FOR THE PEOPLE

FOR EDVCATION

¥OK SCIENCE

LIBRARY

OF

THEAMERICAN MUSEUM

OF

NATURAL HISTORY

NOVI

COMMENTARII

ACADEMIAE SCIENTIARVM

IMPERIALIS

PETROPOLITANAE

TOM. XV.

pro Anno MDCCLXX.

PETROPOLI

TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM
MDCCLXXI.

ik>.^ox^o Off^

xr

SVMMARIVM

DISSERTATIONVM,

QVAS CONTINET

NOVORVM COMMENTARIORVM

TOMVS XV. "

a 2

> ^^ ^ *!% Aju mm ^ ^^ i

^^ ^ -^iii* V"^*^ -^rf M . ^^ i

MATHEMATICA^ ^
I.

De Menfiira fbrtis ad fbrtuitam re^

rum naturaliter contingentium fuc-

cefHonem adplicata.

AuGore Dan. Bernoulli pag. 5..;

Qui probabilitatis calculum fummo dudum
cum acumine excoluit , llluftr, Audor
nouum profundiiTimarum hoc de argumen-
to meditationum fuarum liflit fpecimen.
In tabulis natalitiis magno numero congeftis non
poteft non digna attentione videri proportio illa ,
quae in numeris natorum vtriusque fexus cernitun
Mafculam prolem (equiori praeualere , obferuationes
abunde docent ; id vero vtrum mero cafu , an ex
peculiari quadam ipfius naturae ad generandum fe-
xum mafcuiinum procliuitate eueniat , quaeftio eft
akioris indaginis et tanti Geometrae ftudio dignifti-

a 3 ma.

ma. Problema hoc intricatifllmum , qiiod eo ten-
dit , vt ex ingenti cafuum fortuitorum numero for-
tis ipfius modificationes ct leges ac regulae illae ,
ipfi adeo forti praefcriptae , eriiantur , 111. Audor
iam in alia differtationc praecedenti Commentario-
rum Tomo inferta tradnre aggreffiis eft ; binas fci-
licet fingit hypothefes , in quarum vna natura ad
generandum fexum vtrumque acque procliuis efTe ,
in altern vero mafculino magis fauere ftatuitur ^ ex
quibus binis vtra fit vcra naturae lex , 111. Audor
ita inquirit , vt pro vtraqne leges probubilitatis
computet ct cum tabulis anthropologicis conferat
atque ita ex calculi cum obferuationibus confenfu de
hypothefcos verifimilitudine iudicct. Pofito igirur
partuum annuorum numero zz 2 N quaeritur proba-
bilitas , vt multitudo puellorum fit zi:;;;, adeoque
ea puelkrum zz 2 N — fii: hanc itaque quaelUonem
111. Audor primo pro priori hypothefi , qua natu-
ra vtrique fexui aequah*tcr fauere Hatuitur , in prio-
ri fua difiertatione rcfoluit ; et probabilitatis quae-
fitae valorem ita inuenit gencraliter exprcflum;

2. N. (2 N — i)(2 N — 2) . . . . ^2 N — w 4- i) I
I. 2. 3 ;« ' 2' ^

cx cuius formulae ad varios cafus adplicatione com-
plures elegantts et reconditas conclufloncs deriuauit.

Expedito itaque problemate pro priori hypo-
thcfi ; 111. Audlor eandcm quaeftioncm in pr:^.e(enti
difllrratione s-tiam pro poflcriori hypothefl refoluit ,
Batucndo lcilicet , naturam mafculae proli magis fa-

vere ,

vere , quiitn alferi , Mque in- ratione conftanti aib;
qua quidem noua conditione lieri non potuit , quiii
argumentum euaderet longe intricatius. Primnm
itaque ex coml>inationum „theoria Jll. Audtor proba-
bilitatis quaefitae valorem ita definiri inucnit , Yt
ad formulam modo allegjJtam infuper acceJeret {a<fh}f

m 2 N

( ±.) {^-^) , qui quafi indicem confiituit dif?eren-

tiae inter probabilitates pro vno eodemque cafu in

Ttraque hypothefi computata&. Ante onnnra igrtur

cardo rei in ea Yerfabatur , vt ex fnfficienti obfer-

Tationum numero valor rationis ^ determinaretur f

quae quidem proportio eo innatefcit exad'ius , qii-o

plures conferuntur obferuationes et quo traior efi in

lingulis fumma partuum ^ cum vero diuerfimodae

dedU(ftiones ex illis obfcruaiionibus formari queant;

III Audlor eum m.odum , quo ftatuitur efle a ad ^,

vti fumma puerorum natorum ad fummam filiai«

lum natarum , ceteris^ centuit praeferendunnL Qiio

igitur conftituto , ex tabulis Londinenfibus conclu-

ditur ^ zr r, 055; hocque valore 111. Audor tanqunm

verifmiillimo vtitur , omnesque quae in illa liypo-

thefi de propofito probJemate quaeiHones formari

poffunt, refoliiit et canckxfiones ex ipfa theoria de-

dudas cum obferuationibus comparat ; vbi quoque

tanta cernitur naturae in ipfis fnis variatlonibus rc-

gularitas et tantus tbcoriae cum obferuatiouibus con-

fenfus , vt IIL Audor aliquot tabulas , confenrum

turbaturas , pro crroneis declarare tuto potuerit er-

roresque fado examiae adu deprehender.it» Neqae

tameix

(o)

tamen hic confenfus de limitibus aberrationum ar<5ti(>^
ribus eft intelligendus , cum 111. Aucftor oftenderit
obferuationes etiam ducentorum annorum , Londini
inftituendas , etiamfi fuerint accuratiffimae , nondum
tamen fufficere ad tollendam haefitationeni o, oq6
in definienda ratione ~ , quam legem naturalem i«
generando vtroque fexu adpellari conuenit.

Nouum igitur grauifiTimi huius argumenti
euolutio fifiit fpecimen ., quanto cum acumine in-
fignis hic Geometra etiam iftas naturae leges per-
fcrutetur , quas ea euentuum prorfus fortuitorum
fjpecie inuoluifle Tidetur.

11.

Solutio Problematis^ quo duo quae-

runtur niimeri ^. quorum produQium^^

tam fumma , quam difFerentia eorum

iiue au£lum fiue minutum ^ fiat

quadratum^

Au£tore L. Eulero pag. sp.

Problema , quod 111. Audor in hac diflertatione
euoluit , ad analyfin Diophanteam pertinet , fe-
que non fua folum elegantia, fed et eo commendar,
quod ad eius folutioncm fingulnria requirantur cal-
cqli artificia. Quanquam perfpeda problematis na-

tur

ttira pateat , id innuin^rabiles folutiones admittere;
tamen 111. Auaor poft plura demum tentamina bi-
i>os numeros problemati jdoneos inuenire potuit.^,
idque merhodo ijidireaa , quae ad inuentionem plu-
rium eiusmodi numerorum nihil praeftaret fubfidii.
Idem tamen argumentum cum 111. Audor poftea
iterum meditationi fuae fubiiceret ; cafu fortuito et
fingulari in (blutionem generalem incidit ; quam igi-
tur in pradenti diifertatione euoluit Vberius , et ar-
tificia exponit , quorum ope , fuperatis problemati^
difEtcultatibus , ad iftam folutionem peruenit. PrO'
i)lema in eo confiftit , Tt liitisfiat his quatuor ac-
,quationibus

I. AB + A + Bzro. II. AB4-A-B=:o
III. AB-^A-f-Bnio. IV. AB-A-B=:o.

HiUid ita difTiculter (liuim -iudicari poteft , iHos nu-
meros integros effe non pofle ; vnde pofito A^^
et B =:: -- €t sdmifia figni ambiguitate aequationes
quatuor ^adimplendae his duabus formulis repraefen-
tari poflunt :

^.. (. ^y z^ ^)- - □ et ^ (z - j T X) - n^

in quibu« Tt fador poderior euadat quadratus , faci-
le efficitur , ponendo

^ {ppj^Mqq_±^) ct 'V -~ (PP — ^^^^^J^ — ^^^ '

praecipua vero difficultas in eo verfatur , vt pro

p, q, r, s eiusmodi affumantur \alores , quibus et

alter ille fador communis ^^ quadratum reddatur.

Tom.XV.Nou.Comm. b Q^^od-

Quodfi igitur modo memorati ipforum x et y va-
lores in hoc fadore rubrtituantur , formula , quae
quadrata eft efficienda , inde refultans

^pqrs{pp-'ss){qq-'rr){pp'\-ss){qq'\-rr)z:iu

non quatuor folum quantitates diuerfas continet , fed
fingulae etiam illae quantitates ad quintam \sque
dimcnrionem afTargunt ; ex quo facile liquet , pro-
blematis huius folutionem longe tranfcendere com-
inunia illa artificia, quae pro rciolutione eiusmodi
quaertionum in Analyfeos Diophanteae inrtitutionibus
tradi funt folita, Ad fuperandam hanc difficulta-
tem lll. Audor eo \titur artificio , \t aliquot inge-
niofis pofitionibus fadloribus denominatoris frad.ouis
memoratae — tdt , quot fieri potefi:, communes di-
\ifores concihentur j quorum multiplicatio cum fa-
<aores efficiat quadraticos , iis omilfis quaeftio ad
formulam multo fimplxiortm £i^i^-l^-ti!L^ qua-
dratam efficiendam reuocatur , cui adco llatim ac
vnicus cafus idoneus innotuit innumerabilibus modi&
fatisfieri potefl: ; cum fciliret tam numerator , quani
denominator quadratum effe debeat , eorum quoque
produdlum tale fit neceffe efl ; ex hac \ero multi-
plicatione formula refultat , quae generaliter ita re-
praefentari potefl

cuius quidem aequationis refolutionem et quatuor
ipfius z idoneos \aIorcs etiam per confuetas metho-
dos inuenire licet j quemadmodum \ero infinite

multae

••>

multae folutiones erui queant , III. Audor hic
vberius exponit. Sub finem differtationis , quan-
quam problema iam fuerit refolutum , aliae. fuperf
adduntur transformationes fbrmulae rcfoiuendae ; in-
deque cafus complures fpeciales adlu euoluuntur ,
inter quos bini fequentes in numeris non nimis m^^
gnis notatu iprimis digni videntur aauin-i

Azzi^ et B:=:— . ^^ :i) 'jolni

jTT ?[^':nf rr:T'rnrf}i?oq .. :it

Obferuatlones circa radices aequationum.'

:iaii..{;a

Auft. L. Euler pag. 51.,

1n hac differtatione 111. Audor argumentum per-
tradlat , quod ideo attentione fua dignum iudicauit,
quia id compluribus fpeculationibus dodrinam fe-
rierum noua luce illuftrantibus occafionem praebere
poteft. Propofita aequatione algebraica cuiusuis gra-i
dus rationali, quae generaliter ita repraefentari poteft^n

i-^4-^ + £, + |, etc.

nota eft Geometris elegans illa lex , qua fummac
omnium radicum , fummaeque digpitatum omijum'
radicum exprimuntur ^ ita , vt fi /. x^ denotet fiim- '
mam omnium radicum ad dignitatem n eleuatarum
fit , pofito n— I ; 2; 3. etc.

/ x^zzAif, .V- + B./V+ 3 C- A' + 3 AB + 3C ft-?is

b 2 vbi

vbi igltur fummae fequentes per praecedentes et
litteras A, B, C erc. coniundim \el^ illis elimiaatis,
per fblas has deierminantur.

Ad explorandam legem , qua iftae formulae
progrediuntur , duo potiflimum funt confideranda :
primum fcilicet modus, quo litterae A, B, C etc.
inter fe combinantur •, deinde vero vnciae illae nu-
mericae , quibus finguli termini afficiuntur, in qua-
rum potiflimum indole perfpicicnda praecipua diffi-
cultas cernitur. In prima igitur diflertationis parte
in. Au£lor id negotii fufcepit , vt fbrmam erueret
generalem , quae exprimat fx"- fiue fummam fin-
gularum radicum ad poteflatem «eleuatarum. Quam
vero cum effet adeptus , flatim id obferuauit , in-*
ventam feriem ii> infinitum excurrentem non re-
piaefentare valorem ipfius fx^, nifi fub his binis
conditionibus , primo vt exponens « fit numerus
integer pofitiuus^ deinde vero vt ex ifta ferie omnes
termini reiiciantur , in quibus littera A exponentem
negatiuum. eflet adeptura. Noua vero hinc eaque
momenri iion exigui quaellio oritur, quifnam fcilicet
iit valor iflius fcrici , fl binarum iliarum condicio-
iium ratio non habeatur , adeoque fi n denotet nu-
merum quemcunque et terminorum feriem inuentarra
conflituentium nulhis excludatur. Refolutio huius.
quaeflionis theorcma fubminifirauit elegantiflimum:
et vfus habiturum amplifllmos , iflam fcilicet me^
moratam (eriem 5 fi ad binas illas conditiones noa
attend-At^r ^ 'Uba furHmam omniuzn radiciim ad pote-

ftatem:

-^.1(0) re§.- 13

jflatem n eleuatarum , fed poteftatem ipfam « radicis
maximae cxprimere ; ita , vt ope huius theorematis
propofitae aequationis cuiuscunque :

radicem maximam non folum ipfam, fed eius etiam
poteftatem quamcunque immo et logarithmum hyper-
bolicum per feries infinitas commode exhibere liceat.

IV.

Problema Algebraicum ob aflec^iones
prorfus fingulares memorabile.

Auciore L. Eulero pag. 75.

Problema , quod in hac differtatione refoluitur,
cum quadratis magicis multum habet afiinitatis^
fed ob aflfedliones prorfus fmgukres longe magis eft
memorabile. Inueniendae nimirum funt nouem quan-
titates A, B, C, D etc. quae fint eius indolis , vt
in quadratum hoc modo difpofitae

A,B,C
D,E,F
G, H, l

duodecim his conditionibus fatisfaciant r

b 3; i**

14 ->§^.l ( o )

i^A'+D'4-G'=:i. 4^AB+DE4-GH = o

£°. B' + F/+H'::=i. 5^A C+DF+GI =0

3°. C+F'4- r=:i. 6^BC + EF+H1=3:q. ^

7°.A'4-B' + C'=ri. lo^AD+BE+CFzro

S^D'4-E'+F'z=:i. 11°. AG+BH+CI zzo

5>°.G'4-H' + rzzi. i2°.DG+EH4-FI=:q.

Prima obfcruatio , quam 111. AuAor de hoc
problemate adfert , in eo confiftit , \t id ad claflem
probkmatum indeterminatorum rcfcrat ; id quod eo
iTiagis paradoxum \ideri omnino debet, cum numeru?
conditionum adimplendarum fuperet numerum quan*
titatum incognitatum j vnde problema potius pro
plusquam dcterminato habendum fbret ; verum na-
tura probjematis penitus perfpecfla , demonftrari
poteft , adimpletis 6 prioribus conditionibus , fex
pofterioribus neceffario fatisfieri adeoque tres illarum
quantitatum arbitrio noftro relinqui. Haec vero
ipfa elegans adfedlio , qua problematis euolutio
multo redditur fimplicior , tantum abeft , vt
fit obuia , vt potius - 111. Audor eam fub form.a
infignis theorcmatis proponat , quod demonftratu
difficillimum cenferi debeat. Praeterea Jplum prq-
blema non pro inani lufu ingcnii eft habcndum 5 fed
in dodrina de natura fuperficierum ampliiTimi vlus
cft ; quem poflquam oflendifret 111. Audor , primo
completam theorematis modo memorati demon-
ftratiopem tradit ; deinde vero problematis folutio-
nem ex theoria angulorum petitam fiflit j quae qui-

dem

dem in ie efl: elegantiflima ^ fed eo defedlu laborat ,
•vr ex ea vix quicquam rubfidii pro reroluendis aliis
huiiis generis quaedionibus magis compiicatis repeti
queat. Hanc ob rem III. Audor folutionem genera-
lem inuefligare adgreditur eamque non modo ad
calum propolitum nouem quantitatum, led ad com-
plicatiores quoque , quos i5, 25,etc. quantitates in-
cognitae ingrediuntur , adcommodat , immo et often-
dit , quomodo ad 12 priores conditiones nouem
aliae adiici potuiflent , quae vero itidem re ipfa
in " fex prioribus neceflario inuoluuntur. Coronidi^
loco 111. Aucflor problematis folutionem ex mcthodo
Diophantea petitam in numeris rationalibus pro cafii
9 numerorum fubiungit; ad cafum vero 16 numero-
rum ifta mcthodus diniculter accommodatur ; alio
tamen modo eoque prorfus fingulari III. Audor et
pro hoc cafu fokitionem latiflTime patentem na^Hius
eft ; in qnam tamcn cum non nifi diuinando inci-
derit, (i quis methodum diredlam ad talem folutio-
nem manuducentem inuefliigauerit , is non Algebrac
foIc'm communi , fed methodo etiam Diophanteac
infjgnia incrementa attulilTe foret cenfendus.

V.

V.

Solutio Problematis Algebraici de in-

vefligatione numerorum continue pro-

portionalium;, quorum datur fumma

a et lumma quadratorum b.

Au£lore And. loh, Lexell. pag. loy.

Apud varios Aiidores , qui elementa Algebrae
expofuerunt , huiusmodi occurrere folent pro-
blemata ; inuenire quatuor vel quinque terminos
progreffionis geometricae , ex datis eorum fumma et
fumma quadratorum , generalem autem folutionem
problematis , quo quotcunque quaeruntur numeri
continue proportionales , datis eorum fumma et
fiimma quadrntorum, alicubi ailatam effe non conftat,
Quamuis vero ipfum problema in fe fatis fterile fit,
eius foluiio tamen ob plura artificia Analytica in
ea adhibita attentionem omnino mereri videtur. Ex
iiatura quidem quaeftionis propofitae liquet , pro
problemate foluendo duas proponi acquationes , binas
incognitas inuolucntes , adcoque in eo elaborandum
effe , vt per harum aequationum combinationem ,
vna harum incognitarum eliminetur, adeoque fic
perueniatur ad aequationem , quae non nifi vnicam
incognitam inuoluat. Hoc autem certe minus felici-
ter fuccedet, i\ eas incognitas, quas aequationes pri'
initiuae fuppeditant, in calculo retinere quis \elit ,

tentau-

tentatidum igitur efl: , an non fubftitutione quadam
facili eiusmodi introauci queat quantitas , quae ad
fimplicKTimam pcrducat aequationem finalem ? Often-
dit autem Cl : huius diflertationis audlor , fi fumma
omnium terminorum dicatur a^ fumma quaJratorum
b , deinde vero primus terminus x^ et vltimus y^ ,
pro a ^^ — x"^ —y^ fubftitui poflJe u , et tum qui-

dem calculo abfnluto, u femper per aequationes facilU-
inas exprimi , fi eoim numerus terminorum fuerit
par , tum griKlus aequationis incognitam u inuoluen-
tis exprimetur per numerum dimidium eius quo
numerus terminorum defignatur ; fin vero termini
progreflionis geometricae numero impari occurrant ,
muldindus is eft vnitnte , tumque refidui dimidium
capiendo habebitur gradus aequationis per quam in-
cognita u determinatur. Sic fi notum fit termino-
mm numerum eflTe 8 , u per aequationem biquadra-
ticam exprimetur , fimiii autem ratione, fi numerus
terminorum ad 9 afllirgat , aequatio inueniendae u
inferuicns adhuc erit biquadratica, aequationes autem
pro u maxime diuerfae funt indolis, prouti numerus
terminorum eft vel par vel impar. Inuenta deni-
que quantitate u , progreflTionis Geometricae termini
omnes innotefcunt, quum fcilicet fit «-«-^^-jc"^-^"*,
atquG praeterea jv"" — .^'"z^ay^iw'— f^) , pofito nimi-
rum 2 tf ~ a — -.

Tom. XV. Nou. Comm. c VI.

VI.

De Criteriis integrabilitatis fbrmula-
rum differentialium,

Au£^ore And. loh. Lexell pag- 12/.

1n calculo integrali res fane maximi eft momenti ,
ea cognofcere criteria, ex quibus dijudicari poffit
Ttrum formula quaedam differentialis integrationem
admittat , nec ne ? Quemadmodum enim fbrmula-
rum integrabilium integralia facile inueniuntur ; ita
pro fbrmulis integrabilitatis caradcre deflitutis ,
talium criteriorum ope facile deteguntur multipli-
catores , in quos liae formulae duci debent , Tt eua-
dant integrabiles. Quamquam vero varia huiusmodi
criteria a Geometris iamdudun fint inuenta, fingiila
tamen eo laborarunt defedu , quod nimis eflent
particuluria , infigne igitur Theorema ab III. Eulero
in Tomo III. Calculi Integralis allatum , quo ex-
ponitur criterium integrabilitatis pro formula qua-
cunque differentiali binas variabiles a: et ^ ct huius
differentiiiiia quaecunque continente , eo maiori \n
pretio habendum efl , quod omnino generalifTimum
fit , atque vnica conditione indicet , vtrum formula
propofita differentiahs integrationem admittat vel
fecus? Hoc autem Theorema , licet iam demum
anno pr.ieterito in nunquam fatis laudato opere Cal^
cuU Inte^ralis euulgatum fuit , tamen ad minimum

ante

••>

( O ) ^6|<« 19

ante 16 annos ab Illuftris. eius Audore inuentum
fuiffe certidime nobis habemus perrpedtum. Quum
vero interta Iliuftr. EuJerus hoc Theorema cum
infigni quodam Gailiae Matliematico communicaflet,
probabile omnino eft , Iliuflr. Marchionem de Con-
dorcet per eum in cognitionem huius Theorematis per-
veniflc. Ex Hiftoria enim llhiflrillimae Academ. Scient.
Panfmae pro annis 1754. et i7<S5 accepimus, modo
laudatum Marchionem primum demonftrationem huius
Theorematis cum lllurtr. Acad. Parifina communi-
cafle , tum vero confcripto Tradatu de Calculo In*
tegrali do»flrinam de criteriis integrabiUtatis omnino
fuflus explicafle. Idem vero infigne Theorema oc-
cafionem quoque fubminiflrauit Cl. huius difTertatio-
nis Audori, inquirendi in criteria formularum diffe-
rentialium. Qimm enim demonftratio Theorematis
modo laudati ab llliiflr. Eulero ex folis do(flrinae
variationis principiis fit aiornata , operae omnino
pretium fuit examinare , an non demonflratio quae-
dam magis direda , id eft ex foUs calcuU differentia-
Us principiis eruta, inueniri pofler. Hunc igitur ia
iinem primum necefle erat , eiusmodi veritates cal-
culi diffrrentiaUs antea cognitas et demonftratas fun-
damenti loco fubfternere , quae huic vfui aptae efle
poflent , facile autem perfpicere Ucuit , omne de
criteriis iniegrabiUtatis iudicium peti pofTe, ex notis
proprietatibus formularum inte;?;rabilium , quae in
Inftit. Calcul. Diffcr. Illuftr. Euleri P. i § 234 et
feqqu: nec non apud alios de calculo integrdli Audores
occurrunt, Cum vero Cl. Audor differtationis prae-

c 2 fentis

fentis antequam Theorema Eukrianum fibi pro-
poneret demonftrandum, inuenifllt eius demonftraiio-
nem multum lubleuari , fi prmum huius Theorematis
conuerfum demonftraretur , allata igitur Thcorematis
conuerfi demonftratione , demonftrationem Theorema*
tis diredli ipfl fubiunxit. Qiia \ero racione in his
demonftratiooibus adornandis Ytrfatus fit , et quae ex
iisdem deduxit conledtaria , id ex ipfa diflertat one
melius addifci poteft , quam heic recenfione exponi.
Inuento itaque fic criterio integrabilitatis pro formula
\ dx y Tbi V fiindlionem quandam variabiles x et j^ nec
non huius differentialia quaecunque inuoluentem in-
digitat ; progreditur Cl. Audor ad formulas diffe-
rentiales complicatiores , quae alias formulas integra-
les iam inuoluunt, vti dx fY d x^ dxfd xf\ d x etc.
nec non fVdxfV^dx^ oftcndit autem quomodo
pro fingulis huiusmodi formulis critcria integrabilitatis
affignari queant. Porro quoniam hucusque (uppofitum
fuit, quantitatem V non contincre nifi binas quantitates
x^y cum ditFereatialibus quibuscunque ipfius r, necefllim
omnino erat difquirerc , qualia orianiur critcria in-
tegrabilitatis , H quantitas V inuolucret non fbUim
qUascunque quantitates x ^ v i z ^ v etc. , (ed etiam
difFerentialia quaecunque ipforum jr, s, v^ pofico ni-
mirum dx conftante. Regnl:i autem generulis quac
pro hls criteriis aftignandis valet, ita exprimi poterit:
„in formula V d x quaeuis variabilium 7, z^ v etc<
„feorfim pro variabili fpedetur , rehquis pro con-
„ftantibus habitis, et quaerantur quaenam critcria in-
,,tegrabilitatis , pro finguiis cxpreffionibus formulac

^yVdx

H(o)

ax

^yVdx oriantur , haec criteria colledim fumta prae-
„bebunt caraderem, ex quo diiudicandum fit vtrum
„formula Vdx in qua omncs j, z, v etc. fimul vt
„variabiles tradantur integrabiiis lit nec ne? Deindc
quum in Analyfi nuper confiderari coeperint formulae
integrales dupiicatae , Cl. Audlor earum quoque crite-
ria integrabilitatis examinare e re effe duxit. No-
tum autem eft formuLis integrales duplicatas huius-
modi fi^^nandi rmono JfV d x d y exprimi, cuius ex-
preflTionis fenfus eft , primum capi debere integrale
ipfius V d X pofitn fola x variabili, deinde vero inte-
grale ipfius dyfVdx, pofita fola j variabili. Q_uam-
quam vero pro huiusmodi formulis carader inte-
grabilitatis non amplius vnica. conditione exprimi
queat, commode tamen fit , vt omnes liae conditio-
nes vnica aequatione comprehendi queant, ea tantum
conditione obferuata quod non folum tota exprefiio
euanefcat , (ed etiam omnes eius termini , qui in
iisdem lineis vel horizontalibus vel diagonalibus difpofiti
funt. Hoc autem negotium etiam generalilfime perficere
licet, fi kilicet V praeter x et y, inuoluat alias quascun-
que quantitates 2, «, 1; etc. cum earum differentiali-
bus , regula enim tum obreruanda plane fimilis erit
ei, quam modo attuhmus- Denique ne quid ad vni-
verfahtatem huuis dodrinae dcfiJeraretur, Cl Audlor
criteria iiue^rabilitans tormularum quoqne tripHcata-
rum \t ff/y dx d y dz expofuit, vbi iterum quam-
vis numerus criteriorum inregrabilitatis infignis fit ,
omnia tamcn vnica avquatione fatis coocinna com-
prehendi polTuat.

c 3 Qiiuni

22 •>i^;i ( 0 ) !?€-

Quum de IUuftr. Marchionis de Condorcet
Libro aiiter nobis non conftet , nifi ex modo me-
morata Hiftoria Acad. Parifinae , ignotum omnino
nobis eft in quo difquilitiones noftri Audoris ,
cum iliis Illuftr. Mardiionis conutnire queant ,
hoc tamen ex ifta recenfione didicimus nihil
ab Illuft* Comite de criteriis integrabilitatis fbrmula-
rum dupHcatarum , triplicatarum vel altiorum alla-
tum fuiffe , vnde ii haec diflertatio nihil ahud noui
contineret, laltem eo nomine commendari mereretur,
quod modus inueniendi criteria integrabilitatis fbr-
mularum duplicatarum triplicatarum , quin et al-
tiorum ab Audore noftro fit indigitatus. Circa dis-
fertationem autem hanc id imprimis defiderari vide-
tur quod Cl. Audor fuam Tlieoriam exemplis iliuftrarc
intermiferit , quem tamen defedum aha fortaffis
jDccafione fupplebit.

VII.

De curua reftificabili m fliperficie
Sphaerica.

Au^lore L. Eulero pag. 195.

t^^um feculo praeterito Geometrae in magno fic
^ dido Problemate Florentino refoluendo occupati
eflent , etiam ex afhnitate materiae problema ab
jpfis fuit agitatum , de curuis redificabihbus in fu-

perficie

( 0 ) ^c§<- 83

perficle (phaerica defcribendis , cui tamen quaefito
fatisfacientem non nifi \nicam lineam curuam inue-
nire valuerunt, Haec vero circumftantia tanto ma-
gis notatu digna ell , quod quum ipfa quaeftio ad
analyfin infinitorum indeterminatam pertineat , infi-
nitas foiutiones admittere videatur , vnde et operae
pretium fuit folutionera inuentam examinare ,
vtrum fcilicet ex ea aliae folutiones deriuari poffint,
an vero euidenti ratione probari poffit , non
nifi vnicam hanc folutionem pofTibilem effe ? Hoc
autem inflitutum ita profecutus eft illuftriffimus
huius differtationis Audor , vt poflquam ex princi-
piis mere analyticis folutionem fatisfacientem dedu-
xerit , tum quoque olkndat , quomodo ea ex confi-
derationibus Gcometricis principiis fcilicct Trigome-
triae Sphaericac in vfum vocatis , inueniri queat.
Hunc in finem primo curuam quaefitam tamquam
datam fpedando , eius quaerit euolutam , ope ele-
gantiffimae fbrmulae pro radio ofculi cuiuscunque
pundi curuae quaefitae ;; tum vero ordine retrogra-
do , curuam euolutam confiderans , fimplicem omni-
no et concinnam inuenit fbrmulam , pro elemento
curuae quaefitae , per data curuae euolutae definien-
do. Si enim curuac euolutae arcus quicunque di-
catur s et radius ofculi ipfi refpondens r, habebi-
tur pro elemento curuae per euolutionem ortae ,
haec expreffio tlJJ^-J^ quam igitur vt folutioni fa-
tisfiat , integrabilcm efle oportet. lam vero eui-
dens efl: , problematis propofiti folutionem ab eo
pendere, vt inueniatur curua al^ebraica in fuperficie

fphae-

fphnerica , cuius quicunque arcus arcui alicui cir-
culi maximi fit aequalis , tum vero vt pio ea
curua haec formula ^V ^^-^fo^ute fit integrabilis ,
id eft vt eius integrale per aliquem Sir.um , Cofi-
num vel Tangentem exprimi queat. Facilc autem
patet his conditionibus fatisfieri , fi curua euoluta
llatuatur circulus minor , cuius radius ad radiuin
Sphaerae rationem tcneat rationalem , quorum cir-
culorum quum infinita detur multi^udo , videri
poflet infinitas quoque problematis folutiones hinc
deriuari , quum tamen hae omncs eadem compre-
hendantur formula , ad vnicam folutionem omnes
referri polTunt. Difficillimum autem eft diiudicarc,
an praeter circulos m nores , aliae quoque defcribi
queant curuae geometricne , proprietatibus fupra re-
quifitis gaueientes. Hoc faltem facile demonflrari
potefl , quod omifHi vltima conditioue , qua fcilicet
requiritur , vt ^^"^ ^^t integrabile , infinitae
omnino dentur curuae geometricae quarum redifi-
catio , per arcus circuli maximi exhibcri qiieat. Si
enim curua quaecunque Gcometrica in fuperficie
Sphaerica defcripta proponatur , certo conflat eius
euolutam quoque fore Gcometricam et infuper hac
proprietate gaudere , vt fingulae eius portiones per
arcus circulorum maximorum exprimantur , vbi ta-
men id memorabilc efl , quod adhuc perfpiccre non
liccat quomodo inuentio eiusmodi curuarum ex prin-
cipiis m.ere analyticis inueniri queat , quod fi prae-
ftare liceret , maximi fine effet vfus in hac Analy-
feos parte vlterius excolenda.

PHYSICO-

^.1 ( o ) J?|- 25.

PHYSICO-MATHEMATICA.

L

SECTIO TERTIA.

De motu fluidorum lineari potiffi-
mutn aquae.

Auilore L. Eulero pag. 219.

In hac tcrtia Sedionc llluftr. Audor fluidorum
et fpeciatim aquae eiusmodi confiderat motum ,
quo veiia fluidi (ecundum certam mouetur diredio-
nem et omnes eius particulae per quamcunque fe-
dionem ad diredlionem motus perpendicularem ea-
dem fcruntur cekritate , cuius igitur motus gene-
ralia principia in Capite I. huius Sedlionis expli-
cantur. Quamuis autem huiusmodi motus confide-
ratio , tum imprimis locum obtineat , cum motus
fiuidorum per tubos anguftiflimos definiendus fit ,
quippe quum eo cafu diredio fluidi cum ipfa di-
redlione tubi manifefto conueniat , atque particula-
rum fluidi celeritas non poflit efle multum difcre-
pans ; nihilo minus tamen etiam in tubis fatis am-
plis , motus fluidi per principia motus linearis ,
faltem fine fenfibili errore definiri poteft , \nde et
effliixus aquae ex vafis etiam amplifiTimis per fora-
men fadus cx his principiis definitus cum expe-
Tom. XV. Nou. Comra. d rientia

a(j ••>^;"§ ( o )

<•»

rientia omnino egregie confentit. Tradatio autem
mi)tus linearis multiplicem includit varietatem , ha-
bito tum refpedu ad ipfam figuram tuborum , cum
ad (iatum fluidi per ipfos translati , quum enim
jpfi tubi poflint efle vel redi vel curui , hi vero
demum plurimum inter fe difFerre prouti eorum
dircdrices vel in idem planum incidunt vel fecus ,
motus principia pro diuerfa hac figurae ratione
feorfim definienda funr. Deinde confideratio motus
linearis aliquam fubit variationem , prouti fluidum
vel continuo motu ferri fupponitur vel etiam fora-
mine fado alicubi efBuere concipitur. Et denique
principia motus diuerfa iuuenientur prouti tubi vel
jn quiete vel mobiles concipiuntur. Hoc igitur
capitc generalia principia motus linearis per tubos
fme redlos fiue curuos cuiuscunque generis ftabiliua-
tur. Dum vero ad fpecialem magis explicationem
motus linearis progreditur liluftr. Audor , in ge-
nere obferuiu fuae tradationis diuifionem ex triplici
imprimis fonte deriuari potuifle , vcl fciiicet ex
ipfa ducrfitate fluidorum , quatenus eorum denfitas
conftans aut variabilis efl , vel quatenus fluida con-
fiderantur aut elaftica , aut non eiaftica , vel deni-
que quatenus tubi confiderantur aut aeque ampli ,
aut diuerfae amplitudinis , et quum amplitudinis
variatio heic omnino maximi fit momenti , hinc
imprimis diuifionem operis deriuandam effe ratus
eft llluftr. Audlor , vnde Capite quoque 11'^''. mo-
tum primo aquae per tubos aequaliter amplos ex-
plicauit. Sequentes vero cafus motus linearis hic

impri-

imprlmis confiderantur , i". fi aqua fola grauitatc
animata per tubum curuum continuo fluat. 2°. Si
aqiia praeter grauitatem , ad vtrumque tubi termi-
num certis viribus vrgeri concipiatur. 3°. Si aqua
in altero termino effluat , in altero vero prematur
a vi quacunque. 4^". Si aqua in altero termino ef-
fluat , in altero adfluat data vi propuKa. Circa
vltimum hunc cafum omnino attentione dignum efl-,
fi vis propellens fuerit conftans et aequaiis datae
cuidam magnitudini , celeritatem fluidi fore conftan-
tem , fm autem vis illa data hac magnitudine ali-
quanto fit maior , celeritatem fluidi continuo augerj,
quod quum omnino paradoxum et experientiae con-
trarium fit , inde condudere licet , vires ad aquam
propellendam adhibitas non eius efle indolis , vt ea-
dem intenfitate agant , quacunque celeritate aqua
propellitur. Hoc enim pro certo et indubitato te-
nendum eft , omnes vires quae ab hominibus , ani-
malibus , aquae fluxu vel vento profici(cuntur , ita
fe habere , vt auda celeritate obiedi cui applican-
tur , debilitentur , atque adeo hac celeritate ad cer-
tum gradum increfcente plane euanefcant. In omni
igitnr machinarum motu , non tam ad abfolutam
quantitiuem vis adhibitae , quam potius ad intenfi-
tatcm adionis eft refpiciendum , quae a<flio defini-
tur per produdlum ex vi in celeritatem. Quum
itaque hoc produdum duplici cafu euanefcere pofiit
primum fi celeritas — o, tum vero fi celeritas
tanta vt vis euanelcat , liquet omnino datae cuicun-
que vi , maximam refpondere adionem , quae obti-

d 2 netur

netur dum produdum ex \i in celeritatem fit ma-
ximum. Caput 111. huius fedionis , motui aquae
in tubis inaequaliter amplis defiaiendo dcilinatura
eft j problemata autcm iiuius capitis , quum plane
fimilia funt iis , quae ex Cap. 11'^'* attulimui iis yi"
terius heic recenfendis non immoramur , notaffe
tantum fufficiat ex Probl. 55. omnia ea deduci ,
quae hucusque de effluxu aquae ex vafis cuiuscua-
que figurae , afFerri lunt Iblita , quae tamen ita
comparata funt , \t in pleri&quc caffbus cum expe-
rientia conciliari nequeant , idque imprimis quuna
folutio tantum valeat pro tubis anguitilfimis. la
Capite Quarto cleuatio aquae ope antliarum expo-
nitur , quum enim haec operatio in vita communi
infignem habeat vfum , eam accuratius explicare ,
omnino maximi momenti erat. Hcic vero non fo-
lum motus antliarum fimplicium confideratur , fed
ctiam docetur , quomodo binarum antliarum , vnius
aquam haurientis , alterius eam proiicientls , et ea-
dem vi agitatarum motus definiri debeat. Vltimum
denique caput motum per tubos diuerfo caloris gra-
du infedos pertradat , quum enim is fit caloris ef-
fedus vt voUimina corporum expandat , adeoqne
ipforum denfitatem imminuat , intelligitnr m fiu dis
diuerfo caloris gradu praeditis , denfitatem particula-
rum fluidi variabilem effe , hincque aequilibrinm
turbari , qualis antem hinc oriatur fluidi motus , id
ipfum ell quod liluftr. Audor heic fufe explicat.

IL

II.

Examen Phyfico - Mechanicutn de

motu mixto qui laminis elafticis a

percuffione fimul imprimitur.

Audore Dan. Bernoulli pag. ^du

Notum eft a perculTione in lamiiiis varios pro-
duci polTe motus inter fe diuerfos et quoFurrs
vnusquisque peculiari fua lege definiatur , lciHcet
aut motum progreffiuum cum rotatorio circa een-
trum grauitatis coniundum , ant motum itidem
pro^refliuum , cui motus Yibrttorius aceedit. Quum
itaque fic duplex effedus ab eadcm producatur cauP
C^ , vtile omnino erit noffe , quaenam proportia
hos effedus intercedat , in genere enrm tenendum
eft motum progreffnium tanto debiliorem fore ,
quanto maior percuffionis pars impenditur fiue in
motum rotatorium , feu vibatrorium prcxiucendum ,
hanc igitur quaeftionem accuratius exponere prae-
fenti diffcrtatione , lHuar. eius Auaror fibi propa-
fuir. Quod igirur priorem huius quaeilionis partem
attinet, demonllratur pundum in quo percuflio fit ,
ciTe centrum ofcillationis virgae ex centro' rotatia-
nis fufpenfae et viciflim centrum hoc rotationis cum
ipfo cencro ofciUationis virgae ex: pundlo percuffio-
nis fufpenfae coincidere , tum- vero quoque motum
rotatorium pundi percuffi ad motum progreiliuum

d 3 centri

30 ^>U% ( 0 ) l*^-<*

centri grauitatis virgae in conflanti efle ratione ,
quae non mutabitur , fiue fortius leu debiiius virga
percuflfa fuerit. Quemadmodum nunc in laminis in-
flex'bilibus duplex produci potell: raotus , progreiri-
vus ceiuri grauitatis et rotatorius , ita in Jaminis
eJafticis praeter motum progreiliuum motus quoque
vibratorius produci folet , cuius contemplatio eo
maioris efl vfus , quod leges motuum a pcrcufrione
in corporibus elafticis produd:orum communiter fup-
ponant , omntm efledum in variatione motus pro-
grefliui confiftere. Vt vero nunc proportio inter
vtrumque motum definiri poflit , fequentem hypo-
thefm IJluttr. Audlor fundamenti loco fuppofuit ;
curuam laminae ex vibratione indudam , taJem fore
vt permutatio vi viua minima pro eadem transJa^
tione pundti percufii abfoJuatur. Hoc vero fuppo-
fito demonfiratur pundum percufTionis fore ipfum
centrum ofciJJationis curuae iflius , vnde iam faciJc
proportio inter celeritatem motus prQgreffiui et vi-
bratorii determinatur. Maioris igitur facilitatis gra-
tia fupponerc Jicebit curuam iflam limpJicem effc
parabolam , tumque erit veJocitas centri grauitatis ,
ad vcJocitatem initiaJem pundi percufTi vt 4:5,
quamuis fciJicet Jiaec curuatura a vera aJiquantum
difFerat , tamen proportiones ceJeritatum inde de-
dudae , non adeo muJtum a veris difcrepabunt. Vt
demum maior huic Theoriae fiducia conciJiaretur
cxpcrimentis quibusdam eam iJluflrarc Cel. Audori
placuit , normam fcilicet adhibens tripedalem ex
Jigno duro , fiexili et elafiico confirut^am , Latit.

10,

•»>

( o ) ^cg^- 3t

10 lin., craflit. vero 5 lin. eam tabulae horlzontali
politae iinpofuit , in ciusque modo fuperficiem la-
tam , modo fuperficiem gracilem percufliones fecit
fecundum diredionem per centrum grauitatis virgac
normalem , tumque fequentia notauit phaenomena i.
Si laminae a tergo vtrique extremitati duo globuli
leuiufculi adponerentur , et laminae fuperficies lata
antrorfum percuteretur, contigit, vt vterque globulus
retrorfum, ipfa vero norma antrorfum impetum face-
rent. II. Idem euenit fi globuli ab extremitate remo-
verentur ad diftantiam duorum , trium vel quatuor
pollicum , quin etiam etfi globuli laminae non
cflTent contigui , fed tantillo interuallo remoti. IV.
Globulis ad diftantiam 4| pollic. ab extremitate re-
motis , nulla amplius contigit repercuflfio , denique
fada etiam percuflTione lateris normae gracilis , (i-
milis repercuflio obferuata eft in glpbulis prope ex-
tremitates virgae coUocatis.

IIL

III.

Genuina principia doftrinae de ftatu

aequilibrii et motu corporum ^ tamv

perfefte flexibilium ^ quam

elaflicorum.

Au£lore L. Eulero. pag. 58 1-

DO(^rinn de figura corporum fiue flexibillum ieu
ehifticoriini , quatenus hucusque a Geometris
ell trLiAata , non latius extenditur , quam ad fila
fimplicia , quoriim figura quam a viribus quibus-
cunque induunc j eft explorata , quin etiam hae fi-
gurae ad curuas in eodem plano fitas omnino funt
reftringeiidae. Compktam autem Theoriam , pro
figura fiue fuperficierum fiue corporum flexibiHum ,
tradere res fane \idetur efle tanto difficilior , quo
certius conftat adhuc ne vera quidem principia huius
Theoriae cfte ftabilita, neque hic Illuft. Eulero pro-
pofitum fuit , ciusmodi laborem fufcipcre, fed potius
eo anniti, vt huiusmodi principia generalia euolueret
ex quibus vniuerfa dodrina de aequilibrio et motu
filorum flexibilium et elafticonim explicari poftit.
Pleraeque enim ff.lutiones problematum ad hanc do-
dlrinam pertinentium, a principiis vel particularibus
•vel faltem minus perfpicuis hucusque funt dedudne,
quare eo magis neceffum fuit genuina principia huius

dodlri-
Jil

dodrinac cxponerc. Primiim igltur problema gencrale
ciiius folutioaem heic adfert llluft. Audor ita ex-
primitur : Si Jihm fiue perfe&e flexile fiuc elaJlicwH
et in fingulis pundiis a viribus qmbusainque follicltatum
ad ftatum aeqwHbrii fuerit perduCtum ^ pro fmguUs cius ele-
mentls , ftatum fiue tenfionls fdte inflexionis inueftigare,
Tradita vero (blutione huius problematis eius appli-
catio fit , ad quatuor cafus fpeciales , filorum fcilicet
flexibilium , vniformiter ejaflicorum , inaequaliter
elallicorum vel denique eiusmodi filorum elaflicorum
quae in llatu fuo naturali datam hnbent curuatuiam.
Deinde vt melius intelligantur praccepta generaliter
tradita , applicatio quoque fiida eft ad problemata
particularia , fcilicet ad folutiones problevnatum de
inueniendis curuis catenaria , velaria et elaftica, qua-
rum quidem priores inter fe conueniunt , vti iam
dudum eft (bferuatum. Alterum problema gcnerale
heic pertradatum fequens eft : Si filum fiue perfeCie
fiexile fiue elafticum atque in fwgulis pun&is a wihus
quibuscunque JoIHcitatum vtcunque moueatur , principia
exponere ex quibus hunc motum definire liceat ^ fuppofito
quoi totus motus femper in eodem plano abjoiuatur,
Huius autem problematis folutio eo magis ardua
cenfenda eft , quod pleraeque quantitates variabiles
cam ingredientes , vt fundiones duarum variabilium
fpedari debeant. At commode tamen fit , vt folutio
huius problematis ad eam prioris reduci queat. Pau-
ciffima omnino funt problemata , quorum folutio ad
huiusmodi motum reducitur , inter ea vero praepri-
niis memorabile videtur , id de motu ofcillatorici
Toto.XV.Nou.Comm. e corda-

cordarum vibrantium de quo -vti conflat in tot di-
Ycrfas abierunt fententias fummi noftri feculi Mnthe-
matici. Deinde nd huiusmodi problemata pertinent
quoque ea , quae ab Audoribus dc inflexionibus
Hiinimis laminarum elafticarum funt tradita , quales
igitur aequationes pro vtroque Problemate foluendo
ex principiis generalibus deducantur, expofitum quo-
que heic eft.

IV.

De I£lu glandium , contra Tabulam
explofarum.

Au£lore L. Eulero. pag. 414.

In do(flrina de percuffione corporum eiusmodi facpc
occurrunt phaenomena , quae primo intuitu haud
parum paradoxa et rationi contraria videntur, atten-
tius autem cxaminata cum legibus naturae optime
confentire deprehenduntur. Horum in numero fequens
omnino memorabile cft , fi ianua aperta lapidc
percutiatur , motu in ipfa generato claudi-
tur , fin vero (clopetum contra eam explodatur ,
immota perfilHt , glande explofa eam penitus pene-
netrante Huius igitur phaenomeni rationem ex-
pofiturus Illnflr. hnius diflertationis Audor , idlum
ghindium contra tabulam explofarum accuratius ex-
ponere conftituit, vbi quidem duos cafus a fe iniiicem
diflinguendos feorfim confiderat , primum quo tabula

immo-

immobilis concipitur, altcrum quo fuper plano horizon-
tali 1'bere elt mobilis. Qiiod vero primum attinet
cafum , fi celeritas glandis ante idum defignetur per
^, alsitudo ex qua graue yno n,in: fec; libere cadit
per g , refirtentia tabulae per R et ma(fa glandis per
M, tumque (iatuatur /^^ .-:=:/, pofito x zi: a toti
fcilicet craiTitici tabulae ; obferuat Illuftr. Audor
glandem penitus per tabulam penetrare fi fuerit
r > nVgf, fm autem fit c^^^Vgf glandem per
tabulam perrumperc non poflc. Pro cafu fecundo ,
fi retentis rcliquis denominationibus , mafla tabulae
exprimatur per N , oftenditur glandem per tabulam
penitus perumpcre fi fuerit c c 'p^ ^gf^ "^ ^ , quae
conditio in eam pro primo cafu manifefto abit pofito
N =r co. Hinc itaque incelligitur eo maiori glandis
celeritate opuseflevtperumpat, quoleuior ipfa eft tabuia
deinde et hinc quoque perfpicitur celeritatem tabulae
poft idum eo fore minorem, quo raaior fuerit celeri-
tas glandis ante idum , quod vti iam fupra monui-
mus primo intuitu omnino abfonum videri potuiffet.
Vlterius quo folutiones allatas llluft. Auctor magis
illuftniret, eas ad notiones communes, conferuationis
fcilicet quantitatis motus et virium viuarum reuocarc
Ipfi placuit, vbi quidem obferuat vires viuas non penitus
conferuari, fed aliquam diminutionem pati, tantam (ci-
licet, quantam tabulae perforatio requirit. Quum autem
in prioribus folutionibus refi(\entia tabulae , tamquam
vnice peudens a quantitate x^ profunditate fcilicet pene-
trationis fit confiderata, eiusmodi autem fiepeoccurrere
po(fint cafus vbihaec refiftentia, non tantum variabilem a,',

e a ^ fed

3^ ->|3| ( o ) 3-c|<..

fed aliam qiioque veluti celeritatem impiicet , ne-
ceffum fuit oftendere, quomodo folutiones pro huius-
modi cafibus adornandae fiiit. Si cnim tabula fluidi pro-
prietate concipiatur praedita , tum nullum omnino
ert diibium , quin relilkntia non a variabili x
pendeat led quadrato celeritatis fit proportionalis ,
quoniam igitur tabulae non folum motus imprimen-
dus ert, ied etiam eius particulae a fe inuicem di-
vellendae , euidens eft rcfiilentiam duplicis generii
lieic confiderari debere , adeoque totam refidcntiam
ex duabus partibus componi, quarum prior functionl
ipfius X fit proportionalis, altera \'cro ipfo quadrato
celeritatis.

PHYSICA

P H Y S I C A

Rariorum Auium Expofitio.
Au£lore Sam. Gottl. Gmclin p. 4?9<

arlas hic aiies Clar. Audor defcribit , iconibus-
que illudrar, quas in itinerc fuo per RnlTicum
Iinperium fado , inter inulta alia naturae produda
liactenus obreruauit. Non quidem onines nouae pror-
fus et incognitae fpecies funt, fed defiderantur tameti
maximam partem accuratiores earum dcfcriptiones ,
et in fpecie icoiies , quae rarius apud Audores in-
veniuntur. Vtrumque igitur a Clar. Aucftore in
hac Differtatione fuppeditatur , qui fecundura partes
minutiflimas non modo et colorum \arietates fingu-
las has aues veibis depingit , fed fingularum quojjue
partium , vt folec , dimenfioncs laboriofe adiungit.
Grcgem ducunt Accipitres quidam : Accipiter Ma-
crourus , circa vrbem Woronez , deinde ad omnem
Tanain fluuium copiofe obferuatus , cuius femina a
mare aJeo difcrepat, vt pro diuerfa fpecie facile ha-
beri polfit. Porro Accipiter ferox A(h'achaniae fi-e-
quens, Accipitcr Korfchun , Aquila Mogilnik et No£iua
minor in defertis ad Tanain reperti. Sequuntur duae
cx Galllnarum familia , Terdix rufa fcilicet et ^ha^
Aams cokhicus , quarum defcriptiones ab Audoribus

e 3 tradi'

tradltne hic cmendantur et fupplentur. Pofthaec
Arcicae quaedam , ea , cui Kivakiuae nomen indidit
Audor , porro cafianea , jerruginea et niuea , pro-
ponuntur , quae omnes ad Tanais littora primo verc
ct aeftate copiofe obferuantur, autumno vero , vnde
venerant , ad m.are nigrum redeunr. Has nonduin
defcriptas exibre Clar. Audor putat. Numemus igne^
us et vlritlis, qui fequuntur, in fpecle prior, miris ,
quibus ornantur , coloribus, e viridi pallim , pafiim-
que ex rubro , violacco , aureis , le commendant.
Prior auis , dum pcr aerem volitat , radiis folaribus
illunrata, tota aurea refplendet, vnde nomen fbrtita.
Pofterior magis viride tenet. Vtraque ad Tanais lit-
tora degit , pifcibus inledisque viditat , gregatim
volat , in altis locis nidificat. Denique Anfercs non-
nulli , Afias erytrocephala nempe , Anas Kogolka et
Onoerolahis Lin. e quibus hic portcrior, qui ad mare
cafpium ct nigrum habitat praecipue notabilis ell ,
et tanc^cm , poft maximam , minores quaedam aues
proponuntur , quibus ctiam Ardea adiungitur , cuius
fpeciem dubiam Ciar. Audlor reiiquit.

II.

Defcriptiones Auium.
AuQore I. Lepechin pag. 485.

p

laruas qiiidem maximam partem , fed egregias
fpecie et nouas auiculus , quas itidem in fuo

itinerc

••=^S^.^ ( o ) J?|<- 39

itinere obferuauit , Clar. Audor in hac DilTcrtatio-
ne proponit. Prima earum Emberjza e(l fuperne
rufa , fubtiis flaua , fafcia peCforali tramuerfa ferrugl-
nea. Obferuatar pulclira liacc emberizarum fpecies
circa Catharinopolin , vbi pineta imprimis inhabi-
tare confpicitur. Alia eiusdem generis fpecics , non
ininus colorum varietatc notabilis , efl: , quae defi-
nitur : Emberiza capite dhierfimQde fafclato , corpore
fupra rufefcente , .pe^iore atqus lino abdomine canis.
Haec in iisdem cum priori regionibus inuenta fuit.
Deinde motacillae fpecies fequitur , cui quidem cuni
Rubetra luccouenfi Jjriflbnii magna fimiiitudo eft ,
feJ praeterqunm , quod mas huius motacillae pedu-
re gaudeat croceo , cuius nuUam Briflb lius mentio-
nem fecit , collare quoque illud album et inter-
ruptum , quo haec motacillae fpecies donatur , fatis
eam ab auicula Briffoniana , \t et a reliquis mota-
ciilarum fpeciebus diftinguere videtur. Qiiapropter
eadem definitur : Superne mgrlcans , torque clbo in-
terrupto peSiore atque abdomine fuperi9re croceis. Ha-
bitat in Betuletis et in locis paludofis. Denique
Strix proponitur minoris formae , quae Strigi pafTe-
rinae etiam magnitudine multum cedit , ideoque
definitur : Strix capite aurito , e gente fua minima ,
corpore toto gryfeo , fufco , ferrugineo , alboque vario,
Circa Catharinopolin hanc fpeciem Cl. Audor in-
"venit. Elis tandem pifcis adiungitur. Cyprinus cor-
pore oJiuaceo , maculis fufcls dijlin&o , ima corporis
parte clnnabarina , pinna ani radiis feptem , itideni
Catharinopoli obferuatus.

III.

III.

Defcriptio Cyprini Rutili , quem Ha-

]awel Ruffi vocant , hiflorico-anato-

mica ;, pag. 494. nec non

IV.

Deicriptio Pifcis ^ e Coreg onorum Ge-

nere ;, ruffice Sig vocati ^ hiftori-

co-anatomica pag. 504.

Au£lore I. T. Koelreuter.

Pifces duos Clar. Audlor in his Diflertationibus
fiftit Naturae curiofis , quos olim Petropoli
cxaminauerat ^ quorumque nunc defcriptionem ad
Commentaria noftra augenda Academiae transmifit.
Eorum prior Cyprlms eft, pinna ani radns duodecim^
rubicunda (Rutihis) LINN. Pofterior autem , e Core-
gonorum genere in fecunda Diftertatione defcriptus ,
ille eft , *quem LINNAEVS (Syft. Nat. Ed. lo. p.
310.). Salmonem Lauaretum \ocat. Vtriusque hu-
ius pifcis poftquam externam corporis figuram , ha-
bitum , colores , partesque externas , ad charadlerem
conftituendum neceflarias , verbis concinne delinea-
Tit , interiores quoque partes fecundum fitum , fi-
guram et connexionem inter fe fimili ratione Clar.

Audor

Audor defcribit , et denique dimenfiones quoque
partium externarum adiungit. la polkriori Lien
€X tribus lobis , plane diftindis , et nonnifi Yaibrum
fanguineorum ope coniundis , vel , fi mauis , ex
tribus lienibus compofitus fuit. Notabilis autcm e(t
primo Lerneae quaedam fpecies , hucusque incogni-
ta, quae pinnis Cyprini Rutili praefertim pedorali-
bus frequenter adbaerere inuenta eft , cuiusque ideo
iconem lecundum magnitudinem naturalem fa(fi:am
Clar. Au(flor addit. Deinde vermium plane nouum
genus, cui Acanthocephalorum nomen impoCuit Au-
€tox , quod primum in Lauareto , deinde etiam in
Cyprino Kutilo detexit. Infident hi vermes ple-
rumque tunicis interioribus inteftinorum horum pi-
fcium , praecipue duodeni et inferioris partis Tentri-
culi , vbi adeo capite fuo fefe infinuant , vt diffi-
culter , et faepe nonnifi cum iadura capitis extrahi
poflint \ alii tamen hbere etiam muco innatantes
deprehenfi funt. Sedecim eorum in Cyprino Ruti-
lo , ad odoginta vsque in Lauareto inuenit. Ple-
nior horum vermium hiftoria in Differtatione prJo-
ri exhibetur , cui etiam delineatio eorundem ad-
iunda eft.

Tom.XV.Nou.Comni. f V,

V.

De Leone. Obferuationes
anatomicae.

Auflore C. F. Wolff pag. 51/.

1n inquirenda ftriidura corporis leonis eum fibi
fcopum propofuit Clar. Audor , vt , quae huic
animali fjngularia et propria .efTeut , quaeque ad in-
telligendas magnas eiusdem vires , ceterasque ,
quibus praeditum e(t , naturae dotes , conferre pos-
fent , notaret , cetera , quae vel communia pleris-
que animalibus et homini forent , yel nihil prorfus
in funclionibus efficere poflent , confiderate omitte-
ret. Vifcera ideo non modo , fed praecipue quoque
mufculos extremitatum anteriorum et nernos fcruta-
tus eft , fingularumque partium ftruduram cuin
llrudura hominis et felis comparauit. In hac qui-
dem diflertatione nonnifi mufculi et nerui tradun-
tur. Rehqua , inter quac praecipue obferuationes
quaedam de corde et plenior defcriptio valuularum
\eficulae felieae eminent , ad alium Tomum irans-
ferentur.

De mufculis , qui ordine pertradantur , gene-
ratim notabile eft , eorum plerosque craflitie non
modo et robore infignes effe , (quod fufpicari qui-
dem facile potuilfes ) fed ita quoque fere omnes in-
veniri applicatos fuis olfibus , vt inde etiam ma-

gnnm

->¥.i ( o ) §•'?-> 43

gniim viriiim fnariim nngmcntum nancifcantur. Sic
pedoralis maior , qui in homine prcpe hypoa.och-
lion oih Innr.eri in(eritur , ibique fpatium duorum
vix polUcum occupat , ad extremitatem inferiorem
huius ollis vsque plane dccurrit fuis fibris in Jeone ,
totumque os humeri fecundum longitudinem tenet ,
vnde infigne virium augraentum huic mufculo re-
fultare , facile inteiligitur. Alii vt alter flexorum
cubiti ad angulum loi^ge maiorem , quam in homi-
ne , olTibus (uis inferuntur ; ali aliis adminiculis ad
vires augendas in modo infertionis gaudent , vti iii
difTertatione ipfa de fmgulis mufculis fub rubrica de
ivfu eoriindem legi potell. Adcoque non modo vali-
ditati mufcuiorum fed etiam fingulari fabricae ratio-
ni leo fuas vires debet. Sed alia eft in hac re Au-
dtoris obleruatio , quae palmam priori forte praeri-
pit. Nullum in leone exemplum ftrudurae inueni-
tur , qua fcilicet vires mufculorum augerentur, quac
non {imul detrimento effet vel varietati vel plenitu-
dini et perfedioni motuum inde pendentium. Vti
igitur folis viribus inde , iisque adeo follicite et
adeo conftanter profpecftum efle videmus in hoc ani-
mali , vt etiam cum iadura aliorum motuum , et
cum ipforum , quibus vires augentur , imminuta
magnitudine hoc fadum fit 5 ita contra in homine
folam motuum varietatem eorumque plenitudinem et
perfedionem omnibus modis et cum maximo etiam dis-
pendio virium , fi aliter fieri non potuit , cultam
atque curatam efle cognofcimus. Exempla legas in
pedorali mufculo , pag. 519. feq. in eredore cer-

f 2 \icis

vicis pag. 523 feq. in flexore cubiti pedtorali pag.
526. leq denique in eiusdem deltoideo fiexore , pag.
529. feq.

Duo autem inufculi refpedu magnitudinis in«
ter omnes in toto corpore leonis eminent , eredor
magnus ceruicis , qui proprius leoni muiculus eft , et
anconeus niagnits, His mulcuhs in dilacerandis ani-
malibus leo praecipue vtitur , dum anconei ope
praedam ferit folumque verfus deprimit , pag. 531.
erecfloris autem auxiiio pnrtem praedae , dentibus
prelienfam , furfum ducit pag. 524. Eredor ma-
gnus ceruicis , vtrinque ad colUim fitus , quartam
fere eius partem fua craflitie folus vtrinque eflicit.
Anconeus magnus ob enormem craflitiem , qua gau-
det , figuram plane infolitam , cubicam quafl , in-
duit , vt aeque fere ac longus et latus eft , crafllis
quoque euadat vafliflimus hic mufculus. De neruis
hoc modo generatim notamus , eos praeter opinio-
nem tenuiores efle inuentos proportione animaUs
quam hominis nerui funt aeque ac felis. Clar.
Auclor inexfpedatum hoc phaenomenon cxplicat ,
dum oflendit , animae quidcra ad detcrminandos
motus , quos vult in mufcuUs excitari , minime
vero mufcuhs ad efliciendos hos motus , neruos in-
feruire. Inde enim fequitur , iis tantum animaUbus
maiori copia neruorum pro mufcuhs opus efle , in
quibus , velut in homine , maior motuum varietas
et maior dexteritas in motibus dirigendis obtinet ;
iis , quibus minor in motibus varietas efl , vti leo-
ni , quamuis cum magaa \i hi motus cxerceantur ,

mino-

iTiinorem neruorum copiam fufficere. Videtur au-
tem hoc proprium et verum neruorum motoriorum
ofFicium ia phyfiologia miuus cognitum fuifle.

VI.

Nouae Plantarum Species.

Auftore Erico Laxmanno pag. 553.

Pemptadem plantarum fibiricarum ab ipfo Cl. Audo-
re lcdarum haec continet Differtatio Prima earum
e(t noua Veronicae fpecies fpica terminali , toliis
linearibus deinato pinnatis, quam ob (Iruduram folio-
rum pinnatam nominauit et cum Illudr. a Linne
communicauit. Sy^. nat. Tom. II. pag. 57. Man-
tifla pag. 24. Secunda eft noua fpiraeaa fpecies
foliis lanceolatis , integenimis , glabris , ad bafin
anguftatis , feflilibus, floribus racemofis, racemis fim-
plicibu?, caule fruticofo, Cl. Audlori, ob locum nata-
lem , Altaienfes puta Alpes , altaienfis. Tertia eft
Dracocephalum foliis radicalibus cordatis , crematis ,
petiolatis , caulinis orbiculatis , fubferratis , feflilibus
floribus verticillatis , bradeis laciniatis , oblongis ,
aJtoienfe etiam a loco natali fic didum. Quivrta eft
Robinia fpinofjjima foliis iunioris plantae fparfis , ab-
rupte pinnatis , ftipulatis , petiolo perfiftente, lignofo
inque fpinam acutiftimam exeunte^ adultae vero plan-
tae foliis quaternatis, fubpetiolatis , flifciculatis , flori-

f 3 bus

bus ex fifciculis relTilibus ; fibiriae transbaicalenfis in-
cola. Hunc fruticem , fi beat. Gmelimim , Steik'
rum et Ammanum excipias nemo botanicorum cculis
Tidit : omnes autem cum Ammano Dcfcr. ftirp. ruth.
pag. 205. pro Robinia pygmaea , quae tamen di-
Yerfa eft fpecies , habuerunt. Qiiinta efl: TrifoHum
dauricum ^ foliis ternatis , foliolis oualibus, integcrri-
mis , \enof}S , caule eredo , floribus capitatis ,
capitulis axillaribus et pedunculatis et fclTilibus ex-
fmgula ala. lp(ae autem Defcriptiones quas methodo
Linneana tradidit in ipfis Commentariis melius le-
guntur.

ASTRO-

ASTRONOMICA

L

Obferuationes non nuUae Anno 1/^5/

et 1768 m obferuatorio Petropoli

inflitutae.

Au£lore Stephano Rumovski pag. 565

Referuntur hic non niilke obferuationes fuper
Eclipfes Satellitum iouis et vna obferuatio
Tranfitus Lunae per Fleyades , qiiae non aliud funt,
quam continuatio earum , quae leguntur in Tomo
XII. Comment. Inferendae igitur illae forent fequenti
Tomo Commentariorum ; Verum abfentia Audoris
fadum eft, quod illae ibi non compareant et quod
huic demum Tomo fiat referuatae.

II.

II.

Obferuationes Aftronomicae annis i/^g

et 1770. inftitutae vna cum deter-

minationibus geographicis aliquot lo-

corum Imperii Rufllci inde

dedu(3:is.

Au6lore W. L. Krafft pag. $yi.

In hac dilTertatione continuata fiftitur expofitio ob-
reruationum aftronomicarum , quas Cl. Audor ,
dum in itinere per imperium ruflicum verfaretur ,
comphiribus in locis inftituit. Geographia rudica
quanquam Altronomorum Academicorum hiboribus
iam eft infigniter promota ; erant tamen principalia
quaedam loca , quorum adcurata politio geographica
adhuc defidcrabatur. Fadum hinc eft , vt Aftrono-
inis ad Venerem in Sole obferuandam ablegatis etiam
id negotii daretur , vt obleruationibus aiironomicis
pro (copo geographico inftituendis inuigilarent. Eius-
modi igitur obferuationum fuarum al quot Cl. Audlor
in hac diflertatione non recenfet fohim , fcd ad cal-
culum quoque reuocat aPtronomicum ct determinatio-
nes geographicas inde deriuat, quarum hic luccin(S:um
cxhibuiffe confpedum iuuat.

I, Oppidim Vfa fitum eft

fub latit. boreaii 54.°. 42'. 45'^

€t

ct fub longit. gcographica verfus

orientem a Lutctiis Parifiorum 3^ 34'. 14."-

Ibi obferuata eft

occultatio ftellae r Tauri fub Luna I7<^9- Aug.

nou. ftil. 24. d. 15^. 50'. 44" Temp. ver.

In eodem loco etiam Cometae iftius infignis

anro 17^9 confpicui obfcruatio a CL Audlore infti-

tuta cft, quae hic exponitur et cum theoria eius ab

Aftronomis ftabilita comparatur.

n. Oppidum Sifran fitum eft

fub latit. bor. 53°- 9^. 53" ^ ^^

ct a merid. Parifino verfus orientcm diftat m-
teruallo temporis 3^'- V- 19''.

Ibi obferuatus cft

Tnuifitus Lunae ad ftellam ^ Tauri 1770. d. i.
Apr. n. ft. - .^

Immerjio II. SatelHtis louls

1770. 29 Martii 14^ 15'. 9''» Temp. vero.
Obferuationem hanc CL Audor cura fua cor-
refpondente , in oppido Tfcherkaski inftituta , com-
parat , indcque errorem infignem mapparum geo-
graphicarum etiam optimarum in pofttione littoris
orientalis Maeotidis commiflum corrigit^ cuius veram
pofitionem dudum Geographis cruccm fixilfe conftat.

111. Kiouium fitum eft
fub latit. bor. 5o^ 30'

et fub long. geogr. a Lutetiis Parifiorupi verfus
orientem i^. 55'. 10''.
Tom.XV.Nou.Comm. g Ibi

Ibi obferuata e(l

Emerfio I. SateUitis louls.

1770. d. 14. Aug. n. (l. 7^-49'. 9" Temp. vero.

Sub finem diflfertationis fuae Cl. Audlor fub-
iungit obfcruationes mifcellaneas declinationis acus
magneticae, Halonis circa Lunam memorabilis, Auro-
rarum borealium, et Luminis Cafliniani.

III.

Determinatio Longitudinis Geographi-

cae plurimorum locorum , in quibus

Eclipfis Solis Anno i^6g.

obferuata fuit.

Auftore A. 1. Lexell. pag. 588.

IV-

Longitudo obfe ruatorii Petropolitani ,

ex obferuatione Eclipfis Solis A.

1769. determinata.

Auftore A. L Lexell. pag. 6^$.

ror harum differtationum cxpofitionem tradit
nouae Mcthodi , ex obferuationibus tclipfium

S0I15

p

«•>

¥.i> ( o ) J?€<- ^^

Solis longitudines locorum definienOi , vna cun\
cinsdem applicatione ad obferuationeb , quae variis
in locis fuper Eclipfi Solis A. i7<^9 inltitutae fuerunt.
Quuoi enim Ci. huius diCTertationis Audor , dum
harum obferuationum con\putum inire fibi pro-
poiuiflTet, atque eum in finem Methodum fic dclam
Nona^efimi adhibere conftituiflet ; eam infii^nibus de-
feclibus laborare et ad cakuium ineundum opcr(fiiri-
mam eflfe inuenifTet , de eo cogitare coepit , qua
ratione haec Methodus ita emendari pofTet , vt noa
folum cxadior effet^ fed etiam pro calculo nflituendd
ficilior. Enim vero quum principale vitium , quo
vulgaris Methodus Nonagefimi afficitur, in ipfis formu-
lis pro Parallaxibus tam Latitudinis quam Longitudinis
lateat, quippe quae formulae has parallaxes non niti per
approximationes fuppeditant, et infuper dum figurae^i
Telhiris Sphaeroidicae ratio habendaeft, corrediones
quasdam requirunt ^ in eo praecipue elaborandum
fuit , \t pro his parallaxibus formulae fimphces et
concinnae traderentur. Hunc in finem Gl. Audlor
conduccre exiflimauit , fi diftantiae afirortim non
quidem a zenith apparenti , quemadmodum com-
muniter fit computentur , fed ab alio quodam coeU
pundo fixo , illud lcilicet , quod cum Ilco obfer-
vationis ipfoque tcUuris centro in diredlum iacet ,
quod pundum zenith verum appeilarc Ijc^uerir: De-
inde quemadmodum in Methodo vulgari NonagefiTrur
pundum Nonagefimi in Ecliptica definitur , qua-
drante circuli per Polum ecHpticae et 2:enith apparens
tranfeunte , ita in nooa hac IMethodo , quadrans per

g 2 Polum

5» •4^i ( o ) &pS<-

Polum Fclipticae et zenith verum tranfiens definit
in Ecliptica pundum , quod licet mmus proprie
heic punAum Nonagefimi a Cl Audore nominatun
fuit. Huius igitur Pundi Longitudine et altitudine
definita , fimplicibus maxime formulis Parallaxes.
Longitudinis et Latitudinis determinari poflunt.

Vlterius etiam hoc in vulgaribus Methodis ,
Longitudines locorum ex ecliplibus Solis computandi
iherito defideratnr , quod corrcdiones Eleme.jtorum
Aftronomicorum , Longitudinis et Latitudinis Lunae
modo plane peruerfo definiri foleant, omilfis omnino
corrediunculis , quibus Parallaxis Lunae et diametri
Solis atque Lunae indigere poflunt. Cl. vero Au<Jtor
nofter , non folum formulas tradit concinnas , quibus
effedus harum corredlionum ad tempus coniundioni»
Soiis et Lunae immutandum exprimitur , fed etiam
modum exponit quo ex binis expreflionibus pro tem-
pore coniundionis, ex obferuato initio et fine Eclipfls
dedudlis , aequatio inueniatur has corrediones tam-
quam incognitas inuoluens , atque adeo oflendit fi
tres huiusmodi aequationes habeantur , corrediones
has tam exade definiri pofle, quam per ipfos errores
obferuationum fieri licet.

Pro cafu quidem praefenti Eclipfis Solis Anno

X759 , vndccim omnino huiusmodi aequatones , ex

totidem obferuationibus initii et finis Eciipfis in iis-

dem locis inftitutis dedudtae funt , quae omnes ex-

cepta vnica ex obferuationibus Wardhufii fadtis de-

duda

•441 ( o ) |c> 51

duda cgregie inter (e conueniunt , quum tamen ita
comparatae fmt , vt nulla (pes efle qucat , quaefitas
corrediones ex ipfii cum fumma praecifione erui
pofle , liinc quia Parallaxis Lunae iam (iuis exa^lc
definita efTe videtur , exiftimauit Cl. AuAor eius
corredlionem tuto affmi poffe - 3'', quae fcilicet ac-
commodata eft hypothefi , quam pro figura telluris
in fuis calculis adhibuir. Tum vero reliquae correcflio-
ncs Latitudmis Icilicet Lunae er diametrorum, facilius
determinantur , et prior quidem fine errore V aut
5" definiri poterit , pofterior vero ob errorcs obfer-
vationum multo magis dubia erit, vnde hae corredtio-
nes tutilfime definientur, dum ipfis eiusmodi concilian-
tur valorcs , quibus adhibitis errores obferuationum
fiunt quam minimi. Hoc vero fado inuenit Cl. Audtor
corredlionem Latitudinis effe - 22'' et fummae fe-
midametrorum Soiis et Lunae - 3", quarum cor-
redionum prior omnino vltra s" erronea efle nequit,
de pofteriori autem vix quicquam certi affirmari
poreft. His autem valoribus corredionum adhibitis,
ex momentis coniund:ionum Solis et Lunae veris ,
fcquentium locorum incognitorum Longitudines a
Lucetia Parifiorum dcdudae funt :

in temp.

Caua 0^38'. 43'' Occid.

Promont. LezarJ. 0.30. 11 . . •

Hafnia o. 41. o Orient.

Lunda o. 43. 25 . . .

Gryphiswaldia o. 45. 34- . . -

g 3 Pello

Pello il26'.56'^Onent.

Caianeburg 1.41. 41 ...

Wardhus i. 55. 6 • . .

Kola 2. 2 4.2 . , *

Vmba 2. 7. 30 . . .

Ponoi 2. 35. II ., • .

Gurief 3. 18. 37 . . .

Orenburg 3. 31- 5 . . .

lakutsk 8. 29. 34' • • •

In pofteriori haruna diflertationum determina*

tio verae Longitudinis obferuatorii Petropolitani, de-

dudla e(l ex obferuationibus, quas Celeb. Prof Mayer

fuper partes lucidas difci Solis durante Eclipfi A.

1769 inltituit. Seledae autem huiic in yfum funt,

cae praecipue menfurae partium hicidarum, pro qui-

bus diflantiae apparentes ccntrorum Soliri et Lunac

cum echptica aequales conftituerunt angulos ante ct

poft coniundionom apparentem horum Aftrorum.

Exprefliones enim quae pro temporibus coniundionis

\eris , ex huiusmodi obferuationibus deducuntur , ita

comparatae funt , vt fi ex ipfls fumatur medium ,

illud ad veritatem quam proxime accedere debet ,

corredionibus fcilicet ex crroribus Tabuiarum ori-

vndis pro binis obferuationibus fe mutuo dcflruentibus.

Septem autem paria talium obferuationum pro Pc-

tropoli praebuerunt tempus coniundionis d. 3. lun.

1769 22^22'. -^7^', quod cum tempore coniunc^tionis

Gre-

^>Ui ( o ) ^i^- i^#

Grenouicenfi ao^ai'. 32" comparatum, praebet Lon-
gitudinem obferuatorii Petropolitani a Grenouicenii
a*,i'.i5^' adeoque a Parifmo i^5i'.59'^ Hoc autem'
cxemplo euidenter comprobatur , ex obferuationibus
Eclipfium Solis exadlas omnino deduci poife deter-
minationes pro Longitudinibus locorum, atque dubia
quae ad infringendam certitudinem harum determina-
tionum a nonnuUis etiam magni nominis Aftronomis
adferuntur nuUius effe momenti.

V,

Expofitio obferuationum Aflronomica-

rum A. 1770 in vrbe Zaricin

inflitutarum.

a Petro Inochodfow. pag. 6$$*

Obfernationum in Zaricin inftitutarum eae heic ad-
feruntur , quibus Latitudo ct Longitudo Gcogra-
phica huius loci determinatrir. Et quod Latitudinem
quidem attinet , ea ex altitudinibus ireridianis Solis
coiiclufa eft 4S° 42^25^'', ex iiltitu-jijiibus -vero
pluiiiim fixarum , \ti Rei:uli , Arduri, a Coronac
Borealis , g et 2^ Bootis 48"*. 42''. 14''^, vnde mediO
fumto 48". 42^. 20^^ fine fenii ili errore affumi po-
lerit. Fro Longitudine definienda variae fadae funt
©b.feruationcs Eclipfium Satellitum louis , quarum

momenta

$6 «>i4i ( o ) ^n<-

momcnta partim cum Tab. Cel. Wargentln partim
etiam cum aliis obfernationibus correfpondentibus
comparata , praebucrunt Longitudinem vrbis Zari-
cin a MeridianD Parifino in tempore 2^ 48-". 30''''
feu in Grad. 42^7^30^''. Declinatio acus magne-
ticae pro hoc loco inuenta fuit 5* verfus Oc-
cidentem.

VL

Epitome Obferuationum Meteorologi-

carum Petropoli A, 1770.

inftitutarum.

Au£lore loan. Albert. Euler p. 676.

Oblcruationum Meteorologicarum pro A. 1770.
inftitutarum fiunmarium a Celeb. 7. A. Eulere
in hac diflertatione traditur , iuxta Methodum quam
in obferuationibus A. 17(^9. inftituendis fequutus
fuit, et cuius rationem in Tomo praecedenti horum
Commentariorum fufius cxpofuit. Maxima altitudo
Barometri obferuata cft d. 20. Nov. fcilicet 28,(^3
poU. minima die 27. Dec. 25, 7(5 poUic. Ahitu-
do medi-a pcr totum annum inuenta cft 27,92 et
ahitudo frequentiffima 27, 97. Thermometri alti-
tudo maxima obferuata fuit d. 11. Aug. 103*. fe-
cundum Therm. DesUl. minima autem d. 6, Martii
IS(5°, adeo vt dijaferentia inter maximam et mini'

mam

>¥.i ( O ) |e|.

57

inam fit 83^ Dies quibus Thermometrum infra
pundum congebuionis defcendit 138 nuraerabantur ,
atquc 261 quibus calor vltra 150° thermometri
increfceret. Malaciae numeratae Cunt 13, ventus
leniorts iio, fortes 175 et piocellofi 67, quorum
praecipui menfibus lanuario , Martio et Dccembri
graflarunt. Status coeli ferenus fuit per 87 dies,
nebulofus diebus 51, pluuiofus 137, diebus 77 nin-
xit , et 3 grando cecidit. Aurorae boreales per to-
tum aniium vifibiks fuere 12.

Tom. XV. Nou. Comm»

IN-

5 8 ->S^.| ( O ) g>c?<-

I N D E X.

DISSERTATIONV M.

Mathematica.

Dan.BermuIIi^ Continuntio argumenti de menfura for-
tis ad fortuitam fucctfllonem rerum natura-
liter contingentium applicata p 3.

Leon. Euler ^ Solutio Problematis , quo duo quaerun-
tur numeri , quorum produdum tam lum-
ma , quam difFerent a eoruiii , fiue audum
fiue minutum fiat quadratum pag. 29.

Eiusdem , Obferuationes circa radices aequationum

pag. 51.
Eiusdem , Problema Algebraicum ob affediones pror-

fus fingularcs memorabile pag. 75.

A^ L Lexell , Solutio probleinatis algebraici , de in-
veftigat one numerorum contiiiue proportio-
nalium , quorum datur fumma a et fumma
quadratorum b. pag 107.

Eiusdem , De criteriis integrabilitatis formularum dif-
ferentialium pag. 127.

Leon. Euler , De curua redificabiii in fuperficie
Spliaerica pag. 195.

Phjjico-Mathematica.

Leon. Euler , Sedio Tertia de motu fluidorum linea-
ri potifTimum aquae pag. 219.

->§

^.^ ( o ) ll^<- 59

Z). BernoulU , Exatr.cn Phyfico-Mechanicum de mo-
tii mixto , qui kminis elafticis a percuflione
finuil imprimitur pag. 361.

Leon, Eukr , Genuina principia do(flrinae de flatu
aeqiiilibrii et motu corporum tam perfede
flexibilium , quam elallicorum pag. 381.

EJiisdem , Te Iclu glandium contra tabulam explo-
iurum pag. 414.

P hjji c a.

Sam. Gottl Ginelin , Rariorum Auium expofitio p.

439-
I. Lepechin y Defcriptiones auium pag. ^85.

J. T. Koekeuter , Defcriptio cyprini rutili , quem
Halawel Rufli vocant , liiflorico - anatomica
pag. 494.

Eliisdem ^ Dcfcriptio pifcis , e coregonorum genere ,
Rufllce Sig (cnrb) -vocati , hiflorico-anatomi-
ca pag. 504.

C. F. Wolff ^ De Leone obferuationes anatomicac
pag. 517.

E. Laxmann ^ Nou.ae plantarum fpecies pag. 553.

AJi r on 0 m i c a.

Steph, Rumovsh , Obferuationes nonnullae in obfer-
\atorio Petropoli inftitutae pag. 5^)5.

6o

^>¥.\> ( 0 ) 2>f2<-

JV. L. Krafft , Obferuationes Aftronomicac Annis
1769 et 1770. inftitutae pag. 571.

A. I. Lexell , Determinatio Longitudinis geographi-
cae plurimorum locorum , in quibus Eclipfis
Solis A. i7<^9. obferuata fuit p. 5 8S-

Eiusdem , Longitudo obferuatorii Petropolitani , ex
obferuatione Eclipfis Solis A. 1769. deter-
minata pag. 6^4 5.

P. Inochodfcw , Expcfitio obferuatioaum Aftronomi-
carum A. 1770. in vrbe Zaricin inftituta-
rum pag. 6$$.

I, A. Eiikr , Epitome Obferuationum Meteorologi-
carum , Petropoli A. 1770. Vet. St. infti-
tutamm pag. C-j^.

MATHE-

MATHEMATICA.

Tom.XV.Nou.Comm. A CONTI*

rir

w-t

.1TW03

/.

TT-nn'^ -rnl^T Vy

CONTINVATIO ARGVMENTI
DE

MENSVRA SORTIS

AD

FORTVITAM SVCCESSIONEM RERVM

NATVRALITER CONTINGENTlVM
APPLICATA.

Auctore
DANIELE BERNOFLLL

§. I.

In prioribus noftris de ido argumento commen-
tationibus hypothefin examinauimus adeo veri-
fimilem primo intuitu , \t falfitas eius poft
innumera demum experimenta in fufpicionem
venire coeperit ^ aequam intelligo naturae procliuita-
tem ad vtrumque formandum fexum. Nunc vero
experti omnes vno fatentur ore , naturam fexui
mafcuHno magis fauere quam alteri aut ililtem hnc
\sque magis fauifle. Id vero an cacca forre an
dudlu legis naturalis contigit ? Equidem prius pos-
fibile eft , alterum vero longe verifimillimum ntque

A 2 proba-

4 DE MENSVRA SORTIS

probabiliflimum ; negligamus verba atque rem ipfiim
ponderemus. Sic operae pretium erit vt fingulo-
rum qui cuenire poflunt , cafuum probib;litatem
inquiramus^pro hac akera hypothefi , quod natura
in fbrmanda prole mafcula foecundior fit , quam in
altera idque in ratione quacunque data fed conftan-
ter eadem quam vocabo a ad b. Nouam quaedio-
nem , priori infinities ampliorem , praeter expedla-
tionem eleganti fatisque fimplici fonnula circum-
fcriptam ofFendi , quara nunc exponam.

§. 2. Sit iterum , flcuti in paragrapho fecun-
do differtationis praecedentis , niimerus partuum an-
nuorum n: 2 N atque , vt rem fermone mathema-
tico indicemus , ponamns pro quouis partu fexum
hoc modo definiri , vt in vrna repofitae fint fche-
dulae partim nigrae pro fexu mafculo partim albae
pro fexu fequiore definicndo, fuerit numerus fche*»
dularum nigrarum zz j , fchedularum albarum =r ^:
tum cuiusuis partus lexum fchedula extracT:a indicet
mox in vrnam reponenda ; quod fi hoc modo fexus
pro 2 N partubus determinetur quaeritur quanta fit
probabilita-s vt numerus puenorum fiat praecife znm
atque adeo numerus puellarum — 2 N — ;». Dabit
nunc theoria combinationum , fi modo omnia difpo-
fite fuerint ordinata, fequentem formulam generalio-
rem , quae verum quaefitae probabilitatis valorem
fiftit:

^N.(2N-i).(2N^2) (2N-3) {i^-m^-i) ^7 ™ 2^ "*

— — — ^ , — — , — ;3x(t) %.{• r)'

I. :2. ^. j^ ..,;;;, 2^^ b' c-\^b

f 3«

AD SVCC, RER. CONTING. APPLICATA. 5

''!i';..§, 3- Miratiis fiim fimplicitatem modi , quo
tlieoria hacc generalior compleditur iilteram a iio--
te praemifTiun pro neqiiiQaletuia vtriubqiie fexus :"
jDofito enim ^— ^ pjotinus perlpLcitur fieri

(t-) X (~T~7 ) =^ I atque adeo formulam prodire

plane eandem , quam paragrapho fecundo primae
differtationis cxpodumus. At fi paruula intercedat
iiiaequalitas inter a et ^, infignis (latim inde orie-
tur difterentia inter probabilitates ad vtramque hy-
pothefin computatas , quotiescunque pro N numeri
iifflimuntur maiores ; fciiicet funt ambae probabilita-
tes pro iisdem luimeris m et N vt vnitas ad nu-

merum (^) ^(— r^) , quae ratio plerumque a

ratione aequaHt.uis admodum recedit pro magnitudi-
ne tmmeri m atque haec proprietas criterium nobis
fuppeditat haud fpernendum in dignoicenda lege na-
turae , fi tabulae natalitiae , pro pluribus annis prae-
flo fint En huius rei exempkim.

Fuerit numerus .omDium natorum —20000
flue N zn loooo fuque fermo de fpeciali cafu, quo
ifta natorum fumma al) vtroque fexu in dnas diri-
mitnr partes peifcde inter fe aequales : habebimiis
i?/;ii.ooo0 5 ponatut |-— 1.055, qui valor obferua-

.' ^i"^ 2b ^-^
tionibus non male rcfpondet : fic fiet (7-) x( r)

loooo 20000

,1055 ,1000 I

iViZ^r) ^(77777) — ~^- Igitur probaHli-

A 3 tas ,

177 7

.4. X . -.,

6 DE MENSVRA SORTIS

tas , quae pro hdcce cafu militat vtcunque paruula
fic , erit millies duceiities nonagies fexies maior (i
fuerit ^=^1 quam fi fit ^zn 1.055^ vidimus au-
tem in praccedente noftra diflertntione paragrapho
feptimo probabilitatem pro prima pofitione efle
erit ergo probabilitas pro altera pofitione
y/55 fiue zn 55^'392- Huic paruulae probabilitati
fi omnes addamus , quibus numerus m infra nume-
nim N deprifnitur , quamuis id ileri poflit decem
millibus modis prius quam numcrus m plane eua-
ncfcat , tamcn fumma omnium harum probabilita-
tum pro decem mille cafibus non fit vigcfies maior
quam eft prob^ibilitas pro folo cafu , quo ponitur
mnzN: vnde deduciuir , fi quaeftio fuerit quanta
fit probabilita& vt Londini phires intra annum na-
fcantur puellae quam pueruli aut faltem numera
aequali , hanc probabilitatem minorem efle quam
nU^ ; verofimile autem eft , vt id femel contingat
in quouis decurki 12000 annorum propqmcdum.
Tabula paffim extat , qua ab anno 16^4. vsque ad
annum 1758 numerus quotannis indicatur tam filio-
larum quam puellorum Londini in Ecclefia Epifco-
pali baptizntorum , qua videre eft nunquam intra
95 annos contigifle vt numerus puellarum aeqnalis
eflet , ncdum mnior , numero puellorum , etiamfi
numerus omnium baptismatum annuorum notabiliter
minor cflct quam 20000 atque adeo id multo faci'
lius contingere potuiflet : anno 1703 puellae maxi-
me ad aequalitatem cum puerulis acccfl^erunt; bap-
tizatae nempe fuerunt 7^83 puellae atque 77^^ 5

pueru-

AD SVCC RER, CONTING. APPLICATA. 7

pueruli; paruum cquidem hte fuit discrimen at fu-
peratu longe difiicillimum.

§. 4. Formula in fine paragraphi (ecundi cx •
rpofita naturam argumenti noftri egregie explicat
tn hypothefi prima , qua ponitur azz b , decrefcit
probabilitas a medio verfus extremitatem aheram ;
Ip hypothefi fecunda , qua ponitur a ^ b^ primp
increfcit ad certum terminum Yhra quem decrefcit;
prope medium , vbi «2zzN, probabilitas in prima
hypothcfi admodum cxcedit probabilitatem in hy-
pothefi alteta j quia vero in priori decrefcit in al-
tera incrcfcit , locus erit vbi probabilitas eadem fit
pro vtraque hypothed , locus ahus vbi probabiUtas ,
in hypothefi altera, fit dupla, tripla, quadrupla &c.
hofce nunc locos {iue valores m definiam ; requiri-
fu: c:r;. ^ "» 2. b ' ^

tvix autem , •vt factor (t-) x ( ,) ponatur fucces-

fuie aequalis' 1, 2, 3, 4 &c. indeque determinetur
numerus m. Incipiamus a prima aequatione atque
inueniemus ^

j^ a N (log. eTi+IT'— lag. 2 5)

lo^. a — log, b

yo^emus hunc primum valorem A ct iic habebi-
mus fucccfliu^

f»=: A

w =: A -H

Ug.t

log, a — log. b

Sk

Sic generalitsr erit m zr A' -f- ^"f^-^--^: fi defide-
retur vt ambae probabilitates fe habeant vt i (f),
Defcendamusad. exempla numerica.

§. 5. Sit porro N -r lOooo atque ^ =z tIII ;
habebitur A — 10134 atque generahter «?:=: 10134.
^- -JM:_^_ fiue , adhibitis logaritbmis communibus ,

mz:^ I oi 34. 4- 4-3 log. Cf)' vnde 'fi proponatur fuc-
cefliue : • ' '■'

'■ '" (J) rr I habebitur »;=: 10134.
Cf) 1=: 2 . . . w/z=:ioi47
Cp zr 3 . . . fnziz lOiS^

- - il <n' -4^( : ; ' .'. "K l '■■■■'■ ^

Cpri: 5 . . , mzz 1016^

Cprrio, ,. . . m — loinj.
. II, :ji 1« v' ' . i i(/ M DiifJii

Apparet hinc quam enormiter increicat ratio qua©
interccdit inter probabilitates pro ambabus pofitioni-
bus ^ =: I et ~— 1.055. Intelhgitur fimul quod
quQties numerus puerorum natorum quadraginta tri-
birs audus ponitur toties ratio inter ambas probabi-
litates analogas decupletur.

§. 6. Relatio inter C|) et m ad logarithmicam
pertinct fic vt operatione fimplicifTima numerus fn
indicari poflit , pro quo ratio Cj) daturti obttneat va-
lorcm. Sit, verbi gratia, pro numeris in praecedente
paragrapho afTumtis , numcrus puellorum 711 indi-
candus , qui decies milhes millenis millibus vicibus
facilius eueniat , pofito |- rr: i* 05*5 ' quam pofito
|- zr I. In hoc exemplo fit $ «z loooboooooo

et

AD SVCC RER. CONTlNG. APPLICATA. ^^9

ct log. $±rio ergo {|. 5,) 31:^ rt: 16134-^- 4-30
31: io5<J4 Qiiis Don miretur incredibikm fcre pro*
foabilitaturti differciittam pro cafu, quo numerus puel-
iorum mectietatem, pflruo siumero. 5^4- inier 20000,
transgreijitur. Qiiod fi igTtnr ranflTimo cafu contl-
gerit vt inter noooq natos iiumerati fuerint 10 ^^■^.
pueruli atque adeo 94-3«^ puellae, quis harum re-
rum mteliigens ftatuet naturam ad ¥trumque fbr-
mandum fexum eile prorfus aequaiiter procliuem ? Id
faltem certum eft, huiuscemodi cafum 1 0000000000.
vicibus probabiliorem fieri , d fuerit |-2=: 1.055,
quamuis et tunc quidem tIx inter pofTibiles reponi
mereatur , quandoquidem folius cafus iftius probabili-
tas tantum eft zz i^ 15555. Si porro ita augeatur mini-
ma ifla probabilitas , vt comprebendat omnes cafus ,
quibus numerus pueliorum transgreditur numerum
10554., vix inde fiet decies maior, quantum absque
inftituto calculo iuJicare poflum ^ fic omnis proba-
bilitas fiet tantum zz t^Woo , qua neg!ed:a affirmare
licebit nunquam futurum vt numerus puellorum
natorum ad 10 564 ex nocoo natis alcendat, etiam-
fi fexui mafculino fua tribuatur praerogatiua , quam
valor |-— I. 055 indicat.

§. 7. Vidimus modo , quam parum verifimile
fit, vt pro 20000 natis numerus pueroruin vnquam
ad 10554 afcendat puellarumquc adeo ad 943^ de-
primatur ficque diffcrentia inter vtrumque fexum
ad 1128 euagctur , etiamfi natura fexui mafculino
prae altero faueat in ratione 1055 ad 1000. Huius
Tom.XV. Nou. Comm. B ita-

1© DE MENSVRA. SORTIS

itaque rei curiofus tabulam confului Londitienfem
fupra citatam , quam recenfet Cl. Susmikb in parte
fecunda egregii operis fui , cui in fine adiedae funt
plurimae huiuscemodi tabulae : inquifiui annos : \bi
numerus pueilorum maximc fuperaret puellas,- me-
morabiles mihi vifi funt annus 16^6 , quo nati di-
cuntur aut potius baptizati 6552 pueruli et 5847
filioke , dein a. 1(^98 , quo 842(J malculi et 762^
filiolae ; 'denique a. 1717 , quo indicantur 9630
mafculi et 8845 alterius fexus. Den onftraui autem
differentias inte vtrumque fexum mutandas effe in
latione fubduplicata numerorum 2 N vt eadem re-
tineatur probabilitas : hac igitur adhibita correcftione
inueni nuUum effe ex tribus annis allegatis , qui
maiori attentione dignus fit , quam fi pro 20000
uatis exceffus puerorum fupra puellas fuerit pro-
pemodum 900 , qui exceflus multum adhuc de-
ficit ab 1128.

Attamen non reticebo annum 1749 P''^^ ^"^"
nibus caeteris longe maxime rarum , quo fcilicet
baptizati dicuntur 7288 pueruli ac tantum 6172,
filiolac : habemus hic exceffum puerorum —1116^,
dum fumma natorum faltem fuit :=: 13460 : ergo
praefatus excefTus 1116 augendus erit in ratione
fubduplicata numerorum 13460 ad 20Q00 , qna
fad:a reducSione praefatus exceflus mutatur in 1361 :
iam vero excefTus ifte notabiliter fuperat exceflum
1128, quem non fine ratione fuppofuimus in lon-
giiTima ferie plurium millium annorum vix femel
euenturum j igitur mihi perfuadeo errorem irrepfifr&

in

AD SVCC. RER. CONTING. APPLICATA. 1 1

in alterutrum uunlerum ^172 et 7288; multo ni-
mirum facilius eft , vt in tabulas tot numeris re-
fertas atque faepiflime exfcriptas aliquando error
irrepat quam \t inaequalitas portentofa locum in-
veniat ^ puto autem loco 6172 filiolarum fcribendum
fuifle (J972 ; hac nempe fafta vnius numeri muta-
tione reiatio inter vtrumque fexum flt maxime pro-
babilis , quae fucrat tantum non impoffibilis. Erro-
rem fufpicatus numerum examinaui , qui indicat
fummam filiolarum baptizatarum intra deccnnium
ab anno 1741 ad flnem anni 1750 ^ in tabula pro
fumma ponitur 70322, quae adhibita mea corredic-
ne perfede ipfi rei conuenit : ergo error vel a
fcriptore vel a typographo fuit commiflus , ncc dii-
bito quin annales Londinenfes conieduram meam
fint confirmaturi.

Liceat verbum addere de tabula baptismali ,
quam idcm audor pag. 13. affert pro metropoli
Auftriaca ; fola ipfius infpedio m.ihi ftomachum
mouit ; nil continet , nec vereor dicere , nifi mera
figmenta , vagante calamo confcripta , quam prae-
ftigiofa fit hacc tabula , absque calculis noftris vix
intelligitur nec miror , quod CL Susmilch eam di-
gnatus fit egregio fuo operi inferere , relata retulit
fidem vnicuique liberam feciens.

§. S. Ex praemiflis intelligitur , quod fumto
numero m > !lLLj|:^rrI|±L) probabihtas, in hypo-
thefi a^ b y admodum fupcret probabilitatem pro

B 2. hypo-

12

DE MENSYRA SOKTIS

liypTtliefi azzh; coatranum obtinet quando fiimltur
^ 2^<iog.^-^p^2b) scilicet, retenta fignificationc
litterae <J), erit tuuc ratio inter Ytramque prdbabilita-
tcm exprefla per ^ et cum fit log. $ = -- log. $ ,
habebitur ( §. 4- ) m := A - i~^i^^ ; atque , pro
cxemplo m — loooo, fiet ( §. 5. ) ?;/ n: 10134 — 43
log. $ , vbi nunc Cf) defiguat , quoties probabilitas ,
in hypothefi a > ^ , fuperetur a probabilitatc pro
hypothefi a — i^. Ponatur iterum 0— looooocoooo
iitque fiet 7/i — 10134- — 430 fiue /z/ — 9704.

Hanc rem fic intellige. Quaeratur , pro
fcypothefi aiizb , prohabilitas vt fit iiumerus pucro-
rum —9704 et inuenietur ifla probabihtas propemo-

dum. ziz — fiuc ~ 1115355; fi minimae huius

fradiunculae ilimatur 15555555553, habcbitur pxo liypotbe-
fi a zz: i^ o$s b probabifitas yt fit numerus puero-
xum =: 9704. Vix animo huiusmodi paruitas con-
cipitur ^ Denique fi in fummam colhgantur omties
et fmgulae probabihtates vt numcrus puerorum infra
9704 depriraatur atque ponatur ab liac fummatioae
probabilitatem fieri decies maiorem , fiet probabilitas
Tnita r=TiTi5o3o553oo5o5 , q«a negleda afiirmarc licet ,
iieri non pofie Vit numerus puerorum limites 105(5^4
atquc 9704 iransgrediatur ^ fi faaerit >azz:i,ossb
nec numerus puellartLm limitcs 943<J ac i02'96,

§, ^. Nunc aliam aggredior quaeftionem , quis-
iram fit uumerus m prolis •annuae mafculac prac
omnibus caeteris maxima probabilitate donatus? Equi-
dcm^ ipro hjpotheli azz.b^ m primo Xcliedjasraate

ailum£.

AD S\XC. RER. CONTING. APPLICATA. 13

iifriirDG absqiie demonflmtione ^ <^tiia tiinc res per fe
claxa eii , laciendum eOe m — N. At cum ijiajequii-
iitas fuppponitur in.ter ^et^, quaeftio pnielens aliara
induit faciem. Recurremiis ad formulam in fine
paragraphi fccundi expofitam , quae pro quouis nu-
irncro m probabilitatcm fuam cxp rimit , nempe

.!iN.(2N-i).(2.N-2l(2N-3)-... (2N-J!?/4-i) c"» .2 b f
— ■ iox(7) x( ;)-

In ifla formula valor quidem fa^floris inde-
Enki decrefcere incipit itatim ac numerus ?« poni-
lur ^ N^ verum eniin vero alter fidlor variabilis
.(^y^ cum continue crefcere pergat , apparet locum
fiflTe poffe , vbi produdum ex ambobus fadoribus fit
maximutn ; hinc aliqua velnti excentricitas. Locum
vero ipfura maximae probabiiitaris ex eo defiiiire
ii:ebit ^ quod pro duobus indicihus proximis m et
m+i eadem efle debeat probabiHtas. Pofito :autera

sN.(2N- i). (2N--2) . (2N-;^+i) ^

j. J2... 3,. .... .... m

probabilitas pro indice mizS^ir) x( — v) paritcrqfie

. ,. ^ . , .,. 2 N — t!f

?pro mdice m ^ j. oritur nrQbabilitafi izz

a '"-^^ h ^^
5xSx,(-) ■'^^~~Try\' FiicSa agitUT aequatioae inter

iambas prdbabiliiates ^ jrepcritur ''^ "" ^ x |. — -1 fiue
mzz.^ ^ V^~ ? quia yero ^erminus ^Na veiuti in-
compiixiibilitej: maior /ell qiiam h ^ potexit fimj>l;ci-

13 a ^^

14 DE MENSVRA SORTIS

ter poni mzz~~ atque numerus puellarum fiue
2 N — ;;/ n^ ^^ fic vt ambo numeri fint in ipfa
ratione a ^d b , quod ipfum formulas noftras egre-
gie confirmat.

§. 10. Sic igitur in exemplo noftro , quo
pofuimus 2 N :z: 20000 , maxima probabilitas in-
cidit in numerum m z=: 10268^ vltra citraque liunc
locum probabilitas decrefcit , ab initio quidcm len-
tiflime , deinde citius , mox enormiter. Notabimus
hic in tranfitu quod pundum illud , de quo §. §. 4
et 5 diximus , \bi eadem fit probabilitas pro \tra-
que hypothefi , fit in medio pofitum inter ambo
punda maximae probabilitatis pro vtraque hypothefi;
cft fcilicet pro hoc pundlo w/n: 10134, qui numerus
medius eft inter loooo et 10268 atque haec pro
prietas generahter locum habet, fi parua fit differentia
inter ^ et ^.

§. II. Maxime conducit praefatum locum ,
qui ficit m zz ~-| et pro quo maxima oritur pro-
babilitas, confiderare tanquam pundum fixam omnes-
que calculos ita ponere vt diftantia ab lioc pundo
tanquam a centro virium examinetur : quae enim
dida funt nondum fatis computum (ubleuant :
igitur opera danda eft vt pro quouis indice dato ?n
probabihtas formula aliqua definita determinetur, fal-
tem quam proxime quandoquidem id omni rigore
fieri nequit. Hanc viam iniui in primo fchedias-
mate nec certe fine fucceffu ; qua de re videatur
primo paragraphus quintus j deinde decimus odauus.

§. 12.

ADSVCC. RER.CONTING. APPLICATA. 15

§. 12. Ponatur , breiiitatis gratfa , ^— -|=i:M,
fic vt M dcnotet nuiTierum puerorum maxima pro-
babilitate donatum atque ponatur index w — M -f [x,
vbi [JL notabit exceflum indicis fupra numcrum ma-
ximae probabilitati refpondcntem : ponatur praeterea
probabilitas , pro indice M -|- fx zz tt , cuius verum
valorem iam fupra paragrapho fecundo atque nono
indicauimus at formula indefinita , pro magiiis nu-
meris incomputabili , expreffiim. Animus fert in-
quirere rurfus , annon iiVi formulae indefinitae alia
fubftitui poflit proximc vera et definita ; confiderabi-
mus quantitates fx et tt tanquam coordinatas variabiles.
Paret autem ex ipfa formula indefinita fore pro-
babilitatem , pro indice proximo M + |x -f- 1 , z: ''-^^
X 1 X TT fiue 5f^^=^ ^ T ^ '^ ^ quae fi fubtrahatur a
probabil:tate praecedente tt erit differentia vtriusque
probabilitatis zz tt — -'-^^ilzzif x -| x tt. lam vero
iterum fupponam hane differcntiam cfTe ad differen-
tiam duorum indicum proximorum, id eft, ad vni-
tatem , (icuti — d 1: ad d \l ^ quod vtique absque
vllo fenfibili errore fupponi potefl: ob proximitatem
amborum indicum ; haec autem fuppofltio fequentem
fubminifl:rat aequationem — i^ — ( i-i-izi!!L-!^xiL)ya,
In ifta aequatioiic pro quantitatc M reflituam eius
valorem J'^, vt tanto melius quantitates , quae in
fine cakuli negligi poflint, ab inuicem dignofci que-
ant; fada ifta reftitutioiie fit -^-Jr-(i-iiL«i^_^-/^'^I^yM

^^^ - V^r^i^rar "^ -^[J- autdjnique -l^-tti±_^-^Va.

16 DE MEKSVRA SORTIS

f 13. PriiemifTa aequatlo ita eft integmnda
Tt pofito ^z::o fiat 'tt — Q^ , vbi pec Q inteiligo
prohabiiitatcm maximam , quae iocum iiiibet pro

jndice M aut l~s' ^^^ prodit

Qiiia \xro haec aeqnatio inferuire tantum de-
bct fupputandis cxemplis, in qmbns numerus \l mul-
to minor eft numero M , quandoquidem in caeteris
probsbiiitas fere euanefcit ncc meretur vt cius ratio
liabeatur , e re erit in penultimo termino quantita-
tem iog. -?r^^'^ in feriem conuertere ; in liac (erie
fufficiet tres primos confideraire terminos atque fic
ponere

aequatio fic poiii poterit

Ycl pofito r pro numero cuius logaritlimus liyper-
bolicus vnitas eft

a-4-6 r ^y-J: !iL_ 1

o^& r i(M-HO — __Ml__ 1
Q, M-+-IXH-1

Quod fi nos magis a fcrupulofitate rekxarc
velimus , licebit fimplici vti formula ,

•jr »— ^"' a 6 M
Q,

Hacc

ADSVCCRER. CONTING. APPLICATA. 17

Haec vcro \ltima formnla perfecn:e eadcm efl:
ciim ea, qiiam exhibui in primo fchediasmate §. 18.
ct quam paragrapho fequente paruula tabella confir-
jnaui : pofito namque a~b^ fit fimul M-N atque fic

fimph'citer oritur Q^rr — ^^

§. 14. Praemifla aequatio tanto erit accuratior,
quanto minor fupponitur differentia inter a tt b ^t
quanto fimul minor efi numerus p. , quod vtrum-
que inft;tuto noftro fatis conuenit : igicur operae
pretium erit hanc aequationem vlteriori examini
fubiicere.

Reftituatur pro litera M valor ipfius paragrapho
duodecimo indicatus , nempe ''^:^ : fic erit exponens

-4-a, vbi a ponitur vnitate multo minor ; habebitur

<i±±f zz t±L±±±^ ~ I -i- — ?La_ : hic manifefte ne-

+ c6 +-+-4 a +-+-4 a

gligi poteft terminus vnitati adieduS atque adeo
poni ^ = I, quo fiao fit exponens Vr ^ f =^ *^
et fic poteft fimpliciter poni

_MJA j

l:^c "" fiue =: -^

c ^

Sic igitur , pro omni valore ~ , probabilitas
conftanter eodem modo exprimitur , modo , loco di-
ftantiae termini a medio , intelligatur per \k diftan-
tia a termino maxima probabilitate donato , quae
profedo proprietas omnem meretur attentionem.
Tom. XV. Nou. Comm, C §. 15-

iS DE MENSVRA SORTIS

§. 15. Sed et ipfa probabilitas termini , quac
maxima eft , variante ratione — , proxime eadem
manet pro eodem numcro jjl eodemque numero N,
haecque altera proprietas non minus notatu digna eft
atque totum noftrum argumentum cgregie illuftrat.
Id vero fic demonftro. Sit in hypotheft a zn by
maxima probabilitas zzy, qualis eft cum fumitur
»/— N; deinde , pro eodem numero N, ponatur
aliquantilla inaequalitas inter a ct b atque pro ifta
ahera hypotheft dicatur maxima probabilitas zr: Q_;
haec autem §. 9. incidit in indicem |-^ : fuma-
tur differentia inter ambos indices N et |-^ , quac
erit — "-=^ N. Sic erit (pro hypotheft a — b)prO'
babilitas termini , cuius index indicatur per "-^

(?j:^)'N
zz: q : c ^"^^ , quia fcilicet pro [x ponendum eft

l-i::-|N; haec vero vhima probabiiitas , fi muUipU-

*''^ a '^ ib ^^

cetur per (7-) x( 7) dabit , vi paragraph fe-

cundi , probabihtatem Q pro eodem indice ^^-^ ,
qui maxima probabilitate in akera hypothefi dona-
tus erit, Sic itaque habebitur

q fl "* !i b » N

\bi fupponitur w :iz N -f- |Jl fme pro hoc negotio
tnzz.-—-^ , hacque fadla fubftitutione fit

Nunc

AD SVCC. RER. CONTING. APPLICATA. ip

Nunc demonftrabo , quod fi a ct b parum inter fc
diffcrant , cenieri poflit fador

^ 2Na:(a-+-6) ^^ ^^ C^~~^i^ N

(r) ^(^ — l) =:^ '"^^

fic vt polFit afTumi (^znqi hunc in finem ponatur
rurfus b ii: \ etflfz=:i-f-a intelligendo per a par-
Tulam fradlioncm : fic fiet 'J^ — '-"ti^N =i(i +|a
— i aa -f- s a') N : ergo , fumtis logarithmis hyper-
bolicis , praefiita aequalitas demonftranda abit in hanc
alteram :

(i + l«-i««+i«')Nlog.i-+2Nlog.^=(^-^J)'N.

