiren. Die erstgenannte dieser Arten hat, ausser zierlichen re-
genaufsammelnden Nebenblüttehenschalen, auch zu Schüppchen oder Düt-
chen geformte Stipellen am Grunde der Seitenblüttchen, wo sich Regen-
trópfehen auch ansammeln. Die Nebenblittchenschalen sind anfangs
weiss, werden aber nachher gelbbraun, je nachdem der Inhalt der Zellen
sich veründert.

Trifolium repens Pl. IV. Fig. 1—7.

Die Blättchen dieser Pflanze nehmen bekanntlich während des
Tages eine fast ganz horizontale Stellung ein, wie Fig. 1 Pl. IV. zeigt.
Sie behalten diese Stellung den ganzen Tag sowohl im Regen als bei
hellem Wetter. Während der Nacht dagegen legen sich die beiden
Seitenblättchen gegen einander, und das Endblättchen biegt sich über
sie zurück in Gestalt eines Daches (s. fig. 2). Ehe die Blüttchen ent-
wickelt sind, liegen sie im Gegentheil alle zusammengefaltet mit dem
Endblättchen zwischen den Seitenblüttchen (Fig. 3). Die Blattchen sind
am Rande vom Grunde zur Mitte deutlich, von der Mitte zur Spitze we-
niger deutlich gezähnt, wie man an der vergrósserten Figur 4, Pl. IV
sehen kann.

Die Blattchen haben an der Oberseite eine kahle Epidermis, deren
Zellen etwas halbkugelförmig erhöht sind (s. Fig. 6) und eine dünne
Cutieula besitzen, welehe von Wasser nicht genetzt wird. In den Ein-
senkungen zwischen diesen Zellen befinden sich kleine Spaltóffnungen.
An der Unterseite der Blüttchen zieht sich längs dem Rande ein mit
einem Secrete überzogener, gleichwie firnisster Streifen hin; dies Secret
hat sich aus da befindlichen Haargebilden (Drüsenzotten) abgesondert
(Fig. 5 c und Fig. 7 a). Die Epidermis ist hier ganz eben, denn die Zellen
sind nicht erhöht wie an der Oberseite der Blättchen; bei Zellen, die
ihren Turgor verloren haben, zeigt sich die Cuticula, von der Oberfliche
aus betrachtet, deutlich gestreift, weil sie kleine wellenförmige Erhöhun-
gen bildet. Die feinen Streifen gehen strahlenfórmig aus vom Grunde
der Zotten (Fig. 7, d), die am Rande der Unterseite und am Mittelnerven
in grosser Menge vorkommen und das oben erwähnte Secret absondern.
Ob auch die Membranen der benachbarten Epidermis-zellen einen gleich-
artipen Stoff absondern, wage ich nicht zu entscheiden. Die secret-ab-
sondernden Zotten sitzen bisweilen in kleinen Vertiefungen und liegen an

16 AXEL N. LUNDSTRÖM,

der Spreite angedrückt. Ausserdem kommen auch lange Haare (Fig.
5, a) vor, die sowohl am Rande als nahe an demselben sitzen.

Wir werden jetzt zusehen, wie diese Pflanze sich im Regen verhält,
und wie die eben beschriebenen Theile angepasst sind um die Regen-
tropfen aufzufangen und festzuhalten. Wenn der Tropfen die ausgebrei-
tete Spreite trifft, wird er gewöhnlich in mehrere kleinere Trépfchen
'zersplittert. Weil die Blättchen am öftesten sich etwas gegen den ge-
meinsamen Stiel neigen, fliesst der grössere Theil des Wassers in dieser
Richtung. Die Oberseite der Blättchen wird gar nicht vom Regen ge-
netzt, wenn er auch reichlieh und langwierig ist. Ich habe beobachtet,
wie alle Exemplare von Trifolium repens nach achtzehnstündigem inten-
sivem Regen an den Oberseiten der Blätter ganz und gar trocken waren.
Nur am äussersten Rande, wo die oben erwähnten Haargebilde und Zähne
sich befinden, werden die Blättchen genetzt, und wie gross auch die
Schnelligkeit des fallenden Tropfens sei, ein nicht unbedeutender Theil
desselben wird doch festgehalten, sowohl durch das wasserabsorbirende
Secret als durch Adhesion zwischen den langen Haaren und der Epidermis.
Insbesondere sind die gerundeten Einschnitte, die jeder Zahn am Rande
bildet, geeignet, Wasser in sich aufzufangen und es allmählig nach der
anderen Seite hinübergleiten zu lassen, wo es sich mehr und mehr ver-
breitet dem Rande und dem Mittelnerven entlang. Diese werden sehr
leicht genetzt, denn schon nach kurzem Regen sind alle Blattränder an
der Unterseite nass und die dem Stiele zugewendeten Hälften der Unter-
seiten der Seitenblättchen sind es ganz und gar. Ist der Regen reich-
lich oder dauert er eine längere Weile, wird bald die ganze Unterseite
der Blüttchen mit einer Wasserschicht bekleidet, und es ist sehr eigen-
thiimlich zu sehen, wie der gegen die Oberseite der Blättchen fallende
Wassertropfen sich augenblicklich nach der unteren Seite hinüberrollt
und da sitzen bleibt. Obwohl die Unterseite der Blättchen in dieser
Weise giinzlich von Wasser bekleidet wird, wird indessen nicht ihre
ganze Epidermis davon genetzt, sondern das Wasser hängt uhrglas-
fórmig festhaftend am Blattrande und am Mittelnerven, d. h. an den
Theilen, die genetzt werden d. i. mit dem abgesonderten Secrete über-
zogen sind. Dies ist leicht ersichtlich, wenn das Wasser durch Schüt-
teln entfernt wird. Gleichwie im Falle schwimmender Blätter, wird in-
dessen die ganze Unterseite durch die anhangende Wassermasse von der
atmosphärischen Luft abgeschlossen, was ziemlich lange Zeit hindurch
dauern kann, weil die Abdünstung von der Unterseite nicht so leicht vor
sich geht. Dies ist wohl auch der Grund, warum Trifolium repens

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 17

Luftporen auch an der Oberseite der Blättchen hat (Fig. 6), wo das
Wasser nicht kann festgehalten werden.

Wiihrend der Nacht fallen die Regentropfen direkt auf die Unter-
seite des Endblattes und werden auch da festgehalten, obwohl nicht so
viel wie am Tage, denn der gróssere Theil ihrer Masse läuft sogleich
längs dem Stiele nach den Nebenblättern und der Wurzel herab. Da-
gegen ist die Nachtstellung der Blätter ganz besonders geeignet den
Thau aufzufangen, der sich sehr reichlich an den Stellen absetzt, welche
genetzt werden kónnen, aber nur unbedeutend und in Gestalt bald weg-
fallender Perlen an den Theilen, welche nicht genetzt werden. An der
Oberseite der Blüttehen wird kein Thau abgesetzt, ausser im Herbste,
wo die Abkühlung stürker ist und andere auf die Lebenserscheinungen
einwirkende Stórungen eintreten. Das Einnehmen der Nachtstellung wird
indessen vorzugsweise auf Regulirung des Ausstrahlens der Würme ab-
gesehen sein. Nachdem die Blättchen am Morgen ihre Tagesstellung
eingenommen haben, kann dennoch nicht wenig Thauwasser an der Un-
terseite sitzen bleiben.

Um zu erforschen welche Bedeutung das festgehaltene Regen-
wasser für diese Pflanze haben mag, habe ich folgende einfache Ver-
suche unternommen. Wenn Blätter, welche etwas von ihrem Turgor
verloren haben, so dass sie schlaff sind, in ein Fass gelegt werden mit
der Unterseite gegen die Wasserfläche und den Stielen sorgfältig aufge-
bogen, so dass kein Wasser die Abschnittsfläche erreichen kann, gewin-
nen die Blatter bald ihren Turgor wieder und werden frisch, wofern
nicht wegen zu hoher Wärme oder zu stark auffallendes Sonnenlichtes
das aufgenommene Wasser unzureichend ist dasjenige zu ersetzen das durch
Transpiration verloren geht. Dass das Wasser, welches den Blättern
ihren Turgor wiedergiebt, nicht aus dem Stiele oder irgend einem an-
deren Pflanzentheile herkommt, ist daraus zu ersehen, dass auch diese
- Theile, wenn sie vorher schlaff waren, ihren Turgor wiedergewinnen.
Werden die Blitter mit der Oberseite an die Wasserfläche gelegt, drängt
das Wasser bald nach der secretführenden Epidermis der Unterseite hin-
über, und das Blatt erhält, obschon etwas langsamer, seinen Turgor
wieder. Sowohl Regenwasser als hartes Wasser kann von den Blättern
aufgenommen werden, und wenn die Aufnahme geschieht ohne dass ir-
gend ein Theil eines kalkhaltigen Wassertropfens abdünsten darf, ent-
steht kein Flecken, der darauf hindeuten sollte, dass der im Wasser ge-
löste Stoff nicht absorbiert wire.

Nova Acta Reg. Soc..Sc. Ups. Ser. III. 3

18 AxEL N. LUNDSTRÖM,

Das Einsaugen des Wasser geschieht aller Wahrscheinlichkeit nach
sowohl mittelst der Colleteren als der in ihrer Nahe vorkommenden
Spaltöffnungen, die, obschon bisweilen als Luftporen dienend, doch was-
sergefüllt sein kónnen, d. h. Wasserporen sind. Es ist auch móglich,
dass mehrere andere von den Zellen, die genetzt werden, eine perme-
able Cutieula haben und Wasser aufnehmen, besonders der unterste Theil
der langen Haare und die angrenzenden Zellwände, welche sehr weich
und schleimartig zu sein scheinen, sowie auch die äussersten von den
Zellen der Blättchenzähne.

Nebst dem Wasser sammeln sich an der Unterseite des Blattes
Häufchen von Sandkórnern, Pollen von anemophilen Blüthen, Pilzsporen,
Diatomaceen, Thierexcrementen u. a., die theils durch die Wassertropfen
von der Oberseite des Blattes herabgespült, theils vom Winde direkt
dahingeführt werden. Nachdem das Wasser abgedünstet hat oder ab-
sorbirt worden ist, bleiben diese Häufchen sitzen, hauptsächlich vom dem
Secret festgehalten, das von den Colleteren abgesondert und im Wasser
aufgelóst worden. Insbesondere finden sich dergleichen Überbleibsel an
den Colleteren und den anderen Haaren. Ob und wiefern dies für die
Pflanze bedeutsam sein mag, darauf will ich mich nicht jetzt einlassen;
ich will hier nur darauf hinzeigen, dass dies ein sehr gewóhnliches Ver-
hiltniss ist und dass Trifolium repens bei Ubergipsung vorzüglich gut
gedeiht.

Ob Wassergas von dieser Pflanze aufgenommen werden kann und
einen verlorenen Turgor ersetzen, habe ich nicht Gelegenheit gehabt
direkt zu untersuchen. Wahrscheinlich ist jedoch der Inhalt der secret-
führenden Haare hygroscopisch.

Ich will indessen nicht übergehen, dass jene Secretabsonderung,
insbesondere die an den nach aussen gewendeten Unterseiten der Seiten-
blättchen, auch eine andere biologische Bedeutung hat. Sie bildet näm-
lich einen Schutz für das junge Blatt gegen zu starke Abdünstung
wührend des Knospenstadiums oder der Zeit, wo die Membranen der
Epidermiszellen noch nicht genug schützend sind. Dies erhellt am be-
sten daraus, dass alle nach aussen gewendeten Theile des unentwickel-
ten Blattes secretabsondernde Zotten haben. Die an derselben Stelle
vorkommenden langen Haare am Blattrande, die Blattzühne, die Wasser-
poren und die persistirenden Colleteren sind indessen Anordnungen, die
schwerlich auf den Schutz des jungen Blattes Bezug haben können.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 19
Fraxinus excelsor. L. Pl. IV. Fig. 8—10.

Die Blätter sind bekanntlich unpaarig gefiedert. Die Rhachis
bildet zwischen den Blättchenpaaren eine Rinne, welche dadurch über-
deckt wird, dass ihre Rander sich zusammenfalten, wie ein Querschnitt
der Rhachis zeigt (Fig. 9). Nach dieser Rinne wird das Wasser, das auf
die Blüttchen füllt, längs den Blättchennerven geleitet, welche eingesenkt
sind und vom Regen benetzt werden. An der Basis der Blüttchen öffnet
sich die Rinne, so dass das Wasser sich da sammeln kann und in den
gedeckten Theil der Rinne eindringen. Sowohl an den eingesenkten
Nerven und den kleinen Einschnitten am Blattrande als besonders an
den Rinnenóffnungen und in der Rinne selbst finden sich kleine schild-
férmige Drüsenschuppen ?). Am oberen Theile der Rinne finden sich
dagegen gewöhnlich 1—2-zellige, kurze, kegelförmige Haare, und an der
Mitte der Rinnenöffnungen ein Bündel von secretführenden langen Haaren,
um die das Wasser sich besonders anhäuft. Die Drüsenschuppen haben
einen Inhalt, der sich durch Alkohol wenigstens nicht ganz auflöst und
durch Anilinviolett ziegelroth gefärbt wird. Die gewöhnlichen Epider-
miszellen der Rinne haben eine dünne Cuticula, welche wenigstens an
durchschnittenen Zellen unter dem Microscope wellenförmig erscheint.

Von den untersten Seitenblättchen aus geht am Blattstiele keine
Rinne nach dem Stamme, so dass das Wasser das in den Rinnen ange-
häuft wird, nicht abgeführt sondern festgehalten wird. Auch an den
eingesenkten Nerven der Blättchen wird das Wasser leicht geleitet. In
den geschlossenen Rinnen bleibt das Wasser sehr lang ohne abzudünsten.
Nebst dem Wasser wird auch eine Menge ungleichartiger Stoffe in die
Rinnen eingeführt, wie Pollenkörner, Pilzsporen und andere Pflanzentheile,
mineralische Partikeln, thierische Excremente u. dergl.

Die Versuche, die ich mit dieser Pflanze vorgenommen, zeigen,
dass die Blatter sehr leicht ihren Turgor wiedergewinnen durch das
Wasser das auf sie fällt und auf ihnen festgehalten wird.

Alchemilla vulgaris. L.

Die schalenförmigen Blätter dieser Art sind bekanntlich durch
ihre Form und ihre Stellung besonders geeignet Regen aufzunehmen,
und gewöhnlich findet man auch an ihnen eine grössere oder kleinere
Wasserperle. Der Regen benetzt nicht die ganze Oberseite der Blätter; das

1) Siehe pe Bary, Vergleichende Anatomie, pag. 67.

20 AxEL N. LUNDSTRÖM,

Wasser haftet nur an der Basis (am Grunde der Schale) und lüngs den
schmalen eingesenkten Nerven und wird da durch Adhesion sehr sicher
festgehalten, so dass eine kleinere Wassermenge nicht so leicht kann aus
der Blattschale weggeschüttelt werden. Ein aufwärts gerichteter Haar-
büschel an der Oberseite des Blattstieles, im Verein mit der Faltung
der Basallappen gegen einander, hindert das Wasser zwischen diese
längs dem Blattstiele herabzufliessen. Der in die Schalen gefallene
Regen fliesst daher in gewöhnlichen Fällen nicht weg, sondern ver-
dünstet daselbst. Am Grunde der Schale und an den Nerven eine
Strecke hinauf d. h. an den Stellen die genetzt werden, finden sich
kleine kopfige Drüsenhaare; die angrenzenden Epidermiszellen sind
kleiner als die übrigen des Blattes, mehr dünnwändig und besonders
reich an Protoplasma.

Nebst Regen (und Thau) sammelt sich in diesen Schalen eme
Menge verschiedener Stoffe, wie Antheren und andere winzige Pflanzen-
theile, Blüthenstaub und Sporen, Thier-reste und Excremente, Sandkórner
und dergleichen, die vom Winde leicht dahingeführt werden kénnen.
Alle diese Kórperchen werden von den herabfallenden Regentropfen nach
dem Grunde der Schale heruntergefegt.

Aus diesen Schalen habe ich zu mehreren verschiedenen Gelegen-
heiten Regenwasser aufgesammelt, sowohl gleich nach dem Regen als
mehrere Stunden später. Nachdem das Wasser filtrirt geworden, habe
ich es langsam abdünsten lassen in einem Uhrglase auf Wasserbad, wobei
sich immer ein nicht unbedeutender Rest gezeigt hat in Gestalt eines
dünnen braunen gummi- oder schleim-ähnlichen Häutchen. Wenn das
aufgesammelte Wasser nicht erst filtrirt wird, bleiben nach der Abdün-
stung ausserdem noch mehr oder weniger aufgelóste Pollenkórner, Pilz-
sporen, Diotomacéschalen u. s. w. Schübt man kleine Scheiben von je-
nem Häutchen ab und legt sie unter das Microscop, zeigt sich, dass sie
auch zahlreiche, kleine, durchsichtige Crystalle enthalten. Diese gehóren
dem reguliren Systeme, wie aus ihrem Verhälten bei polarisirtem Lichte
hervorgeht, und sind sehr leicht auflósbar. Folglich sind sie keine Kalk-
salze. Bemerkenswerth ist auch die Fahigkeit des gummiartigen Stoffes
Wassergas aus der atmosphärischen Luft aufzunehmen. Wenn man
jene trockenen Scheibchen nur leise anhaucht, nehmen sie die Ge-
stalt eines flüssigen Tropfens an, wobei die Crystalle sich sogleich
auflósen. Gewisse Theile dieses Secretes werden, mit Schwefelsäure
und Jod behandelt, bisweilen blau, aber die Hauptmasse bleibt braun.
Das Secret ist am wahrscheinlichsten ein Gummischleim, móglicherweise

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 21

mit Beimischung von anderen Stoffen z. D. Harz. Dass das Secret von
den Blättern selbst abgesondert wird, unterliegt gar keinem Zweifel. Frei-
lich zeigt es sich, dass Regenwasser, das in Uhrglüsern aufgesammelt
worden, nach Abdünstung öfters Spuren enthält von einem gummi- oder
schleimartigen Stoffe, insbesondere solches Regenwasser, das sogleich
am Anfange eines Regens aufgesammelt wird; aber dieser Stoff, der
seinen Ursprung hat von den vielen, kleinen, den Regen begleitenden
Pflanzentheilen, kommt in verhältnissmässig äusserst kleinen Quantitüten
vor. Die Organe, welche dies Secret ') absondern, sind am wahrschein-
lichsten vorzüglich die Drüsenhaare, die in ihren Köpfchen einen ähn-
lichen Stoff enthalten; móglich ist es immerhin, dass auch andere Epi-
dermiszelen dasselbe Secret absondern können. Die Membran des
Kópfehens wird leicht genetzt und giebt dadurch Gelegenheit zu einer
leichteren Diosmose. Dies Köpfchen verhält sich wie ein mit Gummi
gefülltes Glasrohr, das durch eine organische Membran von umgebendem
Wasser getrennt ist. Ein solches Glasrohr nimmt bekanntlich osmotisch
viel Wasser auf, während ein Theil des Gummi nach dem Wasser
übergeht. |

Die betreffenden Drüsen können indessen an anderen Theilen der
Pflanze vorkommen, und es ist móglich, dass sie auch dann durch ihre
Hygroscopicität beitragen der Pflanze Wassergas aus der atmosphirischen
Luft zuzuführen.

An denjenigen Blättern, wo das Regenwasser abgedüustet, findet
sich oft ein deutlicher Flecken am Grunde der Schale, vom Secrete her-
rührend, das wie ein Firniss über eine grössere Fläche, als die welche
vorher vom Wasser benetzt wurde, ausgebreitet ist. Die Theile des
Blattes, die auf diese Weise mit Secret überzogen werden, das in Wasser
aufgelöst gewesen ist, werden bei einem folgenden Regen benetzt. Auf
solche Weise wird dieser Flecken erweitert, und er ist somit am klem-
sten bei jungen Blättern; eben diese halten indessen durch ihre schalen-
fórmige Gestaltung das Wasser am besten fest; denn bei älteren Blät-
tern, die flacher geworden, fliesst es viel leichter ab. Wenn das Wasser
abgedünstet, bleiben die Stoffe, die nicht aufgelóst geworden, am Grunde
der Schale liegen, der Epidermis mittelst des Secretes eng angeklebt.
Dass diese Blätter Regenwasser aufnehmen können, zeigt sich, wenn

1) Über die Bildung und Absonderung des Secrets siehe Jom. HaxsrEIN, Uber
die Organe der Harz- und Schleimabsonderung in den Laubknospen in Bot. Zeit. 1868
N:o 43. ManrINET, Organes de sécrétion des végétaux. Ann. des sc. nat. 1872.
T. XIV. p. 91—232. oe Bary, Vergleich. Anatomie p. 93 u. f.

22 AXEL N. LUNDSTRÖM,

man sie erst etwas von ihrem Turgor verlieren lässt, dann in die Blatt-
schale Wasser bringt und durch eine niedrigere Temperatur die Tran-
spiration vermindert; sie bekommen dann leicht ihren Turgor wieder.
Das Secret, das mit Leichtigkeit genetzt wird und anschwillt, trügt ins-
besondere hiezu bei, vermindert aber sonst die Transpiration, weil es
nach Abdünstung des Wassers die Cuticula wie ein Firniss bekleidet.

Von dieser Pflanze finden sich bekanntlich verschiedene mehr
oder weniger haarige Varietüten. An den Gebirgsbüchen auf Åreskutan
habe ich eine kahle Form ohne Haarbüschel an der Basis der Spreite
und mit wenigeren Drüsenhaaren an der Mitte der Schalen angetroffen.
Auf diesen Blättern wurde wenig Regenwasser angesammelt.

Dass auch Thau auf den betreffenden Blättern aufgesammelt wird,
habe ich Gelegenheit gehabt zu constatiren. Wie das durch den Wur-
zeldruck ausgepresste Wasser, welches sich auch in den Schalen sam-
melt und wahrscheinlich zur Regulirung der Transpiration dient, sich
zum Regenwasser verhält, habe ich noch nieht hinreichende Gelegenheit
gehabt zu untersuchen. Das Wasser, das ich aus den Blattschalen auf-
gesammelt, ist zum wesentlichsten Theil Regenwasser gewesen.

Parnassia palustris. L. und Cornus suecia. L.

Parnassia palustris. L. hat bekanntlich aufrechte Blüthen, welche
nicht auf irgend eine Weise gegen den herabfallenden Regen geschützt
sind. Dieser wird im Gegentheil gerade in den Blüthen mit den Kro-
nenblättern aufgefangen und am Grunde der Blüthe angehäuft, Von
daher verbreitet sich das Wasser zwischen die Kronen- und Kelchblätter.
Unterhalb der Zwischenräume zwischen den letztgenannten finden sich
Rinnen, in welchen es weiter nach dem Stengelblatte geleitet wird.
Dies umfasst mit der Basis den Stengel zur Hälfte und bildet eine
Schale, worin der Regen eine Zeit lang fesigehalten wird. Von jeder
Seite geht eine Rinne aus, die das überflüssige Wasser nach abwärts
leitet.

Bei Cornus suecica leistern die vier Hüllenblätter der Blüthenstellung
denselben Dienst wie die Kronenblätter bei Parnassia. Das aufgesam-
melte Regenwasser geht zwischen diese Hüllenblätter längs dem Sten-
gel herab, der nächst unter der Blüthenstellung mit vier Rinnen ver-
sehen ist, mit je einer unter jedem Zwischenraume der Hüllenblätter.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 23

pal

Die Laubblätter sind bekanntlich entgegengesetzt und haben also nur zwei
Blattzwischenrüume. Unterhalb der Laubblattpaare finden sich auch dem-
nach nur zwei Rinnen, je eme unterhalb jedes Zwischenraumes. Die Rin-
nen sind am oberen Theile des Stengels verhältnissmässig tief, kleiner
aber und beinahe unmerklich am unteren Theile. Sie sind an der in-
neren Seite mit dichten, nach abwürts gerichteten Haaren versehen, die
leicht genetzt werden, und dadurch dass sie an die Epidermis gedrückt
sind, das Wasser leichter festhalten. In diesen Rinnen wird Wasser be-
sonders leicht geleitet. Es kann sogar von einer Blattachsel nach auf-
würts steigen in die oberstehende Rinne. Es wird in diesen Rinnen
sehr lang festgehalten ohne abzudünsten und findet sich daher sehr reich-
lich da, wenn es auch schon von den übrigen Theilen der Pflanze ver-
schwunden ist.

Lobelia Erinus. L.

Die langgestielten Blüthen sitzen vereinzelt in den Axillen der
oberen Blätter. Der untere Theil des Blüthenstieles liegt mehr oder we-
niger eng an dem schmalen, etwas rinnenformigen Blatte angedrückt,
das an seiner Basis an jeder Seite oft ein oder zwei gerade ausstehende
Haare trägt. Die ganze Blattachsel ist somit, ungeachtet der Einfach-
keit der Anordnungen, vorzüglich geeignet das Regenwasser aufzusam-
meln, das zwischen dem Blatte, dem Blüthenstiele und dem Stengel,
deren alle Theile leicht genetzt werden, festgehalten wird. Der unterste
Theil des Blüthenstieles wird folglich von Wasser umschlossen, und
bleibt, so lange als etwas Wasser an der Pflanze ist, am längsten in
Berührung mit demselben. Eben an diesem Theile des Blüthenstieles
finden sich zwei kleine Organe, je eines an jeder Seite, die gewóhnlich
dunkelroth sind und schmalen Blattzähnen gleichen. Sie sind 0,5—1,5
mm. lang und ihre Breite betrügt ein Drittel von der Länge. Ihre Spitze,
die nach vorne gebogen ist und dem Blüthenstiele eng anliegt, ist
während trockener Witterung zusammengeschrumpft, schwillt aber in
Berührung mit Regenwasser allmählich aus. Diese Organe sind die
kleinen Vorbldtter. Sie weichen indessen in ihrer anatomischen Structur
betrüchtlich von anderen Blattorganen ab. Der Epidermis der Unterseite
fehlen Spaltóffüungen und es liegen dieser Epidermis am nächsten
1—2 Lager von chlorophyllführenden, gerundeten Zellen. Dagegen sind

24 AXEL N. LUNDSTRÖM,

die Spaltöffnungen sehr zahlreich an der Oberseite des Vorblattes, ins-
besondere gegen die Spitze, zwischen welcher und dem Blüthenstiele
das Wasser am lüngsten bleibt. Unter dieser Epidermis findet sich ein
Parenchym, gebildet aus kleinen, rundlichen, chlorophyll-freien Zellen
mit einem dick-fliessencen Inhalte. Diese Zellen sondern einen klebrigen
Stoff ab — wahrscheinlich Gummi-schleim mit Harz gemischt — der in
den Räumen unterhalb der Spaltöffnungen angesammelt wird und sich
sogar oft durch diese Offnungen über die Oberseite des Organes ergiesst.
Es ist hauptsächlich jene Eigenschaft dieses Stoffes anzuschwellen, welche
die Vorblütter zu Organen des Aufsaugens macht, wenn sie von Wasser
umschlossen werden. Eine merkliche Absonderung aus ihnen, wäh-
rend die Blüthen im Knospenstadium sind und die Blüthenstiele unent-
wickelt, habe ich nicht wahrnehmen kónnen; es ist aber móglich dass
eine solehe vorkommt in wärmeren Gegenden oder nach langwieriger
Dürre. Während die Blüthenknospen sehr klein sind, werden sie vor-
nehmlich dureh die über sie gefalteten Stützblütter geschützt, und wenn
gleich die kleinen Vorblätter zu dieser Zeit den Blüthenknospen einiger-
massen Schutz gewühren mógen, so kann dies später nicht der Fall
sein, nachdem die Blüthenstiele verlängert worden sind und auch die
Vorblütter ihre volle Entwickelung erreicht haben, zu welcher Zeit
auch die Secretbildung am grössten ist.

Die Blüthenstützblätter bilden einen sehr spitzigen Winkel gegen
den Stengel, so dass alles Wasser zur Blattachsel leicht herabläuft. Sie
sind selten gezühnelt; zuweilen finden sich aber 1—2 Zähne. Die un-
teren Blatter des Stengels aber, welche nicht blüthenstützend sind, liegen
mehr horizontal und sind grósser und mit mehreren deutlichen herabge-
bogenen Zühnen versehen, deren Spitzen ungeführ das Aussehen und die
Structur der Vorblütter haben. An diesen Zühnen sammelt sich auch
ein Theil des Wassers, das auf die Blätter füllt, wührend der Überrest
zur Blattachsel herabläuft, wovon aus er sich sehr bald längs dem Sten-
gel nach unten verbreitet. Den Zweigen, die in diesen Blattachseln
sitzen, fehlen auch jene oben beschriebenen Vorblätter, die bekanntlich
nur den Achselorganen der Blüthe angehóren.

Man könnte hier fragen, ob es nicht genügend wäre dies kleine
Organ nur morphologisch zu erklären und es dann als éin rudimentäres
Vorblatt aufzufassen, dessen Entsprechungen bei nahestehenden Pflanzen
leicht aufgewiesen werden kónnten, Aber ausserdem dass eine nur mor-
phologische Erklärung in wissenschaftlicher Hinsicht unbefriedigend ist,
finden sich hier so viele Umstünde welche eine solche Erklürung unzu-

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 25

reichend erscheinen lassen, dass kein Zweifel obwalten kann, dass nicht die
betreffenden Organe auch eine biologische Bedeutung haben. Denn er-
stens finden sich Spaltóffnungen an der Oberseite des Organes, die dem
Blüthenstiele zugekehrt ist, was von morphologischem Gesichtspunkte
aus nicht erklärlich ist; zweitens sind diese Spaltöffnungen Wasserporen,
nicht Luftporen; drittens ist das Organ wasseraufsaugend mittelst der
schwellenden Stoffe, die in demselben vorhanden sind und durch die
Spaltóffnungen sich ausgiessen; und viertens sind diese Organe eben
an dem Punkte placirt, wo die Regentropfen am lüngsten an der Pflanze
haften bleiben.

Ein fernerer Beweis, dass jene Vorblätter wirklich eine biologische
Rolle spielen und zwar eben die oben angedeutete, scheint mir aus dem
Verhältnisse bei Lobelia Dortmanna L. hervorzugehen. Diese Art hat kleine
gerundete Deckblätter, im deren Achseln die langgestielten Blüthen sitzen;
aber an den Blüthenstielen finden sich keine Vorblütter, weder am oberen
Theile noch am unteren, nicht einmal andeutungsweise, und jene wasser-
festhaltenden, gerade herausstehenden Haare, welche sich an der Basis
der Deckblätter bei L. Erinus fanden, fehlen hier gänzlich. Die Regen-
.tropfen werden auch nicht von dieser Pflanze festgehalten, die, weil sie
im Wasser wächst, besondere Anordnungen zum Auffangen des hegens
nicht braucht und nicht anwenden kann. Dagegen bei Lobelia fulgens,
die nieht eine Wasserpflanze ist, sind die Vorblütter denjenigen der L.
Erinus sowohl in Gestalt und Farbe als in Stellung gleich. Bei dieser Art
aber bildet das Deckblatt mit seiner etwas umfassenden Basis kleine
schalenühnliche Falten rings um die Vorblütter, welche dadurch vom
Regenwasser umschlossen werden.

Ausser diesen Anordnungen hat L. Erinus auch feine glatte Rinnen
am Steugel, je zwei unterhalb jedes Deckblattes, welche das überflüssige
Wasser von einer Blattachsel nach den beiden nächstunteren leiten — eine
Anordnung, die bei Pflanzen mit der Blattdivergenz °/, sehr gewöhn-
lich ist.

Ich habe zwar nur Gelegenheit gehabt diese Pflanze im cultivirten
Zustande zu studiren, aber an mehreren verschiedenen Orten und nach
mehreren verschiedenen Regen, so dass ich gar nicht zweifle, dass sie
auch im wilden Zustande sich gegenüber den herabfallenden Regentrop-
fen auf hauptsächlich dieselbe Weise verhält.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. E

26 AxeL N. LUNDSTRÖM,

Silphium ternatum Retz. und perfoliatum. L.

Bei diesen beiden Silphium-arten, die ich im botanischen Garten
zu Upsala bei mehreren Regen zu studiren Gelegenheit gehabt habe,
finden sich besonders augenfällige Anordnungen fär das Aufsammeln
des Regenwassers. Diese bestehen nämlich aus geräumigen und tiefen
Schalen, welche gebildet werden sowohl von den stengelumfassenden
Basen der opponirten Laubblätter als von den opponirten Hochblättern
unterhalb der Blüthenstände. In diese grossen Schalen sammeln sich
von den Blättern und den Blüthenständen aus beträchtliche Quantitäten
von Wasser — mehrere Kubikcentimeter — und sogar 24 Stunden
nach einem Regen kann man noch Wasser in ihnen antreffen, obgleich
sie 10 bis 12 Fuss über den Boden erhöht und somit einer sehr star-
ken Abdünstung ausgesetzt sind. Weil der Stamm dieser Pflanzen, ob-
wohl einjährig, sehr fest ist, vermag der Wind nicht ihn so viel zu bie-
gen, dass der Inhalt der Schalen sich ausleert.

Am Grunde dieser Schalen, folglich an demjenigen Theile wo das
Wasser am längsten bleibt, finden sich kleine kopfige Drüsenhaare;
diese sind gewöhnlich 4—5-zellig mit einer mehr oder weniger ange-
schwollenen Endzelle, die einen braun-gelben, in Wasser schwellenden
und theilweise löslichen Stoff enthält und deren Membran derjenigen
des Geranium sylvaticum in mancher Hinsicht ähnlich ist (siehe fig. 6,
X, Pl. D. Aller Wahrscheinlichkeit nach sind diese Haare Organe zum
Wasseraufsaugen. Der Umstand, dass sie einen klebrigen Stoff abson-
dern, der mit Hülfe des Regeus über die aus der Blattachsel hervor-
spriessende Knospe ausgebreitet wird, welche dadurch einen angemesse-
nen Schutz gegen eine zu starke Abdünstung erhält, scheint zwar für
eine verschiedene Deutung zu sprechen; aber dass sie zugleich eine an-
dere Rolle spielen, geht daraus hervor, dass eine Knospe nur am Grunde
gewisser Schalen gebildet wird, und daraus dass die Haare ihre eigent-
liche Entwickelung erreichen, erst nachdem jene Knospe einen so langen
Stiel bekommen hat, dass sie hoch über die Wasserfläche in der Schale
emporragt.

Nebst dem Regen sammelt sich in diesen Schalen, ausser den
kleinen Mineralpartikeln des Staubes, eine Menge verschiedener organi-
scher Stoffe, z. B. Pollenkörner und leichtere Pflanzentheile, todte In-
secten u. s. w., welche bald mehr oder weniger vollständig aufgelöst
werden. Ich wage nicht mit Bestimmtheit zu entscheiden, ob dies auf

&

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 27

einer Fermentabsonderung aus den Schalen selbst beruht, halte es aber
für mehr wahrscheinlich, dass es von Bacterium subtile (Ehrb.) und an-
deren Baeterien verursacht wird, die hier immer und in grosser Menge
auftreten und wahrscheinlich nicht ohne Bedeutung sind für die Pflanzen,
welehe in ihren Wasseransammlungen Überreste von Thieren und Pflan-
zen enthalten.

Endlich will ich auch nennen, dass ich bei den Exemplaren,
die ich habe untersuchen kónnen, in den Wasserschalen immer gut ent-
wickelte und kräftig vegetirende Vorkeimfäden von Moosen mit Rhizoi-
den angetroffen habe, nebst einigen Algen, unter welchen eine Art von
Raphidium besonders allgemein vorkam.

Cerastium vulgatum L.

Diese Pflanze gleicht Stellaria media durch ihren Wuchs, ihre op-
ponirien Blätter und ihren Blüthenstand. Die Stellung im Verhältniss
zum herabfallenden Regen ist folglich im Ganzen ungefähr dieselbe bei
den beiden Arten, und der Blüthenstiel biegt sich auch bei Cerastium
vulgatum nach der Bestäubung abwärts. Man sollte deshalb erwarten
bei dieser Pflanze- die für Stellaria media characteristischen einseitigen
Haarründer wiederzufinden; der Stengel ist aber bekanntlich gewóhn-
lich an allen Seiten wollicht oder drüsenhaarig, was mir am ersten An-
blieke nicht recht gut erklärlich schien in Hinsicht der Resultate, zu
denen ich durch meine Untersuchungen von Stellaria media gelangt war.
Indessen fand ich bei näherer Prüfung, dass Cerastium vulgatum die
Frage von der Anpassung an Regen noch ferner bekraftigt und beleuchtet.

Wenn man einen Regentropfen in eine Blattachsel legt, so: merkt
man leicht, dass das Wasser sich allmählich vermindert und endlich
schwindet, was doch allzu schnell geschieht um auf Abdünstung zu
beruhen. Jedoch bleibt das nächstuntere Internodium anscheinend
trocken, wenigstens wird das Wasser nicht zwischen die Drüsenhaare
abgeleitet — die Exemplare welche zu untersuchen ich Gelegenheit
gehabt habe, hatten nämlich drüsenhaarige Stengel. Indessen findet
man bei microscopischer Untersuchung von einem Stengel, dass längs
der einen Seite desselben ein sehr feiner Rand ähnlich wie bei
Stellaria media — von einem Zwischenraume der Blätter zur unter-
liegenden Blattachsel herabgeht, welcher Rand aus dichten, kleinen,

28 AXEL N. LUNDSTRÖM,

2- bis 3-zelligen, dünnwandigen, abwärts gekehrten Haaren gebildet
ist. Diese Haare sind bedeutend kürzer als die dickwandigen Drii-
senhaare, welche gerade abstehend sind. Hiedurch wird der feine
Haarrand verborgen und das unbewaffnete Auge entdeckt ihn nur mit
Schwierigkeit. Dieser feine Rand — nicht aber die übrige Epidermis
der Pflanze — wird von Wasser leicht benetzt, das sich zwischen die
Härchen mit grosser Schnelligkeit verbreitet, wenn auch die Wasser-
menge gering ist. Ich habe nicht bei irgend einer anderen Pflanze eine
so schnelle Wasserverbreitung in Haarründern wahrgenommen.

Auch längs der einen Seite des Bliithenstieles geht ein solcher
feiner Haarrand. Es kann indessen sein, dass der Zweck der Herabbie-
. gung der Blume nach der Bestäubung, sowohl bei Stellaria media wie bei
Cerastium vulgatum, nicht allein der ist, diesem Organe eine vortheilhafte
Stellung im Verhältniss zu dem herabfallenden Regen zu geben. Es
wird damit, wie aus einem Vergleiche mit mehreren anderen Pflanzen,
die derselben Familie gehóren, zugleich darauf abgezielt sein, der Frucht
einen passenden Schutz während des Reifens zu verschaffen. Denn da-
durch dass die bestáubte Blume sich abwärts neigt, füllt sie minder auf
und entgeht leichter der Aufmerksamkeit ihrer Feinde. Die Früchte der
höheren Pflanzen bereiten sich nämlich auf verschiedene Weise Schutz
wührend ihres Reifens. Ich habe Gelegenheit gehabt an mehreren Pflan-
zen dies Verhiltniss zu'constatiren, auf das Herr Professor TH. FRIES
meine Aufmerksamkeit freundlichst gelenkt hat. Es neigt sich z. B. bei
Sagina procumbens die Blüthe nach der Befruchtung abwärts, die Die-
gung geschieht aber nicht an,der Basis des Blüthenstieles, wie bei
Stellaria media, sondern höher hinauf an demselben, dicht unterhalb der
Blüthe; bei Anagallis arvensis wird der Blüthenstiel verlàngert und biegt
sich dergestalt, dass die heranreifende Frucht unterhalb der Laubblatter
versteckt wird. Dies steht, so fern ich habe finden kónnen, in gar kei-
nem Zusammenhange mit dem Regen. Wenn aber demnach die Biegung
des Blüthenstieles bei Stellaria media und Cerastium vulgatum nicht allein
auf den Regen abgesehen ist, steht doch jene Richtung, worin die Bie-

gung geschieht — d. i. nach der Seite him wo das nachstuntere Inter-
nodium keinen Haarrand hat — sowie der Haarrand des Blüthenstieles

in Zusammenhang mit den Anordnungen für das Auffangen des Regens.

Die Bedeutsamkeit der grossen, grade abstehenden Drüsenhaare
des C. vulgatum, deren untere Zellen besonders dickwandig sind, darf
wahrscheinlich in der klebrigen Absonderung der Kopfzelle gesucht wer-
den, welche die Pflanze gegen hinaufkriechende Thierchen schützt; denn

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 29

der Stengel ist oft von getödteten Thierchen bedeckt. Es ist auch wahr-
scheinlich, dass jene Haare durch die physikalischen Eigenschaften ihrer
Absonderung auf die eine oder andere Weise die Wasservertheilung re-
guliren und dass sie in irgend einer Relation zum Thau und zu der
Feuchtigkeit der Luft stehen; denn sie fehlen öfters bei denjenigen
Varietáten (C. holosteoides Fr.), die an feuchten Orten vorkommen. Übri-
gens variirt C. vulgatum eben so sehr, wie die äusseren Verhältnisse,
worin es lebt, einander unähnlich sind. Ich habe noch nicht meine Un-
tersuchungen abgeschlossen über den näheren Zusammenhang zwischen
der Haarbekleidung dieser Art und dem Feuchtnissgrade der umgeben-

den Luft.

Vaccinium Vitis idæa L.

Das Regenwasser, welches auf das Blatt fállt, verbreitet sich zuerst
an der Oberseite desselben, benetzt sie aber nicht überall — wenigstens
nicht sogleich — sondern sammelt sich allmählich theils an der Basis
längs dem etwas eingesenkten Mittelnerven, der mit feinen, halbcirkel-
förmig gebogenen, wasserfesthaltenden Haaren besetzt ist, theils und
zwar hauptsächlich an der Unterseite des Blattes, wo es über den herab-
gebogenen, gerundeten Rand hinüber sehr leicht kommen kann. Diese
Unterseite wird besonders leicht genetzt und das Wasser verbreitet sich
schnell über dieselbe; der herabgebogene Rand macht sie ausserdem noch
mehr fähig sowohl Wasser als andere durch Spritzen oder von der Ober-
seite her dahingebrachten Stoffe festzuhalten. Das Wasser sammelt sich
besonders in den Grübchen, die sich an der Unterseite befinden. In der
Mitte jedes solchen Grübchen und folglich von Wasser so lange, als nur
etwas davon am Blatte bleibt, umgeben, findet sich eine keulenförmige
Drüsenzotte, aus vielen kleinen Zellen gebildet, welche eine klebrige
schwellende Substanz enthalten und absondern. Diese Haargebilde sind
nicht gerade abstehend, sondern neigen sich gegen die Epidermis; da-
durch sammelt sich das Wasser noch besser um sie her, denn sie werden
gleichwie die angrenzende Epidermis leicht von Wasser genetzt. An
älteren Blättern und nach langer Dürre werden sie braun und zusammen-
geschrumpft, persistiren aber und schwellen wieder aus, wenn sie mit
Wasser in Berührung kommen. Diese Anschwellung wird noch erhöht

30 AxEL N. LUNDSTRÖM,

dadurch, dass das Sekret sehr viel Gärbesäure enthält, was daraus her-
vorgeht, dass es bei Zusatz von Kalibikromat sich stark braun färbt.

Diese Haare (an der Unterseite der Blätter) haben wahrscheinlich
auch den Zweck Thau und Feuchtigkeit aus den Luftschichten, die dem
Boden am nächsten liegen, aufzusaugen.

Syringa vulgaris L.

Die opponirten Blatter tragen längs den Nerven, besonders an der
Basis, und an den rinnenfórmigen Dlattstielen, gestielte Drüsenhaare,
welche ein reichliches, schleim- oder gummi-artiges Sekret absondern.
Ausserdem sind die Blätter sowohl an der Oberseite wie an der Unter-
seite mit anliegenden knopfähnlichen Drüsenschuppen dicht besetzt, de-
ren Sekret jedoch nicht mit derselben Leichtigkeit genetzt wird. Das
Regenwasser wird an den Blattern besonders längs dem Mittelnerven
festgehalten, von woher es in der Rinne des Stieles nach der Blattachsel
geleitet wird. Das Wasser, das nieht in der Achsel bleibt, liuft von da
längs den Drüsenrändern herab, welche unterhalb der beiden Zwischen-
räume der Blätter, folglich an zwei Seiten des Stammes, vorhanden sind.
Diese Seiten werden leicht benetzt, die übrigen können dagegen das
Wasser weder festhalten noch leiten. Sogar an solchen älteren, mit
Blättern versehenen Sprossen, deren Haare abgefallen, werden gewöhn-
lich nur diejenigen Seiten benetzt, welche unterhalb der Blattränder liegen,
Auch die Hauptaxe des Blüthenstandes hat eine Andeutung von zweisei-
tigen Drüsenrändern.

Das längs diesen Blattstielen und Zweigen laufende Wasser ent-
hält eine nicht unbedeutende Quantität von aufgelöstem Schleim oder
Gummi-schleim, wie man bei einer Abdünstung leicht ersehen kann. In-
dessen wird das festgehaltene Regenwasser nicht nur dazu dienen, diese
Secretionen von den Drüsenhaaren wegzuführen, sondern auch dazu, sie
über solche Theile zu verbreiten, die nach dem Regen gegen eine zu
starke Transpiration geschützt werden sollen. Vollkommen entwickelte
Blätter haben die Spitze abwärts gerichtet und ein grosser Theil des
auf sie fallenden Wassers sammelt sich an der Spitze, von wo es trop-
fenweise herabfallt ). Indessen fallen wegen der gegenseitigen Stellung

1) Auf eben dieselbe Weise verhalten sich viele von unseren gewöhnlichen
Bäumen und Sträuchern, z. B. Acer, Ulmus, Tilia, Prunus Padus u. a.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. ; al

der Blätter und Zweige die meisten Tropfen nicht direkt auf den Boden,
sondern auf untersitzende Blätter, an deren Spitzen sie sich wiederum
ansammeln. Auf diese Weise wird das eine Blatt nach dem anderen
gewaschen.

Diese Pflanze ist nicht eins von den besseren Beispielen von
solchen Pflanzen, welche Anordnungen besitzen in Hinsicht auf den Re-
gen. Im Gegentheil ist sie ein ziemlich zweifelhaftes Beispiel, weil die
obengenannten Anordnungen bisweilen rudimentär sind. Ich habe sie
aber angeführt hauptsächlich um darauf hinzuzeigen, dass Stämme, deren
Epidermis beim ersten Anblicke an allen Seiten gleichartig scheint, sich
dennoch ungleich verhalten können in Hinsicht auf die Fähigkeit der
Cutieula genetzt zu werden.

Ajuga reptans L.

Die Blatter, welche an der Oberseite gegen die Spitze kahl, am
Grunde aber haarig sind, sind bekanntlich opponirt und tragen an den
eingesenkten Nerven liegende Haare, die leicht benetzt werden. Dadurch
und durch die Stellung der Blatter wird das Wasser nach der Blatt-
achsel geleitet, wo es sich ansammelt und an der schalenfórmigen Blatt-
basis festgehalten wird, welche am Rande mit ausgesperrten Haaren ver-
sehen ist, die das Wasser hindern sich auf die Unterseite der Blütter zu
verbreiten. Unterhalb der Blätter erscheint der viereckige Stengel kahl,
und wird nicht von Regenwasser benetzt; dagegen dringt das Wasser
mit Leichtigkeit in die haarbekleideten Rinnen, welche unterhalb der
Zwischenrüume der Blätter vorhanden sind und leicht genetzt werden.

Die Haargebilde der Rinne sind zweierlei Art, 1) lange, dünnwan-
dige, mehrzellige, Haare mit oder ohne secretführenden Kopf, denen der
Stellaria media ähnlich, und 2) halbkugelförmige, ein- oder zwei-zellige,
kurze Kopfhaare, welche denen des Melampyrum gleichen. Die letzteren
kommen auch an den kahlen Seiten des Stengels vor und es ist des-
wegen ungewiss, ob sie hier, sowie bei Melampyrum, in irgend einem
Verhältniss zu dem herabfallenden Regen stehen.

Die kriechenden Ausläufer sind undeutlich viereckig und mangeln
sowohl Rinnen als Haarränder. Wegen der Stellung dieser Zweige und
ihrer Blätter wären solche auch ohne Nützen für die Pflanze.

Ich habe nicht Gelegenheit gehabt diese Pflanze in der freien
Natur zu untersuchen, sondern nur im botanischen Garten zu Upsala

-

32 AxrzL N. LUNDSTRÖM,

nach mehreren verschiedenen Regen. Wie sie sich da gezeigt hat, bietet
sie indessen eins der besseren Deispiele von deutlichen Anordnungen für
den Regen, sowohl durch die Gestalt und Haarbekleidung der Blatter
und die Rinnen des Stengels, worin das Wasser sich leicht verbreitet,
als durch die augenscheinliche Verschiedenheit zwischen denjenigen Sei-
ten des Stengels, welche benetzt werden, und denen welche nicht be-
netzt werden, sowie auch durch die Abwesenheit ähnlicher Anordnungen
an den niederliegenden Zweigen.

Anordnungen, welche denjenigen ähnlich sind, die bei den oben an-
geführten Pflanzen beschrieben worden, sind bekanntlich gar nicht selten
bei anderen Phanerogamen. Ich habe auch bei mehreren von diesen
mehr oder weniger entsprechende Bildungen gefunden und Gelegenheit
gehabt zu sehen, wie auch diese während des Regens und nach dem
Regen fungiren. Da aber eine ebenso ausführliche Beschreibung aller
dieser Pflanzen oft nur eine Wiederholung des oben Gesagten geworden
würe, habe ich vorgezogen jene Pflanzen in systematischer Ordnung zu-
sammenzustellen und nur das Hauptsächlichste meiner Beobachtungen
in der Kürze anzugeben. Ein Theil dieser Beobachtungen ist von
mir gemacht worden im Sommer 1883, wo ich mit Unterstützung der
königl. Akademie der Wissenschaften in Stockholm in der nördlichsten
Provinz Schwedens pflanzenbiologische Studien trieb. Betreffs mehrerer
(der mit? bezeichneten) von den angezogenen Beispielen bin ich sehr
zweifelhaft, ob sie wirklich in Bezug auf die vorliegende Frage anzu-
führen sind. Der Grund dieses Zweifels liegt theils darin, dass die
Anordnungen selbst bisweilen undeutlich sind, man könnte vielleicht am
richtigsten rudimentär sagen, theils darin dass die betreffenden Pflanzen
sich in dieser Hinsicht besonders variabel zeigen, theils endlich in dem
Mangel an hinreichender Gelegenheit sie unter passenden Umständen zu
studiren. Indessen habe ich sie angeführt eben um darauf hinzuzeigen,
dass Variationen, möglicherweise auch rudimentäre Anordnungen, auf
diesem Gebiete vorhanden sind.

Aus verschiedenen Ursachen ist die Zahl der Figuren eine sehr
beschränkte; da aber ein grosser Theil der angeführten Beispiele, deren
Beleuchtung mittelst Figuren vielleicht nützlich gewesen wäre, von ge-
wöhnlichen, leicht zugänglichen Pflanzen hergenommen ist, und sogar

-

NR CU a Ze

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 33

ein flüchtiger Bliek auf diese Pflanzen bei und nach Regen meine Dar-
stellung besser als alle Figuren illustrirt, habe ich jenen Mangel als
weniger fühlbar betrachtet.

Es ware allerdings verlockend gewesen, auch eine Menge von
Treibhauspflanzen und Herbarium-exemplaren geholter Beispiele hier
aufzunehmen. Da aber die wiederholte Bespritzung mit hartem Wasser,
welche den Treibhauspflanzen zu Theil wird, verursacht, dass ihre Epi-
dermis mit fremden Stoffen überzogen wird und am Ende keinen Unter-
schied zeigt zwischen den Theilen, welche benetzt werden und denjenigen
welche sonst nicht benetzbar sind, habe ich es für nöthig befunden diese
Pflanzen gänzlich auszuschliessen. Wiederum die Herbarium-exemplare
lassen uns in Ungewissheit über die gegenseitige Stellung der Pflanzen-
theile und sind deswegen für unseren Zweck ganz und gar unanwend-
bar. Das folgende Verzeichniss kann darum keinen Anspruch auf Voll-
ständigkeit machen; es umfasst nur diejenigen hierher gehórenden Pflan-
zen, welehe ich in ihrem wilden Zustande oder in ihren normalen Ver-
hältnissen zu passenden Zeiten (bei Regen) habe untersuchen kónnen.
Ich wage indessen vorauszusagen, dass unzählige andere und zwar sehr
interessante hierher gehórende Anordnungen sich werden auffinden las-
sen, namentlieh innerhalb der Pflanzengebiete wärmerer Gegenden.
Was hinsichtlich mehrerer Bromeliaceen, Labiaten, Rubiaceen, Malva-
ceen, etc. schon bekannt ist, berechtigt vollständig eine solche Annahme.

Die mit H. U. (Hortus Upsaliensis) bezeichneten Pflanzen habe
ich nach Exemplaren im botanischen Garten zu Upsala beschrieben.

II

VERZEIOHNISS ANDERER REGENAUFFANGENDEN PFLANZEN,
SYSTEMATISCH GEORDNET.

Composite.

Mulgedium alpinum Less. An den stengelumfassenden Blattzipfeln
wird Regenwasser angesammelt; es wird auch an der Oberseite der Blätter
von den haarigen Nerven festgehalten. Die Drüsenhaare des Stengels
innerhalb des floralen Theiles der Pflanze haben den Zweck gegen hinauf-
kriechende Thierchen zu schützen.

? Matricaria inodora L. Wahrscheinlich leisten die schmalen, un-
ten rinnenförmigen Blattzipfel Dienst als Wasseraufsammler; denn es

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5

34 AXEL N. LUNDSTRÖM,

wird in diesen Rinnen eine Menge von Stoffen angehäuft, die eben vom
Regen dahingebracht sind.

? Achillea millefolium L. Der Regen wird in den haarigen Rinnen
längs den Stengel geleitet.

? Solidago virgaurea L. Nebst dem Regen werden in der Blatt-
achsel die von der Spreite weggewaschenen Stoffe gesammelt.

? Tagetes patula L. Die Furchen am Stengel sind wasserleitend.
Cult.
Carlina acaulis L. Diese Art schliesst bekanntlich (gleichwie C.
vulgaris) ihre Blüthenkópfe bei Regenwetter. Dies geschieht, wie DETMER
gezeigt hat’), dadurch dass die inneren glänzend weissen Involucral-
blütter sich über die Blüthen legen, wenn ein Wassertropfen mit der
Mitte ihrer Rückseite in Berührung kommt. Es besteht nämlich daselbst
die Epidermis aus kleinen Zellen, mit permeabler dünner Membran
und einem braunen oder violetten, schwellenden Inhalt, wodurch sie
besonders geeignet sind Wasser festzuhalten und aufzunehmen. Diese
kleinen Zellen sind bei trockenem Wetter dicht angedrückt an die
unterliegende Zellenschicht, was der ganzen Epidermis das Aussehen
eines dicken schwellenden Häutchens giebt. Die nach aussen gewendete
Membran ist ófters zerrissen, so dass der Zellinhalt in direkte Berüh-
rung mit dem Wasser kommt. Dieser Epidermis liegen: am nächsten
2—3 Schichten von mehr dickwandigen Zellen ohne Zwischenräume;
diese Zellen ziehen leicht Wasser an sich an, wodurch ein Schwellen
entsteht und eine damit verbundene Spannung. Die den Blüthen zuge-
kehrte Seite besteht aus luftführenden diinnwandigen Zellen, deren Mem-
branen nicht merkbar anschwellen bei Berührung mit Wasser. Ausser
diesen drei verschiedenen Zellgeweben zeigt ein Querschnitt auch den
Durchschnitt von 4—8 Gefässbündeln, deren Gefässe indessen bedeu-
tend degradirte Wände haben und zuweilen gänzlich schwinden; sie sind
von luftführenden Zellen umgeben; jedoch erstreckt sich ófters jenes
oben beschriebene wasseraufsaugende Gewebe unterhalb der Epidermis
der Rückseite bis nach ihnen.

Die Anpassungen an den Regen oder den Thau, so wie an die Feucht-
niss der Luft, welche meiner Ansicht nach hier vorhanden sind, sind 1) die
leicht benetzbare Epidermis an der Mitte der Rückseite dieser Blatter
mit ihren kleinen Zellen, die mit einem turgescenten Inhalte gefüllt
und mit einer dünnen permeablen Membran bekleidet sind, und 2) das

1) Siehe DzTwzm, Pflanzenphysiologie 1883 p. 113.

——

c m ap dt

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 35

nüchst unterliegende Zellgewebe mit wasseraufsaugenden schwellendeu
Wanden, das die Bewegungen jener Blütter verursacht. Bemerkenswerth
erscheint es auch, dass der auf diese Weise aufgefangene Regen (oder
Thau oder die Feuchtniss der Luft) eine besondere Bedeutung hat —
nämlich diejenige eine Bewegung zu verursachen — welche das mittelst
der Wurzel aufgenommene Wasser nicht besitzen kann, weil es bis nach
jenen Theilen nieht hervordringen kann, und offenbar auch nicht pas-
send besitzen würde. Es ist eigenthümlich, dass diese Anpassung an
den Regen am Ende darauf hinausgeht, andere Theile gegen den Regen
zu schützen.

Ich kann nicht umhin noch ferner mit einigen Worten diese Blatter
zu berühren, welche, wie einfach sie auch immer sind, dennoch besonders
geeignet scheinen den Zusammenhang zwischen dem anatomischen Bau eines
Organes und dessen Funktion zu beleuchten. Denn wenn ein Organ eine
geringe Anzahl von Aufgaben hat, welche unbestreitbar sind und. nicht com-
plizirt, werden seine Gewebein demselben Grade einfach und leicht begreiflich.
Das ist auch hier der Fall. Jene Blatter haben nämlich, so fern ich habe
finden kónnen, keine anderen Aufgaben als 1) durch eine glänzende
Farbe Insecten anzulocken, und 2) der Bliithe durch eine Bewegung
Schutz während schädlichen Wetters zu bereiten. Wenigstens kann hier
nicht die Frage sein von irgend einer Aufgabe in Bezug auf die Ernáh-
rung, weil, wie es oben gesagt wurde, keine Zustrómung von Saft statt-
findet von der Pflanze aus nach dem vóllig entwickelten Involucralblatte,
wodurch jene complizirten Verhältnisse ausgeschlossen sind, welche mit
einem Stoffwechsel verbunden sind. Darum behalten sie auch ihre Eigen-
schaften, wenn sie von dem: Bliithenstande losgemacht werden. Die
anatomischen Diffenzirungen jener Organe sind auch deutlich eben für
die obengenannten Verhültnisse sehr passend; die luftführenden Zellen
der Oberseite bewirken eine Refraction des Lichtes, durch welche der
Blüthenstand besonders in die Augen fällt; die Epidermiszellen der un-
teren (äusseren) Seite mit ihren dünnen, permeablen, benetzbaren Wan-
den und ihrem turgescenten Inhait sind vorzüglich geeignet die Wasser-
tropfen festzuhalten und aufzusaugen, und die nächstliegenden dickwan-
digen Zellen verursachen durch ihr Aufsaugen des Wassers und ihre
damit verbundene Erweiterung jene Spannung des Gewebes, welche die
nüchste Veranlassung der Bewegung ist. Dass diese Bewegung eben
dureh jenes Anschwellen des Gewebes veranlasst wird, geht daraus
hervor, dass sie eintritt, wenn auch die Epidermis der Rückseite abge-
schabt wird, was man sehr leicht thun kann. Freilich finden sich in

36 AxEL N. LUNDSTRÖM,

dem jungen Involucralblatte 5— 8 Gefässbündel mit deutlichen Spiralge-
füssen, aber die Membranen dieser Gefässe werden degradirt und be-
sitzen in dem ausgewachsenen Blatte keine Bedeutung als Leitungsge-
webe. Alle diejenigen Gewebe, welche den untersten Theil des Blattes
bilden, werden auch verändert, so dass sie nicht Wasser resorbiren, wo- .
durch die Wasserzufuhr aus dem Blüthenstande ganz und gar abgebro-
chen wird. Ein speciell mechanisches Gewebe ist nicht hier vorhanden.
Ob es bei C. acaulis noch anderweitige Anordnungen zum Auf-
fangen des Regens giebt, welche mit den obengenannten zusammenhan-
gen, z. B. an den Laubblättern und den äusseren Involucralblättern, bin
ieh nicht im Stande gewesen zu entscheiden, weil ich keine Gelegenheit
hatte die betreffende Pflanze in lebendigem Zustande zu studiren ?).

Valerianaceæ.

Valeriana officinalis L. Das Regenwasser läuft von den treppen-
förmig gestellten Blattzipfeln in der rinnenförmigen Rhachis nach der
mehr oder weniger scheidenähnlichen Blattachsel. Die Haare an den
Noden des Stengels sind dagegen da um gegen hinaufkriechende Thier-
chen zu schützen. 3

Caprifoliaceæ.

Linnea borealis L. Es ist mir hóchst wahrscheinlich, dass die
beiden obersten Bracteen, welche die reifende Frucht umschliessen, dem
Regenaufsaugen dienen, ausserdem dass sie eine Rolle spielen bei der
Verbreitung der Samen. Denn die grossen Drüsenhaare halten das
Wasser fest und ihr Inhalt ist schwellend. Nach einem Regen sind jene
Blüttchen sehr nass, wenn auch das Wasser schon abgedünstet hat von
den übrigen Theilen der Pflanze. Auch scheint es mir bemerkenswerth,
dass im Sommer 1883, wo in der letzten Hälfte von Juni und in ganzem
Juli während sechs Wochen eine ununterbrochene Dürre an mehreren
Orten im Küstenstriche Westerbottens herrschte, alle Früchte der Lin-
nea hier fehlschlugen, obschon die Pflanze im Übrigen keinen nach-
theiligen Einfluss der Dürre zeigte, während im Binnenlande und Lapp-
land, wo Regen häufig fiel, eine reichliche Fruchtsetzung Statt fand.

1) Herr C. O. SCHLYTER in Gefle hat die Güte gehabt mir auf meine Bitte
Exemplare dieser Pflanze behufs meiner Untersuchungen mitzutheilen.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. Bi

Diese Hochblätter bieten freilich eine sehr kleine Fläche dem fallenden
Regen dar, dadurch aber, dass die Bliithen herabgebogen sind, bilden sie
gleichwie ein Dach über der Frucht, und ihre nach oben gekebrte Un-
terseite ist dann concav und, wie gesagt, nach Regen immer wasserfüh-
rend. Die Samen ertragen auch bekanntlieh nicht ausgetrocknet zu
werden (Siehe Wırrrock, Linnea borealis, Separat. pag. 5). Die Laub-
blätter der Linnea sind, gleich denen der Stellaria media, an der Basis
und am Stiele mit einer Reihe von Haaren versehen, welche leicht genetzt
werden, wodurch eine gróssere Quantität Wasser in der Blattachsel fest-
gehalten wird. Diese Anordnung ist jedoch hier weniger deutlich und
Haarründer am Stengel sind nieht vorhanden.

? Lonicera coerulea li. Die Blätter sind oft etwas schalenförmig,
so dass ein Regentropfen an der Mitte des Blattes festgehalten wird;
doch werden sie nicht von Wasser benetzt. In den Blattachseln bleibt
nieht Wasser haften, weil die Nebenblätter herabgebogen sind und nicht
genetzt werden. Cult.

Rubiacex.

Galium boreale L: Wasser sammelt sich und wird festgehalten in
den Blattachseln ringsum den Stengel, wo leicht benetzbare Haargebilde
vorhanden sind. Mehrere andere Arten von Galium und Asperula odo-
rata verhalten sich auf dieselbe Weise.

Lentibulariacex.

Pinguicula vulgaris L. fängt an der Spreite innerhalb der aufgebo-
genen Blattränder eine nicht unbedeutende Menge Regenwasser auf, das
absorbirt werden kann. Ob dies irgend eine Bedeutung hat für die
Pflanze in Bezug auf das Nutzbar-machen der gefangenen Thierchen,
habe ich nicht Gelegenheit gehabt zu untersuchen, halte es aber nicht
für unwahrscheinlich.

Labiatæ.

Eine grosse Zahl Arten, die dieser Familie gehören, besitzen
Anordnungen, . welche beinahe völlig mit denen übereinstimmen, die bei
Ajuga reptans vorkommen (siehe p. 31). Jene Pflanze ist nämlich in
dieser Hinsicht für die Familie der Labiaten typisch wegen ihrer am

38 AxEL N. LUNDSTRÖM,

Grunde behaarten Blätter und wegen ihrer Internodien, die unterhalb
der Zwischenräume der Blatter haarig und rinnenförmig, unterhalb der
Blatter selbst aber kahl sind. Am óftesten sind zweierlei Haargebilde
da. In wiefern die Drüsenhaare immer eine nennenswerthe Rolle spielen
in Zusammenhang mit dem auffallenden Regen, lasse ich doch dahinge-
stellt sein; sie kommen nämlich sehr oft auch an der Seite des Stengels
vor, die nicht genetzt wird. Es sind hauptsáchlich die langen saftfüh-
renden Haare, welche zum Festhalten, Leiten u. s. w. des Wassers bei-
tragen. Folgende Labiaten mit deutlichen ahnlichen Anordnungen für
Regenaufnahme mógen hier beispielsweise genannt werden.

Prunella vulgaris L. Die Haare sitzen vorzugsweise an den Kanten
der hinne.

Ajuga pyramidalis L. Deutliche haarige Rinne, aber auch einige
zerstreute Haare an der Unterseite der Blätter; variabel.

Mentha silvestris L. Die Blätter sind kurzgestielt und die Ränder
derselben am Grunde behaart (— Ajuga reptans); bei

Mentha viridis L. (? nach Ex. in H. U.) dagegen, wo die Basen der
opponirten, ungestielten Blatter theilweise einander decken, wird das
Wasser von diesen festgehalten; die Haare werden dadurch überflüssig
und fehlen auch.

Scutellaria altissima L. Die Ränder der Rinnen schwellen durch
Regen deutlich an. (H. U.).

Salvia pratensis L. fj. lupinoides. Der Stengel ist allseitig behaart,
aber bedeutend mehr unterhalb der Zwischenräume der Blätter. (H. U.).

Lamium album L. und purpureum L. Die Blattstiele sind am Rande
behaart (= Ajuga reptans); unterhalb der Zwischenräume der Blätter
finden sich oft Haarrinnen, welche leicht genetzt werden. Diese Pflanzen
variiren bekanntlich sehr in Bezug auf die Haarbekleidung des Stengels
(= Lamium longiflorum Tenor. u. andere Arten von Lamium im H. U., -
Galeopsis versicolor Curt., Tetrahit L. u. 8. w.).

Scrophulariace».

Hierher gehörende Arten mit opponirten Blättern gleichen oft
den obengenannten Labiaten durch Rinnen und Haarbekleidung unter-
halb der Zwischenräume der Blätter. (Siehe übrigens Melampyrum syl-
vatıcum und pratense pag. 11).

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 39

Rhinanthus minor Ehrh. Das von oben herabfliessende Wasser wird
in dem einen Blattachselpaare nach dem anderen aufgesammelt. In den
Rinnen finden sich feine weiche Haare, bisweilen in eine Reihe lüngs
der Mitte der Rinne geordnet. Die kahlen Seiten des Stengels werden
gar nicht benetzt.

Rhinanthus major Ehrh. Der vorhergehenden Art ähnlich, mit deut-
lichen wasserleitenden Rinnen.

Bartsia alpina L. hat deutliche Haarränder, längs denen das Wasser
sich leicht von Haar zu Haar verbreitet. Sie ist zuweilen verzweigt; dann
werden die Haarränder der Zweige besonders deutlich, die Blätter ganz-
randig und gegen die Basis hin schalenförmig. Ich hatte Gelegenheit
diese Pflanze im Sommer 1882 in den Gebirgsgegenden von Jemtland
mehrmals nach Regen zu studiren; sie war es auch, die mich auf den
Weg brachte die betreffenden Bildungen als Anordnungen für Regen zu
erklären.

Pedicularis palustris L. Variabel. Die Hauptaxe hat gewöhnlich
oben drei Rinnen, welche dadurch entstehen, dass von den Noden der
zerstreuten Blätter aus an jeder Seite des Stengels eine Kante herab-
läuft, die im Verein mit der von einem über- oder untersitzenden Blatte
ausgehenden Kante eine Rinne bildet. Diese Rinne ist gewimpert. Die
Seitenaxen dagegen haben oft opponirte Blätter und zwei Rinnen.

? Pedicularis Oederi Vald. Das Wasser bleibt hauptsächlich an
den treppenweise angeordneten Blattzipfeln haften.

Euphrasia vulgaris L. Der Stengel ist an allen Seiten behaart,
am meisten jedoch unterhalb der Zwischenräume der Blätter. Es zeigt
sich also eine Andeutung von Haarrändern.

Veronica Chamedrys L. hat deutliche Haarränder, welche nach
Regen nicht wenig Wasser festhalten.

Veronica officinalis L. var. glabrata Frist. Stengel zweiseitig be-
haart; sogar die Hauptart hat öfters eine Andeutung von dichterer Haar-
bekleidung am Stengel unterhalb der Zwischenräume der Blätter als un-
terhalb der Blätter.

Veronica latifolia L. Der Stengel hat Ränder von feinen krum-
men Haaren unterhalb der Zwischenräume der Blätter; er ist am öfte-
sten kahl unterhalb des untersten Blattpaares. (H. U.).

Veronica austriaca L. Wie die vorhergehende. (H. U.).

Veronica prostrata L. hat Haarränder wie die vorhergehenden;
der Stengel ist aber auch unterhalb der Blätter deutlich haarig; diese
Haare sind kürzer. (H. U.).

40 AxEL N. LUNDSTRÖM,

?? Veronica grandis Fisch. und incisa Ait. Blattstiel rinnenförmig, ge-
wimpert, wasserfesthaltend; weder Rinne noch Haarrand am Stengel (H. U.).
Veronica excelsa Desf. Die Basis der Blatter ist am Rande behaart; Stengel
kahl (H. U.) Ver. ceratocarpa O. A. Mey. Stengel allseitig behaart; wird
an allen Seiten von dem Wasser benetzt, das sich von den Blattachseln
aus abwärts verbreitet. (H. U.) Ver. alpina L. Das Wasser haftet an den
Blattachseln.

? Scrophularia luridiflora hat Quirle von drei Blättern und am
Stengel einen Rand unterhalb jedes Zwischenraumes der Blatter. (H. U.)

Alonsoa spec. Deutliche Rinnen, die leicht genetzt werden.

Solanacex.

Solanum tuberosum L. Das Regenwasser wird an den eingesenkten
Blattnerven und den Haarrändern des Stengels festgehalten. Die Pflanze
bekommt nach Regen ein sehr frisches Aussehen und einen hohen Grad
von Turgescenz. Cult.

Asperifolieæ.

Cynoglossum linifolium L. Die schalenfórmigen Früchte sind nach
Regen immer mit Wasser gefüllt. Es ist besonders bemerkenswerth,
dass diese Früchte, und zwar vorzugsweise die innere Seite der Schalen,
die einzigen oberirdischen Theile der Pflanze sind, welche genetzt werden.
Die anderen Theile sind alle mit Wachs überzogen, so dass kein Regen
an ihnen haften kann. Wenn die Früchte während des Reifens nicht
nach oben, sondern seitwärts gerichtet sind, biegen sich die ursprünglich
nach unten gewendeten Kelchblätter ófters gerade seitwärts, was das Auffan-
gen und Festhalten des Regens in höherem Masse ermöglicht. Die ha-
kenfórmigen Haargebilde an der Kante der Schale sind Verbreitungs-
mittel; auch die Schalenförmigkeit der Frucht dürfte der Verbreitung
mittelst des Windes dienlich sein; dass sie aber zugleich dem Regen-
auffangen angepasst ist, scheint mir unzweideutig hervorgehen 1) daraus
dass die innere Seite der Schale leicht benetzt wird und eine deutlich
schwellbare Membran hat, 2) aus der Thatsache dass die Fruchtschalen
immer nach Regen von Wasser voll sind, und endlich 3) aus der oben-
genannten veränderten Stellung der Kelchblätter.. Die Beobachtungen
sind zwar nur an cultirirten Exemplaren gemacht, aber an mehreren ver-
schiedenen Orten und nach mehreren Regen.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 41
Hydrophyllace:e.

Hydrophyllum virginicum L. Die Individuen dieser Pflanze, welche
im botanischen Garten zu Upsala im Freien cultivirt vorkommen, schei-
nen auf eine eigenthümliche Weise ihreu Gattungsnamen zu rechtfertigen,
obschon dieser Name gebildet wurde mit besonderer Hinsicht auf die
Lebensverhaltnisse einer anderen Art. Die untersten Zipfel der fieder-
formig gespaltenen-getheilten Laubblätter sind nämlich, besonders vor der
Blüthezeit, über den Blattstiel zusammengebogen. Hiedurch wird das
Wasser an der Spreite festgehalten, und dadurch dass die anderen Zipfel
etwas nach oben gerichtet sind, bildet das ganze Blatt trotz den tiefen
Einschnitten eine flache Schale, welche eine nicht unbedeutende Quan-
tität Wasser festhält. Das Wasser benetzt die ganze Oberseite der
Blatter, die mit kurzen, anliegenden Haaren besetzt ist. An denjenigen
Blättern, welche etwas älter sind, sind die Zipfel nicht gegen einander
gebogen, sondern das Regenwasser fliesst längs dem rinnenförmigen, mit
zerstreuten Haaren besetzten Blattstiele nach dem Stengel herab, welcher
mit zwei wenig behaarten Rinnen versehen ist, von denen je eine von
jeder Seite des Blattstieles ausgeht und in die nächstuntere Blattachsel
ausläuft. Ich habe das an dieser Pflanze aufgesammelte Wasser bis 24
Stunden nach dem Regen daliegend gefunden, und es giebt unter den
‘Pflanzen, welche im botanischen Garten zu Upsala im Freien wachsen,
keine die so lange Wasser festhalten wie die Arten von Silphium und
diese Art von Hydrophyllum. Indessen habe ich nur Gelegenheit ge-
habt einige wenige Exemplare zu untersuchen. Wie sie sich in ihrer
Heimath verhält und unter welchen äusseren Verhältnissen sie dort auf-
tritt, kenne ich nicht.

Polemoniaceæ.

Phlox paniculata L. Der Stengel hat feine Ränder von kurzen
Haaren, die nach Regen abwärts gekehrt sind. (H. U.)

Apocynaceæ.

? Vinca minor L. hat am Stamme unterhalb der Zwischenräume der
Blätter beinahe kahle Ränder, welche leicht genetzt werden. Der Mittel-
nerv der Blätter ist mit kurzen Haaren versehen, besonders am Grunde,

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 9

42 AxeL N. LUNDSTRÖM,

Gentianacez.

G'entiana campestris L. hat deutliche, kahle, wasserleitende Rinnen
unterhalb der Zwischenräume der opponirten Blätter.

Gentiana Amarella L. und

Gentiana asclepiadea L. haben auch Rinnen.

Primulaceæ.

Naumburgia thyrsiflora (L.) Reich. Ein deutliches Beispiel. Von
den Zwischenräumen der opponirten ‚Blätter aus geht eine Schmale,
seichte Rinne, welche am oberen Theile des Stengels mit langen, wei-
chen, herabgebogenen Haaren versehen ist. Diese Rinne wird leicht
genetzt, während dagegen die anderen Seiten des Stengels die Regen-
tropfen nicht festhalten.

Anagallis arvensis L. hat tiefe, wasserleitende Rinnen am Stengel
unterhalb der Zwischenräume der. Blätter.

Ericacex.

Myrtillus nigra Gilib. Wegen der Stellung der Zweige und der
Blätter läuft alles Wasser, das an den Blättern haften bleibt, allmählich
von der Blattachsel längs den Rinnen der Zweige zum Hauptstamme und
zur Erde hinab. Nachdem der Regen eine Weile gedauert, zeigt diese
Pflanze besonders deutlich, wie ein Wassertropfen, der auf ein Blatt ge-
legt wird, von Zweig zu Zweig den Rinnen entlang zum Boden hinabgeht.

Pyrola uniflora L. hat am Stengel ein bis zwei schalenförmige
Hochblätter, welche von Wasser leicht benetzt werden.

Papilionace:e.

Bei den hieher gehórenden regenauffangenden Arten mit gefie-
derten Blättern werden die Blättehen gewóhnlich nicht vom Regen ge-
netzt, sondern nur die Rhachis, besonders an den kleinen Haarbiischeln,
welche ófters eben an den Insertionsstellen der Blättchen vorhanden sind
(gleichwie bei Sorbus Aucuparia, Rosa u. a). Ausserdem werden oft der
Blattstiel und die innere Seite der Nebenblätter genetzt. Dadurch dass
die Blättchen gewöhnlich sich etwas gegen die Rhachis neigen, werden
die Wassertropfen gegen diese geworfen und bleiben mitten zwischen
den Blattchen hangen, wo eigenthümliche, leicht benetzbare Haargebilde

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 43

öfters angehäuft sind, welche einen grösseren oder geringeren Theil des
Tropfens festhalten. Diese Haare sind an der Spitze braun und ent-
halten einen Gummi-schleim. Sie sind an Gestalt denjenigen Haaren
ühnlich, welche Hanstein in seinem vortrefflichen Aufsatze in Bot. Zeit.
1868 Taf. XII fig. 80 abgebildet hat. Es ist auch leicht zu beobachten,
wie nach einem kurzen Regen die Wasserperlen an den ausgebreite-
ten Blättern verschiedener Arten von Astragalus, Vicia, Orobus, La-
thyrus u. a. regelmässig an der Rhachis zwischen den Blättchen liegen,
wenn auch die Blütter nicht horizontal gestellt sind oder vom Winde
geschüttelt worden. Hieher gehóren:

Astragalus alpinus L. Im Sommer 1882 machte ich diese Pflanze
bei der Grube von Huså in Jemtland und bei Enaforss zum Gegenstande
mehrerer Untersuchungen und Experimente, hauptsáchlich um zu ermit-
teln, ob der Regen, und zwar besonders der welcher wührend der Nacht
fällt und an den äussersten Spitzen der an der Rückseite der Blätter
befindlichen Haare haften bleibt, irgend eine besondere Bedeutung für
die Pflanze hat. (An der Oberseite der Blütter haftet weder Regen noch
Thau) Aber die Untersuchungen lieferten kein sicheres Resultat, und
es zeigte sich, dass die Pflanze zu den undeutlicheren Regenauffängern
gehört. Rhachis, Blattstiel und Nebenblätter werden genetzt.

Astragalus oroboides Horn. gleicht der vorhergehenden.

Phaca frigida L. ist, wie die vorhergehende, mit regenfesthal-
tenden Haaren an den Basen der Blättchen versehen.

Vicia cracca L. ebenso.

Lathyrus palustris L. Die Blättchen sind gegen die Basis zu etwas
dütenfórmig und mit einigen Haaren versehen.

Hedysarum coronarium L. hat deutliche wasserfesthaltende Haar-
büschel an der Rhachis am Grunde der Blättchen.

Lotus corniculatus L. weicht dagegen, nach Beobachtungen an
Exemplaren in den Gebirgen bei Storlien, dadurch ab, dass das unterste
Fiederpaar, das ganz nahe am Stengel sitzt, sich nach der entgegen-
gesetzten Seite neigt und den Stengel gleichsam umfasst, wodurch das
auffallende Wasser zwischen der Oberseite der Blättchen und dem Sten-
gel festgehalten wird. An der Basis von jedem dieser Blättchen, wo
das Wasser am lüngsten bleibt, findet sich ein kissenähnliches Drüschen,
das leicht genetzt wird. Der Stengel hat unterhalb des Blattes zwei
deutliehe Ränder, nach welchen das Wasser über die Rhachis zwischen
die Blättchen geleitet wird.

44 AxEL N. LUNDSTRÖM,

In noch hóherem Grade weichen Arten von der Gattung Lupinus
ab, welche den von den radfórmig angeordneten Blättchen aufgefangenen
Regen an dein mehr oder weniger scheibenfórmig ausgebreiteten, behaarten
obersten Theile des Blattstieles, wo die Blättchen eingefügt sind, fest-
halten. Dieser Theil wird von Wasser leicht genetzt, und Wasser bleibt
oft geraume Zeit nach einem Regen da liegen. Ausser Wasser wird
noch eine Menge anderer Stoffe da angesammelt, wie es bei Alchemilla
vulgaris der Fall ist, deren Blättern die eben beschriebenen beim ersten
Anblicke in dieser Hinsicht sehr gleich sind.

Über Trifolium repens L. siehe oben pag. 15.

Trifolium pratense L. dagegen sammelt das Wasser zwischen den
Nebenblüttern; die Blättchen selbst werden aber gar nicht vom Regen
genetzt.

Trifolium hybridum L. steht in diesem Punkte in der Mitte zwischen
diesen beiden Arten.

Medicago lupulina L. gleicht Trifolium repens darin, dass die Blätt-
chen an der Unterseite leicht benetzt werden.

Rosace:e.

Rosa canina L., carelica Fr. und mehrere cultivirte Formen haben
eine rinneuförmige Rhachis, deren Oberseite mit einem gummi(harz)-ar-
tigen Secret überzogen ist, das leicht benetzbar ist. Hiedurch wird Wasser
festgehalten und geleitet. Ausserdem finden sich öfters in diesen Rinnen
zweierlei Haare, gewöhnliche Haare mit undeutlichem Lumen und Drü-
senhaare, besonders in der Mitte zwischen den Blättchen (= Astragalus
etc., siehe oben), wo das Wasser sich perlenfórmig anhäuft. Bisweilen
wird auch der Mittelnerv der Blittchen benetzt. Im Übrigen aber ist
die Oberseite der Blättchen durch Wachsüberzug oder passende Haare
gegen das Anhaften des Wassers geschützt, mit Ausnahme der äusser-
sten Spitzen der Blattzähne, deren Secret leicht benetzt wird. Von den
Blättern her sammelt sich das Wasser in die Nebenbliitter.

Sorbus Aucuparia L. stimmt betreffs der rinnenfórmigen Rhachis
und der Haargebilde mit Rosa überein.

Rubus Chamemorus L. (siehe Pl. III Fig. 7, 8 und 9) ist ein deut-
liches Beispiel von einer regenauffangenden Pflanze. Der Regen, wel-

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 45

cher die schalenförmig gefalteten Blatter trifft, sammelt sich in den cin-
gesenkten Nerven, die leicht benetzt werden und mit drüsigen Zottchen
versehen sind, deren Spitzen während trockenen Wetters vertrocknet
sind, aber in Wasser wieder ausschwellen. Von der Spreite aus wird
das Wasser in dem rinnenförmigen Blattstiele nach den Nebenblättchen ge-
leitet, welehe halbkugelfórmig sind und an der inneren (oberen) Seite
leicht benetzt werden. Zwischen diesen Nebenblättchen wird ziemlich
viel Wasser festgehalten, und aller Wahrscheinlichkeit nach findet eine
nicht unbedeutende Absorption Statt, weil die Cutieula der Epidermis
der inneren Seite sehr dünn ist (siehe Fig. 9). Von den Nebenblattchen
fliesst das überflüssige Wasser nach den Niederblüitehen, welche den
Stamm dütenförmig umschliessen und an der inneren Seite auch leicht
benetzbar sind. Diese Niederblättchen, ebenso wie die Nebenblättchen,
haben freilich eine andere Bedeutung, nämlich als Schutzmittel wihrend
des Knospenstadiums zu dienen, aber da sie persistiren, können sie zu-
gleieh von Bedeutung sein für die ausgewachsene Pflanze (siehe übri-
gens die Erklärung der Fig. 7—9 Pl. III. |

Rubus ideus L. hat Drüsenhaare längs dem Mittelnerven an der
Oberseite des Blattes und an der Rhachis. Dieser Art ziemlich ähnlich sind

Rubus saxatilis L. (mit zweierlei Haaren in der Rinne),

Rub. arcticus L. und

Rub. castoreus Læst. (Siehe übrigens Rubus Chamamorus, welcher
eigentlich nur durch seine einfachen schalenfórmigen Blätter und seine
deutlicheren Nebenblätter und Niederblättchen abweicht).

Geum triflorum Pursh., G. brachypetalum Ser. und G. hispidum Fr.
u a. (sämmtlich nach Ex. im botan. Garten zu Upsala) halten Wasser
fest und leiten es an der rinnenfórmigen Rhachis und dem Blattstiele.

Waldsteinia geoides Willd. und W. trifoliata Koch (nach Ex. in H. U.).
Die Laubblütter unterhalb der Blüthenstiele haben zwei gerade abste-
hende Nebenblätter, deren Ränder gewimpert sind. Diese Nebenblatter
werden an der Oberseite genetzt und halten nach Regen Wasser fest.
Die langen Stiele der untersten Blütter sind mit Rinnen versehen, welche
genetzt werden.

Alchemilla pubescens Bieb. = A. vulgaris L. (siehe oben pag. 19).
An den Exemplaren in H. U. bleibt das Wasser an der Spreite haften
und wird nicht weiter geleitet.

Alchemilla fissa. Günth. wird, gleich der vorhergehenden, längs
den eingesenkten Nerven, nicht aber am Blattstiele genetzt (H. U.).

46 AxEL N. LUNDSTRÖM,

Alchemilla acutifolia Stev. wird dagegen weniger genetzt; jedoch
wird Wasser am Dlatte festgehalten. (H. U.).

Alchemilla alpina L. Das Wasser bleibt auch bei dieser Art auf der
Spreite, die gänzlich benetzt wird. Die eingesenkten Nerven tragen Drü-
senhärchen.

Potentilla Tormentilla L. Das Wasser sammelt sich an der düten-
formigen Blattbasis; zweierlei Haargebilde.

Comarum palustre L. Das Wasser sammelt sich sowohl an der Basis
der Blättchen (= Rosa) als an den Blattzähnen, welche die Form haben
eines schmalen Schálchen, das am Grunde mit Spaltóffnungen versehen
ist (am wahrscheinlichsten Wasserporen), durch welche das Wasser hin-
ein- und hinausgehen kann(?)

Sanguisorba officinalis L. Rhachis mit Rinne versehen; die Zipfel-
chen (stipellæ?) der Rhachis hemmen das Entfliessen des Wassers. (H. U.).

Sanguisorba alpina Bunge. Rhachis wie bei der vorhergehenden.

Spiræa Auruncus Lin. 3. acuminata Hort. Die Rhachis der Laub-
blätter hat an der Mitte eine deutliche Rinne oberhalb der untersten
Blattchen; unterhalb derselben aber findet sich am Blattstiele keine Rinne,
so dass das Wasser nicht abgeleitet wird. Die Rhachis trägt auch Haar-
gebilde. (H. U.).

Spirea Ulmaria L. Die Rinnen der Blatter führen nach den Neben-
blattern.

? Prunus Padus L. Das Wasser sammelt sich und wird leicht
geleitet in den eingesenkten Nerven des Blattes.

Onagraceæ.

. Epilobium origanifolium Lam, Das Wasser sammelt sich in den
Blattachseln und zieht sich von daher abwärts längs den feinen, aus kur-
zen sichelförmig gebogenen Haaren gebildeten Rändern unterhalb der
Zwischenräume der Blätter; an diesen Rändern wird es länger festge-
halten als an anderen Stellen. Bei Storlien in Jemtland fand ich eine
Varietät mit drei quirlig gestellten Blättern (statt zwei); diese hatte auch
Haarränder unterhalb aller drei Zwischenräume der Blätter.

Epilobium alpinum L. gleicht der vorhergehenden; nur sind die
Haarränder weniger deutlich.

Epilobium roseum Schreb. hat Kanten statt Haarränder am Stengel;
sind die Blätter opponirt, finden sich zwei Kanten, sonst drei bis vier.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 47

Saxifragacex.

Hoteja japonica Morr. hat Haarränder an der Oberseite des Blattes
lings dem Mittelnerven, und in der Rinne des Blattstieles, wo die Haare in
einer Reihe stehen. Diese Haare sondern ein Secret ab, das an ihnen
hervortritt in Gestalt von lichtbrechenden Tröpfehen, was man unter
dem Microscope leicht wahrnehmen kann. Das Aufgiessen von Wasser
beférdert die Absonderung. Das Secret wird durch das in der Rinne
fliessende Wasser verbreitet, was daraus ersichtlich ist, dass die innere
Seite der Rinne nach einem Regen von dem Secrete gleicbsam gefirnisst
wird. Als dies Secret nach der Abdünstung des Wassers erstarrt, schützt
es die unterliegenden Theile gegen zu starke Transpiration; dadurch
aber, dass es es leicht genetzt wird und anschwillt, steigert es wührend
eines Regens die Permeabilität der Membranen und die Wasserabsorption.
Wahrscheinlich verhalten sich mehrere andere Pflanzen auf dieselbe Weise,
z. B. Rosa, Alchemilla u. a. (H. U.).

? Ribes nigrum L. Recht viel Regenwasser wird auf den etwas
schalenfórmigen Blättern aufgefangen, und es spült die verschiedenen
Stoffe, welche an der Spreite haften geblieben, gegen die Blattbasis
herab; indessen fliesst es nicht längs dem Blattstiele ab, sondern bleibt
auf der Spreite. Es verhalten sich etwa auf dieselbe Weise

Ribes alpinum L. und R. rubrum L.

Umbellifera.

Viele Umbellaten haben bekanntlich eine deutliche Rinne längs
dem Mittelnerven des Blattes. Diese wird leicht genetzt und das Wasser,
das an den Blattzipfeln aufgefangen worden, sammelt sich in ihr. Auch
in den Blattscheiden, die ja bei vielen Arten recht gross sind, sammelt
sich nicht wenig Wasser. Es kann aber nicht direct vom Blatte aus
dahingeleitet werden, denn die Rinne des Blattes führt nicht bis zur
Scheide, sondern endigt gewóhnlich oberhalb derselben an den untersten
Blattzipfeln, so dass der Blattstiel selbst nicht rinnenförmig ist. Da-
durch wird das Wasser am Blatte festgehalten. Dagegen alles Wasser,
das von dem Blüthenstande aufgefangen wird, kommt endlich längs dem
Stengel za den Scheiden. Beispiele einer derartigen Anordnung liefern:

Cerefolium silvestre Bess., Arten von Heracleum und Angelica,
Callisace dahurica Fisch. (H. U.) u. a.

Peucedanum palustre (L.) Moench. Der Regen wird von dem Blü-
thenstande, besonders von den Doldchen aufgefangen, und wird längs

48 AXEL N. LUNDSTRÖM,

den zugeplatteten, oberseits behaarten pedicelli nach dem Hüllchen und
von diesem aus längs den radii welche an der oberen Seite mit einer
deutlichen Rinne und kurzen, dicken, leicht benetzbaren Haaren ver-
sehen sind, nach dem Stiele geleitet. Das Hüllchen ist nicht um den ra-
dius her gleichfórmig vertheilt, sondern es lüsst gerade über dem Haar-
rande des radius eine Óffnung frei, so dass das Wasser auf diesem Wege
leicht hervordringen kann. An den Epidermiszellen zwischen den Haaren
des radius, namentlich in der Rinne, sind die nach aussen gewendete
Zellwand und die Cuticula dünner und weicher (mehr permeabel) als
an den übrigen Epidermiszellen.

Mehrere andere Umbellaten haben bekanntlich einseitig behaarte
radii; das Verhalten derselben in Regen habe ich nicht Gelegenheit ge-
habt náher zu untersuchen, wahrscheinlich ist aber Peucedanum palustre
uicht die einzige Umbellate die mit derartigen Anordnungen für den Re-
gen versehen ist.

Dagegen weichen ab:

Astrantia major L., minor L. und Ranunculefolia (nach Ex. in H. U.),
Die handfórmig getheilte Blattspreite bildet mit seiner Basis eine Schale,
dadurch dass die äussersten Zipfel einander theilweise decken. Von dem
Grunde dieser Schale aus geht eine schmale, aber ziemlich tiefe Rinne
längs dem langen Blattstiele nach den Nebenblättern herab, mündet aber
nicht zwischen diesen aus. Diese Rinne wird von Wasser leicht benetzt,
was nicht der Fall ist mit der übrigen Epidermis des Blattstieles, und
sie ist immer wasserführend nach einem Regen.

? Eryngium virgatum Lam. Spreite lóffelformig gebogen; Blattstiel
rinnenférmig; sie werden an den Nerven und in der Rinne genetzt.

Euphorbiacex.

Mercurialis perennis L. Die Blätter sind opponirt, jedes mit
zwei wagerecht abstehenden Nebenblättchen versehen. Zwischen den
beiden Nebenblättchen findet sich am Zwischenraume der Blatter ein
erhóhter, rundlicher, haarbekleideter Grat, welcher leicht benetzt wird und
das herabfliessende Wasser leitet. Dieser Grat ist am deutlichsten an
den oberen und mittleren Internodien, weniger deutlich an den unteren.
Das Innere des Grates besteht aus Collenchym, das hier wohl eine
mechanische Bedeutung haben kann, aber dann aller Wahrscheinlichkeit
nach als Schwellgewebe in Zusammenhang mit dem aufgefangenen Re-
gen steht.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 49
Geraniaceæ.

Geranium sylvaticum L. fängt mit der Spreite Wasser auf und
hält es in den eingesenkten Nerven fest, welche leicht benetzt werden
und eigenthümliche, secret-führende Haare tragen, die ihre Cutieula na-
mentlieh in Berührung mit Wasser abwerfen und durch die angeschwol-
lene Membran endosmotisch Wasser aufnehmen. (Siehe Fig. 6 Pl. I und
die Erklärung der Figur).

Malvacee.

Malva parviflora L. Die Blätter haben emen langen, gerundeten
Stiel, dessen Oberseite mit einem sehr deutlichen Haarrande versehen
ist, der leicht benetzt wird und das Wasser von der Spreite nach den
Nebenblättchen leitet. Die Haare sind am Grunde punktirt (perforirt?).
Ein deutliches Beispiel. Verschiedene andere Arten von Malva haben
ähnliche Anordnungen (H. U.).

Hy pericace:e.

Hypericum quadrangulum L. Der Stengel dieser Pflanze ist be-
kanntlich viereckig, zwei Kanten sind aber gerade unterhalb der Zwischen-
rüume der Blatter gelegen, so dass keine Rinne hier gebildet werden
kann, wie bei vielen Labiaten. Die gegenstündigen Blatter sind gänz-
lich ungestielt und halb umfassend, dadurch aber, dass die Ränder der
Blattbasis nächst dem Stengel herabgebogen sind, entsteht eine trichter-
férmige Öffnung, durch welche das Wasser abwürts geleitet wird. Ge-
rade unterhalb dieser Offnung findet sich, wie oben gesagt, eine hervor-
stehende Kante, längs deren beiden Seiten das Wasser leicht abwärts
dringt. Aber durch dieselbe Offnung verbreitet sich das Wasser auch
nach der Kante, die unterhalb des Mittelnerven des Blattes vorhanden
ist. Ich habe alle vier Kanten nach einem Regen merkbar angeschwollen

gefunden.

Violacex.

Viola biflora L. Blüthenstiel und Blätter mit Rinne versehen. Das
Wasser läuft lings dieser Rinne nach dem Blattwinkel, wo es zwischen
den Nebenblättchen festgehalten wird. Findet sich unterhalb dieser ein
Blatt am Stengel, so fiihrt eine Rinne nach demselben. Die Neben-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 7

50 AXEL N. LUNDSTRÖM,

blättchen desselben sind an einander und an den Stengel gedrückt und
halten somit das Wasser fest.

Viola tricolor L. Auch bei dieser Art wird das Regenwasser nach
den gespalteten Nebenblättchen geleitet, deren Oberseite leicht genetzt
wird. Der Stengel ist gerändert. (Über den Bau der Nebenblättchen
bei Viola, siehe Hanstein l. c. Bot. Zeit. 1868 pag. 751—754).

Cruciferæ.

Diese Familie scheint arm zu sein an regenauffangenden Pflanzen,
denn eine grosse Anzahl Arten werden gar nicht vom Regen ge-
netzt, weil alle grüne Theile oft mit einem Wachsüberzug versehen sind.
Indessen verhält sich

Alyssum calycotrichum Boiss. sehr eigenthümlich (nach Ex. im bot.
Garten zu Upsala). Obwohl auch diese Art an allen grünen Theilen einen
Wachsüberzug hat, fängt sie dennoch sehr grosse Wassertropfen auf an
den stengelumfassenden Lappen der pfeilförmigen Blätter. Diese sind
nämlich aufgebogen und bilden dadurch an beiden Seiten des Stengels
kleine Schalen, in welchen das Wasser sich ansammelt. Nach einem Re-
gen bietet auch diese Pflanze einen höchst eigenthümlichen Anblick dar,
wegen der beiden glänzenden Wasserperlen, welche regelmässig an je-
dem Blatte dicht am Stengel liegen. Indessen die Wasserperle benetzt
nicht die Stelle, wo sie liest; folglich scheint eine Wasseraufnahme un-
möglich. Wahrscheinlich ist dies Wasser von Bedeutung für die Pflanze
um ihre Temperatur und Transpiration zu reguliren (H. U.).

d,

Ranunculace:e.

Anemone nemorosa L. Die Hüllchenblätter haben rinnenförmige,
unten erweiterte, gewimperte Stiele, welche leicht benetzt werden.

Aquilegia Ottonis. Scheiden; die Blätter werden nicht benetzt (H. U.).

Delphinium eiliatum Stev. und tridactylum Mich. Die Blätter werden
namentlich an den haarigen Nerven benetzt (H. U.)

Helleborus viridis L. Der Regen sammelt sich an der Basis der
Spreite, von woher eine Rinne ihn weiter leitet (H. U.).

Clematis flammula L. Das Wasser wird von den stengelumfas-
senden Stielen der opponirten Blätter festgehalten (H. U.).

Ranunculus Aconitifolius L. Die Wurzelblatter haben rundliche Stiele,

die Laubblätter dagegen sind mit einer Rinne versehen und scheidenum- :

fassend. Dei Storlien in Jemtland fand ich die schalenfórmigen Kelch-

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Rd: “à

CA. ee ee

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 51

blätter nach einem Regen mit Wasser gefüllt; dies war aber wahrschein-
lich nur ein Zufall, denn die Kelchblitter smd sonst bald hinfällig.

Thalictrum paradoxum, carolinianum Bose., variflorum F., kemense Eu
u. a., siehe oben p. 13.

Caryophyllacex.

Cerastium trigynum Vill. trägt, gleichwie C. vulgatum, lings dem Sten-
gel und dem Blüthenstiel einen Rand von feinen Haaren, die zum Theil
kopfig sind. An trockenen Individuen wird dieser Rand eingesenkt,
was von dem Wasserverluste herrührt; wird Wasser aufgegossen, schwillt
der Rand wieder aus und der Querschnitt wird zirkelrund. Dies spricht
deutlich für die Bedeutung des Randes als wasseraufsaugend. Die Epi-
dermiszellen des Haarrandes sind mit einem Secret überzogen, das
wahrscheinlich grósstentheils von den Drüsenhaaren ausgeschieden ist
und mit Hülfe des Regens über die Cuticula der angrenzenden Zellen
verbreitet worden.

Cerastium alpinum L. hat oft zwei Haarränder an den oberen langen
Internodien; variirt.

? Silene inflata L, hat einen Wachsüberzug an alien grünen Theilen
ausser den Dlattwinkeln, wo das Wasser sich sammelt und festgehalten
wird. Ränder oder Rinnen unterhalb der Zwischenräume der Blatter sind
nicht vorhanden; sie sind aber auch nicht nóthig, weil die Dlattpaare
kreuzweise sitzen, denn das Wasser fällt aus den Zwischenrüumen der
Blatter direct in den nächstunteren Blattwinkel.

? Stellaria graminea L. Blattbasis gewimpert, ausgebreitet, leicht
benetzbar. Kein Haarrand unterhalb der Zwischenrüume der Blätter,
nur eine scharfe Kante am Internodium.

Polygonacea.

Viele von den dieser Familie angehórenden Arten haben in den Schei-
den ihrer Nebenblättchen treffiche Organe zum Auffangen des Regens. Dies
zeigt sich am besten an den grossen Arten von humex und Rheum, von
denen ieh im botanischen Garten zu Upsala sehr viele untersucht habe.
Das Wasser, welehes von den Blättern und dem Bliithenstande aufgefan-
gen wird, läuft längs dem kahlen oder gefurchten Stengel nach den
Scheiden der Nebenblüttchen herab, deren innere Seite leicht genetzt
wird. Ehe die Scheide überfüllt ist, fliesst kein Wasser an der Aussen-

52 AXEL N. LUNDSTRÖM.

seite ab. Wenn dann die Wasserabdiinstang anfängt, drückt sich der
dünne Oberrand der Scheide dicht an den Stengel und wird an densel--
ben fest angeklebt, wodurch das übrige Wasser von Berührung mit der
Luft abgeschlossen wird, was die Abdünstung verhindert. Darum wird
auch in diesen Scheiden Wasser angetroffen sogar mehrere Tage nach einem
Regen. Wenn auch die Aufgabe der Scheiden der Nebenblüttchen an-
fangs die sein mag, junge Theile zu schützen, kann dies dennoch nicht
ihre einzige Bedeutung sein, denn 1) fallen sie an den ausgewachsenen
Individuen nicht ab, sondern bleiben functionsfähig sitzen und 2) sammeln
sie thatsüchlich Wasser auf. Dass dies nachher von der schleimigen Epi-
dermis absorbirt wird, ist mir unzweifelhaft. Die deutlichsten der von
mir beobachteten Beispiele sind Rumex Nemolapathum Ehrb., R. longifo-
lius D C. f. calliflora und Rheum tataricum Lin. fil. (H. U.). :

Polygonum viviparum L. Eine feme Rinne führt von der Scheide
der oberen Nebenblattchen nach der unteren, unterhalb welcher sich ge-
wöhnlich keine solche Rinne findet.

Salicaceæ.

Die Salices besitzen freilich keine deutlichen, hieher gehörenden
Anordnungen; bemerkenswerth ist es aber, dass der Regen nach den
Blattwinkeln geleitet wird und da bleibt, z. B. bei S. myrsinites L. und
glauca L. Wenn Nebenblüttchen daselbst vorhanden sind, werden sie an
der Oberseite leicht genetzt, z. D. bei S. hastata L., lanata L. u. a.

Salix herbacea L. Sammelt den Regen an den Blättern auf, die
durch Zusammenfaltung der Ränder öfters etwas dütenförmig sind.

Populus laurifolia Led., balsamifera L. und pyramidalis Roz. Bei diesen
Arten wird das Wasser längs dem gefurchten Stamme (der blatttragenden
Sprosse) nach den Nebenblättchen geleitet, und bleibt innerhalb derselben
haften. Hier findet sich auch eine reichliche Absonderung von Harz und
Gummi-schleim, die sich mit dem Regenwasser zu einer Emulsion ver-
mischt und die im Blattwinkel liegende Knospe umschliesst. Darum
erscheint auch das Secret am reichlichsten nach einem kurzen Regen.
Nachher steigen die Harzkugeln nach der Oberflüche hinauf und bilden
dort ein zusammenhangendes dünnes Häutchen, welches die Abdünstung
der unterliegenden Emulsion hemmt. Ein Theil des Secrets wird vom
Regen fortgespült und überzieht nachher den jungen Stamm wie ein
dünner Firniss. Wenn das Secret nur darauf abgesehen würe, die Knospe
ohne Beihilfe des Regens zu schützen, würde es wohl, wie Wachs und

DEN

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 58

ühnliche Stoffe, weder genetzt werden, noch den Regen festhalten; jetzt
findet man aber leicht, wenn man die Harzrinde nach einem Regen ent-
ferut, dass der Wassergehalt nüchst der Epidermis sehr betrüchtlich ist.

Populus tremula L. trügt bekanntlich zwei Drüsen (Nectarien), welche
Honig ausscheiden, an der Basis der Spreite, mangelt aber harz-abson-
dernde Nebenblättchen. Bei den Nectarien finden sich oft einige Haare.
Eben andieser Stelle, dem einzigen Theil der Spreite, welcher leicht be-
netzt wird, bleibt das Regenwasser wenigstens an jungen Espensprossen
haften und wird ganz gut festgehalten, weil die Ränder der Spreite an
der Basis etwas aufgebogen sind; besonders ist dies der Fall bei jungen
Blättern, welche dadurch mehr oder weniger schalenfórmig werden.
Nach dem Grunde dieser Schale, d. h. nach den Nectarien, werden
mit dem Regen auch alle jene klemen Substanzen geführt, welche am
Blatte haften geblieben sind, wie Staub, Thier-excremente u. s. w. Wäh-
rend Dürre erstarrt die abgesonderte zuckerhaltige Flüssigkeit und hemmt
somit die Transpiration. Wahrscheinlich ist diese Honigabsonderung
der Pflanze auch niitzlich, dadurch dass sie Ameisen heranlockt, welche
oft auf den Espen vorkommen, damit sie wie eine Leibwache die Blatter
gegen schädliche Insecten und deren Raupen beschützen; eigenthtimlich
ist es aber, dass der Honig eben an der Stelle abgesondert wird, wo er
am leichtesten vom Regen weggespült werden kann. Für die Pollination
kann jene Absonderung unmöglich irgend eine Bedeutung haben, weil sie
lange nach der Bliithenzeit eintritt, und gerade an jungen Espensprossen,
die keine Blüthen tragen, am reichlichsten ist. Die Zuckerlôsung kónnte
auch dazu beitragen, Feuchtigkeit aus der Luft aufzunehmen; dies schliesst
aber nicht die Erklärung aus, welche ich hier von diesen Nectarien ge-
geben habe, d. h. dass sie dem Regen und dem Ameisen angepasst
seien. Wenn eine Gummi-, Schleim-, oder Harz-absonderung in Zusam-
menhang mit dem Regen für die Pflanze Bedeutung haben kann, kann
ieh nicht einsehen, warum eine Zucker-absonderung nicht von derselben
Bedeutung sein kónnte.

Bei den Monocotyledonen, wenigstens bei den in unserem Lande
vorkommenden, scheinen deutliche Anordnungen für den Regen weniger
gewöhnlich zu sein. Indessen fehlen regenauffangende Pflanzen nicht
günzlich in dieser Klasse, wenn auch die hierher gehórenden Anordnun-
gen, ebenso wie die übrigen Differenzirungen der Epidermis, nicht so
ausgeprügt und verschiedenartig sind wie bei den Dicotyledonen. So
wird z. B. eine nicht unbedeutende Quantität Wasser in dem diitenfor-

54 AXEL N. LUNDSTRÖM,

mig gefalteten Blatte der Convallaria Majalis L. aufgesammelt. Bei
mehreren Monocotyledonen mit rinnenfórmigen Blättern wird das Wasser
direct nach dem Wurzelstocke und den Wurzeln geleitet. Eigenthümlich
sind die Anordnungen, welche bet mehreren Bromeliaceen vorkommen: die
rinnenförmigen Blätter umschliessen einander eng mit ihren Scheiden, so
dass zwischen ihnen geschlossene Höhlungen gebildet werden, in welchen
viel Wasser aufgesammelt wird, das für diese Pflanzen eine besondere
Bedeutung haben dürfte ).

Bei den Pteridophyten, namentlich den Filicineen, indies sich auch
hierher gehörende Anordnungen, besonders in Gestalt von Rinnen oder
Haarrändern an den Blättern, móglicherweise auch als Luftwurzeln
ringsum die Stümme mehrerer Arten.. Bei Polystichum spinulosum wird
das Regenwasser längs dem Mittelnerven geleitet, welcher mit wasser-
festhaltenden Härchen versehen ist, und bei P on Phegopteris ist
die rinnenförmige Rhachis wasserfesthaltend.

. Viele Bryophyten ziehen bekanntlich mit grosser Leichtigkeit Was-
ser an sich an, und halten es zwischen ihren kleinen Blättern und dem
Stamme fest, was nicht nur für ihre Nahrung, sondern auch für ihre Be-
fruchtung von grosser Wichtigkeit ist. Ich habe gefunden, dass dies
Festhalten des Wassers bei mehreren Bryaceen dadurch erleichtert wird,
dass die Blätter an der inneren, dem Stamme zugekehrten, concaven
Seite leicht benetzt werden, während die äussere (untere) Seite das Wasser
nicht festhält (nicht benetzt wird). Das Peristom der Bryaceen ist be-
kanntlich sehr hygroscopisch, und ich habe mehrmals Gelegenheit gehabt
zu beobachten, wie das zurückgebogene Peristom des Space luteum
sich bei dem kleinsten Regentropfen schnell schliesst.

Ob es unter den Thallophyten welche giebt, die specielle Anord-
nungen in Bezug auf den auffallenden Regen besitzen, wage ich nicht
mit Bestimmtheit zu entscheiden. Ich will nur darauf hinweisen, dass
bei mehreren Lichenes (z. B. Usnea) die ausgewachsenen Apothecien
schalenförmig sind und nach Regen Wasser festhalten, was ja für das
Schwellen der Paraphysen und die Verbreitung der Sporen von Bedeu-
tung sein kann, und dass man oft in den schalenförmig gebogenen Ran-
dern des Thallus des Nephroma arcticum Regen angesammelt findet.

1) In einem Aufsatze »An Entomostracon living in treetops» (in »The Nature»
1880, 20 Mai pag. 55) beschreibt Fritz MüLLer in Desterro in Brasilien ein Ostracod,
Elpidium bromelianum, welches bisher nur in diesen Wasseransammlungen der Brome-
liaceen angetroffen worden ist, ein eigenthümliches Verhiltniss, worauf Herr Professor
W. LILJEBORG meine Aufmerksamkeit gütigst gelenkt hat.

REGENAUFFANGENDE PFLANZEN. 55

Ein Bliek auf die allgemeinen Züge der Geschichte der Pflanzen-
welt zeigt, dass die Entwickelung von einer Wasservegetation (Algen
mit den Characeen als der höchsten Abstufung) aus zu Bryophyten
fortgeschritten ist, bei welchen eine wichtige Lebenserscheinung, die
Befruchtung, noch immer Wasser als Medium erfordert um möglich
zu werden, wenn auch die Pflanze übrigens in der Luft existiren kann.
Die obengenannte Fähigkeit der Moose Wasser leicht an sich innerhalb
der Blätter anzuziehen, wird auch eine der ersten. Andeutungen sein,
welche bei den Luftpflanzen hervortritt, von einer Anpassung zum Fest-
halten des Wassers. Bei der nächsthöheren Gruppe, den Pteridophyten,
werden auch diejenigen Theile (die Prothallien), welche die Geschlechts-
organe tragen, nach einem Orte (an den Boden) verlegt, wo sie ein
Wassermedium leichter bekommen können, aber die Blätter bieten mehr
Anpassungen an die Luft als Aussenmedium wie bei den Moosen. Bei
den höchsten Pflanzen endlich haben die fructificativen sowohl als die
vegetativen Theile eine noch vollkommenere Anpassung erreicht an die
vielen Eigenthümlichkeiten des Luftoceanes in Hinsicht auf Temperatur,
Licht, Thierwelt und atmosphärischen Niederschlag. Und was die An-
passungen an den letztgenannten Factor betrifft, finden diese einen Aus-
druck nicht nur in den mannigfaltigen Verschiedenheiten der Epider-
misbildungen, sondern auch in der Form und Stellung verschiedener
Pflanzentheile.

III

DIE WASSERAUFNAHME DURCH DIE OBERIRDISCHEN PFLANZEN-
THEILE UND DIE BEDEUTUNG DES AUFGEFANGENEN WASSERS
FÜR DIE PFLANZE.

Die Fähigkeit der hóheren Pflanzen, mittelst ihrer Blatter und
Stimme Wasser und darin aufgelóste Stoffe aufzunehmen, wurde schon von
Mariorre und HaLzs !) erwiesen. Dass das auf diese Weise aufgenom-
mene Wasser sehr beträchtlich ist, geht aus J. BoussrNGAULTS ") Unter-
suchungen hervor, ebenso wie dass die Dlütter Wasser aufnehmen kón-
nen, obschon keine Spaltóffnungen da sind. PFEFFER ”) meint, dass je-

1) Ouevres de ManrorrE 1817, p. 133.
2) Agronom. Chim. agric. etc. 1878 Bd. 6 p. 364.

3) Prerrer, Pflanzenphysiologie I, p. 66—70 etc., wo die betreffende Literatur

theilweise angeführt ist; ein vollstándiges Referat derselben gehórt nicht zu dem Plane
dieser Abhandlung.

56 AXEL N. LUNDSTRÖM,

des Blatt und jeder Stammtheil, die genetzt werden, auch im Stande
sind Wasser aufzunehmen, obgleich dies Aufnehmen, wenn eine deutliche
Cuticula da ist, langsamer geschieht und unzureichend ist um das Be-
dürfniss der transpirirenden Pflanze zu füllen. »Moose und Flechten
müssen auch in der Natur zum Theil ihren Wasservorrath direkt aus
Regen und Thau entnehmen, und wenn aus den Niederschlägen die Pha-
nerogamen wesentlich durch Vermittlung des Bodens Nutzen ziehen, so
dürfte doch ein gewisses Wasserquantum auch durch die benetzten oberir-
dischen Theile aufgenommen werden .. ... Vielleicht erlangt auch
für manche Phanerogamen die Aufnahme von Wasser durch oberirdische
Theile eine höhere Bedeutung». Nach BoussinsauLr nehmen Vinea und
Asclepias durch ihre Blatter merkliche Wassermengen auf.

WIESNER !) hat vor kurzem die Frage von der Wasseraufnahme
zum Gegenstand emer naheren Untersuchung gemacht. Von den Resul-
taten, zu denen er gelangt ist, mögen folgende hier in der Kürze ange-
führt werden. Die Transpiration der oberirdischen Theile wird durch
ein vorhergehendes Begiessen mit Wasser befórdert, wenn die Pflanzen-
theile von Wasser genetzt werden können. Die Blätter nehmen gewöhn-
lich mehr Wasser durch die untere Seite auf als durch die obere, warum
hegen und Thau gewóhnlich der Pflanze direct nicht viel Wasser zufüh-
ren ^. Beide befördern indessen die Transpiration, nachdem das Wasser
an der Aussenseite abgediinstet hat. Aber diese Steigerung der Transpi-
ration gereicht der Pflanze zu Nutzen, nur wenn der Erdboden hinreichen-
des Wasser enthält, warum Thau unter gewissen Umständen ungünstig
auf die Pflanze einwirken kann. Wenn die Pflanzen erschlaffen, wird
die Blattstellung verändert, wodurch die Unterseite der Blatter vom
Regen benetzt werden kann, der somit der Pflanze zu Gute kommt. Die
cesteigerte Transpiration bei benetzten Blatter wird von einem Schwel-
lungszustande der benetzten Membran verursacht, wodurch der Transpi-
rationswiderstand vermindert wird.

1) Studien über das Welken von Blüthen und Laubsprossen (Kaiserl. Aka-
demie der Wiss. in Wien, Sitzungsber. von 2 Nov. 1882) nach Ref. in Bot. Zeit.
1883, p. 86— 87.

2) Wie ich oben z. B. bei Trifolium repens, Vaccinium Vitis idea u. a. dar-
gethan habe, kann Regenwasser sich auch an der Unterseite der Blätter sammeln.
Was den Thau betrifft, »füllt» er ja nicht, wie der Regen, sondern setzt sich an abge-
kühlten Gegenständen ab, folglich auch an der Unterseite der Blätter.

AUFNAHME UND BEDEUTUNG DES WASSERS. 57

Wenn also eine Aufnahme von Wasser mit darin gelósten Stoffen
dureh cuticularisirte Membranen möglich ist und in mehreren Fällen
wirklich Statt findet?), bleibt es doch eine andere Frage, welche Bedeu-
tung das auf den oberirdischen Theilen festgehaltene Regenwasser für
die Pflanze besitzen mag. Zuerst ist dann zu bemerken, dass jene Be-
deutung nicht dieselbe ist oder dieselbe sein muss bei allen Pflanzen,
welche Regen auffangen, und dass sie nicht immer bei derselben
Pflanze eine einfache ist. Ohne mich hier näher auf diese Frage ein-
zulassen, will ich nur die wichtigsten Hinsichten aufzählen, in denen das
so aufgefangene Regenwasser für die Pflanze Bedeutung besitzen kann.

1) Es trägt zur Reinigung der Pflanze bei, z. B. bei Alchemilla, Rubus
Chamemorus, Trifolium repens u. a., vielleicht bei den meisten Pflanzen,
bei denen Staub u. dergl. von den Theilen, die von Regen nicht genetzt
werden können, weggewaschen wird. Das frischere Grün, das die Vege-
tation nach einem Regen zeigt, beruht in vielen Fällen auf diesem Um-
stande. Die weggewaschenen Körperchen werden entweder mit den Re-
gentropfen nach dem Boden geführt oder sie werden an bestimmten
Stellen der Pflanze angehäuft. Die Reinigung kan indessen nicht der
einzige Zweck des Regenauffangens sein, weil es besondere Anordnun-
gen zum Festhalten des Wassers giebt.

