QA i AA NOVA ACTA REGIE SOCIETATIS SOAM E NOTA RUM UPSALIENSIS. MM RW N SERIEI TERTIA VOL. XV. UPSALIE, EXCUDIT ED. BERLING REG. ACAD. TYPOGRAPHUS. MDCCCNCY: TII. IV. MI: VII. VIII. IX. INDEX ACTORU M. [HERD S E RS RECEN AE TS RE RER Oxsson, O.: Beiträge zur Lehre von der Bewegung eines festen Körpers in einer Flussigkeit. 1. SÖDERBERG, J. T.: Einige Untersuchungen in der Substitutionstheorie und der Algebra... .... PFANNENSTIEL, E.: Ueber die Differentialgleichung der elliptischen Function dritter Ordnung . . , BERGER, A.: Sur les fonctions entieres rationnelles, qui satisfont à une équation différentielle linéaire ANR condo sde obe LR WURDE ls er UE DILLNER, G.: Sur le développement d'une fonction analytique pour un contour de convergence qui renferme des points critiques d'ordres réels et Seren Eurttont le plam hi EUR ehm us THéez, H.: On the development of Echinocyamus PURGER MULLER)... LR. Ca re ScHuLrz, H.: Meridian-Beobachtungen auf der Stern- warten ng cel RS A oat E te Äneströn, K.: Bolometrische Untersuchungen über die Stärke der Strahlung Verdünnter Gase un- ter dem Einflusse der elektrischen Entladung "SoLaNDER, E.: Vergleichung der Bestimmungen der Horizontalintensität an verschiedenen mag- netischen Obsemuatonien: 21. uS S TEN. Pag. Tab. I— XVII. 1— 39. 1 —38. 1—18. 1—28. 1—64. 1—57. I—IX. 1—44. 1—45. I—II. 1—53. cun. S. E.: On arsenical Paralysis . i Perrin, H.: Sur la condition à la surface dans Ts re S TP N à BERGER, A.: Sur le ee quelques | - fonctions discontinues en séries. de FPovrirk a Perrini, H.: Theorie der Vektorfunktionen als Grundlage einer analytischen Darstellung. der Hauptsütze des stationüren Elektromagnetis- D ‘ ein ways: mus ^ INTRODUCTIO. Novorum Actorum Voluminis XV _ fasciculus prior editus est mense Octobri anno 1892. Insequenti anno fegia Societas ad celebrandam memoriam Ecclesie Svecanæ stabilite et Universitatis Upsaliensis in- stauratæ Volumen novum Actorum suorum edere statuit. Ita factum est, ut dilata ad tempus editione relique Voluminis XV partis, in qua curanda opera typographi tum versabatur, Volumen totum XVI anno 1893 in publieum prodiret, posterior autem Voluminis XV fasciculus nunc demum emittatur. Post Vol. XVI editum hi Socii mortui sunt Ordinarii Eateri: Adseriptus. Mortuus, LATHAM, Robertus Gordon, Medicine Doctor Londinensis . 1859. 1888. KRIEGER, Andreas N PURA Judieii Danici E. O. Assessor . . . NES SS: 1893. TYNDALL, Ioannes, Physiées puce oun ugs alae NISUS: 1893. HIRSCH, Augustus, Medicine Professor Berolinensis . . . 1885: 1894. BILLROTH, Theodorus, Chirurgie Professor ne SUI S18; 1894. ARPPE, Adolphus Eduardus, Chemiæ Professor emeritus Hel- singforsiensis . . . SUA S e IP ES es CAT RE re SU TSOD. 1894. 1 II Adscriptus. MARIGNAC, Ioannes Carolus Galissard a, Chemie Profes- sor Genevensis RN e | VA c UD RN, KUNDT, Augustus, Physices Professor Berolinensis . WHITNEY, Guilielmus Dwight, (UE Sanscritæ Professor Yalensis DANIELSEN, De Cornelius, Med. Dr, "Mae nr Praefectus HELMHOLTZ, Herrmannus ae uec nM a, Phy- sices Professor Berolinensis et Instituti Reg. Physico-Techn. Director . hype deti QV CV PM MAS 2 AE M PATROL S PRINGSHEIM, Natanael, Botanices Professor Berolinensis CAYLEY, Arthur, Mathesis Professor Cantabrigensis : RAWLINSON, Henricus, Generalis Exeubiarum Profectus Bri- tannus LUDVIG, Carolus mas ericus ne Physiologie F Profes- sor Lipsiensis 1815. 1893. 1818. 1813. 1812. 1877. 1875. 1868. 1875. Mortuus. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1895. 1895. 1895. Novi Socii adscripti sunt Ordinarius Svecanus: LENNANDER, Carolus Gustavus, Chirurgie Professor Upsaliensis . Ordinarü Esteri: TREUB, Melchior, Horti Botanici Præfectus Javanensis DAAE, Ludovicus, Historiarum Professor Christianiensis | : ERDMANSDÖRFFER, Bernhardus, Historiarum Professor He e GARDINER, Samuel Rawson, Historiarum a. h. Professor Londinensis TAIT, Petrus Guthrie, Physices Professor Edinburgensis KOCH, Robertus, Medicine Professor Berolinensis HJELT, Otto Eduardus Augustus, Anatomiæ Panier PCS emeritus Helsingforsiensis KOCHER, Theodorus, Chirurgiæ udin md MEYER, Victor, Chemie Professor Heidelbergensis . LIEBERMANN, Carolus, Chemiæ Professor Berolinensis . BOUCHARD, Carolus Jacobus, Pathologie Professor ponte KOHLRAUSCH, Fredericus, Physices Professor Argentoratensis LACAZE-DUTHIERS, Felix, Josephus Henricus a, Zoologie et Ana- tomis Professor Parisiensis . PFEFFER, Guilielmus, Botanices [SE erden : TOPELIUS, Zacharias, Consilio Publico d a. h. Historiarum Professor Helsingforsiensis ; Honec: ITI Adscriptus. 1893. 1893. 1893. 1893. 1893. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. 1894. I I. AUGUSTISSIMUS HUJUS SOCIETATIS PATRONUS OSCAR TI SVECORUM NORVEGORUM GOTHORUM VANDALORUMQUE REX. PRAESES ILLUSTRIS SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS OSCAR GUSTAVUS ADOLPHUS SVECLE ET NORVEGIÆ PRINCEPS SUCCESSOR. SOCII HONORARII PRIMARII SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS OSCAR CAROLUS AUGUSTUS BERNADOTTE SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS OSCAR CAROLUS VILELMUS SVECIÆ ET NORVEGLE PRINCEPS HEREDITARIUS, SERENISSIMUS PRINCEPS AC DOMINUS EUGENIEST NAPOLEON NICOFAUS SVECIÆ ET NORVEGIÆ PRINCEPS HEREDITARIUS, A. Socii Regis Societatis Scientiarum Upsaliensis secundum electionis ordinem Honorarü: SUNDBERG, Antonius Nicolaus, Ph. Jur. Utr. et Th. Dr, Ecclesie Sviogothicæ Archiepiscopus, Acad. Upsaliensis Procancellarius, Academiæ Svecanæ Octode- cimvir, Regg. Ordd. Commendator. etc., Preses R. Soc. Sc. Ups. 1885— 86. DICKSON, Oscar, Lib. Baro, Ph. Dr, Negotiator Gothoburgensis, Ordd. St. Pol. c. m. Cr. et Was. Commendator, etc. NORDENSKIÓLD, Adolphus Ericus, Lib. Baro, Ph. Dr, Professor, Musei Mine- ralogici Holmiensis Præfectus, Academiæ Svecanæ Octodecimvir, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, etc. DE GEER, Ludovicus, Lib. Baro, Ph. et Jur. Utr. Dr, Summe Rei Judieiarise a. h. Præfectus, Universitatum Ups. et Lund. a. h. Cancellarius, Academiæ Sve- cane Octodecimvir, Regg. Ordd. et Ord. S. Ol. c. m. Cr. Commendator, ete. HAMILTON, Adolphus Ludovieus, Comes, Ph. Dr, a. h. Gubernator Uplandia- rum, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, Preses R. Soc. Se. Ups. 1888— 69. OLIVECRONA, Samuel Rudolphus Detlof Canutus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Su- premi Judicii Svecani a. h. Assessor, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, etc. LILLJEBORG, Vilelmus, Ph. et Med. Dr, Zoologie Professor Upsaliensis emeritus, Ord. St. Pol. Commendator, Preses R. Soc. Sc. Ups. 1880— 61. SAHLIN, Carolus Yngve, Ph. et Jur. Utr. Dr, Philosophie practice Professor Upsaliensis emeritus, Ordd. St. Pol e. m. Cr. et S. Ol. Commendator, Preses R. Soc. Se. Ups. 1889— 90. LJUNGGREN, Gustavus, Ph. Dr, Aestetices et Literarum Artiumque Elegantium Historie Professor Lundensis emeritus, Academiæ Svecanæ Octodecimvir, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, etc. LOVEN, Sveno, Ph. et Med. Dr, Professor et Musei Zoologiei Holmiensis a. h. Praefectus, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator, ete. AGARDH, Jacobus Georgius, Ph. et Med. Dr, Botanices Professor Lundensis emeritus, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator. LINDHAGEN, Daniel Georgius, Ph. Dr, Professor, Reg. Academiæ Scient. Holm. Secretarius, Ordd. St. Pol. et &. Ol. Commendator, etc. EHRENHEIM, Petrus Jacobus ab, Jur. Utr. Dr, a. h. Consiliarius Regis, Univer- sitatum Ups. et Lund. Cancellarius, Regg. Ordd. Eques et Commendator, eto. VII Ordinarii Svecani: STYFFE, Carolus Gustavus, Ph. Dr, ad Reg. Academiam Upsaliensem a. h. Biblio- thecarius, St. Pol. Ord. adscriptus. THALEN, Tobias Robertus, Ph. Dr, Physices Professor Upsaliensis, Ord. St. Pol. Commendator, ete, Heg. Societatis Scient. Ups. Secretarius et Bibliothecarius. FRIES, Theodorus Magnus, Ph. Dr, Botanices Professor Upsaliensis, Reg. Aca- demiæ Upsaliensis E Manes Uie St. Pol. Commendator, ete., Preses R. Soc. Se. Ups. 1882— 83. THORELL, Thord Tamerlan Theodorus, Ph. Dr, Professor, St. Pol. Ord. ad- seriptus, etc. ALMEN, Augustus Theodorus, Ph. et Med. Dr, Collegii Med. Præses, Ord. St. Pol. e. m. Cr. Commendator, ete., R. Soc. Se. Ups. a. h. Questor. GYLDÉN, Ioannes Augustus Hugo, Ph. Dr, Professor et Observatorii Astrono- miei Holmiensis Director, Ord. St. Pol. Commendator, etc. LINDMAN, Christianus Fredericus, Ph. Dr, ad Scholam Strengnesiensem Ma- thesis Lector emeritus, St. Pol. Ord. adscriptus. DILLNER, Georgius, Ph. Dr, Mathesis Professor E. O. Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus. HEDENIUS, Petrus, Ph. et Med. Dr, Anatomie Pathologicæ Professor Upsaliensis emeritus, Ordd. St. Pol. et Was. Commendator, etc., Praeses R. Soc. Sc. Ups. 1884— 859. HOLMGREN, Alarieus Frithiof, Ph. et Med. Dr, Physiologie Professor Upsaliensis Ord. St. Pol. Commendator et S. Ol. Ord. adscriptus, etc., Preses R. Soc. Sc. Ups. 1887—88. CLASON, Eduardus Claudius Hermannus, Med. Dr, Anatomie Professor Up- saliensis, St. Pol. Ord. adscriptus. RUBENSON, Robertus, Ph. Dr, Professor et Instituti Meteorologici Svecani Pr&- fectus, St. Pol. Ord. adscriptus, etc. CLEVE, Petrus Theodorus, Ph. Dr, Chemie Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus, etc., Preses R. Soc. Sc. Ups. 1886—87. MALMSTRÖM, Carolus Gustavus, Ph. Dr, a. h. Consiliarius Regis, a. h. Ar- chivarius Regni Svecani, Academiæ Svecanæ Octodecimvir, Ord. St. Pol. Com- mendator et S. Ol. Ord. adscriptus, etc. TEGNÉR, Esaias Henrieus Vilelmus, Ph. Dr, Linguarum Orientalium Professor Lundensis, Academiæ Svecanze Octodecimvir, St. Pol. Ord. adscriptus, ete., Præses R. Soc. Sc. Ups. 1891—92. MÖLLER, Dietricus Magnus Axelius, Ph. Dr, Astronomie Professor Lunden- sis emeritus, Ord. St. Pol. Commendator, etc. LUNDQUIST, Carolus Gustavus, Ph. Dr, Mechanices Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus, Reg. Societatis Scient. Ups. Questor. J VIII HILDEBRANDSSON, Hugo Hildebrand, Ph. Dr, Meteorologiæ Professor E. O.. Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus, Preses R. Soc. Se. Ups. 1890— 91. WITTROCK, Veit Brecher, Ph. Dr, Professor et Musei botanici Holmiensis Præ- fectus, St. Pol. Ord. adscriptus, ete. BLOMSTRAND, Christianus Vilelmus, Ph. Dr, Chemie Professor Lundensis emeritus, Ord. St. Pol. Commendator, etc. HAMMARSTEN, Olavus, Ph. et Med. Dr, Chemie Medicinalis et Physiologice Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus, Preses R. Soc. Sc. Ups. 1893— 94. FALK, Mathias, Ph. Dr, Mathesis Professor Upsaliensis, Reg. Societatis Seient. Ups. h. t. Preses. KEY, Ernestus Axelius, Ph. et Med. Dr, Anatomie Pathologicæ Professor Hol- miensis. | RETZIUS, Magnus Gustavus, Ph. et Med. Dr, a. h. Histologie Professor E. O. Holmiensis. ODHNER, Claudius Theodorus, Ph. Dr, Archivarius Regni Svecani, Academiæ! Svecanæ Octodecimvir, Ord. St. Pol. Commendator. RYDIN, Hermannus Ludovicus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Juris Professor Upsaliensis emeritus, Ord. St. Pol. Commendator et S. Ol. Ord. adscriptus, Preses R. Soc. Sc. Ups. 1892—93. BLIX, Magnus Gustavus, Med. Dr, Physiologie Professor Lundensis. ANNERSTEDT, Claudius, Ph. Dr, ad Reg. Academiam Upsaliensem Bibliothecarius Regg. Ordd. a. h. Historiographus, Ord. St. Pol. Commendator, etc. NYRÉN, Magnus, Ph. Dr, ad Observatorium Pulkovense Astronomus, St. Pol. Ord. adscriptus, etc. KJELLMAN, Franciscus Reinholdus, Ph. Dr, Botaniees Professor E. O. Upsa- liensis, St. Pol. Ord. adseriptus, etc. TULLBERG, Tycho, Ph. Dr, Zoologie Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord. adseriptus. MITTAG-LEFFLER, Gustavus, Ph. Dr, Mathesis Professor Holmiensis, St. Pol. Ord. adseriptus, ete. HÄGGSTRÖM, Franciscus Vilelmus, Ph. Dr, Lingue Litterarumque Latinarum Professor Upsaliensis emeritus, St. Pol. Ord. adscriptus. ARESCHOUG, Fredericus Vilelmus Christianus, Ph. Dr, Botanices Professor Lundensis. BJÖRLING, Carolus Fabian Emanuel, Ph. Dr, Mathesis Professor Lundensis, St. Pol. Ord. adscriptus. DUNÉR, Nicolaus Christophorus, Ph. Dr, Astronomi: Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus, etc. FORSSELL, Ioannes Ludovicus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Collegii Reg. Cameralis Præses, Academiæ Svecanæ Octodecimvir, Ord. St. Pol. e. m. Cr. Commen- dator, ete. THÉEL, loannes Hjalmarus, Pb. Dr, Professor et Musei Zoologiei Holmiensis Pr:efectus. IX WARFVINGE, Franciscus Vilelmus, Med. Dr, Nosocomii Præfectus Holmiensis, Ord. Was. Commendator et St. Pol. Ord. adscriptus, etc. ALIN, Oscar Josephus, Ph. et Jur. Utr. Dr, Eloquentiæ et politices Professor Skytteanus Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus, ete. NILSON, Laurentius Fredericus, Ph. Dr, Chemie Agronomicæ Professor Hol- miensis, St. Pol. Ord. adscriptus. LINDSTRÖM, Gustavus, Ph. Dr, Palæontologiæ Professor Holmiensis, St. Pol. Ord. adscriptus. HILDEBRAND, Ioannes Olavus Hildebrand, Ph. Dr, Antiquarius Regni Sve- cani, Ord. St. Pol. Commendator, etc. LUNDSTRÖM, Axelius Nicolaus, Ph. Dr, Botanices Docens Upsaliensis et Lector. HASSELBERG, Claudius Bernhardus, Ph. Dr, Physices Professor Holmiensis, etc. WIDMAN, Oscar, Ph. Dr, Chemie Professor E. O. Upsaliensis. SJÖGREN, Andreas Hjalmarus, Ph. Dr, a. h. Mineralogie et Geologie Professor Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus. HENSCHEN, Salomon Eberhardus, Med. Dr, Medicine practice Professor Up- saliensis, St. Pol. Ord. adscriptus. PETERSSON, Oscar Victor, Med. Dr, Pædiatrices et Medicine practice Pro- fessor E. O. Upsaliensis, St. Pol. Ord. adscriptus. LENNANDER, Carolus Gustavus, Med. Dr, Chirurgie Professor Upsaliensis. Ordinarii Esteri: THOMSON, Vilelmus, Lib. Baro de KELVIN, Physices Professor Glascovensis. BONSDORFF, Evert Julius, Anatomie et Physiologie Professor Helsingforsiensis ~ emeritus. BUNSEN, Robertus Vilelmus, Chemiæ Professor Heidelbergensis, Ord. St. Pol. Commendator. STEENSTRUP, loannes Iapetus Smith, Zoologie Professor Hauniensis emeritus, Ord. St. Pol. c. m. Cr. Commendator. STOKES, Georgius Gabriel, Mathesis Professor Cantabrigensis. HOOKER, Josephus Dalton, Horti Botanici Kewensis a. h. Director, St. Pol. Ord. adscriptus. UNGER, Carolus Richardus, Linguarum Litterarumque Recent. Professor Chri- stianiensis, St. Pol. et S. Ol. Ordd. adscriptus. STEPHENS, Georgius, Linguarum Anglicar. Professor Hauniensis, Ord. St. Pol. Commendator. VIRCHOW, Rudolphus a, Anatomie Pathologice Professor Berolinensis, Ordd. St. Pol. c. m. Cr. et S. Ol. Commendator. STRUVE, Otto Vilelmus, Observatorii Astronomici Pulkovensis a. h. Director, Ord. St. Pol. Commendator. 2 X MÜLLER, Max, Professor Taylorianus Oxoniensis, Ord. St. Pol. Commendator. FIZEAU, Hippol. Ludovicus, Physices Professor Paris, Instit Paris. Membrum. BUGGE, Elseus Sophus, Linguarum Indo-Europæar. Professor E. ©. Christiani- ensis, St. Pol. Ord. adscriptus ete. Ord. S. Ol. Commendator. GÜNTHER, Albertus, ad Museum Britannicum Zoologie Præfectus. RECHLINGHAUSEN, Fredericus a, Medicine Professor Argentoratensis. HERMITE, Carolus, Mathesis Professor Parisiensis, Instituti Paris. I Membrum, Ord. St. Pol. e. m. Cr. Commendator. HUGGINS, Vilelmus, Socius Reg. Societatis Londinensis. SCHERING, Ernestus Christianus Julius, Mathesis Professor Gottingensis, St. Pol. Ord. adseriptus. HOPPE, Ernestus Reinholdus Eduardus, Mathesis Professor Berolinensis. HUXLEY, Thomas Henricus, Anatomie et Physiologie Professor Londinensis, . St. Pol. Ord. adscriptus. STEINTHAL, Heuricus, Philologie Professor Berolinensis. SARS, Georgius Obst) Zoologie Professor Christianensis S. ©. Ord. adscriptus. DU BOIS-REYMOND, Aemilius Henricus, Physiologie Professor Berolinensis, St. Pol. Ord. adscriptus. WEIERSTRASS, Carolus Vilelmus Theodorus, Mathesis Professor Berolinensis, Ord. St. Pol. Commendator. WIEDEMANN, Gustavus, Physic. Chemie Professor Lipsiensis. NEWCOMB, Simon, ad Observatorium Washingtoniense Mathesis Professor. COHN, Ferdinandus, Botanices Professor Vratislaviensis. SCHIAPARELLI, Ioannes Virginius, Director Observatorii Mediolanensis. BUCHAN, Alexander, Societatis Meteorologicæ Scotorum Secretarius. DES CLOISEAUX, Alfredus Ludovicus Oliv., Instituti Paris. Membrum, Ord. St. Ol. Commendator. CORNU, Alfredus, Physices Professor Parisiensis, Instituti Paris. Membrum. PARIS, Gaston, Professor, Instituti Paris. Membrum, Ord. St. Pol. Commendator. MAREY, Stephanus Julius, Historie naturalis Professor Parisiensis, Instit. Paris. Membrum. MAURER, Conradus a, Hist. Juris Septentrionalis Professor Monacensis, Ordd. St. Pol. e£ S. Ol. Commendator. ASCHEHOUG, Torkil Halvorsen, Juris Professor Christianiensis, Ordd. St. Pol. et S. Ol. Commendator. MOHN, Henrieus, Meteorologie Professor Christianiensis, St. Pol. Ord. adseriptus et Ord. S. Ol. Commendator. BJERKNES, Carolus Antonius, Mathesis Professor Christianiensis, Ord. S. Ol. Commendator. QUINCKE, Gustavus, Physices Professor Heidelbergensis. BAEYER, Adolphus, Chemie Professor Monacensis. E. HANN, Julius, Instituti Meteorologiei Vindobonensis Præfectus. PAGET, Jacobus, Medicine Professor Londinensis. PASTEUR, Ludovieus, Professor, Instituti Parisiensis Membrum, Ord. St. Pol. e. m. Cr. Commendator. LISTER, Josephus, Chirurgie Professor Londinensis. GEGENBAUR, Carolus, Anatomie Professor Heidelbergensis. BAILLON, Henrieus Ernestus, Naturalis Historie Medieinalis Professor Parisiensis. THOMSEN, Julius, Chemise Professor Hauniensis. FRANKLAND, Eduardus, Chemise Professor Londinensis. POINCARE, Julius Henricus, Mathesis Professor Parisiensis, Instituti Paris. Membrum, St. Pol. Ord. adscriptus. LEUCKART, Rudolphus, Anatomie Comparatæ Professor Lipsiensis. FICK, Adolphus, Physiologie Professor Virceburgensis. HIS, Vilelmus, Anatomiæ Professor Lipsiensis. KÖLLIKER, Albertus a, Anatomie Professor Virceburgensis. MASCART, Eleutherus, Physices Professor et Instituti Meteorologici Parisiensis . Praefectus, Instituti Paris. Membrum. LÜTKEN, Christianus Fredericus, Zoologie Professor Hauniensis. GEFFROY, Augustus, Historiarum Professor Parisiensis et Instituti Paris. Mem- brum, Ord. St. Pol. Commendator. WIESNER, Julius, Botanices Professor Vindobonensis. WIMMER, Ludovicus Franciscus Adalbertus, Linguarum Septentrionalium Professor Hauniensis. AMIRA, Carolus ab, Juris Professor Monacensis, St. Pol. Ord. adscriptus. DROYSEN, Gustavus, Historiarum Professor Halensis, St. Pol. Ord. adscriptus. MÜLLER, Ferdinandus a, Lib. Baro, Horti Botanici Melbournensis Director, St. Pol. Ord. adscriptus. SCHWENDENER, Simon, Botanices Professor Berolinensis. BACKLUND, Ioannes Oscar, Academiæ imp. Scientiarum Petropol. membrum, St. Pol. Ord. adseriptus. LANGE, Ioannes Henrieus, Botanices Professor Hauniensis, St. Pol. Ord. adscriptus. BROGGER, Valdemar Christophorus, Geologie et Mineralogiæ Professor Chri- stianiensis. GROTH, Paulus, Mineralogie Professor Monacensis. DELISLE, Leopoldus, Bibliothecæ Parisiensis Praefectus, Ord. St. Pol. Commendator ZIEMSSEN, Hugo a, Medicine Professor Monacensis. ENGLER, Adolphus, Botanices Professor Berolinensis. VOGEL, Hugo Carolus, Observatorii Astrophysiei Postampiensis Præfectus. ESTLANDER, Carolus Gustavus, Aestetices Professor Helsingforsiensis, St. Pol. Ord. adscriptus. XII HOPPE-SEYLER, Ernestus Felix Immanuel, Chemie mediemalis Professor Argentoratensis. BORNET, Eduardus, Med. Dr, Instituti Paris. Membrum. - THOMSEN, Vilelmus Ludovicus Petrus, ad Universitatem Hauniensem Gram- matiee Indo-Europæarum Linguarum comparate Professor. RAYLEIGH, Ioannes Vilelmus de, Lib. Baro, ad Institutionem regalem Magnæ Britannie Physices Professor Londinensis. TISSERAND, Felix, Observatorii Astronomici Parisiensis Director, Instituti Paris. Membrum. PICKERING, Eduardus Carolus, Astronomie Professor Harvardensis. FUCHS, Lazarus, Mathesis Professor Berolinensis. FISCHER, Aemilius, Chemiæ Professor Berolinensis. KÜHNE, Vilelmus, Physiologie Professor Heidelbergensis. KERNER, Antonius, Botanices Professor Vindobonensis. WALLACE, Alfredus Russel, Societatis Linneane Londinensis Membrum. TREUB, Melchior, Horti Botanici Præfectus Javanensis. DAAE, Ludovicus, Historiarum Professor Christianiensis, Ordd. St. Pol. et S. Ol. adscriptus. : ERDMANNSDORFFER, Bernhardus, Historiarum Professor Heidelbergensis. GARDINER, Samuel Rawson, Historiarum a, h. Professor Londinensis. TAIT, Petrus Guthrie, Physices Professor Edinburgensis. KOCH, Robertus, Medicine Professor Berolinensis. HJELT, Otto Eduardus Augustus, Anatomie Pathologie: Professor emeritus Helsingforsiensis. KOCHER, Theodorus, Chirurgie Professor Bernensis. MEYER, Victor, Chemie Professor Heidelbergensis. LIEBERMANN, Carolue, Chemie Professor Berolinensis. BOUCHARD, Carolus Jacobus, Pathologie Professor Parisiensis. KOHLRAUSCH, Fredericus, Physices Professor Argentoratensis. LACAZE-DUTHIERS, Felix, Josephus Henricus a, Zoologie et Anatomiæ Pro- fessor Parisiensis, Instituti Paris. Membrum. PFEFFER, Guilielmus, Botanices Professor Lipsiensis. TOPELIUS, Zacharias, Consilio Publico adscriptus, a. h. Historiarum Professor Helsingforsiensis, Ord. St. Pol. Commendator. \ XII B. Socii Regie Societatis Scientiarum Upsaliensis RABEN. RB... 311803. ALMÉN, AN, er EMIT GYLDEN, J. A. H. . 1872. LINDMAN, CRAB Ge 21843. DILLNER, G. 65 USS RUBENSON, R. . 1815. Crp; B. T... . 1815. Brres, TL, M. osa ©. 1866. THORELL, T. T. T. 1866. Hepenivus, P.. .. . 1873. HOoLMGREN, A. F. . 1873. Crasow, E. C. H. . 1873. WrrrROCK, V. B.. . 1877. HAMMARSTEN, O.. . 1878. STYEFE, C. G. ... 1863. MALMSTRÖM, C. G.. 1876. TEGNER, E. H. V.. 1876. OpuHNER, C. T.... 1882. secundum disciplinas Ordinarii Svecani I. In Classe Physico- Mathematica: MÖLLER, D. M. A. . 1876. Lunpquist, C. G. . 1876. HILDEBRANDSSON,H. 1876. BLOMSTRAND, C. V. 1878. Fark, M 1878. NYRÉN, M. 1885. MrrrAc-LEFFLER, G. 1886. II. In Classe Medica et Historie Naturalis: KEY, RETZIUS, M. G. . . . 1882. BP WL (Cy ae EIS: KIELLMAN, EF. R.. . 1885. TULLBERG, Te . 1885. ARESCHOUG,F. V.CR. 1887. THEEL, J. H. SISSE III. In Classe Historico- Archeologica : RYDIEN EW. == 882: ANNERSTEDT, C. . . 1884. HáccsrROM, F. V.. 1887. FORSSELL, J. L. . . 1889. BJÖRLING, C. F. E. 1888. DuwÉm, N. CH... . 1888. Nirsow, L. F. .. . 1889. HassELBERG, C. B. 1890. INVALD MANS OD 1890. SJÖGREN, H. . 1892. WARFVINGE, F. V. 1889. LINDSTRÖM, G. . 1889. LUNDSTRÓM, A. N. . 1889. HENSCHEN, S. E. . . 1892. PETERSSON, O. V. . 1893. LENNANDER, C. G. . 1894. ATIN SOW Jay 0: 1889. HILDEBRAND, J.O.H. 1890. XIV ''HoMsoN, V.(KELVIN)1852. Bunsen, R. V... . 1856. STOKES, C. G. ... 1865. SERUVE MO NV. 202018068: IEA AU He Go USI), HERMIE CN 1874. HUGGINS, V. WIEDEMANN, G. . . 1877. NEWCOMB, S..... 1877. SCHIAPARELLI, I. V. 1878. BUCHAN Aue Es: BONSDORFF, E. J. . 1856. STEENSTRUP, J. J. S. 1856. HOOKER JA DAT 2221803, NIRCHOW, R..... 1867. GÜNTHER, A. .... 1873. RECHLINGHAUSEN,F. 1873. URL NME 8: SARS nO TEE 1815. Dv Bors-REvMOoND,E. 1876. (UO ON SVE dr EIC T 1877. MARK Va Sarda NETTE: BAGER IN Aa 1882. PASTEUR CL MOSS? IDG lots sects Set 1884. ÜNGER, Cs BR: OM MSG: STEPHENS, G.. . . . 1865. MÜLLER, Max. . . . 1869. BUGGE) Welsh e 1872. STEINTHAL, H. ... 1875. PARIS E ES 1878. MAURER, C.. 4... . 1878. AT SD SCHERING, E. C. J. 1875. IHoPPE, By Ry By. 11875. WEIERSTRASS,C.V.T. 1876. Ordinaru Exteri I. In Classe Physico-Mathematica: Des CrormsEAux, A. 1878. CORN AMENER 1878. MONET 1879. BJERKNES, C. A... 1879. QJUINGEES Gees (0: IAE RR ACen 1879. HANNES N 1881. THOMSEN, J. . ... 1885. FRANKLAND, E... . 1885. PoINCARÉ, J. H. . . 1885. MASCART, E. . . . . 1886. BACKLUND, J. O.. . 1888. BRÖGGER, V. CH.. . 1889. (Cromer, Jey ots a: 1889. IJ. In Classe Medica. et Historie Naturalis: GEGENBAUR, C.. . . 1884. BAILLON, H. E. . . 1884. JRUCKART, B1 121885: Bro Aci SI M RE 1889. EDT Sai aN a a 1885. IKODDBIEER, PA 2901-25: ]105599; T ERSENGR, ENTIS WIESNER, J. .... 1886. IMS ER MEN 1881. SCHWENDENER, S. . 1888. JUAN GE ORD EEE 1888 ZiEMSSEN, H. . . .. 1889 ENGLER, AW en 1889. Hoppsr-SEYLER,E.F.J.1890. III. In Classe Historico-Archæologica : ASCHEHOUG, T. H.. 1879. GEFFROY, A. . . . . 1886. WIMMER, C. E. . . . 1886. AMIRA OL ere ee 1881. DROYSEN, G. . . . . 1887. DEMISCE PEER 1889. ESTLANDER, C. G. . 1890. VOGEI E320: NUS SO RAYLEIGH, I. V... 1891. TISSERAND, FP. . . . 1892. PICKERING, E. C. . 1892, Hucası Dune 1892. FISCHER, E...... 1892 DATING 1894. MEYER, V. erlag LIEBERMANN, C. . . 1894. KoHLRAUSCH, F.. . 1894. er ER Te ONE EEE Borner) Hy M 1891. IKGOIEENE (VEO eae 1892. KEENER, AN 1892. WALLACE, A. R.. 895. DREUB MN ee 1893. KOCH; "Eos, Se 1894. EISELT Oi SEE 1894. KOCHER, I Sy 1894. BoucHARD, C. .. . 1894. Lacaze-Durnrers,F. 1894. PFEFFER, V. . .. . 1894. ale ter ON NIMES Peu cao '"THoMsEN, V. L. P. 1891. DAXE UD UI 1893. ERDMANNSDÖRFFER,B.1893. GARDINER, S. R. . . 1893. TOPELIUS, Z. . . . . 1894. £e Le . Boston, III. Academiæ et Societatis, cum quibus Acta Regis Societatis » Buenos Aires, Buffalo, . . Cambridge, . Cordoba, Davenport, Granville, . . Madison, New-Haven, . . New- York, » Philadelphia, » » Saint-Louis, . . ‚Salem, > San-Francisco, > Washington, . > » . . Wisconsin Seientiarum Upsaliensis communicantur. In Africa: Société de Climatologie. In America: . American Academy of Arts and Sciences. Society of Natural History. Musée de la Plata. . Society of Natural Sciences. . Museum of Comparative Zoology. . Academia nacional de Ciencias de la Républica Argentina. . Academy of Natural Siences. . Denison University. State Agricultural Society. Connecticut Academy of Arts an Sciences. . Academy of Sciences. American Geographicaland Sta- tistical Society. . Academy of Natural Sciences. American Philosophical Society. Entomological Society. Second Geological Survey of Pennsylvania. Academy of Science. . . American Association for the Advancement of Science. Essex Institute. California Academy of Natural Sciences. Lick Observatory. - Departement of Agriculture. National Academy. Naval Observatory. » » Tokio, | Melbourne, Sidney, Cambridge, > » Edinburgh, Greenwich, Liverpool, London, » ») » Washington, . Batavia, . . . . Aberdeen, . . IDNR, & 35: | Manchester, elu . U. S. Geological Survey. Smithsonian Institution. U. S. Chief Signal Office. In Asia: Magnetical and Meteorological Observatory. . University. In Australia: . Roy. Society of Victoria. . Linnean Society of New-South Wales. In Europa: . University. . Observatory. Philosophical Society. Roy. Dublin Geological Society. Roy. Irish Academy. . Botanical Society. Geological Society. Physical Society. Roy. Observatory. Roy. Society. Roy. Observatory. Biological Society. Linnean Society. Natural History Museum. Roy. Astronomical Society. Roy. Institution of Great Britain. Roy. Microscopical Society. Royal Society. Zoological Society. Literary and Philosoph. Society. XVI Amsterdam, Dale, S as o . . Société Weyler. Harlem, . . » Bruxelles, . Bordeauz, . . Caén, Cherbourg, Dijon, 2 Marseille, . . Montpellier, . . Académie des Scienceset Lettres. Nancy, . Société des Sciences naturelles. ' Paris, . . . . . Académie des Sciences. » Ecole Polytechnique. » Musée Guimet. » Observatoire Astronomique. » Société Mathématique de France. Bern, . . Société Helvétique des Sciences naturelles. Geneve, . . . . Société de Physique et d'His- toire naturelle. Lausanne,. . . Société Vaudoise des Sciences Zürich, DINER . . Académie Roy. des Sciences, .. Société Linnéenne de Nor- . . Naturforschende Gesellschaft. Akademie schappen. Kon. Zoologisch Genootschap, (Natura Artis Mavyistra). . Ecole Polytechnique. van Weten- Société Hollandaise des Sciences. des Lettres etc. Observatoire Royal. Societé Entomologique de Bel- gique. Societé Malacologique de Bel- gique. Société Roy. de Botanique. . Société des Sciences pysiques et naturelles. | mandie. Société des Sciences naturelles. . Académie des Sciences, Arts et Belles-Lettres. . Académie des Sciences, Belles- Lettres et Arts. Société d' Agriculture, d'Histoire naturelle etc. Société Linnéenne. . Faculté des Sciences. naturelles. Barcelona,. . . Real Academia de Ciencias y Artes. Bologna, . . . R. Accademia delle Scienze. Genova, . . . . Museo civico di Storia Naturale. Milano, . Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere. R. Accademia di Scienze, Let- tere ed Arti. Modena, . . . . Napoli, . R Accademia delle Scienze. Palermo,. . . . Società di Scienze Naturali ed Economiche. Pisa, . . . . . Società Toscana di Scienze Naturali. OA S 5r dens R. Accademia dei Lincei. Torino, . . R. Accademia delle Scienze. Dorpat, . . . Meteorologisches Observatorium. » Naturforscher Gesellschaft. » Observatoire impérial. Helsingfors, . . Finska Vetenskaps Societeten. » Societas Pro Fauna et Flora Fennica. j ee ee Université imp. deSt. Wladimir, Moscou, . . . . Société imp. des Naturalistes, Pulcowa, . . . Observatoire impérial. S:t Petersbourg, Académie imp. des Sciences. » K. Botanischer Garten. » Observatoire physique central de Russie. Berlin, . . . . K. Preuss. Akademie der Wis- senschaften. » Physikalische Gesellschaft. » Physikalisch-technische Reichs- anstalt. » Redaktion des Archiv der Ma- thematik und Physik. Braunschweig, . Verein für Naturwissenschaft. Bremen, . . . . Naturwissenschaftlicher Verein. Breslau, . . . . Schlessische Gesellschaft für vaterländische Cultur. Brünn, . . . Naturforschender Verein. Buda-Pest, . . Société Roy. Hongroise des Sci- ences naturelles. Dürkheim, . . . Naturwissenschaftlicher Verein. | »Pollichia». Frankfurt am Main, Senckenbergische natur- forschende Gesellschaft. Frankfurta.Oder.NaturwissenschaftlicherVerein. GROSSEN e v. crus Greifswald, Göttingen, Hamburg, . . Heidelberg, Innsbruck, . . Kiel, Königsberg, Leipzig, . ... 2 München, > Osnabrück, Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde. Naturwissenschaftlicher Verein. von Neu-Vorpommern und Rügen. K. Gesellschaft der Wissen- schaften. K. Leopold. Carol. Academie der naturforscher. Naturforschende Gesellschaft. . Verein für Naturwissenschaft- liche. Unterhaltung. . Naturhistorich-medicinischer Verein. . Naturwissenschaftlich-medizini- | scher Verein, Medicinisch- naturwissenschaft- liche Gesellschaft. Naturwissenschaftlicher Verein K. Physikalisch-ókonomische Gesellschaft. Aswonomische Gesellschaft. Fürstlich Jablonowski'sche Ge- sellschaft. K. Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften. . K. Bayerische Akademie der Wissenschaften. Hof- u. Staats-Bibliothek. . Naturwissenschaftlicher Verein Presburg, . - . Regensburg, . . K. Bóhmische Gesellschaft der Wissenschaften. Verein für Naturkunde. K. Bayerische botanische Ge- sellschaft. Stuttgart, I | Wiesbaden, Reykjavik, Bergen, » » > Tromsö, Trondhjem, Göteborg, Stockholm, . » 2 Kjöbenhavn, . Christiania, . . JEUDI RENE XVII . Verein für vaterländische Na- turkunde in Würtemberg. Verein für Kunst und Alterthum. K. k. Akademie der Wissen- schaften. K.k. Geologische Reichsanstalt. K. k. Naturhistorisches Hofmu- seum. K. k. Sternwarte. K. k. zoologisch-botanische Gesellschaft. Verein zur Verbreitung natur- wissenschaftlicher Kentnisse. Verein für Naturkunde in Nassau. . Carlsberg Laboratoriet. K. Danske Videnskabernes Sel- skab. K. Nordiske Oldskrift-Selskab. Naturhistoriske Forening. Universitets Bibliotheket. Islands Stifts-Bibliothek. . Museum. Observatorium. Observatorium. Universitets Bibliotheket. Videnskabs-Selskabet. Museum. K.NorskeVidenskabers Selskab, . K. Vetenskaps- och Vitterhets- Samhället. K. Fysiografiska Sällskapet. . Geologiska Byrån. K. Vetenskaps-Akademien. K. Vitterhets-, Historie- Antiqvitets-Akademien. och Upsalie, die 11 mensis Maji anni MDCCCXCV. ==0= e—— PHOPERTY OW —— THE AMERICA ASSUCIATION THE AD ] ENT oS NOI NOI I ADV STICRM EN LIA NOVA ACTA REGIA SOCIETATIS SEIENTIAR UM UPSALIENSIS. SERIEI TERTLE VOL. XV. FASCICULUS PRIOR. UPSALIJ, EXCUDIT ED. BERLING REG. ACAD. TYPOGRAPHUS. MDCCCXCII. VI. INDEX HUJUS FASCICULI. Orssow, O.: Beiträge zur Lehre von der Bewegung eines festen Körpers in einer Flussigkeit. I. . SÖDERBERG, J. T.: Einige Untersuchungen in der Substitutionstheorie und der Algebra ^. .... PrawwENsSTIEL, E.: Ueber die Differentialgleichung der elliptischen Function dritter Ordnung . . . BERGER, A.: Sur les fonctions entieres rationnelles, qui satisfont à une équation différentielle linéaire (UNS EC OMAR BARS mese nus loe le see e e SENSN DILLNER, G.: Sur le développement d'une fonction analytique pour un contour de convergence qui renferme des points critiques d'ordres réels et Sletendaspcstouple Dans. scs «o ce NE TnuÉEL, H.: On the development of Echinocyamus Pusilius (0 DBSOMULEER) -—- 2... se edens kg hes Pag 1—39. 1—38. 1—18. 1—28. 1— 64. 1—57 I—IX. BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS IN EINER FLÜSSIGKEIT VON OL. OLSSON. (MITGETHEILT DER KÖNIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 14 FEBRUAR 1891). UPSALA 1891, DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. Es ouo und Tarr haben in ihrem umfassenden Werke »Natural Philo- sophy» bei der Darstellung der Hydrodynamik der festen Kórper neue Wege eingeschlagen, indem sie die Verwendbarkeit des Hamiltonischen Princips auch auf diesem Gebiet der Mechanik erwiesen, und KIRCHHOFF hat ferner die Fruchtbarkeit dieser Neuerung dargethan, indem er in seiner Abhandlung »Über die Bewegung eines Rotationskórpers in einer Flüssigkeit» ') aufweist, wie man durch Anwendung jenes Princips die Gleichungen für die Bewegung fester Kórper in Flüssigkeiten unter genau derselben Form darstellen kann wie die, welche für die Bewegung fester Körper im Raume gelten. Wenn man nehmlich die Partikeln des Körpers theils auf ein in ihm festes rechtwinkliges Coordinatensystem 0, x, 0,9 , 0,2 bezieht, theils auf ein im Raume fixirtes 08, om, oC, sammt die Geschwindigkeitscom- ponenten von o, parallel den Achsen 0,2, 0,9 , 0,2 mit u, v, w bezeich- net, und die Drehungsgeschwindigkeit des Kórpers um diese Achsen mit P, 9, r, und schliesslich unter 7 die lebendige Kraft des ganzen Sy- stems versteht, so haben die KircuHorr’schen Bewegungsgleichungen, wenn keine äusseren Kräfte auf den Körper oder die Flüssigkeit wirken, folgendes Aussehen: fin 0G Fak dt du ET dv 9 (1) [ouod DEN „oT ] dt adv du Qu al WIR oT Gd nuc cu cni idcm tow dv du 1) CRELLES J., 1870. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 2 Or. Orssow, dee "mr oT Qu c a = 00) — UE du 3v fär aq : d dT MES UD Bor: ou (2) da JL E rc Gh VI oT a aye DT à dt or is DD ca Gor is : hiezu kommen die Relationen | 5 = 40,0 + Oy + 0,2 , (3) y= + Pat Py + Ps? , | 6— y +++ YS wo a, B, y die Coordinaten von o, in Bezug auf das System 08, 07, oG bezeichnen, und a, , a, , à, , . . . . die Richtungscosinus zwischen den Achsen der beiden Coordinatensysteme, und ferner d d qu re, Dr — disce TE l d CR NOM ET d d "iR = pa, — ga, ’ edo — qp, > d^ 2 = ml , (4,) Ys rp — py 3 dt 1 JA) dys dt =PV2— 4) 3 BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 3 und schliesslich CR ut «v + a,w dt 1 : pri si 13S e (5) a. = Piu + Pav +Pp3w , dy NS ae : Für diese Gleichungen hat KircHHoFF folgende Integrale herge- leitet: DUREE. a T^? Qu OPNS (6) = ar = en E jg aig ada T. rod afe an ou Op ' mag war — ' . sammt oT oT oT Siri eee en | d bns mm dw 7 Bel oT EA Ji (7) u, ies ma, k , dT oT oT H" (i anc cde oT oT oT " , | Eras. | org —yk , 7 aT oT oT y k 1" (7,) Eu t^ a mp di , a oT QT , = — [pee er +73 3; [+a p wo |, m, n, k, k', k', l, UV, I Integrationsconstanten sind. 4 Or. Orsson, Die lebendige Kraft 7 ist, wie KiRCHHOFF erwiesen, eine homo- gene Function vom zweiten Grade in den u,v, w, p, q, r, so dass 2T — cu Ie BO WD IS IC UDC MD AO Gp a DC + 650° er 0 + 26,,Up + 20,09 4 26: UT. + 65470 + 265, WP + 265, wg + 265, v (8) MEE: + Cp + 265pg + 2e, pr + 559° + dC QT + 57" wo die constanten Coefficienten cy, (à, u — 1, 2... 6) von der Gestalt des Körpers, der Masse dieses und ihrer sowie von der Dichtigkeit der Flüssigkeit abhängen. Die grosse Zahl der no welche dem Ausdrucke der lebendi- gen Kraft angehört, wenn von Körpern generellster Art die Rede ist, lässt die Integration der Bewegungsgleichungen nicht zu, und erst nachdem man dem Körper gewisse specialisirende Bestimmungen beigegeben in Bezug auf seine Gestalt und Massenvertheilung oder die Freiheit der Bewegung beschränkt hat, ist die Integration ausfiihrbar'). Zum ersten Male glückte dies in einem umfassenden Falle in der obbesagten Ab- handlung KigcHHorr's über die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit. Hinsichtlich der Rotationskörper oder der Körper vom Charakter eines solchen ?) kann die lebendige Kraft nehmlich auf die einfache Form reducirt werden: (9) 2 T — e, (u* 4 v?) ra (p? + 9°) Hr, und wenn blos beobachtet wird, dass jetzt (10) A ire 0, oder r = Const. findet man leicht, dass die Bewegungsgleichungen (1) und (2) sich hier mit Eme Jacobischer @-Functionen integriren lassen. 1) Betreffend det Fälle, in denen es bisher geglückt ist, die Integrationen auszu- führen, siehe OL. OLSSON: »Om fasta kroppars rörelse i vätskor», 1890. 2) Ebendaselbst, pag. 5. | BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 5 Dass in diesem Falle die Integrationen ausführbar sind, hängt von dem Umstande ab, dass man hat Man kann sich demnach fragen: welche Form ist die generellste, welche die lebendige Kraft besitzen darf, um diese Gleichung gelten zu lassen? Was für eine Gestalt besitzen die diesem generellen Ausdruck der lebendigen Kraft entsprechenden Körper? Und schliesslich: sind auch in diesem Falle die Bewegungsgleichungen integrirbar? Wir werden in der Folge (unter Abtheil. I) diese Fragen beant- worten und gleichzeitig erweisen, dass es eine weitere Gruppe von Kör- pern (helicoidaler Gestalt) giebt, die als specielle Fälle die den Charakter eines Rotationskörpers besitzenden Körpers umfassen, für welche die Bewegung bestimmbar ist, und betreff derer wie im KIRCHHOFF'schen Falle die Gleichungen sich vermittels elliptischer @-Functionen inte- griren lassen. Ferner werden wir in diesem Aufsatze (unter Abth. II) einen Fall aufweisen, in dem die Bewegung — mit einiger Beschränkung bezüglich der im Ausdrucke der lebendigen Kraft enthaltenen Constanten — in Bezug auf jeden beliebigen Körper bestimmbar ist sammt schliesslich (unter Abth. III) das Problem von der Bewegung eines Körpers parallel einer fixen Ebene und (unter Abth. IV) eine Generalisation desselben liefern. 6 Or. OrssoN, I ÜBER DIE BEWEGUNG EINER GRUPPE HELICOIDALER KÖRPER IN EINER FLÜSSIGKEIT. 1. Wir werden anfänglich die allgemeinen Ausdrücke der leben- digen Kraft T bestimmen, wofür die Gleichung (10) gilt. Weil in Folge der Gleichung (8): oT 3u = CuY I Gav + Cyg W TF Gre etr de eer gg oM Sonn C190 + CoV + Coa! - CD + Cos Q + Cog? ; oT , : me dp = Cia UF Cog + 65, + C, P + las PT Cae” 9 OT | 5; FT] = Cut CoU + Cus W + Cas D + Cas Q + Coe V 3 so ist: d oT 2 2 i : 5 3 3 ? er Cu? — v*) + (6 — Cy UD + Cum + (Cog + Cy, UP + (Cas — Cra) UG + Cog? — ¢,,00 — (€, — BI — (Cog + ,5)09 — Cutr + 654p + eU + (G55 — Cu)pq + Ge pr — CosQW — Ca” — Cas? + und damit = eine identische Null sei, ist es folglich erforderlich, dass > : / Jr Co = Ga = Cy, = Cox = Cog = Cu = Cg, = Cas = Cag = Co ’ (1) ae Coo — Cy =O, 64 to,=0 , Cas — Cu =O 4 Cy, — Cu = 0. Die lebendige Kraft muss demnach folgendermassen aussehen (2) 27 = oglu? 4 v?) + ew + 2 culup + vg) + 2e«(vq — vp) + 2 eger + Cup +) + Coe?” - BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 7 2. Wir werden ferner eine Gruppe von dergestalteten Körpern aufweisen, dass ihre lebendige Kraft das Aussehen (2) hat. Anfänglich werden wir zu diesem Zweck uns vorstellen, dass wir es mit Körpern zu thun haben, die freilich keine Symmetrieebene, anstatt ihrer aber eine gewisse helicoidale Symmetrie in Bezug auf eine gege- bene Achse, z. B. die z-Achse, besitzen, und zwar so, dass der Kórper sich in völlig gleichem Verhältniss zum Coordinatensysteme 272 befindet, nach dem es 180? um die z-Achse gedreht wurde als vor der Drehung. Bezeichnet man die lebende Kraft mit T (u, v, w, p, q, 7), muss in diesem Falle TEL 0 Um qne u, SÖ TE Um + d. h. 7 muss folgendes Aussehen haben DIN = GF us pii bru ES + 630° + 2 63,Up + 26309 JL God DP sn) Cup + 265 pg +6559 JB ete c Ferner nehmen wir an, dass der Kórper derart sei, dass er sich im gleichen Verhältniss zum Coordinatensysteme zyz befindet, nachdem nur eine Drehung von 90° um die z-Achse stattgefunden; man hat dann T(u vw, p, dir) = To, mw pn, und 7" muss aussehen 2 T' = e,(w? + v?) + Gg? + 2culup + vq) + 26s (uq — vp) + 2 csswr + cup? + 7) + Sse” » also ein mit (2) identischer Ausdruck der bebendigen Kraft. Es ist demnach nicht schwer einzusehen, in welcher Weise man Körper der fraglichen Gestalt erhält: man braucht sich nur die Körper vom »Rotationscharakter» um ihre geometrische Achse gedreht vorzustel- len, so dass sie von einer helicoidalen Fläche begrenzt werden. Weitere 8 Or. OLsson, Exempel der besprochenen Kórper simd übrigens gewisse Arten vier- blättriger Propeller '). Ausser letztgenannter Körpergattung findet sich inzwischen, wie wir sogleich sehen werden, auch eine andere, deren lebendige Kraft das Aussehen (2) hat. Denken wir uns nehmlich, wir hätten es mit Körpern ohne Sym- metrieflüche zu thun, die aber eine helicoidale Umdrehung um die z- Achse haben, und, den obigen entgegengesetzt, ausserdem derart ge- staltet sind, dass der Schnitt senkrecht gegen diese Achse ein (gerad- liniges oder krummliniges) Dreieck ermittelt, welches drei die resp. Win- kelspitzen durchschneidende Symmetrielinien besitzt (siehe Fig.) Man kann dann zeigen, dass die lebendige Kraft eines solchen Körpers wie (2) ist. Referirirt man nehmlich den Körper auf das Coordinatensystem xyz, erhält des- sen lebendige Kraft die generelle Form (8), oder T (u,v,w, p,q,r). Wird der Körper ferner auf die Systeme 2'y'z' und z'"y"z" refe- rirt, so folgt wegen der identischen Lagen des Körpers hinsichtlich der Systeme zz, ry, ys”, dass die Ausdrücke seiner leben- disen Kraft Tu vi, MD os De fer H Hn „ a Tu’, v ,w' ,p' ,q', r^) werden, sammt dass J 7 (3) Tu’, v', w, p. g, r^) E Ku”, v", w' mu oii y") 1 Nun ist indessen, wenn man durch © den Winkel zwischen zwei Symmetrielinien des Dreiecks bezeichnet: —U =UCOS O + vsin O , v =UusinO —vcos 9 , 2 HZ UD , — pP 2 pcos 0 -- qsin 6 , q —psino—qcoso , quom 1) Siehe LAMB: »Motion of Fluids». BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 9 — uw" =ucos@—vsine , v" = —usin 6 —vcos 0 , w=wW, (5) —p =pcosOo—qsnQ, q =—psin®—qcos®@ , JH o—R GA Durch Substitution erhält man demnach 2 T(u' ,v' ,w',p',q 7) = [cu cos © — c sin 20 + c» sin’ Of +2 E eos 20 — i (Go, — Cu) sin 2 al — 2[c3 cos © — c5, sin Oluw ego. cos? © + Ca; sin* © — E (Cos + C15) Sin 2 e| up + ee COS" 0 — Ca SIM” OÙ L Co; — Cu) Sin 29 |u 9 q — 2 [es cos © + c; sin ©] vw + 2) eos? © — c, sin? 9 — - (Ca; — C14) Sin 2 e| up ne? E cos’ 9 + c, sin? © + E (Ca + C:s) sin 2 e| vq | | — 2[c, cos © — cy sin OJ] ur + [cy sin? © + c; sin 20 + 6 cos? oO} | — 2 [ess cos © + ey, sin OJ vr + cw — 2 [Cu cos © — c5, sin ©] wp —2[C35 COS @ + c4, sin 6 wg + 2cwr+[ccos © —c;;sin 20-6; sino Jp* är q 7 Jc JE €,, COS 2 © — ze — 64) Sin 2 en — 9[e4, COS © — Cs, sin OJ pr + [Cu sin? © + ¢,; cos’ © + c4, sm 20]9 — 2[c; cos © + c4, sin O]gr | Ton: Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. to 10 Or. OLsson, oder wenn man den Theil rechts dieser Gleichung mit 27(w, v, w,p, q,r, 0) bezeichnet " (7) NOT OG (a5 TI T(u,v,w,P,9,r,0). Ferner ergiebt sich durch Substitution ein analoger Ausdruck für Tu ,v',w',p',q',r^. Hier kann man sich indessen die Ausführung der Substitution ersparen, denn bei Vergleichung der Ausdrücke (4) und (5) findet man, dass u,v, jp 4g. , T. mu ,v iw, mp. Ge wer den, falls man nur + 9 in — © ändert; also , SO Pong ry la, or m pae ie =O) c Aus der letzten nebst den Gleichungen (3) und (4) folgt nun, dass T'(u,v,wy,p,q ,7,4-0) 2 T(u,v,w, p, q,r, —0) , woraus die Bedingungen ermittelt werden Go = Cig = Cig = Cog = Cog = Ca = == Cu = O , Cap — Cy, = 9 7 Cu + 4s = 0 , C5 — Cu = 0 , 65 — Cs — 0, welche mit den in (1) angegebenen identisch sind. 3. Da man also gefunden hat, dass der Ausdruck der lebendigen Kraft dieser helicoidalen Körper mit triangulären Durchschnitt dieselbe Form hat wie der der schraubenfórmigen Kórper, welche durch Umdre- hung eines Körpers vom Charakter eines Rotationskórpers entstehen, liegt der Gedanke auf der Hand, dass die lebendige Kraft der Körper, welche drei durch dieselbe Achse gehende äquidistante Symmetrie-Ebenen besitzen, identisch sein dürfte mit der lebendigen Kraft eben der Körper vom Charakter eines Rotationskórpers. Das Verhältniss ist denn auch thatsächlich ein solches. Denn die lebendige Kraft eines solchen Körpers, der z. B. in Bezug auf die yz Ebene symmetrisch ist, woraus dann folgt, dass er auch in Bezug Hot auf die y'z/ — und die y'z' — Ebenen symmetrisch ist, stellt sich *) 2T = cu + 2es4uq + 2eur + e? + 2 etw + 2 Coup CU 2 Ca, WD + Cup” =k 05; d? + 2c0,gr Wr Hr. = C66 iis 1) Siehe KIRCHHOFF »Math. Physik», pag. 242. BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 11 und weil hier die Coefficienten c, und c, nicht enthalten sind, erhält man durch eine der obigen ähnlichen Schlussfolgerung folgenden Aus- druck für 7: 2T = ey(u + v) + ew" + 2 cyslug — vp) + ca(p + 97) + C7 a weleher Ausdruck mit dem in (9) (pag. 4) gegebenen identificirt werden kann, falls man nur das Coordinatensystem mit sich parallel auf einen geeigneten Punkt der z-Achse transformirt. Wenn wir nun die gewonnenen Ergebnisse zusammenfassen und mit denjenigen KrgcHHorr's zusammenstellen, können wir folgende Sätze aussprechen: l. Dem Ausdrucke der lebendigen Kraft (B — 2T-ea(Q $0") + ew! + cul p? +g) + entsprechen theils die sogen. 'Körper vom Charakter der Rotationskorper’, theils auch solche Körper, welche drei durch dieselbe Achse gehende üquidi- stante Symmetrie-Ebenen besitzen. 2. Dem Ausdrucke der lebendigen Kraft (9 2T=c,W+%)-+ e + 2e4(up + vg) + 2c,(ug — vp) ACT Cy(p + g°) + Geet entsprechen die helicoidalen Körper, welche vermittels Umdrehung um die geometrische Achse aus den vorigen entstehen. 4. Wir werden ferner die Integrale der Bewegungsgleichungen für den Fall darthun, dass die lebendige Kraft die Form (9) hätte. ^ Aufünglich kann der Ausdruck der lebendigen Kraft ein wenig vereinfacht werden, wenn man das Achsensystem xyz parallel mit sich auf einen geeigneten Punkt a auf der z Achse verschiebt, denn dadurch entsteht u=u—aqg ,p-—p, v=v+ag 4-4, w=w , Yu Tas 12 Or. OrssoN, OT" = eu” zT v”) a ew dp 20'u(v'p Ji v'q) a 2 esu! q' M v'p') nis PACH) T. =F Cape =F q^) == Cri , wo /, 7. , / , Cyy = Cu 9 C33 = Cas à Cu = Cu à C 36 = Cop à Cog = “Ge a I 2 () Cu = Cu +O 64 — 2865 , C15 = 65 — AC, , woraus folgt, dass man immer einen neuen Anfangspunkt a der Coor- dinatenachsen findet, so beschaffen, dass der Term c',(u'q — v'p’) ver- schwinden wird. Man kann demnach setzen (10) 27 = e(v? + v?) + ex? + 2eu(up + vg) + 2 eter + ca (p^ +9) + 6s. - Das Zeitintegral des Problems wird nun am leichtesten ermittelt, wenn man die Gleichungen (1) und (2) folgenden von Clebsch angege- benen Transformationen ‘) unterzieht. Anstatt u,v,w,p,q,7 führt man sechs neue Variabeln ein, welche durch die Gleichungen definirt werden pee _ of Ye pr (11) nf LAT MINCE. dv 0g NER. s 9 uo und da T eine homogene Function vom zweiten Grade in den u, v, w, P,g,r ist, folgt daraus, dass 7 auch in Bezug auf a, a, & , Yr o s Ys homogen und vom zweiten Grade ist, sammt dass oT oT W— ED > 04, 071 oT a (oL — = — (12) o)? q TA , oT oT w= — 9 — a 023 0Y3 1) Math. Ann. B. III, pag. 240. BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 13 Die transformirten Gleichungen erhalten demnach folgendes Aus- sehen: da, or ol o oT diim opcs aus ^ (13) do MU Uu qu Cine da, QULA E : = = dh zd ) dt 934 072 dy, oT oT QE PIS aid | Dane vd, a Qu ^ gi dy oT oT oT oT 13 B = I. är = == = ur ee WM "EP mu an und den Integralen (6) entsprechen | ee (14) ajp-pai-oxp-om , L,I) ep + lys = NN. \ Weil in Folge von (10) Ly = CU + CP , Y, €CuU + Cup , - 1 (15) | ly = CV + Cyd a Yo = CU + Cu > d = C33 00 + Ca? , V3 = Ce W + Cee T 7 wird Y | Cu = CU, — Cul, 4 — CD = 649 — Cui 5 (15,) | Cv = Cala — C12 3 — 1,9 = 61 4» — €92 a A » n Cw = Cogls — Caslfa. à — Cyr = Cty — C3343 5 14 Or. Orssow, Ou » Cia C33 à Csg = Cia » Cag Cag » Cac und folglich (16) 2T = a, (ei + a3) + + 2a. (n y + Lay) + 20423; + as (Yi + 93) + asy = I WO e € € e Œ C (16,) a, = = , BST 7 gr , mie uere , G—= 1 2 1 2 1 2 Und weil man j äl OM dy SS = (agan Zeil, dt or dt | hat, erhält man anfänglich y; = Const. = h ferner erhält man in Folge der letzten Gleichung in (13) ques = Lo Yo = Yok a, dt = 4» 429, 4 aber (2%, — yat) = (ei == ay; == y3) > (VA dr ZY) B folglich 2 xU) = Gi DG + — Gun + my) - Nun ist indessen (zufolge (14)) 2 2 2 / é Eo es ma, 2,9, + %:Y = m — has , und in Folge von (16) a,(yi + y) = l — ma, — 2na; — al? — (a, — a,) v3 — 2(a, — as) has demnach d oF 2 ) = a,(m — x?)[l — ma, — 2na, — ah? — (a, — ay) x} — 2 (a, — a5) as] =a Rx), ^ BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 15 oder dæ,Ÿ 4 3 2 — = g (as + Py L3 + Pit; + Ps%; AE Ps) ’ pe dias Drs Seta dise 12. 0. ENS m(2a, — a) +2na; + ak — | a D — a, As = a, due ERE h—m(a, —a) — , _ m(l— ma, — 2na, — ah) — m'a, Aus der letzten Differentialgleichung erhält man x, in elliptischen Functionen der Zeit”). Wenn man a; = a, = 0 setz, kehrt man zum KIRCHHOFF'schen Pro- blem von der Bewegung eines Rotationskórpers in einer von Flüssig- keit zurück. II. ÖBER DIE BEWEGUNG EINES BELIEBIGEN FESTEN KÖRPERS IN EINER FLÜSSIGKEIT. 1. Wir wissen, dass in Bezug auf die KiRcHHorrF'schen Bewe- gungsgleichungen, wenn keine äusseren Kräfte auf den Körper oder die Flüssigkeit wirken, immer drei algebraische Integrale existiren, nehmlich die in (6) angegebenen, ohne dass Rücksicht genommen wäre auf die Gestalt oder Massenvertheilung des Körpers. Würde es glücken, in irgend einer Weise nur noch ein Integral abzuleiten, so könnte man behaupten, das Problem von der Bewegung fester Körper in Flüssigkeiten ganz generell gelöst zu haben, da die letzte Multiplicatorsmethode Jaconrs dann das Mittel leistete, die übrigen Integrale des Problems zu berechnen. Es scheint indessen unmöglich zu sein, für den generellen Fall ein viertes Integral zu erhalten. Es ist jedoch zu ermitteln, wenn man die Verall- gemeinerung des Problems nur einigermassen beschränkt. Man braucht 1) Die Integrationen dieses Problems sind von HALPHEN in einer interessanten Abhandlung »Sur le mouvement d'un solide dans un liquide, LIOUVILLES J., T. 4 (1888) ausgeführt worden. H. scheint indessen keine Rücksicht auf die Gestalt der besprochenen Körper genommen zu haben. 16 Or. OrssoN, nehmlich nur zwischen den im Ausdrucke der lebendigen Kraft enthal- tenen Constanten irgend eine Übereinstimmung festzusetzen, sammt hin- sichtlich der gegenseitigen Grössenverhältnisse der Constanten einige Bestimmungen zu ertheilen, und man erhält ein ferneres Integral der Bewegungsgleichungen. Wir werden jetzt die Existenz dieses Integrals aufweisen, sammt die Bedingungen, unter denen es giltig ist, herleiten. 2. Wir transformiren das Coordinatensystem xyz in einen neuen Anfangspunkt x,y,2,, sammt drehen die Achzen zur Lage 2’y’z’ Dann erhält man | Ut 2g qur. 3 (1) v — bar Ep. | x dores du^ 29,0 ga sammt ac | P=PO + Ter. +re, , (2) q-—pf,-398:-4 rs, | zm py, 4 q'y s AE ry s ; wo uw ,%,w ,p ,q,r die Translations- und Drehungsgeschwindigkeits- componenten Kinsthilick der neuen Achsen sammt &,,@,@3,... die Coefficienten der Achsenwinkeln zwischen den beiden Achsensystem ayz und z'y'z bezeichnen. Wenn man diese Werthe von u,v,w,p,g,r im Ausdrucke der lebendigen Kraft substituirt, tritt dieser/als Function der Componenten Hien Wy ed HEBDO VON OT = cu 4+ 20 ue Aer wt 2c pic Casu AES CNN JI: cios rh ao RIND ee) SAGTS 6 cab SE RRD DRA Diether -Ex yp 1020, DIU NERP Gc | + 64^ + 2064 + Ca 5 D . [A y , / wo die Coefficienten c;, c;, sammt x,y,z, und @,,@,,@;,... enthalten. BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KORPERS etc. 17 Durch in geeigneter Weise gewonnene Ermittelung der Lage des neuen Origo sammt der Richtung der Achsen z'y'z kann man offenbar den Ausdruck für 7 wesentlich reduciren. Von der Quantitäten x, , y, , 2, , «4,03, %3,... sind sechs unabhängig von einander, und man würde demnach wenigstens unter gewissen Bedingungen in Bezug auf c,, in der Weise 2% 5 y, , Yos €, , € 2, &3,... reel bestimmen können, dass sechs von den die 2x, ,% 5%) &ı, a, «,,... enthaltenden Coefficienten Cou angegebene Werthe annehmen. Versuchen wir es also, die z,, y, , 2, , €, , €, , @3,...ın der Weise reel zu bestimmen, dass die (sechs) Coefficienten aller Termen, die p’, oder g’, oder r' enthalten, gleich Null werden! Unter den Bedingungen, welche wir voraussetzen müssen, um zu gelingen, hat man denn auch gefunden, dass OE — 0 oder a 0 oder auch ud =0, dp 0g or und folglich auch, zufolge eben der Differentialgleichungen, dass entweder oT 1047 RICE ne d) =0 aw av’ 3F q ar’ aq’ oder UE SV CLT ac ee (2 MEET vi TE dp n oder auch OPER oo *. v du. = a Os = 0 Han A +P ag q 35; unter denselben Bedingungen ein neues Integral des Problems ausmacht. 3. Nehmen wir an, dass wir die Coefficienten für z. B. die Ter- men, die r' enthalten, verschwinden lassen wollen, und versuchen wir also, die hierzu erforderlichen Bedingungen hinsichtlich der Constanten c,, zu stipuliren. Die Werthe dieser Coefficienten werden befunden: | gu, = aa, b. + ey. » (5) Cu = a ey OBS dcs, | Cs = a" es + "B5, 4 - e" y^, Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 18 Or. Orssow, Cus = Ayo ye's + As B's + As s + BL B's + as) + Bie rs + 37) BP Ys Psy), = A 0 S07 + As as + As 07 3 + BL (s s + Aspa) + Bas + 0372) + Bay + Bay D 5 Ces = A 0$ + AP + 4373 + 2B, ss + 2 Bio, + 2 Bsff sys, wo À = CisYo — Ci, + Cia 0 = Co — Cay + G5 5 C = Cal, — Cy, + Gy , (6) I) a'— Caf, — Cas, + Cn 6’ = Ciz, — Cast, + Cos € = Cozy — CyoYq + Casa a" = Caso — C0320 + C34 à 0" = C uo — Casto + Cas à C" = Casto — Ci Yo + Cas y sammt Ay = C225 — 2 C5 9/0 29 + Casio — 2 Cu 2, + 2 Co + Cu à Ay = 02) — 2 C34, 20 + C35 2 + 20,52, — 2 655, + Css a 4, — Cu Jo TUR 2 C3 T0 Yo + Goo 4$ — 2 € s fo + 2 Cas do + Cos > 5, = — Gran + C13%020 + Cogito Zo — C33%0Yo + (er C25) Zo — (409 + Ca5Yo + Cas 4 JE so + Cia foo + CosxoYo — C2 0020 — Caso — (Cia — Cac) Yo + Costo + Cas 3 Dg = — Cat — Cy, foo + Cia ToYo + 2020 + 1929 — 15Yo + (Cos — Cas) to + €i. - Die Ausdrücke für Ar, Bi, (4= 1,2, 3) können auch, wie folgt, geschrieben werden: (7) (7,) | A, = — 0 2,-- AY 4- € ? A, = bz, — b wy + & , Ay = — CY + Ca +e > | B, = AZ) — Qa sicco | By = — ayy + à v + s a n Dy = CA — 6 a, + Gs , BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 19 wenn wir setzen | € = Caio — Csi9o + Cu , (8) % = — Cosdo + C45 2o + C55 a | €3 = CagX — CygYo + Ces 5 | Ji = ©35Yo — ©2520 + C5 ; (8,) | Jo = (35% — €2629 + Cag 4 fs = Co5%0 — C3 Yo + Coe - Nun muss in den Gleichungen (5), (5,) : , 2 0(4,4 — 1,2... 6) gesetzt werden, sammt z,,93,,2,, 4,, 15, 4, ,... aus den daraus entste- henden Gleichungen bestimmt werden. Zu diesem Zwecke multiplicirt man die Gleichungen (5,) mit 1:0) e , a; , o's ; 2:0) p^, , Pe 3 [es ; 3:0) Yi 9 Y's , Ys und addirt jedes Mal; man findet sodann A, «5 ae B, f^; == By’; =) I (9) Bas +AP;+Bys=0, Bio’; + By Se Asy s =i). Wenn man in die mittlere dieser Gleichungen die Ausdriicke fiir A,, B,, B, setzt, findet man, auf (5) gestützt, dass sie durch folgende Gleichung ersetzt werden kann: Ua e, + 23. =0. Die letzte von ihnen kann dagegen nach der Substitution so ge- schrieben werden: (aa^, + bp", + CY's)to — (ae, + b, + Cys) Yo + [ez — (b' + "Jao + byo + GP; + 93055 + 3873 =9 | oder zufolge (5): Jo's + hi B En &Y 3 =. 20 Or. OLsson, wenn man setzt (10) h, = — lg Lo + C15 4o + Cs6 > Substituirt man schliesslich in der ersten Gleichung (9) so er- hält man (a^ a^, + OB, + ey yo — (a o, + OB, + c 3)20 + Ka + 0) — a^ zy — "yo + gi] s + [2% — (a + Yo + 20 + 173 +43 0, oder ea, E99 SE 0 wo (10,) Te a (10,) h, = eum 6; Yo > Cas: - Man muss demnach aus den Gleichungssystemen | ao’, +bß, ey, — 0 ; (11) du,+bB,+cey;=0, | AGREE Ue). c (Eie (Us | hest B's + gays a (11,) ga € s E Bats Os | ea, + uS e uy = 0, / / {À . Q.D a. Y 3 9 Los Yo % bestimmen. Aus dem ersteren dieser Systeme erhält man (12) | ie MORNE. MESS) sammt (13) OU uF vey One sO ghey On 4 Su BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS ete. 21 wenn gesetzt wird: (13,) 9, = ’ Ô, = OE Dureh die Analogien (13) nebst den Relationen, die sich stetig zwischen den Coefficienten der Achsenwinkeln zweier Coordinatensysteme vorfinden, ist nun die Lage der Achsen x’, y", z' angegeben, sobald man die Quantitäten 2, yo, 2, kennt. Um denn diese zu ermitteln, kombinirt man die Gleichungen (11,) und (13) und erhält: hd =F 2,0, + 939; 0 ? 939, T h, 0, SF 640, = , pops 103.9: Or: Werden hier nun die den Gleichungen (8), (8,), (10)—(10,) sammt (13) entnommenen Werthe von 0, ,0,,0, » & , 6, , e, ,.. . eingesetzt, er- hält man nach einigem Rechnen folgende Gleichungssysteme zur Ermit- telung von 4, % zy: (14) Crs a5 + Disy + Ers25 + Fr-s00Y + Gr-5%020 + Hr_sYo2o + Kı_3% + Li_syo + Mr_s% + Niss = 0 wenn gesetzt wird: Cs — ae Car(Cs Cao TAS Ee) SF Cor( Cy Cy, ara C14 33) IUE Css (645 C54 X1 Cia Cao) 2 Do = 6669s — 6353) + OC, ag — Cri og) — Cin Ci8C25 — CC) a Erg = — PCR x Cis Cia) + Cir(C12096 kn C15655) + Cre C C = C2) , Fia = Ce (615053 A C13022) är Can (C113 TET C4163) = Car £13 o5 uum Cus Cog) — Cu(6, 65, — Cia 653) + Ca (Cis oo — 1205 — Ca + CC) > Gr_s = Ca (6,5644 — Cuyo — F163 + Cis Cog) + Car(Cyy C22 — 6,2) + Car (045644 — Cia Cop) — Car(C2 6, — C1 3) + Cre (C1o C23 — CC) 9 22 Or. Ousson, Hr; = Ear(C11C2s T C1205) + Car ( Cj, Cs — 636,5) + Cre(Ci6 C3 — Cis as — C1502» + C125) + Cse( C5 Co = 6,3) zin Cr (is s =. C, 65s) , Ks = Cse(,5€22 — Cis Cs + Cie os — C1205) — Cs (CigCos — Cia Cos) + Cr (Cia Coa — Cra Caa) m Car (6,4655 T7 C15C24) au Cr (Ci Cos Tm UN) , Les = Car(Cislog — C655) + Car (Cn Cos — 2615) + Cor ie Cos — Cr Cos + CroCa — Caes) — Cn (6,69, — (13623) + Cre 615605 — 15023) + Ms = — Rm Gu: C 16035) = Ca (6j Cs == Cjy ig) XE CC s Cs "n Cu Cas) + C61. os — Ci6C22) + Ce Cis C14 — C1205 — Ara + 5%) a Ns == Cis (Cs C E Cis Cas) zi Os (Ca Cos o C1 4C0g) + Cr (014655 FE C s 6,4) ? samt 7 successive — 4,5,6 gemacht und c, durch c,, etsetzt wird. Sobald als die Coefficienten C, 5, C, 4, E, ,,... der art sind, dass die Gleichungen (14) ein oder mehrere reelle Werthsysteme von Zo Yo, % liefern, wird es also möglich, die Coefficienten von r' im Aus- drucke der lebendigen Kraft durch geeignete Coordinatentransformation verschwinden zu lassen. Die erforderliche und hinreichende Bedingung dafür, dass (ft cadi qu uT 5 Ta: aq - ap’ ein Integral des Problems sein soll, lautet demnach, dass die Constanten ¢,, derart sind, dass die Gleichungen (4) wenigstens ein reelles Wur- zelsystem 2), 7’), 2 haben: Lo = f (Cu) ) Yo = (e) ; £^ = fae) ; sammt dass dies Wurzelsystem die Determinantengleichung abe abc |=0 a" b" c BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 23 wo a A d^ MEN ; b pes nad ; ; / = Ci3Y o — C152 o + Cia a = €4429— C3T 0 + ys » C= 6329— En Yo + 6s a = Cozy o TE Cao 0 + Co 3 5- Cs 0 — Cat 9 + Cos 5 = Cu 0 = CyY'o + Cu > a" = Casio AS Cos o + Gr 0 — 6320 — Caro + Cae = Cog 0 =a C30 + 36 >» identisch befriedigen kann. Die Untersuchung der Bedingungen, unter denen das Gleichungs- system (14) durch reelle Werthe von a, 30, % befriedigt werden kann, fallt mit einer bekannten Aufgabe betreffend der Benutzung der Analyse in Bezug auf die Geometrie, der Aufgabe nehmlich, welche die Bedin- gungen zu ermitteln hat, unter denen drei gegebene Flüchen vom zweiten Grade einige Punkte gemeinsam haben '). ELI: | DIE BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS IN EINER FLÜSSIGKEIT PARALLEL EINER FESTEN EBENE. In seiner Abhandlung »Uber die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit»?) hat Krimoumorr dargelegt, dass die lebendige Kraft, wenn die Körper der Charakter der Rotationskórper besitzen, die Form: (1) 2 T = (u + 0?) + 033007 + Cup + 97) + Cr” annimmt, sammt dass die Bewegungsgleichungen in Bezug auf diese Körper sich auf Quadraturen zurückführen lassen. KIRCHHOFF studirt dabei ins besondere den Fall, wo die Bewegung parallel einer festen Ebene ist und zeigt, dass die Gleichungen zu elliptischen Functionen führen. 1) Siehe hierüber z. B. SERRET: »Cours d’Algèbre supérieure (Paris 1877), Theil I, pag. 174. 2) CnELLES J. Bd. 71. 24 Or. OrssoN, Indessen kann dies Problem auch in seiner vollen Ausdehnung, d. h. in Bezug auf jeden beliebigen Körper, mit Hülfe elliptischer Func- tionen gelöst werden. Es kann dies in wenigen Worten erwiesen werden: Der Ausdruck der lebendigen Kraft 2T=¢,w+2¢,uv + 2¢,uw + 2¢,up + 2¢,ug + 2e,ur LC TAC UDC DPI EU ie AGA UE IC GR IS De te AG. GEL pre CN + cup. +205pq + 26spr S genie cies PAGE TU + Cee?” wird nehmlich, wenn die Bewegung parallel einer festen Ebene ist, z. B. in der yz-Ebene stattfindet, wobei u=0,4=0,7=0, vereinfacht so aussehen: 27 = 6,0 1 20,0W- 20,0P + C33 w* 4r 2 6, wp + Cup” , Dieser Ausdruck kan indessen noch weiter reducirt werden, wenn man das Achsensystem einer Parallelverrückung zum Punkte (o, y, , 2) unterzieht sammt das System dann einen geeigneten Winkel © um die neue z-Achse dreht. Man erhält dann nehmlich v = — p'z 4- v' cos © — w' sin © w = py, + v. Sin 6 + w' cos 6 27 ID p wo p', v , w' die Geschwindigkeitscomponenten in Bezug auf die neuen Achsen bezeichnen; folglich wird 7 12 / AP T3 DIES ou ROND A yo , 79 y. Dn +¢,w°t2¢,,wp , 12 + Cup BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 25 wo Con = 5 COS” © + € Sin" 9 + 6, 8in 20 , 1 : Cay = 5 (Cg — Cu) SIN 20 + ©, COS 20 , oa = (CosYo — Caso + Cog) COS O + (Cag Vo — C3 20 + Mpg) SID , €, = Cy SIN 6 — CSN 20 , Cas = (Caso — Cas Zo + Ca) COS O — (Cog Yq — Cor 20 + Ga) SM , C a, = Caso — 2 Cog Yo + Cor 26 + 203390 — 2 Co 20 + Cag Man braucht daher nur % , & , © durch die Gleichungen Cog Yo — Cao 2o + Ca = 0 ? Cas Yo — + Ca. = 9 ; : (C3 — Cr) SIN 20 + ¢,, cos 20 = V zu bestimmen, und die lebendige Kraft erhält die einfache Form , 15 LA / ZI ss Des dae doa Bode d. h. dieselbe Form wie in dem von KırcHHorr behandelten Specialfall von der Bewegung eines Kórpers vom Charakter eines Rotationskórpers parallel einer fixen Ebene. Die Bewegungsgleichungen und ihre Inte- grale erhalten demnach auch in beiden Fällen dieselbe Form. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 Or. OrssoN, IV. GENERALISATION DES PROBLEMS VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS IN EINER FLÜSSIGKEIT PARALLEL EINER FESTEN EBENE. 1. Die vorige Angabe von der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit parallel einer Ebene kann wesentlich erweitert wer- den. Man kann nehenlich annehmen, dass die Bewegung, anstatt parallel einer Ebene, derart stattfindet, dass der Translationsresultant während des ganzen Bewegungsvorganges in einer im Körper fixen Ebene liegen bleibt. Auch wenn man nur so die Bewegung beschränkt, lassen. die Gleichungen sich auf Quadraturen zurückführen, obgleich hier die Schluss- gleichungen nicht mehr elliptische sondern hyperelliptische Form haben. Unter der Voraussetzung, dass die im Körper fixe Ebene die yz- Ebene sei, so dass „= 0, erhält die lebendige Kraft des beweglichen Systems das Aussehen: 2T = ev + 20,0w + 2¢,, vp + 20,09 + 2 cy vr EE C33 we nis 2 C54 wp SF 2 Cz, WY + 20% wr (1) Jo cp cepit pea cn + 654. + 265 qr + Ge i woraus ermittelt wird DI ORD STIS BN 2G Bf) de Ol oe E 2 * 2 a a ja 9 7 £55 UT Co + Cag P Æ Cas d + Cas" = auem Wa 4 aL (2) Coa VU + Ca 0 + C4 D À 645 d + Cag? = dp = 91 . d nen ie & C95 U 4r Cas W == C35 D == C559 AF Cl = aq = Yo 3 oT Ca U + Cas + Cag P + C569 + Cog = — = Js 1 BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc, 27 und daher v = AR + 325 À 0,34, FY, À 0,5, a W = Ayy Ly T das 3s À 0343/4 + Aggy Yo + 0555 - (3) p = Ay By + 03524 À 0444, À 0349s + 03535 a J = Dy La T 0,32, + 04444 À 04,95 + 04595 a P= Ga gy 40 À 0544, À 05,45 + 0553 wenn gesetzt wird (4) $m (o a 1,2... 8) wo 0 die Determinante der Quantitäten c,,(r,« 22,3....6) und dé deren Unterdeterminante bezeichnet. Man hat demnach (5) doc = Coco - Wenn man in die Gleichung (1) diese Werthe von v, w,p,q,r einsetzt, wird 7 eine homogene Function zweiten Grades in den x, , 2, , Jio Vo s Vs el = 8,10; a 2 0 Hy 25 + 20,24, + 2 054454» ats 24,73 + 2,,22 + 2a,,2,9, + 2a, 2495 + 20,5034, (6) + 03445 4 204,915 + 293591 Ya + 0,93 + 20,9%; 120.9. Die Coefficienten ago hier werden am leichtesten bestimmt, wenn man beobachtet, dass man zufolge der Gleichungen (12) (pag. 12) hat 7 o { = ( ) i 0 X. RU GEN Man findet dann vermittels Benutzung von (3) und (5) : doc = eg - Inzwischen lässt sich der Ausdruck der lebendigen Kraft (6) bedeutend reduciren, wenn man das Coordinatensystem xyz auf im 28 Or. Orssow, neuen origo 4,2 verschiebt sammt dann den Achsen durch Umdrehung die geeignete Lage 4',y' ,z verschafft; und eben Dank der Möglichkeit dieser Reduction lassen sich die Bewegungsgleichungen in die hyper- elliptische Schlussgleichung verwandeln, welche wir jetzt ableiten werden. Wenn man die Coefficienten der Achsenwinkel zwischen den neuen Coordinatenachsen im Verhältniss zu den z-, y- und z-Achsen mit «, , Quit bezeichnen | (8) | sammt (8,) | | | (9) | und ' SK a! , , y.at. NIO JD 5G) TRI Rene so erhält man =O p+Piqtyi™ » d — €. p P gy s rod pd EH Y. p poc.p-e.q-e.v, qj B» p Ar jon qd xis Be r , ey aAa se gr 5 UF Yor — 29 , V=-v+2pPp — or > w = W+ 9 — YoP > die Drehungsgeschwindigkeits- und Translations- componenten des neuen Achsensystems bezeichnen. Ferner erhält man, wenn man mit 7’ den Ausdruck der leben- digen Kraft, dargestellt als Function in den p , q ,r',w,.., bezeichnet: 97. OL QU DN IEEE a CO 77 Sum wur MEE v md BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 29 oder wenn gesetzt wird Yo = NE a gir TELS dp ag or so erhält man schliesslich (10) X1 = %ı 9 Lo = Lo , kg = “Ls 9 Yı = Aja — Joss + 9.91 + Qa 3 b Os s s (11) Yo = la; — 20%; sis [DR + Bays Ir By; D Ys = d Ela Vi ar Y 322 Vs . Beobachtet man nun, dass x — x, -— 0 sammt substituirt diese Werthe für 2, x, , y, , y» , y; in (6), findet man Ede Une UR 1 20,2. Ya te 20 msc: 2 d, dois 4r 35273 +20, DA un SF Ole ce UP + 2a XY (12) sl: Ass yi zm 20341 ys xis 2 asl, Ys är Q ar 2 ds Yıyı wo Boe = oq ez o ass 2 ae + a... 28 u = dun 13 20 15 Lo 3320 35 20470 55 40 Q5 = Ay — Ay, + (m = ds) Ly + Las Z9 — 33 Yo 20 + 93,092, + G5 Yo — Us DA D a, = G0, Fb, - cy, , d'y = 20, + b zi Cy , dy = ac, -- b. + cy, > 12 2 Pre 253, 2 0559/9 4 2 05, 95 + 855) — AU En Grn Oe CHER er ad, TUB. Ee, ; 30 | Or. OLsson, dy = da, +bP,+cy,; , a, — a0, FOP, +CYs , a. = Ass a Ar Ay, pi ar Os Ar 2 (a,,c, 5 Sir ss 0, a + dis EE) d, = 05505 + Oy, 23 + d; 3 + 2 iggy 0,9, + 45,0, + 04; Pats) Q is = Az; a; + ya ES är as; 225 IP 2 (a5, 0... x as; Qa a == dis By 3) d = A, ,0 5 + QD DS pis ds 1Ÿ 2 zt; CEA CEE är 0,55) al: a. hoe, =P ey) + a, (BiY2 Py) Qa; = Gago 075 + Ay, Dis + ds 71s + duo Pa + es B1) + aa (0^ y + 0 31) + aus ys Pay) As = gg Oly Org + Qaa o Ts + 05572 Ys + Qa ss + 9/2) + Gas (02's + duy + au(Bsy's + Pay 2) WO À = Qs — Ay + 320 I Ö = As — Ft A542 9 C = Us — Ass Xp + A352 a = Qs + Ay, — Ayo 4 b = ay + Auto — LaaYg à C = os + Ägg To — Ayo - Nun stellt sich die Forderung, in einer fär die Solution der Auf- gabe geeigneten Weise 2, , y, , 2, , €, , €», €, ,... zu bestimmen; von diesen Quantitäten sind sechs arbiträr. Es ergiebt sich sodann, dass man die Coefficienten der Achsenwinkel so zu bestimmen hat, dass Os = Ag = OÙ . Hierbei wird zufolge der ersten der Gleichungen (13) (pag. 13) ermittelt (13) (a = Q os) 208 == Qux a =F Ann. +4, vals = Q ss ois = Gas) 9 == a 3Y5) und, von der dritten begründet: BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 31 oder » ' D D lx. ' , " D D (14) A33 CY = ES = ACTE + 4323) - Man muss nun, um zur endlichen Differentialgleichung zu gelan- gen, zwischen den Gleichungen (15) a +as =m , (15,) P + T3 Vs = n und im Verein mit den Gleichungen (12)—(14) die x2, Yı ; y», ys eli- mineren | Combinirt man die Gleichungen (13) und (15,), findet man I | De MA nns (16) | j= Bike shs if wenn man setzt | Jn = (as = 25) Los = diska == 03425 D (16,) fs = Gar — lys 9 Js = asas — as, CE D Wenn man man in der gleichung (12) die in (14) und (16) gege- benen Ausdrücke für y,, y;, y; substituirt, erhält man 1 de Ese , QUSS 2 2 (17) | + (da 5) 1 +2 (dar, + Boy gym f. Ar EM aJ CRÉEZ +, CACHE iy gf Tran f, SERRE +2 a(n f, xf) f fu) ar a sn fa —2,f1)” 32 Or. OrssoN, und wenn man hier vermittels der Gleichung / DEEP, 2 x’, = Vm’ ——— (Aunbest. Const.), wovon VZBSET (18) DEN Vin’ 2° dz Vera T dE GSE DA ai L » = Ym' I eine neue Variable einführt, erhält man MA (ne + gu? + gis? + Jia)? = | 3 qa’ a un dt 33 = m^ (g,,2° + Ju? + 932 + Jia) (Ja? + 922 + Gos) + + (gu2° 4 Gt Mig 2e Ja) (E uz + a} — =F Gas (Gar 937. + 932 + Ju) + (Gaz + 22 + 9x32 + Ju) + : | +2 GER 2» + 933 2% + 9332 + gu (gay. == Qao + gas? + Gas) , wo / / D 3 LIS a SBE a s Qu = — du , is = 20 ssh 9 Ju = — GaAs /9 / / ro / I 93 all ae 3134 93 2[ ,/ a 13 Ju = Ag —l, u een |n Paul), I 33 A 33 a 33 (182). Ga = na), | Gen eae MIR (G4 UR mare I: = A (n'a — mar), gases — AG.) Gu = eae Ja = (nas — MAA) > | fs = — [n'a u + m' (a^4, — a) , Qu = A (n'as + m'as) . Wenn man ga = 0 setzt, oder, was gleichdeutig ist, die Relation zwischen den Coordinaten z,y,z, festsetzt (19) d as ae, + 2m (gg? 4-gis2* +9132 + A? + 337 + 9552-9 4) ( HART | nn A ac BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 33 nimmt obige Differentialgleichung nach einigen Reductionen folgendes Aussehen an wenn man schreibt: = Ji z° nis giiz? + 9327 Jaa 3 (nc SET ie mar Myers cs zr. sammt es / fe n E A= > hi = mg gs + 29403 + 29403) 3 m A 79. a 9 / , ^ / / / hy = MY istas + M "11 dos + 2M d (Yur À a4 + 39% 04 + Da 154 + as 25) =F 2mgalga a^ är Jar 25) är CERTES EE Ja s Bis 2 Y519aı dia ? hy = 294,559 av + Lada 5s + 20 (Jar ar + 93291) + MI (033 + 291913) + m? 94491203 + 2m gy (935 Lis À + 9350 24 + Jar F154 + Jas os + 2m glg 2 rak + Jan L'an + Jar d'os + Gar Lis À) + 2M dis (Ri a + Jan Las) a hia = a s(953 + 2951953) + ss(Gas + 29nas) + 2% (Baias + IärJar + 95391) + 2m Qu (99 + dia) + gas (Mis + 2911913) FM ga (ar Los + In Ia + 2m'g, (95540 uk + Yaa Ios + 913545 ^ + Ian as SOIT (Gig LG, I I) + 2m'gy (Jar brad + 9559 45 + Qu Dis À + Gar 25) > 1 , / - 2 hs = © PATENT + 932933) == a Gar Ihr + Jar as) + Sn das + anas + 933912 + II) + M Jar e fis + £f.) + m^" gas Chas + gistha) + MIn Gala + 94235) À + m Gy (Gon 4 + Q3, oa + 9450 45^ + da C 2s + mg s (ga5 Las + Vas Das + Ja 15) + Jag s 4 / / / / + M gy ga, À ra À + Ian À as + Jar À 154 + Jar A NE Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 34 Or. OLsson, hy = al + 2935034) + as (55 + Lara) + 29 as (Bao aa + Das un + IssJas) + 2m^9,. gi d Gog (955 + 292: Ita) ae Ian San ga + 2m/g,,(95,0 À 9540/4 + 945 0 45 À + Yan 05) sls 2 m'g,, (Tao a, À eU ces mp ras -F 2458 25) 5 bo| M. = GANG Gan ar GRON + a (UE + 434443) 3E Mi forna + mgro är DON (I =F VERIS) =F Mm Ia (GR T V n + Jas ais + Jaa Bas) , h, = Do Glen us Mg ss + 2 m'y (ga zB 4435) 4 == APR s a UE a Diese Differentialgleichung kann doch einigermaassen vereinfacht werden, in dem man nehmlich A_, = 0 machen kann, welche Gleichung dasselbe bedeutet wie M Ja + Dd +29, Re) oder, wenn man die Werthe von a’, in den z,, y, , 2, ausgedrückt, einsetzt: 5 2 2 À . Dots D / / (21) & Xo = €1Y0 + Cd Yo gis 63 XZ är Yo 20 + € 1% =F € 2% + & 3% T4 = 0 ’ wo 7l 12 / 9' / Li / a! 12 vi / — ey = MA [Az (a 15; + & 1/9 10 + a:y,a..) + aa(0 iB 1035 + P 1045 + Pal 1055) QU p DEREN. /» / 2 / I 2 197222 + 9,,(@ Y 4035 + [B 17 1045 +7 1055) — 9 33045] + m a s [o Sos Tp ae Ty 3%; / / / / / 7 + 20 20 2 M4 Aya + 20 27/ 2 034045 À 25 27 2044 0,5] 9 [4 / Is D /3 9 ' D p / 1 7 — Fp mag[e a5; + [55 + 3055 + 2H of? » asa, + 2027 2553s (A ' + 2 27 2034 0135] 9 am): 19 / LA y ' ' / /A ' / < é = M A [ass (o US Te 1 P 143 + & 17 1 055) + CAC 25, 1435 + p ? 4s + p 1Y 1055) / , , FÅ , L 4 L + 2s (a 17 1035 + fx 1045 + Y 1d) — 4 gs 03] + 2 m'a'ss[o $ dag d, + p 2 034 44 == 7 203504; =F QU fo (oc + Ass) =F QU y s (015,055 + 090,5) + [y ‘ol :t55@s4 + 034045) | 9 BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 35 , "14 A = m' A [ass (a gn + 05, D gg + 05 75055) + Gu (a das + PA + PAY 1033) , " 1 , , ae 1) 1 Ass + p ya Q3 + y 1035) — € 33034] > AA a Pf CNIL LIL CR 1433 + € ARE Us, FANN 1235) + le P 1433 + [F 1g + D'Y 1935) , Ay , 12 , + a, (0 173033 + Pad 108. + Y 1 %5) — ag Aya] , €, = m'A[e (Ay, Ay, = (ss 055) + D, a (Aa Gog — 035055) + a, (445 Asa — 0555; an e D (As Oa — 054 0) JR p^ (a Q4 — Any a,;) Ar [p Yı (a; Aa — Ans +o, Yi (Ay, 4,4 — 45,05,) + [9474 (0,4045 — s; Ans) + Y as das — As s as (Aja — d5,)] + NA „a alta + [9s Aa + 75055] — MU sg a ee SEWER E a] EU Qs an YO) 018 10 +7: 3035 04; si &: s ogg a 44 Ar 0,4 Aya) Ar a; af 2 (My, Oy 5 + 03505; +P 27 200,52 45 SF Ay; € 1.4)] I Ma (a, Ban qp y d)-- ale at ra, 1495) + as s $A Oa $Y 115) — 93305] — a 552, © gg + [9 505, + 75055] 4 nas aus [OAs + Pa, + 7505] + 2M a, [0505 45, 4-9 505,054 + Y à 55055 + ara, + A) + ay Us t + 35 ds) + B 2/3 (0,, 05, + Zz Lz) a ^ ES m ALA, (e (As, Tr e 14 034 Ar at ass) SF CAC P, 053 är TECUM =F By, ds) ate Ags (a, Nn Ass zm P^ "f Asa ote Yi ss) n A as ass] ? Eee at ag (Cyne anna yO. vite (EE one) + ass ys + PLY ha FY 05) — 93505] HN 44% Fr [605 + [stas +7 as] NO gs as [055 055 + Peder + Y 245) — ma ss [e 0,5 + Pas + 72005 ON Hiat eid OT 210,750: nn oe Die Coordinaten des neuen origo’s, z,y,z,, werden ausser von der Gleichungen (21) auch von der Gleichung (19) bestimmt. Diese 36 Or. OLsson, Gleichung erhält nach Einführung der Ausdrücke für a’, und a’, fol- gendes Aussehen: (22) Grd Re yan S JE scouts = wenn man Setzt: Ze Ol 7375 Le 0 D Qr "a BST 1j up = an +/ 1044 nr 1245 +20 1/ 104045 + 2, Y 10440,; + 20 15 1034 044 — I 330 44 7 2 2 79 2 ^9 2 ^ ^ ^ " ^ , ^ & = ea, FP 0-7 19554 20 [F 5,05, -20 1, 05505, - 2/9, 105,05; — d 33233 9 2 es LS 2 ap à = À, 053505, + p 1 034044 FY 1055045 + Oy P (ai + 4; 044) bo RS er n (45, Vas + Ass As) sls p 171 (43; 244 + 054 0,5) T d as DET) eq 2 2 a ^o a = = 10505, T B105,0,4 + 1055045 + o Py (05,04, + Any Usa) +O) (855 Aus + As Asa) == By 1 (a5, O45 + %; 244) — 433454 3 55 o5 25 à jap cta das Us E ı 92a 2a an 7, 10250, 1 © ACL + Aa Asa) +0,71 tss + 05; a) + AY. (0.4055 + Aag Aga) — 03405, a £y = 018,5 + ia FY 7 M95 + 209, Mog My, + 20, 7, Ans Aas T 25,8, 05 + A 531 — A 5, Ay : Man muss nun mit Hülfe der Gleichungen (21) und (22) die Lage des neuen origo's bestimmen. Da sowohl die Constante A wie die eine der Coordinaten x, Yo, 2, arbiträr ist, kann man oftmals diesen beiden arbiträren Grössen solche reelle Werthe geben, dass auch die beiden übrigen Coordinaten durch die Gleichungen (21) und (22) reell be- stimmt werden. Auf diese Bestimmungen der A, 2, y, , % gestützt, erhält man daher folgende Schlussgleichung: al) en d Ine SF hae rd mme s R = hz5 + h, 2 + Az + hag” + ly2? + hy + he , BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 37 WO gui» Dis » Jia > hy logs -. A, die obertheilten Werthe besitzen, oder (23) er eer Ja VEER Die Variable z erweist sich folglich als die, leicht ausführbare In- version eines hyperelliptischen Integrals, und zwar entweder in einer stetig convergirenden Potenzserie oder in einer trigonometrischen Serie, je nach der Beschaffenheit der Coefficienten h,,h, . . . . im Polynom À sammt dem Initialzustande der Bewegung. Sind die Coefficienten hy, À, .... derart, dass À = 0 reelle Wurzeln hat und der anfángliche Zustand der Bewegung ein solcher ist, dass z, irgendwo zwischen der grössten oder kleinsten dieser Wurzeln ‚liegt, so wird die Bewegung eine periodische, andernfalls nicht. Ist die Bewegung eine periodische, kann z in einer für alle (reelle) Werthe auf ¢ convergirende trigonometrische Serie ausgedrückt werden '). Die Bewegungsperiode wird "use wo a und b die zwei beiderseits z, gelegenen nächsten Wurzelpunkte des À bezeichnen. Mehrere interessante Specialfälle bieten sich hier der Untersuchung dar, wir werden aber nur einen berühren, nämlich den, wo der anfäng- liche Zustand der Bewegung derart ist, dass Z373-L4$75,— 0 ,d.h.m — 0. Bestimmen wir in diesem Falle die Coordinaten 2 , Yo, z, durch die Gleichungen (24) Gee = a= a = ON; dann wird f, =0, weil man zufolge den Gleichungen (16,) hat f, = (aq, — 25) 2’, e's — a, + dur, - 1) Siehe »Über eine Gattung reell periodischer Functionen», von WEIERSTRASS, Monatsb. der Akad. der Wissenschaften zu Berlin, 1866. 38 Or. Orssow, Die Gleichungen (24) sind gleichbedeutend mit avs + b3.+ ey, — aes tb Ps tes: , ac, 4-6, +cy3=0, ac, d- 0. cy, —0, oder, wenn man die Werthe für a,6,c,0a', 6’, c , in a, Yo, % ausge- drückt, einsetzt & Lo + MY + SF = 0 tt Som = © Soto + 7I" o Jo REZ = 6 wenn man setzt: ög = dg 03 + Qs © > + Auf 3 + 0459 + Q5 3 är A557 2 9 5 | 0340 2 + Aya [3 9 + Os) 2 9 = = gg C 3 + Ass [ 3 + 43573 » en VELIT Au, Gad + Os 3 4 — No = Ayla + Canoe + ssl 2 4 n S I Foe Ue = t = 4,05 + as 5 är Ass) 2 9 —50 =0, —6,-— Al; + Auf, =F Ay] 3 , 0 = Ay; — 0,0 s + Ans [3 s = Muß +4,73 — Oy 2 3 — 0 sg e, + Ang [3 9 zB Aas) 2 ; Ce das 0 3 är außs sb s) 3 ? Hieraus erhält man für die Coordinaten x, , y,, z, die Werthe Xo Yo 2, il pm a I AEN (DE Gi WE So 0 So | 5 Mo @ | $0 Mo 5 Oc io OD Se | So No 0 es nO | § 0 0 e^ BEITRÄGE ZUR LEHRE VON DER BEWEGUNG EINES FESTEN KÖRPERS etc. 39 und schliesslich erhält man zufolge der Gleichungen (17) und (18,): dzy (26) (55) = gle + Byn? + gar + Ja) » wo g=— ia ; A und WO 9, » Jo > Jaa die in (18,) angegebenen Werthe besitzen. Das Problem ist demnach in diesem Falle mit Hiilfe elliptischer Functionen lósbar. Nachdem man aus den Gleichungen (23) oder (26) den Ausdruck für z in der Function in ¢ gefunden hat, erhält man die Werthe für x, x, aus den Gleichungen (18) sammt für y',,ys,ys aus (14) und (16). EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER SUBSTITUTIONSTHEORIE UND DER ALGEBRA J. T. SÖDERBERG. (MITGETHEILT DER KONIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 14 März 1891). UPSALA 1892, DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. 1. In meiner Inauguraldissertation *) habe ich eine Methode gege- ben, aus einer beliebig gegebenen Gruppe von Substitutionen andere Gruppen herzuleiten. Ich werde diese Gruppen näher untersuchen. Dann werde ich eine Methode geben, die Theorie des Isomorphismus rein sub- stitutionentheoretisch herzustellen. Schliesslich werde ich zeigen, dass eine algebraische Gleichung gewisse Eigenschaften haben muss, wenn gewisse hesolventengleichungen gleiche rationale Wurzeln haben sollen. Die Arbeit zerfällt in einen substitutionentheoretischen und einen algebraischen Theil. I. SUBSTITUTIONENTHEORETISCHER THEIL. 2. Ich bezeichne mit 12810, SKISS 513 y Substitutionen der Elemente x, , 2, , . . . 2, , , welche Substitutionen eine Gruppe G bilden sollen, und mit MOTUUM r Substitutionen derselben Elemente, so gewählt, dass die rv Substitu- tionen in Cu Dopo EPOR alle verschieden sind. Dann gilt folgender Satz: 1) Deduktion af nödvändiga och tillräckliga vilkoret för algebraiska eqvatio- ners solution med radikaler. Upsala Universitets ärsskrift 1886. Siehe auch Acta mathematica, 11: 3 pag. 299. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 * bo J. T. SODERBERG, Die Substitutionen, welche in jeder Kolumne des Schemas G, Ge i ea: (1) GE PETE NM GU CTE LOTO QUSE TE TE enthalten sind, bilden eine Gruppe. Diesen Satz habe ich a. a. O. mit anderen Worten ausgesprochen und in meiner Inauguraldissertation auch bewiesen. Weder der Aus- spruch noch der Beweis des Satzes waren aber rein substitutionentheo- retisch, sondern auf die Anwendungen der Substitutionentheorie auf die Lehre von Funktionen mehrerer Variabeln gegründet. Ich werde hier den Beweis des Satzes, wie den Ausspruch desselben, rein substitutio- nentheoretisch herstellen. Wir bemerken zuerst, dass jede Substitution, welche in eine Ko- lumne in (1) eingeht, nur einem der r Komplexe von Substitutionen in dieser Kolumne zugehórt. Wenn also eine Substitution € allen Kolumnen in (1) zugehórt, so muss sie in r und nur in r der 7? Komplexe von Substitutionen in (1) eingehen. Die Komplexe, in welche = eingeht, mógen (2) GUI. e GUI Rea ge. 1 sein, wo für 7, die Ziffer 1 zu setzen ist. Es ist leicht zu zeigen, dass €,, M, . . . €, , alle verschieden sind. Wir haben nämlich, was auch i und j seien, für passende Werte h und k ETS, Ta und TS 2 18,0, sd 0 ? Wäre nun o; = c; wenn 72), so hätten wir J—1 p if Sh = T; Si 9 also, wenn für beide Substitutionen die reciproken Substitutionen ge- setzt werden, ST = 8; T;, was unmöglich ist. Also kan nicht e, — a, sem, wenn i2j, und a, , - &,.... €, 4, sind alle verschieden. Einige UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 3 Die Indices a, , e, , .. . «,_, geben die Horizontalreihen in (1) an, in welchen die respektiven Komplexe (2) enthalten sind. Es folgt, dass nie zwei von den Komplexen (2) in derselben Horizontalreihe in (1) vorkommen. Aus dem für die Ungleichheit der Indices e,, o, , ... a,» gegebenen Beweise kann auch gefolgert werden, dass die Substi- tutionen in einer beliebigen Horizontalreihe in (1) sämmtlich verschie- den sind. Es sei nun auch O eine Substitution, welche in alle Kolumnen in (1) eingeht, und es mógen (3) CUTS MT AUT A EA ui by Tn a] die Komplexe in (1) sein, welchen © zugehórt. Weile, , 0o, , .. . Ana alle verschieden sind, kann man die Komplexe (3) in einer neuen Ord- nung folgendermassen schreiben: 7 —1 =! —t (3) ENGEL, M. Raul, ah rad Od»: Wenn wir die Substitutionen in einem der Komplexe (2) mit denen in einem der Komplexe (3^ multiplieiren, so erhalten wir einen Komplex von Substitutionen, in welchem 30 vorkommt. Dies gilt insbesondere, wenn die Substitutionen in einem der Komplexe (2) mit denen in dem entsprechenden Komplexe (3^ multiplicirt werden. O0 muss daher in sämmtliche Komplexe (4) GER ETE Dhan PR AQ e. eingehen. ZO geht also wie = und © in jede Kolumne in (1) ein. Die in jede Kolumne in (1) eingehenden Substitutionen bilden also eine Gruppe, w. z. b. w. Diese Gruppe bezeichnen wir durch (en ae yr und verstehen unter ne er) die niedrigste Gruppe, welche die in Klammern aufgenommenen Substi- tutionen enthält. 9. Es existirt eine Gruppe I von Substitutionen von r Ele- menten, welche zu der Gruppe ((@, 7T, ,... T,_,)) isomorph ist. Da 4 J. T. SÖDERBERG, nämlich die Indices a, , a, , ... c, , in (2) alle verschieden sind, so bezeichnet Piel A) Ora CDS 8 6 Er CL eine Substitution der Ziffern 0, 1,... r—1. Wir verstehen wie bevor unter 7, die identische Substitutionen 1 und denken uns die Komplexe in der ersten Kolumne in (1) links mit 7; multiplicirt und diejenigen in der ersten Horizontalreihe rechts mit 7, multiplicirt. Dem entsprechend denken wir uns den ersten der Komplexe (2) links mit T, multiplicirt. Wir können dann die Substitution re Mice? DOE UE 0, dadurch kennzeichnen, dass sie den Index des ersten 7 in jedem der Komplexe (2) mit dem Index des zweiten 7 ersetzt. Entsprechend den r Komplexen aus (1) welche sämmtlich dieselbe Substitution. in (G, T, ,.... T. ,)) enthalten, existirt also eine Substitution von 0, l,...r—1, welche den Index des ersten T in jedem der r Kom- plexe durch den Index des zweiten 7'ersetzt. Diese Substitutionen von 0,1,...r-—1 ordnen wir denen der Substitutionen in ((G , T, , T, ,)) zu, welche in jedem der r Komplexe enthalten sind. Es mögen (5) bus SES die sämmtlichen Substitutionen von 0, 1,... 7-1 sein, welche somit den Substitutionen in ((G , Ti, ... T, ,)) zugeordnet werden. Die Substitutionen Dj lasse (3 1 TON und m es Lana Disc Ebo eee m dT welche den = und © entsprechen, bezeichnen wir mit s, und s. Nach (3 hat man für s, auch O5 3 Un Ur (fe his ims also Qiu pul nn i Bi ics XE rs fra ) EiniGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 5 ss, entspricht also =@ nach (4). Hieraus folgt, dass die Substitutionen (5) eine Gruppe bilden und dass diese Gruppe zu der Gruppe ((G , T, ,... T,.,)) isomorph ist. Wir bezeichnen die Gruppe (5) mit I. Der Substitution 1 in I entsprechen in ((G , T, , . . . T, ,)) die Substitutionen, welche den Gruppen G, 7T; GT, , .. . T/ AG T, , ge- meinsam sind. Ist die Anzahl dieser Substitutionen m, und bezeichnet R die Ordnung von Fr, so ist die Ordnung von ((G , T, ... T, 3)) gleich m R. Wenn I transitiv ist, muss ((@, T, , .. . T, .,)) Substitutionen aus allen r? Komplexen in (1) enthalten. Wenn ((G, 7,,... T, )) Substitutionen aus allen r Komplexen einer Kolumne in (1) enthält, so ist I transitiv. Ist I intransitiv, so existiren in jeder Kolumne in (1) unter den r Komplexen solche, in welche keine Substitution aus ((G , JE . . T,_,)) eingeht. 19 4. Es mógen in G eine oder mehrere Gruppen J enthalten sein, so beschaffen, dass die Substitutionen in (6) > eine Gruppe bilden, wenn =” , ..:. 2°” passende Substitutionen aus G sind, welche vielleicht auf verschiedene. Weise für verschiedene J zu wählen sind. Dann muss die Gruppe (6) in ((G, T, ,... T. )) vor- kommen. Weil nämlich die Substitutionen in (6) eine Gruppe bilden, so ist d. 'z@ eine derselben und man erhält wieder die Substitutionen in (6), wenn man sie links mit 7; 2" multiplieirt. Die Substitutionen in (6) sind also dieselben, wie die in ner uM QUOC a. ee De La Diese sind aber alle in der (44 1)** Kolumne in (1) enthalten. Jede Substitution in (6) kommt also in der (4--1)** Kolumne in (1) vor und also in jeder Kolumne in (1) da A willkürlich ist. Also muss jede Substitution in (6) in ((G, 7, , ... 7, .,)) eingehen. Es sei H die Gruppe der Substitutionen, welche G und ((G, ecu sememsam) sind. Weil (GS ET, OT) die Sub- stitutionen (6) enthält und also Substitutionen aus allen r Komplexen in der ersten Kolumne in (1), so besteht ((G , T, ,- . . T; ,)) aus 6 J. T. SÖDERBERG, (7) HD, SORIN. Hise mae wenn S®,... S"-" passende Substitutionen aus G sind. A genügt also der Definition von J unter der Voraussetzung, dass eine oder mehrere Gruppen J existiren. Wenn nur ein J existirt, ist J demnach identisch mit H und (6) mit (7), also mit ((G, T, , ... T, ,). Wenn mehrere J existiren, ist eine der J identisch mit 7 und also eine der Gruppen (6) mit (7), d. h. mit ((G, 7, ,.. T, ;)) Die Gruppen (6) haben daher die Eigenschaft, dass eine derselben die übrigen enthalten muss. Hiermit ist folgender Satz bewiesen: Es mögen in G eine oder mehrere Gruppen J enthalten sein, welche die Eigenschaft haben, dass die Substitutionen in (6) eine Gruppe bilden, wenn EV... ZT passende Substitutionen aus G sind, welche vielleicht für verschiedene J auf verschiedene Weise zu wählen sind. Wenn nur eine Gruppe I eaistart, ist (6) mt ((G, T, , . . . T,_,)) identisch. Wenn meh- rere J existiren (und also auch mehrere Gruppen (6)), so sind die Gruppen (6) so beschaffen, dass eine derselben die übrigen enthält, und diese Gruppe ist mit (CG LT EEE 1) identisch. Wenn die Substitutionen in der ersten Kolumne von (1) eine Gruppe bilden, ist die allgemeinste Gruppe J die Gruppe G selbst, und ((G, T, ,... T.) ist mit der aus G , GT, ,.:.. GT... bestehenden Gruppe identisch. Die Identität dieser Gruppen geht auch aus der Defi- nition von ((G , 7; , . . . 7,_,)) hervor. 5. Wir bemerken zuerst, dass die Substitutionen, welche durch die Eigenschaft charakterisirt sind, dass jede in die (ag + 1)*, (ao. + 1), «> + (Agim + 1)* Kolumne von (1) eingeht und ausschliesslich in solche Komplexe dieser Kolumnen, welche in der (a) + 1)**, (ao +1)... (@o4m-ı + 1) Horizontalreihe enthalten sind, eine Gruppe bilden, nämlich (( Ta, G Ta, , TET Sa, Too T E e" ^g4i ? Wir nehmen weiter an, dass I intransitiv ist. Es mögen die Elemente von J’ in die Systeme d, diy s. aan 05 Hp 3 ouis s Poi) ro Qo, 1? Qo, 141 j a 0 do CL EINIGE ÜNTERSUCHUNGEN- IN DER ALGEBRA. 7 zerfallen, welche so beschaffen sind, dass /'ein willkürlich gegebenes Element nur durch Elemente ablöst, welche demselben Systeme zugehö- ren wie das gegebene Element. Wenn nun eine Substitution in ((G , T,,... 7,-)) den Komplexen Gala, GO yp Wg eo Pal) zugehórt, so ist die entsprechende Substitution in I: also muss c, gleich einer der Zahlen ae, , 46,41, + + . %,,,-1 Sein, wenn j eine dieser Zahlen ist. Es folgt, dass die in die (a, + DE, (ear +I, + . . (a5, + 1) Kolumne in (1) eingehenden Komplexe, welche eine Substitution in ((G , T, , .. . T, ,)) enthalten, ausschliess- lich in der (ag, + 1, (46,44 + D, . . . (a9, + D Horizontalreihe vorkommen. Also muss jede Substitution in n" D EE E EU (uod b) die Gruppe (Tee, GTa, 5 Tay. Tagg i+, Loe Too) “eingehen, wo — 0, 1,... £—1 successive zu setzen ist. Umgekehrt müssen die Substitutionen, welche diesen k Gruppen gemeinsam sind, in alle Kolumnen in (1) eingehen und somit in ((G , Über. 7) enthalten sein. Also besteht diese Gruppe aus den Sub- stitutionen, welche den k Gruppen i (Ui GU NOM Ts en uds) (US OPE TORRE) gemeinsam sind. 6. Wenn die Substitutionen in der ersten Kolumne in (1) eine Gruppe bilden, so sind, wenn 9 Jib. EN Ta, ,))- Nun gilt von den o, eine 8 J. T. SÖDERBERG, willkürliche Substitution in ((@, Ta , .. . Ta,_,)) enthaltenden, Kom- plexen‘ in lder' 12223) (Ge D ET GR = ol t ME NS dass) von der d55 a, =e) eS) (Ons 1) > orizontalrerke a jede einen dieser Komplexe enthält. Gemäss n:o 2 können weiter zwei, eine und dieselbe Substitution enthaltende, Komplexe nicht in der- selben Horizontalreihe in (1) vorkommen. Dann folgt, dass die eine Substitution in (de Te nos Tag_ı)) enthaltenden Komplexe in der (@g 1), (aos DS; . 2. (a, 5 NES ZKolumne) in) QD ausos lich in der (a, + Dy. (Crn + Da Gea 2 1) Horizontale in (1) vorkommen. Da nun auch jede Substitution in ((G , Ta, >» . - . Ta,_,)) in jeder der genannten Kolumnen in (1) vorkommt, so folgert sich daraus nach dem im Anfange von n:o 5 Gesagten, dass ((G , Ta, , . . - Ta, ,)) in (Ta, G Ta, 3 Ta, Mean 4 Weise kann bewiesen werden, dass diese Gruppe in jene eingeht. Also sind die Gruppen identisch. | EX . ... Tu, T,,_,)) eingehen muss. In analoger 7. Wir nehmen nun an, dass die Substitutionen einer Anzahl o der Komplexe in der ersten Kolumne in (1) zusammen eine Gruppe F bilden. Dann lässt sich zeigen, dass die nach n:o 3 gebildete zu ((G , T, ,... T..,)) isomorphe Gruppe I’ imprimitiv oder intransitiv ist. Unter den eg Komplexen, deren Substitutionen die Gruppe 7 bil- den, muss @ vorkommen. Die o Komplexe können daher bezeichnet werden durch QUU GUT TRE GE At Es sei ferner = eine Substitution in ((G , T, , . - 7,.,)) , welche den Komplexen TiG UD. (à 0-1, rn) zugehört. Wenn = der Gruppe F zugehört, muss für jedes unter den Zahlen 0, a, ,. . . 4e, vorkommende 7 auch a, eine dieser Zahlen sein. Wenn nun für ein gegebenes, unter den Zahlen 0, a, ,... ag , vor- kommendes, 7 das entsprechende «, auch unter diesen Zahlen vorkommt, muss € der Gruppe F zugehóren. Wenn also für ein unter den Zahlen 0,0, ,... 4e_, Vorkommendes 7 das entsprechende a; eine dieser Zahlen ist, so muss für jedes unter den Zahlen 0, a, , . . . a_, vorkommende i auch a, eine dieser Zahlen sein. Die Substitution: ER ay DOSE E Rr RA EINIGE ÜNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 9 welche in I der = entspricht, muss also die Elemente 0, a,..... @_, entweder nur unter sich vertauschen oder durch lauter neue Ele- mente ersetzen. Also muss /'intransitiv oder imprimitiv sein. Wenn umgekehrt gegeben ist, dass /'intransitiv oder imprimitiv ist, so folgt, dass die Substitutionen in ((G, 7,, .. . T. ,)), welche gewissen Komplexen in der ersten Kolumne in (1) zugehóren, eine Gruppe bilden. Es möge nämlich I die Elemente 0, & , .. . ag_, entweder unter sich vertauschen oder durch lauter neue Elemente ersetzen. Es seien ferner > und © zwei Substitutionen in ((G , T, , . . . T, ,)), welche in dem Schema (8) ROH RANCE 0— enthalten sind und nicht verschieden sein müssen. Es seien ferner ToS GP. candy Da GTe (= Outta. Aen aa) die Komplexe in (1), welchen = und © zugehóren. Weil 7,21 ist, müssen c, und f, unter den Zahlen 0, a,, . . . a_, vorkommen. Die Substitutionen in J’, welche den = und © entsprechen, sind e=(.) md 8 (5) - Weil «, und f, unter den Zahlen 0, a,, . . . a, vorkommen, müssen zufolge der über I gemachten Annahme c, und f, immer unter den Zahlen 0, a,,... a, , enthalten sein, wenn 7 eine dieser Zahlen ist. Wenn nun = C) gesetzt wird, so folgt, dass y, eine der Zahlen 0, a, . . . a, ist, wenn ? eine dieser Zahlen ist. 30 muss den Komplexen BET, zugehóren. Da y, eine der Zahlen 0, a,, . . . ag, ist, muss =O wie = und © in einen der Komplexe (8) eingehen. Die Substitutionen Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 J. T. SÖDERBERG, in ((G, T, ,... T, ,)), welche in die Komplexe (8) eingehen, bilden also eine Gruppe. S. In den Darstellungen der Theorie des Isomorphismus, welche ich gesehen habe, sind einige der gewichtigsten Sätze nicht rein substi- tutionentheoretisch hergeleitet, sondern auf die Anwendungen der Substi- tutionentheorie auf die Lehre von Funktionen mehrerer Variabeln gegrün- det. Ich werde hier diese Sätze rein substitutionentheoretisch herleiten. Es sei eine Gruppe F von Substitutionen gegeben und eine Un- tergruppe G von F. Es möge r das Verhältniss der Ordnungen von F und G sein. Dann können r-— 1 Substitutionen 7, , . . . T, , aus F aus- gewählt werden der Beschaffenheit, dass die in Gi XO DE ANGE enthaltenen Substitutionen die Gruppe F bilden. Dann ist nach n:o 4 ((@, Ti, ... T. ,)) mit F identisch, was auch unmittelbar aus der De- finition jener Gruppe folgert. Nach n:o 3 können wir nun eine Gruppe I'der Elemente 0, 1,...'r —1 bilden, welche zu ((G, 7, , ED isomorph ist, also auch zu F. Der Substitution | in /' entsprechen in F die Substitutionen, welche G, 7 GT, ,... T GTA gemein- sam sind. I wird nach n:o 3 transitiv. Wir haben also folgenden Satz rein substitutionentheoretisch hergeleitet: Für jede Untergruppe G von F kann eine transitive zu 7 iso- morphe Gruppe gebildet werden, deren Grad der Quotient der Ordnun- gen von / und G ist und deren Ordnung gleich ist dem Quotient der Ordnung von F und der Anzahl der Substitutionen, welche den Gruppen GHLIANG T wur TG TE gemeingam sind. 9. Wir haben weiter den Satz zu beweisen, dass alle zu F iso- morphen transitüiven Gruppen nach der in n:o 8 dargestellten Methode gebildet werden kónnen. Es sei K eine transitive zu F isomorphe Gruppe von Substitu- tionen, welche die Elemente &, & , ... &_, vertauschen. Die Unter- gruppe von K, welche & nicht umsetzt, nennen wir A. Da K transitiv ist, enthält sie x — 1 Substitutionen Tr) ea ie, welche & dureh 5, &,...5 ersetzen. Die in 1, Az 1 enthaltenen Substitutionen bilden die Gruppe K. EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 11 Es sei ferner G die Untergruppe von F, welche der A entspricht, oe Sm ess aa yl dae Substitutionen in F, welche den 7,, v,, .. . z, , entsprechen. Die Substitutionenkomplexe in PF, welche den 4, Az,,... AT, , entspre- chen, sind dann GG oven eG Hh. deren Substitutionen also verschieden sind und sämmtliche Substitutio- nen in F ausmachen. Die Gruppe ((G, T,,. . . 7«_,)) wird mit F identisch. Wir bil- den nach n:o 3 die zu ((G, T,,... T.J) isomorphe Gruppe I aus den Elementen 0, 1, ... x-—1. Diese wird zu F isomorph und tran- sitiv. Wir haben zu zeigen, dass 7 und K ähnlich sind. Es sei le Bla) os 04 Oa eine Substitution in 7. Dieser entsprechen in F Substitutionen, welche den x Komplexen (9) GUI EDGE La RT QI. zugehóren. In X muss wenigstens eine Substitution vorkommen, welche den genannten Substitutionen in / entspricht. Diese muss in die x Komplexe (10) ito u Aveo, E aur. eingehen, wo unter t, die identische Substitution 1 zu verstehen ist. Die Substitutionen in dem Komplexe v;'2/r,, müssen aber $, dureh &, ersetzen. Eine Substitution, welche in die Komplexe (10) eingeht, wird daher nothwendig identisch mit es ai mb i= €,» 90,5 * * * Say sein. Den Substitutionen in F, welche den Komplexen (9) zugehóren, entspricht also in K nur 9. Den übrigen Substitutionen in F ent- 12 J. T. SÖDERBERG, sprechen andere Substitutionen in K. Also sind X und I derselben Ordnung. Da 9 und « ähnlich sind, werden K und I ähnlich, w. z. b. w. Dieser Beweis kommt dem von Prof. NETTO gegebenen?) ziemlich nahe. NETTO stützt seinen Beweis auf die Lehre von Funktionen meh- rerer Variabeln, ich habe aber den Beweis in rein substitutionentheore- tischer Form hergestellt. 10. Wenn in n:o 8 die Gruppe G eine ausgezeichnete Unter- gruppe von F ist, so ist die den Gruppen PIN x GEN S TET EAM. gemeinsame Gruppe die Gruppe G selbst. Die Ordnung der Gruppe 7 wird dann wie ihr Grad gleich r, wie aus n:o 8 erhellt. Wenn G nur die Substitution 1 enthält, ist Ordnung und Grad von I gleich der Ordnung von PF. Schliesslich ergeben sich folgende Sätze, die in den mir bekann- ten substitutionentheoretischen Werken nicht vorkommen: Wenn die Gruppe G nieht eine allgemeinste Untergruppe von F ist, d. h. wenn die Substitutionen einer Anzahl o 1 der Komplexe ERENTO, eine Gruppe bilden, so muss die Gruppe J’, welche nach n:o 8 transitiv ist, nach n:o 7 imprimitiv sein, und wenn umgekehrt I imprimitiv ist, so ist nach n:o 7 G keine allgemeinste Untergruppe von P. 1) Siehe Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra von EUGEN NETTO, pagg. 100 ff. EINIGE ÜNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 13 II. ALGEBRAISCHER THEIL. 11. Eine Gleichung vom Primzahlgrade n 1) f(a) = 0 mit den Wurzeln z;, 2,, .. . 4,4 sei gegeben. Wir bezeichnen mit G die Gruppe der linearen Substitutionen von a, z, , . . . 4&4, ( D boo poner) Laixp / ? BOT, une wo 2,-: 7, ist wenn r=s (mod. n) ist, und verstehen unter (2) OUD el race xac HERE e (n — 2)! Substitutionen von z,,4,, ... £1, so beschaffen, dass in GPGPU Ghent ane UST alle Substitutionen von z,,2,,. .. cz, , enthalten sind. Wir bezeichnen durch AGEN Er) eine rationale Funktion (mit rationalen Koefficienten) von z,,2,, . . . 41, Welche für die Substitutionen in G und nur für diese formal un- verändert bleibt. Die Formen, in welche y durch die respektiven Sub- stitutionen (2) übergeführt wird, schreiben wir: (3) Ps Pir Pas * - - Pina? + Wenn eine dieser Formen q, von den übrigen numerisch verschie- den ist und einen rationalen Wert hat, so sind z,, 2,, . . . 2,1 alle verschieden, die Gruppe der Gleichung (1) in der Gruppe 7, ‘GT, enthal- ten und die Gleichung durch Wurzelgréssen auflésbar. 14 J. T. SópERBERG, Wenn aber q, wohl rational ist, nicht aber von den übrigen For- men (3) numerisch verschieden, so wissen wir nicht, ob x, 2, , . - - 2, 4 sämmtlich verschieden sind. Wären z,, x, , . . . z, , auch verschieden, so folgt nicht, dass die Gruppe der Gleichung (1) in T: "GT. enthalten ist. Die Gleichung ist bald durch Wurzelgrössen auflösbar, bald nicht. Wir werden im Folgenden Untersuchungen über die Gruppe, die Lös- barkeit und Reduktibilität der Gleichung (1) vornehmen im Falle, dass mehrere der Funktionen (3) denselben rationalen Wert haben. Den Fall, dass f(x) vom fünften Grade ist, werden wir eingehender be- trachten. 12. Es mögen nun von den Funktionen (3) eine Anzahl o den- selben rationalen Wert haben, von den übrigen aber verschieden sein. Diese o Funktionen mögen (4) Pro? Pr, EI EA CT: Dre sein. Die Gruppe 1 (5) (( TOG TLE Ie EI T) ist identisch mit der in meiner Inauguraldissertation definirten nume- rischen Gruppe von ¢,,'). A. a. O. habe ich gezeigt, dass die rationalen Funktionen von a, & , .. . 2, ,, welche für diese Gruppe numerisch unverändert bleiben, einen rationalen Wert haben. Dies gilt, die Wurzeln Lys dy = >» 4,, mögen sämmtlich verschieden sein oder nicht. Wenn z, 2, ... 4, alle verschieden sind, ist die Gruppe der Gleichung (1) in (5) enthalten. Wenn z,, 2, , . . . 2, , nicht alle verschieden sind, möge f(x) in zwei Faktoren f,(z) und f,(z) zerlegt werden, deren der erste f(x) die nicht mannigfaltigen Wurzeln von f(x) enthält, die zweite f,(z) die man- nigfaltigen. f(x) und f,(zj haben dann rationale Koefficienten. Wir bezeichnen durch I die Gruppe von f, (x). Es sei v eine rationale Funktion der Wurzeln von f,(z), welche für die Substitutionen in (5) numerisch unverändert bleibt, für jede Sub- stitution aber, welche die Wurzeln von f,(z) durch eine Anzahl der Ele- mente a, I, , . . . z, , auf andere Weise ersetzt, als die Substitutionen in (5) ihren Wert ändert. Diese Funktion hat einen rationalen Wert, 1) Siehe auch Acta mathematica a. a. O. cy ———"UT:. ^ EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 15 muss also für / numerisch unverändert bleiben. Also muss entspre- chend jeder Substitution in / eine oder mehrere Substitutionen in (5) existiren, welche die Wurzeln von f,(x) auf dieselbe Weise unter sich vertauschen, wie die Substitution in I. Wir haben also folgenden Satz: Wenn wir in (5) nur Substitutionen berücksichtigen, welche die Wur- zeln von f,(x) ausschliesslich unter sich vertauschen, und in diesen Substitu- tionen nur die Cykeln, welche diese Wurzeln enthalten, so erhalten wir eine Gruppe, welche die Gruppe von f(x) in sich enthält. Die Ordnung der Gruppe / ist ein Divisor der Ordnung der Gruppe (5). Es möge nämlich 7 die allgemeinste intransitive Unter- gruppe von. (5) sein, welche die Wurzeln von /,(x) ausschliesslich unter sich vertauscht. Dann besteht / aus den Substitutionen, welche wir aus den Substitutionen in 7 auf die Weise bilden, dass wir nur die Cykeln, welche die Wurzeln von /,(#) vertauschen, beibehalten, und es gilt der Satz, dass die Ordnung von / ein Divisor der Ordnung von AH ist’). Die Ordnung von Z ist aber ein Divisor der Ordnung von (5). Also ist auch die Ordnung von / ein Divisor der Ordnung von (5). 13. Wenn og 1 ist, ist die Ordnungszahl m der Gruppe, welche den Gruppen (6) VETRO EOM UI RN NER GT o 0 1 1 0—1 e—1 gemeinsam ist, in n — 1 als Divisor enthalten. Wir haben nämlich zu- erst, dass die Gruppen I EQ T, und VON (Eu keine Cirkularsubstitution n* Ordnung gemeinsam haben können. Sonst würden nämlich auch die von diesen Gruppen durch 7; * transformirten Gruppen G und JH MR T, i ' eine solche gemeinsam haben. Dann wäre TER * mit der Gruppe der Cirkularsubstitutionen nr“ Ordnung in G permutabel, was unmöglich ist, weil T, T, ' nicht linear ist. Aus der Thatsache aber, dass die den Gruppen (6) gemeinsame Gruppe keine Cirkular- substitution der Primzahlordnung n enthält, folgt, wie Caucuy es ge- zeigt hat?) dass die Ordnungszahl m der Gruppe den Faktor m nicht 1) Siehe Nerro’s Substitutionentheorie etc., pag. 102. 2) In den Exercises d'analyse et de physique mathématique, pag. 250. 16 J. T. SÖDERBERG, enthält. Nun muss m ein Divisor der Ordnungszahl n(n — 1) der Gruppe T. GT. sein. Also ist m Divisor von n —1, wenn o > 1 ist. Es sei ferner P die Ordnungszahl der mit (5) isomorphen Gruppe von e Elementen, welche nach n:o 5 gebildet werden kann. Dann ist nach n:o 3 die Ordnungszahl der Gruppe (5) gleich mP. Nun ist P Divisor von @!. Also ist die Ordnungszahl von (5) Divisor der Zahl (n — 1).0!, wenn o > 1 ist. Die Gruppe (5) kann nach n:o 6 geschrieben werden: eu = 1 ( T. GT, us 2 ta T, NE ) : doch unter der Voraussetzung, dass o — (n — 2)! ist. Wenn o « (n — 2)) —1 ist, so gilt von dieser Bezeichung der Gruppe Analoges mit dem von der Bezeichung (5) unter der Voraussetzung o7 1 Bewiesenen. Also ist die Ordnung der Gruppe in diesem Falle Divisor von (n — 1){(n — 2)!—9}!. Die Ordnungszahl der Gruppe (5) ist also Divisor von (n— 1)o!, wenn o > 1 und, wenn og «(n — 2)! — 1 ist, auch von (n — 1){(n — 2)! — oj! . 14. Wenn s,2,,... 2,4, alle verschieden sind, hat f(z) =0 = eine Gruppe. Da diese in der Gruppe (5) enthalten ist, muss ihre Ordnungszahl Divisor von (n—1)e! sein, wenn o<1 ist, und, wenn o <(n —2)!—1 ist, auch von (n —1){(n—2)—o}!. Die Ordnung der Gruppe der Gleichung (1) ist daher relative Primzahl zu n wenn 11 und von (n — 1){(n—2)!—o9}! wenn o c(n —2)! — 1. Da weiter n —2 und n — 1 relative Primzahlen sind, so ist die Gruppe von /,(x) intransitiv und f,(z) reduktibel m EiNiGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 17 1) wenn o! nicht durch » — 2 theilbar ist und 9-1; 2) wenn [(n — 2)! — o]! nicht dureh » —2 theilbar ist und e c(n —2)!— 1. Wir bezeichnen durch Py) = 0 die Resolventengleichung, welche die Funktionen (3) zu Wurzeln hat. Dann haben wir folgenden Satz: Wenn die Resolventengleichung (y) = 0 0 unter sich gleiche ratio- nale Wurzeln hat, welche von den übrigen Wurzeln verschieden sind, so ist die ursprüngliche Gleichung (1) reduktibel 1) wenn 11; 2) wenn {(n — 2)! — o]! nicht durch = 2 theilbar ist und o « (n —2)!—1. 15. Wenn z,,2,,... z, alle verschieden sind, so existirt eine rationale Funktion y dieser Grössen, welche für die Substitutionen in ec formal unverändert bleibt, bei allen anderen Substitutionen aber ihren Wert ändert. Diese Funktion nimmt für die Substitutionen (5) o Formen an. Da die zur Gruppe (5) gehórende Gattung von Funktionen rational ist, wird also v durch Lösung einer Gleichung vom Grade o bekannt. Wenn aber v bekannt ist, ist die Gleichung (1) durch Wur- zelgrössen auflósbar. Dies ist also immer der Fall, wenn @ < 5 ist. Wir denken uns nun die Gruppe (5) in die Form pr. SUIS a Or que us ) e e e "eu ea gesetzt, was o < (n— 2)! voraussetzt. Wir verstehen unter x eine ra- tionale Funktion von ©, , & 5 . . . x, ,, welche bei den Substitutionen in GT, formal unveründert bleibt, für alle übrigen Substitutionen aber ihren Wert ändert. Dann nimmt % durch die Gruppe (5) (n— 2)! — o Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. ? 18 J. T. SÖDERBERG, verschiedene Formen an und wird also durch Auflösung einer Gleichung vom Grade (n— 2)!— 9 bekannt. Wenn aber x bekannt ist, ist die Gleichung (1) durch Wurzelgrössen auflösbar. Dies ist also der Fall, wenn (n — 2)! — o < 5 ist, d. h. wenn o > (n — 2)! — 5 ist, wozu die alte Bedingung o < (n — 2)! hinzukommt. Wir haben also folgenden Satz: Wenn die Resolventengleichung (y) — 0 9 unter sich gleiche ratio- nale Wurzeln hat, welche von den übrigen Wurzeln verschieden sind, und die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung alle verschieden sind, so ist die ur- sprüngliche Gleichung durch Wurzelgrössen auflösbar: 1) wenn e<5 ist; en am — 21) oe DJ ör 16. Wir wollen nun speciell die Beschaffenheit der Gleichungen fünften Grades untersuchen, bei denen die oben definirte Resolventen- gleichung (y) gleiche rationale Wurzeln hat. Es sei also (7) f(z) = 0 eine Gleichung fünften Grades mit den Wurzeln 2,, x, , 2, , 2, %- Wenn wir |2, o(i) | anstatt ( i ) schreiben, erhalten wir für die Substi- T'gci) tutionen der linearen Gruppe G von z,,2,, 2, , 2, , 2, den Ausdruck: 3 o = il oe (250 Die Substitutionen von a, 4, , . . . æ, können sámmtlich in die Formen (9:055 15:12:03; 45 mod MN |i, «i+ B | oder | i, ali -- B) +7 gesetzt werden '). Sie können dann auch in die Formen | 2, «i 4- B | oder | 2, (ei -- B)! +7 gesetzt werden. Wenn wir also die Substitution | UP Ü U^ PA 1 | 1) Siehe JORDAN, Traité des substitutions ete., pag. 90. EINIGE ÜNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 19 mit 7, bezeichnen, so sind alle Substitutionen von a, z,, . . . a, in (8) rst GG CT enthalten. «Da der analytische Ausdruck von 7; ungeändert bleibt, wenn y um Multipeln des Moduls vermehrt oder vermindert wird, müssen wir festhalten, dass ; T, = T, ist, wenn rz s (mod. 5). Speciell wird 7, = 7,, während im Vorhergehenden 7,=1 zu setzen war, z. B. in (5). Eine Funktion von z,, z,, . . . z,, welche für die Substitutionen in G und nur für diese formal unveründert bleibt, nimmt durch Substi- tutionen von x, 2), . - . z, 6 verschiedene Formen an. Wir bezeichnen eine so beschaffene Funktion von av, z,, . . . z,, welche zugleich ratio- nal ist und rationale Koefficienten hat, mit gy, und mit (9) Q5, Pis Pr Pas Par Ps die Formen, welche g durch die respektiven Substitutionenkomplexe (8) annimmt. Wir führen weiter Pr = p T. ein, so dass q,- q, ist, wenn r=s (mod. 5), und speciell y, = Y,, wäh- rend im Vorhergehenden @, = zu setzen war, z. B. in (4). Wir haben nun die Beschaffenheit der Gleichung (7) zu unter- suchen im Falle, dass die o Funktionen Ps Pro Pur: Ph (10) ouer Pro? 9, Pr, 9 AO Tee denselben rationalen Wert haben und von den übrigen Funktionen (9) verschieden sind. Wenn a, 2), - - - 2, sämmtlich verschieden sind, muss nach n:o 12 die Gruppe der Gleichung (7) in der ersten oder zweiten der Gruppen 20 J. T. SÖDERBERG, | (CREME A (11) | (( a, 3 na T, ? ra T, P Y u Uy Sou ) 0 enthalten sein, je nachdem q unter den Funktionen (10) vorkommt oder nicht. Die beiden Fälle fielen in n:o 12 zusammen, weil dort q = q, und T, = 1 zu setzen war. Wenn x, x, , . . . x, nicht sämmtlich verschie- den sind, kann man mittelst einer der Gruppen (11) die Gruppe der Glei- chung f(x) = 0 finden, welche die nicht mannigfaltigen Wurzeln von f(x) = 0 enthält. Ehe wir die Gleichung (7) näher untersuchen, schicken wir einige Formeln voraus. Wir haben Ti cups MN NM m | | fe 2r TR 1 pulis 1 | 3 To pas wenn Pe 1 ? T.T, = | ld hec il) wenn rel, Wenn also die Substitution | 2, «i-- [5| mit S bezeichnet wird, erhal- ten wir: ye EE di qn wants = | i ese ay | girl gl. y. wenn P20, HE eU = a (13) | 2 us l| wenn (2-0 ist. i, lo DAY dor DER: Pau ee MST, =) wenn e(r —1)-- 220, c + s—1| wenn ar = 13599 0) a 17. Wir schreiten nun zur nüheren Untersuchung der Gleichung (7) im Falle, dass die Funktionen (10) einen rationalen Wert haben und von den übrigen Funktionen (9) verschieden sind. Wir haben die unter- EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 21 geordneten Fälle o — 2, 3, 4, 5, 6, jeden einzeln zu betrachten. Wir beginnen mit dem Falle e= 22. Wir haben zuerst die Substitutionen in den Gruppen (11) aufzu- suchen. Wir müssen dann die Schemata aufstellen, mittelst derer diese Gruppen zu definiren sind. Die enthaltenen Substitutionenkomplexe setzen wir in die Formen = oder ET,, wo = der Gruppe @ zugehört. Dies geschieht mittelst (12) und (13). Wir bezeichnen weiter mit H, die Gruppe der Substitutionen in CC meld DIOE COE TE (u Eee) Dann erhalten wir: aa ke, DD) Die Substitutionen m Z,, H,.