Quod fi nunc porro pro a et b fubftituantur valo-
res I -}- « et i atque quantitates iog. |- ,* log. — ^
ct Q-^f in feries conuertantur , negledis terrainis
in quibus a dimenfionem tertiam tranfcendit , pro-
dibit log. l' , fiue log. (i + a) = a — 1 a a -|- ^ cc^;
deinde log, J^zi:-loL-^lacx.-^-,a:; denique (^-^f
risaa' — Ja'; his autem fubfiitutis terminis , H
multiplicationes acflu inftituantur negledis porro ter-
minis, in quibus a tertiam dimenfionem tranfcendit,
aequatio obtinetur perfede identica. Ergo absque
vlJa haefitatione poteft cenferi Q^~ q,

Sic argumentum noftrum , quod prima fronte
videbatur valde tenebricofum , fubita luce elucefcit 5
totum enim negotium in eo pofitum eft , vt pro
quouis valore ^ index \l numeretur a termino ma-
xima probabilitate donato , fiue vt pro \l accipia-

C 2 tur

to DE MENSVRA SORTIS

tur exceflus puellorum fupra numerum —^ : hoc
fadto erunt Yariationes probabilitatum in omni exem-
plo proxime eacdem pro lisdem niimeris ^x fiUQ
affirmatiue fiue negatiue fumtis. Sed et ipfae pro-
babilitatcs , vbi maximae funt , in omni exemplo ,
fine vllo fcrupulo , eaedem cenferi poffunt , modo
inter a ct b diflferentia non admodum magna acci-
piatur. Sic quoque ratio apparet proprietatis illius ^^
cuius mentlonem fecimus §. lo. in fine.

§ 16. Ex praemiffis patet , quemadmodum
probabilitates polTint quam proxime determinari pro
quouis natorum numero , pro quolibet puellorum
numero et pro qualibet ratione intcr a et b, Eii
totum proceffum ! Qiiaeratur primo m.axima proba»
bilitas pro hypothefi a zn b^ quae vi paragraphi
feptimi prioris fchediasmatis — y^^Jj^^j atque haec
probabilitas proxime eadem manebit , cum maxima
eft , pro omni alia ratione inter ^ et ^ : imo pote-
tit fimphcius poni probabilitas maxima zi: "-^Jj^ :
Deinde fumatur numerus -^-^^ , qui indic4t nume-
tum puellorum maxima probabilitate gaudentem ,
qiio fado detur quahscunque ahus pueliorum nume-
rus expreffus formula ^i^ -h [x ; dico fore probabi-
litatem proxime zz. !iiiiii x ^J-- . Nec puto hanc

rem commodius fimulque accuratius confici poffe ,
cum magnus eft numerus N. Si paruulus fuerit
ifte numerus, totum negotium omni rigorc ablblue-
tur ope fbrmulae in fine paragraphi fecundi expres-

fac.

ADSVCC. RER. CONTING. APPLICATA. nt

fae. Si denique mediocris , viderit analyQa , vtram
alteri formulam praeferre velit.

§. 17. Integrum proceflum fingulari exemplo
illuftrabo ex tabulis SiisjnUchianis feledlo , quamuis
paulo minus idoneo ob cnormitatem numeri noiiri
\k : fcilicet Cel. Susmilch in parte fecunda operis fui,
cui in fine plurimae adiedae funt tabulae , pag. 13.
t^b. IV. refert exemplum pro metropoli Auftriaca
ad annum 1728, quod natae fuerint 3102 filiolae
ac 2020 puelli; hic igitur N := '^^^— = 2551
atque pofito rurfus |-— 1.055 fit |^zr 2651 :
vnde (JL zr 2020 — 2(^51 n: — 531; ergo pro ipfis-
fimo lioc cafu fpeciali probabilitas eft — ^77 ^'^ 7-5 »

ifta vero fradiuncula minor eft , quam vnitas ap-
plicata ad vnitatem fexaginta nouem nullionibiis prae-
fixam , cuiusmodi paruitas omnem eludit conceptum
imo fi omnes addamus probabilitates, quibus numerus
puellorum infrn 2021 defcendere poneretur , vix
iude triplicabitur pracfata probabilitas : igitur fi quae-
i\io fuerit quauta fit probabilitas vt inter 5122 na-
Tos numerus puellorum infra 2^21 deprimatur , di-
co numerum maiorem quam eft ternarius fexaginta
odo nuiJionibus praefixus , certari pofte contra vnum
non fore vt hoc contingat : an Viennae contigerit et
an tot repetitis vicibus aliud fimik portentum con-
tigerit , prouti citata tabula refert , iudicent alii,
Ncc praetexatur fieri poflc, vt Viennae ficilius et fre-
quentius filiolae procreentur ac pueUi ; in eadem
-enim tabella ad annum 1724 refertur , pueilas ba-

C 3 ptiza-

2 2 DE MENSVRA SORTIS

ptizatas fuifle tantum 1422 puenilos nutem 3005,
qu;ie enormis inaequalitas alteri contraria , fi rurlus
calculo lubiiciatur , ab omnibus pro moraliter impojfi-
bili habebitur. Tantae profe<fto irregularitates nec
legi naturali nec forti vllo modo adfcribi poffunr.

§. 18. At fi integer natorum num.erus fit per-
exiguus , tuuc cafus qui apparent maxime txtraor-
dinarii , multo minus funt improbabiles quam prae-
fumi poflit : exemplum allegabo , quod mihi certum
eft. Nempe anno \^6^ in paruo Ditionis Bafileen-
fis oppido , cui nomen Liecbjtahl eft , nati funt 20
lilioli atque 37 puellae. Huiusmodi natorum parti-
tio , "vbi numerus puellarum fere duplus eft pueru-
lorum , equidem non poteft non effe valde rara , at
©b natorum paucitatem nihil habet , quod cum
praefatis exemplis \iio modo comparari poflit: Ecce
cakulum numericum»

Habemus (cilicct sNizr 57 atque adeo (ftante
porro £-irl°^|)^^=z29, 26: igitur |j.=:2o-29. =5
-zz—^^zC arque ^— ^zz3,oi; hir.c f'^^'^ zz 20,oS
crgo probabilitas quaefita zn ^^^—J^ zn tSs. , quae
quidem yalet pro ipfo cafu , quahs fuit. Igitur
pro 57 natis probabile eft \t intra 190 annos ipfilTi-
mus ille cafus , qualis contigit , femel contingat.
Qiiia Yero a fola puerorum paucitate notabiHs fuit ,
merito adiiciendae funt prt>babilitates fingulorum
cafuum , \bi numerus puellorum magis adhuc (it
depreflus et tunc fumma omnium harum probabilita-
tum alcendit piopemodum ad /o ^ adeoque fi nume-

rus

AD S V CC RER. CONTING. APPLICATA. 23

rus omnium obferuationum annuaruiii fuerit 70, prc-
babile fuit vt femel conciogeret id ipfum quod contigit,
nempc vt de 57 nat s prolcs mafcula infra 21 de-
primeretur : caeterum reduAionem probabilitatis 1^3
ad 75 obiter feci ; fateor etiam calculos numericos ,
ob paruitatem numeri N ct ma^nitudinem rclatiuam
numeri ik , non omni quidem gaudere accuratione ;
attamen paruulos eije errorcs , qui facile ncgligi
poHint , contcndo,

§. 19. Intelligimus nunc porro , quod nume-
rando numeros fx ab numero , in quem maxima
probabilitas cadit , eadem fit probabilitas pro eodem
numero [x, quaecunque intercedat ratio inter a ct b ,
modo haec ratio parum ab aequalitate recedat , in-
telligimus, inqiiam , quod ct lumma probabilitatum
pro eodem terminorum numero p. debeat effe eadem
in primo autem fchediasmate , tabulam dedi cuius
ope determinaui Hmites intra quos , vt numerus
puerorum fubfiftar, aequa fit certatio; iam dico eos-
des limites affumi polfe pro ratione qualicunque
parum inacquali inter a Qt b modo fiat vt maxima
probabilitas incidat in medium horum limitum. Vi-
dimus autem in fine paragraphi duodecimi pro hypo-
thefi a zn b atque 2 N — 20000 , quod hi limites
fint 995^1 et 10047^, qui aequidiftant a numero
lOQGo , vterque nimirum numero 47^ ; iam igitur
dico quod mutara ratione fl ad ^ eaque pofita - \^i ,
mancnte eodem natorum numero , fimiUs conditio
incidet in limites 99S2I -h 2^8 et 10947^ -i- 268

fiue

24 DE MENSVRA SORTIS

fiue in limites 10220J et 10315? aeqiiidiltuntes a
termino 1026« maxima probabilitate donato ,
( § 10. ) vbi communis dilkntia itcrum eft 47^.
Ergo .rurfus aeque probabile eft Tt numerus puello-
rum hofce limites transgrediatur vel non transgredia-
tur. Miratus fum taniam horum terminorum an-
guftiam.

c Sed et porro in praecedente fchediasmate mo-
nui paragrapho decimo tertio , diliantias limitum
diminui proxime in ratione fubduplicata numerorum,
qui omnium natorum fummam indicant. Sic pro
5000 natis aequa erit certatio proxime , fore
vt numerus puellorum non maior fit quam 2500
-V<^7+24 fiue 2591 nec minor quam 25004-6^7-24
fiue 2543 qui limites fimpliciter indicantur 2567
-+- 24,

Si in Gallia tota proks annua ponatur 600000
crit proles marcula mcdia n 308040 et aequa pro-
pemodum erit fponfio , exceffum aut defecHium pro-
lis mafculae numeratae non fore maiorem quam 260,
fi , cum ftatu medio conferatur , pofito nimirum

§. 20. Hafce de limitibus aeqnc probabihbus
difquifitiones vtijes fore fperabam , vt tutius et ac-
curatius terri pofTet iudicium de vera lege naturali
fiue de vera proportione inter numeros a tt b '. an
vbiuis terrarum ? an omni tempore fibi confiat ? an
omnes variatiores . quae reliquae funt . forti funt
adfcribendae ? an iplii lex naturahs aliquam patitur
var iationem ? De his adhuc dum haefito : nimis par-

vula

AD SVCC. RER. CONTING. APPLICATA. 25

vula videtur difFerentia inter a ct b nimiumquc
efficaciae fortis inuoluta quam \t Tnaximo obferuatio-
num numero accurate determinari poflit : aliquando
ipfi numeri , qui exade obferuari potuiffent , non
funt omni fufpicione certiores. Ratio a : b ^ quam
legi naturali adfcribo, non p)teft vtique aliterquam
€X - magno obferuationum numero deduci ^ plures
autcm, dedudiones huiu^modi concipi pofTunt^ modus
fimpliciflimus , quo aflTumitur eflTe fl ad ^ , vt fum-
ma puellorum natorum ad fummam filiolarum nata-
rum , mihi adhuc caeteris videtur praeferendus. At-
tamen non fpernenda puto criteria , quae in limiti-
bus aequa probabilitate ditatis pofita funt ; liac de
re paulo difertius dicam.

§. 21. Quo maior efl: fumma natorum, eo tu-

tior eft ad rationem a : b determinandam ; Per in-

tegros ^s annos Londini nati funt 737629 fllioli

atque 698958 puelke ; vnde optime ftatuitur |-

zz. mill rz I. 055 ( apud Susmilcbium paruulo errore

ponitur i. 054 vid. pag. 21 ). Ab hoc valore medio

obferuationes aliquando notabiliter recedunt , etiamfi

integra decennia accipiantur : decennium 172 1 . .

1730 exhibet 89217 puellas et 92813 filiolos fic-

que i zz 1. 040 , qui valor inter omnia decennia

minimus eft ; maximus fit pro feptennio 1664 . .•;

1670 , quo nati lunt 37283 puellae et 40306

mafculi ^ vnde 'L.— i. 081 ex fummatione praefati

decennii atque feptennii emergit i- — i. 054 , qui

valor cum hypothefi communi fatis conuenit. Decen-

Tom.XV.Nou.Comm. D nium

26 DE MENSVRA SORTIS

nium i58i . . . 1690 maiorem indicat aberratlo-
nem ; ponitur enim |- :z: i. 097 ^ at crror fuit com-
miflus et pouendum ci*at 1.055 loco i. 091. liuius
modi errores fe ipfos produnt ; fimul autem aliorum
commiflbrum crrorum , qui nullo modo diuinari
poflunt , metum faciunt. Attamen ponamus verum
valorcm |- rr 1.055 fueritque pro decennnio 172 1

. . . 1730, 2 N =1:1 82031 ( loco numeri 92813
fummam proiis mafculae indicantis ponendus erat
numerus 92814.); fic prodit numerus tli?-9345i,
qui maxima probabilitatc gaudet pro numero prolis
mafculae indicando; forte autem cuenit vt numerus
ifl:e lantum eflet 92814: igitur aberratio forti de-
bita liic tuit =(^37 pro integra gcneratione 182031:
ponamus nunc gencrationem multo maiorem adhuc,
veluti 4000000; vidimus autem paflim aberrationes
pro eodem gradu probabiiitatis efle in rationc fup-
duplicata gencrationum ; erit igitur nunc aberratio
aeque probabilis z= (^37 x V *//3^<y° — 298^ : fed cfl
porro nunc ^-^1^:2053528, qui numerus indicat
valorcm prolis mafculac maxime probabilem, pofito
J-zi: 1.055 atque tunc oritur numerus omnium filio-
larum 1946472; fubtrahamus errorem 2986 forti
debitum a numero puellorum eundemque addamus
numero filiolarum , habebimus numeros 2050541
ct 1949458, pro vtroque fexu , qui eadem facihta-
te contingere poflunt pro generatione 4000000 at-
que numeri 92814 et 89217 contigerunt pro gcne-
ratione 182031: eft autem 1949458: 20505 i-ft

:zi looo :

AD SVCC RER. CONTING. APPLICATA. 27

criooo : 1052: Igitur d vel certa fit pofitiQ |-.
zzi.o$s, poterit tainen contingere \t "vel in gene-
ratione 4000000 infantum indicetur ~ z= i. 052 :
poteft porro error a forte oriundus eadem facilitate
contingere in exceflu tuncque fieret ratio ^rz 1.058.
Ergo obferuationes ducentorum annorum Londini in-
ftituendae , etiamfi fuerint accuratiffimae , nondum
fufficient ad toUendam haefitationem o. 006 in ftabi-
lienda lege naturali fiue ratioae |-. Euagationes
multo maiores efle poflunt in generationibus longc
ininoiibus , quod tabulae confirmant.

§. 2 2. Vnicum fuperaddam de limitibus me-

diis vel aeque probabilibus aberrationum forti debi-

carum ; fit fcilicet rurfus numerus -^ ih f^ > ^^^

~-~ exprimit numerum puellorum fecundum le-

gem naturae ct jjl abcrrationem ; vidim.us fore pro

2 N 1= 20000, jjL zz 47i et pro quocunque alio va-

lore |x — 47i V ^^ — o, 4725 V N^ igitur aequc

yrobabile erit vt fit |x maior vel minor quanpi

o, 4725 V N atque pro pluribus annis eiierjtus -for-

tuiti huic legi non male refpondere debept , fic vt

tpties proxime vnum contingat quam ajterun:!., nep

paruulae inae^ualitates valoris^ hanc proprictatern

cuertanf Confului itaque in tabula Londinenfi de-

cennium 1721 i73o atque pofito calculo fuc-

ceflum habui fere fupra expedationem. -En tabel-
lam Londinenfem calculis meis munitam , vbi co-
lumna quinta fupponit ^z: i. 055 vel ^^ = 55!! x^N;

D 2 columna

2S

DE MENSVRA SORTiS

columna nutem fcptima fupponit |-:izi»04.o atque»
adeo ^^ = ^^5^2^:

anni

1721
1722

1723
1724

1725
1726
1727
1728
1729

puellae

8940
9014
9392
94^8
9198
9203
901 1
8155
8324

1730] 85 12

puelli

9430
9325
9811
9902
^66 1
9505
924-1

8497
8736
i6Q6

uifia 2 N

mi^^

aberratio [jl^

18370

9431

+ I NK

18339

9414

+ 89

19203

9858

+ 47 NB.

19370

9944

+ 42 NB.

18759

9(530

- 31 NB.

1S808

9<^55

+ 50

18252

9370

+ 129

166^2

8548

+■ 51

i7o(5o

8758

+ 22 NB.

17118

8788

•f 182

if.-^H

aberratio [x

93<^5

-6s

9349

+ 24 NB.

9790

- 21 NB.

9875

- 27 NB.

95^3

-98 .

9588

- 17 NB.

9305

+ 54

8489

- 8NB.

8(597

- 39 NB.

8727

-h 121.

Paruula haec tabella iiitegram theoriam noftram ,
tam puram quam appropinquiitam ^ egrcgie confir'
mat. In columna fexta aberratio 47 figno NB. no^
tata eft, etiamfi limites definitos tantillum transgre-
diatur ^ in columna fexta figna affirmatiua , in co-
lumna odlaua figna negatiua praeualcnt , cum tamen
aberratio ad vtramque partem aequali facilitate oriri
poflit : id ipfum extraordinariae, quae fbrte cqntigitj
tribuo fortis energiae : His vero diutius non immO-
rabor contentus methodo cxpofita , qua fimul plura
alia argumenta affinia cum fucceffu tradari poterunt

SOLVTIO

S O L V T I O

PRO B L E M A T IS,.;

QVO DVO OyAERVNTVR NVMERI , qVO^
RVM PRODVCTVM TAM SVMMA , qvAM
DIFFERENTIA EORVM , SIVE AVCTVM,^
SIVE MINVTVM FIAT QVA.. ..ijj,.^^

, .^1.;,.:..:.!..: mniq.DRATVJVl. ^ . ' :ia:^

A u d o r e -^t,

L. E V L E R O.

T,

:nnu\oi!i2t iimydr

P. 1 i , , * ,

roblema hoc mihi ante complures annos Beroli-
ni a Centurione quodam Pruflico erat propoli-
tnm , quod fe , Lipfiae ab amico accepifle aiebat ;
neque vero fe neque iftum amicum folutionem \ilo
modo inuenire potuiffe. Quaerebat igitur ex me
\trura iioc Problema pofiibile iudicarem nec ne ?
Stadm quidem hoc problema mihi ob elegantiam
inirifice pJacebat et quum fiicile fummara , folutionis
diificiiltatem perfpexiflcm , ijd omininjO. dignum iusii-
caui in quo \ires meas exercerem. ' 'l^andem vero
poft phira tentamina fohitibnem fum' adeptus , quae
ita fe habebat : Pofitis duobus numeris quaefitis A
€t B, iflueiii A — -,^^f :=: '^i' et B =i ^f-p^— *

205

D 3 z. Via

90 SOLVTIO PROBLEMATIS

a, Via autem qua ad liaoc folutionem per-
veni , ita erat coraparata , vt nullo modo mihi li-
ceret , alias (olutiones inde eruere ^ ctiamfi nullus
dubitandi locus relinqueretur , quin hoc problema
innumerabiies admitteret folutiones, Nuper autem
cum in hoc idem argumentum incidiffem , cafu
prorfus fortuito methodus mihi fe obtulit , infinitas
folutiones hulus Problematis eliciendi. Quod quum
cafui prorfus fingulari fit acceptum referendum ,
quaeftio haec omnino digna milii eft vifa , quam
accuratius perfcrutarer. Quare primo quidem folu-
tionem generalem proponam, deinde vero artificium
illud , quod mihi infinitas folutiones fuppeditauit >
vberius euoluam.

Solutio Problematis generalis.

3. Si literae A et B denotent ambos nume-
Tos quaefitos , necefle efl:, vt fcquentes quatuor for-
iDjaJae quadrata efhciantur :

i. AB + A+B:=:D; U. AB+A-B — D;
IIL AB-A + BznD; IV. AB-A-BzzD.

Quum autem flatim pateat , hos numeros integros
cffe non pofTc , ob rationes mox perfpiciendas , eos
ita expreflbs aflTumo , vt fit A := ^. et B zz ^ , ita
Tt quatuor iequentes formulae ad quadrata rcducea-
dae habeantur :

L ^(2+jy+^)=D; IL £-(z^y^x)zzOi

4. Quod

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 3»

4. Qiiod fi ergo fador communis fuerit qudt
dratum , quatuor fequentcs formulas quadrata effiei
oportet , quas quidc n per ambiguitatem fignorum
ita duabus formulis comprehendere licet :

I ct II. z-^-y^x-O'^ IH ct IV. z^-yA^xziQ

Quare quum in genere fit aa + bb-A^zab-O
fimilique modo cci-ddA^^.cdzzD^ ftatuamus vt
fequitur:

z -^y "zz a a -^ b b '^ x z=i 2. a b

z— y zzc c ^ d d ; x zn n c d

Vt autem fiat labzztcdy ftatuatur vtrumque
z=:2pqrsz=ix , fumatarque azzpq;b:=:rs;czzpr; et
dzzqs eritque

z^yzzaa-^-bczppqq-^rrss et

z —y ■z.c c -^-d dzLpp r r -^* qq s s vnde colligitur

Z ZZ: (PJ>-»-") (^<7-4^rr) gf « --^ (pp^ss)iqq^rr) ^^^

vero erit

I. z+y+xzzia-^-bfzzzipqA-rs)*

II. z+y-x—^a-^bfzzipq—rs)*

III. z—y+xzzic+dY zzipr-^-qs)'

IV. z-y-xzzic-^dyzzzipr^qsy

5. Supereft igitur, vt etiam fadlor communis
^ quadratum reddatur , qui euolutus pracbet banc
formulam :

-5- zz (pf>->-^0('??-»-^^)

ar

^i SOLVTIO problematis ^

at vero in hoc efHciendo furnma confiftit diflicultas;
quodfi enim numerator in denominatorem ducatur ,
vt haec formula quAdratum fieri debeat :

2pqrs(pp-ss){qq -rr) {pp-^-ss^Cqq + rr) =zO

fmgulae litterae ad quinque dimcnfiones affurgunt ,
cuiusmodi quaeftiones in Analyfi Diophante'^ adhuc
non funt tradari foiitae ; ceterum inm olim poft
plura tcntamina reperi huic conditioni fatisfieri ,
fumendo p — 13, j- iz: 11, q — 16, et r zi: 1 1 , vti
periculum facienti mox patebit.

6, Quodfi autem quocunque modo huiusmodi
-valores idonei pro literis p^ q; r:, s fuerint inuenti ,
folutio problematis inde ita adftruitur ; ^vn»

Pofita formula !P.P-^^^)(q!L±j:iL — ^ , pri-
mo ambo numeri quaefiti , ita erunt exprelli

A ZH (fiP-4-s s) f^^-f-^^) gf ]? (PP-his)(qq^rr\

Arpqrs {pp — ss){iq — rr)

tum vero conditionibus problematis ita fatisfiet Vt fit>
I. y<:\B + A-hB)-^(pq+rs)
IL y{AB-{-A^B)=z^(pq-^rs)

ly. y(AB-A-B)— ^C/jr-^x).

Singnlaris Euolutio noftrae formulae, quae ad
quadratum eft reuocanda.

7. Quum omnis opera in Iiac fbrmula redu-
cenda fruftra confumatur , quamdiu in ea tot diuer-

fae

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 33

fae quantitates occurrunt , earumque fingulae ad tot
dinrjentiones aflfurgunt , ante omn ia elaborandum eft ,
vt diuerfis fadoribus denominatoris communes diui-
fores concilientur ; hunc in finem vfus fum fequen-
tibus pofitionibus ;

p + x=za(3^ /)-j=r6^; q-\-r:=zay; ttq-rzne^
ita vt fiatp-^J^^i; x-*-^^ q---y±J-^tt
r -zz "'^—-i^ ,• tum vefo noftra conditio principalis
poftulat, vt {it :

2 p ^2 r s. P 7 $" >J. a^ E- N^

{pp -hs s){qq^rr) M^ ^? g2

8. Secundo conftituatur ratio inter littcras r
et X, quae fit vt/:^, eritque f',g :: ay — €>] : aj3-£<^
fiue ^ (ct y — e •>!) rz:/(c« (3 — e<^) , vnde colligitur
ct (/(3 — g y) zi: e(/^ —g >j) , quocirca ponamus :

,a :==/<? — ^ "^) ; e ^/(3 — ^ V; tum vero habebitur.

a 2

9. Vt adhuc plures fadores in denominatore
communes reddamus 5 faciamus infuper q znh ^^
Vtide iiaec aequatio ertiergit : ii^]T$i ffnhff li^ir

2/:7j3^— /j3vj-!-/^y— a^yv) fiuc ^»^

(3(2Z7<^— /vj^zzy (/2^— ag^l) quam ob rem ponamus
^^f^—'2.gy\ et yzi2.h^'-fy[, Ex his ^utem va-
loribus porro coliigimus : • ^^''

aZZf^-^gy^- £~(ff'-2gh}i^-fg'^;''- : -^^C*

Tom.XV.Nou.Comm. E p+s

5^4 SOLVTIO PROBLEMATIS

p-s-^{{ff^zgh)^--fgyi)-Uf-^gh)^i:,-fg^'A
q-^-r- If^ -g -viX^ h>;-fy\)zz2fh^^-(ff-{-2hg)^y\hfg Y,y^
f-r — y\[(iff-2gh)^-fgyi)— ^' [ff-^^k^^-A-fg-m
hiiicque porro :

p:=:.{ff-gh)^ii-2fg^y\'+-ggy}^

szzgh^^ -fg ^ >! 4-^^ yiy\z=:g[h^^ -f^\ -^gy^-^

q^fh^-2gh^y\-hK[fK-2gy\\ .; ~ %^,:: '

rzzfh^^-fJ^y\-\-fgyiyi:=^fih^^-/^y\-{'g'yiyi].

lo. Denique ho6 valores ita dcterminemns ^
Tt numerus p diiiifor euadat formuke^^-i-rr, iam
yero intiehitur : U;i ifDnrjilDnoo obnuD?? .c

qmre quum fit p^ggy^y^-^fgyi^-f- {ff-gh)^^y
vt p fiat facftor illius formulae, ftatuatur alter fador
ffy^y^-^-t^yi-^-u^^ eritqtte produdurti : \

j?r^g^^-2/5V^+(/v/g/:^)>i>i^^+^(/^'^%rw--g^^)r

^tgg -2tfg -^ufg

: /' '"■•'*' -^tigg ' -^*-

"fbi primi termini iam- congruunt , fecundi vero
dant mo, tertii ^ffgb^^gghhzz^ugg^ vnde
« — iZL^ -4-4^7/?^ quarti porro praebent «=:^^^^±^^A^. j^

quinti vero tandcra dant uzzj^^. Necefle igi-
tur cft , vt hi tres valores ipfius u inter fe cow-
gruant, primus vero cum fecundo coUatus dat 3//^

. , -i-A-g

i .iUiliU J .UO¥'i . / /^u 'iU.> i

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 35

■•^^ghhz-ihff-Y-iighh^ feu iffh-^-^ighhnzo^ ideo-

que ff^ghzzo; at ibcundus tertio aequatus dat

f-ffgh-:Lgghh = o, fmQ (ff-^-ghXff-zgh^—Oy

vtrique ergo conditioni iatisfit yno eodemque \alo-

re h~-ll,
g

II. Quoniam igitur inuenimus ^ni— ^ reli-
.<iUi valores (equenti modo exprimentur :

Vj: p—^ff^^-^^^fg^-A-^-gg-A-A

q^^U,^if^^2g',)^^ff^y^^f.^^

r — -^-^'^^-ff^yi'^fg'Ay\
'''-y^-ff^^-fg^-A^ggy^ '- «^^^^

vbi notatu dignum euenit , vt in valoribus p et >
produda /^ et gy[\ taraquam fimplices quantitates
occurrant , quod quidem in iitteris q et r non ac-
cidit. Verum quia totum negotium , tantum in
ratione q ^d r verlatur , lii ambo valores multipli-
centur per —1,, vt {it qzziff^^-ifg^y] tt rziff^ 4
'■^fS^y\-'SSyi'A'i l^ii^ttc ob rem vi formulas noftras
in compendium redigamus atquc adeo ad duas quan-
titates reiiocemus , Ihtuamus /<^ — ;/; et ^'vi=:«, quo
;fad:o notoe quatuor literae ita fe liabebunt : v

p—2mm—2mn^nn'^ qzzmm— zmn—mim—s.n)
szz—mm — m n^nn; rzz.mm^mn — nn.

11. Quoniam vero res eodem redit fiue quac-
piam litera pofitiue , fiue ncgatiue accipiatur , po-

namus

p-2.

35 SOLVTIO PROBLEMATIS

p:=::2mm'-zmn'^nn; q-izmm-' 2.mnzzm{m-'2n)
s zzrzzmm-^-mn — nn i vnde fit
p-^- s zz ^mm —mnzz m^^^m—n)
p-^szzmm—%mn-^znnzz{m — n)(m—^n)
q^r-zz ^mm — mn—nniz[m'-n)[2.7n^n)
q — rcZ'-^mn-\-nn-z=.-'n[:^m'-n),

Hic fignum negationis in valore q—r^ nihil planc

turbat , tantum enim opus eft litteras ^ et r inter

fe permutari , ita vt fit

pzz^mm — ^mn-^-nn; qzzmm-^mn—nn
szzmm -\- m n —nn-^ rzzmm — ^mnzz.mim^zn)

vnde fit
p-^-szz:^ mm^mnzzm{^ m^n)
p — szr m m — ^^mn-^- innzzim — n^^m-^^n)
q-^-rzzimm-^mn — nnzi {2m + n){m^n)
q^rzz^mn — nn zzn{:^m — n)

quibus valoribus in fequenti calculo vtemur.

13. His conftiiutis valoribus, pro numeratore
noftme fradionis habebimus :

pp -\- s s zz s m* -^ 6 m^ n -{- ^7 m m nn " 6 m n' -{- 2. n^ (eu
pp^s sz^{mm-\-nn)( smm— 6mn-\-2nn) et
qq-\-rr—2m^ — 27n n-\-:^mmnn—2mn-{n\ fiue
qq -\-rrzr{mm-\-nn]){2mm — zmn^nn)
■ynde fradio ncftra aJ quadratum reducenda erit:

^ M (s »71 -^ — 6 -n n -i- ■! n n). [mm -i- n n)-

N N 2 71(2 m-H?i,. rn'.{m — nf (wi — z n}'^ {i m — (iy-[mm -t- nm -^ nn)^

h nc-

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 3T
hincque colligimus :

If -,— mm -4- 71 n

mm -4-71« ysmm — 6mTt-»-2Hn.

N m{m,-^n){m — zn)[ini. — n)(mm^mn — nn)* zJiCzm-f-n) ♦

totum ergo negotium huc cft redudum, vt formula
smm-6mn^,nn quaaratum efficiatur , id quod in^

finitis modis praeftari poflTe manifeQum eft , flatim
atque vnicus cafus innotuerit.

14. Quo haec forma tradlabilior rcddatur, po-
namus 2. m — n zr. l ^ \t fit n z=l 2 m — l et formula
ad quadratum reducenda ent :
mm — 2 771] -t-i]-/ vbi produdum ex numeratore ia

(4 m - 2 Z ) ( + /n — l) ^ *

denominatorem euolutum quippe quod etiam qua-
dratum effe debet , perducit ad hanc conditionein
16 m"^ — ^^m^ l -^ S ^ m m II — 2% m f -i- ^ t — q
cu'Ub quum ambo termini extremi iam fint quadrati
per methodos fatis cognitas facile efl innumerabiles
folutiones inuefligare; quem in finem ponamusjzi^r
vt habeamus hanc fbrmulam 16. z'^ — ^^. z^+sSzz
— 28. s-f 4ir.a j quae ponendo z zizj — 2 ; tranfit
in hanc :

i<J/ — 172 y' 4- "J^^yy — 1300/ + 900 c=: D vbi

iterum ambo cxtremi termini funt quadrata.

15. Ad hoc negotium expcdiendum, praeflabit
refolutionem noilrae aequatioais fiue prioris , fme
pofterioris in gLuere docere. Sit igitur propofita
haec aequatio generalis :

aoLZ^^ — i^z^^yzz — i^z^eeiziD^

E 3 atque

SS SOLVTIO PROBLEMATIS A aA

atque pro idoneis Yaloribus ipfius z fequentes qua-
tuor foriTUJlae per methodos conruetas reperiuntvir.

T ^ 2 g ( (3 £ ->-«y )

|T ^ — ; oe£' ^ 6 d — 7£.g - ■

^ ^ ^^- _^ ly £ e — J 6 ; ( 2 a £^ — 7 £ fc -f- 6" 6" )

vbi quiim litteirae a et e pro lubitu tam pofitlue
quam negatiue accipi queant, binae priores formute
^minos ^alores fuppeditant. ./''^^

i5. Quemadmodum autem innumerabileshuius
aequationis folutiones inueniri, oporteat , fequenti
moio calculus inftituatur. Sit / valor quicunque
per praecedcntes formulas inuentus , ita Yt noflra
exprelllo aa.z'-2^Z'\-yzz— i^^s-f-ee,

pofito zzzif fiat quadratum , fitque propterea

nunc igitur ponatur z zz x •+-/ et noftra aequatio
induet hanc formam :

ft a A"* 4- 4 a ct a;' 4- ^ a ct/"/ 4-4aa/' 4-^g~D
— 2 j3 -<^(3/ XX - 6 ^ff X
4- y +2 y/

^ 2 (5^

quae aequatio breultatis gratia ita rcpraefentetur ;
<xax''— zbx^-^-cxx^-idx + ee^o

ita vt fit aazzaa.', bzz^— 2,aa'^ c zziy — ^ ^f

4- <5 a a//, dzz.^ - y /+ 3 P// - 2 a a/'j nc dc-

* niquc

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 39

nique eezrgg, vbi fumi poteft fl!=iH-fi( et ezzA-g,
Tum vcro quatuor noui valores pro z inueniuutur
fequentes ;

I. S ~ /■ 4- -'a(f>e^ad)

ae^ -i-d d — cf g

II. zzzf^ _,

JU^ ^ — /-4- Cz^^^H-gcrc — Z>&)f;a»f — aae^hh)
' ■^ 4aQ(2C'd — aahc-^b*)

ly ^ — f— 1— ^ ee{ Th e — cdee -^d^)

-^ ' ^2a e^ -i~cee — ddji ^a e'^ —-cee-i-dd)

quoniam igitur quemcunque valorem pro z hoc
niodo inuentiim afTumere licet , hinc numerus foJu-
tiouum m infinitum augeri poterit.

17. Poftquam autem pro z valor quicunque
jdoneus fuerit inuentus, qui fit ^f^ij^, ob szi^z:^—^,
tiabebimus mzzb et nzzzb—ky ex quibus dnobus
Tiameris 7n et n reliquae quantitates fequenti fi.odo
determinantur :

pTziimm—imn-\-nn\ qrzmm-\-mn—nn
szzmm-\-mn^nn '^ rzzmm "imnzzmim-^nn] ^
vbi notafle iuuabit effe :

pp^ss::z[mm-\-nn){smm — 6mn-\-!inn) et
qq-^-rrzz^mm + nn^^iimm— ^mn-^-nn^-zi^mm-^-nn^p^
fltque hinc dcnique ambo noftri numeri quaefiti erunt

A ( m r\ -f. n ■n)'^ { STn -m — emn -f- ^nn) ^^

4 771 ( m - 2 n ) ( rn m -t- m n — n n)-
T> {m.m -^ n ny- [ 5 vi vi — 6 m n ->- 2 n 7i ) ( ; 77t tti - 2 tn w 4- n n)

"■ (3 TTl 71 )■* ( 771 71 )' 771 n ( 771 — - 2 T; J ( 2 771 -}- 7;}

18. Vt autem etiam innotefcat, quemadmodum
Jiuiusmodi valores iuuenti ratisfaciaut, exbiuisxiumeris

idoneis

40 SOLVTIO PROBLEMATIS

idoneis m et n prodeat formula radicalis yi^-L^^^Miiii^-fv

vnde coiligitur g = — ^ -, — {f^jtn)^ .

tum vero quoniam ibpra litteras ^ et r permuta-
vimus, quaternae formulae propofitae, fequenti modo ad
quadrata reducentur

I. y(AB + A+B)=5(pr+?.)=e ^"^i^— ,

II. y(AB + A-B)=S(pr-tfr)=!J. ("'■+■;'■)>'"'- -""^"■t-i?i!SL-ig

^ ^N^t^'v m(m-n)(Tn^2f7Xim-nXmm-t-m7;-n7i)

IV.y(AB-A^B)=|(p^-rx):z^ i^^^^

Aliae transformationes formulae refoluendae.

rp. Quum tota quaeftio Inic fit perduda, vt
ifta formula (13} ^^^--^^-^UIJL fiue Li^lr' pL±L^.^

ad quadratum reuocetur , ponamus 2 m — n — t et
m — ?i — Uy ita \t fit m ^ t — uti n zr t -- 2 u, hinc-
que 2 /» + « n 3 ^ — 4 « atque nunc quadratum effe
debeat ,- — ^^^J^ --d, fuie , '-L;^;'^ --□

(2 r — + u ) (j t — + u) ' (41* — 2f)( + « — 3t)

circa quam formulam obferuo , numeratorem cum

denominatore alios fadores communes habcre non
poflfe practer 2 ct 5. Hinc igitur fequitur numera-
torem 1 1 ^ uu vel ipfum quadratum efle debere
vel duplum, vel quintuplum vel decuphim quadra-
tum. Vnde quatuor cafus refukant , quos fingulos
fequenti modo cuohiamus.

20. Denotent htterae a tt b binos cathetos
trianguli redanguli numerici cuius , hypothenufa fit
z= c , ita vt fit a a -^- b b zz c f y nunc igitur pro

primo

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 4t

primo cafii faciamiis tt-^uurzzcc, quod fit fu»
mendo t 'izz a et u :zz b y atque hoc cafu necefle eft,
Vt fiat

{^b — 2 a)( ^b - :i a)zza

Pro 11'^^ Cafu faciamus 1 1 -{- u uz: 2 c c ^ quod
£t fumendo t zz a — b et uzn a ^b y atque nunc
neceffe eft -vt fit ( c + 3 ^ ) ( ^r + 7 ^ ) — °-

Pro Iir'''* Cafti faciamus tt-\-uuzr: scc ^ quod
fit fumendo tzz^a-^-^bctwzz^a^b^ tum enim
t)b 4Z< — 2/ = 4^ — S^et 4« — 3^=5^ — io^#
formuJa ad quadratum reducenda erit {6 a— % b)
(a— 2 b)zzD^ hoccft (4^—2 tf)(4^ — 3 «)— P,
quae cum Cafu 1""" perfe(Se congruit,

Pro Caiu denique IV^'', faciamus n + ««:=io«^^>
quod fit fumendo t m :^ a ^ b et uzz: a — ^ h f
tum enim ob 4?^— 2/=-— 14^ — 2^) et 4«- 3^
=:— 5fl— 15^, formula ad quadratum reducenda
crit (3^-4-fl!)(7^+«):=iD, prorfus vti in cafu
fetundo. Verum hic notandum eft , cafum tertium
et quartum adhuc alio modo expediri pofle, Si
cnim pro tertio ponamus tzza-^-^b et uzzb^za ^
ob 4« — 2/z:— 10. fl! et 4^^— 3^r— 2^ — ii^fl
formula ad quadratum reducenda erit 2c?(iitf-42^)zD.

Pro Cafu quarto autem, fi ponamus tz^ci+h
ct uzzz^^b-ay ob ^u — 2tzziob— lOa et 4«— 3^
zzz^b— 13. flf, formula ad quadratum reducend? cft
(fl-^)(i3^ — 9^):ziD. Verum plerumque quo:
ties his duobus cafibus fatisfieri poteft toties numeri
Tom.XV.Nou.Comm, F t et

4-s SOLVTIO PROPLEMATIS

$ ct u communi fadore 5 praediti reperiuntur , idea*
que ad nouas folutiones non perducunt.

21. His igitur duobus calibus poftremis reli-
d:is , circa quatuor prae;^edentes omnino memoratu
dignum eft, quod primus et tertius, .tum vero et am
fecundus et quartus ad eandem formulam perduxerit^
quare pro primo et tertio , fi numeri a tt b ita
fuerint comparati , \t formula (4.^- 1 a){4^ b — 3^)
iidt quadratum , tum duplici modo inde idonei Ta~
lores pro t tt u obtinentur ; priori enim modo ha*
bebimus t^a et u — b^ altero vero modo/ = fl+2^
et « z= 2 tf — ^. Simili modo pro cafibus lecundo
et quarto , fi fuerit formula [ :^ b -^ a){'^ b -^- a )
quadratum» tum etiam duo cafus oriuntur^ alter tzza-b
et u^a^b^ ulter vero ttziSfl+^ et ur^a—^b^
Operae igitur pretium erit has geminas refolutiones
accuratius exponere..

I. Si fuerit [A^h — ^ a) { 4^b — ^ a^-zz D,
exiftente a a -\^b b :izc c,

aa. Hinc igitur primo ftatim deducimus fradich'

nem fupra (18) introdu^tam ^ — ,— l ttt ^ i.

deinde pro priori refolutione habebimus

# ~ /z ; w — fl — ^

uz::^ b ', n zz a — 2, b

pzi^aa — iLab-^-^bb ; rzz{a—b)(!ib^a)

q-zraa— a b—bb ; sz.aa — ab — bb

J> a a — 206 -4-2& b . q aa — ab — bb

s a a — a b — b 6 ' ' r (a— -6j ( 36 — a)

mm-^nnzniiaa — Cab — sbk

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 43

pro altera vero folutione

t :=za -\- 2 b '^ ??t r^ :i b — a ;

u— 2 a " b '^ n::z/^b — ^a;

p—siaa— 2ab-{-2bb) ; rzr— 5(5 — ^)(3^ — a)

qz:^— S {aa — ab — bb) ; szz:— s[^^ — ^h — bb)

p a a — 2 a fe— f- ^_^ i> . ^ ct

— ab-^bi

s aa — ah — -bb ' r {^a — b){zb — a)

vnde manifcftum eft has duas folutiones a fe inui-
cem non difFcrre.

23. Speciales nutem folutiones , quae ex hac
formula primo intuitu deriuantur funt fequentes

a

o

4
12

quarum binae priores fcopo noftro non conueniunt ,
tertia vero idoneam praebet folutionem atque adeo
ab illa, quam olim iam inueni diuerfam ^ quum enim
fit pp-}-xj=z 8957— 53. 1(^9 et ^7-f-mi3922i
=^ 53. 74 crunt ambo quaefiti numeri

b

m

n

s

r

I

— I

— 2

T

I
3

3

I

— 2

2
I

I

T

5

7

2

7*
S9

59
21

A

B

16 . sj^.r*

l6r. 53^

4.74.59 .21 4.21.59"'

I (5p. 7*. >^^ — ■ Igg. ;7. 5$'

16.

:. 16. 3. 5-. 7*19-

5-. 7. 19'

24. Confiderem.us autem attentlus hanc for-
mulam : (4^— 2^)(4^>-3flf):^n et quia numeri a
et ^, funt catheti trianguli redanguli , atque eui-
dens eft, pro a fumi debere parem pro b vero im-
parem, ftatuamus f?zi; 2 ^^ et biizdd—ee^ \t fit hy-

F 2 pothenufa

44. SOLVTIO PROBLEMATIS

pothenufa czzdd-^-e e, tum vero erit ^b-ta
zz^idd—de-ee ) et ^b-:iazz:^dd—6de— ^ee ^
quorum produdlum quum quadratum efiTe debeat ,
neceffe eft , vt vtriusque quadrans fiat quadratum ,
hoc eft

r. dd- d/—eezzn

ir. dd—lde — eez:zO^

vbi quum numerorurn d ct e alter debeat efle par ^
alter impar , etiam pofterior numeris integris con-
(lat. Quod autem ad priorem attinet , quum fit
dd— de — ee-(d— \e^ — 5 f , ponamus d—^e-rr^r^ss
€t \ezi:ir s ^ tum enim fiet dd—de—€e-zz.{rr—sss)'\
at vero habebimus ezz.^rs et ^— rr+ £ rx-f-s xx
hincque dd—€ezr.r'''\-\rs—irrss-\-'^ors^^^S'^'^
ct de-zz^r s^^^rr s s-\-'2.ofs' ^ vnde altera conditio
poftulat : r*— 2r'x— i^rrx/— iorx'4- 25/-i:D.

^5. StatUclmus hic ^:i:;2, vt habeamus hanc
cormulam 2;^— 2 -c' — i^^;^— lo ^-4-25— ::d , qua«
fum formula fnpra data (15) comparata praebet :
^ — -V^i-^ (3=i; y = — 14; ^—5; s-z:^;^ 5^
\nde pro z quatuor fequentes exprelliones elicimus

To ^ 2 a (£ - 5. a ) 2 g f£ — s q) — 2 f a e — s /

' ■ 2a^£+-iH-' + ' " 2 a' £ -H I s 2 a £ H- 1 5

hinc vel ;2 cz o ^ vel s; :ii — 4

TT ^ _ 50. a£-h375 _ i£i_^iij+LZ£ hincque

2 {s a 6 — 2 5) 2 (a £ — 5) ^

vel z n: cvjj vel 5; ~= — |

1 1 To ^ _;_ (2 g £ -t^ t^ — i)f2 gg 4- I ♦ -4-i ) «^ 1*^' '^

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 45

t V° '>' 100 (i ;S0 -i" 70. 2 5 -f- 5. is)

(so.ae— 15. 25)(5c.a6-{- 15. 2s)
a5-f2a e-*- isj(2 a£ — is) ~°

Ex valore s — — 4 oriuntur valorcs rzn^,- j^rr-i;
i^— 13; ^in— 16 hincque azz^i6 et i? — 87, vnde
oritur f- = ^?^|5, et ;?izi§y^; at ex valore z-^l^
habemus r- $ '^ s zz: — ^-^ d zz 6 $ -^ ^ zn — 80 , qui
per quinarium ad terminos minores rcdudi praebent
vt ante, ^-13 et e zz — 16 ^ vbi notalTe iuuabit ex
his valoribus a et b praegrandes numeros pro p,
^, r, X efle prodituros.

H6. At circa binas illas formulas notafTe 'iu-
vabit 5 vtramque etiam quadrato negatiuo aequari
polfe , verum tum folutio eadem exfurgit, nifi quod
valores pro a ct b fiant negatiui. Ceterum hic
notari conuenit , \ltimae aequationi etiam valorem
zz:z — ^ fatisfacere; etiamfi eum non per methodum
confuetam detexcrimus , inde autem fit r z:: 3 et
j' ~ -- I ; hincque porro d ■-- 2 et ^ 11: — 3 ,- vnde
fit <? =z — 1 2 et ^ zz: — 5 , quem cafum iam fupra
cuoluimus.

//. Si fuent C3 6-f-fl)(7^4-«) — 0.
i7. Hic flatim apparet fumi debere ^in^i— ^^
et ^— 2</^, vt fiat c-:iidd-\-ee tum ergo fequentes
duae formulae quadrata efle debent dd-\-6 de — ee-u
ct dd^i\de-ee~n, Qiium prior fit-:(^4-3^)'
— 10 ^^5 fi ponamus ^-^jzzio, ac fiatuamus d-^-^e
^^rr-\-yiSS et ezr.nrs fiet' illa formula

F 3 =«^

46

SOLVTIO PROBLEMATIS

::z{^^r r - ^/\s s)\ tiim aiitem erit d^^rr-6rs
H- >] j- i" et e zzi 2 r s; hinc ergo pro nlteni formuln,
quae ell {d'+-yef - 50. ee, enz d--\-^ ezz^rr^Srs^
^\- y] s s ideoque haec formula abit in ^ ^ r*
4- i<^ <^?^' j' — 116 r r s s-^- 16 y\ r s^'+- yi-vi s^zr. D,
\nde per methodum fupra indicatam infinitae fohi-
tiones inueniri pofliint ^ vbi notaflc iuuabit elTe vcl
^ zz 1 et "vi n 10, vel ^ z= 2 et -v) zz 5.

28. Qiuim autem idonei valores pro ^ et ^
fucrint inucnti , duplici modo inde Htterae t tt u
definiri poterunt. Priore modo fit t zz: a — b et
uzr.a^b, hinc wzr^ — Mrr-a^ et «z= — ^; — 3^»,
ideoque p:^mm^im — nyzi:aa+^ab-{-sbb:^ ^zrx
zizmm + n^ui — n^zz — aa-^ab + bb et rzz:fn{m-z.n)
n: — 4^(«-H2^) ita vt fit

q ,. — 0 a -4- ♦ 0 & — ^h

p . a a -f. 2 g b -4- s b b .

j ■ aa-^^ab — bb '

et 2_ —

r

+ 6(0-^26)

Pofteriore vero modo fit tz^z^a-^-b et wzia — ^bj
vnde W"2^-}-4^ et wzi:^-l-7^> hincque porro
ob m — n-zza — 3^, fit pzz.s{aci-\-2ab-^ sbb)

qzzs — siaa^^ab — bb) et riz: 5. 4/^(^-4- 2^)

ficque patet hunc pof^eriorem cafum ad priorem re-
dire.

29. Simpliciores autem folutiones , quas facili
wegotiu diuinando ehcere licet funt fequentes :

a

^

m

n

s

2_

r

I

0

— 0

— I

1
T

I
3

- 3

4

- 8

-9

I 3
1 I

1 1

T!7

-35

T2

-24

— I

1 lOS

799

59P

Hic

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 47

Hic fecundus cafus pracbet illam ipfam rolutioiiem ,
.quarn iam olim dederam. His autcm dunbus for-
tnulis penradatis adiungamus infuper biaas poftre-
mas iupra (20) inuentas.

///. Si fiierit ^a^iia-^- 2b)zzu.
30, Cafus rimpliciores , qui ftatim fe offeruut

funt

a

o
4-

m

n

7+

S9

3

50

I I, I o, o

3 15, 3 : 20, 4

16 I- 63 — 15,-3 I 80, i6
\bi ex datis a tt b ^ fit t — a-\-ib et uz=b—^a
hincque, vt ante m-t — u-^a-^-b et «~r— 2«— 5^.
Hae folutiones autem iam ia fuperioribus conti-
ncntur.

IF, Si fuerit (a ~ ^) ( 1 3 flf — 9 J) z= D .

31. Inuentis idoneis valoribus pro« et ^, erit
'~3«+^ et uz^^b — ay hinc //2-4«- 2^- 2 (2 ^-i»)
ttnzz s {a — b) , atque ob m^ n— ^b — a ^ atque
w — 2«Z2(4Z»— 3^?) habebimus t.--^'7aa — z,ab-^-izhb

«t ?- = :-^«~;ife-r|-«- Soludonesautem fimplido-
ires hinc oriuudae funt

a

b

m

«

^

^

s

r

0

I

— 2

- 5

13
II

1 1
15

4

+ 3

10, 2

5,1

I

T

I

\bi

4S SCLVTIO FROBLEMATrS

■\'bi memoiatii dignnm enenit , quod (latim prifr.um
tentamen qno a zz c ct b zz i , praebeat foliuionem
inm dudum inuentam.

32. Q!.iod fi pro vlteriore huius formulae
euolutione ponamus a zzl 2 d e et b ~d d — e e^ fiet
fl— bzzee-\-2de — dd fiue mutandis fignis , vt
{b — a){^ b — i:i a)iz □, erit b ^ a — d d — 'ide — ee
et gb—i^^a— ^dd— 26. de — ^ee^ reddamus
nunc priorem quadratum , quae quum fit {d — ef
— 2. e e, ftatuamus d—ezzrr^zss et e zz 2. rsy
tum enim fiet dd—^.de — ee — ^rr— 2. s sf^ tum
vero alter ftdor ob d d— e e zz r*+ 4/^4- % r r ss
-f 8 r i'-f- 4 /, erit 9 /—16 r'j — 68rr^j-32ri'
H- 3<^. /? "vbi cafus primo intuitu fe offerentes lunt
\\ rzz I , szzo, 2°. r:::;:^,^::!:!, 3''°. r ::z i
Ct jzz— I, 4^ rzz2 et j — — ij s'''. r-i et sz:z,

33. Pro horum cafuum primo habemus dzi
Ct ^ mo; hinc a z= o et bzzz i ^ qui iam occurrit ,
pro fecundo habemus d iz 2 ct e zz o ^ hinc a zz o
ct ^ n I , qui a praecedente non differt. At pro
tertio habemus dzzi et ezz—z^ hinc fl = — 4 et
^ ir — 3 , qui fupra iam eft tradlatus , pro quarto
habemus dzz 2 et ^^ — 4 fiue d zzz 1 et ^ zn — 2,
vnde fit « ni — 4 et ^ zr — 3 vt praecedens , pro
quinto denique habemus <^— 13 et ^— 4 , hinc
fl— 104 et ^ =:: 153 , ex quibus numeri praegran-
des pro quaefitis A et B refultant , quibus non im-
moramur.

34-

AD ANALYS. DIOPH. PERTINENTIS. 49

34, Imprimis autem quoqiie notatu dignus efl:
cafus , quo inuenimus ^ rr | et 1. zr: 4, fiue '^ — ^
vnde deducuntur numeri quaefiti A — || et B ^ \i
ita vt air,bo numeri quaefiti hoc cafu fiant aequales,
quod quidem fcopo problematis minus conuenit. Si
enim numeri aequaks defiderentur ob eorum difFe-
rentiam euanelcentem quaeliio buc rediret , vt inue-
niatur numerus A , ita vt tam A A 4- 2 A , quam
A A — 2 A fiat quadratum , quod quidem eft facil-
limum , ftatuatur enim A A zr: ^^— et 2 A —^ ,

fiet vtique V (A Ah-2 A) z= «_;^;"/ et y(A A-Ta)
rz:''-^-^,- verum nunc requiritur vt aa-^bb fit
quadratum , quem in finem ponamus , a— pp — qq
et b~2pq, vt fiat A—tPj^JH , eft vero etiam
A-iMitP-=L^ YudQ fitn{pp + qq)zz2pq(pp-~^q)
tt nziz i^^--=li.) , ita vt numerus quaefitus in ge-
nere fit A — -i£^£^ll^ , tales ergo numeri funt
fequentes: A-\U'2\A-^^ S''. A=^^^ 4°. Az:^,|| etc.

35. Pro folutionibus autem ad quaeflionem
propofitam accommodatis , duac in numeris non ni-
mis magnis notatu dignae videntur , quarum prior
efl: ea ipdi , quam iam dudum inueni , qua erat
A — ^^^ et B~" ^' '^" fiue A — '=^" t-t •r — +2^5

vnde V(AB-|-A + B)zr ii-:^iiz
V(AB-|-A + B)z=:-li£^

^ z 16. 3. ir

V(AB-A-HB)rz:-^
y(AB-A-B)z=:^.
Tom.XV.Nou.Comm, " G pro

50 SOLVT. PROBLEM. AD ANALYS,

Pro altera vero folutione orta ex valoribus •.
i^ — JJ et i. ini If obtinemus :

A z^ iiliiil^ et B=z 'J-

57. 5 5

(. 21. 5i,* I6. 3. 5". 7. 19^

Tnde y(AB + A4-B)zi:Hi_"

8. 3. 7

y( A B-f- A-B) — -ii^iiL-
yCAB-A + B)i=-ii^'l-

^ ' ' 8. 3. 7. 59

y ( AB - A-B ) n: i^;^-:-!^.

OBSER-

OBSERVATIONES

CIRCA RADICES AEqVATlONVM.

A u c t o r e
L. E F L E R O.

Si habcntur aequatio algebraica cuiusuis gradus ad
rationalitatem perdudla :

quam etiam hac forma exhibere licet

X, ' xr x^- X* * xs. *

ac ponatur

/x zz^ fummae omnium radicum
fx' zi: (ummae quadratorum earundem radicum
/x^ zz: fummae cuborum
/x*ziz fummae biquadratorum
et ita porro ;

notum eft has fummas ita a fe inuicem et a litte-
ris A, B, C, D, E etc, pendere vt fit :

fx = A

fx"" :z: A fx -{- 2B
fx" — Afx + B/x -f- 3 C
fx' zz Afx" + B//" + C/Jkr -1- 4 D
fx' zz Afx" ^ Bfx + C// 4- Dfx 4- 5 E
etc.

G s II.

55 OBSER VATIONES

II.

Ex hac ergo progreffioiiis lege fingulae hsife
fummae poteftatum ita fe habebunt euolutae:

fxzzA'^:i AB + 3 C

/.r'— A' + 4 A' B H- 4 A C-I-4I3

iB^ '^

/;t'z= A'h- 5A'BH-5 A^Ch- 5 A D+5E

^ 5AB'-4- 5BC

-hpA^B^-fisABC + ^^BD
+ 2B' +3CC

/a;'-A'+7A^B+ 7A*C+ 7A'D+ 7A^E+7AF+7Cl
+ i4A'B'+2 1 A'BC+i +AB O4-7BE
4- 7AB'+ 7 AC'+7CD
+ 7B^C

vlterius has formas non Conthutaiidas efle arbitror ,
cum harum contemplatio fufhciat , ad legem qua
iingulae formantur explorandam.

111.

Vt ordinem quo in his formis fingulae litte-
rae A, B, C, D, E etc. inter fe componuntur , fa-
cilius perfpiciamus , litterae A tribuamus \nam di-
menfioncm , litterae B duas , litterae C trcs , htte-

rae

CIRCA RADICES AEqVATIONVM. 53

rae D quiituor et ita porro , atque mnnifeftum eft
in qualibet forma nonnifi eiusmodi occurrere ter-
minos in quibus dimenfionum numerus fit expo-
nenti poteftatum radicum , quarum fumma exhibe-
tur , aequalis. Ita in forma f x^ finguli termini
continent feptem dimenfiones, atque adeo omaies ter-
mini per mutuam combinationem feptem di-
menfiones adimplentes in ea reperiuntur, quod etiam
de omnibus form.is eft tenendum. Imprimis autem
obferuari conuenit , alias litterarum A, B, C, D etc.
poteftates in has formas non ingredi , nifi quarnm
exponentes fint numeri integri et pofitiui, vnde pro
quauis poteftate fummatoria omnes termini eam con-
liituentes ex litterarum A,B, C, D etc. combinatione
aflagnantur, quorum quidem numerus femper eft fi-
iiitus etiamfi ipfa aequatio propofita ia infinitum
excurrat.

IV.

Cum igitur pro quauis potef^ate ipfi termini ^
quatenus ex litteris A, B, C, D etc. conflantur ,
nuilani inuoluant difficultatem , totum negotium ad
\ncias numericas quibus finguii termini funt affedi,
rcducitur. Ad indolem autem harum vnciarum ex-
plorandam 5 fepofita prima littera.A terminos fe*
cundum reliquas litteras B, C, D, E etc. ita in or-
dines difponi conueniet, vt in primo harum littera-
rum nulla , in fecundo ordine finguhie tantum , in
tertio Yero binae , in quarto ternae et ita porro re*
pcriantur , hoc modo :

G 3 fxzik

54-

OBSERVx\TlONES

y.v

— k

' + 2B

Jx

-A'

fx'

= A'

-I-3AB
-+-3C

fx*

=zK'

H-4-A"-B
+ 4AC
-H + D

-t-

2BB

Jx' —

A'+ 5A B4- 5ABB
+ 5A'C + 5BC
+ 5A'D

4- 5 E

f^^'^

A 4-^A'B4-9A'BB^-2B'
-4-6A'C+ 12ABC
+ <5A'D+ 6BD

6;ae4- 3CC

6¥

/>'^=A' +

A'4-7A B+14A BB-4-7AB'
.+-7AT-i-2iA'BC4-7B"C
-+-7A'D + i4ABD
7A'E-f- 7ACC
7AF 4- 7BE
7G -+- 7CD

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. 5 5

/.v'=:iA'+SA'B4-2oA'BB-f-i6A^B'-4-2B'
^8A'C4-3 2A'BC-H24AB'C
H-8 A'D-h24.A'BD4- 8B'D
H-8A'E-f-i2A'CCH- SBC'
-H8A'F 4- i5ABE
-f 8 AG-M<SACD
-i-S H -4- 8B F
+ 8 C E
4DD.

V.

In cuiusque formae ordine primo et fecundo
nulla plane occurrit difficultas , nullumque eft dii-
bium , quin pro forma f x"^ fit primus terminus A%
fccundus Ycro ordo ex liis conftet terminis

«A"-^B-i-«A^^'C+'«A"-^D+wA"-^E>f-etc.

fequentium vero ordinum ratio minus eft Tnanifefta.
Hanc autem circumftantiam perpendentes , quod ex-
ponens n in omnes quoque fequentes vncias tanquani
fidor ingrediatur : deinde etiam qnod quaelibet lit-
terarum B , C , D , E etc. combinationes , fimul
permutationum numerum inuoluant, prouti in poly-
nomii poteflatibus occurrunt ^ fi in fingulis terminis
hos binos fadores feorfim exhibeamus leui adhibita
attentione deprehendemus , in genere has formas ita
^xprefTum iri.

Ord9

S6 OBSER V ATIO NES

Ordo I, Ordo IL Ordo IIL

+«A"-'C+"-^^^A'^-'2BC
+;2A"~*D+"ifii2A'^-^(2BD-fCC)
+ « A" ' ^ E + "-i^^ A ^ - ^ ( 2 B E -f 2 C D ;

' 1.2 ^

4- « A'^-' F4-"ii?^A"- •( 2 B F + 2C E4-DD)
+ «A^-^G+^4;^-i^A'^-^(2BG-i-2CF+2DE)
etc. etc.

Ordo IV.

, n(n-4)(n-5)^n-6 j^»

I. 2. 3.

4-"-^^^=^^A^-«(3B'D+3BCM
4-"-^^^^^LV-^(3B'E + 5BCD + C')
, nrn-o(i^) A"-"^(3BT + 5BCE+ 3BDD+ 3 CCD

I. 2» 3 ^^

etc.
Ordo V.

'\ B(n — s)(it — 6)( Tt — 7) A n — 8 "R*

I. 2. 3. 4
, n(n— 6 )(n-7](n- s) a n — 5 4. R^ C

"• J. 2. J. 4» ^

, n(n-7)(n-8)(n-p)^n,,e/^-p^^n_|,^7^--p^>>

I. 2. 3. +

^n(n-»)(n-9)(n-^)^n-r./^J3^g^j^]3'(^p_^^3^s^

I . .2 o. 4

^n(n-.p)(n-,o)(n-n)^n-T2^^|3^p^^^j^^(;^g^^]j--]3'

+ i2BC'D+C')
etc.

1. 2.

Or^iO

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. 57
Ordo VI.

n{n-6)[n~7){n~iYn -9) a n - 10 ^^
*t" I. 2. 3. 4. 5

, Ti Cn.-7XB~0(n-9Xn- 10) \n - ' ' tf 'R* P

' I. 2. 7. 4. 5

+ 2iiJ^=^^'^X£:iii-^A"-"(5B'D4-ioB'C')

1. 2. 3. 4. 5 ^ -^ /

^n(n-pXn-.oXn-xO(n.,0_^n-x3(^^^£^^QB^CD+IoB'C^)
^7:(r/-.o)(n-iO(n-i.y«-i0^n-.4(^]34p^^Q]^^(^£^jQ3^p»

+ 3oB^CD4-5BC*)

ctc,

VL

Hinc ordinem quemcunque in generc euoluerc
licebit , fit enim index ordinis X -f i flatuanturque
membra liuius ordinis^

I n(n.Xi--)/n-X-.2)(n-X-3U. .. fn^gX-M) A"~'^ Q ",'!

1. 2. I. 4 X - *

< 1 Ti(n-X-a)fn-X-3)(n-X-0. "• (_"_-.lXj A n-^X- i p

^1.2* 3. 4 ..... X

. n^n-^h - 3)(n-X-4)(n-X-s) .. .♦ (n-iX-i) ^n-iX-i r\
*»" 1. 2. 3. 4 .... .'^ X * ^

. n(n-X-4)^n-X-^(n-X-6).. . .(n-zX-a) An-zX-s^ j^
"* ]. a. 3. 4 X

etc.

aique -valores litterarum O, P, Q, R etc. ita fc

habebunt , vt fit

O + P s + Qs'+ R«'4-Ss'+etc.-(B+Cs+D ^'+E z ciQ.f

Tom.XV.Nou.Comm. H vnde

58 OBSERVATIONES

rnde eiiolutionc fada coUigimus :

p X o c

*^ »' B

r» ^ *x o D i x-i

T C

B

3XOE I 2X-1 PDiXrs Q.C

■— T- -r + "7— -B • "^ "7-- -B"

4X OP, sX-t PE I 2X-2 Q-D , X-j RC

— T-T"^~r'"B"T ^* B "^ ~- T

>Y sX OG t 4X— I PF . sX-t Q.E I 2X~i R D ■ X— ♦ SC

* ■ — 5* "b"* T"* B ^* s ' B ^*^ 5* b"*" s'1.

fiue valoribus iam inuentis .fubflituendis

k:^XB^-^E+^^^^-'^B^-^CD4-V^-'^^^^B^'^C^

1. 2 1. 2. 3

S=:>B^'F+^B^-'(2GE+DD)+i^^)=^^)B^-'C'D

. X(X- i)(X-2VX-3)£X-^p*i
"" I. 2« a. ♦ l/

etc.
VII.

De hac autem fbrma generali probe eft tenen-
dum , ea fummam fmgularum radicum ad dignita-
tcm n eleuatarum neutiquam exprimi , nifi primo
cxponens n fit numerus integer pofitiuus, tum vero
ex forma generali quae in infinitum excurrit, omnes
termini excludantur in quibus littera A exponentem
negatiuum eflet adeptura. Hinc quaeftio oritur maximi
P^iQmenti , quinam futurus fxt valor huius formae

genera^

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. 59

gcneralis, fi omnes termini in infinitum retineantur?
idque fiue exponens n fucrit fiue pofitiuus , fiue
negatiuus , fuie integer fiue fradus ? Hanc igitur
quaeftionem quoniam inde fpeculationes maxime no-
tatu dignae et in docflrina fericrum nouam quandam
lucem accendentes oriuntur , hic accuratius euoluen-
dam fufcepi. Oftendam autem hac forma generali
non fummam poteftatum exponentis «, quae ex fin-
guhs radicibus formantur , fed potius poteftatem (imi-
lem vnius duntaxat radicis eiusque maximae exprimi.

VIII.

Quo hanc inueftigationem fimpliciorem reddam
a cafu huius aequationis i ^ ^ + ^ inchoabo ,
ita vt litterae C, D, E etc. omnes euanefcant : pro
hoc ergo cafu forma noftra generalis, in cuius va*
lorem inquirimus , crit

^ 1. ::. 3. 4 ' *

Ponamus primo «— i, et fit valor feriei rx
vt fit

A' A^ 2. 3 A* 2. 3» * A' -

quae rcuocatur ad hanc formam ;

cuius feriei fumma manifefto eft

j-iA + VaAA-HB)
quae eft aequationis propofitae radix maior. Tum
vero iam conftat illius feriei generalis valorem effe
=::(sA4-V(JAA4-B))'': ex quo nuUum amplius

H z fuperefl;

6o OBSERVATIONES

rupcreft dubium , quin illa forma generalis potefta-
teTi exponentis n ynius tantum radicis aequationis ,
eiusque maioris exprimat, hoc faltem cafu.

IX,

In genere autcm eadem conclufio hoc modo
confici poterit. Denotet /''^ totam illam expreffionem
generalem §. V. exhibitam et in infinitum extenfam,
fmrque /""'^ /""'^, /''-'^ etc. eiusdem Yalores , fl
loco n fcribatur w-i, w-2, «-3 etc. atque ex
genefi illius exprelTionis intelligitur fore

/"^izrA/^-^^B/^^-^^ + C/^^-^^ + D/^-^^ + etc.
vcrum ex ipfa aequatione propofita eft quoquc

^Tn^A^m-i^I3;^;^-2^CA"^-'-4-Dx^-'^-f-etc,
vnde fi hae duac aequationes fequenti modo reprae-
fententur :

i=z|-V|-+-|,-^2,+ etc.

quoniam hoc valet pro omnibus numeris n , fequi-
tur fore :

Cum igltur pofito nzzio , fit /°^z=: A^ =r i ,
erit pro n fcribendo fuccefliuc numeros i, 2, 3, 4 etc.

/'^-;cj i^^zzxj s^'^z=.x', /'^=zx"',

Quare

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. 61

Qiiare euidum eft iti genere fore /'^ — a;''; hic au-
tem pro x fumi debcre jiequationis propofitae radi-
cem maximam , inde patet , quod lumto exponente
n infinito , quo cafu formae noftrae pars integra ab
Tniuerfa non eft cenfcnda discrepare, fumma potefta-
tum infinitefimarum ad poteftatem infinitefimam ra-
dicis maximae folam reducitur.

X.

En ergo theorema notatu digniiTimum, -vfum-
que habiturum ampUfrimum , quod propofita aequa-
tione quacunque huius formae :

cuius radix maxima fit x — m, expreflionis fupra
§. V. exhibitae et in infinitum continuatae valor
fit 7»\ Quare fi fumatur n zz 1 , eadem expreflio
ipfam radicem maximam exprimet ^ vbi imprimis
omni attentione dignum occurrit , quod omnes po-
teflates eiusdem radicis per fimiles exprefhones infi'-
nitas exprimantur ; quin etiam ponendo « — o ob
"il^zLi! — / ^ ^ logarithmus hyperbolicus maximae
radicis m hoc modo exprimetur :

1 C^ ___ 4. 2B C ; y^ 5. 6. z B^C

~A' 2 A^ "T^ "TrT~

I D _ 5(2BD-4-Ca . 6. 7 (sB^D-i-iBC^)
A<- • 2 A6 "2:3 A»

^ ^E _ 6C2BE-f-2CD) , 7.e(3B^E~»-6BCD-f-C?)

. ^A^ Ta^ ^i ;r7Av

etc. etc.

H 3 XI.

62 OBSERVATIONES

XI.

Quoniam ergo hinc cniusque aequationis radi-
cem maximam non folum ipfam , fed etiam eius
quamcunque poteUatem per feries infinitas commode
exprimere licet , hinc primum puicherrimam illam
feriem , quam ragaciflimi ingenii vir Lambertus in
A<^orum Helueticorum. volumine IV. pro refoiutio-
ne aequationum ex tribus tantum terminis conftan-
tium tradidit , deducere licet. Qiiemadmodum enim
fupra aequatio haec i ^ ^ M- |-, dederat

;t;^=: A"+« A"--^ B+ "-^^ A^-"^ B' + "-^^^ A"*-'B'4- etc. j
ita haec aequatio i r=:|--+-f^ dabit

a;"— A^+wA^-^C+^^^^^A^-^C+^^^^^^^A^^^^C+etc.

' ' 1. 2 J. 2. 3

haecque aequatio i :r; — -H ^-;
v«-A"4-«A"~*D4-^^^A''-'D'+"-^^^^"— ^A^-^^D^+etc.

• J. 2 ' J. 2. 3

ita conchidimus pro hac aequationc i nz: ^ 4- — foro

A^^-^^M^+etc,

Statuamus nunc xz=:j^ et jr^^ir:^^, tum vero pro
M fcribamus B et ^ loco «, atque ob mzz^pvo

A B

refolutione huius aequationis generalis 1:^-^4--^

habebimus :

yzzA

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. (?3

. w(n.4,;X~4M.)(?t-f-A-tfJt.Xrt-f-X-4M.) \ X~R+ , «♦.^

^^ m. j, + x^ A i> i-etc,

XII.

^. . . A B

Si igitur aequationis i m: — + -- radix ipra

defideretur j', poni oportet «n: i, ac fiet :

- " 2 A 2. 3 X' '^ ^

_j_(l^-3V~4M.)(l-f-2X-4M.)f I-hX-4fA) A X TJ*a-#=.f/-

^^ ^rT.~T"x^" ~ ^ i5-hecc.

quae efl: ipfa feries Lamberti loco allegato exhibita
eoque magis notatu digna Tidetur , quod coefiicien-
tium lex fatis quidem eft regularis , verumtamen
ita comparata , vt fi feries ipfa proponatur , nulla
patcat via eius fummam inueftigandi ; quod eo ma-
gis eft mirum , quod niliilominus huius feriei fum-
ma non folum conftat , fed adeo algebraice exhiberi
poteft , cum fit vna radicum huius aequationis

A B
I =: "x + "TT > eaque maxima. Deinde vero huius

feriei proprietas maximi fme dubio eft raomenti ,
quod omnes eius poteftates fimilibus feriebus expri-
mantur.

XIIL

Indolem harum fingularium ferierum e re erit
jn aliquot exemplis perrpsxifte. SuraamusergoX-:3 •

6A, OBSERV ATIONES

et (JLrrs vt habeamus hanc aequationem cubicam
j^— A-4-B/, cuius propterea vna radicum erit :

—7

jznA^+i.A-^B-f-oA B^-^f^ ^(f/^-iLiif A ^(?)

-I.-I.IIaT^?)' -^.-|."-?.;.Ja"^(?; etc.
quae expreflio quo clarior reddatur fumamus A := ^' et
"BzL^b vt prodeat huius aequationis j''— 3^/ + a* radix

7.+.1.-.S i' f . 16.13.10.7.4.1.2.5.8. 6'** etc

2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10 a 9

j' r: /3! -i-5--t- — . 5? -t- ri:T.5.6,7- a'» ^

2.* h^ 8.S.;,i.4. h^ _ M.n.^.S.?.!.*.? &£ _ 20. 17. n.iT.g.T.:. 1.4.7.10 &J^ px^

"^ zTs' O^ "" 1.3.4.5.6' a^' 2. 3.4,3.6.7.S.9' a'7 2.3. 4.5. 6.7,8.;, IO.II.I2' C^^

quae ita concinnius repraefentatur ;

, J 1 1 h* i_\7»\0 6' I I 7.IO l^.lS ^"^l.l 7,10 >?.TC ip. 32 &'*

, jj ^ , 5., fes ^ , s^ 11-14 fc^ _ L £d ■ "'* ^IlI^ ^ etc

XIV.

Hae feries accuratiorem euolutionem mercntur,
ponamus ergo pro priore

6. 7

et cum efle debeat ^z^'-^^^\ —^' haec conditio

M z n-i- 3 3 n -+- 4

adimpletur hac aequatione diflerentiali fecundi gradus
ddszzi^x^ ddS'\-6xxdxds—2.xsdx^

quae commode per ^xds — sdx muhiplicata inte-
grabilis euadit \ reperitur enim integrando :

X d s^— sdxds^Q d x^ziz^x'' ds^^—^x^ sdxds-^-xxssdx^

■vbi cum fumto x infinite paruo fiat sznx et j^:^i

euidens eft capi debere Qzzo ita Yt fit

{xds

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. 6$

feu ^^' — -^-i 1 — -, , vnde radicem extralien-

do fit • ;T-I-- "V^_^^^^^^

z±L. — -L -4- — y — ^ ita vt habeamus :

S d X 2 X ' ZX l—^X^

Hinc ergo erit ^ ir:.a: -Kli-^y^.-j'"*'!*

:,f\ ifii^biLO i;! XV ''

Ponamus ergo A~a*, vt habeamus
^- I + :r4-^^* +^. ^/+4.;:^. ^. V^+ etc.

-feu

^zr X + I - i Jt' - J. ii->' - i. ^-4. '■^x'-'- etc.

Ponamus fummam feriei i — Jx^ — M; **. a: — etc.mif
ac reperiemus vt ante , quoniam lex progrcflionis
eft eadem: ■ ~ :-' ~ ^-^

ddtz:z^x^ddt'-\^6xxdxdt-^2xtdx'
cuius integrale propterea eft quoque rr;

X dt^ — tdxdt^4^x*dt^ — ^x^t dx dt + xxitdx*

quia enim fumto AT infinite paruo fiPrri ef J~=:o
conftans addenda etiam cuanefcit. Porro ergo intc-
grando adipifcimur :

t~xf~7crz:7i^) ^etquc tznj Ci xzzo.
Tom.XV.Nou.ComnL I Quo*

€6 OBSERVATIONES

Quocirca pro radice aequatioaisyzna^/^-a* ha-
bebimus:

«xiftente Afn ~ , ideoque

^yq» — V(fl*-^ * &J) , ^v a^-4-V(^^ — *5^) - V

quam eandem expreflionem regula Cardani fuppeditat.

XVI.

Euoluamus aliud exemplum aequationis cubi-
cac^ ponendo Xin i et fji zi: 3, vt fit yziiAyy-^B
ac pofito p zr ^, noflra fbrma dat

^3:i+A:-U* + ".r'-^^°A;*+iH:^-_if;c*- etc.

▲ * S. J 2. 3. V • 2. J. 4. S

quae ad hanc legera reducitur continuitatis

Vt fit N Zi: ^^^ "~ 0(?n-4«i) l^ __, arnft — T ^yj^

Ponamus -^— ^=::j, et relatio inter s ct x expri-
metur per hanc aequationem diflfercntialem (ecunii
gradus ;

j^xdds^zx^xds-^ a 7 a: V^i-f - 27 x^dxds —^ xsdx*zz.o
quae per '— multiplicata et integrata praebet :
^xds^^i^-jxxds^^t^ssdx^^znCdx^ vnde colligitur

di d X

Xjik* cuius

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. ^r

cuius integratio dat

7-/xy3+V(C+3XT))r^^;(-2_^+3AV34-V(4^'+27rv))
Ynde porro elicitur haec aequatio algebraica :

/ zi A (i + iLf 4- 3 y(3'v ^ 'if^^f

+ B(i4- IM' -3 V(3*'H-^)f
quae euoluta vtique praebet

x'=:3 ABx ^- ( A'4- B'X i+ =-^) +3( A*-B')y( :^x+'-^)

aequatio autcm aflumta inter x ct x crat
/ =: I J" H- #7 + A'

quae in integrali illo completo continetur fumendo
A ir B =:: ^.

XVII.

Euolutio haec elegantilTima aequationum tribus

. . , . A B

tantum terminis conttantium i r= "t ^ -ir eo ma-

iorem attentionem meretur » quod nulla via patet
direda, ex ferie inuenta in genere valorem fummae j
inueftigandi , etiamfi tandem liaec fumma maximc
concinna aequatione algebraica exhiberi poflit. Qiiod
cnim cafus hic pro aequationibus quadraticis et cubicis
cxpedire licuit , fucceflus huic circumftantiae
foli acceptus eft referendus , quod harum aequatio-
num refoluiio eft in poteftate ; \nde non immerito
fufpicari licet , fi mcthodus detegeretur huiusmodi
feries fummandi inde eximia fubfidia ad refolutio-

I ^ nem

tf« OBSERVATIOlSrES

nem aequationum cuiuscunque gradus efle redunda-
tura. Simili autem modo euolutio aequationum
quaternis terminis conftantium exhiberi poteft latis-
fime patens , quae autem ita eft comparata , vt fin-
guli termini continuo plura membra contineant ,
quorum tamea ordo fatis eft perfpicuus,

XVIIL

Si en^m in genere baec fuerit propofita ae-
quatio quatuor conftans terminis ;
_A B C

atquc ponamus y=i:P-hQ4-R-+-S4-T etc. hae
partes P, Q., R; S, T etc. fequenti inodo determi-
nantur :

P==A^
Q=:^A"^'B-4-^A ^ C

r n-2M.

-

n— M.— V

1

' I. 2 X*

n — » »

_L.»il±>i^lv)^ X QQ

' I. 3 X*

CIRCA RADICES AEQVATIONVM. C^.

I. 2. J X'

s=-^

n— ^fJL — y
I irt(ft-4-X— '2M. — vyi-4-3X^?'|x— v) A ^ B' C

. I' 2. 3 X^

n— fj. — ?v
I 5n(n-4-X — U. — 2v)(7t .-t-aX — |n.— '?v^ A >»> B C^
' I. 3. sX^

n — s V
n{n^\ — T v) (n -f- ? X — . ? v) A X ^

I n(n-4-X— 4M.)(n-f-: X— 4fA}(rt-4-?X— 4|ui.) A X 'n*

J. 2. 3. 4- X*

Tzi

4nCn-|-X— •3M— v)^n-f-iX^?jx — vX^-t-sX — ?M-v) A X ■R^ f^-

I. 2. 3. + X*

n-?|a-2v

+ 6n(n-|-X — 2|it.-2vXn-|-iX--|x-2vX«-f-2X— 2)u.— w) a x r>*o«
_ -^- /V. U L

n-)u,-?v
I ♦n(r_4-X — jx— 7v)(n_f--X— fx— 7v)(n-+-3X — )x — iv) a X \> n^

"^ ^, rrr+T^ ^ ^ ^

n — 4 V
I _L_. w(«-f-X — 4v) (n-4-2X — 4v)(n-HsX — ♦ v) A ^ P*^

C» ' I. 2. 3. 4 X+

XIX.

Hinc iam quotcunque aequutio contineat ter-
minos

A B C D

in genere valor poteftatis indefinitae y^ aflignari po-
terit , aequabitur enim leriei ex infinito terminorura
nunnero conflatae , qui ex omnibus quantitatum B ,
C, D etc. combinationibus nafcuntur. Sufiiciet igi-
tur ia gencre terminum huic combinationi B^C^D^

1 3 ctc.

70 OBSERVATIONES

etc. rcfpondentem definiuiflc ^ vbi pro (3 , y , 5^ etc,
fucefliuc omnes numeri integri pofitiui a cyphra
o, I, s, 3 etc. in infinitum fubftitui iunt iutelligendi.
Ad iiunc autem terminum inueniendum primo in-
dagari debet numerus combinationum formae B^C^D*
etc. quem (latuamus = N et pofita exponentium
fumma (3 -f- y H- <5^ -h etc. zz.p notum eft fore
N — '♦-• ^ • • • •••'••• — -1-»

*- ' I. 2... (3. «. 2.... 7- !• 2 5^ etC.

deinde ponamus breuitatis gratia i^\k-\-yv-\-^^-\-ttc.-q
atque terminus quaefitus formae B^C^D^etc. con-
veniens erit

XT n n+\.q n-^-A.i n-4--X-<7 n-Kp-^X-'? ^ ^ B^C^D^ etC

^^'\' z'K ' 5 X • 4 X "" fX

Omnes ergo hi tcrmini iundim fumti \erum valQ-
rem potefiatis y- determinnbunt.

XX.

Euolutio aequatmis i r= ^ + B j''.

Vt exemplum aequationis biquadraticae pro^
fcram , hanc aequationem , quae ifi:am formam dat
By z^y — A euokiendam fufcipio. Cum igitur fit
Xzzi et (JL3Z— 3 hanc adipifcimur feriem ,
> :^ A + A^B + I A^ B^ + ^ A'° B^ + i^ A'' B*

+ '^^i^-^A"B'etc.

In hac feric quilibet terminus iia pendet a
praecedente, vt quisque terminus per praecedentem di-
vifus praebeat quotum huiusformae 4 ^i^J^^^i^^j A%

cx quo fummatio huius feriei perducitur ad aequa-

tionem

CIRCA RADICES AEQyATIONVM. 71

tionem differentialem tertii gradus, quac f^6to A-^u
et B:z:l vt aequatio propofita fit y^^^^j—^u ita
fe habebit

32( I -u^^d^y-i^^uududdy — ^^ududy-^-^yduzio

furato fcilicct clemento ^^ conftante. Qucmadmo-
dum autem illa aequatio in hac contincatur , non
fcrfpicitur.

XXI.

Obferuo autem hanc aequationcm integrabilem
reddi fi multiplicetur per y , finguli enim termini
quatcnus fieri potefl integrati praebent \t fequitur :

fyd'yz=zyddy-~'^dy^[ipQT 32]

fuyd^yzzuyddy-ludy^-:^ uuy dudy^yiy^ du-\-lfuududy''

— 3/)7//«' [per- 32]

fuuyduddy-uuydudy—uyydu—fuududy^-^-fyydu [per- 144]

fuduydyz:ziuy^du—hfyydit[ per - 8^J

fyyduznfyydu' [ per 5]

irnde nafcitur haec forma intcgrata

1(5 (i -«'j ( Q.yddy-dy^)-^^uuyjdudy -\- $ uy^ du zzQdi?

quac ponendo y zz. z z , ob j j =1 5;*, y dy zz t^ z d z
et yddy-^-dy^zzyddy^^zzdz^ziLHLZ^ddz-^-Czzdz
ideoque

^yddy:^j^z'ddz^4,zzdz feu ^yddy—dy^zn^z ddz

induit hanc formam :

^^{'i^—u)z ddz-^6uuz dudzAr^Su^di^zz.Qdu
vel ^4( i-u)ddz-^6uududz-\-su^du—^

^uac

72 OBSERVATIONES

quae ergo hanc aeqnationem integralem ^''zz^zz-^u
in fe compkditur^ idque cafu quo conftans Ci: — 9»
propterea quod eft jznlu+^.u -{-'^u + Qtc. ideoque
fumto u infinite paruo zzzi^^V ^u.

XXII.

Cum nulla Yij pateat, lianc aequationem diflfe-
rentialem fecundi gradus Tlterius reducendi , operae
pretium erit inueftigare , quomodo et quatenus ea
cum aequatione finita z* z:: ^ z z -^ 3« conueniat.
In hunc finem repraefentemus aequationem differen-
tialem hac forma :

Lzddz-^^Mzdudz^VlS^z^duz^^Cdu

\t fitL3:()4( !-«'); Mzz-g^uw^ et N=^su
at aequatio finita differentiata dat

%z' dzzz%zdz—:^du feu Sdz{u—zz)zzzdu
vnde fit porro difFercntiando :

Sddziu-zz^zniCzdz^-^dudzzz^j^^^^du^

Cum ergo fit

dz z p*. ddz 9 g^ — y u 2

du »(u — zz) cTu- — ' 6a[u-zz)^

prodibit fada fublUtutione haec aequatio

(l U^^^Z^irZZ 'U) 12UUZ+

JrSUZ*=:zC feu

(U S^zP J4 ZZ

(i-u^z^^zz-^ju^-i^uu-^-su^z^z^iu-zzY+Ciu-zzyzio
quae euoluta et ope aequationis z^zz^zz — ^u^d
poteftates ipfius z odaua minores deprefla perducit
ad hanc :

(9 + C)

CIRCA RADICIS AEQVATIONVM. 73

ciii valor C ~ — 9 manifefto fatisfacit.

XXIII.

Plus aiitcm hinc concludere non licet , quam
flfequationem hanc z^ zz. ^ z z -^ ^ u contineri in h.ic
aequatione differentio-differentiali :

64{ i^u )z^ ddz — ^6 uuz^ duclz~\- $uz*clu ,:=: C d u
cafu quo C m — 9 , interim tamen ne hoc quidem
cafu integrale completum exhibere licet , in quod
praeterea duae quatnitates conftantes ingrediantur.
Multo minus autem in genere quicunque Talor ipfi
C tribuatur , integrationem Iperare poterimus cum
ne cafu quidem C— o, methodis cognitis integratior
nem admittat. Hx quo intelligimus 11 aequationes
algebraicae , quarum radces hic ^a feries infinitas
perduximus , teriinm gradum fuptrent, ferierum inde
natarum fummas nuiiius mtthodi adhue cognitae ope
jnueliigari polle.

XXIV.
Coron^dis loco adiungam problema inuerfum^
quo propofita huiusmodi aequatione cubica /-^-py-^-q—o^
inuelhgari oporteat aequationem differeniialem fecundi
ordinis huius formae d d y -\- Q_dj + Kj 1:0, in
qua illa contineatur : qnae inueftigatio femper luccedit;
ditferentiatione enim bis inftituta , indeque hic loco
dy et ddy Yaloribus fubftitutis , vt termini prodeant
folam quantitatem j eiusque poteftates continentes ,
quas ope aequationis / + py + q — o infra tertiam
deprimere licebit : quo fado leorfira ad nihiJum
Tom.XV. Nou.Comm. K re-

74 OBSERV. CIRCA RAD. AEQV^AT:

redigantur partes cum ab y liberae, tum vero ipfam f
eiusquc quadratum j/j/ continentes ,. vbi commode
eueniet , vt rimul ac binis conditionibus fuerit fatis-
fadum , tertia fponte adimpleatur. Hoc autem modo^
calculum inftituendo reperietur.

la ppqdp'^ 2 (s p^ — 27 qq)dlpdq — SA-pqdq'^ i ^pddq- zqddp-

— {z]dp — 2 pd.^ ) (+ p' -i- 27 (]<]; ^~ z qdp — zpdq,

•o 6p (d .(? ^ -f-.p d p- dq — qdp^' ) _ ■ dqddp — dpddq

^ [zqdp~-2.pdq){Ap''-jf-i7qq)~^ zqdp zpdq

Haec autem aequat^o per ±^-^^2AAA :>pdy-ydp\
multiplicata integr^bil'S redditur , indeque porro pro
j aequatio cub;ca latius patens quam propofua elicietur..

XXV.

Aequatio differentialis fecundi gradiis magis- fit

concinna fi ponatur q q "::=■ ^-~- , fiet enim

ddv-dv{—'\'^ ^^- ^^ \^^.,{Apddx_ddpy_tdp*-
uuj ^y\dx^p 2X 2ii^x)i~-^ 2 pdx 2p^^^i>p.

dpd X d p dx __ —dx'^^ \

^pX 4p{i-+-JC) z€>X{\~\^x)i

quae per ^^.'. "^^f ( 2.p dy —y dp) multiplicata et ia*
tegrata praebet ,^\\o ^

x(' -hx)y J _ydp\^ — c i_-jyy
pdx^ ^"-^ Tp I — '^^TTp,

et ponendo / — ^yp hinc reperitur

g d z V ; d x

V ( C -+. « 2 ) -^ X{ I _f-3C)

quae denuo integrata dat :

unde tandem eruitur :

zzz^^-Ail-^-x+Vx^i-^-x^f^Bil-^-x-^Vxd^+xjf
ac cubo fumendo

^'^lABz-\-{A'+B'){l-^'X)+{A'-B')Vx(i+r)

<»>

??(oO

<«•

75

PROBLEMA

ALGEBRAICVM

<DB AFFECTIONES PRORSVS SINGVLARES
JVlEIHOKABiLE.

A ut: t ot c
L. E F L E R O.

roblcnr>a , cuius aflPe^aiones hic contcmplandas fii-
fcif io , ita le habei :

Jmtenire nouem nmneros ita in A, B, C

quadratum difponendos ^ m ja- D, E, F

tistiat duodecim fequemihus eon^ .G, H, I
ditmibus:.

1°.

3°.

9^

AA-^-DDH-GG=i ;
BB-+-EE-}-HH~i ;
CC+FF+ll^J ;

AAH-BB-f-CC:=i ;
DD-f-E -4-FF=:i ;
GG-f-HH-l-IIzzi :

4°

io°

12^

AB-i-DE-l-GHr=o
AC-hDF^-GI— o
BC-l-EF+Hi— o

AD-hBE-|-CF=3o
AG^-BH-i-CIzro
DG-f-EH-f-Flzzia

Circa hoc problema fequentia obferuo.

I. Cum numerug conditionum implendarum
fuperet numerum quantitatum determinandarum, pro-
b ema hoc phisquam determinatum videtur. Vtcun-
que enim conditiones pra*fcriptae perpendantur, nul-
la alm relatio , qua ahquae in reliquis iam conti-

K 2 nean-

iS^- PROBLEMA ALGEBRAICVM.

neantiir , in iis/depreheiiditur, nifi quod fumma
conditionum 7''. 8°. 9° conueniat cum fumma con-
ditionum 1°. 2^ ^Tvnde vhiea harum duodecim
conditiohifm 'in reliqUis iam, contineri videtur ,• qua
remota tamen adhuc ivndecin^ conditiones relinquun-
tur , quae binario numerum quantitatum incognita-
rum excedunt. Hic equidem tantum de eiusmodi
relatione loquor , quae has conditiones confideranti
occurrit , reuera enim aliqiiot neceflariae relationes
inter eas intercedunt , quae autem vix ante animad-
vertuntur , quam problema perfcde fuerit folutuifi.

IL Deinde obferuo hoc problema non folurft^
non efle plusquam determinatum, fed adeo effe in-
determinatum , ita vt nouem numerorum quaefito-
rum tres ^ro lubitu accipere Ifceat , niliiloque mi-
nus omnibus conditionibus praefcriptis fatisfieri queat.
Dummodo enim fex prioribus conditionibus fucrit
fatisfadlurn , reliquae fex fponte implentur atque
omnino fieri non potell , vt fex prioribus fatisfiat
quin fimul omnibus fuisfiat. Quocirca probiema
propofitum eiusdem prorfus indolis" maneret etiamfi
fex poficriores conditioncs plane omitterentur j ac
tum ei infigne Theorema ifiud adiungi poffet.

Quo(Jfi nouem numeri A, B, C, D, E, F, G, H, I

ita fuerint comparati , ^vt 6 prioribus. conditionibus fa-
tisfaciant tum etiam necejfario fex pojlerioribus fatis,"
faciant.

-i<i: Quod Theorema pro difficiilimo demonfiratu
venditarc non dubito , neque vidco quomodo de-

monfira-

PROBLEMA ALGEBRAICVM. »77

mondntlo adornari queat , nifi folutio problematis
fuerit explorata.

IIL Neque vero hoc problema pro dtiofa
fpeculatione feu mero lufu ingenii eft habendum ,
fed potius in dodrina de fuperficierum natura efl:
maximi momenti, Cum enim natura fuperficiei
per aequationem inter ternas coordinatas tribus axi-
biis inter fe normalibus parallelas exprimi foleat ,
talis aequatio mutandis axibus in infinitum variari
poteft , ctiamfi axium communis interfedio in eo-
dem pundo iftatuatur. Quoniam igitur eadem fu-
perficies infinitis aequationibus diuerfis inter ternas
coordinatas definiri poteft, plurimum intereft earum
charadlerem communem nofle , qui in eo confiftit ,
vt (i coordinatae ternis quibusdam axibus datis pa-
rallelae fint x, j, z; quae autem aliis quibuscun-
que axibus conftituuntur parallelae , fuerint X, Y, Z
eorum relatio mutua femper huiusmodi formulis
contineatur r

X=:AA-fB/-fC2;; Y—Dx-^-EjVTz., Z:zzCx+Hj^-lz

qui nouem coefficientes ita comparati fint necefle
eft, vt inde fiat: XX-^-YY-i-ZZzizxx+jy-^-zz,
quandoquidem his fbrmulis quadratum interualli quo
fuperficiei puniflum ab initio coordinatarum diftat ,
exprimjtur. Quod fieri nequit , nifi hae fex aequa-
tiones habeant locum :

AA+DD+GGni, BB-fEE+HHz:i, CC+FF+II=i
; AB+DE+GHzo, AC+DF+GIno, BC4-EF+HIz:o

K 3 quafe

-7B PROBLEMA ALGEBRAICVM,

-quae funt Ipfae (ex priores conditiones noftri pro-
Ijlematis.

IV. Quocunque autem modo hoc prdbkma
lecundum Algtbrae praecepta tentetur , ob tantuin
incognitarum numerum femper ad cakulos vche-
menter intricatos peru^nirur, ex quibus neutiquam
folutionem commodam expedare liceat. Theoriam
quidem angulorum io fubfidium yocando , haud dif-
iicuker (olutio fatis concinna obtinetur , vtium haec
meihodus vix ad alias huius generis quaefti.ones ma-
gis comphcaras traduci poterit : veliiti fi circa 16^
^St 3^ ctc. numeros , pari,ter in quadratum difpo-
nendos fimilis quaeftio inftituatur , vt lumma qua-
dratorum per fingulas columnas tam verricales quana
horizontaks (umtorum vnitati acquetur , finul yero
fummae produdorum (ecundum binas columnas itidem
tam verticaks quam horizontaks ad nihilum rtdi^antur
IVlethodum ergo etiam ad has quaefliones pa-
tentem , guae vtique in Analyfi maximi momenti
eft putanda deinceps' fum expofiturus , poftquam
demonftrationem Theoremat*s §. 11. memorati , at^
qiie folutioiiem probkmatis initio piopofjti opp fi-»
^uum et cofinuum tradidero,

Demonflratio Theorematis §. ii.
propoflti.

V. AfTumo ergo nouem numeros noHros A,
JB, C, D, E, F, G, H., 1 ita efle comparatos yt fit

l^QBLEMA ALGEBRAICViM. 7^

t'- AA-f-DD-V-€Gm; 4^ AB4-DE4-GH-0
2°. BB-f-EE-f-HH-:!^ ^. AC-i-D F^Gl=:o
.3^ .CC4-FF-i- 11=11 f &\ BC+EF4-HI-i:o

quarum tres pofteriores ita repraefeiitQ ;

4^ AB — -DE-GH; 5^ AC-:-DF-Gl;

6\ BC=:-EF-HI

vnde contluda fore i

^o. so AABC A A _ (D E-f- G H) (D F -f- G D

6». ■ • • • ~TC~ EF-+-HI

qui valor ipfius AA in prima aequatione poritu&
dat :

-(DEH-GH)(DF4-GI)-^(EF-i-HI)(DD+GG>

"- =EF^HI

fed^taque euolutioHe r
-DEGi-DFGH-f'DDHI4-EFGG=:EF+.Hr

cuius aequationis primum membrum manifefto in^
hos fidores refoluitur : r/'

(DH-EG) (DI-FG)=::EF4-Hr.

VL Cum igitur fit EF-|-HIzz:-BC^ erit

BC = (EG-.DH)(DI-FG>

fimilique modo colligetur fore

AC = (FH-Et)(EG-DH) et
AI^=(Dl-FG)(FH-EI)

quarum duarum pofteriorum produdum per prl-mam*
diuifum praebet

AAzi:(FH-EI)' hincqiie A:=:±{¥llz:iEl)
qiiia autem fingulos- numeros tam negatiue quain
pofitiue capere licet , amb>guitas fig.ni nuliam varia-

tionensi

SP PROBLEMA ALGEBRAICVM.

tionem inferre eft cenfenda , vnde fumto fupeilori
habebimus :

c A=:FH-EI; B — DI-FG; C:i:EG-.DH.

Cum autem ex rei natnra columnas vertieales intet
fc permutare liceat , hinc per analogiam concludi-
mus fore

D=i:BI'-CH; EzzCG-AI; FniAH-BG
G=iCE-BF; HzrAF-CD; I:=BD-AE.

VII. En ergo nouem nouas determinationes j
quac in fex conditionibus praefcriptis neceflario in-
voluuntur , et quas infuper ad 1 2 conditiones ini-
tio propofitas adiicere potuiflemus. Verum hae
ipfae nouem .determinatiojnes , quas fequenti modo
indicabo .:

J3^A-FH-Er; 16°. DzBI-CH-, 19°. G=CE-"BF|
14-°. BziDI-FG; i7^Ez.CG-AI; 20^ Hz:AF-CD;
i5^C=:EG-DH; i8°.FrAH~BG^ 21°. I-BD-AE;

fhcile ad conditiones fex pofteriores initio propofitas
deducunt.

Nnm formulae 13°. per D, i4°< per E et 15**.
per F multiplicatae et in vnam fummam collcdae
jdant :

AD^BE + CFrzi+bFH + DEI+EFG __

-DEI-EFGt-DFH ~

quae eft ipfa ronditio 10'' initio propofita , fimili-
que modo 13^ G 4- 14°. H -h* 15M cjabic conditio-

nem

PROBLEMA ALGEERAICVM. 8i

mem n^ et iS^^^i^- x^^H-i- iS^I conditienem
12^ ita Yt fit :

io\ AD^BE4-CF-o, 1 1^ AGh-BH-+-CI=-o;

12^ DG-f-EH-i-Fl=zo-

VilL Denique fi in formula nm ^3°. \'alo-
rcs literarum E et F ex formulis 17° et iS^ fub-
fiituantur , emergit haec aequatio :

A=AHH-BGH-CGI-fAII=:A(HH+II)-G(BH>fCr)

at ex aequatione 11°, eft BH-J-CI^i— AG, vna^
colligituri

A:=:A(GG4-HH-+-II), ideoque vel A rr o Yel

GG-+-HH4-11~ I.

Cum autem fimili modo ex formulis 14.^ 15^ 16**.

17° et 18'' eliciantur aequationcs :
B- BfGG^-HH+II) ; D=z D(GG-t-HH+II)
€^C(GG4-HH4-U) ; E=:E(GG4-HH4-1I)

^t FciFcGG-i-HH4-lI)

iieque litterae A, B, C, D, E, F omnes fimul eua-
nelcant, necefle cft fu GG4-HH-HI l=:i q«ae eft
conditio 9^ hocque inodo oftenditur efle :

Y. AA^-BB-i-CCni; 8°. DD^-EE-l-FFm ;

9°, GG + HH-4-lIi::i
quae eft deinonftratio completa theorematis propofitL

Solutio Problematis initio prppofiti.

IX. Statuamus Amcof. ^, et cum conditio-
oes i'' et 7^ pfacbeant :

Tom. XV. Nou. Comm. L D D ^-

8a PROBLEMA ALGEBRAICVM.

DD+GGnriii.<' et BB-4-CCririn.<*

his ingenere ratisfaciemus ponendo :
B n; fin. ^ cof. •ii^ C =: fin. ^ fin. 11; D — fin. ^ cof 0 ;

G =: fin. 4 fin. 0.

Confiderentnr ijjm conditiones 17** et 21*. quae fadis
his fubftitutionibus induent has formas :

17°. E=ifin.2;'fin.%ifin.e-Icor.4;feu E-+-Icof^=:fin.<?'fin.'yifin.d

21°. I— fin.(^'cof.v)cor.e-Ecor.< feu I-j-Ecol^nfin.^^or.-vjcol.^.

Hinc 17°— 2i°.cof.^ et 21°— i7°.cof ^ dant :

E(i — cofO— ^^".«^'(fin.-vifin d -cof ^cof.vjcof.d)
I(i-cof.C)=i:{in.^'(cof.'vicof.O-col.<fin.>jfin.O)

vnde coHigitur :

E — fin. -y^ fin. 0— cof ^ cof y\ cof 0 et I zz cof. yi cof. $

— cof.i^fin.-viiin. ^.

X. Simili modo conditiones 18** ct 20° modo
ante demonftratae , fadis fubftitutionibus fuppeditant
has aequationes :

i8'. F=:Hcon(^-fin.(^*cof.-vifin.d feu F-Hcof^n-fin.i^^cofvifin.d

20°. H=:Fcof^-fini^'fm.>icofO feu H-Fcof<?::-fin ^Yin.-vicof^

vnde formae i8°-4- 2o".cof ^ et 20*'-|- 18". cof^
producunt

F^i-cof^^^^iz-fin.^^^cofTifin.a + cofi^fin.vicofe)
H^i-coC^^j^-fin.^^fin.-vicof Hcof^cofvifin.^)

vnde ob i — cof <^'=fin.<^' elicitur
Fzz— cof •vjfin.O— cof ^(in.^icof.^j et Hzr-fin.-vjcof d

— cof ^cof 'V)fin.0
ficque

Fz:-cor»fin.O-cor.^rin -^coli
1 zi+cof. vicof.O-col ^ fin.-vi dti.^

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 83

(icque nouem numcri conditionibus praefcriptis fa-
tibtacientes ita funt definiti , vt tres anguli ^, >), 0
^arbitrio noftro relinquantur , in quo criterium folu-
tionis completae cernitur.

XL Solutio ergo completa noftri problcmatis
ita fe habet , "vt nouem numeri quaefiti fequentes for-
tiantur valores :

A-cor<^ B- fin.^^cof.vi

D-fin i^cof^ En fin.-yirin.^-cor^conTicof ^

Gzifin.^^fin.OHzz-fin.Ticof.d-cof^cof-vian.^

quibus valoribus non folum (ex conditiones priores ,
quibus problema determinatur , fed etiam fex polle-
iriores , atque adeo etiam nouem nouae §. VIL exhi-
-bitae , adimpientur. Haecque folutio iftum praeftat
vfum , vt inde facili negntio folutiones in numeris
rationiilibus , quotcunque libucrit , reperire liceat »
tres fcilcet angulos <^, -v], 0 ita cipi opus eft , vt
eorum tam fuius quam cofinus rationaliter expri-
mantur. Hinc (blutio fatis fimplex prodibit fu-
mendo

cof^zz]; fin.^zzlj cof.-vizrlj fin.-vi^i; cofe — /^;

fin.ezzi|.

Methodus Generalis huiusmodi proble-
mata refoluendi.

Xn. Methodus generalis , quam hic fum tra-
ditnrus , ex principio fupra §. IIL memorato eft
pctita , vbi oftendi problema propofitum eo redire ,

L 2 vt

B4 PRQBLEMA ALGEBRAICVM.

irt ex ternis variabilibus x^ y^ z aliae tres X, Y, 2
per huiusmodi formulas a.x-^-^y-^-yz ita. deter-
ininentur ^ vt fiat X'-l- Y'h- 2;*— ^^-V-y-i- s' ,
haecque determinatio maxime fit generalib ; tum
enim coefiicientes trium harum formularum ax-|-g/
^yz pro nouis variabilibus X, Y, Z refUhan-
tium , erunt ipfi illi nouem numeri ^ qui in pro-
blemate defiderantur, Hic igitur duae conditi oue
probe funt perpendendae , quarum altera eft y vt va-
lores ipfarum X, Y, 2 fimphciter per huiusmodi
formulas oLX-^-^^y-^-yz exprimantur , altera vcro
vt tum fiat X'4- Y'h- 2'— A-^H-y-Hs;'. Nifi
enim illa conditio adeffet , quaetho foret per me-
thodum Diophanteam folutu facilis ^ dum tantum
trium quadratorum fumma in tria alia quadrata re*-
Xolui deberet , id quod nihil habet difficultatis.

XIIL Qponiam vero rem eo deducere animus
cft , vt methodus ad quaeftiones continuo magis
complicatas extendi queat , a cafu fimpliciflTimo ex-
ordiar , quo propofitis tautum duabus variabilibus
X tt y , ex iis aliae duae X et Y per huiusmodi
fbrmulas oLX + ^y definiri debeant vt fiat X^-^-Y*
zzix^-ty^. Hunc in finem pofito

X=:aA:+pj' et Ypiyx-^-Sy

necelfe eft , fiat :

Statuamus ergo a zr cof ^ et (3 zr coC >) , vt
Babeatur yzzfin.^ et 5^ := fin, >i , ficque duabus» priori-

bus

PROBLEMA ALGEBRAICVM. %s

bus conditionibus fatisfiiU : tum Tero tertia dabit
cor ^ cof. 'vj -f fm. ^. fin. >) — cof. (^ — 'vi):i: o , ex quo
erit ^ — >j.zr9o°, ideoque -v} — ^— 90° , ac propterca
cof y\ — fin. ^ et fin. >3 zr — cof. <^. Vnde patet H
capiatur :

Xzi^xcoL^-VyCu-^,^ et Y=iA-fin.(^— ^cof.<?

XIV. Hoc remmatc praemiffo ex propofitls
tribus> \ariabilibus XyjjZ prima alias tres x'^ j', z!
ita definio vt fit

,t'z=:vcof,^+7fin.<?; yrzrfin.^-^^cof.^ ; et z!~z^

lioc enim modo certo erit

x' x' -byy + z' z'zz X X +jy -hzz.

Deinde ex his fimiii modo alias tres x'',y\ 2"
deduco , vt fit

x"=zx''^ >/'z=^^cof •vi4-2'fin.>5; js^^rrj^fin.-vi— s'cof -vi

atqiie hinc tandem quaefitns X, Y, Z, ita definio:

X — z"cofA-^x"Cnr^i Yzzy'^ Zzizz^CinJ-x^coC.^

fic enim vtiquc fiet :

X'+ Y'+ 2"-x" x" +y'j"'+ z'^ z"z:x'x' i-yY^z' z'-xx

XV. Ex hac autem triplici pofitione fequi-
tur forc :

^"-j^^cof.^-i^^/fin.^jj^^rAfin.i^cof •vj-^ycof.^^cofvi-i-^sfin.'^; z'*'
-z. X fin. i^ fiu. vj — j col. ^ fin. .'vi — s cof -^

L 3 tum

I^ PROBLEMA ALGEBRAICVM.

tum vero

Xi:^:t(rin.^fin.vicof.04-cof.^fin.d)-j'(cor.^rin.'vicof.$

— fin. <^ fin. ^ ) — ;s col. Ticoi. d

Y=i:.vfin. ^cof. y^ —y cof ^coC >! -|- s fm. y^

2 — Jt:( fin. ^fin.-vjfin.O— cof.^cof.^^-j^cof.^fin.^ifin.d

4- fm. <^ cof. 0 ) — 5; co(. >) fin. i

quae formulae cum ante inuentis conueniunt.