2) Es trügt, nachdem es abgedünstet hat oder absorbirt worden,
zu einer gesteigerten Transpiration bei, dadurch dass auf der Cuticula ausge-
breitete, erstarrte, gummi-oder schleimartige, möglicherweise auch zucker-
artige Stoffe gelést werden oder anschwellen, und dadurch dass der Tran-
spirationswiderstand der Membran selbst durch dies Schwellen ver-
mindert wird (nach Wiesner, s. oben). Durch diese Steigerung der
Transpiration wird bekanntlich auch die Aufnahme und Assimilation von
Nährstoffen befórdert. Die gesteigerte Transpiration tritt zu einer be-
sonders passenden Zeit ein, denn nach einem Regen ist der Wasservorrath
im Boden reichlicher. Dagegen vermindert der aufgefangene hegen an-
fangs die Transpiration, dadurch dass er wührend seiner Abdünstung die
Temperatur senkt. .

3) Es kann solche Secrete (Gummi, Gummiharz, Zucker etc.)
lösen und über Theile der Oberfläche der Pflanze ausbreiten, die für

1) Siehe übrigens: DETMER: Pflanzenphysiologie: Die Wasseraufnahme seitens
der Pflanzen pag. 106—118. Diese Arbeit habe ich doch nur während des Druckes
meines Aufsatzes benutzen kónnen.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. HI. 8

58 AxEL N. LUNDSTRÖM,

die Pflanze Bedeutung besitzen kónnen, dadurch dass sie, wenn sie er-
starrt sind, eine zw starke Transpiration bei trocknem Wetter verhindern.
Es ist dies Verhältniss, ganz wie das oben (2) genannte, eine sehr
gewóhnliche Erscheinung.

4) Es kann von der Pflanze absorbirt werden und dadurch einen :
verlorenen Turgor wieder ersetzen. Dies ist oben durch zahlreiche
Exempel gezeigt worden.

5) Es kann wahrscheinlich, weil es Kohlensáure nebst Nitraten
und Nitriten u. a. enthält'), der Pflanze ausser Wasser directe Nahrung
zuführen. Dies mittelst directer Experimente aufzuweisen, ist mir nicht
gelungen, aber in Hinsicht auf das allgemeine Vorhandensein dieser
Stoffe im Regenwasser und ihre Fähigkeit leicht zu diffundiren, scheint mir
jene Annahme höchst wahrscheinlich.

6) Es kann durch Aujlösuny von auf der Pflanze angesammelten
Stoffen, z. B. Thierexcrementen (welche wichtige stickstoffhaltige orga-
nische ’Nahrungsmittel, wie Harnstoff, Hippursáure, Guanin etc. enthalten)
und anorganischen Körperchen, der Pflanze noch weitere Nährstoffe zu-
führen. Dass verschiedene von diesen Stoffen auf diese Weise durch die
Pflanze aufgenommen werden können, ist von J. BoussINGAULT gezeigt
worden (z. B. Calciumsulfat, Kalisulfat, Kalinitrat u. s. w.). In Zusam-
menhang hiermit will ich erwähnen, dass Bacterien sehr oft unter diesen
angehäuften Stoffen vorkommen.

7) Es kann durch das Schwellen der wasseraufnehmenden Zellen
und die daraus erfolgende Spannung eine Bewegung hervorrufen.

Die praktische Flori- und Horticultur hat übrigens seit lange con-
statirt, dass die Überspritzung der Pflanzen mit Wasser ihnen nützlich
ist, so dass wohl kein Zweifel mehr darüber obwalten dürfte, dass der
auffallende Regen auf den normalen Fortschritt mehrerer Erscheinungen
des Pflanzenlebens einen wohlthätigen Einfluss ausübt. Absolut nothwendig
für die Pflanze dürfte der direct auffallende Regen nicht sein, wenn
anderes passendes Wasser ihr zu Gebote steht, ebenso wenig wie ani-
malische Nahrung den insectfangenden Pflanzen nothwendig ist, wenn

1) Siehe: TRS Cu: Einleitung in die Mineralquellenlehre, und ALMÉN: Huru bör
ett dricksvattens godhet bedömas etc.? Sv. lükaresüllsk. nya handl. Ser. 2 del 3.

ÅLLGEMEINES. 59

sie andere geniessbare stickstoffhaltige Nahrung durch die Wurzel be-
kommen können.

Die Hauptaufgabe dieser Abhandlung aber ist nicht zu zeigen, in
welehen verschiedenen. Hinsichten der direct auffallende Regen den Pflanzen
nützlich ist, sondern hervorzuheben, dass es bei den hóheren Pflanzen
besondere Anordnungen für den atmosphärischen Niederschlag giebt, welche
schwerlich anders als in Zusammenhang mit diesem erklärt werden
können. Und darüber habe ich in der Literatur keine Angabe gefunden.

IV
ALLGEMELNES.

Es finden sich bei mehreren hóheren Pflanzen mehr oder weniger
deutliche oberirdische Anordnungen zum Auffangen, Leiten, Festhalten und
Aufsaugen des Regens.

Regenauffangend können die meisten oberirdischen Pflanzen-
theile sein. Es sind gewöhnlich die Laubblätter, welche sowohl durch
ihre Form als ihre Stellung diesem Zwecke angepasst sind; aber auch
Stämme, Blüthenblätter, Blüthenstände und Früchte können hieher gehö-
rende Anordnungen aufzeigen. Bisweilen halten die regenauffangenden
Pflanzentheile selbst das Wasser fest, z. B. die Blätter der Alchemilla;
in anderen Fällen dagegen thun sie dies nicht, z. B. die Blätter Thalic-
trums und die Oberseite des Blattes bei Trifolium.

Leitend sind vorzugsweise eingesenkte Blattnerven, Rinnen an
Blattstielen und Stämmen, Haarränder u. dergl. Diese Anordnungen
werden zugleich festhaltend und absorbirend, wenn ihre Epidermis leicht
benetzbar ist.

Wasserfesthaltend sind, ausser allen mehr oder weniger scha-
lenförmigen Theilen, alle diejenigen Anordnungen, deren Epidermis von
aussen benetzt werden kann. Hieher gehören folgende Gebilde nebst
anderen: viele Haare, Blattzähne (an welchen der Regen tropfenförmig
festgehalten wird), Blattachseln, Nebenblättchen (Scheiden), Grübchen,
Rinnen u. s. w.

60 Axe. N.-LUNDSTRÖM,

Absorbirend sind in grósserem oder minderem Grade alle
obengenannte wasserfesthaltende Theile, falls sie benetzbar sind, und je
nachdem ihre Membranen (sogar die cuticularisirten) permeabel sind.

Die wichtigsten Anpassungen an den Regen, denen wir bei den hö-
heren Pflanzen begegnen, sind also:

1. Einsenkungen, welche auftreten kónnen in Gestalt von
a) Schalen, aus Blättern oder Nebenblättchen gebildet, welche auf
die eine oder andere Weise gefaltet sind, z. B. bei Silphium, Thalic-
trum u. a.
b) Grübchen, kleineren Einsenkungen der Epidermis, z. B. an der
unteren Seite des Blattes bei Vaccinium Vitis Idea.
c) Rinnen, z. B. am Stamme der Gentiana Amarella.
2. Haargebilde, drüsige oder nicht drüsige, welche vereint wer-
den zu
a) kleineren Ansammlungen, Haarbiischeln, oder,
b) Haarrändern.

Hinsichtlich dieser Haargebilde könnte es in Zweifel gestellt werden,
ob nicht viele von den obengenannten, da sie schon während des Kno-
spenstadiums entwickelt sind, dann ihre eigentliche Rolle spielen in Be-
zug auf die Theile, welche sie schützen, und nachher ohne Bedeutung
sind. Aber man muss sich dann erinnern, dass jene Gebilde, z. B. die
Zotten bei Trifolium repens, Vaccinium Vitis Idea, Rosa, u. s. w., kei-
neswegs den vergänglichen, transitorischen, der Knospe eigenen Haar-
bildungen angehóren, sondern dass sie persistiren, wenn sie auch ver-
trocknet scheinen. Ich habe auch vorher gezeigt, dass sie, gleichwie
die Vorblätter der Lobelia Erinus, nach Regen anschwellen und eine Ge-
stalt annehmen, welche deutlich beweist, dass sie ihre Rolle nicht ausge-
spielt haben.

Wenn man jene wasseraufsaugenden Haare mit den Wurzelhaaren
vergleicht, welehe ja auch zum Aufsaugen von Wasser bestimmt sind,
haben diese freilich keine Cuticula, aber sie stehen ja während ihrer
ganzen Zeit in Berührung mit einem feuchtigen Medium und bedürfen
deswegen nicht die Metamorphosen, welche für diejenigen Haare noth-
wendig sind, die bald von Luft, bald von Regentropfen umgeben sind.

3. Benetzbare Epidermis-membranen, unabhängig von oder
verbunden mit Secretionen (Gummosis ete.); welche bilden |
a) gróssere oder kleinere Flecken und
b) Streifen. |

Diese Metamorphose der Zellhaut ist besonders bemerkenswerth.

Meiner Ansicht nach hat sie eine ebenso grosse biologische Bedeutung,

ÅLLGEMEINES. 61

wie die Cuticula-bildung und die Wachseinlagerung, welche bei der Epi-
dermis der in den Luftocean emporragenden Pflanzen ') sich finden, und
beruht, gleichwie diese, auf einem Einflusse des Aussenmediums. Die
Differenzirung einer von aussen benetzbaren und einer nicht benetzbaren
Epidermis ”) scheint mir einer von den besten Beweisen zu sein, dass
bei den hóheren Pflanzen Anpassungen an den Regen vorhanden sind, um
so mehr als eine benetzbare Epidermis, wie aus einer Menge von
Beispielen hervorgeht, sich am óftesten eben an denjenigen Stellen
findet, wohin das Wasser in Folge der Stellung der Pflanzentheile sich
sammelt.

4. Die gegenseitige Stellung von Pflanzentheilen, wie
Blattaehseln, niederliegenden Haaren, Einschnitten an Blättern u. s. w.

5. Innere (anatomische) Anpassungen, wie wasserabsor-
birende Gewebe, schwellende Secrete u. s. w.

Die oben 1, 2, 3, 3 und 5, angegebenen Anpassungen treten in-
dessen am öftesten auf die eine oder andere Weise verbunden auf; somit
werden Haarrinnen, Grübchen mit Haaren, Blattachseln mit Haaren ge-
bildet u. s. w., und. gewóhnlich haben haben sowhl Einsenkungen als
Haargebilde benetzbare Membranen.

Bemerkenswerth ist, dass alle diese Anpassungen an den Regen, so
fern ich habe finden können, bei allen submersen Pflanzentheilen fehlen;
dies bekräftigt noch weiter die Richtigkeit der dargelegten Deutung.

Es giebt bekanntlich auch Anordnungen zum directen Entfernen
des Regens von mehreren Pflanzentheilen, z. D. Blüthen, den Blattern
der Nymphæa u. s. w. Diese Anordnungen, welche durch die Stellung
der Pflanzentheile und nicht benetzbare Membranen bewirkt werden, sind

nicht hier behandelt.

Die Planzentheile, welche mit den oben beschriebenen Anordnun-
gen für den Regen versehen sein kónnen, sind folglich:

Stämme, mit z. B. Rinnen, Haarrändern u. s. w.

Niederblatter, z. B. bei Rubus Chamemorus.

Laubblätter, sowohl die Spreite als der Stiel und die Neben-
blüttchen.

1) Siehe PFEFFER, Pflanzenphys. p. 290—91.

2) Was die Thatsache betrifft, dass viele Pflanzen, welche sonst einen Unter-
schied aufweisen zwischen benetzbaren und nicht benetzbaren Theilen der Epidermis,
nach heftigen und langwierigen Regen an ihrer ganzen Oberflüche nass werden, wird
dies darauf beruhen. dass das Wachs an ihrer Epidermis mechanisch entfernt wird.

62 AXEL N. LUNDSTRÖM,

Hochblätter, z. B. bei Lobelia Erinus.

Bläithenstände, z. B. bei Cornus suecica, Peucedanum.

Bläthen, z. B. bei Parnassia.

Früchte; diese beabsichtige ich in einem besonderen Aufsatze zu
behandeln.

Alle die betreffenden Anordnungen sind zugleich dem Thau ange-
passt, sowohl wenn dieser sich direct an ihnen absetzt, was an einer
benetzbaren Membran meistens der Fall ist, als wenn er sich an ande-
ren, nicht benetzbaren Theilen der Pflanze so reichlich gebildet hat,
dass die Tropfen ihrer Schwere zufolge nach den erstgenannten Theilen
übergeführt werden.

Von dem Nützen und der Bedeutung des aufgefangenen Regens
für die Pflanze habe ich oben pag. 57 und 58 gesprochen. ;

Ich bin mir wohl gewärtig, dass man Einwendungen machen wird
gegen die hier vorgetragenen Deutungen. Namentlich erwarte ich die
Bemerkung, dass der auf die Pflanzen fallende Regen sich in der That
nicht so verhält, wie ich angegeben habe, sondern sich bald an diesen,
bald an jenen Pflanzentheil anhängt, ohne einem bestimmten Gesetze zu
folgen. Es kann. auch in vielen Fällen scheinen, wie wenn es so wäre,
besonders im Anfang eines Regens oder nach einem kürzeren Regen-
wetter. Man muss aber hier genau unterscheiden zwischen solchen Was-
sertropfen, welche auf die eine oder andere Weise von der Pflanze wirk-
lich festgehalten werden, und solchen welche nur zufülligerweise an einer
Epidermis sitzen geblieben sind, die sie nicht benetzen und von der sie
durch den gelindesten Wind oder Stoss abgeschüttelt werden, und man
muss auf die Verhältnisse Acht geben, welche wegen der Stellung und der
Form der Pflanzentheile die yewöhnlichsten sind. Denn ebenso wie man
bei einer nüheren Untersuchung von der Bestäubung entomophiler Blü-
then leicht findet, dass die Insecten in derselben Blüthe nicht immer auf
dieselbe Weise arbeiten oder denselben Weg gehen, obwohl der Bau der
Blüthe deutlich scheint eimen Weg zu bezeichnen, der am leichtesten zum
Ziele führt, so wird man auch finden, dass die hier besprochenen Anordnun-
gen, wenn sie auch ófters scheinen einen sehr grossen Spielraum dem
Zufalle zu überlassen, dennoch gerade so gemacht sind, dass sie auf
eine beste Weise das Festhalten, Leiten u. s. w. des Wassers ermóglichen.

Man wird vielleicht gegen diesen Vergleich mit der Anpassung
der entomophilen Blüthen einwenden, dass in Betreff des Regenauffan-
gens kein Gesetz erwiesen werden kann, das mit dem Hunger, welcher
die Insecten antreibt ihre Nahrung zu suchen, vergleichbar ware, noch

ALLGEMEINES. 63

irgend ein Umstand, welcher der leitenden Farbe und dem lockenden
Geruch der Blüthe gleichkäme. Dagegen will ich nur daran erin-
nern, dass den anemophilen Blüthen alle Lockmittel fehlen, obwohl sie
einer Bestäubung angepasst sind, die mehr als irgend etwas anderes
vom Winde abhängig ist, und dem Auffangen der Pollenkórner eine sehr
kleine Oberfläche darbieten. Ausserdem giebt es in der That Gesetze,
welehe für den herabfallenden Regentropfen gelten, nümlich das Gesetz
der Schwere, sowie Adhesions- und Cohesionsgesetze, wodurch die An-
passung der Pflanzentheile in Gestalt, Bekleidung und Stellung an be-
stimmte Gesetze leicht móglich wird.

Ich bin darum überzeugt, dass die Frage von den Anpassungen
der Pflanzen an den Regen, wenn auch man befinden sollte, dass mehrere
der obengenannten Anordnungen zugleich auf andere Zwecke abgesehen
sind, und meine Deutungen dadurch eine Modification erleiden würden,
dennoch ein Gesichtspunkt bleiben wird, der von der Wissenschaft ins
' Auge gefasst werden muss.

LIBRARY |=

=

64 AxEL N. LUNDSTRÖM,

ERKLARUNG DER ABBILDUNGEN.

BEST.

Stellaria media Cyrill. Fig. 1-5. Geranium sylvaticum L. Fig. 6.

Fig. 1. Stellaria media Cyrill. (1!/, Vergrösserung), ein Theil eines Exemplares, ein wenig

von oben gesehen. a, a die am Rande gewimperten Blattstiele, dem ersten Laub-
blattpaare gehórend; b das kahle Internodium zwischen dem ersten und zweiten
Laubblattpaare; e das einseitig bebaarte Internodium zwischen dem 2:ten und
3:ten Laubblattpaare (der Haarrand ist von dem Betrachter abgekehrt); x Wasser,
das sich in der Achsel des dritten Laubblattpaares gesammelt hat und da von
den ausgesperrten Haaren des Blattstieles festgehalten wird; d das nächstfolgende
einseitig behaarte Internodium, oberhalb dessen die Hauptaxe blüthentragend ist;
nach der Bestäubung hat der Fruchtstiel e sich abwärts gebogen zwischen die Laub-
blätter und nach der Seite, wo das untersitzende Internodium d kahl ist; f die
noch nicht geóffnete, vom Kelche umschlossene Frucht; g das oberste Blatt-
paar der Hauptaxe; h, h die diesem Blattpaare gehörigen Blattstiele, von oben
gesehen, die Stellung der regenfesthaltenden Haare und die zwischenliegende
Hauptaxe in Querschnitt und mit Haarrande zeigend.

2. Stellaria media (natürl. Grüsse). a zweiseitig haariges Internodium, worauf
folgt ein einseitig haariges 5, gegen dessen kahle Seite der Fruchtstiel c herab-
gebogen ist und einen sebr spitzigen Winkel hildet

3. Stellaria media. Ein Theil des Quersehnittes durch ein Internodium, die
Epidermis und einige Haare zeigend. «a, a Haare, zwischen deren Basalzellen
Wasser e festgehalten wird; 5 Basalzellen der Haare; an den Schnitten er-
sieht man, dass sie eine dickere Zellmembran und eine mehr oder weniger
deutlich wellenfórmige Cuticula (siehe den Text) haben, und dass es vorzüg-
lich diese Zellen sind, welehe mit Wasser in Berührung kommen; J’ die uhrglas-
förmige punktirte (perforirte?) Membran der untersten Haarzelle; c gewöhnliche
Epidermiszellen, deren nach aussen gekehrte Wand, da die Zellen ihren Turgor .
verloren haben, eine deutlich wellenfórmige Cuticula zeigt; c chlorophyllfüh-
rendes Parenchym.

4. Stellaria media. Ein Haar vom Rande des Blattstieles. « die Fusszelle,
deren Cuticula radial vom Grunde des Haares ausgehende Ränder zeigt, die
dadureh gebildet werden, dass, wenn die Zelle ihren Turgor verliert und die
Membran sich zusammenzieht, die Cuticula, weil weniger elastisch, sich in feine
Faltchen legt; 5 die nächstfolgende Zelle, welche durch eine punktirte (oder
perforirte?) Membran von a getrennt ist; diese Zelle, nebst den nächstoberen,
hat eine dickere Cellulose-membran als die äussersten Zellen des Haares und
wird also durch Jod und Schwefelsäure deutlicher blauviolett gefärbt.

Fig.

»

»

»

»

»

ERKLÄRUNG DER ABBILDUNGEN. 65

5. Stellaria media. Ein Driisenhaar des Kelches. *

6. "Geranium sylvaticum. Ein Drüsenhaar von dem eingesenkten Blattnerven; a
die angeschwollene Endzelle, deren Cuticula an der Spitze x geborsten ist, so
dass die Cellulose-membran in unmittelbare Berührung mit dem Wasser kommt.
Der Inhalt aller Zellen hat sich durch Behandlung mit Alcohol und Glycerin
ein wenig von der Zellwand zurückgezogen.

BIS

Melampyrum pratense und M. sylvaticum.

" 1. M. pratense. Ein Theil der Hauptaxe mit einem Zweige aus einer Keim-

blattachsel. a, a die Keimblätter, b der kahle hypocotyle Stammtheil, c das
zweiseitig behaarte erste Internodium; d das nur an der Unterseite haarige,
fast gerade abstehende erste Internodium eines Zweiges aus der Achsel des
Keimblattes; e, e das erste Blattpaar des Zweiges mit den fast vertical stehen-
den Blattbasen und den oberen, mehr horizontal ausgebreiteten Theilen der
Spreite; z die Stelle, wo das an den Bláttern aufgefangene Regenwasser sich
sammelt, um sich längs dem Haarrande an der Unterseite des Zweiges weiter
zu verbreiten; f das zweiseitig behaarte, zweite Internodium des Zweiges.
Natiirl. Grüsse (ein ziemlich grosses Exemplar).

2. M. pratense. Das erste Blattpaar des Zweiges, von vorn gesehen, um die
Stellung der Blattspreiten zu zeigen (entspricht Fig. 1 e, e; siehe deren Erkla-
rung oben); @ die Haare an der Unterseite des Zweiges.

3. Durchschnitt eines Blattes (e Fig. 1) nahe an der Blattbasis; a die Haar-
gebilde des Mittelnerven an der Oberseite des Blattes; 5 die Haargebilde am
abwärts geriehteten Blattrand. Die inneren Gewebe des Blattes sind nicht ge-
zeichnet. 40-mal vergröss.

4. M. pratense. Querschnitt durch ein zweiseitig behaartes Internodium (f
Fig. 1) Zweierlei Haargebilde (siehe den Text). 40-mal vergr.

5. M. pratense Ein Theil der kahlen Epidermis von der Oberseite eines
einseitig behaarten Zweiges (d Fig. 1). Die nach aussen gekehrten Membra-
nen sind bedeutend dicker, als die der Epidermiszellen der Unterseite (siehe
folg. Figur).

6. M. pratense. Epidermis von der Unterseite eines einseitig behaarten Inter-
nodiums (in Querschnitt). Die gerundeten Drüsenhaare (a) sitzen in Ein-
senkungen, in denen Wasser leicht festgehalten wird.

7. M. sylvaticum. Der niedere Theil eines grósseren Exemplares in natürlieher
Grösse. a Keimblatt; d der hypoeotyle Stammtheil, der nächst unter dem
Zwischenraume der Keimblätter mit unbedeutenden, nach unten allmählich ver-
schwindenden Haarründern versehen ist; c das erste, zweiseitig behaarte Inter-
nodium der Hauptaxe; die Haarründer sind nach vorn und nach hinten gekehrt;
d ein von der Keimblattaehsel ausgehender Zweig, welcher wahrscheinlich
wegen minder günstiger Lichtverhältnisse in seiner Entwickelung stehen ge-
ist, blieben nachdem das übersitzende Zweigpaar (g, g) sich gebildet hatte;
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 9

66 AxEL N. LUNDSTRÖM,

f, f die ersten Laubblätter der Hauptaxe, in deren Achseln die fast aufrecht
wachsenden, zweiseitig behaarten Zweige (q, q) sitzen; h das erste Blatt des
Zweiges (g); die Spreite ist hier nicht gegen die Basis gedreht, sondern hat
ungefähr dieselbe horizontale Stellung, wie die Blattpaare a, / und 7 (das
zweite Laubblattpaar); x, c, x die Stellen, wohin das an den Blättern und
am Stamme aufgefangeue Regenwasser geleitet wird, um dann längs den unter-
liegenden Haarràndern sieh weiter zu verbreiten und festgehalten werden.

IL, TU,

Thalictrum simplex L. (Fig. 1—6) und Rubus Chamemorus L. (Fig. 7—9).

»

1. Thalietrum simplex. Die Nebenblättchen von der Seite aus gesehen, mit
einem Theile des Stengels und den angrenzenden Blättchen (1 !/,-mal vergr.)

2. Thalictrum simplex. Die Nebenblättchenschale, von vorn gesehen, den ge-
franzten Rand zeigend und die Form der Schale, wenn sie mit Wasser gefüllt
ist (dies ist jedoch lier weggenommen).

3. Thalictrum simplex. Schematisches Bild von einem Blatt mit uutersitzender
Nebenblättehenschale x (siehe den Text)

4, Thalictrum simplex. Querschnitt durch den äusseren Theil einer Neben-
blättchenschale. Die oberen kleineren Zellen sind nach aussen gewendet und
werden an der mehr dickwandigen Ausseuseite vom Regen nicht genetzt. Die
grüsseren, dünnwandigen Zellen sind naeh innen gekehrt und werden von dem
Wasser, womit sie in Berührung kommen, sogleich genetzt.

5. Thalictrum simplex. Querschnitt durch die Nebenblättchenschale, näher am
Stamme. Die Sehale ist hier aus mehreren Zellenschiehten gebildet und die
nach aussen und nach innen gewendeten Zellen zeigen die nämlichen Verschie-
denheiten wie bei Fig. 4.

6. Thalictrum simplex. Ein Theil einer Nebenblättchenschale, die in Wasser
gelegen hat. Der Inhalt (Gummi) der abgeschnittenen, naeh oben gewendeten
Zellen ist aufgelóst und die Zellen erscheinen wasserklar. Die unteren, nieht
abgesehnittenen, dunkel gezeichneten Zellen sind angeschwolien, aber ihr Inhalt
ist geblieben, so dass sie braun erscheinen.

7. Rubus Chamæmorus, in naturlicher Grósse und Stellung, die schaleufórmigen,
wasserauffangenden Blütter zeigend, die an ihren eingesenkten Nerven Wasser
festhalten und es längs dem rinnenfürmigen Blattstiele nach den schalenförmigen
Nebenblättehen leiten, welehe an der inneren Seite genetzt werden und Wasser
zwischen sieh sammeln. Das überlaufende Wasser wird von den dütenförmigen
Niederblättern aufgesammelt, die ihre weiteste Offnung unter dem Zwischen-
raume der Nebenblittehen haben.

8. Rubus Chamæmorus. Etwas vergróssertes Bild eines Blattheiles, von der
oberen Seite aus gesehen, die eingesenkten wasserfesthaltenden Nerven mit
kurzen secretführenden Drüsenzotten zeigend.

. . *
9. Rubus Chamemorus. Quersehnitt dureh ein Nebenblättchen mit dickeren
Zellwänden an der áusseren Seite als an der inneren.

»

»

ERKLÄRUNG DER ABBILDUNGEN. 67

IPL, UN.

Trifolium repens (Fig. 1—7) und Fraxinus excelsior (Fig. 8—10).

. 1. Trifolium repens. Blatt in Tagesstellung, an der Unterseite der Blittchen

Regenwasser (a) festhaltend.

2. Trifolium repens. Blatt in Nachtstellung mit dem Endblatte iiber die Seiten-
blätter gefaltet.

3. Trifolium repens. Unentwickeltes Blatt, die Lage der Blättchen zeigend.
Alle nach aussen gewendeten Theile sind mit einem gummi-oder schleimartigen
Secret überzogen (Fig. 1—3 natiirl. Gr.).

4. Trifolium repens. Ein halbes Blatt, von der Unterseite aus gesehen, den
gefirnissten, mit kurzen secretführenden Zotten und langen gewóhnlichen Haaren
versehenen Rand zeigend, der von Wasser genetzt wird. Am Mittelnerven
zeigen sich auch die Zotten (5-mal vergr.). |

5. Trifolium repens. Ein Theil des Blattrandes, von unten gesehen. a gewöhn-
liche lange Haare; b Blattzähne; c secretführende Zotten, an deren Grunde die
benaehbarten Epidermiszellen fein wellenfórmige Membranen haben; d punktirte
Linien, die Riehtung der unterliegenden Gefässbündel angebend (30-mal vergr.).
6. Trifolium repens. Ein Theil der oberen Epidermis der Blättchen, von oben
gesehen. Die Epidermiszellen sind halbkugelförmig erhöht, und zwei Spaltöff-
nungen (Luftporen) erscheinen in den Vertiefungen zwischen ihnen.

7. Trifolium repens. Ein Theil der unteren Epidermis des Blattrandes. a se-
eretführende Zotten; b Spaltöffnungen (Wasserporen); c gewöhnliche Epidermis
zellen; diese sind. hier (am Blattrande) flach, nicht erhóht, und ihre Cuti-
eula ist mit einem klebrigen Stoffe überzogen. Die feinen randähnlichen Erhö-
hungen an der Cutieula gehen radial von der Basis der Zotten a aus, und sind
eben da am deutlichsten.

8. Fraxinus excelsior. Ein Theil eines Blattes, die rinnenfórmige Basis der
Blättehen (b, 0) und die Einsenkung c zwischen ihnen an der rinnenförmigen
Rhachis a zeigend.

9. Fraxinus excelsior. Durchschnitt von Rhachis. « die geschlossene Rinne,
an der inneren Seite mit Haargebilden versehen.

10. Fraxinus excelsior. Epidermis von der inneren Seite der Rinne. a eine
schildformige Schuppe; 6, b gewöhnliche Epidermiszellen.

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SUR
LA DISTRIBUTION DES ELEMENTS
MÉTÉOROLOGIQUES

AUTOUR DES MINIMA ET DES MAXIMA BAROMETRIQUES

H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON.

(PRÉSENTÉ A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 10 MARS 1883.)

UPSAL
EDY. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1883.

(ARE eats OE XT det HP TET: LRF AT SIV Arama "n k "

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E
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a
N

Sur la distribution des éléments météorologiques autour des
minima et des maxima barométriques.

Les premiéres cartes synoptiques, dressées en Europe et en
Amérique vers le milieu de ce siécle, ont déjà démontré que les
minima et les maxima barométriques aménent des temps tout A fait dif-
férents. Les recherches qu'on a faites depuis, nous ont appris qu'aux
différentes portions d'une seule et méme dépression correspondent pour
ainsi dire des climats différents. La portion antérieure améne par exem-
ple un temps chaud, humide et couvert; la portion postérieure un beau
temps clair et froid. ;

Des phénomènes analogues bien que moins distincts se répètent
pour les diverses parties d'un maximum.

Il serait important toutefois, tant pour la théorie que pour la
pratique et surtout pour la prévision du temps, d'étudier de prés les
moyennes des éléments météorologiques d'un certain lieu, quand il se
trouve à des distances différentes et sur des cótés opposés des centres
des maxima ou des minima. En faisant ces recherches pour un nombre
considérable de lieux situés dans des parties diverses de la terre on jet-
terait probablement beaucoup de lumiére sur quantité d'autres questions
qui se rattachent à l’origine et à la propagation des minima baromé-
triques ainsi qu'à leur mécanisme intérieur. Nous présentons ici une
étude de ce genre faite sur nos régions et surtout sur Upsala, en tant
que cette étude a pu se faire avec les ressources dont on dispose ac-
tuellement. Nous ne donnons done ce travail que comme une première
détermination approximative.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

Dans les minima et les maxima nous avons examiné les zones
suivantes:

B = au-dessous de 745 millim.
CABE AE sae 755 „
D= 75% 760 =

1 == AD: so oe 765

F = au-dessus de 765 «xy

Max. =la région intérieure d'un maximum ot les vents son varia-
bles et les calmes nombreux.

M.-l'espace entre deux minima.

Dans chacune des zones plus ou moins circulaires B—F, on dis-
tingue huit aires suivant que le gradient est dirigé vers*N, NW, W,
SW, S, SE, E, NE. Il en résulte, pour ces zones, quarante aires diffé-
rentes, savoir:

Bie) bn BW. ebne
En. 2 Ciaws -Cw 3-92 0ne
Dn Dnw, Dw.... Dne
En, Enw, Ew .... Ene
ie Enw Ieee so Je

Ajoutons-y A, M, Max, ce qui nous fait quarante-trois aires.

Fig*1

Min. Max.

D'abord, il faut établir à l'aide de la carte synoptique dans quelle
aire se trouve, chaque jour, la station qu'on considére et calculer en-
suite, d'aprés les tableaux météorologiques, les valeurs moyennes des
différents éléments météorologiques pour la matinée de chacune des jours
qui appartiennent au méme groupe. |

On comprend que pour obtenir ainsi des valeurs exactes, il faut
des cartes et des observations portant sur un laps de temps consi-

DISTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 3

dérable, surtout si l'on veut étudier l'influence des différentes saisons,
la direction et la grandeur du gradient. Pour le moment il n'y a pas
moyen d'aspirer à une solution si compléte du probléme. Dans la
plupart des cas, il est vrai, nous avons examiné séparémment la
saison douce, ou les mois d'avril à septembre, et la saison froide, ou
les mois d'oetobre à mars, mais il nous a fallu laisser de cóté l'influence
exercée probablement par la direction de la trajectoire du centre et la
grandeur du gradient.

En ce qui touche nos régions nous n'avons de cartes synoptiques
exactes que pour la période comprise entre septembre 1873 et novem-
bre 1876, et qui ont été publiées par M Horrmeyer. Grâce à la com-
plaisance de ce dernier j'ai pu me servir de ses cartes pour l'année 1868
et la première moitié de 1869, dont le manuscrit se trouve à l'Institut
météorologique de Copenhague'. De plus, je me suis servi pour l'an-
née 1877 des cartes météorologiques journaliéres publiées par l'Institut
météorologique de Stockholm.

Avant de passer aux résultats obtenus par nos recherches, nous
tenons à exprimer toute notre gratitude à M. A. HELJESTRAND qui, par
pur intérét pour la science, nous a gracieusemeut aidé à faire les longs
et pénibles calculs.

I Direction et vitesse du vent.

Les tableaux suivants (I, ID indiquent, pour chacune des aires
dont nous venons de parler, la direction moyenne du vent à Upsala en
ihver (octobre—mars) et en été (avril —septembre).

Tab. I. Direction du vent à Upsala en hiver.

B C D E Ye
N W33°15'S S 42°40'W W39°33'S S 37034 W W42°30'S
NW S 21°50'W S 9°51'W S 14°47°W S 11°48'W S 15°43'we
W S 34"25'E S 29? 2'E S 34?29'E S 28944'E S 41°47'E
SW E 39"46'N E 32°14'N E 7926'N E 20937'N E 32? 9'N
S N 35°40'E E 37° TE N 17°19'E E 38?36'N N34"58'E
SE N 13929"W N 0°40'E N 1°42'E N 3°37'E N 5° 4'W
E N 39°27'W N 27°55'W N 33°48'W W40°20'N N 43°29'W
NE W 1°34'S W 4°52'N W 3?28'N W13° 1'N W27°57'S

(A = N1199.E. M = W9°51'S. Max. W28?10'N.)

! C'est avec le plus grand plaisir que les météorologistes ont appris que l'ex-
cellent recueil de cartes météorologiques entrepris par M. HoFFMEYER et interrompu
depuis quelque temps va étre continué par M. HOFFMEYER et M. NEUMAYER, le savant
directeur de la Seewarte de Hambourg.

4 H. HILDEBRAND-HILDEBRANDSSON,

Tab. II. Direction du vent à Upsala en été.

B € D E F
N W40937'S W26°10'S W30°37'S W29945'S N 5948'W
NW S 16?28'W S 22037'W S 21958'W S 26?13"W S 11°13'W
W S 38°28'W S 26°49'E S 23031'E S 31°26'E S 36° 5'E
SW E 35044'N E 4946'S E 15°24'S E 22933'N E 7933'S
S N 45° O'E N 270 2E N 370 2E N 24034'E N 37929'E
SE N 11°12'W N 5° OW N 4933'W N 4° TE N 4°59'E
E N 370 1"W N 26° TW N 320 5'W N 23°57 W N 13°50'W
NE W33°59'S W28045'N W37°11'N W41928'N W38°21'N

Fig. 2. Direction du vent a Upsala.
(Vhiver.)

Max.

Si lon calcule, à l'aide de ces tableaux, l'angle du vent avec le
D I
gradient à différentes distances du centre, on a le résultat suivant:

B (0) D E F
en hiver 43012 47043 46°30! 47918! 38028:
en été 46910' 569 8' 59036‘ 54050' 58034
moyenne 44041 51055! 53° 3! 51° 4! 48931'

Comme on le voit, les valeurs sont un peu incertaines à cause
du temps trop court que comprennent nos recherches. "Toutefois on
peut se convaincre qeu l'angle fait par le vent avec le gradient est plus
grand en été qu'en hiver. Dans son étude bien connue sur les orages
de 1868 en Norvège’, M. le professeur Moun à trouvé l'angle en que-
stion = 56°21’, valeur qui n'est pas bien éloignée de celle que nous avons
trouvée pour l'été. En Amérique cet angle n'atteint d'aprés M. Loomis?
qu'à 42*,10', ce qui est moins qu'à Upsala en hiver.

! Om Tordenvejr i Norge i 1868. (Vidensk. Selsk. Forhandl. 1869.)

? Results of an examination of the U. S. War Maps. P. I. (American Jour-
nal of Science and Arts 1874.)

DisrRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 5

Selon les recherches théoriques de MM. Moun et GULDBERG', cet
angle, «, doit varier aussi bien suivant la latitude, 6, que suivant la nature
du sol et le coéfficient de frottement, k, qui en dépend. En effet ils
ont trouvé

k = 2» Sine Cotange

doi w= Sede = 000007292, c'est-à-dire la vitesse angulaire de la terre.

De méme M. CLEMENT Ley a trouvé « = 61?7' à des stations éloig-
nées de la mer, savoir Londres, Nottingham, Oxford, Bruxelles et Paris,
et- 77°11’ à des stations maritimes, savoir Brest, Scilly, Yarmouth, Pem-
broke et Helgoland.

Par conséquent j'ai dá étudier la direction du vent à des stations
placées dans une meilleure situation qu'Upsala, et pour cela j'ai choisi
trois phares situés en pleine mer et à la plus grande 'distance possible
des côtes. Grace à l'obligeance de M. le capitaine de frégate MALMBERG,
directeur du Bureau Nautique de Stockholm, j'ai eu à ma disposition les
régistres météorologiques, tenus aux phares de Wäderöbod, d'Utklippan
et de Sandön. Wäderöbod est une petite roche dans le Kattegat au
nord-est du Jutland et à une distance de plusieurs kilométres de la cóte
suédoise. Utklippan est également une petite ile rocheuse dans la Bal-
tique au sud de Carlskrona. Sandón enfin est un banc de sable situé
en pleine mer à cinquante-cing kilomètres au nord du Gothland et très
peu élevé au-dessus de l'eau. A l'aide des cartes de M. HorFMEYER j'ai
déterminé, pour chaque jour depuis le 1” septembre 1873 jusqu'au 1”
décembre 1876, la situation de chacun de ces phares par rapport aux
maxima et aux minima. Les calculs ont été faits de la même manière
que pour Upsala. Les tableaux III—V en contiennent les résultats.

Tab. III. Direction du vent à Wäderöbod (pour l'année).

B C D E F
N W27°280'S W32023'S W31° 68 W33°48'S W36°30'S
NW S 33928'W S 24936'W S 21°28'W S 20°46'W S 28"47'W
W S 35028'E S 30042'E S 29953'E S 35024E S 41"59'E
SW E11? 0'S E179 9'S E 13?20'S E 8° 48 E 1957'N
S E 14014N E 30935'N E 23939'N E 30°31'N E 35913'N
SE N30» 2'E N 34054E N 39039'E N 30° 5'E N 37°12'E
E N 30°22'W N 6037W N 0224'E N 4°58'W N 200 0'W
NE W26032'N W149219'N W 5°11'N W10°36'N W24951'N

1 Études sur les mouvements de l'atmosphère. P. I. Christiania 1876.

6 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON.

Tab. IV. Direction du vent a Utklippan (pour l'année).

B €
N W24935'S W28921'S
NW S 29016'W S 18056'W
W S 25050'E S 33930'E
SW E 22033'S E 15°48'S
8 — E 24952'N
SE N 150 2'E N 23?58'E
E N 16°43'W N 14930"W
NE W18953'N W21°33'N

Tab. V. Direction du vent

B €
N W17954'S W18°48'S
NW S 37055'W S 35024^W
W S 12044'H S 18035'E
SW E309 2'S E 31°46'S
S E 22°33'N E 18913'N
SE N 34912'E N 350 9'E
E N 8°36'W N 6°25'W
NE W33°19'N W30940'N

D
W24°18'S
S 22055'W
S 23021’E
E 13°17'S
E 18°41'N
N 23058'E
N 11?34^W
W14930'N

E
W220 78
S 15° 9'W
S 38995'E
E 13°43'S
E 22040'N
N 21033'E
N 22030'W
W16° 8'N

F
W25039'S
S 14^12"W
S 39014E
E 9952'S
E 29042'N
N 22° 1'E
N 31° O'W
W16°55'N

& Sandön (pour l’année).

D
W16°1L'S
S 30935'W
S 21°47'E
E 24°35'S
E 10°49‘N
N 26013'E
N 13011'W
‘W320 ON

E
W20^32'S
S 33°10'W
S 18° 7'E
E 22029'3
E 27027'N
N 29958'E
N 6046'W
W40049'N

Fig. 3. Direction du vent à Sandön.
(l'année.)

Min.

ES

DÅ

Max.

F
W23°56'S
S 36°44'W
S 27024E
E 11°42'S
E 23018'N
N 21?23'E
N 09 0'W
W170 4N

En calculant l'angle « on a les valeurs suivantes:

B C
Wäderübod 66042: 66020
Utklippan 66057! 64052!
Sandön 76043! 76022!
Moyenne 70071! 69011‘

D
66056!
67° 6'
73°56!
69°19!

E
630 8!
62036!
74011!
66038!

P
61054,
59041:
69047!
63047!

ll s'ensuit que l'angle déjà considérable pour les deux premiers
phares, atteint à Sandón une valeur qui égale, à peu de chose prés,
celle que M. CLEMENT Ley avait obtenue pour les stations maritimes

dont il s'était occupé.

DISTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 7

L'angle « est plus grand dans les minima (D, C, D) que dans les
maxima (Z, P), phénomène bien connu de tous ceux qui ont étudié des
cartes synoptiques, mais il importe aussi de constater que, dans les
minima la dimension de cet angle varie peu, quelle que soit la distance
du centre. Ce résultat s’accorde parfaitement avec la théorie d’après
laquelle l'air se rapproche du centre d'une dépression en spirales loga-
rithmiques.

Si, au contraire, on calcule la valeur de l'angle e selon les diffé-
rentes directions du gradient, on a les valeurs suivantes:

Le gradient dirigé vers

N NW W SW 8 SE E NE

Utklippan 64059 650 6' 57056 60»21' 66» 1' 66»18' 70"45' 62»36'

Wüderóbod 57947' 70049 550 9' 54031 63010! 79022 TT7*4l' 61^"18'

Sandön 70°31’ 79046 70917! 69» 7! 69032 75035 830 0' 75046!

Moyenne 64026 70054 61°11’ 61920' 66014 73045 770 9! 66033!

Ce résultat est conforme à ceux qu'ont obtenus M. CLEMENT LEY
en Angleterre’ M. Horrmeyer en Danemark? et M. SPINDLER en Russie’,
en ce que langle « a sa plus grande valeur pour le gradient dirigé
vers l'est et sa plus petite pour le gradient dirigé vers l’ouest. Mais il
est tout à fait extraordinaire que pour le gradient dirigé vers le nord-
ouest langle ait, aux trois stations en question, une valeur excessive-
ment haute. On sait que, pour les parties orientales des Etats-Unis,
M. Loomis? a obtenu le résultat contraire, langle y étant plus grand
dans la partie antérieure que dans la partie postérieure d'un tourbillon,
c’est-à-dire plus grand pour le gradient dirigé vers l’ouest que pour le
gradient dirigé vers l'est.

On a expliqué ce phénoméne par le fait qu'en Amérique la mer est
située à l'est et le continent à l'ouest, tandis qu'en Europe c'est l'inverse
qui a lieu, et que par conséquent le coéfficient de frottement devait y
étre plus grand dans la partie postérieure du tourbillon, au lieu que, chez
nous, il est plus grand dans la partie antérieure. En effet, nous venons
de voir que l'angle en question diminue au fur et à mesure que le frot-
tement contre la surface de la terre augmente. Il n'y a pas lieu de
douter qu'en substance cette explication ne soit la bonne.

1 Journal of Scotish met. Soc. Vol. IV, p. 69, 1873. Quarterly Journal of
the met. Soc. Oct. 1877, etc.

? Zeitschr. d. ósterr. Gesellsch. f. Meteorologie. October 1878.
3 Repertorium f. Meteorologie. Bd. VII. N. 5.
ze:

8 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

Toutefois il parait que ce n'est pas là la seule cause de la valeur
différente des angles des deux cótés du centre. Dans ce cas on s'at-
tendrait à une plus grande différence entre eux dans nos trois stations,
dont la situation par rapport à la cóte et à la mer est si diverse: Wä-
deróbod a la terre à l'est et là mer à l'ouest, Utklippan, la terre au
nord-nord-ouest et la mer au sud et à l'est, Sandón enfin est situé en
pleine mer. Néanmoins elles montrent l'aecord le plus étroit. Cela
nous parait venir à l'appui de l'opinion de M. Körrpen', selon laquelle
ce qui a lieu en Europe doit probablement être considéré somme nor-
mal, vu que la dépression entraine successivement par sa partie anté-
rieure des couches d'air jusque là en repos, tandis que l'air de sa partie
postérieure sortant du tourbillon revient à un état de calme. Les vents
de la partie antérieure sont donc des vents naissants (»entstehende»), ceux
de la partie postérieure des vents qui vont s'affaiblissant (»erlóschende»).

Cela admis, langle entre le vent et le gradient est nécessaire-
ment, comme le démontre géométriquement M. Körren, plus petit au
devant qu'à l’arriére.

Les tableaux suivants indiquent en métres par seconde les diffé-
rences entre la vitesse du vent et la vitesse moyenne à Upsala. On s'est
servi des observations faites deux fois par jour sur l'anémométre en-
régistrant, l'une à 8", l'autre à 10" du matin.

On a caleulé, pour chaque aire et pour chacune de ces heures, la
vitesse moyenne ainsi que la différence entre ces vitesses et la vitesse
moyenne normale de chacune de ces heures.

Tab. VI. Difference entre la vitesse du vent et la vitesse moyenne à St et à 10" du
matin à Upsala (pendant l'hiver).

B (0) D E F Moy.
N + 1.50 + 0.32 + 1.76 + 2.47 + 010 + 1.230
NE — 0.44 — 0:16 — 0.38 — 0.90 — 1.89 — 0.754
E + 2.09 —041 + 0.86 = fn — 1.61 — 0.076
SE + 1.47 + 2.07 + 1.25 = 1038 — 0.20 + 0.862
S + 1.33 + 1.66 + 0.70 = 0.82 — 0.68 + 0.438
SW + 0.24 — 1.46 — 0.23 — 0.42 — 0.28 — 0.430
W + 1.17 + 0.97 + 0.32 — 028 — 0.54 + 0.378
NW + 3.63 + 2.76 + 0.98 + 0.87 + 0.24 + 1.696
Moy. + 1.37 + 0.72 + 0.66 — 0.10 — 0.61
Mx — —2:56 M = —0.82 A = -053

1 Zeitschr. d. ósterr. Ges. f. Meteorol. 1880, p. 41. 1883, p. 43.

DISTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 9

Tab. VII. Diference entre la vitesse du vent et la vitesse moyenne à 8» et à 10%
du matin à Upsala (pendant l'été).

B C
N + 1.05 + 1.21
NW + 3.81 + 1.7
W + 0.70 + 0.02
SW + 1.27 — 1.06
S —— 2:05 + 1.49
SE + 0.25 + 1.83
E + 2.08 + 0.36
NE = (05 + 1.12
Moy. + 0.79 + 0.37

A = —0.36;

D
— 0.11
+ 0.58
— 0.71
— 1.85
+ 0.13
+ 0.54
— 0:02
— 0.26
— 022

M = —1.35;

E F Moy.
0.12 1:27 + 0.20
1.08 + 0.27 + 1.37
0.59 — 1,12 — 0.34
0.16 — 0.18 — 0.40
0.34 — 1.02 — 0.22
1.11 + 1.72 + 1.09
0.22 + 2.32 + 0.99
0.34 + 0,59 + 0.07
0.22 + 0.16
Max. — —1.58.

Aux phares de Wäderöbod et de Sandön la vitesse du vent a été
évaluée d’après l'échelle de Braurorr (0—12).
donnent les valeurs moyennes de ces observations faites à 8" du matin.

Tab. VIII.

Tab. IX. Vitesse du vent à S^ du

Les tableaux suivants

Vitesse du vent à 8" du matin à Wäderöbod (l'année).

B

80
NW 7.5
W 55
SW 4.8
S 5.6
SE 5.8
E 5.4
NE 5.6
A = zs

B
N 6.5
NW 6.8
W 5.0
SW 5.6
S 6.0
SE 7.3
E 7.0
NE 5.4

AX e 2g

C
5.7
6.4
4.4
4.0
4.4
5.7
6.3
5.9

ME

D
5.3
4.9
3.5
3.1
4.5
5.1
5.3
5.7

213

C D
5.8 5.6
Gee 5:0
Sn: Ne
44 42
5.8 4.0
6.4 48
Eu dm
ES EE
M = 3.0;

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

E
5.3
4.4
3.4
3.0
5.3
4.9
4.4
4.0

Mx

F
5.0
4.1
3.0
3.6
5.3
4.0
3.8
4.0

= Pole

matin à Sandön (l'année).

E
5.0
4.6
3.6
4.4
5.4
5.3
4.5
4.4

Max.

F
4.1
4.3
2.1
3.9
DI
4.8
5.3
4.4

= US

10 H. HILDEBRAND-HILDEBRANDSSON,

Tab. X. Moyenne de ces vitesses.

B C D E F Moy.
N 12 Rie GA du d Eua
NW 71 60 50 45 42 54
W 5.2 4:0) 356 3.5 25 BAD
WW 88 Ap 86 Su ae ai
S GS fol Ho me Bu e
Su 85 @0 BO En» An He
E 6.2 5.9 5.0 44 45 5.2
Jg, Bus BH 5.5 Aa a M
Moy. Gl 53 47 a5 A

IK == P2205 Vers Wes, = 24
a

Il résulte de ces tableaux que la vitesse du vent est minimum
dans les régions A, M et Max. ou dans le voisinage d'un centre de dé-
pression, entre deux minima et dans les parties centrales d'un maximum.
De lintérieur d'une anticyclone elle augmente continuellement à mesure
que la pression barométrique diminue, et elle atteint son maximum dans
le voisinage du calme central des dépressions barométriques.

D'un autre cóté, si nous regardons les différentes directions du
gradient, sa direction vers le nord parait amener la plus grande vitesse
du vent et sa direction vers l'ouest et le sud-ouest, la plus petite.

IL Marche des nuages inférieurs.

J'ai déjà établi, il y a quelques années, cette loi générale que la
marche des nuages inférieurs dévie à droite de la direction du vent à
la surface de la terre, c'est-à-dire que les courants aériens dans lesquels
nagent ces nuages font avec le gradient un angle plus grand que le
vent. Comme il n'existe en Suède qu'une seule série d'observations
sur la marche des nuages inférieurs, celle d'Upsala, et qu'il n'a pas été
possible de faire chaque jour des observations de ce genre, il a fallu se
servir du plus grand nombre d'années possible. C'est pourquoi j'ai
employé aussi pour cette recherche les années 1878—1881 des cartes
météorologiques journaliéres de l'Institut météorologique de Stockholm.
Le résultat en est indiqué par le tableau suivant.

! Atlas des Mouvements supérieurs de l'atmosphére. Stockholm 1877, p. 14.

i

DISTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. Jl

Tab. XL Marche des nuages inférieurs à Upsala (pour l'année).

B C D E F
N W10°10'S W 3°38'S W 2051'S W 5955'S W20?31'S
NW W38^46'S W40°46'S W33920'S . W269?53'S W36037’S
W 3 1108 3UW S 12?25'W S 13°11'W S 12027'W S 0°30'W
SW E 31921'218 E33? 95 S 37035'E E 12°41'S E 26044'S
S E 9022'N E 27042'N E 29920'N E 31928'N E. 7032'N
SE - N 26^19'E N 25933'E N 33° 8'E N 33042'E N 29056'E
E N 3942'W N 6924'W N 3° 0E N 9025'E N 0047'E
NE W409 4'N N 41912'W N 40026'W W44038'N N 20031'W

Fig. 4. Marche des nuages inferieurs a Upsala.

Min. Max.

Nous voyons par là que la loi précitée est confirmée. Les cou-
rants aériens dans lesquels nagent les nuages inférieurs, marchent dans
une direction presque perpendiculaire à celle du gradient ou paralléle à
la tangente des isobares. En examinant de prés les valeurs obtenues,
nous voyons que, lorsque le gradient s'abaisse vers l'ouest, l'angle qu'il
fait avec la direction des nuages est même plus grand que 90°; c'est-à-
dire que l'air s'éloigne du centre d'un minimum et se porte vers le
centre d'un maximum. On sait que tel est le mouvement de l'air dans
les régions des cirrus ou dans les couches les plus élevées de l'atmos-
phére, ce que nous allons étudier de plus prés tout à lheure. Dans la
partie antérieure d'une dépression ce mouvement s'étend donc plus bas
vers la surface du sol que dans la partie postérieure. Par conséquent
les courants d'air qui entrent dans la dépression prés de la terre, attei-
gnent une hauteur plus considérable dans la partie postérieure que dans
la partie antérieure ou ils ont moins d'épaisseur.

12 | ' H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

II. Marche des nuages supérieurs.

Depuis lannée 1874 on a fait, sur notre invitation, à plusieurs
stations en Suéde et à l'étranger, des observations sur la marche des
cirrus. Parmi ces stations nous en avons choisi quelques-unes situées

au centre de la Suéde, savoir outre Upsala:

Sundsvall, observateur M.

Sibo,
Torsång,
Nora
Hellefors
Skenäs
Svartå

»
»
»
»
»
»

Sandö (pháre) »
Skeppsholmen »

Les observations du matin faites à ces stations ont été comparées
aussi aux cartes synoptiques journalières de M. HorrMEYER depuis sep-
tembre 1873 jusqu'à novembre 1876 et à celles de l'Institut météorolo-
gique de Stockholm depuis décembre 1876 jusqu'à décembre 1881. Cette

S. HJELTSTRÖM.
» A. BLOMBERGSSON.

» R. ZÄTTERBERG.
» C. G. DE LÖWENHIELM.
» A. GIÖBEL.

» M. von Post.
» A. JENZEN.

» J. BOURGSTRÖM.
» H. Spaak.

masse d’observations ont donné les résultats suivants.

D
W360 4'N
W 4945'N
W10°11'S
S 35° 0’W
S 26049'E
E 11953/N
N 0°19'W
N 23930'W

Marche des cirrus (em hiver).

E
N 39019'W
W 20 6'N
W18°12'S
W27057'8
S 20926'E
E 4052
N 1?227"W
N 229 0'W

XIII. Marche des cirrus (en été).

Maxi

B C
N W12923'N W22929'N
NW W10^17'S W 40 3'S
W W37°53'S W41°11'S
SW S 42010'E S 28043'W
S E 25^40'S E 18° 6'S
SE N41942"W — W21937'N
E N31v916'W N 0° 2E
NE W42933'N N 41953"W

Tab.

B C
N W19935'N W15°28:N
NW W19°38'S W12°52'S
Ww S 32912^W W44? o's
SW S 10° 3'W S 0°56'W
8 E 59125 S 29910'E
SE E 30° 2‘N E 12°37'N
E N 45° 0"W N 13° IW
NE W40°10'N W42%41’N

D
W27035'N
W11030'8
W40211'S
S 18°35'W
S 8°50'E
E 2I4N
N 19948'E
N 37°16:W

E
W25051’N
W 40 5'N
W18956'S
S 38°49'W
S 16° 2'E
E 3°50'N
N 12°55'E
N 28932'W

F
N 31928/W
W40045'N
W17°56'S
S 14941'W
E 21935'S
E 120468
N 38950'E
N 6957'W

F
N 28014W
W24°52'N
W 59548
S 41931°W
S 39939'W
E 1939'N
N 42955'E
N 2° 7E

,
DisTRIBUTION DES ÉLÉMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 15

Tab. XIV. Marche des cirrus (pour l’année).

B C D E F
N W13°52'N W18?36'N W31°40'N W36" 7'N N 30°16'W
NW W14°35'S W10°10'S W 7°34'S W 3°24'N W33°34'N
W W42" O'S W43°33'S W36°49'S W18"46'8 W10°38'S
SW S 8 4'E S 6°37'W S 21°53'W S 43°34'W S 27028'W
8 E 15°56'S S 38" 8'E S 13°36'E S 17°30'E S 25"58'E
SE N 4°33'W E 25"58'N TITO TUN, E 1955/N E 0921'E
E N 33°27'W N 5° 4'W N 9° 6'E N 7° 0'E N 41° 8'E

NE W42^19'N N 44°29'W N 31°20'W N 26? 5'W N 3°51'w

Fig. 5. Marche des cirrus.
(l'année.)

Les courants d'air supérieurs sortent donc des minima pour en-
vahir les régions où la pression barométrique est grande. Si nous
examinons les différentes zones, nous voyons à l'inspection de la fig. 5
que ce mouvement centrifuge du centre de la dépression est le plus
faible dans la zone la plus intérieure 5, mais qu'il augmente dans les
parties extérieures de la dépression et à plus forte raison dans les zo-
nes H et F, ou dans les régions des maxima.

Et ce mouvement est aussi considérablement plus grand pour le
gradient dirigé vers WSW ou S que pour les gradients dirigés en sens
contraires. Cela concorde avec ce qu'a trouvé M. CLEMENT Ley pour les
minima‘). Il a montré que l'écoulement de l'air du centre dans les couches
supérieures est beaucoup plus forte dans la partie antérieure, c'est-à-dire à
l'est-nord-est du centre, que dans là partie postérieure, ou le mouvement
des cirrus s'approche de la direction de la tangente des isobares ou de
la direction du vent à la surface du sol. On voit quil en est de même

1 The relation between the upper and under currents of the atmosphere around
areas of barometric depression. Quaterley Journal of the Met. Soc. Oct. 1877.

14 H. HiLDEBRAND HILDEBRANDSSON,

au-dessus des maxima dans nos régions. L’affluence en haut est beau-
coup plus grande au-dessus du versant ouest que du versant opposé.

Nous arrivons maintenant à un point que nous avons déjà discuté
avec M. CLEMENT Ley: le mouvement dans les régions supérieures der-
rière et au-dessus du centre de la dépression. Il parait que ce phé-
nomène diffère un peu en Suède de ce quil est en Angleterre.

Selon M. CLEMENT Ley, au-dessus du centre même, le courant
coinciderait à peu prés avec le vent qui régne immédiatement en avant
de ce méme centre, à la surface du sol. »As regards the centre», dit-il,
»the upper current, when traceable over this district, commonly coinci-
des, or very nearly, with the wind previously felt at the earth's sur-
face». Il n'en est pas de méme en Suéde, à ce qu'il parait. Pour la
période de septembre 1873 à décembre 1881 sur laquelle portent nos
recherches, nous avons relevé, dans les registres des stations énumérées
plus haut, 64 observations faites au moment oü la station en question
a été dans lisobare la plus intérieure d'un minimum ou dans la région
A. Ces soixante-quatre observations sont groupées dans le Tab. XV.

Tab XV. Marche des cirrus au-dessus dun centre de dépression.

N NNW NW WNW W WSW SW SSW S SSE SE ESE E ENE NE NNE Somme
L'hivr 4 1 3 1 5 2 I il 2 0 1 00 1 0 0 32
L'été 5 0 7 5 10 0 0 1 5 1 it 2 4 0 1 0 42
TWaünee "0. "1 10. SG) 18 . 2075 OTe So MT] NM M

On voit que, contrairement à ce qu'a établi M. CLEMENT LEY pour
l'Angleterre’, la marche du nord et de l'ouest est chez nous la plus
commune.

A l'arrière, ou à l'ouest et au sud-ouest du centre, et dans les
deux zones qui l’avoisinent (B, C), il y a une région ou le mouvement
en dehors est minimum et méme se dirige quelquefois en dedans. La
marche des cirrus y montre en effet une irrégularité remarquable, et leur
mouvement est fort inégal dans des circonstances différentes. Nous
possédons de la région Be 41 observations sur la marche des cirrus, de

Ce 94, de Bne 100 et de Cne 278. Ces observations se répartissent
comme sult:

Tab. XVI. Marche des cirrus dans les régions Be, Ce, Bne, Cne.

N NNW NW WNW W WSW SW SSW S SSE SE ESE E ENE NE NE Somme
Ben. 9 5 10,911 1:18 at 051. «009 08:091 279 /01 ROOMS RE
Ce 38 7 14-01 .9 ^0. 460-1. 0-940 129 14 OUT
Bne 17 17 295 - 9 24 9. 3*4. 9:999. 0: ORO MED MEME
Coe 44, 30° 99 O1. 48 Tec. «0. , de NON. TN 0E TRETEN TM

DisTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 15

Cette irrégularité dans la direction des courants d'air supérieurs
est sans doute surprenante. Il y a même des cas où le mouvement va
du sud-ouest, du sud, ou du sud-est. Cela est pourtant assez rare chez
nous, tandis que, d’après M. CLEMENT Ley, c'est la règle en Angleterre.

Aussi n’ai-je signalé que quelques cas analogues dans mon Atlas
des mouvements supérieurs. Dans ces cas rares, on est porté à croire
avec M. CLEMENT Ley que laxe du tourbillon incline en arrière. Toute-
fois une telle hypothése entraine selon nous des difficultés considérables.
En étudiant les cartes des jours qui correspondent aux cas dont il s'agit,
on trouve que linclinaison de l'axe ou la ligne qui joint le centre de
rotation à la surface du sol au centre de rotation dans les régions des
cirrus, est quelquefois si grande que cette ligne serait une corde du sphé-
riode terrestre. A la vérité, nous avons trouvé qu'à Nora, ville située
au nord-ouest du lac Mälar, les cirrus marchaient du sud-ouest, tandis
-que le centre de la dépression près de la terre était au milieu de la
Finlande, à une distance à peu prés égale à celle de Londres à Kiel.
D'un autre côté, nous ne pouvons guère accorder aux cirrus plus de 10
à 15 kilométres de hauteur au-dessus du sol. En certains cas, on est
porté à croire que le sommet du tourbillon a été laissé en arrière comme
la fumée d'un bateau à vapeur.

D’après ce qui précède, il nous semble que l'explication de ces
exceptions extraordinaires doit étre remise à plus tard.

Si nous examinons maintenant ce qui se passe entre deux minima,
c'est-à-dire au-dessus de l'aire que nous appelons M, nous voyons que la
direction la plus ordinaire est celle du nord ou de louest. En effet
nous avons dans ce cas les valeurs suivantes:

Tab. XVII. Marche des cirrus entre deux minima.

N NNW NW WNW W WSW SW SSW S SSE SE ESE E ENE NE NNE Sonune
iiphiversol, dör: 56 sil. 32. @ 112) 0 0 2 1 0 0 0 5 4 178
AGT 1 022109029 370055150215 5129 ET ÖRA 7, le 28. 22 8^ 221 2016
Land LES 0503125691911 09321 012299170129 9.8. du 8. 2) 13, 159 394

Toutefois la direction moyenne du vent à la surface du sol à
Upsala est dans ce cas W9°51’S en hiver et W23°9’S en été. Cela
^

confirme le fait déjà signalé par nous à une autre occasion’, que chez
nous un nouveau minimum influe sur la girouette plus tot que sur les cou-

1 Essai sur les courants supérieurs de l'atmosphére. p. 6. (Actes de la Soc.
Roy. des Sc. d'Upsal 1874.)

16 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

rants aériens des couches supérieures. Le vent du sud ou le vent du sud-
ouest s'est déjà fait sentir, lorsque le vent supérieur indiqué par la
marche des cirrus commence à passer peu à peu du nord ou du nord-
ouest à l'ouest ou au sud-ouest. |
Enfin pour ce qui est de la marche des cirrus prés du centre des
maxima (Mx), il suffira d'indiquer que parmi les nombreuses observations
faites pour ce cas, la plupart montrent une direction du nord ou de
l'ouest, phénoméne qui, comme on le comprend bien, dépend de ce que les
centres des maxima sont d'ordinaire situés au sud ou à l'est de notre pays.

IV. Température de l'air.

Les tableaux suivants contiennent les différences entre la tempé-
rature moyenne de l'air à 8" du matin pour chaque cas et la tempéra-
ture moyenne mensuelle à la méme heure, à Upsala.

Tab. XVIII. Température de Vair (en hiver).
B € D E F Moy-

N + 5.00 + 3.02 I 2:96 + 343 70.1 122/92
NW + 428 + 3.64 + 2.78 + 202 + 0.27 + 2.60
W MAG 2 Tun + Su BU s fa ad Bee
SW + 1.89 — 0.65 + 1.96 — 0.78 + 0.80 + 0.64
S + 1.92 + 0.89 — 3.12 — 2.66 — 1.00 — 0.79
SE — 164 — 0:01 + 1.31 — 324 — 256 — 1.23
E — 2.72 — 4.77 — 3.85 — 401 — 6.70 — 4,41
NE — 057 — 138 + 094 — 0.02 — 402 — 0.99
Moy. + L45 + 0.32 + 0.75 — 0.48 — 1.43

A = + 1.32 M = —=3.:00 Mx — — 2.86

Tab. XIX. Température de la (en été).

B € D . B F Moy.
N +00 + 0.70 + 0.13 + 168 + 0.90 + 0.68
NW + 067 + 112 + 0.90 + 1.64 + 1.76 + 1.20
W + 1.05 + 050 + 2:04 + 0.69 + 70:02 +08
SW + 2.5 +4 0.59 + 1.11 — 0.21 + 2.97 + 1.34
S + 3.10 — 0.85 — 0.46 -- 0.89 + 0.37 + 0.25
SE = 200 = 272 = £9) — MED — 1745. — 2:33
E = SO — 352) — BV = as Gn = 22139
NE — 4:85 — 137 — 0:62 = 0:09 — 0738 — 156
Moy. — 047 — 0.69 — 0.34 + 0.09 + 0.25
À = = 25 M = + 031 Mx = + 0.14

On voit qu'en hiver de méme qu'en été la température dans les
maxima et dans les minima est au-dessus de la valeur moyenne, lorsque
le gradient s'abaisse vers l'ouest et au-dessous de cette valeur, quand il
s'abaisse vers l'est. |

DIsTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. ud

Sauf cette coincidence les deux tableaux montrent des phénomé-
nes opposés. En hiver, la température est ordinairement au-dessus de
la valeur moyenne dans les minima (A, B, C, D,) mais au-dessous de cette
valeur dans les maxima (E, F, Mx.) ainsi qu’entre deux minima; en été,
c'est linverse qui a lieu. Ce fait s'explique sans peine par l'influence
différente (voir plus bas) exercée par un ciel nuageux en hiver et en
été. En hiver, chaque fois que la radiation terrestre a lieu sans inter-
ruption, à travers un air serein et sec, la température s'abaisse consi-
dérablement à la surface de la terre et dans les couches d'air les plus
basses, tandis qu'un ciel couvert, aussi bien qu'un air rempli de vapeurs
d'eau invisibles, empéche le refroidissement. En été, le rayonnement du
soleil agit sans obstacle, tandis que sa force diminue sous une couche
de nuages.

En hiver, la température s'éléve de tous cótés vers le centre d'un
minimum. Par nos études d'un grand nombre de tempétes qui ont
traversé nos régions pendant l'hiver oü la variation diurne de la tempé-
rature est à peu prés insensible, nous avons pu établir cette loi géné-
rale que le baromètre et le thermomètre marchent en sens opposé pendant
le passage d'un minimum’. Cette loi a été confirmée par l'étude des
dépressions barométriques qu'on a observées pendant l’hivernage de
l'expédition de la Vega prés du détroit de Behring. Là comme ailleurs
la pression de l'air et la température se meuvent en sens inverse, et les
courbes barométriques et thermométriques sont presque symétriquement
contraires les unes aux autres.

Dans latmosphére la température va en général, comme on sait,
en diminuant de la surface terrestre jusqu'aux régions les plus élevées,
Toutefois il y a des exceptions à cette loi. Des observations faites à
des stations trés élevées dans les régions alpestres démontrent qu'en
certaines circonstances la température peut être très haute aux sommets
des montagnes et faire fondre des masses de neige, tandis qu'il y a une
haute pression barométrique et que le froid est intense dans les vallées

et sur les plaines. Ce singulier phénomène a été étudié surtout par
M. HANN”,

! Bulletin hébd. de l'Assoc. Scient. de France. ‘T. VII. 1870. p. 189, et
Études sur quelques Tempétes, p. 27. (Actes de la Soc. Roy. des Sciences
et des Belles-lettres de Gothembourg 1871.) 1

? Zeitschr. d. ósterr. Ges. f. Meteor. Mai 1876.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

Dans notre pays il n'y a guére de lieu propre à des recherches
de ce genre. Il faudrait pour cela un sommet de montagne isolé et
d'une hauteur trés considérable de 3000 à 4000 métres au moins. Mais
il n'y en a pas en Suéde. Par conséquent je me suis servi des obser-
vations qu'on a faites aux stations françaises de Clermont Ferrand et du
sommet du Puy-de-Dôme. Les observations du matin de ces stations
correspondantes, sont publiées journellement dans le Bulletin internatio-
nal de Paris, depuis le commencement de l'année 1877, et nous avons
calculé pour chaque jour des mois d'hiver, octobre—avril, depuis le 17
janvier 1877 jusqu'au 31 mars 1882, soit un total de trente-trois mois,
les différences de température entre ces deux stations. A l'aide de la
carte synoptique du Bulletin international j'ai aussi déterminé la place
de Clermont par rapport aux maxima et aux minima barométriques.

Les résultats de ces caleuls sont consignés dans le tableau suivant:

Tab. XX. Differences de température entre Clermont et le sommet du
Puy-de-Dôme.

B C D E F
N 8.65 8.91 7.99 7.66 5.75
NW 8.88 Meal 6.40 4.40 —0.16
W 8.00 6.51 3.30 2.48 —2 21
SW — 6.81 6.93 2.34 —2.71
8 — 6.14 5.33 4,42 — 0.85
SE — ) 6.07 6.60 6.85 3.36
E — 8.17 8.11 7.90 6.19
NE — 7.52 8.04 8.07 6.58

AX = GIB M = 2:25 Mx = 2.06.

Ce tableau nous fait voir en premier lieu que la différence de
température atteint son maximum dans la proximité d'un centre de dé-
pression et quelle diminue suivant que la pression barométrique aug-
mente. Dans les parties intérieures d'un maximum lle change de signes,
de sorte que la température est plus haute au sommet du Puy-de-Dóme
quà Clermont en moyenne.

Puis il est évident que la direction du gradient exerce une influ-
ence visible sur la valeur de la différence dont nous nous occupons.
Quand le gradient est dirigé vers le nord ou l'est, la différence atteint
sa plus grande valeur, tandis qu'elle est minimum quand le gradient est
dirigé vers le sud ou l'ouest.

Il serait trés intéressant de faire au nord-ouest de l'Europe, sur
le sommet de montagnes plus rapprochées de la ligne de parcours des
centres de tempétes, des observations analogues à celles qui se font à
présent avec tant de zéle et avec de si grandes dépenses au sommet

DISTRIBUTION: DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 19

du Puy-de-Dóme ainsi que sur d'autres points élevés dans la France
méridionale, en Suisse et en Autriche. En effet le Puy-de-Dóme est
presque toujours sur la pente nord-ouest ou sud-est d'un maximum baro-
métrique dont le centre est situé quelque part vers le SW. Il est rela-
tivement rare que des minima trés marqués passent par cette région; il
est plus rare encore qu'ils passent plus au SW. Les observations faites
chaque jour au pied et au sommet du Ben Nevis en Ecosse, et dont on
est redevable au vis intérét pour la science et aux efforts personnels de
M. et de M" Wracge, doivent être d'une grande importance, si on les
publie in extenso. Le Ben Nevis occupe peut-être la situation la plus
favorable du monde pour les recherches dont il s'agit, étant situé à peu
prés au milieu de la ligne de parcours moyenne de la plupart des bour-
rasques, qui, venant de l'Océan atlantique, se jettent sur les iles britan-
niques et la Scandinavie. Les observations sur les couches d'air supé-
rieures sont pour la science actuelle d'une extréme importance, et nous
ne pouvons nous empécher de dire que nous espérons le couronnement
complet des efforts que font en ce moment M. Bvcnaw et la Société
météorologique d'Edimbourg pour obtenir sur ce sommet si bien situé
un observatoire permanent.

V. Quantité et espéces des nuages.

Vu la vitesse avec laquelle changent la quantité et les formes
des nuages, on s'est servi des observations de 8" et de celles de
10" du matin. La quantité des nuages est évaluée comme à l'ordinaire,
depuis 0 = ciel clair, jusqu'à 10 = ciel complètement couvert. Les formes
des nuages sont nimbus, strato-cumulus, *10, cumulus, cirrus, cirro-cumu-
lus et cirro-stratus. Nous désignons par *10 les cas oü le ciel est com-
plétement couvert d'une couche de nuages uniforme, basse et épaisse dans
laquelle on n’aperçoit ni mouvement ni forme. Quant aux autres formes
des nuages nous renvoyons le lecteur à notre travail: »Sur la classification
des nuages employée à l'Observatoire météorologique d Upsala»! La fré-

n m B
quence des nuages est calculée d’après la formule N 100, m désignant le

nombre de fois qu'on a observé la forme de nuage en question et N le
nombre total d'observations pour chaque cas.

1 Édition de 60 exemplaires. Upsala 1879. Deuxième Ed. Upsala 1881.

20 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

Tab. XXI. Quantité des nuages à Upsala (en hiver) (0—10).

B C D E F Moy.
N 6.0 6.5 6.4 7.2 7.1 6.6
NW 8.3 9.0 8.8 9m T.6 8.6
W 9.4 Dan 9.0 9.1 8.9 9.1
SW 9.1 9.7 9.9 9.5 9.4 9.5
S 10.0 9.8 8.5 9.6 7.3 9.0
SE 10.0 9.5 9.1 8.8 9.1 9.3
E 7.0 5.7 4.3 2.3 6.5 5.2
NE 3.5 3.2 4.0 7.9 4.1 4.5
Moy. 7.9 7.8 1.5 8.0 7.5

À = 8.6 Ml = 23 Nix = 6.8.

Tab. XXII. Quantité des nuages a Upsala (en été) (0—10).

B € D E F Moy.
N 7.1 5.7 5.8 3.0 7.5 5.8
NW 7.4 7.3 6.6 3.5 9.6 6.9
W 10.0 8.0 6.2 5.4 3.4 6.6
SW 10.0 9.1 7.2 7.4 3.7 7.5
S 10.0 8.7 8.3 8.0 5.6 8.1
SE 9:5 8.9 8.6 6.7 3.9 Uh
E 6.9 6.4 5.9 5.1 4.7 5.8
NE 1.5 5.0 4.0 2.9 4.1 3.5
Moy. 7.8 7.4 6.6 5.3 5.3

À = Di M. — 2.3 Mx—2;8

Tab. XXIII. Fréquence des différentes formes des nuages a Upsala (en hiver).

Nimbus.

N NW W SW S SE E NE

B 31 52 32 28 8 28 42
(0) 11 41 38 27 20 28 15 if
D 32 34 50 33 11 45 15 4
E 17 21 39 23 31 36 b 10
F 25 28 17 28 17 24 0 0

AX == BUS Nl ==) OR Wee == iil,

Strato-Cumulus.

N NW W SW S SE E NE
B 22 9 9 20 0 17 21 8
C 18 13 12 10 1) 18 12 34
D 12 11 14 8 33 15 42 36
E 12 24 37 19 44 41 25 20
F 8 26 21 34 17 24 df 10

A= Op Wl = 8 Wb == 27:

*10.

N NW W SW S SE E NE
B 6 19 55 43 83 44 17 b
C 18 32 40 57 70 48 18 0
D 10 aui 25 56 33 30 7 4
E 33 38 32 12 25 27 0 30
F 37 25 45 41 48 53 17 10

/X E fiin MO Mes = A

DISTRIBUTION DES ELEMENTS METEOROLOGIQUES etc. 21

Cumulus.

N NW W SW Is] SE E NE
B 6 5 5 3 0 0 0 18
C T 3 2 0 0 0 24 4
D 20 1 4 3 0 5 12 T
E 6 4 0 0 0 0 20 20
F 2 3 2 6 2 8 0 0
Au MN Me 10% M Nb
Cirrus.
N NW W SW S SE E NE
B 22 T 0 T 0 4 32
C 6 1 2 3 0 4 21 21
D 25 10 4 3 0 18 14
E 12 4 > 8 0 0 25 20
F 15 15 9 0 13 ib 33 50
i\ == Gg M = 44; Wie = Mrs
Cirro-Cumulus.
N NW W SW S SE E NE
B 9 ES 0 7 0 6 8 5
C 6 7 2 7 0 4 12 7
D då 5 0 3 0 0 5 8
E 9 4 5 0 0 0 10 10
F 5 9 T 0 5 3 0 0
N= E Mea Mxe—. 4;
Cirro-Stratus.
N NW W SW S SE E NE
B 19 22 7 0 0 0 13 51
C 24 12 10 3 0 8 12 32
D 30 12 8 6 0 0 20 32
E 24 18 5 8 0 5 20 30
F 5 11 4 3 2 3 33 20
A = 8 M == IR M == 10)

Tab. XXIV. Fréquence des différentes formes des nuages à Upsala (en été).

Nimbus.

N NW WwW SW S . SE E NE
B 24 67 50 67 — 100 50 17
Cc 45 58 47 66 82 70 50 19
D 22 30 24 35 57 50 32 12
E 9 30 22 25 50 47 21 5
F 0 24 0 8 25 T 12 10

A = 83; Wl = Hp Whe == b
Strato-Cumulus.

N NW W SW S SE E NE
B 0 6 2b 0 — 50 if 0
C 3 6 11 9 9 20 4 6
D 7 17 19 15 21 20 23 12
E 5 6 20 29 23 då 13 2
F

22

THE Qt Hj E Jg ot

Zeoaw

"Hj E] ÀJ O t

cal dest leo] (e). fes)

- H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

N NW
0 6
1 2
4 6
2 10

24 50
A = 14;

N NW

12 28

48 40

49 40

31 30
0 0
AX = (08
N NW

37 6

23 14

38 39

40 38
0 0
A == 05

N NW
12 1]
5 12
19 16
17 8

24 12
Aare

N NW

62 6

11 19

17 17

24 16

37 12

15
10

*10.
SW

SW

SW

ML mm 524

SW

Cirro-Stratus.
SW

SE E
7
6 4
20 0
3 4
0 0
Mx = 2
SE E
— 36
14 39
0 43
43 54
46 . 38
Mx = 26;
SE E
— 7
0 4
0 25
13 19
36 31
Mx 137
SE E
— 14
8 19
10 B
10 17
14 19
Nik == il
SE E
— 0
11 4
0 7
3 8
21 au
Mx — 16

Ve ©

27

DISTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES ete. 23

Les tableaux XXI et XXII nous montrent la distribution de la
quantité des nuages, Elle est le plus grande, quand le gradient est
dirigé vers le sud, et le plus petite, quand il descend vers le nord-est.
En été, la quantité des nuages diminue régulièrement, quand la pression
barométrique augmente. En hiver, ce phénoméne ne se produit pas si
régulièrement, attendu que les strato-cumulus, les nuages les plus ordi-
naires alors, sont les plus nombreux pendant les hautes pressions.

Fig. 6. Quantité des nuages à Upsala.
(L'hiver.)

Quant à la quantité des nuages inférieurs, nous voyons par les
tableaux XXIII et XXIV que les nuages de pluie proprement dits, ou les
nimbus, sont plus fréquents en été qu'en hiver et plus nombreux pendant
les basses pressions barométriques que pendant les hautes pressions, et
de méme plus nombreux, quand le gradient est dirigé vers le nord-ouest,
l’ouest ou le sud-ouest, que quand il est dirigé vers l'est ou le nord-est.
La forme strato-cumulus au contraire est beaucoup plus fréquente en
hiver qu'en été. Pendant les mois les plus chauds, juin-août, elle est
trés rare, et méme elle fait quelquefois tout à fait défaut pendant ce
trimestre. Elle se présente plus souvent, quand la pression est haute
que quand elle est basse, et la quantité n'en parait nullement dépendre
de la direction du gradient.

De méme il arrive plus souvent en hiver qu'en été que le ciel est
complétement couvert d'un voile bas homogéne, *10. C'est ce qu'on observe
surtout, quand le gradient s'abaisse vers le sud avec une pression basse,
mais quand le gradient est dirigé vers le sud, c'est plutót par les hautes
pressions qu'on observe un ciel entièrement couvert. Par conséquent,
c’est au nord d'un centre de dépression et sur la pente nord d'un maxi-
mum que cela a le plus fréquemment lieu chez nous.

24 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

Quant aux cumulus, on les observe le plus souvent pendant la
saison chaude. Ils sont extrémement rares dans le temps le plus froid
de lhiver. C'est en général dans les régions ot il y a le moins de
nuages, c'est-à-dire ou le gradient est dirigé vers l'est, qu'ils se montrent
en général le plus abondamment, ou bien dans la partie postérieure des
minima ainsi qu'entre deux minima.

Enfin il y a une espèce de nuages inférieurs, cumulo-stratus, ou
nuages orageux, que nous avons laissés de cóté vu leur rareté. Grace
aux recherches spéciales faites dans notre pays sur les orages, nous
savous pourtant quici, de méme qu'en Norvége et en France, ces sortes
de nuages se présentent le plus souvent dans la partie antérieure des
tourbillons, surtout au sud-est du centre’.

Quant aux nuages supérieurs il n'est pas facile d'obtenir des ré-
sultats exacts à leur égard, puisquils sont d'ordinaire en partie cachés
derrière les nuages inférieurs. Ils sont surtout invisibles quand le gra-
dient est dirigé vers le sud, parce qu'alors le ciel est presque toujours
tout à fait couvert à Upsala. C’est ce qui fait que pour examiner la
marche des cirrus, nous avons été obligé d'employer, comme nous ve-
nons de le dire, des observations faites dans un grand nombre de sta-
tions et pendant une période aussi étendue que possible.

Cependant i| parait que les cirrus typiques se présentent le plus
fréquemment dans la partie. postérieure des tourbillons et surtout entre
deux minima. En effet, chez nous les cirrus ne sont jamais plus beaux
ou plus caractéristiques qu'entre deux minima, ce qui est digne d'atten-
tion au point de vue de la prévision du temps. Toutes les fois qu'ils
se présentent en grand nombre et sous de belles formes à l'arriére d'une
bourrasque on peut augurer avec vraisemblance l'arrivée imminente d'une
nouvelle bourrasque.

Les cirro-cumulus sont beaucoup plus fréquents en été qu'en
hiver. Ils sont plus nombreux, quand la pression est haute que quand
elle est basse, et sont méme assez rares, quand le barométre est trés bas.

Les cirro-stratus au contraire se présentent surtout au sud-est et
au sud du centre et s'étendent loin au-dessus des maxima avoisinants.
On sait quils sont d'excellents signes de l'arrivée du centre d'une bour-
rasque, surtout si cette bourrasque passe un peu au nord de la station
oi se font les observations, ce qui est l'ordinaire dans nos régions.
Aussi les phénomènes optiques qui se montrent dans le voile d'un cirro-
stratus, halos solaires et lunaires, parhélies etc., ont-ils de temps immé-

! Les orages de 1871 à 1875 en Suède. Atlas météorol. de l'Observatoire de
Paris 1876.

DISTRIBUTION DES ÉLÉMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 25

morial été considérés comme des indices infaillibles de mauvais temps.
De nos jours, on a souvent demandé qu'un réseau d'observatoires s'or-
ganisât dans le but spécial d'étudier particulièrement au point de vue
de la prévision du temps les formes et les mouvements des nuages ap-
partenant à la classe des cirrus. Espérons que ces projets se réaliseront
avant peu de temps.

VI. Eau tombée, brouillard.

Jusqu'à ces derniers temps l'Observatoire météorologique d’Upsala
a manqué d'un pluviométre enregistreur. Toutefois on a noté aussi
exactement que possible quand on a remarqué de la pluie ou de la
neige entre 6" du matin et 9" du soir. Ces observations sont publiées
aux »Remarques» dans notre Bulletin mensuel. Dans ces remarques nous
avons relevé tous les jours oü il y a eu de la pluie ou de la neige
avant midi. Chacun de ces jours est regardé comme jour pluvieux.
Puis la fréquence de la pluie est calculée d’après la formule ordinaire
= 100, ou R est=le nombre des jours pluvieux et N =le nombre total
des jours.

Nous avpns calculé de la même manière la fréquence de la pluie
à Wäderöbod. A chaque observation on a noté à cette station s'il y a
eu de la pluie ou de la neige. Les heures des observations sont 4", 8"
et 12" a. m. et p. m. Nous n'avons employé que les observations du
matin. Toutefois comme les observations ne sont faites à Wäderöbod
qu'aux heures indiquées plus haut, tandis qu'à Upsala elles sont faites
aussi souvent que possible, il est clair que le nombre des jours pluvieux
sera plus grand en apparence à Upsala qu'à Wäderöbod.

Les résultats sont donnés dans les tableaux suivants:

Tab. XXV. Fréquence-de la pluie à Upsala (pour l'année).

B (0) D E F Moy.
N 43 23 16 18 9 20
NW 59 56 32 26 24 45
W 81 63 35 17 36 45
SW 68 62 62 35 50 55
S 100 56 63 48 29 49
SE 70 GE Oe 45 32 55
E 53 41 22 15 17 29
NE 14 13 18 0 T 12
Moy. 56 4T 32 24 38
AV mm Gs ii == (04 Wee == 0

Nova Acta Reg. Soe. Sc. Ups. Ser. III. 4

26 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

Tab. XXVI. Fréquence de la pluie à Wäderöbod (pour l'année),

B [0 D E F Moy.

N 5 20 28 6 5 16
NW 78 41 24 20 .' 98 36
W 100 67 50 23 23 51
SW 51 47 50 (a 27
S 100 44 20 30 15 30
SE 75 33 24 5 6 22
E 25 10 9 0 0 7
NE 22 9 3 8 0 7
Moy. 55 32 26 12 11
AGO; WE = Oe Mis m

Fig 7. Fréquence de la pluie à Upsala.
(L'année.)

Un point — dix per cent.

Fig. 8. Fréquence de la pluie à Wäderöbod.
(L'année.)

Un point — dix per cent.

Max.

Nous n'avons pas cru nécessaire d'indiquer la fréquence de la pluie
séparément pour la saison chaude et pour la saison froide, les résultats ne
differant guère en général pour les saisons. Pourtant il y a ane exception
quil faut remarquer, c'est qu'à Upsala certaines parties des maxima ont

~

DISTRIBUTION DES ÉLÉMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 2

une fréquence de pluie trés diverse pour les différentes saisons. Nous
publions iei ces valeurs. a

L'hiver L'été

En 73 1
Enw 52 14
Fn 10 0
Fnw 27 0
Fw 42 12
Fen 68 0

Cette inégalité dépend sans doute de la quantité différente des
nuages pendant l'été et pendant l'hiver quand le barométre est haut, ce
dont nous venons de parler. L'eau libre de la Baltique qui n'est com-
plétement gelée que quand le froid est intense, joue probablement un róle
important dans ce cas. Cependant il est bon de remarquer que /a
quantité de la pluie et de la neige est alors minime; quelques flo-
cons de neige seulement, ou quelques cristaux de glace tombent alors
des strato-cumulus gris, qui sont les nuages les plus fréquents dans
cette saison.

On voit du reste que la fréquence de la pluie diminue, tant à Up-
sala, que sur la côte du Kattegat, à mesure que la pression est plus
élevée et que, de méme que la quantité des nuages, elle atteint la plus
grande valeur, quand le gradient est dirigé vers l'ouest et le sud.

A Upsala le brouillard épais est rare. La transparence de l'air n'en
est pas moins susceptible de grandes variations. Depuis le commence-
ment de l’année 1874 on observe tous les jours à midi la transparence
de lair. On regarde pour ces observations quelques maisons et un bois
situés à 10—15 kilométres au nord-ouest de l'Observatoire, et l'on évalue
le degrés de transparence selon l'échelle 0 2 grande transparence jusqu'à
5 = brouillard. Le tableau suivant donne les résultats de ces observations.

Tab. XXVII. Transparence de l'air à midi (0—5).

> B C D E F Moy.

2.06 2.39 2.47 2.72 3.44 2.62

NW 3.20 3.52 3.60 3.77 3.52 3.52

W 3.90 3.70 3.50 3.47 3.61 3.64

SW 3.96 3.95 3.82 3.14 2.78 3.53

5 4,75 2.90 2.45 2.84 2.77 3.14

SE 3.80 3.22 2.70 2.78 1.80 2.86

E 1.05 1.45 1.59 2,04 2.00 1.63

NE 1.43 1:50 1.46 1.93 2.03 1.68
Moy. 3.02 2.83 2.70 2.84 2.75

ACE 32707 M = 2.07; Mx — 2.48.

28 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

La transparence de l'air est donc à peu prés indépendante de la
pression barométrique, mais la nébulosité atteint son maximum, quand le
gradient est dirigé vers l'ouest, c'est-à-dire elle est presque dans le
méme rapport avec la direction du gradient que la quantité des nuages
et la fréquence de la pluie. Ces résultats s'accordent parfaitement avec
ceux qu'a obtenus M. HawnEna'.

Enfin nous avons caleulé les observations faites à Wäderöbod
sur le brouillard. On y a noté avec beaucoup de soin à toutes les heures
d'observation aussi bien quand l'air a été brumeux que lorsqu'il y a eu
du brouillard génant la navigation. Nous avons caleulé séparément ces
deux cas. Dans les tableaux, la fréqnence du brouillard est indiquée

m

d'aprés la formule — 100.
aprés ormule N

Tab. XXVIII. Fréquence de Vair brumeux.

B C D E F Moy.

N 39 45 57 58 24 46
NW 15 33 33 33 6 27
W 0 11 20 31 15 17
SW 0 7 13 19 9 11
S 0 0 10 5 8 6
SE 0 4 6 6 0 4
E 0 10 9 18 8 11
NE 11 31 58 26 27 35
Moy. 13 23 31 27 11

A = SER MIE: Mx = 29.

Tab. XXIX. Fréquence du brouillard.

B C D E F Moy.
N 39 34 61 35 33 40
NW 44 38 33 30 47 37
W 11 11 20 8 15 14
SW = 10 12 13 0 9
S — 0 5 5 3 4
SE — 4 6 6 0 6 É
E 12 10 9 6 8 9
NE 11 14 0 5 18 8
Moy. — 19 21 15 12
== 705 MEN; Nibe == I

Ces deux tableaux dont les résultats sont concordants nous mon-
trent que le brouillard atteint son maximum de fréquence entre les basses
et les hautes pressions. Aussi voit-on.souvent en étudiant les cartes

1 Om luftens olika grad af genomskinlighet i Upsala. (Ofvers. af K. Vet.
Akad. Fórh. 1878).

DISTRIBUTION DES ELÉMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 29

synoptiques que le brouillard s'étend le long de la limite entre les minima
et les maxima comme une bande de plusieurs centaines de lieues de longueur.
Cela a lieu surtout lorsque le minimum est situé au nord du maximum,
ce qui est également conforme aux tableaux dressés ci-dessus. La fré-
quence atteint, comme on le voit, son maximum, quand le gradient
est dirigé vers le nord, et son minimum, quand le gradient est dirigé
vers le sud.

Conclusions:

Ainsi nous avons constaté pour nos contrées les résultats suivants:

= 1. Vent:

a) L'angle fait par le vent avec le gradient est plus grand en été
qu'en hiver.

b) Il est aussi plus grand aux stations maritimes qu'aux stations
situées dans l'intérieur d'un pays.

c) Il est plus grand dans les minima que dans les maxima.

d) Dans les minima, la dimension de cet angle varie peu en
moyenne, quelle que soit la distance du centre, d’ot il suit que l'air se
rapproche du centre d'une dépression en spirales logarithmiques.

; e) Enfin l'angle en question a sa plus grande valeur pour le gra-
dient dirigé vers lest et sa plus petite pour le gradient dirigé vers l'ouest.

f) La vitesse du vent est minimum dans les régions A, M et Max.,
ou dans le voisinage d'un centre de dépression, entre deux minima et
dans les parties centrales d'un maximum.

g) De lintérieur d'un maximum elle augmente continuellement
à mesure que la pression barométrique diminue, et elle atteint son maxi-
mum dans le voisinage du calme central des dépressions barométriques.

h) La direction du gradient vers le nord parait amener la plus
grande vitesse du vent et sa direction vers l’ouest et le sud-ouest la
plus petite.

2. Marche des nuages inférieurs:

a) La marche des nuages inférieurs dévie à droite de la direction

du vent à la surface de la terre.
b) En effet, les courants aériens, dans lesquels nagent les nuages

inférieurs, marchent dans une direction presque perpendiculaire à celle
du gradient ou paralléle à la tangente des isobares.

30 H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON,

c) Lorsque le gradient s'abaisse vers l'ouest, l'angle qu'il fait avec
la direction des nuages inférieurs, est móme un peu plus grand que 90°;
c’est-à-dire que l'air s'éloigne du centre de la dépression et se porte vers
la région d'une haute pression barométrique.

3. Marche des nuages supérieurs:

a) Dans la région des cirrus les courants d'air sortent des minima
pour envahir les maxima.

b) Ce mouvement centrifuge du centre de la dépression est le
plus faible dans la zone la plus intérieure D, mais il augmente dans les
parties extérieures de la dépression et à plus forte raison dans les zones
E et F, ou dans les régions des maxima.

c) Ce mouvement centrifuge est aussi beaucoup plus grand pour
le gradient dirigé vers WSW ou S que pour les gradients dirigés en
sens contraires, c’est-à-dire plus grand dans la partie antérieure d'une
dépression que dans sa partie postérieure, ou le mouvement des cirrus
s'approche de la direction des nuages inférieurs et du vent à la surface
du sol; de méme l’affluence en haut est beaucoup plus grande au-dessus
du versant ouest que du versant opposé d'un maximum.

d) Le mouvement dans les régions supérieures immédiatement derrière
et au-dessus du centre d'une dépression est en général du N ou de !’Wen
Suéde. Cependant le mouvement présente ici souvent des irrégularités
surprenantes. Il y a même des cas où le mouvement va du S ou du
SE, ce qui arrive en général en Angleterre selon M. CLEMENT Ley. Dans
ces cas, on est porté à croire que le sommet du tourbillon a été laissé
en arrière.

e) Si une bourrasque est suivie de prés d'une nouvelle dépression,
ce nouveau minimum influe sur la girouette plus tót que sur la direction
des courants supérieurs.

4. Température de lair:

a) En hiver de même qu'en été, la température dans les maxima
et dans les minima est au-dessus de la valeur moyenne, lorsque le gra-
dient s'abaisse vers louest, et au-dessous de cette valeur, quand il s'a-
baisse vers l'est. |

b) En hiver, la température est ordinairement au-dessus de la
valeur moyenne dans les minima, mais au-dessous de cette valeur

DISTRIBUTION DES ELEMENTS MÉTÉOROLOGIQUES etc. 31

dans les maxima ainsi qu'entre deux minima; en été, c'est l'inverse
qui a lieu. ,

c) En hiver, la température s'éléve de tous cótés vers le centre
d'un minimum, et par conséquent le baromètre et le thermomètre mar-
chent en sens opposé pendant le passage d'un minimum.

d) Dans latmosphére, la température va en général en diminuant
de bas en haut. Selon les observations françaises à Clermont et au som-
met du Puy-de-Dóme cette différence de température atteint en hiver
son maximum dans la proximité d'un centre de dépression et elle dimi-
nue suivant que la pression barométrique augmente, jusqu'à ce qu'elle
change de signe dans les parties intérieures d'un maximum.

e) Quaud le gradient est dirigé vers le nord ou l'est, la diffé-
rence atteit sa plus grande valeur, tandis qu'elle est minimum, quand
le gradient s'abaisse vers le sud ou l'ouest.

5. Quantité des nuages et fréquence de la pluie:

Elles ont leurs plus grandes valeurs, quand le gradient est dirigé
vers le sud ou l'ouest, et leurs plus petites, quand il s'abaisse vers le
nord-est. En été, elles diminuent réguliérement, quand la pression baro-
métrique augmente; en hiver, moins réguliérement, attendu que les
strato-cumulus, les nuages les plus fréquents dans cette saison, sont le
plus nombreux pendant les hautes pressions et aménent parfois avec
eux une petite quantité de neige.

6. Transparence de l'air et brouillard:

a) A Upsala la transparence de l'air est à peu prés indépendante
de la pression barométrique, L’air est le plus brumeux, quand le gra-
dient est dirigé vers l'ouest.

b) Dans le Kattegat le brouillard atteint son maximum de fré-
quence entre les basses et les hautes pressions.

c) Quant à la direction du gradient, le brouillard est le plus fré-
quent, quand le gradient est dirigé vers le nord, et le moins fréquent,
quand le gradient est dirigé vers le sud.

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SUR

UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES.

A. BERGER.

(PRÉSENTÉ A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPsAL LE 10 MARS 1883.)

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1883.

v ak Fa Tull

inis 4 X

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>
u

LU
LA

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES.

Dans ses lecons sur l'applieation du calcul infinitésimal à la

théorie des nombres M. KRONECKER a introduit la notion de discriminant
fondamental, et il a donné ce nom à tout nombre A, qui est de l'une
des trois formes suivantes:
ibo NAT route I inge 4.
29:0) A = 4P, où P=—1, mod. 4,
9:9) A SP, ou P=1, mod.r2,
pourvu que P désigne un nombre entier, qui n'est divisible par aucun

En désignant par
A
ee

le symbole de LEGENDRE, géneralisé par M. KRONECKER, et par « le signe
du nombre A, ce géométre éminent a démontré les trois formules

nombre carré.

suivantes:
(1) “3 (2)=0,
@) e T:

oun>O0,h=0, et

(3) > (4

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

2 A. BERGER,
où b > 0, et
(VA) = | YA | pour NEO
(VA) = [y— A | pour AS

De ces formules nous ferons usage dans ce qui va suivre. De
l'équation (3) on obtiendra pour A « 0

(4) Te) sin ale = = | VESA | : = &

ou k = 0, et pour A => 0

(5) | à ) COS “5 = | VA | : [ms .

ies v

ou & > 0. En introduisant dans l'équation (4) — A — k au lieu de k
on aura

(6) - 2 (4) sin CRI = | y—A | : (—8-) 3

A

ou £ « — ^. On trouvera aussi de l'équation (5), en y posant A — E
au lieu de £,

o "Saco BE harpe):

où k <A. Des équations (4) et (6) on obtiendra pour A < 0

©) rot
où 0 < k « — ^, et des équations (5) et (7) on obtiendra pour A > 0
o teur

où 0 <k< A. Ces égalités peuvent se réunir dans une seule formule

av ia ee

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES. 3

ou O<k<eA, le nombre A désignant un discriminant fondamental
queleonque positif ou négatif. En posant l'équation (4) sous la forme

(11) Sa) sin u + =) sin ie e| uus | 4) :

h=1 vy A
LEE

et en introduisant dans la dernière somme du promier membre — A — h
au lieu de 4, on aura, en s'appuyant sur l'équation (10), pour A <0

(12) z'(2)sa —— = =al-(4 Je

où £20. Pour A>0 on obtiendra de la méme manière des équations
(5) et (10) la formule

A^
2

(13) ELS a

OM SO
Dans ce mémoire je me propose d'évaluer les sommes de quel-
ques séries de la forme

= (4)/@

en vertu des formules précédentes; dans le premier paragraphe je trai-
terai le cas, où

Os

dans le deuxième et le troisième paragraphe le cas, où

f(k) ==

en désignant par s un nombre entier plus grand que l'unité, et dans le
quatrième paragraphe je montrerai, comment la sommation de la série
sus-dite peut s'effectuer dans quelques autres cas.

4 A. BERGER,

&. 1.

Des équations (4) et (5) on déduit pour A «0

kan 1 he BSS Ge jl, Alla
14 2 ERU) XY (4) 2+
I uc TER c e
et pour A>0
je h=A-1 kan ;
S fa m l S (A 4 |. Zhkzı
NES es Welten

Pour la sommation des deux series, qui se trouvent dans les
seconds membres des &quations (14) et (15), nous nous servirons des

deux formules

TD EU sin u sin 2u sin 34
(16) NOM 1 3p 2 + 3 Mee ,
SL cos u cos 2u cos JU
(LT) — log (2 sin +) = eds 2 + = =

qui sont vraies pour O<u<2n. Posons dans l'équation (16)

(18) X

ou O<h<—A;; par la substitution

2hn
A^

( =

on obtiendra de l'équation (17) pour A > 0

fee all 2hks a gni
(19) I y POSEE = — log ( 2 sin =) a

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES, 5
où O<h<A. Pour A«0 on déduit des équations (1), (14), (18)
k=o 1 h=—A—1
(20) NN un
mr ak Aly—a| h=1 h

et pour A>O on déduit des équations (15) et (19)

ANI i SAFE AA hr
(21) i E =— ay 2 G ) log sin .
De la formule connue
k=a
22 Sn RUNE 1
E xU ES UN
pp

ou p, parcourt tous les nombres premiers positifs impairs, et par suite
on aura

Eo ce,

k=1

En posant 25 — 1 au lieu de & dans l'équation (12), et en appli-
quant la formule ainsi obtenue à l'équation (24) on obtiendra pour A <0

h <—$

| loc dn2^856—1m-

pa À RUE DBL es

Pour A>O on déduit de même des équations (13) et (24)

hee
AM F(AYD 2 ANSE 1 2h(2k— la
en N 2, Iva ae e T A^

A. BERGER,

6
En introduisant dans les formules (16) et (17) 2u au lieu de u

nous aurons pour 0 cuc:
7 u sin 2u sin 4u sin 6u
(27) SS Nes qo
4 2 2 i 6
: xus E
(28) mes log (2sin u) = = x Bii m S Uo ©

et des équations (16), (17), (27), (28) nous obtiendrons pour 0 cu «7

les formules
29 mo sin u sin 3u sin 5u wm
e» 4 1 3 mou Z
il u cos u cos 3u cos Du
30 — lose cot = VE
CY DRE Ko I 3 pos

‘équation (29) la formule

Pour A «0 on déduit de

NN Cl al Teo
(31 X sin zen
ae EA 4
oü 0 <h< ; pour A20 on obtient de l'équation (30) la formule
k=00 2 ^
X IE eC geo =
A 2 A

32 >
( ) Pri 9k = 1
Des équations (25) et (31) on déduit pour A <0

où O<he< A,
2
n<—5

(33) |

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES NERIES

En posant

(35) fe,4)= X (4)—

on aura pour «= 0
k=n0 A 1
(36) iO, y= eS)
et par suite

(37) f@,A)=fO, 2X =

Par la substitution
k=n+heA

et en remarquant, que pour » = EA

oe 0

on obtiendra de l'équation (37)

(38) fle,a)=/0,a)¢ 5B (—4 : N
ao DEREN pui a —( = Va e
n+heA

et par suite en vertu de l'équation (2)

[9 yov) - 40.2 2 C^)x| :

gl " mon na (2) x "d n + hen

n

Dans ce qui va suivre nous nous servirons des abréviations

(40)

log L'(x) = A(z) ,
(41)

cot i = C(z) .

8 A. BERGER,
Cela posé de la formule connue
h=00

(42) ao eo

=
N=0

1 1
Ip Je 3 h+z d

ou C désigne la constante d'EurER, on déduit

(43) C) AC ra ( = ) IE On eee > =
n

I

et par suite on obtiendra de l'équation (39)

ver N EA EA n

(at) fG sje fO. 2-1 OA Co

En remarquant, que

dans le cas, ou A est un nombre pair, on tire de l'equation (44)

1 nee

(45) JC , A) = FO » À) + FAI »

n=1

En introduisant dans la dernière somme du second membre de
l'équation (45) eA—n au lieu de n, on aura en ayant égard à l'équa-
tion (10)

(46) fl, A) - /(0 += 2 un ale ke )

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES. 9

Puisque la valeur de la série /(0, A) est donnée par les équa-
tions (33) et (34), la somme de la série f(z, A) est par l'équation (46)
réduite à forme finie. Dans ce paragraphe nous nous bornerons au cas,
où A est négatif et par suite «= — 1; dans ce cas on obtiendra des
équations (35) et (46)

(47) ers QUA d: i (4) EIC +2) ; er)

En différentiant par rapport à x les deux membres de la formule

connue
(48) A(x) + A — x) = log x — log sin zx,

on aura
(49) Aa) — A (1— 2) = — 7 cot ar —— nC(na) ,

d’où l'on voit que l'équation (47) peut s’écrire
BN LAN il ME
Gm 2 (F)——=/0, 4)

A^
DE

ee

n=1

Différentions les deux membres de l'équation (50) s — 1 fois par
rapport à z, et posons ensuite « = 0, il viendra

A
RS

eu P = : E Xp. zo Goa À a) CE)

n=1

ou le nombre entier s est égal ou plus grand que 2.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

10 A. BERGER,

Dans le cas, ou s est un nombre impair, on a

et, en posant s=2r+1, on déduit de la formule (51) le théorème
sulvant:

Théorème, Si l'on désigne par A un diseriminant fondamental ne-
gatif et par r un nombre entier positif, on aura

ne
=) 2r 2
A prn D tl NG DEN

Par exemple pour r — 1,2,3 on en déduit les formules

RE
> (4) 1 i x (4) con 2
= £i = ;
a k k3 A^ 3 sm n : 2 TEN
= = Sin
A
n<——
ES) ^ 1 T° y 3 A TN 1 1
dm k k? = ANS = n S b TN = : i
ae "=i gin? 2 Sein? ==
IN —
n<— —
San rem CS
Ai n 1,7 7 7 : o :
par KK Ce E Bine PT
ANS — m

et en posant s — 2r on obtiendra de l'équation (51)

m eae M DNA
2 > (2) = riv poo o D i (4) d E |

où r>1. D’après une formule connue on a

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES. il

k=00 2
8) ae
DM

A . uno .
où p parcourt tous les nombres premiers positifs. Designons par p,
tous les facteurs premiers inégaux positifs de A, on aura évidemment

pour p = p,, mais
=

p

dans tous les autres cas, et par conséquent on obtient de l'équation (53)

Ko 2 1 1 1
54 Se : :
p^ A Dre uM TRE
pu Di
Puisque on a
1 SIE JE (aay?
55 Il = X E
Co a |, UT a era
m

on déduit des équations (52) et (54) le théoréme suivant:

Théorème. Si Von désigne par A un discriminant fondamental

négatif et par r un nombre entier positif, on aura

eee
2 92r—2 2r

x ay oe). mr fi 1),
n = & if Po Po
où p, parcourt tous les facteurs premiers inégaux positifs de A.

Dans le cas spécial A — — p, ot p est un nombre premier po-

sitif de la forme 4443, on a

12 A. BERGER,

pour n=1,2,3, pa 5 Gi
Tee uM -
2o Po” p"

par suite on aura le théoréme suivant:

Théoróme. Si Von désigme par p un nombre premier positif de la
forme 4h + 3 et par x un nombre entier positif, on aura

Mo) x EDIT (= JU)

=
n=1 p

En y faisant r successivement égal à 1,2,3 et en combinant les
égalités ainsi obtenues entre elles, on obtiendra les formules suivantes:

r= Tl
=" 1 D —
nat sin? = D
p
a
ss 0 QE D Ulm
1 gint IT ue
p
=
S Nl = (Gir 1) (jo dE 25 Jc NON)
na ine PT 1890 :
p

où p désigne un nombre premier positif de la forme 47 + 3.

I &

Nous nous proposons d'évaluer la somme de la série

Dern 1
X (à)

dans les deux cas suivants:

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES. 13

1:9) A < 0 et sz 1, mod. 2,
2:0) A > 0 et s=0, mod. 2.

Des équations (4) et (5) on déduit pour A < 0

dnm 2hkz
e» Xia EOL
et pour A > 0 !
sh En Eur 2hkn
uec res mie Sce

En désignant par g(z , m) la fonction Bernoullienne du m""* degré,
à savoir

(58) plz, D) zx
(59) CG) E
et pour n > 1

[5]
(60) qz ; 2n + 1) = gent u ge + @ n at be cms

amnes Re der (e TOP. I JD BLZ

S e)

2
(61) qz f on ae 2) = gente Pu ZR gent + (2 n IL Ed ce

— (UR 22) dor ome s RS ME E canc puc

on aura les formules connues

(62) gle ; 2n T2 1) e 2(— Del SO ORME (2n + 1) EI sin Qk uz

Qn a Es

ou 0<z<1,n>1,et

14 A. BERGER,

2(— DHL S289 (ORD) TS cos Aisa
k

(63) qz 5 2n + 2) = (=E EE ng + (2 gp - per 7

1

on QS ss WU.

Par la substitution z — on déduit de l'équation (62) pour

A <0

ale h
: 97 2n+1 j F
ae (27) ol 9 2n+1)

a Do eo A T er

(64)

| Il
I al

où O<h<— A etn-l. En posant z — = dans l'équation (63) on

obtiendra pour A > 0

2 hk
cos 2 ET ^ (gnis | «( Pac jeter: al a (DEM
(65) N en A
= No RENE Cr)

où O0 ch « A et n=O. Des équations (56) et (64) on déduit pour
bs 0

/\

*

ams oo (A) deo GG Dee pers Cc T di 1
(66) > ( i ene 2.1.2.3....(2n - 1| y— A | 2 (4)y en AN |

où n- 1. Cette formule est vraie aussi pour n — 0, car pour cette
valeur elle se réduit à l'équation (20). Des équations (57) et (65) on
obtiendra pour A0

PL Milieu (— ly (25 RE.
m LB Eo NUM | M one ,2n +2) ,
ou n>0.

Désignons maintenant par D un nombre entier de l'une des deux
formes

1 Dz0,mod.4; D=1,mod.4,

mais assujetti à la condition, que D ne soit pas un nombre carré po-
sitif, on peut mettre ce nombre D sous la forme

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES. 15

où A est un discriminant fondamental, et Q un nombre entier positif.

On aura done

(69) = b - =E (52) : - E AG p

où p parcourt tous les nombres premiers positifs. Si l'on désigne en
outre par g tous les nombres premiers positifs contenus dans Q, il s'en-

sult, que

2
[ES
p

si p est égal à un nombre 4, mais

(8€). (4).

p

si p n'est égal à aucun des nombres 4. Par suite on aura

1 STRE ER ENS pee
(70) ese th p I NE

ou

ee

aD vant 1) 'S (a)
72 ee ess | FB ge ANN NAN
c YOi-p-O-26)
Des formules (66), (67), (72) résulte la proposition suivante:

Théorème. Soit D un nombre entier de l'une des deux formes

Dz0,mod.4; D=1,mod.4,

16 A. BERGER,

mais assujetti à la condition, que D me soit pas un nombre carré positif ;
posons
2
ID AR 5

où A est un discriminant fondamental; et désignons par q toas les nombres
premiers positifs contemus dans Q, par n un nombre entier positif ou zéro,
et enfin par q(z ,m) la fonction Bernoullienne du m°" degré, on aura
pour D < 0

SON (= DES Gare AY I
e !n-6).

"Y (Ce)

h=1

= RA ONA » g/ gt
et pour D > 0

D) d EN up a db
20 ) pert? 9 1.9. (BR) TEN E i N = ( ) qn

He ) e 5 2n+2).

h=1

Nous évaluerons maintenant la somme de la série

= a E

k=1 k

dans le cas, où D est un nombre carré positif.
En désignant par p, tous les facteurs premiers positifs du nom-
bre D et par p tous les nombres premiers positifs, nous aurons

Vos DNI IE Il 1 1
123) vex eee =i) I
( ) = i) Pme p em d il Po ( pte p 1 1
p fu ae
1 PES
E i (1 dh TS ) 2 fen?
1 Beam
= IH (1 ose
1 ( en! 2.1.2.9 4 ene

Les fonctions Bernoulliennes étant des fonctions entières à coëf-
ficients rationels on peut déduire du théorème précédent et de la for-
mule (73) ces deux corollaires:

Corollaive 1. Si l'on désigne par D un nombre entier négatif de
l'une des deuz formes

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES. 1n
D=0,mod.4; Dz1 , mod. 4,

et par 8 un nombre positif impair, le quotient

VE P E = : T°

est un nombre rationel.
Corollaire 2. Si lon désigne par D un nombre entier positif de
lune des deux formes

D=0 , mod. 4; D=1 , mod. 4,

et par 8 un nombre positif pair, le quotient

meer

est un nombre rationel.

Par exemple pour D — — 4 et D=4 il s'ensuit, comme il est
démontré dans l'Analyse algébrique, que le quotient

eee

est un nombre rationel, si s est un nombre positif impair, et que le
quotient

1 1 i 1 ) ;
e PIC
(: tg tg Tm pt
est un nombre rationel, si s est un nombre positif pair.
Pour D — — 8 et D — 8 on en peut conclure, que le quotient

za 1 1 1 1 1 1 I
ae SE pas 5 ar
Jj iz de 3 5° di p $e 2m DIEI 5:

Tee ) u
est un nombre rationel, si s est un nombre positif impair, et que le
quotient

er rb doe d a
eee nen

est un nombre rationel, si s est un nombre positif pair.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser, III. 3

18 A. BERGER,

S

En posant D — — 12 et D — 12 nous trouverons, que le quotient
= (1 1 1 1 1 1 1 1 3
Valö tr ir qs tet)

est un nombre rationel, si s est un nombre positif impair, et que le
quotient

NE RL. NE 1 que ted
3 = = — — —— een per
y (; p vt] ein a

est un nombre rationel, si s est un nombre positif pair.

Nous mettrons maintenant les formules démontrées ci-dessus sous
"ne forme plus simple et plus convenable pour calcul numérique. De
la rélation connue

(14) que spo) (E rm),

ou m>2, et de la formule (8) on obtiendra pour A <0,n=1,
0<h<—A la formule

(75) (—4—)o(1+— ,2n41) - (4) ez 21);

et par suite

PS
(76) = one at) = 23 (4)e( ‚2n+1).

Des formules (9) et (74) on obtiendra pour A>0 , n20,
O<h< A la relation

(17) (45) ea i22) (5)o o 22-8)

et, par conséquent,

| <A
e» "Eee omaes) <2 X (Jr

Du théoréme précédent et des formules (33), (72), (76), (78) ré-
sulte cette proposition:

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES. 19
Théorème. Soit D un nombre entier de l'une des deux formes
D=0,mod. 4; D=1, mod.4 ,

mais assujetti à la condition, que D ne soit pas un nombre carré positif ;
posons

D= AQ’,

ou A est un discriminant fondamental, et désignons par q tous les nombres
premiers positifs contenus dans Q, par m un nombre entier, et enfin par
q(z,m) la fonction Bernoullienne du m""* degré, on aura pour D <0

RO pg ti m

et

<=
k=00 h<

(DO (=D ay OU
2 = 12.3.@n+D]y—A po q nre (re

ou n>1,et pour D20

ae ) ir NEC r ET À = À EE ‚2n+2) ;

[QUT 1.2.8...(2n--2)|V A ]

où n>0. Dans le cas, où D est un nombre carré positif, on aura pour
n0

i 1 Bam":
met = TURE eel en Ne T d.
2 or i tel OA OT

ou l'on désigne par p, tous les facteurs premiers positifs du nombre D.

Pom mel), DES qc gu eu EE
nous obtiendrons du théoréme précédent les formules suivantes:

i 1
(79) ha ae RAS ee =

A. BERGER,
ee nn a
A E -4
9) peas TUR m won ri es
S T : due i 44-7 -7- str ta Tau
ee con
© ti NM NE

Pour n=0,D=1,4,5,8,9,12,13 nous aurons

CO desees eee I
(87) led b lac-lo. s NM
a nd - 2.
nn
en Da ne oe = = a tog tap Ks m
De. >

+ aD FAR = or

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES. 2]

Por DS 4, 1. = 8 ll nous’ trouverons
03) te TE É drum
(94) on,
Bann rn... E
We en a RE = ;
a pepe Roti "un

Pour n 21,D —1,4,5,8 nous -obtiendrons
(98) D or ae tg tee Jte e eee: = E ;
(99) un a dr. RA = |
ES ous

Eo ae ee ca

Pour n= 2, D=—3,—4,—7 nous aurons
E o —
We meu FR AO m x
(104) ea SET E Ses :

22 A. BERGER,

Enfin pour n 22, D —1,4,5 nous trouverons

1 1 1 il 1 T°
105 a RT Y HT a LI LI . . LI LI . . . . LI . =
e tas tar ta tar 945 ^"
1 il 1 1 1 SLE
106 TUR TE Saye TL LE e. — -e- & c € € j. e$ 9 e$ e$ = >
ae) pr gst get get ge * 960 59
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5365
107) — —— ee eee
( ) q$ 96 35+ get gs 716 gest ge tips 234315y5

8. 4.