|i, $à—r4- 1|. 7,. Wir bezeichnen ferner mit H, die Gruppe der Substitutionen: il fö, =o eee), und erhalten: KRETA, T. T2) = Die Substitutionen in H,, H, |i, 20 — G4 2r 4 2841). Tus, H, |i, 0— 5! Gr — 25 D). Tos, H,.[i, (r— 89! G 4 s—2r + 1). Tan. Die Gruppen ((G, 7,)) und (7; GT,, T'T,)) enthalten beide 8 Substitutionen. Bei der ersten Gruppe wird z, , nicht umgesetzt, bei der zweiten 4,131. Für die weiteren Untersuchungen des Falles o — 2 sind drei un- tergeordnete Fälle A, B, € zu unterscheiden. (15) A. Es mögen 2,, 2,, 2, 23, 2, sämmtlich unter sich ver- schieden sein. Wenn die Funktionen (10) aus y und q, bestehen, ist die Gruppe der Gleichung (7) in der Gruppe (14) enthalten; wenn sie aus gy, und q, bestehen, in der Gruppe (15). Die Gleichung (7) zerfällt in beiden Fällen in zwei Gleichungen mit rationalen Koefficienten, was schon aus n:o 14 folgt, weil l 1 ist. Wir wollen aber die Gruppe I auf- suchen, in welcher gemäss n:o 12 die Gruppe von (19) enthalten ist. Wir haben dann die in der Gruppe (14) enthaltenen Substitutionen auf- zusuchen, welche die Wurzeln von (19) ausschliesslich unter sich ver- tauschen. Die Gruppe (14) besteht aus den Substitutionen: 1, (7, 26— 7,9, 2v —8), (v, 2v —0, 6, 20— v), (v, 6)(2T— 6, 20—7), (1, 6), (2 —8, 20 — 2), Car MEET) YT ANN DEER Die Substitutionen, welche die Wurzeln von (19) ausschliesslich unter sich vertauschen, müssen auch z,, v, ausschliesslich unter sich vertau- schen und umgekehrt. Diese Substitutionen sind also 1, (7, 0), (2v—60, 20—7), (Tr, 6e)(2r — 8, 20 — 1). Wenn wir in diesen nur die Cykeln berücksichtigen, welche die Wur- zeln von (19) umsetzen, erhalten wir (20) 1, (9r—8,28 —r). Dies ist die gesuchte Gruppe J. Da nach (18) v und 9 von r — 1 verschieden sind, ist z, , eine Wurzel von (19). Diese Wurzel ist rational, weil sie durch (14) nicht umgesetzt wird. C. Es mögen einige der Wurzeln z,, x, . . . x, einander gleich sein und die Funktionen (10) aus q, und g, bestehen. Wir nennen zwei einander gleiche Wurzeln x, und z,. Dann un- tersuchen wir, wie z und 9 von r und s abhängen. Dabei wird sich ergeben, dass z, und z, von den übrigen Wurzeln verschieden sind. ~, NGG I /5 soe ÅA + (LIBRARY | - N > , e 24 J. T. SÖDERBERG, Wenn wir in q, die Substitution (7, 8) ausführen, wird q, formal verändert, bleibt aber numerisch unverändert, und geht also in q, über. Wir erhalten daher yz,«,= q,; also wird (21) Fic) Sm wo = der Gruppe G zugehórt. Wenn wir für (7,9) aus (17) in (21) einsetzen, erhalten wir: Ze i, u ARON | RULES (v — 6) Hieraus ergiebt sich nach (12) und (13) T,, (22) 2(7—9» r—1+2(T+6) ; r—1-42(z6)y., r—1 2 (v ) jl oN à xin d Et) (7 ETT FOOD wenn 7 —1+2(T+8)ZO0ist. Diese Forderung ist immer erfüllt. Sonst wäre nämlich (18) erfüllt, und wir hätten numerisch q = Y, , was gegen die Voraussetzungen in € streitet. Die Gleichung (22) giebt, da die Indices der beiden 7 in Bezug auf den Modul 5 kongruent sein müssen, = SEE Sep Te 2 eo ats yes e TOS 1) (mod. 5). Wir erhalten hieraus: Il A | — | T oder gz2m—s$-—1 BASE Dass x, und x, von den übrigen Wurzeln von f(x) verschieden sind, erhellt daraus, dass gemäss (23) nur ein 9 existirt, wenn r gege- ben ist. Wir nehmen nun an, dass die Wurzeln der Gleichung 24 Se INE PNE E > (x — 2,)(2 — x) welche gemäss n:o 14 reduktibel ist, sämmtlich verschieden sind. Wir wollen die Gruppe aufsuchen, in welcher die Gruppe der Gleichung nach n:o 12 enthalten ist. Wir baben dann die Gruppe (15) zu betrachten. Diese besteht aus den Substitutionen EınıGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 25 1,(v,2v—90)(0, 3v4- 30), (©, 3v-- 30)(0, 2v— 0), (ua) im gea) Ta MD -—9 . 37-230), (cy, 27 6.0, de 4-39), (Ta 9€ 1-30, 0, 27 — 86). Wenn wir die Substitutionen ausnehmen, welehe die Wurzeln der Glei- chung (24) ausschliesslich unter sich vertauschen und in diesen Sub- stitutionen nur die Cykeln berücksichtigen, welche die genannten Wur- zeln enthalten, so ergiebt sich die Gruppe der Substitutionen I. (ee) De de e. In dieser muss gemäss n:o 12 die Gruppe der Gleichung (24) enthal- ten sein. i Zufolge (23) ist 3r+3s— 1 von r und 9 verschieden. Also ist %3,43,-. eine Wurzel der Gleichung (24). Diese Wurzel ist rational, weil sie durch die Gruppe (15) nicht umgesetzt wird. 18. Wir betrachten nun den Fall o = 3. Wir suchen zuerst die Substitutionen der Gruppen (11) auf. Die Substitutionenkomplexe in den Schemata, durch welche diese Gruppen zu definiren sind, setzen wir zu dem Zwecke in die Formen = und ZT:. Der Kürze halber bezeichnen wir wie vorher mit 7, die Gruppe der Substitutionen 1,|i,—i+r+s-2|. Wir erhalten: | ((G, T., T))= Die Substitutionen in 25 ( " HH ER TC IM E ISTE oq Sr GES NEP. Wenn r, s, t alle verschieden sind bezüglich des Modul 5, muss eine der Kongruenzen DS EM 2s=t+r, 2t=r+s8 (mod. 5) richtig sein. Wenn nämlich r, s, t, u, v nach dem Modul 5 inkon- gruente ganze Zahlen sind, so muss die Kongruenz 2z=u +v (mod. 5) durch r, s oder t erfüllt werden. Je nachdem sie durch r, s oder t er- füllt ist, gilt die erste, zweite oder dritte der fraglichen Kongruenzen. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 J. T. SÖDERBERG, Wir nehmen an, es sei die mittlere die geltende. In dem wir die Gruppe der Substitutionen 1 ,|2, — i+. r pt — 2| mit H', bezeichnen, erhalten wir: | (GET E Tt ETUR T.)) = Die Substitutionen in (26) | LEA 3er a) BASE Gat 2 ee Diese Gruppe können wir aus (25) erhalten mittelst der Identität G 1 Je I T»... )) = (C 1G IE, 1 Tox I 2255095) welche aus n:o 6 hervorgeht. Die Gruppen (25) und (26) enthalten jede 6 Substitutionen. Sie sind beide intransitiv. Jene vertauscht die Wurzeln 2,1, 21, Zyrısı ausschliesslich unter sich, ebenso die Wurzeln z, , , und x,_,_1. Diese vertauscht &,_,, 2, und zy, ausschliesslich unter sich, wie auch Lr—1 9 Xii: Die Wurzeln der Gleichung (7) sind alle verschieden. Um dies zu beweisen, nehmen wir an, es seien zwei dieser Wurzeln x, und a einander gleich. Es mégen weiter die Funktionen (10) aus WA Wie ye bestehen. Dann muss eine der Gleichungen (27) Per) = Prs Pas) = Ps identisch erfüllt sein. Es móge dies die erstere sein. Dann folgt, wenn wir in dieser die Transposition (r , 9) ausführen, die Identität (28) 9 = P 7 (7,0) ? Es muss aber g, in g oder g, übergehen durch die Transposition (r, 6), so dass eine der Gleichungen Pr.) P und Pr.) 9r identisch gelten muss. Wenn wir in diesen die Transposition (v, 6) ausführen, erhalten wir identisch Ps = Poy) oder Ye = Pr, (xs) * EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 27 Die erste dieser Gleichungen kann nicht identisch gelten, weil die erste der Gleichungen (27) als identisch angenommen ist; die zweite ist wegen der Identität (28) nicht identisch. Wenn wir von der zweiten der Gleichungen (27) als identisch geltend ausgehen, gelangen wir in einen ähnlichen Widerspruch. Also war die Annahme x, = s, unstatthaft, und die Wurzeln der Gleichung (7) sind alle von einander verschieden. Wir haben hier angenommen, dass die Funktionen (10) aus p, g,, 9, bestehen. Unsere Behauptung kann aber auf ähnliche Weise bewiesen werden, wenn die Funktionen (10) aus g,, g,, 9, be- stehen. Die Gruppe der Gleichung (7) ist in der Gruppe (25) oder (26) enhalten, je nachdem die Funktionen (10) aus g, g,, g, oder aus g,, 9.; 9: bestehen. Die Gleichung zerfällt in zwei Gleichungen mit ratio- nalen Koefficienten, was schon aus n:o 14 hervorgeht wegen 1—Artstitu+ti). Da diese für jedes r nur ein @ giebt, sind x, und x, von den übrigen Wurzeln von (7) verschieden. Wir nehmen an, dass die Wurzeln der Gleichung (36) Ka) 0. (mcm a) welche nach n:o 14 reduktibel ist, alle verschieden sind. Um die Gruppe der Gleichung zu untersuchen, schreiben wir die Substitutionen (30) auf folgende Weise: 135. ily 219/— 25,1012: — 0), 0.1222 Oli ON Ol) a (v, e)9r — e, 20—7), (v, 6), (2v — 0, 20 — 7), (r, 280—1)(0, 2v —6), (v, 2r —0)(0, 28 — 7). Gemäss n:o 12 ergiebt sich nun, dass die Gruppe von (36) in der Gruppe TU DTE 20 — 5) enthalten ist. Aus (35) folgert sich, dass —_(r+s+ttu)—1 von v und 9 verschieden ist. Also ist x, eine Wurzel von (36). Diese Wurzel ist rational, weil sie von der Gruppe (30) nicht umgesetzt wird. 20. Wir haben schliesslich die Fälle o — 5 und o — 6 zu disku- tiren. Im Falle o = 5 kann die Gleichung (7) nicht gleiche Wurzeln ha- ben, weil eine der Funktionen (9) von den übrigen verschieden ist. EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 31 Wenn die Funktionen (10) aus P 3 Pro Psy Qus Pu bestehen, ist die Gruppe der Gleichung in ((G, 7,, 7., 7,, T,)) enthal- ten. Diese ist nach n:o 6 identisch mit Tr GT uuu. Wenn die Funktionen (10) aus Pro Qs» Quis Pus Po bestehen, ist die Gruppe der Gleichung in (T’@T.,T-"T., T.'T,, T. T,, T; T,)) enthalten, welche gemäss n:o 6 mit G identisch ist. Die Gleichung (7) ist in dem Falle o = 5 immer durch Wurzel- gróssen auflösbar, wie schon aus n:o 15 erhellt. Sie braucht aber nicht reduktibel zu sein. Im Falle o = 6 kann man mit Hilfe des Vorhergehenden nichts über die Gleichung (7) aussagen, weil ((G, 7,, T,, T,, T,, T,)) alle Substitutionen von x,, z, , . - . x, enthält. Wie auch die Gleichung be- schaffen sein mag, scheint es möglich zu sein, eine Funktion g zu fin- den, deren durch die Substitutionen hervorgegangene 6 verschiedene Formen numerisch gleich sind. 21. Wir haben im Vorhergehenden Gruppen von Substitutionen der Elemente z,, z,, - . . x, aufgestellt, welche in den Fällen e=2, 3, 4, 5, 6 die Gruppe der Gleichung (7) enthalten müssen. Ob aber diese alle Substitutionen jener Gruppen enthalten kann, oder die aufge- stellten Gruppen zu allgemein sind, ist nicht entschieden worden. Wir werden nun Gleichungen aufweisen, bei denen für eine gewisse Funktion g der Fall o — 5 oder die in 19 A und 17 € behandelten Fälle eintreten und deren Gruppen identisch sind mit denen, in welchen sie nach dem Vorhergehenden enthalten sein müssen. In den genannten Fällen wenig- stens sind also die aufgestellten Gruppen nicht zu allgemein, d. h. sie können nicht durch speciellere Gruppen ersetzt werden. 5 Es sei o eine Wurzel der Gleichung LL = 0, © die Funktion (a + Wa, + Q2, "m 0 ig + w°x,) , >, 25, 23, die Substitutionen |i, 22|, |i, 32], |¢, 41]. Wir setzen (37) 9=0. Oz. Os,. Os, - 32 J. T. SÖDERBERG, Dies können wir thun, weil diese Funktion für die Substitutionen in G formal ungeändert bleibt, für jede andere Substitution aber ihre Form ändert. Dann berechnen wir die Werte der Funktionen (9) für einige specielle Formen der Gleichung (7). Es sei zuerst (38) a? + A =0 die Gleichung (7) und die Anordnung der Wurzeln durch gegeben. Dann ergiebt sich: = 0, Pi = fe = 93 = G1 = 9, = — DA. Wir können hier 9 — 5 setzen. Nach dem im Vorhergehenden über diesen Fall Gesagten muss die Gruppe der Gleichung (38) in der linearen Gruppe von a, 21, . . . x, enthalten sein. In der That ist die Gruppe der Gleichung mit dieser identisch '). Es sei zweitens (39) x + Ax = 0 die gegebene Gleichung und die Anordnung der Wurzeln durch 20 = QUEE Dy V— Ao Oe (r= 0, 1, 2, 3) gegeben. Wir erhalten p = Ya = ps = ps = —5 A^, i e = 5°(2 s Va, Gy ea) ds Wir haben hier o — 4 und sind auf den Fall 19 A gekommen. Nach dem in 19 A Gesagten muss die Gruppe der Gleichung (39) in der Gruppe (29) enthalten sein, wenn in (29) r 2 2, s— 5,1 — 3 gesetzt wird. Die Substitutionen in (29) werden dann: | 1) Siehe JORDAN, Traité des substitutions etc., pag. 300. EINIGE ÜNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 38 | 1, (Ga , 23) (2 , ze) > (0; 2») (ay , T3) , (xo , 4) (a 43) 1 (29^) | (2o 4 %2) » (CRETE TOR De (2, 3,28)» (bte, da). Es ist leicht zu zeigen, dass die Gruppe der Gleichung (39) alle diese Substitutionen enthält. Diese Gruppe ist nämlich dieselbe, wie die der Gleichung (39°) x* + A = 0 . Wenn wir zu dieser Y— A adjungiren, wird sie reduktibel. Sie kann näm- lich geschrieben werden: Ce) (ro yip ror Der erste Faktor hat die Wurzeln z,,2,, der zweite z,,5,. Die Gruppe von (39°) wird also naeh Adjungirung von Y— A: 1 D (xo , tg) , (x ; 2s) ; (a, 200) (a Tg) : Wenn zur Gleichung (39') die Grösse VA adjungirt wird, so wird sie eine Abel'sehe Gleichung und ihre Gruppe enthält die Substitutionen!) 1, Go; 21) (we, ts); Go» 22) (a1 3 23) 3 (Hy as) (n y 22) - Es geht nun hervor, dass die Gruppe von (39^ die Substitutionen (29 enthält. Dies gilt dann auch von der Gruppe der Gleichung (39). Also kann nicht in 19 A die Gruppe (29) dureh eine speciellere ersetzt werden. Es sei drittens (40) z^ + aa = 0 die Gleichung (7) und die Anordnung der Wurzeln durch t= —WA, 34 — 14 — 0, (?=0, 1,2) — 1 = (0) edi c QUIE gegeben, wo « eine Wurzel von 1) Siehe JORDAN, Traité des substitutions etc., pag. 296. au Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 34 J. T. SÖDERBERG, Dann wird r5 420 aah n 5,, 420 5 9 «0 fp = fp =— 5°”, P= HP, —-——b5'aa^, Pr =P =— 5a’a”. Wir haben hier @=2 und sind auf den Fall 17 C gerathen. Es ist r=3,s=4. Von den Formeln (23) sind die letzteren zu wählen; sie geben 7 — 3, 6 — 4. Die Gleichung (24) geht in (405 a? S a? = 0 über. Ihre Gruppe muss nach 17 € in 1,(2z — 8, 374 34) enthalten sein, d. h. in 1, (2, a,). In der That enthält die Gruppe der Gleichung (40°) beide dieser Substitutionen. Die in 17 € gefundene Gruppe ist also nicht zu allgemein. 29. Aus n:o 14 ergiebt sich folgender Satz: Wenn die Gleichung (1) irreduktibel ist und (y) = 0 o unter sich gleiche rationale Wurzeln hat, welche von den übrigen Wurzeln verschieden sind, so ist SOSE = Bh ems Wir haben in n:o 21 Gelegenheit gehabt, diesen Satz zu verifi- ciren. Als wir nämlich für (1) die Gleichung z5-L A = 0 setzten und q durch (37) definirten, fanden wir o = 5. Wir werden nun zu dem Satze ein neues Beispiel aufsuchen, in dem wir für (1) die Gleichung (41) zit A=0 setzen und q auf geeignete Weise bestimmen. Die Anordnung der Wurzeln von (41) sei durch d. ms m een (rz0, 1, 0096) 2 — gegeben, wo w eine Wurzel von = 0 ist. I ja > e c Es sei ferner = (2, Tos + wa, =F oa, + oz, + wer, + w°x,)" ’ EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 35 und 2,, 2,, 2;, 2,, =; die Substitutionen lög Dölg lg Bög (CS LA ol, iat 162 |, (mod. o o. Dann definiren wir (42) p = 0. Ox, . Ox, . 0. . Ox, . Ox, , was statthaft ist, weil die für eingeführte Funktion bei den Substitu- tionen in G und nur bei diesen formal unverändert bleibt. Wir haben nun die Funktionen (3) zu berechnen, wenn für q aus (42) eingesetzt wird. Die Substitutionen von z,,2,,. .. x, sind, wenn wir 7 für x schreiben: d^ ge Ei Dub C a esp 0 ENO! foie arate |i, ei E Bl, |i, as B) +7 STWR Ill ME Ill oor RI DRUMS M mI e» c» c» — 5 = e -1 NS wo für 6(i) successive zu setzen ist: In diesen Ausdrücken sind für a successive die Zahlen 0,1,... 6 zu setzen, für 6 die quadratischen Nichtreste von 7). Die Substitutionen von Z,, #3 . .. 2, Können also gebildet werden durch Multiplikation der Substitutionen |2, @«öi+ | rechts mit den Substitutionen: 15 Troy =|t,—-U 4+ 3147], Tay =|t,U43i+71, Troy = | +7], Day = |i> +P + 30) +71, Trey =| 4, + 30 +7) (c quadr. Rest von 7), Troy — |i, —2i+ty|, Ta = li, ®+2i+4Y , Toay = i, d(?--36-E—3)--| (Ge, By oc o Op mod. 7). Dies sind die Substitutionen (2) fiir n = 7. 1) Siehe JORDAN, Traité des subst. ete., pagg. 90 ff. 36 J. T. SÖDERBERG, Wenn wir nun Pre = Pr, setzen, und r, s, t die Werte durchlaufen lassen, welche als Indices der T vorkommen, wird w,., successive gleich den 120 verschiedenen Formen von g. Nachdem wir diese Formen hergestellt haben, können wir sie leicht berechnen. Wir finden: P = Quay = Piuy = D, Prop = — TA, By, = 7 (8 — 20 _ 2m) A, Prey = 0°38 + OF Ew Zur ey A, quos = 1 (82 wo Fon Pray = TB + © + wo) AND, = NODE AO NA Wir erhalten also by) = y" (y + THAN My — VHS 20 — 2w*)" AP BO (On nee NAN (43) i s JM aq Roi OU qe? ens qr yu ed p=1,3 Al = Bae ae db qu? al. d Diese Gleichung hat die mannigfaltigen rationalen Wurzeln 0 und — 7'*4°. Wir erkennen die Richtigkeit des erwähnten aus n:o 14 sich ergebenden Satzes in diesem Falle, in dem wir 9 — 15 und o — 7 haben. Die Gleichung (43) hat auch mannigfaltige irrationale Wurzeln. Durch Adjungirung von w zum Rationalitetsbereiche werden diese Wur- zeln rational, wühreud die Gleichung (41) irreduktibel bleibt. Eben die mannigfaltigen, irrationalen Wurzeln von (43) müssen also nach dem erwähnten Satze wenigstens 7-fach sein, was sich auch bestätigt. | 23. Nach n:o 12 muss die Gruppe der Gleichung (41) in den Gruppen (44) ((G ; To s 1070 ALP CES, À Tee TE iy 5 E LI T 1) y (45) (CO SM > Til) enthalten sein. Wir wollen die Substitutionen dieser Gruppen aufsuchen. EıniGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. 37 Wir gestatten uns die Bemerkung, dass + 31— 2i, wenn i quadr. Nichtrest von 7 ist, und — 4i, wenn 7 quadr. Rest von 7 ist. Wir finden dann leicht’), indem wir |, «i -- f | durch S bezeichen: E S = | ae, ben y | DES ens , Try 5 = | i.c (i — 7) | Pssst yi-(2)}8 wo fe) das Legendre’sche Symbol bedeutet und fiir die zweiten Indices der 7 ihre kleinsten Reste modulo 2 zu setzen sind. Wenn £20 (mod. 7) ist, ist keiner der Substitutionen 75,8 T,,, in den Substitutionenkomplexen G,GT,,, enthalten, welche die erste Kolumne im Schema bilden, welches zur Definition von (44) dient. Wenn aber #=0 (mod. 7) ist, haben wir dagegen: "e | l[ | Mat 7) F y, | wenn k-+5[1—(7)]=0 (mod. 2), Try STu; = i . . a | RACE I Ling VOR fö e SL Le (2)]z I (mod. 2) , wo wieder für den zweiten Index der 7 sein kleinster Rest modulo 2 zu setzen ist. Aus diesen Formeln geht hervor, dass die Gruppe (44) mit G identisch ist. Weiter haben wir tee, = |, G— y) | : TE JP S = | | 1) Siehe SERRET, Cours d'Algebre supérieure, Tome II, pag. 410. pee a i=! Ey wenn ß=0 ist, $3 a —1 Toy S Toy, = I i, en — 26"). Tigss:y, wenn B <0. 38 J. T. SÖDERBERG, EINIGE UNTERSUCHUNGEN IN DER ALGEBRA. Man erhält hieraus, dass auch die Gruppe (45) mit G iden- tisch ist. Nun ist G die Gruppe der Gleichung (41)*) Die Gruppen (44) und (45), in welchen wir nach n:o 12 die Gruppe der Gleichung (41) zu suchen haben, fallen also mit dieser Gruppe zusammen. 1) Siehe JORDAN, Traité des substitutions ete., pag. 300. — 7 ,Im TI ———— UEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION DRITTER ORDNUNG VON ERNST PFANNENSTIEL. (MITGETHEILT DER KONIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 24 ÅPRIL 1891). UPSALA, 1891, DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. m4 We a ^ a a 4 u a. à l'a: n "us M LY (T 4T1 ) VE 1 doped wm Ai ^ E. N. ca Es sei /(u) eine doppeltperiodische Funktion mit drei Unendlichkeits- stellen. Bezeichnet dann £ irgend einen Werth, den die Funktion in den Nullstellen von F”(u) nicht annimmt, so hat die Funktion F(u) — k nur einfache Nullstellen und folglich Oo - ur einfache Unendlichkeits- U) — À stellen. Wir können also eine jede doppeltperiodische Funktion dritter Ordnung auf eine solche mit einfachen Unendlichkeitsstellen zurückführen. Es sei diese Reduktion schon gemacht, so dass also F(u) eine doppelt- periodische Funktion mit den drei einfachen Unendlichkeitsstellen a, b, c bezeichnet, denen die Residuen A, B, C entsprechen, wobei man A+B+C=0 hat. Es sei ferner g(u) diejenige @-funktion, welche dieselben Perioden hat wie F(u). Dann ist al P (u) + 9’(a)- 9(u) + 9°(b) (o (u) + 9’(e) ce wobei die u so gewählt sind, dass 7(o) = 0 ist. Der identischen Gleichung Qu) E ga) T, 9 d ['w)- e). s or, | u) — Pla) | ee | Eu) — ga) | = 8 p(u) + Ayla) zufolge erhält man »4F()- —4 Pe (OT eo eO jette OT, à (2) (u) | Elu) — pla) | | (uw) — 9(b) | | $(u) — fc) | +42, woselbst 1 = — F(0) = Ag(a) + Bed) + Colo ist. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 2 ERNST PFANNENSTIEL, Werden jetzt folgende Bezeichnungen eingeführt: x. $-e(G yr PW+P z pde) plu) — pla) ' lu) — gb) ' Cu) — gc) L. cre) yi eO-cTeG — xw | e)-- e) PO) = p(c) ' le) — g(a) ? (a) — 9b) LA+MB4+NC=0, 9a)+90)+90=0, so erhält man folgende Identitäten XY = NUX — Y] + 4[pu) + pla) + vO) , YZ = L[Y — Z] + 4(9(v) + (5) + 9] , ZX = MZ — X] + 4[p(u) + plc) + pla] , woraus LM MN+ NL=-— 40 und D Mr 22 ik yy as pe) nel (4) X[Y — Z]= N[X— Y]— M[Z — X] + 4[9(5) — pol - . Die Elimination von Y aus der letzten Gleichung mittelst der Gleichung (1) oder DEE By e M ergiebt wo K die Bedeutung (5) K 2FIM + N] + 4A[g(b) — g(c)] AX+BM-UN hat. Setzt man diese Werthe von Y und Z in die Gleichungen (2) und (3) ein, so erhält man unter Berücksichtigung der Gleichung (5) / UEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 3 4A[A — F'(u)]] 4-47 —4A FX + BOR? —0, 2AFX —4F" -2F[(K[C — B] 4+ MB— NC] + CBK + Ka —4A442-20, woraus ferner durch Elimination von X: 3BCK + K[2a --4F(B —C)] -4AF' -47* —4F[MB—NC]—444 = 0 und K?[a + 2 F(B — C)] + K[— 87? — 8FULB INC) AP ARS A2] er + 12 FP[M + N] + 24F A[g(b) — g(c)] = 0 . Wir haben nur noch die Grósse K aus diesen beiden Gleichungen zu eliminiren um zur Differentialgleichung der elliptischen Funktion F(u) zu gelangen. Setzen wir Jetzt ea (Bs), g=MB—NC, p=4A1, g=—A4AF(u), k 219(M-- N) , 1=3BC, m= 24[p(b) — g(c)] demnach LK? + K(2a+2Fe) 47? 4Fg+q—p=0 Ko + Fe] + K[—8F°_ 8 Fg —q—2p]) +k F?4+mF=0, so wird das Eliminationsresultat {— PP. 4e — F"[4o + 4eg + Ik] + Fleq — ep —4eg — ml] + eq — ap}? — {F*[2e? + 8I] + Fl4ae + Sql] + [2a° + 1g + 2p] {32 F* + + F*(649 — 2ek] + FP?[— 49 + 16p + 329° — 2ka — 2em] + + F[16gp — 49q — 2am] — 4 —pq+ 2p] =0 oder (6) Pg arg [re + 41) +2 F(ae + 251] + [o + pl] + [/[4 FP +49 F + pleF+ o) +P FLFk + mj} — 4P [Fe + 40 + +2 Flae + 291] + (+ pl) [4 +49 F + pf — Fle FJ- e Fk m]]- 0. 4 ERNST PFANNENSTIEL, Durch Einführung folgender Bezeichnungen ABC-t, BC+CA+ABz=s , 8 =LA(B—C)4 MB(C— A)4+ NCA — B) — 4s, E o? + 122t erhält man zunächst es Al As NGC TI EI Ny [E AS ME und ferner, wenn wir der Kürze wegen FI fil qc ect GE Beim W setzen, woraus folgt | [APP +AgFrpl= SAME so können wir die Gleichung (6) folgendermassen schreiben: Cg — 120¢ Ue Vie Ve HA 10 Nun ist aber 12UV4 V! — P FW = 12[s£? — BF + s [ef +o] + [ef+ o]? —P F[Fk+m] | OP sees Se ee soe ose ro al + Pi EARS NPR TE Ryo mr HAS AR Wenn wir also | LUNETTES IR ipo capra setzen, so erhalten wir folgende Formeln | SR = 12e ee: 8(B oa AL B), ee Se Meer of ot RB? — AS. PU[Et Es] AE = 1250 12 pee Br sa + S ZA + MB + NC] 24 P 2 se 212801 Seo ane BN E 34 A(B — C\g(a)+ + B(C— A)g(b) + C(4 — B)g(o)] . UEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. E Die gesuchte Differentialgleichung wird also 4 DE () — tF(u) -- GP —8F--s)(u) — [SF BF +s) = _(RF+3EP+3EF+R) VERTU DURE E welche Gleichung nach gehóriger Entwickelung die folgende Form an- nimmt (8) tP(u)--[sP BE -- s]F(u) +4 FP Ey F» LO F*- Lx Fa T0, F* E y, F 4E o, = 0 ? wobei man findet: v —1,49s-—9yP -9RE, 48s? —9y,? 90RE , 4s — 0,278 = Re 3/4 2RE, + 9704 4s[9* 4-55,] 20, 8E? --2R,E + 900, + 4s, [5 55, ] = 0 24 ss, +4? — 27x? —2(RR, -9 EE . Durch eine einfache Transformation kann man es immer so ein- richten, dass a = 1 wird, folglich ER = — [48 + 277°] 4 I -——[4si-E21f] = Diese beiden Gleichungen geben die Werthe von R und R,; ferner erhält man die Werthe von E und Z, aus den Gleichungen As 9,0 —9RE , 488? 9y,t =2RH . Sind dann die Bedingungen: SPP 4 2RE, + 90 + 4s[* - ss,] = 0, 3E? -E2R,E-L- 980, As? + ss] = 0 24DBss, + 40* — 29102 = 2[R R, + 9 E E.] erfüllt, so wird die Gleichung () ty® [se Bo s ]y p a p ym + da xa 40,0 + pie + 1 = 0 von einer doppeltperiodischen Funktion dritter Ordnung mit einfachen Unendlichkeitsstellen (z) und deren Abgeleiteten (y) befriedigt. 6 ERNST PFANNENSTIEL, Setzen wir Pee Si. 7 D Fu) A A 2 gue DA so geht unsere Differentialgleichung über in — ti! + [58 BS + sp ++ +o Fp xFP 4 0FR + y7E4+1—0. In der transformirten Gleichung hat also t das Zeichen gewech- selt; die Koefficienten /) und x haben dieselben Werthe in den beiden Gleichungen; übrigens sind die gestrichnen Koefficienten mit den unge- strichnen vertauscht und umgekehrt. Nimmt man an, dass R in R, über- geht, so geht auch E in EZ, über und umgekehrt. Nun sind § und z zwei doppeltperiodische Funktionen, die in einer solchen Beziehung zu einander stehen, dass die Nullstellen der einen Funktion mit den Unend- lichkeitsstellen der anderen zusammenfallen, und die Residuen der einen mit veründerten Zeichen gleichzeitig die reciproken Werthe des Diffe- rentialquotienten der anderen Funktion in den Nullstellen derselben dar- stellen. Die durch die Gleichung Asa —Ba+s} _ 27 (ny) = ty! + Ps — Ba + 5] — _ [Ra +3E#+3E2+R] _ 0 27 Es bestimmte Kurve sechster Ordnung wird von einer zur Y-achse paral- lelen Geraden dreimal in einem unendlich fernen Punkt geschnitten. Eine Untersuchung dieses Punktes mittelst der Substitution P 7 y al zeigt, dass die Kurve einen unendlich fernen dreifachen Punkt 7 mit der dreifachen Tangente z = o und die Kontaktsumme = 3 hat. Nun ist bi ayes SE TUN isa’? Pris Li 6[Re’ 3ER + 38H 24+ KR) Re +2Ex+E,;] NTIGTITI XY Ti TE TI n Eee a Le ee TOROS UEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 1 | und quu sty Yle Pays]. Folglich hat die Kurve singuläre Punkte entweder wenn HEUS pecu mer —60z^-E5»ywi-E40c-E JEEP e gue oder wenn Sale Bes I Ba. oH, et hy —10 ist. Im ersten Falle hat die Gleichung Suum: re SU REN REM) einen quadratischen Faktor (x— ay. Setzen wir dann Lug ud y= : dE so erhalten wir eine Gleichung von der Form EP ae — B, & + 8] — [KS -- LE + MP4 NE+ P] =). Diese Form der Gleichung zeigt unmittelbar, dass §, als doppelt- periodische Funktion betrachtet, keine einfache Unendlichkeitsstelle haben kann. Man sieht nämlich, dass einem jeden Werthe von : nur vier Werthe von & entsprechen; folglich ist 7 eine doppeltperiodische Funk- tion vierter Ordnung und & eine solche dritter Ordnung. Dies ist nur möglich, wenn § eine dreifache Unendlichkeitsstelle, also x einen drei- fachen Niveaupunkt besitzt, — ein Fall, mit welchen wir uns erst später beschäftigen werden. Hat also die Funktion x = F(u) keinen dreifachen Niveaupunkt, so erhält man die singulären Punkte der Kurve mittelst der Gleichungen aly As Br rs) = 0, he she | me rR,=-0. Umgekehrt sind die durch diese ne bestimmten Punkte sämmtlich singulär. 8 ERNST PFANNENSTIEL, Die Kurve hat folglich drei Doppelpunkte, deren Abscissen die Gleichung R#+3E# +8Ez4+R =0 befriedigen, und welche sámmtlich auf der Parabel 3ty + 2[sa? — Br+s]—0 liegen. Wegen späterer Untersuchungen wollen wir hier einige Inva- rianten, d. h. von der Substitution „Az B | AD— BC Je ERR reru Cz+D (Er ITE TP unabhängige Bildungen der Koefficienten der Gleichung (7) angeben. 1:0) Die Bedingung, dass die Gleichung sz Pres = 0 gleiche Wurzeln hat, ist 4. SP 2 2:0) Die Bedingung, dass die Gleichung se Baz qued Ud. d(r.z)— Ra + 3H 24 3h az’ + Rz ist, durch passende konstante Werthe von k und / zu einer Identität gebracht werden kann, ist RS "cp Jost] ze yn ee t pod aie s = 5, 3:0) Die Bedingung der gleichen Wurzeln der Gleichung R#+3Ex# +8Ex+R =0 UEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 9 ist 4:0) Die Bedingung, dass die beiden Gleichungen IHE AL SIT I BID ice ec) ee ST i mca 0 gemeinsame Wurzeln haben, ist reper SN E 0 Cea. 0 D PR CL qo E SLE. Qt; R LE DEDE Se ai ds SE DU R, I 0 1 E I = p 1 3 FE, I 0 1 0 9 0 ? E I rm I Man findet leicht, dass die Ausdräcke D ETS Ryle red, (Ee UE MB BE von einer jeden der folgenden Substitutionen 2 - 1 z=&tk, y=n;,.2=k5, y=kn; en gem also auch von der zusammengesetzten Substitution Ala a JE m Deore) unabhängig sind. Nachdem wir im Vorigen die Form der Differentialgleichung an- gegeben haben, die von einer doppeltperiodischen Funktion dritter Ord- nung und ihrer Abgeleiteten befriedigt wird, so ist nun unsere Aufgabe: Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 Ernst PFANNENSTIEL, aus den Koefficienten der gegebenen Differentialgleichung die entsprechende doppeltperiodische Funktion zu bilden. Zu diesem Zwecke haben wir zunächst die Formeln zur Berechnung der Grössen L, M , N, g(a), g(b) , (c) zu suchen. Die Grössen L, Af, N sind durch das System a = LA MB NO, B= DAB 0) UBC Ay, NE CEE) (10) 3 | E— sa = LA MB + NC] bestimmt, wobei die Residuen A, B, C durch die Gleichungen Aa BANC =10 5 ALBEE BC POPE 8, ABC gegeben sind und « eine Wurzel ist der Gleichung Qt) ce -L12s«—8R,. Vergleicht man die letzte Gleichung mit e4t12se=8R , deren Wurzel offenbar 2(B 0) OCEAN CA) sind, so leuchtet ein, dass die Werthe von « (BC AMC = gr GER) werden, wo A,B,C, die Residuen der Funktion bedeuten. Das System (10) giebt 9) L —3etA--2 BCE— B8BC(B — C) 90M = 3aet B--2CA E — BC A(C — A) 9) N = 380tC 4 2ABE—BAB(A— B) woraus 9P[LM + MN + NL) =c8s—f?_ 208. ÜEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 11 Ferner giebt das System 367 [p(a) + 9(b) HP] = 6? --2« E.— es (Vergl. Seite 2) 12:[Ag(a) + Bg(b) + Cg(c)] = — 4s, — oc (12) 3t[A(B— O)p(a) + BC — A)p(b) + CA — By()] = — E, — À die Werthe von g(a), (b) , plc). Endlich erhält man g(a), 9'(b) , o'(c) aus den Gleichungen 9-4 e. r fb) — plc) , us. Ww. und die durch die Gleichung gu). = 4g (u) — g, gu) — 9, bestimmten Grössen 9,9, aus dem System (3) pl) = 4pXa) — gla) —g, + (QD) = 4g) — 9,90) —9. ; PC) = 4g) — Pl) — 95 » wobei zu bemerken ist, dass eine jede dieser letzten Gleichungen eine Folge der beiden übrigen ist. Aus (13) folgt [e (a) — 9(O)]1.N = 4(o*(a) + e(a) (b) + —gs U s. f., woraus [9 (a) — 2 WIN + [p (b) — p' OIL + [PO — Pp (DM = = 8[pla) + lb) + POP — 129a) (b) + Pb) eo) + lc) p(a)] — 3% - Ferner erhält utem L[g'(b) — po] + Mte) — Pal + NP (a) — 905] = (LM + MN + N D) [g(a) + 90) + PO] — — 3| LM plc) + MN (a) + NL6(b)] 12 ERNST PFANNENSTIEL, und aus diesen beiden Gleichungen ga = 4[pla) + 90) + POP — 4 [pla) (b) + 916) Co) + POR] + LMg() + M Ng(a) + N Lb) . Endlich haben wir (14) (a) + 90) + po) = 4[p*(2) + Pb) + PO) — gs Lea) + (5) + PO) — 99, - Mittelst dieser Formelsammlung haben wir nun zunächst die Werthe von g,g, als Funktionen der Koefficienten der gegebenen Glei- chung zu berechnen. Um die Rechnung einigermassen zu vereinfachen bemerken wir, dass, wenn man die Differentialgleichung (7) mittelst der Substitution «=§+1,y=7 transformirt und dann die Grösse I! so wühlt, dass sie die Gleichung RECS Hl ea MEURT) befriedigt oder m. a. W., dass die Y-achse durch einen Doppelpunkt der entsprechenden Kurve hindurchgeht, der Koefficient A, der umge- formten Gleichung den Werth — 0 erhált. Wir kónnen also annehmen, dass diese "Transformation schon ursprünglich gemacht sei, und haben dann in den vorigen Formeln überall A, = 0 zu setzen. Gleichzeitig verschwindet auch ein Werth von «, und da es offenbar gleichgültig ist, welche Wurzel der Gleichung (11) bei der Berechnung von g,g, ange- wandt wird, so können wir folglich auch a = 0 voraussetzen. Aus den Gleichungen (12) ergiebt sich unter diesen Voraus- setzungen 108 #ç(a) = f? — 4s[4* + 2BC] +4E[B—C] 1082?%(b) = 8* — 4s,[B + 2C A] + 4 E,[C — A] 108#(c) = f? —4s[C* +2AB] + 4 £,[A — B] , folglich (10823) pla) p(b) = Bt + 4 [0° + 2 4B] + 4 ELB — A] + 16s?(6¢C — 2° 4-84 B*] + 16 [2s — 3 AB] — 16s, E, [25(A4 — B) + E] ÜEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 13 und 3(36 ) [gola)pld) + ((b)e(c) + e(e)o(a)] = P*— 16ss + 16E;s — 16E Rs, . Auf ähnliche Weise erhält man 81. 12:°LLMgp(e) + MN (a) + NLe(b)] = —* —8/?ss, —16E’s—8EEPß, folglich 27 . 36i*g, = (ff — 4ss,) + 16 E, Es, — 16 E?s — 16 Es, —8EE,P d. h. 27 . 3619, = 24.84, . Wir schreiten jetzt zur Berechnung von g, und haben also die Werthe von g(a) + 9b) +e) und pla) + pb) + (c) zu suchen. Setzen wir | z = L[g(b) — 9()] = 96) + 9 , y = Mte) — 9(2] = p (0) +P (a) , z= N [p(a) — Pb] = (a) +9) , so ergiebt sich 29) =y+z—x, 2pl)=2+2-4, 26) =2+y—c und folglich Slee = — 2 ee DES UE 8)(B.— Cy — Bs, (B— €). , woraus !) 2 lay ai ESS EM] und (SE) p y? dc A= RER 6s 4s + PP + 8 EE, Ps] — ops Esos + 18550. Nun ist aber A[g'a) + Pb + e] - 49 y +2) — (+7 EM, 1 Weil 2(8— C) , 2(C— 4) , 2(4-B) die Wurzeln der Gleichung e + 12se — SR = 0, findet man leicht: (B - CO? =-6s , Z(B-C$-3R , Z(B- C)t =1883. 14 Ernst PFANNENSTIEL, demnach (15) (1? .4[p7a) + oO + pc] = 122 E: — 1200 EE, ss, + 3652552. 245[4 B2s? + EP] 24 RBs, (2 Es, + EP]. Endlieh haben wir 108£p(a) — £g BC 4- (B — C) , wo §7¢ die Bedeutung haben 6 =? Ass, cap HOSTEM folglich (108) g(a) = £ + 327 BC + 3PE(B — C) + 8£( BC? 246 BC (B — €) T O(B— CO] +? B'O +376 BC(B — C) + 342 BC(B Cy +E(B—C). Mittelst der leicht zu beweisenden Formeln ZBC=s >2(B 20,20), SRCC26) 22 p MM 2(B— CO ==6s BS Spe C0) — RS > = BC (BC); = dg sem qe erhalten wir (1082) (ay. + p) + go] = 35 + 3875 + 381? — GENCR — 18805 + 7 [32 + 8°] — 37°C Rs — 129025 + 3RC d. h. (6) (1089): pa) + EU) + Pc] = 38" + 16. 1885552 + 6 . 64555] + 288[p? + 4ss,] E, Rs, — 288.E?9*s-- 16 . 72 E? s, —19 . 144 R isis +192(EER + Rs?) . Mittelst der beiden Ausdrücke (15) und (16) ergiebt sich dann aus (14) Rs OU nn ÜEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 15 — (54t*)*g, = (ß? —4ss,)’ + 8[32°E} — 4 E; R] — 12[8* — 4ss ][ E E, B DIG 72 A STA D) AUTEM (Ayo ae TO[EN + Ps] — 20, Rs)4-32[6 E, Rss; — 9 EE Bss, — 8E, Rs, = 994 Rs Rs ss QE s, + i? s)] oder = (OM Sw Se) 471701. Wegen des invarianten Charakters der gefundenen Ausdrücke für 9,9, erhellt, dass diese Ausdrücke angewandt werden können um jene Gróssen zu berechnen, ohne dass es nothwendig ist, die Differentialelei- chung zuvor derart zu transformiren, dass R, = 0 wird. Zunächst haben wir die Grössen g(a), Q(b), g(c) zu berechnen. Wie man aus den Gleichungen (12) unmittelbar ersieht, sind sie von einer Wurzel & der Gleichung a’ + 12s,¢ = 8 E, abhängig, woraus folgt, dass man drei verschiedene Systeme von Werthen dieser Grössen erhält. Es muss dann drei verschiedene Funktionen Æ{u) konstruirt werden kön- nen, deren jede mit ihrer Abgeleiteten die gegebene Differentialgleichung befriedigt und welche alle für «= 0 verschwinden. Dieser Umstand hängt davon ab, dass (u) drei Nullstellen hat, von welchen eine mit dem Punkt u — 0 zusammenfällt und die übrigen durch v, , v, bezeichnet werden können. Betrachtet man nämlich die zwei Funktionen Fu) = F(u+u,), F(u)=Fu+r,), so findet man unmittelbar, dass eine jede dieser Funktionen ebensogut wie Fu) die Differentialgleichung befriedigt und dass die beiden Funk- tionen für u — 0 verschwinden. Die Unendlichkeitsstellen der F (u) sind a—v,,b—v, , c— v, , diejenige der zweiten Funktion a —v, , b —v,, €— v,. Wir können folglich schreiben Pett p@eeG-s) , Ft own) me =. Her EE I ,PW+pla—v) |. p gu) +6 —uù) | e e'Q)- 9 (cv) Ji U = A B C . v) | Eu) — Pla — vs) » p(w) — g(b — v;) > e(u) — plc — | Hieraus folgt, dass die drei Systeme von Werthen der Grössen g(a) , 9(b) , g(c), welche aus der Gleichung (12) hervorgehen, die fol- gende sind: 16 ERNST PFANNENSTIEL, pla) , PO), Pl) ; p(a—u), 9b—v), ple— u); g(a — va) , qb —v,) , ge — vg) , so dass (2), Pla — v) , Pla — va) den drei Werthen von e beziehungsweise entsprechen. Nachdem (a), $(b) , g(c) berechnet worden sind, erhält man g'(a) , Pb), (c) aus den Gleichungen L[p(b) — p(c)] = Pb) + p'{c) u. s. = wobei L, M, N durch das System (10) gegeben sind. Zuletzt werden wir uns speciell mit solehen Differentialgleichun- gen beschäftigen, die von einer doppeltperiodischen Funktion dritter Ordnung mit einem dreifachen Niveaupunkt befriedigt sind. Durch eine einfache Substitution kónnen sie immer derart transformirt werden, dass sie zu einer Funktion mit dreifacher Unendlichkeitsstelle führt. Wir behaupten dann zuerst, dass die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Differentialgleichung von einer solchen Funk- tion befriedigt wird, 4, = 0 ist. Für 4, — 0 haben nämlich die Gleichungen sa) OSEO RI BIT DING S Jm eO eine gemeinsame Wurzel. Wird diese Wurzel durch a bezeichnet und vertauscht man in der gegebenen Gleichung « gegen æ+a, so erhält diese Gleichung die Form Alsa® = Bale (Rat B.E +3 my DUI = ZW ; in Lisa Ba Substituirt man ferner so ergiebt sich 3 9 ; Ak /€y= .]3 3EE 3 BE RE A c CAE ER _ BEE ee Jul ÜEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTION etc. 17 Nun ist aber die Differentialgleichung der Funktion F(u) = g'(u) + uplu) (18) 2y Sy Beer | o Bun ra 9 [3 Neuro) , wo æ, y, À, @ die Bedeutung 4 6 2 0-3, +7 T mw. y= PF) , ie =, => 7 73° 12 1 haben. Ferner ist P(u) = KF(u) + L die allgemeine Form der doppeltperiodischen Funktion dritter Ordnung mit dreifacher Unendlichkeitsstelle. Setzen wir dann §=Ke+ L n = Ky so geht die Gleichung (18) über in [65 Kö + 34K? — 6u LK 2 Kr Eq? [65 KE + 31K° — x Ur a [64KR5-- IK - 6uLK] 37. (ER)? — [B4K£ — 18(6 LK + ‘au K*]E + 18K(3 L° + o KY STE HIET und diese letzte Gleichung fällt mit (17) zusammen, wenn man setzt 2K——t, buk= PB, 31K’-6uLK=-s, 18K-— E, — 6[(6LK*- ‘2 uK]=E, 18K[3L° +oK1=R. Hieraus bekommt man der Reihe nach K,t,u, L,A,0o, welche alle endliche und bestimmte Werthe erhalten, es sei denn, dass man E, — 0 habe. Wenn aber E, verschwindet, kann die Gleichung (17) von irgend einer doppeltperiodischen Funktion dritter Ordnung über- Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. 3 18 ERNST PFANNENSTIEL, ÜEBER DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG etc. haupt nicht befriedigt werden. Wir sehen folglich, dass 4, = 0 eine hinreichende Bedingung des dreifachen Niveaupunkts der betreffenden Funktion ist. Dass diese Bedingung auch eine nothwendige ist, sieht man unmittelbar daraus, dass die Gleichung (7) sonst durch die benutzten Substitutionen nicht auf die Form (17) gebracht werden kann. SUR LES FONCTIONS ENTIÈRES RATIONNELLES, QUI SATISFONT À UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU SECOND ORDRE A. BERGER. \ (PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D’UPSAL LE 9 OCTOBRE 1891), UPSAL EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ. 1892. "OPTED LAEDIT de CA ton rj am | ah EU t LU Y N 1 " | " «(Qv "XN Tm Vc anui e, al saint CE TS LA dn | PIE er aks PU OMA NW Soient d, , d, , 4, 6,, 5,, c, des constantes arbitraires, assujetties seule- ment à la condition, que a,, a, , a, ne s'évanouissent pas simultanément, l'équation différentielle linéaire du second ordre a? d (aot? + 2a,t + a) 77 + Bot + 5) T + coy = 0 jouit de la propriété, qu'en choisissant ces constantes d'une maniere con- venable on pourra satisfaire à elle-même par toutes les fonctions simples, la puissance, la fonction exponentielle, le logarithme, les fonctions circu- laires et les fonctions circulaires inverses. Au surplus on peut satis- faire à cette équation différentielle par un grand nombre de fonctions, composées des fonctions simples. Mais ces fonctions ne suffisent pas pour la solution de l'équation différentielle sus-dite sous la forme géné- rale. Dans ce mémoire je me propose de déterminer la condition, pour que l'on puisse satisfaire à l'équation différentielle par une fonction entiere rationnelle de t, et de déduire une expression analytique de cette fon- ction dans tous les cas, ou cette condition soit remplie '). 1) Les travaux, que j'ai consultés sur ce sujet, sont: I. TODHUNTER, An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions. London 1875. C. F. Gavss, Allgemeine Untersuchungen über die unendliche Reihe a.p ala + 1)8(8 + 1) , Duk EN) EEE N errang Übersetzt von H. Srwox. Berlin 1888. A. R. FonsvTrH, Lehrbuch der Differentialgleichungen. Herausgegeben von H. Maser. Braunschweig 1889. W. W. JOHNSON, A treatise on ordinary and partial differential equations. London 1889. H. LAURENT, Traité d'Analyse. Tome V. Paris 1890. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 bo A. BERGER, 8 il, Supposons, que l'équation différentielle ; d? ] (D — (aC + 20,84 07) ör + (yt + 0) 2. Sg = 0 3 où les coefficients a,, a,, a, ne s'évanouissent pas simultanément, soit satisfaite par une fonction entière rationnelle de ¢ du n°" degré (2) CY Herta | gst He dat d gs, ou le coefficient g, ne s'annule pas, et ou » désigne un nombre entier positif ou nul. En introduisant cette valeur.de y dans l'équation diffé- rentielle (1), le premier membre de cette équation se réduit à une fonc- tion entiére rationnelle de t, et puisque le second membre est nul, il faut, que tous les coefficients des puissances différentes de t dans le premier membre s'annulent. Égalons le coefficient de /" à zéro, nous en obtiendrons, en observant que g, est différent de zéro, (3) (on ann ies dt e D Nous avons supposé dans ce qui précéde, que les coefficients dy, d,, à, ne sévanouissent pas simultanément; supposons en outre, que a, by ne s'évanouissent pas en méme temps, on conclura de l'égalité (3), que le nombre n est racine de l'équation (4) Agr” + (by — aj)r 4-6 = 0 ; en effet, les quantités a, et b, ne s'annulant pas simultanément, l'égalité (4) est effectivement une équation à linconnue r du second ou du pre- mier degré. De l'équation (3) on conclut, que l'équation différentielle (1) sera de la forme 2 Eu Eh) EC" B Mere. (5) Gf 4 24,t a) dt? ce qui démontre le théoréme suivant. SUR LES FONCTIONS ENTIÈRES RATIONNELLES, etc. 3 Théorème I. Soit donnée une équation différentielle de la forme d*. d (af + 20,t + ay) 77 ++) + Sy — 0, où les coefficients a, , a, , a, ne s'annulent pas simultanément, et où les coef- ficients a, , b, ne s'annulent pas simultanément, et supposons, que Von satis- fasse à cette équation différentielle par une fonction entière rationnelle de la variable t, le degré de cette fonction sera racine de l'équation à l'inconnue r du second ou du premier degré Gode = xr eie ro et l'équation. différentielle sera de la forme (aot? "22,14 ++ nt malen bs — dun n)y=0, en désignant par n un nombre entier positif ou nul. On ne peut pas conclure de ce théorème, que toute équation dif- férentielle de la forme (5) soit satisfaite par une fonction entière ration- nelle; de plus, on ne peut pas en conclure, que, si l'on satisfasse à l'équa- tion différentielle (5) par une fonction entière rationnelle, le degré de cette fonction soit nécessairement égal à n. Mais si l'équation (4) n'a aucune racine entiére positive ou nulle, il s'ensuit certainement, qu'il sera impossible de satisfaire à l'équation différentielle (1) par une fonction entière rationnelle de t. Aprés avoir montré, que l'équation différentielle (1) sera néces- sairement de la forme (5), si lon peut satisfaire à elle-même par une fonction entière et rationnelle de ¢, nous démontrerons dans ce qui suivra, que l'on satisfera effectivement à cette équation différentielle par une fonction entière et rationnelle de t. A cet effet nous transformerons d'abord l'équation différentielle sus-dite par une substitution de la forme (6) t=Br+y, où nous désignons par z une variable indépendante nouvelle et par f et y deux constantes arbitraires, excepté que // ne s'annule pas. La substitution (6) étant linéaire, il faut, que l'équation différentielle (5) et l'équation différentielle transformée soient satisfaites par des fonctions + A. BERGER, entieres rationnelles du méme degré, ou qu'aucune de ces équations dif- férentielles ne soit satisfaite par une fonction entiére rationnelle. Par suite il suffit de considérer l'équation différentielle transformée, et pour cet effet nous distinguerons les quatre cas suivants. 1) Supposons, en premier lieu, que a, = 0 et a, — 0 ; d’après la supposition sus-dite a, et b, seront différents de zéro, et l'équation dif- férenüelle (5) peut s'écrire dy (7) Ses Ona a —mby —0. En divisant le premier membre de cette équation par a, et en faisant (8) t=x, l'équation (Y) prendra la forme dy dy À H LÉ— = À E 0 (9) TL 4 (aa i) —niy=0, où A, w sont des quantités constantes, et où À ne s'annule pas. 2) Soit a, = 0, mais a, une quantité, qui ne s'annule pas: d’après la supposition 6, sera différent de zéro, et l'équation différentielle (5) peut s'écrire (10) (2 at + a,) ERU t+ 0) —nby =0. Introduisons ici une variable nouvelle x, liée avec ¢ par la relation (QU t=2— l'équation différentielle (10) se transformera en 2 (12) z 09 4 (te tp) nly —0 , da” da où A et désignent des quantités constantes, et où A ne s'annule pas. 3) Soit a, une quantité, qui ne s'annule pas, mais 9, — aj — O, 'équation différentielle (5) peut se mettre sous la forme (13) E À + (bot + 64) CE n(ay — b — any = 0 , SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 5 où 4, est une constante. Au moyen de la substitution (14) t=ar+t cette équation différentielle se réduit a Qs) #44 Get 4nd —i_my=0, où A et & sont des quantités constantes. Nous pouvons supposer ici, que la quantité 1 — 4 ne soit égale à aucun des nombres entiers (16) quos me oua LE EE en effet, si I — 4 est égal à un queleonque de ces nombres, on aura (17) DUE M ou n, désigne un nombre entier satisfaisant aux inégalités (18) - VER ero be et des formules (17) et (18) on tire par élimination du nombre n (19) Oi Pn Sd Au moyen de la relation (17) l'équation différentielle (15) peut s’écrire : d? 1 (20 2% E (cpu) 4n,(1—i—n)y = 0 , da da et d'aprés les inégalités (19) n, sera un nombre entier positif ou nul, et l— 4 sera supérieur ou égal à 2m, +1; par conséquent 1 — À ne sera égal à aucun des nombres entiers (21) Gab t eso resi ee ae ET cese L'équation différentielle (20) est de la même forme que l'équation différentielle (15); par conséquent nous pouvons supposer, que dans cette équation différentielle la quantité 1 — 4 ne soit égale à aucun des nom- bres entiers (22) en MINI RE 6 A. BERGER, 4) Supposons enfin, que les deux quantités a, et aa, — a; soient différentes de zéro, l'équation différentielle (5) peut se mettre sous la forme | (23) a (t — t) 0) 12. + (ot + 6) SY + n(ay — by — am) OG i, et t, étant deux quantités inégales entre elles. En y introduisant au lieu de £ une variable nouvelle x, liée avec t par la relation (24) ta ho + ES nous en obtiendrons 2 d? d (25) DE Ea M). na 2 — ny =0 c da où A et u sont des quantités constantes. Comme dans le cas précédent nous démontrons, que nous pouvons supposer, que dans l'équation (25) ^ la quantité 1 — 4 ne soit égale à aucun des nombres entiers (26) Py DET AO s a lS c A= db s Nous résumons ces résultats dans le théoréme suivant. Théorème II. Soit donnée une équation différentielle de la forme (Gar 2a na) B d'y dy af dt + (bot + Dt 0y=0, où les coefficients a, , a, , a4 ne s’annulent pas simultanément, et où les coef- ficients a, , b, ne s'annulent pas simultanément, et supposons, que l'on satis- fasse à cette équation différentielle par une fonction entière rationnelle de la variable t; en désignant par A, wu des quantités constantes et par n un nombre entier positif ou nul, cette équation différentielle se transforme par une sub- stitution linéaire de la forme N t=pr+y en une des quatre équations différentielles suivantes: 1) da dy. d jeu) TL —niy =0 , \ , où À ne s'annule pas; SUR LES FONCTIONS ENTIÈRES RATIONNELLES, etc. 1 d* d 8) a p (ke pu) Ao — này o0, d où A ne sannule pas; 3) à 7 Gs pu) Y 4nd —a—njy=0, d a? da ou 1—A west égal à aucun des nombres TUE ESTATE or DEM 2 4) (8 017 4 Gag) S. n0 —a—ny =0, da da ou 1 — A n'est égal à aucun des nombres ig UNE ug LR enm RUE Dell MM S'il y a une fonction entière rationnelle de la variable x, qui satisfait à la première ou à la deuxième de ces équations différentielles, le degré de cette fonction sera, d'après le théorème I, racine de l'équa- tion du premier degré , (27) Ar na = 0; puisque A ne s'annule pas, le degré de cette fonction sera égal à m. Mais s'il y a une fonction entière rationnelle de la variable x, qui satisfait à la troisième ou à la quatrième des équations différentielles sus-dites, on conclura du théoréme I, que le degré de cette fonction sera racine de l'équation du second degré (28) mr Aa ye (Eye par suite le degré de cette fonction sera égal à n ou égal à 1—A—n. Puisque le degré d'une fonction entiére est un nombre entier positif ou nul, et que la quantité 1—A n'est égale à aucun des nombres (29) (e gos s TI Da Zn, il s'ensuit, que le degré de la fonction sus-dite sera égal ou supé- rieur à m. . Par là nous avons démontré le théoréme suivant. 8 A. BERGER, x Théorème III. On ne peut satisfaire à aucune des quatre équations différentielles, mentionnées dans le théorème II, par une fonction entière ra- tionnelle de x, dont le degré est inférieur à n. Si lon satisfait à la pre- mière ou à la deuxième de ces équations différentielles par une fonction entière rationnelle de x, le degré de cette fonction sera égal à m; et si l'on satisfait à la troisième ou à la quatrième de ces équations différentielles par une fonction entière rationnelle de x, le degré de cette fonction sera égal ou supérieur à n. Cela établi, supposons que l’une quelconque des quatre équations différentielles soit satisfaite par deux fonctions entières du n°" degré: (30) y = Go + ha + ee ee + daa? ds et (31) ales gau pat ad E tec Ja f où go et go ne s'annulent pas. L'équation différentielle étant linéaire et privée de second membre, on satisfera évidemment à elle-même par (82) y — ga (gue + na cp ...10,) — 7 Gore YR e EM expression, qui est ou une fonction entière rationnelle de 2, dont le degré est inférieur à n, ou identiquement nulle. Mais d'aprés le théo- rème III on ne peut pas satisfaire à l'équation différentielle en question par une fonction entière rationnelle de x, dont le degré soit inférieur À n; par suite le second membre de l'équation (32) sera identiquement nul Le quotient des deux fonctions entières, qui satisfont à l'équation différentielle mentionnée, se réduit donc à une constante, ce qui démontre le théoréme suivant. Theoreme IV. Supposons, que l'om satisfasse à une quelconque des quatre équations différentielles, mentionnées dans le théorème II, par deux fonctions entières et rationnelles de x du n°" degré, le quotient de ces deux fonctions se réduira à une constante finie différente de zéro. Après avoir montré, que l’on ne peut satisfaire à aucune des quatre équations différentielles sus-dites par une fonction entière rationnelle, dont le degré soit inférieur à n, et que l'on ne peut satisfaire à aucune de ces équations différentielles par deux fonctions entiéres rationnelles distinctes du n""* degré, nous démontrerons dans ce qui suivra, que l'on satisfera effectivement à chacune de ces équations différentielles par une fonction entière rationnelle de x du n°” degré. SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 2 § 2. En définissant z comme fonetion de la variable » au moyen de l'égalité | Ar? j (33) "PIDE où A et u désignent des quantités constantes quelconques, soumises seule- ment à la condition, que 4 ne s'annule pas, on en tire par différentiation logarithmique (34) Tä (104 02-0 et par suite, en désignant par » un nombre entier positif ou nul, d^*?z AU am + u) 2} (85) da^? dat =0 ou, d’aprés la formule de LEIBNITZ, DIRE E (36) e usus nn Bra 0. En y faisant n (37) = U 9 da" nous trouverons, qu'on satisfera à l'équation différentielle 2 (38) ern) — (n + Hu = 0 par la fonction Lez, 39 ect (39) uc s ou, d'aprés l'équation (33), (40) | yeu Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 A. BERGER, Nous introduisons maintenant au lieu de u une variable nouvelle y, liée avec u par la relation Ax? (41) Dm DS en posant cette égalité sous la forme = (42) GP Ne nous en tirerons par differentiation Ar? US du a dy 5 (43) Cm E — wu) = e E JE hay) et, par suite, du dy (44) e Tfno uie = eu E hay) : En différentiant de nouveau, nous obtiendrons de l'équation (44) cond du ay dy Ce = CP ine 2 p huau| = en = MODE I y amy) Ax? ou, en multipliant les deux membres de cette égalité par e* et par appli- cation de l'équation (41), Be HER +1) 9 ay]. Nous avons déduit cette égalité de la relation (41). Appliquons maintenant les équations (41) et (46) aux équations (38) et (40), nous trouverons, qu'on satisfera à l'équation différentielle (47) PI + Ge + p) SY — nity = 0 a da par la fonction Ax? Ac - us d"( —+ur (48) y =e E run SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 11 La quantité A ne s'annulant pas, l'expression de y, donnée par l'équation (48) ne sera pas identiquement nulle. et l'on trouvera sans difficulté, que cette valeur de y se réduit à une fonction entière ration- nelle de 2; d’après le théorème III le degré de cette fonction sera égal à n. Par là nous avons démontré ce théorème. Théorème V. Designons par n un nombre entier positif ou mul et ar À deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que p Y 4 , 2 A ne s’annule pas, on satisfera à l'équation. différentielle par la fonction entière rationnelle du n°" degré Ar? Ax? ee ond da" : ) Pour 4— —2, u=0 on en conclut, qu'on satisfera à l'équation différentielle d'y dy 52 da? "da enun par la fonction entière rationnelle du »""* degré 2 d 2 50 = e eum o ( ) y € dar € ? c'est le polynôme n*” de M. HERMITE. § 3. Soit n un nombre entier positif ou nul, et désignons par A, u deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que à ne s’annule pas. En posant (51) z= ehe gut À nous en obtiendrons par différentiation logarithmique (52) POP EN dou te, NO di 12 A. BERGER, et, par suite, dz d^! pee (53) rg) M UN EN) Stein qua LE gr de ou, d’après la formule de LEIBNITZ, n+2 n+1 n (54). 215 na en 0 lag GITE Gu" En y substituant (55) dz" =U, nous trouvons, qu'on satisfera à l'équation différentielle (56) oo 4 @— As) LE (nu au = 0 par la fonction 2 ue ou par (58) u = I Ge) d’après l'équation (51). Introduisons maintenant au lieu de u une variable nouvelle y, liée avec u par la relation (59) U = my, De cette formule on tire (60) eu = ey et, en différentiant par rapport à x, nous en obtiendrons (61) ang (un = tO helg , SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 13 I d’où l'on tire (62) eh) x (1 ul E on (Lr I + iy) i dz En différentiant de nouveau, nous déduirons de l'équation (62) (68) ^ eT ois ale = af TOES Y + Qa + p) 2 4 My; ou, en multipliant les deux membres de cette équation par e et en y appliquant l'équation (59), du da” (64) + (2 — aa) MH o entra I 4 Qa pp) SE $y Cette égalité a été déduite de l'équation (59), et en appliquant les équations (59) et (64) aux équations (56) et (58), nous trouverons, qu'on satisfera à l'équation différentielle 2 (65) a TY + (10 pp) SE niy =0 m da par la fonetion (66) y — g-^,1—u ROM (ghe zt» j dx" La quantité A ne s’annulant pas, cette expression de y ne sera pas identiquement nulle, et l'on trouvera facilement, que la valeur de y se réduit à une fonction entiére rationnelle de z, et le degré de cette fonction sera donc égal à n d’après le théorème III, ce qui démontre le théoréme suivant. Théorème VI. Soit n un nombre entier positif ou mul, et désignons par i et u deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que A ne s'annule pas, on satisfera à l'équation différentielle 2 2 19 + Gr +) — ny =0 da dx 14 A. BERGER, par la fonction entière rationnelle du n°" degré n y= ein E (ghz gn+u—1) x Xx Pour 4 = 1 et u — 0 on en conclut, que l'on satisfera à l'équation différentielle : ] d 67 2 CT = d) (67) *ap o ge a par la fonction entiére rationnelle du n""* degré n (68) gest tenet n. da Pour 4=1 et w=1 nous trouvons de méme, qu'on satisfera à l'équation différentielle d? 1 (69) a+ G@+ DT ny = 0 par la fonction entière rationnelle du n°" degré d^ (70) Y= Cae (e* x") = d x" § 4. Posons u (71) en où n est un nombre entier positif ou nul, et où A et désignent des quantités constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que la quantité 1 — À ne soit égale à aucun des nombres a lg veda ru ss AU TE nous obtiendrons de l'équation (71) par différentiation logarithmique (12) een da SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 15 et, par conséquent, dz d^ (2? ) la ati (ez) d'*iz 7 ae an 0 - (73) EIS OE iu Ei D Par application de la formule de LEIBNITZ on en déduit dr? (74) ala apt t x CAD ed T == À et en y faisant (75) on trouvera suivant l'équation (71), qu'on satisfera à l'équation différen- tielle (76) x "+ a man use Da ea par la fonction (77) u- AT (=) À daz" En introduisant au lieu de w une variable nouvelle y, liée avec u par la relation = E (78) uae ey, et en posant cette égalité sous la forme (19) eu = dy , nous en obtiendrons, par différentiation par rapport à z, (du wu a3) dy ou (81) oA (4! - nu) = e = th SNS (edt 2) xy} : 16 A. BERGER, Differentions de nouveau, nous en tirerons (82) at |" Tu TUM PETS E n (A. | da 7h M l — 2 aot aeg) E eG Sy + e Den] ou, d'aprés l'équation (78), ,d^u ne DCE | CART a, CEE Ag c goi o Ge pu) o? 4 G—8yl : Par application des formules (78) et (83) aux équations (76) et (77) nous trouvons, qu'on satisfera à l'équation différentielle (84) L Herne s nio my- 0 par la fonction = 2— d" =E nd-4— (85) V=0 gj T (e qq En ) : La quantité 1 — 4 étant différente des nombres (EN MIL, coe me s ns AR sd d’après la supposition sus-dite, il s'ensuit, que la quantité 2n +1 — 2 ne sera égale à aucun des nombres Qd up ea: done l'expression de y, donnée par l'équation (85), ne sera pas identi- quement nulle, et l'on trouvera sans difficulté, en exécutant les différen- tiations, indiquées dans le second membre de l'équation (85), que la valeur de y se réduit à une fonction entiére rationnelle de x, dont le degré ne s'éléve point au delà de m. Puisque cette fonction entière rationnelle satisfait à l'équation différentielle (84), son degré sera égal à n d’après le théorème III. Par lå nous avons démontré le théorème suivant. SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 17 Théorème VII. Designons par n um nombre entier positif ow nul et par À, u deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que la quantité 1 — À ne soit égale à aucun des nombres entiers (io qp b LTD E MP PLE S LS on satisfera à l'équation. différentielle ee eden) par la fonction entière rationnelle du n°% degré u m = ai @ 7 == apis UE aee (UAR) aa Pour 4 — 2 on en conclut, que l'on satisfera à l'équation différen- tielle (86) PT + Ge +10 nut Dy = par la fonction entière rationnelle du n“”* degré (87) ace a (e =) Pour u=0 nous trouvons de même, qu'on satisfera à l'équation différentielle à = (88) E mu —à—mn)yyc- par la fonction (89) T x. MUR ou (30) Yen au ma Ne, et cette expression est effectivement une fonction entiere rationnelle de æ du n"" degré; en effet, la quantité 1 — 4 n'est égale à aucun des nombres Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 18 A. BERGER, (EM en iM ES = gig le et par suite le coefficient de ;" dans le second membre de l'équation (90) ne s'annulera pas. On peut remarquer ici, que l'équation différentielle (88) est satis- faite par (91) y —xw, quelle que soit la quantité 4. - § 5. Soit n un nombre entier positif ou nul, et désignons par A, wu ^ deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que la quantité 1 — 2 ne soit égale à aucun des nombres entiers (pae AO Jo en Ens En posant I pap 1\: 9 EAD, nlt T (92) i: (a QE 1) 2 E Ij ? N & nous obtiendrons de cette égalité par différentiation logarithmique (93) @? ys Pul agg = 0 et, par conséquent, : dz quee es dz al apa) quu (94) dant! Pig (2n a À = 2) dart! ae dar! m 0 ou, d’après la formule de LeiBnirz, 9 Jo S a (pnr; ; d'z MG Dee LE NA = | —_ 2) aoe (95) @-)T S a Neu - QD 2-272 = 0 En y faisant (96) Utm SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 19 et par application de la formule (92), nous trouverons, qu'on satisfera à l'équation différentielle m @—1) S44 a Neu" — (n Dn EE) CES) par la fonction ame LN ge 2—1 zi Introduisons maintenant au lieu de u une variable nouvelle y, liée avec u par la relation (99) desee NU se = D'y. En posant cette égalité sous la forme Le A ——1 (100) (CE Ju =(@—1) y et en différentiant par rapport à x, nous en tirerons (01) eae IE: + 1 du LUE) n bags i i ne 1) E "o @ 2)xy LE — 1 Ge ew da LG — v3 ( ou : l ) lv l ) (109) (2 m Du ln: oF. — 2)ay' (102) Gé 1) "Je — 1 TE un) = C E lat) + Q.— 2)ayj ; et de l'équation (102) nous obtiendrons par différentiation m ial Doo Gon ieee ee Oe ne 2 dy dy ren =D e D+ Ge +00 + (02) d , d'aprés la formule (99), 20 A. BERGER, da ifs qs p 3. S DNE = an ss Par application des formules (99) et (104) aux équations (97) et (98) nous conclurons, qu'on satisfera à l'équation différentielle E (105) (a? = 5 + x RU pn 2 my -0 par la fonction 2 u o (106) ae an E | Puisque la quantité 1 — 4 n'est égale à aueun des nombres (etos ect dra E ed E la quantité 2n — 2 +4 sera différente des nombres Qc ct act eU las done l'expression MEE NETS (N) C zw ne peut pas être une fonction entière rationnelle de x, dont le degré soit inférieur à m. On en conclura, que l'expression de y, donnée par 'équation (106), ne sera pas identiquement nulle. En posant l'équation (106) sous la forme im Er or Be eta 2 1——_— — n = > QOD y-@+y De a ea Ta et en exécutant les différentiations, indiquées dans le second membre, nous trouvons, que la valeur de y se réduit à une fonction entiere ra- tionnelle de x, dont le degré ne s'éléve point au delà de n. Puisque Li 4 SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 21 a cette fonction satisfait à l'équation différentielle (105), son degré sera égal à » d’après le théorème III. Nous pouvons donc énoncer le theo- réme suivant. Théorème VIII. Designons par n un nombre entier positif on nul et par A, u deux constantes arbitraires, soumises seulement à la condition, que la quantité 1 — A ne soit égale à aucun des nombres EO Ege dier IT Pros EO LEN 7 , on satisfera à l'équation. différentielle 2 dy Ge DET: ts Ud ce Lend = 2 ny = 0 par la fonction entière rationnelle du n°" degré Pour 4 — 2 il s'ensuit, qu'on satisfera à l'équation différentielle QUEM yet z 42) SP — n(n 4 Dy = 0 par la fonction entière rationnelle du n°"* degré 1 2 d 1 =) am ya ENE Ie meant, Pour «= 0 nous trouvons de même, qu'on satisfera à l'équation différentielle d? d 110 7 eel eR d NL qu v = (10 -— (g—D57 pisc 4 nf n)y =0 par la fonction entière rationnelle du »""* degré 2 (111) a me = NS RE 22 A. BERGER, Faisons en dernier lieu 4=2, «= 0, nous conclurons du théo- rème précédent, qu'on satisfera à l'équation différentielle (112) Cra) So CNE 1)y = 0 dx” da par la fonction entière rationnelle du n°" degré 2 ol? 2 n (113) Eadem. (Gr, — 1) ; c'est le polynôme n^" de LEGENDRE à un facteur constant pres. 8 6. Dans les paragraphes précédents nous avons déduit des expres- sions analytiques pour les fonetions entiéres rationnelles, qui satisfont aux quatre équations différentielles, mentionuées dans le théorème IT. Nous désignerons ces quatre fonctions de la maniére suivante: Ld. d? E yn EHEN AD ea mele i at (115) A, (2, À „en n) = etz de (et ques) 4 ge De a(t m On AS CIO) EEE GE eo) = a (e De ) , d aa dii “m nn, a QT) PP EE) ER CE) ee i EET E et nous nous servirons de celles-ci pour développer quelques fonctions en des séries. Soit n un nombre entier positif on nul, comme il a été dit plus haut, et désignons par A et u deux quantités queleonques, de sorte que A ne soit soumis à aucune condition. On trouvera sans diffi- culté, qu'aussi dans ce cas les fonctions (114), (115), (116), (117) satis- font aux quatre équations différentielies. Quant à ces fonctions, elles SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 23 seront désormais entiéres et rationnelles comme auparavant, mais leur degré pourra différer de ». Définissons z comme fonction de x et de ¢ au moyen de l'égalité (118) z=a+if(z) , à chaque valeur de ¢ correspondront en général plusieurs valeurs de z; mais en considérant la valeur de z, qui se réduit à y pour t=0, nous aurons d'aprés un théoréme de LAGRANGE le développement nz F7 Gime oe 20 x A a 2 ee 3 ole e (0 ole cs UG) F (x) pour les valeurs suffisamment petites de t. Par différentiation par rap- port à z on tire de la formule (118) 02 » 1 eee) ne tf (2) et de l'équation (119) on déduit, en différentiant par rapport à x et en y appliquant l'équation (120), eo ie (121) oO, 72€ )4 2 à Fan a Ve)" F'(a)) ou, si l'on remplace F'(z) par q(z), QU rer ey 7 BONO ETS PAGE Ad. Substituons successivement dans les équations (118) et (122) C2 (OT ege ue wm C RI MN nous en obtiendrons les résultats suivants. 1) Pour f(z) = 1 on déduit de l'équation (118) (124) E Eae ob et de l'équation (122) on tire dans ce cas la formule de TAYLor (125) 942-2 > om = PP = 9) « A. BERGER, 24 2) Pour f(z) = z l'équation (118) donne (126) CRE EN à d’où apres (127) et de l'équation (122) nous obtiendrons le développement n=u "a [P T (aea) . zu) 5 ' BE ER YT 1 128 ve) ler 3) Pour f(z) = z' nous concluons de l'équation (118) (129) Z =a+t2 3 parce qu'il faut choisir la valeur de z, qui se réduit à x pour t = 0, nous en tirerons (130) x UTC et de la formule (122) nous obtiendrons 1 Ei Vl —4tx "S t” d^ 5 21.2.37. n dS p(x)) - CU TTE = 4) Pour f(z) = 2 — 1 l'équation (118) donne (132) d’où ee (133) el Sot, et de la formule (122) nous obtiendrons dans ce cas le développement 1 Vars (134) ee A 91 Yl— Ata + 4t 2 n= t” if à L (CO) LES E dis TUM SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 25 Cela posé, nous ferons usage des quatre formules (125), (128), (131), (134). 1) En faisant (135) g(x) = e* dans l'équation (125), nous en obtiendrons le développement AP EN NES CAN "tv Jal (a „A,u, n) i” 136 (sb) PROS Mr n=0 où la fonction H,(x,1,u,n) est donnée par l'équation Ax? = GF poe (137) H,(æ,l,u,n)=e UE Pour 4=—2, 4 — 0 on en déduit la formule (x = Aq 0) nae, 138 —t2—2tx = 128) i 2 1.2.3. ou (139) H (x, —2,0,n) =e z da 2) Iniroduisons dans l'équation (128) (140) pla) = eae , nous en tirerons le développement Art =; BOSE VADE Pay) 141 = (OL Lie = ee qp Mc ALS ERE, Ry où la fonction H,(x,A,w,n) est déterminée par l'équation (142) H,(@e,A,u,n)= gin n ME ue Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 A. BERGER, Pour 4=1, w=0 il en résulte res yee eh Qo rye 143 “= EU QE : ei Da C US ou (144) ADO dc Go). da" et pour À= 1, 4 — 1 nous obtiendrons des équations (141) et (142) le développement TEE RAGE ent, 145 HT pe UN Re NE DE Ce Dane er RCO o ou eo À (oa am (146) JET, DEG GFE) . da" 3) Par la substitution zu (147) pla) = e rat? nous déduirons de l'équation (131) le développement out ee o. h (148) are 1 Es, _y Ale, A. ny mi V1 — 4t« 2 2 1.9.8 où la fonction H,(x,4,u,n) est donnée par l'équation < E dis ue (149) H,(@,h,u,n)=e Cu = Tema ; Pour 4 — 2 on en déduit la formule - E00 n : (150) gine 1 "SH, 2, pu, n)t V UE o Eo SET ou e fe n a (151) AC 0 NER RON RCM SUR LES FONCTIONS ENTIERES RATIONNELLES, etc. 27 Pour «= 0 on obtiendra des &quations (148) et (149) 1 14y1—4tez BP A Gain 45.0 ice 152 E, = 2 LA nca 2 ) 27. 2.3. ou 153 H,(x,A,0,mn) = 2-4 d qna 4-2 2 7) 1 = da ou (154) H,(x,4,0,n) 2 (2n--4—2)(2n--4— 83)... (n + A— Da" En substituant cette valeur de la fonction H,(x,4,0,m) dans l'équation (152) et en y faisant x = 1 , nous obtiendrons le développement (L--YL— 40 gre DG D. Ong à me 2 cat TREE Ve 4 Listes EDO Eu LG 0S0 Dp, 1 llo 2) 1139519 4) Substituons (156) gm orn eh dans l'équation (134), nous en obtiendrons, aprés quelques réductions faciles, ER AT EL, E SIME NE 1 getan en lern, V1 —4te +48 2 (157) Al EP SS H,(æ,1,u, n)t” " en a een où la fonction H,(r, 4,44, n) est déterminée par l'égalité Y = || ut (TT (158) TER CN PO CEE et (+ 28 A. BERGER, SUR LES FONCTIONS ENTIÈRES RATIONNELLES, etc. Pour 4 — 2 on en tire u 1 pero e c He Dy His aus EU Ft LOST £u VI — 4tz +40 x ou A E : Pour # = 0 nous obtiendrons des équations (157), (158) (160) Æ,(x,2 oo EN Ss — NY ca 4 1 (ea rar, eile 4,0, n)t 161) = xx ( een ‘2 so b. 9 TE ^ ou ek d^ n— RP (162) H,(w,4,0,n)=@—1) * 4 e —1) : aie Faisons en dernier lieu 4 — 2, u=0, nous déduirons des équa- tions (157) et (158) le développement (163) 1 iR. A SU EG, zi (Dm n)t" 3 VICE EAT, JP SELECT oü (164) H,@,2,0,n)- — {@— Ty] MÉMOIRE SUR LE DÉVELOPPEMENT DUNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR DE CONVERGENCE QUI RENFERME DES POINTS — CRITIQUES D'ORDRES REELS ET SETEND SUR TOUT LE PLAN GÓRAN DILLNER. V = A Nr (PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPsAL LE 12 FÉVRIER 1892), UPSAL EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ. MM KM a i i Ln TN OM ENTER i 4 p... mes deux Mémoires de 1880 et 1883, insérés dans les Actes de l'Académie des sciences de Stockholm et de la Société des sciences d'Upsala sous les titres Sur les intégrales définies des fonctions d'une va- riable complexe et Sur le développement d'une fonction analytique pour un contour de convergence qui renferme des infimis uniformes comme seuls points critiques, Mémoires que je designerai par les signes respectifs I et II, j'ai traité des fonctions à des infinis d'ordres entiers et d'ordre nul. Dans ce Mémoire je traiterai des fonctions à des points critiques d'or- dres réels, cas très général qui par suite comprend comme cas particulier nouveau celui de points critiques d'ordres fractionnaires et méme irra- tionnels. Je traiterai d'abord la méthode générale d'intégrer une fonc- tion à des points critiques d'ordres réels; puis je développerai l'intégrale d'une irrationnalité algébrique; ensuite je développerai l'inversion de l'in- tégrale d'une irrationnalité algébrique et sa dérivée logarithmique en mettant au jour la propriété essentielle de ces fonctions que leur valeur est indépendante du choix du réseau de périodes s'il y a plus que deux périodes distinctes; et enfin je préciserai en détail la question générale de trouver la somme des intégrales d'une méme irrationnalité algébri- que, les limites d'intégration étant les racines d'une équation algébrique à coefficients variables, question qu'Abel a traitée généralement dans son célèbre .Mémoire parisien, mais qu'il n'a précisée en détail que pour les fonctions elliptiques. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 to Goran DILLNER, I. MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRER UNE FONCTION A DES POINTS CRITIQUES D'ORDRES REELS. Identité fondamentale. 1. Nous prenons pour point de départ l'identité fondamentale bien connue [I1(24)] Qj > fred [VOLO X ro, c'est-à-dire qu'en supposant la fonction f(z) synectique en tous points du chemin d'intégration la somme de l'intégrale de f(z), prise autour du contour fermé C qui renferme les lacets A, ,..., 4, allant du point. z, et entourant par les cercles infiniment petits @,..., @) les points critiques a, ,:..,@ comme centres, et de l'intégrale de la fonction Lf —fr(2)}, prise du point z, à un point ¢ du contour C, fv(z) étant la valeur de f(z) aprés que z a déerit le contour C en sens positif, est identiquement égale à la somme des intégrales de f(z), prises suivant Jes MAC MAN 2. Ave Développement d'une fonction à points critiques d'ordres =(—1). 2. En désignant par s un entier positif et par a,x et h des points situés à l'intérieur du contour C, nous posons dans (1) as ) E, ied (2) yes De e — 4 où la fonction F(z) est supposée de n'avoir d'autres points critiques ren- fermés dans l'intérieur du contour C que les points multiformes a, ,..,a,. L'identité (1) se mettra done, à l'aide de I (14) et II (14), sous la forme, (3) E log = da | dz 25 = Olle a y (z) Oo = [e] Le us 1 fire nO e tt DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 3 Maintenant il s'agit de trouver la moindre valeur de s finie ou infinie pour laquelle lintégrale prise autour du contour C soit rendue égale à une quantité J finie ou nulle en méme temps que le contour C s'étende sur tout le plan, c'est-à-dire qu'il soit pris de plus en plus grand à devenir infini en tous les sens. En etfet, la valeur de la quantité J se déterminera en la posant sous la forme, er Fe) ee S iem] 8°; valeur qui, pour z — ; ; deviendra (4) Je Pros eae) e en même temps que (5) Im + G-p G—a) les quantités M et N étant toutes deux finies ou toutes deux nulles [I 20 ei, Mens 7])). Pour évaluer la somme des intégrales des lacets A, ,..., A, nous la partageons, suivant II (13), en deux sommes, celie des intégrales linéai- res et celle des intégrales circulaires, Fs) z— 2 = Pa gem c0 > S lo rou lz = 2 d Z i " = (5 PA (2 — ay ME E ij m 2 PF) Eoi C= +z]. = @ log EET des il ea a) = |p 1) On doit observer que, dans la limite (5), ¢ converge vers l'infini d'une ma- niere discontinue en se mouvant sur le contour C qui est arbitrairement choisi- de plus en plus grand à devenir infini en tous les sens tandis qu'il conserve son caractère F(z) (2 — ay De plus, le contour C étant d'une forme quelconque sous la restriction que les rayons vecteurs T(z — z,) soient comparables [II n° 7], il suffit pour la condition (5) que les D essentiel de ne contenir parmi ses points aucun point critique de la fonction points critiques de F(z), au voisinage de z == , soient assez dispersés pour qu'on S| puisse faire glisser la ligne C entre ces points sans toucher aucun d'eux. o o 4 GÖRAN DILLNER, où F(z) = F(z) et F(z), F,(z),... sont les valeurs qu'aequiert F(z) après que z a décrit les cercles @, «),..., et de plus d, un point sur la périphérie du cercle (5, les ordres des points multiformes. 4,....,, étant supposés non moindres que (— 1); puis nous introdui- sons dans les intégrales prises entre la limite inférieure z, et les limites. 70) supérieures a, ,... 2, , €, le développement mE 2 er == posto A= 0 D) log 2 log ee re ( ( ) tae 7) dic zi = Gi ee =. 3 — p oü la condition de la convergence est contenue dans les deux inégalités entre les valeurs absolues ou tenseurs de (z — a), (h — a) et (z— a), (8) eei girl ae Boa! ac ih ensuite nous posons o LS fino nei 2, - {70-10 ae Baal). OC © N Gare = Disc c , où par suite les quantités L, , L,,... sont indépendantes de v; done, à l'aide de (6), (7) et (9), l'identité (3) prendra la forme suivante, (10) le ede o4 ct d F(z) log E (s—1) be me Op =) CHE ENT do I Ge; log „de + S@) — SH) ; ou l'on a posé la serie infinie (i) 80 = Le ame ur, we A DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 5 Puisque la formule (10), sous la condition (8), est une identité, on en conclut que la somme des intégrales circulaires et de la différence ! S(z) — S(k)} forme un développement convergent, des que les autres parts de cette identité forment un résultat fini et bien déterminé. En dérivant lidentité (10) par rapport à 2, on obtiendra l'identité Hn ee nd Ur a) D + s— 1 | Ur z! + 2711 = (gay (a— 2) EE dans laquelle, puisque la différence DN | F(z) A» (Poy Is Zr (2-2 est finie et bien déterminée ‘), la somme des intégrales circulaires et de la serie S'(x) forme un développement convergent. Les coefficients L,, L,, L, ,... se détermineront en tirant de l'identité (10) les dérivées successives . wea en | (13) a La condition de convergence (8) annonce que les points x et h doivent être situés dans l'intérieur d'un cercle, au centre a, qui ne ren-) ferme aucun des points multiformes a, ,..., a, , les chemins d'intégra- tion dans (9) étant au dehors de ce cercle; du reste, le centre a sera arbitrairement choisi. Développement d'une fonction à points critiques d'ordres réels. 3. Dans ce qui précéde nous avons supposé les ordres des points multiformes a, ,...,a, non moindres que (— 1); pour le cas que ces ordres sont des nombres fractionnaires moindres que (— 1), au lien de partager la somme des intégrales des lacets A, ,.., A, en les sommes des intégrales linéaires et circulaires, nous introduirons dans les inté- 1) La forme de cette différence, en particulier pour x = a, est donnée dans la formule (120). 6 GÖRAN DILLNER, grales du membre droit de (3) le développement (7), d'où lon tire l'identité ay [X uo en | |r tos == =E Se) 8008 où les coefficients L,, L,, L,,... seront déterminés, comme dans (10), à l'aide de (13), et ou le cercle de convergence est le méme que dans les développements (10) et (12), cercle pour qui, dans la dérivée de (14), la série S'(v) par suite est convergente. Remarque. Pour le cas que les ordres des points a, ,..., a, sont des nombres irrationnels, le développement (14) subsiste encore, ce qui sera évident si lon observe qu'un nombre irrationnel pourra étre rem- placé par un des deux nombres rationnels infiniment voisins entre les- quels sa valeur est située, les deux valeurs de F(z) correspondantes à ces deux nombres rationnels étant aussi infiniment voisines. Développement d'une fonction à points critiques uniformes. 4. Pour le cas que la fonction F(z) est uniforme, les points cri- tiques a, ,...,a, étant des infinis d'ordres respectifs m, ,..., m, , l'iden- tité (10) prend la forme suivante, ee 6-1) Be = Ne ham (15) rel z—N || rek rO pe Sache 1 Bue He) log SES de à PE Ze (GEO 8 — n ou la fonction S(z), en vertu de (9), est nulle ce qui annonce que le développement (15), comme n'étant borné que par le contour de con- vergence C, est convergent pour tous points du plan au dehors des 2M infiniment petits (2, 6) ,..., @. Pour évaluer les intégrales circulaires de (15), nous posons [11(29)] (s ie a F(z) Tm gr (2) (r =1,2 Qj asa gs) k) 1 d'où il s'ensuit [II(14)] | ARE + t Me DEVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR ete. 7 © Z 2 LU un : Wen ae eed 2 TA GCG ley zen jl n 9.) u gym, Su : ee (EG DAD UY. le développement (15) étant par suite trouvé. La dérivée de l'identité (15) par rapport à x e E (s—1 = @) (17) Fe) reu. | FEN ) fum Sole. F(z)dz = M Gey TE (s — a) (a — 2) v—Z donne le développement de la fonction F(x) de cette manière. Nous posons T—a $m = z— a , à l'aide de l'identité a eld si gal CURT cord rose ei; nous obtiendrons l'identité suivante, qq) 1 nd (tesa uae 1 ( ) ar ar so quen ( ) xi , (aa © —2 (go UE om) En Gea): qui, introduite dans les intégrales circulaires de (17), donne (18) i S Ss x: qui "P JD) À ss) roL—--c Et +" 2] al aer "gh er MU I ic | | SEKTER 8 GÖRAN DILLNER, résultat qui, d’après II -(30) et II (33), rend lidentité (17) à cette forme (19) Fle) = F(a) + 2 F(a) 4...4 ED pea) +R (s — ay u COR dtu cite i E. xc npo les quantités 45,40 sg AM, GP. y Gr 1,2. d étant dépendantes de xz. Ce développement, pour M = 0, est identique à celui de II (34), la moindre valeur de s qui annule la limite (5) pouvant étre finie ou infinie. Il. DEVELOPPEMENT DE L'INTÉGRALE D'UNE IRRATIONNALITÉ ALGÉBRIQUE. Forme de l'irrationnalité algébrique. 5. Posons, pour &,, 6€, ,..., €, désignant des constantes, le pro- duit suivant contenant m facteurs linéaires en z , (20) JAG) = Gr s 0) oon es a), et, pour » un entier positif, l'intégrale CA la (21) u = | ER : To PC) P(x) " étant Virrationnalité algébrique; posons ensuite (22) gero c sco où C est une constante qui sera convenablement déterminée, est enfin, pour m m, (23) Mn. , nm -—n DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 9 alors, pour (24) H, =F (r=1,2,...,m), la valeur H, étant par suite nulle, et pour (25) Der edlem Jor ue l'intégrale (21) prendra la forme, dé (26) e =| a Fra MC * I mom To “8 gygy \ où les limites z,, 5, et x, 5, doivent satisfaire à l'équation (22), les 1 ; , valeurs z, = 0 et § = 0 étant par suite correspondantes l’une à l'autre. Développement général de l'intégrale (21). (ör 1 Kon pose pour zs décrivant. le cercle ©), 26 = oe”. d’où il suit d log (2 —e,) = 1d6, on aura AO Ur. Mese oa (21) | log — A v 2 — NN = P) z=e r (er) = | log 2—5 C—O 4 _ 2a (en e ihe 5 LEM CAT P(y Py et par suite, en vertu de. (10), puisque dans (4) M — 0, T (28) eem sa Sih), AP) où, d’après (11), (29) CHEN EN Diar Co Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 GÖRAN DILLNER, les coefficients Z,, L,, L,,... étant déterminés suivant (13) par la formule, 1 1 (4—1) (30) ar [sm = A-1525.) ou L, a la valeur E 7 JP? En comparant (9) et (30) on aura cette identité remarquable, dz ^S (2 tg x Omi =) Hity Dr Bel i 1 oz Pla)" ey XJ "ee" SPC Po) = PC) c M r=1 ou P,(z) = P(z) et P,(z) ,..., P,(z) sont les valeurs qu'aequiert P(z) après que z a décrit les cercles @),..., 62, et où l'on a remplacé les limites supérieures d'intégration (e, — 0,) ,...,(e, — 0,) par e, ,...,e,, puisque, d'aprés (27), les intégrales sont finies pour ces derniéres valeurs. Pour ™ un entier, on a P,(z) = P(z) et par suite la dernière intégrale à gauche n de (31) égale à zéro. Si l'on multiplie l'identité (31), pour 4 = 1, par (— a) et que l'on depuis augmente a vers linfini, on obtiendra l'identité em "Y ("Ine BO ar [pet ner] ae r=1 2, “0 Be a Dro RE M (a— 0) Pla)" ou le membre droit s'annule excepté le cas m — m qui donne une va- leur finie. ! Développement de l'intégrale (21) prise entre les points critiques €,, «+5 e. 7. Nous supposons pour plus de simplicité les points e, ,...,e, situés sur l'axe réel et rangés de maniére que, la différence de deux con- sécutifs entre eux DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 11 (33) Du = €,-; — 6, (r =2 FOIE ON m) étant prise pour diamétre d'un cercle, ce cercle ne renferme aucun des autres points. Ce cercle sera donc un cercle de convergence du dévelop-: pement (28) et aura pour centre (34) a = T (Aa A) GS EI e eo no Le développement (28) prendra alors la forme Co Re | x ii — See) (res en). ze. Ca) la valeur.de a étant celle de (34). Développement de l'intégrale (21) prise entre le point critique e, et =. 8. Maintenant il reste de trouver l'intégrale prise entre une limite finie et l'infini. Pour ce cas nous avons d’après (32), pour des valeurs différentes de P(z) " et P,(z) " et pour m» m, (36) if j D'un autre cóté on a d'aprés (26) By — A de= p EON po d. (37) fe ucc pg wae. * Play PE» Pour M un nombre fractionnaire [(23)], on aura le développement de (37) d'une manière plus commode si l'on pose $”= X et par suite, d’après (22), (38) Bee exe, : ? SPADE j d'oü l'on tire, en mettant, pour M =? une fraction irreductible : (89) fg COMPUTER erg n p p 19 GóRaN DILLNER, >. x fOr et, d'aprés (25), (40). DDR u. HERE et ensuite (41) Ca bu (Sea poor TRE le résultat suivant, Se dae! et Bay ee ? (42) où par conséquence chacun des paramètres H,,.... H, [(24)] a q valeurs différentes suivant que, dans (41), C^' représente successivement les ra- cines j^"^ de l'unité. Si l'on pose dans (24) s= m, on a, d'après (38), les deux valeurs correspondantes z=e, et X= Hj! et par suite l'intégrale (42) sous la forme, —1 " E (43) je de - Ars ; : [U ın où les limites X = 0 et X = H;' sont des points critiques, le point HT" ayant la propriété, d'aprés n* 7, d'étre plus voisin du point 0 que quel- qu'un des autres points critiques H;',..., H,',. Donc, en prenant la difference H;' entre les points Hj! et 0 pour diamètre d'un cercle, ce cercle - sera un cercle de convergence du développement de l’integrale (43) et aura pour centre (445 a — He . bol me Ce developpement prendra donc suivant (28) la forme, A SEA 9-80 te TU OB (45) | DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 13 développement qui jouit de la propriété importante d'avoir au moins q va- leurs différentes suivant que C^ dans (41) représente quelqu'une de ses q valeurs. Remarque I. Les points e, ,...,e, étant situés sur l'axe réel, il est tout indifférent si on les suppose satisfaire aux inégalités >e,>...>e, Om aux inégalités e, « e, <... 4. Les trois points caractéristiques du complément S (uw), c'est-à-dire le zéro f et l'infini y, de S(u) et le zéro y,(o —1,2,...,m 1) de (1— H,S(u)"), ont les ordres respectifs 9[,, 33,, G, dont les valeurs s’obtiendront de cette manière. L'ordre w d'un zéro ou d'un infini uw, de la fonction f(u) étant déterminé par la limite yl. | Fu — uo") b o il s'ensuit, puisque S (9), d’après (53), a une valeur finie, que up | Su) _ 77 AU = UE (77) 1 | (u — p) HO , le point 9 étant néanmoins un point multiforme de S(w), autant que la dérivée S'(u) change de valeur pour u décrivant le cercle infiniment petit (8). D'aprés (53) on a SC) MATES GE HS (a) SO SCO last" TENE SUE H„_,3(u)" — i SQ) ' d'où l'on tire, en accord de (76), U=Ym = Ym B, = 2 Si (u) | Kl S (u) S qe fn I | rd | Gr) md, c'est-à-dire, (18) SF UA apes rt TE DEVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 21 Suivant (76), l'ordre de y,(0o— 1,2,..., m — 1) s'exprimera, à l'aade de (50) et (53), de cette VON : On a u—yg H NT u-yg A H SYN ; (1— oS Ih STEEL os Je E 5, ^ G, ae | (u —¥,) 1 us He = | (u ys) i HE UE OO (1— HE); . QE) == | (u — 7) = 1 (1 — Hos") " où Q(Ë) = — s +) pour u=7,, a une valeur finie differente de zero; (1 — HE par suite on aura udo (1 — He); . QE) N A HE) (Hé). . &, G2 ou tout simplement (79) CASS Par cela nous voyons que l'inversion complémentaire S(w) jouit de la propriété remarquable que les trois points caractéristiques f, 7, et y,(0—1,2,..., m— 1), pour n — 2 et m > 4, c'est-à-dire pour les inversions hyperelliptiques en sens restreint, ont, suivant (77)—(79), des ordres entiers, le zéro /? étant néanmoins, pour M un nombre fraction- naire, un point multiforme. Remarque 1. On obtiendra d'une manière plus rapide les nombres caractéristiques de l'inversion complémentaire I(u) en se rapportant à ceux de linversion J(u). En effet, puisque, d’après (51) et (24), on a So ad) x _ J(u)—e, So) we rn Eu ELT on trouvera, pour u =, 1 SRM qo : mes / pe 22 GóRAN DILLNER, et, pour u = y, ; et enfin, pour u —y,(0—1,2,...,m— I), u-yg ne tae J(u) Oa m Ss | ( 2 | eee en ; Remarque II. Puisque les limites 3(, 398, & de (75) sont finies, on en tire la conclusion que le zéro « et linfini f de linversion J(u) À : y N : A J(u) sont des infinis simples de sa dérivée logarithmique et que le zéro p g q Ta) ; q y, de la fonction (J(u) — es) est un infini simple de sa dérivée logarith- mique Ju . De la méme maniére on conclut des valeurs finies U) — 65 des limites U, , 38, , ©,, dans (77)—(79), que le zéro f? et l'infini y, de l'inversion complémentaire I(u) sont des infinis simples de sa dérivée logarithmique xa , et que le zéro y (o=1,2,...,nm_ denne U tion (1 — H,3(u)”) est un infini simple de sa dérivée logarithmique (1 E TRE D IN ‘ ERAS) Périodes. Réseau de périodes. 14. Si l'on remplace u par (GS? + « qu) dans (58), on aura cette formule, (80) J(u) = SED + s GC + u) , où chacune des valeurs (81) 207 CORRE CRIE ME; Gb UD qui est différente de zéro représente une période. DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 23 Si Pon prend la premiere intégrale (47) en sens négatif suivant le méme chemin qui donne la période 2.2,, on obtiendra la période (Des IR NET El CCR Gel sel. De it, m ; DEL cri présentant la valeur — 24,. Par eonséquent, si l'on prend la méme intégrale suivant le méme chemin en sens positif ou négatif un nombre illimité u de fois, on ob- tiendra le multiple de période 2u4X2,(u =0,+1,+2,...). Par les multiples 24, {2 , 24, (2, de deux périodes distinctes, c'est-à- dire périodes dont le rapport est une quantité complexe, on formera un reseau de périodes, dont le parallélogramme élémentaire est déterminé par les côtés 2.0, et 2.Q,. S'il y a > périodes distinctes (v > 2), le mot distinctes coun reine rt aussi la propriété des périodes d'étre indépendantes, c'est-à-dire qu'un multiple de l'une d'elles ne peut pas s'exprimer par une somme des multiples des autres, on en formera, par la combinaison de leurs mul- tiples deux à deux, a0 (v— 1) réseaux de périodes; par la combinaison de leurs multiples trois à trois on obtient, d'aprés une démonstration de Jacobi bien connue, un réseau de périodes à parallélogramme élémen- taire infiniment petit. Une propriété essentielle de ces multiples de pé- riodes est que les nombres 44 , u,,..., comme dépendants des chemins d'intégration arbitrairement choisis, peuvent représenter tout arbitrairement la valeur 0 ou des entiers positifs ou négatifs; par conséquent, le choix du réseau de périodes s’il y en a plus qu'un est tout à fait arbitraire. Développement de linversion J(u). 15. Supposons que le réseau de périodes de linversion J(u) s'étende sur tout le plan et que les côtés extrêmes de ce réseau repré- sentent le contour fermé C; alors, en mettant dans (3), pour s — 0, J (z) = F(z) , on aura lidentité | IE log =, de + 2ni |" JE » =.) JG) log 2 =F de — | 49 — 461g Ly . 24 GÖRAN DILLNER, où les lacets A,,..., A,, entourant tous les points critiques a,,..., d; de J(z), sont situés à l'intérieur du contour C. Pour le cas qu'il y a un point critique a, sur le chemin d'intégration C, on évitera, de la manière usitée, ce point en prenant l'intégrale suivant la demi-circonférence du cercle infiniment petit @). Puisque la fonction J(z), en vertu de sa ^ double périodicité, est finie à chaque point du contour C, on obtiendra, d'aprés (10) à l'aide de (4) et (5), l'identité (83) [ Tod bem b a JG) log? = dz 4: Su) Sl), ou plutôt l'identité dérivée [(12)], (8 JIW-N+, ; I) + 80). ou l'on a posé, d'aprés (11), le développement (85) S ay Sb) (EP 0) EE =a) EE les coefficients L,, L,, L, ,... étant, d’après (9), exprimés par la formule, (86) mia jl up Vv Bone À c it po si SER HEN mer Queen er d px ase mais évalués, par des dérivations successives de l'identité (84) par rap- port à u, suivant la formule (13) ou (87) m socle me — | à D'un autre côté on a, d’après (14), l'identité (88) i J (e) de ez SI (uS) s@ CSS A ou plutôt l'identité dérivée (89) 7 J (@) = ML LT ma QE Ga) RER DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 25 ou les coefficients s'expriment, en accord de (9), par la formule (90) sd x fc a 17 - I al = DAS ante sin mais s'évalueront, par des dérivations successives de l'identité (89) par rapport à u, suivant la formule ne | from] E QUEE 92 14^ Mp par suite l'identité (89) prend cette forme ordinaire, (99) Ju) = Ja) + J(a)(u — a) + 7— "d “Ge = rue le cercle de convergence étant borné par les chemins d'intégration, allant du point z, aux points généralement critiques 3 et y,(@=1,2,...,m). En comparant les deux formules (90) et (91) nous voyons que la configuration différente des points critiques a, ,..., a, qui dépend du choix différent du réseau de périodes s'il y a plus que deux périodes distinctes, n'aura aucune influence sur les valeurs des coefficients Z, , L, , L,,.:. qui ne dépendent que des valeurs constantes de J(w) et de ses dérivées successives pour u = a. Donc, nous avons cet énoncé d'une importance essentielle: P "La valeur de l'inversion J(u) est indépendante du choix du réseau de périodes s'il y a plus que deux périodes distinctes. Remarque I. Si le réseau de périodes, arbitrairement choisi, est celui à parallélogramme élémentaire infiniment petit, le développement (92) subsistera encore pour un cercle de convergence infiniment petit, c'est-à-dire pour lim (u — a) = 0, la valeur de la fonction J(w) étant par conséquent égale à la valeur constante J(a) qui est arbitraire en méme temps que a. Hemarque II. Le róle essentiel que jouent plusieurs périodes distinctes dans linversion J(u), c'est de former un réseau infini dont les côtés extrêmes ‘représentent le contour C suivant lequel l'intégrale Cc j 4o log = dz soit prise pour obtenir une valeur finie indépendante Z— lt Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 GÖRAN DILLNER, de z. Il suffit pour ce but deux périodes distinctes, et sil y en a plus que deux on aura par suite le choix libre de prendre deux périodes les plus convenables. Développement des fonctions (J(u) — e,) et (J(u) — ey pour n = 2. 16. D’après (75) le zéro 7,(0— 1,2,..., m) de la fonction (J(u) — es) jouit de l'ordre © = 2, et cette fonction est par suite uni- forme dans ce point. Donc, en prenant y, pour centre du cercle de convergence qui ne renferme aucun des infinis 3, on obtiendra, suivant (89), l'identité (93) J(u) —4, =R+L,+Lw-7)+LW-7)+-- "13 où, puisque J(7,)—e, — 0, on aura M+ Z, 2 0, les autres coefficients L,,L,,... étant, d'aprés (91), déterminés par la formule (94) | MWh G-1,2,...). En observant que les dérivées d'ordre impaire s’annulent, l'iden- tité (93) prendra la forme 11 IVf, (95) J(u) = ev + TYS (uy + nt. développement trés remarquable qu'a donné Abel, dans son petit Mémoire »Propriétés remarquables etc.» sous une autre forme pour évaluer les inversions hyperelliptiques en sens restreint. D'un autre point de vue le développement (95) mérite de l'atten- tion comme étant identique, pour y, = 0 ou x, — e, [(49)], à celui que jai proposé dans la formule (14) de mon Mémoire sur la racine d'une équation algébrique, inséré dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Stockholm pour 1885, n° 4; car de ce développement et d'une intégrale de la forme (21), pour » — 2, dépend en effet, comme il est montré dans le Mémoire cité, la solution générale de l'équation algébrique. La fonction (J(u) — e;)* dont le zéro 7, a l'ordre 1 est aussi uni- forme dans ce point et aura par suite le méme cercle de convergence que la fonction (J(u) — e). Donc, on obtiendra le développement suivant, (96) (Iu) —ey = L(n—7) AC ANNE 456-3 Nr SA DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 27 oü les coefficients seront déterminés d'aprés la formule a 1G) (97) 2 | Ir PM Eoi. 2 ii). toutes les dérivées étant finies pour vu = y,. Développement de [inversion complémentaire 3(u). 17. La fonction 3(u)” ayant, d’après (51), nécessairement le méme réseau de périodes que l’inversion J(u), il s'ensuit que les identités (83) et (84) subsistent encore si l'on y remplace l’inversion J(u) par linver- sion complémentaire S(w). Par conséquent, on aura, en accord de (89), le développement (98) So m crga cn ger a Bla a) pn... où les coefficients L,, L,, L,,... sévalueront suivant la formule u—a MEE RDA E a | aa Ne. ineunda yd par suite le développement (98) prend cette forme ordinaire, ^ (100 3(u) = (a) + S'(a)(u — a) + u Beate. le cercle de convergence étant borné par les chemins d'intégration, allant du point z, aux points généralement critiques /9 et y,(o — 1, 2,...,m). Pour n — 2, l'ordre M, de l'infini y, étant un entier (m — n) [(78)], le point y, est uniforme; donc, on aura, en faisant usage de l'identité (12), ce développement 1 E © dz , Q0) SW-R+,, 2) 309.5), 272 ae où a,,---.4@, représentent toutes les valeurs y, dispersées sur tout le réseau de périodes infini et où le cercle de convergence est borné par 28 GÖRAN DILLNER, les chemins d'intégration, allant du points z, aux points critiques ß. En posant, suivant II (29), (102) (z — a^ SG) = gr (2) , il s'ensuit, suivant (18), que RAT (M,—1) © ae 1 46) CON res (=). | is u—Z d’où l'identité (101) prend la forme suivante, = (M,—1) a +m4st, uU — 2 Dou (104) S(u) = Mm 2 | les coefficients L,, L,, L, ,... de la série S'(u) [(85)] étant déterminés par la formule (5—1) — à | (4-1) LUN AN NS Ee En comparant les deux développements (100) et (104) nous voyons que le développement (104) est la différence entre le développement (100) et celui de la somme £-—üp, 1 = | | gr (2) (M,—1) U — 2 Remarque. C'est particulièrement pour M un entier [(75)] que le développement (104) sera employé, puisque, dans ce cas, l'inversion $(u) est uniforme dans tout le plan et par suite les coefficients L,, L,, L,,..., en accord de (86), sont nuls. | Développement des fonctions (1 — H,3(u)") e£ (1 — H,5 (up) pour n — 2. 18. D'après (79) le zéro y,(o — 1,2,...,m —1) de la fonction (1 — H,S(uy") jouit de l'ordre 2, et celle-ci est par suite uniforme dans DEVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 29 ce point. Done, en prenant y, pour centre du cercle de convergence qui ne renferme aucun des points critiques / et y„, on obtiendra, en accord de (93), l'identité suivante, (106) 1 — H,SQ)" = R + Lo + L(u — 7 + Da Wu’ es où, puisque 1 — H,S(y,)" 20, on aura M+ L,=0, les autres coef- ficients L,, L,,... étant, suivant (94), déterminés par la formule CEU oo Co D CES Qu ex. (5543...) . | 4 Puisque les dérivées d'ordre impaire s'annulent, l'identité (106) prendra la forme ER (1 s Hn (108) JC H^ Sue = ES CAL (1— 4,30 DE 4 7 (= pa et CEE La fonction (1 — H,S(w)^ dont le zéro y, jouit de l'ordre 1 est aussi uniforme dans ce point et aura par suite le même cercle de conver- gence que la fonction (1 — H,3(u)”). Donc, on aura le développement (roo CHEESE S Qu =S wer Ys (uy JS ss où les coefficients L,, L, ,... seront déterminés par la formule DHT) LAS CAL A2) | en (110) " toutes les dérivées étant finies pour u = y,. Développement de la dérivée logarithmique de l'inversion J(u). 19. En accord de (84) on aura le développement de la derivée logarithmique de J(w) sous la forme suivante, ONE 1 OT G)., de am 5s | YS. 22780: 30 GÖRAN DILLNER, où les valeurs a,,..., 4, représentent tous les zéros « et tous les in- finis / dispersés sur tout le réseau de périodes infini, et où l'indice @ — ne se rapporte qu'aux points multiformes f. Mais, d'aprés (18) et (75), on a WE da | e- 2970 ere 27i TENTE rel) EAS (112) = m oM NM Kx o PORT ON qum | IC) (unm NEN par suite le développement (111) prendra la forme JKu) 2 Re © à v 4 Qd t (113) où les coefficients L,, D,,... de S'(w) [(85)] seront déterminés par la formule in (2-1) 1 J (u) 1 1 14 TORRES = = pcdes > = ae 4-1 | me 2: mas dud mE = aaa 1060 EDI le cercle de convergence étant borné, en accord de (86), par les chemins d'intégration, allant du point z, aux points multiformes / et de plus, pour n > 2, aux points multiformes y, (o = 1,2,..., m)?). En intégrant l'identité (113) entre les limites À et w, on aura pour résultat, u-—€« (15). be 70 gc ioe a eco M 200 IDEs | AES \ 1) Dans mon Mémoire sur les inversions hyperelliptiques, inséré dans les Mé- moires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. V (2* Série), Mémoire qui, puisque le point y, est supposé uniforme, ne se rapporte qu'aux inver- sions hyperelliptiques en sens restreint (m = 2), il y a un défaut en ce que la série S'{u) manque dans la formule (27) de ce Mémoire. Ce défaut tire son origine de la supposition que la dérivée logarithmique de l'inversion Ju), comme n'ayant d'autres points critiques que les infinis simples a et B, serait wniforme, aucun égard n'étant tenu au caractère multiforme du point f. ( DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 31 qui se pose sous la forme suivante, 9-0 (116) JG) = I) In & gun) „SWS Dis Lh al identité qui donne le développement de linwersion J(u) en produit infini. Remarque I. De la même manière on aura le développement de la dérivée logarithmique de la fonction {J(u)—e,}(@=1,2,...,m), dont les zéros y, et les infinis f, d'ordres respectifs > et M [(15)], (o = sont les infinis simples de cette dérivée logarithmique. De ce dévelop- pement on tirera, pour 6 =m, celui de l'nversion complémentaire IWAN S(u) = pee) coe (me Remarque II. Pour le cas particulier n = 2 et M un entier, l'inver- sion J(w) [(116)] est uniforme en tout point du plan, et les coefficients L,, L,,L,,...[(11)] sont, en accord de (86), nuls, le cercle de convergence s'étendant sur tout le plan. Ce cas comprend les développements des U Me LOU " TUNE EUM. fonctions elliptiques J(w) et I(u) = EXE en produits infinis. Limite de la différence d'une fonction f(u) et de l'intégrale circulaire 1 (Or(àz == NE pour u = à, à élant un infimi uniforme, d'ordre m, de f(u). 271i uU—z 20. Soit f(u) une fonction à l'nfin uniforme a d'ordre m, et cherchons la limite (117) L = lim | yit) es (u—a) L WOES 27i U Si l'on pose, suivant (102), (118) (s—ay f@) = 29 , 32 GÖRAN DILLNER, on aura, en accord de (103), ce résultat, © 7 (m—1) " Tela vv a) (119) — | U — Z |o[m—1 | EIN a g (a) +...+ m 9 "7 (a) á Gan en ; par suite la limite (117) se posera | (u — a)" fu) — vo Jt — CD s «nis a ECT j ES (u — a)” = 1 gu) — |. (a) + LIT g (a) +...+ @= T C] — lim [m—1 M vs (u ns aye Done, en traitant la forme : de la maniére ordinaire, on obtiendra la limite cherchée sous cette forme, a 20) ques g(a) Remarque. Le calcul de la fonction g(w) et de ses dérivées suc- cessives, pour u — a, suivant (118), sera dans nos recherches facilité par la liaison CE = S(u)" [(51)], les infinis de la fonction oz Zu étant les zéros de l’inversion complémentaire 3(u), et T Par une substitution tirée de cette liaison le membre gauche de (118) se réduit, pour u = a, à la forme > qui sera traitée d’apres des métho- des bien connues. Application à l'inversion uniforme ou elliptique. 21. Nous allons étudier en quelques points capitaux l'inversion J(u) et son complément S(w) pour le cas particulier en | n=2, (121) | | m=3, DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 33 les nombres caractéristiques de J(w) étant par ‘suite [(75)], | A=1, (122) en. Be et ceux de I(u) [(77)—(79)], | A =1, (123) SR EM pes. nombres qui caractérisent ces deux inversions comme des fonctions uni- formes en tout point du plan. Eu égard à (46), on aura, pour a, =; et $, — 0, les deux inté- grales [(47)], 3 da 5 dé (124 u= = — = i [4 (@ — 4)(w—e,)(@—e,)]" J [(l — H,9)0 — H,8)] dont les inversions, définies par les formules [(49), (50)] | B= Ju) 5 (125) 1 | 9770 . | 5 = 3(u) , (126) oe), sont liées entre elles par l'identité [(51)] (127) HG) ee SOT et ont les dérivées [(52), (53)] (128) LE = Ju) = [&UG) — e) JC) — 4) 02 — AT ; (129) & = 86) = [1 — E30) ASIE , Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 34 GóRAN DILLNER, les constantes H, et A, ayant les valeurs [(24)] | TETE (130) | H, = Oy —e, , où l'on suppose ¢,, e,, e, satisfaire aux inégalités [n° 8 Remarque 1] (131) DESIT Qs Si lon introduit dans la dernière intégrale (124) (132) yee , é ayant la valeur de (55) pour n = 2, on aura pour résultat lintégrale ac ” dn (133) e lem c RS dont l’inversion prend la forme (134) N= &S(u) = Seu) @=1,2), c'est-à-dire que l'inversion S(u) jouit de la propriété d’être une fonction im- pare d'ordre 2. Si l'on remplace u par eu dans (127), le membre droit ne change pas de valeur, d’où il s'ensuit (135) J(éu) = J(u) , c’est-à-dire que Vinversion J(u) jouit de la propriété d'être une fonction paire d'ordre 2. De cette propriété on conclura, à l'aide de (58) pour ep = 1 et o=1,2,3, que les deux périodes distinctes de J(w) sont deux des trois valeurs 27,, 27, et 2y, [(54)], la dépendance y, + y, = y, entre les trois valeurs y, ,7, et y, étant donnée d’après l'identité (36) dont le 1 premier membre s'annule pour 2, = € = T [(3)] . Si l'on introduit dans la derniére intégrale (124) (136) Ec S on obtiendra, en posant = JE 137 zu E (137) a DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. l'intégrale suivante, 1 i iR (138) Hju= | Re I Ju; oO Eq =E dont l'inversion par conséquent prendra la forme (139) £ = sin am Au = HiS(u), d'ou l'identité (127) s'écrira J(u—e _ n Je (140) = — xL: í sinam Hu De cette identité on tire les identités suivantes, (141) J(u) —e, _ i= am Au | H, sin am Hu et (142) J(u) — e, -| A am Hiu | H, sin am H}u 35 Donc, ayant la connaissance des fonctions elliptiques étudiées générale- ment par Abel et Jacobi, on connaîtra en.méme temps, par les identités (139) —(142), l'inversion J(u) et son complément Su), et réciproquement '). Ainsi, les deux périodes des membres droits des identités (140) —(142) étant 2 K et 27 K,, il s'ensuit que les deux périodes de J(u) sont 2K RG — , 21—* ; de plus, on conclut des mêmes identités que les zéros dou- Hi Hi bles des trois équations (70) I) «Se, es 01), 21,8) ont les valeurs t K-riK LK, ya er aa ‚=. Hi 1) Les propriétés de l'inversion J(u), pour e, + & + e, = 0, ont été étudiées, d’après une méthode particulière, par M. WEIERSTRASS. 36 . GÖRAN DILLNER, et que l'infini double de J(u) a la valeur 0. Les deux zéros simples A et — A de J(u), correspondants à cet infini double, se détermineront, d'aprés (63) et (140), par l'équation sin’am Hu + zt ld. £3 En vertu de l'uniformité de linversion J(w) on a suivant (84), puisque les coefficients de la série S’(u), d’après (86), s'annulent, le dé- veloppement (143) J(u) = M + P» xj Je In où 4, ,..., 4 représentent tous les infinis doubles 5 de J(u), dispersés sur tout le plan. Le contour de convergence du développement (143), comme n'étant borné par aucun chemin d'intégration (86), se compose des côtés extrêmes du réseau de périodes infini de J(w) [n° 15]. En posant [(118)] (144) (u — BY Ju) = glu) , on aura [(119)] ! y - 7 2 1 S de EGON Oh) 9 (B) . sx Ass I Le) Fes mais, d’après n° 20 Remarque, on calculera les limites 9(3), g(B), en remplaçant J(u) dans (144) par sa valeur tirée de (127) et prenant la a" dérivée u=B (146) | [e ite 36 + UP e À LG — D SO + 1/9? ee om quesos m =p NM | Done, en faisant 4— 2,3,... dans cette formule, on aura les valeurs des limites 9(3), 9 (B), ..., gu) SMT +4 GSC 4 10 — D ren (sen 4.4. DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR ete. 37 (147) g(B) —1, g(B) — 0, et par suite le développement (143) sous la forme ik 148 HONTE EE ( ) = (u) Ar (MD): ou lon aura d’apres (120), pour l'infini nj — 0, la différence finie (149) lim (u— 0) J) — ah (0) , et ou la constante M sera convenablement déterminée en identifiant u à quelqu'un des points caractéristiques de J(u), c'est-à-dire en posant w=0,u=y,(=1,2,3,)ouu=+4. Si Fe pose suivant (144), pour 3 = 0, l'identité (148) sous la forme | PAN 2 Dee (150) glu)=1—+u purs | , ;, et que l’on dérive cette la somme =’ ne comprenant pas le terme = identité un nombre illimité de fois, on obtiendra les dérivées successives de g(u), pour u — 0, exprimées en des séries convergentes dont les valeurs sont données sous formes finies dans (147). Le développement de la dérivée logarithmique de l'inversion J(u) suivant la formule (113) se fait immédiatement en observant que la série S'(u), en vertu de l'uniformité de J(u), s'annule et que par suite le contour de convergence se compose des cótés extrémes du réseau de J(u) J(u) - loppement on aura le développement de J(w) en produit infini suivant (116). D'autres développements se font suivant les formules (95) et (96). Les développements de la fonction complémentaire I(u) sont donnés suivant (139) par la connaissance des développements de la fonction elliptique sin am Hiu . périodes infini de la fonction Comme conséquence de ce déve- Application à l'inversion. hyperelhptique J(u) pour n = 2 et m = 5. 22. Dans ce cas les nombres caractéristiques de J(w) sont (151) 38 GÖRAN DILLNER, et ceux de S(u) | SEES T (152) SEE ee Bo nombres qui par la valeur fractionnaire de M caractérisent ces deux in- versions comme des fonctions multiformes. Eu égard à (46), on aura, pour x, = e, et § = g^ [(48)], les deux intégrales [(47)] qs 5 då 153) u = i ML M 1 Kae €): .. (e — e) Ja [Q—H,55...0— 4] dont les inversions, définies par les formules [(49), (50)] | Jo J (u) 9 (154) Inneren | f= Su) 1 (155) | ES), sont liées entre elles par l'identité [(51)] (156) Fa CSC pour C7' représentant une des trois valeurs [(46)] 27i0 (157) ee QE et ont les derivees [(52), (53)] (58) C2 i) Se) ea — Ze du (189) — $30) -[0— 8,300... — E, S605) , DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 39 où les constantes H,,..., H, jouissent des valeurs [(24)] (160) Hos (02599190 34) dont les numérateurs sont positifs pour (161) as aCe MERE CS Puisque, d’après (71), J(u) est une fonction paire d'ordre 2, la périodicité de J(w) est suivant (58) représentée par la formule o=1" (162) J(u) = J(GO + eu) | | | < DeLee an, où l'on choisisse d'une manière convenable deux périodes distinctes 22, et 2.0, qui par leurs multiples 24,42, et 24,0, ,u, — 0, £1, £2, ..-. et w=0,+1,+2,..., forment un réseau de périodes infini. Aux deux zéros A d'ordre 1, donnés par l'intégrale (63) pour m — 5 et p — 2, correspondent les trois infinis 6 d'ordre : , donnés par lintégrale (45), eu égard à (36) et (43), pour m — 5 et q = 3. Tous les zéros et tous les infinis de J(u), dispersés sur tout le réseau de périodes infini, seront représentés respectivement par « et p. On aura immédiatement, pour 6 — 1,2,...,5, le développe- ment de linversion J(w) suivant (95) et celui de la fonction (J(u) — €) suivant (96). Le développement de l'inversion complémentaire S(w) qui a l'infini uniforme y, d'ordre 3 s'établit de cette manière. Mettons d’après (96), pour o = 5, l'identité suivante, ; (165), Ve) = f(u) = L.¢ — y.) + Eau — + Lu y) +: oü, d’apres (97), (164) Dh G-13,2.2; mettons ensuite, suivant (102), l'identité (165) (u — y.) S(u) = g(u) qui, à l’aide de (156) et (163), s'écrira (166) =; 40 GÖRAN DILLNER, alors, nous obtiendrons, suivant (104), le développement TU n (167) Su) = M + E z | iz = ar Su) s oü, d'aprés (119), wri) 1 9) i" 94s) Is) 9 Ys) 168) — £j = A dE | Fe 2 na ken les valeurs des limites g(y;), g'(y:), 95) ,- - ; étant données par la ième dérivée de l'identité (166) (A=1,2,...), C À de» Gare | eto peo + p Le Ay id SION IT Ae) = e] 5 On aura, d’apres (120), la difference finie qu A m (170) lim E a) ONE) | a" Ys) , (np) 2 | w= B par conséquent, le cercle de convergence du développement (167) n'est borné que par les chemins d'intégration, allant du point z, à tous les zéros représentés par /3. Nous obtiendrons immédiatement le développement de la dérivée logarithmique TO suivant (113), et celui de J(u) en produit infini U suivant (116). Le developpement de la derivee logarithmique xt ot celui de S(w) en produit infini se fera suivant les mêmes formules en observant qu'à chaque infini y, d'ordre 3 correspondent trois zéros fj d'ordre 1, ces zéros et ces infinis étant dispersés sur tout le réseau de périodes infini. Applications de cette nature pourront se multiplier d'une manière illimitée. DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 41 IV. SOMME DES INTÉGRALES D'UNE MÉME IRRATIONNALITÉ ALGÉ- BRIQUE, LES LIMITES D'INTÉGRATION ÉTANT LES RACINES D'UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE À COEFFICIENTS VARIABLES. Méthode de trouver la somme des intégrales. 