XVL Hanc folutionem effe generalem vel inde

patet , quod ea compledatur tres angulos arbitrarjos

\i >1» ^) qui pcr tres transformationes quas in-

ftituimus, funt introdudli. Vis enim huius methodi

in lioc confiftit , vt quauis transformatione duae

tantum quantitatcs varientur, dum fciiicet in earum

locum duae aliae vna cum angulo arbitrario intro-

ducuntur , tertia manente immutata. Hiiic duac

operationes iam quidem folutionem problematis fup-

peditant , fed nondum compietam , ob defedum

vnius quantitatis arbitrariae. Quamobrem tot trans-

fbrmationes inftitui oportet donec tot huiusmodi

quantitates arbitrariae fuerint ingreflae quot ad

maximam folutionis extenfionem requiruntur. Supra

autem iam obferuaui , cum quaeftio circa nouem

numeros verfetur ac tantum fex conditiones prae-

fcribantur, tres eorum manere indeterminatos, quem-

admodum etiam in fo'utione hic data ob angulos

^, V,, 0 arbitrio noftro relidlos , tres numeri A, B,

D pro lubitii accipi pofTunt. •

XVIL

PROBLEMA ALGEBRAICVM. S7

XVn. Hinc autem dubium nafci pofTet , quod
cum quiilibet transformatione nouus angulus intro-
ducatur, audo transformationum numero noftri pro-
blematis folutio multo adhuc generalior obtineri
poflet. Verum tamen qui huius rei periculum facerc
Tolu rit, mox animaducrtet, nouum angulum intro-
duAum cum aliquo praecedentium in vnum coalefcere
ita vt quotcunquae trauhformationes fufcipiantur , nii-
merus angulorum \ere arbitrariorum non vltra terna-
rium augeri queat. Adiiciamus enim infuper hanc
transformationem ponendo :

X'z:X; Y'=Ycof.X-2rin.X;et2'=:Yfin.X-f'2cof.X
fietque

X'=:a'( fin. ^ fin.-vj cof.0-|- cof. ^ fin. & )+y( fin.^ fin. 9

- cof. <^cof yi cof ^)-z cof >) cof. d
Y'-A:(fin.^cof'V)cofX-fin.<^fin.>ifm.0fin.X+cof <^cof^fin.X)

-Xcof^^cof TicoCX-cof ^fm.v) fin.$ fin.X-fin.^cof ^fin.X)

+ s ( fin. V) cof X + cof. V) (in. 0 fin. X )

2'3J(;(fin.^cof ^irin X+fin.^fin.-vifinicof X-cof^cof dcof X)

-X^o^» ^cof.v) fin.X-fcof ^fi n vj fm.kof X-h(in.<^cof ^cof X)

4-5;(fin •vjfwi.X-cof 'vjfin.Ocof X)

vbi etfi quatuor anguli ad(unt ^, -v), $ et X, tamen
inde non plures tribus coefHcientes pro lubitu afTignare
licet : quod quidem non facile perfpicitur , et non-
nifi per plures ambages o(\endi pofTe videtur : cum
tamen ex rei natura res fit prorfus manifeda.

XVllI. Etiamfi maxime arduum vidcatur
has quatuor quantitates indeterminatas ad tres re-

vocare

SeS PfiQRLEMA ALGECRAICVM.

xz)Oicc Iiiiecque im ftigatio ©mnioo iiRgukres xalcuU
cuoliu ones poQukt ^ tamen ratio in ^o fua hsud
diiicuicer deprehenditur , quod bis inte^ easdem
quantitates cogiioaiints f et z tran^formatio fit in-
dituta. Scilicet iu fecunda quantitates y, ^Mn y, s"
ope angu.li 7) et in quarta quantitates rCOgrKDmines
Y et Z ope anguli A in Y' et Z' iunt tranbformatae.
Q^Liae duac tranhformationes ii immediate fe eixcipereot
ponendo lexempli gruia

primuoi yr^^^cof.-^^ + sfin.^; z'zzy(\n.^--zcoi' ^
tum vero y^':^:^ Qo[.yi-\-z' £in,y\j z"-y^a»yi-z'coLyi
con lu a 61 i m pr od i ret *.

y z=:/ cof {l,^y\) + z fin. (Z — ^) ct
«"--j' fm. ( ^ — 'vi ^+ sjcof. ( <^ — -v))

ficque duplex illa transformatio xnanifefto vtiicae opc
anguli ^ — 71 fadae aequiualeret. Quod etiam euenire
cft intelligendum , etiamfi huiusmodi binae trans-
formationes inter quantitates cognomines non imme-
^iiace fe excipiant.

XIX. Hinc cum quaelibet transformatio intcr
dnas tantum quantitatcs variabiles inftiiuatur , hanc
regulam ftabiliri conuenit , vt hac tranbformationes
(emper inter binas variabiles diuerfi nominis fufcipian-
tur ^ quo pado numerus transformationum ita de-
terminatur , vt plures fbrent inutiles. Ita cum in
noftro problemate tres habeantur quantitates variainle*
litteris x ^ y ^ z indicatae , plures quam tres trans-
ibrmationes locum habere nequeunt ^ dum voa inter

X et

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 89

X et y , alia inter x et z , et tertia inter y tt z
iaftituitiir hoc modo

x^zzxxoi^.^+yfin.^x^-x' coCy\-\-z^ {in, y/x'''-!''
y^xfm.^-jco^h''-y' Ij^o-ycoC^-h^^^Cin^

z*~z \p^"~ x^ C\x\.y[-z^ coC.y\z'"—y" (\n.^ - z^' cou^

\bi in prima quantitas nominis 5r, in fecunda norrinis
j y in tertia vero nominis x inuariata relinquitur.

XX. Hanc regulam obferuantes methodum
hanc per iftiusmodi transformationes prucecentcm
ficile ad eiusmodi problemata accommodarc poteri-
mus , quibus plures quam tres quantitates vnriabiles
proponuntur , quas iimili modo in alias totidem
transformari oporteat , \t quadratorum (uirma mantat
eadem. Pluribus fcilicet tran^formationibns inter
binas tantum inftituendis opus erit, \bi tantum tric
cauendum , ne intcr binas cognomincs bis traiiS-
formatio inlHtuatur. Qiio oblcruato , folutio noti
ante erit completa, quam inter omnes binas diuerfi
nominis talcs transformationes fuerint abfolutae cuius-
modi diuerfae combinafones habebuntur fex , fi qua-
tuor propofitae fint quantitates, decem vero fi quin-
q^ue et ita pc^rro. Cuius.modi problemata aliquot
cum jfblutionibus hic (ubiungam.

Pr o b le m a.

Quatuor quantitates 1;, j;, y, s ita in alias
per huiusmodi formulas iJLV^^x^yy^^ z trans-
formare , vt fumma quadratorum maneat eadem
Tom.XV.Nou.Comm. M vel

5jO BROBLEMA ALGEBRAICVM-

Tcl ponendo.

. X — Ev+Fx^Gy-^-Uz; Z=i:Ni; + Ox + P/4-Q.s

hos fedecim coefEcientes ita definire vt fiat

WV + XX-^-YY-^-ZZ — vv-^xx+jy-^-zz

quem in finem fequentlbus lo conditionibus fatisfieri
oportet :

AAA+Efe+li+NNzi; 5^ AK+EF+I K+NOno
2^BB+FF+KK+00z:i ,• 5^AC+HG+I L+NPz:o
3°.CC+GG + LL+PPz:i; 7°-AD+EH+IM-fNQ=:o
4°.DD+HH+MM+Q(^i i 8°. BC+F G+K L+0 Pz:o

9°. BD+FH+KM+OQ=o
io°.CD+GH+LM+PQi:o.

XXI. Cum hic fedecim numeri ex lo con-
ditionibus inueniendi proponantur, euidens eft eorum
fex arbitrio nortro relinqui, feu quod eodem rcdit
folutionem completam fex quantitates arbitrarias
compledi debere. Methodum autem ante expofitam
fcquentes reutra folutionem fex transformatio libus
abfolui deprehendimus, quae ita repraefentari poffunt:

L I IL I IIL

x^=:x cof. a-Hj^fin. a :r"rAof p+s^fin p A:^"z:jv"cofy+i?"fin.y
y^zx Cia.a "j col] « >" -y^ y^^^ =:>"

z' — z s"z:xYin. ^-zkoC (3 z^-z^^

v'zzv l^"-i;^ [^'''z:;i'"fin.v-'y"cof.y

IV.

PROBLEMA ALGEBRAICVM.

9t

IV.

^JV^A'"^

yv-/"cor.<^+2"'rin.<J

iv_^,ni

V.

x^z:a'^^

VI.

—=: X

~- Y

in quas fbrmulas reuera fex anguli arbitrarii ingre-
diuntur vt folutionis completae indoles pollulat.

XX tl. lam perfpicuum eft ope harum redu-
dionum nouas quantitates X, Y, Z, V ita per
primum affuratas x, j, z, v expreffum iri , Yt
fiat X — Ax-^-Bj-hCz-^Dv , fimiliterquc
etiam reliquae vnde fa<3:a euolutione coefiicientes
ipGirum x,y^ z^ v in quatuor formis pro X, Y, Z, V
oriundis ipfos eos fedccim numeros praebebunt , q^^ii
requiruntur , pro folutione problematis propofiti.
Quae cum per fe fint maniferta , non opus effe
arbitror fingulos valores harum fedecim litterarum
euoluere. Ceterum cum in harum fex transformatio-
nium prima binae litterae x et y m fecunda x et z
in tertia x et i;, in quarta / et 5; in quinta j ct v
et in fexta z ct v fint transformatae , quae funt
omnes combinationes poflibiles ,• in hoc ipfo etiam
continetur criierium folutionis completae.

XXIII. Quoniam autcm hic occurrunt qua-
tuor quantitates x, /, z, v in fingulis operationibus
duae transformationes binarum inflitui poffunt , quo
padlo euolutio valorem quaefitorum non mediocriter
fubleuatur , vti iterum cauendum ne inter easdem

M 2 binas

92

PKOBLEMA ALGEBRAICVM.

binas l-tteras plus vna transformatione fiifcipiatur.
Sic autem totum negotium tribus operationibus ab-
folui poterit hoc modo.

L

y^zxdn.oL—jcoi.cL
z'zizC\n.^-]-vC\n S
v'~z fin.S— 'ycol.S

IL I IIL

x"-x'co{.y-{-z'{in y x"'-x"coC.e-\' 'u^'Cin.e—'X
y"-y' coC. (J+1?' fin.^, V''->'"co(.^+ s"fvn.(?=Y
z"-x'C\n.y-z'coi.y z'"-y"C\n.^-z"coC.t-Z
^"—yCw-^.^—v^coCSi ^"'-x^Cin.e-iv^coCe-V,

Harum formularum euolutio pro fedecim numeris
quaefitis fequentes praebet \alores :

c-fcof. acof. vcof e^ ^» C+fm. acofvcof.e-)
"" y-f- fin.ct fin. ^ fin.es ' /-co( afin.a fin.er '

C z:
E-

l-
Lz

Nz:
P z:

:-hco( §fin.Ycol.£l
>— fm.io cof ^ fin e^

J + fin.ctcof.t^cof ^:
|-f-cof.a (in. Y fin.^<
J + fin ^ C\n.Scoi,^'
[ — cof Scof yfin. ^<

C f fin. acor.^fin.2^7
^ — co( aC\'A.ycoi.c,^
Q+fii).Sfin.(J fin.^^
^-fco^.Scol.ycor^^

j4- cofacof.yfin. e^ ^ _
^-fin.afin.<5^co( e^ '
.4-col. S fin. -y fin O
}-\- fin. Scoi.(^ coi. eX

i D =

5 F =
; H =

; K =

; M =

0.=

j-f fin. Sfin. y co(.£^
> -{- cof Scof ^fin.gc

C— cof a cof S coC Ij

^-i-fin. afin.y fin.<^5 '
J— cni. ^fin ^coC.^l

}-fin.§co(. Y fin.^S

— cof a cof ^fin.<^o

— fin. afin.y cof.^^ '

— cof S C\n.SC\n.^l

-f fin.^cof Yco(. ^5

,-i fin a coC.y fin gi
I 4-co( a fin.(Jcol.£^ '
C4 C\i\ Sfin. Y fin. £p
^ — col. Scoi.6 cuf.£y
XXiV.

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 93

XXIV. Circa hos aiitem fedecim valores, qui-
bus decem conditioaes iii problemate alhitae im-
plentur , hanc infignem proprietatem locum habere
obferuo , vt lisdem quoque fequentibus decem condi-
tionibus fatisfiat : '-•'^i"'^

11°. AA-i-BB-4-CC-4-DD=:i; 15°. AE+BF+CG+DH=:a
12°. EE-f-FF-i-GGH-HH-i^ i6\ Al+BIi+CL+DM-o
14^ II -HKK-^LL-i-iVlMz:i; 17°. AN+BO+CP+DQno
14.0. NN-hOO-hP P-+-Q.Q.- I » 18'- H+FK+GL-fHMzo

19^ EN+FO+GP-fHQ-o
20°. IN+KO-fLP+MQpo.

Quod efl Theorema prorfus memorabile ac fimile
ei , quod initio circa nouem tantum numcros de-
moiirtraui. Eo autem modo, quo ibi demonftrafio-
nem adornaui , hic quidem ob littcrarum niultitu-
dinem vti non 1 cebit ; fcd quoniam ad hos \alores
generales fucceffiue peruenire docui , demonftratio
ita coniienientiirime co ;ficietur , vt fi haec propne-
tas in va'oribus quibus]ue antecedentibus , locum
habuerit , eadem quoque in fequentibus per tran^for-
mationem inde deriuatis locuin habere oftendatur.

XXV. Co fideremus igirur valorcs qiioscun-
que intermedios qui per qnatuor primitiuas quanti-
tates X, y, z, v )ta definiantiir , vt fit

"vbi coefficientes ita fint comparati , \t fupra me-
moratis conditionibus fati^-fliciant ^ fciUcet vt fit:

M 3 5l'5(-H

94- PROBLEMA ALGEBRATCVM.

quae condkiones vtique in prima pofitione locum ha-
bent , vbi eft A'-"^ =:r a^, /"^ — j/, z^""^ ^ z , v^^^^ — v;
fiquidem tum habetur :

$(zii; ^-o; 3 = o; 9^ = o

23 = 0; gini; ^=:o; Ozzo

^zro; & — o; 2 zz i ; ^zzo

©zrro,- S^—o; ^—o; O-i.

XXVL Ponamus ex iUis valoribus per tran-
fprmationem fequentes ita deriuari

prodeant hi valores derinati

\t pofito

^(n-HO_?p,/^,^r)/^_|_gj/^^Q/.^

eritque :

^'—^coa-\-(lCw.$; (^'-mn.^^dcoC.^; 3^-3- ^'z'^
^ZL^cofHgfin.e; g':i^fm.e-5cor.O,- ^^.^^ 0'-0
^'—(lcoU-^(Bi\n.Q; (B'-(lf\n,Q'&coiJ; 2'-2; ^'~^
S)'z;S)co(.0+JpGn.e j Jj)'zS)fin.O~/pfin.^^ 'm'-'^; OJr.O.

Vnde

PROBLEMA ALGEBRAICVM. ps

Vnde quidem hae conditiones iam fponte im-
plentur :

^'^'{-^'-{-^'^'-{'m'^'-! ; ^'^'^^'0'-h2'f'-i-lSll'0,'zo

m'^'+o'o'^TP-\-ojoj:z I.

XXVIL Reliquis vero etiam conditionibus fa-
tisfieri facile oftenditur ,* erit enim :

%'^7i'i^'^'']-€'^'+^''^'=+ {m+^mm+^^) cof. ^7

-f (i^£+g3H-ee+j&$) fm. r^-

4-i.cor.o'' 7

r= + i.fin.^' J. — I
^o.fin.Ocof.OJ

quod fimili modo de fumma quadratorum fecundae
columnae d' ^' -{-%'%' -^ && -i- f;>' S^' oftenditur.
Deiiide etiam res manifefla eft circa lummam pro-
dudlorum :

pariterque etiam circa has fummas :

^'m-^'o'-{-€'^'+^'Oj=:o ; ^'y+%'!^^-\-m'^^;>"m'-o

ct m'-\-%'o'^&p+fp'oj-o

fnde tantum relinquitur haec :

^'

96 PROBLEMA ALGEBRAICVM.

4-fm.Ocol.a'J
-fin.OcofJl
+ olin.0 [
— ocoI.O' J

XXVIIL Cum igitur harum decem conditio-
num ventis in pofuione prima , vti iam oftendi ,
fit manifefta , etiam in pofitione (tciinda per trans-
formationem binarum inde deduda quo.|ue iubfiftet ,
hincque etiam in omnibus fequentibus pofitionibus
limili modo ex praecedentibus dedudis. Quocirca
etiam folutio geueralis fex transformationibus \ti iti
§. 2 1. abloluta ita erit comparata , vt non folum
decem conditionibus in problemate praefcriptis , fed
ctiam alteris illis decem §. 24, commemoratis fatis-
faciat : hocque ita vt decem prioribus conditionibus
fatisfieri nequeat , quin fimul decem pofterioribus
fatisfiat. Atque hinc iam facile colligitur eandem
proprietatem etiam in problematibus , vbi fimiiis
quaeftio circa 25 3^ plurcsque numeros inftituitur ,
femper locum habere debere. Progredior igitur ad
fequens.

Pr o ble ma.

Inucnire 25 numeros A, B, C, D ctc ita in
formam quadrati difponendos;

it

PROBLEMA ALGEBRAICVM. s>7

A, B, C, D, E

vt Aimmae quadratorum ex (in- F, G, H, I, K
gulis columnis tam yerticalibus L, M, N, O, P
quamliorizontalibusdefumtorum Q, R, S, T, U

V, W, X, Y, 2

vnitati aequentur , fummae produdorum autem ex
binis columnis fiue verticaiibus fiue horizontalibus

fbrmatorum euanefcant,

«

XXIX. Ex praecedentibus intelligitur hoc pro-
blema eo reduci , vt fumtis iftis 25 numeris pro
coefRcientibus , quinque variabiles «, v^ x^ y z per
huiusmodi formukw*; in alias transformentur :

V=:F«+G'y-i-HA;+ ly^Y^z
'X,zz'LU'^MV'\-l<iX'\-Oy-\-Vz
YzzQw + R^y + S X ^Ty-\-\Jz
ZzziVtt-f-W^y+XAr+Yj-t-Z»,
vt fiat :

UU4- V V4-XX4-Y Y4-22 =: uu^rVV-^-xx-^-yy-^-zz.

Qiiod ergo problema , cum quinque quantitates 10
combinationes diuerfas binarum admittant , per de-
cem transformationes fuccefliue in binis inftituendas ,
refoluetur , hoc modo :

Tom.XV.Nou.Comm. N I-

98

PROBLEMA ALGEBRAICVM.

I.

IL

IIL

u^—ucor.a-^-vCia.a

;/"z:Aof§-i-A:^fia.S

^^"b«"cofy-hy^rin.y

V^-U.lA.Oi—VC^i-.Cl

.X?"-(yI

•i;"^'!;"

x^^x

.«;"-«^fin.g— A'^cof.S

^^"^-_A^"

y-y

y'^-)'^

y^-M^^fin.y— y"cofy

z^-~z

■^"-2^

^iiL^ii

IV.

V.

VL

u^^^-u^^koid+z^^^Cm.l

^/nt.^^

«^^z:^/

^'''-v'^ .

.i;^-i;^^cofe+A.-^fin.£

^^^=:^W.<-V-/fin.<

^'''-x'"

.^-^^^fin.s-.r^^coi.£

X^^^HJt'^

yv^yii

V IV

yV_^IV

yba;^fin.^-/cof.<

5^^-tt"Tin.^-5"^cor<$

^v_^iv

z^^^-z""

VlL

ViU.

X.

^VfI_^VI

«v"^z«^«

^ix_.^vni

i^v^-i^^^cof.-viH-s^fin.-vi

.;,v:ii-^Vli

<i;'X-<i;V"I

a:^"=a:^'

A-^'='-xV"cof.H7''"rin.a|A^^z:J^^^cof>t+^^"'rin.H

yVII_^VI

/"^=A;^"fin.O-y^^cof.(

)j'^^Z./'"

«^"z^y^^fin.vj-^j^cof.-^^^^^r^^"

.ix_^viii(|„^_^vin^.^^^

X.

ft^-

«^

U

^x^

:<z;ix

V

a:^r

:a:^^

X

/3

y^^cof X +

5;^^fin.X:

zY

s^z:

.s^^fin.

X-

;s^^cofX:

:Z.

XXX. His ergo operationibus decem anguli
arbitrarii introducnntur , in quo chara^ftLT folutionis
completae feu generalis confiftit. Cum enim condi-
tiones ex columnis verticalibus petitae problemati
foluendo fufficiant , indeque alterae conditiones ad
; ' " colum-

PROPLEMA ALGEBRAICVM.

99

columnas horizontales fpedantes fponte impleantur 5
qiuidratorum rummae praebcnt 5, produdla vero cx
bmis 10 aequationes ^ ita vt omnino 1 5 conditioni-
bus» fit latisfaciendum ; quare cum 25 numeri inue-
ftigandi proponantur , ex iis decem adhuc manebunt
indeterminati , in quo etiam folutio hic data egre-
gie conlentit , dum plures quam 10 transformatio-
nes , qune quidem circa binas qiiantitates diucrlas in-
lluuantur , locum habere nequeunt.

XXXL Quo illarum fbrmularum euolutio fa-
cilior reddatur , qualibet operatione duae transforma-
tiones coniunt^i poffunt , prorfus vt in (olutione prae-
cedentis probl matis ert fadum. Has autem coniun-
(ftiones ita capi conuenit , vt quantitas folitaria nul-
lam mutationem patiens in omnibus (it diuerfa : id
quod euenit fi binae praecedentium tranbfbrmatio-
nu n hoc modo coniungantur :

(I.VIII), (I1,V1I), (III, IX), (IV,VI),(V,X)

vnde fcquentes quinque transformationes oriuntur ;

1.

*u^~uCin <JL -Tcof a
A'^iA:corg-hyfin.S
yrxfm S^cof?

IL

V

ii-n,i

IIL

u^^^-i^\oC.z+y^ fin. s

'L;^co(.<J-i-^'fi.i. V"^'^^"

"3«^lin.Y-A-W.yk'"-a"cor2;i 2"fin.<;

v^W

^^'z^^fin.^^-s^cof ^^"^^"fin^-^ncof <

N

lY.

100 PROBLEMA ALGEBRAICVM.

IV. i V.

^IV__^III

^IV - ^III f^p^ ^_ ;2"^ COf.Tl

//-2^^^

<y V - ^i^of H 4- a:^ fin . K

a:^ - 1/^ (in. K, — s^^ cof Jt

>'^i:y^cof.X4-<3^''fin.A

^^=:y^fin X-2^^cofX

XXXIL Simili modo problemata hiiius gene-
ris circa 36^ pluresque numeros , quorum quidem
multitudo eft numerus quadratus relolui poflunt ;
\bi pro calculo contrahendo non folum duas , fed
etiam trcs ac deinceps plures transformationes in vna
operatione compledli licebit ; Atque hic perpetuo
pulcerrimus confenfus inter folutionem generalem ex
omnibus combinationibus eliciendam ac rei naturam
deprehendetur. Pofito enim in generc quantitatum
quaefitarum numero — ««, quadratorum funimac
vnitati aequandae praebent n conditiones , produdo-
rum autem ex binis nihilo aequandae - ^^"^^ , ficque
coniundim VL±J* conditiones , quo numero a nu-
mero quaefitorum n n ablato , reftat UL=J1 , ac pra-
pterea totidem ex quaefitis manebunt indeterminati ,
feu folutio generalis totidem quantitates arbitrarias
compledi debet, fecundum regulam autem fupra eX'-
pofitam in hunc finem ^JLzl? transformationibus eft
vtendum , quibus ergo praecife tot anguli arbitrarii
in calculum introducuntur.

Problc*

PROBLEMA ALGEBRAICVM.

lOI

Problematis initio propofiti folutio ge-
neralis in numeris rationalibus.

XXXIIL Coronidis loco folutionern problema-
tis noftri e inethodo Diophantea petitam , fubiun-
gam , quae fequenti modo fatis concinne exhiberi
potefl.

Sumantur pro lubitu quatuor numeri />, y, r, f
ac pofita quadratorum eorum fumma pp-{-qq-\-rr
■H-xj — « nouem numeri quaefiti ita determinati
rcperiuntur :

T\ — ^qr — tps . jg — pp^qq^rr-^ is . p — zpn^irs

G 2 q t-H 2 ^r . TT 2rg — ipq . T pp — qq^rr~^si

u ' ' u ' V, •

Hinc fimpliciflimi numeri , qui quidem inter fe omnes
fint inaequales , colliguntur lequentes in quadratum
difpofiti :

+ 11

1 2» 16
"r" S7 S7

+ A

~ S7^ S7

1 32 "**• 1 '7
"T $7 S7-r l7

hic eft

-f-ll

, 26

1 ^^

1 53

22
— 63

2

77"T

,46

-rc3

1 ^*

l 53

38
— 53

1 37
1 53

vbi efl:
r=z2,

En adhuc alia fere aeque fimplicia exempla

4-f?

42

" 7T

4- £6.
•^ 71

1 S6
"1 99

4- ^-
1 99

31

99

1 1

71

4- i£

-t- 7.

1 66
* 71

14
99

4- ^-
1 90

4- 5«
1 99

~ 7I|^ 7T

5

7 I

~ 99

46

99

4- ^-

T^ 99

N 3

Pro

Z02

PROBLFMA ALGEBRAICVM.

Pro cafu fedecim numerorum.

XXX IV. Si pro calu redecim numerorum (i-
mili modo in quadratum difponendorum lolutio ia
rationalibus defideretur , vnde ftcile nun eros noii
nimis magnos repeiirc lceat ; methodus lupra data
ad hunc finem difficulter accommodatur. AlioauteiU
modn prorfus fingulari fequentem folutionem latiirime
patentem fum nadus , \bi lumtis pro lubitu odo
numeris a^ b, c, d, p, q, r, s, fedccim numeri in
quadratum difpofiti ita fe habent

-{ap-^bcj-^cr-^d:

-\-aq -bp—cs fdi

-^ar ' b s—cp-d(j

-^-oLS—hr-^-cc^^a I

raq-bp-^cs—d]

-ap-bq-\-cr ds

V-as-br-cq-^-dp

-ar-bs-cp—dq

-\-ar—bs-cp-rdq

-as—brcq—dp

—ap-\-bq-cr-vdi

■\-a q-\-bp-C5 - ctr

-\-as-\-br - cq-dp

-tar bs-icp-dq

-oq-bp' cs-dr

—aj-\-bq-\rr~ds

vbi fumma quadratorum in fingulis columnis fiue
horijontalibus fiue verticalibus prodit vbique eadem
zziaa-i-bb-^-cc-^-dd^ipp + qq-^-rr-^-ss). Quare
vt hac fummnc \nitati aequentur, hanc expr fliunem
quadratum reddi , per eiusque radicem fingulos
numeros diuidi oportet. Tum vero hi fedccim numeri
etiam hac gaudent proprietate, vt lumma produdo-
rum ex binis columnis fiue horizontahbus fiue ver-
ticalibus fumtorum vbique euanelcat.

XXXV. Hinc ergo facile plurima exempla
in numeris fatis exi^^uis deduci poffunt , inter quae
fequens idco noratu dignum videtur , quod omnes
numeri fint inter le iuaequales

4-37

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 103

f]uacirata

43-^

— 0

4-T'

— 2

+ 4

•r33

4- '^
4-1^

4- 1
-18

4-12
4- 9

— -7
t34

-36

1369

i6

36

1089

1 21

64

4

3<5i

324

4<v

I 156

14-4

I 290

1530)1530 I53C

I5 3C

1530

1530
1530
1530

rammac

fummae

ac de produdis binorum res eft manif fta :

cum fit -6.374-4-33-I- i84-9.i2:ro

4-4.37-6.334-8.11—2.191^0.
etc.

Generales autem formas infpicienti facile pate-
bit, per eas omnes illas 20 conditiones §. §. 20 et 24.
allatas pert^de impleri , fiquidem fummae quaterno-
rum quaviratorum ad vnitatem reuocentur.

XXXVL Solutio haec eo maixrem attentionem
meretur quod ad eam nuUa certa methodo , fed
potius quafi diuinando fum perdutflus : et quoniam
ea adeo odto numeros arbitiarios implicat , qui qui-
dcm fa<n:a redudlione ad Yniiatem, ad feptem redigun-
tur , Yix dubitare licet , quin illa folutio fit vni-
verfalis tt omiies prorfus folutiones poflibiles in fe
compledaiur. Si quis ergo viam diredam ad hanc
folutionem manuducentem inueftigauent , infignia
cert^ fubfidia Analyfi attulifTe erit cenfendus. VtrLiin
autem fimiles folutiones pro amplioribus quadratis ,
quae num^ ris 25, 35 et maionbus conrtant , ex-
pedare iiceat , vix affirmare aufim, Non folum

ftutem

104

PROBLEMA ALGEBRAICVM.

autem hinc Algebra communis fed etiam Metliodus
Diophantea maxima incrementa adeptura Yidetur.

Froblema curiofum.

Iniienire fedecim numeros ita in
quadratum difponendos , \t non folum
fummae quadratorum per columnas tam
horizontales quam verticales fumtorum
fed ctiam eae quae per diagonales fumun-
tur , fcilicet A^H-F^ + L^ + Q; et D' + G'TK'Tn"'
fint omnes inter le aequales , ac praeterea produda
binorum ita fumtorum , vt fupra e(t praeceptum ,
euanefcant , fcilicet

A
E
1

N

B
F
K
O

C
G
L

D
H

M

AE+BF+CG+DH=o
AI+BK+CL+DMz:o
AN+BO+CP+DQzio
EI+FK-fGL+HM-o
EH+FO-iGP+HQzio
IH+KO+LP+MQzo

AB+EF+IK+NO=o

AC+EG+IL+NP-o
ADtEH+lM+NQ=o
BC+FG+KL-fOFno
BD+FH+KM+OQ=o
CD+GH+LM+PQ=o.

S O 1 U t i O.

Hfc ergo proponuntur 22 conditioncs , qui-
bus fatisfieri oportet ; omiflis autem duabus ad d agona-
lcs fpedantibus , fequcns fbrma generalis reliquas
omnes adimplet ,

-\-ap-\-b^-{-c'r-]-ds

—Qq-\-cip-]-cs—dr -\-as-\-br -i- c q-\-dp

-\-ar-\-bs—cp—dg

—as-\-br—cq-\-ep

-^-ar—bs—cp-^-dq

- as—br'\-cq-\-dp\.-\-aq ~bp-\-cs—dr

-\-ar—bS'\-cp—dq

-ap-^-bq—cr-^-d siA-a q-\-bp-\-cs-\-dr

"aq-bp+cs-^-d r—ap-^-bq-^-cr-ds

-{-ap-^-bq—cr-ds

-\-as-br—cq-\-dp

-{-ar+bs-^-cp-^-dq
vbi

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 105

vbi fumma quaternorum quadratorum ex columnis
tam horizontalibus quam verticalibus fumtorum eft

cui Yt etiam fummae quadratorum per diagonales
fumtorum aequentur , fequentes binas aequationes
confici oportet :
-{■abpq^ab rs-^-ac pr-\-ac qs-^-adps-^-adqr-^-bcqr-^-bcps-^-bdqs

+bdpr-{-cdrs-{-cdpqzo
-^ abpq -ab rs^acpr-^-acqs-adps-adqr- bcqr—bcps-^- bdqs

-Ybdpr—cdrs^cdpqzzo
ex quibus deducuntur hae duae :

[ac-^-bd^^pr-^-qs^-zzo
(ab^-cd^ipq-^-rs^+^ad-^^bc^^ps-^-qr^^o.

Vnde hae duae determinationes eliciuntur :

1. pr^rqs^o et 11. - — T{n^rs)-^d{jT^:^)

ita vt adhuc fex litterae arbitrio noftro relinquantur.

Euoluamus exemplum fumendo p=6^ ^ — 3i
r— I, J--2 vnde cum fiati — ==i^-^, fit^— o,
bnzi^ aziz^^ czz.16 et quadratum omnibus coa-
ditionibus fatisfaciens erit

-i-73

-29

-85

+65

-11

-h3i

-fi07

-f4i

-67
-65

4- t

-67

-35

-hio3

vbi fummae quaternorum quadratorum fecundum

cohimnas tam horizontales quam verticales , itidem-

Tom.XV.Nou.Comm. O quc

to6r PROBLEM/V ALGSERAICVM.

qiie fecandam diagoiiales rumtorum, prodeunt r: z6^oq
ex quo fi hi nu-meri diuiderentur per 130 , liae
fummae oinaes ad vnitatem rcdigerenruE.

Si quem hic ofFendant numeri 6^ et 67 bris
occurrentcs , adiangam aUud hiiiusmodi quadratum
minoribus adeo numeris expreflfum.

4-6 8

+ 5s
— 11

-29

H' 3 1-

4-41-37

4-79

4-3;2

4-61

4-49

^28
-77

— 2
4-8

vbi quaternorum quadratorum fumma eft 8515.

o l^ i

N(3tetur deniquer in hl^ quadratis etiara qua-
drata tam numerorum angularium, quam medioium
eandem fummam produccrc.

SOLVTIO

S O L V T I O
fROBLEMATIS ALGEBRAICI,

DE INVESTJGATIONE NVMERORViM CON-

TINVE PROPORTIONALIVM , QVORVM

DATVR SVMMA a , ET SVMMA

^VADRATORVM b,

Auctdre
AN D. lOH. LEXELL

1,

Occurrunt in Ekmentls Algebrae Samderfonii , Ib-
lutiones diiorum problcmatum a Moi^vreo alla-
tae : de iniieniendis quatuor aut quinque termmis
progreffionis geometricae , ex datis eorum fumroa
ctfamma quadratorum. Has quam primum \idere,
coritigit , in mentem milii -venit , generaliter folui
pofle problema , quo quaeruntur numeri quotcunqu^
continue proportionales , datis eorundem fumma et
fumma quiidrntorum^ in qua opinione deinceps quam.
maxime confirmatus fui exinde , quod \w Mac-hurh
ni Algebra , foluti-onis quoddam fpecimen , pro illo
tantum <:a(u , quo numcrus rerminorum eft impar ,
traaitam efle inueni. Qnae itaque ad hanc quatliio-
nem explicandam meditatus flim , ea hoc ioco ex-
ponere contUt^i , idque,_non tam propter Ytilitattm
! O 2. ex

foS PROBLEMA ALGEBRAICVM.

ex hoc problemate rcdundantem , quae fane exigua
eft ; quam fcgregia illa calculi fubfidia , quae ad eius
folutionem requiruntur.

2. Sit w H- I numerus terminorum continuc
proportionalium , dicatur \ero prinrius progreflionis
terminus x^ et vltimus y^^ quam ob rem liquet ,
totam progreffionem fequenti ratione exponi pofle:

x^^-^x^^-y-^-x^^—^y^-h {-xy^-^^xj^^^^y^^a

ex quo itaque deducitur;

x''^-\-x''^'y'-\-x''^'y*+ .... ■\-x'y^'^"'\-xy''^''-Vy^'^z:zb^

muhiplicata igitur priori harum aequationum per
x—y et pofteriori per xx—yy, eruitur inde ai^x—y)
^x-m^i _,ym^r nec non bix x-yy^z^x^^^-^^-y''^-^^
vnde dluidendo b {x x —yy) per a {x — y\ fiet *J5-+o')
zzx^-^' '^y'^'^' , ex quo deinceps colligitur
nx'^-^' :=:^J^L±J}^a{x-y) et 2 j/^ -»- ' :=: ^j£zi-2)
-h a{y — x) , quod fi igitur ponantur a -{-- z:^Q.d
tta-~^=i2ey erit x"^-*-* ziz d x - ey et ^^*"-*-'

j " , xid-x"^) yid-y"^)

zzdy-ex, vel y— ■ — et ^ rz ^. Sit

e e

X z x"^ z"^

jam d-^x^^zzzz^ vnde yzz — et j"^ zi: — ^ , erit

XZd-X^^Z"^^

proinde e x :z:y {d -y"^) n: — ( :^, } ideoque ^^-+-*:

e t

zi:z(de'^^x'^z'^) , vel in locum ipfius ^t"^ fubftituen-

do d-z, fiet: z^ -*- "" -- d z {z'^ - e"') - e"^ -^ ' zz o.

Haec vero aequatio , etiam hac ratione inueniri-

poteft :

PROBLEMA ALGEBRAICVM. lop

poted: quandoquidem fit /zr.^ et x^=:d—^^ fiet

adeoque per proprietatem progreffioais geometricac

-^ : e -^- z :: cZy feu s'"-^'

--dziz^-e^^^^e^^-^^zzo,

3. Periienimus quidem fic ad aequationem ,
quam non nifi vnica quantitas incognita z ingredi-
tur , adeoque fi ipfius valor hinc per datas et con-
(lantes quantitates elici potefl: , patet problema efle
folutum ,• circa allatam tamen hanc aequationem ob-
feruandum eft , quod eadem in fimpliciores mutari
poftit. Sit enim i"*" m numerus par vti zn 2 n,
eritque ideo z^^^-^^-dz^z^^^ — e^^^^ — e^^^-^^zno^quam
aequationem per ee—zz diuifibilem effe patet , et
diuifionc inQituta habemus :

(A)
-f- ^' ^ =: </ 5J (5:'"— ^ -V- 5;'''— V' ^ 2'"-' ^^ -f- .. . . + s' ^»"-*
-f-^'^""). 2'^" Si m fuerit numcrus impar , ponatur
f» -f- I ~ 2 « , idco ]ue eo in cafu : ^*''"*" — 2'""*"'
— ^jsr ^"*""'— «^"""'Izzio, ex quo diuidendo per ^--«
reperitur effe : s"*4-s'"'~V-i^;s"'— '^^-f-... .-l-5;V—

(B)

^^^''"-"-^-^'''zzdziz^^^^+z^^^-^e+z'''''*^*^....

O 3 5i

/

iio PROBLEMA ALGEBRAICVM.

Si igitiH* ex ac<|uatioae (A) quaeratur valor
ipfins ^, inrcru.iet idem determinandis quaatitatibus
CDfltimie proportionalibiis , <^uorum uamerus eft iim-
par , aequatio vero (B) dabit quaefitos valores , quo-
ties numeras terminorum eft par. Et in aequatione
(A) quidem , z euehitur ad dignitatem 2.nzzm^
adeoque haec aequatio eft gradus 2«, quo numerus
terminorum confnue proportionalium, vnitate mul-
^latus e^^primitur.j verum in aequatione (B)l, fumma
dignitas ipfius 5? eft 11; 2 « ~ 7» -4- i , leu aequalis
numero terminorum,

4. Etfi allatae aequationes f A) et (B) , viden-
tur effe fui generis fimplicifljmae , quarum ope
quantitatem incognitam z inueuire licet,- nouam ta-
incn in computum introducendo quautitatem inco-
gnitam , fit , vt hae aequationes transformari queant
in alias , quae ordinis fimt ;/, femifljs nimirum il-
lius , ad quem (A) vel (B) pertinent. Etenim quura
(((-^X^^^id-y'^)-^' conf §. 2, fiet ponendo d-y^^-if,
ivz^^\, axleoque cum in aequatione (A) pro /, e*,'
e etc. fubftituuntur valores ipfis aequales s 1;. , z 'O ^
z if ctc. omn^bque termiiii per ^ diuiduntiir ,
orietur :

(€) ;

Haec vero ipfa aequatio faciie eruitur , ex ifta
^3/i-+-2_2c«H-2_.^2(^2n__^2n-^ ^ quippe quae pro e*

fubftituendo v z, mutatur in lianc : <z;''^' -;"-^-'—5;'""*"'
:=zdz['v''z''-z''') vei v''-^' '-z^-^'zzd(^v'' — z"") y ex

quo

FROBLEMA ALGEBRAICViVI. ni

qiio diaidenio per' v-z, prodit acqiiatio (C). Qiiod
vem ai aequationem- (B) attiiier ,. cbferuamus iilam
fic exprimi polTe :

^ igitiir Iieic in rociim ipforum ^% /, ^^ lubltituant-
xx\r V z y i/ z"^ v" z etc. omnesque termini per z^
diuidantur , emerget

z''-^r^ — [d-e)[z'"-''^{e-\'V)z'"'-\'(ev-^v)z'"'

+ .. .. .+^i^''-'-V-iJ.''")
vnde. deducftur :.

(D)

4-^"-'^' + .. .- +5;'z;''-^ + 'y"'''). Huius autem aequatio-

nis inueftigatio fequenti quoque ratione inltitui poteft,

quia nimirum Iioc in cafu ^'"-^ -5;'"-^'::^5;(^'''-'-^'"")
.■vel. ^2n-h2_^2;=n_}-,_^^^^27i__^^2n-ij^ fubftituendo igitur

f^jz pro /, et diuidendo totam aequationem emergentem
per z^-^\ fiet, n)^-^' —ez'^zzdnf-'-dez'^~' qoum vero
fimili ratione eliciatur 2;"-^' - e nf'— d z^ - de v^'^' , fubtra-
hendo hanc a priori , prodibit 'z^""'-'-:^.""^' -((^-^) [v^^-z"^)
+de(v'^~' — z''") et diuifa denique hac per iz — <$;,
emergct aequatio fupra allata (D),

5. lam vt aequatio inucnta (C) transformari
poftlt, aft^umatur z -}- v ~ u et ponatur prius aequa-
tionis lUius membrum , nimirum z^ + z^^^^v-^rz^^^n/

+ + z"v''-'+z'u''-' + n)'' — u''-\-Ae"u''-'^Be*u'''*

+ ctc. , pofterius "vero ^{5;''-" + ;2!'~'i; + s"^^i;' +

112

PROBLEMA ALGEBRAICVM.

4-etc.), vndefiet z^^^-f A/«"-^+B Z^^'' "*+€/«'' -'+ ete.
zr^Cz^^^-^+ct/w^-^ + p/z^^-^ + Y^V-^+etc. ), cuius
aequationis indoles et natura erit naanifefta , modo
valores coefficientium A, B, C etc nec non a, p, y etc.
rite determinentur. Hunc in finem , ponantur euolui
{z-\- 'vy ^ iz-^-vf"'' Gic. et pro^*,/,^* adhibeantur
217, s'i;', ^''y' erc. , quo fadio orietur

s"-fw2''-''V+^^^^^2"-*'y'+ 'L^i:!^z''''V'\-''-^^^';~^^ 1?*+ ctc.

^Az^^-^vHn-^lAz^-^v+^^^^Az''-'^"'^^!^^^

^ B «"-^^^'^(«-^^Bs^^-^-y^+^-^^^^^^iOB^s^-^-y^+etc.

+ Cs"-^i;'+ («-<5).C5;"-a;*+etc.

+ D^i^-^-y^+etc.

Comparando nunc fingulos inter fe terminos ,
in quibus 5; et i; ad eandem euehuntur dignitatem ,
inuenimus : A~ — (« — i);
B--i-^5:^^-(«-2).Az3Ci.i^"^^ C-i-"<"7';-^^^

fimili ratione definiuntur

'*-'"■ I. 2. 3. + i t. 2. 3. 4. 5

Hec noQ reliqui coefficientcs. Ipforum autem a,p,y etc.
indoles eodem prorfus modo indagatur , adeo vt fit

rv,, (n — 6).(n' — 5).(7i — »). > _(n — 8).(n — 7).(n-6).(n - s)

y ~— . - , w— — •

* I. 2. 3 >• 2. ?• 4

His

PROBLEMA ALGEBRAICVM. ns

His igltur coefficientium aeftimationibus, in aequatione
(E) fubftitutis , fequens denique habebitur aequatio :

^ ' I. 2 1.2.3 •

(G)

.r^v'

6, Legem fecundum quam, coefficientes aequa-
tionis allatae progrediuntur , qui confiderauerit , in-
veniet coefficicntem K quantitatis e"^ i£^ — '^^^ dum
2 r <^ n , hac ratione exprimi pofle

K — -4- (n-4-i — t r\{n^2—2r) {n — r)

" 1. 2. j. 4 r ' >

vbi obferuandum venit , fignum + obtinere , fi r
lit numerus par, fignum vero — , fi idem fit impar.
Vt proinde inueniatur coefficiens vltimi tern^inorum,
ad prius nequationis membrum pertinentium , prae-
primis notandum eft , an « fit numerus par, vtrum
vero impar. In priori cafu ponatur «=:2r, atque
tum fiet K ± ;•/;'-••• ^ zr +; I , at in pofteriori ,
fit « zi: 2, r H- I vel « — i n: 2 r , adeoque erit

,...K^ + '-';-;;:;:^=+(>-+i).

Eadem quoque ratione coefficiens I quantitatis
^^2s^n— I— as^ quoties 2. s non excedit f2— i, inuenitur
efle — + (iLzii£Nil±^-ilLi^-jLllzi^T::l) afficietur autem

I. 2. 3 s

I figno affirmatiuo , fi s fit numerus par , negatiuo

vero , fi ponatur impar. Hinc iterum diiudicabitur ,

quinam fit coefficiens vltimi termini ad pofterius

Tom. XV. Nou. Comm. P aequa-

ii4 PROBLEMA ALGEBRATCVM.

aequatloiis m^mbrum pertinentis. Scilicet pofito n.
numero^ pari atque =z ax -+- a erit

irerum fi n fit -numerus impar et zzis^i erit

■j __ ^l_ :>-. ^ ^ -3'^_ I

Quum itaque polito « zr 2 r , fit idem m2x-H2-,
erit r rz j" -i- I et quia in altero calu n zn 2 r -i- i
zz 2 s -\-- I, fiet quoque r=::x. In calu igitur prioxi
erit is aequationis terminus , quem quantitas in-
cognita u noii ingreditur ±:^'''> ^^ pofteriori vero
-I- d e^~^ ^ et de (ignorum \ariabilitate obferuandum'
eft , quod figna affirmatiua qbtiueant , fi numeri n
•vel « — I fuerint mwltipli quaternarii , negatiua
autem fi binarii tiintum, Ex his perfpicitur denique,.
quod fi numcrus terminorqm continue proportionalium
fuerjt 3 vel 11 , 19, 27 ctc. fore aequationis ter-
minuni conftantem d vel de'^ de^^ d e^' ctc, fin vero
illc numerus pertineat ad hanc feriem aritlimeticam
5 , 13 1 2» 1 29 etc. erit quantitas ifia conftans
^y vel — ^* — e'° — e'* etc. , aflumto iterum numero
terminorum 7 vel 15 , 23 , 31 etc fiet comme-
morata quantitas conftans -^ de" ^^:- d e ^ d e^^ etc. ,
denique ii numenus terrainorum fit ex hac pro-;
greflione arithmetica 9,17, ^^5» 3 3*etc.'orientur quaa-
titatis conflantis valores , /, ^', ^" £tc.

7. Inuento per aequationem (G) Talore ipfius
U^ -quantitates z et 1' ^cili negotio dcterminantur ,
quum ^nim z -^rVzzu et 'zvzze^.^ cognito «,-^2 et «y

quae-

..PROBLEMA ALGEBRAICVM. 1x5

quaeruntur , ope notiflimi probkmatis , de inuenien-
dib duabus quantitatibus , quarum datur fumma et
produdum. Erit nimirum u — zrziJ et uz—z^zze*^
ex quo fit zzzlu^^V [lu -e"), Tbi funul obferuan-
dum , quod li fuerit zzzlu -i- V {l u — e ) , forc
V =z 'i u — V (l u — e* ) et viciflim. Hinc quoniam
z — d-x'^ erit ^"^ zzd—lu T ^^ ( i «* - ^') «ec
non. y'^~d'-vzz:d'-~u± V {iu — e^), Inuentis
autem primo vel vkimo progreflionis termino , re-
liqui facile innotefcunt , nam x"" : x^^^^yy.xiy ::e ', z

\ Z X"^ Z. (d-^Z) .;.-...,--;•; rfV

ideoque A'^""ji=: zz , quomodo autem

ex primo et fecundo termino, reliqui determinentur
ftt ft patet. *\ [l- -biiir::.; H)

8.. 5r iam aeqiiationem (D) examinl fubiicia-
mus , inuenimus ftatui pofle :

n-Ae\. {z + *i?r.-H B e^iz-^v^^^-^+CA^z^-^vf-' Hf^etc

^^\ {^^e){z''-^ +z''-'v-\^i^''-^-v:"^^j,i-,:^z-r^^^^^^^
^i^-e) [{z -I- vy-' ^ae\{z-^- 'vf-'-^ ^/. {z-\- vf-'

--f- Yf*.(5;-4-V)"'~''+ etc.) et
3'". ^e (2"—=^ +z''-''v-^z''-'v*-^ . . . . -^ -s -z;"-'-^ W"~=^5
^^e{{z-i'V}''-^-]r?e\{z-^vf-^--^(le'^.(z:-i^^^^

4-R^^^(^-f^<i?)^-^ + ete.).^
vnde pofito vt antea z -^ v — u ^ prodit

-4-a/«^^'4^p.^««-^^_y^<'^^;^ etc), faaec vero

P 2 . aequatio

1 — is»

ti6 PROBLEMA ALGEBRAICVM.

aequatio facile cognofcetur inuentis valoribus coef-
lickntium A, B, C, a, (3, Y, P, Q., R etc. quorum
determinatio fecundum methodum fupra praefcriptam
ita perficitur , vt fit ^'r:s i\\

j. 3. 3. + ' -^ v ^/ > X. — i. 2 y

j^__fn-3U^-^«--5) gf^, n^j, j^Qjj az:-(«-2), 3-(!L=iiMi-)

V — — ^"—^>- (n^s). (Ti — +). ^ — (^?i — a). (rt — 7). (?t — 6\fn— -O |._

• I. 2. 3 ' ^ !• 2. 3. 4. *'^**"

furrogatis itaque in aequatione (F) his coefficicntium
valoribus elicitur denique :

(H) -^('^JL=^dz2^Xn--s){^-^)e'u^-'^ Gtc.

=z(d - e){u''-' -c « - 2 )• ^*«""" 4-^-^^-^- ^/«"~*

■ __(n— 6). (n— 5).fn — 4)V n— y . g^^.\

1. 2. 3 • * /

p. Serie coefficientium confiderata, perfpicitur,
quod pofito 2r<^n (it coefficiens quantitatis cuiusuis

^tr— 1 tfl—^^r t ((fi — r). f -4-rd). (n-f-i — -T^f^t-H 2 — ar) . . . . Jjn — r—i )

~~" 1. :. 3. 4. r *

vbi fimul liquet , figaum -i- locum obtinere , fi r
lit numerub par , fm \'ero impar, fignum cotfficien-
tis erit negatiuum. Pro eo igitur cafu , quo nzzzr
erit \ltimi term ni ad prius aequationis membrum
pertinentis cotfficiens

quoties autem n impor , ideoque 2r+i=i«, habetur

^ 1.2. 3..« «r »^ ' '

5»

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 117

Si aiitem I defignet coefficientem quantitatis [d—e).
^^V""'""'* atoue fit 2 x << « — I , erit

prout vero s fuerit numerus par vel impar, I figno
4- vel — afficietur. Terminus itaque vltimus po~
flerioris membri aequationis , pro eo cafu , quo n
numtrus par , ponendo « zz 2 x H- 2 , habetur

— J2 -, !',.%'".' .''.T^ ^ ±{^ -^ ^)-> ^^^ ^^ ^ numerus
impar et :r: 2 j- -4- i fit

I. 2. 3 ■ • • • 9 ' —

Hinc proinde fi n fit numerus par , erit acquationis
propofitae terminus is , quem quantitas incognita u
non in^reditur ^^ (^ 4- ^) ^*^""', fin vero impar erit
ille terminus -zz -^ { d -^ e \ e^"'. Denique et ex
his coUigitur, quod prout numeri terminorum con-
tinue proportionalium , aflfumantur ex quatuor hifcft
progreflionibus arithmeticis :

4, 12, 20, 28, 36^ etc.

6, 14, 22, 30, 38 etc.

8, 16, 24, 32, 40 etc.

10, I 8, 25, 34, 42 etc.

terminos aequationis conrtantes , fore ex quatuor his
progreffionibus geometricis

-{e^d).e -{e-\-d).e'--{e-\-d).e'' -(^-f^).^"-(^+^).^'' etc*

--{d—e^.e^—^d—e^e^—id—e^.e^^-ld—e^e^^-id—eXe^' etc.

{d-\-e).e {d-\-e).e id-\-e).e'' {d-\-e).e'' {d^e).e'' cic

(d—e).e* {d—eye* (^— ^).^" {d—e)*e^ {d—eye^^ttz,

P 3 %o.

1x8 PROBLEMA ALGEBRAICVM.

10. Quae ad art. 7. de aequatione (G) mO*
nuimus , eadem ad atquatiorem praefentem (H) at-
que inde eruendos valores ipforum z et «y, nec non
x^ et /"* rite adplic^ri poflunt , erit nim rum z^
lu-± Vdti^-e") et ^'"'rz^-iaH^yt;»"-^') quorum
valorum vterque adhiberi poteft , et vnus primuna
progrcflionis terminum , alter vero vltimuin dabit.
Qiiomodo autem u ex nequationibus (G) et (H) pet
quantitates conftantcs exprimatur , ex dotflfinti de
refolutione aequationum innotefcit , ad nolkura ritar
que inftitutum non amplius aliud pertinct , quam
vt exemplis quibusdam , adpliciirionem folutionis no-
llr^e oftendamils. Sit igitut 1"" numerus termino**
rum continue proportionalium 3, feu ;f'-f- A'74-yr^,
tritque m—i et nmi, atque in acquatione (G)-,
i pro n fubftitueiTdo, lit u — c/, et quum «cz^z^-i-i;
i^s^— ^^'—^''erit x^-^-y^^—d, proinde ^i'^!!:^ *- </nf,vn^
ide ctDgnito medio progrelTionis tcrmino, extrcmi facilfc
indagantur. Fit enim x y zz e zz ^^^^^-^ j ideoqiic
x^ zz d±^/{d^-^^e^) quarum aeftimationum , fi vna
pro x^ aflTumatur , reliqua dabit valorem ipfius j/\
Ponamus a'^'^ numcrum terminorum proportionalium
efle 4, hincque x^ -+- x^ y -}- xy" -^-y zz: a , quum
'IgituV f;7 =: 3 iii 2 * *- I , f\^t nzz i.^ vnde fi in
aequatione ( H ) pro n fiibftkuatiir 2 , emerget

u"-^\d-\-e)ez{d^eyu nec non u-^-=-^-¥yi^±^-\-e"),
Quum itaque u dupliccm hlnc nTincifcat-ur valorem ,
•dif\)icrendum eft , quinam eorum pro lingulis aeqtia-
trofnis propofitae cafibus Vakat. Dum igitiir quae-
,0% runtur

PROBLEMA ALGEBRAICVM. i ip

runtnr termini progredionis geometricae reales , ob-
ferujnjlum eft , quod fx tam a quam b fint numeri
rationales pofit ui , fiet « n!: 1=.^ -+- V {^t±J^ ^ /) ^

fin vero manente b numero pofitiuo , fiat a negati-
vus, erit « z= 1=-^ - y (^AzbiL' 4- /). Eft enim

is? zi J ih^^-T "" ^*^ ' ^"^ igitur valor ne fiat ima-
ginarius , neceffum eft , \t fit «^^4/. Quonian^
Yero V-^l:±^-f-/±(.^-^)y((li±L£l!4-/) fiet

(idz£-4V(^i:±A=-}-/)) vei ./<:-^(n-y(^+/)).

lam f\ vterque ipforum I? et a iit numerus
pofitiuus , ob -^ pofitiuum , quoque .alter iador
S 4^ y (^4-/) efre debet pofitiuus ^et eft quidera
«_j-y(«J_|-/) pofiti-uus, fed |-y(ff4-/) .eft

negatiuus., iiam multiplicato hoc numero per prio-
tem , fit produdum — /, proinde hoc in cafu £rit
« = ^^ 4- y t'i^-1!: 4- ^'j =^»j -h y(f^ -h /J(.

Iterum pofito, quod Talor ipfius a fit nuixie^
rus negatiuus , manente b pofitiuo , erit — negati-
vus, ideoque ;alter fador i+^^lf + ^^) nesatiuum
quoque habebit valorem , proinde jretinere debemus
s — y (--!-/), qui numerus eft negatiuus , cum
alter | -i- y (^ -i- /) , fit pofiiiuus. vtriusque enim
produdum eft — /, ex quo liquet pro hoc cafu fo-
re « — p — y (^ 4- /). Ceterum in vtroque qui-

dem cafu , valores ipfius u iieic Teieftos retinere

I20 PROBLEMA ALGEBRAICVM.

poflemus , qui vero cx illis oriHntur progreflionis
termini , fient imaginarii. Quomodo autcm ex in-
\enta hac quantitate u , omnes progreflionis termi-
nos inuenire liceat , in §. 7. iam ollenlum eft. Sit
denique numerus terminorum 5 et x* -\- x^ y -^- x" y*
^xy-\~y*zza^ quum vero w=z2«=:4 fit n:z::2.^
hinc ope aequationis (G) habetur uu — eezzdu^ vndc
fit uzzii^Vilcf'^ /) , \bi fimilia obferuanda ,
circa valores ipfius u, ac ifta , quae pro numero ter-
minorum quaternnrio iam monuimus.

II. Quo vero magls perfpicua fiant , quae
iam expofita funt, exemplis quibusdam ea illuflra-
bimus. Sint itaque fumma quatuor terminorum
proportional um 30 et fumma quadratorum 340,
eflque ^zi20-+-|, ezz(j-\-^ et uzn ^^-Vi- -^- e)
— y4_y^J2£ — 23-f-i, z vero erit =5 + ^(1«'—^')

et v:=^-V(-:«^--/), vndc zzr V-f-V^r — 18 + I,
tv zz 4-4-1, nec non x^ zzd—z^2 , y^ — d—vzz id,
et propter x^y : x' :: z : e : : 2. : i fit x^y zz 4 ideo-
que JK-jy" =: 8 , omnes igitur termini quaefiti erunt
2, 4, 8, 16. Sit iam fumma quatuor tcrminorum
zz:— 20 fumma vero quadratorum 820,erit^— — V,
e:zzV et « =: V - "^^ 'J' — - 35 , hinc vero fifc
5j — — y ^- V 7!* n: — f et V zz — V ideoque x' zz d
-- zzz — 2^, y^zz d — vzzi^ et quoniam x" y : x' : :
z:e ::- I : 3 , fit x'y zz 9, hh^ xy^ = - 3, vnde
omnes termini proportionales erunt 1,-3, +9?— ^7»
Sit nunrerus terminorum 5, eorundem fumma 62
et quadratcrum aggregatum 13(^4, erit itaque ^-42,

izz: 20

PROBLEMA ALGEBRAICVM. i2t

f— 20 et Kr=:?-|-y(-;/H-/)z=2iH-y84i = 5o,
proinde z — lu ^V {lu —e'') :iz 2$ -H V 2 2 5 — 40
V :r 10, vnde prodit x* zn d — z :zz n adeoqiie x^ y
~ ^!iJ£l — 2 A'* — 4 omnes igitur progreflionis ter-
iDini erunt 2, 4, 8, 16, 32. Si iam ponatur nu-
merus terminorum 5, eorum vero fumma — 122
et fumma quadratorum 29524 erit dzn— 182 ,

<r — 5o et ttc=:^-y(i/-4-^')=:-9i-^y'ii"88i
iz: — 200 , hincque ^ := | f^ H- V G «^' — ■ <^') z=: — 20
ct v i::: — 180, quam ob rem fiet x^7iid—zzz—i6±
ct quoniam a^V=^ oritur x'jzz.S^^ a^^/izr-iS,
xy^6 et deniquey zi — 2.

12. Ne autem quis exiftimet , huius proble-
matis folutionem , omni plane vfu deftitui , often-
dam illam adhiberi pofle , circa inuentionem radi-
cum huius aequationis ;^:^ "*" — i :z: o , vbi eum
folummodo cafum confiderabo , quo m-^- \ eft nu-
merus impar , nam data pro hoc cafu refolutione, non
difficile erit inueftigare illos fadores pro cafa , quo
7« -V- I eft numerus par. Quum vero conftet alla-
tam aequationem , vnicum habere fadorem realem
.V — I , facfla diuifione per eundcm orietur :

x^^^x^^-^-^x^^-^^.^.^^-x-^-x-^-x^i.-zzo,

iam fi omnium terminorum fumantur quadrata ,
oftendam eorum quoque fummam fore o , dicatur
vero eadem iumma tantisper Cf) , eritque

Tom.XV.Nou.Comm. Q. in

jaa PKOBLEMA ALGEBRAICVM.

in qua aequatione, propter m numerum parem ,
neceiTum eft occurrere termiuos x^^^x^^^^x"^"^ ..:k^-,x' ^i^
fi igitur ab hac aequatioiie (ubtrahatur (uperior fiet;

— -x-xz^<^, feu A;^-"'-^ + ,r^^^-'-i- .

-4- x"^^' - j^-^- ;c™--^~ -x"- \—^-, cui fi

addatur \alor ipfius C[) prius inuentus , emerget :

— x^-^ — x"^—' — ....- A.'' — X — I — (J^ li±ii> , quae ae-
quatio ob x'^z=.-[x'^-' ^x"'-' -\- ..^,-\-x -^x-^^)-
trnnsformatur in hanc x^' ^x""^ -\- x^—' -^- x'^—- ^ . » . ,
4-a'' + .v4- I )=i:$^'-^— ^— o, quod {•uie fieri i^equit,
nifi fimul fit (|) — o. lam itaque quaeftio eo reduci-
tur vt inueniatur progreflio geometrica, in qua omnium
terminorum fumma — — i , ct itidem eorum qua-
dratorum fumma — — i, cuius quaeflionis refolutio,
quum fit m numcrus par , dabitur pcr aequatioriCm
noftram (G) et quoniam ,ho.c in cafu , fit ^ zn — ,i,
£? — — I fit 2^ — «-+--zi:o et ^z::^ — A— — i,
vnde aequatio illa (G) transformatur in hanc :

nam alterum aequationis membrum ob ^-q euanefcit.
Inuento itaque ii per hanc aequatioucm, ficile quoque
dabitur .v , crt enim

conf. §. 7 , ex quo liquet , quod quum pro

u ex aequatione allata, prodeant « valores, numeruni

>alorum ipfius x fore ^n-m^ hocque igitur negotio,

f.; omiics

PROBLEMA ALGEBRAICVM. 123

omnes plane fa(flores aequationis , x^'^' — i n: o
inueniri. Cetcrum obferuandum eft , quod fufficiat
vnicum valorem ipfius x eruifle, fi euim hic \alor
fit K, rcliqui erunt a, a\ a* ....ci"\ «"'"+"'.

13. Si in aequatione proxime allata , pro u
fubftituatur 2 cof. z mutabitur eadem in hanc :

■2"(cof. zf- {n- I )2"-Xcof s)"-=+ 1:^:1^--^^ 2^-Xcof ^)'^-''

'■ _ (n-.Un-4Hn-s)^n-6(-^.Q;-l.Nn-g^ CtC. I^ O .

quum itaque fit fin. (/M- 1)-=:

fin.^( 2 '^(cof.;:;/- («- 1 ) 2 "— Xcof. 2;)"-=+ ll:ii^:ii^ ^«-^(cof.s)"-*

- Cn-.)(n--_4U«-5) ^n~6 ( ^J^Y. ^ )"-^ + etC )
1.2.3 '

fi ponatur [n^i)zzz.^y denotante ^ ferni-
periplieriam circuli , cuius radius - i, fiet fin.(;?4-i};5;
mfin. 'VT zzo ^ Ynde apparet hanc aequationem :

2^ ( cof zf-[n- 1 )2"-H cof.;s)"-^ + ^i^;-^f=i^2«"-*

(cons)"~'-etc.:zio,

inferuire perficiendae diuifioni anguli. redi , cuius
etiam ope notum eft , fadores huius aequationis

jt'"T+-» — 1 zr o inueftigari.

14. Hinc vero perducimur ad egregiam transfbr-
mationem aequationum noftrarum (G) et (H), fi nimi-
rum omncs earum termini fupponantur diuifi per e^ et
loco - fubflituatur 2 cof. z , prodibit quidem ex ae-

quatione (G) :

2"(cof.;2)"~(«-i) 2«-'(cof 5;)'^-'+^iJ=^--L^2"-Xcof 2)'^-*

_Cn — 3)(n^4)(n — 5) ^n— 6^ ^^^^ ^ xn— 6 . g^^^

I. 2. 3 > '

124 PROBLEMA ALGEBRAICVM.

,n-5

1. 2. 3 ^ '

adeoque multiplicato vtroque membro per fin. z >
erit prius :iz{ii\,(n-\-i)z ^ pofterius vero zr^fm. «2; ,
vnde acquatio noftra (G) in iianc tranfit ^. fm. f«-l-i)5;
zn d fm. n z , pofito quod 2 cof. z zn y Similiter
autem ex aequatione (H) , feqiiens orietur aequatio :

ft^(cof. zy^{n - 1 ) ^'^-^(cof. ^j^^^-^+CtLifl^Tzi^a»-^ (cof zf''

_(n-z)[n-.Hn^ 2"--'(cof zf-' + CtC.
_.(i_£}^,»i-i(c0f zf-^-in-z) 2^-^(c0f Zf-'-}- (rt-3Xn-^^n>-5

(cof^s^^^-^-etc.)

^-^^( 2«-^ (cof ;s)"-^- (« - 3)2^-(cof xr )"-^4- fi:r:iKj:il) 2^-«^

( cof z )""^ - etc. ) ,

qua deinceps multiplicata per fm. z , prouenit haec
aequalitas :

e, fm. {n^j^ztiz^d—e^Cm.nz-^d. fm. («— 1)3

in quam itaque (H) transformatur ponendo «-2^ cof 51;
vnde etiam ob

fm. («-4-i)2rr 2fm. nz. cof. z — Gn. («— 1)5; ,

deducitur («^-^— </)fm. «;sn(</-i-^)fm. («— 1);2?.

15. Denique et obferuari merctUr , quod pro-
blcmatis allati folutio , cum vfu adhiberi poflit , ad
alias de progrelTionibus geometricis quaeftiones fol-

vea-

PROPLEMA ALGEBRAICVM. 125

tcndas , quemadmodiim fi quaerantur termini pro-
grcfTionis geometricae , quorum numerus eft impar,
data fumma horum terminorum alternorum. Erit
enim per conditionem problematis :
^m ^ ^m-^y- ^ ^m^^y ^ , . , , 4_ .rV^'-'- -f-j/"^ =: d atquc

x^-^y ^- x^-'/ -1- .... -4- a^y -^ + ^^7"^"' := e ,
addantur iam inuicem hae aequationes eritque :

•^xy^^-^-^-y^ — d-^re

feu 7- — ^ + ^ , fi vero a priori fubtraha-

tur pofterior fit :

^y^zi. — -d--e ,

^^ X -^y *

multiplicentur nouae hae aequationes , quo fadlo

2m-+-2 im-\-z

prodit r 3 —dd—ee vel etiam :

adeoque quaeftionis propofitae folutio , iam reducitur
ad inuentionem terminorum progreffionis geometricae
cx datis eorum fnmma et fumma quadratorum. Hoc
vero ipfum et fequenti ratione oftendi poteft, ducatur
r in - , eritque

Q^ 3 vnde

■ iz6 PROELLMA ALGEBRAICVM.

vnde habetur j"^ zz d -' ^ , fiiniliter multiplicetlir
e per ^ , fietque

i2 = x""-'}'' -^ x^^-y* + . . . . -f- xY'—'- -hy"^ ,
ideoque a,'™ zz d —,^-^- , \nde demum y-^' — dy—e x
et x'"'-^' zz d X — e y ^ quarum vtraque in §, 2 oc-
currit. Hinc vcro fimul fingularis quaedam pro-
prietas progrciTionis geometricae , inipari termino-
rum inuriero gaudentis elucet, quod nimirum fi fu-
mantur quadrata , cx fummis terminorum alterno-
rum dd et ee^ horum quadratorum difFerentia , ae-
qualis fit fummae quadratorum cx fingulis terminis.

DE

DE

CRITERIIS INTEGRx^BILIT ATIS

FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM.

Aiidore
AND. lOH. LEXELL,

I.

Criteria ex qiiibus dignofci poteft , vtrum forrnii-
Id quaedam difFcrentialis integrationem admittat/
ncci.ne ? eo magis digna funt , quae omni accura- -
tionc enoJentur ; quo certius conltat , , ipfam inte-:
gralium inueftigationem ex cognitione huiusmodi
critcriorum multum pendere. Si enim formula
quaccunque difFere-ntialis , iis inftruda fit proprieta-
tibu> , quae ad integrabilitatem ipfius requiruntur ; .
faciliimum omnino sft , verum eius integrale affi-
gnare ^ fia vero iisdcm deftituatur , tum praefcriptae
hae conditiones integrabilitatis iiiferuire faltem po-
terunt , ad inueftigandam quantitatem , per quam
forniula irta multiplicari debet , vt fiat integrabilis.
Inter criteria vero intcgrabilitatis. impi'imis eminet
iUud , qu')d [lluftr. EvLERVS in Tra(flatu de D^-
{Irina 'variationiiin immortali fuo operi Injiitut. Cal-
cuJi integralis annexo , infigni hoc Theoremate com-
plexus eft :

Si

128 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

Si p(ftis dyirpdx; dpzzqdx; dq=:rdx;
drirsdx etc. \bi dx pro con/iante habetur , V
fuerit eiusmodi funclio ipfarum x, y, p, q, r etc. 'Ct
pofto

dV — MJx-\-N dy -^Fdp-^QjI q-^-Kdr etc. fuerit

N-^-P-4-ii^-^ etc. :=o,

formida differentialis V d x per fe erit integrabilis.

Theorematis huius demonftrationem Vir IUuftr.
loco citato ex principiis dodrinae Yariationum de-.
duxit ; fufpicatus tamen , eam ex ipfis principiis
calculi diffcrentialis adftrui pofle , quum dodrina
variationum ab hoc argumento , haud parum aliena
"videatur. Elegantia igitur commemorati huius
Theorematis non minus , quam ipfa argumenti di-
gnitate allcdus , in talem demonftrationem , quae
folius calculi differentialis principiis inniteretur , in-
quirere operac pretium duxi : ea autem feHciter ob-
tenta , via mihi patuit ad pUires ah'as elegnntes
proprietates formuhirum diffcrcntialium integratio-
nem admittentium , quin etiam hae disqiiifitioncs
anfam mihi praebuerunt , criteria integrabihtatis for-
mularum diffcrentiahum duphcatarum , triphcatarum
vel quacunque aha ratione comphcatarum determi-
nandi. Haec igitiir omnia dum praefenti Diflerta-
tione breuiter exponere conftitui , me rem Geome-
tris non penitus ingratam fecifle confido.

±. Antequam vero ad propofiti Theorematis
demonftrationem progrediar , necefliim duxi funda-

menti

FORMVL/ DIFFERENTIALIVM. 129

menti loco ipfi fubfternere infigncm iftam proprle-
tatem formularum difFerentiaiium integrabiiium ,
quam llluflr. EvLERVS in Injlltut. Cmcuii Tjifferen-
tiaJis Part. I. Cap. VII. §. 234. et feqq, trauidit ,
et quae proprietas ita enunciari poteft :

Si Z fit fiivMio quaecunque plurium <variabilium
^? y> P) ^) ^ ^tc* 9 ^^ ^^ ^^^^ dij^erentiatione oriatur
d7.zz.\kdx-{-vdy-\-'ndp-\-Kdq'^^dr etc. ..It
fmper ejfe debebit : '•-

(^) = d-^) i d-^) = (§^) ' ('-f ) = ^H) et^-
(^p = (jf) 5 (fi) = '^i) "^- ('-f ) = ^'-f ) «'<=•

o;^/ in genere , 7/ ^a; terminis quibus d *L aequatur ,
fumantur pro lubitu bini ^ d r ^^ r d t , erit (li) - (^).

Infignis haec proprietas generaliter locum ha-
bet , fiue quantitates a", j^, p, ^ etc, fuerint finitae
a fe inuicem non pendentes , feu quaedam earum
Tt p, q^ r difFerentialia ipfius y primi , fecundi et
altiorum graduum inuoluant , quemadmodum fi iu^^
rit , p - ^^ ^ ^ - ^ ^ r= ^ etc. pofito^difFerentiali
d X conftantc. Qtium enim fupponatur formulam
difierentialem :

d2.:=z\Kdx-\-vdy^i:dp^Kdq^ ttc.

generaliter efle integrabilem , hoc eft nulla fuppofita
certa relatione int^r x et j^, facile intelligitur, quan-
titates p, ^, r etc. tamquam prorfus independentes ,
ab X et y tradlari poffe. Inde vero quoque perljpi-
Tom.XV.Kou.Comm. R citur,

T30 DE CRITERIIS INTEGRABlL.

citur , omnes huiusmodi cxprelTiones (^),* (jj)'^
ii^) etc. (j->),- (j-f) etc. (l^); (^)^ (C^) etc. ni-
h lo aequales habendas efle , id quod ex ipdi figni-
ficatione huiusmodi exprefTionum euidenter patet.
Haec fcilicet expreifio d x ["Lt) figniiicat difFerentiale

ipfius p quod prodit , fi fola (juantitas x pro yaria-
bili habeatur ; quum vero fit p ir ^ , nequaquam
llatui poterit .V, aut jv c|uantitatem p ingredi , nifi
aliqua relatio inter x ct y fupponatur , confequenter
differcntiale ipfius p pofita .y Yariabili erit ~ o.

3. Nunc vero e re quoque erit, vt oftendamus

propofitionis modo allatae conuerfim vcritati confenti-

Te,- hoc eft : ft proponatur formula qiiaedain differen-

dZ — lx.dX'-\-vdj~\~7:dp~^Kdq-\-' etc.
•quae his gaudeat proprieiaubus , vt fit

; ( '-7) = O ' (^) = ci^) i «<^- (ai) = (!y) i (It; )
:=(^-l-)etc:(i^)-(^_i) ctc.

tam formulam femper ejfe tntegrabilem» Quo magis
itautem breuitati cqnfulamus , confidcremus heic tau-
tum formuliim differentialem fequentem

:.de qua oftendemus , qi^od ea reapfe fit integrabilis ,
-inodo requifita iam alhita ipli competant ^ erit au-
, tem demonftratio noftra ita comparata , vt quiiiis
-iacile^perfpicere queat , eam ad alias quasuis for-

,u:.i: '.-. .mulas

FORAIVL. DlFFEIiENTIALIVM. 13 x

mulas difFerentiales applicari pofTe. Sumatur igituc
primi termini ^^v integraie , quod prodit , fi lola
qiiantitas x vt \ariabilis Ipedletur , fitque integrale
jnde oriundum r= Y , dein liuius quantitalis Y (u-
matur difFcrentiale abrolutum , quod prodit, fi omnes
quantitates x, J^ p, q etc. quae Y ingrediuntur , yt
\ariabiles tradentur et ponamus effe :

d Y zz: \k' d X "i' y' dj ~\- Ti' d p -{- K^ d q
pro qua formula , quum per difFerentiationem ex Y
^educfta fit, etiam hae ccnditiones Jocum iiabebunt:

( d H.\ — /dvM. fdp.') — /d_7r'). (dp.'). — f^ a' ) . fd v ) ('LJL'].

/ d V- \ (d K^ . /-d TT^ — (d k'\

^ drjJ — ^dj^ ' W> — ^rpi'

Forro quum iJ^^dx, f\t illud ipfius Y differentiale ,

quod prodit ex fola variabilitate ipfius ,:4;^-patet effe

[k' — jx, vnde fequentes iam deducuntur aequatione^

(d y\ — (^-^\ l^-!L) — (L]ll) • (^JL) C^ ^' )

^dx' ^d xl r \d X'' -^^d x^"* ^d x^ — ^ d x ^'

Hinc vero coUigitur , effe yz:zy'-\-y" fuppofito quod
V, fit eiusmodi quantitas , quae x non iiuioluit ,
reliquas autem variabiles j/, ^, q inuoluere poterit ,
fimili ratione erunt tt — tt' -i^ 7t" et kzz k.' -f- k,''
fuppofitis iemper m^' et k" eiusmodi quantitatibus ,
quae y, p et q inuoluunt, non A-ero x. Introdudis
iam pro v', m' et k' iplorum valoribub , habebimus
dY -±: ^dX'-^ vdy ^ ^ dp ^ Kdq
— v^dy -^- ni"dp-^-iL"dq.
remde civiHens quoque eft , fore

(^J!.'.') — Id-n". . (d ^"\ — /d x". f^f (d ir'' /d h"v

^^^ R 2 Quum

132 DE CRITERIIS INTEGRABlL,

Quum itaque fit dY integrabile , liquet formukm

Ikdx-^-vdy-^-izdp-^vidq
efle integrabilem , fi integrabilis fuerit

v^' dy 4- Ti'^ dp^K" d q.

Ponamus integrale ipfius v" dy quod prodit , fi ha-
beaatur quantitates p ct q pro coniiantibus , efle Y',
et capiendo eius difFerentiale pofitis o.nnibus r, p, q
Variabilibus , oriatur

dY' =. v'"dy -f- i:"'dp + K"'dq; habebimus v"' =z y'\
nec non

fd \,"'\ — (d 7r"'>, . fdv'"s (d^^'"\ -^ (dTr"\ — /d y."'\

Inde autem hae elicientur aequationes

(d TX") (d Tr'"\ gf. (dK"^ — (d h"'n

^ ^ dy y — ^ dy ^ ^dy ' — V TyJ 9

ex quibus iam concludi poteft effe :

tt" = n'" + n"" et k" ~ k'" 4- k"" ,

fi t:"" et k'"' eiusmodi fmt quantitates , quas nequc
o:, nec y ingreditur. Subrtitutis autem valoribus m-^
vcntis pro i:'" et k'"^ habebimus

dY^-y^dj-^-Ti^dp + K^dq
-n^Up-K^^^dq

Ybi notandum eft efle (^-^') = (^').
Liquet vero hinc integrabilitatem fonnulae

v" dy 4- tt'' dp -f- k!' d q
ab eo pendere , Vt integrabilis fit fbrmula

^'^^'dp^ Y}'^'dq,

Sit

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 133

Sit igitur integriilc ipfius ix^^'^dp confiderata q vt
conflnnte zzY^', et cliffcrentiale abfolutuni huius Y'^
z^ ii^ dp-\-K^ dq^ inueniemus Tr''''!!:?!^ atque [^"." )
— (t7-)» "^^^^e habcbimus k'^'' — k^^ -4- k^% pofito
quod K^^ 5 fit quantitas folam variabilem q inuol-
veus , tum autem quoque fiet

At vero quum fit tam dY^' quam v^^ d q integm-
bile 5 erit quoque forauik n^"^ dp -^ vy^ d p integrabi-
lis , quin et adeo

[kdx-^-ydy^izdp-^Kdq quippe quae erit

^ ^ Y 4- ^ Y' + ^ Y^' -I- K^^ ^ ^,

vbi quum fingula membra dY; dY'-, dY" ctK^dq
integrationem admittant , nullum eft dubium quin
eorum fumma

zziJidx-\-ydj~\-7:dp']--Kdq
integrabilis fit , ipfo integrali exiftente
Y^- Y'-4- Y^^/K^^^^.

4. Ad Theorema igitur laudatum lam pr§-
pius accedeis , confiderabo primam eius conuerfum ,
quod ita verbis exprimi poteft :

Sl pofitis dy — pdx; dpzrqdx; dqzzrdx etc.
V fuer,t eiumodi fun&io ipfarum x, y, p, q etc. iJt
fomula V d X Ji^t imegrabilis , tum pofito

R 3 dV

134 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

dV^Mdx-^Ndj-^-V^p-^Qdq-^-Rdr-^-nc, Vdu, erit

d? dcIQ d'R d^U

^ d X d X d X — d x"^

Quuin iam dV aequetur formulae differentiali, quae
per hypothefin integrabilis eft , per omnem nutem
integrationem formulae diffcrentiales ad gradum pro-
xime inferiorem deprimantur ^ necefTum eft , Yt
formula diftcrentiahs V dx huiubmodi habeat for-
mam :

VdxzziJ.dx-^vdj'{-i:dp-{'Kdq'{' , . . -^rdt^
pofito nimirum dt:z:udxy hinc autem deducitur

V :n [JL 4- vp^- TT ^-f- Kr . . . ^- rw atque

dV^zr.d^K-^-pdv-^-qdix-^-rdK^. . udr-\-vdp-\-i:dq

^Kdr.^.-^rdii.

Qiuim vcro fuppofuerimus

d\—.Mdx-\-]<^dy-^-Vdp-^Qdq^ 4-U^«

fequentes hinc elicientur, ipfarum M, N, P, Q etc.
valores :

M =:. (^-|) ^p (^p ^ ^ (^-) ^ r (|f) + etc.

N = (^-f ) + p (^-^) ^- q (^-J ) -h r (f--) 4- etc.

Q-- (lt> ^-^ ^ii) + ^ C-f) + ^ ^r^) -*- ^t^- + ^

etc.

lam quum formula V dx fuppofita fit integrabilis ,
neceffum ell, vt lequentts conditioneb locum habeam:

FORIVIVL. DIFFERENTIALIVM. 135

(ij) = (^j) ' (^) = ('->) "^- ^:^) = ^rp "c.

HLirum vero aequalitatum ope , valor.es quantitatum
M, N, P, Q ctc. in (equente^i transformantur :

M := (^^^) 4- p (^^JJ.) + q (^_i) _i- ,. ('l_t) etc.

N = (l^) -h p i'^) -^ q ^ + r li^) ctc.

P = C^s^?-) + P ('if ) + q (^f ) -t- ? (if ) etc. + ^

0.= (ly + /. (^f ) + q [^) 4- r (f-^) + etc. +7t
etc.
Tnde deducitiir :
. ^dx=dx(^-^) + dy{y^)-\-dp(y!^) + dq(^/^) etc.

N^x = <f^-(^^)-+-</j'C-f) + ^p(^j^)+</-?(if) etc.'
(P-FW^-rfA-CJ-f^ + ^/j^li^+^/pi^^ + ^/^fif) etc.
{q-^)dx^dx{y^)+dy(y^)-V-dp('^)-^dq{'^)tic.-

Sumtis igitur integralibus confequimur :
\k-fMdx; v-fNdx; n-fiV-v^dx-fFdx-fdxf^dx
yi-f{(^-T:)dxzzf(^dx -JdxlVdx^fdxfdxf^dx
f -fK d X -fdxfQjtx -\-fdxfdxf? d x -fdxJdxfdxfNdx etc.

Si itaque iam compendii.cauflli , integrale /^a/N^r,
indigitctur per p^^Kdx-, fdxfdxf^dx per 1^'^^dx
et in genere huiusmodi integrale , quod poft m iti-
tegrsitiones oritur per / ^"'^N^a;, fiec

136 DE CRITERIIS INTEGRABIL;

—dx/Md X -^ dj/N d X -h dpifV d X -/^^-^ N d x)

+ d^(f(idx-J^'^Fdx+f^'^Ndx)
.. .+dt{fTdx...,'^f'^'^-^Qdx± /t^-^P^/vT/^^^W^^)

"vbi figna fuperiora valebunt , fi nuinerus termino-
rum ex quibus dV componitur fuerit par znfn+^y
contra vero fi impar.

5. Quum vero iam liinc prodeat :

Vzz^flSldx-hpfNdxi-qifVdx-f^^^Ndx^-^-rifQ^dx-f^^^Ydx

^f^''Ndx)

...+u{fTdx....Tf^'^-'^(l^x±f^''''^?dxTP'"^^^x)
perpcndamus efle

Wy^duf^^^^Ndx-pNdx+dpfl^^dx-dpfNdx-dqfdxfNdx
^dqfdxfNdx-^-drfdxfdxfNdx. . .

ideoque ob dprrqdx; dqzzrdx etc.

N dy ^dup^^^Ndx-d pfNdx - d. qf^^^ N dx

+ d.rf^'^Ndx...^d.uf^'^^Ndx.
Similiter inueniemus

P dp± duf ^^-' ^ Fdx - d. qf ?dx-d. rf^^Vdx+d. sf ^'Wx . . .

^duf^^^-^^Pdx

nec noH

Qdq^duf^^^-^lQdxzzd. rfQdx-d^s f^'^Q^dx+....

^d.uf^^-^^Qdx,

His igitur valoribus in aequatione valorem ipfius V
exprimente iiitrodud:is , obtinebimus ;

' dW

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 137

Qiium vero per hypotheriii fit

dV-zzmdx-^-ndy-^-Vdp-^-Qjlq -^Tdt-^-X^dii

habebimus hos valores jnter fe comparando

Uzi:T/^"'^NV.r± ^^'""^l^dx^p^^^^Qdx,,. .+fTdx fett
p'^^Ndx-f^''"^FdX'\-f^'^''^(ldx.,.,^/Tdx±lJ-o
Tnde differentiando et diuidendo per dx, prodit
/^'"-'^N^.r-/^'"-^^P^^'4-/^'"''^Q.^^^....^=T + ^=:o

atque poft m repetitas difFerentiationes et diuifiones
per dx

d_? ddQ^ d^ _^^ ^U_

^""^a;"^77 " dx''^"'''^dx^-' — dx'^'-'^'

6. Nunc vcro facile perfpicitur, quomodo haec
demonftratio in maius compendium redigi potuiflet.
Confiderantes enim valores coefficientium [ji,K,7r,K, etc.
inueninius eos hac lege procedere , vt fit

'n—f{?-y)dx; h-/(Q— 7ry.vj ^=/(R — h)^a: etc. ,'
vnde terminus ipfum r infequens, quem nominemus
V hac aequatione exprimetur v-f([J—r)dx^ quum
vero obferuatum fit rdt efle in expreflione V dx
vltimum terminum , erit v:z:Oy vnde deducitur
U — r :=: o , fubftituto igitur loco r valore ipfius
aequatio lupra allata emerget. Denique et obferuari
imeretur , hanc aequationem U — r z:: o , exindc
deduci quod fit :

Tom.XV.Nou.Comm. S U-r

138 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

U-rz=(t^)4-;.(t^)4-^(l5.)_H,(i^) etc.

nam ob y zr o , crit

(^)-(^) — oi (^) — (^)=:o- (^-:^)=i(^-^)==:oetc.

7. Progretiiamur riunc ad demonftrationem in-
lignis iftius Theorematis , quo ftatuitur formulam
V d X fore integrabilem , fi poruo

dWz:zy[dx-i-'N^y-\-'Pdp-{-'^ciq-{',..-\-\]du fuerit

d? ddQ d'K d^^U

dx d X d X — d x^

Et primum quiJ.em ex aequatione propofita , opb
integratioiium dcducitur

lioc autem vjlore ipfius U fubfiituto in aequationc

.'^ V := M ^.v-1- N dy-^-Vdp -\-\}du , orietur

i\I-m.i'\'^dy'\-Vdp^qdq...,-\-Tdt

^duif^^^^Ndx-f ^"^-'^Vdx-^-f^^-^^Qclx,,. ^fTdx
Hinc vero per transformationes in § 5 all.itas obtinetur
\dxzzdxfMdx-i-dyfl<ldx-{-dp{fVdx-f^'~^Ndx)
Jfdq{f(idx-f^''?dx+f^'^Ndx)...

4-^^( /Td^;»;. . ± / ^'"-'Wjc q=/ ('") W.v j.

Si iam Tt antca fupponamus

\dx=ziJidx^vdy-\~i:dp-\-Kdq,...-\-rdt., habcbimiis
IK-f^dx; v-/Ndx; 'K-fPdx-/^''Ndx-/{?^y^dx
K=zf(ldx-'J^^Fdx-\-f^'^Ndxzzf{(l-'Ti)dxcK.

Pcno

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 139

Porro Tero erit
V — p-4-ypH- TT^-I-Kr.. . + rtf atque

-^vdp-^-i^dp-^-Kdr . ., , -\-rdu

Tnde "vt fiipra feqnentes eliciuntur valores ipfarum
M , N , P etc.

N^(^^) + ;^(^-f)+^(^-f)4-<-|)...4-«(iJ)
P:^(^^)+/^(,^) + ^(^-f)4-r(^-f)... + .(,^)+V

8. Vt vero iam liqueat, vtrum formula Ydx
fit integrabilis nec ne? difpiciendum eft, an fequentibus
conditionibus ad eius intcgrabilitatem neceflariis fatis-
fiat :

/d » >_ /d ir\ . /d V \_/d >t N /d v n /d t \

/d irN _ /d H \ . /d TT , ^ /d T \ -^^

Hunc in finem obferuetur efle

(^=/

140 DE CRITERIiS INTEGRABIL.

y=fNdx=Jdxi'^)+fdn^^)+rdpiif)
■j^^riP-y^dx-fdxi-L^^+fd^-L^L^+fdp''-
K-fi(l-K]dx-rdx 'L!^)+fdy(L\)^rdp , ^

d p
d it \

etc.

■■■+fdH'^)\
...+/dH±f)

^ dy
^ dpl

\ dqi

hinc autem obtinemns :
=rdx '^^)+fdy (^4'^ +ldp (^ ^rdq (f-iL«) .
^rdxi^^^,+rdy{^£l)+fdp[^^;,^fdqi^^^)..

fd<^}+fdji',4^^+rdpi'^)+rdqi'i^^).

etc.

'■+rdt(i^)
..+rdti '

dxdyi
ddT\
dxdpf
ddr\

^ ax ^

^ dp'-
dv

(H)=

ii

fd''^^+fdj('^,)+fdpi'^;^+fdq{'^^....+fdte^)

■■f'''^Ur)+-fdy{'^)+fdpi^)+fdqi^)...

etc.

ddr\
dydp'

'+-fd'i^

dtt\

ax

\ dy'

{ -):

fd^- O +f'fy (^) +fdp (Ig) +fdq ii^) .... +fdt (|i-;)

fdx (^^) +fdy i^) + fdp (4^» +fdq (^) . .

-■fd ^ i'4-p +f<iy i^ +rdp i^) +fdq (i^p . .

etc.

fd dr\
dxdp'

+-fd'{^)

+fdt

apdq'

(^)=

(35")

fd^^'3^)+fdyit^)+m^,)+/M'dI^-

+-fdt(m

dxdq'

fdx lii^,+rdy{i^)+rdp(i^^) +fdq i^)....+fdt('^

i%)=fd''{^l,)+fdr''4^)+fdpi'4B+fdqim....+fdti^)

etc.

Hae

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 141

Hiie aeqiiatlones intcr fe comparatae manifefto
odendLUit , requirita integrabilitatis fupra memorata
formulae notlrae Wdx competere, adeo vt iam qui-
dem abbquc \lia haentatione , lianc formulam iii-
te^rabiiem cfTc , pronunciare Iiceat.

9. Ex hifce Theorematibus varia nunc deduci
poflunt Corollaria quam maxime notatu digna, quo-
rum potiora lieic recenfuiife haud pigebit :
1°) Cum ex aequatione propofita

tum ex valore ipfius

Vdxzzdxf mx-Vdy, f Ndx-\-dp{ fTdx-p^^Ndx)^ etc

patet , ad integrabilitatem formulae Vdx neceflario
requiri, non folum vt formulae Mdx et ISidx fint in-
tegrabiles; fed etiamvtomnes quoque fequentesformuke:

dx{?-f^dx); dxiQ:-f?dx^f^'-y\S^dx) ;

dxiK-jQdx-^-f^^^Fdx-^f^^^Ndx^ctc,
integrationem admittant.

11°) ViciiTim autem euidens eft, fi formula principah's
Vdx fuerlt integrabilis, omnes quoque has f ^rmulas :

M^.v,- Ndx; dx{?-fNdx); dx[Q^f?dx^f'^Ndx) etc.
ita comparatas efle , vt integralia ipfis competant
llPj Ex valoribus ipfarum M,N,P § 8 allatis
liquet eflfe

S 3 quae

142 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

qnae conditiones nccelTlirio implcri debent, \t formula

M ^;v 4- N dj-^-?dp-^(^dq^ etc. zz dV
fiat integrabilis
IV°) Eaedem formuke § 8 oftcndunt efle

['dfAiy-fdx[y^)-fdx[t^)

etc.

fimilique ratione

{'■^^)-fdx{i^)-fdxi'^^) etc.

quae proprietates etiamfi primo intuitu, a vulgo traditis
differentiationis praeceptis difcrepare videantur ; re
tamen accuratius penfitata, veritati optime confentire
deprehenduntur.

V°) Dcnique et hoc loco obferuari merctur, con-
ftantium per integrationes invedarum , nullam
a nobis fadam efle mentionem , quum ipfa figna
integrationis indigitent, huiusmodi quaniitates con-
ftantes introducendas elle.

10. Quum fit

fdxfNdxzzxfNdx—/Nxdx ;

/^'^N dx zizfx dxfNdx—fdxf]<ixdxzzlx^fNdx

--xfNxdx^lfNx^dx

ct in genere

rO.lMVL. DIFFERENTIALIVM. 143

/^'"^Nfc L : ^ L

I. 2. 3 .... //i — I

/ Tv x^-' d x

* . • . H ,
I. 2. 3 . . ^«— I

formiilarum
f^dx-i^^-^^dx', f(ldx-/^^~^Vdx^p'^^dx etc.

fequentes hinc deduci poterunt transfbrmiuiones. For-
mula
yP^a'-/-'N.^.v erit cr/P^Av^.v/N./ji'+/'N.v^:v,

quum igitur iam conftet xfNdx yerum effe inte-
grdle , Cequitur quoque formuLim
dx{V-\-Nx)

integrabilem efle. Porro quum integrabilis fit haec
formula

(ld'X'-f? dx-^-f^-^N dx,

cuius integrale ita repraefentari poteft :

/Q^.v-.v/P^;i^+-UYN^.v

^fFxdx - xf:>^xdx-h-i!,fNx"dx

inde quoque deducitur integrabilem efle fequentcin
formulam :

Simiii ratione demonftrari poteft integrabilem efle
debere formulam :

dxiK + Qx-^J-Vx^+r^Nx) atque adco Uanc:

J X

144 DE CRITEKIIS INTEGKABIL.

ax^i ■^:^x....,f j 2.3.^«-3 ^ ^1.2.3.7/2-2

+ ^ Na,''^"'^-

1 . 2 . , «; — I '

II. Confidercmns inm huiiismodi formulam
differeiitialem dxfS dx^ pofito quod fit

dy — mdx-^^dy-^Vdp-^Qdj . . . . 4-U</«

et inquiiamus , quibus requifitis haec formula difie-
rentialis inftruda effe debeat , vt de ea affirmari
poffit , quod integrabilis fit. Primum itaque fi po-
namus /V fl^.v — V, liquet ad integrabilitatem for--
mulae \'dx requiri , \t formula/V^.v verum fit
integrale , quod iam obtinebitur , fi fequenti fatisfiat
conditioni

d P ddq^ /R d^ _

d X d X d X — d X

Qiium vcro hoc crlterium tantum declaret formulam
\dx effe integrabikm feu V verum effe integrale, ad
integrabilitatem formulae V^^.v diiudicandam , aliud
infuper requiretur criterium fequenti ratione facile
dctegendum. Statuamus effe

^V'--MVa'-i-N'^j^-hPV/) -f-TVr

tum autem criterium integrabilitatis formulae Vdx^
hac continebitur aequatione

d V ddQl / R' _ d^V __

At

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. i45

At iti §. 5. iam inuenimus formulam V^.r, quae
aequaiis eft ipfi ^V, ita repraefentari pofle :
d\l'zzVdx-dxfMdx^dyfNdx^dp{ fVdx-p^^Ndx) . . . .^

•^dt(fTdx..,. i/f^^-^WAr-h/^W^v)
hunc igitur valorem ipfius d^', cum affumto com-
parando , inuenimus :

W-fUdx; ^'-f\^dx; V^-jydx-f^^mdx...

VzzfTdx -f-/^"'-'^P^;t:T/^'"^N^A;,

qui valores ipfarum M', N', P' etc. in aequation©
criterium integrabilitatis exprimente introdudi, dant

^Q , ddK

w/N^^c-^wi-i^P + Cw-s)^ "V^-^^YT' —

„ d^-^l ^ __

At prius criterium integrabilitatis pcr mdx multi-
plicando , et integrando fiet

JQ ^^R _ /r-'T

mfNdx^mV-^m^-^ — m -j^ ' " • "^^ J^-^»

fubtrahendo igitur hanc aequationem ab illa orictur
^Q ddK , ^-T_ ^-U

in qua aequatione finguli coefficicntes numerici , fe-

cundum ordinem numerorum naturalium progrc-

Tom.XV.Nou.Comni. T diun-

1^6 DE CRITERIIS INTEGRABlL.

diuntur. Requifua igitur integ^rabilitatis formukc
dxfV dx^ fequeiitibus duabus aequatioaibus conti-
nentur :

^P dd(l /R d^^l} _

id(l 3ddR 4/S __- ^^-'U
ax dx Hx dx

pofito nimirum
dV — fAdx-^-Ndy-i-Vdp-^-Q^dq . . . . + Wz/.

1,2. Quum formula differentialis V d x inte-
grabilis efle nequeat , nifi formulae M' d x et N'dx
integratlonem admittant , liquet hinc non folum for-
mulas Mdx et Ndx, fed etiam dxfMdXy
dxfN dx integrabiles efle debere. Porro ex pofte-
riori integrabilitatis criterio patet /P ^a; verum quo-
^jue e£[c .integrale., quum fiat :

3^R _ d^^-^V

iDeinde qaum per prius integrabilit^ti^ requifitum ,
formula d x (1 Q^— 2f? d x -\- 2 f^'^ ISlJ x) integra-
bilis fit , ex pofteriori autem intelligatur formulam
d X {f? d X — 2. Q^) integrationem admittere; addendo
iftasformulas, obtinebimus hanc dxC^f^^^^dx-f^dx),
quam igitur quoque integrabilem .eflTe oportct. VI-
terius ob integrabilitatem formularum :
dx{3^—ifQJx+f^'y?dx) et zdxiK-fQdx-^^f^^^^dx

-f^'ll<ldx)

patet

FORMVL. DIPFERENTIALIVM. 147

patet forinulam

dx{3f'^l<^cix- !ip'^?dx-^-f(ldx)

integrabilem eflfe. In genere autem fi (latuatur

WzzfMdx; N^zzfNdx; ?' z= fiV-n^ ) dx ;'

Q[-f{(l-V')dxctc.

tum vero quoquc

m^'—fWdx; N^^zzfN^dx; VzrifCV-K'')^^;

(^'zz:f{(l-?")dx etc.

liquet , pro integrabilitate formulae dx/V dx re-^
quiri , vt omnes hae quantitates M', N', P' etc;
M", N^^, P^' etc. vera fint integralia.

13. Propofita nunc fif fbrmula dif!ercntialis,
d xfd xfV d X, pro qua inueftiganda fint criteria ,'
ex quibus de eius integrabiiitate indicare liceat , \'bi
quidem ftatim patet , hanc formulam integrationem
non admittere , nifi formulae \dx et d xfV d x
integrabiles fint. Pofito igitur vt antea :

dW ^Md x-^-Ndj ^? dp + U ^« ^^ ^

bina critcria integrabilitatis huius formulae mox' i|i-
notefcunt , fequentibus aequationibus comprehenfa :

- _ d~? ddO d^^U

d X d X — d X

2^ :iddK ^md^-'V _

d X d X dx^' '

Quomodo vero tertium inucftigari debeat , ex iis
quae antea docuimus liquet. Statuamus fcilicet
fdxfdxfWdxzzf\''dx et ponamus

T 2 dV'

iM

14S DE CRITERIIS INTEGRABIL.

Hcc non

dV^z^zM^dx-i-lS^idy^Fdp hVdt

et inueniemus

Wzn/Mdxi l<^'=zfNdx; ?'=/{? -N') d x ;

(^^/{(l- T^jdx etc.

M"=zfWdx; N"— /N'^Jt; P" =/(?' ^ N") ^^i

(^'—fiC^-V^dx etc.
vnde fiet

q^—f^^^qdx-if^^^Fdx-Jt-^if^^^Ndx etc.

Quum igitur pro integrabilitate formuke dxfdxfVdx
requiratur, vt fit

,, d?'' ddQ!' d^-'S"

d X d x — d x^ "■

fubftitutis in hac aequatione pro N", F", Q(' etc.
valoribus ipfarum , orietur ifta aequatio :

f^^^Ndx- ^-fVdx-^-^ ■ Q

I. 2 -^ I. a -^ I. 2

(/«>--3) ffl-4) ^R ^m^.g^

a qua aequatione fubtrahatur fequens :

if^^^Ndx^f?dx^(l--j-^. . . . ± ^zr.

*^ dlr~ — ^^) - ^

refi*

1. 2

FORMVL. DIFFERENTULIVM. 149

rcfiduum praebebit hanc aequationem :

^R __(m+i)(w-2)^5

±T 2 dx'^-'~^ I. 2 dx^-^'

Deindc fi hinc Oibtrahatur

3^R —^^^"^Zl^s^^

omerget noua haec aequatio :

3^R 6'ddS m(m-i)d^'\J_

Q^''-r^'^'dT ""-~^'dx--^-^'

Criteria igitur integrabilitatis formulae /^.v/</Ar/V</^,

his tribus aequationibus continentur :

JP ddO /R , ^""U

dx d X d X — «^

2^(i 3ddR. 4^'S -~ md^^-^V _

d X d X d X a X

3 ^R <J.^JS I o /T ^lil ^'""'U^

^ dx dx dx — 1, 2. ax

•vbi euidens eft , in tertia harum aequationum coef-
ficientes numericos efle numeros trigonales. Si lam
formulae difFcrentiales proponerentur , quae plura
adhuc integralia inuoluerent , fine vlla dithcultate ,
fingula earum crireria inte.:.rabilitatis aflignari pote-
runt , quemadmouum fi integrabilis efle debeat taUs
formula dxf^'^\dx, tum enim pofito

T 3 ^V

ij6 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

praeter modo allata criteria , etiam fequens locum
habebit :

vbi coefficientes numerici funt numcrt pyrnmitJales-
primi.

14. Confideremus nunc formulam differentia-
lem Wdxf\''dXy in qua vtraquc littera V , V
fundionem quantitatum x, /, pj q etc. defignat et
ponatur

d^.z^zJAdx^^dy-^Ydp-h^ldq etc.

tum vero

^V'=:MVjL'+NV;-f-PVp4-Q.V^ etc. ,

ct quaeramus, quaenam prae(cribi debeant conditiones
vt huiusmodi formula differentialis integrabilis fiat.
Harum \ero conditionum \na ftatim exinde dcduci-
tur, quod formulae noftrae integrale competere ne-
queat , m{\ f\'dx verum fit intcgrale , quae igltur
conditio fequcmi repraefentabitur aequatione :
pv;/ -.11' _i, ^J^ _ ILRi ^o,

Ad alteram condiironem inueniendam, fldtuamus t(C&^
d; Vf\'dx — ix.dx^vdy'+-itdp+Kdq+eic,

atque tunc pro integrabilitate {ormuhQ _Vdxjy'dx^,
diibebit efle

Tota

Fd>RMVL. DIFFERENTIALIVM. jj^*

Tota igitur inueftigatio huius conditionis eo
redit , vt valores litterarum v^TTjHetc. determinen-
tur , quem in iinem notetur efle.

+ dq{f(^dx-r^'^Pdx^f^'^]Si'dx)^etc.
tum d.VfV^dx—dV.fV^dx-^-WV^dx,

ex quo fequentes deducimus aequationes :

lK—!A/Vidx^VfM'dx ; v — NfVdx-^-Vf^^dx

n:=zVfV'dx-+-V(/?'dx--/^^^N{dx)

K -Q_JV^dx-^V{ f(^dx-f^'^?'dx+/^'m'dx)

^ =:RfV' d X-+ V ifR' dX'-j ^'^(^dx+f^'^?'dx-f^'^N'dx)
etc.

Hinc autem colligitur :

^ -■£/vV:r+V'P+V(P'-/NVx)-^g (f Vdx-f ^'^NV x)

p^J^^lV^dx + .V'^^+Cl^-^^^^^

■^p'^(^dx+n'^Y'dx-f^*^N'dx)
ctc-'^ilfd;

inji(b{ji)nf ■
/;-• ^*^ «iiiAv- . His

152 DE CRITERIIS INTEGR ABIL.

His autem valoribus pro V5 ^'j^^^^* iiitrodudis,
obtinebimus fequentem aequationem :

(N-g^-f^-etc.)/VV;.-V'(P-iA3-+i||R_etc.)

+pl(Q-iil-^^^-eK.)-ili^{R-4-P-hcK.)

^dx^^dx^ax^ i d x^ ^ d x * /

+ V(;;//NV;i^-(w-i)F + (^-2)^'-(?«~3)j^'etc.)

^ dx V ,. 2 y I. 2 •/ ^ I. 2 ^ I. 2 djc"*'

^ d X

h:=0

R'
etc.

10

d d 1'
d X*

etc

:)

vnde rubliitis terminis , qui propter primam con-
ditionem niliilo aequautur , habebimus :

(N-^-^-f-f^etc.)/VVA'-V'(P-^4-3^-etc.)

^ d x d X- ' ^ ^ d X ^ ^ d x^ '

+dli^^ ^'^-d^e^c. }--^(R-^+JO.-^etc.}

etc.

+ V(P'-.i^>3i§:etc.)-f:(Q!-3|£:+<S.ffetc.)

+^I(R'-4l4'+^°-a"'"^-)etc.

Ceterum fi ab hac poftrema aequatione fubtrahatur
(N/-.^' + ^/a'_jLR:e^c.)/V^A~ o
- abibit ea in fequentem, quae commodioris eft formae

_>Ty ry^y. d.p/Vdx _ d.d. g^/vdjc , d-^ R^ f Vdx , ^ ( -O

qua aequatione iam alterum integrabilitatis criterium
quaefitum continebitur. Heic vero obferuari mere-
tur, pofito V =: V fmgula aequationis huius membra

dertrui,

b<
I

TORMVL. DIFFERENTIALIVM. 153

^eftrui , adeo \t pro ifto cafu conditlo integrabilitatis
prima fufficiat , quod etiam ipfi rei naturae con-
"veiiiens eft , quoimm f\ (fxfW dx^l{fWdx)\

15. Ex hifce principiis facillimum nunc erit di-
iudicare , quibus requifitis formula quaecunque dif-
fereatialis V^.v inllruda efle debet , vt integrabilis
fiat , pofito quod V fit fundio quaecunque quan-
titatum Xy J,p, q.Gtc. quae igitur vt cx quotcunque
formulis integralibus quantitates x, >•, p etc. vtcun-
que inuoluentibus compofita concpi pcteft , quem-
admodum fi fuerit \zzf\^dxf\'^dx vbi V et V
f[in<fliones algebraicas quantitatum .r, y^ p etc. de-
iignant ; fuperfluum vero erit his criteriis euoluendis
diutius immorari, quum ex praeceptis fupra traditis
ca pro quouis cafu fpeciali, absqne vllo labore, erui
queant. Potius igitur examini fubiiciamus formulam
difierentiakm \dx ita comparatam , vt quantitas V
praeter binas variabiles x et j cum differentialibus
pofterioris , adhuc inuoluat tertiam quandam varia-
bilem , cum ipfius diflerentialibus cuiuscunque gradus.
Inquiramus vero in iftos characfleres, qui certa nobis
praebere "valent indicia formulam hanc integrabilem -
efle. Si igitur vt antea ponatur

pL-p',pt-q'^ ^^~r ttc^zzp': p~—g'; ^'zrr^etc:

d X t^ ^ d X ^ ^ d X d X f ^ d x ^ ^ d x

dc eo quaeritur , quomodo comparata efle debeat
fundlio quaccunque V harum \ariabihum x:;j;z;p;
p'i ^i <i <^tc. vt formula/V </a: verum fit integrale.
Ponamus iam efle

Tom. X V. Nou. Cumm, V ^ V

154. DE CRITERIIS INTEGRABIL.

Tidz-^-^dp^-^-Qidq^ + Zdt'r

tum vero ftatuatur

V dx:iilx,dx-^ydj/-^'7:dp-\-yidq , . . . ^rdt

-^v^dz-^nx^dp^-^-K^dq' ^a'ds^

ct ex iis qune § 2 monuimus, patet fi formula Vdx
fit integrabilis , fequentibus conditionibus fatisfieri
debere

(If )=(ii)' m=i^h iif)=i'^y, (i^.]=(f|) "c,

( ai'=(^')i (fT^=(d-f)' (a7>)=(fj) «c.