Dans ce paragraphe nous évaluerons les sommes des deux séries

nice E qe

k=1
ou
1
(108) S, = | f(0 sin 2kntdt ,
(109) C, = | f@ cos 2katdt ,
0

la fonction f(t) étant une fonction réelle, qui est finie et continue pour
0<t<1. Des équations (4), (5), (108), (109), on obtiendra pour A « 0

k=x 1 h=—A—1 k=00 À 9hkz
110 DANSE c ST ses S, sin
( ) By Vz | = u) 2 : —A
et pour A>0
k=o 1 h=A—l k- 9hkzr
111 SpA Nds feta FENA C, cos
( ) 20) : lva | iu (4) 2 < A

Maintenant nous ferons usage de la formule
(112) f(z) — f(1 — 2) = b, sin zz + b, sin 2x2 + b, sin 372 LP.

ou 0 <a et

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES. 23
1
(113) by, = 2 (ro ra — t)) sin matdt ,
vo
et de la formule

(114) f@a+fd—2 =—2+4, cosmz 4a, cos2az4....,

to a

(115) Am = 2 | {{® +f —H} cos matdt .
0
De l'équation (113) on obtiendra

p

1
| fa — t) sin matdt ,
0

1
(116) by =2 | 70 NE
0

ou, en posant 1 — t au lieu de t dans la dernière intégrale,
A
(117) D vues et y» | f(t) sin matdt .
De méme on déduit de l'équation (115)
^1
(118) On NEC 1) | f (t) cos matdt .
20

Il en résulte que

(119) eat
1 .
(120) bn = 4 [ fl) sin 2kadt = 4, ,
(121) Go = 0 3
(122) nt 4 f ro con Den de Urs
0

et par suite on obtiendra des équations (112) et (114)

24 A. BERGER,
(123) f(z) fA — 2) 2 48, sin 272 + 4S, sin Arz + 4S, sin 6zz +....,
oua Met
(194) f(z) + f—z) = 2C, + 4C, cos 272 + 4C, cos Anz + ....,

où Oz «1. En posant dans l'équation (123)

h
Z É BER j
nous obtiendrons pour A <0
= CP IP sr d h\ |
125 X Sj sin = — Ja (1 Zu
RR a =A le f FN
ot O<h<—A; par la substitution
JE
BVA

on obtiendra de l'équation (124) pour A>0

(126) b 0. ges oat =); Gee - :

où 0ZA«A. Pour A «0 on déduit des équations (110) et (125)

S : ete sl d LES 1
(1200) S Se » (4 A EN
NOTE d (a(t Glee
En introduisant — A — 4 au lieu de h dans la dernière somme
du second membre, nous aurons
CES (AN Rr sd 1 EN h
ee = DE ely— al 2 n ec

Pour A >0 on obtiendra des équations (111), (126), (1)
129) S (Ale, = ESA FOG Se
ea - gr FA

ou, en posant A — A au lieu de A dans la dernière somme du second
membre,

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES.

(130) X Sie e

k 2|V 4| AR A^

Par là est démontré le théoréme suivant:

bo
Or

Théorème. Si Von désigne par A un discriminant fondamental et
par f(t) une fonction réelle qui est finie et continue pour O0 — t « 1, on aura
pour A «0

k

i DM I

(2 ) JC sin 2hatde = - lv Wool à "Ct

et pour A20

= (4 )) [FO cos 2k ardt = | at xm Ee

Désignons maintenant par w(t) une fonction qui est finie et con-
tinue pour t>0 et assujettie à la condition, que la série

X w(t + m)
m=0

est convergente pour ces valeurs de t; en posant

(131) fO= Xwtam),

m=0

nous obtiendrons

(132) ae f() sin 2katdt — "Y. [ wt + m) sin2katdt ,

m=0 v0

ou, en introduisant ¢—m au lieu de t dans la dernière intégrale,

M=E ml
(133) jJ 70 sin Qkatdi — Y | w(fsin2kntdt
0

m= 0 m

et par suite

1 na
(134) [£0 sin 2katdt = | w() sin 2katdt .
0 0

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4

26 A. BERGER,

De méme on obtiendra

^1 oo
a9 [ro cos 2kntdt = | w@ cos bai di

Du théoréme précédent et des formules (131), (134), (135) résulte
cette proposition:

Théorème. Si lon désigne par A um discriminant fondamental,
et par w(t) une fonction réelle, qui est finie et continue pour t> 0 et assu-
jettie à la condition, que la série

m - oo

> wt + m)

m=0

est convergente pour ces valeurs de t, on aura pour A <0

= (4 ) | wo sin 2 katdt = = aly deu à ze ven)

et pour A20

kan pa
> (A t el
BIP w(t) cos 2kztc

Posons par exemple

w(t) = mee N
ou a>0; à l’aide des deux formules

oo

Y S
fer sinstdt = —— ,
Jo Les

oo
"
€" cos stdt = — ——, ,
0 tS

our >0, nous obtiendrons du théorème ci-dessus pour A <0

k=00 h=—A—1 2arh
136 y» (A) Seen ee en À) Een
( ) ELLE Hess 2 (2).

I

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES.

21
et pour A0

ke (ANV a H Mi (AN _ Bann
(137) 2 dr

A^
X
h=1 h

Nous mettrons maintenant le théoréme précédent sous une autre
forme. D’après l'équation (2) on a pour h>0,m>0

Er

hime
et par suite on aura pour A< 0
; ko AD h=—A m=n
(138) E v(D sin 2 kntdt - I y
k=1 0

10 =
Tee E le)

et pour A>0

k=o oo 1 en m=0200
(139) X (4) f'wpeos 2 atat = > "5
0

k=1

2\Va | r= MES onere d A i
En posant dans l'équation (138)

h—mA=RÀ
et dans l'équation (139)

hm A =k,
nous obtiendrons le théoréme suivant:

Théorème.

Si A est un discriminant fondamental et w(t) ume
fonction réelle finie et continue pour t > 0 et assujettie à la condition, que
la série

m=o

2 v(e+m)

m=0

est convergente pour ces valeurs de t, on aura pour A <0

k=0 2
A : 5
2 (4) fv sin 2katdt =

et pour A> 0

aca à C

=

A. BERGER,

Posons par exemple dans la premiére de ces formules
w(t) =

et dans la seconde
wc;

en s'appuyant sur les deux formules

IN ete 2btdt = PVT,
0

2 a°

[er oos2urd VE, vo.
0

2a

où 420, nous obtiendrons pour A <0

4 k=» E UE YE=IE
oa) Eye Y (aj

et pour A7 0

= y = JE = Va 5 = QA .

Y

En posant

(141)

nous aurons
(142) a
Deland

(143) H lg 1 a

PIS Me w(t) cos 2katdt = Val à > (Ju (=) .

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES.

(144) es Vie + pourA <0 ,
Doe ;
(145) EN EN EA SU
A q

et par suite on déduit des équations (140) et (141) la proposition sui-

vante:

Si lon désigne par A un discriminant fondamental et par p et q

deux fractions propres positifs, qui satisfont à la condition
1 2
log = Joe == =

p

on aura pour A«0

et pour A 20

log LY (A) pt ay ie li = q
JU GE s i

Nous terminerons par la sommation de la série

3 à —_

m

4

ou A <0, et pour ce but nous ferons usage de la formule

(146) 3 b E 2 sin 2kaz= logl'(2) + (2 = E (log 27 + C) dem = lg rne

=1

qui est vraie pour O<z<]. Le discriminant A étant négatif, on dé-

duit de l'equation (4)

el \logk_ 1 "A logk . 2hkx
7 DRAN LSE v (A) y 198
us ) = ( k ) ka Ne | rue ( h ) = ka m

30

A. BERGER
et par suite, en

appuyant sur les équations (146) et (1),
ey log k 1

SS EN Se

(148) x(4 =

DE

r= E (4) [onem (EE) + = = (og2r+0)
acu À e log sin Am
De l'équati

=A
l'équation (8) on tire pour O<h<—A

(149) log sin sr

A ac (ems AV nat
loc Sins er =a)
ENN ui (- A SUN :
d’où l'on obtient
A A
RES h<—-Z
"P : > eA = lh)
ISO) (4) log sin > er) log sin =U.
( ) a h = = AN Vv ex — A = h > — A
En posant — A — / au lieu de / dans la dernière somme du pre-
mier membre de cette équation, nous aurons
h=—A—1 a
(151) > (4) log sin
h=1 h

=0
EN ;
et par conséquent l'équation (148) peut s'écrire ainsi
k=00 A log k 7 h=—A—
152) > =
un

ha = ui

Par exemple pour

log F E E = (082240) À

AS NOR A Me qum cem
nous obtiendrons de l'équation (152) ces formules
log 1 log 2 log 4 log 5
153 = = ON
co 1 NEA Ba on
PAL 1 256 m
oo = e EN] oc EDAM]
a

SUR UNE SOMMATION DE QUELQUES SERIES.

| log 1 log 3 log 5 log 7
(154) nern
S 1 C
meee) ae T à
log 1 log 3 log 5 log 7
oe Tae Dae var 7
: i 2
I | =
Sy) ee ET 2 87° 2
CUm

ol -

"i

OBSERVATIONES PHYCOLOGICAE

.

AUCTORE

J. E. ARESCHOUG

BOT. PROF. EMERIT.

PARTICULA QUARTA

DE LAMINARIACEIS NONNULLIS.

(REGUE SOCIETATI SCIENTIAR. UPSAL. TRADITÆ DIE VII APRIL. MDCCCLXXXIII).

UPSALIA,
EXCUDIT ED. BERLING REG. ACAD. TYPOGRAPHUS,
MDCCCLXXXIII.

LJ

L HAFGYGIA Kitz.

Phyeol. gen. p. 346.

Radix ramosa, ramis ramulosis, vel rhizoma. Truncus elongato-
conicus, teres vel compressus, corticatus, orbem lacunarum muciferarum in
interiore cortice fovens; cortex exterior sensim deciduus vel remanens.
Folium digitato-divisum vel simplex, semper ecostatum et avenium, in
sectione transversali inter medullam et margines simplicem seriem lacu-
narum utrinque interdum ostendens. Sporangia eum paranematibus ma-
culæ- vel stratiformiter effusa.

A. Folium solitarium, rimis dilatatione exortis denique digitato-
divisum.

1. HAFGYGIA CLOUSTONI (Edmondston) Aresch.

Radix ramosa, ramis primariis in series verticales subregulariter
ordinatis, orbe lacunarum in cortice. "Truncus elongato-conicus, firmus,
cortice rugoso, deciduo, basi in sectione transversali orbe lacunarum
muciferarum in cortice interiore 3—4 annulos includente. Folium digi-
tato-partitum, basi acutiusculum, iu latitudinem late expansum vel cor-
datum, in sectione transversali inter medullam et margines simplicem
seriem lacunarum utrinque ostendens. Fructificatio per lacinias irregu-
lariter, seepe maculæformiter, effusa.

Syn. Cury Clouston in Andersons Guide ed. I p. 721 (Harv.). Cfr. Harv. Phycol. Brit.
tab. 338 sub Lam. digitata var. stenophylla.

Laminaria Cloustoni Edmondst. Flora of Shetland p. 54 (Harv. l. c.), Le Jolis
Sur le Lam. digitata p. 49.

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. 1

bo

J. E. ARESCHOUG,

Hee species in Europa media et boreali non rara est planta,
quamquam ab algologis raro legitur, nisi ab undis e mari ejecta. Cujus
rel causa in eo posita est; quod longe profundius crescit, quam ulla alia
apud nos species, sed jam 1841 mense Julio extraxi e mari prope
Christineberg in Bahusia duo Laminariæ cujusdam specimina, que quat-
tuor fere decennia in herbario manserunt indeterminata; proximis annis
denique in iis Hafgygiam Cloustoni recognovi. Cum igitur cl. Dr. LAGER-
STEDT 1881 ad Christineberg iter faceret, a me exhortatus fuit, ut hane
iterum invenire conaretur, quod quoque tam prospere fecit, ut mihi 30
hujus speciei specimina, uno fere loco lecta, prestare potuerit. Dein
lecta est pluribus locis ad oram occidentalem cum Sueciz, tum Norvegiae
usque in fines Finmarkiæ, quibus ex oris cl. Fosuig ultimis annis largam
Laminariearum messem benigniter misit. Specimina Bahusiensia, mense
Augusto lecta, cum speciminibus ejusdem magnitudinis ex Orkney ad
unguem conveniunt. Maxima in Bahusia lecta crescunt in aqua 9 orgyas
profunda, trunco adnumerato 2—3 pedes longa; etiam majora specimina
crescere in fundo 60— 100 pedes demerso vix dubitandum est. Fructi-
ficat apud nos a mense Octobri in primum ver. Unum eorum speci-
minum, qua 1841 legimus, veterem laminam mense Julio in apice nova
portabat, unde patet, recte apud nos recognitam esse hane plantam.

In mari atlantico ad litora Galliæ et Britannis hee planta longe majoris
est stature, ut specimina a cl. LE JOLIS data nos edocuerunt. Hee habent la-
minas 2 pedes et supra longas, 4 pedes et supra latas, omnia mense Octobri
fructificantia. In mari Orkneyensi hee species magnas ostendit formas; est nempe
trunci circuitus basi usque ad 7 pollices laminzque longitudo 6—8 pedes. Tam
magna specimina crescunt quoque ad oram Norvegicam. Quod enim dicet WAHLEN-
BERG in Flora Lapponiea, cum de Laminaria digitata loquitur: »ejus seilicet sti-
pitem basi crassitudinem fere brachii attingere», certo certius Hafgygiam Oloustoni
spectare videtur; eum vero dicit, eam gignere frondes homine duplo triplove longio-
res, aliam speciem prodit, Laminariam flexicaulem Le Jol. Ex Berlevaag Finmarkiæ
misit mihi el. FOSLIE, solita sua humanitate, mense Februari lectum specimen Haf-
gygie Cloustoni, cujus trunci eireuitus basalis 7-pollicaris; lamina jam multum de-
ereverat totaque erit senescens. ;

Obs. Laminaria platymeris De la PyL, Farlow Marine Algæ of New England
p. 84, certe ad hane speciem pertinet. Nam cum Hafgygia Cloustoni ad
oras Norvegiæ, Scotiæ et Islandiæ crescat, eam quoque ad oram Americæ
septentrionalis erescere par est, cui opinioni observationes cel. FARLOW
non repugnare videntur.

OBSERVATIONES PHYCOLOGICH. 3

2. HAFGYGIA ANDERSONI (Farlow) Aresch.

Radix ramosa, ramis intus annulo solitario preditis. Truncus elongato-
conicus, firmus, cortice rugoso, intus orbe lacunarum muciferarum, apice
in interiore cortice locato, basi in ligno intra 1—3 annulos, hos exclu-
dente medullamque includente. Folium basi acutum, rotundatum, digitato-
partitum, in sectione transversali utrinque inter medullam et margines
simplicem seriem lacunarum muciferarum ostendens. Sporangia cum
paranematibus maculæ- vel stratiformiter supra laminam effusa.

Maris pacifiei incola. E Vera Cruz in California misit Dr. C. L.
ANDERSON nomine Laminariw Andersoni Farlow; quo autem loco a cel.
FarLow descripta sit, nos omnino fugit.

Habitu variis Hafgygie Cloustoni et Laminariæe flexicaulis formis tam similis
est, ut distinguere non sit facile, nisi anatomia ductrice. Hafgygia Cloustoni est sine
dubitatione maxime affinis. In hae, ut supra vidimus, orbis lacunarum mueiferarum
positus est in interiore trunci cortice et cireumdat semper annulos omnes. Sed in
Hafgygia Andersoni ves se aliter habet, nam in speciminibus juvenilibus observatur,
in sectione transversali trunci basalis, orbis laeunarum muciferarum prope corticem,
unieum annulum eum medulla ineludens; novus annulus, i. e. secundus, formatur in
eortiee primi extra orbem laeunarum, tertius in cortice secundi e. s. p. In Haf-
gygia Cloustoni orbis lacunarum omnes includit annulos; in Hafg. Andersoni, primo
excepto, omnes excludit.

Ex tribus, qux accepimus, speciminibus maximum habet truncum 50 em.
laminamque metrum longam; in alio videntur marcescentes veteris laciniæ in apici-
bus laciniarum nove, ut in Laminaria flexicauli; in alio longius decreverant et erant
quasi abrupte, quod quoque non raro observatur in nostris speciebus. De cetero non
est dubitandum, hane speciem ad oram ealifornicam multo majoris stature inveniri.

In speeimine minore, cum trunco m. 0,58 longo, nova lamina est elongato-
elliptiea, m. 0,13 longa, m. 0,04 lata, crassa et integerrima, in apice veterem bila-
ciniatam et pulchre fructiferam portans. Est igitur nove laminæ evolutio, ut in
Hafg. Cloustoni.

3. HAFGYGIA PALLIDA (Grev.) Aresch.

Radix ramosa, ramis intus in peripheria orbem lacunarum, in in-
teriore parte lacunas sparsas præbentibus. Truncus elongato-conicus, fir-
missimus, sulcato-rugosus, cortice deciduo, basi in sectione transversali
nullis annulis, sed orbe lacunarum muciferarum in cortice interiore; me-
dulla in sectione transversali rotunda. Folium basi ovatum vel acutiuscu-
lum, primum circuitu rotundatum, ovatum, elongatum, digitatum, in sectione

4 J. E. ÅRESCHOUG,

iransversali inter medullam et margines simplicem lacunarum seriem
utrinque ostendens. Fructificatio per lacinias maculæformiter sparsa.

Extra Caput bone spei, ubi prope urbem in litora cum Eeklonia
buccinali quotannis ejicitur.

Ab affinibus speciebus bæc quodammodo differt annulorum defectu et medulla
in sectione transversali rotunda et grandiore. Quod ad staturam attinet, specimina
H. Cloustoni ex insulis Orkney et Finmarkia orientali cum quibusdam Hafgygie
pallide speciminibus non male conveniunt. Hafy. pallide tres habemus formas,
quas sunt:

1. minor: Laminaria flexicauli similis et ab hujus formis minoribus non semper
distincta (veterum auctorum Lam. digitata e Cap. bon. spei).
2. evoluta: adhuc vegetans, truneus longissimus, lamina m. 1,15 longa.
3. maxima: truneus basi circuitu m. 0,08, m. 1,06 longus, lamina m. 1,15 (spe-
cimen siccatum, nec madidum). Hee forma non male revocat maximum Haf-
gygie Clouston’ e Finmarkia specimen; efr. supra.

4. HAFGYGIA RUPRECHTI Aresch.

hadix ramosa, ramis majoribus cum minoribus conglobatis, orbe
lacunarum muciferarum in cortice. "Truncus brevis, siccus fere a radice
compressus, superius subcomplanatus et obeuneatim in laminam evane-
scens, cortice deciduo, orbe lacunarum muciferarum in cortice interiore
ornatus; medulla basi in sectione transversali linearis, utrinque obtusa
leniterque curvata. Folium in basin acutissime attenuatum, angustum,
longissimum, duabus laciniis simplicibus confectum, inter medullam et
margines in sectione transversah seriem simplicem lacunarum utrinque
ostendens. Fructificatio non visa.

In mari pacifico ad insulam Sitcha, unde dedit RUPRECHT nomine
Laminarie dermatodeæ unicum, quod vidimus, specimen.

Hane Laminariam dermatodeam, quæ vera non est, J. AGARDH cum Lam.
stenophylla Harv. conjungere vult (De Laminarieis p. 18), quod vero mihi impossibile
videtur, nam hee Ruprechti Lam. dermatodea habet systema lacunarum tale, quale
supra in Hafgygia descripsimus et cujus in Lam. stenophylla Harv., qu: est Lam.
Jlevicaulis forma, ne minimum quidem observatur vestigium. taque coacti fuimus
novam condere speciem. Restat tamen quæstio: estne planta, quam AGARDH a
RUPRECHT accepit, eadem, quam hie mihi donavit? Quod eum AGARDH suam cum
Lam. stenophylla conjungerit, eredere vix possum.

Cum unieum, ut diximus, tantum viderimus specimen, descriptionem comple-
tam dare non possumus, speramus tamen characteres essentiales haud omissos esse.

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 5

Gigantea certe est planta, nam altera duarum laciniarum, quamquam apice abrupta,
est m. 1,70 longa et m. 0,10 lata. Truncus autem m. 0,20 vix superat. In natura
plures lacinias certe fert sæpenumero.

5. HAFGYGIA BONGARDIANA (Post. & Rupr.) Kütz.

Radix ramosissima, ramis tenuibus, dense conglomeratis, nullis lacunis
preditis, in sectione medullam transversalem ostendentibus et interdum
turiones emittentibus. "Truncus normaliter evolutus elongato-conicus, sub-
firmus, inferne sev basi teres, superne compressus et obcuneatim in la-
minam evanescens, nunc brevissimus, modo integer, modo furcatus, nunc
fere nullus; basi in sectione transversali orbe lacunarum muciferarum in
cortice interiori 2—3 annulos includente, medulla basi transversaliter
secta orbieulari. Folium basi acutiusculum, ovatum vel rotundatum, nunc
latissimum paucis laciniis latioribus, nune elongatum pluribusque laciniis
angustioribus et longioribus confectum, in sectione transversali inter
medullam et margines utrinque simplicem seriem lacunarum muciferarum
ostendens. Sporocarpia cum paranematibus maculeformiter vel stratifor-
miter per lacinias large effusa.

Syn. Laminaria Bongardiana Post. & Rupr. Illustr. algar.
Hafgygia Bongardiana Kütz. Spec. alg. p. 577.
Arthothamnus Bongardianus J. Ag. De Laminarieis p. 28.

In mari pacifico boreali, ad insulam Bering et ad Sitcham: Rv-
PRECHT et Dr. F. R. KJELLMAN.

Hæc gigantea, ex omnibus forsan maxima, insigniter variabilis et multiformis,
quarum formarum naturam declarabit ille, cui eas in patria videre concessum fuerit.
Harum insigniores et apud auctores allatas solas memorare volumus:

1. forma normalis: Lam. flexicauli atlanticæ similis; truncus longus, e basi sub-
conicus, sensim superne eompressus; lamina basi ovata vel ovalis, longe elon-
gata et in plures lacinias angustiores divisa.

b) eadem forma et ejusdem magnitudo, sed truncus m. 0,06 vix longior, apice

late obeuneatus; lamina magna,in plures lacinias divisa.

2. forma furcata: truncus brevis, furcatus; lamina in duas lacinias divisa, utraque
in lacinias angustiores, sspe longissimas divisa; de cetero prioribus similis.

3. forma subsessilis: radix conglobata, ramosissima, turiores emittens ex apice
laminas evolventes (ut in Lam. longipede); truncus vix semipollicaris, planus;
lamina latissima, fere orbicularis, laciniis nune angustioribus, nune latioribus.

6 J. E. AREsCHOUG,

B. Folium indivisum.
6. HAFGYGIA JAPONICA Aresch.

Radix ramosa (SURINGAR). Truncus brevis, m. 0,08 longus (SURINGAR),
compressus, superne obcuneato-complanatus, in laminam evanescens, in-
ferne in sectione transversali orbem lacunarum muciferarum in interiore
cortice ostendens, nullum vero annulum. Folium giganteum, usque m. 3,19
longitudine et m. 0,32 latitudime attingens, fascia crassiore, apicem versus
evanescente percursum, lineare, basi acutiusculum, apicem versus angustius,
marginibus tenuioribus et undulato-crispis. Fructificatio nondum detecta.

Syn. Fucus saccharinus Thunb. Fl. jap. p. 346.
Laminaria japonica Aresch. Algæ cap. p. 29, Suringar Alg. Jap. p. 25 tab, XI
et XII.
Oxyglossum japonicum Aresch. Bot. Notiser. 1880.

In mari japonico ad insulam Jesso aliasque insulas crescens, ubi
in cibum colligitur et in macello venditur.

Hæc species est, ut mihi videtur, structura firmissima et consistentia, nee non
magnitudine ex omnibus Laminarüs simplicibus foliaceis maxime insignis; orbis
lacunarum in trunco in interiore cortice locatus est, sed nullum visum annulorum
vestigium. Medulla fere eadem ac in Hafgygia Ruprechti, sed parum curvata.
Lacunæ, quamquam a me in ipso folio diligenter quæsitæ, numquam sunt inventæ;
nee fructificatio visa est. Observavi quasdam strati corticalis excrescentias, quas
forsan fructificationem habere velles, quod vero probare non possum. :

7. HAFGYGIA SINCLAIRI (Harv.) Aresch.

Rhizoma repens, ramosum, sursum turiones sev truncos, deorsum
radices emittens. "Truncus subfiliformis, basi compressus, superne com-
planatus, subæqualis, usque ad m. 0,36 longus, vix m. 0,005 latus, cortice
rugoso-suleato tectus, basi in sectione transversali orbem lacunarum muci-
ferarum, nullum vero annulum ostendens; medulla linearis, apicibus ro-
tundatis. Folium basi a trunco quasi vaginatum, integerrimum, lineare,
junius in basin longe attenuatum, adultius ubique fere ejusdem latitudi-
nis, vix vero latius quam m. 0,03 vel 0,04, in sectione transversali inter
medullam et margines simplicem seriem lacunarum muciferarum utrinque
ostendens. Fructificatio utrumque foli latus rarius obtegens, extremo
margine tantum nudo, frequentius maculæformis et precipue in inferiore
laminæ parte posita.

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 1

Accepimus plantam, nomine Laminaria Sinelairi adscripto, ex Santa
Cruz in California, a Doctore C. L. ANDERSON; nescio autem, quo tempore
et loco descripta fuerit.

Pars plantæ, qua radieata est, potius rhizoma quam radix nobis nominanda
esse videtur, nam ex ea exeunt non modo radiculæ, verum etiam turiones sev trunci,
qui eriguntur et folia ex apice explieant. Utrum hi turiones moriantur cum folio,
an perennes sint et quotannis nova explicent folia, dieere non possumus.

Laminariæ longipedi habitu tam est similis, ut cum hane accepissem, utramque
eandem speciem declararem. Utriusque vero anatomia examinata, differentia in
aperto erat. |

In meis speeiminibus omnes fere laciniarum apices abrupti sunt; vi externa
an solita earum dissolutione? Hoc potius crederem; una solum lacinia incolumis est
et acuta, sed totus hujus apex tectus est parvo quodam Æctocarpo, innumeris dia-
tomaceis et floridea eonfervacea. In medio Junio fert apud nos Laminaria flexicaulis
lacinias veteris laminæ in apicibus novæ, Bryozois algisque minutissimis vestitas.
Num et apud hane plantam veteris laminæ vestigium et foliationis indicium?

8. HAFGYGIA SOLIDUNGULA (J. Ag.) Aresch.

Radix membranacea, disciformis. Truncus teres, usque ad m. 0,01
crassus, m. 1 longus, ubi crassissimus siccus cortice rugoso tectus, basi
in sectione transversali orbem lacunarum muciferarum grandiorum in in-
teriore eortice ostendens; medulla in sectione transversali basali breviter
elliptica et utrinque acuta. Folium ovato-oblongum, vere et estate laminam
preteriti anni in apice portans et tum usque ad m. 2 longum et m. 0,38
latum, nullas (ut nostra fert observatio) continens lacunas. Fructificatio:
sorus in basi laminæ rotundus, ellipticus vel reniformis, forma determinata
nec maculeformiter dispersa.

Syn. Laminaria solidungula J. Agardh Spetsbergens Alg. Vet. Akad. Handl. 1861 pag. 1.
— Kjellman Bihang till Vet. Akad. Handl. Band. 4 N:o 6 p. 15.

Ad insulas Spetsbergenses multis locis, numquam socialiter cre-
scens, ut Alaria grandifolia cetereque Laminarieæ (KJELLMAN).

Species valde insignis. Non solum discus radicalis, qui est quidquam in La-
minarieis inauditum, verum etiam orbis lacunarum in trunco sunt valde memorabiles
et presertim lacunæ dignæ, que paucis verbis ex novo memorentur. Proximam intra
corticem zonam occupat orbis lacunarum. Hæc zona valde est lata; in sectione trans-
versali lacunæ rarius sunt rotunda, sæpius lineares; si rotundatz, duse sspe radia-
liter locate. Si sectio tenuis trunei in lamina vitrea siecatur, lacunæ suam magni-
tudinem ostendunt et formam; sunt ovate, oblongæ, rotund, omnes sine propria
structura et tantum excavationes in contextu celluloso a muco intrante formate,
ut in omnibus Laminarieis.

8 J. E. ARESCHOUG,

9. HAFGYGIA LONGICRURIS (De la Pyl.) Aresch.

Radix ramosa, ramis ramulisque filiformibus, distantibus. Truncus
longissimus, usque ad m. 4 longus, teres, basi tenuior et solidus, superius
fistulosus, crassior erassiorque donec denique m. 0,02 æquans, inde iterum
attenuatus, cortice deciduo tectus, infima parte in sectione transversali
orbem laeunarum in interiore cortice ostendens; medulla in infima trunci
parte, sectione transversali orbicularis vel late elliptica. Folium e trunco
obeuneato-exsertum, e rotundata vel acuta basi giganteum, m. 3—4 longum
et usque ad m. 1—1 latum, ovato-lanceolatum vel lineari-lanceolatum,
superficie levi, fascia longitudinali pereursum, nullas lacunas muciferas
includens(?) et reticulo superficiali carens. Fructificatio plerumque fere
totam fasciam investiens et non raro quandam ipsius lamine partem.

-—

Syn. Laminaria longicruris De la Pyl. Aun. d. Se. Nat. IV p. 177 sec. J. Ag. Spec.
p. 135. ;

Ad oram Groenlandie et Americe septentrionalis usque ad Halifax
(Harvey). In Europa haud crescit; truncus vero, lamina dejecta, ad oras
Anglie et Scandinaviæ ab undis interdum adportatur.

Nobilissima species et Laminariæ saccharine radicis tenuitate et habitu
externo quodammodo similis, sed differt magnopere præsentia orbis laeunarum in
basi trunci, hujus cavitate, lamina levi et absentia reticuli superfieialis. Orbis lacu-
narum non facilis est inventu; in infima trunei parte, que semper solida est, non
raro observatur in medio erasso eortice, rarius vero superius, quo cavus est truneus,
et tum in interiore cortice.

IL LAMINARIA Lamour.

| Radix ramosa, ramis dense ramulosis. Truncus simplex (rarissime

furcatus), teres, pro parte compressus vel complanatus, resorptione medullæ
interdum fistulosus vel cavus, nullum orbem lacunarum muciferarum,
annulos vero usque 5, interdum indistinctos, in sectione basali ostendens,
nulloque cortice deciduo, sed solo epidermate squamoso-decidente præditus.
Folium palmato-divisum vel simplex. Fructificatio nune forma magis de-
terminata, nune indeterminata, maculeformiter per lamimam effusa.

Hoc genus a precedente dignoscitur eo, quod omnes, quas hue retulimus
species, in cortice trunci interiore non posident orbem lacunarum muciferarum, quem

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 9

in antecedente genere cognovimus. Annuli, de quibus supra diximus, sunt longe alius
nature, quam ex. gr. annuli Hafyyyiarum, quos sequi lieet per trunci longitudinem;
hi eontra sunt fugaces, indeterminati et conferunt tantummodo ad inferiorem
trunei partem erassiorem reddendam.

A. Folium solitarium, rimis nascentibus denique digitato-divisum.

1. LAMINARIA FLEXICAULIS Le Jolis.

Radix ramosa, ramis irregulariter exeuntibus, conglobatis. Truncus
adultus inferne incrassatus et teres, superne compressus, immo compla-
natus, interdum fistulosus, medulla in ima trunci parte elliptica, utrinque
acuta vel acutiuscula (in sect. transvers.). Folium denique elongatum, pal-
mato-laciniatum vel integrum, immo calyptræforme. Fructificatio maculæ-
formiter vel late per laminam effusa.

Syn. Laminaria jlexicaulis Le Jol. Examen des espèces confondues sous le nom de La-
minaria digitata p. 50 (578).

Est species magnopere variabilis, quare insigniores formas seorsim
aduotare volumus, ut natura ipsius speciei eo melius eluceat.

A. australis: truncus inferne teres, rugoso-striatus, paululum in-
crassatus, medulla basi in sectione transversali elliptica et utrinque
acutiuscula, superius in trunco transversaliter linearis. Folium junius la-
ciniarum apicibus conniventibus, a præcedentis anni lamina nondum
pene liberatis, suborbiculare, deinde elongatum, angustum, basi acutum
vel rotundatum, laciniis paucioribus vel numerosis digitato-partitum, vel
integerrimum, simplex, immo calyptreforme.

Ad oras Galli, Britanniæ et Scandinavie. Ad oras Lofotenses
vulgaris est planta, per secula jam cognita, quia fere in limite aque ma-
rine crescit, cum contra Hafgygia Cloustoni longe profundiorem aquam
quaerit. Ita ex insulis Lofoten accepimus hujus forme specimina, quo-
rum unum habet truncum m. 0,67 et laminam m. 1,28 longam. In mari
Bahusiensi multo minoris est stature; die 2 Junii jam fructificans, lamina
circiter m. 0,67 et truncus m. 0,03 longus. Sed in specimine initio Oc-
tobris eodem loco in Bahusia, ubi anterior, lecto truncus 26 cm. et
lamina 145 cm. longitudinem attigerunt. Ad oram Normandie truncus
70 cm. et lamina 85 em. longa.

De modo, quo in hae forma evolvatur novum folium, non omnes auctores
sunt ejusdem opinionis. Rev. CLOUSTON (Harv. Phycolog. Brit. sub Lam. digitata
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 je 19% ARESCHOUG,

stenophylla tab. 338), eum de differentia inter »Cuvy» (Hafgygiam Cloustoni) et » Tangle»
(Lam. flexicaulem) sev potius hujus varietatem loquitur, dicit, numquam observatum
esse in »Tangle» (Lam. flexicauli) novum folium quotannis explicari inter stipitem
et vetus folium. Hujus sententiæ quoque clar. LE JOLIS, haram specierum monogra-
phus, esse videtur (Sur la Laminaria digitata p. 24) et declarat quoque modo, quem
intelligere non possum, novi folii ortum. Equidem e Bahusia aecepi annis 1875—80
mensibus Februario Martioque numerosa specimina, e quibus plura, cum minora tum
majora, inter stipitem veteremque laminam novam laminam portabant, constrictione,
ut in Hafgygia Cloustoni, ab illa seclusa. Nova lamina, eum assecuta est normalem
suam evolutionem, rimas in media parte ostendere incipit, quibus in lacinias seinditur;
vetus lamina non, ut in Hafgygia Cloustoni, fere integra abjicitur, sed tenet suum
locum et ejus laciniz remanent in apicibus laeiniaram nove laminz usque in men-
sem Julium, marcescentes et organismis parasiticis inquinatæ. In hac differentia inter
utramque plantam possit forsan qu:eri eausa, cur nonnulli auctores non eundem noyæ
laminæ formationis modum in Lam. fleæicauli, quem in Hafgygia Cloustoni, viderint.

b. subforma latifolia Aresch.: sepe grandissima, sed latitudine po-
tius quam longitudine, et maguopere variabilis; cum in societate prioris
crescit, digitata, laciniis solummodo multo latioribus; cum vero in sini-
bus a mari aperto seclusis crescit, seepe non plures habet lacinias quam
2—3 latissimas, et in aqua tranquilla parumque profunda, sæpe fit omnino
simplex, ovata vel oblonga. Cum vetus lamina in lacinias non seindi-
tur, nova coercetur, fit orbicularis et calyptræformis.

Syn. Laminaria digitata b. latifolia Aresch. Phyc. Scand. marin. p. 122.

Modus, quo nova lamina in hac varietate formatur, est idem omnino, quem
in proxime præcedente descripsimus, idemque, qui in Hafgygia Cloustoni observatur,
nam mense Decembri, Januario et Februario videre licet in Babusia omnia fere hujus
forme specimina, cum minima, pollicaria, tum 2—3-pedalia, inter laminam et sti-
pitem novam laminam eniti, constrietione ab superimposita distinetissimam. Post
solstitium vel autumnum versus abjecta est vetus lamina vel remanent ejus frag-
menta marcescentia in apice nove lamine.

Hee forma cum priore invenitur non raro, et rara non est neque ad oram
Galli», neque in mari Britannico et ad totam oram Scandinaviæ occidentalem. In
sinibus interioribus et tranquillis magis integra fit et major.

Varietates, quas enumerat LE JOLIS (Sur le Laminaria digitata p.52), incon-
stantes sunt et abit altera in alteram sine finibus, quod 40 per annos observavi.

B. stenophylla (Harv. Phycol. Brit. sub tab. 338). Sub hoc nomine
sequentes subformæ proponuntur, omnes a nobis varietates Lam. flexi-
caulis habitae:

1. subforma Orkneyensis Aresch. (sev »Tangle»): truncus inferne
teres, rugoso-striatus et paululum incrassatus, superne complanatus, m.

ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 11

0,90 longus. Folium: pars basalis obeuneata, in truncum utrinque æqua-
liter cuneatim attenuata, m. 0,16 longa, sub laciniis m. 0,07 lata; laci-
nie in transversalem lineam ordinate, in apice laminæ numerose, angu-
stissimæ, m. 0,01—0,02 late et m. 1,07 longæ.

In mari atlantico ad insulas Orkneyenses, unde specimen a rev.
CLousTON lectum cl. Le Jours benigniter nobis communicavit. Cum unicum
solum viderimus plante evolute specimen et nesciamus, an forma A.
australis crescat ad insulas Orkneyenses, de utriusque forme affinitate ex
loco nil dieere possumus. Habitu est hee subforma Orkneyensis a Lam.
flexicauli distincta, sed nullis characteribus firmioribus re vera differt.

2. subforma Harveyi Aresch.: cum trunco 6— 7-pollicari ipsa planta
m. 1,22—1,95 longa; lamina, laciniis haud adnumeratis, usque ad m. 0,60
longa et 0,02—0,06 lata; tota planta nigrofusca. Post mensem præter-
lapsum denuo accepimus ex eodem loco eandem plantam, que nunc
ad Lam. flexicaulem aperte pertinere videbatur.
Lecta fuit extra Bergen, e quo loco cel DANIELSEN mittebat
largam speciminum messem, e quibus nonnulla figure Harveyane tam
similia erant, ut illam ad hee factam fuisse crederes. i

He forma B. stenophylla est, ut credimus, borealis forma nec arctica; crescit
in Islandia, prope insulas Orkneyenses, sed neque ex oris Lofotensibus neque e
Spetsbergensibus, ubi forme gigante: non desiderantur, eam accepimus.

Specimina juniora Laminarie flewicaulis (australis), junioribus formis L. steno-
phylle non dissimilia, in mari Bahusiensi non raro inveniuntur; differunt vero co-
lore lætiore, consistentia tenuiore. Specimina autem eum supra descriptis ex Orkney
et mari Bergensi congruentia numquam invenimus.

©. borealis Aresch.: truncus veterioris plante inferne teres, mox
compressus, sensim complanatus, superne latior intusque plus minus sub-
cavus vel fistulosus, non raro siccitate planus, immo canaliculato-compres-
sus, usque ad m. 0.02 latus, sepe plus quam m.1 longus. Folium digitato-
partitum, basi cordato-incisum, quo circuitu fere orbiculare.

He tres forme sev varietates differunt respectu distributionis
geographice. Forma australis communis est per totam Europam borealem,
stenophylla ad oras Islandiæ et Scotiæ non rara est, borealis in mari
Norvegiæ septentrionalis et ad litora Spetsbergensia, ubi Dr. KJELLMAN
se vidisse dieit truncos quam m. 2 longiores laminasque m. 1 longas et
m. 0,75 latas.

Duæ exstant hujus forme borealis subformæ, que seorsim affe-
rantur, ut ipsa species melius eluceat, nam nullis characteribus di-
stincte sunt:

12 J. E. ARESCHoUG,

1. subforma nordlandica Aresch. Anno preterito mihi misit cl.
Fosurg e Lödingen (Lofoten) 20 circiter die 2 Martii lecta specimina
hujus subformæ; in omnibus laciniæ marcescentes, ut restarent solum-
modo inferiores earum partes incolumes, 2—4 pollices longae; pars la-
minz basalis in plerisque tumescens, vegetans et aperte in formam ro-
tundatam tendens, nulla constrictione distincta, sed, ut videtur, nutritionem
e trunco reciplendo, in novam laminam restaurata; denique exsistunt in
hac lamina nova rims longitudinales, quibus in lacinias apicem versus
scinditur.

Ut vero omnes mutationes, quas subiret vernali tempore, cognoscerem, oravi
meum amicum, ut mense Junio mihi mitteret nonnulla specimina ejusdem forme et
ex eodem loco, e quo antea aecepissem, quod quoque benignissime fecit. Omnia hee
specimina, die 24 Junii leeta, habebant lacinias presentis anni evolutas et portabant
omnia in apicibus fragmenta laciniarum antecedentis anni. Si expositio nostra
de nove laminz evolutione et in forma australi et in hac vera sit, hane distine-
tionem faceres: in forma australi nova lamina formatur inter stipitem et veterem la-
minam et constringitur sub hac; in subforma nordlandica veteris laminæ pars basalis
nutritur a stipite et restauratur in novam laminam.

2, subforma spetsbergensis Aresch. Hæc subforma nulla alia ab
precedente differt nota quam magnitudine, nam ad insulas Spetsbergenses
Laminariæ flexicaulis specimina maxima inveniuntur, et cum nullam spe-
cificam differentiam inter utramque subformam invenire potuerimus, fas
est credere, formationem nove lamine in utraque subforma eandem esse.

B. Folium indivisum.

2. LAMINARIA SACCHARINA (L.) Lamour.

Radix ramosissima, ramis rainulisque nunc tenuibus longisque, nunc
crassioribus, brevioribus. "Truncus longitudine magnopere varians, 5—70
em. longus, in plantis lamine longitudine similibus inferne teres, superne
compressus vel sensim complanatus, nullo orbi lacunarum muciferarum in-
structus, denique state provectior intus tabescens et fistulosus. Lamina
folii linearis vel lanceolata, basi acuta, ovata vel cordata, consistentia per
vitam insigniter variabilis, membranacea, papyracea, pergamentacea vel co-
riacea; primo formatur in lamina fascia longitudinalis, a basi in apicem,
deinde emergit utrinque secus hane fasciam (rarius supra majorem la-
mina partem) reticulum superficiale, constans e maculis ex plicis elevatis
lateris foli formatis, intus fila e medulla intrantia recipientibus; margi-

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 13

nes folii consistentiæ tenuioris, laxiores grosseque undulatæ. Sporangia
unilocularia formant cum paranematibus nunc maculas sparsas in fascia
longitudinali, nune totam vel interdum majorem minoremve ipsius la-
min: partem vestiunt.

Reticulum elevato-superficiale, quod memoravimus, notam hujus speciei præ-
stantissimam habemus. In nulla enim alia specie europa visum, eamque ob causam
nonnulla de ejus natura afferre licet. Optime explicatur in minoribus Laminarie
saccharine speciminibus: duo habemus, quorum utrumque latus maculis elegantissimis
et regularibus ornatam est; tertium, ex eodem loco, habet faseiam nudam, secus quam
utrinque usque ad margines maculæ observantur. Si seetionem transversalem folii
fecerimus, facile videbimus, maeulas formari e plicis in utroque folii latere elevatis,
intusque fila cellularia ramosa et articulata e medulla in plicas intrare et forsan
nutritionem adferre. Evolvitur, ut eredimus, hoe reticulum mensibus Jul., August.
et Sept, quo tempore inerassari incipit lamina, quæ adpropinquante novo anno
fruetificationem evolvit et, nova lamina formata, ut veterior in hujus apice demum
moritur.

Observantur autem cum veris reticulis, que supra descripsimus, configura-
tiones plus minus retiformes, quas vera reticula facile habere potes, quare de his
pauca. In lamina præteriti anni mense Martio seriusque observantur non solum
macule veri reticuli, sed etiam figure retiformes, que nil aliud sunt quam plice
ipsius folii externe, in siecatis speciminibus frequentissime; in his autem aqua fa-
eile explieantur. Vera retieula longe alio modo constructa esse, supra vidimus.

Sub hac specie duas conjungimus formas, seilicet Laminariam saccharinam (L.)
et L. caperatam J. Ag. (L. Agardhii Kjellm.), quas ad eandem speciem pertinere nec
specifice distinctas esse nobis persuasum habemus. Que nos ad hane opinionem in-
duxerint res, ex ex sequentibus patebunt.

A. LAMINARIA SACCHARINA (L.) AUSTRALIS Aresch.

Truncus brevis, m. 0,05—0,20 in mari Bahusiensi, longior (m. 0,50)
in mari atlantico et, ut experti sumus, longissimus m. (0,55 et ultra) in
Finmarkia orientali. Folium novum in Bahusia mense Junio, quoad
magnitudinem, evolutum haberi potest; tum ipsa lamina non raro m.
1,70—2,33 longa et m. 0,29—0,31 lata est, quamquam adhue membra-
nacea et sola fascia longitudinali ornata, reticulo superficiali nondum
explicato; truncus in utraque solum m. 0,04—0,05 longus, subfiliformis.
Sed hoe quoque tempore, mense Junio, incrassari incipit lamina et in
nonnullis exsistunt reticuli primordia, utrinque secus fasciam usque ad
undulationes marginales denique evoluta. Mensibus Octobri et Novem-
bri lamina anni, sev nova planta, assecuta est maximam suam evolutio-
nem vegetativam, i. e. magnitudinem et structuram normalem. Ut talis
plante exemplum afferre liceat Laminariæ saccharine specimen, lectum

14 J. E. ARESCHOUG,

prope Vardöe in Finmarkia orientali mense Octobri. "Truncus m. 0,55
longus, lamina m. 2,66 longa et m. 0,20 lata. Hoc specimen giganteum;
fascia solita totam laminam percurrit a basi in apicem, et vadunt utrinque
a basi fere in apicem series reticuli superficialis secus fasciam, marginibus
nudis undulationibusque jam evanidis. Talis planta, qualem descripsimus,
a mense Octobri in Martium occupata est in fructificatione evolvenda et
nova lamina alienda. Initio Marti, sporis pro maxima parte sparsis et
nova lamina educata, defuncta est vita longeque alius ejus est habitus
quam antea: lamina adhue m. 0,67—0,70 longa et m. 0,16 lata, tota fusca
et levissima, sed initio mensis Junii restat tantummodo in apice filiae
lamine fragmentum parvum in ejus memoriam.

Distributa est hac forma in omnibus maribus Europe borealis,
mari baltico excepto, et crescit quoque ad oras Islandiz et sime dubi-
tatione etiam ad oram orientalem Americe borealis, unde DE LA Pyrar
(Flor. Terre neuve p. 14) suam habuit Lam. caperatam, que mihi vera
Laminaria saccharina videtur, ejusdem magnitudinis ac sæpissime in
Europa. Crescit quoque hee forma, ut supra memoravimus, ad Vardöe
et ad partem meridionalem Nowajæ Semljæ (cfr. infra); uterque locus fere

sub eodem latitudinis gradu situs.

B. LAMINARIA SACCHARINA BOREALIS Aresch.

Syn. Laminaria caperata J. Ag. Spetsb, alg. bidrag et De Laminarieis.
Laminaria Agardhii Kjellman Spetsb. marina chlophyllför. Thalloph. p. 18.

Truncus longissimus, non raro m. 0,01 crassus, solidus, superne
compressus, denique intus tabescens et fistulosus, plures annos vivens.
Folii lamina magna, usque ad m. 2,00 longa et m. 0,50 lata (KJELLMAN),
presertim latitudine præcedentis laminam excedens, fascia longitudinali
percursa et secus hanc utrinque reticulum superficiale ut in priore forma
gerens, maculis propter subitam, crescentiam plus minus irregularibus et
ssepe dilaceratis, in genere autem majoribus. Sporangia cum parane-
matibus nune maculæformiter fasciam, nunc hane fere totam, nunc majo-
rem minoremve lamina partem obtegentia.

Crescit ad Islandiam et in mari norvegico, inter insulas Lofotenses,
non raro et sub innumeris formis. In mari glaciali ad insulas Spets-

bergenses et Nowaja Semlja (KoELLM. 1. c.)

Hee dus forme in eo conveniunt, quod fascia longitudinalis et retieulum
superfieiale in utraque adesse possunt, e quo tamen haud sequitur, ea semper ad-
esse. Sed differunt in eo, quod forma australis est, ut ita dicam, elegantior, magis
elongata, angustior, denique magis subpergamentacea et firma, plerumque bre-

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 15

vior. Reticulum superficiale et fascia sunt in hac bene evoluta et characteristica.
Forma borealis est magis rudis, magis impolita, magis dilatata et inæqualis habet-
que reticulum maculis majoribus, seepe dilaceratis plus minus complete confectum,
et truneum longissimum, sæpe collabentem et insigniter contortum, intus putridum
et denique eavum.

Nulla mihi cognita est nota, qua hæc forma et præcedens altera ab altera
tute distingui possit. Laminaria saccharina, quam ex Islandia aecepimus, æque recte
Lam. saccharinam ac Lam. caperatam J. Ag. habere potes. "Truncus usque ad m. 1
longus; reticulum maculis magnis et dilatatis, ut in Lam. caperata formatis. Note
distinctive utriusque, quæ ab auctoribus datz sunt, in habitu plus minus diverso
ipsiusque mensuræ differentiis posite, et fere nullas audivimus tales, quales scientia
desiderat. Cl. KJELLMAN (Ueber die Algenvegetation des Murmanschen Meeres p.
33) optimas affert observationes de Laminarie saccharzne formis, scilicet de nostris
Lam. saccharina australi et Lam. saccharina boreali. His observationibus clare ex-
posuit cl. KJELLMAN has formas in unam speciem conjungendas esse nee ullo
modo distinguendas; dieit enim |. e.: »Ich betrachte daher jede im südöstlichsten
Theile des Murmanschen Meeres, am südlichen Nowaja Semlja und der Insel
Wajgatsch, vorkommende Laminaria, die zur saccharina-Gruppe dieser Gattung ge-
hört, als Z. Agardhii, doch gebe ich ausdrücklich an, dass sie im südlichen Theile
des Gebietes unter Formen auftritt, die sich der Z. saccharina so sehr nähern, dass
sie, wenn sie in einer Gegend angetroffen würden, wo diese Art die vorherrschende
wäre, mit der grössten Befügniss zu ihr gerechnet werden könnten. Mit anderen
Worten: an der Westküste von Nowaja Semlja und der Insel Wajgatsch findet man
gegen Norden typische L. Agarh, gegen Süden wieder Formen, die diese mit L.
saccharina verbinden».

2. LAMINARIA LONGIPES Bory, J. Ag. Spec. p. 133.

Syn. Arthrothamnus longipes J. Ag. De Lamin. p. 26.

Rhizoma ramosissimum, repens, deorsum radices et sursum turio-
nes emittens. Truncus simplicissimus, basi teres, vix ultra + cm. crassus,
solidus, superne compressus basinque lamine fere vaginatim amplectens,
usque ad m. 0,15 longus, intus nullo orbe lacunarum muciferarum ornatus,
annulo interdum notatus. Lamina foli basi acuta, attenuata, ovata vel
oblique ovata vel cordata, deinde in apicem linearis. Sporangia cum
paranematibus totum fere latus, marginibus angustis exceptis, vestientia.

Ex insulis aleuticis occidentalibus dedit RuPRECHT, nomine Lami-
naria (Lessonia) repens Rupr., ex insula Bering cl. KJELLMAN.

Perpauca tantum vidimus hujus specimina, ut character speciei nondum nobis
tam sit clarus, ut optaremus. Qui Laminarieas ex uno vel altero specimine se de-
terminare posse credat, is multas species fabricabit; cui autem bono? Numquam
in utilitatem rei herbarie, nec in honorem auctoris. Cum Hafgygiam Sinclairi ac-
cepissem, credidi, me ante oculos habere Laminariam longipedem vel aliam hujus
generis speciem; trunco vero transversaliter secto, differentia luce clarior fuit.

16 J. E. ÅRESCHOUG,

II. SACCORHIZA De la Pyl.

»

Planta juniore laminaque simplici radix primaria generatur et saccus
radicalis explicari incipit, demum fere pedem diametro æquans atque
carnoso-coriaceus, cavus, interiore pariete levis, extus verrucis vestitus,
radices e parte inferiore emittens, quibus planta arcte in fundo tenetur.
Truneus e sacco radicali exoriens, planus, margine inferne utrinque
undulato-crispo. Lamina in infantia, ut apud Laminarias, indivisa, evoluta
autem profunde ad basin in lacinias divisa. Sporangia et paranemata per
undulationes trunci et lacinas folii sparsa, quam apud ceteras Laminarieas
plerumque majora. — Saccus radicalis huie generi magnopere characteri-
sticus; verrucæ usque ad 2 lineas longæ, teretes, apice cortice tectæ vel
nude, e cellulis, majoribus minoribusque constructa.

1l. SACCORHIZA BULBOSA De la Pyl.

Truncus planus, margine inferne utrinque undulato-crispus, basi
tortus (HARVEY), e sacco radicali cavo exoriens; lamina in plures lacinias
angustissimas profunde divisa.

Syn. Saccorhiza bulbosa De la Pyl. Fl. Terr. neuv. p. 23, J. Ag. Spec. I p. 137.
Laminaria bulbosa Lamour. ex Ag. Spec. alg. I.

In mari atlantico ad oras Norvegiæ, Britanniæ, Galliæ et Hispaniae;
in mediterraneo ad oras Sicilie (C. F. NYMAN).

Evolutionem plante et sacci radicalis cel. J. AGARDH |. c. tam clare et ornate
exposuit, ut ejus afferre verba nobis concessum crediderimus; dicittl. c. p. 137: »frons
ut folium simplex, stipite brevi suffultum radiceque fibrosa pauciradiata rupibus
adnatum inchoatur. Infra originem laminæ observatur in stipite linea circularis,
mox elevata. Expanditur magis magisque in laminam seutelliformem, que margine
deorsum tendente sensim hemispherica et campanulata, subtus cava, demum fere
spherica evadit. Margo rupes tangens, in processus radiciformes prolongatur, qui,
funetione radicis suscepta, radicem propriam omnino superfluam reddunt, undique
demum pullulantes». Planta inter maximas algas evoluta, truneus planus, usque ad
4—5 pedes longus, 3 pollices latus et ipsa lamina interdum usque ad 6 pedes lon-
gitudine æquans; junior olivacea, adultior et autumno mense Septembri, quo tem-
pore abolescere incipet, valde coriacea, eoloris fusei vel fere nigrescentis (Laminaria
Turneri Bory secundum Despréaux Essai sur les Laminaires pag. 59).

ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 17

Turiones (suetice »rotskott») in multis Laminarieis observati sunt, ex. gr.
in Hafgygia Bongardiana, ubi observati fuerunt a cl. D:re KJELLMAN, Laminaria
longipede J. Ag. et Plerygophora californica Rupr. Turiones, quos in Saccorhiza
nos invenisse eredimus, «crescunt in ipso sacco radicali prope truncum. Turio
simplieissimus, 20 em. non raro longus, sursum attenuatus, in apicem longe ex-
tensus et non raro abruptus vel alio modo læsus, eujus rei causa sine dubio po-
sita est in plante rasu in litore. Radices turionis, que in saccum radicalem
intrant, possunt e sacco udo facile extrahi. Turio extus fuscus est et cortice valido
vestitus, basi 4 mm. diam. metiens; medulla basi in sectione transversali elliptiea,
sed altius in turione elongata vel oblonga. Habemus specimen, cujus apex rima apertus
est, et in eujus interiore parte embryonem laminæ eujusdam videre mihi visus sum.
Si turio non est, nescio sane quid sit, nam alga est certissime, nec quidquid aliud
nondum notum. (Cfr. species Laminariearum, quas supra memoravimus.

IV. AGARUM Bory, Post et Rupr.

Radix fibrosa. Truncus inferne teres, superne complanatus, in
costam complanatam expansus, cortice deciduo, telis tendentibus. Folium
foraminibus rotundatis perforatum. Fructus collecti in. soros supra laminam
sparsos, e paraphysibus clavatis et sporangiis ellipticis constantes.

1. AGARUM TURNERI Post. et Rupr.

Basi ramosus. Truncus duo pollices — usque pedem longus, inferne
cylindrieus, superne applanatus et in distinctam costam immersus. Folium
membranaceum, 1—4 pedes longum, ovato-oblongum, cordatum et basi cri-
spatum, margine undulato. Foramina numerosa, orbicularia, sine ordine
sparsa, margine levi vel undulato. Fructus maculas formantes irregulares
in centrali laminæ parte; sori 0,5—0,6 mm. crassi; paraphyses clavate,
inferne coloratæ, apice latiores et hyaline; sporangia angusta, ellipsoidea,
0,35 mm. longa et 0,12 mm. lata.

Syn. Fucus Agarum Turn. Hist. tab. 75.
Agarum Turneri Post. et Rupr. Illustr. alg.; J. Ag. Sp. I p. 141; Farlow Marine
Algæ of New England p. 96.
Crescit copiose ad litora Kamtschatkæ, Americe borealis ore tam
occidentalis quam orientalis et Grœnlandiæ, a superiore limite maris in
fundum 10 orgyarum.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 J. E. ARESCHOUG,

Planta” perennis. Cum junior est, foraminibus caret, que explicari incipiunt,
cum longitudinem 2—3 unciarum attigit. Foramina formantur in parte inferiore et
inereseunt cum :etate, ut foramina majora inveniantur in superiore et centrali laminæ
parte. Nova foramina formantur inter jam formatas, ut sit inter omnes magnitudinis
differentia, nata ex ætate foraminum, in omnibus laminz partibus, excepta basi. Fora-
minum formatio incipit elevatione particularum minutarum lamine, que videntur
veluti puncta penicillo facta; denique lamina rumpitur cireulariter, et foramen forma-
tur minutum et elevatum supra superficiem lamine. Margines magnorum foraminum
sunt sspe undulati et siccati tam characteristici videntur, ut novam speciem eos
prodere erederes (cfr. FARLOW l. c.). Costa variat insigniter latitudine; fortuito ex-
crescit formatque laminam propriam, normali reetangulariter oppositam. Foramina
inveniuntur quoque in nova lamina. Fructus Agar? valde similis est Laminarie.

V. HALIGENIA Decaisne.

Radix primo scutata, fibras simplices abbreviatas demum proferens.
Truncus subplanus, in folium ecostatum sensim dilatatus. Cryptostomata
in utroque latere foli sparsa.

1. HALIGENIA DERMATODEA (De la Pyl.) Le Jolis.

Cæspitose crescens. Radix disciformis, deinde verticillo fibrarum
simplicium, breviorum formata. Truncus 6 uncias — usque duos pedes lon-
gus, compressus, sensim expansus in folium crassum, coriaceum, lanceo-
latum vel laneeolato-ovatum, 1—6 pedes longum et 6—18 pollices la-
tum, primo integrum, sed deinde superne in plures lacinias divisum. Para-
physes anguste clavate, fere 0,133—150 mm.longæ; sporangia 0,100 mm.
longa et 0,010—014 mm. lata.

Syn. Laminaria dermatodea De la Pyl. Fl. Terre neuve.
Saccorhiza dermatodea Aresch. Obs. Phyc. Part. tertia p. 11; Farlow Alex of
New England p. 95. ; j
Saccorhiza lorea Aresch, Alg. Se. exs. n. 213 (junior).
Haligenia dermatodea Le Jolis Sur le Lam. digitata p. 63 (591).

Crescit in mari atlantico boreali ad oras Americe borealis et Lap-
ponie, aquam profundam expetens. Lamina plerumque simplex, ut in
Laminaria saccharina, sed interdum digitata, ut vera Laminaria digitata;
margo autem numquam undulatus et tenuioris consisteutiz, quam in vera
Laminaria saccharina; tota planta, ut videtur, muci expers. Jn America
hee species rara est ad Marblehead, frequentior ad oram Maine, sed
rarior quam reliquee Laminariæ.

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 19

Species, quas in hoc genere conjunximus, facillime distinguuntur: Haligenia
dermatodea habitu valde variabilis est, consistentiaque ejus est magis coriacea quam
reliquarum. omnium; margo crassus, numquam undulatus. E mari cum ejicitur in
litus, similis est formis Laminarie digitate, i. e. usque in basin in lacinias divisa.
Dinstineta est species trunco plano, fibris radieis brevissimis et cryptostomatibus.
Sæpe truneus expanditur gradatim in folium, sed in speciminibus vetustis basis est
eordata. Fructus inveniuntur autumno et hieme in speciminibus, quie examinavimus.
Paraphyses brevissimæ et clavatæ, colorat sine apice hyalino Laminarie (Farlow
The marine Algæ of New England). Cfr. quoque, quod de fructificatione et de
eryptostomatibus l. c. diximus.

2. HALIGENIA BREVIPES (Ag.) Lenorm.

Radix primo scutata, demum fibras simplices abbreviatas proferens.
Truncus subplanus, in folium abbreviatum, ecostatum sensim dilatatus.
Lamina simplex vel usque ad basin in lacinias divisa, pede non multo
longior nec latior, sed sspe angustior et utroque latere cryptostomatibus
conspersa, juventute olivacea, adultior subcoriacea. Paraphyses 0,150 mm.
longæ; sporangia 0,110 mm. longa et 0,025 lata.

Syn. Laminaria brevipes Ag. Sp. I p. 116; J. Ag. Sp. I p. 133.

Hab. in mari mediterraneo ad oram Galliæ et Hispanie usque

ad Tingin et Gades (J. Ag. l. c.).

Radix parva, scutata in minoribus, demum in adultioribus fibrosa. Truneus in
maximis vix uncia longior, penna corvina vix crassior, superne complanatus. Lamina
juvenilis in formam ovatam tendens, integra colore olivacea et membranacea, adul-
tior fusca et in lacinias divisa; longitudo, ut diximus, numquam ultra pedalis. Cel.
J. Agardh dieit: »senilis planta fuscescit, coriacea evadit et puncta obsolescunt».

VI. COSTARIA Grev.

Radix fibrosa, fibris subsimplicibus vel apicibus furcatis. "Truncus
superne dilatatus, compressus, longitudinaliter quinque-striatus; striæ in
laminam intrantes et in plicas, normaliter quinque, abeuntes, in media
parte folii ovati divergentes, basi et apice convergentes, longitudinales et
costæformes. Lamina folii 2} pedes longa pedemque lata, sed sæpe multo
longior. Plicæ per totam laminæ crassitudinem facte habent duo latera
dissimilia; alterum latus tereti-rotundatum et costeforme, alterum cavum

20 J. E. ARESCHOUG,

sev canaliculatum; in altero latere laminæ tres inveniuntur plicæ costæ-
formes, in altero duæ plicæ canaliculatæ. In adultiore foli lamina ob-
servantur inter plicas foramina rotundata et in ipsa membrana rugæ
bulleque. Fructus nobis ignotus.

Supra descripsimus reticulum superfieiale Laminariæ saccharine, quod retieu-
lum, ut, in Costaria et Cymathere, formatur e plicis, sed longe alio et diverso modo.
In Costaria enim et Cymathere plicatur longitudinaliter per totam suam crassitudi-
nem lamina; in Laminaria saccharina non tota plicatur, sed plicæ ex utroque latere
folii formantur, medulla intacta relicta.

Memoravimus quoque supra quasdam in Laminaria saccharina boreali obser-
vatas plieas rugasve ipsius membrane, que, quamquam vix normales haberi pos-
sint, multa tamen cum formis, de quibus diximus, communia habere videntur. Ulte-

rius inquirendæ sunt.

In nostro Costarie specimine, quod ex Mus. Kew. aecepimus, adest in apice
lacini» fragmentum, quod vestigium veteris laminæ facile habere posses. Specimen
lectum est mense Martio, quo tempore veteres Laminariearum laminæ plerumque

abjieiuntur.
1. COSTARIA TURNERI Grev.

Folii lamina margine integra, lanceolata, ovatd-lanceolata, ovata vel
cordato-ovata, magnopere evoluta longitudine 10—12 pedum, multiformis.

Syn. Fucus costatus Turn. Hist. tab. 226.
Costaria Turneri Grev. Syn. in Ale, Brit. p. XXXIX; Harv. Ner. bor. Am. I p. 89.
— Not. of Alg. of Vancouy. Island by W. H. Harvey p. 166.

Ad oram occidentalem Americe, presertim ad Vancouvers Island.

VIL CYMATH ARE 7. Ag.

Radix disciformis, minuta, vix plus quam 10 mm. diam.metiens. Trun-
cus semipollicaris, rarius pollicaris, in sectione transversali orbem lacuna-
rum muciferarum et sinuatarum, medullam includentem, ostendens. Folium
indivisum, subpapyraceum, tenue, usque ad 1 metrum et sæpe multo longius
et 16 cm. latum. Plicæ quinque, fere parallelæ, mediam laminam a basi
fere in apicem percurrentes et fasciam formantes fuscam longitudinalem,
quo differt. genus ab Costaria. Plicæ forme ejusdem ac in Costaria, quarum
in altero latere folii sev laminæ inde triplicatæ observantur tres tereti-
costæformes, longitudinales, in altero latere du: canaliculatæ. Paranemata

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 2

cum sporangiis in parte basali laminæ inque utroque latere sita, utraque
forma paululum recedentia a Laminariearum.

Costaria et Cymathere sunt genera valde affinia et nescio, an jure distin-
guenda, eum eorum characteres fere conveniant.

1. CYMATHZERE TRIPLICATA (Post. et Rupr.) J. Ag.

Syn. Laminaria triplicata Post. et Rupr. lllust. alg. p. 10.
Cymathere triplicata J. Ag. De Laminarieis p. 29.

In mari septentrionali ad oras insule Unalaschka inter Americam
rossicam et Asiam: RUPRECHT. Et ad insulam Bering: Dr. KJELLMAN.

Planta videtur ex longioribus algis, sed truneus brevis: in specimine 45 em.
longitudinis et 6 cm. latitudinis vix plus quam 1 em. longus. Maximum specimen,
quod habemus et quod dimidiam suam laminam amisit, est fere 95 cem. longum, sed
truncus vix 4 em. longus; in trunco nullas, ut apud Costariam, observavimus strias.
Lamina, ut diximus, longissima, sed latitudinem majorem quam 16 cm. nunquam
vidimus; fere linearis est, junior apicem versus sæpe attenuata, sed in speciminibus
adultioribus superne szpe latior, basi angustior et subovata; margines eadem con-
sistentia, ac ipsa lamina, integerrimi. Fascia plicarum, que fere parallele et lon-
gitudinaliter e basi in apieem pergunt, maximam suam habet latitudinem basi, quo
fere 3 em. lata est, utrinque paraphyses et sporangia frequenter proferens, quse ta-
men forma et magnitudine non tute determinare potuimus.

VII. MACROCYSTIS Ag.

Radix teres, ramosissima, cæspitosa, orbe lacunarum muciferarum in
cortice et sæpe lacunis sparsis in centro preedita. Trunci nunc e rhizomate,
nune directe e radice exeuntes, inferne paululum ramosi, superne sim-
plices, longissimi, unilateraliter foliferi; cortex tenuis, squamatim abjectus;
orbis lacunarum muciferarum intra corticem, lacunis magnitudine, ordine
et loco variantibus; medulla e filis cellularibus tenuioribus crassioribus-
que implicatis constans, quorum tenuissimi rami horizontaliter inter fila
cellularia et longitudinalia proxima ligni(?) intrant eademque circumcirca
investiunt, ut medulla canalibus cincta videatur, in sectione transver-
sali punctum centrale ostendentibus, materiei incluse forsan indicium.
Folia in trunco unilateraliter superimposita, petiolata, petiolo apice vesi-
culam portante; lamina in apice vesiculæ sessilis, simplex, oblonga, sepe

bo

2 J. E. AREsCHOUG,

longitudinaliter plicato-rugosa, rarius fere plana et sæpissime marginibus
ciliata. Folium in trunco terminale latius breviusque, inferioribus dissi-
mile, lateraliter a basi in apicem scissum in lacinias planas, que in folia
inferioribus similia sensim excrescunt. Sporangia cum paranematibus
in foliis demersis prope radicem maculas sev soros varie forme: formantes.

Orbis laeunarum invenitur in cortice radicis erasso et sordido, et in centrali
parte (medulla?) lacunæ sparse (num canales ejusdem nature, eujus ii sunt, qui
medullam cingunt, sed nondum evoluti?). Hi canales medullam cingentes transfor-
matione filorum cellulis ligni proximorum eodem modo nobis exoriri videntur, quo
vasa phanerogamarum, quod tamen pro certo affirmare non audemus.

Characteribus datis distinctissimum. est genus, sed utrum plures an unicam so-
lummodo complectatur speciem, quæstio est, quam breviter attingere volumus. Cel.
HOOKER (Flor. Crypt. antarct.) et Cel. HARVEY (Phycol. Austr.) in eo conveniunt,
quod uterque eorum omnes ab auctoribus descriptas species esse solum formas ejus-
dem speciei, scilicet Macrocystidis pyrifere Ag., condendit. Multis abhinc annis, cum
nondum majorem harum plantarum numerum vidissem, Macrocystidem pelagicam et
Macrocyst. Dübeni optimas species habui, sed innumeris deinde e locis natalibus
iterum iterumque receptis speciminibus, sensim magis magisque nobis persuasum fuit non
solum illas a nobis nominatas species falsas fuisse, verum etiam opinionem HOOKERI
et HARVEYI verissimam esse. Du: tamen a nobis recipiuntur species, JM. angusti-
folia et M. pyrifera, quarum utraque characteribus nune definienda est.

1l. MACROCYSTIS ANGUSTIFOLIA Bory.

Rhizoma planum, laciniatum, supra cæspitem radicum effusum, intus
utrinque serie lacunarum muciferarum lateribus parallela ornatum, e mar-
ginibus utrinque radices et truncos longissimos cauliformes emittens,
compressos vel planos, in sectione transversali intra corticem orbem la-
eunarum muciferarum gerentes; medulla in sectione transversali lon-
gissima, angusta, linearis, secus margines canales muciferos per totam
longitudinem utrinque ostendens.

Syn. Macrocystis angustifolia Bory; J. Ag. Spec. I p. 157 (quoad specimina chilensia.)

Cel. Hooker in Flor. cryptog. antarct. p. 156 narrat quidem spe-
ciem angustifoliam sue Macrocyst. pyriferæ non modo ad oram chilensem,
verum etiam in regionibus antarcticis, in Nova Zelandia et in Oceano
indico inventam esse. Nostra autem forma, characteribus supra datis
insignis, ab oris Americæ meridionalis occidentalibus pluries missa est,
nec ex alis regionibus unquam.

Cum in nulla alia Macrocystidis specie vel forma rhizoma invenerimus, hane
notam specificam valoris habemus maximi; neque inferioris dignitatis sunt note,

que hauriuntur e seriebus laeunarum in rhizomate, forma medullæ in sectione
transversali e. s. p.

bo
oo

OBSERVATIONES PHYCOLOGICH.

2. MACROCYSTIS PYRIFERA Ag.

Rhizoma nullum. Radix cæspitosa, cæspite magno, ramis intrica-
tissimis, subteretibus vel compressis, orbe lacunarum muciferarum in vel
intra corticem prædita, truncos directe emittens. Trunci teretes vel sub-
compressi, intra corticem orbe lacunarum muciferarum ornati; medulla in
sectione transversali orbicularis, elliptica, rarius elongata, canalibus muci-
feris circumdata.

Syn. Macrocystis pyrifera Ag. Rev. Maer. p. 17.

Si in completis antecedentis speciei speciminibus, ut observavimus, rhizoma
nunquam desideratur, in JM. pyrifera contra et innumeris ejus formis ne minimum
quidem observatum est rhizomatis vestigium, est in eo, ut credimus, maxima inter
utramque speciem differentia. Rem autem ulterius inquirendam esse palam pro-
fitemur.

E Macrocystidis pyrifere formis, que species nunquam haberi possunt, non-
nullæ afferantur:

Macrocystis luxurians Hook. et Harvey.

» planicaulis Ag.
» pelagica Aresch.
» Humboldtii Bonpl.

In his formis vesiculæ subglobose vel pyriformes et sectio basalis medullæ trans-
versalis orbieularis, ovata vel elliptica.

Macrocystis tenuifolia Post. et Rupr.
Hee ab praecedentibus maxime in eo recedit, quod medulla in sectione transversali
et basali est fere linearis et canalibus elarissimis cireumdata; ad majores formas
appropinquare videtur.

Macrocystis Dübeni Aresch.

Hee nostra forma a M. pyrifera longissime distat; vesicule sunt nempe angustæ,
fere lineares et utrinque fere attenuatæ, longissimæ; medulla in transversali sectione
basi numquam elliptiea, sed in truneis compressis ejusdem figure ac in JM. angusti-
folia, seilicet angustissima, subfiliformis et secus margines canalibus mueiferis lon-
gitudinaliter ornata. Tamen neque vesieularum neque medulle figuram constantem
invenimus. Cum multa cum Macrocystide angustifolia habeat communia, de diffe-
rentia specifica dubitare licitum esset, nisi in hac adesset rhizoma.

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NOVA ACTA

REGIA SOCIETATIS

SCIENTIARUM

UPSALIENSIS

SEREI TERT! A.
VOL. XII.

FASC. II.

1885,

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NOVA ACTA

REGIAÀ SOCIETATIS

SCIENTIARUM

UPSALIENSIS.

SEREI TERTIÆ VOL. XII.

FASCICULUS POSTERIOR.

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EXCUDIT ED. BERLING REG. ACAD. TYPOGRAPHUS.
MDCCCLXXXV.

PRINTED IN SWEDEN

TE:

III.

VII.

INDEX
HUJUS FASCICULI.

Tinten hie. ree OEC ees ie ke Tee

A. G. HóaBow: Marche des Isothermes en automne
dans le Nord de l'Europe . sc : . 27. .« oc
G. DILLNER: Sur le développement d'une fonction
analytique pour un contour de convergence qui
renferme des infinis uniformes comme seuls
polutsmoribiques seamen oT 2 TER ne
J. E. AnEscHoua: Observationes Phycologicæ, P. V:
de laninaraceissnonnullis’ u. 2. 0.
A. SÖDERBLOM: Sur les fonctions elliptiques £(u) .
N. Linpsxoe: Über die Drehung eines starren Kör-
pers, auf den keine Kräfte wirken, um einen
Testen kr a ee herr ee
R. THALEN: Sur le spectre du fer, obtenu à l'aide
demkarcgelectniques rn. ara. Ses ns
N. Exuoum et K. L. Hagström: Mesures des hau-

teurs et des mouvements des nuages .....

Pag.
I—XIV
1—8.
1—22.
1—16.

1—123.
1—24.
1—49.
1—64.

Tab.

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NOVA ACTA

REGIA SOCIETATIS

SCIENTIARUM

UPSALIENSIS.

SERIEI TERTIA VOL. XII.

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MDCCCLXXXV.

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VI.

VII.
VIII.

XI.

INDEX ACTORUM.

DR OUI ONE le CE ov diei Mo E Lo

C. G. Fıneman: Sur la trombe du 7 juin 1882
danse lam yallécnden Gaby. u. Pets wd cca es
G. DILLNER: Sur l'intégration des équations diffé-
rentiellesk du pendule conique - ..r......
M. Fark: Démonstration du théorème de Cauchy
sur l'intégrale d'une fonction complexe
A. SópERBLOM: Über die Drehung eines Rota-
tionskórpers um einen festen Punkt
A. N. LuwpsrRÓM: Pflanzenbiologische Studien,
I. Die Anpassungen der Pflanzen an Regen
nand! ibl aue es So BAN oH NI gemi a dle
H. H. HirpEBRANDsSON: Sur la distribution des
éléments météorologiques autour des minima
et des.maxima barométriques . . . . . . . ..
A. BERGER: Sur une sommation de quelques séries
J. E. AnrscHoua: Observationes Phycologice,
P. IV: de laminariaceis nonnullis ......
A. G. HôcBom: Marche des Isothermes en au-
tomne dans le Nord de l'Europe. . . . . . .
G. DILLNER: Sur le développement d'une fonction
analytique pour un contour de convergence
qui renferme des infinis uniformes comme
Bema py Olmice Chit UeSm. ct tac aeuo Dem ut:
J. E. AnzscHova: Observationes Phycologicæ,
P. V: de laminariaceis nonnullis .......

Pag.
Xi
1— 36
1—12.
1—18.
1—92.
1—67.
1—31.
151.
1—23.
1—8.
1—22
1—16.

Tab.

I—VII.

I—IV.

XII.

XIII.

XIV.

XV.

LA ge

SÖDERBLOM: Sur les fonctions elliptiques £(u)

. LinpsxoG: Uber die Drehung eines starren

Körpers, auf den keine Kräfte wirken, um
einen festen Punkt, CR ske s ec M e
THALÉN: Sur le spectre du fer, obtenu à
laidende Karezeleeiziquer sv 8 av er

. EKHOLM et K. L. Hacström: Mesures des

hauteurs et des mouvements des nuages . .

1— 123.
1—21.
1—-49.
1—64.

NME OMC MER 0

I.

Proximo biennio, quod post Acta Regi& Societatis Scientiarum
Upsaliensis (Ser. III. Vol. XI) auno 1883 mense Majo edita præteriit,

hi Socii mortui sunt

Honorarü:
Adscriptus. Mortuus.
NILSSON, Sveno, Hist. Nat. Professor ee emeritus . . . 1875 1883.
FÂHRZÆUS, Olavus Immanuel, Regis a. h. Consiliarius. . . . 1845 1884.
REGNELL, Andreas Fredericus, ine Doctor 11865 1884.
ANJOU, Laurentius Antonius, Episcopus Dicecesis Wisbyensis 1856 1884.

Ordinarii Svecani:

WACKERBARTH, Athanasius Franciscus Dietricus, Professor 1858 1884.
HILDEBRAND, Bror Aemilius, Regni Svecani a. h. Antiquarius 1856 1884.

Ordinarii. Exteri:

REICHERT, Carolus Bogislaus, Anatomiz Professor Berolinensis 1872 1883
WÜRTZ, Adolphus, Instituti Parisiensis Membrum . . . . . 1879 1884
GOPPERT, Ioannes Henricus Robertus, Botanices Professor

Vratislaviensis . . Yee OUD 1884.
KOLBE, Adolphus Li RECON Chemiz Professor

Lipsiensis . . . Bie PORE GUAE Pere n eee ei eee eS dD 1884.
SIEBOLD, Carolus oder ug Ernestus a, Zoologie Professor

Monacensis . . ror cep perc Le VAA SET AW vee een dier 1885.
PANUM, Petrus I e Physiologie Professor Hauniensis . 1877 1885.

I

9

II

Novi Socii adscripti sunt

Honorarü:
Adscriptus.
OLIVECRONA, Samuel Rudolphus Detlof Canutus, Supremi Judicii
Svecani Assessor . . . . o x dace DS. iet

HUSS, Magnus, Nosocomiorum Svecie a. n Dee generals . . . . . 1885.
LILLJEBORG, Vilelmus, Zoologie Professor Upsaliensis emeritus . . . 1885.

Ordinarii Svecani:

BLIX, Magnus Gustavus, Physiologiæ RUM et xl medici-
nalis Laborator Upsaliensis . . 1883.
: ANNERSTEDT, Claudius, ad Reg. tore Up rede Bibliothecarius 1884.

Ordinarii Esteri:

LISTER, Josephus, Chirurgie Professor Londinensis . . ef^ 40 ee
GEGENBAUR, Carolus, Anatomie Professor Heidelbergensis . . . . . 1884.
BAILLON, Henricus Ernestus, Med. Nat. Professor Parisiensis . . . 1884.
THOMSEN, Julius, Chemie Professor Hauniensis . . 1885.
KRIEGER, Andreas Fredericus, Supremi Judicii Danici Assessor diuo Ord. 1885.
BRANDT, Fredericus Petrus, Juris Professor Christianiensis . . . . . 1885.

II.
AUGUSTISSIMUS HUJUS SOCIETATIS
PATRONUS

OS Ar]

SVECORUM NORVEGORUM GOTHORUM

VANDALORUMQUE

REX.

PRESES ILLUSTRIS

SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS

pos NIS GUSTAVUS ADOLPHUS

SVECLE ET NORVEGI/E PRINCEPS SUCCESSOR.

SOCII HONORARII PRIMARII
SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS

OSCAR CAROLUS AUGUSTUS

SVECIÆ ET NORVEGIÆ PRINCEPS HEREDITARIUS.

SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS

OSCAR CAKOLUS, VIEELMUS

SVECIÆ ET NORVEGLE PRINCEPS HEREDITARIUS.

IV

A. Socii Regie Societatis Scientiarum Upsaliensis

secundum electionis ordinem

Honorarü:

PETRUS II, Imperator Brasiliæ.

SPARRE, Gustavus Adolphus, Comes, Jur. Utr. et Ph. Dr, ex Proceribus Regni
unus, Summæ Rei Judiciariæ a. h. Minister supremus, a. h. Universitatum Ups.
et Lund. Cancellarius, Regg. Ordd. Commendator, ete.

WREDE, Fabian Jacobus, Lib. Baro, Ph. Dr, Rei Tormentariæ a. h. Præfectus
Generalis, Regg. Ordd. Commendator, ete.

ERICSSON, Ioannes, Ph. Dr, in exercitu Svecano a. h. Centurio, Ordd. St. Pol.
e. m. Cr. et S. Ol. Commendator, ete.

SUNDBERG, Antonius Nicolaus, Ph. Jur. Utr. et Th. Dr, Ecclesiæ Sviogothicæ
Archiepiscopus, Acad. Upsaliensis Procancellarius, Academiz Svecanæ Octode-
cimvir, Rege. Ordd. Commendator.

MALMSTEN, Carolus Ioannes, Ph. Dr, a. h. Gubernator Vestrogothiæ septentrio-
nalis, a. h. Consiliarius Regis, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, etc.

CARLSON, Fredericus Ferdinandus, Ph. et Th. Dr, a. h. Consiliarius Regis,
Academiæ Svecanæ Octodecimyir, Regg. Ordd. Commendator, ete.

DICKSON, Oscar, Ph. Dr, Negotiator Gothoburgensis, Ordd. St. Pol ec. m. Cr. et
Was. Commendator, ete.

NORDENSKIOLD, Adolphus Ericus, Lib. Baro, Ph. Dr, Professor, Musei Mine-
ralogici Holmiensis Præfectus, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, ete.

DE GEER, Ludovieus, Lib. Baro, Jur. Utr. Dr, Summ Rei Judiciariz a. h. Præ-
fectus, Universitatum Ups. et Lund. Cancellarius, Academiæ Svecanæ Octodecim-
vir, Regg. Ordd. Commendator, ete.

HAMILTON, Adolphus Ludovicus, Comes, Ph. Dr, Gubernator Uplandiarum,
Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator.

OLIVECRONA, Samuel Rudolphus Detlof Canutus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Su-
premi Judieii Svecani Assessor, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, ete.

HUSS, Magnus, Ph. et Med. Dr, Nosocomiorum Sveciæ a. h. Director Generalis,
Ordd. St. Pol. e. m. Cr. et. S. Ol. Commendator, ete.

LILLJEBORG, Vilelmus, Ph. et Med. Dr, Zoologiz Professor Upsaliensis emeritus,
St. Pol. Ord. adseriptus.

Ordinarii Svecani:

ARESCHOUG, Ioannes. Erhardus, Ph. Dr, Botanices et Oeconomiæ Practice
Professor Upsaliensis emeritus, St. Pol. Ord. adscriptus.

EDLUND, Erieus, Ph. Dr, Physices Professor Holmiensis, Ordd. St. Pol. e. m. Cr.
et S. Ol. Commendator, ete.
ARRHENIUS, Ioannes Petrus, Ph. Dr, Professor, Reg. Academie Agric. a. h.
Secretarius, Ordd. St. Pol. et Was. Commendator, S. Ol. Ord. adseriptus, ete.
BERGFALK, Petrus. Erieus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Juris Professor Upsaliensis
emeritus, Ord. St. Pol. Commendator.

BERLIN, Nieolaus Ioannes, Ph. et Med. Dr, a. h. Collegii Med. Prises, Ordd.
St. Pol. e. m. Cr. et S. Ol. Commendator, ete.

LINDHAGEN, Daniel Georgius, Ph. Dr, Professor, Reg. Academiæ Scient. Holm.
Secretarius, Ord. S. Ol. Commendator et St. Pol. Ord. adscriptus, ete.

MESTERTON, Carolus Benedictus, Med. Dr, Chirurgie et Artis Obstetriciæ Pro-
fessor Upsaliensis, Ord. Was. Commendator et St. Pol. Ord. adscriptus.

DAUG, Hermannus Theodorus, Ph. Dr, Mathesis Professor Upsaliensis, St. Pol.
Ord. adscriptus. Y

STYFFE, Carolus Gustavus, Ph. Dr, ad Reg. Academiam Upsaliensem a. h.
Bibliothecarius, St. Pol. Ord. adseriptus.

THALÉN, Tobias Robertus, Ph. Dr, Physices Professor Upsaliensis, Reg. Societatis
Scient. Ups. Secretarius et Bibliothecarius, St. Pol. Ord. adscriptus, ete.

AGARDH, Jacobus Georgius, Ph. et Med. Dr, Botanices Professor Lundensis
emeritus, Ord. St. Pol. Commendator.

FRIES, Theodorus Magnus, Ph. Dr, Botanices Professor Upsaliensis.

THORELL, Thord Tamerlan Theodorus, Ph. Dr, Professor.

LOVÉN, Sveno, Ph. et Med. Dr, Professor et Musei Zoologici Holmiensis Præ-
fectus, Ord. St. Pol. Commendator, etc.

ALMÉN, Augustus Theodorus, Ph. et Med. Dr, Collegii Med. Præses, St. Pol.
Ord. adscriptus.

HOLMGREN, Hjalmar, Ph. Dr, Mathesis Professor Holmiensis, St. Pol. Ord.
adscriptus.

GYLDEN, Ioannes Augustus Hugo, Ph. Dr, Professor et Observatorii Astrono-
mici Holmiensis Director, Ord. St. Pol. Commendator, etc.

LINDMAN, Christianus Frederieus, Ph. Dr, ad Scholam Strengnesiensem Ma-
thesis Lector, St. Pol. Ord. adscriptus.

WALMSTEDT, Laurentius Eduardus, Ph. Dr, Mineralogie et Geologie Professor
Upsaliensis emeritus, St. Pol. Ord. adscriptus, etc.

SCHULTZ, Hermannus, Ph. Dr, Astronomie Professor Upsaliensis.

DILLNER, Georgius, Ph. Dr, Mathesis Professor E.. O. Upsaliensis.

VI

HEDENIUS, Petrus, Ph. et Med. Dr, Anatomie Pathologicæ Professor Upsaliensis,
Ord. Was. Commendator et St. Pol. Ord. adscriptus, ete., Reg. Societatis Scient.
p. t. Preses.

HOLMGREN, Alaricus Frithiof, Med. Dr, Physiologie Professor Upsaliensis,
St. Pol. et S. Ol. Ordd. adseriptus, etc.

FRISTEDT, Robertus Frederieus, Ph. et Med. Dr, Historie Naturalis et Chemiæ
medicinalis Professor E. O. Upsaliensis.

CLASON, Eduardus Claudius Hermannus, Med. Dr, Anatomie Professor Upsa-
liensis, St. Pol. Ord. adscriptus.

RUBENSON, Robertus, Ph. Dr, Professor et Instituti Meteorologici Suecani Præ-
fectus, St. Pol. Ord. adseriptus, etc.

CLEVE, Petrus Theodorus, Ph. Dr, Chemise Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord.
adscriptus, ete.

NAUMANN, Carolus Fredericus, Ph. et Med. Dr, Anatomiz Professor Lundensis
emeritus, Ord. Was. Commendator et St. Pol. Ord. adscriptus.

RICHERT, Martinus Birgerus, Ph. Dr, Linguarum septentrionalium Professor
Upsaliensis.

SANTESSON, Carolus Gustavus, Ph. et Med. Dr, Chirurgie Professor Holmiensis
emeritus, Ordd. St. Pol. et Was. Commendator, etc.

SVEDELIUS, Vilelmus Ericus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Eloquentiæ et Politices
Professor Upsaliensis emeritus, Academiæ Svecanæ Octodecimvir, Ord. St. Pol.
Commendator et S. Ol. Ord. adscriptus, etc.

MALMSTROM, Carolus Gustavus, Ph. Dr, Archivarius Regni Svecani, Academiæ
Syecanze Octodecimvir, Ord. St. Pol. Commendator et S. Ol. Ord. adscriptus.
TEGNÉR, Esaias Henricus Vilelmus, Ph. Dr, Linguarum Orientalium. Professor

Lundensis, Academiæ Svecanæ Octodecimvir, St. Pol. Ord. adscriptus.

MOLLER, Dietricus Magnus Axelius, Ph. Dr, Astronomi: Professor Lundensis,
St. Pol. Ord. adscriptus.

LUNDQUIST, Carolus Gustavus, Ph. Dr, Mechanices Professor Upsaliensis, Reg.
Societatis Scient. Upsal. Qucestor, St. Pol. Ord. adscriptus.

HILDEBRANDSSON, Hugo Hildebrand, Ph. Dr, Meteorologiz Professor E. O.
Upsaliensis.

WITTROCK, Veit Brecher, Ph. Dr, Botanices Professor Holmiensis.

BLOMSTRAND, Christianus Vilelmus, Ph. Dr, Chemie Professor Lundensis,
St. Pol. Ord. adseriptus, ete.

HAMMARSTEN, Olavus, Med. Dr, Chemise Medicinalis et Physiologicæ Professor
Upsaliensis.

FALK, Matthias, Ph. Dr, ad Scholam Upsaliensem Mathesis Lector.

HAMMARSTRAND, Sveno Fromholdus, Ph. Dr, Historiarum Professor Upsaliensis.

KEY, Ernestus Axelius, Ph. et Med. Dr, Anatomiæ Pathologicæ Professor
Holmiensis. -

RETZIUS, Magnus Gustavus, Med. Dr, Histologie Professor E. O. Holmiensis.

VII
ODHNER, Claudius Theodorus, Ph. Dr, Historiarum Professor Lundensis, Aca-
demi: Svecanæ Octodecimvir, St. Pol. Ord. adscriptus.
RYDIN, Hermannus Ludovieus, noe et Jur. Utr. Dr, Juris Professor Upsaliensis,
Ord. St. Pol. Commendator et S. Ol. Ord. adscriptus.
BLIX, Magnus Gustavus, Med. s Physiologie experimentalis et Physices medi-
cinalis Laborator Upsaliensis.
ANNERSTEDT, Claudius, Ph. Dr, ad Reg. Academiam Upsaliensem Bibliothecarius,
Regg. Ordd. Historiographus.
Ordinarii Beteri:

WEBER, Vilelmus Ernestus, Physices Professor Gottingensis, St. Pol. Ord. ad-
scriptus.

HJESER, Henricus, Medicine Professor Vratislaviensis.

GRAY, Asa, Botanices Professor Bostoniensis, Societatis Scientiar. Americans Se-
cretarius.

AIRY, Georgius Biddle, a. h. Director Observatori Astronomici Grenovicensis,
Ord. St. Pol. Commendator.

OWEN, Richardus, Med. Doctor, Musei Britannici Historie Naturalis Director.

THOMSON, Vilelmus, Physiees Professor Glascovensis.

RANKE, Leopold, Histor. Professor Berolinensis, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commen-
dator.

BONSDORFF, Evert, Anatomiæ et Physiologie Professor Helsingforsiensis emeritus.

BUNSEN, Robertus Vilelmus, Chemiæ Professor Heidelbergensis, Ord. St. Pol.
Commendator.

STEENSTRUP, Ioannes Iapetus Smith, Zoologie Professor Hauniensis, St. Pol.
Ord. adscriptus.

WEGENER, Casp. Fredericus, Regi Dan. a Consiliis intimis, Ordd. St. Pol. c. m.
Cr. et S. Ol. Commendator.

LATHAM, Robertus Gordon, Medicine Doctor Britannus.

DECANDOLLE, Alphons, a. h. Botanices Professor Genevensis, St. Pol. Ord. ad-
scriptus.

MILNE EDWARDS, Henrieus, Zoologie Professor Parisiensis, Instituti Paris.
Membrum, Ord. St. Pol. Commendator.

STOKES, Georgius Gabriel, Mathesis Professor Cantabrigensis:

HOOKER, Josephus Dalton, Horti Botanici Kewensis Director, St. Pol. Ord.
adscriptus.

UNGER, Carolus Richardus, de Litterarumque Recent. Professor Chri-
stianiensis, St. Pol. et S. Ol. Ordd. adscriptus.

STEPHENS, Georgius, Linguarum Anglicar. Professor Hauniensis, Ord. St. Pol.
Commendator.

ADAMS, Ioannes C., Observatorii Astronomici Cantabrigensis Director.

VIII

ARPPE, Adolphus Eduardus, Chemiæ Professor emeritus Helsingforsiensis.

VIRCHOW, Rudolphus, Anatomie Pathologicæ Professor Berolinensis, Ord. S.
OL Commendator et St. Pol. Ord. adscriptus.

TYNDALL, Ioannes, Physices Professor Londinensis, St. Pol. Ord. adscriptus.

STRUVE, Otto Vilelmus, Observatorii Astronomici Pulkovensis Director, Ord.
St. Pol. Commendator.

RAWLINSON, Henricus, Generalis Exeubiarum Prefectus Britannus.

MADVIG, Ioannes Nicolaus, Philologie Professor Hauniensis, Ord. St. Pol. c. m.
Cr. Commendator.

MÜLLER, Max., Professor Taylorianus Oxoniensis.

FIZEAU, Hippol. Ludovicus, Physices Professor Paris. Instit. Paris. Miro

HELMHOLTZ, Hermannus Ludovicus Ferdinandus a, Physices Professor Be-
rolinensis, St. Pol. Ord. adseriptus.

BUGGE, Elseus Sophus, Linguarum Indo-Europzar. Professor E. O. Christianiensis,
St. Pol. et S Ol. Ordd. adscriptus.

JAMIN, Julius, Physices Professor Parisiensis, Instituti Paris. Membrum et Secre-
tarius, St. Pol. Ord. adscriptus.

DANIELSSEN, Daniel Cornelius, Medicine Doctor Bergensis, S. Ol. Ord. adscriptus.

KIRCHHOFF, Gustavus DE Physiees Professor Berolinensis, St. Pol. Ord.
adscriptus.

GÜNTHER, Albertus, ad Museum Britannicum Zoologie Præfectus.

RECHLINGHAUSEN, Fredericus a, Medicine Professor Argentoratensis.

HERMITE, Carolus, Mathesis Professor Parisiensis, Instituti Paris. Membrum, Ord.
St. Pol. Commendator.

HUGGINS, Vilelmus, Socius Reg. Societatis Londinensis. B

CAYLEY, Arthur, Mathesis Professor Cantabrigensis.

SCHERING, Ernestus Christianus Julius, Mathesis Professor Gottingensis, St.
Pol. Ord. adscriptus.

MARIGNAC, Ioannes Carolus, Chemie Professor Genevensis.

HOPPE, Ernestus Reinholdus Eduardus, Mathesis Professor Berolinensis.

HENLE, Frederieus Gustavus Jacobus, Anatomiz Professor Gottingensis.

LUDVIG, Carolus, Physiologie Professor Lipsiensis, St. Pol. Ord. adscriptus.

HUXLEY, Thomas Henricus, Anatomie et Physiologie Professor Londinensis,
St. Pol. Ord. adscriptus.

BRÜCKE, Ernestus R. a, Physiologie Professor Vindobonensis, St. Pol. Ord. ad-
scriptus. T

STEINTHAL, Henricus, Philologie Professor Berolinensis.

SARS, Georgius Ossian, Zoologie Professor Christianiensis.

BERKELEY, Miles Josephus, Botanieus Britannus.

DU BOIS-REYMOND, Aemilius Henricus, Physiologie Professor Berolinensis,
St. Pol. Ord. adscriptus.

IX

WEIERSTRASS, Carolus Vilelmus Theodorus, Mathesis Professor Berolinensis,
Ord. St. Pol. Commendator.

KJERULF, Theodorus, Mineralogie Professor Christianiensis, St. Pol. et S. Ol.
Ordd. adscriptus, ete.

DE BARY, Antonius, Botanices Professor Argentoratensis.

WIEDEMANN, Gustavus, Physico-Chemi: Professor Lipsiensis.

NEWCOMB, Simon, ad Observatorium Washingtoniense Mathesis Professor.

COHN, Ferdinandus, Botanices Professor Vratislaviensis.

PRINGSHEIM, Natan., Socius Academiæ Scientiarum Berolinensis.

DONDERS, Franciscus Cornelius, Physiologiz Professor 'Trajectinus, St. Pol.
Ord. adseriptus.

BAMBERGER, Henricus a, Medicine Professor Vindobonensis.

SCHIAPARELLI, Ioannes Virginius, Director Observatorii Mediolanensis.

BUCHAN, Alexander, Societatis Meteorologieze Scotorum Secretarius.

DES CLOISEAUX, Alfredus Ludovieus Oliv. Instituti Paris. Membrum, Ord.
St. Ol. Commendator.

CORNU, Alfredus, Physices Professor, Instituti Paris. Membrum.

PARIS, Gaston, Professor, Instituti Paris. Membrum.

BILLROTH, Theodorus, Chirurgiæ Professor Vindobonensis, Ord. St. Pol. Com-
mendator.

MAREY, Stephanus Julius, Historie naturalis Professor, Instit. Paris. Membrum.

MAURER, Conradus a, Hist. Juris Septentrionalis Professor Monacencis, Ordd. St.
Pol. et S. Ol. Commendator.

WAITZ, Georgius, Historiarum Professor Berolinensis.

WHITNEY, Vilelmus D. Lingus Sanscrite Professor Novoportuensis.

ASCHEHOUG, Torkil Halvordsen, Juris Professor Christianiensis, Ord. St. Pol.
Commendator, ete.

MOHN, Henricus, Meteorologie Professor Christianiensis, Ord. St. Pol. adscriptus.

BJERKNES, Carolus Antonius, Mathesis Professor Christianiensis, S. Ol. Ord.
adscriptus, etc.

QUINCKE, Gustavus, Physiees Professor Heidelbergensis.

BAEYER, Adolphus, Chemie Professor Monacensis.

KRONECKER, Leopold, Socius Academiæ Scientiarum Berolinensis, Ord. St. Pol.
adscriptus.

DE LA RUE, Warren, Reg. Instituti Britannis Vicepræses.

NAGELI, Carolus Vilelmus a, Botanices Professor Monacensis.

HANN, Julius, Instituti Meteorologici Vindobonensis Præfectus.

PAGET, Jacobus, Medicine Professor Londinensis.

TRAUTVETTER, Ernestus Rudolphus a, Horti Botanici Petropol. a. h. Director.

PASTEUR, Ludovicus, Professor, Instituti Parisiensis Membrum.

GIESEBRECHT, Vilelmus a, Historiarum Professor Monacensis.

IL

x

LISTER, Josephus, Chirurgiæ Professor Londinensis.

GEGENBAUR, Carolus, Anatomie Professor Heidelbergensis.

BAILLON, Henricus Ernestus, Naturalis Historie Medicinalis Professor Parisiensis.
THOMSEN, Julius, Chemie Professor Hauniensis.

KRIEGER, Andreas Fredericus, Supremi Judicii Daniei E. O. Assessor, Ord. St.
Pol. e. m. Cr. Commendator.

BRANDT, Fredericus Petrus, Juris Professor Christianiensis, St. Pol. Ord. ad-
scriptus, ete.

Litterarum commercio juncti:

KOREN, Ioannes, Musei Zoologici Bergensis Præfectus.

MÜLLER, Ferdinandus a, Horti Botanici Melbournensis Director.
TUCKERMANN, Eduardus, Botanices Professor Amherst.

ANGER, Ioannes, Medicine Doctor Carlsbadensis, St. Pol. et Was. Ordd. adscriptus.

B. Socii Regie Societatis Scientiarum Upsaliensis

secundum’ disciplinas

Ordinarii Svecani

I. In Classe
Physico- Mathematica:
IBID VNDE 5 4 oo c 1858. GywrpÉN, J: A. H.. . 1872. MÖLLER, D. M. AS i876:
BERLIN, N. Jen... 1859. LINDMAN, C. B... . 1873. Lunpguist, C. G..: 1876:
LrNDHAGEN, D. G. . 1859. WarwsTEDT, E. .. . 1873. HILDEBRANDSSON, H. 1876.
DATE IET res Te. - Seren, 186 o 3 3 c 1873. BLOMSTRAND, C. V. 1878,
Mravasisy, dU IRs o 2 5 UNOS. JUS, (Gm so 50 1873, (Ares Mis eee 1878.
ALMEN, As. S55 4 118705 IRTBENSON, Rı 2 =: 1875.
HOLMGREN, EH... . 1870: Creve, P. T. 1875
II. In Classe
Medica et Historie Naturalis:
VATRIEIS GEO dl JU... JSASL JUI eb cos soc 1869. SANTESSON, C. G.. . 1816.
ARRHENIUS, J. BP... 1858. HEDENTUS, PL... . 1873) Warrrock, NBI E
MESTERTON, C. B.. . 1860. HOLMGREN, A. F... 1873. HAMMARSTEN, O. . . 1878.
AcaARDe di (Ch oo o USGS, Jimena, I. ING 5 oo fes Ju uS 2222: 1880.
ions 1 Moe oo c 11866. Cuason, E. © H... 1879. Rerzıus, M. G 222218822

Iron AD, A, Ab, sS WS, INA, (CL IR, s s WS, aim, ME (Gé: à à: se 1883.

III. In Classe
Historico- Archaologica:
BERGFALE, P. E. .. 1858. MALMSTRÖM, C. G. . 1876. Rypm, H. Iz M 2 882°
SrvrrE, C. G..... 1863. TEGNÉR, E. H. V. . 1876. ANNERSTEDT, C... . 1884.
RICHERT, M. B.... 1875. HAMMARSTRAND; S. F. 1879.
SvEDELIUS, V. E... 1876. OpnmHNER, C. T. .. . 1882.

Ordinarü Exteri
I. In Classe

Physico- Mathematica:

WWERERA VRBES IS IR TRGEHOEES G- E . 1873; BUCHAN, Ås 2 oe 1818.
BURG Sb ewes lool. C HERMITE, C- Lu. 1874. Des CLoIisEauvx, A.

INFFOMSON Miner TS DA | ELUGGING, Vesa e urs 1875. OF Pian eee 1818.
GN GEN Ves 18505 GAwnEY, A ELT. DS a CORNUA AC een T. 1878
STORES, G. G..... 1805. SCHERING, E. C. J.. 1875: Momw, H. ...... 1879.

ADAMS, J. G .... 1866. MARIGNAG, J; C. .. 1875. BJERKNES, ©. A. . . 1879,
ARBPRR, ANB. OS 1866. Elorrn, E; R. E. . „1875. QUINCKE, G..... . 1879)

IYNDALE, J... ... 1868. WEIERSTRASS,C.V.T.1876. BAEYER, A... . 1879.
Srmuve, Ol Ve... 1868) KgERULE, LE... 1876. KRONECKER, ba... 1879,
BuzEAU, H. L.. 1870) WEIEDEMANN, G... . 1877. DELTA RUE, W. . . 1809.
HELMHOLT?, ER jh F. 1872; NEWCOMB, S:.... . IS vule db b S s eo cS 1881.
DIN, KOs) cela a ete 1873. SCHIAPARELLI, I NE dleinieb 5 INTO dio c cc 6 1885.

II. In Classe
Medica et Historie Naturalis:

ASE: ES itus. 1844. RECHLINGHAUSEN, F. 1873.~ BAMBERGER, H. . . . 1877.
(CPAS NE EE iSO Jebaxuiay Ik (ede oo Isis, Ibiancixomen Wee. TS S
OMEN IRs cds sie LIL loma Cho e sc USC, Nee iS doo e ca IES.
BONS DOREEN CN EUX CE I BR. 805: INAGHE ©. Vi SS
STEENSTRUP, J. J. S. 1856. Brücke, E. R..... 1875. Pacer, dites . 1882.
Warm Re (Ge er 1859) SARS G. Ökl a ere 1875. TRAUTVETTER, E. R. 1882.
DEOANDOLEE, A. . . 1860. BERKELEY, M. J..>1875. PASTEUR, L. ..... 1882.

MINE Epwarps, H. 1860. Du Bors-REYMOND,E. 1876. Lisner, J. ...... 1884.
KING CSD SG DESBARY, Ara 2 1847. CEGENBAUR Cl.) ese.
VIRCHOW, R. . ASC LOOEN BELT SCT NBANILON, JBL IK ac ec ISS
DANIELSSEN, D: C. „1873. PRINGSEEIM, N.... 1877.
GÜNTHER, A MISES Doxpers, BR. C. .. . 1877.

III. In Classe

Historico- Archeologica :
RANKE, L. SEIS» Mika NOS oe IS CONVIENNENT
WEGENER, C. Ups 0 18T, WC GENES Sh EIC ANSEHEN, Id, EEG
UNGER, COR es .. 1865. SmEINTHAL, H. ... 1875. GIESEBRECHT, V... 1882.
SREPHENS d Ge loons) PARIS Gr 2... 1818. Krieger, A. BR... 1885.
RAWLINSON, H. .:. 1868. MAURER, C. ..... 18 BRANDT bs IS SE
VID VEG ONG 2. 180 St NA TE S Gro eee a eos

Litterarum commercio juncti:

In Classe
Medica et Historie Naturalis:

IKOREN Jae... 1859) MUCKERMANN, E... . 1867.
IMIBEBER OB: toa Gey ÅNGER: deta ote ccs 1867.

IIT.

Academis et Societates, cum quibus Acta Regis Societatis

Boston, . . .

»
Buffalo,. . .
Cambridge, .
Chicago, .
Columbus,
Córdoba, . .
Davenport, .
Madison, . .

New-Haven,

New- Orleans,
New-York,

»

Philadelphia,
»

Saint-Louis,

Salem,

»

»

San-Francisco, California Academy of Natural

Washington,

Scientiarum Upsaliensis communicantur.

In America:

. American Academy of Arts and

Sciences.
Society of Natural History.
. Society of Natural Sciences.

. Museum of comparat. Zoology.
. Academy of Sciences.

- . Ohio State, Agricult. Society.

. Academia National de Ciencias.

. Academy of Natural Sciences.
. Wisconsin State,
Society.

. Connecticut Academy of Arts

and Sciences.
- Academy of Sciences.

- . Academy of Sciences.
American Geographical and Sta-

tistical Society.
- Academy of Natural Sciences.

American Philosophical Society.

Entomological Society.
- Academy of Sciences.

- . Americ. Association for the Ad-

vancement of Science.
Essex Institute.
Peabody Academy of Science.

Sciences.
. Department of Agriculture.
Naval Observatory.

Office U. S. Geological Survey.

Smithsonian Institution.

Agricultural

AUGER, 255

Batavia,

Tokio,

Melbourne,
Sydney,...

Cambridge, . .

»

DH, 5 6 S 3

»

Edinburgh, . .

Greenwich,
London,

In Africa:

Société de Climatologie.

In Asia:

. Magnetical and Meteorological

Observatory.

. University.

In Australia:
Roy. Society of Victoria.
Linnean Society of New South
Wales.

In Europa:

Observatory.
Philosophical Society.
Roy. Dublin Society.
Roy. Irish Academy.
Botanical Society.
Geological Society.
Physical Society.
Roy. Observatory.
Roy. Society.

. Roy. Observatory.
. Linnean Society.

Manchester, . .

Oxford,

Roy. Astronomical Society.

Roy. Institution of Great Britain.

Roy. Microscopical Society.

Royal Society.

Zoological Society.

Literary and Philosophical So-
ciety.

Radcliffe Observatory.

Amsterdam, .

IDE LS SERRE
Harlem,

Bruxelles, . .

»

»

Luxembourg,

Bordeaux, . .

(CHAT SERRE
Cherbourg,

Dion, :..

UG OTe tae -

»

Montpellier, . .

Nancy, 22.
Paris ie.

2

Berne ne.

2

Geneve, . . . .

Kon. Akademie van
schappen.
Kon. Zoologiseh Genootschap.

(Natura Artis Magistra).
Ecole Polytechnique.

Société Teyler.

Société Hollandaise des Sciences.
Académie Roy. des Sciences,
des Lettres etc.

Observatoire Royal.

Société Entomologique.
Société Malacologique de Bel-
gique.
Société
Institut
et mathématiques.

Roy. de Botanique.
des Sciences naturelles

Société des Sciences physiques
et naturelles.

Société Linnéenne de Normandie.
Société des Sciences naturelles.
Académie des Sciences, Arts et
Belles-Lettres.

Académie des Sciences, Belles-
Lettres et Arts.

Musée Guimet.

Société d'Agriculture, d'Histoire
naturelle etc.

Société Linnéenne.

Académie des Sciences et Lettres.
Société des Sciences naturelles.
Académie des Sciences.

Ecole Polytechnique.

Museum d’Histoire naturelle.
Observatoire Astronomique.
Société Mathématique de France.
Société Philomatique.

Naturforschende Gesellschaft.
Société Helvétique des Sciences
naturelles.

Société de Physique et d'His-
toire naturelle.

Weten-| Lausanne, .

Genova, . . .

XIII

Société Vaudoise des Sciences
naturelles.

Museo civico di Storia Naturale.
Istituto
Scienze e Lettere.

AMilano,. . . . Reale Lombardo di

Modena, . . . R. Accademia di Scienze, Let-
tere ed Arti.

R

. Società di Scienze Naturale ed

Napoli Accademia delle Scienze.
Palermo, ..
Economiche.

Pisa, . . . . . Società Toscana di Scienze Na-

turali.
» R. Scuola Normale Superiore.
» Università Toscana.

R. Accademia de'Nuovi Lincei.
. R. Accademia delle Scienze.

JE oec

Topo à © à

Dorpat, . . . . Meteorologisches Observatorium.

» Naturforscher Gesellschaft.
» Observatoire impérial.
Helsingfors, Finska Vetenskaps Societeten.
» Societas Pro Fauna et Flora
Fennica.

Kiev, ..... Université imp. de St. Wladimir.
Moscou,. . . . Société imp. des Naturalistes.
Pulkowa, . . . Observatoire impérial.
S:t Petersbourg, Académie imp. des Sciences.
» Commission archéologique.
» Observatoire

de Russie.

physique central

. . . . K. Preuss. Akademie der Wis-
senschaften.
» Physikalische Gesellschaft.
» Redaktion des Archiv der Ma-
thematik und Physik.
Braunschweig, Verein für Naturwissenschaft.
Bremen, . . . . Naturwissenschaftlicher Verein.
. Schlesische Gesellschaft für va-
terländische Cultur.
. Naturforschender Verein.
. Société Roy. Hongroise des
Sciences naturelles.
. Verein für Naturkunde,

Berlin,

Breslau, ..

Brunnen:
Buda-Pest,

(Dna c cc

XIV

Dürkheim, . . Pollichia.
Frankfurt am Main, Senckenbergische natur-

forschende Gesellschaft.

Giessen, . . Oberhessische Gesellschaft für
Natur- und Heilkunde.
Greifswald, . . Naturwissenschaftlicher Verein

von Neu-Vorpommern u. Rügen.
. K. Gesellschaft der Wissen-
schaften.

Göttingen,. .

Halle, . . K. Leopold. Carol. Akademie
der Naturforscher.
» Naturforschende Gesellschaft.
Hamburg,. . . Verein für naturwissenschaft-

liche Unterhaltung.

Heidelberg, . . Naturhistorisch-medicinischer
Verein.

Innsbruck, . Naturwissenschaftlich -medizini-
scher Verein.

Vena ek Medicinisch-naturwissenschaft-
liche Gesellschaft.

Kae. ans Naturwissenschaftlicher Verein.
Königsberg, . . K. Physikalisch-ökonomische
Gesellschaft.

Leipzig, . . Astronomische Gesellschaft.
» Fürstlich Jablonowski'sche Ge-
sellschaft.
» K. Sächsische Gesellschaft der
Wissenschaften.
München, . . . K. Bayerische Akademie der
Wissenschaften.
» K. Hof- und Staats-Bibliothek.
JEU S 6 o 0 € K. Bóhmische Gesellschaft der
Wissenschaften.

Verein für Naturkunde.
. K. Bayerische botanische Ge-
sellschaft.

Je à o c
Regensburg, .

Upsaliæ, die XIII mensis Maji

Wilts CEE Verein für Kunst und Alterthum.
Wien, . K. K. Akademie der Wissen-
schaften.
» K.K. Geologische Reichsanstalt.
» K. K. Sternwarte.
» K. K. zoologisch-botanische Ge-
sellschaft.
» Verem zur Verbreitung natur-

wissenschaftlicher Kentnisse.

Wiesbaden,. . Verein für Naturkunde in Nassau.

Kjóbenhavn, . K. Danske Videnskabernes Sel-
skab.
» K. Nordiske Oldskrift-Selskab.
» Naturhistoriske Forening.
» Universitets Bibliotheket.

Reykjavik, . Islands Stifts-Bibliothek.

Bergen,. . . . Museum.

» Observatorium.

Christiania, . . Observatorium.
» Universitets Bibliotheket.
» Videnskabs-Selskabet.
Tromsö, . Museum.

Trondhjem, . . K Norske Videnskabs Selskabet.

Góteborg, . . . K. Vetenskaps- och Vitterhets-

Samhället.

Lund, . K. Fysiografiska Sällskapet.
Stockholm, . . Geologiska Byrån.

» K. Vetenskaps-Akademien.

» K. Vitterhets- Historie- och An-

tiqvitets-Akademien.

anni MDCCCLXXXV.

e —9—————

MARCHE DES ISOTHERMES

EN AUTOMNE

DANS LE NORD DE L'EUROPE

A. G. HOGBOM.
AVEC CINQ PLANCHES.

(PRÉSENTÉ A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPsAL LE 20 SEPTEMBRE 1883.)

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1883.

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MARCHE DES ISOTHERMES EN AUTOMNE DANS LE NORD
DE L'EUROPE.

Dans son traité »Marche des isothermes au printemps dans le
nord de l'Europe» (Mémoires de la Société Royale des Sciences d'Upsal
1880) M. le professeur HiLbEBRANDsSON a signalé le rapport qui existe
entre la température et les phénoménes périodiques du régne végétal.
C’est surtout à cause du grand intérêt que possède cette question pour
l'étude des phénomènes périodiques dans les régnes végétal et animal
quil a entrepris ces recherches, et dans son mémoire il a le premier
rendu compte de la maniére dont se déplacent les isothermes au prin-
temps sur l'Europe.

Puisquon a commencé de nos jours à étudier ces phénoménes
non seulement au printemps, mais aussi dans la fin de l'été et en au-
tomne, il parait qu'une exposition de la marche des isothermes dans
cette saison ne doit pas être dépourvue d'intérót. Sur l'invitation bien-
veillante de M. HILDEBRANDSSON et sous sa direction j'ai done dressé
des cartes représentant la marche des isothermes en automne. Cette
étude embrasse les mêmes degrés que celle de M. HILDEBRANDSSON, sa-
voir 12°—0°.

Pour déterminer la position successive des isothermes j'ai procédé
de la manière décrite en détail dans le mémoire de M. HILDEBRANDSSON.
Ainsi le jour ou chaque degré de température a passé par les lieux
indiqués ci-dessous (tableau II), a été déterminé à l'aide de la courbe

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 A. G. HöGBOM,

de température qui pour chaque station était dessinée à grande échelle
à l’aide des moyennes mensuelles. Ce n’est que pour l'Autriche que
jai eu à ma disposition des tableaux de la température moyenne pour
chaque jour et pour un grand nombre de stations. Puis à l'aide de ces
dates j'ai indiqué aux cartes ci-jointes la position des isothermes le 1*
et le 15 de chaque mois.

Les tableaux météorologiques que je utilisés sont ceux que M.
HiLpEDRANDsSON a cités dans son traité, à la seule exception que j'ai
employé pour l'Angleterre les nouvelles valeurs moyennes de M. BucHan
(Journ. of the Scott. Met. Soc. 1880). 5

En -comparant la marche des isothermes automnaux à celle des
isothermes du printemps, on trouve qu'en bloc il y a une certaine corres-
pondance entre les uns et les autres, de sorte que les cartes des mé-
mes isothermes se ressemblent dans les grands traits. Cela veut dire
que lisotherme occupe successivement et en ordre inverse les mêmes
positions en retournant qu'en avançant. Cependant on trouvera plus
loin qu'il y a des différences frappantes dans cette marche des isothermes
des deux saisons, différences dérivant de ce que certaines régions de
l'Europe ont un climat maritime ou continental plus prononcé dans
lune de ces saisons que dans l'autre.

Les températures élevées marchent assez régulièrement avec la
latitade, au printemps comme en automne; cependant dans toutes les deux
saisons, ces isothermes sont un peu retardés à l'ouest, de sorte que ces
lignes prennent de plus en plus une direction de sud-ouest à nord-est au
commencement de l'été et de nord-ouest à sud-est au commencement de
l'hiver. Ce fait s'explique naturellement, si l'on considère que l'ampli-
tude annuelle de la température est plus petite, et par conséquent l'élé-
vation et la baisse plus lentes, aux côtes qu'à l’intérieur du continent.