23. La grande question d'Abel de trouver la somme des inté- grales d'une même irrationnalité algébrique, en exprimant les limites d'intégration comme racines d'une équation algébrique à coefficients varia- bles, question qu'Abel a traitée sous un point de vue trés général mais quil n'a précisée en détail et pour l'usage pratique que pour les fonc- tions elliptiques, sera traitée ici d'aprés une méthode bien simple qui admet de préciser en détail et d'une manière complète le théorème d'addition et de multiplication des intégrales d'une irrationnalité sous la forme générale de (21). Mettons les deux polynómes entiers et rationnels de v, de degrés v et Zz, q(z) = 9, d TR d eU. (171) | | Ze) ka er: + ku ar! RUE. où les coefficients g,,...,9, et &,,...,k,: sont indépendants de x; mettons ensuite, pour M, ,..., M, désignant des entiers positifs, P(x) le produit (20) et & les valeurs (55), les deux identités suivantes, (172) GI) = G(s — a)... (e — as) = qx — PDA = (plx) — Pay ya) (g (x) -&" Pa)" x (2)) e (eo) — & P(2)"x(2)) et (173) GH, (2) = Ge —h,)" ... (v— hu) = pol) — P(x)4, (2) = (9, (2) — Pla)" z, (2)) (me) — e PU)" z, (2) - … (9a) — es Pe)" (a) 5 ou p,(x) et x,(z). représentent les valeurs de (x) et x(z) pour x, = h, (r—21,2,...,4), c'est-à-dire pour un autre système de valeurs des coefficients gq,,..., 9, et &,,..., kur; alors nous allons étudier les pro- priétés de la fonction Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6 42 GÖRAN DILLNER, (114) A) Ene M Sn ge eek: eg PO) x(a) Pa y" e PE) — s! Po? a» où w(x) désigne un polynôme entier et rationnel de + dont le degré sera déterminé de maniére que la dimension de TOR ne surpasse p(z pas (— 1), c'est-à-dire que (175) dim e condition à laquelle nous ajoutons la détermination (176) dim PY xle) _ =o, qr) J étant un nombre positif ou négatif ou nul. Je remarquerai d'abord que la valeur z =x,(r=1,2,...;,u) annule nécessairement, dans (172), un des m facteurs x um) play = e() — ePi x(s) @=0,1,...,n—1), ainsi que la valeur x = ^,(r = 1,2,...,u) annule nécessairement, dans (173), le même facteur, pour q(z) = p,(x) et x(z) = x, (a); je remarquerai de plus qu'en posant l'identité (172), à l'aade de (177), sous la forme losiG== i loser e ee ehe s VG (AD) = log P(#)+---+ log p,_1(æ) on obtiendra, pour x décrivant en sens positif le cercle infiniment petit €), le terme 2niM, ajouté au membre gauche de cette identité, d’où l'on conclut, si p,(x) est le facteur qui s'annule pour x = x,, que log p,() doit nécessairement être augmenté par le méme terme 2xiM, pour x décrivant le même cercle; de même on conclura, si p?(z) désigne la valeur de p,(@) pour f(x) =-4,(a) et x(x) = (2, que log p(e) doit nécessairement être augmenté par le terme 227M, pour x décrivant en sens positif le cercle infiniment petit (f). Maintenant, la fonction A(z) jouit de la propriété remarquable que le point #=e,(r=1,2,...,m) est un point uniforme de A(«); car, pour « décrivant en sens positif le cercle infiniment petit (@), DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 43 1 1 Virrationnalité P(x)” change en & P(z)" et les facteurs p,(x) et po (x) changent en p, (a) et Pes), tandis que la fonction A(z) ne change pas de valeur; de plus, si l'on pose (118) PG xG). 1 q (a) z la fonction A(z), puisque & + & +...+e, — 0, se mettra sous la forme 7 ATOM: tg. (119) A(x) = VER 7 Y «log ( =E) wG)Xx(G) z v log m TECH a eti en d bi A où Z, représente la valeur de Z pour q(z) = g(x) et x(z) = x(z), et où l'on suppose que la valeur x = e, n'annule aucun des polynómes q(») et p(z); done, obtenant la limite de la fonction A(z), pour x = e,, sous forme d'une quantité finie, on en conclut que le point x = e, (r— 1,2,...,m) est un point synectique de la fonction A(x)'). Enfin la limite o pour J < 0 et J > 0 [(176) c'est-à-dire pour Za et Z=0 [(178)]. jouit des valeurs respectives (— &') et 0, valeurs qu'acquiert cette limite aussi en remplaçant Z par Z. Pour d = 0, la valeur =) rend les quantités Z et Z finies. De ce qui précède nous voyons qu'il n'y a d'autres points criti- ques de la fonction A(#) que les infinis multiformes x = z, et x = 1, (r=1,2,...,4) que l'on suppose satisfaire respectivement aux équa- tions p,(x,) = 0 et pf(A,) = 0 ou ce qui est le méme aux équations Z=1 et ZL = il. 1) Le caractère du point uniforme z = e, de rendre la fonction A (xv) [(174)] finie s'envisage aussi de ce que l'intégrale circulaire ©) [ A(x)dx «f (x — e,) A(x)d log (x —e,) 20 , = et que par suite l'intégrale de lacet, prise à entourer par le cercle infiniment petit le point e, comme centre, s'annule. 44 GÖRAN DILLNER, Désignons par C un contour fermé qui renferme les lacets X, et H,(r =1,2,...,u), allant d'un point x et entourant par les cercles infiniment petits @ et (v) les points critiques «=z, et x — h, comme centres, et de plus le point a qui est tout indépendant; alors, puisque A(z) ne change pas de valeur aprés que x a décrit le contour fermé C, nous obtiendrons, d’après (1) et (3), l'identité suivante, le (CCE TT am ID = (4 F=il N: Adde | ja (a) da Œ — € m u — Ad + 2niA(a) ; mais, l'intégrale du membre gauche, mise sous la forme [ 2=% A()dlog (e—x) , u^ m s'évanouira, en vertu de (175), (176), (178) et (179), pour le contour € s’etendant sur tout le plan, et la somme des intégrales du membre droit, puisque l'intégrale circulaire prise autour d'un infini des fonctions log p,(a) et log p?(y) s'évanouit [I (6)], prendra, d’après I (14), la forme os M, a ; r=1 hy (a "m a) P(x)* donc enfin, on aura pour résultat l'identité suivante qui exprime la somme cherchée des intégrales, r=u Ty ; =n dl 3 | (1800 X M, CULA ve) ^y log oe) A LONE ir DA TAG) I" p, (a) — & Pla)" %,(@) ou les limites d'intégration doivent satisfaire aux deux systémes d'équations, (187) pe) = Pla) Plaza) 9 0. (r— 1,2,.-- 10) et (182) po) = e(h)— PY x()-9 (21,2,... 1M) Remarque I. Si les fonctions p, (x) et PP@)G@=1,2,.-.,n—1) sont celles qui s'annulent pour x= x, et z — h,, on obtiendra, au lieu de (180), cette identité, a 5 zu" DEREN ch). * (e — a) Play" DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR ete 45 oü les limites d'intégration doivent satisfaire à ces deux systemes d'équations, p, (är) — 0 et PP hy) = (} (x= 1 j 2 UE 5 Par rapport à ces formules les formules (180)—(182) sont dites principales. Remarque II. En dérivant l'identité (180) s fois par rapport à a qui est tout indépendant, on obtiendra l'identité 2 bal i ae ee id ei 1 Gea) P(2y" | ioe ou les limites d'intégration satisfont encore aux équations (181) et (182) Théorème de multiplication et d’addıtion des intégrales 24. À cause de racines égales de l'équation (172), les équations suivantes, au nombre de (M, +... + Mi), doivent être satisfaites, Ar) i d HE) II : mi 0 : = eee ausm — (183) | (2) 20, | IU för iei =0(r=1,2,...,4) a systeme d'équations qui, d’après (181), pourra être remplacé par le suivant, m 2 s em LM EX Ones d orare EDS 1) L’équivalence des deux systèmes (183) et (184) sera évidente si l'on pose Q(x) = pir) Pp, (2), d’où la Ame dérivée de l'identité (172) par rapport à x prendra Informe (4 le cate ens) M 2 Ke Aas ai GH (x)? = jf) QU) + m p (@) QE (x) + pv) QUE (x) + . identité qui montre que le système (183) pourra être remplacé par le système (184). 46 GÖRAN DILLNER, où les paramètres variables indépendants 9,,...,9, et ky... 5 Ea n'entrent que linéairement; et, puisque le nombre de ces paramètres est (v+z+41) [(171)] et par suite généralement moindre que le nombre (M, +...+ Mu) des équations (184), on obtiendra, par l'élimination de ces paramétres, des résultats auxquels doivent satisfaire les limites d'inté- gration x, ,. .. , z, et h, ,..., hu de la formule (180), limites qui, par là méme, en général dépendent l'une de l'autre, le nombre D des variables dépendantes, parmi +, , ..., 2,» étant la difference (185) JD YEA f eee ov es sy (is ez He 0) Si E désigne un nombre entier qui satisfait à la condition ERST (186) N) nous définissons z par l'égalité (187) v=E+z; done, puisque le degré de l'équation (172) est (188) PVE MM TE ELTE AY nous obtiendrons, d'aprés (185), la valeur suivante du nombre D des va- riables dépendantes dans les résultats d'élimination, (189) Du 25 as Ile D et E ayant en méme temps leurs moindres valeurs. Ces résultats d'élimination constituent le théorème de multiplication et, pour M, = ... — M, — 1, le théorème d’addition des intégrales. Ainsi, pour m= 2 et pour la moindre valeur de E, il n'y a que les valeurs m — 3 et m — 4 qui donnent un théoréme d'addition et de multiplication à une seule variable dependante; les valeurs m — 5 et m — 6 donnent un théoréme d'addition et de multiplication à deuz varia- bles dépendantes, et ainsi de suite. Somme des intégrales d'une wratonnalité paire d'ordre o, o étant un diviseur du nombre n. 25. Mettons les o racines de 1 sous la forme (190) Ones OR ere ——— DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 47 racines qui par suite sont comprises parmi les racines &, dans (55), et supposons que les racines de l'équation (172) soient de la forme (191) roe (si Qupd a T) c'est-à-dire que l'équation (172), en faisant usage de (177), soit (192) GI) = G(s* — ar^ -. - — af) = Pla)! — PG)x y = Ma) G2 + + + paa), oü l'on a posé | Pa)=a, +92 +...4 mt" , (193) plx) = z(9o + Ja +... +8) ; (a) = ko + kat... + haa p a 3 ensuite, tirons de (177) les o équations Po (x) = q x.) = Pa)” Kar) = 0 (194) pis) = Pla) — Or Tory) Ag) = d Gala) Doa (ar) = Pla) — 654 Plan)" x) = 0 qui sont satisfaites en remplacant la racine x, en ordre par les o racines 6-12, (s =0,1,...,6—1); alors, pour w(x) désignant un polynôme paire d'ordre c, nous obtiendrons, suivant (180) et n° 23 Remarque I, l'identité d d: — wl2)da | c sid" B eue. i. 10 Em JS 1 r=1 D "(s — a) P(z* (s — a) Pla" n EQ 1) M da bi M, A = y(z)da 5 4(a) nee ee où A? désigne la valeur de 2%, pour (x) = (x) et xx) = xx); mais cette identité, différentiée par rapport à 5? ,...,2 (s 2 0,1,...,0 — b. prendra, à l'aide de (191) et (193), cette forme, 48 GóRAN DILLNER, r= » E: 1 1 Su, VU 1 4 M uu e om c ds 1 —ı E 7 \ tp — À 01 Xr — a 0, 145, — r=1 Al) T il TA 0—1"r done enfin, en transformant cette identité par lidentité d log (a? — 27) _ ca^" _ 1 1 1 Ua - da a9 — Lp == dp. a mm. a — 8, x. et intégrant le résultat, on obtiendra l'identité cherchée (195) Su JE el i i E = (=) (Pla) __ OF log PO = ee Pla OI oP(ay qa) — Pla za) ou les limites d'intégration doivent satisfaire à ces deux systemes d'équations, CO) pe) OG) — IG ae) eU (@ asl Babe ge) et (197) — p9(À) = 9 (h,) — PAY xh) =0 (r2 1,2,.... 2). Théorème de multiplication et d'addition des intégrales d'une irration- nalité paire d'ordre c. 26. En accord du systéme (183) nous tirons ici de a les équations suivantes, au nombre de (M, +... + Mu), 1.5 EUM moe 0 Ing ren TEES =0(r—1,2,...,u), système d'équations qui, d’après (196), pourra être remplacé par le suivant, r d'en) ) d (xt ops N ’ + 5 = » a pF dire pa (ac) 4 (; = 0 En) 0 E 0 eee Ta ee ea | Po (2) , | d (a9) ’ ? d COL ne Mn). DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 49 où les paramètres variables indépendants g,,...,9, et k,..., 4,1 n'en- trent que lindairement; mais ce systeme, en employant la substitution (198) ; a" ay et, par suite, les équations (193) sous la forme P(y) 7 ay cay. + amy” ’ (199) DY) = Got AY + FHI) à | XY) = ko thy t+... day ty se transformera en le suivant, ; v=2, V=Vr Y=Up I l d qe y (200) | p) - 9, | "P 0... / 0 len): ou l'on a posé (201) Po(y) = EN) P (yr X(y) . Puisque le nombre des paramètres variables indépendants gp, . . . , 2, et £,..., kur est (v--z--1), il s'ensuit qu'en éliminant ces parame- tres du système (200) il y aura, parmi les quantités y,,..., ya, D variables dépendantes, D étant déterminé d'aprés (185). Si l'on désigne par E un nombre entier qui satisfait à la condition (202) men ni nous définissons x par l'égalité (203) ‘v= B+e ; done, puisque le degré de l'équation (192), par rapport à x, est: (204) oru pe era M ur [0] on obtiendra, d'aprés (185), la valeur suivante du nombre D des variables dépendantes dans les résultats d'élimination, (205) D —(vo 5 —2r E—1 i D et E ayant en méme temps leurs moindres valeurs. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. T 50 GÖRAN DILLNER, Ces résultats d'élimination constituent le théorème de multiplication et, pour M, = ... — M, — 1, le théorème d'addition des intégrales d'une irrationnalité paire d'ordre o. Ainsi, pour n — 9 — 2 et pour la moindre valeur de Z, il n'y a que les valeurs m — 2 et m — 3 qui donnent un théoréme d'addition et de multiplieation à une seule variable dépendante; les valeurs m — 4 et m — 5 donnent un théorème d’addition et de multiplication à deux va- riables dépendantes, et ainsi de suite. Trois espèces des intégrales (180). 27. Mettons lidentité (180) sous la forme M, DEE NE N ie CNET ORNE ^ (12) ) Play i bai et supposons que a qui est tout indépendant converge vers Pino alors, on aura la limite (206) S M, y role Aal m hr P(ay (a=} où les intégrales sont dites de la premiere ou de la deuxième espèce sui- vant que (207) lim a A(a) = 0 (a=} ou (208) limaA(a) = A , (a=3) A étant une quantité finie différente de zéro. L'intégrale (180), par rap- port à ces deux espèces d'intégrales, est dite de la troisième espèce. Si l'on met w(x) sous la forme (209) wa (a) = lf + lx +... + fees an xt on obtiendra, en vertu de (179), (186) et (187), pour d € 0 ou yz n dans (176), le systeme suivant des intégrales de la premiere espece P>1+i+z), DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 51 r=" Xp (210) — X M, I G (Be ayes C Ra La somme des intégrales de la deuxième espèce (v = l + -- x) prendra, pour 9 — O0, la forme r= Pr» > à rosae ade Zn: | DE) r=1 oh P(x)" I, In et, en vertu de (174), pour d = 0, la forme suivante, DB uw Ds RUE Sn Xp etm ( ; IA Suv " Py eo na gs désignant le coefficient de x” dans la fonction , (x). Remarque. Pour d > 0 ou r< D rz et pour v>1+4A+x dans n (179), la formule (206) ne donne que des intégrales de la premiere espéce. m . : Dans ce cas, pour — un nombre fractionnaire, M, = ... — M, —1 et TL X(x) = 1, on obtiendra un théorème d'addition à la moindre valeur de u. Ainsi, pour n = 2, m — 3, v — 1 et par suite u = 3, on aura ce théoréme d'addition bien connu. À la somme des intégrales de la pre- midre espèce = 0 r=3 PL, d " 2: | one 1 r=1 V, P(x)° correspond la relation suivante, obtenue en identifiant les coefficients de x dans (172), 2 mm +e = +atatsı 0 relation qui, combinée avec le résultat d'élimination, tiré de (181) (r =1, 2), RENARE % — X9 d = 52 GÖRAN DILLNER, consistue le théoréme d'addition cherché qui ne contient qu'une variable dépendante x, parmi les trois variables x, , 2, z,. De méme, on obtiendra ce théoréme d'addition analogue, pour n=2,m=5,v=2 et par suite u — 5. En effet, à la somme des in- tégrales Sj MO Lo Q-0,1 r=1" A, Pa) correspond cette relation, obtenue en identifiant les coefficients de „* dans (172), buco pee spo oor dea où ga se déterminera en fonction des variables indépendantes x, , x, 2; par le quotient de deux déterminants tirés de (181) (r — 1,2, 3), le théorème d’addition ainsi établi contenant les deux variables dépendantes et x.. Dans ces deux théorémes d'addition il y a de plus une multitude de formules provenant des propriétés symétriques des racines de l'équa- tion (172). Des théorémes d'addition analogues s'établiront pour les intégrales hyperelliptiques en sens restreint (n = 2), m étant un nombre impaire. La Trois espèces des intégrales (195). 28. Si l'on suppose dans l'intégrale (195) que a qui est tout in- dépendant converge vers l'infini, on aura la limite 213 3 M, N AN Lim aÅ (a) , (2 ) r=1 hr = 6 —+) P(e) où les intégrales sont classées comme dans le n° précédent. En met- tant (x) sous la forme (214) Wile) — ly + lat +... p ua O70 + ho on obtiendra, en vertu de (179), (202) et (203), pour d <0 ou yz m4 dans (176), le systeme suivant des intégrales de la pre- miere espèce (v > À + 2), x DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 53 EUR ?r yr (a) d v Rem ues anie ioa Cain he Quote ty i. Ey. r=1 hp P(a)" La somme des intégrales de la deuxième espèce (v = 4 + x) prendra, pour 0 < 0, la forme ru Lp y T me aM eee alg ees Ar P2) o I In r=) et, en vertu de (174), pour 9 = 0, la forme suivante, r=U Tp à @=n Ae —1,4n ei Se ct de Qn r=1 Vi, eye oa, 0-1 oe eg! On ou 9g? est le coefficient de „”°+! dans la fonction ¢, (a). Ainsi, pour n 20 — 2, m — 2 et par suite u = 3, on obtiendra ce . . 5 - , théoréme d'addition bien connu. A la somme des intégrales de la pre- miére espéce [(215)] Hes Ty d à Dent r=1 Sh JAH) correspond cette relation, obtenue en identifiant les'termes indépendants de a? dans (192), a (2, iets)” = E , 1 SS relation qui, combinée avec le résultat d'élimination, tiré de (196) @=1, 2), Che dC a, a. (ai — 22) Ir I donne, aprés une réduction facile, le théorème d’addition en question, lequel ne contient qu'une variable dépendante x, parmi les trois variables 2$,,2,,7,. On obtiendra de plus une multitude de formules provenant des propriétés symétriques des racines de l'équation (192). En employant la valeur de g, donnée ci-dessus, on obtiendra im- médiatement de (216) la somme des intégrales de la deuxième espèce (4 = 1), la somme des intégrales de la troisième espèce étant contenue dans (195). 54 GÖRAN DILLNER, Pour n=0=2,m=3 et par suite u = 3, on obtiendra un théo- rème d'addition analogue, à une variable dépendante x, parmi les trois variables 2, , 2, , z, , la somme des intégrales de la deuxième espèce étant exprimée suivant (217) (A= 1) et celle des intégrales de la troisieme espèce suivant (195). Des théorèmes d'addition analogues s'établiront pour les intégrales hyperelliptiques en sens restreint (n = 0 = 2). Remarque. Pour la valeur 0 > 0 .ou ye < iy et pour 0 n y>i4+x dans (179), la formule (213) ne donne que des intégrales de la premiére espéce. Manière de diminuer, dans les résultats d'élimination, le nombre des variables indépendantes jusqu'à une. 29. Le nombre des variables dépendantes dans les résultats d'éli- mination, tirés du système (184), étant D = v(n — 2) + E — 1 [(189)], il s'ensuit que l'on diminue dans ces résultats d'élimination le nombre des variables indépendantes jusqu'à une si l'on pose dans (189) (218) DE (ne) MT ayant, d'après (188), les valeurs des entiers positifs M,,..., M, déter- minées de maniére que leur somme soit égale au degré nv de l'équation (172). Ainsi, pour » — 2, c'est-à-dire pour les intégrales elliptiques et hyperelliptiques en sens restreint, on obtiendra [(186), (187)] = et ACA) AE E c ETE n formules qui, pour x 2 0, donnent, pour m — 3 et m = 4, les égalités w=? et M, + M; —4, et, pour m — 5 et m — 6, les égalités u=3 et M, + M, + M, = 6, et ainsi de suite. Le nombre des variables dépendantes dans les résultats d'élimi- nation, tirés du système (200), étant D = (vo + 1) T 199 eu]; G il s'ensuit que l’on diminue le nombre des variables indépendantes jus- quà une si l'on pose (219) #=D+1-Wo+l-—2v+EB, DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 55 ayant, d’après (204), les valeurs des entiers positifs M,,..., M, déterminées de manière que leur somme soit égale au degré (vo +1)” de l'équation E [0] (192) par rapport à z?. Ainsi, pour n = 6 = 2 ou pour les intégrales elliptiques et hyperelliptiques en sens restreint, on aura [(202), (203)] DENT Oh Erde IE Der 7 , formules’ qui, pour z — 0, donnent, pour m — 2 et m — 3 , les égalités 4 —2 et M, + M, —3, et, pour m = 4 et m — 5, les an u = 3 et M, + M, + M, — 5, et ainsi de suite. Pour n — 2, c'est-à-dire pour les intégrales SIR et hyper- elliptiques en sens restreint, il y a une maniére particuliére de diminuer le nombre des variables SEDE jusqu'à une. En effet, si l'on pose dans (20) et (171) | AD eye asse S TR VERO , (220) | HO) = EE an la een le faeteur [(z — e,) ..- (v — t E étant par suite contenu dans la fonc- tion ¢,(x), il s'ensuit que la fonction A(x) [(174)] prendra, pour x(x) = 1, la forme D AR GS 1e Corn) sh P(x)" a Pos(x) — ore) ou pls) est la valeur de q,(z) pour x, =h,(7 = 1,2,...,u); par consé- quent, puisque & (9 =1, 2) ne représente que les deux valeurs (+1), la fonction A(x) est encore uniforme et finie pour x = e,(r 2 1,2,...,m), et l'on aura, au lieu de (172), l'identité suivante, de degré w= 2v — s, (229) mG) Gate). (73 23) 2 gio? —P@ = (9) — Pala) ) (eG) + (9) + identité qui donne ce systéme d'équations [(181)], Le 223) OP ONG RN 56 GÖRAN DILLNER, qui, pour z, = A,(r 2 1,2,...,4), change en le suivant [(182)], (294) CDN CN o 1,2, 1») - La somme des intégrales de la première espèce (210) prend main- tenant la forme (225) > r Uhr P(x)° ; r=h fe (de S00 ee Ee) : - où, pour s =» et pour la moindre valeur de E [(186)], on a (226) u=E; done, le nombre des variables indépendantes est, en vertu de (218), di- minué jusquà une. Pour E > 2, le systeme (225) a acquis un emploi particulier dans la théorie des fonctions dites abeliennes, par rapport auxquelles on doit observer que, quelles que soient les fonctions de plusieurs variables que lon emploie pour remplacer les paramétres 493---5.4,» le nombre des variables indépendantes, parmi ces plusieurs variables, ne pourra jamais surpasser celui des variables indépendantes, parmi 9,,..., 9,, égard dû étant tenu au caractère multiforme des in- versions hyperelliptiques. La somme des intégrales de la deuxième espèce est donnée par les formules (211) et (212) pour M, —...— M,— 1. Pour I > 0 ou © Sy JM mer Remarque), il n'y a que des n intégrales de la premiere espéce. Ainsi, pour m 23,rv—1,5s- 1 et par suite «= 2, on aura ce théorème d'addition, à une variable indépendante z,. A la somme des intégrales [(225)] ein iN H 0 voe TAG) ? correspond la relation suivante, obtenue en posant x — e, dans (222), € (mi Es, es) (a2 EI a) = JEN) 1 qui, combinée avec le résultat d'élimination, tiré de (223) (r = 1,2), DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. HM ra EP: T1 — €s qi — €; ji vU donne le théoréme d'addition en question. On vérifiera ce théorème en combinant la différentielle logarith- mique de la premiere relation, de, n da, P dn = C5 49 — Ex avec le dernier résultat, ce qui donne d a, das 0 Pi) Pa)‘ 5,v=2,s=2 et par suite De méme, on obtiendra, pour m une variable indépendante z,. u — 3, ce théorème d'addition analogue, Aux deux sommes des intégrales [(225)] & || $3 ee) r=) hy, P(x)° correspondent ces deux relations, obtenues en posant x = ep (0 = 4, 5) dans (222), ZI = 4, ) (£e — a2) (£e — 23) = Peg) (0 m. 5) , relations qui, combinées avec les résultats d'élimination, tirés de (223), i Par) Bo Lp — eve rz és) CEA donnent le théorème d'addition cherché. Ce théorème se vérifiera en combinant la différentielle logarith- mique des premières relations dx, d x, dit, 40 (QD 41 — Co La — Co Lz — €o avec les derniers résultats, d'où l'on tire les deux équations différen- tielles Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 8 GÖRAN DILLNER, da, + Gs dz, i4 CREME) 58 d da, (ai — 20 u u) — vy Lo qui se transforment en les suivantes da, dx, oa 0 EC Par Bos: da, y, ad, | da, _ 0 Ben, Pas): Pa)" ce qui convient aux intégrales proposées. Des théorémes d'addition analogues, à une variable indépendante, s'établiront pour toutes les intégrales hyperelliptiques en sens restreint Si l'on pose dans (193), pour x(x) — 1, | P@) = (1 — Haa) --- (1 — Ange") P) ; (227) TO edo rg le facteur [(1 — Hx aes Toe SF étant par suite contenu dans la fonction g, (z), on NT au lieu de (192), l'identité suivante, de degré fe = 2y4-1—s par rapport à x / (228) GIG) = G(x’ — a)... (x — a) = 9a)’ — P.) = (9.0) — P.G)") (a) + Pa) ; identité qui donne ce systéme d’équations [(196)], (229) Ge) 2 PG) OL el PAPE MM , 4), change en le suivant [(197)], qui, pour „=h,(r=1,2,. (230) BE) PIS) RON (CINE ER MM Ici, la somme des intégrales de la première espèce (215) prend la forme ANT SENS DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 59 (231) psc Eo tg M f hy P(@) où, pour s — » et pour la moindre valeur de E [(202)], on a (232) u=E+l; donc, le nombre des variables indépendantes est, en vertu de (219), di- minué jusqu'à une. La somme des intégrales de la deuxième espèce est donnée par les formules (216) et (217) pour M, 2...— M,— 1. Ainsi; pour m=2,v=s=1,P(@«)=1-H. et u=2, on aura ce théorème d'addition, à une variable indépendante: z,. À la somme des intégrales i 2 J WO UE ENT r=1 A Pa) correspond la relation suivante, obtenue en identifiant les termes indé- pendants de „° dans (228), Ga) = A,g; i relation qui, combinée avec le résultat d'élimination, tiré de (229), ADAM (een RT ET r=1,2), donne le théoréme d'addition en question. . La somme des intégrales de la deuxième espèce se trouve immé- diatement suivant (216). On vérifiera ce théoréme en prenant la différentielle logarithmique de la relation (228), pour 5? = Hz", ou ABl — Hua) = ORO, cette différentielle devenant DE Ot _ dg, 1 — Hai 1 — Hi;ai Hog: 60 GÖRAN DILLNER, qui, par l'emploi des expressions de g,, se transformera en da, d X — (0) Pia) Pan) ou en a? d au mam E 1 d ( J | Pay” PGA équations qui s'aecordent aux intégrales de la première et de la deuxième espèce. Des théorèmes d'addition analogues, à une variable indépendante, s'établiront pour m = 3 et pour les intégrales hyperelliptiques en sens restreint. Théorème d’addıtion et de multiplication de Tinversion J(u). 30. Si l'on pose dans (210) et (215), pour v,(z) — 1, (233) ENERO ET EM Yip JP l'inversion de cette intégrale étant, d'aprés (49), (234) (u alone cue EA | on en obtiendra la somme (235) AVE OR Een, d'ou lon tire " E AM o Mi COR AE ea LEE. 5 On réduira l'inversion J,(U,) à l'inversion dite normale J(u,) [(49)] (r2 1,2,...,p) par l'emploi de la formule p IN are d f en y; dl E S o eo, DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CONTOUR etc. 61 d’où l'on tire, en posant (237) Sl N qi au y l'identité (238) a, = J,(U,) = J(O, + Uj)-—J(Qu) (r21,2,...,) , ayant par conséquent (239) ee en ae) et, en vertu de (235), (240) M,u 2... Miu, = M,9,+..-+ M9, - Si dans le théoréme d’addition et de multiplication des intégrales, établi aux n° 24, 26 et 29, on remplace x, ,..., a1 par les inversions JAU,),... Ja Un +) et su par l'inversion ZE ee Un.) M, M, on obtiendra suivant (238) le théorème d’addition et de multiplication de Pinversion normale J(u), le théorème d'addition étant caractérisé par M,=...=M,=1. Les u variables z,,...,2, étant réduites à dé- pendre des («— 1) variables U,,..., U, ,, on en conclut que le nombre D [(189), (205)] des variables dépendantes dans le théorème d addition et de multiplication des intégrales est diminué par l'unité dans le théorème d'addition et de multiplication de Vinversion J(u). Ainsi, pour le cas de l'inversion elliptique où D = 1, le théorème d'addition et de multiplica- tion de J(u) ne contient que des identités, les (u — 1) variables U, ,..., Ur étant toutes indépendantes. Ce théorème d'addition et de multiplication de J(u), comprenant aussi comme cas particulier celui des fonctions trigonométriques et hyperboliques, est le seul qui présente cette indé- pendance absolue de toutes les variables dont le nombre le plus petit pourra done se réduire à l'unité [n° 29]. Pour l'inversion hyperelliptique J(u), caractérisée par » = 2 et m — 5 [n° 24] ou par n = 6 = 2 et m = 4 [n? 26], le nombre des variables dépendantes, parmi les (u — 1) variables U,,.--, Uz4, est D—1=1 [(189) (205), d'où l'on conclut que le nombre le plus petit des variables U,,..., U, , dans le théorème d'ad- dition et de multiplication de cette inversion pourra se réduire à 2 62 GÖRAN DILLNER, [n° 29]; et ainsi de suite. D'un autre point de vue on peut dire que la classe des inversions uniformes et des inversions réductibles à celles-ci est caractérisée par un théoréme d'addition et de multiplication à toutes les variables indépendantes, et que la classe des inversions multiformes est caractérisée par un théoréme d'addition et de multiplication aux varia- bles qui ne sont pas toutes indépendantes [n° 13]. Ainsi, le théoréme d'addition de la fonction elliptique, caracté- risée par n = o = 2 et m — 2, s'obtient en remplaçant, dans le théorème d'addition des intégrales correspondant [n° 28], z, , 2, x, par leurs in- versions respectives (238), eu égard à la propriété paire ou impaire de linversion et de sa dérivée ((134), (129)]. Le théorème d’addition de linversion J(u), caractérisée par n — 2 et m — 3 ou m — 5, s'obtient en remplaçant, dans les deux théorèmes d'addition des intégrales corre- spondants [n° 27 Remarque], respectivement x, , z,, zx, OU a ,... 4g par leurs inversions respectives (238), eu égard à la propriété paire ou impaire de l'inversion et de sa dérivée [(135), (128), (154), (158). Si lon diminue, d’après n° 29, pour les fonctions elliptiques le nombre u jusqu'à 2, les théorèmes d’addition de ces fonctions changent en iden- tités où il n'entre qu'une variable. Pour faire voir comment se présentent les théorémes d’addition des inversions, considérés comme transformations de ceux des intégrales, il suffira d'en donner ces quatre exemples. 1° Pour n=0=m—2,r= 1 et u = 3. on transformera le théo- rème d'addition des intégrales [n° 28], mis sous la forme DRAC Eee — “3 7 L 1 2 2 UL AN — a Paz) Ay — Ay di De en celui de l'inversion J(u) = snu [(139)), ayant dans ce cas 4, = A = h, =0,a, =1,a, = — (1 + &),a, = P , snu impair et sn'u pair [(129)], ' SNU, SN Uy + SN SN U, sn(u, + ug) = == je x sn up où les variables wu, et u, sont toutes deux indépendantes. 2° Pour n=2, m=3,v=1 et u — 3, on transformera le théo- reme d'addition des intégrales [n° 27 Remarque] -——————————TVO——À DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE POUR UN CON TOUR etc. 63 1 Ly + Lo ox = | 7] £o Pa); Pla) 44 — X23 DM en celui de l'nversion J(u) [(125)], ayant dans ce cas à, = h,— h; = = J(u) pair et J'(u) impair [(128)], TU) F I (us) J (u) — J (us) I + 9) + Tu) + I (us) = I | | Fa ae Pa où les variables u, et w sont toutes deux indépendantes. 3° Pour m=3,v=s= 1 et w= 2, on transformera le théorème d'addition des intégrales [n° 29] (a, — es) (ny — 63) = (A — e) (eo — 63) > po he, 2 = ? X1 — C5 Lo — £3 en celui de l'inversion J(u) [(125)], ayant dans ce cas À, = $ hy = es et E mA E [(240), n° 21] , (J (u) — &)(J (uz) — &) = (a — e(6 — &5) , J Ca) A J (uz) SG ae Gaye” ou la premiere identité s’accorde, en vertu de (140), à l'identité bien connue sn(u — i Kj) = Ber : ksnu 4 Pour n=2,m=5 et «=3, on transformera le théorème d'addition des intégrales [n° 29] (£e — 2) (£e — a2) (£e — as) = (ee — €) (e — ete — es) (0— 5,5) , I AIO qr Plus)" (x, — e) (a, — &;) "i (xz — 4) (22 — £5) F (us NT ej) (vy — €) 64 GÖRAN DiLLNER, DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION ANALYTIQUE etc. en celui de l'inversion J(u) [(154)], ayant dans ce cas A, =e, h; = e, h; = ey, J(u) pair et J'(w) impair [(158)], (ee — Ju) (ee — J(uz)) (eo — J(us)) = (ee — 1) (ee — &2) (Ce — €) (9 — 4,5), I (uj) à J’ (us) (Ju) — €,) (Ju) — &) — (J(u2 — &) (ur) — 4s) = J' (us) (J(us) — e,) (J(u3) — és) i où J(u;) = J($.-F$,— u — wu) [(240)], les valeurs 9, et $, étant don- nées par les intégrales [(237)] Dans ce cas lune des variables u, et u, est indépendante et l'autre dépendante. ete — ON THE DEVELOPMENT OF ECHINOCYAMUS PUSILLUS (0. F. MÜLLER) BY HJALMAR THEEL. WITH NINE PLATES. (PRESENTED TO THE ROYAL SOCIETY OF SCIENCES OF UPSALA FEBRUARY 12 1892). NV PRINTED BY EDV. BERLING. AS “008 & UPSALA. ei A7 Q CONTENTS. Introduction . Methods . TEN. d ue anus The ovum, its maturation and impregnation The segmentation of the ovum 'The Blastula stage iheaGastrulalstape e Tx 'The formation of the Mesenchyme The formation of calcareous deposits The development of the Pluteus : The development of the young Sea-urchin . 47. n. a long time the development of the Echinoderms has formed the subject of a series of splendid researches. Nevertheless, there are great gaps to be filled up, and the following pages may serve as a contribu- tion to extend in some more or less important points our present know- ledge of the embryology of this very interesting group of animals. JOHANN MÜLLER, by whom the larval forms of many Echinoderm types were long ago excellently described and figured, first gave his attention to some larvae and young sea-urchins, taken from the surface of the sea in the neighbourhood of Heligoland, Elsinore, Nice and Trieste, and which he supposed to be young of Echinocyamus pusillus, the sole representative of the order Clypeastroidea found in European waters. This supposition has remained unconfirmed till the present time, nobody having since published anything on the development of the animal in question. My own researches will prove that JOHANN MÜLLER was right and that his larvae really were young forms of Echinocyamus. However, he only treated a few developmental stages which he occasionally met with on the surface of the sea and obtained by means of a tow-net. Except for the account of J. MÜLLER and a very fragmentary sketch by NacHtries on Mellita testudinata KLEIN, only a single paper, as far as I know, has been published treating more fully the different . phases in the embryology of a Clypeastroid, viz »The Preliminary Obser- vations» on the development of Echinarachnius parma (LAMK.) by FEwxzs. Thus, considering the incompleteness of our present knowledge of the development of the Echinoderms in question, the following communi- cations, though in many points themselves incomplete, may be of some interest. And this for the additional reason that, as far as I know, this is the first time the development of an Echinoid has been traced from the artificially fertilized egg to the stage when the young sea-urchin has Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. K 1 D HJALMAR THÉEL, : sunk and settled on the bottom of the aquarium, the larva having passed through all the metamorphoses in captivity. Besides, the following researches should fully remove the delusion, met with in some zoological books, that the Echinocyamus is nothing but the immature young of another Clypeastroid. Even Agassiz says in his »Revision of the Echini: »The development of the flat Cly- peastroids and of the Scutellide as above described is most instruc- tive, showing that we must introduce a complete reform among such genera as Lenita, Scutellina, Runa, Echinocyamus, and other minute Echinoids, which may eventually prove to be nothing but the young of other Clypeastroids, probably of Mellita, Scutella, Laganum, Olypeaster, Echinanthus, Encope, and the like». My studies on the embryology of Echinocyamus were carried out at Ohristineberg, the Swedish biological marine station, where I spent the two summer vacations of 1890 and 1891, and I am greatly indebted to its founder Professor SVEN LOVEN for having kindly placed at my disposal not only a working-table with aquaria etc., but also the residence of the station. The following account is by no means complete, and consequently it would have been desirable to put off its publieation until I had had the opportunity of renewing my visits to the west-coast of Sweden in order to get the most obvious gaps filled up—but considering how un- certain it is wben this opportunity may occur, I prefer to publish it now in its incomplete state. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 3 I. Methods. Considering how difficult it is to bring the larvae of Echinoids from artifieially fertilized eggs into conditions older than the Pluteus stage, as may be understood from the numerous experiments of other investigators, who have never succeeded in bringing them to full ma- turity, I think it may be useful to explain somewhat fully the methods by means of which I managed to get larvæ developed in the aquaria through all the different stages of metamorphosis from the egg to the young sea-urchin. During my first summer stay at the Swedish biological marine station I never succeeded in bringing larva of Echinocyamus to any advanced stage of development. The oldest larvæ I obtained in the aquaria that summer were Plutei, but, as they were mostly in want of the final pair of arms and calcareous spicules, even these had not reached a stage of full Pluteus maturity. In consequence of this no other choice was left me than to attempt to collect the older stages by means of Mürrer’s tow-net from the surface of the sea. During the breeding experiments I usually kept the larvæ in tanks of glass of a capacity of 4 to 5 liters and containing either sea-water alone or sea-water with some green marine plants; in the former case the larvae were almost devoid of pigment, and in both cases they did not live beyond six weeks. I also placed basins and cylinders of glass in ice, in order to imitate the coolness at the bottom of the sea, but even these experiments were without result; the development of the larvae was only delayed, so that the Blastula stage for instance, which at an ordinary room temperature is reached during the course of the first day, in this case was not arrived at till after two or three days. Finally I took large glass cylinders of a capacity of 15 or 20 liters, in which were placed a great number of larvæ and fertilized eggs, and let them drift about on the surface of the sea in an almost vertical position with the wide opening very carefully closed with an extremely fine-meshed canvas. By the movement of the sea currents and change of water were effected, but this experiment was also unsuccessful. On account of the great importance for a successful study of the embryology of Echinoderms and other invertebrates of obtaining complete 4 HJALMAR THEEL, : series of larvæ up to the young animal, I repeated my experiments du- ring the summer of 1891, and with satisfactory results. I will here de- scribe somewhat fully the method which enabled me to succeed and the precautions which should be followed, as they will, I hope, prove to the advantage of other investigators. 1) The aquaria ought to be large and rather high, of a capacity of 30 liters or more; the most suitable are those made altogether of glass. They must be covered in. 2) A sufficient number of marine plants, especially Enteromorpha intestinalis and E. compressa, grown upon small stones, must be placed in the aquaria. They supply the water with air, and as soon as they have lost their air- and gas-sacs, they must of course be exchanged for new plants. Before putting the plants in the aquaria, it is of great importance to clean them and wash them carefully, thus preventing the mass of minute animals such as Mollusca, Entomostracans etc., which are attached to and living on them, from filling up the aquarium and fouling its water. 3) Several times a day the water must be cautiously stirred with a glass-rod, so as to cause a current and prevent the formation of the film on the surface which is well known to characterize stag- nant water. It is evident that this thin membranous film has a pernicious influence on the larvae, hindering them from reaching the surface itself and preventing the water from coming into immediate contaet with the air. Besides, the film is a favorite resort of a good many microscopic animals such as Infusoria, minute Entomostracans etc., which rapidly multiply, foul the water and nourish themselves at the expense of the larva. If the water be kept in motion, the larva do not so easily fall a prey to their enemies. 4) All the water used must be fetched from the open sea, and not from the shore, and it is quite necessary to let it pass through a filter made of a piece of cloth or the finest canvas. 5) Moreover, it is of importance every other day to let a part of the water at the bottom of the aquarium flow away, which is easily done by means of a fine glass-siphon. While the water is flowing away, it is advisable to change the position of the siphon in such a manner that as much as possible of the foul matter which has sunk to the bottom may be removed. If this foul matter is not taken away, the enemies of the larvae increase very ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 5 rapidly in number. The process causes no great trouble, because the larve as a rule live near the surface or at least at some di- stance from the bottom. Besides, it is not difficult to adjust the thickness of the siphon so as to effect the least possible suction. After this, the aquarium may be filled up to the height desired with a fresh supply of filtered water fetched from the open sea. Lastly, the temperature in the laboratory ought not to be too high, for which reason it is not advisable to place the aquaria in sunny rooms. It was not till I had availed myself of all these precautions that I sueceeded in inducing larve of Echinocyamus to complete their deve- lopment from the egg to the young sea-urchins which crawled about in great numbers at the bottom of the aquarium. It is evident that the larvae found these arrangements agree with them. They always retained their vivacity and their power of rising and descending in the water, and acquired the normal quantity of pigment. If they were dispersed by stirring the water, they gathered shortly again into masses resembling bands or festoons which stretched downwards from the surface, each individual changing its place by moving vertically up or down in the water. Besides, the more advanced larvæ even swam freely in a horizontal di- rection. The sense of affinity of these larvæ is singular to see, since when they have been dispersed in all directions, they gather again in . a short time so as to form shoals. This is not due to the currents in the water, as one is inclined to believe to be the case in the open sea, because if the water in the aquarium for several days has been perfectly still, one will find that the larvae in question change their places and almost always present themselves congregated in shoals. If it had been possible to prolong my stay at the sea-side, I am fully convinced that I should have been able to get young sea-urchins several months older which had been hatched in the aquaria, because as soon as they have attained this stage in their development, they display a high degree of vigour and strength. The fact is that they have gained effective defensive weapons against their enemies, such as calcareous plates, feet and spines which are movable in all directions by means of strong muscles. The time which passes from the fertilization of the egg till the larva has reached the developmental stage when it becomes able to crawl about the bottom, is about two months. The fertilization took place during the last days of June, and the young sea-urchins had attained 6 SY 6 | HJALMAR THÉEL, the stages in which they are figured on the last plates of this report, towards the end of August. As to the small »humid chambers», which are to be placed on the microscope-stage, and which have long been in use for the pur- pose of studying the different phases in the development of the eggs, I availed myself of two kinds, one with the water-drop hanging down from the under surface of the cover-glass, the other with the water-drop slightly pressed between the object-glass and the cover-glass. Of these two kinds of microscope-aquaria I prefer the latter, because the water- drop does not shake or tremble so much, for which reason one need not fear that the egg living in it will get disturbed so easily. To pre- vent the compression of the eggs, it is as well to place between the glasses some small particles of wax, and in order to hinder the evapo- ration of the water, to tighten and fix the cover-glass with melted pa- raffine or wax. In such chambers I have succeeded in following the gradual changes in the development of the same egg for several days, from the impregnation to the first Pluteus stage. Meanwhile the micro- scope-aquaria should be kept in a moderate temperature. Lastly, I may refer in a few words to my practical acquaintance with the process of fertilization of the eggs of Echinocyamus. There is no difficulty at all in artificially fertilizing eggs of this animal, but in order to be successful it seems to be of a certain importance to choose animals accustomed to live under almost the same conditions. The specimens of Echinocyamus which I generally used for my experi- ments, lived at a depth of a few fathoms on a clay bottom close to Fiskebäckskil, a sea-side place at the west-coast of Sweden. The tem- perature of the water is during the summer-time rather high and the clay at the bottom is mixed with the refuse animal and vegetable matter from the kitchen of the Baths Restaurant, which possibly explains the fact that the Echinocyamus occurs there in very great numbers, while it is much rarer in cleaner and colder water. If I placed the eggs of a female individual, taken from this locality, in the male fluid from another indi- vidual dredged in the open sea from a greater depth, where the water is much cleaner and colder, my experiments were unsuccessful and the larvae were abnormal. If this proves to be a rule, and not a mere acci- dent, it is probably due to the different modes of life of the two indivi- duals in question, which result in such a remarkable differentiation that the normal evolution becomes impossible. However, the experiments ought to be repeated, in order to throw light upon this matter. EcHINOCYAMUS PUSILLUS. 7 11. The ovum, its maturation and impregnation. The immature but full-sized egg, taken from the ovarial tubes, has a diameter of 0,12 mm. including its enveloping mucilaginous coat. It consists of a finely granulated, light yellowish yolk with a more trans- parent and homogeneous peripheral layer, and contains a rather large eccentric germinal vesicle with a diameter of 0,6 mm., a well deve- loped protoplasmie nuclear reticulum and a round eccentrie germinal spot measuring from (0,008 mm. to 0,012 mm. in diameter. Besides, the vitellus is enveloped in a glassy mucilaginous coat with slightly uneven contours and a thickness of from 0,004 mm. to 0,008 mm. Though I exa- mined this coat with the highest power, I never succeeded in distin- guishing any distinct structure in it, and consequently there can be no true zona radiata in Echinocyamus. On the contrary, the envelope often appeared finely striated in a concentric manner. These unripe eggs are closely packed together in the genital tubes and only separated from each other by the glassy envelope, and from a section of such a tube we learn that they have a more or less irregular rounded or oval form. The ripe ovarial egg is slightly larger, about 0,16 mm. in diameter. Its enveloping coat swells considerably, acquiring a thickness of up to 0,033 mm. or more, and assumes such a degree of transparency that it becomes almost invisible, being traceable only by the action of some colouring matter. The »beautiful, spherical or sometimes angular, red pigmented spots», which Fewxes !) has found in the »viscous layer» of the eggs of Echinarachnius and NACHTRIEB ?) also in the ova of Mellita, do not exist in the eggs of Echinocyamus. The yolk of the ripe ovum is rather transparent and finely granulated with uniformly distributed deutoplasm, and its very thin peripheral layer of clearer protoplasm is surrounded by a delicate membrane with apparently double contour. I 1) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echina- rachnius. — Bull. Mus. Comp. Zoology at Harvard College. Vol. XII. N:o 4. Cam- bridge 1886. p. 122. 2) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. — Johns Hopkins University @irculars. Vol. IV. N:o 38. Baltimore. March 1885. p. 67. 8 HJALMAR THÉEL, never succeeded in finding any polar cells, these having certainly been torn off by constriction from the egg inside the ovarial tubes, as is known to be the case in other Echinoids, and then removed. FEwkres and NacHTRIEB also did not notice any polar cells in the two Clypeastroids, Echinarachnius and Mellita. However, I did not spend much time in searching for them, considering it to be beyond the limits of this report. As soon as the spermatozoa, which have a length of 0,06 mm., Pl. I, fig. 20, have penetrated the mucilaginous investment and come into contact with the egg itself, the latter, which hitherto has passed a somewhat latent existence, begins to undergo a series of very interesting processes which are well known in other Echinoderms and therefore need not be repeated here in detail. It is especially interesting to observe the operations of the sper- matozoa. If a single egg be placed in a humid chamber arranged on an object-glass and a few spermatozoa be admitted at some distance from the egg, a very exciting display takes place under the eyes of the observer. The spermatozoa show a high degree of vivacity and run searching in all directions as if they had a sense of the remote ovum. One has a distinct impression that here there must be either two attrac- tive forces, the egg being the more powerful, or a conscious activity on the part of the spermatozoa. With regard to the changes which take place in the impregnated egg, I only refer to the following. At the place where the first sper- matozoon has penetrated the mucilaginous investment, a very thin plas- matic vitelline membrane rises and separates from the egg, Pl. J, jig. I, beginning at the place of contact and extending eventually round the yolk, the consequence of which is that the yolk shortly appears as if situated in the centre of a large, spherical, sharply defined sac, the inter- mediate space being filled up by a homogeneous transparent plasma, Pl. JE. OI It is not yet decided whether the above membrane is present be- fore the impregnation, or arises just at the moment of contact between the spermatozoa and the egg. For my own part, I am inclined to think that a plasma-membrane is always differentiated before the act of ferti- lization. At the place where it first begins to rise, the outline of the membrane does not present itself as a smooth even line but runs in un- dulations, and passes distinctly, as it appears to me, into the larger re- maining part of the membrane, which is still closely pressed against the yolk. It is only at a later moment that it becomes expanded and assumes EcHINOCYAMUS PUSILLUS. 9 a fully even contour, being at the same time more and more removed from the yolk by means of the rapid increase of plasma, which is a result of the strong vital activity in the yolk. The intermediate space, whieh becomes filled up with homogeneous plasma, finally attains very large dimensions, reaching a thickness of 0,0 mm., while the yolk itself has a diameter of about 0,08 mm. The membrane which defines this space, is of course in its turn enveloped by the mucilaginous invest- ment above mentioned. Probably the membrane, as it expands, increases in firmness, thus preventing the entrance of any more spermatozoa. As is well known, it is supposed that the homogeneous plasma which surrounds the yolk, is due to a certain contraction of the vitelline plasma which effects simultaneously a delivery of plasmatic fluid. But considering the great quantity of such fluid which would be delivered, the volume of the yolk itself ought necessarily to be greatly diminished. This is not the case however in Echinocyamus, or if it is so, it must be in a very inconspicuous degree. If for instance the yolk before the impregnation has a diameter of about 0,088 mm., this dimension remains almost the same, though a layer of plasmatic fluid measuring up to 0,02 mm. in thickness is formed round it. I cannot give any other reason for this fact, than that a rapid increase of new-formed plasma takes place, caused by the activity of the impregnated egg. In normal eggs, when examining them with the highest power, I have formed the impression that the yolk sends out very fine pseudopo- dia-like processes through the plasma which fill up the intermediate space between the yolk itself and the membrane. In other, probably abnor- mal, eggs, I have seen, besides these fine processes, others of consi- derable size and provided with plasmatic branches, so that one gets a view in almost all respects resembling that figured by SELENKA') in his description of the formation of the zona radiata. Though by no means sure of it, I believe these latter eggs to be in some way imperfect, be- cause they often during the course of their development shew morbid "symptoms, these large, branched pseudopodia-like processes being in my opinion morbid. . When studying the development of such eggs, I have found that the surface of the yolk remains very uneven for a long time and that often irregularities occur in the segmentation which lead inevitably to the destruction of the embryo. 1) Zoologische Studien. I. Befruchtung des Eies von Toxopneustes variegatus. Mit drei Tafeln. Leipzig 1878. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 HJALMAR THÉEL, The radiation of pseudopodia into the intermediate space of normal or abnormal eggs is of course only transitory and vanishes before the appearance of the phenomena of segmentation. As to the origin of the pseudopodia, it appears to be in close connection with the gradual separation of the vitelline membrane, their free ends being attached to the membrane, thus constituting a series of threads, which cross the still increasing intermediate space. An examination of eggs with large, abnormal, easily distinguishable processes convinces one that the process takes place in the way above mentioned. Before finishing this chapter I may as well draw attention to a certain difference between the fertilized eggs of Echinocyamus and those of Toxopneustes variegatus described by SELENKA . He says that the vitelline membrane is scarcely removed from the outmost layer of the yolk, before the mucilaginous investment begins to dissolve, and that after five minutes no trace of it is to be detected. This is by no means the case in Echinocyamus, because here it remains as a true envelope during almost the whole process of segmentation, and in cer- tain cases it also surrounds the young Blastula. But it becomes glassy and transparent in such a high degree, that it is scarcely to be per- ceived without reflecting on it different lights by the mirror of the microscope or placing the eggs in some colouring fluid. Possibly the envelope in question serves for defence during the time when the em- bryo lacks the power of free movement. With regard to the remaining phenomena which are in connection with the act of maturation and fertilization, I have nothing of im- portance to add to what is already known. As soon as the head of the spermatozoon enters the vitellus and is transformed into the »male pronucleus», it rapidly increases in size and passes from the periphery towards the centre of the egg in order to meet the »female pronucleus». This, which at first seems almost motionless, starts to meet it and finally fuses with it, the two nuclei forming together a new nucleus, »the first segmentation nucleus», which is completed ' after about ten minutes from the beginning of the impregnation. The protoplasm, which was first arranged in radiating lines round the »male pronucleus» during its passage from the periphery, now forms round 1) Zoologische Studien. I. Befruchtung des Eies von Toxopneustes variegatus. Mit drei Tafeln. Leipzig 1878. p. 7. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 11 »the first segmentation nucleus» a radiate arrangement, which extends through the greater part of the yolk, Pl. I, fig. 3. Not seldom I have seen several spermatozoa enter the egg, but in such cases the eggs were always developed in an abnormal manner, so that one gets aspects resembling those figured by For '). INNE The segmentation of the ovum. All that is known with regard to the phenomena of segmentation in the eggs of Clypeastroids is confined to the »Preliminary Observations» on the development of Echinarachnius by Fewxes. However, seeing that his description is brief and evidently not based on investigations of the segmentation of the same ovum, and that, besides, the pheno- mena of segmentation in Echinocyamus differ essentially in several respects from those in Echinarachnius, it will not be out of place if I communicate the results of my own investigations a little more in de- tail. Of course, I have no intention of trying to give an account of the internal phenomena of segmentation, viz. the metamorphosis of the nu- cleus etc., but only of demonstrating the external characters of the segmentation which I have been able to note on the living egg. Stadium with two segments. The above mentioned radiate arrangement of the plasma sur- rounding the segmentation nucleus becomes less distinct and is finally not traceable. The round segmentation nucleus elongates somewhat and assumes the well-known spindle form, Pl. I, fig. 4, the two poles, as it often seemed to me, forming centres, each of a plasmatic radia- tion not very distinct, Pl. I, fig. 5. About 25 to 35 minutes after the impregnation the contour of the nucleus becomes almost invisible and 1) Recherches sur la Fécondation et le commencement de l'hénogénie chez divers animaux. — Mémoires de la Société de Physique et d'Histoire naturelle de Genève. Tome XXVI. 1. Genève 1877—1878. 12 HJALMAR THÉEL, at the same time the clear plasma is transported to the poles of the nucleus, thus giving rise to a figure resembling a pestle Pl. I, fig. 6—7. After this, the polar stars become very distinct, Pl I, fig. 8, each oceu- pying a half of the yolk. Now the metamorphosis of the nucleus enters on a new phase; the nucleus totally passes out of view, the two accu- mulations of clear plasma, which constitute the centre of each star, gradually lose their connection, and the radii of the stars extend in all directions round each clear plasma. At 40 or 50 minutes after the impregnation the radii of the stars become most obvious and now the moment of cleavage is present, Pl. I, fig. 9—10, the yolk beginning immediately to divide into two equal segments or spheres, the act of segmentation having been induced by a slight constriction or furrow at the animal pole of the ovum. The first cleavage plane is a vertical one. As soon as the two segments have become separated from each other, the protoplasmie radiation into them disappears. The new nucleus in each segment remains indistinct for some moments, but shortly presents itself as a well defined round body. According to Fewxes ‘) the two first segments in Echinarachnius are also of equal size, and with regard to Mellita NAcHTRIEB ”) says: »the first two. planes of segmentation (meridional) and the third, which is equatorial, divides the egg into eight blastomeres of equal size — occasionally the four at one pole are a trifle larger than the four at the opposite pole». If we consider the phenomena of the first segmentation in the dentigerous regular Echinoids and the edentate ones, it wil be seen that in the former, according to SELENKA °), PROUHO ‘) and others the first spheres of segmentation are equal in all respects or but very 1) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echi- narachnius. — Bull. Mus. Comp. zoology at Harvard College. Vol. XII. N:o 4. Cam- bridge 1886. p. 123. 2) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. — Bons Hopkins University Cireulars. Vol. IV. N:o 38. Baltimore 1885. p. 67. 3) Die Keimblätter der Echinodermen. Studien über Entwickelungsgeschichte der Thiere. IT. Wiesbaden 1883. p. 34. 4) Recherches sur le Dorocidaris papillata et quelques autres Echinides de la Méditerranée. — Archives de Zool. expérimentale. Ser. II. T. 15. Paris 1887. N:o 3. p. 343. pl. XXIII, fig. 3. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 13 slightly unequal; as to the edentate Echinoids FLEISCHMAN *) points out that they are of unequal size, but judging from the figures which he gives the difference must even here be very inconspicuous if it exist at all. Considering this, it appears credible that the very first stages of the development as well as the whole process of segmentation, which will be understood from the following, are displayed in about the same manner in the different groups of Echinoids. Stadium with four segments. The changes which take place not only in the mutual position of the two blastomeres but even in their external shape are rather re- markable and, as it seems to me, have not been sufficiently regarded. At first the two segments, as seen from the side, are oval and slightly flattened against each other, Pl. J, fig. 10. Then they acquire a more spherical shape so that the area of contact becomes very inconsiderable, Pl. J, fig. 11. After this, they press gradually towards each other, with the result that the area of contact becomes large and flat. Finally the segmentation spheres almost assume the shape of hemispheres, so much are they pressed and flattened against each other. When the large flat areas are most closely united, the nucleus has be- come most distinct and its contour well defined, Pl. I, fig. 12. Subsequently they begin again to separate, which process is in- troduced by the ‘nuclei ceasing to be visible, Pl. I, fig. 13, and begin- ning to repeat the well known important changes. As this separation proceeds, each segment begins to present the two star-shaped figures formed by radial striæ, Pl. J, fig. 14, which become very distinct when the two segments have fully separated so as to present themselves as two oval spheres placed side by side. From the above mentioned changes, which take place during the transformation of the 2-cell stage into the 4-cell stage and which in each subsequent division are to be repeated, it is evident not only that the clear protoplasm surrounding the nucleus in each segment and the nucleus itself are in restless activity during the processes of seg- mentation, but also that the remaining part of the segments, which is 1) Die Entwicklung des Eies von Echinocardium cordatum. — Zeitschrift f. wiss. Zoologie. Bd. 46. 2. 1888. p. 134—135. 14 HJALMAR THEEL, rich in deutoplasm, does not remain passive. On the contrary, we have seen that the segments have gradually undergone important changes not only in their mutual position but even in their external form. When studying the phenomena of segmentation one gets the impression that the segments alternately attract and repel each other, and that the highest degree of attraction occurs when the nuclei after a completed segmentation have obtained their rounded distinct form and are in a state of repose. In all the eggs of Echinocyamus, of which I have studied the segmentation, I always found the above phenomena repeated with re- markable constancy not only during the first divisions but during the whole cleavage process. The phenomena, which have been discussed above, are by no means peculiar to the Echinocyamus, but are without doubt the rule in the segmentation of other eggs. Thus, O. Hertwic ‘) mentions some- thing similar in Toxopneustes lividus (Lawx) and evidently SELENKA ?) has observed the same in several other Echinoderms. With regard to other types of invertebrate animals, LovÉN ?) as early as in 1848 de- scribes certain phenomena in the segmentation of the eggs of Mo- diolaria marmorata Fors, which must doubtlessly be referred to the same, and Mark *) points out that similar changes of the external form and position of the segmentation spheres take place in Limax cam- pestris Binney. At about one hour and 20 minutes after the fecundation the second segmentation stage is accomplished by means of a second ver- tical plane, forming right angles with the first cleavage plane. Here also the constrietion begins with a furrow at the animal pole of the egg, P. I, fg. 15. We have now four perfectly equal cells, which seen from above are almost round, Pl. J, fig. 16, but from the side 1) Beiträge zur Kenntniss der Bildung, Befruchtung und Theilung des thier- ischen Eies. — Morpholog. Jahrbuch. I. Heft. 3. Leipzig 1875. p. 404. 2) Die Keimblätter der Echinodermen. Studien über Entwickelungsgeschichte der Thiere. Wiesbaden 1883. 3) Beiträge zur Kenntniss der Entwicklung der Mollusca Acephala La- mellibranchiata. (Aus d. Abhandl. d. k. Schwed. Akad. d. Wiss. 1848). Stock- holm 1879. 4) Maturation, Fecundation and Segmentation of Limax campestris, Binney — Bul. Mus. Comp. Zool at Harvard College. Vol. VI. N:o 12. Cambridge 1881. p. 228—224. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 15 present themselves as ovals, Pl. II, fig. 22. The principal axis of the future larva is indicated by the section line of the two vertical planes. Even in this stage of the development a segmentation cavity is present, defined by the four cells. More than once I have seen very delicate connective filaments crossing the cavity from one segment to the other. The cavity in question changes considerably in size accor- ding as the segments themselves vary in form and position. As will be understood from the above statement, the blastomeres first become separated and assume a rounded oval shape, Pl. J, fig. 16— 17, thus leaving between them a rather large cavity. The four blastomeres now begin to press against each other and flatten, the result being that each segment finally resembles a quadrant of a sphere with two plain sur- faces and one convex. In this state of compression of the segments the cavity is of course very insignificant, Pl. I, fig. 18—19. Afterwards they again become gradually separated and consequently the segmentation cavity also increases, Pl. II, fig. 21—22. Stadium with eight segments. At about one hour and 55 minutes after the fecundation an equa- torial plane of division makes its appearance and divides the four seg- ments into eight of fully equal size. "The constriction makes its first appearance at the sides which are turned towards each other. The above mentioned changes in the form and position of the segments take place and meanwhile the central cavity assumes a more or less obvious ellipsoidal form, Pl. II, fig. 25— 24. Up to this stage of the development, the segmentation of the eggs of Echinocyamus agrees in the main with that of Echinarachnius and Mellita as described by Fewxes*) and NACHTRIEB ?. But with regard to the subsequent stages in the segmentation of the egg of a Clypea- stroid, nothing has hitherto been known of any interest. As to Echi- narachnius FEwkEs only says: »The segments of the 4-cell stage are, however, not always bisected, and here appears the first indication of an unequal segmentation», and further down, »An egg in the 32-cell stage was found four hours after impregnation». With regard to Mel- lita NAcHTRIEB confines himself to the following: »After eight blastomeres 1) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echina- rachnius. p. 125. 2) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. p. 67. 16 HJALMAR THÉEL, are formed, irregularities in segmentation begin, but as I did not pay special attention to segmentation I shall not attempt a description of the process». Stadium with sixteen segments. This stage is accomplished at about two hours and 20 minutes after the fecundation. First the four upper segments are divided by a horizontal plane into four small cells or micromeres and four »large» ones. Immediately after this segmentation or, though more seldom, be- fore it is accomplished, the four lower segments are divided by a ver- tical plane into eight almost equal spheres, which become arranged in a more or less irregular manner in two rows. Sometimes it is diffi- cult to decide whether they are placed in one or two rows, Pl. 11, fig. 25—26. Thus we find in this stage of development three different sizes of segmentation spheres: at the upper pole four very small micromeres, under these four »large» macromeres and at the lower pole eight some- what »smaller» macromeres arranged in two more or less distinct rows. Thus, the segmentation is now unequal. In order to prevent misunder- standing I prefer to use in the following the terms: micromeres, »large» macromeres and »smaller» macromeres. Stadium with thirty-two segments. Shortly after the preceding process of segmentation has been finished, or at two hours and about 35 minutes after the fecundation, the »large» macromeres begin to be divided by vertical planes into eight equal spheres arranged in a row. The next division concerns the »small» lower macromeres, each of them being parted by horizontal planes into two equal segments, so as to present themselves in two rows one above the other, eight in each. Lastly, 15 or 20 minutes after the division of the »large» macromeres, the four micromeres at the animal pole become parted by horizontal planes into eight, four of which are smaller, contain a clearer protoplasm and, as they lie in the same plane, constitute the animal pole itself; the four remaining ones have their place somewhat outside and below, Pl. II, fig. 27— 29. In some cases I have observed that the »small» macromeres be- gin this stage of segmentation, but this seems not to be a rule. As ought to be understood from the above, the segmentation spheres pre- sent themselves in four different sizes. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 17 Stadium with sixty segments. This cleavage stadium, which begins at about three hours after the fecundation, is introduced by the activity of the eight »large» macro- meres, which become divided, apparently by a horizontal plane, in sixteen. equal segments arranged in two superposed rows. Then the »smalb macromeres begin to divide, the lowest ones at the vegetative pole, as it seems to me, first taking part in the process. Lastly, the four »lower» micromeres divide into eight. However, it is worthy of notice that the succession of the segmentation phenomena in this sta- dium is slightly variable. The difference in size between the blastomeres is still discernible, though of course not so obvious; meanwhile the micromeres are still minute, Pl. II, fig. 30. During repeated divisions, however, the diffe- rence in size gradually becomes indistinguishable. The following table will give a view of the segmentation process in Echinocyamus. Order of segmentation 1 9 3 4 = = stages À zh ^ i . . Animal pole .4 4 E Q 4..\...4° 8 RL stone Fae: 2. 4..|— Equator 4 SP NIS 16 Sodboos fees NU f Vegetative pole . Number of segmenta- : tion spheres 2. | 4. 8. 16. 32. 60. By way of a brief recapitulation of what has been said in the preceding pages with regard to the process of segmentation in Echi- nocyamus, I may call attention to the following results: Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 18 HJALMAR THEEL, 1) That the preparation of the egg for the first segmentation requires the longest time, and that in general the rapidity of segmenta- tion is proportional to the size of the segments; thus the latest segmentation stages take the shortest time. 2) That at the first three cleavages the blastomeres are separated almost simultaneously, but that afterwards a certain irregularity occurs, some sets of segments dividing earlier, others later. 3) That the blastomeres of each of the three first segmentation stages are almost equal, but that they afterwards become di- stinctly unequal. 4) That the difference in size is most evident in the fourth stage of segmentation, when three quite different sizes are to be di- stinguished. If we turn to the writers by whom the phenomena of segmen- tation in the Echinoids have been carefully treated, we shall find that a great conformity in this respect prevails in the three different orders of Echinoids. Greatest attention has been paid, it is true, to the in- ternal phenomena of segmentation, to the metamorphosis of the nucleus etc. but notwithstanding there are a few accounts which treat the mu- tual relation between the segmentation spheres and give support to the supposition which I have mentioned above. Thus, for instance, SELENKA') explains excellently the segmentation phenomena in Strongylocentrotus lividus, Sphærechinus granularis and Echinus microtuberculatus. In all these forms the blastomeres are equal in each of the three first seg- mentation stages, but unequal in the fourth stage, where three different sizes, micromeres, »large» macromeres and »small» macromeres, are to be found. However, some years before the same investigator ”) says in connection with his researches on Echinus miliarıs, Toxopneustes brevispinosus, Strongylocentrotus lividus, Arbacia pustulosa and Echino- cardium cordatum: »wie bei anderen Echinodermen, so werden auch bei den Echiniden sehr bald Grössendifferenzen zwischen den einzelnen Fur- chungszellen wahrnehmbar, sobald nämlich die Zahl derselben über 16 oder 32 hinausgeht». Unfortunately, Selenka does not in this report give any figures of the segmentation stages. However, in the paper first 1) Die Keimblätter der Echinodermen. Studien über Entwickl. d. Thiere. H. Wiesbaden 1883. p. 33—37. 2) Keimblätter und Organanlage der Echiniden. — Zeitschr. f. wiss. Zool. Bd. XXXIII. 1879. p. 41—43. EcHINOCYAMUS PUSILLUS. 19 cited he speaks of a considerable difference in size between the seg- mentation spheres in the fourth stadium of cleavage and some years later FLEISCHMAN ') states the same with regard to Echinocardium cor- datum. Thus, it may be a rule among all the Echinoids, that a real difference in the size of the segmentation spheres first occurs in the fourth cleavage stadium ?). IN The Blastula stage. Shortly after the end of the seventh or eighth hour after the fecun- dation has taken place, the blastomeres have arranged themselves so as to form a spherical Blastula or Blastosphere, Pl. II, fig. 31. In other cases this stage of the development is accomplished more or less rapidly according as the temperature is higher or lower. There is no solid morula stage. The young Blastula reaches a diameter of about 0,1 mm., and its segmentation cavity, which is filed up with a clear homoge- neous substance, measures about.0,06 mm. This homogeneous substance, Hensen’s »Gallertkern», is apparently a product of the activity of the blastomeres from the time when the first trace of a segmentation cavity becomes visible, and is probably, at least until the blastula stage is reached, of the same plasmatical nature as the homogeneous plasma which at the moment of fertilization arises round the yolk and removes the vitelline membrane. As has been mentioned above, this plasma also is the result of the activity of the undivided egg-cell at the moment of fertilization. "The cells which constitute the Blastoderm, have lost their round shape from mutual compression and obtained a slightly cylindrical form: viewed from the surface, each cell has a polygonal outline, while in 1)‘Die Entwicklung des Eies von Echinocardium cordatum. — Zeitschr. f. wiss. Zool. XLVI. 2. 1888. p. 136—137. 2) According to BROOKS — Handbook of invertebrate Zoology, Boston 1882— all the segments in Arbacia punctulata seem to be equal, as may be also understood from his figures, drawn by GARMAN. Unfortunately, I have not been able to see the original »Notes» on Arbacia punctulata by COLTON and GARMAN. Further investiga- tions will prove whether BRooks is right in his statements. 20 HJALMAR THEEL, profile a row of such cells looks like a low palisade, the sides of each being flattened where they touch; the outer end of the cells is slightly convex, while the inner is more sharply and irregularly curved, thus making the inner surface of the blastoderm rather uneven. Seeing that the cells are not by any means regular in shape, some being shorter, broader and evidently in a state of division and multiplication, as may be seen from the different stages of karyokinesis, this uneven- ness becomes very conspicuous. The chromatic filaments or chromosomes in those cells which are in a state of division, appear very clearly if the whole larva be stained with Grubler's acetic acid carmine. It is not yet possible to distinguish any thickened area in the blastoderm. Soon the Blastosphere begins to rotate, first feebly and then more rapidly, by means of the plasmatic hair-like processes or cilia, which protrude, reach a considerable length and move more or less rapidly in the intermediate space between the larva and the vitelline mem- brane, Pl. Il, fig. 36. Sometimes I have found that the mucilaginous coat which surrounds the vitelline membrane of the egg, still remains enveloping the whole. However, the larva now in a short time escapes from the enveloping coats of the egg into the water and begins to swim about, Pl. II, fig. 33—35. Simultaneously an obvious differentiation begins to take place in the cells at the vegetative pole, which inerease in length and become higher and columnar, those at the opposite pole on the contrary still remaining for a short time unchauged. Besides the cilia, the outward ends of the cells of the blastoderm possess extremely minute, closely crowded plasmatic processes, Pl. III, fig. 51, which treated with osmic acid present themselves distinctly. I never saw anything similar to this before. After this the Blastula begins to extend in length and increase in such a degree, that at about twelve or thirteen hours after the fecun- dation it reaches a length of 0,15 mm. and a breadth of 0,09 mm. In many places the cells are in a state of division, presenting the charac- teristic chromatic filaments in different positions. Gradually the Blastula changes its external shape, so that it al- most assumes a cylindrical form and reaches an unusual length. The largest I have observed, Pl. II, fig. 35, which were about twenty hours old and fully mature, had a length of 0,? mm. and a breadth of 0,11 mm.; other larva, in which the first indication of an invagination at the vege- tative pole was making its appearance, measured 0,23 mm. in length, but only 0,044 mm. in breadth, Pl. II, fig. 34. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. al In a full-sized Blastula, the cells not only at the vegetative pole, but even those at the animal pole attain a greater length and acquire an almost columnar form. The cilia at both the opposite poles are very large. The formation of the mesenchyme, which will be treated more fully in a following chapter, has taken place in the larva at a rather early period. When the larva has reached an age of about fifteen hours, Pl. II, fig. 36, cells at the vegetative pole lose their connection with the surrounding cells and wander as ameeboid cells into the blastoceel. Presently we find that these wandering cells have arranged themselves into two bilateral heaps, one on each side of the Blastula, Pl. IT, fig. 33—39, and that at about twenty hours after the fecundation, an extremely small ealeareous body arises, originated by the heaps of cells. Thus, the calcareous spicules begin to develop during the Blastula stage. Special attention ought to be paid to the differentiation of the blastomeres, because it is obvious that we now have to do with three different kinds of cells, those at the animal pole, those at the vegetative pole and the rest of the blastomeres, and that they serve to perform different functions. Thus the cylindrical cells provided with very long cilia; which may be found forming a small circular thickened area at the animal pole of the Blastula, remind one obviously of the apical disk with its tuft of cilia common in larvae of Annelids and other everte- brates. One is almost tempted to believe that they are larval sensory cells and that their long cilia have nothing to do with the locomotion. NACHTRIEB ") also has called our attention to a similar arrange- ment in the larva of the Clypeastroid Mellita. He says: »At the pole opposite to where the blastopore is formed is a small circular area in which the cilia are longer, stronger, and less active than those at any other point of the larva. When the Gastrula is swimming these long cilia are directed forwards, now and then sway to and fro slightly, but never aid in propelling or turning the larva, apparently being inactive except that occasionally they seem to act as sensory cilia». This quite agrees with what I have found in Echinocyamus. On the contrary FEwkEs?) did not pay any special attention to this apical area in the larva of Echinarachnius. 1) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. 1885 p. 66. 2) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echina- rachnius. 1886. p. 128. à bo bo HJALMAR THÉEL, If we examine the Blastula stage of other Echinoids, we see clearly that they deviate considerably in external shape from that known in Echinocyamus. Thus, according to Nacurries’) and Fewxes ?) the Bla- stula in Mellita and Echinarachnius is more or less distinctly spherical. According to SELENKA ") the Blastulæ of Echinus miliaris, Toxopneustes brevispinosus, Strongylocentrotus lividus and Arbacia pustulosa have, at least to judge from the figures of the author, an almost spherical shape and are apparently devoid of any cell-differentiation at the animal pole. In a more recent work the same investigator ^) gives an account of the segmentation phenomena in Strongylocentrotus lividus, Sphærechinus gra- nularıs and Echinus microtuberculatus; here also one arrives at the fact that the Blastula is spherical or slightly oval and furthermore that in the last mentioned form a differentiated cell-area is present at the ani- mal pole. In the explanation of the plates SELENKA names this area »Scheitelzone». According to A. Acassiz?) the Blastula of Strongylocen- trotus dróbachiensis is spherical and, as far as I can see, devoid of any cell-differentiation at the animal pole. Prouxo °) describes the Bla- stula of Dorocidaris papillata as spherical and provided with longer cilia at the animal pole, but judging from his figure the cells themselves are not extended in length. Finally according to DeBrks ") the Blastula of Echinus esculentus also becomes spherical, but he does not say any- thing about the animal pole. The above cited authors lead one necessarily to the opinion that the Blastula in the regular Echinoids presents itself as a rule in a spherical or slightly oval shape. With regard to the differentiation of the cells at the animal pole, and the formation of a thickened apical 1) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. 1885. p. 66. 2) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echi- narachnius. 1886, p. 126. 3) Keimblätter und Organanlage der Echiniden. — Zeitschr. f. Wiss. Zool. Bd. XXXIII. 1879. 4) Die Keimblätter der Echinodermen. Wiesbaden 1883. p. 44. ple. V —VII. 5) Revision of the Echini. IV. — Illustr. Catal. of the Mus. of Comp. Zool. N:o VII. Cambridge 1874. p. 710. 6) Recherches sur le Dorocidaris papillata et quelques autres Echinides de la Méditerranée. — Arch. d. Zool. expér. Ser. II. t. 15. Paris 1887. p. 343. pl. XXIII. 1) Observations sur le Mécanisme et les phénomènes "qui accompagnent la formation de l'embryon chez l'Oursin comestible. — Ann. d. Sc. nat. Sér. III. Zool. t. 8. Paris 1847. p. 91. pl. 5. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 23 area, we almost entirely lack the information necessary for forming a correct opinion. As far as our present knowledge goes, only the Bla- stula of Echinus microtuberculatus seems to be provided with a thickened apical area. 1 Though the information which we possess concerning the Bla- stula stage of Spatangoids is incomplete, we find that according to SELENKA ') and FLEISCHMAN °) the larva of Echinocardium cordaium pre- sents an almost spherical or slightly oval shape and is devoid of any obvious apieal area of differentiated cells. The incompleteness of our present knowledge prevents a closer comparison, but judging from what is known we are entitled to con- sider the elongate, cylindrical Blastula of Echinocyamus as rather in- teresting and singular of its kind. Another peculiarity characterizing the larva in question is the early formation of calcareous spicules, Pl. II, fig. 35, which, as far as I have been able to discover from the litera- ture at my disposal, never takes place in the Blastula of other Echi- noids, except in a subsequent stadium. Probably the same is the case with the differentiated cell-area at the animal pole, which presents itself in this very early stage of the development of Echinocyamus; because, to judge from literature as well as from what I have seen myself during my studies at the sea, such a polar differentiation takes place in many forms of Echinoid larvæ but not til the gastrula stage. This is. confirmed by NacHTRIEB?), who has found that this is the case not only in Mellita, but even in Strongylocentrotus and the Spatangoid Moira atropos. 5 The differentiated cell-area at the animal pole with its tuft of long cilia probably serves as a larval organ of sense and therefore claims a certain interest. 1) Keimblätter and Organanlage der Echiniden. 1879. pl. V — VII. 2) Die Entwicklung des Eies von Echinocardium cordatum. 1888. pl. XIV. 3) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. 1885. p. 67. 24 HJALMAR THÉEL, We The Gastrula stage '). > At about twenty-four hours after the fecundation more or less, according to the temperature of the water, an invagination begins to take place at the vegetative pole, the invaginated portion becoming the entoderm, Pl. II, fig. 34 and Pl. III, fig. 37—38. The cavity of the entoderm or archenteron, at first very minute and resembling a small depression, grows rapidly and becomes deeper and deeper, taking the form of a hollow cylinder. After another twelve hours the archenteron has attained almost its full length, Pl. III, fig. 39, the vaso-peritoneal vesicles being either already separated or in a state of constriction, and even at this age the Gastrula begins to pass into the first stage of the Pluteus. The Gastrula, like the Blastula, is characterized by its cylin- drieal form and unusual length. i The cells of the ectoderm are not closely pressed together side by side, but rather distinet spindle-shaped spaces are to be traced be- tween them. The cells at the animal pole are still of a marked cylindrical shape and higher than the other cells. The cells at the vegetative pole which also were remarkable for their length, still retain during the in- vagination their cylindrieal or club-shaped form and present not seldom, when treated with acetic acid carmine, the characteristic stages of karyo- kinesis, which show that a cell-division takes place and that the larval 1) It has been presumed that in all the Echinoderms the Gastrula is pro- duced by an embolic invagination. However this appears not always to be the case. In 1869 METSCHNIKOFF in his »Studien über die Entwickelung der Echinodermen and Nemertimen» alluded to certain peculiarities in the larva of Amphiura squamata, stating that the cells of the Blastula divide themselves by a process of concentric splitting into two layers, but he did not prosecute his researches in detail Later APOSTOLIDES (Arch. d. zool exper. 10. 1882. p. 208) pointed out that the hypo- blast originates in this Amphiura by delamination. Recently, Russo (Zool. Anzeig. N:o 377. p. 405—407) has declared positively that Amphiura squamata has a Gastrula produced by delamination. According to him, the cylindrieal blastomeres become simultaneously split into an outer more plasmatie ectoderm and an inner entoderm; it is not till afterwards that the two vesicles are perforated at one place and this opening is known as the blastopore. If this be right, the continuity in the mode of the formation of the Gastrula in the Echinoderms is broken in a very singular manner — but further investiga- tions are needed. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 95 intestine increases not only by means of the process of invagination, but also independently. The separation of wandering cells from the walls of the archenteron to form the mesenchyme is going on during the whole process of ga- strulation, but they appear seldom to arise from the blind end itself of the archenteron, Pl. III, fig. 322—927. The number of such cells increases considerably during the gastrulation and some of them constitute fine filaments connecting the ectoderm with the archenteron. However, the Gastrula also has changed in its external appearance, which has in a certain degree been due to the development of the two calcareous spieules and their increase, which will be treated more in detail further on. From each of the two centres of calcification a calcareous rod grows out towards the ectoderm, compelling this to pro- trude, Pl. III, fig. 38, and thus giving rise to the first indication of the two posterior ventral arms of the future Pluteus. At the same time as the Gastrula has obtained these two obtuse prominences, one on each side and slightly in front of the blastopore, it undergoes other changes. The dorsal surface becomes slightly convex, the ventral surface on the contrary concave, and the blastopore, which has had a terminal position, is moved slightly forwards on the latter surface, Pl. III, fig. 39— 41. If we compare the Gastrula of Echinocyamus with Gastrulæ of other Clypeastroids viz. those of Echinarachnius and Mellita, it seems to be a fact that they differ in some more or less important points, that of the Echinocyamus being almost cylindrical, those of the other two forms presenting apparently a spherical shape. Moreover. according to Fewxes ') Echinarachnius seems quite to lack a differentiated cell-area at the animal pole, while according to NacmrRrEB ”) Mellita is provided with a well developed one, just as is the case with the Gastrula of Echinocyamus. With regard to the shape of the Gastrula in other Echinoids, dif- ferences of more or less importance may be noted. Thus, SELENKA ”) states for instance, that in Echinus miliaris, Toxopneustes brevispi- nosus and Strongylocentrotus lividus it is almost spherical, while in Arbacia pustulosa and Echinocardium cordatum it is elongate and conical. 1) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echi- narachnius. 1886. p. 127—130. 2) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. 1885. p. 67. 3) Keimblätter und Organanlage der Echiniden. 1879. p. 48. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 HJALMAR THÉEL, Judging from the figures given by SELENKA, a differentiation of the cells at the animal pole exists in some forms, especially in Echinocardium cordatum, while there is no trace of such a differentiation in other forms, as for instance in Strongylocentrotus lividus etc. In Dorocidaris pa- pillata *) the larva in this state of the development is oval with a tuft of long cilia at the animal pole. In Strongylocentrotus dróbachiensis the Gastrula also acquires an oval shape, according to Agassiz ?, and the cells at its animal pole seem to be considerably higher. On the whole, the present literature shows that the Gastrulæ in most Echinoids are spherical or slightly oval and that they never or only exceptionally reach the length which characterizes the Gastrula of Echi- nocyamus. Concerning the thickened area at the apical pole, there is scarcely any information available, but the figures drawn by the investi- gators show that such an area is present in several forms. As far as I know, only NAcHTRIEB has clearly pointed out the presence of this »sensory» disk in some Echinoids. NL Formation of the Mesenchyme. Considering that several different opinions have been promulgated as to the origin of the mesenchyme in the Echinoderms and that the point still remains undecided, I paid special attention to it, and the more so as the question has gained a certain interest. I may first be allowed to give a short account of these different views. Hensen ?) was the first to observe in the larva of a starfish, that the mesenchyme cells, which were met with in the segmentation cavity, took their origin from the vegetative pole of the larva or rather from that part which was in a state of invagination and that they gradually lost their connection with the other cells. In the year 1869 this state- 1) Recherches sur le Dorocidaris papillata et quelques autres Echinides de la Méditerranée. 1887. p. 343—344. 2) Revision of the Echini. IV. 1874. p. 711—112. 3) Ueber eine Brachiolaria des Kieler Hafens. Archiv f. Naturg. XXIX. Berlin 1863. p. 242. t ECHINOCYAMUS PUSILLUS. | 27 ment of Hensen was supported by METscHNIKoFF ‘) in his studies on the development of the Echinoderms and Nemertines. He says in the résumé, that in many Echinoderms after the commencement of the invagination, in others, for instance Echinus lividus, before the invagi- nation takes place, cells either lose their connection with the other cells in such great numbers that they fil up the blastoccel, or they occur in such small numbers that they are able to move by means of the pseudopodia. Besides, it is plain from his researches that the wan- dering cells arise either from the invaginated entoderm or from the point where the invagination takes place. Some years afterwards SELENKA ") published his beautiful resear- ches on the development of Holothuria tubulosa and Cucumaria planci, where he points out that the mesenchyme originates from cells which separate from the entoderm, either during the process of invagination from the archenteron as in the former, or before this process from the vegetative pole of the Blastula as in the latter. In 1879 the same author?) published his studies on the develop- ment of the germinal layers and of the organie system of the Echi- noids and here he was able to state the same to be the case in no less than five different species. In 1883 SELENKA *) again gives an account of the germinal layers in some types of Echinoderms and shows that the mesenchyme. origi- nates in the Echinoids and Ophiurids from the entoderm, and in Synapta from the same germinal layer, but not till a later stage and from the end of the almost fully grown archenteron. Two years afterwards METSCHNIKOFF °) in his new studies on the Echinoderms pronounced more distinctly as to the views mentioned above. He says that the wandering cells in the Echinoderms, as far as is known from the Asteroids and Echinoids, arise from the ento- derm or from that pole of the Blastula where the entoderm becomes invaginated. 1) Studien über die Entwickelung der Echinodermen und Nemertinen. — Mém. de l'Acad. imp. d. sc. de S:t Pétersbourg. Ser. VII. T. XIV. N:o 8. 1869. p. 63. 2) Zur Entwickelung der Holothurien (Holothuria tubulosa and Cueumaria doliolum). — Zeitschr. f. wiss. Zool. Bd. 27. Leipzig 1876. p. 160— 168. 3) Keimblätter und Organanlage der Echiniden. 1879. p. 45—48. 4) Die Keimblätter der Echinodermen. 1883. p. 44—46. 5) Vergleichend-embryologische Studien. — Zeitschr. f. wiss. Zool. Bd. 42. Leipzig 1885. p. 670. 28 HJALMAR THÉEL, a A year later FEwkEs") states with regard to the Clypeastroid Echinarachnius that »with the first indication of an ingrowth of the ga- strula stomach or archenteron, we find budding off into the segmentation cavity certain cells»; to judge from his figures, these mesenchyme cells arise from the entoderm. In 1888 Bannors?) explains that the mesenchyme takes its origin in Comatula mediterranea from the archenteron and mainly from its end, and the same year FLEISCHMAN *) states with regard to the Spatan- goids, that the wandering cells issue from the vegetative pole of the Blastula of Echinocardium cordatum. Lastly in the same year KoRSCHELT‘*) makes known his views of this matter and asserts that the mesenchyme originates from the entoderm, either from the vegetative pole of the Blastula (Echinoids, Ophiurids and the genus Cucumaria), or from the place which has just begun to invaginate (Holothuria), or from the end of the invaginated archenteron (Asteroids, Crinoids and Synapta). A quite different view was suggested, first by GmEEFF °) with regard to Asterias rubens and afterwards by Beren 9, who has studied the first stages in the development of Echinus miliaris. Both agree in the opinion that the mesenchyme arises not only from the entoderm but also from the ectoderm, though Bergh adds that the greater number of wandering cells issue from the former. In his splendid researches on the development of Asterina gibbosa LupwiG ") comes to the general result, 1) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echina- rachnius. 1886. p. 126. 2) Recherches sur le Développement de la Comatule (C. mediterranea) — Recueil zoologique Suisse. IV. 4. Genéve-Bale 1888. p. 552—554. 3) Die Entwicklung des Eies von Echinocardium cordatum. 1888. p. 139. 4) Zur Bildung des mittleren Keimblatts bei den Echinodermen. — Zool. Jahr- bücher III. 4. Jena 1889. p. 667. 5) According to SELENKA, LUDWIG, KORSCHELT ete. Unfortunately I have not had the opportunity myself of seeing the original: »Ueber den Bau und die Ent- wicklung der Echinodermen. Sechste Mittheilung—Sizungsber. d. Ges. z. Bef. d. ges. Naturwissensch. Marburg 1879. N:o 4. p. 51—52». In an earlier paper: »Ueber die Entwicklung des Asteracanthion rubens vom Ei bis zur Bipinnaria und Brachiolaria» printed in the same journal 1876, he evidently holds the contrary view, viz. that the mesenchyme originates from the entoderm. 6) Bidrag til Opfattelsen af Klovning og Kimbladdanelse hos Echiniderne. — Vidensk. Meddel. fra den naturh. Foren. i Kjobenhavn. 1879—1880. p. 263. 7) Entwicklungsgeschichte der Asterina gibbosa Forbes. — Abd. aus Zeitschr. f. wiss. Zool. Bd. 37. Leipzig 1882. p. 127. EcHINOCYAMUS PUSILLUS. 29 that in the Echinoderms the mesenchyme mostly has its origin from the entoderm, but that the ectoderm also can give rise to it. Lastly in the year 1891 the same investigator’) insists that the mesenchyme in Cucu- maria planei (= doliolum) is due to the ectoderm as well as the ento- derm, an opinion opposite to that expressed by SELENKA. Finally, we must not forget a third view first pronounced by METSCHNIKOFF in his first mentioned work, and confirmed recently by Russo?) who found in Amphiura squamata that, as soon as the two layers of the gastrula have been produced by a process of delamination, the mesenchyme begins to originate by means of a new act of delami- nation taking place in the ectoderm ?) If this statement of Russo is right in all respects, we have to do with a very remarkable exception from the general rule. If we consider the different views of the origin of the mesenchyme as expressed by the above authors, we find that the mesenchyme origi- nates in three ways in the Echinoderms: viz. by immigration from the entoderm alone in most Echinoderms, or by immigration from the ecto- derm as well as from the entoderm as is the case in a few forms, or finally by a process of delamination from the ectoderm known only in Ainphiura squamata (and Psolinus brevis?). Before I go on to relate my own investigations with regard to Echinocyamus, I must take into consideration the opinion promulgated by SELENKA, HarscHEK and FLEISCHMAN, that the mesenchyme should originate from only two or four cells of the entoderm named »arche- mesenchyme cells», a view opposite to that expressed by Merscunikorr, KORSCHELT and LUDWIG. The »arche-mesenchyme theory» is mainly due to SELENKA ‘). HaATCSHEK °), it is true, was the first to call attention to the existence 1) Zur Entwickelungsgeschichte der Holothurien. — Sitzungsb. d. K. preuss. Acad. d. Wiss. zu Berlin. XXXII. Berlin 1891. p. 605. 2) Die Keimblätterbildung bei Amphiura squamata (Sars) — Zool. Anzeiger. N. 377. 1891. p. 407. 3) KowaALEvskv also in his »Beiträge zur Entwickelungsgeschichte der Ho- lothurien» (Mém. d. l’Acad. impér. d. sciences de S:t Petersbourg. Ser. VII. T. XI. N:o 6, 1867. p. 3) informs us that in Psolinus brevis FORBES the mesenchyme origi- nates by a kind of delamination, but his account of this process is not so clear as to exclude all doubts of the correctness of his observations. 4) Die Keimblátter der Echinodermen. 1883. p. 43—48. 5) Ueber Entwicklungsgeschichte von Teredo. — Arbeiten aus dem Zool. Instit. Wien. III. 1881. p. 30. 30 HJALMAR THEEL, of two closely adjacent cells at the vegetative pole of the Blastula in Toxopneustes lividus, which according to him should multiply by division, enter into the segmentation cavity and originate the whole mesenchyme. However, some years afterwards SELENKA, again finds the two primordial cells, which were distinguished by their shortness from the surrounding higher cells, in many Echinoderms viz. Strongylocentrotus lividus, Sphær- echinus granularis, Echinus microtubereulatus, Ophioglypha lacertosa and even in Synapta digitata, although in the latter they were placed at the end of the fully grown archenteron. On account of these observations he believed himself justified in founding the theory, that in the Echino- derms, two primordial or arche-mesenchyme cells are present which either are placed bilaterally at the vegetative pole of the larva (Echi- nids and Ophiurids) or at the end of the archenteron (Synapta), and that in the Echinoids (Asteroids? and Ophiurids?) they divide and give rise to two »mesenchyme bands» homologous to the mesoblastic bands known in the Mollusks, Worms etc., which in company with the two pri- mordial cells enter the blastocæl. FLEISCHMAN ), who has studied the first developmental processes in Echinocardium cordatum, differs slightly from SELENKA, insisting that there are four arche-mesenchyme cells in that species. j This theory of SELENKA has been discussed by the three above mentioned investigators, who deny the existence of the arche-mesen- chyme cells as well as of the mesenchyme bands. They explain that the detruncated cells at the vegetative pole are nothing but common blastomeres in a state of division and multiplieation, when as a rule they become shorter. After this survey of the different opinions which exist with regard to the origin of the mesenchyme, I may be allowed to show the re- sults which I have gained during my own researches into the develop- ment of Echinocyamus. In these studies I found it useful to examine the larvae in a living state as well as after they had been fixed and stained. The most suitable fixing fluids were FrEMMING's fluid, or a rather dilute solution of osmic acid. Besides the whole larvæ, I have of course examined many series of sections of them in their different stages of development. As soon as the blastosphere has changed into a somewhat elon- gate Blastula, Pl. IT, fig. 36 and Pl. III, fig. 50—51, the cells at the 1), Die Entwicklung des Eies von Echinocardium cordatum. 1888. p. 139. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 31 vegetative pole increase in number in such a degree that they often give the impression of being arranged in several les Those in the inner layers, which either have Ice their connection so as to be free or still remain attached to the wall of the Blastula by plasmatic fila- ments, enter the blastoccel irregularly and accumulate at first close to the vegetative pole. As may be understood from my figures, some of these cells have evidently obtained a club-shaped appearance by having been pushed into the blastoccel without losing their connection with the point of attachment. These cells are in process of separation as future wandering cells. As a rule, several such cells enter the blastoccel simul- taneously. Thus I never succeeded in finding any arche-mesenchyme cells in the Blastula of Echinocyamus. In spite of repeated immersions of the objects in different colou- ring fluids, I very rarely found the cells at the vegetative pole in a state of division. Only a few times did I sueceed in observing cells there in different stages of karyokinesis after having stained the objects with GRUBLER's acetic acid carmine, while it is easy to get splendid views of cells in division in other places of the blastoderm. If it is true that cells in a state of division are rarely met with at the vege- tative pole, the cells which are detached ought to be subsequently re- placed by others in some way, and we may well suppose that the wan- dering cells have been pushed into the blastocæl by the pressure effected by the remaining blastomeres being in a lively state of division and multiplication. In connection herewith it ought to be mentioned that I have only in very few cases seen the free mesenchyme cells in the Blastula in a state of division, and therefore suppose that they increase in number during the blastula stage mainly by means of immigration and that it is only in subsequent developmental stages of the larva that a multipli- cation by division takes place. I never found that the wandering cells issue from any other place in the blastoderm than the vegetative pole. Thus from what I have said above the mesenchyme cells do not enter the blastoccel in any definite order in Echinocyamus, but soon after, at 15 to 20 hours after the fecundation, they arrange themselves in two bilaterally symmetrical heaps or bands, one along each side of the Bla- stula, Pl. II, fig. 33—35. It seems to be a rule that most of the cells which have first become free, take this symmetrical position and, besides, that they differ from the cells entering later in having a more rounded 32 HJALMAR THEEL, form and in possessing smaller pseudopodia, which are sometimes totally withdrawn. These cells are true caleiferous cells, and constitute the matrix of the future spicules, thus corresponding to the osteoblasts in the vertebrated animals. However, it ought to be kept in mind that not all cells which first become free, are calciferous cells, because I have often, though not always, seen cells detached, which were provided with large and long pseudopodia and were evidently destined to perform different functions. In the blastula stage these cells are by no means so prevalent, but in a subsequent developmental stage they increase considerably in number. Thus a very early differentiation appears to take place in the mesen- chyme cells. The two heaps of calciferous cells soon become combined by a tranverse bridge of cells crossing the ventral surface of the Blastula, Pl. II, fig. 34—35 and Pl. III, fig. 37, and at about 20 or 25 hours after the fecundation a very minute calcareous deposit is to be found at the middle of each heap of cells. When the cells are ready to de- posit caleareous matters, they contain a multitude of granules of varying size and brightness, among which one or more calcareous crystals are present, thus rendering the nucleus visible only with difficulty. During the formation of caleareous substance, Pl. IV, fig. 76, the cells have chan- ged considerably and vary in size, some being highly elongate, measuring up to 0,03 mm., others remaining smaller, having a diameter of only 0,012 to 0,016 mm. The other cells of the mesenchyme, which have to perform dif- ferent functions, have an irregular shape, fine granules and a distinct nucleus. By degrees during the immigration they protrude finer and coarser pseudopodia, which sometimes anastomose with the pseudopodia of other cells, thus giving rise to a kind of network with wide meshes, Pl. IV, fig. 66—68. I have often seen these ameboid cells arrange them- selves in such a manner as to constitute an intercommunication between the ectoderm and the invaginating entoderm. It is common to find in young Gastrule such cells attached by one pseudopodium to the ectoderm and by another to the archenteron, which is just in a state of growth, thus giving one the impression that they facilitate the process of invagination. As I have mentioned above, the cells in question begin the im- migration during the blastula stage though sparingly, and it is of interest to note that they are continuously separating and entering the blastocoel during the whole gastrulation. When examining sections of Gastrule in ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 33 different developmental stages, one is soon convinced of this fact, Pl. III, fig. 50—57. As far as I know, Prouho*) alone seems to have ob- served something similar in Dorocidaris papillata. Concerning the time when the mesenchyme originates in the Echinoderms, the following opi- nion prevails. In Echinoids, Ophiurids and Cucumaria (planci) the me- senchyme arises earliest, i. e. during the blastula stage, and in Holo- thuria (tubulosa) it makes its appearance with the first indication of the archenteron. In Asteroids, Crinoids and Synapta on the contrary the mesenchyme cells take their origin from the end of the fully grown archenteron. If we take this for granted, Dorocidaris and Echinocyamus should make an interesting exception, the wandering cells being loosened from the entoderm during the whole process of invagination from the blastula stage to the full-sized Gastrula. I may be allowed here to give in a few words my own opinion with regard to the origin of the mesenchyme in the Echinoderms, which is founded mainly on my investigations of Echinocyamus. 1) With very few exceptions, the mesenchyme originates from the entoderm alone and by means of immigration, ni further investi- gations will probably prove that the formation of mesenchyme in many Echinoderms goes on not only during the blastula stage but uninterruptedly also during the whole gastrulation. Of course this is not the case in the Asteroids, Crinoids and Synapta, where the immigration only commences when the archenteron is almost grown. With regard to its origin by means of delamination, as is supposed to be the case in Amphiura squamata and Psolinus brevis, we seem to need more detailed accounts, before it is taken for granted. 2) The mesenchyme arises earliest, with very few exceptions, in those groups of Echinoderms, in which the larva have the ske- leton earliest developed. Most of the first entering cells are calciferous. | 3) No bilaterally arranged arche-mesenchyme cells are to be detected. 4) No true mesenchyme bands, homologous to the mesodermic bands in Annelids, Mollusks etc., are met with in the Echinoderms, but often, especially in the Echinoids, the first wandering cells which enter, arrange themselves in two bilateral heaps or bands. 1) Recherches sur le Dorocidaris papillata et quelques autres Echinides de la Méditerranée. 