( '4^^i'u^^i (If'=''^) '"=■ (^f)=(^-?'^ ^"=- ^"^-

Ex § autem 3 viciflim concluditur, fi his conditionir
bus fuerit fatisfiidlum, formulam Vdx cfle integrabi-
lem NeccfTum igitur eft , vt valores litterarunt
f^ , V , v^ TT , Tt^ etc. per iitteras M , N ^)?, P , 9> etc,
detcrminentur , qnem in finem notetur efie r
V r::: [^. -f- y /) -4- TT ^ + H r . . , < 4- r «

-^y^p^-h^^i^q^-^-yJr' -^a-U'

deinde vero

dV-dlk-^-pdy-^-vdp -\-qdi: -{- Tdq-^- rdM-Vkdr. .».

-{-udr-^-t du

-^-p^dy^-^-v^dp^-^-q^dn^-i^ii^dq^-i-r^dK^+yJdr'....

-{-t^dG-^-^-a-^di'.

Hinc vero eliciiintur fequcntes valores litterarum
M,N,5^ etc.

M:=

FORMVL. DIFFERENTIAUVM. iJs

M=t^)+/> ('^)-^^('r^)-^r (i^)+ etc.

-hp' '^) -\- 9V^j)+ r' (||) -+- etc.

N=(^-f )+? >|j)-l-? C-f) + '- (^) -1- etc.

-1-i^'(i^') -t- ?'C^') + »■' (2-y ' + «^-
^= (rf)-l-Mii>-^-9 (a-^) + '- ('s^)-^ "c.

-i-p'.^)-^-9Vl-f)-^>'(.^')-+-«f^-

4-p'(^)-+-«^:-T')-^*'^r7)^-«'=-

g> = (ifj -t-p (*^-)H-? (^-fJ-i-»- (^J+ etc.

H-^' ia-f'j -+- s' 0 -^ '' ^1^;) -+- "«• -i- ►'

etc. £tc.

U zi: T et X z= 0-'

Qui yalores proptcr requifita integrabilitatis nupcr
incmorata , in fequentes rransfonnantur :

M=(^) -t-p (^^)-|- j (ii)_i- r (l^)H- etc.

H-;'(i^)-l- 9'(li) + W(fe,) -I- etc.
N =(H)H-P 'fy) -^9 C-T^H-r IH)-^- «<^-

-+-/''ia-v)-^9'C-7.)-t-^''5-p-^ «f-
^^^'I^JH-P^r-y)-^?^^-^)^'-!'^'^-^ ^tc.

-t-f"4|)-t-?'(H:)-^'-'(if;-+-etc.

P=(^-^)H-p(tf.)-^9(^_5) + ,(l^)4-etc. +y
+.P'(:-f)-<-9'(f-p;-+-''(if-;+etc,

V s g> =

i5tf DE CRITERIIS INTEGRABIL.

9) = (f^') +p (^-f ) + q m + »■ (||') -+- etc

P' iH) -+- ?' Ct^) +' ' ('-f ) + ^'<=- -^ ''

ctc. etc.

Hlnc autem multiplicando vtrinque per dx et in-
tegnmdo , confequimur :

IK—f^dx; v—fNdx', v' — f^dx; 'nz=:f(P-v)dx:
m':^fC^-y'}dx; K—f{St-iz)dx\ R'-/(a-7r'y^v etc,

16. Hi valores ipfarum (x, v, v^ tt, tt' etc.
adhibito fupra §. 4.. recepto fignandi modo , fic quo-
que exprimi poterunt :
\k-fm.dx', vzzf]<^dx; v^—f^dx;
rn—fVdx-f^'-^\>^dx', Tt^—f^dx^f^^^ridx
Kz:IQJx-j^-Vdx\-f^'^Ndx', K'-f£idx-/-^^dx+f''TM'
etc. etc.

r:zfTdx„,.±f'^-''^Pdx'^f^'^'^Ndx; cr'=:fedx...,

^f^^-^^^dx^^p^mdx

vbi figna fuperiora valent , fi m et n fuerint nume-
x\ pares , contra vero fi impares. Vlterius quum
formula V d x differentialia vitra d t et d s' progre-
dientia inuoluerc nequeat , euidens eft fbre t ~ U
ct (j'—%^ vnde iiae deducuntur acquationes

%-^^f^'''^dx±f^^'^''^dx'Tf'^''''OJx,,..^-f^d^

quarum prior poft ;;/ diffcrentiationes et diuifiones
per dx reducitui* ad hanc

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 157

</P cUQ^ /R ^_

d X dx dx — d x^

AJtera vero poft diflferentiiuiones niimero « inQitii-
tas , totidennqiie diuifiones pcr dx ia lidnc trans*
formatur :

d^ ddCi d'^ — ^!5__

^^-dT^-^llV^dx' -"-^dx--^'

Ex qnibus patet , fi formula V,dx ponatur intc-
.grabilis, tum c(Cq debere

d? ddQ^ ^"^U

-^ d X d X — ^ ;i'"

d9l> d d O. d^^Z

d X d X — u X

quibus duabus aequationibus criteria integrabilitatis
huius formuiae continentur.

17. Quemadmodum iam demonftrauimus , fi
formula V dx integrabilis lit , aequationes modo al-
latas locum habere ; ita viciflim quoque demonftrari
poteft , quod fi quantitas V ita fuerit comparata ,
vt his aequationibus flUisfiat , formulam differentia-
lem W d X effe integrabilem. Qiiandoquidem vero
ex iis quae fupra §. 7, 8 tradlauimus , intelligi po-
terit , quomodo huius propofuionis demonrtratio fit
adornanda , eam hoc loco penitus praetermittere non
dubitauimus. Ceterum ex demonftratione prioris
horum Theorem.uum iam allata , liquet , quod in-

V 3 tegra-

15% DE CRITERIIS INTEGRABIL.

tegrablitas formulae V <i x inuoluat quoque integra-
bilitntem fequentium formularum :
Mdxi N^Xi ^^Xi ^P-Kyjtj (9>-k'y.r; (Q-7r)^x;

{O, — ^')^^ etc.

ex quo etiam fequitur integrabiles efle dcbere has
formulas :

MiJxi Niix^ mdx', (ixi?'^Nx)', dx(^^mx];
dx{Cl-{-^x-Y-\^x")', dx(K-{-Qx+[Vx^+'^Nx'y,

ax[di'+^x-\-ifx'-^',mx).

i8. Charad^eres integrabil tatis pro fbrmula
Vdx modo fnuenti ita comparati funt , \i priori
fati^fieri debeat , fi in fundione V quantitate z pro
conllanti habita , inquiratur an formula Vdx fit
integrabilis nec ne ? polieriori autcm fat sfiiciendum
fit , fi j pro conftante fpedata , \dx 6eri debcat
integrabile. Prona hinc deducitur confequentia, quod
ifor/ru a V d X li fuerit abfolute integrabilis , \erum
quoque admittat integrale , fi in quantitate V, fiue
j' feu z pro conlhinte habeatur. Viciihm auiem
patet , fi quantiras V, taiis fit fundio \ariabilium
'Xy j^ z et diflerentialium ex iis ortorum , vt pofi-
tis tam y^ quam z conlkntibus , formula fVdx
verum conft tuat integrale ; eandem formulam ablo-
lute fped.uam fore integrabilem , id efl fi ambae y
ct «, fi-mul vt \ariabiles fpecflentur. Haec \ero
proprietas nos deducit ad inuentionem criter orum
pro integrabiljtate eiusmodi furmulae \ d x, in qia

V non

' FORMVL, DIFFERENTIALIVM. 159

V non folum quantitates quascunque finius, a:, >', -s, ^\
fed etiam earum difFercntialia qiiaecunquc inuoluat ,
lioc efl: fi pofito : .

dx i^f dx ^ ^ dx"' dx — i ^ dx ^ ' d JC

.^J^-p^': i^—qi': p^—r" etc. etc.

fuerit V fundio quaecunque quantitatum -x,j, z^ iv ctc,

p '^ p' ^ p" etc. q -, q' ; q" etc. r ^ r' ^ r" etc. etc.

Regula nimirum generalis , quae pro aflignandis his
criteriis valet , fequens eft : "Vt formula Vdx fiat
„integrabilis, pofltis omnibus x,y, z^ iv ctc. fimul
„variabilibus , neceflum elt , vt integrationem ad-
„mittat , prouti praeter quantitatem x, vnaquaeuis
5,reliquarum x, y, z vel iv feorfim variabilis liabc-
,,tur , reliquis vt conftautes fpedlatis ^ vnde pro for-
„muk V dx tot orientur criteria integrabilitatis ,
„quot fundio V praeter x inuoluat quantitates va-*i
„riabiles j', z, nv etc. feu quot modis .r, cum vna-?
„quauis earum , feorftm fpedari poteft. „ EuidenS'
hinc eft , fi ponatur ^ efle fundlionem quatuor va-
riabilium x^ y^ «, <w atque difFerentialium inde deri-
vatorum , tum vero ftatuatur.:

dSzzlAdx-^-^^dy-^Vdp-^-^^dq^^^dr etc.
^"^'dz-^V^dp^^-^dq^-^^mr' etc.
^ N"dw +?" dp"^C^dq"+ K"dr" etc.

formulam V d x fiei*i integrabilem , fi modo tribus
fequentibus aecjuatiombus fuerit fatisfactum :

x6o DE CRlTERirS INTEGRABIL.
T N-^-P-+-l^-^ rro

n isi'-^ip:-]-4a^- ^;. .. .z=o

•lA- ■'-^ ct:c ^^ d X* d *5

19. Si quantitas V praeter variabiles a% y, «
<w etc. earumque differentialia cuiujjcunque gradus ,
fornnilas quoque integrales , ex iisdem quantuatibus
conflatas \tcunque inuoluat , criteria integiabilitatis
fornnulae V^.v aeque focile ernentur. Qiium enira
formula V t;/ x integrabiJis fit pofitis omiibus / z^
fii; etc. \ariabilibus ^ neceffum ti\ \t inte^ratinneni
quoque admittat, fi flatuantur aut x et j, aut jv tt 5?>
aut X ct iv ctc. folae \ariabiles. Vnde fiquidem ex
fuperioribus iam pateat , fub quibus conditionibus
forrciuh f V d X , quae praetcr x aliam quamcunque
variabilem cum differentialibus cius quomodocunque
inuoluat , verum fiat integrale ; hae eaedem condi-
tiones dum pro vnaquaque variabili ^ y, 2, lu etc.
feorfim inueftigantur , colledim fumtae , vera crite-
ria integrabilitatis formulae V d x, in qua omnes a\
^, Zy w etc. pro variabilibus habentur , exhibtbunt.

20. Poftquam igitur iam oftcnderimus , qua
ratione criteria integrabilitatis , pro quacunque for-
mula differentiali fimplici V dx inuefligari queant j
proximum eft , vt ad formulas differentiales quae
duplicatae dicuntur , progrediamur. Notum autem
eft formulas integrales duplicatas , fub huiusmodi
forma ffVdxdy repraefentari effe folitas, cuius
lignandi rationis hic eft fenftu : capiendum primo

effe

FORMVL, DIFFERENTIALIVM. i6i

effe Integralc formulac V d x pofita fok x Yariabili,
dcinde vero tbriiuilae difilrentinlis dyfV dx^ inlii-
tuendam elle integrationem habita fola y variabili ^
vel viciflim fi primiim capiatur integrale formulae
V dy pofita y Yariabili , portca integrandam efle for-
mulam d x f V d y ^ Ibla x pro variabiii fpedata ,
vtroque autem modo ideni iotegrale prodire debere.
Deinie quod ad figniflcationem litterae V attinet, no-
tandum ert, eam dcfignare quantitatem, quae non modo
variabiles x et y^ fed alias quascunque z^ u^ v^ iv
cum ipfarum difiTercntialibus qiiibuscunque inuoltiat,
pofitis dif!ereiuialibus ipfarum x tt y conftantibus, vt
ii^iiur nuio diff^rentialium ipfarum z^ v, w etc. ex
calculo elidatur , liquet has quantitates fpedandas
effe , Yt fundiones ambarum variabilium x et j,
adeo vt ex; catvffa flatui debeat
d z zz: p d X -\-p^ dy.

2 1, Criteria igitur integrabilitatis huiusmodi
formularum integralium duplicatarum inueftigaturi ,
incipiamus a cafu fimpliciori , eo nimirum , quo V
praeter x et y tantum vnicam nouam variabilem z
cum ipfius different alibus cuiuscunqnc crdinis com-
plecliUur. Qiium itaque z quafi fundio binarum x
tt y tradari^debeat , neceffam etl vt flatuatur :

dz zrpdx-^-p' dy d qrzzr dx -f- r^ dy
dp—qdx-\-q* dy dq^ —f^ dx-^r^dy
dp'zzq'dx~{-q"dy dq"zz.r" dy-\-t"'dy

etc.
Tom.XV.Nou.Comm. X dein-

16-2 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

deinde ponatur

dWzzLdx-^^NdzA-^ dp+Q^dq -^K dr

-i-^^^dq^ + K^dr" etc.
^K!"dr"f

eritque nunc difpiciendum , quaenam determinationes
pro his quantitatibus L, M, N, P, F etc. praefcri-
bendae fint , Yt formula ffV dx dy \erum confti-
tuat integrale , \el potius afTumto quod formula nO"
ftra fit integrabilis , quaeramus quaenam inde eli-
ciantur aequationes littcras. modo dicflas N, P, P',
Q.1 Q!' Q!^ ^^^- intercedentes ? Statuamus igitur in-
tegrale huius formulae per duplicem intcgrationera.
oriundum. efle Z, deinde fumto differentiali ^Z,
quod prodit habitis omnibus x^ /, z fimul pro la-
riabiiibus , ponamus efTe :

d2,zzz\dx-{'ydz-\''Kdp-\'K d q
■\:\i^dy r^-n^d]} -^-v} d q^

atque ex principio generall fupra §. 2r ftabilito , H-
quet elTe debere :

/ d fx ^ — /'d v\. /d M. ^ /^'^V /'^ f^ ) — ''1^'^ etC {^-1\ — ^— '^^*

(^) — (15') etc. etc

Ne autem fbrmulis vncinuHs inclufis , fignificatus.
ivibuatur alienus ab eo, quem heic indigitauimus ,,

obfei:-

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 153

obfcruandum eft , hiiiusmodi formulis duplkem tri-
bui pf'fle fenfum. Formula eten m ^^(5-^) ^ut fi-
gnificare folet difF.rentiale quantitatis X, quod pro-
dit , fi ex quaiititatibus Yalorem ipfius X ingredien-
tibiis , folaj/ pro variabili habeatur , reliquis nimi-
rum omn bus , Xy z, p, p' etc. conrtantibus pofitis 5
aut vero hac formula Hjyi^-) indicatur , difFerentia-
Je ipfius X ex "variabilitate ipfius y ortum , fi quan-
titat s quoque z, p, p' etc. prouti ab j pendent , vt
variabiles tradle' tur , quo pofterori (enfu (ola quan-
titas X vt conllans (pedlatur. Ccuirtat autem pofte-
rion hnc fguificatu adhibito , aequalitates modo al-
Jatas , veritati amplius non conlentire , easque folum
priori feiifu veras efle , pofleriorem igitur fignandi
rauonem tanti|j3er euitemus , donec valores littera-
rum X, jjL, vf TT, tt' erc. inuenerimus ; poflmodum
cnim maioris breuitatis gratia , eam tanto magis
adhibere 1 cet , ouod tum amplius nulla ex eius vlu
ambiguitas fit metuenda,

22. Quum itaque fit 2.z=:ffVdxdjy (i
ftatuatur :

dZzizadx.-^pdy, habcbimus a—/Vdy et ^zzfVdx

vbi haec integralia ita capta intelliguntur , vt in
priori x pro conflante habeatur , in pofleriori vero
^, quod pro fimilibus formuHs po(t hac occurrenti-
bus quoque \alebit , et heic femtl monuiflb fujfliciat
Hinc iam reperietur

X 2 a-X

154 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

4-7r'^'-fK'W etc. 4-7ry+KV'' etc.

+K"r" 4-k'V''^.

Si igitur vlterius ponatur dazzydx-\-^dy , inuenietur

+ »-"'(^) +TtV"+K'f"

+/>(^i)+P?'(r^)+/>?'(l^) etc. +K''y'"

+;'?"('7r) «tc.

+?(!-p+?/''(^3

+ »■ e^)

+ rr^)

Quae aequatio fub hac quoque forma repraefentari
poteft :

v=(^^)+pf^')+?(fp+»-(|-;)

' +P'0 + l'i'iJ^^<i) +v?' + 7rr'+K'^'

+^'(j^)+r''(^Jl') etc. +7i'/-"+H'/"+etc.

+p/.'>^^'i+f"(i^)
+ ^"'(l^->

FORMVL, DIFFERENTIALIVM. i6$

+ (P'1 +P1') (^)

'd TT'

^d 2i

+ w+pf) m ""'

23. Ex aequatione igitiir iam propofita , Ta-
lores litterarum L, M, N etc determinari potcrunt
ct primum quidem habebitur :

^^^n)=&+p (L^.-)+? i'^;>+r (U^)

+P'('S)+9'(.m^) + r'{U^)

~^ ^d x*''^ ^dxdy'

+l"(.S^) + r'(.^J) +etc.

+PP'i'dr.)+r"i^')
+r'Hi^)

+5* <-U)+r' (2-f H/' (fi) +(P1'+P'1)&

+r" C^^ + s"^'^) + etc. +(p?"+i)'?')(j|ji)

+ ^"'{^)

Vnde in vfum vocatis aequalitatibus §. 21, allatis
obtinemus :

L=(f^)+/'(f|^)+?(j-^)+'" (l^)
+P'(|^J + 9'(|^) + '-'(.^,)

+ ?'(f4^)+^"(r,l^)+etc.

+l"il^'+r'L^)
+PP'i'^)+r"L^:)

X 3 ^q'

i66 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

+?'(.^'+^' r. + '' O +(H' ^P'l)i^)

24. Capiatur iam intcgrale /L ^ a; , pofita J
conftante et habebitur :

+ ^"(a-^+^"(^-^ +etc.

vnde denuo integrando, habita x pro conilante orie-
tut fdy fh d X ~K Simiii vero ratione , fi pri-
mo capiatur integrale /L ^j, erit

+ ^'(r^J+r'(^) etc.

iterumque integrando y pro conftante fpedata :

J d X fLdyzzL^K^ ex quo iam liquet efTe X— ^L^a:^;/
vbi figna rummatoria , qiiaiititates , quae loco con-
flantium per duplicatam integrationem inuehuntur ,
iam in fe inuuluere concipienda funt. Quantitates
autem hae per integrationem ingreflTae , fundiones
quasjcunque arbitrarins quantitatum vV et / conftituent,
adeo vt fit X zz ffhd x ^j/ H- X -f- Y, fignificanti-
bus X et Y, funcftioncs quascunque fbljus xety.

25. Ad eandem rationem dcmonfirari potefl ,
clTe ^-^ffVidx dy et vzzff^dx dy ^ adeo vt

his

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. i(J7

hls aequaliratibus confirmandis ■vlterius immorari
necefTe non fit ; quaeramiis igitur quaenam expredio-
ncs pro quantitatibus iplarum tt et n' ex \aiore
ipfius V allato inuenia tur ? Hunc in finem quaeratur
primo valor ipfius P , qui erit

-^PP'iiri^+r'\tl^,,+m,

Afj:) + '".'4) ^t^.Mpi"-\-p'i'>i^\

?"(14-.)

M!^ "* ' ^^^-

Sumatur iam integrale /P/j/ , fictque;

/P dy ^ i^^)-^p(^^j^q i^)-^r(^)

-^^'(^-^)^-^'0)+etc.4->^'

Tnde denuQ integrando , pofita y confiante habebitur
Jdixf^dy-it-^-fvdXy ex qua ^utTt-fdxfVdy-fvdx..

Cete,"

1(^8 PE CRITERIIS INTEGRABIL:

Ceterum fi integratio prima inftituatur j' pro con-
(lante habita , fiet ;

4 f '

-^1'%)

)

atque iterum multiplicando pcr dy et integrando
pofito X conftante
fdyfVdx^m+fdyfdx{f^)-^p'('^)^ q'i\^)^^^ -N

+ ?"{'!?) ■■^
vbi pofterioris membri integrale manifefto erit -fvdx^
adeo vt iam fit
ni — ffVdxdyfvdxzizffVdxdy-Jdxff^^dxdy,

Simili autem ratione demonftrabitur effe

ni^—ff?^dxdy^fvdyz=:ffV'dxdy^fdyffNdxdy,

:l6, Vlterius ad inueftigandos valores ipflirum
>t,, x,^ k" , breuitatis gratia indigitemus differentialia
ipfius V , quae oriuntur pofitis quantitatibus q ve)
(/ vel ^" variabilibus , ex iola diffcrentiatione liiterarum
graecarum X, jjl, v', tt etc. , per fequentes fignandi
formulas : [^-1] -, [^-^,] ; [^-^.]. Hoc igitur obieruato
habebimus

ex

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. KTp

ex quo deducetur

/<idy={l^)-^p(i^)-\-q{'^)+ctc. + TT, indeque

fdxf(^dyziyi-\-fi:dx^ confequenter fiet K^fdxJQ^dy
^fiidx, fiue ctiam

KzzffQdxdy-^fdxffVdxdy-^-fdxfdxfl Ndxdj^
At pro k' inueniendo habebimus

-t-(j^)H-i*(^)^-?(rT)

'^d X ' *^d »^ * ^d p

^d p-

-^iM^)

etc

Tf '^fvdx

vnde prodit

/Q:</.v = (l|)-l-/Af-|)-t-?'(i^')+etc.

-1-5"(1|)

•^/'^^ ((|f)-i-/''(^-v')+?'r;) _{. etc. )

hincque iterum

fdyfC^dxzzK-^fizdy-^fdyfvdx

^fdyfdx{{'^)-\^ p e^) -h etc.)

=i>t-i-/7r^j+ f ^^ d X -^fdyfv dx

•vnde colligitur

^^^^ffQ^dxdy^-fmdy-fn^dx-^ffydxdy,

Denique inuenietur

K'"=ff(^'dxdy-f7:'dy.

Tom.XV.Nou.Comm. Y aT

X70 DE CRITERIIS INTEGRABIL '

27. Deinde fi \lterius procedere yelimus, iu-
veniemus elfe :

^ =r // Kdxdy "/k dx

^' ^f/R' dx dy — /k dy —fK' dx —ffi: dx dy

^"—ffR"dxdy-fK^dy-fK"dx-ffm'dxdy

f-ffR"'dx dy -^fK" dx

et

cr zzffSdxdy — /^ dx

c' zzffS'dx dy — /f dy — /^' dx —ffK dx dy

cr"z=:ffS"dxdy-^f^'dy^f^"dx^ffK'dxdy

<r'"—ffS'"dxdy--fl"dy^ffdx-ffK"dxdy

(j^^^zzffS^^dxdy-ffdy. etc.

a8. Hinc quidem nunc criteria integrabilitatis
qaaefita , faciliimo negotio erui potcrunt , ii enim
•valores ipfarum , K, tt, tt', k, k' k" etc. , qui nihilo ae-
quantur eadem fuppeditabunt. Si igitur fuerit
TLzzffV dxdy^t ''

dZ—^hdx-^-ydz-i-mdp-^-K dq -4-^ dr
^lkdy ^^rjii^pi^-xf dq' 4-g' dr'

-\-K"dq"^fdr^'
^fidr'"
tum euidens cft effe o-, o-' cr'' etc. z= o , fimiliterque
pofito tzz^y a coefficientes ipfarum dt per T, t'
etc. exprimantur, erunt quoque hae 7,^', T"etc. z:o,

vude

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 171

vnde pro criteriis integrabilitatis obtinemus fequentes

aeqiiationes :

I. ffSdxdy—f^dxcz o ;

II. ffS^dxdy—f^dy-^j^^dx—ffKdxdyno
IIL ffS^^dxdy-^fi^dy^f^^dx-ffY}dxdy-0',

\S. ff^^^^dxdy-fi^^dy--ffdx-ffy}^dxdy'=z.o

V. fS^^^^dxdy-ffdyz^.o j, vlterius

VL ff^dxdy-fcrdxzzLO',

VIL ffVdxdy-f(T'dy-f(T'dx-ff^dxdy:=ZQ ;

VIIL ffV^dxdy-fd^dy-^f^T^^dx-ff^d^xdy^zo ;

IX. ffV^dxdy-fd^^dy-fd^^^dx-ff^^dxdyzzio ;

X. ffT^ dxdy-fcT'^^dy^f<j^^ dx-^fffdxdy—o ,•

XI. JfV^dxdyfcT^^^dyzzo.

29. Vt vcro melius pateat , qualis forma his
aequationibus rite euolutis inducatur , e re erit le-
quentes ob(eruafle aequalitates :

^TT^' — ^ ' ^ctx^dy — Vd «' M* rfy — V<t»'

(d^ ^ ) (dd Q\_ /d_P \ 1 Vr

\dx'dy' — ^d x^ ^ ^u x^ ^^

Wdy»-' — ^dxdj' ^d x'~

^dy^

17^ DE CRITERIIS INTEGRABIL.

\dx*dy) — \dx'J V d x2 > ^ \d x^

^dx^dyJ' — ^dx^dy' \ d x^ ^' ' ^d x'

_^(ddQl) yfd-P')

^dxdyi ^^^d y'

( 45^" N /df^ R^'\ _ (d dQi\ . (d±\ __ TS^

W'4>'^ — ^dxdy'"' \dxdyi^^^dx^
_.(ddQ!!\ x^fd PS

Id^*^ — U:^»^ ^dy-i^^dyl

Poiro
II. o=:(,|^)=i|^9-a + 0-G4)+N

/d_f_R:'\ , Cdd_QS __ (d_P'v
\'dxdy^l~^^<:txdy^ ^d y '

4-C4AQ1')
^ '^ d j* ^

XV, ^— ^d^c^^jy*/ — ^dxdy^l \dxdy^l^\dxdy' ^dxJ^^^

(d^R"\\ fd ^Qi'\ ( d P\

V djs '''' ^ dy ^ ^dj»''

^* ^'-(d^)--(T3^i-"^-d^^+^-d7*--^"-(d3^^+N

Hi igitur quinqiie valores vltimi nihilo aequales
pofiti , praebebunt totidem criteria integrabil tatis
pro formula noftra \dxdy. Ceterum omnino
notaflTe meretur , omnibus liis aequationibus in vnam
fummam colledis inueniri :

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 173

^ '^ y ^ ^ ^dTds^i ^ [d^^ ■+- (rfWj) __

\ d j3 / I \axdy'
30. Vltcrius erit :

VI. Q-(.^LJL.\-~( d' T )_/ d^ S \ . f d^ R \ rddQ,^,/d?, AT

VILo-(— ""- )-f-^^)-r-^^~)4-r '^' R^ /dda>. rdp^ xT

''^^''-^-^dxidy^-^-\dx^dy ^dx* ^ ^\d~^J~[T^Wj^) — N

^(dL^\Ji-(dlR'\_(ddQS.\,fdP'.

^^'■^'^-'^dxHy^J-^dx^dy''' ^dx^dy^^^^l^ ) (ir^>'+ (d~«;) — N

— C iL'_£l ) 4- r ilH) _ /dd q:^ 4_ /dP' \

^dx^^dy^^J ^\dx'ay^ \dxdy^'^dyJ

JL.(d]_^')^(ddQi.'\
^\ax ay^J ^ d y^ ^

IX o-(^' '^"' ^— (^^ '^"'\^(d' s," \. /d-- R^ 'I — ridQ.^4-/'^p^ -* M

^^r^d;^^d>+'' — ^dx-dy^l ^dxHy-J~ Sd^^yl ^d^J^^Jlx) ^^

_r/^' R"*^_(ddQL^\

IC 0-r<^' -I^'^ (^^ '^""\ — /^' ^"'\ 4, fd^ R" N __ /dd Q:n , /d_P\ __ ■jvj

'^ "^\d;e'd>5/ — ^d* ci>*/ ^axdy^l ~ ^dxdy^J ^dxdy^^axl ^^

(d^ S""\ \(d^J<^\ f ^ dQi'\xjd P\

Xl.O-r^l^'^-— f^-)--('^-^)4-('^^1---('^^')4-(^) — N

\dxdy^' — W 35 ; ^dj+-'^^dj3; \dy^l^^dyJ, ^^

Hae igitur fex aequationes reliqua criterla integrabi-
litatis formuiae noftrae fuppeditabunt , eas Yero in
\nam fummam cuUigendo obtinebimus ;

Y 3 ^N-

174 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

«N-5(f-:)++(^A'j)-3(-^)+»(4^)-(^)

3 1. Ab hac aequatione , fi fumma quinque ac-
quationum priorum fubtrahatur , obtinebimus:

- c-i') + (ji^;) • =o

-^(^') -('^')-

Haec aequatio per 5 muhiplicata , et ab ea §. 29.

fubtrada dat :

+ (^D--(¥^) + 3(-^-) + 5(4^)

+ 3(-^')....+ 5(^).

31. Si nequationes quinque §. 29. addantur ad
fex §. 30. ita , Yt fequentes capiantur lummae
I H- VII; II 4- VIII j III 4- IX etc. orientur hae
aequationes :

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 175

— rl^'i 4- ^^ii:!^ — r '^* ^" ^ j^ f^' t- >( _ ^

4- (^UlI] - f4ii'" ) A^ flLl^ ^) Ck

Quarum aequntionum fumma ab acquntione VI. §.
30. fubtrada dat aequationem priorem fupra §. 31.
allatam. Porro fi aequationes §. 29. cum iis §. 30,
ita combinentur , Yt fumantur V H- X,- IV + IX ,
III -i- VIII etc. prodibunt fequentes aequationes :
(^) — iil9L) 4- (^^ R" ) — (d^ ^"') 4- r^^ T"" , _^

^i<;c/ ^dxdy^ ~ ^dxdy^l ^dx dy^ "^ \dxdy*' — ^

( d' S \ I /d^ T^ \

^ d «+ / ~ \dx* dyl — *-'

quarum acquationum fumma ab acquatione XI §. 30
fubtrada , iterum producit aequationem priorem
§. 31. allatam.

33. Criteria igiiur integrabilitatis formulae
V ^ a: dy^ Yno complexu rcpraefentantur hac ae-
quatione :

N-

n6 DE CRTTERIIS INTEGRABIL.

N - (l-^) + ^) - (^) + (!^) - ( ^)

"^ V d j5 >' "• \dxdy'^^ ^dx^dy'^

Singula aiitenn eorum hinc inueniuntur , fi omnia
membra in iisdem lineis horizontalibus vel diagona-
libus occurrentia, fe^^rfim nihilo aequcntur. Vt au-
tem €X ipfa formulae d;fFerentialis natura perfpicia-
tur (^—1) et (^^-^) reucra nihilo aequari , perpen-
dendum eft , nos fuppofuifle vhima membra , quae
in valore ipfius dZ occurrunt effe ^ ^ r, ^' d r' etc,
adeo vt quantitas Z valores difierentiales vhra r
aflurgentes non inuoluat. Videndum igitur eft, quae-
nam ex duplici diflTerentiatione ipfius Z , qua primo
X deiude y pro conftante habetur , in fundionem V
introducantur variabiles. Si igitur fuerit

dr z:::s dx-\-s' dy ci ds znt dx^t' dy
dr' z^s' dx-\--s" dy ds^ =/' dx-\-t^^dy

dr^-s^^dx-^-s^^dy d s" znt" d x -\- 1^' dy
^j.ui-- ^'"dx-i-s^^^dy ds''^zzt"'dx-^t^dy

ds^^^zzt^^^dx^t^^dy

liquet quantitates ex differentiatione duphci variabi-
lium f, r etc. ortas , fore ^', /''.... /^^, vnde eui-

dens

\

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 177

dens eft , qiiantitates t ct t^^ fundl^onem V non in-
gredi , quannobiem nec d V has quantitatcs 1l d t
et li^ dt^ inuohiere poterit.

34. Ex his ergo iam conftat , quo irpdo fola
confideratio differentiaHs d V cognitionem criterio-
rum integrabihtatis pro formula Y dxdy fuppedi-
tct , eo nimirum res redit , vt ex foima dificrentia-
lib ri? V, de forma differentialis ^Z iudicium inlU-
tuatur , quod faciU negotio fieri poteft , modo in-
quiratur , in eas quantitates , quae ob duplicem diffe-
rcntiationem niodo merr oratam quantitatum forir.u'am
Z ingredientium, in V introducuntur. Sequenti autem
tabtJla hdrum quantitatum mutuam dependentiam ,
ob oculos ponere , congruum \ifum efl :

Quantitates fundio-Qnantltates indeQuantitates per fe-
nem Z ingreaien-lper i'"''"' difRren-cundum difFeien-»

tes.

z

P

P'

9

r

//

r/y

.///

etc.

tiationem ortae.

tiationem or tae.

P ^'

el

f

^'

9

r

r'

¥

q''

r''

r

r'

s'

r'

y/J ^

s^'

r"

f^//

s'''

s

s'

t'

s'

^//

t''

s''

j.///

t'''

s'''

j^^

/^

etc.

etc.

Tom.XV.Nou Comm.

Z

liquct

17 S DE CRITERIIS INTEGRABIL.

liquet autem imprimis ex quantltatibus tertiae co-
lumnae , de correfpondentibus primae iudicium fe-
rciidum efle. Sic ex : caula , fi in diflferentiali d V
terminus R^^ d r^^ defuerit , id pro certo indicio
erit, in dZ terminum it^dp^ non adelfe , fcu eife

3^. Si propofita nunc fuerit formula differen-
tialis duplicata V dxdy^ in qua fundio V praeter
quantitates x et j, quarum differentialia ponuntur
conftantia , duas alias variabiles z et v cum earum
diffcrentialibus quibuscunque inuoluat ; criteria inte-
grabilitatis iftiusmodi formulae ex principiis modo
jexpofitis facile aflignari poterunt. Pofito enim

dz zzpdx-^-p^dy dv zz.Xi^ dx -i-p^djr

ap :ziqdx-\-q^ dy d\) —^ydx -\-^ dy

dp^ zzq^dx-^q'^ dy dp^ zzC^' dx -^<\'^ dy

dq nzrdx ^r'dy dq zntdx -^x^ dy

dq^ znr^ dx-^^r^^dy dq^ — x^ dx -^x^^ dy

dq^^zz.r^^dx-\-/^^dy etc. dq^^—x^^dx-^x^^^^dy etc,

atque

dVz=L\.dX'\'^dz-\'V dp -^Q^dq 4- ctc.
-^-mdj^^dv-hP^dp^^i^dq'
4-^^p -\-(^'dq''
'\-'^'dp''\-0.d<\ +etc

4-a^Vq^^

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. i7<)

aequntiones inter litteras N, P, P^ etc et % ^, ^'
iii fubridium vocata rcgula §. 18. allata, inutltigan-
dae funt, Primo lcilicct habita quantitate 1; pro
conftante , quaerantur cnteria integrab litans pro fov'
inula duplicata ^ axdy^ tum \ero iurum pofita
z coullante fimilia criteria huius formulae iniiefti-
gentur ; dein "vtramque claffem horum criteriorum
colligeHdo , de integrabilitate formulae \ dxdy^ in
qua 5; et «; , fimul \t \ariabiles tradantur , iudi-
care licebit. Huius \ero aflerti \ltcriorem demon-
flrationem eo minus e re erit hoc loco adferre,
quod ex iis quae fupra §. 15 et feqq. pro fimili
calu formulae differentialis V d x docuimus , pateat
quomodo ea adornari debeat.

^6. In genere igitur , fi in formula difFercn-
tiali duplicata \ dxdy^ V praeter quantitates x et
J, quotcunque alias ^ariabiles z^ «, v etc. cum ipfa-
rum difftrentiaLbus cuiuscunque ordinis inuoluat ,
haec regula pro integrabilitate huius formulae exa-
niiivanda \alebit: "Qiiaerantur \alores fbrmulae V dxdy
„QUi prodcunt , fi in quantitate V practer x ti y ^
„remper \na reliquarum \t :2 \ariabilis flatuitur, cae-
„ttris. w, V etc. pro conftantibus fpedatis , ct pro-
„deant hinc formulae \^dxdy\ V^^dxdy^ V^^^dxdy^
„tum inueftigentur criteria integrabilitatis pro hilcc
„tormulis , atque neceffum erit , \t omnibus his
„criicriis fatibfiat , quo formula Vdxdy pofitis
„omn bus z> w, 1; etc. fimul \ariabilibus fiat inte-
„grabilis.„

^ * 37.

xSo DE CRITKRIIS INTEGRABIL.

37. Confideremus iatn formuks integrales trl-
plicatas , quae fub hac forma repraelencari poflunt

JJf\ d X dy d z. Hic enim pofita V fundione
trium quantitatum x^ y^ z nec non aliarum quarum-
cunque variabilium , prima integratio inllituatur con-
ficlerata x vt yariabili , y -vcro et z pro conftanti-
bus habitis , deinde fecunda integratione quaeratui
integrale formulae dyfVdx\ pofitis x et z con-
ftantibus et denique tertia intcgratione , inuelligetui
integrale formulae d zfdy f\ d x^ confiderando x
et y vt conftantes. Quacritur ergo quomodo fundio
V comparata efle debeat , vt huiusmodi formula
tripWcnta fffW d X dy d z verum conflituat integra-
le ? In genere autem patet integrale hinc oriundum
ita efle debere comparatum , vt idem prodeat , quo-
cunque ordine , hac tres quantitates X, y, 5; variabi-
les ftatuantur , adco vt fit :

fdzJdyJV dx—fdzfdxfVdy—fdyfdzjVdx
-fdyfdxf V dz-fdxfdyfV dzzifdxfdzfVdy, '

38. Ex huiusmodi formularum integralium
trlplicatarum numero , confideremus primo cafum
fimpliciflimum quo V practer a:, y et z, quarum
difFerentialia conflantia fupponuntur , inuoluar aham
quandam variabilem fo nec non quaecunque ipflus
differentialia. Vt vero fpecies huiusmodi differentia-
lium e calculo tollatur , et quum triplex heic flt'
inflituenda integratio, prout ires quantitates a% j, z
pro variabilibus habentur , liquet quantitatem v con-

fldC:'

FOilMVL DIFFERENTIALIVM. iSi

liderandam efle , vt fundionem triimi variabilium,
x% y^ z adeo vt ftatuere liceat :

dv-pdx-{p^dy-\-fd.z dq zzr dx-\-r'dy ~\-r"d.z
tum vero d(^' -r' dxi-r'" dj + r^"^ dz

dp -q dx-\-q' dy\q"dz dq"-r"dx-\-r^'^ dy +- r^ dz
dp' -q' dxi-q^^dyi-q^yz dq"'z: ^"'dx+r^^^dy 4-r^" dz
dp^-q^dx-^-q^^^dy \-q^dz df-r^^dx^-r^'' dj-^r^^^^^dz

dq"" zir^ dx-H^^^^^dy^^r^^dz.
Hiiic autem liquet dV huiusmodi formam iiabere :
dV^iz-^-ldx-^r^^dv-^V dp -|-Q_ dq + ctc
-^-Ldy -\-?'dp^^(^ dq'

-^-Mdz -^F^dp^-^-Q^^dq"

^(^'dq'"

Si vero fupponatur effe Zznff/Vdxdydz fitque
dZzn i dx-^-vdv^izdp -\-k dq + etc.
'^-'hdy ^'Ti^dp'-\-K' dq'

-^lkdz -\-'ii"dp"-\'K^'dq"

^K"'dq"'
^K^-^dq'"'
K^ dq^'

inuentio criteriorum integrabilitatis fbrmulac
\ d X dy d z eo reducitur , vt valores coeiHcientium

23 ij Xj

i82 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

i; X; fJt; V etc. ope qiianiitatum I, L, M, N etc.
dcterminentur.

39. Relationes igirur has inueftigaturi , ne iti
nimis prolixos incidamus cakulos , ftatuamus mox
fequentes ip(iirum i , X , [a. etc. valores

izzfjn^xdytiz + a-, -Kzzf)fhdxdydz-+^ ;

Y.—fff^\dxdydZ'\-y\ y—fff^dxdydz-^-B ;

ii^/ffVdxdydz-hi', ii^zz/f/V^dxdydz-hs';

7i*'-fffY"dxdydz-^t" ; Kz:zfffqjxdydz-\-^;

Wzz-ff/^^dxdydz-^-^^ etc. ctc.

Deinde quum fit 2zz//fW dxdvdz ^ patet quoque
cffe d\ zz { ^l\^' Si proinde \alor fuppofitus
ipfius dY comparetur cum eo, qui ex difFerentiatione
formulae ^Z oritur , faciUimum erit \alores littera-
rum a, (3, y detcrminare, \nde deinde i, A, ^ji, v etc,
dettrminabuutur.

40. Habemus vero primo, fumendo difFerentiale
ipfius dTL pofita fola x \ariabili

(fl):=,j,dx{fl\dvdz-^i\^))-Vdp<.ffVdydzM^)l
-^-dyi /fLdvdz-^-i''^)) U / /fNdxdydz^^)^

^dzUfmdydz^i^^^^^d/^f/V^dydz^i'^))

^dv{/f^dydz-\(^))-{-dp\fjV%dz-\-{'^))

^dci

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 1S3

^dq {ffqjydz +i-^-i)-\-fff?dxdjdz -j-e)
-i-dq' (ffQ^dydz +{^)-^fffV'dxdydz-^e')
-\-dq"{ffq; dydz+{i^)-\-fff?iidxdydz -)-e''j
-^WfOa^djdz + iL^))
-\-dq'\ff(l'dydz+{^))
+ dq''{fjq^dydz+lii^)) etc.

Vlterius difttrentiando , habita y tantum pro \aria-
bili :

-i-dy{fLdz+C^}) l+ffNdxdz+{±L^

^dz(fmdz+{iJ^^))+dp'c fVdz+^i^J^h
^dv{fNdz+{'j^) 2-+ffNdydz+(iL)S

-hdp"{f?"dz+{^^p)

^dq {f(ldz + {\±l)-\-ff7dxdzM'^))
-\-dq'^f(^dz-\-{^p+ff?'dxdz+{p;^)+frPdydx+{i^)l

C -hfffNdxdyds

-\-dq" (/Q.« dz 4- (^^) ^ff VdxdzMTi))
^dq'" {fq"dz-+^^)^ff?' dydz-^{\iL^
-+dq^''{f(^-dz+{'^)+ff?"dydz+-{^))

^dxdji^

Deni-

184 DE CPJTERIIS INTEGRABIL.

Denique difTcrentiando pofita fola z variabili :

-^'/«^ M + 'ar^)) +4'$ P' + (^J,
+'^?'SQ^+(.-^JVP''^-^+(^-7£)+/P'^^+(!Tj;)i

2 +/fNdxdj+[±±,^.

+'^f"5Q!'+(.-0-J+/F"'/-^+f^-^:'+/P'^-+1#i><

+''«"' (Q!"+(3^>/"i" '/j'+(f-^;))

+ </*■' SQ-"'+ (^^' +/f "-^-^+^srl^^ -t-/P''^^+('-^' );

■/yN^'</a-t c^ ,<

+ '^«^</+(^J+/I"''^^+(5:^')) "^-

41. Comparando nunc hanc aequationeni , cum
valore ipfius </V afTumto , inueniemus

rnde fequitur (Jlf^Jzzo ', (^)zio etc.

hlnc

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 185
hinc vero deducitur

vbi A(.v, j) fignificat fundionem quamcunque iprarum
.V et^; (P(x, z) ipfarum x tt z , atque vKj^, z)
ipfarum j et z, Qunm autem per iplam integratio-
nem huiusnnodi fundiones arbitrariae iam indroduaae
intclUgantur , ita ^i fffldxdjdz easdem iam m-
\oluat , tuto ftatuere licet a- o , fimili Tero ratione
crunt (Bnzo ; yzzo et 5^ — o , adeo -vt habeatur

\-fjfldxdydz-', "Kzizfffhdxdydz

Y>^lffMdxdydz\ v:z:.fff^dxdydz>

42. Deinde aequando inter fe coefficientes
ipfarum dp^dy^d^p^^ obtinebimus fequentes aequationes:

CX quibus oritur :

tz=.-fdxflf^dxdydz-=i-f)fdxy
e' zz. —fv dy \ g'' ~ — /v dz
proinde habebimus
mzz.fffVdxdydz—fvdx ; ii^zz:fffV^dxdydz^fydy\
ni''-fff?''dxdjdz-fydz.

Comparatis dcnique inter fc terminis , qui per dq^
dq^ etc. afficiuntur et loco €,€',g'' \aloribus iplorum

introdu(flis fiet : "-,

Tom.XV.Nou.Comm. A» o =:

tiS m CRITERIIS INTEGRABIL.

«^^^.-^^.^-t-ZP dx-fdxfmx
0 = (jSjk) -^-/P' dx+f?dj-fdxfndy-fdxfndf

~\-ff!<idxdy

o = {i£~^)-+-fP"dx+f?dz-fdxfNdz-rdxft<idz

-J-//N dxdz
P-^r^:>-^P'^y -fdyf^dy

O-ii^^-^J^^dj+fVdz-fdyfKdz-fdyltidii

-{-ffiidydx
o=z(';£;,)-{-f?"dz-fdzrNdz.

Vnde fequentes confequimur valores :

^ ziz-f-Kdx', ^'--fiidy-fTi^dx-ffvdxdy
4" zz -fn dz -fi:'^dx -fvdxdz ; ^''' = -/tiVj'
^^—"fn^dx-fii^^dy-fvdydz ', ^^--fn^^dz

cx quibus colligitur :

K zzifffQ^dxdydz —fiidx ;

k' -=::fff(^ dxdydz-fTidy-fndx-^ffvdxdy

K^' =.fff^' dxdydz^fitdz^fTi^^dx-ffvdxdz

k'" zzfffQ^^dxdydz-fn^dy

yy^—fff(^^dxdydz-fii'dZ''f'K"dy---ffvdydz

K^ —flf(^dxdydz-fii"dz.

43. Inuentis hac ratione valoribus litterarum
h, X, fx, y, TT, tt' ctc, ii, qui pro formula different ali
triplicata Vdxdydz in nihilum abeunt , criteria
fuppeditabunt, ex quibus de integrabiLtaie huiu«^modi

formulue

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 1S7

formulae iudicium inftitui debet. Vt vero eiiiden-
tius pateat , quaenam aequationes ex euolutione valo-
rum ipfcrum w, tt, 71', tt'', k, yJ etc. oriantur ;
fequentes aequalitates annotafle Ytile erit :

_ , d\ ddO dV ^

■ /k' ^<y d?

Vlir (,-S^U=:«)-(f )4-N
^dxdjdz ^ dy ^ ^dy

A a a IX.

88 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

d?"

dV , ddo;^ ^p« ,,

XI' (^^) = CTp-) ~ (7^) + (^,) -- N
, /^V , /R" ^^Q, ^P

y^Q"', ^P'

</^Q^ /F

'^%dz^'^^di!i^

XVL

FORMVL DIFFERENTIALIVM. 189

^^Q\ dV\
-W^-^^dJ^

^v"- (.l^v.) = ^77-) - (77- )^^.T^ - ^^

/VII /RVII y^Q/// ^p/

__ ^Q^ dV^
'^^dydz^^^dz^
/^viii /RVi" dd(^^ dV

^^- ^dxdydz^ -^dz ^ ^dz ^^^d z ^

etc. etc.

44.. Si igitur formula V d x dy d z ita fit
comparata , vt eius integrale triplicatum Z non in-
voluat , nifi quantitates finitas x^ y^ z et v feu fi
fuerit :

dT.zzidx-^-^dy-^-^Ldz-^-vdio

criteria integrabilitatis formulis § antecedcntis a II
ad XX nihilo aequatis continebuntur , nam pro hoc
cafu liquet omncs 'tt, k et ^ euanefcere. Vt vcro

A a 3 haec

ipo DE CRITERIIS INTEGRABIL.

Ii9fc criteria fimul obtutui repraefentari qiieant ,
fequcntes transformationcs omnino dignae funt, quae
fedulo notentur. Aequationes a llda ad IVtam m
■vnam colllgantur fiimmam vt prodeat

- - (!!■')•

Deinde fex infequentes fbrmulae a valoribus h or-
tae , hanc praebebunt lummam

<JN-3(il) + (^-4?) = o

- 3 i^) ■■

+ {^').

Deni(iue decem vltimae ex Yaloribus ^ ortae hanc :

/ R / R\ / R^^ _

Additis ambabus \'Itimis et media bis fumta ex fum-
ma earum fubtrada obtinebimus:

N-

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. ipi

dV^ dd^ __ d' R^

" ^^^ "+■ ^^y^ "" Vji-V/^
</F d_d^ ifJJi

''dd(^^ !

Kro qiia aequatlone obreruetur omnla membra in
iisdem lineis iiorizontalibus difpofita euanefcere , de-
inde fi fcribendi ratio inuertatur adeo vt omnia
membra pro ratione ipfius z ordinentur , hoc eft ii
habeatur ;

dV^ d^^ /R^^"i

- i^^ ) ■+■ (^^^^ ) - (^^"5)

^ ^^Q^^ d' R^

dJQ^ d'R"
^'^dx ^"^dxd^

adhac

191 DE CRITERIIS INTEGRABIL.

adhuc omnia inembra iti iisdem linels horizontali-
bus coUocata nihilo aequabuntur, ynde iam habemus
19 aequationes particulares pro criteriis formulae
noflrae differentialis : \dxdydz.

45. Vt vero ftatim ex fola confideratione dif-
ferentiahs dY pateat , quaenam litterarum tt, 7i'etc.
K, k' euanefcere debeant , obrcruafle iuuabit , quae-
nam quantitates per triplicem difTcrentiationeni ex
finguhs y, p, p* etc. prodeant , quas fequenti tabella
repraefentamus :

Quantitas formu
lam Z ingredien:

P

Qunntitates per differentiationem ortac

p; p'i pl'
g,. ^m. ^.v

etc.

q'; q"; g"

4V

./.

.//.

-,iv . -.V . -.vni

etc.

llTZafTl

^IV
,IV
jVII

J.VIII

^VIII
,XII1

Pro exemplo igitur a nobis allegato , quo
dZ:ziidx^'hdj^lx.dz-\-ydv

omnes littcrae quae ex />, p' etc. poft triplicem dif-
ferentiationem deriuantar , cuanefcent ideoque forma
dif&rentialis d V ita fe habebit :

dV

FORMVL. DIFFERENTIALIVM. 193

adeoque fi in differentiali ^V praeter bos terminos
adhuc repcriretur ex. gr. R^^r^, certo ftatutre licet
fbrmulam Ydxdydz ncquaquam fore iijtegrabilem.

4d. Si propofita fuerit formula differcntialis
triplicata V dxdydz in qua V praetcr trcs varia-
biles x^ y et z^ quarum diffeientialia lupporiUinur
conrtantia , adhuc binas alias 1? et «, quae "vt fun-
dioncs praecedentium tra^flari poterunt , inuoluat 5
criteria integrabilitatis pro eiufmodi formula fcquenti
nodo inueftiganda erunt. Primum in fundione V
flatuatur u conftars et quaerantur conditiones fub
quibus formula \ d x dy d z hac fodla luppofitione
fiat integrabiiis , deinde ftatuatur 1; conftans et dis-
quiratur quinam ea conftituta hypothefi fmt chara-
dleres integrabil.tatis formulae V d x d y d z ^ haec
criteria colkcftim lumta , charaderem integrabilitatis
formulae propofitae abloluent. Simihs praclcribenda
erit regnla , fi qunntitas V adhuc plures Tariabiles
V, «, IV ctc. cum earum differcntialibus quibuscun-
que inuohieret , nam disquirendum eft , an formula
\ dxdydz omni cafu integrationem admittat, quo
•vnica harum v^ u^ w etc. pro \ariabili habetur, re-
liquis pro conflantibus fpedatis.

Tom.XV.Nou.Comm. Bb 48-

^P4 DE CRIT. INTEGR. FORM. DIFFERENT.

48. Denique etiam perfpicuum eft , quomodo
Methodus iam praefcripta adplicarl debeat , ad in-
venienda criteria integrabilitatis pro formulis difle-
rentialibus quadruplicatis , vel adhuc comphcatiori'
bus , et praeter calculi moleftias atque prolixitatem ,
nihil amplius hoc in negotio fuperefle videtitr , quod
aliquam difiictiltatem obiicere poflet.

rti

PE

DE
CVRVA RECTIFICABILI

IN SVPERFICIE SPHAERICA.

A u c t o r e
L. E V L E K 0.

I.

Occafione magni illius problematis Florentini, quoy
practerito iam feculo poftulabantur in luperfi-
c-e fphaerica portiones quadrabiles , iam tum pro-
blema fuit agitatum, \t in (uperficie fphaerica lineae
ducerentur redificabiles. Quamuis autem Geometrao
plurimum ftudii ad hoc problema foluendum contu-
lerint ; tamen plus vna huiusmodi linea inucnire noiv
potuerunt. Quae circumftantia nunc imprimis ina-
xime videtur memorabilis, quandoquidem haec quae-
ftio ad analyfin infinitorum indeterminatam eft re-
ferenda , vbi plerumque infinita folutionum multi-
tudo locum habere folet ; quamobrem haec vnica
folutio quam quidem adhuc elicere licuit maxirne
digna videtur , \t eius indolem accuratius inueftige-
mus ; vtrum fortafle inde plures folutiones deduci.
queant , an vero ratio quaepiam perfpiciatur ob
quam eam folutionem vnice locum habere intcllige-
re poflimus ? In hoc quidem Analyfcos genere quod
etiamnunc parum eft excultum , pluxima obferiian-

Bb 2 tur

xp^ DE CVRVA RECTIFICABILI

tur phaenomena , quae nullo iBodo ad certas ratio-
nes reuocare licet , cuiusnaodi funt haec duo Tlieo-
remata , iam pridem a me obleruata , quae tamea
neutiquam omni rigore demonftrare valeo, alterum :
prneter circuJum nulla datur linea algebraica cuius por-
tioni cuicunque , arcus circuli aequalis ajfignari prjjet ,
aherum : nulla plane datur curua algebraica cuius ar^
cus quicunque per logarithmum exprimi pojfit, Hic
fcihcec non de eiusmodi curuis loquor quarum re-
(flificatio vel ab arcubus circularibus vel a logarith-
mis pendet, cuiusmodi fine dubio infinita datur mul-
titujo , fed de tahbus quarum arcus quxunque prae-
cife aequahs fit vel arcui cuidam circulari vel cui-
piam logarithmo , nulla fcihcet vel addita vel fub-
trada quantitate geometrica.

Tab, I. II. Lineae igitur in fuperficie fphaerica quae-

Fig- I. fitae , fit pundum quoJcunque Z , determinandum

ternis coordinatis C X zi: a; , X Y z=:^ et Y Z = ^:

\bi fi punAum C in centro fphaerae capiatur, radius-

que ponatur zz: i, habebitur haec aequatio :

deinde quia elementum huius lineae Z z hac formrf-
la exprimitur":

'V [dx" -\- dy 4- d z)

necefle eft vt eius integrale euadat quantitas algc-
braica.

III. Quum ex priore aequatione fit :

z-^-y {T.^xx-yy) erit ^ ;5 zz - -^^^-^^JL-

ex

IN SVPERFICIE SPHAERICA. ip«7
cx qiio elementum curiiae colligitiir

fiue etiam

" 1 — XX — yy ^

tota igitur quaertio iam huc redit, cuiusmodi relatio
inter binas variabiles x et y intercedere , vel qualis
fundio altcra alterius effe dcbeat ; vt haec fbrmula
fiat integrabilis ?

IV. Ante omnia hanc exprelTionem ad fim-
pliciorem formam reduci oportet ^ quem in finem
fiatuamus :

y zi^LuV {i — X x)

vt fit

1 — X X --yy = (i — a: a:) (i — « «) ^
tum ob

j dui.-^xx)^xudj^ __ ^ ^^ y .j ^XX)- ^^

•^ V (i — yix) ^ ' V(i — *«^.

crit

y dx — X dyziL ,'"^^ , -^ x duW {\ '^ x x\

*^ ^ V(i- XX) ^ ',

"vnde numerator nofter fiet :

d x" [i -^ uu) -\- d ti' {i -- X x)'
ex quo fbrmula noftra pro elemento 2 z colligitur

y (dx^ft— uu)-f-d»-( — xxS^ y f A x^ , d_^' —xx)

V(i — xx){i — uu) M — xa '•^ I — u u

vbi quaeftio iterum in iiuientione rclationis inter a:
et u verlatur , vt liuius formulae integrale exhiberi
poffit.

Bb 3 V-

i^^S. DE CVRVA RECTIFICABILI

V. Si velimus angulos introducere hacc ibr-
mula adhuc concinnicr reddi poteft , ponendo enim
X zz cofi 0 et u :=i fin. <$) , "Vt fiat y — fin. Cp. fin. 0
et ;s — cof. Cj). fin. 0, formula noflra integ]*anda prodit
y ( ^ 0' 4- ^ Cp' fin ^' ). Hic autem iam probe
obferuari oportet , littcras 0 et ($) denotarc angulos
ideoque ipflis algebraicas non effe, fed per arcus
circulares exprimi debere , quorum autem finus vel
cofinus algebraice exprimantur deinde \ero quia
formula Vc^O'-!- ^ (})' fin. 0') integrabilis eflfe debet,
neceffe efl: vt cius integrale non arcui circuLiri fed
finui , cofinuiue , fiue formac ex finibus et cofinibus
Ytcunque complexae aequetur.

VI. Qiioniam nulla adhuc certa conflat Metho-
dus huiusmodi formulas tradlandi alia via non relin-
quitur, nifi vt rem tentando et quafi diuinando ad-
grediamur. Fingamus ergo primo integrale quaeH-
tum efle zz: a fin. d , eritque

1/(^0' + ^$)' fin.O')i=:a^0cof.O vnde fit

^ Jin, $ '

quare huius formuhie integrale arcum circularem ex-
primerc debct , quum igitur fit

y ( aa cof 0'- 1 ^ — yiiau- i )-a« fin. 0')
habebimus

^Cp -|f^ y(aa- 1 -aa fin. 0 7
fiue in membra partiendo

J /K^ dd{aa— O ^ cc ocd 6 Jin.t

quo

IK SVPERFIQE SPHAERICA. 199

qno facilius pntcat indoles poderioris membri, pona-
miis cof. ^zzv^ ac ob— ^^ fin. ^zzdv poneriiis mem-
brum fiet ^^^-y--. cuius iUitem integrale non per
^rcum circulorem fed per logarithmum exhibetur,
quocirca hoc primum tentamen non fuccedit.

VII. Tentemus ergo hanc pofitioncm
/l/C^e^H-fl^Cj^Tin.e^^ — acor. 0 fme diffcrentiando
-c^afin.eziVr^r + fl^CpTin.e') , vnde coUigimus

^/ $ — 4M«a.iLZ^rLlJ , quae fimili modo in duo

membra diftributa praebet

Tbi prius membrum pofito cof.O— 1^, ob ^^fin. ^z:^^
induit hanc formam —^l^AJL — cuius iutearale
manifefto e(l a Ang. cof .. "^^--. , cuius finum cofi-
numue dare licet , quoties a eft numerus rationalisf.
Nunc igitur fupereft , vt etiam alterum membrum
ju.Hi^J^n!e-~r) P^^ integrationem ad arcum circula-
^rem perducatur , facile autem intelligitur fbrmam
huius integralis fore : p Ang. cuius fin. 'Yj^liJ quae
formula differentiata praebet — _ —plJL^J — , — q^..q

vt aequalis fiat noftro fecundo membro capi debet |3z:i
et '-±^-a^, fiue y=-^^-^-_ ficque integrale
pofterioris membri erit Ang. cuius fin. ( ^°/-J ^

quo circa noftrum integrale totum leii valor
anguli (j) ita exprimitur , vt fit

^ zra Ang. cuiuscof. (^-^fy^)4- Ang. cuiusfin. ^— ^l^

VIII.

l)ftQO DE CVRVA RECTIFICABILI

VIII. Hiinc formulam commodiorem reddemus
conflantem a ita immutando, \t fit azi: fec. e:::::^^ ,
tum enim adipifcemur:
•<P=cil- Ang. cui.cof.(]|-»)+Ang. cui. fin.(;*i^M+C^

fiue loco g fcribendo 90° — g

(b=:^. Ang. cui. cof. i^^) + Ang. cui. fin. (I^n + C

Hic autem probe notandum eft , nifi fin. e fuerit
fradio rntionalis, hanc Iblutionem jpro congrua baberi
non poffe propterea quod geometrice angulum
aifignare non licet , qui foret ad Ang. cuius cof (^^)
in ratione i : fin. e, Hinc crgo \ideri pofTet pro
angulo e alios angulos praetcr 90° et 30° aflTumi
non pofTe, fed quia ipfe angulus e hic non in com-
putum \enit , pro lubitu loco fm. e fradloncin
quamcunque rationalem \nitate minorem aflumere
licet, \bi quidem cafus exdudi debere euidens tft
quibus foret \el iin. e c= o \cl (in. e zn i. At \ero \t
ambo anguli fiarit reales , necefle eft \t Ang. ^
fenriper fit maior quam e, \el faltem nusquam minor
euadat.

IX. Vt huius integrationis exemplum fpecrale
cuoluamus , ponamus fm. e zi 5 , \t fiat cof e zz.'^
tum erit pars pricr zz 2 Arc. cuius cof -^
zz Arc. cuius fin. tSSLJAii^l^-L} et pars poaerior
=: Arc. cuius fin. ^:— V77 = A^c. cuius fn. ^£fJ- qui-

ing. $,Vi ' lin. e, V

bus ambobus anguiis coniundis colligcmus

<p=

TN SVPERFICIE SPHAERICA. 201

(h - Arciis cuius fm. r..^2[±ryf/) ita vt fit

^ ^ 3.Jin. 9. V' '

fin. Cb zz £^^Lr-4£^li fiue

Cof Cb (4//n.O'— OV(i/m.fl^ — Q

quare angulo hoc (p ita definito , habebimus hanc
integrationem :

/y(^0'-|-^Cl)\fin. O')z=2cor. 0 , vnde fit

^ <^ — d^V( 4/z>;.$'— .1)

CU1US ergo integrale -vifiim eft, ille ipfe angulus (^,
quem modo defcripfimus. Quaeflio ergo eft quomodo
per cerram qunndam Metiodum dirciftam ad hanc
folutionem peruenire licuiflet.

X. Non parum autem hoc argumentum di- Tab. I.
lucidatum iri videtur , fi folutionem ex principiis Fig. a.
Trigonomerriae Sphaericae repetere conemur, quando-
quidem plures infignes proprietates inde cognofcere
poterimus. Sit igitur in fuperficie Iphaerae cuius
radium ponimus r= i , curua BMm linea illa
recflificabilis quam quaerimus , ac fumto quodam
pnndo fixo A tamquam Polo dudisque meridianis
A M ct A m Yocemus angulum B A M — Cp et
arcum AMr^O, erit angulus elementaris M A//?-^Cj)
et duda ad A ?n normaliter lineola M n erit
M «31^(1). fin. 0 et mn — d^y vnde elementum
curuae coUigitur , vt fupra iam jhabuimus M 7»
r= V ( ^ 0' + ^ Cp'. fin. 0') quod ergo integrabile effe
oportet.

Tom. XV. Nou. Comm. C c XI.

fto5 t)E CVRVA RECTIFICABILI

XI. Quoniam autem hoc certa Methodo prae-
fiare non licet , inueftigemus nonnullas proprietates
quas nobis natura fphaerae fuppeditabit. Contemple-
miir igitur imprimis arcus circulorum maximorum
qui in fingulis curuae noftrae pundis fint normales
cuiusmodi funt arcus M O et ;// O , atque ftatim
liquet fore angulum A M O zr « M ?», vnde fi pona^
mus angulum A M O ii: >4> , habebimus

ideoque Tang. 4^ =:= r^jm$'

XII. Quodfi ergo ex A in arcum M O de-
mittamus perpendiculum AP, ex triangulo redlangulo
A P M reperismus :

fm. AP-Tin. 0. fin. vP=:;^^-f^^-jT) tum vero
Tang.MPziTang.Ocof vpzr,-^^^,^,^^ ,

ac praeterea

Tang.MAP.Tang.vl.==^-i^^, feu Tang.M AP-f|f;-5,

XIII. Concurrant hi bini arcus in noftram
curuam normales in pundo O eritque hoc pundum
0, polus circuli minoris curuam noftram pcr eleraen-
tum Mm ofculantis, ita vt fin.OM rede pro radio
ofculi noftrae curuac haberi poflit. Qiio nunc iftud
pundum O inueftigemus ducamus arcum A O et
confideremus bina triangula fphaerica A M O et
AwO, quae non foUim latus AO habebunt commune
fed etiam in vtroque latcra M O et mO funt ae-

•iK ^' - qualia ,

IN SVPERFICIE SPHAERICA. ao3

qiialia , qiiare fi ponamus arcum M O n: ?« 0 zz: r ,
quoniam in triangulo AMO ex lateribus A M in d
et MO-r cum angulo intercepto AM0z:>4^ coliigitur :

cof.AOzrcof.Ocof. r-i-finjrm.rcof. vt^

manifeftum eft fi arcus 0 fuo difFerentiali d^ et
angulus vp fuo diflferentiali d\\j augeatur, valorem huius
formulae eundem manerc debere , hoc eft eius diffe-
rentialc , fumtis tantum $ et v^ variabiLbus nihilo
aequari debere. Hoc autem fadlo nancifcimur

— ^O.ftn.Ocof r-f-^.(fin. ^cof.>4/)fin.r-o vnde fit

i «*"5' ' — d.{ cqf. vj, jin. $ ) »

quae eft expreftlo generalis pro radiis ofculi curua»
rum in lupcrficie fphaerica defcriptarum.

XIV. Quodfi infuper ipfum arcum curuae
Tocemus BMz^s, vt fit eius elementum Mm-df
angulum wM«-vp habebimus ^Oz:</j fin. \|> et ^Cj)fin.0
^ d s cof vp, vnde li relatio inter j* et v^ eftet data;
inde binas quantitates Cj) et 0 deducere liceret , foret
enim 0 zr/^x. fin. v^ hincque porro <P— /^;^^,
quae integralia in fe indeterminata fatis declarant
pundtum A ab arbitrio noftro pcndere.

XV. Sin autem relatio detur inter arcum
curuae s et radium ofculi r multo difficilius erit
inde reliqua elementa fcilicet v^, 0 et Cp determinare.
Exdufo quidem angulo Cf) habemus has duas ae-
quationes :

Cc 2 d9

204 DE CVRVA RECTIFICABILI

cx quibus ambas quantitates 0 et ^4^ inueftigari oportet;
•verum etiamnunc nulla patet \ia ad hunc lcopum
perueniendi, quum tamen in plano ex data relatione
inter arcum curuae et radium ofculi conftrudio
curuae facile perficiatur.

XVI. Poftquam igitur oftendimus quemadmo-
dum ex curua B M tamquam data fpedlata eius
radium ofculi MO defiiiiri oporteat, hinc \niuerfam
Theoriam euolutionis in fuperficie Sphaerica deri-
Tare poterimus , namque pundum illud O fitum
erit in curua quapiam CO , quam merito euolutam
curuae B M appellare licet. Si enim curuae C O
filum concipiatur applicatum , idque extendatur in
fuperficie Sphaerica arcum circuli maximi reprae-
fentabit , qui euolutam in ipfo pundo O tangat ,
omnino vti in plano vfu venit , ita vt noftra curua
BM ex euoiutione curuae CO reipili defcnbi poflit,
Vnde perinde atque in plano notandum ell , fore
radium ofculi feu arcum M O , arcui euolutae C O
aequalem , "vel quantitate conrtante fuperantem, quae
quantitas conftans quoniam ab arbitrio noftro pen-
det , euidens eft ex eiusdem curuae C O euolutionc
innumerabiles curuas B M produci polTe.

Tab. I. XVlI. His expofitis ordine retrogrado confi-

'^^Z' 3- deremus primum ipfam curuam euolutam COo

pro qua Yocemus arcum CO zz s vt fit eiementum

Qozzds , ac ne opus habeamus pundum quodpiam

arbi-

IN SVPERFICIE SPHAERICA. 205

arbltrariuni veliiti A in computiim inducere, natura
huius curuiie definiatur eius radio ofculi O R 1=: r ,
quaecunque enim liaec fit curua , quoniam vt data
fpedatur , relatio datur inter j et r , iam ope fili
quod initio toti curuae applicatum concipiatur , fiat
euolutio , quae nunc quidem pertigcrit vsque in O
vbi filum extenfum erit , fecundum arcum circuli
niaximi O M , cuius longitudo erit ir: O C n: / ,
qul arcus tanget curuam C O in pundo O
ct nunc pundum M reperietur in curua BM per lianc
euolutionem defcripta , ad quam etiam ex pundo
proximo 0 ducatur arcus 0 m ^ qui perinde ac ille
OM in hanc curuam erit normalis. Tum vero
quum fit O M ~ j- erit 0 m zz s -V- d s^ quo pofito iti
indolem huius curuae defcriptae B M inquiramus.

XVIII. Quoniam arcus circuli niaximi MO nor-
malis eft ad OR eiusquc continuatio pro ipfo elemen-
to Oo haberi poteft is cum radio proximo Ko angu-
lum faciet M 0 R cuius

rp^j^g ^ Tg7ig. R O ._ Tang. R

quum autem radius proximus m 0 fit ad R 0 nor-
malis erit ang. M 0 m complementum illius anguli
0(7R ideoque Tang. M'o»2=i:~^, fiuc ipfe hic an-
gulus — f-J,;- ) \fbi notaffe iuuabit efte angulum
ORo— ^^, vade patet angulos ^\om et ORo noa
efte inter fe acquales vti euenit in plano, fed illum
M 0 m fe habere ad hunc O R 0 :: fm. r : Tang. r
hoc cft in ratione m noris inaequalitatis, atque adeo
fi radius 0 R fiat quadrans circuli angulus ^om-z.o

Cc 3 feu

^06 DE CVRVA RECTIFICABILI

feii anibo radii M O, m o coincident , fcilicet ipfa
curua circa elementum Oo erit circulus imaxinms,
qui ipfe fibi eft tangens in fingulis pundis.

XIX. Nunc facile erit curuae per euolutionem
defcriptae elementum M m exprimere , quum enim
hoc elementum per finum arcus M O diuifum ,
praebeat angulum M om , ob O M = J" habcbimus
clementum M?n:iziJ^. Quocirca fi nunc pro-
blema noftrum circa rtdificationem curuae B M
adgrediamur , relatio inter binas yariabiles r tt s
lalis efle debet , vt formula ^-LJ^' fiat abfolute in*
tegrabilis. Praetcrea vero quia haec curua fimul
elfe debct algebraica \el geometrice conftruibilis ,
primo requiritur \t ipfa curua C O fit geometrica
deinde yero quia arcus M O zz C O , curua C O ,
ita debet efle comparata vt cuilibet eius arcui CO,
arcum circuli aequalem geometrice aflignare liceat.

XX. Hic omnino notatu dignum eft , quod
pro elemento M m , tam fimplicem formulam
elicuerimus , de qua facillime iudicare licet , qui-
bus cafibus ea integrabiHs euadat , atque adeo fta-
tim in oculos incurrit fi radius ofculi OR fucrit
conftans , puta rzzc, tum curuam BM abfolute
fore integrabilem , erit enim arcus

B M rz ^±Lli^^ — — ^°/-^ ^ C ,

'icng. c Tang. c '

\bi fi conftantem ita definiamus , vt dcfcriptio m
ipfo pundo C incoeperit vbi s:=zo^ ita vt pundum
B in C incidat , tum erit arcus

BM

B Mzi:

IN SVPERFICIE SPHAERICA. 207

I — cof s '2 fiii. r

Tang. c Tiuig.

Hiiic igitur patet diiin iiiitio quo s zz o, fit arcus
B M n: o, fumto arcu C O quadranti circuli maxi-
mi aequali, ita Yt O M fiat quadrans, tum fore ar-
cum B M — ^ — , ac fi arcus C O eo vsque au-

geatur , vt femiperipheriae circuli maximi aequalis
fiat, quo cafu arcus O M abit in femicirculum, tum
fore arcum B M ir: ^r-^ — , vbi vnitas definitur per

Tang. c ' A

ipfum radium Sphaerac.

XXI. En ergo fimplicem profcdo folutio-
nem problematis propofiti , quae quidem vt exami-
nanti facile patebit prorfus coauenit cum ea , quam
ante per phires ambages fumus adepti ; fed hic eius
infignes proprietates multo clarius ehicent , quam
antea ex intricatis illis formulis cognofcere licuiffet.
Quia enim fumfimus rzz.c (latim apparet euolutam
curuae iioftrae B M effe circulum minorem , cuius
radius fit zz: fin. c:, praeterea vero vt cuilibet huius
circuU minoris arcui , CO ^ s arcus circuii maxi-
mi aequalis MO=:x, geometrice fumi poflk , ne-
cefle eft , vt radius iftius circuli minoris fin. c ad
radium Sphaerae rationem teneat rationalem , quae
elt cadem conditio , quam ctiam fupra inuenimus.

XXIT. Qiioniam infinitos huiusmodi circulos
minores in Sphaera defignare licet , quorum radii
ad radium Sphaerae rationem habeant rationalem ,

reuera

20 8 DE CVRVA RECTIFICABILI

reuera quidein infinitas folutioncs exhibuiffe fumus
cenfendi ^ Yerum tamen quia omnes in vna quafi
formula continentur , non imm.erito haec folutio pro
vnica haberi folet , atque nunc quaeftio maximi mo-
mcnti exoritur , vtrum praeter circulos minores noa
ahae dentur in fuperficie fphaerica Hneae curuae ex
quarum euolutione , ctiam curuae geometricae et re-
dificabiles oriantur.

XXIII. Sed antequam hanc quaeflionem dili-
gentius examinemus , alias nonnullas infignes pro-
prietates harum curuarum perpendamus. Ac primo
quidem patet ex eodem circulo minore infinitas de-
fcribi pofle curuas problemati noftro fatisfacientes ,
quoniam in eius peripheria initium feu pundlum C
pro arbitrio alTumi pote(t. Omnes vcro tales lineae
ii in fuperficie fphaerica defcriptae concipiantur ,
quafi inter fe erunt parallelac , quandoquidem omnes
ab eodem circulo maxim.o , qui in vnam crt nor-
mah's , fimul normahter fecantur , atque omnes por-
tiones talium circulorum nnaximorum inter binas
curuas interceptae erunt inter fe aequales. Euidens
quidem eft omncs has curuas eflfe acqualcs et tan-
tum ratione fitus fuper fphaera differre , ' vnde pul-
cherrimum exemplum infinitarum curuarum aequa-
lium in fuperficie fphaerae ducendarum habemus ,
quarum traiedione orthogonales fint circuH maximi.

XXIV. Initio porro curuae B M in pundlo C
conftituto , fi arcus circuli rriiHoris C O aequalis

capiatui

IN SVrERFIClE SPHAERICA. ^o^

«capiatur rcmicirciilo maxiino , quod fi circulus illc
fuerit fiitis exiguus , demum poft aliquot reuolutio-
nes euenict , tum quia arcus O M fit fcmicirculus >
pund^um M e diametro pundo O opponetur , qua-
rc fi circulus ifte minor COo tamquam circulus-
polaris fpedetur polo exiftente in R, atque aequalis
circulus polaris huic oppofitus concipiatur , omnes
curuae defcriptae inter hos duos circulos polares ca-
dent , atque fi circuli polares fuerint fatis parui plu-
ribus reuolutionibus circa fpliaeram Yagabuntur ante-
quam ad alttrum circulum polarem pertingant.

XXV. Hinc adhuc alia generatio curuarum Tab. i:
B M fe manifeftat , facile enim perlpiciemus easdem F^K- 4r
lineas curuas B M defcribi debere , fi circulus fphae-
rae maximus fuper peripheria circuli minoris vol-
Tendo incedat , fimili modo quo in plano epicycloi-
des defcribi foknt. Sit enim CO circulus ille mi-
nor , quem in pundlo O contingere concipiatur cir-
culus maximus OMFG, qui voluendo per peri-
pheriam circuli mnioris continuo vlterius progredia-
tur initio autem contadus fuerit in pundlo C , \bi
pundum M circuli maximi erat appHcatum , ita
"vt per motus voluentis naturam arcus O M aequa-
lis fit arcui C O, vnde fi circulus maximus in pun-
do M ftilo fuerit munitus , hoc ipfo ftilo , curuam
quandam C M defcripferit necefle eft , atque quum
O M fit arcus circuli maximi arcui C O aequalis
et circulum minorem in pundlo O tangens; euidens
eft , per hunc motum voluentem eandem curuam
C M defcribi , quae ante cx folutione erat nata, ita
Tom.XV.Nou.Comm. Dd vt

jiio DE CVRVA RECTIFICABILI

vt liaec curua etiam epicycloidibus fphaericis fit an-
numeranda, quae fcilicet oriuntur, fi circulus maxi-
mus mobilis per periplieriam circuli minoris fixi
voluendo promouetur.

XXVI. Si etiam in fuperficie fphaerica , prac-
ter circulos nuUae aliae darcntur curuae geometri-
cae , quarum cuilibet arcui indefinito arcus circuli
aequalis aiTignari poflet , quod Theorema initio pro
ii^uris planis attulimus , tum demonftrationem habe-
rcmus validam quod praeter curuas iam inuentas
nuliae aliae problemati noftro fatisfaciant. Si quis
enim dicat dari aham quandam curuam B M geo-
metricam , quae eflet redificabilis , tum certe eius
radium ofculi M O ideoque omnia punda O geo-
metrice afllgnare liceret , vnde ipfa curua euoluta
C O refuharet geometrica eiusque arcui indefinito
C O daretur arcus circuH aequaHs O M , per illud
ergo Theorema curua C O necefl[ario foret circuhis,
ideoque praeter folutionem iam inuentam alia nulla
exfpedari poflet.

XXVII. Verum etiamfi iftud Theorema pro
figuris planis perfede eflfet demonftratum , tamen in
fuperficie fphaerica nullo modo locum inuenire pof-
fet. Quum enim nullum flt dubium , quin in fu-
pcrficie fphaerica innumerabiles lineae curuae geome-
tricae dcfcribi queant ^ dummoJo enim Sinus vel
Tangcntes angulorum fupra vfurpatorum (f) et d
algebraicam inter fe teneant relationem curua indc
nata B M vtiqne pro geometrica efl cenfenda , hic
cnim ad conditionem redificabiUtatis non aitenda-

mus^

IN SVPERFICIE SPHAERICA.

ait

mus ; tum autem eius radius ofculi M O femper
geometrice aflignari poteft ; liincque etiam euoluta
C O erit curua algebraica et quae inluper certe
ita eft comparata , vt eius arcui C O cuicunque ar-
cus circuli maximi O M aequalis exhiberi poffit,
inde necefTjrio fequitur infinitas dari curuas algcbrai-
cas C O , quarum fingulos arcus per arcus circula-
res exprimere liceat. Quamobrem ctiamnunc ma-
ximam dubitandi rationem haberaus , \trum proble-
ma nofirum lolutione illa , quam iam duplici modo
fumus adcpti plane fit exliauftum nec ne ? Ac fi
forte nullae afiae dentur fnlutiones longt aliam de«»
monfirationem adferri oportet.

XX VIII. Qiiodfi fbrmulam generalem fupra pro
elemento M m inuentam ihJuiLl attentius confidere-

Tu/tg. r

mus , mox deprehendemus , eam praeter cafum rzzc
infinitis aliis integrabilem fieri poffe veluti fi fuerit
f z= x, vel Tang. rziz Cof. /, priori enim fiet arcus
B iVl — Sin. j-hC, hoc vero B M ~ C •- ^ , ac
fi effet Tang. r •=, Sin. s Cof. /, foret BM — Tang. s
-f- C verumtum quaeflio hic reuoluitur vtrum cur-
Va C N proditura fit geometrica nec ne ? Vbi im-
primis notandum , fi talis curua geometrica elici
poflet tum etiam alteri conditioni , qua arcus C O
per arcum circularem exponi debet fc)re fatisfaclum ,
propterca quod data fupponitur relatio inter quanti-
tates Sin. j- et Sin. r vel Tang. r^ quum enim r fit
arcus circuli maximi et Sin. s per eius quampiam
fundionem algebraicam exprimatur etiam in circulo

D d 2 maxi*

CI2

DE CVRVA RECTIFICABILI

maximo arcum s afllgnare licebit cnius Sinus fit
illi fundioni aequalis, \erum hoc modo in inaxinnas
difficultates delaberemur quandoquidem ante iam aa-*
notauimus nullam adiiuc Methoium patere , cuius
ope ex data quapiam relatione inter arcum curuae s
eiusque radium ofculi in fuperficie fphaerica r , ipfa
curua definiri poflet. Si enim ex aequationibus
§. XV. datis, \el 0 vel \\/ eliminemus in aequatio-
nem differentiakm fecundi gradus incidimus, quam
quomodo tradari oporttat quum non penpiciatur ;
multo minus iudicare licebit, vtrum curua inde pro-
ditura algebraica fit nec ne ?

XXIX. Hadenus quidem curuae , quam pro

noftro problemate eruimus ea fymptomata recenfui-

mus , quae confiderationes geometricae nobis fuppe-

ditauerunt , nunc igitur etiam conueniet eius aequa-

Tab. L tionem analyticam accuratius euolui, Sumatur igi-

*•* ^' tur pundlum A in ipfo polo circuli minoris COD,

ex cuius cuolutione initio fado in pundlo C , oria-

tur curua noftra redificabilis CiVl, cuiusradius ofculi in

pundo M referatur arcu circuli maximi MO circuluni

minorem in C tangente eiu^que arcui C O aequali.

Ducantur arcus A O et A M et pofito arcu A C

ziz A O zz ^, ita vt circuli minoris radius fit — Sin.tf

quoniam pofuimus arcum C Ozz: s eiusque menfura

eft angulus C A O erit hic angulus C A O zi: ~-^ ,

nunc quia in triangulo A M O reclangulo dantur

catheti AO rzc et MOnrJ*, fi vocemus vt fupra

arcum A M rz 0 , habebimus Cof 0 zz Cof s Cof f ,

deindc fi potro vocemus angulum C A M ~ C[) erit

ang.

IN SVPERFICIE SPHAERICA. ziy

ang, M A O := ~-^ — (p, hincque Tang. huius an-

guli =::^^>V, iti^ vt fit ({) zz ,-i ang. cuius

'^'^"S- 'ij^T ^ ^"^^ vero prodit ipfc curuae C M ar-

XXX. Reducamus haec ad bina elementa (J)
ct 0 et cum ex priore aequatione fit Cof. s — ^^ .

* * Cof.c '

vnde ftatinn fequitur arcus C M :=: ^Stlrr9^ ex quo
manifeftum eft hanc curuam prorfus eandem efle ,
quam prima methodo ehcueramus , tum \ero quum
fit Sin. s zz^^^^^^^^-^ Gts — Ang. cuius Cor.(gii)
inde conchidimus ang. (p zn ^^ Ang. cuius CoC (^°/-t)
^ Ang. cuius Tang. tSSlL^.L=^°fn, (^nodfi etiam for-
mulas difFerentiales contemplari velimus , quum fic
<s^x. Sin. X ~^i^^ hincque

Siti c i

>7 - d 9. Sin. $

— Tans. c V ( CoJ. c^ — Coj, $')*

deinde quum fit

j /K d s ___ d s. Sin. e , _£i_ — -— d ?. Sin, c

^ SiH.c Coj,s\Sin.C'-i''lan^.s^) Sin. c S/«.t.- Coj.s- -*- Sm.s*

dfCCo/. c* S/rj.s^)

Sm. c c Sm. c^ Cq/. i a -t- s/«, s*

crit

j /+s , dsjCof.c^ Sm. 5» d? Co/. c» S?'w. s'

^ ^ — Si/i. c [Sia. c- _i- Ccj.c' Sm. s^) Sin. c (7"— Coj. c^ Coj. <^/

lam quum fit

^ P d $. Sin. 6 . cj^ ,1 — Cof. c' — Co/.tf^

^* •' — Tang. cVC.oj.c^-Coj.d-j ' '-"''••' Co/.c» '

ct I — Cof. c^ Cof. x' 13 Sin. 0* habebimus

^ /tN — d 6 Cof. c V(Co/. c--Co».g-)

Dd 3 quae

414 DE CVRVA RECTIFICABILI

quae eH: eadem formula cum ca, quam fupra pro
</Cp inuenimus.

XXXL Qiium nunc quidem certum fit , in
fuperficie Iphaerica praeter circulos infinitas dari
curuas geometricas , quarum fingulas portiones inde-
finite arcubus circulnribus metiri liceat: fequens Pro-
blema nihilominus tamquam aeque difficile ac omni
attentioiie dignum fpedandum \idetur.

Pr o b le m a.

In fuperficie fphaerica omnes inuenire curuas
geometricas quarum arcni indefinito cuicunque , ar-
cum aequalcm circuli exhibere liccat.

Si quis folutionem huius problematis methodo

direda indagare voluerit maximas fine dubio difli-

cultates offendet , quas methoviis adhuc cognitis "vix

Tab. L flc ne vix quidem fuperare licebit. At confideratio-

**S« 2« nes antc fidlae nobis fequentem folutionem fatis con-

cinnam fuppeditant. Primum in fuperficie fphaerica

defcribatur curua quaecunque geometrica BM, quod

fit fi pofito angulo B A M rz $ et arcu A M =z ^,

relatio quaecunque detur algebraica inter Sin. CP et

Sin. 0, ira Tt Sin. Cf) fpedari pofTit tamquam fundio

algebraica ipfius Sin. 0, manifeftum autem efl quae

hic de Sin. (^ et Sin 0 dicuntur , aeque valere pro

Cofinubus et Tangentibus. Tali ergo rdatione inter

Sin. <p et Sin. ^ conrtituta quaeratur angulus vp, vt

lit Tangens v|./ rz^lg^^ ^ , quem ergo angulum etiam

geometricc affignare licct , ficque habebitur ang.

A M O zi 4*, qiiem arcus M O in curuam norma-

lis

IN SVPERFICIE SPHAERICA. 215

lis ciim meridiano A M facit, Porro in hoc arcu
circuli maximi MO abfcindatur arcus M O — r, ita
Yt (it Tang. r — A^-^:-f-T fic autem etiam pundlum
O geometrice aflignabitur ,• quandoquidem Tang. r
aequabitur fundioni algebraicae quantitatum Sin. 0 et
Sin. (P; quo fadlo pundum 0 reperietur in ipfa
curua quaefita C O, quippe quae ita erit comparata
vt eius portio CO aequetur arcui circulari MO~r;
atque ifta curua C O manifefto erit geometrica \el
algebraica , hic enim voces geometricae et algebrai-
cae pro fynonymis \furpo , ita vt quicquid alge-
braice exprimi potefl id etiam geometricum fit
cenfendum.

XXXII. Quo hanc curuam conftrudlam C O
ctiam analytice euohiamus , ponamus angulum
BAOrnA: et arcum AO—j^ et videamus cuiusmodi
aequatio proditura fit inter has quafi coordinatas ,
feu potius inter quantitates Sin. x et Sin.j, Hunc
in finem ponamus breuitatis gratia ang. MAO— ^
ita vt fiat .V — Cpj-v-g ; iam ex triangulo Sphaerico
A M O, habemus primo

Cof.^ = Cof ^ Cof r-f Sin.OSin.rCof.vp tum vero

Tane" ^ — sm. r sm. v[>

vnde fimul habetur x ^ (P -\- ^ , patet ergo tam
Sin Xy quam Sin. ^''etiam per fundiones algebraicas
quantitatum Sin. 0 et Sin. ($> exprefTum iri.

XXXIII. Qiiodfi iam folutionem huius pro-
blematis methodo direda tentare Yelimus incipiendum

erit

^i6 DECVRVA RECTIF. IN SVP. SPHAER.

crit a coordinatis .r et y et qimm inde liat arcns
C O eleinentum zz; V {c/f-i- d x" Sin./) inter Sin. x
et Sin.j talis relatio intercedcre debet eaque al-
gebraica vt integrale huius. eleiTienti fiat arcus
circularis , quare pofito lioc arcu -^z r neceflTe ell
fiat V (^y -^dx" Sin.y) — ^ r , feu fi tangens huius
arcus r vocetur zit^ vt fiat V(^y+^A:'Sin./)z:^-~j ,
hic igitur Methodus defideratur , cuius beneficio
cognofci queat quaHs relatio inter quantitates fin. x
ct Sm.y intercedere debeat , vt haec conditio adim-
pleatur , (eu quibusnam artificiis inueftigatio ita
adornari pollit , vt intelligatur ad hoc praeftandum
epus elTe noua quadam variabili fin. 0 cuius fundlio
quaecunque algebraica fit Sin. ([) , indeque deduci
©portere anguhim >4^ , vt fit Tang. vjy zr 5-^^^ ,
hincque porro arcum r vt fit Tang. r — ^^^^^^^ ,
hincque porro angulum § , vt fit :

Tine ^ — Sii.rSin.^

hisque omnibus fadis , vt perlpici queat problemati
huic fatibfieri fi capiatur

a:zi:CP-4-S et Cof j^^Cof OCof f -i-Sin. OSin.rCof \|/.
Cuihbet hinc flatim patebit hoc problema] ad
Analyfin infinitorum indetcrminatam pertinere, quae
quum adhuc parum fit exculta, nullum eft dubium
quin fi Methodum illam defideratam explorare
valeamus , maxima inde incrementa, in nouam hanc
Analyfeos partem effe redundatura.

SECTIO

PHYSICO

MATHEMATICA.

t Tom.XV.Nou.Comm. Eo SECTIO

SECTIO TERTIA

DE

MOTV FLVIDORVM.

LINEAEI POTISSIMVM AQVAE.

A 11 dl o r c
L. E V L E R O.

CAPVT L

DE

PRIINCIPIIS MOTVS LINEARIS
FLVIDORVM-

D e fi n i t i o*

X.

Fluidum motn IJneari ferri dicitur quando eius Xat). T,
vena ita fecundum lineam quandam D E , quam Fig^ 32,
motus diredionem \0c2re licet , mouetur , vt in
fingulis pundis Z motus fiat fecundum direcflionem
cius lineae , et pcr totam fedionem U V ad
direcflricem normaliter flidam celeritas in omnibus
pundtis fit eadem.

Ee a CoroU.

220 D E M O T V

C o r o 1 1 I.

2. Ad motum ergo linearem duo reqiiirantur,
primo 'vt motus \bique fequatur diredionem certae
cuiusdam lir.eae DE, quae eius diredrix vocatur ,
tum Tero vt in fingulis fedionibus UV ad cireAri-
cem normalibus omnia fluidi tlementa pari celeritatc
fecunduni eandem diredionem proferantur.

C o r o 1 1. 2.

3. Cognita ergo linea diredlrice fi in quouis
cius pundlo Z fluidi celeritas fuerit data eadem
quoque toti fedioni U V tft communis , et quia
diredio conuenit cum diredricis tangente in pundo
2 totus motus ftdionis U V erit dcterminatus.

Scho 1 i on i,

rr«^- ^- 4. Qiiando fiuidum per tubum angufliflimum

^^S' 33- DE tranflre cogitur , eius motus rede pro lineari ,
quem hic defcripfimus haberi potefl , ob anguftiam
enim tubi in fingulis pundis Z alia motus diredio
elfe nequit , nifi quam tradus tubi permittit , ac fi
rem accuracius cognolcerc vehmus , per mediam
tubi cauitatem lineam producfram D Z E conciperc
licet , quae motus diredricem repraefentabit et ex
cuius diredione in fingulis pundlis 2 ipfa motus
diredio innotefcet. Tum vero quia tubus eft an-
guftiflimus , in qu?.libet eius fedione U V ad
diredricem normali tam fiuidi cekritas quam dirccflio

vbique

FLVIDORVM LINEARL nzt

Ybiqne erit eadem , noii qiiod omnis inaequalitas
abfolute excludatur , quum vtique fieri poflct , Yt per
partem Z U celerius vel lciitius feratur quam per
partem ZV , led tales motus liic excludimus , dum
iii motum linearem inquirimus , tantum eos , qui
fint definitioni confentanei confideraturi. Quodii
vero talis inaequalitas adfit , perrpicuum ei\ tubi
amplituJinem continuo magis coardando , tandem
omnem huiusmodi inaequalicatem ceffire dcbcre, quo-
circa fi tubos infinite anguftos ftatuamus , huic ex-
ceptioni ne locus quidem relinquitur. Atque hoc
cafu etiam linea diredrix non difcrepat a dudii
ipfius tubi ; perindeque erit quodnam tubi latus pro
diredrice accipiatur ; interim tamen non eft necefle,
vt tubo vbique eadem amplitudo tribuatur , quin
potius infignis diuerfitas admitti poterit , dummodo
nusquam enormis faltus occurrat , vekiti eueniret ,
fi vfpiam in F tubi coatinuitas tumore interrum-
peretur , qui etiamfi eflet infinite paruus , tamen
motus non amplius legem praefcriptam fequi
poffet , dum fluidum iii tumore fere ftagnaret , et
reliquum perinde praeterfiueret , ac fi tumor ille
abeffet. Huiusmodi ergo irreguhritates in tubo
motus continuitatena pcrcurbantes omnino funt ex-
cludendae.

S c h o I i o n 2.

5. Quanquam motus linearis proprie tubos
infinite anguftos poflulat , ne eiusmodi inaequalitates
quae huius motus itidoli aduerfarentur, locum habcre

E e 3 queant,

£22 D E M O T V

queant , tiimen etiam in tubis fatis amplis fieri
poteft , Yt motus fluidi iftam legem fequatur , hoc-
que cafu ifliusmodi etiam motus , quantumvis
tubi fuerint ampli , rede ad motum linearcm re-
feruntiir. Quin etiam etfi motiis ab liac lege parum-
per recedat , in praxi hoc difcrimen vix Ipedlari
fo^et , et conclufiones ex calculo dedudae pro veris
proxime habentur , experientia non admodum re-
clamante. Ita effluxus aquae ex vafis etiam am-
pljlTuTiis per foramen fadus ex his principiis ita de-
finiri (blet , vt vix vllus difTcnfus ab experientia
percipiatur , atque adeo a veritate eo minus aberra-
tur , quo minus fiierit fora vcn , cum tanien hoc
cafu tota vafis ftrata ad diiedlricem normaha certe
non communi motu ferantur. Verum hic commode
vfu venit , vt vafis figura ex calculo ad finem per-
dudo iterum egrediatur , et effluxus eodem modo
fieri deprehendatur, ac fi vas reuera haberet figuram
Sd modum linearem accommodatam. EtQ autem
haec motus linearis confideratio amplifiimum habet
vfum , tamen quia in tubis ampHoribus motus aliarn
legem fequitur , vnde aberrationes , quamuis vix
fcntiantur , natci debent , noflras inueftigationes tan-
tum ad tubos anguftiflimos referri conueniet, quam-
ob ciiuflim etiam motus, quos hic fum confideraturus
lineares vocaui.

S c h o ] i o n 5.

6. Tradlatio haec ingentem includit varietateiti
ex tuborUin figura onundam , primum ergo tubos

con*

FLVIDORVM LINEARI. 223

confiderabo redo% feii potius quoriim diredrxes fmt
liiieiie redae , quibus quidem amplitudines vtcunque
variabiles tribuere licct. Deinde fluidi motus lum
uiueftigaturus per tubos , quorum diredrices funt
lineae curuae ; quae prout fuerint vel in eodem plano
vcl fccus? in calculo aliquod alifcrimen pariunt ,
dum priori cafu figura per duas tantum coordinatas,
pofteriori vero per tres e.{\ definienda. Plurimum
deinde intercft, vtrum fluidum perpetuo in huius-
modi tubis fluat , an alicubi effluat tum vero ipfa
fluidi natura , et vires follicitantes in computum
funt ducendae. Omnino autem motus determinatio
ex principiis ante flabilitis peti debet , et quoniam
duplici modo haec motus principia funt cuoluta ,
quouis calu vti conueniet eo qui maxime accom-
modatus videbitur. Primum quidem tubos in quiete
pofitos fpedabo , deinceps feorfim in motum per
tubos mobiles inquifiturus.

Problema 42.

7. Motum linearcm fluidi per tubum re<flili-
neum ad calculum reuocare 5 methodum adhibendo
fgpra priori locp expofitam.

S o 1 u t i o.

Sit 01 Aa tubus propofitus eiusque diredlrix Tab. t
Jinea reda O A cuius amplitudo fit vtcunque va- ^^* ^^'
riabilis. Elapfo tempore zz t conflderetur fluidi
particula tubi fpatiolum X xY v occupans, atque a '
^^* termino

111^ D E M 0 T V

termino fixo O ponatur diftant-a OXir.r, tubique
airiplitudo in X feu fedio normaliter fiida XVcrw,
ita \t (0 fit fundio data ipfius x. lam per fc<ftio-
nem X V fit celeritas fluidi fecundum diredionem
XA:r=«, denfitas ::^ q , et preflio zzp'^ eruntque
«, q ct p fundiones duarum variabilium x ct tj
tum vero ex fluidi natura datur relatio inter p et
^, et calorem r fi forte eius ratio fuerit habenda.
Tribuatur huic particulae crafllties X x z^ d x eritque
eius vokimen iziw^.r et maflii zz q (ji d x. lam
tempufculo dt progrediatur haec particula in X'\'
x^i':^ et cum celeritas in X fit zr «, erit fpatioluni
XX'n:«^^j in .v vero celeritas zz u -^.ii x {^)
dabit fpatiolum x x^ zz u d t -^ dtdx (l^), ita vt fit
"^U x^z-d x-^-dt d xi^^)* Cum autem amphtudo
in X^ fit ziz li^ -^u dt.'^~^^ erit iflius particulae vo-
lumen -z:: ts^ d x -^- i^ d t d x {%^) -^r- u dtdx, i-^. At
denfitas noftrae particulae in X' inde colligi debct ,
quod cum q flt funa:io ipfarum a' et ^ , prior X
incremcntum capiat XX'=:«d^f , poflerior vero t
incrementum dt, ex quo denfitas in X' erit zz q
•^ud t {-"^)-^ dt[~i) per quam fi volun^en modo
inuentum muhiplicctur , prodit mafla noftrae parti-
culae transktae :
X'VWr^w^x+^ji'^/C^a)(^;) + ^«.^:+w«(^5 + co(l2)

quae quia aequalis eflfe debet maflae priori ^didx,
haec conflderatio pro motu fuppeditat hanc priorem
aequationem

q (i^

FLVIDORVM LINEARI. 225

Cum porro celeritas u pofl: tempufculum ^^, abeat
in u -\- u d t [^) -\- d t \~^^ ^ quia non folum tem-
pori t augmentum dt fed etiam diflantiae O X == a;
augmentum 'KX' zz: u d t tr:bui debet, erit accelera-
tio particulae X V :c 1? z= « (^^) H- (^) , quae cum
viribus acceleratricibus conuenire debet. Ad has in-
venicndas primo preflio perpendatur , quae cum in
facie XV fit z=:p, erit in facie x^vzzzp-i-dxi^)
ob X X :zz d X, Hinc nafcitur vis acceleratrix parti-
culam retro vrgens ~ ^ (|^) , fiquidem vis motrix
inde nata efl =r a3.^.v(^), quae per maffam qii^dx
diuifa illam dat vim acceleratrcem. Ex viribus
porro fiuidi particuias (ini^ulas immediate follicitan-
tibus nafcatur vis acc leratnx fecundum diredionem
X A — P ita Yt iam fecundum eandem diredionem
tota fit vis acceleratrix — P — ^(^), quae per 2g
inultiplicata accelerationi efl aequanda , vnde pro
motu fluidi altera aequatio ita fe habet :

^ « P - ¥ (^x) = « (^:) -<- (r°)
feu fi tempus t conftans accipiatur :

'-^^2g?dx^udxi'^J-dx[p^;)z:2gVdx-udu^dx{'^^
Haec ergo aequatio cum ante inuenta :

Tom. XV. Nou. Comm. F f

con*

ft2<f D E M O T V

coniunda , fi rektio inter /> et r? ex nntnra fluidi
in fubridium vocetur , totum motum determinabit.

Coorll, I.

S. Multiplicetur etiam prior aequatio per dXy
ct in eius integratione tempus t conftans fpedetur ;
habebiturque
qudui^^ qnj^^x{jf)z:zo feu (o^A'(^-^^-f^. ^«wzro,

vnde fi dcnfitas fluidi fuerit conRans q ziz b coUigi-
tur u^zz Conft. quae conrtans tempus t vtcunque inuol-
vere poteft , \nde patet ccleritates in diuerfis tubi
locis quouis tempore cius amplitudinibus reciproce
effe proportionales , quae eft notiflima motus fluido-
rum per tubos proprietas.

C o r o 1 1. 2.

■ 9- Sin autem denfitas fluidi q non fuerit con-

jflans , (ed etiam a preftione p pendeat , neceflariQ
ambae aequationes coniungi debent , \t ex iis dein-
ceps pro quouis loco et ad quoduis tempus ^ tam
celeritns u, qiiam prelfio dcfiniatur ; quae inueftiga-
tio propterea laepe Ychementer difficilis euadit.

Scholion.

10. Cum hic motus fit cafus maxime fpecia-
lis problematis generaHflimi , cuius fupra dupiicem
folutiouem exhibuimus , hicque mcthodo priori flm
vfus , necelfe eft vt folutio hic inuenta in illa ge-

nera*

FLVIDORVM LIMEARI. U^

neraliffima contineatnr , quod qiiidem de altera ae-
qiuuione prefiionem p definiente per fe eft perfpi-
cuum ; dum enim hic praeter tempus t vnica var
riabilis x adeft , ii etiam termini , qui differentialia
dy et dz compkdcbantiir funt praetermidi , "vbi
imprimis notandum eft binas celeritates i; et ^ eua-
nefcere , propterea quod per totam fedionem X V
motus fccundum eandem dirc<flionem O A fieri con-
cipitur. Altera autem aequatio ob terminum qu.~~
gcncrali formae penitus aduerfari videtur ; amplitu^
dine autem tubi vbique eadem exidente res egregie
conuenit. Verum tamen re bene perpenfa et haec
aequatio immediate ex forma generali deduci poteft.
Si enim tubus ab V ad V diuergat , motus diredio
Circa V aliquaiit llum a diredione O A defledere
debet. Pofita ergo XV-)', ftamatur celeritas v-oLy^
vt in X nuila fit deflexio , vt tertia autem celeri-
tas IV cuanefcat , fumatur z — conft. 33 y , vt fit
w z= y y. Quia autcm denlitas q plane noa
ab y pendet , erit C^^^~) zno. q\ at quia y cft fun<Slia
ipfius AT, erit X' V' z:z.y H- « ^ ^- ^ , tum vero exf
celeritate v fit etiam X V ~.y + 1; </;~^-4-a^f/f,
ynde fit

- aznu.^y-zzu. -^ , ideoque i^-^y) zz q u. -^. ■

Hinc ergo clare intelligitur , quomodo folutio (pe-
cialis hic data pulcerrime cum aequatione generali
cohacreat , atquc ex ea nafcatur.

F f 2 Pro*

tr ,r,-'r»

aaS D E M O T V

P r o b 1 e m a 43.

II. Praecedens problema , quo nlotus fluidi
in tubo re(flilineo quaeritur , per methodum pofte-
norem refpcdu ad ftatum initialcm habito refoluere.

S o 1 u 1 1 o.

Tab. n. Fluidi particula , cuius motum inueftigamus ,

Fig. 35. initio tzz.o occupauerit tubi elementum XVX^V',
pro quo ponamus OX:::iX, XX^n^X, ampli-
tudinem tubi in X :^ n, vt Yoiumcn particulae^
fit zi ^ d X. Sit porro denfitas in X := Q^, pres-
fio =: P et ccleritas (ecundum diredionem X A z= U
quae omnibus particulae pundis eft communis ; vn-
de eius mafla zzQH^X. lam elapfo tempore t
eadem particula reperiatur in x v x^ i;' pro qua po-
namus Ox=z.x^ amplitudinem xvzzts^» tum vcro
denfitatcm in xzzq^ preflionem zzi p tt cekritatem
fecundum xhzz^u^ eruntque litterae x, ^, /), u fun-
ftiones binarum variabiUum X et ^, at amphtudo o)
eft certa fundio ipfius x ex tubi figura definienda.
Cum iam feaio X' V eodem tempure t peruenerit
in x^ 1)^ crit jc :i' = ^ X (^x' ' ^ucle particulac A'y:t''z;'
vohimen erit a)^X(^-^) et mafla i=:^a3^X(^),
quae cum femper maneat eadem habebimus pro
motus detcrmina*ione hanc primam aequationem :

Cum deinde ccleritas in x fit ttn(j-^), crit parti-
culae X V x^ v' acceleratio zzz (^^). Ex viribus fol-

licitan-^

FLVIDORVM LINEARI. 1^29

licitantibns nafcatur pro hac particula vis ncceleratrix
iecunduiTi diredionem a; A zz ^ ,• tum Yero quia in
x' prelTio eft zz p ~{- d X Q^^) , hinc oritur vis mo-
trix retro vrgens rz u^ d X (^) , quae per maf-
fam ^ (0 ^ X ( ^ ) diuifa dat vim acceleratricem

I dp

= "Tdic'^ • ( j^) ab illa $ fubtrahendam , vnde al-

^(j|) dX' ^ '

tera aequatio motus determinationem continens col-
ligitur :

ddx ^ !^g ,^P.

quae fumto tempore t conftante abit in hanc :
iLi^zz^g^dx-^-dxi'^).

C o r o 1 1. I.

12. Perfpicuum eft quantitates x, q, p et u
eiusmodi fundliones efle debere binarum variabilium
X et ^ , vt fa(5to ; zz o fiat .v n X, ^ zz: Q. , /) rz P ,
et uzzU '^ quibus conditionibus per integrationem
eft latisfaciendum.

C o r o 1 1. 2.

13. Amplitudo w vt funtilio data fpccflatur
quantitatis Oxzzx, quae cum ipfa fit fundio ipfa-
rum X et r, eatenus ampUtudo w a tempore pen-
dere eft cenfenda.

F f 3 Scholion.

«30 D E M 0 T V

S c h o 1 i o n.

14, Quia hoc problema continct cafum maxi-
me rpecinlem problematis generaliffimi 41, etiam fo-
lutioncm hic datam in illa generaliflima contentam
efle oportet , quod quidem de aequatione pofleriori
ftatim patet , quippe qui ex forma generali nalci-
tur , fi termini , qui ibi binas variabiles Y et Z
inuoluunt expungantur. Qiiemadmodum autem ae-
quatio prior cum folutione generali conueniat minus
clare perfpicitur. Confenfus autv.m iterum oftendi
poteft , fi modo ad amplitudinis tubi variationem
rite refpiciatur. Hunc in finem fpedentur ternae
tubi dimenfiones, et fi binae Y et 2 prae OXzrX
funt infinite paruae , ac Z quidem vt conftantis per
totum tubum magnitudinis confi<ierctur , vt fits-Z
ideoque (l|)iri, tum vero erit iTI — Y Z. Statua-

tur y — L Y , exiftente L fundione foh'us temporis
t, fietque (^)— L et {^^ cum reliquis formulis
difFerentiaiibus euanefcit , atque amplitudo in x erit
(jj=zLYZ — Lco. Nunc cx folutione generali col^
ligitur valor K rr (^) L, i , qui ob L .-r: ^ abit in
K rzi ^ /d^N . q^^Q inucnto manifefio cd K 0 z= Q \t
folutio habet generalis ; ficque tota haec folutio in
gcnerali continetur , ex eaquc \t cafus fpecialis de-
riuari potefl:.