Ce contraste entre les climats des cótes et celui du continent par
rapport à la marche des isothermes ne se fait voir que faiblement dans
les cartes des isothermes de 12° et de 9°, mais il apparait beaucoup
plus distinctement pour les températures basses. Car tandis que, sur le
continent, les isothermes marchent toujours avec une uniformité sur-
prenante, en automne de même qu'au printemps, leur marche est exces-
sivement lente dans l'ouest de notre région pour les températures
basses en comparaison des températures élevées. Comp. tableaux I, 1
avec I, 2, 4.

C'est là une particularité dans la marche des isothermes qui a
été signalée par M. HILDEBRANDSSON et qui présente une bonne explica-

/

MARCHE DES ISOTHERMES EN AUTOMNE DANS LE NORD DE L'EUROPE. 3

tion de ce fait que plus les phénomènes périodiques du rèone végétal
se font attendre au printemps dans les régions baltiques, plus ils marchent
vite. Or cette particularité se répète en automne, comme le montrent
les tableaux du temps où se transportent les degrés de température
d'Arkhangel à Astrakhan et de Haparanda à lile de Bornholm.

Il y a une autre particularité qu'on peut trouver en comparant les
tableaux précités et les tableaux correspondants de la marche de la
température au printemps. Tandis que sur le continent les isothermes
marchent plus vite en automne qu’au printemps, c'est tout le contraire
qui a lieu sur les côtes de la Baltique. Les tableaux I, 3, 4 montrent
la même marche inverse de la température. Par conséquent on peut
regarder les tableaux I, 1, 3 comme représentant ce qui se passe sur
le continent et les tableaux I, 2, 4 comme représentant ce qui a lieu
dans les régions maritimes.

Comme les isothermes marchent uniformément dans l'Europe
orientale et que leur vitesse diminue avec la température dans l'Europe
occidentale, il s'ensuit de là que les isothermes font au sud-ouest la
forte courbure que nous montrent les cartes des isothermes de 3° et
.0*. C’est pourquoi le froid ne va pas, à l'ouest de l'Europe, de N, mais
à peu prés en ligne droite d'E, c'est-à-dire du continent, de méme qu'au
printemps la chaleur marche non pas de S, mais d'O, c’est-à-dire de la
mer. Il doit done exister une ligne le long de laquelle le froid se
transporte de NE à SO en automne, et la chaleur de SO à NE au prin-
temps. Cette ligne parait s'étendre de St-Pétersbourg à Berlin. Le long
de cette liene la température marche avec une vitesse assez uniforme
dans les deux saisons, excepté les températures les plus basses. Cetet
ligne coincide à peu de chose prés avec celle qu'on a appelée l'axe con-
tinental de l'Europe. La ligne Upsala—Gothembourg est paralléle à la
précédente, mais le long de cette ligne la température marche de la
méme maniére qu'aux cótes de la Baltique.

Au tableau I, 5 j'ai indiqué la marche de la température dans la
direction de l'est à louest entre Christiania et St-Pétersbourg. Sur
cette ligne le mouvement se fait en sens opposé dans les deux saisons,
conséquence naturelle de la retardation déjà remarquée des isothermes
en ouest tant au printemps qu'en automne. Ce tableau nous montre
encore que l'isotherme des températures élevées est plus rapide, de sorte
que sous ce rapport il en est de méme de cette ligne que des lignes
maritimes Haparanda—Bornholm et Upsala—Gothembourg. D'autre part,
le mouvement y est plus rapide au printemps qu'en automne, et sous

4 A. G. HôcBow,

ce rapport cette ligne est conforme à celles d'Arkhangel à Astrakhan et
de St-Pétersbourg à Berlin. |

Enfin il est bon de signaler quelques différences dans la marche
des isothermes au printemps et en automne, différences qui résultent
d'une comparaison des cartes des deux saisons.

Dans l'Europe orientale les isothermes du printemps marchent
tous dans la méme direction, savoir de S à N; les isothermes autom-
naux au contraire décrivent, à mesure que la température s'abaisse, une
courbè tournant sa convexité vers le sud-ouest, ce qui s'explique bien
par le phénomène déjà signalé que la température de l’intérieur du con-
tinent s'abaisse plus vite en automne qu'elle ne s'éléve au printemps.

Dans la région bordant la partie méridionale de la Baltique le climat
maritime est plus prononcé en automne, mais ne se fait que faiblement
sentir au printemps, au moins pour les températures basses. Que les
isothermes se maintiennent dans cette région en automne, cela s'explique
par la haute température de la mer dans cette saison. Mais au com-
mencement du printemps, il n'y a pas une telle différence de température
entre la terre et la mer, et il n'y a pas de sinuosité dans les isothermes.
Plus tard, la terre se réchauffant plus vite que la mer, les isothermes
doivent naturellement être retardés dans la Baltique méridionale.

En Laponie la baisse de température est beaucoup plus rapide en
automne qu'aux côtes du Golfe de Bothnie et à celles de la mer en
ouest. Mais au printemps la différence est à peu prés imperceptible,
surtout pour les températures élevées, ce qui est då sans doute à la
haute température automnale des mers voisines. Le caractère continental
de la Laponie ressemble méme en cela à celui de l'Europe orientale ou
la température, à ce qu'on vient de voir, s'abaisse plus vite en automne
qu'elle ne s'éléve au printemps.

Dans toutes les régions que j'ai examinées, on peut voir que
l'avantage d'un climat maritime et le désavantage d'un climat continental
se font remarquer plus en automne qu'au printemps, chose qui résulte
également des tableaux représentant la vitesse des isothermes dans les
deux saisons.

MARCHE DES ISOTHERMES EN AUTOMNE DANS LE NORD DE L'EUROPE. 5

TABLEAU I.

Le temps nécessaire à chaque degré de température pour se déplacer /
entre les stations suivantes.

1.

Automne
Arkhangel-Astrakhan
129 40 jours
99 37 »
69 Su 3»
39 DO)
00 387»

Haparanda-Bornholm

12° 34 jours
99 38 »
69 40 »
30 Am.»
09 70 »

St-Pétersbourg-Berlin

12? 24 jours
où 20 »
69 27 »
3° 20
09 ae

Upsala-Gothembourg

12° 14 jours
99 HE
69 JO
ae 16) >»
09 DT =a

St-Pétersbourg-Christiania

129 2 jours
90 da»
69 B 5»
aw Se)
0° Ten

Printemps
Astrakhan-Arkhangel
47 jours
46 »
45 »
45 »
41 »

Bornholm-Haparanda 96164
12 jours (SE
23 > y Anl
DONE
GX)
50 »

Berlin-St-Pétersbourg

26 jours
OO) pie
2ONE,
35 »
53 »
Gothembourg-Upsala
5 jours
7 »
JE. 5»
14 »
21 >

Christiania-St-Pétersbourg

3 jours

6 »
10 »

9 »
14 »

Suede.
Jockmock...
Haparanda ..
Stensele . .
Piteà
Umeå
Östersund . . .

Hernösard

Karlstad

Jönköping. ..
Venersborg . .
Karlshamn ..
Göteborg ...
Halmstad ...

Vardó

Bodó
Brónó
Christiansund.
Skudesnás...
Mandal
Sandósund
Christiania ..
Elverum....
Granheim . ..

Allemagne.
Königsberg ..
Stralsund . ..

Arolsen
Regensburg . .
Stuttgart
Strasbourg . .

Autriche.
Agram
Bludenz ....
Bodenbach ..
Burm e
Debreczin . . .
Esseg
Hermannstadt.
Ischl
traz
Klagenfurt
Krakau
Kremsmiinster
LEE, © 5 5 à
Lemberg....

199
6. VIII
19. VIII

. 12.VIII

26.VIII
18, VIII
13.VIII

. 28.VIII

29.VIII
4.1X
3.1X
6.IX
7.1X
8.1X
9.1X
9.1X

16.1X

17.1X
17.1X

a UED

19.1X

21.VIII

. 17.VIII

20.VIII
3.IX

18.IX

11.0X

. 20.IX

10.IX
23.VIIL
18.VIII

15.1X
2.X

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A. G. HöÖGBOM,

II.

Temps d'arrivée des Températures 12—0".

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16.VIII
26.VIII
19. VIIL

2.IX
27.VIII
23.VIII

6.IX

6.IX

9.IX

9.IX
12.1X
14.IX
15.1X
161X
16.IX
23.1X
24.1X
24.1X
25.1X
25.IX

21.VIII
8.VIII
27.VIII
1.IX
16.1X
26.IX
20.IX
26.IX
16.1X
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27.VIII

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+

MARCHE DES ÍSOTHERMES EN AUTOMNE

129
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Szegedin. . . . 23.X
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Ben. 2s 10.X
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Bruxelles . . . 13.X
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Copenhague. . 20.IX
Smidstrup . . . 15.IX
Buborp- Fo... 15.1X
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Maiböllegaard 22.IX
Hindholm .. . 31.IX
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St. Nicolai . . 23.IX
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Avignon . . . .. 2.XI
Montpellier .. 6.XI
Marseille. . . . 10.XI
Toulouse... . 24.X

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7.XII

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21.1X
21.IX
24.1X
29.1X
28.1X
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30.IX

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11.XI
14.XI
30.X

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Arbroath 227. X
Calton-Mor . . 15.IX
Belfasb..... 23.IX
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Limerich ... 22.1X
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Stonyhurst 23.IX
Derby ....- 25.IX
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Hereford. . . . 27.IX
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Hollande.
Helder..... 9.x
Groningen... 3.X
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30.IX

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16.XI
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5.X

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29.VIII

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17.XI 30.XI
17.XI 6.XII
22.XI 8.XII
24.XI 920.XII
30.XI 21

14.XI
4.XI
5.XI
T.XI

15.XI

17.X1

15.XI
9 XI
9.XI

11.XI

13.XI

13.XI

16.XI 26.XI
17.XI 27.XI

2.XII 13.XII 25.XII

20.I

7.XII 28.XII 11.1
9.XII 26.XII

Milan
Venice
Florence . . ..

Roumanie
et
Turquie.
Bukarest. . ..
Rustschuk . ..

Russie
et
Finlande.
Uleäborg
Åbo
Helsingfors . .
Arkangel
Petersburg

Tiflis

Genève

A. G. HöcBom, MARCHE DES ISOTHERMES EN AUTOMNE etc.

1.1X
8.IX
8.IX

. 2T.VIII

8.IX
7.1X
20.IX

5 allg.

10.IX

11?
20.X
20.XI
23.X
29.X

6.XI

20:X
26.X

109
24.X
29.XI
21.X

4.XI
12.XI

99
28.X
18.XII
1.XI
8.XI
19.XI

go
3.XI
6.XI
13.XI
27.X1

2.XI
3.XI

26.X

T9 6°
8.XI 13.XI

11.XI 16.XI
20.XI 29.XI
8.XII 20. XII

b.XI 8.XI
6.XI 9.XI
26.1X 1.X
GS | LE
T.X 13x
21.1X 26.IX
3.X 8X
6.X 1X
16.X 20.X
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loe DRE
18.X 22.X
24.X 29.X
4XI 9.XI
28.X 3.XI
17.XI 24.XI
23.X 27.X
1.XI 6.XI

50
19.XI

23.XI
8.XII
14.I

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27.XI

30.XI
21.XII 7.1

10.X
21.X
22.X
4. X
17.X
20.X
30.X
16.X
13.X
2.XI
9.XI
19.XI
12.XI

14.X
26.X
21.X.
8.X
22.X
24.X
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21.X
17.X
6.XI
14.XI
24.XI
16.XI

6.XII 12.XII 19.XII 3.1

8.XI 15.XI
18.XI 25.XI

90

8.XII 17.XII 1.1

20.XI

23.XT

Ino 0?

4.XII 13.XII 25.XII 11.1

27.X
12.XI
12.XI
20.X
7.XI
9.XI
21.XI
4.XI

23.X
T.XI
T.XI
16.X
2.XI
4.XI
16.XI
29.X
20.X 1XI
16.XI 21.XI
23.XI 27.XI
5.XII 1.XII
24.XI 28.XI
16.1

2.XII 10.XII

2.XII 12.XII 7.1

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Nova Acta Res Soc.Sc.Ups.Ser. III.

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Nova Acta Res Soc.Sc.Ups.Ser IH. 2.6. Högkorn, Marche dlsothermes.

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öva Acta Reg.Soc.Sc.Ups. Ser. HI.

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION. ANALYTIQUE

POUR UN CONTOUR DE CONVERGENCE QUI RENFERME

DES INFINIS UNIFORMES COMME SEULS POINTS CRITIQUES.

GÖRAN DILLNER.

(PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPsAL LE 19 SEPTEMBRE 1883.)

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L UNIVERSITÉ.
1884.

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. 5 LI

Sur le développement d'une fonction analytique pour un contour
de convergence qui renferme des infinis uniformes comme
seuls points critiques.

Dans une suite d'articles, insérés dans le »Tidskrift för matematik
och fysik» pour 1871), j'ai traité la question de développer une fonction
analytique pour un cercle de convergence qui renferme des infinis uni-
formes d'ordre quelconque. Dans ce Mémoire je reproduirai les résul-
tats de 1871 sous le point de vue plus général d'un contour de conver-
gence au lieu de cercle de convergence. _

Fonction analytique. Point singulier. et son ordre. Zero et infini.
Point critique. Point réguler.

1. La définition Newton-Hamiltonienne de la différentielle dZ
d'une fonction complexe Z = f(z) s'exprime par la formule suivante, la
différentielle dz étant une quantité généralement finie mais arbitraire,

(1) 4 = ul | (+ =O] |

n= |
Cette formule mise sous la forme,
(ft + )-5e)
(2) dZ — lim

[n22] dz |

n

dz
n

dz=f(2dz ,

1) Ces articles ont commencé dans le même Tidskrift pour 1870.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 GÖRAN DILLNER,

définit la fonction analytique f(z) par la condition que la dérivée f'(z)
soit indépendante de la différentielle dz et de plus déterminée.
Géométriquement les différentielles dz et d Z représentent les tan-
gentes considérées comme prolongements des éléments correspondants
des contours décrits par z et Z, la signification géométrique de la
dérivée f'(z) étant par suite définie par le triangle formé par le quo-

dz

Un point z — a où la dérivée logarithmique d'une fonction analy-
tique f(z) devient infinie est nommé dans le sens général singulier *);
et le nombre w qui se détermine par la limite,

?

Tele
(3) mug KC Le

s'appelle l’ordre du point singulier a. Dans le voisinage du point a la
formule (3) s'éerira,

BEN
> Se Ez) ,
no A2 0
où la fonction H(z) a une valeur finie pour z — a. En intégrant cette
formule on obtiendra le résultat suivant, c désignant la constante d'in-
tégration,

(5) fe) =e

résultat qui annonce que le point singulier a est un zéro d'ordre pu,
pour 4 positif, et un infini d'ordre — — , pour u négatif.

Si la fonction H(z) ne change pas de valeur, pour z décrivant
le cercle infiniment petit de centre a, signé ©, le point singulier a est
dit pur. Tout point singulier, sauf le zéro pur d'ordre entier, et tout
point pour lequel la fonction E(z) change de valeur s'appelle point cri-
tique.

(4)

E(z)dz
DS:
=)" e 3

Si la fonction f(z) est finie pour z — a et qu'elle ne change pas
de valeur pour z décrivant le cercle @, le point a est nommé point
régulier de la fonction f(z).

1) Dans le Tidskrift cité j'ai appelé un tel point »märkespunkt».

Sur LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ÅNALYTIQUE. 3

Fonction uniforme et multiforme. Fonction synectique.

2. La fonction f(z) est dite uniforme ou multiforme pour le
point a suivant qu'elle ne change pas ou qu'elle change de valeur pour z
décrivant le cercle (2. Ordinairement la fonction f(z) est dite uniforme
si elle est uniforme pour tous les points du plan. Pour avoir un cri-
térium de l'uniformité ou de la multiformité d'une fonction f(z) pour un
point singulier a, étudions l'ntégrale, dite circulaire, |

; © WG
(6) | f (z)dz |
i)
prise autour du cercle @. En mettant (z — a) sous la forme complexe,

z — a = ge?

ou, d'aprés les notations d'Hamilton, o et 9 désignent respectivement le
tenseur et l'angle de la quantité complexe (z — a),

e—T(z—a),e-—A(z—a),
il s'ensuit, @ étant le rayon du cercle (2,
dlog(z — a) = ide ;

donc, en prenant l'intégrale (6) entre les limites 9 — 0 et 8 — 2z, on
obtiendra d'après (3), pour o évanouissant, ce résultat,

(a. ,
fGdes _ 1... Ja tee") [TEA _ oe
| Me ae a E x
ou

Fate") = f(a + ee.

En répétant cette opération & fois, on aura la formule générale,

(7) Fate”) = f(a + g)e" t,

formule qui annonce que la fonction f(z) est uniforme pour le point
singulier pur a si u est entier, mais multiforme pour le point singulier

4 GÖRAN DILLNER,

a si w est fractionaire et que, dans ce dernier cas, le nombre de valeurs

est égal au dénominateur q de la fraction irréductible u = P | Sous ce
q
point de vue le point singulier a est dit uniforme dans le premier cas
et multiforme dans le dernier cas.
Si la fonction f(z), dans un certain domaine du plan, n'a pas du
point critique, elle est dite d’aprés Cauchy synectique pour ce domaine.

Remarque 1. D’après une terminologie introduite dans la Science
par M. WzrzERsTRASS, un point singulier a d'une fonction f(z), dont
lordre est nul ou infini, est dit essentiel et jouit du caractére uniforme

ou multiforme suivant que la dérivée logarithmique B e ne change pas
PA

ou change de valeur pour z décrivant le cercle @. Ainsi la fonction

f(z2log(s— a) a le point singulier a d'ordre nul, mais de caractère

: j 4 E 1 1
multiforme, parce que la dérivée logarithmique f -
Hire. oN” TOLL € ep

change de valeur pour z décrivant le cercle & . De même la fonction

À . . . . B . .
f@® =e a, pour A négatif, le point singulier a d'ordre infini mais
de caractére uniforme ou multiforme suivant que la dérivée logarithmique

Je A(z— ay-' ne change pas ou change de valeur pour z décrivant

JG)

le cercle @. Aussi la valeur z = E qui rend la fonction f(z) infinie

est dite un infini essentiel de la fonction f(z).

Remarque 2. Dans ce qui précéde j'ai cherché à réunir la termi-
nologie ordinairement usitée dans la Science dans une seule conception,
à savoir la conception d'un point singulier d'un certain ordre qui, par
la limite (3), se déterminera d'une maniére décisive. Nous laissons de
côté, à cette occasion, le cas général d'un point singulier d'ordre com-
plexe. 2

SUR LE DEVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 5

Réduction d'un poit. critique pur d'ordre fini à point régulier.
Développement d'une fonction analytique dans le voisinage d'un
point critique pur d'ordre fini.

3. Posons dans la formule (5), pour w fini,

(8) m o——Hu,
et ensuite
(9) gle) = (z — a)" f (s) = cel :

alors, en supposant le point critique a de la fonction f(z) pur, c'est-à-
dire la fonction H(z) uniforme pour le point a, la fonction g(z) est finie
et uniforme pour z — a. Donc le point a est un point régulier de la
fonction g(2).

Pour cela nous disons que le point critique pur a, d'ordre fini u,
de la fonction f(z) est réduit au point régulier a de la fonction g(2).

Pour un cercle de convergence du centre a, qui ne referme pas
d'autre point critique de la fonction f(z) que le point a, la fonction
g(z) est synectique et, développée d'aprés la série de Taylor, prend la
forme,

(10) q( e (9) E 6— Wr ELT ya) +...
done on obtiendra suivant (9), m étant un nombre entier positif ou un
nombre fractionnaire positif ou négatif,

(11) fe = em un P + + EO re

z—a" (z—a In(z — a)

C'est pour m entier et positif que Cauchy a fondé sur cette for-
mule le caleul de résidus.

Intégrale de lacet.
4. Désignons par

(12) jJ iod:

l'intégrale prise suivant le lacet A, allant du point z,, situé au dedans
du cercle de convergence de la série (10), au cercle (z) entourant le point

6 GÖRAN DILLNER,

A ORD J . 72 AN ,” ER
critique a de la fonction f(z); alors, en supposant que lintégrale (12)
est finie pour z — a, on obtiendra le résultat connu de la somme d'une
intégrale linéaire et circulaire,

a

1 ©
as — fe ff) rds.

la fonction fa(z) étant la valeur de la fonction f(z) aprés que z a décrit
le cercle ©. Étudions les deux cas suivants:

1° Le point a étant un infini uniforme d'ordre m = n + 1; alors
les fonctions f(z) et f«(z) sont identiques et l'on obtiendra, en intégrant
(11) autour du cercle (2), ;

z=a

(14) pause de = 9 g(a) 275. | (a) ON

[UE [ns

cette formule comprenant comme cas particulier, pour m = 1, la formule

=a

as — [ f@ae= f rear TC TS

2° Le point a étant un point critique pur d'ordre fini m, pour

. . . 9) .
m = une fraction irréductible 2 , ou entre 0 et 1 ou, negative; alors

© im
l'intégrale circulaire J f(z)dz —3 f (z— a)f(z)de s’annule, et l'on ob-
P [U

tiendra en intégrant (11) du point z, au point z =a,

(16) NEC foo r ")[*e )d« — ( el ent
4 na ++ te

intégrale que l'on pourra évaluer par des méthodes ordinaires.
Nous excluons de ces recherches le cas ou la fraction m est plus
grande que 1.

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. =

Théorème fondamental. Corollaire.

5. Dans le Tidskrift cité j'ai donné une démonstration du théo-
rème fondamental: sur l'intégrale prise entre des limites complexes ').
Je reproduirai ici cette démonstration, en la modifiant un peu pour plus
de clarté.

Posons l'intégrale,

Pb

(17) U, — | fG)d, ,

va

prise suivant la voie décrite par z, du point a au point b, et supposons
que la fonction f(z) soit synectique pour les deux voles z, et z,,, et
pour l'aire incluse entre elles; posons ensuite, pour Au désignant la
différence d'une variable tout indépendante wu,

(18) 2,41 Zr = Pr (GA U,
dou l’on tire par différentiation,
(19) dz: da q(z)dz,/Nw.,

où la fonction ¢,(z,) est supposée arbitraire mais synectique pour la
méme région que f(z,) et de plus satisfaisant à la condition,

(20) pr (a) = q,(b) = 0 ,

les deux voies consécutives z,,, et z, étant par suite, pour Au infiniment
petit, infiniment voisines l’une de l’autre; alors il s'agit de déterminer
la différence,

b b
(21) AM es ji To TUER y f (2) ds, .
Si l'on pose,

8

Je) TE) Lyme)

Zr41 — e.

1) Dans une Note récemment insérée dans le journal de Crelle, M BALTZER a
publié une lettre très remarquable de Gauss à SCHUMACHER de 1811, dans laquelle
Gavss énonce l'idée claire et précise de ce théoréme et de son importante applica-
tion au caleul des périodes.

8 GÖRAN DILLNER,

d'où il suit à cause de la synecticité de la fonction f(e,) ,
lim M(z,) = fe) ,
(Au=0)

la différence (21), à l'aade de (18) et (19), se mettra sous la forme,

AU, = | IMG) + Few 2) des Au ;

par conséquent, en sommant les différences A U,,..., A U,, on aura
pour résultat,

(ED u ds S,

r=1

[ tGoe G2 + inde Gide Ae.

Done, si l'on observe que dans (22) le coefficient de Aw sous le
signe d'intégration devient, pour lim Au — 0, la differentielle exacte du
produit f(z,)9,(z,), on obtiendra, en remplaçant la somme par l'intégrale
définie entre des limites u, et u,

u |b
ee f | che DP
mais, puisque d'aprés (20) on a identiquement,

b
| ede} = 9 ,
on aura enfin l'identité,
(23) Os = U, ’

résultat qui s'énonce dans le théorème fondamental suivant:

L'intégrale d'une fonction analytique f(z), prise entre les limites a
et b suivant les deux voies différentes z, et z,,,, conserve la même valeur,
si f(z) est synectique pour ces deux voies et pour l'aire incluse entre elles.

De ce théorème on tire de la manière usitée le corollaire exprimé
par la formule,

ey [foe fu 3 [res

c'est-à-dire que la somme de l'intégrale de la fonction f(z), prise autour
du contour fermé C qui referme le point z, et les points critiques diffé-

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 9

rents d, ,..., de de f(z), et de l'intégrale de la fonction { f(z) — f,(z)) ,
prise du point z, à un point c du contour C, la fonction f,(z) étant la
valeur de f(z) aprés que z a décrit le contour C en sens positif, est
identiquement égale à la somme des intégrales de /(z), prises suivants
les lacets A, ,..., A, qui vont du point z,, et renferment par les cercles
@,...,@) les points critiques a, ...,a,.

Développement d'une fonction analytique pour un contour de convergence
qui referme des infims umformes d'ordres quelconques.

6. Soit f(z) une fonction analytique uniforme pour tous les points
d'un eontour fermé C et de l'aire incluse, et supposons que les infinis
a, ,--,%, dordres respectifs m, ,...,m», de la fonction f(z) soient
situés à l’intérieur de ce contour ainsi que les points a, et z; alors, à
cause de l’uniformité de f(z), on obtiendra d’après (24) et (14) l'iden-
tité suivante,

OF m P CN
"f(z)dz e f() e f (z)dz
Ux qoa M re ie ,
gd Ed x er
identité qui, en employant la formule
1 Pes] 4p gp NE | goa, 1
= 1 0 0 5
sedg N MSS jim c EA vice) "E
B= Un

s’ecrira de la manière suivante,

c Ue e. "e F(z) dz Heep) dee?

a) Ser ceca e remo IL
JG)dz

tug = 5 B — 8 de

(a — 4)" (* f@)d log (z — a)

Dnt =
ZT Cas)? js ce o
| 2a,

ou le reste R a la forme,

(26) jm

— —
.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 GÖRAN DILLNER,

En supposant R —.0, l'identité (25) s'écrira, à l'aide de (24),
sous la forme [7(53) 5], 4

ee x .

= G=)" AIO cmm qu

Nous ferons les trois remarques suivantes.
1° A l'aide de (14) [7(35)] on aura,

(28) ee

270i. G—a) |—1

2° De même, en mettant d’après (9)

(29) (—a)"f@ =9,(2) ,

on obtiendra, Af?,. . 5 0 désignant des quantités indépendantes de z,

PUE m,—1
Gu Lf ee T EI Tl OI c
271 @—a) m,—l1 Ba)
3° Par la méme raison on trouvera,
1 Ses "| 9-(2) T
(31) - |
2711 Bz it = d

$1 l'on pose

9.) _,
U — 2 : (

et que l'on différentie l'équation 9,(z) = u(v—2) y fois on obtient

SH) = UNE Si ye ,

1) Ce signe se rapporte aux résultats identiques ou analogues du Tidskrift
cité, contenus dans les formules qu'indiquent les nombres entre les crochets,

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ÅNALYTIQUE. 11
d'où l'on déduira la formule suivante [7(51)] ,

(m, —1)
Ir (a) LAC
CMa aa

£-—G,

à : um = g,(a,)
= E CAT

(32)

done, en désignant par GT ,..., GC? des quantités indépendentes de x,
la formule (31) s'écrira,

LR Kzydz Ge Gr
(33) fades _ 6v N saevi

20i da E mgr M ONUS

Done enfin l'identité (27), à l'aide de (28), (30) et (33), prendra
la forme suivante,

— N (n—1) = v
BD Ke) = Ka) SF Ca) Na) + ITA HAN 00)
T s gest an Go
Ho ced ae IRC NN RER
+ n io ay) | + " mI a, + Ga ay

7. Maintenant nous allons déterminer la condition sous la quelle
le reste À s'annule. A cet effet posons dans (26),

(35) ee Pv on EON TTA E
2a, I
Z

alors, en faisant usage de la forme complexe z — a, = oe? d’où il suit
d log (z— à) = do + ide ,le resle R s'écrira sous la forme suivante, 6,
étant la valeur initiale de 9,

il got 276

(36) R === “ed logo 5" = fade:
271

Pour 7'(s) infiniment petit la seconde intégrale s'évanouit. Nous
démontrerons que la première intégrale s'évanouira aussi avec e?. Pour

1) Cfr mon Mémoire sur les intégrales définies, dans les Actes de l'Académie
des sciences de Stockholm, Tome 18, N? 6

12 GÖRAN DILLNER,

cela, désignons par & la plus grande valeur de 7(s) pour (z — a,) dé-
crivant le contour C; alors, on aura,

( (6)
ri ed log o Su

En supposant ge croissant de o, à o,, décroissant de o, à 0, , et
ainsi de suite, on obtiendra,

d log o

[6] 20; -f Qs
js d log o =| dloge — | loge +... — log i a
Qo 91 0 ©
résultat fimi pour des valeurs finies des quotients us jeu 4531 Or

0
trouvera le méme résultat pris en sens négatif si o va a décroissant
du point initial o,. Done, pour un contour fermé quelconque C dont le
rayon vecteur o ne présente que des maxima et des minima comparables,
on aura

(37) R=0

sous la condition que, pour z décrivant le contour C,

(38) lim (ry o) = en
|

condition qui est remplie dans les deux cas suivants:

1° les quantités z et LAO. pe. qu) etes t | <1et
- er 2 — 4,
P= Eh
lim 7 = oo [AT 21];
2° lim z = = lim EL y — 0 , pour une certaine valeur de n[7'n? 37].
DENN

Sous cette condition la fonction analytique f(x) est développée en
série, suivant l'identité (34), pour un contour de convergence qui venferme les
infinis uniformes a, ,...,a,, d'ordres respectifs m, ,..., m».

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ÅNALYTIQUE. 13

8. On distinguera trois parts du développement (34): 1° la série
de Taylor; 2° la série adjointe, formée par la somme des séries sembla-
bles à celle de Taylor; 3* /a part complémentaire, formée par la somme
des séries procédant suivant les puissances négatives de (x — a,). On
fera de plus les deux remarques suivantes sur le développement (34).

1° La condition (38) 1° étant remplie, si 7(«—a,)< T(a,— a,)
(r—1,2,...,v), la fonction f(x) est identique à la série de Taylor,
la somme de la série adjointe et de la part BR, etant par
Suite nulle; si au contraire T(v — @)>T(a,— a) (r=1,2,...,»), la
serie de Taylor et la serie adjointe sont toutes deux ee mais
leur somme est convergente pour tous les points au dedans du contour
de convergence, la différence entre la fonction f(x) et sa part complé-
mentaire étant finie [7'n° 34, anm.].

2° La condition (38) 2° étant remplie, la fonction f(x) est iden-
tique à la somme de la part complémentaire et des » premiers termes
de la série de Taylor et de la série adjointe, le nombre n ayant une
valeur queleonque. Done, si 4 est la plus petite valeur de » pour qui

la condition (38) 2° soit remplie, on aura les deux développements
identiques,

f= [reo am + reo 5 ane

(n—1)

su BACON > dn 2 Am, | (æ — ay” + la part complémentaire,

Du nc

(4—1)

OR zu,

(a — ay)

(29) + » pue +

|

+ la part complémentaire;
donc les coefficients des puissances (v — a} ,...,(x— &) du premier
développement doivent être identiquement nuls [T'n* 37], c'est-à-dire

(A)

(39)

14 GÖRAN DILLNER,

; : à T (A) (n—1)
identités remarquables qui expriment les dérivées f(aq),..., f(a) en
certaines séries infinies.

9. Si le point a est identique à un quelconque des points
poss, Av Soit a, le développement (27), à l’aide de (29) et (32), s’é-
crira comme il suit,

a

ma (m r1) (m,+n—1)
a) fe) = AE er eO EE deer a

i

+2) AP 4 APC 2) + AG = DEI

Qn, —1)
9*(a,) Ir (Gr) LAC
+2 Nese ay" Ga) | NT in Sa

résultat qui, pour un contour de convergence qui ne renferme aucun
autre infini que le point a,, est identique au développement (9).

Remarque. L'dentité (27) comprend aussi le cas que les infinis
uniformes de la fonction f(z) soient d'ordre infini ou essentiels. Ainsi,
en supposant f(z) = q(z)e"?, les fonctions gle) et x (z) ayant des infinis
uniformes d'ordre fini au dedans du contour C, la formule (27) s'appli-

quera, pour les infinis de y(z), au devéloppement f(z) = q(z) j1 ME SEN 2

42)?
E

correspondent à un infini de la fonction x(z) étant par suite infini.

oo | , le nombre de termes de la part complémentaire qui

10. Supposons que les points a, ,...,@ soient des points sin-
guliers, d'ordres entiers positifs ou négatifs m, ,..., m», de la fonction
JC), tous ces points situés au dedans du contour fermé C qui de plus
renferme les points a, et x; alors, en s'aidant sur la formule (3) ou

(41) mE an um

et en appliquant la formule (27) à la fonction JC , on obtiendra l'iden-

JG)

tité suivante,

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 15

FO) GNU Mm
42 SC ,
( ) f» TR r=1 © — a,
oü l'on a posé,
r-y @) pr r=v RD) 2
HOS EPÁO LM = ON __FCG)de EN
@) 5) oO e- 9E) Gay fet

EN Rd Owe ©
a | i 0) p (z— a Y" f(a) = ao)" "c 2)

et ou la condition de convergence (38) s’exprime par la formule,

(44) iol = ue = ze

| £ —— (fil

condition qui est remplie dans les deux cas suivants:

1? les quantités z et HO Jinies , Tj?—54«1 et lim n — oo
Ja) NET 0 7 === Op
— Oh
20 im! EN , e die : — 0 , pour une certaine valeur de n.
EM C ce

En multipliant l'identité (42) par la différentielle d» et intégrant
entre les limites x, et x, on obtiendra l'identité suivante [7(76)] ,

(45)

Done, sous la condition (44) 1° ou 2°, la fonction analytique f (a)
est développée en produit suivant l'identité (45) pour un contour de conver-
gence qui renferme les infinis uniformes d'ordres respectifs m, ,..., My").

1) Cfr Sur les fonctions analytiques uniformes d'une variable, par M. WEIERSTRASS.

16 GÖRAN DILLNER,

Remarque. Eu remplagant dans les identités (34) ou (40) la fonc-

tion f(x) par la dérivée logarithmique = 5 d'une fonction (x) et
A

en intégrant entre les limites x, et x, on obtiendra la fonction ®(z)

développée en produit d'une forme bien plus générale que la forme (45).

11. Les résultats obtenus ci-dessus (n° 6—10) ainsi que les
méthodes suivies pour les obtenir sont en l'essentiel les mêmes que
dans les Articles du Tidskrift cité, où j'ai établi ces résultats comme
des conséquences simples et naturelles du théorème fondamental (23).
D'un autre point de vue, la théorie d’où émanent ces résultats remonte
en effet à l'inventeur du calcul des résidus; car en observant que dans
(27) la différence entre la fonction proposée f(x) et sa part complémen-
taire (somme des résidus) est une fonction synectique pour tous les
points du contour C et de l'aire incluse, cette différence se développera
suivant la série de Taylor pour C comme contour de convergence, le
développement devant être arrêté pour la plus petite valeur 4 de m
pour qui la condition (38) est remplie.

Remarque. Suivant la méthode de M. Wermrstrass M. MITTAG-
LEFFLER a publié, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de
Stockholm pour 1877, un théorème qui a été l'objet d'un Mémoire de
M. Weierstrass [Monatsbericht, Août 1880; Bulletin des Sciences Mathé-
matiques et Astronomiques, Mars 1881] et de deux Lettres de M. Her-
mite à M. Mrrrac-Lerruer [Actes de la Société des Sciences de Helsingfors,
1881]'). Voici le contenu de ce théorème, comme l'a formulé M. WEIER-
STRASS, exprimé par mes résultats de 1871. Posons, pour d, ,..., d»
désignant des points différents,

Go MI

P= 8. T (am

f-@) =
Ha) — AP + AD (o ar... + Ada a ER GN

——f (ao)

F(a x = a fem Su (a)! s
(2) = f(x) — Lf (9) + (2 — a) f (29) + - - ihm

1) M. HERMITE a fait des considérations diverses sur le méme sujet dans son
Cours professó pendant le 2? semestre 1881—1882.

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ÅNALYTIQUE. 17

où f(x) est une fonction rationnelle de x, qui est infinie au seul point
1
a, et sannule pour «= E et ou F(x) est la somme d'un polynôme,

procédant suivant les puissances entières et positives de (v — a,), et de
la fonction f(x), et où enfin F(x) est la différence d'une fonction ana-
lytique uniforme f(x), ayant les infinis q,,..., a, et d'un polynôme
" : : ll :
semblable à celui de F(z); alors, pour lim a, = 5° c'est-à-dire pour la

(v=2)
condition (38) 2° ot » doit avoir sa plus petite valeur 4, on aura d’aprés

(34) l'identité,
F(x) = i

T

> Fa) ,

1

i bil

ou F(x) est une fonction analytique uniforme qui, au dehors du point

1 : umm. À
c devient infinie seulement aux points a,,...,a, et de plus

possède la propriété que la différence

est finie pour z=a, et s'exprime, au voisinage du point a,, par une
série procédant suivant les puissances entières et positives de (x — a,).
Ou, britvement, le théoréme en question s'exprime comme cas particulier

de l'identité (34) ou de l'identité plus générale (27) pour un contour de
convergence infiniment grand.

Cas où la fonction f(x) est paire d'ordre N.
12. Les N racines N°" de 1 étant désignées par
(46) eee mu (0 = 2 e NDS
une fonction f(x) paire d'ordre N se définit par l'identité,

(47) Fee) s GU (pedi 29050 ND X

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 GÖRAN DILLNER,
En observant que, pour x indépendant de z, on a les identités,

N—1
Mo (2 =e) = an te = | dz ed de |

z' —mc (2 — &% 2 — ty

NN „\N(n—1) qN Nn 1 dz
ee ae [220
Z
on obtiendra, d’après (25), l'identité suivante, les points z — 0, z = &x
(o=1,2,..., N) et les infinis uniformes a,,...,a, d'ordres m,...,m»

étant renfermés dans le contour de convergence C, et la fonction f(z)
étant paire d'ordre N,

za | tog e" — 2 = NF) + SL 2 JT f()dlog (2” — a) =

f) en = Je
RE = LU = ) de nn "n As gl! "s am a uu

où l'on a posé d’après (26) le reste

SVs c. sauf ta E

ce reste étant par suite nul si la condition (38) 1° ou 2° est satisfaite
2 N

en y remplaçant a, par 0 et © par & :
z 2

L'dentité (48) s'écrira de la manière suivante, pour a, = 0,

©
(50) f( il a) a E = f) dz + ap Ae f()de pe Ser = gyre) LEA

Z

z[* BA de
Zz) SS

AGED,

où l'on a posé le reste À nul sous la condition (38) 1° ou 2°, et où les
intégrales circulaires doivent être calculées suivant les formules (28),
(30) et (31). Cette formule subsiste aussi pour le cas qu'un des infinis
de la fonction f(z), par exemple a,, est nul.

Pour N — 1 la formule (50) est d'une forme identique à la for-
mule (27) pour a, = 0.

Sur LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ÅNALYTIQUE. 19

Remarque. Pour un contour de convergence qui ne renferme
aucun des infinis a, ,..., a, lidentité (50) prend la forme,

ie) = £0) + PO) + sy" UL

d’où l'on conclut que les dérivées f (0), ..., f (0), f"*(0) ,... , 277200),
.., dune fonction paire f(x) d'ordre N sont nulles.

Détermination des ordres des points singuliers dune classe étendue
dinversions. ‘Transformation.

13. Posons le produit de m facteurs linéaires,
(51) PAGE) (a en),

et l'intégrale définie,

(52) u= | —_,
» To AE
'
pour » ayant une valeur positive ou négative quelconque; alors il sagit
de déterminer l'ordre des points singuliers de l'nversion générale,

(53) 2 = J(u) ,
ayant la valeur constante x, = J(0) et la dérivée

(54) os — Ji) = Boy = POI

L’inversion J(u) est de plus, pour z, — e,(r— 1,2,...,m), une
fonction paire d'odre n, n étant un entier positif ').

1) Voir mon Mémoire, Aperçu d’une Nouvelle manière de représenter les inver-
sions des intégrales hyperelliptiques, inseré dans les Mémoires de la Société des
Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. V (2° Série) 3° cahier, Mémoire
que je désignerai par la lettre A dans les citations.

GÖRAN DILLNER,

20
1° Ordre des zéros de l'inversion J(u).

14. Soit a un zéro de linversion J(u); alors l'ordre de ce zéro

se déterminera d'aprés (3) et (54) par la formule,

(55)
Done l'ordre de tout zéro de l'inversion J(u) est 1.
2° Ordre des infimis de l'inversion J(u).

15 Soit 6 un infini de l'inversion J(u); alors, puisque la dérivée
u , on obtiendra,

logarithmique er prend la forme indéterminée =
J(w _"PIM+C=)IW _1, Tun y.
RS ae J (u) T + | (u ) J(u) ,

mais en prenant la dérivée logarithmique de la dérivée J(u) d'après

(54) on aura,

Jm 1 J(u) J(u) =
Fo) pel o 2 pee I) = d |
nial J (u) J (u) J(u)
BO Joie I c | T(u)
et par conséquent,
D y J^ om EU vA)
| (u — 0) WGN mm | (v — 5) Je
' done en mettant,
(56) Misi E
Tq — N

on obtiendra enfin,

u=b MEN J(u) AE
| (u erm =—M,

(57)

c'est-à-dire que l'ordre de tout infini de Vinversion J(u) est M.

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 21

Remarque. C’est seulement pour » positif et mn quil y a des
infinis ordinaires de linversion J(u); pour tout autre cas l'infini b est
essentiel.

3° Ordre des zeros de la fonction (J(u) — e] .

P(x) = (© —e,) Q(z) , la dérivée logarithmique de la fonction (J(w) — ej]
prend la forme,

16. Soit e un zéro de la fonction [J(u) — e; alors, en mettant

TOL Oe:

JODIE TN
( ) s (æ = e.) n
et, par suite, l’ordre des zéros de la fonction (J(u) — e,) se déterminera
par la formule,

en Te e m GE = 1

Donc, l’ordre de tout zéro de la fonction |J(w) — e,) est —= :
NM

Remarque. (C'est seulement pour » = 2 que l'ordre des zéros de
la fonction {J(u) — ej] est entier c'est-à-dire que le point c est un point
régulier de linversion J(u); en tout autre cas le point c est un point
ou multiforme ou essentiel (x = 1) de la inversion J(u).

4* Transformation de l'intégrale (52).

17. Désignons par C une constante qui sera convenablement
déterminée, et posons, pour M positif, l'equation [A(10)],

= oc
ensuite, posons le produit
2 DO-AH+EEN...A+ EES ,

où les m valeurs £,,..., E, sont données par la formule,

(61) B= (v= 1,2,..-,m),

3*

22 GÖRAN DILLNER, SUR LE DEVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ÅNALYTIQUE.

la valeur H, étant par suite nulle; alors l'intégrale (52) se transformera
dans la forme suivante,

(62) ES (= cu MIR x FRE ^
Pa y & PE

où les limites inférieures z, et $, doivent satisfaire à l'équation (59), et
où les zéros de la fonction (2 — e,) sont les infinis de la fonction & et
reciproquement.

Comme cas particulier je remarquerai que la formule (62) trans-
forme l'intégrale elliptique de la forme [n 22 ,m — 4] à la forme
[n — 2 , m = 3] et depuis de cette dernière forme à la forme ordinaire; en-
suite que l'inversion de l'intégrale elliptique de cette première et troisième
forme, d'aprés (55) et (57), a tous ses zéros et tous ses infinis simples,
et que linversion de l'intégrale elliptique de cette deuxiéme forme a tous
ses zéros simples mais tous ses infinis doubles; et enfin que chaque
facteur linéaire du produit /(x) on du produit P(5), d’après (58), a tous
ses zéros doubles.

Je continuirai ce Mémoire une autre fois en appliquant la théorie
précédente aux fonctions simplement et doublement périodiques *). De-
puis j'aborderai la question plus difficile de développer une fonction
analytique pour un contour de convergence qui renferme des points sin-
guliers purs d'ordres fractionaires.

1) Dans les Articles du Tidskrift cité j'ai appliqué cette théorie à des
diverses fonctions simplement périodiques. en faisant usage des deux conditions de
convergence (44) 1° et 2° et des formules (39) pour la condition (44) 2°.

OBSERVATIONES PHYCOLOGICAE

AUCTORE

J. E. ARESCHOUG

BOT. PROF. EMERIT.

PARTICULA QUINTA

DE LAMINARIACEIS NONNULLIS (CONTINUATIO).

(REGIÆ SOCIETATI SCIENTIAR. UPSAL. TRADITA DIE XV FEBRUAR. MDCCCLXXXIV).

UPSALIA,
EXCUDIT ED. BERLING REG. ACAD. TYPOGRAPHUS
MDCCCLXXXIV.

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IX. EGREGIA Aresch.

Radix primo scutata, denique fibrosa. Truncus basi teres, ramosus,
mox in ramos elongatos, planos, fasciæformes, sublineares abiens; api-
ces ramorum sæpe coloris letioris, plerumque dilatati et utroque latere
plicati, plicis longitudinalibus. Folia in marginibus ramorum fasciæ-
formium utrinque secus totam longitudinem dense approximata, duplicis
generis: nune plana, simplicia, normaliter spathulata, nune capillacea,
ramosa, ramis sparsis. Vesiculæ inter folia ovate vel oblongæ, breviter
pedicellatæ et in apice folio plerumque coronate. Receptacula fructus
minuta, oblonga vel cuneata, longitudinaliter irregulariter jugata inter folia
plana, horum transformatione exorta. Sporangia unilocularia, cum pa-
ranematibus unicellularibus inter juga receptaculorum collocata.

Ex omnibus Laminariacearum generibus, morphologicam evolutionem si
respicis, hoc, ut nobis videtur, primum tenet locum. Organa adsunt vere discreta,
axilia et appendieularia, seu caulis et folia; hae tempore quodam ab illo dejieiuntur
et reereantur alio. Folia plana pro parte transmutantur in receptacula fructus, que
ab immutatis celantur. Duplex videtur horum functio, plantæ nutricatio et fructifica-
tionis proereatio. Foliis contra, que capillacea diximus, solis injuncta esse videtur
plantze nutrieatio eo tempore, quo delapsa sunt folia plana.

1. EGREGIA MENZIESII (Turn. Aresch.

Syn. Fucus Menziesii Turn. Hist. Fuc. p. 57 tab. 27.
Macrocystis Menziesii J. Ag. Sp. I. p. 49.
Phyllospora Menziesii Ag. Rev. Macroc. p. 33, Rupr. Mém. de l’Ac. de S:t Pe-
tersb. se. nat. tom. VII p. 70 tab. VI.

In mari pacifico ad oras Californie, ut videtur haud rara species:

D:r G. Eisen.

4 J. E. ARESCHOUG,

Ut alge in genere, ita et hee species magnopere multiformis est, quare
nonnullas ejus formas afferre volumus.

Specimen juvenile, 28 cm. circiter longum: Radix seutata, tenuis, e margine
radiculas ramosas demittens. Caulis basi simplex et teres, unciam supra radicem
distiche ramosus, eum ramis basi quoque teretibus, sursum faseiæformiter expansis.
Folia omnia plana, in marginibus quum caulis primarii, tum ramorum longitudinali-
ter dense approximata, petiolata; lamina subovata vel obovata, 1 !/, cm. longa.

Ramus longioris speciminis, mormalis: Longitudo 136 em. Caulis portans
3—4 ramos fasciæformes, basi teretes, apicem versus dilatatos et longitudina-
liter plieatos; caulis dein compressus et 5—6 mm. latus in statu exsiccato,
utrinque seeus utrumque marginem foliis spathulatis, usque 10—15 cm. longis et
8—15 mm. latis obsessus. Vesiculæ inter folia breviter pedicellatæ, singulo folio
plerumque coronatæ; apex caulis dilatatus, coloris lætioris et utroque latere longi-
tudinaliter plieatus, plicis subsimplicibus. Hee forma fructificat sine dubio au-
tumnali tempore, quum cireumvagantur ad oras Californieas fragmenta receptaculis
fructus large onusta.

Sporophylla, ut diximus, inter folia plana et cum iis e marginibus ramo-
rum egredientia, usque 1 em. longa et 2—3 mm. lata, compressa, linearia vel in basin
cuneatim attenuata, apice rotundata, nuda vel parte suprema folii transformati
coronata, utroque latere jugata; juga longitudinalia, longiora vel breviora, reeta vel
leniter curvata, plus minus numerosa, dissita vel approximata. Stratum fructiferum
inter juga, e sporangiis et paranematibus, ut in Laminariis, constructum.

Specimen maximum, 3 metra longum, foliis capillaceis: Caulis basi ramosus,
ramis basi subteretibus, mox planis, 5 mm. latis et simplicibus, utrinque per totam
longitudinem margine folia capillacea, que sterilia sunt nec ullam fructificatio-
nem procreare posse videntur, et vesiculas portantes. Hane formam ab auctoribus
numquam descriptam invenimus. Observare debemus folia plana et eapillacea in uno
eodemque specimine adesse; quum vero unum alterumve genus emoriens est, plerum-
que sunt folia plana. Planorum foliorum physiologiea functio est, ut nobis videtur,
duplex: plantz nutricatio et fructifivationis evolutio. Folia eapillacea ramosa, teretia,
basi seta porcina non multo erassiora, ramis sparsis et longe distantibus, apicem
versus paullulum attenuata, usque 11 em. longa, e tribus cellularum stratis, corticali,
intermedio et centrali, construeta. Morphologiea eorum evolutio ab evolutione folio-
rum planorum vix nisi forma differre videtur, unde conjicere liceat, hee eo tempore,
quo illa desiderantur, inserviri nutrieationi. Hæc duo foliorum genera diversis anni
temporibus maximam suam attingere evolutionem, dubitari non potest; quo autem
tempore illud, quo hoc, dicere non possumus. Si vero Egregia, ut apud nos Halicoc-
cus nodosus, hieme fructificat, folia plana sunt certissime hiemalia, et folia capillacea
sstivalia. Folium vesicularum apicale normaliter est ejusdem forme, ac sunt folia
ramorum; est igitur nune planum, ut describitur ab auctoribus, nunc capillaceum.

OBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 5

X. NEREOCYSTIS Post. & hupr.

Radix ramosa. Truncus simplex, teres, a basi æqualiter filiformis, ad .

altitudinem 12,22 m. diametro vix 75 cm. æquans, inde in siphonem abiens
1,32 m. longum, siccatum compressum et utroque latere 14 cm. latum, apice
vesieulam portans ovalem, 5 em. longam, ab siphone constrictam; quo su-
perius, eo magis fistulosus vel cavus. Tota trunci pars salva 14,09 m. longa.
In inferiore et tenuiore trunci parte medulla in sectione transversali ellip-
tiea, canalibus circumdata, et orbis irregularis lacunarum muciferarum intra
interiorem corticem. In apice trunci jam in infantia evoluta est vesicula,
quam memoravimus, portans apice folium, dein divisum in dua, unum
ad dextram, alterum ad sinistram; quorum wiriusque iterata divisione
denique fasciculus foliorum formatur, unus ad sinistam, alter ad dextram,
parvo loco inter utrumque vacuo relicto. Folia numerosissima, sepe in
una vesicula 50 et plura, ab undis et ventis magnopere intorta, sec. auc-
tores usque 8 metra et ultra longa, 4—6 cm. lata, margine integerrima,
breviter petiolata; petiolus in sectione transversali orbem lacunarum in
cortice eleganter ostendens. Sporangia cum paranematibus sublongioribus,

tenuissimis apiceque subcapitatis in utroque latere folii stratum fructi-

ferum formantia, utrinque a margine foli parum distans.

1. NEREOCYSTIS LUTKEANA (Mert..fil) Rupr.

Syn. Fucus Lütkeanus Mert. fil. in Linnea 1829 p. 48.
Nereocystis Lütkeana Post. et Rupr. Illustr. Alg. p. 9 tab. VIII & IX, J. Ag.
Spec. I p. 149. Aresch. Bot. Not. 1876 p. 70.

A Santa Cruz et San Francisco per totam oram Californie usque
in Norfolk Sound et Sitcham Americae borealis.

Quamquam Nereocystis est e maximis algis, est tamen annua, vere emer-
gens, autumno emoriens, ut hieme vix ejus restet fragmentum. Vere autem
appropinquante ad oras Californicas, Sitcham et alias insulas maris occidentalis
Ameriez septentrionalis magna exstat individuorum minorum cohors, diverse mag-
nitudiuis, sed omnia pygmæa. Ex quibus hie nonnullas formas memorare liceat, ut
natura plantæ melius elucescat:

6 J. E. ÅRESCHOUG,

Specimen 1. Stipes 1!/, em. longus, filiformis; folium 12 em. longum, 3 em.
latum, ovali-oblom&um, non fissum; vesieula nulla.

Specimen 2. Stipes filiformis, 15 cm. longus, 1 mm. latus; duo folia libera,
bipartita, 22 cm. longa et fere 2 cm. lata; vesicula sphærica, 66 mm. diametro
æquans.

Specimen 3. Stipes paullo crassior quam præcedentium, 27 cm. longus; vesicula
3 em. longa et 2!/, em. lata; folia 9, partita, plurima 35—40 em. longa et 2—3
lata, quum dividuntur. Partitio foliorum fit in his formis eo modo, ut forme-
tur in basi folii una rima adscendens aliaque in medio folio, quæ deinde con-
fluunt, quum utrumque folium fit liberum. Orbis lacunarum mueiferarum in
sectione transversali trunci et nonnulli canales mueiferi in medulla a nobis
apud hoe specimen inventi sunt.

XL PELAGOPHYCUS areseh.

Radix ramosa (?). Truncus longissimus, in aqua teres, siceus com-
pressus, basi attenuatus et farctus, subfiliformis in altitudinem 2,36 m.,
dein per 23 cm. spatium cavus et desinens in vesiculam ovalem, 6 cm.
longam et 3 em. latam, in infima parte orbe lacunarum muciferarum or-
natus; medulla per totum truncum in sectione transversali rotunda vel
elliptica, canilibus muciferis circumdata. Vesicula in trunci apice posita,
in apicis centro quattuor folia gigantea, petiolata margineque ciliata
portans. Petioli in sectione transversali orbem lacunarum ostendentes,
compressi et farcti. Sporangia inæqualia, majora et minora, eum parane-
matibus fasciam 8 em. latam fructiferam in foliis formantia.

1. PELAGOPHYOUS GIGANTEUS Aresch.

2

Syn. Nereocystis gigantea Aresch. Bot. Not. 1876 p. 71.
Pelagophycus giganteus Aresch. |. c. 1881 p. 49.

In mari australi prope Santa Catilina: D:r G. Eisen, et in vicinia
Santa Cruz: D:r C. L. ANDERSON.

Unum tantum possidemus specimen giganteum. Superior, que adest trunci pars,
2,65 m. circiter longa,. angustior quam truncus Nercocystidis. Petiolus communis com-
presso-planus in apice vesiculæ, 1 cm. latus, firmus et validus, 2'/, em. supra api-
cem vesicule furcatus; rami fureæ usque 20 em. longi denique fureantur, quo exi-
stunt quattuor furcarum rami, qui denique in apieibus explieant singula folia et

ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 7
petioli sunt. Hi petioli seu seeundæ fure: rami usque 25 em. longi et sicei plani.
Folia basi breviter attenuata, margine ciliata ut Macrocystidis pyrifere, in nostro
specimine 35—37 em. lata et 5—6 metra longa; forsan in natura longiora, quoniam
in nostro specimine foliorum pars suprema abest (forsan !/, longitudinis folii).

XII. EISENTA Aresch.

Radix ramosa, rami apicibus ramosissimo-fasciculati, intus orbem
lacunarum muciferarum ostendentes. "Truncus intus orbe lacunarum per
totam longitudinem ornatus, inferne normaliter teres, superne com-
pressus et furcatus; medulla basi in sectione transversali linearis, utrin-
que extremitatibus rotundatis vel subclavatis. Furce rami complanato-
compresse, utraque in laminam parvam, subreniformem, apice denique
dilatatam abiens. Folia utrinque a basi in apicem e marginibus laminarum
libere evoluta (nec fissilia), linearia. Sporangia unilocularia cum pa-
ranematibus unicellularibus in parte inferiore foliorum.

Habitum plantz si respieimus, eam a genere Postelsia Rupr. non multum
distare facile crederes; sunt tamen differentiæ, quum anatomicæ, tum morpholo-
gicæ, tam insignes, ut præstantioribus ad genus condendum non opus sit. Ex his
differentiis insigniores sunt: truncus firmus, solidus, in sectione transversali orbem
laeunarum muciferarum ostendens, superne fureatus; in Postelsia hee omnia sunt
contraria. Folia non multiplieantur in nostra planta, ut in illa, divisione mediana
a basi in apieem adscendente, sed in laminarum marginibus utrinque nova libere
pronaseuntur a basi in apicem, quo fit, ut in laminarum apice posita sunt duo folia
natu maxima, alterum e sinistra, alterum e dextra ortum. Dum numerus folio-
rum hoe modo augetur, laminæ foliiferæ in latitudinem sensim expanduntur, quo
plus minus irregulariter undulato-plicatæ evadunt.

1. EISENIA ARBOREA Aresch. Bot. Not. 1878 p. 69.

Cum Egregia in sinu prope San Francisco: D:r G. Eisen, et ad
Santa Cruz in California: D:r C. L. ANDERSON.

Complexus radiealis validus, constans e ramis ex infima trunci parte egre-
dientibus, subsuperimpositis; apices ramorum ramosissimi, ramis ramulisque intri-
eatis in glomerulos densissimos, lateribus inferioribus arcte adnatis. Truncus
normaliter numquam, quantum vidimus, cavus seu fistulosus, siceus tamen inferne

8 J. E. ARESCHOUG,

nune teres, nune compressus (in mari, ut credimus, semper teres), superne vero com-
pressus et apice furcatus, basi 11/, em. latus; longitudo inter radices et furcam
28 cm. Orbis lacunarum muciferarum fere in media distantia inter corticem et
medullam positus; lacunæ in sectione transversali trunci ellipticæ, in longitudinali
oblongæ et, nisi fallimur, sæpe confluentes; medulla quo in trunco superior, eo etiam
tenuior, ut sæpissime esse solet. Furee rami compressæ, lineares, usque 20 em.
longæ, 1!/,—2 em. late, margine exteriore inerassato, interiore subaeuto; me-
dulla in ramis subfiliformis, in sectione transversali in margine incrassato clavata,
in” margine acuto quasi abscissa; series laeunarum utrinque medullam sequentes.
Hoe nobis demonstrare videtur, furcam exstitisse apicis trunci logitudinali divisione in
duas partes dimidiatas (ramos furez). Folia in natura certe usque 75 em. longa
et 4—5 cm. lata, in basin attenuata, linearia, margine serrata, serraturis latis por-
rectis, simplicibus vel raro subincisis, foliis Macrocystidum simillima, longitudinaliter
plieata.

*

XIII. LESSONIA Bory.

Callus radicalis vel radix ramosa. "Truncus inferne subteres, mox
complanatus, superne planus, dichotomiter ramosus, ramuli ultimi foliis
geminatis, fissura adscendente foli simplicis exortis, terminati. Vesiculæ
nulle. Sporangia cum paranematibus dense stipatis in media lamina
maculas indeterminate magnitudinis formantia.

1. LESSONIA NIGRESCENS Bory.

Callus radicalis, neque radix fibrosa vel ramosa, siecus duris-
simus, rotundatus et diametro 10 cm. æquans, plures emittens trun-
cos majores, quorum maximum a nobis visum tantummodo hie memorare
volumus. Hie, foliis apicalibus adnumeratis, est 1,45 m. longus; rami
ultimi et complanati foliis sublanceolatis, rima longitudinali adscendente
denique duplicatis terminati; sed in nostro specimine duplicis generis
observantur folia: 1) presentis nempe anni folia seu ejus anni, quo
lecta fuit planta, seu nova folia, colore fusco, quam sequentia tenuiora,
sed suberassa margineque calloso-glandulosa, 12—16 cm. longa et 1 '/,
—2 cm. lata, et 2) preteriti anni seu vetera folia, que apicibus
illorum insident, fere coriacea, nigrescentia vel potius nigra margineque
fere integra, a novis foliis protrusa et denique, fructificatione evoluta
et dispersa, abjecta.

ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 9

Syn. Lessonia nigrescens Bory in Dup. Voy. Bot. Crypt. p. 8 tab. 5, Post. et Rupr.
Illustr. Alg. p. 2—4, tab. 4 et 39 f. 11 et 13, Hook. fil. Cryptog. antarct.
p. 152 tab. 167 et 168, J. Ag. Sp. 1 p. 151.

Ad Hermite Island aliasque insulas prope Cap Horn abundans, et
in mari pacifico ad oram chilensem.

Quum nostrum specimen non rite evolutum sit, neque nova folia explieata,
nec fruetifieatio in veteribus foliis formata, lectores rogatos volumus, ut auctores ci-
tatos consulant.

Adesse in hae Lessonia veram defoliationem veramque foliationem, ut in
Laminariaceis, quis est, qui dubitare possit? Folium præteriti anni in apice folii
novi anni est idem, quod vetus lamina in apice nove lamine (Hafgygie Cloustoni
ex. gr.). Restat autem demonstrare idem phænomenon et in sequente specie exsi-
stere, quod mox periclitabimur.

Lessonia Suhrii J. Ag. Spec. 1 p. 150, quam sæpe ex ora chilensi accepimus,
Lessonie nigrescenti valde est affinis, ut speciem certis characteribus cireumscribere
nondum valuimus. Forme Lessonie nigrescentis sunt innumeræ, quare multæ spe-
cies descriptæ sunt.

2. LESSONIA FUSCESCENS Bory.

Truncus inferne compressus et hic saspe femoris humani cras-
sitiel, 2—3 metra longus, apice pluries dichotomiter ramosus, ramulis.
pendulis; radices e basi exeuntes brevissime, crasse, ramosæ et fasti-
glate, scopulo arctissime adherentes et truncum dirigentes; in sectione
basal transversali medulla oblonga, quo altius in trunco eo tenuior et eo
plures annulos ostendens. Folia 50 cm. vel ultra longa et 5 cm. lata,
coloris letioris, sicca fere chartacea, linearia apicemque versus an-
gustiora, margine, ut etiam fissurarum marginibus, dentibus validis (de-
nique plus minus evanidis vel obsoletis) armata.

Syn, Lessonia Juscescens Bory in Dup. Voy. 1. c. p. 75 tab. 2 et 3, Hook. fil. Crypt.
antarct. p. 151 tab. 167, 168 A et 171 D, J. Ag. Spec. 1. p. 151.

In oceano pacifieo ad oram chilensem, in mari australi ad Cap
Horn, insulas Maluinas et terram Kerguelen. Planta fere arborescens
format silvas submarinas, quarum folia sub maris recessu in superficie
maris natant et accedente mari denuo teguntur.

Neque hujus nec precedentis fruetifieatio adest in nostris specimini-
bus, quare verba cel. HOOKERI in Flora antarct. p. 151 afferenda sunt: »The

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 J. E. ÅRESCHOUG,

fructification of the species of Lessonia occurs, as in Macrocystis, upon the surface
of the fronds and there forms large patches. In the present species the sori are
situated beyond the middle of the leaf, they are oblong and nearly as broad as the
lamina, of which they carry away the upper part when decaying, causing theirs
broad apices to be two-horned. In none of ours specimens is the point perfect,
all the spores we have seen being situated on the edges of the sorus, which has it-
self fallen away from the frond». — Folia, de quibus hic queeritur, duplicis sunt generis,
nempe 1) folia proxime præteriti anni, quæ jam dejecta erant eum fructificatione,
quam prodaxerant, et 2) folia sequentis anni, bicornia, que illa in apieibus pro
more portaverant usque in maturitatem et occasum. Defoliationem et foliationem
in utraque specie eodem modo fiere, omnibus facile patere credimus. i

3. LESSONIA LAMINARLÆOIDES Post. & Rupr.

Radix distincte ramosa, rami ramulosi, ramuli haustoriis donati.
Truneus inferne teres, subsimplex, usque 2,5 cm. longus et 3—4 mm. crassus,
mox superne quater et quinquies dichotomus, ad dichotomias ultimas
semilineam circiter latus, cortice fusco vestitus, sed lacunis annulisque
carens. Medulla in sectione basali oblonga et utrinque acutiuscula. Fo-
lia (sieca) chartacea, margine integerrima, fuscescentia, lineari-oblonga,
usque 60 cm. longa et 7—10 cm. lata, majora minorave et apice
plerumque fragmentum folii preteriti anni portantia. Sporangia et para-
nemata in media lamina et in utroque latere maculas elongatas, coloris
obseurioris formantia.

Syn. Lessonia laminarieoides Post. et Rupr. Illustr. Alg. pag. 9 tab. XXXVII, fig. e
(sec. J. Ag. Spec. 1 p. 152), Kütz. Spec. p. 582, Rupr. Alsæ Ochotenses
(Lessonia laminarieformis) $ 29 p. 157.

Crescit frequenter in mari Ochotensi, ut testatur larga inde a museo
Petropolitano aecepta collectio.

Hee species forme teuuiori Laminarie saccharine tam est similis, ut utraque
facile confundi possit, sed truncus quater vel quinquies dichotomus foliaque geminata,
fissura adscendente orta, magnam offerunt differentiam. Est itaque vera Lessonia!
Sporangia et paranemata hujus speciei sunt illis Laminariacearum in genere simil-
lima, sed in Laminariaceis, que e longinquo adportantur et aqua dulei lavatæ sunt,
horum organorum formam non facile est rite determinare.

Lessonia nigrescens, L. Suhrii earumque forme habent omnes, quantum nos
quidem experti sumus, callum radicalem magnum et (in sicco) durissimum; Les-
sonia fuscescens vero et L. laminarieoides radices distinctas. Illæ habent folia
crassa, subeoriacea; hie folia subchartacea. Lessonia ovata Hook., L. fuscescenti
sine dubitatione proxima, nobis videtur incerta species.

ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 11

XIV. PTERYGOPHORA Rupr.

Stipes simplex, superne anceps et distiche pinnatus, apice in folium
obscure costatum abiens. Annuli concentrici stipitis plures. Mycocælia
(lacunæ muciferæ) ad peripheriam internam annuli intimi collocata, inter-
dum biseriata (sec. Rupr.).

Jam hoe loco animadvertere liceat, mycoccelia seu lacunas muciferas, quas
memoravit RUPRECHT loco infra cit. et figuravit tab. VIII b. e. d., nos numquam dete-
gere potuisse, quamquam specimina quum majora, tum minora nobis haud defuerunt.
Plures quidem annulos trunci ostenderunt in sectione tranversali, sed numerum et
naturam eorum definire nobis visum est difficile.

1. PTERYGOPHORA CALIFORNICA Rupr.

Radix evoluta, crassa, ramosissima, ramis fere radialiter ordinatis,
haustoria valida portantibus, cortice deciduo crasso obtectis intusque in
centro materie aquosa repletis. Truncus 30 cm. longus, vix 1 cm. cras-
sus, subteres, superne compressus, totus farctus et siccus durissimus, in
sectione transversali prope basin nullum orbem lacunarum muciferarum
nobis ostendens, sed plures annulos, indeterminatos tamen et, ut nobis vi-
detur, fugaces; medulla linearis in sectione transversali, quo superior in
trunco locata, eo angustior. Folium imparipinnatum, impari pinna fascia
mediana obseura longitudinali ornata, basi utrinque margine rudimenta
novarum pinnarum directione acropetali evolvens. Pinne omnes in basin
longe attenuatæ, lineares, integerrima, usque metrum longe et 6—7 cm.
late. Fructiticationis nullum vidimus vestigium.

Syn. Pterygophora californica Rupr. Neue oder unvollst. bek. Pflanz. aus d. nórdl. Theile
des Stillen Oceans p. (73) 17, tab. V et VIII.

E Vera Cruz Californie misit D:r C. L. ANDERSON. Crescit quo-
que ad San Francisco.

In speciminibus junioribus, ab Academia Petropolitana communicatis et a
RuPRECHT diffuse |. c. deseriptis, radix fasciculata, deorsum radices et sursum turi-
ones seu truneos emittens; trunci ima basi teretes, superne compressi seu compla-
nati, usque 20 em. longi et 2—5 mm. lati; folium simplex, oblongum, usque 35 em.
longum et 6—' em. latum, utrinque acuminatum, integerrimum et fascia mediana
notatum. Gregarie crescit, ut apud nos vere Laminarie saccharine juniora speci-
mina in lapidibus paullulum infra superficiem aque, nomine L. phyllitidis male salu-
tata, mox emorientia.

12 J. E. ARESCHOUG,

Ut in speciminibus Alari@ esculente infra sporophylla anni præsentis ssepe
observantur cicatrices sporophyllorum preeteriti anni, ita inveniuntur quoque in hae
planta infra pinnas hujus anni cicatrices verruceformes pinnarum preteriti seu ante-
cedentis anni, ex quo utriusque generis affinitas augurari liceat.

Quum cel. J. AGARDH in Societate Physiographica Lundensi (Bot. Not. 1883
p. 108) specimina protulit, quae demonstrarent Laminariam japonicam Aresch. longe
alius plantæ esse folium, leetores rogatos volumus, ut conferant, quod de hac planta
diximus et quod de eadem, scilicet Laminaria japonica Aresch., seripsit cel. SURIN-
GAR (Alg. Jap. p. 24).

XV. ECKLONIA Hornem.

Radix ramosa, ramis in sectione transversali orbem lacunarum in
cortice vel in centro lacunas muciferas sparsas ostendentibus. Truncus
simplex, elongatus, solidus vel cavus, orbe lacunarum intra corticem inte-
riorem ornatus. Folium pinnatifidum, ecostatum, pinnis ad laminam me-
dianam, apicis dissolutione sensim breviorem et denique emorientem,
pinnatim dispositis, e basi lamine medianæ evolutis et denique basin
versus emorientibus. Sporangia et paranemata strata fructificantia in in-
ferioribus pinnarum partibus formantia. |

Ut Laminariaceæ in genere, ita quoque species hujus generis ut folia parva,
stipitata et simplicia oriuntur; in prima infantia lamina omnino integra est et ellip-
tica vel oblonga, mox vero in margine crenata evadit et sensim bæ crenulæ in
pinnas evolvuntur, quo exstat planta 20 cm. longa et 6 cm. lata, membranacea,
duas in apiee portans pinnas jam tabescentes et quattuor ad utrumque marginem,
10 em. longas et 2 !/, em. latas.

Planta quamdiu vivit, novas evolvit utrinque in basi laminæ medianæ pin-
nas; quo inferiores, eo juniores, quo superiores, eo adultiores, quoniam aeropeta-
liter, ut diximus, evolvuntur. Quum lamina mediana, tum pinnz laterales apicibus
Sensim dissolvuntur et denique abjiciuntur in ordine basin versus; quo factum est,
ut specimina (Æckloniæ buccinalis ex. gr.) non raro inveniantur, in quibus lamina
mediana vix pollieem longa est et foliorum seu pinnarum numerus vix 2—3.

1. ECKLONIA RADIATA (Turn.) J. Ag.

Truncus teres, interdum paullulum compressus, subæqualis, so-
lidus seu farctus, 8 usque 50 cm. longus, (siccus) vix 1 cm. cras-
sior, intra corticem orbe lacunarum muciferarum ornatus; medulla in
sectione transversali elliptica, adolescens major, adultior minor, in
basim acutam laminæ medianæ foli evanescens. Lamina foli usque 8
em. longa apiceque dissoluta seu detersa; lamina mediana in media parte
(in sicco) 7—8 cm. lata, basi et apicem versus paullulum angustata;

ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA. 5

pinne densissimæ, lineares, apicem versus latiores, superiores longiores,
ile 15—20 cm., he usque 55 cm. longe et 2—3 cm. late, omnes in
superficie plicis longitudinalibus notatæ margineque spinis triangularibus
rectilineis vel hamatis armate. Sporangia et paranemata in inferiore
parte folii strata fructificantia formantia, sicca nigrescenti-pulveracea.
Patria hujus speciei late patens; accepimus ejus specimina ex ora
australi Nov» Hollandiæ, e Nova Zelandia, Japonia et California.

Specimen supra descriptum est maxime evolutum, quod cum multis aliis ex
Australia aecepimus, et ut hujus formas habemus, cum beat. HARVEY, Eckl. radiatam
J. Ag. Spec. 1 p. 146, Eckl. exasperatam Turn., J. Ag. l. c. p. 146, Eckl. Richardi-
anam J..Ag. 1. e. p. 147 et Eckl. flagelliformem Ach. Rich., J. Ag. l. e. p. 147.

Ad formam, quam supra descripsimus, pertinent Ecklonie Richardiane innu-
mere forme trunco longiore et sicco plerumque compresso, lateribus lævibus nee
plicatis. Fucus radiatus Turn. Hist. n. 154, tab. 154 abnormis est planta, non
digna, qu species habeatur, ut jam antea diximus. De Eckl!. exasperata (Turn.) J.
Ag. jam antea nostram diximus opinionem (Phyceæ wove et minus cognite p. 31);
vix ullo alio charactere, quam lateribus, ab EP. radiata diversa. Stipes, ut in affinibus,
ita et in hae longitudine varians; nune 3-pollicaris, nune usque 15-pollicaris, modo
teres, modo complanatus et tunc subfistulosus, i. e. intus substantie minus solide
seu compacte.

2. ECKLONIA BUCCINALIS (L.) Hornem.

Radix ramosissima, magna; rami in sectione transversali centro
molliore et sparsis lacunis muciferis ornati. "Truncus longissimus, basi
angustissimus, teres et farctus seu solidus usque in 15 centimetrorum
altitudinem ibidemque orbem lacunarum muciferarum et minutarum, nec
non medullam in sectione transversali sphæricam ostendens, dein quo
altius eo cavior, per totam longitudinem a parte farcta inferiore in apicem
clavatum; totus truncus 2,38 m. longitudinem sspe attingens. Folium gi-
ganteum, pinnatum; lamina mediana restans ad 11 cm. longa et 7 cm. lata,
magnopere coriacea, apice deterso ipsaque constrictione a cavitate
trunci seclusa. Pinnæ usque 1,31 m. et ultra longiores, 7 '/—10 cm.
late, lineares, utrinque attenuate, nigrescenti-nitentes, lævissimæ margi-
neque calloso-glandulose. Sporangia et paranemata formantia maculas
ferrugineas in lamina fructificante.

Syn. Fucus buccinalis Linn. Mant. altera p. 312, Turn. Hist. t. 139.
Laminaria buccinalis Lam. Ess. Ag. Spec. p. 144, Syst. p. 270.
Ecklonia buccinalis Hornem. i Dansk Vidensk. Selsk. Handl. J. Ag. Spec. 1
p. 147.

14 J. E. ARESCHOUG,

Mare capense est hujus plante dilecta patria et jam Linnaus l. c.
adnotat: in oceano Capitis bone spei lapidibus profundissimis innata, inde
sepe evulsa natat et ad littora ejicitur. Sec. J. AGARDH occurrit quoque
ad Tristan d'Acunha, Maluinas et oram chilensem, ex quibus locis nulla
accepimus specimina.

Ut hujus plantz natura eo melius eluceat, nonnullas ejus evolutionis formas
memorare juvat: Minimum, quod possidemus, specimen habet truncum vix em. longum
et 1 mm. erassum, laminam 1'/, cm. longam, coriaceam, nigrescentem nec mem-
branaceam.

Specimen simplex: radix fasciculus pollicaris; stipes 7 em. longus, teres;
lamina simplicissima, 44 cm. longa et 4'/, em. lata; nulla pinnularum primordia.

Specimen magis evolutum: radix ramosa, rigida; truncus basi erassior,
superne complanatus, farctus, 14 cm. altus; lamina mediana 27 em. longa, apice
3!/, basique 1'/, em. lata; in utroque margine lamin median: fere 8 folia et
plura primordia pinnularum novarum in marginibus baseos laminæ.

Specimen evolutum et normale: radix vulgaris, magna; truneus æqualiter
attenuatus, eavus fere per totam longitudinem, ima basi tantum excepta, 50 em. lon-
gus et 3—4 em. (in sicco) compressus; lamina mediana 14 cm. longa, usque in con-
strietionem, de quo supra locuti sumus; pinnæ 8--9 in utroque margine laminæ
medianæ.

.

XVI ARTHROTHAMNUS Rupr.

Truncus complanatus, decumbens et numerosis bifurcationibus di-
visus, deorsum radices, intus in sectione tranversali orbem lacunarum
in cortice ostendentes, sursum folia emittens; medulla in sectione trans-
versali linearis, fusca. Rami trunci adscendentes, complanati, apice nor-
maliter in bina folia abeuntes, petiolo tenuiore et auriculis cochleatis
limitata; radices prope basin fasciculatim excrescentes. Folia pluri-
pedalia, sed raro pollice latiora et apice longe attenuata, in sectione
transversal lacunas muciferas prope corticem utrinque non raro osten-
dentia. Paranemata et sporangia per utrumque folii latus in acervos col-
lecta, minuta.

Syn. Fucus bifidus Gmel. Hist. Fucor. p. 201, t. 29 f. 2.
Laminaria bifida Ag. Sp. 1 p. 22, Post. et Rupr. Illustr. p. 10, tab. XV.
Arthrothamnus bifidus Rupr. Mem. St. Petersb. VI p. 7.

In mari pacifico septentrionali ad oras Kamtschatke, ad insulam
Bering, nee non ad insulas Aleuticas.

RS LE À

OBSERVATIONES PHYCOLOGICH. 15

Quum hujus plantæ tantum frustula videre licuerit, descriptionem in Illustrat.
Algar. p. 10 exscribere volumus: Planta 3—4-pedalis, referente GMELINO, 6—7 per-
dieas longa. Partitiones stipitis dense radiculis elongatis ramosissimis obsessæ, qui-
bus dichotomia stipitis, interdum repetita, obtegitur. Lamina longitudinaliter striata,
plerumque pollicem lata, margine plana vel undulata; interdum, sed rarius, lamina
oceurrit bifida, segmento altero abbreviato hebetato. Color olivaceus, siccitate ni-
grescens.

DE FOLIATIONE ET DEFOLIATIONE LAMINARIACEARUM.

Novi folii formationem veterisque abjectionem seu foliationem
et defoliationem exsistere apud omnes Laminariaceas, que non annuæ
sint, nemo nune temporis in dubium vocare potest, qui hane rem in
ipsa natura perscrutatus sit; annuas eas dicimus, que eodem anno, quo
enatz sunt, cum radice, trunco foliisque penitus emoriuntur. Quales
sunt, ut putamus, .Vereocystis Lütkeana (teste MERTENsIO in Linnea
1829) et Pelagophycus giganteus. Hee species in eo conveniunt, quod
habent truncos longissimos, angustissimos et apice crassissimos, foliaque
magna, quo fit, ut ab undis ventisque facile abrumpantur et per mare
dispergantur.

Apud nos, i. e. ad oram occidentalem Sueciæ et Norvegiæ (ad
orientalem Sueciæ oram mulla crescit Laminaria), incipit harum plantarum
foliatio jam fine mensis Decembri et pergit a mense Januario usque in finem
Aprilis, quo tempore nove lamine plus minus evolute sunt. Vetera
Hafgygie Cloustoni folia mense Majo ad littora Normandie fere in-
tegra decidunt marique innatantia colliguntur in fabrieationem — salis
eujusdam, quem »Kelp» dieunt. In Laminaria flexicauli, apud nos vulgatis-
sima specie, novum folium formari incipit Januario et Februario mensibus
et exscinditur mense Martio fissuris longitudinalibus in lacinias, particulas
veteris lamine usque in Julium apicibus portantes.

Laminaria flexicaulis, subforma latifolia, fert mense Januario, inter
stipitem et laminam, novam laminam, que illam denique in altum tollit;
hæc, qua vetus est lamina, nune fructificat, quo facto emoritur fine Ju-
nii vel initio Julii, quo tempore nova lamina a fragmentis veteris laminæ
omnino liberatur et crassior, fere coriacea, fit usque in Decembrem,
quo tempore novam producit laminam et fructificationem, quo facto ma-
crior fit et denique emoritur.

Apud Laminariaceas, que eodem tempore plura ferunt folia, foliatio
et defoliatio fiunt eodem modo ac apud monophyllas, i. e. novum folium
fert vetus folium in apice, ut apud Hafgygias et Laminarias; foliorum
numerus est sola differentia. Cfr. quoque quod supra de Lessonüis diximus.

16 J. E. ARESCHOUG, ÖBSERVATIONES PHYCOLOGICA.

Ex omnibus Laminariaceis, que nobis cognitæ sunt, rem, de qua
queritur, quum respicimus, maxime recedit Alaria, nam jam mensibus
Septembri et Octobri emoritur ad oras Scandinavicas Alariæ esculente
lamina, nulla nova procreata. Sed remanent sporophylla haud tabe-
scentia autumno et hieme sporas sparsura indeque veteris laminæ func-
tione apud Laminariaceas fungentia. Vis vitalis tamen adest in trunco,
nam fine Februarii et initio Martii e mari Lofotensi extrahi possunt spe-
cimina, qua habent laminam usque 50 cm. longam et 20 cm. latam
costamque 1 cm. latam. Apud omnia specimina, quum minora et juniora,
tum magna et adultiora, observatur in apice fragmentum breve costae folii
praeteriti anni. Hæc veterum (anni antecedentis) laminarum fragmenta,
qua apicibus novarum infixa sunt, demum putrescendo amittuntur.

Alariaceas quum nominaverimus, ea quoque genera earum, que in
maribus septentrionalibus inveniuntur, memorare debemus. Hee tantum
duo sunt, nempe:

1. EvaLaRrA nobis. Radix ramosissima, ramis conglobatis, in cen-
tro canales inevolutos ostendentibus. "Truncus inferne teres, superne
compressus, intus faretus et basi 1—2 annulis ornatus, medulla canali-
bus circumdata, per totam folii longitudinem adscendentibus et in sec-
tione transversali costæ optime visibilibus; costa fistulosa, fistula septis
transversalibus in loculos subalterne longiores brevioresque divisa. Lamina
usque 6—10 m. longa et 20 em. et ultra lata, consistentiæ tenuissimæ, a
margine in costam fissili.

Differt hoc genus ab Alaria costa fistulosa et septata, nec farcta,
canalibus muciferis in sectione transversali costæ distinctissimis laminaque
gigantea et tenuissima. — (Hujus loci est Alaria fistulosa Post. et Rupr.
Ille Fo. IE as, CVI)

2. Alaria LL. et Auctor. Radix ramosa. Truncus ima basi 3—4
annulis ornatus, nullum orbem lacunarum nec canales includens; medulla in
sectione linearis; costa compressa, farcta. Lamina nune membranacea,
nune coriacea. Sporophylla magnopere magnitudine in eodem specimine
variantia. Plurimas, quas vidimus, quum ex Europa boreali, tum e
mari pacifico boreali hujus generis formas specifice distinctas habere
non possumus.

CORRIGENDA.

Pag. 5 lin. 3 supra legitur 75 cm, lege 7 mm,
m oh mS m » Idem, , 4 Cm,

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES = Cu)

AXEL SÖDERBLOM.

(PRÉSENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPsAL LE 15 FÉVRIER 1884.)
-

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.

1884.

de M.
Si
SM 9
se 9
$ 4

$ 6
Sd
$ 8
S 8
§ 10
$ 11.

Table des matiéres.

Introduction: Formules et équations de la théorie des fonctions elliptiques
WEIERSTRASS. — Valeurs d'intégrales obtenues dans cette théorie

Calcul des valeurs des intégrales ON du en gu

26) —- atm 5
f. du n du
J Vp(u) — a "I plu) — a

Caleul des valeurs des intégrales OI ES (u) du

>01

Caleul des valeurs des integrales [Eau » [Ran

Caleul des valeurs des intégrales JE du » för, (0) du

. Calcul des valeurs des intégrales [5,4 608, Q0 d" » (EME, eau j

IÉMOEMOLE QU ME ak NET EG

Caleul des valeurs des intégrales IÉMOEFOLE ; (5,008, du ;
MO OT ON ON

Calcul des valeurs des intégrales OO » {ECE au ;
Sen du » FÖRHÖLL

Caleul des valeurs des integrales f54, 008, Q0 d" » (FOE, au ,
för (dn (0 du

Caleul des valeurs des intégrales ERO ROLE ; SFE, au 5
för (ER du fö Ef (ew) du

Calcul des valeurs des intégrales f$, OF ps) du : f$, (008, (0 du ;
JE pow En 00 du > (81, QE, (0) dw

Caleul des valeurs des intégrales för, 008), 00 du : Sö, Ey, du ;

IERQ) £5 (u) du

-b

30

37

41

44

48

51

$

$

$

$

$

$

$

20.

21.

23.

24.

25.

Caleul des valeurs des intégrales för, 008, (v) dw (8, ME, (Wau ;

fs, 0 Syn) du
Calcul des valeurs des intégrales de l'espèce feo) ER EN (a) de a
Calcul des valeurs des intégrales de l'espéce ER 60087, NE Cw) du :

Calcul des valeurs des intégrales de l'espèce SEE 82) du 5

Caleul des valeurs des intégrales de l'espéce SEEM) Fw) au ,
Calcul des valeurs des intégrales de l’espece JR EME) au -
Calcul des valeurs des intégrales de l'espéce ERO u dE 8; n) )du .

Calcul des valeurs des intégrales de l'espèce Pepe) Ff, Se) de 2

Calcul des valeurs des intégrales de lespéce Si OEM (x) )8 u)du

: : du
Caleul de la valeur de l'intégrale a
Eu) — at

Caleul de la valeur de lintégrale due GS 15954595:

2 l
Caleul des valeurs des intégrales f ve MEW in, [ Veo a. (u)—adu,

VE%(u)—a : yz mu.

= m du PIE(u)}
fonem, feg Jr Ve)

du

Caleul des valeurs des intégrales igor , =
VE(u) — a
du du

OL TOO CO:

Calcul des valeurs des intégrales

du
croco

L'expression de fonction elliptique E(w) répond à l'allemand o-Quotient von u.

99

103

107

112

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES £(u).

Introduction.

Les nouvelles fonctions elliptiques S(u) ont été introduites dans
l'analyse par M. Weierstrass. Nous en donnerons quelques formules
de transformation, pour prouver combien ces nouvelles formes de fonc-
tions sont applicables au caleul, et pour en faire ressortir la merveilleuse
flexibilité. Dans ce mémoir nous nous bornerons à donner des formules
de transformation des différentielles algébriques des fonctions £(u).

La nouvelle fonction elliptique principale s = p(w) qu'a introduite
M. WzrERsTRass satisfait à l'équation différentielle

2
(1) 9) ES = 48 — 9,8 — gs

= 4(s —e,)(s — ¢,)(s —@,) ,

d’où
ds
2. RETE TR
o f ds
| datam oe.
et
(3) $— p(u39s 595) = p (016 166569) -

1) Voir: Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der Elliptischen Functionen.
Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor K. WEIERSTRASS bear-
beitet und herausgegeben von H. A. Schwarz. Göttingen 1881—83. (14) p. 12.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 AXEL SÖDERBLOM,

D'ailleurs, la fonction elliptique s = p(w) peut s'exprimer à l'aide
du produit Does

u ib ut

(4) *) ou) = u I UE 2 E qu gw

\
ou

w= 2 uw + 2uw ee var Jt ERE

. excepté w = 0
l'exception w = 0 étant marquée par l'accent du signe de produit |l.

En effet, la relation de la fonction elliptique s = p(w) à la fone-
tion analytique o(w) se donne par l'équation différentielle ?)

log o(u) ,

pu) = — m
du”

ou par l'équation

3 o Mes eee o (u + v)o(u — v)
5. p@) —p@) = — CETT

Par la fonction analytique o(u), la plus simple fonction au carac-
tere de fonction entière, et qui devient infiniment petite du premier
ordre pour u — 0 et pouru —w, s'expriment encor trois autres fonctions
analytiques o, (u) , o, (u) , o, (u) , définies par l'équation?)

PLA qu ~
o, (u) e ""g(Q-Lw) e""a(m — u) OS S

0 (0) o(w)
5.90) |
o(o)

Les fonctions §(w) sont quotients des quatre fonctions o(w),
données par les équations ?)

Baila) =D ee cg eme a uy >. : |

au) o, (2) — e(u)
1) Voir Scuwarz (1) p. 5. 2) Voir Schwarz (1) p. 10.
3) Voir Schwarz (1) § 11 p. 13. 4) Voir Scuwarz (3) p. 23.
5) Voir SCHWARZ a p. 28. 4

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(1). 3
Des équations

"s EC) ser ee
(5) (UI OE HO ae, ea

on déduit les relations
I =U) —Sjo(w) — €2— ev = 5) (u)— Eu) eu —e— 8,0 — S)
(6) 518,4) — 1 —(eu—e2)8 (0) S500 —1— CES rd (leer)
(eu — eso) + (ev — e o) + (e2 — ex) iu) = 0

(eu — ev) Si) + (ev — e) E, Qu) + (er — eu) = 0 ,

avec deux équations analogues, que lon obtiendra par permutation des
indices 4,4 ,1

De l'équation différentielle (1), que l’on peut écrire dans la nou-
velle forme

(1) pO) _ 9E (u)&.(wE, ,

du

à l'aide de la première des équations (5), se déduisent les équations
différentielles

5 dé, ds (u) , {
Br wo > a NOTAS
du au |
d 5), (u dn
= yes. SCOTUS

A l’aide des relations (6), ces équations se transforment en

dS)?

du

d$, (wu) :
du

(9)

= 11 — (en — eso) | 1 — (ev — 9) EA)

(10) = 11 85,00 eu — ei — (ev — a) 800

1) Voir Scuwarz $ 24 p. 28. 2) Voir SCHWARZ (1) p. 28.
3) Voir SCHWARZ (3) p. 28.

4

4 AXEL SÖDERBLOM,

då

G

eur
(11)5 |

ou

dé (ww) = m
oit) NC = aa Cu VITSE (C NOE OT

du

le signe de la racine carrée étant donné par les équations (8).
Done, les quatre fonctions elliptiques

n 1 m Jl 2 il
SQ) e FO) "À, ACD)
1, ee. Ve, a ^ 1 Vena, Vere

satisfont à la méme équation différentielle 7?)

2

\d E(u)

VERTU | 1 — (eu — ex) 8 (u) | | IL — 2» = Aneta) à

M. WziERsTRAsS, dans le cours de sa nouvelle théorie des fonc-
tions elliptiques, a donné les valeurs des intégrales des différentielles
des principales fonctions rationelles des fonctions &(u). Voici la liste
de ces intégrales

2 "e o (u)
(a) au = — Oh So
= bs = 02 (u)
b du = Me Se)
(b) ous Pt oe
a : 2 = 1 | Oy (u)
; CEN lay, = 2 FENA
(e) I ERO du ee) eu + TOS

(d) f: & (008, (u) du = — Ej (v)

© Ss EuQddu = Bal)

1) Voir Schwarz (5), (6), (7) p. 29. 2) Voir SCHWARZ p. 29.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 5

(N) | E (ue, (u)du =
u e

(9) AO ON =a log EQ)

N em

a

(4) | 53 (85, (0)dw = | AC) du — (e; Dec DIETO du

U

Santana = — — [ förubeddr | öre dr |

u er =

A

Oe re £4 — €,
(I) EROEROXE = — = Ja = = m E je Eu) du E

m v

u v
t

Ainsi, les intégrales (a)...(e) sont des fonctions algébriques et
rationelles des fonctions o(u) et z(w); les intégrales (f) et (g) en sont
des fonctions logarithmiques; les intégrales (A), (k) et (I) sont réduites
à des intégrales de différentielles moins compliquées. — D'ailleurs, grand
nombre des formules de la théorie de M. WEIERSTRAss sont propres à
l'intégration, ce que nous ferons voir das le suivant.

Les formules d'intégration (a)...(l) sont d'une importance extra-
ordinaire, tant pour ceux qui ont déjà adopté la théorie de M. WEIER-
STRASS que pour ceux qui préférent encore à employer les fonctions
elliptiques de Jacorr. En effet, par les relations suivantes, les fonctions
elliptiques z(w)- s'expriment par les fonctions elliptiques de Jaconr; et
réciproquement:

Le module & des fonctions elliptiques de Jaconr étant déterminé
par l'équation

| REESE EEE Y
CABE
on a
Eo3(u) = sin am (Ve re u,k) Et) = Van n cos am (Va — yc u,k)
m sin am (Ve — 63. ,k)
| (12)9£,.(u) = cos am (Ve, — eu, k) | E(u) = a en A am (Ya — eu, E)
sin am (Ve, — e. wu, k)
Moe de. o en 1
Ex(u) = A am (Ye, — ey.u ,k) E3o(u) = Ve, vid norm SS
\ sin am (Ve Sire u,k)

en

1) Voir Schwarz (1), (2) p. 30.

6 | AxEL SÓDERBLOM,

Eo(u) = sin coam (Ve, S Bola k) E(u) = ndo tg am (Ve SUE k)
UE
(12))£o(u) = =. coscoam (Ver 20 u, k) En(u) = = LES
Va, sin coam (Ve, — e,.u,k)
Eu) = Va — € /\ coam (Ye, — ol, k) &, (u) = 1
j Ve — e cos am (Ve, —e,. u, k)

coam (Va, — Ago UV 9 k) — am (KE Ve cse am ; k) :

Done, en faissant, dans l'équation (a), 4 — 1,2,3, cette formule
donne les valeurs de non moins de trois intégrales de la forme:

2 2 2
cos’ am u /\* am u 1
Sr du SS "mA

3 9 B 7
sin? am u J sin’? am u sin” am u

Le formule (c) donne les valeurs de non moins de siz intégrales:

a

: "o qui du
eostamudu, | sin'coamudu, | A*amudu, | = a — , [d%coamudu :
cos' amu J sin’coamw

De méme, chaqu'une des formules (a)... (f) donnant les valeurs
de tant d'intégrales qui figurent dans toutes les applications de l'analyse
on voit immédiatement la grande importance de ces équations (a) . . . (I).

Cela étant, nous nous sommes proposé de donner une liste com-
pléte de formules de réduction des intégrales de toutes les combinai-
sons rationelles des fonctions £(u). Nous donnerons aussi les intégrales
de quelques différentielles qui sont des fonctions irrationelles des fonc-
tions £ (u).

Les fonctions £(w) étant exprimables par la fonction elliptique
principale s — p(u), il faut d'abord chercher les formules de réduction
des intégrales des fonctions algébriques de la fonction p(w).

1) Voir SCHWARZ (2) p. 30.

où |

2
SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES E(u).

§ 1.
Caleul des valeurs des intégrales

EJ

mA à 1 1 a rl
{ p(u) "du — du Ja d (|
J 1 1, (Pu) — a" ? Vp(u) —a i Y DEG at

(GE RE INN d cc umm 9.4.1.)
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(1) J = fire du ;

n étant un nombre entier.
On a identiquement

COTON Try 9.0) — 93 tet. fly "raro gs an

= 9, Key dug, [ApGOy aut [Lowy -p'G) p (o) dv

à in 2r Ü
(2) —g, ft} deg, J(pGoy ran TO I Fes grd
Parceque
en p) = Slow? — 7-3.

l'équation (2) se change en

4 flod du E Ur. 2 zu x = ^ a fi pu)? du n

n—38 6 ( n
+ as foco) du — — — | {p(w)} du.

1) Voir Schwarz (15) p. 12.

AXEL SODERBLOM,

Ainsi on a

(4) | {o(wdu = — {n(u)\"*V4{ p(w} — gop) — gs »

ACTE)
2n — 3 : s n—3
An) ga Jt (qup 7 d'a e m Nu 5% 9 | 2a} du.

Soit n un nombre entier positif. Alors, il faut que n — 3. Quelque
grand que soit », en employant plusieurs fois la formule (4), on arrive

fau =) , Jti en

Quant A la derniére intégrale, on a, par la formule (3),

aux intéerales

o'(u) uw) du
L.Jocoree

PONT [3 V4{ pao} = — 93 a = DT

La valeur de l'avant-derniére intégrale se donne, ou par la

formule *)

ou) 1 SPL Syne TES u? ® ar yd EE A
6 (u) u 22.3.9 DT 2 OD 2 oras d
ou par les formules ?)
Vs a , t= = > h = erm
20 w
9.(v|v) = 2À'^ sin va — 2A sim 80a + 2A" sin Eur — ...
20 Ia CA ati PE Le OS EE S o» 02
== ^ = & Ve — ey Jh T eu MOE FILT >
7t
Soit n un nombre entier négatif. — Posons n= —m+38. La

formule (4) donne

1) Voir Scuwarz (3) $ 8 p. 10. 2) Voir Schwarz (7) p. 41; (15) p. 42.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES & (2)

9
Bu VAG =o pu) =o, 2m |; du
6) ge fra = Do en pot
2(2m--5) du

mem pa |

Cette formule est applicable pour tous les nombres entiers m>2
En lemployant plusieurs fois, on arrivera aux intégrales

(6) fån ‘ ow ; IE

po)

Ainsi, les formules (4) et (5) sont les formules de réduction cherchées
Chercher la formule de véduction de l'intégrale

^ du
dese m
Jo

Soit » un nombre entier positif.
On a identiquement

(7)

du du du =
G eem ay * BÍ wu. SUE pero Claas aus amt Df s QST
[2 {p(u)}8+-(C—3 Da) poor 4-C5— i SO ou LE
Up i

Déterminons les valeurs des quantités A, B,C, D par les équations

JD = 4! 5 Cas Dg e , J5— Dim dE SB
d'où

TR, AT RO D == a à

A—4a?—g,a4—g, , B=12a—g, , C=12a, D=4.
Done, l'équation (8) se change en

B ee

Dom Is o la Uu) — Deque DJ a {p(u)— Tom

= VARIE pw — gs pt) —9s du
DCE

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III

10 AXEL SÖDERBLOM,

= [- Ur Gor du

(pu) — a"
NU pu) a 1 f p'(u) du
pal CDI an p= ly A) =a
E: 1 pu) TE | du 4 6° { p(u)\* E
— n—1 [p(w)—a|? n—1 2) Iplu)—al"" ^ n—17 (p(u)—a] —

Parce que
{p(u)}? = Ip) — af + 20 (pu) — à] +a ,

l'équation (9) se transforme en

du 1 VAfp(u)f —9,p(u) 5g
4a? — = = 2 um.
RC)
2n —3 ; du [o 2 du
EDS Air 12 ud
TC Jp eo
_92n—5 du

n— I po
La formule de réduction (10) est applicable, si ce n'ést que
m=1,ou 4a°—g,a—g,=0.

En l’employant plusieurs fois, on arrive à l'intégrale
du
11 | Je j er GH,
2 p(u) — a
On ne peut avoir 4a? — g, a — g, = 0 sans que a= & , 6€ , € -

Done
Re

(12) 2 FOI

Ainsi, il nous reste à calculer les valeurs des intégrales (11) et (12).

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 11

En faisant, dans la formule (10) n = — m -- 3 , on aura une for-
mule de réduction de lintégrale J = f{p(u) — al” du .
L'intégrale

| du
J UG — aj

peut étre caleulée par la formule de réduction générale (10). Elle peut
aussi être calculée par une des formules qu'a déduites M. WEIERSTRASS
pour le théorème de l'addition de la fonction elliptique p(u). — En
effet, on a‘)

[61 p@) — 392] pu) —P@} + HPO)? — gop) —9, FP wp).

plu+v)= p(v) + 2{p(u) — po)!

En posant dans cette équation p(v) = a, et en l'intégrant, on aura

lu 6 (u 4 v) | du
4 — (fo I 9 — — DENE) = 2
22) pu)—ar — o(u + v) zw 2 p(u)—a
leer E D
p(u)—a
Quant à la valeur de la fonction IA , nous y reviendrons
o(u + v
en traitant l'intégrale ae | :
PQ) — a

Soit, dans la formule (10), n = nombre entier +5 -

Quelque grand que soit », en employant plusieurs fois la formule
de réduetion (10), on pourra rendre l'intégrale proposée dépendant des
intégrales

D SNC PL ‚ Jupe) — adu | tp) aan.

pe) — a)" Vp(u) —a

Calculer la valeur de l'intégrale

(13) i= fra |

1) Voir Scuwarz (3) $ 12 p. 13.

12 AXEL SÖDERBLOM,

On a

| oT E [ ds
3 or) Vis ay oem eee

JI ds :
2) V—a) 6—5 6—2 G9)

Cette intégrale pourrait être transformée en a —
V1 — £sin^g
Mais c'est beaucoup plus commode de la transformer en la forme nor-
male (2) p. 1 de M. WEIERSTRASS.
On n'a pour cela qu'à employer la substitution bien connue)

s=P 5
Su NE
On aura
2
— az m : —
Pal = SE ele TS p
l2 C= 12

Y G6 66) = (E Ys (E+ 6-3 (84 9]

E p — d ill , V. (^4 22) ee

Wy — od — a) A —2)

Posons

cer py =O ‘
ie = Dec ||

Par cette substitution on atteind ce qui est le caractéristique de
la forme normale (2); savoir que la somme des racines soit zéro; et l’on
voit que l'intégrale proposée sera transformée en

du — on 5 ds’
OC :
= m G À fe — ei) (s' — e) (s' — 6)

1) Voir BenTRAND: Traité de Calcul Diff. et de Calcul Int. II. p. 62.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES É(u). 13
En posant à la fin
2 . 7] , . , . 2 rp
SJV SE BG SCIE

on aura

du Y
(14) Iioc = V(y — à) (0 — 0) v .

Les trois autres intégrales Don Y s Jp — a du 1 Cpo)--a du

peuvent être traitées d’une manière a
Calculer la valeur de l'intégrale

= 3 = J- = a

my étant pas a — ej. — Si a=e,, On aurait

dens JE — =; : = f: 70 du,

intégrale dont la valeur est donnée par la formule (b) p. 4.
Une des équations dont M. WEIiErsTRASS a déduit le théorème de

uno de la fonetion © ED est
ou

(16) " o(u-J-v) o(u— DEPO or Z pe) |
CONNECTE) ov) plu) — po)

D'abord, il faut chercher la valeur de la variable v qui rend

p(v) =a,

— pu) = Y4a* — g,a — 9,
Quant à la quantité v, elle se donne de la maniére suivante:

On a & (v) = pv) — e; , d’où

1

2710) = NES 2

1) Voir Scuwarz (3) § 11 p. 13.

14 AXEL SÖDERBLOM,

Done, la valeur de la variable v se trouverait aisément par les
fonctions 9 ^. s
Puis, en intégrant l'équation (16), on aura

" "pa ge eene ILI ot) so)
(17) V4a Rn a we o(u — v) : ov) 3

: 9 (u
La valeur de a se donne ou par la formule ”)
o(u

€
TU. EP ger ya

2.5 2.5.7

9?
DIEU

em) — il 9

convergente dans »le voisinage de la valeur w= 0» — ou par ses trans-
formations analytiques. — Les valeurs de o(u+v) et de o(u — v) se
donnent ou par la fonction 9,(v|7)?) ou par la formule *)

i y e LE yp? gs * has ® a 2 9s TIME
9)". 3-5" 953 EE M
ou

( n " Une
ou) = X anal) (293) Min + ön +1 9 Gin = c aec BE),

où les coefficients se donnent par la formule de récursion
16 1

Ann = MAL) On gs nat HI Ans, nt — 3 (2m--3n—1) (4m--6n—1)8,, 4,5 -
oO

Au coefficient a,, il faut attribuer la valeur 1; aux coefficients
dont l'un des indices est négatif la valeur 0.
La formule (17) est trés-commode pour le caleul de la valeur de

l'intégrale IE , si ce n'est que v soit v — « 4- iff .
plu) — a
Soit e 26,2 6,; — Sia>e, , v est réelle. —

1) Voir SCHWARZ pp. 41, 42.

2) Voir Scuwarz (3) $ 8 p. 10 et (6), (7), (8) $ 9 pp. 10, 11.
3) Voir Scuwarz (15) p. 42.

4) Voir SCHWARZ pp. 6, 7.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES S(u). 15
Soit eae. Done, v=w-+iß. Mais on a?)

(en — eg) (ea — e)

p + 0) — ei

pu) — ex
Ainsi, on aura
^u, d m ^uy—0) du
J pu)—a J pu + w) — a
up Uo— (0)
= 1 PR = (6 = 2) (e — es) ino du
2
GE rer (e, — a) uwp(u) a (&,=8,) (e,—6,)
A=
2 Lu al) e gi &) (e, uon es) N b
aa (a =a t o == Oh
D'ailleurs, on a
(ec
Eh EE = — m = 65) 0
e ees di
Ainsi, la valeur de v de l'équation
pe) — a, = 0

est

plus commode pour la substitution dans le développement de ON que

o(v)
la valeur v = w +15.
Soit e,>a>e,. Donc, on aurait a — o +0; o — ib. Mais on
a aussi

pu SAN e) = €, 4r (ei SS, és) (6 Due és)

pu) — €
d'où
J Ores cena RC { p(w) — e du
Fa J, — ap) — (6 — ae, + — 4) (6 — 69)
hee T I {p(u) — es) du
ae, pu) — a,

1) Voir Schwarz (5) p. 23.

16 AXEL SÖDERBLOM,

Parce que a, >e, , on aura une valeur réele v, de l'équation

poa.
Soit enfin

; du
= able :
p(u) + a je |

Par la substitution u = iw, l'intégrale J se change en

fu EN UE
TQ SE c aan) dee
Mais on a en général?)

A

1
gu 5 € ; €»; €) = ll

1
1 hor ar
= PERSONS my.) = re me, m’ 6, mac ae

u
m m
d’où, pour m=i,

(DOOR 213 05) (0 3 Qe 235.8). 4

Ainsi, on aura
fu <=!) LL aT.
p(u) + a 4, p(w)— a

4 Parce que a>2,, on aura une valeur réele de v de l'équation
p(v) =a.
D'ailleurs,

e DE TI 6 (iu,--v) iu, + v)
TEE = Mon REED EEE
t Y á 920 ar mf pw) ==} 1 | °8 O(iu, —v) À 0777 =e v)

= a) (ES
2 o(v) ( 1 ] 2

et il ne reste qu'à calculer la partie réelle de la quantité ile GORE)

‘ o(tu, — v)
Sop eee

o(iu, — v)

1) Voir Scuwarz (5) $ 9 p. 10.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 17

§ 2.
Calcul des valeurs des intégrales |, du , [stu du

Calculer la valeur de l'intégrale

(1) J= [or au :
On a 5

IE (u)du = lee a ei

pons ij p (u)du
2 J Vp(u) — ex V p(u) — ea Vplu) — eu Y p (u) — ev

ds

: 2) CLEA IEEE"

, S= plus er; e235 es) -

Si l'on fait !)
A’ — 6,0, — (&, + Ge, + 0) = 6,6, +2, B=—e,—e,+2e=8e, C=1,

on aura

EN Ober. 1 il [V2 Lee, + Y plu) — e Y p(u) — e
2 oi\t du = 1 1 ua wu v
1 ) Is Qt 2 y2e 4e og | pu) — ea |

3e; ;
Cie
D V2eit e, €u€v |

pour 25 + ¢,¢,>0 ;

: 1 1 . 3¢,{p(u) — 63} 4-2 (265 + euev)
3 fi 5.,(u)du = arc sin —4 + Cste
E 2 y—Qeireue) V (eu — ev) uu) — ea}
1 1 : 3e; 267 + Euer za
=— ene ST € +2 Vor a (a) + Cste
2 VERA + un) en NG

1) Voir BERTRAND II p. 42.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 AXEL SÖDERBLOM,

pour 2e + euér<0. — Si 26; + euev = 0 , on aurait

Eat du = PO NPD =6 |
| So (1 ) d a i a) a och É

Mais on ne peut pas avoir 24 +e,e, = 0 sans que e = &, ou
&; = e, ; alors p(w) serait une fonction trigonométrique ').

Les deux intégrales (2) et (3) peuvent étre transformées de la
manière suivante:

Parce que °

(ea — ey) (ea — ev) = ej — Er» — AMI + Cu €» = 26$ + Cue 5

e
on a, pour e42 je ;

(nee log [2 (ex — «9 (ea — ev) aC) +

: Ver — ey) (ea — e»)

Dane) LE ei + Cste .

Mais on a (es — eq) E(w) = Elu) — 1 et (ea — DL = Sau) 1,
d’où

(23 — eu) (ex — ev) Soa) = (ex — ev) Sualu) — (ea — ev) > (ea — Eu) (ea — ev) Sor(u) =
= (ea — eu) Sra(u) — (ea — ex) .

Done, l'intégrale se transforme en

IO du = I log [ (e SS) =E
Ven an WAS

I 9 Vea än Vea = e» Spa (wu) Si (w) + (er — 2.) ea (u) ]+Cste

1

m Vien 27 Yei — e,

log [Ver — ey Sua) + Ver — Eu &2(u) ]+Cste,

1) Voir Schwarz $ 10 p. 12.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES é(u). 19

d'ou
(4) [ tu) du — ! log Yea — ev Sua(u) + Vea — eu &(u)
Jo Vei = 07 Veuve, Ve, — ev Jt Vea me,
= 1 log Vea —- €y Vp(u)—eu Ma eu Vp(u)—ev ,
Vei = Cu Ver — ey {Vea = Cu + Ve — ey} Y p(w) =)

= . € . 2
Si, au contraire, e; « a ,on aurait Zei + eue, = (ey — ea)(ev — er).

Alors, il faut mettre

V2ei + eur = Vers Venen,

dot
A 1 Ven a Sau) — Ver — er Sn(u)
(5) I Saçu) du = — log
2 Ve eo Verte Ver = = Ver =

La formule (6) p. 3 donne (eu — ev) + (ev — ea)&ua(u) + (ea — eu)éra(u)=0,

dot
(ea — ev) Su(u) — (ea — eu) $i (u) = (ex — ev) — (ex — €) ,
dot
Ame Ci) Peer, Su) _ Versen CE

Van I VE en Vea — e» &yi(u) — Ver — eg&a (u)

Done, on aura, outre la formule (4),

(6) EO du = 1 log Vei — e» — Ver — eu
0

Ven "Ge TEN Yea — ev Eualu) — Ver — eu&rilu)

De méme, on aura, outre la formule (5),

1 Were en at Weed
7 je udu =
E 2 = Ye, — ei Yes — ei 108 Van om = SALE Vey ea FOR

Afin que, dans la formule (3), 2 ei + eue» soit <0, il faut que e; =e ,

See Se. Done, VESTE e ae) NC mare),

20 AXEL SÖDERBLOM,

En faisant, dans les formules (4) ou (6), A=1,u=2,v=3,

€, — 6,— 1, © ek: on aura, OM ver de 62) Np

1 je Eras Ye = OS

tg am w . du =
J'e Ve, — es loc we o s
5 1 log — yee hes Oy
Van ou — Ver — 0 E S 0)

De méme, les formules (5) et (7) donnent, pour 4 = 3,6 —e =1,

Ep — 3 = ke ,

fs am w. du = lo og Doo Ss) 2 log oe

Ld k Eau) + E&y(u)
EUN RO COSME I ges 1+k
Th 5 k Aamu-+kcosamu

La formule (3) donne, pour 4 = 2, la valeur de l'intégrale |=" ANNAT
a

mu
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(8) J= [idu

n étant un nombre entier positif.
On a, par les formules (8) p. 3,

— [öra QU) $a (u) Io) = (Ci — Gn) MEL) (a = Gs) Sara (eee

du

+ Eau) En WEG) = Ca — eu) (1 + (er — e) EQ) SED +
+ (ere) (14 eie) aO (o) + BL ee} ee
par les formules (6) p. 3, d’où
0) — (Sur(u) nS, 0) = ETC + 306 + Deas) +

+ (k 4 2) (ex — eu) (a — e») (WU) >

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(u). 21

parce que a +&+%=0. En faisant, dans l'équation (9), k + 3 =n et
en lintegrant, on aura

2 Ena Cu) Saw) 557 Cu) sn IC e 1
(10) | S5, (u) du = ENE ESSO Decl (u)du
= 2 d ;
(n — 1) (ea — ey) (ea — ev) | Eh Caer

Cette formule de réduction (10) est toujours applicable, si ce
n'est que n=1. — En lemployant plusieurs fois, on arrive aux inté-

grales J, = förl du et J, = för(u)du. — Pour J, voir les formules

(2)... (7); pour J, voir la formule (b) p. 4. — En faisant, dans l'équa-
tion (10), » 2 2, on aura

Gr ner eO f &(u)du = &(u) Sro(u) +
résultat que l'on peut obtenir aussi, aprés quelques réductions, des équa-

tions (a) et (b) p. 4.
La formule (10) donne les valeurs des intégrales

sin” am u :
Je am u.duwu, du NE amu.du .

INS ame

§ 3.
Calcul des valeurs des intégrales EXO du , f Er (u)du .
Calculer la valeur de l'intégrale
(1) J = [&o(u)du .
On a
ES (u)du = fusco — edu

22 AXEL SÖDERBLOM,

Let ds à
uu > Sex MU) à
2 J Ys — eu Ws. =

E log = tor + p(u) + Vp@) — ex Vp(u) — | + Cste

2 eni SE + &à + pu) — ei + Vp@) — eu Vp(u) — e» | + Cste

— mos ls a ei Edo (00) = Sod) S| + Cste

HIM E log ce e Sali) npe) en GO et
d ou
3 il
& o C E à (Di te .
(2) je (u)du = log GNE + Cste

En vertu de l'équation (6) p. 3, l'équation (2) peut étre trans-
formée en

(3) JE) du = log (Suv) — Suc(u)} + Cste .
La fraction pt e peut être transformée en une autre frac-
NONSE ORE

tion plus commode pour en prendre le logarithme. En effet, on a‘)

(4) ou + v)orlu — v) = ox(u)o(u)ou(v) 0,(v) + onu) 0,(u) 04) o(v)

et
(B) du(utv)oi(u—v) = 01(u)ou(u)oxv)ou(v) + (e2—eu) u) os (u) a(v) or).

Des équations (4) et (5), on obtient, par la division,

oX(u) au Qu) o. (v) au (v) + (ea — Cu) WAR) ovv)
o3(u) o(u) a, (v) o, (v) + ou (uw) o»(u) ov) o(v)

B (ui +0) =

1) Voir Scuwarz § 38 [D], [8] et [9] p. 51.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 23

En faisant, dans cette équation, v = u, on en obtiendra

s US où(u)ou(u) + (ea — eu) a (u)os(u)
6 (2 = 2
(6) ae 2 o(u) o5(u)o, (0) o, (wu)

En posant, dans cette équation, w , » , À au lieu de 4,4,» , on
en aura

5 E EOM — au (u) Cu) + (eu — e») 0 (u)oà(u)
(7) c T 2 o(u) 62(24) ow) o, (w)

Des équations (6) et (7), on obtient, en y posant u pour 2u,
(yes) GS) o (S)
2e) eS) e)

On a aussi, en vertu des équations (6) p. 3,
(e2— en)" (5) = a (5) re

En substituant ces valeurs dans l'équation (8), on en obtient

«(s

(8)&uo(u)--&yo(u) —

u

&o(u) + Erf) =

d'oü
1 > (2 = fd
XE = Sul<) wil].
opes 06) 0
Ainsi, la valeur de l'intégrale proposée se donne aussi par l'équation
(9) I SW) du = log fon (4) &(5) + Cte .

L’équation (2), ou l'équation (3), (9), donne les valeurs des intégrales

n p

jest gamu.du, [E du, |

J sin amu / sin am wu

du

24 AXEL SÖDERBLOM,
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(10) T = J&eodu |

n étant un nombre entier positif.
Pour k = — (n — 1), l'équation (9) p. 20 se transforme en

Q1) are) = (n NE + 3(n — Des) +

+ (n — 3) (ex — eu) (a — ev) 55, (Qu). .
Parce que
Sua(u) &a(u)8r, Ku) = Sua(u)Sao(u) - Eu) &o(u) . EU) = &u(u) 50 (u) EU),

on aura, en intégrant l'équation (11),

£ NS En= 3
(12) J: Si (udu = Spo) Sven) n) Ne | Sin (u) du —

f == il i) —= I

(2 = 2) (Qi = an) (A= ey) [Sedu :

mi
La formule de réduction (12) est applicable, si ce n'est que n = 1.
Quelque grand que soit le nombre n, en employant plusieurs fois la
formule (12), on arrivera aux intégrales J, = | S009 du et J, = fösta.

— Pour J, voir l'équation (9), ou les l'équations (2), (3); pour Ja voir la
formule (a) p. 4.
L'équation (12) donne les valeurs des trois intégrales

A" am u du
du

I SE 3
sin am u

foot Seri DEC
n
sin" am u

An

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES S(u). 2

4.

un

Caleul des valeurs des intégrales IE (u) du. , fa, (u)du .