1887. p. 344. a Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 34 HJALMAR THÉEL, NIE The formation of caleareous deposits. The manner in which the calcareous deposits originate in the Echinoderms, and the subsequent mode of increase of the skeleton are by no means clear and offer a great deal of interest. When studying these processes, the investigator soon, perceives that the calciferous cells, though free in the blastocæl, act by no means without method, and that they cooperate for a common goal as if they were conscious. Moreover, the processes apparently remind us of those which go on during the formation of bone and dentine in the vertebrated animals. In the Echinoderms too we may with good reason speak of cells ho- mologous to the osteoblasts and ostoclasts, the calcareous substance ha- ving been formed by the agency of the calciferous cells and absorbed again in ease of exigency by others or possibly by the same cells. Thus, the formation and absorption of caleareous substance is effected by me- senchyme cells of the same shape, as far as is known, which is not the ease in the formation and absorption of bone, the osteoblasts being different in shape from the ostoclasts, — but this difference does not seem to be of importance, since it is supposed that the latter are de- rived from the former. Besides, if we succeed in elucidating this pro- cess in the Echinoderms, it will certainly throw light upon the way in which the osteoblasts and odontoblasts take part in the ossification, whether the peripheral part of them becomes directly converted into osseous substance or whether the ground-substance of bone is formed outside the cells in an intercellular substance. It is a known fact that the larval as well as post-larval skeleton characteristic of most Echinoderms is formed by the agency of the me- senchyme cells. In Echinocyamus, in which the formation of calcareous deposits begins earlier than in most other Echinoderms, the first ente- ring cells move to two fixed places in the Blastula, arranging themselves in two bilaterally symmetrical heaps or bands, one on the right and one on the left side of the larva. It is a sight of the greatest interest to follow these cells, to see how they move towards these two places as by word of command in order to form there the two first centres of cal- cification. As far as I remember I have never seen the formation of caleareous substance take place before these centres consist of at least three cells which contain one or more minute crystals apparently of an indefinite shape. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 35 In Echinocyamus the deposit which is originated by the agency of these cells, takes at first the form of a tetrahedron measuring up to 0,004 mm., while the cells themselves have a diameter of 0,01 mm., Pl. IV, fig. 74—75. SEMON') was the first to explain the tetrahedron as the primordial form of the deposits in other Echinoderms. The minute tetrahedron grows rapidly to a small star with three very short arms, Pl. IV, fig. 69, acquiring a shape almost completely corresponding to the interspace between three close-lying calciferous cells. "Thus one is almost tempted to think that there exists a certaiu relation between the form of the deposit and the interspace in question. The calciferous cells having placed themselves close to the ectoderm, the deposit becomes pressed between them and the latter, Pl. IV, fig. 77. If it be so, that this interspace decides the outline of the star, one would expect always to find it in its early developmental stage placed just between the caleiferous cells. This seems, however, rarely to be the case. Mostly I have noticed the star situated by the interspace with the arms upon the three cells, Pl. IV, fig. 69—70, and not between them, and sometimes I have seen the star itself somewhat displaced, Pl. IV, fig. 78. Not- withstanding this, I cannot free myself from the thought that the cells mechanically exercise influence on the outline of the tetrahedron and the star in the earliest stages of the development. Before I go further in the description of my own investigations, I may be allowed to state in a few words the two views which have been suggested with regard to the origin of the calcareous deposits in the Echinoderms ?). SELENKA °), who first ventured to treat this question, shows that in the interior of two bilaterally symmetrical cells a minute calca- reous body becomes deposited, that this grows into a regular three- armed figure, and that the cell itself moves towards one of the arms, still persists in depositing calcareous salts (and organie substances) and 1) Beiträge zur Naturgeschichte der Synaptiden des Mittelmeers. I. Mittheil. Zool. Station zu Neapel. Bd. VII. 2. Berlin 1887. p. 293. 2) Besides these two views some others have been suggested with regard to the origin of the calcareous deposits in the Holothurioidea, but as they are not founded on embryological investigations I only refer to them: SEMPER (Holothurien — Reisen im Archipel der Philippinen. Leipzig 1868. p. 29—32), THÉEL (Challenger Report — the Holothurioidea. I. 1882. p. 125.) and HEROUARD (Recherches sur les Holothuries des côtes de France. Thèses. Paris 1890. p. 17—29.). 3) Keimblätter und Organanlage der Echiniden. 1879. p. 46. 36 HJALMAR THÉEL, keeps to the point of one of the arms during its increase. Other me- senchyme cells come to the points of the two remaining arms, suppor- ting them during their increase, and furthermore other cells give origin to the branches or ramifications. As may be understood from the above, there is some doubt as to the meaning of SELENKA, whether he thinks that the calcareous star retires from the originating cell or not. Semon ), who has also occupied himself with this problem, says that the calcareous deposit originates in the interior of a cell as a grain of uncertain shape and that this changes into a tetrahedron. The fur- ther growth goes on mainly in the direction of three axes of the tetra- hedron, the result thus being a regular three-armed star, which Semon now found placed outside the cell and enveloped by a thin homogeneous membrane which he also supposes to have been effected by the caleife- rous cell. SEMwow doubts whether the calcareous star has escaped from the cell, which he is most inclined to believe, or if it still remains there, the cell itself having lost the nucleus and being transformed into the investing membrane. My own researches have led me to the following results. The caleiferous cells, which are unenclosed in a definite cell-wall and capable of exhibiting amceboid movements, contain imbedded in their granular- looking endoplasm, besides various adventitious materials, one calcareous granule or more, the outline of which is uncertain. Besides this plasm, the cells consist of a clear homogeneous hyaloplasm or ectoplasm, to which the more obvious activity of the cell is immediately due; the amceboid movements are produced by a flowing out of this plasm, which extends far beyond the limits of the granular plasm, thus forming the pseudopodia. In a state of rest, when the pseudopodia are withdrawn, the thin peripheral layer of clear plasm hardly appears to surround the cells, which in this condition almost give the impression of being totally granular and well defined, Pl. IV, fig. 76. When the tetrahedron, the first caleareous deposit of a definite form, makes it appearance in Echinocyamus, I never found it enclosed within the granular main portion of the cells, but in the peripheral pseu- dopodial plasm, which has protruded slightly towards the blastoderm, thus appearing as if it were placed outside the cells. As I have already 1) Beiträge zur Naturgeschichte der Synaptiden des Mittelmeers. 1887. p. 289—295. EcHINOCYAMUS PUSILLUS. 37 said I could never observe that the tetrahedron becomes visible before at least three calciferous cells have arranged themselves in a heap close to the blastoderm. But after this is done, the formation of the tetrahedron takes place in a clear pseudopodial plasm situated between these cells and the ectoderm and evidently derived not from one cell but from all the three cells, the pseudopodia of which have united into a small clump. This clump is made discernible by staining the Bla- stula with some suitable colouring fluid, while the mucilaginous sub- stance which fills up the blastocæl remains colourless, Pl. IV, fig. 81. Thus, according to my opinion, the calcareous tetrahedron is a result of the activity of several cells, which deposit caleareous salts in a liquid state in the common pseudopodial clump, where the formation of the tetrahedron afterwards takes place. On account of the transpa- rency of pseudopodial plasm and the opacity of the granular main por- tion of the cells, one gets the impression that the tetrahedron is extra- cellular in position. According to SELENKA and SEMON the tetrahedron not only has originated in a single cell but also arises directly from the caleareous granule of uncertain shape which is present in it, and which conse- quently should form the centre in the future calcareous spicule. For certain reasons I do not think this to be the case. Firstly, it may be remembered, that before the formation of the tetrahedron takes place, there are several cells heaped together in Echinocyamus, each with one or more calcareous granules of uncertain shape. Now it seems rather singular that only one of these granules should be transformed into a tetrahedron, while the remaining ones are probably dissolved and by successive depositions give rise to the further increase of the calca- reous body. Besides, it is common to all calciferous cells to possess such granules. For my own part I cannot explain this in any other way, than that the caleiferous cells during their lively activity supply themselves with calcareous salts in such a degree, that it becomes im- possible to keep them in a state of solution. A part of the dissolved salts therefore must solidify, thus giving origin to the granules, which properly may be considered as reserve material, which when required may be dissolved again and used for building up by suecessive concen- tric depositions the tetrahedron as well as the future spicule. I may now be allowed to sketch my own opinion of the way in which the process of calcification goes on. The calciferous cells supply themselves with calcareous matter in such abundance that a part gets 38 HJALMAR THEEL, solidified in the shape of reserve granules while the rest remains in fluid form. When the formation of a deposit is going to begin, the caleiferous cells combine by means of their clear pseudopodial peripheral plasm protruding and flowing together, thus constituting a common clump of clear living plasm outside the granular main portions of the cells and between these and the blastula-wall. This pseudopodial clump forms the organie ground-substance, in which the calcification takes place, caleareous salts in fluid form being continuously carried to it and there converted into solid form. During the act of solidifying in this organic ground substance, the resulting caleareous body assumes by degrees the shape of a tetrahedron, which gradually increases in size by concentric deposition of salts, layer upon layer, and changes into a small three- armed star. The further increase of this early calcareous body is effected by the activity of the same calciferous cell, the granular main portion of which may be able to change its place along the arms of the out- growing spicule, as well as by new cells arriving and entering into communication with the original common pseudopodial plasm, which still remains in a living state round the deposit as a thin membrane-like investment. The junction between the primitive calciferous cells and the additional ones takes place of course in the same way as above mentioned, by their peripheral clear plasm coalescing and getting mixed with the membrane-like plasm investing the increasing deposit, the re- sult. being that all the calciferous cells cooperate in forming the organic ground-substance for the outgrowing spicule and in providing this sub- stance with new caleareous salts in liquid form, which subsequently be- come deposited round the spicule. \ Thus we see that the calcifying matrix, originated from the ecto- plasm of many calciferous cells, predetermines the form of the increa- sing deposit and gives rise to the organic substance in the deposit as well as to the thin coat or membrane which invests it. Besides, the cells in question need not be closely packed, but lie sparsely, and in full-sized spicules they become rare in such a degree, that one is tempted to suppose that they have parted from the calcifying matrix in order to constitute subsequently new centres of calcification. As a rule, calciferous cells are present at such parts of the in- creasing spicule, where branches protrude, apparently caused by them, but this seems not always to be the case in the formation of unimpor- tant spines. This fact cannot be explained otherwise, than that the ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 39 common pseudopodial matrix is able to thrust out branches, in which the calcification takes place of such spines as are of less importance to the larva and variable in position. There is but little doubt that the caleareous deposits in other Echinoderms originate in the same way as above described, and when I take into consideration the mode of for- mation and growth of bone in vertebrated animals, it seems to me very credible that the ossifying ground-substance is not formed in an intercellular substance, but is originated by direct conversion of the plasm of the osteoblasts. MINE I The development of the Pluteus. With regard to the Pluteus in Echinocyamus, there are three sub- sequent stages to be discerned, which are distinguished by a different number of centres of calcification and by a gradual increase in the num- ber of rods and arm-like appendages. The first stage of the Pluteus is characterized by possessing only two centres of calcification, and consequently two rods and two larval arms, viz. the posterior ventral ones; besides, during the latter period of this stage, two anterior ventral arms begin to grow out. The changes which the larva undergoes during this stage, are in short as follows. The Gastrula curves slightly towards the ventral surface, which becomes con- cave, and its ectodermic cells flatten except at the animal pole, where they remain high and cylindrical, Pl. III, fig. 37—39. Then the two first arms of the larva begin to arise. At first they appear as two small protuberances, arranged symmetrically one on each side and slightly in front of the blastopore, and in them a latticed rod is visible which has protruded from the calcareous star on each side of the larva. It almost seems as if the protuberances were caused just by the growth of the caleareous rods towards the ectoderm, forcing this to bulge out. The protuberances rapidly increase so as to form the long narrow posterior arms characteristic of this pluteus stage, Pl. V, fig. 82—85. Forty-eight hours after the fecundation, the larva has reached a total length of about 0,2 mm. and the arms have attained about half this length, Pl. III, fig. 40—41. At this time the ciliated band is also 40 HJALMAR THÉEL, to be traced by the fact that the cells, where the band develops, present themselves columnar in profile and, when viewed from the surface, some- what smaller and polygonal from mutual compression. Of course, those cells still remain highest, which originally belonged to the animal pole of the Gastrula but have directly passed into the ciliated band. In the meantime, great changes have taken place with regard to the shape of the body. The dorsal surface has been highly convexed, which is also the case with the under part of the ventral, while the rest of that surface has become strongly concave. Thus, two areas are to be observed on the ventral surface, of which the anterior concave one is bounded by the ciliated band. The whole animal gradually assumes the shape of a bell turned upside down, which becomes more conspi- cuous in somewhat older larvae. The cells at°the original vegetative pole have passed into the entodermie sack during the invagination, and the blastopore itself has gradually changed place in front on the convex part of the ventral surface, and consequently the posterior end of the Pluteus in no respects corresponds to the vegetative pole of the Gastrula. In the meantime the first formed pair of calcareous stars have increased and changed considerably, their three processes or rather rods having lengthened obviously and obtained spines or small bran- ches. One of the rods, Pl. V, fig. 82—85 c, runs on the central surface of the larva towards its middle-line, crossing the corresponding rod of the opposite. star just at the transverse portion of the ciliated band. Often they not only cross but also coalesce. The second rod, Pl. V, fig. 82—85 b, passes along the ventral surface towards the poste- rior end of the larva, and the third runs towards the dorsal surface, Pl. V, fg. 83 f, and divides into two, of which one branch, Pl. V, fig. $2—85 e, extends forwards towards the anterior lobe of the larva in order to support subsequently the anterior ventral arms, while the other passes towards the posterior end of the larva and there obtains consi- derable branches, which meet those from the posterior ventral rod, Pl. - V, fig. 62—65 d. However, the arrangement of these latter branches is subject to variations of more or less importance, which may be best understood from the figures. Lastly we have to pay attention to the latticed rods, which support the posterior ventral arms of the larva, Pl. V, fig. 82—85 a. As before mentioned, they begin to arise du- ring the gastrula stage as three small processes, one on each rod, of the star close to its centre, Pl. III, fig. 38. These processes stretch in ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 41 lengtb, run parallel and become connected by transverse beams. With the inerease of the larva itself and its arms, the latticed rods extend in length and become spinous. Thus, each of the two centres of calcification has given rise to a very complicated spicule on each side of the Pluteus, which is built up of two posterior rods supporting the under half of the body, one un- paired one running towards the ventral middle-line, one passing for- wards to support the upper part of the larva, and one latticed rod ex- tending into the larval arms. The two last rods on each side hold the concave part of the bell in a state of expansion. The Pluteus in this first stage reaches its maximum size at about six days after the fecundation, Pl. V, fig. 82—85, and after this a short period of repose in the development seems to take place. The following measurements of a Pluteus, about six or seven days old, may be noticed: Length from the posterior end of the body to the points of the posterior arms = 0,4 mm. Length of the body itself including the anterior arms = 0,26 mm. Length from the posterior end of the body to the base of the posterior arms = 046 mm. With regard to the external shape- of the Pluteus in this stage, there are some variations, the under half of the body being either conical or cylindrical with broad obtuse end, or even spherical. In con- nection herewith, certain deviations take place in the reciprocal position and communication of the supporting rods. Sometimes I also found that the latticed rods rise with a simple basal staff, Pl. V, fig. 85 a. Meanwhile, the invaginated entodermie sac has undergone con- siderable changes. The blastopore becomes removed far from the poste- rior end of the body, and the archenteron itself, at first a straight cy- linder, curves and grows towards that point of the ventral surface, where its blind end subsequently meets the ectodermic invagination in order to form a communication with the exterior, Pl. III, fig. 41. Even before the junction of the oral and anal involutions as well as before the formation of the vaso-peritoneal vesicles, the archenteron shows three different portions marked by slight constrictions, Pl. III, fig. 42—43, which eventually give rise to the intestine, the stomach and the vaso-peritoneal vesicles, and probably also partake in the for- mation of the cesophagus. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6 42 HJALMAR THEEL, Now the blind end of the archenteron commences to undergo a series of remarkable changes. It assumes at first a rounded expanded appearance, Pl. III, fig. 43, after which it flattens, becomes depressed against the rest of the archenteron, fig. 47, and presents itself as a disc, fig. 48, which grows larger, while its peripheral part bends towards the archenteron, fig. 49. Simultaneously it becomes gradually separated by constriction fig. 44 c, so as to form a vaso-peritoneal vesicle, which takes a dorsal position and at the same time divides into two vesicles, which arrange themselves on the right and left sides of the cesophagus, fig. 45 c. It seems to me that the separation of the two vesicles is almost completed at the moment of the constriction of the whole. The left ve- sicle places itself in communication with the exterior by the water-pore, this being accomplished at the end of this pluteus stage, Pl. V, fig. 84. the second day after the fecundation and before the anterior ventral arms of the larva are formed, the funnel-shaped oral invagination of the concave ventral surface takes place, Pl. III, fig. 41, in order to meet the archenteron immediately after its separation from the vesicles above mentioned. In the stages of Pluteus, in which an age of six days has been reached, the digestive tract is well developed and rather complicated, its different regions being sharply distinguished. The entrance to the mouth presents a wide, slightly depressed space, Pl. V, fig. $2—83 m, well limited by high columnar cells and extending over a good deal of the anterior ventral concave area of the larva. Posteriorly the mouth nar- rows into the œsophagus, fig. 82—8&3 oe, which is a rather long thick- walled tube, lined with a high ciliated columnar epithelium, round which fine contractile fibres are to be observed, the cesophagus thus acquiring the capability of powerful contraction. But the cesophagus is also able to shorten, and in such a state it presents rather a spacious cavity. Besides, the larva often repeats a powerful swallow, in the course of which a part of the gullet invaginates into the stomach. The gullet communicates by a wide constricted opening, dorsal in position, with the large globular stomach, fig. $2—65 st, which fills up a good deal of ihe larval body, and is lined with not very high ciliated cells each containing a large round nucleus. At the ventral side of the stomach and posteriorly a round opening leads into an intestinal sac, fig. 82—83 r, which is obviously thin-walled and opens externally through the blastopore, or rather anus, which is situated more in the ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 43 front, fig. 82—83 n. Thus, the intestine lies pressed between the sto- mach and the ventral wall of the larva. In the full-sized Pluteus of this first stage even the ectoderm has changed remarkably. In the Gastrula it consisted of a rather uniform cylinder-epithelium except at the animal pole of the larva, where it at- tained a considerable height. A few days afterwards, when the larva is about three or four days old, the ectoderm has become very thin, except at the ciliated band, and is made up of a simple layer of large poly- gonal flattened cells with distinct nuclei. A section through the larval body-wall shows that the cells resemble much flattened scales with a slight dilation where the nucleus has its place, Pl. IV, fig. 599—960. Owing to the size of these cells and the fact that they each carry only a single cilium, the cilia become rather sparse on the surface of the larva. Seattered among the above polygonal cells, cthers are to be found which present a round discoidal form, Pl. IV, fig. 58, and are marked by a number of dots, which treated with nitrate of silver become very well defined and when seen in profile appear as small knobs. By the use of the same staining reagent we find that the surface also of the polygonal cells appears finely punctuated. Is seems probable that this punctuation is due to minute plasmatic processes shooting out from the cells and that the larger dots or rather knobs in the rounded cells are nothing but bundles of such processes, which surround the cilium. In- deed, as I have already said, I have often observed that the cells are provided with not only a large cilium but also with minute hair-like processes which give the surface of the cells a finely fringed appearance. The cells which constitute the ciliated band are remarkable. They present themselves in the shape of a bottle bearing outwardly, besides a cilium, a considerable border, Pl. IV, fig. 61—63, and when examined with the highest power, they curiously remind one of collar-cells in the Porifera. Each cell is produced at its free extremity into a long cilium, round the base of which the clear ectoplasm of the cell protrudes like a collar, which sometimes appears homogeneous, but often on the other hand is finely striated, as if it were composed of fine ectoplasmie processes. All these minute projecting parts of the ectoplasm of the cells whether they are scattered as in the polygonal flattened cells, or collected in. bundles as in the -discoidal cells, or united so as to form a collar, offer great interest and have as far as I know escaped the attention of other investigators. They possibly explain the way in which the collar is formed in the true collar-cells in the Porifera. At first, there 44 HJALMAR THÉEL, may be minute ectoplasmie processes more or less crowded over the free extremity of the cells, and subsequently these become either arran- ged in groups or, as is the case in the bottle-shaped cells of the Plu- teus and probably even in the collar-cells in the Porifera, they fuse so as to form a ring or collar of clear plasm round the cilium. In this stage of development we also find inside the ectoderm irregularly branched pigment-cells, Pl. IV, fig. 71—73, which contain, besides an accumulation of coloured pigment-granules, a good many small refracting globules and a large nucleus. Often the pigment- cells intercommunicate by their branches. As the larva advances in development, it gradually deepens in colour owing to the increasing aggregation of pigment-molecules. Besides, filaments and cells with amoeboid processes connect the digestive tract with the body-wall of the larva. Towards the end of this developmental stage, the left vaso-peri- toneal vesicle has pushed its way to the surface of the dorsal median line and passed into the water-pore. The second stage of Pluteus commences to develop at eight or ten days after the fecundation, Pl. VI, 86—68, supposing that the process has gone on in a normal way, and is indicated by the rise of two new centres of calcification which originate one on each side of the larva in the angle formed by the posterior ventral arms and the oral portion of the body. By the agency of the mesenchyme cells a calcareous three- armed star arises in each centre. 'The rods of the star pass, one slightly forwards and the other two in an opposite direction. One of the latter, which keeps on the ventral surface, remains short and ends with a small slightly perforated plate, Pl. IV, fig. 65, while the remai- ning one runs dorsally, gives off branches and crosses the correspon- ding rod from the deposit of the opposite side. From the centre of each deposit a latticed rod takes its origin, Pl. VI, fig. 86—68 y, and extends into the posterior dorsal arms of the larva which are just be- ginning to grow out. Simultaneously, as the second pair of posterior larval arms pro- trude, or sometimes slightly before, an ectodermic invagination takes place on the left side of the larva, Pl. VI, fig. 69 x, presenting itself at first as a small, well defined heap of cells. This is an indication of the future sea-urchin. The third stage of Pluteus begins at about fourteen days after the fecundation and is distinguished by obtaining a new unpaired centre ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 45 of caleification, the fifth in order, which gives rise, in a similar way to that above mentioned, to a three-armed spicule, Pl. VII, fig. 92— 396, the posterior arm of which remains short, while the two anterior ones pass on each side of the oral area and enter two anterior dorsal arms, which begin to protrude close by the anterior ventral arms, Pl. VI, fig. 87 d. Thus, the mature Pluteus possesses eight arms and five centres of caleification, Pl. VI, fig. 90. It measures, including the arms which gradually attain a considerable length, about 0,72 mm. During the in- crease of the young sea urchin, the Pluteus itself gradually changes in its external shape. Its posterior portion, hitherto more or less elongate, becomes more rounded or even slightly broader than long, and the angles between the posterior arms have by degrees travelled backwards and are to be found nearer to the posterior end of the body. Meanwhile, the ciliated band and the larval tegument in its vicinity in- crease in such a degree as to cause the origin of a number of auricular lobes, which shoot out from the body and grow slightly backwards, evi- dently on purpose to facilitate the process of swimming and the loco- motion of the young sea-urchin. In this manner the Pluteus finally acquires three pairs of such ear-like lobes, Pl. VJ, fig. 90 e, f, 9. Inasmuch as the larval arms are capable of being stretched out from the body, which process in its turn forces the auricular lobes to extend in an almost horizontal direction, it is manifest that this arran- gement assists movement in! the water in a high degree and acts in a similar manner to the contractile swimming dise in the Coelenterata. But also the foremost part of the larva has undergone some changes, a small »preoral» lobe having been formed in front of the ciliated band and between the anterior arms. As far as my experiences go, the development from the mature Pluteus to the young sea-urchin takes a period of about six weeks, while the changes from the egg to the mature Pluteus pass very rapidly or in a fortnight. At least this is what has happened in my aquaria. A search into the rich literature which concerns the development of the Echinoderms, shows that I. MürLER alone has described larva of Echinocyamus in different stages, dredged by means of a tow-net from the surface of the sea. His drawings of larve obtained at Triest, Nice, Elsinore and Heligoland evidently prove that he investigated young spe- cimens of the Clypeastroid in question. In the first accounts in which larvæ of Echinocyamus are treated, I. MÜLLER was in uncertainty as to 46 HJALMAR THÉEL, their position. Thus, in the year 1852 *) he explains that they ought not to be referred to the Oiypeastroids i. e. Echinocyamus. Here he says: »Es bleibt daher noch ein Problem, die Art oder die Arten für die Seeigellarven mit gegitterten Kalkstäben zu bestimmen». However, in the year 1855 *) he expresses his decided opinion that these larvae must probably belong to Echinocyamus. As I have mentioned above, our present knowledge of the deve- lopment of the Clypeastroids is very defective and, if we except the papers of I. MérLER, is confined to an account of the development of Echi- narachnius?) and a very fragmentary sketch on Mellita‘) It is of spe- cial interest to note that the Pluteus of Echinarachnius bears such a resemblance to that of Echinocyamus, that it seems almost impossible to distinguish the one from the other. Judging from the description given by Fewxes the only difference may be »the existence of large pigment spots near the distal ends» of the larval arms in Echinarachnius, which are not present in Echinocyamus. Considering that, in spite of the rich literature, only comparati- vely few pluteus-larvæ are known so well as to make it possible to refer them to fixed species of sea-urchins, it is of course not possible to draw comparisons between them in order to gain any general results of value. - It has hitherto been a common idea that the Pluteus of the regular Echinoids is provided with ciliated epaulettes which are absent in the Cly- peastroids and Spatangoids. However, so far as is known, this appears to be accurate only with regard to a limited number of the sub-order Echi- nide. On the other hand the Spatangoids are supposed to be distin- guished by possessing an unpaired rod at the lower end. "Though this seems to be a rule in the irregular edentated Echinoids, it does not exclude the possibility of such a rod being found in other larva. Thus, for instance, PRouno?) speaks of a terminal rod in a larva of Dorocidaris 1) Ueber die Larven und die Metamorphose der Echinodermen. — Abh. 4. 1852. Sep. p. 27—29. pl. VIII. fig. 9. 2) Ueber die Gattungen der Seeigellarven. — Abh 7. 1855. Sep. p. 22— 31. pl. VII. 3) Preliminary Observations on the Development of Ophiopholis and Echi- narachnius. 1886 4) Preliminary Notes on the Echinoderms of Beaufort. 1885. 5) Recherches sur le Dorocidaris papillata et quelques autres Echinides de la Méditerranée. 1887. p. 349—350. pl. XXV. fig. 9. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 47 papillata, which he believes to be abnormal. However, at present we may take it for granted, that the unpaired rod characterizes the larvæ of the Spatangoids. With regard to the Clypeastroids, they appear to have the Pluteus more rounded posteriorly, to be devoid of epaulettes and the terminal arm, and to be in possession of but eight arms. DE The development of the young sea-urchin. The changes which take place in the larvae of the Echinoids during the metamorphosis are indeed of the highest interest, and, con- sidering the incompleteness of our present knowledge, they certainly deserve a careful reexamination. Notwithstanding this, I am compelled for several reasons to treat the chapter in question in a very summary manner. Firstly, I could not obtain larve in an advanced state before the beginning of August, and on the first of September I was obliged to resume my teaching at the University of Upsala, and consequently there was not time enough at my disposal to bring my studies to the desi- red end. Moreover from want of time I have been unable to prosecute my researches at Upsala. Lastly, in order to present a true account of the young sea-urchins at my disposal, I am greatly in need of specimens in somewhat older conditions. More than once therefore I have found myself inclined to put off the publishing of this chapter till the future, but being in uncertainty as to the time when I may get the chance of renewing my studies on the development of Echinocyamus, I have de- . cided to send forth my researches even in their incompleteness. Thus, the following pages only pretend to be considered as a preliminary ac- count or rather as an explanation of the plates. As has been previously noticed, the vaso-peritoneal vesicle becomes constricted off from the archenteron in a very early stage of the deve- lopment and becomes rapidly separated into two vesicles, which arrange themselves on each side of the cesophagus. The constriction of the ar- chenteron and the separation of the vesicles seem to pass almost simul- taneously. In a short time they are also spread backwards over a part à 48 HJALMAR THEEL, of the sides of the stomach, and subsequently each of them presents indistinetly three portions, an anterior, a median and a posterior, Pl. VI, fig. $9—91, which are at first in open communication one with the other, each vaso-peritoneal vesicle forming a single cavity. Even in this stage, the left vesicle communicates directly with the exterior by the madreporie canal and the water-pore situated on the dorsal surface and in its middle-line. I never was able to observe that the portions of the vesicies separated completely, so as to form paired cavities as is pronounced by METSCHNIKOFF ') and Bury *) to be the case in other Echinoids. According to my experiences the right vesicle or rather enteroccel remains undivided and its different portions never present themselves very distinctly. The left vesicle on the contrary shows clearly three portions, the middle one of which increases, separates gra- dually and changes into the hydroccel, while the remaining portions be- come the left enteroccel. At first the madreporie canal appears to com- municate with the anterior portion of the left vaso-peritoneal vesicle, Pl. VI, fig. 89, but during the increase and separation of the u it passes over to this, Pl. VI, fig. 91. The first "Rode of the young sea-urchin presents itself in the same manner as described by Agassiz *) and subsequently by Merscunı- KOFF ‘). In an early stage of the Pluteus, when the two posterior dorsal arms of the larva begin to protrude, an ectodermie invagina- tion takes place on the left side between the bases of the ventral and dorsal posterior arms, Pl. VI, fig. $9 x. The invaginated portion soon assumes the shape of a small bottle, the external aperture having been considerably narrowed, Pl. VI, fig. 9I x, and its free expanded end grows towards the hydroccel in order to meet it. While this is going on, the hydroccel itself also increases aud is finally placed side by side with the invaginated sac, which has attained a noticeable size and gradually become compressed so as to change into a rounded dise built up of two layers, of which the under one is very thick while the upper is thin 1) Embryologische Mittheilungen über Echinodermen. Zool. Anzeiger. VII. Leipzig. 1884. N:o 159. p. 62— 65. 2) Studies in the Embryology of the Echinoderms. Quart. Journ. Microsc. Science. New Series, N:o 116. London. 1889. p. 412—414. 3) On the Embryology of Echinoderms extr. from the Mem. of the Amer. Acad. IX. 1864. p. 7 4) Studien über die Entwickelung der Echinodermen und Nemertimen. 1869. p. 41—49. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 49 and gradually takes the shape of a fine membrane, Pl. VII, fig. 92. This differentiation. of the cells in the sac is easily traced from the beginning of the invagination. So far as I have been able to see, the opening of the invagination becomes subsequently closed, which accor- ding to Merscunikorr also takes place in the Spatangoids. I may say however that I have thought I have observed in some advanced larvae an exterior opening still remaining, Pl. VII, fig. 95. The thick-walled bottom of the disc-like sac plays an important part in the development of the young sea-urchin, while the rest of the sac only serves as a kind of amnion. When the dise is in contact with or not far from the hydrocoel. the latter sends out into the former five tubular processes or rather . feet, which thus have two different origins, the outer investment from the ectoderm, i. e. the thick-walled part of the invaginated sae, and the inner from the mesoderm, i. e. the hydrocel, Pl. VII, fig. 92—96. The feet arrange themselves round the periphery, leaving a central space of the disc free, which gradually assumes a pentagonal form and be- comes the buccal dise of the outgrowing sea-urchin. The buccal mem- brane remains for a time entire and unpierced. Now also the first traces of caleareous plates, spines and sphæridia make their appearance, still enclosed by the membraneous amnion. They arise in the following order. First the five interradial lamina begin to calcify and immedia- tely after the beginning of this process their spines begin to originate from their own centres of calcification. Then five pairs of smaller radial ealeareous plates come to view, one pair in each interstice be- tween the primary plates. Shortly afterwards one or seldom two small singular bodies appear to arise on the upper side of some of the radial laminae, which are probably spheridia, and almost simultaneously the first indications of the dentary apparatus become traceable, Pl. VIII, Jig. 106. Of course, during its growth the young sea-urchin has broken through the amnion and the larval epidermis, so as to set the spines and feet at liberty. Simultaneously the skeleton of the Pluteus has been gradually undergoing atrophy and becomes so much absorbed that only a few rods more or less destroyed are left, when the young sea- urchin has passed the stage of Pluteus in order to settle at the bottom of the sea, Pl. VIII, jig. 100—102. In the youngest stages of sea-urchin which either swam in the water or crawled about on the bottom of the aquaria, I have very of- ten, if not always, found rods protruding from the body, which are Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 7 50 HJALMAR THEEL, remains of ‘the pluteus skeleton. Besides, sea-urchins with such re- mais are by no means rarely met with in the open sea. In the year 1846 MürLER!) gave some figures of a sea-urchin with larval remains and recently FEwkEs ?) has figured a young Echinarachnius bearing long rods on the dorsal surface. Considering that these remains are in want of a cellular investment and that on the whole only scattered fragments of tissues are left on them, Pl. VIII, fig. 102, it seems not possible that they can be absorbed by the wandering cells or phagocytes as evidently is the case with the greater part of the lar- val skeleton. They probably are simply broken and thrown off from the body: After this short survey of the changes which take place during the growth of the young sea-urchin within the Pluteus, I may be allowed to describe the stages of young Echinocyamus which I have succeeded in raising in my aquaria. The very young sea-urchin, which has just lost most of the larval appendages but still retains some calcareous rods protruding from the dorsal surface, presents itself as a minute sphere or oval with the feet, spines and spherids encircling it in such a manner as to form a ring or boundary between the greater dorsal region and the small ventral one, Pl. VIII, fig. 101—102. The young one is now about forty-five days old and has a diameter of about 0,24 mm. It wants oral as well as anal openings. A closer examination of it offers a good deal of interest. The ventral space, Pl. VIII, fig. 106, in the centre of whieh the mouth eventually breaks open in older stages, is smooth,pigmented and pre- sents a more or less obviously pentagonal form. It has become inclo- sed with a ring of fifteen delicate perforated plates, which gradually began to appear in the earlier stages, when the sea-urchin was still retained within the Pluteus. The arrangement of these plates in the young Echinocyamus agrees remarkably well with that in young spe- cimens of Abatus cavernosus, described and figured by Lovén *) in his beautiful work on Pourtalesia. Here as well as there, the ambulacra are indieated by five pairs of calcified plates and the interambulacra by five 1) Ueber die Larven und die Metamorphose der Ophiuren und Seeigel. 1846. pl. VII. i 2) Preliminary Observations on the development of Ophiopholis and Echi- narachnius. 1886. pl. VIII. 3) On Pourtalesia, a genus of Echinoidea. K. Sv. Vetenskaps-Akademiens Handlingar. Vol. XIX. N:o 7. Stockholm 1883. p. 25. pl. 14. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. bl larger plates occupying the interstices between the former. However, it ought to be pointed out that in slightly older specimens the radial plates seem to have united so as to form a single plate in each ambu- lacerum. At least, I have not been able to discern more than one in the three anterior ambulacra, viz. the frontal and the adjacent one on each side of it, while in the two posterior there still remain some indications of the previous state with double plates, Pl. IX, fig. 108. The changing of the originally double plates into simple ones evidently takes. place in connection with the formation of the hollow chambers or outgrowths of reticular tissue in which the spherids become concealed. According to my view, both of the two radial plates take part in these outgrowths and become joined during this operation. As the spherids of the three anterior ambulacra arise first, and subsequently those of the two poste- rior, their calcified covering must originate in the same order, conse- quently we have an explanation why the two plates of the posterior am- bulaera have not as get had time to coalesce in the specimen above mentioned. In the year 1855 MéLLER') described and figured some young Echinoderms which he supposed to be larvæ and young of Echinocya- mus, but he did not pay attention either to the spherids or to the fact that the radial plates were originally paired; on the whole, his figure of the young sea-urchin does not seem to be very accurate. If we now return to the description of the young Echinocyamus, it may be remarked that the five primary pedicels, Pl. VIII, fig. 106, which we have already seen originate in the Pluteus, are distributed one in each ambulaerum. Besides, other pedicels successively protrude in the neighbourhood of the former though on the dorsal side of the boundary. They are all devoid of supporting rods and terminal plates and their tops present themselves as globular oval knobs slightly tapering to- wards the end. Immediately after the first calcareous deposits of the future in- terradial plates have become traceable, the spines which rest on the tubercles of the plates and articulate with them, take their origin. Of course the plates and the spines standing on their tubercles arise from two different centres of calcification, Pl. VII, fig. 922—395. The first indication of both consists in an extremely small triangular body or rather tetrahedron originated by the agency of mesenchyme cells, Pl. VII, fig. 97 and fig. 99 a. The one which is destined to become a plate, sends 1) Ueber die Gattungen der Seeigellarven. 1855. p. 22—31. pl. VIII. 52 HJALMAR THEEL, out three rods and takes the form of a three-armed spicule with equal angles. Afterwards the ends of the arms are dichotomously branched, and by a repetition of this process and the joining of the arms a plate with large holes arises, which increases by new branches successively protuding and uniting, fig. 9/—398. In the meantime arms also begin to grow in a vertical direction from the central part of the plate in order to raise the tubercle of calcareous network. In the way that I have just sketched the larger interradial plates originate and grow so as to as- sume gradually the form familiar in the young sea-urchin. In these plates, fig. 98, which measure about 0,07 mm. in diameter, the centrally placed meshes first brought into existence are always considerably wider than the peripheral ones originated later. As to the mode in which the spines develope, it will easily be understood from. the series of figures I have given, Pl. VII, fig. 99 a—k, for which reason I prefer to treat it very summarily. As already mentioned, the spines, as well as the plates, begin as a minute triangular deposit or rather tetrahedron placed on the exterior side of the increasing plate and at some distance from it. The three angles divide each in two, and thus the deposit changes into a minute star having six obtuse arms and measuring about 0,04 mm. in diameter. The arms increase in length until the star has reached a diameter of 0,012 mm., after which their ends become knobbed and gradually send out two opposite processes which unite, and now we have a wheel-shaped deposit. Simultaneously the centre protrudes a vertical spine. The wheel gradually changes into a spine, which has a length of 0,1 mm. in the young sea-urchin in question. The basal portion of the spine, which is enlarged so as to form a kind of head, becomes connected with the plate by strong muscular fibres, which effect the movements in all the directions of which the spines are capable. According to Lupwie") the spines in Asterina gibbosa Forges take their origin in the same way and later Semon”) described almost the same developmental process in Ar- bacia pustulosa etc. As the young one grows larger, the spines increase and assume gradually the final shape characteristic of those in the mature sea-urchin. Thus, in the largest young ones I have succeeded in raising in my aquaria, 1) Entwicklungsgeschichte der Asterina gibbosa. 1882. p. 177. pl. VIII. 2) Beiträge zur Naturgeschichte der Synaptiden des Mittelmeers. 1887. p. 295. pl. 10. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 53 Pl. IX, fig. 107, two different kinds of spines have been developed, i. e. long true spines tapering towards the free point, and short ones with the end broadly truncated and provided with long needles. The for- mer occupy a space round the animal between the upper and lower sur- faces, while the later ones protrude also from this space but principally from the dorsal region. Besides, the truncated spines are distinguished by a covering of long cilia, in consequence of which they may be able to perform functions deren, from those effected by the long spines. In connection with the explanation of the development of the plates and spines, it seems suitable to give a short account of the origin of the sphæridia, detected and first described by Loven’). According to him several forms of the Clypeastridæ, and among them Echinocyamus, have only a single spherid in each ambulaerum. As far as my experiences go this is a rule, but in young specimens two of these sense-organs are not seldom met with in some of the ambulacra, though in such cases the second probably is subjected to a retroactive developmental pro- cess. Exactly as Lovin says in his report on Pourtalesia with regard to Cassidulus, the spherids in Echinocyamus also are at first free and un- covered, Pl. VIII, fig. 106 and Pl. IX, fig. 108, but become subsequently overgrown by a calcareous net-work. It ought to be kept in mind, that they do not become visible all simultaneously, but that those of the trivious ambulacra first arise, the frontal portion of the young being thus clearly marked. The origin of the spherids is as follows, Pl. IX, jig. 110 a—e. Like the spines, they also appear as exceedingly small tetrahedrons, three angles of which become bipartite so as to form a star with six arms while the fourth grows into a small central vertical spine. This passes at a very early stage, when the plates and spines are still small, incomplete and enclosed within the Pluteus. The point of the central spine sends out three upwardly directed rods, which are curved and have their ends converging. One of these small deposits measures about 0,01 mm. in length, and is held upright by tke star which serves as a supporter. Then, the three rods send out near their point of origin a process which grows downwards in order to coalesce with the arms 1) Om Echinoideernas byggnad. — Ofversigt af K. Vetenskaps-Akademiens Fórhandlingar 1871. N:o 8. p. 1065—1068. — Études sur les Échinoidées. — K. Sy. Vetenskaps-Akademiens Handlingar. Vol XI. N:o 7. With 53 plates. Stockholm 1874 p. 3—11. — On Pourtalesia. — K. Sv. Vetenskaps-Akademiens Handlingar. — Vol XIX. N:o 7. With 21 plates. Stockholm 1883. p. 39. 54 HJALMAR THÉEL, of the star, which proceeding appears to take place in a somewhat different manner. In the meantime, the rods themselves unite with their conver- ging points and gradually swell towards the top, so that finally the spherid as seen from above presents itself as three globes closely united and with a minute hole in the middle. This stage, which mea- sures about 0,018 mm. in length and 0,024/mm. in breadth, is the oldest I have had at my disposal. According to LovEn*) the mature spherids in Echinocyamus have a height of 0,0 mm. and a breadth of 0,11 mm. Considering this fact, it is clear that the calcareous covering, in which the spherid is concealed, ought to change from time to time in size, but this evidently cannot take place without a resorption followed by a new formation. Almost at the same time as the spherids begin to originate, the first indication of the dentary apparatus appears. A careful examination of the ventral region shows that inside the buccal membrane in each interradium three minute calcareous deposits become visible long before the mouth opens externally, Pl. VIII, fig. 105—106. Of these deposits the middle one in each interradium early assumes a singular shape and structure, being designed for a tooth, jig. 106 t. Shortly after the appearanee of the deposits above mentioned, three other caleareous spi- cules of minute size gradually become visible in each radium inside the buccal membrane, but somewhat deeper than the primary deposits, fig. 105. Altogether then, the Aristotle’s lantern is built up from thirty centres of calcification, fifteen radial and as many interradial, five of which develop into teeth. The twenty-five spicules arise in the same way as the peristomal plates and grow into as many irregular pieces of a meshy tissue, which coalesce or join so as to constitute the alveoli, which form a kind of socket in which the teeth are set. The manner in which the changes of the different spicules take place in order to raise the lantern will be understood from the figures, Pl. IX, fig. 108—109. The adjacent surfaces of the alveoli become united by strong transverse muscular fibres. While the alveoli are made up of a caleareous network, the meshes of which are unequal and in certain places almost disappear on account of the vigorous increase of the bars inclosing them, the teeth themselves present a structure quite different. When first distinguishable, they have the form of a mi- nute almost equilateral triangle with one angle towards the centre of the buccal membrane and the opposite base placed lower when the 1) Études sur les Echinoidées. 1874. p. 8. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 55 animal is examined from the ventral surface, the young teeth thus acqui- ring an oblique position. Moreover, the tooth does not form a plane triangle, its upper or rather inwardly directed surface being concave, the opposite convex, Pl. IX, fig. 111 a—d. If we subject the convex surface to a careful investigation we see clearly that a keel runs from the top to the middle of the base and that another low ridge passes along the base and close to it, crossing the keel, fig. c—d. This being so, I am much inclined to believe that also the teeth originate as small tetrahedrons. During the increase the tooth gradually assumes the shape of an elongate isosceles triangle with the long sides curved inwardly. In contrast to the alveoli, plates etc., which are composed of a calcareous net-work with unequal and irregular meshes, the tooth in this condition presents itself as a thin imperforate lamina of great transparency. Already in a very early state, when the deposit reaches a size of only 0,008 mm., two new very minute triangular laminz appear placed side by side at the base of the first lamina and on its inner concave surface, fig. 111, b—c. The sides of these triangles are unequal, but in such a way that they form together an equilaterally triangular lamina, their adjacent sides being subsequently overlapped and during growth more and more united. The coalescence begins with the angles, which are directed towards ihe top of the future tooth, and extends by degrees backwards, the bases still remaining separate for some time. The lamina, arising in the way just sketched, arranges itself close to the inside of the primary lamina, assumes the same curvation and in- creases forwards as well as backwards, so that the paired base ex- tends further back than that of the primary lamina. Successively new laminz arise inside the former and increase in the same way, the result being that the tooth gradually elongates and gets thicker. At the same time as this is, going on, the long sides of the triangular laminae be- come more and more.bent towards each other, so that they finally meet and partly join with their anterior parts. Owing to this, each lamina almost acquires the shape of a hollow cone, and the whole tooth pre- sents itself as a series of cones pushed one into the other, Pl. IX, fig. 112. During this developmental process, the increasing tooth becomes slightly arcuate in the direction of its length. Seeing that new laminæ incessantly arise at the base, the tooth is necessarily forced to protrude, so that its top gradually advances to the centre of the buccal membrane, which stil remains unpierced. Such a tooth of a sea-urchin fifty days old has a length Of 0,0 mm. and a breadth of 0,024 mm., and its top 56 HJALMAR THEEL, a small dilatation, fig. 112. Subsequently the end of the tooth grows more powerful and commences to give off spines more or less ob- tuse, which, when the tooth has reached such a length that it becomes visible through the just opened mouth, which happens at about sixty days after the fecundation, Pl. IX, fig. 109, appear not only on the lateral sides, but on the cutting edge, where they grow large and blunt. 'This is a fact of interest, since in the fully mature Echinocya- mus the teeth are devoid of spines. As to the carina, there are scarcely yet any traces of it to be detected. The question whether the teeth originate by the agency of cells folded in from the epithelium or from migratory cells, may at present be left undecided. However, I believe that the buccal membrane cannot partake in this process, and on the whole I was never able to observe any kind of invagination of ectoderm or entoderm. GresBREcHT *) has in an excellent manner described the structure of the teeth in the sea- urchins and I hope in the future, when I have succeeded in raising older stages of Echinocyamus or of other sea-urchins, to be able to confirm his statements, the specimens hitherto at my disposal haviug been too young. After this short sketch of the metamorphosis of the sea-urchin, I may perhaps describe in a few words the oldest young one I have raised in my aquaria, which reached an age of about two months, Pl. IX, fig. 107. It has assumed an oval form, and its dorsal surface is convex while the lower one is almost plane. The measurements are as follows: Length of the body without spines . . . . 04 mm. Breadth of the body » » Say Seo ss imm: Length of the pointed spines . . 1 . 0,2 mm. Lensth of the two posterior one spines . 0,3 mm. Length of the truncated spines. . . . . 0: mm. If we glance at the figure, the bilateral arrangement must appear very striking. Not only do the spines in general seem to be symmetrical in position, but especially the two long posterior spines contribute to give the animal a bilaterally symmetrical aspect. Besides, considering the smallness of the spines in the adult animal, it must be surprising to find them in the young attain such a length. The buccal membrane has just become pierced, and the mouth thus produced pre- 1) Der feinere Bau der Seeigelzihne. — Morphol. Jahrbuch. VI. Leipzig 1880. p. 79—105. ECHINOCYAMUS PUSILLUS. 57 sents a pentagonal outline with the angles in the direction of the in- terradia, Pl. IX, fig. 109. The spinous teeth protrude through the oral opening. In spite of repeated investigations, I have not succeeded in detecting any anal aperture, wherefore I suppose that the posterior ex- tremity of the alimentary canal still remains closed. The dorsal region is strengthened by a large calcified perforated plate covering the greater part of the back, Pl. IX, fig. 107. If we try to trace the origin of this dorsal plate, it appears, sin- gularly enough, to arise in a way different from that in which the other plates develop in the young sea-urchin. An examination of the figures, Pl. VIII, fig. 100—104, shows clearly that it does not originate from a new centre of calcification as is the case with the other plates, but . that it grows out from the central part of the odd dorsal rod which charaeterizes the fully mature Pluteus, fig. 100 o. As may be remem- bered, this rod consists of two anterior arms and a shorter posterior one which all meet and join in a centre situated close to the place where the madreporie canal opens externally. From an inspection of the figures it is clear that even in the pluteus stage the rods send off branches whieh by degrees unite and protrude new branches, so as to produce a network with large irregular meshes round the water-pore. The plate thus formed gradually increases in size and during the process of growth the primary rods become more and more constituents of the plate. When the plate has attained such a size as to cover a good deal of the dorsal region, traces of the two anterior rods of the spicule still remain distinguishable. Of course, I do not mean by this to deny that some parts of the rods in question, especially their ends, have under- gone resorption, which seems to be the case with most of the larval skeleton. In order to understand the growth of the calcareous deposits in general and all the changes which take place in connection with it, we must note that a re-deposition of calcareous matters must occur side by side with an absorption just as is the case during the formation and . growth of bone, or in other words, while a part of the wandering cells are employed in building up, other so-called phagocytes devour and destroy such parts of the plates, rods etc., which are useless or impede the advance of a normal development. Q 03$» 9 co San 4 mud. À b y I »Y - I nd HB Ie pore PALER SOR en 44 oun A0 LO LEES ORE ha RT RR er TE NETTE ong ib Tea Peeve nw at p TULIP Dn "och 6E ant Or zy nia: A ir nud SURE REPE PH) vy Wer pum ire ts 4 Wa M M n hiv HIELT. TE i DOTT PETI IY Bagh dic EE use » HI gn hey i Di Ora goto Mm wed " NT LUUD AN | ael adito iun yum REST TN » » Plate I. The mature ovum in its mucilaginous coat at the moment of impregnation. One sperma- tozoon is entering the yolk and the vitelline membrane is just beginning to separate. Diameter of the egg including its coat: 0,16 mm. The same ovum slightly later. The vitelline membrane has separated and the egg shows very fine radiating pseudopodia. The same ovum at about 10 minutes after the fecundation. The male and female pro- nuclei have fused to form the first segmentation nucleus, round which the clear plasm shows a radiate arrangement. The vitellus is surrounded by a thin layer of homoge- neous plasm, which is omitted in most of the figures, as is the case also with the mu- eilaginous coat. The same ovum somewhat older. The nucleus has begun to change into a spindle and traces of a radiate arrangement of the plasm are still seen at its poles. The same ovum slightly later. The spindle is complete and a plasmatic radiation at each pole becomes discernible. The same ovum at about 30 minutes after the fecundation. The spindle and the radia- tions begin to disappear. The same ovum slightly later, showing the pestle-shaped figure. The same ovum somewhat older. The polar radiations have begun again to appear. The same ovum at about 40 minutes after the fecundation. The first division has begun. The same ovum slightly later. The two segments are separated, oval and slightly flattened against each other. The radiations remain distinct. The same ovum slightly later. The segments have changed into spheres. The radiations have disappeared. The same ovum slightly later. The segments have changed into hemispheres and become pressed against each other. The nuclei are well defined. A radiation is traceable. The same ovum slightly later. The segments have begun to separate again. The nuclei are indistinct and the radiation has disappeared again. The same ovum slightly later. The segments have separated, are oval again and show the pestles. : The same ovum at about one hour and 10 minutes after the fecundation. The same ovum 5—10 minutes later. The second segmentation stage is accomplished, four equal segments having separated. Seen from above. The same ovum slightly later. The segments begin to press against each other. The same ovum slightly later, The same ovum slightly later. The segments are closely pressed against each other. Seen from above, A spermatozoon. Length: 0,06 mm. N. B. Where no measurements are given, the figures are more or less highly magnified, Fig. 21 22. 23. 24. 25. » 26. yy » 28. » 29, 2.2230; D Sila DU T SS De aa: » 34. D 3b. » * 36. Mate Ul, The same ovum as in the preceding plate, though slightly later. The segments have sepa- rated again. Seen from above. Side view of an ovum with four segments. The same ovum as in figure 21, at one hour and 55 minutes after the fecundation, The eight segments are in a state of compression against each other. Seen from above. The same ovum as in figure 22 though later and with eight segments. Side view. The same ovum as in figure 23 at two hours and 20 minutes after the fecundation. Sixteen segments: four micromeres, four »large» macromeres and eight »small» macromeres. Seen from above. The same ovum as in figure 24 though later and with sixteen segments. Side view. The same ovum as in figure 26 though later and with thirty-two segments. Side view. Optical section of the same ovum as in the preceding figure. The same ovum as in figure 25 at about two hours and 35 minutes after the fecundation. Stadium with thirty-two segments. Seen from above. The same ovum as in the preceding figure at about three hours after the fecundation, Stadium with sixty segments. Seen from above. Ovum at about seven hours after the fecundation. The egg has changed into a Blasto- sphere with a diameter of about 0,1 mm. Optical section. Several blastomeres are in a state of division. Stained with Grubler’s acetic acid carmine. Blastula at about thirteen hours after the fecundation, stained with Grubler's acetic acid carmine. Several cells are in a state of division. The cilia have protruded. The larva is still enclosed within the mucilaginous coat. Length = 0.14 mm. Breadth = 0,09 mm. Blastula at about twenty hours after the fecundation. Optical section showing how the wandering cells loosen from the vegetative pole and arrange themselves in the bla- stocel. Length = 0.19 mm. Breadth = 0,0 mm. É Young Gastrula at about twenty-five hours after the fecundation. The first pair of cal- careous deposits have arisen. Optical section. Length = 0,23 mm. Breadth = 0,08 mm. Blastula at about twenty-five hours after the fecundation. Two calcareous stars have begun to arise. Optical section. Length = 0,2 mm. Greatest breadth = 0, mm. Blastula at about thirteen hours after the fecundation, developed from the egg repre- sented in figure 30. Optical section to show the wandering cells. The larva is still enclosed within its mucilaginous coat. a PLATE III. E i > E ATP : _ FALSE * D P" x y > B i D = © > å à D . = £x = = à! =. mw ^ 5: 5 rs : Lum 4 RS E n x 4 2 a B abe dts mouth. gullet. vaso-peritoneal vesicles. stomach. intestine. AGFA anal aperture. opening between the stomach and the intestine. Young Gastrula at twenty-nine hours after the fecundation. Optical section. Length = 0,2 mm. Breadth = 0,11 mm. Gastrula at about forty hours after the fecundation; it has just begun to change into a Pluteus. Optical section. Length = 0,»4 mm. Greatest breadth = 0,14 mm. Side view of a young Pluteus at about forty-eight hours after the fecundation. Length aq = 0,24 mm. Young Pluteus somewhat more advanced, at forty-eight hours after the fecundation or slight!y more. Seen from the ventral surface. Length = 0,2 mm. Hardened with osmie acid and stained with Beale's carmine. The same Pluteus. Side view. Diagram of the archenteron in a very young Pluteus. The shaded area marks the posi- tion of the blastopore. The same in a slightly more advanced Pluteus. The same in a somewhat older Pluteus, showing the oral invagination, the different por- tions of the intestinal tract and the vaso-peritoneal vesicles, which last are almost con- stricted off. The same slightly later. The oval invagination has joined the archerteron and the vaso- peritoneal vesicles have separated. The same. Side view. The blind end of the archenteron and the vaso-peritoneal vesicle at the beginning of their separation. The same in a slightly older larva. The same in a more advanced larva. Longitudinal section through the vegetative pole of a Blastula, to show ihe separation of wandering cells. Treated with Flemming's fluid. The same of another Blastula. Hardened in Flemming's fluid and stained with hematoxylin. Longitudinal section through the invaginating pole of a very young Gastrula. Treatment the same. The same of a slightly older Gastrula. Treatment the same. ' The same of à somewhat older Gastrula. Treatment the same. Longitudinal section through the blind end of the archenteron of an older Gastrula. Treatment the same. Longitudinal section through the archenteron of a Gastrula. Treatment the same. The same. Treatment the same. PAIN CT % Li 3. Pig. 39. ee NIS CN cow Eig oo I PAS | —— Jar W, Schlachten Stecsholn: ^ 4 FP LATE IV. Plate IV. Fig. 58. A portion of the ectoderm taken from the right side of a Pluteus in its first stage, God) (m) im dm - showing two different kinds of cells. The calcareous deposit of the right side appears through the ectoderm. Treated with nitrate of silver. 59. Section of the ectoderm of a Pluteus six days old. Hardened in osmic acid. 60. Optical section of the ectoderm, drawn from a living specimen six days old. 61. Section of the ectodermic cells of the ciliated band. Hardened in osmic acid and stained with hæmatoxylin. 62. Side view of an arm of a young Pluteus to show the relation in size between the large flat ectodermic cells and the cylindrical bottle-shaped ones of the ciliated band. Treated with nitrate of silver. 63. The same cells as those drawn in figure 61, though under a higher power. 64. Section of the body-wall of a Blastula. 65. Portions of the two deposits of one side of the mature Pluteus. 66—68. Mesenchyme cells of a Pluteus, aboüt fifty hours old. Treated with osmic acid. 69. Calciferous cells which have deposited a minute star, drawn from a living Blastula. Dia- meter of the cells: O,o1—0,009 mm. Size of the star: 0,004 mm. Upper view. 70. The same in a somewhat older Blastula. 71—73. Pigment cells lying close inside the ectoderm; drawn from a living Pluteus. 74—75. Centres of calcification with the tetrahedron in situ. Hardened in a very diluted so- lution of osmic acid. In fig. 75 the tetrahedron is surrounded by a lump of plasm. 76. Calciferous cells varying in size from 0,012 mm., to 0,056 mm, Treated with osmic acid. 77. Optical section of the body-wall of a Blastula showing the three-armed star situated be- tween the blastoderm and the calciferous cells. Drawn from a living specimen. 78—80. Three developmental stages of a calcareous spicule showing the relation between the deposit itself and the calciferous cells. Treated with a very diluted solution of osmic acid. 81. Optical section of the body-wall at the centre of calcification showing the common pseu- dopodial plasm of the calciferous cells running close inside the Blastoderm. A very minute deposit has just begun to arise. Hardened in a diluted solution of osmic acid. 0. Upsal. Ser. II. H Théel, Echmocyamus. Pl IV: Fig: 59. Fig. 60. JG Tholander ih: AN: Schlachter, Stockholm. PEATE V., Plate V. a: latticed rod supporting the posterior ventral arms. b: branch passing do wnwards along the ventral surface. c: branch running on the ventral surface towards its middle-line. d: branch passing downwards on the dorsal surface. e: branch passing forwards on the dorsal surface supporting the anterior arms. f: dorsal main branch, m: mouth. n: anus. oe; cesophagus. p: water-pore. r: intéstinal sac. st: stomach. Fig. 82. Pluteus at the end of its first developmental stage. seen from the ventral surface. Drawn from a living specimen. » 83. The same Pluteus. Side view. 3 » 84. The same Pluteus seen from the dorsal surface. » 85. Side view of another Pluteus. The basal portions only of the posterior ventral arms are drawn. N. B. The cilia are generally omitted in the figures. The measurements are given in the text. T, Stockholn Sp EA T-E SI. es Fig. 86 pr fs » 88. p» 89. » 90. » 9. Plate VI. posterior ventral arms. anterior dorsal arms *). posterior dorsal arms. anterior ventral arms. ear-like lobes. the same. the same. mouth. anus. cesophagus. water-pore. intestine. stomach. the left vaso-peritoneal vesicle in the act of separating into enteroccel and hydroccel. x: ectodermic invagination. y: point where the posterior dorsal arms begin to protrude. Pluteus at the beginning of the second developmental stage, about eight days old. Side view. Pluteus in a more advanced stage, about ten days old. Dorsal view. Pluteus somewhat older than that in fig. 86. Side view. Sketch of a Pluteus at the beginning of its second stage. Dorsal view. A fully mature Pluteus about twenty days old or more. Seen from the ventral surface. Length including the arms: 1 mm. Sketch of a Pluteus slightly older than that in fig. 89. Dorsal view. TRE = cm 4 & *) On pages 40 and 45 the reader will observe that the expression »anterior ventral arms» has been used for »anterior dorsal arms» and vice versa. It gg x: lene WADE : odd spicule characterizing the mature Pluteus. water-pore, hydroceel. communication of the ectodermic invaginated sac with the exterior. of the hydroccel and the invaginated sac. : 93. The hydroccel and invaginated sac in a Pluteus slightly more advanced. 94. Sketch of the left side of a Pluteus somewhat older than in fig. 92. Dorsal view. 95. The same in a more advanced Pluteus. 96. The same in a still older Pluteus. 97. Four developmental stages of a calcareous plate. 98. A more developed plate in a young sea-urchin. Upper view. Diameter: 0,07 mm. 99 ak. The developmental stages of the spines. Sketch of the left side of a Pluteus about twelve days old to show the reciprocal position Dorsal view. | EB Ee AERA — 1 = rien ie £1 d I S eine A = E cd Ecl zn | | Ea : | | = | AS} | Fe = Pa E OE c ATI -G. Tholander, Tih. II. Acta Beg Soc. 9c. Upsal. Ser. NUUS T B. vom i , ne * © - BE Ee VAN Fig. 100. Dorsal view of a Pluteus about forty-five days old, showing the spines and feet of the young sea-urchin protruding from the left side. o: odd calcareous spicule surrounding the water-pore, p, and supporting the anterior ventral arms of the Pluteus. » 101. Side view of a very young sea-urchin forty-five days old. Diameter: 0,24 mm. » 102. Dorsal view of another sea-urchin of the same age. Length: 0,26 mm. » 103—104. Dorsal views of two minute sea-urchins of about the same age and size, showing the remains of the larval spicules in a state of resorption and the change of the odd spicule, o, into the meshy calcareous plate which gradually increases and finally covers the dorsal surface. p: water-pore. Length, 0,28 mm. Age, about fifty days. Spines, feet etc. are omitted in the figures. » 105. The peristomal region seen from the under surface, showing the development of the den- tary apparatus in a young sea-urchin about fifty days old. The buccal membrane is entire and unpierced. a: frontal anterior ambulacrum, p: posterior odd interambula- crum; t: tooth. » 106. A young sea-urchin about forty-five days old, seen from the under surface. The buccal membrane is unpierced. a: frontal or anterior ambulacrum; p: posterior odd interam- bulacrum ; r: radial plates; i: interradial plates; s: spherids in their receptacles; t: teeth. H.Theel, Echinoeyamus. Pl.VIIL a TT Ci TIT je: oc, Upsal. Ser JI. 3 La Nova Acta Reg. X ith. W. Schlachter, Stockholm. d BT ns ilf À DUDAS OE, IX. Plate IX. Fig. 107. Young sea-urchin, sixty days old. Dorsal view. Length of the body including the spines: from 0,9 mm. to I mm. a: anterior extremity; p: posterior extremity; o: water-pore. 108. The peristomal region of a young sea-urchin somewhat more advanced than that in fig. 105, showing the dentary apparatus inside the buccal membrane, which still remains entire and unpierced. Seen from the under surface. Length of the buccal space: 0,18 mm.: breadth of the same: 0,16 mm.; diameter of the dentary apparatus: 0,4 mm. a: frontal ambulacrum; p: posterior interambulacrum; i: interradial plates; r: radial plates; s: spherids in their receptacles; t: teeth; z: radial pieces of the lantern in its early developmental stage. 109. The peristomal region of a sea-urchin of the same size and age as that in fig. 107. Diameter of the buccal space, 0,24 mm. The ends of the teeth protrude through the opened pentagonal mouth. 1: threads; m; muscles. The remaining letters as in the preceding figure. 110 a—e. Five developmental stages of the sphæridia. a—d: side-view; e: seen from above. Length from 0,01 to 0,012 mm. 111. Four developmental stages of a tooth. a: the first trace of a tooth seen from the outer convex surface and measuring 0,005 mm. in length and breadth; b: a very young tooth seen from the inner concave surface where a very minute deposit appears indicating the future inner lamine; c: a young tooth, 0,04 mm. long, showing two small laminæ inside the first formed one; d: a tooth somewhat more advanced. : ; 112. Tooth of a sea-urchin somewhat younger than that in fig. 107. Seen from the inner side Length: 0,8 mm. Breadth: 0,04 mm. "Nova Acta Reg. Soc. Sc. Upsal. Ser III. H. Théel, Echinoeyamus. PLIX. Fig. 108. 22 ee 4 so ERS Fig. 109. Fig: Ill. ith W. Schlachter, Stockhohn. NOVA ACTA REGIA SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS — BERIEI TERTLE VOL FASCICULUS POSTERIOR. WA (Kgs | USER, NN lu à UP SAL EA, | EXOUDIT ED. BERLING REG. ACAD. TYEOCRARH US: MDCCOXCV. AAA | SS HN OL A bos A. lf , é © III. INDEX HUJUS FASCICULL I I NEE S NT Scaurrz, H.: Meridian-Beobachtungen auf der Stern- HR A EUR Sala, en Be a ck Ansström, K.: Bolometrische Untersuchungen über die Stärke der Strahlung Verdünnter Gase un- ter dem Einflusse der elektrischen Entladung SOLANDER, E.: Vergleichung der Bestimmungen der Horizontalintensität an verschiedenen mag- netischent Observatorlen oa... sinus ws ee BERGER, A.: Sur une généralisation algébrique des Bonibres de NAME CAST E uS eese re Henscuen, S. E.: On arsenical Paralysis .. ... Perrini, H.: Sur la condition à la surface dans Ado dynamique are son. nee hs. BERGER, A.: Sur le développement de quelques fonctions discontinues en séries de KourIER . . Perrint, H.: Theorie der Vektorfunktionen als Grundlage einer analytischen Darstellung der Hauptsätze des stationären Elektromagnetis- PM re 13. Se RLS io ELA MOT EME er elr an, en BIS ECTS Pag. I— XVII. 1—44. 1—45. 1—53. 1— 33. 1—19. 1—8. 1—33. 1—60. III. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA HERMAN SCHULTZ. (MITGETHEILT DER KONIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 14 März 1891). UPSALA 1893, DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. N UR ue Y m. Folgenden will ich einige Resultate meiner Meridian-Beobachtungen auf der Sternwarte zu Upsala in den Jahren 1882—1888 mitteilen. Die Betreffenden Beobachtungen sind mit einem Repsoldschen Durch- gangsinstrumente mit gebrochener Axe ausgeführt worden. Dieses In- strument war ausser für Zeitbestimmungen eigentlich für Sonnen- und Mond-Beobachtungen und gelegentlich für Beobachtungen der grossen Planeten bestimmt. Da ich indessen in der Lage war, selbst die Beo- bachtungen ausführen zu müssen, und meine Zeit ausserdem von vielerlei anderen Angelegenheiten in Anspruch genommen, war nicht daran zu denken, systematische Sonnen- oder Mondbeobachtungen auszuführen. Die meisten Beobachtungen beziehen sich also nur auf Rectascensions- Bestimmungen von Fixsternen im Zuzammenhang mit den oben erwühn- ten Zeitbestimmungen. Die verschiedenen Teile des vorhandenen Instrumentensystemes, wie Durchgangsinstrument, Normaluhr, Registrirapparat mit besonderer " Schliessungsvorrichtung im Meridianzimmer und Pendeluhr mit Schlies- sungsvorrichtung, Drahtleitungen und elektrische Batterien waren alle etwa gleichzeitig neu angeschafft worden. Der Instrumentenpfeiler wurde im Zusammenhang damit auch neu errichtet; damals war die Stabilität der Mire noch nicht untersucht. Diese Umstände verursachten im An- fange natürlich vielerlei Schwierigkeiten, so dass die kuranten Beobachtun- gen jedenfalls erst vom Herbste 1882 an zu rechnen sind, obgleich zu jener Zeit die Instrumente schon ein Jahr lang angewandt waren. Aber auch nachher und wenigstens bis 1885 tragen die Arbeiten in vielen Hin- sichten mehr den Charakter von Studien als von geordneten, ohne Stör- ungen fortlaufenden Beobachtungen. So waren die Hauptuntersuchungen des Durchgangsinstrumentes hinsichtlich der Neigung der Axe etc. kaum vor Anfang des Jahres 1885, und die definitive Aufstellung der Nor- maluhr erst im Laufe des Sommers 1886 abgeschlossen; eine ganz be- friedigende Justirung des Centralprismas im Durchgangsinstrumente ge- Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 2 HERMAN SCHULTZ, lang erst im Herbste 1884, wonach eine stärkere Vergrösserung (144-mal. statt 108-mal.) erst mit Vorteil angewandt werden konnte; schliesslich wurde erst im Sommer 1885 die Ursache einer sehr störenden Fleckig- keit der Feldbeleuchtung entdeckt und entfernt, so dass vom September 1885 an eine 180-mal. Vergrösserung mit Vortheil angewandt werden konnte, ete. Da die Beobachtungen weniger einen umfassenden Stern- katalog bezweckten als ein für die Beurtheilung der Leistungsfähigkeit des Instrumentes hinreichendes Material darzulegen, so beschränke ich mich, in Folge schon oben angegebener und unten näher anzugebender Um- stände darauf, hier nur die Beobachtungen vom März 1885 an mitzuteilen. Ausser etwa 450 Zeitbestimmungen und einigen Beobachtungen der grossen Planeten machen alle Beobachtungen von Herbste 1882 an 2050 einzelne Rectascensionsbest. für 185 Fixsterne 5:er à T:er Grösse aus, von welchen Fixsternbeobachtungen dem Gesagten nach hier also nur 1326 Beobach- tungen oder 152 Sternen in Betracht gezogen werden. Zu folge der Ausschliessung aller Beobachtungen bis 1885 gehen indessen in einigen Fällen mehrjährige Reihen von Beobachtungen einzelner Sterne verloren. ; Das Meridianzimmer. Das Meridianzimmer, welches das westliche Ende des Hauptge- büudes der Sternwarte bildet, liegt auf der Westseite nach aussen also ganz frei, hat aber den Kuppelturm auf seiner Ostzeite. Das Instru- mentfundament ruht auf einem Klippengrund und besteht aus einer von grossen Granitsteinen grob gemauerten Unterlage. Der Zwischenraum : zwischen dieser Unterlage und den Granitwánden des Fundamentkellers ist mit trockenem Mörtel, Backsteinsschutt und Sand ausgefüllt. Die Instrumentenpfeiler sind unmittelbar auf jener Fundamentunterlage auf- gemauert. Der Fundamentkeller hat nur auf der Südseite eine kleine Fensteröffnung mit einem Doppelfenster geschlossen, hatte aber vorher auf der Nordzeite nach aussen eine Toróffnung, welche ich in Folge systematisch auftretender Variationen in der Neigung der Axe des Durch- gangsinstrumentes habe zumauern lassen. Der Keller ist also: nunmehr nur durch den inneren Kellerkomplex zugänglich, und übrigens vom Meri- dianzimmer durch dessen Fussboden von doppeltem Holz abgesondert. Die Dimensionen des Meridianzimmers sind Länge in Ost-West . . . . 7,055 m. Breite in Nord-Süd . . . . 5,990 » Höhe | will rd ania rhe Re CHO MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE ZU UPSALA. 3 Vor der neuen Instrumentirung- im Anfange des laufenden Decen- niums ist das Meridianzimmer in verschiedenen Details verändert worden, wobei die Verdoppelung der Breite der Meridianóffnung das Wichtigste war. Die jetzige Breite dieser Öffnung 1,215 m. ist nicht allzu gross, da die Mauerwände des Zimmers eine Dicke von 0,700 m. haben. Unter der Meridianöffnung sind zwei Backsteinspfeiler aufge- mauert; die Pfeiler sind mit starken Sandsteinsplatten versehen sowie mit Zinkblech und Filz überzogen. Der nördliche Pfeiler trägt das, von dem Bredmanschen Donationsfond bekostete und im Jahre 1881 eingekaufte, Durchgangsinstrument von Repsold; der südliche Pfeiler einen Repsold- schen Vertikalkreis von denselben Dimensionen wie das Durchgangsin- . strument und von analoger Konstruction. Der Vertikalkreis wurde im Jahre 1887 auf Staatskosten angeschafft. Beide Instrumente sind durch bewegliche Instrumentenhäuser geschützt. Das Meridianzimmer ist zwi- schen den beiden Pfeilern durch eine leichte Bretterwand mit Meridian- klappen abgeteilt. Übrigens enthält das Zimmer, ausser Sonnenschirmen zu den beiden Instrumenten, hauptsächlich die Normaluhr und den elektrischen Schlies- sungsapparat zu dem in einem entfernten Zimmer aufgestellten Registrir- apparat, beide von den Dudénschen Donationsmitteln bekostet und re- spektive in den Jahren 1881’und 1880 eingekauft. Auf der Nordseite der Sternwarte ist eine Meridian-Mire vorhan- den etwa 4030 m. vom Gebäude entfernt. Die Mire besteht aus einem viereckigen Granitstein mit einem starken horizontalen gusseisernen Quer- stück, in welchem drei Löcher symetrisch in horizontaler Richtung ange- bracht sind. Die Konstruktion dieser Mire ist indessen insofern nicht ganz befriedigend, dass deren horizontaler Querschnitt im Verhältnisse zur Höhe auffallend klein ist. Das Durchgangsinstrument. Das Durchgangsinstrument, auf einem starken gusseisernen Stative montirt, hat eine gebrochene Axe mit Centralprisma. Die Brennweite des Fernrohrs ist 970 m.m., und dessen Öffnung 96 mm. Die Gläser sind von Reinfelder und Hertel in München geliefert. Das instrument hat einen bequemen Umlegeapparat mit Schraube, ist mit Okularmikro- meter, Hangniveau und einem kleinen Einstellungskreis mit Niveau ver- sehen. Das Fadenkreuz lässt sich 90° um die optische Axe drehen, 4 HERMAN SCHULTZ, damit das Instrument auch für Polhöhebestimmung nach der Talcotschen Methode angewandt werden kann. Zu diesem Zweck ist auch ein feines Niveaurohr beigegeben. Keine Kollimationsschraube ist vorhanden, weil nach Repsolds Meinung die Justirschrauben des Prismas auch als Kol- limationsschrauben dienen sollen. Seit mehreren Jahren wurde Vaselin immer für Ólung der Axenzapfen gebraucht. Das Centralprisma. Das Prisma ist am Ende des Objectivrohres befestigt, die Montirung desselben übrigens die von Repsold gewöhnlich angewandte, also eine ziemlich komplicirte. Die Justirung des Prismas ist schwer und unbequem, besonders weil hier nur die eine der beiden Justirschrauben sicher wirkt. Da die feste Stellung des Prismas mir nicht als hinreichend verbürgt erschien, liess ich nach vielerlei Versuchen im Herbste 1884 die Köpfe der langen Schrauben, welche die stahlfeder längs der brechenden Kante des Prismas festhalten, mit Seitenstützen versehen. Da es nicht räthlich ist, die Prismenschrauben weiter anzu- rühren, nachdem die optische Justirung ziemlich gelungen ist, wenn man dieselbe nicht für genauere Kollimations-Justirung opfern will, kann es in Ermangelung einer eigentlichen Kollimations-Schraube eintreffen, dass bisweilen ein ziemlich merkbarer Kollimationsfehler übrig bleibt. Das Prisma musste aus verschiedenen Ursachen während des Som- mers in den Jahren 1881, 82, 83, 84 mehrmals umjustirt werden, erst im Herbste 1884 aber gelang die Justirung so vollkommen, dass die Sternbilder auch bei Anwendung stürkster Vergrósserung überhaupt ganz vorzüglich waren. Eine Ausnahme davon machten indessen die Bilder im Anfange des bei Okular ost vorangehenden Teiles des Feldes, wo fast immer die Bil- der etwas lünglich, die -Beugungsscheibe und der Beugungskreis nicht ganz voll waren. Im Herbste 1887 hatte sich das Prisma unerwartet mit Feuchtigkeit beschlagen, so dass es nothwendig wurde, dasselbe abzu- putzen. Auch bei dieser Gelegenheit musste das Prisma. ganz umjustirt werden; und, da die besprochene lokale Irregularität der Bilder ganz unveründert nach wie vor auftrat, beruht dieselbe sehr wahrscheinlich auf partiellen Formfehlern einer oder anderer Art. Indessen darf man nicht vergessen, dass die Ausführung der Justirung immer etwas zu wünschen übrig lässt, weil es in Folge der oben bemerkten Fehler der Justirschrau- ben unmöglich ist, eine Drehung des Prismas in der Richtung durch die brechende Kante und senkrecht gegen die reflektirende Fläche des Pris- mas sicher zu bewirken. Ebensowenig darf man übersehen, dass die Ju- stirung immer durch Anwendung eines Reflexsternes von der Sonne ohne dass Mann das Instrument im Aritmuth drehte, ausgeführt wurde. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE ZU UPSALA. 5 Das Axen-niveau. Das Gestell des Hangniveaus war ursprünglich ziemlich schwach, und, da die Nivellirungsresultate auch keine gute Übereinstimmung zeigten, liess ich schon im Jahre 1882 die Seitenstücke und die Lager desselben möglichst verstärken. Im Zusammenhang hiermit wurden auch die Ständer zwischen der grossen horizontalen Tragfeder und den Frictionsrollen der Axe neu hergestellt, um die wirkende Feder- kraft besser modifieiren zu können. Um bei der Umlegung möglicher- weise entstehenden Spannungen im, Niveaugestell vorzubeugen, wurde später das untere feste Anschlagsstück desselben mit einer kleinen Fric- tionsrolle von Stahl ersetzt. Ungeachtet dieser scheinbaren Verbesse- rungen blieben die Nivellirungsresultate, wenn auch besser übereinstim- mend als vorher, jedoch immer noch nicht ganz befriedigend, so dass ich schon in demselben Jahre mich genöthigt sah, eine neue Nivellirungs- methode zu versuchen, indem das Niveau nicht wie vorher auf die Zapfen umgehängt wurde, die Umhängung das Niveaus aber durch Umlegung der Axe in den Lagern ersetzt wurde. Die Nivellirungen wurden nachher immer in dieser Weise ausgeführt. Die Resultate zeigten wieder eine viel bessere Übereinstimmung als vorher; da aber die scheinbare Varia- tion in betreff der Neigung der Axe bisweilen grösser ausfiel, als zu erwarten war, machte ich zunächst im Sommer 1883 eine Vorrichtung für Zurückspannung der Tragfeder, so dass bei der Nivellirung und bei den Durchgangsbeobachtungen die Axe mit vollem Gewicht auf den La- gern ruhte. Bei den Einstellungen und überhaupt bei grösseren Dre- hungen um die Axe wurde die Spannkraft der Feder natürlich immer iu Anspruch genommen. Dieses ziemlich mühsame Experiment wurde bis zum Anfange des Jahres 1885 fortgesetzt. Durch dasselbe schien es nun vollkommen erwiesen, dass die Feder wenigstens keine störende Einwirkung auf die Nivellirungen gehabt. Um das Niveau und das Stativ gegen Erwärmung durch die Nähe des Beobachters zu schützen, wurden auch im Sommer 1883 Schirme von Pappendeckel an den beiden Enden des Stativs angebracht. Diese Vorrichtung sowie die Bekleidung des Niveaugestells mit Wolle im Sommer 1884 war ohne Zweifel in all ihrer Einfachheit die wirksamste Verbesserung. Die Variation der Neigung ist nachher regelmässig und sehr begrenzt gewesen. Die Neigung zeigt je- doch fortwährend eine kleine systematische von der Temperatur abhängige Variation. Die Versuche, dieselbe unter der Voraussetzung wegzuschaf- fen, dass sie von Temperatur-Veränderungen des Steinpfeilers selbst (in Keller oder im Meridianzimmer) abhängen sollte, misslungen, weshalb.es ziemlich fest zu stehen scheint, dass diese Variation der Neigung ganz 6 HERMAN SCHULTZ, einfach auf einer einseitigen, von lokalen Verhältnissen abhängigen, Er- wärmung oder Abkühlung des Westendes des Gusseisenstativs beruht. Für Ablesung des Niveaus bei Nacht wurde reflektirtes Licht von der einen der beiden ziemlich entfernen Feldlampen angewandt. Aus dem oben Angeführten geht hervor, dass das Niveau für Stu- dien über die Durchmesser der Axenzapfen nicht geeignet ist; da übri- gens noch kein Apparat für diesen Zweck vorhanden war, haben bis jetzt alle solche Untersuchungen unterbleiben müssen. Grössere oder kleinere Drehungen um die Axe haben keine merkbare Einwirkung auf die Angabe des Niveaus. Dem Instrumente gehören die zwei Niveauröhre N:o 1353 und N:o 1459, von welchen das erstgenannte bis Juli 1886 angewandt wurde, da das neue Rohr N:o 1459 zur Anwendung kam. Ein Scalentheil der Niveauróhre in Bogensecunden ist fir Neo! 1459 nach ep OI EP teenage. In den letzten hier fraglichen Beobachtungsjahren wurde darauf geachtet, die Neigung immer innerhalb enger Grenzen zu halten, wobei auch die Länge der Blase stets möglichst unverändert gehalten wurde. Okulare und Fadennetz. Zum Instrumente gehörten ursprünglich drei Okulare, deren Aeqvivalent-Brennweiten und Vergrösserungen respek- tive sind: N:o 1: Brennweite 13,50 m.m.; Vergrösserung 72 Nor 2: » OM Dos » 108 N:o 3: » rl: » 144. Später wurden folgende Okuläre von Steinheil angeschafft: AH N:o 1: Brennw. 13,5 m.m.; Vergr. 72 ».,N:042: » OD » 108 AT INO We » (s Daur » 123 »15 N:o 12: » DAD » 180. Bis Oktober 1884 wurde hauptsächlich Reinfelder N:o 2 angewandt, nachher N:o 3 bis September 1885, und endlich von dieser Zeit an ohne Ausnahme Steinheil AF N:o 2. Dass eine so starke Vergr. hier mit Vorteil hat angewandt werden können, ist eine gute Empfehlung für das Objektiv, da dasselbe nach den ursprünglich mitgegebenen Okularen für hóchstens 144 mal. Vergr. berechnet war. Die Feldbeleuchtung geschieht durch die Axe mittelst eines aus dem Centralprisma ausgeschliffenen kleinen negativen Prisma. Als Licht- quellen wurden zwei von dem Instrumente gehörig entfernte feste Pe- MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE ZU UPsALA. 7 troleum-Lampen mit Linsen angewandt. Bei Beobachtung der helleren Sterne (wie immer bei Polaris) habe ich es sehr vortheilhaft gefunden ein dunkles Glas (»smoke glass») vor das Okular anzubringen; ich liess zu diesem Zweck Revolvers mit Gläsern von verschiedenen Graden an- fertigen, fand es jedoch nachher wieder bequemer gewöhnliche Konser- vations-Brillen anzuwenden. Das Fernrohr hat ausser 2 Parallelfäden 17 feste und 2 mit der Mikrometerschraube bewegliche Vertikalfäden. Das ursprüngliche Faden- system zersprang teilweise aus nicht näher anzugebender Ursache im Sommer 1884, da es notwendig wurde, ein ganz neues System einzu- setzen, um Fäden von gleicher Dicke zu erhalten. Die neuen Fäden waren aber bei weitem nicht so hübsch wie die Repsoldschen, hielten sich ausserdem nicht gut, so dass mehrmals Reparaturen nötig wurden; schliesslich wurden im April 1885 die 2 symetrischen Fäden VI und XII ganz locker, da ich dieselben dann wegnehmen liess, wobei es nachher bis Ende meiner Beobachtungsreihe geblieben. Die verschiedenen Werte der Fädenabstände, welche nach ein- nander zur Anwendung gekommen, sind die folgenden: Faden N: Im Sommer|Im Früjahr Im Sommer|Im Decem- ER 1884 1885 1885 ber 1887 I 51,810 51,559 51,556 51,60 Il 46,45 46,53 46,46 46,44 EN QT 42,83 42,84 42,89 42,85 x IV 38,59 38,59 38,63 38,62 N 34,55 3457 34,56 34,58 VI 30,94 —— = = VII 25,74 25,82 25,83 25,82 VIII 15,44 15,46 15,46 15,48 x 15,35 15,37 15,37 15,42 XI 25,70 25,63 25,63 25,69 XII 30,86 — — = XIII 33,96 34,02 34,00 33,98 XIV 38,11 37,94 37,98 38,07 XV 42,23 42,21 42,26 42,23 XVI 45,30 45,47 45,51 45,47 XVII 50,45 50,45 50,51 50,45 Die Bezifferung der Fäden ist so zu verstehen, dass derjenige Faden mit I bezeichnet worden, welchen bei Kreis west ein durchge- hender Stern zuerst passirt. 8 HERMAN SCHULTZ, Der Abstand zwischen den beiden Mikrometerfáden wurde gleich 0,481 eines Schraubenganges erhalten, wo die Höhe eines Schrauben- ganges in Zeitsekunden = 3,09. Eine nähere Untersuchung der Schraube ist nicht in Frage gekommen. Instrumentfehler und Reduction der Beobachtungen. Von der Bestimmung der Neigung der Rotationsaxe ist im Vor- hergehenden schon gesprochen. Da der Nullpunkt der Scale am einen Ende des Niveaurohres liegt, erhält man die Neigung (7) durch die Formel (ess (QW 4-0) — QV +0), He | Fo wo W und O die Ablesungen gegen West und Ost, da der Nullpunkt östlich liegt, W' und O' die analogen Ablesungen für den Nullpunkt westlich sind. Die Kollimation (X) der optischen Axe wurde immer durch Um- legen und Einrichtung auf die Mire bestimmt, das Azimuth (a) durch celeste Beobachtungen mittelst der Angaben der Mire ausgeglichen. Bei Einstellung auf die Mire wurde in den letzten Jahren immer der nach- folgende Mikrometerfaden auf das westliche Mireloch eingestellt, weil die Náhe der Füden bei Einstellung auf das Centralloch die Genauigkeit der Bestimmung beeinträchtigen könnte. Bezeichnet man mit O .. die Ablesung des Mikrometers für Kreis ost, W .. die Ablesung des Mikrometers für Kreis west, M .. die Ablesung für Koincidence zwischen dem Mikrometer- faden und dem festen Centralfaden, K .. Kollimation für Kreis ost, Aa .. der Azimuthalunterschied zwischen der Mire und dem In- strumente; erhält man K-l(0. mw Mm), | m da IO MR haves D| = MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 9 Ausser den soeben besprochenen Instrumentfehlern kommt bei unsrem Instrumente noch eine centrale merkbare Biegung vor. So weit ich jezt beurteilen kann, liegt diese Biegung nicht in der Prismenmonti- rung, beruht aber aller Wahrscheinlichkeit nach hauptsächlich auf einer wirkliehen centralen Durchbiegung der Axe selbst. Zuerst machte die Biegung vielerlei Schwierigkeiten, weil man befürchten konnte, dass das Phänomen durch eine irreguläre Bewegung des Prismas im Verhältniss zum Fernrohr hervorgerufen ward bis endlich die Gesetzmüssigkeit desselben erwiesen wurde. Die Biegung wurde dann zuerst durch Passagen von Polarsternen in den beiden Lagen des Instrumentes bestimmt, wo die Durchgänge für Neigung und Kollimation verbessert worden, und die Biegung hypothetisch als dem Cosinus des Zenithabstandes proportional angenommen. Da jedoch das wirkliche Bie- eungsgesetz unbekannt war, habe ich es vorgezogen bei der definitiven Reduktion der Beobachtungen unter Annahme desselben Biegungsgesetzes, die Biegung jedesmal durch die in den beiden Lagen beobachteten Zeit- sterne zu bestimmen, wo natürlich die Durchgünge auch für Azimuth korrigirt wurden. Die so erhaltenen Biegungszahlen zeigten indessen meistens eine nahe Übereinstimmung mit denen, welche der Polarstern gab, woraus hervorgehen sollte, dass das hypothetische Biegungsgesetz wenigstens immerhalb ziemlich weiter Grenzen der Wahrheit nahe kommt. Zu demselben Schluss führt auch eine später von D:r Boutin ausgeführte Untersuchung. Für Studien über das Biegungsgesetz hatte ich nàmlich vor einigen Jahren einen feinen foliirten Planspiegel von STEINHEIL angeschafft, mit welchem es meine Absicht war, die Stellung der Reflexbilder der Fäden gegen die Fäden selbst für alle Zenithabstände zu bestimmen. Obgleich auch ein für diesen Zweck bestimmtes Okular angeschafft wurde, erbat es einige Schwierigkeiten, hinreichend scharfe Reflexbilder zu erhalten, und die Sache wurde nachher nicht weiter von mir verfolgt. Da bei diesem Experimente der Spiegel vor das Objektiv befestigt wurde und also den Druck auf die Axe vermehrte, ist es begreiflich, dass die Un- tersuchung nur die Bestimmung des Biegungsgesetzes nicht aber dieje- nige der absoluten Biegungszahlen selbst bezwecken konnte. Im Herbste 1888 nahm nun Bonnin den Vorschlag wieder auf, wobei es sich aber bald ergab, dass der SrEIiNHEILsche Spiegel dem Zweck nicht angemessen war, weil derselbe ganz deutlich doppelte Re- flexbilder der Fäden gab, welcher Umstand natürlich die Untersuchung sehr störte. Versuche mit einem auf der Vorderseite versilberten Spie- Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 Herman SCHULTZ, gel, da der Lichtreflektor im Okular auch besser justirt worden, gelangen ihm aber vollkommen. Obgleich diese Studien in Folge der Unvollkom- menheit des Spiegels zwar nur als preliminäre zu betrachten sind, wurde durch dieselben jedoch unzweifelhaft nachgewiesen, dass der Koefficient zum Cosinusglied in dem Ausdrucke für die Neigung viel grösser als der Koeficient des Sinusgliedes ist, so dass die Variation der Biegung mit dem Zenithabstande erst bei grossen Zenithabständen vom Cosinus- gesetz abweichen sollte, wo aber immer die Einwirkung der fraglichen Biegung auf die Durchgänge sehr klein ist, bis dieselbe im Horizonte absolut Null sein muss. Hier ist endlich zu erwähnen, dass das oben angegebene während 1!/2 Jahren fortgehende Experiment mit Zurückspannung der Tragfeder unerwartet die Biegungsverhältnisse gestört und offenbar das Biegungsge- setz komplieirt, so dass während dieser Zeit hin und wieder Andeutungen zu systematischen Abweichungen in den Bestimmungen auftreten. Da es sich als unmöglich erwiesen, diese Verhältnisse näher zu erklären und befraglichen Beobachtung genügend zu discutiren, so habe ich aus prin- cipiellen Gesichtspunkt vorgezogen, diese Beobachtungen nicht zu veröf- fentlichen, obgleich die systematischen Abweichungen zwar von keinem grösseren Betrage sind. In Folge dessen habe ich auch das erste Beo- bachtungsjahr nicht berücksichtigt und nur die Beobachtungen vom Jahre 1885 an hier aufgenommen. Das Instrument wurde vom Anfange des Jahres 1883 an so oft wie möglich täglich, und zeitweise auch zweimal des Tages auf die Mire eingestellt; überhaupt wurden diese Beobachtungen nicht sehr häufig von den Witterungsverhältnissen verhindert, obgleich die Mirebilder freilich nicht so selten ziemlich schlecht waren. Da aber die Bestimmungen immer Mittel aus mehreren Einstellungen ausmachen, kann die Unsicher- keit (von konstanten durch laterale Refraktion hervorgerufenen Fehlern abgesehen) auch bei weniger günstigen Verhältnissen nicht sehr merkbar gewesen sein. Es ist durch Versuche erprobt worden, dass eine recht befriedigende Beleuchtung der Mire bei Nacht durch eine Petroleum- lampe nicht so sehr grosse Umstände verursachen würde; da indessen | die Mireablesungen bis jetzt nur systematisch am Tage ausgeführt wur- den, kann die principiel befugte Bemerkung gegen meine Bestimmungen des Azimuths der Mire gemacht werden, dass besonders im Winter die Mire-einstellung und die entsprechende celeste Beobachtung oft mehrere Stunden von einnander entfernt waren. Praktisch genommen kann es aber in Folge der sehr häufigen Mire-einstellungen und der überhaupt MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 11 sehr langsamen Variation des Azimuth-Unterschiedes zwischen dem In- strumente und der Mire als sicher angenommen werden, dass die aus dieser Ursache hervorgerufenen Fehler unmerklich sein müssen. An der Stabilität der Mire zu zweifeln, scheint keine Ursache vorhanden zu sein. Das Centrum des centralen Mireloches liegt ein wenig westlich vom Meridiane des Instrumentes; und im Mittel wurde der Azimuth des- selben nahe übereinstimmend erhalten: 1883 Jan. 2—Sept.8..... 0,32 aus 32 Best. 1885 März 28—1888 Juni 9 .. 0,27 » 196 » Für die Zeit 1883 Sept. 13—1885 Jan. 25 wurde dagegen ein merkbar abweichender Mire-azimuthe (etwa 0,2) erhalten, obgleich diese Azimuthe zwar unter sich eine gute Übereinstimmung zeigten. Durch Wie- derholung des Experimentes mit der Tragfeder ist erwiesen, dass auch jene eigenthümliche Erscheinung nur durch Störung der Biegungsverhält- nisse während der fraglichen Periode zu erklären ist. Die Pendeluhr. Howii 34 wurde in einer für dieselbe besonders angeordneten Wand-nische in der Nähe des Durchgangsinstruments aufgehängt. Die Nische, inwendig mit zusammengelöteten Zinkplatten überzogen und mit Filz bekleidet, wird durch zwei starke mit Glasfenstern versehene und gepolsterte Pforten geschlossen. Durch diese Anordnungen ist die Uhr gut gegen Staub und schnelle Temperatur-Wechselungen möglichst ge- schützt; durch dieselben kann aber nicht verhindert werden, dass die totale Temperatur-Wechselung in der Nische im Laufe des Jahres bis zu 20° à 30° C. steigt. Um zu verhindern, dass das Oel im Winter durch niedrige Temperaturen steif wird, hatte ich auf der Rückenseite der Nische in dem ausser dem Meridianzimmer laufenden Corridore einen Wandschrank aufsetzen lassen, welcher durch zwei Gazflammen von Lampen mit Bunsenschen Brennern geheizt werden konnte. Dadurch wurde der beabsichtige Zweck, die Temperatur in der Nische nicht merkbar unter 0° sinken zu lassen, wirklich erreicht; da der Gang der Uhr aber während der Heizungszeit immer unregelmässiger wurde, war es zu befürchten, dass die fragliche Vorrichtung schädliche Luftströmungen im Uhrgehäuse verursachte. Da solche Irregularitäten sich wieder im 19 HERMAN SCHULTZ, Winter 1887—88 zeigten, wurde während des strengen Winters im An- fange 1888 versuchsweise alle Heizung eingestellt, wodurch die Nisch- temperatur bis auf etwa — 10° sank, welcher Umstand aber keine merk- baren Störungen im Gang der Uhr verursachte, die Uhr dagegen bald wieder einen mehr normalen Gang annahm. Es scheint also, dass mit dieser Erwärmung wenigstens Nichts gewonnen wird. Für Bestimmung der Temperatur sind in der Nische 3 Thermo- meter — 2 ausserhalb des Uhrgehäuses oben und unten in der Nische, und der 3:te in mittlerer Höhe im Uhrgehäuse selbst — angebracht. Die 2 äusseren Thermometer sind für Bestimmung des Temperaturunterschie- des im oberen und unteren Theile der Nische bestimmt; und, da dieser Unterschied meistens sehr unbedeutend war, wurde es mit vollem Recht hypothetisch angenommen, dass der innere Thermometer mit hinreichender Genauigkeit die wahre Temperatur in allen Theilen des Uhrgebäudes angiebt. Für Aufnahme der Feuchtigkeit in der Nische wurde teils Clor- calcium und teils Schwefelsäure angewandt — in den letzten Jahren ausschliesslich Schwefelsäure in der Nische ausserhalb des Gehäuses. Beim Aufziehen der Uhr werden die Klappen an den beiden Pforten der Nische geöffnet, wobei der innere Thermometer nie und die äusseren immer sehr wenig (um einige Zehntel des Grades) afficirt wur- den — jedenfalls nahmen sie nach Schliessung der Klappen gleich wieder den früheren Stand an. Die Uhr wurde einmal in der Woche aufgezo- gen und, obgleich dieselbe etwa 24 Stunden über eine Woche geht, muss man genau, darauf sehen die Uhr jeden siebenten Tag zu derselben Zeit aufzuziehen, weil es sich erwiesen, dass eine Verspätung von nur einigen wenigen Stunden den Gang der Uhr stört. Unter solchen Verhältnissen wurde es endlich (im Vorsommer 1888) beschlossen, die Uhr zweimal in der Woche aufzuziehen. Die Aufhängung der Uhr war ursprünglich die alt herkömmliche, wo das Werk mit dem Pendel auf dem starken Rückenstücke des Uhrge- häuses befestigt ist, und das Rückenstück von einem starken Haken ge- tragen wird etc. In Folge merkbarer und häufiger Veränderungen im mittleren Gange schien diese Montirungsart mir indessen.nicht hinrei- chend sicher zu sein, und habe ich dieselbe also ganz verändern lassen. Der Pendel und das Werk sind nunmehr an einer starken Eisenplatte befestigt, welche auf dem alten Haken hängt und im übrigen mit drei starken Schrauben mit Gegenmuttern an der Wand befestigt ist. Das Werk und der Pendel sind demnach vom Gehäuse ganz isolirt. Mit dieser überaus starken Montirung ist es wenigstens nicht leicht denkbar, MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 13 dass Veränderungen in der Lage des Aufhängungspunktes des Pendels weiter vorkommen können. Die Ausführung dieser ziemlich beschwerlichen Montirung wie alle vorbereitenden Untersuchungen der Uhr sind zu meiner grossen Zufrie- denheit von dem Urmacher Herrn ScHWEDER in Stockholm ausgeführt worden. Erst im Juli 1886 wurde diese Arbeit ganz fertig, wo die Uhr auch für merkbare Überkompensation korrigirt worden. Die letzte Uhr- formel wurde dann aus den Beobachtungen 1886 Juli 16—1887 Juli 28 hergeleitet, welche Rechnung gab Ay = Ay, + 0/00808 (10° — 2) — 0501400 (760 — 5) , wo 4 der tägliche Gang bei der Temperatur t und dem Barometer- stande b, 47, = — 0,18 der mittlere tägliche Gang bei + 10° Cels. und 160 m.m. Barometerstand bezeichnen. Die folgende Tafel enthält eine Zusammenstellung der unmittelbar beobachteten und der nach der oben angeführten Formel auf + 10? C. und 760 m.m. Barom. reducirten täglichen Gänge von Juli 1886 bis Mai 1888. Nimmt man das Mittel aus den 120 reducirten Gängen, so ergiebt sich als Resultat — 0,172 + 050036 (120 Best.), wehrsch. Fehler eines Ganges = + 0,040. Da die Uhr für alle Veränderungen im Luftdrucke während des Jahres und für einen bedeutenden Temperaturwechsel ausgesetzt ist, ist der Gang als ein recht befriedigender zu betrachten. Ich kann nicht gern annehmen, dass die Koefficienten der Formel merkbar fehlerhaft sein sollten, bin also entschieden geneigt, die Veränderungen im redu- cirten Gange hauptsächlich durch periodische Variationen des mittleren Ganges zu erklären. Es ist indessen nicht zu leugnen, dass, bei den sehr häufigen und beträchtlichen Veränderungen von kurzer Dauer in der Barometerhöhe in Upsala, sehr wahrscheinlich die Reduction des Ganges für die Veränderungen im Luftdrucke nicht hinreichend scharf evaluirt worden ist. Jedenfalls ist die seit der definitiven Montirung verflossene Zeit von nur zwei Jahren zu kurz, als dass man sich eine genügende Vorstellung von der Haltung der Uhr bilden könnte. 14 HERMAN SCHULTZ, Täglicher Gang von Hohwü 34 Juli 1886—Mai 1888. Uhrgänge Uhrgänge Zeit Zeit Beobacht. | Reducirt Beobacht. | Reducirt 1886 |16 Juli—2o Juli — 0,523 — 0,°09 |1887| 5 März--ıo Marz} — 0,21 — 0,°21 20 » —26 > = Gud = 0,73 Ho 9 nA 5 — 0,13 = iis 26 » —30 » — 0,32 — 0,12 I4 2 —16 » — 0,01 — 0,10 30 » — 2 Aug. = Gy — 0,14 16 » —18 > + 0,07 Ost 2 Aug. -ı0o » — 0,34 — 0,15 18 » —28 » — 0513 — 0,16 IO » —13 » — 0,36 — 0,16 28 » — 5 Apr. | — 0,27 — 0,20 13 >» -ı8 » = 924 — 0,15 5 Apr. —ıo » — 0,16 — 0,19 18 > —19 > — 0,20 — 0,14 IO >» —ı5 » — 0,18 — 9,21 TOM mU — 0,26 — 9,17 TS > ux» = (i) — 0,18 21 D —23 >» — 0,23 — 0,17 21 » — 2 Mai — 0,24 — 0,22 23 » —24 » — 0,21 — O,17 2 Mai— 6 » — 0,35 749525 24 » —25 » — 0,25 — 0,17 O 3» ei» — 0,24 = 9,9% OH porem E — 0,29 OT I4 —17 » — 0,23 = 0,25 28 » — 1 Sept = 0,25 — 0,18 Hg 19 L9 D — 0,34 = 858 1 Sept.— 8 > — 0,25 — 0,18 20» —23 » — 0,30 — 0,18 8 » —ıo » — 0,30 — 0,16 23 >» —29 » — 0,23 — 0,24 10 » —ı6 > — 0,26 — 0,19 20 » — 3 Juni — 0,22 — 10,210 16 » —18 > — 0,19 — o,16 3 Juni— 6 » — 0,24 — 0,20 18 » —25 » = ey — 0,17 6 > 125 > — 0,37 10,19 25 > — 3 Okt. — 0,34 — 0,26 12 » —16 » — 0,33 — 0,22 3 Okt.