P r o b 1 e m a 44.

TaV n. 15. Si tubi diredrix lYK fit linea curuft

Fig. 36. quaecunque in eodem plano pofita , ciusque ampH-

" • tudo

FLVIDORVM LINEARI. 231

tiido Y V per tubi longitudinem vtcunque fit va-
riabirs , per methoduiii priorem fupra traditam mo-
tiim fiuidi cuiuscunque in hoc tubo inueltigare.

S o I u t i o.

Elapfo tempore zr t confideretur fluidi parti-
cula in tubo occupans fpatiolum YYyv^ ac pra
pundo Y ftdtuantur binac coordinatae O X rz .v ,
XY:i:ij^, quarum relatio mutua cum ex figura
directricis tubi detur , erit y fundio ipfius X'^ tubf
Tero amplitudo m Y minima ponatur Y V~w,
quae etiam vt fundio ipfius x data eft fpedanda,
Sit porro denfitas fluidi in Y zzz q tt preflio — /> ,
quae duae quantitates erunt fundiones duarum va-
riabiiium x et /, perinde ac celeritas fluidi in tubo
quae fit =1 y, cuius diredio cum fit Yy, fi hoc
elementum breuitatis gratia Yocemus Yy-zzVidx^
^dy^^^izds erit celeritas fecundum OXrz^-^zrK
etfec. XY:z^z=i;. Qiiia nunc fedio YV^zzoj
ad direcftricem eft normalis , volumen noflrae parti-
culae Y V yv erit — bi d s et mafTa -q^ds. lam
tempufculo dt progrediatur haec particula in Y' V
y 1;' ita Yt elementum Y peruenerit in Y' , eritque
fpatiolum XX' — udtzz^-^,dt et X' Y^-XY=zi;^/
— "dV'^^- Cum autem in y efTcnt celeritates
u-^dx (i^) et ^ 4- dx i~) , erit progrcfl^u tem-
poris

xx^zzudt+dtdx(f^) et x'y-xy--vdt'\-dtdx(^) ,

hinc-

232 D E M O T V

hincquc

X'x^—dx + dtdx{^^) et x'y-X^Y^=:dj^dtdx{^).

Qiiamobrem habebimus :

Y^ y/ — ^ p _i dt dx^ fd_u^ , dtdxdy /i v\
^ ^* dJ Ma;' *• ds ^d a;/*

Dehide in V eft amplitudo Y' V rz: w + « ^ r. ^-|
€t denfitas

cx quo concluditur particulae Y' V'j' i;' volumen

' ds d X' *^ rf s ^d «>' * a 3C '

et maflli
-q^ds-^-V^'±l^{^^;^^^^\^{^^)^qudtds\%^

-\-u^i^dtds{t5^^^dtds{^^ )

quae cum praecedenti ^w^j- nequalis effe debeat, per
(^dtds diuidendo perueniemus ad hanc acquationem:

fubftituantur autem hic yalores u — ^ , v z^ ~2
ct quia y efl: fundio ipfarum t et .r , fradliones
■vero ^ c^ jf ^ ^ola ^ pendent , peruenieiur ad
hanc aequationem

/7 w ^" -4- Lff^^ ») 4- (1-11 — o

Deinde cum celeritates in Y' fecundum dirediones
OX et XY flnt

« + "^^(2-l)+^^(.^) e^ ^-i-//^^(l^) + ^/C-T)

erunt

FLVIDORVM LINEARI. 233

eriint acccleratiories :

Ex \iribns nunc follicitantibus ponamus fecundum
easdem diredliones refultare \ires accclcratrices P
et Q. Poftea yero ob preirionem in j^p-^-^xi^y^^y
clementum Y V j/ 1; in diredlione^Y retro vrgetur
vi acceleratrice ziz^-^i^LP-) vnde nafcuntur "vires

(ecundum dirediones O X et X Y hae :

p _ d x^ (d p >. pj. Q_dx dy^ d p^
^ qdi-^d X ^ ^ q usi ^d X '

hincquc porro iftae aequationes :

^S ^ -jd^^d J — ^^drx^^^Tr^—ds-dT^d.- v:ii)

. liL (d »)
^^ d J ^d f '

^^ d s ^dt^

a quarum prima per dy multiplicata fi fubtrahatur
altera in ^x duda rehnquitur :

2g ( P^j/ -Q^a: ) — ^ (^2li^££d3:^_.yy^. Ang. tang. f~
Praeterea \ero hinc coUigitur :

Prior autem aequatio penitus hinc eft exchidenda ,
propterea quod ex preffione folam accelerationem fecun-
dum motus direcftionem computauimus , dum inde
alia quoque nakeretur a lateribus tubi cxccpta et
deftruda. Vires enim P ct Q aL'ter motiim noti
afficiunt , nifi quatenus fecundum diredionem motus
Tom.XV.Nou.Comm. Gg Y7

234 I^ E M O T V

Y^' agunt ex quo fola aequatio ponerior in calculo
relinquitur , quae fi tempus t conftans ftataatur ,
preflionem p ita definit Yt fit

C o r o 1 1. I.

i6. Patet ergo curuaturam lineae diredricls nihil
in motu fluidi turbare , dum formularum ^ tt %y.

differentiaiia , quibus curuatura definitur , penitus ex
calculo euanuerunt.

C o r o 1 1. 2.

17. Prior quoque aequatio inuenta ad formarn
commodiorem reduci poteft. Cum enim s fit
fundio ipfius A^tantum, perinde cft fiue y confidere-
tur Yt fundio ipfarum x et t fiue iplarum x ct / :
ex quo erit dx{^-~,-ds{^^) ct ob eandem rationem
d X (^) -rz d s (^Ll^j , ynde prior aequatio abit in
hanc fbrmam :

et porro in hanc : (^-i|^)4-a)(^f):ro.

Sch o lion i.

18. Solutionem huius problematis ideo per
tantas ambnges minus necefllirias deduxi , quo clarius
appareat , curuaturam hneae diredricis nihil piane
n\ motu fiuidi turbare ^ quod principium fi ftatim

ftabilirc

FLVIDORVM LINEARI. 235

ftabilire ToluifTem , rrerito id in dubium vocare
licuifler. Nunc autem demum certo agnofcimus ,
qu'dqind de viribus ad motum fluidi infledendum
infumitur , id quafl a tubi latcribus abforberi , ita
vt caedem prodeant motus determinaiiones , ac fi
tubus eflet redilireus. De vinbus tantum follici-
tantibus obreruandum eft , pro quouis fiuidi ele-
m nro inde eam folum \in\ acceleratriccm elici
deberc , quiie lecundum ipfam inotus dircdiorcm
a^at , rcliquis viribus planc neglcdis , quippe qune
totae in Jatera tubi impenduntur. Hcx notato
euidens efl foJutionem Iiuius problematis plane
non difcrepare a probl. 42 ex eoque ftatim deriuari
potuifTe , tantum loco x et u fcribendo j- et y , et
loco vis P hanc P ^ + Qf^, Hoc ergo compendio
iam animaducrfo multo facilius fequentia problc-
mata refoluemus.

S c h o 1 i o n 2.

19. Ne vlli dubio locus relinquatur , clarius
declarandum vidctur, cur in aeftimatione preftlonum
quibus particula fluidi YV yv vrgetur, nullam rationem
inaequalitatis baftum yv et YV habuerim, dum tamen
in reliquis inucftigationibus ad eam tam follicite
refpici oporteat. Cum enim pofita amplitudine
Y V zz 0), amplitudo j v vtique fiat ~ (S^-\-c/x (^),
in eamque preflTio agat p^dx (^) -, tota prelfio
quam bafis jk 1; ftiflentat fit ;)Cd+/>fl'^(~) + w^j(^ )
dum ea , quam fcafis Y V ftiftinet tantum eft n^/^j

G g 2 ficque

236 D E M O T V

ficque vis retro pellens maior foret, quam in folutione
aflTumferam , quae eadem difficultas etiam prae-
cedentia problemata premere \idetur. Verum hoc
dubium facile diluitur , fi ex iis quae fupra de in-
dole preflionum funt tradita , recordemur omnes
preifiones , quae per aequales altitudines repraefentan-
tur fe mutuo in aequilibrio tenere etiamfi in bafes
maxime inaequales agant ; liinc illius vis p4-^.v(~)i
quam bafis xy fuftinet , pars p plar.e eft in aeqiiili-
brio cum \[ p balin Y V vr;^cnte, etiamfi bafis xy
maxime foret inaequalis huic YV, ex quo preffio-
nis illius , qua bafin y v impclli vidimus , non fola
pars p 0) fed haec pfj^^pdx^y^) a prefTione oppofita
deflruitur , ita vt exceffus ex fola parte w d x {^^)
aeftimari dcbeat , prorfus vti in horum problcmatum
folutionibus feci. Deinde fi cui dubium adhuc vi-
deatur, quomodo in tuolutione aequationum inuenta-
rum differentialia Ucundi gradus ex calculo euanefcant
ita vt fit "t^dxdJ-A-^^^^^dyd.pL-^^Q is has for-

mulas tantum euoluat , ac reperitt ,

Ho / d X dd X d a^ d d^A^^y d d y dy'^ 4^^) QUaC forma ob

d s ^ d t ds^- '^ a s ds^/J'

dx^ + dy^zizds^ttdxddx-^-djddjzzzdsdds abit in

y » /- d s d d i d£_d_dj\ — -^

P r o b 1 e m a 45,

Tab. n. 29. Si tubi diredrix fit lYK linen curua in

Fig- 37- eodem plano pofita cuius amplitudo pcr longitudi-

nem tui^i vtcunque fit variabilis , per methodum

poflerio-

FLVIDORVM LINEARI. 237

pofteriorem fupra triditam refpedlu ad ftatum initia-
lem habito , motum fluidi cuiuscunque in hoc tubo
definire.

S o I u t i o.

In ftatu initiali confideremus fluidi particulam
Y V Y' V et pro puuclo Y pofitis coordinatis
O X =1 X , X Y =:: Y , fit ipfe arcus I Y ~ S et
in Y amplitudo tubi Y V zz XI quac fiue Yt fundio
ipfius X fpecletur fine ipfius S perinde eft. Tum
vero lit denfitas in Y — Q. preflio z=P, et celeritas
fecundum tubi diredionem Y Y' ::r T , fi iam ca-
piatur tubi elemcntum YY^ziz^S, erit particulae
noftrae volumen — XI ^ S et preflio nrQ^UL^S.
His quae ad ftatum initialem pertinent pofitis tem-
pore ir: t noftra particula transferatur in y v y' v^, et
pro pundo y 'vocetur O x zz: x xy zz y et arcus
diredricis ly zz s ^ tum vero denficas zz ^ , et
prelTio zzp , quae quantitates omnes funt fundiones
duarnm varibilium S et ^ , eaeque tales vt pofito
tempore t -jz o fiat a*=zX,jiizY, s — S, ^ — Q.
et /) — P amplitudo vero tubi in y ^it y v zz (n
fundioni ipfius j-. Qiiod fi iam ratiocinium inftituatur
vt in probl. 43 , quoniam tubi curuatura nihil
turbat in motu fi-.iidi , loco quantitatis X ibi tubi
longitudinem denotantis hic littcram S fcribi oportet.
Ex viribus autem (bllicitantibus fi eae vires afcclera-
trices, quae fecundum coordinatarum Ox ttxy diredio-
nes agunt fint ^j) et Q, ea quae in / fecundum tubi di-

G g 3 rcdio-

23S D E M 0 T V

redionem vrget , erit ^p-^A? atqiie hinc motus
fiuidi fequentibus duabus aequationibus exprimetur.

in qua pofteriori tempus i conlians eft alTumtum.

C o r o 1 1 I.

2.1. Denotnt crgo (j-^) celcritatem fluidi

m

tubi puntfto j elapfo temporc z:z t , quam er^o ita
comparatum efle oportet yt fado t:z.o fiat (fj):^'^
quippe quae celeritas in ftatu initiali \t cognita eft
fpedanda.

C o r o 1 1 2.

Curuamen ergo tubi tantum in efledlu virium
rollicitantium variationem parit quoniam pro quauis
fluidi particuh ex viribus foUicitantibus ea tantum-
vis acceleratrix coUigi debet quae fecundum tubi
diredtionem agit.

S c h o 1 i o n.

23. Animaduerti hic conuenit in ftatu initiali
neque celeritatem T neque preflioncm P pro lubitu
fiiigi pofle, cum enim hae quantitates in aequationcs
pro motu inuentas non ingrediantur eas ita com-
paratas efle oportet , vt poflquam aequationes in-
ventae fuerint integratae , ex valoribns ipfarum »
et p pofito tempore ^zzo illae quantitates oriantur.
Quanquam autem integratio maximam amplitudinem
fecum importat , tamen efiici nequit , vt in ftatu

initiali

FLVIDORVM LINEARI. 239

initiali pro fingulis elementis illac ambae qiiartitates
T et P datos valores obtiiieant. Quojfi enim
fluidiim nuliius compredioais fit capax, fiatim atquc
in vnica tubi fedione cekritas datur , fimul in
omnibus reliquis determinatur , tum vero etiam per
preflionem in vnico tubi loco prefliones in omnibus
reliqiiis determinantur. Vnde (Iitis intclligitur

ctiamfl denfltas fiicrit • variabilis quiii femper cum
celeritate ct preflinne certo moJo cohaeret , tamen
iion in fingulis locis pro fl:atu initiali celeritatem et
preifionem pro lubitu fingi pofl^e.

P r o b I e m a 4(5.

24. Si tubi diredrix IZ zK fuerit linea cur- y^]^ jj^
va quaecunque non in eodem plano fita , eiusque Fig. 38.
amplitudo vtcunquc variabilis , definire motum fluidi
in huiusmodi tubo fecundum methodum priorem fu-
pra expofltam.

S o 1 u t i o.

Hac methodo vtentes ftatim confideramus flui-
di ftatum ad tempus quodcunque indefinitum n: ^ a
certo initio elaplum. Definita igitur diredrice per
ternas coordinatas O .v — :i' , x y zzj , j z zz z ,
quae ita a fe inuicem pendent, vt pro vnica va-
riabili haberi queant , (tatuamus praeterea arcum di-
redricis Izzzs, et in z flt tubi amplitudo zv — dJ^
quae etiam vt fundlio ipflus s efl fpedlanda.
In hoc iam ioco z ad tempus zz: t , con-
temphimur fluidi particulam , cuius denfitas fit r= q^,

preflio

-40 D E M O T V

preffio ^ p ti celeritas fecundum tubi direclioneni
j^Kzrb'^ quae quantitates funt fundiones duarum
Tariabilium ipfius s fcilicet et temporis t, Ex vi-
ribus denique roUicitantibus oriantur pro pundlo z
hae tres vires acceleratrices P, Q, R fecundum di-
redliones coordinatarum O .v, xy etj/5;; ex quibus
porro vis fecundum tubi dirtdionem 5; K accelerans
colligitur Llfj^-^^^Lz^i^. His pofitis cum tubi
curuatura in motu fiuidi nihil immutet , motus
quaefitus feqnentibus duabus aequationibus exprime-
tur , quarum prior relationem iiiter denfitatem , ce-
leritatem et ampUtudinem tubi definit et ita fe
habet :

altera vcro praeterea prclTionem inuoluit , in eaque
tempus t vt conOans fpedatur :

P r o b 1 e m a 47.

, « 25. Si tubi diredlrix iZsK fit linea curua

FiV 38* qw^ccunque non in eodem plano pofita , eiusque am-

phtudo vtcunque variabilis definire motum fluidi in

huiusmodi tubo (eeundum methodum pofteriorem

refpedu ad (latum initialem habito.

S o I u t i o.

Dum fingula diredricis pundla 2 per ternas
coordinatas defmiuntur OXzzzX ^ XY:=rY et

YZ-2,

VLVIDOKVH LINEARI. 34.?

yZnZ» ponatur infuper longitudo arcus IZrS
ct tubi amplitudo in Zzz.fl. Confideretur iam
fluidi particula qiiaecunque, quae in ftatu initiali \bi
crat teinpus / — o , erat |n 2, eiusque denfitas - Q.
tum vero preflio zz F ct celcritas fecundum tubi
diredionem Z K — Y j quae ergo quantitates vt datae
et fundiones vnius variabilis S fpedari poflTunt.
Nunc elapfo tempore ni t eadem particula perue-
nerit in tubi puncflum s, coordinatis Oxzzx, xyz.y
tx. y zznz definitum , vbi fit arcus Xzzn s^ et tubi
amplitudo 5?n:ct), quae eft fundlio ipfius x, tum
vero in z fit fluidi denfitas zzq^ preiTio — /> , et
celeritas fecundum zY^zzm quam per has denomi-
nationes nouimus efle y zz (jj) , haeque quantitates
omnes vt fundiones duarum variabilium S ct t funt
fpedandae. Denique ex refolutione virium particu^
lam in z foliicitantium deriuentur fecundum dire-
diones O x, xy et y z hae tres vires acceleiratrices
9>, O, et 3t. Quibus pofitis cum tubi curuafura np-
hil in noftra inueftigatione perturbet , habebirbus vti
in Probl. 45 pro motu fluidi in hoc tubo has duas
aequationes :

et '-JJf^iigi^ d X -{- 0^dj> -\-Tlld z) - d s (i^)
in qua pofteriori tempus t conftans eft afllimtum.

Sc h ol i o n.

25. Omni^ haec problemata duplici modo de-

dimus (oluta , dum vtramque methodum in praece-

Tom. XV. Nou.Comm. H h dente

24^ D E M O T V

dente fedione expofitam adhibuimus. Solutiones
quidcm hae genlinae ratione fbrmae plurimum dis-
crepant , verumtamen quin femper egregie inter (e
conueniant nullo modo dubitari poteft. Prout au-
tem quaeftiones fuerint comparatae modo magis expe-
diet vti folutione priori modo pofteriori ; femper
autem vtramque adhibendo non folum earum con-
fenfus veritatem eo magis confirmabit , fed etiam
infignes diiucidationes fuppeditabir , vnde veram mo^
tus naturam eo accuratius cognofcemus. Huius au-
tem tradationis primariam diuifionem praebet flui-
dorum diuerfitas , quatenus eorum denfitas vel eft
conftans vel variabilis , quorfum addi poteft fluidum
mixtum , veluti fi fluidi continuitas in tubo bullis
nereis fuerit interrupta. Virium foUicitantium ra-
tio tam parum afficit hanc tradlationem , vc vix
operae pretium fit alias vires praeter grauitatem
conflderari , neque hic etiam quicquam impedit , fi
fbrte adio virium ? d x -{- Q^dj -\- K d z integra-
tionem non admittat , hic enim x, y ct z a (6 in-
vicem pendent , et vnicam variabilem conflituere
funt cenfendae quamobrem illa difficultas locum ha-
bere nequit. At vero amplitudinis tubi variatio
tantopere in calculum influit , vt maxime conducat
hinc diuifionem petere ; ex quo primo tubos eius-
dem vbique amplitudinis fum contemplaturus. Dc'-
nique omnem fluidorum diuerfitatem ad duas fpecies
aquae et aeris reuocare licet.

CAPVT

FLVIDORVM LINEARI. S4.3

CAPVT II.

DE uj

MOTV AQVAE IN TVBIS AEQVALITER
VBIQVE AMPLIS.

Problema 48.

27. Si tubi aequaliter ampli diredtrix fberit
linea curua quaecunque in quo aqua a ibla grauita*
te animata moueatur , ^ius motum definire.

S o 1 u t i o.

Habeat tubi I / K i^ diredrix iZzK figuram Tab. n.
qnamcunque curuam aequatione duplici inter ternas ^^S* 38*
coordinatas O xzz: x , xy zzy , y zzizz determina-
tam , ponaturque direc^ricis arcus I s ir: x vt fit
</ / zzd x' -{-dy^ -i-d z'^ vt quantitates x, j, z
vt fiindliones ipfius s fpedari queant. Sit tubi am-
plitudo n: a, et denfitas aquae littera b defignetur
vt fit tjj =r a et q-zzb. Tum vero elapfo tcmpore
r:: f fit preflio aquae in z—p et celeritas ibidem
lecundum diredionem sKzzy; vires autcm follici-
tantes P, Q, R, fi appUcata / 5; ftatuatur verticalis
reducuntur ad Pzno, Q^zz o ct Rzi:— i. His po-
fitis ex probl. 45, ob q—b et 03—« motus duabus
fequentibus aequationibus determinabitur :

Hh a in

144- D E M O T V

in pofteriori fumto tempore t conftante. Ex prlori
ergo patet celcritatem « fundionem efle temporis t
tantum , ideoque y — F ; ^; vnde cum in altera fo-
la s vt variabilis fpedetur fiet </ « ^ o , et ( ^" )
zz r' : /, hincque habebitur :

tlAl ^— tigdz — dsr':t et integrando :

b
2 S P —

b

=: 2 g {h r- z) -^ s r' : t -\- A :t.

(Juouis ergo temporis inftante celeritas aquae in tu-
bo vbique eft eadem , diuerfo antem tempore vtcun-
que variabilis efle poteft ,• a qua variabilitate prelfia
p non folum maximc pendet , fed infuper fundio-
nem temporis quamcunque aftumrt : lias autem duas
fundiones in fe arbitrarias ex circumftantiis et viri-
bus extrinfecus aquam vrgentitus determinari debere
per fe eft perfpicuum.

C o r o I ]. I.

fiS. Circa motum ergo aquae in tubis aeque
amplis hic in genere plus non determinatur , quam
quod quouis temporis momento aqua vbique pari
eeleritate fecundum tubi tradum moueatur , et quod
preflio p certo quodam modo determinetur.

Coroll. 2.

2p. Quaecunquc igitur fundlio temporis t prd
celeritate a accipiatur , femper aftirmare licet , eius-*
modi motum aquae in tubo a equaliter ampio e(Tc
poflibilem , dummodo eiusmodi vires externae adhi-

beantur,

FLVIDORVM LINEARL 245

bcfantUr , qiiae ilH continu^e accelerationi feu retar-
dationi pi^oduceridae fint pares.

Scholion I.

' 30. In huius probiemAtis folutioner -vfus funt
methpdo priorejn probl. /yS, exppfita , Yndc conue-,
niet quoque folutionem ex alcera methodo p.robl. 47
clicere. Ponamus ergo fluidi elementum quod nune
poft tempus nz^ in. .5;. ;cpnfiderauimus initio vbi
t z=: o fuifle in :^ exiftente 6 X zi: X, X Y =: Y
YZ = 2 et arcii' )['^=:S, atque ob ^nzQ^zr £»
et 'di zz il zz a prior aequatio dat fr) z= i vnde col-
iigitur X — 54- T: f , ideoque celeritas aquae in !,«
fit.(|^|,:z:,jri;/. , Altera yero aequatio praebet :

i^^i^cz:--^^^^— /fip.r'^ : /t. tempore t rumtoconftante

quae- ergo^ integrat^cfa^ ^'^ ' ' ^^^^^^^^

. ^z^2^(*-^)^,i|f^^f^^A^:.f, ;;,,

quac cura praecedertte prorfus conuenit , nifl quod
hic ceieritas in z poft tempus t exprimatur pef
r* : / cum ea ante efiet r : ;. Id tantum obiicl
poflet ; quod cum z et s fpedari debeant vt fundlio-
nes binarum variabilium S et /, in pofteriori vcro
aequatione tempus / conftans fit aflumtum, difleren-^
tialia dz et ti s non completa fed eae tantum par-
tes accipi debeant, qiiae ex fola variabilitate ipfius S
oriuntur ; hincque viciflTim integralia non abfolute ^
vti eft fiidum , capi debere. Cui dubio vt occurra-
iiius , fit z fundlio quaecunque binarum vadabilium

H h 3 S €t

S et / , vnde flat d z ,~ M -^ S -4- jN ^.? ; atque cerr;
tum eft in illa aequatione differeatial| Ioqo ^ js rcr,i-^v
bi debere M</S Verum ob eandem rationem ,
quod hic tempus / fumijtur coujlans, membri M^S
inregrale iterum eft s, pui quidem funcfiio ipfius t
adiungi poflet , quae a.uter^ iam iii A : / contineri
eft cenfenda ; giiod idem- de integratiptte differentia-
lis ds pft iudicaodum. ' ^^

Scholion 2.

31. Problema igitur propofitum yt maximc

indeterminatum fpedari debet , cum vires jquascun-

que externas , quibus aqua , dum in tubo mouetur ,

follicitari poteft , ih fc compleiftatut , ideoque nmic

demum verus eius motiis ex his viribus externis

penitus determinari debejit. Dum autem aqua in

tubo verfatur , aliae yires externae in cam agere

iiequeant , niG quibus mafta aquae'iB Vtroqne ter-

inino prematur ^ mafla fdlicet aqiiae certa , xjuae

quouis momento in tubo , ciiius extenfio vt indefi-

nita eft confideranda , certam longitHdinem occupet ,

eft ftatuenda , -quae vtrinque ope piftiliorum certis

viribus folliciietur ; qimndoquidem durantemotu ne-

quc/ nouam aquae molem accedere , neque vsquam

eflfluxum ex tubo conccdere velimns , quippe qui

cafus peculiarem requirunt euolutionem. Primo er-

go ftatuamus in tubo infinitae longitudinis certam

pqiiae molem coutinuo moueri , et vtroque tcrmino

iugiter certis viribus follicitari ; et quia tubi curua-

tura non aliter in coinputum venit^ nifi quatenus

r ' •' inde

FLVIDORVM LINEARL Ht

inde aftitudo z pendet , eonrmoditatrs gntia tubum ,
qrfafi eius direiflrix eflfet linea redta , contempIaboF ,
fimul pro quouis puii(Hra eius altitudinem- fuper pla-
my hoci^ontali ftxa aflignaturus*

t: Problema ^^>

3 2. Si certa aquae mafla in tubo aequalitcr
amplo continuo moueatur ,. et Ytrinque a viribui
quibuscunque vrgeatUT , eius motUm er preflionem
in fingulis puncS^s ad quoduis tempus determinare,

S 61 u tTo. ^

Tubum quomodocunque curuum tanquam in Tab. li;
redum extenfum confideremus , id rantum annotau- ^^* ^^*
tes pundi cuiusque z altitudinem fupra certum pla-
num horizont;\Ie efle zzZy quae pro fingulis pun-
<flis vt data eli concipienda. Jam elapfQ- tempore t
aquae mafla in tubo occupet fpatium M N , quod
erga erit conftantis quantitiitis zzz /, ponamusque a
pundo tubi fixo> A dillantia AMm/», AN~^,
Tt fit Iznn — m; eleuatia autem- fuper planum hori-
lontale fit pundi M =: [x, pundti vero N =: v. At
iam haec ven^ aquea M N in M vrgeatur preflio-
nc rzM, in N vero' prefllone zr N , qnae fint
fundiones temporis quacunqne darae, ceieritas vero
huius maflae aqueae fit r y qua verfus R promoueatur,
et quae elV fundio temporis quaefita fnpra pofita
V :=:T : P. Si nunc in loco z quouis medio , cuius
diftantia a tcrmino fixo A fit A^f ^ j', prefiio fta-

tuatur

.r>-

I14S cT^ p E IVI P T y rM

tuatur -zzp, erit 2-p zi: 2^ (^-s)^/r' : /^-A :/.
Transferatur hoc pun<flum ;s primo in M, tum ve^
ro in ISI ,et quia in his pundis prefliones Jllis ipfis,
quibus nunc aqua in his tterminis vrgeri affumimus,
aequales eflfe debent, hiuc duas elicimus aequationes;

i^ i=z 2g(b- [JL) - mr'\t -^- A : t et
^^^iijfg ^ :z: 2 g (Z? — V ) — « r^: r -+- A : /
quariim baep ab jUa rubtracta rehnquit :

.^-^*/(M-N)=2g{v-|JL)-f-(«-w)r :f,^u-;^
vnde colligitur V : t zz i^S^^^i^Jt) et

A . * ggfMn — Nm) _^ 2 ^ y^; .J- 2_g_(n jx ~ "^ »\

'^ • * — 6 (n — mj ^ ^ n — m

Quia autem terminorum M et N eadem eft celeri-
tas yiz:r:r, iique tempore cit per fpatiola d m tt
d n progrediuntur , erit ^n^azzr \t zz^^^; vnde
fit r' : f — ^-j^ , ita Vt ob « — /« zr / conftanti ce-
leritas aquae MNn^ perinde ac diftantia AUzim
ex hac aequatione elici debeat :

^ /. ^ =z 2 ^ (M - N) - 2 g ^ (v - fA.)

vbi M et N funt fundiones datae temporis t at
|jL,,et V quantitates variabiles ab m tt n pendentes.
Refoluta autem hac acquatione , qua ad tempus zzt
locus termini M determinatur , habebitur primo
celeritas aqueae venae M N :z: ^ , tum vero pro
quocunque pundo medio z vt fit A z :ii s ^ prefTjo
p ex hac aequatione definitur :

b

FLVIDORVM LINEARL 249

. ^gS( V — fA)

<]iiae ergo praebet :

f) — ^ISJL-Zl) -|_ N£f -— m) I bixjn^ s) , b)){i — m) _ ^ ^

Portqiiam ergo pro dato tempore t iniientus fuerit
locus M in tubo (eu AM — w, Ynde fimui celeritas
^ innotefcit , inde pro quouis elemento aquae in
fpatio M N contento preffio definitur.

C or o 11 r.

33. Si venam aqueam vtrinque nulla plane vis
Trgeat vt fit M — o et N n: o eius motus ex hac
aequationc debet determinari bl.~j^:zz — 2gb{y—ix.)
feu ^^-i-Li(y-|x)=:o tum vero preflio erit

p^bn(n^s)-(-b)){s—m) _„ £, «.

C o r o 11 2.

34. Sin autcm binae prefllones M et N inter
fe fuerint aequales , tum prior quidem aequatio
difFcrentio-differentialis manet eadem, lUAr^ vt^ro
parumper difcrppiit '■

ita vt haec preffio illam conftanter fuperet quan-.
titate M.

Tom.XV.Nou.Conim, li CorolL

a$o D E M O T V

C O r O 1 1 5.

S5. Totum negotium ad aequationem diffe-
rentialem fecundi gmdas reducitui' » quae etiamfi
prefliones M et N fint inaeqnales , ideo tamen
non fit folutu difficilior fed tota difiicultas refidet
in altitudinibns [jl et >> , quippe quae per m deter-
minantur.

S c h ol i o n.

35. Cafus coroU i. quo prefliones M et N
euanefccntes fecimus, nonnifi in vacuo locum iiabcrc
poteft , quando enim motus fit in aerc , vena aquea
in vtroque termino a pondere atmofphaerae premitur
^ quidem pari vi , nifi ambo termini ad aititudincs
maxime difFerentes pertingant. Quare fi vena in
Ttroque termino fuerit libera et aperta in coroU 2.
littera M denotabit prefiionem atmofphaerae quae
cum f^^re aequiualeat columnae aqueae 33 pedcs
altae fi pro hac altitudine fcribamus k erit M~bk,
et quia hir perpetuo de aqua eft fermo prefliones

Ctiam per COl«>r-nMnc <iriMA<l<: ^vr»i-?r-i^J ^^«1-1/»^^;^»«. ^ xn-iJo

denfitatem aquae b vnitati nequalem fiatuamus. Quo-
tirca prefllonem in aquae vena habebimus :

Maximi autem momenti eft preflTionem atrnufpliiierae
k in calculum introducere, etiamfi non kntiatur,* ea
cnim omifla faepe fieri pofiet , vt prefljo p euaderet
iiegatiua , neque tamen continuitas fiuidi fohiatur j
quod tamen femper euenire debet, vbi, preflio rcuera

FLVIDORVM LINEARI. 2^1

fit negatiim. Atmofphaerae aiitem ratione hablta motus
iniicntiis durare poteft , quamdiu prefllo p tum non
fit negatiua ; ea autem negatiua euadente continuitas
certe foluitur ^ nili forte ob cohaeflonem feu potius
aethcris preliionem contineatur.

Exemplum i.

37. Si tiibus fuerit rf&us et ad horizontetit
tvtcunque imiinatus , niotum venne aqiieae M N 'vtrin^
que apertae in eo definire. Sit inchnatio tubi AK ad
horizontem rr 'vi , et vena aquea in eo furfum mo-
\catur impetu fcilicet accepto ; fin autem \elimus
\t defcendat , angulum y^ negatiuum capi oportet.
Hinc ergo erunt altitudines fuper plano horizontali
fjL — m fiii. -^i , s: r= X fin. •>! et y — (/+ m) fin. y\^ \nde
prima aequatio fit ^ -|- 2 g fin. v) zz o , hincque
ccleritas ^^ — 1 g (/— t fin. y{) , exiftente ^ gf zt-
leritate initiali. At porro prodit wzg( 2/r — nfin.^i^
fiquidem initio \ena occupauerit tubi portionem
A B. lam in loco quouis z ob |x ( « — x )
z=:w(7«-f /— -f^fin. V) et v(x — ;w)=z (>« + /; (x — ?//) fin. 'Vj
crit prclTio pzz-k — z -\- s {m y^zz.k ideoque femper
ct \'bique prefTioni atmofphaerae aequahs. Hinc
patet \enam aqueam in tubo perinde moueriaccor^
pus foiidum fiue afcendendo fuie defcendendo.

Exemplum 2.

SS. Si tuhus ABCD fuerit recuruatus ^ '^'^ Tab. li.
duo habeat brachia iiertlcaha AB et DC medio BC Fig. 40.

1 i 2 exijlente

fi^a D E M O T V

exiflente horizontali , in eoque vena aquea M B C N
ita 7noueatur^ r^t eius termini M ^^ N in brachiis
iverticalibus femper haereant , hunc motum determinare.
Elapfo tempore zz t occupet vena aquea fpatium
tubi M B C N , vt Tit MB + BC-i-CNzz/,
feu duda horizontali E F ita \t fit B E =: C F
— H B M -H C N ) erit / =: B C 4- 2 B E. Tum
pofito A M 1= «« erit jx in B M et v — C N , hinc
y- ixzr C N -BMi=:-2ME. Statuatur AEzrE
ct MEzzA' erit m:ize — x ^ vnde prima aequatio
dat —^Ap — tlxzzo feu ddx-\-"-^xdt' zno quae per
^dx multiplicata praebet integrando dx" -^-^-^xxdt^
:zz^aadt\ hincque

a^^y^^=,-^fi— ^et.(^ + ^)y^-Ang.fin.fi

ita vt iam fit

x—e — mzzaCin.z^t-^-b^V^
et celeritas in M deorfum tendensr:-'-^-^cof. 2(/+^)y^.
Cum ergo in E peruenit erit eius celeritas r= ^
fi tum fieri ponamus 2(r -i-^ ^yf :-7r , vnde cum
niotus initium vbi lubuerit conftitui queat, faciamus
eziza ^ fitque
w = AM = fl(i-cof2?y^) vtfit 4l!i = if|^fin.2^y£.

ita vt motus initio fuerit m :::z o feu E M = E A
et celeritas mo Vena aquea ergo motu ofcillatorio
feretur , cuius excurfiones maximae fupra et infra
horizontalem EF erunt =«, et terminus M ab
ftltitudine maxima ad minimam perucniet tempore

tzz

FLVIDORVM LINEARI. 253

t — *^, ficque hic motiis conueniet ciim ofcillationi-
bus penduU fimplicis cuius longitudo z:U-BE + sBC.
His inuentis in loco quocunque z vt fit A s — . x
preflio erit

p:zik-Bz-{-^-^?'^-^^^-^^^^ _^cN. Mg ^g^^

"vbi M^ in priori loco denotat profunditatem puncfli
z ialra M at in pofteriori loco diftantiam in tubo
a termino M. Qiiare in brachio horizontaii erit
prcfTio

mz^—k-hB^-'-^^^-^f±^^ et

in z''-k+BM-'Cz''-^:^^J'-^.^^--n - ^ + N 2«

2 M E. N ■Z'''

l

Coroll I.

39. Cum ergo fluidum inter ofcillandum in
horizontalem E F pertingit , ob M E rr o , preflio
in z erit — ^ -f- E 2; , denotante E z profunditatem
piindi z infra lineam E F. Hinc fi tubi pars B C
non fit redta fed furfum inflexa , eius eieuatio fuper
EF maior efle ne.',uit quam k, quia tum preflio ibi
ficret negatiua et flaidi continuitas folueretur.

C o r o 1 1. 2.

40. Si ergo tubus habeat figuram A B O C D, Tab. II
cuius brachia A B et D C fint verticalia , medium Fig- 4^^'
autem BOC furfum fupra horizoatalem EF in-

I i 3 fiexum

254 D E M O T V

flexum aequaliter Ytrinque vt fit EB^-Bo — ^^>
preiTio in Himmo pundlo O erit zn k-OV -ir M E

2ME(OB-+-MB) l nP I- IVT U — MECJVIB^ -H_BO)

1 /C — W r -i- iVl J^ ^ B -H B O

^ j(i __ O P - ?#^. Ne ergo continuitas fluidi
foluatur , non lufficit yt flt O P <^ ^ , fed oportet

tGc O? <k- ''' ^'

EE-hBO

Exemplum 5.

Tab. III.' 4^- Co"fi^^ tuhiis aeqiialiter ampJus cluohus ra*

Fig. /^Q.ntls re&is A B ct B C ad hotizontem EF itcunque

inclinatis , rainus outem B C fuperne in C fit claufus

et acre 'vacuus , in hocque tubo inoueatur vena aquae

M B N (latae longitudinis , eius motum definire.

Sit angulus A B E =i g et angulus C B F — ^ ,
longitudo \enae M B 4- B N — / , et A M zz w ;
in M ergo aqua premitur ab atmofphaera \t flt
M — k^ in N vcro nulla efl prefllo , vt fit N — o,
tum vero ex folutione problematis efl [jl — M fx et
V — N y , vnde denfitate aquae pofita — i habetur
haec acquatio

j d_dm_.^^^_2^(Nv-MfJL)

ac pro tubi loco quocunque z erit prcfllo

^ fe(J---Mz) , M/xH — Ma) I Nv-Mg ^.

V l ^ l 1 l ^J^

at pro pundo z^ in altero ramo

^ k (? — BM~B 20_L y|U-(^— I^'B^B^/}_j_Nv^ME-f-Bz^) ^/./

y — j T- -] r— ^^ «//

Ad

FLVIDORVM LINEARI. 255

Ad hunc cakulum expediendum vocemus B iVl rz: jv
vt fit B N — / — a: eritque M jx — x fin. e et N j/
— (/ — A-Oria.^,- vade aequatio difFerentialis erit

quae per 2 d x multiplicata et integrata praebet:

/. ^^^: + 2g(2fe.r + .ra^rin.£-|-(/-A')Yin^)=i:2^//.

Quare celeritas venae li? zn — ^ ; fiquidem mm

vcrfui C ferri ponamus erit

^ zzV LM {ff-^.kx-xxdn.e-il-xyCm.^) feu
r::if = V^(/-//fin.^-2a--i-2/A;rin.^-.v4rin.e-hfin.^))

\nde intclligimus celeritatem euancfcere , cum fuerit

Jin. £ -i~Jin. (

maxima autem fict vbi "^— ^^^{"-l? haecque ce-
leritas maxima erit — V^(# + kk-^^kLfhu^_--iifiru^.

Pro tempore vero habebinnusi '-n

l V (//— i ljin.i —2kx~\-2l xfin. ^ — xx ifm. £ -hfin.^)}

Vnde infPCrron/^r» r-oUiffimnc -

■^ " /m. 6 -h/z.x. ^ ^ — ^'

exiaente X ri V '-^ (fin. £ + fin. ^).

Quodfi iam pro tubi pundo z ponamus B z z=: z
erit preflio ibidem

p zn (^ -H xfin. £) C Z --0! -4- z) ^ ,( ?-4- j:)//rt.^ ^ <^; _. ;2 ) — S fl U . g

At pro puncfto z^ in altero ramo B C poaendo
B. s' :z: :si' crit

JHo

±$6 D E M 0 T V

Ulo cafu erit fuccinclius p zz ^l±j^hi}^tJpi^!lzl±:^
-;s(fin.£f rin.<) hoc vero p-O^-^-U^n.^-^iin.^w-x^^):

C o r o 1 1. I.

ab. III. 42. Sit tubi briichium AB. horizontale et BC

Fig. 43- verticale hincque g rz o et <^ 11190°. Vnde fit ce-
leritns in U-=:.=zY i^ (ff^ll- 2kx+ zlx-x x),
Ponamus initio totam vcnam tubum horizontalem
A B occupafle , ibique quieuifle , vt fit A B — /,
necefle ergo e(l , vt pofito B M zz x zz l celeritas
euanefcat , fumique debeat^^r:- 2kl; vnde cum ve-
na in fitum M B N peruencrit erit celeritas
— y —^ (/ — vV)(2 k — l -^ x) 'j et quando tota vtna

in tubum verticalem peruenit , quod fit fi x =z Oy
eius celeritas qua afcendere perget erit adhuc
zn V '-M. {2 k — l). Dum ergo longitudo venae mi-
nor fit quam 2 ^, tota vena in tubum verticalem;
afcendit , fiquidem fuerit altior quam 2 k,

O o r o 1 1- o

4-!^. Sumto i^utem ff-=z2kl et X — V iA ,
aequatio bis integrata fit: xzn — k + I-^-kcotCKt-^^y).
Vnde cum initio fuerit x zz I, angulus conftans yt
euanefcit , vt fit a' 3: /— ^ (i — cof X t), Tempus
ergo quo tota vena in tubum verticaiem intrat ,
hinc definiri debet i — cof >> t zz ~- feu 'h t =z Ang..

cof. (1 -l). Quare fi /z= i^ erit t zz: -^ zz -^" ^^- '

Scho-

fin autem ij^ ,l:zzzh fit ifn^P^-.

FLVIDORVM LINEARI. 25*7

S c h o li o n.

44.. Nihil impedit qiio miniis pro aqua mer- Tab. m.
curiiuTi fubrtituamus , ac tum ^ erit altitudo mer- Fig. 44.
curii in barometro ; atque hinc ofcillationes mercu-
rii in barometro detinire poterimus , fi ipfi infra
adiuniflus fit tubus iiorizontalis B A eiusdem ampli-
tudinis. Ponamus ergo in (latu aequilibrii altitudi-
nem B K =:. fc et B E — ^, \t fit tota vena mer-
curialis l zz. e -^ k. Fada iam quadam agitatione,
fit \ena in ftatu M B N exiftente B M — a^ et EM
-z: X — e atque celeritas mercurii in tubo afcenden-
tis erit :

quam pofito x zr. aznB A euanuifle ponamus , ita
Yt ftatui debcat ffz=: (l — af^zak quo facflo erit
celeritas =:. V ^^ {a — x) [2 k — 2 l + a -{- x),

Statuamus E Azzr; EMzi:j', vt fit azic-^-e'^
xzLe-^-y, et ob I—e+k erit haec celeritas :

vnde colligimus ^-i^ = _=_^, et integrando
^X- r. Ang. cof ^-. feu ^ :=: . cof ^-.^,

Quare mercurius in barometro circa ftatura aequili-
brii K k ofcillationes peraget , tempore cuiusque ex-
iftente — iLll^j^A^ ^ fcu eae erunt ifochronae pen-
dulo , cuius longitudo eft zz ^ ^- k.

. Tom. X V. Nou. Comm. K k Probk-

S5S D E M O T V

Problema 50.

Tab. m. 45. Si aqua in tubo aequaliter amplo itn mo-

^ig- 45- veatur , "vt in altero termino effluat , in altero yc-

ro continuo fuccedente prematur a yi quacunque ,

hunc motum effluxus et prefTionem in fingulis ele-

meatis aquae determinare.

S o 1 u t i o.

Quamcunque tubus habuerit figuram , is tan-
quam ia diredum extenfus h aO o confideretur ^
cui adiungatur fcala altitudinum a oj , cuius appli-
ciuae z TT exhibcnt cuiusque tubi pund:i z altitudi-
nem fuper dato plano horizontali. lam elapfo tera-
pore t aqua effluat per tubi orificium Oo celcrita-
te :z: y, qua fimul tota fluidi maflTa , quae adhuc.
eft in tubo fuccedat. Occupet autem iam aqua tubi
partem M O et in M ;;; vrgeatur \'i exprimenda
per altitudinem — M. In O autem vbi aqua ef-
Huit in aerem alia prefflo locum habere nequit, nifi
atmofphaerae , quae aequiualens ftatuatur columnae
aqueae, altitudinis :z: k. Pertigerit initio aqua vs-
que ad A et ponatur longitudo AOzz^, atque
nunc fit AMzz?//, fundio tcmporis /, ex qua de-
finitur celeritas y = ^-^. lam quoduis aquae elc-
mentum in z confideretur , cuius altitudo fupra pla-
Hum horizontale fit z m zi: z et pofita deniitatc
aquae z= i , ct preilione in zznp, tum vero diftan-
tia P^z — Sy ex probl. 48. hanc nancifcimur aequa-
tionem

FLVIDORVM LINEARI. 259

tigp:=: zgib- z^ — sT'' :t-^ Ait:

Tbi eft r : / r: y 11: ^ , ideoque T' : t zz %^ : eft

enim dilkntia A M — f» et celeritas y fiindio tem-
poris ; tantum. Transferamus nunc primo pundum
z in M, vbi cum prellio fit data zz M ob s~fn
habcbijnus :

^ g K zz 2 g {h — M \y.) - mT^ : t -^ A \ t

deinde transferamus pundum z in orificium O po-
nendo x — fl, ^bi cum prcflio pariter fit cognita
zz. k erit

2gkzz 2g'b — 0 (ji^-aT^it-^ A:r.

Ex his aequationibus coUigimus primo

2g{M-k)z:^ 2g(Oa)-MfJL)H-(d!-7«)r^:l
ideoque T^ : t zi: ^ ^ ^ ~ 2g(M — fe-t-Mm—ou))

tum vero cum= fit

2^(M-;))z=2^(5;-M|jL)-H(j'-w^r^:f erit

M— -/JZZS— M|JL-4- (^— •^)(^ — fe-+-M,a — Ooj)
' • c — m

leU 1) HZ M(a — <)-t-b(s — ■?n).4-M)j(.fa — s.)-f.Oa)(s — m) __ ^

•* a - — m

Vel ^ Z=: (^-^•MM.)(a-— O-*-(K-^-0aj)(s — m) __ ^

« a -— m "^

vel ecvam 6 zz og(M-hMM.)->-M2;(fe-HOa))' _ ^^

•* M O

Totum ergo negotium ab illa aequatione difreren-
tiQ diffcrentiali pendet.

Co roH- I.

4(). Si preflio in M fuerit vel conftans vel a
fpatio A Mizz^m pendens , quoniam altitudo M [ju

Kk a ab

250 D E M O T V

ab eodem pendet et O o) cft conftans , aequatio diffe-
rentio-differentialis per % d in multiplicata fit inte-
grabilis reddens :

d t^ — ~ oj a — m

qua forma quadratum celeritatis exprimitur.

C o r o 1 1. 2.

47. Si efP.uxus fieret in fpatium ab aere va-
cuum , perfpicuum cft in noftris formis Icribi debe-
re ib=:o^ ac fi in M aqua nullam aliam vim prae-
ter prefiionem atmofphaerae fuftineat , crit M — /^.
Quare fi aqua vtrinque aeri pateat erit M :zl k ec
^-^ zz 4gf^^-i^^ dm et pro preflione in z fiet

Exemplum i.

Tab. m. 4S. Sit tubus re&us A O vtamque mlinatus

Fig. 46. ad horizontem , qui imtio ab O ad A vsque fuerit

aqua plenus , indeque per orificium O o ejfiuat , hunq

motwn d^terminare.

Pofito angulo AOEzze, ob M O = flr - w
crit akitudo M [k zz { a — m ) iin. e et O w rr o.
Quare cum fit M rr /: , fiet ^^zz: ^gfdm C\n. e
■zz ^gm fin. e, quia fado A M n: w :=: o motus, a
quiete incepifTe ponitur. Hinc igitur porro fit ^
zi: 2 ^f V g fin. 6, et integrando V m-zztV g fin. e;
•vnde concludimus aquam omnem e tubo effluxuram
eflc tempore zz: :A^^ j V^od tempus conuenit cum

€0»

FLVIDORVM LINEARI. 261

co, qiio corpus graue fuper pkno iiidinnto AO
eflct defccnrurum.

In pundo z vero eft prQffio pzzk - z 1: + ^~^^ ^
cum autem fit M O : M fx ziz O z : z t: ^t p =: k ,
feu per totam venam M O preffio cft eadem rcilicct
atmofphaerae , quae vulgo nuUa reputiuur.

Exempliim 2.

49. Si vt ante ex tubo miinato re5to A O
aqiia non in aerem fed in fpatium vacuum effluat , hunc
motum determinare.

Manente angulo AOEre, et AM-rw hO-a^

eft yi^ —{a — m) fin. e et O oj n o , tum vero
M n: /i ct quod ante eft k hic eft zr o , ficque ha-
bebimu^:

^J^^^^gf\±!^^dm-^gU^^^i,gm^m.z

vt fcilicet pofito f;/ n: o, n^otus a quiete inceperit :
ex quo fequitur fadlo mziza extremam guttulam
celeritate infinita expulfum iri quod non adeo abfur-
dum eft putandum , cum de vltimo quafi flrato
infinite tenui intelligi debear , cui ftatim atque mi-
nima craftlties tribuitur , celeritas admodum fit mo-
dica. Ipfum autem tempus hinc nonnifi appropin-
quando definiri poteft , cum fit

d m
^iy g zzf y ^ _^TjI^nTe)

K k 3 nequ§

26z D E M O T V

neqiie vllo cafii fiiie inclinatio e euanercat , fiue in
angulum redum abeat. Deinde Yero (umto Az-s
erit preflio

-f — M O "• M O '*' ' a — m '

Pro cafu autem quo tubus A O fitum tenet hori-
^ontalem , et ezno-^ fi ponamus l a"—^"^ ^ ^^

w =: ^ ( I - <?~^) hincque 'J^ zzfe ~^ l^ , \nde
approximando colligitur :

/v gfe - ,-r(i 4-1- +-^. j: +|: J-. ^ ^ etc.)

V d X

pro motus crgo initio , "vbi x \alde paruum ct

w zi: a: — -^ -i- ^ - etc.

^^ V-^ =^V -? V ^, - etc.) (1+1.^4-1:1. f^,)
feu ^:=:^;if(i-^.:- + .V^).

Exemplum 5.

Tal). HT. 5q. Conjiet tubus aequallter amplus A B O dfuo-

Fig. 47. ^«x hrachiis re&is altero horizontaU A B, fl//^rd? ^^^r-

tieali BO deorjum verfo ^ qui cu?n initio fuijfet plenus^

aqua per orijicium O o efflaere coeperit , eius motuin

determinare , et prejfionem in finguUs locis,

Sit longitudo brachii horizontalis A B zi: ^, et
verticalis B O 3z <; ideoque a m ^ -i- ^. Cum igitur
tempore ; aqua ex A in M- profluxerit cxiftente
A M :=! w , ob preflionem in M iz: ^ , perinde ac in
O, erit celeritatis in M quadratum :

vnde

FLVIDORVM LINEARI. 2(>3

d m

vnde fit i d t v g c zn y~T~ii — » ^^^ eadem occurrit

a — iti

difficulMs integrationis atque in exemplo praece-
dcnte.

Preflio autem ia pundo quouis z tubi horizontalis
erit

p A> *- -T^ -V=:,7r" '^ ^^ '^ B!VI_|-BO

ficque in angulo B erit preflio =^-11^ minima.
At fumto z^ in tubo verticali preflio ibi erit

jy — A, vy -<» ^^bM-hBO BM-f-BO

Motus autem initium in A refpondet vi accelera-
trici - - grauitate psr vnitatem exprefla.

C o r o 1 1, I.

5i. Initio ergo motus , dum ambo tubi erant
pleni , preflio in B eft omnium minima ,* atqus
adeo negatiua iieri poteft , fi vterque ramus maior
quam k'^ quoJ fi euenerit continuitas in B rumpi-
tur , et aqua per tubum verticaiem celerius defcen-
dit , quam reliqua per tubum horizontalem fequi
poteft,

Exempliim 4.

52. Sit tubus re^us ^jerticalis fupra ifi A her- Tab. TSL
metice claufus infra apertus , at altior prejfme atmo- ^^Z- 48*
fphaerae k , qui fi jmtio fuerit plenus , defcenjum Jiuidi
definire,

Tem-

!S54 D E M O T V

Tempore t defcenderit fluidum per AMzw,
exiflente altitudine AOi: «>>/:, et quia fupra Mm
crit vacuum , fiet M i: o vude celeritatis defcenfus
in M quadratum fit

Quare cum celeritas initio \bi mziz o fuerit nulla ,
ea maxima fiet , \bi mzz. a — k feu O M zn ife ,
quo cafu erit \^ ziz ^^y' g{a -k-lLl^) dehinc
vero iterum decrefcet et euanefcet \bi fit kl-^zim.

a—m

Ponamus altitudinem a valde parum excedere k ,
efleque « r= ^ -f- w et celeritas maxima fiet
=Z2V g{(xi-kl{i -\-l))— 2 ojy^^ refpondens
fpatio A M zn (u. Iterum autem celeritas euanefcet
\bi crit ^ (^ 4- ^) = w feu m — 2 m propius vero
reperitur :

Preirio tandem in quouis loco z erit

^ Oz.MO-4-Mg. k f\ — fc. M z

Pr oble ma . 51.

53. Si aqua in tubo aequaliter amplo ita
xnoucatur , vt in altero eius termino Oo eflluat ,
in altero vero A^ continue aliunde affluat data vi pro-
pulfa, hunc aquae per tubum propulfae motum definire.

S o 1 u t i o.

Taft. IV. Tubum igitur vtcunque curuatum A O hic

Fig. 49« confidero , in cuius orificium A a aqua continuo

intru-

FLVIDORVM LINEARI. 26$

intruditur vi quacunque per altitudinem L exprefla
quae vel vt condans, vel fund:io teniporis t fpediiri
poteft , cuiusniodi continua aquae intrufio et pro-
pulfio ope antliarum effici folet, qnarum vi ex loco
inferiori A in altiorem O eleuatur, ibique efFunditur.
Qiiamobrem tubi terminum A in imo loco pofitum
fumo , a quo ducta horizontali A co , fingulorum
pundorum tubi z altitudines fuper ea aeftimo , ita
\t fupremi orificii Oo, vbi • aqua expellitur altitudo
iit Oa. Pofita ergo pro pundo quouis z longitudine
tubi A z:z:s et altitudine i: z zz z , fit elapfo tem-
pore zz t celeritas aquae in tubo = y, qua fimul in
O^ effluit , et quae eft fundio temporis t quam
iii probl. 48. pofui yzzF:/ tum vero denotantc
p preflionem in z , quam etiam ad aquam refera"
mus vt fit ^n: I , hanc inuenimiis aequationem

dum fcilicet fumimus aquam in tubo a termino A
ad terminum O progredi , atque in hac aequatione
Tniuerfa motus ratio continetur. Eam ergo ad
cafum oblatum accommodari oportet has conditiones
implendo , \t et in A fit preltio data rz L , et in
O =: ^ , denrtante k altitudinem columnae aqueae
fltmofpbaerae aequiponderantis. Pundlum z indefini-
tum primum ad orificium A transferamus quo fit
xzzo, zzz o etpziL, ideoque

^glu — igh-^- A\t

Deinde eodem ad orificium O translato , \bi fit
j" — AO, z-zzO ii^ ct pzz:k ^ habebimns :

Tom.XV.Nou.Comm. Ll 2gk

ii66 D E M O T V

vnde colligimus

2^(L-i^)i=;2g. Ooj-hAO. r': /
ita vt fit :

^"p/. * dv 2g(L — k — Ocj)

1. t l' _ -; — •

d t A O

Tum yero pro preffione in loco indefinito fiet

Statuamus nunc totam tubi longitudinem A zO zz l
et orificii O o altitudinem O co — « , ac prinio pro
celeritate » obtinuimus ^ — ilLLrrAnfJ ficque in-

tegrando » — ^-fif L ^ ^ - (^ + i^) 0 ^ deinde -vero
pro preffione in quouis loco tubi z erit

Coroll. I.

,. 54. Quodfi ergo vis propellens L fuerit con-
ftans et zz-a + k acceleratio aquae in tubo euancfcit,
ideoque eius fluxus per tubum erit vniformis, quanta
autem fit futura eius celeritas ex his principiis non
definitur , fed ex natura virium impellentium con,-
cludi debet.

C o r o 1 1. 2.

$5. Sin autem vis propellens L perpetuo maior
cflet quam c H- fe , aquae per tubum propulfae
celeritas continuo augeretur, fin autcm ininor eflet

con-

FLVIDORVM LINEARI. 167

continuo diminueretur. Neque ergo hinc quicquam
certi circa aquae celeritatem dato tempore efFuram
flatui potell.

Scho 1 ion I.

S6, Qiiantumuis hoc paradoxum atque adco
experientiac contrarium Tideatur , tamen hypothefi
qua (latuimus , preflionem in A perpetuo eadem Yi
siquam propulfiire , quaecunque fuerit eius celentas ,
prorlus elt conientanea , ac fi tales vires apphcare
liceret , nuUum eft dubium , quin etiam hic efFtdus
reuera fit fecuturus. Qiiare cum hoc in praxi minus
eueniat , iudicandum eft , vires quae ad aquam pro'
piihandam adhiben folent , neutiquam eius efTe in-
dolis, vt eadem prefTione agant, quacunque celeritate
aqua progrediatur. Satis autem fuperque conftat ,
omnes vires , quae ab hommibus, animalibus , aquae
fluxu et vento peti folent ,' ita efTe comparatas , vt
auda celeritate debilitentur , ac tandem euanefcant.
Quantacunque enim fit huiusmodi vis obiedo quiefcenti
applicata , ftatim atque hoc obiedum mouetur , ea
ininor euadit, quare tales vires non abfolute definire
hcet , fed earum quantitas pro quouis celeritatis
gradu quo agunt , feorfim debet determinari. Ita
ii ponamus machinae , qua aqua per tubum pro-
pelHtur , eiusmodi vim effe applicatam quae dum
celeritnte zn c opcratur, aequalis fit ponderi aquae
cuius volumen fit zz V : atque machinam ita efle
inftrucHiam , vt perpetuo hac celeritate rz c agat
id quod femper ope rotarum fieri poteft. Cum

L 1 2 iam

.58 D E M O T V

iam in noftro cafu preffio in A altitudlne r= L ex-
primatur , fi amplitudincm tubi flatuamus rr oj ,
aequabitur ea ponderi voluminis aquae n: L oj, quae
vt a vi illa V celeritate c mota producatur , illius
celeritas iiinc determinatur , (cilicet fi vim L o)
celeritate y aquam propdlere fumamus , oportet fit
L (I) y-z V r, hincque « zz: p-. Vt autem aqua hoc
motu vniformiter propellatur , vidimus efle debere
h z=z a -{- k , vbi quidem predionem atmofphacre k
omittere poffumus , qui eadem quoque "vim in A
comitatur , ita vt fufhciat ftatui L z= J , ex quo
perfpicuum eft aquam per tubum propulfum iri ce*
leritate ^ :== l^-

S c h o I i o n. 2.

57. Cum hic non vis principalis folllcltans
fola V , fed in celeritatem c qua agit duda in-
computum ingrediatur , hoc produdlum V £• , quod
in omnium machinarum efFcdu determinando ^
maxime debet fpedari , peculiarem denoiriinationem
meretur , et propterea a^io a me eft vocatum , ita
vt a£fio fit produdum cuiusque vis per celeritatem
qua agit multiplicata , vbi imprimis eft obleruan-
dum , dum in machinis vires veL intenduntur , vel
minuuntur , celeritatem femper in ratione inuerfa
mutari, vt a&io eadem maneat. Sic fi per machinam
vis principaiis V in alium locum transjata abeat
in V, celeritas qua haec operatur erit n^, ac fi

tum celeritas adionis fit ~ ^' , vis erit V^ = ^^

Machi-

FLVIDORVM LINEARI. a^p

Machinarum fcllicct Yfus praecipuus in hoc conriflit
vt feruata eadem aciione vis follicitantis , vel vis
vcl celeritas ad lubitum immutetur. Ita iii cafu
problematis , quo opus erat vi zz fl w ad aquam
per tubum A O propellendam , fi vis principalis
machinam mouens fit zz V cum celeritate — c
coniunda , machinam ita inftruftam efle oportet ,
vt in translatione vis ad locum A vbi aqua in
tubum intruditur , vis fiat — « oj ct quia tum cius
celeritas necefllirio fit y rz ^ , hinc celeritas aquae
per tubum propulfae fponte determinatur. Si forte
ob machjnae ftrudaram vis vrgens in A , quam
pofuimus = L w maior extaret quam a cij , ceieritas
atflionis in eadem ratione imminueretur , verum ob^
L>tf motus aquae acceleraretur : tum er^o vis
principalis maiorem obtineret celeritatem , hincque
eius quantitas ipfa V diminutionem pateretur ex
quo prout eius aEtlo increfcat vel decrefcat , de-
inceps cum motus ad vniformitatcm fuerit perdudlu»
celeritas aq^uae per tubum propulfae definiri debet.

S c h o I i o n. 5.

$S. Omnium autem virium quae ad machinas
agitandas adhibcri folent , ratio ita ell comparata ,
vt dum obiedlum quiefcens vrgent , celeritateque
propterea nulla agunt , maximam vim exerant ,'
quae fit =: F , tum vero auda celeritate continuo
minorem cxerant vim , tandemque planc nullam,
cum certa celeritate quae fit — e agere debeant.^

Ll 3 Quia

S70 . D E M O T V

Quia ergo illo caru celeritas, hoc Tero vis euanefcit,
\'troque aCtio eft nulla. Si iam celeritate qiiacunque
miiiore quam e , quae fit cn u eadem \is agat ,
eius quantitas aeftimari poteft zzFCi — -)' cuius ergo
a5ito eft zz F // (i — j-)* , quae vtique tum cafu
« zr o quam « n ^ euanefcit , maxima ergo euadit ,
fi «rz 5 ^ , ac tum erit z= .y F ^. Quare femper
machinas ita inftrui conueniet vt virium , quae
adhibentur a£iio reddatur maxima , quae regula
nifi obfcruetur , machina muho minorem effedlum
praeftabit , quam ab iisdem viribus agitata , fi debite
inftrueretur , obtineri pofTet. Tali ergo vi adhibita
prollema praecedcns ad folutionem determinatami
leuocemus.

P r o b I e m a 52.

$9. Si in cafu praecedentis problematis aqiia
in tubum AO intrudatur a potentia, quae in quiete
exerat vim iz: F , mota autem celeritate zn e omni
vi deftituatur , definire quomodo machina ad lianc
vim fit accommodanda , vt effedus maximus redda-
tur feu maxima aquae copia dato tempore eiiciatur,

S o 1 u t i o.

Ponamus hanc potentiam machinae applicatam
celeritate zz « operari , vt fit vis quam exerat
::zF(i— ^)* machinam autem ita effe inftrudam, vt
ad aquam per tubum propulfandam ea vis in ratio-
ne 1 : « multiplicetur , ibi igitur agat celeritate

, u

' — ' n >

FLVIDORVM LINEARL 271

rr ^ , qiia propterea aqua iam per tubum promo^

veatirr , vndccunque ipfi liic motus fit impreflus ,

quandoquidem hic ad motus continuationcm fpedtamus.

Erit ergo nunc y =± -- , et pofita tubi amplitudine

r: w, Yis aquam in tubo propellens ;2F(i ■-^^'iiLoj',

ita vt fit Lzz— (i — -)'. Quare cum inuenerimus

iM.— iil^iJ, \bi prelTionem atmofphaerae k in

orificio O 0 omittimus , quia pari preflione ipfa Yis

propellcns aiiuuatur. lam fiuc fit L "p- a fiue

L <^ fl , vtroque cafu motus mox ita ad vniformita-

tcm perducetur vt fiat Lzr^ ideoque i — H — y i| :

ficque a potentia ita applicata , vti affumimus , ob

»i=:^(i — V ^) aqua per tubum propelletur ce-

ieritate y iz:: ^ (i — V ^^) , ita vt fingulis minutis

fecundis aquae volumen i: y w per orificum eiiciatur

Hic primo patet , fi fuerit ?-| J> i , feu. « F <i a co.

nullum plane motum produci poffe. MaximiiS

autem effec^us obtinebitur fi «-J^, hincque -r — 9

vnde machina ita inllrui debet , vt fiat n — — «

' 4 p '

tum vero y zz «V ^, et quantitas aquae vno minuto
fecundo eiedli —/7. ^, vbi vis F ad pondus reduda
per vo'umen maffae aqueae aequilibrantis exprimi
debet ita vt F denotet certum volumen.

Cor ol 1. I.

60. Si ergo tam altitudo a ad quam aqua de-
bet eleuari quam cekritas e feu fpatium ea percur-

rendum

27a D E M O T V

rendum vno minuto fecundo in pedlbus, vo^imen F
vero m pedibus cubicis exprimatur ^ tum formula
5*. ~ dabit volumen aquae itidem in pedibus cubicis

exprelTum , quod fingulis minutis fecundis ad altitii-
dinem a pedum eleuari poterit.

C o r o 1 1. 2.

€i, A potentia ergo , quae in quiete exerit
Vim rrF, celeritate autem motu ~e omnem vim
amittit , maior aquae crpia ad altitudinem a eleuari
nequit , quam ^j. ~. Ncque vero hic efFedus obti-
Dcbitur nifi machina ita fit inftruda vt vis moucns
ei applicata in translatione ad aquam propellendam
augeutur in ratione i : « — i : ^-^ ,

S c h o 1 i o n i.

tf2. Quo hacc clarius perfpiciantur , ponamus
vi hominis efle vtendum , quae in quiete aelUmetur
70 librarum feu vnius pedis cubici aquae vt fit
F n: I ; maximam autem celeritatem , qua nullam
amplius vim exerere valeat effe 7^ pedum feu ezL%.
Hic ergo hom.o, fi cius opera modo maxime lucro-
fo impcndatur , fingulis minutis fecundis ad altitu-
dinem a pedum eleuare poterit vohimen aquae -—^
ped. cub. hocque fit fi machina ita fit inftrudla vt
operari poflit celeritate r= q.\ ped. ac tum eius adio
cft 3= 5*^. F ^ n '/ , ita vt femper a<5lio hoc modo
cxprefla , fi per ahitudinem a diuidatur , praebeat
quanxitatcm aquae fingulis minutis fecundis eleuan-

dae.

FLVIDORVM LINEARI. a75

dae. In machinae antem conftrudione infuper ad
amplitudinem tubi w cft fpedandum , quoniam \is
mouens per translationem augeri dcbet in ratione
I : t^^ • quac ratio contra non a ccleritate r e pcn-

4 F

det. Deinde cum vnius hominis adio maxima fit
nz'/, fi X homines operi admoueantur eorum adio
erit zz 'g° X , cui femper tffcdus eft proportionalis.
Si equis fit vtendum , et in quiete vnius equi vis
triplo maior ccnlentur quam hominis , celerirasque
maxima ctiam triplo maior , eius iid:io ntniies fiet
inaior , feu vnus equus tantum praeftare Viilebit quan-
tum nouem homines.

S c h o 1 i o n 2.

(J3. Si curfu fluminis ad machinam agitandam
yii vehmus cuius impulfu palmulae rotae ad mo-
tum inc tentur ; determinatio efFedlus iii aqua ele-
vanda hoc modo inftitui debet. Sit ff fuperficies
quae aquae impulfum normahter excipiat , et e dc-
notu celeritatem fluminis , vnde altitudo , ex qusi
graue eandem celeritatem lapfu acquirit erit - ~ : vis

ergo flnminis in hanc fuperficiem quietam erit — ^^,
ponderi fcilicet tanti voluminis aquae quam It co
liiterae F fcribi oportet ; tum vero quia impuKus
euancfcit ftatim ac palmula ipfa fluminis cekritate
rr e mouetur , haec eft ilia celeritas , quam ante
littera e notduimus. Adio ergo maxima euadet ,
cum fuperficies ff ccleritate rr l ^ mouetur , eritque
haec adio :zl^^ ^ ideoque cubo celeritatis fluminis
Tom. XV. Nou. Comm, M m pro

274 D E M O T V

proportionalis. Hac itaque adione ad altitudinem
zza fingulis minutis fecundis eleuabitur aqune quan-
titas zz. ^-^^- , cum erpo ab vno homine eleuetur
quantitas zzl '-^ ped. cub. efFed:us aquae aequiualebit X
hominibus exiftente X n: ^^ , dum e et / in pedi-
bus exprimuntur, \rbi notandum ellefleg — 15^ ped.
ideoque X zz ^-^. Qiiodfi^— i ped. quadr. et flu-
yIus conficiat fpatium 7| ped. vno minuto fecundo ,
vnus homo eundem efFedum prodiicet. Hic qui-
dem aflumfimus , tubum A O eiusdem vbique eflTc
amplitudinis , verum rcs pari modo fe habet, etiamfi
eius amplitudo fuerit variabUis, qu.m cafum fe-
quenti capite cxpendamus femper autem tenendum
eft tubum vt anguftiflimum confiderari.

CAPVT IIL

DE

MOTV AQVAE IN TVBIS INAEQVALt
TER AMPLIS.

P r o b 1 e m a 55.

54. Si data aquae q lantitas in tubo , cuius
amplitudo vtcunque eft variabilis , moucatur , et
vtrinqiie a viribus quibuscunque prematur, cius mo-
tum et preflionem ia fmgulis punc^is determinare.

Solutio.

FLVIDORVM LINEARL 175

So 1 U t io.

(^uamcunque dircdrix tubi babuerit figuram , Tab. IV.
ea vt liuea reda A O confideretur , cui autem ad- ^^S» 5^'
iungatur linea ciirua a w cuius applicatae z iz fin-
gulorum pundorum z altitudines fuper plano liori-
Zontali fixo denotent. lam elapfo tempore t conii-
dv^retur aquae particula quaecunque , quae verletur
circa tubi puncH^uin z^ exillents dire(flricis longiru-
dine A s iz x a pundlo fixo A compurata , ibique
fic tubi ampl tujo zvziLbi, et akirudo z i^ ~ z
quae per s datae affumuntur. Denfitas aquae vni-
tate exprimatur vt fit qzzi^\n z vero vocetur
preffio zzLp panter ad aquam relata , et celcritas
hu us part culae in tubo verfus O fit zz » quae fnnt
fundioneb duarum variabilium s et t. Quibus po-
fitis probl 4(5. pnmo nobis fuppeditat hanc acqua-
tionem (%^j — o vnde a cu fundioni folius tempo-
ris aequetur neccfle eft , cum ergo hoc tempore
\bique celeritas fit reciproce vt amplitudo , conci-
piamus alicubi amplitudinem datam znff^ in qua fit
celeritas =1?, fun(!l:io ipfius tempore r, eritque
Mdizzffv et srz-^-^^ ita vt fi definita faerit
Celeritas v amplitudini datae ff conuenicns pro hoc
tempore , ex ea celeritas in quacUnque alia ampli-
tudine 0) innotefcat ad idcm tempus •, hacque for-
mula M—^— iam prima determinatio contineatur ,
vbi probe notetur celcritatem 1; efie fundlionem (o-
lius temporis t amplitudinem vero 03 fpatii s tan-
tum. Nunc ad akeram aequation^m progrediamur ,

M m 2 qua

27<J D E M 0 T V

qua preflio p definitiir , et quia aquam a fola gra-
vitate animari ponimus erit P rr o , Q— o et
R z: — I tum vero quia in hac aequationc tempus t
conftans accipitur , erit d^ z: —ff^^j}^ et (^— )-^i^,
ficque aequatio pofterior abit in hanc foriiiam ;
2.s:dp-zz- nQi d z^^U^^^ -—tlL\ ^

^ ^ ° ' ojS cu d f

quae quia v et ^-^ vt conftantcs (pedlantur per inte-
grationem dat :

° ^ ~ fc> 2C0U d t ^ oj

vbi cum oj fit fundlio folius j* integrale /ii vt
quantitas cognita fpedlari poteft.

Nunc ad ambos terminos noftrae maflae aqueac
refpiciamus qui fint in M et N exiftente AMzr.;;/,
ANzzw, amplitudine in MzzjJi., in N =z v , alti*.
tudine Mfxzzm, Nvizn, integralis /^i valorc
jn M zz 3}J in N zz 3?; tum vcro prelfione in
M zz M et in N z= N. Cum igitur celeritas in M
fit :zz^l^ , in N zz-^-^ , tempufculo dt ambo ter-
mini M et N promouebuntur in M', N' vt fiC
M^ M zz-^^^^^ et N N' .-rz-^ilil^

vnde quia m et « funt fundiones folius temporis t
erit ^;;/~-^i^, dn — ^^'^ hincque ^dm — ydn.

Ex cognitis autem preffionibus in M et N has duas
obtinemus aequationes :

zgM — Ait" 2gtn -fy^ -^-TT- ^

2 £ N z= A u - 2^ n ^4?^^^44-^ ^

vnde

FLVIDORVM LINEARI. 277

vndc coUigimus :

quae aequatio tantum fundiones iplius temporis ^ in-
voluit , indeque propterea celeritas v definiri pote-
rit. Tum vero pro preflionc inuenitur :
»g(M-p)=ig(«-nt)+^-'^ (^^ - ^^) V4^ (f'^-^)
Guae elifa formuk -^-—^ praebet hanc aequationem :

C o r o 1 1 I.

6$. Cum detur maffa flaidi in tubo contenta,
cx dato fpatio AM — ;;/, quo fimul quantitates
|x, m et ?D? =f~ determinantur definitur fpatium
AN=:«, cum fvdn—f\}.dm praebeat iliam m.af-
fam ficque etiam n cum y, \\ et ^ =7 ~ vt fun-
diones folius quantitatis ;;/ fpedari poterunt.

C o r o 1 1. 2.

66. Qiioniam totum negotium a refolutione
acquationis difFerentialis inuentae pendet , et eft dt
nz^, fi ea aequatio per \Kdm-.ffvdt multi-
plicetur habebitur :
2g(M-N-hm-n) a dmzr.lfw^kdmi^-z. )

-^-fvdv^^-m)
quae pofito f 'WzzV ablt in hanc

M m 3 cx

27S D E M O T V

ex quo quaiititatem V elici oportet, qua inuenta prinno
repentur celeritas i? zn "^ , indeque porro tempus

* — y vT"*

C o r o 1 1 5.

6j. Si enim prefliones M et N vel fmt con-
flantes, yel a fpatiis m et n pendeant, quia n per »/
determinatur aequatio illa duas tantum -variabiles m
et V continere eft cenlenda , et integrabilis rcdditur
fi multiplicetur per ^Q- exiflente Q_=z:/|A^ (-1. - ^).
Quia vero t{!i\kdm—vdn et ^ — d^ item ^
zndWl, fit 4— /^fZ^r hi"cque multiplicator

C o r o 1 1 4.

68. Qiiamobrem illius acquationis integra-
le eft:

vbi notandum cft cum flt celeriras aquae in Mn-^
et in N-^^, exprefl^ionem y'^;«z;(^-!)Z)-/'^'Jp.v//«
^ f^*'^^. \y. dm defignare \im viuam mafliie aquae
M ?w N « quandoquidem vdn efl cius elementum
N«N'«', idquc in celeritat;s quadratum ducitur,

Sc h ol i o n.

(Jp. Omni attentione dignum efl ,* quod ae-
quatio diflerentalis inuenta tam commode integrari
potuerit , eiueque integrale ad vim viuam aquae in

tubo

FLVIDORVM LINEARI. 279

tubo contentne fit perdudlum , vnde fummus vfus
principii oonferuationis virium viiiarum , quo iam
Oiim Ccieb. BernouUi in Hydrodynamica feiiciiruiH)
fucceffu eft vfus , cjarifnm.e perfpicitur. Minc fcili-
cet intelligimus , fi vires vtrinque premeutes M et
N fuerint aequales , et tubi diredrix horizontalis ,
vt nuliae adfint vires motum fluidi vel accelcrantes
vel retardantes , tum fluidi mafTam eandem ptrp:-
tuo vim viuam effe conferuaturam , pofito enim
M :i^ N ct m 1= o et n n: o feu in genere 5; — o,
prodit vis viua f*vv0l-'^) zz Conft. fin autem
altitudines m et n non euane(cant , aequatio inuenta
ob fx d ?n zz V d n ita repraefentari potefl :

/^'y(f)?-!l}^)z=4^/(M + m)^i^;;/-4^/(N4-n)v^«.
vnde manifef^um eft , quantum incrementum vis
viua capiat a vi accelerante ; quandoquidem prefTio
M motum accelerat , preflio vero N retardat , ac
praeterea ex altitudinibus m et n fingulorum ele-
mentorum vel afcenfus vel defcenfus definitur. Cetc-
rum hic imprimis notari merecur , quod aequatio
difFerentialis inuenta fola muhiplicatione per i^dm
izz. ^ V d n -zz. 2.ffv dt ftatim integrabilis reddatur
dum prodit

4g (M - N -f m - n^ \i^dm T.f*v v (^" - ^) + 2fvdv{'^-^)

cuius integrabilitas ob '^- — d'^ et ^zzid^ fta-
tim in oculos incurrit ; ita vt iam totum negotium
ad integrationem primae partis reducatur. Ad ma-
iorem ergo dilucidationem fufEcit , vt nonnulla
cxempla proferamus.

Exem«

28o D E M O T V

Exemplum i.

Tab. IV. »70. Si tubus fit conkus eiusque dlreCtrix A O

^%- 51« tverticaJis , in quo tnojja ^quea AQc libere defcendat ,
eiuf motum dejinire.

Sit XQz:^ c et nmplitiido tubi in C nempc
C c -^iz oL c c , \'t fiat tota mafla aquae AQc:iz'^ac ,
qiiae poft tempus t occupet tubi (patium MwN»,
•vnde ob A M m: /« et A N =: w erit n — c^ -{- m .
Tum vero pofita aititudine fixa AOzzdr, erunt
primo ampiitudines "^mzzi^^zzcf.mm^ Nnz: yznoinn
ct zvcz.b)zz:oLSS pofiio Azzzs^ deinde altitudi-
nesOMzzm:::::^— w;ONii:n:z:a— « et O z
zzLZ — a-s. Porro ob ftl — --L^ fit ^—-~l
€t 3? = — — . Quare fi prefiTiones in M et N ae-

a n ^

quentur foli preflioni atmofphaerae k^ quod euenit
fi tubus in apice A apertus concipiatur , erit
M m N :i2 fe. Quodfi iam amplitudini ff conueniat
celeritas zz: v deorlum tendens , aequatio noftra inte-
gralis pro hoc cafu coU gitur :

f^ci^i^-^^-^gfa^mmdmiti-in^-^agi^n^-^m*) + Conft.

ob m m d m zz n n d n, Cum autem defcenfus ex
quiete incipiat fitdo m zz o et n zz c celeritas
euanefcere debcat , vnde habebitur :

hincque //^rzaV i^^"-l=^*^>
ficque colligitur tempus ,

* __ r u.d.m . r mdviy m{n — vt )

culus

FLVIDORVM LINEARI. aSi

cuius formulae ob n r:: c^ -4- rn integrale eft ca-
piendiim, vt ad datum tempus t fpatium AMr=:?«
definiri poflit.

Denique pro prcffione in js, quae eft p, inuenienda,
habetur haec acquario fuperiorem per z multi-
plicando

quae ob Sivv^^'r.n[n^-rnA-^cn_ ^bic in hanc :

A(p-ha — i){n — rn) __ 4 ik~^a — m) [n — s) . 4^)^-4-« — n)f?— tn)
771 n ** ^ ' m $

. fy-m)(n-s)(?i^~Tn»-c^)(7;77inn4-7n?i(T?;-^.T;;y-Kma-)-mB-4-Tin)»)

rnde deducimus :

P — jt4-^«;;/_;j_L-j_l- (y-Tn)f»-0in*.-tnj«.c<)(mninTi-Hmg(T7?-f.nli->-f7nffl4.Tnn4.nn]«)
* 4Tn77inn(n — m)i'»- •

Exemplum 2.

71. i« cafu praecedentis exempli Ji tuhus Jlt in
A claiifus vt fuperior fuperjicies M m nuUam prejjionem
Jujiineat , motum aquae determinare.
Cum omnia maneant vt in praecedente exemplonifi
quod hic fit M n o , et N — A: , aequatio prior
abit in hanc fora.am

^'^'^^hl^r^^^^^f^^f^^niin^m-h) feu

J^^wi^^^^ — aagin^m^-c^-^lkm')

Hic autem primum obferuo initio "vbi w rr o ct

nzz c motum incipere non potuilTe nifi fuerit

<• > ^ , fi enim fit ^ -< ^ vel etiam c:zk aqua per-

: .Tom.XV.Nou.Comm. Nn pctuo

aSa D E M O T V

petuo in fummitate tubi haerebit , nullusque motiK
fequetur. Sin autem fit c^k motus primo quidem

accelerabitur , donec fiat « — y (<r' H- m^) — m --{-' k
hoc eft

czz^^kmjn-^-^^kkm-^-k' feu mznVi^^-j^^kk^-lk
Inde vero celeritas decrefcet , atque adeo euanefcet j
quando fiet

n*-{c'^m'f-c'+m'-hikm%

quae euoluta dat

4 k ^''{■^'kkm^i- U /:V/+3/;«'4- 8^ V+'//:V*/;/4-3 c^i-^-^k c'-o
^j^c m —Ccm —^c

Quo hinc aliquid facilius concludere queamus ,
ponamus c \alde parum excedere k ftatuamusque
f— (i4-^)it denotante ^ fradionem minimam et
quia m quoque erit fpatium valde paruum fiet
» z:: ^ -i- — hincque

ac celeritas maxima refpondebit loco '» — ,-ii^ *^" TTi
-±t^A — -^^-^ rurfusque euanefcet vbi /«i:4-^, + '-^
feu fatis exadle m — '^j^^' Deinde vero colHgitur

ffvznoLmmygij^^-^^—m^zzammygC^Sk^m)
hincque tempus

ct tempus totius defcenfus ziz^y ih.

Exem"

FLVIDORVM LINEARI. asti

Exemplum j,

72. Si tubus habeat duo brachia verticaliter Tab. IV.
cre&a A B ^; C O iun&a ramo horizontaii B C ^^ Fig- 52.

qucielibet pars Jit aequaliter ampla fed a reliquis di-
verfa dejinire motum ofuilktorium aquae in hoc tubo,

Tiibi AB in quo alter venne terminus M m reperi-
tur amplitudo fit vbique — {jl , tubi vero O C ^ v,
horizontalis vero B C =^ X. Cum aqua vtrinquc
cft in aequilibrio , pertingat ad horizontalem E F ,
ponaturque B E z= C F ^z ti , et hQ-zzb yt totum
aquae volumen fit zztfja.4-^X-f-tfv/. lam m
Hatu motus ad tempus = / vocetur EMziv:^
critque F N rr |x .v , et iam quantitates |x et y
funt conrtantes. Statuatur AEzi^, erit mzze-^vx
m — tf-fv^, !0?rz:^=:^, porro n^ne-^ia-^-b—ixx^
rtzna^ IKX tt ^- ^^^^+1- + ^^ , ynde ^-^
_| ^ o.^vx ^ a^n^^ Deinde ob M =: N zz i(:

preflioni atmofphaerae , et m — U zz (fx + v) Jf erit
fvv(^'\''^^s=z^~^)—-A-gfl^v^x(iL^v)x

z3-2gjxy([x4-v)A^^+C.

Ponamus (sido xzzo celeritatem amplitudini //
conuenientem fieri v zz iV gc y vt hinc conftaus
ita determinetur.

4g<^/*(|-+-5^^)=C, atque habebitur.

^a a^ pro

284. D E M O T V

pro excurfionlbus maximis ergo erit

V — -\- V ( -iSJl^f L -U ^[!L±l!))

•^ ZH "^ \ tK i (li, ^ y)' K ^ M.V '

Pro tempore autem hanc aequationem integrari
oportet

l / //<u

quae formula autem nimis efl: perplexa , quam vt
eius euolutio fufcipi queat , nifi cafu quo C ac
proinJe etiam x eft quantitas quam minima. In
eenere enim tempus tali forma defiuitur tizf^-prp^—''
cuius integratio reiedo termino B a: eft mamfcfta.
Admiftb autem termino B x totae quidem ofcillatio-
nes erunt ifochronae fed tempora , quibus tef ninus
Mw fupra libellam E F vel afcendit vel defcendit
non crunt aequalia temporibus, quibus infra libellam
verfatur.

P r o b 1 e m a 54.

Tab. IV. 73. Si aqua ex tubo vtcunque inaequalltef

Fig- 50« amplo et cuius diredrix eft linea curua quaecun ]uc
per orificium O o efliuat , vt eius quantitas in tubo
continuo minuatur eius motum determinure.

S o 1 u t i o.

Maneant omnia irti in folutione problematis ,
praecedentis nifi quod amphtudo illa conftans ff
iam ipfi orificio Oo tribuatur per quod minc aqua
clapfo tempore zzit eflluat celeritate —'V alter \ero
a^uae terminus haereat in M /» , \bi amphtudo (it

FLVIDORVM LINEARL aSj

rr IX altitiido fupra borizontem M |jl z:: m , et
prefTio zn M qiiae quidem fi aeri pareiu , erit
aequalis prefTioni atmofphaerae k periude ac in ipfo
orificio O 0. A Iocq autem tubi dato A fecundum
eius diredricem fit diftantia A M zn fn et tota
longitudo A O n df tum vero celeritas qua aquae
fuprema fuperficies M /;/ per tubum promouetur
crit zz^i~^, Statuamus nunc pro loco tubi quo-
cunque z, longitudinem Az~s^ amplitudinem
zv — (3i, altitudinem z k zz z et preffionem zz p , ac
principia motus hanc nobis fuppeditant aequationem :
2Spz:z A : t- ngz—Cl^ -^ -tliJH/H.

quam primo ad extremitatem M m tum vero ad
orificium O o transferri oportet , quandoquidem in
Iiis duobus locis prefTio eft data. Pro illa autem.
Mm fit pzzM; zzzm , o)— /x , integralis vero
/iL valor hic fiat zz^ , vnde fit

•^ O 2 H JJI. d t

Pro orificio vero O o fiquidem aqua in aerem effluat,
habetur preflio /> m fe , amplitudo ui —ff , altitudo
vero O 0) fit nulia , quoniam planum liorizontalc
per ipfum orificium O o ducere Ijcet valor autem
fbrmulae integralis /^ ad hunc locum translatus
fiat zz 2( , quippe qui erit conftans ex quo noflra
aequatio fiet

quae ab illa fubtradla rclinquit

N n 3 quani^

iZ€ D E M O T V

quam aeqiiationem, in qua folum tempus t variabile
ineft , integrari oportet , hanc formulam dmzzlU^
in fubfidium vocando . vnde ob d t zz.^/j^ habetur

ig{M.''k)ikdm~ — igm\kdm^\vv\kdm{i'-^ )

^f^vdv^^-^)
vbi efl: !D1 ^fiJH ^ ex quo valore nafcitur quantitas
$( fi iiat m -zz a. Sunt autem |x ct m fundioncS
datae jpfius m , vnde hacc aequatio duas tantum
variabiies m ct v inuoluit , ex qua valorem iplius
V V facilc elicere licet , quo inuento ope fbrmulae
d t ziL ^^ ad qnoduis tempus t cum longituJo
A M :=:: /w «"um celeritas v , qua aqua per orificium
Oo effluit affignari poterit. Deinde vero etiam pro
preflione p in locG quocunque z , habebitur :

quare fi terminus ^^±B elidatur colligitur :
ag(M-/^X5<V'i)+2£(^-p}(^-5j)i)~25;5($(-!!}?}-2gm(^-/^)

Coroll I.

74. Sumamus wibi terminum fixum A iu
ip(b orificio O vt fit a::zo , et vocemus OM:3w,
atque OzzzSy ita vt iam in formulis inuentis hae
duae quantitates m tt s negatiue capi debeant ; tum
vero erit $(~o, et loco !0i ^^ f~~ ^crJbi oportebit
--/—■ et -y ^, vnde pro prefliofle habebimus;

FLVIDORVM LINEARI. aS7

C o r o 1 1. 2.

75. Manentibus autem O M zzz m et O z ^ s,

primum pro . tempore habebitur //^rr — t-tii',

quoniam labente tcmpore t interuallum O M ~ «J
miimitur celeritas autem effluxus v ex hac aequatio-
ne debet definiri

quae commodius ita repraefentatur :

C o r o 1 1 5.

75. Ponatur hic f^vvf — ^u , vt habeatur Mu

_ \y.udm

^ti-jrjr^^-^giM-k-^m^ikdmzzo
f*
quae Tt integrabilis reddatur multiplicari debpt per
e° exillente 0=:-/./^ eritque tum

-^ y-
c''u^^gfe^(M-k-\-'\n)ix.dmzz Confl.

Scho 1 i o n.

77. In hac folutione omnia continentur, quae
Tulgo de effluxu aquae ex \afis cuiuscunque figurae
tradi folent , quae autem eatenus tantum admitti
poflunt , quatenus ea vafa vel funt anguftiilima , vel

motus

i88 D E M O T V

motus per ea ita fiat , vt fingula ftrata ad diredri-
cem normaliter fumta communi motu ferantur, nlfi
enim hnec conditio locum habeat , celeritas effluxus
hic definita a Teritate recedet , etfi faepenumero
discrimen experimentis inftituendis vix percipitur,
Quodfi in formulis inuentis ftatuatur M zz. k , habe-
bitur cafbs , quo fuprema aquae fuperficies eft aper-
ta , et el^luxus fit in aerem , fin autem aqua in
fpatium aere "vacuum effiuerct , fumi deVeret ^nio,
at fi tubi orificium O o aquae ftagnanti effet im-
merfum , littera k preflionem huius aquae in orifi-
cium exprimere deberet. Totum autem negotiuni
femper reducitur ad aequationem differentialem in-
■ventam , ex cuius integratione pro quouis loco Ybi
fuperficies aquac fuprema haeret ceieritas effluxus
cognofcetur , tum -vero formulam dt——^^~- (75)
in fubfidium vocando tempus innctefcet, quo aqua in
tubo ad datum locum M 7n fubfidit; ac deiiique cum
elapfo tempore zz t aqua per orificium Oo, cuius
amplitudo eft :^ff celeriiate zz: v effluat , omnis
aqua quae tempore t efRuxcrit , erit -zzfffvdt
zz^J\kd7n. Quod quo clarius appareat , aliquot
cafus euoluamus.

Exemplum i.

Tab. IV. 78. Si tubi direUrix AO Jtt re&a verticalis ,

Tig- 53- at tubus inltio ad Az fuerit aqua plenus , quae tum

per orifidum O o :z ff effluere inceperit , ad datum

quoduis tetnpus celeritatem effiuxus et prejjionem in qua-

ms JeCiione z v determinare,

Pofito

FLVIDORVM LINEARI. 289

Pofito ergo interuallo OMz=:m et amplitucli-
ne M /// = p., quem in locum aquam ex A « elapfo
tempore :=r. t fubfedifle afliimimus crit etiam altitu-
do O M zz m = w , et preiTio M =: ^. Pofita nunc
celeritate effluxus per orificium ziv^ eam ex aequa-
tione definiri oportet :

quae ^o^ito f^vvf^— zzu abit ia hanc formam

u\}^ dm
du-prjd^-^ ^gl^mdmzio.

Deinde pro preflione in fedione quacunque ,z v fit
Qz^s et amplitudo siv iz 6),' erit quoque altitudd
z^ s, ideoque

Aequatio autem illa differentialis ita integrari debet,
vt fad;a. altitudine OMzzm:zzOAzza celeritas v
euanefcat , tum vero inuenta celeritate v calculus ad
tempus accommodabitur ope huius formulae tzz-ff^ ,

quae pofito m "zz a euanefcere debet. Quod fi dein»
ceps ponatur wizo, tempus totius effluxus inno-
tefcet.

Praeterea vero durante effluxu , quoniam ab

initio celeritas v continuo crefcit , celeritas maxima

vbi dvzzoy ita definitur vt fit v v zz ^—^^ ,

ideoque v zz 2±XA^^, Cum ergo fit v > 2 Vg w,

Tom.XV.Nou.Comm, Oo ceieri-

2po D E M 0 t -V

celeritas rhaxima rnaior erit ea , qilam graue dela-
bens ex akitudine m acquirit.

Corol]. !•

Ta!). IV. 79. Si vas "vbique fit aeque amplum feu

Fig. 54- ^ =z 0) =r ^ i: , cuius fundum O C foramine Oozzff
eft pertufum , habebimus :

dU-^'^^, ""^^-{-^gccm dm — o.

Sitj^.zzX, erit ^""^«+^^7«"— ^~C hmtque

uznC m^ H- lii^ m m zi:-^l^l^

ct conflante rite definita ' \'

. ^"^g m m^~^

feu V ziiV -7— — (i — -)7izi), vnde colligitur preflio

X — I m^~"'

p^k -]- •r-^im — s) (i^--,^^) pro kdiane zv

ad ahitudinem Oz — s^ denique pro tempore erit

dmVO^—^.)
tzz—f-—} ; ^nxTimx celeritas autem ma-

xima fit -i£l:^^^in ^-^^^«J? , quae conuenft' altitu-

dmi w? hmc definiendae . zz i — -x— ^ , it^-v^t

A — I a

fit «/zr

X-z

Coroll.

FLVIDORVM LINEARL ^91

Coroll. 2.

80. Cafus quo X=:2 feu /=2/ fmgula-
rem poQuIat euolutionem ; quia aequatio a u

m

a

^gccmdm — o integrata dat u :::z j^gccmm l

d m
^ic^^ hinc ^-V^gmll et ^-^-/y:)^^^'

pro prefTione vero p^zzk-^-^m -^ s)l'^,

C o r o 1 1. 5.

81. Sit tubus conus ad orificium ^truncatus ,
ct \k zn [f -^- OL m)\ atque 03 =z ( /" 4- a x)% hinc fit
f^dm ^ j_ 1 — — _3 , fimilique modo

J -^ a/ a(/-HaTn) /(/H_am)' *

/:<lir: — - — r. Pro motu eri:o habetur :

^U''''~{i-^''—f ^^gmdmif-\-cjLm)^:izo

vnde inuento « erit f^ 'vvzz. •^^^"^" ""■•".

C o r o 1 1 4.

82. Expandatur tubus fuperne in infinitum
fecundum hanc aequationem 03 w = t^s •> ^^^ ^^ ^^^'
tio fuprema fuperficies A a fuerit infinita ^ eaque
etiamnunc nihil fubfederit , vt fit elapfo tempore t
altitudo m- a et \k ^zz -^— - ^. Quam ob cau-
fam aequatio differentialis ftatim praebet vvzz^^gt/t
-4gfl;, ita vt aqua conflanter eadem celeritate ef-
fluat. Quia autem hic motus effluxus efl vnifor-
mis ob ^ - o prefTio ad s 1; ex aequatione primum
inuenta ita definitur :

O O 2 2g

^^^ D E M O T V

vbique fcilicet preflio aequaiis erit preffioni atmo-

fphaerae feii latera tubi cxtrinfcciis aequaliter prefla

nullam vim fuftinent , iisque adeo remotis fluxus
perinde fieret.

Exemplum 2.

Tab. IV. S3. Sit fuperior tuhi pars AaBb verticalis et

F^g- 55- aequaliter ampla inferior ^^ero pars B b O o fvtcunque

curua et inaequaliter ampla , dejinire aquae ex eo ef-

jiuentis motum , quamdiu fuprema aquae fuperficies M m

%n parte fuperiori verfatur.

Sit amplitudo partis fuperiorls ^mzz\y.^cc ^
longitudo tubi inferioris ^zO — a., altitudo BC-^
et BMzzA^; erit er^o m^a-^x:^ et m^b-^X'^
Tum fumta longitudine O z zz s ^ cui refpondeat am-
plitudo 5; 'y rr cj et altitudo V z — z , fit valor in-
tegralis /— per totam partem inferiorem extenfi

zz: B quandoquidem hic valor erit conflans ; tum
igitur idem integra^e ad fuperficiem fupremam M;«
extenfum erit i=: B + 3^^ =/^ : vnde hanc habe-
bimus aequationem ob M zz; ^ :

2.gcc{b^rX)dx—\cc'Vvdx[i-^-^)-f*<vdv{'&-\-^^)
quae pofito fw^^-^-^) :=^ u abit in hanc :

Ponatur j^ ::z: X et multipiicando per {B c c + x)"^
erit inte^rale ;

vvzz

FLVIDORVM LINEARI. 293

Si iam dcrcenfum ex Aa incepifTe affumamiis

ci^iAente

AB— ^, net CzZ} — r-7 — r;. — 7^ ^;v -^

ideoque

''^— (1-XK2-X) \BclTJ

4Xg((2-X)^-Bf<7^(i~X)^)

(7^x)(2-x)

4X^((2— X)^— Brt^/^/^Br^+.rV-' 1.
vel ^^= (x-X)(2-X)-lU77HrJ - 0

^ 73-x(s.<B7r47>) -V

f ^ ^^^gfBr^+^X-^)^)/- /-Brr-j-.vY'" '\

hX^/* /"Bf^J-^irN^-^x

'— 2V v.B6'^+7y y'

4

X

Ac fi tempore =: t aqua ab A a ad M /« rubfederft
erit dtzzi:=^^: cum autem aqua maxima celeri-
tate effluit fiet

quod ergo euenit vbi erit
X^ZZ—JoCC-i-

(Bff-i-(X-2)^ + (X-i]^)><-=''

Oo 3 Deni-

294 I) E M O T \r iq[

Denique pro preflione p qua tubi pars inferlor ia
fedione z v vrgetur , aequatio fupra inuenta hanc
induet fbrmam ;

vnde fit

ccib-Vx-^:!^J^)f^ vv f ,

^ Bcc-^-x 4g w w'

Cafus hic imprimis notari raeretur quo ^^^ eft
numerus \alde magnus , quo cafu ex aequatione
differentiali

^\g{b -{- x) d x^zz^^^' i)vv dx - 2 (B c c ^ x)v dv

ftatim colligitur vvzz^g{b-\-x) ^ fcilicet quia orifi-
cium O 0 eft minimum , quafi a primo ftatim ini-
tio celeritas fit maxima , et prefTio in fedione z v
prodit

ct quia vltimum terminum per X diuifum omitterc
licet erit pzzk - z + {b ^ x) {i - ^J,

C o r o 1 1. I.

84. Cafus ifte quo X — p- eft numerus valde
inagnus imprimis notari meretur , quia experimenta
facillime ad eum accommodantur ^ qiiibus etiam
euincitur celeritatem effluxus vix discrepare a valo-
re inuento.

Coroli.

FLVIDORVM LINEARI. 495

C O r O 1 1. 2.

85. Circa prefliones autem in tubi parte in-
feriori BO, hoc cafu potiflimum obferuari conue-
nit , eas non folum yltra k diminui , fed etiam ne^
gatiuas fieri poffe. Si enim fedio z v z=z (ti aequa-
lis fit orificio ff, erit p zizk — z zz k — z?y at (i
haec fedio minor eft foramine ff preiHo multo ma-
§is diminuitur.

C o r o 1 1. .3.

S6. Quando autem prefllo p reuera fit nega-
tiua fluidi continuitas tollitur , et quia latera tubi
defcrendo fe in ardius fpatium contrahit , neque
amplius legem ftabilitam fequitur. Quamdiu autem
preflio eft pofitiua quidem fed minor quam k, tum
quia prefllo externa fuperat internam fi tubus ibi
foraminulo perforetur , aer aliudue fiuidum extra
pofitum intrudetur , ita \t tubus ibi vi attradricc
pracditus videatur.

Scholion i.

89. Huc fcre redeunt quae de efHuxu aquae
ex tubis vel vafis cuiuscunque formae tradi folent ,
quae quia iam copiofe ac diligenter funt pertradata,
h'C fufius euohiere nolo : idque adeo ob hanc potis-
fimum rationem , quod in plerisque cafibus , ad quos
haec Theoria applicari folet , calcuhis non mediocri-
ter a veritate aberrare deprehendatur. Statim enim
ac vas , vti fig. $4. notabilem prae foramine O 0

habet

2p6 D E M O T V

habet amplitudinem manifeftum eft tota ftrata zv
non aequaliter fubfidere , fed partes foramini immi-
nentcs magis ad dcfcenflim impeU';. Tum vero vbi
tubus fubito in foramen coardlatur , ibi certe neuti-
quam aquae motus ita eft comparatus , vti in hac
fecflione affumimus. Tantopere potius verus motus
ab hac hypothefi discrepabit vt mirandum fit expe-
rimenta non multo magis a calculo discrepare. In-
terim tamen diffenfus infignis fe prodit, quando fun-
dus vafis O C tenuiflimo foramine O o eft pertu-
fus , quo cafu in •vena effluente ingens contracflio
animaduertitur inde oriunda quod aqua a lateribus
erumpens oblique efHuit ; quo fit vt per foramen
minor aquae copia quam pro eius amplitudine eii-
ciatur. Cui incommodo ii , qui experimenta calculo
confentanea reddere volunt ita medentur , vt fora-
mini tubulum cylindricum inferere (bleant , vt hoc
modo Qbliquitas motus euitciur.

Scholion. 2.

88. Cafus quo Xrnp eft numerus vchementer
magnus euolutionem fingularem poftulat , qua di-
lucide exphcetur , quomodo aqua , dum eius motus
a quiete incipit fubito maximam celeritatem adipifca-

/^Bcc + x^^"
tur. Hunc in finem formula ( ^-^~ J rite euolui

oportet , vt motum ab initio genitum exhibeat.
Statim ergo ac motus incipit altitudo x fit minor
quam e , ponamus igitur ||^;J~ =:: i - j^, vt fit

xzize

FLVIDORVM LINEARI. 297

^ — ^ — 5L^^i_i±l) ac denotante g numernm , cuius
logarithmus hyperbolicus efl: vnitas , erit proxime

Ci — r — ) ire"~^. Habebimus ereo :

^^_i2^piM)(i--.£--J') + iA£(a^---^£~3') feu
vv=^gb{ I - e~"-^]+4^(.v-^ e-^)-4g(^+x)-4 g(b-[-e)e-^

vnde patet ia ipfo initio , Ybi a: == ^ et j/ = o , ob
s'~^ ~ 1 reuera fieri v~o, ftatim autem , atque
aqua fubfederit per interuallum minimum y^SldrJl ^
quoniam y valorem notabilem fortitur , quantitatem
e~~y euanefcere , ideoque iieri vv — ^g(b-^x),
Deinde vero ex aequatione pro tempore ^r-":^^^,
quoniam in valore ipfius 1; v loco x fcribere licet
e, vt fit vv—^g{b + e){i—e~^) erit

_ -dxVX ^ dy{Bcc + e)

^^ -~ 'iWgCb +7y("I-8-^) ^ 2yAg(^ + ^)(i-e--^) '

vnde colligitur integrando

'— 2 V Xg(^4-<?) ^ 1- >^ (i -s"-^)*
Simul igitur atque e~^ fit fradio quam minima , ob

I+V(l-£-^) ;,.,;, ^ ;

^ TTy ("^-^^ == ^(4 «^-i)=: /4 6^=3^^4-/4 erit

^cc-\-e ^ ^cc-ye /"K{e-x) N

^-ii.VKg{b + ey'^^'^^^:Ly-Kg{b-]re}<^cc-+e'^^''J'

Tom.XV.Nou.Comm. Pp Cuni

2p$ ID E IVi O T V

Cum porro celeritas euadat maxima vbi

cueniet hoc vbijm/X, idcoqne poftquam ab initio
effluxerit tempus t :z'J^^^li^, , quod cum L^
euanefcat fi "Kzz^ , erit quam minimum ita \t
aqua primo quafi inflanti maximam celcritatem
adipifcatur. Interim hinc intelligitur quo longior
fimulque anguftior fuerit tubi pars inferior B O eo
tardius ad celeritatem maximam peruentum iri.

S c h o 1 i o n. 3.

8p. Euoluto cafu quo X— j^ eft quafi numerus
infinitus , etiam is quo X cfl numerus mediocriter
magnus accuratiori euolutione dignus videtur. Cum
igitur inuenerimus :

i V"~^ :=B^v+(X- 2)^+(X- i)^'

ponamiis n ante |£^-.-,-Z_, vt dt y^^^f i
et quia totum negotium ad commodam euolutionem

fl'»rmuhie (^"^rzrj reduciiur pofita ea zz: Y fit

/Yz:i:(X-i)/{i- ^), ac quia femper eft j
< X - I , ob ^—4-^ erit

■ ' A-i — B cc-f-e

'^~- / a(^~o MX-o» 40;-))» v^''^-

quac

FLVIDORVM LINEARI. 199

quae feries vtique valde conuergit. Hinc ergo iu-

vento valore Y erit :

(Xziil^^^r (B^^-i-(X- 2)^4-(X - i>Xi - YHBrr+f)y

vbl eft^z:(X-2)('-Y^"") et xi:(Bt'f+^)Y^-Br^

Cum iam celeritas maxima fit :

fX-ofx^.).;., z= ( X - 2 ) C ^ + A' ) , hic locus definitur

hac aequatione

X— 2

Y X — I B cc-^e_

•BccH-(X— 2;6-|-(X — i)e

et pofito

Bcc-4,(x~o&-4-(X-o_g^p fit Y^"'— F ^-^-gX^

Bcc-4-e ' "~ ■"

vnde celeritas erit maxiiria vbi

Cum nunc porro fit

^Aziii^p^ — (B^<r-4-^)(E(i - Y)-y)
erit pro tempore

dtzz -^^^"^'^_-Y^-VYV(X-2)(B.v+^)

2y(X-i)g(E(i-YHX-i)(i-Y^^)
ct fido Y — ti''""^ fit

-^«V(X-i)(X-2)(Brr-|-f)

dtzz

2yg(E-X+ I 4-(X- i)«-E?<'^"-')

P p 2 Verum

300 D E M O T V

Veriim cakulus commodius inftituetur folam quan-
titatcm y retinendo ei poneado :

vnde folutio §. praeced. propius ad veritatem pcr-
ducetur , dum etiam tcrmini per X diuiri intro-
ducuntur. Sed quia haec raere funt analytica , ea
hic vberius non petrado.

P r o b 1 e ma 55.

Tab. V. 90. Si tubus , dum aqua per oriflcium O o

Fig. 56. effluit in altcro termino A a continuo nouum aquae

fupplementum accipiat vt perpetuo ad A ^ vsque

plenus confcruetur , ibique aqua a vi quacunque

iugiter protrudatur , eius motum definire.

Solutio.

Pofita amplitudine orificii O o zn ff fit v
celeritas , qua iam elapfo tempore zn?, aqua ibi
effluit in alio vero loco quocunque z, cuius diftantia
ab initio A fit A^ — x , tubique amplitudo zv — (j},
et altitudo fuper plano horizontaH fixo 2; tt iz s ,
fiquidem curuae a tt o) applicatae fingulorum tubi
pundorum ahitudines fuper eodem plano exhibere
aflfumuntur. His pofitis fi in fedione zv fiatuatur
preflio zz p , principiia motus hanc fuppcditant ae-
quat onem :

Sit

FLVIDORVM LINEARI. 301

Sit nutic preffio in A fl == L amplirudo kazzcc et
altitudo A ct =:: a , et quia hic x 1= o , fimulque in-
tegrale /^ euanefcit , ob ])z=L, s:z:a, et u— ^r,

erlt :

25L-A:;^2ga-^-^

Deinde pro orificio 0(? , fit ibi preflio =r fc, pondus
atmofphaerae referens , et valor integralis j~^ per
totum tubum AO extenfi fiat ziO, alcitudo vero OcozOw
Qiiocirca ob p — k, zzzo et (on^ habebitur ;

Nunc haec aequatio ab illa fubtrada relinquit

2^(L-^)zz2g(o-a)+la;^(i-^^)4-^-^. D feu

^^^L-^+a-o^^^-^y^^^Ci-^^j^^O/^i?

vnde cum a, 0 et O fmt quantitates conftantes ,
preflio vero L fundionem temporis denotare polTit ,
fiquidem ea cum tempore varietur , celeritns v ad
quoduis tempus definiri deber. Pofita autem pres-
fione L conftante huiusmodi aequatio erit refol-
■yenda :

dt —

— \ d V

B ztCvv '

exiftente
Azz2Df', B=r4g(L-fe + a-o) ct iCzr^^-i;
tres ergo cafus funt euoluendi.