Calculer la valeur de l'intégrale

(1) = EXO) du.
(Ungg

EXE = RCE du
AC) = Ge

| T Vplu) — ei p'(u)du
24 Vp(u) — eu Yp(u) — er Vp(u) — ea Vp(u) — e

5 | ds
3 —— s = plu)
TUAE e EM daret

log Ê 2 Ven ey — Gy Veu = Co +Vplu) -— Gy |
L DQ) — Ga

T m

(2)

= —= log |1 + 2 (eu — ev) Soul) + 2 Veu — ev Soulw)Svubu) | +
DUCES

Bic, = ey > 05 et

förl) du I — are sin p (u) T + 2 (eu — €y) - TT

2 2V ey — Eu PU) — Eu 2

(3) = De [s are sin (1 + 2(ey — &) zo] :
By = Or

Bl £y — Eu > 0 .
En substituant, dans la formule (2), 1 + (eu — ey) Sou(w) = Su) ,
on aura

n

(4) | ul) du = — log; Nr est) + 0] j

: dp — ey

pour ej, > €» .
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4

26 AXEL SÓDERBLOM,

De la formule (3), on aura, si e, > eu ,

[Eu dn =

are sin 1 = aresın dd 7 2 (eu — ev) Enl) | d

i
|

= are sin Y4(ev— eu) Sou(u) — 4lev — eu) Soul)
ZV ey — Eu

|

SONS ue EE are sin aye — Eu Soul(w) VI + (eu — ev) Soul)

Dre

cp co en je» — eu Eou(u) Svulu) |

Mö = Ge

(5)

are sin | Was 2%, Soul) :

5 Ven = Gr

En vertu des relations (12) p. 5, l'équation (4) donne, si l'on y
fait 1=3, press lie v—2; A=2, u=1, y-—39; \=1, I emm v=3,
les valeurs des integrales

fo du C. du .
+ | = , | Sin coamu.du .
J cos am u sin coam u

De méme, si lon fait, dans l’équation (5), 4=3, w=2, v=1;
Z=2, w=38, v=1; A=1, u=3,v=2, cette formule donnera les
valeurs des intégrales

du
‚Ja amu.du,

A am u

[eos amu.du .

c

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(6) J POI
n étant un nombre entier.

On a

MEN Eo M
C) — EAE ew) 5) 8,00) = B, 0087 0) + (en — 625, 00870) —

— k(e; — ey) Sout) Siu) 5, Q0) +

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 21

De la dernière des équations (6) p. 3 on obtient
(eu — elu) + (ev — ei) + (e2 — e) ulus) = 0 ,
d'où

Su) = = om — £y E
LE 74

La premiere des équations (6) p. 3 peut se transformer en

il 1 P
Eou(u) = E Eau)
ee = Cp On

En substituant, dans l'équation (7), les valeurs de &,(u) et de
Éou(u), On aura

qi T a 2 Gp = Gr
EEE) = — (b+ 2) =E BP) +

u

ve pee ege pen.
u

O = £5 e—

En remplacant, dans cette équation, k par » — 3 et en l'intégrant,
on en obtient

6) — E ROLLE — ——À - 2— £08,080) —

n —]l eu — ey

B 2 ev IEXOTT OUR Pe DC Cn ERO du .

0n —1l e,— e, =I Ep — Gp

Cette formule de réduction est applicable, si ce n'est que » — 1.
Quelque grand que soit », en employant plusieurs fois la formule de

réduction (8), on arrive aux intégrales J, = |&u(u)du et J, = [a cyan. =

Pour J, voir les équations (4) et (5); pour J, voir la formule (c) p. 4.
En faisant, dans l'intégrale (6), A, u=1,2,3, la formule (8)
donnera, en vertu des formules (12) pp. 5, 6, les valeurs des intégrales

^ d ^ du
sin"^coamu.du , |————— —., | cos"amu.du , | —. ;
sin” coam u J COS” am %

Jaramu. du N =
A” am «

bo
oo

AXEL SÖDERBLOM,
: A cos? p 3
En faisant, dans lintégrale EE ER CLegendre II: p. 251)

Staf = GH) 5 (=e em I gj Qo a ae >

on aura
cos 9. dq = V1 — (a) ) VI — CE,(u) du = cos p. À. du
d’où
wp = du
A
et

| a i dq = fa — ps (u)) du = Jös(wdu ?

[9

2
Ainsi, l'équation (c) p. 4 donne la valeur de l'intégrale JE dp.

D'une maniére analogue, on aura

dg Se yel «
J A

dont la formule (8) donne la valeur.

de

I

En faisant la méme substitution dans lintégrale —
A. Cos” @
on a

dq D du o
= = d E
^ . cos? q pz Eu) = |S) us

dont la valeur se donne aussi par la formule (c) p. 4.
En général: en faisant la même substitution dans l'intégrale

NOT PADO
An mer Om ANNA

. COS” q

‘i » | ; 2 u
mar | )

dont la valeur sera calculée dans SALE

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 29

: abe SS 'de
Eu faisant la méme substitution dans les intégrales | 2

u

et

| A cos? q .dq de Legendre (II: p. 257), on aura

Eus ue du "du
Sw: ae = E(w) d
J N Jes eom EA) / ENS rus EC) "

dont la formule (c) p. 4 donne aussi la valeur; et

JA cos?q . dq; = JD 553 (u) du

dont la valeur sera calculée dans § 12.
De méme, on aura, en général,

| dq = du : = föslu)du
; Le (e, s és) E (u)) * ? i
dont la formule (8) donne la valeur. — Done, on a pour les intégrales

JA , {Ardy de Legendre ,

n

"dp du JE
— = = == (Sw) aa 3
AS Jn — (e& — 3) Cu) I” ©

[2° dp = [du ;

et, en general

A m+1

[EAS 2dq— UT — (e, —e6)ex(u)) = du = fer u) du

u

dont la formule (8) donne les valeurs.
L'équation (c) p. 4 donne aussi la valeur de l'intégrale de Legendre

z £2

en. Lee és) Sin) du = je du .
1 — (ey — e5) $m (wu)

De xa 'équation (8) donne la valeur de l'intégrale

— dq = fe (u)du .

30 AXEL SÖDERBLOM,

8 5.
Calcul des valeurs des intégrales
facos cod, face, cd, [sad .
Calculer la valeur de l'intégrale
(1) je J Eau) Elu) du .

On a l'équation de M. WEIERSTRASS (E) p. 5

Oy) eue anda rq en [Sua
€4 — Eu ex — Eu
intégrales dont nous avons donné les valeurs dans § 4.
En faisant, dans l'intégrale (1), 4, w= 1,2,3, l'équation (2) donne
les valeurs des intégrales

sin? am u sin? am u sin? am u
Ci, EE qr EE ee

I
cosamw. /\ am u cos am u A am u

Chercher la formule de reduction de l'intégrale
(3) p J = [&(u)&, Lu) du

n étant un nombre entier positif.

On a
PA OP OMR COE) + ar — e) EQ QU)
[kö I + Gri Eu) + en) OI O0)

11

Eg (u) + (EEL (ae SECU) (1 + (new) Fy
= CES) + Ikea ee) + E+ 1) (ed — eH) +

+ (k + 1) Cei — ee) (er — e SHC], 0)
= CHE (u) + {hr — e) + (E 4-2) (a — e) 8502 +
+ (k + 1) (ea — eu) (er — ERE, a) -

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES É(u). 31

En faisant, dans cette équation, k = » — 2 et en l'intégrant, on
aura
(4) lj ör (w)&, (u)du = *(w) &a (u)

n wi
(m — 1) (ea — eu) (ex — e»)

(n — 2) (à — e) E — D (e — 6). (mare
(o ETE CREE | & WE, Q0) du —

ae
(2 — 1) (à — ep) (à — &)

fs *(u)$, (uw) du. .

La formule de réduction (4) est applicable, si ce n'est que n = 1.
— Quelque grand que soit n, en employant plain: fois la formule

(4), on arrive aux intégrales J, = seu) Cin Je IE oA (u) Sou(u)d u , J, =

[7

[Suan — Pour J, voir § 2; pour J, voir l'équation (2); pour J, voir

§ 4.
En faisant, dans lintégrale (3), 4,4 —1,2,3 , l'équation (4)
donnera les valeurs des intégrales

\ sin^'amu sin"*' am wu FÖR van us
= du, = du EEE Per
/\ am u . cos” am u cos am u . A" am u J cos amu
sin"! am u sin”! am u "Sm? am u À
dn, | = du, | du, n=2,3,
cos" am u A am u A” am u

Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(5) J = [E0085 (d u

l et m étant des nombres entiers positifs.
L'équation (£) p. 5 donne

Earl) fou(u) = —

= — &yu)j -

Par conséquent, lintégrale t se change en

[560i toan = a WERE) au —

Eau) lu) dr,

er — Eu

4

39 AXEL SÖDERBLOM,

(6) Je (u) Solu) du = ef MO eos ^2) cultos — — JS *(u u) S, Qu)d u.

Cette formule de réduction permet de diminuer l'un ou l'autre
des exposants de deux unités. Alors, en l'appliquant plusieurs fois aux
intégrales qui figurent dans le second membre, on peut rendre l'intégrale

proposée (5) dépendante d'une intégrale de l'espéce J 002, si un des

exposants est pair; d'une intégrale de l'espèce Jit) Soulu)du , si ni l'un

v

ni l'autre des exposants ne sont pairs.
D'ailleurs, on a

d q z é z
TEA 0) Sou QU) SQ) | A x Lora (ut) COE }

du
= pig; Cit EC) Laks EL QE, (0) Sy" OEE)
{pq plane JE) au — 628, (ET EEO
= plan EHE + qu — ev) BCDC) +
+ (p49 — DE Gus) .
En remplaçant, dans cette équation, p par |— 1, q par m — 1,
et en lintégrant, on en obtiendra |

DW —(— 1) (a — e) Js Sl) Se G0 du +

(ro 1) os e) JE ji (u) S, (wu) du + (l + m — 3) fört Q8, (u)du .

Done, la méthode la plus convenable de calculer la valeur de

Vintégral fö) En, ( 5^ (u)du est d'éliminer entre les formules (6) et (7) la

plus incommode des intégrales [§ suu) So, (u) du. et [io *(u) Su) du

Remarque: En différentiant le produit $5,(u)8,, (uw), (w) , on par-
viendra aussi à une somme de termes de la forme Eu) & (a) :

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §&(w). 33

En faisant, dans l'intégrale (5), 42,4 —1,2,3, les formules (6)
et (7) donnent, en vertu des relations (12) p. 5, les valeurs des inté-
grales

du.

f. sin""amw 7, [E amu 7, f[(sm""amu
RE Th ara idis cd NÉ "Mecca us
cos" am u /\" am u J cos"am«u A" am u

$ 6.
Caleul des valeurs des intégrales

[$560,400 du ; BOOT ; J aeo Sz.) du ; | §,(u) Saw du

(ll mide s.)

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

A

(1) T= [EWS edu ,

l étant un nombre entier positif.
D'abord, on a l'équation de M. WEIERSTRASS (8) p. 3

(2) Ferse au = 5362. .

€) — ey

En faisant, dans lintégrale [Er Su) du, ),u=1,2,3,lequa-

tion (2) donnera .en vertu des formules (12) pp- 5, 6, les valeurs des
integrales

sin am u sin am u sin am u . Sin coam u
du = (il du ,

. 9 5
/ cos am wu. sin coam % / cos” am u A amu

a n

‘sin am u 3 ,
en u, [sin amu.cosamu.du , |snamu.Aamu.du.
: am u 3

v

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5

34 AXEL SÖDERBLOM,

Quant à l'intégrale (1), on aura, en différentiant le. produit

SAOENO
AE ON 60) = PETC) EOE AW) + (A — eS) a)
= pr (Sua) tl + (ex — ev) Eu} + (ea — ev) 83 (u) 5, alu)

= (pt 1) (ex — ev) i (08,0) + pS Sa) -

En remplaçant, dans cette équation, p par { — 1, et en l'intégrant,
on aura la formule de réduction

HE) — 151
lea — £y) ( (ea = ev)

En opérant ainsi plusieurs fois, on finira par rendre linté-

(3) | gt lH) S, (u) du = e Eu) Salu) du.

grale proposée dépendante de Vintégrale J = | &a(w)du, ou de l'intégrale

Eo) Sux(u) du. — Pour J voir $ 4.

En vertu des formules (12) pp. 5, 6, les équations (1) et (3)
donnent les valeurs des intégrales

d sin" am u ” sin” am u sin" am u . sin coam u
du du ,

cos” am u . sin coam u cos^*! am u A” am u

| "sin" am u

du, |sin’amu.cosamu.du , [sin am w . A amu due
A AC BUNT

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) T= [Si du ,

m étant un nombre entier positif.

Par l'équation £j(u) = 1 + (er — eu) Sca(u) , (6) p. 3, on peut aisé-
ment transformer le produit S08; = alu) en une somme ds termes de la
forme &,(w)é§ ig si m est Sanne te: en une somme de termes de

la forme &,(uw), si m est pair. — Pour les intégrales OT et

EROEMOLK voir (10) p. 21 et la formule (3).

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 35

Une formule de réduction directe de l'intégrale (4) s'obtient ainsi:
En differentiant $,,(u)&(w) , on obtient

ESO Salu) = (er — ev) $5) Sry u) + pea — ex) Q0 Sh (w) $500) -
La dernière des formules (6) p. 3 donne
(ei — eu) Sau) = (ex — ev) Sua) — (eu — e»)
Par conséquent, la dernière équation devient

EEE) = (p + 1) (a EEE) — pu — 008, 008700 -

En remplagant dans cette équation p par m — 1 et en l'intégrant,
on aura

cm—1 p
S (u) Sun (u) ml Or = % Ji MOT Xu)du .
m (ea — e») m 4— eye

(5) Js Soa) SC) du =

Quelque grand que soit m, en opérant ainst plusieurs fois, on par-

viendra à réduire lintéerale (4) à l'intégrale J = [|5,;(u)du, ou à l’inté-
e [e] I

grale [PO Or — Pour J voir § 2.

En vertu des formules (12) pp. 5, 6, l'intégrale (4) donne les
valeurs des intègrales

I

t sin am u : ^ gin am sin am u . sin" coam u
| Tem du cR du I = EE Qu
COS amwu.sin”coam u cos"*! am u d A am u

a

' sin am u : :
| l0). | sınamu.cos”amu.du, Jin amu. A"amu.du.

A" amu

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(6) J = fö Eu) du ;

l et m étant des nombres entiers positifs.

_ Première transformation: Par l'équation Sta(u) = 1 + (e, — ey) &a(u),
(6) p. 3, on peut transformer lintégrale (6) en une somme d'intégrales

36 AXEL SÖDERBLOM,

de la forme Iwan, si m est pair, en une somme d'intégrales de la
forme föda, si m est impair; ou en une:somme d'intégrales
de la forme [Et du, si | est pair, en une somme d'intégrales de la

forme PERO Stalu)du, si I est impair; intégrales dont les valeurs sont

données précédemment. — Mais cette transformation ne pourrait s'opérer,
sans que l'un des exposants s'augmente au-dessus de sa valeur primitive.

Deuxième transformation: Par la différentiation du produit &,(u)
St (u)£(u), on obtient

* (55,005,005, 00] =
= pE MEMORY) + q (ei — EWR (v) + (eà — e&t (uo
= (pt gt) (eae) Sor (Wu) EP S Q8 Q0) — len — en) Sez WE (u) «

En remplaçant, dans cette équation, p par {— 1, q par m— 1, et
en l'intégrant, on aura

a S QS Cu) Svalu)
(7) IEXOR idu = Cie is = Ga

f—1
rene

Mma Gr GE nt
Et (u Su u)du —
Pb fies @ = @ = | aer) ele

& (u)Sualwdu .
En appliquant successivement cette formule de réduction à l'une
ou à l’autre des intégrales qui figurent dans son second membre, on
parviendra à transformer lintégrale proposée en une somme d'intégrales
de la forme citée dans la premiére transformation, sans qu'aucun des
exposants soit augmenté au-dessus de sa valeur primitive.
D'ailleurs, on a, par la quatriéme des formules (6) p. 3,

— (ex — ey) Eu) Erg Qu) + Eu) Eu) = Ea Qu) En) ,

d’où

(8) (e1— eu) J& 50085; (du — förs Eu) du + [Ej (w) E (u)du = 0

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES Ë(u). 37

En éliminant, entre (7) et (8) l'une ou l'autre des intégrales

a

| ce OT (u) du ou | S (u) Salu) du, on aura une formule de récursion
trés-commode de l'intégrale IE OP ONT . — L'intégrale spéciale de
Er oc aime | Athsintg. 9:so- chang
Legendre | \.dgp.sin’g= IN .sn' 9. se change, pour e, — e, =
J A
1 ru E 5 dy 1 à 1 RG Be
> 2 — 64, = € , lu) = sing , xc —du,en | A.dq.sin?^g = | &(v).

' &(w)du, cas spécial de l'intégrale proposée | Su) Salu) du . — Plus

général: en conséquence des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (6) donne
les valeurs des intégrales

b

^ sin’ am u sin’ am u 'sin! am u. sin" coam u
: — du, |—— —— du, du
cos am u . sin” coam u cos” am u NAN amu

a na

M

sin' am u : f

CADET du, Js amu.cos"amu.du, | sin’ amus Namie OS
am u 3

S
Caleul des valeurs des intégrales
IPOPOLR GXOENOLTMEENOROUTPEENOENOTU
| (ET IE SU ee
Chercher ? formule de réduction de l'intégrale
(1) T= [EWE wae ,

l étant un nombre entier positif.

38 | AXEL SÖDERBLOM,

D'abord, on a l'équation de M. WEIERSTRASS (f) p. 5

(2) of Sau) eu) du = — — log alu) «

Quant à la réduction de lintégrale (1), on a identiquement

(er — e Erw Eu) — Ez QD Slee) = (v — eno) — 1353 (08, (0)

1 Se 1 y
= — E08 Q)&,(u) = — S (u) Ex) Ea) = — Ji x |

En l'intégrant, on aura de cette équation

(3) LOS du = En EO) 1 e (u) £,(u)du 5

JO e Gi — Om à

Cette formule de réduction est applicable, si ce n'est que | — 1 — 0.
Lorsque / — 1, on n’a quà employer l'équation (2). — Quelque grand
que soit /, en employant plusieurs fois la formule de réduction (3), on
finira par rendre l'intégrale proposée (1) dépendante de l'intégrale

J, = PÉTOITE si / est pair; de l'intégrale J, = fsuto AOL, Sl

est impair. — Pour lintégrale J, voir $ 4; pour J, voir l'équation (2).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) J= JE (0; ‚u)du ,
m étant un nombre entier positif.
On a
Dor E =—k (eu Eu ev) y Qu) Sr Cu) Sov(u) SS k (eu E ev) En u) 5 (u) Eu)

= — he — e) Eu) Pu) + ber — en) Ey) 80)

En remplagant, dans cette équation, k par m — 1, et en l'inté-
grant, on obtient

6) — fies edu = — — m | ae PÉOPAOL ES

TON Ci 6 CE

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES É(u). 39

La formule de réduction (5) est applicable, si ce n'est que
m —1-—0. Pour m — 1, on n'aura qu'à employer l'équation (2). —
Quelque grand que soit m, en employant l'équation (5) plusieurs

fois, on arrivera à l'intégrale J, — = fönlwdu, si m est pair; à lintégrale

J, — fö (u) Su (w)du, si m est impair. — Pour J, voir § 2.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(6) J= JE, (u)du ,

l et m étant des nombres entiers positifs, et l, mz 2.
On a identiquement

(OM b > Jis & (un Q8 (u) du

= m m— 2 er — € m—
cwm = a(u) 5 *(u) (wu) du + = TO > wdu,

par la relation (eu — ev) 02 (u) + (ev — e) ou (u) + (e2— eu) ov (u) = 0 , (6) p. 3.
Parce que e1-- ev = Sso(w) — Eio(u) , (6) p. 3, d’où

1
Oi Op,

oa) = L Eon) = :
Ci ey

l'équation (7) se transforme en

je m = Cu = €v 1—2 Be d
(8) p. Sat) Eu) du Ban fö (u) 55 (u)du +

ce Eau) 55, (udu — a En WES a WE Wu) du .
Tm — €y ep
D'ailleurs, on a identiquement

pt
el

E(u) ey (u) Blu) du .

40 AxEL SÖDERBLOM,

En prenant la somme de cette équation et de l'équation (8),
on aura

JF CEA (uw) du "es — — ns (udu = = Gp BS gs (u) 5, (udu =
eV; — m— 1 — m—!
4 | on WS, GNU = Ere *(u) au, +
+ (ev — ex $5) du = Mm n S (du +
CE
= ER
parce que (e, — ev)5äv(u) + (ev — ea) Suu) = — (e — eu), en vertu de la der-
niere des formules (6) p. 3. — Ainsi, on aura

(9) fö (u) En (du = a. WE, (du = Jens wdu+
e = 6» e

— ey

1
el — Eve

+

JE Ii Qu) E (ud u.

Quelque grand que soit { ou m, en appliquant plusieurs fois
cette formule de réduction aux intégrales qui figurent dans son second

membre, on pourra rendre lintégrale | Sen (u) du dépendante des

intégrales Era ; IE E(w) du ; Js (u)du , 10 Suudu a on

nous avons déjà donné les valeurs. —
D'ailleurs, on a

E (£, TOES (w} = par (u) 8; QD) Eua (US ya (u) — q (eu — er) 850055 (U)E Ar (Sov)

(10) = p*u Qn Bw) £j) — qu — EEE

Par les équations Sja(u) = 1 + (er — eu) Soa(u) et (eu — ev)5ov(u) = 1
— Ew (uU) , (6) p. 3, on transforme l'équation (10) en

EE 240055, 00] = Pr 0055, Q0 + "EE ;

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 41

équation différentielle dont tous les termes sont de la méme forme. En
y remplaçant p par (— 1, j par m — 1, et en l'intégrant, on obtiendra

(11) Eu Cu) SAU (ez (ey = eu) J: SNO u) de 1

+ (m — 1) [Een (u) du + (L— w) [9G ED du |
En éliminant, entre (9) et (11), une des intégrales E Eu) Sus (u) du
et fe 7 (u) Su (uw) du, on aura une nouvelle formule de E de l'inté-
Brale ERDE du plus commode que la formule (9).
En faisant dans lintégrale få .tg*py.dg de. Legendre (Il: 257)

sin @ = §,(w) , ¢, —e, = 1,e, —e, = c* , on aura

COM ES) EE) fires
5 t 2 D» d D = we \ = 37203 f / = Söt Ss l
fa g q q | il PT a TET es) &(u) du J (2 t) (u) c u 1

dont les formules (9) et (11) donnent la valeur. — De méme, en vertu des

formules (12) pp. 5, 6, l'intégrale | 88,0) du donne les valeurs des

intégrales
mm am w.A"amw 7, 4: sin’ am u EP je amu.cos"amu 7,
us 3
cos’ am u cos amu. A” amu J’ am u
sin’ am u is 2 ( sm'amu
; du, |sin'amu.sin"coamu.du , la, du.
AN am wu. cos” am u sin” coam u

§ 8.
Caleul des valeurs des intégrales
fac cod , [ws du, [860g G0du (lym e 2,8,4..
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(1) J = |53,(u)5,(u)du ,

l étant un nombre entier positif.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6

42 AXEL SÖDERBLOM,

D'abord, on a l'équation de M. WEIERSTRASS, (d) p. 4,
(2) EXO & ou) du ree eu) -
Quant au calcul de l'intégrale proposée (1), on a
SEE gO} = — BESS, (DE, (0) — HEE, (0)

= — hea — e), (u) Sol) — + DEE ,

d’où, en remplaçant & par [| — 1, et en l'intégrant, on obtient

LIL z
(3) föl) X) dy = = 0 ae "e E = (ea I e) | Btu E (u)du.

L’équation (3) est la formule de réduction cherchée de l'intégrale propo-
see. Elle est toujours applicable, si ce n'est que /=0. Si/=0,on a fö, (du ;

intégrale dont la valeur est donnée par l'équation (2) ou (3), p. 22.

En faisant, dans l'équation (3), | — 1, on retrouve léquation (2). En
lemployant plusieurs fois, on rendra l'intégrale f Eus, (u)du dépen-
dante de l'intégrale | Suo(w) du, si I est pair, de l'intégrale | £j QS, Q)du
= — E (wu), sil est impair.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) J= (u) En, (u)du ,

l et m étant des nombres entiers positifs.

On a t
OP OO
= EEE) — 4 0) SNE) — EDER
= EEE (er — e) + 8,0) — EW) 5 00 Cu — e +
+ EC} — 82700820)
— (PE GED EEO EW) pere) OE) — (eu eg WE) -

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES E(u). 43

Si l'on remplace, dans cette équation, p par | — 1, q par m—1,
et qu'on l'intégre, on en obtiendra

Sj, QS, QS, (u)
(Sb fn = IL

(5) oop ==

= 1 v (Sit G— 1)C MER 1—2 Em

En appliquant plusieurs fois cette formule de réduction aux inté-

A

grales qui figurent dans son second membre, on parviendra à rendre

l'intégrale proposée dépendante d'intégrales de la forme [Sled ou

de la forme 8.008, 0047, dont nous avons déjà donné les valeurs.

D'ailleurs, on a identiquement 55 (wu) . 0) = Eu). Sto (u) + (wu) >
d'où

ol) - ,, (wu) = $i, (u) 0 (4) (ez — eu) + 01
= (e CE D £u), Suo *(u) +5 5 puo t) Sto (u) 2

Si l’on fait, dans cette formule, r=/—2, s=m, et qu'on l'in-
tégre, elle se changera en

(6) &, 608,00) du — | ög (WS G0 du ae) EE Wdu=0.

En éliminant, entre (5) et (6), une des intégrales | 530 (ue) Sno(u) du

er | Solu) eta udu , on aura une formule de réduction de l'intégrale

proposée (4) plus commode que (5).
En vertu des formules (12) p. 5, l'intégrale (4) donne les valeurs
des intégrales

du.

I m l I
cos am u . A” am u cos' am u AN am u
f du. jJ: du

" pex c ee 9 SS. EE mE
» sin^" am u sin" am u sin" am u

44 AxEL SÖDERBLOM,

8 9.
Caleul des valeurs des intégrales

ERO) E Qu) du , ERO) Ej u)du , IEXOEXO (97 3 Hote) Cu) du
(l,m =2,3,45 525

Chercher la formule de réduction de Vintégrale
j I

(1) J = [5,8 code :

| étant un nombre entier positif.
D'abord, on a l'équation de M. WzrEnsTRAsS (h) p. 5

EXO & cu) d'u = [Eu CCE ex) JE, (du à

(o,

intégrales dont nous avons donné les valeurs dans les $$ 3 et 2.

Quant à la réduction de l'intégrale IER) & (udu, on en a la

premicre transformation:
OO EQ) + Spot) Saul) = 5 Q0)8, Q0) — (ea — Cu) 86 (HEALY) 3
en vertu de l'équation (2). En intégrant la derniére équation, on en

déduit
(8) förtärd — [Bet &lu)du — (ea — en) [BAC du

Parce que l'intégrale IESOEMO du peut être calculée par la

formule de réduction (3) p. 42, l'équation (3) est une formule de réduc-

tion de l'intégrale föl E (4) dw, très-commode, si 1=2,8,4.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 45

Deuxième transformation: On a
RV zo = du Vei) 5, 005,02]

— Eu) OO MO IO SNO ONCE RO UNO SN OTHO,
= (a — e) 8 Q0) Eilts) — h(t) Spy (ts) E, (0) — kö Au) OO NO
= (eu — 65) 8 Q0), (0) — 8, 00) 8, (0) (ea — ev) + SU) —
— köt Qu) & Kr — ex) + 800] C — ev) + 8,02]
— (E + VE) — (GE + 1) Ca — ee) + bea — 62] DEL) —
— k(ea — eu) (ea — e) 8 (0) By, (o).

En posant, dans cette équation, / — 2 pour k, et en l'intégrant,
on en déduit

(4) IEXOUNOET des: — (ea = ön) sb

Gi 2) | a
Deni he, =) BE (u ) Saul) due NE (ea en)ler es) | Bite) & (wu) du.

Cette deuxiéme formule de réduction de l'intégrale PEXOTNOET

est applicable, si ce n'est que /.—1 — 0. Lorsque / = 1, on n'a qu'à
employer l'équation (2). — Quelque grand que soit le nombre /, en em-
ployant plusieurs fois la formule de réduction (4), on rendra l'intégrale

proposée dépendante des intégrales J, = J&yGodu, J, — EXO & (du,

Js = [eto du. — Pour J, voir les équations (4) et (5) pp. 25, 26; pour

J, voir l'équation (2); pour J, voir $ 2.
Chercher la formule de Moe on de l'intégrale

(5) es fi MOTOS

m étant un nombre entier positif.

46 AXEL SÖDERBLOM,
On a
E (Su Sau} = (es — e) Si QD Sole) — ken — eu) SM) Shue QU) S, Qu)
= { (eu — 628, 0 Ej, (0) — ber — Eu WE) ES, (0)

— &j (u)

— Cu

= (ese 8, G0 + Ee) OBS IC BED: (EC)

a. — —

CAO

UTOR OE
er en 0 ‚u

en vertu des équations (6) et (8) p. 3. — Si nous posons, dans
cette équation, m — 2 pour k, et que nous l'intégrons, elle se chan-
gera en

t cm 1 Pr E em—2/,,\
(6) JADE du = — PE B, (u) Sh) +

(p = IL duo

2 n i D? C= AERO MOLL a ese e = FO uu.

fi) = dl m e Gy) (p — ll Ga = d»

Cette formule de réduction de l'intégrale est applicable, si ce n'est que
m—1=0. Sim=1, on n'a quà employer l'équation (2). En employant
plusieurs fois la formule de réduction (6), on arrivera à des intégrales de

la forme J, = J£,,(u)du , ou de la forme [008,004 . Pour J, voir

les équations (2) ou (3) p. 22.
Chercher la formule de véduction de l'intégrale

(7) J= [ens Qdu ,

l et m étant des nombres entiers positifs.
On a identiquement

Eu) Qu) = El) Eu) « Stale) = E) 51, (0) (1 + (ea — eu) Scales)
= e Qu) Shu) + (e2— eu) 85 0081,00) -

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 47
Par l'intégration, cette équation se change en
(8) föl EO du = fö ROT ie "roam e ares a) [Er COS, C0 du.
Par cette formule de réduction, on. peut rendre l'intégrale pro-
posée dépendante des intégrales IL ON 4 IEXOENOLDE [Sud ,

föl &,(w)du dont nous avons donné les valeurs dans les paragraphes

= 4, 9.
D'ailleurs, on a

5 (85, (0) 81, 00)5,,0]

= — p&'(u) £j QU & (U4): &(w) — q(ex — Cu) Stol) 81, (Wu) Svo( (u) £, 0) S, (vw) —
ren 520 (u u)&,(u)£ Suo()

= — pB Qu) Ep, Qu) Lea — e») + $00] + 451, 0081, Q0 Ves — ev) Siu) —
— (eà — e) — CU) Q0)

= — (Pu (w) — PH qYGa er); (0), (wu) + (eue) (ES Cu) -

En remplaçant, dans cette équation, p par | — 2, q par m — 1, et
en l'intégrant, on la changera en

9 — —BS&'Q 05,0) = (1 — 0/8, 0)802 du —

= (m — Yes — e) 808g, 0) du + (1 + m — Y — e [Ed
En éliminant, entre (8) et (9), une des intégrales Eu) DES (a)

et Je (u) Wdu, on aura une formule de réduction de lintégrale

IEXOETOTE plus commode que (8).

En vertu des formules (12) pp. 5, 6, lintégrale (7) donne les
valeurs des intégrales

fe am u. sin” coam u 5, eae amu, i Ai am u n
- pare te peta POSE TE 9 " n
sin’ am u >) sin’ am u sin’ am u . sin" coam u

? lim a m
am % 1 coam u
— 5 | — : du, AT COMP I Ju
sin' am u J sin’ amu. cos” am u sin’ am u

48 / AXEL SÖDERBLOM,

§ 10.
Calcul des valeurs des intégrales
5, ,(u) §,(u) du , IE Swlu)du , förl SMG c föl Su. (u) du
(I... m= 2, ON
Chercher la formule de reduction de l'intégrale
(1) J= | EE (wdu ,
| étant un nombre entier positif.
D'abord, on a l'équation de M. WEIERSTRASS (g) p. 5
(2) [5,608,004 = log €,,(u) +

Quant à la réduction de l'intégrale (1), on a

dé a(t) _

du

T AUS Kö, jo (#4) C) C 1) = ke (u) Bu) 50,0) 2 Eu)
= A (u)e, Qu) . (en — e») + 50}
— kön, Qu) S, (wu) — ben — ey) $3, Qu) Sou). -

En posant, dans cette équation, /—1 pour k, et en l'intégrant,
on en déduit

SU
=D Ge) ftw) Sled

RR (u) du 2 —

Cette formule de reduction est applicable, si ce n'est que / — 1 = 0.
Lorsque -/— 1, on n'a quà employer l'équation (2). — En employant

^

plusieurs fois la formule de réduction (3), on arrive à l'intégrale

J, — 20) du, ou à l'intégrale | 5,00) Sw(u) du. — Pour J, voir $ 4.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 49

En vertu des formules (12) pp. 5, 6, l'intégrale (1) donne les
valeurs des intégrales

iY 1 i : PAI 6 i
amu. A amu cos'amu./\coamu Alam u. cos amu
> 2 = i | Soe du, | = s du,

: sin’ am u sin’ am w sin’ am u

"g i 1 "sin coam u
An du | : TE m du.
sin

| sin am % . COS am u “am u. sin eoam u ^J sim'amu

si ce n'est que / — 1. Lorsque / — 1, les valeurs de ces intégrales se
donnent par léquation (2).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) 5 ou) S; E nate
m étant un nombre entier positif.
On a
d£ (u) ad ie
SITE 1 -—k (eu UE. ey) m "(u) Sy) Sovlu) x NE. k (eu rada ev) in (u) 5.) a)
2

= he Q5, ne} = — 65,0085, + LE Cu) 87 Q0) 9

par les équations (6) et (8) p. 3. Si lon remplace, dans cette
équation, k par m — 1, et qu'on l'intégre, elle se change en

€ Qu)

(5) fs 5 o) Sin) dug — ——- Tons Ej (u) E (u) du

En employant plusieurs fois cette formule, qui est applicable
pour toutes les valeurs entières de m, excepté m = l, on arrivera à

l'intégrale J, = [5 00du , Si m est pair, à l'intégrale J, = fö ob) Sy (u)du,

si m est impair. — Pour J, voir § 3; pour J, voir l'équation (2).

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(6) = J= fö) St) du ;

l et m étant des nombres entiers.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 7

50 AXEL SÖDERBLOM,

En remplaçant, dans la formule (9) p. 40, I par — (/— 2), on en
obtiendra

(7) SAAL & (u)du = f: E (S5, (uw) du — (ex — ey) | &z*(u) Cu) du +

ln a) JE fu) Eu) du .

D'ailleurs, on a
EEE) = — 8s WDE DE (08, (0) (exe), CODE Eu
= — pis WEE) — qe — EEE
= ps OE Ge) + BD — EEE) (eia
= — (p — 9) (à — e) Bg Qu) EG) — PEHWE U) — ger — ex) WE Qu)

De cette équation on obtient, en y remplaçant p par | — 1, g par
m — 1, et en l’intégrant,

(8) HE — (— 1) JDE du +
Tl 3) Js SW Er (u)du + (L— m) (ea — ex) IE Eu) Eu) du .
En éliminant, entre (7) et (8), une des integrales OO
et EXO &,(u) du, on aura une nouvelle formule de réduction de l'intégrale
J5 o(u) 85, (u)du plus commode que (7). —*En employant plusieurs fois
les formules (7) et (8), on arrivera aux intégrales fösta tu a EROEN OIE

JE CD du » Js G0 87, (u)du, intégrales dont nous avons déjà donné les

valeurs dans les paragraphes 3, 4, 10. — En vertu des relations (12)
pp. 5, 6, l'intégrale (6) donne les valeurs des six intégrales i

a

4
foot amu. A”amu.du foot am u./A"coam wu. du He

p I m g
am u sin” coam % 1
| JAN du , jee Ones | — —À = grs
sin’ am u. cos” am u Sin am u / sin am % . Sin” coam 4

m

amu.cos"amu
du, ,
sin! am u

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES E(u). 51

$ 11.
Calcul des valeurs des intégrales
[5.608,002w , fit, eos. Cdn, förd (d,m=2,3,4
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(1) J= [sen Cd ,

| étant un nombre entier positif.

D'abord, on a l'équation de M. Werersrrass (7) p. 5

fö = Ci = Coy f. (e OE
2 IE u)E, (u)du = J: (u du — —7 fe udu .
(2) ! au) 55, (4) En (U) "m vu)

A

MO

Des intégrales |5, (u) du et JE Co) du nous avons déjà donné les

valeurs dans le $ 4.

Quant à la réduction de l'intégrale JEuto)E,(u) du, on a

e (85,008,,00] = — (ea — eu) SiH) 55, (0) Eu) + 857 (u) 5, Qu)

= — EB (0), (0) + (E + DHE (WE, Qu)

= {— hE ©) EY) +E + DEE) EU) 5,00

= LAC 8, (0) + (k + DEE} = du E E 4

2

= CR 5 HG) £u) +

e) —

kt +b NARA 8.005,02 —

— (k+ 1) EC Br (u) 8, (Qu) .
er — eu

52 AXEL SÖDERBLOM,

Si lon pose, dans cette équation, / — 2 pour k, et qu'on l'intégre,
elle se change en

1 Qh = p 5
& u): (wu
meme sU

(ler) + (2) (Cue) (ss u u er £4 — Ev fera, 2"
rE ( 22 1) (Eu = ev) ; för ( AC )d BETIS Er ( J£, Q0)dt

Quelque grand que soit le nombre /, en employant plusieurs fois
la formule de réduction (3), qui est applicable, si ce n'est que | = 1, —
dans ce cas, on n'aurait qu'à employer l'équation (2) — on rendra l'in-

(3) [3.0 &,,(u)du =

tégrale proposée dépendante des intégrales | 5, (u) du et JS 008, (ede

dont nous avons déjà donné les valeurs dans le § 4.
Autre méthode de réduction: On a, de la dernière des équations

(6) p. 3,
(Cu FF e») TAC) 5, (u) + (ev x: ei) 8 ou) + (ea vy. eu) E t) = 0

En combinant cette équation avec l'équation (1), on obtiendra

(CIT) IE (u)8, (wu) du = ce ei ^ Jac E(t) Spee) ojo ped mere u)5,,(u)du .

Bn &

Nous donnerons plus tard, indépendamment de ce probléme, la
valeur de la dernière intégrale de léquation (7). Ainsi (7) peut étre

employée en formule de réduction de l’intégrale IPOPOI à

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(8) J = IEROF FOX ;

l et m étant des nombres entiers positifs.
On a, en vertu de la dernière des équations (6) p. 3,

€y

(9) | 1 (uen(u)du EE fae aan SE = |. U) Ku)du .
GR — GT

En appliquant cette formule de réduction aux intégrales qui figu-
rent dans son second membre, on pourrait rendre l'intégrale proposée

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(u). 53

a

dépendante d'une intégrale de la forme [EG du, si un des exposants

| et m est pair, d'une intégrale de la forme [5,005,024 , si ni l'un

ni l'autre des exposants /| et m ne sont pairs.
D'ailleurs, on a

EX Poul DE Sm (t 052, (u) } 5

[ E

än (et) Sf, (te) — p ea — eu) 8,0081; WE) — q (ex — ev) 8,0055 (55, 00
= (p + DE + q55, 00857 (v) — (p + 0) 55,0085, QU)

en vertu des formules (6) et (8) p. 3.
En remplaçant, dans cette équation, p par / — 2, q par m — 1, et
en lintégrant, on la transformera en

(10) (EE 1) förmer u)du + (m — 1) fi „ (u) 82, (u) du =
= Eu) (ME, ,Q) + CEE 3) Js uae du .

En élimmant, entre (9) et (10), une des intégrales EOS Co du

et IEROEAOXZ , on aura une nouvelle formule de réduction de linté-

grale proposée (8) plus commode que (9).

Si lun des exposants / et m est égal à lunité, il faudrait em-
ployer l'équation (3); si l'un et l'autre des exposants / et m sont égaux
à l'unité, il faudrait avoir recours à l'équation (2) pour trouver la valeur
de l'intégrale.

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (8) donne les va-
leurs des trois intégrales

a

[A
: Alam
| cos! am u . sin” coam u. du

? ay n

sin

"A" eoam u
dan du
coam u cos’ am u

c

54 AXEL SÖDERBLOM,

§ 12.

Calcul des valeurs des intégrales

[5 & 0) du , 18,008, ,00du ; [ENT S00 du (L,m — 2,84 599)
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(1) i Jäs dw j
l étant un nombre entier positif.
On a
E (S, 005,00] = — hea — eu) 53, (4) 8, Cw) CD + Sa 0E, Q0)

— KET E, (u) Jb QE 8 1) 555 (5, (0) ;

Si lon pose, dans cette équation, !— 1 pour k, et qu'on l'intégre,
elle se change en

e: R E (wu), (uU) TEENS
(3) JE co Fu) du ub m FE Su WE, (0) du.

En employant plusieurs fois cette formule de réduction, on arri-
vera à une intégrale de l’espece Jena . — La formule (2) existe pour
toutes les valeurs de /, positives ou négatives, excepté | = 0. —
Si ! est négatif, on a, en posant | = — (mL), för aw: du =
DÉCO intégrale de la même espèce que (1). — Si l=1, ona

l'équation de M. WEIERSTRASS (e) p. 4,

a

(3) för, (oo du E ult) :
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(4) J= [5,005500 du ;

| et m étant des nombres entiers positifs.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES £(u). 55
En posant, dans les équations (9) et (10) du § 11, — (/ — 2) pour
I, — (n — 2) pour m, on aura, aprés quelques réductions, et par la per-
mutation des indices,

^ EXE eue RS (00) VE ;
- H cm Alt vu ou Et Em 1
(9) | 53,0057, 00 du = jsp (eor e JE, co ARE
m0 — Il

Be | £5 0 E Qu) du ,

et
(6) (e,— e) | & (057 (udu + (02-64) | Sju CE, u) du = (£3—e») | WE (du.

En éliminant, entre (5) et (6), une des intégrales [E87 du

et EPOENOLUE on aura une formule de réduction trés-commode
de l'intégrale (4). — En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale
(4) donnera les valeurs des trois intégrales,

a

cos'amu.A"amu.du, f. == :
J Sin COam wu. cos" am uw

du

Jan amu. A”amu.du x)

8 18.
Caleul des valeurs des intégrales de l'espéce | EC) 85,0055, Q0 du. .

Calculer la valeur de l'intégrale

(1) J= [éstos n, en du ,
On a, de l'équation TIU = — 28,008, (u) Evo(u) DRE;
i du

4 1p (uw)
— 9 [E,@WE, ‚WE "n =
| o; Q0 op) 55, (W) du fan . E o) 3 E)

56 AXEL SÖDERBLOM,

ds
ES
I log (s — ez) + I OS (G — e) +
(Gi Gr) (A= n (CNE = Ex)
+ : log (s — ev)
(@ — 03) = en) Sv d
ou
g : lur 1
2 SAMS ME (CONCH OY ege e at
( ) | a ) ou ) oo ) (ea m eu) (e S g oak ) +
il n i
log £, (wu) log §,, (uv) .
(eu — ea) (eu — e») = Pa (ev — ea) (ev — eu) 8 5 ov (1)
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(3) J= 15:60 Fue (u)du ,
| etant un nombre entier positif.
On a
EF)

= kE (WE WE u) = EE EU) a) 5, Q0 5, (2)

= BAL + (e2-- EL + (ca EEE WE

du

SRE Qu), WE, Qu) 4-362877 (wu), (05, 00) 4- k(e— eu) (c2—en) EEF (5, 08, QD.

En faisant, dans cette équation, k 2 [ — 1, et en l'intégrant, on
en obtiendra

ace | 5 (u)
(4) f al) N ee
3 er L1—2 >

y (u) 5, (n) Font) du —

2 AO OO
(er-—eu) (e1—e») !

Cette formule existe pour toutes les valeurs de l'exposant l,
excepté /—1=0. Lorsque/=1, on n'a qu'à employer l'équation (2). —

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 51

En employant plusieurs fois la formule de réduction (4), on arrive aux

2

intégrales J, = J 59) Ey (2) du ’ J, = ERO) Sy (u) du ’ J, = [2.008 „au

et J, = |Esa(2 Eu(w Sop(ts) du . — Pour J, voir § 5; pour J, voir § 11;
pour J, voir § 7; pour J, voir l'équation (2).

Chercher la formule de réduction de l'intégrale
I

(5) = EU) Sou 05, CD) du 9

| et m étant des nombres entiers positifs.
On a, par l'équation (6) p. 3,

1 ; was
(6) fö Eu) EC) du = m SC) sn, (WS, (u)d u —

1
e, —

= Je E CE, (u) Sor (wu) du

En employant plusieurs fois cette formule de réduction, on pour-
rait rendre l'intégrale proposée dépendante d'une intégrale de l'espéce

E (u)E (u)du, si un des exposants est pair, d'une intégrale de l’espece
oh ov p p S p
IÉOPOMOLTS si aucun des exposants n'est pair. —
D'ailleurs, on a
E ACD ECD) = p 5, COE) + q 55; COLMA COLAC)
= 502 u, + 955,00]
= Cp + q)55 Cu) 5, Q0) 8, Q0) + pCez — en) RFU) 5, (0) Son) +
+ qu — e») Qu) o En -

Si l'on fait, dans cette équation, p 2 (1.1, q— m — 1, et qu'on
l'intégre, elle se change en

(7) (J—1)(ex—ev) EXO Sou (Uso Qu)du + (m—1)(eu—er) [Er (0)85,(u)8,, (u)du =

= uu) (Q0) = (som — 2) fö Er (U) Sou (u)8 or (u) du .

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8

58 AXEL SÖDERBLOM,

En éliminant, entre (6) et (7), une des intégrales os Sou (Ut) Soy Code
oa (it) 7, (u) S, (u)du, on aura une formule de réduction de l'intégrale
Er E (u)5,, (uw) du plus commode que (6).

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(8) J= IE alu) 5, (0) S5, (u) du ,

l, m et n étant des nombres entiers positifs.
On a, par l'équation (6) p. 3,

0) — OP OO EE för EDET du

Ui

OO ONE

Cu Ee ev
En appliquant cette formule de réduction aux intégrales qui figu-

rent dans son second membre, on pourrait rendre lintégrale proposée

dépendante d'intégrales de lespéce J, — JE Soukw) du ou de lespéce

dl; = [SOE OE, dw. Pour J, voir § 5; pour J, voir les équations

(6) et (7). — En permutant, dans l'équation (9), les indices A, u et v,
on en déduira deux autres formules de réduction, analogues à (9), dans
lesquelles m, ou n, ne serait pas affecté par la réduction.

En vertu des relations (12) p. 5, l'intégrale (8) donne la valeur
de l'intégrale

sin tr am u
a MÀ a du
cos am ^w. /\”"am u

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 59

$ 14,
Calcul des valeurs des intégrales de l'espèce | $0) EQ) Su)du .
Caleuler la valeur de l'intégrale
(1) J = Or Ed
On a
IPORCOPOTE

Ty a) = l You) — e me. dp(u)
2/ Vy p(w) — ea Vp(u) — eu nO ace Vp) — ea Vp(u) — eu Y p(u) — ev

re GE) = G SE => er E alte — | — |

if i "e Veu—ea + Y p(u)— e
en sey | uas.
a1 — eu pe ae): | pQ)— e. = ERU
lorsque e, — e> 0 ; et
1 1 1 > plu) = Gr (ete)
E ——————— sss —À e 5 Ce
€ — Eu Y p(u) — er 9 2 (eà — eu): PU) — eu u
lorsque a — e, > 0. — Ainsi, on a

À f EE DE du = — PD AL 10g DES en Su) +

eu — € 2 (ey, — ea).

1

Alan a

sr E) SAC) Sr | är Cste

60 AXEL SÖDERBLOM,

lorsque e, > 62; et

(3) J: & (WE, WE, Cu) du = B 5 a

1

+ OB are sin (1 — 2 (e4 — eu) &,(u)} + Cste

lorsque ES en. —
De plus, on a, pour l'équation (2),
MEE OS OO ON
2 Ve, —e1 DO;

Ves ead ,(u)-+6, (tBu) +

(eu = ea) Soul) zi 2 Yes eA C) &.(u) Sr & (wu)
DEREN,

Ainsi, la formule (2) se change en

IQ 1
2-04) (Grane

(4) fö CE OC) val) du = g (Ver — e2&,, (0) 4-55, (0).

Par une transformation analogue à la transformation de l'équation
(3) p. 26 l'équation (3) devient,

Eau) 1

© DUM SEES n
C1 — Eu E (ei — eu) arc sin VER = Gr &, (u)) x

(5) Sol) J "no 5 (2) du =

quand e; — e, > 0.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(6) J= erw: (u)&,.(W) Sn (u) du ,
l étant un nombre entier positif.
On a
d& ,(u n a ; 2)
Ba) ferie) E(u) Eu) = LE Qu) 6, ON ON =

du
= LE wu) Soul) Sa (u)s S 7 Lei S Eu) Ea(u) Soul(w)S,, À (u) ar US Ig of (WE uU), alu) ?

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES É(u). 61
par l'équation (6) p. 3. Done, par l'intégration, on aura

E ; " S LP NE
(7) ERO Soul(w) Eau) du = m —— = 3 tO MORNOLE :

Par cette formule de réduction, on peut rendre l'intégrale pro-

posée dépendante de lintegrale [5,008,054 , si | est pair, ou de
5 :

l'intégrale IO Sulu) S, (u) du — si I est impair — intégrales dont nous

avons déjà donné les valeurs.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(8) T= f£,008, Eu du,

n étant un nombre entier positif.
On a, par l'équation (k) p. 5,

(9) — fön(w Enl) Sle du — —L— fl&40) — 8,0) Eu) du =

1 > E 1 fe Bice
= Io Eu) du — J E, t) 5,1 "(u) du 9

Ch — Cp Ca — Eu
intégrales dont nous avons déjà donné les valeurs dans les paragraphes

diet 12.
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(10) T= | SEE alu) du ,

l et m étant des nombres entiers positifs.

D'abord, on a, par l'équation (k) p. 5,

(11) | Shale) Soule) 5, (u) du = — J £j), Cu) Cu) du —
o | — Cu

~—1_ fere,e,@)an .

ER Eu

62 AXEL SODERBLOM,

Ainsi, l'intégrale proposée sera remplacée par deux intégrales, de
la méme espéce que (10) dans lesquelles un des exsposants est réduit
de deux unités, l'autre gardant la valeur primitive. — Mais on a aussi

das 2 = ^ : à
Tey Soul) So) o PSE) Soult) 8,005, 00) + 955200) Sou Cu) Stace) valet)
= pS wu) sou Qu) 5,4 Qu) + 9502 (4) 85,00 5, (0) 5, 0052,00)

= psu) Son Qo) Sa) + 2550) Wr -

Si l'on fait, dans cette équation, p 2 1, q— m — 1, et qu'on l'in-
tégre, on aura

(12) 1 [35003508560 du + Qm — 1) [ECO 87, (08,00 du = EET

En éliminant, entre (11) et (12), une des intégrales | (8o (MS ya (wu) du

et EX a (ut) 55, (u) 5,00) du , on aura l'intégrale proposée remplacée par une

intégrale de la méme espéce, dans laquelle un des exposants est réduit
de deux unités.
Chercher la formule de véduction de l'intégrale

(13) J= FO MOL du ,

l et m étant des nombres entiers positifs.

D'abord, on a
— WE) WIE WE + q (1 — 85, (0) 55 (4) Soule) ru)

= (p+ q) (eà — ex) Sat) S, QU) + qs — 0:55 008,005 Qu) +
Tp QS, QS Q0) >
en vertu des équations (6) p. 3.

Si lon pose, dans cette équation, | pour p, n — 1 pour q, et
qu'on lintégre, elle se changera en

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 63
Ey) S Q0

Un — D (e eu)

l

7 QE n-— 1) (e — ex)

ipm ll E

(toa = Il Eu

(14) IFOMO Suu) du =

*(u) Eu) Eu) du —

— fö, (WE ad.

Dans chaqu'une des intégrales qui remplacent l'intégrale proposée,
un des exposants est réduit de deux unités, lautre restant le méme. —
Mais on a aussi, par la relation &,(u) — PME ey) &y(w) = 1, (6) p. 3,

(15) Ja a (US CU) Sau) du — (ea — 2 Fu) MO AO du =

= [ere *(u ) Sou (u) 57 (ul du .

Parla combinaison de (14) et (15), une des intégrales ae Soulw) 85 (w)du

et Ja 7 u) &,, (wu) (wu) du pourra être remplacée par [820,008 öra (u)du ,
dans laquelle chaqu'un des exposants | et n est réduit de deux unités.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(16) J= [SE Cowan ,

1, m et n étant des nombres entiers positifs.

Première transformation: Par la relation £;(u) = 1 + (ea — ev) &;(u),
(6) p. 3, l'intégrale (16) pourrait être remplacée par une somme d'inté-

rales de la forme |&,(w)é" (u)du, si n est pair; par une somme d'inté-
S od p > Pp

grales de la forme IE on) Sonu) §,,(u)du, si n est impair. Mais en con-

séquence de cette transformation, l'exposant b serait plus grand que L.

Deuxième transformation: On a, par l'équation (k) p. 5,

(bye Eco Söu(u) Salu) du = = for; CIE

JE E D JE £x Qe u) Sy(u)du .

el — Eu

64 AXEL SÖDERBLOM,
Par cette formule de réduction, lintégrale (16) pourrait étre rem-
placée par une somme d'intégrales de la forme J £40) E), ou par
une somme d'intégrales de la forme [s.608,60850) du . Alors, un des

exposants sera réduit sans qu'aucun des deux autres exposants ne. soit
augmenté. — Mais on a aussi

CO (WE) =
= pé (u) (4) 7) Saal) + ER Eee +
+ ra — en) E(u) En Cu) Er (we)
EEE + qi; Os OM + nC — ER)
= (p 4 7) (Eu) + 987 0) WLW — ri 008 DE CG),

en vertu de la relation (6) p. 3. — En faisant, dans cette équation,
p=l,q=m—1,r=n—1, et en lintégrant, on aura

(18) (U 25 — 1D) ones, RD E (udu + (m— 1) | 65s (à) Su) Sg udu =
EEE + (n — 1) fS VET Wu .

En éliminant, entre (17) et (18), une des intégrales IB (ETW, U)du

Son

57 (u)85 (uw) &(u)du, on la remplacera dans la formule de récursion
vå ? p

définitive par l'intégrale JEFE OT dans laquelle deux des

exposants sont réduits de deux unités.
En vertu des équations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (16) donne les va-
leurs des six intégrales

i sin'^" am u d Í sin'*" am u En sin'*" am u an
I = ,
eos^*"amu. A”’amu J AN ^*am u.eos"am ar cos'amu.sin"coamu

pum. amu. /A"amau di jme sin” Beamer 5, ins: amu,
cos! am u i Alam u Alam u

U.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 65

§ 15.
Calcul des valeurs des intégrales de l'espéce |5500 8, (w)5(wdu .
Calculer la valeur de l'intégrale
(1) I = [ES OO
On a
[Saxe Eu Sn du =

SE f 1 Vpl(u)—er Vp(u)—e, | dp(u)
2S Yp(u)—ex Vplu)—eu Vplujer — Vplu)—er Vplu)—en Vplu)—ev
Ecl Crus

2) (s — ea) (s — eu) Ys — ea Vs — e»

JI REA ds Mere, ds !
TANGER Re — e) V(s — ea)(s — e») +3 ea — ue V(s—ea)(s—e»)

Puis, on a
steers gOS gras ee SG) | GE d

rs >” à) fe), dw

= — (ev — ea) [§,,(u)§,,(u) du = §,,(u) «
Quant à l'autre intégrale, on a, p. 19

1 ds E
2 s du
2) (s — ey) V(s — ex) (s — e») Ja

log [Ver == Gy Saul) =P Ves — dl é («| == Cste

1
CINCTUS,
et

@) [ROMO LOE

E(u) il Veu PPS
EG Eu Ch — En Ven — ei

log (Yeu — e, Su) Verte: 5, (4) + Cste ,

lorsque (e4 — eu) (€» — en) > 0 .
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 9

66 AXEL SÖDERBLOM,

Lorsque (ei — eu) (ev — ex) <0, on a

S ds
j GE A) "ZO CZ) =

ide yc pde mg
I arc sin > = 64) - Een fA ene

| Va— eu) (en — &) (s— ex) Ve — Aene,

= OK ae

Mais ex —4erev = (ea— ev) ; 4e + 2erer = 2(er—eu)(®—eu). Ainsi, ona

J: ds T
(s — eu) V(s — ex) (s— e»)

1 öd OG (Sem Gn, = Allen Gm) (Ce)
= arc sin —# Z Cste
VC — ex) Cn — e) (5 — 4) (n — e) Se
= E arc sin Seu — 2 (ea — eu) (Eu — ev) Fou) + Cste
V(er Ge Eu) (27 — ev) 64 — ey”
e 1 ane ska Seu — (eu —ev) Lulu) (er en), (0)—1] + Cste
Yale) 64 — 6»
= 1 are gin (Cu Ex ev) Siu(u) ae (ea a Cu) Ew) 4 Cste
Yea — eu) (eu — e») er

et

(3) [Eco D (we, (u) du x a

5i i 1 Ven — e. ew en (eu — €») Eu (wu) — (ex — eu) uw ln Cste ,
261 — Eu Ver — Eu £4 — Ev

lorsque (a = eu) (eu — ev) 107
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) J = JADE, MEA ,
| étant un nombre entier positif.
On a, en vertu de la relation £, (wu) Eau) = a m)

_ Eu — Ev y
Er au (4) ,

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 67

déduite de la dernière des équations (6) p. 3,

(5) f& alu) 5, (2) 5; (udu = S ums Jos u)$ alu) (udu. ea er ii fs or (u)5, (u)du .

€ — Eu €} — Cu

La formule de réduction de l'intégrale IPOPONT est déjà

déduite dans le paragraphe 6; celle de l'intégrale | oa Q0, (w) du dans

le paragraphe 5. — Donc, (5) est une formule de réduction de l'inté-
grale proposée.
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

np

(6) JN ] Eu) Er, (u) 5,4 Qu)du. ,

m étant um nombre entier positif.
On a, en vertu de l'équation (/) p. 5

(7) fred D8 dau = SHE för 00 du

X uin f f Fue, (udu .

el

En appliquant cette formule de réduction à la premiere intégrale
qui figure dans son second membre, on parviendra à rendre linté-
grale proposée (6) dépendante d'une somme d'intégrales de l'espéce

J, = [5,08 (udu et d'une intégrale de l’espece J, = [5500540040 ,
si m est pair, mais de l'intégrale J, — Jöns ED Eau) du, si m est im-
pair. Quant à la valeur d'une intégrale de l'espéce fe (u) 5; (v) du , nous

lavons calculée dans § 7. Pour J, voir § 6; pour [é608,008,,00 du,

voir les équations (2) et (8).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(8) PO OL ONE

n étant un nombre entier positif.

68 AXEL SÖDERBLOM,

On a
EA ber EEE) = Blea — o5 005,00 EE (2) Bi)
zum uh u
= Ke — eu)E,3(0)E, (u)8 (wu) + klen — ev) 502 (2) 5, (0) Sa (u) >
en vertu de la dernière des équations (6) p. 3. — En faisant, dans cette

: IMP
équation, k =n, on aura, en lintegrant,

© fö, = — AO fö (a) EET Ae -

LO esr En mm Op

En opérant ainsi plusieurs fois, on arrive à l'intégrale J, =
Ja 608,624", si n est pair, à lintégrale J, = föl EA(u)du, si

n est impair. — Pour J, voir § 7; Pour J, voir les équations (2) et (3).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(10) ges n NOLSOBOLLE
l et m étant des nombres entiers positifs.
On a
él — Ev m— — €» m—
G0 57 (0) a(t) — 717 EGO (8,400 — Foal) Bre) Eau)

= — — ty aS P) E Qu) £a (u) M = — by zT E Qu) C)
ÅA

2 PODES OED EEE
E

el —
_ & — &y 1 m m
= puni m 2 AS E(u) 57 (u)5,,(u
eg. Bd lon mare htt) Eva (tt) +
1 k
gt? Em—2 & u
s DEEST oA (u) vu (wu) val ) ?

Mis gin Og lt oa i t PROP te ee e

aye

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 69
d'oà
(11) E (u)E™ WE (u) du = Aa E (u) ErU)E | (u) du
oA Py") 7 yÀ ST DER où vu vå s

1 för EE 00 du in = = ;
cm LL

Jam 0 du .

N — Gro

L'équation (11) est une formule de réduction de l'intégrale

a

| 5,005,005, 00 du, par laquelle elle pourra étre réduite à des inté-

Öv

erales dont nous avons déjà donné les valeurs.
Mais d'ailleurs, on a

E (£0), 008,4 (20) =
= PETE WELLE) + qeu — 655087, 025,5 00 8, (28; (0) +
| + (ea Er WWF, Aw)
= p; (WE ME OEM) TIC — 60555 0057, MEW) (0) +
+ (ea — en) ET WEL WE, Q0
= (p + Da — ex) SQ) EWE) FET OEE +
+ (D — PER 05/050) .

Si l'on fait, dans cette équation, p=!—1, q— m — 1, et qu'on
l'intégre, elle se transforme en

(12) $51 0037, (05, (4) = ler — ev) f 55,0057, (WE, (u) du +
= (ere) Ex Q0 87, (0) 5,; (u) du + (l — m) J Eu) Se *(u)& 1 (u) du...

En éliminant, entre (11) et (12), une des intégrales 940057, (UE, (ude
et |5570)57,008,,0)du , on aura une formule de réduction de l'intégrale

Jens, 05, 00v plus commode que (11).

70 AXEL SÖDERBLOM,
Chercher la formule de réduction de Vintégrale
(13) J- fg (WE, (u) (wdu ,
l et m étant des nombres entiers positifs.
On a
+ (87, (20) NO EN (QS) SE) + ge — DEEDS a) EC)
= pst WE, U) £00 8,0) + qler — e») 8 Q5, (u) Sha) Fas)
= (p + q) (e — ex) £j (u)5,,(u) Eau) + a (ev — e») 553 a) 5, (u) Bra Cu) +
+ p55 MEO EA) »

par les relations (6) p. 3. — Si l'on fait, dans cette équatiou, p — | — 1
et g =n, on aura, en l'intégrant,

å j 502 (tt) Salu)
(14) J Pit) eg) yt) mE (CN

n Eu — €» n—
pi Ee feos, needa =

| 1
FER be fee QUIE i
l + ei, dex B (uw), „u, (u) du

Par cette formule de réduction, on peut rendre lintégrale propo-
sée (13) dépendante des intégrales f& alu) 5, (u) du , Ja (08,0) 5, (u) d u ,

„(U £".(u) du ou u)£, (u) 5” (u)du , dont nous avons donné les va-
vå 5,1 vu vå ?

Fe dans les paragraphes précédents.
Mais on a aussi, en vertu de la relation E;(w) = 1 + (ea — e)£y(u),

(6) p. 8,
Q5) — fes 005, (ule du — (ae) [Ends ET 004 =

= [fe Erz God

Piin PRU Ptr gp rmt €

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 71
En éliminant, entre (14) et (15), une des intégrales [ö, Q8, 0055 (u)du
et fö on (wu) 5, Q0) E; &,(u)du, on aura une formule de réduction de l'intégrale
[5608,00 ‚(u) du plus commode que (14).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(16) ji On (u)E(u)du ,

m et n étant des nombres entiers positifs.

D'abord, on a, en vertu de la dernière des équations (6) p. 3,

an förenar = A= fe, 00570055004 —

PIA f 5,00) £,(u) Sa (u) du .

58 = Gr
En appliquant cette formule de réduction aux intégrales qui figu-

rent dans son second membre, on arrive à des intégrales déjà calcu-
lées. — D'ailleurs, on a

— (1,693501 =
= P (Cu — e) (0) Salu) Fou) + glea — ev) EU) £7 (w) (u)
= p(ea — ev) 5,3 (u) Sj, Qu) Salu) — plea — ex), QU) u) 55) +

+ la Edina Q8 .

En faisant, dans cette équation, p 2 m — 1 et q — n, on obtien-
dra, en lintégrant,

: DEN)
(18) f 8,00 5, (0) (n) du = — (m —1) (n — e)

m--n-—1
m-—1

+

ee == | E EQ) du,

12 AXEL SODERBLOM,

formule de réduction toujours applicable, si ce n'est que m — 1 2 0. —
Si m=1, on na quà employer l'équation (9). — En employant
plusieurs fois la formule de réduction (18), on arrive à lintégrale

J, = [Eco "(w)du, si m est pair, mais à J, = OEM COLTS si

m est impair. — Pour la valeur de J, voir § 6; pour celle de l'inté-
grale J, voir l'éqQuation (9). — En éliminant, entre (17) et (18), l'inté-

grale Jaco tos z(w)du, on aura la troisième formule de réduction

de lintégrale proposée, dans la seule intégrale de laquelle l'exposant n
sera réduit de deux unités, lexposant m restant le méme.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(19) J = [ud
l, m et n étant des nombres entiers positifs.
Par la relation &,x u) = 1 + (e — ey) 8; (wu), (6) p. 3, l'intégrale pro-

posée peut être exprimée par une somme d'intégrales de la forme

Jéeoss. (u)du, si m est pair, de la forme IE: 2(u) 85, (0) 8,4 (uw) du , sin est

vu
impair, intégrales dont les formules de réduction sont déjà données.
Mais cette transformation ne pourrait être employée, sans que l'expo-
sant | ne fût augmenté audessus de la valeur primitive. — Mais, on a,
comme dans l’avant-dernier probléme,

(80) J E(u) En (u) (udu = Gu 6» ^ & (u) Er, u) E (u) du —
ev — Cu
1

aa

=, eO ON odi I and.
Cette formule de réduction n’affecte que | et m, en laissant l'ex-
posant n intacte. — De même, nul des exposants n'en est augmenté
audessus de la valeur primitive.
D'ailleurs, on a aussi

EEE = (p +) (er — e) Er) +

+ q Hans a 055, QU) Spal) + pen (u) $5, (EC) —
[27

64 —

94 WE On)

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES £(u). 13

Si l'on fait, dans cette formule, p= 1-1, g=m—1,r=n, on
aura, en l'intégrant,

-

(21) SME ME) = (c8 — 1) (6 — e) f Su) Se (te) $5, (u) du +

+ (m — oe MEN =" föra Sv. (w) Salu) du + (| — 1) Jis WE, (u) Salu) du —

vu

— (= EA = wen föra (ONE *(u)du .
cT ey

En éliminant, entre (20) et (21), une des intég grales |: Swen, (uu) Qu)du

et fed WE du, on introduira dans la formule de réduction une

intégrale dans laquelle le troisième des exposants est aussi réduit de
deux unités.

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (19) donne les va-
leurs des siz lintégrales

m

f siam u.A"amw 7, > am wu. A" coam u
ae ea a

L eh
J cos! am u.sin”coam u cos!” am u

Sin! am ©. cos" am u . sin” coam u d sin’ am u
u A de

Al am u "" am w. cos” am u

: Le :
3 ; sin am a. am u
Js am u . sin” coam u. cos" am u du , Je ud du

sin” coam u

8 16.
Caleul des valeurs des intégrales de l'espéce In §5 p(w) Sm (u) &(u)du .

Calculer les valeurs des intégrales

(1) Je ORO OLE

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 10

74 Ege AxEL SÓDERBLOM,

et 7

(2) J, = |: Eu) Sra (u)& (u) du
l et m étant des nombres entiers positifs.
On a
one
(3) [Babs Su (05 (u)du — A 2

et
En)
(m $1) Ca — «2

Chercher la formule de réduction de Vintégrale

6 — OL OL FOL

(5) I = [Er ON OL

l et m étant des nombres entiers positifs > 2.

Par la relation &(w) = 1 + (e — en) (v), (6) P. 3, russel pro-
posée pourra étre remplacée par

[EOE Cae = JE ET CNE Cure) [EOE E (du

Mais de cette maniére, l'exposant m ne peut étre réduit, sans
que I ne soit augmenté. — Or on a

(6) ri & (Qu) EL a(u)) = ps (MELE (08, Q0) + qlea — en) (u) Sha Q5, QU)
= pe WE WE + q(ex — eu) i 854 (u) Sau) +
+ p 552 WE Cu) Eau)

= (p +9) (ei — ex) BP UE $400 + psn) Ska (Saw >

en vertu des relations (6) p. 3. — Si lon fait, dans cette équation,
p=l—1,q=m+l1, et quon lintégre, on aura
OO

(7) Ei) Eu) Su) du (4 + n) (ex — eu)

Da 1 1 SI m
Tv l + m : edo jee (CE? i008, Q0)du .

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES £(u). 75
En employant plusieurs fois cette formule, on pourra rendre l'in-
tégrale proposée dépendante de l'intégrale J, = E008, 00d", si l est
pair; de l’intégrale J, = JE COECDE CD du, si / est impair. — Pour J,

voir le paragraphe 12; pour J, voir l'équation (4). — Mais de l'équation
(6), on obtient aussi

E (So) Sea) = p$5 00515 LEE + IE WE U) Sau) —
— 9507 (u) Sin (u)5,a(u)
= (p + NEE) — q85 (w) 8 Q8, Qu) .

En posant, dans cette relation, | + 1 pour p, m — 1 pour q, et
en l'intégrant, on la transformera en

Sox QS, RO qm —1
l+m ar Im

G) Ol O OLE 5,0087; 6), OLE

Les équations (7) et (8) sont les formules de réduction cherchées
de lintégrale ERO ORNOLLE Que lon en emploie celle par la-

quelle le plus grand des exposants / et m sera réduit.
Chercher la formule de réduction des intégrales

(9) Jı = f & Q0 Spa) Sr (wu) du , Jp = IP OP OO du ,

l, m et n étant des nombres entiers positifs.

D'abord, on a (eu — ey) + (e — eu) Sy) = (e — e)&; (9) , en vertu
de la relation (6) p. 3.

Done, lintégrale (9) peut être remplacée par

(10) 12% Su) Su) du = a oi (E £5 QS (u)du +

eee alu) S; (u \er(u)du .

er — ey

16 AxEL SÓDERBLOM,

En employant plusieurs fois cette équation, on pourra réduire l'in-

tégrale proposée à des intégrales déjà caleulées. — Mais de cette ma-
nière, l'un des exposants ne peut être réduit sans que l'exposant m
n'augmente d'autant d'unités. — Or on a

aD EEE =

= pj WEL (0) Eu) + q (a — eer (u) Eg) eio) +
p (ea — eo SH Go EE Cu) zu)
= (PE HE ER (WE (u) — ging MEG WT Q0) — vie WEL Qe (u) ,

par les relations (6) p. 3. — En posant, dans cette équation, I + 1 pour
p,m —1 pour g, n — 1 pour r, et en Vintégrant, on aura

E (u) E QU) & (0) he

az) — 8,(a) COTE

fam +n — I
Go == Il Kot SE y
Beim JED OISE vera nose ade -

Cette formule de réduction a l'avantage sur la formule (10) de
réduire un des exposants sans en augmenter un autre. Toutefois, elle
laisse le troisitme des exposants intact. — Mais, si l'on fait, dans
l'équation (11), p=l—1, q=m—l, r=n—1, on en déduira, par
l'intégration,

(3) RE = (— 1) föra) NEN dug
+ m Doe) | 3,60 855 ED (n 1X 62 | ale) 8g 0085") du

En éliminant, entre (12) et (13), une des intégrales | $;(u)577 (u)&; (udu

n

et IE £u) Salu) 5; (u)du, cette intégrale sera remplacée, dans la formule

de réduction définitive, par une autre intégrale, dans la différentielle
de laquelle l'exposant de &,,(u) est réduit de deux unités.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES S(u). (n

En faisant, dans l'équation (12), / = 1, on aura la formule de ré-

duction de l'intégrale | & alu) E(u) £u) du .

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, Vintégrale |& (u) &z(w &,(u) du

(9) donne les valeurs des intégrales

a

| sin’ am u ? os am u . Sin” coam u m
. I
cos't” am vu . sin" coam u E, AG amu

4

| sin’ am u . cos” am uw. AN” am uw du .

S Ine

Caleul des valeurs des intégrales de l'espéce f DA HKD AOL
Calculer les valeurs des intégrales
Q — X DRO) ROLLER FORO ROLLE

| étant un nombre entier positif.
On a, par la relation (7) p. 3,

(e : : 1
(2) | 504) $,, (4) &, (wu) du = — B pu).
De méme, on a, en vertu de la relation (8) p. 3,
a ; So Cu)
(3) IF OPO & (u)du = — Um

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) J = fö (Er Wg, (udu ,

uo\

let m étant des nombres entiers positifs.

18 AXEL SÖDERBLOM,
On a

2 (WE) = — EEE, — EEE.)

— Cp + Sho Qu) Siro — pex — eu) Qu) Sko (u)Syo(u) -
Si l'on fait, dans cette équation, p = /|— 1 et q — m -- 1, on en
obtiendra, en l'intégrant,

_ Sig (u) ROME
(5) IEXOE (u) no) SQ) du = : a m

=

ren [sens 008.) du

On a aussi, en permutant les indices 2 et u et les exposants
l et m,

Seu) So (te)
l JL m

is SUM
pos m (ei Fr eu) NC) Sko *(u)§ (wu) du.

(6) [E05 @Wdu =

+

Qu’on emploie d’abord celle des formules (5) et (6) par laquelle
le plus grand des exposants / et m sera réduit.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(7) J= Jos (4) Se, (20) dee ,

l, m et n étant des nombres entiers positifs.

Soit | le plus petit des exposants l, m et n. On a, comme dans
le dernier probléme,
S19) Sno (ww) S5, Q0)

25g sup

(G) [wind = —

MT PS Fe m
uou Jä WEM +

(o es il
=S NN = (dn n—2 d À
d S m € n — I € ) [4.0057 C) ES (u) u

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 19

En appliquant plusieurs fois cette formule de réduction aux inté-
grales qui figurent dans son second membre, on rendra l'intégrale pro-

posée (7) dépendante de l'intégrale [Se du, si m et n sont pairs, d'une
intégrale de l’espéce J Soe) § (udu, si un des exposants m et n est pair,

de l'intégrale IP OP OO si ni l’un ni l’autre des exposants m

et n ne sont pairs.
On déduit facilement deux autres formules de réduction de l’inté-

grale (7), analogues à la formule (8), si m ou n est le plus petit des
trois exposants.

En vertu des relations (12) p. 5, l'intégrale Ja ce, (u)& (u) du

donne les valeurs des intégrales

l m
cos amu. am u
ji A du.

sin tet? am u

8 18.

Calcul des valeurs des intégrales de l'espéce |.) (w) 5, (u)du .
Calculer la valeur de l'intégrale
(1) J= ERO RO (du .
On a

[5608,08 C9 du =

on © LC
2 Ir )—e1 Vplu)—en Vp(u)—e, Vplu)—er Vp(u)—en Vp(u)—e,

80 AXEL SÖDERBLOM,

nes
22 Si —

| 1 ds ete, ds
be S me E

SU MES d: 2 s — ey) V(s — ea)
(2) LE SM) == Ve, —@l log {Ve — €2 aD) == ZA), + Cste
(3) E (Ye yea S are sin, YA Grå SÖ Ce >

que l'on obtient des équations (4) et (5) pp. 25, 26, par la permutation
des indices à, u et v.

La formule (2) est à employer, lorsque e, — e; > 0; la formule (3),
lorsque 4 — e, > 0.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(4) J= (8,008,005, (du,

l étant un nombre entier positif.

Certes, on pourrait déduire une formule de réduction de linté-
grale proposée en différentiant la fonction 5,5.) , savoir

(5) - EXO C) E (udu = Bun s

Mec timete dU ji EQ) E, (u) & Qu) du —

=

(ex — eu) (ei — e) JW, (W&,(Wdu à

Quelque grand que soit l'exposant 1, en employant plusieurs fois
la formule (5), on pourra rendre l'intégrale (4) dépendante des intégrales

8008, G0du ; IX ; [53005,0250 du, dont nous avons cal-
culé les valeurs dans les Sara apes 10, 4, 18.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 81

Mais on trouvera plus facilement une autre formule de réduction
et plus commode que (5), en observant que

(6) f51,608, 6) 5 GO dw = EROFFOFFOR (du = [SWE aw) du,

intégrale dont nous avons déjà donné la valeur, par l'équation (3) p. 48.
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(7) J = [Ws

l et m étant des nombres entiers positifs.

On a, par la dernière des équations (8) p. 3,

- 180) lu} = — PE (u) 55 (u) 5 — ee (wu)

= — psi We Fe — TEE - 5, (0)

= — p&, (u) Eu) &, (u) (1 (u) + ee) — q 85, (0) Siro (u) Ele le) + er
= — (p+ Du) u) &, (wu) — p (er — ev) Sho (u) 55 u) (vu) —

— q(e« — e») ou) ico (wu) Sv (u) -

En faisant, dans cette équation, p — | et q— m —1, on en ob-
tiendra, en l'intégrant,

el zm S RC Eu)
(8) fi & (ww) &",(u) 53, (u) du = — es br
IR cect m— UE ING = e) [Ws cm (Qu) E(u) an
Nr "
Sn ne LODO CE

En opérant ainsi plusieurs fois, on arrive à une intégrale de
l'espèce J, -[& (QU) S, (u)du , si un des exposants est pair, à une inté-

grale de l'espéce J, — | $4,008, (05, (v) du , Si ni l'un ni l'autre des ex-

. posants ne sont pairs.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 11

82 AXEL SODERBLOM,

Chercher les formules de réduction des intégrales

OF Le f SGOOLTOLLTERS LIOFKOL TORE

J, = [EA ,

l, m et n étant des nombres entiers positifs.
Par la relation e; — e, = Eu) — Sj, (wu) , (6) p. 3, l'intégrale (9)
peut être transformée en

fii, eo Bal) Sede = [8500577700808 — (162) |) EDA ,
ou en
Jf SN) So) &,(u)du = = |: EU) Ba (u) EF (u)du + (e3—ey) JE QU) o QU) = (u)du 2

formules de réduction par lesquelles un des exposants est réduit de
deux unités, mais non sans qu'un autre n'en soit augmenté de deux
unités, le tyoisitme restant intact. Par ces formules, l'intégrale pro-

posée pourra étre rendue dépendante de l'intégralo 5j (0)85,()du , due
est pair, et dont nous avons déjà donné la valeur, p. 47; ou de l'intégrale
j eu) 5, (4) 5, (u) du.

Mais on a aussi

(10) "CON (WE) =

= — pt (WE QE" u) WE (ET (u) —r (ere), ()555 Eu

= — (pt gt NRW EEOC) + ler — eu) WT +
PS OPMOLMO

par la relation (e; — ¢) ®,(u) = 1— E (wu) , aisément déduite de (6) p. 3. —
En faisant, dans l'équation (10), p 20, q— m—1, r=n—1, on en
aura, en l'intégrant,

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 83

SNC) Fo (tt) 9, (u)
(e d 7

(11) Ja SYODMOBTOLLES

Br l+mtn—2 SNO Em Eu) du — mA

qu

i Re) JE Fro eno (WS (u)du.

Dans cette formule de réduction, c'est ! qui reste le méme. Mais
dans la différentielle de la deuxiéme intégrale du second membre de
(11), on pourra, par la relation e; — & = &,,(u) — 53 (u) , réduire I de
deux unités, sans qu'aucun des autres exposants ne soit augmenté au-

dessus de sa valeur primitive. — Par (11), toujours applicable, si ce
nest que » — 1 — intégrale dont nous avons déjà donné la formule de
réduction — on arrive à des intégrales déjà calculées.

En faisant, dans l'équation (11), l=m=1, ou seulement
m=1,on aura des formules de réduction trés-commodes des intégrales

J, = (DE ED du et 2, = [WE

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (9) donne les va-
leurs des intégrales

Em di JE cos”amu ms EEE her
ID Ive] e EI Se ee Nd

sin'^" am u sin” am u sin'^" am u

cos” am u “am u ” am u
— — du sla —_ du HERE uc EE du.
S S

- D D 9 D
in’*"amu. "amu in’*” am w.sin”coam uw sin""amu.cos"amu

2 6.
Caleul des valeurs des intégrales de l'espèce |5,00 5,005,004" .

Calculer la valeur de l'intégrale

(1) EL OP OO

84 AXEL SÖDERBLOM,

Par la relation (h) p. 5, cette intégrale se change en

(2) J &,.(u) 5, (0) 8,, (vw) du = J 3, ou) d a. — (e3 — ey) ie "OBNODI

= t (0) — log (E, (u) + ,o(u)} + Cate ,

à l’aide de l'équation (8) p. 3 et de l'équation (2) p. 22. En vertu de
l'équation (3) p. 22, l'intégrale (1) est aussi

förl) Ene) El) du = Eyl) + Tog (8, ) — Ey (eu) + Cote «
Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(3) Jo = fs 05,005, (od ,

l étant un nombre entier positif.

D'abord, on a 557(w)$, (u) $, (u) = Sj (u)&,,(u) &, (wu) £j; (u) , d'où

Eu) Eee — 5) Eau (4) 5, Qu)

ei — Eu eh — Eu

& (tt) Bay (us) 5, iu) =

20 (&) Ss (u) te Eo (u) BU) 5, u(t)

64 — Eu El — Eu

dou, par l'intégration,

(4) Jet) CE, ale) du = förs (a), (0) du — (ea — ex) [RE DE 004
Par cette formule de réduction, l'intégrale proposée se réduira

en des intégrales föras, ‚du, [EROEMOXLIE si / est pair, ou

för, 005,005, (du, si / est impair, intégrales dont les valeurs ont été

données dans les paragraphes 8, 12 et par l'équation (2).

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 85

Puis, on a
d = zo
qu Vau) E) | = (eu — 02) 8 (u) Saal) Ful) — pit Q5, (08, (0) E (v)

=) == 1) (eu 14 ea) SHE RE AC) 5 AC) — p C) CP ACDEA C0) ?
d'où, pour p—-1—1,

(5) il (uw) £u) §,,(u) du = Eu) Eu) + 1 fc & (u)du ,

formule de réduction plus commode que (4). Pour la valeur de l’inte-
grale fi E (u)£, (udu, voir $ 8.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale
4

(6) Tes 3.03. ROLL

n étant un nombre entier positif.

On a

au; Vi 0085,00) = ~ (ea — en) ECE, lu) — pes — e Bu) BCU), (a)

EXC (ea Gr eu) (u) E uu) +? (eu SE er)E,,(u)§ FA) (u) A)
= — (en — eu) Eu (u) Soul) + PEt 0055, (0) 87, (0) — p51, alu) 87, (te) >
d’où, pour p 2n—1,

Eu
(7) f £j, (u) Ej, (u) 57, (wu) du = ue x pU qu

+ fete S Att) du + fs, (u) 5, (wu) & (u) du.

La formule de réduction de l'intégrale POP (u)du étant déjà

donnée p. 35, (7) est la formule de réduction cherchée de l'intégrale
proposée, applicable, si ce n'est que n ——1— 0. Sin=1, on n'a qua
employer l'équatiou (2).

86 AXEL SODERBLOM,

Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(8) js fösta En (DE (du ,

l et m étant des nombres entiers positifs.

Première transformation: On a, par la relation (h) p. 5,
(9) J: $057,008, (u) du = f SoU) er, (u)§,, (u)du —(ea—eu) | 55, (0) 57,008, (du .

Dans cette formule de réduction, lintégrale proposée est rem-
placée par deux intégrales, dans les différentielles desquelles un des expo-
sants est réduit de deux unités. En lemployant plusieurs fois, on arrive
à des intégrales dont les valeurs sont déjà calculées.

Deuxième transformation: On a

=

E (55,00 81,00] = — p 5 (WE, § ol") 5, (2) — gene) CS, (WS, uk)

= — p Q8, (08, QE, — q lex — eu) 547 (u) 57, 005, (v)

= — psu) 5 (wv) 5 Q0 = (p + MAS eu) 537 (U) 5] (0) AC) ‘

par les relations (6) p. 3. — En faisant, dans cette équation, p 2 1—1,-
g =m, on aura, en l'intégrant

. eil gm M
(10) 2008p us, (onde = — 12780. Pp aa fS 0085, (08, code.

La formule de réduction (10) est à préférer à la formule (9), parce
qu’elle ne contient qu'une intégrale, dans la différentielle de laquelle
un des exposants est réduit d'autant d'unités que les exposants dans
‘équation (9). En l’employant plusieurs fois, on arrive à lintégrale

J, = [sins du, si | est pair, à l'intégrale J, = för eig, ons, du ;

si | est impair. Pour la valeur de l'intégrale J, voir le paragraphe 12;
pour celle de l'intégrale J, voir l'équation (13). —— En éliminant, entre

(9) et (10), l'intégrale f 5j, (055,005, (du , on obtiendra encore une for-

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 87

mule de réduction, conforme à la formule (10), dans le second membre

de laquelle ne figurera plus qu'une intégrale réduite, J Ej 0057, QE, (du 3
Chercher la formule de réduction des intégrales
(11) J, — EXOSXONOLE woe = för (EE du ,

m et n étant des nombres entiers positifs.

On a

— {plea — e) 8, 0082 (WEW + qe — ey) 5p 00587, 0055, 0] $, (Qu)
= — plea — eu) 57, 0085 (US Q8, (u) + Ten — 65,0085, 0087, (WES, (u)
= —p& 05/7 (WS 011 — FW} + 25,0055, 0057, — 1]
= (p + NEM WELW — PH WAP WE) — WE .

En faisant, dans cette équation, p =m et q— n — 1, et en l'inté-
grant, on en obtiendra

Em En—1
vx Js 60550080 du - TN
Er m = 7E EET E ho (u) gr (Uys, ul) )du 3E —=— FO (u) 55, (udu .

En opérant ainsi plusieurs fois, on parviendra à rendre l'intégrale

proposée (11) dépendante de deux des intégrales J, = [5085,60 du ,

J, = [5.00 E(u) 5, Q0 du , J, = [iO (u)du, J, = fö (0, (u)5, Qu) du .

Pour la valeur de l'intégrale J, voir § 10; pour J, voir § 9; pour J,
voir l’équation (7); pour J, voir l'équation (13).

88 AXEL SÖDERBLOM,

En faisant, dans l'éqQuation (12), n = 1, on aura

gr =

Q3) — föl 60d = re RO 008, (du ,

en employant laquelle plusieurs fois, on arrivera à födda , Si
m est pair, à för 005,005,0040, si m est impair.
Chercher les formules de réduction des intégrales
(ay) jute IE B QE (WE (udu et J, = | & (wE (UE (udu ,

l, m et n étant des nombres entiers positifs.
Première transformation: En vertu de la relation (e, — e,)85, (wu) +
(ev — ea) + (eà — ey) 5, (u) = 0, (6) p. 3, l'intégrale proposée

(15) ja OE) ONE IE: QD Ep Qu) du —
pom
= s 085, 60800 du
£u —
pourra être remplacée par une somme d'intégrales de l’espéce | 5), (w)57, (u)du ,
si m est pair; de l’espèce [5.008,0081,00 du, si m est impair; inté-

grales, dont les formules de réduction sont déjà calculées. Mais par
cette méthode de transformation un des exposants ne peut être réduit,
sans qu'un autre n’en soit augmenté.

Deuxième transformation: On a
(16) A 5,608, DE) =
= — p3 G0 8, 00872 G0 Ey (a) — 9001 — EEE —
— (os — o8 EGO EQ)
= — pä GO, (WE) — (+ IHN) a EEE +
+ 7 (ex — er) Se") 00570) -

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 89

En faisant, dans cette équation, p=/—1, q=m,r=n—1, on
en obtiendra, en l'intégrant

Is u) Si (u) sy (u
(17) f Bi (w) Er, (u) Er (u) du = — ÅL ( x «C = (a)

= P SE (ex — en) [EEE du +

sat

aK PUO) fp Weed.

Cette formule de réduction est applicable, si ce n'est que -1=0.
Sil=1, lintégrale proposée serait ERO FU) Si (udu, dont la valeur

est déjà calculée. — Par l'équation (17), l'intégrale proposée est rem-
placée par deux intégrales. Dans la différentielle de la première, la
somme des exposants n'est pas réduite de plus que de deux unités, dans

la deuxième la somme est réduite de quatre unités. — Dans la formule
de réduction (15) c'est seulement dans la différentielle d'une des inté-
grales que la somme des exposants est réduite. — Si l'on fait, dans

l'équation (16), p 2/—1, q=m—2 et r=n-+1, on aura, en l'in-
tégrant,

(18) (u) Ej. (tt) Su (u) + ( Hen 1) MENO u) sq, (u u), (u) d u +
Je (0 sem en = Zen Gy) fare) ) Fie (u) 5; (u) du —
= (li sb 1D) e = 2) ) fört £o (u) 55, (us, (udu = 0 .

En éliminant, entre (15) et (18), l'intégrale IE EQ), (wei, (udu ,

on aura aussi une formule de réduction. Dans les différentielles des
intégrales de la nouvelle formule, la somme des exposants est réduite
de deux et de quatre unités.

En faisant, dans l'équation (17), m — 1, on aura la formule de

réduction de l'intégrale f Ej, (0) Fi (ww) 5 (udu .

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 12

90 AXEL SÖDERBLOM,

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, Vintégrale [,0) $5, 0087, (0) du

donne les valeurs des intégrales

je am u . Sin” coam u. A” coam u din; cus amu./A"amu j
, = u
sin' am u

a sin’ am u
| A am u d 1 A+" am u . cos” am u d
= > 9 5 U
J sin’ am u ..sın“ coam u. cos” am u sin’ am u ?
| du Ji A” coam u . sin” coam u m
: : - L
sin’ am u . cos" am wu. sin” coam u : sin’ am u

§ 20.
Caleul des valeurs des intégrales de l’espéce IÉOP OP OL

Calculer la valeur de l'intégrale

(1) J = [ECE OP Ae

On pourrait calculer la valeur de cette intégrale, en employant
les équations (h), (g) et (f) p. (5). — Mais on en obtient directement
la valeur de la manière suivante.

On a
: 1 {p(u) — ea} dp(u)
(2) INO (u)é,, (w) du = — À
LAU 2 J Tp) — e (PCH) — ev}
_la—e (ds Mec ds
Ei 9 e, — e») S— 6p
ei
eu

PE os E Cu) + e S EQ .
ev Cu — €y

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 91

Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(3) J — J SNC Su Q5, (udu ,

l étant un nombre entier positif.
La formule de réduction de cette intégrale pourrait se dériver de

la formule de réduction de l'ntégrale 008,098, Ae , en y posant

— (L—2) pour I. La même formule de réduction s'obtient aussi direc-
tement par la dérivation de la fonction &,'(u). On aura

gl
(4) [3.0 Ej) 5, (u) du = — Er = 3o [36° EAU) 5, (u) d u —

— (ea — ey) (ea — e) Rist) MD) 5, (u)du .

Cette formule de réduction est applicable, si ce n'est que /—1 — 0.
Si {= 1, on n'a quà employer l'équation (2). — En employant plusieurs

fois la formule de réduction (4), on arrive aux intégrales J, — fi E 5, (du ,

jes f £ (WE, (du , Jy = f (5, (du , J, = [5 005,608, 00d .

Pour la valeur de l'intégrale J, voir § 5; pour J, voir § 7; pour J,
voir § 11; pour J, voir l'équation (2).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(5) J = ES 051, 05,0) du,

m étant un nombre entier positif.

Il n'est pas possible de traiter cette intégrale de la méme manière
que celle du dernier exemple. Car, en substituant — (E +2) pour m,
on obtient

f: $3, (4) 55, (0) 8), (0) du = [5,055 0)5, Q0) du. ,

intégrale de la méme espéce que la primitive. — D'ailleurs, quoique

l'intégrale IO On ON (9) p. 75, pour [— —1, m — —m et

92 AXEL SODERBLOM,

n — —1, se change en JE (WE) ör, (du, la transformée de la for-

mule de réduction (12) p. 76 n'est pas applicable comme formule de
réduction de l'intégrale proposée.
Mais, on a

dE (u) 3 eh
a = — k(¢, — eu) 5s Cu) ACD) 2710)

= — kl — en) 8, (5, 005, Q0) E) ACD)

=— kö (Er, (05,00 UL — 8,00] 77 a os

— Eu = En

St -h 087 028,0) — 3% -
64 —

et (u) Sju (u) 5 (u) a

CARMEL "m
RA EOE ORO >

par les relations (6) p. 3. Si l'on fait, dans cette équation, k = m — 1,
on en obtient, en l'intégrant,

(6) vex ERW (a) du = — 1. 8 — 6e a)

m — 1 ey — ev

22 fH, du — f — f, (WE,

formule de réduction, toujours applicable, si ce n'est que m —1— 0.

En opérant ainsi plusieurs fois, on arrivera aux intégrales |£, (u)£, (u) du,

J SE (U)E(u)du , IPC ul) Ej (u) du, dont nous avons donné les valeurs

dans les paragraphes 9, 10 et par l'équation (2).
Chercher la formule de réduction de l'intégrale

(7) j= Jj BW ER (WE, (udu ,

l et m étant des nombres entiers positifs.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 93
D'abord, on a, par l'équation (A) p. 5,

3i EC) Cu), (udu = | U QUE, (u)du — (ea—ew) för 5 (ww) $3, (w)5 a, (u)du .

En opérant ainsi plusieurs fois, on pourra rendre l'intégrale pro-
posée dépendante des intégrales I OP 604", ..., dont les valeurs

sont déjà calculées. — Mais une formule de réduction, plus commode
que (8), s'obtient ainsi: On a

E RE U Qu)8,, UE yo) —n(en— 6454, (w)E QS, "OO
= — EE (u), ()8,, Q0) 5, Q0) — n Cei — eu) WE u) Er, (u) 55 (uU)
= — kB WE (u) EC) — (k + n) (er — EEE +

+ 2 (eu — ev) 530 u) WE, (wu). .

Si l'on fait, dans cette équation, k —/—1 et n=m—1, on
aura, en lintégrant

Sr) fi u) (u) Eu) du — (m — Ilex — 22 [5025 54); Q0) du =
= — E, (u) Sju Qu) — (+ m — 2) (e — s) förs 00 8 ör. (u)&, (u)du .

En éliminant, entre (8) et (9), une des intégrales IE hol’) 5, (u)8; (u)du

et PESO Er (0)S,,(u)du, on aura une formule de réduction, ne conte-

nant plus qu'une intégrale dans la différentielle de laquelle les deux
exposants ne sont pas réduits de deux unités.

Chercher la formule de réduction de l'intégrale
(10) J= = föl u) 53), (ww) 55, (wu) du ,

l, m et n étant des nombres entiers positifs.

94 AXEL SÖDERBLOM,

On a, par la cinquième des équations (6) p. 3, pour l'intégrale

f SNO PO (u)du ,
an föds du — [8,608,008 du —
— (e — e) J(u) Siu) Si (udu .

On a aussi, par la derniére des équations (6) p. 3, 1 —

—P Eu(u)—

Gi dn
ex — €
SEE SO S don

2E |

(12) föds 5 ul) (udu = eee — 6 E. Qu) Sy (u)du —

- a fc, (u), (u)du .

[p — 65

Dans les différentielles des intégrales qui figurent dans les seconds
membres de ces équations, un des exposants est réduit de deux unités,
les deux autres exposants restant les mémes; m restant intact à la trans-
formation (11), ! à la transformation (12).

En appliquant plusieurs fois l'une ou l'autre des formules de ré-
duction (11) et (12), on arrivera à des intégrales déjà calculées.

D'ailleurs, on a

E 13,05 ulu) Eu) --—pSt(w) COLE ML)

— glen — ex) 8 GO SEU) Au) — v (er — ev) 85 Q0) 81 Qu) Eu)

Si l'on fait, dans cette équation, p 2/-—1,q—m-—1,r-2mn-—1,
et qu'on l'intégre, on aura

(3) — + 1) förl) du +
+ m 1) (er — s) [00800800 du +

+ (0 — 2) (e — e) [EE DE du = 0 .

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 95
Entre (11), ou répétée ou transformée selon la méthode (12),
et (13), on pourra éliminer une des intégrales Jäs CDA Wan,
| £08, (wey, (udu , et f Po (u)5;, (u)Sklu)du , et avoir ainsi une

nouvelle formule de réduction de l'intégrale proposée.
En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'intégrale (10) donne les va-
leurs des intégrales

fore am u . Sin” coam u a i AT” am u ]
: du , : : du
3 sin' am u / sin’ am uw. sin” coam u

1
1c m n d un.
/ Sin amuw.cos"amu./N'am«u

§ 21.

Calcul de la valeur de l'intégrale ligo mue (niae)

: du
}

Ayant completement calcul& les valeurs des integrales des fonc-
tions Su), élevées à une puissance quelconque, les valeurs des intégrales
des produits de deux fonctions &(w), élevées à des puissances quelcon-
ques, et les valeurs des intégrales des produits de trois fonctions &u),
chaque fonction élevée à une puissance quelconque, il nous reste à traiter
les intégrales des produits de l'ordre suivant: les intégrales dont les
différentielles sont des produits de quatre fonctions indépendantes &u),
élevées à des puissances quelconques. |

Les indices d'une fonction &(w) désignant, le premier la fonction
o(u) du numérateur, le second la fonction o(w) du dénominateur de la
fraction (v), on voit immédiatement qu'il n'est pas possible de faire un
produit &(w).&(w).$(w).&(w) de quatre fonctions indépendantes ayant le
méme nombre pour indice second. Donc, il n'est pas possible non plus
de faire un produit de quatre fonctions indépendantes &(w), le premier
indice des quatre fonctions étant le méme.

96 AXEL SÖDERBLOM,

Ainsi, pour faire un produit de quatre fonctions indépendantes &(u),
il faut faire désigner deux nombres différents (0,1;1,3;0,3;...) aux
indices seconds, les deux autres nombres (2,3;0,2;...) étant désignés
par les premiers indices. Done, il n'y a que deux formes possibles des
produits de quatre fonctions indépendantes &(w), savoir:

(1) A C2) Eau) S, (u) Sa Cu)
et
(2) 502 (2) Soul) 5
— lune réciproque de l'autre — chaque fonction &w) étant élevée A

une puissance quelconque. Mais il y a des équations, par lesquelles
on transformera aisément ces produits, en les remplaçant par les produits
des fonctions des espéces déjà traitées. Les produits (1) et (2) ayant
deux pôles, o, wi; wi, wu, il faut en chercher des substitutions, ayant
les mêmes pôles (et, les mêmes zéros). Les formules de transformation
convenables sont

FAQ) Su) = SA) SF (eu = ex) Soul) an = ev) ACD) So, (u) zi C) = C)
We = (en — e), — (a — 08,00. >

(h), (k) et () p. 5. — Dans chacune de ces équations, les fonctions
du second membre ont les mémes póles que le produit des fonctions
du premier membre. Ainsi, il est toujours possible de diminuer le
nombre des facteurs indépendants des produits (1) et (2). Quelque
grands que soient les exposants des puissances des fonctions (uw) des
produits, en .employant plusieurs fois les formules mentionnées tout à
l'heure, on arrivera à des produits de trois facteurs indépendants.

Comme il n'y a pas plus de quatre nombres (0, 1,2 , 3), désignés
par les indices des fonctions $(w); par suite, comme il n'est pas pos-
sible de faire des produits de plus de quatre facteurs indépendants,
les intégrales déjà calculées comprennent complétement tous les cas
possibles de produits de facteurs simples et indépendants, et dont
les exposants sont des nombres entiers.

Mais, il y a encore grand nombre de fonctions composées des
fonctions Au), dont les intégrales sont exprimables par les mêmes fonc-
tions que les intégrales déjà traitées et qui sont d'une haute importance

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 97

pour l'analyse. — Les plus simples fonctions des fonctions &(w), après
. les intégrales déjà traitées, sont de l'espéce

i du
(S"(u) CIN aj" ?

m et n étant des nombres entiers.
Pour les intégrales spéciales qu'on a pour m — 2, les formules de
réduction sont déjà calculées. — En effet, les fonctions

E(t)»
— — er Yea — ez Ve, — ea

satisfaisant à la même équation différentielle *)

5

Sa (u) ,

Su) I

d&(u) (= HG OMG YS DT

du

on a, en posant S(u) = «,

dx? E Ri
(=) = Veh) = cr),
de

VA —b2)(1 ea) |

du =

et

Eom B SOE aj =) (2 — ay VA Ta Sy

intégrale de la même espèce que

DC Se A JE fous: (Gap a

aS = Dos
Posen; JA = ft (Al BR Oh). A Ar BAN IC RE
Ba b+ 36h. on a)
:) a (5.2 P —— = A [
( ) GAS =I =( p ) ; 2 — ByyX + (2 Pi 3) (a E f

lv
9p» — 5 cf : ==
tO : CO QUE

ne

2p —4)B
OCDE) fa oe

1) Voir p. 4.
2) Voir Brior & Bougurer: Théorie des Fonctions Elliptiques, p. 438. ..
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 13

98 AXEL SÖDERBLOM,

»Si la constante E n'est pas nulle, de cette équation on déduira
la première intégrale en fonction des trois suivantes, et, comme l'opé-
ration peut être continuée jusqu'à ce que l'on ait p = 2, on arrivera à
l'intégrale

(2 i (a? Te yx xi MU a

et aux deux intégrales

ada da
et

Beau. De

Quant aux deux dernieres integrales, on a

(5) f = = f: &(u)du

et

"de

yx

Si, dans l'équation (5), &u) = &,(u), on a

(Eu) au = fru) du — a [du Ze. Mes LOW

Si, dans la même équation, &u) = $5, (v) , £5; (u) , (uv) , on n'a qu'à
employer, pour l'intégration, l'équation de M. WEIERSTRASS

diea un) d?

()9 x e = qu 198 00) = — (a — e) (a — e) =

= — (ei — e) n) — e» — — (à — ey) E) — es,

dans laquelle il faut permuter les indices À, u, v, si le second indice
de la fonction &(w), dans l'équation (5), n'est pas A.

1) Voir SCHWARZ: p. 29.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 99

Quant à l'intégrale (4) SER is

> , elle se transforme aisément,
S40) = 2

par les relations (5) p. 3, en

dont nous avons déjà caleulé la valeur dans le paragraphe 1.

A
po -- d

du

+B

: ; : du
Done, il nous reste à traiter l'intégrale plus générale |

§ 22.

Caleul de la valeur de l'intégrale jJ ei

Chercher la formule de reduction de l'intégrale

(1) 12 — ar

lorsque m=1,3,4,5,.., et que n est un nombre entier positif.
Pour faciliter la question, cherchons d'abord la formule de réduction
de l'intégrale

E En mon

On a

EG) a WE = Ela Q0 — a + Sher 00) — a Ex) +
+ kl — eu) (ea — En) — a7 EC) + 3e, 00) — aJ; QU) +

+ 2(er — eu) (er — e) (0) — a Su) .

100 AXEL SÖDERBLOM,

En remplaçant £5(w) par £5 (u) = (£y(u) — a} + a, (wu) =...... ;
la derniére équation donne

P (Ee aj 8, (uS (u) = kl + Bex? + (e4— eu) (e1— ev)a" {5,3 (u)—a} +

"m u
+ QE + D {Sea + 2(2 — eu) (à — ev) a”) (83) — a} + 3(5 + D {ei +
-F2(ea—eu)ea—e») a^ 48,5 (0) a" + 2(2h + 3) (e4— euY(ea — 6») ale, (0) —a} +

+ (k + 2) (ea — eu) (ea — e) £a (u) — ay,
d'oà, pour & = — (n — 1),

du iM 1 Sa) Au)
1,00 = ay n—1 ts Et) —a}” s

(3) 1l+3era? + (eà—eu)(en—e»)a*]

Jide 2
cS 3 (3e; + (e — e) (ei — ea] a af, du

FET JE) — ay
= E aa
EY ON {ea + 2 (ea — eu) (ea — ev) Aa x —
Et. (Fo =
2n— 5 du
8 LE — e€j)a | —
at Me oe fre (502 Cu) — aj?

iM — à

7 — eu) (ea — ev) Jeo = :

Cette formule de réduction étant applicable pour toutes les valeurs
de n, excepté n — 1, le probléme est ramené au calcul de l'intégrale

du
Jue —a

du du
P aleuler les val des intégrales | —— — i —
our calculer les valeurs ntégr eco e DW E
on n'aura qu'à différentier les fonctions {§,(w) — aj^$,,(w)&, (u) et
(&, (uw) — aj £, (uw) &,(u) et à transformer de la même manière que dans
du
Sho (u) cU

le dernier probléme. Les intégrales restantes à calculer seront

2— qi,
et e .
» £u) zx.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES Ë(x). 101

Calculer la valeur de l'intégrale

(4) J= f—— du

Soa) — a i

On a

du MID EEG NN = 02 ui
les Met ceri DES V nS

(5) =] fau I EE

pu) — (ats oc ie nn

1 i du :
pb) AS; non

4

: C du
Quant à lintégrale |— —7" — , nous en avons calculé

pu) — (ex + =)

la valeur, par l'équation (17) p. 14. — La valeur de l'intégrale
du

CET CEE

du calcul de l'intégrale LL -
Vp(u) — e

Les valeurs des intégrales rer
20 (

se donne par une méthode analogue à celle

= [wan § 2.

et ae se donnent
Dm) J Sy, (u) — a ;
d'une maniére analogue.

JaAcoBr a donné un »tableau de valeurs des intégrales elliptiques
de la troisième espèce et au caractère logarithmique»: savoir des in-

tégrales

ör ama.cosama./\ama.sin?amu.du (k’sinama.cosama.cos’amu.du
P = D = , 5 DEED ,
1 — £'sin'ama.sin*am u /\am all—k’sin’ama.sin’amu!)

ER Der ee 18 umd. du
1

DET = 9
1 — k? sin” am a. sin? am u k? sin? am a . sin? am u

102 AXEL SÖDERBLOM,

Jes ama.cosama.du /sinama.cosama. /A?amu. du
= = , * =
sin” am a — sin? am u /\ am a sin? am a — sin? am ul

je am a. A am a. cos” am u. du {2 am a. cotg am a.sin?amu.du 2
= = 9
sin? am a — sin? am u sin? am a — sin? am u

Chacune des fractions

sin” am u cos? am u
. € . € 3 . . 9
1 = k? sin? am a . sin? am u 1 — k? sin? am a . sin” am u

/N am u 1
D D 9 = :
1 — £ sin? am a. sin? am u ] — kf? sin? am a . sin? am u

1 A? am u cos? am u
= s 3 me D er D
sin’ am a — sin? am u ' sin? am a — sin? am u ' sin? am a — sin? am u

sin? am u

sin? am a — sin? am u

est décomposable en une somme de fractions partielles de la forme
1 NM

a+sinamu A 3,0)
Ainsi, chacune des intégrales partielles dont les sommes sont les

intégrales citées de JacoBr se calculent aisément par des intégrales

de l’espece (4). —

La valeur de l'intéerale 2 du étant calculée, on n'a, pour
g { E(u) == al ^) p
trouver la valeur de l'intégrale
f du
— 0 = 2,4 ,B500¢
= A ay ( 1 1 I )
qu'à décomposer la fraction s en une somme de fractions
u) — 4

partielles.
Une méthode analogue donnera aussi les valeurs des intégrales de
l'espéce Jags du, ou F{&(u)} et p{Ku)} sont deux fonctions en-
U

tières de la fonction Au)

1) Voir C. G. J. Jacosıs Gesammelte Werke. Zweiter Band, herausgegeben
von K. WEIERSTRASS. Berlin 1882. (p. 349).

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 103

8 23.

Calcul des valeurs des intégrales

FI om an ERDE KERN
C To = 2 — 2 du | Ku) — adu, ots (u)\VF(u)—adu ,

= ) Ir PUO] du
IF apti Vil Sahu — HO)

Calculer la valeur de l'intégrale

9 du
= Ee j VE) m

1) Soit Eu) = §,(u). Done, on a

i Vp(u) — e |
2 il du =
id Ween decane ac
aa ve le ORC us
2 Va I Vplu) — eu Yp(u) — e» V 1 s 9i au) x
1 do
=> = | 1 y 0 = — plu) .
Ye Vaca) (p oo - 129)
Posons 6 — $ -- k et déterminons k par l'équation
Bh ab Ge sete an om
Alors, on aura
ds NA e DES

EE NN

104 AXEL SÖDERBLOM,
2) Soit &u) = 53, (wu). On a

du 1 ds

Of ES nr lee (ae) E Vs—eiVs—euYs—e,Ys—(a-Lex) -

3) Soit Su) = $,(w). On a, (10) p. 3,

du * 1 I d$, (wu)
VE, Cu) — & Er VE, (wu) ere wt) EE — € — 5,0)

ev — €

Posons §7,(u) = x. Done, on aura

du =>
(5) | & (u) — a ED Ve» — ea ees a) (« — 1) (« 22) |
er

intégrale de la méme espèce que l'intégrale (4). — Les différentielles
dz

——, on
Va — e) — BY — yXx — 9)
les transforme immédiatement en la forme normale, (2) p. 1, par la
substitution mentionnée p. 12. — Pour calculer les valeurs des intégrales
a £2 = nn u
IE du, [VE ay Je (£(u)) V&(u) — a du, on n'aura quà

VEG) — a

employer les méthodes de 1), 2), 3), à décomposer les différentielles en
termes partiels et à appliquer les méthodes données dans le $ 1.

: 3 du
Remarque. Ayant déduit les valeurs des intégrales |. —
V&@) — a
..., nous avons donné une extension essentielle à la formule de réduc-

de ces deux intégrales ayant la forme

tion (3) p. 97. — Done, on peut calculer la valeur de l'intégrale
Jeg , non seulement lorsque p = nombre entier, mais aussi
(uy — a}

lorsque p = nombre entier + :
Calculer la valeur de l'intégrale

F{E(u)} du
(6) Tj VIL — a£] (1 — bä)

ou F[&w)) désigne une fonction rationelle de la fonction S(u).

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 105

1:0 Soit Eu) =§ ,(u). — On a, en vertu des équations (8) et

| FEC}
J YU QU — FW)

du =

^ FE, (u)| d £,;(u)
(alt= ONDES ce eo © 20

Soient a, 8, y, 0 les valeurs des a, b, e, — e, €, — ea, quan-
tités prises dans un ordre queleonque. Ainsi, on a

IE. du = [0] d 5, (u)
VE = Bü JV OA DZ Oro)

Supposons que aß =yd; et substituons §,)(u) Veß=x. Ainsi
on aura

xf Fis(u)} = | Fi (x) m
VATES TS TE gj ^ V1 + ba? JL OM Jb UT IL ae !
où F,(z) désignera une fonetion rationelle de z. — L'intégrale (7) étant

calculée *), la valeur de l'intégrale (6) se donne immédiatement. — Ainsi,
l'intégrale (6) est égale à une somme d'intégrales elliptiques, si af = 70,
c'est à dire, si

(8) HEC aN ORO) en a
: O° B= en)

2:0 Soit &u) = Sj (u). On a, (8) p. 3 et (11) p. 4,
Fu);
VIL — aË(u)} (1 — 68 G0

E, AGRO)
VE — esi, (HL — 687, (Hn — e — 8 00H — 2) — 81.02]

Ci =

ds,,(u) .

1) Voir Berrranp: Traité de Cale. diff. et de Cale. Int. II 66.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 14

106 AXEL SÖDERBLOM,

Ainsi, on voit, que cette intégrale laisse se transformer aussi
dans la forme (7), si

JI 4 En — 4)
9 1b = - = be E .
©) GE) oT Be

3:0 Soit Au) = £,(w). On a, (8) et (10) p. 3,

F{&(u)}
Wea t= meo) IT = bF(u)} )}

i FAG, (2) 8, (u)
ur Vat a& (u)}{1—b&,(w)} {1— AO En ,(u)

du =

Cette intégrale laisse se transformer aussi dans une intégrale de
la forme (7), si
Wein I d»

(10) ab — =

; 5
ön — 64 Oo n—e

Ainsi, les équations de condition (8), (9) et (10) déterminent les
cas dans lesquels l'intégrale proposée peut être transformée immédiate-
. ment dans une somme d'intégrales elliptiques.
En faisant, dans lintégrale (6), &u) = &;(u) = sin 9

E(u) = &x(u) = sin? , b —1 (ane o. os)

Gy = Ög
E(u) = Eu) sin 9 , b—1,a— TET.
pem
£g — 63

l'imtégrale (6) donne les valeurs des intégrales

dg
Ia — K* sin? 9) (1 — E sin? 9) (1 — kk? sin? 9)

?

| sin” Fd I
J VAE sin? 9) (1— k? sin? 9) (1 — £P ein? I) |

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 107

| sin* Idd
VGA — # sin? 9) (1 — ki sin? 9) (I — 2A sin? 9) |
| dd
tacos VESTRE ST Nee kh? sine)

calculées par M. Roserrs'), outre les valeurs d'un grand nombre d'au-
tres intégrales analogues.

En vertu des relations (12) p. 5 et pourvu que a et b satisfas-
sent aux équations (8), (9), (10) l'intégrale (6) donne aussi les valeurs
des intégrales

| sin am u |

Î Fitg amu} med | Aamu | dis
V1 + A tg?am u + B tg*amu Vi n ATE sin? am u psin'amu n
?^amu Aíamu

F {sin am u! F {cos am u} d |
u ,

du J
yi + Asin? am u+ B sin” am u ; VI + Acos?amu+ Bcos!amu

[ F{A am u}
VICE AM amu EB Kamla

§ 24.

Calcul des valeurs des intégrales i VECU) du , oe

u) — a

M. WEIERSTRASS, par son équation, aussi commode dans la pra-
tique qu'importante dans la théorie,

d oa (Oy
du o;(u) ==

"he Ou) = — (ea — ey) (ex — ev) &(w) — e =

eo eee

1) Voir Roserts: A Tract on the Addition of Elliptic and Hyper-Elliptic
Integrals p. 53—62.

108 AXEL SÖDERBLOM,

(6) p. 98, a donné les valeurs de toutes les intégrales de l'espéce
fe@ —a’\du.— Par les formules (17) p. 14, (6) et (7) p. 19, (5) p. 101,
(3) p. 103, (4) et (5) p. 104, nous avons calculé les valeurs des intégrales

pe COM {is u) — aj du i: a à gu ey lu) — a? du.—
lea , IS ) J , E(u) — a VE) — di VÉ ( ) :
Done, il nous reste à examiner s'il sera possible d'exprimer les va-

leurs des intégrales VEG) — a du et, UNE
V&u) = a

, Sans employer des

intégrales Abéliennes.
Calculer la valeur de l'intégrale

(1) J — | = = {VE Celie

On a

5 du dE, ;(u)
(2) 4
J Y£; Qu) =I V5, GO — (eu — e2) Eu} 11 — Ces — en) Qu)

da

DE EM a
ee Vall NE) 5 @ Ven — e Eau) ; bP = :

En — €

Cette intégrale a été calculée par Legendre.

En employant sa
formule de substitution (Legendre: III, p. 334)

(3) ka +1 = ay

on aura

dy

Ya(1 — 2) (1— Ea?) = ath e — SE fe an ere =
Yy--2Vk Vy—2Vk

d’ou

^ du dy

4 1
4 207 |) = 0 pem e cese
V) V ; Y&,;(w) Tnt Vy + (1 +) Vy — (1 + &)

dy

1
E RAE > 2
Arena Vy — (1 4- £) x

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(u). 109

DR
Dans l'intégrale J,, posons y = Sens yk et s= p(v;& ; & ; &).

Done, on aura

aa 9 9T —
a= YE. a= YE (tte 2 YE-E (1+ 8)
3 3 3
et
: ds
(5) J = — — ee E a
i | Y4 (s — 2) (s — 4)
Dans l'intégrale J,, posons y = o+5 2 yk et o = p(w ; e, ; "E &).
Done, on aura
= : | 2 VE — Q0 4 0j
a= iin s (040053 wA ee dx
et
(6) J, = — | = ae - — [ee = |" :
J Valo ^ ^
Les valeurs des limites v, , v, ; ww, , €, se donnent par les équations
Da hg tela T
ab är VE NT
pe)=y +? VE TEES EY

Ve = GF Ves = €1$oa(w) +1 Du RET

(Oly TER Em

Ve» — ei Ves — e lu) + 1 CIR NER
Ven — eis, (v) TIE

pw) =

Calculer les valeurs des intégrales

du

5 = JV Ente du sels = [VER du = aa :

Egi

110 AXEL NÖDERBLOM,

En vertu des équations (8), (10) p. 3 et (11) p. 4, on a

> qu d$; (u)
(S) |) —— =
Leo eat en WE Er
et
^ du MO d$&, (wu)
(9) dee t £p — Öv a EOD E

1 då, »(u)
Ven Vg e —g mum

intégrales analogues à l'intégrale (2).
Hors la valeur 0 de la constante a, il y a encore quelques valeurs

spéciales de a pour lesquelles l'intégrale je Uu se donne immédia-
Y&(u) — a
tement:
1 1 Ven — o
is Eae da | — „ans (D) elus LI » 818(u) — 8, Cu) ;

= en gc: Wen = Cl Wes en
x Vea — e , + Ve, — ei siu) = & (u).