— 7 > — 0,16 — 0,23 1 D> S — 0,23 — 0,21 7 >» —8 » — 0,07 — 0,16 21 » —23 » — 0,30 = Ozu! 8 » —24 » — 0,27 — 0,24 23 >» —30 » — 0,28 — Oa 24 » —26 » + 0,03 — 0,19 3o» — 8 Juli — 0,35 = 0,19 26 > —29 » + 0,04 — 0,20 8 Juli—z1 > — 0,24 — 0,17 29 » —31 > — 0,02 — 0,19 II » —21 » — 0,33 — 0,23 31 » —22 Nov — 0,28 — 0,25 21 » —23 » — 0,33 — 0,21 22 Nov.—26 » = 6,73 — 0,21 23 » —28 » — 0,38 — 0,23 26 » — 4 Dec — 0,34 — 0,22 28 » — 3 Aug.| — 0,33 — 0,23 4 Dec— 7 > = 0,49 — 0,20 3 Aug.— 5 >» — 0,24 — 0,22 7 » —17 » — 0,44 = 0,21 5 D ug à — 0,46 — 0,25 17 > —20 >» — 0,26 — 0,17 I2 » -—17 » — 0,48 — 0,26 WERTEN m reto — 0,27 1837| 20 Jan.—21 Jan. — 0,24 — 0,18 20 » —24 >» — 0,35 — 0,23 21 » —22 » — 0,28 — O,II 24 » —27 » — 0,30 — 0,26 22 D —27 » — 0,12 — 0,17 27 » — 2 Sept. | — 0,39 — 0,24 2] s 2 EEDr | 70,19 — 0,20 2 Sept.—:1 » — 0,45 = 0,28 2Febr— 4 » — 0,21 — o,16 II » —ı6 » — 0,32 — 0,27 4 9 — 7 » — 0,09 — 0,24 16 » —ı8 » — 0,25 — 0,25 Jo» —I1 » + 0,14 — 0,16 18 » —23 » — 0,31 — 0,25 II » —I4 » + 0,10 — 0,16 23 » —28 » — 0,31 = Gus | 14 » —18 » + 0,11 — 0,12 28 » — 6 Okt | — 0,27 — 0,19 18 » —26 » — 0,12 — 0,15 6 Okt.— 7 » — 0,35 — 0,18 26 » — 5 März — 0,16 — 0,19 7 » —16 > — 0,21 = AT MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 15 Uhrgänge Uhrgänge Zeit P = Zeit 7 Beobacht. | Reducirt Beobacht. | Reducirt 1887|16 Okt. —2ı Okt. — 0,21 — 0,514 |1888| 1 Febr.— 6 Febr. — 0,13 —o,.72 21 D —24 » — o» en 6 » —ı4 » — O,II — 0,12 24 > —2 » — 0,14 — 0,12 1420 oy + 0,08 — O,I2 25 » — 9 Nov. | — 0,23 — 0,18 22 » —24 » + 0,13 — 0,14 9 Nov.—1io > — 0,04 — 0,10 24 E22 en + 0,25 — 0,12 IO » —ı3 » ^ — 0,11 — 0,11 2 » — 5 März| — 0,10 — 0,18 I3 » —22 » — 0,09 — 0,09 5 März—ı6 » — 0,13 — 0,21 22 » —28 » — 0,22 — O,II 16 » — 5 Apr. | — 0,16 — 0,19 28 » —ız Dec. — 0,23 — 0,12 5 Apr— 6 » — 0,06 — 0,16 ; 6 » —12 » — 0,05 — O,IT 1888|11 Jan.—-12 Jan. + 0,10 — 0,17 Do > — 0,07 — 0,08 12 D —I4 >» + 0,31 + 0,01 e ne — 72) — 0,05 — 0,12 14 » —ı6 » + 0,39 + 0,06 23 D —24 » + 0,02 — 0,12 16 » —18 » + 0,20 — 0,02 24 » —26 > — 0,06 — 0,12 18 » —25 » — 0,04 — 0,06 26 » — ı Mai — 0,17 — 0,12 25 >» —27 » — 0,19 — O,II 1 Mai — 15 » — 0,24 — 0,14 DuEIEE Bebe. 0,00 — 0,04 15 nos — 0,19 — 0,15 Der Registrirapparat ist ein von SÓRENSEN in Stockholm verfertigtes Instrument, wo alle Be- wegungen durch Elektricität bewirkt werden. Da es mit den übrigen Anordnungen nicht gut übereinstimmte, der Apparat im Meridianzimmer oder in dem daneben liegenden Korri- dore aufzustellen, und ich es übrigens für gerathen hielt, denselben in einem warmen Zimmer aufzuheben, wurde derselbe entfernt von den Beobachtungszimmern im Rechenzimmer untergebracht, wo der Apparat in einem schützenden Schranke aufgestellt wurde. Die elektrischen Lei- tungen vom Apparate durch die in demselben Zimmer aufgestellten elek- trischen Batterien sind nach einem Tische neben dem Durchgangsinstru- mente gezogen, wo der Apparat durch eine einfache Vorrichtung in Be- wegung gesetzt und dessen Arbeit durch die Bewegungen einer Mag- netnadel kontrollirt wird. Im Rechenzimmer ist auch die Pendeluhr auf- gestellt, welche die Sekundenpunkte auf dem Registrirstreifen bewirkt. Die Uhr hat einen für diesen Zweck ganz hinlänglich regelmässigen Gang; die Stromschliessung in der Uhr ist von einfachster Art mit Platina-Kontacten, indem durch ein am oberen Ende des Pendels quer befestigtes Metallstäbchen zwei bewegliche Arme wechselweise gehoben 16 HERMAN SCHULTZ, werden. Dieses ganze System, welches im Anfange vielerlei Schwierig- keiten verursachte, arbeitet nunmehr seit mehreren Jahren mit grösster Sicherkeit und Präcision. Es versteht sich, dass hier durch zufällige Fehler in den Leitungen immer Störungen vorkommen können, und dass einige Übung notwendig ist, um die Fehlerquellen in einem so kompli- cirten System sicher und schnell zu entdecken. Instrumentenfehler und Stand der Beobachtungsuhr (Hohwü 34). In der Folgenden Tabelle sind die Korrektionen für Instrumen- tenfehler und der Uhrstand. zusammengestellt. Die horizontalen Striche bedeuten, dass, zwischen den Tagen, wo dieselben angebracht sind, In- klination, Azimuth, Kollimation oder Uhrstand absichtlich verändert wer- den. Wie man sieht, sind die Variationen in Azımuth und Kollimation recht regelmässig und nicht von bedeutender Grösse; die Variation der Biegung dagegen zeitweise ziemlich unregelmässig. Aus den vom Jahre 1885 erhaltenen Abweichungen der aus den celesten Beobachtungen erhaltenen: Azimuthe von denen mittelst der Mire ausgeglichenen, ergiebt sich der wahrscheinliche Fehler einer Azi- muth-Bestimmung = + 0,029. Die Biegungszahlen während der ganzen Zeit von Herbste 1882 an kónnen mit mehr oder weniger guter Übereinstimmung in 3 Mitteln zusammengezogen werden: 1882 Sept. 5— 1883 Okt. 26 0,17 + 0,004 (77 Best.) 1883 Okt. 28—1885 Jan. 25 0,24 + 0,007 (88 Best.) 1885 März 23—1888 Mai 16 0,18 + 0,002 (257 Best.) Die wahrscheinlichen Fehler einer einfachen Bestimmung in den drei angegebenen Perioden sind respektive + 0,032 + 0,066 0,037. Die hier angeführten Mittel der Biegungen bezwecken nur, eine Übersicht zu geben — bei der Reduction der Beobachtungen kamen näm- lich immer die unten angegebenen für die einzelnen Tage erhaltenen Biegungen zur Anwendung. H : MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 17 Instrumentenfehler und Stand der Beobacht. Uhr. ; é Hohwi 34 : | Kollimat.| Biegung Datum Inklinat. | Azimuth Kreis 0: Kreis Wi Sternzeit Stand 1885 März 23 | -o,o7ı | — 0,18 + 0,556 + 0,820 9,54 + 009,578 24 | —0,054 | — 018 + 0,59 + 0,16 9,4 —0 395 Apt + 0,045 — 0,18 + 0,58 + 0,20 9,4 —o 3,96 5 + 0,022 — 0,17 + 0,58 + 0,14 9,4 —o 3,95 8 + 0,003 — 0,17 + 0.57 + 0,22 9,4 —0 3,08 9 + 0,035 — 0,18 + 0,56 + 0,16 11,0 —0 3,95 IO + 0,034 — 0,19 + 0,56 + 0,28 11,0 —0 3,98 1I + 0,058 — 0,17 + 0,55 + 0,19 10,5 - 0 4,04 TA | — 0,002 — 0,18 + 0,54 + 0,15 10,5 — OD 4,36 16 0,009 = ©), 20 + 0,55 SONIS 10,5 —0 4,44 17 — 0,024 = 6,24 + 0,55 + 0,14 10,5 —© 28 18 + 0,026 0127 + 0,53 + 0,19 10,5 =O 41,20 30 | + 0.059 = &25 + 0,48 + 0,16 14,5 =O gm Mai 3 | + 0,022 oO 27 + 0,50 + 0,20 14,5 7005,00 5 + 0,041 — 6,40 + 0,50 + 0,19 14,5 =O (Le II + 0,080 027 + 0:52 + 6,16 14,5 —9 um 26 + 0.101 = O3 + 0,50 + n 14,9 — 0 10,75 30 + 0,116 = 0,29 + 0,50 + 0,28 16,5 — 0 11,64 Juni 6 | + 0,068 — 0,23 + 0.48 + 0,24 16,5 — 0 13,99 ug. | 0087 = 10524 + 0,50 + 0,28 16,5 — o 16,49 24 | FRI — 0,22 + 0,50 + 0,24 18,5 — o 20,96 25 + 0,013 — 0,22 + 0,50 + 0,24 18,5 = 6) Bi, 20 AW | ar CHONG] — 0,25 + 0,50 + 0,21 17,2 — 0 22,06 28 — 0,020 — 0,26 + 0,49 + 0,22 18,0 — 0 22,41 Juli 40,032 — 0,27 + 0,50 + 0,22 r8,0 — o 24,84 7 — 0,025 — 0,25 + 0.49 + 0,16 18,0 — o 26,09 8 — 0,045 = GS + 0,48 + 0,18 18,5 — o 26.49 90 020,022 — 0,27 + 0,51 + 0,24 18,5 — o 26,88 II — 0,036 = 6,20 + 0,49 + 0,22 18,5 — o 27,64 I3 | + 0,028 = 0,97 + 0,50 + 0,24 18.5 — 0 28,46 16 | — 0,094 = 0,26 + 0,46 + 0,12 18,5 — 0 29,76 22 00,202 — 0,80 + 0,48 + 0,20 18,5 — 0 32,81 20 | = — 0,24 + 0,50 3- ey 18,5 — 0 35,87 Aug. 6 | —0,194 — 9,25 + 0,50 + 0,13 18,5 — 0 39,87 "orn = 0125 + 0,50 + 0,19 18,5 — 0 40,29 10 — 0.224 = OVE + 9,51 + 0,14 18,5 ETORA TET 24 T 0,015 = Gn + 0,51 + 0,30 18,5 — 0 49,42 29 | — 0,093 — 0,17 + 0,52 + 0,13 20,0 — 0 52,13 Sept. 3 | — 0,085 — 0,15 + 0.53 HONTE 19,7 — 0 54,43 9 | — 0,082 — 0,16 40,54 + 0.16 19,7 — 0 57,29 II — 0,076 — 0,14 + 0,55 + 0,21 21,2 — 0 58,47 16 | — 0,026 — 0,14 + 0,54 + 0,17 271,2 = Tos) 17 | — 0,030 — 0,15 + 0,54 + 0,18 19,7 —1 1,46 20 — 0,052 — 0,13 + 0,52 + 0,07 18,5 = 1 12.08 220% 105078 — 0,15 + 0,53 + 0,15 21,3 — I 4,03 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 18 HERMAN SCHULTZ, I 1 Kollimat.| Biegung Hon WE Datum Inklinat. | Azimuth sis (0) use WE Sternzeit Stand 1885 Sept. 25 | — ojrog | 0,17 + 0,553 + 0,817 21,13 = uum Eu 27 | — 0,146 — 0,13 + 0,55 + 0,20 2008 — 1 6,60 Okt. 8 | +O,0r3 — 0,15 + 0,61 + 0,14 BiB — 112,03 20 | — 0,008 — 0,12 + 0,63 + 0,10 21,3 — I 17,20 30 | — 0,109 — 0,08 + 0,65 + 0,10 20,3 — I 21,47 Nov. 4 | — 0,104 — 0,10 + 0,65 seyn 21,3 — t 23,16 1 0,000 — 0,11 + 0,64 + 0,09 20,9 — 1 24,L5 9 4 0,026 = Sue + 0,65 15 (9527 23,6 = angel TOM == 8,020 — Gy + 0,64 + 0,17 23,6 — 1 24,64 I5 | + 0,003 — 0,16 + 0,68 ESTE 23,6 — 20,25 18 | — 09,004 = 9) + 0,68 + 0,16 23,6 St AG 10) | = O26) — 0,14 + 0,70 + 0,25 25,0 — I 27,58 Zu | = Oo erus + 0,72 zt (GS 2313 SUE 0) 7) 2 — O,OII — 0,15 + 0,73 + 0,15 23,6 — 1729,00) 25 | — 0,048 SOM + 0,76 + 0,20 23,6 = if 26), 1G) 2 = GO == Guo + 0,71 + 0,10 23,6 = 11 BO), 23 Dec. 1 | 30,929 = Gp + 0,74 + 0,19 23,6 — 130,70 2 | + 0,037 — 0,17 + 0,73 + 0,18 23,6 Zug 9 | — 0,056 — 0,17 + 0,72 + 0,12 0,0 — I 34,04 17 | + 0,086 — 0,15 + 0,69 + 0,23 3,0 — I 34,39 21 + 0,099 — 0,16 + 0,70 + 0,07 2,5 — 1 34,92 23 | + 0,073 — 0,15 + 0,70 + 0,17 DNS — I 35,14 26 | + 0,062 — 0,16 + 0,70 + 0,22 2,5 — I 35,78 1886 Jan. 3 | — 0,073 — 0,20 + 0,70 + 0,03 1,8 — 1 38,47 4 | — 0,080 — 0,20 + 0,70 + 0,11 1,8 — 1 38,61 16 + 0,003 — 0,19 + 0,72 0,00 2,0 — 1 40,42 28 | — 0,020 — 0,22 + 0,71 + 0,19 3,0 -- I 42,66 Bee, | ps || ONA — 0,22 + 0,71 + 0,16 3,0 — I 42,84 19 | 50,023 — 024 + 0,70 + 0,17 57 — 1 43,89 2 + 0,030 — 0,24 + 0,69 + 0,17 5,4 = 143,26 27 | + 0,014 — 0,25 + 0,70 + 0,26 6,5 = 1742,08 IE || SF (xem v = O,25 + 0.70 0,10 6,5 et 5 | + 0,051 = 924 + 0,70 + 0,18 597 = eno 7 + 0,027 0,28 + 0,71 +0,18 6,5 — 1 42,98 9 | + 0,052 — 0,29 + 0,72 + 0,19 7,8 — 142,98 10 | + 0,068 — 0,29 + 0,72 + 0,26 8,0 — 1 43,00 15 | + 0,138 — 0,28 + 0,70 + 0,16 7,6 — 1 42,80 16. | + 0,005 0:27 + 0,70 + 0,20 8,0 = I 42,04 y | 9922 10,28 + 0,71 110,212 7,8 AZ Ou 18 | — 0,029 — 0,29 + 0,71 ions 6,5 — 1 42,68 19 | — 0,032 — 0,28 + 0,70 38 Gen 7,8 — A207 25 + 0,036 — 0,28 + 0,70 eg 8,0 = ib 12,00 2) || = exert = 0,23 + 0,68 TRON 10,5 — I 44,32 Apr. 2 | +0,053 — 0,29 + 0,68 + 0,21 10,5 — 145,69 II + 0,040 — 0,32 + 0,66 + 0,19 10,5 — I 49,50 I7 | * 9,055 — 0,32 + 0,66 + 0,26 imus — I 51,33 19 | + 0,032 — 0,33 + 0,66 + 0,20 11,5 — 151,70 21 | + 0,049 — 0,34 + 0,66 + 0,18 11,5 — I 52,09 MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 19 p À Kollimat.| Biegung SD Se Datum Inklinat. | Azimuth Bo Kreis W. Sternzeit Stand 1886 Apr. 22 | + 0,063 | — 0,534 + 0,566 + 0,534 12,03 — 1952°39 23 | + 0,059 — 0,34 + 0,65 + 0,22 1055 — 1 52,60 Mai 1 | —o,orr — 0,34 + 0,65 + 0,31 13,0 — 1 55,66 4 | + 0,002 — 0,32 + 0,67 + 0,26 13,0 — 156,55 5 0,000 — 0,33 + 0,64 + 0,18 13,5 — 1 56,64 6 | + 0,933 — 0,34 + 0,65 + 0,28 13,5 — 156,93 13 | + 0,060 — 0,33 + 0,63 2027 14,0 21000 16 + 0,060 — 0,35 + 0,65 + 0,20 14,3 —E 1:87 22 + 0,139 = 0,34 + 0,62 = 9E 14,3 —2 4448 30 | + 0,077 — 0,38 + 0,61 32 14,3 =2 BG) Juni 53 | + 0,030 — 0,39 + 0.59 70,07 15,0 =P NOS 5 + 0.011 — 0,39 + 0,60 + 0,16 15,0 TR ONE 8 | 0.025 — 0,36 + 0,62 + 0,21 15,0 2 AA 10 | + 0,043 — 0,35 + 0,62 is Oye 16,7 <= b) II + 0,053 — 0,36 + 0,61 1022 16,7 = 2 uen | I8 | 7+ 0,013 — 0,37 + 0,61 +0,19 17,0 — 2 18,20 26 | — 0.046 — 0,36 + 0,60 + 0,19 17,0 — 2 22,92 | 30 | — 0.037 — 0,72 + 0,58 +0,15 1750 = 2 2500 Juli 7 | — 0,069 — O,!I + 0,58 + 0,14 18,5 — 2 28,78 II | — 0,092 — 0,09 + 0,57 STE HD = 1,00 13 — 0,092 — 0,09 + 9,59 + 0,19 iE = ©. Hae 14 | — 0,095 — 0,08 + 0,58 + 0,20 18,5 —o 1,78 HOI] ce HOG — 0,09 + 0,58 + 0,21 18,5 =O 2,37 20 | — 0,095 — 0,09 + 0,58 + 0,18 18,5 — 0 3,30 | 26 | + 0,017 — 0,16 + 0,57 + 0,21 18,5 =0 E 39 | — 0,104 — 0,06 + 0,56 + 0,19 20,0 —0 6,42 au E | m eS] = 9,05 4. 0,58 + 0,20 20,0 — 0. 7,36 10 — 0,096 — 0.05 + 0,60 + 0,20 20,0 — 0 10,04 | 3 gar + 0,06 + 0,58 + 0,18 20,0 — ©) Hine | 18 0,000 * 0,05 * 0,56 + 0,12 20,0 om 2043 19 | + 0,023 ROOM + 0,58 + 0,14 20,0 — 0 12,61 | 21 | + o,006 + 0,07 * 0,58 + 0,15 20,0 Oman, 23 | — 0,014 * 0,07 * 0,59 + 0,19 20,0 — 0 13,59 | 24 | — 0,010 + o,06 + 0,58 + O,II 20,0 ORT SNS | 25 | — 0.009 70,07 + 0,58 + 0,18 20,0 — 0 14,04 28 | +0.006 + 0,05 + 0,57 + 0,19 20,0 — 0 14,90 Sept. I 0,000 + 0,07 +0,58 +0,15 18.5 — 0 15,88 | 8 | — 0,052 + 0,06 CPE) + 0,10 18,0 =D OÙ | HOJ (9925 + 0,06 + 0,58 MIO TS 18,5 — o 18,22 | 250 070,008 + 0,09 + 0,55 + 0,13 18,5 HOMO TIL | 16 | —o,rat + 0,69 + 0,57 + 0,14 20,0 — 0 19,79 I8 | - 0,010 + 0,13 + 0,60 + 0,14 18,5 = 0 20,15 25 — 0,085 HO V7 + 0,60 + 0,19 20,0 = 700212503 Okt. 3 | + 0,056 * o,16 + 0,63 + 0,21 21,0 — 0 24,78 4 | + 0,036 + 0,19 + 0,61 + 0,II 21,0 — 0.24,99 7 0,000 zo" + 0,62 + 0,72 21,0 — 0 25,40 8 0,000 + 0,18 + 0,62 + 0,22 21,0 — 0 25,48 24 | — 0,006 + 0,24 + 0,61 + 0,12 21,0 — o 29,76 20 HERMAN SCHULTZ, : : Kollimat. | Biegung OU Hå Datum Inklinat. | Azimuth Tee, (Cr [eia WE Sternzeit Stand 1886 Okt. 26 | — 05028 + 0,826 + 0,563 + 0,519 21,N0 — 029,570 29 |. — 0,054 + 0,28 + 0,63 + 0,15 AN o — 0 29,56 31 — 0,009 T 9,24 + 0,63 + 0,09 21,0 — o 29,61 Nov. 22 | + 0,052 + 0,24 + 0,62 + 0,13 21,0 — O 35,71 26 | + 0,053 + 0,27 + 0,62 + 0,10 21,0 — 0 36,26 Dec. 4 | + 0,098 + 0,24 + 0,65 + 0,17 23,8 — 0 38,96 7 | + 0,047 + 0,22 + 0,65 + 0,19 23,8 — 0 40,30 17 | + 0,056 + 0,22 + 0,65 + 0,03 0,3 — 0 44,74 20 | — 0,022 + 0,24 + 0,68 + 0,17 0,3 — 0 45,52 1887 Jan. 20 | + 0,033 + 0,17 + 0,72 + 0,14 2,5 043,79 | 21 + 0,038 + 0,18 + 0,73 + 0,23 2,5 — 0 44,02 22 | + 0,059 + 0,16 + 0,69 0,077 2,5 — 0 44,32 27 + 0,075 + 0,17 + 0,73 + 0,22 2,5 — 0 44,92 Febr. 2 + 0,034 + 0,16 35 Opi Jj: ge 205 — o 46,02 AN FOO | FR + 0,71 + 0,18 2,5 — 0 46,45 7 | — 0,008 + 0,18 + 0,69 + 0,25 2,5 — 0 46,74 8 | — 0,020 +0,17 + 0,70 +0,21 205 — o 46,45 II 0,000 * o,18 ONO + 0,26 6,5 — o 46,14 I4 | — 0,019 + 0,16 our + 0,25 6,5 — 0 45,83 17 | — 0,015 + 0,15 s (ue + 0,25 6,5 — 0 45,34 18 | — 0,016 ar (Siti + 0,72 + o,II 5,7 — © 45,39 26 | + 0.058 + 0,16 iyu + 0,26 6,5 — o 46,36 Marz 5 | —0,19 ar Ög + 0,68 + 0,19 6,5 — 0 47,47 10 | — 0,047 + 0,14 + 0,68 + 0,22 6,5 — o 48,49 II | — 0,076 + 0,16 + 0,69 + 0,08 6,5 — 0 48,73 I4 | + 0,023 + 0,15 + 0,70 + 0,24 6,5 — 0 48,99 16 + 0,025 + 0,14 + 0,69 + 0,19 6,5 — 049,01 17 + 0,043 = Oo, + 0,69 + 0,16 7,8 — 0 48,94 18 | + 0,054 + 0,15 + 0,70 + 0,15 7,8 — 0 48,90 21 + 0,015 + 0,15 + 0,70 + 0,25 7,8 — 0 48,57 28 | + 0,075 + 0,16 + 0,71 + 0,22 9,0 — 0 50,17 Apr. 5 | + 0,064 + 0,16 + 0,70 + 0,17 9,0 — 0 52,33 IO | + 0,005 + 0,14 + 0,68 + 9,15 6,8 — 0 53,14 I4 | — 0,044 + 0,15 + 0,68 + 0,19 12,0 — 0 53,90 15 | — 0,077 + 0,15 + 0,69 + 0,25 12,0 — 0 54,05 2x | Go + 9,14 + 0,65 + 0,20 12,0 — 0 55,15 Mai I| +0,052 + 0,05 + 0,68 3k (9575) 14,3 — 0 57,53 2 | + 0,058 + 0,04 + 0,69 + 0,23 14,5 = 9 Ets 6 | + 0,038 + 0,04 + 0,68 + 0,27] 14,5 — 0 59,14 7 | + 0,032 + 0,04 + 0,69 + 0,27 14,5 —9 59,43 I4 | + 0,024 + 0,02 + 0,68 70,23 14,5 =I 1,06 17 | + 0,070 + 0,02 + 0,66 + 0,26 14,5 =D A 20 | + 0,096 + 0,02 + 0,66 + 0,28 14,5 = Tp 2570 23 | + 0,044 + 0,03 + 0,67 + 0,21 14,5 =I 3,70 29 | — 0,023 + 0,05 + 0,63 + 0,20 14,5 — 1 5,06 Zo | 0082 + 0,04 + 0,65 + O,11 14,5 — I 5,39 jan 8 | Zoo — 0,02 + 0,65 + 0,25 15,6 — 1 6,15 MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 21 CU SE : Hohwü 34 EC NDS tt Kollimat.| Biegung Datum Inklinat. zimuth Rea ihe Wi Sternzeit Stand 1887 Juni 4 | — 95025 — 0,506 + 0,567 + 0925 15,16 = qu eat) 6 | — 0,005 — 0,07 + 0,63 + 0,20 15,6 = 1820,80 12 — 0,083 — 0,06 + 0,63 T 0,15 16,0 =i 0,608 16 | — 0,053 — 0,06 + 0,65 + 0,2 16,0 —— nu 21 0,000 — 0,07 + 0,62 + 0,19 16,0 == ih ah 22 | — 0,033 — 0,08 + 0,62 + 0,19 16,0 — mug 2g | = OUT) + 0,04 + 0,65 + 0,20 17,2 = eA 30 0,000 0,00 + 0,62 + 0,13 1752 — 114,10 Juli 8 | + 0,011 * 0,97 + 0,60 + 0,19 5 US) == HON 10 | + 0,049 + 0,05 + 0,60 + 0,16 18,5 — 117,30 II + 0,051 + 0,06 + 0,62 + 0,15 18,5 — 1 17,60 21 + 0,003 + 0,01 + 0,59 T 0,22 18,5 — 1 20,93 23 | — 0,926 + 0,02 + 0,60 + 0,16 18,5 — 1 21,57 28 | — 0,002 + 0,04 + 0,61 + 0,22 18,5 — I 23,45 Au 8 | = Sog 0,00 + 0,58 + 0,19 19,9 = 1 25,44 S | a> @25) + 0,02 + 0,60 +0,17 19,9 — 1 25,90 N I2 | — 0,036 * 0,09 + 0,58 + 0,19 19,9 — I 29,15 17 | — 0,016 + 0,07 * 0,59 + 0,14 19,6 = i guys) 20 | — 0,021 + O,II + 0,60 + 0,12 19,9 — I 32,86 24 | + 0,010 + 0,07 + 0,58 + 0,16 19,9 — 1 34,25 27 | + 0,030 + 0,09 + 0,59 + 0,19 19,9 = 135,13 Sig 2 0,000 + 0,11 + 0,69 + 0,30 19,6 = n 27.20 TOT 0,09 + 0,10 + 0,70 + 0,19 19,9 — I 41,56 I6 | + 0,015 + 0,19 + 0,63 + 0,03 19,6 — 143,17 18 | — 0,028 + 0,18 + 1,09 + 0,16 19,9 — 1 43,66 22 | + 0,010 + 0,06 + 0,16 + 0,29 19,9 — I 44,88 23 + 0,042 + 0,06 0,00 + 0,15 19,9 = 14524 2E. | EE GO + 0,04 0,00 + 0,11 19,9 — 145,71 28 | + 0,072 + 0,06 0,00 + 0,12 19,9 — I 46.76 Okt) (6) 020,027 + 0,09 + 0,10 SP GITE 0,0 — I 48,95 7 — 0,043 + 0,10 + 0,14 n (exei 0,0 — I 49,30 16 + 0,034 + 0,10 + 0,14 AP (iU 0,0 = ij 55) 17 | * 6,952 + 0,99 + 0,14 > Gyr 0,0 =i nad 2I — 0,009 + 0,05 70,03 am pii] 18,0 = 1 DI2 itis) 24 | + 0,003 + 0,06 är Quim + 0,20 18,0 = n EP 25 | — 0,044 + 0,04 Aryl + 0,18 18,0 = 5 62,00 Nov. 9 | +o,ort — 0,05 qP yit + 0,14 19,6 — I 56,48 so || 89e — 0,03 wo 0,19 2,0 —n Boos I3 | — 0,014 — 0,01 + 0,09 + 0,14 2,0 — r 56,86 22 | + 0,027 — 0,01 + 0,10 + 0,16 22,4 = n Se 28 | + 0,113 — 0,04 + 0,12 + 0,21 2,0 — I 59,00 Dec. 12 | + 0,005 — 0,02 + 0,13 37 Ox] 23,8 FA 9,20 1888 Jan. 11 | 49,058 | — 6,05 + 0,15 + 0,08 23,8 —2 1,47 I2 | + 0,054 — 0,04 + 0,16 + 0,20 2,5 — 291315 I4 | — 0,002 -- 0,06 + 0,15 + 0,12 2,5 =2 (0,72 16 | — 0,008 — 0,08 70,27 + 0,19 2,5 — 1 59,96 22 HERMAN SCHULTZ, 3 i Kollimat.| Biegung HOD Datum Inklinat. | Azimuth Kreis 0. Kreis W. | Sternzeit Stand 1888 Jan. 18 | — 0,'009 — 0,08 | + 0,516 + 0,°19 2,15 — 1?59,596 25 | + 0,033 — 0,08 + 0,16 + 0,15 355 — 1 59,80 26 | + 0,025 — 0,07 + 0,16 + 0,16 2,5 -— eem 27 | — 95915 — 0,10 + 0,17 + 0,09 355 = 2) ORI Hebry 22 Zoro2o — 0,10 + 0,19 + 0,09 345 = 20007 6 | + 0,009 — 0,10 + 0.19 + 0,18 355 = 2100702: 14 | + 9,944 — 0,07 + 0,18 - 0,12 INS SO 22 | + 0,055 — 0,12 + 0,20 + 0,16 315 25/2) SRO) 23 + 0,044 — 0,09 + 0,18 + 0,08 355 eo | 24 | + 0,025 = (ye) = 0,18 + 0,16 5,0 2202" 00789 2 + 0,004 = G5 + 0,20 + 0,12 5,0 310,60 März 5 + 0,029 = Of + 0,20 + 0,16 5,0 200710 RATES = Hl + 0,28 + 0,12 5,7 mM Apr. 5 — 0,005 — LIU + 0,21 + 0,25 7,5 — 2 5,45 6 | — 0,007 = Oto + 0,19 25 O18 9,1 A en 12 + 0,028 = Opi i + 0,18 ar Oats, 9,0 = 2560 15 | 0,043 — 0,14 + 0,20 + 0,18 9,1 = 2508 23 + 0,030 = Gal + 0,18 + 0,16 12.0 = 121 OR Dil ||| = HIN MOTA + 0,19 + 0,03 12,0 = 12, 0200 26 | + 0,005 — 0,14 + 0,19 + 0,12 12,0 rn 68AT Mai I + 0,089 = (Sys + 0,20 + 0,17 12,0 EXC, | I5 | — 0,038 — 0,2 + 0.19 + 0,18 14.5 MISES 16 | — 0,032 — 0,25 T 9,19 > 0,12 14,5 — 2 10,70 Die Durchgangs-Beobachtungen. Auf den hier folgenden Seiten sind die für die beobachteten Sterne erhaltenen einzelnen Rectascensionen mitgeteilt. Die Sterne, überhaupt von der 5:ten à 7:ter Grösse, liegen in Declin. zwischen etwa + 30° und dem Aequator und in A. R. zwischen den Sternen des Berliner Jahr- buches, an welchen sie angeschlossen wurden. Kolumne 1 der Tafeln giebt die Nummer des Sterns im Brit. Assoc. Cat.; Kol. 2 die Beobachtungszeit; Kol. 3 und 4 geben die scheinbaren Rectascensionen für die Beobachtungszeit und die mittleren für 1885,0. Die Zahlen in der 3:ten Kol. sind also für Instrumentfehler und Uhr- stand schon korrigirt. Wo übrigens kein Grund für eine Verwerfung vor- handen war, mehrere Sterne an demselben Abend aber analoge weiter nicht zu erklärende Abweichungen zeigten, ist Solches durch die Bemerkung angedeutet: »mehrere Sterne abweichen». Die wenigen Rectascensionen, welche hier in den Schlussmitteln ausgeschlossen worden, sind in der 4:ten Kol. mit einem Asterisk bezeichnet. — — MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE iN UPSALA. Durchgangsbeobachtungen. | Nummer Gerade Aufsteigung | Nummer! Gerade Aufsteigung in Datum | in Datum == B. A. C. Beobacht. | Mittl. 1850,0 |B. A. C. Beobacht. | Mittl. 1850, I 14 1885 Nov. 9| o 4"riSos|o* 4" 75,62 87 1887 Okt. '16| olıg" 398,39 o!'19?505, 43 10 11.06 7,66 27 | 3937 39,41 c ee im 109 |1886 Dec. 4|0 24 9,66 |o 24 3,26 I 10,95 | „22 17! 6 = 19 10,95 7:03 | | ns =, a ER | 20 9,41 3,23 zu Seu rue | 1887 Okt. 6 12,70 3,16 24 ER T5) 1 12.81 3,26 > Arch DEA 16 | 12,94 3,39 zT 19555 707 | 17 | 12,78 3,23 Dec. ı 10,80 | 7:61 | su | i Y 2 10,79 | 7,61 | 488 (1886 Jan. 3) ı3ı 354 |13r 9,133) | EE 8 36 |1887 Okt 6|0 9 12,48 la 9 3,46 | SCEN à $5 TE "a 12,47 | 3.45 | 537 tn US 2389, 22,620 10301100, 2 16 12,44 | 3.42 | 4 22,65 19,25 17| 12,48 | 3,46 | 574 > 2 3] 147 39,43) Lf 47136510 | . 2 63 1886 Dec. 4|0 14 5,72 | 0 13 59,68 4 3954.1 36,09 1887 Okt. 6 8,84 59.68 Oey a Dieses | a | sis. nep 7 8,78 59-63 | I 23 13,79 10,30 16 8.86 59.67 26 13.76 10,30 En 8.86 | 59.67 6837 178872 Jans 20 72.162. 53,477, 12, OR AUTOS 66 |1885 Nov. 9|014 44,27 |0 14 40,85 | 21 53,40 47.02 15 44518 | 40,81 | | 22 53.38 47,02 18 44,19 40,85 | | RE > 58,20 47,00 19 44,18 | 40,84 | | 4| 53513 46,97 24 44518 | 49,99 | 7| 53-07 46,95 27 44,07 40,81 | 8 53.14 47,03 Dechy I 44,03 40,81 | Nov. to 56.72 46,93 2 44,00 40,80 | | I3 56.75 46,93 9 43,98 40,85 | 28 56,73 46,93 | | 1888 Jan. 1i2| 56,33 46,89 87 |1885 Nov. 9|o19 33,77 | © 19 30,41 14 56,43 47,01 15 33:79 30,48 16 56,36 46,98 18 33,76 39,48 18 56,40 47,04 19 33,73 3058) 26 56,25 47,00 24 33579 , z Be | ee poe 687 |1885 Dec. 17| 2 7 32,51 |2 7 28,85 Dec. 1 33,63 30,47 23 Se 28,91 2| 019 33,57 |9 19 30,42 26 32,38 28,80 9 EE 30,50 1886 Jan. 4 32,43 28,95 1886 Dec. 4 36,37 30,51 129 |1885 Dec. 17| 2 16 6,68 | 2 16 3,08 1887 Okt. 6 39,38 30542 23 6,69 3,15 7 39,40 30,44 26 6,67 3,15 1) Durch Wolken. 2) Mehrere Sterne abweichen. 3) Schwach durch Wolken. 24 HERMAN SCHULTZ, Nummer Gerade Aufsteigung |Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum B. A. C. Beobacht. | Mittl. 1885, |B. A. C. Beobacht. | Mittl. 1885,0 729 uS Jeu SÄTT 6202 MO sn) 870 |1887 Nov. 10|2!43" 2541: | 204252 33 4 6,57 3:15 13 2,52 52,43 1887 Febr. 2 8,86 3,98 28 2,50 52,35 4 8,80 3:05 1888 Jan. r2 2,35 52,46 7 8,78 3,08 14 2,26 52,41 8 8,82 3,14 16 2,32 52,489) " 8 2, Anonyma 1887 Nov. 10| 2 17 13,84 |2 17 421 E ao deren 13 13,74 4,10 2 ? 28 13,87 ,21))| 881 |1885 Dec. ı7| 2 12 2 8,68 3 45 12,77) 248 €. 1888 Jan. 12 13,44 4,11 23 12,66 8,60 14 13,46 415 26 12,73 8,707?) 16 1351 4:23) 901 |1887 Jan. zo| 2 49 27,61 |2 49 20,75 18 13,42 4,16 11 E Br NC 21 27,57 20,73") z $4 dug 22 27,65 20,82 780 |1886 Jan. 28| 2 26 39,68 |2 26 36,16 «eb» 27,29 20,63 Febr. ı 39,65 36,19 4 27,41 20,78 844 |1885 Dec. 17 2 38 45,57 |2.38 41,58 U 27,19 20,61 2 45,61 41,05 À oe ve 6 Noy. 10 30,83 20,68 26 45557 41,04 13 30,85 20,68 852 |1887 Jan. 20|2 39 25,40 |2 39 19,15 28 XU "o 22 25,31 19,08 1888 Jan. 12 30,65 20,65 27 25,33 19,18?) 14 30,70 20,73°) Febr. 2 25,22 19.16 16 30,64 20,70 4 25,09 19,05 18 30,71 20,78 7 2899 Pr 26 30,62 20,81 8 25,05 19.0 Noel 2387 18,964) 905 (1885 Dec. 17| 250 8,66 |2 50 4,72 no 28,42 13,995) 23 3,06 475 28 28,52 19,05 | ze 200 Ver 1888 Jan. 12 28,29 19,08 | 994 |1886 Jan. 28| 3 6 57,65 |3 6 54,29 14 28,33 19,159) Febr. ı 57,63 54,3313) 16 28,23 19,08 | Be Es 28,25 20.19 | 1022 | » Jan. 281312 32,77 |3 12 29,36. 2 28,18 Bono 1888 Febr. 22 38,04 29,5115) 870 |1887 Jan. 20| 2 42 59,28 |2 42 52,527) 1135 |1886 Febr. 1/3 35 45,04 |3 35 41,00 Pr 59,11 32,85 | 1888 Febr. 22 50,90 41,02 22 59,15 52,41 | 23 50,79 49,93 8 27 58,96 5239) 1274 | » Eebr. 22 4 2 38,18 |4 2 27,89 Febr. 2 59210 32553 | 23 38,13 27,86 4 59,04 5250 | 7 58,96 52,47 | 1304 » Bebr. 222 9826,94 2 2own mas 8 58,94 52347 | 23 26,82 17,387) 1j Schwach. 4) Schlechte Übereinst. 7) Wenige Fäden. 10) Wenige Fäden. Unsicher. 18) Schwach. Wenige Fäden. 2) Sehr schwach. Unsicher. 5) Wenige Fäden; gute Übereinst. 8) Wenige Fäden. Unsicher durch Wolken. 11) Bilder nebelig. 14) Schlechte Bilder. 3) Cirrhi. Sehr Unsicher. 6) Nebel. 9) Ausserst diffus. 12) Wenige Fäden. Wolken. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 25 Nena Gerade Aufsteigung |Nummer Gerade Aufsteiguug in Datum in Datum - B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 |B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 = 1493 | 1888 Febr. 24| 4%44™498,10 | 4"44?385,75 | 2487 | 1887 März 10| 7"277?16592| 727" 93,91 27 48,99 + 38,70 14 16,80 9,86 Marz 5 48,96 38,50 16 16,78 9,87 1526 » Febr. 24] 4 50 54,06 | 4 50 43,78 2 en ve 27 53,96 43,74 : TE 9 März 5 53,90 43,81 2514 |1886 Febr. 27| 7 32 19,72 |7 32 14,845) 1557 | » Febr. 24| 4 58 10,02 | 4 57 59,83 März 2 19,35 15:04 7 19,83 15,06 27 10,01 59,87 on eee März 5 9,94 59,92 x 2 EE m 1594 | » Febr. 2415 3 51,65 |5 3 41,55 16 19,68 15,06 27 51,58 41,54 17 19,65 15,05 März 5 51,57 41,651) 18 19,68 15,10 Anonyma| » Febr. 24| 5 10 53,34 | 5 10 42,71 19 NOE 14,96 2 53,32 42,75 2 19,46 15,01 Märs 5 53,25 42,80 1887 Febr. 11 23,31 15,03 14 23,30 15,10 1639 » Febr. 27| 5 12 36,85 | 5 12 26,26 17 23.32 15,08 ze 36,92 20:40 März 5 23,07 15,01 1792 |1886 Febr. 24| 5 34 43,11 | 5 34 38,87 10 22,99 15,01 1887 n 46,37 38.83 14 22,89 14,98 14 46,28 38,793) 16 22,86 14,98 17 46,25 38,805) 17 22,83 14:07 26 46,07 39.77?) 18 22,80 14,96 März 5 46,05 38,88 | 2636 |1886 März 9| 7 49 20,92 | 7 49 16,52 Lo 4594 38,86, 10 21,00 16,61 IT 46,06 39,00 ) 15 20,85 16,54 14 45,90 38,90 16 20,88 16,58 | 16 45,91 38,95 iy 20,80 16,52 | 2487 |1886 Febr. 2 27 14,21 | 7 27 9,87 19) 20,82 16,57 März x A 14,25 9,96 ar 20 20085 16,53 ; 7 14,19 9,96 1887 März 17 23.71 16,56 9 14,11 9,01 18 23,69 16,50 10 14,09 9,91?) 2 REUS 16,56 16 14,01 9,92 | 2720 |1886 März 9|8 2 21,42 |8 2 16,88 17 14,05 9,98 IO 21,31 16,81 18 14,02 9,96 16 21,23 16,78 19 13,91 9,87 17 21,18 16,74 25 13,87 9,94 19 21,20 16,80 1887 Febr. 11 17,19 9,89 25 21,00 16,70 14 1752/5 9,97 1887 März 17 24,17 16,71 17 17,09 9,83 18 24,09 16,667) 5 17,03 9,96 21 24517 16,78 1) Schwach. *) Bilder diffus. 7) Schlechte Übereinstimmung. ?) Unsicher. 5) Sehr schwach. Wenige Füden. Unsicher. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3) Bilder länglich im Parallele. 5) Sehr sehlechte Bilder. 1) Schlechte Feldbeleuchtung. 4) Schlechte Bilder. 2) Schwach durch Wolken. 5) Unsicher durch Wolken. 3) Wenige Fäden. 26 HERMAN SCHULTZ, | . Nummer | Gerade Aufsteigung — |Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885, |B. A. € Beobacht. Mittl. 1885,o | 2816 | 1885 März 23] 8®19™20%,76 | 8hrom105,32 | 3380 | 1885 März 23 | g"47"42%,32 |9547"405,56 24 20,68 19,25 24 42,28 40,53 Apr. 3 20,47 19,21 Apr. 3 42,27 40,63 | 1886 März 10 23,97 19,32 | 5 42,18 40,56 16 23,80 19,23 9 42,17 40,60 17 23,80 ana IO 42,17 40,61 25 23,64 | 19,20 II 42,12 40,57 1887 März 28 26,57 19,111) 14 42,14 40,63 Apr. 5 26,53 19,21 16 2,06 40,58 2867 |1886 März 10] 8 26 28,93 |8 26 24,40 Di 42,08 403682 AG 28,73 AR $ 18 42,01 40,56 17 28,71 Bac 1886 März 29 44.98 40,50 25 28,65 24.32 Apr. 2 44,96 40,5 2 1887 März 28 31,48 24,271) LE 44,85 40552 Apr. 5 31,45 24,36 | 3398 |1887 März 28 9 50 27,58 |9 50 20,18 £ Apr 20,2 2 pr. 5 27,54 »23 2911 |1885 März 23| 8 32 46,28 |8 32 44,79 | E Li E 20005) 24 46,34 44,87 3233 A Apr. 3 46,09 44,76 Ss 3037 Ein 5 46,06 44,77 13 UE. 2 8 46,05 44,81 | 3406 |1885 März 23/951 4,00 |9 52 2,25 1886 März 10 49,21 44,78 24 4,00 2,25 16 49,12 44,76 Apr. 3 3,85 2,21 17 49,10 4475 | 5 3,92 2,30 25 48,99 44.15 | 8 3,83 2,255) 1887 März 28 51,74 44,73 9 3,80 2,23 Apr. 5 51,63 44,75 ! 10 3,83 2,28 2987 1885 Apr. 3|8 43 36,31 |8 43 34,93 | 5 3,84 34 | 5 36,39 35,03 | a; 2015 > 8 36,29 34:99 | 16 3,68 2,2I s. 2 CAE 17 3,72 2,26 1886 März 16 39,16 34,85 | 2 17 39,16 3487 | x 369 Ex 25 B E p uU 1886 März 29 6,78 2,22 AN | AE d Apr. 2 6,76 2,25 3035 |1885 Apr. 3|8 49 40,08 |8 49 38,69 1I 6,59 2,18 5 40,09 38.43 | N | 8I 40,15 38,83 3423 |1887 März 28| 9 56 31,88 |9 56 24,16 (1886 März 16 43,29 38,75 Apr. 5 31,87 245222 17 43,27 38,74 | 1888 » 6 3477 24,035) 25 43,16 38,71 12 34,87 24,14 a I 24,12 | 3076 |1885 Apr. 3|855 28,48 |8 55 27,05 | 3 gee Id | 5 28,46 27,07?)| 3534 |1885 März 23/10 15 41,03 |10 15 39,22 1886 März 16 31,41 26,95 | 24 41,08 39,28 | 17 31,38 26,92 Apr. 3 40,90 39,19 25 31,28 26,90?) 5 40,94 39,25 $) Ziemlich schlechte Bilder. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 21 | | Dar Numnier Gerade Aufsteigung [Nummer | Gerade Aufsteigung in Datum = in | Datum — — —— B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885, | B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 i | 3534 |1885 Apr. g|rohrs"4059r|ro!rs"395,26 | 3749 |1885 Apr. 14 |10549"493,24 10549747545 10 40,92 39,28 16 49,25 47:47 11 40,89 39,27 18 49,23 47,47 14 40,77 39,19 3750 |1886 » 17\10 so 7,64|ro 50 3,16 16 40,74 39,18 ; 68 17 | 40,77 39,22 9 1, 322 | 21 7,68 3523 18 | 40,69 39,16 SSM 6 1886 März 29 43,89 39,27 hag 1,95 3:21 Apr. 2 43,79 39,12))|Anonyma| 1886 » 19/10 55 14,85 |10 55 10,36 II 43,74 39,25 21 14,80 10,33 3592 |1885 März 24 ıo 23 50,03 10 23 48,15 ?3| 14,77 10:32 Apr. 3 49,88 48,07 | 9182 |1885 » 11110 57 45,36 10 57 43,50 9 49,93 | 48,19?) | 14 | 45.38 43,55 10 49.94 48,21 16 45,27 43,46 | I1 49,84 48,12 18 | 45:26 43,46 14 49,83 48,14 1886 » 2 48,05 43,41?) 16 49,65 47,98?) 17| 47,94 43,42 18 49,83 48,19 19 | 47,98 43:47 1886 Apr. 2| j 52,50 47,96*) 21. 48,98 43,49 11 52,52 48,07 | 23 47.94 43:47 3621 |1885 Mürz23|ro 28 49,90|10 28 48,04 | 3809 |1885 >» 11111 2 40,51|11 2 38,75 24 49,96 48,10 14 | 40,50 38:71) Apr. 3 49,79 48,01 16 | 40,50 38,79 5 49,84 48,06 17 40,43 38,73?) 9 49.83 48,10 18 40,51 38,83 | 10 49,76 48,05 1886 » 2 43,28 38,5919 II 49,83 48,12 II 43,36 38,74 14 49,72 48,05 | 17 43,34 38,78 | 16 49,68 48,03 | 19 43,27 38,73 17 49,72 48,07 21 43:33 38,81 18 49,69 48,06 23 43,29 38,80 1886 » Ya pc pi 3910 |1885 » glıı 23 44,25 |tı 23 42,40 1 A 1886 >» «1 46,93 42,32 3667 |1885 März 24 |10 36 43,07 10 36 41,19 17 46,90 42,33 Apr. 3 ^ — 42,90 41,08?) I9 46,92 42,36 5 43,06 41,25°)| 21 46,89 42,35 9 43,06 41,29‘) 23 | 46,93 42,41 de 292 41,22 | 3971 |1888 » 3| 36 24,66 |11 36 14,46 3749 |1885 ^» giro 49 49,28|10 49 47,44 | 24 24,51 14,32 10 49,24 47:41 | 26 | 24,53 14.35 11 49,26 47,44 | Mai ı 24,47 14,33 1) Dunstig. Sehr wechselnde Bilder. #) Sehr variabel. Mehrere Sterne abweichen. $) Beobacht. nicht scharf. 8) Bilder sehr matt. 3 10) Schwach. Schlechte Übereinstimmung mehrere Sterne abweichen. 2) Schwach. Unsicher. 5) Schlechte Ubereinst. Bilder sehr variabel. 7) Schlechte Beleucht. 9) Schwach. Dunstig. 3) Wenige Fäden. Unsicher. 28 HERMAN SCHULTZ, Nummer Gerade Aufsteigung Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885, | B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885, 3979 |1885 Apr. 9|r1?39"23531 |11130"21%,30 | 4241 | 1888 Apr. 24|12"29"305,15 12529"205,02 - Io 23,25 21,33 26 30,23 20,II 1886 » 17 25,97 21,36 Mai 1| 30,28 20,18? 19 2002 A UTE 4248 |1885 Apr. 9 12 31 14,34 |12 31 12,38 21 25,02 21,33 fö 14,23 12,28 23 28,88 ts 19969 7 16.99 12,37 1887 » 14 28,83 21,42 19 Son Tode 15 28,85 DA 21 HS m 21 28,79 21,42 T mM en 3996 |1888 » 23111 43 23,58 ıı 43 13,36 | 23 16,98 12,38 24 23,57 13,36 Mai ı 16,94 12,37 26 23,64 13,45 4 16,92 12,37 Mai I 23,53 13,37 5 16,92 12,38 6 16,8 12,32 4014 |1885 Apr. 9|ıı 46 52,48 11 46 50,58 „05 23 10 52,47 50,57 1887 Apr. BE 19,68 12,33 18606 |» ng 54,99 50,39!) 5 ENS 12,35 21 55,14 50,56 her fe Ade s 23 55,27 50,72 oe dus 1887 >» 14 57,90 50,50 2 A P 15 57,97 50,56 28 E. 21 57,97 50,60 j TOR 1288 4027 |1888 » 23111 49 19,2711 49 9,05 4267 |1888 Apr.23 12 35 56,76|12 35 46,54 2 19,2 o8 25 56,74 46,53 4 9,29 9, EE 22 26 19,24 9,03 VE. 56,92 40,01 VLDE 10,33 9,17 Mai 1 56,88 46,70 4043 |1885 Apr. 9 ı1ı 53 12,41 |ıı 53 10,49 4271 |1885 Apr. glı2 36 5,89 12 36 3,88 10 12,49 10,48 10 5,85 3,85 1887 » 14 17,73 10,27 1880020977 8,58 3,89 I5 17,81 10,34 19 8,60 391 21 17,84 10,41 2 ee 3,87 22 ; 4110) |1885 >» + Olr2 ARR 6 18,36 23 sae 2e 10 20,15 18,24 Maj ı 8,45 3,81 1850. 09 7 22,97 18,38 4 8,49 3,86 19 22,99 18,41 5 8,50 3,87 21 22,90 18,33 À 6 8,48 3,86 23 22,90 18,22 1887 Apr. 14 11,26 3,85 Anonyma| ? > 19) 12.02 0051731) T2 T2 ONS t5 Sr 2 21 51,33 46,58 E ud 3 23 51,30 46,55 2 que aw , 2 4196 |1888 » 26/12 21 24,13 r2 21 14,03 6 11,18 3,83 Mai r 24,19 I4,13 7 11,06 397058) 1) Weniger gute Übereinst. 3) Schlechte Bilder. Mehrere Sterne abweichen. 2) Bilder Wechselnd. Weniger Fäden. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 29 Nummer | in B. A. C. 4440 4499 4559 | Gerade Aufsteigüng Nummer Gerade Aufsteigung Datum == ES | oum Datum WOLLE CHAR) Beobacht. Mittl. 1885,0 | B. A. C. | Beobacht. Mittl. 1885,o 1885 Apr. 30 r3àri" 65,00|r3!ri" 35,93 | 4662 |1888 Mai 15 13^53"165,72 |13*53" 65,73 Mai 3 6,12 4,06 | 16 16,78 6,798) 6 SOS en 7 d 3:95 4766 |1885 Apr. 30/14 17 45,51 |14 17 43,32?) a x 3:98 Mai g 45,57 43,37 » Apr. 30|13 16 23,98 |ı3 16 21,36!) 5 45,67 43,46 Mai 3 23,92 21,80 | II 45:55 43:33 5 23,88 21,76 m 1886 Mai 1i 48,21 43,41 IT 23.81 Eu 4 48,15 43,34 » Apr. 30 r3 22 50,36 |13 22 48,31?)| 5 48,21 43,40 Mai 3 50,36 48,31 | d 48,20 43,38, 5 50,41 48,36?) | 13 48,34 43,501) = 50,25 48,22 Mi 39| ue 43,37 uni " : » Apr. 30 13 33 56,40 12 33 54,30 : Aus p Mai 3 zx pd 8 48,15 43,36 ae 26,20 Brent 4798 | 1885 Mai : I4 24 1,03|14 23 58,74 1,01 2 » Apr. 30 13 44 38,91 13 44 36,85°)| II 1,05 RU Mai 3 38,98 36,92 7880, NA 3,63 58,64 ze 8,91 6,86 | i AN Ws 399 35: 5 a9 58,77 » Apr. 30 13 Sr 21,07|13 51 10,05 6 3,74 58,74 Mai 3 21,19 19,17 NUS 3,82 58,89!) 5 21,11 19,09 Juni 3 3,74 58,72 II eng 19,10 5 375 58,74 1886 Mai 1 23,62 19,16 | $ 3,83 58,81!1) 3 d dE | 4823 |1885 Apr. 30 |14 29 42,56 |14 29 40,50 6 23185 19,10 | Manns dA 40:36 13 23,62 1gye | 1 nn 40.28) 39 23,50 | 19,15 | 1886 Mai 4 24:18 not Jun 3 23,37 19,05 8 | Eu ij 5 44,80 40,41 8 23,37 19,10 M 4483 dolo 188; Mai 2 26,05 19,10 : CUP NE 6 86/68 To Juni 3 44575 40,41 7 25 96 en) à 44,80 40,48 14 26,10 19,17 UE RUE 17 2 19,15°) | 4846 |1885 Mai 3|14 35 41,57 14 35 39,41 20 26,01 19,10 5 41,59 39,41 29 25,93 19,07 nou 41,55 39,34) 30 25,85 19,00!) 1886 Mai 5 44,16 39,45 1) Dunstig. ?) Bilder theilweise verwaschen. 3) Schlechte Luft. 5) Luft dunstig. Unsicher. 5) Durch Wolken. 8) Schwach durch Wolken. 10) Mehrere Sterne abweichen. 5) Wenige Fäden durch Wolken. Mehrere Sterne abweichen. 7) Schlechte Bilder. Mehrere Sterne abweichen. 3) Beobachtung nicht scharf. 11) Bild neblig. Wenige Fäden. Unsicher. 1) Schlechte Übereinst. Mehrere Sterne abweichen. 3) Nebel. Wenige Fäden; Unsicher. Mehrere Sterne abweichen. 4) Schlechte Bilder. Schlechte Übereinstim. Mehrere Sterne abweichen. 6) Mehrere Sterne abweichen. 2) Duustig. 30 HERMAN SCHULTZ, Nummer Gerade Aufsteigung Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885, | B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 4846 |1886 Mai 6|r4535"445,114 |14"35™398,43 | 4905 |1886 Juni 5|r4546" 95,75 r4546" 55,14 13 44,21 39,47 8 9,62 5,0I Juni 3 44,08 39,34 188; Mai 2 man 5,12 5 44,20 39,47 6 12,24 5,17 i 8 44,14 39,42 7 12,28 5,20 1887 Mai 6 46,77| 39,47 14 12,23 5,12 7 46,78 39,47 4 17 12,29 5,17 14 46,80 39,47 20 12,27 5,15 n7 46,88 39,54 23 12,26 5,13 20 46,79 39,45 29 12,23 Sene, 23 46,77 39,43 30 12,12 4,99 ) d Ad pur 4944 |1886 Mai 13|14 56 0,71 14 55 55,61) | E re $us Juni 3 0,72 55,56 4873 |1885 Mai 3 14 39 54,67 14 39 52,53 5 0,76 55,61 5 54,69 52,53 EO 0,67 55,51 II 54,66 52,48 1887 Mai 23 3:49 55,61 1886 » 5 57,13 52,43 Juni 3 3:57 55,66 57,97 52,43 4 3,48 55.58 13 57,16 52,50?) 6 3.52 55,62 39 57,14 32:47 | 4981 |1885 Apr. 30/15 2 17,04|15 2 14,96 s : 5 49 Juni 3 57,07 Sana. 1886 Mai 13 19,58 15,997) 5 57,14 52,48 1 5 3 PR Eom Juni 3 19,51 15,00 1887 Mai 2 59,70 52,55 2 a 6 68 8 19,49 | 15,00 59» 32)52 1887 Mai 23 21,88 14,99 7 59,79 52,61 i i4 Te Lee Juni 3 22,00 15,11 17 59,78 52,57 2 oe n 20 59,68 52,47 ; 23 59,77 52,55 | 5030 | » » 3/15 10 5,48 15 9 d 29 59,77 52,56 4 5,51 59,5 30 59,64 52,43 6 5,58 57,66 | 4902 |1888 » 15/14 45 10,49 |14 45 1,28 | 5067 |1885 Mai 3.15 16 58,80 15 16 56,61 L 16 10,62 1,41 9 58,77 56,56 4905 |1885 » 3114 46 7,25|14 46 5,12 1885 Tunis UNE 56,47 s ? 5 1,37 56,52 be De pe 8 1,26 56,416) ; REA Yo? 1887 Juni 3 3,96 56,44 | 1886 » 5 9,79 5,21 4 3:95 56,53 6 9,69 5,10 6 7 56,55 13 9,46 4,84”) | 2 | . 30 9,72 5,09 5273 |1885 Mai 3o|15 49 32,81|15 49 30,47 Juni 3 9,72 5,10 Juni 6 32,78 30,42 5) Starker Nebel. Unsicher. sla ada MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 31 Nummer | Gerade Aufsteigung | Nummer Gerade Aufsteigung in | Datum —| in Datum pue eoe B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 | B. A. C. ; Beobacht. | Mittl 1885,0 A | d 20 5273 | 1885 Juni r3 |15!49"325,80 |15^49" 350,44 | 5456 | 1885 Juni 13 |t6%16m1 75,55 |16hr6"r45)o 1 1886 » 10 S52 30,46 | 11886 » 10 20,18 14,86 | » II 35,23 30,52 | I 20,26 | 14,94 | 26 | 35,25 30,58 | 26 20,25 14,90 1897/5 i9 033 37,52 30:43 | 30 20,22 14,88 | 4 37.51 30,41 | 1887 » 3 22,89 14,88 | 6 37,54 30,44 | 4 22,89 14,87 | 12 37,58 30,48 6 22,95 | (1492. | 21 | 37557 30,48 12 | 22,92 14,86 ) | 22 37,58 | 30,50 ) 21 22,95 14,87 5315 |1885 Mai 30 15 56 6,63 15 56 4,26 | 5553 |1886 » 11|16 31 21,48 |16 31 16,32 Juni 6 6,64 4.25 | 26 21,74 16,54?) "3 Er 421 | 5597 |1885 Mai 30116 36 16,92 16 36 14,538) 6 8, , 1 188 » ie 5 a the Juni b ve. 14,49 i > 10,9 14,52 20 cd 431 | 1886 » 1:0 19,12 14,47 39 19 en II 19,10 14,44 159700 210583 ey 4,25 18 19,17 14,50 | 4 11,4 4,23 6 | as]. te JE oe. ne hyde dno 1887 Juni 21 21,40 14,48 21 II,50 4,28 J 25 11,43 4.21?)| 5627 11886 » 11/16 41 27,20|16 41 21,86 : 18 27,08 21,71?) 5366 |1885 Mai 30 16 2 57,82|16 2 55,36 26 27,19 DAS Juni 6 57,81 55,32, 32 20,23 Ends 13 57,84 55,32 ") 1887 » 21 30,03 21,94 295000 M LO 300,30 55,23 | 11 0,33 55,26 | 5659 |1885 » 24 16 45 37,70 16 45 34,97 26 0.42 55,36 3 25 37,69 34,96 TEMPS 2,90 55,26 ?) 27 37:83 35,10 : 4 2,98 55,34?) uos 37,14 | 35,00 6 3,02 5537 )| Juli 4 37:74 35,01 = +. E 5149 |1885 Juni es 16 57 54,35 |16 57 51,73 5 54,29 51,67 5369 11885 » 13116 3 6,6416 3 4127) 27 54:33 51,71 1886 » 10 9,15 4,09?)| 28 54,27 51,65 11 9,30 4,23 °)| Juli 4 54,18 51,56 1887 » 3 11,77 413.)| 7 55,23 | 51,63 3 ge 5753 |1886 Juni 10 16 58 27,21 16 58 22,21?) e| oem de dE E 5456 |1885 Mai 30 16 16. 17,54 |16 16 14,98 30 27.26 22,19?) Jun 6 11,51 14,90 Juli 11 217277 22,23 3) 1) Bilder unruhig und verwaschen. ?) Dunstig. 3) Wenige Faden. ^) Wenige Fäden. Feine Wolken. 7) Schwach. Wenige Fäden. $) Wolken. *) Wenige Fäden; unsicher. 6) Feine Wolken. 9?) Schlechte Bilder. 32 HERMAN SCHULTZ, Nummer Gerade Aufsteigung. Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum B. A. C. Beobacht. Mitt. 1885, |B. A. €. Beobacht. | Mittl. 1885, 5753 |1886 Juli 13/16 58"27%,30 16^587225,28") 5893 |1885 Mai 3o 17520"5 15,05 |173207485,52 1887 Juni 23 29,77 223292) Jun 6 Gigante: 48,50 3o 29,70 22,15 13 51,17 48,48?) 5757 |1886 » 10|16 58 45,51 16 58 40,52?) x oet 48,50 T 45,44 40,43 ?) 25 51,34 48,57 26 45,60 49,53 ?) A 51,19 48,41 30 45,53 40,47°) m DP E Juli 11 45.52 40,48 °) ua 3b$T 48,52 à 7 51,30 48,51 5787 | 1885 Juni 24/17 4 17,50 17 4 14,83 8 21,31 48,52 24 17,52 14,85 9 Suas 48,53 28 17,57 14.90 11 51.31 48,52 Juli 4 17550 14,82 13 51,29 48,51 1886 Juni 10 19,88 14,78 16 51,2 48,47 JN e c “| ul ME 2s i542 D | 5900 |1886 Juni 10/17 21 56,08|17 21 5525) 1887 » 23 22,55 14,822) | gis 56,12 51,287) 3o 22,57 14,83 | D. PERS DEUM 26 | 50,25 51,33 5856 |1885 Mai 30 17 15 r7,18|17 15 14,74 30 56,23 51,30 Juni 6 17,14 14,63 1887 Juni 23 58,46 51,22") 13 17,19 14,62 30 58,52 51,26 24 17,42 14,79 Juli 8 58,49 51,23 25 17,40 14,77 IO 58,55 51,30°) | . 28 17,39 14,78 | 11 58.46 51,21 Juli 4 17,32 14,69 | 21 58,44 51,24 i s zu | 23 58,48 51,30 5 4 As nag | 6021 |1885 Juli 2217 42 oo8|17 41 57,485) . 29| 4I 59,91 57:38 11 17,40 14,80 Mew aoe eos 13 17,37 14,76 P oe 3 16 17,38 14.78 7 59,86 57-44 22 17,41 14,86 *)| 6073 > Juli 22|17 50 40,46 |17 50 46,81 5860 |1886 Juni ro ı7 16 14,54 17 16 9,8 29 49,34 46,76 7 5 9,93 | 11 16,65 9,93 Aug. 6 49:28 46,79 18 14,70 0,94 7 49:34 46,85 26 sspe 9.98 6322 » Juli 22/18 28 1,93|18 27 59,12 188 I li se vus 9,95 29 1,79 59,01 Tae VE i6 d Aug. 6 1,84 59,12 II 26.07 308 7 1,72 59,01 21 16,85 9,92 | 6341 | » Juli 22/18 3o 45,87 |18 30 43,95?) 23 16,82 9,91 29 46,02 43,23 1) Schwach durch Wolken. 1) Sehr schlechte Bilder. Mehrere Sterne abweichen. 6) Mehrere Sterne abweichen. Bild nicht gut. 9) Wenige Fäden. Unsicher. Mehrere Sterne abweichen. 2) Schlechte Bilder. *) Bilder nieht gut. 3) Wenige Fäden. 5) Wolken. 3) Koincidens unsicher. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 33 Nummer Gerade Aufsteigung Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum — — B. A. C. Beobacht. | Mittl. 1885, | B- A. C. Beobacht. | Mittl 1885,0 6341 |1885 Aug. 6|18'3o0"46503 |18430"43,30 | 6724 | 1887 Juli 10 |19"32" 125,74 |19^32" 55,00 7 45,96 43,24 It 12,78 5,03 4) 6379 | » Juli 22|18 39 4,70 18 39 1,70 e 12022 5,00 29 4,63 1,65 23 12,86 5,03 Aug. 6 4.61 1,66 us penes 5,03 7 4,66 1,71 5 12,88 5,04 12 12,84 5,02 6420 » Juli 22/18 45 22,75|18 45 19,68) 26 1280 5,04 20 22,89 18,83 | 24 12,69 4,97 Aug. 6 22,81 19,78 | | 27 12,63 4.94 7 22,89 19.86 ")| Sept. 2 12,63 5,01 6501 > Juli 22118 56 54,14 |18 56 51,05!) IT 12.56 5,97 29 54517 51,08 16 12,47 5,06 Aug. 6 54.15 51,08 18 12,45 5,08 7 54.18 51,09 2E 12,18 4,885) 6552 » uli 22/19 3 24,86|19 3 21,85!) D x Rr UM 29 24,97 21,96 | 28 VAS e | = , 5,01 Aug. 6 24,99 PIT» | 1 24.86 21.87 6729 | 1885 Juni 24 |r9 33 33,87 |19 33 31,13 6585 | » » 20119 IO 52,41 |19 IO 49,58 ASS 33,39 3114 Sept. 3 52,33 49,57 Juli 4 3462| 31,14 9 52,17 49,49 j 33:92 508 1886 Jui 7 55,19 49,65 À 33:99 31,05 14 55,14 49.54 9 34:07 3113 "a 55,12 Loeb 1I 34,07 eon 20 55,20 49,56 E Se ED 26 55,18 49,53 a6 ete > Aug. 29 34.00 31,08 6724 » » I4|I9 32 10,39 19 32 5,04?) 20 10,42 5,03 6749 |1886 Juli 14|19 37 14,74 19 37 9,28 26 10,42 5,01 16 14,84 9,37 3° 10,44 5,93?)| 20 14,83 9,33 Aug. 2 10,37 4,96 26 14,94 9,32 10 10,39 5,00 30 14,92 9,39 13 10,38 5,00 Aug. 2 14,89 9,36 18 10,34 5,00 10 14,91 9,39 19 10,37 5,03 13 14,82 9,31 21 10,33 5,01 | 18 14,81 9,33 23 10,42 5,12 19 Basia e 9,30 24 10,30 5,01 21 14,85 9.39 | 25 10,28 5,00 23 14,80 9.37 28 10,32 5,08 24 14,80 9,37 Sept. 16 9,91 4,95 25 14,71 9,29 25 9,92 5,12 28 14,76 9.37 1887 Juli 8 12,67 4595 Sept. 16 14,41 9,28 1) Schlechte Übereinst. Mehrere Sterne abweichen. 2) Wenige Fäden. H 3) Feldbeleucht. zu schwach. 2) Schlechte Bilder. 5) Unsicher durch dunstige Luft. 5) Schlechte Bilder. Mehrere Sterne abweichen. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 34 HERMAN SCHULTZ, "Nummer Gerade Aufsteigung Nummer Gerade Aufsteigung in Datum | in Datum B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 || B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 6749 | 1886 Sept. 25 |19!37" 145,39 |19%37™ 95,41 6789 |1887 Aug. 12 |19*43"245,88 | 19h43" 165,81 | 1887; Jui 8 1700 9,31 20 24,94 16,91 IO 17,30 9,36 24 24,92 16,82 11 17543 9,48 *) 27 24,79 ^ 16,81 21 17,32 9,29 Sept. 2 24,81 16,90 5) 2 17,43 9,39 II 24,58 16,79 Aug. 3 17,37 9,39 16 24,56 16,84 5 17,38 9,32 18 24,59 16,91 12 17,32 9,27 22 24,38 16,77 20 17,37 9,37 2 24,58 17,017) 24 17,25 9,28 | 28 24,33 16,81 2 IUS 3 2 ; Sept. d ae a 6810 |1885 Juli 9/19 46 9,9819 46 7,05 11 17,05 9,30 d 998 ze 16 17,00 9,32 13 TOS Use: 18 17,05 9,41 (5 10,01 7,02 22 16,86 9,28 Aug. 29 9,95 7,08 5 16,81 9,25 Sept. 23 9,76 6,95 25 17,04 9,52 ?) 2 I ue 28 16,74 9,27 17 9,51 6,92 6789 |1886 Juli 3o 19 43 22,48|19 43 16,93 ae ” 19 5e PU 19198 oe Aug. 2 22,45 16,90 AN 3 1559. and &p 29 17,29 14,33 Fs Ra or) Sept. 3 17,24 14,33?) 13 22,39 16,85 ; à ; 18 22,36 16,85 6940 11886 Juli 30 20 5 50.380 20 5 45,48 19 22,33 16,83 Aug. 2 50,82 45,49 21 22,45 16,97 ?) 10 50,89 45,57 23 22,34 16,88 13 50,98 45,6719) 24 2/2719 16,82 18 50,93 45,65 1) 25 22,30 16,91 19 50,81 45:53 28 22,46 17,93 4) 21 50,86 45,60 Sept. 16 22,05 16,88 25 50,85 45,61 25 21,96 16,94 24 50,87 45,63 1887 Juli 8 24,83 16,90 5) 25 50,62 45,39 1) 10 24,81 16,85 28 59,59 45,391?) II 24,96 17,005) Sept. 16 50,46 45,52. 21 24,90 16,85 25 56,31 45,54 | 23 24,90 16,84 1887 Aug. 3 52,95 45,4111) Aug. 3 24,84 16,76 5 53.07 45,51. 5 25,00 16,92 20 52,96 45,46 1) Schlechte Bilder. Schlechte Übereinstimmung. 2) Schlechte Bilder. Mehrere Sterne abweichen. 3) Bilder nebelig. Unsicher. 4) Bilder nebelig. Unsicher. Mehrere Sterne abweichen. 5) Schlechte Bilder. 6) Schwache Bilder. ?) Bilder verwaschen. Mehrere Sterne abweichen. 8) Zu schwach. x °) Sehr unsicher durch Wolken. 10) Schwach durch Wolken. 11) Schlechte Übereinstimmung. 12) Bild nebelig. Schlechte Übereinst. "+ 7) Sehr wechselnd und Wolken. ?) Bilder sehr variabel und matt. 11) Beobacht. schwer. Schlechte Übereinst. 14) Theilweise Bilder matt und verwaschen. 16) Schlechte Übereinstimmung. 8) Hüpfende und verwaschene Bilder. 10) Mehrere Sterne abweichen. 12) Bilder schwach. 15) Unsicher. Mehrere Sterne abweichen, \ MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 35 Nummer Gerade Aufsteigung Nummer Gerade Aufsteigung in Datum 5 in Datum SE B. A. C. Beobacht. Mitt]. 1885, | B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 6940 | 1887 Aug. 24/20! 5™538,01 |20% 5™455,54 6968 | 1887 Sept. 23 |20%10™398,41 |20%10™3 25,15 27 53,02 45,58?) 25 39,59 32,37") Sept. 11 52,77 45,51 28 39,26 32,10 6 2, , 701: ; "s one st (013 |1886 Juli 30/20 17 12,10|20 17 6,70 PE E 6 Aug. 2 12,11 6,70 “oO 52,50 45,4 I 1 6 6 11 25 52,56 45,56 o 2,3 :94 7) 28 | 52,41 45,45 13 12,08 6,68") N 18 12,19 6,73 6966 | 1885 Juli 11/20 10 26,44 20 10 23,46 19 12,19 6.81 Aug. 29 26,39 23,39 21 12,20 6,8333) Sept. 22 26,09 23,43 23 12,20 6,8314) 25 26,00 23,40 24 Re RES 6,80 27 25,94 23,43 25 12,07 6,73 Okt. 8 25,78 23,43 28 11,95 6,6315) e 2.5394 23543. Sept. 16 11,79 6,71 30 25:33 23,40 *) 25 11,79 6,86 Nov. 4 25,19 23,39 1887 Aug. 3 14,48 6,78 7 25,16 23,41 5 14,41 6,71 6968 |1886 Juli 30 20 10 37.47 |20 10 32,08 12 14,40 EM Aug. 2 37,58 32,18 29 14,30 DE 10 37.65 32,25 5) 24 14,49 6,84 ) 13 37:48 32,09 27 14.41 6,78 18 37,61 32,24 4) Sept 11 14.16 6,70 19 31.64 32,28 18 14,11 6.76 21 31.59 32,23 23 14,01 ER 23 37357 32,25 25 14,22 6,98 ) 24 37:53 32,20 28 13.79 6,61 25 37,45 3213 | 7014 | 1885 Sept. 22|20 17 31,57|20 17 28,77 28 37:49 32,195) z 8,72 | 5 31,47 20,72 Sept. 16 31,24 SS 27 31,51 28,79 25 37:13 35,23 Okt. 8 31,33 28,79 TU SE 39.82 20 31,10 28.77 39; 2 Nov. e 30.84 Horti OV. 4 30,87 28,79 20 39,77 32,108)| 7046 | 1886 Juli 30/20 22 29,49 |20 22 23,55 24 39,86 $221?) Aug. 2 29,51 23:55 27 39,79 32,17 10 29.45 23,46 Sept. 11 39,69 32,28 13 29,53 23.54 16 39:45 32,08 18 29,57 23,58 18 39,50 32,16 19 29,54 23,56 ?) Feldbeleuchtung zu schwach. 2) Wolken. 3) Beobachtung schwer. 2) Bilder etwas verwaschen und unruhig. 5) Wolken; Bilder schwach. 6) Sehr wechselnd. 13) Matte Bilder. 17) Bilder sehr wechselnde und matt. 36 HERMAN SCHULTZ, Nummer Gerade Aufsteigung Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum - B. A.C. Beobacht. Mittl. 1885, | B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 | 1046 | 1886 Aug. 21 |20'227293,35 |20!22"235,381)| 7607 | 1885 Sept. 16 |21"44"485,04 |21!44?455,584) 23 29,55 23,58 22 48,77 45,46 2m 29,53 23,56 7641 » BU TID 2T 5 023,10) 209054 9)]95 2 2 DA Ai 9:99 2 29,37 23,4 un bou 14.5) 28 29,41 23,46 a 23,07 19,85 Sept. 16 29,21 23,45 - 4 2 25 29,18 23,54 | (659 |1885 Sept. 25 |21 54 26,41 21 54 23,23 1887 Aug. 3 32,33 23,54 27 26,46 23,30 5 32,27 23,46 Okt. 8 26,32 23,27 12 32,42 23,60 20 26,10 23,20 20 32,30 23,48 | Nov. 4 25,84 23,17 24 3287 23,57 1886 Okt. 4 29,08 23,33 >) 27 32,39 23,61 7 28,84 23,12 Sept 11 32,18 23,50 8 28,92 23,21 18 32,18 23,60 24 28,75 23325 23 32,15 23,63 20 28,03 23,17 25 32,03 23,54 29 28,57 23,15 28 31,80 23,36 31 28,60 Be 7058 |1885 Juli 11/10 23 41,31|20 23 38,36 MOY. 22 28,35 23,28 26 28,19 23,17 Aug. 29 41,54 38,39 Sept. 22 41,2 38,40 | 7742 |1885 Sept. 25/22 6 21,33 22 6 18,07 25 41,14 38,30 27 21,32 18,03 5) 27 41,21 38,39 Okt. 8 21,23 18,08 Okt. 8 41,02 38,38 20 21,02 18,03 20 40,79 38,34?) Nov. 4 20,82 18,05 30 40,70 38,43?) 1886 Okt. 8 23,70 18,06 Nov. 4 49,58 38,38 24 23,54 18,05 7 40,51 38,36 26 23,51 18,05 7606 » Sept. 25 21 44 43,52|21 44 40,34 °) > 23:43 neon E 31 23,36 17,96 27 43:55 40,39 N Okt. 8 43,43 40,41 NO 22 23,04 17,98 À Y. 26 23,03 18,03 20 43,24 40,38 ^) ! Nov. 4 42,96 40,34 | 7788 |1886 Okt. 8/22 14 46,1222 14 40,31 1886 Okt. 4 45,98 40,38 : 24 46,02 40,39 7 45,84 40,29 26 45,90 40.30 8 45,92 40,38 » 29 45,82 40,26 24 45,60 40,30 31 45,18 40,25 26 45,63 40,35 Nov. 22 45,65 40,42 2 45:53 40,30 26 45,56 40,38 2) I o Nor > duy d (828 | 1885 Sept. 22122 20 49,51 22 20 46,23 26 4513 dom 25 49,42 46,15 A 2 ) Okt. 8 49,42 46,26 (607 |1885 Sept. r1 21 44 48,84 |21 44 45,43 20 49,28 46,25 ") 1) Schwache Bilder. 2) Durch Wolken. 3) Unsicher durch Wolken. 3) Bilder verwaschen. 7) Wolken. 5) Sehr unsicher. 5) Schwach durch Wolken. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 37 Nommer Gerade Aufsteigung | Nummer Gerade Aufsteigung in Datum uA = in Datum — — B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 | B. A. C. Beobacht. Mitt]. 1885,0 | = ON ME = 1823 |1885 Nov. 4 |22120"485,09 |22!20"465, 16 8070 |1885 Nov. 10 |23" 3"465,20|23h 3743518 (827 |1886 Okt. 24|22 2ı 7,94|22 22 2,2 15 46,18 43,21 26 1,86 2,21 18 46,20 43,28, 29 115 2,14 19 46,16 43,24 ) 31 175 2,16 2. dus Lure Nov. 22 7,56 2,28 4 46,07 43,22 E 1 25 46,02 43,19 7893 |1885 Sept. 25 |22 33 22,04 22 33 18,62?) 27 45,99 43,18 Nov. ro 21,68 18,78") Dec. 1 45,95 ee I5 21,61 18,78 ')| 2 45,99 43,24 18 21,57 18,78 ; $ 19 21,47 18,71 8071 |1886 Dec. 4/23 4 19,4823 4 14,06) 21 21,49 18,757) 7 19,34 13,96 24 21,50 18,81?) 1887 Okt. 6 22,69 13,93 DEC 21,30 18,71 7 22,73 13,98 i x 16 CE 14,03 (900 |1885 Sept 22 22 34 16,06.|22 34 12,63 - 2565 25 16,22 12,80 )| 2 [ie Okt. 8 16,06 12,74 | 8078 |1885 Nov. 9/23 5 58,72 23 5 55.66 Nov. 4 I5,65 12,66 IO 58,89 55.85 IO 15,64 12/138 15 58,81 55,83 15 1559 12,76 ) 18 58,77 55,83 18 15,56 12,77 19 58,70 55,76 19 15,47 12,70 21 58,74 55,83 21 15,46 12,72 24 58,75 55,97 24 15,38 12,68 25 59,63 55,77 Deca ar 15,22 12,621) 4 27 58,63 55,80 (912 | 1886 Nov. 22 |22 36 22,04|22 36 16,71 er 55,58 55,89 1 2 58,67 55,90 26 21,99 16,72") S097 6 : 10 8001 |1885 Nov. 9/22 52 48,35 22 52 45,37 SE d P Ds a d ) 10 48,40 45,43 1887 Okt. 6 18,06 $us 15 48,28 45,39 7 17,95 9,171) 18 48,31 45,45 16 ÖS 9,2911] > 10022 45939 17 17,93 9,22 21 48,25 45,43 à 24 48,18 45,40 8142 !1882 Okt. 1: 23 16 32,38 23 16 37,48 25 ae 45,44 6 32,35 37547 2 48,0 ee ERE EE . puc er 8146 |1886 Dec. 4123 17 2,47|23 16 56,939) 8, a 7 242 56,92 ; FFT 45135 1887 Okt. 6 5.67 56,84 8070 |1885 Nov. 9 23 3 46,19/23 3 43,15 | 7 5,47 56,651?) 1) Wenige Fäden. >) Hübsche Bilder, aber wenige Fäden. 5) Wenige Fäden. Mehrere Sterne abweichen. *) Theilweise Wolken. *) Wolken. 11) Mehrere Sterne abweichen. *) Übereinstimmung nicht gut. 8) Starke Wolken. Wenige Fäden. 10) Wolken. Mehrere Sterne abweichen. 1?) Wolken. Schlechte Ubereinst. Mehrere Sterne abweichen. 3) Feine Wolken. Wenige Fäden. Übereinst. nicht gut. 5) Wenige Fäden. Wolken. Mehrere Sterne abweichen. 38 HERMAN SCHULTZ, \ Nummer Gerade Aufsteigung. Nummer Gerade Aufsteigung in Datum in Datum B. A. C. Beobacht. Mittl. 1885,0 | P. A. C. Beobacht. Mittl. 1885, 8146 |1387 Okt. 16 |23!17" 55,73 /23%16™5 65,96 8257 |1885 Nov. 18 |23^39" 05,06 |23"38™5 65,93 10) 17 5,58 56,82 19| 38 59,96 56,84 8182 |1885 Nov. 9 23 23 23,52|23 23 20,32 2% 59,81 56,75 9) 15 23,46 20,33 27 59,79 56,77 18 23,47 20,38 Beg n 59,36 56,88 19 23,39 20,31 d 59,80 56,83 21 23.39 20,33 9 59,70 56,8111) 24 23.31 20,30. | 8299 » Nov. 9/23 46 41,75 23 46 38,33 25 23,41 20,41 ) 10 41,76 38,34 2%}. 23,27 20,29 I5 41,58 38,22 Dec 23,32 20.38 18 41,59 38,26 2 23.23 20,32 19 41,70 38,38 8183 |1886 » 23 2 Bonin ass 2 2.83? 21 41559 38,25 npud =| +6] > 1887 Okt. 6 41,63 32.78 25 AE) 38,26 7 41,50 32.72 4) 27 41,47 38,25 46 41,69 32.79 Dec 41,47 38,30 17 41,65 32,85 5) E 41546 38,30 8203 |1885 Nov. 9123 27 45,98 123 27 42,63 1nd ius: d i6 da 426; | 3370 | » Nov. olas 59 51,13|23 59 47,71 15 45,84 42,56 Io 51,21 47,80 18 45,84 42,60 HE) 51,03 47,66 19 45,90 42,68 n SE 47:83 21 45,84 | 42,64 19 51,07 47,74 24 45,76 42,609). KE 35/99 31,05 25 45,76 42,61 = 31,94 7150) 27 45,76 42,64 25 31,05 41,78 Dec. ı vice oil 42,63 2 Sue 47577 5 45,61 42,56 Dec. 1 50,93 47:74 8206 |1886 » 4|z3 28 20,68|23 28 14,97 ") | ; El eae 1887 Okt. 6 23,70 > pr 8374 1886 » 4/24 © 45,02|24 © 38,929) 7 23,84 14,818) A 4461 38,79 6 23,76 14,79 20 44:02 39,05 13) 17 23,67 14,719) 1887 Okt. 6 47:97 38,66 14) 7 48,04 38,73 9) 8257 |1885 Nov. 9|23 39 0,03 |23 38 56,81 16 48,17 38,88 15) 10 0,11 56,90 17 47,97 38,68 15 38 59,99 56,83 1) Wolken. Bilder Schlecht. 2) Wolken. Schlechte Feldbeleuchtung. 3) Wolken. 4) Wolken. Mehrere Sterne abweichen. 5) Schlechte Bilder. Unsicher. 7) Wolken. Feldbeleuchtung unsicher. Schlechte Übereinstimmung. 9) Bilder sehr schlecht. 11) Recht gut zu beobachten obgleich die Bilder ziemlich schlecht. 13) Aussert unsichere und springende Bilder. 15) Bilder verwaschen. Mehrere Sterne abweichen. 6) Mehrere Sterne abweichen. 8) Durch olken. 10) Feldbeleuchtung zu stark. Schlechte Übereinstimmung. 12) Durch Wolken. Mehrere Sterne abweichen. 14) Bilder schlecht. Ubereinst. schlecht. MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 39 Mittlere Rectascensionen der beobachteten Sterne. Die folgende ohne Weiteres begreifliche Tabelle enthält die Resul- tate der Rectascensions-Bestimmungen für die beobachteten 185 Fixsterne. Die in der zweiten Kol. angegebenen Grössen sind entweder ganz bei- liufig nach den Beobachtungen oder nach dem B. A. C. angesetzt. Mittlere Rectascensionen der beobachteten Sterne. . Mittlere Jàhrl. N:o | Grösse | Mittleres A. R. præcess. Jahr 1885,0 1885,0 1 6 1/2 87,42 ol 9"585,20 35,074 2 6 85,90 4 7,61 3,077 3 6 87,78 9 3,45 3,080 4 6 à 7 87,61 13 59,67 3,995 5 Bela 85,89 14 40,84 3,084 6 6 86,51 19 30,46 3,975 7 6 87,42 24 3.27 3,150 8 5 86,01 I 39 19,24 3.157 9 5 1/2 86,01 147 36,10 3,100 10 (COMENT 85,97 I 54 10,28 3,101 II 6 à 7 87.56 2 6 46,99 372/5/7 12 7 85,98 7 28,84 3,128 13 6 86,36 n 3.02 3,071 14 à 8 87,59 17 4,18 3,209 15 5 Ya 85,97 38 41,62 3,253 16 6 !/2 87,57 39 19,09 3,136 17 5 à 6 87,54 42 52,43 3,339 18 6 85,97 45 8,66 3,302 19 6 87,57 49 20,72 3.363 20 6 12 85,97 50 4,76 3,198 21 5 1/2 86.16 3 6 54,31 3,045 22 5 2 87,11 12 29,44 3,049 23 6 !/2 87,46 35 40,98 3,452 24 6 88,14 4 2 27,88 3,480 25 5 88,14 9 17,43 3,252 26 5 à 6 88,16 44 38,75 3:499 27 6 88,15 50 43,78 3,462 23 5 88,16 57 59,88 3,424 29 7 88,16 5 3 41,58 3,381 30 7 88.16 10 48,75 3.548 31 627 88,17 ı2 26,36 3,549 32 5 1o 87,06 34 38,87 3.466 33 5 !/2 86,66 727 99! 3,149 34 6 1/2 86,66 32 15,02 3:633 35 6 86,50 49 16,55 3,264 36 647 86,54 8 2 16,76 3:359 Zahl der Bestinim. Approx. Decl. 1885,0 - HM MW C) © Q9 C9 C9 D NC) D D CO C01 Q2 An Q9 RO BR 0109 9 NN ROUNB HN D 28925 IO 30 8 II 15285377 1033 Re) 29 7 8 35 2 37 2 33 45 4 29 o 8 IO 19 IF +++ +++ | ++ + ELLE EE + + 4 FH tt GR GR GB GR Hr HH | t Oo 40 HERMAN SCHULTZ, ————— — On An Mittlere Jàhrl. Zahl Approx N:o Grósse ME A. R. præcess. der Decl. DERE 1885,0 18850 | Bestimm. 1885,o 31 6 à 86,11 8'19" 195,24 35417 9 + 17023’ 38 6 1/2 86,55 26 24,32 3,270 6 + IO 27 39 5 85,96 32 44,77 3,141 II + 3 45 40 5 Va 85,74 43 34:93 3,019 6 ru SE 41 5 à 6 95,74 49 38,74 3,283 6 *12 4 42 6 */2 85,83 55 26,98 3,175 5 TONG 43 6 à 7 85,48 9 47 40.57 3,156 14 + 6 30 44 6 87,86 50 20,16 3,192 5 10 20) 45 5 Le 85,46 BR EY 3,236 15 +13 0 46 6 1/2 87,87 56 24,14 3,357 5 + 22 30 "47 6à 7 85,48 10 15 39,22 3,236 14 a SiS 48 7 à 6 85,47 23 48,12 3,092 10 + US 49 5 !/2 85,42 28 48,05 3,141 13 7,1038 50 627 85,26 36 41,21 3,107 5 se ak et 51 5 à 6 85,28 49 47,45 3,082 6 + JO 52 6 86,30 50 3,20 3,120 4 + 6 48 53 6à 7 86,31 55 10,34 3,076 3 MONT 54 6 85,85 57 43:41 3,076 9 uem 9: m 55 5 à 6 85,84 II 2 38.76 3,220 II x E m 56 5 à © 86,12 23 42,36 BB, 6 TO 57 7 88,32 36 14,37 3,985 4 EN) Eg 58 6 86,03 39 21,39 3,091 9 + 8 54 59 6 à 7 88,32 43 13.39 3,082 4 jJ IMPO 60 7 86.00 46 50.56 3,095 8 iu G 61 5 à 6 88,32 49 9,08 3,083 4 4 o 5 62 (5 À F 86,48 53 10,38 3,073 5 + ro 63 5 à 6 85,96 ug MONTÉE 3.058 6 XE EN Xn 64 5 86,30 I2 46,56 3,972 3 NO À 65 5 88,33 21 14,08 3.008 2 ao AY) 2e 66 7 88,32 29 20;10 3,014 3 +19 © 67 5 à 6 86,59 31 12,35 3,914 18 x AS 68 6 88,33 35 46,60 3,032 4 Rm m 69 5 86,59 36 3,35 3,032 18 + 10 52 70 6 85,35 13 11 3,98 3,000 4 am do), 71 (5 2 ÿ 85,35 16 21,78 3,028 4 + 15 46 72 5 1/2 85,35 22 48.30 2,951 4 +14 24 13 6 85,35 33 54,26 2.966 4 +) 110.20 74 6à 7 85,35 44 30,88 2,867 3 + 19 I2 15 5 86,56 51 19,11 2,740 21 dE EAS 2 16 6 88,38 53 6,76 2.900 2 TS RTS 77 5 à 6 86,57 1417 43:38 2,953 13 + 8 58 78 6 1/2 86,07 23 58,74 3,054 10 + I 20 79 5 86,00 29 40,42 2,599 II + 39 15 80 6 36,67 35 39,44 2,863 17 "Wu 2 81 5 86.69 39 52,50 2,903 19 a 27 82 6 88,38 45 1.35 2,582 2 OMS 83 4 à 5 86,69 46 5,10 2,757 19 + 19 35 84 5 à 6 86,92 55 55,60 3.067 8 35 ©) GG) MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 41 132 Nova Acta Reg à Mittlere Jährl. Zahl Approx. Grösse Mittlengs A. R. præcess. der Decl. pac 1885,0 1885, | Bestimm. | 1885, 5 86,74 DOUANES, OR 25,621 9 + 25°19 6 87,43 9 57,60 3:059 3 + o 48 6 à 7 86.53 16 56,52 2,839 8 + I2 59 5 ä 6 86,70 49 39,47 2,048 12 + 20 39 5 à 6 86,68 56 4,24 2,097 13 +18 8 5à6 86,63 16 2 55,32 2,891 II + 28.50 6 à 7 86,87 SANT 2,889 1 s t G5 5 86,62 16 14,90 3,045 12 iP on nS) 6a7 86,46 31 16.43 2,913 2 SEU (PX 6 86,23 36 14.49 2,488 9 +25 5 6 à 7 86,67 AT 21,84 3,023 5 + 2 16 6 85,49 45 35,01 3:041 5 + a ad 5 "2 85,49 57 51,66 2,745 6 * 14 16 6 !a 86,74 58 22,21 2,757 8 +13 46 6à 7 86,48 40,49 2,757 5 * I3 44 (DENT) 85,78 17 4 14,86 2,839 10 + IO 12 5 à 6 85,49 DOM 715 2,642 14 +18 11 5 !/e 87,00 16 9,93 2,471 10 + 24 37 4 l2 85.52 20 48,51 2.975 I5 + 4 15 5 à 6 87,08 21 51,26 2,588 12 + 20 II 4 85,58 41 57.42 2.370 4 +27 47 5 1/2 85,58 50 46,80 2.419 4 +26 4 6 85,58 1827 59,07 2,495 4 WEZ 6 85,58 30 43,21 2,496 4 + 23 31 5 ila 85,58 39 1,68 3,028 4 des 6 !/2 85,58 45 19,78 3,151 4 ae eT 6 85,58 56 51,08 3,160 4 = 2 52 5 à 6 85,58 19 3 21,92 2,940 4 Biogr 6 86,22 IO 49,55 2,969 8 + 4 38 6à 7 87,18 32 5,02 Ent 35 + 16 12 5 85,52 33 31.09 2,962 10 + 5 8 5à6 87.16 37 9.34 2,825 36 + X39 | OB 7 87,22 43 16,88 2,827 31 + Tt 32 S Ul 84.76 46 7,02 2,581 8 + 22 19 6 87,12 20 5 45,52 2,502 24 + 26 34 5 85,75 10 23,42 2,542 Io weg H4) 5 !/2 87,14 10 32,18 2,591 25 +23 9 6 87,12 17 6,76 2,579 24 + 24 5 5à6 85,77 28,77 2,977 6 P T 6 87,11 22 23,52 3143 24 204 5 85.75 23 39,37 3134 10 =) 73 6 6 a7 86,95 2144 40,35 2,848 14 +16 45 5 à 6 85,70 45,49 2,649 3 * 29 38 5 à 6 85,70 51 19,87 2,927 3 + II 32 6 à 7 86,45 54 23,22 2,997 14 + 6 10 6 86,40 22 6 18,03 2,896 12 + 15 28 5 à 6 86,84 14 40,33 3,018 7 + 5 13 6 85,77 20 46,21 3,035 5 473548 . Soc. Se. Ups. Ser. III. 6 42 HERMAN SCHULTZ, J Mittlere Jährl, Zahl Approx. N:o Grösse | Mittleres AGERE præcess. der 6n duis 1885.0 1885, | Bestimm. 1885.0 133 5 86,85 22022". 2921 35033 5 M 134 6 85,86 33 18,74 2,903 8 + 18 56 135 6 à] 85,84 34 12,71 2,903 II "CLONES 136 6 86,91 36 16,72 2,954 2 +13 55 137 7 85,89 52 45,39, 3,013 11 + 8 45 138 5 1/a 85,89 23 3 43,21 3,026 II + 8 3 139 6 87,50 4 13,99 3,020 6 + 9 12 140 5 1/2 85,89 BR en 3,028 II +86 141 6 à 7 87,50 nO) OG 2,922 6 on 142 6 82,76 16 37,48 3:143 2 — I5 40 143 GUNT 87,49 I6 56,85 2,981 6 ap Bo) 12 144 4 à 5 85,81 I3 20,34 3,027 IO one. 7j 145 6 87.50 23 32,79 3,081 6 — 2 26 146 QUE 85,89 27 42,62 2,997 II + 21 52 147 5 1/2 87,61 28 14,81 2,963 5 = ASG 148 7 à 8 85.81 38 56,84 3,058 10 + 20033 149 5 à 6 85,92 46 38,29 3.046 I2 + 18) 29 150 6 85,89 2359 47,74 3,072 II * I2 45 Resultate einiger Planeten-Beobachtungen. Einige Beobachtungen von Jupiter und Saturnus vom December 1881 und Januar 1882, welche schon vor mehreren Jahren in den Astronom. Nachrichten publicirt worden, sind im Zusammenhang mit den folgenden hier wieder aufgenommen. _ Die Resultate sind mit den Ephemeriden in Nautical Alm. ver- gleichen worden. Mars. dnd M AM: Beobacht. nes Beobacht. psa m. Zei ADD. BER : oes — Rechn. App on halb. Durchg. i 1884 21 Febr. | rohag" 234 8533751587 — 05,35 05,58 + 0502 1886 29 März IO I4 58,8 | 10.43 43,18 2210521 — = 2 Apr. 955 52,9 | 1040 20,35 — 0,16 — = nau D 851 11,3 | I0 34 36,35 — 0,01 — — TO 843 22,7 | 10 34 30,62 + 0,05 = = PIE» 8 35 44,9 | 10 34 53,62 + 0,12 0,46 + 0,01 23% 8 28 17,5 IO 35 18,11 + 0,07 0,46 + 0,02 MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE IN UPSALA. 43 Jupiter. NAE zn A. R Beobacht. NS Beobacht. PES j | App. — Rechn. vane e — Rechn. 1881 23 Dec 8*48"2658 23582 15,55 — mn 1°,60 — 08,02 ma D 8 44 16,8 2 98 7,41 — 0,05 1,63 + 0,01 3T > 8 15 28,5 2 56 50,29 + 0,12 1,59 + 0,01 1882 4 Jan 759 18,6 2 56 23,96 + 0,21 1,61 + 0,07 25 > 638 0,5 2 57 40,18 + 0,58 1,49 + 0,05 29 » 623 11,3 2 58 34,77 + 0,72 1,37 == (95) o $5 T 6 15 51,1 259 6,45 + 0,63 1,38 = OS 1883 18 Febr. 1820199277 5 22 30,52 + 0,32 1,56 + 0,05 26 » 6 58 26,7 5 23 21,96 + 0,55 1,48 0,00 ı März 647 11,9 | 5 23 54,95 + 0,53 1,45 = 0,01 30? 6 39 46,2 5 24 21,20 + 0,68 1,46 + 0,01 4 > 6 36 4,5 5 24 35,40 + 0,65 1,49 + 0,04 TIS 6 10 34,8 | 5 26 37,42 + 0,77 1,51 + 0,09 22 » 5 31 44,4 5 31 2,67 + 0,95 1,32 — 0,05 26 » 5 17 574. 5 32 59.60 + 1,00 * 1,34 — 0,01 27] > 5 14 32,2 5 33 3943 + 1,01 1,27 — 0,08 28 » 511 78 5 34 1,98 + DII 1,34 9:00 29 >» 5 7 43,8 5 34 3403 + 1,09 1,33 — 0,01 1884 21 Febr. 9 46 28,5 7 51 11,0 — 0,45 1,60 + 0,02 1886 17 Apr. ie e Sene 11 54 41,50 — 0,40 I,45 + 0,01 19 » IO 2 28,9 | I1 53 58,82 — 0,39 1,55 + Gua Zu. 9 9 53 56,5 | 11 53 18,09 — 0,37 1,50 + 0,07 2:31? 9 45 26,2 | 11 52 39.47 — 0,28 1,47 + 0,05 Saturnus. Sternzeit : A. R. Beobacht. des halben nsa m. mecs App. — Rechn. Durchganges des Ringes | 1881 23 Dec. 8h 7mi05,4 ghyym 55.39 — 05,81 15,41 24 > 8 3 17,4 CORTE ON en 1,45 3° 2 7 39 13,8 2 16 33,02 — 0,70 1,35 OI 735 14,8 2 16 29,91 — 0.56 1.47 1882 4 Jan. 7| 39) EXE 2 16 21,19 — 0,50 1,43 20 » (CNG) À 2 16 54,78 2290782 I,41 22 557 546 2 17 27,72 + 0,08 1,42 2052 5 42 447 218 1,47 + 0,22 1,35 Sy 5 35 12,0 2 18 20,69 + 0,20 1,44 44 HERMAN SCHULTZ, MERIDIAN-BEOBACHTUNGEN AUF DER STERNWARTE etc. Sternzeit ud A. R. Beobacht. des halben Upsala mo me App. —- Rechn. Durchganges des Ringes 1883 15 Jan. 1330245, 1 3h 9™408,31 = 08,52 1°,50 £D 1030 S575 3 9 42,23) — 0,48 1,50 18 Febr.| 5 19 33,7 3 12 40,35 * 9,27 1,43 ug 2 5 15 50,4 3 12 52,97 + 0,39 1,33 23 ? 5 1. 805 3 13 46,83 + 0,54 1,33 26 » 4 49 57,3 3 14 31,41 + 0,44 1.34 1884 7 Jan. 9 1 45,9 4 8 56,15 — 0,98 1,59 13 ? 837 54 4 7 50,87 — 0,86 1,59 15 > 8 28 55,3 ANT 7 E3250) M 0103 1,64 21 Febr. 6 3 12,6 4 7 18,45 + 0,04 1,47 1) Die Zahl des Beobachtungsjournals, offenbar durch einen Schreibfehler (28 statt 20) ent- stellt, ist hier mit 8 Sekunden korrigirt. BOLOMETRISCHE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE STÄRKE DER STRAHLUNG VERDUNNTER GASE UNTER DEM EINFLUSSE DER ELEKTRISCHEN ENTLADUNG KNUT ÅNGSTRÖM. MIT ZWEI TAFELN (MITGETHEILT DER KÖNIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 9 APRIL 1892). UPSALA 1892, DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. Ui IT. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. Inhalt. Einleitung MU Instrumente und Methoden c 1. Der Bolometer 2. Die Entladungsrohre NEM IST: 3. Die Herstellung der Gase, das Füllen Evacuieren 4. Die Elektrieitätsquellen und die elektrischen Messungen . Versuchsanordnung und Beobachtungen . : S Über die Beziehung zwischen Stromstärke und Satine : Über die Strahlung verschiedener Gase bei verschiedenem Drucke Einige Beobachtungen mit dem RUHMKORFF'schen Induktorium Über die Bestimmung der Strahlung in absolutem Masse . 1. Bestimmung der Empfindlichkeit des Bolometers 2. Korrektion für die Reflexion der Rohrwände : S ct : 3. Berechnung des Strahlungsvermógens und der QoS iaateneeteattone der Gase Einige theoretische Bemerkungen . E e Zusammenstellung der wichtigsten Resultate deb xe) ej Ssh ej Une) Gs} Rej kel Gs) he] Ue Ge} Gs) kel ko CH) m du THAT Bolometrische Untersuchungen über die Stärke der Strahlung verdünnter Gase unter dem Einflusse der elektrischen Entladung. I. Einleitung. In vorliegender Arbeit will ich die Versuche, welche ich über die Strahlung vérdünnter Gase unter dem Einflusse der elektrischen Ent- ladung angestellt habe, näher besprechen). Die ganz besondefen Schwie- rigkeiten, mit denen diese Untersuchung verbunden ist, tragen die Schuld daran, dass man hinsichtlich der Schärfe und Genauigkeit der Bestim- mungen nicht zu grosse Forderungen stellen kann, und aus demselben Grunde lässt auch die Anzahl der Versuche viel zu wünschen übrig. Die hier gemessene Strahlung ist nämlich von einer so geringen Stärke, dass sogar ein so empfindliches Instrument, wie der Bolometer, sich in einigen Fällen als unzureichend erwiesen hat. Es ist übrigens eine sehr bekannte Sache, dass die Herstellung von verdünnten Gasen von solcher Reinheit, dass dieselben sich bei durchgehenden elektrischen Entladungen von Verunreinigungen frei zeigen, eine der aller schwierigsten Aufgaben des Chemikers und Physikers ist. Der Werth einer Untersuchung über die elektrischen und optischen Phänomene in verdünnten Gasen scheint mir jedoch von der sorgfältigen Herstellung der Gase in hohem Grade abhängig zu sein. Demzufolge habe ich keine Mühe gescheut, um die- selben so rein wie möglich zu bekommen, eine Arbeit die viel Zeit in Anspruch genommen hat. Wenn auch in folge dessen diese Untersuch- ung eigentlich als eine orientierende zu betrachten ist, so werden doch 1) In einer vorläufigen Notiz: »L'intensité de la radiation des gaz sous l'influence de la décharge électrique» (Öfversigt af K. Vet. Akad. Fórh. p. 373, 1891) habe ich die Hauptresultate der Untersuchung vorgelegt. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 9 KNUT ÅNGSTRÖM, die Versuche als die ersten ihrer Art gewiss nicht ohne Bedeutung für die nähere Kenntniss der Entladungsphünomene in verdünnten Gasen sein und uns übrigens hoffen lassen, dass ein eingehendes Studium ein- zelner Fragen mittels der bolometrischen Methode unsere Kenntniss in dieser Hinsicht noch weiter fórdern werde. Direkte Versuche, die Strahlung der Gase in s. g. GrissrER'schen Röhren quantitativ zu messen liegen, so viel ich weiss, nicht vor. Da- gegen ist die Wärmeentwickelung in solchen Röhren mehrmals Gegen- stand der Untersuchungen gewesen. So haben die Herren G. WIEDEMANN !), Naccarı und BELLATI”), E. Wiepemann®) und HassELBERG^) solche Ver- suche angestellt. In der letzten Zeit hat schliesslich Herr G. STAUvB?) den BuwzEN'schen Eiskalorimeter zu diesem Zwecke benutzt. Seine Ver- suche unterscheiden sich von den übrigen dadurch, dass er die Licht- strahlung von der Gesammterwürmung zu trennen gesucht. Das Ent- ladungsrohr wurde nämlich theils ganz durchsichtig in den ebenfalls durchsichtigen Eiskalorimeter eingeführt und die Erwärmung bei Ent- ladung 2--3 Leidenerflaschen bestimmt, theils wurde der Versuch, nach- dem das GeıissLer'sche Rohr durch einen in Wasser unlöslichen Lack undurchsichtig gemacht war, wiederholt. Diese Versuche zeigen, dass ein sehr bedeutender Theil der Wärmeentwickelung in sichtbarer Strahl- ung besteht, indem 20 ?/o bis 30 ?/o von der Gesammterwärmung den Kalorimeter verlässt, wenn das Rohr ungeschwärzt ist. Die vorliegende Untersuchung verfolgt jedoch einen anderen Zweck. Die Erwärmung, welche man bei diesen kalorimetrischen Untersuchungen beobachtet, ist nämlich eme Folge sowohl der Strahlung der Gase und der Wärmeüberführung von denselben durch Konvektion und Leitung wie auch der wahrscheinlichen Wärmeentwickelung an den Rohrwänden. In dem Folgenden werden wir ausschliesslich die Strahlung der Gase bestimmen und zwar nur die Strahlung des positiven Lichtes. Wir wollen die Beziehung zwischen Stromstärke und Strahlung näher untersuchen, die Veränderungen, welchen diese Strahlung in quantitativer und quali- tativer Hinsicht bei Änderungen in Stromstärke und Druck unterliegt, und schliesslich die Strahlung in Gram-Kalorien per Sekunde für die ) G. WIEDEMANN, Pogg. Ann. 158, p. 35 und p. 252, 1876. 2) NACCARI et BELLATI (Atti dell Ist. Ven. 4. 1878) Beibl. 2, p. 720, 1878. ) E. WIEDEMANN, Wied. Ann. 6, p. 298, 1879 und 10, p. 202, 1880. ) B. HASSELBERG, Mém. de l’Acad. Imp. des sciences de S:t Petersburg, 27, N:o 1, 1879. 5) G. STAUB, Inaugural-Dissertation, Zürich 1890. 3 STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ÉNTLADUNG. 3 Längeneinheit des Entladungsrohres berechnen. Mit Kenntniss der Strom- stärke und der Potentialdifferenzen in dem Entladungsrohre wird es dann möglich den Theil der in dem Rohre abgegebenen Energie, welche in Strahlung umgesetzt wird, zu berechnen. In dieser Untersuchung wird angenommen: 1) Dass die absorbierende Fläche des Bolometers alle Strahlen eben so gut absorbiert, oder also dass das Absorptionsvermögen der Fläche von der Wellenlänge unabhängig ist. Zwar habe ich schon ge- zeigt '), dass Russ durchlässiger ist, je grösser die Wellenlänge; da aber aus derselben Untersuchung hervorgeht, dass das Absorptionsvermögen doch für jede Wellenlänge sehr gross und das Diffusionsvermögen be- kanntlich sehr unbedeutend ist”), mag diese Annahme berechtigt sein. 2) Dass das Absorptionsvermögen der Fläche gleich eins gesetzt werden kann. Diese Annahme ist, wie bekannt, nicht vollständig richtig und verursacht einen konstanten Fehler in den absoluten Bestimmungen von 1—2 Procent. Weil ich aber das Absorptionsvermógen meiner Fläche nicht direkt bestimmt habe, und da übrigens der oben angeführte Fehler von relativ geringer Bedeutung ist, habe ich, statt eine willkürliche Kor- rektion anzubringen, vorgezogen die direkt ausgeführten Bestimmungen ohne weiteres anzuführen. 3) Dass eine c. 4 mm dicke Platte von Steinsalz für Strahlen verschiedener Wellenlänge gleich durchlässig ist, eine Annahme die, wenn auch nicht von strenger Gültigkeit, doch ohne Zweifel für eine so geringe Dicke der absorbierenden Schicht, wie die hier angewandte, er- laubt ist. Der Leser wird übrigens leicht finden, dass kleinere Abweichun- gen von der Richtigkeit dieser Annahme ohne Bedeutung für die Gültig- keit unserer Schlussfolgerungen sind. 1) K. ÅNGSTRÖM, Öfversigt af K. Vet. Akad. Förhandl. N:o 6, p. 385, 1888 und Wied. Ann. 36, p. 115, 1889. 2) Siehe auch: K. ÅNGSTRÖM, Upsala Univ. Årsskrift 1885 und Wied. Ann. 26, p. 253, 1885. 4 KNUT ÅNGSTRÖM, IL. Instrumente und Methoden. 1. Der Bolometer. Bei den ersten vorläufigen Versuchen, die Strahlung auf photo- metrisehem Wege zu bestimmen, wurde ein Spektroskop »à vision directe» (von Duposca, Paris) benutzt. Dasselbe wurde mit einem VIERORDT’schen Doppelspalt (von Krüss in Hamburg) versehen; vor die eine Spalthälfte war ein kleines Prisma von Kreide gestellt, wodurch das Licht von der seitlich aufgestellten Vergleichslampe in das Spektroskop hinein diffun- diert wurde. Das Versuchsrohr mit »gerader Durchsicht» wurde vor die andere Spalthälfte in Richtung der Spektroskopaxe aufgestellt. Die Versuche wurden in leicht verständlicher Weise angestellt und ich kann um so mehr die Einzelnheiten dabei übergehen, weil ich im Folgenden nur beiläufig die in dieser Weise angestellten Versuche erwähnen werde. Die photometrischen Bestimmungen lassen nämlich viel zu wün- schen übrig und erlauben nur ein sehr beschränktes Gebiet des Spek- 'trums zu studieren. Es war aber hier meine Aufgabe, einen übersicht- lichen Einblick über die Gesammtstrahlung und ihre Veränderungen bei der elektrischen Entladung durch verdünnte Gase zu gewinnen, und hierfür scheint in vieler Hinsicht die bolometrische Methode besonders geeignet. Es fragte sich nur, ob diese Methode eine genügend grosse Empfindlichkeit darbiete. Durch vorläufige Versuche zeigte sich, dass man wenigstens für einige Gase von grósserem Strahlungsvermögen, gute Resultate erhoffen kann. Der von mir benutzte Bolometer!) bestand aus zwei aus Stanniol geschnittenen Gittern, die in zwei Ebonitrahmen befestigt waren. Die Rahmen wurden nach einander in ein Rohr mit doppelten Wänden ein- geschoben, ein kleiner Doppelschirm, der jedoch nicht das Rohr voll- ständig absperrt, schützt das hintere Gitter vor der Strahlung. Die Git- ter werden durch vier in dem Rohre befindliche Diaphragmen vor per- turbierenden Luftströmungen geschützt. Das Gitter durch welches das Instrument die Strahlung absorbiert, nimmt eine kreisförmige Fläche von 16 mm Diameter ein. Dasselbe ist sorgfältig durch galvanisch nieder- 1) Das Instrument ist dasselbe, welches ich bei einer früheren Gelegenheit benutzt habe; siehe: ÅNGSTRÖM, Bihang till K. Svenska Vet.-Akad. Handl. 13, Afd. 1, N:o 4, 1887. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 5 geschlagene Platina und darauf folgendes Berussen geschwürzt'). Die vier Zweige der Wheatstone-Brück-Combination, von welchen, wie be- kannt, die oben beschriebenen Gitter zwei bilden, haben alle dieselben Widerstände, jede ungefähr 5 Ohm. Die Empfindlichkeit des Bolometers konnte durch Einschaltung von Widerständen in der Galvanometerzu- leitung beliebig verändert werden. Um die relative Empfindlichkeit je- desmal bestimmen zu können, habe ich mich einer Anordnung bedient, die ich schon vorher beschrieben habe’). Dieselbe besteht ganz einfach darin, dass man einen konstanten Widerstand als Nebenschluss in einen der Brückenzweige einführt. Die Ablenkungen des zum Bolometer ge- hörigen Galvanometers, die dem Schliessen oder Öffnen dieses Neben- schlusses folgen, geben ein relatives Mass der vorhandenen Empfindlich- keit an. Bei der gewöhnlichen, von mir gebrauchten Empfindlichkeit des Instruments, zeigte der Bolometer-Galvanometer beim Schliessen oder Öffnen des Nebenschlusses eine Ablenkung von c. 75 Scalentheilen. Um die an verschiedenen Tagen angestellten Versuche vollständig mit ein- ander vergleichbar zu machen, sind die Schlussresultate alle auf dieselbe Empfindlichkeit des Bolometers, und zwar auf die, welche einer Ablenk- ung von 75 Scalentheilen beim Schliessen des Nebenschlusses entspricht, reduciert. Weil das Lokal, in welchem ich diese Untersuchung ausführte*) für genaue Messungen infolge der durch den Strassenverkehr verursachten Erschütterungen sehr ungünstig war, sah ich mich genötigt für diese Untersuchung einen besonderen Galvanometer herzustellen. Die Kon- struktion des Instrumentes weicht in vieler Hinsicht von der gewöhn- lichen ab und hat die Anforderungen, die ich an dasselbe gestellt habe, befriedigend erfüllt. Es scheint mir jedoch nicht nöthig, hier hin- sichtlich dieses Instruments auf Einzelheiten einzugehen. Es mag ge- nügend sein anzugeben, dass der Gesammtwiderstand der zwei Galva- 1) Das gleichmässige Berussen geschieht sehr leicht durch folgendes einfaches Verfahren: Eine Stearinkerze wird so unter einem Drahtnetz gehalten, dass die Spitze der Flamme das Netz berührt. Der Rauch wird durch das Drahtnetz verbreitet und der Niederschlag auf den darüber bewegten Gegenstand sehr gleichmässig vertheilt. Die Wärme über dem Drahtnetz ist nicht grösser als dass man nicht auch leicht schmelzbare Sachen, wie diese Gitter aus Stanniol, berussen könnte. 2) K. ÅNGSTRÖM, »Bestümning af känsligheten vid bolometriska mätningar». Öf- versigt af K. Vet. Akad. Fórhandl. p. 379, 1888. 3) Diese Untersuchung war die letzte, welche ich, während meiner Anstellung an der Hochschule in Stockholm ausgeführt habe. 6 KNUT ÅNGSTRÖM, nometerrollen klein ist (c. 8 Ohm), dass die Empfindlichkeit des Instru- ments sehr gross ist (1 Scalentheil bei 2 m Sealenabstand entspricht 5,5 X 10? Ampere), wozu kommt dass die Schwingungsdauer verhält- nissmässig klein (ein Ausschlag nimmt eine Zeit von c. 8 Secunden in Anspruch) die Dämpfung aber stark ist. Durch eine besondere Unter- suchung überzeugte ich mich von der genauen Proportionalität zwischen Stromstärke und Ablenkung, welche sich weit über die im Folgenden ge- steckten Versuchsgrenzen erstreckt. 2. Die Entladungsröhre. Bei den ersten Versuchen wurden alle Verbindungen zwischen den Entladungsröhren und der Luftpumpe durch Zusammenlöthen hergestellt, also ohne jeden Schliff. Bei diesen Röhren waren auch die Alumi- niumelektroden im Glase mittels Platindrähte eingeschmolzen. Die beiden Enden des Rohres wurden mit plangeschliffenen Steinsalzplatten bedeckt, welche vermittels Natriumsilikat luftdicht angekittet wurden. Dieses Mit- tel hat sich als ganz vorzüglich erwiesen, indem dasselbe alle Ansprüche an luftdichte Verbindungen erfüllt, ohne das Steinsalz auzugreifen und ohne selbst bei den höchsten Verdünnungen verunreinigende Dämpfe abzugeben. Bei dieser Anordnung zeigte es sich doch immer mit den gróssten Schwierigkeiten verbunden die Gase, besonders den Sauerstoff, rein zu bekommen; nachdem der elektrische Strom einige Zeit hindurch- gegangen war, zeigten sich immer im Spektrum die charakteristischen Streifen der Kohlenverbindungen und zwar trotzdem, dass keine solche Verbindung früher in dem Rohre eingeführt gewesen war. Móglicherweise liegt die Ursache hiervon in dem Einschmelzen der Elektrode und dem Zusammenlóthen der Róhrenverbindungen. Bei diesen Operationen ist es nämlich unmöglich zu vermeiden, dass die Stichlamme die inneren Wände des Rohrs berührt, und die Möglichkeit ist dann ohne . Zweifel vorhanden, dass sich Kohlenstoffverbindungen aus den Flammengasen abscheiden und sich in den Röhren, vielleicht auch auf den Aluminiumelektroden absetzen. Um diese eventuellen Übelstünde zu verhüten, wurde in dem Rohre, das in dem Folgenden mit N:o 3 bezeichnet wird, die Anordnung ge- troffen dass jede Löthstelle vor dem Zusammensetzen des Apparates sorgfältig gereinigt wurde. Die Verbindung der verschiedenen Theile des Entladungsrohres, der Luftpumpe etc. wurde dann mit einigen STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 7 Schliffen bewirkt, die ohne jedes Fett in einander gesteckt ‚wurden. Durch einige Tropfen Natriumsilikat wurde die Verbindung dann voll- ständig luftdicht gemacht. Für die Elektrode wurde zuerst ein Rohr, wie Fig. 3, A zeigt, ausgezogen. Der sorgfältig gereinigte Aluminiumdraht wurde dana von der einen Seite, ein Platindraht von der anderen in das Rohr P, Fig, 3, hineingeschoben und dieses bei f erhitzt, so dass der Platindraht und die Aluminiumelektrode in das Glasrohr in gewöhnlicher Weise einge- schmolzen wurden. Das Rohr wird dann in eine Glasplatte m, Fig. 3, C, eingeschliffen und erst nachdem diese Operationen vollendet sind und das Rohr sorgfältig von jedem Fett gereinigt ist, wird dasselbe bei y, Fig. 3, B, und darnach die Aluminiumelektrode bei h abgeschnitten. Das abgeschnittene Rohrstück hat also die Elektrode vor Flammengasen und jeder Berührung geschützt. Die Glasplatten A und A,, werden darnach wie Fig. 2 zeigt mit Natriumsilikat an dem Entladungsrohr befestigt, und einige Tropfen Na- triumsilikat wird auch um das Elektrodenrohr (bei /, Fig. 3, C) gegossen. An der oberen Seite der Glasplatte wird ein Stück eines Glasrohres Bund B,, Fig. 2, angekittet. Durch eingegossenes Quecksilber kann man darauf in gewóhnlicher Weise den Stromübergang von den Elek- troden zum Zuleitungsdraht vermitteln. Um zu prüfen, ob der so hergestellte Apparat luftdicht ist, wird durch Pumpen ein Crookes’schen Vakuum hervorgebracht. Wenn dies nach einigen Tagen noch unverändert war, habe ich die Verbindungen als gut betrachtet und erst dann, um das Natriumsilikat gegen Einwirkung der äusseren Luft zu schützen, eine dünne Schicht von Wachs und Va- selin darüber angebracht. In das Entladungsrohr waren zwei feine Pla- tindrähte als Elektroden für die Ableitungen zum Elektrometer bei C und C,, Fig. 2, eingeschmolzen. Es ist wohl kaum nóthig zu sagen, dass dies vor der schliesslichen Reinigung des Rohres geschah. Es zeigte sich, dass es bedeutend leichter war reine Gase in das so hergestellte Rohr, N:o 3, zu erhalten. Es muss aber zugegeben wer- den, dass auch andere Umstände als die eben beschriebenen Anordnun- gen zu diesem guten Resultate beigetragen haben können, da ich näm- lich auf die Reinigung der Róhre und auf die Herstellung der Gase alle môgliche Sorgfalt verwendet habe. 8 KNUT ÅNGSTRÖM, 3. Die Herstellung der Gase, das Füllen und Evacuieren. Nur vier Gase waren Gegenstand meiner Untersuchung: Wasser- stoff, Sauerstoff, Stickstoff und Kohlenoxyd. Um die Gase in das Entladungsrohr einzuführen, wurde eine Vor- richtung getroffen, die in ihren Grundprincipien schon von Cornu ange- geben ist!) Fig. 1, Tafel 1 zeigt diese Anordnung, M ist ein ungefähr l m langes, 1 cm weites Rohr, dessen unteres Ende durch einen dick- wandigen Kautschukschlauch mit dem Quecksilberreservoir O in Verbind- ung steht. Seitlich ist bei I em Kapillarrohr angeschmolzen, das, wie die Fig. zeigt, so gebogen ist, dass verschiedene kleine Gefässe über sein offenes Ende geschoben werden können. Wenn das Entladungsrohr leer ist, kann man durch Senken des Reservoires O die Gase durch J einführen. Dieselben steigen durch A hinauf und durchstreichen vor ihrem Eintritt in das Entladungsrohr die drei Rohre P, S und C. Diese enthalten: P Phosphorsáureanhydrid, S Schwefel und C reine Kupferspáne; ihre Aufgabe ist Wasser, Quecksilber und Schwefeldämpfe zu absorbieren. Wasserstoff und Sauerstoff wurde durch elektrolytische Zersetzung reinen frisch destillirten Wassers. das durch Phosphorsäureanhydrid an- gesäuert war, hergestellt. Das elektrolytische Gefäss ist in Fig. 4 ab- gebildet. Es besteht aus einem U-förmigen Rohre GAB, in welchem die Platinelektroden eingeschmolzen sind, aus einem nach unten offenen Rohre H und einem aufwärts gebogenen Rohre D. Das Rohr A wird über das Kapillarrohr I (siehe auch Fig. 1,) geschoben und ein klei- nes Becherglas C darunter gesetzt. In den Becher wird ein wenig Queck- silber gegossen, doch nur soviel, dass die untere Öffnung von Z frei bleibt. Das angesäuerte Wasser wird darauf in das Rohr A und in den Becher gegossen, wie auch einige Tropfen Quecksilber in D. Wenn man jetzt an D saugt, tritt die Luft durch den kapillaren Theil FE hinaus, das ganze Gefüss wird mit Wasser gefüllt, das durch den Quecksilber- tropfen bei E abgesperrt wird. Hebt man nun den Becher C ein wenig, wird auch die untere Öffnung von H durch Quecksilber abgesperrt. Dieses Verfahren kann ohne Schwierigkeit wiederholt werden, so oft man von: einem Gase zu einem anderen übergehen will und das Entwicklungs- 1) A. Cornu, Journal de Physique, 5, p. 100 et p. 341, 1886. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ÉNTLADUNG. 9 gefäss kann, weil dasselbe von dem übrigen Apparat getrennt ist, leicht bei Bedarf gereinigt werden. Dei den anderen Gasen wird nur ein kleines unten verengtes Rohr P, Fig. 4, als Gasbehälter benutzt. Die Gase werden in gewöhnlicher Weise in diesen Röhren über reinem Wasser und Quecksilber aufgesam- melt. Nachdem das Quecksilber durch Hebung von dem Behälter O, Fig. 1, bis an die Offnung von I getrieben ist, wird der Behälter P über I geschoben. In dieser Weise konnte Stickstoff und Kohlenoxyd einge- führt werden. Das erstgenannte dieser Gase wurde durch Leitung von Luft über erhitzten Kupferspänen, die bereits durch Wasserstoff reducirt waren, hergestellt. Die Luft war vorher durch reine Baumwolle, concentrirte Schwefelsäure } und Kalilauge geleitet, um Staub, Wasserdünpfe und Kohlensáure zu entfernen. Kohlenoxyd wurde aus Schwefelsäure und Oxalsäure dargestellt und durch Leitung über Kalilauge gereinigt. Bei der Herstellung der Gase wurde die Anwendung jedes Schlauchs sorgfältig vermieden und die verschiedenen Theile des Entwicklungsap- parates direkt an einander gelöthet. Zwischen dem Entladungsrohre und der Luftpumpe ist eine Queck- silbersperre N, Fig. 1, eingesetzt; bei Heben des Behälters F, steigt das Quecksilber in das U-förmige Rohr hinauf und unterbricht die Verbind- ung zwischen der Pumpe W und dem Entladungsrohr. Die Verbindung wird nur bei dem Evacuieren des Entladungsrohres hergestellt. Durch das U-förmige Rohr wird auch die Spannung des eingeführten Gases direkt bestimmt, indem die Höhendifferenz des Quecksilbers in den bei- den Schenkeln, vermittels eines guten Kathetometers (von PERREAUX in Paris) abgelesen wird. Natürlich muss dann zuerst die Luftpumpe sorg- fältig (bis auf einige Tausendstel m m) entleert sein. Die Spannungs- bestimmungen dürften jedoch, weil das U-fórmige Rohr ein wenig zu eng war, nur auf c. 0,5? m m genau sein. Zur Entleerung der Entladungsróhre habe ich theils eine Pumpe von der gewöhnlichen BessEL-HacEN'sche Konstruktion (von MÜLLER in Berlin) theils auch bei späteren Versuchen eine Pumpe, die hauptsäch- lich nach den Angaben von Prürz verfertigt war, benutzt!) Ich habe doch einige Veränderungen dabei angebracht, um die Handhabung be- quemer zu machen und die Verdünnung rascher ausführen zu können. 1) Prürz: Wied. Ann. 62, p. 191, 1891. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 KNUT ÅNGSTRÖM, Die Einrichtung der Pumpe wird durch die Fig. 1, WYK, leicht verständ- lich. Ich kann die so modificierte Pumpe sehr empfehlen. Nachdem das Entladungsrohr durch lüngeres Pumpen so vollstün- dig wie möglich entleert ist, werden einige Gasblasen durch Senkung des, Reservoires O, Fig. 1, hineingelassen, Induktionsfunken durch das Entladungsrohr geleitet und dann wieder das Rohr entleert. Erst nach- dem diese Operation mehrmals wiederholt worden war, wurden die bolo- metrischen Beobachtungen begonnen. Während derselben wurde auch oft die Strahlung des Rohres mit einem Spektroskope beobachtet, um das etwaige Vorhandensein der Verunreinigungen beurtheilen zu kónnen. 4. Die Elektricitätsquellen und die elektrischen Messungen. Als Elektricitätsquelle wurde hauptsächlich ein Accumulator von 800 Elementen benutzt. Eine von den wohl bekannten kleinen Batte- rien des PrANTÉ'schen Modelles von 80 Elementen!) hatte ich von »Mai- son BREGUET», in Paris, bekommen, die übrigen waren sehr sorgfältig in Stockholm nachgemacht. Bei einigen Versuchen wurde ein Runmkorrr'sches Induktorium mittlerer Grósse benutzt. Dasselbe war ein vorzüglicher Apparat von CARPENTIER in Paris. Der gewöhnliche Stromunterbrecher wurde je- doch fortgenommen und eine grosse elektrische Stimmgabel (von KÖNIG in Paris) mit veränderlicher Schwingungszahl (von 64 bis 96 ganzen Schwingungen per Secunde) an seiner Stelle angebracht. Mit diesem Unterbrecher funktionierte das Induktorium sehr gleichmässig, so dass man ohne Schwierigkeit sowohl über die Stürke des Induktionstromes wie auch über die Strahlung des Rohrs Messungen anstellen konnte. Zur Leitung des elektrischen Stromes wurden dicke kautschuk-isolierte Kupferdrähte benutzt. Um die Stromstärke beliebig variieren zu kön- nen, waren einige grosse Flüssigkeitswiderstände im der Leitung einge- schaltet. Sie waren nach den Angaben von Hırrorr”) hergestellt, also durch in Amylalkohol gelöstes Jodcadmium und konnten durch verän- derte Einstellung der Elektroden beliebig vermindert oder vergrössert werden. Zur Bestimmung der Stromstärke bediente ich mich eines aperio- dischen Spiegelgalvanometers, mit kautschukisolirtem Draht (von Hanr- 1) G. PLANTE, Recherches sur l'Electricité, Paris, 1883. 2) W. Hirrorr, Wied. Ann. 7, 559, 1879. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ÉNTLADUNG. 11 MANN & Braun in Frankfurt) Die Galvanometerrollen waren für kleine Empfindlichkeit eingestellt. Der Reduktionsfaktor des Instruments wurde mit Hülfe eines Silbervoltameters bestimmt. Ein Ausschlag von einem Skalentheil entspricht 0,000015 Ampere und die Empfindlichkeit zeigte sich während der Arbeit genügend konstant. Zur Bestimmung der Potentialdifferenz in den Entladungsröhren diente ein Quadrantelektrometer von Mascarr (von Carpentier in Paris bezogen). Die Quadranten wurden durch eine kleine Wasserbatterie bei konstanter Ladung gehalten; die Nadel konnte vermittels eines Kommu- tators abwechselnd mit dem einen oder anderen der in dem Entladungs- rohre eingeschmolzenen Platindrähte in Verbindung gesetzt werden. Die Ablesung des Instruments fand durch die Projektionsmethode statt. Um die Empfindlichkeit zu bestimmen, wurde die Nadel des Elektrometers abwechselnd mit den beiden Endpunkten eines Widerstandes von 10000 Ohm in Verbindung gesetzt und gleichzeitig ein Strom von 0,00673 Am- pere durch den Widerstand geleitet. Hierbei ergab sich eine Änderung des Ausschlages des Elektrometers von 8,6 Skalentheilen. Ein Skalen- theil entspricht also einer Potentialänderung von 7,8 Volt. Obschon diese Empfindlichkeit des Elektrometers sich während des Versuches ein wenig geändert hatte, werde ich dieselbe im Folgenden mit genügend grosser Genauigkeit als konstant voraussetzen können. \ II. Versuchsanordnung und Beobachtungen. Tafel 1, Fig. 1, giebt ein schematisches Bild über die Anordnung und die Zusammenstellung der verschiedenen Theile des Apparates. Der Bolometer B ist hinter einem doppelwandigen Schirm ZL aufgestellt, die- ser Schirm ist in der Axenrichtung des Bolometers mit zwei Löchern versehen; zwischen den Wänden befindet sich ein kleiner, beweglicher Schirm, der mittels einer Schnur schnell hinaufgezogen werden kann. Das Entladungsrohr AZ ist vor den Löchern des Schirmes und in der Axenrichtung des Bolometers aufgestellt. Eine Kunpr’sche Glasfeder D verbindet das Entladungsrohr mit den übrigen Theilen des buch, die schon beschrieben sind. Bei den Beobachtungen wird, sobald der Bolometer genügend ruhig ist, die Empfindlichkeit des Instrumentes zuerst in der schon be- schriebenen Weise bestimmt. Darnach wird der elektrische Strom von 12 KNUT ÅNGSTRÖM, den Accumulatoren oder von dem Induktorium geschlossen, die Strom- stärke durch Ablesung des Galvanometers AG, die Potentialdifferenz in dem Entladungsrohre durch Ablesung des Elektrometers Æ, bestimmt. Während dieser Beobachtungen wird ungefähr jede Minute eine Beo- bachtung des Bolometer-Galvanometers, BG, vorgenommen und die Beo- bachtungszeiten annotiert. Sobald die Strahlung, welche gewöhnlich gleich nach dem Stromschluss, infolge der Erwärmung der Rohrwände ziemlich rasch zunimmt, vollständig oder wenigstens beinahe stationär ist, wird der Strom abgebrochen und gleich darnach die Strahlung des Rohres ohne Strom beobachtet. Noch zwei bis drei Bestimmungen die- ser Strahlung werden mit ungefähr einer Minute Zwischenzeit gemacht. Durch diese Beobachtungen lässt sich die Gesammtstrahlung des Gases in dem Rohre berechnen. Um aber etwas über die qualitative Änderun- gen der Strahlung kennen zu lernen, wird auch die von einer Alaun- platte durchgelassene Strahlung bestimmt. Zu diesem Zwecke wird eine solche Platte von 3,95 mm Dicke vor die Öffnung des Schirmes Z, Fig. 1, und zwar zwischen denselben und den Bolometer geschoben. Bei dieser letzten Bestimmung braucht man nicht die Strahlung der Wände des Entladungsrohres besonders zu eliminieren. Diese wird nämlich voll- ständig von der Alaunplatte absorbiert. Man ersieht dies daraus, dass die Strahlung, welche die Alaunplatte durchlässt, gleich nach Schluss des Stromes ihren konstanten Werth erreicht, um sofort beim Öffnen des Stromes vollständig zu verschwinden. Die Strahlung, welche die Alaunplatte durchlässt, ist, wie bekannt, hauptsächlich die des sichtbaren Spektrums. Wie ich mich vermittels des Spektrobolometers überzeugt habe, beginnt die Absorption der Alaun- platte schon gleich in dem ultrarothen Spektrum und wird sehr schnell vollständig. Bei der direkten Bestimmung der Gesammtstrahlung der Röhre bekommt man, wie schon gesagt, die Strahlung der Gase vermehrt durch die Strahlung der erwärmten Rohrwände. Um die Strahlung der Gase allein beurtheilen zu können, muss also die Strahlung der Rohrwände eliminiert werden. Durch die Beobachtungen kennen wir die Strahlung während der Abkühlung des Rohres und aus diesen Beobachtungen muss also die Strahlung der erwärmten Rohrwände berechnet werden. Man könnte wohl nun meinen, dass diese Berechnung am besten durch Anwendung des Newron’schen Abkühlungsgesetzes und mit Zuhül- fenahme der Methode der kleinsten Quadrate ausgeführt werden könnte. Wenn man aber einige Versuche in dieser Hinsicht macht, so findet man STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 13 bald, dass das gewöhnliche Abkühlungsgesetz hier im Allgemeinen nicht anwendbar ist. Die Ursache ist auch leicht einzusehen. Die Rohrwände werden nicht überall bis auf dieselbe Temperatur erhitzt und verschie- dene Theile kühlen sich also mit verschiedener Anfangsgeschwindigkeit ab. Da nun die Anfangsbedingungen für verschiedene Stromstärke, Gase und Druck verschieden sind, ist es auch natürlich, dass die Abkühlungs- kurve unter verschiedenen Umständen verschiedene Formen annimmt. Unter solchen Umständen habe ich es für das beste gehalten nur die reine graphische Methode zu benutzen, um den Werth der Strahlung der Rohrwände zu extrapolieren. Allerdings ist bei dieser Bestimmungsme- thode ein wenig Willkürlichkeit nicht zu vermeiden. Weil doch die erste Bestimmung der Strahlung der Rohrwände nur eirca 10 Secunden nach dem Öffnen des Stromes erfolgte, braucht man die Abkühlungskurve nur sehr unbedeutend zu extrapolieren, und die Fehler, welche von der gra- phischen Konstruktion herrühren, sind infolge dessen verhältnissmässig klein. Um mich davon näher zu überzeugen, habe ich die in dieser Weise zuerst ausgeführte Konstruktion nach einigen Monaten wieder ge- macht und dabei durchaus übereinstimmende Resultate gefunden. Als Beispiel einer Bestimmung mag der folgende, vollständige Auszug des Beobachtungsprotokolls angeführt werden. Stickstof. Rohr Nr. 3. Druck 1,15 mm. Potentialdifferenz 36,7 Skalentheile. Stromstärke: 75 Skalentheile. Empfindlichkeit des Bolometers 79. Abstand zwischen der Kathode und der ersten Schicht des posi- tiven Lichtes 15 m m. Zeit Bolometerablenkung 19" 55° Que 20" 555 50,5! Mittel 50,0 210055 50,2| 22™ 455 der Strom wird abgebrochen 23" 08 2455 23,38, 23,0 24" 20° 19,9 Die Gesammtstrahlung von Gas und Rohrwänden ist also 50,0. Die Strahlung der erwärmten Rohrwände findet man durch graphische Extrapolation für die Zeit 22" 45° gleich 26,0. Die Strahlung des Gases war also 24,0. Wenn wir diesen Ausschlag auf normale Empfindlichkeit (75 Skalentheile) reducieren, finden wir die Gesammtstrahlung = 22,8. 14 Knut ÅNGSTRÖM, Was die Genauigkeit jeder einzelnen Bestimmung betrifft, ist diese na- türlich von der Stärke der Strahlung abhängig. Bei den Bestimmungen der Gesammtstrahlung kann, in einzelnen Füllen wenigstens, der Fehler des Endresultats einer Bestimmungsserie 1 Skalentheil betragen. Dies bedeutet in Procent des Endresultats ein Fehler von höchstens c. 3 °/o bei den gróssten Werthen der Strahlung (bei Stickstoff), 25 ?/o bei den kleinsten (einigen Bestimmungen der Strahlung des Wasserstoffs). Bei Bestimmungen der von einer Alaunplatte durchgelassenen Strahlung sind die Fehler bedeutend kleiner und betragen höchstens 0,5 Skalentheile. Jedes in dem Folgenden gegebene Schlussresultat ist je- doch Mittel aus mehreren Bestimmungen, weshalb die Fehler noch klei- ner sind. Als Zeit der Bestimmungen ist hier und überall die mittlere Zeit des Ausschlages genommen. Alle Rechnungen, welche in den Tabellen vorkommen, sind mit dem Rechenstab gemacht worden. IV. Über die Beziehung zwischen Stromstärke und Strahlung. Bei den ersten Versuchen, die Beziehung zwischen Stromstärke und Strahlung zu ermitteln, wurde das Licht spektrophotometrisch unter- sucht. Als Stromquelle diente das Runnmkorrr’sche Induktorium. Die Stärke des primären Stromes konnte variiert werden, theils durch An- wendung einer verschiedenen Anzahl von Elementen, theils durch Ein- führung von Widerständen. Die Elektricititsmenge, welche durch das Entladungsrohr übergeführt wird, wurde theils durch einen in der Strom- bahn eingeführten Galvanometer, theils durch einen Elektrometer, dessen Nadel und ein Quadrantenpaar mit dem einen, und dessen anderes Qua- drantenpaar mit dem anderen Endpunkte eines in der Leitung eingeführ- ten Widerstands verbunden war, gemessen. Mit schwachen Strömen arbeitend fand ich immer eine sehr be- friedigende Proportionalität zwischen Stromstärke und Strahlung, bei grósserer Stromstärke traten aber sehr oft bedeutende Abweichungen dieses Gesetzes ein. In solchen Fällen zeigte es sich jedoch immer, dass die Gase sich permanent verändert hatten, denn wenn ich hiernach zu schwücheren Strómen zurückkam, fand ich nicht dieselbe Strahlung wieder. Die Untersuchungen mit dem Bolometer und dem Accumulator- strom, sowohl über die Gesammtstrahlung wie auch über die durch eine Alaunplatte durchgelassene Strahlung, hat, ip den Grenzen der Beobacht- STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 15 ungen, diese Folgerungen gut bestätigt. Von den zahlreichen Bestim- mungen welche ich, um dies zu konstatieren, ausgeführt habe, mögen die folgenden hier angeführt werden. Die meisten folgenden Tabellen sind hinsichtlich ihrer Aufstellung einander sehr ähnlich, und sind wohl ohne weiteres verständlich. Die Tabel- len, betreffend die Gesammtstrahlung, sind eigentlich Auszüge des Beobach- tungsprotokolls (siehe p. 13). Jede Beobachtungsreihe ist in zwei Horizontal- kolumnen enthalten, indem zuerst die Nummer des Versuches, die Empfind- lichkeit des Bolometers, der Druck des Gases, die Stromstärke und die Poten- tialdifferenz im Entladungsrohre, und dann erst die eigentlichen Bolometer- beobachtungen aufgeführt werden. In die erste Horizontalkolumne kom- men dann die Beobachtungszeiten, in die zweite die Ablesungen des Bolometergalvanometers (B.G.) und zwar zuerst das Mittel aus den Beo- bachtungen während des Stromdurchganges, sodann der extrapolierte Werth der Strahlung der erwärmten Rohrwände im Momente des Óff- nens des Stromes, dies aus den folgenden drei Beobachtungen über diese Strahlung in verschiedenen Zeiten abgeleitet. Mit I wird die Gesammt- strahlung des Gases bezeichnet, und mit I,,, der hieraus berechnete Werth der Strahlung auf die Stromstürke 100 bezogen und auf normale Emp- findlichkeit des Bolometers (75 Skalentheile, siehe p. 5) reduciert. Tabelle 1. Stickstoff. Gesammtstrahlung, Rohr N:o 2. | Empf. | | Edel Prick \Shomet Bolomeserbeoba chungen I Ten) | Boon, Zeit und Skalenablesung I 72 0,4 17/21 Zeit om 205 (sj AGE WE EE DE EFI 300 | 290 B. G. BO) BOY | 218 || Bows |) Wine 2 > > 106 Zeit our 305 OP AS, a BEN oun BO | oram 20,5 B. G. 40,7 19,0 17,4 | 14,4 10,2 3 » > 74 | Zeit o" o* eur: 10750277357 | 15,3 DEL TO) B.G. 26,0 9,5 9,2 8,2 251 4 $ > 45 Zeit a of ÖR n= ose" so: |g 202 B.G. 18,0 8,9 8,2 GE 5,2 5 » » 30 Zeit om 455 PS fare Se wo mua Ort | piss | 13), Ce vxo» vu 4,2 3:7 $4 1) In dieser und der folgenden Tabelle ist I,,, nicht auf normale Empfind- lichkeit reduciert. M Lr KNUT ÅNGSTRÖM, Unter denselben Versuchsbedingungen, jedoch mit einer vor der Bolometeröffnung befindlichen Alaunplatte, wurden folgende Bestimmun- gen gleichzeitig ausgeführt. Jede in der zweiten Kolumne eingeführte Zahl ist Mittel aus 4 Bestimmungen. Tabelle 2. Stickstoff, Strahlung durch Alaun, Rohr N:o 2. Stromst. B. G. n I "EA 100 130 21,6 nO.) 99 17,1 17,3 64 nmn 17,4 33 5,6 17,0 Aus diesen Versuchen folgt also: 1) Bei konstantem Druck ist für ein und dasselbe Gas die Strahlung der Stromstärke proportional, und weil dies nicht nur für die Gesammt- strahlung, sondern auch für einen bestimmten Theil derselben gilt, so ist 2) die spektrale Vertheilung der Energie bei konstantem Druck von der Stromstärke unabhängig. V. Ueber die Strahlung verschiedener Gase bei verschiedenem Drucke. Durch die jetzt nachgewiesene Proportionalität zwischen Strahlung und Stromstärke, wird die folgende Untersuchung sehr vereinfacht, in- dem wir alle Bestimmungen bei verschiedenem Drucke der Gase, um den Vergleich zu erleichtern, auf dieselbe Stromstärke reducieren können. Dies wird auch in den folgenden Tabellen gethan. Infolge der angewandten graphischen Berechnungsmethode ist es mir wünschenswerth erschienen, so viel wie möglich von dem direkten Beo- bachtungsmaterial mittheilen zu können. Weil aber eine Absonderung des Beobachtungsmaterials nothwendig war, habe ich es für zweckmässig gehal- ten, dasselbe nur für das Rohr N:o 3 (Tafel 1, Fig.2), hier aber vollständig an- zuführen. Ich schlage nämlich den Werth dieser Beobachtungen verhältniss- mässig höher als den der übrigen an, theils der grösseren Sorgfalt we- gen, mit welcher die Gase u. s. w. hergestellt wurden, theils auch des- wegen weil dieses Rohr das einzige ist, für welches ich alle nothwen- dige Bestimmungen ausgeführt habe, um den absoluten Betrag der Strahl- STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 17 ung des Gases zu berechnen. Betreffs der übrigen Bestimmungen möchte ch nur bemerken, dass die Übereinstimmung derselben mit den hier an- geführten im grossen und ganzen sehr befriedigend ist. meter 6,0 cm, Durchmesser des Entladungsrohres 1,32 cm. Die Dimensionen des Rohres N:o 3 waren: Abstand zwischen den Elektroden 20,0 cm, Abstand zwischen den Ableitungen zum Elektro- Das Rohr war so aufgestellt, dass der Abstand zwischen dem Bolometergitter und der nächststehenden Elektrode 11,7 cm betrug. Diese Elektrode wurde immer als die positive genommen. Tabelle 3. Wasserstoff. Gesammtstrahlung. cm P Drneklstomet Pug Bolometerbeobachtungen I L5 Med. Bolom diff. Zeit und Skalenablesung Io M nce cM E LEE ee jeje me EB anms RES s ne Oleg 1,20 172 18 ET aides in ee p 10,3 | | Tees iue 2) de se ae Pn e p me 8,5 231 ss (200 | 180 fee ae [e [ia em |t 9} 83 SN 105 | 10,3 du Ri E De AN 45 ”| no) S NOUS 127 10,3 Be s po dE d a 6,2 4,4] r4 x ux Ge || Gee I40 10,3 n Bur Bi dos Wu 6,1| 3,9 I2| 83 | 0,76 130 20 En " pi pr po zb 9,4 6,5 |) HEC uL BG ES no p o ed "s se] Nova Acta Der. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 18 KNUT ÅNGSTRÖM, Empf. Poten- N:o| des [Druck Stromst.| tial- Bolometerbeobachtungen TNT Bolom diff. Zeit und Skalenablesung XA Zeit o" o5 el AEH oO? SE rens Seh 15 83. |0,76 145 | 20 BG 69,3 59,0 56,0 | 52,0 | 47,0 | 9 5,8 Zeit on 455 jm o5 ym 408 2m 455 16| 8 2,66 i; 2 Zz 3 117 | 27 BG 63,6 585 | 55,0 | 50,3 | 465 | 571) 216 Zeit o 30° OE Ags ne ese. a nee un SR 2,66 103 27 BG 44,0 410 38,5 | 35,2 | 31,5 3,0, 2,6 Zeit (gi! oF once) os nasse 18| 80,5 | 0,12 87 FÖRB Core 255 Boe || age pans 2,7| 2,9 Zeit gu aer 8 ags |n ag? gu er 19| 80,5 | 0,12 92 10 BG. 329 29,5 28,0 | 24,0 18,0 354) $4 " Zeit ono? ju ms em ss gh 16° 20| 80,5 | 0,12 95 10 BG 33,5 285 27,0 | 25,2 | 23,2 5,0| 4,9 Zeit o" 30° OH ag a age ila! neg I| 8 2 2 0,5 | 0,56 153 18 B.G.| 57,6 50,5 48,0 | 42,0 | 39,3 7,1| 4,3 Zeit o" 458 I" o3 |r" 40° |2 40° 22| 80,5 | 0,56 158 18 2 »0| 4,1 2 ; BIG iva one leo UPS Zeit o" 30° ya EE sug? ig? ng 23| 80 6 8 3 »5 | 0,5 150 N BAG! GA NG 42,5 35,0 29,2 7,5| 4,7 Zeit ol! el Où | eu? gu er 24| 80,5 | 1,02 132 22 6.6] 3 3 B. (CE 54,0 44,6 42,0 39,9 35,5 2 Zeit o" o5 o" ro? o" 508 |I" 40 25| 8o > ee Sm NT EN: 529 4315 AA | 38,220 03258 eno eno 26 S Zeit Oe! |) omms es BES CE UH 3 De BS: 29,5 25,8 24,8 | 20,2 | 18,8 Sa Zeit (9! ge OP REE! Bos nO 2 1,0 | O > ’ a 7 ‚23 92 ro pace 32,6 25,5 DIT) 25,0 22,0 uud AN emus Zeit OU Bor GH ABET" Bee |A nes 71,0) 0,23 94 | 19 BG. 32,3 28,6 22 | ans | asa 4,7| 53 Zeit OA nee où ao |e ge jal se 29| 71 1,02 138 19 : 9,1| 7,0 ? BuG: 5200535 MoN 3827| 38,0 | elie 30| 71 1,02 138 19 Zeit eer en ugs OF AE n en 8,7| 6,7 B.G.| 53,2 44,5 43,0 | 39,5 35,5 Zeit oO ao" ae |: 31 I 2,30 26,2 3 45 3 5 2, 1 3 147 TEE Fas Gao 49,0 | 45,0 | 40,0 RE 43 5 9 Zeit OMG ARTS | mr 32 M 2,30 152 26,2 4,3, 30 B.G. 34,0 49,7 47,8 | 43,2 | 38,0 33| 71 2,30 260 | 26,2 Zeit el) (s)? o" rs? |1" 10? 1" 55°16 o| 2,4 3 B. G. ,0 93,0 88,0 7,0 | 65, Su Mtr 99,0 9 1 5 Zeit CN ac OP A| AT TD 34 71 2,30 o | 26,2 3 45 3 3 9| 2,6 Net B.G| 103,0 96,0 | 916 | 79,0 | 68,8 ||” 330 9 9 79 STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 19 Empf. Poten- |N:o des [Druck |Stromst.| tial- Bolometerbeobachtungen I Mrs Med. Bolom: diff. Zeit und Skalenablesung | Loo Zeit | o" 455 on 55° 1m 5° 2n 205 35| 76 | 0,16 71 9.5 B.G| 25,5 230 | 22,0 | 195 | 155 | ?9| 32 Zeit o" os on 15° 1!" OS im 255 ‚2 ea De esto I 95 B.G| 24,4 22,7 20,0 | 15,8 | 14,8 | ?>7| 35 à Zeit o" os om 105 |o" 45° ym 35° Ere en ME EE ME CI NI ERES Weil es mir vorkam, als nähme die Strahlung ziemlich stark ab, nachdem der Strom einige Zeit lang durch das Gas gegangen war, wurde frisches Gas in das Rohr eingeführt und so schnell wie möglich nach Schluss des Stromes eine Beobachtungsserie angestellt. Die folgende Tabelle enthält diese Beobachtungen, die Aufstellung ist dieselbe, wie früher, nur init dem Unterschiede, dass hier auch vor dem Öffnen des Stromes die Beobachtungen, aus denen also die Strahlung von Gas und Rohr im Augenblicke des Offnens berechnet sind, eingeführt sind. Die extrapolierten Werthe sind kursiv gedruckt. Tabelle 4. Wasserstoff. Gesammtstrahlung. Empf. Poten- diss De Sromer| Gale Bolometerbeobachtungen ie Med. Bolom diff. Zeit und Skalenablesung Too | I | Vor dem e om 105 |o? 455 I" 258 2" gs ad en ee Öffnen ||B G.| 15,5 | 19,2 | 22,9 | 25,6 | Nachdem||Zeit |2" o5 |2™ ro? |2" 555 30 35° » | Offaen ||B. G.| 20,4 | 18,3 | 17,8 | 15,5 | Vor dem|/Zeit |o" 10° |o" 47° | 1" 25° |2™ o* eure N Offnen ||B. G.| 17,0 | 20,5 | 23,8 | 26,2 sö eee Nach dem [Zeit |2" o5 |2" 10° |2" 45° |3" 30° Öffnen ||B. G.| 20,4 | 18,0 | 19,5 | 15,0 Vor dem Zeit |o" 155 |1" 10° | ı" 55° |2" 30$ Öffnen ||B. G 25,5 | 27,5 | 28,8 | 29,3 | 16 | 0,15 une |p — À SS Nach dem ee PEN OS p nsi eu eas | — Öffnen ||B. G.| 25,6 | 24,8 | 21,7 — | | Vor dem|fZeit |o" 35° |ı" 205 2" o3 |2™ 305 A) © B. G. 3 76 | 0,90 147. | 18 Öffnen || í 32,7 | 35,2 | 37,2 | 39,0 JG demlfZeit |2m 30° |2™ 455 | 3" 255 [4m 105) © 5,4 | Öffnen |\B. G.| 32,0 1(32,5)| 25,0 | 22,5 20 KNUT ÅNGSTRÖM, Empf. Poten x Neo des örmsklSkkons wen Boorer EO been ban Med [STR dif, Zeit und Skalenablesung Iino | me Vor dem|fZeit lo" 45° |1" 25° |2" 105 |" of | Öffnen |\B. G.| 41,4 | 46,0 | 49,0 | 57,0 | 42| 76 | 0,90 145 18 Nie dem [Zeit 3" o5|3" 125 |3" cos |4" gos 11,5/7,8 154 Öffnen Ug. & 39:5 | 37,5 | 33,5 | 29,2 | Vor dem ns | muss BP. Tee |n GE Off B. G.| 28 A 3 la a rs nen en 30,5 | 340 | 36,0 Sees ‚Nach deniers || 92 ge zuge eun cue akt mg Öffnen |B. G.| 27,5 | 26,0 ‘| 23,8 22,5 Es scheint wirklich, als wäre die ausgesprochene Vermuthung we- nigstens für grosse Verdünnungen richtig, bei höherem Drucke erscheint doch das Gas widerstandsfähiger. Gleichzeitig mit diesen Bestimmungen der Gesammtstrahlung habe ich auch die durch eine Alaunplatte hindurchgegangene Strahlung be- stimmt. Die Resultate sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Tabelle 5. Wasserstoff, Strahlung durch Alaun. Druck Stromst. iu Exo 8 83,0 1,26 190 1,9 1,5 10 83,0 r,6o 180 2,3 152 I2 83,0 0,18 125 2,I 1,5 8 83,0 0,76 184 2,9 1,4 10 83.0 2,66 124 nn 0,8 14 80,5 0,12 8o 1,9 2,2 IO 80.5 0,56 153 3,0 1,8 10 80,5 1,02 135 2,6 1,8 10 71,0 2,30 268 2,19 0,9 4 76,0 0,16 75 1,5 E Sauerstoff. Die Versuche die Strahlung von Sauerstoff zu bestimmen haben leider keine definitiven Resultate gegeben. Mit der hier benutzten Em- pfindlichkeit des Bolometers ist nämlich die Strahlung zu schwach um be- stimmt werden zu kónnen. Die Versuche wurden mit Gas von 0,8 0,77 STRAHLUNG VERDUNNTER (ASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. pl und 1,27 mm Druck angestellt (Potentialgefälle 21—31 Volt pr cm) und mit Anwendung einer Stromstärke von 120 Skalentheilen. Die Bolometer- ablenkungen für die Gesammtstrahlung (I) schwanken unter diesen Ver- hältnissen zwischen 0—1,8 Skalentheilen, Werthe die in Betracht der dabei vorkommenden Beobachtungsfehler zu klein sind um eine, wenn auch nur ungefähre Schätzung der Strahlung zu erlauben. Alles was wir von dieser Strahlung sagen kónnen ist, dass dieselbe unter den angeführten Ver- hältnissen und für eine Stromstärke von 100 Skalentheilen (A. G.) = 0,0015 Ampère kleiner als 1,5 Skalentheil (B. G.) ist. Tabelle 6. Stickstoff, Gesammitstrahlung. Empf. Poten- Med N:o| des |Druck|Stromst.| tial- Rome Dagon cian oe Tee uen tie Bolom: diff. Zeit und Skalenablesung 100 | : Zeit onto? IE TES OS Zus nes 1 82 101,00 64 | 33:8 |B. Goo 160 | 15,2 | 13,2 | 10,0 |29°|379 ; Zeit gi ei owl age i ns 2" Jos us 21.92 Sa 359 |B.G Po rer suco SN D ERES SII 3158 Zeit ol! Ser or S uum aor PET SE Esp uoo 15 ar ENG! 32, 9,0 9,5 755 6,0 a 200 Zeit (9) exor N aa reine ee a 070 us "SEP ee | | eres 23,0 as Zeit o" os (gu TEP mi EIE por | sl | TENTE PSP B. Giro 78,0. | 7.0 ESA es 26,03 1,7 Zeit on 15° on 30° ym 25° 2m 35° 6| 82 |o,35 | 8 21,6 | a os 9 ZI BL@l solo 17,7 |, 369 (ass une Die 21,9 Zeit (o)! (o): CHAR cS UN nr | al 62 1) SN EN D GU TE 70,2 in n ae > Zeit om 45° wg nus SIE qf S| 3a 60,72 87 11,5 pq. 33.2 cu E (a) 5.6 21,2|22,3| 22,3 Zeit COPIES nn ges ea gee D AR ne ES op nl nee lee nec zn 2 Zeit o" os a ue we (I | got ai | “ao 82 || SS 65 47,0 HÖJ sng one zei: 18,8 16) 23,1/32-5 FÅ it m AS m S IP oS 1" E zn 82 | 1,45 50 SUE B.G. E es pos e ae 173913258 Zeit GASEN re ee gene, 120 82 | 1,45 46 48,0 B.G. 342 17,5 | «69 | 16,0 13,8 10,7 33:2|1335,8 nece || eure 45 48,0 n : Be ea | | PHO nyc. || aS || Az 14,0 2 KNUT ÅNGSTRÖM, Empf. Poten- ; É N:o Aas Démon] “ail Bolometerbeobachtungen Polo diff. Zeit und Skalenablesung à Zeit (9 mme (9 ag | ve gs TRUE 405 VQ SE (CS 85 2359 |B.G.| 42,7 18,0 nn 16,0 | 14,4 Zeit om 455 I" gos |2™ 255 gu 55 15| 82 | 0,57 87 SSMUS Mp (Ce 49,0 25,8 TO, 807 5 14,4 Zeit oos — To UNE OS OS MES IS Go or Zeit (jj^ Ber GU mg? uh age | gu oP a vo > 73 DER IE € HOJ RG 10,9 9,2 7,8 Ze eo ao OF AGS n gee jo ack || ER DC: ADS HP | TZ | nda |) FS : Am , Zeit om os OF TES | ger [2103 CS 2079 »15 25 le Z3 Mose) | neya | nw | er Zeit o™ 305 Gi AGS nm ess. [gna ace 200 OR 2342 al 208 175 IB. G. 47,0 20,0 | 19,4 | 18,0 16,3 Zeit om 45° im P [ni sss) |A SEE TONNES 175 p.G. Mee 224 |) 2108 ru m Zeit o" 358 o™ 30° 1m gs m 505 GA ND UNE E 25:9. BNC: 57,8 26,0 | 25,0 | 23,0 | 20,0 Zeit ol Ber OH AGE TE gee las ns 23 79 0,72 112 2355 B. &. 