I. Si cczzff feu amplitudo A a orificio O 0 =jf
aequalis , erit Cno et tzz:^ feu ^y ::i: ^ r 4- Conlt.
-\nde fi B > o celeritas continuo crefcere poffet.

Pp 3 JI-

302 D E M O T V

II. Si cc^fffcu amplitudo Xa orificiiim Oo

fuperet , pofito C:=zi-^~ aequatio ^^ = 3:^^:5
integrata dat ^ - _A__ / v|^-X^ ^. Conft. quae cou'-
(lans , fi motus a quiete inceperit euanefcit ; hocquc
cafu celeritas quidem crefcit , fed elapfo etiam tem-
porc infinito non \ltra v zn'— augetur.

III. Si cc<^ff (q\i amplitudo Aa minor fit ori-
ficio O 0, pofito C zz^^ - I, aequatio d t = ^^^-^

integrata dat :

t = ^, Ang. tang. --^, fcu c; = f= tang. '-^ ,

tbi hoc mcmoratu dignum euenit , Yt elapfo tem-
pore t zz: -T~.'^ celcritas iam infinita euadat.

Inuenta celeritate efHuxus v ad quoduis tem-
pus ?, in quouis loco medio zv preflTio p ita ex-
primitur :

quae elifa formula difFerentiali ^^ praebet :

^4g(L-^-i-^-o)/li

ficquc omnia quae ad motum pertinent funt deter-
minata.

Coroll. I.

pi. Si motus ad vniformitatem perucnerit ,
ita Yt iam aqua conflanter eadem cekritate per ori-

ficium

FLVIDORVM LINEARI. ' 30^

ficium O 0 expellatur , ob d v zno habebitur haec
aequatio :

4g(L-^4-a-o)zri;i;(T-^)

vnde fi amplitudo in A ^ aequalis fit orificio O 0
vti in capite praecedente preffio in A a debet effe
L n: fc 4- 0 — a , neque hinc celeritas v ipfa deter-
minatur.

C o r o 1 1. 2.

92. At fi amplitudo A azzc c maior fuerit
quam orificium Ooz:zff, pro motus vniformitate
celeritas effluxus v ita definitur vt fit :

Hoc ergo cafu necefle eft vt fit L ^ ^ -h 0 — a ,
atque ex hoc exceffu celeritas effluxus determinatur.

C o r o 1 1. 3.

93. Sin autem amplitudo Aazzicc minor fit
orificio Ooz=^ffy motus vniformitas lianc pracbet
aequationcm

(nin— 4gcMfe-4-o — c — L .
^ ^ — /+ _ c+

vnde patet motum aequabilem obtineri non pofle
nifi fit L <i k-\~ 0 — a; atque cx hoc defcdu cele-
ritas effluxus determinatur.

Scholion I.

94.. Omnia haec certe funt maxime paradoxa,
eum ex eadem prefifione L, qua aqua in fedione

Aa

304 D E M O T V

A a vrgetur , celeritas quantiimuis magna oriri pofle

fit inuenta ; atque hoc imprimis videbitur abfur-

dum , quod 'n\ cafu tertio a vi finita L tempore

finito aquae celeritas adeo infinita imprimi polTit.

Haec auteni abfurditas (latim euanefcet, fi modo hy-

pothefin , cui totum probiema innititur , attcntius

perpendamus ^ affiimimus enim dura aqua per fedio-

nem Aa propellitur , continuo aliunde nouam

aquae copiam eadem celeritate eo infiuere , neque

hic curamus , vnde haec aqua aducniat , et a qua-

nam vi ipfi hic motus inducatur ; longe diuerfa fci-

licet haec vis.i efl: a \i L quae nihil aHud agit ,

nifi vt aquam iam illa celeritate intrulam \lterius

per tubum propcllat. Dumergo hnec vis L valeat

aquae per A a ini^refHie motum accelcrare celeritas

effluxus increfcet , ideoque per hypothefin aqua no-

va etiam continuo maiori celeritate ab illa vi pere-

grina ingeri afTumitur, Quando igitUr calculus

dflendit , celeritatcm mox fieri adeo infinitam , hic

cfFecflus minime vi noftrae finitae L, aquam per tu-

bum propcllenti , fed manifcfto vi illi peregrinae ,

quae hoc cafu vtique fit infinita tribui debet ^ quip-

pe quae aquam nouam ccleritate infinita in tubum

compellit. Atque cidem caufie efl etiam illud pa-

radoxon adfcribendum quod celeritas ef^uxus ipfa in

problemate non determinetur ,* quo celerius enim et

copiofius aqua noua a vi illa peregrina , quaecunque

ea fit, fubminiflratur, eo celerius etiam eadem pres-

fio L in k a eam per tubum propeikrc valcbit ;

quoniam igitur illius vi$ peregrinae nulla ratio in

nofiro

FLVIDORVM LINEARI. 30S

noftro calculo habetur , mirum non efl: , quod caU
cuius tam inunania paradoxa in fe implicet , quae
autem re bene expenia fponte diluuntur.

S c h o lio n 2.

95. Introduclio autem eiusmodi potentiae L,
quae iugiter pari vi premat fiue aqua per tubum
cekrius promoutatur fiue tardius, a natiira viriiim ,
quae au auuam propellendam vfurpantur , maxime
abliorret , cum omnes iftae vires ita fnu.compara-
tae , vt quo celerius iam aqua per tubum promo-
vetur , eo magis debilitcntur. Qiiamobrem fi hoc
problema ad cafus reales , quibus aqua ad certam
altitudinem eleuari debet , accommodare velimus ,
naturam earum virium , quibus ad hunc finem eft
vtendum , probe confiderari oportet. Qiiam indolem
cum iam in praecedente capite dilucide expofuerim
jnde ad praefens inftitutum id tantum repeto , ad
opus peragendum adhiberi certam vim F quae certa
velocitate e agat , ita vt iam tota quaeftio eo re-
deat •, quomodo machinam inflrui conueniat , vt ab
ifta vi hac celeritate agente aqua vniformiter per
tubum propelii pofllt.

Problema $5.

9(5". Si aqua pcr tubum vtcunque inaequaliter Tab. IV.
nmphim Ka O o ad altitudinem datam O o) — ^ Fig. 49.
motu vniformi eleuari debeat a data vi n: F, quae
data celeritate ~ e operetur , machinam inuenire
. , Tom.XV.NouComm, Qq cuius

3o5 D E M O T V

cuiiis ope hic efFedus obtineri queat , fimulque co-
piam aquae dato teinpore eleuandae definire.

S o l u t i o.

Quia omnis machinae indoles in hoc confiftit ,
vt \im qua agitatur , in alium locum transferat ,
eamque fimul in data ratione vel augeat yel mi-
nuat , ponamus machinam quaefitam id praeftare ,
vt "vis aquam per orificium inferius A a propellens
fiat z=«F^ atque ex natura machinarum ifla vis
hic aget celeritate =i^, ita Yt machinae conflrudio
a folo numero n pendeat , quem ergo definiri opor-
tet. Nunc praecedens problema in fubfidium vo-
cando , quia amphtudo A a pofita efl -zz c c in
quam vis « F agit , preflio ibi excrta erit — — ,
quae cum preflione atmofphaerae k adiuuetur, habe-
bimus prefTionem ibi pofitam L rrJJ^ + )t^ atque
aqua per orificium inferius A a propelletur celeri-
tate z= ^. Qiiare cum fuperioris orificii O o am-
plitudo fit pofita —ffi aqua ibi expelletur ccleritate
111^% ita vt fit vzz''^', et d v zz o. Nunc

porro ahitudo orificii O o ante pofita n o hic . efl:
O oj :=: flf, inferioris vero A a nulla feu a zi o , ex
quo aequatio pro motu ibi inuenta induet hanc for-
inam :

4g (!Ll - ^) - c^ (i _/!) - 0 feu

Tnde

FLVIDORVM LINEARL 307

vnde niimerum n ideoque machinam definire licet.
Tum autem necefle eft vt aqua aliunde iugiter ce-
leritate ~ ~ in orificium A a adueliatur ; fingulis-i
que minutis fecundii» aquae aduedlae yolumen fit
— i£J ^ tantum autem fingulis minutis fecundis per
orificium fuperius Oo exonerabitur.

Deinde fi in loco tubi quouis z ponatur am-
plitudo ^ 1; :r w , altitudo sttzz-ct, et loiigitudo
A x: =: Xj.prefOo vero ibidem zi^, crit ex proble-
inate praecedente :

vnde fi per praecedentem aequationem ~l elimi-
nemus fit

C o r o 1 ], I.

P7. Si ambo orificia A ^ et O 0 funt aequa-
lia , feu c c =:ff fit — - a rr o , ideoque n-=z^^ ^
pro machinae inftrudtione tum fingulis m nutis (c-
cundis eiicitur aquae volumen — — ; tanta vero co-

pia interea continuo celeritate iz — in orificium
A a fuppeditari debet ^ ad quod pecuhari opus eft
vi 5 ad quam hic non reipicimus.

C o r o 1 1. 2.

68. Si fit c c >/, ideoque ^l - i > 0 , fit
r^c ^ r ' hinc aquae voiumen vno minuto fecundo

(iq a eie(fluni

30S D E M O T V

eiedlum erit <^ 5_f ac tantumdem aquac in orlficlum
A a aduehi debet celeritate minore quam |^ , ad
quod minori yi peculiari opus eft quam cafti prae-
cedente.

C or ol 1. 5.

99. Sin autem orificium fuperius ^ minus fit
quam inferius cc^ projit iL <^ |- , et volumen aquae
vno minuto fecundo eiecftae fit > ^ , ita vt hoc
modo plus aquae eleuetur quam cafu primo ff—cc^
verum etiam tanto plus aquae a vi illa peregrina
in orificium Afl, idque maiori celentate quam ^-^^
aduehi debct.

S c h o 1 i o n.

100. Mirum igitur non debet Tideri , quod
ab eadem vi machinam mouente modo maior modo
minor aquae copia ad eandem altitudinem eleuetur ,
prout fuperius orificium O 0 fuerit maius yel minus
inferiore A a. Si enim integrum efFedum perpen-
dere velimus , etiam integra caula eft fpedanda ,
quae habetur , fi ad eam ^im , qua machinam agi-
tari affumimus , infuper adiungatur illa vis , quae
ad aquam continuo in orificium A a ingerendam
fequiritur , hac autem ambae vires iundlim fumtae
eo cafu quo minor aquae copia eleuatur vtique mi-
norem praebent fummam quam altero cafu , quo
maior copia eleuatur , ita vt hic nihil occurrat ,
quod aequalitati inter caufam et effedum aduerfetur.

quo-

FLVIDORVM LINEARI. 309

Quoniam vero in praxi eadem vis qua aqua per
tubum propellitur , etiam aquam continuo in tubum
fuppeditare debet , quatenus hic duplex efFed;us ab
eadem caufa pro:lucitur , in vfum prndicum accura-
tius eft inueftigandum. Cum igitur aiuliarum ope
aqua tam in tubum attrahi , quam per eum pro-
pelli foleat , huic inuelligationi , quae in praxi am-
pliflimum habet vfum , caput peculiare deftinamus.

CAPVT IV.

DE

ELEVATIONE AQ^VAE ANT-
LIARVM OPE.

Problema 57.

loi. Si tubus cylindricus B^C^ inferius ad Tab. r.
A a vehementer ampliatus aquae ftagnanti E e fit ^*S- 57.
immerfus , in eoque embolus P O o data vi furftim
trahatur , vt ob prefti;)nem atmofphaerae aqua con-
tinuo fuccedat , hunc aquae motum afcenfus definire.

S o 1 u t i o.

Elapfo tempore t emboUis cum aqua iam
eleuatus fit ad altitudinem C O — :r^ fitque ampli-
tudo tubi Oo—ff^ et celeritas tam emboli quam
aquae afcendentis — v, Vis autem embolum furlum

Q.q 3 toUens

310 D E M O T V

tollens fit :^ffti^ et cum embolus ab ntmorphnera
deprimatur preirione zzk, foret preflio in Oo~k-u
fi nulliis adeffet motus , cnm autem motus muta-
tionem afFerat , ponatur ea — tt, donec ex fequen-
tibus determinetur. Seclio porro A a ampiiflima
ponatur zzce, eiusque profunditas infra fuperficiem
aqua C oc — a, eritque preillo in A a — k -}- a,
His pofitis folntio problematis 55. huc accommoda-
bitur , fi ponamus L — k ~{- a , n=z — a, 0:=^,
et quia cc eft valdc magnum loco O—f— habe-

bimus —, quod autem ibi erat k hic nobis eft t: ;

vnde fit L-k~^-(i-ozzk-7:-x\ Sicque hanc
adipifcimur aequationem :

^g^k-m-x^dt-wdi—^ xdv
cleuatio autem elementaris dat d t :iz ^-^ ^ eritquc

tLXvdv^fVvdx=z^g(k-7i-x)dx
et integrando

fvvxzz^gfik — it—x^dx

hinc ergo fict

mvxzz^gikx — l xx-^firdx)

ct nunc tantum refiat vt prefilonem adhuc incogni-
tam 77 inuefligemus j cuius valorem ex motu en boli
repeti oportet. Ponamns ergo totius emboli maflam
aequari maflae nqueae cuius volumen efl — ^^ >
quo fimul cius pondus exprimitur , et quia fn(ftio
emboli maxime motui obflat , ponatur ca rz ^ffh.
lam ob prcflionem inter embolum et aquam zz m

ab

FLVIDORVM LINEARI. 311

ab ea embolus ftirrum vrgetur vi motrice zr tt^,
cui addatur vis adu furfum tolleus ffu-^ a fumma
yero fubtrahatur prefTio atmofphaerae ffk^ ita \t vis
furfum pellens fit =^'(71 + 2^ -^) a qua porro aufcrri
debet refiftentia tam a pondere emboli quam a fridio-
ne nata , quae eft —[i-^^^ffh vndc ob maflam
mouendam ^ffh vis acceleratrix prodit zi^^^^tiiz^^iiii?.

Qiiia nunc celeritas emboli furfum diredla efl: v ,
qua tempufculo dt per fpatioUim dx eleuatur erit
acceleratio zz.^^zi:'^-—-^ vnde nafcitur haec aequatio
^~^('rr + z^-/:-(i+^)/^), quae in a. h d x duda
et integrata praebet

hvv:iz^g(^fi:dx^fudX'-'kX''[i'^^)hx)
ante vero inuenimus

xvvzz.<^g(kx—lxx—fi:dx)'^

quarum aequationum additionc formula incognita
fndx ehditur , oriturque

{h-^-x^fWzz^gifudx—^i -^-S^hx—lxx)

qua aequatione celeritas in quauis altitudine CQrz^
determinatur. Sin autem ex iUis duabus aequationi-
bus vv eliminemus, peruenimus ad hanc aequationem:

{p-^-x^Jndx-kih-^x^x-^-xfudx—i^^-^-^^hxxziLO feu
{r.-\-^)hxx xfudx

quae difFerentiata monftrat preflionem illam incogni*
tam

312 D E M 0 T V

(^-[-^^hl^bx-hxx) hfudx u x
'^-^'^ (b^^xf "" (b + xf " b+x

quam ideo tantum nofle oportet , vt quando ea fit
negatiua agnofcamus aquam non amplius embolum
fequi fed inter eum et aquam fpatium vacuum re-
linqui , continuitate , cui calculus innititur, e mcdio
fublata.

C o r o 1 1. I.

102. Cum igitur inuenerimus cfle:
^g{fudx — {i -{-^^hx-lxx)

b ^ X

nifi hacc quantltas fit pofitiua , nuUus motus pro-
ducetur; iam igitur primo motus initio vbi :r :=: o
efle debet «Xi-|-^)^. Poft motum vero crefcente
X continuo maiori opus efl: vi.

Co r O 11 I.

103. Si vis attollens u flt conftans , fiet :

^gx(u-(i^S)b-'^x)
b-\- X

Ynde patet celeritatem 1; quae ab initio creuerat ,
iterum decrefcere et tandem euanefcere cum eualerit
xzi:2u — 2(i--\-$)h tum autem prodit prefllo

hh

^ ' 4{«— (5 + 0)'^)

quae dum ne fit negatiua , aqua co vsque embolum
fequetur.

CorolL

FLVIDORVM LINEARI. 3^3

C O r O 1 1 3.

104. Vt igitur cognofcamus , ad quantaai
altitudinem aquam eleuare liceat , faciamus illam
preflionem euanefcentem ct pofito breuitatis gratia
u—i^+^^h — r erit :

^kr — ^rr+hb-zzo hincque rz^^lk-^-lVibb — kk) et

u—(J,+§)bi-'^k-\-',y{hb+kk)

Atque ab hac vi aqua attolletur ad altitudinem

xi^k-^-Vihb-i-kk^-h

vnde patet quo minor fit emboli mafla, eo maiorem
fore hanc altitudinem , quae adeo vi^que ad 2 ^ in-
crefcere poflet fl eflfet h zz o. Ad hoc autvra tridio-
nem nihil conferre , notari meretur.

Scholion I.

105. Tubo BbCc ideo infra partem am*

pliatam CcAa anneximus ne opus eflet aquae in

tubum intranti fubito celeritatem finitam tribuere

cum ante quieuiflet, cum autem eius ratio prorfiis

ex calculo exceflerit, intelligimus aquae eleuationem

eandem fore , etiamfi tubus totus cylindricus ad-

hibeanir, eiusque inferius orificium C^ aquae ftagnanti

immergatur. • Neque vero putandum eft tum a-

quam per Cc intrantem fubito celeritatem finitam

accipere, fed potius in aqua externa circa orificium

C c eiusmodi motus generabitur quafl talis pars

amplata CcAa eflet annexa. Deinde impri-

mis necefle erat cum motus generatione etiam

emboli motum coniungere eiusque tam inertiae quam

Tom.XV.Nou.Comm. Rr fridtio*

314 D E M O T V

fridionis rationem liabere quoniann in his obftaculis
fuperandis notabilis virium follicitantium pars in-
fumitur, quod potiifimum in ipfo motus initio maxi-
mum affert momentum. Si enim quod fiori nequit
emboli tam inertia quam fridio euanefceret , vt vis
attollens cum nulla plane malfa mouenda eflet con-

luncta ob h — o ^ foret w rz ,

ideoque fi vis u effet finita pofito x — o ftatim'
ab initio celeritas adeo orietur infinita in aqua , mox
^uidem imminuenda verum hoc calculi incommo-
dum etiam nunquam in munda locum habere poteft
^uia nullae dantur vires quae non propriam quaa-
dam maffam mouendam fibi habeant adiundam.

S c h o 1 i o n 2.

106, Huiusmodi cylindrus embolo infirudus
antlia vocatur , cuius ope dum embolus furfum at-
tollitur, orificio inferiori Qc aquae ftagnanti immerfo
aqua fimul in .cylindrum eleuatur , vel potius a
preflione atmofphaerae intruditur. Etfi enim ia
formula pro celeritate v inuenta prefilo atmofphaerae
h non reperitur , in ea tamen conditione manifefio
inuoluitur , quod aqua embolum in tubo afcenden-
tem non fequatur , nifi prefiTio tt inter embolum et
aquam fit pofitiua, fi enim atmofphaerae preffio k effet
nulla , fiatim ab initio pofito x~o^ foret prcffio
TT nulla , neque propterea aqua embolum fequeretur
fimulque totus ealculus pro fequenti motu fublata
-d .mrnoJ.no/i.VX,m«/Coa-

t!k

FLVIDORVM LINEARI, 315

contlnnltate per fc corrueret. Ex quo patet folam
atmofphaerae preflionem k in caufa efle cur aqua in
his antliis eleuetur. Hic autem contra vulgarem
opinionem calculus nofter declarat fieri polle , vt
aqua longe vltra altitudinem k , quae 32 pedum
aefliiTiatur , atque adeo fere duplo maiorem eleuetur
fi modo inertia emboli b fatis fit parua et vis ele-
vans fatis mngna. Ex coroll. 3 autem ad lioc ne-
celTe efl: vt flt vis embolum attollens

u — il-^^^h-hlk^lVibb^kk)

quo aqua ad altitudinem k-\-V(bh + kk)—b ele-
vari queat , tum vero in quauis altitudine minore
X pro motus celeritate v erit

Zj -f- X ' ■

quae celeritas fit maxima vbi

xzzi-b+Vibk + bVibb^kk))
ipfaque , celeritas maxima erit

— {V{bk-\-bV{bb']-'kk))'-'b)V'-f.

Si exempli gratia eflet b^lk, aqua ad altitudinem
rzil/J: eleuari poflTet a vi «:=:|/^-f-J^^, et maxima
celeritas fbret rzr '""^^ 'V 2 g k , qua vno minuto
lecundo fpatium 19I pedum percurritur.

Sc ho 1 ion 3.

107. In vfu autem huiusmodi antliarum quo Tab. V.
aqua , pol^uam modo expofito in cylindrum fuerit Fig. 58.
eleuata , depreffione emboli ad altitudinem multo

R r 2 maio-

^16 D E M O T V

maiorem propelli folet , plerumque altitudo antliae

fatis parua c(fe folet , ita vt iile cafus tantae altitu-

dinis neutiquam locum habcat , nequ© multo minus

fit vcrendum , vt aqua embolum fequatur. Tales

antliae in fedione C c diaphragma hnbent foramine

pertufum quod valuula m ita operitur , vt dum

embolus aquam attrahit , valuula haec aperiatur ,

aquae inferiori viam afcendendi patefaciens. Tum

vero plerumquc haec fedio C c non in fuperficie

aquae ftagnantis Ee fed ad quandam altitudinem AC

fupra cam ftatuitur , prout circumftantiae exigere

videntur , ita vt inferior haec tubi pars C A femper

aqua maneat plena indcque in fuperiorem cauitatem

fit haurienda. Ob Jiunc autem tubum anncxum ,

fi eius ahitudinem fuper aqua ftagnante ponamus

ACzza. manente in fuperiori fpatio COzzx, prae-

cedens determinatio aliquam mutationem poftulat ,

4-gi fudx — ax — Ci-h^^bx — lxx)
qua fit fVV— -j — ; — — ; fi-

quidem. infcrior tubus C A fit aeque amplus ac
fuperior BC, fm autem eflet amplior in denomina-
tore quantitas a minor accipi deberet , contra vero
roaior , quandoquidem haec pars ex qnantitate
O — f- nafcitur in numeratorc vero femper a
ipfam altitudinem A C denotat. Quando vero em-
bolus Oo ad certam altitudinem fuerit eleuatus tum
iterum deprimitur , fimulque vahmla ?n clauditur ,
antliae autem infra infertus eft alius D^Vi;, cuius
orificium D d hadenus ope vahiulae n erat claufum
nunc vero embolo depreflb aperitur , vt aqua ante

haufta

FLVIDORVM LINEARI. 317

haufta per tubum D d V v propelli queat , qui
motus quomodo eueniat , in (equenti problematc
inueftigabimus.

Problema $8.

io8. Cum antlia BbCc fuerit vsque ad B ^ Tab. V.
aqua repleta , tum vero embolus data vi detrudatur, Fig* 59.
ct aqua per tubum quemcunque D d Z z expeliatur
quem tubum iam ab initio aqua plenum fuifle aflu-
mimus , hunc motum quo aqua per orificium 2 z
eiicietur , inueftigare.

So 1 u t io.

Sit Yt ante amplitudo antliae =jf , altitudo
B C =: ^ , et elapfo tempore t embolus lam ad O 0
fit detrufus , vbi celeritas emboli deorfum fit rr i^
et altitudo COzz.v. Vis porro embolum detrudens
fit :^ffu , a qua in fuperficie O 0 nafcatur preflio
rz TT deinceps ex comparatione motus emboli de-
finienda. lam in tnbo annexo Ds , fit orificii Z z
amplituJo 2. z — e e et altitudo T 2 :=; « , eritque
celeritas efiluxus per hoc orificium zz-^. Tum in
loco quouis medio S s fit longitudo tubi D S iz: j* ,
ampiitudo S x =: w , et altitudo V S zz z , preflTio
autem in Ss—p^ quibus pofilis , cum in Ss fit
celeritas y zz^l^ principia motus fuppeditant hanc
aequationem

2gpz:iA: ; — 2£2-/lZ^— i^ fii

Rr 3 vbi

3is D E MO T V

Vbi / - ab O 0 vsqiie ad S J extendi debet. Huius
autem^valor in tubo OC eft zzf-^, per totum vero
tubum annexum DZ vocetur valor inde oriundus
— D. Hinc quia prcirio in O o eft zn tt cric

agTrrr A: t — ^gx-^vv

ct ob prefiTionem in Z z aequalem preflloni at'^
mofphaerae ^ k erit ibi :

quarum aequationum haec ab ilia fubtrada dat

^g(7r-it)-2g(^-A0+J^^(f:-i)4-^4^/(D+|^)

Quoniam vero tempusculo dt altitudo x minuitur
elemento d x celeritate v crit dt :=: ^ , fiet

Ag[r.^k-a^x)dxz:zi^^^-^i)vvdx-'2ffvdv[T^-Vl^')
Ponamus Bzz- et ^-ir:A vt fit

^g^n-k—a^x^dxzzl^vvdx—i^m-^-x^vdv
quae diuifa per [m-\-xf et integrata praebet

/K—k—a-]rX^ ^ (V V

vbi conliantem ita definiri oportet , vt pofito xzzh
celeritas v cuanefcat.

lam pro motu emboli pofito eius ponderc zzffh ,
fridione ^^ffb^ is deorfum vrgetur vi zzff^k-^-u
4- ^ — TT — (5^ /6) , vnde eius motus erit

V V ZZ Conft. — *-Si^x-i.{i—S) h x_^4^Jju_£x^frcdx)

b

verum

FLVIDORVM LINEARI. 31^

verum pro eliminatione prefrionis ir potius vtamur
aequationibus difFerentialibus :

4^ (tt - ^ - a-^-x) dx n X ^' vdx- 2 (^ + x) v dv'

Ct ^gik-^-u-^-b-B h-K)dx—-'2.h'vd'0

ex quarum fumm^ colfigitur i

^.{u-a-^-ii-^^h^x^dx ^ ^ vv

^ ^J ,u . ,.. . ^\\-^\ =: Conft. -

{h-\-m-\-x)^^' "^ • {h-\-m-{-x)^

"vbi conftarifi tribifendus e(t valor fbrmulae integra-
lis , quem recipit fado xzzib, fiquidem ea ita in-
tegretur , vt euanefcat pofito x zz o.

C o r o 1 1 r^

iop\ Si ponatur interuallum BOn:/^ ofr
XzzLh'-y , aequatio motum definiens erit :

t) V u-a-^-it-^^b-^-h-y .

(b+m + b-yf ~ '^^^'{b + m + b-yf-'*^ -^

integrali ita fumto vt euanefcat pofito j -zz o.-

C o r o I L 2.

iia Vt ergo embofus aquae fflftem motunt
imprimere poflit , neccfTe efl: fit vis follicitans u^^a
'^^ b — h—b-y tum vtro ab initio motus accelera-
bitur , roaximusque euadet , cum fiet yzr.n — a
4- (r —^i^-f- b, Si igitur fuerit u<^a^^h^h,
ideoque intra limites a—{i-'^)b et a—{i—^)h—b
contineatur , motus poftquam maximam ccleritatem^
fuerit confecutuSy iterum retardabitur.

Coroll.

320 D E M O T V

Coroll. 3.

IX I. Si altitudo TZzz^a ad quam aqua ele-
vari debet , fuerit valde magna prae altitudine ant-
l!ae ^Qznb., etiam quantitas mzizDffzr.fff^
valde crit magna , cum fi tubi amplitudo vbique
fucrit =r/, fiat 77/:=: DS 2. Hoc ergo cafu ob
i, ^m ^ b '-j' conftans, habebitur (h -^ m^ b}u v
=z 4 gf(u '-a'-\'b +(1 —$)h)tiy feu [h -^ m ^ b)
vvzz^g [fu dy — {a -' b --[1 --^) h)y) : neque hic
amplitudo fupremi orificii 7.z^ e e in computum
ingreditur.

Sch ol ion.

112. Tempus quo embolus per totam antliae
altitudinem B C deprimitur , et aquae in ea con-
tentae volumen z= bff pcr orificium 2 z eiicitur
hic non definio , quia vis embolum follicitans ffu
feu quantitas u nondum eft cognita ; nequc enim
eam pro arbitrio fingere licet , (juia ex natura vi-
rium naturaliam cuiuis celeritati peculiaris conuenit
efficacia. Sin autem ope ponderis cuiusdam embolo
impofiti hic effcdlus obtineri debcat , peculiari in-
veftigatione non eft opus , quoniam ifiud pondus
coniuncftiro cum pondere emboli per ffh exhiberi
poteft ; tum vero quia fricflio folum embolum afficit
numerus $ tanto minor euadet , vt ^ffh quantita-
tem fridionis praebeat. Cum igitur hoc padto quan-
titas u iVL h inuoluatur , crit :

»Txi,

Vl)

FLVIDORVM LINEARI. 321

^ vv ^ ii —^)h—a'\-h—y

I -X ' A

ih-^-m-^-h)'

^g^h-^-m^-h)'-^ ^^[a-^-m-^-^h)^^^ ^ _ ^ ^^

I - X X

et fy(fla eiiolnrione

Vnde primo quidem patet effe debere ^^^fl—^+^^,
quia alioquin ne motus quidem inciperet , deinde fi
y eft "valde paruum repedlu h-^-m-^-h erit proxime

ig / ,^ ^, r [\-\\h-a-^h'\'h) \

Sed quia non conuenit folam vim , qua aqua iam
haufta propellitur , confiderari , fed ei priorcm vim,
qua aqua in antliam liauriebatur , adiungi oportet,
ambo praecedentia problemata iam coniuncflim per-
trademus binas antlias alteram iiaurientem altcram
propellentem fimul contemplaturi.

Problema 59.

113 Si binae antliae fimiles B^C^ et V>^ V Tab. V.
Ci,', quarum illa ^quam hauriat , hacc vero per Fig. 60.
Tom.XV.Nou.Comm. S s fora-

522 D E M O T V

foramen D^ ad altitudinem zz a propellat , vti ia
praec. probL ftatuimiis ; a data vi fimul agicentur ,
deiinire motum in vtraque antlia.

S o 1 u t i o.

Sit vt aiite vtriusque antliae altitudo BCr^,
ct amplitudo rr^, emboli vtriusque mafTa "^ffh
et fridio nr ^ ffh. Eodem tempore inceperit em-
bolus afcendens a bafi C c attolli , et defcendens a
fummitate B' U deprimi , piftilla autem bina fuperne
iunda fint vedi P Q circa eius medium V mobili ,
ita vt quouis tem.pore quantum embolus O^ eft ele-
\atus , tantum alter O' d infra B' b^ fit depreffus ; ec
Vtriusque motus pari celeritatc peragatur. Ponamus
nunc vedem in Q deprimi a vi == V^, quam vc
cognitam fpedamus , ex eaque nafcatur vis embO"
lum O 0 attoUens = P^, ex altera vero parte vis
embolum O' o' deprimens —Q^ff, ita vt fit P^-Q^iiV.
Vocetur porro fpatium CO znB' O' :zz x ^ et cele-
ritas vtriusque emboli "zzv, Ac pro priori ex §. xo7
ob « =: P habebimus :

h^cf,--\-x

pro motu pofteriori vero ex §. 109. quia hic fit
« — Q, et j' =z a: erit

ih^m + b-^f -^^^ Ifvm-^^b-xf^^ ^^*

Confi-

FLVIDORVM LINEARI. 3:23

Confiderentiir antem potius harum aequationum dif-
ferentialia , quae funt

zvdvib + a + x^ + wdx^zz^gdxlV-oi-^i + ^^h-x)

' !ivd'V(b-\-?fi-\-b-x) -{-}\vvdx—^gdx {Q^a-^-ii-^^bi-b-x)

quae inuicem additae ob P 4- Q.— V praebent pro
vtroque motu

ivdvi^b-i-m-^ h-^-a^-^-^y.-^-i^vvdx-^gdxlV-oL-a-i^bi-b-zx).

Pofito ergo breuitatis gratia -_-A-ti__r= [x erit

integrando

vv r^-^r— /'e^^^.v(V-a-a--2o"^+^^-.2A:)

integrali ita fumto vt euanefcat pofito x~o^ \bi*
litterae a et in idem fignificant quod in praeceden-
tibus problematibus , et denotante ee amplitudinem

orificii fupremi Z z erat X ^ii'^: ^ i.

Coroll. I.

114. Qiialibet ergo veAis PVQ agitationc,i
qua brachium V P eleuatur , alteriim vero V Q de-
primitur , anth'a BC aqua repletur , antlia vero
B' C^ euacuatur , dum aqua in ea contenta ad alti-
tudinem a elcuatur ^ vtriusque autem aquae mafla
eft m bff,

C o r o 1 1. 2.

115. Finita hac agitatione , fi fequente bra-
dlium V Xi fimili modo eleuntur altenimque V P"

S s 2 depri-

324- D E M O T V

deprimitur , antlin B' C iterum aqua repletur , es
altera vero B C aqua , qua fuerat repkta eiictur ,
idque ad eandem altitudinem , fi modo tubi vtrique
antliae in D et D' inferti in tubo aquam rurfum
euehente \niantur.

C o r o 1 1 3.

116. Tali ergo vectis P V Q_ agitatione reci-
proca aqua continuo furfum eleuatur , et finguLs
agitationibus volumen aquae = bff per tubi euehen-
tis fuperius orificium Z z eiicitur ; hicque efrttftus
producitur a vi illa veiflem agitante, quae aequntur
ponderi aquae , cuius volumen =z V^i

Sc holi o n.

117. Ex fbrmula pru celeritate inuenta , in-
teMigitur , quomodo vim iilam V^, qua vectem
agitari alTumimus , compnratam efle oporteat , vt
huic effedui producendo par fit. Euidens fcilicet
llatim a cuiusque agitationis initio effe debere V ^ a
•4- tf H- 2 5" ^ - ^, vbi a eft profunditas aquae fta-
gnantis , vnde aqua hauritur , infra antliae vtrius-*
que fundum C c ct a altitudo fupra eundem , ad
quam aqua eleuatur , ita vt a -j- a exhibeat totam
altitudinem eleuationis , quae quo fuerit maior vti-
que eo maiorem vim poflulat : Deinde vero 2. $ h
cxprimit fri(flionem , quam vterque embolus in mo-
tu fuo offendit , quae pariter a vi follicitante fupe-
rari debet. Denique a fumma si ^a^ 26 b fub-

trahitur

l^LVIDORVM LINEARI. 325

trahitur Jlltitudo antliae b, quia aquii in ea conten-
ta etiam pondere fuo motum iuuat. Porro vero ad
motus ipfius determinationem concurrunt quantita-
tes 2 b ct ifi, quarum illa 2 b incrtiam vtriusque
emboli continet quacum etiam inertiam tam vedlis
P V Q quam eam , quae vi follicitanti eft propria ,
coniungi oportet , quantitas vero /;/ cum ex longi-
tudine tubi deuehentis , tum ex eius amplitudine ita
definitur vt fit mz^f^^-- denotante s longitudinem
huius tubi indefinitam Y> s (fig. 59.) et cj eius am-
plitudinem S x in hoc loco. Denique etiam orifi-
cium tubi euehentis fuperius 2. z — e e in compu-
tum ingreditur et in numero Xz::-^— i contine-
tur ,• ex quo intelligitur determinationem motus
maxime effe difficilem cum. hinc in genere formula
temporis dt—~ tradlari nequeat. His autem dif-
ficultatibus occurremus , fi acflionem cuiuspiam ma-
chinae modo magis determinato ad hunc motum
producendum accommodemus.

P r o b 1 e m a 60.

118. Si vecHiis P V Q , quo in praecedente Tab. v.
problemate ad binas antlias agitandas vfi fumus, ope ^^^- ^^-
manubrii vel axis incuruati M F N vniformiter in
gyrum adi alternatim deprimatur et attoUatur , de-
finire vires , quibus hunc axem incuruatum quouis
tempore agitari oportet, vt effedus ante defcriptus
producatur.

S s 3 Solutio.

3i5 D E M O T V

S O 1 U t i O.

Eiusmodi \ea:is P V Q_ alternus motus , qua-
lem defcripfimus effici fokt ope axis horizontalis
M N ad F inflexi, qui in F gerit virgam rigidam
FQ,cum vedis extremitate altera Q ita connexam,
Tt dum ille axis in gyrum agitur , prim.o ternji-
nus iile Q_ ope Yirgae F Q deprimatur per fpatium
zn 2. ¥ G , tum vero per tantum fpatium iterum
attollatur ; ficque qualibet ax.s M F N reuolutione
vtriusque antllae embolus dcprimatur et attolLuur.
Quare vt vterque embolus per totam antliae altitu^;
Tab. V. dinem B C n Z? agitctur , oportet fit F G n:* | /> , et
FJS- 63. YJ|.gge p Q fuperior terminus per peripheriam cir-
culi verticalis F S H mouebitur, quem motum,quo
dtinceps commodius ad maciiinam refcrre liccat ,
vniformem afTumo; Primo virga rigida flipremuni
tenuerit Titum in F, quo vedlis extremitas Q fue--
rit in I, ponamusque virgae longitudinem Fl — /,
motusque , quo eius terminus F per peripheriami
circuli circumfertur , celeritas fit zn c. lam elapfo
tempore t perucnerit virgae terminns fuperior in S,
,fitque angulus F G S-Cp^ erit arcus YSiz^^b.Cp, et
elementum temporis dtzz^-^'^ virga vero nunc
tenebit fitum SQ, vt fit SQi=/ et fpatium
IQ^zta:, quoniam embolum vtrumque iam per fpa-
tium X protrufum ponimus. Cum ergo fit Qlz:zl^\,h
crit

_ ^. hl-lhb — i^I-b^x — xx
C(l=l-ib+xi ct cof.Ct)= tl-',bb-^bx »

at

FLVIDORVM LINEARI. 327

at ex angulo' Cf) interualliim x ita definitur Tt fiC

hinc fit differentiando

At efl: dt — ^-^ z=.^-^ , ideoque 1; — V- ^ reii

?.^rrin.Cl)cor.C{)

Ponamus nunc ad virgae terminum S in circulo
promouendum opus efle vi nS^, cuius dire^flio
cum fit ad radium GSnormalis, dabit pro diredione
S Q. vim jj^^^ qua virga fecundum fuam direclio-
nem pellitur , ea crgo punflum Q deprimitur vi
n: ^{^"^'^^^ 7 quae e(l illa ipfa vis quam in prae-
cedente problemate vocaui V^ vt fit V~^^^^.
Eft vero fin. GSQ^n^^^ et : ' ''^'v^^

rroc GQ+l^cof.Cj) . ■ SfGQ+ltofCl)}.

et ob G(i=V(//-J^^fin,Cj)')-.^^cof.Cl), fict

Vn

fin.CpV(//^i^^fin.(p')-^^fin.Cpcof.Cl)*

His definitis confideremus aequationem differeHtialeni
qua praecedentis problematis foiutio continetur.

ii.'0dv{2h'i-m'{'bi-a)+{'Ki'i)vvdxz:'^gdx(V'-a''a

'^&^b^b — ix)

Confi-

32S D E M O T V

Confideremus virgae longitndinem / vt praemagnam
prae radio circuli l b , eritque

;^-^^(i-cor.Ct))^,^:=:^Mm.Cpi^^i— ^.'fm.CD^i^-

::i: s^^fin.Cpcor.C^ et

^'-'/fin.Cp-^^fm.Cpcol.Cp-^fm. Cj)'

Ynde fadta riibftitutione erit

(aZ? + w + ^ + «}2rfrm.Cpcof.Cl)+(X+iy^rm.Cl)'.^^rin.Cl)
-^.gblS-^^a-^a-^-zS h-b)^\n.(p-igb^i\ Cp.^^i-cof.Cp)

rr2g^(S-(a + « + 2(^y^-^cof.Cl))rm.Cj))

hincque elicimus vim ad motum axis vniformem
requifitam

$z(rt+«+2 W-kof Cp) rin.Ct)+ '-3( sZ^-f ;;;-f Ha) fin.Cpcof.Cj)

-^"Lffm.Cp^

(X

4 g

Qua vi efficietur vt dum axis femireuolutionem
peragit hoc eft tempore n — fec : aquae maffa
— ^ jf per tubum euehentem D Z lupra eiiciatur.
Cum autem curuatura axis in imum locum H
fiierit perduda , tum gyratione continuata ve<flis
terminus Q^ attolletur , fimilique modo vbi per-
venerit in S' exiftente iam angulo H G S' z= C}) ,
pro Ti, qua axis gyrari debet reperitur vt ante :

S-(a+df4-2<^^-^conc})jfm.C})+g(2Hw+^+a)fin.Cl)cof.0

+ (>L±Ji^Jfin.Cp'.

ita vt fiue axis cubitus fit in S fiue e regione \n
S' eadem vis ad eius conuerfionem requiratur.

Coroll.

FLVIDORVM LINEARI. 329

C or Oll I.

119. Dum igitur axis cubitus verfiitur fiue
jH loco lummo F fiue in imo H , fit S ^ o , feu
nujia plane opus eft vi ad motum gyratorium 'Yni-
formcm conferuandum. In locis autem hinc 90'
dillaiitibus , pro vi hac erit

C o r o 1 1. 2.

120. Si angulus F G S :^ (J) fuerit ^s"" vel
225° ob fin. Cj) ^ 4. et cof. $) zi: 4- erit

in alteris vero odVantibus vbi (p-is^® vel $1:3 15*
ob fin. (p=z ^ et cof. Cp) — ^ fit

■ C o r o 1 1. 3.

121. Qiiodfi ergo axis M N duos huiusmodi
habeat cubitos , intcr fe perpendiculares quibus qua-
teri.ae fimiles antliae agitentur , vt tempore — lec.
fuperne effundatur aquae volumen ziz 2 bff\ tuin
du.)) alter cubitus in fummo loco F vel imo H vtr-
fatur vi opus eft

dum autem vterque a verticali FH dedinat angulo
45° crit :
Tom. XV. Nou. Connm. T t S r=

330 D E M O T V

quae Juae yires erunt inter fe aequales fi fuerit

Scho 1 io n. i.

122. In omni machinarum adione plurimum
intereft , vt earum motus (it quantum fieri poteft
vnirormis , et vt perpetuo aequali vi agitcntur , ex
quo manifertum minime conuenire , vt modo de-
fcripto duae tantum antliae ad macliinam applicen-
tur , quoniam ad hoc vis maxime inacquabilis re-
quireretur ; fin autem duo antliarum paria ita ap-
plicentur, vt cubiti axis fmt inter fe normales, vires
ad machinam circumagendam requifitae multo magis
ad aequalitatem accedent : rainime tamen conuenit
ad maiorem aequabilitatem obtinendam formulae
^^Lzhilif tantum valorem conciliare quantum inuenimus.
Quin potius fcmper confultum eft hanc formulam tam
exiguam reddi quam circumftantiae permittunt ,
quandoquidem hoc modo vis ad effedlum producen-
dum requiftta diminuitur. Cum igitur pofita orificii
fupremi Z 5? amplitudine znee fit X-}- i =:-^ vti-
que conueniet hoc orificium quam ampliflimum
efiici, circa celeritatem autem c nihil arbitrio noftro
relinquitur quia enim tempore ^ fec. quantitas a-
quae = 2 bff fuperne eiicitur, quantitas vno minuto
fecundo eieda e(l z^^cff; quam cum adione vis
follicitantis cOmparemus. Cum igitur inter b-nos

FLVIDORVM LINEARI. 331

valorcs ipfius S medium capiendo fit quafi
SrrJ(a-f-tf-f-(^/7)-i-§.^-^^-, quia vis ipfa eft
zz Sff et celeritate zz c agit , erit eius adio n:
fjffil{oL-{-a + $hHl^^^±Li2SS), quod fi ergo vis

principalis machinam totam agitans fit zz V eaque
celeritate zz « operetur , eius adio erit zizV u ^ cui
illa aequalii polita praebet quantitatem aquae fingu*
lis minutis fecundis ad altitudinem a -i^ a eleuatae

IlAV u

vbi coefficiens '-^ fere aequatur vnitati.

S c h o 1 i o n, 2.

123. Si autem vt modo fumfimus , duo tan-
tum antliarum paria ad machinum applicentur ct-
fiamfi cubiti eas agitantes ad angulum redum fint
dilpofiti, tamen nobabilis adhuc inaequalitas in viribus
ad hoc requifitis deprchenditur 5 quam autem multo
magis diminuere licet , fi quatuor antliarum
pariaapplicentur, et cubiti axis quatuor ea agitantes
ad angulos femiredos fint iuter fe difpofiti , tum
enim fere perpetuo erit

ficque fingulis minutis fecundis aquae quantitas '-cff
clcuatur. Quarc fi vt ante vim mach^nam mouen-
tem principalcm vocemus V ct celeritatem qua

T t a opera-

332 D E M O T V

operatur w ab ea , quantitas aquae finguUs minutis
fecundis eleuata erit

STT

o

quae a praecedente vix diifert. Hinc intelligitur
femper expedire celeritatem c quam minimam ftatui
quod iam pro lubitu fieri poteft , inde enim am-
plitudo antliarum ita definitur , vt fit

quare femper conducit iplas antlias amplilfimas con-
fici vt inde celeritas c eo minor euadat : tum vero
altitudo antliarum b pcr elongationem cubitorum ab
axe determinatur, cum fit ^— 2FG, id quod arbitrio
noftro permittitur.

CAPVT V.

DE

MOTV AQVAE PER TVBOS DIVERSO
CALORIS GRADV INFECTOS.

P r o b 1 e m a 5i.

124. Dato caloris gradu in fingulis tubi locis
Jab. VI. quem ftatim cum aqua ibi contenta communicari
^^2- ^^- alTumi-

FLVIDORVM LINEARI. 333

afTumimus definire motam , quem aqua in huiuS"
modi tubo recipere poterit.

S o 1 u t i o.

Sit tubus A O ratione amplitudinLs vtcunque
Tariabilis et incuruatus , (umtoque in eo incerualio
indefinito ASzry, fit ibi amplitudo — w et altitiido
pund:i S fuper plano liorizontali fixo S <t zz z ;
gradus autem caloris tantus , vt ibi aquae tribnatur
denfitas :izq, quae ergo per hypothcfin ed variabilis
et fundio certa ipfius ASzz s , quoniam in eodem
loco aquam perpetuo eodem caloris gradu infedam
afTumimus. Elapfb autem tempore t fit aquae per
fedionem Ss transfiuentis celeritas — y in plagam
S O direda et preflio zzp , quae fuat fa ndliones
vtriusque variabilis s et /. His pofitis quia (j^)i:o
ex problemate ^6 has duas confequimur aequarionesr

Ex priori aequatione fequitur fore ^«oj—r.-r,
ita vt eodem tempore quantitas ^ y oj per totum
tubum eundem obtineat valorem. Ponamus ergo in
certo tubi loco, vbi amplitudo cirjf et denfitas aquae
zzi , celeritatem effe z= v , quae ergo erit fundio
folius temporis t ^ ac pnma conditio praebet ^ » oj
zzffv , ita vt fit ^ —^J^ ^ hincque quia quantita-
tes ^ et w a fola vatiabili s pendent, eri^ (jfl^-^T^
qui valor in altera aequatione, qua tempus i conftans
fpedatur , fubflitutus praebet

T t 3 Agdp^

334 D E M O T V

rs. qua integtando elicitnus :

.igp-£^: t.^gfqdz-\q^^V.NMdq-fJ^ f^

fcu loco s » fubftituto valore ^* '"J^

^gp=A: t-2gfqdz-^^:+]f'^vf^^-fI^fiJ

Qiiodfi ergo in duobus locis preffio aliunde fuerit
cognita ad ea haiiC aequationem applitando , primo
fundlio temporis A:t eliminari , tum \ero celeritas
«y pro quouis tempore determinari poterit , qua
cognita deinceps omnia quae ad motum fpedant ,
ianotefcent.

Coroll. !•

125. Cum fit /-|^^=.z^-s/f^,, «eqiiatio.
inuenta etiam ita repraefentabitur :

,gp^A:t-.gfqdz-fi^-r-vvfi^,-^J^f'~'

in qua hoc commodi occurrit, vt quoties tubus -vbi-
que eft aequahter amplus , terminus f^-^ euanefcat,
fimulque fiat /If— -i-,

C o r o 1 1. 2.

125. Quia V denotit celcritatem in data tubi
fedlione , cuius amplitudo zzf, et vbi denfitas q fit
zz I ; hanc fcdlionem "vbi lubuerit afilimere licet ;
qaoniam denfitas , quam aqua ibi ob certum caloris
gradum hnbet , "vt denfitas ruaturalis fpedari potefl; ,
cx qua prefiiones definiuntur,

Scho»

FLVIDORVM LINEARI. 335

Sch ol ion.

127. Q}ioniam fupra vidimiis mafliim fluidam
graucm in aequilibrio eire non pofle , nifi in aequa-
libus altitudinibus vbique eadem denfitas locum
habeat , operae omnino erit pretium liic eiusmodi
cafus euoluere , vbi aequilibrium prorfus fubfiftere
nequit. Ac primo quidem fe ofFert tubus circularis Tab. vT,
in fitu verticali pofitus , qui ab vna pvirte calidus , ^^'

ub altera frigidus feruatur. Sit fcilicet A S B D
tubus circularis in plano verticali pofitus cu-
ius A C B fit diameter horizontalis ,• hunc tubum
circa A ita calcfieri fumamus , vt aqua ibi conten-
ta tantum non ebuUiat e regione vero in B tubus
fit frigidus , gradu caloris ab A ad B fiue furfum
fiue deorfum progrediendo fuccefTiue decrefcente , vt
in A calor fit maximus in B vero minimus. Qua-
tenus ergo tubum vehementer anguftum ponimus ,
aqua per cum mota quafi pundlo tcmporis in quo*
vis loco tubi calorem recipiet. Qiiodfi nunc totum
tubum aqua plenum aflumamus , fieri omnino ne-
quit , vt aqua fe ad aequilibrium componat , cuius-
modi igitur motum fit adeptura in fequente problc-
mate inuefligabimus.

Problema 62.

128. Si tubus circularis in fitu verticali pofi- Tab. VI.
tus A S B D fit perpetuo in A calidus , in B vero f^S- 64»
frigidus , tum vero aqua repleatur , quae vbique tu-

bi temperaraentum ftatim recipiat ^ huius aquae

motum

33(J D E M O T V

motum in tubo , quia aequilibrium non datur de-
terminare.

S o 1 u t i o.

Sit radius circuli CA — CBcr^, AB di;i-
metcr horizontalis et amplitudo tubi ybique eadem
:=://. lam quia ad A calor eft maximus ad
B \ero minimus , denfiras aquae ad A erit minima
ad B vero maxima : ftatuamus denfitatem mediam
tz:: I , ad quam fcilicet aeftimationem preflionem re-
ferimus; tum vero in A fit denfitas zz. i — a in B
vero :=: I 4- a , ab A vero ad B progrediendo den-
fitas ita crefcat , vt in pundlo quouis S pofito an-
gulo A C S = $> fit denfitas q— i -acofCf), quip-
pe quae fbrmula pro pundo A dat denfitatem i-a
pro B autem i 4- ot. Nunc porro altitudo pundi
S fuper linea horizontali A B elt VS:=zc'{in cp — z
et arcus A S zz c (p zn s. Ab initio quo vniuerfa
aqua adhuc erat in quiete elapfum fit tempus zz /,
ac celeritas in pundo S vocetur zz: « a termino A
recedens , preflio vero ibidem zizp. Quodfi nunc
in eo loco vbi denfitas eft n:. i , celcritas aquae
ponatur ziv j ob amplitudinem vbique eandcm w rjf

erit « — — ir ^t-^ Hinc ex principiis ante»

ftabilitis definiamus ante omnia preflionem in Joco
indefinito S, ac primo ob s— ^fin.Cp, qzi-aco((P
erit fqdzzizcfcKpcoC.Cpii-acoKP^zzcfi/Cpcoi:^
- 5 a - i a cof. 2 (p) ideoque fqdzzzc fin. ({) — ^ a i (p
-iaffin.2Cp. Deinde ub w z::/ eft /'^-^, - o ct /^i

FLVIDORVM LINEARI. 337

^/7^77' ^'^ ^^^'^^ Aibftitutionibus confequimur
lianc aequationem :

2g/>i=A:r-.2gt^(rin.(J)-ia([)-^arin.2d))--iL'^ c^

^ 1 — aco;.Cp dt *

Hinc pro initio in pundo A prodit haec aequatio:
2£p=. A :t -. Ji^

pro pundo B vero poncndo Cj) =r tt rr 1 80° haec

Percurramus totum circulum Tt reuertamur in
puncflum A et ponendo Cpcz 2 7r, pro pundo A
prodit etiam haec aequatio :

2gp:=zA:t^zaT:s:c^ ^ lEl±y

Cum igitur necefTe fit vt haec preflio illi pro eo-
dem pundo A fit aequalis , hinc coUigimus hanc
aequationem

zan:gc-'J^zzo feu dvzzagdt

quae integrata dat vzzagt^ vnde difcimus , cum
initio celeritas fuiffet nulla , eam cum tempore
vniformiter crefcere , ita vt fit v^agt. Tum
vero ob ^zzag erit pro loco quocunque S elapfo
tempore t prefTio

/,=2 : ^-.(fin.<})-i«(t)-i«nn.»(J))-5^|^;^,-|«.(J)

feu p=2 :r-<:fin.(l)-t-:afnn.2Cl)-j^-|i^,

vnde concludimus prefiiones

Ton3.XV.Nou.Comin. Vv pro

33S D E M O T V

pro A vbi Cj) = o; pzrU:!-^^^

pro E \bi Cf) =: 90°; p =: i: : / - ^^-^' - s

pro B vbi CpniiSo^ipzzS:^-.*-^^

pro D vbi Cf>'ir.27o%- ;> z= S : / - «-^* + r.

Coroll. I.

lap. Cum igitur aqua primum in tubo quie-
vcrit , (latim ita moueri incipiet , vt in parte infe-
liore A D B , e locis frigidioribus in calidiora , ia
parte fuperiore A E B contra ex calidioribus in frigi-
diora feratur, iluxusque exoriatur in plagam AEBD,
qui continuo vniformitcr acceleretur.

C o r o 1 L 2*

130. Ifta motus acceleratio €0 erit promtior^
quo maius fuerit discrimen inter calorem maximum
in A ct minimum in B. Si in A aqua fere ebul-
liat in B vero propemodum congelafcat ^ fradio a
eft circiter 5» , ideoque v zr ^'g g ? m W ped. ob
g rz: 1 5 ped. ficque poft vnum minutum fecundum ,
motus iam ita rapidus exiftcret, vt minuto fecun-
do fpatium \ pedis percurreret , poft minutum pri-
mum autem fpatium 30 pedum.

C o r o 1 1. 5.

131. Quod ad prefliones attinet , quas tubus
interea (uftinet , eac quidem non definiuntur , quia
tubum vel aquam extriafecus premendo ad quoduis

tempus

FLVIDORVM LINEARI. 339

tempus preflia pro lubitu variari potefl:. Interim
tamcn ad B prefllo perpetuo erit maxima , fumto
enim ^it zz. *A«_L' yt preflio in A euanefcat , in

B erit ea =z ^^- , ficque in temporis ratione du-

{)lcata creket.

S c h o 1 j on I.

132. Facile autem intelligitur , fi res expe-
rimentis exploretur accelerationem motus neutiquam
tam rapidam efle futuram , quam calculo inuenimus
cuius ratio manifefto in eo efl: pofita , quod ftatim
atque aqua iam velocitarem notabilem acquifiuerit
eius calor non (ubito fe ad calorem tubi accommo-
dare valeat , eaque proinde priflinam temperaturam
ad aliquod lempus conferuans , in B magis calida
quam tubus , in A vero minus fit futura. Cum
igitur idem eueniat ac fi fradio a minor reddere-
tur , motus quoque accelerationem reiaxari oportc-
bit , quae tamen omnino extingui nequit ; fimul
«nim atque hoc eueniret , et aquae tempus fuppete-
ret in quouis loco tubi calorem recipiendi , motus
de nouo vti ab initio inflauraretur. Ex quo per-
fpicuum eft , ob hanc caudim motum tantum ad
certum vsque gradum acceleratum iri in quo dejn-
ceps pcrpetuo fit permanfurus , quamdiu fcilicet in
ipfo tubo discrimen caloris ineft. Qiioniam vero
haec motus moderatio ab ea ratione potiflrrum pen^
det , qua tubus cum aqua , haecque vicifllm cum
tubo fuum infitum caloris gradum communicat vbi
fimul ad vtriusque maflam rcfpici oportet , ex fola

V V a theoria

340 D E M O T V

theoria hic vix quicquam ftatuere licebir. At fi ope
ignis circa A lufcitati in hoc loco tubo perpetuo
jnlignis caloris gradus imprimatur , tubusque (atis
lit magnus , Tt tantus calor non ad locum oppofi-
tum B transferri polTit , nulium plane eft dubium ,
quin aqua pcrpetuo motum fatis \elocem in plagam
A E B D fit conferuatura.

Scholion 2.

133. Affumfi in problemate tubo in altera ex-
tremitaie horizontali A maximum caloris gradum ^
in altera vero B minimum induci , quae dispofitio
ad motum generandum maxime eft accommodata.
Si enim maximus calor exc^aretur in loco \el
fummo E vel imo D, et e regione minimus exifte-
ret , tum nullus plane motus oriretur , fed aqua le-
mel in quiete pofita perpetuo in eodem ftatu perfe-
veraret. Quare etiamfi initio tubus circa A maxi-
mum calorem acceperit , nifi is a caufa externa
fullineatur , aqua per A tranfiens calorem ibi re-
ceptum cum tubi locis fuperionbus S et E com-
municabit viciflimque fri us , quo per B tranficns
erat imbuta in tubi regionem in^erinrem E tran<^fe-
ret , quo tandem etTicietur , "vt cum maximus calor
in tubi locum fu rmum E fuerit translatus mini-
musque in imum D, tum omnis motus fit ccffatu-
rus , et aqua in flatum aequilibrii fit peruentura , in
quo acquiefcere valcat. De cetero in fohitione pro-
blematis ccrtam kgem flabiliui , fecundum qvam
deiifuas fiuidi ab A verfus B progrediendo augea-

tur ,

FLVIDORVM LINEARI. 341

tur , quod augmentum ipfis diftantiis in reda bori-
zontali A B fumtis proportionale {latiii , ita vt ex-
cefTus denfitatis in S lupra denfitatem in A propor-
tionalis eflet fpatio A P; quae hypothefis cum veri-
tate fatis confentire videtiir , fi prope A ignis alia-
ve materia calorem gignens concipiatur conftituta ,
cum cnim vis calefaciendi in loco quouis S quadra-
to diftantiae A S proportionalis aeftimetur , hoc qua-
dratum in circulo ipfi finui verfo A P efl: proportio-
nale : Interim tamen hac hypothefi calculo potilTi-
mum confulens fum vfus , et infra rem generalius
expedir» conabor.

P r o b 1 e m a 64.

134. Sit vti in praecedente problemate tubus '^.^^- ^^*
circularis in plano verticali pofitus isque in A ca- ^^' "*"
lidus in B vero frigidus ; verum huic tubo diuerfa
tribuatur amphtudo ; hoc pofito fi tubus fuerit aqua
repletus , eius motum definire.

S o 1 u t i o.

Sit Yt ante radius circuli CAr^CBnir, den-
fitas aquae in A =i i — a, in B z= i -4- a, at in E
et D — t , in loco vero quouis indefinito S pofito
angulo ACS — Cp fit denfitas ^— i— acofCp. Tum
vero in E et D fit amplitudo z=:ff verum in A
ftatuatur -Jf(i-g), in B =:/(i + g) at in S
fit 0) ~ ff{i — S cof Cf)). Elapfo iam tempore t ia
E vel D, vbi amplitudo eft jf et denfitas r:;: i, ce-

V \ 3 Uri-

342 D E M O T V

leritas aquae fit zzv, vnde in loco indefinito S erit
w — •" 3- quam aequationem pr ma mo-

tus conditio luppeditat. Altera vero pofita preffioie
in fz=:t) ita fe habet :

pro cuius tuolutione ob sr^fin.Cp et ^n — acol (J)
ell vt ante

/^y5?zr^rin.Cp-s«f$— ^a^fin. aCj).

Deindc ob J^nt-Cp ct ojzz /(i-ecof.Cp) e(! f j^~^^

J 7^^— //v(.-ee) ^"&* ^"^- .— §^c.;.(p
Denique ob ^^na^Cpfin.Cp eft/««^^^a^^/^--^^^^g^,

vnde fit integrando :

y « « « y — (a — 6)^ ^ (i-acq/.(pXi— eco>(|)) ~ a — 6 • — a coj. (p' '

Ponatur nunc Cpzzo, vt preflionem in pundo A
obtineamus

tum vero pro eodem pundo fit Cp i^ 2 tt crit

•.rr^— A./-L-0 Tr^^/-- "^^" i_ ai>v ,-»-€-l-iae I 2 aevt— e\

TTC dV

d f V ( I — € e)

cx quorum \alorum acqualitate elicitur dv:::zagd$
y(i--eg) hiocque i;zr a^/y(i-ee].

C o r o I J. I.

135- Diuerfa crgo tubi amplitudo , fiquidem
legem in folutionc pofitam fequitur , efficit vt ce*

Jeritas

FLVIDORVIVl LINEARL 343

leritas aliquanto minor geMeretur , idque perinde fi-
ve maxima amplitudo ftatuatur in B fiue in A.
Ac a foret S zz i , quo cafu amplitudo in A vel B
cuanefceret , motus plane nullus orietur , vti per fe
cft manifeftum.

C o r o 1 1. 2.

136". Si eflet § = ct, feu denfitas vbique tubi
amplitudini effet proportionalis , foret

ideoque

^quibus formulis pro preifione inuenienda eft vtendum.

S c h o 1 i o n.

137- Quoniam igitur vidimus , quantum in-
aequalitas in tubi ^mplitudine conferat ad motum
aquae , inquiramus nunc etiam qualis motus fit ori-
turus in eodem tubo circulari , fi loca maximi et
minimi caloris non in diametrum horizontalem , fed
alium vtcunque oblique pofitum incidant , vbi qui-
dem amplitudinem tubi iterum vbique eaadem fta-
tuamus.

P r o b 1 e m a 6$.

13S. Sit vt hadenus tubus circularis in pla- Tab. Vi.
no verticali pofitus isque vbique aeque amplus •, ve F^s- 65.
rum maximus calor reperiatur in A minimus in B,

vt

344« D E M O T V

vt diameter A B fit ad horizontem H I inclinatus
angulo ACHziK^i atque cum hic tubus fuerit aqua
plenus , eius motum definire.

S o 1 u t i o.

Sit radius circuli C Azi: CB^c^ amplitudo
tubi conftans :=z ff \t fit oj —ff\ ac pro pundo
quouis S pofito angulo A C S zz: Cj) fit aquae denfi-
tas q 1=: i — OL cof. CP, ita vt in pundis E et F ea
fiat rz: i , "vbi aquae celeritas elapfo tempore t fta-
tuatur zii?, quae ergo eodem tempore in S erit
« — — 2f — ,— , cuius puncli S altitudo fuper hori-
7onte cum fit SP=:^fin.(C[)-~^)^s fi preflio in S
vocetur z=p, ob arcum ASzifC|) erit :

2gp-Au-ag./(i^acof.c})y(I)cor(ct)-^) --^^^ . £|^ :

At eft

/ijf Cp cofCp cof.(Cl)-^)=: i/^Cl)(cof ^+cof ( 2CJ)<-^) =:iCl> cof ^

+ifin.(2Cp-^;

ideoque habebitur :

££p:^A:r-2gi^fin.(Cl)-^)+flegfCj)cof<^-4-,Iagffin.(2Cp-^)

^ V V c Cp d V

I — a coj. <p 1i~r~ *

Hinc pro loco A preflionem duplici modo exprime-
re poterimus prout ponamus vel Cj)ro vel Cpn^Ttj
prior pofitio dat

2gp— A:^+2g^fin.^-^a^^fin.<-. ^^ ,

altera vero

2g/)-A :^+2^^rin.^-i-2a7rg^cof.<$[-sC^^fin ^- -^ - '-^

cdo

a <it

quae

FLVIDORVM LINEARL 345

qiinc dune expreiTiones cum inter fe debeant effe ae-
quaks eft

a g cof. <^ r: ~ , hincque v zz a g t coC. ^ ,

vnde ad quodwis tempus in quouis loco celeritas in-
notefcit cuius quidem direcftio in plagam A E B F
teiidit. Tum \ero preffio in loco quocunque S
erit :

p:z2:^-.Tin.(Cp-<)4-'a.fin.(2Cp-^)^i^^i||^.

Corol]. I.

139. Hinc ergo patet fi diameter AB per Icca
maximi minimique caloris tranfiens fuerit verticalis,
ita vt maximus calor fit in circuli loco vel fumn.o
vel imo ob cof <^ iz: o , nuUum motum a duerfita-
te caloris generatum iri ; fed aquam hoc cafu in
aequilibrio confiftere pofle, propterea quod in tubi lcy
cis aeque altis par caloris gradus reperitur.

C o r o 1 1. 2.

140. Si locus maximi caloris A a puncflo ho-
rizontali H minus quadrante diftet , fiue lurfum fi-
\e deorfum, motus aquae fiet in diredione AEBF;
fm autem illa diftantia H A quadrantem fuperet ,
quia tum cof ^ fit negatiuus , motus in contrarianv
plagam A F B E erit diredus.

C o r o 1 1. 3.

i44e. Semper ergo in locis inferioribus motus

fiet a regione frigidiore in calidiorcm j in fupcriori-

Tom. XV. Nou. Comm. X x bus

345 D E M 0 T V

bus vero contra a regione calidiore in frigidiorem ;
omnino irti iam fupra circa aequilibrium eft obfer»
vatum , etiamfi ibi motum iplum dcfinire haud
licuerit.

Scholion.

142. Cum igitur iam noii folum fit euidum,
aquam in tubo circulari , in quo ad pares altitu-
dinis gradus caloris fit diuerfus , in aequilibrio
confiftere non poife , fed etiam ipfum motum indc
genitum determinauerimus ; probe tcnendum eft hoc
tantum euenire , fi totus tubus fit aqua repletus ; fi
enim minor aquae copia ei fit infufa , ea femper
eiusmodi (itum habere poterit , in quo perpetuo ac-
quiefcat. In quo certe ingens paradoxon agnofci
debet , quod dum in eiusmodi tubo vacuum aHquod
fpatium admittitur , femper aequilibrium dari poftit,
id omni vacuo remoto fubito toUatur , ac neceflario
motus oriri debeat ,• multo maius autem hoc fiet
paradoxon , cum oftendero etiam admifl^o fpatio ab
aqua vacuo , dummodo fit minimum , aequilibrium
excludi , ita vt quoties illud vacuum certa quadam
quantitate fuerit minus , tum femper necefllirio mo-
tus generetur, quomodocunque aqua in tubo fit dis-
pofita fin autem id vacuum ifta quantitate fuerit
maius , tum femper aquae eiusmodi fitus tribui
queat , in quo perpetuo acquicfcat. Maxime igitur
operae pretium erit , vt hoc infigne paradoxon ac-
curatiflime euoluamus.

Proble-

FLVIDORVM' LINEARI. 347

P r o b 1 e m a 66.

143. Sit tubus circularis in plano vertlcali TaV VL
pofitus vbique " eiusdem amplitudinis , calor vero ^^S- ^^*
m^ximus ia A, minimus in B verletur , vt reda
A B fit diametcr horizontalis. Quod fi iam hu.us
tubi taiitum portio M N aquam coniineat , eius
motum inucftigiire.

S o 1 u t i o.

Sit radius circuli C A = C B r: i , amplitudo
tubi vbique eadem wizz^; calor autem ita com-
paratus, yt in loco quocunque S pofito arcu ASzzs
fit denfitas aquae qzz 1 — x cof. s. lam elapfo tem-
pore zz t occurret aqua tubo infufa fpatium M N ,
vocemusque arcus kM.zz.m et AN~«; ac primo
quidem perpendendum eft , aquae maflam perpetuo
eandem manere , cum ig'tur in S fit denfitas qzzi
— acof..r malTa aquae quae tubi portionem AS eflet
impletura , er t /^ ^ j zn x — ot fin. j* , vnde coiliu;i-
mus aquae portioacm M N implentis maffam f( re
rn « ■- wz — a cfin. w — fm. rn) , qaae cum fit conftani
ponatur cr 2 ^ In hunc finem ftatuatur :

/w -afin.w— « — ^ et n — a.{\\yn:zzu-\-e
ct quia a elt fradlio minima habebimus proxime
w — «— ^ + afm.(« — ^) et «zra-f-^i afin.(« + f)

vbi obferuo fi torus tubus effet aqua repletus fore
« — w -i- 2 TT ideoque % e "z^ 1 1: (tw e zz: 'n, ita \ t
tubus eatcnus non fit totus aqua repletub , quatenus

Xx a arcus

34S D E M O T V

arciis e minor eft femiperiphfria circuli tt radio exi-
flente iz; i. Cum nunc fit ;s =:: fin. j* erit fqdz
rz fin. j* — ^ a j- — -i a fin. 2 j , et pofita preflione ia
S z^^p habebitur
i2^/>r=: A: / - 2£( fin. T - iax -> fin- 2 X)- — ^ -^-AlL

vnde prefTio pro vtrojue termino M et N colligi
poterit fiue autem praeter aquam in tubo infit va-
cuum fiue aer , femper prefliones in M et N ae-
quales fint necefle eft ; ex quo fiet

4-2£(fin. «— ^a« -iafin. 2 w)+ -Jiii_ o- !LiJH. )

* o^ * ' I -acq/.n ' d f ( _^

— 2 jff f fin. 7» — 5 a ;;/ — ^ a fin. 2 w) — -^ !i_ll\ ~" ^

*^ ^ i~xcoJ.m d r j

Ex hac aequatione primum colligere licet , fub qui-
bus conditionibus aequilibrium locum habere queat.
Si enim hoc ftatu adfit aequiUbrium , oportet fit
tam 'y-o, quam ^zio , quod fieri nequit nifi fit :

fin.w— fin.w^— f («- w)— ^a(fin. 2« — fin. 27;/) — o

Quare quoties huic aequationi fatlsfieri poteft , ae-
quilibrium dabitur ; contra "vero neccffario motus
exorietur. Statim autem patet , fi fit «=127: + ;«,
hanc aequationem neutiquam fubfifiere, neque prop*
terea aequilibrium locum habere poffe. Statuamus
ergo ;j — 2 TT 4- ;;/ — 3^, atq>ue aequilibrium poftulat
hanc aequationem :

fin. (m-^y fin. m-ldiz-n-^yiaC fin. (2 m - ^)- fin. 2m)-0^

Sumamus $ valde paruum , eritque

'-$co[,m— iOi{2T[ '-$)'{- ^a^QO^, 2 m:izo

FLVIDORVM LINEARL 349

Ynde deducitur proxime cof. wz:'^-^—^^^ ^ nifi ergo fit

a(27r-^)<:2^ feu <^ > '^ ^

aequilibrium plane locum habere nequit.
Siue nutem nequilibrium excludatur fuie aqua ab
alia caufa fuerit agitata , motus ex fuperiori aequa-
tione definiri poterit. Litrodudla nempe noua varia-
bili u , vt fit

mzzu — e-^aCm.{u—e) et 72z=:u-\-e-\-a Cin.(u+e) erit

{in.m - fin. (« - f ) -f 5 a fin. 2 (« -^) j cof m n cof {u — e) — la

+ 'i a coi". 2 {u — e)

fin. n z fin. {u+e) + 5 « fiu. 2.{u-\-e); cof n = cof (w+ ^ ) — [ a

4-5CtCOf 2(«-ff)

fin. 2 m :^{m. z {u— e) — aC\n.{u— e)+ aCm. ^^{u-e)
fin. 2 « n fin. 2{u+e) — a fin, (u-\-e) -f a fin. 3 (« + ^).
Porro cum cekritas in M fit =z — ^" , - ex pro-

I — a, cof.m tr

motione momentanea concluditur temporis elemen-
tum d tc=:il!lli=^iS2!L!!l} fadaque fubftitutione fit
dt^—. Quia deinde eft proxime — ^- r: i + ct cof »,
noftra aequatio induet banc formam

2g(fin.«— fin.w;— ia(« — ?«)-ia(fin. 2«-fin. 2w))
+ a 1; <!;( cof «— cof w)+|^(« - z«)— o

lam vero ex fuperioribus formis elicitur
fin n — fin. mzz2 fin. ^cof z^ + a fin. 2 ^ cof iu-^n^m-ze

-}- aafin.fcof «
cof.«-coCwz:2fin.f fin.w-afin. 2^ fin. 2«^ fin.2«-fin. 2

m

:zz2im,2ezoC.iu
X X 3 fada

VVZl

350 • D E M O T V

fada ergo fubftitutione prodibit:

2vdv(e -{-aiin.e coC uy2a.vvduiin. e {in. u-\igdu{i fin.^cofM

— ae-^ladn.ze cof. 2u)zizo

quae per ^ •+■ a fin. e cof « nuiltiplicata integrabilis
redditur :

vv (^-Hafin. f cof uf-]~2gfdu( ze fin. ^cof u^aee
4-|a^fin. 2f cof 2U-\- ^a^m.e' coi.u )-zzQ

ita vt hinc prodeat
C--j^e{xne{\nM-\-2ageeu-2cigu{\ne-\(iL^e{\n s^fin 2«-a£rfin.<?Yin. 2U
(^^-afin.^cof.MJ*
feu

iw-Conft.~i|fin.^fin.«+^-^rin.^fin.«+2ag«-i^"fin./

-«i>iiifin.a«-ilfin./fin.2«.

2 e e e

Coroll. I. V

^44. Si ponamus e zz 1: , vt tubus fiat aqua
plenus, quem cafum quidem iam fupra enodauimus,
aequatio hic inuenta in hanc abit formam v v :^ C
•4- 2 ag « , vnde fit

ita vt fit 'vzzagt^ vti fupra inuenimus.

C o r o 1 1. 2.

145. Pro limite ad quem vsque aequilibrinm
locum habere poteft inuenimus ^ri^_^^, vnde fit

7W =: TT vel z« =1 - TT , et « =: tt - '-^ — i^ tt.

' 3 -^a a-+-a

2 a TT 2 — a

■ a

tiuc

FLVIDORVM LINEARI. 351

Hoc cafu inferior femicirculus totus aqua plenus ,
fupcrior vero aquam continebit vsque ad Dd exiften-
tQ B D zz -~^ tt; qui eft extremus ftatus aequilibrii.

C O r O 1 1. 3.
145. Hinc fequitur , fi portio tubi aqua de-
ftituta fuerit maior quam 7^^ tt , tum femper ae-
quilibrium exhiberi pofle , fin autem illa portio
minor fit quam ^-^-^tt, tum aequilibrio nuUus plane
locus relinquitur fed aqua quafi fponte motum
concipiet.

S c h o 1 i o n.

157. Paradoxon ergo fupra memoratum ita
refoluitur , vt quando tubus non omnino aqua eft
plenus , in eoque fpatium vacuum relinquitur ,
aequilibrium quidem fempcr locum liabere poftTit ,
dummodo hoc fpatium vacuum non fuerit valde
paruum. Datur enim terminus quidam valde exiguus
et a difcrimine inter maximam minimamque aquae
denfitatem pendens, quo fi fparium iliud vacuum fuerit
minus , aequilibrium penitus excludatur , et aqua
in tubo contenta , quemcunque fitum tenuerit , ne-
cefllirio ad motum concitetur. Cum cognitio huius
termini maximi fit momenti , eum accuratius ex
aequatione difFerentiali inta ^ et « definiamus et quia
nouimus tum tubum fere cflTe plenum, ponamus pro
hoc termino efle ezii: — z, exiftcnte e arcu minimo
atque vt tam 1; quam g euanefcat , oportet fit

«ecoftt — aTT -}■ ae — ascof. i^wno feu
e — «?

2 co/. u -j- a — a co/. 2 u '

quae

35

D E M O T V

quae exprefllo minima rcddi dcbet , vt valor pro s
minimus etiam nunc aequilibrium adinittens obtinea-
tur. Sumi igitur debet u ziz o , vnde fit s zz; | ct vr
tum autem hoc aequilibrii ftatu extremo reperitur ,

mzz-n-^-' lciiizz-li — la)^ et nzzii-^)!:
Tt fit longitudo \enae aqueae in tubo contentae

ideoque fpatium \acuum - ct tt^ quod in aequilibrio
ita locum B vbi denfitas eft maxima occupabit , vt
altera extremitas infra pundum B altera fupra id
cadat interuallo iaii^ quae determinatio accuratior eft
ea , quae in coroll. 2 circa fpatium B D eft data ,
etiamfi acquilibrium in quouis fitu proximo aeque
fubfiftere queat.

P r o b 1 e m a 6*7.

ff^^ Yj^ 148. Si tubus in fe rediens habuerit flguram

Fig. 67. quamcunque, gradusque caloris in eo vtcunque di-

verfus , vt uqua qua eum penitus repletum nfliimi-

mus , in aequiUbrio confiftere nequeat : motum in

<a genitum determinare.

S o 1 u t i o.

Sit in A calor maximus ideoque denfitas
ininima , quae ponatur :=: r , ibique fit tubi ampli-
tudo zzff; in loco B vero fit calor minimus ideo-
que denfitas maxima zr i 4- a. Confideretur nunc
locus tubi quicunquc S, et ponatur in eius diredri-

ce

FLVIDORVM LINEARI. 353

ce longitudo A S n x, amplitudo S j* zz w et altitu-
do fupra . planum horizonta'e fixum zz: z j quod
planum per ipfum pundum A ducere licet, denfitas
vero ib'dem fit i^ q, lam elapfo tempore — t ,
aqua eiusmodi motum acquifierit , vt in A celeri-
tas in plagam A S, fit — «y , ideoque in S futura
fit y :^^^, Quodfi ergo flatuamus preflionem ia
Szz.p ^ hanc fupra clicuimus aequationem :

quae ob fqdzzqz —fz d q transformetur in hanc

vbi integraiia per totam longitudinem tubi AS capi
aflumo, ita vt pofito s zz o ea quoque euanefcant.
Pro ipfo ergo pundo A , vbi etiam fieri zzzo
fumimus ^ erit

^gpizAit^vi) ob qzzi et wrrjf

candem autem preflionem prodire necefle eft , (i
arcum s eousque augeamus , vt confeda tota tubi
longitudine pundum S in A transfcratur , qualem
ergo formam tum noftra aequatio fit indutura , in-
veftigari oportet. Ac primo quidem obferuo fi am-
plitudo tubi vbique eflet eadem wzrjf, tum for-
mulam fff^^ longitudinem totius tubi in fe redeun-
tis efle exprefliiram, quatenus ergo amplitudo vana-
biiis (jj fuerit vei maior vel minor quam ff, eatenus
valor iftius integralis vel minor erit vel jnaior illa
longitudine tota. Pofita ergo tota hac longitudine
zra^ ftatuatur intrgrais per totum tubum expanfum
Tom.XV.Nou.Comm. Yy fff

354 I^ E M O T V

fff^ziz^Ka. Deinde integralc /^ per totun\
tubum extenfum vel iterum euanefcit , vel
certum quendam valorem induit, prout binae varia-
biles ^ et oj inter fe fuerint comparatae , ponamus
ergo valorem integralis /l^ per totum tubum ex-
tenfi zz^. Integralis ^imcm fzdq vajor diligento-
rem inueftigationem poftulat ; fumatur ia tubo alius
locus S' vbi denfitas aquae eadem fit ~q atque in
loco S , ibi autem altitudo fuper plano horizontali
fixo fit zz s'. Quia vero ab A ad S progrediendo
quantitas ^ augebatur , vlterius autem curfu per B
vsque ad S' inftituto, quantitas q decrefcit pro pun-
£lo S' loco dq fcribere debemus —dq^ ita vt binis
tubi elementis in S et S' iundim (umtis habeatur
{z " z')d q ^ et nunc integrale f{z — z'}dq ab A
-^ tantum vsque B extendi oportet- Hunc in finem
^fig. 68. ^""^^^ ^^^^ C A zi: denfitati minimae i , et C B z=
maximae i+a notentur quotcunque denfitates mediae
CE,CF,CG,CH etc. atque in tubo notentut
bina loca coniugata EE', FF', GG', HH' in quibus
illae denfitates infint , tum cuique excefiui , quo
altitudo pundlorum E, F, G, H fuperat altitudinem
punftorum E^ F', G^ H' ftatuantur applicatae aequa-
les Ee, F/, G g, Hb, et curuae per puncla e , f,
g,h ducHiae area kefghBA dabit verum valorem
integralis /:s ^^ quatenus per totara tubi longitudi-
nem extenditur. Statuamus hunc valorem fzdq-h
et fadlo integro circuitu pro preftTione in A habebimus

* qui

FLVIDORVM LINEARI. 355

qui valor cum ante iimento 2, gp r= A: ^ — rj <y ae-
qualis efTe debeat pro motu determinando nafcetur
haec aequatio :

'Kadv+ix.vvdtzzzghdt feu dfz:-^^^^—

quae tres fupeditat cafus conliderandos

I. Si \K—Q erit t — ^^ ideoque v—^^t.

II. Sia>o; ponatur fJL — i^, fit ^'/--Ht^-^^, hinc-
que integrando ^— — ^^ri^' fiquidem pofito ^-o

efle debet i;z:o faciamus j^ — z:y, eritque ^- -r^T — c,

Hoc ergo cafu celeritas q) quidem crefcit fed non
vltra terminum c quem demum elapfo tempore in-
finito aflequitur. Hinc cafus primus nalcitur fi c-co,

IIL Si w.<:o ponatur fjL--=iS& yt fiat dt-^^^-^^
hincque integrando t — ~| Ang. tang. ~ : vnde ehci-
mus fuziic tang. ^ t. Hoc ergo cafu elapfo tem •
pore finito t =; "—^ , celeritas v iam fit infinita.

Exemplum.

149. Sit tubus circularis in plano verticali Xab VI
pofitus aqua plenus radio exiftente C A zz: C B = r. Fig.e^. *
Sumto autem angulo A C S — $» , fit in S denfitas
aquae ^ z= i - a cof Cj) , et amplitudo tubi o) zr^
(i-pfin. $) ahitudo vero fupcr plano horizontali
zzi: c fin. ([) cxiftente arcu kSzz:c(^zzs. Cum
iam pro moiu in plagam AECD, pofita infedione

Yy 2 vbi

35<J D E M O T V

vbi foret dcnfitas r: i et amplitiido =jf > celeritatc
zz. V , haec inuenta fit aequatio

his intcgralibus per totum circulum extenfis fingnla
feorfim euoluamus. Ac primo quidem ob ^zi^fin.Cp
et d q zz a d (p fin. <$) erit

/zdq-acfd(pCin. <p"-'^oLcfd (p{i-coC 2Cf))riar($-ifin. sCJ))
cuius valor per totum circuhim ponendo (^ zz: z i:
cxpanfum praebet fz d q zz ix a c, Deinde ob d s
tf-^Cj) et w :=/(! -(3fin. Cf)) fit

//i:=^/n^.^= v-:^) ( A^^S. fm. y ( I ^ p p)

-Ang.fm.-^i^O.
Sit >4y angulus ifte cuius fmus eft '^l^^.-^^ , et
pofito (pzz.90' fit v|y — o, pofito autem CpiZTrfit
vpni-Ang.fin.y^i-pp)

pofito porro Cj)— 270° fit v(yzi: — tt, pofito denique
Cp zr 2 TT colhgitur

vpii:— 2 TT H- Ang.fin. y (i - P|3) ,

ex quo pro toto circulo fit fff^zn—}'^^^ quod
idem clarius fit fi (3 vt valde paruum fpedemus ,
tum enim erit

/--||-^=/^Cl)(i+pfin.(p)~Cl)^(3co(.C|>4-(3,

cuius valor pofito Cf)=r27r fit —^tt. Pro tertia
formula integrali ob d oi zz — ^ ffd(pco[, Cj) et
^ = 1 - a cof. Cp erit

r/

FLVIDORVM LINEARI. 357

/■* rdjd — _ o r d ^ cof. (^

J ^ qia^ ' '' ( 1 — acoj. Cp)(i — p/zn.(p)J

Coniideremus iterum p perinde ac ct valde paruum
vr denominator cenferi polTit iii i — acof.Cp— 3 [3 fin. Cf) ,
hincque habeatur

/y^^-^(3/^(J)corCt)(r+«cor.$)-f3p^in. 4>) ^eu

cuius valor pofito (J) — stt fit =1 — 7ra(3. Quocirca
noftra aequatio difFerentialis ita fe habebit :

011:2 7rag^H-7raf3a;^-^-L^^. if

vbi quia ipfius (3 altiores dimenfiones negligimus
loco y (i — (3 (3) fcribere licet i , ita vt fit
c d^

"" a(g^-i-^(3-i?'z;)'

Cura crgo fadla comparatione cum forma fupra.

exhibita fit X^ — ^, 1 gh — agc et \x. — — laL^,

fi j3 fit numerus pofitiuus ex cafu tertio fit cc:z^-^

— ^M«
1=:^ et czzV^-^ vnde colligitur :

ita vt poft tempus ; z= ^^^ fec. celeritas iam fiat
infinita.

At fi § fit numerus negatiuus feu amplitudo tubi
in S generaliter cj ir J"(i 4- € fin. Cj)) comparatio
cum ca(u fecundo inftitui debet ,• ex quo ob 'Ka-c
ngb—cigc', et [x — la^ fit ^•^^i^p, et czzV^]
Capiatur crgo numerus y:zz"-^^ et ad datum

Y y 3 tempus

35S D E M O T V

W 1 g c e^^ — 1 .

tempus t erlt i? =r, -y^g" • ~^rrri ^^^^ ^^^^ ^^^^'

ritas elapfo demum tempore infinito fit zn ^^^|-^-

C o r o 1 1. I.

150. Ex cafu w— /'(i -gfin. (|)) difcimus ia
genere , ^\ tubi pars (uperior A E B anguftior Ut
quam pars inferior A DB, tum motum aquae tan-
topere accelerari , \t iam tempore finito celcritas
fiat infinita. Ex altero vero cafu 03=r^(i-l-Sfin.(P)
colligimus in genere , fi tubi pars fiiperior A E B
fuerit amplior inferiori A D B, tum motum multo
minus accelerari , vt elapfo adeo temporc infinito
celeritas non fit certum limitem fuperatura.

Coroll. 2.

151. Pro formula integrali f f^ fi tantum
a vt fradio \alde parua fpedetur , ipfi S valorem
quemcunque vnitate faltem minorem relinquendo ,
calculo fubdudo reperitur eius valor per totum cir-
culum extenfus z= (-, Zge) v(f"6T) ^^^"^^"^ motus hac
acquatione exprimetur :

1(1 •^'^'^)c dv
dt == — ; •

C o r o 1 1. 3.

152. Calculo hinc vlteriori fubdudo pro am-
plltudine o)i3:/*<i- €lin. (p) reperitur i;=:(i-ee)'

"VP

FLVIDOx^VxM LINEARI. 359

-y^— tang. — ; t pro altero vero cafu

(i — gg)* V '^gi^
amplitudinis bizzff{i -h S fin. (f)) fu-nto

ent i;zz(i-egj -7-^. -^rr-.-

2 a

S c h o I i o n.

153. Quando vti in exemplo aliato \Ci\ venit^ ^, ^^
quantitates variabilcs q, z et oj, (unt ccrtne fundio- Fig 69/
ncs continuae ipfius j* inueftigatio fecundum prae-
cepta analyleos confueta iiiQitui potell. Vcrum fi
tubus conftct pluribus partibus nuUa continuitatis
lege inter fe connexis , tum pro fingulis partibus
valores formularum integralium , quae in motus de-
terminationem ingrediuntur , reorfim inueftigari ac
deinceps colligi oportet. Diredrice tubi A B in
diredum extenfa pro eius portione E F dentur in
E altitudo E H — ^, amplitudo tubi E N ~ffn et
denfitate aquae E M =r. m in F vero fint eadem ele-
menta EW — b'; EK'rzffn', et E M' =:;;?', quae
ab E et F ita vniformitcr mutari aflumamus vt
fcalae ea repracfentantes H2H', NON^ et MQM'
pro lineis redis haberi poftint. Hinc EF=r<?, et
Es^-^, vt fit dszzdx, erit S2z=^zz/[?4-^*^* ;
S0=:-a)=/(«4-^^-^^-^) et SQ=:^=:f//-+- ^!:^^i£.
Quamobrcm fi differentias h' — h, n' — n et m' — m
vt valde paruas fpedemus , inueniemus primo fff^

-7

3^0 DE MOTV FLVID. LINEARL

— f, iif? , quod per fpatium E F n: ^ expan-

fum fit

— ;irir;i^S-—^U 2nn ^ zn^ '''■'' ^'

Deinde eft

fz d q - V^fdx ih + '"^^)

quod integrale pariter per totum fpatium E F zi: /
expanfum praebet

f z d q '=^\\y -^ h) [m^ - m).
Denique formula f f\^, abit in hanc formam

»'^ fiL- - liB^JL) xX" (I^i:^) X X etC.)

"en'' ^mn 2 e m n n ^emmn

ficque iftius formulae valor per fpatium E F exten-
fus erit

n'-^n ^ 3 (n' — wP ^ (m' — m) jn' — n)
m n^ 2 m n* 2 m m n^ '

cuius fufiicit partem fumfifle primam ~~. Exem-
pla non addo , quia praccipua phaenomena ex figura
circulari fatis iam funt fat^a manifefta,

EXAMEN

E X A M E N

PHYSICO - MECHANICVM

DE

MOTV MIXTO QVI LAMINIS ELASTICIS A

PHRCVSSIGNE SIMVL IMPRIMITVR.

A u c t o r e
DANIELE BEKNOVLLL

V/ arii vtique fyftemati rimul ineflfe poflunt mo-
' tus , qiiorum vnusquisque , ,independenter a
reliquis , fua peculiari lege perficiatur , non fecus ac
fi lolus efllt; Duo iiuius rei allegabo exempla, quac
praefentium commentationum argumentum facient:
primo motum progreflTiuum coniuntflum cum motu
rotatorio circa centrum grauitatis , fecundo motum
itidem progrefliuum cui accedit motus vibratorius ;
in vtroque exemplo ambo flmul motus ab vna eadem-
que caufa fimplici, nempe a percuflTione , produci
pofllint. Requiritur autem quanam proportione
vterque efFedus a communi caufa fit oriturus ; et-
cnim tanto minor orietur a percufllone motus pro-
greiruius atque adeo tanto magis aberrabunt Jeges
communiter receptae de motibus a percuflione ori-
yndis , quanto maior vis percuflTionis pars impendi-
Tom. XV. Nou. Comm. 2 z lur

S52 DE MOTV MIXTO

tur in motum rotatorium vel vibratorium excitaa-
dum. Equidem Iblutionem quaeftionis noQrae pro
motu rotatorio coniundo cum motu progreiruto iani
ante plurimos annos , cum a nemine adhuc trada-
tnm elTet hoc argumentum , cum Academia com-
municaui in Diatriba hifce commentariis iuo tem-
pore inferta de percuffione excentrka : quia vero ani-
mus eft communi principio theoriam ruperinftruere ,
erit e re noftra priftinum argumentum breuiter re-
fumere,

Tab VII, 5. 2. Sit igitur virga a h reda , vtcunquc

Fig. I. inaequaiiter grauis nullamque admittens inflexionem:

percutiatur in pundo c verfus y atque hoc pundlum,

primo poft percufTionem tempulculo, peruenire pute-

tur in y totamque virgam in fitum a y ^ ^ ^ic

ambo fitus fe interfecabunt in pundlo e ; i(lud vero

pundum vel intra cxtremitates a tx. b vel cxtra

eas cadere poterit ; ab eo autem tempore audire coepit

centrmn rotatioms fpontaneae , etiamfi pro primo

tantum a perculTionc tempufculo admitti poflit : vera

rotatio fit circa centrum grauitatis , quod ipfum fi-

mul motu redilineo vniformiter moueri pergit ,

licque motus abfolutus vniuscuiusque pundi varia-

bilis eft nec pundum interfedionis e abfolute quiefcit,

ad momentum quam cum motus centri grauitatis

ad pofitionem virgae perpendicularis eft. Sumatur

nunc puncftum e pro initio abfciflarum fitque diftan-

tia c e — s \ deinde duo accipiantur pundla infinite

propinqua o et p j ponatur eo-zzx -^ op z= d x;

centro

LAMINIS ELASTIC A PERCVSS. IMPR. ^553

centro e ducantur arculi infinite parui d^ ^ oq^ pr^
c y et a OL '^ denotat autem pundum d pofitionem
ceiitri grauitatib*. denique ponduiculum clementi 0 p
ponatur zz d^, lam putetur loco pondufculi d ^
aliud fubftitui in pundo perculTionis c\ quod vi im-
pellenti eandem ofFerat inertiam refpedu pundi e ,
quod tanquam quiefcens eo momento pro pundo
fixo , circa quod rotatio fiat , affumi poterit; norum
eft hoc pondufculum in pundo c lubftituendum efle
::::: ^ ^/ g, Hoc modo erit maftii integra in c fub-

-ftituenda zzf^-^^-^' lam vero per fe patct , pun-
dum e itd fore locatum vt omnis mafta in c fub-
ftituta minima fiat feu yt minimam inertiam vi
impcPenti offerat ; igitur efficiendum erit , vt ifta
quantitas f^JL^ \el Ji_^JJ ( eft enim hadenus di-*

ffantia s conftans ) minima fiat. Hunc in finem di*
ilantia s quantitate infinite parua augeri ponatur ,
quam vocabimus a ; fic pro diftantiis j* et x fub-!-
ftituendae erunt diftantiae s -^- a et x ^ a atque
tunc fiet tota maffa in puncH^o percuffionis c fub-
ftituenda ^^■'\^'^^ 't atque haec priori cenfenda
eft aequahs vi legis maximorum ct minimorum :
aequatio ifla , reiedis terminis infinite paruif. fecundi
ordinis, dat denique x— -J-^^^. Igitur punAum c
cft centrum ofcillationis virgae ab ex pundo c
fufpenlae vel reciproce pundlum quaefitum e efl
ccntrum ofcillationis virgac cx pundo percuffionis
fufpenfae. Atque haec eft cadem illa proprietas
quam oUm obferuaueram.

22 n ' §.3.

!^6^ DEMOTVMIXTO

§. 3. Alio nunc vtar principio metaphyfico
amplioris vfus etft parum diuerfo. Si maflli omnium
particularum , poftquam in pundlum percuflionis
translatae fuerunt , minima fit , confequens eft , vt
pro eadem velocitate pundli c integra vis viua a per-
cuffione in virgam , antea quiescentem , translata
minima fiat ; hoc equidem principium in praefenti
quaeftione mihi clarum videtur. Exprimatur velo-
citas pundi c per ^r y ficque c y -zz c atque tunc
quaeritur, quisnam futurus fit integrae virgae motus ?

Ponatur iterum virgam , poft primum a per-
cuflTione tempufculum , fitum primitiuum a b com-
mutafie cum fitu a I?, retentis omnibus denomina-
tionibus antea adhlbitis. Erit velocitas in pundlo
ozz-c atque vis viua elementi 0 p Rct zz^~ccd^v
ergo vis viua integrae virgae erit —f\^ ccd^, et
cum ponitur c conftans fequitur iterum ex altero
principio , pundum e ita eflb pofitum vt fit quan-
titas f-^- minima.

Gaudet etiam punAum e hac proprietate geo-
metrica fi virga fuerit vniformiter grauis vt foli-
dum generatum ex rotatione lineae a S circa axem
a b inter omnia alia minimum fit. Caeterum ex
determinata pofitione pundi e immediate deducitur
relatio inter motum progrefliuum communem et
motum rotatorium ; pofito enim centro grauitatis in
d^ erit motus centri grauitatis ad motum rotatorium
pundi c circa centrum grauitatis , vt ^^ ad ^Y
— */^ amboque tales deinde permanebunt.

§. 4.

LAMINIS ELASTIC A PERCVSS. IMPR. 3<?S

§. 4. Quia pundum percuiTionis ad arbitrium
fumi poteft , liquet rationem quamcunque datam in-
ter Ytrumque motum obtineri pofle ; haec autem
vtique ratio non mutabitur fme fort us fiue leuius
virga percufla fuerit. Qiiod fi vero in ipfo centro
grauitatis percutiatur omnis euanefcet motus rotato-
rius , quia tunc centrum ofcillationis infinite diftat
a pundo percuffionis fiue a centro grauitatis , fic
vt linea a S maneat conftanter parallela cum linea
a b. Vici(fim , dato vtroque motu in virga fimul
coexiQente , facile erit percuifionem indicare qua
ambo motus vna fuerint gencrati»

§. 5. Prouti motus rotntorius virgae circa
fuum centrum grauitatis vna cum motu eiusdem
progrelfiuo vniformiter fimul confiftere poflunt , ita
et motus vibratorii cum motu progrefliuo in virga
coexiftere polfunt , fi flexilis et elaftica ponatur: pa-
tet quoque motus vibratorios feorflm fumtos fitum
centri grauitatis non variare nec motum vnum ab
altero perturbari ; ambo autem motus fimul ab vna
eademque pcrcuflione produci poterunt; nouum iftud
argumentum phyficorum aeque nc geometrarum exa-
mine haud indignum puto. Ne vero in iplo limi-
ne a pluribus difficultatibus inutiliter vexemur , to-
tam rem ad fimpliciflimas reducam hjpotliefes.

Fuerit \irga vel lamina tota fua longitudine
aeque crafla , grauis , flexilis et vbique perfedle ela-
ftica : haec fiiper plano horiz')ntali quiefcer.s percu-
tiatur ia medio centro grauititis; flc hmiaa a per-

Z z 3 culfioae

3(^<J DE MOTV MIXTO

cuffione praeter motiim pro2,re{riuum limul obtine-
bit motus rec^procos vel vibratorios ; hafce vibratio-
nes , vt fieri folet , pro valde paruis habebimus ;
attamen cum incredibili rapiditate abfoluantur et fe
inuicem fubfequantur , fieri poterit vt hifce motibus
vis viua infit , quae notabilem habeat proportio-
nem cum vi viua motui eiusdem laminae progres-
fiuo debita : vnde motus progrelTiuus , quem lamina
ab impulfu obtinuit , haud parum diminuetur. Le-
ges enim motuum a percuffione in corporibus ela-
lafticis fupponunt omnem ab impulfu efFednm iii
variationem motuum progrefliuorum impendi,quam
fuppofitionem vel folus fonus corporum percuflbrum
deflruit.

§. 6. Notetur porro , percuffionem phyficc
Gonfideratam , comparari pcffe cum enormi preifione
parum admodum durante ; perciiflio autem tam diu
durat , quamdiu corpora manent contigua , hnecque
contiguitas ob flexibilitatem corporum ad momen-
tum temporis phyfKum perdurare poteft et donec
fubflftit variatio in fyftemate oritur nimis compli-
cata , quam vt calculos admittat. Non hacfltaui
adeoque fupponere integram percufflonem fieri in
inftanti. Solenne eft phyflcis fl^xibilitati corporum
fubftituere elaflrum inter ambo corpora pofuum ,
quod comprimi fefeque reftituere pofflt ^ fl tunc
tale elaftrum lcngitudinem haberc infinitc paruam
fmgamus, veram habebimus ideam pcrcufljonis in
inftanti peradae : hoc i.^itur ipfo inftanti laminoc

pcc^

LAMINIS ELASTIC A PARCVSS. IMPR. 3^7

percufFae ambos fuos motus totos impreflbs cenfebi-
mus atque , fi morum laminae vibraiorium reorficn
confidcremus , reduda erit lamina in ft.itum , quem
habet inter \'ibrandum , quoties in lineam redtam
reflituiuir atque in partem contrariam infiedi inci-
pit , quod in quauis media vibratione conringit.
Hic omnin ) requiritur notitia harum vibrationum ,
quarum infinitae funt fpecies ,• argumentum irtud an-
te hos triginta et quod excurrit annos Xcrupulofe ,
pro eius dignitate atque complicatione , perquifiui
eiiisque integram theoriam expofui in commentariis
hifcc , duobus fchediasmatibus , altero^ de vibrationibus
et fono laminarwn ekflicarum altero de fonis muliifa'
riis quos laminae ehfticae diuerfimode edunt. Illuftris
Eulerus nofter , cui iftud argumentum propofue-
ram , folutionem inuenit cum mea plane confbr-
mem. Plura tum temporis iam monui expreflls
verbis de coexiflentia vibrationum diuerfarum fonis-
que pluribus , qui inde producuntur , fimul et vna
diftindifTime perceptis , quibus principiis longo poft
tempore vfus fum ad illuftrandam theoriam de chor-
dis fonorls atque vibrationibus lyftematum , ex quo-
cunque numero corporum , compofitorum ; haec
omnia forent in memoriam reuocanda , fi omni ri-
gorc praefentes disquifitiones pertradare vellemus ;
nt potius operam dabo vt quae dicenda habeo in
compendium contrahantur.

§. 7. Quaeritur imprimis nn proportio inter '^^^- "^^»
vtrumquc motum , primo poft percuihonem tem- ^^^' ^'

pufculo ,

^58 DE MOTV MIXTO

pufculo , definiri poflit ? Fuerit ante percuiTionem
lamina reda et vniformis in fitu a b {fig. 2.) eaque
percutiatur in pundo medio c : putetur pundum c
primo poft perculTionem tempufculo infinite paruo
peruenire in y atque laminam incuruari fimulque
transferri m fitum a y ^. Ducatur redla a S vna
cum lineola ycp-. fuerit centrum grauitatis laminae
incuruatae in 0 : fic exprimet lineola c 0 velocita-
tem centri grauitatis tt 0 y velocitatem motus vi-
bratorii pro laminae pundo medio , eo temporis
momento quo lamina fe incuruare incipit ; tota au-
tem c y repraefentabit velocitatem abfolutam pun- •
cfti c. lam vero liceat fupponere curuam a. y ^
pertinere ad claflem earum curiiarum , quas lamina
fuccefiiue aflimut , dum vibrationes fuas format ^ at
tunc quaeftio erit quanta futura fit amplitudo yP»
qua demum curua ipfa fpecie fua determinatur ? ego
quidem exiftimo , curuam a y ^ \^ti:x omnts focias
talem fore , vt permutatio vi viua minima pro ea-
dem translatione c y abfoluatur : hoc mod3 propo-
fitus effec^us veiuti minimis impenfis obtineri vide-
tur \ nec nos fcfellit principium , quum eo §. 3.
Tteremur ad determinandum motum virgae rigidae
a percuflTione excentrica : nemini obtrudam hypothe-
fes 5 videamus faltem quo nos perducant.

§. 8 Per pundum y ducatur linea vi n ipfi
tt h parallela et aequalis : fit y mznl'., fuerit , pro
pundo qualicunque ^, abfcifl^a yq — X'^ applicata
j r z^ys lineola data y czn"^ et quaefita y /> = a;

mcmi-

LAMINIS ELASTIC. A PERCVSS. IMPR. 3(^9

meminerimus aiitem qnantitates y^ «, S efle veluti
infinite paruas. Quaccunque iam fuerit curua wy'^?
iiotum eft atque demonftratum ex natura vibratio-
num minimarum ifcchronarum , fingulas applicatas
q r Yuice penciere a n-axima amplitudine y /) r= a
et a fun(5lione numerica compofita ex abfciffa x et
lcmilongitudine /, quae fun(flio fi indicetur per §
habebitur j' iz.^ «; producfla autcm lineqla qr Tsque
in X fit j- r zz € — ^ a et cum motus abfohitus ele^
menti dx repracfcntetur per j* r , exprimemus vim
viuam elem.enti dx per (^ — ^ a)' ^ x atque vim
viuam partis y r per /(? — § af d x fiue per S §0?
— za^/^dx-^aaf^^dx. lam vero manenti-
bus vah.ribus i^, x et 2 erit amphtudo a hac lege
accipienda vt fiida poft integrat onem a,' zi: /fiat quan-
titas e g .v - 2 a e/g ^x 4- a a/g ^d x minima :
pofito igitur fola nunc ampHtudine a variabili , erit
differentiale huius quantitatis =1:0 flue —^^daf^dx
-f ladaf^^dx-o'^ vnde |- — ||r^. ^i vero
pro ^ reponatur valor ipfius ^- atque nunc iterum
a pro quantitate conftante, vt debet, aflumitur , ha-
bebitur aequatio finalis :

g Jy y d X

§. 9. Egregiam haec aequatio indicat proprie-
tatcm \ fcihcct fumatur m n pro axe horizontah ,
circa quem curua cc y S, qualiscunque ad hoc nego- ,
tium fumenda fuerit , minimas perficiat ofcillationes
erit pundlum c in centro ofcillationis huius curuae ;
Tom. XV. Nou. Comm. A a a ^ui*

S70 DE MOTV MIXTO

quia porro centrum grauitatis eiusdem curuas pofi-
tum fuit in o , repraefentabit dilkntia centri ofcilla-
tion s a centro grauitatis , id efl: , diftantia c o \eio-
citatem motus progrefiiui a pcrcuiiione oriundi, fiue
Telocitatem centri grauitatis , baecque velocitas per-
manebit. Deinde lineola o y exprimit Yelocitatem
initialem pundli medii c , quae ad motum \ibra-
torium pcrtinet , haec \elocitas \iuratoria poftea
fenfim diminuitur inftar corporis penduli dum inter
ofcillandum arcum afcenfus defcribit. Sed et olim
demonflraui longitudinem penduli , quod cum \i-
brationibus laminae ifochronum eft ^ atque ex his
omnibus intcger laminae motus a percuffione defini-
tur , modo congrua accipiatur curua a y ^.

§. lO. Nunc itaque requiritur vt curuatura
laminae confideretur j Demonftraui oHm in duobus
fchediasmatibus §. 6. allegatis curuaturam laminac
motiunculis reciprocis agitatae gencraHflime hac ex-

X •—-X

primi aequatione y — ae ^ -^ h e ^ -f- Z? fin. (j + »)
quae infinitas curuarum claffes fubminiftrat , inter
quas fola fimpliciflima hic atientionem mcretur ,
quia omnia experimenta indicant yibratiunculas
altiorum generum excurfiones facere Jonge minimas;
licebit faltem rem ita confiderare, quafi Jamina folas
fuas vibrationes fundamentales ad normam figurae 2.
perficiat, fed ct tunc aequatio quantitatibus fimilibus
exprimitur , Yude intelligitur quantitatem fyydx om-
nem fere analyfin eludere; igitur reccurrendum crit ad
approximationes per feries, quas pariter in citatis amba-

bus

LAMINIS ELASTIC. A PERCVSS. IMPR. ST^

bns diatribis exbibui : feci et haec operatio taediofa foret
Aliiim igitnr aperiam methodum facilem atqne parum
a vero abduceiuem tramite , quod fola figurae in-
fpedione manifeftum fit et quod ipfo calculo edo-
<flus fum. Scilicet fupponere licebit curuam a y §
-{implicem effe parabolam , quae verticem habeat in
y fupcr -axe yp et cnius parameter veluti iufinities
maior fiT quam amplitudo y p,

§. II. Ponatur itaque , retentls denominatio-
nibus antca adhibitis , ^' z^ ^ a , quae eft aequatio
ad parabolam cuius parameter n: ^ adeoque veluti
infinita quia ct fupponitur valde parua. Quod fi
iam pro tali parabola ponatur y p Hz a , reperitur
y (? z= j.a, quae denotat diffantiam centri grauitatis
0 a vertice y : inuenitur porro y ^ iz: | a , quae efl
diflantia centri ofcillationis a vertice ( §. 9. ) ; hinc
ctiam cozz-^jd atque rpzi:|a. Valores ifti nos
docent quod fi lamina primo poft percufhonem tcm-
pufculo fitum a b permutarit cum fitu a y S, haec
permutatio ita fada fit vt centrum grauitatis de-
fcripferit hneolam co^^^ai ifta vero permutatio
indicat velocitatem motus progreffini , quae perma-
hens erit ; hoc motu lamina a b cenfenda eft per-
venifTe in fitum parallelum / g per centrnm graui-
tatis 0 tranfeuntem. Deinde oy — \a exprimit velo-
citatem, qua pundlum medium motum fuum vibra-
torium fuper axem / g efficere incipit. Denique
r y =: J a exprimit velocitatem initialem abfolutam
punai medii <: in quo percufTio fadla fuit. Efl ita-

A a a a que

372 DEMOTVMIXTO

que velocitas c o ^d Yelocitatcm <? y vt ^ a ad 5 ct
fiue vt 4. ad 5«

§. 12. Determinanda fiipereft vis viua InrninaCy
quae ex vtroque motu feoriim nafcitur. Quod pri-
mo pertinet ad motum localem progrefliuum , velo-
citas eius , fingulis elementis communis , atftimnnda
eft ex cozzz-^^a eiusque maflli ex longitudine laminae
::r 2 / , vnde ftatim cruitur vis viua pro motu la-
minae progrejTiuo znaifa ct /. At vero vis viua ,
inotui vibratorio debita , deducenda eft ex velocitate
fmgularum particularum , fada velocitate pundi
niedii — ^ y zz 1 a : ifta vero velocitas pro quouis
alio pundo r mutatur in '^a—y^ ergo pro motu
vibratorio fit vis viua cuiuscunque elementi :

cuius integrale eft — Jaa:c-^-^y~4-^— ' : fic ,
fadta xznl^ oritur vis viua pro dimidia lamina
-zz^-^ OLtxl adeoque vis viua totius laminae motui
"vibratorio debita zz: ^^ ol ol l -., funt itaque vires viuae,
motui progrefljuo et motui vibratorio debitae vt Ui
ad 5j feu vt 4 ad 5. Ergo liaec ratio , quod no-
tari meretur , eadem eft cum ratione quam inueui-
inus inter velocitates pundi medii pro vtroque
motu feorfim fumto. Quod fi igitui; integra vis
viua , quam lamina vtroque fuo motu a percuffione
accepit , dicatur A , erit vis viua foli motui pro-
grefluio debita tantum 5 A ipfaque velocitas huius
motus erit | eius velocitatis quam le^es communiter

receptae

LAMINIS ELASilC A PERCVSS.IMPR. 373

receptae indicant. Haec omnia vcro propemodum
eadem erunt fi loco curynturae parabolicae ea lub-
flituatur , quam lamina motu fuo \ibratorio natura-
litcr afiumit. Reliquae interirrf | parres vis viuae
totalia in motum vibratorium formmdum ipfamque
fimul laminam incuruandam impenduntur.