Le théorème remarquable de Legendre d’après lequel une intégrale
2 di
I Gs 2520)
deux intégrales, J, , i. yas p. p a été généralisé par JACOBI. Jaconi fait
da
ae — 1) à

a da 1
ainsi que l'intégrale , laisse se trans-

Va = HM stes Prey CIL 4. Zu CI m
Former aussi en une somme de deux intégrales elliptiques, transforma-
tion possible, parce que le produit (— 2 (— x4) = (-Exa)(4- 4a), comme,
dans le polynome de Legendre, le produit (— z)(— ka) = (+ 2) + £a). —

de l’espece , (2) p. 108, est égale à la somme de

voir’) que l'intégrale plus générale lj

1) Crezze J. VIII (1832) p. 416.

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES &(w). 1

On peut employer cette intégrale de Jacosı à chercher d'autres valeurs spé-
ciales de la constante a telles qu'il soit possible d'intégrer les différen-
du

Peles uu c. VS) ad.
AR y
Soit
“day
10 Je ten,
V, / VE) — a
: t ue A 1 1 5
Les fonctions elliptiques & (uw), — E(t) ee
— (9

ye.

5,(u) satisfaisant à la même équation différentielle

1
Ves = A Ver eA

ay net <a) ey) ,

du

I
(u) — A

l'intégrale (10) comprend les intégrales IE Jen
alu) — € &

age i. ver de l'équation différentielle (11), on a
M

E. da
fo a = en e (ör ere (ör ec)

da

A I J.
Vasa Ves — 1 V( — a)(« — r)(e 4 n) — oe +0)

BR fö = NO HS Donc, cr eu CU),

on aura r =

uc ; ,@>r.— En substituant z —r

+ 2(a@—r), on aura

(e— à) (@ — 1) (2 +») (@—0) (x + 9) =

= Cste z(1 a eye repens)

= USB all = Meat aan),

112 AxEL SÖDERBLOM,

2 dp (GP : 1
gi = = Mei. . De cette équation, on trouve, outre a = ==,
N 2r(e+r) Ven — ei
la même valeur spéciale de la constante a que nous avons déjà trouvée,
3 r
N,
p

_ BVeu—e+Ver—er — 1
= 4 Were

D'une manière analogue, on trouve aisément autres valeurs spé-
ciales de la constante a, telles qu'elles permittent la transformation de

la différentielle da dans la forme

V(s — 4 — (a — e) — (e we)
dy
Vy (1 — 2) (1 + xy) ( + Ay) — z2y)
En vertu des relations (12) pp. 5, 6, les intégrales (1) et (7) don-
nent les valeurs de non moins de douze intégrales; et de même, linté-
grale (10), pour les valeurs spéciales de la constante a.

§ 95. :

Caleul des valeurs des intégrales

| du I du du
EOF asQ) ' J EO OP a J Kj) ES TOES

Dans le paragraphe 22, nous avons calculé les valeurs des inté-

du :
grales de l’espece _ . Dans ce paragraphe, nous examinerons

S(u) + a
les intégrales plus générales, la constante a étant remplacée par une

fonction &(u).
Calculer la valeur de l'intégrale

du

pes ;
(1) J Soul) + aS, (u)

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 113
On a (eu — e)&, (0) = 1 — S, > Cu er) = $,00—1
= SU — Sw} , d'où Yea — e»: — ey&, (u) = VIE (u) E) et Ver — e — @y§,,(U) =
= & (wu) V1—&,(w). Done, on a

f du — du
9 [Jo SEHD = ————————
> ra Ve “NER

rs Ver Eom | m: E, (ud &, (wu)
m NON OM CR CE CETERI

ee,

är f cde ve EC)
UU MIR

En faisant, dans lintégrale (1), & , v — 1,2,3 , l'équation (2) don-
nera les valeurs des intégrales

[ cos am %./\ am % zm | cos am u 2t
J sin am u {A am u + a cos am uj sin am wu (1—+ a cos am u!
am u
Re 5 — il
-J sin am u {a+ A am ut

Calculer la valeur de l'intégrale

je du
(3) py (uw) + as, a)
On a

= (u) — ag e
4 cornu nde et an

if 1 ds 2
no een Vs — ex Je)

+5) IEEE
2/1—2a(s—e)s—e) ys—ei poe

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 15

114 AXEL SÖDERBLOM,

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (4) donne les va-
leurs des intégrales

D sin am u . COS am u 2m i sin am v. cos am u p.
sin? am w+ a cos am u . A amu sin? am u + a cos am u 4
| sinamw. A am wu du jJ sin am u. /\ am u qi
sin” am u + a cos am u . A amu sin? am u + a A am u
à sin am u * sin am u
——— du ,|—— == qu.
sin” am u + a cos am u J Sin” am u-- a AN amu

Calculer la valeur de Vintégrale

du

(5) er :

s lu jl I— à ds
6 | EXT NALE jh 4 | A m
© MORE Qu) 2) 8 — ey —aXs a) Vs— by Vs T

a S = Gil ; ds
AIG Gy m OS — GA ys =,

+

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (6) donne les va-
leurs des intégrales

i cos am u cos am u
j Wa i Cin

sin am w+ a cos am u . sin coam u sin am u + a cos? am u

i am wu. sin coam u Ê am u
| A = du, J An _ du

sin am u . sin coam u + a A am u sin am u + a A? amu

| cos am u zn is du
D 9 a En = sor 0
sin am u. COS am u + a sin am u—t a /\ coam u

Caleuler la valeur de Vintégrale

du
2 LE TO

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES $(u). 115

On a

n

du ds

1 i 1
FORM OM TE TENTE er

ME

ds

|
Oy (eae, arse Vs — ev

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (8) donne les va-
leurs des intégrales

[ cos am u . Sin coam u d [t cosamu 4
J sin am %. Sin coam u + a cos am u J a+ sin am u

n

A am u du ih A am u T
LE HI MIN Ree EEE 1

J sin am u + a /\ am u. sin coam u a + sin am u

| du J du
. ? .
J sin am u + a cos am u sin am u + a A amu

Calculer la valeur de l'intégrale

9 a te che
> nee
On a
P du 1 Si ep ds
10 = ENE D aS a NER
| | Su) + a 5, (0). Ir — ey) — a'(s — €1)(s — Eu) ys — Eu Vs — ey ae

4 a se er ds
NENNEN. ys—e

En faisant, dans l'intégrale (9), 4,4,» —1,2,3, l'équation (10)
donne les valeurs des intégrales

if du J. du ai A am u 25
el — : |
tg amu -- a A am u J tg am uw 4- a /A coamu” sinamutacosamuAamu ?

i cos am u. /\ am % [ du
A ES Sd D 4 . > ee
J sinam u.cosam u -- a A am « J sin am u + a sin coamu ’
sin coam u
- du
J a + sin am %. sin coam u

116 AXEL SÖDERBLOM,

Calculer la valeur de l'intégrale

du
= ah

On a
(12) i du 2 é S QU) . d& (w) H
Jo dr a & su) Eko d PE. Eu) Fo)
NT S10) dö, (u) | dz
£u) — a Eu) en

u

= | E His af, dao
GG C= C=) Te

a il dx $3 o5
= = > © = > & = Syo .
(a? (ey — ey) — (ea — &)} - (à — NT Ve =n (ep ON)

L’équation (12) donne les valeurs des intégrales

I sin am u | sin am u sin am u
re D
cosamuta/ amu eos am u + a Aamu+a

Calculer la valeur de l'intégrale

(13) pS de.
On a

a

du

E(u) + as TON

n

du ok Sen) d
NC EOS ne SG—2)' Ve m

a i ds
+3) Goa En ym

'équation (14) donne les valeurs des intégrales

[ sin am u . Sin coam u $n i sin am % . COS am u
= S ; 9 =
J cos am u . sin coam u + a sin am u cos” am u + a sin am u 2
| sin am u en j sin am u. A amu ü
n "n — -. 9
J A,amu-- asinam u.sin coamu /N am u + a sin am u
sin am u ff sin am %
= du : du.
1 + asin amw.cos amu 1+4+asinamu./A amu

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 17

Calculer la valeur de l'intégrale

» du
vo Mc:

On a

‘ du GET ds
16) JE NS ag, Q) — Ji Gelee Vs PM Ree

a | IL ds
(s— ea) a + eu) —s} ys—e
L’équation (16) donne les valeurs des intégrales
i sin am u tg am u
j = ; dam | So Eu s
cos am u + a sin am u . sin coam u 1 + a sin am u
f sin am wv. sin coam u TUNE sin am u m
A am u . sin coam u + a sin am u 'J Aamu(l-r-a sin am u) ;
in am w. cos am u "sin am u. A amu
SPIKAT Wise 2: du , | A du.
cos amu + a sin am u J Aamu--asinamu
Calculer la valeur de l'intégrale
‘ du
(17) Jes J .
+ J Sol) + CQ
a jus du Tuae S— €» ds m
= = —
Sr. (u) +46,(u) 2 (s— e2)(s— ev) — (8 — Een) Vs—euys—e»

al 1 ds
ee von: Be

L'équation (18) donne les valeurs des intégrales

sin am u ] sin am u ./N am u d
2 TROIE : u,
cosamu-asınamu./ amu cosamu.Aamu-+tasınamu

ji sin am u Ak i sin am u . cos am u ie
aa FT LEP VEN HSE + NINA , SA —
/\ am w + a sin am u. cos am u cos am u . /\ am u + a sin am u

i sin am u a | sin am u . sin coam u "S
LI n , MD MSAFE =, >. 2 rp pei .
1 + a sin am u . sin coam u J sin am u + a sin coam u

118 AXEL SÖDERBLOM,

Calculer la valeur de l'intégrale

lu
1 pens C
m moe

On a
(20) du , SJ SEC? ds
J ey (u) + a5, (Cu) — 2 J (s — ex) (d ey — ey) — (à — 1)s} Vs =e;
§ = Gp

a
9 Ca Ge) = CE Ts)

L’équation (20) donne les valeurs des intégrales

| du sin coam u

- , = .
cos am U + a sin coam U il + a A am % . Sin coam uw

jJ cos am u . /A amu

/\ am w + a COS am u

Calculer la valeur de l'intégrale

n du
(21 te j j :
EXON WE)
On a

: &,(u) — as (0)

e» |; EEG Wo ere er)

1

d 5 a(t)

| Eau) 5 (u)
da

= Aa IP) Ve

i 1 da
Bu) | Be...
(I — a) — (ey — ex) — a (e ee Vie Dena

L'équation (22) donne les valeurs des intégrales

ft cos am 4. Sin coam u A i A am u
= > s
cos am u + a sin coam u A amu. sin coam u + a

i du
cos am u + a A am u

= SAC) .

du ,

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES S(u). Ing

Calculer la valeur de l'intégrale

UE "m du
= Beh: carcass ahs
On a
fs lu 1 a0 ds
24 cae a=
94 Gn a ier Te Ter

el 8 — n ds
ECDC en

L'équation (24) donne les valeurs des intégrales

D du | du
. n Lue rr RI PUE —
sin coam u - a A, amu J cosamu--a A coam u

E

| sin coam u | cos am u
5 1
à + cos am % . SIN coam u a + cos am u. A am t

CU <

a

| cosamu ay | A am u. sin coam u
a + cos am u . sin coam u sin coam u + a A am u

du .

Calculer la valeur de l'intégrale

du
25
A Pede SAC) NONSE qr

En vertu de l'équation (4) p. 5. on a

lu du
26 js 2 i I
e U) S, (es) + E (00) = (G= a) Soul) +a

Sms
Soul) du du
p! du = On d EE jb em
= |); + aS (wu) — (er — eu) S, (v) x : E uu) — n a: MO j
intégrales dont nous avons déjà calculé les valeurs. — En vertu des

relations (19) pp. 5, 6, l'équation (26) donne les valeurs des intégrales

120 AxEL SÖDERBLOM,

sin am u sin am u
= : du, = - du ,
cos am u . Sin coam u + a sin am u cos? am w+ a sin am u

sin am u . sin coam u de sin am V. /, coam u dum
: : j T TN
A am u + a sin am wv. sim coam u /\ am w+ asin am wu. A coam u

du

I. sin am wu. COS am u un | sinam u. am u
a + sin am wu. COS am u J ad sin am u. A amu

Calculer la valeur de l'intégrale

du
(27) =| EOLNOEN.

En conséquence de l'équation (k) p. 5, on a
du "ed alu
"ue a ef
x S 0S, (0) AP a AER = ts à i S) Fi j

intégrales dont nous avons déjà caleulé les valeurs. — En vertu des
relations (12) pp. 5, 6, l'équation (28) donne les valeurs des intégrales

cos am 4. A am u cos am u
j A du ai : du ,

sin? am u + a cos am u . /, am u sin” am u + a cos am u

i. A am u m

sin” am u + a A amu

Calculer ia valeur de l'intégrale

du
2 CRORES (DE + a

En conséquence de l'équation (/) p. 5, on a

x du du du
ee es
J S QU) Shy (u) ap a 5 QU) Sallis 2 S QU) UE

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (30) donne les va-
leurs des intégrales

» sin coam u
cos am am u.sincoamu--a J /Aamu-+asincoamu ;

cos am v. /\ am u
Juni AT du

cos am vu. A, amu-+t a

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 121

Caleuler la valeur de l'intégrale

du

(31) Ri ) Soul) Sen Qu) 3r e OE b

En conséquence de l'équation (Ak) p. 5, on a

s lu - d'u NUE Go
@) (ef M A
COE Es AS ye) == b så Sw) cd 9; | #0) ra 035

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (32) donne, outre
1 ? | 1

les valeurs des intégrales que l'on peut caleuler à l'aide de l'intégrale

(27), les valeurs des intégrales

| cos am %. A am u : T
= Fi Fe ae is ES - ANS)
J sin? am u + a cos am u . /\ am u + 0 cos am uw. /\ am wu. Sin coam u
»
f cos am u d cos am u
— L3 ey 3 pec c El
1 + a cos am u + 6 cos am u 1 + a cos am u + b eos” u

| cos am v. /\ am u. sin coam u dam
= = —— U,
cos amu. A amu-+asiın’amu.sincoamu+bcosamu./\amu.sıncoam u

2

/N am u TR

j: A am u ay |
1+a/amu+b/amu JE AR vo A ean

Calculer la valeur de l'intégrale

du

(33) J— |— xm ir
J Ej (0) 5) + a, +6
En conséquence de l'équation (h) p. 5, on a
d lu NEL of vu
34) | — -Rfe + K, | —
64 JS oa Ko i nes ard Soulu) — 04

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (34) donne les va-

leurs des intégrales N
f sin am u i sin am u
: - oil, : 5 du
sinamu+ta/A\amu+bcosamu.sincoam wu J 1+asinam u+bsin’amu

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 16

122 AXEL SÓDERBLOM,

| sin am *w. sin coam wu ,
; . : = du
/\ am u + a cos am u. sin coam u + 6 sin am u . sin coam u :
| sin am %. /\ eoam u im
= = &
J Aamu+ a /\ coamu-+ b sin amu. /, coam u :
| sin am u, COS am u
J 1 +acos amw-+bsinamuw.cosamu —
Á sin am u
ur - du
J sin am u-- a /\ am u + b A coam u

Calculer la valeur de l'intégrale

35 s à du
(35) J = | SO) Sul) + CD) +6

En conséquence de l'équation (/) p. 5, on a aussi

du zo er dm du
COM En 1 Le IS + E ÈS |
Sj, (0) Siu) + a, Q0) + b Soul) —05 EON OE

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (36) donne, outre
les valeurs des intégrales que lon peut calculer à l’aide de l'équation

(26), les valeurs des intégrales S

| | sin am u 23 ~
. . € . ?
sin am u + a sin” am u. A coam u + b cos am u. sin coam U
p sin am % . cos am v. sin coam % 2

cos am u./ am u + asin’amu.sincoamu + bsinam u.cosam u.sincoam %

sin am v . COS am u 1
du ,

1 + asin? am u + b sinam u . cos am u

UNE

| j sinamu./\ am u
J 1+asin’amu+ bsinamu./\amu

,

Calculer la valeur de l'intégrale

: x 2 du
(37) Uc J Ej Q0) $, (2) + 5,04) + :

SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES §(w). 123

En conséquence de l'équation (l) p. 5, on a

POS 0; : C 5 )— Os

R du xh du K i _ du

8 = — =>
Fe OER

En vertu des relations (12) pp. 5, 6, l'équation (38) donne les va-

leurs des intégrales

| du
1 + a A am utb cos am u. sin coam u

| A am u 7
Le Be = (
J 1t+aAamu+bcosamu. A amu.sin coam u :
| sin coam u T
= = (24
J A am % + a sin coam u + b cos am v. sin coam u :
. cos am %. sin coam u
AUS

sin coam u + a cos am u . /\ am u + b cos amu. sin coam u

c

1 + a cos am u. A am u + b cos am uw. /\ am v. sin coam u

i eos amu. A amu
| ING -—— du (=)

| cos am u du
cos am u + a A coam u + b cosamw.sincoamu — '

Cy,

| cos am u . /\ am u . sin coam t lu(—)
I : du (—
J sin coam % + a cos am vu. A, am % + bcosamu. A amu.sin coam v

| cos am u . sin coam u n
= = - G ^
cos coam u + a cos am wv. sin coam u + b sin coam t. /\ coam u

v

pt

4, au lieu de 2(m —1) -

lisez m— 1 +f

9, ligne

12
»

Pag.

»

»
»

»
»

2 ajou

»

tez (4) p. 25, (5) p. 26

UBER

DIE DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS,

AUF DEN KEINE KRÄFTE WIRKEN, UM EINEN FESTEN PUNKT

NAT. LINDSKOG.

(ÜBERLIEFERT DER K. SOCIETÄT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA D. 8 März 1884.)

UPSALA 1884,
DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI,
EDV. BERLING.

À D
ü
'
j 1 1
Y. ak eed i D |
+ ” | y :
Ex - xr ES
N Su D 5
L í he * " = E
a L a = ;
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+ e (MN
å 1 x
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\ 3 pu À

n sary ie ‘+ ctt a
ENS” LIT

TN

IT

ÜBER DIE DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS,
AUF DEN KEINE KRÄFTE WIRKEN, UM EINEN FESTEN PUNKT.

(Das Problem, mit Wkiersrrass's elliptischen Funktionsformen behandelt.)

Das Problem der Rotation eines starren Kôrpers, auf den keine
Kräfte wirken, um einen festen Punkt ist zuerst von Jacogr vollständig
gelöst‘). Seitdem haben GREENHILL ”), HERMITE ”) und KIRCHHOFF ^, sich
Jaconis elliptischer Funktionsformen bedienend, auf verschiedene Weise
das Problem behandelt. Der Letzte hat es doch nicht vollständig zum
Schluss gebracht, indem er die eine Grösse (die im Folgenden mit wy
bezeichnet wird) nur zur Quadratur geführt hat und nicht gezeigt hat,
wie man das Integral derselben finden kann. Meine Absicht ist nun,
demselben Weg wie Kircuuorr folgend, aber indem ich mich WEIERSTRASS'S
elliptischer Funktionsformen bediene, das Problem zu lösen. Dadurch
wird gewonnen, dass sich auch die letzte Integrierung (die, wodurch
man y bekommt) leicht ausführen lässt.

Seien z, y, z und §, 7, C die Koordinaten eines Punktes des
Körpers, auf verschiedene Koordinatensysteme bezogen, beide mit dem
festen Punkte zum Anfangspunkt, jene im Raume fest, diese im Körper
fest, mit demselben sich bewegend. Die Achsen der 5, 7, C seien zu-

1) Crelle B. XXXIX, (1850).
2) Quarterly Journal B. XIV, (1877).

3) Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences T. LXXXV und T. LXXXVI,
(1877 und 1878).

4) KırcuHorr: Vorlesungen über mathematische Physik, Leipzig 1877. S. 63 u. f.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2

Nam. LINDSKOG,

gleich die Hauptachsen des Körpers im festen Punkt. Die Cosinus der
Winkel der 5-, n-, C-Achsen mit denen der x, y, z mögen aus folgen-

der Tabelle

erhalten werden.

S ge
UH a, | e, a,
y | Pi | Pe | Bs
SINT Ne UE
_ U

Der Winkel, welchen die Knotenlinie der Ebenen der &7 und der
zy mit der «-Achse bildet, wird mit yw; der Winkel, welchen dieselbe
Knotenlinie mit der §-Achse bildet, mit g; und der Winkel, welchen die
beiden Ebenen mit einander bilden, mit 9 bezeichnet werden. Die Winkel
v, q, I sind also die sogenannten Euler-schen Winkel.

Denken wir uns nun um den Anfangspunkt mit der Einheit als
Radius eine Kugel beschrieben, und bezeichnen wir die Punkte, wo die
Achsen die Kugel durchbohren, mit den Zeichen der Achsen und den
Durchbohrungspunkt der Knotenlinie mit D, so erhalten wir leicht aus

nebenstehender Figur, wenn wir sphärische
Dreiecke, für welche immer eine Ecke in D
liegt, betrachten, folgende Gleichungen:

cos pcos W — sin q sin v cos I ,

— sin q cos y — cos p sin y cos I ,
sin y sm I ,
COS q sin y+ sin pcos v cos 9 ,

— sin q sin y + cos q cos y cos I ,
— cos y sin I ,

sing sin 9 ,

= eos o sin I ,

eos I .

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. a

Die Drehungsgeschwindigkeiten um die &, z-, ¢-Achsen nennen

wir p, q, r. Durch Zerlegung der Drehungsgeschwindigkeiten E
um Oz (OÖ ist der Mittelpunkt der Kugel), EP um OC und d) m

dt
OD in ihre Komponenten längs der &, 7-, C-Achsen bekommt man die
Gleichungen:

p=sing sin I oY | cosy dö |
dt dt
(2) q = cos p sin & LL — sin ,

Die Bewegungsgleichungen sind bekanntlich die Euler-schen
Gleichungen '):

> dd d »
K, = (K, — K,) qr ,
3 fe OSE te Sie
(3) Yo di = (K,—K,)rp ,
CP 2
K, -- = (K, — K,)pq ,

wo K,, K,, K, die Trägheitsmomente des Körpers in Bezug auf die 5-,
7-, C-Achsen (d. h. die Haupttrügheitsmomente für den festen Punkt)
bezeichnen.

Um diese Differentialgleichungen zu integrieren, vergleichen wir
sie mit den Differentialgleichungen für WEIERSTRAss’s &-Funktionen ?):

då då 15
À e S, 2 as
4 Me EE ET AE CR ee ho
( ) du whrvh ? din (eu ») DES I

A,u,v=1,2,3).

1) Siehe z. B. KırcHHorr: S. 64.

2) Schwartz: Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Func-
tionen, Göttingen 1882. S. 28.

4 Nar. LINDSKOG,

Wir setzen daher zum Versuch

b = a&s(mt +n) s
(5) q = börs (mt 4 n) ,
: | |o: = €&,(mt - n) ,

wo a, b, c, m, n Konstanten sind.
Aus den Systemen (4) und (5) bekommt man nun:

ae = — male, — ey) S383 = — == (e, — €)q" ;
dg. = Mb 513523 = uo rp

dus 13593 = TUE

EU C =e Ga.
AG 2 3/ 513 503 ab 2 3

Damit diese mit den Gleichungen (3) übereinstimmen, musste also

£l IK I bug (ra debes
| Ke "T
(6) JR = AC = mb |
AS ea
K,—K, me |
enges (& — &)

Multiplicieren wir aber die Gleichungen (3) zuerst mit p, GET
bez., das andere Mal mit Xp, KE, K,r bez. und addieren wir sie in
jedem Falle, bekommen wir die zwei teasel

| Kp + K,q? + Kr? = Konst. = 2T ,

7
E: Gp + Kiq + Kir? = Konst. = A?,

wo T die lebendige Kraft des Körpers (die hier natiirlich konstant ist)
und A das Achsenmoment des resultierenden Paares der Momentan-
kräfte ist.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 5

Wenn py, 4 % die Anfangswerte der p, q, r sind, werden
T und A aus den Gleichungen

| Kp Kg Karo = 2T ;

(8)
| ipi + Eig + Kit = A? ,

erhalten werden.

Die Ausdrücke der §-Funktionen in Werersrrass’s o- und o;-Funk-
tionen sind ?):

OR, E07 Gone 1,2,9).

Die o-Funktion hat aber für das Argument 0 den Wert 0?) und
die o,-Funktionen den Wert 1°). Die &,, haben also für dasselbe Argu-
ment den Wert 0 und die £j, den Wert 1.

. . B . N
Wenn wir nun einen gewissen Augenblick denken, wo t = — — ,
m

so ist also

Gel, Ss=0,s3=—1-

Die bisher unbestimmten Konstanten a und ce bekommen wir nun
durch Einsetzung der Werte (5) von p, q, r in (7), und den Zeitpunkt

t— — betrachtend, aus den Gleichungen:
m
JC DUE Tee on,

Kia KG I AR
Daher

NB TUR
rer oi

(10)
e TRAME
EO KE UCET)

1) Schwartz: S. 28. 2) SCHWARTZ: S. 5. 3) SCHWARTZ: S. 21.

6 Nat. LINDSKOG,

Dividiert man die erste der Gleichungen (6) in die zweite, so
erhält man

ATE I DR 1

RER) Em

RCE)

Sr OM e
PLA ra ERIS

Multipliciert man dieselben Gleichungen, ergibt sich

KR SORS IE n?
( Xo n i G) = x (es E. es) :
Me I, GE = CU
€ — 63 KE

Quadriert man die dritte Gleichung desselben Systemes (6) und
setzt die gefundenen Werte von b und m ein, so wird man

KXK,— Ky
TO OR EN

a*
(e — 6) = = CE)

| BE. ee =
RR CECI TCR I)
bekommen.

Um nun theils zu bestimmen, welches Zeichen wir hier nehmen
sollen, theils sicher zu sein, dass die Bedingung

ej > bg > £5 ,

welche wir ja der Bequemlichkeit wegen auflegen können (e; muss im-
mer das mittlere sein ‘)), erfüllt ist, mógen wir ein wenig die Gleichun-
gen (8) betrachten.

Aus (8) bekommen wir

Kp UG Re Gin VR ESAE IIL,

Kalk RK) AS CUR RO = EDR AR

1) SCHWARTZ: S. 31.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 7

Wenn also K,>K,>K, ist, so ist A”— 2 TK,>0 und 2 TK, — 4-0;
ist dagegen K, < K, < K,, so wird 49—2 TK, <0 und auch 27K, — A’<0.
Wenn ich also die Achsen so wähle, dass die 7-Achse das der Grösse
nach mittlere Trägheitsmoment hat, so werden a? und c, (10) gemäss,
mit Sicherheit positiv und folglich a und c reell.

Durch Einsetzen der Werte (10) für a? und ce ergibt sich für
Ee

(UC A y CH STR)
COO

2, — €4 = +(e, — 6)

Der Bruch der rechten Seite ist aber hier positiv; wir müssen
daher das Zeichen + nehmen, weil e; — e, und e,—e, auch positiv sein
sollen. Wir haben also

CRT) (AED TURCO)
COEUR) CITE Ay?

= Ge (Fe)

oder wenn wir zur Abkürzung die Bezeichnung

K,— Kj) (4 — 2 TK)
11 duc cs ) _R
> (K, — K) (8 TK, — 4)

einführen,
(12) Guta Ge

Würde nun indessen befunden werden, dass R>1 ist, so würde
&,— 647» 6, — e, und also e, >e, sein, was der vorhergehenden Annahme
€, > 657» e, widerspricht. In solchem Falle macht mau nicht von Anfang
an die Annahme, wie in den Gleichungen (5) gethan ist, sondern man
vertauscht die Indices 1 und 2 der &Funktionen, so dass man dann

p = aöslmt +n) ,
q = bör (mt +n) ,
r = c&y(mt + n)
setzt. Anstatt der Gleichung (12) ergibt sich nun
Qm ds sro e)

und wir bekommen e,>e,, wie wir wünschten.

8 Nam. LINDSKOG,

Wäre dagegen R — 1, so würde e, =e, sein, und unsre ellipti-
schen Funktionen würden einfach-periodisch werden.
Im Folgenden nehmen wir an, dass wir

Ji < ii

haben, und gebrauchen also die Gleichungen (5) in der Gestalt, welche
sie da haben. Der Fall R>1 lässt sich ganz analog behandeln, und
der Fall R=1, wo die Funktionen einfach-periodisch werden, wird
natiirlich der einfachste.

Um die Grössen ¢,, €, e, zu bestimmen, haben wir bisher nur
eine Gleichung (12). Immer aber müssen sie die Gleichung

1 + & +e, = 0

befriedigen ). Aus dem Probleme bekommen wir keine Bedingungen
mehr, ausser dass e,2 6,2 e,. Wir können daher fast willkürlich eine
Bedingung annehmen, und am einfachsten wird wohl

‘ ey, — 63 = 1
zu setzen sein. Meine drei Gleichungen, um e,, ex, e; zu bestimmen,
sind also:
er Te == (CC)
€ + € + 63 = 0
€$j— 064 = l.
Aus diesen bekommen wir
| a= 3(2 = R) ,

(13) Qus ONES qe

Pus

Durch Einsetzen dieser Werte von e,, e; und der Werte (10) von
a’ und c ergibt sich aus den Gleichungen nach (10) für 6? und m:

po AES
Tirer)
(14) ad. Pr
Ir T UU COTE),
K,K,K,

1) SCHWARTZ: S. 12.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 9

b? und m? sind also auch (wie a? und ^») positiv, da die 7-Achse
die Achse des mittleren Trägheitsmoments ist, und 6 und m sind
folglich reell.

Nun sind also alle Konstanten mit Ausnahme von n bestimmt.
Wenn wir in den Gleichungen (5) t 2 0 setzen, erhalten wir

(15) Po = aSg(m) , go = b (n) + To = c&y (n) .

Aus einer dieser Gleichungen (welche es auch sei) soll » ent-
nommen werden. Wie eine solche Gleichung aufgelóst werden mag,
wird später angegeben werden.

Nun haben wir freilich die Drehungsgeschwindigkeiten um die
im Körper festen Achsen in jedem Augenblick bekommen, damit aber
weiss man nicht die Lage des Kórpers. Hierzu wird erfordert, dass
man die o,, f,....y, oder auch die yw, gy, 9, durch welche &....7;
dem Systeme (1) nach bestimmt werden können, kennt.

Es sei die zy-Ebene der sogenannten unveränderlichen Ebene
parallel und also die z-Achse die unveründerliche Linie. Dann hat man ja

K, K KT
Een, Ip: = = ys i,

denn in diesem Falle liegt das ganze A längs der z-Achse, und Xp,
K:q, K,r sind dessen Komponenten.
Man setze die Werte (5) der p, q, r ein, und man bekommt

n= = aSs(mt+n),
(16) jo = bE,(mt +m) ,

Y3 = = c5 (mt + n) .

Mit Hiilfe des Systemes (1) ergibt sich nun

(17) eos 9: = K; Ges (mtt rn),
te p= Jac JACI Se (mt E n)
8 Ya Kb &3(mt + n)

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 Nar. LINDSKOG,

Immer ist aber

1 [07
=. ? ucl 3
s BuU xi 6s
pov ue So
Mithin
(18) tgg = Sw (mi > Mm) d

Lo

9 und g sind also nun bekannt; rückständig ist v.
Aus der dritten Gleichung des Systemes (2) ergibt sich

RR
Lo
d Gone
Wir haben aber
K
goce 2
dp dq
Ve, ki dash el
cosg dt K, q

Setzt man hier den Wert des cos’p aus der vorletzten Gleichung
und die Werte (3) der ST gap ein, bekommt man
Q

K,— Ks 2, KR

m?
dps See EM Kr
Ix Kip K. g
1 1 2
+ eG

= 0: Kir
Fügen wir hier zu, dass cos 9 = —

, so haben wir T el

q, r und konstanten Grössen ausgedrückt.
tionen ergibt sich

Nach gebührenden Reduk-

dy A Kp + Kod 5
dt KS ae KG

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 11

Den Gleichungen (7) zufolge wird dieses reduciert zu

dw _ 4 UT ys
TD C ETHER US

Setzt man den Wert des r aus (5) ein, erhält man

dv 4 PITE TE CRE Cro 20)
dt EET E Een

daher

RTE CE rte = n) q
Ar — NGE Sec (ag IE rn à

y=0+4

wo C eine willkürliche Konstante bezeichnet.

Dieses Integral wird gesucht werden.

Ich führe der Kürze wegen bis auf Weiteres folgende Bezeich-
nungen ein:

2T. Ke B,(u)

mttn=u, "oc EN m
und
MIL m Koen ER AS Re ae
Dann ist
vo C4 2. foldu
m
und

_ f= 9%(u)
Oz eee ke (u)

Vorher wissen wir aber, dass

02
05 0 a
9 = = zx)
05 05 Ey,

12 Nar. LINDSKOG,
und weiter ist ^)
E ary esp (u) Ze QU ee)

wo p(u) WrrERsTRass's bekannte p-Funktion ist.
Hieraus folgt

£u) es Ber

pu-—e
Mithin
0,20) —6
ou "PW)-& _ F—9)pPM—fetge _
nh p20—56 (h — k) p(u) — hes + ke,
p(u) — &
Du ee hes ke fer NR
== JU EET emus jä
SE _ hes — ke RE Im did |
p(u) DE DOS
oder
ii gh — fk mM
ow = EE 14 0) ne
| PO) ae |

g(u) hat also die Form
1
ae ee
q (u) | == Ty
Für D haben wir
De fe" == 9 T — Rauch

p E ZEIGEN

Führe hier den Wert des & aus (10) ein und reduciere, so er-
gibt sich

1) SCHWARTZ: S. 21.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 13
Weiter ist

Bc. dcr iu tai
Ge

Wenn wir hier die Werte von f, g, h, k, c, e, —e, einsetzen,
bekommen wir

GG) (KG NS)

DE
Ras Kö)

Für F ergibt sich

he ve,

Fe
h—k

woraus durch Einsetzung:

(19) F

1 AXK,— KK Ky) + UG (Ki — E) + KK K)) 2 TK. — A?)
3 Rö URS EURO IR 34) |

F ist also negativ. Im Folgenden behalte ich F der Kürze wegen.
Der Ausdruck für w ist nun

A (CENT QUE
— | | ee a A

du .

Hieraus folgt durch Integrierung des ersten Glieds unter i

A OATES ORTON RT
= C 1 z 2 NT PEN
is Te mK, cau m Ki (K, — Ks) p(u) —F
Es kommt also nun darauf an, die Funktion BR 00: integrieren
p) —F
zu kónnen.

Diese ist natürlich eine elliptische Funktion. Eine solehe kann
aber immer unter der Form

(Bs — 2c 7 C re JI > = B CO d^ c'(u — vu)

o(u — E: du^ o(u— vy) '

14 Nat. LINDSKOG,

wo die C Konstanten und die v, die Unendlichkeitsstellen der Funktion
innerhalb des Periodenparallelogramms sind, geschrieben werden "^.

Was die Werte betrifft, für welche diese Funktion NM --.
pa) ="

endlich wird, kónnen sie nicht andere als die Nullstellen des Nenners
sein, d. h. die u-Werte, welche p(u) — F — 0 machen. Die p-Funktion
ist eine gerade Funktion?) Nimmt man an, dass u, ein Argumentwert
ist, für welchen p(u) = F?) muss daher —u, ein anderer sein. Weitere
solehe kónnen nicht vorkommen, weil die p-Funktion eine elliptische
Funktion zweiten Grades ist”) und folglich denselben Wert nur in zwei
Punkten innerhalb jedes Periodenparallelogramms annehmen kann. u,
und —u, sind also einfache Nullstellen zu p(u) — F und folglich einfache

Unendlichkeitsstellen zu Lattes pres folgt, dass keine Ableitun-
p(u) — F
len), ae 2 > 1
gen von —— # im Ausdrucke der Funktion — —, vorkommen
o(u — vu) p(u)—.F

kónnen; denn in den Ableitungen sind die Unendlichkeitsstellen immer

a S cac AUS
von hóherer Ordnung als der ersten, weil sie in — selbst von der er-
G

sten sind.
Wir sollen also setzen

1 Tv: o (u — u) out Uy)
plu) —F Eee o(u — u) es o(u + wW)

Es würde indessen eintreffen können, dass u, und — u, so beschaf-
fene Grössen sind, dass die eine eine volle Periode von p(v) grösser
als die andere ist, und dass sie folglich in verschiedenen Periodenparal-
lelogrammen liegen gedacht werden müssen. In diesem Falle sind beide
Unendlichkeitsstellen zweiter Ordnung. |

Innerhalb eines Umkreises um vw, gilt immer die Entwickelung:

u-—u

= = i

p(t) — F —p(u) — F4- Pu) + gru) +...

1) Schwartz: S. 20. 2) Scuwartz: S. 10.

3) Wie man einen solchen Argumentwert finden kann, wird später gezeigt
werden.

4) SCHWARTZ: S. 11.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 15

Damit wu, eine Nullstelle zweiter Ordnung zu p(w) — F sei, wird
also erfordert, dass auch p'(u) verschwinde. Für p'(w) haben wir aber
die Gleichung '):

DU) = 4(p(u) — e,) (p(u) — ey) (p(u) — es) .
Mithin
pu? = 4(F— 6) (PF —e) (F— es)

pu) verschwindet also, wenn F gleich e, oder e, oder e, ist. Dass
nieht F- e, sein kann, ist unmittelbar davon ersichtlich, dass e, positiv,
F aber negativ ist. Wenn F=e, oder = e sein würde, müsste in den
beiden Fallen e, = e; sein (weil F = =E , und dieses würde (13)
zufolge sedem dass KR — 0, d. h. (11) gemäss, dass X, = K,, so dass
das Trägheitsellipsoid ein Rotationsellipsoid wäre. In diesem Falle las-
sen sich die Euler-schen Gleichungen (3) ohne Hülfe elliptischer Funk-
tionen leicht integrieren, wesshalb ich nicht näher auf dieses eingehe.
Wenn wir daher den Fall, dass X, = K,, welcher einfacher sich
behandeln lässt, ausschliessen, so ist nicht p'(w)- 0, und folglich
giebts keine Nullstelle zweiter Ordnung zu p(w) — F, oder was dasselbe

ist, keine Unendlichkeitsstelle zweiter Ordnung zu ln Ee Wor vins
p(u) — F

hergehende Entwickelung von a gilt also.

peu =

Hier wissen wir schon im voraus, dass C; = — C,, weil immer
=, Cu = 0 ist?) Dieses werden wir auch bestätigt finden.

Um die Werte der Konstanten zu finden, werden wir diese Ent-
wickelung mit der gewóhnliehen in Potenzreihe vergleichen. Weil u,
und — u, die einzige Unendlichkeitsstellen und ausserdem einfache sind,
wird diese Entwickelung von der Form:

1 2
d rh

p(u)— F np ut u, E>

wo C, und C, dieselben Konstanten wie oben sein müssen, wie man

durch Entwickelung des nächstvorhergehenden Ausdruckes für

uM P YS
TOP:

1) Schwartz: S. 12. 2) ScHWARTzZ: S. 20.

16 Nam. LINDSKOG,

und Vergleichung der Koefficienten finden kann, und wo P(u) eine ge-
wöhnliche Potenzreihe ist, welche weder für w = v, noch für u = — u,
unendlich werden kann.

Aus der letzten Gleichung folgt

D — Wy,

= (Ch = (05 o) C.

Or ha (ur) P (ue

Setzen wir hier u—=u,, so wird die linke Seite von der unbe-

stimmten Form ": durch Differenzierung aber wird leicht ersictlich,

dass ihr Wert — il ist. Es ergibt sich also für Cj:
pu)
L
CS
rw)

In derselben Weise bekommt man

Aj 1
p (— U)

Weil aber die p-Funktion gerade ist, muss die p'-Funktion unge-
rade sein und also p'(— u) = — p’(u,); folglich

Cx ste AN

p (ux)
und (= — C,, wie es ja sein sollte.
Um den Wert der Konstante C, zu erhalten, wird hier am ein-

fachsten u = 0 in der Gleichung oben für in welche C, ein-

1
pu) — F ”
geht, zu setzen sein. Der Ausdruck für p(w) beginnt mit = '), also ist

1

Ay oe — 0 für das-

p(u) unendlich für das Argument 0 und folglich

selbe Argument. Wir bekommen daher

"T oet) o (u4)
Saar o(— Uy) ee ou)

1) Schwartz: S. 10.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 117

à 3 : : SALE o :
Die o-Funktion aber ist ungerade '), mithin auch — . Durch Ein-
G

setzung der gefundenen Werte der ©; und C, ergibt sich daher

(em 2 o (1)
pe pu) o(u)

Wir haben also

1 1

pt) —F = p (4)

-und nun ist leicht zu integrieren. Man bekommt

9 FW) o(u—1) ou du)

o(u,) o(u —u) ou + UW) :

EU es c d AURA)
puy—F Pu) o(u;)

Setze dieses in den Wert von v ein und nimm wieder mt +n
statt w, so ergibt sich

u + log o(u — u) — log o(u + u) | :

2 (KE SK) IGM) neu) ee
IE 2
w=C+ mK, | 1+ KK, Kj) ou) pu) (mt +n) +
(20) JE A(K, = K;) (K, = K;) Io o (mt +n — 1)

mK (Ke ID (CN) o (mt + n+ U)

Dieses ist also der allgemeine Wert von v, in t als Argument
ausgedrückt.

Die Konstante C wird dureh Ausgehen von einer bekannten An-
fangslage des Körpers bestimmt.

Für die Berechnung der o- und p-Funktionen haben wir die
Formeln:

EC gy u^ I gs me gau = Joga as
Be = Gers 95-315 RE NA OSS E09
1 GP Te GE gs u$ DUROS
piu) = E = - OO
PODS CU sper doom | ou sahen

1) Senwanrz: S. 5.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 Nat. LINDSKOG,

wo

dig e — 4 (ese + e4 + € 6g) ,

93 = 46 665
ist !).
Oder auch man gebraucht die Formeln in Scawarrzs Formeln
und Lehrsätze pp. 61, 62, 63 (für die p-Funktion in Verbindung mit

2
plu) = 53, (u) + e; = u +e), welche für die Berechnung der &-Funk-
(u

tionen immer benutzt werden.

Weil v natürlich eine reelle Grösse ist, muss jedes Glied des
Ausdrucks von wv reell sein. Dass es hier sich auch so verhält, wird
nun gezeigt werden.

Wenn u, reell wäre, so wäre kein Beweis nöthig, weil gar Nichts
imaginäres vorkäme. Das ist jedoch nicht der Fall. Später wird er-
wiesen werden, dass u, rein imaginär ist, wenn F zwischen e, und — co
liegt, und das thut es hier. Die Ausdrücke der e, und P sind ja näm-
lich (aus (13), (11) und (19)):

Wrede FREE (CREER)
^ 3 (Ka Ota

r AK, — EK, — K) + {KK = Ko) PR = eee
?

ra RC TOC TRE)

oder für es:

1 K,(K,— Ky TK, — 4) + KUK, — KA — 27K)
3 KR KS QURE AS) j

£g = —

Es ist also die Frage, ob

pesca)
d. h., ob

LK,(K, — Ky) + K.(K, — K) — KR — K)] @ TK, — A5) +
4. AK, — KRA LKR) = KR KR) ROUE

1) SCHWARTZ: SS. 6, 10 und 12 bez.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 19
oder nach nöthigen Reduktionen, ob
3K (A, — KR)@TRKR,— 4*)>0

ist, was ja immer der Fall ist.
F ist also <es und folglich x, eine rein imaginäre Grösse.

o(u) ist eine ungerade Funktion, mithin auch E e ; der Faktor
olu

: Sr ist also rein imaginär. p(u) ist eine gerade Funktion, folglich
OU,
p(u) eine ungerade; der Faktor ist also auch rein imaginär. Ihr
p u
Produkt 2) — 1 _ ist dann reell.

o(u) ' pu)
Was das letzte Glied betrifft, so ist ja

rein imaginär. Da
p

u, eben so ist, muss log c(mt-E? —'5) von der Form log on sein,
o(mt + n + ur) 0157/3

wo « und /? reell sind, und i die imaginäre Einheit- bedeutet. Schreibe

nun z. D.

a+ ip

0153/3 Seyler

log

wo z und y reell sind. Daraus folgt

e + ip z+iv

GENS
page E OU " NE
= cos y + te” sin y ,
eai ge x 2a Bee
an COS y Bla sym siny .

Quadriere und addiere, so ergibt sich

weil z reell sein würde.

20 Nar. LINDSKOG,

o (mt + n — uj)

Also ist log auch eine rein imaginüre Grósse

o(mt + n + U)
und folglich das Produkt E lue mr MCN
pu) o (mt + n + 14)

Jedes Glied des Ausdrucks für wv ist also reell, wie es sein
musste.

Da die Euler-schen Winkel 9, 9, v bestimmt sind, ist die Lage
des Kórpers in bezug auf die im Raume festen Koordinatenachsen in
jedem Augenblick bekannt. Die Richtungscosinus & ,@ ,....7, erhält
man unmittelbar aus (1).

Die Drehungsgeschwindigkeiten um dieselben Achsen sind

75 2” a 2 2 o» ^ ^ ^ ae
mp + sq + €s" , P+ Ped +s? JD P 724 + YT 4
und die ganze Drehungsgeschwindigkeit des Kórpers
2 2 2
Vp 4d +1
um die instantane Achse, deren Richtungscosinus

0&3 p + esq + es en.
Veer
sind.
Alles ist also nun bekannt, und das Problem ist vollständig gelöst.

Berechnung von v, aus der Gleichung p(u) = F.

Weil alle drei e reell sind, ist das Periodenparallelogramm ein
Rechteck '), so dass die eine Periode reell, die andere rein imaginär ist.
Wenn wir die Perioden wie gewöhnlich 2» und 2w nennen; so ist ?)

p(@) =e ,pw+w)=e ,p(lw)=e .

1) Schwartz: S. 32. 2) SCHWARTZ: S. 12:

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 3

Wenn das Argument von 0 durch die Werte c, © + o , w’ zurück
zu 0 wandert, geht die p-Funktion von +» durch 6, &, e, zu — oo und
nimmt also alle reellen Werte an. Wenn die p-Funktion einen reellen
Wert hat, liegt daher der Wert des Argumentes auf einer der Seiten
des Quartperiodenparallelogramms. Im Vorhergehenden ist gezeigt, dass
F zwischen e, und — co liegt. Der Wert u, des Argumentes, für wel-
chen p(u) = F ist, muss daher rein imaginär sein, wie vorausgesagt
worden ist. Ich schreibe daher iw statt u, so dass die aufzulösende
Gleichung

pw) = F

wird.

Um einen Wert w,, der diese Gleichung befriedigt, zu finden, hat
Herr SÖDERBLOM folgende Methode erfunden.

Die p-Funktion ist ja diejenige, welche die Differentialgleichung

(E AS — GAS e Oe, n

du

WO &,€,€ die drei Wurzeln der rechten Seite sind, befriedigt ‘).
Führe nun die Substitutionen w — iw und s = — s, ein, so geht
diese Gleichung in

(CT = 45; — 9251+ 9s

dw :

über. Die Wurzeln der rechten Seite dieser Gleichung müssen —e,, —e;, —e;
sem, wie bei Vergleichung mit der vorhergehenden ersichtlich ist. Die
letzte Differentialgleichung wird von s, — p(w) befriedigt, welcher p-
Funktion doch die Wurzeln — e,, — &, — e; angehören, und die wir daher
?ı(w) nennen wollen. Weil nun ¢,>¢,>¢,, muss — e > — e4 > — e, sein,
und — e; ist also die grösste Wurzel. F lag aber zwischen e, und — oo
folglich liegt — F zwischen —e4 und + o». Die Gleichung

1

pw) = — F
(wir hatten nämlich p,(w) = — s = — p@w) = — F)
muss daher von einem reellen Wert w, befriedigt werden.

4

1) Scuwarrz: S. 12.

22 Nat. LINDSKOG,

Diese Gleichung wird in gewöhnlicher Weise gelöst. Um keine
Verwechselung befurehien zu dürfen, werden die hier zu gebrauchenden
e mit Accenten bezeichnet, so dass

(21) € — — 64$ , 9 =—8 , = — 6

sind.
Man hat aber

pil) — & = Bw) >

Sw) = ae

o(w) ”
: o, (w)
s mU E Ver a |
oc) = Vp,(w) — ) 1 ys i
Mithin !)

cos 3 >= cos 5a =

1 - ==
2: cos zr = COS 7t =

(22) Cot 20 : to =

sin 37 LL sin 52 ©

1 LE hà 20 20 =
sin x 2 sin x ©
2 2 w

VE p
= —

TEE NEUE.

1) Scuwartz: SS. 61 und 62.

DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS. 23

Cy SENTE TE 4 SW ZEE
€1 — es — €1 — Co
L9) RESTE SET D) dA EAT) Ge”
€1 — eg + €1 .— €»

Dieser Formeln bedient man sich, wenn e, negativ, d. h. e, posi-
tiv ist. Wenn dagegen e, positiv, d. h. e, negativ ist, so verden die
folgenden benutzt

l=

ist.

pi(w) — es = Så(w) >

(ww) = a

i SD Lp) e = VF

=> STE re D TE
i) RS Bap ar @ 20 hee SE 20'
wi wi wi wi wt wi
em SE 7 TRES e TE =p =
(22^ at: 20 C aap WE aap Se Sap I mon
ex de — eu" ar A = G an nn g- 5n Pd:
20 20 1 h2 20' 2 o 4 hs 20)' 2 w'
: "EL = wi 2 x Wi = UD x

€ 2 w' 9 o € 2o' Ce 20'

Lå

VE Fe,

am , " 4 " 7%)
fa — C3 fe — 03
wo
2 w’

1) ScHWARTZ: SS. 62 und 63.

24 Nat. LINDSKOG, DREHUNG EINES STARREN KÖRPERS.

4
N = [ene
ı = =
vA 7 7 if Z
é; —€é3 + fa == (s
Vv

ist.
Wenn man also w, aus (22) oder (22^) approximativ berechnet
hat, ist

(23) uy — dw, ,

mithin ist u, bekannt.
Aus vorhergehenden Formeln ist auch ersichtlich, wie n aus einer
der Gleichungen (15) zu berechnen ist.

SUR
-LE SPEOTRE DU FER

OBTENU A L'AIDE DE L’ARC ÉLECTRIQUE

BAR

ROB. THALEN.

(PRESENTE A LA SocIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 26 SEPTEMBRE 1884.)

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1885.

E
= r
- x,
+
a
\
+
tr
.
»
!
4
i
1
,
- \
ES
D
es j
<
^
x
- A P
E I
i) i Y
1 fy -
| Han " 4

INTRODUCTIO N.

Dans un mémoire intitulé: »Sur les raies fraunhofériennes avec
une planche de la partie violette du spectre solaire», qui fut présenté à
l'Académie royale des Sciences à Stockholm le 7 février 1865"), ÅNGSTRÖM
et moi nous avons rendu compte de nos recherches faites à ce temps-là
sur le spectre du fer. En employant lare électrique produit par une
pile de Bunsen, composée d'environ 50 éléments, et en le faisant éclater
entre des pôles de fer d'une lampe de M. DuBoscQ, nous avons obtenu
dans la partie visible du spectre du fer environ 460 raies spectrales au
lieu des 150 qu'on trouve au maximum, quand on emploie l'étincelle
d'une bobine ordinaire d'induction de Ruhmkorff. Dans le mémoire
mentionné nous avons indiqué en outre que le nombre des raies du fer,
obtenues par lare voltaique, pourrait sans doute être augmenté considé-
rablement, si les circonstances nous avaient été bien favorables.

Depuis ce temps-là, on a augmenté beaucoup le pouvoir optique
du spectroscope, et de l'autre côté, on a facilité d'une manière surpre-
nante la production de Parc voltaique par l'emploi des machines dy-
namo-électriques. À cause de cela et aprés m'étre procuré les appa-
reils nécessaires, je me suis proposé depuis quelques années de reprendre
les recherches par rapport au spectre du fer, surtout pour savoir à quel
degré on pourrait pour le présent expliquer par ce spectre l'origine des
raies fraunhofériennes qui se trouvent dans le spectre solaire. Cette

1) K. Svenska Vetenskaps Akademiens Handlingar, B. 5, Stockholm 1865.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 Ros. THALÉN,

étude formera done le commencement de la révision de mes détermina-
tions antérieures des longueurs d'onde des raies métalliques *) que j'ai
l'intention de faire.

Outre les raisons mentionnées, il y en a d'autres pour entre-
prendre une telle révision des longueurs d'onde des raies du fer. A cause
du grand nombre de ces raies et de leur grande extension dans toutes
les parties du spectre, on pourra souvent avec beaucoup de profit se
servir du spectre du fer comme échelle au lieu du spectre solaire pour
déterminer ainsi la position des raies spectrales des autres éléments
chimiques. Cependant afin qu'une telle application du spectre mentionné
conduise à de bons résultats, il faut avant tout que les déterminations
des raies du fer aient été faites avec une exactitude rigoureuse.

Malheureusement dans l'Atlas du spectre normal d'ÀxasTRÓw, où
ont été insérées nos observations communes par rapport au spectre du
fer, dont nous venons de parler, il s'est glissé quelques erreurs, comme
on le verra dans le tableau suivant. Ces erreurs dérivent sans doute
de la faible dispersion du spectroscope employé en 1864 à la détermi-
uation des positions des raies brillantes du fer parmi les raies sombres
du spectre solaire. Remarquons, en outre, que l'opération longue et
ennuyeuse du montage d'une grande pile d'éléments de Bunsen nous a
empéchés de répéter les observations d'une maniére suffisante pour ob-
tenir ainsi le contróle nécessaire. |

Je me suis cru d'autant plus autorisé à corriger les erreurs trou-
vées dans l'Atlas d'ÀÁxGsTRÓM, qu'en 1864 j'ai fait moi-même en grande
partie les observations mentionnées par rapport au spectre du fer, et
il est done bien probable que quelques-unes des erreurs ont été com-
mises par moi. Par conséquent, quand je dis quelquefois dans le
tableau suivant qu'ÀÁNesTRÓM a erronément indiqué la position d'une
certaine raie du fer, on ne doit pas le regarder comme un reproche à
mon défunt ami, mais seulement comme une expression abrégée, au
lieu de dire plus exactement que dans le spectre normal d'ÀwcsTRÓM la
position de la raie mentionnée a été erronément indiquée.

Nous allons maintenant rapporter les appareils employés aussi
bien que les dispositions prises dans les observations pour donner en-
suite les résultats auxquels nous sommes arrivé.

1) Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. III, Vol. VI., Upsalie 1868.

SUR LE SPECTRE DU FER. 3

8. 1. APPAREILS ELECTRIQUES ET METHODE D'OBSERVATION.

Comme source d'électricité j'ai employé la machine dynamo-élec-
trique de Gramme de l’ancien modèle, mise en mouvement par un mo-
teur à gaz de la construction d'Otto d'une force de quatre chevaux-
vapeur et fabriqué par M. Orro LANGEN à Cologne. La vitesse de ro-
tation de l'anneau pendant la fermeture du courant a été 900 tours par
minute.

Le moteur et la machine Gramme étant placés dans un petit
bátiment dans la cour du laboratoire chimique, le courant fut conduit
par des fils conducteurs en cuivre rouge assez gros (4.4"" de diamè-
tre) au cabinet de physique situé au deuxiéme, ou fut placé le spectro-
scope. A la recherche du spectre du fer ont fonctionné comme póles
d'abord deux tiges cylindriques de fer de 9"" de diamétre. Cependant,
à cause de la chaleur intense développée par le courant, les surfaces
des póles ont été bientót ramollies et portées presqu'à la température
de fusion, d’où il provenait que ces surfaces, au moment où on les
remit de nouveau en contact, se soudaient presque toujours l'une à
lautre, ce qui a naturellement empéché la formation ultérieure de l'arc.
C'est pour éviter ces graves inconvénients que l'un des póles du fer fut
remplacé par une tige de charbon des cornues. De cette maniére, on a
certainement évité la soudure des surfaces polaires, mais au lieu de cela
on a obtenu dans le spectre non seulement les raies du fer, mais aussi
une foule d'autres raies provenant surtout des combinaisons chimiques
du carbone. Ces raies, étant trés-nombreuses et juxtaposées les unes
auprés des autres, pourraient souvent cacher tout à fait les faibles raies
du fer situées dans leur voisinage immédiat. Pour me mettre à l'abri
de cet inconvénient, jai augmenté successivement la longueur de l'arc,
jusqu'à ce qu'il ait été au point de s'éteindre, puisque dans ce cas on
est toujours sür d'obtenir à la fin le spectre du fer parfaitement pur
et exempt des bandes mentionnées qui appartiennent aux carbures d'hy-
drogéne et à d'autres combinaisons qui peuvent étre engendrées dans
l'are électrique.

Aprés avoir étudié de cette maniére deux fois tout le spectre du
fer, j'ai recouru encore une fois aux póles du fer pour m'assurer qu'au-
cune des raies des composés du carbone ne serait entremélée à celles
du fer, introduites dans ma liste. Cependant pour éviter autant que
possible la soudure des surfaces des póles, jai employé des cylindres

4 RoB. THALÉN,

en fer un peu plus gros, savoir d'un diamétre de 15"" à peu prés. Dans
ce cas, les póles se réchauffaient certainement jusqu'au rouge blane,
mais ils n’arrivaient pas si facilement qu'auparavant à la température
d'amollissement, et par suite on a pu continuer les recherches sans avoir
continuellement à craindre la soudure des póles. Pourtant, méme dans
ces circonstances, il y a des inconvénients ennuyants qu'il faut annoncer.

Les surfaces polaires se recouvrent peu à peu aux points ou jaillit
lare voltaique d'une petite goutte d'oxide de fer qui après sa solidifi-
cation empêche tout à fait le passage du courant, d’où il suit qu'on doit
éloigner assez souvent cette couche isolante pour pouvoir fermer de
nouveau le courant. La formation de cette pellicule d'oxide s'annonce
déjà d'avance par un bruissement singulier en quelque maniére semblable
aux explosions que peut produire la sortie de l’eau du tuyau d'une
pompe à incendie, quand l’eau contient beaucoup d'air. Ce bruissement
de Parc correspond évidemment au sifflement qu'on observe au cas des
poles de charbon. Dans ce dernier cas, la flamme devient mobile, aus-
sitót que lare commence à siffler, et alors ce qu'on y observe ce sont
non seulement les raies spectrales des combinaisons de carbone, mais
aussi une innombrable foule d'autres raies d'origine inconnue, qui sillon-
nent tout le spectre. Aussitôt que le sifflement cesse par l'augmentation
de la longueur de l'arc, ces dernières raies disparaissent en méme temps,
et à ce changement brusque de l'aspect du spectre proviennent alors, au
lieu des raies mentionnées, celles qui appartiennent aux métaux qui
existent dans les póles. De méme, quand on emploie des póles de fer,
le bruissement de Parc, accompagné de vibrations violentes, ne permet
par conséquent pas à l'arc de briller d'un éclat calme. Au contraire, il
s'agite violemment, ce qui rend les observations des raies du fer presque
impossibles. Par suite, pour pouvoir les voir nettement il faut, comme
nous venons de le dire, qu'on délivre les surfaces de l'oxide formé.

Les morceaux de fer ont certainement contenu quelques traces
de caleium et de baryum etc., mais dans des proportions assez petites
pour qu'on n'ait pas à craindre des effets nuisibles aux observations en
question. Pour éliminer les raies des corps étrangers, j'ai pris des pré-
cautions spéciales dont je vais parler dans la suite.

Lorsque le courant est arrivé à son intensité maxima, on sait.

bien que Farc électrique à la combustion du fer élance tout autour des
étincelles assez brillantes qui rempliraient bientót de poussiére l'ouver-
ture de la fente du collimateur. Pour me mettre à l'abri de cet incon-
vénient, il me fut nécessaire de placer les póles à une distance d'environ

Ln JA. t oc

rite

SO el} ay I

PA]

TE A

SUR LE SPECTRE DU FER. 5

,10** de la fente. L'espace étroite du cabinet de physique ne m'a pas
permis de projeter avec une lentille l'image de l'arc sur la fente men-
tionnée, comme on le fait souvent.

Pour pouvoir fermer ou ouvrir à volonté le circuit du courant,
jai fixé l'un des póles dans un support immobile, l'autre au contraire
je l'ai appliqué à une crémaillére, au moyen de laquelle j’ai pu par l'une
de mes mains à mon gré et de ma place d'observation régler convena-
blement la longueur de Parc, tandis que par l'autre j'ai amené le fil
mobile du réticule de la lunette d'observation sur la raie spectrale en
question.

Dans ses travaux célèbres sur les spectres, M. Lockyer a fait
voir toute l'importance qu'on doit attribuer aux longueurs différentes des
raies spectrales. Mais si l'on veut observer les raies méme les plus
courtes, il est nécessaire de faire éclater l'arc électrique dans la direction
horizontale. C'est pourquei mes póles de fer ont toujours été placés
dans cette direction, quoique l'observation des raies spectrales eu soit
devenue trés pénible et de plus ait exigé beaucoup de temps.

En effet, comme nous venons de le dire, l'arc ne reste presque
jamais dans une position fixe, mais au contraire il se meut de plusieurs
manières. Souvent il arrive qu'il saute brusquement de bas en haut, ce
qui cause un mouvement en sens inverse de son image dans l'oculaire.
Alors on conçoit bien quil soit un peu difficile de manoeuvrer conve-
nablement les tiges de charbon et par là aussi l'arc voltaique, de manière
quon puisse ramener les raies spectrales les plus courtes au milieu du
champ de vision de la lunette, où il faut les pointer. Pour arriver à
ce but, il me fallait done régler fréquemment la hauteur des surfaces
polaires par rapport à la fente et de plus changer incessamment la lon-
eueur de Parc par le rapprochement ou l'écartement des pôles l'un de
lautre, jusqu'à ce que j'aie réussi à trouver dans l’oculaire une position
convenable aux images des raies spectrales. Ma maniére d'opérer fut
alors la suivante. Dans l'intervalle des observations des raies différentes,
le circuit du courant était toujours ouvert, ce qui amena l'avantage d'un
refroidissement trés-notable non-seulement des póles, mais aussi des
bobines de la machine de Gramme. . Au moment de l'observation, le
circuit fut fermé, la longueur de l'are réglée, et le fil du réticule pointé
sur la raie spectrale. Pendant toutes ces opérations, la lumière solaire a
été interceptée par un écran, placé entre l'héliostat et les póles électriques.
Aprés avoir suffisamment écarté les baguettes l'une de l'autre pour étein-
dre Parc, on a fait passer la lumiére solaire par l'ouverture de la fente

6 Ros. THALÉN,

pour déterminer au moyen des planches spectrales la place exacte qu’oc-
cupe au spectre solaire la raie lumineuse en question. Surtout quand
il s'agit de corps tels que le fer, le calcium etc., qui existent actuelle-
ment dans l'atmosphére solaire, on a toujours à compter sur une par-
faite coincidence entre les deux espéces de raies, et par conséquent la
méthode employée conduira de nécessité à des résultats absolument ri-
goureux, sans qu'on ait eu besoin de prendre des mesures micrométri-
ques. Dans ces observations, on place ordinairement les deux spectres
l’un au-dessus de l'autre dans le méme champ de vision, pour pouvoir
ainsi les comparer directement. Suivant moi la méthode ci-dessus men-
tionnée est à beaucoup d'égards à préférer, surtout quand il s'agit des
raies faibles, quoiqu'il faille avouer qu'elle n'est pas si expéditive que
l'autre.

& 2. SPECTROSCOPE.

Le. spectroscope employé est sans modification le méme dont
je me suis servi depuis bien longtemps. La distance focale des objec-
tifs de la lunette d'observation et du collimateur est de 81°"; et celle-là
grossisse environ 62 fois. Aux recherches en question, la dispersion a
été produite pour toute l'étendue du spectre par six prismes en flint,
chacun de 60°. Dans des cas exceptionels j'en ai augmenté le nombre à
neuf. Les positions des raies furent déterminées, comme nous venons
de le dire, au moyen d'un micrométre à fil mobile. Cependant, au lieu
d'un fil d'araignée du réticule, je me suis servi cette fols comme toujours
auparavant d'un fil de verre étiré en pointe qui se termine au milieu
du champ de vision. Dans ce cas, la moitié supérieure du champ res-
tant parfaitement libre, on y voit le spectre sans interruption, ce qui
facilite beaucoup la reconnaissance des raies spectrales les unes des
autres et l'opération de les pointer exactement. Au contraire, quand
on emploie des fils d'araignée soit parallels ou croisés, les observations
deviennent en cas des faibles raies très-difficiles à exécuter à cause
des nuisibles effets produits par des raies d'interférence qui se présen-
tent ordinairement aux deux cótés du filet par conséquent troublent
l'aspect des parties du spectre voisines au fil. *)

1) Cette méthode d'employer une pointe au lieu du fil d'araignée se dérive de
Lamont à Miinich, et elle me fut communiquée depuis bien des années par ÅNGSTRÖM.
En effet LAMONT avait proposé de se servir, au but proposé, du dard d'une abeille.
Dans un spectroscope à vision directe appartenant à notre cabinet de physique et

SUR LE SPECTRE DU FER. 7

Par rapport å la netteté des raies spectrales, il faut remarquer
ce qui suit. Si pour un point donné du spectre la série des prismes a
été installée au minimum de déviation, on sait que, dans les parties
moins réfrangibles, la dispersion deviendra plus petite, mais la clarté plus
grande qu'elles n'auraient été, si l'on avait iustallé tous les prismes au
minimum de déviation pour chacune de ces parties en question, tandis
que la dispersion et la clarté dans les parties plus réfrangibles que le
point indiqué se changeront d'une manière inverse. Il est bien évident
que les inégalités s'augmenteront à mesure qu'on s’eloigne du point du
minimum de déviation; mais afin que tout cela soit vrai, il faut supposer
que les prismes soient arrangés d'une maniére convenable, car si cela
n'a pas lieu, l'aspect du spectre sera troublé, comme nous allons le dire
tout de suite.

Puisque mon spectroscope ne posséde aucune disposition méca-
nique, au moyen de laquelle on püt pour chaque partie du spectre amener
par le mouvement même de la lunette d'observation la série des pris-
mes au minimum de déviation, il m'a fallu faire exécuter cette opération
par un aide. Cependant pour diminuer autant que possible l'embarras
ennuyeux d'une telle installation continuelle des prismes, au fur et à
mesure que la lunette d'observation avance tout le long du spectre, j'ai
été forcé de me restreindre à faire cette opération pour quelques endroits
particuliers du spectre et à peu prés équidistants. Cependant, je n'en ai
trouvé aucun désavantage aux observations, quoique, comme nous venons
de le dire, la dispersion et la clarté des différentes parties du spectre
changent un peu aux deux côtés du point du minimum de déviation.
En effet, ce qu'on perd en dispersion, on le gagne en netteté des raies
spectrales, et vice versa. Du reste, laspect du spectre peut être beau-
coup amélioré par l'emploi d'écrans placés au-devant des prismes, et j'en
ai fréquemment fait l'usage. De tels écrans sont de plus utiles, aussitót
que se présentent soit dans le spectre solaire ou dans les spectres: mé-
talliques des raies d'interférence dérivant d'une position défectueuse des
prismes. Il va sans dire que j'ai soigneusement cherché à éviter ces
dernières raies, et en cas de leur présence j'ai fait de mon mieux pour
ne pas les confondre avec les vraies raies du fer.

destiné à l’observation des raies brillantes des protubérances solaires, M. Murz à
Miinich s'est servi d'une pointe d'acier au lieu du réticule. M. HassELBERG à Pul-
kowa a aussi sur mon avis adopté le fil de verre étiré pour son spectroscope, et je
pense qu'on devait partout préférer cet arrangement dans les observations spectrosco-
piques aux réticules ordinaires à fils d'araignée.

8 Ros. THALÉN,

$. 3. PLANCHES SPECTRALES ET MESURES MICROMETRIQUES.

J'ai déjà dit de quelle manière furent ordinairement déterminées
dans le spectre solaire les positions des raies du fer. La méthode in-
diquée a été suivie tout le long du spectre, excepté pour la partie la
moins réfrangible, dont nous allons parler tout de suite. Ainsi, sur les
planches employées fut cherchée dans le spectre solaire la raie obscure
avec laquelle a coincidée la raie du fer observée, et sa longueur d'onde
fut annotée. Les planches du spectre solaire dont je me suis servi
dans ces recherches ont été tout d'abord celles qu'ÀwcsTRÓM a pu-
bliées "), mais en outre celles de M. VoaEr?) et de M. FrgvEz?). En effet,
entre les limites 4 — 5400 et la raie C, les planches d'ÀwasTRÓM ont
une dispersion suffisante, et les raies données sont presque partout assez
nombreuses pour qu'on puisse s'en servir à une détermination rigou-
reuse des longueurs d'onde des raies du fer. Mais, au delà de la raie
C, il y a des endroits qui présentent quelques difficultés. En premier
lieu il faut se rappeler qu' ÅNGSTRÖM n'a pas étendu son dessin au
delà de la raie fraunhoférienne a, d’où il suit que ses planches n'ont
pu me donner les positions des raies du fer situées entre a et A.
De plus, entre 4 — 7145 et 7050, on ne trouve chez lui aucune raie.
Par rapport à la partie située entre B et C, il a certainement donné
plusieurs raies, mais il m'a été impossible d'identifier immédiatement les
rales observées dans le spectre prismatique avec celles qui ont été données
sur les planches en question, et cela concerne principalement les raies
qui se trouvent dans le voisinage de B et à côté de l'orange de cette
rale. Ainsi, pour arriver à des résultats sûrs, jai dû recourir au spectre -
de diffraction en employant dans ces recherches le méme théodolite
optique et le méme réseau dont s'est servi ÅNGSTRÖM pour ses mesures
micrométriques.

Dans le 4°" spectre, où il a fait ses observations, il me fut bien
difficile de voir nettement les raies fraunhofériennes prés de C, et tout
à fait impossible de découvrir celles qui se trouvent prés de B. Au lieu

1) Spectre normal du Soleil par A. J. ÁwasrRÓw, Atlas, Upsal 1868.
2) Untersuchungen über das Sonnenspectrum von H. CO. Vocez, Potsdam 1879.
(Publieationen des Astrophys. Observatorium zu Potsdam, B. 1, N:o 3).

3) Etude du spectre solaire par Cm. Firvez, Bruxelles 1883. (Annales de
l'Observatoire royal de Bruxelles, Annales Astronomiques, T. IV).

SUR LE SPECTRE DU FER. 9

d'employer le théodolite d'ÅnGsTRÖM, j'ai done recouru, en remplaçant
les prismes par le réseau mentionné, au spectroscope employé ordi-
nairement par moi, dont le grossissement est beaucoup plus grand que
celui du théodolite d’Anastrém. Dans ce cas, j'ai vu certainement plus
distinetes qu'auparavant les raies mentionnées, mais néanmoins elles
furent encore trés faibles. Pour les identifier sürement avec les raies
données sur le dessin d ÅNGSTRÖM, jai done employé la méthode de
coincidence déjà indiquée par lui. Aprés avoir pointé le fil du réticule
sur une certaine rale, située p. e. dans la partie rouge du 3° ou du 4°
spectre, j'ai échangé le verre rouge contre un verre de la couleur verte,
et ainsi le fil du réticule restant immobile, j'ai trouvé la position de la.
raie mentionnée parmi les raies vertes du 4° ou du 5° spectre respecti-
vement, qui sont en général assez faciles à reconnaitre.

Quand deux spectres sont superposés partiellement l'un sur
lautre et que la valeur de l'angle de déviation est la méme pour deux
raies différentes qui appartiennent à chacun de ces spectres, on obtient
de la formule connue

m À = esin q
l'équation

mà-m,

ou m, A, e et v désignent comme à l'ordinaire le numéro d'ordre du
spectre en question, la longueur d'onde, la largeur entre les traits con-
sécutifs du réseau et l'angle de déviation.

Par conséquent, si lon connait les numéros d'ordre des deux
spectres et la valeur de X', on trouve immédiatement

mh

m

A=

Cette méthode d'observation a conduit à un contróle rigoureux
de la position des raies les plus marquées dans lendroit entre C et B.
La gravure de M. Horrmann*) me semble représenter trés exacte-
ment laspect du spectre tel que je l'ai vu, soit dans le spectre prisma-
tique, ou dans le spectre d'interférence, et par suite j'ai référé les raies

1) Untersuchungen über das Sonnenspectrum von G. Kircunorr, Th. II, (Ab-
handlungen d. K. Akad. der Wiss. zu Berlin 1862).

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 9

10 Ros. THALÉN,

d ÅNGSTRÖM au dessin de M. HOFFMANN. Puisque en dernier lieu ce
sont les valeurs d’Ängström dont j'ai fait usage, il sera tout A fait su-
perflu de rendre compte ici en détail des coincidences trouvées; il suf-
fira d'annoncer les résultats suivants que j'ai trouvés par les comparai-

sons faites.

ÅNGSTRÖM HOFFMANN
M n
6592.2 6828
6632.7 6694
6642.5 6656
6662.4 6593
6616.9 6542
6716.4 6410

Pour la partie entre 6716 et B, il m'a été très difficile d'obtenir
quelques raies de repère intermédiaires. En effet, ce n'est qu'après
avoir employé un miroir argenté sur verre (miroir de Foucault) pour
lhéliostat, aussi bien qu'une lentille de foyer assez court pour la con-
centration de la lumiére sur la fente du collimateur et en protégeant
mes yeux contre toute Jumière étrangère que j'ai pu découvrir dans le
3*" spectre de diffraction quelques faibles traces des raies sombres
6766 *) et 6770, dont les longueurs d'onde furent obtenues par la coin-
cidence dans la partie verte du 4°" spectre. Ces raies sont sans doute
identiques à celles dont Anasrrém avait déterminé les longueurs d'onde
à 6760,5 et 6762,9. Mais les différences entre nos déterminations étant
trop grandes, je me suis servi de mes propres valeurs dans l’interpola-
tion faite à l'égard des raies du fer, au lieu de celles qui ont été don-
nées par ÅNGSTRÖM.

Puisquil me fut tout à fait impossible de retrouver dans le
spectre .de diffraction d'autres raies prés de B, je ne puis expliquer,
comment ÅNGSTRÖM a été en état d'en voir plusieurs, surtout quand on
se souvient qu'il a employé un théodolite d'un pouvoir optique notable-
ment plus faible que le mien. Cela me semble être d'autant plus
surprenant que je me rappelle parfaitement bien, qu'en dessinant sur la
planche d’Änssrtröm la série des doubles raies au delà de B, j'ai pu
dans le spectre prismatique distinguer avec facilité ces raies comme

1) HOFFMANN: 6261 et 6233.

SUR LE SPECTRE DU FER. 11

doubles, tandis qu'elles se présentaient alors pour ÅNGSTRÖM, même dans
le spectre de réfraction, comme des raies simples d'une certaine largeur.)

Pour expliquer cela je suis donc porté à croire qu'ÀNcsTRÓM a
été favorisé à ses observations d'un ciel beaucoup plus transparent que
je ne le fus moi, si ce n'est qu'on peut soupgonner que le réseau en
question n'est pas pour le présent en si bon état qu'auparavant aux
mesures d ÅNGSTRÖM. Quoi quil en soit, entre B et a, aussi bien
qu'entre a et A, je ne pus me servir du spectre d'interférence, faute des
raies visibles.

Me trouvant dans l'impossibilité de suivre aux régions mentionnées
du spectre le procédé ordinaire pour déterminer les longueurs d'onde
des raies du fer, j'ai recouru aux mesures micrométriques, ou il me fut
nécessaire d'obtenir au premier abord des raies de repére parfaitement
sûres, pour rapporter à eux les mesures prises. C'est pourquoi j'ai
cherché à identifier les raies les plus marquées que j'ai vues dans le
spectre prismatique avec celles qui sont dessinées sur les planches de
M. HOFFMANN et d ÅNGSTRÖM, ce qui ne m'a réussi qu'après des tenta-
tives un peu longues et pénibles. Après cela, j'ai pris des mesures
micrométriques de la longueur d'onde des raies du fer en me servant
du procédé suivant.

D'abord, j'ai construit des croquis détaillés pour les deux spectres
en question. Puis, entre deux raies de repére données, j'ai mesuré au
moyen du micrométre à fil mobile les raies sombres du spectre solaire
et immédiatement après, pour le même endroit, les raies brillantes du
spectre du fer, en remarquant au méme temps sur les croquis pour
chaque raie du fer la raie solaire avec laquelle elle coincidait. Puisque,
pour chaque partie du spectre, et la position de la lunette et son tirage
demeuraient invariables pendant les mesures que j'ai exécutées ainsi
dans les deux spectres, il est évident que la comparaison entre les
deux espéces des raies devait étre parfaitement exacte, au moins dans
le cas oü les planches ont contenu toutes les raies solaires avec les-
quelles coincidaient les raies brillantes du fer. Toutes les fois que cela
n'avait pas eu lieu, il fut nécessaire d'y faire des interpolations, soit

1) Cela explique l'intervalle noir sur la planche d'ÀwasTRÓM qu'a remarqué
M. Prazzi SMYTH entre chaque paire des raies qui constituent ensemble une double-raie.
(Madeira Spectroscopic by C. Pıazzı SuvrH, Edinburgh 1882, p. 10, Example 5).
En effet, je les avais dessinées primitivement comme des raies doubles, mais aprés
cela en rent la correction de l'épreuve, ÁxGsTRÓM a noirci leur intervalle, puisque
ces rales prenaient pour lui l'aspect d'étre simples. (ÅNGSTRÖM: Spectre Normal, p. 35).

12 Ros. THALEN,

par la méthode graphique, soit par le calcul. J'ai préféré cette fois le
calcul en employant la formule connue de dispersion de Cavcuv

b
DLE E

ou a et b signifient des coefficients constants qu'il faut déterminer sépa-
rément pour chaque partie du spectre. Soient u, et u, les mesures
micrométriques pour les deux raies de repére d'une certaine partie,
à, et A, leurs longueurs d'onde connues, on trouvera les valeurs de a et
b par des équations

b
ii alee

b
gai u :

Pour une raie quelconque, située entre ces raies de repére, on

Le)
Mz — 4

en désignant par u, sa mesure micrométrique et par 4, sa longueur

d'onde cherchée.
Cependant, cette formule pourra se mettre sous la forme beaucoup

^

plus commode à notre but:

ets

aura done

en posant

AM. Ms — Mor INS = — Mo s

= A A n 12
«Oh, RÅA

On pourra aussi écrire cette formule de la manière suivante:

1 Au 20
zs |

ore

SUR LE SPECTRE DU FER. 13

A l'aide de cette formule, j'ai calculé toutes les longueurs d'onde
des raies du fer, situées entre C et A, et de plus j'ai employé le même
procédé par rapport à quelques endroits entre les raies C et D, où le
dessin d’Anasrrom, surtout au voisinage de C, ne représente pas par-
faitement l'aspect vrai du spectre, à cause des raies telluriques données
par lui. Dans ce caleul, je me suis servi d'un cóté des longueurs d'onde
des raies de repère telles qu'on les retrouve dans le tableau d'ÅNGSTRÖM,
et d'autre cóté de mes mesures micrométriques pour les raies intermé-
diaires. Dans le tableau suivant, jai marqué par un astérisque les raies
qui m'ont servi de repére, et en outre j'y ai reproduit, pour les raies
interealées, leurs valeurs données par ÅNGSTRÖM , afin qu'on puisse ainsi
comparer entre eux les résultats de nos mesures.

La partie du spectre entre 2 — 5400 et la raie A dont nous ve-
nons de rendre compte et pour laquelle j'ai fait usage des planches
d'ÅNGSTRÖM, occupe dans le spectre de diffraction plus de la moitié.
La partie restante, quoique plus courte, est néanmoins beaucoup plus
riche en raies du fer. Quand il s'agit de la partie la plus réfrangible
du spectre visible, on sait Ben que la dispersion y est beaucoup plus
petite dans le spectre de diffraction que dans le spectre prismatique,
d'où il suit que le dessin d'ÁNcsTRÓM, dont l'échelle est assez petite, ne
peut contenir qu'un nombre restreint des raies existantes. Ainsi, pour
donner plus d'exactitude à mes déterminations dans le spectre du fer,
jai cru devoir préférer aux planches d’Âncsrrôm celles qui ont été don-
nées par M. Vocez, dont l'échelle est à peu près trois fois plus grande
que celle d’Ängsrröm et par suite beaucoup plus riche en détails. Ayant
employé ainsi pour les parties différentes du spectre deux espéces de
dessins très différents, je pense néanmoins qu'on pourra regarder les
déterminations comme parfaitement cohérentes, puisque M. VoGEL a fondé
ses planches sur les mesures spectrales d'Ångström. Cela doit être
vrai, quoique M. VoGEL en exécutant son Atlas ait découvert quelques
erreurs dans celui d'ÅNGSTRÖM qu'il a corrigées, car les différences
entre les deux Atlas qui en dérivent ne sont en général d'aucune impor-
tance, d’où il suit donc qu'on peut regarder l'un de ces recueils de plan-
ches spectrales comme une extension de l'autre.

Le spectre solaire de M. Voce, commence par 4 = 5400 et s'étend
à lextrémité violette du spectre visible. Je l'ai employé pour toute
cette étendue, sauf au voisinage de la raie H; en effet, il m'a été diffi-
cile d'y voir assez distinctement les raies solaires, quoique j'y aie vu
passablement les raies du fer. L'emploi d'un verre coloré et la concen-

14 Ros. THALEN,

tration de la lumiére au moyen d'une lentille facilitent beaucoup les ob-
servations, mais pas suffisamment pour ma part. Voilà pourquoi j'ai
omis dans le tableau suivant les raies du fer situées prés de l'extrémité
violette du spectre en pensant qu'on peut les compléter aisément à l'aide
de la photographie.

Vers la fin de mon travail, jai aussi pu me procurer le dessin
du spectre solaire, exécuté par M. Fırvez à l'observatoire de Bruxelles.
La dispersion en est assez grande, mais il est parfois difficile d'iden-
tier les raies. En effet, en considérant le nombre énorme des raies
que contient le spectre solaire, il faut nécessairement, afin qu'on puisse
les reconnaitre les unes des autres, qu'on les combine en quelque sorte
en groupes plus ou moins compliqués suivant les positions et l'aspect
général des raies. Quelque différente que soit la dispersion, le caractère
d'un tel groupe reste néanmoins invariable, et par suite on la reconnait
avec facilité. Ainsi, afin qu'un dessin du spectre solaire soit conforme
à l'aspect vrai du spectre, il faut avec nécessité non seulement que les
positions des raies soient exactes, mais aussi que le dessin représente
fidèlement le caractère de chaque groupé c'est à dire il est tout à fait
indispensable qu'on ait reproduit les raies avec leur intensité relative.
Si, à ce point de vue, nous comparons entre elles les planches de M.
VoaEL et celles de M. FrEvEz, je pense qu'on donnera sans hésitation la
préférence aux planches admirables de M. VoGEL, quoiqu'il faille avouer
quà certaines parties ces dessins mêmes ne sont pas si:parfaits par
rapport à l'intensité relative des raies qu'on aurait pu le désirer. Néan-
moius, selon moi, le dessin de M. VoGEL représente en général l'aspect
du spectre solaire tel qu'on le voit dans le spectroscope d'une disper-
sion suffisante, et par suite j'y retrouve sans difficulté chaque raie
observée. Quoique je ne puisse prononcer sans réservation le même
jugement favorable, par rapport au spectre donné par M. Frevez, on
pourra néanmoins s'en servir avec beaucoup d'avantage aux observations
spectrales. 1

Pour rendre la dispersion de mon spectroscope égale à celle des
planches de M. Frevez, j'ai augmenté le nombre des prismes à neuf.
Néanmoins, il est bien probable que M. Fievez a employé une disper-
sion encore plus grande que la mienne, parce que je n'ai pu résoudre
en raies simples plusieurs des raies qu'il a représentées comme doubles.
En récompense, la pureté de mon spectre a vraisemblablement été un
peu plus grande que celle du sien, parce qu'en plusieurs endroits j'ai
pu distinguer des raies trés faibles qu'on ne retronve pas sur les plan-

SUR LE SPECTRE DU FER. 15

ches de M. Frevez. Remarquons ensuite qu'il y a sans doute quelques
erreurs commises en divers endroits par rapport aux distances entre les
rales dessinées.

Oependant pour pouvoir me servir, méme pour les parties jaunes
et orangées, des planches d'une dispersion plus grande que celle que
possede l'Atlas d ÅNGSTRÖM, j'ai parcouru encore une fois le spectre du
fer en employant les neuf prismes dans le spectroscope et les planches
de M. Fırvez pour en faire la comparaison. Les résultats trouvés ont
été insérés dans le tableau, et ainsi on y pourra comparer entre eux
les résultats obtenus à l'aide des dessins d'Âxésrrôm et de ceux de M.
Frevez entre les limites 6380 et 5400. Au delà de cette limite, j'ai
étendu ma recherche, fondée sur les planches de M. Frevez, jusqu'à
4 = 5160, d'où il suit qu'une comparaison analogue pourra se faire entre
les valeurs que donnent les planches de M. Firvez et celles de M. VoGEL.
J'ai regardé comme tout à fait superflu de poursuivre plus loin la com-
paraison mentionnée. Les comparaisons faites suffiront, néanmoins, je
lespére, à prouver que les différences numériques qui existent entre les
planches de ces auteurs sont en général si minimes qu'elles seront tout
à fait insignifiantes, si ce n'est qu'on a en vue quelques recherches spé-
ciales qui exigent la dernière rigueur.

8 4. ÉLIMINATION DES RAIES DES CORPS ÉTRANGERS ET
RÉSULTATS TROUVÉS.

Le fer employé, quoique de la meilleure espéce suédoise, a na-
turellement contenu d'autres corps comme des impuretés. Pour éliminer
les raies spectrales qui en dérivaient, jai examiné au moyen de l'arc
voltaique les spectres de quelques corps et en premier lieu ceux dont
les raies coincident avec les raies sombres du spectre solaire tels que
le calcium, le baryum et le manganése en imbibant les charbons de so-
lutions convenables. A ces recherches, jai cependant éprouvé quelques
difficultés, parce que les baguettes du charbon des cornues, fonctionnant
comme des póles, ont été mélés des mémes impuretés que j'ai voulu
étudier, savoir des impuretés de fer, de caleium, de baryum, et de ti-
tane, pour ne rien dire de celles de lithium et de natrium. J'ai essayé
plusieurs espéces de charbons, mais il semble que, de quelque nature
que solent d'aileurs les charbons, les impuretés soient pourtant à peu
prés les mémes.

16 Ros. THALÉN,

Malgré ces inconvénients, on peut déterminer l'origine des raies
observées, si l'on mouille fréquemment les charbons des solutions voulues
en ayant égard à lintensité trés vive que présentent dans ce cas, immé-
diatement aprés l'imbibition des póles, les raies du métal en quéstion.
La plupart des raies m'étant connues d'avance, il ne s'agissait done que
de déterminer plus exactement leurs longueurs d'onde que je ne pus le
faire auparavant, afin qu'on puisse décider par là, si la raie observée du
corps étranger coincide ou non avec la raie attribuée au fer. A cette étude,
je me suis servi de la méme dispersion et des mémes planches spec-
trales quà la recherche des raies du fer. Voici comment j ai opéré dans
des cas particuliers.

En expérimentant par rapport au calcium, jai placé tout simple-
ment sur une plaque de craie quelques morceaux de chlorure de calcium
en contact avec les póles du charbon qui à leur incandescense ont fondu
le chlorure et vaporisé le métal en question. Conformément à la mé-
thode de M. M. Dewar et LIVEING ), j'ai employé aussi avec beaucoup de
profit une espéce de fourneau en craie, perforée en diverses directions
pour l’accés des tiges du charbon, pour lintroduction du sel dans l'arc
et pour le passage de la lumière vers la fente du collimateur. Cet ar-
rangement est. excellent en ce quil permet aux raies du calcium de
briller trés longtemps et avec une clarté extraordinaire à cause de la
température trés élévée et constante qui se produit dans un tel fourneau.

Quand il s'agit du baryum, quelques fragments de cristaux de
chlorure de baryum placés sur les pôles mêmes ont suffi, grace à la
sensibilité prodigieuse de ce corps, pour donner dans Parc les raies de
ce métal. De la méme maniére, on pourrait certamement opérer quel que
soit le corps en question, mais pour ménager un peu les substances
employées, je me suis servi au cas du manganèse d'un flacon d'une
construction spéciale, à l'aide duquel on a pu verser chaque fois quel-
ques gouttes seulement de la solution du chlorure sur les póles, aussitót
qu'ils se sont un peu refroidis.

Enfin, j'ai cherché aussi à obtenir le spectre du titane, en me servant
de fluotitanate de potassium, mais le nombre des raies obtenues ainsi sur-
montant assez peu ce que j'ai autrefois trouvé par le chlorure du titane,
en me servant de l'étincelle de la bobine d’induction, j'ai tout à fait re-
noncé pour le présent à une étude approfondie du spectre de ce corps
pour y revenir une autre fois.

1) Proceedings of the Royal Society, N:o 193, p. 4; N:o 195, p. 472, Lon-
don, 1879.

SUR LE SPECTRE DU FER. 17

Dans le tableau suivant les longueurs d'onde des raies les plus
intenses des corps énumérés ont été données pour faire voir que les
raies des corps mentionnés ne sont pas comprises parmi les raies que
ja attribuées au fer.

Malgré tous les soins que j'ai pris, il est pourtant bien probable
que quelques-unes des raies attribuées au fer doivent être rejetées de ma
liste comme appartenant à des corps étrangers. Néanmoins aprés avoir
examiné en somme cinq fois le spectre du fer, je suis porté à croire
que je peux énoncer comme résultat de ma recherche précédente que
le nombre des raies du fer obtenu dans le spectre visible monte réelle-
ment au moins à 1200, et que ces raies coincident toutes avec des raies
sombres du spectre solaire. Je ne doute pas qu'on ne puisse encore
augmenter beaucoup ce nombre, au fur et à mesure qu'on augmente
l'intensité du courant, c'est-à-dire en se servant de machines dynamo-
électriques plus puissantes que la mienne. Quoique le nombre des raies
du fer surpasse maintenant de beaucoup tout ce qu'on avait connu au-
paravant, et que le fer soit indubitablement le corps qui pourra ex-
pliquer l’origine d'un plus grand nombre des raies fraunhofériennes
que ne le peuvent les autres corps, néanmoins on ne peut encore
donner une. telle explication qu'à un nombre trés restreint de toutes
les raies sombres qui se trouvent réellement dans le spectre solaire.
Par rapport aux autres corps tels que le calcium etc., j'ai déjà indiqué
que ma liste n'est pas encore compléte. En effet; ce ne sont que les
raies les plus marquées que j'ai introduites pour le présent dans la liste
suivante, mais j'espère pouvoir la compléter une autre fois.

Quant aux explications détaillées qu'on doit faire concernant cer-
taines raies, nous renvoyons aux remarques données dans le tableau.
On y trouvera aussi les corrections des erreurs qu'on doit faire dans
l'Atlas d’Äneström soit par rapport aux positions des raies brillantes, soit
par rapport à leur origine.

J'avais certainement eu aussi l'espérance de pouvoir vérifier direc-
tement à l'aide de l'are voltaique l'énoncé bien probable de M. Youne *)
et d'autres auteurs que certaines raies qu'on avait indiquées auparavant
comme des raies communes à plusieurs métaux, ne sont en réalité que
des raies dédoublées, mais faute d'une dispersion suffisante de mon spec-
iroscope je n'ai pas encore pu contribuer essentiellement à la solution de
cette question importante.

1) The American Journal of Science. Ser. III, Vol. XX, p. 354, New Haven 1880.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 RoB. THALEN,

8.5. SUR LES DETERMINATIONS ABSOLUES DES LONGUEURS D'ONDE
DES RAIES FRAUNHOFÉRIENNES, EXÉCUTÉES PAR ÅNGSTRÖM.

L'exactitude des longueurs d'onde données dans les tableaux sui-
vants dépend en premier lieu de celle des planches spectrales dont je
me suis servi, mais en dernier lieu de l'exactitude des mesures absolues
des longueurs d'onde des raies fraunhofériennes qu'a données ÅNGSTRÖM
dans son mémoire bien connu: Le spectre normal du soleil; car sur ces
mesures se sont fondées toutes les planches spectrales dont il a été
question ici.

Les mesures d'ÁwasTRÓM ont certainement mérité toute l'admira-
tion qu'elles ont emportée, à cause du soin avec lequel il s'était préparé
pour son travail, et de la précision avec laquelle il a exécuté ses obser-
vations. Ainsi, le théodolit optique lui fut construit par MM. Pistor
et Martins à Berlin, ses réseaux, les plus excellents qu'il y eût à ce
temps, il les avait régus de M. Noserr à Barth, et enfin l'étalon du
métre, fabriqué par MM. BRUNNER fréres à Paris, fut comparé sous ses
propres yeux avec l'étalon du Conservatoire des arts et métiers à Paris.
Néanmoins, il est à craindre qu'il ne se soit glissé quelque part dans
les déterminations d’Anastrém des erreurs constantes qui ont influencé
d'une manière nuisible les valeurs qu'a données ÅNGSTRÖM comme défi-
nitives. En effet, les longueurs d'onde trouvées par lui différaient nota-
blement de celles qui ont été données par d'autres observateurs, comme
MM. Mascart, VAN DER WILLIGEN, DITSCHEINER, etc. '). Par suite, il
lui fut trés important de découvrir l'erreur commise, et pour arriver à
ce but ÅNGSTRÖM a entrepris des études assez étendues.

Puisque ses mesures angulaires, faites à l'aide du théodolit, ont
été très nombreuses et trés variées, on doit les regarder comme sufhi-
samment exactes. Les largeurs des réseaux ont été déterminées par moi-
méme, et j'ai exécuté ce travail avec tout le soin possible; la concor-
dance qui existe entre les résultats obtenus à l'aide des réseaux diffé-
rents doit garantir l'exactitude de ces mesures. Il ne restait done à
soupgonner que la longueur adoptée de l'étalon employé. Dés le com-
mencement ÅNGSTRÖM croyait qu'une correction, quoique trés minime, de-
vait être appliquée à la longueur de son étalon?). Cependant, pour
s'informer exactement sur ce point, ÅNGSTRÖM a fait faire une nouvelle

1) Spectre normal du Soleil par ÅNGSTRÖM, p. 31—33.
27) lU € j9u Be

SUR LE SPECTRE DU FER. 19

comparaison près de l'Académie des Sciences à Stockholm en 1872, où
se trouvalent à ce temps deux metres A bout, qu'on avait aussi com-
parés depuis peu au Conservatoire des arts et métiers à Paris. Comme
résultat de cette comparaison, exécutée avec autant de soin que possible
par M. le professeur LINDHAGEN, Secrétaire de la dite Académie, on peut

métre
énoncer que la longueur 0.99981 adoptée par ÅNGSTRÖM comme la longueur
mm 1
vraie de l'étalon d'Upsal a été trop courte d'environ 0.13 et par suite que
métre

cette longueur devait être à 0° C. égale à 0.99994.

Ce résultat, communiqué à ÅnGstRÖM le 13 juillet 1872, l'a évi-
demment fort découragé, parce qu'il surpassait de beaucoup les limites
supposées préalablement. Quelque grande que fût la confiance qu'on
devait mettre dans la comparaison mentionnée, néanmoins on congoit
bien qWÅNGSTRÖM ne pouvait immédiatement rejeter à cause de cela
toutes ses déterminations antérieures. Mais, de l'autre cóté, il fut obligé
de continuer ses recherches concernant la longueur de son étalon pour
savoir, sil devrait à la fin ou repousser le résultat défavorable, ou l'ac-
cepter comme parfaitement juste. A ce but, il a correspondu pendant
lautomne de l'année 1872 et depuis ce temps-là avec le professeur VAN
DER WILLIGEN à Haarlem, auquel il a emprunté non seulement plusieurs
réseaux le 27 sept. 1872, dont jai déterminé les largeurs, mais aussi le
22 sept. 1873 une petite échelle millimétrique sur verre de M. FROMENT,
employée par WiLLIGEN à ses déterminations analogues, échelle qu’ AnasTROM
avait l'inteution d'étudier soigneusement. On voit par là qwÅNGSTRÖM
s'est efforcé de connaitre exactement, ou se trouvait l'erreur qu'il avait à
craindre dans ses déterminations fondamentales des longueurs d'onde, et
il faut bien ajouter qu'il a voulu avant tout faire comparer encore une
fois son étalon du métre pour en savoir la longueur vraie. Mais avant
que tout cela füt terminé, il fut frappé par la mort le 21 juin 1874.

Depuis ce temps, il fut certainement mon devoir d'aecomplir le
travail interrompu par la mort d'ÀwcsTRÓw. Néanmoins, je n'ai pu jus-
qu'ici rien faire pour éclaircir la question proposée. Car, méme aujour-
d'hui on attend encore à l'Académie des Sciences à Stockholm le nouvel
étalon du métre qu'on a commandé au Bureau international des Poids et
Mesures à Paris, au moyen duquel j'ai désiré pouvoir comparer l'étalon
mentionné d’Upsal.

Ainsi, dans l'incertitude des choses où je me trouve, je ne puis
donner ici que la correction provisoire, indiquée ci-dessus. Néanmoins,
jai eru devoir énoncer ce que je sais sur ce sujet, d'autant plus qu'on

20 Ros. THALÉN,

a réellement émis des doutes sur l'exactitude de la longueur adoptée par
ÅNGSTRÖM relativement à l'étalon d'Upsal En effet, j'ai été averti par
lObservatoire astrophysique de Potsdam que les mesures directes soi-
gneusement faites sur les longueurs d'onde des raies fraunhofériennes ont
conduit, à cause de différences autrement inexplicables, à une telle suppo-
sition concernant le dit étalon. De même, il peut bien arriver que de
semblables doutes puissent provenir ailleurs, et afin de ne pas arréter
les progrés de la science, en attribuant aux déterminations absolues qu'a
faites ÅNGSTRÖM plus d'autoritó qu'elles n'en méritent réellement, j'ai
pensé qu'il a fallu faire connaître toute la vérité. Du reste, cette révé-
lation ne diminuera en aucun degré le travail méritoire d'ÀNGsTRÓW,
parce qu'il a fait de son mieux pour arriver à des résultats si exacts
que possible, et à cette fin il a poursuivi son oeuvre si loin que le
sort le lui a permis. Il appartiendra maintenant à d'autres de l'accom-
plir. Voici cependant une chose qu'on a désormais à redouter.

Les exigences de l'exactitude des observations spectrales s'aug-
mentant toujours, des planches du spectre solaire ont été déjà construites
par beaucoup d'observateurs, et l'on aura vraisemblablement à en attendre
plusieurs encore. Cependant, jusqu'ici toutes les déterminations des lon-
gueurs d'onde ont été fondées en dernier lieu sur celles d’ÄngsTRön,
d'où il suit qu'on a pu, ou que ce soit qu'aient été faites les observa-
tions spectrales, les comparer entre elles avec beaucoup de facilité.
Mais dorénavant, si des révisions qu'exigent maintenant les détermina-
tions fondamentales, devaient être exécutées par divers observateurs, on
aurait à craindre d'obtenir des échelles spectrales plus on moins diffé-
rentes entre elles, ce qui occasionnerait une confusion presque insup-
portable par rapport aux données spectroscopiques, si ce n'est que les
observateurs indiquent soigneusement l'Atlas spectral sur lequel ils ont
basé leurs observations. Ne serait-il donc pas beaucoup à préférer, si
tous les observateurs pouvaient méme dorénavant employer des planches
spectrales, fondées sur les mémes déterminations absolues, ce qui exi-
gerait pourtant que la révision fondamentale eüt été exécutée par une
commission en quelque sorte internationale? Pour les observations spec-
trales, cette question me semble étre de la méme importance qu'a été
pour les mesures électriques la détermination rigoureuse de la résistance
électrique (l'Ohm) etc. Cependant, en me bornant à proposer cette idée
et à la soumettre au jugement des savants, si on la trouve digne
d'étre diseutée d'un peu plus prés, je vais maintenant rendre compte de
la comparaison de l'étalon métrique d'Upsal, exécutée à Stockholm en 1872.

SUR LE SPECTRE DU FER. 21

$. 6. COMPARAISON DU METRE A TRAITS DE L'UNIVERSITÉ
D'UPSAL, EXÉCUTÉE A STOCKHOLM PAR M. D.-G. LINDHAGEN ^.

Les étalons qui ont été comparés entre eux par M. le professeur
LINDHAGEN en 1872 sont les suivants:

1° Le métre à bout A, appartenant à l'Académie des Sciences à
Stockholm et acquis à Paris par Anasrrom et M. le baron NORDENSKIÖLD,
fut comparé avec le métre prototype du Conservatoire des arts et mé-
tiers à Paris en 1867, ou sa longueur à 0? C. fut trouvée:

métre mm

PSN QE C
Son coefficient de dilatation, déterminé à Stockholm, fut égal à
a = 0.000018973 .

2 Le mètre à bout 7, appartenant à l'État finnois, procuré à
Paris par M. le professeur S. Lemsrrom à Helsingfors. La longueur
du mètre à 0? C., suivant les déterminations faites à Paris, fut

métre mm

FM = 1 — 0.0991.

.

Son coefficient de dilatation, déterminé à Stockholm, fut
d = 0.000018684 .

3° Une échelle métrique D, construite par M. SÖRENSEN à Stock-
holm et divisée par M. LINDHAGEN. Son coefficient de dilatation, déter-
miné à Stockholm, fut

«^ = 0.000018229 .

4? Le métre à traits U, appartenant au cabinet de physique de
lUniversité d'Upsal et construit par MM. Brunner fréres à Paris, fut
comparé par ÅNGSTRÖM et M. Tresca avec l'étalon prototype en platine
du Conservatoire des arts et métiers à Paris en 1860.

1) Tous ces résultats ont été communiqués par M. LINDHAGEN à ÅNGSTRÖM par
une lettre, datée du 13 juillet 1872. C'est avec la permission obligeante de l'auteur
que je les publie ici.

22 Ros. THALÉN,

Suivant le procés-verbal du 14 Octobre 1866 sa longueur a été
trouvée !)

*
métre mm

Us = 1 — 0.190.
Son coefficient de dilatation, déterminé å Paris, fut
o" = 0.000018718 .

Les comparaisons de ces étalons, exécutées à Stockholm par M.
LINDHAGEN à l'aide d'un comparateur de Repsold, ont donné les résultats
I
que voici:

De A = te 0.0064 es JOE A (DE

mm

D — F = + 0.0075 à db Tom (Ce c

d'où l'on trouve à 0° C.
"DA an Dona CS
JD) => dis = dE 0.0135 (2). V

La comparaison directe entre A et F à la température de la glace
fondante a donné

Aly = Lily em LL 0.0003 N

Ainsi, on doit admettre que les longueurs de ces étalons sont
égales entre elles, tandis que leurs longueurs suivant les comparaisons
faites à Paris devaient différer notablement l’une de l’autre. En effet,
on trouve par les valeurs données ci-dessus que

A, — F, = + 0.0161 .

La longueur de l'échelle D se trouve

a) suivant (1) b) suivant (2)
D, = Ay + 0.0136 Dy = dd de 0.0135
A, = men F, = 1 — 0.0291
DRT Ones CA pe Y Dose)

1) Le spectre normal du soleil, par A. J. ÅNGSTRÖM, p. 6 et Appendice. p. XV.

SUR LE SPECTRE DU FER. 28

La comparaison de l'étalon U, exécutée à l'aide de l'échelle D,
a donné le résultat suivant:

mm

D — U= + 0.0574 CRE ET (Ob

et par suite, à l’aide des coefficients de dilatation donnés ci-dessus:

mm

Ups 00627

Ainsi, en acceptant la longueur de D,, obtenue à l'aide de l'étalon
A,, on aura suivant (a)

métre mm

U, = 1 — 0.0621 ;

tandis que, si l’on accepte la longueur de D,, trouvée au moyen de
l'étalon F,, on aura suivant (b)

métre mm

Uf = NOES

Comme on le voit, aucune de ces valeurs ne s’accorde bien avec
la longueur de l'étalon d'Upsal adoptée par ÅNGSTRÖM, savoir:

métre mm

DA 0190.

Suivant l’opinion de M. LINDHAGEN, les mesures faites à Stockholm
mm

doivent être sûres au moins à + 0.001.

Au lieu de la valeur d’étalon d'Upsal adoptée par ÅNGSTRÖM,
nous accepterons pour le moment celle qu'a trouvée M. LINDHAGEN à l'aide
de l'étalon A, ce qui sera le cas le plus défavorable, si l'on veut cal-
euler au moins sommairement la correction que doivent subir les déter-
minations absolues des longueurs d'onde, données par ÅNGSTRÖM.

En considérant la formule connue

log 4 2log sin 9 + log e—log N,

il est évident que la correction qu'il faut appliquer au log A à cause de
l'erreur de l'étalon, doit être identiquement la méme que celle du log e,

24 Ros. THALEN,

e étant la largeur du réseau. En appelant done Ae cette correction
de la largeur du réseau, on aura

log (e+ Ae) = log e + 0.4343 SE =.

Mais, puisque la longueur de l'étalon d'Upsal adoptée par ÅNG-
sTRÓM fut

métre mm

Of, = = OR

tandis que M. LINDHAGEN l'a trouvée

métre mm

U, — 1— 0.0621 ,

^

la correction A U, de l'étalon doit être égale à
Ainsi on trouve

+ 0.1279.

ING (KU We
eur Sus 999.81 °

et par suite la correction cherchée du log 4 sera égale à
0.0000556

nombre qu'il faut ajouter aux valeurs données par ÅNGSTRÖM !).

!) M. LINDHAGEN vient de m'informer qu'à la révision de ses observations
N

mentionnées ci-dessus il a trouvé que la valeur de U,, communiquée en 1872 à

ÅNGSTRÖM, doit en réalité subir une nase correction. En effet, la valeur de D,—A,
mm

donnée ci-dessus comme égale à + Dose doit être remplacée par + 0.0141.
A l'aide de la longueur indiquée de l'étalon A,, on en déduit

métre mm

D, = 1 + 0.0011 ,

métre mm

au lieu de la valeur de 1 + 0.0006, et ensuite

métre mm
U, = 1 — 0.0616 ,
métre mm

au lieu de 1 —0.0621 .

Cependant, la différence entre ces deux valeurs de la longueur de l'étalon
d'Upsal étant trop minime pour qu'elle puisse influencer notablement la correction
déjà indiquée du log 4, nous n’avons pas besoin d'en tenir compte pour le présent.

mr o S^

SUR LE SPECTRE DU FER. 25
Pour la raie fraunhoférienne E, ÅNGSTRÖM avait trouvé la valeur
moyenne que voici

log Ay = 7.721738 .

En v appliquant la correction ealeulée, on aura conséquemment
v I
log A, = 7.721794 ,

ce qui donne
au lieu de la valeur

trouvée par ÅNGSTRÖM.

La différence entre ces deux déterminations, montant à peu pres
à deux tiers de la valeur d'une unité de l'échelle adoptée par ÅNG-
STRÓM, surpasse néanmoins de beaucoup ce qu'il avait considéré comme
la correction nécessaire en conséquence de l'erreur présupposée de l'étalon
d'Upsal.

Je me restreins pour le présent à ces remarques pour y revenir
une autre fois.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. y

La

La

La

6 RoB. THALEN,

§ 7. EXPLICATION DES TABLEAUX.

première colonne contient la lettre A. pour toutes les raies du fer qui

se trouvent dans le spectre normal d'ÁwasTRÓM. Ces raies sont ainsi
o .

celles que nous avons observées ÅNGSTRÖM et moi å nos recherches

en 1864.

deuxième colonne donne les longueurs d'onde des raies du fer obser-
vées maintenant par moi à l’aide de six prismes en flint
1°) entre A—5400 suivant les déterminations d ÅNGSTRÖM,
2°) entre 5400—4000 suivant les planches de M. VoGEL.

troisième colonne donne les longueurs d'onde des mêmes raies
1”) entre A—6392 suivant mes mesures micrométriques
2°) entre 6392 —5160 suivant les planches de M. Frevez.

Dans ce dernier cas je me suis servi de neuf prismes en flint.

quatrième colonne indique lintensité des raies du fer, où 1 signifie
les raies les plus brillantes, et 6 les plus faibles.

cinquicme colomne contient des remarques. Dans cette derniére co-
lonne ont été insérées aussi les longueurs d'onde des raies les plus
marquées de quelques autres corps, tels que le calcium, le baryum
etc. qui se trouvent dans l'atmosphére du soleil. Par le numéro,
placé comme indice au-dessous du symbole chimique, j'ai indiqué
l'intensité de la raie mentionnée. La lettre suivante A, V ouo
signifie les planches d’Anastrém, de M. VogeL ou de M. Fievez, dont
je me suis servi en chaque cas à la détermination de la longueur

d'onde.

SUR LE SPECTRE DU FER. 27
Les Longueurs d'onde des raies brillantes du fer.
Premiére Partie.
| Atlas Mesures | = | Atlas Mesures = |
I d'ÅNGSTRÖM. micrométriques. 2. Remarques. | |d'ÁNGsTRÓM. |micrométriques. 2. | Remarques.
ec 2 E: | i a |;
Il I
a) SR eo t
75913 | © | GRE.
75350 6 er 71544 i
7146'2*>) = Ca,
75134 3 71424 |5'/;|bande large
74983 3 71255 AS Ganz
7448 ı 3 Tod
Tals | 3 70956 | 6
73906 | 3 | 70744 | 4
73515 5 | Ca,:7323°0 | 705278 | 6 |*)— Ba,
SNR NO | | (7047°9)* 7947-9*) | 4 | Ca, : 7040'0
| (73071) 7307 1 5 | 702714 6 |faible,nébuleuse
73040 6 | 70207 4
72901 |4!/, | | (70142) 7014:9 Ó |faible bande.
7284-9 5 | 7008:9 6
7280; 6 | Ca,:72771 - | 7008'5 4
725883 | 6 | 7002'0 4
724253) | 6 | | 69973 6
euros 272376 |i | 69946 |51/,
72214 5 | (6987°1)* 69871 4
72172 |5 | 69783 |6
(72048) 72049 |A eens | 69711 |3!,
(71849) JUS FAR T fest | (60574)* | 69574 | ©
(71794) | 71805 la. | 1(69492) | 60489 | 4

I) Les raies marquées d'un astérisque sont celles qui ont servi de repère à l’interpolation

des raies. insérées dans la deuxiéme colonne.

On retrouve les longueurs d'onde de ces raies de repére

dans le tableau des mesures micrométriques par ÅNGSTRÖM (Voy. Recherches sur le spectre solaire par
A. J. ÅNGSTRÖM, p. I—XIT).

Les chiffres entre parenthéses indiquent les raies sombres qui se trouvent actuellement sur
les planches d’ANGSTROM, mais dont il n'a pas donné l'origine.

2) Cette raie du fer ne coïncide pas avec la raie forte et large du spectre solaire, dont la
longueur d'onde suivant ÅNGSTRÖM est 73147, mais elle est située du côté rouge de cette dernière raie.

3) Les raies fortes dans le spectre solaire qui ont les longueurs d'onde suivantes 7274°3, 7262'1
et 7249'5 n'appartiennent ni au fer, ni au calcium.

4) La raie forte à 7242:0 qui est simple suivant ÅNGSTRÖM consiste en réalité de trois raies
distinctes, dont la moyenne appartient au fer.

5) La raie solaire correspondante est en réalité double, comme l'a représentée M. HOFFMANN
ÅNGSTRÖM ne donne qu'une simple raie à 71462 qu'il attribua erronément au fer. C'est

(513'1 et 513 6).

au calcium qu'appartient l'une de ces raies.

dans son dessin du spectre solaire.

Entre 7146'2 et 70479 ÅNGSTRÖM n'a donné aucune raie

28 Ros. THALÉN,

Atlas Mesures E Atlas Mesures E
d'ÁNGsTRÓM. |micrométriques. 2 Remarques. d'ÅNGSTRÖM. micrométriques. 2. Remarques.
fle n i 2 i i
(6945°6) 69456 6 |trés mince. 6802*3 5
69431) | 3 (67881) 67897 5
(692777) | 69277 |6 67848 | 5
6915'2 3 67812 6
6901's 5 large, nébuleuse. 677477 [9
6898:2 6 | faible. (6770.3)*4| = "er
688427) | 4 67536 | 6
6880:6 5 |Ca,:6877:0 67507 5
6875'5 6 Ba, : 68700 A. 67486 |3'/,
686683) Raie fraunhof. 5. 6736°9 6 | large
6860"; 5 |Ba, : 6865-0 À. 673r8 5 2 ;
(eee) eg 67258 | (67252 ale
68534 S 67164* — Ca,
68421 | 3 67143 | 5
6839'9 3 6711"9 4 |Li, :6706'7?)
68375 | 6 6704o |4"/s
68357 | 6 (67023) | 67023 | 5
(68276) 68264 3 6698° 1 6 |Ba, : 669270 À.
(68 18°) 68185 5 66944 Ó | double (2)
6808:5 4 (6676:9)* | 6676:9") | I |Ba, : 66740 A.
68058 6 66666 6

1) La raie correspontante dans le spectre solaire est faible.

2) A cette raie du fer correspond dans le spectre solaire la raie la plus réfrangible des deux
raies qui constituent ensemble la premiére paire de la série caractéristique des raies dédoublées au
voisinage de B.

3) La raie fraunhoférienne B coincide avec une raie du baryum. Quoique cette bande remar-
quable soit ainsi expliquée en partie par l'absorption que produit le métal baryum dans l’atmosphere
solaire, il est néanmoins juste de dire qu'à cause de la largeur excessivement grande de cette raie B
son absorption prépondérante dérive d'une origine tout à fait tellurique. Sur son dessin du spectre
solaire, région B (Journal de phys., T. III, 1884, p. 421), M. THOLLON a indiqué quelques raies d'une
origine non tellurique. Ayant déterminé au moyen de linterpolation graphique leurs longueurs d'onde;
je crois pouvoir identifier là quelques raies comme appartenantes au fer, savoir celles dont les chiffres
sont donnés ci-dessous en italiques:

n (THOLLON): 2:5 160 20.9 258 41'5 917 GP nme | nee
Atlas

faen : 69584 53:10 095510 Lan 70 EN CCS PONS PDC RO

n 129°2 1337218 53.0) OD) 7s 200:0) Z07 ONE 2001502 10 Zamna

À 6910 2 88 r3 68967 8r8 81:3 80°6 804 794

4) Aucune des raies solaires 6770°3 et 65'7 ne correspond au fer, mais celle-là au baryum.

5) Il ny a pas de correspondance entre la raie du lithiwm et celles du spectre solaire.

6) Sur la planche d ÅNGSTRÖM les raies solaires 6676'9 et 6642°5 ont été représentées trop
faibles. (Voyez HOFFMANN: 654°3 et 6657).

SUR LE SPECTRE DU FER. 29

Atlas Mesures = | | Atlas Mesures = |
d'ÅNGSTRÖM. |micrometriques. 2. Remarques. | d ÅNGSTRÖM. micrométriques. 2. | Remarques.
À, à i | MES a | ; |
À. | 6662 66625 |3 | (Göra Sveg os
66528 5 65983 | a
664577 6 65033 4
6638 4 5 65007 4
(66327, | 66327 3 64980 649873 4
6626.5 5 |Ca,: 6616.5 | 64960 6496'1 4 |Ba, :6495:3 F.
6608; | 4 | À. | 649419 | 6494-2 I
660421 | 6 (64809) 64810 | 4 |Ba,:64830 A. |
(6597'1) 659608 | 4 (6474°6) 64748 | 4
55943 4 |Ba,:65953F. | | 64685) | 64685 4
(6592725 | 6592, | I |A. | 6461-7* | 6461; |3
_ | (65802) 65803 | 6 | (6454°8) | 645525 | 6
Eb 75 6574.0 | 4 |Ca,:657ro Å. | Å- | 64299 643015) | 2
(6567°6) 6568'2 2 IA. | | 642074 642076] | 2
| (6561°8)*2) Raie fraunhof, C.| (6418°9) 64192 j2 3
3 65556 6 | À | 64104 6410°9 2
À | 65451 65451 I |À.| 6407-1 6407" 3
(653379) 65330 | 4 | large |A | 63990 63991 | I
65277; 6 Ba, : 6526:0 À. | A 6392: 6* 6392°6 2

1) La raie du fer, indiquée par ÅNGSTRÖM à 6603'5, n'existe pas.