597 26,7 25,3 23,8 20,5 Zeit onm 15° on 30° 7™ oS | 45° 6 ze) TOM RS 79 ST IB. & SiO 270 | 269 | 23.0 | Bigs Zeit on 458 no iw Bis fer eu 36 CO RIS > De 50,0 26,0 | 24,5 | 23,0 | 19,9 Zeit o" o O4 ney |e! Foe ik" ger 6 6 6 8, 5 3 RU VR VE 2 ENS 77711 27,0) 25,8 | 25a) | 220 Zeit G GE OE yee | a8 OF minu 6 8 8, i PRO or 3 HUE Ce 44,L 24,7 | 23,8 | 22,4 | 10,0 19,4 Inoo Med. Loo P “ 20,8 Wie aus diesen Beobachtungen hervorgeht ist die Erwärmung und Strahlung der Rohrwände bei Stickstoff verhältnissmässig klein. In- folge dessen ist es auch möglich, die Beobachtungen in einfacherer Weise auszuführen. beobachteten stimmungen erhalten. Man braucht nämlich nur zwei Beobachtungen unmittelbar vor und nach dem Stromdurchgange, um die Strahlung des Rohres zu ermitteln und diese Strahlung von der während des Stromdurchganges abzuziehen. In dieser Weise wurden die folgenden Be- STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 23 Tabelle 7. Stickstoff, Gesammtstrahlung. u Druck Stromst. B: I G Too 8o 0,16 80,0 16,8 19,7 80 0,16 90,5 213 22,0 8o 0,66 1335 22, 28,7 8o 1,21 1755 29,5 357 80 1,64 48,5 19.3 37,3 77 0,23 115,8 25,5 21,5 77 0,88 96,0 29,0 29,5 77 1,54 48,0 16,4 353 Die Beobachtungen der durch eine Alaunplatte hindurchgegan- genen Strahlung ergaben folgende Resultate. : Tabelle 8. Stickstoff, Strahlung durch Alaun. + UM Druck Stromst. ME Lio | | 5 82 1,00 63 16,6 24,1 6 82 0,70 75 18,7 22,8 6 82 0,35 92,5 18,7 18,5 6 82 0,12 82 15,2 17,0 6 82 1,45 45 9,3 18,9 4 82 1,10 65 14,5 20,4 4 82 0,57 86 19,6 20,8 4 79 0,15 1e 14,6 19,8 7 79 0,42 103 20,9 19,3 6 79 0,72 110 23,8 20,5 6 19 TEE 83 18,8 21,5 5 79 1,62 70 15,5 21,0 2 8o 0,16 AG 15,5 18,9 2 80 0,66 72,5 18,5 239 3 80 I2 19,5 21,0 24,8 4 80 1,64 47 077 25,4 3 71 0,23 115 21,3 18,1 2 AG) 0,88 99 21,3 21,0 4 71 1,54 | 44,5 10,5 23,0 1) Die Extrapolation hier ein wenig unsicher. 94 KNUT ÅNGSTRÖM, Tabelle 9. Kohlenoxyd, Gesammtstrahlung. y Ui Empf. Poten- N:o| des |Druck|Stromst. tial- p EE EN B Bolo dif. eit und. Skalenablesung 100 Zeit ol eH (949 NEP OLPC — ap ope | || o oM DN Mea 7 8,2 | 7,0 = SN | NO Zeit o™ os om 158 on ASS ja 30° ae ESS BPO EIG 200 70,21 22,60 |, ig | aang | 274 = : : : 9,2 Zelt on 30° on 45° pm 307 gin 5° $i TT | Soda je 22 agr (Gr BI,4 24,2 BA | gg 18,8. fe 10,0) Zeit o" o. ONE |e" Gor jul 25° a ena st HE GOMER, nig 1340) 10,0 48 | Zeit (gii GE (9/9 Tes 0 ues quu Do! (CER S| FÅ || Oud 49 12,0 p G. 9,3 "n AJ 4,5 4,1 455) 9,3 à _, || Gait om 30s OO AG? mE OM NECS 6| 74 | 6,32 4755 16,5 BE 78,6 73,2 12,3 10,5 8,0 5,4 mail : 12,2 Zeit m AS w 393|9" 408 2" GS j| a ess | | à Es se) As ne P sen = NS = ) ? , F4 it mans m Ei m pcs m S fi Bla Sa an BG T iol "id m in HEURE | 22, 3» , pz D Zeit om ass ym 355 2" 293 lam 555 2854 ee a En OS S C oae veles | oe | oe S PS 1 % , c ) , ) Zeit M 368 n s m s m E i 210 74 0,59 69 25,5 ne 2 © p 2 pr sr is 7,9 10,3] j , tit H , » 10 8 F Zeit Sue ASSR Bo | à | 4 II| 74 | 0,59 7° 2555 B.G| 25,6 77,8 | 17,2 | 15,5 e 7,9|11,5 3 Zeit om 205 ,|o" 45° ja 155 2" gs % 12) 74 | 0,99 54 36,8 B.G. 27,5 220 ana | xmi ns 555 Eu ; 57 m s m s m 5 m s e So Sa esse Ee | fue E MON Mos 5e] " m m-Qs |4m s I4 73 | 0,20 90,5 | 17,0 ee o 30° |o" 475r "583 2" ro 9,6|10,9 = Soa 79,5 10,2 9,9 8,0 132 10,95 5 3g ? xs| 731 Ne 201 one tempor | 2 MOT CRUSH Cees Se e BYGEL 758 5,9 4,6 mo o, t 20,0 Zeit o" os om 155 im 728 2" OS 10,0113,4| I 73 11 77> 9 B. G 31,5 21,5 20,0 16,8 144 9) 3,4 17 73 1,62 34 51,0 Zeit om 205 om 455 1m 305 om 30° 5,0 15,2 B.G. 79,0 24,0 1858 || TT 8,2 | I 18 73 1,62 39 51,0 | Zeit o" oS o" 105 |om age Ja 35° 6,0 15,8 555 B.G | 78,2 72,2 1200 |) mig 10,3 STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ÉNTLADUNG. 25 Tabelle 10. Kohlenoxyd, Strahlung durch Alaun. 4 ; - B. G. , Su CER Druck Stromst. des I m 4 71 0,18 45 2,4 5,7 57 8 71 0,74 55 1,7 353 E E IO 71 0,74 75 2,1 3,0 f i 2 14 0,14 90 4,0 45 | 6 74 0,14 13 3,1 Ba 14 74 0,32 44 1,9 4,4 "vi 8 74 0,46 69 2,4 355 Bas 8 74 0,59 68 2,3 3,4 3,4 4 74 0,99 54 1,7 32 || 8 74 0,99 53 1,6 eT ERE 8 13 0,29 91,5 357 4,2 | 4 73 0,29 93:5 3:9 4,3 ES 6 73 9,77 77 2,5 $3 3,3 4 73 1,62 36 0,8 258 | 2 AS 1,62 43 1,0 2,4 2,2 4 73 1,62 40,5 9,8 2,0 | Die Schlussresultate der vorhergehenden Tabelle stellen wir in den folgenden zusammen, in denen wir auch das Verhältniss zwischen der Strahlung durch Alaun L und der Gesammtstrahlung I einführen. Tabelle 11. Wasserstoff. Druck Loo Loo Lr Druck Tho Lioo Lj ————— MáÓQQMMS IMMER ee 0,12 3,7 2,2 0,60 OM | Bee) 1,4 0,24 0,15 4,2 = — 0,90 6,4 — — 0,16 3,2 2,0 0,63 1,02 6,6 !) 1,8 0,27 0,18 4,1 Hg 0,37 1,26 5,5 1593 0,24 0,23 4,8 — — 1,60 4,2 152 0,29 0,42 5,6 — = 2,30 2,6 0,9 0,35 0,56 4,4 1,8 0,40 2,66 2,6 0,8 0,31 1) Mittel aus 2 verschiedenen Bestimmungen. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 Knut ÅNGSTRÖM, Tabelle 12. Stickstoff. Druck Loo Lioo Lj Druck L 00 Lioo Li 0,12 225 17,0 O77 | DES 29,5 21,0 0,71 0,15 20,8 19,8 0,95 1,00 32,4 24,1 0,76 0,16 20,9 18,9 0,90 I,IO 32,8 20,4 0,62 0,23 21,5 18,1 0,84 1,15 30,0 21,5 10,712 0,35 21,9 18,5 0,85 1,21 35,7 24,8 0,79 0,42 23,8 19,3 0,81 1,45 33,8 18,9 0,56 0,57 26,8 20,8 0,78 1,54 292 23,0 0,69 0,66 28,7 23,9 0,83 1,62 30,7 21,0 0,68 0,70 29,6 22,8 077 | 1,64 SYS 25,4 0,68 0,72 2 20,5 Oxu | py x = Fu Tabelle 13. Kohlenoxyd. | | Druck Loo Lioo Lit | Druck L 00 Lioo Ly 9,14 9,45 4,4 0,47 0,59 10,8 3,4 0,32 9,18 9,9 5,6 0,57 0,74 9,2 3,2 9,35 0,29 10,95 4,3 0,39 0,77 |^ 13,4 33 0,25 0,32 12,2 4,4 0,36 0,99 ino a2 0,27 0,46 10,4 3,5 0,34 1,62 15,5 2,2 0,14 Ein Studium dieser Tabelle lehrt uns: 1) Dass die Gesammtstrahlung verschiedener Gase höchst ver- schieden ist. 2) Die Grösse der Gesammtstrahlung verschiedener Gase steht in keiner erkennbaren Beziehung zu dem Absorptionsvermögen derselben bei gewöhnlicher Temperatur. Wir wissen z. B. dass Kohlenoxyd ein sehr beträchtliches, Stickstoff aber ein sehr geringes Absorptionsvermö- gen bei gewöhnlicher Temperatur hat!). Hinsichtlich der soeben erör- terten Strahlung aber sind die Rollen vertauscht. 1) In Betreff der Absorption dieser Gase siehe: 'K. ÅNGSTRÖM, Bihang till K. Svenska Vet.-Akad. Handl. 15, N:o 9, 1889 oder Wied. Ann. 39, p. 267, 1890. Ebenso: Öfversigt af K. Vet. Akad. Fórhandl. N:o 9, p. 549, 1889 und N:o 7, p. 331, 1890 oder Physikalische Revue, 1, p. 597, 1892. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 27 3) Die Lichtstrahlung nimmt mit zunehmendem Drucke ab. 4) Das Verhältniss zwischen der Lichtstrahlung und der Gesammt- strahlung ist von dem Drucke abhängig, und die spektrale Vertheilung der Energie ändert sich also mit dem Drucke. Mit zunehmender Ver- dünnung der Gase nimmt dieses Verhältniss im allgemeinen zu, oder mit anderen Worten, das Intensitätsverhältniss ändert sich so, dass mit ver- mehrter Verdünnung der Schwerpunkt des Energiespektrums gegen die violette Seite des Spektrums verschoben wird. Dabei steigt das Ver- hältniss zwischen Lichtstrahlung und Gesammtstrahlung bis auf Werthe, die man wohl nicht erwartet hat, so z. B. bei Stickstoff bis auf 0,95. VI. Einige Beobachtungen mit dem Ruhmkorff’schen Induktorium. Um die Veränderungen des Verhältnisses zwischen Licht- und Ge- sammtstrahlung bei grösseren Veränderungen des Druckes verfolgen zu können, machte ich einige Versuchsreihen mit dem Runnmkorrr'schen In- duktorium. Stickstoff und Kohlenoxyd wurden untersucht, dabei wurde aber für Stickstoff die Strahlung des Rohres nur nach der früher erwáhn- ten einfachen Korrektionsmethode ermittelt. Die Resultate sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Tabelle 14. Stickstoff. Gesammtstrahlung und Strahlung durch Alaun. Empf. Gesammtstrahlung Strahlung durch Alaun des Druck Lr Bolom. Stromst. | I Loo |Stromst. L Lion —————M————ÓM————— 8o 0,16 30,0 6,1 19,0 | 30,0 5,5 ING 0,91 77 0,23 46,0 9,3 19,7 46,0 77 16,3 0,83 80 0,66 32,0 7,3 21,4 32,0 5,0 14,7 0,69 77 0,88 47,5 II,2 23,0 46,0 6,9 14,6 0,64 8o I,21 49,0 12,2 23,4 48,0 7,4 14,4 0,62 77 1,54 43,0 11,4 25,9 41,0 72 17,1 0,66 8o 1,64 47,0 12,7 25,4 47,0 75 15,0 0,59 77 2,42 40,0 11,8 28,8 39,0 5,0 12,5 9,43 71 3,20 38,5 10,0 25,4 35,0 4,6 12,8 0,50 77 4,12 40,5 10,7 25,7 38,0 3:9 10,0 0,39 77 5,0 39,0 | 12,0 | 30,0 | 35,0 2,6 7,3 | 924 77 6,24 36,0 14,2 38,5 36,0 1,6 453 0,11 77 8,28 23,5 11,6 48,2 30,5 1,4 4,5 | 0,09 18 12,04 36,7 23,4 61,3 39,0 1,0 2,5 0,04 28 KNUT ÅNGSTRÖM, Tabelle 15. Kohlenoxyd, Gesammtstrahlung. Empf. N:o | des | Druck Stromst. Bolometerbeobachtungen nese, Med. Bolom. Zeit und Skalenablesung Te Zeit CHAOS Oe? FA | agua m M EE : 74 0:99) 69 |B.G. | 288 23,8 | 22,0 | 20,0 | 17,6 | »9| 24) 74 Zeit G^ gee iJ SEE PS eel eie OF Bab a: SE BE. | 20,2 Venn || 22,7 29:9 9 | ve Zeit om 30° o" 55s | IM 255| 2™ o8 93 3 Vä 1,7 67 B.G. | 34,3 270 .| 25,0 22,6 21,1 7,3 |11,0 | Zeit ow ae oS TON 2105202 CO eras ug | | BE) euo I Jäs are ENS LO 23,6 1236 Zeit om 45° IM ro$, rm 558 2m 35° 5 14 | 22,8 35 MEN 87,0 61,0 | 52,5 | 44,0 | 36,5 26,0 69,5 [69,5 Auch hier wurden Bestimmungen über die durch eine Alaunplatte hindurchgegangene Strahlung gemacht. Diese sind mit den obenstehen- den Bestimmungen der Gesammtstrahlung (Tabelle 15) in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Tabelle 16. Kohlenoxyd, Strahlung durch Alaun. Strahlung durch Alaun Druck Tea Ly Stromst. L | Lioo 0,99 7,4 70 1,4 2,0 0,27 nom 9,3 67 1,0 1,5 0,16 6,3 23,6 62 c. 0,6 Cc. 0,8 0,03 nay 69,4 38 unbestimmbar Auf der Tafel 2, Fig. 5 und 6 sind diese Resultate graphisch wiedergegeben. In der Fig. 5 sind die Drucke als Abscissen, L,, und L,,, für die beiden Gase als Ordinaten genommen. In der Fig. 6 sind auch die Drucke als Abscissen, als Ordinaten aber das Verhültniss L/T genommen. Diese Resultate bestätigen vollständig die Folgerungen, die wir schon gezogen haben. Das Verhältniss L/[ nimmt mit zunehmendem STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 29 Drucke schnell ab, bei Stickstoff von 0,90 bis auf 0,04 für eine Druck- vermelirung von 0,16—12,04 mm, bei Kohlenoxyd von 0,27 bis auf weni- ger als 0,01 für eine Druckänderung von 0,99—12,8 mm. Die Übereinstimmung zwischen den Werthen von L/[, welche wir für gleichen Druck mit dem Induktorium und mit dem Accumulatorstrom gefunden haben, ist für Kohlenoxyd sehr befriedigend. Für Stickstoff ist sie weniger gut und im allgemeinen sind die Werthe von L/[ bei in- termittenter Entladung niedriger ausgefallen als bei konstantem Strome. Eine mögliche Erklärung dieses Verhältnisses werden wir unten zu geben versuchen. In der obenstehenden Tabelle habe ich auch die Strahlung für dieselbe Stromstärke berechnet. Für das gemeinsame Versuchsgebiet (zwischen 0,15—2 mm Druck) sind die Verhältnisse bei Accumulator und Induktorium in ihren Hauptzügen dieselben; mit einer Vermehrung des Druckes folgt eine Vermehrung der Gesammtstrahlung. Bei Stickstoff scheint bei c. 3,6 mm Druck ein schwaches Mini- mum der Strahlung vorhanden zu sein, was in Übereinstimmung mit dem früher bei Wasserstoff gefundenen Werthe der Strahlung steht (siehe auch später p. 39). Leider sind die Bestimmungen bei Kohlenoxyd nicht zahl- reich genug, um das Vorhandensein eines solchen sehr schwerverständ- lichen Minimums auch bei diesem Gase zu konstatieren. Bei grösserem Drucke nimmt die Strahlung stetig zu. Obschon die Stromstärke in diesen Versuchen mit demselben Gal- vanometer wie vorher bestimmt ist, sind doch die oben angeführten Werthe der Stromstärke nicht direkt mit den früheren, in den Versuchen mit dem Accumulator gefundenen, vergleichbar. Nichtsdestoweniger kön- nen wir aber aus denselben einen wichtigen Schluss ziehen. Die durch die Galvanometerablenkung mit Hülfe des Reduktionsfaktors für konstante Ströme hergeleitete mittlere Intensität des Induktionsstromes kann wohl kleiner als die wirkliche, nicht aber grösser sein. Wenn, wie ich we- nigstens für schwächere Stromintensität gezeigt habe, die Strahlung der Stromstärke proportional ist, so könnten wir aber unter diesen Umstän- den erwarten, dass der Werth der Strahlung mit Induktionsströmen grös- ser als die entsprechende mit konstantem Strom ausfallen würde. Das ist aber nicht der Fall. Im Gegentheil ist die mit Induktionsströmen er- zeugte Strahlung immer kleiner als die entsprechende mit konstantem Strom hervorgebrachte. 30 KNUT ÅNGSTRÖM, Man könnte vielleicht meinen, dass der Bolometer nicht bei inter- mittenter Beleuchtung die mittlere Intensität angebe. Ich habe mich aber durch direkte Versuche überzeugt, dass dies der Fall ist. Eine Scheibe, in welcher Óffnungen im Rande angebracht waren, wurde zwi- schen dem Bolometer und einer konstanten Lichtquelle so befestigt, dass durch Drehen derselben intermittentes Licht auf den Bolometer fiel. Die Ablenkung des Bolometergalvanometers war, sobald die Ablenkung stetig war, bei verschiedener Rotationsgeschwindigkeit immer dieselbe, Es bleiben mithin nur zwei Erklärungen dieses Verhältnisses übrig. Entweder verliert das Proportionalitätsgesetz, welches wir oben gefunden haben, bei den grossen Intensitäten, welche in den Induktionsfunken vor- kommen, seine Gültigkeit, oder die Strahlung nimmt nicht bei Schluss des Stromes augenblicklich ihren endgiltigen Werth an. Wenn es sich nämlich so verhält, dann muss ein Induktionsstrom eine kleinere Strah- lungsintensität als der konstante Strom ergeben, wenn auch die in den beiden Fällen übergeführte Elektrieitätsmenge dieselbe ist. Vermehrt man die Schwingungszahl des Unterbrechers, muss für dieselbe mittlere Intensität des Stromes die Strahlungsintensität abnehmen, so lange noch die Funken einander mit so grossen Zeitintervallen folgen, dass das Gas zwischen jeder Entladung in seinen normalen Zustand zurückkehrt. Ist dies nicht länger der Fall, das heisst, werden die Zeitintervalle so klein, dass das Gas nicht in seinen normalen Zustand zurückkehrt, so muss die Strahlung wieder zunehmen. Unter solchen Umständen darf man deswegen auch nicht erwar- ten dass L/[ denselben Werth bei konstantem und bei intermittentem Strome hat. Bei den Versuchen mit Stickstoff fanden wir auch dass die Werthe von L/[ bei konstantem Strom im allgemeinen ein wenig grös- ser ausfielen als bei intermittentem, was also bedeuten würde dass nach dem Stromschlusse die Strahlung der kurzeren Wellenlängen später als die Strahlung der längeren zur vollen Entwickelung kommt. Weil mir eine Bestätigung des hier gesagten von Wichtigkeit war, beabsichtigte ich, Versuche mit verschiedener Brechungszahl auszu- führen. Leider war mir die Zeit für diese Versuche zu knapp, weshalb ich dieselben auf eine andere Gelegenheit verschieben musste. e STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 31 VII. Ueber die Bestimmung der Strahlung in absolutem Masse. Bis jetzt haben wir nur die direkt gefundenen Bolometerangaben als Mass der Strahlung genommen und aus diesen einige Schlüsse ge- zogen mit Nichtbeachtung einiger kleiner Korrektionen, welche für diese Schlüsse ohne Bedeutung waren. In dem Folgenden wollen wir ver- suchen, die Strahlung in absolutem Masse auszudrücken und das Strah- lungsvermógen des Gases zu berechnen. : Zu diesem Zwecke ist es erstens nóthig die Empfindlichkeit des Bolometers zu kennen, d. h. den Werth der Skalentheile in Grammkalo- rien per Sekunde und qem auszudrücken, und zweitens den Einfluss der Rohrwünde auf die Strahlung náher kennen zu lernen. 1. Bestimmung der Empfindlichkeit des Bolometers. Bei Bestimmung dieser kann man verschiedene Wege einschlagen. So hat R. v. HELMHOLTZ, der mit Ausnahme des Verfassers, der einzige ist, weleher den absoluten Werth der Empfindlichkeit seines Instruments genauer bestimmt hat!), drei verschiedene Methoden versucht. Die, wel- che ich früher befolgt habe?) und welche auf einer vergleichenden Be- stimmung der Strahlung einer und derselben Wärmequelle mit dem Bo- lometer und mit dem von mir konstruirten Pyrheliometer?) beruht, scheint mir jedoch mit Hinsicht auf die Zuverlässigkeit der Resultate wie auch seiner Einfachheit halber Vorzüge zu haben. Die Anordnung ist leicht aus der Fig. 5, Tafel 1, verständlich. A und B sind die als Kalorimeter benutzten Kupferplatten, CDEF die Termoelemente, die mit ihren Lóthstellen in dem Mittelpunkte der Platten eingefügt sind und deren Leitungsdrähte zu dem Galvanometer führen. GH und IK sind zwei Schirme mit Öffnungen. Vor der einen Öffnung steht ein kleines cylindrisches Gefäss L, durch das Wasserdampf ge- leitet werden kann, vor der anderen eine kleine Kupferplatte M, welche bei Zimmertemperatur erhalten wird. Die Endplatte des Cylinders Z ist sorgfältig berusst, wie auch die Platte M. Die Stellung von Z und M 1) R. v. HELMHOLTZ, Die Licht und Wärmestrahlung verbrennender Gase. Gekrónte Preisarbeit. Berlin 1890 (siehe p. 12). 2)DKE ÅNGSTRÖM, Wied. Ann. 26, 253, 1885. 3) K. ÅNGSTRÖM, Acta Reg. Soc. Upsaliensis, 1886. 32 Knut ÅNGSTRÖM, kann leicht gewechselt werden und man bestimmt dabei genau die Zeit- differenz T, wührend welcher die Temperaturdifferenz K der Kalorimeter vertauscht wird. Früher habe ich gezeigt!), dass bei dieser Anordnung, wenn eine Strahlung von der Stärke Q auf die Platte des Pyrheliometers fällt: wenn nämlich D den Wasserwerth, a die Fläche und c das Absorptions- vermögen der Kalorimeterplatten bedeutet. Bei einem Versuche mit der beschriebenen Anordnung war 7'— 63 Sekunden, K = 05,0146, D = 3,039 Grammkalorien. Wenn c = 1 gesetzt wird, finden wir: Qa — 0,001409 Grammkalorien per Sekund . Bei diesem Versuche (siehe nebenstehende Fig.) war der Abstand zwi- schen der strahlenden und der absorbierenden Fläche 5,7 cm, Durchmes- ser der Kalorimeterplatten 3,02 cm. Wir können dann leicht das Strahlungsvermögen des Cylinderbodens Z IP 5 berechnen. Es sei / das Strahlungsvermógen des Cy- © linderbodens, der mit genügend grosser Genauigkeit A klein im Vergleich mit der Kalorimeterfläche AA, an- genommen werden kann, r der Abstand ‚eines beliebigen Punktes der Fläche AA, von L, 20 der Winkel ALA,, so ist: Qa = a je Se) CO ifs | P da=aTI sin” « , : woraus Qa 0.001409 n wg : 7 = 2 ^ 7 n sin” o 3,1416 X sin? 14° 50 0,006848) 1) K. Anesrrom, 1. e.; siehe auch Wied. Ann. 39, p. 294, 1890. 2) Weil die strahlende Fläche 1,3 gem ist, findet man das Strahlungsvermógen der Flücheneinheit S = 0,004s6. Nach STEFAN ist das Strahlungsvermögen einer Russfläche: Se 1,202 x 10-12 (T1— T3) TT Grammkalorien , wo T, und T, die absoluten Temperaturen der strahlenden und der absorbierenden Fläche sind. Hieraus findet man, wenn diese Temperaturen = 373 respektive 290 ge- setzt werden, S = 0,0058 Grammkalorien . Die Übereinstimmung dürfte in Betracht der grossen Schwierigkeiten, mit welchen die beiden Bestimmungen verbunden sind, als sehr befriedigend angesehen werden kónnen. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 33 Der strahlende Cylinder wurde dann in einem Abstand = 23,65 cm vor 31,5 75 von der normalen. Die Ablenkung des Bolometergalvanometers war 40,5 Skalentheile. Wenn also £ den Werth eines Skalentheiles in Gramm- kalorien per Sekunde und gem bei normaler Empfindlichkeit bedeutet, so ist 0,006848 x 31,5 (23,65) 75 dem Bolometer aufgestellt. Die Empfindlichkeit des Bolometers war Rx 40,5 = woraus! R = 121 X 107 Grammkalorien per Sekunde und qem?!). Einige Kontrollversuche mit einem Argand'schen Brenner, der in derselben Entfernung von Bolometer und Pyrheliometer aufgestellt wurde, ergaben eine sehr gute Bestätigung der oben erwähnten Bestimmung. Die in der vorigen Tabelle in Bolometerablenkungen angegebene Strahlung muss also mit 127 X 107” multiplicirt werden, wenn man die Strahlung in Kalorien per Sekunde und qem ausdrücken will. 2. Korrektion für die Reflexion der Rohrwiinde. Die direkt beobachtete Strahlung ist vermehrt durch die Reflexion von den Rohrwänden und vermindert durch die Reflexion von der Stein- salzplatte. Infolge vieler Nebenumstände (z. B. Stellung, Beschaffenheit und Form des Entladungsrohres) kann man nicht direkt diesen Einfluss berechnen. Ich war also genóthigt einige Hülfsbeobachtungen anzustellen und habe den folgenden Weg eingeschlagen. Ein Rohr, Tafel 1, Fig. 6, S R, dem Beobachtungsrohr so ähnlich wie möglich, wurde angefertigt, nur mit dem Unterschied, dass das eine Ende offen gelassen war. Das an- dere Ende wurde mit einer Steinsalzplatte S von ungefähr derselben Dicke wie die des Entladungsrohres bedeckt. In dieses Rohr konnte ein kleines cylindrischen Gefäss G, das das Rohr vollständig ausfüllte, 1) Als Vergleich mag hier angeführt werden, dass die in dieser Weise erreichte Empfindlichkeit 4 bis 5 Mal so gross ist wie diejenige, mit welcher ich früher operiert habe. Der von R. v. HELMHOLTZ benutzte Bolometer hatte eine Empfindlichkeit von 533 x 10-9, und er hat berechnet, dass die Empfindlichkeit des Instruments von JULIUS ungefähr die gleiche, die des Instrumentes von LANGLEY 5 bis 8 Mal so gross ist. Die Empfindlichkeit meines Instruments kommt der von LANGLEYS Instrument also sehr nah. — In der vorläufigen Notiz dieser Arbeit ist infolge eines Schreibfehlers die Empfindlichkeit unrichtig angegeben. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 2 ” 34 KNUT ÅNGSTRÖM, eingeschoben werden. Das Gefäss hatte, wie in der Fig. zu sehen ist, Ab- und Zuleitung für Erwürmung durch Wasserdampf. Das Gefäss aus Messing ist hochpoliert mit Ausnahme der nicht durchbrochenen Endflüche, die von berusstem Kupfer ist. Das Entladungsrohr wurde jetzt von seinem Platz vor dem Bolometer entfernt, um durch dieses Rohr ersetzt zu werden. Nachdem das kleine Gefüss durch Zuleitung von Wasserdampf bis zur konstanten Temperatur erhitzt war, wurde dasselbe bis zu einer bestimmten Stelle schnell in das Rohr hineingeschoben und die Strahlung sogleich bestimmt. Nachdem diese Versuche für verschiedene Stellen in dem Rohre wieder- holt waren, wurde das Rohr fortgenommen und die Strahlung des Ge- fässes bei denselben Abständen von dem Bolometergitter wieder bestimmt. Ein Auszug aus dieser Beobachtungsreihe, welcher in der folgenden Ta- belle enthalten ist, möchte das Gesagte genügend erklären. Tabelle 17. Abstand Strahlung vom Bol t : x nr p mit Rohr | ohne Rohr n3 154 168,5 17,7 125 79,5 2351 112 40,5 29,7 102 26,5 Wenn wir jetzt die Abstände von dem Bolometergitter als Ab- scissen, die korrespondierenden Strahlungsintensitäten als Ordinaten neh- men, so erhalten wir zwei Kurven, Fig. 1, Tafel 2, die eine für die Strahlung des Gefässes mit Rohr (punktirt), die andere ohne Rohr (aus- gezogen). Es ist leicht verständlich, dass das Verhältniss zwischen den beiden Flächen, die durch die Abscissenachse, zwei beliebige Ordinaten und die respektiven beiden Kurven gebildet sind, dasselbe ist wie das Verhältniss zwischen der Strahlung einer Folge von einander unabhän- eigen Gasschichten, theils mit, theils ohne Rohr. Wir finden also (siehe Fig. 1), AVID ^ E Strahlung ohne Rohr _ AFID 1 Strahlung mit Rohr — ^ oder ees Galles STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 35 Das Verhältniss zwischen den beiden Flächen habe ich durch die Wägungsmethode ermittelt. Die Länge der strahlenden Gasschicht wechselt aber ein wenig bei verschiedenen Gasen, weil der dunkle Raum um die Kathode ungleich weit in das Rohr hineindringt!). Um die Strahlung bei verschiedenen Gasen mit emander vergleicheu zu können, ist es zweckmässig, alle Be- stimmungen auf dieselbe Länge der strahlenden Gasschicht zu reducie- ren. Ich habe als diese Länge 19 cın gewählt. Ist die Länge der Gas- schicht eine andere, z. B. 17 cm, so ist die gefundene Strahlung mit dem oben gefundenen Verhältniss zwischen der Fläche ohne Rohr für den Abscissenabstand = 19 cm (ABCD, Fig. 1, Tafel 2) und die Fläche mit Rohr für den Abscissenabstand = 17 cm (AFGH) zu multiplicieren. Folgende kleine ‚Tabelle enthält die Reduktionsfaktoren für die verschiedenen Gase. 4 Tabelle 18. Sen Lange der | Reductions- ase Gassäule, cm, faktor, @ Wasserstoff 18,0 0.58 Stickstoff 18,2 9,57 Kohlenoxyd 1/733 0,60 Mit e ist also der früher gefundene absolute Werth der Strahlung mit Rohr zu multiplicieren, wenn man die Strahlung ohne Rohr und von einer Gassäule von 19 cm Länge erhalten will Wenn wir diese Strah- lung für eine Stromstärke = 1 Mikroampère mit I bezeichnen, so ist die- selbe also (weil Lj, die Strahlung für eine Galvanometerablenkung = 100 Skalentheile — 1,5 Mikroampére ist) ive WME DOMES S ILE | fs 3. Berechnung des Strahlungsvermógens und der Gesammtausstrahlung der Gase. Es bleibt uns jetzt nur noch übrie aus diesen Werthen der Strah- lung unter gegebenen Bedingungen, das Strahlungsvermógen der Län- geneinheit der Gassäule und ihre totale Strahlung zu berechnen. Um 1) Die Länge ändert sich auch cin wenig mit der Stromstärke, doch können wir hier diese Veränderungen vernachlässigen. 36 KNUT ÅNGSTRÖM, diese zu finden, hehmen wir an, dass wir unter den hier benutzten Ver- suchsbedingungen die Absorption des Gases vollständig vernachlässigen konnen ?). Mag AB (siehe nebenstehende Fig.) die strahlende Gassäule, C die Lage des Bolometergitters sein. Wenn S das Strahlungsvermögen der 6 A de s Längeneinheit ist und CA = « und CB er Tel — = bh, so ist die Strahlung, welche C trifft und .welche wir mit J bezeichnet haben, b ‘ln T= Ils = a woraus 2 Il mer Unter der Annahme, dass die Strahlung in allen Richtungen die- selbe ist, finden wir die totale Strahlung der Lüngeneinheit der Gassäule T=4nS. Wenn wir in diese Ausdrücke den Werth von I einführen und dabei bemerken, dass a = 11,5 cm, b = 30,5 cm, so finden wir card 102% MR 5 =" (0% 1,5 X 30,5—11,5 , und S und 7 bedeutet also hier das Strahlungsvermégen und die Ge- sammtstrahlung einer Gassäule von 1 cm Länge und von einem Quer- schnitte von 1,41 qem (= Querschnitt des Entladungsrohres) beim Durch- gange eines Stromes = 1 Mikroampère. Weil die Strahlung der Stromstärke proportional ist und das Potentialgefälle im positiven Lichte vom Querschnitte des Entladungs- rohres unabhängig ist, könnte man wohl annehmen, dass auch die Strah- lung vom Querschnitte des Entladungsrohres unabhängig sei. Wenn dem 1) Von der Zulässigkeit dieser Annahme habe ich mich durch direkte Ver- suche überzeugt; sogar die Absorption des Kohlenoxyds ist unter oben erwähnten Umstünden kaum mittels des Bolometers zu bestimmen. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 37 so ist, dann könnten wir ganz einfach sagen, dass S und 7 das Strah- lungsvermögen und die Gesammtstrahlung einer Gassäule von der Länge l ist, wenn durch dieselbe 1 Mikroampère geleitet wird und zwar ohne Rücksicht auf den Durchmesser der Gasschicht. Nach den Untersuchun- gen von G. WIEDEMANN!) über die Wärmeentwickelung in Geisster’schen Rohren ist dieselbe beinahe von dem Querschnitte unabhängig. Wie ich schon hervorgehoben habe, können wir jedoch nicht von der Wärme- entwickelung auf die Verhältnisse der Strahlung schliessen. Die leider allzu spärlichen Versuche von Strauß?) über das Verhältniss zwischen Lichtstrahlung und Gesammterwärmung bei Flaschenentladungen schei- nen übrigens deutlich die Abhängigkeit dieses Verhältnisses von dem Rohrdurchmesser zu zeigen. Die Versuchsbedingungen, unter welchen Herr Sraug gearbeitet hat?) (Entladungen von grösseren Kondensatoren), sind jedoch so wesentlich von den meinigen verschieden, dass man wohl nicht ohne Weiteres die Untersuchungen vergleichen kann. Was meine eigenen Untersuchungen betrifit, so lassen dieselben auch die Frage noch offen. Wohl habe ich in verschiedenen Rohren immer dasselbe Verhält- niss zwischen Licht- und Gesammtstrahlung bei derselben Spannung des Gases gefunden, der Unterschied in den Durchmessern der Rohre ist je- doch zu unbedeutend, um bestimmte Schlussfolgerungen über diese Frage zu erlauben. Eine neue Untersuchung mit Rohren von ganz verschiede- nem Durchmesser scheint demzufolge in hohem Grade wünschenswerth. Die folgenden Tabellen enthalten S und 7; aus der Tabelle 11—13 berechnet und ebenso die entsprechenden Werthe Z und 7, für die durch eine Alaunplatte durchgegangene Strahlung. 1) G. WIEDEMANN, Pogg. Ann. 158, p. 35 und 252, 1876. 2) G. STAUB, Inauguraldiss., p. 41, Zürich 1890. 3) Der Verf. hat weder die Kapacität der Kondensatoren, noch die Poten- tialhóhe, bis zu welcher dieselben geladen wurden, angegeben, was doch den Werth seiner Untersuchungen bedeutend erhóht haben würde. 38 Knut ÅNGSTRÖM, Tabelle 19. Wasserstoff. = à Seu | OU S T, D 7, (d gnam Volt percm| * 1075 107 1075 107? y. 4,2 0,12 12 3,4 4,2 2,0 255 0,015 0,15 13 3,8 4,7 — — 0,015 0,16 13 2,9 3,6 1,8 2,8 0,012 0,18 13 3,7 4,6 1,4 To 0,015 0,2 15 3,4 5,4 — — 0.015 0,42 19 5,1 6,8 — — 0,014 0,56 22 4,0 5,0 1,6 2,0 0,010 0,76 24 5,4 6,7 | IMG 1,6 0,012 0,90 25 5,8 7,2 — — 0,012 1,02 26 6,0 755 1,6 2,0 0,013 1,26 2 5,0 6,2 12 1,5 0,010 1,60 2 3,8 4,7 | Ha 1,4 0,007 2,30 33 2,4 2,9 0,8 1,0 0,004 2,66 35 2,4 2,9 057 0,9 0,003 Tabelle 20. Stickstoff. Drack Potential- S T, L T, T. 4 mm Ton 10m TOR 1075 V. à] Volt per cm 4,2 Pe en ee er ES ee 0,12 14 19,9 24,9 15,2 18,9 0,074 0,15 15 18,6 23,2% 17,9 22,0 0,065 0,16 15 18,7 23,6 16,9 21,0 0,066 0,23 17 19,2 23,9 16,2 20,1 0,059 0,35 21 19,6 24,4 16,5 20,6 0,040 0,42 23 21,3 26,5 Re 20,5 0,048 0,57 28 23,9 29,8 18,6 ge 0,045 0,66 30 25,7 32,0 BULB 26,7 0,045 0,70 32 26,5 33,0 20,3 25,4 0,043 guy 33 24,4 39,4 18,3 22.9 0,039 0,88 37 26,4 32,9 18,8 23,4 0,037 1,00 42 28,9 36.0 21,5 26,9 0,036 I,IO 45 29,3 36,5 18,2 CNT 0,034 1,15 47 26,8 334 19.2 24,0 0,030 1,21 49 31,8 39,7 22,2 27,7 0.034 1,45 61 30,2 37,6 16,9 21,0 0,026 1,54 2 29,7 36,0 20,6 25,6 0,024 1,62 65 27,4 34.2 18,8 Zaid 0,022 1,64 66 3353 41,5 22,6 28,3 0,026 STRAHLUNG VERDUNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 39 Tabelle 21. Kohlenoxyd. p | S) | HR L T, la mm Volt per cm Tom? 10? 1075 10-9 pe QR 0,14 15 8,9 | Tee 4.1 Rae 0,032 0,18 17 9,3 11,6 553 | 6,6 0.029 0,29 I 10,3 12,8 4,0 5,0 0,026 0,32 22 11,6 14,3 4,1 Bae 0,027 0,46 28 9,7 12,2 3:3 4,1 0,018 0,59 32 10,1 12,6 3,2 4,0 0.017 0,74 38 8,6 10.8 3,0 3,8 0,012 0,77 39 12.8 15,7 31 3,9 0,017 0,99 47 11,0 1357 3.0 3,8 0,012 1,62 66 14,5 18,1 2,0 2,6 0,012 Die Resultate sind graphisch dargestellt auf der Tafel 2, iod. 3 und 4; als Abscissen sind die Drucke, als Ordinaten 7, (die punktierte Kurve) und 7, (die ausgezogene Kurve) genommen. Die Gesammtstrah- lung nimmt mit zunehmendem Drucke bei Stickstoff und Kohlenoxyd langsam zu. Bei Wasserstoff finden wir für einen Druck von c.1 mm ein Maximum, das wohl aller Wahrscheinlichkeit nach von einem Mini- mum begleitet wird. Die Intensität der Strahlung verschiedener Gase steht in keiner erkennbaren Beziehung zu den Potentialgefällen in denselben. Mit Kennt- niss der Stromstärke und der Potentialgefälle können wir die Arbeit be- rechnen, die den verschiedenen Gasen bei dem Stromdurchgange zuge- führt wird. Das Verhältniss zwischen der Gesammtausstrahlung und dieser Arbeit, in Grammkalorien ausgedrückt, habe ich berechnet und in der letzten Kolumne der obigen Tabelle vorgeführt. Diese Kolumne enthält also Vi 42 oder die Gesammtausstrahlung bei derselben Stromarbeit per Lüngenein- keit des Entladungsrohrs. Hieraus folgt nun, dass nur ein ganz be- schrünkter Theil der in der positiven Strombahn ausgeführten Arbeit in Strahlung umgesetzt wird, weiter dass dieser Theil bei verschiedenen Gasen verschieden ist und schliesslich, dass derselbe im allgemeinen um 40 KNUT ÅNGSTRÖM, so kleiner ist, je grösser die Spannung des Gases. Den übrigen Theil der Arbeit, weleher nicht in Form von Strahlung abgegeben wird, finden wir ohne Zweifel, zum grössten Theil wenigstens als Wärme wieder !). Ein relatives Mass dieser Würmeentwickelung in verschiedenen Gasen giebt uns die Strahlung der erwärmten Rohrwände in unseren oben an- geführten Versuchen, sobald nämlich der Strom so lange gewirkt hat, dass die Strahlung konstant ist. Obschon eine genaue Bestimmung die- ser Wärme nicht die Aufgabe vorliegender Untersuchung war, mögen doch die folgenden Zahlen angeführt werden, um eine ungefähre Vor- stellung des relativen Werthes dieser Strahlung zu geben. Die kleine Tabelle 22 enthält also in der letzten Kolumne die Strahlung der Rohr- wände allein nach längerem Durchgange eines Stromes von 100 Skalen- theilen (= 0,0015 Ampere) und zwar bei ungefähr gleichem Potentialge- fälle in der positiven Strombahn. Zum Vergleich führe ich auch die Strahlung der Gase allein an, diese aus den Tabellen 11—13 genommen. Tabelle 22. Potential- Gesammt- Strahlung Gas Druck gefälle strahlung der Rohr- Volt per cm L 00 wände Wy Wasserstoff 1,60 29 4,2 30 Sauerstoff 19277 31 O—1,4 24 Stickstoff 0,66 30 28,7 Be Kohlenoxyd 0,59 32 10,8 28 Aus diesen Zahlen, welche, wie gesagt, keine gréssere Genauig- keit beanspruchen, geht doch hervor, dass die Erwärmung verschiedener Gase bei gleicher Stromarbeit ungefähr dieselbe ist. Wir sehen also e 1 dass die Strahlung nicht eine nothwendige Folge der Wärmeentwicke- (=) lung ist. Die letzte steht ohne Zweifel in enger Beziehung zu der Stromarbeit, die erste dagegen nicht. 1) Es ist jedoch möglich, dass ein Theil der Arbeit für molekuläre Transfor- mationen in Anspruch genommen wird und dass die entsprechenden Wärmemengen nieht in der positiven Strombahn wiederzufinden sind. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 41 VIII. Einige theoretische Bemerkungen. Es ist schon durch andere Arbeiten, durch die Untersuchungen von Hirrorr’) u. a, bekannt, dass Entladung durch Gase ohne Licht- entwickelung möglich ist. Die vorliegende Untersuchung zeigt uns aber, dass die Erklärung dieses Verhältnisses in den meisten Fällen darin zu suchen ist, dass mit der Zunahme der Spannung der Gase die Strah- lung unsichtbar wird, so z. B. bei Wasserstoff, Stickstoff und Kohlen- oxyd. Sauerstoff giebt uns jedoch ein Beispiel von Stromdurchgang bei schwacher Spannung, die von einer verhältnissmässig sehr schwachen Strahlung begleitet ist. Alles dies zeigt uns, dass die Strahlung der Gase bei elektrischer Entladung nicht nur in qualitativer, sondern auch in quantitativer Be- ziehung von der molekulären Beschaffenheit der Gase abhängig und dass sie als eine sekundäre Wirkung des elektrischen Stromes zu betrachten ist. Bei dem Stromdurchgang wird eine nicht unbedeutende Arbeit in Wärmebewegung umgewandelt. Wie grosser Theil dieser Arbeit in Strah- lung umgesetzt wird, hängt von der Fähigkeit der Moleküle ab, solche Schwingungszustände anzunehmen, welche Strahlung hervorbringen. Wenn wir uns eine Vorstellung von den inneren Vorgängen der Strahlung der Gase bei elektrischer Entladung machen wollen, können wir von zwei grundverschiedenen Ansichten ausgehen: entweder alle Moleküle in der Gasmasse oder nur eine beschränkte Anzahl derselben nehmen an der Strahlung theil (im ersteren Falle ist das Gas homogen, im letzteren heterogen). Wenn die Strahlung bei der Entladung durch eine über die Mole- küle hingehende Bewegung hervorgerufen wird und alle Moleküle an der Strahlung Theil nehmen*), so muss man, weil die mittlere Temperatur des Gases dabei sehr niedrig sein kann”), ein ganz besonderes Verhält- niss zwischen der translatorischen und vibratorischen Bewegung der Mole- küle annehmen. Die Strahlung, welche nur von der letztgenannten her- rührt, ist mithin nicht durch die Temperatur allein bedingt. Von die- sem Standpunkte aus betrachtet, unterliegt es keinem Zweifel, dass die 1) Hırtorr, Wied. Ann. 21, p. 112, 1884. 2) E. WIEDEMANN, Wied. Ann. 3%, p. 187—188, 1889. 3) E. WIEDEMANN, 6, 298, 1879 und 10, p. 202, 1880 ; B. HASSELBERG, Mém. de l’Acad. Imp. des Sciences de St. Petersburg 27, N:o 1, 1879. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6 42 7 KNUT ÅNGSTRÖM, Strahlung als irregulär (naeh Rh. v. HELMHOLTZ) oder als eine Art von Luminescenz (E. WiEDEMANN) zu betrachten ist. Wenn dagegen die Elektricitätsüberführung durch Convection (G.WıE- DEMANN) oder durch eine Art Elektrolyse (SCHUSTER, J. J. THOMSON, ARRHE- NIUS u. a.) vermittelt wird, so kann die Anzahl der Moleküle, die die Leitung herstellen, sehr gering sein‘). Die mittlere Temperatur des Gases kann dann sehr niedrig sein und demungeachtet kann der Bewegungszustand der aktiven Moleküle einer sehr hohen Temperatur entsprechen. Wenn wir nun, unter irregulärer Strahlung eine solche verstehen, welche nicht aus- schliesslich durch Erwärmung des ganzen Körpers hervorgebracht wer- den kann, dann ist auch diese Strahlung natürlich von irregulärer Natur. Verstehen wir aber unter irregulärer Strahlung eine derartige, dass in ihr die spektrale Vertheilung der Energie eine anomale ist, dann müs- sen wir, um beurtheilen zu können, ob die Strahlung bei Gasentladung regulärer oder irregulärer Natur sei, erst die spektrale Vertheilung der regulären Strahlung bei schwacher Spannung und hoher Temperatur ken- nen. Dies ist aber nicht der Fall, und unsere Schlüsse sind demzufolge nur Wahrscheinlichkeitsschliisse. Für eine irreguläre Strahlung in dem zuletzt angeführten Sinn sprechen aber folgende Thatsachen, welche wir hier gefunden haben. 1) Die Strahlung steht in keiner Beziehung zu dem Absorptions- vermögen des Gases bei gewöhnlicher Temperatur. Wenn auch das Ab- sorptionsvermógen sich mit der Temperatur ändert, so sind doch nicht so grosse Veränderungen zu erwarten, wie die oben gefundenen Verhält- nisse bei Kohlenoxyd und Stickstoff es nothwendigerweise verlangen. 2) Die Strahlung, welche z. B. bei Stickstoff bei c. 2 mm Span- nung reich an dunklen Strahlen ist, ändert mit abnehmender Spannung schnell ihre Beschaffenheit und besteht bei einem Drucke von 0,1 mm beinahe auschliesslich aus Lichtstrahlung. Diese schnelle und doch ste- tige Veränderung der Zusammensetzung der Strahlung kann wohl nur durch die Annahme anomaler Strahlungsverhältnisse erklärt werden. Die Erklärung der gefundenen Thatsachen scheint mir übrigens nur durch die Annahme möglich, dass die Strahlung des Gases bei elek- trischer Entladung aus zwei Theilen besteht, der eine regulärer, der andere irregulärer Natur; mit abnehmender Spannung nimmt der erste ab, die irreguläre Strahlung nimmt dagegen um so mehr zu, je weniger 1) SCHUSTER, Proc. of the Roy. Soc. 47. p. 526, 1890. STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 43 die Bewegungen durch die Gasmasse gedämpft werden. Durch diese Annahme erklärt sich nicht nur die Veränderung in der Zusammensetzung der Strahlung bei vermindertem Drucke sondern auch das bei Wasser- stof und wahrscheinlich auch bei Stickstoff vorkommende Minimum der Gesammtstrahlung (bei c. 2 mm Druck). Die beiden oben angeführten Theorien über die Natur der Ent- ladung durch Gase dürften also zu derselben Annahme in Bezug auf die anomale Natur der Strahlung führen. Versuchen wir aber die näheren ' Umstände, die wir hier gefunden haben, nach den beiden Theorien klar zu stellen, so scheint es mir, dass, wenn wir auch nicht entschiedene Beweise vor oder gegen die eine oder die andere Theorie vorbringen können, die Vorgänge doch am leichtesten durch die Annahme einer Elek- trieitätsüberführung durch eine gegen die Stromstärke proportionale An- zahl von Molekülen, erklärt werden können. Bei konstantem Drucke wird in jedem Moleküle ein bestimmter Theil der Energie in Strahlung umgesetzt; wird die Stromstärke ver- mehrt, nimmt die Zahl der aktiven Moleküle und damit auch die Strahlung in einem zur Stromstärke proportionalen Verhältniss zu. Weil die Zahl der aktiven Moleküle relativ klein ist, können wir die Dämpfungsverhältnisse als konstant betrachten und die Zusammensetzung; der Strahlung bleibt demzufolge bei Vermehrung der Stromstärke beinahe unverändert. Vermehrt man dagegen den Druck des Gases, ändern sich deutlich die Dämpfungsverhältnisse, die anomale Strahlung wird dann leichter in eine normale umgesetzt und die Strahlung wird reicher an ultrarothen Strahlen. Ein grösserer Theil der zugeführten Energie wird für die Erwärmung benutzt, und für eine und dieselbe Stromarbeit nimmt die Gesammtstrahlung mit zunehmendem Drucke ab. Nehmen wir dagegen an, dass das Gas als eine homogene Masse an der Strahlung Theil nimmt, so scheint es wohl auch hier keine Schwie- rigkeiten darzubieten, die Proportionalität der Gesammtstrahlung und der Stromstärke bei konstantem Drucke zu erklären. Wir werden aber, um die Unabhängigkeit der Zusammensetzung der Strahlung von der Strom- stärke, bei konstantem Druck erklären zu können, zu der Annahme ge- nötigt, dass, bei einer Vermehrung der Energie der Gesammtstrahlung, doch das Verhältniss zwischen den Intensitäten der verschiedenen Schwin- gungsperioden oder also den Intensitäten der verschiedenen Strahlungs- gattungen immer dasselbe bleibt, eine Annahme die jedoch nicht mit dem übereinstimmt, was wir übrigens von den qualitativen Veränderun- dd KNUT ÅNGSTRÖM, gen der Strahlung homogener Kórper bei einer Zunahme der Intensität der Strahlung (durch eine Temperaturerhóhung) wissen. Wie gesagt, lässt sich doch, so viel ich sehe, die Frage über die Natur der Entladung aus den gewonnenen Resultaten nicht definitiv ent- scheiden. Zu diesem Zwecke sind ohne Zweifel die Versuche zu gering an Zahl und zum Theil auch zu ungenau, wozu kommt, dass einige wichtige Fragen, z. B. über den Einfluss des Rohrdurchmessers, nicht in dieser Untersuchung berücksichtigt worden sind. IX. Zusammenstellung der wichtigsten Resultate. Um die Übersicht der hier gewonnenen Resultate zu erleichtern, stelle ich hier unten die wichtigsten zusammen, dabei ausdrücklich be- merkend, dass dieselben natürlich nur eine definitive Bedeutung unter den oben näher angegebenen Versuchsbedingungen haben. 1) Für ein bestimmtes Gas und eine bestimmte Spannung ist die Strahlung des positiven Lichtes proportional der Intensität des elektri- schen Stromes. 2) Bei einem und demselben Gase und für eine bestimmte Span- nung ist die Zusammensetzung der Strahlung konstant und unabhängig von der Stromstärke. 3) Wenn die Spannung des Gases vergróssert wird, nimmt die Gesammtstrahlung für dieselbe Stromstärke in der Regel zu, bei schwa- chem Drucke aber zuerst langsam, dann schneller; gleichzeitig ändert sich auch die Zusammensetzung der Strahlung in sofern, als das Verhält- niss zwischen der Intensität der Strahlung kürzerer Wellenlängen zur Intensität der Gesammtstrahlung abnimmt. Die Intensitätsvertheilung im Spektrum ändert sich also, indem mit abnehmender Spannung; die Intensität der Strahlung kürzerer Wellenlängen verhältnissmässig zu- nimmt. 4) Das Verhältniss zwischen der Intensität der Gesammtstrah- lung und der Stromarbeit nimmt mit abnehmender Spannung des Gases stetig zu. 5) Der optische Nutzeffekt der Strahlung (hier durch das Verhält- niss der Intensität der durch die Alaunplatte hindurchgegangenen Strah- len zu der Intensität der Gesammtstrahlung angegeben) ist bei niedri- ger Spannung für einige Gase sehr gross (c. 0,90 ?/o für Stickstoff); STRAHLUNG VERDÜNNTER GASE BEI ELEKTRISCHER ENTLADUNG. 45 der optische Nutzeffekt der geleisteten Arbeit ist dagegen nicht beson- ders gross (c. 8?/o für Stickstoff von 0,1 mm Druck). 6) Die Stärke der Gesammtstrahlung ist als eine sekundäre Folge der Entladung zu betrachten und hängt von der molekularen Beschaffen- heit des Gases ab. 7) Von welcher Ansicht über die Natur der Gasentladung man auch ausgeht, scheint diese Untersuchung die Annahmen von Hirrorr, E. Wiepemann und anderen zu bestätigen in sofern, als die Strahlung keine reine Funktion der Temperatur, der Gase ist, sondern als eine anomale (»irregulüre», »Luminescenz») zu betrachten ist. 6* C Fs ge ge go = 9 j Fig. = go go OU a Erklärungen der Tafeln. Tafel 1. Übersichtliche Darstellung der Versuchsanordnung (siehe p. 11). B Bolometer mit dem Galvanometer BG. L Schirm, AH Versuchsrohr, / Accumulator, AG Galvanometer zur Messung des Accumulatorstroms, /? Flüssigkeitswider- stand, © Rohr mit Kupferspänen, S Rohr mit Schwefel, P Rohr mit Phos- phorsäureanhydrid, MIO Rohr für Einführung der Gase, N Quecksilbersperre, WTK Pumpe. Entladungsrohr N:o 3, in Viertelgrösse (siehe p. 6). Zur Erläuterung der Herstellung der Elektroden (siehe p. 7). GABFD Gefäss für elektrolytische Herstellung von Sauerstoff und Wasser- stoff (siehe p. 8). P kleiner Gasbehälter. IM Rohr für Einführung der Gase. (Siehe auch Fig. 1 die entsprechenden Theile mit derselben Bezeichnung). Übersichtliche Darstellung der Versuchsanordnung für die absolute Bestim- mung der Strahlung des Gefässes LL, das durch Wasserdampf: erwärmt wird, (siehe p. 31). AB Differentialpyrheliometer, CF Ableitungen für die Termo- elemente zum Galvanometer, GH und IK Schirme. Anordnung für Bestimmung der Reflexion der Rohrwände; RS das Entla- dungsrohr, AGZ Gefäss, das durch Wasserdampf erwärmt wird (siehe p. 33). Tafel 2. Kurven zur Bestimmung des Verhältnisses der Strahlung ohne Rohr und mit Rohr. Abseisse = Abstand vom Bolometer; Ordinate = Stärke der Strahlung, BC ohne Rohr, FI mit Rohr (siehe p. 34). .9. 8 und 4. Strahlung bei konstantem Accumulatorstrom. Abseisse = Spannung oD ? e P to} der Gase in mm, Ordinate = Stärke der Strahlung. — — — — für die Gesammtstrahlung, ————— für die Strahlung durch Alaun (siehe p. 39). Strahlung bei Anwendung des RumMmkorrr’schen Induktoriums. Abseisse = Spannung der Gase in mm, Ordinate = Stärke der Strahlung. — — — — für die Gesammtstrahlung,— fiir die Strahlung durch Alaun. Kurve N für Stickstoff, CO für Kohlenoxyd, (siehe p. 28). Abseisse = Spannung der Gase, Ordinate = das Verhältniss zwischen der Strahlung durch Alaun und der Gesammtstrahlung (4/1) no = = fär Stickstoff, —— für Kohlenoxyd, (siehe p. 28). Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. K.Ängström. Strahlung verdünnter Gase etc. Tafel 1. Zur Wasserstvakl — Urt Lith.L.Ljunggren Ups. e Hore vec Lr NN v s Ångström. Strahlung verdünnter Gase ete. Tafel 9.. Nova Acta Reg. Soc. 8e. Ups. Ser. III. iuum E I Li H que CEEEI 350 Enns 14 13 12 snund 260 H D300 1h 12 n Lith. L. Ljunggren Ups. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITAT AN VERSCHIEDENEN MAGNETISCHEN OBSERVATORIEN VON E. SOLANDER. (MITGETHEILT DER KÖNIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 7 Mal 1892). UPSALA 1893, DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. hon seit langer Zeit dürfte es wohl allgemein bekannt sein, dass die Abweichungen der Bestimmungen der Horizontalintensität mit ver- schiedenen Magneten, wenn ihre Hauptkonstanten einzeln bestimmt wor- den sind, oft viel grösser sind als die Differenzen einzelner Bestim- mungen mit einem und demselben Magnet. Daraus folgt aber, dass die Angaben verschiedener Observatorien nicht ohne weiteres mit einander vergleichbar sind, und zwar um so weniger, als überdies die Methoden der Konstantenbestimmungen an verschiedenen Observatorien verschieden sind. Neuerdings ist auch diese Folgerung vom Herrn D:r van RIJCKE- VORSEL durch komparative Messungen an vier Observatorien experimen- tell bestätigt worden '). Schon vorher hatte ich den Plan zu derartigen Vergleichungen entworfen und auch zu dem Behuf bei der Universität Upsala um ein Reisestipendium nachgesucht, das jedoch damals nicht bewilligt werden konnte. Da mir aber später ein solches zuerkannt worden ist, und die Beobachtungen RısckEvoRsELs die Notwendigkeit, die genannten Komparationen auf mehrere Observatorien, speciell für das fragliche Element des Erdmagnetismus, auszudehnen, aufs deutlichste erweisen, so kam auch die Reise zu Stande, und ich lege hiermit das Resultat der Untersuchungen vor ?). 1) VAN RISCKEVORSEL: An attempt to compare the instruments for absolute magnetic measurments at different Observatories. Royal Dutch Meteorological Insti- tute 1890. 2) VAN RISCKEVORSELS Vergleichungen der Deklinationsbestimmungen zeigen freilich auch Abweichungen; da diese aber nirgends 3 erreichen, schien mir die Uber- einstimmung befriedigend zu sein; mein mitgebrachtes Instrument gestattet übrigens, wegen zu kurzer Aufhängefäden, keine genaue Bestimmung der Deklination. Was dagegen die Inklination betrifft, so gewährt ein gewöhnliches Inklinatorium auch nicht ‚im geringsten Maasse die für den theoretischen Zweck, Bestimmung der Vertikalin- tensitüt, erforderliche Genauigkeit. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 2 E. SOLANDER, Das benutzte Instrument war der sogenannte »Eugenieapparat», ein Theodolit englischer Konstruktion, der die schwedische Weltumsege- lung 1851—1853 mit der Fregate Eugenie mitgemacht hatte, später bei magnetischen Rekognoscierungen in Schweden angewandt und mir vom Präfekt des hiesigen physikalischen Instituts Herrn Prof. THALÉN zur Verfügung gestellt worden war. Für die Beschreibung des In- struments verweise ich auf folgende Abhandlungen: A. J. ÅNGSTRÖM: »Voyage autour du monde sur la frégate suédoise lEugénie exécuté pendant les années 1851—1853. Observations Scientifiques publiées par l’Acad. roy. des Sciences à Stockholm. III. Physique»; und G. Lunp- quıst: »Bidrag till kännedomen af den jordmagnetiska intensiteten och inklinationen i mellersta och sódra Sverige». Svenska Vet. Akademiens Handlingar Bd. 9 N:o 10 (1871). Hier sei nur bemerkt: dass bei den folgenden Beobachtungen der kleine Messingring, welcher als einseitige Belastung des mit A, markirten Magnets diente, nicht angewandt wurde — der entsprechende Ring des mit B, markierten Magnets war schon vorher von LUNDQUIST weggenommen worden — dass das nur für Seiten- beleuchtung geeignete Fernrohr mit Skala, welches übrigens wegen zu kleiner Objektivöffnung auch bei guter Beleuchtung ziemlich lichtschwache Bilder ergab, gegen ein anderes, zum Edelmannschen Theodolit gehó- riges, Fernrohr mit Fadenkreuz vertauscht wurde, welches mir Herr Prof. HassELBERG in Stockholm gefälligst überliess; dass die mit Tuch bedeckten Seitenflichen des Schwingungskastens, welche sich als schwach magnetisch herausstellten, durch andere nur aus Holz verfertigte ersetzt wurden; dass die Fussschrauben mit Müttern versehen wurden; und dass dem Thermometer, der von R. Grave in Stockholm verfertigt ist und mit dem Normalthermometer der meteorologischen Centralanstalt ver- glichen und ohne merklichen Fehler befunden wurde, ein Messingrohr auf dem Nadelhäuschen applicirt wurde, ähnlich wie bei den Lamontschen Reiseapparaten; im Schwingungskasten wurde für denselben ein Loch gebohrt, so dass die Thermometerkugel eben ins Innere des Kastens hineinragt. Die Nullpunktskorrektion des Thermometers war vor der Reise 0.0; nach derselben — 0°2; die Änderung wurde nur in sofern be- rücksichtigt als bei den zwei letzten Beobachtungsreihen, zu Kopen- hagen und Upsala, die letztere Korrektion angebracht wurde. Infolge dieser Abänderungen und speciell, weil mir die Korrektion des Trägheitsmoments des Magnets R, wegen Wegnahme des Ringes nicht als absolut sicher erschien, habe ich es vorgezogen, die Bestimmungen direkt an meine Konstantenbestimmungen mit dem grossen Lamontschen VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 3 Theodolit anzuknüpfen, was übrigens für komparative Messungen natür- lich gleichgültig ist; und zwar um so mehr als die Differenz zwischen meinen Bestimmungen und denen Ängsrröms nur zwölf Einheiten der fünften Decimalstelle von H beträgt‘). Die komparative Konstantenbe- stimmung für den Eugenieapparat geschah nun in der Weise, dass ich am Anfang und Ende der Beobachtungsreihe Bestimmungen mit dem Lamontschen Theodolit machte und in der Zwischenzeit mit dem Euge- nieapparat beobachtete. Bezüglich der Beobachtungen möge hier noch erwähnt werden, dass die Ablenkungen nach Anestréms Schema gescha- hen, somit mit sieben Einstellungen, von denen die drei letzten in um- gekehrter Folge eine Wiederholung der drei ersten bilden; bei der Be- rechnung des Ablenkungswinkels giebt man dann der vierten das dop- pelte Gewicht. Zur Erzielung grösserer Sicherheit wurde bei den ge- nannten Bestimmungen mit dem grossen Lamontschen Theodolit diese Beobachtungsreihe nochmals in umgekehrter Folge wiederholt, so dass der Ablenkungswinkel aus 13 Ablenkungen bestimmt wurde, wobei .der vierten, der siebenten und der zehnten das doppelte Gewicht zukommt. Bei den Schwingungsversuchen habe ich zuvor, in Übereinstimmung mit den von Lamont in seinem »Handbuch des Erdmagnetismus» mitgeteilten Beispielen, drei Reihen von je 10 Durchgängen genommen, derart, dass zwischen je zwei Reihen 100 Sehwingungen liegen und dann teils aus der ersten und zweiten, teils aus der zweiten und dritten Reihe die Zeit von 100 Schwingungen berechnet. Dies dürfte wohl auch das gewóhn- lichei Verfahren sein; bezeichnen wir aber mit a, b und c mit entspre- chenden Indices die Ablesungen der drei Reihen, so ist nach dieser Berechnungsmethode: 1 il 1 DEZ er (64) = (erh), = (oi 1 2 somit dasselbe Resultat wie wenn die zweite Beobachtungsreihe gar nicht existierte. Ich habe daher das Verfahren dahin abgeändert, dass vier Reihen genommen wurden und die Zeit von 200 Schwingungen teils aus der ersten und dritten, teils aus der zweiten und vierten be- stimmt wurde. Bezeichnet man die Ablesungen der vierten Reihe mit d, so ist: 1) E, SorANDER: Konstantenbestimmung mit einem Lamontschen Theodolit. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III Bd. XIV: II, 1891. 4 E. SOLANDER, 1 1 "sd = — ANNO = = Ü = == p — 100 7 — iit S(e—a) 4.45 20 — 9] = lord (a4 d)] , eer wobei somit jeder Beobachtung dasselbe Gewicht zukommt. Die Zeit zwischen der zweiten und dritten Reihe kommt in dieser Weise zweimal vor; dementsprechend ist auch den diesbezüglichen Variationsablesungen das doppelte Gewicht beizulegen, was aber praktisch nur dann not- wendig wird, wenn die Variationen in diesem Intervall ein ausgeprägtes Maximum oder Minimum zeigen '). Die anfängliche Elongation betrug höchstens 40 Minuten: eine Reduktion auf unendlich kleine Bógen ist daher überflüssig. Die erwähnten Bestimmungen mit dem grossen Lamontschen Theodolit ergaben: 1891 Apr. 7 10°53": g = 383572”; t=2%9; n° — m = 157.6 » DORE 100 T= 180/995 x1 90505 x = NPA = BA »(1o 6. 112207771007 =7780:8605 7 = 4985: nl TE EEE >» » 14 7: op = 38130257: 7 — 655. nm E 64 Nach den in meiner citierten Abhandlung (S. 29 und 30) mitgeteilten Formeln erhält man somit: Am 7 April: log H,,, = 9.209523, log M,, = 3.377833, » 16 » log H,,,— 9.209598, log M,, = 3.377874; oder im Mittel: log H,,, = 9.209560. 1) Die Methode der kleinsten Quadrate giebt eine etwas andere Formel, nämlich: i Z[c— 6 + 3(d —a)] . une 100 2 der Unterschied ist aber nur: 3[c-?—5«— 0) somit jedenfalls verschwindend klein. Es rechnet sich ein bischen bequemer nach der hier angewandten Formel, die übrigens den Vorzug einer leichten Unterscheidung des Falles, dass die Variationen regelmässig verlaufen, von dem, dass ein Maximum oder Minimum vorkommt, darbietet. VERGLEICHUNG DER DESTIMMUNGEN DER HorIZONTALINTENSITAT etc. 5 Die Beobachtungen mit dem Eugenieapparat sind in der folgenden Tafel enthalten: Beobachtungen mit dem Eugenieapparat zu Upsala 1891. Dat. Stunde Magnet | Abstand m ^ 2 n'—n 7 April 9 in es Rz | 4685.672 49.5 152.2 | 30.2 » » I3 58 B, 476°.060 6.0 159.5 32.8 5 e 15 5 B, ug || anlage” || egets 166.2 y vien 10 35 B, 1.0 Nol 2 Sano NE 149.7 » » ni R3 1.0 umbo onc OC 151.1 JA De ra Rs 0.7 | 35"4545' | 6.95 | 152.8 u e> I3 45 R; 468°.569 752 164.1 24.8 » » 14 48 Joh, 475°.970 7-5 167.2 | 32.2 STRA II 45 B, 0.7 31945'15" | 6.6 143.6 » » mne nm Ba 1.0 10928' 3” Gee 146.6 DERE na xe Rs Coy || GES dr M EE: BIN | 3003/33 R; 1.0 | 113049" | 7.35 | 147-6 yang} 13 40 R3 1.0 rat || Oss SMS 14 12 Rs EE AO ÖS | CO, » r4 10 44 B, 0.7 euenit" i sts 1508 » » II 12 IB 1.0 10928'21" | 6.6 151.1 RTE 12 26 B, 476°.315 6.95 157.1 | 25.2 » » 1492 Rz 468°.684 7.0 158.9 24-4 5 gi IO 55 Rz 468°.730 5.05 152.2 26.4 » » 12 42 B, 476°.170 GE 159.2 28.1 > Men its 50 B, 0.7 | 3194117" 5.9 | 164.9 ze I4 17 B, 1.0 ion ii | Ce 166.6 » » 17 11 ne 1.0 uites" rss 168.0 » » 17 36 Rz 0.7 3504222" | 6.0 172.4 Die Gleichungen zur Reduktion des log sin des Ablenkungswin- kels und des /og der Schwingungsdauer sind, nach ÀwesTRÓMs Messun- gen, in Einheiten der sechsten Decimalstelle: für B,: 4logsinq = p(n’ — n) + 111.4 (t — 15) - Alog T = 5 pin — n) —49(t— 15) + 2280(H —0.162) + 100-45 Ay und für A,: A log sin 9 = p(n’ — n) + 125.4 (t — 15) ‘ Alog T = 5 p(n' — m) — 56 (t — 15) 4-1660 (E —0.162) 4.107454, - Dabei ist der Faktor p des Horizontalvariometers zu Upsala 54.7; ferner habe ich aus praktischer Rücksicht als Normaltemperatur 15° C. gewählt 6 E. SOLANDER, und die Induktionskorrektion von dem jetzigen H-Werte zu Upsala als Nullpunkt gezählt; endlich bezeichnet » die Torsion des Aufhängefadens in Minuten für 360° Drehung und Z7 den. täglichen Gang des Chrono- meters in Sekunden. Interessant sind die später sich zeigenden kolos- salen Veränderungen von 7 mit der Feuchtigkeit, von einem Maximum = 39.2 (Upsala 1892) zu einem Minimum = 6'.5 (Hamburg). Sie zeigen, dass bei Anwendung von Coconfäden, wenn die Torsion derselben auch nur eine mässige Grösse besitzt, die jedesmalige Bestimmung derselben durchaus notwendig ist. In diesem Zusammenhang möchte ich auch erwähnen, dass, obschon die Torsion der abgelenkten Nadel vor der Ab- reise in der gewöhnlichen Weise aufgehoben wurde, der oben befindliche Torsionsknopf jedoch von Zeit zu Zeit nachgedreht werden musste, im- mer in derselben Richtung. Zuletzt betrug diese Drehung mehr als 360°, und die Torsionsverhältnisse des Fadens scheinen nicht einmal nach Ablauf des Jahres konstant geworden zu sein. Die Ablenkungen sind, wie man sieht, in zwei verschiedenen Abständen ausgeführt, die von ÅNGSTRÖM ausgemessen wurden; es ist bei 0° Temperatur: e, , markiert 0.7 engl. Fuss, 21.3291 cm. [107 see 1000 » 30.4714 em. Zunüchst kann man nun an jedem Orte die Horizontalintensitát aus den Ablenkungen in jedem Abstande für sich, zusammen mit den Schwin- gungen, berechnen; die Übereinstimmung der beiden Werte, H, und H,, vorausgesetzt, dass die bezüglichen Konstanten C, und C,, um deren Be- stimmung es sich hier handelt, genau genug bekannt sind, bildet dann eine Kontrole der Unveränderlichkeit der Ablenkungskonstanten. Ferner aber ist die Länge der Nadel und der beiden Ablenkungsmagnete so angepasst, dass das zweite Glied der Reihenentwickelung für die Ablen- kungskonstante verschwinden sollte, und nach einer Bestimmung, die ich zuvor mitgeteilt habe!) dürfte dies auch ziemlich annähernd der Fall sein. Lässt man das vierte und folgende Glieder weg, so wäre dann die Horizontalintensität aus der Gleichung zu bestimmen: e Ze CM ET 1 ei, sin @, — ei Sing, 7 e | TV sing, ale) sing, 1) E. SoLANDER: Über den Einfluss der Fadentorsion bei magnetischen Ablen- kungsversuchen. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Upsal. Ser. III, Bd. XIV: II, 1891. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 7 oder: log = Cha — log T— E log (sin p, — [8.915561] sin ¢,). T Hierin bezeichnet die Klammer, dass der bezügliche Koefficient (2) 2 logarithmisch angesetzt ist. Dass diese Berechnungsweise innerhalb der Beobachtungsfehler mit den vorigen tibereinstimmt, ist eine notwendige, aber leider noch nicht hinreichende Bürgschaft dafür, dass die vernach- lassigten Glieder der Reihenentwickelung fiir die Ablenkungskonstante wirklich ohne Einfluss sind, eine Frage, die mir einer experimentellen Priifung wohl wert erschien. Die oben angefiihrten Beobachtungen zu Upsala hatten es, wie er- wühnt, auf relative Konstantenbestimmungen abgesehén. Kombiniert man dabei das Mittel aus den Schwingungsbestimmungen am 9 und 11 April mit den Ablenkungen am 10 und 11, die Ablenkungen am 12 mit den Schwingungen am 11, die Ablenkungen am 13 und 14 mit den Sehwin- gungen am 14, endlich die Ablenkungen und Schwingungen am 15 mit einander, so erhált man, unter Benutzung des vermittels des Lamontschen Theodolits erlangten Wertes von log H,,,, folgende 160? Tafel der Hauptkonstanten. R3 B4 C, [o^ Cia | log u | C, €, Cy log u 9.763783 | 9.533004 | 9.473897 lenses 9.747708 | 9-516867 | 9.457742 | 9.181260 841 166 4091 139 719 6879 153 221 865 090 3984 219 781 7064 977 295 933 210 4120 31I 884 7089 977 332 9.763856 |9.533118 | 9.474023 | 9.211193 9.747773 | 9.516975 | 9.457862 9.181277 Die letzte Kolumne für jeden Magnet, mit Überschrift log u, ent- hält die Differenz ; log sing, — log 7, den Logarithmus einer dem mag- netischen Moment proportionalen Grösse. Dieselbe scheint ausser von der Zeit auch etwas von der Temperatur abzuhängen; die Temperatur- koefficienten der Magnete dürften sich somit seit Anestroms Bestimmun- gen etwas verändert haben; da aber nur die Differenz der Temperatur bei Schwingungen und Ablenkungen für die Berechnung von H in Be- tracht kommt, schief mir eine Neubestimmung überflüssig. 8 E. SOLANDER, Die mit Hülfe dieser Hauptkonstanten aus den folgenden Beobach- tungen hergeleiteten Werte der Horizontalintensität mögen mit entspre- chenden Indices bezeichnet werden, somit H,, H, und Val Nach diesen vorläufigen Bemerkungen gehe ich zu den auf der Reise ausgeführten Bestimmungen über, und zwar in chronologischer Ordnung. I. Beobachtungen zu Pawlowsk. Die Beobachtungen wurden in einem kleinen Holzgebäude ausge- führt, das etwa 60 Schritte nördlich von dem grossen Gebäude für absolute Messungen abstand. Man versicherte mir, dass zwischen diesen beiden Lokalen gar kein Unterschied der erdmagnetischen Elemente exi- stiert. Die Zeit der Einstellungen am Theodolit wurde aufgeschrieben und danach die entsprechenden Stände des Magnetographs genommen, was Herr ScHoKtwitscH freundlichst übernahm. Die Reduktionsformel war, wenn die Ablesungen schon auf die Normaltemperatur reduciert sind, was mit den beigegeben Zahlen geschehen ist, folgende: H = 0.163988 (1 — 0.0003062 n^) , und somit ergibt sich p = — 133. Der tägliche Gang des Chronometers war Ay = — 6*.03. Wegen Deklinationsvariationen wurden, wenn nötig, nach dem Uni- filarmagnetograph Verbesserungen angebracht, was in der Regel auch bei den folgenden Beobachtungsstationen geschah. Die Beobachtungen er- gaben: Beobachtungen zu Pawlowsk 1891. Dat. | Stunde | Mgt oe du t NS 3 H, H, FA log & Juni 2 |ro!r2") B, | e, | 3101334" 139.9 | + 0.7 o 16392 0.16399 | 9.181315 ?». Sm Gg 8 €, | 109 18' 1"| 15.55. — 0.8 0.16398 > » 11356 | » 473-535 | 17.35| — 6.2 | 20.5 5 9 | mg nS | Ay 466°.264 | 17.9 | — 6.2 |26.1 >» 3|II44 » € 359 g'24"| |— 1.9 0.16390 0.16387 | 9.211028 Dep lua om d oem lh ay do aes I 25 0.16388 > »|:347 | By | & | 10°%7'36" 14.15] = 4.6 0.16395 » » |1410 | » €, | 31° 8'30"| 14.75] — 5.9 0.16392 0.16396 | 9.181230 >» » |15 26 » 4733.465 | 14.8 | — 5.2 |34 2 >» » |1638 | R, 466°.049 | 14.45| — 5.9 | 31.4 » 4 |10 11 » 4668.385 | 10.6 | + 2.75] 35.0 > plan ag | 2 4735.510 | 11.9 | — 1.65] 36.5 VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 9 Dat. | Stunde | Met stand "e Zi ee ER 7 H, H, 72 loea | | juni 4 fisken Ry | es | 11029 207| 127.5 | — 0.9 0.16386 UA 24 ils £1. 135. 5/28" 13. 8 | — 69 0.16389 0.16335 | 9.211039 See Gees PARC ars soror) 3:9. | 695 0.16392 0.16397 | 9.181279 >» » | 16 31 » 259 pus 726413 05) — 6.35 0.16396 Elle we | SOMME = 0.16394 » » |IO4I » Gr Bury AS RN AE 0.16388 o 16396 | 9.181305 >» »|rr22 | À, | ey |r1?29'55"| 10.85| — o 45 | 0.16385 3S8 | >» Ina Ibo 8’ 6'123, | — 6.5 | 0.16386 | ; 0.16385 |9.211177 » »|1446 | » | 465°.974 | 13.85| — 6.1 | 30.5 ES monos Reb: 473-414 |13:1 | — 4-7 |34-7 Sy OMIS 17 AS 14665 144 | 10.0 || Qum » » |1342 | » @ [350100722 02.9, ESC 0.16388 0.16385 | 9.211128 TA as Rd &, |11928'56"| r1.8 | — 3:8 0.16386 > 9 |10 30 » e VSG ne By CAS) |) BOY | Too > 2, SNF ES 1.5 | 0.16387 9.211135 Ss LISTS » By | VARGO N | 263 | 0.16389 | 0.16390 5o merae E24 oe Ese x aet 2.6 | 6.16391 9.181179 DE TTA » | é& | To9t7'40"| 14.6 | — 4.2 | 0.16393 | 0.16394 EDS I » 473-541 |15.0:| = 5-4 | 29.9 D. HO Boy |) Ke 466°.035 | 16.05) — 7.75| 27.0 Mittel | | 0.163895] 0.163910] 0.163914 Ferner ist im Mittel: für À, logu = 9.211101 » JB, logu = 9.181262 Mit Zugrundelegung der Ablenkungen beim kleinern Abstand allein erhült man, vermittelst des schon angeführten Normalstands nach dem Pawlowsker Theodolit, die Differenz — 0.000093 C. G. S. oder — 0.057 Procent der Horizontalintensität. Die Differenzen mögen nämlich positiv gerechnet werden, falls mein Instrument den höheren Wert angibt. Zu erwähnen sei noch, dass am 8 Juni der Theodolit auf Eisen- gehalt durch Annäherung an einen empfindlichen Galvanometer geprüft wurde, eine Prüfung, die sehr befriedigend ausfiel, da nur ein Maximal- ausschlag von 0.5 Skalateilen erfolgte. Vergleichungsweise sei angeführt, dass ein Messingknöpfchen, an dem kein Eisen zu entdecken war, den- noch dieselbe Galvanometernadel weit über die Skala hinaus ablenkte. II. Wien, Hohe Warte. Gleichzeitig mit meinen absoluten Messungen wurden vom Mecha- niker ZIMMERMANN mit Hilfe elektrischer Glockensignale Variationsable- sungen vorgenommen; die Beobachtungen sind auf den Teilstreich 160 reduciert; die Variationsformel wurde mir in der Form gegeben: H = 2.0642 — 0.0002234 1160 — [n’ + 4.116(¢ — 15)]] Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. 2 10 E. SOLANDER, (Gaussische Einheiten); es ist somit p = + 47.1. Die Variationen mussten zuerst auf die Normaltemperatur 15° reduciert werden, was bei den ange- führten Werten schon geschehn ist; die Grósse des Korrektionsfaktors macht, da die Temperatur nur bis auf + 0°.1 abgelesen wird, das Resultat bis auf +0.4 Skalateile = + 0.9 Einheiten der fünften Dec. C. G. S. un- sicher. Die Temperatur wurde daher für jede Variationsablesung notiert und im Mittelwerte noch 0°.05 berücksichtigt. Die Variationsapparate waren in einem Parterre gelegenen Zimmer aufgestellt; eine in der Nühe befindliche, hinausführende Thür verursachte beim Óffnen eine Ablenkung des Difilars um 0.8 Skalateile; an den Beobachtungsraum grenzte ein Bibliothekszimmer, in dem sich unter anderem ein Paar Leiter befanden, welche unten schräg gestellte Eisenverstärkungen besassen. Unter diesen Umstünden wagte ich es nicht die Korrektion wegen Deklinationsvaria- tionen anzubringen, weil sie eben so leicht eine Verschlechterung als eine Verbesserung hätte sein können. Der Schwingungsmagnet geriet in zitternde Bewegung, wenn man auf dem Fussboden auftrat, desgleichen wenn auf der Strasse ein Wagen, oder in der Ferne ein Eisenbahnzug vorbeifuhr '). Tafel der Beobachtungen zur Hohen Warte (Wien) 1891. | Dat. | Stunde | Mgt | AP re M MEET lh cy H, H, ER log u em sj seed AES | em jag? eue" ante | reas 0.20662 0.20663 |9.210922 > 9/12 51 » £y | 9° s'5o" 21.75| 157.2 0.20663 » »1350 | » 416°.038 | 21.75] 153.8 | 19.8 » 16|1024 | » 416*.035 | 19.25| 147.6 | 22.7 5. Sum Sg || 2h 422°.421 | 20.55] 153.1 | 23.6 » 2»|I2 34 » €, | 24914'20" 20.3 | 152.2 0.20670 0.20670 | 9.181143 >» Sie sa |» & |. 8° 9! 3" 20.9 | 153.9 0.20670 >) 137390 alle, IO 2.580 nc 32 0.20662 » 9/1358 | » & |27° 6'so" 21.9 | 156.5 0.20665 0.20661 | 9.210818 >» 171 954 | » € |27910' 15" 18.7 | 150.7 0.20662 0.20663 | 9.210919 » Hi ho we » | So AG 19.45| I47.9 0.20663 » tot, © | 8% 0015221799 1148.38 0.20671 | ' 2 sink de » €y | 2491435" 19.9 | 150.3 0.20673 0.20671 | 9.181149 » alr 8 PA 415°.950 |20.1 | 153.5 | 21.8 " > Sg nd |) Zen 422°.378 | 20.3 | 152.6 | 24.5 » I8| IO TI » 422°.287 |21.25| 158.5 | 25.4 > 9 bres em] 415°.807 |21.6 | 161.2 | 23.2 > olin go ll 5 Z5 ll G9 «eleva Gas 0.20666 1) Die letztgenannte Ungelegenheit findet sich, wenngleich in geringerem Masse (vielleicht doch mit Ausnahme von Utrecht) übrigens auch bei den meisten anderen Stationen. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 11 —— Dat. | Stunde | Mgt alee jus Zo er disset Nes | H, H, Hu eye Juni 18) vet on) À, | & | 270 s'1o" 21.6 | 166.1 0.20665 0.20666 | 9 210885 » »|r245 | B, | e, | 8° 8'zz"| 21.5 | 160.0 0.20677 N EA EIG » e | 24°ı1'10”| 22.0 | 163.8 0.20675 0.20678 | 9.181093 » 191434 | > e, | 24911'25" 22.5 | 164 3 0.20668 0.20663 | 9.181101 SE US IA SOK > & | 8° 8'39"| 21.8 | 162.6 0.20664 3 rs 39 » 422°.305 |21.0 | 159.2 | 27.4 | » 20| 9 36 > 422°.162 | 15.55] 151.3 | 28.6 >» »|1022 | » A22 3:19 01 Ext |) ser | D Ero IA 415°.707 |19.25| 161.9 | 24.8 > 6 5 GT | e | 9° 3'49"| 19.7 | 166.0 0.20659 N SOC messe 272 stan erna | 165-8 0.20663 0.20657 |9 210852 > »|rz5o | B |A |24912'25" 20.1 | 165.8 0.20668 0.20679 | 9.181191 MOI LE MONS 2, | 8° 8 2" 21.251 166.7 0.20676 | 0.206671| 0.206671| 0.206671 Ferner ist im Mittel: für A,: log u = 9.210879 » By: log w = 9.181135 Nach dem schon angeführten Normalwert, der kurz vorher mit dem Wiener Theodolit »Lamont I» bestimmt worden war, ist somit die Dif- ferenz + 0.00025 C.G.S. oder + 0.12 Procent. Herr D:r Liznar hat mir ferner das Resultat einiger früheren Komparationen anderer Theodolite mit denen in Wien gütigst mitge- teilt; ich lasse sie hier folgen, nebst Reduktion auf meinen Apparat: Frühjahr 1889: Theodolit (von Schneider) des K. K. Hydrogra- phischen Amtes zu Pola") — Wien (Lamont I) = + 0.00047 C.GS. — 4- 0.23 Procent: Differenz Eugenie-Apparat — Schneider (Pola) — — 0.11 Procent. Juli— Aug. 1882 stellte C. Crisront in Wien vergleichende Beo- bachtungeu mit einem in demselben Jahre aus England bezogenen In- strument »Elliot» an, dessen Konstanten in Kew bestimmt waren ?), und dabei ergab sich: Theodolit Elliot — Wien (Theodolit »Schneider» *) = 0.00052 C.G.S. = 0.25 Procent: Differenz Eugenie-Apparat — Kew = — 0.13 Procent. 1) Dasselbe Instrument, welches bei der Polarexpedition 1882—1883 zu Jan Mayen verwendet wurde. 2) Vergl. Meteorologische Zeitschrift XVII (1882), Seite 23. 3) Dieser Theodolit »Schneider» gab genau dieselben Werte wie der Theodolit »Lamont L. 12 E. SOLANDER, Sept. 1882 wurde »Lamont I» nach S:t Petersburg gesandt, und daselbst gefunden: Petersburg— Wien (Lamont I) = 0.00044 C.G.S. = 0.27 Procent. Danach hätte der Unterschied zwischen meinem Instrument und dem zu S:t Petersburg zu dieser Zeit — 0.15 Procent betragen müssen. Freilieh ist seit 1888 in Pawlowsk ein anderer Thedolit als früher als Normalinstrument benutzt worden; es war aber der Unterschied nur: Neuer Theodolit (Freiberg) — Alter Theodolit (Brauer N:o 59) = — 0.000037 C.G.S. 5, d. h. — 0.023 ?/o, wonach die Differenz zwischen meinem Apparat und Theodolit Brauer N:o 59 — 0.08 °/o sein würde. Eigentümlich ist, dass die Vergleichung mit dem englischen Theodolit eine weit bessere Übereinstimmung mit dem anderweitig bekannten Un- terschied zwischen meinem Instrument und dem zu Kew giebt (vergl. unter VIII: Wilhelmshaven). Dies kann freilich Zufall sein, zumal da der wahrscheinliche Fehler einer Bestimmung mit Cursronis Instrument ziemlich gross zu sein scheint. IIl. Potsdam. Es war ursprünglich meine Absicht auch in Prag Vergleichungen auszuführen; da mir aber in Wien gesagt wurde, dass dies neuerdings geschehn sei, schien mir eine Wiederholung überflüssig und ich begab mich geradeswegs nach Potsdam”). Meine Messungen zu Potsdam geschahen in einem neuerbauten . Holzgebáude, dessen grosser Feuchtigkeitsgehalt offenbar die Ursache der geringen Grösse von 7 ist. Die entsprechenden Variationen wurden den Magnetographenkurven entnommen; es wurde € —0.00005157 bei H = 0.1868 angegeben; somit ist p = 120. Die Temperaturkorrektion des freilich kompensierten Variometers ist zur Zeit nicht mit hinreichender Genau- igkeit bekannt, weshalb ich nur die Temperaturangaben, 9, für jeden Tag um 12 Uhr verzeichnet habe; die täglichen Schwankungen sollen verschwindend klein sein — die Variationsapparate sind im Keller des Hauptgebäudes aufgestellt. Die Beobachtungen sind auf den Teilstrich 10 reduciert. Für den angewandten Chronometer war 47 = — 33. 1) Annalen des Physikalischen Centralobservatoriums zu S:t Petersburg, Jahr- gang 1888, Teil. I. 2) Es ist zu bedauern, dass diese Angabe auf einem Missverstándniss beruhte. D: Liznar hat freilich in Prag beobachtet, aber, wie er mir später schriftlich mitge- teilt hat, in zu grosser Entfernung von dem dortigen Observatorium als dass seine Messung zu einer Vergleichung der beiden Instrumente hátte benutzt werden kónnen. D: LzzNAR hatte kurz vor meiner Ankunft zu Wien leider eine grössere magnetische Forschungsreise angetreten. i VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 13 Bestimmungen zu Potsdam: 1891. Dat. |Stunde Mgt m me 5 t aaa I 7 H, H, Ha | log w Juni 25/13" zn) A, & | 9922'26"229.85| 10.6 |16.5 18624 PS ERES UP PX 270213011253 10.4 18623 18625 |9.181157 » »|14 22] » 445°.106 |24.85| 12.1 14.1 > 26| 9 38 | » 444.920 |20 45| 10.8 |17 0 |16.6 >» »|io035|» | e, |27° 3:39" 21.95 | 10.8 18626 18632 |9.181127 > »|ro56|» | & 99 2'r2"|22.4 10.6 .18630 > »lı2 7|R,| e, |30°22'35"| 22.8 8.6 18620 18619 |9.210819 > »1228|» |e, rod 4'r1"|23.15 6.4 ‚18620 > 9113 25] > 438°.216 |25.0 | 14.0 12.8 2719.32) > 438°.372 |21.35| 6.9 |17.05|15.6 >» »|10 25] > |e, |30°25'54” 21.2 4.8 -18621 18618 | 9.210890 >» »[1049|» | e, |100 5' 4"21.45| 3.9 .18619 Dee >) 725361122 er [SUN SOK EXE HET .18627 18630 | 9.181191 >. Sl a9 || Oel | oe .18629 > 113 45] » 445°.011 | 24.0 NESS >, 20 ne Vale 438°.263 |20.35| 7-5 |17.05 17.5 > 512 6|» | ey |30?24'r9"| 20.5 8.8 .18619 .18618 | 9 210897 > »|12 29] » | e, 10? 4'11" 20.9 9-7 .18618 » 29| 922| » | & |10° 4'49"|18.5 8.1 |r7.3 .18620 >» »|947|» | 4, |30°23'36”| 19.4 8.0 .18629 .18618 | 9.210730 > »|1041!|» 438° 233 |21.75 9.3 16.5 > »|1226| B, 444°.873 |21.9 | 11.4 18.4 : SESS! yes) | 0222174.1|22.25 | 112.0 .18629 e cedes er aye ou] ANS e ARS .18631 0.18628 | 9.181119 | .18624 | 0.18624 | 0.18624 Ferner ist im Mittel: für A4: log u = 9.210834 » B,: log u = 9.181148 Nach später erfolgten Konstantenbestimmungen hat mir Hr Escuen- HAGEN als Normalstand des Magnetographs für diese Zeit den Wert mit- geteilt: H,, = 0.18632; die Differenz ist somit — 0.00008 C.G.S. = — 0.04 Procent. IV. Göttingen. Als ich Anfang September nach Göttingen kam, war der dortige Assistent Herr D:r FELGENTRAEGER soeben mit neuen Konstantenbestim- mungen beschäftigt, auf die sich somit die jetzt zu besprechenden Ver- gleichungen beziehen. in Anwendung gebracht: OH H = 0.00007095 [n° + 5.965 (t, — 14.5) + 0.190 (t, — 15.0)] , Für das Bifilar wurde folgende Reduktionsformel 14 E. SOLANDER, wo f£, die Temperaturablesung »unten», das heisst in unmittelbarer Nähe des Bifilarmagnets, t£, die an einem höher angebrachten Thermometer be- zeichnet. Es ist somit p — 30.8; die mitgeteilten Variationsablesungen sind wie gewöhnlich auf die beiden Normaltemperaturen reduciert. Der tägliche Gang des Chronometers war klein genug, um vernachlässigt wer- den zu kónnen. Vor und nach meinen Messungen machte Herr FELGEN- TRAEGER folgende absolute Bestimmungen, welche, sowie die meinigen, auf den Teilstrich 600 des Bifilars reduciert sind: Dat. Hi, (beob.) A (ber.) 1891 Aug. 3o a.m. 0.187916 0.187920 Sept. 3 p.m. 0.187696 o 187683 Sept. 5 p.m. 0.187595 0.187605 Die in der letzten Kolumne angeführten Zahlen sind nach der Formel H, = 0.187736 — 0.0000525 (t — Sept. 2, p.m.) berechnet worden; demnach wäre eine der Zeit t proportionale Ände- Dieser Änderung ist in der nachfolgen- rung des Bifilarstandes erfolgt. den Tafel meiner Messungen schon Rechnung getragen. Tafel der Bestimmungen zu Göttingen 1891. Dat. | Stunde | Mgt | A, sd 2n : | Billar | 7 H, Æ, £i log p Sept. 3 10h27") B, 443°.364 | 170.8 | 576 0 | 13'.1 >» »|Xr44 | » & | 2695327" 18:7 | 580.6 18785 9.181173 » ewe || © Es | 8958'42"| 19.7 | 587-5 | À i 0.18789 | 0.18790 ^ 4 957 | R | & [3o 1236" 19.5 | 563 3 18777 9 210701 » »'I029 | » € | 10° 0'40"| 20.05 | 570.9 0.18772 | 0.18771 SE rimi » 436°.941 | 20.2 | 573.9 | 10.1 S Sire m | 2 443°.609 | 20.55] 599.2 | 11.5 » 9| nasa. €, |26951'23" 20 0 | 610.9 18759 9.181008 » »|z440 | » €, | 8958'49" 20.1 | 610.4 0.18757 |0.18757 > Elena | Ae ey | sed clas ne. | Geo 0.18758 | 0.18758 >» size G | I | & |20 clas uS | Gr 6 13756 9.210837 > ji ae » 436°.313 | 18.75 623.3 | 11.3 .18769 | 0.18769 | o.18769 - Es ist im Mittel: für Rz: log u = 9.210769 » B,: log u = 9.181090 Aus den obigen Zahlen scheint leider hervorzugehen, dass durch die von FELGENTRAEGER hergeleitete Formel die Änderungen des Bifi- larstandes nicht hinreichend genau dargestellt werden; die Uberein- > VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 15 stimmung der in den verschiedenen Abständen an demselben Tag an- gestellten Beobachtungen unter sich zeigt, dass der Unterschied der Be- stimmungen zu verschiedenen Zeiten nicht einer Ungenauigkeit der Mes- sungen zugeschrieben werden kann, wie es ja auch, wenigstens was die Beobachtungen im kürzern Abstand betrifft, selbstverständlich ist. Das Mittel der Bestimmungen würde eine Differenz von — 0.00005 C.G.S. oder — 0.03 Procent ergeben, welche doch bei dieser Lage der Dinge inner- halb der Fehlergrenze liegt. Jedenfalls ist die etwa vorhandene Diffe- renz eine sehr kleine. V. Strassburg. Mit freundlicher Erlaubniss und gutem Rat des Herrn Prof. Kour- RAUSCH beobachtete ich hier im physikalischen Institut mit dem von ihm erfundenen Bifilarmagnetometer, wobei mit dem in einem Nebenzimmer aufgestellten Eugenieapparate abwechselnd Bestimmungen gemacht wurden. Als Variometer funktionierte ein zwischen beiden Apparaten montierter Lokalvariometer von KontrauscH, dessen Richtungswinkel so reguliert wurde, dass die Einstellung, wenn das Deflektorensystem nach beiden Seiten gedreht wurde, fast dieselbe blieb und der Mitte der Skala nahe war. Richtungswinkel dabei = 27°.45; Abstand Spiegel-Skala = 506 Skalateile; Temperaturkoefficient — 0.000940 — der letztere ein Mittel aus der früheren Bestimmung von KonHrRaAuscH und der neueren von Herrn D:r H. Brogan, einem Amerikaner, der sich zu dieser Zeit mit derarti- gen Messungen beschäftigte, und für dessen nützliche Unterstützung ich meinen aufrichtigen Dank hiermit aussprechen will. Da wachsende Skala- teile abnehmender Intensität entsprachen, so ergab sich hieraus as = — 0.000513 [n, + 1.83(t — 20°)] wobei n, die Ablesungsdifferenzen des Variometers vom angenommenen Nullpukt, 103, bezeichnet, und die Ablesungen auf 20° C. reduciert sind. Somit die Grösse p = — 223.0. Da ich in den Mitteln noch hundertstel Skalateile berücksichtigte, so mussten noch einige Korrektionen wegen der Nähe der anderen beweglicher Magnete angebracht werden. Diesel- ben ergeben sich, da die Hóhen über dem Erdboden einander beinahe gleich waren, wie ich früher gezeigt habe '), einfach dadurch, dass man 1) E. SOLANDER: Konstantenbestimmung mit einem Lamontschen Theo- dolit. - S. 21. 16 E. SOLANDER, den betreffenden Magnet an seinem Platz, oder in der Mitte des Theo- dolits, wenn es ein Ablenkungsmagnet ist, anlegt, und zwar zuerst mit dem Nordpol nach Süden, dann mit dem Nordpol nach Norden; die Korrektion ist dann der halben Differenz der entsprechenden Ablesungen am Variometer gleich, falls für einen im Meridian befindlichen Magnet korrigiert werden soll; bei Ablenkungen muss man noch mit dem Cosinus des Winkels multiplicieren, den der betreffende Magnet mit dem Meridian bildet. Bezeichnet man die genannte halbe Differenz mit B mit entspre- chenden Indices, nämlich 5 für den Bifilarmagnet, » für die Nadel des Eugenieapparats, r3 und 54 für die Magnete À, und B,, so wurde gefunden: B, = + 0.40, B, = — 0.04, B, = — 0.15, By, = — 0.10; bei Ablenkungen sind somit nach den später mitzuteilenden Ablenkungswin- keln die bezüglichen Korrektionen: B, cos ® —«) = + 0.02; B, cosy, = — 0.04; B,, cos E +9,) = +007; B, cos E +9)= +0.04 . Diese Korrektionen, sowie die Temperaturkorrektion, sind an den beige- gebenen Variationsablesungen schon angebracht. Der Bifilarmagnet mit Aufhängevorrichtung war derselbe, den Herr Prof. KonrRAuscH zuvor benutzt") und dessen Polabstand d er auf 13.84 em bestimmt hatte. Ferner sind die Abstände der Aufhänge- drähte nach seinen Messungen im Mittel, oben und unten, auf 20° C. reduciert, e, = 11.5326, e, = 11.5414; die Länge der jetzt verwendeten 0.008 em dicken Messingdrähte betrug im Mittel 300.155; für die Schwere- beschleunigung in Strassburg mit 40°.58 Polhóhe und 150 Meter Meeres- höhe erhält man nach Brocus *) Formel log g = 2.991614; die Wagung des Bifilarkörpers, wobei die Beruhigungsräder in Wasser! getaucht und die halbe Masse der Drähte eingerechnet wurde, ergab die Masse m = 197.558 gr., so dass man mit Berücksichtigung der kleinen Korrektionen wegen Steifigkeit und des eigenen Torsionsmoments der Drähte, — 0.086 cm 1) F. und W. KonrnavscH: Das elektrochemische Äquivalent des Silbers; zugleich eine experimentelle Prüfung erdmagnetischer Intensitätsmessungen. Wied. Annalen B. 27 (1886). 2) O. J. BrocH: Accélération de la pesanteur &c. Traveaux et Mémoires du Bureau international des poids et mesures, T. I. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENZITÄT etc. 17 bezw.-- 1 gr. cm.’sek.~’, für das Bifilarmoment D bekommt: log D = 4.332230. Der Bifilarmagnet befand sich hier im Verhältniss zur Magnetometernadel in der ersten Hauptlage; dabei gilt mit defi Bezeichnungen von Konr- RAUSCH die helation: 2D Ge sane x sin © 1 eu Er | ori nae ac CSM PA rs a? ( 2 q* eur 3 0) tg p ( TIT) Für den Polabstand der aus einem Kreisring bestehenden Magne- tometernadel habe ich ?/s des Durchmessers, 2.18 cm, angenommen; das Verhältniss, x, des Nadelmoments zur Horizontalintensität war vom Herrn Brogan auf 165,3 cm? durch Ablenkungsversuche bestimmt worden; der Torsionskoefficient 6 betrug 0.000087; der Abstand a vom Bifilar bis zum Magnetometer war 100.025 cm; er wurde so gewählt, dass die Ablen- kungen des Bifilarmagnets und der Magnetometernadel einander beinahe gleich waren, so dass ein Fehler bei der Ausmessung des absoluten Skalaabstandes einen móglichst geringen Einfluss auf das Resultat ansübte. Hieraus ergab sich: 2 D 1 d? 3 A? 32 log a? (1 ar 2 a” 4 a? a? 0) = 3.636999 Ü 2 Der direkt gemessene Abstand vom Magnetometercocon zur Skala war 2102.35 mm. Hierzu kamen einige Korrektionen, nämlich 1) für den Magnetometer: Vorderfläche des Spiegels vor dem Cocon: Korr. — 0.6; Dicke des Spiegelglases 0.85; Korr. + 0.53; Dicke des Deck- glases 3.78; Korr. — 1.26; Abstand = 2101.02; 2) für das Bifilar: Spiegelfläche vor der Vereinigungslinie der bei- derseitigen Lagen des Magnetometercocons: Korr. — 5.65; Korr. wegen Krümmung der Skala; + 0.68; Optische Dicke des Spiegelglases + 1.37"); Dicke des Deckglases 6.27; Korr. — 2.09; Korr. wegen Krümmung des Spiegels — Skalaabstand mal Abstand des Spiegels von der Rotationsaxe, 4.4, dividiert durch Krümmungsradius des Spiegels, 40200; positiv, wenn konkav, = + 0.23; Abstand = 2096.89. Bei den Beobachtungen kamen drei auf ein Holzbrett geklebte Papierskalen zur Verwendung; jede von ihnen wies eine regelmässige Teilung auf; die Angaben derselben wurden 1) F. und W. KonHrRAvscH: Das elektrochemische Äquivalent des Sil- bers, ete. 8. 8. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 18 E. SOLANDER, durch Vergleichung mit einer verificierten Glasskala auf Millimeter redu- ciert. Da ich das feste Flügelrad nicht ins Wasser eingesetzt hatte und während der Beobachtungsreihe auch nicht die geringfügigste Verände- rung vornehmen wollte, so zeigte sich der Übelstand, dass der Bifilar- magnet erst nach etwa anderthalb Minuten nach der Umkehrung zur Ruhe kam und somit bisweilen Deklinationsánderungen den Magnetome- terstand beeinflussten; diesem Misstand wurde wenigstens teilweise da- dureh abgeholfen, dass der Magnetometer zweimal abgelesen wurde, einmal unmittelbar nach Umkehrung des Bifilarmagnets, und dann gleich- zeitig mit der Bifilarablesung. In jedweder Lage des Magnetometers wurde der Bifilarmagnet etwa 8 mal umgelegt. Temperaturänderungen sind nicht berücksichtigt, da sie nur die letzte Decimalstelle des Loga- rithmus beeinflussen. — Die Berechnung der Beobachtungen habe ich so ausgeführt, dass ich zuerst eine derselben nach der vollstándigen Formel ausrechnete, dann aber, da die Unterschiede nur wenige Zehntel eines Skalateils betrugen, für die übrigen eine Differentialformel benutzte. Es ist nämlich: Og da t t SEI da 209 m Be cos’ q un d cos’ a H tga sin 29 24 tgatg Wegen der Kleinheit der Winkel « und q ist aber das letzte Glied nur ein Korrektionsglied, in dessen Nenner das Produkt tga.tg@ ver- nachlässigt werden kann, und somit ist: QUE 0 Il 1 tg@ ) 5 1 1 tga |, alter) an Mit Berücksichtigung der Reduktion auf den Teilstrich 103 des Variometers und mit Einführung der Bezeichnungen n, und m, für die halben Differenzen der korrigierten Ablesungen am Bifilar und am Magne- tometer erhält man alsdann: log H,,, = 9.305763 + 1400 (n, — 155.75) — 1315(n, — 165.52) 1022507. - 103) wo die Korrektionen in Einheiten der sechsten Decimalstelle ange- setzt sind. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 19 Dat. Stunde ny n LA Hs Sept. 16 10h26" 155.46 165.55 103.34 0.20202 » 3 TONS 68 51 1.17 0.20193 » 17 12 36 69 47 1.52 0.20203 > 18 11 52 vis 52 I4I 0.20203 >» I9 II 50 18 52 1.37 0.20204 » 20 10 10 59 60 2.75 0.20202 > » | 15 18 73 36 0.06 0.20197 | | Mittel | 0.20201 Tafel der Messungen mit dem Bifilarmagnetometer von Kohlrausch. Bei den zugehörigen Bestimmungen mit dem Eugenieapparat wurde ein Chronometer angewandt, den mir Herr Prof. BECKER aus der Stern- warte gütigst zur Verfügung gestellt hatte; es war 4y = — 101. Tafel der Bestimmungen mit dem Eugenieapparat. Dat. Stunde Magnet ea 2 Ry 7 hs log u Sept. 17 13044" Rs 27932'10" | 189.2 101.97 0.20371| 9.210719 » » I5 46 418°.652 | 18.1 101.67 a >» 18 10 16 418°.861 17.85 | 103.66 27 » » IO 53 > 27933'34" | 17.9 103.33 0.20370| 9.210699 » » 12 50 B, 2493345" | 17.95 | 100.40 o 20374 9.180972 » » 13 42 4255.060 | 18.2 100.48 | 24.9 > 6) 947 4255.263. | 17.3 102.96 | 24.8 » » 10 36 2473542" | 18.0 102.70 0.20374| 9.181013 » » I2 54 ING 27931'19" | 18.0 100.15 0.20367| 9.210795 » » na me 418*.458 | 18.0 99.81 1.5 » 29 11 28 755 4255. 155. | 17.95 | 101.33 1.6 » » 12 20 24934'20" | 18.1 101.26 0.20375| 9.180984 Im Mittel also H,,, = 0.20372; ferner für R, log u = 9.210738 und für B, log u = 9.180990. führte ich dies in zweifacher Weise aus. Jetzt musste schliesslich die Differenz der H- Werte an den beiden Beobachtungspunkten ermittelt werden, und zwar Erstens wurden Ablenkungs- reihen von je 13 Einstellungen mit dem Eugenieapparat am Platz des ‚Bifilars genommen und der dortige Wert der Horizontalintensität nach der bekannten Formel: log H = C, + log u — log sin y, 20 E. SOLANDER, berechnet. Diese Messungen ergaben: Sept. 20, 10°17", R,; q, = 27°52’45”, t = 17°07, n, = 102.61; H,,, = 0.20154 De) 25 SD END 24050 ES Sen TUI ME 102.17; H,,, — 0.20156 Zweitens wurden zwei Beobachtungsreihen mit einem Lokalvario- meter gemacht, und zwar, um den Einfluss der Temperaturunterschiede der beiden Punkte möglichst zu eliminieren, zunächst nachdem der Lokal- variometer eine Weile am Platz N:o 1 des Eugenieapparats, sodann nach- dem derselbe am Platz N:o 2 des Bifilars aufgestellt worden war. Die Beobachtungen wurden übrigens natürlich zu je drei kombiniert. Abstand Spiegel-Skala = 515 Skalateile; Richtungsvinkel g = 27%. Bezeichnet man mit K die Intensität des vom Deflektorensystem am Platz der Nadel hervorgerufenen Feldes, und mit 0, und 0, die Winkel der Nadel mit der zum Meridian senkrechten Richtung (positiv, wenn nach dem Meridian gerichtet) so ist: K cos (p — d,) = H, cos 0, K cos (p — d,) = H, cos 0,7 und somit H, _ cosd, cos (g— 0.) Hy 6080; cos (pet) In der Tafel sind 0, und d, in Skalateilen angegeben. Tafel der Differenzbestimmungen mit dem Lokalvariometer. Sept. 22, p. m. : H, à, à, H, 23.04 2.67 0.98989 23.51 2.68 78 23.86 3.19 71 24.39 75 — . 75 0.98978 3.08 0.98983 23.86 3.14 83 23.92 3-56 |. 9? 0,98986 à H. H, 5 Mittel: — = 0.98982 und =? . H, = H, = 0.20165. Nimmt man da- H, Hj nach im Mittel als Bestimmung mit dem Eugenieapparat H, = 0.20160 VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 21 an, so bekommt man als Differenz der beiden Bestimmungsmethoden — 0.00041 C. G. S. oder — 0.20 Procent der Horizontalintensität. Freilich muss dabei hervorgehoben werden, dass die Verhältnisse bei der Ver- gleichung keine günstige waren, indem teils die lokalen Verschieden- heiten in magnetischer Hinsicht abnorm gross waren, teils auch, weil das physikalische Institut kein speciell für magnetische Messungen geeignetes Zimmer besass, die Aufstellung des Bifilarmagnetometers nicht die gehörige Stabilität erlangen konnte. VI. Pare St. Maur (bei Paris). Das Observatorium zu Pare St. Maur besitzt für die absoluten Messungen keine besondere Hütte, sondern diese Beobachtungen werden auf einem Steinpfeiler im Freien ausgeführt. So beobachtete auch ich am ersten Tag, 5 Okt., und ebenso die Ablenkungen mit B, am 6 Okt.; da aber dann die Windstärke anwuchs, wurden die Schwingungen mit beiden Magneten im Vorhof des Variometergebäudes angestellt. Sodann | machte ich die erste Ablenkungsreihe mit A, (Abstand e,) im Freien; als aber der Wind noch heftiger wurde, musste ich für die zweite Reihe abermals den Schutz des Vorhofes suchen. Am 7 Okt. wurden alle Messungen, wegen regnerischen Wetters im Vorhofe ausgeführt. Die Variometer waren im Keller in ziemlich beträchtlichem Abstand aufge- stellt; auch zeigten die Curven keine Spur eines Einflusses meiner Mag- nete. Herr MounEaux hatte die Güte, mir die bezüglichen Curven abzu- lesen und sie ausserdem nach seinen in dieselbe Zeit fallenden absoluten Bestimmungen auf den absoluten Wert zu reducieren. Der Homogeneität halber habe ich aber nachher doch meine bezüglichen Logarithmen in der gewöhnlichen Weise reduciert, und zwar auf H = 0.19550; misst man 0H in Einheiten der fünften Decimalstelle, so ist dabei p = 22.2. Die doppelten Ablenkungsreihen am 7 Okt. (Abst. e) wur- den zu einem Mittel vereinigt. Für den benutzten Chronometer war Lo 62 « 22 E. SOLANDER, Tafel der Bestimmungen zu Parc St. Maur. 189r. Dat. | Stunde | Mgt | A, gs ZR QT H, Ea Ei log u Okt. 5 |12"r8™| R, | ei | 29° o'3o"| 17°.4 0.19534 © 19453 9.210758 » »|1242 | » & | 9°38'21"| 17.85 46 0.19453 | 0.19453 >» » |13 34 » 428.584 | 19.0 49|23'-.4 >» » 1420 | 5, 435°.147 | 20.05 60| 23.5 » »|15 5 | » | 126040231202 62 0.19455 9.181187 3» 9 ing a0 | 2 | a | PISA ON 63 0.19456 | 0.19457 » 6 |1147 » €» | 8930'19" 22.0 42 0.19459 | 0.19458 » > |1235 |» €, | 25°48' o" 23.15 50 0.19460 9.181008 5 9 ug an > 435°.325 | 21.0 48| 26.6 >» »|1435 | A, 4285.543 | 19.6 61|24.7 >» » 115 36 | » | e| 9936/47" 24.2 61 0.19451 | 0.19452 » » |16 39 » @, |28*55'20" 21.25 2 0.19447 9.210762 » 7\|12 o | 5 e |28959' 6"| 18.05 35 0.19457 9.210655 » » |1223 | » | & | 9938'12" 18.3 40 0.19457 | 0.19457 BP ges > 428.594 | 18.45 46| 22.7 » » 11359 | 54 435.020 | 18.2 62| 24.4 A sen > | 4, 1252494 8208.55 62 0.19463 9.181029 » » 1514 | » | & | 8?39'15"| 19.0 63 0.19458 | 0.19457 > Sire ee is | A esti es 56 > » 1619 | AF, | e | 28°57'23"| 18.15 53 0.19456 | 0.19456 | 0.19456 Es ist somit im Mittel: für À, log w = 9.210725 » B, log w = 9.181075; ferner erhält man als Differenz der Intensitätsbestimmungen den Betrag — 0.00094 C.G.S. oder — 0.48 Procent. Dabei muss jedoch beachtet werden, dass an den Beobachtungen zu Pare St. Maur die Induktions- korrektion nicht angebracht wird; Herr MourEAUx veranschlagt die Grösse dieser Korrektion auf — 0.00021 C. G. S.; die Berücksichtigung derselben würde somit die obige Differenz verkleinern. Bei seinen im Frühjahr 1889 hier ausgeführten Beobachtungen erhielt van RIJCKEVORSEL einen Unterschied Rısck£EvoRsEL — Parc St. Maur — — 0.00071 oder — 0.36 °/o; demnach wäre der Unterschied zwischen unseren Instrumenten — 0.12 ?/o. VII. Utrecht. Von Paris aus begab ich mich zunächst nach Brüssel, um mit Genehmigung des Herrn Direktor Foie daselbst zu beobachten. Da aber das dortige magnetische Observatorium sich noch nicht in Ordnung befand, setzte ich die Reise nach Utrecht fort. In dem dortigen Gebäude für absolute Messungen ist ein Satz Lamontscher Variationsapparate VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 23 aufgestellt, auf die sich Herr Direktor M. SwELLEN's Bestimmungen be- ziehen, und die folglich auch jetzt benutzt wurden. — Dieselben dienen dann nachher zur Kontrole der anderweitig aufgestellten Registrierappa- rate. — Für den Horizontalvariometer galt in C. G. S. Einheiten die Variationsformel: 9 H = 0.00002091 (n° — n + 0.997) *) und somit ist p = 49.4. Die angeführten Variationsablesungen sind auf 0° Temperatur reduciert. Bei den Schwingungsbeobachtungen diente ein Chronometer, als dessen täglicher Gang sich im Verhältniss zu der im Gebäude der absoluten Bestimmungen befindlichen Pendeluhr im Mittel — 64 ergab; da mir der tägliche Gang der Pendeluhr zu — 1° angegeben wurde, so war folglich für den Chronometer 4y = — 154. Die Beobachtungen sind auf n'— n = 80 reduciert. Tafel der Bestimmungen zu Utrecht: 189r. Dat. | Stunde | Mgt ns en T £ \a—aı 7 A, A, f£ e log u I Okt. 20| 111407) B, | e, | 9?15'54" |129.25|70.3 0.18246 | 0.18247 5 Se nes €, |27946' 14" |12 35 |76.4 0.18241 9.181136 $ EX 15202102 448°.914 13.05 |89.5 |28'.6 » Eua Ih Wee 442*.231 [13.2 |81.9 19.8 See dert X. dL 442°.169 13.2 [83.1 |19.8 SEMEN TA TON é, |31° 4/48” 15.2 |94.3 0.18243 9.210811 » NRA £9 |10016 43" [15.25 |97.6 0.18237 | 0.18235 3 231113.180 || By 449°.009 |14.6 [95.4 |16.0 DNA |» &€ |27°41'46" |16.15 |84.8 0.18245 9.180982 So qne eL s 2 Motard 6.4 102.4 0.18239 |0.18237 » 24/12 30 | Re | €i |31? 739" r4.5 |84.5 0.18242 9.210791 Si ae AG) NES £9 |10°1 8/13” 13.15 |82.2 0.18236 | 0.18234 5o ngon ee 4423.258 |13.0 |84.4 |10.0 >» 25| 9 38 » 4425.35 1 10.7 175.2 |14.0 » PRI res > € |319 to'21" |11.95 |78.0 0.18242 9.210740 > Or loue £9 l10018 35" 2.15 |77.5 0.18237 | 0.18235 So Sian gy |e | ce) Chagas avis lees 0.18238 | 0.18238 >» »|1229 | » €, |27945'16"|v2.8 |80.9 0.18236 9.181038 Da E1332. | > 449°.689 |13.05 |70.8 |10.8 » 26| 948 | » 449*.598 |11.2 |72.9 |13.0 » »|10 46 | » ey 27944'56" |12.35 |76.1 0.18240 9.180787 > NET Sa éy | 9915/39" 12.65 73 8 0.18238 | 0.18237 >» »|1250 | À, | & |to?ıg'20”|12.9 69.4 0.18229 | 0.18226 DIN ERI SR EL € |31912'10" |13.15 67.2 0.18239 9.210665 5. SS s 442*.611|13.8 |76.9 | 8.7 : à 0.18241 | 0.18238 |0.18236 Es ist im Mittel: für Rz: log u > By: log w 9.210782 9.181036 1) Das Deflektorensystem ist überkompensiert. 24 E. SoLANDER, Kurz nach meiner Abreise nahm Direktor SNELLEN eine Reihe Bestimmungen vor, deren Resultat er mir, wie folgt, mitgeteilt hat: »Die Beobachtungen haben stattgefunden den 31 Okt. und 2 Nov. Sie ergaben, reduciert auf die Variometerablesungen: für Deklination: 28.3 für Horizontalintens.: 109.1 bei einer Temperatur = 5°26 C. die Werte 1.8347 44 49 52 51 58 Also im Mittel 1.8349 Gaussische Einheiten». Reduciert auf n'— n = 80 bei 0° Temp. ergibt sich somit H = 0.18337 C. G. S. und die Differenz wird — 0.00096 C. G. S. oder — 0.52 Procent. Zu verschiedenen Zeiten hat D:r van RIJCKEVORSEL seine Differenzen im Verhältniss zu Utrecht bestimmt, und ich gebe hier eine Zusammen- ‚stellung der mir gütigst mitgeteilten Zahlen: Juni—Juli 1889 -— 0.00048 C.G. S. April 1890 — 58 Sept. 1890 — 66 Juni so 1891 — 0.00059 » » » == 85 » » » mE 72 DAD » = 1. S57 -——10:00008 Juli um > — 0.00081 > > » — 98 » » — 88 » » » = 75 2 2 ? Em 72 — 0.00083 Sept NU — 0.00069 » » » == 63 » > » = 63 » » » = Wie. » > » = 55 » » » = 72 32 DA » = 32 yd » — 87 u » — 79 PA. » zm (Apo 0.00072 VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 25 Stellt man alle Bestimmungen des Jahres 1891 zu einem Mittel zusammen, so bekommt man die Differenz — 0.00074, wonach meine Dif- ferenz gegen RIJCKEVORSEL — 0.00022 oder — 0.12 Procent, ebenso wie sie zu Pare St. Maur gefunden wurde. Es scheint sich somit das Utrechter Instrument seit 1889 etwas veründert zu haben. VIII. Wilhelmshaven. Der tägliche Gang des bei den Schwingungen verwendeten Chro- nometers war 4y = + 47. Für den Bifilarmagnetograph gilt die Varia- tionsformel *) H — H, = 0.000049 n° + 0.00030 (9: — 20) = 0.000049 (n + 6.12 (9 — 20)) , wo & die Temperatur des Bifilars bezeichnet. Hieraus berechnet sich p=118.6 Da die Reduktionen zu Wilhelmshaven in etwas abweichender Weise vollzogen werden, indem für Intensitütsvariationen und für Ände- rungen der Temperatur des Bifilars separatim reduciert wird, habe ich der leichteren Kontrole wegen vorgezogen, diesmal die unkorrigierten Ablesungen des Bifilars nebst seiner Temperatur 9 anzugeben. Diese Tem- peraturangaben sind aus den drei- bis viermal täglich vorgenommenen Ablesungen interpoliert. Die Werte der Horizontalintensität sind auf die Basislinie reduciert. Tafel der Bestimmungen zu Wilhelmshaven 1891. Dat. | Stunde | Mgt | | | V, DNE TR | 9 |n H, H, Ha los | Okt. 28) 1428" B, | e |28925'26"| 89.45 |—28.7 |24.29| | 0.17878 9.181128 >» »|14 57 » €» | 992739" 8.85|—30.6 |24.29 | 0.17885 | 0.17887 >» »|I544 | » 453°.642 | 8.75|—28.5 124.29| 21.3 >29 9,55. | Aa | eq | 3200882] 6.1, | 30:3. 124.0 | | 0.17875 9 210891 » »|1030 » 2, |10934' 3"| 6.9 |—346 [24.0 0.17872 | 0.17871 See © ab a, ^ 446°.839 | 7-5 |-31.9 |240 | 17.5 » »|1219 | 2, | 453°-768 | 7.45 —27.-55/24-06| 19.2 "E EAT er é, |28926'23'| 7.9 |—28.45|24.06| 0.17872 9.181004 319» Say el > £; | 9%28'20"| 7.8 |—29 65|24.08| 0.17872 | 0.17873 > 30| 836 | » & | 9°27'24"| 5.05 |—23.15|23.8 0.17883 | 0.17884 339 9 6- [5:2 ey |28925'13"| 5.15 |—23.85|23.8 | 0.17878 9.180926 Eger 153-522 | 6.0 |-- 24:3. |23:9. | 22. 5| » »|1043 | A, | 446*.481 | 6.2 |-25.35/23 8 | 20.0 1) Beobachtungen aus dem magnetischen Observatorium der Kaiserl. Marine in Wilhelmshaven, von Prof. D:r C. BöRGEn. Zweiter Teil. Berlin, Ernst S. Mittler und Sohn, 1890. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 E. SoLANDER, i; Dat. |Stunde | Mgt DS i T 2 Bifilar I 7 H H, Milos log u ORT ye) a ke | a SIST are) — | x e 9 210758 2 | meque » £, |10032'36”) 6.6 |—23.9 23.75 0.17868 | 0.17866 >» 1318/27215 > £9 | 10°32'11"| 6.9 |—23.15 23.75 0.17871 | 0.17870 3 D112 B9 | 9 a oe 7-2 23.715) 0.17874 9.210762 ^ »/13 33 » 4463.396 | 7.2 |—22.8 238 |19'.8 "cmo » 4465121 | 4.8 |—21.3 |23.78| 23.7 >» »| 037] » d | WO ge an) eu 99 199 0.17874 | 0.17874 > 058 | > a ee len 0.17872 9.210832 » » 103t 12, | & | 9928' I 5.85 —25.55|23-78 0.17875 |o 17875 » 9 tess) >» | 4) 2822632") 6.0 | 26r.265123.78 0.17875 9.180967 5 |t Bi 3 la 453°.709 | 6.3 |—26.95|23.75| 21.2 | 0.17875 |0.17875 | 0.17875 Es ist im Mittel: für Rz: log w = 9.210811 >» By: log u = 9.181006. Nach den Bestimmungen, die Herr D:r Stück vor und nach meiner Abreise ausgeführt, war der Wert für die Basislinie 0.17932; daraus die Differenz — 0.00057 oder — 0.32 Procent. Hier hatte v. RıscKEVORSEL einen Unterschied von — 0.00042 gefunden, nach dem mein Unterschied von v. RIJCKEVORSEL nur — 0.00015 oder — 0.08 °/o wäre. Setzt man den genannten Unterschied im Mittel zu — 0.11 °/o an, so bekommt man, da v. Riscxvorsers Unterschied von Kew — 0.00008 oder — 0.04 ?/o beträgt, meinen Unterschied von Kew zu — 0.15 ?/o. Dies stimmt, wie man sieht, mit der oben (Seite 11) auf ganz anderem Wege. hergeleiteten Differenz — 0.13 ?/o sehr gut überein. IX. Hamburg. Sowohl meine Bestimmungen, wie die des Herrn D:r DUDERSTAD' fanden in einem zu magnetischen Zwecken hergerichteten Kellerraum der Seewarte statt. Der tägliche Gang des Chronometers war kleiner als 1” und ist daher ausser Acht gelassen. Variationsapparate in Hamburg waren nicht montiert, und ich habe daher auch die zu diesen Messungen gehörigen Variationsablesungen durch die gütige Mitwirkung des Herrn D:r Stück aus Wilhelmshaven bezogen. Es wurden nämlich bei den nach Hamburger Zeit vorgenommenen absoluten Messungen die Varia- tionen nach Wilhelmshavener Zeit abgelesen, was dann wohl das rich- tigste sein dürfte, wenn keine Störungen vorhanden sind, so dass die VERGLEICHUNG DER DESTIMMUNGEN DER HOoRIZONTALINTENSITÄT etc. 27 Variationen dem regelmässigen täglichen Gang der Elemente entsprechen, wie es auch wenigstens annäherungsweise der Fall zu sein schien. Auf eine Korrektion des Ablenkungswinkels Deklinationsänderungen halber glaubte ich aber bei dieser Lage der Dinge verzichten zu müssen und bestimmte daher in Hamburg den Ablenkungswinkel nur im kleinern Ab- stand e,, weil dabei die genannte Korrektion natürlich einen viel kleinern Einfluss auf das Resultat ausübt. Die Beobachtungen sind auch hier auf die Basislinie des Wilhelmshavener Bifilarmagnetographs reduciert. Tafel der Bestimmungen zu Hamburg, 189r. Bifilar Dat. Stunde | Mgt Rn t An Wen u 7 H, log u Nowe umiaon A Mama DEUS uno Moles 234 0.17877 |9 210806 SS [20200 > 446°.786 | 11.5 — 21.6 23.4 JOUET S o9 sce 4E l'AS Oo | qnasi | En, 23.4 9.5 ESS 73356: | #2 28921'13" | xr. 1 — 19.15 | 23.42 0.17881 | 9.180971 395 8 40 » 28919'46" | 10 1 — 16.2 23.38 0.17885 | 9.180923 » oo» 9 31 > 453°.751 ENNEMI) CO) 23.38 75 | MONS | Aka | eese) || o Rs) — 20.5 DES 6.8 Sy sini ey » ense ns" | Bis — aus, 23 0.17876 | 9.210692 Sp re Oo | ren — 21.1 21943 0.17875 | 9.210788 Sur E no S | D 4465792 | 11.55 | — 20.1 23.35 6.5 ho PING ex) c | er ASOS J| an — 20.2 23.35 7-5 Sp natu | 9 28920'55" | 11.0 = 89.8 23.35 0.17884 | 9.180804 Im Mittel: für R4: log u = 9.210762 » B4: log u = 9.180899. Die zugehörigen Bestimmungen des Herrn Duperstapr mit Hinzu- ziehung der entsprechenden Variationsablesungen aus Wilhelmshaven waren: Nov. 3: Schwingungen 8'48" _9"6" ; Bif. = — 18.25; 9 — 23.48 Ablenkungen 920” — 932"; » = — 20.65; © — 23.45 H (nicht reduciert) = 0.17951; Mgt N:o I Nov. 7: Schwingungen 8'24" .8^42"; Bif.- — 14.35; 4 = 28.15 Ablenkungen 853" 94" ; » =—153 ; B= 23.15 H (nicht reduciert) = 0.17955; Mgt. N:o II. Reduciert man die obigen Werte auf die Basislinie, so bekommt man die Werte 0.17942 bezw. 0.17933, oder im Mittel 0.17937. Die Differenz ist somit dieselbe wie in Wilhelmshaven, oder — 0.00057 C. G. S., das heisst — 0.32 Procent. Dies steht damit in Übereinstimmung, dass die Kon- stantenbestimmungen zu Hamburg direkt auf die zu Wilhelmshaven be- zogen sind. : 28 E. SOLANDER, X. Kopenhagen. Die meinen Messungen entsprechenden Variationsablesungen wur- den sämtlich an den Apparaten für direkte Ablesung vorgenommen, und zwar grüsstenteils von dem Vorsteher der erdmagnetischen Abteilung des Instituts, D:r Hsort. Die Apparate waren nach der Lamontschen Weise aufgestellt; die Deflektormagnete des Horizontalvariometers kom- pensiert, auch soll es Herrn Hsorr gelungen sein diese Kompensation in völlig befriedigender Weise herzustellen. Variationsformel: OH = 0.000035 (n — n^) , und somit, mit unten angebenem 7, p = 87.6; positiv wenn hier aus- nahmsweise die Differenzen n — n° positiv gezählt werden. Die Bestim- mungen sind auf n—n — 50 reduciert worden. Täglicher Gang des Chronometers 4y = — 48. Tafel der Beobachtungen zu Kopenhagen 1892. I | | Dat. | Stunde | Mgt eae be! r | # n—n D] A, H, Ei log u |Márz31|r4l53"| B,| e, |29°20' 7"|129.25| 45.6 0.17348 0.17345 | 9.180903 > MR AG | > | a | Oasen. | SEES 0.17346 » »|r6 r5 |» 460°.906 |13.0 | 44.3 34.8 April 1}10 20 |» ADIEMGS || Be | SI FA ro ||» | Ay EGET ES G19 || BOLA 0.17350 0.17350 | 9.180924 > »|rr40 |»* @ | 9946'44" 10.65 | 29.8 | 0.17350 urnes sese as | ribs |. 340 0.17343 5 > az 2 |e, as eno | tS 30.7 0.17346 0.17342 | 9.210581 5 TS SE 454°.001 |13.4 | 42.9 |20.8 Bosne om oq» 453°.959 |13.55| 43.2 |20.8 >» » I525 |» | & |32?58'3o"|14 05 | 44.4 0.17348 0.17343 | 9.210601 > »|1545 |» | & 10*50'33' | 14.65 | 45.1 0.17344 | 30s. I io | ay Mesa] ma mash 0.17346 9.210831 Dior | ola patie? 8) Be | quen, 0.17342 0.17347 2 Shee ne | 454°.282 | 9.5 31-0 |17.0 > Se A | By 461°.485 |10.9 | 33.7 |18.3 | » one 815 | a Iesse | 28.6 0.17347 0.17356 | 9 180903 » »|1223 |» | € | 9°44'47"\12.85| 40.1 0.17353 » Bio; zul > |e; 11192467157. 8.750352 0.17347 » »lıo27 |» | | 29°26'357| 0.8) | 34.0 0.17341 0.17349 | 9.180897 3 Die a | ss 461°.589 |12.05 | 34.0 |20.0 >» »|1212 | À, 454.499 |13.47 | 33.7 |18.2 Se Py lee og! An. 0.17338 0.17341 | 9.210699 D Sn e | sa, V ie sers uns. | aaus 0.17341 | 0.17345 | 0.17346 | 0.17347 Im Mittel ist ferner: für R,: log u = 9.210678 » By: log u = 9.180907. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 29 Der Wert der Horizontalintensität nach den Kopenhagener Bestim- mungen war H., = 0.17355; Differenz somit = — 0.00010 C. G. S. = — 0.06 Procent. XI. Beobachtungen zu Upsala nach der Rückkehr. Ausser den nötigen Kontrollvergleichungen des Eugenieapparats mit dem grossen Lamontschen Theodolit wurde nach meiner Rückkehr auch eine neue Bestimmung des Unterschieds zwischen meinen Kon- stantenbestimmungen mit dem letztgenannten Instrument und den frü- heren (in den Jahren 1869—1870) vom Herrn Prof. THALEN, mit dem- selben Instrument, aber einem anderen Magnet ausgeführten, vorgenom- men. Ferner hatte Herr D:r AxsEL S. STEEN, jetzt erster Assistent des norwegischen meteorologischen Instituts, die Güte auf mein Ersuchen bei seinem Besuch zu Upsala im Mai 1892 den bei der norwegischen Polar-' station zu Bossekop benutzten Theodolit mitzunehmen und mit demselben Bestimmungen zu machen, so dass auch dieses Instrument in den Rahmen meiner Vergleichungen hineingezogen werden konnte. Vor und nach jeder der so entstandenen drei Vergleichungsreihen machte ich Bestim- mungen mit dem grossen Lamontschen Theodolit, mit je 13 Einstellun- gen bei den Ablenkungen, und zwar mögen diese Besiimmungen hier zuerst zusammengestellt werden: Messungen mit dem grossen Lamontschen Theodolit; Magnet N:o 1 (20 cm Länge) Dat. Stunde Ap 1 U] (z'—32) H 199 log 44, 1892 Apr. 13| 12h17" | 780°.695 49.2 gas 180.0 » » » | 1350 | 38726'39" 4.8 188.3 0.16208 | 3.377474 » >» IQ| 1056 780°.460 1.85 3.5 180.9 | » » 3 se na c euer 2% 3-3 178.9 0.16211 | 3.377430 » Mai 8| 1130 | 38°36 o" 5.8 159.3 | 0.16207 | 3.377427 » » >| e 781°.375 67 gas o Woe » > ll © 780°.904 9.9 184.1 - » » » | 529 © 38°21'30" | 10.8 190.8 0.16210 | 3.377403 Sy) tH 9 49 781°.774 16.5 167.6 » » »| ros2 | 38%1945” | 17.0 167.2 0.16237 | 3.377114 > » Dye 47 7815.158 17.5 182.2 » » pl usus dS De ES 182.9 0 16238 | 3.377063 > » 3] Bi We 182*.818 15.0 145.8 j > » DIE IUS 781°.880 15.4 165.3 » » 5j 9 en 780°.113 15.85 201.7 » » »| 14 I2 38°19 30" | 16.4 171.6 0.16233 | 3.377162 » » >| uS IE 17° 148 | 16.6 172.7 0.16234 30 E. SOLANDER, Die Ursache der zwischen dem 11 Mai und dem 1 Juni eingetre- tenen Änderung im Stand des Variomeiers scheint mir ziemlich unerklär- lich. — Am 3 Juni traten, wie man sieht, während der Schwingungs- beobachtungen grosse Variationen ein; die reducierten log T sind aber bezw. 0.892754, 0.892758 und 0.892760, folglich mit einander fast identisch. — An demselben Tage wurde der Kontrolle halber die letzte Ablenkungs- bestimmung im Abstand N:o 3 = 47.482 cm gemacht; alle übrigen im Abstand N:o 1 = 37.484 em. Hiernach mögen die bezüglichen Bestimmungen mit dem Eugenie- apparat fo lgen: Messungen mit dem Eugenieapparat. Upsala 1892. Dat. | Stunde | Met v Im Z nz'—n a H, H, Je log u Apr.r4|10'35"| B, | e, |10?27'19" 29.2 |178.9 0.16207 à Say n » € |31942/46"| 2 65/178.8| 16201 0.16209 |9.181026 » pese | c» ANAL BO ETT) Oo » RE || Ke | 468°.474 | 385|183.6/34 7 » 2 (13 58 » a [35 28 No .16199 o 16196 | 9.210850 > 4 mae. £9 |t1?38'10"| 4 1 |189.6| 0.16197 » «Beso | » Zo UNGE Meer TAG o 16201 E cx Jaen zul 2 | 35°45/10"| 3.65|178.3 .16203 0.16200 | 9.210850 » usse » 468°.206 | 3.15|190.7|31.3 » 16|10o 30 | 5, 476*.091 | 1.9 |174 1 36.5 » » mme | © £9 |10°27'50"| 2.8 |174.0 0.16207 » pire md A SA ll 3.2 TU .16209 0.16207 |9.180956 S 5 meme | 4S epu 28404) S O79: 0.16205 5 r5 ne e | > €1 |35944'28"| 3.55 180.9) .16205 0.16205 | 9.210902 D» ma m » 468°.436 | 4.3 |186.7|22.3 »ogum Lk BO | > 408.521 | 2.1 176.1316 5 » meae || 5 £y |11030' o"|. 2.85| 179.8 0.16204 5. $ed | & 2, 3594526". 2.85| 180.1! .16204 0.16204 |9.210924 > » \1323 2, | © | 169261592 2:85 184.3 0.16210 5b TAS | » 2, 3193921"! 