§. 13. Statim itaque a percuflione , fingula
laminae elementa determinata velocitate vibrationes
fuas incipiuat 5 pundum autem medium laminae
maximas fiicit excurfiones , haeque cxcurriones tanto
erunt maiorcs quanto flexibilior eft lamina; attamen
omnes quas allegauimus , proportiones eaedem ma-
nent : fo!utio huius paradoxi in hoc pofita videtur,
quod crefcente laminae flexibilitate tempus vniiis
vibrationis fimul crefcat , fic vt tempore vnius vi-
brationis fpatium a centro grauitatis vniformiter de-
fcriptum nihilo minus conflanter eandem proportio-
nem habere poflit ad integram amplitudinem cuius-
vis vibrationis. Ita et longitudo laminae percufflie
calculos quos fecimus minime perturbat. Qiiodfi in-
tegra excurfio vel amplitudo vibratoria pro pundo
medio laminae dicatur ^ , erit fpatium a centro
grauitatis vniformiter defcriptum , dnm vna abfol-
\itur vibratio , aequale ^ tt § , intelligendo per tt
quadrantem circuli , cuius radius vnitate exprimitur,
Sunt itaque fpatiia vtroque motu defcripta fibi con-
ftanter proportionalia , quaecunque fit laminae lon-
gitudo , qualiscunque ipfi infit fiue flexibilitas fiue
rigiditas et quaecunque fuerit percuflionis intenfitas

A a a 3 modo

374- DE MOTV MIXTO

modo vibrntiones pro valde paruis haberi pofHnt,
Si lamina vel infinite rigida fupponatur, ita vt -nul-
lam admittere inflexionem , videri poffit , adhuc-
dum faluae mancbuRt conclufiones noftrae ^ ardifli-
mo enim vinculo cum adhibitis hypothefibus cohae-
rent. Quomodocunque experimentum inflituatur ,
non puto vnquam futurum vt lamina percufla motu
fuo progreffiuo vim viuam oflendat plusquam dimi-
diam eius quam regulae communes indicant : imo d
curuatura laminae reuera parabolica accurate con-
veniret, fbret eius vis viua pro folo motu progreHi-
To tantum t ^Js viuae totalis.

§. 14. Apparct ergo , quam longe abfit vt iii
huiusmodi laminis motut. progrefTiuus a perculfione
oriatur, qualis in corporibus elaflicis vulgo flatuitur.
Nec dubito quin etiam in corportbus elafiicis com-
muniter adhibitis , veluti in corporibus fphaericis ,
pars notabilis vis viuae a percufTione ratione motuum
progrcfliuorum pereat , quae in motuin tremuhtm
partium , corpora conftitucntium , tranfiuerit : hic
cnim mo:us tremulus etiamnum pofl finitam per-
cuflionem corporibus inhaerebit. Cum res ita fe
habeat in laminis vtcunque breuibus , quidni etiam
in globis etiamfi perfede elaflicis : experimenta di-
minutionem aliquantulam virium viuarum mani^
fefiant ^ diminutio autem male, mea quidem fententia
elafticitatis defedlui adfcribitur. Vel folus fonus , qui
a percufTione in globis excitatur , vibrationes prodit,
quarum motus minime negligi pofTe exiftimo: at

deter-

LAAIINIS ELASTiC. A PERCVSS. lAiPR. 375

determinatio vibratioimm, poH: percuffionem in globis
aliifue luiiusmodi corporibus fuperftitum , crit longe
diHicillima. Nec in ipfis , quas pertradauimus, h-
minis totum ncgotium omni , qui defKlerari poiTit ,
ligorc geomctrico confcdum fuilTe contendo.

§. 15. Suppofuimus fupra curuam a y ^ effe
parabolam loco iliius curuae quam hmiina, vibratio-
nes faciens , format ^ haec vtiquc fuppofitio non ali-
ter quam proxime yera accipienda ert , flicile autem
admitti polfe apparebit , fi quaeratur pundlum e
in quo linea / ^ , per centrum grauitatis parabolae
ci y S tranfiens , ab ipfa hac curua intcrfecatur :
fcilicet inuenimus y(9~^« et quia parameter parabo-
lae pofita fuit — ^^ ^t ab \traque parte oezzIV^
rz IJ^g /. In difquifitionibus autem noftris, quas olim
de vibrationibus et fonis multifariis laminarum ela-
flicarum fecimus , determinata fuit haec diftanti?
0 e zz jIo l , vnde videmus quam parum curua para-
bolica ab altera recedat. Caeterum ambo haec pun-
(5la e praerogatiua gaudent , quod folo motu vnifor-
mi pr^grefliuo ferantur, quandoquidem ratione mo-
lus vibratoiii quieta manent.

§ 16. Liceat pauca fuperaddere verba de quae-
ftione quae hifce pagellis an(am dedit. Cum fit per
fe clarum laminam a percuffione propelU fimulque ,
ob partium inertiam , in partes contrarias incuruari,
in mer.tem venit quaeftio vter motus prope ambas
extremitates kminae praeualeret primo poft pcr-

cuiTionem

S*?^ DE MOTV MIXTO

cullionem tempnfculo. Si prnenaleat motus pro-
grefliuus in piu-idis extremis laminae , haec duo
punda motu luo initiali ab(oluto antrorfum ^ fi e
conrrario mctus ab infiexione laminae oriundus ex-
cedat altcrum, haec eadem punda retrorfum moueri
incipicnt. Si prius , lamina primo incuruationis
momento , non interfecabit fitum , quem ante per-
cuflioncm habuerat : Si porterius interfedlio fiet, qua-
lem fillit figura nolira , in qua curua a y S fecat
redam a c b in duobus pundis t ^ t '. perpendens
quaeftioncm , dubius , quod fateor , ah'quamdiu haefi :
mox tamen ad alteram inclinabam fententiam: etiam-
fi non ftatim appareat , qui fieri poffit vt fola in-
ertia motum in partes contrnrias, ad vtrumque latus
fimul, in lamina plane hbera producat : haec porro
mecum verfajis , denique in mentem incidit theoria,
quam nunc expofui et in qua (kre non fum vcritus.
Haec vero theoria omnino indicnt , extremitates la-
minae percuflae primo impetu retrorfum fcrri et
ad vtrumque latus interfediionem fieri in pundis
/, t. Snlutio praefentis quaellionis vnice petenda erat
ex ratione quam calculus doceret exiflere inter di-
ftantias y c Qt y p tt vtra altera effet maior. Vi-
dimus autem paragrapho vndecimo , quod pofita
y pzz a fiat y c — ^ a, Igitur neceffe eft vt pun-
€tA a ct b fitu proximo perveniant in ol ct ^ :
erit autem r o ad rp vt 2 ad 3.

§. 17. Denique interefl , vt ipfa pofitio
pundorum t definiatur , in quibus fcilicet lamina

ftatim

LAMINIS ELASTIC A PERCVSS. IMPR. 377

ftatim a percuflione interfecat fitum , qnem eadem
lamiiia habuit ante percuflTionem. Quod fi pro
curua ayS iterum accipiamus parabolam (§ 11.)
inuenimus yczzlct, fiet ab vtroque latere ctzilV'^
atque ta vel tb =:l—lVl , vel proxime ^^-0,77/
atque t a vel t b zzo^ 23/^ at vero pro curua vibra-
toria poni potefl: ct — o^ "161 et ta vel ^^z::o, 24/.
Sic fi fuerit , verbi gratia , lamina trium pedum
atque adco /:: 18 pollicum , fiet quam proxime ta
vcl t b — 4y poll. et ^ ^ — 131 poll. Singula punda
m c t ab vtroque latere motu (uo abf:)Iuto ferentur
in antecedentia at vero in ^ c; vel ^ ^ motus ab-
(blutus initiaiis fiet in confequentia fiue retrorfum :
denique ambo punda ^, / ftatim a percuflione erunt
veluti Ihtioniiria- Atque fic videmus multa inefle
argumento noriro , quac non omnem refpuant de-
terminationem , modo congrua principia adhibeantur
eaque magni momenti effe pofTe in adione mechani-
ca, quae a percufTione expedatur, explicanda ; quic-
quid fit de principiis , quae paullo liberius adop-
taui, intclligimus faltem in diiudicandis percuffionibus
minime negligendum effe motum tremulum , qui
in fyflemate orietur.

§. 18. Ne omnis methodo noflrae denegetur
fiducia experimenta aliqua fuperaddam , quae vtcun-
que obiter inftituta argumentum noflrum non male
confirmant atque illuflrant. Norma vfus fum tripe-
dali, ex hgno duro, flexili, elafiico conftruda, reda,
vniformi : latitudo eius erat 10 linearum , craflities
Tom. XV. Nou. Comm. B b b fesqui-

37S DE MOTV MIXTO

fesquillneae ; hanc tabulae horizontali poHtae im*
pofui modo in fuperficie gracili atque percudionem
feci in fupcrficiem latam , modo in fuperficie lata
tuncque impetum faciebam in luperficiem gracilem :
hanc normam percufii femper accurate in centro
grauitatis , quod aliquantillum a medio diftabat , eo
modo quo globi eburnei in ludo, qui hillard vocatur
percuciuntur extremitate acutiori clauae ligneae ( 1a
queue ) ; impulfum feci modo fortiorem modo dc-
biliorem.

Experimentum i. Laminam vel normam gra-
cili fua fuperficie tabulae impofui atque a tergo vtri-
que extremitati globulum leuiufculum appofui tum-
que normam eo quo dixi modo percufli faepius an-
trorfum ; fcmper autem contigit , vt vtcrque globu-
lus retrorfum , ipfa vero lamina antrorfum , impe*
tum facerent pro intenfitate perculiionis. conf. §. id.

Experimentum n. Globulum vtrumque remoui
ab extremitate normae verfus medium , primo ad
diftantiam vnius , deinde duorum , tr^uin , quatuor
pollicum ; attamen globuli normae contigui pone-
bantur ; femper a percufiionc ambo globuli retror-
fum ferebantur. Repercufiio autem manifefte fiebat
tanto debilior , quanto magis globuli ab extremitatc
fuerunt remoti.

Experimentum 3. Simllis fuit cucntus , cnm
globuli , nou ad laminam contigui , fcd tantillo in-

ter-

LAMINIS. ELASTIC A PERCVSS. IMPR. 37^

teruallo ab illa poncrentur : hoc interuallum propc
cxtrcmitates laminae fcci aliquando quatuor linea-
riim et adliuc Yterque globulus repellebatur ; In lo-
cis autem ab extremitatibus remotioribus , minori
interuallo ponendi erant globuli.conf. fig, 2.

Experimentum 4. Cum globulus vterque "vltra
diftantiam 4^ poil. ab extremitate normae eflTct po-
fitus , etiamfi eflent laminae tantum non contigui,
nuHam porro repercuffionem patiebantur conf §. 17.
at vero cum globuli plane contingerent normam
nec multum vltra 4^ poll. ab extremitatibus lami-
nae dillaient , euenit aliquando vt repellerentur j id
vero an cueniret nec ne ? dubium erat: repulfionem
hanc minimis yibratiunculis , quae aliquando in par-
tibus laminae contingunt , diuerfis a vibrationibus
primi ordinis maxime confpicuis tribuo. conf. §. 10.

Experimentum 5« Eandem normam fuperficic
fua latiori tabulae impofui atque latus gracile per-
culTi ^ tunc autem \irgae rigiditas fupra modum
aucfla erat ^ nec enim absque magno conatu illam
tantillum infledere poteram in plano latitudinis ,
cum antea faciJe in plano craflitiei infledleretur. Ni-
hilominus percuflio fada eft in globulis , cum prope
extremitates virgae eidemque contigui eflTent pofiti.
Imo parem habui fucceflum in norma iex tantum
pollices longa , vnum pollicem lata atque duas li-
neas cum dimidia crafla ; ex ligno duriflimo fada ,
cum eius fupcrficiem latiorem percuterem. Exinde

B b b s intelli-

380 DE MOTV MIXTO LAM. ELASTIC. etc.

intelligitur nec audam laminae rigiditatem nec di-
niiniitam longitudinem theoriam euerterc atquc
omnia corpora ekftica , in quibus a percuffione mo-
tus excitatur tremulus , huc pertinere. couf; §. §. 13
et 14.

De iplis velocitatibus , quas laminae elafticae
aliaue corpora elaftica a percuflione impctrant, non-
dum feci periculum.

GENVINA

G E N V I N A

PRINCIPIA DOCTRINAE

DE STATV AEQ^VILlBRll ET MOTV COR-

PORVM TAM PERFECTE FLEXIBILIVM

QVAM ELASTICORVM.

A u d o r e
L. E V L E R O.

Quae adhuc de figura corporum flexibilium et
elalUcorum a Geometris in niedium funt alla-
ta, non latius quam ad fila fimplicia funt exten-
denda , in quorum figuram , quam a viribus quibus-
cunque foUicitata accipiunt eft inquifitum , fiue ea
fila fint perfede flexibilia , fiue rigore quodam feu
clafticitate inflexioni refiflant. Quae enim paffim
de curuatura lintjei et velorum tradita reperiuntur ,
eatenus tantum admitti poffunt , quatenus has figu-
ras ad curuaturam fili fimplicis referre licet. Quin
etiam omnia , quae in hoc genere funt explorata ,
ad curuas tantum in eodem plano formatas funt
refiringenda : quare longiflime adhuc fumus remoti
a Tiieoria completa , cuius ope non folum fuperfi-
cierum , fed etiam corporum flexibilium figura defi-
niri queat ; atque haec Theoria etiamnunc tanto-
pcre abfcondita videtur , vt ne prima quidem eius
principia adhuc fint euoluta , neque etiam hoc loco

Bbb 3 meum

382 DE STATV AEQyiLIBRII ET MOTV

meum inflitutum permittit , \t talem laborem fufci-
piam ; fed pptius tantum fila fimplicia liue perfede
fiexibilia fiue claltica , vti quidem adhuc a Gcome-
tris fiiiit tradata accuratius fum contemplaturus.
Quum enim pleraeque folutiones , quae paffim fiiper
hoc argumento reperiuntur , vel ex principiis tan-
tum particularibus vel fahem non fatis claris et per-
fpicuis fint dedudae , operam dabo vt vera et gene-
ralia principia , quibus dcterminatio figurae huius-
modi corporum innititur ita dilucide exponam , vt
non (olum ftatus aequil brii , fed etiam motus hu-
iusmodi corporum inde inuefiigari queat.

Problema generale.

Si filum fiue perfede flexile fiue elafticum et
in finguhs pundis a viribus quibuscunque folhcita-
tum ad ftatum aequihbrii fuerit perdudum ^ pro
finguhs eius elemcntis ftatum fiue tenfionis , fiue
inflcxionis inueftigare.

S o I u t i o.

Tab. VII. !• Referat hic curua A M B hufusmodi fihim

Fig. 3. a viribus quibuscunque foHicitatum , quod in aequi-
hbrio reperiatur atque fixum fit in terminis A et
B, atque manifcftum eft in finguhs huius fih pun»
ftis M dari certum tenfionis fiue inflexionis ftatum,
quem inde inteUigere hcet , quod fi hoc filum ah-
cubi in M refecetur , vtraque portio A M et B M
extemplo longe aliam figuram lit acceptura , vndc

necefla-

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 383

uccefTario fequitur in hoc pundo M, quamdiu am-
bae partes adhuc inter fe funt coniundae, dari quan-
dam vim , quae illi Rparationi aduerletur, filumque
in hoc ipfo flatu aequilibrii quem fupponimus con-
feruet.

II. Qiio iftam \im pundlo M quafi inhaeren-
tem exploremus fingamus inferiorem partem A M
reucra abfcuidi et quaeramus eas vires , quas in pun-
do M applicari oportet , vt pars fnpcrior B M in
codem piane ftatu perleueret ^ haec enim ipla \is
aute rccifionem in pundo M extitifle eft intelligen-
da , atque fi hanc vim pro fingulis fili pundis de-
terminauerimus , nullum eft dubium quin \erum
ftatum in quo fingula eiementa nollri fili \erfantur,
perfetfle cognofcaraus.

III. Ponamus hanc ipfam yim quam quaeri-
mus , iam efife inuentam et pundo M reuera ap-
plicatam , ita vt refeda portione A M , altera por-
tio BM etiamnunc in priftiuo ftatu perfiftat, atque
primum obleruo eandem hanc vim ad filum B M
in ftatuo fuo retinendum requiri etiamfi in pundo
quocunque C, filum ope claui vel vnci figeretur ,
fiquidem haec operatio nihil in eius figura mutet ,
hocque etiam intelhgendum eft , fi filum fimul in
pluribus pun(n:is hoc modo figeretur ; quare hoc et-
iam nunc locum habebit , fi filum adeo in pundo
proximo ni figatur , nihilo enim minus in pundo
M eadcm adhuc vi opus erit , ad conieruationem

Hatus

384 DE STATV AE^^VILIBRII ET MOTV

ftatus ac fi tota portio B M eflet libera atqiie ifi
folo piindo B fixa.

IV. At fi filum B M in pundo fji, vt modo
diximus ope vncinulae figatur , ita \t nunc folum
elementum M m liberum relinquatur , ei alias vires
adplicare non licet , nifi quae id vel ex m auelle-
re vel circa m inflecflere conarentur , vnde iam ma-
nif-ftum efl , fi filum propofitum fuerit perfcde
flexile , in pundlo M nullam vim infle(flentem ad-
initti pofle , quoniam alioquin e vefligio hoc ele-
mentum M m circa m infltderetur adeoque non in
fuo flatu conferuaretur. Hoc ergo cafu perfedlae
flexibilitatis , vis illa quam quaerimus in puncflo M
adpiicanda neceflario fecundum ipfam diredionem
Mw/, foUicitare debet , ficque eius diredio erit ipfa
f7; M T.

V. At fi filum noflrum fuerit elafticitate prae-
ditum , tum fola vis fecundum tangenterr! M T
non fufficiet elemtnto M m in fitu fuo retinendo ,
fiquidem in puncflo m fuerit incuruatum , et quia
incuruatio vim quandam infleclentem podulet, \trum
autem hic incuruatio detur ex tangente proxima
m t iudicari debet , idque ex angulo elementari
T«2/, quippe cui incuruatio cenfetur proportionalis,
quare , {\ elafticitas filo infit , vis ea quam quae-
rimus non folum fecundum tangentem M T erit
direda , fed etiam vis quaedam obliqua adefl^e debet,
cuius momcntum incuruationem in pundo m fufli-
nere valeat.

VI.

CORP. SIVE FLEXIBIL SEV ELASTIC. 38$

VI. His perpenfis intelligimus pundo M prae-
ter \im tiingentialem (ecundum MT, aliam iniu-
per applicatam concipi debere ; quae (it V P nor-
nialis lcilicet ad tangentem M T. Hoc enim
menti ita repraefentare licet , quafi elemento m M
primo virga rigida m T tflet annexa , tum vero
ilii in pundo V infuper vis normalis V P applica-
ta , ita \t vis illa quam quaerimus manifefto reuo-
cetur ad duas yires , quarum altera agat fecundum
tangcntem M T, altera vero ad hanc fit normalis
in certo quodam puncflo V.

VII. Vocemus igitur vim illam priorem ,
quae fecundum diredionem tangentis agit :zz T, al-
teram vero huic normalem V P z= V , at pro eius
applicatione intcruallum M.Vzz.v^ vbi notari opor-
tet , fi filum omni elafticitate careat , feu perfede
fit flexile , tum vim normalem V euanefcere debere,
neque propterea intcruallum v in calcuium ingrc-
di , at fi fiium fueric elaflicum , tum curuatura in
pundo «/, quae cx angulo elementari T m t aefti-
matur , certum virium momentum poftulabt , ex
indole «lateris definiendum , cui aequale effe dcbet
inomentum vis normalis V P, quod eft V^y, quo-
niam elementum M w eft euanefccns , flcque ex na-
tura fili propofiti , momentum V v determinatur.

VIII. Conftitutis his duabus viribus T et V
cum interuallo v pro pundlo M, transferamus ea
iecundum principia difFerentialium ad pundum pro-
3[imum w, vocato elemento Mmzzids, atque duda

Tom.XV.Nou.Comm. Ccc tan-

385 DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV

tangente m t , vis fecunduiTi hanc tangentenn m t
erit zz: T -I- ^ T et vis normalis i;p m V 4- ^ V ,
tum vero interuallum 771 v zz. v -\- d v. Hae ergo
\ires natura fua ita funt comparatae , vt fada reci-
fione in pundo m portionem reliquam By//ineodeiii
ftata retineant , perinde ac duae priores vires T et
V pundo M applicatae eundem efFedum prodLicunt,
t]uem ance recifionem portio A M in pundlum M
cxeruerat.

IX. Quum igitur vires T et V refpedu pun-
(fbi M aequiualeant omnibus viribus , quibus portio
A M in pundum M agit , fimilique modo vires
proximae T + ^T et V + ^V, cundis viribus
portionis A ;;/ aequiualcant ^ necelTe eft vt hae po-
fteriores aequiualeant prioribus vna cum viribus ele-
mentaribus ipfi elemento M m applicatis , quoniam
hoc aggregatum compleditur vires portioni fili A M
et infuper vires ipfi elemento M m applicatas , qui-
bus fimul fumtis , illae vires fuis differentialibus
audae aequiualere debent. Quaecunque autem vires
elcmentum M ;;/ afficiant , eas per refolutionem fem-
per ad duas reuocare licet , quarum altera agat fe-
cundum diredionem Mzw, altera vero huic fit nor-
nialis , fecundum mr ti quia hae vires , caeteris
paribus ipfi clemento M m ::z: d s funt proportiona-
les, ponamus vim tangentialem fecundum M.mzzipds
ct vim normalem fecundum m rznq d s ^ perindc
enim eft in quonam huius elcmenti pundo , fiue
m fiue M haec pofterior vis applicetur ; quibus po-
litis vires illae T et V vna cum his elementaribus

pds

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC 3S7

pds ct qds^ fimul fumcae aequlualere debent Yiri-
bus fequentibus T^^T et V-f-^V; vnde infignes
relationes orientur , quas follicite inueftigari oportet.

X. In hunc finem ante omnia angulus ele-
inentaris T m t in calcuium introduci debet , qui (i
Vocetur nz^Cj), et radius ofculi curuae in pundo
m — r^ conftdt elfe d<^:=:—^ ita vt hic angulus
ex curuatura innotelcat. Nunc confideremus primo
\im tangentialtm fecundum mt quae efl — T-f-^T,
ct refohita fecundum dirediones mT tt MR, dat
pro diredione M T = (T 4- ^ T) cof ^ ($> — T + ^ T
et fecundum diredioncm W2 R zz (T -4- ^ T) fin. d (J),
r=:T<s^Cp-f-^T^C{). Altera autem vis vp—V-^-dV
ad diredionem m T applicata , feu pundo applica-
tionis in u translato , manente eadem vi up-znV
+ </V, dabit muzz-mvzzv-^dv^ et haec vis
fecundum diredionem « T et ad eam normalem u s
refoluta , dat vim fecundum «T=:(V^-^ V) fin. ^Cp
r(V + ^V)^Cp, et vim fec: z^ j — V + </ V , ficque
ambae illae vires T-H^T et V-i-^V, nunc re-
dudae funt ad vires :

1°. vim fec. MT— T+r/T et II. fec. mK-zzld(^^dTd(^
m. fec. ttT=iV+^V)^C}) et IV.fec. «x=:V-f-^V.

XL Hae igitur quatuor vircs aequiualere de-
bent , his quatuor viribus iundlim fumtis :

r. fec. MTzzT IP. {tc. VP — V,

IIP. vi elementari kc. mMzzpds et IV. fec. wrr^^x

C c c 2. quare

38S DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV

qiiare hinc primo tangentiales fecundum m T agen*
tes , feorfim inter fe debent aequari , vnde nafcitur
haec aequatio ;

T-f-^T-f-V^$-i-//V. d(pzzT^pds,
cx qua conchiditur
dT -^-V d(^-=zpds.

Secundo vires normales quatenus in eandem partcm
tendunt , feorfim debent efle aequales , vnde fit

-(T4-flfT)^Cf)-f-^V=:V4-^^x hincque
dM -T d(^ — qds.

Tertio vero infuper requiritur , vt et'am momenta
Tirium nornaiium , inter fe conueniant, fumtis igi-
tur momentis refpedu pun(fli w, prodit haec ae-
quatio :

-(TH-^T)^$. o-^-iV-^-dV^lv-^-dv^zzVlv^ds^-^-qds. o
Tnde conduditur

vdW-\-ydv=:Vds, fme d.VvzzWds

atque his tribus aequationibus omnia continentur ,
quae ad problematis noftri folutionem pertinent.

XII. Hoc iam problemate refoluto , facilc
omnes cafus quomodocunque vires foUicitantes fue-
rint comparatae , dummodo in idem planum cadant
expedite euolui poterunt , id quod pro duobus cafi-
bus prmcipalibus quorum prior continet fila perfedle
fiexibilia, alter vero aequabiliter elaftica , diftindc
explicemus.

Cafus

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 38^

Cafiis Primus pro filis perfe£le flexi-

bilibus.

lam obferuauimus hoc cafu vires normales V
euanefcere debcre , quo pado tertia aequatio inuenta
fponte difparet , duae priores vero nobis luppeditant
has aequationes :

l. dTznpds tt l\, -T d(^-=:q ds

quibus omnes curuae , quas fila perfede flexibiiia in-
duere poffunt a quibuscunque viribus iu eodem pla-
no fuerint (bllicitata , facili calculo inueftigari pos«
funt ; id quod deinceps aliquot exemplis illufUabi-
mus. Ceterum hic obferuafle iuuabit , fi tenfio eli-
minetur, ob T~fpds et T 1= - ?-£r' obtineri
hanc aequationem d(pz=: — 3A±^ quae tantum quan-
titates cognitas (cu datas compleditur , quia vires
P ct q quouis cafu praefcribuntur.

Cafiis Secundus pro filis vnifbrmiter

elaflicis.

XIIL Affumimus hic filum in fingulis pun-
A's pari elafticitatis gradu efTe praeditum et in ftatu
nuturali fitum redum tenere , fiue in hne;im redam
cfle extenfum , vbique igitur ipfa elafticitas , pro-
portionalis erit curuaturae dired^ fiue radio ofculi
rciproce, ita vt momentum ad angulum d (^ re-
qu fitum , proportionale fit formulae ^-^ , quarc fii
hoc momentum per A. ^ exprimamus , ita vt A

C c c 3 denoteC

390 DE STATV AEQVILIBflll ET MOTV

denotet certam qiiantitatem conftantem , ante omnia
^ebebit effe V i; — A. ^ cum qua acquatione infu-
per tres illas inuentas coniungi oportet , quae funt

r. dT -h-V d(pzzpds', m dV --T d(^zzqds;

IIP. d,V V — V ds

cx qua vltima aequatione , ftatim concluditur

Ad.^=zV ds ,

vnde fi elementum d s conftans fumatur , elicitur
V -zz ^^-^-~ , hincque porro v — ^^^S 7 qui \aiores
in aequatione I. fubftituti praebent

dTzzpds ^,— ^ ,

ideoque integrando

acquatio vero II. dat

* — - rfcpdi' d (p ' •;

qui duo valores inuicem aequati aequationem fuppedi
tant pro curua quaefita , quae eric

tJiJL^trtAJJl zz2.d(pfpds-i-!iqds

\bi notafle iuuabit angulum elementarem d(p, im-
plicareu differcntialia fecundi gradus vnde terminus
d' (p ad diffcreiuialia quarti gradus affurget.

XIV. His duobus praecipuis cafibus expeditis ,
non difficile erit lolutionem noftram etiam ad alios
cafus accommodare , vbi filum vel ob diuerfam cras-
fitiem , vel diuerfam materiem non vbique eft ac-

quc

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 39»

quc elaflicum , vel etiam vbi in ftatu fuo naturals
non fitum redum tenet , fed fecundum cnruam
quamcunque datam fit formatum , quocirca adhuc
duos cafus fequentes adiungamus.

Cafas Tertius pro filis inaequaliter
elafticis.

XV. Talis inaequalitas fcilicet locum habere
poteft 5 fi vd ipliim fiJum non vbique fit aeque
craflum etiamfi ex eadem conftet materia , vel fi
adeo ex diuerfis materiis fuerit compofitum , hoc
igitur cafu eladicitas in fmgulis pundis , non fim-
plicitcr formulae -^-f erit proportionalis , fed prae-
terea a funftione quadam pendebit , ad pundum
quoduis M pertineute , vnde manifeftum eft hanc
fundioiiem per ipfam portioncm fili A M 1= y, de-
terminari debere , fit igitur S ifta fundlio elafticita-
tem abfolutam definiens , atque loco conftantis iliius
A, cafu praecedente hic fcribi oportebit S, ficque
tota folutio fequenti modo fe habebit : Ante omnia
debet effo V v zz ^-^ , cui infuper vt ante adiungi
conuenit has tres:

I. dT^Vci(pzpds', IL dV-Td<p-qds; IIL d. Wv~Nds
cx vltima aequatione ftatim concluditur

^ — dT~ >

pofito elemento d s conftante , hincque YiciiTnn

-, . — S_ djl^ d s

qui

392 DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV ^

qui valores in aequatione V. rubf\ituti dant
a i ^pa s -^_ ,

quam formiikm autem nunc integrare non licct ,
ctiamfi integrale fpds concederetur. Ex II. au-
tem colligimus

^ — d s'. d (p a 45 '

nunc igitur huius valoris differentiale priori aequari
deberet , vt aequatio inter elementa curuae obtinea-
tur , quem laborem autem hic in genere fufcipere
fuperfluum foret.

Caftis Qimrtus pro filis elafticis ^ quae

in ftatu naturali curuaturam

habent datam.

•Tab. VII. XVI. Hadenus aflumfimus filu elaftica , quo-

^^E' 4» rum curuaturam inueftigauimus , ftaiu fuo naturali
in diredum efte extenfa , nunc autem eiusmodi fila
confideremus , jquae iam in ftatu naturali certam
quaiidam curuam exhibeant. Sit igitur figura 2 ,
curua A M B ea figura , quam filum in ftatu na-
turali tenct , quae quum fit cognita , vocetur radius
ofculi in pundo M r: r exiftcnte arcu A M =^ j ,
ita \t r fpedari poflit tamquam fundlio ipfius i* ,
cuius quippe natura, figurae naturalis indoles deter-
ininatur.

XVII. Quodfi nunc hoc filum a viribus qui-
buscunque ad figuram ( Fig. i.) AM B fuerit per-

dudiuin^

CORP. SIVE FLEXIBIL SEV ELASTIC 393

du(flum , atque in pundo m curuatura ad angulum
elementtirem lmt:z.d(^ fuerit redada, tum eatenus tan-
tum viriuin momento opus erit ad lianc curuaturam
producendam, quatenus formula ^^ difcrepat ab ^, quam
ob rem folutioncs praecedentes ad hunc calum accomo-
dabuntur, fi modo in formula momentum eladici-
tatis exprimente loco ^^ , fcribatur l^ — ^ , fuma-
mus autem hic elafticitarem abfolutam per totum
filum tlTc aequabilem ita vt hnbcamus , hanc for-
mulam : V 1; =z A (^ - ^-} ^ cum qua tres reiiquas
aequationes coniungi oportet.

XVIII. Quoniam igitur VvzzXii^ — A ex
tertia aequatione ftatim colligimus , fumto elemento
d f conflante :

Inuento autem valore V , V" aequatio praebet :
dT — pd s-'Y d(^, fecunda vero T zr —~^^ ,

ex quorum valorum coraparatione , determinaiio
curuae efl pctenda.

XIX. Quodfi filum in flatn naturali fecun-
dum arcum circularem fuerit incuruatum , vt fit r
quantitas conflans , ponatur r cr a atque ex praece-
dentibus formuhs nancifcemur :

praeterea vero habebimus

dl-pds-^^AA^^^^^ nue l-fpds--^:jf
Tom.XV.Nou.Comm. Ddd at

394 DE STATV AE(^VILIBRI1 ET MOTV
at \ero eft ex U^

ry d V — qds AdL$.-— OiLfJ

* — ■" d ^ "^ ds-.d^ >

vndc patet aequationem iinalem non iniioluere quan-
titatem a eamque demum in integrationibus in cal-
culum introduci debere , quatenus ea fcilicet in mo-
mento V v occurrit , quippe quod momentum in
cxtremitatibus fili eft fpedandum.

Applicatio ad cadis particulares.

XX. Vires folHcitantes , quaecunque demum
fuerint, hadlenus ita lumus contemplati , \t fingulis
fili elementis Mmzizds ^ duas ailignauerimus \ires,
alteram fecundum diredionem tangentis w MTrp^/,
alteram vero fecundum diredionem normalem m r
zzi q d s ^ quaecunque-enim aliae vires elementares in
hoc elementum agant , eas (emper ad has duas dire-
dliones reuocare licet , quandoquidem hic tantum
curuas in eodem plano formates confideramus, ideo-
que "vires extra hoc planum tendentas excludimus.

XIX. Nunc dcmum curuas in quarum inue-
fligatione verfamur ad certas coorJinatas reuocemus
quae fint A X =z a; et XM zny, earumque difFeren-
tialia X x zzMnzz d x et m n zz: dy ^ ita vt fit
d s rr y (^ x' -i- dy^ ). Nunc vero etiam perfpi-
cuum eft , fi vocemus angulum X M T iz: $ , tum
proditurum efle angulum elementarem Tmtz^d^
omnino vti fupra aftumfimus , hinc ergo erit
fm.Cpi^^ etcofCl)=:^, fiue vicimm dx-dsS\Vi.(^

et dy =zd s cof, $.

XXIL

CORP. SIVEFLEXIBIL. SEV ELASTIC. 395

XXII. Qiiodfi iam omnes vires, quae in elemen-
tum M m agunc redudae fint fecundum dirediones
fixas coordinatarum , quarum vna follicitans in di-
redione XA fit zzP^x, altera vero in diredione •
M X =r Q ^ j- cx his duabus viribus , nafcttur vis
tangentialis , fecundum diredionem MT

— (P.fin.(I)-f-Q_cof Cl))^jzrp^x ,

ita vt iit p — P fin. Cp -f- Q cof Cf) , vis autem nor-
raalis inde nata fecundum m r

= ( Q fm.Cp-P cof Cpj^xzr^^j'

ita vt fit q zz Qfin. Cp - P cof Cp, his igitur notatis
cxempJa quaedam iUuftriora , noftra mcthodo euol-
vamus,

Problema I.

Si filum fuerit perfedle flexile , et per totam
longitudinem aequaliter crafllim , inuenire curuam ,
quam hoc filum , ex duobus pundlis fufpenfum et a
foia grauitate follicitatum , fbrmabit , fiue inuenire
curuam catenariam.

S o 1 u t i o.

XXIII. Statuatur hic axis AX verticalis fur- Tab. VIL
fum dircdus , vt appHcata X M =: y , fiat horizon- ^'S- 5-
talis, hic igitur fola vis P in computum venit, exi-'
flente Q"o, quae quum fit vis grauitatis et filum
vbique fit aequabile , fi eius portionis cuius longitu-r
do zz.b^ pondus vocetur B , tum portionis feu arcus

D d d c A M

39<^ DE STATV AEQyiLIBRII ET MOTV

A M rz j- pondus erit ~ , ideoqne pondus tkmenti
Mm erit — -^ , cui aequari debet vis illa P^x, fit
autem breuitatis gratia -1-=:^, vt fiat PzzijS, atque
ob ^ zn o habebimus p cr. p fin. Cf) , 9 = — P coK (p
ideoque p d s :=^ ^ d x et q d s zz - p d y. Qiio.uam
hoc problema ad primum cafum pertinet , habebi-
mus fequentes fbrmulas :

I. dT-^dx et 11. -i-Td(p-^dj,

Ex priore fit T 3 p a' 4- C , ideoque hinc pro curua
coUigimus (i x d (p ^Cd^-pdy
ad hanc aequationem reloluendam ponamu^ ftatim dy
z:udx,fLQt(\ucds::r.dxy(i-^uu), hinc C\n.(p — ^^-^

et cof. Cl) — : vnde elicitur d(P z^ "^, quo

valore fubftituto aequatio noftra erit zt-Jjl^ p x -h cj
— audx; ideoque ^^l^--f:AJ! zz^^X^^l^,
vnde integrando confequimur Log. ip;r4-C)- L^^' "^:."— ^
+ L.D, feu (3.' + C=D^ii\ vnde uz^-^^-^^^
rz^, hincque ^ y =i: ^^^^ ^ ^J^-g^, , quie eft ae-
quatio differerentialis inter coordi latas x et y pro
catenaria , cuius conftrudio pcndet vti conftat a
logarithmis, fiquidem hinc fit ^^-L P^"^^^-f ^^^^-^^^
praeterea vero notafte iuuabit , hinc fore

/f c — (^x-^C)dx

" -* — V (( ^3 X -h C)^ — D D)

ita vt fit Dds — ipx-hQdy , inde vero intcgrando
colHgimus ^ s — y {{px + Cy -DI)) + E vbi (3/
dcnotat ipfum pondas arcus A M.zz s,

XXIV,

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC 397 ,

XXIV. Inucnta Imc aeqiiatioiie gcnerali confi- *
dercmus etiam ipfnm illam vim T, qiine tcnfionem
clemeati M/;j exbibet , quac yis ex praeccdentibus
erit |3 .v -\- C , ita \t in eo loco ybi x ir o , haec
tenfio fiat rr C , et quo altius filum afcendit eo
fortior euadit eius tenfio Quo nunc confhmtes pro-
pius definiamus, lumamus primo initium abfciffarum
in ipfo punvflo A , vbi ipfa curua axem fecat , ita
vt fiat jvzro , y — o quin etiam j-— o. Hinc
confequimur

^y T px-f- C -f- V r( (3^H- C)»^D D ) .

D C-|-V(CC — DD) — CL

j3..i=:V((p.v-j-C/-DD)~-V(CC-DD)
Si praeterea verticem A ibi conftituamus , vbi tan-
gens curuae fit iiorizontalis, vt fumto .r=o fit — ^-ncvj

idcoque D ::r C, feu ^y rr J^-^n-a — , , ouae

fi ponamus C ~ (3 d? , abit in dy ^ -— — ,

vnde fit y zr ^ L ^jt^ztJ^^iztiLf} , et arcus A M
rz X — y (2 ^ AT -i- o: a) ita vt fit d y zz ii-^ , fiue
dy '. d x\\ a\ x, tum vcro erit tenfio in pundo imo
A =: p fi( , tCLifio vero in pundo M rr p (a; 4- a),

XXV. Hinc fi funis aequabilis in duobus pun-Tab. VIL
d^is aeque altis M et N , fucrit fixus et pondere F'g. 6.
fuo curuam M A N induerit , pro eius figura au-
tem dentur primo fagitta feu profunditas A X ~ a; ,
deinde vero etiam dimidia longitudo totius funis
A IVl zz x , cuius pondus fit p j- , liinc omnia , quae
huc pertinent poterunt determinari. Piimo autem

D d d 3 reperi-

39S DE STATV AEQ?ILIBRII ET MOTV

reperitnr a zz "~^i?, vnde (latim- innotefclt diftantiii
horizontalis

Tertio anguli quo funis in piindis M et N ad
horizonteni inclit atur tangcns feu Tang. A M X
— Tang. A N X ~ ^^^- hincque Tang. 1 Cp = ^.
Denique vero tenfio in imo punao A erit ^^11^^^ ;
tenfio vero in pundlis fuprenais M et N prodit
p (5 y -f- j: X) ^j^jjg patet , quo minor fuerit profunditas

A X Z3 a; pro eadem funis longitudine , eo maiorem
requiri lenfionem in pundis M ct N ita vt funis
prorfus in dircdum extendi nequcat , nifi a vi in-
finita , \bi notalfc iuuabit fi altitudo X fuerit valde
cxigua refpedu arcus s , tum ob

Problema Secandum.

Si filum perfede fiex le et aequalitcr crafifum,
vento exponatur , definirc curuam , quae ipfi a vi
venti inducetur , mentem abftrahendo u grauitate
ipfius fili , fiue inucfiigare curuam velariam.

S o 1 u t i o.

Tab. vn. XXVI. Sta tuatur axis A X horizontaTis , vt

Fig- 7- diredio venti V M ipfi fiat parallcla , fitque A M

curua quaefita , in cuius elennentum M m ventus

ferit

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 399

ftrit fiib angiilo V M m zz ^0° — (p, Ponatiir k
akitiido celcritati venti debita arque conftat eius
vim in datam bafin ds aeqiialem fore pondcri co-
lumnae acreae , cuius bafis fit —ds^ altitiido vero
rr: k cof. (f)" , quicquid autem fit quoniam hic de vi
abrohita non himus folliciti , fufficit nofle hanc vim
effe proportionalem formulae ^j*. cof. C|)\ quoniam
igitur haec vis normalis eft in ipflim curuam , inde
uulla nafcitur tangentiahs critque p d s zi: o , atque
ipfa iam dabit vim illam elementarem normalem ,
quia autem dircdlionem habet contrariam ponamus
qd s — - pds.coC. Cj)'.

XXVII. Quare quum, hoc pioblema etiam ad
cafum primum referatur habemus

r. dT-o', ideoque T-C, 11'. vero Cd(p-^ds.coL<p"

vnde colligitur haec aequatio |-^ n: j3 ^ x , quae
integrata praebet C Tang. Cf) z= (3 / -j- D , at vero
eft Tang. Cp — l^ , ita vt pro velaria habeatur ifta
aequatio ^~- z= (3 i* -i- D. Vnde iam intelligitur
hanc curuam non difcrepare a praecedente funicularia,
nifi quod hic axis AX fit horizontalis, quum ia
cafu praecedente eflfet verticalis. Vt autem aequatio-
nem intcr coordinaras eruamus, primam aequationem
^^^ — ^ds multiplicemus per fui. Cf) , et quia
d s fin. (p — dx integratio dabit ^^ — (3 A^ 4- D ,
vnde quum fit cof Cf) zz ^ , habebimus hanc ae-
quationem Cds-dj{^xi-Di hincque djz:^^'^^

tum

400 DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV

tnm vero erit p^iz: V ((pa'+D)^-CC)4-H, pror-
fus vt in folutione praecedente , quocirca fi axis
AX qunfi per medium vcli A tranfeat, vbi tangens
curuae eft verticalis , lumi debcbit CnD, ponatur
autem porro C z=z D zi: (3 « , tietque pro hac curua

ipfc arcus A M ziz s z:z V {2 a x -{- x x) et tcnfio in
pundo M n: P « , quae in omnibus pundis eft ea-
dem. Ceterum quae fupra de catenaria obferuauimus
hic etiam locum habebunt.

P r o b 1 e m a III.

Si filum acquabile , vbique fuerit aequaliter
elafticum atque adeo grauitatis expers , idque duabus
Tiribus quibuscunque eius terminis A et B vtcunciue
applicatis incuruetur , naturam buius curuae AMB
inueftigare , fiue naturam curuae elatticae definire.

S o 1 u t i o.

Tab. vn. XXVIII. Quia praeter vires ipfis tcrminis A

Fig. 3' et B appHcatas , nuUas vires quae feorfim in fingu-
la elemcnta agunt admittimus , yires illae cleiren-
tares pds et qds euanefcunt, ideoque ex ca(u fe-
cundo , quo hoc problema eft referendum , fequen-
tem folutionem elicimus , ante omnia V T iz: ^-^

tum vero praeterea

1°, </T-fV^Ct)=oj IP. dS-Td^^-o', \\\\ d.YvjNds^

Ex

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEVeELASTIC 401

F-X (ertiii natim colligimus fumto elemento ds con-
nante, V— ^^4^ , qui valor in P« et ll'^^ lubfti-
tutiis praebet :

prioris integnile mnnifello eft

TzzB — ^^~f-, ficque climinando T afTcquimur
L-A^J^+A^^^-^B^/, qiiae perii^-^-^ multiplicata
praebet; 8 ddCpd'^ -f ^d(^\ dd(p — '-^. ds\ d(^dd(^
cuius integrak eft 4^^$'+^$»'^ V^-^/.^$'+C<//
vnde elicitur

dd(^.-W[^ds' ^^ds" d(^' -id(S;i\

Statuatur nunc d (p zz. u d s^ \t obtineamus hanc iic-
quationem ;

du-dsyi^^l.uu-lu') fiue ^i-zr-T-TT-^B r,.

Verum hoc modo calculus fit nimis moieftus, vnde
ab initio eum multo commodius inftituamus.

XXIX. Qiioniam pzizo et ^ zi o , ambae ae-
quationes 1 ct II quae funt d T -^ V d (p — o ;
d V - T d (P — o , tres tantum contirent variabiles
T, V et ^Cf) ex quibus eliminando d (p elicimus
T^T-l- V^ V zz o, vnde fitTT^-VV^iiCC
et T zi V (C C - V V) , qui in fecunda fubftitutus
praebet ^ V-^CpV^CC- VV) , fiue r/(pzz^,^^^- ,
vnde denuo integrando , Ang. cui. fin. ^ zz'cp 4- D
Tom.XV.Nou.Comm. E e e hinC'

402 DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV

hincqiie V iz C fm. ($ + D) et T ::^ C cof. ($ 4- D).
Qiiod hic ad angulum (p atthiet cuius differentiale
tantum d (P in noftras formulas principales ingredi-
tur eius determinatio pendet a certa quadam dire-
dione fixa , quae quum penitus arbitrio nollro re-
linquatur ea ita capiatui' vt fiat D — o, ficque iam
adepti fumus has duas formulas fatis fimphces
V := C fin. Cp et T nt C cof (^ , his autem litteris
binae illae vires exprimuntur , quibus ftatus cuius-
que elementi M m definitur , quae ergo vbique ita
funt comparatae vt fit T T 4- V V — C C fiuc vis
illis aequiualens conftans.

XXX. His inuentis iam fupra vidimus ex ter-
tia aequatione ficri V zz ^~~^ zz: C Cni. <P , fumto ^r
conftante , quae per 2d^ multiphcata et integrata
praebet: AjL^' z: B - 2 Ccof.Cp, hincque dJ^y^B^c^^ ^
fiue d s zz: y^Blf-.c.^/.cpj ' ^"^^ aequatio duas tantum
variabiles continet (p et x, vbi s denotat arcum
curuae A M a pundo quodam fixo computatum ;
angulus <P vero exprimit amplitudinem Imius arcus.
Deinde poffumus etiam radium ofculi curuae defini-
re , qui fi ponatur zzr, ob ^C|) — ^, acquatio in-

'venta oftendit fore r — ^(b j!;V^T) ' ^"^^ ^^^^^
fumto O^Oi ficri radium ofcuH r~V—^~—.

XXXI. Hinc etiam facile poffumus progredi ad
coordinatas orthogonales, fi enim axem AX ita ducamus
vt fiat angulus AMXzzCf), tum quia ^a; — ^/ fm.cp,
ct dyzzds coC.^P fequentem habebimus acquationem:

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEY ELASTIC 403
quae aequatio integrata praebet

quare fi pundum A ibi aflTumimus vbi axis in cur-
vam erit normalis, tum vtique arcus A M amplitu-
do erit aequalis cp^ at quia nunc amplitudine Cf>
euanefcente abfcifTa a: fit zz o, conftante poftrema-
debito determin.ua habebitur :

y ^ V(A(B— - Cco/.(p) _ VAfB — 2Cj
X ^ -^ ^^ ■ ,

Vnde coUigimus

cof. (p-i-x tAl^f^LiS) _ c ^. ^.

• A 2 A '

quo haec aequatio concinnior reddatur flatuamus
cof. Cl) =z I - "^ - ^^

^ a aa

fictque

B =: ^iiLrhLill et C 3Z =-^ ,

a a a a '

ficque inuento angulo Cp per abfciflam x, ambae vi-
res ftatim prodeunt

V zz. liLA. fin. (p et T ^ "~. cof. (b.

a a ' a a >

XXXII. Deinde quia fupra habebamus :

d ^ V{B— 2C.C0/. (p) p-;^ d_^ V(.nt-t-i — 4nco/.($)

dT — V A •" rtJ — i 9

hincque

V <y ZZ A V (^ n -j- I ■— 4 n co/. (P)

a

ideoquc

c; ■ — 0 V(4 wH- ' — 4 n co/. (p)
2 n/in. <|) '

E e e a vndc

404 DE STATV AEQ\aLlBRII ET MOT V

vnde vires quibus fingula elementa aificiuntur nunc
p?rfede innotefcunt. Denique quonian^i

cof. $ m ^ et fin. (J) zr ^ erit dy -dxcoi Cj),

vbi fi loco cof. Cj) valor fubftituatur orietur

d y a a — a x — n x x

d X ' V (2 o^ jc -f- (2 n — 1 } a a x x -^ 2 n a x^ — n,'^ x* )

ficque inter coordinatas habebitur haec aequatio dif-
ferentialis

j y {a a — ax — n x aW jf

i {z a^ :x;-f-(in— . i) a a x x — z n a x^ -— n^ x*)'

XXXIII. Qiio autem clarius intelligarur, quam
variae curuarum fpecies hic locum inuen re poflint ,
confideretur illa aequatio inter amplitudinem Cj) et
radium ofculi r inuenta

r — «

y (+ n -h I — + 71 cq/. (P ) '

vel quod eodem redit valor fupra pro abfciffa in-
ventus

X -gV(4Tt-^>~4nco/.(t))_ a__ j^.^ ^^ ^^^. ;^-.a_a_ _ a_

2« 27i' 2n r 2 n '

quam eximiam proprietatem omnibus elafticis com-
inunem probe notari conucnit. Totum negotium
ad formulam hanc irrationalem reducitur

y(4«-hi-4«cofCf))=: y(i-+-8«fin.i(I)'),

vbi imprimis fpedandum cft , an cocfHciens 8«, fit
pofitiuus an negatiuus , vel maior \cl minor vnita-
te. Primum enim perfpicuum eil, fi 8 « fucrit nume-
rus pofitiuus pnta =w, tum formulam y(i-i-?«fin.^Ct>')
femper efTe realem ideoque an^uhim Cp per omnes

Talores

CORP.SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 405

valores crefcerc paffo ; fin autem fiat 8«iro, ekfti-
cam fore circulum ob r — ^. Si autem 8« fuerit
numerus negatiuus , duos cafus confidcniri oportet
alrerum quo vnitate fit minus , alterum quo maius,
priori cafu quo 8 « =: — /;; et ;// < i formula
y (i — m fin \ Cp') , etiam nunc per omues valores
ipfius <f) variari potcA , id quod vsque ad viilorem
mzni \alet, quo cafu erit r =: ^ cof. ^ Cp. Verum
fi denique fuerit w >> i , haec fbrmula realis effe ne-
quit , nifi fin. ^Cp' fuerit << 7„ , vnde amplitudo non
vltra certum gradum augeri poterit , atque hinc fe-
quentur omnes iflae fpecies elaflicarum , quas euoi-
vimus in Tradatu de Problemate Ifoperimetrico.

XXXIV. Plura exempla circa aequilibrium
huiusmodi filorum flexibiiium et elaflicorum , hic
fubiungcre fuperfiuum foret , quonam hcx: argumen-
tum iam paflim abunde tradatum reperitur. Hic
cnim ii tantum nobis erat propofitum , vt metho-
dum facilem fimulque aequabiiem , quae ad omnia
genera huiusmodi corporum extendatur, traderemus,
hocque refpcdu nulhim ef\ dubium , quin haec me-
thodus aUis quibus Geometrae funt vfi, longe fit an-
teferenda , id quod imprimis ex ahera parte huius
difTcrtationis patebit , vbi oftendemus hanc metliodum
pari fuccefiu adeo ad motus huiusmodi corporum
determinandos adhiberi pofTe.

Problenia Generale Alterum.

Si filum fiue perfede fiexile fiue elaflicum at*
qne in fingulis pundis a viribus quibuscunque folli-

E e e 3 cita-

^o6 DE STATV AEQyiLIBRII ET MOTV

citatum Ytcnnque mcueatur , principia exponere ex
quibus iiunc motum definire liccat , vbi quidem af-
fumimus totum motum leir.per in eodem plano ab-
folui , in quo ipfa fili figura verfatur.

S o I Li t i o.

XXXV. Hic primo motum fili in genere con-

lidernri conuenit , ante quam neceffe fit vires ele-

mentares quibus in fingulis puncflis Ibllicitatur , in

computum introducere , id quod cum infigni calculi

rri, 17TT commodo fieri licet , ne ftatim ab initio multitu-

lab. Vll, . .

Fig. 3. ^^ quantitatum nimis augeatur. Conftituta certa
temporis epocba qua motum inchoalTe alTumimus,
teneat filuin elapfo tempore zn t (quod in minutis
fecundis exprimi fumimus) fitum in figura reprae-
fcntatum A M B , quem ad certum axem A D
aliumue ipfi parallelum rcferimus, quoniam etiam fili
pundlum A, motu quocunque ferri poteft , ita vt etiam
pundum fili A, non amplius pro initio abfcifllirum
haberi debet. Vocetur fili portio quaecunque A Mnx
(vt ante, hoc tantum difcrimine, quod nunc A non
amplius fit pundum fixum) et duda tangente MT,
vocetur etiamnunc vt ante angulus X M T zr 0
atque nunc manifeflum eft hunc angulum Cf) non
amplius tamquam fundionem arcus s fpcdari pofle,
quoniam eidem arcui A M rz: x, diuerfis temporibus,
diuerfi anguli (f) conueniunt , fed potius angulus (p
pro fundione duarum variabilium s tt t haberi de-
bebit , quo ipfo haec inueftigatio ad eam quafi no-'
vam Analyfeos partem in qua de fundionibus dua-

rum

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 407

riini vnriabiliiif-n tradatur erit referenda , atqiie hinc
nunc facile intelligitur , quid per formulas (^-^) et
(t-f) indicetur.

XXXVI. Interim tamen ex angulo $) ele-
menta coordinatarum dx et ii y perinde vt ante
exprimentur, ita vt fit dx-(fsC\n.(p et ^Vn^xcorCj),
Vnde abrciflTi x a certo pundo fixo computata erit
fds(in.(P et applicata j — /^x cof. <$), in quibus
integralibus , fola variabilitas arcus j- fpedatur. Hoc
autem non obftanie , ipfae hae coordinatae x et y
erunt funcfliones ambarum variabilium x et ^, dc
quibus nouimus effe (^) — fin. (p et (^) = cof. <p,
Nunc autem inueftigemus motum elementi MmzzdSy
cuius maflam ponamus zzz^^ds, ita vt "£ fit cer-
ta fundio folius variabilis s, quam fecundum binas
dirediones fixas coordinatarum refoluamus , atquc
confequemur eius celeritatem in diredione AX-(j^)
ct in diredione X M — (^) , quae denuo difFeren-
tiatae pro folo t variabili dabunt accelerationes in
direaione A X ir (^/^f ) et in diredione XM=:(^),
quae dudae in maffam elementi mouendi ^ds et
diuifae per 2 g (denotante g altitudinem lapfus gra-
vis , tempore vnius minuti fecundi) dabunt vires
requifitas , quibus hoc elementum foliicitari deberet ,
vt motum fuppofitum profequeretur. Quocirca vt
motus fiU ita fit comparatus , quemadmodum pofi-
tiones noftrae declarant , neceifc eft , vt fingula eius

elemen-

4oS DE STATV AEQyiLTBrai ET MOTV

eleinnita M m zz d s praefenti tempore a binis Yiri'

biis follicitentiir , quiie (unt

fec. direaionem AX-^^ i^^) et fec.XM-fji i'M

XXXVII. Vires i(be vocari folent , vires ad
motum producendum immediate requifitae , quas
probe dilUngui oporttt ab iis viribus , quibus fingu-
la elementa adu follicitantur ; at quia filum tan-
tum ab his polkrioribus reuera follicitatur , necefle
cft vt hae eundem effdum producant , quem iliis
viribus adfcripfimus , fiue quod eodem redit necefle
eft , vt omnes vircs requifitae fimul fumtae aequi-
valeant viribus aduaiibus fimul fumtis. Ex quo fe-
quitur fi vires illae requifitae contrario modo appU-
carentur , eas cum aduaUbus in aequiUbrio confifte-
re debere , fiue tum ip(um filum , co (aUem mo-
mento in aequiUbrio fore confiitutum , hoc igitur
modo , quaeftionem de motu fiii ad inueftigationem
aequilibrii feliciter perduximus.

XXXVIII. Vt igitur in hoc acquilibrium , ex
quo ipfe motus fili innotefcit , inquiramus ; filo no-
ftro praeter vires illas p d s et qils, quibus imme-
diate (bllicitatur , infuper adiungamus primo vim in
dire<ftione X A zz ^-^' (^-^) ; dtinde in diredione

2 g ^ a i- ' ^

M X =z ?:JLi. (^^2) , quandoquidem nunc certum eft,
iilum tum futurum effe in aequihbrio ; hunc in fi-
nem has vires pofteriores etiam ad dirediorxm tan-
gentis M T et normalis m r reducamus , atque hinc
prodit vis

fec. Zvl T — ?-^ (^) Tin. Cb 4- ^ (^) cof. <P

at

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 409

at vcro in diredlione m r

^ (i^) fin. d) - ^' (^'=) cof. 0

qiio fado filum niinc ita confiderari debebit , quafi
eius elementum Mm follicitaretur a duabus viribus ,
fequentibus :

P. fec. MT = p^x-f^((,^)rin.4)+(^)cor.Cl))

ll.kc.m r =::^^x4-^((^/-)riD.(t)-(^^)cor.Cl))

quibus inuentis nunc tantum opus eft, vt iftac vires
loco pd s et q d s in formulis noftris fupra iniientis
fubftituantur, atque tum iilae aequationes noftri pro-
blematis folutionem fuppeditabunt.

XXXIX. Qiiodft vires illiie pds tt q d s non
immediate dentur, fed vt fupra bftendimus ex viribus
dementaribus fecundum certas diredliones agentibus de-
duci debeant, calcuius fcquenti modo fe habebit : pona-
mus igitur fiii elementum M m adu follicitari in
diredione XA \i P</x ct in diredione M X vi
tz Q.^ J* , atque nunc vires , quae mente faltem filo
applicari debebunt , erunt

P. vis. fec. MTr:^j(P+ ^[^^p) fin. Cl)4-^x(Q+ ^ ^-^))cof 0

II. vis. fec. m r-ds{Q+ f4 ^)} fin. (]) - ds{ P+ f[^^^i)] cof Cf>

quas vt ante loco formularum pds et qds fub-
ftitui oportet.

XL. Faciamus igitur hapc fubftitutionem ,
atque pro motu fili definiendo , habebimus fequentes
quiituor aequationes :

Tom.XV.Nou.Comm. F f f L

410 DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV

I. {G) + V(^^; = (P+f^(i^;)fin.0 + ((i+f/j^))conC|)

II. (^:)-T(^)=(Q+f^C-^))fin (p-(?+f^iff,))coC.(p
III.V^=S(^-^); IV. {"-^^^V.

Quoniam enim fupra omnes iftae quantitates V, T
et (J) fundiones erant folius Yariabilis s , hic autem
vt fundiones duarum variabilium s tt t fp:<flari de-
bent , fignandi modum per claufulas, more con-
fueto introduci oportuit , tum vero notandum eft ,
liic litteram S exprimere elafticitatem abfolatam fili
in puntflo M , ideoque fundionem cfte ipfius S tan-
tum. Quo autem clarius appareat , quomodo hae
quatuor aequationes , folutionem problcm.atis noftri
fuppeditare queant , primo quidem perfpicuum eft
determinationem incipi debere , a virbus T ct V
cum dirtantia v , ex quibus etiam durante motu ad
quoduis tempus , tenfto et ftatus cuiusque elementi
cognofcitur , his autem tribus quantitatibus inuentis
et fubftitutis exorietur vna aequatio has quidem
quinque quantitates inuoluens , ; , x , a; , j' et Cf)
quae autem ob has duas relationes cognitas :

(^):^fin.Cp et (^-f )-cof Cj) ,

ad tres tantum reducuntur, quae fi fuerint s et t rum
angulo (P , haec aequatio natura fua dtclarat valo-
rem an^uli Cf) , per binas variabiles s ti t tipri-
mendum , vnde pro quouis fili pundo M ad qtiod-
vis tempus ?, angulus conueniens Cj) detcnr.inaM^r ,
vnde dcinceps ipfae coordmatae conftabunt , .ifoiie

:•! P.r}

CORP. SIVE FLEXIBIL. SEV ELASTIC. 411

adeo figura totiiis fili ad quoduis tempns , hincque
etiam ipfe motus eius patefiet.

XLL Ex tertia et quarta aequatione elimi-
nando diftantiam «y (latim coUigimus

ita "vt hoc valore fubftituto, iam tantum duas aequa-
tiones fimus habituri ex quibus fi vis T elidatur tta-
tim obtinetur illa aequatio iinalis principalis, cuius
rationem modo explicauimus.

XLIL Quoniam praetcr ofcillationes infinite
paruas vix quicquam adliuc circa liuiusmodi motus
©ft inueftigatum , neque etiam nunc Methodus patet
tales formulas non parum intricatas tradandi , hinc
faltem eas deducamus formulas cx quibus Geometrae
motum cordarum vibrantium determinauerunt. Primo
igitur filum perfede flexile ftatuatur , vnde ftatim
fit V — o , deinde etiam vires elementares P et Q^
cuanefcant, poftmodum quia tantum vibrationes infinite
paruae funt confiderandae , ftatuamus applicatam y
"veluti infinite paruam prae s et .v , vnde etiam erit
i^:=:o , et ^=1, tum vero erit (f) quafi redus.
Quibus notatis noftrae duae aequationes crunt:

II. +T(^-|)=^(i4,«)cof.Ct)--^(|9) Cn. 4).
F f f 2 Ratione

41 2 DE STATV AEQVILIBRII ET MOTV

Ratione prioris obferiiandum efl: , quia abfclfla x ab
jpfo arcu s non difcrepare cenfetur , fore (^) :::: o ,
atque (^-^) zz o , deinde quia cof. Cj) zr o , mani-
feftum eft fore l^ nz o , hincque vim T conftan-

tem fiquidem etiam durante motu , tenfio fili ea-
dem conferuari fupponitur. Pro altera aequatione ,
quia cof (p =z (^^), liincque difterentiando -(^-f ) ftn. (p
=z (^) iiue ob ftn. Cp = I , (^-^) zz - (j ^/) ; haec
aequatio ob cof. (f) =r o , praebet ftatim T {^-^ )
zn ~-Aj^) y quae quia T eft quantitas conftans et
2 craflitiem fili in pundlo M exprimit , aequatio
noftra talem induet formam A (^-^)=:-^(j-^), \bi
A denotat tenfionem fili , atque hacc eft eadem ae-
quatio , qua Audores funt vfi in motu cordarum
determinandow

XLIII. Deinde quac de inflexione laminarum
clafticarum funt tradita , etiam hinc peti poffunt ,
quia enim vt, ante vibrationes infinite paruae confi-
derantur, erit iterum {in.tpzzi^ cof. Cj) zi: o,(^)z:o
c| (^^^)zi: — (^l2) ; praeterea etiam vircs elementares,

P et Q hinc excluduntur , vnde primo vim V ita ha-
bebimus expreflTam vt fit :

duae reliquae vero aequationes induent has. formas

m - V im= ^ ' © + T (m ~ h m

quac

CORP. SI VE FLEXIBIL. SEV EL ASTIC. 41 3

quae fi lamina elaftica fiierit aequabilis , ideoque
S = A, dabunt ftatim V =: ^ A (^) , hincque (|J )
— - ^(^'^/^(^J, quae per ds multiplicata- et iir-
tegrata dat T — R-^(^4^)%- vnde eliminando T
ad aequationem peruenitur difFerentialem quarti
gradus , quemadnmdum etiam inuenerunt ii , qui
hoc argumentum fufius tradlauerunt.

Fff3 DE

414 "»^141 ( ^ ) &£*-

D E

ICTV GLANDIVM

CONTRA TABVLAM EXPLOSARVM.

A u c t o r c
L. E V L E R O.

Cafus primus, quo tabula eft ixnmobilis.

I.

Aflumimus hic primo tabulam efle immobilem ,
quo Analyfis ex principiis motus petenda eua-
dat facilior. Quod nunc ad glandem attinet , duae
res potiflTimum confiderandae veniunt, prima eft eius
celeritas , qua in tabulam impingit , quam metimur
fpatio, quod hac celeritate vno minuto fecundo per-
curreretur , fit igitur haec celeritas m^, ac denotet
g altitudinem ex qua graue hbere cadit tempore
vnius minuti fecundi , ita vt fi celeritas glandis
tanta fuerit , quanta ex altitudine g acquiritur, tum
fit r r 2 g, fm autem illa celeritas tanta fit , quanta
ex altitudine nng acquiritur , tum fit czizng^ yMQ
fequitur pofito c-Q.ng fore « = ~ ideoque altitudinem ex
qua haec celeritas c generatur fore nng-'-^^, Deinde vero
in computum venit mafla huius glandis, quam httera M
defi^tiemus , vbi fecundum principia Mechauica M

men-

DE ICTV GLANDIVM CONTRA TABVL. 415

menfuratur pondere eiusdem glandis. Quod autem
ad figuram glandis attiiiet , eius ratio hic Yix habe-
tur, dummodo eandem figuram retineat,

II. Statim atque glans tabulam ferire incipit ,
hoc erit init.um idus , a quo tempora computabi-
mus. Ponamus ergo ab hoc initio , iam elapfum
efle t minut : fecund : , quacriturque quousque nunc
glans in tabulam penetrauerit , ponamus ergo glan
dem ad profunditatcm r= x penetrafle et quum hoc
fit fpatium a glande tempore t percurfum , erit
celeritas glandis hoc momento ^^ eiusque acceleratio
— MJLl^ fumto elemento d t conftante , cui yis
refiftens negatiue fumta debet efle aequalis. Animum
autem hic abftrahimus a grauitate glandis, qua eius
motus incuruatur , quippe qui effedus in hoc phae-
nomeno nuUius eft momenti»

III. Quum nunc glans ad profunditatem =r x^
in tabulam penetrauerit, quam quidem hic minorem
ipfa craflitie tabulae aflumimus , polita enim craflitie
tabulae -a, fimul ac fit xzia^ glans per tabulam peni-
tus tranfiifle confendus eft , nunc igitur dum in
profunditate zz x \erfatur , certam atque infignem
offendet refiftentiam , quae eius motui fe opponit ,
et quam htera R denotemus , cuius Yalorem cum
\ix vllo cafu accurate definire liceat , hic tantum
obfcrucmus eam , cum a magnitudine glandis , tum
•vero etiam a duritie ipfius tabulae , atque ab ipfa
profunditate penetrationis x pendere , quare quum

. duo

4i<J DEICTVGLANDIVM

duo priora mornenta eadem maneant pro eadem
gknde et tabula, vis refiftentiae fpedlari poterit tam-
quam fundio ipfius Xj quae euanefcat tam pofito
X zz o , quam x z:za j quando luidtm tam ante im-
pulfum , quam poft eruptionem, nullam patitur re-
fifteLitiam.

IV. Conftituta igitur hac refiftentia R, liabebi-
mus ftatim iftam acquationcm , ^-^ — — ^ , quae
per d X multiplicata et integrata praebet ~^
zz: C —f^-^r ^^^ integrale f^~~- ita capi fumanlus ,
vt ipfo iuitio vbi Xzizo euanefcar. Hinc conftantem
C ita definiri oportet , vt poftto x~ o ^ celeriras
glandis quae eft ^ fiat zzc , vnde coliigitur Cr:^
ita vt habeamus ^n<r^ — 4g/^~ ; hincque ipla
celeritas glandis liL— V^c c ~ ^gf^A^)^ vnde porro

pro tempore cognofcendo deducitur ifta aequatio
d X

V. Parum autem folliciti de tempore, cx ac-
quattone pro celeritate inuenta , flicile iudicare pote-
rimus , vtrum glans penitus per tabulam perrum-
pat , an vero in ipfa tabula fit haefurum omni ki-
licet motu amifl(). Hic praecipue ad ipfiim refiften-
tiam R indeque formatum integrale /^R ^x eft re-
fpiciendum , cuiiis valor crefccnte x cnntinno auge-
tur , ponamus igitur poftta x z:z a , fieri /^-A£ — /,
atque nunc perfpicuum eft , glandem pcr tabulam

per-

CONTRA TABVLAM. 417

perrumpere non pofTe qinmdiu cc minus efl quam
\gft atque hinc lequentes cafus diftingui oportet.

i^ Si fuerit cekritas glandis <; < i~V gf^ glans
non penitus per tabulam perrumpct , fed aiicubi
haerebit , vbi fcilicet fit/5-|^=i^, vnde profun-
ditas penetrationis intelligi poterit.

i^\ Sin autem fuerit celeritas glandis c^iVgf
tum glans non ioium penitus pcr tabulam transui-
biabit , fed etiam adhuc ccleritatem quandam con-
fcruabit , quae erit zi: V (f r — \gf\

Cafus Secundus quo tabula fiiper pla-
no horizontali libere eft mobilis.

VI. Manentibus iis quae circa glandem eius-
que celeritatem ante funt conflituta , nunc etiam
mafla tabuiae in computum efl: ducenda , quae fit
rz N , atque ne tabula motum obliquum recipiat ,
glandis idum ponamus fieri in ipfb tabulae centro
inertiae , motumque glandis efie horizontalem. Sit
porro adhuc crafhties tabulae ia Joco idus zz a.

VII. Elapfo temporc rr/ fecund. a primo idus
initio, \bi ipfa tabula erat in quiete, glans vero ce-
leritate ziz c ferebatur , ponamus tabulam iam efle
promotam per fpatium i3^, glandem autem iam
in tabulam penctrafTe ad profunditatem ~ x^ \bi
rendentiam offcndat nR, 'vti ante pofuimus; quum
ig!tur tabula tempore / promota fit per fpatium y ,
crit eius celcritas ri j^ et acceleratio more fuperio-

Tom.XV.Nou.Comm. ^^^ 4

41 S DE ICTV GLANDIVM

ri fiimta zz^?-^:^, glans autem interea confecit
fpatium x-^-y^ vndc eius celeritas erit liLrt^ et
acceleratio = -^-^-J^^ , notandum autem eft ,
ipfo initio fuilTe x zzo et j^ — o , at vero celeritas
primo tabulae ^^ ~ o et glandis i±db,i2 ~ c , ita
vt tum fuerit 1? rr ^.

a t

VIII. Qiiod nunc primum ad motum tabulac
attinet , euidens eft eum accelerari a vi R, haec
enim dum motui glandis (e opponit , aequa vi m
tabulam reagit , eiusque motum accelerat, vnde haec
prima aequatio relultat :

I. NAfj - R fiue ^^ =z =-XR

deinde vero motus gkndis ab eadem vi R retardatur,
vnde oritur haec fecunda aequatio :

TT M(cidx-|.d iy) —- _ J^ fjug ddx-^ddy «- __ 2^gR
3 g dt^ dt^ N ,

ex quibus duabus aequationibus vtrumque motum
deriuari oportet , fcilicet fpatia x cty^ vbi impri-
mis notaflfe iuuabit , quantitatem R, tantum cfle
fundionem ipfius x^ ita vt ex priori aequatione fo-
la nihil concludi queat.

XI. Hinc igitur primo ^ dy elimincmus vndc
©rietur ifta aequatio :

d d X 2 g (M -4- N) D

quae per dx diuifa et integrata dat

vbi

CONTR A TABVfLAM. 41^

Tbi fi fRdx eimnefcat fado :v zn o , aequatio noftra
ita determinatur , vt fit

Qiiodfi ergo vt ante pro tota crafTitie tabulae na
ftatuatur fS^ — /, perrpicuum eft vt glans per
tabulam penitus perrumpat , neceflTe effe , vt fit
c c^ ^fg ^— ^=-^ , vnde intelligitur maiori glandis
celeritatc opus efle fi tabula fucrit mobilis , quam
fi elfet immobilis , nifi moles tabulae fuerit maximjl
refpedu glandis , at quo leuior tabula e(l , manente
quidem eadem craflitie et duritie , eo maior glan-
gis celeritas requiritur , vt perrumpat. Cognita au-
tem mafla tabulae N , iudicium vtrum glans per-
rumpat nec ne , perinde inflituitur , atque in hypc-
thefi tabulae immotae.

X. Hic autem maxime curiofa eft inueftigatio
motus quem tabula hinc rtc'pit, ad quem inuenien-
dum , addamus ambas aequationes prius inuentas
vt ipfa quantitas R eliminetur fic enim prodit haeC
aequatio :

M d d X . (M -4- N) d d y

quae femel integrata fponte dat

quare quum ^-2 celeritatem tabulae exprimat , habc-
bimus

djf -~. Me ^ yjd X
*tt JlH-W (M-f-N) dt

Ggg

cx

420 DE ICTV GLANDIVM

ex qua aequatione intelligitur iis cafibus , quibus
glans non penitus tranfit per tabulam , fed in certa
penetratione arcetur , ibique fit ^y n: o , tabu-
lam motum elTe accepturam cuius celeritas fit - ^^.
At fi auda celeritate c glans penitus perrumpat ,
tum tabula minorem accipiet motum , vti mox pa-
tebit , in quo non exiguum paradoxon cernitur.

XI. Quamdiu ergo glans non penitus per-
rumpit , tabulaeque infixa manet , quod fit \bi
4_* — o; motus determinatio nulla laborat difficulta-
te tum enim celeritas tabulae vt modo vidimus

prif ^y — ^^ ,c. euoluamus igitur eos cafiis qui-

bus glans penitus perrumpit , quod euenit quando

ponamus igitur breuitatis gratia

4g/('+|> = *^
ita "vt k eum celeritatis gradum exhibeat , quo tan-
tum non per tabulam penetrare valet , ac fi futrit
c — k ob ~ — o erit tabulae celeritas poft idum
il m — — ,. k elans vero ipfi extremirati tabulae in-
haerebit. Nunc autem ponamus ^ >> ^ et quidem
e zznk vt fit « > I , atque poft idura habebimus ;

^zzJtV (««- i)

a t '

\nde fit celeritas tabulae poft idum

Quare

C O N T R A T A B V L A M.

42«

Qiiare fi n paulifper tantum vnitatem excedat , vt
dt fi z:z I ^ oL erit celeritas tabulae poft idlum

fpedata fcilicet a vt infinite parua, vnde patet cele-
ritatcm tabulae minorem efle , quam d eflet n iz: i,

XII. Sit iam n numerus quicunque maior vni-
tate et quum fit poft idlum

p^ = kV{nn-i) ct'/, = ^k(n-V{nn-i)),

quae eft celeritas tabulae poft idum , erit glandis
celeritas poft idum

Iiinc ergo euoluamus aliquot cafus praecipuos :

cc!eritas glandis

ante idum

L c-k

II. c—2k

III. czzz^ik

IV.c-^k
V. czzsk

Vl> c — ek

celcritas tabulae

poft idtum
w j.

M^.M2-y3)

M
M

kU-ViS)

celeritas glandifi
poft idlum

~^k

fc(2M-f-NV s)
M -+- N

fe (t M H-N V gj

"'3(5-^24-)

M

N

M

ftC4M

N
NV.s)

M

fe(iM
M

k'6 M
M

■ N

NVi4)

N

N Vss)

•N

_M^_ (6-y35)

M _HN ^ ^- vi?;

XI II. Qiiodfi ergo n fuerit numerus medio-
criter magnus , vt fit proxime V{nn-i)zzn-^ ,
tum ergo fi ccleritjis glandis ante idum fueritri^wjfe

ce 'e—

2 n iw -+- n;

G g g 3 rita&

prodibit poft i<aum celeritas tabulae — ^— ,

2 n (M -+- N;

42 s DE ICTV GLANDIVM

ritas Tero glandls — «fe-^^^, vnde manifefhim
eft , quo maior fiierit numerus n feu quo nnaior
fucrit celeritas glandis ante idum , celeri-tatem
tabulae poft idum eo fore minorcm , glandis autem
celeritatem eo minus deR(fturam effe a celeritate an-
te idlum , fiue iaduram celeritatis quam glans patl-
tur eo fore minorem.

Obferuationes in fblutiones praece-

dentes.

XIV. Problemata haec referenda funt ad do-
(flrinam de coUifione corporum , quae non folum in
Mathefi , fed etiam in P' ilofophia tradari e(i folita.
Totum discrimen in hoc tantum confiftit , quod hic
corpus impingens, in alterum penetret , atque adeo
fibi tranfitum aperiat , dum in \ulgari dodrina eius-
modi tantum corpora confiderantur , quae in con-
flidu fibi yel nullam impreflionem, vel faltem quam
minimam inducunt.

XV. Noftram igitur folutionem ad notiones
vulgares reuocaturi , nominemus fiue durante con-
flidu , fiue eo iam finito celeritatcm glandis zz. v ,
et celeritatem tabulae izitt, et quum fit ^y — 4£ztl>

a t

tX. u zz ^ ambae aequationes pro fecundo problema-
te inuentae , quae fcilicet fada integratione prodie-
runt , ita fe habebunt ,

quarum

CONTRA TABVLAM. 42^

quarum pofterior inuoluit eam notionem , quae vul-
go quantitas motus vocari folet , et indicat quanti-
tatem motus , fiue produdum ex maflli vtriusquc
corporis in fuam ccleritatem perpetuo eandem con-
fcruari , quia enim ante conflicn^um tabula quieuit,
tota quantitas motus erat M ^, durante autem con-
flidu vel finito , quantitas motus eft M v -\- N u.
Ifta quantitatis motus conferuatio inuoluit acquabilem
progreflum communis centri grauitatis.

XVI. Vt vero etiam priorem aequationem ad
tiotiones receptas perducamus , eam per M N mul-
tiplicemus vt habeamus:

MN(^-«f— MN^' — 2MNvtt-}-MN^«=i:MN^<?

-4g(M-|-N)AR^^

ad hanc addamus quadratum pofterioris aequationis ,
quod eft:

MMi;*4-2MN«?tt4-NN««zi:MMr^

prodibitque aggregatum

M(M4-N)«;'4-N(M-f-N)««=:(M4-N)i:r

-4g(M-|-N)/R^^

quae per M 4- N diuifa praebet hanc aequationem :
Mv+NtiuzzMcc—^gfKdx^

quae manifefto continet eas notiones , quae vulga
virium viuarum nomine efFerri folent. Eft enim
M c c tota vis viua ante conflidum , at M ^ 1; vis
viua glandis durante vel iinito conflidu, atque N««
Tis viua tabalae.

XVIL

424 3DE ICTV GLANDIVM

XV II. Hinc ergo perfpicuum eft neqne dunin-
te confiidlu neque finito , vim \iuam totam ean-
dem nianere fed potius diminui et quidem quantita-
te ^gfKdx^ id quod vulgari prin(ipio conferuationis
virium viuarum aduerfari videtur , verum probe*
notandum eft conferuationem virium \iuarum , tum
tantum locum habere, quando de viribus nihil perit.
Quum autem noftro cafu , tabula perforetur , atque
ad fbramen efficiendum non exigua virium quantitas
impetidi debeat , mirum non eft , quod fumma vi-
rium viuarum hic decrementum patiatur , quin
etiam ex ipfa noftra aniilyfi manifeftum eft , fbrmu-
lam integralem /R '/;»; , fummam virium in fora-
nien impenflirum exprimere.

XVIII. Hic non inutile erit oflendere quo-
modo immediate ex noflris aequationibus diffcrentia-
libus fecundi gradus , ad vires viuas calculum p^r-
ducere potuifTemus. Aequationum enim §. 8 in-
■ventarum, prior ducatur in dy^ altera vera in dx-^-dy
eaeque inuicem additae dabunt if^am aequatioHem.

quae integrata producit:

ficque introdudis litteris i; et « , ftatim afTecuti fu-
mus hanc aequationem :

^uU'\-Mvvz^^cC'^4f.gfKdx,

XIX. Ex principiis igitur vulgaribus , quae
pajSim in dodlrina de collifiooe corporum expofita

repe-

CONTRA TAJBVLAM. 425

repcriuntur fohitlonem problematis noftri deduccre
potuiffcmus , dum modo perpendilTemus in penetra-
tionem gkndis intra tabulam cerras vires impendi
easque iundim fumtas formula ^gfKdx compre-
hendi pofle Tum enim quia tota vis viua ante
confiidum erat zz: 1S\ c c j durante autem confl du
cum pcnetratio iam fada efl ad profunditatem =x'
fumma virium viuarum fit M-y^y + N^^/, neccflb
eft , \t fiat :

Mi^-y-i-N^/w — Mr^ — 4g/R^:v ,

alterum vero principium quantitatis motus fiue ae-
quabilis progrefliis communis centri grauitatis ftatim
fuppeditat hanc aequationem M <y + N ?/ z: M ^ quae
cum illa coniunda completam probkmatis noftri
folutionem continet.

XX. Hac occafione non abs re erit paucis ex-
ponere , quid de notiflunis iUis notion^bus , circa
quantiiatem motus et vires viuas , quibus Philofophi
totam motus theoriam fuperftruere funt conati , fit
iudicandum et quatenus eae cum veris et vni-
verfahbus Mcchamcae principiis conciUari pofllnt,
Ac primo quidem de veris Mcchanicae principiis
tenendum eft, ea ex vnico principio proficifci , quo
ratio inter accelerationes et vires follicitantes con-
tinetur et ita huiflime patet , vt etiam ad fluida
corpora extendatur. At vero hoc principium ita eft
comparatum , vt (empcr ad formulas diflferent ales
Tom.XV.Nou.Comm. Hhh fecundi

425 DE ICTV GLANDIVM

fecundi gradus deducat, de quibus deinceps videndum
eft, nunfi integrationem adnnittant ?

XXI. Dantur autem infiniti cafus , quibus
huiusmodi integrat^o locum habet , hocque modo ad
formulas differentiales primi gradus peruenitur , quas
per ceieritates explicare licet , quemadmodum noftro
cafti j-f ^^ 3^ celeritates praebuerunt , atque hae
ipfae formulae iam integratae, eas notiones inuol-
\unt , quae vulgo fub quantitatis motus , vel vis
viuae nomine innotuerunt , dc quo quidem iam du-
dum obferuatum eft , nomen vis viuae incongrus
adhiberi , quum produdnm ex mafla cuiuspiam cor-
poris per quadratum celeritatis, neutiquam ad notio-
nem cuiuspiam vis reduci queat.

XXII. Talia ig'tur principia , quae vulgo
leges motus continere cenfentur , non aliter fpcdari
poflfunt nifi tamquam conclufiones ex vnico illo
Mechanicae principio dedudlae , quae quum femper
fub certis tantum conditionibus , quatenus fcilicet
formulas integrales fecundi gradus integrare hcuit ,
locum habcant , tantum pro principiis particularibus
funt habendae , quae etiam principia fecundaria vel
deriuata appellare liceat , dum verum Mechanicae
principium eft vnicum et maxime vniuerfale.

Examctt

CONTRA TABVLAM. 4.2^

Examen accuratius fuperiorum
folutionum.

XXIII. Quoniam vis illa R, quam in folutio-
nem noftram introduximus , nullo modo reftringitur
aut iiiiiitatur^ lolutio noftra maxime generalis tt
ad omnes planc caius extendi polfet \ideri , quo-
modocunque enim perforationis efFeiflus promotioni
glandis aduerletur , femper certam vim concipere
licet , quae ilH refirtentiae foret aequalis , et quam
adeo fub littera illa K contentam intelligere liceret.
Qiiatenus autem illa quantitas R , vt fundio varia-
bilis X , qua profunditas penetrationis defignatur , a
nobis confideratur , quocunque demum modo , tam
ab ipfa glandinis magnitudine ct figura , quam ab
ipfius tabulae duritie ct crafTitudine pendeat , fiqui-
dem hae res vt quantitates conftantes lunt fpedandae:
eatenus noflra folutio faepius a veritate recedere
poteft , quum vtique eiusmodi dentur cafus vbi vis
refiftentiae non tantum vnicam illam variabilem x ,
fc.i aliam praeterea \e!uti celeritatem implicarc poffir,
id quod clarius explcari neceffe eft.

XXIV. Ad hoc oftendendum concipian^ius ta-
bulam tamquam proprietate fluidi praeditam effe ,
atque tum nuUum foret dubium , quin omnis refi-
ftentia a fola celeritate penderct eiusque quadrato
proportionali«i eflet , huiusmodi igitur cafu quantitas
illa R non foret fundlio ipfms x , fed potius celeri-

H h h a tatis ,

42 S DE ICTV GLANDIVM

tatis , qna glans in tabulam penetrat et quam for-
mula j^^ expreflimus. Facile autem intelligitur , fi
refiftentia illa R etiam formulam — inuoluat
rationem integrationis , qua fumus vfi , neutiquam
locum habere polTe , propterea quod formula K d x
tamquam integrabilis eft fpedata.

XXV. Q.uodfi ergo tabula naturae fluidi particeps
effet, ita \t refiflentia partim ex fundione ipfius Xy \ti
alTumfimus, partim vero etiam ex quadrato celeritatis
conflaret ; folutio noflra nuUo modo fubfiflere poffet,
"vnde maxime necefiarium efl, in eos cafus inquirere
quibus talis indoles Cck refiftentiae tabulae admifcere
pofftt. Verum fatis iam efl cognitum omnem fluidi
refif^entiam inde potifTimum oriri , quod partes flui-
di de loco fuo depdli iisque motus imprimi debeat,
id quod finc virium difpendio fieri nequit , fupra
autem littera R tantum eiusmodi vim reludantem
denotauit , qnae motum glandis quidem retardaret
ipfa autem in fe nullam motus generationem re-
quireret. Duos igitur hos refifkntiae cafus foUicite
a fe inuicem diftingui oportet.

XXVI. Id refiflentiae genus , quod motui
corporis direde fe opponit et quafi eiaflrum corpus
repellit , vocemus refiflentiam abfolutam , quorfum
pertinet illa ipfli refifkntia , quam fupra fumus con-
templati. Alterum vero refiftentiae genus , quod

veJuti

CONTRA TABVLAM. 429

veliiti in fliiidis euenit , a generatione noui motus
oritur , toto coelo a priori genere difcrepat, etiamQ
corporis motum quoque retardet , quo difcrimine
notato , quoniam tabulae nuUum foramen induci
poteft , nifi eius particulae internae non folum a fe
inuicem diueliantur , fed etiam de loco fuo rcmo-
veantur , (lUis perfpicuum eil; refiftentiam vtriusquc
generis hic reuera locum habere debere.

XXVII. Pro noQro ergo cafu , veram rcfi-
ftentiam duabus partibus exprimi oportebit , prior
fcihcet pars continebit refiftentiam abfolutam et fun-
«flioni cuipiam ipfius x proportionaiem, quam littc*
ra R vt fupra defignabimus , altera vero pars a
motus generatione oriunda et quadrato celeritatis pro-
portionalis , hac formula A. ^! exprimatur, vbi A?
fignificat celeritatem , qua glans in tabula vltcrius
penetrat , A vero eft quantitas quaepiam a denfitatc
materiae et magnitudine foraminis pendens. Hoc
modo tota refiftentia tali fbrmula repraefentari debet

R-4- A. ^

XXVIII. Quod autem poderior pars , qua-
drato celeritatis fit proportionalis , ita plano ratio»
cinio coUigi poterit. Concipiamus maffam quam-
piam ~ M quiefcentem , quae a vi quadam P in
motum foliicitetur , elapfo tempore — t , maffa
iara fit promota per fpatium zz s ^ et quum ex

H h h 3 prin-

.430 DE ICTV GLANDIVM

principio motus fit ^^' =P habebimus integrando

■M ds^ — Pj- , \bi - celeritatem maflae M impreflam

-4 g d t' ^ at

denotat. Hinc ergo difcimus , vt datae maflae quie-
fccnti Ni dum per rpaciUm S proptnitur , uata cs-
leritas - imprimatur , ad hoc requiri vim foHicita-
tem , P z= M. -^-^-—i j quam formulam applicemus
ad noflrum cafum, quo glans intra tabulam \lterius
penetrat per Ipatiolum zz.d x ^ ita vt nobis (it
sz2dx, interea autem necefle eft , \t certa portio
Tmateriae , quae hoc fpatiohim dx occupabat , oe io-
--co fuo remouearur cuius ergo mafla proportionalis
erit partim ipfi ipatiolo d x , partlm amphtudini
'glandis nec non deafltnti matinae qua tabula conflat,
ex quo mafla remouenda ita exprimi poterit , vt
"lit :z: C. dx, quam loco M icribi conuenit ^ denique
huic mafliie celeritas imprimi debet , celeritati glan-
'dis aequahs, vt (cilicet (ucceflioni glandis cedat, fic-
-que haec celcritas erit noftro cafu — ^ 5 loco ~~
fubftituenda. Qirocirca vt maflae Cdx diun per
fpatium sz-dx promouetur, celeritas =1:^ imprinna-
tur, ad hoc requiritur vis folHcitans 31 L ^, quam
ergo rede per formulam A. j^ exprimimus, quam
formam adeo ij.fum principium motus vniuerrale
(upptditare eft cenlendum.

Tab. va XXIX. Hic quidem afliimimus glandem r6n

Fig, t foium direde ptr t^bulam penetrare, fed etiam per-

pen-

CONTRA TABVLAM. 431

pendiculariter in eius particulas illidere , verum (i
oblique illidat ? Sit enim reda A B diredio
motus et D C E anterior corporis moti fuperficies ,
quae percurfo fpatiolo Q c zz: d x^ perueniat in fitum
d c e ^ fitque angulus obliquicatis D C B zz a , iam
ducatur Cy ad ambas redas obiiquas normalis , at-
que manifeftum eft, vt corpus motum pro(equi poflit,
non opus efle , Yt particulae obuiae per fpatiolum
C c promoueantur fed tantum per fpatium C y ,
quod fe habet ad illud vt fin. a ad i, ex quo etiam
fufficit iis celeritatem imprimi zz tj., fin. a , ficquc
pro hoc cafu obliquitatis , refiftentia putanda erit
zr^. ^. fin. a', fcilicet praeterea quadrato finus obli-
quitatis proportionalis , quia autem fin. a eft quan-
titas conftans , commode fimul in littera illa C
comprehendi poteft , ita Yt non opus fit huic caiui,
peculiarem locum in noftra analyfi tribuere.

Emendatio fblutionis lupra datae.

XXX. Vt igitur folutionem fupra datam a
•vitio modo memorato hberemus , tantum opus eft ,
in ambabus aequationibus ibi inuentis loco R fcribe-
re R + -^'Jz'^- 1 quo pado aequationes illae erunt:

Hddy D _\ A.dx"^ . K [d dx-i-d_dy) — — R A^** **

quae inuicem additae fummam praebebunt , vt ante

H d d 3C -t- (M -h N) d d j> Q

CUIUS

432 DE ICTV GLANDIVM

cuins integrale ergo etiam erit , \t ante

^^ + (M + N) ^-f 1= M r.

Ad alteram autem aequationem integrakm inuenien-
dam, ex priore valorem

d dy R_ i_ A_ dj^

3 g dt* — N ""^ N d t= '

fubftituamus in pofteriore vt prodeat

±dx _ _ (M^ R _ (M^ N) ^ d^ ^^^^
a gdt^ M N M N d t^

ponamus nunc breuitatis gratia

4 g (M -H N) A --3 2«,

Tt habeamus hanc aeqnationem

a dd3g-4-2adx^ (M -4- N) ^

d t' ' ^* D' M N * '

quam videamus quomodo ad integrabilitatem perdu-
cere liceat.

XXXr. Ante omnia igitur obferuamus , fbr-

mulam ddx--{-adx' integrabilem reddi , fi multi-

plicetur per ^"^, crit enim e"-^[ddX'\-o.dx'')-d.e^''dx^

mnltipliCemus igitur per ^*^ et noftra aequatio fiet

^d.e^^^^dx (M-f-N)

dt" — ^^ MN ^ ^'

quae vt prorfus integrabilis reddatur multiplicetur
per e^* d X eritque integrale

^''''dx ^ (M-4-N)

"-7?-=^"^^-MN -^^^^^R^^.

vbi

CONTRA TABVLAM.. 433

Tbi fi formiila integralis Ita capiatur , vt eua»
nefcat fado xzzo, valor conftantis C dcbet effe — ^-i:,
ficque obtinebimus hanc aequationeni integratanci

quae aequatio iam cum ante inuenta

U t

coniunda , veram lolutionem noftri fecundi proble-
matjS fuppcditat.

XXXII. Circa hanc folutionem obferuamus , ii
exponens zax euanefceret , ita vt eflfet ^'^*z::i,
tum hanc folutidnem cum praecedenie perfede con-
venire, eatenus igitur tantum ab ea difcrepabit, qua-
tenus 2ax non euanefcit, quia autem tum formula
tf'°'^ eo magis vnitatem fuperat , quo maior fuerit
exponens 2ax, intelligimus formulam e^°^^ K ti x
maiorem elfe , quam cafu ante tradato et quidem
to magis , quo maius fuerit fpatium penetrationis x^
ex quo intelligitur , quo craifior fuerit tabula, prae-
terquam quod fola formula /R fl^ a: fit maior pofito
fcilicet X z^ a, ob fadorem e^'^^ multo magis infur
per augeri , quare quum fupra pro cafibus quibus
glans per totam tabulam perrumpit , poluerimus

^g^^-^/Kdx-kk,
{i nunc etiam ponamus

^g^^^^V^^^^^^.Kdx^ikk
Tom.XV. Nou. Comm. I i i ifta

434- I^E ICTV GLANDIVM

ifta quantitas k maior erit quam ca(u praecedente ,
ideoque nunc maior glandis celeritas requiritur , vt
ea per totam tabulae craflitiem penetret , et quo
craffior fuerit tabula , vt glans peietret, eius celeri-
tas tanto maior debet efle , quam fecundum fuperio-
rem folutionem.

XXXIII. Cum autem glans per tabulam pe-
nitus perruperit , pro eius celeritate in egreflfu lia-
bcbimus ^= e~^°''' {c c — kk) y quae ergo celeritas
ob duplicem caufam minor erit quam cafu praece-
dente , pro eadem fcilicet celeritate c ante collifio-
n?m ; primo enim quia L maior eft quam ante ,
guantitas c c — kk iam eft multo magis minor
quam ante , deinde quia ea infuper muliiplicatur in
^—laa ^gj q^Qj perinde eft , diuiditur per ^-i-^"^^
quae formula maior eft vnitate , celeritas j~ multo
magis diminuitur. Quod denique ad ipfum tabulae
motum attinet , quia eius celeritas poft perforatio-
nem inuenta eft ^^ — ^j^ (<^ — f^ ) , et quia vt
modo vidimus ^ multo minus eft quam cafu prae-
cedente , nunc ipfi tabulae multo maior motus im-
primetur , quam cafu praecedente , atque ob hanc
rationem celeritas glandis poft idum , quae eft
d_xH- dj; Yui-iz aliquantiUum augebitur , interim ta-

men quia ex formula noftra fit :

et

CONTRA TABVLAM. 4.35

et qiioniam ^ minus eft quam cafu praecedente ,
ipfa quoque glandis ctleritas minor euadet,

XXXIV. Reducamus nunc etiam has forniU'
las ad notiones communes tt pro cafibus quibus glans
fiue penetrat, fiue (ecus, ponatur celeritas glandis poft
idum —V, celeritas \ero tabulae zz u u quia eft

p — u et ^ n: -y - « ,

a t <* i

noftrae binae aequationes inuentac fient

M-y + Nw^M^ et {v~ u )^ — ^^'''''c c

quarum prior vti iam monuinus perinde fignifi-
cat conferuationem quantitati^ motus , fiue aequabi-
Jem progreffum commu;us centri grauitatis. Pro
viribus viuis autem eliciendis alteram aequationem
per M N n ultiplicatam euoluamus

MNi^v-^MN-yM + MNwMriMN^r^-'**

-^gCM + Nj^-^^V^^^^.R^AT

ad eamque addamus quadratum prioris \t prodeat

M(M + N)i;'z;4-NiM4-N)i^«=:Mrf(M(?-^^^-f-N)

-4.g(M + N)^-^«y^^«^R^:i^

quae aequatio per M + N diuifa praebet

M o; 1; 4- N tt « zz-A^ (M ^~'«* -f N) - 4g^-^*y^^'"'- R^-^

cx qua intelligitur nunc fummam virium viuarum
poft idum non amplius tam fimpliciter fe hab^re

1 i i 2 ad

^3t> DE ICTV GLAND. CONTRA TABVLAM.

ad Yim Yiuam ante conflidum , qiiae erat ISl c c
nuam in cafu praecedente nunc cnim erit

M V -t;+N« uziM c c- 1^( i - ^-^^'O-^g ^-^'^ Y^ ^^., Kdx

vnde patet vim viuam in conflidlu dep:rditam ae^
ftimandam efle

quonam autem ratiocinio haec iacftura concludi pos-
fit , nulio modo perlpicitur.

PHYSICA,

P H Y S I C A.

I i i 3 RARIO-

-.i.) ° ( I:

439

RARIORVM AVIV

E X P O S I T I O.

A u (fl o r e
SAMVEL GOTTLIEB GMELIN.

Vifum mibi eft , ex adueiTariis , hiftoriam cor-
porum Naturalium iu itinere obferuntorum con-
tinentibus , ad commentariorum vfum fenfim fen-
fimque coUigere, quae vel noua efle, vel illuftrationc
digna puto. Ornitiiologica nunc ofFero.

I.

ACCIPITER inacrourus^.

Ruth. AjHB : ( Lun : )

Longitudo totius auis ab extremo ro-
ftro ad finem caudae - - - -
Longitudo mandibulae luperioris a bafi
cerae ad extremum - - - -

Diameter longitudinaHs cerae

— — latitudinalis - - - - -

Diameter maxiiiae fuperioris ab an-
gulo laterali ad extremum -^ —

Diftantia oculorum a bafi cerae

Diftantia inter oculos ^ — — —

Tab. VIII,
et IX.

Ped.

Poll.

Lin.

■

I.

7.

8.

o.

o.

7^.

o.

o.

4l.

0.

0.

3.0

o.

I.

o. o

o.

o.

6.0

0.

I.

i|.

Didantia

440

RARIORVM AVIVM

Diftantia oculorum ab angulo laterali

maxillae fuperioris — —

Diameter ocuiorum longitudinalis —
Diameter ciliorum ad palpebras —

vibrilliirum ex longifiimis •

Longitudo capitis ad nucbana ■

Longitudo colli ~ — — ■

Longitudo pedoris ad \ropygium —

ab vropygio ad extremam caudam

Alae expaniae diftant

Longitudo a bafi roftri ad flexuram

cubiti — — — — — —

Diametcr latitudinalis abdominis —
Longitudo femorum denudatorum —

Longitudo digiti antici medii ■

Longitudo vnguis illius — ■

Longitudo digiti antici intimi •

vnguis illius

• digiti antici extimi

vnguis illius

Ped.

o.
o.
o.
o.
o.
o.
o.
o.
I.

o.

o.

o.

Q.

o.
o.

o.
o.
o.
o.

PoU.Lin.

o.
o.
o.
o.
I.

2.

6.

8.
II

4-
I.

I.

I.

o.
o.
o.
o.
o.
r.

3|.
4. o

lO.O

6.

o

6,

O

8.

O

8.

0

7.

O

7.

O

9l

.

oi

6.

o

9.

o

8.

o

71

.

8.

o

0.

°\

— digiti poflici cum vngue —

DESCRIPTIO.

Magnitudo Lanarii. Roftrum nigrum, bafi vi-
ride , mox ab exortu aduncum. Cera lutea. Nares
ouales , femitedae vi briffi s mgris ^ confertis , rigidis,
eredis , e fouea temporali excurrentibus, Palpebrae
cum iride croceae. Fupilla nigerrima. ?ars corporis
Jupina omnis cinerea , plumis quibusdam dorfalibus

non

E X P O S I T I O, 441

nonnimquam in colorem obfolete rubrnm vergen-
tibus. Pars prona tota niuea , rudimento cinerei in
collo fuperftite. Remigum prima minor gryfea ,
maior , Jeamda ad quartam fulcefcentes , rraiores, la-
tere anteriore gryfeae ^ rcliquae omnes cinereae, apice
albicantes. Te&ric-es cinercae , infra niueae. Caiida
rotunda , re&ricibus duodecim longifTimis , albicanti-
bus , fafciis transuerfis , nunc diJutius , nunc pro-
fundius fufcis, duabus intermediis immaculatis. Vejli-
trices niucae , fafciis iterum transuerfis dilute fufcis.
Fedes fiaui. Fngues nigerrimi , fpiraliter incurui ,
acutiflimi , ita autem Mas fe habere foler.

Magna eft feminae ab eo diflPerentia, vt iurares
diftindam fpeciem conftituere. Huic pars corporis
fupina fufca , marginibus pennarum caftaneis, maxime
ad caput , fubtus autem caftaneo colore tota flauet.
Remiges omnes immaculatae , fature fufcae , et fum-
nio tantum apice obfolete candicantes. Te&rices iti-
dem fufcae , extremo apice ferrugineae. Infigniter
quoque redrices difcrepant , e quibus tres \trinque
extlmae caftaneae, prima verfus apicem nigro macu-
lata , fecunda , tertia et quarta per totum fui decur-
fum fafciis latis et nigris interruptis ; quatuor inter^
mediis fufcis, et fufco liituriore transuerfim maculatis,
omnibus autcm apice ferrugineis. Eodem quoque
femoralia colore et cauda inferius ornantur. Sed elfen-
tialibus notis omnibus, rojlro ^ cera ^ pedibus , habitu^
voJata conuenit.

Tom.XV.Nou.Comm. K k k A

44^

RARIORVM AVIVM

Tab. X.

roftro ad finem

A Woronez abhinc ad omnem Tanaln occurrit.
Icones et marem et feminam bene exprimimt.

11.

ACCIPITER ferox.

Magnitudo ab imo

caudae ------

Longitudo roftri - - - -

•Diftantia roftri ab oculis - -
Diftantia narium ab iisdem
Diftantia inter oculos - - -
Diftantia a baft roftri ad flexuram

cubiti -----
Longitudo colli - - -
Longitudo dorft - - -
Longitudo caudae - - -
Diftantia alarum expanfarum
Longitudo tibiarum
Longitudo digiti antici

vngue - - - -

^ — — . intimi

. • ■ extimi

poftici

DESCRIPTIO.

Eatenus ferocem hanc fpeciem dico , quod ra-
paciflima flt , in alias aues tyranni adinftar faeuiat ,
nec et quemadmodum aquila , cadauera , refpuat.

Pertinet,

medii curr

Ped.

Poll

Lin.

2.

X •

8.

0.

i. •

ll

0 .

I.

il

o.

1 •

o o

o.

!•

I I.O

0.

8.

2. O

o.

2

6. o

o.

7.

I. o

o.

ro.

I. o

3.

5.

8. o

o.

3.

I. o

3,

2.

5. 0

0.

I.

8. o

3.

I.

3^-

0.

I.

4^.

E X P O S I T I O. 443

Pertlnet , vt ex dimenfione elucefcit , ad acclpitres
maiores , et crafTitie Falcone fuluo, lin. non muko
infcrior eft.

Ro/trim habct admodum aduncum, e plumbeo
colore nigrum , cera viridi bafi inftruclum, perfora-
ta vtroque latera naribus , quatuor lineis longis ,
duas circitcr latis, fere parallelogramma referentibus.
Tota auis fiiperne fufca , vel e lulco ferruginea , al-
bicantis tameii coloris capiti et pol^ico non nihil
additc». Regio fupra oculos nigris , longis , incum-
bentibus piiis , tanquam , continnatione vibrifTarum
obfita. Palpebrae cum ^upilla caerukae. Irides flauae.
Caput collumque inferius , pauco albido admixto ,
ferruginea. pe&us pofterius et abdomen niuea , niacu-
lis caftaneis variegata. Remiges viginti fex , fupra
nigrae, et latere pofleriore tufco albo que dimidiataq
kifra candidae, et extremitatem verfus gryfeae. Te&ri-
ces colore corporis paululum tantum albidiores pone
niueae, et anterius maeulis ferrugineis notatae Cauda
re£iricibus duodecim aequalibus , fufcis, latere pofle-
riore albis , vtroque fafciis quatuor, faturatius fufcis.
Infra cum iropygio albent. Pedes craffi , valde tabel-
lati , digitis coloris eiusdem , mguibus incuruis ,
acutis munitis.

Aflrachaniae hyeme i^^p. auis haec obferuata
fuit , frequens ibi circa vrbem.

Icon formam cuidem bene exprimit, fed in eo
peccat , quod fiflat auem magnitudine iuflo minore.

Kkk 2 III.

4+4- RARIORVM AVIVM

III.
mxi.i.. ACCIPITER Korfchun.

DESCRIPTIO.

Ad€0 fimilis efl: tniluo , efTenlialibus notis om-
nibus, volatu, oeconoaiia , migratione , vt forte nori
nifi varietate diftinda auis fit. Magnitudine eft 21.
cum dimidio pollicum ; corporis //VMy///^rm/^ miluo
fimilis. Rojirum e plumbeo colore nigrum , mox ab
exortu aduncum , poUicis vnius , et linearum quin-
que. Cera viridis , diametro longitudinali Jinearum
quinqne , latitudinali perfede eadem. Nares inae-
qualiter ouales , vibrijfi^ femitedae. Spatium inter
oculos et roftrum nudiufculum. Caput , id fingulari-
tatem huius auis "cbnftituit , anterius que collum fu-
perius cum gula eleganter caftanea , fed ocuIariT regio
alba , et latera capitis dilute fufca. Hicque color
totius reliqui corporis partes occupat , marginibus
pennarum plurimis rufis , plu?ms quibusdam ad col*
hm fuperius et pofterius , non minus , quam ad pe-
dus fufco et caftaneo dimidiatis. OcuU a naribus no-
vem lineas remoucntur : Diameter eorum longitu-
dinalis quatuor , latitudinalis tribus lineis refpondet;
inter fe autem poUicem vnum et lineas quinque
diftant. A baji rojiri ad flexuram cubiti fpatium eft
quinque pollicum cum dimidio REMIGES 24 nigrae
I maiore 2 — 4 maximis , reliquis gradatim mino-
ribus , omnibus apice vinaceis. Te&rices concolores.
Redtrices duodecim , colore remigum : earum n^ejlri*

tices

E X P O S 1 T I O.