2) Vers l'orangé au voisinage de la raie C il est bien difficile d'identifier les raies du spectre
Solaire avec le dessin d' ÅNGSTRÖM à cause des raies telluriques insérées là par lui. De méme, le
dessin de M. FIEVEZ laisse ici, suivant moi, beaucoup à désirer à l'égard de la reproduction fidéle de
l'aspect du spectre.

Voici cependant quelques déterminations que j'ai faites par rapport aux raies du fer à l'aide
des planches de M. FIEVEZ:

65680 (2) 65252 (6) 6500'5 (51/2) 6479 2 (4) 6455 2 (6) 64104 (2)
6555:6 (6) 6518°5 (3) = 6474 2 (4) 64294 (2) 6407:2 (2)
654477 (1) = 64954 (5) 64685 (3'/,) 6422-7 (2) 639970 (1)
653270 (5) 6503:0 (6) 6493:7 (1) 6461°5 (3)*) 64204 (2) 6492 5 (2)

*) Voy. MM. LIVEING et DEWAR, Proc. Roy. Soc., Lond., 1881, Vol. XXXII, p. 231.

3) La raie du fer, indiquée par ÅNGSTRÖM à 6489 8, n'existe pas.

4) Cette raie, indiquée par ÅNGSTRÖM comme appartenante au calcium, doit étre attribuée au
fer, tandis qu'une raie du calcium coïncide avec 64704.

5) La raie la plus réfrangible de la raie dédoublée appartient au calcium.

6) A l’aide de neuf prismes et par l'emploi des planches spectrales de M. FIEVEZ, jai trouvé
les longueurs d'onde suivantes pour les raies du calcium:

65713(3); 08:0 (6); 64980 (3); 927 (2); 704 (3); 613 (1) 54:3 (4); 490 (3); 380 (1).

Suivant les planches d'ANGsTRÓM on a de plus:

64165(5); 100(5); o80(5); 053(4); 63945 (5).

7) Suivant les planches de M. FIEVEZ, les longueurs d'onde de ces raies doivent étre 6422.7

204, ce qui pourtant ne peut pas être exact. (Voy. la note 2).

D 5) r aT
30 Ros. THALÉN,

Deuxiéme Partie.

| Atlas Atlas | = Atlas Atlas | 2 |
d'ÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. 2. Remarques. d ÅNGSTRÖM. de M. FIEVEZ. | 2. Remarques.
(Qv Ws |
I 11) i a 1 E
63797 63795 | 4 62920 = 6
6375'o Os NOR obe 62902 ax 4 | large
6363'5 6362:7 5 ed 6288'o == 6 | large
63612 6360°6 5 6284'5 = 6 as
Á.| 63577 63573 | 4 62816 — 5 i
Å. | 63540 635470 4 6279'6* = 4
63432 63440 4 Cae n P. 6276:6 —- Ó |Raie fraunhof. «
63410? = 6 |Ba,:6340:5 A. 6269'9 va SM
63380 338'o 5 62691 6269 2 4 |
A.| 6335-9 ORIG o À.| 62641 6264°0 3 |Ca, : 62600
Å. | 63343 63343, 2 À. | 62553 62551 3
63305 6329'o 5 large, nébuleuse| A. 6253'2 6253'o 3
À | 632r6 63216 | 3 A. | 62515 62512 |:
; 316%) 63174 2 E ee Fl A.| 624545| 6245-4 2
À. | .16313:9) | 6313.4 4 6239:27) | 6239:0 5
6311'o = 5 Är E29 6231:5 E
6309'5 63091 5 &.| 62297 62295 I
6306'o 63057 6 62254 62253 6
6303'5 = 6 62197 6220'o 6 ELE des
630r'6*) 63020 | 3 aoe een 6218°3 62182 Sl
A. || 630077 6300'5 I 1 62141 62150 4
6296'9°) | 6297.0 3 Re) Ö212:3 6212°4 |
6293'o = 6 | large À. || 6199°6 6199'2 Am!
1) A la determination des longueurs d'onde contenues dans la deuxiéme colonne j'ai employé

six prismes en flint, tandis que leur nombre fut augmenté à meuf aux déterminations insérées dans la
troisième colonne, où je me suis servi des planches de M. FIEVEZ.

2) Suivant ÅNGSTRÖM une raie du fer devait être située à 63182, ce qu'on doit changer con-
tre 6316:9.

3) La raie correspondante du spectre solaire, représentée chez ÅNGSTRÖM comme simple, est
en réalité double. La raie la moins réfrangible en appartient au fer.

4) Dans cet endroit du spectre solaire le dessin d' ÅNGSTRÖM ne contient pas assez de détails,
et celui de M. FIEVEZ, étant trop riche en raies, ne me permet pas d'identifier les raies observées.
Voilà pourquoi je fus obligé d'entreprendre ici des mesures micrométriques entre 6301°6 et 6279'6.

5) ÅNGSTRÖM indique une raie du fer à 6298:5, ce qu'on doit changer contre 6296:7 confor-
mément à son tableau des mesures micrométriques.

6) La raie du fer, donnée par ÅNGSTRÖM à 6246'3. n'existe pas.
7) Le dessin d’ÄNGSTRÖM est ici en quelque degré défectueux.

SUR LE SPECTRE DU FER. 31

I

I

Atlas Atlas

| Atlas | Atlas 2 | 2 |
|d'ÀxsTRÓM. | de M. FIEVEZ. 2. Remarques. | PÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. 2. | Remarques.
| 1, | 4 i À, | À | *
Å 6190's 619077 I (6101'7)**) = |=Ca, :6101-2F,
6187'1 6186'9 Du ÓIOI'2 61008 I
6185'3*) 6185:6 Gy 60974 6097:0 6
6183'0 = 6 | 60957 60951 4'J,
À.| 61793 617972 4 | | 60933 | 609258 6
ANGERS 61723 4 retento E 6092"7 60921 6
61694 6169'8 |3!'/,cóté violet. 60885 6088: |4"/,
6163's") | 616373 5 PH | 608474 6084'o 5
6162°3 — 6 (Ca, : 61655; F. 6081'9 6081:3 5
: : Ca, : 61636 = :
ESO Ga 3 pee ° Gebers 5
61505) | 61505 | 4 | A. | 6077 6* 60772 | 4
A.| 6148-1 6146:6 4 |Ba,:61404 F. | À. | 60645 6064 5 2
6136°6 61368 I = | 60614? | 6 |Bag:6062:0 A.
PAG) 76173556 6135'5 I À. | 60551 60550 3
— 6130°3 6 60531 | — 6 | faible
61268 6126; 3 60412 | 6041 4
61220 6122‘ 6 |Ca,:61212 F. 60350 | 603505 | 6
6115'3 6115‘ 5 603 3:0 6033:05) | 6
= | ÓII2'o 6 |Ba, : 61098 A. = 6029:05) 6
= 6107'0 6 À.| 6026:0 602005) | 3
6102'2 6101°8 I |Li,:6102:2 F. | À. | 60230 6023'0 I

1) Le nombre des raies solaires sur la planche d’ANGSTROM est ici de beaucoup trop restreint.

2) ÅNGSTRÖM a donné cette raie solaire comme simple, mais je Vai vue dédoublée, comme
l'indique réellement M. FIEVEZ. Toutes les deux raies appartiennent au calcium.

3) La raie solaire de la longueur d'onde 6154'2 est suivant ÅNGSTRÖM commune au fer et au
sodium, quoique ce soit exclusivement à ce dernier métal qu'on doit l'attribuer.

4) La planche @’ANGSTROM donne 6101'2 comme la longueur d'onde de cette raie, tandis que
son tableau indique la valeur 6101°7. C'est cette dernière valeur dont je me suis servi à l'interpolation

Sur la planche de M. HOFFMANN (8949) cette raie est indiquée comme raie commune au cal-
cium et au lithium, ce qui se dérive vraisemblablement d'une dispersion insuflisante. En effet, dans le
spectre Solaire cette raie forme en réalité un groupe de trois raies distinctes et juxtaposées, dont les
"deux extérieures appartiennent au fer et la moyenne au calcium. Quant à la raie du lithium, elle est
la moins réfrangible de toutes ces raies et ne correspond à aucune raie solaire.

Suivant le dessin de M. FIEVEZ les longueurs d'onde de ces raies seront:

Lithium 6102:2; Fer 6101°8; Calcium 6101'2; Fer 61008. ^

A la température d'incandescence de l'are, la raie du lithium devient trés large et sa partie
moyenne renversée. C'est justement cette raie d'absorption que j'ai pointée aux mesures micrométriques.

Voy. MM. LIVEING et Dewar: Proc. Roy. Soc., London 1881, Vol. XXXII, p. 226.

5) Les raies solaires correspondantes ne se trouvent pas sur les planches de M. FIEVEZ.

6) Les longueurs d'onde de ces raies du fer sont d'aprés les déterminations de M. CORNU les
suivantes, (Voy. CORNU: Sur les raies telluriques, p. 17— 19).
60261; 232; 192; 076; o7o; ozo; 59860; 837; 826; 756; 742; 557; 5170; 4T40)
59335; 290; 150; 130; 045; 58828. E

32 Ros. THALÉN,

Atlas | Atlas E Atlas Atlas 2,
d'ÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. 2. Remarques. d'ÁNGsTRÓM.|de M. FIEVEZ. 2. Remarques.
à. i i a, 2 i
À.| 6019.1 60192 2 |flaquelle des 59094 5909'o Ó |laquel. des deux?
\deux ?
6011:2 6011's 6 Mn, : 6020°7 id 59067 51/2
A.| 60075 6007'5 3 Mni ja À | 50Q4-4 59043 4 |large, nébuleuse
aee 60067 HA Rae 59013 59013 6
| 6003'9 6 | large == 5900°3 6
À. | 6002" 6002-0 3 -— 5898'o 6
= 5998°6 6 58970 5897°0 6 | large
5996*9 599770 |4'/s large 5892°0 5892'0*) | 5 | faible
Å.| 5986 5986-2 3 5890°6 5890°6 6
À. 59842 598472 2 |nébuleuse = 5889.9 5! 2 DR 0
Å. 5982°8 59827; 3 nébuleuse = 58844 6 Na,:5889 ot
À. 5976'o 5976'o 3 |laquel.des deux? Å. 5883'0 5882'5 2
&.| 59746 59743 SN ers = 5880:6 6
ei 59605 6 large 878: j 5878-2 6 large
= 59613 6 | double? 59793 | 58780 6
— 5959's 6 5877°0 58760 |6
59571 59574 | 6 5874'o 58720 |5
5955'o 59500. |4 A.| 5861's 580145) 2',
59516 59516 3 À.| 58584 58585
5948:5) | 59487 5 large 58555 58552 |4'/,Cas: 58564 F.-
59416 |, 6 | » = 585472 6
59408 | 59400 | Joi, he AE 5852325) | 6 |Ba,: 58527 A.
À.| 5933'9 5933°0 3 5851'3 58510 4}
À. 5929'3 59287 I large, nébuleuse 58485 5849's 6
59272 592672 5 58474 59472 5 |nébuleuse, large
.| SOUS a) SOUS esM Renae eue nel 584770 Mc UG
A.| 59I32 5913'4 I llarge, nébuleuse = ©

1) Les valeurs de M. CORNU sont: 6020°9: 15'7; I2'5.

2) ÄNGSTRÖM indique une raie forte du fer à 5947 5, ce qu'on doit changer contre 5951:6. Pour
le présent, il m'est impossible de dire, s'il y a coincidence ou non entre cette raie du fer $951:6 et
celle du titane.

3) Ces raies du fer coincident en partie à la bande caractéristique des raies telluriques qu'a
indiquées ANGSTROM sur sa planche.

Suivant M. Cornu leurs longueurs d'onde sont 5941'3 et 5939'8.

4) Au milieu des deux raies du sodium (D), il se trouve à 5891:9 une raie du nickel. dont
l'existence a été indiquée déjà par M. KIRCHHOFF. Près de cette raie du côté rouge se trouve la raie
du fer 5892:0. Chez M. CORNU, cette raie est marquée comme une raie tellurique.

5) Il y a ici un grand nombre de raies faibles, dont on ne pourra déterminer la position, à
moins que le courant électrique ne soit beaucoup plus intense que le mien.

6) La raie solaire correspondante existe réellement, quoiqu'elle ait été omise par M. FIEVEZ.

SUR LE SPECTRE DU FER. 33

| Atlas Atlas |? | Atlas Atlas E
\d’Ängsrrön. de M. FIEVEZ. 2 Remarques. | — |d'ÀNcsrROM. de M. Firvez. 2. | Remarques.
| 20 2 ; | à, À i
Sl 111
5832's 5833'5 6 faible nébuleusel| — 5753 9 5
5827'5 5827 5 Ó | nébuleuse | 5752'0?) 5752'0 3
: = ES 6 5751-0 575ro |4!/
Á. a 3 57467 57465 4)
58140 5813'6 6 — 57418 6
| 58105 6 5740 9 57409 14
À. | 58083 or 5 = 5739'5 3
= 5606; 6 — 5730°8 5/2
E 58058 5805's 4 A. | 57305) | 5730's 3
A. 5803's 5803'2 5 57270 5728.0 6 large
ee 5802:8 5 n aT 5723'0 *5722'5 6 large
E = arge et faible | : 3 1
À 5797: "m |bande. | à Dus jim d
| 57930 vei 4! ines = 5
À.| 57902 57901. |4 : Å. | 57138 Ge |
large, nébul.,
= 57898 | 5 Fable, Fe 6). 57133 Syn. ME Br =
57847 | 57845 6 [double (2). E = 571I'o 4
| 57842 | 6 SOE Oy Va en
— 57834 [51% A] 57083 | 57085 |i ann m
5781'3 57816 5 57907 1 57071 6
—. 578070 4 : 5706'o 5706'o 6
57775 5778's 5 À. | 5705'0 DOS 5
5776'o = 6 Å. | 57004 5700's 2
À. | 57741 57740 |3!/, 5697'2 5697'5 |5')2ldouble?
Les 5769 7 6 large, nébuleuse. = 56955 6
Á. 5761.9 5762°0 2 5692:8 5693'o 4
| Fr 5759'6 5 5690:6 5690°8 4
= 57582 6 |Ca,:58565 |À.| 56855 56853 3
— 5756 [o] 5 llarge. —- 5682'25) 5

I) Une foule des raies du fer trés fines et juxtaposées se trouvent depuis D jusque vers 5815:5.

2) A 5753:5 ÅNGSTRÖM a indiqué une raie du fer, ce qu'on doit changer contre 5752:0 suivant
son tableau des mesnres micrométriques, ou contre 5751'8 suivant sa planche.

3) Selon MM. LivEING et DEWAR, cette raie appartiendrait au sodium. (Voy. KAYSER, Lehr-
buch d. Spektralanalyse, Berlin, 1883, p. 304). Cependant en employant des pôles de charbon, j'ai
vainement essayé de l'obtenir, soit en me servant dans l’are électrique de chlorure de sodium, ou de
sodium métallique. 2

4) La raie 57107 est attribuée au magnésium par MM. LIVEING et DEWAR; (Proc. of the Roy.
Soc. London 1880, Vol. XXX, p. 98). Ainsi, nous reviendrons une autre fois à cette raie.

5) ÅNGSTRÖM a indiqué la raie 56814 comme raie commune au fer et au sodium. Suivant moi
elle se dérive exclusivement du dernier métal. Outre les raies du sodium qu'on trouve ici, savoir à
56873 et 5683°3 (Atlas d ÅNGSTRÖM), il y a deux autres raies appartenantes au méme corps qui

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5

34 Ros. THALÉN,

sont certainement faibles, mais parfaitement distinctes à 5674'4 et 5668:0. Le dessin de M. FIEVEZ
leur assigne les longueurs d'onde 5674°6 et 5667°8. MM. LivEING et DEWAR ont trouvé leurs longueurs
d'onde égales à 5673:6 et 5668:6. (Proc. Roy. Soc., London 1879, Vol. XXIX p. 398).

I) La raie corfespondante dans le spectre solaire ne se trouve pas sur la planche de M. FIEVEZ.

2) La raie solaire correspondante, indiquée comme simple sur la planche d ÅNGSTRÖM, est en
réalité triple. La raie la moins réfrangible appartient au fer.

3) Conformément aux recherches de MM. LIVEING et DEWAR, (Proc. Roy. Soc., London 1881,
Vol. XXXII, p. 228) on aura Fe: 5601°5 et Ca: 56013 (Planche de M. FIEVEZ).

4) Suivant MM. LivEING et DEWAR la raie du fer est la raie la plus réfrangible. Le dessin

de M. FIEVEZ donne ainsi: Ca:5597°3 et Fe: 5597°0.
Voici en résumé les longueurs d'onde des raies du calcium contenues dans le groupe caractéris-

tique de ce corps. Les déterminations ont été faites à l’aid€ du dessin de M. FIEVEZ:

560173 (2); 56003 (2); 5597'3 (1); 55934 (1); 55889 (3); 55875 (1): 55807 (3)-
5) Chez ÅNGSTRÖM on trouve une raie du fer à 55913. tandis qu'il en manque une à 55934.

Pour prouver évidemment que la raie 5593'4, observée maintenant par moi, se dérive en réalité du fer,

et pas du calcium comme impurité, je fais remarquer qu'en me servant de pôles de fer, je n'ai pas

méme vu la raie très forte du calcium, située à 558777 A.

Atlas Atlas |Z | Atlas Atlas |?
| TÅNGSTRÖM. | de M. FiEvez. E Remarques. | d'ÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. 2. Remarques.

Due s à i | 2 2 i

5679'o 56792 |6 | = 56340 |5'/,

A 95677 56780 4 |À-| 5632-7 56325 4 |faible.

567 I'o 5670'5 6 |faible,nebuleuse | = 56310") 6

56691 6 | faible. | 56244 56241 6

5666°0 5666:6 5 |A | 56232 5623'5 2

= Js, 5063-000, 1,6 56193 | 56194 |5

A. | 5661°6 5061-5 3 56180 5618s 6

— 56605 | 6 — 56177 |4'/s

"NI rts 56597 | 6 56161 56160 6

À | 56576 | 56579 | 2 LA | 56145)| 56146 | 1

À. | 56544 56546 4 | | — Hone, AG

C. 56525 —|5'/. | = 56092 | 6

-. 56516 | 56504 | 5 | | = 56073 | 6

| = 56495 |6 — 56058 | 6
| it 5648-8 6 : |&.| 560r; 560153) | 2 |laquelle d.deux?

| | 56480 | 56480 | 5 eie. | | 55989 | 55986 | 5 laquelle a. dems)

| — 56475 6 | A- 559772 559723) 3 [laquelle d. deux?

= 56440 | 6 | 559345) | 55933 |.4

5643'o 56427 | 5 | = 55908 | 6

= 56420 | 6 | = 55887 | 6

À. |^ 5640-2 56405 | 4 [À | 55856 55854 I

m EE 56395 | 6 FS 55833 |6

| A. 56372 5637.3 3 | Á. mm 55780 6

— 56360 |s'/, double?) |A. | 55740 55744 | 2

x3! cue Ru635 ps ei" NA! 55717 55713 Ir

SUR LE SPECTRE DU FER. 303)

nn los
Atlas | Atlas = | | Atlas | Atlas a
ÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. = Remarques. | dT ÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. d Remarques.
ZEE E |. mcr ME. +
——— ae Ne —Á'— an ON ccn OX
A | 55685 55685 |2 | = 550335 | 6
55664 5566'o 5 | | 550t'9 55020 4 |large, nébuleuse
55646 55642'; |3'/slaquelled. deux| À. | 55005 | ssoo |3]|
55627; 5562% |3', | À. | 54966 54964 | 3
À.| 55618) | 55614 | 5 | large | fl 54937 (l'A
Does 85596: 5 |laree |, PEN SIN
55571 555677 5 |large | 5492'5 54975 M!
À.| 55539 55540 |3 | | S49to | 54908 | 6|
55527 55524 5 [À | 548907) | 54895 Ó | faible
55490 55490 6 |laquel. des deux?) À. | 54868 5486:6 4 {nce large,
Re 55455 55457 6 large, double? | 548570 54840 6 nébuleuse.
= Boos. NS | 54824 54818 | 4
554277 55430 4 | ~|A | 54802 5480'2 4
À. | 55420 55420 | 4 | | 54799 5479.6 |4
— 5540°0 6 | 54774 5478'o 5
= Sog =| | 5475'9 54758 | 2
55363) | 55372 | 5 |nébuleuse — | = 5475'3 |4
À.| 55315 553U8 | 4 |Ba,:55342 F. | À | 547373 54736 | 4
== 55297 6 5472'o 54721 |5'a
= 55284 5 Mg,:55275 F.| = 54097 6 |
55247)| 655244 |3 | 5469'0 54691 | 6
= 55230) | 6 |. — 54662 Sie]
552I'; 55215 4 |Ba,: 55184 F. | A. 5465°6 546577 4
55200 | 55202) | 6 nare dn oe] | 54632 | 54634 | 5 quis mince
5515'6 5516's 6 ||violet | — 54626 4
55114 55112 | 5 |large À | 54625 AZI
55095 55092 | 5 |nébuleuse À.| 54547 5454 7) | I
5507°6 550772") | 5 |nébuleuse = 54515 6
5505 9 55059 | 2 | = 54473 |5'^

I) Je ne puis distinguer l'une de l’autre les trois raies solaires indiquées ici par M. FIEVEZ.

2) La raie 5561-8, indiquée sur la planche d'ÁxGsTRÓM, doit être changée contre la raie forte
556277 qui y manque.

3) La raie solaire correspondante est double; la moins réfrangible appartient au fer.

4) ÅNGSTRÖM 5 indiqué erronément la raie 5525'8 comme une raie du fer; il faut changer ce
nombre en 55247.

5) La raie correspondante dans le spectre solaire ne se trouve pas sur les planches de M. FIEVEZ.

6) La raie sombre dans le spectre solaire est double.

7) La raie du fer à 54890, indiquée par ÅNGSTRÖM, existe réellement, mais elle est très faible.

8) Je n'ai pu voir cette raie solaire dédoublée, comme l'indique M. FIEVEZ, et, par suite il
m'est impossible de décider à laquelle d'entre elles doit appartenir la raie observée du fer.

36 Ros. THALEN,

Atlas Atlas | = Atlas Atlas |
d'ÅNGSTRÖM. de M. FIEVEZ. 2. Remarques. | d'ÅNGSTRÖM. | de M. FIEVEZ. 2. Remarques.
i i 3 d 1 4
À. | 5445'9 54460 I — 5419'2 6 | Mn?
À.| 54447 54443 4 54160 541672 6
5440°0 54407 |5'/, À | 54145 54146 | I | large
= 54380) | 6 À. | 5410 54100 |2
= 5436'o 6 Ba, : 5436:0 À. 5408'5 5408*2 6
Bop | Sas 5 = SACO) ER Kon E
À.| 5433 5433'o I No 5404-9
2 À | [54250]. |, 4 s
À. | 5428:8 54280 I |Ba,: |5424'o[^ | 54031 5403'3 2 |
À.| 54236 54234 I | large
Troisiéme Partie.
Atlas | Atlas | = Atlas Atlas | =
de M. Vocet.|de M. FIEVEZ. 2. Remarques. de M. VOGEL. de M. FrEVEZ.| 2. Remarques.
2,9 2 / va 1 i
À. | 5399'6 5399'6 4 53726 5372'5 4
53973 53970 |4!/, À | $3705 53706 | I
À.| 53962 53960 2 À. | 5369'o 53690 | 2
À.| 53921 53923 | 2 À.'| 53664 53666 | 2
A. 53904 53903 4 |laquel.des deux? 53644 53645 4
À. | 53884 580058 gu À.| 5363'9 53636 2
5386:6 5386'0 6 A. 53619 536r8 5
53855 5385 0 6 5360'8 5 3606 6 faible, double?
À. | 538255 53824 2 5357°3 5357°3°) | 6 | faible
Å. | 53785 5378'o 4 € 535570) | 6 | faible
53765 53762 | 6 À. | 53525 53525. BY
53757 53752 6 |large À. | 5348:8)| 53487 5 1€2,: 53485 V.

I) La raie correspondante dans le spectre solaire ne se trouve pas sur les planches de M. FIEVEZ.

2) En me servant des planches de M. VOGEL, j'ai employé six prismes en flint, mais neuf en
me servant des planches de M. FIEVEZ.

3) Les raies solaires 5357°3 et 5355'0 qui correspondent aux raies du fer existent réellement,
quoiqu'on ne les trouve pas sur le dessin de M. FIEVEZ. j

4) La raie solaire correspondante est représentée comme double chez M. VOGEL et chez M.
FIEVEZ. Quoique je ne fusse pas en état de la résoudre en deux, je suis cependant porté à croire que
la raie la moins réfrangible doit appartenir au fer, et l'autre au calcium. S'il en est ainsi, on aura

suivant M. VOGEL: M. FIEVEZ:
la raie du fer 53488 53487
» » » calcium 53485 53482

Voy. MM. Livetne et DEWAR: Proc. Roy. Soc. London. Vol. XXXII, p. 228.

SUR LE SPECTRE DU FER.

Ö I ISO —j&ernu———L—=—m—- - -- "Z —"=——

Atlas Atlas |E Atlas Atlas | 2

de M. VoGEL,| de M. FIEVEZ. 2. Remarques. | — |de M. VoGEL.| de M. FIEVEZ. Zz

a 2 j 4, À i

| 53427 53424 5 |A | 52725 52723 3
À. | 5340 53400 3 Á. ^ 52092] 5269: I
À. | 533972 59999 3 À.| 5268; 52086 I
À.| 53321 53320 14 A | 52655 52655 |
6 5329'o 5329'1 5 Å. | 52623 5262°02) | 3
À | 53273 5327.6 | 3 | 5256'8 52566 |5'/,
Å. | 5327'0 Sero 1 | 52547 52547 | 6
= 53266 | 6 À | 52539 5254'0 |4"/p

= 53259 |6 À. | 52524 52526 | 4

ain 53252 6 Å. 2508 52510 5

À | 53232 53235 |2 À. | 52494 52498 | 3
53214 532U3 — [5/2 5248 0 52479 | 6
53204 53203 6 À. | 52462 52457 5
53193 53192 6 > 52447 52440 6
5318'5 53180 6 | faible Å. | 52430 52428 5

À. | 53161 5316'o 4 > A| Beare 52411 3
53146 | 53145 | 5 Bay : {aor of V. Beane | ea |
À. | 5306: 53066 | 3 Å. | 52344 52347 4M,
À.| 530r 53014 I |Ba, : 53078 À. 52336 52338 6
5209'4 5299'o 6- Tig? À. || 52321 52321 I
52981 5298'2 5 Å. | 5229'o 5229'0 4
5294'9 5295'o 6 52274 52276 6

= 5294'3 6 n 52262 f 52264 I
52937 52939 | 5 | 52260 | 3
5292°7 5292'0 6 5224'5 5224'8 5

A.| 52876 5287:6 4 5222'3 5222°0 5
5284'2 528472 6 5221'5 52214 6
52834 5283:8 6 — 5220'8 6

Á.| 52827 5282.6 I 5220'2 522070 {si},
A. 5280'9 52808 2 | 521877 52177 6
52797 5279'0 |5!j, À. | 52167 52167 | 3

À. | 52757 5275'0 5 Å. | 52156 52155 3
5274'5 5274'0 4)/,|large, double? | À. 5214'5 5214'5 3

Remarques.

double?

Raie fraunhof.Z.

Mn, : 52542 V.

faible, nébuleuse,

faible

double?

faible,nébuleuse.

I) La raie solaire correspondante est indiquée comme simple raie chez M. VOGEL aussi bien
que chez M. FIEVEZ, quoique les raies du fer et du calcium doivent être ici représentées. Faut-il donc
croire que la raie solaire soit en réalité une raie commune à ces deux substances, ou que la dispersion

employée n'ait pas suffi pour la résoudre?

et la raie du fer moins réfrangible que celle du calcium; (l. c. p. 228).

Selon MM. LivEING et DEWAR, la raie est en effet double,

2) Voici quelques raies du calcium, déterminées à l'aide des planches de M. VOGEL:

5269'2 (2)

5264:6 (3)

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

52032 (4)

52614 (4)

5261'0 (4).

38 Ros. THALÉN,
Atlas Atlas E Atlas Atlas VE
de M. VoGEL. de M. FIEVEZ. 2 Remarques. de M. VoGEL.| de M. FIEVEZ. 2 Remarques.
an 1 ; | 2, a IE
= 5211'o 6 5I83:8 51838 4 |large,nebuleuse.
5209'5 5209'5 6 | faible 5180°8 518077 6 |nébuleuse
52076 5207'8 2 laquel.des deux?| À. 51794 5179.4 5 |nébuleuse
— 5205°3 6 | faible 51778 51782 6
A | 58098 52033 4 5176°3 51765 |5'/,[laquel.des deux?
À. | 52017 52014 2 A| Gus 517079 I
A 5198'2 5198'2 3 |Mn,:5195:9 V. 51684 5168:9 4 |Raie fraunh. 7!)
51959. | 51050 EE || 51670 .| S167: pr | MM
51946 51947 |3'/lf larges A. | 5165:8 51657 |4'f,
À. | 51940 51942 |2 | Å. | 51648 51650 | 4 double?
IX || SOA 5I9I'8 I 51638 5164'2 6
A. | 5190:6 5190:6 I |Ca,:51880 V.| À. | 516r'6 5161's 2 |large,nébuleuse.|
51872 51872 4 |raie courte. |
Quatrième Partie.
Atlas |E Atlas | 2
de M. VOGEL. | 2. Remarques. de M. VoGEL.| 2. Remarques.
1 2 A :
5159'6 6 raie courte. 51416 4
À. | 5158:3 | 5 | large 51408 |4
BMH || À. | 51385 | I | laquelle des deux?
5156 | 6 | Ze Bugera ||
51547 6 raies courtes SIBA 6 faible
51537 | 6 | A 3ssse | 2
5152'8 6 A. 5130'8 4
Bei Bui | 2 5128:8 | 5
A| 51606 | 3 Ae Higa 3
À. | 5147°8 |31/,| large SUCK
51464 6 raie courte A. 5124°4 2
Ay || Basen | E Al Saga | 3
5I44'3 |4 BG |) Bees |) Al
5142'8 6 raie courte 5114'6 5 raie courte,
A. 514I'9 |3!/, 51136 6 trés courte

1) Les longueurs d'onde des raies bien connues du magnesium sont suivant les planches de M.
FIEVEZ: £, 5183'0 (1), 2, 5172:0 (1), 2, 51667 (1).

SUR LE SPECTRE DU FER.

39

Atlas |E | Atlas | =
de M. VOGEL. = Remarques. de M. MOSE E Remarques.
ova SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSssSs
A.| 51092 | 2 I A. | 5048-1 | 4
AMIPECTO7 2 | 2 |A. | 50436 | 4
51052 5 raie courte l'A. 5041 'o 2 | 2)
5104'o | 6 WAS | 50403 2
2 51037 | 6 | A. 5038'5 | 4
A. | 509872 | 2 | 50362 | 4
À. | 50966 | 3 50357 | 5 | large
À. 5090"; 3 | 50313 6
5087'7 | 5 | 50304 | 6
50857; | 6 5030°3 | 6
: 50838 6 | faible 5029'1 4
A. | 5082: | 2 À | 50274 | 2
50806 | 6 | très faible Ay |) 502646 102
_ | 50802 | 6 | 50248. | 6 ||
à 50794 |4 | 5024'0 | 6 pee
A. 50788 2 | 50227 5 nébuleuse
| FREE |A.| 50215 | 2
À. | 50740 | 2 50208 | 6
à D : | nébuleuses. ES oe 2
sorts | 5 A. | 5019%4 | 6
A 50682 | I 5017 7 | 3
A.| 50666 | 4 5016'5 | 5 | large
A. 50645 2 |large, Ti, : 50642 (zeufprismes)| À. 50144 I.
A 5059'2 4 large 50117 6
50575 | 6 | À | sort: [rM |
5050'5 6 » Å. 500066 Als large, nébuleuse; double? 3)
50558 | 6 | Å. 5005°5 I
50553 | 6 À. | 50050 | 2
50539 | 5 _ | 50040 | ©
seas $ lie et nébuleuses. E Jose 6
50522. 6j AN 50022 | 4
OST o | 2 5001; | I
He 50494 | I 4998.3 |4'/s

I) Ces raies se présentent comme une bande large et assez lumineuse, oü lon distingue dif-

ficilement les raies particuliéres.
2) A l’aide de meuf prismes, jai trouvé les raies suivantes du calcium: 5041'0 (I), 503972 (5),

50377 (5), 50357 (5) 5035°3 (4), (pl. de M. VOGEL).
3) En me servant de neuf prismes, j'ai trouvé à l'aide des planches de M. VoGEL les posi-

tions suivantes de quelques raies du fune: 5015°7(5) 5013:7(4) 5006'6(4) 4998°7 (4) 4990'5 (4).

40 Ros. 'THALEN,
| Atlas | 2 Atlas |E
de M. VOGEL. 2. Remarques. de M. VOGEL. 2. Remarques.
1 i A 3
4995'6 | 6 Å. | 49457 | 3
49948 | 6 49449 | 6
As ACO RG | 2 4943 7 6 | faible
À. | 49905 |4 | Ca. sogo-5 v. Á.| 49417 | 57) large
49899 | 6| Ti Å. | 49388 | 4
A. 4988°3 4 49383 |5'/;| mince
49859 | 6 A. | 49379 | 3
49853 |5'/» 49373 M |
af 49847 | 3 1003 | O | RN
^l 49844 | 3 A. | 4932°6 | 4 | Ba:49353 V-
K, | AGS || 3 49313 | © | bande faible
Äl 49824 | 4 À. | 49297 | 4
A.| 498r8 | 2 | Ca,: 4981-2 À. | 49273 Ah
49797 | 6 | faible 49267 |4"/>
49788 | 6 | très faible 49249 | 6 | faible bande
À || 4078 | 4 IS rc Cee 31/2
4977o | © 49232 | 4
49747 (5/2 A AOS i= I
À. | 49724 |3'/» Li:49712) Rn zog | I
À. | 49695 | 4 4917o | 6
À. | 49692 | 4 49164 | 5
A. | 49077 | 5 49112 | 5
A. 40671 | 4 4910'o | 4 | double
A. | 496535 | 2 À | 4909:5 BA
4963'4 | 6 | faible 49087 | 5
RW 40820 | 5 A.| 49068 | 4
4961:3 6 faible; Ca? A. 4904:3 4!]3
4960'5 6 | faible A. | 490274 2
lad 49568 | I 4900.1 | © | Ba,:48994 V.
| 49566 |! 48978 | ©
À.| 49537 | 4896'8 | 6 | faible bande
À.| 49518 | 5 | large 48959 | 5
À.| 49494 | 4 48922 | 5

1) Il n'y a pas de correspondance entre la raie du lithium et les raies solaires.

Auparavant

(Nova Acta R. Soc. Sc. Ups. T. VI), j'ai attribué cette raie au cesium, ce qui est cependant erroné.
Voir MM. LivEING et DEWAR, (Proc. Roy. Soc. London, 1879, Vol. XXVIII, N° 193 p. 370).

2) Quelquefois la raie flamboie, d'où l'on peut conclure qu'ici quelque raie étrangère est vrai-

semblablement située.

SUR LE SPECTRE DU FER. 41

Atlas = Atlas Ey
de M. VoGEL. 2. Remarques. | de M. VOGEL. d Remarques.
À E | À i
————————^€^*^A^A^A4«4A^^A^A^AA-A^ A—————— |
Á.| 48908 | 1 | | 4841: | 6
À.| 48902 |I | 48394 | 5
À, | 48884 | 4 WAS ABB:s Ud
48879 | 5 | 48377 |4'/>
À. | 48863 |5!/| double? | À. | 4835'0 [4"/al large
À. | 48856 |4'^ 48338 | 6 | Ca,:4832'5 large
AIM 48846 | 4 À. | 48318 | 4
4881'4 4 4826'7 6 | large
À. | 48808 | 4 48246 | 6 | large
À. 4877 4 IE Ca 487753 4823'3 4 | Mn, : 4822°7 trés forte.
A. 4875'3 4 | 4817'2 5 | large
48743 |5"/2 | 48153 | 6 | Ca,:4822:3 (néb.)
48737 | 5 48123 .| 5
48730 15"/a 4810:3 6 | Ca, : 48112
À. | 48713 | I 48093 | 6
À. | 48706 | I 48086 | 6
48687 5, 4908'o 5
"| 48676 | 6 4807 | 6
| 4866:6 | 6 4807 1 | 4 | Ca5:4806:7 (néb.)
À. | 48628 | 4 4803:8 | 6
4861'7 5 A dem | 2
p 2 Raie fraunhof. 7. ?) = is :
À. | 48583 | I 47986 |4"/>
48566 | 6 | large 47977 |5'h
MMS. |-4 |) À | 47973 | 3
485471 6 4793'5 Ó | large, double?
485172 6 large 4792'1 Ó | large
48488 |5'2 47903 | 5
48481 |4'/s| Ca, :48465 À. | 47888 | 2
48447 | 4 AN OB 3)
48433 | 4 47868 | 5
Å. | 484253 |3!'/| large À. ^ 4785.9 | 3

I) Depuis cette raie, jai employé la planche N:o r2 de M. VOGEL.

2) Ces deux raies, appartenantes au fer, se trouvent trés prés de la raie de Uhydrogéne F,
lune à sa gauche, l'autre à sa droite. A l'aide des planches de M. FIEVEZ, j'ai trouvé les nombres

suivants:
1 4866:5 (6) faible, courte; 4862:6(4) 4861°8(5) 4860:9 (6) 48602 (5).
J
3) Il faut décider une autre fois, si cette raic appartient réellement au fer ou au nickel.
E Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6

42 Ros. THALÉN,

| Atlas 2 Atlas B |
‚de M. VOGEL, 2. Remarques. |" de M. VoGEr. 2. | Remarques.
| Ov | | ee
a ) | À ;
2 | 4 i |
47849 | 5 | D 47114 | 6
4779'8 6 | faible 4710 7 5
47785 | 5 À | 4709s | 2
47753 5 | large, double? A. 4708 3 3
À | 47718 |3"/s À. | 47066 | I
T WS. 8 | 47047 |5'f,
À. | 47673 | 2 47042 | 4
47658 | 6 4699'4 |41/2| large
47053 |4"/,| Mn;? 469777 5 | bande large et lumineuse.
47644 |5 46943 | 5
4758°8 | 6 à. | 4690°6 I
47567 | 4 | Ti 46893 | 4
47553 6 || bande large, nébuleuse. MOSS ?
47547 | 6 | 46873 | 5
47516 | 6 | large 46865 | 5
47502 6 i 46837 Ó | large, faible.
47492 5 à | 4682 7 4
47472 5 | trés large, nébuleuse. 4681°3 5
ÄN sas 3 46806 | 6 | Ti, : 46810
47436 | 6 | large 46797 | 5
es AU 3 Å. 46779 I | bande large et faible entre
47396 | 5 A. | 46722 | 3 || 46747 et 46722
47371 | 6 46683 131,
A | 173012 I À. | 46072 C
47352 |4 ANS EIRE
47333 Sue 4664:9 5 large
| duse oh 3 4662:5 | 6
Å. 47307 4 46612 5 | dégradée du cóté violet.
4728:9 | 6 | large 4660; | 6
47283 "5 46575 | Ó | faible
47279 | 3 46567 15/2
47254 |5'/s| large * A. 4058 1
47203 |4"),| large 46504 | 6
4716:8 Ó | faible bande, trés large. 4649'2 |5!/,
47137 |4'/,| large A. 46467 2
1) Raies du manganèse (neuf prismes):
4782:5 (i) forte, 4761:3 (2) 47383 (215) 4700°3 (4) 4606'6 (2) longue, Voy. Ca.
4765°3 (3) 47605 (4) ^ 47268 (1) 46707 (3) — 46048 (2)
4764/8 (3) 4753:2(1) . 47091 (1) 46256 (2) 45481 (2)

YT MUST à +,

SUR LE SPECTRE DU FER. 43

| atlas | = | Atlas | E |
de M. VOGEL.| =. Remarques. de M. VOGEL. 2. | Remarques.
À 5 | | 2 i
il 1 I |
À. | 46427 | 3 . la fl 45864 | 41%
4640'o 6 | large et nébuleuse. In | 4584:2 4
À. | 46373 | 2 | 45833 | 5
A. |. 46367 | 2 | À. | 45808 | 3 | 3) Ca?
46350 | 4 | 45798 | 5
46339 | 5 | 45794 | 6
46330 | 6 | 45742 | 4
KANN AO325 .| 3 | 45722 | 6 |
46293 | 3 | 45711 | 6
46266 | 6 | 45682 | 4
BO 24624: "02. 1) | 45663 | 5
A MEATGIT3:6. | 2 | 4565°8 | 6
46181 5 | 45050 5 | double
46148 | 6 45642 | 5
46133 | 6 45607 | 6
46125 | 3 45594 | 5 | large
A.| 4610s | 2 45573 | 6 |
46070 3 | A 4555 4 2 | Ba,:4553°4 (zeuf prismes) |
46037 5 large | 45518 4 > |
Á. 46023 I | Li, : 4602°2 (zeuf prismes) 2) | 45501 5
460173 | 4 4548°9 |3'/>
4600'2 | 6 | Ba:,4590'1 ae A
45974 3" IA. | 45463 | 6
45953 | 4 | 45440 | 6
R 45947 | 4 | 45418 | 5 | large
IR 45919 | 2 45380 | 5 | >
45901 | 6 | large 453225, Sail)
1) Raies du calcium (neuf prismes):
4741°3 (5) 46224 (5) 4585°3(2) 4535°3 (4) 4532°6 (4)
47214 (5) 4616:6 (4) 45808 (2) 45349 (4) 4526'3 (2)

4684-3 (3) large 4606:7 (3) 4578:0 (2) 45341 (4)

2) Puisque la raie du lithium est trés large et trés forte, il m'est impossible de décider, si
sa longueur d'onde doit être 4602:2 ou 46020. Par suite, il est incertain, s'il y a de la correspondance
ou non entre cette raie et celles du spectre solaire.

3) Les raies 4585'3 et 4578'o, indiquées par ÅNGSTRÖM comme raies du fer, doivent suivant
moi être attribuées exclusivement au calcium. Au contraire, la raie 4580°8 qui est double, selon M.
FIEVEZ, peut suffire aux deux corps. Cependant, mon spectroscope ne pouvant résoudre la raie solaire
correspondante, je ne puis décider la question. Voir. MM. LrvEING et Dewar, |. c., Vol. 32, p. 228.

4) La raie solaire 45325 est en réalité double; la raie la moins réfrangible appartient au
calcium.

44 Ros. THALEN,
Atlas | = | | Atlas | E |
|de M. VOGEL. 2. Remarques. | 'de M. sem. 2. | Remarques.
4 | à | | à E
45308 | 6 | 44875 | 5
45304 | 3 | 4 |Å. | 44848 | 4
45288 | 5 LA. | 44835 | 3
A: (M 45280 | 222) | 44820 |51/,
45257 |4 E 448r6 | I
À. 45244 | 2 | Ba,: 4524.4 |. | 44810 ls,
| 45226 | 5 | À. | 44794. 4M,
| 25220 | 5 | 44788 \4'/,
45195 | 5 À | 44754 | 1
45176 | 6 |A. 44687 | 2
| 45168 | 4 |?) | 44660 | 2
| 45147 | 6 | 44612 | 2
45134 4| ES 4458:6 2
4508:9 | 6 | bande large et faible | 4455°7 4! 4)
45076 | 6 | | 44538 | 3
45065 | 6 | | 44528 | 6
ASE CAES | 44498 |4!/,
| 45018 | 5 | À. | 4447-2 | ı
42984 | 5 | large | 44463 | 5 | large
44962 | 5 | 2 _ | 44450 | 6
A. 4493 8 I A. 44427 2
44920 | 6 IA. | .4441 | 1
44902 | 5 | | 44403 |6 |
A. 4489°3 4 4439'9 | 6 j bande lumineuse.
44888 3'f, 44393 | 5
44883 | 5 44378 | 5

1) A 45332 ÅNGSTRÖM a indiqué erronément une raie du fer, mais il manque chez lui celle

qui se trouve å 45304.

2) Quoique les raies 4528°0 et 4516:8 se présentent aussi dans le spectre produit par des
póles de charbon imbibés de chlorure de calcium, il est bien probable qu'elles proviennent du fer.
Comme je l'ai déjà dit, les pôles de charbon contiennent du fer.

3) Rajes du manganèse (neuf prismes):

4460°6 (3),
44597 (5);
4457°6 (1),
44568 (1).

45030(5) 44723 (1),

450r5(1) 44694 (1),

4498:2 (1), 446472 (1),

44894 (1), 44614 (1),
4) Raies du calcium (neuf prismes):
44561 (6) 44553 (3) 44543 (2)

La raie solaire 4454°3 est vraisemblablement double.

44566 (4),
44553 (1),
44547 (1),
44544 (3),

44351 (4)

44542 (3) 4435'6(1)

44524 (4), 7
4451°1 (1),

4446'6 (4),

4434'4 (1) 44249 (1).

f a i s MD oat Don m

EC à

SUR LE SPECTRE DU ‘FER. 45
Atlas | = | | Atlas | 2
\de M. VoGEL. 2 Remarques. | [de M. VoGEL. E | Remarques.
i à VAN
4430°3 5 |. À. 4383 0 I | excessivement forte 9)
44332 |4 | 43769 | 6
44376 | 3 | | 43764 |5'h
44320 | 4 |A | 43756 | 3
À | 44302 | 3 | 43742 | 6
44296 | 5 | 43733 4h
AST 44267 | 2 I. 43724 | 6
4423 3 | 6 | large, double: A.| 436973 | 3
442275 | 6 Wel :4867:61 1s
Prens | 2» |. 9) |A | 43672 | 3
AG 44143 I | trés forte 43655 5
A 44078 | 3 | 4362'5 6 | bande lumineuse.
Re eAdOz 2. | 3 | 43605 5)
BR 44045 I | trés forte | À. 43581 | 3
44007 | 3 | 2) AE |) Abo ud eame)
43945 5 | raie courte | 4351'o ZA W'S)
4392'2 6 | bande large et faible 43486 5
A.| 43905 | 4 | 43474 | 5
43902 | 6 43462 | 4
43888 | 5 43442 | 6
À. | 43879 |3' PAN) 434873. | 5
43874 | 4 43427 | 5
| 43849 6 4340'o 6 | bande faible
| 43843 | © 43378 |4"/>| Mn?
I) Raies du manganése (neuf prismes):
4419/2 (4) 441070 (5) 438r5(3)*) 43738 (5) 43385 (5)
44142 (1)*) — 44075 (4) 43788 (5) 43684 (5) 4337°8 (5)
4411:3 (4) 43823 (5) **) 43745 (3) ' 43593 (4) 43370 (3)

+) La raie forte du manganese 4414/2 se trouve dans le spectre solaire du côté le plus réfran-
gible de la raie trés forte et trés large du fer et presque méme en contact avec elle.

**) Ces deux raies s'éteignent trés vite.

2) ÅNGSTRÖM a placé une raie du fer à 4401°9, ou il n'en existe aucune. Le nombre donné
doit être 44007.

3) La raie du calcium 4382°9 se montre du côté le plus réfrangible de la raie du fer, et en
contact avec elle. Est-ce donc une raie distincte et tout-à-fait indépendante de celle du fer? Chez
M. VOGEL on trouve certainement la raie solaire comme un assemblage de plusieurs raies particuliéres,
mais à l'aide de mon spectroscope je ne puis la résoudre de cette maniére.

4) La raie du calcium 4355'0 s'éteint trés vite; elle ne parait jamais, tant que l'arc siffle.

5) A 43512 MM. LivEiNG et DEWAR ont vu une raie large qu'ils attribuent au magnésium.
(Proc. Roy. Soc. London 1880, Vol. XXX, p. 98).

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6*

46 ' Ros. THALEN,
= | = IZ
Atlas E Atlas =
de M. VOGEL. 2. Remarques. | |de M, VoGEL. 2. Remarques.
2 3 | i j
433 6/609 Mua IU» | 42867 | 5
4332'o 6 large, faible | 4286 2 Ó | faible
4330'6 | 5 | 42852 | 4
43273 5 | À. | 42821 2
4326:6 | 4 42800 | 6
43263 | © 42794 |5'/s
Ry || 4928" | 1 |? 42792 | 6
agai || A) 42779 | 5
4320'2 Ó | bande lumineuse | 42773 6 | faible, large
Äl Ze. |n | 42764 |5
43100 | 6 42753 | 6
43092 4 427377 S Li,:4273:3 *) (zeuf prismes)
À. 4307'3 I | Raie fraunh. G. A. 42716 I double
A || age (m || Aare |
43040 |5!/, À | 42686 Al),
As || aene | A | À. | 42676 |3W,
À | 4298:8 | 1 Aol 42087 EIE
42976 | 4 4265 | 6
À. | 42937 | 2 IA. | 42647 | 5
42917 | 5 A. | 42602 | 1
À. | 4291-2 |4"/5 42584 | 6
4290's | 6 42580 | 5
4289'9 5 | 42553 Ó | raie courte
4288, | 6 | 42546 | 6 | » » + faible
4287'7 5 | 4253:6 | 6 | très faible
1) Raies du manganèse:
44354 (4) 4320'6 (5) 43001 (4) 428077 (3) 4261:0 (4) 4234:8 (2)
442573 (1) 43143 (6) 42996 (5) *) 42716 (1) 42603 (3) 4220'5 (4).
442277 (5) 4300°6 (4) 4283°9 (3) 42657 (21/2) 42574 (3)

*) Cette raie flamboie, elle appartient donc vraisemblablement à quelque corps étranger.

2) Cette raie se présente non seulement quand on emploie des póles de fer, mais aussi des
póles de charbon, imbibés soit de chlorure de calcium, ou de chlorure de manganése, Selon M. KAYSER
(1. c. p. 236), M. LOCKYER a trouvé ici une raie du baryum.

3) Raies du calcium (neuf prismes):

43182 (3) 43054 (5) 4298'5 (3)
43072 (21/5) 4302'1 (3) 42896 (3) 4240'0 (4) 4215*0 (2).

4) Autant que je puis le décider, cette raie du lithium coincide avec une raie sombre du
spectre solaire. Ainsi, des cinq raies observées du lithium il n'y a qu'une seule dont jai pu constater
sûrement la correspondance avec les raies solaires. Il me semble donc peu probable que cette sub-
stance existe dans l'atmosphère du soleil.

428277 (3) 42264 (1) trés forte

wy

SUR LE SPECTRE DU FER.

Atlas = | Atlas z
de M. VOGEL. | 2. Remarques. | de M. VOGEL. 2. Remarques.
i i | 2 j

Au A250:5 | I | £l 42065 | 4

Bele 424078 | 1 | À | 42063 la,
42479 |4' |^ | 42050 | 5

A. 42471 2 | large | A. 4203'5 |3"/,
42457 4M, |^ | 42016 | 1 | 5 m:

À. | 42449 | 3 eon RA 200: |
42434 | 6 Á | 41987 | 1
4243'0 |5"/o À. | 41977 | 1
42423 |4 À. | 41957 | 4
42407 | 6 | faible INPI EE

| 42394 | 4 |!) Mn? |A. | 41900 | 1

À. 2385 | 3 | large À. | 41873 I

Rel A2377. | 4 | AL ANSE Mr
4236:8 5 | À. | 41844 | 3

RS 4235-6. | 2 | | 41818 [4
423353 2 | À 4181:3 2

À. | 42290 51/2) 21 a |

À. 4227'0 I |e 41760 4 | large
42259 | 6 PRIE
42255 |5'/, À | 41743 | 4
42250 | 4 | aga Si
42241: | 6 Z2 | 5
42237 |4 AN A2 RAT

Bele 4227-8 | 3 | digg | a)
42198 4'/, A.| 41704 | 4

Ba ARS | 41684 | 6 | faible bande
42172 |3!/, large Bay Araza s

A. 4215°7 3 | ') Mn,? 4164/8 Ó | bande
4213'2 AL || 9) 416370 | 6 >

Rai A209:8 | 2) || >) 4160 | 6 »

À. | 42082 Jaja] A., 41582 | 4

I) Ces raies se présentent non seulement en employant des pôles du fer, mais aussi des pôles
de charbon imbibés de chlorure de manganése. Cependant, lintensité des raies est dans les deux cas
à peu prés la méme. Faut-il donc en conclure que ces raies sont communes à ces deux substances, ou
qu'elles se dérivent seulement de fer comme impureté, dans le charbon?

2) Quand on observe le spectre produit par l'are entre des póles de charbon, il se trouve
depuis 4215 une série de bandes lumineuses, consistant de raies dégradées du cóté violet. Voici
les longueurs d'onde des maxima observés: 4215'0, 419770, 4180'5, 4176'0 et 41673 etc. Est-ce que
ces bandes proviennent de cyanogéne?

3) ll se trouve ici une foule de raies du fer trós courtes et juxtaposées les unes aux autres.

48 Ros. THALEN,

Atlas |E Atlas. | =
de M. VOGEL. 2. Remarques. de M VOGEL. 2. Remarques.
2 3 ME
al ai a nn epe Rr MT PE En EM eL
A 41572 3 4097'6 |3lh
Å. 4156'2 3 40956 |3"/»
À. | 41542 | 4 | 40865 | 5
À | Aï538 | 3 _ | 40847 |4
Ay Ausg | 3 A. | 40844 || 4
Zn ASTA | 5 | 40839 | 3
À. | 41497 | 6 40797 | 5
A.| 41486 | 5 40793 | 5
A 41470 | 4 4077°8 5
41454 | 6 40760 | 3
AS Lue EN 40742 4s
A. 442 | 40732 |A4'fs
41412 | 6 A 40710 | I | forte
413972 | 6 | bande 4069" 7 5
41363 | 3 40073 | 4
Axe prave 3 40667 | 5
4133 [51/5 | 40663 1 15
A || 413%» | a A 4063°0 | I | forte
| argues De 40618 | 4
A 4126'9 3 4059.2 5/2
4125'5 4 | dégradée du cóté violet. 40582 6
4123'2 5 40576 | 5
À | 41278 | s 40567 57s
A a2: 4 5 40542 4 bande lumineuse, vraisembla-
AO 4 Å 405177 5 | blement trois raies.
À. | amu | 40482 | 6
411377 4 À 40453 I | fexte
4112.3 |4!/,| bande lumineuse 40440 4
4109'2 3 40433 | 4
41068 | 3 À) 4oaos | 5
410577 |5//2 40395 | 5
41035 |4"/5 40339 | 4
A. 4100'2 4 | entourée de raies faibles. | 40324 4
1) Raies du calcium:
4098'0 (3), 40943 (3), 4092'2 (3), 40772 (2).
2) Raies du manganese:
41347 (4) 40831 (1) 40824 (1) 4078:7 (1) 405577 (3).

A cause de la faible intensité du spectre solaire, il me fut difficile d'identifier les raies corres-
pondantes à celles du manganèse, quoique la lumière solaire fût concentrée par l'emploi d'une lentille.

Pm we»

SUR LE SPECTRE DU FER. 49

| Atlas = | | Atlas E
de M. VOGEL. 2. Remarques. | de M. VoGEL. g. | Remarques.
i i Isr le DN
o B : 1 | E
À. | 40320 | 5 40090 | 4
40313 | 6 | 40066 | 6
40300 | 3 | 40055 | 6
A| OZ AO |A |A. | 400473 | 3 | double?
A| 40213 |4 | | 40000 |5 |
40175 | 6 3999'5 | 6
Bellewor6:, 41 "double? À | 39972 | 4
40138 | 4 30087 eel)
4OI3'0 | 6 |

I) Jai pu voir beaucoup de raies du fer jusqu'à l’autre côté du H, mais faute d'une intensité
suffisante dans le spectre solaire, je n'y ai pu distinguer nettement les raies solaires. ' Des prismes
de spath calcaire et de quartz ont été essayés, mais leur dispersion n'était pas à beaucoup prés suf-
fissante pour mon but.

Aussitôt que j'aurai pu me procurer des prismes ou des réseaux d'une dispersion suffisante
je continuerai ces recherches, afin que je puisse non seulement combler par là les lacunes qui existent
par rapport aux corps que je viens d'examiner maintenant, tels que le baryum etc., et dont je n'ai
pas encore déterminé toutes les raies, mais aussi étendre mes recherches à d'autres corps, comme
le mickel etc.

"
4 "
| ^
*
4
I
à
# - ;
r i
Pi +
ï
Pa , ,

Ww j 4
hf ü AP.
Aer i d à AE \

2 net J

MESURES

DES

HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS

DES NUAGES
PAR

N. EKHOLM er K. L. HAGSTRÖM.

@aestyre A LA SociETE ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 15 NOvEMERE 1884.)

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ.
1885.

.
D
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‘ LEA
I a y,
LI À

+

II
II.

TATE

ING

TABLE DES MATIERES.

Introduction :
Description des pedo nites et a la ides d' obser mou
1. Description des théodolites UB m e

2. Rectification. Erreurs instrumentales. Corrections

3. Méthode d'observation .

Caleul des observations

Remarques préliminaires

Sur

Formules approchees Fa ed cube
Formules exactes pour le E des coordonnées «sss du nuage
Caleul des erreurs angulaires moyennes SER:

Caleul des erreurs moyennes des coordonnées rectangulaires

t6 HIS

Caleul de la marche et de la vitesse du nuage fait à l'aide des MCN

rectangulaires observées plusieurs fois d'un méme point de nuage

10. Méthode de corriger les coordonnées d'un nuage observé plusieurs fois

11. Méthode de déterminer la marche et la vitesse du nuage à l'aide de sa
vitesse angulaire con Doi ie er

12. Remarques sur la méthode d'observation

Applieations. Exemples numériques .

13. Contrôle des observations :

14. Calcul des coordonnées d'après la de de n? 6

15. Cajcul des erreurs moyennes d’après les formules des n°5 7 et 8

16. Calcul du mouvement d'un nuage d’après les formules des n° 9 et 10

Resultats météorologiques

17. Hauteurs des différentes espèces de nuages

18. Variation diurne de la hauteur des nuages vere t Ser RER e

19. Variation des nuages selon la répartition des maxima et des minima ba-
rométriques d

20. Mouvement vertical des nuages

21. Mouvement horizontal des nuages

Conclusions :

Liste des observations :

I. INTRODUCTION.

Vu la grande importance d'une connaissance exacte des hauteurs
et des mouvements des nuages tant pour la science que pour la prévi-
sion du temps, MM. le directeur et les employés de l'Observatoire mé-
téorologique d'Upsala ont discuté à plusieurs reprises la possibilité de
les déterminer par une mesure exacte. On s'est accordé sur ce que la
seule méthode propre à donner des résultats assurés était la détermi-
nation de la parallaxe des nuages à l'aide de mesures angulaires faites des
extrémités d'une base d'une longueur convenable. La principale difficulté
était d'établir une correspondance facile entre les deux observateurs,
condition qui semblait indispensable. La correspondance télégraphique,
proposée d'abord, aurait été, sans doute, assez dispendieuse et peu com-
mode. Cette difficulté a fait échouer toutes les tentatives de cette espéce
jusqu'à l'invention du téléphone. Grâce à cette invention on a enfin
réussi à faire les mesures voulues, pendant l'expédition physico-météoro-
logique suédoise au Spitzberg les ans 1882— 83. Pour cette expédition
on a fait fabriquer trois théodolites spéciaux, décrits plus loin et destinés
À mesurer la hauteur des aurores boréales de même que celle des nuages.
En effet, à la station polaire suédoise, l'Observatoire de Smith au cap
Thordsen, ces appareils, installés sur des piliers et réunis par une ligne
téléphonique, ont fait bon service aux observations de cette espèce, dont
le résultat sera prochainement publié.

La bonne réussite de ces expériences a déterminé M. HIiLDE-
BRANDSSON, directeur de l'Observatoire météorologique d’Upsala, à établir
à cet observatoire une suite continue d’observations pareilles. Deux pi-
liers en briques avec des abris en bois ont été construits pour les théo-
dolites, dont l'Académie des Sciences à Stockholm a bien voulu mettre

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

2 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM.

X

à notre disposition deux exemplaires, de méme que les téléphones de
lexpédition. L'un des piliers fut placé sur le domaine de l'Observatoire,
l’autre à une distance de 420.7 mètres et à peu près au S du premier,
dans un coin du jardin d'une villa nommée Tomtebo et appartenant à M.
R. F. Fristept, professeur de médecine, qui a eu l'obligeance de vouloir
bien donner lhospitalité aux météorologistes. Un fil de ligne ordinaire
réunit les téléphones des deux stations. En juin, les préparatifs finis,

ce service nous fut confié.

II. DESCRIPTION DES THÉODOLITES ET DE LA MÉTHODE
D'OBSERV ATIONS.

1. Description des théodolites. Les théodolites ou, plus proprement
dits, les altazimuts employés pour nos mesures ont été construits d’aprés
Vindication de M. le professeur H. Moun spécialement pour servir à me-
surer la parallaxe des aurores boréales. Ils ont été fabriqués dans l'ate-
lier de M. C. H. G. OLSEN, mécanicien à Christiania. Un de ces appa-
reils est représenté dans la figure 1. Il ressemble à l'altazimut astrono-
mique, mais, au lieu de la lunette, il porte un tube ouvert, sans len-
tilles, de 0.7515 de longueur et dont la partie correspondant à l'objectif
est formée par plusieurs fils de laiton croisés, afin de réduire au moins
possible la résistance au vent. A la place de l'objectif se trouve un
réticule composé de deux fils de cuivre perpendiculaires entre eux et
ayant 0.5 millimètres de diamètre.)

Dans lun des appareils ce réticule est supporté par un anneau
mobile dans un plan perpendiculaire à l'axe du tube; au moyen d'une
poignée fixée à l'anneau on peut le faire tourner dans ce plan, et à
l’aide d'une division en degrés entiers tracée sur l'anneau, on peut lire
linclinaison angulaire des fils. Cette disposition, qu'on avait fait faire à
Stockholm avant le départ de l'expédition arctique, avait pour but de
permettre de déterminer l’inclinaison des rayons de l'aurore boréale.
Elle pourra aussi être utile à la mesure du mouvement d'un nuage,

!) Dans l'état primitif de l'appareil, les fils avaient 2 mm de diamétre, mais
pour obtenir un pointé plus exact, nous les avons fait remplacer, cet été, par des fils
plus fins et ayant le diamétre nommé ci-dessus.

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 3

comme on le verra plus loin. Dans les deux autres appareils le réticule
est invariablement fixé au tube.

L'oculaire se compose d'une plaque rectangulaire percée dans son
milieu d'un petit trou circulaire de 3 millimètres de diamètre. Afin de
pouvoir faire disparaitre l'erreur de collimation, la plaque est mobile
parallélement à l'axe de rotation horisontal qui porte le tube, et, après la
rectification, elle est fixée moyennant deux vis de serrage. La ligne de
visée est done déterminée par le centre du trou oculaire et la croisée
des deux fils du réticule. Un verre coloré fixé sur la plaque oculaire et
qui peut être placé devant le trou oculaire ou rabattu sur le côté, peut
servir à garder l'eil de l'observateur en visant le soleil. Cet arrangement
a été fait cet été.

L'axe horizontal de l'appareil porte à l'un de ses bouts le tube,
à l'autre le cercle des hauteurs et un contre-poids, tous les trois faisant
corps avec l'axe. La distance entre la ligne de visée du tube et le
point central de l'appareil est de 0.™185.

Les tourillons de l'axe sont emboités dans deux coussinets cylin-
driques, dont l'un peut être élévé ou abaissé au moyen de trois vis. Un
niveau à bulle d'air est placé sur l'axe entre les coussinets.

Le cercle des hauteurs, d'un diamètre de 0.245, ne forme qu'une
partie de la circouférence entiére, divisée depuis — 7° jusqu'à 189° en
degrés entiers, et un seul vernier placé en regard du point le plus bas
du cercle donne directement toutes les dix minutes; mais on peut éva-
luer les minutes.

Ce vernier, de méme que les coussinets de l'axe horizontal, est
fixé à l'axe vertical de l'appareil, dont le tourillon, légérement conique,
se trouve au centre du cercle azimutal. Ce cercle également de 0.2945 de
diamétre et invariablement fixé au pied de l'appareil, est divisé en degrés
entiers depuis 0° jusqu'à 360°, et à l’aide d'un vernier qu'on a tracé
sur une alidade fixée à laxe vertical, on lit, là aussi, toutes les dix mi-
nutes, et par évaluation, les minutes. Deux pinces permettent de fixer les
verniers aux cercles correspondantes, mais il n'y a pas de vis de rappel.

Le pied trés solide de l'appareil repose, moyennant trois vis calan-
tes, sur le pilier où l'appareil est installé. Ce pied a 0.™54 de haut.

2. Rectification. Erreurs instrumentales. Corrections. La verti-
ealité et Vhorizontalité, respectivement, des deux axes de rotation
s’operent, comme à l'ordinaire, à l’aide du niveau à bulle d'air et des
vis de rectification déjà décrites; l'appareil étant trés solide et les touril-

4 N. Exnozm ET K. L. HAGSTRÖM,

lons fort bien travaillés, les erreurs dues à Vinelinaison sont tout à fait
négligeables, si l'appareil se trouve bien installé. De même, on peut
négliger toute erreur de division et de flexion.

Quant à l'erreur de Ülewcentricité, nous n'avons pu la déterminer,
parce qu'il n'y a, pour chaque cercle, qu'un seul vernier. Il est cepen-
dant probable, vu la bonne fabrication des appareils, que cette erreur
n'est que trés petite. Nous avons cherché à en éliminer l'effet, de méme
que celui des autres erreurs instrumentales; pour ce but nous avons
effectué les pointés successifs d'un même objet (nuage), en plagant le tube
alternativement à gauche et à droite. Mais comme le pointé se fait
beaucoup plus commodément dans la premiére position (tube à gauche)
il faut cependant avouer que les observateurs ont en général préféré
cette position du tube, notamment pour un objet prés du zénith.

Quant à l'erreur de collimation, on la fait disparaître, autant que
possible, moyennant un déplacement convenable de la plaque oculaire,
en visant un objet terrestre éloigné successivement dans les deux posi-
tions du tube et en faisant les lectures correspondantes du cercle azi-
mutal. En méme temps, lisant aussi le cercle des hauteurs, on a déter-
mine l'erreur de l'index de ce cercle-ci.

Aprés cette rectification, pour éliminer le reste de l'erreur de
collimation, que nous représenterons par c, et qui s'est élevée à 5' tout
au plus, on a appliqué, au besoin, une correction d'aprés la formule
bien connue

correction de l'azimut lu = + c sec ,
ou À est la hauteur de l'objet.

L'azimut a été compté à partir du point du S du vertical commun
des théodolites vers l'W, et l'on détermine lerreur de l'index du cercle
azimutal en visant l'autre théodolite, le tube plaeé successivement à
gauche et à droite. Plus tard, afin de donner plus d'exactitude à cette
détermination on s'est servi d'une mire composée d'un disque circulaire
de carton rouge de 3 décimétres de largeur. Ce disque a été placé par
l'un des observateurs devant le tube de son théodolite, successivement
des cótés gauche et droit par rapport à l'autre appareil, à l'aide duquel
lautre observateur a visé cette mire. Alors cette méme observation a
pu servir à déterminer à la fois les erreurs de l'index des deux cercles
de l'appareil et l'erreur de collimation, puisque, en ce cas, l'effet de la
position excentrique du tube est éliminé par celle de la mire. Si, au
contraire, on a visé le centre de l'autre théodolite, il a fallu appliquer
à la collimation trouvée une correction due à la position eacentrique du

ier MO AU en E Ra! aep fep Bot, KR mr Itm

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 5

tube = + arc tan Slee

= 421
aussi à appliquer aux azimuts observés des nuages, mais la distance de
ceux-ci étant en général beaucoup plus grande, elle est tout à fait négligeable.

De plus, tant pour le contróle des observations que pour la dé-
termination de Vazimut vrai du vertical des théodolites, les deux observa-
teurs ont visé bien des fois et à la méme seconde précise, le centre du
soleil, les tubes alternativement à gauche et A droite. Les lignes de
visée étant alors paralléles, on trouverait les mémes angles aux deux
théodolites, sil n'y avait pas d'erreurs d'observation, vu qu'on peut
négliger, à cause de sa petitesse, l'inclinaison des verticales des appa-
reils, laquelle, pour une distance de 421 m, ne s'éléve qu'à 1361). A
laide des différences des angles trouvés par les observations du soleil
synchroniques on pourra donc caleuler l'erreur moyenne des angles ob-
servés. Nous reviendrons sur ce point, en traitant plus loin de la mé-
thode du calcul des observations.

Comme la ligne de visée doit passer par le centre du trou ocu-
laire, une erreur sera aussi causée par une position excentrique de l'œil par
rapport à loculaire, erreur que l'observateur sera surtout assujetti À com-
mettre en visant un objet prés du zénith, parce qu'il lui faut alors se
placer dans une position assez incommode, et cette erreur devra sans
doute affecter la hauteur plus que l'azimut. En effet, nous avons trouvé,
comme on le verra, lerreur moyenne des hauteurs un peu plus grande
que celle des azimuts.

Du reste, quoique le champ du tube a une largeur d'environ 16°, il
s'est montré, parfois, un peu difficile de voir nettement à travers le trou
un objet trés peu marqué, comme un petit flocon mince de cirrus, tandis
que le même objet se présentait comparativement distinctement à l'oeil nu.)

En dernier lieu, s'il s'agit de viser, moyennant les deux théodoli-
tes, un point d'un nuage, il pourra provenir des erreurs, méme considé-
rables, de l'incertitude sur l'identité des deux points visés, et, en cas d'une
marche rapide du nuage, sur le synchronisme des observations. On ne
saurait fixer de régles générales pour éviter de telles erreurs, si ce n'est

= + 0".025 ou 1^5. Une correction analogue serait

1) Pour une base plus longue, il faudrait avoir égard aussi à cette inclinaison.

?) Il est possible qu'à cet égard l'appareil à visée proposé par M. vox Bezozn
dans le »Bulletin de la Commission Polaire Internationale» p. 83 dans le mémoire
N? 34, intitulé »Kurze Anleitung zur Beobachtung der Dümmerungserscheinungen»
soit supérieur au nótre. Reste à savoir s'il permettra d'ailleurs la méme précision et
la méme facilité de pointé.

6 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

par l'attention et la routine des observateurs, mais, comme on le verra,
la méthode des observations et du caleul employée par nous, nous donne
un moyen sür et simple de les découvrir; puis nous rejetons toutes les
mauvaises observations.

3. Méthode d'observations. Les deux observateurs, placés chacun
à son théodolite, s'efforcent, à l'aide de la correspondence téléphonique,
de s’accorder sur un méme point de nuage. On fixe d'avance la seconde
précise oü doit se faire lobservation, puis on fait le pointé, on lit la
hauteur et l'azimut sur les cercles, on note le temps d'observation et
lespéce du nuage observé, et si cela est possible, on en dessine les con-
tours, on déerit l'état du ciel etc.; on répéte l'observation du méme point
autant que cela sera possible, en tournant le tube de 180” avant chaque
observation. Il va de soi que la principale difficulté est de s’accorder
sur le point à viser, surtout en cas d'un ciel presque uniformément
couvert, par exemple d'une couche de nimbus ou d'un voile de cirro-
stratus; mais méme en ce cas de telles observations ne sont pas impos-
sibles, comme on serait porté à le croire au premier abord.

En outre on comprend aisément, móme sans calcul, qu'il faut
éviter, à cause d'une parallaxe minime, les petites hauteurs, notamment
dans le voisinage du vertical commun.

Au premier commencement de nos travaux nous nous sommes
bornés à observer des nuages situés dans le plan vertical commun des
appareils en fixant les axes des tubes dans ce plan et en ne lisant que
les hauteurs. Mais bientót, laissant de cóté cette restriction inutile et
méme défavorable à l'exactitude et à la commodité des observations,
nous avons adopté la méthode générale qui vient d'étre décrite.

Chaque observation sur un point de nuage détermine sa position
dans l’espace, et l'observation répétée en détermine encore le mouvement.
Mais trés souvent, le nuage changeant ‘sa forme assez vite, on n'a pas
le temps de répéter l'observation. En ce cas, nous avons cherché à dé-
terminer la vitesse des nuages en observant le nombre de secondes
quil leur fallait pour passer à travers le champ du tube. ;

&
T

vi

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 7

II. CALCUL DES OBSERVATIONS.

4. Remarques préliminaires. Les quatre coordonnées angulaires
du point visé du nuage, deux hauteurs et deux azimuts, débarrassées
des erreurs instrumentales?) conjointement avec les positions connues
des théodolites, forment les éléments qui suffisent pour le calcul de la
position de ce point.

S'il n'y avait pas d'erreurs d'observations, les deux lignes de visée
se rencontreraient dans le point visé, et les deux droites déterminées
par les quatre coordonnées angulaires s'y rencontreraient aussi. En gé-
néral, cela n'arrivera pas dans la pratique, car les deux observateurs ne
parviendront pas à viser identiquement le méme point, et à cause des
erreurs instrumentales les deux droites déterminées par les coordonnées
angulaires ne coincideront pas avec les lignes de visée. Or plus une
observation est bonne, plus ces deux droites seront rapprochées, l'une
de l'autre, ou, en d'autres termes, plus la plus courte distance de ces
droites sera petite.

Cela nous donne le moyen de contróler et d'assortir les observa-
tions, et nous rejetterons toutes celles oü la plus courte distance, vue
d'un des théodolites, dépasse une certaine limite, par exemple un degré.

Du reste, il y a une méthode de contróle plus facile à appliquer
et dont nous nous servirons préliminairement. On formera l'équation
exprimant la condition que les deux droites se rencontrent, et l'on y sub-
stituera les angles observés. Ils ne vérifieront l'équation qu'à une quan-
tité prés dont la valeur sera une mesure approchée de lerreur commise.

5. Formules approchées. Pour appliquer ces principes, soient
T, le centre du théodolite du N, celui placé prés de l'observatoire,
T, le centre du théodolite du S, celui placé à Tomtebo,
b la distance horizontale de 7, et de 7,, en mètres,

1) En toute rigueur, il faudrait aussi appliquer aux hauteurs une correction
due à la réfraction. Mais comme la réfraction, d'ailleurs trés petite, affectant toutes
les deux hauteurs de quantités sensiblement égales et d'un méme signe, ne fait
qu'augmenter Valtitude du nuage d'une quantité minime, nous l'avons négligée dans
nos caleuls. Nous y avons aussi négligé, à cause de sa petitesse, toute correction
due à la courbure de la surface terrestre.

8 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

c la hauteur de 7, au-dessus de 7,, en métres,

h

a, et a, les azimuts comptés du point sud du vertical commun vers I'W,
d'un point queleonque P, angles observés respectivement à T,
et à T, et débarrassés des erreurs instrumentales,

, et A, les hauteurs angulaires et

z la hauteur du point P au-dessus de 7, en mètres,

et supposons d'abord qu'il n'y ait pas d'erreurs d'observation. Alors les
lignes de visée se rencontreront au point P. Menons un plan horizon-
tal par ce point. Les verticales passant par 7, et 7, le perceront en
deux points, que nous représenterons par Q, et Q,.

On aura 7,Q, = 2, T,Q, =z—c et QQ, = b.

Les triangles rectangles 7,Q,P et T,Q,P donnent

PQ = INO GO lör = 4 CO lö
et
PQ, = TQ; cot h = (z—c) cot ha.

Du triangle PQ,Q, on déduit en vertu du théoréme des sinus, sub-
stituant ces valeurs de PQ, et PQ,,

b sin a, tan À,
(1) ptum (a—a4)
et

b sin ái tan h,
9 Z — 6 = —————————— >
(2) : )

Du méme triangle PQ;Q;, projetant les côtés PQ, et PQ, sur Q,Q,, sub-
stituant et faisant une réduction simple, on obtient aussi

b — e cot h, cos as
(3) iios
cot A, cos a, — cot ha COS as

équation qu'on pourra aussi déduire en combinant les équations (1) et (2).
En égalant les deux valeurs de z données par les équations (1) et
(2), on aura

(4) sin a, tan A, — sin a, tan h, = — 5 sin (9—4,).

C'est l'équation exprimant la condition nécessaire et suffisante pour que
les deux lignes de visée se rencontrent au point P, et elle servira pour
le contróle préliminaire des observations.

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 9

Si les deux appareils se trouvent sensiblement au méme niveau,
ou, en d'autres termes, si c est trés petit par rapport à b, on pourra
négliger le second membre de cette équation, et alors elle preud la
forme plus simple

(5) cot A, sin a, = cot A, sin a; ,
équation qui peut s'écrire aussi
(6) cos À, sin a, sin /;, = cos hy sin a, sin h,.

C'est sous l'une des formes (5) ou (6) que nous avons employé
l'équation pour le contrôle préliminaire.

Le calcul de z se fait le plus commodément à l'aide de l'une des
formules (1)et (2). Aussi nous en sommes-nous servis au commencement.
Or elles font évidemment défaut, si le point visé est situé dans le voi-
sinage du vertical commun. Pour ce cas nous avons employé la for-
mule (3), laquelle, pour un point situé exactement dans ce vertical, prend
les formes plus simples

Ze sin À, sin h,
(7) £r ec (WI COM) + sin (RÀ)

(P situé au S ou au N des théodolites, signe supérieur, lorsque P est
situé au S, signe inférieur, lorsque P est situé au N) et

sin /, sin ha

(8) z= (b-+ c cot À.) sin (7 4-45)
(P situé au S de 7, au N de 7j),

formules qu'il sera facile de déduire directement du triangle PT,T,.

En outre, en combinant les équations (1) et (2), on pourra dé-
duire quantité de formules pour le calcul de z, et si l'équation de con-
dition (4) est vérifiée, toutes ces formules donneront exactement la
méme valeur. Mais comme cela n'a pas lieu dans la pratique, les deux
lignes de visée ne passant pas rigoureusement par un méme point, on
obtient toujours par la substitution des quatre angles observés dans
ces formules, des valeurs de z plus ou moins différentes les unes des
autres. Or en général toutes ces valeurs sont affectées d'erreurs iné-
gales variant avec la position du point visé, en sorte qu'il parait dif-
ficile, sinon impossible, d'en déduire la valeur moyenne la plus probable.
C'est pourquoi, dans la suite, nous n'avons employé ces formules que
dans le cas ou il n'y avait que trois angles observés. Nous bornant,

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2

10 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

au commencement de nos travaux, à mesurer des nuages situés dans
le vertical commun (voir n? 3) nous nous sommes servis des formules
(7) et (8), simplifiées encore en négligeant le terme contenant c. ’)

6. Formules exactes pour le calcul des coordonnées rectangulaires du
nuage. Pour le calcul des observations générales et complètes, celles où
lon a lu tous les quatre angles, nous avons fait usage d'autres for-
mules que nous allons déduire, et qui permettent de calculer les valeurs
les plus probables des coordonnées rectangulaires du nuage observé, de
méme que leurs erreurs moyennes.

Pour ce but nous avons fait la supposition suivante. Quoique les
deux droites ne passent pas exactement par le point qu'on s'est efforcé
de viser, il doit pourtant être probable, pour toutes les bonnes obser-
vations, qu’elles passent, toutes les deux, trés prés de ce point-là, et
par conséquent, que le point milieu de leur plus courte distance est
irés voisin du point visé. Nous devons done supposer que ce point
milieu méme représente la position la plus probable du point visé, et
nous allons en caleuler les coordonnées.

Prenons pour origine le point 7,, pour axe des x la droite hori-
zontale menée par 7, dans le vertical commun des théodolites, pour axe
des y la droite horizontale menée par 7, perpendiculairement à celle-là,
et pour axe des z la droite verticale menée par le méme point, les sens
positifs comptés vers le S, l'W et le zénith respectivement, et soient:

T, le point d'intersection de l'axe des x et de la droite verticale menée
par 7,, de sorte qu'on ait 777, = c;

P, et P, les points où les deux lignes de visée rencontrent la droite de
leur plus courte distance;

Zi, Ya, À Ob to, Ya, 2, les coordonnées de ces deux points et
x, y, z celles de leur point milieu P;

dis lu, % ©t dy, W, v, les angles que forment avec les axes les deux
lignes de visée et

3 langle qu'elles forment entre elles et posons en outre
= ha, Me TRES cL IPS UA S

1) C'est la méthode proposée et employée par M. Prestez à Emden. Voir la
»Zeitschrift der Oesterreichischen Gesellschaft für Meteorologie», VII Band, 1873,
p. 182 »Bestimmung der Höhe der Wolken durch Benutzung des elektrischen Tele-
graphen. Von Prof. Dr. Prestel.»

TY UN

LAG]

ER IM, adde DR dpt; OO Eni a Io M e ao RÀ rdi

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 11

| l, = cos A, lo = COS Ay
I = COS U, Mo = COS Ua
M = COS”, | Ny = COS Y,

Retenant aussi les symboles précédemment adoptés (n° 5) on aura
d’après des formules connues de la géométrie analytique ou de la tri- |
gonométrie sphérique

l, = cos À, cos a,
(9) m, = COS A, sin a,
| n, = Sin À,

| ls, = cos ha cos ay
(10) Ma = COS ha SIN Ag
| N; = Sin hy

et
cos I = sin I, sin hy + cos h, cos h, cos (a,—a,).

La dernière équation peut être transformée dans la suivante, plus
commode pour le calcul,

Im e i Q» — 0

Wicd, : ET
(11) sin? DUET sin? oz + cos h, cos ha sin? Dam

De plus en projetant les lignes brisées 7,7, T,P, et T,T, T,P, res-
pectivement sur les droites 7,P, et 7,P,, on obtient

[m= O4--em + cos 9
(12) | |
T4 = —bl, Bila Fr cos à.

Ces deux équations (12) jointes aux équations (9), (10) et (11)
donnent les valeurs des rayons vecteurs 7, et r,, et par projection sur
les axes, celles des coordonnées zi, yi, 2: et a», ys, 2, dont les moy-
ennes x, y, z sont les coordonnées cherchées.

En ajoutant les équations (12) et en les retranchant lune de
l'autre on aura, aprés quelques réductions simples, ce système d'équa-
tions plus symétrique

vy. m b C ED
Zu = 7 (Ua = dE 7 (nds ns) cosec™
(13) |

rr — i b € /
= I5 +h) d qs n) sée à

12 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Ce sont les équations (13) dont nous avons fait usage pour le calcul de
r, et r,. Ensuite nous avons calculé les coordonnées d’après les formu-

les suivantes:

iy Ar dis
qid" el) DS rwn
Yi + ys
(14) = MT Yo = Mo To Vs Mois
Zz À 22
An — n" Zap Me ia Ar C SE

De plus, la plus courte distance est donnée par la formule

(15) A = Ga — 2) + Qn — JD) + (a 3):

7. Calcul des erreurs angulaires moyennes. La possibilité de cal-
culer, pour chaque observation individuelle, les erreurs moyennes, au
moins approximativement, dépend de ce qu'il y a quatre angles observés,
tandis qu'il n'en faut que trois pour calculer la position du point visé.

Cherchons d'abord à déterminer les erreurs angulaires, en vertu
des principes énoncés au n" 4,

Comme il y a quatre angles indépendants les uns des autres,
savoir /4, hg, d, ag il faudrait en déterminer, en toute généralité, les quatre
.erreurs moyennes indépendantes. Représentons-les par les différentielles
des angles mises entre des crochets: [dh,], [dh,], [da], [das].

Or on peut simplifier la question par les deux suppositions suivantes:

1°) que les deux observateurs commettent les mémes erreurs moy-
ennes, en sorte qu'on ait, d'aprés. les régles de la méthode des moin-
dres carrés,

[dh;P = [dh] et [da,P = [das ;

2°) que l'erreur moyenne commise dans le plan du grand cercle
mené par la ligne de visée perpendiculairement au vertical soit égale à
celle commise dans le vertical. Celle-ci est représentée par [dk] ou
[dh;], et celle-là peut être mesurée, sans erreur appréciable, le long du
petit cercle horizontal passant par la ligne de visée; elle est done re-
présentée par la projection de l'erreur azimutale [da,] ou [das] sur ce
petit cercle, c'est-à-dire par [da,]cos ^, ou [dag] cosh. On aura done,
en vertu de notre supposition,

— eg

esc dee Lee ee mt SJK

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 13
(16) [dh] = [da,]’ cos ?A,.
Or par la différentiation de l'équation

CL cos À, = cos h, cos a,
il vient
sin h, cos a sin a h
NS RER LEN ee
sın A, sin A,

L'expression générale de l'erreur moyenne de A, est done, d’après
la méthode des amine carrés, dh, et da, étant indépendants l’un de
l'autre par rapport au signe,

sin À, cos a,
sin À,

[dA] = ( S] [RIP ar E =) [da,]? cos ?h, .

De là, admettant l'équation (16), il vient par la substitution

[da,p = ee aes = Es 2)1 [EUR aoe

Or l'expression entre les crochets est identiquement égale à l'unité,
comme on le trouve en substituant la valeur de sin A, tirée de l'équa-
tion (17) et en faisant les réductions. Il résulte de là

(di, = [dh .
De la méme manière, supposant

[dh; = [da,} cos ®h, ,
on prouve que

[da]? = [dh].

Par conséquent, [d4] et [d4,] étant les erreurs commises dans des
plans de grands cercles menés par les lignes de visée sous une incli-
naison qui peut varier depuis 0° jusqu'à 90° selon la position du point
visé, il s'ensuit de notre supposition que l'erreur moyenne angulaire est
tout à fait indépendante de cette inclinaison, ou, ce qui revient au méme,
que les deux variables 4, et 4, sont indépendantes, à cet égard, des an-
gles directement observés h,, ha, a, do.

14 N. EKHoLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Quant à la justesse de cette supposition il faut remarquer quelle
semble probable à priori, et qu'elle est aussi, au moins approximative-
ment, vérifiée par les observations sur le soleil.

En vertu de ces deux suppositions on peut done poser

(18) [dh] = [dh] = [dA] = [dà] = & ,

[i . .
en représentant par s lerreur moyenne angulaire d'une observation.

Cette erreur découle de deux sources distinctes; d'une part, elle
dépend des erreurs instrumentales proprement dites, à cause desquelles
la ligne de visée ne coincide pas avec la droite dont la direction est dé-
terminée par les angles observés. D'autre part elle dépend de ce que les
observateurs ne sont pas parvenus à viser le même point du nuage.

Quant à la premiére partie de l'erreur, partie que nous représen-
terons par &, nous lavons supposée constante pour toutes les observa-
tions, et nous l'avons calculée à l’aide des observations sur le soleil.
En effet, l'erreur moyenne de ces observations doit être une mesure très
approchée de l'erreur instrumentale seule, parce que l'incertitude du
pointé sur le soleil est nécessairement minime. Nous avons caleulé cette
erreur d’après la méthode suivante. Soient m, et m, les erreurs moy-
ennes de deux angles correspondants (hauteurs ou azimuts) qu'on a ob-
servés à 7, et à T, en visant simultanément le centre du soleil, et soit
d la différence de ces angles. S'il n'y avait pas d'erreurs d'observation,
ces deux angles seraient égaux; d est donc la vraie erreur de la dif-
férence des angles. Répétant l'observation n fois, on trouvera m diffé-
rentes valeurs de d, dont on calculera la moyenne d, d'après la for-

mule connue
dd]
lat Jt [dd]
an V n

Or on a d’après la méthode des moindres carrés

d? = mi + mi

et de lå, en supposant

2 2 2
mi =M=M,

d

m= —

am,
/9 zi

—

——— Án €

Ou

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 1

Il vient done par la substitution

me + VE

== 2n

Cette formule sera immédiatement applicable pour les erreurs
moyennes des hauteurs. Mais si les m représentent les erreurs des
azimuts observés à différentes hauteurs du soleil, il faudra, avant d'ap-
pliquer la formule, les multiplier chacune par le cosinus de la hauteur
correspondante du soleil; ainsi on obtient l'erreur angulaire moyenne
commise dans un plan mené par la ligne de visée perpendiculairement
au vertical.

En faisant ce calcul nous avons trouvé

lerreur moyenne des hauteurs. . . . . . . = 0°.0933 (24 observations)
lerreur moyenne d'un angle compté e
pendiculairement au cercle des hauteurs. . = 0.0689 (26 observations)

moyenne = 0.0811.
Cette moyenne est la valeur de & dont nous avons fait usage pour nos
calculs. *)

Quant à l'erreur découlant de la seconde source, nous la mesu-
rons par langle PT,P, ou langle PT,P,, angles sensiblement égaux;
c'est-à-dire par l'angle quoccupe la demi-longueur de la plus courte
distance des lignes de visée vue de l’un des théodolites. ) La valeur

A .
de cette erreur sera donc o, en représentant par r la demi-somme de

r, et de ry.
En combinant, d’aprés la régle de la méthode des moindres car-
rés, les deux causes d’erreurs découlant de sources différentes, nous

1) Il paraît de ces chiffres qu'en réalité l'erreur moyenne des hauteurs est un
peu plus grande que celle de l'angle compté perpendiculairement au cercle des hau-
teurs, comme nous l'avons déjà dit (n° 2). Toutefois nous croyons pouvoir retenir
notre seconde supposition de ce numéro, comme une approximation suffisante et afin
d'abréger les calculs numériques déjà assez pénibles, quand il s'agit d'un grand nombre
d'observations.

?) C'est là une conséquence logique de nos suppositions antérieures. Em effet,
comme P est la position la plus probable du point visé, les angles PT, P, et PT,P,
représentent l'écart des lignes de visée de la direction la plus probable, actuellement
commis dans une certaine direction. Mais en vertu de notre seconde supposition, un
tel écart doit étre aussi probable dans une direction quelconque, c'est-à-dire cet écart
doit étre une mesure de l'erreur angulaire moyenne.

16 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

aurons l'expression de l'erreur angulaire moyenne d'une observation.
Il vient alors

E än (AV
(19) dec
Il faut cependant avouer qu'il n'est pas tout à fait clair que les

INTUS © : x
deux erreurs & et 5- ainsi déterminées soient indépendantes lune de

ee: : : A 2
lautre; plutót il semble que & soit compris dans 5-. Toutefois nous
? 9 2r
nous sommes servis, pour nos calculs, de la formule (19), et non pas de
l'expression simple o,: Parce que, dans ce cas, l'erreur moyenne de bien

de nos observations sur les nuages aurait été beaucoup inférieure à
l'erreur moyenne déterminée à l'aide des observations sur le soleil, ré-
sultat qui ne parait pas trés probable quoiqu'il ne soit certainement pas
impossible. Il faut bien se garder d'exagérer l'exactitude.

8. Calcul des erreurs moyennes des coordonnées rectangulaires. Il
nous reste À chercher les expressions des erreurs moyennes des coor-
données rectangulaires. Nous nous contentons de déterminer celle de z,
altitude du nuage. Pour cela, il faudrait différentier, par rapport aux
variables indépendantes h,, As, 4, a, les systèmes d'équations (9), (10),
(11), (12) et les équations de z du système (14). Mais comme la dé-
duction des formules différentielles est un peu longue et le résultat assez
compliqué, nous avons simplifié le problème par une approximation suf-
fisante pour notre but, en supposant que les deux lignes de visée se
rencontrent au point milieu P. Alors l'angle 9 devient égal à 4,—1,.
En négligeant aussi la petite différence d'altitude des appareils, e, on
déduit des équations (12) les valeurs approchées de r, et de r, suivantes:

DE ÖS
Pitino e Bm

qu'on pourrait aussi obtenir directement du triangle 7,7,P en vertu du
théoréme des sinus.
Par la différentiation logarithmique de ces formules par rapport
aux deux variables A, et 4,, on aura
dn. = cot di, — (cot I — cot 44) dà, ,
n

dr,

= (cot I + cot À) dA, — cot 9dà, .

To

i
£
1
}
|
i

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 17

De plus, par la différentiation logarithmique des formules z, — mr,
et z, = ner, il vient

lz " = :

eo. — cot h, dh, — dr, 5 d 2 = cot ha dh, + dr, ;

Få "i 29 T3

DAN : à dr, ds x ;

d'ou, en substituant les expressions de X e de p^ il résulte
2 1 2

= = cot h, dh, + cot I då, — (cot I — cot:4,) da, ,

Al

dz,

== cot h, dh, + (cot 9-7 cot d,) dA, — cot Fda, .

De là, en représentant par m, et m, les erreurs moyennes de z
et de z,, on aura en vertu de l'équation (18)

1

mi = 2; { cot? h, + cot? 9 + (cot 9 — cot 4)? ) «7,
m2 = 23{ cot” h, + (cot 9 + cot 4,)?+ cot? 9] e?

et, en représentant par m lerreur moyenne de z, d'aprés la méthode des
moindres carrés,

m= + SV mi db

Or comme z, et z, ne diffèrent que peu l'un de l'autre, on pourra
les remplacer par la valeur moyenne z. De méme, h,, hy, A, A, étant
ordinairement beaucoup plus grands que 9, et par conséquent les cotan-
gentes de ces angles très petites par rapport à la cot 9, on pourra, sans
commettre une erreur sensible, les remplacer aussi par des valeurs in-
termédiaires quelconqües / et A. Alors il vient

(20) m =z V cot? 9: + ;(cot? À + cot? 2) . €

Pour la plupart des observations nous pourrons méme tout à fait
négliger les deux derniers termes sous le radical. Alors notre formule

devient tout simplement
m=2cot#.e,

ou en substituant la valeur de « donnée par l'équation (19),

MCD ms cos V aa (2).

C’est la formule que nous avons ordinairement employée pour le calcul
de l'erreur moyenne de la hauteur observée d'un nuage.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3

18 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

9. Calcul de la marche et de la vitesse du nuage fait à l'aide des
coordonnées rectangulaires observées plusieurs fois d'un même point de nuage.

Si lon a observé plusieurs fois, tout en notant le temps précis
d'observation, un méme point d'un nuage, les coordonnées rectangulaires
des positions successives du point nous donnent les éléments nécessaires
et suffisants pour en calculer le mouvement.

En effet, solent x, y, z, &', y', 2, a", y”, 2", .... les coordonnées
successives du point et t, t', t’,.... les temps correspondants.

En formant les différences

= MAN, Bask,
L LA ^ ar , ay
= ir Bue e

on obtient les déplacements successifs parallélement aux axes, positifs si
le mouvement a lieu à partir des sens positifs des axes vers leurs sens
négatifs, négatifs dans le cas contraire. En divisant ces déplacements par le
nombre de secondes des intervalles de temps successifs t'—t, t’—t,....
on aura les vitesses parallélement aux axes, exprimées en métres par
seconde. Or comme il est sans ancun intérét de connaitre séparément
les composantes horizontales, on doit, au lieu de cela, calculer les vi-
tesses horizontales résultantes, données par les expressions

2 EOE Ge:

t —t
(22)
prx y (a —a")* ER (y'—y"
; A
de même que les vitesses verticales
= E at z"
y ax e peccet
(23) D; dccus Ua Te A CCS

De plus, connaissant les erreurs moyennes des z et des intervalles
de temps on pourra calculer les erreurs moyennes de v, Pour nos ob-
servations nous pourrons négliger les erreurs des intervalles de temps.
Alors, représentant par m, m' les erreurs moyennes des z et z' respec-
tivement, et par M, celle de v,, on aura

mm ^e

ti AE

MESURES DES HAUTEURS ET DBS MOUVEMENTS DES NUAGES, 19

(23 a) M, + VER
SRL ee et
On doit encore calculer l'azimut vrai, d’où vient le nuage. Nous
le comptons à partir du point S du méridien vers l'W. Représentons-le
par q, $, ....., et soit « l'azimut du sens positif de l'axe des a.
Les valeurs successives de l'azimut seront déterminées par les équations

’

(24) tan (p — 0) = IT , tan (g° — 0) = ee
IET ;

a pci E

u

formules à l'aide desquelles on determine 9, p,.... sans ambiguité,
parce que le quart de cercle ot se trouve l'angle q—e, g’—a,.... est
donné par les signes des composantes du mouvement.

L'angle « a été déterminé par les observations du soleil.

Au lieu de se servir des formules (22), (23) et (24), on pourra
aussi déterminer la marche et la vitesse du nuage par la méthode gra-
phique, ce qui offrira plusieurs avantages.

10. Méthode de corriger les coordonnées d'un nuage observé plusieurs
fois. Supposant qu'un nuage observé plusieurs fois n'ait pas de trans-
lation verticale, on trouverait la méme valeur pour les z successifs, s'il
n'y avait pas d'erreurs d'observation. Nous examinerons plus loin la
justesse de cette supposition. En l'admettant on sera conduit à une
méthode propre à corriger les coordonnées d'un nuage observé plusieurs
fois avant de les employer pour le calcul du mouvement horizontal
du nuage.

En effet, si les variations de la hauteur observée sont dues aux
erreurs d'observation seules, on doit avoir une meilleure valeur de la
hauteur pour chaque observation individuelle en remplagant cette valeur
par la moyenne de toutes les hauteurs, caleulée en donnant à chaque
observation individuelle son poids relatif déterminé à l'aide de l'erreur
moyenne de cette observation. Or l'erreur de la hauteur à son tour
est causée principalement par les erreurs des rayons vecteurs r, et
ry, dues en grande partie à l'erreur de la parallaxe. De plus, les coor-
données z,, y, et z,, y, étant les projections des rayons vecteurs sur
les axes correspondants, ces coordonnées sont elles-mémes affectées
d'erreurs à peu prés proportionelles à l'erreur de la coordonnée z. La
méme: conclusion reste bonne pour les coordonnées moyennes z et y. ll
résulte de là qu'on pourra notablement améliorer ces coordonnées en les

20 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

calculant de nouveau à l'aide de la valeur moyenne des z successivement
observés. Nous avons fait ce caleul d'aprés l'une des deux méthodes
suivantes, qui donnent sensiblement le méme résultat.

Soit, pour préciser, z, la valeur moyenne des z et représentons
par l'indiee m attaché au symbole les nouvelles coordonnées calculées à
l’aide de z,.

Nous aurons

=! rr = hm
Lim — ^ a en n, 9 Zn + een
X 9 I
AG c) 5
2 I CEA
es = DA là Pan = Dur 7 ,
(25) ij
e
M Z5
= tity D FEET RUE
Yı m 1 ^Im n, I e Yr ^ + Yom
Yn = 2 9
My (Cp = 6)
1 = e. IA X FRAS ER dE,
Ya m 2 '’2m Na

De la méme manière on caleulera les 44, Ya, dm) y", .....

C'est la premiere méthode de calcul; elle revient, à ce qu'on voit,
à calculer les coordonnées du point milieu des deux points où les rayons
vecteurs percent un plan horizontal mené à la hauteur z,.

Pour faire le calcul d'aprés l'autre méthode, menons une droite
par le point milieu de 7,7, et le point P; elle percera le plan horizon-
tal mené à la hauteur z, dans un point dont les coordonnées seront nos
coordonnées demandées. A l’aide de triangles semblables on obtient

Em

Z
229—119 il STET = Pm
Lm a = 2 (æ 20); Yn — 2 y

96 ; Zn " n Em ,
0 2 318, ym y

Ces formules nous donnent la deuxième méthode de calcul; elle
est plus commode que la premiére, mais elle est peut-étre moins exacte
que celle-là. On reconnait aisément que les deux méthodes coincident,
si les deux rayons vecteurs se rencontrent au point P.

Après avoir ainsi corrigé les coordonnées, on calculera la vitesse
et la marche du nuage d'aprés les formules (22) et (24).

wm

en

fin EPR Porte

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 21

11. Methode de déterminer la marche et la vitesse du nuage à l'aide
de sa vitesse angulaire. "Trés souvent il a été impossible de répéter les
observations sur le méme point d'un nuage, parce que la forme de celui-ci
a changé trop rapidement. Alors, s'il y avait un nuage dans le voisi-
nage du zénith, nous en avons observé la vitesse angulaire en notant le
nombre de secondes écoulées pendant son passage À travers le champ
ou le demi-champ du tube.

Alors si s désigne le nombre de secondes écoulées pendant le
passage à travers le demi-champ, x l'angle occupé par celui-ci et z la
hauteur du nuage passant par le zénith, la vitesse horizontale en est
donnée par la formule

; tan
27 Done x
(27)

I

z étant connu par la mesure de la parallaxe.

Si le nuage passe prés du zenith on pourra encore se servir de
la méme formule.

En général cette espéce d'observations donnera un résultat moins
exact que la méthode développée plus haut, parce que ce ne sera
qu'exceptionnellement qu'on pourra mesurer la parallaxe du même point
dont on détermine la vitesse angulaire.

Si le nuage est observé à une
distance zénithale = 90" —h, on
pourra encore déterminer sa vitesse
à l'aide d'observations pareilles, mais
alors il faudra connaitre non seule-
ment la hauteur du nuage, mais en-
core l'angle que forme sa direction,
supposée horizontale, avec le verti-
eal du tube. L'azimut a de ce ver-
tical étant connu, ces données suf-
firont aussi pour calculer l'azimut de
la marche du nuage.

En effet, soient (voir la figure 2):
O le centre du champ ou bien la

croisée des deux fils du réticule;

COD le plan du reticule;
AOD le vertical mené par l'axe du tube OP;
AOB le plan horizontal,

22 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

BO la direction du nuage, marchant de B vers O;

AOB = ß l'angle que forme la direction d’où vient le nuage, avec le
vertical de l'axe du tube, angle compté dans le même sens
que l'azimut;

COD = y la projection de £ sur le plan du réticule;

COB = 9 Vangle formé par la direction du nuage avec sa projection
sur ce gem, et

q lazimut vrai d’où vient le nuage.

Puisque les plans BOC et AOD sont tous les deux perpendicu-
laires au plan COD, les prolongements s'en rencontrent dans l'axe du
tube OP. Par conséquent, en supposant les points A, B, C, D, P situés
à la surface d'une sphére décrite autour de O comme centre, les ares
de grands cercles DA et CB prolongés se rencontreront aussi dans le
point P, et du triangle sphérique ABP, rectangle en A, on obtient

?

tan AB = tan APB sin AP
et
cot BP = cos APB cot AP.
Or on a
=p, APB=CD=y, AP=h, BP=90 — 9.

Substituant ces valeurs, il vient
(28) tan 5 = tan y sinh,
(29) tan 0 = cos y cot h.

Les angles y et h, de méme que l'azimut vrai a du vertical de
l'axe du tube, seront fournis par lobservation, h et a en lisant les cer-
cles des hauteurs et des azimuts, y en tournant l'anneau du réticule
jusqu'à faire l’un des fils parallèle à la marche apparente du nuage,
puis lisant l’inclinaison*) de ce fil vers le vertical à l'aide de la divi-
sion tracée sur l'anneau (voir p. 2). De plus, immédiatement aprés
avoir pointé le fil sur le nuage et avant de lire les cercles, on comptera
le nombre de secondes s qui s'écoulent pendant que le nuage, à partir
du centre, traverse le demi-champ jusqu'au bord.

1) Il va de soi que, conformément à nos conventions déjà adoptées, on doit
compter cet angle à partir du point inférieur D de l’intersection entre le vertical de
laxe du tube et la circonférence du plan du réticule, dans le même sens que l'azimut
jusqu'à l'extrémité de fil d'où vient le nuage.

^^ ML PA,

Li LÉ

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 23

Par là, connaissant aussi la hauteur du nuage z, on aura les don-
nées nécessaires et suffisantes pour caleuler la marche et la vitesse du
nuage. A l'aide de l'équation (28), / se calcule sans ambiguité, parce
que Pp et y se trouvent toujours dans le même quart de cercle, et ensuite
la marche du nuage s'obtient par la formule

(30) q—a-J-f.

Pour obtenir la vitesse du nuage il faudra caleuler le chemin par-
couru par celui-là. pendant les s secondes. On trouvera aisément que,
supposant d toujours positif, on aura pour le chemin cherché l'expres-
sion Suivante

z tan x COS X
sinh cos (d + x) ’

si le nuage observé, en passant du centre vers le bord, s'éloigne de
l'observateur, et l'expression

z tan x COS x
sinh cos (d—y)’

si le nuage observé, en passant du centre vers le bord, s’approche de
l'observateur.

Mais dans le premier cas, y étant situé entre 90° et 270°, 9 cal-
eulé d'aprés la formule (29) devient négatif, et dans le second cas,
7 étant situé entre 0° et 90° ou entre 270° et 360°, d ainsi calculé de-
vient positif, en sorte que le chemin du nuage sera toujours donné par
la seconde expression.

Pour ealeuler la vitesse du nuage on aura done pour tous
les cas :

z Sin x
(31) ~ s sin h cos (dx) ’

formule qui, jointe à l'équation (29), détermine la vitesse du nuage.

L'équation (27) n'est qu'un cas spécial de l'équation (31).

Cette méthode générale de déterminer la marche et la vitesse
d'un nuage n'a pas encore été employée par nous, mais elle mérite de
l'être, parce qu'il est très souvent impossible de répéter l'observation
sur un méme point et que ce n'est qu'exceptionnellement qu'on parvien-
dra à mesurer la hauteur d'un nuage qui passe au zénith. Mais la mé-
thode exige que le nuage n'ait pas de translation verticale.

24 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

x

12. Remarques sur la méthode d'observation. Si lon se limite à
faire les observations dans le vertical des théodolites en y fixant les
axes des tubes d'aprés la méthode indiquée au n° 3 et à la fin du n? 5,
non seulement le uombre et la valeur des observations seront fortement
diminués, mais encore il n'y aura pas de moyen de contróler les obser-
vations. C'est pourquoi, abandonnant bientót cette méthode restreinte,
nous avons choisi pour objet d'observation chaque point de nuage bien
marqué sur lequel les observateurs sont parvenus à s’accorder à l'aide
de la correspondance téléphonique et en répétant l'observation de ce
point autant que possible, afin de déterminer la marche et la vitesse du
nuage. Cependant, nous avons cherché, par préférence, à observer des
points de nuages situés prés du zénith et du vertical perpendiculaire
à celui des appareils, parce que, alors, pour une distance donnée du
nuage, la parallaxe sera maximum.

En effet, il s'ensuit des équations approchées (n° 8)

: Dei. b
sin I = — sind, = — sind, ,
fF ns
jointes aux équations
cos À = cos Å, cos aj,

cos À, = cos / COS d; ,

que, pour une valeur donnée de r, et de r,, la parallaxe 9 devient
maximum pour la valeur de 90° des angles A, et h,, et les valeurs de
90° et 270° des angles a, et a.

C'est pourquoi il faut éviter les petites hauteurs angulaires du
nuage, notamment dans le voisinage du vertical commun, la position du
nuage la plus défavorable.

Il aurait été fort désirable, pour la mesure des nuages supérieurs,
que nous eussions eu une base plus longue, mais, quant aux nuages
inférieurs, la base plus courte offre cet avantage qu'il est plus facile
aux observateurs de reconnaitre un méme point de nuage, vu que
plus la base est longue, plus la perspective déforme l'apparence des
nuages.

-—— at

Cr

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 2

IV. APPLICATIONS. EXEMPLES NUMÉRIQUES.

13. Contrôle des observations. Les quatre angles observés, dé-
barrassés des erreurs instrumentales, sont substitués dans l'une des équa-
tions de contróle approchées (5) ou (6), qui peut aussi s'écrire

mm = M, Ne
N . C ,
Comme, pour nos appareils, le rappport de 5 mest que de

— tan 0°.503 = — 0.0088'), il n'a pas été besoin de se servir de la for-
mule exacte (4).

Puis nous avons définitivement rejeté toutes les observations pour
lesquelles la différence logarithmique des deux membres a dépassé 0.2.
Mais en général cette différence n'a été, pour les bonnes observations,
que quelques millièmes ou quelques centièmes tout au plus. Il faut ce-
pendant remarquer que cette différence n'a pas, à beaucoup près, la méme
importance pour une observation faite dans le voisinage du vertical
commun que pour une observation faite perpendiculairement à celui-ci.

14. Calcul des coordonnées d’après les formules du n° 6. Les
équations (11) et (13) sont adaptées pour l’emploi de logarithmes d’ad-
dition et de soustraction. Des logarithmes à quatre décimales suffisent
à pousser l'exactitude jusqu'à correspondre à une mesure angulaire à
un centième de degré près; seulement en calculant le log (/,—J,) il faudra
en certains cas se servir de cinq décimales des log/, etlog/, afin d'ob-
tenir la quatriéme décimale du logarithme de soustraction. A l'aide de
quatre décimales on obtient la longueur de toute coordonnée inférieure
à 10000 mètres à l’unité de mètre près, exactitude qui surpasse de
beaucoup l'exactitude ordinaire de nos mesures. On pourrait donc bien
se contenter méme de trois décimales; si, néanmoins, nous en avons
employé quatre dans nos calculs, c'est principalement afin de pouvoir
calculer l'erreur moyenne et pour le contrôle des observations, selon la
règle que l'erreur introduite par le calcul doit être d'un ordre supérieur
aux erreurs d'observation. Aussi les corrections des angles observés
sont-elles appliquées jusqu'au centième d'un degré.

1) T, étant situé au-dessus de 7,, c est négatif.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4

26 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Pour faciliter le calcul de la parallaxe 9 d'aprés la formule (11),
nous nous sommes servis d'une tabie qui donne immédiatement, pour un

5 SZ 6
argument A, la fonction log nn En outre on n’a pas besoin de

connaitre l'angle 9, car, en prenant pour argument le log coséc? 3 9 cal-
culé à l'aide de la formule (11), on tire le log séc° 1 9 d'une table de
logarithmes de soustraction.

Le caleul des r, et r, d'aprés les formules (13) a été abrégé aussi
à l'aide de deux tables.

Les quantités entre les crochets peuvent s'écrire

b NC b c
2 (d — beer Cs = Me) | et 11 REP Um +) | ,

e

: N A € C
et comme ; n'est qu'une petite fraction, les termes 7 (n, — net b (SEM

)
le sont aussi, et l’on peut les traiter en corrections à appliquer aux ter-
mes (I, — Ll) et (4 + 5) respectivement.

La premiere quantité peut se mettre sous la forme
C li 26 ly Wg =;

2 7 cos sin
b 2 2

et la dernière, avec une approximation suffisante, sous la forme

j

Or comme on doit appliquer les corrections aux logarithmes
de (l, —L) et de (h +4), nous avons réduit en tables la fonction

2c h [OS ea Oba: i h

colog | 7 cos I ? sin — 9 =] pour les arguments i et i MM
à 20 SRE hth

et la fonction colog| 7 sin | pour l’argument c^. tables dont

l'usage est facile à comprendre. Pour la première on a, par exemple,
la règle suivante: »Ajoutez au log (l, — 5j) la valeur de la fonction tirée
de la table. Prenant la somme pour argument, on trouvera la correc-
tion cherchée à l'aide d'une table de logarithmes d'addition, si h, — A,
est négatif, à l'aide d'une table de soustraction, si A, — h, est positif.»
Pour la seconde, la régle est la méme, mot à mot, pourvu qu'on rem-

pue his

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 27
place le log (4 — 4) par le log (4 +2) et h — 4, par L +4. L'emploi
des tables est trés commode, parce que deux décimales de l'argument
suffisent à déterminer la correction jusqu'à la quatrième décimale, en cas
que cela soit nécessaire.

Voici un exemple numérique, tiré de nos observations et disposé
d'aprés notre formulaire usité, et qui met en évidence le caleul opéré
à l’aide des formules (9), (10), (11), (13) et (14).

Formulaire pour le calcul des coordonnées des nuages.

Upsala le 6 Sept. 1884, 12” 27" 30°. Espèce de nuage: Strato-cumulus (ressemblant
un peu à un Stratus) à PWNW.

jm 560.83 di =| EBS log my, n,| 9.6106

hy 51.48 He user log m,n,| 9.6000

geh, —h,- 5-35 | P=9-a= 57.85 | diff. 0.0106

log sin Ajl 9.9227 . logsinh,| 9.8934 logcosh,! 9.7381

logsina)| 9.9791 logsinay| 9.8830 log cosh! 9.7943

a AT Ec re os] 21 )

logeosA,| 9.7381 logcosh, 9.7343 | _ log en 9.3690

logeosa, 9.4817 log cos a;| —9.8099 somme| 8.9014

logl,| 9.2198 logl,| —9.6042 logsin?3g| 7.3217

diff| 0.3844 log dadd.| 0.1501 dif. 1.5797

log de soustr.| 9.7689 log d'add.| 0.0113

log (4 +1,)| —9.3731 log(! —4)| 9.7543 lozsin*310| 8.9127

corr.pourc| 0.0061 corr. pour c| 9.9997 (=) o on
logséc?10| 0.0370 log cosée? $6) 1.0873
logió| 2.0219 log4b| 2.0219

log$(r, —73)| — 1.4381 logl(r cr) 2.8632 D 116.5

dif. 1.4251 log d'add.| O.0160 dis 366.2

logdesoustr| 9.9834 gm 587.9

logr, 2.8466 logr,| 2.8792 d>—b=| —304.4

logl,| 9.2198 logi, —9.6042 | b= 420.7, r= 116.3

logm,| 9.7172 logm,| 9.6773 Ya= 360.0

logm| 9.9227 logn,| 9.8934 = —3.0.2= 588.9

loga,| 2.0664 log (z4 —5)| —2.4834 dm 116.4

logy, 2.5638 logga] 2.5565 UE SR

logz,| 2.7693 log(z,—c)| 2.7726 2= 588.4

Les logarithmes d’addition et de soustraction sont ceux de Zech;
mais on a fait ceux-ci additifs en les augmentant de 10. Le signe —
à gauche d'un logarithme n'est pas à référer au logarithme, mais au
uombre qui y correspond. On voit que dans lexemple cité trois déci-
males auraient parfaitement suffit pour le calcul.

28 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

15. Calcul des erreurs moyennes d'après les formules des m" 7 et 6.
Des logarithmes à deux ou à trois décimales suffisent pour ces calculs.
Nous avons abrégé le calcul à l'aide de petites tables convenables. Une
table nous donne immédiatement la fonction log cot 9 pour largument
log sin?19.1) De plus nous nous servons d'une collection complète de
logarithmes à trois décimales, contenant: Logarithmes, Antilogarithmes,
Logarithmes d'Addition et de Soustraction de Zech, Logarithmes des
Racines carrées, Logarithmes trigonométriques directs (argument = angle,
fonction = logarithme de la fonction trigonométrique) et inverses (argu-
ment — logarithme de la fonction trigonométrique, fonction — angle) de
méme que Table des Carrés.) A l’aide de la table de logarithmes
d'addition, par exemple, connaissant les log A et log B (Az B), on
calculera immédiatement le log VA?+ B?: Vargument 2 (log A — log B)
fournit un logarithme d'addition dont la moitié augmentée du log A
est égale au log y A?+ B?.

Voiei um exemple numérique du calcul des erreurs moyennes de
l'observation sur le nuage dont on vient de calculer les. coordonnées
(numéro précédent). Le calcul se fait d’après les formules (19), (20) et (21).

Formulaires pour le calcul des erreurs moyennes.

Formule (21) Formules (19) et (20)
(cda) M eR E E 0.04
An log cot h
EU FEU [UU g bi oe foo ON Us 9.901
SE ka. er RR A EM lopicoUAs SEE D. 9.643
(a bi Ono T) Dec PD F OO On OF I 2 LE : St " 5 j
INS Leere ee NAMES IUE ee 39.48 er
— HH | log V eot?A,+cot?d,....... 9.960
No ee re A 0.798 NE
COLOR DAE pte EE TT 6.836 Ir =
-- log.) 4 (cot? hy + cot? A; e 9.809
log = BER sto, Gh. 7.634 1000 0t rn EEE 0.183
ar
LOGE te ey Cat E TS 151 — 3 ER
Zu ————— c Le s > log Veot? J +} (cot? ha + cot? À,) O.219
3. (A =a
log Va-(4) 7.657 log Ver (3) NO bos 7.657
loo:GOU UU sean Ae eee 0.183 loss 2
NEE OR M dise IE, 2.771 ME Ceu wer uu
logm o emo LE T 0.611 loom See ET REM 0.647
TOU AD = |
m = 4.1 mètres, 7 = © .247 m= 4.4 metres

!) On trouvera cette table à la fin de ce traité.
2) Ces tables seront publiées dans une Collection de Tables à quatre déci-
males par les Editeurs-Libraires R. Almqvist et J. Wiksell à Upsala.

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. =)

Afin de rendre la difference entre les résultate des deux formules
aussi grande que possible, nous avons pris les angles h, et A,, parce
qu'en ce cas les cotangentes en sont plus grandes que celles des A, et A.
Néanmoins, et quoique la parallaxe de cet exemple soit très grande,
cette différence est négligeable. I] résulte de là que la formule abrégée
[21] suffira dans presque tous les cas.