2.95 185.0 .16210 0.16210 | 9.180962 ^ » 11437 | > 475°.785 | 3-5 |189.6|27.2 » 1) ul KA » 475°.986 | 0.85|176.3|35.0 3-5 ag By» c Ies an wy n 0.16210 D ») |e as » @ 31941 22") ı 751799 .16209 0.16211 |9 180933 .16205 | 0.16205 | 0.16205 Für log für À, log u = 9.210891 » By, log ww = 9.180969. u bekommt man im Mittel:, Im Mittel ergiebt diese Vergleichung somit einen Unterschied zwischen dem Lamontschen Theodolit und dem Eugenieapparat, mit den VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 31 angewandten Konstanten, von etwa 4.5 Einheiten der fünften Decimal- stelle (C. G. S.). Man könnte vermuten, dass der Magnet B, welcher durchgängig etwas höhere Werte als A, ergab, die richtigen Werte lieferte; es muss aber hervorgehoben werden, dass die beiden Vergleichungen zwischen den Instrumenten auf vier Reihen von Messungen, je zwei mit jedem Apparat beruhen. Nimmt man dann an, dass jede Reihe für sich den richtigen Wert bis auf eine Einheit der fünften Decimalstelle giebt — und näher kann man schon wegen etwaiger Standänderungen der Varia- tionsapparate in keinem Fall kommen — so sieht man, dass die gefun- dene Differenz bis auf 0.5 Einheit der fünften Decimalstelle durch ungünstige Zusammenwirkung der unvermeidlichen Fehler erklärt wer- den kann. Den 9 und 10 Mai machte Herr A. S. STEEN seine schon genann- ten Bestimmungen, die hier nach der von ihm mitgeteilten Übersicht wiedergegeben werden mögen. Dabei ist zu beachten, dass die Kon- stanten des Instruments für 32? Fahrenheit gelten — die Temperatur wird nämlich durch einen Fahrenheitschen Thermometer angegeben. »Bestimmungen der Horizontalintensitát mit dem Instrument Elliot Brothers N:o 38 zu Upsala, Mai 1892. Upsala 1892, Mai 9 1892, Mai 10 Konstanten des 13h1om—15h38m gh22m—yyhom Instruments Te 4°.60208 4°.61070 Koy = NOUS Allah es 0.00021216 — 2.00002856 D = Cuomo gus hae me 1.00024 1.00017 @, = 0.000127 A30) = 300.0 54%.0 @, = 0.00000056 g' = 22945 '.47 2247.24 p, = 9.0002069 m = 10° 3.34 10° 4.06 B» = 0.00001 A Al, = 0.00009384 — 0.00016116 £49 = 30.4716 cm ta (A) = 509.8 509.0 £49 = 39.6120 cm b= 0.0091444 0.0096353 jäl = unen p= 0.0054598 0.0057273 | Be fe 0.16220 0.16216 | ames 0.16218 0.16218 Die Formel für die Berechnung von A ist: 2 EIG 32)] (Le (C482) (la 82 ILU FMEEE eo p prep pessum 2 Ye sing 32 : E. SOLANDER, Im Mittel ist also H,,, = 0.16218, was einer Differenz von — 0.00009 C.G.S. oder — 0.06 Procent entspricht. Die Beobachtungen des Herrn Prof. THALÉN (mit Ablenkungen am grossen Lamontschen Theodolit) ergaben: 1892 Juni 2; 11°19"; p = 25031718”; t 149325; m'— m = 169.3 » » 1» 13549 9 = 2523039) TS ap D 7 2 » „Is 9.100,72 54853: tl 05 va Gil » » » 14'15"; 100 T = 4833343; t 180.5. Daraus berechnet sich Æ,,, = 0.16294, und die entsprechende Dif- ferenz ist somit — 0.00058 C. G. S., was zu der früher gefundenen — 0.00060 gut stimmt. Im Mittel ist dieselbe zu — 0.00059 C. G. S. oder — 0.36 Procent anzusetzen. | — p > eo e sS > | XII. Zusammenfassung und Abschluss. Der besseren Übersicht halber mögen die gefundenen Differenzen hier zusammengestellt werden, wobei die Vergleichung zu Upsala 1892 in der Art berücksichtigt ist, dass die im Ausland gefundenen Differenzen um 2 Einheiten der fünften Decimalstelle erhöht sind. Differenzen der Horizontalintensitätsbestimmungen an verschiedenen Observatorien. Differenz Observatorium In NC G.S; In Procent Upsala (nach THALÉN) — 0.00059 — 0.36 Pawlowsk — 0.00007 — 0.04 Wien + 0.00027 + 0.13 Pola — 0.10 Potsdam — 0.00006 — 0.03 Göttingen (unsicher) — 0.00003 — 0.02 Strassburg — 0.00039 = 0,19 Parc St. Maur — 0.00092 = Gur Kew — 0.14 Utrecht — 0.00094 — 0.51 Wilhelmshaven — 0.00055 — 0.31 Hamburg — 0.00055 — 0.31 Kopenhagen — 0.00008 — 0.05 | Kristiania — 0.06 VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 33 Die Differenzen sind, wie man sieht, an mehreren Observatorien viel grösser als es eigentlich zulässig wäre. Man denke sich eine de- taillierte Aufnahme Frankreich betreffend mit einer ebensolchen Oster- reich betreffend verglichen; die Differenz von 0.6 °/o muss eine schein- bare Perturbation des einen Gebiets im Verhältniss zum andern ergeben. Fragt man nach der Ursache so grosser Abweichungen, so ist es kei- neswegs leicht dieselbe mit Sicherheit anzugeben; auch dürften wohl bis- weilen mehrere Gründe zusammenwirken. Der wichtigste scheint mir doch wahrscheinlich darin zu liegen, dass man ohne hinreichende Unter- suchung die höheren Glieder der Reihenentwickelung für die Ablen- kungskonstante /k als einflusslos ansieht. Denn erstens muss der kleinste angewandte Abstand schon eine gewisse Grösse im Verhältniss zu den Dimensionen der Magnete besitzen, wenn Glieder, die höher als das dritte sind, ohne Einfluss bleiben sollen; das heisst, man muss einen grossen Theodolit mit guter Teilung besitzen, um kleine Ablenkungs- winkel genau genug messen zu können ); dies war bis jetzt nur in Pawlowsk der Fall, doch war bei meinem letzten Besuch in Potsdam (März 1892) ein ebensolcher für das dortige Observatorium bestellt worden. Zweitens aber nimmt man allgemein ohne weiteres an, dass das dritte Glied durch passende Wahl des Verhältnisses zwischen der Länge des Ablenkungsmagnets und der der Nadel eliminiert werden kann, während jedoch eine nur sehr geringfügige Unregelmässigkeit der Mag- netisierung diese Elimination ganz illusorisch macht. Auch der Einfluss dieses Fehlers wächst natürlich sehr rasch mit abnehmendem Abstand. Um das gesagte zu illustrieren, habe ich zunächst untersucht, ob man sich mit meinen Messungen an den verschiedenen Observatorien auch durch folgende Gleichung in befriedigender Weise abfinden kann: 1 I V sin SE a) sin q, £3 = [C2] I welche vorauszusetzen scheint, dass das zweite Glied, das nach dem Verhältniss der Länge der Magnete Null sein sollte, im Gegenteil allein einen von Null verschiedenen Wert hat. Um die Berechnung zu verein- fachen, habe ich zuerst für jede Station das Mittel aus den betreffenden 1) Es versteht sich von selbst, dass Deklinationsänderungen dabei genau in Rechnung zu ziehen sind. ct Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 34 E. SOLANDER, log sin g und log 7 genommen. Aus den Messungen zu Upsala vor der Abreise bekommt man in dieser Weise für die Konstanten die Werte: für R,: C',, — 9.388486 , für B,: C',, = 9.372288 ; 5 ferner ergiebt sich log (^) = 9.225401. 62 Für die übrigen Stationen bekommt man sodann folgende Tafel, bei der nur bemerkt werde, dass betreffs Góttingens die Reduktion des Bifilars zum 2 Sept, p. m. naeh FELGENTRAEGERS Formel angebracht worden ist: H Observatorium R, B, Mittel — | Pawlowsk 0.16386 0.16399 o 16392 Wien o 20661 0.20673 0.20667 Potsdam 0.18616 0.18630 0.18623 Göttingen 0.18763 0.18775 0.18769 Pare St. Maur 0.19455 0.19456 0.19456 Utrecht 0.18228 0.18240 0.18234 ‘ Wilhelmshaven 0.17868 0.17881 0.17875 Kopenhagen 0.17343 0.17351 0.17347 Upsala 0.16201 0.16210 0.16205 Wie man sieht, stimmt auch hier das Mittel mit den friiheren Ergebnissen iiberein. Dieses beim ersten Anblick vielleicht etwas be- fremdliche Resultat wird ganz erklürlich, wenn man bedenkt, dass, wie bereits bekannt, der Gleichung: log H = C — log T — 2 log [sin 4, — c gin g,} bei geeigneter Wahl der Grósse C drei sehr verschiedene Werte von a in befriedigender Weise genügen, nämlich x — 0 (Wert H,), v = oo (Wert H,) und «= (an (Wert H,,). Wollte man aber, ohne von e 2 einem und demselben, durch ein anderes Instrument gegebenen Wert von H auszugehen, die Horizontalintensität wirklich unabhängig herleiten, und zwar einmal unter der Voraussetzung, dass das dritte, dann aber VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HOoRIZONTALINTENSITÀT etc. 35 unter der, dass das zweite Glied gleich Null wäre, so würde das Resultat in den beiden Fällen ganz anders ausfallen. Es ist nämlich die theoretische Differenz der beiden Konstanten ' Gnd €^, (AS 2 log (1 = (2)) op: (1 = EN = 0.086587 , wührend man andererseits aus den komparativen Konstantenbestimmungen erhält: für R, : C, — C^, = 0.085537; für B, : C, — C',, = 0.085574, oder im Mittel Ci — C^, = 0.085555. Die Differenz der Differenzen, 0.001032, ent- spricht einem Unterschied der berechneten H-Werte von 0.24 Procent; bei kleinerem Abstand zwischen Magnet und Nadel würden aber die Verhältnisse natürlich noch viel ungünstiger werden. Freilich ist das Làngenverháltniss ein anderes, wenn das zweite Glied statt des dritten verschwinden soll; meines Erachtens aber wird die Elimination eines Gliedes durch den Wert des Längenverhältnisses immer mit nicht unbe- trüchtlicher Unsicherheit behaftet sein, und es wäre daher besser, bei kleimer Nadel Ablenkungsbeobachtungen an vielen ziemlich dicht bei einander befindlichen Punkten, von denen der nächste jedoch nicht der Nadel zu nahe gelegen sein darf, zu machen, um dann durch die Me- thode der kleinsten Quadrate das zweite wie auch das dritte Glied zu berechnen ). Dieselben Vorteile, die diese Art der Konstantenbestim- mung hat, kónnten aber auch, und zwar mit geringeren Unkosten, durch eine sehr geringfügige Abänderung der ursprünglichen Gaussischen Me- thode erreicht werden. Übrigens ist auch die KonrRauscH'sche Bifilar- methode in dieser Beziehung der ursprünglichen Lamontschen überlegen, und bietet dabei bekanntlich auch den anderen grossen Vorteil, dass die Bestimmung von MH und die von = gleichzeitig vor sich geht. Es wäre sehr wünschenswert, wenn umfassendere Versuche mit allen diesen Methoden, und vielleicht noch einigen anderen, wie z. B. mit der neulich von BÔRGEN angegebenen?) an einem und demselben Observatorium aus- 1) Bei Reiseapparaten dagegen sind natürlich die grossen Ablenkungswinkel beizubehalten. 2) C. BóRGEN: Über eine neue Methode zur Bestimmung des Polabstandes eines Magnets. Annalen d. Hydr. und mar. Meteorologie 1891. 36 E. SoLANDER, VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONT. etc. geführt werden könnten. Am besten wäre es ohne Zweifel, wenn sich dies zu einem internationalen Unternehmen machen liesse, und sodann von diesem internationalen Centralobservatorium aus Theodolite mit schon bestimmten Konstanten den Observatorien der verschiedenen Länder geliefert würden. Zugegeben, dass der so erhaltene Wert nicht der absolut richtige ist, etwas und zwar etwas wichtiges wäre jedoch damit schon gewonnen, wenn in den verschiedenen Ländern lauter unter sich streng vergleichbare Beobachtungen gemacht würden. Bei alledem möge jedoch nicht unerwähnt bleiben, dass die Ob- servatorien, an denen in der letzten Zeit neue Konstantenbestimmungen vorgenommen worden sind, unter einander eine befriedigende Überein- stimmung zeigen, so dass eine etwaige Änderung der Konstanten mit der Zeit wenigstens nicht ausgeschlossen ist”). 1) Ein ausfürlicher Bericht der mit den meinigen gleichzeitigen Bestimmungen zu Góttingen, nebst Darlegung der bei den zugehórigen Konstantenbestimmungen be- folgten Methoden, verfasst von D:r FELGENTRÆGER, ist mir nach der Redaktion meiner Beobachtungen vom Herrn Geheimrat Prof. E. SCHERING gefälligst zugesandt worden, und lasse ich denselben hier, mit seiner gütigen Genehmigung, mit einigen kleineren Abkürzungen als Nachtrag folgen. Die Neuberechnung der Beobachtungen hat, wie man findet, eine kleine Abän- derung der gefundenen H-Werte herbeigeführt, was jedoch für die im Text gezogenen Sehlüsse ohne Belang ist. Nachtrag. Beschreibung der zur Bestimmung der horizontalen Intensitát im Erdmagne- tischen Observatorium zu Góttingen angewandten Instrumente und Methoden, und Messung der Horizontal Intensitát an den Tagen 1891 Aug. 30, Sept. 3 und 5. Von W. Felgentreeger. $ 1l. Übersicht. Es bezeichne, in Gaussischen Einheiten, H die horizontale erdmagnetische Kom- ponente, M das magnetische Moment des Magnetstabes. Eine Bestimmung von H zu einer besonderen Zeit erfordert drei Arbeiten: I) Die Bestimmung von M. H, 5 : M IT) Die Bestimmung von H III) Die gleichzeitige Beobachtung der Variationsinstrumente für Deklination und horizontale Intensität. L M.H. § 2. Formel für M. H. Die Bestimmung von M. H geschieht durch Messung der Schwingungsdauer. Es sei: s K das Trägheitsmoment des Magneten, t die Temperatur in Celsiusgraden, © der Torsionskoeffizient, r die auf unendlich kleine Bogen reduzierte Schwingungsdauer in Sekunden, A der Abstand zwischen Spiegel und Skala (optisch zu messen), s die Schwingungsamplitude in Skalenteilen, mH derjenige temporäre Magnetismus, welcher, wenn der Magnet sich im Me- ridian befindet, also auch während der Beobachtung der Schwingungsdauer, durch H im Magnetstabe induziert wird. Dann ist: n? K (M + mH)H = MCE À 38 E. SOLANDER, $ 3. Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment K war (unabhängig von der Annahme irgend einer regu- liren Figur oder Massenverteilung, sei es des Magneten oder der benutzten Gewichte) bestimmt durch Belastung mit zwei Gewichten von je ungefähr 0,5 kg. Masse, welche in fünf verschiedenen Abständen von der Drehungsaxe und symmetrisch zu derselben mittelst Argentanspitzen in feine Ausdrehungen des den Magneten umgebenden Mes- singmantels eingehängt wurden. Die Messung der Schwingungsdauern !) in den be- lasteten Zuständen und unbelastet, sowie die auf einem eisenfreien Komparator vorge- nommene Messung der Abstünde der Schwerpunkte der Gewichte?) liefern die nótigen Data zur Bestimmung des Trägheitsmomentes. Die Gewichte und der benutzte Maassstab waren direkt mit den Normalen des hiesigen Physikalischen Institutes ver- glichen und so auf Milligramm und Millimeter bezogen. s Bei der Bestimmung von K wurden als Korrektionen berücksichtigt: Anderungen von H, Änderungen von M mit der Temperatur, Verschiedenheit des Torsionskoéf- fizienten je nachdem der Magnet belastet ist, oder nicht. Als Endresultat der nach der Methode der kleinsten Quadrate geführten Be- rechnung ergab sich: log K = 10,6276956 [(mm)? (mg)!] bei ¢ = + 15,68. Nach K. ScHERING (Göttinger Nachrichten 1881, pag 143) wurde angenommen, dass das Trägheitsmoment für jeden Temperaturgrad um 0,000028 seines gesammten Wertes wächst. Danach hat man die Formel: à log K = 10,6276956 + 0,4343 . 0,000028 (£ — 15,68) = 10,6276956 + 0,000012152 (f — 15,68) . Zur Bestimmung von / diente ein in dem sehr weiten hólzernen Sehwingungskasten befindlicher in 0,2? Celsius eingeteiltes Thermometer; dasselbe war nur etwa 4 em von der Mitte des Magneten entfernt und in gleicher Hóhe wie die Axe desselben. § 4 Torsion. O wurde durch Drehung des Torsionskreises (jedesmal um 180°) und Ablesung des Standes (unter Benutzung der gleichzeitigen Beobachtungen an einem Variometer) gemessen. Es ergab sich, dass einer Drehung des Torsionskreises um 180? eine Standänderung des Magneten von 0,57887° + 0,00219° entspricht ?); daraus folgt: 6 = 0,0032263 + 0,0000068 (Mittl. Fehler). 1) Tageb. 145 pag 139—195 (1891 Sept. 8—Sept. 15). 2) Tageb. 145 pag 207—218 (1891 Sept. 17—Sept. 18), 3) Tageb. 129 pag 111—-115. (1889 Nov. 28). VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 39 Von einer konstanten Torsion war der Draht N (dureh Einlegen eines kupfernen Torsionsstabes) 1891 Aug. 21 soweit befreit worden, dass sich die Magnetaxe : Nordpol des Stabes nur 1 Skalenteil (= 0'21") ausserhalb des Au : . . M/ magnetischen Meridianes befand. (Siehe Fig.). S Eine so geringe Abweichung ist ohne jeden $/ > ae : / merklichen Einfluss auf die Bestimmung von H. | E W Ss E A, Südpol. E E S = S $ 5. Beobachtete Schwingungsdauer. Zur Beobachtung der Schwingungsdauer wird die Ruhelage aus 3 Umkehr- punkten bestimmt, und durch einen über die Skala gehängten schwarzen Faden kenntlieh gemacht. Es werden nun die Antritte dieses Fadens an den Vertikalfaden des Fadenkreuzes im Fernrohr beobachtet und in Sekunden und Zehnteln notiert. Zu jedem Satze gehóren zehn solche aufeinanderfolgende Antritte. Das Mittel je zweier auf einander folgender Antrittszeiten ergiebt die Zeit des dazwischenliegenden Umkehr- punktes. Solcher Zeiten erhält man also neun. Nimmt man aus der ersten und neunten, der zweiten und achten, der dritten und siebenten und der vierten und sechsten Umkehrzeit das Mittel, so erhält man vier Werte für die mittlere (fünfte) Umkehrzeit. Man hat für dieselbe also fünf Werte, aus denen das Mittel genom- men wird. Behandelt man mehrere Sätze auf diese Weise, so erhält man eine Reihe von Zeiten, zu welchen Umkehrungen des Magneten statt gefunden haben, deren Differenzen also ganze Vielfache der Schwingungsdauer sind, und also, wenn dieselbe genähert bekannt ist, zur genauen Bestimmung dienen kónnen. Beispiel eines Satzes vom Antritten und der Berechnung der mittleren Um- . kehrzeit. Göttingen, 1891 Aug. 30 © am. (Tageb. 145. pag 116). Antrittszeiten Umkehrzeiten 95512695 51”36,6® 47,0 57,45 40 E. SOLANDER, 52m 7,95 52n18,955 28,6 39,00 49,7 59,80 53™10,2 53™20,60 3100 41,30 51,6 54m 2,05 54712,5 22,85 33,2 Berechnung der Mittleren Umkehrxett. 5 136,6: + 54m22,85:) = 52m597795s il ; 5 (61"57,45° + 54m 2,059) = 5259750: 5 (91895: + 53™41,309 = 52»59,775* 5 (2039,00: + 53m20,60°) = 52m59,800° 52m59,805 = 52»59,80* 9152n59,7705 Der Pfeil über dem ersten Antritt giebt die Richtung an, in welcher sich die Skala im Fernrohr zu bewegen schien. Zum Zwecke der Bestimmung der Schwingungsdauer sind stets vier solcher Sätze beobachtet worden, und zwar so, dass dieselben gleich weit und nahe 10m. von einander entfernt sind. .Da die Sehwingungsdauer nahezu 20,7*** beträgt, so beträgt die Zeit von 29 Schwingungen nahezu 10". Bezeichnet man die vier aus den vier Sätzen gefundenen Mittelzeiten mit T T, , 115 5 TE so ist nach der Methode der kleinsten Quadrate die direkt beobachtete Schwin- gungsdauer Wein tise eus = 5) = 29 10 ye Zur Reduktion dieses z' auf unendlich kleine Bogen dient die Korrektion: M T MN SW ORG Az Setzt man für v den Mittelwert 20,7 und für A seinen Wert: A = 4711,8™ so folgt: logs = 2logm 1,5614 — 10. 1) Vergl. F. KOHLRAUSCH, Prakt. Physik. 6. Aufl. 1887 pag. 14. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 41 ; Diese Korrektion ist der Einfachheit halber an die beobachtete mittlere Schwin- gungsdauer (7) angebracht und der Mittelwert der Schwingungsbogen zugrunde gelegt. Da die benutzte Pendeluhr einen geringeren täglichen Gang als 1° hatte, ist eine Korrektion wegen Uhrganges nicht angebracht. $ 6. Bestimmung von m. Als Wert für » wurde der von K. SCHERING gefundene und »Góttinger Nachr. 1881 pag 138» »Bestimmung der Horizontal-Intensität» veröffentlichte: m = 442080 (mm)? angewandt. im d H § 7. Beschreibung der Ablenkungsvorrichtung. : B M Die Bestimmung von H geschah durch Ablenkungen nach dem »Modus primus». Zu diesem Zwecke sind in einer ostwestlich orientierten Linie auf zwei Stein- pfeilern vier Gabeln befestigt, jede mit zwei F förmigen Schneidenpaaren, auf welchen der Magnet mit eingedrehten Rillen ruht. Die Sicherheit des Einliegens des Magneten ergab sich bei der Messung der Abstände der Gabeln zu etwa 0,02". Die Gabeln sind von West nach Ost fortlaufend von I bis IV numeriert. Zwischen den Gabeln hängt eine Ablenkungsnadel; und zwar ist dieselbe möglichst genau so angebracht, dass die Axe des Magnetstabes durch ihren Mittelpunkt geht und die Gabeln symme- trisch zu ihr stehen. Die Nadel ist ein zylindrischer Stab von 232mm Länge, sie hängt an einem an der Decke befestigten Messingdraht und ihre Schwingungen werden durch ein kupfernes Gehäuse stark gedämpft. Mittelst eines an der Nadel befestigten Spie- gels werden die Ablenkungen durch ein Fernrohr an einer 2000" langen Skala gemessen. $ 8. Justierung der Gabeln. Die Justierung der Gabeln, welche mit Zug- und Druckschrauben an einge- gypsten Platten auf den Steinen befestigt sind, geschah mit Hülfe eines im Alligne- ment stehenden Theodolithen, mit welchem auf den im Magneten befindlichen Kolli- mator visiert wurde. Durch ein kleineres, Die transportables, ebenfalls einen Kollimator yy, d Er EM tragendes Magnetometer wurde das magne- ve tische Azimuth des Theodolithennullpunktes bestimmt. Diese Einrichtung war im Jahre 1888 getroffen. Inzwischen hat sich durch Abnahme der westlichen Deklination das magnetische Azimuth der Gabeln geändert, und weicht die Verbindungslinie derselben > gegenwärtig von der zum magnetischen Meri- dian Senkrechten um nahe 20' ab. (Siehe Figur). Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6 2 à =\ un 42 E. SOLANDER, $ 9. Entfernung der Gabeln. Die sehr genau zu messende Entfernung der Gabeln wurde durch Mikroskope mit Schraubenmikrometern und zwei Maassstäbe bestimmt. Der eine von ihnen, aus Messing, 600™ lang, war mit dem Normalmeter des Physikalischen Institutes ver- glichen, die Gleichung des anderen, 1200 langen aus Glas, wurde durch Vergleichung mit dem ersteren gefunden. Es wurde der Magnet in die Gabeln eingelegt und auf kleine Eindrehungen auf seiner Oberflich? pointiert. Die Exzentrizität dieser Eindrehungen wurde durch Umlegen eliminiert. Es ergab sich auf diese Weise die Entfernung: !) Gabel II — Gabel III = 27, = 3604,700™, Gabel I — Gabel IV = 27, = 4807,106™. $ 10. Torsion. 9, der Torsionskoëffizient der abgelenkten Nadel wurde bestimmt indem man den Magneten um 360° (nach jeder Seite) herumdrehte und die Standänderungen an der Skala ablas. Es war: log (1 + 9) = 0,0004705. Die konstante Torsion wurde durch einen Torsionsstab öfter entfernt. 8 11. Entfernung: Spiegel-Skala. Die Entfernung Spiegel-Skala wurde mit einem 5000" langen Holzmaassstabe gemessen. Die Gleichung desselben war bekannt, da früher mit ihm die Entfernung der Gabeln gemessen war. Es ergab sich der (optisch gemessene) Abstand: R = 4284,99», $ 12. Teilungfehler der Skala. Die Teilung der benutzten Skala ist zwar recht gleichmässig, indessen sind die Skalenteile keineswegs Millimeter. Zur Reduktion wurde die Skala in der Nähe der benutzten Teilstriche mit dem oben erwähnten Maassstabe von 600"" Länge verglichen. Dabei wurde die Skala auf einem Komparator mit horizontalgerichteten Mikro- metermikroskopen genau so unterstützt, wie es bei den Beobachtungen der Ablenkungen geschah, so dass etwaige Biegungen ohne Einfluss sind. Das Resultat der Vergleichung war >): 1641,194"™ = 995,592? — 177,470? + 1812,443” — 994,512? , = 1636,053? der Skala in dem Intervall 177 — 1812. 1641,194"" = 1005,537? — 187,611? + 1823,7292 — 1005,5727 , = 1636,0827 der Skala in dem Intervalle 188 — 1823. 1) Tageb. 145 pag. 35—4? (1891 Aug. 6) und 115 pag. 101-—111 (1891 Aug. 24—26). 2) Tageb. 145 pag. 91-97, (1891 Aug. 20—?1). VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 43 Da die bei den grossen Ablenkungen (aus Gabel II und III) vorkommenden Differenzen der Skalenteile nahezu 1640 betragen, so hat man zur Reduktion dieser Ablenkungen auf Millimeter + 5,14? hinzuzufügen. Für die kleinen Ablenkungen (ungefähr 680 Skalenteile) fand sich ebenso: 681,56 1mm = 1335,0517 — 655,730» = 679,321r, = 1340,083^ — 660,714? = 679,369, 1 = 1344,933? — 665,585? = 679,3487, 1354,565? — 675,221? = 679,314? . Il Il Es sind somit im Mittel in der Umgebung der gemessenen Skalenteile 681,561™ = 679,345? , und man hat zur Reduktion auf Millimeter zur beobachteten Differenz der Ablesungen bei den kleinen Ablenkungen: + 2,22? hinzuzufügen. § 13. Lokaleinfluss. Der die abgelenkte Nadel umgebende Dämpfer ist, wenn auch sehr schwach, magnetisch und verkleinert sein Magnetismus die Ablenkungen. Der Einfluss wurde ermittelt durch Drehung des Dämpfers um gemessene Winkel und Ablesung des Standes der Nadel unter gleiehzeitiger Beobachtung eines Variometers. Es fand sich, dass der grosse Ablenkungsbogen (Ablenkung aus II und III) um 0'17,58" der kleine Ablenkungsbogen jedoch um 0'8,34" kleiner war, als wenn der Dämpfer keinen Ein- fluss gehabt hätte. $ 14. Entwicklung der Formel für = : Es mögen 7,, 7,, 9, R, die oben angegebenen Bedeutungen beibehalten, es seien ferner 2», und 2%, die Differenzen der Skalenablesungen bei Ablenkungen im Abstande 7,, bezw. 75. Fällt nun die Ruhelage nahezu in die Mitte der Skala und steht die Verbin- dungslinie des Skalenmittelpunktes und des Spiegelmittelpunktes senkrecht auf der Skala, welehe beiden Bedingungen bei dem benutzten Apparate sehr nahe erfüllt wa- ren ?), so ist 7L Na tem, m GG 1) Messung vom 1892 Febr. 4. 44 E. SOLANDER, gy, und q, bezeichnen hier die Winkel, um welche der Magnet abgelenkt wurde. Die allgemeine Formel für Ablenkungen nach dem modus primus lautet, wenn man Glieder von mindestens der Ordnung p der Einheit gegenüber vernachlässigt: 1 M (1-5) 1 30 + 9) 9 py = gy "UE 2 Setzt man für » die Werte 1, 2, so folgen die Formeln: 1 c g0«96e ux). ps = | 5 (1 + I) tg på = Löst man diese Gleichungen nach Elimination von C nach zd auf, so folgt: H 1 1519 Pa = ri tg Pr 2 rz — 7? Ri C ist:eine von der Verteilung des Magnetismus im Innern beider Magnete ab- MM d M x - hängige Konstante. Durch Elimination von und Auflösen nach C erhält man: H Der 13 tg Pr = ri tg Pi rå tg Pr = ri tg Py I 15. Beobachtungsart. Bei den Beobachtungen wurde der Stand der Nadel bei Beginn jeder geraden Minute um 0s, 10sek-, 20** abgelesen. Darauf wurde der Magnet umgelegt, resp. in eine andere Gabel gebracht. Die Dämpfung ist so stark, dass schon 30ek vor Beginn der nüchsten geraden Minute die Nadel wieder in Ruhe ist. Aus jeder der Gabeln II und III wurde dreimal abgelenkt, so dass für » zweimal zwei Werte folgten, aus denen das Mittel genommen ist. Dagegen wurden aus Gabel I und IV je fünf Ablenkungen beobachtet, so dass für m, zweimal vier Werte erhalten wurden. RU d Leider wurden die Beobachtungen zuweilen durch vorüberfahrende Wagen gestórt, besonders war dies 1891 Sept. 3 der Fall. IIl. Ablesung der Variationsinstrumente. $ 16. Allgemeines. Während der Schwingungen des Magnetstabes wurde ein Bifilar und während der Ablenkungen dasselbe Instrument und ein Unifilar beobachtet. Die Ablesung des Bifilars und Unifilars geschahen durch denselben Beobachter. Beide Instrumente befinden sich im unterirdischen Observatorium. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 45 8 17. Beschreibung des Bifilares. Das Bifilar besitzt einen 125"" langen Magneten. Die Länge der Aufhänge- drühte (aus Stahl) beträgt 1400"". Die obere Suspension befindet sich am Decken- gewólbe. In dem zugleich als Gehäuse dienenden Dämpfer befindet sich sehr nahe am Magneten ein in 0,1? Cels. geteiltes Thermometer, ein anderes Thermometer (in 0,2? Cels. geteilt) befindet sich an der oberen Suspension. Beide Suspensionen sind aus Messing. $ 18. Bestimmung der Bifilarkonstante. Die Bestimmung der Empfindlichkeitskonstante geschieht !) mittelst Ablenkungen durch einen 100"" langen Magneten, dessen Moment stets unmittelbar vor oder nach . der Beobachtung durch Ablenkungen an einem Unifilare bestimmt wird. Für die in | Rede stehende Zeit fand sich, dass Steigen des Bifilares um 1 Skalenteil eine Zunahme der horizontalen Intensität um 0,00007095 ihres gesammten Wertes entspricht. Setzt man für H den Mittelwert: H = 1,876, so folgt daraus die Bifilarkonstante C, = 0,0001331 . Bezeiehnet man also mit 5, den Bifilarstand, wenn H = H, ist B' den Bifilarstand, wenn H = H' ist; so ist: H'— H, = G(B' — B,) = 00001331 (B' — Bj. [(mm)? (mg) (sek)"] $ 19. Temperaturkorrektionen. Einen bedeutenden Einfluss auf den Stand des Bifilares übt die Temperatur aus. Um denselben zu messen, wurde 1891 Jan. 8, 10, 11, das Beobachtungslokal abwech- selnd geheizt und abgekühlt. Gleichzeitig mit dem zu untersuchenden Instrument wurde ein anderes in einem Raume von nahe konstanter Temperatur befindliches Bi- filar abgelesen. Bezeichnet man mit 5; die am Thermometer im Dämpfer, mit 1? die am Thermometer an der oberen Suspension abgelesene Temperatur, beim Bifilarstande B,, ferner mit B' den Bifilarstand bei ungeündertem H aber den Temperaturen »unten» 7, »oben» = £^, so ist nach jenen Beobachtungen (B — B,) = — 5,965 (^, — #2) — 0,190 (#, — t). 1) Tageb. 144 pag. 230—235. 1891 Sept. 16. 46 E. SOLANDER, 8 20. Reduktion der Schwingungsdauer wegen des Bifilarstandes. Steigt infolge Wachsens von H die Ablesung des Bifilares von D, auf B’, so nimmt die Schwingungsdauer des Magnetstabes, welcher zu den absoluten Bestim- mungen benutzt wird, ab und zwar um q(B — B)) = : 7 = . (B = By = 0,0007343 (E — Bj). Um also eine beim Bifilarstande B’ beobachtete Schwingungsdauer z’ auf die- jenige zu reduzieren welche beim Bifilarstande B, stattgefunden haben würde, gilt die Formel: T, = v — 0,0007343 (B' — By) . $ 21. Reduktion der Ablenkungen auf gegebenen Bifilarstand. Ist die Hülfsnadel um den Winkel g abgelenkt und steigt infolge Wachsens von H das Bifilar von B, auf 5’, so nimmt der Ablenkungswinkel q ab um: Qy = R sin 29, = (B' — B). Es genügt für g die Mittelwerte g, = 5°27, g, = 2°1730” zu setzen; und somit bekommt man den Reduktionsfaktor g, = 0,0574 für den kleinern Abstand 7,, und q, = 4284,99 sin 4? 35'. 0,00007095 = 0,0243 für den gróssern Abstand r,. Ist also das Bifilar auf B’ gestiegen, so hat man, um die Beobachtungen auf den Stand B, zu reducieren, und um zugleich dabei das Vorzeichen von g, zu berücksichten, bei Ablenkungen für gy, auf grössere Zahlen: q,(B' — By) zu den abgelesenen Skalen- theilen zu addiren, bei Ablenkungen für gy auf kleinere Zahlen: g,(B’ — B,) zu sub- trahiren. 8 22. Beschreibung des Unifilares. Zur Elimination der Deklinationsschwankungen während der Ablenkungen dient ein genau gleichzeitig mit der abgelenkten Nadel abgelesenes Unifilar. Die Nadel desselben ist ein 200"" langen durch Kupfer fast aperiodisch gedämpfter Plattenmagnet. Die Entfernung Spiegel bis Skala (optisch gemessen) beträgt für dies Instrument: o = 4STI,8mm. $ 23. Korrektion der Ablenkungen wegen Änderung der Deklination. Ist der Winkel, welchen die abgelenkte Nadel mit dem magnetischen Meridiane bildet, gleich g, und ändert sich die Deklination so, dass das Unifilar im unterir- VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÀT etc. 47 dischen Observatorium um 1 Skalenteil steigt, so wächst die Ablesung an der abge- lenkten Nadel um Ü gh = cos? q Skalenteile. (Die Differenz der Torsionskoëffizienten beider Instrumente ist hier vernach- lüssigt, was wegen des geringen Betrages der Deklinationsánderung erlaubt ist). Ist also das Unifilar von U, auf U’ gestiegen, so hat man, um die Beobach- tung auf den Stand U, zu reducieren, zur Ablesung der Skala der abgelenkten Nadel hinzuzufügen i = (0 = ON = =E c09.(0°- U,). | Setzen wir für q wieder die beiden Mittelwerte, wie bei der Berechnung von q, und g,, so haben wir die Resultate q' = 0,8701 , ga = 0,8770. $ 24. Art der Anbringung der Korrektionen an die beobachteten Zahlen. Die Korrektionen q(B — B,) wurde der Einfachheit halber zu dem Endwert von z hinzugefügt, dagegen wurde bei den Ablenkungen das Mittel aus je drei einzelnen Ablesungen (um mmm Qs, 105%, 20°ek) vom Einfluss der Deklinationsänderung be- freit und auf den Normalstand des Bifilares reduciert, so dass man aus der Überein- stimmung der Zahlen die Genauigkeit beurteilen kann. IV. Berechnung von Y, M und C. $ 25. Formeln für #, M und C. Nach dem Vorhergehenden ist nk I) SE Ig II) M lrnügp-n* qs. Je U rn Setzt man den ersten Ausdruck IIT) (M + mH)H-M,H, den zweiten IV) 48 E. SOLANDER, so folgen M; und H; direkt aus der Multiplikation und Division der beiden Gleichun- gen I und II. Anderseits folgt aus III und IV: V) Su mon, (1 +m a) a M, VI) M = an == M- i Hym 1 2 - lm a) An diesen Werten ist noch eine Korrektion anzubringen wegen des Einflusses des Dämpfers, welcher die abgelenkte Nadel umgiebt (S 13). Diese Korrektion beträgt für 7 kg = — 0,00077(mm)*(mg)2(sek.)"" , für M dagegen ky = + 211400(mm)i(mg)i(sek.)" . Die Formel für C „3 RM QE. pope Ua ae m T rilgq,-— itg 9, bedarf keiner weiteren Modifikation. (C ist unabhángig vom Lokaleinfluss). 8 26. Ausführung der Berechnung. Zur Rechnung wurden durchgehend siebenstellige Logarithmen verwandt, nur die Reduktion von z' auf unendlich kleine Schwingungsbogen wurde, wie schon in der Formel (8 5) angedeutet, mit vierstelligen Logarithmen berechnet. Die Grössen q, Q1» da» Qu» do sind in Tabellen gebracht. Als Normalstand des Bifilares wurde der Stand 600 bei den Temperaturen »unten» = 14,59, oben» = 15,0" angenommen. bi £s am E. VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 49 Erdmagnetisches Observatorium Góttingen. Bestimmung der Horizontal- komponente 1891. August 30 am. I. Bestimmung von M . H. (Schwingungsdauer). Mittlerer Umkehrpunkt Mittlerer Umkehrpunkt Datz N:o beobachtet: berechnet: Schwingungsbogen : H1 942155045 57,275: zwischen I und IL 645,5°kalent. 30 52" 59,770° 59,701 II und III 598,2 HS ono! 202080: 2,1275 III und IV 564,2 IV 88 13" 4,5605 4,553° 602,6 Mittlere Schwingungsdauer: 20,7733° Redukt. auf kl. Bogen — 0,0013? Temperatur: Redukt. auf 570 des Bif. + 0,0013° t= + 17,20 = = 20,7733° logt = 1,3175055. log des 11,6205722 1+0 : 2logv = 2,6350068 log M,H, = 8,9855612. | Der mittlere Bifilarstand für die Zeit von 9'44" bis ıolızm mai 571,77, Dres = + 15,150 IL Bestimmung von = (Ablenkungen). Reduziert auf den Bifilarstand 570°, (fu = 14,28), (f = 15,15). N:r der ; Ablesung an Korrektionen wegen Korrigierte Doppelte 5 Gabel Zeit der Skala U II B II Ablesungen | Ausschláge Mp III |rol3o"1o | 170,73 — 0,41 = nal 170,18 mrs 1640,37 32105 | 1810,40 [o + 0,15 1810,55 6 1640,40? 34" 105 169,30 + 0,50 — 0,17 170,13 eee IV 36"105| 648,27 — 0,67 — 0,08 649.52 23 38105 | 1329,05 — 0,09 + 0,09 1329,05 es 407105 | 648,00 [o — O,II 647,89 CNN 681,282 APRONS? || 1327,73 + 1,23 + 0,14 1329,10 68 2 44" 105 645,80 + 2,01 — 0,14 647,67 1,43 I 46"105 | 1325,90 — 0,61 + 0,15 1325,44 E 48"10*| 642,83 | — 0,03 | — 0,16 642,64 EU 5o"105 | 1325,07 o 0,26, | 1325,28, ed | 682,808 52mio®| 641,30 + 1,66 — 0,20 642,76 68 47 54"10*| 1323,00 | (+ 2,77)*)| (+ 0,21) | 1325,98 Wee II 56™103 | 1804,23 | (— 1,10) | (+ 0,52) | 1803,65 6 58"10* 162,07 (o) CG 0,54) 161,53 E 1640,59? 11" o"ro5 | 1798,93 + LIO + 0,56 1800,59 | 1939» 1) Die in Klammern stehenden Korrektionen sind interpoliert. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. T 50 E. SOLANDER, Mittlere Ablenkungen: bei kleiner Entfernung: bei grosser Entfernung: 1640,49? 682,04? Redukt. auf mm. + 5,14P Redukt. auf mm. + 2,22? x Wu 27, = 1645,03" Bin = Dero Daraus findet sich: gi = 5°26' 5,72", Po = 2°16" 57,06”; und daraus M / log FF = 8,4389141 M, = 515510700 H, = 1,87639 au caos — = Him=— 414700 ECC M = — 147 log M, = 8,7122377 2 2 M, log H, = 0,2733236 is gS ae ais eas Mee Be! M = 515307400 H = 1,87415 Redukt. auf 600? am Bifilar | ape) Redukt. auf Es ergiebt sich C = — 48345", (in = ws. s = TRL” MU H* = 187834. Erdmagnetisches Observatorium Góttingen. Bestimmung der Horizontal- '"komponente. 1891 September 3 pm. I. Bestimmung von M . H. (Schwingungsdauer). Mittl. Umkehrpunkt Mittl. Umkehrpunkt é Bare k salz N:o beobachtet: berechnet: SINUSES DOYS. | D noz nc 45,594? Vor Satz le reme WE go 11? 48,010° 47:945° Nach Satz IV: 245,80 IIl 59 21" 50,2205 50,2955 281,78 IV 88 31" 52,630? 52,6465 Der mittlere Bifilarstand von 4h^o" bis 4532" war = 602,22, f, = + 14,45", fy = + 15,5? Mittlere Schwingungsdauer: 20,7702° Redukt. auf 600 am Bif. + 16 Temperatur: Redukt. auf kl. Bog. — 3 t = + 20,2! t= 20,7715" logz = 1,3174670. n?K log INO 11,6206026 2logz — 2,6349358 log M,H, = 8,9856668 . VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 51 : M Il. Bestimmung von = . (CAblenkungen). N:r der | Zeit | Ablesung an Korrektionen wegen Korrigierte Doppelte Mittel Gabel | der Skala U II B II Ablesungen | Ausschläge ute II | 4%48™108 | 164,70 + 0,46 — 0,45 164,71 solo | 1803,50 [e + 0,41 1803,91 D 1639,08 52"10*5 | 165,30 o — 0,35 164,95 1085190 SSE — x = — — , ——_— == T | caro | 644,67 |. 0.47 | = o,01 644,19 569108 | 1325,07 =0.50 + 0,13 1324,61 DE 589"ro* | 644,17 o = 934 | 64403 | qa? 3. | 680,80 our || suat 10:00 + Ge 1325,09 gu aio? | 1645.07 — 0,97 = Os | Sur 681.14 1000 x aro | 169,60 + 1,80 — 0,33 | GAST ee | 8"ro* | 1806,73 o + 0,19 1806,92 d m 1635,78 10" 105 171,33 + ©,11 — 0,23 T Wee | IV Laos 648,77 — 0,67 — 0,10 648,00 6 x T4™ro® | 1323,90 = oll + 9,12 1327,88 SE 18" 105 648,30 [o — 0,19 648.11 79,77 6 6 : ? 680,04 7959 ASO || RR, = ONG + 0,20 1328,15 D 522108 649,17 — 0,97 — 0,20 648,00 680,15 Mittlere Ablenkungen: bei kleiner Entfernung: bei grosser Entfernung: 1637,43" 680,43» Redukt. auf mm + 5,14? + — 2,22P 274 = 642,57" 2703 = 682,6 5mm, Gi = 5°25"30,19" Pa = 2^16'37,38". Daraus ergiebt sich: nee 8 N, — 828 Og 77 = 84375813 M, = 514782800 H, = 1,87950 log (M, H,) = 8,9856668 — 414700 — 147 log M, = 8,7116241 + 211400 en log H, = 0,2740427 M = 514579500 H = 1,87726 Redukt. auf Normal- ur 3 Es ergiebt sich C= — 52446™) temp. des Bifilar H* = 187720. 52 E. SOLANDER, Erdmagnetisches Observatorium Góttingen. Bestimmung der Horizontal- komponente. 1891 Sept. 5 am. I. Bestimmung von M. H. (Schwingungsdauer). Satz S Mittlere Umkehrzeiten ; Mittl. Use 20. Schwingungsbogen: :0 beobachtet berechnet: En oo 36,55 2° Vor Satz I: 242,2 II 30 39" 38,925° 38,980° Nach Satz IV: 173,3 TI 59 49" 41,330° 41,408° Im Mittel: 207,7 IV 83 59" 43,905? 43,935 Der mittlere Bifilarstand von o'29" bis ıotr" betrug = 597,38, ti, = + 14,38", [y = + 15,159. Mittlere Sehwingungsdauer: 20,7734 Redukt. auf 6007 am Bif. — 0,0019° Temperatur: Redukt. auf kl. Bogen — 0,0002? f= s 102 r= 20577138 log = 1,3174637 - HE IK log ae 11,6205846 2logt = 2,6349274 log M,H, = 8,9856572. IT. Bestimmung von i ( Ablenkungen). H N:r der Zeit Ablesung an Korrektionen wegen Korrigierte | Doppelte Mitel Gabel s der Skala U II B II Ablesungen | Ausschläge : III |10!16"105| 1799,00 — 0,69 — 0,11 1798,20 628 m s I 3 , euro o o * 0,07 150,84 | reg | ATOS zomros | 1797,87 | +0,55 | — 0,07 | 1798,35 $us IV DE | nemo — 0,09 — 0,02 1317,92 24" 10* 637,30 — 0,09 + 0,02 637,23 eee 26"105 | 1317,57 o = 0,02 | 1319,55 000g. | oso 28"105| 636,87 + 0,9% o 637,19 93 Syon | scam + 0,76 [9 an 680734 I gare | ÖST — 0,74 o 1315,83 ae S4uno saos | =S | = 634,04 EE SOLOS 1315,93 o + 0,02 1315,95 a 682,01 38"10*| 634,10 — 0,39 — 0,03 633,68 Bean 40" 163 | 1315,53 + 0,17 +0,04 | 1315.74 22) II 42"105 | 1794,30 — 0,99 + 0,18 1193-49 | 1640.69 44"105 | 152,70 o — 0.2 152.50 one 1641,11 10'46" 165 | 1793,43 + 0.06 + 0,24 1793.73 ‘ VERGLEICHUNG DER BESTIMMUNGEN DER HORIZONTALINTENSITÄT etc. 53 Mittlere Ablenkungen: bei kleiner Entfernung: bei grosser Entfernung: 1639,77? 681,20? Redukt. auf mm + 5,14P + 2,22? 274 = 1644,91™ 275, = 683,42. Pa = 5°25'57,36" Pa = 2°16'47,01”. Daraus ergiebt sich: M log +7 = 84379286 M, = 514983000 Hi, = 1,87873 Es war log (M, . Hj) = 8,9856572 = 414700 — 0,00147 + 211400 — 0,00077 log M, = 8,7117929 M = 514779700. H = 1,87649 log H, = 0,2738643 Reduziert man H auf die Temperaturen Es ergiebt sich ty = + 14,5 in = SEG. C = — 539o8mn*, so kommt die Korrektion hinzu: M = 5147797oo(mm)i(mg)N(sek.)' bei {= + 18,2! + 0,009009. HF = 1,87658(mm)":!(mg):(sek.)" Es ist also für Bifilarstand = 6002, £, = + 14,50°, fy = + 15,0". H* = 1,87658. T... un mémoire, inseré dans les Acta Soc. Sc. Ups.!), j'ai déterminé la condition nécessaire et suffisante, pour que l'on puisse satisfaire à l'équation différentielle linéaire du second ordre aa Ha (ae + 20,0 +) £d (idet o par une fonction entière et rationnelle de la variable z, et en même temps j'ai déduit une expression analytique de cette fonction dans tous les cas, ou la condition sus-dite est remplie. Parmi les fonctions de ce genre on peut mentionner les polynómes, qu'on obtient de lexpression »\ en y faisant m successivement égal à 0,1,2,3...., et dont on fait usage dans la théorie des équations binómes?) La fonction y = V, satisfait à l'équation différentielle V. ="2 cos (n are eos VIS d* dy (EE) T d- d E n'y=0. A cette espèce de fonctions appartiennent aussi les polynómes de M. Hermire ”), qu'on obtient de l'expression 1) A. BERGER, Sur les fonctions entieres rationnelles, qui satisfont à une équation différentielle linéaire du second ordre. Upsal 1892. 2) J. A. SERRET, Cours d’Algébre supérieure. Quatrième édition. Tome I. Paris 1877. p. 285 —242. 3) H. LAURENT, Traité d'Analyse. Tome V. Paris 1890. p. 212—215. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 2 A. BERGER, par les substitutions n=0,1,2,3..... La fonction y — P, satisfait à l'équation différentielle uei da De plus on peut citer les polynömes de LEGENDRE!), qu'on déduit de l'expression 1 d" Der L9 n og qas AR en y faisant n=0,1,2,3..... La fonction y — X, satisfait à l'équa- tion différentielle @—l nn+l)y=0. Dans ce mémoire je me propose de déduire les propriétés prin- aaa d’un groupe infini de fonctions entieres et rationnelles, qui satis- font à l’equation différentielle d? G 37 - +32 —7 À —n(n + 2)y = et qui produisent les nombres de LAMÉ pour une valeur spéciale de la variable x. SEI Par le développement de l'expression 1 Nest: suivant les puissances croissantes de ¢ nous obtiendrons pour les valeurs suffisamment petites de t une égalité de la forme (1) rer a e us Li 1) H. LAURENT, Traité d Analyse. Tome V. Paris 1890. p. 188—211. SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAMÉ. 3 où les coefficients u, , 4, U, U, ,... sont des fonctions de la variable x. Multiplions les deux membres de léquation (1) par le dénominateur du premier membre, et égalons entre eux les coefficients de # dans les deux membres, nous en déduirons les formules suivantes: ^ (2) Wo ly w = 2, U, = uu, +W, pour RED , par lesquelles on peut calculer successivement les fonctions u, , u, , LA NES En faisant 2 ZI n p? 3 D'or ya 4-4 © Neue (3) fy xD cU CR ace / 2 nous aurons (4) 1 ut 1 ( T; je | lei qug JA TM et par suite on tire de l'équation (1) n=O 1 n== (5) > gi = ———— » (pues e gene) Ü . n=0 Ti = 0 n=0 - . Egalons les coefficients de /" des deux membres entre eux, nous déduirons de cette équation \ m+ n+l RO que (6) Un = ou, d’aprés les équations (3), 3 1 = N DEN RAT) (7) Up = = ( NET ) SE ) à Ye +4 2 2 formule qui subsiste pour »— 0. Par là nous avons trouvé une expres- sion générale des fonctions w,. Pour le calcul de ces fonctions il est cependant préférable d'employer les formules (2); les dix premieres sont: Br ln recu er Tl, Dr Ou, Set Bat qq Us — 4a? 32, u = 26 4 Bat 4 6274 1; u, = 2" + 60 + 10240 4a un Er Core TOG SINA RA A N SE ba. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant. A. BERGER, Théorème I. Pour le groupe infini de fonctions de la variable x U NUDE seo UE rer o j Uy > 1 qui sont definies par légalité il 5 3 Ja Ge s Uy tut HUE + ust pose on aura les formules uy, — d Uj = Ly Un = Al, + Une pour n2 2 et ” En faisant (9) Pn) Sabu, s pour 21, on en tire (10) DOR COSI cU DERI. 0 ou, d'aprés l'équation (2), (11) F(n +1) = ui a Un (tuas + Un) ou (12) FDA me Wa gH d’où l'on déduit, en employant de nouveau l'équation (2), (13) Flat 1) tal, et des équations (9) et (13) on tire pour n 21 (14) | F(n +1) = — Fr). De cette formule on obtiendra pour n 2 1 (15) F(n) = (— Ly? FQ) SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LaMÉ. 5 et par suite, d'aprés l'équation (9), (16) F(n)= (— Ly (wu —wu,us) ou, par application des formules (8), Ga) F(n) = (— 1) . Des équations (9) et (17) on obtiendra la formule (18) DE tee, ( Dis qui subsiste pour n > 1. A Au moyen de l'équation (2) on obtiendra pour n > 1 (19) Un e, — Un1Un42 = Un ga — Una lLUngr + Un) = Oan Eme I JE en ou, d'aprés l'équation (18), (20) Uo Uu M ES formule, qui est vraie pour n > 1. D'aprés l'équation (2) on a pour n > 2 (21) Mrd — dus. ta, Macy mm. — XU » et de ces deux formules on tire par multiplication (22) Mou SpA e I erus (Us — Un) et, par conséquent, en faisant usage de l'équation (2), (23) Ug Us eg — Up = TU Un, + 2202 ou, d'aprés l'équation (18), (24) oa Us = (— lya ., formule, qui subsiste pour n > 2. Eerivons maintenant les équations (18) et (24) de la manière ' suivante: (25) Un—1Ung1 = Un — (— 1)" 6 A. BERGER, et (26) = wee (= Tg nous en obtiendrons par multiplication pour n — 2 (27) EL (= ID nae ib) a ou (28) TOR rn Ung Ung = meos (es IDE (a s yo Nous résumons les formules (18), (20), (24), (28) dans ce théorème. Théorème II. Si l'on désigne par n un nombre entier, on aura Dr = (= NY nour ee Ik Ma as — m —(—1yz pour n 2 I | JE Reed Dye mop gum hs ce (DC cs TTE mr vm = 2. Par applieation des notations (3) on a d'aprés l'équation (6) (29) files Tal ip Bee rn = Tq et, par conséquent, pour n= 1 il TE a (30) HS ae ee re = ra Ti = hs En ajoutant ces deux égalités, nous en obtiendrons Pa = På mais on a d'aprés les équations (3) 1 ii === hi == Te à To + Re (83 53 He [m Ta et, par suite, on déduit de l'équation (31) (32) "nd (33) wi tue mdr ne SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAMÉ. 7 Des équations (29) et (33) on obtiendra par multiplication, en supposant que n — 1, 9 9nt2 14-2 BS rat aan (34) Un (re + Usi) = = Pa = di ou, d'après l'équation (29), (35) CAGE SU ee) = TUR De l'équation (29) on obtiendra pour n > 2 n—1 n—1 > (36) rap cr ceu A btc! DON : un = Do Un — ra d’où l'on tire D 1 n+1[ „2 1 qnc | 2 1 (31) Une + Una = * Ir, ra (13 == =| Se ( är x) ) puisqu'on a, d'aprés les équations (3), 5 3 1 PE (38) ec ree mnt 1 2 on obtiendra de l'équation (37) : phi 22 pen (39) Un—2 + Unge = (8° + 2) — " TET ou, d'aprés l'équation (29), (40) "SIE (er 7 2) te Des formules (35) et (40) resulte le théorème suivant. Théorème III. Si l’on désigne par n un nombre entier, on aura ? Us Hoc Uy a pour in: il et Un» + Unio = (X + 2)u, pour n= 2. Remplacons dans la premiere formule de ce théoréme (41) Um Una Alm ei = Uonts 8 A. BERGER, n par n— 1, nous aurons pour n 2 2 (42) Nn1 Une + UnUna = Uni 9 et des équations (41) et (42) on déduit par soustraction (43) Op Ch, = We) dis Ut (Onna =) = Mia mcus d'oü l'on tire, en faisant usage de la formule (2), (44) cl Ue S. a cette formule, que nous avons démontrée pour n 22, subsiste aussi Or = il. Soit » un nombre entier positif, on aura d'aprés l'équation (2) (GD) mtu utes DE = T s ey ses In) = (Gann =), ou (46) Diony = een Vg = raa eis we) et, par suite, d’après l'équation (44), (47) Un+1Um+2 — Un Un = X Ups - Par là nous avons démontré ce théoréme. Théorème IV. Soit n un nombre entier positif, on aura 2 2 Un—1 + Un = Um et Un pa Un+2 — Un—1 Un = X Mop - Pour nz l on a U n 2 | U, tant Un Un+ı — arc teg Een ut ; CAGE + 25,33) Un+1 Un (48) tg jare tg et par suite, en y appliquant les théorémes II et III, (49) tg jare [ceu ore ie ey Uns Un UT E SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. On a aussi (50) tg jare tg" _ are tg al _ Unllntı — UnosUng c D te) cs à Unto Uni Un4iUn42 Fp Us ou, d’après le théorème II, u U — ea (51) 8 gang te > ToS o: m eu : 8 5 \ Un—1 U, + Una Unite Unto Unt $ De l'égalité 2 Uy_9 Un+2 -— Un U, (t, —2 + Un42) DET U ane fou = u u n ae (52) te jare tg on tire, par application des théorèmes II et III, ao CS orar TEN E (ur SF 2) u, Uno tg jare tg ——- Un, — are tg (53) Des formules (49), (51), (53) resulte le théoréme suivant. Théorème V. Si l’on désigne par n un nombre entier, on aura u Me = ll)’ tg jare (ie pe es um e c) DOM EZ QU Un+1 Un Usn+ı u Qi = Ff tg D i rane hoe EU pour nz 1l, Un+2 Un+1 Us is + Uni UWng2 9 UE u Ll tg }are qs Zen ei = C , > pour n 22. Un Unis (ur eii P En appliquant la formule (54) tg {arc tg a — arc tg f} 1 tg jare tg u + arc tg Pl a à ces trois égalités, nous en tirerons les formules Us —1 (55) ig jare tg as + are tg E = (— ju, pour n > 1 , f "uL l n Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. } U, B 10 A. BERGER, (56) tg jare tg tg Un+2 + arc tg deat = Dita + Un Unto) pourn21, Un Ban x = IE es P 2 (57) tg jare tg = Ze AO Es ze | use) Ce: 2) Un pour n= 2 Un—2 Un+2 dd Remplacons dans la formule de recursion (2) m par r + 1, nous en tirerons pour r = 1 (58) Ma — Man 3 en y faisant r successivement égal à 1,2,3,...n, où l'on désigne par n un nombre entier positif, nous obtiendrons par addition des égalités ainsi obtenues r=n r=n r=n (59) a u = Duu— Zu. r=1 r=1 n= Introduisons r — 2 au lieu de r dans la première somme du second membre, nous en tirerons r=n r=n+? ren (60) DD Var MEA r=1 r=3 r=L ou ven (61) 4 an et par suite, puisqu'on a uw, — 1, u =x, 1 a (62) p ooh en r=0 formule, qui subsiste évidemment pour n= 0. En remplaçant n par 2r + 1 dans l'équation (2), nous en obtien- drons pour 7 2 1 (63) Qo, = Uoyys — M» ; faisons dans cette formule r successivement égalà 1,2,3,..,m, et ajoutons les égalités ainsi obtenues, nous en déduirons pour n = 1 ren (64) CA X Uo, = I Uri A > Wo + r=1 r= r=1 SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAMÉ. 11 Introduisons » — 1 au lieu de r dans la première somme du second membre de cette équation, nous en obtiendrons r=n r-n-cl vn (65) X 2 Us, = > Us,_—ı — > Wo, 1 T r=2 r=1 et, par suite, r—n (66) x > Up, = Ur — Uy 3 mais puisqu'on a uw, — 1, u, — v, on tire de l'équation (66) ren (67) She nn i = a ) formule, qui est vraie pour n Z 0. Si l'on remplace n par 2r +2 dans la formule de recursion (2), on en obtiendra pour r 2 0 (68) sre == Ugo — Us, § en faisant r successivement égal à 0,1,2,...n dans cette formule, nous en déduirons pour n — 0 r=n r=n r=n 3 (69) DATES Da Dun: r=0 r=0 r=0 et par suite, en remplacant r par r — 1 dans la premiere somme du se- cond membre, ı=n r=n+1 = (70) 2 X ug Dt — Nu. ; r=0 TT r=0 d’où ren (71) € À Ugn = Uni — Uo ; r=0 . mais puisqu'on a 4, — 1, nous en obtiendrons pour n>0 la formule (12) Y D RN OS Meus —1 r=0 x Nous résumons les formules (62), (67), (72) dans le théoréme suivant. 19 A. BERGER, Théorème VI. Soit n un nombre entier positif ou nul, on aura an Ss | P Tu F 2 r=0 Vv ren Us by 2n+1 gay py eme 9 Am à r=n 4 3 y co ha 1 ÄN ee 9 r=0 xu Remplacons maintenant n par r +1 dans la formule (2), et mul- tiplions les deux membres de l'équation ainsi obtenue par u,, nous aurons pourr >21 (73) Hip — II 5 is AE u— : ae et par conséquent, si l'on désigne par n un nombre entier positif, ı=n 7y—n r=n 4 (74) PTE = Dy VM aD, Ve a r=1 Fi r=l En introduisant r +1 au lieu de r dans la derniere somme du second membre, nous obtiendrons / r=n Ten r=n—1 2 > by (75) x 2 Ur, = 2 Uy Uppy à UpUppi r=1 r=1 r=0 + 2 n (76) x > Ur = Un Uns SS \ iu hed d’où l'on tire 7—n Un U (77) > u rm à r=0 a formule qui subsiste encore pour n= 0. x D’après la formule (2) on aura pour r 2 0 2 2 A 2 2 (78) zu,u,,, — Wray UF = UCU pa HU) — Ur = Up Uy pe Urn ou, en y appliquant la premiére formule du théoréme II, (79) LU; Unga — pua + Ur = (— 1) SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 13 et par suite, si l'on désigne par » un nombre entier positif ou nul, ene r=n r=n r-n T 2 by = DE Sr quse DR (80) Y r=0 r=0 r r=0 =n 0 Remplaçons dans la deuxième somme du premier membre r par r —1, nous obtiendrons de l'équation (80) r=n r=n+1 rn à 1 > n 81 VOIR Ui ED ee 2 3 2 2 5 r=0 r=1 r=0 = ou r=n 1 exis ht 1 n (82) 3 Up = Ge - ) ) ; Es a 2 = (Due formule démontrée pour n Des équations (77) et (82) resulte ce théoréme. Théorème VII. Si nul, on aura Pon désigne par n un nombre entier positif ou r—n 2 Un Uns E Qu. = IE r=0 x et ren 1 en 2 = DATE = = (Ca — > ) ) r=0 wv a of Pour n 21 on a d’apres le théoréme II (83) Us aga — Un = (— N" , d’où l'on tire, en y appliquant l'équation (2), An (eu, a, Au, = Ale) (84) ou (225.5 au, (2 2A, 4 1: et par suite, d’apres l'équation (2), (86) Gt) (a rd = Ace Ty Remplagons n par 2» —1 dans cette formule, nous trouverons pour n=1 (87) Ga fee cw ue t4 14 A. DERGER, et si l'on remplace n par 2» dans la même formule, nous aurons pour n > 1 (88) (usa + 43)! — + du ——4. Par là nous avons démontré ce théorème. Theoreme VIII. Si l'on désigne par n un nombre entier positif quel- conque, on satisfera à léquation fonctionnelle indéterminée y? — (x° + 4)z° = 4 I par les fonctions entières et rationnelles Vy = 9 + Uon 4 & = Uon—1 ; de méme on satisfera à l'équation fonctionnelle indéterminée De == (Gis Sac ee es par les fonctions entires et rationnelles Y = Usa + Uongr I 2 = Ugn + $3. Remplacons n par r dans la premiere formule du théoréme II, nous en déduirons pour r = 1 (89) U en. = (s u, 0, Sc Cela fait, substituons dans l'équation (89) r 21,2,3,...n, où lon désigne par n un nombre entier positif queleonque; par addition des égalités ainsi obtenues, nous tirerons (90) wow y CC Dy Un+ı Uy rar 0,44 : rae et par suite, puisqu'on a u, = 1, (01) «oy CT = Unga — r0 UplUpga SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LaMÉ. 15 Introduisons 2r au lieu de » dans la deuxième formule du théo- reme Il, nous en tirerons pour r= 1 (92) NI ET M U2r+2 Ur Us, Mo, i2 Par addition des formules, qu'on déduit de l'équation (92) en y faisant r=1,2,3,...n, nous obtiendrons pour n>1 Uon+1 Uy E 1 (93) y Uon+o Us r=1 Ugr WU, 1.9 ou, en observant que uj, 2 1, uw, — c, (94) U2n+1 E n = À > — — U2n+2 r=0 U2pUgp2 En remplacant n par 2r +1 dans la troisigme formule du théo- reme II, nous en déduirons pour 7 > 1 (95) Ups Uhr, D a WU», a WU», 1 Ugpt1U2r+3 Substituons successivement r = 1, 2, 3,... » dans l'équation (95), nous obtiendrons par addition des égalités ainsi obtenues pour n > 1 Us u aW jl (96) tende uw rA en U2n+3 Us r=ı Usp44 9,43 ou, puisqu'on a w, = c, u a^ I (97) e opp re haut U2n+3 r=0 2741943 Dans ce qui précède nous avons supposé n — 1, mais on peut s'assurer sans difficulté, que les formules (91), (94), (97) sont vraies aussi pour n — 0. Nous pouvons donc énoncer le théoréme suivant. Théorème IX. .Désignons par n un nombre entier positif ou nul, nous aurons Un D y = 19% 2 DS Eu 16 A. BERGER, =n Mos 41 + 1 = = 4 em; SSR RAD Uon+2 r=0 Usr Udps2 Us r=n 1 2n+1 en x? > à U2n+3 r=0 U2rt1 U2r+3 Introduisons n +1 au lieu de n dans la formule (2), nous obtien- drons pour n= 1 (98) Brag den et, par suite, u 1 (99) = ; Uni x = Un-ı de cette formule on tire de méme (100) ZUGE Un Continuant ainsi nous trouverons enfin (101) URN Usi m Bar Baw 0 1 + UE xd u, ou, d'aprés les équations (8), (102) ie - Uni Ar Ga LL, — ET 1 : M er ni UH où le nombre des fractions simples est égal à n + 1. Cette formule est vraie pour » > 0. SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 17 9 e D'aprés la seconde formule du théoréme III on a pour n > ie tan eta E (103) Use = et, par conséquent, (104) Hae qe T Un+2 a? 32 9 pen Un—2 U, Remplagons dans cette formule n par 2n, nous en obtiendrons pour n = 1] u 1 (105) 2n = < Uo,» 2? zi 9 M Us, 9 Us, de cette formule on tire de méme (106) Hsc Vend : Uo, 9 22 [5] © ata ; a ae 9 n Uo, 4 Uo, 9 procédant ainsi nous obtiendrons enfin ki J jl (107) = 1 U2n+2 2 Rau demo | + “am 4 1 u Qe dep lcu Us ou, d'aprés les équations (8), u 1 (108) = 1 Uno 2 3 Ue S UAI MR 4H + ZE . 1 n ; ; AU OR Betz. Ah. 2 zer » ou le nombre des fractions simples est égal à m +1. Introduisons 2» + 1 au lieu de a dans l'équation (104), nous en V tirerons pour n = 1 (109) Unser — I ! 25.13 unm Uon=s Yon +1 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 18 A. BERGER, et de cette équation on déduit de méme (110) Uo, 1 M l Uyn+3 a? JE uc. cis. RA ; 12 zt ONES Uo, —3 U2n—1 continuant ainsi nous aurons enfin (OUO. pases CD U2n+3 DNO MEME 1 u g^252— 1 a? Js DU Dae V. ou, d'aprés les équations (8), QUID Sane (OE - U2n+3 2 gr be LD > 1 So. RAD: ur Hex T qa où le nombre des fractions simples est égal à n +1. Des formules (102), (108), (112) resulte le théoréme suivant. Théorème X. Si l'on désigne par n un nombre entier positif ou nul, on aura Doe vll u = ill n+1 5 de a+. 1 3 T g--— L et si n est un mombre entier positif, on aura Uo en 1 U2n+2 ute 1 gr JL — 1 we LT : SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 19 et ups Uon+s 2 [5 ge deme KM. ex TOI) MERE oT | 1 vli gu x + 2 dans chacune de ces trois fractions continues le nombre des fractions simples a? + Qi e est égal à n -- 1l. $ 4. Maintenant nous ferons usage des quantités r, et v,, définies par les équations (3). Ces quantités sont des fonctions de la variable z, et des équations (3) nous obtiendrons (113) pec c Oy pe M caede En différentiant par rapport à z, nous déduirons de ces égalités (114) ts i S | dız NNUS i al, == i) DRE: UC NIS da EX da ju = Thy D'aprés l'équation (6) on a (115) (Der, ttes qucm & et par différentiation nous en tirerons ise CE en Im Me) = +1) fn re) da da da et par suite, en y us les équations (113) et (114), (117) (a? + adus n AT koll (n + Pr: ap + rats) É De l'équation (117) on tire par différentiation et par application des équations BET ‚n+1 pti T$ (18) (@ 4-54 cm = (n + 1? 9 — LECT 20 A. BERGER, et par conséquent, d'aprés l'équation (115), d? Un te 3% di n n (n EIS 2)u, = 0 5 u da (119) (a* +4) da On en conclut, que la fonction (120) you, satisfera à l'équation différentielle linéaire d” 2 da? 5 2 9, LY (121) (a? + 4) + 32 Re) aD ; et d’apres une méthode connue nous trouverons, que la solution géné- rale de cette équation différentielle sera donnée par la formule dac 7) (123) y — ku, + À, nr en désignant par k et k, deux constantes arbitraires. Puisque u, est une fonction rationnelle de la variable x, l'intégrale, qui se trouve dans le second membre de l'équation (122), ne peut pas être rationnelle. Pour que la valeur de y, donnée par l'équation (122) soit une fonction ration- nelle de la variable x, il faut donc et il suffit, que la constante 4, s'an- nule. Par suite, toute fonction rationnelle y de la variable x, qui satis-- fasse à l'équation différentielle (121), sera nécessairement de la forme (123) y= ku, , ce qui démontre le théoréme suivant. Théorème XI. Soit n un nombre entier positif ou nul, la fonction y = Us a satisfera à l'équation différentielle linéaire 2 (a? + 4) a +32 —n(n--2)y 20; e c et inversement, toute fonction rationnelle y de la variable x, qui satisfasse à cette équation différentielle, sera de la forme y=ku, , en designant par k une constante arbitraire. SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 21 En définissant z comme fonction de la variable x au moyen de l'égalité (124) 2= (ce +48, oi l'on désigne par n un nombre entier positif ou nul, nous en obtien- drons, par différentiation logarithmique, (125) (a? + 4) x 0) 0 aa et, par conséquent, : dz pn ne de arte 4) nr d^ (az) (126) re) da" ou, d’après la formule de LEiBnirz, d"??z SCR: d"z 3 2 ill 2 = 0 (127) Go pi arken OP En y faisant (128) oe =v, da" et par application de la formule (124) nous trouverons, qu'on satisfera à l'équation différentielle 2 ) (129) (a? + 4) 2 er . Beni par la fonction 2 ED d 2 iT (130) v= T lo + 4H. Introduisons maintenant au lieu de v une variable nouvelle » y, liée avec v par la relation (181) v = (x + 4)y ; de cette égalité on tire par différentiation (132) PIN Ge eae WO Lara daz da 22 A. BERGER, ou (133) G* 4-49 2 (+0 Wy ay. Différentiant de nouveau, nous obtiendrons de cette équation (134) (x i T 2 Mem bis T = = A (E Ls ou "—— tical Par application des formules (131) et (135) aux équations (129) et (130) nous conclurons, qu'on satisfera à l'équation différentielle (136) (244 DEAE n(n + 2)y = 0 par la fonction (137) y-@+ (GP rt). Cette fonction étant évidemment rationnelle, on obtiendra par applieation du théoréme XI l'identité a E (138) GA) ter Eus en désignant par k une constante. Pour la détermination de la quantité k, nous procédons de la maniére suivante. Des équations (2) on con- clura, que la fonction w, sera une fonction entière et rationnelle de la variable x du n°" degré, et que le coefficient de x" dans cette Kuchen sera égal à l'unité. Par suite on aura pour n = 0 (139) immo al z=o I Divisons les deux membres de l'équation (138) par 5", et faisons croitre x vers l'infini positif, nous en déduirons au moyen de l'équa- tion (139) 7h tum set D z" api (140) k = lim T= © SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 23 Appliquons maintenant la formule du binóme au second membre de lidentité 9 1 9 4 Bar (141) uec ce. zx nous en obtiendrons, pour x > 2, une égalité de la forme (142) (a? an 4yrt: = aera 3 ar + Die ae COR edt et en TES: par rapport à x, nous en tirerons pour n= 1 JP i@ +9") = (eu 4 1)2n@n— 1)... (n 4 2a" 4 a a la qeu et, par suite, (G? + 477] (044) > - Jim de A arm au. En a1) r=0 En faisant usage de cette formule, nous obtiendrons de l'équation (140) pour n Z1 (145) x — Dn 2) Jp ee) et en introduisant cette valeur de la constante k dans l'équation (138), nous en déduirons pour n= 1 ? (146) Un = ER UE x a EN, formule, qui subsiste encore pour n — 0, en faisant usage de la signi- fication (141) t = Fm). de (x) Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant. Théorème XII. Si lon désigne par n un nombre entier positif ou nul, on aura T(n + 2) 2 E ma. B 2 A. BERGER, Sis Posons maintenant l'équation (1) sous la forme (148) Sum s n=0 NEUSS Ed en y remplaçant ¢ par ti, nous aurons, pour les valeurs suffisamment petites de ft, à n= : / (149) uu ds CIE / ax) ] —acto -E t Multiplions les deux membres de cette équation par dx, nous en déduirons, par intégration entre les limites x = — 27 et 4 — 21, n=0 Qi 4 2i N (150) Pa) ir ce = ge n=0 UST d’où l'on tire, en remplaçant x par 227 dans l'intégrale du second membre, (151) 5 rae ad NE dz = —2i ias Lad JG 29$ ae ou, en exécutant l'intégration dans le second membre, mes 2i 1 t (152) > Fo) u,da = : log + n=0 —3i ou, par développement en série, ied 2i 2 4 6 (153) Sn unde =4(1+5+t tet) Cela fait, égalons entre eux les coefficients de ¢” dans les deux membres de l'équation (153), nous en obtiendrons pour n > 0 (154) 2i | uda = br I P n+l si n est un nombre pair, mais (155) n—1 U SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAMÉ. 25 sin est impair. Si l'on désigne par » un nombre entier quelconque, on aura done pour n= 0 2i 4 Ya, 1 n fi (156) i “ty = ei 1 Jumade = 0. En posant l'équation (2) sous la forme (157) VJ EU EL EN nous en obtiendrons par intégration pour n > 1 2i 2i 2i (158) 1 Tu, AZ = [ tga — | Un uda. ne P» c —2i 2i Introduisons 2» au lieu de n SES cette équation, nous en ob- tiendrons pour n= 1 2i 2i 2i (159) 1 LU, dz = [ Ud = Usp dE = e — 2i 5 —2i et par suite, d'aprés la seconde des formules (156), 2i (160) J zundax= 0, —2i formule, qui subsiste évidemment pour 7 > 0. Remplaçons n par 2n + 1 dans l'équation (158), nous en tirerons pour n = 1 2i 2i 2i (161) [ Sus da = | QA DI Ug, d d v —2i | —2i —2i ou, d’après la première des formules (156), 2i : 1 1 e n+1 (162) f sumnde = 4( 1) (get Vue En remplaçant n par r nous obtiendrons des équations (156) pour r2 0 2i 4 DNE ili 74 2i (163) Jh Ze at pe DAS OL. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 4 26 A. BERGER, Substituons successivement r=0,1,2,...n dans la première des équations (163), nous obtiendrons par addition des égalités ainsi obtenues et par application de la deuxième formule du théorème VI (164) |, de pe vi T formule qui subsiste pour n= 0. ; Supposons que n>1, et remplagons r successivement par 0,1, 2,....n— 1 dans la seconde formule (163); par addition des égalités ainsi obtenues et par application de la troisième formule du théorème VI nous aurons 165 fcn c s ( —2i e formule qui subsiste évidemment pour » > 0. De ce qui précède resulte ce théorème. Théorème XIII. Soit n un nombre entier positif ou nul, on aura 2i - DA 2 | Us, dia = ae Die ; i Unde =0 I —2i 2n + il HER A - ME 1 Jet =). Ae Zug, ,de = 4(— 1) (os TT de i ;) : oce acm Jmm de = ne | CT | AM rao 2r +1 En faisant croitre le nombre entier » vers l'infini positif, nous obtiendrons de la derniére formule de ce théoréme (166) lim jt Ten de=ni. v —2i D'aprés le théorème XI on satisfera à l'équation différentielle (167) 430 n(n + 2)y=0 par la fonction y = w,, et par suite on aura identiquement pour n > 0 s 4 duis oes a (68) (rer as t =, 1 ORE SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 27 Dans le ealeul suivant nous ferons usage de l'expression (a* + 4) pour les valeurs purement imaginaires de la variable x, qui sont com- prises entre — 27 et 27. Pour ces valeurs de x la quantité 2? + 4 est évidemment positive, et nous désignerons par (a*-L 4) la racine carrée positive de 4? + 4. En mettant léquation (168) sous la forme (169) n(n + 2) (à? + Stu, = 4 jc ; du, = au nous en obtiendrons par intégration entre les limites z = — 27 et æ = 21, en supposant que n > 1, Ree (170) ij (x + 4)'u,dx#=0, formule, qu'on peut généraliser de la maniére suivante. Remplacons » par m dans l'équation (168), nous en déduirons pour m — 0 d* tin du aos mim + 2)u, =O , da (171) +4) OM 4 Ba et en multipliant les deux membres de l'équation (168) par w, et les deux membres de l'équation (171) par w,, nous en tirerons par sous- traction 2% (172) (a? +4 Jun B gi en da n dac da du u du, 5 Eom "da = + 32 ju, — In? + 9n — m? — 2m] u,u, = 0 ou (178) (n—m) (nt m2) uan G9 4-0 = a? + 4) (m E u, Um Puisquon a m20,n20, le facteur n+m +2 ne s'annulera pas, et en supposant, que les CS m et n solent différents entre eux, nous obtiendrons de l'équation (173) par intégration entre les limites Dom Dre eo 2i (174) (a -p4A*uudz-0, —2i 28 A. BERGER, formule, qui subsiste pour m>0,n>20,mZn. Pour m = 0 on en déduit l'équation (170). Pour m — » la formule (174) n'est pas vraie, mais dans ce cas lintégrale définie, dont il s'agit, peut être évaluée par le procédé suivant. D’apres le théoréme II on a (175) MES ete (ecu ib pour n 21, et de cette formule on tire P2i 2i (^2i (176) | (a? + runde zi (CHR SAR GE TT) (x? + 4) dx. —2i —2i —2i Appliquons maintenant l'équation (174) à la première intégrale du second membre de l'équation (176), nous en déduirons pour n= 1 E 2i (177) MOI yf (mS ze —2i Cette formule, que nous avons démontrée pour n 21, subsiste encore pour n — 0, et en remplaçant x par 2.7 dans l'intégrale du second membre de l'équation- (177), nous en obtiendrons (178) jr Gub QE Sen (es ie 2i —1 et par suite nous aurons pour n= 0 P2i (179) | (à? + Mulde = 2(— 1'ni. —2i Nous résumons les formules (174) et (179) dans le th&or&me suivant. Théorème XIV. Si l'on désigne par m et n des nombres entiers po- sitifs ou nuls, on aura 2i [ (+ d'uu,dz=0, Di si m et n sont différents entre eux, mais jJ: (a? + 4j uide = 2(— lai . —2i 1 SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LaMÉ. 29 Désignons par P,(r) un polynôme quelconque, dont le degré est au plus égal-à n, nous aurons E (180) P, (x) = a, x” == DEN qi ROLE +, en désignant par 4,,4, ... a, des quautités constantes, et de l'équation (180) on tire (181) Pa) = aqu, + (— au, + 42^ + 02 +... + ay} Puisque wu, est une fonction entière rationnelle de la variable x du n°" degré, dans laquelle le coefficient de x" est égal à l'unité, la quantité, qui se trouve entre les chrochets dans le second membre de l'équation (181), sera un polynôme de x, dont le degré est au plus égal à n— 1. Par suite nous aurons une égalité de la forme (182) | Ea) = au, + P,_1@) ou, en y remplacant a, par c,, (183) Tr) = Ca Up + rts (a) ? où c, est une quantité constante. De même on aura (184) P) = Glan Ps (x) s (185) Ps (x) = (n-2 Un + To (x) 9 (186) P,(z) = eu, + P,(a) , (187) P, (x) = eu + P). Puisque P,(z) se réduit à une constante, nous pouvons poser (188) Py (x) = Cou ; et des égalités (183) . . . (188) nous obtiendrons par addition rn (189) PC) Seu 30 A. BERGER, Par là nous avons démontré, qu'un polynôme quelconque P,(x) peut se mettre sous la forme (189). Maintenant nous déterminerons les coefficients c,. Designons par s quelqu'un des nombres (190) Velen et multiplions les deux membres de l'équation (189) par (^ + 4)’w,, nous obtiendrons (191) D ¢, (a + Aju,u, = P,(x)(x? + iu, , r=0 et par suite, en intégrant entre les limites z = — 2i et r= 2i, T bai n 2i n2i (192) 6, jJ: (a? + Ayuude = | P,(a)(a* + 4)udz : 0 —2i * —2i T ou d'aprés le théoréme XIV, puisque s est égal à un des nombres (190), 2i (193) Bec aie | Po ee —2i En y remplaçant s par r, nous aurons pour 0 CU, 4 = r=0 ou les coefficients c, sont donnés par la formule er Fa jm P(e? + 4 u,dz . SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGEBRIQUE DES NOMBRES DE LAME. 31 8 6. Il s’ensuit des formules (2), que toutes les quantités Ug 9 Ua. Ugg Ugg Uggs + + + sont des fonctions entières et rationnelles de la variable » à coefficients entiers, et les valeurs de ces fonctions pour z — 1 seront donc des nombres entiers. Ces nombres sont appelés les nombres de LawÉ, et en les désignant par Up 5 Vis Vay Vs 4, Us +> 2 = © 4 de sorte que v, soit la valeur de la fonction w, pour x = 1 , on obtiendra sans difficulté (195) v —51,«v—1,79—2,v,—53,vo—55,v,—8,v, —18, v, —21, v, = 34, v, = 55, v, = 89, vy = 144, v, = 233, ee oe C NM WW Cry v, = 2584 , UE UM gia enim Faisons maintenant x = 1 dans les dix premiers théorémes de ce mémoire, nous en déduirons les propriétés suivantes des nombres de LamE: 1 196 E 106) [E = fly eh uU" bon JE cadi (197) gr = 19 Oh = IR MA i ets [NOTE ERA (198) "nel (EE | pour n 20, (199) pump (all) DOE fö ln, (200) Bethan — DRE (EIN DR ME I (COW eee (SIN DONE e (202) pcc See 1 pour ny> 2 32 A. BERGER, (203) Ua (Una + Yu) = Ung. pour n > 1», (204) UE, Le OU, pour n 2 Ag (205) Cos = On, poule (206) Ona U 231405 Un zat (VOL NE I Un GE n 1 (207) arc tg — are tg “= = (— 1) are tg pour n > 1, nt Un, V2n+1 TE (208) are tg Us. are dg TN Pa ta E pourn-l, Un2 Un+1 Un—1Un + Un+1Un+2 ax Un—2 Un n 1 (209) arc tg "© — are tg = (— 1)’ are tg ==" pour m 2275 Un Un+2 3v; e: (210) yc 03 IL OO? 7 2 Os r=0 @ll) Y t= np pour m 0. r=0 (212) 5 Oe sapo. DOTE AU r=0 (213) > v = 9%, pour nzO , r=0 a C ME Ei pour n2: 0, r=0 (215) (Vana + de) Es BEES =4 pour n z 1 , (216) (Vos + Bhs) = 5 Van =—4 pour 5 z 1 ' (217) veh, pa e pour n 20, Uni r=0 Up Urs Us ER (218) Om E Y pour n20, Von+2 r=0 Vor Var+2 SUR UNE GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES DE LAMÉ. (219) Dei _ Sj SA pour n > 0, Von+3 r=0 V2r+1Y2r+3 qe E Usi 1 = vire 1+ n 1 1 1 n iL (olm le ER Uo, Dee 1 cen = at 2 (222) Don+1 = 1 Von+3 DR 1 eu ONE & pour n Es pour >, pourn>1; 33 dans chacune de ces trois fractions continues le nombre des fractions simples est égal à n +1. - === ON ARSENICAL PARALYSIS bY S. E. HENSCHEN. WITH ONE PLATE. (PRESENTED TO THE ROYAL SOCIETY OF SCIENCES OF UPSALA SEPTEMBER 30th 1893.) UPSALA. , PRINTED BY EDV. BERLING, 1893. oss arsenic can produce paralysis was already known in the 14" century’). Since then many similar cases have been observed; and at present there are more than 150 cases!) of arsenical paralysis mentioned or described in literature. , In comparison with the number of cases of arsenical intoxication, those of paralysis are relatively few. The cases of paralysis as a rule re- turn to health; and in consequence of this the anatomical changes of arsenical paralysis have been almost unknown until quite recently. Diffe- rent inquirers it is true, such as Porow?), ALEXANDER?) and KREYSSIG?) have tried to solve the question by means of experiments, but their re- sults have not been consistent with one another and are vitiated by the fact that experiments on animals cannot always be regarded as appli- cable to man. The first known instance of post mortem section of a case of arsenical paralysis is really that now published, the post mortem examination was made as early as July 1883 and the results of the histological investigation were communicated to the Medical Association, Upsala 1891 by Mr ALBIN HILDEBRAND (student of medicine), who, in my Laboratorium made the microscopical preparations of the spinal cord and peripheral nerves. Want of time has however prevented my publishing this case until now. In the meantime two cases with postmortems have been published; one in Canada medical and Surgical Journal 1886, p. 716 (Ross and Bury, On periph. neuritis London 1893) and the second in »Archiv für Psychiatrie» Bd 23 1892 by Erlicki and Rybalkin, Petersburgh. 1) Dana, Brain 1887, p. 464. 3) Inaug. Diss. Breslau 1889. 2) Virchow’s Archiv Bd. 93. 4) Virchow's Archiv Bd. 102. Nova Acta Reg. Soc. Sc, Ups. Ser. III. - 1 bo S. E. HENSCHEN, When so many different opinions have been pronounced concer- ning the seat of the pathological process in arsenical paralysis, a descrip- tion of the case in question may be of interest. The history of the illness is as follows: A Case of Arsenical Paralysis. Maja Lisa Blomster. (married. age 49. Taken into my clinic in the Academical Hospital !?/4 1883, died !!/; 1883. History. Amongst the patient's relations an aunt when young had epileptie fits, which however gradually ceased with advancing years. The patient's condition of life has been fairly good, in her youth she worked hard but she has not of late years done any fatiguing work. At the age of 8 or 10 she had her first epileptic fit, at 14 the next and from that time the one followed the other at intervals of either 1 or 11/2 years. Menstruation commenced when she was 19, then ceased for a few months, but has always since been regular and normal. Since her marriage at the age of 25 the patient has had 3 chil- dren of which the eldest lives and like the Mother suffers from epilepsy. The patient seems to have observed that since her marriage the attacks have been more frequent and taken place in connexion with menstruation. Of later years they have succeeded each other with only a month's inter- mission, occasionally even once or twice a day during the course of a week or ten days. The patient has not been venereally infected. On Jan: 27" 1883 she procured from a traveller a white tasteless powder, which was declared to be a splendid cure for epilepsy. (Every- thing points to the fact that the powder contained arsenic; the same pedlar having in neighbouring houses offered a similar powder under the name of »fly food») That evening between 6 and 7 the patient. took about half a tea spoon ful of this powder. About 12 o'clock she awoke feeling very sick and vomited several times during the night com- plaining of a burning heat in the throat. The following day (28") she passed several very diarrhoie stools mixed with blood and which finally contained lumps resembling clotted blood. After that the patient experi- enced a prickly sensation or slight pains in the inside of the hands and soles of the feet, and when she walked she thought she felt something like needles between her feet and the floor. The following morning (29%) she noticed on waking that the feet refused to do service. She tried in vain to bend and stretch out the foot joints and on trying to On ARSENICAL PARALYSIS. 3 stand and walk the feet turned on the sides. About the same time or two days later, cramp commenced in the fingers, first one then another finger would involuntarily become crooked without connexion with the others. A few days after the beginning of the illness without itch or fever a rash suddenly appeared on the legs which in one day spread all over the body with the exception of the hands and feet. It consisted of discrete rather closely sitting blisters, thin and containing clear water, largest on the legs, where they mesured about 5—10 m.m. in diameter. "The blisters burst after a couple of days (if there were pus in them or not, cannot be ascertained) and dried to crusts, which fell off a fort- night's time. During this time and subsequently the patient continually lost flesh especially on the arms and hands, her strenght at the same time diminishing. The arms and hands finally became so weak that she had to be fed. By degrees her strength returned but with no increase of muscle in the arms and hands, and she could, although uncertain and weak, execute light work with the latter. The fingers had attained a peculiarly bent position and became so stiff that the patient could not quite bend them. Simultaneously with the increase of strenght sensation in the fore- arms and hands became lessened. Paraesthesia appeared in the hands (feeling of an egg rolling backwards and forwards); and with this a slight pricking sensation was felt in the same. The condition of the feet however remained unchanged so that the patient was obliged to be in bed. The pricking sensation under the soles of the feet disappeared and instead chiefly at night a faint ache in the knees and foot joints commenced, sometimes a more prickly pain in the fore-leg right to the toe-tips. The sensation in the feet and lower- leg disappeared so that she felt as if they were thick lumps stuck to the legs; she also thought the foot was swollen and was astonished to find that it was as thin as before. At first movements in the knee and hip-joints were effected without difficulty, but afterwards the leg could not be outstretehed on account of contractions. At the end of march the feet and lower-leg began to swell a little and have ever since continued to do so. Previous to the outbreak of the illness the patient had not been ex- posed to any fall or damage to the spine, nor felt any pain in the back or waist, stiffness in the arms, legs etc. i S. E. HENSCHEN, During the course of the illness no more severe cramp or contrac- tions have occurred nor disorders of the bladder or rectum nor decubitus. There were no psychical or special sense disorders, speech has. not been influenced, no cranial or trunk disorders have been observed. In the beginning of February the patient had epileptic fits three days. in succession, and during the following time, before entrance two or three attacks now and then occurred. Entered the hospital april 12” 1883. Present Condition april 20" 1883. The patient is in bed; is fairly thin and has lax muscles, espe- cially those of the lower-legs. The skin of the arms is somewhat darker than usual, rather rough and dry but of ordinary elasticity; on the legs there are here and there indistinct dark spots. The lower-legs and feet are paler than usual. The pulse is regular and normal, the beat is 74. Temperature is normal. Subjective Symptoms. | - The patient often has slight headaches evenly distributed over the forehead and the crown. When she tries to grasp an object she experi- ences a feeling of sharpness in the finger tips. She also, complains of an al- most continual, though slight, ache in the popliteal space especially in the right one; now and then a slight ache in the knee and foot-joints occurs and occasionally she feels a tingling pain in the lower-leg and down to the toe-tips. The patient also complains of weakness in the arms and hands, and stiffness in the fingers. She can now feed herself but cannot cut her food. In both lower- legs and feet she is lame and the latter she cannot voluntarily move; she can neither stand nor walk, not even by supporting herself against the bed. After food she has pain in the pit of the stomach, flatulence and stomach ache. No acid eructations from the stomach nor vomiting. The inclination for food and sleep is good: Objective examination. Intelligence is free; no speech or special sense disorders are per- ceptible. Sensibility. Taetile sensation is considerably impaired in the hands and fore-arms, so that the patient does not at all feel a slight touch. Without the help of sight she cannot decide with her finger-tips whether an object be ON ARSENICAL PARALYSIS. 5 round or cornered, hard or soft. The same is the case with the feet and lower-legs, a slight touch is not felt, and with greater pressure it is some little time before she can appreciate it. Such a feeling seems to remain some time because if after hard pressure of the one foot the other be touched, the patient then says the first foot is still being touched. Feeling of pain examined with Björnström’s algesimeter gave no decided results; on the instep the same seems the most impaired. Sense of temperature seems on rough examination to be more sen- sitive than that of touch or localization. With her hands she can distin- guish between hot and cold objects, sometimes the only sensation she experiences on fingering them. Muscular sense. Seems almost normal: arm and hand movements coordinate well, and the patient can with closed eyes, account for the different positions of the hands and arms but not for the fingers. She can with her hand take hold of a certain named part of the body and fairly correctly judge weights. The patient can even very well give the position of the legs on different occasions and is capable of — with closed eyes — doing exactly with one leg what has just been done with the other. Sense of localization. Examined with Sieveking's aesthesiometer shows a slight impair- ment on the tonguetip, nose, back, upper-arm and thigh. The patient, cannot feel the points on the fore-arm, lower-leg, hand and foot before such hard pressure is used as to produce pain. Motility. Movements of the shoulder-joints take place unimpeded but the patient feels a slight ache in one shoulder, The bending and stretching of the elbow joints is not partieularly restricted, nor yet noticeable pro- nation and supination of the fore-arm. The movements of the hand- joints are considerably limited particularly ab- and adduction. On trying to bend the fingers the patient cannot with the tips reach the palm, especially with the right hand; neither can the fingers be quite outstret- ched. The abduction of the fingers is also very limited. The thumb cannot meet the tip of the little finger. In the feet and lower-legs there is complete paralysis; all attempts to voluntarily move the feet or toes are fruitless. Bending and stretching the knee-joints can take place almost unhindered. 6 S. E. HENSCHEN, The patient can perform all movements in the hip joints without restrietion and she can even hold up both legs from the bed. Contractions. Both arms are kept lightly bent m the elbow-joints and cannot be quite outstretched. The fingers stretched in the metacarpo-phalangeal- joints are kept more or less bent in the phalangeal-joints and cannot there be quite outstretched. The knee-joints can neither be fully out- stretched, on attempting to do so the flexors are strained and the patient experiences pain in and above the joint. Tonus of the muscles. The muscles of the arms, particularly the fore-arms and hands are feeble and slack; the strength of the muscles is greatly impaired so that bending of the elbow-joints can easely be prevented if one resists with a finger. It is the same with the legs, especially the lower-legs; if one lifts up the lower-leg the foot slips here and there and the patient con- sequently cannot stand. Movements in the hip-joint are slowly effected and without much strength; only the flexors of the thighs are felt to be hard and strained, Mechanical irritability of the muscles is in the arms considerably lessened especially in the fore-arms, where itis almost absent. The thigh muscles can still respond to irritation although inconsiderably but in the lower-leg and foot irritability is quite null. Electrical irritability of the muscles (only examined by faradie cur- rent) is quite absent in the leg. From the examination it seems that irritability is less in the fore than upper-arm especially on the right side, and that the thigh muscles, particularly the right are less irritable than the fore-arms. Electrical Irritability of the nerves. Examined by galvanic current does not show any reaction of de- generation in n.n. accessorii and ulnares; n.n. ulnares seem to have a quantitatively somewhat diminished irritability; n.n. peronei could not be irritated even by the strongest current. Fibrillary muscle contractions are observable in the upper arms as well as more particularly in the fore; whilst on the contrary such could not be noticed in the legs. Cramp in special muscles is not present. ON ARSENICAL PARALYSIS. 7 Reflexes. 1) Skin reflexes. Sole reflexes do not occur. Slight gluteal and interscapular reflexes occur whereas no abdominal or epigastric reflexes. 2) Tendon reflewes. There is no patellar reflexes. No foot- clonus exists. 3) Bladder and rectal reflexes are normal; no disorders of urina- tion or defaecation. 4) The pupils are a httle enlarged but of the same size, expand moderately and react to light. Trophie disorders. In both arms, particularly the fore-arms and hands, the muscles feel atrophied, the fore-arms are flat; dorsal metacar- pal interstitial spaces appear to be especially hollow and thenar is in both hands sunk in. Fossae supra- and infraspinatae are somewhat more than usually hollow. The muscles of the legs in particular the lower-legs are reduced in comparison with that of the trunk. The skin of the arms is darker than normal and dry, on the legs dark-spotted. Vasomotoric disorders. The fore-legs and feet, particularly the latter are somewhat swollen and the skin here is pale; on the other part of the foot a hollow is left after pressure. About the back there is nothing to remark; the patient 1s not tender any where to pressure on the spine. Abdomen. About the navel the patient is rather tender to pressure but nothing abnormal can by palpation be observed. No abdominal distension is perceptible. In the other organs there is nothing to be noted. Daily notes. April 21. Two epileptie fits in the evening. » 22. Weakness, headache. One epileptic fit 3 p.m., a less se- vere one at 9 p.m. May 4. Pricking ache in fore-leg, more severe than usual. » 6—8. Diarrhea. » 17—18. Ache in the left shoulder (joint). > ARE Diarrhoea and colic pains. DEN 27: » » » i July 11. Dead. Latterly strongly developed hyperaestesia, extending over the extremities; urine and faeces passed involuntarily. Diffieulty in speaking and swallowing was experienced the last days. 8 S. E. HENSCHEN, Section 1?/ 1883. Dura rather dark-red from fine injected vessels, inner surface smooth and glistening. The pia likewise hyperaemic. Subarachnoid fluid plenteous. The ventricles of the brain distended by a clear fluid of more than normal quantity. Brain substance tolerably firm, shows hyperaemia in white as well as grey substance. The membranes of the spinal cord that show nothing abnormal more than that their vessels are filled with blood. The consistency of the spinal cord is diminished. In the cervical cord the delineation of the grey substance is indistinct and the white sub- stance is swollen. Delineation becomes more distinct in the dorsal part. In the left anterior half of the lumbar medulla there is in the grey substance a cavity which measures in the length about 1--2 cm and about 1 em. transversely. Above and below as well as on the sides of this cavity the substance of the spinal cord is grey-red in colour and very loose. On making a transversal section nothing was observed to ruu out of this cavity. The white substance in the medulla is on an average looser than normal, softest, almost soppy, in the cervical and lumbar cord. Mieroscopical Examination. Spinal cord. Of this about 80 transverse sections were cut from the cervical marrow, cervieal swelling, lower part of the dorsal marrow, loin swelling and the caudalpart. Coloured in Weigert's hematoxyline, carmine and »black-blue». Cervical. Marrow. No macroscopical changes were to be seen with the exception that the Goll’s columns were degenerated. The grey substance had preserved its form and the cornua were similar on both sides. The anterior as well as the posterior cornua and commissure had numerous well-coloured and there fore normal nerve- bundles and single nerve-fibres. The cells in the anterior horn appear to be scanty. There are all transitions between fairly large and almost normal cells with well defined nuclei and sharp outlines and distinct but not numerous processes and completely atrophied cells, these latter are numerous. They ary very . 4 ON ARSENICAL PARALYSIS. 9 small, pale and indistinctly outlined, without nuclei but with rich pigment and occasionally form only a pale mass of grains without clear outline. Rounded celles with only a few processes are perhaps most numerous. The white substance. No degenerations are found in the columns ex- cepting in Goll's columns where on both sides uniformly extended degenera- tion is present with considerable increase of connective tissue. The motor roots within the cord appear thin, but no distinct sign of degeneration is present. Cervical swelling. Grey substance: The cells are here more normal in appearance although atrophy in ones are present. The nerve fibres and columns in the white substance are similar to those in the cervical cord. Goll's columns ave degenerated. (Fig. 1.) 5 cm. above the cauda all the same changes as regards the gang- lion cells as above mentioned seem here to be developed. Otherwise there is no change in either the grey or white substance. In the posterior columns there is no distinct degeneration. In a part of the ganglion cells in the carmine coloured cut the one half or third part seems at times to be considerably paler than the other half. 4 cm. above the lower end of the cord at the point of exit of the 2% lumbar nerv. (Fig. 2, 3.) There is here on the left side of the grey substance an irregular cavity measuring in height about 1 cm. and in greatest diameter 1 mm. It lies in the middle of the grey substance, just opposite the commissure. It has uneven, ragged walls, on which a number of red blood-globules are met with [which latter are also found in small microscopical masses scattered about in the surrounding grey substance] and also the debris of tissues. In the neighbourhood there are a number of vessels and fairly near the cavity there are ganglion cells of which some have a rather well-preserved form. The greater number are however rounded and have no processes. Owing to the hemorrhage this left cornu has taken a different form from the right being considerably expanded and has burst through the lateral white substance so that the grey sub- stance extends to the periphery of the cord. Also there are here near the periphery a number of the ganglion cells partly atrophic. Even the ganglion cells in the right half of the medulla are somewhat changed and degenerated or atrophied. (Fig. 4.) Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 S. E. HENSCHEN, The nerve bundles and fibres in the grey substance are otherwise, with the exception of those in the immediate neighbourhoud of the cavity, well preserved and normal and as numerous in the left as in the right half. The left lateral pyramid column lying nearest the cyste correspon- ding with the greatest size of the cavity 1s partly degenerated, whilst the right one is not. Cut 2—3 cm. above the point of the cauda. Already on a section 3 em. above the cauda all signs of destruc- tion in the left grey substance cease; the cornua show their normal con- figuration on both sides, the ganglion cells in general have no processes but have sharp outlines and distinct nuclei. Otherwise there is no di- stinct degeneration in the white substance. The peripheral nerves. For the examination of the peripheral ner- ves unfortunately the peripheral parts as well as muscles were missing, not having been preserved by the pathologist who made the post-mortem examination. I have thus been entirely confined to the pieces of spinal nerves which were removed with cord as well as cauda equina. The following nerves were examined: 5" cervical nerve, 8" cervical nerve and 3" sacral nerve. The following changes were there met with. In the 5" cervical nerve the most nerve-bundles are degenerated; only few nerves are normal and well coloured. In the 9" cervicalnerve the changes varied in different bundles. In some the nerve sheaths of several nerve-fibres were well stained; amongst such normal nerves, however others imperfectly coloured were. mixed, and some of the nerve fibres remained almost colourless. These differences were best seen in the longitudinal sections. In the 3" sacral nerve the condition was also different in different bundles. In some thicker nerve bundles some fibres were intensively coloured in others only certain bundles, whilst others were in advan- ced degeneration, finally in some all the fibres were totally colourless. (Fig. 5, 6.) ' General conclusions. Etiology. There is no doubt that in the above described case intoxication was really caused by arsenic. The whole illness corresponds so minutely with that of similar published cases of poisoning, that it is almost im- possible to doubt the etiology, moreover the symptoms do not correspond On AmsENICAL PARALYSIS. ii with these of any other known disease and, finally, it is not easy to say what poison the above named white powder could have been, which traveller gave the patient, under the name of fly-food, if not arsenic. Neither is there any other causes known which could explain the paralysis. Symptomatology. Owing to the many cases of arsenic paralysis which are to be found in literature the symptomatology for this form of paralysis is fairly well known. Of late years also several inquirers have summed up these symptoms from a differential diagnostic point of view and found that arsenic paralysis has its characteristic signs which distinguish it from other forms of paralysis depending upon intoxication from other poisons. Thus arsenic paralysis has amongst others been minutely dealt with by CARL ALEXANDER!) in an inaugural dissertation, by ScoLozouBoFF ”) who supports himself on his own great experience gained in Russia, the classical country for arsenic paralysis, and now recently by ERLICKI and RyBALKIN?). As is the case with alcohol poisoning, according to Dana) one can distinguish two forms of paralysis. One of these is a pseudotabes characterised by ataxy and disorders of sensibility and resembling the pseudotabes which appears in alcohol intoxication and diphtheria. No developed motor paralysis should be found in this form. (Dana). The other form again resembles the so called alcoholic or diph- theritic neuritis. The simple neuritis and polyneuritis have of late years been so often discribed that I need not here give any further account of this form of illness. I will only point out that the symptoms of arse- nie paralysis well agree with those of polyneuritis and thus the suppo- sition that in the former polyneuritis exists even before section of such a case is well warranted. Buth arsenic paralysis is distinguishable by the following characters. In the first place, amongst the symptoms di- sorders of sensibility predominate; the patient suffers from paraesthesia, severe and continuous pains all along the nerve trunks and anæsthesia in the peripheral ramifications as well as hyperaesthesia. The severe nerve pains can continue long; anaethesia affects as it seems all forms of sensation. 1) Inaug. diss. Breslau 1889. 2) Archives de Physiol. normale et pathologique Paris 1884. 3) Archiv f. Psychiatrie Berlin. 1892. Bd. 23. 4) Brain 1887. January. 12 S. E. HENSCHEN, Disorders of motility are certainly met with in all four extremities, but the lower limbs are by far the most severely seized with paralysis and the fact is particularly striking if the hands and feet are principally. attacked and certain authors have remarked that the extensors are espe- cially changed in nutrition and functions. This arsenical paralysis agrees with the most neuritis in that respect, that neither the psychical functions nor the cranial nerves are altered; and that the bladder and rectum work normally. The paralysis seldom terminates in death; on the contrary the prog- nosis of the some times very severe paralysis is very good, even if the paralysed members in severe cases be restored very late. After this short review of the characters of the arsenical para- lysis, it will be interesting to look at the symptoms of the above case. Already 5 to 6 hours after taking arsenic, very pronounced symp- toms of intoxication, vomiting and burning heat in the throat, appeared. The following day diarrhoea mixed with blood came to and now the first signs of irritation of the sensibility showed that the peripheral nerves were attacked. Pat. felt pricking sensation in hands and feet. On the third day was already motor paralysis in the foot-joints performed, some day later phenomena of motor irritation of the fingers appeared in forme of vitchings. The paralysis extended soon to the arms and general weakness and atrophy entered, anæsthesia in hands- and fore-arms came soon, whilst the paraesthesia and pains continued. The patient must on aecount of the paralysis be fed and could not leave her bed. From the brain, bladder and rectum no symptoms were observable. In april the pains and pricking sensation still continued but para- lysis in the arm had lessened-and the patient could feed herself but not cut her food; the legs remained paralysed. Feeling was considerably de- preciated, also the sense of touch and temperature, but not the muscular sense excepting in the hands. The movements of the muscles showed no ataxia but slight con- tractions had developed. The mechanical as well as electrical irritability was much diminished and in the peroneal region no twitchings could be produced either by faradie or galvanic current, fibrillary muscle twitchings existed. No reflexes could be produced from the patella or planta pedis. On ARSENICAL PARALYSIS. 13 Severe emaciation of the muscles, fore-arms and hands as well as lower-legs had ensued. Bladder and rectum showed no functional disorders. The whole of this nosography so fully coincides with that of the polyneuritis and general symptom complex of arsenic poisoning that it scarcely requires any comments. I may, however add that the pains remained about 3 months after intoxication which is not generally the case with acute polyneuritis but as above mentioned this is a characteristic of arsenical paralysis. Also it is worthy of notice that the paralysis on the patients entry in to the hospital was already regressing. Paralysis in the arms had been so severe that the patient could not guide food to the mouth but on examination at the hospital she could feed herself although she had not yet regained such strength in the hands as to be able to cut her food. Again the paralysis in the lower extremities remained so that the patient must still keep her bed. Even in this respect the case was cha- racteristic. The Nature and Localization of Arsenic Paralysis. Up to the last few years we have lived in ignorance as to the anatomical nature and localization of arsenical paralysis. The cause of this is what I have already mentioned viz: the ab- sence of post mortem examination in all cases. Prior writers accepted the fact, without satisfactory proofs that the cause of arsenic paralysis must be searched for in the spinal cord and even Erg declares in his celebrated work published in 1876 that the symptoms of certain intoxications, as, amongst others, arsenical paralysis, indicate a spinal disease. In the meantime this opinion during the next few years did not remain undisputed. In the same degree as we learned to recognize the real localization and symptoms of neuritis and polyneuritis it was con- sidered that arsenic paralysis must also here be included. Such an opinion was first expressed by LEYDEN and this as early as 1875; and since then his suggestion has been supported by several authors such as J&scHKE and STRÜMPELL. Seeing that it was impossible to decide the question by post- mortem section as to the anatomical localization and nature of arsenical paralysis, experiments on animal were resorted to. To effect this two different methods were adopted. Some obser- vers analysed chemically the brain, spinal cord and muscles with the 14 S. E. HENSCHEN, intention of finding out where the arsenic appears in largest percentage after poisoning, others made a microscopical examination of these parts. The first method must already a priori be acknowledged as rather untrustworthy since no proof was fortheoming that the parts of the nerve system retaining the greatest percentage of arsenic were also most af- fected. This way was however accepted by ScoLoZoUBOFF 1) who'came to the result that a greater percentage of arsenie was found in the brain and spinal cord an in the muscles and consequently drew the conclu- sion that arsenic paralysis depends upon changes in the spinal cord since no clinical symptoms show that the brain is the seat of the disease. This inference however can stil less be regarded’as correct be- cause other inquirers such as Lupwia etc. on analyzing, came to a con- trary conclusion, namely that the muscles contain comparatively more arsenic than the central nervous system. More important were the pathological anatomical experimental investigations. VuLPIAN?) was on account of an examination of the spinal cord of an arsenic poisoned rabbit inclined to localize arsenic paralysis to the spinal cord but considered his conclusions uncertain because of the ill preserved condition of the latter. Through his poisoning experiments on dogs som came to the identical result that paralysis depends upon acute diffuse myelitis. He found besides changes in the vessels, hemorrhage in the grey substance, certain changes in the cells, the protoplasm of the latter being clouded, cell body rounded, nucleus scarcely noticeable, and the processes shorter than normal. Besides these in the cells pigmentation and formation of vacuoles were found. More over, even in the white substance changes appeared such as thickening of the axis cylinders: on the other hand : Porow could not verify the changes in the peripheral nerves. In the meanwhile Kreyssie*) came with his experiments (which were intended to control Popow’s investigations), to the conclusions that those changes distinguished by Popow were either artificial or could be found under normal conditions. Also Kreyssıe found hemorrhages in the spinal cord, although only mieroscopical in size. 1) Arch. de physiol. normal et. pathol. 1884 P. 323. 2) Lecons sur les malad. nerv 1879. 3) Virehow Arch. Bd. 93. 4 ) 4) Virchows Arch. 102. © Ow ARSENICAL PARALYSIS. 15 The experiments made by Kreyssia as well as Jascuxe') were therefore principally of negative significance as regards the settling of the main question in dispute. Jæscake had also proved the occurrence of hemorrhage in the medulla. But all these experiments were of course of no use in deciding the question as to the localization of arsenic paralysis. Consequently the experiments vere resumed by ALEXANDER”), who, in his poisoning experiments, found the same clinical form of arsenic paralysis as found in man; namely paralysis followed by muscular atrophy and disorders of sensibility also tenderness to pressure of the neural trunks. ALEXANDER could now prove that the ganglion cells in the me- dulla really had the peculiarities pointed out by Popow, but agrees with Krevssıe in that respect that these had no pathological signification. Also he found important changes in the peripheral nerves, namely a colossal inerease to the normal conditions of degenerated spinal nerve fibres as well both motor as sensory. On the other hand the cranial nerves were unchanged. These changes ALEXANDER looked upon as secondary to the capillary throm- boses discovered by SiLBERMANN as caused by arsenical poisoning. Even the degenerations of the muscles ALEXANDER regards as de- pending upon nutritive disorders and not at all as secondary results of neural degeneration. 4 If now, by experiments, the question as to the pathological ana- tomieal changes of arsenic intoxication of animals can he regarded as in great part solved, one cannot immediately apply the same to man. The first published case of postmortem examination after arsenic paralysis in man which I know in detail appeared this year (1892) in foreign literature by the Russain Doctors ErLickı and RYBALKIN. In their case the first symptoms of the effects on the nerves of arsenic occurred on the 8" day after the poisoning; on the 9" and 10% weakness ensued in the lower extremities and a few days later in the arms as well. After about 2 months the patient died and on the post mor- tem examination the following changes in the nervous system were noted. No macroscopical changes in the medulla oblongata or spinal cord. On the other hand the microscope showed a considerable dege- neration of the nerve cells in the anterior cornua and central part of the grey substance. 1) Inaug. Diss. Breslau 1882 (S. ALEXANDER). 2) Inaug. Diss. Breslau 1889. 16 S. E. HENSCHEN, Amongst the remaining ganglion cells none were quite normal; they were rounded and had lost most of their processes, were more or less diminished, some in a high degree; the contents of the cells were more or less transformed to a granular yellow or yellowish brown mass and the cell nuclei were also changed or had disappeared. In the proto- plasm leucocytes and vacuoles were sometimes met with, and vacuoles; these latter writers regard as a sure sign of a pathological change. Fi- nally the larger vessels were strongly injected. An extensive and distinct degeneration of nerve fibres was found in nervi radiales and peronei, which was of varying degree in different. parts. Normal as well regenerated fibres were met with by the side of fully degenerated. If we now compare the above mentioned changes with those I found in my case the agreement is stricking. Unfortunately I had not aecess tho the more peripheral nerves but the examination of the nerve roots was sufficiently exact and convin- cing. Part of the nerve fibres were quite normal. Their medullary sheaths being well coloured with Weigert’s hematoxyline others were in a condi- tion of more or less well-marked degeneration. In several, such as for instance the sacral nerves, no distinct co- louring of the marrow sheaths of the nerve fibres could be perceived. In the medulla analogous circumstances were found with those of the Russian Doctors' case. The ganglion cells were reduced in number and most of those remaining were changed. They were more or less dimi- nished in size; in the greater number no process was left; many were reduced to small rounded masses with granular contents. (Fig. 4) In . the periphery or other part of the cell-substance, some were unusually translucent, a change which corresponds to the partial change of the protoplasm which Emrrckr and RYBALKIN speak of in their case. These small atrophic cells sometimes showed no signe of nuclei. But there was also an interesting and unusual change namely a hemorrhage in the lumbar cord. 'This was only seen in the grey substance of the left horn which through hemorrhage had become drawn out and deformed and pressed to the periphery of the spinal cord. The hemorr- hage measured about 1 cm. in height and 1 mm. in transsection. The fibres around the hemorrhage were partly destroyed and the ganglion cells in the neighbourhood had evidently suffered from the presence of the extravasated blood. ON ARSENICAL PARALYSIS. 17 Even the left pyramidal track was in a certain part in the length of a few cm changed where the hemorrhage lay at the limit of the grey substance besides the named path. Also a ascending degeneration of the Goll's columns was found: I have said above that in the spinal cord of animals poisoned by arsenic microscopical or small macroscopical hemorrhages were discovered in the grey substance. Some inquirers appear to have taken no notice of these whilst others have decidedly affirmed that they were constantly present. In Eruicki’s sand RYBALKIN'S case there was an injection found in the larger vessels. It is under these circumstances interesting to find that in my ease this hyperaemia has developed to hemorrhage. Such spinal apo- plexies or hematomyelia of [as one might term it in this case] primary kind are extremely rarely met with, if we except traumatic cases. It is true that Levier!) had collected 16 cases of hematomyelia and HAvEw?) 34, but the latter cames on a critical examination of these to the con- clusion that at that time (1872) no primary case was to be found pu- blished in literature. However EricHuonsT?) as well as LEvpEN?) prove that real primary medullar hemorrhages were to be found and LEYDEN has even grouped them with regard to the etiology into hemorrhages namely due to 1) arteriosclerosis, 2) traumata, 3) diminished pressure of air (divers etc.), 4) spontaneous, [which hemorrhages arise from physi- cal exertion or suppressed menstruation] My case cannot be classed in any of these groups, therefore it clearly forms example of a fifth variety where hemorrhage is caused by intoxication. In this way this case is not unique as similar hemorrhages in arsenic poisoning of ani- mals are often met with and in one case of arsenie poisoning in man (Porow)*). The hemorrhage in this case has, as in the arsenic experi- ments, appeared in the grey substance and is so called column-formed as in Leviers and LEYDEN'S case, if also only of inconsiderable extension. According to LEYDEN the hemorrhage of the cord is characterised by pain. 'This seems to have been absent in my case; probably owing to the slight extension of the hemorrhage and its restriction to the an- 1) Beitr. z. Pathol. der Rückenmarksblutungen. Inaug. Diss. Bern 1864. (S. EICHHORST). 2) Des hemorrhagies intrarachidiennes. These Paris 1872. (S. LEYDEN). 3) Charitéannalen 1874 P. 192, 4) Zeitschr. f. klin. medic. 1887 S. 225. 5) Virchow’s Arch. Bd. 113. Nova Acta Reg. Soc. Sc, Ups. Ser. III. ® 3 18 S. E. HENSCHEN, terior grey substance; and this case might in this respect be of spe- cial interest as shownig that the grey substance is without feeling, so long as hemorrhage has not developed slowly. (see LEYDEN, p. 227). As regards the symptoms one can well ask: what róle has this hemorrhage played? On this subject it may firstly be noted that even in Eruickr’s and RYBALKIN'S case where there was no trace of hemorrhage in the cord, paralysis developed in exactly the same way, first with sen- sory and then with motor phenomena; but paralysis appeared in it more gradually, or on the 9* day. This may possibly depend upon a less dose of arsenic having been taken and the other symptoms confirm this in the case in question. Further no difference was observed in my case in the degree of the paralysis in the two legs nor was first one then the other leg paralysed, which could have been expected if hemorrhage had caused paralysis. Although it may now be difficult to solve the question with certainty it seems to me for the reasons given and because the paralysis of the arms occurred in the same characteristic manner as in the legs — that the hemorrhage met with on section was not the cause of the paralysis of the lower limbs. As it is held by some that sensations of pain are conducted by the grey substance of the cord it is instructive to note that the feeling of pain in the legs was not diminished or affected in this case. This speaks against the theory but on the other hand slight ex- tension of the hemorrhage renders the case not strictly conclusive. It is further interesting to kuow that no disorders of bladder or rectum were found although hemorrhage was found in the lumbar swel- ling at the exit of the 2" lumbar nerve and this not far from the sup- posed innervation centre of the bladder. All the other symptoms are easily explained by degeneration of the peripheral nerves and particu- larly the pains caused by the process there going on. Of special interest | is the circumstance that the muscular sense was little deranged excep- ting in the hands and especially when remembering that by intoxications there is often a pseudotabes characterised by ataxy. Another difficult question to solve is whether changes in the me- dulla or in the peripheral nerves should be regarded as simultaneous or the one primary to the other. It is probable that this question can- not be settled by this case alone but requirers examination of others where or the peripheral nerves or ganglion cells of the spinal cord are found degenerated. On ARSENICAL Partysis. 19 The circumstances point to the conclusion that the hemorrhage in the cord in this case was similar in nature to those found in experi- ments on animals where the changes in the spinal cord take place a few houres after intoxication. Thus we see that arsenic affects the cord and probably simultaneously with it the peripheral nerves?) Porow’s ease of arsenie intoxication where extravasation of blood as well as a few changes in the ganglion cells were found also confirms this view. My ease then presents the following instructive facts: 1) It is a case of paralysis from arsenic where the symptoms have developed themselves in an exceptionally typical and sudden manner. 2) Contrary to the rule this case has caused death. 3) On post mortem examination a little column of extravasated blood was found in the left half of the grey substance at the level of the 2" Jumbar nerve. 4) This hemorrhage ought not to have produced the paralysis. 5) It has not caused disorders either of the bladder or rectum. 6) Nor been followed by other distinct symptoms. 7) Nor caused any distinct change in the conveyance of pain. 8) On the other hand the paralysis could satisfactorily be explained by the widely spread polyneuritis. 9) Paralysis was incomplete and almost transitory in the arms but permanent in the legs. . 10) Also the large spinal gaglion cells were distinctly degenerated and many in high degree atrophic. 11) Arsenic thus produces in man changes both in the medulla and peripheral nerves and apparently simultaneously because 12) the rapid appearance of the sensory symptoms speaks against the possibility that the neuritis is secondary; and the hemorrhage in the medulla shows that this is primarily affected by arsenic. As regards literature of arsenical paralysis see Dana, »Brain» 1887 and ALEXAnDER’s Inaugural Dissertation Breslau 1889. 1) Virehow's Arch. Bd. 112. 8e $96 v3«— — — Explanation of the plate. Section through the cervieal swelling; Goll's columns are degenerated (a). 2. Section through the lumbar swelling c:a 4,5 cm above the end of the spinal cord. In the left half, the upper part of a cavity (a). 3. Section through the lumbar swelling c:a 3,5 cm above the end of the spinal cord. In the left half of the grey substance, the lower part of the cavity (a). 4. From the grey substance of the right horn in the lumbar marrow; a. degenerated ganglion cells. 5 and 6. Sections through the sacral nerves; a. normal nerves; b. degenerated nerves. Fig. 1—3 are 5 times magnified. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II 8. Henschen. Arsenical Paralysis. Del.A Cleve, C. Waldenstróm & A.Gyllenspetz. Lith. L.L.Ljunggren Upsala SUR LA CONDITION A LA SURFACE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. H. PETRINI. \ PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 10 FÉVRIER 1894). UPSAL EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L’UNIVERSITE. 1894. ‚Dass trouver dans l’hydrodynamique une équation à la surface, on s'est ordinairement basé sur le théoréme suivant: Théorème A: »Un élément du fluide considéré qui, à un certain moment, se trouve à la surface du fluide, ne peut jamais quitter cette surface.» Ce principe était énoncé premièrement sous forme d’hypothese, mais comme le principe de d'Alembert prétend à une généralité parfaite, il faut qu'il suffise pour expliquer le mouvement des fluides, d’où il suit quil ne faut pas adopter un principe spécial pour en déduire l'équation à la surface. Aussi plusieurs essais ont-ils été faits pour démontrer le théoréme énoncé plus haut, de sorte qu'à présent il est considéré le plus souvent comme un theoreme. Pourtant, au premier aspect, le théorème A parait trés invraisemblable, et c'est pourquoi une étude plus approfon- die de cette question ne peut pas être tout à fait sans intérêt, et, de fait, on trouvera sans peine que les principales démonstrations du théo- réme données sont en défaut, SETS Les principales objections qu'on peut faire à ce théoréme peuvent etre formulées sous les quatre numéros suivants: 1:0. D’après la définition de »fluide», une force, si petite soit-elle, peut transmettre dans un temps fini un élément quelconque du fluide à une distance finie des éléments voisins. Pour que le théoréme A eüt quelque sens, il faudrait que, si lon prend l'élément toujours plus prés de la surface, la durée limite du temps qu'une force finie emploiera pour déplacer un élément d'un point dans le voisinage de la surface jusqu'à une distance finie de la surface, füt égale à l'infini, ce qu'on n'a aucune raison d'admettre. i 2:0. Au contraire, on peut trés bien imaginer des forces finies, agissant à distance, appliquées à des particules qui se trouvent à la sur- face et dirigées vers l’intérieur du fluide, de manière que ces particules se transportent à l'intérieur; p. ex. s'il y a, dans la répartition des for- Nova Acta Reg. Soc. Sc, Ups. Ser. III. à 1 2 H. PETRINI, ces, une discontinuité telle que la résultante normale des forces qui sont appliquées à un élément du fluide à la surface, soit dirigée vers l'inté- rieur et soit beaucoup plus grande que les forces normales appliquées aux éléments des parties de la surface voisines de l'élément considéré. On peut aussi imaginer que la variation de la densité dans le voisinage de la surface soit telle que l'équilibre soit instable; si l'équilibre est rompu les particules qui d'abord se trouvaient dans la couche la plus haute formeront, quand l'état d'équilibre stable sera atteint, une couche à l'intérieur du fluide. Lorsque les forces sont toutes finies, le théorème A ne peut done pas étre vrai dans le sens absolu que nous lui avons donné. Cependant ce théorème n'a pas réellement été employé pour des mouvements discontinus et on pourrait objecter au raisonnement ci- dessus qu'on a là uniquement affaire à des mouvements discontinus, auxquels le théoréme ne s'applique pas. Mais, dans les exemples cités, le fluide peut être considéré comme présentant de la viscosité et alors son mouvement est vraisemblablement continu, et de plus, si l'on adopte les hypothéses ordinaires, nécessairement continu!) au moins dans ce sens que des particules voisines auraient des vitesses relatives finies. Remarque. ll y a aussi une autre sorte de discontinuité du mou- vement, celle otı deux parties différentes de la surface se superposent l’une sur l'autre, de manière quelles se trouvent tout à coup à l'intérieur du fluide. Dans la suite de ce mémoire j'appellerai ces deux sortes de discontinuites disc. dynamique et disc. matérielle. Dans ce que je viens de dire, je n'ai pas nié qu'il soit possible que le théoréme A s'applique à tous les mouvements qui ne présentent pas de discontinuité ni dynamique ni matérielle. Mais s'il en est ainsi. il reste toujours à le démontrer. 3:0. Il est facile de démontrer que le principe A n'est pas com- patible avec l'hypothèse que le fluide serait composé de points matériels. En effet, la surface d'un liquide incompressible est composée d'un certain nombre de particules qui se trouvent à une certaine distance moyenne les unes des autres. Comme l'étendue de la surface peut être augmentée à volonté sans altération du volume et que les particules, en vertu de lincompressibilité du liquide, se trouvent toujours à la méme distance moyenne les unes des autres, il faut que de nouvelles particules puissent venir de l'intérieur du liquide jusqu'à la surface. De méme il faut que des particules puissent être transportées de la surface à l'intérieur du fluide 1) Cfr. A. B. Basset »A treatise on Hydrodynamics». II. Cambridge 1888. N:o 518. SUR LA CONDITION A LA SURFACE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 3 lorsque on diminue la surface. Ici, comme dans tout ce qui va suivre, on fait abstraction de la tension superficielle. 4:0. Nous allons par une critique des essais faits pour démontrer ce théoréme, le réduire à une hypothése, laquelle n'est pas méme indis- pensabie, l'équation à la surface pouvant se démontrer sans avoir recours à une hypothése spéciale. S28 La principale démonstration du principe A est donnée par Kırck- HOFF et peut étre énoncée comme suit: »Imaginons un point matériel P qui, à un moment donné, n'est pas situé dans la surface, et décrivons autour du point P une sphére d'un rayon infiniment petit. D’apres la théorie des déformations homo- gènes, la partie du fluide située dans l'intérieur de cette sphère forme à tout autre moment un ellipsoide, dans le centre duquel se trouve le point matériel P. D'oü il suit qu'un point matériel qui, à un certain moment, ne se trouve pas dans la surface, ne s'y trouve jamais, ce qui n'est qu'une autre manière d'énoncer le théorème A4. Dans sa théorie des déformations homogènes, KIRCHHOFF consi- dérant les corps comme tout à fait homogènes, de manière que les par- ticules des corps sont traitées comme des corps de même nature que les corps eux-méme, il faut entendre les mots »un point matériel P» comme exprimant un élément de volume, rempli de masse, dont le centre de gravité est situé dans le point géométrique P. L'expression »un point matériel est situé dans la surface» ne peut donc avoir qu'un sens, à sa- voir que la surface de l'élément de masse doit toucher la surface géo- métrique du fluide; son centre de gravité ne se trouve alors pas dans la surface elle-même, mais seulement à une distance infiniment petite de la surface. Mais s'il en est ainsi, il suffit que le point géométrique P puisse étre transporté jusqu'à une distance infiniment petite de la surface, pour qu'on puisse dire que »le point matériel P» se trouvera dans la surface. La démonstration de KırHHOFF ne peut done pas convenir à cette maniére de se représenter les éléments du fluide. Revenons donc à la démonstration de KircHHOFF sans interprétation spéciale des mots cités. Abstraction faite de ce qu'il semble confondre les deux modes de se représenter les éléments de matiére: ou comme des points matériels rigides, ou comme des éléments infiniment petits de méme nature que la matière elle-même, on peut remarquer que le rayon de la 1) Vorlesungen über mathematische Physik. I. Mechanik. Leipzig 1877 p. 108. 4 H. PETRINI, sphére considérée doit ótre choisi de plus en plus petit, quand, par des déformations successives, on approche le point P de la surface, de ma- niere que la limite de ce rayon est égale à zéro. Mais si la limite du rayon de la sphère est = 0, la démonstration de KiRCHHOFF n'aura plus aucun sens. En effet, on peut employer ici la manière de voir de M. WEIER- sTRASS. Dans l'arithmétique M. WEIERSTRASS regarde une quantité a comme égale à une autre quantité b, si la différence a—b est numériquement plus petite qu'une quantité donnée si petite soit-elle. En appliquant ce principe à la géométrie, on peut dire qu'un point P est situé dans une surface, si la plus petite distance de ce point à cette surface est plus petite qu'une quantité donnée si petite soit-elle. Mais KiRCHHOFF n'a démontré que le fait qu'une partieüle, qui à un certain moment se trouve A lintérieur du fluide, s'y trouve encore aprés une déformation infiniment petite — c'est seulement à de telles déformations qu'on peut appliquer la théorie des déformations homogénes — mais il ne nie pas que la distance du point à la surface puisse être réduite à une quantité infini- ment petite. Donc la particule, d'aprés le prineipe énoncé ci-dessus, peut entrer dans la surface. En un mot: si la limite du plus petit axe de l’ellipsoïide de KırcHHoFF est égale à zéro, lorsque le point P se meut vers la surface, et si cette limite est atteinte dans un temps fini — ce dont KircHHorr n'a pas démontré l'impossibilité — le point P sort de l'intérieur pour se placer dans la surface. Il y a done un saut dans la démonstration de KIRCHHOFF. - M. Basset!) se rend compte du théorème A d'une manière plus simple en disant: »If the fluid is bounded by a surface, whose equation referred to axes fixed in space is F(xy zt) = 0, the normal velocity of the fluid at the surface, must be equal to the normal velocity of the surface, hence the sheet of fluid of which the boundary is composed, must always consist of the same elements of fluid.» Ici M. Basset oublie qu'une par- ticule peut abandonner une surface, si même la vitesse normale initiale est zéro. Par exemple, si l'on fait tomber une pierre sans vitesse initiale, celle-ci ne reste pas dans le plan horizontal initial, quoique la compo- EN sante normale à ce plan de sa vitesse initiale soit zéro. — § 3. Une particule qui au moment t se trouve à la surface du fluide, se trouve au temps { + dt ou hors du fluide ou à la surface ou à l’inté- 1) »A treatise on Hydrodynamies». I. Cambridge 1888. N:o 12. SUR LA CONDITION A LA SURFACE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 5 rieur du fluide. Dans le premier cas la particule a quitté le fluide et la continuité materielle est rompue; c'est le cas p. ex. avec l'évaporation. Si la particule au temps t + dt se trouve au-dessous de la surface, on a — en rejetant le cas oü la surface présente des points singuliers — deux cas à distinguer: ou sa distance de la surface est une quantité in- finiment petite d'un ordre de grandeur plus grand que celui de dt, ou non, c'est à dire que la composante normale de la vitesse relativement à la surface est infiniment petite ou non. Si la vitesse relative normale est infiniment petite, la particule peut &tre regardée comme située dans la surface au temps t-- dt; dans le cas contraire le mouvement est dis- continu, parce, que la vitesse moyenne pendant le temps dt differe d'une quantité, qui n'est pas infiniment petite, de la vitesse moyenne pendant le méme temps dt des particules voisines, soit de celles qui peuvent etre regardées comme restant dans la surface et qui, au moment t, étaient situées dans le voisinage de la particule considérée, soit de celles qui se meuvent vers la surface avec une vitesse relative finie et qui, au mo- ment {+ dt, se trouvent dans le voisinage de la particule considérée. On peut donc énoncer le théorème suivant: Théorème B. Si le mouvement n’a pas de discontinuité ni matérielle ni dynamique, toute particule de la surface s'y trouve au moins à deux mo- ments consécutifs t et t+ dt, si l'on neglige les infiniment petits d'un ordre supérieur à dt, et si l'om me tient pas compte de certains points ou lignes singuliers de la surface. Remarque. Le théorème B, qui peut aussi bien que le théorème A servir à la fondation d'une équation à la surface, est énoncé sans in- troduction d'hypothése. On a seulement restreint le probléme au cas par- ticulier où les conditions y formulées se trouvent réunies. Si ces con- ditions ne sont pas remplies, ce. dont on peut juger dans chaque cas particulier, il faut tenir compte de l'évaporation, ou de la discontinuité matérielle qui aura lieu si la pression à l'intérieur du fluide devient né- gative, ou des lignes singulières de la surface, ou des chocs discontinus | à la surface etc. eu Représentons par (1) F(ayzt) 20 l'équation de la surface. En négligeant les infiniment petits d'ordre su- périeur, il faut donc, en vertu du théoréme B, qu'on ait au moment t + dt 6 H. Perrin, (2) F(x+udt, y-pvdt, z+wdt, t+di)=0, où wuw représentent les projections sur les axes des xyz de la vitesse du point matériel qui au moment t se trouvait au point zy z. Des équa- tions (1) et (2) on tire immédiatement l'équation à la surface QU ON QUUM HUI OR gru ET HE + sun 0. Cette équation (2*) peut être employée sans transformation, si wuw sont connus comme fonctions des 2yzt. Si au contraire le mouvement est défini au moyen des positions des particules individuelles, une trans- formation de l'équation (2*) devient nécessaire. Représentons par abc et 575€ les coordonnées d'une particule quel- conque aux temps t, et t resp. Si les équations générales de l’hydro- dynamique sont considérées comme résolues, on peut mettre les fonc- tions 575 sous la forme (0) & E(aben (3)') ou la fonction dans le second membre renferme certaines quantités in- connues qui doivent étre déterminées au moyen de l'équation à la sur- face. Afin de trouver quelle valeur des quantités a b c répond, au mo- ment t, au point zyz de la surface, il faut résoudre les équations (B) æ—=£(abct) (3) et l'on trouve (B*) a=a(xyzt) (3). De plus on a 98 19 u=— 3 , (7) ere d'où il suit que l'on peut écrire l'équation (2*) sous la forme (3) 95(abet) dF (zyzt) , ou(abct) IF (uyzt) at Qc UU A Van; + aC (abet) oF (zyzt) non (ryzt) _ 6 a, dé 02 dt 1) »(3)» signifie qu'on aura aussi deux autres équations analogues. SUR LA CONDITION A LA SURFACE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 7 où abc devront être exprimés en fonctions des z y z t en vertu des équa- tions (5*), aprés que la différentiation indiquée dans (3) aura été effec- tuée. Le premier membre de l'équation (3) peut être écrit sous la forme implicite: E dPF(>ct)| 20 (3°) (== ; t E = x (3) où la différentiation est totale; 525 sont exprimés en fonctions des a b c et t au moyen des équations (a) et sont, après la différentiation, changés en xyz, de manière que a b c sont regardés pendant la différentiation comme constants et enfin éliminés au moyen des équations (f). L'équation résultante ne reufermera donc que les quantités zy z t, et les inconnues des fonctions §(abct) devront être déterminées de manière que cette équation devienne identiquement satisfaite. On pour- rait également éliminer les quantités zy zi au moyen des équations (1) et (9), et l'équation résultante (3) doit être identiquement satisfaite pour toutes les valeurs de abe. Remarque. Si lon multiplie le premier membre de l'équation (2*) par 1 I VO + «e il est facile de voir que les trois premiers termes expriment la compo- sante normale de la vitesse absolue de la particule qui se trouve au point «yz. La composante normale de la vitesse relative étant d’après le théorème B égale à zéro, il faut que la composante normale de la vitesse absolue propre de la surface elle-même au point regardé soit IF dt ia F\2 p FY Vel «ee § 5. Comparons maintenant les résultats obtenus avec ceux qu'on a trouvés dans lhypothése que les particules de la surface y restent tou- jours. L'équation (2*) restant la même dans les deux cas, les vitesses dans les points fixes de l'espace sont aussi déterminées de la méme ma- niere. Mais il est évident que si, pour la détermination de la trajectoire 8 H. PETRINL, SUR LA CONDITION A LA SURFACE ETC. de chaque particule, on emploie le théoréme A, on obtiendra une con- dition plus restreinte que si l'on emploie le théoréme 5B, celui-ci n'ex- cluant pas les cas, où une partie de la surface se meut vers l’intérieur du fluide. L'expression mathématique de cette différence des deux conditions aux limites est trés facile à trouver. Dans le cas du théoréme A la trajectoire (@) des points abc (P*) se trouve toujours sur la surface (1), c'est-à-dire que l'équation (1) est satisfaite, si l'on y remplace xy z par leurs valeurs tirées des équations (5) où abc sont des quantités constantes qui satisfont à l'équation (1:2) F(abct) 20, où t, est une valeur spéciale de t. Les quantités abc étant constantes on peut dans l'équation (3*) différentier totalement, c'est-à-dire dF (ays) _ 0 dt i (3:a) ou xyz sont déterminés au moyen des équations (ß) et (1:3). L'équa- tion (3*) peut aussi être représentée par l'expression (3:a), mais la déri- vation est symbolique, parce que les quantités abc y sont regardées comme constantes quoique en réalité elles soient variables. Mais on peut formuler mathématiquement la différence entre les deux théories, si lon regarde les coordonnées z yz comme connues à priori et les ab c comme des fonctions déterminées au moyen des équations (7). Au lieu de (3:3) on peut écrire (35:2) À FntO — 0, où les $506 sont déterminés au moyen des équations («) comme fonc- tions des abc et ceux-ci sont exprimés en fonctions de zy zt au moyen des équations (3*). En comparant l'équation (3*:a) avec l'équation (3*), on trouve que dans le cas du théoréme A non seulement cette équation (3*) doit être satisfaite, mais aussi l'équation : (4) Y y dF(zyzt) a5 (abet da (zyzt) _ 5 zuz abc oc da at I où l'on regarde les points «yz de la surface comme donnés. SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES EN SÉRIES DE FOURIER A. BERGERK. PRÉSENTE À LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 14 AVRIL 1894). UPSAL EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L’UNIVERSITE. 94, in ; ins SM Fm NN GE, SQ NE ay, ^ it er Désignons par x une variable réelle et par g(x) une fonction, qui est finie et qui na quun nombre limité de points de discontinuite, de maxima et de minima dans l'intervalle (1) Orso en faisant Dd (2) än = 2 i g(t) cos2mntdt pour m 7 0 v0 et 1 3 b, = 2 t) sin 2mztdt pour m21, À 9 D 2 nous aurons les formules connues m= (4) g(x — 0) + plz + 0) AE à 4 > (a, cos 2mz e + b,, sin 2 mna) m=1 posrc0 ws et (5) qQr 0) 5 p(l— 0) = = + i GA m=1 Pour que ces formules soient vraies, nous supposons, que la discontinuité de la fonction (x) soit telle, que les limites lim (6) , limg(1 —9) , lmg@w—d) , limy(z+d), 3=0 3=0 $20 $20 Nova Acta Reg. Soc. Sc, Ups. Ser. III. 1 2 A. BERGER, où 0 < æ < 1, soient des quantités finies et déterminées, d étant une quantité positive, qui tend vers zéro; nous désignerons ces quatre quan- tités par $9(4-0) , €(1—0) , p@—9), p(x+0). Dans ce mémoire nous appliquerons les formules susdites à une fonction discontinue, que nous définissons de la manière suivante. Soit n un nombre entier, supérieur ou égal à 2, et désignons par x, , a, , . 5, des quantités, qui satisfont aux inégalités fgoc (6) (RÉ RSR een et posons (7) mm =0, m=1. Cela posé, désignons par 6,, % > €9,... 1 des constantes arbi- traires, et définissons la fonction (x) par les égalités suivantes: (8 g@=e4+¢44+¢+..-... ec, pour Fr, c «mu (Se ORs e IDE (9) plx) = € pourz-zm,, (10) t9 eme. So (s I ou Jb) CL) pa) = 0, Se Te der Cee ONDE ern De ces égalités on conclura, que la fonction g(x) n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité entre x = 0 et x — 1. Pour les valeurs de la variable z, qui satisfont aux inégalités (12) QU C on a évidemment d'aprés les équations (8) et (10) (13) nn) = o a), SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 3 et des équations (7), (8), (9). (11) on tire (14) pH 0) = «(0), ll — 0) = 91). Pour la fonction g(a) ainsi définie nous obtiendrons par suite des équations (4) et (5) le développement (15) p(x) = 2 > (a, cos 2mzz + b,, sin 2mz x) m=1 pour 0 < x < l et (16) ne La a On 1 où il reste à calculer les coefficients a, et b,. De l'équation (2) on tire pour m > 0 $—n—l (Gp) An = 2 2 ay 'q (t) cos 2mztdt Xs et, par conséquent, d’apres l'équation (8), $—n—l (18) UE 2 (GENE dee c cos 2mztdt . Pour m=O on en tire s=n—1 (19) a,=2 2 (6 4-6 E. +6) (an — m) s=0 ou, d’après quelques réductions et en faisant usage des équations (7), (20) qug yip (le ae Pour m 2 1 on déduit de l'équation (18) sen—1 (21) an = ii. Z (6 46r... 4-6) (sin2mzz,,, — sin 2mn«,) mns et par suite, en réduisant et en employant les formules (7), : 1 r-n—l : (22) a ce CAEN TTC. En 4 A. BERGER, De l'équation (3) on tire pour m7 1 s=n—1 [X (23) bn =2 X | eQsin£2matdt SO er. ou, d'aprés l'équation (8), (24) b, = 2 = (Quer p de ooo E c) | sin 2matdt ou, en exécutant l'intégration, (25) un = — ae ey = e, LE Pre) (Cos 2miz,., — cos 2m) MIT s=0 ou, d'aprés les équations (7), (26) b, = — CL cos 2msiz)-- m LO Au moyen des égalités (20), (22), (26) les coefficients a, et b,, sont déterminés, et par suite nous aurons le théorème suivant. Théorème I. Soit n un nombre entier, supérieur ou égal à 2, et Xi XQ, Xg pee XQ Q des quantités, qui satisfont aux conditions O many «uw. PE LU Sa ce et posons nel; nel: en désignant par C,, C,, €, ,.... €, 3, €, 4 des constantes arbitraires réelles et en définissant une fonction p(x) par les égalités plz) = +6 4-64 e Pelpoura ce qui démontre, que dans ce cas la formule (29) plc) = % + 72 z » (a, cos 2mzz + b, sin 9 mz) m=1 subsiste pour 0 3, et nous désignons par g,, 4, Joy Jas. ss > un groupe infini de quantités, qui satisfont aux conditions (30) ”=0, (31) Ji Js dr ds dA «Sel + 00 (32) Grin = 9, pour r2 0. : 6 A. BERGER, En substituant dans le théoréme I (33) AE E n pour m0 17 2 cune (34) Cr = gr pour r=0, 1, 2,...n—2, n— 1, nous obtiendrons d'après les équa- tions (30) et (31) les expressions suivantes pour la fonction œ(x): (85) ph) = X y pour senes ls 01,21 0 UR r=0 ie (36) qlr)=0 pour x=0, (37) gl) = 2 7% pour na -— s(s-—15 9797 2 m De EU (38) œ(x) 20 pourz-l. Par ces égalités la fonction g(x) est déterminée pour toutes les valeurs de la variable x, qui satisfont aux inégalités (39) De gg Shin Nous pouvons évidemment remplacer ces quatre formules par les deux suivantes: (40) Pei r=0 si la variable z n'est pas multiple de La et - n (41) g(a) = X —% r=0 si x est multiple de I pourvu qu'on désigne par s le plus grand des n nombres entiers, qui ne surpassent pas na; nous aurons donc, d’après la notation de LEGENDRE, (42) s — E(nx) . SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 7 - Des équations (31) et (34) on conclut, que la condition (27) est remplie, et par conséquent nous obtiendrons pour 0 < x < 1 le déve- loppement (43) p{x) = 2 a CX (a, cos 2mz2z + b, sin 29mnz) . m-1 En y substituant les expressions ci-dessus de la fonction g(x) nous aurons pour 0 < x € 1 les formules (44) Ys. = 2 a ps (a, cos 2mnz + b, sin2mzz) , r=0 m=1 si la variable x n'est pas multiple de Ex et 4 n (45) > Ir == = E + E (a, cos 2mzz + b, sin 2 mna) , r=0 m=1 si v est multiple de da le nombre s étant déterminé dans ces deux for- n mules par l'équation (42). Quant aux coefficients a, et b,, nous trouve- rons d'aprés le théoréme I et par application des équations (33), (34), (30), (31) D) gun (46) a,=—— X gm, n r=1 r=n—1 , (41) An = s > g.sin LR pour m>1l, MT ee on | " (48) iy E NUS ds EE pour mil. r=1 Si l’on remplace z par x + 1 dans les équations (44) et (45), les seconds membres ne changeront pas; le nombre s sera transformé en s+n d'aprés la formule (42), mais d'aprés les équations (30), (31), (32) les premiers membres des équations (44) et (45) ne changeront pas par cette substitution. Puisque les formules (44) et (45) sont démontrées pour 0 Is » un groupe infini de quantités, qui satisfont aux conditions Jo = 0 ; « I + 9s +93 +--+ Era = 0 , Iran = 9, pour v 20; en designant par x une variable reelle, et en faisant s — E(na) , on aura pour x > 0 X 9, = = E Y (a, cos 2mzz + b, sin 29mzz) , m=1 = si x nest pas multiple de E. mais gp = = = E i > (a, cos 2mna + by sin 2 mza) , r=0 m=1 si x est multiple de Le et dans ces développements les coefficients a, et b, T i 4 seront déterminés par les formules r=n—1 Sy Sa Gr? ; n r=1 [e s . 9mrn = a Pn qe gp de MIT pot n ipm 9mrn On = DT COR cro pU EE MI pay n Dans les paragraphes suivants nous montrerons quelques appli- cations de ce théorème pour des valeurs spéciales des constantes g, , 912 Ian Gs ECCE SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. § 2. 9 Soit » un nombre impair, supérieur ou égal à 3, et définissons les quantités 9, , 91 , 923. - - . par les égalités (50) TION 790° (poured sene et (51) Jon = 9, pour. 2210), les conditions, mentionnées dans le théorème II, seront remplies, faisant (52) s — E(na) , nous aurons d'après ce théorème pour x > 0 (53) Ag.— oo + bl (a, cos 2mna + by sin 29mzz) , si z n'est pas multiple de EE mais 7" (54) b 9. — 3 =3+ > (a, cos 2maa + b„sin2mne) , r=0 si x est multiple de = et dans ces formules les coefficients a n m seront donnés par les égalités r=n—l On De r=n—l e p (56) dec iis > C IY en ie pour m 21, HOT Ze n (57) by = a i (CCEDGON CIUS pour m 21. n De l'équation (55) on tire. » étant un nombre impair, (58) gu er: n Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. et en et On 10 A. BERGER, De l'équation (56) nous obtiendrons, aprés avoir multiplié les deux MI membres par cos —— , LU - r=n—1 (59) ihe Ce Ss he Seo ein UN n DE = n ou , r=n—1 E (60), a, cos E e : Se DE SCIAS 1) rn Qro 1 T PANE © Ze “( n* n ou, aprés quelques réductions dans le second membre, (61) (Cr gem rc I Jsin CH sin U n 2mn n et, par suite, 1 mu (62) An = — tg —— msi n pour m Z2 1. Remplaçons r par n — r dans le second membre de l'équa- tion (57), nous en obtiendrons r=n—l (63) DAS um SI al, | MM jr à et des équations (57) et (63) nous déduirons (64) bn = — b, et, par conséquent, (65) b, = 0 pour m Z 1. Appliquons maintenant les équations (58), (62) et (65) aux équations (53) et (54), nous en deduirons pour x 20 (66) cos2mne , 1 1 yer TE m 7t os Sy pei one 71 m=1 m i Mi : 1 : si æ nest pas multiple de — , mais n SuR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 11 > Il (67) nenne een n JU ner LL) si z est multiple de 1. Dans ces deux formules les quantités g, et s 7L sont déterminées par les égalités (50), (51) et (52). Cela établi, nous transformerons les premiers membres des équa- tions (66) et (67), et pour ce but nous cousidérerons seulement les va- leurs de x, qui satisfont aux inégalités 0 € z € 1. Pour 2— 0 on a s — 0, et par suite nous obtiendrons de l'équation (67) (68) EEE TN Par. la substitution « = 1 nous obtiendrons le méme résultat. Pour O (87) bn = Io > e 1)7cos Amra pour m= 1 . AROSE has n De l'équation (86) on tire n—1 = (88) 2mza, cos PUE 22 IL sim Ang gum n = n n n—l e y (17 |sin 2(2r — lD)mz + sin 2(2r + 1)mn n n . Amt — — sin n et, par suite, 1 2mz M t 9) 2mmn 8 n pour m Z2 1. De l'équation (87) on obtient de méme =— (90) 2mnmb, PELLEM i 2(— 1)’ cos Fe A cos m n 1 r2 n bi en 2(2r — 1)mn Sb ee 2@r + Du r=1 n 2mz = 1 — cos 7) n SuR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 15 d’où 1 (91) dm = 2mn (sec cA ^ 1) n pour m Z2 1. Cela fait, appliquons les formules (85), (89), (91) aux équations (80), (81), nous en déduirons (92) | 1 2mn 1 2m . E Ze Seo cot e e 9 iei aes = dU J| ba Bae we + 2 = US u u (see = ) | , 4 r=s tae 1 93 x c ) 2 2 2n 1 mco 1 2, jl 9 dope à m SE — cos 2mnz + — (seo ==" = 1) sin 2 mx 2 | 3 n si v est multiple de : Ces deux formules subsistent pour 220. Pour x = 0 on déduit de l'équation (93) (94) (ug = HD EET m Ban = m n Pour z 2 1 nous obtiendrons la méme formule. Pour 0 si æ n'est pas multiple de —, mais n 104 Qna SS Dp cto?) Seg DI OF mE 4t LS | | ie Ama cos 2mna — 2 sec am = in) 2 ma x | ; en qp n m n si z est multiple de a n En remplaçant x par 1— x dans les équations (103) et (104) et en observant, que n= 1, mod. 4, nous en déduirons (> tol (105) CINE + RS, lg 2m cos Imnzr se Lem sin 2mzz( , Ji cma D n m n si « n'est pas multiple de —, mais (106) sin nume ie m 2 ANSE SS denrées Dina so Age eI. 2mnza,, mm Um n m n si v est multiple de 27 n Des équations (103) et (105) nous obtiendrons par addition et soustraction les deux formules pour 0 27; —1 nr CEE 2 2 M= 0 CODEN CSD) Au (RD ee + Zz E tg FUN TUE ONE HR et (= g(?£*d nz+1 Re Puy 1, Zum sin 2mzz , En Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 3 A. BERGER, 18 qui subsistent, si x n'est pas multiple de Te de méme nous obtiendrons TL des équations (104) et (106) les deux formules : dg TU i 2 109 er Lane ER) 5 2 a 2 p» a dm rmn Dm et DIU NUL el 2ms . (110) sin cos = It ZmILZ 2 ee sin 2mzz , 2 M cu Un n qui subsistent, si + est multiple de = n Nous résumons les formules (94), (107), (109) dans le théoréme suivant. Si l'on désigne par x une variable réelle, qui satis- Théorème IV. fait aux inégalités Qu rec et par n un nombre entier, supérieur ou égal à 5, qui satisfait à la con- n=1, mod. 4, gruence on aura x (=) es (=) (= 1) RENTE suem nn DOME a Up si x m'est pas multiple de — , mais n 3. MIA nor DD NI M qr - sim + cos ee LEES fo cos 2mzz , 2 2 Hh ceu Um. De plus on aura si x est multiple de — n (n—1)n _ b ne n m-i M n SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 19 Pour & =; nous obtiendrons de ce théorème la formule (111) oe) Ja ae me DEVE A m n Des équations (108) et (110) nous obtiendrons ce théoréme: Théorème V. En désignant par x une variable réelle, qui satisfait aux conditions D) em pem E et par n un nombre entier supérieur ou égal à 5, qui satisfait à la congruence : n=1, mod. 4, on aura :(7) A) BUSES pe 2m CASS OO BRUN =—14+2e4" 2 £717 sin Imna , IM d n 5 5; : 1 5 si x nest pas multiple de — , mais n CRE Dogg ecce aste 2 > Hi sec 27 sin Imna ; 2 SB my. OD si x est multiple de 1 : n | Par la substitution x =; nous déduirons de ce théorème fa (ez) (112) Capa p ; zu à sec sin. SX . MI : Puisqu’on a sin = = 0 pour les nombres pairs m, nous pouvons substituer 2m — 1 au lieu de m dans le second membre de cette équa- tion, et nous aurons Ee) Hs m-c m-—i Geach ey ees eae ENG CER S ar mn PA — n A. BERGER, 20 De cette équation nous obtiendrons pour n = 1, mod. 8, el ps 2(2m — 1)n 114 LEE MC ECCE QUE) AN Open ds n Ó mais pour 2 — 5, mod. 8, nous aurons n—5 j | T 1 | dy se De: 2(2m — l)z 115 es di ODE BY sec ( ) | ( ) Ir al zu es 9 mum SEE n 8 4. Soit n un nombre entier, supérieur ou égal à 3, et posons (116) ee (117) 9. ="—3 pour STE AIR (118) Jrin = g, pour r0 , les conditions du théoréme II seront remplies, et en faisant (119) ^s E(na), | nous déduirons de ce théorème pour x > 0 les formules rss a m=o iy Zg=2+ X (a, cos 2maz +b, sin 2mzz) , r=0 m=1 (120) : : 1 : si æ n'est pas multiple de — , mais n (121) * gr -5 = 2 + X (a, cos 2mztz + b„sin2mne) , r=0 m=1 / si v est multiple de i, et dans ces deux formules les coefficients a, et b, seront déterminés par les égalités SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 21 2 r=n—1 n (122) Gh See PRESENT Na 2 r=] r=n—1 1 n\.- 2mrn (123) a Nee NS (r — nsn pour m>1, MI ol 2 n r=n—1 ; a CCD Se eos ee ne 1 à 7L De l'équation (122) on tire (=) (= 2) | (125) dE s ; Multiplions les deux membres de l'équation (123) par 2mz sin 27 n I nous en obtiendrons : MI x (126) 2mza,, sin er N re r—n—l 9 EN B jcos (2v + 1)mn 5 (27 uk = n n EE ox. jcos Zr+lma - BIS (BR = MEN r=1 n n a "I rjeos (2r + 1)mz n (2r — 1)mz | n n r=1 T ‘i (2r — l)mn ma O08 SS SL GOS SS n n r=1 De cette équation on tire, aprés avoir multiplié les deux membres 2 sin PT: DATE 22 A. BERGER, von mat ma AR — (127) 4mza,, sin? —— - 2sin cos | De S nonien “cose n am 9 n n = 2r = 2)m . 2rmn nz > sin Er sin on pos LE AE n n n n ou MI IT (128) 4mza, sin?" — 95 sin "cos". n n n Pour les valeurs du nombre m, qui ne sont pas divisibles par n, on obtiendra de l'équation (128) pour m>1 - (129) qub o eC 2m n mais pour les valeurs de m, qui sont multiples de », on déduit de l'équation (123) (130) a, =0. En remplaçant r par n—r dans le second membre de l'équation (124), nous en obtiendrons h r=n—1 (131) pu Poe (r — 5) cos _— et des équations (124) et (131) on tire pour m>1 (132) b, =O. Introduisons maintenant dans les formules (120) et (121) les va- leurs des coefficients a, et b,, données par les équations (125), (129), (130), (132), nous en tirerons pour z > 0 la formule (133) Y I, = faite : e seid) + BUN cot 77 cos Amna , r=0 27 m=1 m n ; : 1 é si æ n'est pas multiple de —, mais n = ESD =) Vice ma 134 LE ME cot cos 9mztz , (89) 2.9. — 12 ee SuR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 23 si z est multiple de El dans ces deux formules les apostrophes indi- quent, qu'en exécutant les sommations les nombres m, qui sont multi- ples de n, doivent étre exclus. Pour z 20 on as=0, et de l'équation (134) on tire (135) N Y ere e ön e Qum n Par la substitution z — 1 on obtiendra le méme résultat. Pour 0 < x < 2 on a s=0, et de l'équation (133) on déduit n 4 (n—1)(n—2) _ ur ena rae n 1 136 = ( ) 6n 7t m 2 1 Lai m m Pour 1 <æ’ — cot — cos 2msz , n d Cuna OP si « est multiple de 2 n De l'équation (136) on conclura, que l'équation (141) subsiste pour 0 Sue en ced Danae ; 2 6n ma Up 7 si X est multiple de Den: plus on aura ‘ n (n — Mn 2ym ESP qr. ot NT (RE ni let 6n Substituons x = — dans ce théorème, nous en obtiendrons la formule 2 m=0 m—1 (143) Gb 2 CES ee 12n eR m n SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES ete. 25 sin est un nombre impair, mais 2 er man ea al (144) SBD AR Ne un m=1 We n sin est un nombre pair. § 5. Si x désigne un nombre entier, la quantité tg ”” est nulle pour Uu les nombres m, qui sont multiples de n; par suite nous pouvons écrire les trois formules du théoréme III de la maniére suivante: ili mc i MIT 1 ; 145 Sees yen em Nc eos 2mrne , (125) 2 | ee n : 1 1 i si s n'est pas multiple de — , mais \ n po mg — tg — eos2mzsz , "m n (146) QUERN RS Zn 7 m=1 si x est multiple de = , et n (147) (n z Due Sy : ig ma n En dl n De ces trois formules, qui sont vraies pour tous les nombres im- pairs n, qui sont supérieurs ou égaux à 3, et des trois formules du théoréme VI nous obtiendrons par addition et en remarquant, que (148) tg or A Cosec SUE ; 7L 1L "n les égalités suivantes: 1 pna ey Ten p" gu = I 149 zac Dem e uadit Net ee 2 ND T H Ön dh Y an cu T. cos 2mztz , To EDV n 4 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 26 A. BERGER, 2 5 1 c si v n'est pas multiple de —, mais n Qa cs dps im uem ll 2mn = 2 cosec cos 2mztz , n CAO) monem o D) = = 6n 5 s DD si © est multiple de =, et n (181) Gran) 2 = 4 IE 2mn 12n En OD n Par là nous avons démontré ce théorème. 2 Théorème VII. En désignant par x une variable réelle, qui satis- fait aux inégalités ead | 2 et par n un nombre impair supérieur ou égal a 3, on aura A 1 | n 1yfe9 4 E(na)|E(na) +1 —n} M m^ om i 2 n 6n 2 SQ 2m += X —cosee —— — cos2mne , D ca WO n : : 1 : si x mest pas multiple de — , mais n 2 m o gd 1 2mn na(@ — 1) =— 12202, cose eos 2mzg«a , : 6n WU sce AD n si x est multiple de —. De plus on aura n (p = ym EF ol 2m = > = eosec : 12n A qp n n=1 Pour & 2i on déduit de ce théorème la formule 2 n—l meo m— (152) Be SI ERE DI, je o sur rang ee 6n EEE amo n £ EE a NS m SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 27 8 6. Si l'on désigne par » un nombre impair positif, qui n'est pas un nombre carré, et par 5| n le symbole de LEGENDRE, généralisé par Jacosi, on a les formules connues am | (ee, a, EI). EE ND n En définissant les quantités 9,, 9, , 4, ,.... au moyen de l'é cue 154 ese r 20 as) = (2) pou «20, * les conditions, mentionnées dans le théoréme II, seront remplies d’apres les équations (153), et en faisant (155) s= E(nz) , nous obtiendrons de ce théorème pour x Z 0 (156) * ()-7 — Ir Sn (a, cos 2 MAT + 6, sin 2 mz) , r=0 m=1 si v n'est pas multiple de 2% mais n (157) z -s(3)- 3+ += (a, cos 2mnx + b,, sin 29mzz) , si z est multiple de de et dans ces développements les coefficients a, n et b, seront donnés par les égalités j 9 r=n—l T 158 des ey emm ( ) %o Re (2): 2 I. EN Le. Phe Se a Æ = —=— — b = 1 (159) An PDA E sin E pour m : 160 D = as a (LE ce SMER ngr än SMG MIT \n n P sen A. BERGER, 28 Supposons désormais, que le nombre n ne soit divisible par aucun nombre carré plus grand que l'unité, on aura ‘) 2mriti n—142 .. ) Te (EJ: n, r—1ü—1l R y (s ui n (161) m MO où l'on désigne par Yn la racine carrée positive du nombre m. Mainte- nant nous distinguerons les deux cas suivants: 1) Pour n = 1, mod. 4, nous obtiendrons, en séparant les parties r—n—l 2 5 r . zm VIC Y mu sin = Oe n n réelles et imaginaires des deux membres de l'équation (161), 2 P ? = ) 3 EE y r=1 am SE r=1 et des équations (159) et (160) nous déduirons pour m2 1 (163) a end epe. j d'après l'équation (158) on a FEQ (164) en y substituant n—r au lieu de r, il viendra 2 r=n—1 r a DT RES n n il (165) et des équations (164) et (165) on tire par addition LM n Ohi erri ua FE r=1 (166) , | Cela établi, appliquons les équations (163) et (166) aux équations (156) et (157), nous en déduirons pour «= 0 (167) 5 (m n Yn "y (m sin 2m ; = Wo TD NA m 1) Voir Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. LEJEUNE DIRICHLET. r Vierte Auflage. Braunschweig 1894. Supple- Herausgegeben von R. DEDEKIND. ment I. SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 29 RATE 1 si v n'est pas multiple de =, mais n (168) > r=0 M 1 (2) 1 fe \ Yn GER (= sin 2inzt o = | » n qp m Nm m si æ est multiple de Le n 2) Pour n=3, mod. 4, nous déduirons de méme de l'équation (161) r=n—| > 9. " r=n—1 7 a / == (169) 2 (= cos mra zx) : > (2) sin VAN = sl Yn B en n = ND n n et en appliquant ces formules aux équations (159) et (160), nous en ob- tiendrons pour m= 1 (170) a e ES NEON EY et d’après l'équation (158) on a 9 r=n—1 P (171) = Gr Par suite nous obtiendrons dans ce cas des équations (156) et (157) les développements r=s hy = r=0 (172) (2) x = 3 (a) yn a: mana D cr NC m . ; : Il : si v nest pas multiple de =, mais N r=s ir Ls ler ep n "z^ (m\ cos 9mzaz AN sa nn PAS rome : ASUNT 2 \n (nte NO ZA ENT) m si x est multiple de ze n Nous résumons les formules (167), (168), (172), (173) dans le théoréme suivant. . 30 A. BERGER, Théorème VIII. Soit n un nombre impair supérieur ou égal à 3, qui n'est divisible par aucun nombre carré plus grand que l'unité, et désig- nons par x une variable reelle, qui satisfait à l'inégalité en employant la notation s = E(nx), nous aurons pour n = l, mod. 4, ) m a (2) sin 2mne m = 1 > (- , cay V Wh LI. SOO : 5 1 b si x nest pas multiple de — , mais n f S DM à E i eri (2) _ Yn b (8) sin 29mstc r=0 ‘Mt 2 \n an VR m j ; - 1 si x est multiple de =, et pour n z 3, mod. 4, nous aurons n r=s a 1 ST ME (2) cos 2mne i ca "m = m r=n—1 ^ 3) meo : [gets = (>= cos 2mna TO AN si x est multiple de I : n Pour 5 1, mod. 4, nous obtiendrons de ce théorème par la substitution x =; la formule (174) SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 31 . :. MIT A Pour les nombres pairs m on a sin —- — 0, et par conséquent a“ on peut remplacer m par 2m — 1 dans le second membre de cette équa- tion; ainsi nous en déduirons n—1 IT a M= D 9 xA IS (=S NET 175 CA B» S Pd eto SS SN PEU ( ) Yn "n (2) se | n 9m — 1 Supposons, que » = 3, mod. 4, et substituons x = 0 dans le théo- pp 1 , réme précédent, nous aurons r=n—1 à M=A (176) M ee EE nYn ri N m=1 Nm 1 : et pour x = g nous en obtiendrons ] n—1 fee Me 1 2-1 (rp | "mo _ gy a» a EEE Des &quations (176) et (177) on tire par addition one FE Die) eu TORTE m | (78) T + a’ md Yn > et par suite, en remplacant m par 2m — 1 dans le second membre de cette &quation, , m=l (179) ne x en) 2 Yn r=1 n m=1 n Maintenant nous transformerons lé premier membre de l'équation (176). De l'égalité évidente (QR COE SEO MEME E m=1 on tire 32 A. BERGER, as e ‘= 6 2 (2) L4 D (m -) ie i n m=1 m=1 et, par conséquent, ase) (NS (2) 5-23 FI m=1 m=1 En appliquant les formules (176) et (179) à l'équation (182), nous en déduirons n—1 PESE dU kt, ss 2 a a RES 2 (2) n et, en s'appuyant sur l'équation (183), nous obtiendrons de l'équation (176) re" =0 5 m 1 184 EN SL MES er A Eos en (184) ze Bo Puisqu’on a 2 C (185) ec n pour tout nombre impair n, nous obtiendrons de l'équation (184) zur 2 ^ TA — o5 1 186 a NS eae: p gary d si n = 3, mod. 8, mais naar 2 " m- 1 187 ELE eio ME ron n, a sil n=7, mod. S. Des équations (175), (179), (186), (187) resulte le théoréine suivant. Theoröme IX. Si Von désigne par n un nombre impair supérieur ou égal à 3, qui n'est divisible par aucun nombre carré plus grand que l'unité, on aura * SUR LE DÉVELOPPEMENT DE QUELQUES FONCTIONS DISCONTINUES etc. 33 RAS (5) = i EU 2 CE pour n=1, mod. 4, Va an n 2m — 2 5 m=n yo 1 1 2 1 m. = REY (2) = > E | pour n = 8, mod. 4, 9 EI et n Ae Il ae = (5) = x = = pour n=3, mod. 8, Y (2 = si 2) 1 pour n=T7, mod. 8. m OSS ———— ot THEORIE DER VEKTORFUNKTIONEN | ALS GRUNDLAGE EINER ANALYTISCHEN DARSTELLUNG DER HAUPTSÄTZE DES STATIONÄREN ELEKTROMAGNETISMUS ‘H. PETRINI (MITGETHEITT DER KÖNIGL. GESELLSCHAPT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 20 ÖCTOBER 1894). UPSALA 1894, DRUCK DEk AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING. D ROM ood » Schon lange hat man gewisse Analogien zwischen Elektrodynamik und Hydrodynamik gekannt, welche den Gedanken an eine hydrodynamische Erklärung der elektrischen und magnetischen Ereignisse gelehnt haben. Aber es ist von C. Neumann!) und P. Vascuy?) gezeigt worden, dass diese Analogie ganz und gar formeller Natur ist, indem man willkürliche Funktionen mittelst Ausdrücke darstellen kann, die gewissen in der mathe- matischen Physik, besonders in der Elektrodynamik und in der Theorie der Wirbelbewegungen, vorkommenden Formeln ähnlich sind. Dieser Umstand giebt die Anregung ein rein mathematisches Gebäude von For- meln zu bilden, deren physikalische Bedeutung zu bestimmen es der Erfahrung zukommt. Auf diese Weise wird der Vortheil gewonnen, dass die Zahl der Hypothesen zu einem Minimum reduzirt werden kann, in- dem es klarer dargestellt wird, welche Facta von prinzipieller Natur anzusehen sind. Wir werden hier die wichtigsten bisher in dieser Hinsicht gewon- nenen Resultate mittheilen und uns bemühen die Betrachtungsweise ein wenig weiter zu führen. Um die Darstellung nicht zu viel zu belästigen werden wir die allgemeinen Grundsätze der Potentialtheorie als bekannt voraussetzen ebenso wie die gewöhnlichen Transformationsformeln von Raum- und Flächen-Integralen in Flächen- und Linien-Integrale. 1) C. NEUMANN: »Beiträge zu einzelnen Theilen der Mathematischen Physik». Leipzig 1893. S. 231. i ; 2) P. Vascuv C. R. 1893: »Sur une propriété générale des champs admet- tant un potentiel; S. 1242— T7. »Essai d'une nouvelle théorie de l'Électrostatique» S. 1286—9. »Propriété génerale d'un champ quelconque n'admettant pas de potentiel; S. 1355—7. »Sur une propriété générale des champs électriques et magnétiques» S. 1437—40. Nova Acta lieg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 2 H. Perkins, Kap. I. Elektromagnetische Darstellung willkürlicher Funktionen. Definition 1. Mit dem regulären Gebiet einer reellen Funktion von drei Veränderlichen werden wir im folgenden denjenigen von einer oder mehreren geschlossenen Flächen begrenzten Raum verstehen, innerhalb dessen die Funktion nebst ihren ersten und zweiten Differentialquotienten einwerthig, endlich und kontinuirlich ist. Satz 1. Jede einwerthige Funktion V(ryz) kann innerhalb ihres einfach zusammenhängenden regulären Gebietes als eine Potentialfunktion von Massen, die nach dem Newton-Coulomb'schen Gesetze wirken, dar- gestellt werden. Wenn nähmlich o aus der Gleichung (1) AV = Ang bestimmt wird, wo (2) G7 OR ORT ROMA Ar QD qu. S ist, so ist die allgemeine Lósung von (1) bekanntlich Q moi. tu) wo c eine auf der Begrenzung willkürlich gewählte Funktion, dw ein Element der Begrenzung, dr ein dem regulüren Gebiete gehóriges Vo- lumselement, und r der Abstand von dem Elemente dw oder dr zu dem Punkte ayz ist. Die Integrationen sind über die ganze Begrenzung bzw. das ganze reguläre Gebiet genommen. Wenn nun o so bestimmt wird, dass in allen Punkten der Oberfläche oda fodt (8:1) er, wird, so ist o eindeutig bestimmt, und (3*) s BEZ [259 +) = ) 7; r ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 3 Definition 2. Ein System von drei von einander unabhängigen Funktionen (P, P, P.) von drei unabhängigen Veränderlichen wird eine Vektorfunktion (P) oder kürzer Vektor, und dasjenige Gebiet, innerhalb welches eine Vektorfunktion definirt ist, wird ihr Feld genannt. Geometrische Representation. Werden die unabhängigen Veränder- lichen als Cartesian’sche Koordinaten (xyz) aufgefasst, so können die drei Funktionen P,P,P, durch drei den Koordinatenachsen parallele Geraden dargestellt werden, die den bezüglichen Funktionen proportional sind. Die drei Funktionen P,P,P, können durch die vier Funktionen P1,14,4. ersetzt werden, welche folgendermassen bestimmt sind: | MR (4) E Ae ec ME ient | P ist also eine positive Quantität; 4,4,4, sind durch die Gleichung EE SEEN f verbunden; sie können daher als Richtungs-cosinen einer Geraden be- trachtet werden. Ist die Länge dieser Geraden P proportional, der Punkt (zyz) ihr Anfangspunkt, und ihre positive Richtung von diesem Punkte aus gerechnet, so kann diese nach Grösse und Richtung bestimmte Gerade den Vektor P darstellen. Definition 3. Ein Vektor P hat ein Potential (V), wenn es eine Funktion V giebt, welche den Bedingungen (5). pi e genügt. Die nothwendige und hinreichende Dedingung für die Existenz eines Potentials ist (5%) N een Satz 2. Jedes Vektorfeld, welches ein Potential hat, kann in der Form eines Kraftfeldes dargestellt werden, welches durch Mas- sen, die nach dem Newton- Coulomb'schen Gesetze wirken, hervorge- rufen ist. 4 H. PETRINI, Nach (5) ist (my 2) (533) IE YE | (PR E + Je du + P.dC) (rg Yo 29) wodurch V bis auf eine additive Konstante bestimmt wird. Ist das reguläre Gebiet von P einfach zusammenhängend, so hat auch das reguläre Gebiet von V dieselbe Eigenschaft, und V kann daher in der Form (3*) dargestellt werden, womit der Satz 2 in diesem Falle bewiesen ist. Wenn aber das reguläre Gebiet von P mehrfach zusam- menhängend ist, so wird V im allgemeinen mehrwerthig; V kann dann durch folgende Betrachtungen bestimmt werden. Man kann das mehr- fach zusammenhängende Gebiet durch Ausführung von gewissen Quer- schnitten in ein einfach zusammenhängendes verwandeln. Nach den Be- trachtungen der Potentialtheorie kann man jeden dieser Querschnitte als aus zwei unendlich benachbarten Flächen bestehend ansehen, auf denen V in entsprechenden Punkten eine konstante Werthedifferenz hat, und diese Querschnitte können in Bezug auf V als Doppelschichten angesehen werden. Jedesmal ein Querschnitt in derselben Richtung durchsetzt wird, wächst V mit der bezüglicheu Differenz, so dass V in dem ursprüng- lichen mehrfach zusammenhüngenden Raume mit einer cyklischen Kon- stante behaftet wird. | In dem einfach zusammenhängenden Raum kann nun V in der Form Ven xc dargestellt werden, wo V, eine völlig bestimmte Funktion und C eine willkürliche Konstante bedeutet. Die Funktion V, ist so bestimmt, dass sie der Gleichung (5**) genügt und in einem gegebenen Punkte einen gegebenen Werth hat. V, kann dann durch (3*) dargestellt werden, wenn man zu dem Oberflächenintegrale noch diejenigen, welche über die Querschnitte zu nehmen sind, hinzufügt. Diese sind von der Form J ,doy , do," p = Oy zu + Oy " 1 wo w’ und o" die beiden Flächen sind, welche jeden Querschnitt er- setzen können. Sind diese Flächen einander unendlich nahe gelegt, so wird ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ÉLEKTROMAGNETISMUS. Ou do" = da’ E aes Vo / " d % Oy 0. / " / IF / Js) ER Fs + | öv dn". do, : if n Ist P, die Komponente von P in der Richtung der Normale, so ist be- kanntlich JE (Gr Cy pd e Da aber P kontinuirlich ist, so muss sein. Folglich ist gesetzt worden ist. Ist dQ, der solide Winkel, unter welchem das Element dw’ vom Sichtpunkte (zy z) aus gesehen wird, so ist 1 0, m > dns = CD on d Jy= | #40, i 6 H. PETRINI, Wenn der Punkt (xyz) sich durch die Doppelschicht bewegt, so wird J, einen Sprung erleiden, dessen Werth UIDERI ern isí, was man unmittelbar durch die in der Potentiatheorie vorkommenden Betrachtungen findet. Da P selbst nicht diskontinuirlich ist, so ist der in irgend welcher Richtung genommene Differentialquotient dieser Diffe- renz gleich Null, und folglich ist Zz, konstant, Jy, = D, . od 'odı T, = ee fee. Um den Werth von V in dem ursprünglichen mehrfach zusammenhän- genden Raum zu bekommen haben wir nur eine cyklische Konstante beizufügen, die um die Differenz Voce 1 Man hat also bei jedem Umlauf von der einen Seite des Querschnittes bis zur anderen wächst. Diese Differenz für den Querschnitt w, ist gleich At a Definition 4 Um auf einfache Weise diese cyklische Konstante ausdrücken zu kónnen wollen wir den Begriff des soliden Winkels etwas erweitern. Bisher haben wir diesen Begriff an die Betrachtung einer Fläche geknüpft, an deren willkürlich gewählter positiver Seite 2=2n, und an deren negativer Seite (2 — — 2x ist. Jetzt wollen wir statt der Fläche selbst deren Begrenzung betrachten. Es giebt dann keinen Grund, wesshalb (2 in irgend welchem Punkte, der nicht auf der Begrenzung liegt, eine Diskontinuität erleiden sollte, und daher wollen wir (2 mehrwerthig mit der Periode An annehmen, ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 7T wo k eine positive oder negative ganze Zahl ist und £2, derjenige Theil der Fläche der um den Punkt (xyz) mit dem Radius eins beschriebenen Kugel, welcher von dem vom Punkte (zjyz) aus zu einem Punkte ($7{) der fraglichen geschlossenen Kontur gezogenen Radius Vektor in posi- tiver Richtung ausgeschnitten wird, wenn der Punkt (6 7 5) die ganze Kon- tur beschreibt (Fig. 1). Die positive Seite der von der Kontur begrenzten Flüche ist diejenige, von welcher aus man die Kontur in positiver Rich- tung beschrieben sieht. Die positive Richtung wird in gewóhnlicher Weise mit der Wahl des Koordinatenachsensystems festgesetzt. Wenn man die positive Richtung mit der entgegengesetzten der Bewegung der Zeiger einer Uhr zusammenfallen lässt, kann das Koordinatenachsensystem zweck- mässig gemäss I oder II (Fig. 2) ge- wühlt werden, wo I bei dem Über- gange von zwei zu drei Dimensionen 0 x sehr empfehlenswerth ist. Die Auf- fassung der soliden Winkel ist also x ganz analog derjenigen der ebenen. Man kann also allgemein V durch die Formel (ob) u.a, eg darstellen, wo C und die z, willkürliche Konstanten sind, und die Mehr- deutigkeit von V in diejenige der 2 eingeschlossen ist; @ ist durch die Gleichung Qua ap. Je 6 E y z (6) Ow 07 t* dz = 470 gegeben. Definition 5. Ein Vektor P hat ein Vektorpotential (F G H), wenn es drei Funktionen FG H giebt, welche den Bedingungen (7) qm ce UL I Os QUEEN genügen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Vektorpotentials ist Quod OO EE F2 0c ad OY 02 (3) OF 8 H. PETRINI, Satz 3. Ein jedes Vektorfeld kann wie ein Kraftfeld dargestellt werden, welches theils durch Newton-Coulomb'sche Massen, theils durch Laplace'sche Vektoren hergestellt ist, oder m. a. W. jeder Vektor kann als der Resultant von zwei anderen Vektoren angesehen werden, von denen der eine ein Potential, der andere ein Vektorpotential hat. Erstlich werden ,wir unter der Annahme, dass Satz 3 gilt, und dass man also schreiben kann mon QE AG (3) 8 P= 8) 02 dy dz d einen Ausdruck für die Grössen V FG H abzuleiten versuchen. Mit An- wendung der Bezeichnungen | ou Don es en dr 07 dz (9) | OH OE = Anu, (3) dy dz und Va OC QE 10 : =J e 0x dy n 02 erhält man gemäss (8) (11) drole RU Oy DA Behandeln wir J als eine näher zu bestimmende willkürliche Funktion, so wird die Lösung der Gleichungen (11), wenn der Raum einfach zusammenhüngend gemacht worden ist, (12) Pe E 2 + fus = 1 lol We (3) on wo die Funktionen o; o, o. J so zu bestimmen sind, dass der Gleichung (10) genügt wird; o; 0, 0. können als ein Vektor o aufgefasst werden, dessen normale und tangentiale Komponenten o, und o, heissen mögen. Wenn ihre Projektionen mit 64, 0, etc. bezeichnet werden, so ist ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 9 Oz = On + x (3) Ore On; = 6,1 (3) ng log + mo, + nor =0 , wo imn die Richtungscosinen der nach innen gerichteten Normale sind . Die letzte Gleichung kann durch folgende drei Gleichungen CE = mo, — no, (3) ersetzt werden, wo der Vektor (o, o, o,) gleich o ist und mit 6, denselben Winkel bildet wie c, aber rechtwinklig zu o, ist. Man kann also allgemein (13) 0: = lo, + mo, — no, (3) Ss setzen, WO 0,0, 0,0, als näher zu bestimmende willkürliche Funktionen zu betrachten sind. Um diese Bestimmung auszuführen benutzen wir folgendes Lemma 1. Wenn {mn die Richtungskosinen der nach innen ge- richteten Normale sind, so ist allgemein — (14) [3 av 2 fran, wo f eine willkürliche Funktion ist. Von den Funktionen 6,0, 0, 0, wollen wir annehmen, es können dieselben ins innere des betrachteten Gebietes regulär fortgesetzt wer- den. Nach (14) ist ido få -— {2% dt à JE dc 0, = ip ey n il T ag e )« i T zn 02% r weil at ot Jon es ud dag T Aa ist , sdb ; a 2 9 joie. aes L de Q^ re GR à T as ae da r Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 2 10 H. PETRINI, Ferner ist 3 1 Joss i ard | à ce Ly As pes dam Jon dum dt IRS 938 7. 79 93 SOE £o JET der folglich à Kf. ld@ 6, lid eo ‘070, dt of gs 14:1 ja t | cat 6, 3). \ | ) Qa. p J OS qp Den =) r (3) Ähnlich wird PE t dw (ac, ldw VO, Ge 9? dc (14:2) a L m —— — | $f 8 fos — (6) TS ] J OF J 0507 ? 920% 1 0 C d TE E ld o OM: d TE 14:3 — Jug = Jug ar ey. ( 2) Qc Ms r 2 PE 7 RD QS Y - ) Auf Grund (10) (12) (13) (14: 1) (14:2) (14:3) findet man nach einiger Reduktion Sa ee (15) | +n C x) le apos pe n = | weil nach (9) (16) Oa Ole 4 OM: pem Qc 0 y 02 18t. Die Gleichung (15) ist die Bedingung, welche die Funktionen o, 6, 6, 0, J erfüllen sollen, welches auf verschiedene Weise geschehen kann. Wir werden hier zwei Lósungen geben. 1:0 Es sei J willkürlich gewählt und 7 ER gui uU (ht, (17) On Te ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 11 Dann ist für einen inneren Punkt dt nn P TU OR = dl co " Wird ferner El) 4no, = P, (3) gewählt, so ist die Gleichung (15) nach (9) identisch erfüllt ; nach (12) ist a i Auer jul 2 +) (m P; — n P,) = ze [Iz 9 P. ES) da cad 07) ag/ 2 Jor r pP ^ ^ aP non. ja + 2 we Bern 1 02 1 / NOS oe, OP de 91 96^ m ist. Da ferner, wenn der Punkt zy innerhalb des Gebietes liegt, 4 [PTE -—AmP. FS ist, so ist die Darstellung von P formell abgeleitet. Setzt man also og SP Gh Sie Ec (3) CS oam Toa dE (18) F- [a + lan, ® ye 1 jp Ber ie dt AT. 7; 1 so ist in einem inneren Punkte 12 H. Perri, oZ EL, P, = Ae (8) E då Sor de (3) > wo J eine willkürliche Funktion ist. In einem áusseren Punkte erhält man dä ato BV a) dy dw da (8) , wenn J — 0 gesetzt wird. Da die Gleithungen (8) und (10) durch (18) Identisch erfüllt sind, so ist hierdurch der Satz 3 bewiesen. Für J=0 erhalt man die Neumann’sche Darstellung. Bisher haben wir nur einen einfach zusammenhängenden Raum be- trachtet. Wenn aber der Raum mehrfach zusammenhängend ist, kann er wie vorher durch gewisse Querschnitte einfach zusammenhängend ge- macht werden. Der Vektor P wird auch dann durch (8) und (18) dar- gestellt, wenn nur zu der gegebenen Begrenzung noch die Querschnitte hinzugefügt werden. Da aber auf beiden Seiten eines solchen Quer- schnittes 0,0,0,P, gleichgrosse Werthe von verschiedenem Vorzeichen haben, wenn J einwerthig gewählt ist, so werden die bezüglichen Inte- grale fortfallen. Die Gleichungen (8) und (18) werden also ganz allge- mein ohne Hinzufügung von irgend welchen Querschnitten gelten. 2:0 Es sei J fortwährend willkürlich gewählt, ferner seien (20) ö, = 0, = 3; 1 Mit Einführung der Bezeichnung 1 (20 : 1) oo ff 4n erhált man aus (15) 90 do dr 1 dr 6 — — LJ — — m A —— En Mp LUE jt idm EL iF P fo An 7) r Für einen inneren Punkt ist T 4 (o d 2) t = ono 4 J. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 13 Nach (3°) kann o immer in der Form 9 — 0, + 6, —deo ce (20 : 2) ) r dT Er: dargestellt werden ; folglich ist AG — — Ang —d w M [ETES —4n [9% — — 4n 4 ta [ 5-2. Die Gleichung (15:1) geht dann in (15 : 2) über. Man hat also 6 und 9 so zu bestimmen, dass auf der Oberfläche 90 = 21 SSS Ay Se 22) quu * i: ist. Wählt man o willkürlich, so ist also o aus der Gleichung (21:1) Sana on on zu bestimmen, wo das rechte Glied als bekannt anzusehen ist. Wenn dn’ ein Element der nach aussen gerichteten Normale ist, so ist bekanntlich und folglich geht (21:1) in DU = L RD an’ \ an 14 H. PETRINI, über. Die Lósung der Gleichung (15) wird also auf die Aufgabe reduzirt : FE : ^s on, OO 3 eine Belegung 6 so zu bestimmen, dass an der äusseren Seite —1! = ei- on : : do . ner gegebenen Funktion wird, wenn o, = [s S Für einen äusseren Punkt geht (15:1) in [ Jes a = 4 (15 : 3) if | pu = = = | 5 über; folglich ist nach Einführung der Bezeichnung (20 : 2) (15 : 4) J = Ben ie Jy Qm a Wir können also fortwährend o willkürlich wählen ; dann wird J durch (22) J = 4n6, “ bestimmt. Die Belegung o wird endlich durch die Gleichung (22*) Om SE an bestimmt. Nach (12) ist (23) F=|(o 2) OMM. 1 \ at = J/ o (ea fts x r 42 flo A ) r (3) Der Satz 3 kann jetzt folgendermassen bewiesen werden. Es seien drei Funktionen FG A definirt durch (23), wo o und J so bestimmt sind, dass die Gleichung (15:1) erfüllt wird. Setzt man UE DIE PEE BOE dE (8) , so wird ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ÉLEKTROMAGNETISMUS. 15 De, BUT oC. a ER (3) Qc OY OY dz d(P. = ui a(P?, — P) 0, 07 dz Folglich hat der Vektor (P— P^ ein Potential. Wird dieses V genannt, so erhält man die Gleichung (8), wo V durck die Werthe von» P. P' an der Oberfliche vollständig’ bestimmt wird. Man kann auch direkt aus der Form des Vektors P— P’ ersehen, dass er ein Potential hat. Es ist nämlich p AE qu nol — Peu + Pn) + pe (Ti+ Rm Py), folelich (vgl. S. 11) ist d dt n diem (e ey lee On Tia, OG An Pa [JT 4 [Gel Pom + P,n) : edt : = JP, : qum | 4x01 — Pem 4 Ege (3) . Für einen inneren Punkt ist dann aei Ge? Ur ay Ex MORE E E Doe c eL RE a S) [p = Wenn man beweisen kann, dass ao = = E > Cs Te zu ist, so kann man setzen und also 16 H. PETRINI, Die Funktion X, kann in der Form K Q y = Ål Ly dd d oc gesetzt werden, wo ist. Aber folglich ist nur zu beweisen, dass J' — Konst. ist. Wenn man 8 . ea EA a [OR Han dr fot Han futt. fp tet [n tm schreibt und berücksichtigt, dass = ne 320 dt 9 MOS ATE ERU AGE ist, so wird ll. 79 dc dr FEET je pere PUN. An ( +) T ^ zi : 1 r Für einen inneren Punkt ist (vgl. S. 12 u. 13) A MOM = 470 on do Aro 4 5 ee eee © MR ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 17 il — do ^— dt ay [ens 4n 6 + An | o 77 — 420 = 0 47 3 v r wodurch die Behauptung bewiesen ist. Für einen äusseren Punkt ist (vgl. S. 14) 9 ASS To 0 an une 3 r und folglich JG = AT Os Ferner ist : y fr. dv QU FROM "dio, 2-8. dy 02 Qc Wenn o, = 0 gesetzt wird, bekommt P’ in einem äusseren Punkte ein Potential, m UR o(L+U). o 4x | dy 02 Qa Wenn der Raum mehrfach zusammenhängend ist, kommen noch die Oberflüchenintegrale der Querschnitte hinzu. Die allgemeine Form eines solehen in (15:2) vorkommenden Integrales ist, wenn die beiden Seiten berücksichtigt werden, on, N, 1 Aber es ist fen, D Un 98 u zm © on, on, und folglich wird der entsprechende Theil der Gleichung (15: 2) identisch erfüllt für jede beliebige Belegung c des Querschnittes, wenn man einen inneren Punkt berücksichtigt. Für einen äusseren Punkt verschwinden auch die Integrale über die Querschnitte, wenn man nur in der Gleichung 2 DJ Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 18 H. PETRINI, (12) zu dem Raumintegrale noch das Oberflächenintegral der Querschnitte hinzufügt. Diese Resultate kónnen kurz so ausgedrückt werden: Die für einen einfach zusammenhängenden Raum bewiesenen Sätze gelten für einen mehrfach zusammenhüngenden ohne Berücksichtigung irgend welcher Querschnitte bei der Berechnung von o. Dagegen muss in dem Ausdrucke (23) für F noch ein Ausdruck von der Form ZXz, Q, hinzugefügt werden (vgl. S. 7 Gl. (5: 1). Wenn wir das Vektorpotential einwerthig annehmen, wird x, — 0 und kein Glied ist hinzuzufügen. Satz 4. Wenn u ein Potential hat, so ist im Falle 2:0 für einen äusseren Punkt wenn J — 0 und der Raum einfach zusammenhüngend ist. Denn es sei oM (24) METUS (3) , folglich nach (12) und (20: 1) mit Anwendung von (14) F = co f (ar ne, : o= [522 a. fe den s Setzt man J=0, so wird in einem inneren Punkte Ao = 0 b Ferner ist (vgl. (16) u. (22*)) AM 0 | TENE an — an o = — M + Konst. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS 19 Da M nur bis auf eine Konstante bestimmt ist, kann man (je ems AH schreiben ay fiesta 9 30 yim xg os MES 3 (25) | ee (25*) ANTON 07 02 Wenn der Raum mehrfach zusammenhängend ist, so kann man setzen, wo M durch die Bedingungen AM = 0 A OM SE (3) kontinuirlich im Inneren des Raumes und U an der Oberfläche on bestimmt wird. Folglich wird (vgl. S. 7) M = [+ 20, +0 Ein = 1l À, M 2 47 wo 4,M die Differenz der M-Werthe auf beiden Seiten des Querschnittes w, bezeichnet, und o' eine zweckmässig gewählte Oberfláchenbelegung ist. (CEU ues = moe ue unes 2 Lp jp 0c T P - i. [ar an e 02 iP DHEA 34 [E B ( ) dy dz 02 dy 20 H. PETRiNI, wo pp. ju (3) ~) ip e mus LE Od eem Ov i (25:2) Hm | °°? 4 259. +0 (3) = — 0 an der Oberfläche und n Pedy T An ist. Das Laplace'sche Gesetz. Man kann eine Darstellung von P ohne Vermittelung des Vektorpotentiales erhalten, indem man das Vektor- potential eliminirt. Aus (12) ergiebt sich Es seien «py abe die Richtungscosinen der Vektoren o und r, der letzte vom Punkte ($7; 2) aus nach dem Punkte (zy) hin positiv gerechnet. Man kann dann at at " i P P = (0 — E vb — j 3 Je G dy 97 dE "n (9 p c) ( ) setzen. Folglich ist der Vektor 3 O 5 U, 7I er go c så (03 P) J} Fig. 3. Pe | | | . 5 5 inte | A rechtwinklig zu o und r gerichtet und positiv | n „ayz LI Li Li LI . Li A in diejenige Richtung gerechnet, wovon r einen ee x, positiven Vinkel 9 von der Lage o aus gedreht ^ 8” scheint (vgl. Fig. 3) 7, ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 21 DAN MOE We ud (26) f= ee sin (6,1) m [4 35 > 5 sin (uvm) , wo die 4.4, etc. die Richtungscosinen der ff, sind. = fi dv Anm. 1. Wenn c konstant und nach der Normale gerichtet ist, so ist Denn es ist jn = al Qs E agi à ; yi a fo a fy On A Goo "dr [n dt = 0. [^ dy dz Wie ee Ren ae Folglich wird eine willkürliche Konstante in o, keinen Einfluss auf die Darstellung von P ausüben. Anm. 2. Für einen äusseren Punkt ergiebt sich, falls w ein Potential hat und o nach 2:0 bestimmt wird, mit Rücksicht auf (25) und (26), (26*) na h,gdr = — f f4gd o (3) falls J = 0 gesetzt wird. Kap. I. Vektor-rohre. Definition 6. Der durch eine rohrförmige Fläche begrenzte Raum wird ein Vektorrohr genannt, wenn auf der Mantelfläche überall P,-0 ist. Ist der Querschnitt des Rohres unendlich klein, wird es Vektor- faden. genannt. 22 H. PETRINI, Wo nicht anderes ausdrücklich bestimmt ist, wollen wir annehmen, dass das Rohr unverzweigt ist. Wenn das Rohr nieht in sich selbst zurücklaufend ist, wollen wir die begrenzenden Querschnitte w, und o, nennen. Für einen Faden wollen wir w, und w, als eben betrachten und dieselben rechtwinklig zu der Mantelfläche wählen. Aus (6) und (14) folgt unmittelbar der bekannte Satz à | [Pıdo = — 4n M (27) | M = fedr . Für jeden Vektor, der die Bedingung (7*) erfüllt, ist (28) JB; dw. 0. Für ein Vektorrohr ist P, = 0 auf der Mantelfläche DUE [ Pda, EJ Pide; =0. (w,) (07) Wenn die Normale fär die verschiedenen Querschnitte nach der- selben Richtung gerichtet ist, so wird folglich für jeden Querschnitt (29) f P.do — Konst. In einem Faden kann P, auf einem Querschnitte als konstant und — P angenommen werden, Fig. 4. (os 1D) *. Po = Konst. Anm. Wenn der Faden verzweigt ist, so wird (vgl. Fig. 4) Definition 7. P,dw wird der Vektorfluss durch das Element dw genannt. Anm. Die Gleichung (29) arückt aus, dass wenn o = 0 ist der gesammte Vektorfluss für alle Querschnitte eines Vektorrohres kon- stant ist. Das Ohm'sche Gesetz. Ist die Lage des dem Querschnitte w gehö- rigen Elementes dw bestimmt durch die Länge des dieses Element ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 23 durchsetzenden Fadens, von einer der Endflächen des Rohres aus ge- rechnet, so ist der gesammte Vektorfluss (29: 3) I = f Pcos (ds, dn)do , wo ds ein Element des Fadens ist. Angenommen, es habe P ein Potential V (39: 4) ee =——. Wir wollen jetzt für die w die Potentialniveauflächen wählen. V ist dann von nur einer Veränderlichen abhängig, für welche wir die Lange s, eines mittleren Fadens wahlen wollen. es CRU Dead an ds, J On Das Integral der rechten Seite ist auch nur von s, abhängig. Wenn man mit dis, ds, D Ón multiplizirt und über die ganze Länge /, des betrachteten Fadens inte- grirt, so erhält man, da / nach (29) von s, unabhängig ist, das Ohm’sche Gesetz TRE R (29: 5) Bas Vi = We R-h 0 wo 5 lo mo boat 0 0 gl IE E und also w, ein mittlerer Werth von ds, On de 24 J H. PETRiNI, 5 EN 3:5 018 ist. Für einen Faden ist — — 1, On Wir werden jetzt einen anderen Ausdruck fiir den Vektorfluss durch eine nicht geschlossene Flache suchen. | Lemma 2. STOokEs’ Satz. o» [ER m Plans "E = [ Gas 4 P, dg + Pd) = [Bas wo imn die Richtungscosinen der nach der positiven Seite der Fläche hin gerichteten Normale sind, und die Integration auf der rechten Seite in der positiven Richtung längs der Kontur zu nehmen ist. Mit An- wendung der in der Gleichung (8) gegebenen Darstellung des Vektors P geht (30), wenn P,P,P, gegen FG H vertauscht werden, in über. Andererseits folgt aus (30) unmittelbar (31: 1) [ado KR [ Pas | An. In diesem Kapitel wollen wir nur geschlossene Vektorrohre behan- deln. Für solche Räume giebt der Fall 2:0 eine einfache 3:0 Elektrodynamische Darstellung des Vektors P. Es ist nämlich überall auf der Oberfläche folglich kann (vgl. S. 13) gesetzt werden MN = | us falls F einwerthig und J = 0 angenommen wird. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 25 Diese Darstellung des Vektorpotentials, wo das Oberflächeninte- gral fehlt, wird ermôglicht auch in dem Falle, wo das Vektorrohr zwei Endflächen hat, die entweder a) einander unendlich nahe liegen, weil dann , Bee DT Co) se! a dw | Uy, urn + | Mn, Lom | Us dr Un.) ri 0 c In u 5 U r ist, oder b) unendlich entfernt sind, weil dann fa, o @ y Vy wegen 7, = oo und f tad w — Konst. und folglich endlich, oder c) zu einem in Bezug auf das betrachtete Rohr äusseren Raum grenzen, wo P gar nicht definirt ist, und welehes so beschaffen ist, dass man in diesem Raume kontinuirlich von der einen Greuzflüche zu der anderen kommen kann. Man kann nämlich in diesem Raume einen beliebigen Theil ausschneiden von soleher Form, dass das Rohr mit Hinzufügung davon eim geschlos- senes Vektorrohr bildet, wobei in dem hinzugefügten Theile « zweck- mässig in unendlich mannigfaltiger Weise gewählt werden kann. Man lässt jetzt das Integral, welches F darstellt, das ganze so gebildete ge- schlossene Rohr umfassen P). Das Potential geschlossener Vektorfäden in einem äusseren Punkte. Es ist schon früher (S. 17) bewiesen, dass für J= 0 der Vektor (32) Mo ESS CE "^ in einem äusseren Punkte ein Potential hat, und für den Fall, dass w ein Potential hat, ist P' allgemein durch die Gleichung (25: 1) darge- stellt. Wir wollen jetzt einen geschlossenen Vektorfaden betrachten und das bezügliche Potential auf eine andere Weise darstellen. Ist ds ein Element des Fadens und do sein Querschnitt, so ist dt —dsdo ANR Bader dé dwds ; OF = | Us e u Jn = 1) Vel. A. B. BassET: »A Treatise on Hydrodynamies» Cambridge, 1888. I: S. 65 Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. 4 26 H. Perkinı, Nach (29: 1) ist der Vektorfluss, wenn P gegen w ausgetauscht wird, (38) 9I =udo konstant längs des Fadens, ' 9 F = ud w | ds r ME d oe OT | = te =. dy 3 7 Beh Das Integral des rechten Gliedes kann mittelst (30) transformirt werden, indem man T [DS SOR mie setzt : E Ds ve Yo ! m = " | : s 3r 12 "SE SENT uc de wo dw ein Element einer Fläche, die den betrachteten Faden als allei- nige Begrenzung hat; MU QE r ip ip NE = =O zu m —n | dw dor Qc | 95 T an = OG 2 EU E Ze Qc. On gU repu. qun Qc wo {2 der solide Sichtwinkel (vgl. S. 5) des Fadens ist. Den Vektor 9 P' wollen wir den Vektor des Fadens nennen, und sein Potential JV nennen wir das Potential des Fadens. Es ist also | 5 a0 p (34) | OUO) MEN -l ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 2 In dem äusseren Raume hat also der Faden denselben Vektor wie eine Doppelschicht, welche willkürlich an den Faden als alleinige Be- grenzung gelegt ist, und welche an der positiven bezw. negativen Seite mit einer Masse von der Dichte belegt ist. Anm. Einen Unterschied giebt es doch, indem das Potential des Fadens kontinuirlieh und mehrwerthig, während dasjenige der Doppel- schicht einwerthig und beim Durchschneiden der Fläche diskontinuirlich ist. * Potential eines Vektorrohres. Jedes Vektorrohr kann als aus Vek- torfáden bestehend angesehen werden. Folglich wird das äussere Po- tential (35) y'2f2odi Spezial 'ülle. Es sei ein ebener geschlossener Vektorfaden gegeben, dessen Querschnitt rechteckig ist, 0b und dh die Breite und die Höhe des Rechtecks. Das Potential des Fadens ist angenähert dasselbe wie das Potential einer Doppelschicht von der Flächendichte N wo man an- dh sehen kann, dass die einzelnen Flächen der Doppelschicht je eine Seite des Fadens berührt. Denn dieses Potential ist (Fig. 5) 3 1 22 il One el 1 v" Ó r | | 1 1 J ooh E LE DE ect 772 an ad -oI|-do-ÓV. on Wird ein gleicher Faden auf diesen gelegt, so kann derselbe auch durch zwei Schichten ersetzt werden, von denen die untere mit der oberen des ersten Fadens zusammenfällt und die Wirkung derselben neutralisirt. Werden mehrere Fäden auf einander angehäuft, und werden dieselben von den entsprechenden Doppelschichten ersetzt, so wird das bo 28 H. Perrini, äussere Potential der ganzen Spule dasselbe als dasjenige der beiden äussersten Schichten, weil die übrigen je zwei benachbarten einander neutralisiren. Das Potential der Spule in einem in Bezug auf die Spule äusseren Punkte wird also (Fig. 6) a (36) Arg Ces) rn RS RTE wo n = E die Anzahl der Fäden der Längeneinheit ist. Wenn die Spule 9 n sich naeh beiden Seiten hin ins Unendliche streckt, so ist nz = f, = oo V, = 0 Bisher haben wir angenommen, es sei die Spule cylindrisch und Sh konstant für jeden Faden. Wenn aber der Querschnitt w der Spule unendlich klein ist, so gilt die Formel (36) auch dann, wenn dh ein wenig dicker nach der einen Seite hin ist, so dass die Spule nicht mehr cylindrisch wird, sondern eine — übrigens beliebige — Krüm- mung von endlichem Krümmungsradius À bekommt, wobei Glieder von "D [60] a 0 ® der Grössenordnung B vernachlüssigt werden. Ist die Spule geschlos- sen, so fallen w, und w, zusammen, und ihre Wirkung nach aussen wird = 0 ; es wird nämlich Um das Potential in einem Punkte im Inneren der Spule zu finden bemerken wir, dass wenn Ó/ unendlich klein und die Anzahl der Fäden unendlich gross ist, so ist der Betrag, den ein einzelner Faden zu dem Poten- tial leistet, unendlich klein im Verhältniss zu dem Potential der ganzen Spule. Folglich kann man von der Einwirkung derjenigen Fäden, auf deren entsprechende Doppelschichten der betrachtete Punkt fallen würde, absehen und dieselben als aus der Spule herausgeschnitten denken. Die Spule zerfällt also in zwei Theile, in Bezug auf welche der fragliche Punkt als ein äusserer Punkt ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 29 zu betrachten ist. Das innere Potential ist also dasselbe wie das Po- tential von vier Flächen, nämlich w, w, und zwei dem Punkte unendlich benachbarten, welche auf je einer Seite des Punktes liegen und mit den \ OT of : AVE UNE à : Belegungen m und = versehen sind. Für ein jedes dieser Schich- l OR ten ist das Potentialgefälle der Längeneinheit bekanntlich 22 — = 2nndl und da das Potentialgefälle der Längeneinheit für beide nach derselben Richtung geht, so erhält man für das von den beiden Schichten ab- hängige Potentialgefälle den Ausdruck 4znól. Das Potential im Inneren der Spule ist also (31) V, = no TÅ is ee je ) 4ansd I TERN CRT Te wo s die Länge desjenigen Theiles der Spule ist, der sich zwischen w, und dem fraglichen Punkte befindet. Auch in diesem Falle wird wie bei nur einem Faden das Potential mehrwerthig, indem das Potential um Annldl = An NIT wächst, wo | die Länge der Spule und N die Anzahl aller Fäden ist, wenn man von irgend einem Punkte aus eine geschlossene Kontur be- schreibt, die in der Richtung von ®, im Inneren der Spule nach w, und dann im Aussenraume von w, nach w, läuft. Die Gleichungen (36) und (31) müssen folglich zu (36*) V, = n91( je — (der) x ana wor T3 JR EX ACIE pm P le 1) _ 4rns01 + 4E N01 J IP ry ergänzt werden, wo k eine willkürliche ganze positive oder negative Zahl bedeutet. 30 H. PETRINI, Wenn die Endflächen der Spule unendlich entfernt sind, wird ihre Potentiale = 0; wenn dieselben zusammenfallen, d. 1. wenn die Spule ge- sclossen ist, wird die Summe ihrer Potentiale — 0. Da in beiden Fällen die Spule von einem äusseren Punkte aus nicht durchsetzt werden kann, so ist V, einwerthig und konstant, so dass man (38) V, = 0 schreiben kann. Im Inneren wird dann das Potentialgefälle à Vi (39) = wd) «. Qs und das Potential (40) V; = —4nnO [s + 4kn NOI , wo s von einem beliebigen Querschnitte aus gerechnet ist. Abgeleitete Spulen. Da der der Spule entsprechende Vektor P nach (36*) und (37*) die Bedingung : ap OPE | va 3» p TN 0 erfüllt, kann man P,=4nu,. (3) setzen und den dem Vektor u, entsprechenden Vektor P, aufsuchen, welcher durch die Gleichungen OR SOE Tu, (CO 9% dz nuns (3) definirt ist. Im Allgemeinen ist nicht u,, = 0 an der Oberfläche der Spule; wenn aber die Spule in sich zurücklaufend ist, so ist w, konstant und parallel der Achse derselben gerichtet pu = nd I = ub ie m an : und folglieh kann eine geschlossene Spule in einem inneren Punkte als ein geschlossener Faden mit dem Vektor uw, (statt «) angesehen werden. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 31 In einem äusseren Punkte wird dann der diesem Faden entsprechende Vektor P, in derselben Weise wie der einer gewissen Doppelschicht ent- sprechende Vektor bestimmt. Der Vektor P, ist übrigens nichts anderes als unser Vektorpotential (FGA). Die von Fäden dieser Art zusam- mengesetzte Spule nennen wir (die erste abgeleitete Spule. Auf diese Weise kann man natürlich beliebig fortsetzen und immer neue abgeleitete Spulen verschiedener Ordnungen bilden. — Verallgemeinerung. Wird bei der Bildung der Spule die entspre- chende Oberflächenbelegung udb = nd I für die verschiedenen Fäden ver- schieden angenommen, werden die auf einander gelagerten Schichten je zwei ihre Wirkungen nicht ganz aufheben. Es sei also ’=nd/ eine Funktion von s; dann werden zwei Belegungen (41) AS e ( oder, für die Längeneinheit berechnet, eine Raumbelegung di c (42) rs | i = u0b =ndl ausmachen. KAP. III. Analytische Theorie der Kräfte. Eine Kraft an und für sich ist undenkbar; man muss sich immer die Kraft als an einem Körper wirkend denken. Dagegen kann man sich einen Körper wenigstens vorstellen ohne denselben zu irgend wel- cher Kraft in Beziehung zu setzen. Der Begriff der Kraft setzt den Be- griff der Bewegungsänderung voraus, und wo dieser fehlt, wird keine 32 H. Perrini, Kraft merkbar. Wir werden daher von der Erfahrung desjenigen, was wir Materie oder Körper nennen, ausgehen; jener Name bezieht sich mehr auf die Art oder spezifische Eigenschaften, dieser mer auf die Ausbreitung oder, was auf dasselbe hinauskommt, den Umstand, dass ein gewisser Theil des Raumes von Materie gefüllt ist. Wir wollen keine Definition der Materie geben, sondern werden uns nur zu derjenigen Anmerkung beschränken, dass die Anwesenheit von Materie einem ge- wissen geometrisch bestimmten Raume eine merkbare spezifische Eigen- schaft giebt, und umgekehrt, dass wir auf das Dasein eines Körpers nur von der Existenz einer einem gewissen Raume zukommenden spezifischen Eigenschaft schliessen können. Da die vorliegende Untersuchung von rein mechanischer Natur ist, so haben wir nicht diese spezifischen Eigen- schaften an und für sich zu berücksichtigen, sondern nur den Umstand, dass es dergleichen Eigenschaften giebt. 5 Erfahrungssatz 1. Die Erfahrung lehrt, dass die Lageänderung aller Körper kontinuirlich geschieht, und dass ihre Accelerationen !) in jedem Augenblicke nur von denjenigen Umständen abhängen, die sich in diesem Augenblicke vorfinden, und folglich von dem Anfangszustande und der vorhergehenden Bewegung explicite unabhängig: sind. Die Acceleration ist also von folgenden Umständen abhängig: I. Umständen, die von dem Körper selbst unabhängig sind, wie der augenblicklichen Lage und der Zeit; IL Umständen, die von den Geometrischen Verhältnissen des Kör- pers abhängen, wie der Form und Grösse des Körpers; II. Umständen, die von den kinematischen Verhältnissen des Kor- pers abhängig sind, wie dem Bewegungszustande; IV. Umständen, die von der spezifischen Natur des Körpers ab- hängig sind, so dass unter übrigens gleichen Verhältnissen verschiedene Körper verschiedene Accelerationen haben können. Wir können hier nicht alle diese Fälle in ihrer Allgemeinheit be-: handeln, sondern wir werden uns nur zu demjenigen Falle beschränken, dass ein Kraftfeld, oder besser Accelerationsfeld, existirt. Definition 8. Wenn die Acceleration eines unendlich kleinen Kör- pers von deu Umständen Lo irgendwie, Il:o und III:o gar nicht und IV:o auf die spezielle Weise abhängig ist, dass die Accelerationen verschiedener 1) Dieser Ausdruck ist, strenge genommen, nur für unendlich kleine Kórper richtig. Für Körper von endlichen Dimensionen, deren verschiedene Theile verschie- dene Accelerationen haben können, wäre der Ausdruck Accelerationszustand exakter, obschon wir den ersteren als einen einfacheren beibehalten haben. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 33 Körper in demselben Punkte und zu derselben Zeit in einem konstanten Verhältnisse zu einander stehen, so wird der so beschaffene Raum für solche Körper ein Accelerationsfeld genannt. Wenn die Accelerationen verschiedener Körper durch Va Vo Ye bezeichnet werden, so ist also in einem Accelerationsfelde (43) ccce E p 7 wo «/}y den verschiedenen Körpern zukommende spezifische Konstanten sind. Die Funktion P ist folglich nur von den Umständen I abhängig (43: 1) D NORNAN P wird die Intensität des Accelerationsfeldes genannt und be- zeichnet die Acceleration desjenigen Körpers, dessen spezifische Kon- stante gleich eins gewählt wird. P ist also eine Vektorfunktion. Das so definirte Accelerationsfeld nennen wir einfach. Erweiterung des Begriffes Accelerationsfeld. Wenn die Acceleration in Komposanten zerlegt werden kann, die jede für sich einem einfachen Accelerationsfelde entsprechen, sagen wir, dass es ein zusammengesetztes Accelerationsfeld giebt. Anm. Wo nicht anderes ausdrücklich angenommen wird, werden wir in dem Folgenden nur einfache, von der Zeit unabhängige Accelera- tionsfelder behandeln. Der Bequemlichkeit wegen wollen wir jedem Körpertheile nicht einen, sondern zwei Konstanten Adr und odr oder odi beilegen, welche Masse bezw. Belegung genannt werden sollen, und welche so gewählt sind, dass (43*) Adıy=odıP. Definition 9. Die Quantität odvP wollen wir die an der Masse Adv wirkende Kraft nennen. 1) Vgl VascHy.a. a. O. S. 1287. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 34 H. PETRINI, Anm. Die Einführung der Quantitäten 4 und o, obgleich durch das Vorige nicht völlig begründet, ist geschehen um die gewöhnliche Betrachtungsweise, die auf dem’ Kraftbegriffe gegründet ist, baldigst ein- führen zu können. Da der eine von den Quantitäten 4 und @ willkür- lich gewählt werden kann, und da man eine gewisse Neigung dafür hat, einem Körper eine gewisse Identität zuzuertheilen, obschon seine Eigen- schaften sich ändern können, so wollen wir 4 derart wählen, dass die Masse d für denselben Körper in allen Zeiten und unter allen Umständen konstant bleibt, und also als das einzige von mechanischem Sichtpunkte aus identische bei dem Körper zu betrachten ist. Beispiele. Bei Gravitationsphänomenen ist «= 1 für alle Kör- per, und folglich 4 = o. Bei Magnetischen Phänomenen enspricht o der magnetischen - Dichte etc. Anm. Der Umstand, dass das Gesetz von der Konstanz der Masse hier als eine Definition aufgefasst werden kann, beruht darauf, dass man alle eventuelle Abweichungen durch eine andere Erscheinung (eine »g-Er- scheinung» wie Elektrizität, Magnetismus o. dergl) erklären kann. Für die hier beabsichtigten Zwecke ist es nicht nothwendig diesen Satz als Erfahrungssatz einzuführen. Die Untersuchungen über die allgemeinen Eigenschaften der Kräfte und der Accelerationsfelder werden auf Grund der in Kap. I und II ge- © gebenen Entwickelungen äusserst einfach, indem man nur hat den dort". behandelten Vektor P als die Intensität eines Accelerationsteldes zu be- trachten. | Das Newton-Coulomb’sche Gesetz. Wenn das Feld ein Potential hat, so kann es als aus einer Menge komponirender Felder bestehend angesehen werden, welche den Elementen des im Ausdrucke für P vor- kommenden Integrales entsprechen. Diese Komponenten sind von der Form £f 1 2 r 1 dun diesen editus r und längs der positiven Richtung von v gerichtet. Da also die Raums- bezw. Flächenelemente dz’ und dw’ hierdurch eine besondere Beschaffenheit bekommen, welche nicht nur von ihrer Lage abhängt, so wollen wir dieselben als gewissermassen materiell be- trachten und ihnen die Belegungen o’dr’ und o'd«o' zuertheilen. Dies wird dadurch ausgesagt, dass die Belegung o'dz' bezw. o'do' im Punkte £yC die Belegung od v oder odw im Punkte xyz mit einer Kraft ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 35 od ue dr etc. ] abstósst, d. i. dass die Belegungen nach dem Newton-Coulomb’schen Gesetze wirken. Obs. Die Belegungen, von welchen das Feld herrührt, sind von der Lage und Grösse der Belegung edt ganz und gar unabhängig, selbst wenn der Punkt (xyz) ausserhalb des betrachteten regulären Gebietes liegt. Die Belegungen verschiedener Elemente sind auch von einander ganz unabhängig. Das Laplace'sche Gesetz. In dem allgemeinen Falle, wo es kein Potential giebt, kann das Feld nach (8) in zwei Komponenten zerlegt wer- den, von denen der eine ein Potential V, der andere ein Vektorpotential (FG H) hat. Der erste wird wie oben durch Newton-Coulom'sche, der zweite durch Laplace'sche Belegungen aufgebaut. Diese sind von der Form u dt’ oder o'do' wo u’ und o Vektoren sind. Die elementaren Komponenten des Feldes sind gleich u' dt" sin (r,w') oda’ sin (r,o') , r T? und rechtwinklig zu w’ bezw. o und r nach der Seite hin gerichtet, wo- von r in positiver Richtung von w’ bezw. o' gedreht scheint. Die an dem Elemente edz wirkende Kraft ist also TEE. . 4 / / . , odru dt sin(r,u^) odto dw sin (r,G) - bezw. = : I T x Obs. Die Vektorbelegungen w’dr' müssen entweder geschlossene Ringe bilden, oder es müssen sich gleichzeitig Vektorbelegungen o’dw’ in gewisser Weise vorfinden. Die w' und o' sind im Allgemeinen von der Lage des Punktes (zy z) unabhängig, doch wird die Belegung o', wenn sie nach dem Falle 2:0 (S. 12). bestimmt wird, auf eine andere Weise be- stimmt, wenn der: Punkt (zyz) ausserhalb, als wenn er innerhalb des be- _ trachteten regulären Gebietes liegt. Hierdurch ersieht man, dass wäh- rend man w’ eine reelle Existenz .zuertheilen kann, dies bezüglich o’ nicht möglich wird, die also nur als eine scheinbare physische Quantität be- trachtet werden kann. Wenn dagegen c' nach dem Falle 1:0 (S. 10) 36 H. PETRINI, bestimmt wird, ist die Herleitung ganz unabhángig von der Lage des Punktes (zyz), und folglich kann der o’ auch eine reele Existenz zuertheilt werden. Auch ist bewiesen (Gl. (25*) S. 19), dass in dem Falle 2:0, wenn uw ein Potential hat, die Gesammtwirkung in einem äusseren Punkte von einem Systeme von w’ und o' — 0 ist, wenn es einen einfach zusammen- hängenden Raum bildet, und also, wenn es einen mehrfach zusammen- hängenden Raum bildet, nur von den cyklischen Quantitäten abhängt. In dem Falle 1:0 ist in einem äusseren Punkte die Sean eins aller Belegungen = 0 (Gl. 19 S. 12). Erfahrungssatz 2. Die nicht vektoriellen Belegungen o’dr’ und o'dw' sind von derselben Art wie die Belegungen edt und odo. Hieraus folgt, dass die edt und odw selbst ein Feld hervorrufen, worin die o'dt' und o’dw’ sich befinden. An diesen Grössen wirkt dann die Kraft Zn SEE etc. m die längs r aber in entgegengesetzter Richtung wirkt, d. i. es gilt das Newton'sehe Gesetz von der Rückwirkung. Aber es befinden sich auch die vektoriellen Belegungen w’dr’ und o'do' in dem von der Belegung odz bewirkten Felde, und von diesen kann natürlich nicht der obige Erfahrungssatz gelten. Die Be- trachtung einer Vektorbelegung ist auch nur eine Abstraktion, indem diese Belegungen nicht isolirt auftreten können. Ein vollstständiges System von solchen Vektoren hat in einem äusseren Punkte dieselbe Einwirkung wie ein System von nicht vektoriellen Belegungen (vgl. S. 17), und es gilt der Erfahrungssatz 3. Ein von äusseren Belegungen herrührendes Feld übt an einem vollständigen Systeme von Vektorbelegungen dieselbe Kraft aus als diejenige, welche es an der nicht vektoriellen Belegung ausüben würde, welche dasselbe äussere Feld bewirken kann wie das Vektorsystem. - Es gilt folglich der Satz von der Rückwirkung ganz allgemein vorausgesetzt, dass man nicht die einzelnen Vektorbelegungen, sondern nur die vollständigen Vektorsysteme betrachtet und sich zu dem Falle beschränkt, dass die betrachtete Belegung, wenn sie vektoriell ist, sich nicht im Inneren eines Vektorsystems befindet. In diesem Falle giebt es auch nicht nur ein Potential des Feldes, sondern auch ein Gesammt- potential aller zwischen den verschiedenen Belegungen wirkenden Kräfte. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 91 Wir wollen jetzt die Einwirkung der verschiedenen Systeme auf einander berechnen. 1. Zwei nicht vektorielle Systeme. Es seien Qua Ode) Wide die Elementarbelegungen, das Gesammtpotential und die an der Be- legung edt wirkende Kraft. Dann ist W = [ i eldade ety) I (44) | 1 9 vo. = dP, = — edt | = OC ED à 2. Eine nicht vektorielle Belegung und ein System vektorieller Belegungen, die einen Vektorfaden bilden. Es ist (vgl. S. 26 u. 20) mit derselben Bezeichnung wie oben 1 W= 07 Jods J do (45) = sin (s ,r) T , 0P,=—odtol WT do = edt T = Agds' wo OJ’ der Vektorfluss u'dw' des Fadens ist. Die Kraft 9 P kann also als der Resultant der Elementarkräfte .. ed«ÓT' sin (s’,r)ds’ z af = angesehen werden, welche rechtwinklig zu r und ds’ gerichtet sind. Die Ein- wirkung des Fadens an edt ist eine durch den Punkt (xyz) gehende Kraft. Da die Einwirkung der Belegung o dt an dem Faden gleich und entgegen- gesetzt gerichtet ist, so muss die an dem Faden wirkende Resultant- kraft auch durch den Punkt (zyz) gehen. Dies wird natürlich erreicht, wenn man die an dem Elemente OI'ds wirkende Kraft gleich und ent- gegengesetzt der obigen Elementarkraft und in dem Punkte (xyz) ange- bracht annimmt. Man kann jedoch beweisen, dass die Resultantkraft 38 H. PrETRINI, durch den Punkt (xyz) auch dann geht, wenn die Elementarkraft in dem Punkte (575) d. i. in dem Elemente 9/'ds' selbst angebracht angenom- men wird vorausgesetzt, dass der Faden starr ist. Denn es sei d L die Projektion auf die x-Achse des statischen Momentes von f in Bezug auf den Punkt (xyz); dann ist al =(4—y)fe—C—2) f, = Of ef wo f = — f und abc die Richtungscosinen des Abstandes r (Fig 3 S. 2 Ferner seien @’ß’y’ die Richtungscosinen von ds’ ae f = edröras 27 68 (3) al NT lf dpe = odıdI ds [a' a (ao 4- bf +cy)] LS " todos AN ds m VP RIT | = - = [a +o |=—edrd las oe pi deo, el ie SO Oy) . J Qs Wie die Einwirkung eines beliebigen Systems an dem Elemente edz berechnet werden soll, wird aus dem Vorigen einleuchtend. Für den Fall, dass « ein Potential hat, wird die Einwirkung eines Vektor- systems dieselbe als diejenige der cyklischen Vektorflüsse (Gl. (25 : 2) 5. 20) des Systems, und diese kónnen in Füden zerlegt werden. i 3. Zwei geschlossene Vektorfäden. Beide kónnen von Doppelschalen ersetzt werden, Du (46) $n wor] ]-—. — dedo 1) Dieser de ist von C. NEUMANN a. a. O. S. 29 bewiesen. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 39 Es sei De = > Ome eS ae =), dw ek : i uu EURO OR 92 | sar döda" = JA do= ferte gun zn)do. Schon ist bewiesen (S. 26 ) dass, wenn man lé - ES 1) schreibt, man no est 97 02 erhält, o- [XC °C) dw = |( Pde + Gdy+ Hide) = d Tode + dndy +dbdz _ le (ds, ds’) Jess Y us HS T: i (46:1) We 9107 || soc EN) ee r wo die Integrationen über die ganzen Längen der beiden Fäden er- streckt sind. Die zwischen den Fäden wirkende Kraft reduzirt sich, wenn die Fäden starr angenommen werden, zu einer Kraft und einem Kräfte- paare. Die Kraft wird dadurch gefunden, dass man einem der Fäden eine Parallelverschiebung in Bezug auf den anderen giebt. Hierbei wird cos (ds,ds’) unverändert (47) LS nes fonts ids _ dsds' 40 H. PETRINI, Die zwischen den Elementen wirkende Kraft kann also (48) e SIST cos (ds, ds^)dsds v r2 gesetzt werden und längs r gerichtet d. i. repulsiv angenommen. Das Kräftepaar wird dadurch berechnet, dass man dem einen Körper eine vir- tuelle Rotationsbewegung giebt. Hebe wird cos (ds,ds') geändert. Diese Änderung kann leicht berechnet werden, wenn cos (ds, ds’) durch r ausgedrückt wird. Es ist!) 1 = (w@—§) + y—7) +@— 5 ogg on OF Fay =) 46-98 £P 2 AE m pe OE EN + 99 _ cos (ds,ds') . 2 9808 0s ds as Os" ds Qs Nimmt man an, dass W nur durch die Veränderung des gegensei- tigen Abstandes der Elemente verändert werden kann, und lässt man in dem Ausdrucke (46:1) r eine virtuelle Veränderung erleiden, ohne dass die Längen der Fäden geändert werden, d. i. lässt man die Fäden unausdehnbar aber übrigens beliebig biegsam sein, so wird?) Mec our ne Oi RO 1 ]asas’ dsds ri Qsos r Bei theilweise Integration erhält man unter Berücksichtigung, dass die integrirten Theile — 0 werden, ^ PAD 220] T Jl 1 N u S um nd for” 2 /./ 0808 7 2 Qs ds à n mE N = Ij - rórdsds a Osos - Vgl. Riemann Schwere, Elektrieität und Magnetismus. Hannover 1880; S. 302. Riemann a. a. O. S. 304. 7 dsds = 1) 2) ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 41 9? MP ls gu 2 - Le -|órdsds' 21" ds0s dsds 49) ©. e w- —aror (f Bei einer virtuellen Drehung 09, um die x-Achse wird Or = eroi 2) 99. und folglich wird das Kräftepaar 1 Quen 0 W n 1 9? r? T ar ar 50) b= 2% = our || | ae (0) 09, r 917? 9598” ; 0sQs (Ez dy ) sds' (3) Das Ampére'sche Gesetz. Im Ausdrucke (49) kann man 9 W als aus den Elementen 7 gt pre u r—— |ördsds 27° 9808 9808 zusammengesetzt denken, welche wir als den Betrag dd W betrachten kón- nen, welchen die zwischen den Elementen d /ds und 0J’ds’ wirkende Kraft an der Änderung von W leistet. Die von dem Elemente Ó/'ds' auf OI ds ausgeübte Kraft wird also m dd W / or? Tv / LE = SIST FSE LM dsds . ! dr gs sas cu Setzt man (Fig. 7) 2742. cos & = cos (ds, ds") = — is Fig. 7 fö cos 9 = cos (r, ds) = 2” WA \ Qs j / / ; / or cos I = COS (NL, sb) — —— 0s so wird Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 6 42 H. Perrin, 9 rs (48 : 1) f= al cos I cos 9'.— cos «| Yr? [5 in der Richtung von r d. i. repulsiv gerechnet. Die Gleichung (48:1) drückt das Ampére’sche Gesetz aus. f Da die Elemente der Vektorbelegungen nicht isolirt vorkommen können, so kann den entsprechenden Elementarkräften keine reelle Existenz beigelegt werden. Sehr bemerkenswerth ist auch, dass obschon wir vorausgesetzt haben, dass die Veränderung von W nur durch die Änderungen an den r bewirkt wird, doch die zwischen den Elemen- ten wirkenden Kräfte ausser von r noch von den — wenn nur die Ele- mente einzeln berücksichtigt werden — von einander und von r unabhängi- gen Veränderlichen 9, 9 und & abhängig sind. Die Kräfte wirken freilich längs r und folgen also dem Satze von der Gegen wirkung, aber sie haben kein Potential, da der von den Kräften herrührende Theil in dem Ge- sammtpotential nur die Variation der einen Veränderlichen r enthält. Will man einen Ausdruck für die zwischen den Elementen wirkende Kraft finden, welche so beschaffen ıst, dass es ein Potential giebt, muss man also allgemein annehmen, dass es auch zwei andere Komponenten giebt, die eine rechtwinklig zu r und ds, die andere rechtwinklig zu den beiden ersten, wozu noch ein Kräftepaar zu fügen ist. Setzt man z. B. das Potential dW der Elemente auf einander nach (46:1) (51) eee Wy p e onse DRM (P so kann man ansehen, dass sie an einander mit einer repulsiven Kraft (48) und einem Kráftepaare wirkeu, welches gleich QM Qn 1 (52) de und rechtwinklig zu ds und ds’ gerichtet ist. In den Ausdruck (46:1) für das Potential W kann man noch zwei willkürliche Funktionen einfügen und (199) men er son u r S S setzen, wo q und w willkürliche Funktionen von irgend welchen Varia- belen sind. Diese Funktionen können gar nichts an der Ampere’schen ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 43 Formel ändern'). Denn durch Variation nach r kommt in den zuge- ge - : 9 fügten Gliedern dr under dem Zeichen 4s oder was eine Integra- E Seu tion naeh s oder s' nothwendig macht, wodurch dieses Glied fortfällt. Eine besondere Form der q und w ist vor allen anderen ausgezeichnet. Wenn man nähmlich beachtet, dass W eine symmetrische Funktion in Bezug auf s und s' ist, so ist es zweckmässig, wenu der Einfachheit we- gen nur eine Funktion eingeführt wird, dieselbe in der Form 9 X 9508’ zu setzen. Um die Homogeneität der Formel nicht zu stören, muss dieses Glied von derselben Dimension RM Länge : COS € wie das andere oder sein. Es muss daher y die Dimension ei- = ner Länge haben. Die einfachste Form von X ist also kr, wo k är absolute Konstante ist. Ferner ist c 5 (cos I cos & — cos e) , und folglich kann W in der Form (46:3) W= —rrff- cos I cos 9' + Tue dn «| dsds' r zr gesetzt werden, welche die v. Helmholz'sche Form ist. Das gegenseitige Potential zweier Elemente kann gleich ROJA T (51:1) dW= [k cos I cos F + (1 — k) cos e] dsd s 1) Vgl. jedoch Poincaré »Electricité et Optique» IL. Paris 1892 $ 23, wo der Gegentheil behauptet ist. 44 H. Perrini, oder allgemeiner Ce) ee er cu oem r 08 0s gesetzt werden, wo man auch cos # cos # statt cos e schreiben kann, was aus der Formel (46:3) hervorgeht, wenn man k =1 setzt. Spezialfall. Wenn die Elemente einander parallel sind und r recht- winklig zu denselben ist, so ist cos I = cos 9 = 0 und cos & = 1 oder — 1, je nachdem sie in derselben oder der entgegengesetzten Richtung gerichtet sind. Aus dem Ampere’schen Gesetze (48: 1) geht dann hervor, dass die Elemente einander anziehen oder abstossen, je nachdem sie gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind. Geschlossene Ringe. Wenn der Ring in Fäden zerlegt wird, so können die bisherigen Formeln unmittelbar angewandt werden, wenn man - über alle d 7,07 integrirt. Es sei dsÓ I = ud« (2) (53) a ER || uw cos (u ,w)dTdT' . Anm. Die Formel (53) gilt nur dann, wenn die Ringe ausserhalb einander liegen und in Fäden zerlegt werden können, welche selbst ganz ausserhalb einander liegen. Gelenkte Fäden. Wenn die Fäden in einander gelenkt sind, so kann man dieselben nicht ohne weiteres durch Doppelschichten ersetzen, weil die Doppelschicht des einen Fadens den anderen Faden schneidet, und dieser also nicht ganz ausserhalb der Doppel- schicht liegt, was eine wesentliche Voraussetzung der vorigen Betrachtungen war. Wir kónnen doch wenigstens theilweise diesen Fall auf den schon be- handelten 3:0 8.24 reduziren. Es seien nämlich A und B (Fig. 8) zwei Fa- den, die um einander einmal geschlungen sind. Lasst uns zu den Fäden Fig.8. A und B einen neuen Faden — a von derselben Intensität wie A hinzu- . fügen, welcher um B in entgegengesetzter Richtung geschlungen ist. Die Fäden Aund — a bilden zusammen ein System, dasdurcheine Doppelschicht ersetzt werden kann. Dies ersieht man unmittelbar, wenn man — a mit A durch einen Faden verbindet, der denselben Weg hin und zurück läuft und ee oa ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 45 also keine Einwirkung hat. Auf diese Weise erhält man zwei Konture (4—.a) und B, welche ausserhalb einander fallen. Wenn — a unendlich klein ist, so wird die Doppelschicht des Systemes (4 —a) dieselbe als die Doppel- schicht der einzelnen Kontur A. Wenn zu dem Systeme noch ein Faden a hinzugefügt wird, welcher unendlich nahe an — a liegt, so wird die Ein- wirkung von A an B dieselbe als die Einwirkung der Kontur (4 — a) an der Kontur B nebst der Einwirkung von a an B. Bei der Berechnung der Einwirkung von a an B kann man zu B den hin und zurück laufenden Faden C D E (Fig. 9) hinzufügen, an wel- BREE chen a keine Einwirkung hat. Der Faden B kann \ dann durch die zwei Fäden BC DEB und CEDC ersetzt UN werden. Der erste ist ausserhalb a, und die Einwirk- | SEA ung von a an ihm kann daher nach gegebenen Metho- | te /B den berechnet werden. Da a unendlich klein ist, wird diese Einwirkung unendlich klein und kann vernachlässigt werden. Die Einwirkung der um einander geschlungenen unendlich klei- nen Fäden CEDC und a ist nicht durch die gegebenen Methoden möglich zu berechnen, und folglich kann man dieselbe a priori nicht = 0 setzen, obschon beide unendlich klein sind. Definition 10. Ein System von zwei um einander geschlunge- nen unendlich kleinen Fäden wird ein Knoten genannt. Der Knoten heisst positiv, wenn die Fäden einander von der negativen Seite durchsetzen, negativ im entgegengesetzten Falle. y Da die Lage der unendlich kleinen Faden hat nach Belieben ge- wählt werden können, und da die Einwirkung von A an B nicht von dieser willkürlichen Wahl abhängen kann, so ist ersichtlich, dass die Ein- wirkung von a an CE DC unabhängig ist 1:0. von der Richtung der Fä- den des Knotens und folglich nicht ein Vektor sein kann, 2:0 von der Lage und folglich konstant ist. Diese Einwirkung kann also wegen l:o nieht eine Kraft sein, sondern reduzirt sich zu einem Potentiale, des- sen Werth wegen 2:0 konstant ist. Anm. Die Behauptung, dass die Lage und Richtung der Fäden des Knotens a priori ganz beliebig haben gewählt werden können, geht aus folgenden Betrachtungen hervor. Es sei AB (Fig..10) die gegebenen Fäden und ab ein willkürlich gewählter Knoten von demselben Vorzeichen wie das Gelenk (AB), wo a und 6 von derselben Intensität wie A bezw. B sind. 46 H. PETRINI, Verbinden wir b und B mittels eines hin und zurück laufenden Fadens U', so können Bb und b' als einen einzigen Faden betrachtet werden, der dieselbe Einwirkung an A hat wie B, weil das hinzugefügte Stück bb’ eine unendlich kleine Fläche umfasst und als einen geschlossenen Faden betrachtet werden kann, der ganz ausserhalb A fällt, woher die Einwirkung von A an ihm — 0 wird. Wenn man auf dieselbe Weise zu A die Fäden — a und a’ fügt, wo — a unendlich nahe an a fällt, und a’ die Fäden A und — a verbindet, so kann das System (A, B) von den beiden Systemen (A—a, Bb) und (a, 6) ersetzt werden, weil die Einwirkung von 5b’ an (AB) vernachlässigt werden kann. Die Einwirk- ung des ersten ist dieselbe, als ob die Fäden A und PB einander nicht umschlängen, die Einwirkung des zweiten ist diejenige. eines Knotens von demselben Vorzeichen als dem des Gelenkes (AB). Bezeichnet man mit z das gegenseitige Potential eines Knotens, dessen Fäden die Intensität eins haben; so wird das Potential eines Knotens : oIOIz weil jeder Faden in eine Anzahl = 97 bezw. OJ’ von Füden mit je der Intensität eins ersetzt werden kann. Wenn 4 um JB m-Mal und B-um Am/’-Mal geschlungen sind, so wird das Knotenpotential | mm SIST x und folglich wird allgemein das Potential zweier Fäden 0 Wz---oIO0IM 46* eU. | M — mee Se a) ZS ma 2 Gelenkte Ringe. Wenn die Ringe in Faden aufgelóst werden, so fin- det man leicht, dass das Ergänzungsglied gleich II mm x wird, und folglich wird das gegenseitige Potential der Ringe | (fer ee) ana IT mm'z (53*) . | I = fu, dw (2) wo das letzte Integral über einen Querschnitt erstreckt wird. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ELEKTROMAGNETISMUS. 47 Selbstpotential eines Ringes. Wenn es im Inneren eines Ringes einen Kanal giebt, in welchem ein geschlossener Faden läuft, so giebt es im Allgemeinen ein gegenseitiges Potential des Fadens und des Rin- ces. Wenn aber der Kanal unendlich dünn ist, so dass der Faden ihn vollständig ausfüllt, so giebt es keinen Grund anzunehmen, dass es auch dann ein Potential giebt, da der Faden nicht eine unendlich kleine Verschiebung erleiden kann ohne die benachbarten Fäden zu be- einträchtigen. Jedoch giebt es im Allgemeinen einen Grenzwerth für das Potential, wenn der Kanal immer dünner wird, bis die Begrenzung des Kanales mit derjenigen des Fadens zusammenfällt. Diesen Grenzwerth wollen wir das gegenseitige Potential des Ringes und des Fadens nen- nen. Wenn die Intensität des Fadens gleich eins ist, kann es inneres Fadenpotential des Ringes zweckmässig genannt werden. Definition 11. Wenn ein Ring in Fäden zerlegt wird, so ist die Summe der Potentiale der Fäden auf einauder gleich der halben Summe der Potentiale jedes Fadens auf den Ring. Der Grenzwerth dieser Summe, wenn die Elementarfäden unendlich dünn angenommen werden, wird das Selbstpotential des Ringes genannt. Das doppelte Selbstpotential wird durch (53) ausgedrückt, wo die beiden Integrationen über denselben Raum genommen sind, und wo man von dem Knotenpotential absieht. Da die Fäden als in einander gelenkt angesehen werden kónnen, so wird das hinzuzufügende Knotenpotential (53:1) x f nd IST wo n die Zahl der Knoten ist, welche erforderlich sind um die Fäden 9I und df von einander auszulösen ; n kann für verschiedene Fäden verschieden ausfallen. Anm. Eine hinreichende Bedingung dafür, dass dieses Glied — 0 sei, kann man durch die Analogie mit der Theorie der Flüssigkei- ten finden. Wenn w,u,u, die Geschwindigkeitskomponenten der Ele- mente einer Flüssigkeit bezeichnen, so kann u ein beliebiger Vektor sem, der nur die Bedingung (16) zu erfüllen hat, welches hier bedeu- tet, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist. Wenn wir jetzt annehmen, dass die Elemente um einander nicht gedreht sind, so wird dies da- durch erreicht, dass die Geschwindigkeitsfäden, welche den Vektor- fäden entsprechen, auch nicht um einander gedreht sind. Wenn also 48 H. Perrint, (54) Quz LOREM Ne 0 7 02 angenommen wird, so wird » = 0 oder m. a. W, wenn der Vektor u ein Potential M (54*) ANE, (8) hat, so kann das doppelte Selbstpotential in der gewöhnlichen Form (53) gesetzt werden. Influenz. Der Vollständigkeit wegen wollen wir auch einige Be- merkungen über den Fallaussprechen, wo die Acceleration von der Natur und Form des Körpers in der Weise abhängt, dass ein Accelerationsfeld im eigentlichen Sinne nicht existirt. Dieser Fall kann aber auf. den vorigen formaliter reduzirt werden, wenn man das Ganze betrachtet, als ob ein Feld existirte, aber annimt, dass das Feld verändert wird, wenn der Kór- per Natur, Form und Lage ändert. Diese Veränderung des Feldes muss theils ‚als durch das Feld des eingeführten Körpers, theils als durch eine davon abhängige Veränderung der das Feld bewirkenden Körper bewirkt angesehen werden und jener Körper selbst als durch das Feld verändert. Die Körper werden also als von einander beeinflusst ange- sehen, und diese Einwirkung nennen wir Influenz. Die Grösse und Rich- tung des Feldes wird durch einen unendlich kleinen Körper gemessen, dessen Einwirkung an dem Felde vernachlässigt werden kann, und der selbst keine Influenz erleidet. Durch Einführung des Begriffes Influenz können also die Um- stände II und IV auf den Fall, wo es ein Accelerationsfeld giebt, zurück- geführt werden, wodurch alle denkbaren Fälle des stationären Zustandes in Betracht gezogen werden können. Kap. IV. Elektromagnetismus. Die im Kap. III dargelegte Theorie der Kräfte kann unmittel- bar auf die Theorie des Magnetismus angewandt werden. Definition 12. Von der Auffassung der magnetischen Kraft ausge- hend kann man dieselbe mit P identifiziren; das entsprechende u wird elektrische Stromdichte genannt. ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ÉLEKTROMAGNETISMUS. 49 Man findet dann, dass ein elektrischer Strom nach aussen durch eine magnetische Doppelschicht ersetzt werden kann, und dass eine elek- trische Stromspule sich ähnlich verhält wie eine magnetische Stange. Ein geschlossener magnetischer Kraftfaden wird unzweckmässig magne- tischer Strom genannt. Es wäre vielleicht mehr angemessen denselben diamagnetischen Strom zu nennen, wenn das Wort diamagnetisch in einer dem Worte dielektrisch analogen Bedeutung ohne Missverständniss hier angewandt werden darf. Für einen magnetischen Kraftfaden gilt das Ohm’sche Gesetz (29: 5) S. 23. S [= R wo I die Intensität des diamagnetischen Stromes oder der magnetische Kraftfluss I-fP,do S die magnetomotorische Kraft oder die Potentialdifferenz, welche nach (36*) und (37*) S. 29 erhalten wird, und À der Widerstand ist. Für den ganzen geschlossenen Strom wird (55) S— 4n Ni D = udbdh wo i die Intensität des elektrischen Stromes und N die Anzahl der Ströme der Spule ist. Im Aussenraume kann die Spule durch die Endflächen derselben ersetzt werden, wenn diese mit gleichem Flüchenmagnetismus von verschiedenem Vorzeichen belegt gedacht werden. Allgemein muss die Zerstreuung der Kraftfäden in Betracht gezogen werden, welche darauf beruht, dass nicht alle Kraftfáden durch die Endflächen gehen. Es ist nämlich 2 nicht — 0 anderswo als in der Mitte der Spule, wenn dn n ein Element der Normale der Mantelfläche bedeutet. Um diese Zer- streuung in Betracht zu ziehen hat man auch die Seitenflchen mit Magnetismus belegt zu denken. Die Spule wird sich dann als ein mit Flächenmagnetismus belegter Körper verhalten, dessen Dichte o durch die Gleichungen A y= | do DU, Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. T 50 H. PETRINI, PILE ou an der Oberfläche on on 4q = 0 im ganzen Aussenraume zu bestimmen ist. Ferner ist, wenn n, und », die nach aussen bezw. innen gerich- teten Normalen bezeichnen, 99 Ip 4 =S = Gi ON, 2n 02; Du [22 do + [22 dw = — 47 [odo x ON, Im Aussenraume soll V unverändert sein = [22 a0 = [3 do c [raw = 0 | 072, Qm, \ und da sich kein Magnetismus im Inneren der Spule befindet, so ist nach (27) dn; (56) s fodw=0,, so dass die Gesammtbelegung der die Stromspule ersetzenden magne- tischen Stange gleich Null sein muss. Magnetische Influenz. Wenn ein isotroper Körper in ein Magne- tisches Feld gebracht wird, geschieht eine Influenz, wodurch das Feld P in (57) B = u(Hzyz)H verändert wird; w ist die spezifische magnetische Leitungsfähigkeit oder die sogenannte Permeabilität des Körpers. AH ist die magnetische Kraft, welche ein Potential V hat. E Erfahrungssatz 4. Wenn Va m. VE 470 = ^im Qc ui dy 02 ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES ÊLEKTROMAGNETISMUS. 51 Ist, so ist i | Ang 0B. GE ACTES Qa 9 02 (58) 4 | 4no = Bn, + Bi, = 470 , d. i, dass kein wahrer Magnetismus influenzirt wird; der Körper verhält sich also wie ein leerer Raum, der durch eine elektrische Stromspule umgegeben ist. Wenn der Kórper von einem anderen Kórper begrenzt ist, dessen Permeabilitit eine andere u, ist, so entsteht an der Begrenzung eine scheinbare magnetische Flächenbelegung von der Dichte 0’, wo o' durch die Gleichung Be pu M: | m A, + H, = & l| ee bestimmt wird. Diese kann, wenn o = 0 ist, als die Summe der zwei Belegungen c, und e, angesehen werden, welche durch die Gleichungen ud, + H,, = 4710, Hs H, + H, = 470, bestimmt sind. Man erhält also wegen (58) : dcm) = 4zo' (B6: 1) m = 470, (1 ALE > 470, , ' 6 —0, Fo. Das Zeichen der scheinbaren Belegung o’ wird dasselbe wie das- jenige des H, oder das umgekehrte sein, je nachdem 52 H. Perrin, De Welker S LEE N Ea UPSALIENSIS f : Ó x = 2 2 i = SERIE] TERTLE PRO VOL. XV. ar RD 4 EO ^d : 7 d LJ — FASC. I. - AA 1892. i} POM: lå TC HEARTS ODO = x N am SO tre ee ce ee cs es eee eee see I eS 4 s TW) MALE \ DAT i »" mS xq ASTRA cr 3 OSB OE MBO OIE OH dit I UPSALIENSIR Y * ds CORPS 7 à 253 07 Ink NG & E MC Mes 3 RE T 3 ub ^a 4 1 4 snnt vmi, d WT UIID >> 1 2 ] » DIDI By ue - 202» 22 DRY DDR c2» DD IID DD DD». 3 20 » DM > « : 2022220 DB 2) >» » )) P» 322 52 D. L LI >>: D. vun > 2.38) > 3:3 DI DM > Seek Fa ER ÿ RI re D> D2 Wa LOS Sos uS m > o ON DS >>>) b >> 13» Bd QD» 52 E 23» py» 255 > 230 mu m DP» PWIND D DP: > Dy» 2 5 >> 3 Ti >>» D. > 2 D | > MD Dy MD: $22» D EE 4 > 35 DD > > 55; > 9» 9 ED Din. 33 > J 19 >>> > ) ) 2 wi > 2% 222 DD 254 DD > 57» D> 29 2 : MID) 55 >> TDP DD D >> i aux OD DD 2222 iD IW 20020 3D DD) m 223» 25529 Dr 22222 m ee D 23 £7 DW? 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