16. Calcul du mouvement dun nuage d'après les formules des
n" 9 et 10. A l'aide de sept séries d'observations sur le soleil, exécu-
tées à des heures et à des jours différents, nous avons caleulé l'azimut
vrai « du sens positif de l'axe des x et nous avons trouvé

a = — 10.23 + 0°.03 (+ 09.03 = l'erreur probable) ou =S 7*2 E.

En caleulant la marche et la vitesse d'un nuage d'aprés les for-
mules (22), (23) et (24), des logarithmes à deux ou à trois décimales
suffisent pour déterminer la vitesse (r, v, ....) en dixièmes de mètres
et l'azimut de la marche (y, y,....) en dixiemes de degrés.

Il importe beaucoup, pour Ja détermination du mouvement d'un
nuage d'aprés la méthode qui nous oecupe, qu'on ait observé au moins
trois positions successives du nuage, afin d'étre à méme de contróler
les observations. Car si la forme et les dimensions du nuage ne chan-
gent pas trop vite, on doit s'attendre que le déplacement d'un de ses
points soit sensiblement rectiligne. C'est en effet ce que nous avons
en général constaté par nos observations, notamment celles sur les cir-
rus, qui conservent ordinairement, à ce qu'il semble, leurs formes et
leurs dimensions plus longtemps que les nuages inférieurs. Ceux-ci,
surtout les cumulus, au contraire, se gonflent ou se dissolvent souvent
trés rapidement. Dans ce cas, le chemin du point observé s'est souvent
montré assez irrégulier et il nous parait probable qu'alors il ne re-
présente que très imparfaitement le mouvement de l'air à la hauteur
du nuage.

Quant au déplacement vertical, il s'est montré que, dans bien de
nos observations, il a été d'un ordre supérieur aux erreurs d'obser-
vation. C'est ce qui a décidément lieu pour les nuages supérieurs.
Pour ce qui concerne ces nuages, il n'est done pas possible, à l'aide de
nos observations, de constater aucun mouvement vertical (voir plus loin
n? 20). Aussi, en calculant le mouvement horizontal de ces nuages, dont
la hauteur, d'après nos mesures, varie depuis 4000 jusqu'à 10000 mètres,

30 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

avons-nous toujours employé les coordonnées corrigées à l'aide de la for-
mule (25) ou (26). Cela & paru nécessaire, parce que, la base étant
trop courte pour une mesure précise d'une hauteur aussi considérable,
il peut se faire que l'erreur moyenne d'une observation dépasse 1000 et
méme 2000 métres. Aussi le résultat semble-t-il justifier cette méthode,
car nous avons obtenu pour ces nuages une vitesse horizontale presque
constante et une trajectoire trés sensiblement rectiligne.

Pour ce qui concerne le mouvement vertical des nuages inférieurs,
il est probable qu'en plusieurs cas il est réel et non pas då aux erreurs
d'observation, quoiqu'il se montre très irrégulier (voir plus loin n° 20).
C'est pourquoi nous n'avons pas fait usage des formules (25) et (26) en
calculant le mouvement horizontal de ces nuages. En quelques cas,
cherchant à appliquer ces formules avant de calculer le mouvement hori-
zontal, la marche du nuage ne s'est pas montrée plus régulière pour
cela, elle est méme devenue plus irréguliére, ce qui prouve encore que
Virrégularité doit être réelle et non pas due aux erreurs d'observation.

Nous allons appliquer nos formules à un exemple numérique.

Nous choisissons les observations sur un beau cirrus que nous
sommes parvenus à observer dans dix positions successives, le 17 juillet
1884, 18" 5" 30° — 18" 22" 25° (voir le tableau des observations). Par
là, aussi, il nous sera possible de comparer l'erreur moyenne calculée
d'après la méthode du numéro 7 à celle calculée d’après la méthode
ordinaire des moindres carrés.

Calculons d'abord la vitesse verticale et son erreur moyenne
d'aprés les formules (23) et (23 a).

On aura
Vitesse s
Numéros Eee t-t WIEDER verticale Bieten Poids
des obser- ER is Ug meyenue 1
one metres secondes metres metres par depu p We
seconde M,
"oda 2 + 2041 120 1580 + 17.01 T STET 0.0058
B Ci 9 — 2190 150 1609 — 14.61 10.73 0.0086
3 et 4 + 663 90 340 + 7.37 9.33 O.0114
4 et 5 — 2522 90 938 — 28.02 10.42 0.0092
5 et 6 + 2574 90 1609 + 28.60 17.88 0.0032
6 et 7 — 2323 90 1446 — 25.81 16.07 0.0038
7 et 8 + 1440 90 577 + 16.11 6.41 0.0242 |
3 et 9 — 1116 150 647 — 7.44 4.31 0.0534
9 et 10 | + 1197 145 614 + 8.26 4.23 0.0554 |

sone "o

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 53!

On voit que les v. sont alternativement positifs et négatifs, ce
qui sans doute s'explique de ce que nous avons fait les observations
en plaçant le tube alternativement à gauche et à droite. Combinant
chaque valeur de v. avec la moyenne des v, voisins, afin d'éliminer
leffet des positions des tubes, et formant la moyenne de toutes les com-
binaisons, on aura, en donnant le méme poids à chaque observation,

la valeur moyenne de v. = — 1.40 ‘mètres ;

et en donnant à chaque observation le poids déterminé à l’aide
de la valeur de M,,

la valeur moyenne de v. = — 0.25 mètres.

Le nuage aurait donc un mouvement de bas en haut. Mais ce
résultat n'est guère qu'illusoire.

En effet, désignant par Av l'écart d'un des v, d'avec la moyenne
et par » le nombre des v., si d’après la méthode des moindres carrés
on . calcule l'erreur probable de la moyenne des v, à l'aide de la for-
mule connue

(32) | R = + 0.6745 y- paar,

on aura, en donnant le méme poids à chaque observation,
R = + 4.67 mètres,
et en donnant à chaque observation le poids déterminé à l'aide de la

valeur de M,,
R = + 3.25 mètres.

D’autre part, supposant que les M, représentent les erreurs moyen-
. . , 2
nes vraies, si lon calcule l'erreur probable des v. à l'aide de la formule
également connue

2 [p M,M,] oum Va
(33) = + 0.6745 ver Pus = + 0.6745 Ei

il viendra
= + 2.75 (poids égaux)
ou
= + 1.68 (poids inégaux, déterminés à l’aide
des M,).

32 N. Exnozu ET K. L. HAGSTRÖM,

Comparant ces quatre valeurs de l'erreur probable de la vitesse
verticale avec les valeurs de cette vitesse méme antérieurement calculées,
on voit que la vitesse trouvée par le calcul n'est qu'une petite fraction
de son erreur probable, c'est-à-dire elle est d'un ordre supérieur aux
erreurs d'observation.

Cela étant, en vertu de la théorie développée au numéro 10, on
obtiendra les valeurs les plus probables des coordonnées du nuage et de
sa marche horizontale en appliquant la méthode de caleul de ce numéro.

On aura
2, = (954 mètres

affecté d'une erreur probable,

R = + 180 mètres

ou
R' — +107 mètres,

R et R' étant calculés à l'aide des formules analogues à celles qui vien-
nent d'étre citées, savoir

R=+ 0.0745 | Para]

R' = + 0.6745 yes zu +) 5 ;

[p]n

où l'on a représenté par Az l'écart d'une valeur de z d'avec la moyenne
et par m l'erreur moyenne de z, calculée à l'aide de la formule (21).
On voit que, dans cet exemple, l'erreur probable caleulée d’après la
méthode ordinaire des moindres carrés, c’est-à-dire à l'aide des diffé-
rences d’avec la moyenne, est plus grande que celle calculée à l’aide
des erreurs moyennes m. Cette différence s'explique, sans doute, ou
de ce qu'effectivement le nuage a eu un mouvement vertieal de bas en
haut pendant le temps oü on la observé, ou de ce que le nombre des
observations est trop petit pour que la loi des probabilités puisse s’ap-
pliquer en toute rigueur, ou bien par toutes ces deux causes réunies.
Nous allons corriger les coordonnées à l'aide des formules (25)
et calculer la vitesse et la marche du nuage à l'aide des formules

(22) et (24).

|

“m4

VOS A A laa L*

mora *

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 30

On trouvera pour les coordonnées corrigées ces valeurs

Numéro
de l'observ. 2m Tam Jim Yom Um Ym
I 14870 14860 14080 I4IIO 14865 14095
2 I3500 13130 11650 11280 13315 11465
3 11320 11360 7991 8056 11340 8023
4 IOIIO IOOII 6020 5922 10060 5971
5 8833 8896 3933 3901 8865 3917
6 7626 7591 1908 ISII 7618 1860
7 6301 6367 — 251 = 248 6334 — 250
8 5097 5097 — 2216 —2244 5097 —2230
9 3028 3090 — 5489 —5535 3059 —5512
10 884 874 —9OI2 - 9032 879 — 9022

Il vient donc, pour la vitesse et la marche du nuage,

Numéros Vitesse, Direction,
des observ. mètres par seconde = v. azimut vrai = @.

I—2 25.5 Some a Wf
2—3 26.5 sS Ge Ww
3—4 26.9 S 509 W
4—5 26.4 S520 Wi
5—6 26.7 S) Gi cy
6—7 26.8 Silos OM
7—8 26.0 S 50.9 W
8-9 25.8 3.50.03
9—IO 28.5 S Bux. Wy

Moyenne 25.91 S 51.46 W

Si l'o» fait le caleul des coordonnées corrigées à laide des for-
mules (26), on aura trés sensiblement le méme résultat.

Changeons maintenant les axes des coordonnées en les faisant
tourner dans le sens des azimuts positifs d'un angle de 58°.s22, angle
formé avec laxe des x par la direction moyenne du nuage c’est-à-dire
la droite joignant le premier et le dernier points observés, et puis en
transportant le nouvel axe des z parallélement à lui-méme jusqu'à coin-
eider avec cette droite-là.

Faisant les calculs à l'aide des formules connues et représentant
par § et 7 les nouvelles coordonnées, il vient

or

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III.

34 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Numéro. & 1
I 210/255 (0)
2 17196 — 36
3 12740 27
4 10315 — 93
5 7939 — 12
6 5536 US
7 3065 — 128
3 731 +793
9 miso = 48
10 — 7263 O

La translation de l'axe des abscisses est de 5422 mètres vers SE.
L'angle que forme l'axe des 5 avec le méridien est égal à 51°6. La
direction moyenne du nuage est done de S 51°.s W. Tout le chemin
parcouru depuis le premier jusqu'au dernier point observé, pendant un
intervalle de temps de 16" 55° ou 1015 secondes, est égal à 27018
métres. La vitesse moyenne est done, supposant le chemin rectiligne,
égale A 26.62 métres. Or à linspection de la série des 7 on voit que
le chemin est courbe, tournant sa convexité vers SE. Dans la figure 3
nous avons mis en évidence ce chemin en prenant l'échelle des ordon-
nées 100. fois plus grande que celle des abscisses, et comme, par un
tel grossissement, il se présente assez irrégulier, nous avons tracé à
l'œil un chemin moyen. De là, on tire les trois paires de coordonnées

é — 18900, & = 5000, & — — 6650,
0.

N
ot

n = UV, Ny = — 133,

Menant par ces trois points un cercle, qui soit représenté par
l'équation

($— a)! + (— yr,

a= 5.8 kilométres
b = 579.4 »
= 579.4 »

on trouvera

Le rayon de courbure est done de 579 kilométres de longueur et dirigé
en N 39° W de l'observatoire. A l'heure des observations il se trouvait
un minimum barométrique au NW de la Scandinavie.

Nous n’insisterons pas sur ces résultats, puisque la détermination
de la hauteur du nuage est trop incertaine et trop hypothétique pour
qu'elle ne puisse introduire des erreurs relativement grandes dans un calcul
aussi subtil du chemin parcouru par le nuage. Néanmoins ces résultats

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 35

font voir, à ce qu'il nous semble, que, pourvu qu'on fasse les observations des
extrémités d'une base 5—10 fois plus longue que la nôtre, on pourra bien
déterminer la marche des cirrus avec une précision jusqu'ici inouie et à peu
prés astronomique. Nous n'avons guére besoin d'en indiquer l'importance
aux météorologistes.

Y. RÉSULTATS MÉTÉOROLOGIQUES.

17. Hauteurs des différentes espèces de nuages. Les observations
dont nous venons de décrire la méthode et le calcul, ont été faites pen-
dant l'été 1884 depuis le 26 juin jusqu'au 6 septembre. Le nombre total
en est de 344, dont cependant il a fallu rejeter 13 p. C. (45) de sorte que
les observations employées ne sont qu'au nombre de 299.1) A la fin de
ce traité nous donnerons une liste complete de toutes ces observations.

Les espéces de nuages observées par nous ont été les mimbus, les
cumulus, les cumulo-stratus, les alto-cumulus, les cirro-cumulus et les cirrus et,
à deux occasions isolées, les stratus et les strato-cumulus. Nous n'avons pas
encore réussi d'obtenir des observations utilisables sur les cirro-stratus. Les
espéces citées sont celles adoptées à l'observatoire météorologique d'Up-
sala, principalement d’après la nomenclature d'Howard. Pour les défini
tions nous renvoyons au travail de M. H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON:
»Sur la classification des nuages employée à l'observatoire météorologique
d'Upsala. Photographies de H. Henri Osti. Edition de 60 exemplaires
publiée aux frais des fonds de la donation Letterstedt. Upsala 1879».
Voir aussi la »Zeitschrift der Oesterreichischen Gesellschaft für Mete-
orologie, XV Band, 1880, p. 242». Dans cette classification la nomencla-
ture d'Howard a été complétée en adoptant deux nouvelles espèces de
nuages, savoir les strato-cumulus et les alto-cumulus.

Toutes ces espèces de nuages se divisent en deux groupes, nuages
inférieurs et nuages supérieurs. Ceux-là comprennent les stratus, les nim-
bus, les strato-cumulus, les cumulus, les cumulo-stratus?) et la plus grande
partie des alto-cumulus.

1) Pour ees résultats nous n'avons pas employé les observations faites d'aprés
la méthode indiquée au n? 11.

2) Nous avons considéré encore comme nuages inférieurs les »faux cirrus»,
c'est-à-dire les formations ressemblant à des cirrus qui se montrent quelquefois autour
des sommets des cumulo-stratus, parce qu'elles semblent n'étre qu'un appendice
de ceux-ci.

36 N. EKHoLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Ceux-ci comprennent une partie des alto- cumulus, les cirro-cumulus,
les eirro-stratus et les cirrus.

Selon nos mesures, les nuages inférieurs se trouvent, en général,
à une hauteur au-dessous de 4000 métres, les nuages supérieurs, au con-
iraire, au-dessus de cette hauteur.

Les tableaux suivants donneront une idée des hauteurs ou se sont
ordinairement trouvés les nuages observés par nous.

Tableau I. Nuages inférieurs.

(Chaque observation comptée une fois) !)

Nombre des observations
Hauteur, EMO |
ex
métres Stratus |Nimbus| ET s ours |) Use ens lee
cumulus cirrus |cumulus| nuages
sommet| base
5— 600 I — EXP ES = = = I
6— 700 4 I — == I — — 6
7— 800 == I — xm = = I
9—1000 = 5 -— 4 2 = == II
10— 1100 — 5 — = 6 = — II
II—-I200 — 4 — 5 7 = — 16
I2—1300 = 2 — 4 7 — — 13
13— 1400 = 4 == 13 9 zv Hu 24
I4—1500 — 2 -— 18 16 — — 35
15— 1600 — I I 13 3 = — 18
16 — 1700 — 2 — 10 — — 3 I5
17—1800 — 2 — 8 — — — 10
18— 1900 — — = 3 == E. 3 6
I9— 2000 — 2 — 8 = — 3 I3
20— 2100 — E — 4 — — 1 II
21— 2200 — — Ae I Ba ü 5 6
22—2300 — = — 3 — — — 3
23—-2400 — = — I — = I 2
24—2500 — I —- I — -— -— 2
26 —2700 — — — I — — — E
27 — 2800 =: 2 = = — D
28— 2900 — = = I = = — I
29— 3000 — I — — Im
30— 3100 - - I — — — I
31— 3200 — I — = —- I — 2 4
32— 3309 — — — I — I — 2
40—4100 — — — I — — — I
47— 4800 = = — = = I — I
51—5200 — — — I — — — I
Sommes 5 36 "Jb mes 5I a ie 217

1) Pour les sommets et les bases des cumulus le même point de nuage a été
compté, en quelques cas, et comme sommet et comme base (voir plus loin, p.40). -

Fer ve

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. a7
Tableau II. Nuages superieurs. Tableau III.
(Les observations se rapportant au méme nuage Hauteurs moyennes des nuages.
ont été réunies en moyennes avant de compter
les observations) (Chaque observation comptée une fois)
Hauteur, Nombre Hauteur, Nombre Hauteur, Nombre
métres. des obs. métres. des obs. métres. des obs.
38 — 4000 I 66—6800 2 Sirabusts RER A NR vee on 625 5
40— 4200 I 70—7200 2 Nimbus inférieurs. . . . . 1115 24
42— 4400 4 12— 71400 2 Nimbus supérieurs . . . .. 2185 I2
44— 4600 2 14— 1600 I CRE d | sene" . 1690 IOI
50— 5200 I ducere I URS EE LATS bea mco Su
52—5400 I 80—8200 2 neun: - 1498 =
54—5600 I 82—8400 3 Alto-cumulus inférieurs . . 1988 22
58— 6000 5 84—8600 2 Alto-cumulus supérieurs. . 4242 5
60—6200 I 96—9800 I Girroceumuluüs$- me 5513 10
62—6400 I 98— 10200 2 CUS OE ITE MEUSE OS2S 64
64—6600 5

A l'inspection de ces tableaux il parait que les couches des nuages
ne sont nullement uniformément réparties dans l’espace. On les trouve,
au contraire, par préférence à de certaines hauteurs, de sorte que, pour
ainsi dire, elles se trouvent placées en étages les unes au-dessus des
autres. Ces étages ont approximativement les hauteurs suivantes:

ii) @OO 4 fo 2 meses 5) 42-4600 . . . mètres
2)) JUN) A sej sers » (9) EX9-— (01999) . 4 c »
Ry SOO ney gece re. ts » 7) 80-8600) m t rc »
40) S8. «e rer »

Il va de soi que ces hauteurs ne sont qu'approchées, à cause du trop
peu d'observations. Peut-être aussi y en a-t-il plus que ces sept étages.

Le premier étage est celui des stratus; le deuxième, celui des
nimbus inférieurs; le troisitme, la hauteur moyenne des cumulus; le
quatrième, celle des alto-cumulus inférieurs; le cingieme, le sixième, le
septieme correspondent aux différentes couches des nuages supérieurs,
mais pour ceux-ci les différents étages ne semblent pas correspondre
à des espéces déterminées de nuages, peut-étre à cause du petit nombre
d'observations.

Ce fait que les différentes espéces de nuages se trouvent placées
dans des étages les unes au-dessus des autres, s'accorde avec ce qu'a
trouvé M. Vertin à Berlin.) Il y a, d’après ce savant, cinq couches
de nuages de hauteurs moyennes différentes, savoir:

1) M. Vettin a fait un grand nombre d'observations (plus de 5000, dont pourtant
la plupart ne déterminent que la vitesse angulaire), mais il s'est servi d'une méthode
peu assurée et bien limitée, à ce qu'il nous semble, de sorte que plusieurs des résul-

38 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

1) nuages inférieurs (unteres Gewölk) de 490 métres

2) nuasies (Wolken) a ei) os AIT CON)
3) petits nuages (Wölkchen) . . . » 2260 »
A Gnas MMMM M ts sq dog. sa m euo >
SORTENT TEEN ER Ww 5 6 V 9289. |

La hauteur moyeune des différentes couches de nuages n'est pas
constante. Elle varie selon l'heure du jour et probablement aussi selon
la saison de l’année. De même elle varie selon le caractère géné-
ral du temps c'est-à-dire selon la répartition des maxima et des minima
barométriques.

Afin de montrer cette variabilité nous étudierons les observations
plus en détail, en traitant séparément les différentes espéces de nuages.
Nos observations, n'embrassant que l'été, ne permettent que l'étude de
la variation diurne et de l'influence des maxima et des minima baromé-
triques pendant l'été.

18. Variation diurne de la hauteur des nuages.

A. Cumulus.

Tableau IV a. Variation diurne de la hauteur des Cumulus (y compris les
Cumulo-stratus).

Sommet Base Epaisseur
Heure B B äl Incertitude !Nom- 4 Bm Incertitude |Nom- Incertitude
os B probable bre | 2-9 2 probable bre probable
= ct er ct
$59, dune | de la diss 3 E 9| d'une | de la P. mötres| dune | de la
2 El observ.) moy. obs. © "|observ.| moy. | 295: observ.| moy.

to” 30% -11?30®| 1462 - 120 + 60| 4 |ııı4 | + 49| +19] 7 | 348 | + 130] + 63
II 30 —I2 30 | 1633] » 371| » 70, 28 || 1312) » 189, » 54, 12 | 321 | » 4X7» 89
I2 30 —13 30 |2208| » 748| » 187 | 16 | 1326 | » III! » 56] 4 | 882 |» 757) » 195
I3 30 —14 30 | 1631| » 186! » 36| 27 |1193| » 153: » 54| 8 | 438 | » 241| » 65
16 30 —17 30 |1639| » 144] » 42| 12 |1404| » 65! » 18| 14 | 235 |» 158) » 45
17 30 —18 30 |r480| » 58|» 16] 14 |1432|» 42| » ı7 | 6 ewe gu » 25

10^30"—12^30"|1593|-E 343) + 61| 32 |1239 + 164; + 38| 19 | 354 | + 380) -E 71

I2 30 —14 30 | 1846 | » 514] » 79| 43 | 1237| » 150] » 43| 12 | 609 | > 535 » 9o
16 30 —18 30 |1553| » 122] » 24| 26 |1412| » 58] » 13] 20 | 147 » 235] » 27
Moyenne | 1690 + 40 |ıoı | 1307 +19] 51 | 380 + 45

tats trouvés ne sont guére qu'hypothétiques. Toutefois il parait que l'observateur, par
une persévérance et une routine admirables, a fait de cette méthode tout ce qui a
été possible. Pour les beaux traveaux de ce savant, nous renvoyons à la »Zeitschrift der
Oesterreichischen Gesellschaft für Meteorologie», XVII, 1882, p. 267—275 et p. 351

a Ka rcm. à rmt

4

— PB

omo ae

€ ray tet

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 39

Les moyennes des hauteurs ont été calculées en donnant le même
poids à chaque observation.

L'incertitude probable d'une observation a été calculée d’après la
formule connue

r = + 0.745 |/ [42 42) |
at ll

ou Az représente l'écart d'une observation d'avec la moyenne et n le
nombre des observations.
De plus, l'incertitude probable de la moyenne a été calculée d’après
la formule
T

R = —.
ya?

L'ineertitude calculée comprend ainsi et celle dépendant de la
variation des hauteurs des nuages, et celle provenant des erreurs d'ob-
servation.*) Celle-ci est cependant assez petite par rapport à la pre-
miére et à peu prés constante pour les différentes heures du jours,
comme on le trouvera en la caleulant séparément à l'aide des erreurs
moyennes m.

En outre, le tableau précédent se comprend sans explication.
Seulement il faut dire, pour ce qui concerne les bases des cumulus, que
nous avons traité en bases non seulement les observations où l’on a visé
la base du nuage se projetant vers le ciel, mais aussi les mesures faites
prés du zénith, quoique, dans le dernier cas, il puisse se faire qu'on ne
soit effectivement parvenu à viser le point le plus bas. Cela a été né-
cessaire parce que le nombre des premiéres observations n'est que rela-
tivement petit. Il est done bien possible que la hauteur moyenne des

— 358, Die Luftstrómungen über Berlin, dargestellt nach den Ergebnissen dreïjähriger
Beoachtungen in fortlaufender Reihe fortgesetzter Wolken und Windmessungen.

Ibid. XVIII, 1883, p. 90—92. Erwiderung auf die Kritik meiner Messungen
der Wolkenhóhen durch Herrn Jesse. :

Ibid. XVIII, 1883, p. 92—97. Projicirte Geschwindigkeit der Wolken und
deren Bestimmung.

Ibid. XVIII, 1883, p. 162—165. Höhenbestimmungen der Wolken aus der
Zeit der Beleuchtung vor Sonnenauf- oder nach Sonnenuntergang. Von Dr.F. Vettin.

*) Ces remarques s'appliquent aussi aux tableaux donnés plus loin sur la va-
riation diurne des hauteurs des différentes espéces de nuages. |

40 N. ExnoLM et K. L. HAGSTRÖM,

bases soit, en vérité, un peu plus petite que nous ne l'avons trouvée,
notamment pour les heures de midi.

De plus, en quelques cas où tout le nuage n'a été qu'un petit
flocon presque dissous et à peine visible au milieu du champ du tube,
nous avons compté la méme hauteur et comme celle du sommet et
comme celle de la base. En outre, la détermination des sommets est

. L
très sûre, parce que, dans presque tous les cas, ceux-ci ont eu des con-

tours bien limités et se projetant vers le ciel bleu.

A l'inspection du Tableau IV a. on trouve: ,

1) la hauteur des bases reste- sensiblement la même pendant les heures
de midi et s'accroît pendant le soir depuis Uheure où les cumulus commen-
cent ä se vésoudre;

2) la hauteur des sommets et l'épaisseur des cumulus présentent une
variation diurne très prononcée et dont le maximum a lieu à 13", les minima
au matin et au soir, aux heures où le nuage se forme et où il se dissout;

3) Paccroissement jusqu'à ce maximum est plus rapide que le deerois-
sement vers le minimum du soir;

4) la hauteur soit des sommets soit des bases, de même que l'épais-
seur des cumulus, est le plus variable, d'un nuage à lautre, d'un jour à
l'autre, à Vheure maxima, et tend à devenir de plus en plus constante vers
l'heure minima du soir.

En vue d'une comparaison nous reproduirons ici un tableau em-
prunté à un traité de M. HorrrTsTRÓM!) et qui fait voir la variation
diurne de la quantité des cumulus.

Tableau IV 5. Variation diurne des cumulus à Upsala 1869—1876 été (juin—aoüt).

Quantité en pour cent de la demi-sphère céleste.
8^ 10^ midi I4^ ig 19^ DIT

js ah I7 29 28 I4 5 I

On voit de ce tableau qu'encore la quantité des cumulus varie sui-

vant les lois énoncées dans 2) et 3).
La figure 4. est une représentation graphique des tableaux IV. a.

et IV. 5.

!) Om den dagliga förändringen i vindens hastighet. Akademisk afhandling
af Simeon Andreas Hjeltstróm. Upsala 1877, Akademiska boktryckeriet, Ed. Berling
(Sur la variation diurne de la vitesse du vent, en suédois) p. IX, Tabell XVI.

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 41

B. Nimbus.

La hauteur des nimbus est trés variable. La couche la plus basse
semble n'avoir que quelques centaines de métres de hauteur. Cependant
il nous a fallu rejeter la plupart des observations faites sur cette couche,
lesquelles ont été trés difficiles à exécuter, le ciel étant presque unifor-
mément couvert. Le temps s'éclaircissant, on trouve des nimbus de plus
en plus hauts s'étendant méme au-dessus de 3000 métres. Il parait done
probable quil y a d'abord une couche de nimbus presque continue de
plusieurs milliers de métres qui se dissout peu à peu de bas en haut.
Nous n'avons pu chercher de variation diurne, faute d'un nombre suffi-
sant d'observations.

C. Alto-Cumulus.

Nous avons trouvé deux couches d'alto-cumulus qui souvent se
ressemblent l'une à l'autre jusqu'à s'y méprendre, mais qui pourtant pré-
sentent une différence de hauteur de plus de 2000 métres. La couche
supérieure d'une hauteur de 4200 métres (nous n'en avons que 5 ob-
servations) doit être considérée comme des cirro-cumulus relativement
épais et bas.

La couche inférieure, les véritables alto-cumulus, se trouve à une
hauteur moyenne trés constante de 2000 métres (d'aprés 22 observations
elle ne varie que depuis 1600 jusqu'à 2400 mètres). Elle ne montre pas,
non plus, de variation diurne sensible, car on trouve

Tableau V. Variation diurne de la hauteur des alto-cumulus,

Hess Hauteur moy., Nombre
2 mètres. des observ.
II^ 30"— [2^ 30" 2071 : 6
I2 30 —I3 30 1970 2 »
I5 30 —16 30 2043 4
16 30 —17 30 2119 6
I7 30 —18 30 I7OI 4

D. Cirro-Cumulus et Cirrus.

La hauteur moyenne des cirro-cumulus est de 5500 métres, celle
des cirrus de 6800 métres. Pour les cirrus nous avons trouvé une variation
diurne assez prononcée, qui semble être réelle. La voici:

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6

42 N. EKHOLM er K. L. HAGSTRÖM,

Tableau VI. Variation diurne des cirrus.

En Hauteur moy., Incertitude probable Nombre
eure. 5 D

metres. d'une obs. de la moy. des obs.
IO" 30" — 12^ 30” 6023 -- 993 +257 I5
I2 30 —I4 30 6532 » 1250 » 425 IO
16 30 —17 30 7022 » IO40 » 300 I2
I7 30 —18 30 7286 » 986 » 173 27

Dans ce tableau une partie considérable de Vincertitude probable
des observations dépend des erreurs d'observation.

La hauteur des cirrus va done em croissant au moins depuis 11°
jusqu'à 18".

En représentant graphiquement cette variation, on trouvera qu'elle
est à peu prés rectiligne ou uniforme. De là on doit conclure-que la
variation va probablement dans le méme sens encore pendant quelque
temps avant et aprés les heures pendant lesquelles nous avons fait nos
observations.

Si cela est ainsi et que l'on suppose que les cirro-cumulus, étant
plus bas que les cirrus typiques, se transforment, en s’elevant, en des
cirrus et vice versa, il s'ensuit que la fréquence des cirro-cumulus par
rapport à celle des cirrus doit étre minimum àl'heure ot la hauteur des
cirrus est maximum et vice versa.

Afin de vérifier cette conclusion nous avons calculé le tableau
suivant, à l'aide des observations sur les nuages, faites à Upsala pen-
dant l'été (juin—août) 1865 —1884 (20 ans). A cause d'une comparaison
nous y avous joint les observations sur les cirro-stratus.

Tableau VII. Variation diurne de la fréquence des nuages supérieurs à Upsala
pendant l'été.

Nombre de fois ou l'on a observé Rapport de

Heure. Cirrus. Cirro-cumulus. ^ Cirro-siratus. cı-Om: er. er-Str : cr.
8 476 302 264 0.634 0.555
IO 570 324 293 0.568 O.514
midi 576 275 298 0.477 0.517
14 549 275 295 0.501 0.537
17 544 272 336 0.500 0.618
19 629 — 296 394 0.471 0.626
21 500 239 395 0.478 0.790

PLU EL Pl

PAT OS ÄRE eme cd Ace

$^» o ao dtm mp vr

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 43

En effet, le maximum du rapport er-Cm : er a lieu au matin et le
minimum à 19’, quoique, il faut l'avouer, la variation pendant les heures
ou nous avons observé les hauteurs des cirrus soit trop petite et trop
peu régulière pour qu'on puisse constater la relation supposée. Pour
cela, il faudra des observations au moins depuis 8^ jusqu'à 21”.

En outre, la fréquence des cirro-stratus, considérée soit absolu-
ment soit par rapport à celle des cirrus, fait voir une variation trés
prononcée. Elle va en sens inverse de celle des cirro-cumulus, de sorte
que la fréquence des cirro-stratus s’accroit depuis le matin jusqu'au soir,
tandis que celle des cirro-cumulus, au contraire, va en diminuant. Y a-t-il
donc, pour les nuages supérieurs, entre la variation diurne de la hauteur et
de la quantité des nuages une relation analogue à celle que nous avons con-
statée pour les cumulus? Cela parait vraisemblable, quoique nous ne puis-
sions le décider, faute d'observations.

19. Variation des nuages selon la répartition des maxima et des
minima barométriques. A l’aide des cartes synoptiques journalières nous
avons divisé les jours d'observations dans les trois groupes suivants:

L Au milieu d'un maximum barométrique. Pression barométrique
moyenne = 764 mm.') Temps presque clair, vent faible. Espèces de
nuages observées: cumulus, alto-cumulus, cirro-cumulus et cirrus. Juin
le 28, 29, juillet le 11, 12, août le 10, 16, 25, 28, 29, septembre le 1.

II. Minimum barométrique situé à l'W, au N ou au NE de l'ob-
servatoire, prés la Scandinavie. Pression barométrique moyenne = 754 mm.
Maximum au 5, plus éloigné. Ciel en général couvert, vent, pluvieux.
Espéces de nuages observées: nimbus, cumulus, alto-cumulus, cirro-cumulus,
cirro-stratus, cirrus. Juin le 26, 27, juillet le 13, 14, 15, 17, 18, 19, 27.

Ill. Espace intermédiaire entre plusieurs maxima barométriques,
d'une pression atmosphérique assez uniformément répartie. Pression
moyenne = 762 mm. Tendance à la formation de petites dépressions
locales et d'orages. Espéces de nuages observées: cumulus, nimbus, cu-
mulo-stratus, faux cirrus. Juillet le 9, 28, 30.

Pour ces trois états différents du temps nous avons trouvé les
données suivantes:

1) Toutes les pressions barométriques données dans ce traité ont été réduites
à 0? et au niveau de la mer.

44

N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

I. MAXIMUM BAROMÉTRIQUE (760—768 mm.).

Tableau VIII. Hauteur des cumulus pendant le maximum barométrique.

| Sommet Base Epaisseur
Heure Hauteur Incertitude | Nom- Hauteur Incertitude | Nom- Incertitude
moyenne bre probable bre \ probable
moyenne, des |moyenne, des Mètres
mètres | d'une | de la obs metres | d’une |de la b d'une | de la
obs. | moy. | 2 obs. | moy. 998: obs. | moy.
10^30"-—1:4^30o"' 1407 |--183 --30 | 36 | 1134 |4-100| +23 19 | 273 |--209| +38
I6 30 —17 30 | 1452 |» 63| » 14| 21 | 1426 5 65| » 18| 18 26 |» 9r| » 23
Moyenne | 1423 | I 57 ET | | ge |) aya |

Tableau IX. Hauteur des alto-cumulus pendant le maximum barométrique.

Heure. Hauteur métres. Nombre des observ.
II^ 30” — 12^ 30” 2021 6
1530, 17239 I954 I4
Moyenne I974 20

Tableau X. Hauteur des nuages supérieurs pendant le maximum barometrique.

a. Cirrus.
X Incertitude probable Nombre
Heure. lauten alien, d’une observ. de la moy. des observ.
10^ 30" — 14^ 30” 6728 +1576 +336 10
16 30 —17 30 6813 » 1002 » 354 8
17 30 —18 30 7001 » 1000 » 408 6
Moyenne 6825 + 986 =k 201 14
b. Cirro-cumulus: hauteur moyenne — 5169 mètres (3 obs.) ,
IL PRÉS D'UN MINIMUM BAROMÉTRIQUE (750—757 mm).

Tableau Xl. Hauteur des nuages inférieurs pendant le minimum barométrique.

a. Cumulus.
I :
Sommet Base Epaisseur
titude = Incertitude | Nom- Incertitude
Heure Hauteur Incertitude | Nom- | Hauteur |
moyenne, probe E moyenne, probable E mètres! Probable
métres | d'une | de la mètres | d'une | de 2, d’une | de la
obs. obs.
obs. | moy. obs. | moy. obs. | moy.
11^3o"—14^30o"| 1654 4245|450| 25 | 1177 +170|+69| 6 | 477 |+302| +26
16 30 —18 30 | 1585 |» ror; » 30 |. II = = = — a = —
Moyenne | 1633

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 45

b. Nimbus.
Sommet Couche la plus basse. Nombre
——————————————
Hauteur moyenne, métres. Nombre des observ. Hauteur, métres. des observ.
1704 13 1077 19
c. Alto-Cumulus: hauteur moyenne = 1932 mètres (2 observ.).

Tableau XII. Hauteur des nuages supérieurs pendant le minimum barométrique.

ass Uus:

Hauteur moyenne, Incertitude probable Nombre des

Heure. AU : d

métres. d'une observ. de la moy. observ.
10^ 30"— 12, 30” 5306 == O70 +343 8
I2 30 —I5 30 6563 » TITS » 422 7
16 30 —19 30 7298 » 924 » I85 25
Moyenne 6771 40

b. Cirro-Cumulus: hauteur moyenne = 5705 mètres (7 observ.).

Ill. PRESSION BAROMÉTRIQUE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE
(159—163 mm).

Tableau XIII. Hauteur des Cumulo-stratus (Cumulus et Nimbus cumulo-formes).

Sommet Base Epaisseur
I —
7 .| Incertitude | Nom- .| Incertitude | Nom- Incertitude
REC wwe | probable bre Beulen: probable bre probable
moyenne, moyenne, métres
jmoy des y des
métres | d'une | de la b métres | d'une| de la Ds d'une| de la
obs. | moy. ER obs. | moy. 5 obs. | moy.
I2^30"—14^30"| 2648 Losey 183] 14 1258 (EG el 12 | 1390 Ben

A l'inspection des données précédentes on trouvera:

Non seulement qu'il y a pour plusieurs espèces de nuages une
variation assez considérable par rapport à la hauteur et aux dimensions
du nuage selon l'état barométrique du temps, mais aussi que les varia-
tions diurnes moyennes déjà trouvées (n° 18) sont notablement modifiées
par cet état.

A. Considérons d'abord les Cumulus (y compris les cumulo-
Stratus). Quant à la variation selon l'état barométrique, on trouve:

. Tandis que la hauteur de la partie la plus basse du cumulus reste à
peu près constante, la hauteur du sommet et, par conséquent, l'épaisseur du
nuage fait voir une très grande variation selon cet état. Les cumulus sont

46 N. Exaozm ET K. L. HAGSTRÖM,

le plus petits pendant le maximum barométrique, et s'aceroissent dans le voi-
sinage d'une bourrasque, mais ils atteignent cependant leur maximum pen-
dant le temps orageux, ou le cumulus prend les dimensions vraiment gigan-
tesques du cumulo-stratus, en s’élevant jusqu'à une épaisseur de plusieurs
kilometres.

Afin de faire voir plus nettement cette variation nous avons
encore calculé le petit tableau suivant, qui, pour les heures de midi
(11*—14") donne la hauteur et la quantité moyennes des cumulus pendant
les cinq états barométriques suivants, savoir

a. Maximum trés haut (769—770 mm). Juin le 30, juillet le 1, 2.

b. Maximum (765—768 mm). Juin le 28, 29, août le 10, 16.

c. Pression uniforme, temps orageux (759—764 mm). Juillet le 9, 28, 30.

d. Entre un maximum et un minimum (755—763 mm). Juin le 21,
juillet le 11, 12, 13, 14, 27, aoüt le 28, 29, sept. le 1.

e. Près d'un minimum (751—753 mm). Juin le 26, juillet le 17, 18.

Tableau XIV. Variations des cumulus selon l'état barométrique (été, heures de midi).

| " UN
| Sommet ase Epaisseur Quantité]
Haut Incertitude | Nom- Hauteur Incertitude | Nom- Incertitude es
SS probable bre probable bre ^ probable nuages
moyenne, den moyenne, dise métres C
métres | d'une| de la mètres | d'une | de la ‘ d’une | de la Pres
obs obs
obs | moy. obs | moy. obs. | moy.
a. |(pas de Gun Ing à | obserlver) | | | o
b. 1267 |--126 + 26| 24 | 1171 |+ 86| +35 6 96 |H153 + 44| 34
C. 2648 | » 686) » 183) 14 | 1258 |»265|» 76| 12 1390 |» 734! » 199| 72
d. 1597 |» 155) » 29. 29 | 1045 |» ro6| » 36 9 552 |» 188)» 46| .5r
e. 1855 |»ı72)» 61| 8 1286 |» 56| » 28 4 | 569 |» ı81|» 67| 58

On voit que ce tableau confirme parfaitement les lois qui viennent d'étre
énoncées.

En outre, en regardant la colonne intitulée: »Incertitude probable
d'une observation» on voit qu'encore cette variation est sujette à la loi
déjà trouvée pour la variation diurne, savoir que la hauteur soit des som-
mets soit des bases, de méme que l'épaisseur du nuage, est le plus variable,
d'un nuage à l'autre, d'un jour à l'autre, au temps correspondant au maai-
mum de hauteur et d'épaisseur et vice versá.

De plus, la loi trouvée pour la quantité des nuages se reproduit
aussi, cette quantité variant sensiblement dans le même sens que l'épaisseur
du nuage.

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 47

Aussi, tous ces faits s'accordent-ils tellement bien avec la théorie
généralement admise pour expliquer la formation des cumulus, qu'on
aurait pu les déduire tous à priori de cette théorie.

En effet, ces nuages étant engendrés par le courant ascendant du
jour d'été, courant trés irrégulier A cause de l'équilibre instable de l'air
chauffé par le soleil, toutes les causes qui reuforcent ce courant doivent
augmenter les dimensions et la variabilité de ces formations de nuages,
et vice versá. Or évidemment les courants ascendants des minima baro-
métriques, soit des grandes bourrasques, soit des petites dépressions
locales pendant un temps orageux, sont de pareilles causes renforcantes.
Le courant descendant des maxima barométriques doit avoir un effet
contraire.

Considérons encore un cas spécial et extréme, qui offre quelque
intérét comme une illustration de ce qui vient d'étre dit.

Tableau XV. Sommets de cumulo-stratus entourés de faux cirrus et qui à peu pres
se dissolvent eux-mémes dans des lobes de faux cirrus.

Juillet le 28, heures de midi.

Sommets des Cumulo-stratus. Faux cirrus qui les entourent. Différence de hauteur,
Hauteur, métres. Hauteur, métres. metres. ö
2826 2118 708
5133 3231 1902
4068 —— ——
TEES 4703 aa
Moyenne 4009 3321 1305

On voit que les sommets des cumulo-stratus peuvent s'élever de
plus d'un millier de métres au-dessus des couronnes de faux cirrus qui
les entourent. Or d’après l'opinion généralement admise et qui semble
bien fondée, les cirrus sont composés de petites aiguilles de glace flot-
tant dans l'air, tandis que les cumulus, au contraire, se forment de pe-
tites gouttelettes d'eau liquide. Il s'ensuit done que, pendant le temps
orageux, des masses d'air d'une différence considérable de température
et d'humidité peuvent se trouver placées l'une prés de l'autre le long
d'une surface presque verticale de plusieurs kilométres carrés. De là
resulte qu'alors des masses d'air énormes se trouvent dans un équilibre
extrémement instable, ce qui pourra trés facilement donner naissance à
une éruption brusque et violente.

48 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Reste à considérer les modifications de la variation diurne causées
par l'état du temps, en tant que cela est possible à l'aide de nos don-
nées incomplètes. Il parait donc probable que la variation de la hau-
teur de la base et de l'épaisseur du nuage va en méme sens pendant
tous les états barométriques, quoique beaucoup moins prononcée pen-
dant le maximum. La hauteur du sommet, au contraire, semble rester
presque constante pendant ce temps-ci En général on peut dire que
plus le temps est nuageux, plus la variation diurne des cumulus est grande.

B. Nimbus.

Dans le Tableau XI 5. on trouve la hauteur de la couche la plus
basse des nimbus pendant les observations faites dans le voisinage d'un
minimum. Elle est de 1080 métres, par conséquent un peu plus basse
que la base des cumulus. Ce chiffre, assez difficile à déterminer, doit
pourtant, comme nous l'avons déjà dit, être un peu trop grand.) En
outre, les nimbus pendant l'été tendent toujours à prendre la forme, plus
ou moins bombée, des cumulus, phénoméne qui se présente lorsque le
ciel commence à s'éclaircir. Pour les sommets de ces nimbus nous avons
trouvé la hauteur moyenne de 1700 métres, hauteur un peu plus grande
que celle des sommets des cumulus typiques observés prés d'un mini-
mum barométrique, ce qui s'accorde avec la loi trouvée pour la variation
des cumulus selon l'état du temps, vu que les nimbus se présentent, en
général, plus prés du centre de la dépression que les cumulus.

Pour les jours des 17—19 juillet, oà nous avons obtenu de bonnes
observations sur les nimbus, nous avons calculé le tableau suivant qui
donne la hauteur moyenne des nimbus pour le minimum de la dépres-
sion barométrique, de méme que pour le temps immédiatement succé-
dant, ou le barométre à commencé à monter.

Tableau XVI. Variation de la hauteur de la couche la plus basse des nimbus selon
la pression barométrique.

Date. Pression Hauteur moyenne, Incertitude probable Nombre
Juillet. barométrique. métres. de la moy. des observ.
mm
17—18 751—750 (baisse) 1014 +19 15
19 753 (monte lentement) 1316 » 12 4

"On voit que la hauteur de la couche la plus basse des nimbus
varie en méme sens que la pression barométrique, ce à quoi ou pouvait
bien s'attendre.

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 49

OC. Les Alto-cumulus ne montrent pas, non plus, de variation
selon l'état barométrique.

D. Nuages supérieurs.

Les tableaux X et XII ne semblent pas indiquer de variation de
la hauteur moyenne de ces nuages selon l'état barométrique.

En revanche il semble résulter de ces tableaux que la variation
diurne des cirrus est beaucoup plus grande dans le voisinage d'une
bourrasque qu'au milieu d'un maximum barométrique. Il faudra de nou-
velles observations plus nombreuses pour décider si ce fait a ld portée
d'une loi générale.

20. Mouvement vertical des nuages. En étudiant le mouvement des
nuages, nous chercherons d'abord à déterminer, à l'aide de nos obser-
vations, sil y a une translation verticale des nuages. Pour cela, nous
avons calculé la vitesse verticale de tous les nuages observés plus d'une
fois, de méme que l'erreur moyenne de cette vitesse, d'aprés la méthode
développée aux n° 9 et 16.

Il ne vaudrait pas la peine de reproduire ici in extenso les ta-
bleaux de ces vitesses, car ils ne présentent rien de régulier. Il faut
attribuer cette irrégularité à l'une des deux causes suivantes ou bien à
lune et l'autre à la fois. D'abord le phénoméne, qui a lieu dans la na-
ture, peut être lui-même irrégulier, en tant que le mouvement vertical
d'un point de nuage peut varier par rapport au sens et à la vitesse,
d'un nuage à l'autre, d'un jour à l'autre. Puis il y a les erreurs d'ob-
servation. En tous cas ce ne sera qu'en formant des moyennes con-
venables que l'on pourra découvrir quelque régularité dans ce phénoméne.

Pour ce but nous avons calculé la vitesse verticale moyenne des
cumulus, de méme que celle des cirrus, pour les différentes heures du
jour pendant lesquelles il y a des observations répétées. On a fait ce
calcul comme dans l'exemple numérique donné au n° 16, c'est-à-dire on
a calculé la vitesse moyenne

1) en donnant le même poids à chaque observation,

2) en donnant à chaque observation le poids déterminé à l'aide de
son erreur moyenne;

de plus, pour chacune de ces deux moyennes on a calculé lincer-
titude probable R, de méme que l'erreur d'observation probable R'.

Nous avons adopté ces distinctions pour la raison suivante.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1

50 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Si la première des deux causes de l’irrégularité des observations,
savoir lirregularite du phénomène lui-même, existait seule ou bien si
elle prévalait beaucoup sur l'autre, savoir les erreurs d'observation, il
faudrait évidemment donner le móme poids à toutes les observations,
afin d'obtenir la moyenne la plus probable. Si, par contre, la seconde
cause prédominait, on devrait déterminer, afin d'avoir cette moyenne,
le poids de chaque observation à l'aide de son erreur moyenne. En gé-
néral done, supposant que chacune des deux causes ait une influence
sensible, la moyenne cherchée doit avoir une valeur intermédiaire entre
les deux moyennes dont nous venons d'indiquer la méthode de calcul.

De plus, une comparaison des valeurs de R et de R nous donne
le moyen de juger, au moins approximativement, laquelle de ces suppo-
sitions correspond au cas actuel. Car si la premiére cause d'incertitude
prévaut sur la seconde, l'incertitude totale À doit être beaucoup plus
grande que l'incertitude A due aux erreurs d'observation; si, au con-
traire, la seconde cause prévaut, R aura à peu pres la méme gran-
deur que A. |

Faisant ce calcul, nous avons obtenu les données suivantes:

Tableau XVII. Vitesse verticale moyenne des cumulus (partie supérieure).

Poids égaux Poids inégaux
Nom-
Vitesse : Erreur | Vitesse "m Erreur à

5 I rtitud I "titud bre

Heure verticale Bee aes d'observ.| verticale dens ee d'observ.
probable probable des

moyenne, probable|moyenne, probable
métres | d'une de la | de la | métres | d'une de la | de la | obs.

par sec observ. moy. | moy. par sec observ. moy. moy.

11^ 30? — 12^ 50" | — 0.34 | 0.69 | # 0.20 | H- 0.13 | — 0.13 # 0.64|+0.18|/+0.03|] 12

I2 30 —14 30 |—0.30| » 0.35 | » 0.13 | » 0.22 | — 0.26 | » 0.35 | » 0.13 | » 0.06 7
16 40 —18 o |4-0.44| » 1.08] » 0.29 | » 0.18 |+ o.32| ” 0.58 | » 0.16 | » 0.04] 14

Tableau XVIII. Vitesse verticale moyenne des cirrus,

Poids égaux Poids inégaux

— - Nom-
Vitesse | Incerti- | Erreur | Vitesse | Incerti- | Erreur | bre
Heure verticale tude pro- d'observ.| verticale tude pro-|d'observ.| des

moyeune, bable |probable|moyenne, bable probable
métres | de la de la | mètres | de la | dela | obs.

par sec. | moy. moy. |par sec.| moy. moy.

10^30"—r4^39" — 0.04 |-E 2.40 | -E 3.53 | — 3.15 |: 1.69 | -E 2:05 |. 12
16 30 —18 30 | — 0.35 |» 2.65 | » 2.27 | — 0.06 |» 2.17 | » 1.39| 19

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 5l

Dans ces tableaux le signe + représente un mouvement de haut en bas,
le signe —, un mouvement de bas en haut.

On tire du Tableau XVII les conclusions suivantes, pour ce qui
concerne le mouvement vertical des parties supérieurs des cumulus:

1) Ces nuages sont doués d'une translation verticale moyenne,
probablement réelle et non pas due aux erreurs d'observation, dirigée
de bas en haut pendant les heures du matin et de midi, et dirigée de
haut en bas pendant les heures du soir;

2) l'incertitude ou variabilité de cette translation est pourtant
tellement grande que, pour un nuage isolé, elle semble égaler au moins
le double de la valeur moyenne de cette translation. i

Quant à la probabilité de ces énoncés, il faut remarquer qu'elle est
considérablement augmentée par ce fait que les deux méthodes de calcul
donnent sensiblement le méme résultat. De plus, on voit que ces lois
concordent à merveille avec les lois trouvées aux numéros 18 et 19 pour
la variation diurne de la hauteur moyenne des sommets des cumulus.

Pour ce qui concerne le mouvement vertical des cirrus on trouvera,
à l'inspection du Tableau XVIII, que ce mouvement, s'il existe, est d'un
ordre supérieur aux erreurs d'observation (comme nous l'avons déjà
indiqué au n^ 16). Toutefois, comme les deux méthodes de calcul don-
nent le méme sens du mouvement, il est bien possible qu'effectivement
ces nuages aient une translation dirigée de bas en haut. S'il en est ainsi,
cela s'aecorde également trés bien avec la loi déjà trouvée (au numéro
18) pour la variation diurne de la hauteur moyenne des cirrus.

Ainsi les résultats de cette recherche, quoiqwils soient peu assu-
rés en eux-mémes, confirment les résultats antérieurement trouvés par
une vole tout à fait différente et indépendante de celle-ci.

21. Mouvement horizontal des muages. Les données fournies par
nos mesures du mouvement horizontal des nuages sont contenues dans
les deux tableaux suivants. A cause d'une comparaison nous y avons
joint les observations simultanées sur le vent à la surface terrestre, faites
à l'observatoire.

52 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,
Tableau XIX. Marche et vitesse des nuages inférieurs.
Nuage Vent à l'observatoire

Date Heure Espéce de nuage Hau- | Direc) Vi 3 5 Vi
teur | tion | tesse een tesse
Juin 28|r3^"33"| Petit Cumulus au S, sommet | 1144 | 163°| 6.4 | 180° DE
» 113 40 | Petit Cumulus au S, sommet | 1050| 172 | 3.6 | 180 un peu variable! 3.5
29/12 2 | Petit Cumulus au S, sommet| 980| 227 4.8 | 170 variable 2.0
Juillet 9g|rr 45 | Cumulus prés du zenith . .| 1446| 185 4.7 1186 id. 28
»|rr 57 |Cumulus, sommet...... 1305 | 191 | 3.3 |180 id. 3-5
» [12 6 |Cumulus, sommet. . . . . . 2382| 217 4.3 | 175 id. 395
11/16 4o | Cum. ou Str-Om, point del'E. | 1376 | 347 1.0| 310 id. 2.0
» |16 49 | Cumulus, petit flocon 1462| 296 | o.7]|305 id. 1.9
D lig me | Petit CMS > 8% s 5c I421| 354 3.9 |350 id. 1.8
» |17 23 |Cumulus, sommet. . . . .. 1515| 344 mo eme d 2.1
» |r7 28 |Cumulus prés du zénith . .| 1397| 294 | 2.1|350 id. 208
» 17 29 leMMÉMENUASER EEE 1397 | 64 | 4.4 nal. 2.2
13117 7 |Cumulus, sommet..... .|1859| 93 7.3) 57 stable 5.6
» 17 58 |Cumulus typique, sommet .|1476| 85 | So! 52 id. 5.2
»|18 5 |Cumulus prés du zénith . .| 1536 | 105 Boa) Gu Tél, 5.2
» [18 8 ll (EMG WHALE. à + do 5595)! SG | Bor) se — il, Hoi
» 18 18 |Cumulus, sommet...... 1491| 88 | 8.3| 5o id. Bat
» |18 23 ll MÊME so 85 0 60 0 1491| 97 Oa |) GO mel 5-1
14/13 38 | Cumulus, sommet..... . 1728| 85 2.1||145 variable Te]
» 113 45 |Cumulus, sommet. . . . . . 1674| 95 5.5|118 id. 1.7
15/13 45 | Cumulus prés du zénith . .| 1366 | ror 7.3 || 67 assez stable 5.6
17/17 11 | Nimb. cumulo-forme, sommet | 1888| 48 | 14.1 | 60 stable 4.9
yng we [INOS GCN EEE" 1O12 $a ws Gee uel 4.9
DE now |e NAmb siecle c htnc cM oc va vo 1040| 44 | 13.3] 59 id. 4.9
» | ex [Nin dédiés o 2 o 0 00 1015| 48 | 8.9| 56 id. 5.1
» 17 40 |Nimbus, sommet ..... . 9o2| 60 | 10.0] 55 id. 5.1
GTA me. Nett INOS e e c o 0 5 5c 1026 2a o3! 2 VARDAG Nera | 705
» |T2 So | DIDUS s à 59509923 1105 | 67 TN 35 id. au NS
plug 7 Bes Owl sssoscs wal Se | nus ge d I |. tsm
»me 28 | ANONNSUINE oo 5 o 9 o «9 1970| 72 | 13.4| 55 stable 7-9
Ho mec PER NDS à © 6 à 5 5 0 3 1346| 65 | ro.8| 50 assez stable 7-1
D ma Sa NONE o o o9 055959 1290) ÖS) ESSI TEE: 7.0
» r7 53 |Nimbus, sommet ...... meg. ms 9.8 | 38 stable 6.0
»|r8 x Nimbus, sommet ...... 1528| 59 7.6] 38 id. 5-9
Anns gu ||\CimmmlMs. 5 55555050 0 1388| 63 4.7 | 45 assez stable 4.4
AS |e BA NINMMDIR 5 5 > 69506004 6 2318| 44 | 4.3| 80 variable Bos}
seg se ES sv sd coop ck 2860| 290 | 13.2 |277 assez stable 4.6
Aoüt ro|r2 ro | Cumulus, sommet. . . . . . 1208| 345 5-2! amend. 4.1
»|r3 12 |Cumulus, sommet...... 1360| 343 5.5 |315 id. 4.2
Hire | mas o oc 6 66 600 8 1486 | 319 4.5 | 355 variable 4.4
1012 22 ONE. à 53395 1232| 98 5.9 | 60 assez stable 3.2
20515 VAlltoscumulusge 5 5 «9 oo 2062| 344 1.9 | 28 variable 1.8
» ne my WCmmONS > 505505005800 1483] 279 o.7 035 id. ing
28\11 36 |Cumulus, sommet. . . . . . 1770| 51 3:9) 28 i 3.9
»|m7. 35 juan o 5555000000 1410| 74 | 4.5 | 29 assez stable 2:9
29/10 57 |Cumulus prés du zénith . .| 1088| 28 | o.9| r6 assez variable | 2.4
pan, à (umen à à 3 6 550005 1183| 58 | o.6| 20 variable 2.4
Sou, TTT 36 jOmmwhG os 00006600 I940| 324 | 3.711315 id. I.9

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 58

Tableau XX. Marche et vitesse des nuages supérieurs.

Nuage Vent à l'observatoire

Date Heure Espéce de nuage HanaliDirgeseys: : 3 Vi
teur | tion | tesse Direction tesse

Juin 27 114 16m) Cirrus, OBO: o o m5 o ome 16586 109° 11.8 | 230° variable 4.3
DE E22 nus» petit) HOCOME Su. 4423| IIO 8.0 || 200 id. 4.1

DM mero RATE CE GMs 5 5 55 5 oo 4254| 119 7.6 | 215 id. 3.9

» III 47 |Cirro-cumulus, petite tache|5847| 122 | 10.8 | 220 id. i2

BS DER oO CUS vale: nel ee: 7518| 181 | 41.7 | 180 id. 8.3
NTO QS Ke: WANG EN o 5 5 6497 | 185 | 28.3 | 190 id. 8.5
DOM [Cras Ties) 58 ooo oe 8156| 183 | 34.9 | 190 id. 8.5

» |16 52 |Cirro-cumulus (ou Al-Om)|5r71| 173 | 8.6 190 id. 8.5
Juillet 12/17 59 | Cirrus mince, petite tache?) | 6077 | 359 7.7 | 20 stable 5.6
» |18 rs |Cirrus, petite protubérance?)| 7097 | 46 4.4| 20 id. 5.4

De POS AIO CUMUIUS EN si oo 4361| 70| 6.8| 57 id. 5.5

m ny? choy | Crier 3 6565! 57 | 18.0] 55 id. 5.2
mala eS. | Panis (CNRS) 6 5 5o goa 6706| 69 | 15.4| 62 id. 5.5

TU En ONE Op S cere ee: 6701| 53 | 25.0] 53 id. 5.2

»- [n BR | CWS 596 5 6 6 5616 cso TE TC 7228| 56 | 27.0| 50 id. sg

DE exces eam Circus Ct 1354 02352 STON Sv id. Son
19|17 45 |Alto-Cumulus?) . . . . . . . 4251| 56, 19.4 | 38 id. 6.5
[28 ms AG (Hause OOo go MN 3219| ro2 3:9 | 67 très variable 3-5]
NoWUE» omo (Cmmus, rate... 0.000: 5989| 29 8.7 || 22 variable 2.4

') Hauteur et vitesse du nuage trés incertaines.

?) Observation incertaine.

3) Bonne observation (moyenne de 2 observations).
4) Observation trés assurée (moy. de 9 observations).
5) Bonne observation.

Dans les tableaux précédents la direction est comptée du S vers
VW depuis 0° jusqu'à. 360°, la vitesse est donnée en mètres par seconde.

Ces données, quoique peu nombreuses, pourraient donner lieu à
plusieurs recherches. Nous nous bornerons cependant à la suivante:
Déterminer approximativement la variation diurne de la vitesse du vent
dans les régions des nuages inférieurs et supérieurs.

Pour ce but nous comparerons la vitesse moyenne pour les heures
de midi (11"—14") avec celle pour les heures du soir (177— 18^.

Ainsi, en calculant tout simplement les moyennes arithmétiques
des vitesses pour ces heures, de même que les hauteurs moyennes corres-
pondantes, on aura

54 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

Tableau XXI. Variation diurne de la vitesse du vent supérieur.

Nuages inférieurs Nuages supérieurs Verne à Websennnieine,

| = Vitesse moyenne pour

Heure | Hauteur| Vitesse. Nombre Henne | Hauteur Hs Nombre s SENE ben ae
r |moyenne,' As '| des moyenne, LR des COO COS ED Ed

moyenne | métres | observ. | Moyenne | mètres observ. |. sås >

par sec. | par sec. inférieurs Ir:
12? 41" | 1558 | 5.96 | 28 12 Oj | 5900 | 14.86 1 4.12 4.60
m^" me I407 6.93 | 9 17 34 6320 | 18.73 II 4.13 6.29

Il semble done que le minimum de la vitesse du vent supérieur
ait lieu pendant les heures de midi, tout contrairement, comme on le sait
bien, à ce qui se passe à la surface terrestre.

En effet, à l’aide des indications de l'anémométre enregistreur de
l'observatoire, placé à une hauteur au-dessus du sol de 6 mètres, on a
caleulé pour les heures correspondantes: *)

Tableau XXII. Vitesse du vent à la surface terrestre.

Moyenne de 6 ans, été (juin-- août).

Heure Métres par sec. Heure Métres par sec. Heure Métres par sec.
12^ 41^ 4.78 12^ gm 4.74 11% 59? 4.73
17 32 4.38 17 34 4-37 17 38 4-35

La conclusion tirée du Tab. XXI est cependant trés incertaine,
parce que la moyenne pour les heures de midi et celle pour les heures
du soir sont formées d'observations faites, à peu d'exceptions prés, pen-
dant des jours différents. Aussi les deux dernières colonnes du Ta-
bleau XXI font-elles voir que la variation du vent inférieur pour ces
mémes heures va en sens inverse de la vraie variation moyenne.

Afin d'éliminer, autant que possible, l'effet de cette discontinuité
des observations, nous avons encore fait le calcul suivant. Représentant
par v la vitesse du nuage et par V celle du vent à la surface terrestre

observée simultanément, nous avons caleulé, pour tous les v observés,

le rapport - uis la moyenne de tous ces rapports, de méme que
PI y? p y pp , q

l'erreur probable de cette moyenne, séparément pour les nuages infé-
rieurs et supérieurs et pour les heures de midi et celles du soir.*) En-

1) Voir le traité déjà cité de M. Hjeltstróm, Tab. I.

2) Dans ce calcul, comme il y a, pour les nuages supérieurs, deux observa-
tions assez incertaines, savoir 41.7 et 34.9 métres, nous avons donné au rapports corres-
pondants un poids = } de celui des autres observations.

PI apes ee 3

en

——————————————— nn

FST EN

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 59

suite, multipliant chaque moyenne et son erreur probable par la vitesse
moyenne correspondante du vent à la surface terrestre, donnée dans le
Tableau XXII, nous avons trouvé:

Tableau XXIII. Variation diurne de la vitesse du vent supérieur, calculée par le
rapport +.

Nuages inférieurs Nuages supérieurs
BE Jitesse B CE Ji 3e
5 B = E E 25 Vitesse . 32 gE 6 ©: Vitesse
Heure e 2 ge Sn e OLD) Heure ERS = «i 4 S ES, =e moyenne,
SES à g"|Métres| Erreur foc : = &,"|Métres| Erreur
moyenne |G 5 2 Soon moyenne |& E © ol © & |
EM Isi [c] _ =| par pro- a 5 É E S'S| par pro-
; Ye & $| sec. | bable 5 NEF sec. | bable
12^ 41" | 1558] 1.40 | + 0.086] 6.69 +0.41| 11/59" 5710| 2.76 | Ho.22| 13.1 |-- 1.04
7232 1407| 1.59 | » 0.110] 6.96 |» o.48| 17 38 |6180| 2.90 | » 0.34 | 12.6| » 1.48

Il résulte de ce tableau,
pour ce qui concerne le vent à la hauteur des nuages inférieurs:

1) d'aprés toute probabilité le rapport entre la vitesse du vent à la
hauteur du nuage et celle du vent à la surface terrestre s'accroît à partir
des heures de midi vers les heures du soir;

2) il paraît probable que le minimum de la vitesse du vent à la hau-
teur du nuage a lieu pendant les heures de midi, c’est-à-dire en même temps
que la vitesse du vent à la surface terrestre atteint son maximum.

Pour ce qui concerne le vent à la-hauteur des nuages supé-
rieurs, nos données ne suffisent pas à trancher la question.

On voit que ces résultats s'aecordent avec la théorie donnée par
M. Wr. Köppen, de même qu'avec celle donnée par M. H.-E. HAMBERG,
pour expliquer la variation diurne de la vitesse du vent, théorie dont la
premiere idée, selon M. Köppen, est due à Espy (1840)". Il va sans
dire, vu l'état incomplet de nos données, que nous ne saurions con-
stater ici un tel accord que dans des traits grossiers.

1) Voir la »Zeitschrift der Oesterreichischen Gesellschaft für Meteorologie»,
XIV Band, 1879, p. 333—349. Dr J. Hann: Die tägliche Periode der Geschwindigkeit
und der Richtung des Windes. Referat von Dr WI. Köppen in Hamburg.

Ibid. p. 377. Zur täglichen Periode des Windes. Von Dr Wl. Kóppen.

Ibid. p. 318. Zur täglichen Periode der Windstürke. Von J. Hann.

Ibid. XVI Band, 1881, p. 26. Verstärkung des Windes durch den Regen.

Bihang till K. Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar 1880, Band 5, N? 24

et Ibid. 1881, Band 6, N? 5, Sur la variation diurne de la force du vent par

H.-E. Hamberg, 1 et 2.

56 N. EkHoLm ET K. L. HAGSTRÖM,

VI. CONCLUSIONS.

En commençant le calcul et la rédaction de ces observations sur
les nuages, faites pendant les mois d'été de cette année (1884), nous
n'avons guére espéré d'en déduire de résultats généraux d'une valeur
ou d'un intérét direct pour la science météorologique. C'est que la série
des observations nous a paru beaucoup trop courte et trop peu nom-
breuse. Notre but principal en publiant ce travail a été de faire connaitre
aux MM. les météorologistes une méthode générale, commode et exacte
pour tous les cas, de mesurer les hauteurs et les mouvements des nu-
ages. Car si les undRdeucllseferies conviennent de faire ces observations
simultanément et continuellement aux diverses observatoires météorolo-
giques du globe, la valeur pour la science en sera presque inappréciable.
La météorologie fera ainsi une véritable conquéte d'un domaine jusqu'ici
inexpugnable. A ce point de vue nous avons fait de notre mieux pour
pousser l'exactitude de nos observations et de nos calculs aussi loin que
possible. Il est vrai que, s'il ne s'agissait que de déterminer la hauteur
moyenne des nuages, cette exactitude serait en grande partie superflue.
Mais comme les mesures sur les nuages ne sont qu'un moyen et le seul
moyen facilement accessible, de déterminer le mouvement dans les régions
supérieures de l'atmosphère, probléme capital de la météorologie moderne,
tout degré d'exactitude est désirable.

Afin de satisfaire à cette condition nous avons donc:

1) examiné soigneusement les appareils employés pour nos me-
sures (n? 1 et 2); 3

1) adopté des méthodes de mesures générales et propres à dé-
terminer la position et le mouvement des nuages pendant les états
de temps les plus divers (n^ 3 et 11);

2) cherché une méthode sûre et simple de contrôler et d'assortir
les observations, et une méthode exacte de calculer les coordonnées du
point pou de méme que les erreurs moyennes des coordonnées
(n® 4—10, n° 12);

3) i en dernier lieu, comme il faut faire des masses d'observa-
tions, nous avons cherché, autant que possible, à abréger et à simplifier
les calculs numériques (n^ 13—16).

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 57

Comme un exemple instructif du degré d’exactitude dont notre
méthode de mesure sera capable, nous renvoyons à l'exemple numérique
du n° 16. Si, néanmoins, nous n'avons pas encore, À beaucoup près,
atteint l'exactitude à laquelle nous avons aspiré, c’est que la base em-
ployée pour les mesures s'est montrée trop courte par rapport aux
distances mesurées, défaut auquel on espére de pouvoir remédier dans
un avenir prochain.

Quant aux résultats météorologiques, déduits de nos observations,
nous renvoyons à la dernière partie de ce traité (n? 17—21). Si, mal-
gré le nombre restreint des donnés fournies par les mesures, nous
avons réussi à prouver quelques lois d'une portée générale ou du moins
à les rendre probables, nous croyons devoir l'attribuer principalement
à ce que la généralité et l'exactitude de la méthode d'observation a
suppléée en partie à l'insuffisance du nombre des données.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8

58 N. ExHoım ET K. L. HAGSTRÖM,

VII. LISTE DES OBSERVATIONS.

Remarque. Dans ce traité l'heure est donnée en temps moyen civil de Suède, lequel est en
retard de 10" 165 sur le temps local. Comme ce temps-ci est employé dans le traité de
M. Hjeltstróm, on a eu égard à cette différence pour les calculs du n° 21.

E
1884. Coordonnées cal- ae E gl
Angles mesurés aux Il == Ella
E culées pee sEls°2
Date t théodolites : sö: ll Sö
Espéce de nuage (en métres) ERE STEEN
x 598 SES
" nso 2. =
EGRUS m Mme eg [UA Tm y 2» | = el À
Juin 26 a D a $ d
I: VA OT NOs 5 23/80 5 0 5 0 «e id 82.90| 72.55 2217
I4 O Bett Oh a kg 0 0 8 0 © 85.63| 76.58 1336
| IG SNS ES de 0 9070 82.97| 79.67 1377
leumemeg m PEE 74.63} 86.00|| Ces | mesurles ont | été fai-| 1220
À 3 vat, | 42-88] 49.83), tes | dans |le vertilcal des| 1808
oo. posso 39.47] 47.00 théo|dolites. | 1492
i 34-30) 39.17 1765
DEO Contour dun Cm...... 39.03] 34.80 2048
4 3 U FleSmeme a e RN ES 40.87| 36.17 1983
e [o CM ra 040, 0^ ondes 0 O 23.55| 25.23| 341.33| 339.61 3692| — 1264| 1674| 58| 0.409
uin 27
II 15 (Di, WOEGOM. 5000000006 56.13] 59.00] 34.50 36.65) 3139 2083| 5638 | 125 | 0.535
1160 38) Ie TAOS’ a od 0006004 56.30] 58.80) 22.83] 24.77 4018 1676| 6538| 31] 0.115
Wm nO © IG TAM © ov 00 0 o ane 56.30| 58.00| 12.92| 14.92 5373 1275 8231 | roo | 0.286
Jui BH BO lm pu» OO s o pco 48.45] 47.33] 240.50| 235.08] -- 1886| — 33211 4346 | 52| 0.254
HR 22 ws Ja mW > eo 260 0000 46.28| 45.50] 246.33| 241.25| — 1717| — 3906| 4496 | 45 | 0.205
ni 32 Petit Cm, sommet ..... 32.80| 43.17| 354.50| 350.92 1320] — 135] 852| 17] 0.352
1136 Cm, point le plus bas . . . | 51.55| 53.33) 292.58| 263.75 332| — 802| 1087 9 | 0.190
II 40 Cm, point le plus bas . . . | 65.80] 82.63| 349.75| 320.87 544| — 99] 1231 2| 0.044
up hy AG TRIG Gs (Geo soo d 0 © bot 54.13| 54.83] 286.92| 278.93 875, — 2885| 4158| r4 | 0.081
II 42 45 | leMÉME Mme Aone KS 50.55| 50.92| 288.72| 282.92 1278| — 3755|4782| 51| 0.235
II 43 45 lg MEME g65 50000080 47.22] 48.00 291.17] 285.33 1433| — 3698| 4270| 21] 0.106
11 46 o|(Cr-Cm, petite tache . . . .| 51.20| 48.92| 192.83] 191.62] — 4632| — 1035| sgıı | 40| 0.149
Hu a Gg | TO MHA Coen ooo 0 6 52.70] 50.48] 201.58] 199.40] — 4132| — 1619| 5841|| 35] 0.135
II 48 o WO WOME MEE 53.70| 51.52] 208.50] 205.75] — 3748| — 2022 5812| 27] 0.103
[72 © 12 | Chin, Kommen .sosonsoc 43.12] 44.47| 71.08] 95.58 327 955| 943 5 | 0.105
Juin 28
ng 28 Be (er TIO HERB on 9205 25.80] 26.30] 10.20| 10.37| 19390| 3478| 9525 || 211 0.028
I3 30 20 la MÊME : à 45292000 0 21.30|21.80| 9.45] IO.40| 14135 2435| 5579 || 164 | 0.308
13 32 o [Petit Cm, sommet ..... 31.88| 38.53] 14.95| 19.07 1804 480, 1162 5| 0.072
13 24 m \ Je méme à p. p. dissous 23.30| 27.20| 7.62! 9.03 2590 345| 1126 I| 0.015
I3 36 o| Petit Cm, presque dissous |69.95| 85.80] 11.62] 74.47 445 90| 1245 3| 0.072
I3 39 30 [Petit Cm, point W..... 38.05] 48.25] 0.45) 0.53 1390 10| 1089| 43] 0.759
13 41 45|' le méme, point E ... . | 28.63] 35.27) 354.28] 354.53] 1845, — 160| 1010] 48} 0.718
ng aia 19 | Cl, SOMA so ooo a0 0 63.03) 51.72] 163.45] 168.70] 700 219) 1461 | 28] 0.465
13 48 3o| Cm, sommet..... ©. .| 48.12] 57.13) 31.45| 50.57 898 563 1164] 35] 0.675
iw © 20 | Cr NC 655400500 do 63.871 67.47, 329.53) 321.70 1810] — 1081|4275| 36| 0.222
n$ m e| CT BEG saodvado 61.38| 63.47| 315.28| 310.67 2634| — 2592| 6798| 32] 0.121
1637 Oo | NG ÈS 5555055008 46.30] 48.43] 342.62] 342.20] 5598| — 1707| 6132|| 87| 0.299
16 39 o | lg MÊME » 5900600000 35.13| 36.38] 353.20) 352.07] 9325| -- 1113| 6607 4| O.OII
16 41 o lg MÊME op aon nooo 0 27.30] 28.30] 358.12) 358.37 9692| — 291|4998| 55] 0.147
16 45 o |fCr mince, (pointé incertain) | 53.05] 55.97] 9.20] 9.67 4086 639| 5466| 68 | 0.289
FÖRA Zr) { IG WANG sv oo 0 à , « - «| 38.60] 39.63] 9.70! 10.03] 11545 1970 9351 || II| 0.022
16 50° o ( Cr-Cm (Om NECK) 56 6 6.5 58.30) 60.47] 320.78] 316.70 3051| — 2487] 6384 | 13] 0.052
16 52 o lc MÈME à 900 > Paca! oc o 41.47| 44-13| 351.12| 350.62 4687| — 719|4192| 27] 0.126
16 54 0 ( IG TG ooo 50600680 29.55| 30.80) 1.78] 1.82 8695 266 4930| 13] 0.037
16 57 ol Cr, en forme d'une aile . .|23.67| 23.43] 228.45| 227.53|—13050, — 147201 8636 | 16] 0.0021
17 3 ol Autre point du méme . . .!29.03| 29.63! 291.20 289.37 4232|— 10880] 6517 | 70| 0.150
um ug Oi, LOMME à 50 09 aove 29.17| 31.97| 315.03| 308.95 2131|— 2142|1687| 18] 0.154
17 20 Petit Cm, sommet ..... 27.50| 31.22] 21.12| 24.83 2572 993| 1431 6 | 0.061
uu em Petit Cm, sommet ..... 44.53| 52.33| 21.87| 30.37 I414 587| 1491| 43| 0.610
17 28 Str-Cm ou Al-Cm...... 29.70] 33.97| 339.42| 336.03 2504| — 933|1529| 15| 0.151

— Tem t

—————————————————————————————————

1884. Angles mesurés àux Sure zm | E
- d | culées Belg
Das Espece de nuage ended | (en métres) Sels
et IE
=
Mute hy h, a, | a, x y 2 E
Juin 29 0 | 0 0 | 0 | | 0
I2^ om os Petit Cm, sommet .....|I8.53| 21.63] 354.62| 354.20 2807| — 253| 946| 22| 0.229 74
I2 T 40 Ipimemer ES aes cn 18.03] 20.67| 2.45 2.87 3070 132| 998 4| 0.036 33
12,3 10 ( ll FRÈRE" SMS 16.78| 18.67 8.15| 9.82] 3302 486| 997 | 33] 0.283 | 120
127 SS InPeutu mo: «o9 s eis 53-12] 64.97| 327.62| 304.83} 730| — 454|1153| I9| 0.393 28
I2 9 NME MEME en. sous eun 49.03| 63.43| 348.78| 340.48 946| — 187) 1111) I| 0.029 6
I2 I7 O| Petit Cm, sommet ..... 51.37! 67.67] 353.12. 347.87) 855|— 98|1078| 12] 0.260 18
15 52 50 | Al-Cm ressemblant à Cr-Cm | 42.53) 39.57| 111.08| 120.05| — 789 2071| 2005] 45] 0.422 | 117
16 1 30| Al-Cm, de méme ...... 41.621 47.05| 26.72| 31.87 2013 1001/12007 | 25| 0.251 81
16 Al-Cm, partie inférieure . . | 38.28) 40.23] 53.00! 61.58| : 1533 2046 1993 | 43| 0.389 | 115
I6 13 I5 | Al-Cm, partie supérieure. . | 28.12| 26.65| 132.83| 137.00] — 2750 2961| 2166 | 14 | 0.086 64
Juillet 9
LE eut TON mo se sås ehe Roses 73.25) 63.13! 122.20 149.77| — 242 385) 1511 I| 0.013 à]
AO ILE meme. 4. tz 65.42] 69.50] 54.12| 95.57 370 513| 1381 4| 0.070 9
II 50 (Bir a.a ou Sch oa Oy Rae Come 70.75| 69.80] 75.28] 119.60 137 510| 1547 | 25 | 0.431 45
II 54 On Somme ES . - | 48.42] 40.30] 174.28] 176.30] — 1121 106| 1290 || 30| 0.467 7
I2 0 30 | AS MÊME M 5 I ace cis > 68.78| 66.05| 80.08| 122.93 91 513, 1355 | I2| 0.236 21
I2 2 50 | Cm très petit, detaché. . .|43.88| 39.22) 244.08) 229.93| — 570| — 1177| 1256 4| 0.065 12
CR m; SOMME..." 54.081 47.88| 171.58| 173.63| — 1640 236|2288| 13] 0.129 54
PRO ole meme? sese 2 + + 59.25) 52.88] 161.53| 165.77| — 1398 464 2476| 6| 0.059 | 37
posu GM SOMMEL wire. «2 = 53-55| 55.27| 292.95| 277.02 594 1410| 2060| 15 | 0.173 42
Bean Cimidechine 2... un... 63.92| 74.08| 344.95| 335.77 936| — 241|1979| 19| 0.256 50
AMOR OMC, sommet NN. 22% | 74.88| 69.85] 234.70] 217.07| — 479 679| 3075 3 | 0.028 39
312 So FO OT UC RE 78.421 79.92] 295.28| 247.47 235 4641 2656| 551 0.587 | 176
Juillet 11
IO 44 30 | Cm typique, sommet . . . .| 52.93| 45.53] 214.93| 208.08] — 1067| — 770|1720| 49| 0.608 | 122
IO 49 ı5 | Cm typique, sommet . . . . | 50.32| 41.40| 182.87| 181.63| — 1145| — — 51|1377| 13| 0.194 32
C$ ipn pz || ee 59.40| 70.17| 42.53| 91.83 418 375| 986| 401 1.014 43
10 59 12| Cm, base........... 40.58|46.33| 50.37, 68.08 812 978| 1095 9 | 0.166 14
Banane Cm, base... . Ne. «à - 52.23| 53.07| 73.12] 100.58 260 877| 1177) 211 0.394 28
TO ON MS SDMMELE sc 6m cs 46,10] 56.90] 348.92] 343.33 1246| — 245] 1318 3| 0.053 12
16 38 15 |(€m ou Str-Cm........ 35.57| 30.83] 174.45] 175.42| — 2075 201| 1489 3| 0.029 27
16 40 I5 le même, point voisin . . | 33.73| 29.20| 174.47| 175.42| — 2106 203| 1413 I| O.OII 25
16 41 40 le même, un peu dissous | 30.85| 26.70| 174.47| 175.70| — 2138 200| 1285 | 15| 0.164 51
16 43 12 le méme, à p. p. dissous | 28.98| 25.28] 174.45| 175.25| — 2374 231| 1320 2| 0.022 30
16 48 45 |f Cm, petit flocon....... 57.07| 62.37| 307.40| 282.00 582| — 761] 1480 2| 0.046 IO
16 50 I5 lie méme, à p. p. dissous . | 59.75] 64.33) 301.95] 272.00 445| — 705| 1444 | 18| 0.313 31
16 54 15 | Cm, petit flocon....... 48.80| 41.20| 209.62| 202.75| — 1098| — 630| 1440 | 13| 0.187 33
mC SES OM MOMIE oe = seg ones 71.07| 75.90| 313.12| 258.08 344| — 365] 1469 6| 0.120 13
ny D 0) Wee C SCOR RER EEE 65.90| 80.87| 348.98| 333.00 623| — r12|I4I3| 19] 0.360 B2
17.6 30 | Os SRE 76.07| 77.37| 310.15| 236.67 238| — 283] 1485 4| 0.077 10
17 IO 15 |( Petit Cm, sommet. . . ... 42.50| 35.90| 201.72| 197.17 1387| — 555|1368 7| 9.092 18
L/-I2 30 le méme, en. flocon isolé | 37.68| 32.95| 195.92| 193.17| — 2000] — 568] 1607 5| 0.047 29
I7 14 45 le méme, diminué 32.23| 28.37] 192.92| 191.33| — 2412| — 568| 1557 | 15] 0.135 60
17 16 o le méme, à p. p. dissous | 30.32| 26.70| 191.65| 188.33] — 1949| — 365|1153| 651 0.761 | 193
Burg, eso, Cm, point W, base ..... 56.98| 49.17| 129.88| 144.83| — 601 720| 1442 3| 0.050 II
HEN Em, sommet lees 56.27| 47.17| 151.45| 159.42] — 874 472| 1486 8, 0.124 21
17 24 25 { le MÈRE; oom obo oo 54.22] 45.90] 153.95] 161.20] — 998 486] 1543 7 | 0.095 21
57 me SON M 65.17| 76.53| 332.12| 300.33 598| — 310) 1463 | 131 0.233 23
17 28 30 | le means. roc 72.03| 80.83} 20.70] 92.63 408 183| 1331] 62] 1.297 | 137
17 30 30 Hö SING fort Euer s 74.23| 75-37| 307.38| 240.33 240| — 3161 1398 4| 0.079 p
E eee (mp cU old tama EE 83.00| 78.83| 319.33] 206.03 I45| — I30 IS5I| II| O.20I
uillet 12
17 II of Al-Cm ou Str-Cm...... 42.25| 38.93] 137.62| 144.00| — 1732 1572| 2138 | 23] 0.204 79
17 14 45 | Al-Cm ou Str-Cm...... 55.82| 49.55) 213.13| 205.92] — 1202| — 787|2114| 4| 0.046 25
117 18 40 | Cm léger (ou Al-Cm). .. .|44.75| 40.00| 156.13] 159.92] — 1959 868) 2123 3| 0.027 39
17 22 ol Petit Cm (ou Al-Cm)....|35.60| 32.88| 216.85| 212.83| — 2572) — 1930| 2301 4| 0.026 45
PARA ALOm em seek ree 31.42! 29.171 227.621 222.921 -- 2285| — 251112066 | 171 0.118 64.

60 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM,

EI
1884. Angles mesurés aux Coordonnces seat Il = 2 al
À es culées DÉÉ| , 24/8056
abe Espéce de nuage thendoutes (en métres) sag | selene
et ME
à | 245 = =
Heute li, | d a, Ay x y 2 | Be 5
Juillet 12 a à a 9 5
17%28m305| Al-Cm........... + -| 29.03] 27.22| 229.48| 224.70] — 2306| — 2698| 1970 I| 0.007 36
I7 37 12| Petit Al-Cm (ou Str-Cm). .|41.75| 41.13] 91.48| 104.531 — 46 1806|1620| II| 0.127 25
17 40 30 | Al-Cm, petit flocon..... 57.25| 48.13| 168.28| 171.83] — 1027 210| 1630 5 | 0.071 18
iy ais iS |) Wee NEO 5 5 oo bo ooo 52.23] 44.47] 188.13] 186.08] — 1301] — 185) 1695 4| 0.053 15
ny AG) 25 || QDOmlUwe.oeoocooeccss5s 46.82) 48.17) 18.82] 19.30 8629 2908 9715 | 42] 0.091 | 849
17 58 o|Cr mince, petite tache. . . | 46.62] 48.63| 355.78| 355.17 6075| — 463| 6443| 31 | 0.098 | 400
1} © oJ|l JameHS.oocsosoo. 51.42| 53.95] 353-78] 352.83 4693| — 525 | 5915 | 27] 0.105 | 303
18 9 ol Cr mince, peu marqué . . .|61.42/64.55| 339.80| 336.37 2858| — 1058| 5586 | I5 | 0.070 | 171
18 14 Oo lj Cr, petite protubérance . .|53.45| 55.38| 18.52| 20.42 5180 1753| 7362|| 39| 0.122 | 485
18 17 oll le même, peu marqué. .| 56.92 59.37| 12.90) 14.08 4435 1012| 6986 9| 0.032 | 240
Juillet 13
ng 3 Ollj Gm, mu o 25600006 46.43] 43.65| 112.12] 122.93| — 708 1742| 1977 o | 0.000 20
wy iG asl Je MÊME ocooososso 76.25| 64.28| 163.95| 171.17| — 409 I23| 1741| II| 0.173 27
17 14 o | Al-Om, point de la base. . | 42.92 43.18| 277.03| 271.97 583| -- 4723| 4429 5| 0.022 | 100]
17 16 27 |! le même, un peu dissous | 38.17| 38.52| 273.75 269.30 354| -- 5485|4252| 25| 0.103 | 158
jy mS uu AONO © © 66 a 0 00 5 8 so 44.18| 44.32| 276.95| 264.30 231| — 1897| 1858 o | 0.000 18
17 41 45 | Cr ou Cr-Cm, petit flocon. | 61.45] 58.65| 229.77| 223.22| — 1596| — 1890| 4539 9| 0.052 | IOI
ny AS FO Cwm. os50r050000 18.05] 17.85] 196.93] 106.55|—20435| — 6211| 6983 | 501 0.063 | 1730
ny H9 Ag ill Ie wem: o00000008 16.80] 16.52] 201.53] 201.12| — 19609| — 7738| 6365 7 | 0.009 | 1070
n BA ds PORN (REO 5 55255 24.08| 23.18| 180.65| 180.55| — 9344| — 100|4178| 121 0.033 | 243
17 56 27 |(Cm typique, sommet . . . .|51.95|62.48| 12.42| 19.30 1181 263| 1545 6| 0.095 17
18 o 20|! Je même, dissous en partie | 34.75| 37.90| 307.87) 297.22 1246; — 1607| 1408 6 | 0.067 16
n& 5) y (Chm eer SON 5 6 à o2 73.331 62.57| 129.12| 156.63] — 300 335| 15311 45] 0.771 82
nt 15 alls | Ie HIME 6s ek E E 59.75| 58.07] 275.17 249.55 84| — 887) 15211] 12] 0.190 23
18 10 30 ke MÊME s on eo ooo oc 35.23| 34.48] 265.23] 254.60] -- 183] — 2192| 1555 4| 0.039 16
19 um AN || Om, Kommen à à vd dv a oc 46.22] 43.73| 100.28] 115.97| - 261 1410| 1498| Io] 0.144 22
18 22 10 | le méme, un peu dissous | 40.08| 39.23| 271.28 | 258.13 40| — 1802| 1510| 17| 0.199 32
18 24 0 le méme, à p. p. dissous|30.12| — |275.02| 265.46 221| — 2516| 1465 ? 1 N
i es Gy || (hn, Som » . 556 oo 5 3 38.62] 35.40] 242.78] 232.72| — 866| — 1683| 1505 | II | 0.120 25
Juillet 14
um 27 27 ees GOMER oo 6 a6 40 9c 60.45] 55.83] 106.58] 125.85| — 288 974 1781| 13 0.173 30
13 39 55 presque le méme point . | 67.42| 60.57| 113.67| 137.30| — 278 643| 1676 7 | 0.107 19
13 43 50 (85 typique, sommet . . . . | 41.08| 38.60! 252.13| 241.00| — 580) — 1803| 1649 4 | 0.039 16
T3 le méme, point voisin . . | 29.72| 29.07| 263.58| 255.73| — 333) — 2964| 1699 8| 0.067 26
03) 50 321, Cm, SOMMES ESS 33.25] 32.65] 263.87] 255.57] — 305] —- 2837| 1875 | 14] 0.119 38
13 56 45 |gCm, sommet . . . . . . . . . | 41.78] 38.82] 249.03] 237.87] — 648] — 1696| 1615 7 | 0.084 18
I3 57 40 || le même, point le plus bas | 23.22| 20.88| 249.03| 236.45| — 574| — 1500! 686 5 | 0.069 6
Juillet 15
13 36 45| Cm, sommet......... 29.37| 30.18| 281.38| 274.62 699| — 3458| 2001 | 30| 0.215 77
um 9gü.ossooosossooo: 67.45| 82.98] 15.22| 64.45 485 134| I21I 3| 0.067 6
DS Ao) gl Je wan I I: av ov 0 23.08] 23.82] 295.33| 288.92 I531| — 3237| 1522| 27| 0.201 34
13 BS AO|| OM s gas aeo don © Do 25.28| 25.23| 262.22| 260.90| — 2449|—17945|8553| 13] 0.018 | 597
"WA 3 Aag CPS 6 0 Gt 0 5 a m6 99 05 28.75| 29.28] 319.30] 318.27| 11580) — 9955 8360| 33| 0.055 | 778
I4 I7 IO (rande (Gl G@oosagaane 18.05] 17.48, 188.25| 188.20] - 12115| — 1782| 3989 | 50| 0.110 | 1100
Weg» 8 le même, autre point . .|22.72| 22.00 200.63] 200.25|—12010| — 4553| 5361 || 36| 0.073 | 728
I4 36 35 |( Petit cr, point le plus haut | 52.58| 50.30| 161.63] 162.37] — 4480 1520 6180| 65| 0.235 | 658
I4 38 10 ) I mWwWSo.scooosoos 51.83| 49.88] 177.97| 177.87| — 5751 217|7324| 261 0.080 | 422
I4 39 25 le THAT 5 go po à © boo 50.08] 48.13) 189.80] 188.33] — 5077| — 842|6177| 79| 0.278 | 823
Juillet 17
17 10 5 |( Nb em-forme, sommet . . .| 39.92| 36.47| 230.63| 222.43| — 1289] — 1566| ı705 | 121 0.125 35
my na ee ll Me pein qe cus 27.50| 26.18] 231.83] 227.28| — 2452| — 3114| 2072 | 15] 0.091 83
I7 15 ol Nb dechiré y pointés . . . .| 57.08] 57.72| 298.27| 259.22 305| -— 581| 975| 43] 1.067 57
17 16 3o|l le même J trés incertains | 27.42| 30.28] 259.13] 248.52 319, — 1818| 1048 | 174 | 2.28 245
17 I8 30 |[ Nb dechiré, sommet .. - .| 44.08] 37.83] 125.22 | 142.93| — 525 733| 903| 46| 0.962 57
17 20 oll le même à p. p. dissous | 42.42| 34.72| 189.05| 186.68| — 1270| — 200] 1176 5| 0.063 16
um ag ml cem susaoscoscs: 55.39| 72.37] 6.47| 16.25 158 93| 1IO5| 13] 0.299 I9
17 36 oll le méme, en flocon detaché | 37.421 34.17] 263.13| 245.27| — 145| — 1220| 9261 I4| 0.403 25

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES. 61
e
"oor 4 »al- SE [so] m
1884; Angles mesurés aux SL er ee Al Ee SN
sodolites er Be) 1 B5/g*8
Date Espèce de nuage theo (en métres) EE wine 5iEnB
Se SIDS > || 3
et * IE EB ERE
1842 Dre
Baus h, ha a, dy a y 2 | EB a =
1 "m
Juillet 17 a | 0 0 0 | D] I
17^38m os|{ Nb, sommet ......... 38.17| 51.10] 26.33| 34.42 1021 464| go1| 801 1.76 110
17 40 O | le méme, agrandi 51.38| 61.35| 314.97| 286.50) 581| -- 563| 1035) 38 | 0.875 38
I7 42 30 lemme GES SG acolo Gre 24.08] 23.23] 272.22 258.53) 67] — 1737| 769) 15] 0.222 16
17 49 IS [oo 08: 55 on S bo IO TE 37.08) 35:82| 203.63| 202.93| — 8149| — 3596| 6719| 591 0.132 | 940
17 5I 30 EPXmemes eerie ess 02 29.78 28.82| 213.33| 212.78| — 9700| — 6448| 6633| 130| 0.281 | 1810
I7 54 30 10% Be REDE 39.38| 39.77| 302.00| 299.52 4617| — 7400| 7121| 62| 0.160 | 655
17 56 o NS TÊTE o os Seo oe So 35-43] 35-48] 290.80| 288.62 3735| — 9833| 7440| 72| 0.129 | 827
RS OG] (Oey BE RER 37-72| 37.18) 227.63] 226.27| — 8827, — 9667|10130| 211 0.036 | 742
18 2 oll le méme, peu marqué . . | 30.55] 30.13) 229.97, 228.52] — 8230| — 9800| 7575) 341 0.066 | 477
Tor 5 3oj|[Beau Cr......:..... 19.75| 20.02] 43.43) 44.32| 14000] 13240] 69091 19] 0.027 | 672
18 7 30 UD MÊME 205 Dove Oo 4 22.42| 23.401 40.80) 41.57] 8885 7588| 4868| 152 | 0.349 | 1440
18 10 o US TASMEG cs 55 6 z 27.95| 28.43] 35.22| 36.35| 10898 7701| 7058| 43| 0.082 | 728
18 IT 30 TE AMOMER sted de ue. sera. 32.00} 33.13] 30.77] 31.70 8776 5193| 6395| 68) 0.164 | 421
18 13 0 IG HIGGS bo Sele 6 0 37.25| 38.25; 24.00] 24.72| 10710 4749| 8917| 371 0.072 | 841
18 14 30 Reve OM Creare swt. gan ask. 43.08) 44.85) 14.05] 14.18 6595 1601| 6343| 95} 0.298 | 1380
18 16 o leümemegege ee i he. n 49.38| 51.03| 357.721 357.67| 7427| — 290] 8666| 1II| 0.028 | 451
18 17 30 HENINCIA EST een. 52.92| 54.821 336.50] 334.37| 5012| — 2192| 7226| 261 0.081 | 363
18 20 o leumemeg E eene. 49.55| 50.13| 298.88] 205.75| 3442] — 6252| 8342| 41| 0.109 | 538
18 22 25 leumeme2 prs SE 39.08| 39.13| 275.60| 272.87 $60| — 8765| 7145| 141 0.036 | 299
uon NOT bande «acs sass =: 47.75) 45.67| 216.13] 214.50| — 4304| — 3194| 5866| 961 0.339 | 863
Nop 27 =O { UD TREITE> sd oreo plo didlo 38.50] 37.90] 222.88) 221.03] — 6878| — 6368| 7498| 681 0.161 | 856
SAM ONECE bande =. ee eee 29.92| 29.53) 228.47] 227.43] — 11440| —12911| 9928 6| 0.008 | 827
TROIE UnEdéchimer. 2... voeem est 57.58| 59.85| 305.30] 300.65] 2133| — 2953| 5802) 98 | 0.414 | roro
Juillet 18
12) 50) 70 et INDIES nenn 53.58| 45.67| 133.42| 152.27| — 513 518| 1049| 70| 1.44 103
I2 53 40 le ins L5 359.0 BE 26.25] 24.75] 241.45| 231.55| — 934) — 1712| 983| 38| 0.474 52
ne ec OL ENDE esce ele) Se oe Sw See el 69.25) 53.50) 155.55) 169.18| — 370 166] 1078| 19] 0.433 27
mE BS) ag il We MÉMER ee: 30.67| 28.05] 242.00] 231.95] — 895] — 1682| 1132 5 | 0.057 12
13 I ol Petit Nb, presque dissous | 50.45] 48.03) 86.00] 110.85 65 927| 1115] 14] 0.279 19
13 Zh yl) THEI NIS eie. en. 47.25] 41.50) 254.88] 234.33| — 245] — 919| 1015) 19] 0.383 25
55. CAS NN Betıt Omen SRE ME 22.92| 23.02] 97.92| 103.78| — 550) 3958| 1709) 361 0.236 78
1 1900 { le méme, déchiré..... 34.08] 33.02] 101.67) 110.03| — 550| 2662| 1838 I | 0.012 21
15 Ge | NET ER 38.25| 40.33| 292.08| 283.43 IOOI| — 2450| 2109| 38| 0.325 | 100
13 21 o|l le méme, presque dissous | 17.92 18.17! 264.92 260.70 391| — 5580| 1830| 64 | 0.309 | 143
Juillet 19
1X2 AT 30 \gbetit Nb isolé...-.... : 66.92, 60.60] 96.28| 129.83| — 62 573) 1338| 19| 0.367 30
12 44 30 { le méme, diminué . . . . | 43.25] 38.55) 242.25| 229.83] — 673) — 1287| 1354| 19| 0.268 36
I2 49 30|( Nb, sommet......... 45.78| 45.93] 82.25| 96.90 223 1675| 1740] 11| 0.128 25
12 5t oll le même, en flocon détaché| 77.92) 64.87] 114.72| 146.48] — 120 312| 1376) 87| 1.71 142
1cEUcESoNpNb;languer- sd el 517. . 35.75| 31.88| 123.33| 133.08] — 975 1488| 1274| 12] 0.146 23
SOT { presque le méme..... 27.42| 24.03| 216.17| 213.13] — 2377| — 1780| 1506| 86) 0.711 | 247
üm GAS INES sas se NT (el ME 49.83| 40.68| 195.67| 195.95| — 1037, — 331| 1298| 17| 0.264 38
HRT OREGON ENDE e AG EOD le le a 26.72| 24.43| 219.92| 216.00| — 2622| — 2205| 1718| 24| 0.170 76
10 mutua Qu E rM 45.05| 44.32| 222.38| 219.58| — 4640| — 4220| 6360| 111 | 0.353 | 1080
üm oy CRE RO 6 seden A ME 42.40| 41.93| 215.25| 213.33| — 7775| — 4760| 7660| 145 | 0.364 | 1900
17 15 30 | Cr (pointé incertain) . . . . | 58.08| 58.68) 275.08| 271.42 556| — 6060| 9871| 105 | 0.265 | 1350
Bs VAS si (OES Ders oe 22.62| 23.10| 300.08| 299.17 7045| - 12075] 5870| 121 0.229 | 1470
ga TAGE KODE ee ne. | 25.58| 24.77| 216.78] — |(—10020} -- 7401| 5990) ? ? ^]
17 36 30 À NS MÉMES Sa ER 19.72| 19.03| 220.67| 219.98| —12790| — 11030] 5990| 128 | 0.202 | 1460
17 42 15 |, Al-Cm, point le plus haut. | 60.92 66.18) 335.08] 331.58 1785| — 784] 3528] 85] 0.577 | 399
I7 45 45 | le méme, point S 45.00| 45.38| 271.08| 265.65 86| — 4383| 4420] 33] 0.242 | 293
I7 49 30 le méme, bord supérieur | 27.33| 27.10| 248.05| 245.55| — 3299, — 8195| 4581| 301 0.086 | 242
17 53 Ol Nb, sommet ......... 46.25| 41.07] 229.00] 217.28| — 877|— 998| 1409| 30| 0.424 61
Mea st le méme... :---- 34-55| 31.73| 239-05| 229.77| — 1032| — 1719 1385 8 0-193 19
18 o oj(Nb,sommet ......... 38.95| 40.18] 277.55| 263.83 233| — 1727| 1438| 45 | 0.566 16
ER To) r presque le méme..... 28.25| 27.83| 263.92| 256.10] — 318] — 2986| 1619| 101 0.085 28

62 N. ExHoLm ET K. L. HAGSTRÖM,
ay an
1884. Coordonnées cal- GE E =
Angles mesurés aux lé Il ze E A
Date N theodolites ener per Il =. Ez
E Espéce de nuage (en métres) Boc visi HIE
He te h, h, a, ly äv y 2 | EB Eje e
Juillet 27 o à 0 0 à
1321524565) Cm, sommet ........- 37.53) 35.65| 105.42, 115.00] — 604 2194| 1740 | II] O.III 30
2 20 45 Om, SNÖN à 6 ss 55595 46.49] 39.25) 151.01] 158.05] — 1132 626] 1365 I| 0.058 13
na 32° © | leumomew ei er 45.33| 37.78| 184.79| 184.16| — 1343| — 122|1380| 35| 0.482 89
I3 34 30 le méme, à p. p. dissous | 40.33| 34-30] 199.79| 196.39| — 1576| — 577|1420| 21| 0.252 57
13.40 40 pme douvoouccccoo 40.13| 39.37| 262.09| 260.30 74| — 2020| 1692 | 16| 0.177 36
"a 4e © { à peu prés le méme 30.63| 30.45| 269.35| 260.66] — — 30| — 2734| 1622 6 | 0.055 2I
ma MS 16 | (OM 0 6 555 0000600200 46.79| 53.45| 316.42| 301.39 982 927| 1448| 15] 0.231 30
Juillet 28 ;
I2 48 15 | Grand Om ou Cm-Str -|42.17| 48.75| 324.23] 313.90 1330| — 951|1490| 15| 0.208 | 34
2 gn vus mme on an 200 dans 85.58| 79.60| 278.60| 202.25 32 — 167/2285| 67| 0.822 | 181
ng 62 AGL la mêmes sc 2454260 74.47| 08.90] 243.04| 218.12| — 295| — 5711 2351] 2I| 0.232 63
I2 56 30| Cm-Str, sommet....... 49.87| 57.50| 356.90| 355.31 1682| — 98|1983| 22| 0.252 68
13 I 30| Autre sommet du même . .| 46.92| 50.36] 316.73| 309.82 1923| — 1806| 2826 9| 0.072 53
Tye AR Bartiender raus ÖR co acc 29.37) 29.31, 280.91| 274.58 719| — 3730) 2118 | 35] 0.230 93
I3 16 © Cm-Str, sommet cm-forme | 35.03) 36.40| 296.13| 291.36 2023| — 4110] 3230| 33| 0.173 | 150
1381900 || IGE) Cl meine er: 14.50] 14.90] 293.46] 288.78 1827| — 4178 1016 | 26} 0.159 45
I2 22 30 | Cm-Str, contour sombre de
LENDERS “Sic! alo EEE 30.08] 35.10] 353.41| 352.23 2401| — 273) 1401 7 | 0.080 31
I3 28 ı5 | Sommet du méme. ..... 54-47| 56.50| 300.91, 293.65 1497, — 2481|4068|| 25| 0.143 14
I3 44 45 | Partie de faux Cr...... 47.08| 47.46| 275.56| 267.62 295| — 3020| 3277 | 2I| 0.132 94
13 47 30 |lPresque le méme point . .|42.33| 42.65| 277.47| 270.56 455) — 3465| 3186 4| 0.022 52
13 50 30| Cm-Str, sommet ....... 39.00] 39.38| 279.35| 275.58 1029: — 6245| 5133 | 17| 0.060 | 249
73.55 25 | Bande de faux Cr soc do 49.87) 47.17) 148.56] 150.77| — 3381 2099| 4703 | 58| 0.267 | 427
Juillet 30
19) Tt wh ESNIbEdeCHInC à so bo Force 30.35) 23-78] 156.87| 163.05] — 1068 455| 682 4| 0.070 8
iy ZL | aNly GE Chine ES EN 5. 50. 30.32| 29.28] 248.91| 242.55] — 1220] — 3161| 1988 | 12] 0.082 38
us & 25 N, pont NW öv sas ace 47.59| 46.17! 262.85| 253.88| — 313] — 2522 2758 34| 0.258 | 118
ie ny | Wo, Dont Woo poo oc ec 40.89] 39.45 260.73] 250.80] — 367] — 2260] 1974| I4| 0.133 | 40
n2 ee 18 || IN EXOWNEYSS oo 5006050 42.19| 44.45| 316.71| 311.38 2562|-— 2421 3182| 24) 0.149 | 119
DOME BE NjDe re 29.95| 27.17| 201.72| 198.55| — 2593| — 1022 1620 | 31| 0.263 | 113
nep Kol END eme ss o3 555r 33.88| 31.05| 191.55| 191.38| — 3497| — 752 2400| 23| 0.147 | 143
us d Na ssanioascossoo- 33.62| 34.53] 299.02| 293.63 2029| — 3666 2764| 21| 0.246 68
I3 51 50 |l presque le méme point .| 54.05| 56.37| 300.96| 290.31 1103| — 1842 2955 6| 0.051 43
Août ro
a © om SOMME 006: cd can 33:50] 31.02] 112.50 123.20] — 738 1776 1273 5| 0.055 13
nO nn MO Je MÊME 653659059 27:90| 24.85| 128.94| 136.45| — 1360 1687, 1142| 16] 0.173 30
n2 ne 4 (hu yw 5 55 on eo oc 45:63| 37.35, 188.87| 186.29| — 1191| — 182 1235| 10) 0.152 25
22 Ze... (Orny Sx» 35553209 38:73| 38.14| 271.15| 256.90 34| — 1665! 1337 3| 0.042 II
Wee) ies (Cit, GOMOD oe cece cas 30:43] 34-97. 340.30] 336.07 2270 — 816 1415 8 | 0.090 30
3 CRE TO | presque le méme point . | 38:96) 45.35| 332.90| 324.86 1578 — 810 1431 7 | 0.097 21
ng} ui ©) presque le méme point . | 55:29] 64.69) 320.70| 293.80 655| — 533| 1223 6| 0.128 II
736230201 Chin, SOMME 6 54 540006 45:92| 38.44] 165.89] 169.34| — 1304 326, 1390 3| 0.043 16
13 44 0 |( Cm, partie supérieure . . . | 41-88) 38.47) 241.25| 230.62] — 851] — 1550, 1587 3| 0.036 16
13 48 0 | le méme, point plus au 8 | 40-63] 38.64| 257.91, 244.87| — 354| — 1653 1454| 2| 0.027 | r4
I3 49 45 le même, en flocon détaché | 41-83] 38.02| 241.75] 229.96 — 748 — 1392) 1417 2| 0.030 13
Aoüt 16
MONO |! Oli, GOMES 5 G55 TEE 33.62| 31.65] 253.60] 243.77] — 618] — 2103| 1450| 14] 0.145 28
1252255302 Ohm, SO 565655005 55-48] 46.35] 139.33| 152.31] — 672 576| 1290 71 0.124 | 16
12 26 O |liem.,en petite tache détachée| 56.12] 52.15] 240.33 216.88] — 355| — 615] 1174 | 130] 2.56 205
12302 OM IG! a ASSR n 9 5 0 e dou 9 o 3 74.57) 94.90] 109.29] 144.56| — 131 384| 1445 | 17] 0.310 30
ee een and ETE 61.98| 66.48) 53.73) 88.17 440 604 | 1396 9| 0.165 16
F3 48 AS Omi FER ee 87.68| 71.13 161.95| 174.27| — 52 32) 1382) 31| 0.621 72
Août 25
LI 53 39 rm partie supérieure . . | 62.79| 66.43| 57.69| 80.92 564 891| 2060 7| 0.084 23
II 58 o presque le méme point . | 64.72) 63.23) 87.31| 111.06 46 973! 2064 | 0.3 | 0.004 16
I2 6 30! Al-Cm, bord supérieur. . . | 44.89| 42.30] 115.97! 125.56] — 910 1866! 2075 | 11] 0.102 36

i a > VE

— a at

MESURES DES HAUTEURS ET DES MOUVEMENTS DES NUAGES.

1884. | / Coordonnées cal-
| Angles mesures aux 2
Date x théodolites oulees
rs Espéce de nuage \ : (en métres)

Baus h, hy a, ad, a y g

Aoüt 25 0 0 0 0 0

I2^r9m" os|[Om, sommet ......... 38.09| 33.70| 223.28| 215.39| — 1305| — 1227| 1408 5| 0.057 18
euro alla le memes. „var... 42.09| 37.02] 218.45| 211.20] — 1351| — 1073| 1559 I | 0011 17
ouod Mveraierfine: sss eui. 69.76| 68.53] 246.84| 239.90| — 1161| — 2660|8013| 10] 0.034 | 255
IEEE MEO NR, NE neh ao 58.56| 58.60) 274.02| 269.39 363 5109| 8373 9| 0.027 | 294
IS I Oo} Str-Um ou Cm dissous. . .|55.26| 57.35| 68.78] 94.76 347 890| 1384 7 | 0.124 14
18 7 30| Str-Cm, petit nuage 35.95| 35.60} 90.46] 102.56| — — 15 1960| 1428| 15| 0.173 28
18 II 45 | Str-Cm, petit nuage 35-92) 33.70| 110.04] 120.571 — 681 1865| 1440 3| 0.032 14
18 14 15 | Str-Cm, petit nuage!) 34.01| 31.47| 117.16| 126.63 940 1831| 1392 4| 0.040 I5
Aoüt 27 |

IO 54 45 | Cm, petit flocon blanc. . .| 38.11] 43.76] 330.15| 321.59 I59I| — 921|1433| 18] 0.251 44
Aoüt 28

Insti 0 dm Sommet E 41.89| 40.76] 268.93] 255.84] — — 33| — 1793| 1600| 13 | 0.151 26
11038 © à peu prés le même. . .| 38.44] 37.88| 260.56) 251.04| — 397| — 2386 1940| 30| 0.274 72
MER CM, sommeti. 2... ..... 47.18| 47.68| 284.75| 268.01 371| — 1414| 1565] 19| 0.256 37
IE Ero RO MSSOMINEEN- e. s eere sre 35.40| 36.15] 282.36 | 272.34 Sa = NN 4| 0.035 18
Bo R20) CMA sommer... «1 +) 41.32| 36,85] 120.94| 132.67| — 776 1296| 1323 9| 0.114 18
T1 55 15 le méme, point le plus bas | 15.12| 14.18| 127.32| 132.34| — 2157 2829| 964 5| 0.042 18
Dress 10 le même, point le plus haut| 41.48| 36.76| 138.37| 146.17| — 1308 IIÓI| 1549 4 | 0.051 I9
1201058350! | CI peu marqué. ....--. 53.09] 51.76] 243.37| 239.97| — 2454| — 4941| 7290| 611 0.190 | 610
17 Reh Lal) Ons st AT. muri 22.55] 21.18] 233.40] 227.85| — 1937| — 2608| 1355 | 10] 0.081 27
I7 36 25 { le méme à peu prés dissous | 20.38] 19.38) 237.46) 232.51| — 2086| — 3270| 1446 8| 0.054 30
Aoüt 29

na du. vum ERSTE. see se ee 24.41| 25.12| 22.47| 22.89| 13455 5540| 6621 | 65| 0.117 | 1180
10 46 45 lesmemewee Le es 24.59| 25.45| 22.46| 22.98| 10900 4490| 5420| 811 0.181 | 1090
10 48 45 RICK EIN CIN see ue vut s 24.71|25.45| 22.47| 22.55| 12000 4887| 5970] 137 | 0.281 | 2340
[ro 50 I5 IG memeleg 6 os a ar 24.86| 25.65) 22.18] 22.55| 12400 5025|6215| 86| 0.169 | 1350
OMS SONO ins le else EE 71.79| 76.85! 37.55| 121.14 287 221| I IOI 2| 0.002 4
niu Sexe) DEROMLEVOISIHE.E. «ts > 84.19) 68.35] 87.40 165.94 5 107| 1076 3| 0.067 5
RE, 3.15 ID OUR WR 00209 2 66.02| 53.32| 138.92 157.22| — 399 346| 1189 3| 0.069 8
11 4 50|\& peu prés le méme point | 66.66] 52.98| 145.71| 160.77| — 420 290] 1177 8| 0.087 9

Sept. I

unco Gm point. Wi... --- . | 52.49] 47.17) 226.49 217.22| — 1015| — 1071| 1915 | 18| 0.203 54
II 36 45 ) le méme, un peu dissous | 49.59] 43.67| 209.49| 203.59] — 1424| — 805] 1920 2| 0.024 23
1382030 leBneme Soo ciel canner Ole 46.33] 40.84] 199.95| 196.64| — 1784 — 653| 1986| 11) 0.114 45
I2 2 o| Str-Cm ou Al-Om, point N | 31.44| 33.74] 308.68) 302.06 I921| — 2397| 1881 7 | 0.060 30
12 5 10 | Str-Cm ou Al-Cm ..-... 42.44| 44.34] 294.75| 283.69 893| — 1940| 1950 4 | 0.043 21
12 7 40 | Str-Cm ou Al-Cm...... 37-79| 40.44| 309.90| 302.31 1737| — 2079| 2097 6 | 0.049 30

Sept. 6

12 IO 15 | Str-Cm (ressemblant à Str) |45.43| 31.94| 182.85] 181.68| — 659 — 32) 670 I | 0.029 4
I2 14 I5 | Str-Om déchiré ....... 55.43| 37.29 154.02| 166.28| — 394 196| 636 7| 0.216 7
12 18 15 | Str-Cm, petit flocon 49.98| 59.28| 305.30| 232.18 198| — 284| 601 5| 0.209 4
RAS OM Stm nn: 56.83] 51.48] 72.35| 130.20 116 363) 588 6| 0.247 4
pm 48. io gees nd ae ME 35-351 45-53] 320.58! 295.15 685| — 563] 629 I| 0.029 2

1) Remarque aprés cette observation: A présent tous les nuages se sont dissous, exceptés quel-
ques flocons prés de l'horizon.

Quant au calcul numérique des coordonnées dans la liste précédente, nous ferons encore remar-
quer que, pour une petite partie des observations, les fractions d'un degré ont été exprimées en minutes
au lieu de centiémes. On comprendra que la réduction en centiémes faite plus tard produise en quelques
cas une petite discordance entre les angles et les coordonnées rectangulaires calculées, discordance d'un
ordre tout à fait supérieur au degré d'exactitude des observations.

64 N. EKHOLM ET K. L. HAGSTRÖM.

Table qui pour l'argument log sin 19 = A, fournit la fonction log cot 9 = B.

A Bo I 2 3 4 5 6 7 8 9 Diff.
3. | 3.199 | 3.149 | 3.099 | 3-049 | 2.999 | 2.949 | 2.899 | 2.849 | 2.799 | 2.749| 50
4 2.699 | 2.649 | 2.599 | 2.549 | 2.499 | 2.449 | 2.399 | 2.349 | 2.299 | 2.249 50
5 2.199 | 2.149 | 2.099 | 2.049 | 1.999| 1.949 | 1.899 | 1.849 | 1.799, 1.749 50
6 1.699 | 1.649 | 1.599 | 1.549 | 1.499 | 1.449 | 1.399 | 1.349 | 1.299 | 1.248| 50—51
7 1.198 | 1.148) 1.098 | 1.048 | 0.997 | 0.947 | 0.896 | 0.846 | 0.795 | 0.744 | 50—52
8 0.692 | 0.641 | 0.588 | 0.536 | 0.482 | 0.428 | 0.372 | 0.314 | 0.255 | 0.192 || 51—67
9 0.125 | 0.052! 9.971

Légende explicative de la planche.

Figure 1. Théodolite.

Figure 3. Trajectoire d'un cirrus observé le 17 juillet 1884, 18^5"30:—18^22"25* à Up-
sala. Echelle des ordonnées 100 fois plus grande que celle des abscisses.
Les chiffres désignent les numéros des observations.

Figure 4. Variation diurne des Cumulus à Upsala, été.

q — quantité en p.C. de la demi-sphére céleste,
s = hauteur des sommets, en mètres,
b= » » bases » »

-

,

é = épaisseur des cumulus » »

Dans les Fig. 3 et 4 les lignes brisées marquées en pointillé reproduisent les observa- -

tions sans altération; les lignes courbes tracées en traits pleins sont des moyennes des-
sinées à l'œil.

Erratum:

Page 32, ligne 19: Ajouter le facteur 0.6745 devant le radical du dernier membre de
la formule.

ee Le nés NS sh Se ne SR ee ee

Nova Acta Reg.5 oc. Sc Ups.Serlll.

es
m m
— 60007” _ 4000 50007" — 9000" 80007 49000" 49000 "* 14000" 60007" 18000" 90000 7

Lith. L.Ljunggren Upsala.

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