445

tlces- colore corporis. Pe^es luterccntes , t-abellati.
Fcmora pennis corpore concoloribus teda. Tiblac
nuJae, pollicum duorurn, cum lineis decem. Digitus
anticus medius cum mgue poUices duos longus ^ ex-
timus poilicem Yuum et lineas (ex , intimui et polii''
€us longitudinis eiusdem. Fngues nigricant.

Auis haec in defcrtis ad Tanain, caftello quod
9 Diuo Paulo nomen habet , abhinc , fere ad T/eber-
cask vrbem , Kofacorum Tanaicorum metropolin
liiepius mihi occurrit. Amat folitudincm , excubi-
torem frequenter agit , cacuminibus tumulorum ta-
taricorum, qui Kurgani dicuntur , infidenjo, auicii-
lasque praeteruolantes muresque attendendo, quibus
Yefci folet.

IV.

AQ^VILA mogilnik.

Nomine auem infignis , quo Rutheni adpel-
lare eam folent , et pari ratione antecedentem nomi-
naui. Magnitudine et craffitie F. fuJuo LIN. paulo
minor eft. Omnium \ero partium dimenfionem
inuenio fequentem.

IPed.
Longitudo ab extremo roflro ad extre-
mam caudam ----- -L.

— a bafi roQri ad flexuram cubiti 'o.

— roftri ad frontem cera fimulmenfuratao.

— ad tempora ----- Jc.

— a bafi foftri frontali ad oculos -o,

Kkk 3 Diame-

Tab. xr. &«

PoU.

Lin.

3.

I.

7.

9.

2.

3.

2.

9-

I.

O. ;

44<? RARIORVM AVIVM

Ped.

Poll.

Lin

Diameter cerae longitudinalis

0.

o.

6.

latitudinalis - - -

o.

0,

lO.

Longitudo apicis mandibul. fuperioris

fuper inferiorem prominentis - -

o.

0.

3.

Diflantia inter oculos -----

o.

2.

I.

Longitudo capitis - - - - - .

0.

4-

9-

• colli -----

o.

3.

s.

Diflantia alarum expanfarum - - -

4.

6,

Longitudo vniuerfa pedum - - -

j.

10.

4-

digiti antici medii cum vngue

c.

3.

o.

■ extimi

0.

I.

9-

, ., . intimi - -

0.

2.

3.

. . poftici

D.

r.

6.

' caudae - - - -

^'

0.

9.

DESCRIPTIO.

Roflrum bafi redlum , tum \ero valde adun-
cum , cera lutea inftrudum , luteo colore vtrisque
lateribus inftrudum , cetera nigrum. Maiidibula in-
ferior fpatulata. Lingua intcgra , medio profunde
canaliculnta. Nares transuerfae , ouaks. Spatium
roflrum inter et oculos medium diucrHie magnitudi-
tiis vibrifTis nigris mollibusque oblltum. Ca/ut ,
i'oI/uvi , clorfum ct ahe fufca f obfcure ferruginea ,
pennis albis raro et uage intermixtis. Pve?niges 24
nigrae ; e primoribus 12 et 3 latere pofleriore et
inferius gryfeo maculatae , 4—7. vtroque , apicibus
extremitate nigris : reliquae eundem in modum vn-
dulatae , led extremitate rufa donatae. Remiges

compli-

E X P O S I T I O. 447

complicfltae caiidam extremam noii attingiint. Te-
Brices remigiim minoriim ad inftar colorauie. Pro-
na pars corporis dorfo penitus concolor , hac tan-
tum cum differentia , quod albcdo omnis exulet.
Pennae pedes vsque ad exortum digitorum , quem-
admodum in Bubone denfe tegunt , dorfique pari-
ter colorem prae fe ferunt , rufum autem largius
fubinde iis admixtum video. Digiti admodum ta-
bellati , lutei. Vngues nigri. Palpcbrae pallide cae-
ruleae funt , Iris lurida. Ptipilla nigra , fplendens.
Cauda aequalis , recftricibus 12 nigris , gryfeo obfo-
lete fafciatis, apice rufis. Te&rices remotiores fufcae,
extremo rufie , propiores fufco rufoque dimidiatae.

Fi^us , tmres , oeconomia praecedentis.

V.
NOCTVA minor. Tab.xii.

BRISS.^i?. p. 150. ord. 3. g. 12./ $.

Defcriptioni BRISSONIANAE per omnia fimi-
lis eft, fed magnitudine tantum maior, quippe quae
ad pedalem accedit , et craflitie vlulina infignior.
Deinde ro/lrum habet totum nigrum ^ Remiges e
fufco et flauicante varias , multumque flauefcentis
ventri admilcetur. Mentum album.

VI.

443

RARIORVM AVIVM

VI.
TabxiiL PERDIX riifa,

GESN. Will t. 29. BRISSON. av, ord, 2. gen.
fext. fp. 10 TETRAO rufus lin.

Longitudo auis ab extremo roftro ad fi-

nem caudae - - - _
— ' — ab extremo roftro ad brachium

roftri hueraliter mcnfurata - -

longitudinaliter - -

Diftantia roftri ab ocnlis - - » .
Diftantia inter oculos fupra caput men-

furata -----
Diamcter oculorum longitudinalis - -

latitudinalis -

Ped.
I.

b.
o.
o.
o.

Longitudo flifciae nigrae pone o:ulos

oblique defcendentis - - - _

Latitudo illius _ - - - ,

Longitudo rpatii a macula orbiculari ni-

gra infra roftrum ad concurfum fa-

fciarum ad collum inferius - - -

Circumfcrentia colli circiter - - ^

Longitudo colli - - - - .

Longitudo a bafi colli ad brachium

• ' ■ ad femora - -

Longitudo dorfi mox poft brachiorum

principium menfurata - - -

Latitudo dorfi ad finem brachiorum

menfurata -, - - - -

o.

o.
o.

o.
o.

o.
o.
o.
o.

o.

o.
0.

Poll. Lin.

2. 7.
6. 1 1,

o. 10.
o. I 9.
o.

o.
o.
o.

o.

3.
3.
3.

I.
3-

2.
2.

4.

4|.

6.0

4|.

0.0

2.0

6.0

10. o

8.

4.0
Longi-

E X P O S I T I O.

449

Ped

Longitudo caudac - - - - . o.

Diftnntia alarum expanfarum - - - o.

pedum - - - - o.

Craflities crurum - - - - - o.

femorum ad tibias - - - o.

Longitudo femorum - - - - - o.

. tibiarum - - - - o.

Craflities tibiarum ^- - - - o.

Longitudo digiti antici medii - • o.

~ ■ vnguis illius - - - o.

. digiti antici intimi - - o.

■ — - vnguis illius - - - - o.

^ digiti antici extimi - - o.

• vnguis illius - - - o.

digiti poftici - - - o.

« vnguis illius - - - o.

DESCTIPTIO.

Koftrum languineum , conico - incuruum , bafi
Vtrinque membrana firma , cartilaginea , itidem pur-
purea , in formam oualem coada , nares tegente ,
auiflum. Caput fiiperius oblongum, cinereum , /ro«/^
fafcia nigra , transuerfa , fubhemicyclica , temporibus
cx albo colore obfolete caftaneis. Crijia denfa, tem-
pore coitus , vel irafcente gallo , eredla. Oculorum
irides et paJpebrae coccineae. Pupilla caerulea. Pone
oculos fafcia vtrinque , gryfeo parcius intermixto, ni-
gra , lata , oblique ad collam inferius deorfum de-
fcendens , principio feparata fenfim fenfimque fibi vi-
Tom.XV.Nou.Comm, L4 1 cinior

Poll.

Lin.

3.

6.

II.

6 0

3-

0.0

2.

4.0

0.

9.0

3.

2l

I.

10. 0

0.

^.0

I.

3.0

0.

51

I.

0.0

0.

5.0

0.

p.O

0.

4^

0.

4l.

0.

4.0

450 RARIORVM AVIVM

cinior , donec ad finem coUi inferiorls in Tnatn con-
fluiU. Gula et principium coHi inferioris colore tcni-
porum ; fed macuiae tres nigrae lubtu^ bali roftri
adponuntur , ma reliquis infigniore , fuborbiculari ,
et duabus lateralibus oblongis , fubhaftatis. Collum
Juperius elongatum , laete cinereum. Lorfum coloris
eiusdem , fubrubicundum. Remiges ad viginti qua-
tuor , concolores , latere antcriore fuperius caftaneac,
adeo breues , \t caudae exortum vix attingant. Te-
ifrices remigibus colore refpondentes. Pe&us et ab^/o-
men cinerea. Inferior pars corporis ad caudam ex»*
tremam vsque caftanea. Femoralia quoque flauefcunt,
fed regio fubalaris pulcherrimie callanea , jafciisquc
transuerfis atris , latioribus et anguftioribus eleganter
interrupta. Dorfum , quod in principio latelcit , cau-
dam verfus anguftatur, et gibbam formam contrahit.
Caudae autem fingularis gallorum omnium ratio eft,
hac tantum cum differentia , quod redricibus com-
ponatur duodecim , anguhim acutum inter fe for-
mantibus , cinereis , intermediis quatuor immaculatis
reliquis apice rufis. Pedes coccinei , craflTi , admo-
^um tabellati. Calcar craflfum , breue, obtufiflTimum
in mare, medietati tibiae pofterius adpofitum. Digiti
quatuor , tres anteriores, poftico vnico, vnguibus in-
curuatis , ex incarnato colore nigris.

Habitat in Per/ia : ab Excellentiflimo Guberna-
tore et Equite beketOW Aftrachaniae enutrita auis,
cuius eam munificentiae debeo.

VII.

E X P O S I T I O. 45X

VIL
PHASIANVS Colchicus, lin.

PHASIANVS Au£iorum. Ruth. Faflin vel dikaia
kuriza. (^asaHb hah ^HKan KypH^a.)

Ad compkndam defcriptionem brISSONIANAM
fcquentia fpedant.

MAS. Superdla pallide violacea , plumulis
minimis nigris adfperfa. Membrana cartilaginea j
nares tegens , roftri adinftar , coloris cornei. Pupil-
la atra. Gula fature viridis , et prae virore nigre-
fcens. Collum inferim e viridi aureum. Colli fuperiO"
ris pars anterior e viridi et violaceo fplendens , po^
Jlerior et dorfum in noftris rufo igneum, pennis api-
ce cordatim mgro emarginatis. Dorfum inferius plu-
inis , lituris nigris et albis variis , apiceque rufo
aureis. Femoralia caflaneo tantillum intermixto,fufca.
Remiges viginti quatuor , primoribus fufcis , fufco
albidoque transuerfim fafciatis , fecundariis cinereis,
Te&rices fcrrugineae , exterius in violaceum vergen-
t bus. Vropvgium immixto viridi , dilute caftaneum.
TcCirices redricum colore vropygii.

FEMINA. Ex fufco gryfeo , rufefcente et ni-
gricante varia , mare multo difformior , vt in Gal-
linis femper. SuperciUa in noflris nudiufcula , e vi-
ridi et cinereo albentia. Cauda redricibus , pundis
creberrimis , nigris adfperfis , nigro et cinereo-nigro
transuerfim flriatis.

Lll a Degit

45a

RARIORVM AVIVM

Degit iii arundinetis prope mare Cafpium cO-
pioriflima , humi nidificans , nidumque galiinae ad-
inftar exftruens. Ponit oua ad duodecim.

Tab. XIV.

VIIL
ARDEA Kypakwa.

Longitudo totius auis ab extremo ro-
ftro ad extremam caudam - - -

roftri -----

Diftantia a baft mandibulae fuperioris
ad oculos -----

. ■ inter oculos - - -

a baft roftri ad flexuram cubiti

a baft mandibulae inferioris ad

nucham -----

Longitudo colli - - - -
Diftantia alarum expanfarum
Alae complicatae caudam exadeattingunt
Circumferentia corporis circiter aequalis o.
Longitudo criftae maioris

minoris

Ped
I.
o.

o.
o.

o.

o.
o.

2.

pedum cruribus denudatorum ts-

que ad pedes
— digiti antici medii

— extimi

— intimi

o.
o.
o.

o.
o.
o.

Poll.lLin.

9

2

O
I

lO

2

7

9

4

2.

3.

2.
I.

0.

2.

4l

5.
4-
9.0

4.0
5.0

0.0

0.0
II. o

6.0

3.0
8.0

Il.O

DE-

E X P O S I T I O. 453

DESCRIPTIO.

Rojlrwn redliim , nigrum , acutiffimum mandh
hula fuperiore pauliilum iongiore , fulco longitudinali
Ttrinque notata. Nares ad bafin roftri , lanceolato-
lineares, peruiae. Anterlor pars frontis alba. Taenia
Ytrinque candida a fronte trans tempora fuper ocu-
los excurrens , pone eos anguftata. Iris coccinea ,
pupllla nigra. Omne reliquum caput fuperiu? e viridi
colore atrum , pennis longiufculis , dependentibus ,
fubcriftatis, e quarum medio erigitur crijla folitnria,
filamentofa , alba , vltra dorfi initium continuata.
Latera occipitis , caput inferius , vtrumque collum^^
Jlernum, fubalaris regio^ abdomen ^ femoraUa cuvn crijjb
alba. Dorfum e yiridi colore nigrum. Remiges ea-
rumque te&rices immaculate cinereae. IUae com-
plicatae caudam extremam exade attingunt. Cauda
re&ricibus dwoditQxm fubaequalibus , cinereo- albicanti-
bus. Pars femorum plumis denudata flaua. Tibiae
flauae. Digitus anticus medius cum extimo membra-
iia lutca , ad primum fere articulum vsque proten-
fa, connexus. Vngues pallide nigri, incuruati, omnium
maxime poftico.

Ad Tanais littora degit, migratoria auis, trans
mare nigrum primo vere adueniens , eoque au-
tumno redeuns , nobis primo ad caftellum , quod a
diuo Paulo nomen fortitum ell:, obferuata, et poftea
ingentibus cohortibus ad omnia huius fluuii littora
ad Tfcherkash vsque vrbem vifa. A voce quam edit,
ruthenice Kwakwa (KBaKsa) dicitur , eodem que no-

L 1 1 3 mine

1^.54 RARIORVM AVIVM

mine Ornithologico eam infigniui. Viditat conge-
nerum more pifcibus , more Itquentium , quas nunc
propono.

IX.
TaKXV. ARDEA cajlenea.

DESCRIPTIO.

Longitudo a (ummo roftro ad imam caudam
pcdi vni , poUicibus decem , et lineis fex refpondet.
Rojirum fere tres pollices longum eft , bafi fua liui-
(dum , extremitate nigrum , acutiffimum ; vtrinque
fulcatum. Nares lineares angulliliimae ; mandibula
inferior fubtus membrana viridi cinda, a fpatio, quod
oculos et roflrum interiacct, continuata. Caput exi-
guum. Vertex et occiput pennis longis liixis.c]ue e
candicante nigricantibus , criftam vsque ad medium
collum protenfis abeuntibus. Cula alba , laccata. Spa-
tium inter oculos et roftrum medium , viride , li-
nearum quatuor. Supercilia \iridia. Iris crocea.
Tupilla nigra. Longitudine caput pollices 2 et lineas
4 aequat ; ab illius autem bafi ad finem criftae pol-
licum 4. et linear. 3 fpatium intermedium eft. Ocu-
U vnum pnllicem et quatuor lineas diftant. A bafi
autem roftri ad flexuram cubiti 8 poH. et 9 lin.
numero. Latera capitis flauefcunt. Collum gracilis-
fimum , caftaneo-flauum longitudine pollicum 8, et
linearum 10. Inferius e flauo et candicante colore
Yarium eft, IDorJum caftaneo-rufum , pennis conftans

fetifor-

E X P O S I T 1 O. 455

fetifbrmibus , longiflimis. Pe^tus , ahdomen , vropy-
giiim , et jemoralia niuea , flauedine rarius interfperla.
Remiges i^. niueae , vltra caudam extenfae , ex his
interius , fed inoonftanter quaedam latere pofteriori
maculis nigris confpurcatae funt. Te&rices e niueo
colore obfolete fljuae, Remiges expanfae vnum pe^
dem et pollices vndecim ab inuicem diflant. Re&ri-
ces 12 itidem "vtrinque niueae quaedam apicibus ni-
gro maculatae. Earum 'veftitrices coloris eiusdem.
Pedes crocei. Femora quo.usque nuda funt , linea*
rum nouem ; Tibiae poUicum duorum , digitus anti»
cus medius pollicum-^duorum et linearum fex , inti-
mus cum eodem pollicis vnius et linearum nouem ,
extimus pollicis vnius et linearum feptem ; pofticus
vero pollicis vnius et quatuor linearum. Hi vngues
nigri funt , valde incurui , longifTimus autem pofti-
ci , inter omnes iterum quam maxime arcuatus.
Cohaerent digiti antici , vt in Ardeis moris eft ,
membrana inter fe , vix autem notabilis efl inter
digitum intimum et medium.

Venit et haec fpecies e mari nigro ad Tanain,
nec autem vhra progreditur ac ter centum circiter
ftadia ab oftio celtbris huius fiuuii in terram , ibi
autem , congenerum ritu in arborum cacuminibus
nidificare folet.

Comparata auis cum defcriptionibus Audorum,
inprimis cum fpeciebus , quas brissoni fynopfifi
Auium methodica exhibet , adfinitates quidem often-
dit cum cancrofagis n. 33. 34. 35. ^6 et 37. fed

in

45^ RARIORVM AVIVM

in nullam exadle quadrat , quare eam non defcri-
ptam puta.

Tab.xvi. ARDEA Ferriigima.

DESCRIPTIO.

Ruthenis Cofacis ob vocem ^ quam edit boui-

nae fimilem 6biKl) dicitur. ^Auis y quam exhibeo ,

longitudine adaequat , pedem vnum , pollices no-

vem , cum lineis quinque , craffitie vero vix refpon-

^et dimidio pedi cum lineis quinque. Roflrum re*

dum , acutum. Mandibula fuperior fupra fufca, api-

ce \ix decliuis , infra cx incarnato colore viridis ,

medio inter hanc coloris diuerfitatem fulco notata ,

a naribus produdo. Mandibuh inferior incarn;Uo vi-

ridis , et apice tantum vtrinque lateribus fufca. Na-

res linearcs , longitudine linearum feptem , angullne,

et aequalis vbique latitudinis. Spatium roltrum in-

ter et oculos intermedium nudum , viride diametro

longitudinali linearum feptcm cum dimidia , latitu-

dinali, vbi maximus e(l, linearum quinque. Super-

cilia nuda , medio liuida , ambitu viridia. Iris cro*

cca. Pupilla nigra. Oculos autem haec auis lat ma-

gnos habet, quod fi cnim in viua contempjaris, dia-

mcter eorum longitudinalis lineas feptem , latitudi-

nalis vero quinque adaequat ^ oculi e contra ipfi a

femet inuicem vnum cum dimidio pollicem diftant.

gumma frontis balis tres fere pollices a fine occi-

pitis

V.

1/E X P O S I T I a 457

pitis diftat. Capitis autem latitudo fumma infra
tempora menfurata pollicibus duobus , lineisque tri-
bus aequalis eft. Hoc caput oblongum eft , nigrum,
fennarum apicibus extremitate ferrugineis. Pentias in
vertice extantes obferuo non nullas , fed ita capiti
adprimuntur , vt criftae nomen vix mtrtri videan-
tufr Collum gracile , elongatum , pedis fere dimidii,
colore capitis , ita vt pennae inferiores cinerefeant ,
qui quoque color nec in capitis pennis inferioribus
excluditur. Mentum ex albo flauet , candicans quc
etiam color medio in collo inferiore adparet , cete-
rum priori ftmili , magis tantum rufo. Dorfum quo-
que nigricat, et extremitate pennae ferrugineae funt.
JRemiges^ 26. fufco-nigrae , omnilus apice candi(^is ,
ct vltimis latere anteriore obfokte rufo maculatis.
TeCtrkes coloris eiusdem , remotis apice ferrugineis ,
vicinis albo et rufo variis. Pe&us , abdomen et mO'
pygium e ferruginco , candicante , fufco , cinereo que
colore varia. FemoraUa e rufo et cinereo candida.
Vedes virides. Femora nuda longitudine linearum
quinque. Tibiae pollicum 2. linearum 6. Digitus
anticus medius cum fuo vngue longitudinis eiusdem.
Intimus pollicis vnius , linearum vndecim , extimus
pollicis vnius , linearum nouem cum dimidia , pofti-
cus pollicis vnius , atque linearum fex. Vngues pro
more incurui , pallidi , poftici illo craftiore quam
maxime , et medio inferius dentato. Bafis roftri a
temporibus menfurata , a flexura cubiti 8 pollices
cum linea vna diftat. Alae complicatae caudam vix
excedunt. Expanfae duos pedes et duos pollices
Tom.XV.Nou.Comm. Mmm paub

458 RARIORVM AVIVM

paulo que "vltra a femet inuicem diftant, Re&rices
duodecim , aequales , cinereae. Vejiitrices fufco*
cinereae.

Pondere Ruthenico pendet libram vnam cum
quadrante.

Cum priori degit , migratur > et eodem pifci-
bus infedlisque vefcitur more.

XI.

Tab.xvn. ARDEA niiiea.

Ruthenice 6bA0H uiaeypT).

Longitudine eft duorum pedum et linearum 2
menfiirando auem ab extremo roftro ad flinimam
caudam. Rojirum rcdum , acutura , longitudinc pol-
licum trium linearumque fex , fulco e naribiis pro-
dudo notatum , keuiirimum , nigerrimuiru Spa-
tium inrer oculos et roflrum nudum c fiauicante
caeruleum , diametro transucrlali mcn(uratum polli*
cis vnius. Caput , coUum , dorfuni , pe&ui , abclomen^
vropygium , femoralia , remges , quarum numero \i-
ginti fex funt , re^rices duodecim , vtrarumque
tedrices niueae. ' Crijia nulla , fed callum vtrinque
prope infertioncm fuam phmis extantibus amidum
eft , criftae fpeciem mentientibus , dorfumque ter-
minatur pennis longiflimis , vtrinque crinitis , fimiii-
bus pauonis criftati plumis. Earum color ex alb.do
in flauefccntem aliqiiantum vergit. Fm5f\z quousque
nuda , pollices duos longa lunt. Tibiae pollices tres

habent ;

EXPOSITT 0,fi 459

habent; vtraque colore nigro obferuantur conrpicua,
et interrupta funt incifuris , lineis , circuiis , figuris
que rliomboidaiibus , omnibus mire fe decuflantibus.
DigituT anticus mediur poilices duos > lineas que tres
longus. Vnguis linearum 8. latere dentatus. Digi-
tm anticus intimus poilicis vnius , linearum p. Vn^
guis illius linearum fex , cxtimus pollicis i et li-
nearum lo. vnguis linearum 5 pofticus cum fuo
Vngue pollicem vnum et lineas decem. Femora et
pedss nigra. I^giti crocei. Vngues iterum nigri;
Hi arcuati , at pofticus inter omnes quam maxime^
Alae complicatae Yltra caudam extenduntur.

I Femina mari magnitudine cedit , pennas que ,
(Juas ad collum et dorfum defcripft , multo minores
liiibet. Ceterum plane eadem. In ventriculo,quum
valde magnum vidi , pifciculos multos deprehendi.
Uepnr ingens eft > et in duos lobos fiflum , quorum
dexter finiftrum longitudine fuperat. Cor magnum,
cuaei forma. Inteftina lotigo canali inflituuntur^
iufra ampllato.

In altis arboribus nidificat , ex mari nigro Ve-

re Tanain petens , fed 4iunc fluuium vix per qua-

tuor centum leucas profequens , autumno , quo ve-
nit , redit^

M m m 1 XII.

4^<i

RAPaORVM AVIVM

XII.

Tafe. m , NVMENIVS igneu^.

Ruthenis Kafacis Krawaika : ( KpasaHKa : )

Longitudo ab extremo roftro ad extre-

mam caudam
— roftri a bafi frontis menfurata -

• roftri a bali temporum men(uratao.

— p-*-: narium - - -. nr.-
Longitudo narium -----
Loi gitudo a bafi narium ad canthum

ocu orum anteriorem
— ~ a bafi roltri frontali ad cundem

tranfuerfim menfurata
D.ftantia inter nares - -
Diameter oculorum longitudinalis

oculorum latitudinalis

Diftantia inter ocuios

Longitudo a bafi roftri temporali ao

flcxiiram cubiti - - - .

cnpitis -----

Latitndo fumma - - . - -
Longitudo coUi j«;;i*<- - - -
Circumfcrentia colii infra caput men-

furata --..-.

ipfius ad ingreflum

Longitudo a principio putoris ad ex

tremam cauiam -----.
►- — caudae -----.

Ped.

Poll.

Lin.

r.

II.

0.

o.

5.

I,

o.

5.

o.

o.

o.

3.

o.

0.

li.

o.

0.

to.o

o.

o.

8. o

o.

o.

2i.

o.

o.

4.

o.

o.

2i.

o.

I.

o. o

o.

6.

lO.O

0.

4.

7L

0.

I.

3^.

0.

6,

6. o

0.

3-

6,o

o.

4-

3. o

o.

II.

i.o

0.

5.

lO.O

Maxima

£ X P O S I T 1 O.

4^)1

Ped.

Poll.Xin.

1

0.

3-

o. o

o.

2..

O. 0

o.

3-

1* 0

o.

3.

2. O

o.

2.

5

O. ;

2.

21-. ■

0.

I.

0.0.

Maxima latitudo abdominis - - -

Longitudo femorum cruribus denuda

torum - ,-----.

tibiarum -------

Longitudo digiti antici medii

cum vngue - - -

digiti antici extimi cum vngue

— intimi - - - -

— — poftici cum vngue - - -

DESCRIPTIO,

Ro/irtim laeue , teretiufculum, valde arcuatum.,
obtufum ; mandibula fuperiori tantillum longiore , la-
teribus vtrinque fulcata , co^oris viridis , mortua aue
in oliuaceum inclinantis. Nares ad bafin roftri fron-
talem oblongae , medio latiufculae. Lingua principio
bifida , dentata , longo , acuto , et angufto fine ter-
minata. Caput oblongum , nigrum , apicibus penna-
rum albo fimbriatis. OCVLl palpebris fufcis absque
ciliis , iride oliuacea , pupilla nigra. Circulus albus
ab oculorum angulo fuperiore inferius perpendiculari-
ter dcfcendens , tranfuerfim per frontem decurrens ,
portea adfcendeiis , ad angulum fuperiorem oculi al-
tcrius terminatus. Similis , fed angufiior circuluf
fub oculis deturrens , pcrpendiculariter defcendens
rollri mandibulae in'criori implantatus. Catut inferiut
eoc^em , ac luperius , colore donatum. Coilum gracile,
elongatum, colore capitis, hac cum difFerentia, quod
pinnae poflerius absque extremo candore omnino

M m m 3 nigrae

^i RARIORVM AVIVM

nigrae obferuentur. CoJlum mferius fuperiori in omni-
bus refpondet. Reliquum corpus e cyaneo, nigricante,
viridi et vinaceo iplendentibus coloribus variufn ,
vnde auis , per aera volitans , folis illulUata raoiis
aurea videtur efle. Pe&us et Abdomen e nigricante
rufh. Hic que pofterior color praeualet. Remiges
vinginti quatuor , gradatim minores , e viridi et
aureo pulcherrime fplendentes. Complicutae vltimam
caudam attingunt. Expanfae \ltra duos pedes a fe-
met inuicem diftant. Injerius eundem coiorem ad-
fedant, ob nigredinem tamen immixtam paulo fatura-
tiores adparent. Te&Hces primi ordinis , corpori fcili-
cet viciniflimae , e rubicundo et cyaneo , Jecundi e
nigro , rubro , viridi , tertii , remigibus quippe pro-
piores , e viridi fplendentes. Cauda aequalis e viridi
ct violaceo varia , terminata rc&ricibus duodecim e
rubro , viridi , et aureo fplendentibus , fubtUs colotis
eiusdem. Fropjgium ct fmoralia colore abdominis. Pedes
longiftimi, laete virides. Digitus medius cum extimo
membrant viridi coniundus. Vngues nigri , incurui.

t>egit ad littora Tanals , ad Cboperum fluuium
quoque frequens , pifcibus et infedis viditat , gr6-
gatim Yblat , in altis tiidificat.

xin.

Tab XIX NVMENIVS viridis.

DESCRIPTIO.

Magnitudine et craflitie Numenio arquato fl-
milis eft. Ipflus nempe longitudo ab cxtremo roflro

vsque

E X P O S I T I O. 453

vsque ad finem caudae pedem vnum aequat , cum
feptem et dimidio pollicibus. Ro/irum pollicum trium
cum dimidio , laeue , coloris ex fufco plumbei ;
Mandibula inferior iubtus et latere incarnata. Idem
roftrum vehementer arcuatum , Mandibula fupeyiore
fulco pariter medio excauata, intra quem membrana
iacet a temporibus produda, Nares ex parte coope-
riens , atque abhinc fiexibiiis in fuico deiitefcens ,
vsque dum fenfim ct fenfim anguftata circum finem
roftri euanefcat. Nares angufto priiicipio ortae la-
tefcunt , et eandem latitudinem vsque ad finem fer-
vant. Forum autem dian.eter longitudmalis lineis
odo refpondet, Iati(fimae vix duas liaeas adaequant.
Lingua illi fimiiis eft , quam in numenio igneo de-
fcripfi. Capuf oblongum, longitudine pollicum duo~
rum , latitudine , vbi ea maxima , pollicis vnius
cum dimidio , color illius ad nigricantem accedit ,
pennae tamen margine fupcriore obfolete candicant.
Macula fupra oculos alb.i, occiput refpiciens. Macidae
duae vel tres in vertice albae , vagae. OcuJi parui ,
lineas nouem a naribus diftantes, fuperciliis nudiufculis
Iride pallido , pupilla nigm. Spatium roftrum inter
et oculos intermedium nigrum , rugofum , nudum.
CoIIum elongatum , poliicum quatuor cum dimidio ,
gracile , e gryfeo colore nigrum. Mentum nigricans
puncfluhs albicantibus notatum. CoIJum inferius colore
fuperioris, at anterius interruptum fafciis transuerfis
tribus , albis , diftantibus , accedente quar ta ob(oIeta.
A bafi roftri ad flexuram cubiti fpatium intermedium
cft , pollicis cum quatuor lineis adaequans. Dorfim

viri

4^4. RARIORVM AVIVM

\iridi-aureo colore fplendens, fimillimiis illi, quem
Galli changeant vocant , conuexum , vsque ad finem
caudae 8 cum dimiJio pollices longum. FeUus et
Abdomen e fufco nisricantia. Kemiges viginti fex ,
viridi et cyaneo colore , faturatius fplendentes. T?-
Qrices omnes coloris eiusdem. Re&rices duodecim
aequales , colore dorfi , vropygium et femoralia colore
abdominis. Pars crurum plumis denudata pollicis vnius
et linearnm fex , circulis notata. Tibiae pollicum 3
et linearum 2 , incifuris transuerfis per omnem fui
longitudinem interruptae. Digitu^ anticus medius
longitudine poUicum duorum et lineae i, vnguis
illius linearum 4. Digitus anticus extimus cum vn-
gue longit. poU. 2. et linear 2. Intimus pollicum
2. Ant'cus medius cum extimo cobaeret membrana
vsque ad articulum primum produdla , et cum inti-
mo membrana fimili , mox deficiente. Pojiicus
omnino folutus eft. Pedes autem cum mguibus colore
nigerrimo praediti funt.

lisdem cum N. igneo locis degit, iisdem cibis
viflitat, at volatu demi(l'iore differt, et aera, hirun-
dinis ad inrtar , percurrit.

Non refragabor , fi quis hanc Numeniorum
bigam ad genus Tantali referre velit, nam fecundum
definitionem huic generi adplicatam lugulari facco
eo omnino pertinet. Sed nondum perfpicio , an hic
Tantalos a Numeniis fufficienter dirtinguat.

XIV.

EXPOSITIO.

XIV.

ANAS eritrocepbala.

Ruth. Krasnogolowoi Nyrok.
( KpacHoroAOBOH HbipoKl) : )

455

Longitudo auis ab extremo roftro ad
extremam caudam ^ . - -

• mand buiac fuperioris a ba(i fron-

tis mcnrunita - _ - .

' a media fronte menfurata

a bafi temporum menlurata

Ped.

mand bulae inferions a bali menii

vsjue ad extremum
Diftantia oculorum a bad roftri an-
tenore ad mediam frontem

" • a bafi roftri pcfteriore

bafin frontis - -

-^ a bafi roftri laterali ad ba

fm temporum - - ■

ad

inter oculos

Longitudo capitis ad nucham - -
■ colli - - - ..

• pedloris Tsque ad vropygium -

Diameter latitudinahs abdominis - -

■ ab extremo collo ad flexuram

cubiti - - - - - .

Alne expanfae diftant - - - -
Longitudo caudae - - - - - -

• femorum cruribus denudatorurr

Tom.XV.Nou.Comm. N n a

I.

o.
o
o.

o.

o.

o.

o.
o,
o.

o.
o.
o.

o
I

D

o

Poil.

3.

I.

2.
2.

2.

O.

r.

o.
o.

2.

4.
S.

4-

3.
6.

2.

I.

Lin
» o.

1 1

M-
I

Tab. XX.

17

ro|.

1O5.
I. o

o. o

II c

7. O
10.

2.
10.

Loii'

4<55

RARIORVM AVIVM

Ped.

Poll.

Lin.

o.

2

6.

o.

0.

5'

o.

I.

9-

1 ^

o.

4.

' o.

2.

3-

o.

o.

7.

o.

O.

2i.

in,

Longitudo digiti antici medii - -
vnguis illius - - - -

digiti antici intinni

vnguis illius - « -

' digiti antici extimi

digiti p<^ ftici - - -

. vnguis illius - - - -

DESCRIPTIO.

Roftrum ad exortum duplici conuexitate
quam pluinago frontis demittitur , fcnrim planum ,
hiafi medio lateribus que nigrum , mcdio pallidum ,
yngne nigro , gibbo terminatum , niandibula inferiore
fafcia candicante ad vtrumque lulcum , duplici con-
■yexitati fuperioris refpondentcm. Caput turgidum.
Frons , tempora , fuertex , occiput , collum caftaneo-
fplendentia , macula fubtus fordide alba ad bafin
maxillae inferioris longitudine linearum duarum ,
diametro linearum 2. cum dimidia. Pupilla nigra,
Irides coccineae. Oculi minimi linuirum vix duarum.
Colhm contradum Pe&us dilatatum , fupra nigrum,
anterius mcdio plumis rubicundis a colJo excurrenti-
bus , varium , infra quoque nigrum , fed plumis
poftcrius fufco et abo ciliatis. Dorfu?n cinereum ,
lineolis ni^ricantibus transueffim vndatimque ftriatum.
Abdomen cinereo puudatum , et circinnatum. Regio
vropygii profiindius gryfea , circulis nigricantibus. ,
hinc inde flauefcentibus vndata. Regio pone illud c
fj^fco nigra,. Rmiges 24., primores i-io, gryfene

apice

E X P O S I T I O. 457

apice nigricantes 11-24 gryfeae , apice albicantes ,
pundii que albicantibus adfperfae , quae in vltimis
ad vtrumque htus confertiflimae, nigricantes euadunt.
Te&rices corpori propriores, gryfeae, fymmetrico or-
dine nigricantibus circulis vndatim ftriatae, quo magis
alis vicinae , e gryfeo - fufcae , lincis que albicanti-
bus transuerfis absque ordine notatae. Infra Te&rices
omnes candicant. Plumae femora tegentes refpondent
veftitricibus, corpori vicinis. Cauda breuiflTima, rectri-
cibus 12, larere anteriore flauclcentibus , duabus
vtrinque extim.is immaculatis. Pedes pallide incar'
nati. Fafcia ad fingulos articulos nigricans. Vngues
ct membrana connedens nigra.

FEMINA differt , qnod pedus cum capite et
collo concolor fit , nebulofo ferrugineum illud in-
tenfius , hoc dilutius. Dorfum fufco cinereum. Hyfo-'
chmdria ferruginea , quae in mare alba.

Videtur Anas Fiftularis briSSON ord. 24 gen.
107. fp. «I. effe, fed defcriptio ferinae, ad eam ex-
citatae , quatenus in fauna fuecica habetur , \ix
quadrat.

N n n a XV.

4<58

RARlOPvVM AVIVM.

TaK XXI.

XV.

ANAS Kogolka.

Ped.
I.

o.

Longitudo totius Auis - - ~ -

rollri ab apice frontis vsque ad

bafiu extremam - - - -

a temporibus ad eandcm ba-

fiQ menlurata - - -lo.
Peripberia roftri ----- -|o.

Lonc^itudo maxillae infcrioris a tem
poribus ad apicem ----- o

a bafi menti vsquc ad ex

tiemum - - - - -o.
a fiontis bafi anteriore ysque ad

nucham - - _ - - -

Diftantia a bafi roftri ad initium re-

migum ------

oculorum - - - - -

• rofiri ab oculis - _ -

Periphcria oculorum - - -
Diflantia a bafi rotki laterali ad nucham
Longitudo colli - - - - -
Diameter pedoris . _ - _

• dorfi - - - - .

Longitudo pcdoris et dorfi

• regionis yropygii - - -

Caudae - - - - -

Alne expanfie diftant

Complicatae caudam extremam

attingentes - - - _

o.
o.

o.

o.

o.
o.
o.

Q.

o.
o.
I.

PoliJLin.
<5. 2I.

I.

I.

o.

I.
I.

2.

2.
o.
o.
o.

2.
4.
3.
4.

6,

2.

3.
8.

5;.

7.:.

61.
2. o
5. o

o. o
loi.

9i-

34«

o. o

3J. o
7.0

4- o
o. o
o. o
8. o
4. o

Lon

E X P O S I T I O

4^9

Longitiido femorum cruribus denudato-
rum vsquc ad exortum digiti medii

digiti antici medii

- — vnguis illius

• digiti antici extimi

■ vnguis illius -

. intimi _ _ -

Ped,

Poll.

Lin.

o.

I.

11

o.

I.

8. o

o.

o.

5.0

o.

I,

4^.

o.

0.

3. o

0.

I.

2|.

o.

o.

4.

o.

o.

3^.

o.

0.

2L-.

■ vnguis digiti antici intimi

. digiti poflici - - -

vnguis illius - - -

DESCRIPTIO.

Rofirum medio conuexum , lateribus compres-
fum, fupra pallide violaceum, vngue gibbo, nigerrimo,
infra pariter nigrum. Linea ad omnem illins bafm
uigra , fupra ad exortum frontis triangulum inae-
quilaterale formans. Caput tumidum , fubcriftatum.
Fafcia alba ad frontem et 'vertkem intcr oculos, lon-
gitudine pollicis vnius cum lineis decem et dimidia,
diametro linearum fere odto , maculis cattaneis ad
frontem frequentioribus varia. Reliquum caput^ col-
hm fuperius ct inferiuf cum guJa ex rufb caHanea,
tcmporibus puncflis nigris , ad ofla parietalia excur-
rentibus , adfperfis , oculorum orbita pundis ma-
culisque ex nigricante et viridefcente colore fplen-
dentibus, et abhinc occiput verfus non nunquam con-
fpicuis , circumdata. Irides liuidae. Caput inferius
medio a bafi maxillae inferioris vsque ad fupremum
coUum pollicum irium feptemque linearum , fpatio

N n n 3 e ca-

470 RARIORVM AVIVM

c caftaneo colore nigricat. Coilum fuperius pofleriusque
et dorfwn concolora , ex cinereo et nigricante trans-
\eriiir. vndiUimque ftriota. Ptdiis inftriiis antice
caftar.eum , pollice gryfeum. Pdius et prokbi cum
vropvi!,io dilute cafianea. Fenter niueus, criflo nigro.
Remiges , primores i o , fufcae , latere polleriore
gryfeae , fecundariiie priores 8 , excepta prima, pri-
moribus refpondentes, latere antcriore e Tiridi (plen-
dentes , eodem apitc nigro terminatae , pofleriori
gryfeae ^ (ubtus coloris ciusdem , quemadmodum fe-
cundariae. Tedirices corpori propiores , gryfeae^ quac
alas (ecun iarias obuoluunt , niueae , apicibus nigerri-
mis rplendentes ; quac primores fufcae, duabus priori-
■bns infra candicantibus , pun^^isque et lineis gryieis,
confertis ad(pcrfis^ \ltimis gryfeis , et fimilibus pun-
^is ad marginem , apiccmque notatis. Regio fuba-
laris et plumae femorales ex albicante et nigricante
transuerfim et vndatim flriatae. Re^rices 14 gry-
ieae , (libaequales , margine antenore tantifper albi-
cantibus , duabus mediis , rtliquis paulo longioribus ,
fufcis ; illis infra c diluto gry(eo rolore candicanti-
bos j his faturate gryfeis. Te&rices ex nigricante ,
gryfeo alboque colore variae. Vedes liuidi. Vngues
ndgricantes.

An fufScienter ab A. Penelope diftin<^a ?
Fere , difm haec fcribo , conuenire nimium mihi
Tidetur.

XVI.

E X p o s I T 1 a ^i

XVI.

ONOCROTALVS Auaorum.

PELECaNVS Omcrotuluf lin.

Ruthenice 6a6a.

DESCRIPTIO.

Mas eft , qiiam dico , valde annofa , magnac
magnitudinis , anferem tota corporis figura referens,
ni ad roQrum attendas , tardiore inceffu , prolobos
qiie propendente cygnum. Rofirum habet redum ,
fliiuum , dum liuidum in iunioribus eflfe folet , ru.-
bruiiique in perfedis. Mandibuia fuperior in tres k-
mellas diftinda, media ad frontem fubrotunda , ver-
fus apicem pLma , fenfim anguftiore , cui ligula
adunca , deorfum flexa , flauicans dura ac oflea adr
nafcitur ; vtrinque ad hanc lamella lateralis , ad li-^^
gulam roflri aduncam deficiens , ad mediam (ubro-
tundam riman^i fbrmans , quae nares fere obliteraras
i — io pollicis , a plumagine frontis fitas , recipit ,
non nifi inembrana roftri didudla in confpedum ve-
mentes, Subftantia roftri cornea, lacuifiimae preflio-
ni cedcns , Ugula autem adunca robuflifiTima , qua
pifces lubricos compriinit , exanimatosque roflri pro-
tenfo vnco faccatae gulae immittit. Iris e cinereo
flauefcens. Pupilla opalina coerulefcens. Plumago fron-
ti.s , parie , qua roflrum attin ;it , cinerea , ea parte,
qua medium roflrum (pcdat , deficiens , nares ver-
fijs duobus veluti cornubLS latius diifuaditur Man^

dibula

472 RARIORVM AVIVM

dibula inferior 5 eminentiis linearibus quatuorque
aeqiralibus intermediis fpatiis fecundum longitudincm
excurrentibus inaequalis , affera , nec , "vt in anferi-
bns , yillofa. Ita enim cauet natura , ne petita
praeda , dum proiiciendo eam gulae admouere debet
onocrotalus , elaberetur. Deficientibus eminentiis pa-
lati rima confpicitur , et poll hanc inter nares et
oculos ad perpendiculum eminentia quaedam longa
poUicem , acuminabus gibbodi : rima palati ad nares
hiat , huius que ope faccum lublingualem , adeo ca-
pacem , mandibulae inferiori ita aduucit auis , vt ne
vel minimum propendeat. Eadem rima raucori vc-
cis infcruit , claufis enim mandibulis haec damofior
cuadit , et ad Afinorum grunnitum accedit. Mandi-
bula inferior fupenori tantillum breuiar , tres circi-
ter polhces a plumagine frontis remota capiti arti-
culatur , inde diuaricata , non nifi 4 pollices in
vnum coit , ibidem validilfimo apice ofleo donatur ,
interius eminet areola quaedam giDbofi , quam (ul-
cus ambit , areola antem illa refpondet cauitati li-
gulae mnndibulae fuperioris, ct adprehcnfioni fortio-
ri inferuit. Latera mandibulae inferioris ndauda
fuperioris anguftiora , et gulam verfus ficcatam obli-
que fubftantiae corneae , introrfum extrorfumque
flexilia. Huic mandibulae inRriori ab interi( ri par-
te (accus fublingualis appenditur. Saccus iple vali-
dus , n-embranaceus , e multis venis a lingua ortis
ortus , huicque lingua ipdi fub oculis adcreta eft ,
frenum autem retrorfum et verfus rofki ligulam
cxtenditur , tantamque facco elalticitatem praebet ,

vt

E X P O S I T I O. 473

yt rcciindutn neceiTitntem molem et magnitudinem
praedae pro lubfta extendi et mandibulae adduci
poffit. Extendit autem Onocrotalus faccum liami
adinQar , et deglutit Irata hominum manus pedes
que ferire intendit , tuncque mandibulam fuperio-
rem inferiori fortiter allidit , vt infignis ftrepitus
oriatur.

A plumagine frontis ad nucham fpatium efl:
3 et T5 pollicum. Caput pLine anferinum ad fron-
tem non nihil rotundatura , in vertice planum ,
verfus nucham latius adfurgens , ad oculos pianum ,
mentum verfus oblique latius. Mentum ipfum la-
tiflimum , et fi faccum propendcntem exceperis ,
omnino pianum. Caput et col/im villis potius, quam
plumis tcda. Illud compreffum ^ oblongum , fiapis
pennarum fufcis , radio denfo , albo , verfus apicem
fpedante, Occiput criftatum. Aures freno oris fttu
paraiielae , anferinae. Dorfum in quibusdam cinereo-
albidum , in aliis candidum. Vropygium album, cau-
da fubrotunda , redricibus 22. albis , lateribus fufcis
ct ad apicem cinereis. Kemiges 56. extimis maio-
ribus , tertia longiftima , fcapis omnium atris , late-
re antcriore nigris , pofteriore albo nigroque dimi-"
diatis , nigro praedominante. Vsque ad remigem
0(flauam nigredo pracualet, latere adeo interiore, tum
autem albus augetur color , vt mediae minores to-
tae candidae euadant , et vltimac iterum maiores
colore e fufco cinereo tinguntur. TeHrices fupra
colore dorft , infra candidae , neque vero in colore
totius corporis conftantia datur. Variat plurimum
Tom. XV, Nou. Comm. O 0 0 aetate

474- RARIORVM AVIVM

aetate Oaocrotalus , variatque loco. Vidl in Caftello'

Nowopavlovsk fere totos candidos et Ajtrachanlae vidi

fufcos , incarnatos , alios que fcapulis fplenJentes ni-

gris , vt plane certi determinem nihil. Sod adlega-

ta coloris ratio oinnium frequcnriifmia occurrit. Pe-

/i?i' crafli. Fenma plumofa. libiae nadae, vndique;

fquarnatae, fquamis circularibus liuidis. D/^/V/ mem-

bratia craffa , inferne vltra dimidium vngaicuiorum

excurrente , plumbea ,/ fubtus que rubicunda mter fe

connexi. Digiti quatuor , fcutis femicircularibus lo-

ricati , intimo minimo , fecuado longiiruno , quem

inagnitudine primus , hunc que tercius fequ tur. Vn-

gues crafli , viridiulculi , fpatulati. Lingua hac iiv

aue fmgularem attentionem meretur. Adco minuta

eft , vt impoluerit mulcis Audoribus , nullam ha-

bere. Scilicet ligulae tantum meretur nomen , vix

enim \ltra dimidium poliicem longa , cartila^inea

apice deorfum fleditur , polhcem vnum a Laryngis

rima remota , ad latera vtrinque qffi hyoidi adnafci-

tur , et intra illius deuaricata crura valida , vt vt

tenui , expanditur membrana. Aldrouando elapfum,

eft , carere medulla oflfa, fed bene ea repleta inuenio.

Onocrotalus adfpecfbum liominum fugiens fae-
pe in aquis dehtefcit , fed in illis ad al quod tan-
tiim temporis interudlum permanet. Vere lacus
infignes , hycme niare redit:, qui Tanain abit , ni-
grum , qui Wola;am , Cafpium , inter omnes lacus
in toto terrarum orbe exiftentes , maximum^ venit
autera, et reuertitur cum Ciconiis, Auferibus, Grui-

b»s ,

E X P O S I T I O.

475

biis , et Cygnis eodem tempore. Femlna nidum
ftruit ex gramine arundinaceo , figura rotunda , la-
titudine diametrali , refquipedali , concauo , mollibus
graniinibus impleto ^ nidum autem femper ftruit ad
iniulas lacuum et cefpites rourcofos , Ruthenis myH-
4pa didos. Oua ponit alba, Cygni illis et magni-
tuaine et numero plerumque refpondentia , duo vt
plurimum , tantum que temporis , vt Anleres et
Cygni exclndendis illis infumit. In nidos Femina
aduentu hominum deturbata , toua ex illis excutit,
in aquam deiicit , abeuntibus fibi inimicis vifis oua ,
Yndis immerfa , extenlb roftro nidis denuo infert.

Pifcibus viditat , magnam eorum vim confu-
mit, in pilcatu Pelecani carbonis, RHthenis 6aKAaHb
di(fli auxilio opus habet. Onocrotalus expanfis alis
agitat aquas , Carbo infra alis prouocat pifces , ahs
Onocrotalus illos ad httus pelht, pulfosque deuorat,
carbonc comite et Gauia rldibunda maiore faepe accc-
dente , exoptatam talem praedam non relpuente.

Ad tringinta libras Ruthenicas ponderat.

XVII.
STERNA metopoleucos.

Longitudo totius auis ab extremo ro
ftro ad extremam caudam - -

— roftri -«_,..

a bafi mandibulae fuperioris YS-

tiue ad oculos - - - -

Diftantia inter oculos - - -

Ooo

Ped.

Poll.

Lin.

o.

8.

9.

0.

I.

4. '

0.

o.

3.

0.

o.

8.

Tab. m

Fig. I.

Longi-

47^

RARIORVM AVIVM

Longltudo a bafi rnandibulae fuperioris
ad flexuram cubiti . - - -

caudae - . - - - .

Alae expanfae diftant - ^ - -

complicatae vltra caudam extenfae

Circumferentia corporis aequalis - -
Longitudo frontis albae

. nigredinis a bafi frontis albae ad

collum fuperius et anterius

ab extremitate colli fuperioris ao

finem dorfi - - - - -

. femor-um plumis obteclorum

pedum plumis deaudatorum vs-

que ad exortum digitorum

— digiti antici medii - - - -

— vnguis illius - - - - .

— digiti antici intimi - -

— vnguis illius - - - * -
— ' digiti antici extimi

— - vnguis illius - - - -

— digiti antici poftici cum vngue

Ped.

o.
o.
o.

o.
o.

o.

o.
o.

o.
o.
o.
o.

0.

O-

o.
o.

PoU

2.

4-
o.

I.

3-.
t.

o.
o.
o.
o.
o.
o.

D,
0.

Lin.

S.

9.
6,

5.
5.

4..

2.
O.

II.

5

3'

5

I

5
I

DESCRIPTIO.

Ex hac dimenfione patet ad minores pertine-
re , et fternas quidem habicu et volatu refert , ne-
que proinde ob mandibulam fuperiorem , apice de-
cliuem , lateribus que adplanatam et nares anticc
latiores fub laris mihtare puto. Rqftrum baQ ru-
brum , ab hinc flauum , extremitate nigrum. Nares

diame*

E X P O S I T I O. j^^j

dlametro linearum duarum. Lingfja ex lato princi-

pio fenfim anguftara , extremitate fua bifida. Frons'

alba. Tempora nigra , vt omnc caput , collumque fu-

perius et anterius. Dorjum canum , immaculatum.

Cauda forficata , niuea. Prona pars corporis a memo

ad finem vropygii niue candidior. Remiges 26. i

ct 1 lungifTimis , fufcis , Litere poflcriori dimidiato

albis , reliquis gradatim minoribus , eleganter cine-

reis , candore ad latus , polterius in aliquibus fuper-

ftite , fubtus omnino niueis , praefertim fecundariis.

Tectrices concolores. Caudae redrices 12. niueac.

Oculi mediocres. ?upiUa nigra. Iris liuida. Plumae

femorales niueae. Pedes crocei , graciles , tribus an-

terioribus membrana tcnui inter fe coniundis , po-

ftico minimo foluto. Vngues incurui , nigri.

Ad aquas degit , pifciculis minoribus vicHiitans,
inenfe lunio nidificans , oua plerumque duo parlcns ,
quibus pcr aliquot feptimanas incubat. Alte volaC
et velociflime , vt difficulter explodatur , quin quod
notlra non obtigerim fpecimina , nifi vcnator prius,
fternam hirundinem , quam agitabant , ipfius prae*
dam auferre tentabant , explofifTct , et cxplofam po-
ftea facpe in aera proiecifTet , vt decipcrentur vola-
re humilius.

Femina a mari nec colorc nec magnitudine
difFert. Vtriquc vero indifToIubilcs focii.

Trans marc nigrum vere huc vcnit ; primo
autcm centum verflas a Woronez mihi vifus. Au-
tumno redit.

Ooo 3 XVIII.

47^^ RARIORVM AVIVM

XVIIL
TaKXxir. LARVS ^tricilla. An varietas?

^^DESCRIPTIO.

Per omnia Atricillae auis fimilis eft , cuius
Iconem exhibeo , njiro quoque fanguineo , pedibus
que nigris. Differt autem capite nigro albo que
maculnto , et magnitudine multo minor confpicuus
eft. Dorfum pariter canum ; et prona pars corporis
alba. Ad TJiherkask tantum yrbem vidi.

XIX.
Tab.xxin. TVRDVS rofeiis lin.

DESCRITPIO.

Magnitudine T. pilari aliquantum maior, craf-

fitie ipfi aequalis. Ra//rum pallide liuidum , tereti-

cultratum , apice decliui terminatum , longitudine

linearum nouem. Maxilk inferior fupericri tantil-

lum breuior. Nares ouato- oblo« gae. Caput m^xxam,

Collum e fufco-gryfeum , marginibus plumarum ni-

gris. Borlum ianguincum , guki et collum inferius

nigra. Pc^iis et abdomen languinea. Remiges ib.

fiifcae ynicolores , e fecundariis \ltimae latere ante-

riori viridi fplendentes. Te&rices coloris eiusdem

eodem que virore imbuti. Redrices 12. nigrae.

Veftitrices albo ferrugineae. Femora plun is e fufco-

nigris obteda. Pedes paliide rubri. Digitus pofte-

rior

E X P Q S I T I O. 479

rior anticis longior. Vngues valde incurul , pallidc
fufci , nitentes. Pupillam nigram habet, paliida yero
funt Iris et paJpebrae.

Femind a mare abludit colorc pallidius faa-
guineo magnitudine quoque ipfi paululum cedit.

XX.

ALAVDA mutahilis. Tab.xxiii.

DESCRIPTIO.

Ab imo roftro ad finem caudae feptem polli-
ces cum duabus lineis longa eft ^ corporis auteni^
circumfereiuia quinque fere lineis refpondet. Koftrum
linearum 8, bafi alhidum , apice nigricans , fubula-
tum , craffum , recfla decliue , mandibuUs fubaequali-
bus. Tota auis atra , extremitatibus pennarum ia .
collo fuperiore , d9rfo , et ad caudam albo cano que
colore fimbratis. Frons feminae , quae atra in ma-
re eft , fimiliter cana. Sed in vtrisque prona pars
corporis aterrima , et regio tantum fubalaris rariori-
bus canefcent>bus j-cnnis fpariim obfita. Remiges iS
nigerrimae , apice obfolete fufcefcentes. Te&rices eo-
dem colore donatae. Cauda fubforcipata redricibus
12 nigris , extima vtrinque immaculata , reliquis
apire canis. Pedes et digiti nigri. E tribus ante-
rioribus mcdius cum vngue , lateralibus magnitudinc
aequalibus , longiori mgue. Poftici rediore , \ngui-
bus omnium longiore. Oculi minuti , Iride et pupil-
la liuidis.

Atque

48o RARIORVM AVIVxM

Atqne haec facies aiiis e(l , diim fub adultam
aetatem deprehenditur. lunior alaudlnaceum prae fe
fert ordinem , toto corpore cinerea, ycI et e cincreo
rubicunda , quemadmodum icon dorfum fupremum
exprimit. Mutatio in atrum colorem fit pedeten-
tim , vt fpecimina poflfideam , tota gryfeo - rubra ,
duabus partibus gryfea , vna que atra , gryfeo nigro
que diniidiata , alia aterrima. Icon tale habct , \bi
auis vniuerfali nigrcdini proxima eft. Sed feminae
frons femper canefcens.

Hycme Aftrachaniae frequentiflima auis , in
defertis volitans, adpropinquante \ere loca WoJgae fu-
periora aregatim petens.

XXI.

Tab.xm EMBERIZA leucocephalos.

Fig- 3'

Koflrum -^^ longum , conicum , psululum ad
latera depreffiim , manclibula fuperiori nigra , inferiori
albente. Pcnnae circa roflrum (ature caflancae fiue
rufae, in latam fmiilis coloris fa(ciam fupra oculos con-
tinuatae, quae reflexa fecundum inferiorcm malarum
marginem ad roflrum redit , albas malas circulo fuo
inckidit , in gula torquis fpcciem efficit. Rufus quo-
que dudus infra oculos confpicuus. Vertex et oecipuf
alba, pennis quibusdam ad verticem apice nigricanti-
bus. Album hoc ad frontem regionemque fyncipitis
fpatium dudu nigricante cindum , fifciae rufae fupra
oculos contiguae. Ceruix dilute rufa , pennarum oris

in

E X P O S I T I O. 481

In quibnsdnm Iiitefcentibus , in aliis clnerefcentibu?.
TDorfuvi rufum , pennis fingulis verfus apicem fecun-
dum fciipum nigris. Vropyginm tt pennae caudae incum-
bentes ruf-a. Pe^orif fumnia pars et Jubalaris regio
fii(cia lata rufa , ad oras albente. Reliqumn pronwn
corpus candidum , hinc inde confpurcatum. Cauda
forcipiUa \l poll. longa, redlricibus duodecim, quarum
ocfo imerinediae fufcae , exteriores obfcurius , duabus
\trinque extinns verfus apicem macula lata alba no-
tatis. Alae ab extrema cauda vnum et | poUices de-
ficientcs. Kemiges obfcure fufcae , oris limborum an-
teriorum obfcure albentibus. Infimus alae nothae ordo
nigricans , ad oras lutefcens , aut dilute rufus , cui
refpondent infimus te5tricium ordo, ad oras fiifcia di-
lute rufii cindlus , apice candido. Te£irices fupremac
anterius e fufco cinerafcentes , pof^erius fere totac
rufiie. Fedes et digiti incuruati. Vngues nigricantes ,
modice adunci , mgue pofterioris reiiquis longiori
fortiori , maxime adunco.

Longltudo auis ab extremo roftro ad initiuni
caudae tribus poU. et 3. lineis refpondet.

Diftantia alarum expanfarum decem pollicibus
aequalis e(t.

Longitudo caudae pollicum circiter qnatiior :
digiti polkrioris vnguis longitudine reliquos /g poll.
fuperat.

Medii anteriorum digitorum vnguis /g poll.
vix attingit.

Tom. XV. Nou. Comm. P p p Pon-

4»

RARIORVM AVIVM

Pondus Ruthenicum auis 61 folotn. arequaf.
Habitat Jftrachaniae in arundinetis. In ea , ad quam
expreflum fuit , occiput erat nigrum , coniundioni
fafciae frontem et (ynciput cingentis efformatum^ cete-
rum nihil differebat. Figura aucm naturali magni'
tudine fillit etiam ad Tanals littora copiofifTimam.

Tab.XXIV.

XXII.
An ARDEA Botaiirus maior?

BRISS. av. ord 17. g, 81. fp. 28.

Dimenfio partiuin.

Longitudo totius auis ab extremo ro-
ftro ad extremos pedes - - - -

. Ad extremam caudam

roQri a bafi frontali menfurata

— '— temporali -----

narium - ------

L.uitudo ------

Diflantia inter eas - - - .
Longitudo ab angulo pofteriore narium
ad anteriorem oculorum - - - o.

oculorum . - - - -c.

Latitudo ------

DiQantia oculorum _ - - -

■ a bali roftri frontali ad flexuram

cubiti - - - - - .
Longitudo capitis - - - .

Ped.

4.

3.
o.
o.
o.
o.
o.

o.
o.

I.

o.

Poll

Lin.

6.

6.

8.

0.

5.

4-1

6.

3.

0.

10.

0.

i^.

D.

6.

I.

3.

0.

4-

0.

4-.

0.

10.

II.

10.

4-

I 0

Lon-

EXPOSITIO.

4S3

Longitudo colli - - - -

dorfi -----

• caiidae - - ^

Circumfcrentia capitis - -

colli infra caput menrurata -

, . ante infertionem

— -■ corporis _ ^ - -
Dirtantia alarum expanfarum
Longitudo femorum
■ — — tibiarum ....

digiti antici mcdii

. vnguis illius - - -

• intimi - - «

■ vnguis illius

extimi - - «

• vnguis illius

- Digiti poftici - - - -
• ■ynguis illius - - -

Ped.

o.
o.
o.
o.
o.
o.
I.

4.

o.
o.
o.
o.
o.
o.
o.
o.
o.
o.

DESCTIPTIO.

Speciofa auis eft , quam propono , dubitanter
valde BRISSONIANAM denominationem meam faciens.
Ro/irum cultratum , fupra fecundum morem huius
generis /«^-f? longitudmli exaratum, flauum, mandihula
fuperiore medio fufca. Nares lineares. fpatium xoiXxwm
inter et oculos nudum , luteum. Caput nigrum ,
pennis conlkns mollibus , longiufculis , crift^e in
fpeciem propendentibus. Tempora flaua, bafi pundis
nigris adfperfa. ?aipebrae nudae, e caeruieo lutefcen-

Ppp a tes.

. Poll.

Lin.

2.

5. 8

10.

8.

6.

lO^.

5.

3.

3.

5.

lO.

4.

7.

1 1.

2.

9.

0.

6

10.

5.

3.

I.

I.

2.

10.

0.

II.

4.

8.

0.

loi.

2.

ij.

I.

2^

484 RARIORVM AVIVM

t€S. Iris crocea. Pupilla nigra. Caput inferius niuenm.
Plume ab eo intra commiffuras mandibulae inferioris
excurreates , fine maculis nigris, marginc ferrugineis,
interruptae. CoIIum gracile , elongatum, ad ccto pol-
1 ces et \ltra caibneum , triplici fafcia nigra nota-
tum , media latlore , poftea vsque ad infertionem
gryn.ochalybcum inferius itidem callaneum , macuiis
longitudinalibus nigris , et nigro alboque dimidiatis
varium. Dorfmn fature cintreum , pennis vltimis
longe proiudis, latefcentibus, rubris, longiHimis albo
terminatis Fr^if/g/w/w gryfeo-fufcum. Corpus inferius e
nigro rubroque colore varium. Kemiges 26. nigrac. Te-
Brices cinereae nonnullis apice flauefcentibus. Margo
alarum ferrugineus. Re&rices aequales , 12, remigi-
bus concolores. Te&rices fature gryfeae. Femoralia
caflanea. Pedes fupra fufci , infra rubicundi. Digiti
fupra fufci, iufra lutei. Vngues paliide fufci, incurui,
inedio interius ferrato , pollico longillimo omnium
maxime arcuato.

Cum congcneribus in arundinetis viuit, femina
ponit oua tria , magnitudine gallinaccorum, glabra ,
immaculate viridia. Migratur Adrachaniae. Menfe
Maio raihi obfcruata auis.

DE-

DESCRIPTIONES AVIVM.

A u (fl o r e
/. L E P E C H I N.

E

d, 12. Nouembr. 1770.

mberlza fuperne riifa , fubtus fliuia , fafcia pe<^o-
J rali transuerfa ferruginea.

DIMENSIO.

Fringillam domefticam adaequatur.

Longitudo ipfius ab apice roftri ad caudae

cxtremum --_-..- ^''^~-io"{
Roflrum longum eft - - - - - 4^
Digitorum medius cum vnguc - - - - p
Jaterales multo funt breuiores.
Extremitates alarum diftant - - - 8-7
Alae complicatae vix tertiam caudae partem

tegunt. Longitudo caudae - - - 2 — 3.

DESCRIPTIO.

Pulcra haec Emberizarum fpecies roflro dona-
tur pallido cum tranfparente aliqua nigredine in
dorfo mandibulae fuperioris. Frons tegitur pennis
nigricantibus , quarum nigredo adumbrat etiam ca-
pillitium. Occiput et nucha cum pennis interfcapu-
Liribus rufo refplendent colore , vbi fingulae pennae
apcx t%iiuiirima cingitur canitie. Dorfum cum ad-
iaceiUe Yropygio nuchae concolor , hoc cum difcri-

P p p 3 miue,

4-85 DESCRIPTIONES AVIVM.

minc , qiiod memorata canicies in dorfo magis fit
confpicua , et rachis quorundam pennarum lituris
nigris t ngatur. Scapulae alarum albae , Rcundus
tedricum ordo conftat pennis vexillo externo rufe-
fcente , cum albicante fimbria marginis , cofta vero
corum et vexilium internum nigricant , vnde macu-
la in alis fecundaria alba : reliquae tedrices dorfo
, propiores interfcapuleo concolore's. Remiges primo-
res fufcae , albicante tenui fimbria exterius notatae ^
pofteriores remiges itidem fulcae , aft vexillum ex-
ternum in illis maiori cx parte ferrugineum eft.
Genae atque gula nigrae , pecftus cum abdomine fla-
•vum ,* fed flauedo in pedore interrumpitur falcia trans-
Verfii fegmentum circuli efficiente , et fefe in hypo-
chondria extendente , vnde hypochondria ferruginea
quoque apparent. Tedrices (ubcaudales albae cauda
parum fbrcipata , 12. conflat redricibus fufcis , qua-
rum duae cxtimae fecundum vexiilum internum
longa tcnia alba , longitudinali notantur. Pedes at-
qu^ vngues fbrdide albi. Haec eft defcriptio maris.
vid. Tab. XXV. Fig. i.

Focmina perfediHime cum mare conuenit, prac-
ter quod in ipfa capillitium magis fit nigrum et
dorfalium pennarum margines maiori canitie gau-
deant.

Habitat in pinetis circa Catharinopolin.
Alia Emberizae fpecies confinia prjori inhabi-
tans loca diflinguitur a congeneribus capite diuerfi-
mode fafciato , corpore fupra rufefcente j pe^ore at-
que imo abdomine canis.

DI-

rESCRIPTIONES AVIVM. 487

DIMENSIO.

Magnitudo Emberizae citrinellac.

Longitiido ab apicc roftri ad caudae cxtremum 6^^-$^^^

Longitudo roftti ----- - 4-2

Longitudo digiti medii cum rngue - - 5

Laterales paulo breuiores.

Extremitates alarum explicatarum diftant 8 - 6"

Alae complicatae | caudae attingunt,

Longitudo caudae - - - - -1-4.

DESCRIPTIO.

Caput ornatur variis fafciis ^ inedium occupat
flifcia longitudinalis fat Lua , tanj ; ad latera capil-
litii vtrinque ducuntur fafciae nigrae , quae in occi-
pite concurrnnt et canitiem interfecant , vnde in
coUo pofteriori maculae duae canae confpiciuntur ;
a naribus per oculos tranfit fafcia rufefcens , gena§
Qccupat macula alba triangularis , cuius apex ab an-
gulo ducitur oris ; albam maculam excipit macula
nigra eiusdem figurae occupans regionem temporum.
Partes colli iaterales gula atque coUum anterius fer-
ruginea. Pe^flus infignitur macula magna alba trian-
gulari , medium abdomen ex cinereo album , hypo-
chondria atque latera abdominis rufa ; interfcapu-
lcum cum dorfo itidem rufum rachi pennarum ni-
gricante. Vropygium fupra rufum infra albicans.
Tedrices alarum fufcae , rufefcente Tndique margine.
Remiges maiores nigricantes , per yexillum exter-
num ex toto , per internum vero ad dimidium al-

bido

4S8 DESCRIPTIONES AVIV?<I. "

bido fimbriatae. Remiges minores tedricibus con-
colores. Caudii parum forcipatii 12 conflant reari-
cibus , quae remigibus concolores funt , exceptis dua-
bus vtrinque exiiiris , quae a medio ad apicem [per
\exillum internum albae , in vexiilo externo vero
a bafi ad medium albo fimbratae. Roftrum atque
pedes ibrdide albi , vngues nigricantcs. Mas Tab.
XXV. Fig. 2.

Foemina fiipra tota grifeo aut rufefcente va-
rio , rachi pcnnarum nigricante , fubtus magis ru-
fefcens, ima abdominis regio fordide alba , vropy-
gium remiges redricesque prouti in mare.

MOTACILLA fuperne nigricans, torque albo in-
terrupto , pcdore atque abdomine fuperiore croceis.

DIMENSIO.

Magnitudo motacillae Rubetrae.

LonQitudo ipfius ab apice rafl:ri ad caudae

cxtremum - - ~ " 4 -i i
Longitudo roflri ----- 4
Alae explicatae extremitatibus diftant - 6-7
Compofitae dimidiam fere caudam attingunt
Longitudo caudae - - " - i - 10
Digitus medius cum vngue - - - $
Laterales multo funt breiiiores

DESCRIPTIO.

Roftium tenue mgrum , mandibula fuperior
paulo longior apice incurua vti in congeneribus.
Vertex capitis , genae , guU atque coUum anterius

DESCRIPTIONES AVIVM. 489

atra , Nucha qiioque infignitur nigredine a capillido
ad dorfum produda ,* partes Interales colli albae ;
qui coior etiam llimma iiypochondriorum tenet. Pc-
d:us atcjiie abdomen crocea , fed in abdom ne cro-
ceus color magis magisque diluitur ita Yt ad pcdcs
albidus fit. Dorfum nigricans margine pennarum
parum rufefcente. Scapulae alarum niueae , tedrices
nnteriores nigrae npicibiis ex albido rufefcentibus.
Remiges mniores fufcae , minores nigricnntes , omnes
margine vexiili interni ad dim.idium nibo. Vropy-
gium vtrinque niueum. Kcdrices duodecim aequnies
nigrae exceptis vtrinque externis , qunrum mnrgo
\exilli cxtcrni albicat. Pedes vnguesque nigri. MaflC
Tal\ XXV. Fig- 3.

£oemina fupra fufca marginibus pennarum ru-
fefcentibus , macuia alarum candida , gutture fordidc
albo , pedore atque abdomine dilute rufelcente. Rc-
miges redricesque prouti in mnre.

Rutl:ieno nomine a voce Tfcliecantfchiis:i (mc-
raHMHKH) vocantur. Habitant in betuietis atque io-
cis paludofis.

STRIX

Nota : Maxima conuenientia ei\ Motacillae noftrae cvim Rube-
tra luccouenfi Clariff. Bnffin , defcripta in ipfius Orni-
thologia T. I. p. 432. N. 30. fed in defcriptione fua
Clarifl^mus Autor nullam mentionem iniicit de pe£lore
maris croceo atque collari albo interrupto- Hinc iure
concludimus Motaciilam noftram aut prorfus non , aut
imperfe£ie defcriptam. .^

Tom.XV.Nou.Comm. Q^q q

9''

-4^//

'

^^

I

'4

-3

2.

-6

I

-2

490 DESCRIPTIONES AVIVM.

STRIX capite aurito , e gente fua minima ,,
corpore toto gryfeo , fufco , ferrugineo, :
alboque vario.

Strigi Paflerinae magnitudine multum cedit.

LoDgitudo ipfius ab apice rofiri ad caudae
extremum ------

Longitiido roftri - - ^ - -
Alae explicatae extremitatibus diftant -
Complicatae extremum caudae attingunt
Cauda longa eft - - - - -

Digitus medius cum vngue - - -
Lateraies funt breuiores.

DESCRIPTIO.

Medium capillitii tegitur pennis rufefcentibns
tenuiflimis lineis fufcefcentibus transuerfim ftriatis ;
latera eiusdem albidiora funt , cinereo colore vndu-
lata , quae permixtio colorum continuatur in aures
ex lo pennulis compofitas. Spatium pofterius inter
aures et occiput , quafi fafciis candidioribus notatur;
cxtremitates enim pennarum his in locis albicant.
Interfcapulcum itidem fe maiori albcdine diftinguit.
Dorfum fordide cinereum. Mediis in alis confpi-
ciuntur maculac albae, oblongae, piliformes , nntae
a tedricum alarum pefteriorum vexiilo externo al-
bo , nigro colore terminato. Remiges aut dilute ,
aut obfcure cinereis , pundlis albidis fafcias imitanti-
bus in vtroque vexillo diftincli. Remigum extima
ferrata eft. Oculos ambit circulus conftans pennis
decompofitis cinereis. Circulum compleditur quaii

afcia

DESCRIPTIONES AVIVM. 491

fhfcia albo nigro ct rufefcente varia a bafi aiiriculariim
ad pcdus vsque produda , intcrrupta. Pc(flus atque
nbdomen ratione dorfi candidiora (unt , "vbi fingula
penna per album colorem riuulis transuerfis fufcis
notatur. Rachis omnium pennarum nigra eft. Vro-
pygium fupra dorfo , infra abdomini concolor j tc-
dlrices caudae inferiores albae duabus fafciis flauican •
tibus transuerfim interftrudlae. Rcdrices fubaequales
rufefccntes fafciis et pandulis fufcis notatae Oculo-
rum irides flauae. Pedes veftiuntur pennis rufe-
fcentibus nigris lineolis adumbratis. RoOrum , pedes
vnguesque fordidi. Obferuata eft circa Catharinopo-
Jin. Tab. XXVI. Fig. i.

CYPRINVS^ Corpore aliuaceo maculis fufcis

diftiniflo, ima corporis parte Cinnabarina

pinna ani radiis feptem.

Pinna dorfi radiis - - 8
pedoral. - • - i^
ventral. - ^ - - s
caudae - - - 19
ani - - - 7
Longitudo totius - - - . ^//^
capitis - - - - (5- >^
Diflantia ab apice roftri ad oculum - z
inter nares et oculum - - i
ad pinnas pedloral. —7
ad apertur. branchiar. fuper. —61
ad pinnam dorfi 1—5
ad pinnas ventrales - x— 2

Qqq a Dillatt-

492 DESCRIPTIONES AVIVM.

Diftiintia ad pinnam ani - - -

1-6^

ad caudae initiiim

2-7

Longitiido pinnarum pedoralium - -

-5

ventralium

-31

Ani - ^ -

-5

Dorfi - - -

-6

Caudae - - -

S

Craflities capitis linea circulari per oculos

duda

i//..i/

ad aperturam branchiarum

I -5

pone pinnas "ventrales -

I -6

ad initium pinnae dordil.

I -6

ad exortum caudae - -

-6.

Ili

DESCRIPTIO.

Caput breue fere conicnm , cuius vertex ni«
gricat , oculi lateraliter ilti iride argentea , pupilla
atra. Ab angulo oris infra oculum vsque ad regio-
nem auditus ducitur macula alba fat lata fere luna-
ris. Operculi branchioftegi vltimum officulum argen-
teo colore refplendet , vnde in operculo macula tra-
pezoides argentea : reliquae capitis partes atrae. Ridus
anguftus, mandibula inferior paulo breuior (uperiore,
extus colore fanguineo imbuta , qui (anguineus color
occupat etiam marginem mandibulae fuperioris ab oris
angulo ad medium. Maxillae faucium quatuor denti-
culis fetaceis vna ferie pofitis armantur. Dorfum ab
initio vltra cranii planum eleuatum , ad caudam
vero decliue linea fufca notatum : latera pifcis oli-
vacea , ad aperturam branchiarum oblcuriora vbiqne

macu'^

DESCRIPTIONES AVIVM, 493

macnlis fiifcis rotiindatis temere notata. Linea late-
ralis incurua et abdomini propicr Yt in congeneribus,
Venrer et tota ima corporis pars pulcherrimo cinna-
barino colore imbuta eft. Squamac valde exiguae
rotundatae , tenaciter corpori adhacrentes. Radii pin-
narum omnes apice ramofi, Pinnarum bafis cinna-
barina , ap€X fufcus , medium albicans, fed cauda bi-
furca et pinna dorfi quadrangula excipiuntur ; in his
enim bafis nigra , reliqua pars albicans pundulis
nigris adfperfii. Tab. XXVI. Fig. 2. 3. Pulcra haec
cyprinorum fpecies habitat in riuis fcopulofis circa
Catharinopolin.

Rutheno nomine vocatur Galian , (raAiaHl))
deriuatione mihi incerta. Et Miles ( CoA^anib ) ob
rubrum colorem. Gratam conftituit efcam fole torre-
fadla vna cum Peskany , IlecKaHbi cyprinus gobio
et Pifcafoby , ( nHCKaHo6bi ) cobitis barbatula.

Nota : Ichthyotomiam huius pifcis non neceflariam putaui
dum fere nnllum difcrimen ratione partium interna-
rum in omni Cyprinorum familia obferuatur. Id fo-
lum monendum habeo , quod variis e gente Cyprino-
rum fpeciebus fub e.vamen reuocatis , obferuauerim ,
nullam conftantiorem notam ad diftinguendas fpedes
dari , quam , ordinem, numerum et figuram dentium
qui in faucibus horum pifcium reperiuntur ; et fi ob-
feruationes exterarum fpecierum per has notas infti-
tuentur , credo fore , vt haec confufa atque non fat
determinata pifcium gens clarior et ftabilita euadat.

Q.qq 3 DE-

49 f -*5^-^ ( ° ) ^??^-'

DESCRIPTIO

CYPRINI RVTILI,

Q^VEM HALAWEL RVSSI VOCANT ,
HISTORICO- ANATOMICA.

A u c t o r e
I. T. KOELREVTER,

d. 3. Decembris 1770.

Cyprinus (ruti/us) pinna nni radiis 12 rubicunda
Lin. Syd. Nat. ed. 10. p. 324. n. 16. Fn.
Suec. 329.

Cyprinus iride , pinnis ventris ac ani ple-
runaque rubentibus. Art. gen. 3. Syn.
10. Spec. 10. Gron. muf. i. n. 8. Ad.
vpf. 1741. p. 74. n. 51 et 52.

Brama. Klein. pifc. N°. 5. Tab. Xill. fig. 2.

Corpus ab oris extremo ad pinnae dorfi princi-
pium \sque lenfim afcendit , hinc vero ad eius-
dem pinnae bafm notabiliter defcendit, iflaque defcen-
fione , minus quidem , quam antea , obferuabili , ad
caudae pinnam vsque pergit. Ab eodem quoque
tcrmino idem pinnas ventrales verfus dekendit, hinc-
que redo curfu anum petit ^ inde autem iuxta ani
pinnam , fub afcenfione maxime notabili , ad eius

finem

DESCRIPTIO CYPRINI RVTILl etc. 495

finem vsque procedit , viaqiie tandem redilinea ad
caudae pinnam excurrit. Dorfum ab initio latum ac
conue.xum , pinnam fuam yerfus , fub auda magis
conuexitate , renfim in anguftius contrahitur , pone
hanc vero denuo latefcit , ita quidem , \t ipfius
latitudo ad caudae pinnam vsquc fenfim (enfimque
decrefcat , conuexitas autem mediocris ac fibi vndi-
que aequalis fit. Abdomen infra pinnas pecloralcs
ac inter pinnas vcntrales et anum parum contradlum
ac fubconuexum, ante pinnas ventrales planum, inter
pinnae ani finem vero pinnaeque caiidae principium
denuo fubconuexum.

Color totius corporis argenteus , pallidc aureo
mixtus ; dorfum quidem , pro varia ad fpedatorem
diredione, vel argenteo aureum , vel fubfufcum.
Iris oculorum ex argenteo dea.urata, fuperne macula
nigricante, a lateribus autem pundis fimilibus notata.
Latera capitis in aureum magis vergunt, quam ip(e
truncus. Prona capitis regio fubfufca. Abdomen
pallide carneum. Pinnae ped:orales fubcinereae ,
pauciflimo rubro colore admixto. Pinna dorfi cine-
racea. Pinnae ventrales ex fanguineo purpurafcentes ;
eodemque coiore etiam ani et caudae pinna , fed
iriinus faturato , tincla efl.

Prona capitis fuperficies fubconuexa , glaberri-
ma absque omni carina eminente. Nares amplae.

Squamae magnae , ftriat-ae , fubquadrangulae.
Maximae omnium in trunci fere medio ad vtrum-
que latus , 6^^^ latae, 6'^^^ longae , margine antico

fiue

\

49<J DESCRIPTIO

fiue tedo , dlnerfimode crenato ac finuato , poflico
circulari ac integ^rrimo.

Linea longitudinnlls , fiib angulo operculi
branchiarum pollico , codemque fuperiore, ad 3 lin.
diftantiam , oriunda , ab initio (latim ad pinnarura
ventralium regionem vsque defcendit , inde infra
dorfi pinnam in recftum lenfim fled:itur , circa ani
pinnam yero fenfim afcendit , iterumque rcdo tra-
mite ad iinem vsque excurrit , toto fuo decurfu, (i
initium eius excipias , imo ventri propior , quam
dorfi fummo.

Pinna dorfi radiorum vndecim , quorum pri-
mus 2. lin. longus , omnium breuilTimus , fecundus
1 poU. 2 lin. longus , tertius ac praecipue quartus
omnium longiffimi , rcliqui vero ex ordine breuio-
res ; ceterum primi tres fimplices , ac fibi inuicem
orde apprelfi j reliqui omnes ramofi 5 vltimus bi-
partitus.

Pinnae pe^florales radiorum odoJecim ; quorum
primus fbrtiflimus, ct fecundo tertioque ,. longiflimis,
pauUo breuior.

Pinnae vcntrales radiorum decem : primus ho-
rum fecundo,cui arde apprefliis eft, pUis dimidiam
partem breuior , fimplex ^ fecundus omnium fortifll-
mus , itidemque fimplex , tertio paullo breuior ; ce-
teri a tertio , qui longiflTimus omnium eft , ad vl-
timum vsque ram-ofi et ex ordine iterum bre-
viores,

Pinna

CYPRINI RVTILI etc. 497

Pinna ani radiorum tredecim, qnorum primus
3 lin. longiis, omnium breuiflinius, fecundus i poll.
longus , tertius ac praecipue quartus longiflimi om-
nium^ reliqui vero ex ordine iterum breuiores; cac-
terum , \t in dorfi pinna , primi tres fimplices , ac
fibi inuicem arde apprefli ^ reliqui omues ramofi f
\ltimus bipartitus.

Pinna caudae radiorum circiter triginta , ab
vtriusque lateris odauo ad intinium \sque ramo-
forum.

Principium pinnae dorfi principio pinnnrum
yentralium paullo poflerius eft , iinis autem pinnae
dorfi ano ex diametro opponitur.

OBS. Pinnis huius Cyprini , pedoralibus prae-
fertim , Lerneam ■viuentem , albidam frequenter ad-
haerere vidi, abdomine quafi annuhuo, fubcylindraceo,
tentaculisque tribus inftrudam, binis lcil. praedae
affixis, tertio folitario, diffito, liberoque, quae , cum
in hunc vsque diem incognita plane mihi vifa fuerit
fpecies , breuiter hic defciipta , ac naturali magnitu-
dine dedineata traditur. Vid. Tab. XXVI. Fig. 4.

ANATOME.

Hepar in varios lobos grandiores diuifum. Lo'
bus anterior longifhmus , inter ventriculum , duode-
num et rcflexam mteftimi partem fitus, a principio
fuo , quo ex hepatis mafla egreditur tenuiflimo , ad
augulum iflius fiexurae vsque , defcendendo fenfim
increicit. Lobus dexter , ventriculo ac duodeno fub-
Tom. XV. Nou. Comm. R r r iacens j

498 D E S C R 1 P T I O

iacens; anterlore paullo crafTior eft , ac fub eadem
flexura ternninatur.

Sinifter lobus latKTimus , concauitate fua , re-
flexam inteftini partem refpiciente , lienis portionem
dimidiam anguftiorem , eamque faperiorem , am-
pledlitur , dextro , maffula mediante liepatica , per
finiftram ventriculi faciem transuerfim extenfa , an-
nexus. Praeterea fub mox memorata lienis portione
tenue quoddam hepaticae fubftantiae ftratum con-
fpicitur , fmiflro lobo hinc inde cohaerens-; ipfum
vero hepatis corpus mole admodum paruum. Vefi-
cula fellls , inter hoc ipfum , eiusdemque dextrum
lobum fita , oblonga , collo fuperius terminatur bre-
viflimo, quod dudus hepaticus, a dextra hepatis por-
tione defcendens , fubit. CoUum hoc , in ingreffu ad
ventriculum parum inflexum , fub diuerticuli fatis
ampli , valuuhsque interius vndique intertexti fpecic
dudum perbreuem largitur choledochum, Flatu in
dudlum hepaticum immifib non tantum ipfa fellis
veficula intumefcebat, fed fimul etiam dudlus chole-
dochus bullas aereas in ventriculi cauum erudlabat.

Lien longiflimus , 3 circiter poliicum , extre-
mitate fua fuperiore , eaque tenuiore , fub hepatis
fumma ac concaua facie partim delitefcit , partim
inferiore maiore ac fubtriquetra ampliori veficae
aereae ventri incumbit.

Ab oefophago ad duodeni reflexum, qui vnius
circiter pollicis ab ano diftantia incipit, vnus canah*s
le^us efl: , inde vero ad hepatis diuifuram vsqiie

yeuerti-

CYPRINI RVTVLI etc. 49^

reuertitur inteftinum , iterumque abhinc deflcxum ,
reda via anuni petit. Ip(e ventriculus , inteftini
reflexum verfiis , lenlim anguilior iit, ac a duodeno
et pyloro non multum diftinguitur. Hoc diffedo ,
ducftus choledociii oliium , quod circumcirca flauo
bilis colore tmdimi eft , 9 linearum diftantia ab
eius fummitate , fub papillae forma eminet.

In infcriore ventriculi parte , inprimis autcm
in duodeni reflexu , vermes fedecim , illis , quorum
in defcriptione Coregoni Lauareti iam fada eft
mentio , fimilJimos , albentes , lineari oblongos ac
planiuscuios , inteftini tunicis adhuc inhaerentes de-
prehendi. Caput eorum oblongum , fubdiaphanum
ac denticulis durioribus , "vel nudo oculo conipitien-
dis , fcabrum ^ collum capite anguftius ac breue 5
truncus ipfe autem figurae turbinatae , Yel lineari
oblongus , rugisque circularibus diftindus erat. Si
eiusmodi vermis caput exporredum , quod pro-
boicidis vfum ei praeftare olim dixeram, microfcopii
ope infpicias , totum aculeis validis recuruis ac vere
ofTeis horridum videbis , quibus extradionem eius
tentanti fortiter refiftunt. Extrahere nihilominus
hos omnes , quotquot erant , poteram absque capitis
ipforum iadlura ; contrarium tamen ahis , quos iu
variis Cyprinis et in CoregonoLauareto olim inueni,
faepius accidiife . indicium ex parte iam fadum eft,
Magnitudinis autem ac formae funt admodum di-
verfae , nec color omnibus fcmper idem : inter vi-
ginti {ic. eiusmodi vermes, quibus Cyprinum id. £/««.

Rrr 2 Syft»

500 DESCRIPTIO

Syfl. Nat. ed. lo. p. 324. n. 17. fimili loco in-
feftdtum vidi , plures odo lineas longos , lineares y
fubteretes , glaberrimos , ac a praeterfluente bile ,
quafi gummigutta tindos fuiflfe , ex manufcripto
mihi conftat, cum alii vel diuerfae progenici, iidem-
que aetate fme dubio minus prouedi , il tantum
vel 2 lineas loiigi , plus minusue turbinati, in rugas
contradi ac albidi eflent. Dum viuunt hi acanthocC'
phali ^ quo diftindo nomine hoc animalium geniis
appcUare liceat , aculeatam corporis extremitatem
fimili plane mechanifmo , quo ferpentes penem , ac
limaces cornicula fua , pro hibitu modo exferere ,
moJo reducere valent Vid. Tab, XX VL Fig. 5. Sed
redco ad vlteriorem Cyprini noltri anatomen :

Vefica aerea eiusdem plane figurae, quae huic
pifcium generi propria eft, duobus fcil. ventribus con-
hat , altero antico , minore , fubftantiae firmioris et
cralfioris , altero poftico , maiore , tenuioris magis-
que tendinofie fabricae , duduque pneumatico in-
ftrudo. Difiedo fecundum longitudinem pofteriore ,
difiindle apparet , fibras ipfius longitudinales , ten-
dinofas , albentes , oftium verfus vtrique commune
excurrere , ac q.\ lin. diftantia ab eodem euanefcere,
in circulum omnes colle(n:as. Harum adio procul
dubio in eo confiftit , vt , fi idem , ad aerem con-
tentum in dudum expellendum, fe contrahat, infita
ipfarum vi ftringant quafi ac occludant commune
illud oftium , ne aer in receptaculum anterius , ad
quod patentior longe via eft , retrocedat. Dudlus

pneu-

CYPRINI RVTVLI ctc.

501

pneiimaticus in pofticiim oefophagi latws , proxime
nd diiiphragma , inleritiir , ac oriiicio (ho ad imas
fiuices hiat. Hoc , primo quidem adfpetftu , fitis
largnm , aerem tamen ex oefophago affiatum non
admittit , licet eum , ex ipfb dudu impulfiim , fub
bulLirum forma facile erucftet. Rede autem , ad
aditum aeri , aquae vel cibis praecludendum , fatis
denfo ac \aUiulofo lacunisque variis imperuiis , ad
duas vsque lineas extenfis , cautum efl.

Lacles valde tenues. Renum potior pars fub
thorace , feu caput inter ac apophyfin iflam , cui
anticus veficae aereae venter , ligamenti fortiflimi
ope , annecflitur , fita efl ^ infra hoc iidem latiores
flidli , et circa abdominis medium in monticulum
quafi eleuati funt , inde vero ad ipforum extremita-
tem vsque , veficae vrinariae fundo contiguam , in
anguflius fenfim coeunt. Vefica vrinaria ouata >
vrethra ampliflima , patente iiifiruda.

M E N S V R A.

Longitudo tota, fcil. ab oris extremo adj

apices radiorum pinnae caudae longiorum'i'. 2'
Ab oris extremo ad extremitatem corporisj

PolL Lin.
paris.

fquamofam

ad oculi medium
ad marginem op:rc. branch.
poflicum - - -
Rrr 3

II.
I.

10.

I

3'
I I .

Ab

502

DESCRIPTIO

Poll. Lin.
Paris.

Ab oris txtremo ad principiuiTi pinnarum
pecloralium ------

. — — \entnilium - - .-

-« — nd anum

Longicudo pinnarum pedoralium -

ventralium - - -

. pinnae dorfi , ad bafin

■ radiorum longiorum

pinnae ani , ad bafin

• radiorum longiorum - -

— — pinnae caudae, (c. ab eius prin-

cipio ad longiorum radiorum
apices ------

' radiorum longiornm - ^ -

Extremitas corporis fquamofii in caudae

pinnam extenfa ad - - - -
Diametcr oculi horizontalis

pcrpendicularis

Diftantia inter primi pinnae pcdoralis ra-

dii *bafin et primum pinnae Ycntralis
radium - - - - - -

_ — . primi pinnae ventralis primique

pinnae ani radii bafin - -

' vltimi pinnae dorfi radii bafm et

primum pinnae caudae radium

- " "vltimi pinnae ani radii bafin et

primum pinnae caudae radium

3.
6.
6.

8.
8.
2.
2.
1.
2.
I.

I.

3

3.

j.

3

4-

7-

9.

5-

5-

I

6,

2.
6.

10.
I.

10.

7.

61

6.

3-
7.

3.

6. ,

Lati-

CYPRINI RVTVLI etc.

503

Poll. Lin,
Paris.

Latitudo horizontalis per oculorum iixes

— — per porticum opere branch.

marginem - - - _

atj principium pinnae dorfi

■ ^ ■ pinnae caudae

Latitudo perpendicularis per oculi medium

per principium pe-

doralium

- — ■ pinnae dorfi - -

— — ' pinnarum ventralium

. pinnae ani

psr pinnae ani finem - -
caudae principium

I .

I.

I.

I.

2.

3-
3.
2.
I.
I.

4

6

3

5
9

10

3
2

10

10

6

Explicatio Figurarum.
Tab. XXVI. Fig 4. Lernea corpore fubcylindraceo ,
annulato; brachiis feu tentaculis tribus.
a. Pinnae affixa vna.

J VSolutae aliae, variae magnitudinis ac formac

Tftb. XXV L Fig. 5. Acanthocephalus, vermium nouum
genus, in inteftinis pifcium reperiunduro.
a. inteftini tunicis inhaerens.
tt inde detradlus.

r. idem magnitudine auda expofitus.
^. alius, [a) longe maior, ex Cyprino Id. Ltm.

DH-

504 ->¥.i ( o ) Jc§<-

DESCRIPTIO.
PISCIS/E COREGONORVM

GENERE , RVSSICE SIG (CHrb) VOCATI ,
HISTORICO' AN ATOMICA.

A uc to r c
/. T. KOE LREFTER,

d. lo. Decembris »770.

Salmo (Lauaretus) maxilla fuperiore longiore , radils
pinnae dorfi quatuordecim Linn. Syft. Nat.
ed. 10. p. 310. n. 14. Fn. Suec. 312. AOi,
Stockh. 1753. P- 195.

Coregonus maxilla fuperiore longiore , pin-
na dorfi ofTiculorum 14. Art. gen. 10.
Syn. 19. fpec. 37.
Albula nobilis Gesn. pifc 33.

Albula nobilis maior. Schoenf. ichth. 12.
lonft. pifc. t. 46. f I. Rai. pifc. 60. 61.
Lauaretus allobrogum. Will. ichtb. 183.

Caput pro corporis ratione non magnum , ad la-
tera comprcflum , circa verticem angulum ob-
tufum , fecundum eius longitudinem excurrentem ,
efformabat , vix nifi tadlu percipiendum. Ab occi-
pite dorliim ftatim notabiliter eleuabatur , ad pinnac

dor-

DESCRIPT. PISC E COREGON. GEN. ctc. 505

dorfuulis principium ysqne , ipfuisqnc margo , quo
propior huic erat , eo acutior ficbat ^ margo autem
intcr pinnam dorfi priiTam et lecundam plane con-
vexus , inter hanc et cnudam fcre planus erat. Sic
quoque latitudo ccrporis a pinoae dorlualis priirae
principio ad caudam Tsque iternm dccrcfcebat. De-
crefcentia tamen ifia inter antcum et pofticum
•\'trinsque pinnae dorfnalis marginem potior erat.
Margo abdominis a mento ad quatuor vsque polli-
ces rttrofecus eleuabatur , inde ad marginem bafis
pinnae ani podicum vsque fenfim decrelcebat , hinc
\cro , fub angulo valde obtufo eandem deferens , li-
iiea magis recla in caudam excurrebat. Idem etiam
abdominis margo pfnnas pecftorales ac venirales in-
ter leuiffime conucxus , circa ventraHum infertio-
nem planus , inter has ct anum notabiliter con-
vexus , inter ani pinnam vero caudamque fere pla-
nus erat. Venter ab anteriore pinnarum pedora-
lium regione ad pinnas ventrales vsque fatis latus
erat , pone has vero ipfius latitudo ad corporis ex-
tremitatem vsque fenfim fenfimque decrefcebat.

Color dorri , fi pifcem a cauda caput verfus ,
et parum oblique infpexeris , ex coeruleo nigricans ,
inuerfa autem ratione ex viridi fufcus apparebat.
Latera corporis infra lineam longitudinalem fub
omni adfpedu e pallide caeruleo argentea erant. Oris
extremitas , regio capitis fuperior , et pinnae, prae-
fertim dorluaks ac caudae , in nigricantem inclina-
bant ; Facies vero corporis inferior vndiqiie alba.
Tom. XV. Nou. Comm. S s s Iris

506 DESCRIPTIO PlSCIS

Iris oculorum argentea , fiipra pnpiilam coeruleo-
nigricante colore leuiter tincla. Vertex capiris fatis
pellucidus. Cutis pone oculos et circa ambitum
operculi branchiarum fuperiorem paliide deaurata.
Mandibula luperior , offe mobili conlkuda , inferio-
rem duarum linearum longitudine fuperabat , faciem-
que anteriorem offerebat retufam. Ridlus oris re-
fpedu corporis angullus.

Limbus maxillae fiiperioris denticulorum mi-
nutifTimorum ac \ifu vix percipiendorum ferie, quo-
rum numerum odlonum circiter elfe deprchendi ,
erat inflrudus , paribusque etiam , aft longe pluri-
bus lingua faucesque armatae.

Opercula branchiarum laminis offeis quatuor
conflabant : fuperiore f. prima circulari , fecunda ob-
folete triangula , tertia quafi cultrata fiue fubfalcata ,
et quarta triangulari cum acumine anteriora yerfus
Ipedante. Oflicula membranae branchioflegae odo.

Squamae mediocres , ouales , integcrrimae ac
glaberrimae ^ caput et branchiarum cpercula iis ca-
rent.

Linea longitudinalis , primae f fuperiori oper-
culi branchiarum laminae e diametro oppofita , Iqua-
mulisque XCVII , leuiter emarginatis , conflata ,
re(fla yia excurrebat , dorfo tamen , quam ventri ,
propior.

Pinna dorfi prima , ex incano nigricans , ra-
diorum quatuodecim ,• quorum primus omnium bre-
Tifnmus , fecundus et tertius ifto paulo longiores ,

'fimpli-

E COREGONORVM GENERE etc. 507

fimplices ; ceteri a quarto , omnium longiflimo , ad
vltimum vsque , ex ordine iterum breuiores ac
ramofi.

Pinna dorfi fecunda , radiis deftituta , adipoOi ,
figurae quodammodo falcatae , pofticos ipfius margi-
nes verfus extenuata valde , ac ad 3^ lin. vsque li-
bera. Per huius pinnuhie fubftantiam punda innu-
inera nigricantia erant difperla , qualia etiam in re-
liquis pinnis et omnibus fquamis , fi ventraks exce-
peris , obueniebant.

Pinnae pecftorales ex incano albicantes , radio-
rum quindecim. Primus horum fequenti breuior ac
fortior , fimplex ; ceceri omnes apicibus ramofi.

Pinnae ventrales albicantcs , circa apices autem
ct in fuperficie potiflimum exteriore ex coeruleo
nigricantes , radorum duodecim vel tredecim 5 quo-
rum I et 2 omnium breuifTimi" ac fimplices , cete-
rorum omnium apices ramufi.

Pinna ani pallida ad bafin , circa radiorum
malorum extrcmitates vero e coeruleo nigricans, ra-
diorum fedecim vel feptendecim ; horum i, 2, 3
breuiilimi ac fimplices, 4, 5 et 6 longiffimi omtiium
et cum reliquis ramofi.

Pinna caudae cx incano nigricans , bifurca, 32
circiter radiis compofita , quorum primi f extimi
breuiflimi , plures infequentium ex ordine longiores,
ceteri vero , in medio conflituti , ad formandam bi-
furcationem ex ordine iterum breuioresj fimphces

Sss 2 I, 2,

50 5 DESCRIPTIO PISCIS

I ?-, 3» 4i 5, 5 et 7 tam ex fuperiorum , quam
ex iaferiorum extimis ^ reliqui valde ramod.

Magna horum pifcium, cucumeres redolentium,
copia quotannis in Newa fluuio capitur.

ANATOME (^).

Difledo abdomine hepar ftatim fub adfpc^^um
veniebat , diaphragmatis fuperficiei inferiori conti-
guum , in regione pinnarum pedoralium fitum ,
coloris pallidioris , quam huic vifceri alias pro-
prium eft , a fumma ipflus conucxitate ad margi-
nem infcriorem , quo intelVinula fiue fic didas ap-
pendices lambit , 6^^^ longum ; in finiflro autem
latere maxima eiusdem portio , fub pofticam Yen^
triculi faciem reflexa , ad pollicem vsque exten-
debatur.

Appendices ve*ntriculi f. potius pylori infra
hepatis marginem confpiciendae , et ad ii lin. vs-
que deorfum extenfae , totum transuerfum abdomi-
nis ambitum occupabant, fubftantia pinguedinea, qua,
praefertim inferiora verfus , inter fe ex parte erant

conne-

(fl) Notandum hic , vlfcerum defcriptlonem e. g. ratlone fa-
ciei fuperioris et inferiorls , vel anticae ac poilicae ali-
cuius partis ex pifce elaboratam effe dorfo incumbente ,
hinc id ; quod fub hoc fitu eft fuperius , in prono cada-
vere inferius erit. Vbi vero fermo eft de dextro et fi-
niftro latere vel hjpochondrio , pronum pifcis fitum f.
naturalem intelligas , quamuis reiicjuae denominationes ad
fupinum fa^ae iiat,

E COREGONORVM GENERE etc. so^

connexae , iiiter(lr?it:i. Eadem pinguedo , coloris e
p.UliJc rubello albictmtis , ac 2 poU. 3 lin iufra
hepatis marginein et circa ventriculi fiexuram in
vnam coniiuens maffam , iiitis latam craffamque ,
continuo tradu Ytrumque replebat hypochondrium ,
"ventriculi parte denudata tantummodo a (e inuicem
feiundla. Potior pinguedincae huius fubftantiae pars
circa coilam decimam o(5lauam incifura quadam erat
notata , (ub qua lienis profunde rubenus extremitas
triangulari fub forma apparuit, lobo triquetro fenrim
attcnuato , et fuper veficam aeream reda protenfo ,
circa coilam vigefimam fextam terminata.

In dextro latere , feptem circiter linearum di*
ftantia a mox memorato liene , infra fines appendi-
cum , quintam inter ac decimam coftam , maifula
quaedam ex atro rubcns, iigurae quafi lanceolatae f.
ellipticae , i poll. i lin. longa, 3 lin. circiter lata,
fubconuexa , extremitate fuperiore obtuia , inferiore
attenuata occurrebat , partim tradu illo pinguedineo
dextro obteda , partim conuexitate fua peritoneo
obucrfa , quam lienis pariter vices gerere fuafit noa
tantum fubftantia et color , fed etiam ipfius nexus
cum liene inferiore , de quo mox fermo erit , ope
vaiis (■mguinei maioris , quod ex fummitate huius
ortum , infra lateris interni mediiim ei inferebatur.

In finiftro Litere vifcus quoddam albicans ,
fubftantiae firmioris , 2 poll. 4. lin. longum , 8 lin.
in m'cdio latum , inter tertiam ac decimam fextam
colbm fitum erat , fiicie exteriore peritoaeum , in-

Sss 3 UXIQXQ

510 DESCRIPTIO PISCIS

teriore tradnm pingupdineum finidrum refpiciensv
Vifcus hoc , quod kcflium vnam efle comperi , la-
titudine fua inferiora verfus fenfim decrefcebat , ipfius-
que margines leuiter attenuati crant.

Ad partes , quae diflldo abdomine vifui fta-
tim fefe- obtulere , tubus inteflinalis quoque pertinet,
iuxta latus dextrum redlo itinere ad anum vsque
decurrens. Emerflt fc. hic infra lienem fuperiorem,
et tam fupra quam infra traclam fibi annexum ha-
buit pinguedineum ,* fuperior liorum circa coflam
vigeflmam quartam , proxime inferiorem , finiebatur,
hic autem auerfam inteftini partcm , ad anum vs-
que , inueQiebat , aduerfa plane nuda relida.

RcTiotis dextri lateris appendicibus , leuiterque
cleuato liene primum dido, quem medium nuncu-
pabo , mox in confpedlum veniebat tertius lien ,
huic , fitu inter quartam et decimam coflam , con-
tiguus , I poll. 4 lin. longus , 4 lin. in medio la-
tus , figurae itaque valde oblongae vel lanceolatae.
Superficies ipfius fuperior fubconuexa erat , nullique
partium adiacentium adhaerebat , fuperne appendici-
bus 5 inferne medio liene , obtecfla , inferior autem ,
fi fummitatem eius omnino liberam excepcris , cum
pinguedine fubflrata appendicibusque fubiacentibus ardo
nexu erat coniundla. Ip(e autem hic lien vafe me-
diante fanguineo , cum medio cohaerebat. Videmus
itaque , tres diftindos huic pifci a natura datos efle
lienes , variae magnitudinis ac formae ; id quod fin-
gulare omnino et notatu digniflamum eft. Sed phi-

ra

E COREGONORVM GENERE etc. 511

ra adhiic fuperfunt , quae non minorein merentur
attentionem.

In eodem latere , dextro nempe hypochondrio,
abfcondita iacebat ladium altera , akeri , nifi quod
latior paulo et cralfior fuerit , plane fiinilis , "vix ,
nifi prius partes ipfi luperincumbentes remoueantur,
confpicienda , appeniicibus fc. intellini tra(5lu et pin-
gucdine , huic adnata , facile tota contecfta. Haec
ratione figurae et fitus cum illa finidri Jateris fere
coaueniebat , longitudine autem , cum fub hepate
diaphragmati iam contigua , et circa vigefimam de-
mum coftam terminata eflet , eandem fuperabat.
Vtraeque margine fuo poftico , membranae ope , an^-
gulo afhxae , quem veficae aereae cum hypochon-
driis connexus efFormat. Binae aliae lades , quas
fuccenturiatas vocare placet , eiusdem coloris ac fub-
ftantiae , magnitudine tamen prioribus longe ceden-
tes , inteflini redi extremitatem circumdabant , qua-
rum dextri lateris vna altera fmiftri paulo maior
erat. Vafa Ytriusque la(ftium generis fpermatica ,
fub poftica ipfarum fuperficic decurrentia , veficaeque
aereae membranulae ope adnexa, fub inteflini redi
extremitate ad angulum acutum inter fe coibant.

Infra lienem infimum iuxtaque inteftini tra-
(Ttum diftentae veficae aereae pars in confpe(flu erat,
per cuius tunicam valde pellucidam vermes nouem
filiformes , pollice phis minusue longiores , internae
eius fuperficiei agglutinati , translucebant.

Hepar

512 DESCRTFTIO PISCIS,

Hepar in fuprema abdominis parte transuer-
fim fitiim , indiuifum ac tota dextra parte (ubtus
concauum. Veficula fellis (atis ampla , in dextro
magis latere , quam in medio , coliocata , pyloro
fcu potius duodeni principio , 1-idiumque dextrae
fiauo bilis colore tindae , contigua , 6^^^ longa, ^''g^^
lata , figurae oualis , pariter , ac ilJud , transuerfa.
Dud:us choledochus ex fmiftra huius extremitate
fub angulo acuto ortus , fatis capax , ac inter fmi-
ftram hepatis partem et appendices pylori pofterio-
res dccurrens.

Separata omni ab ccfophago et ventriculo pin-
guedine , comperi , iftum ad huius fundum incur-
vari , eidemquc fub angulo valde acuto iungi , ita ,
vt fitum inter fe haberent fere parallehim. Oefo-
phagi collapfi , teneriorisque (ubftantiae , m.axima
latitudo in diftantia lo lin. ab infcriore ipfius ex-
tremitate 7 iin. aequabat ; ipfe autem yentricuhis
tcres , ac oefophago , fi fundum tenuiorem excipias ,
longe folidior , i poll. 7 lin. longus , 5 lin. latus ,
craflitiei fere \bique aequahs , ac fub diredione pa-
rum obliqua In pylorum leuiter contra<5tus. Duo-
denum , fubflantiae tenerioris , principio tenui pri-
mum et arcuato ex pyloro ortum , fenfim vero
fenfimque amplius fiidum diaphragma verfus rcfie-
iftebatur , ad duos poUices fuae longitudinis vsque ,
appendicibus numerofifnmis , inferius circumcirca ,
fuperius alteri tantum ipfius lateri appenfis audum.
Numerum earum 219 fuiffe comperi , omniumque

ofcula

E COREGONORVM GENERE etc. 513

ofcula ad diiodeni cauum hiare , fuccumque , pan-
creatico forte fiiiiiUiuium in iaem transfundere , cui-
vis iam patet. Reliquus intellini tradus , (ubflan-
tije mtmbraniiceae , tenacioris , a duodcno ad anum
vsque , curfum fcre rediiineum tenebat. Obferuatio-
nes , quas difledio totius inteilinorum canals , mu-
co albicante ac tenaci valde repleti , mihi (uppedi-
tauit , fequcntes funt : interior fc, oefophagi fu-
perficies iugis quinque , valuulofis , re(5lis ac longi-
tudinal.bus inftruda , vaUiula pylori , ab relaxata
tunica ventricuU interiore oriunda , limbum efTor-
mabat aequalem , circularem , ac i Un. latum. Oftium
dudus cno'edochi , in ora appendicis cuiu'dam , qua-
tuor circiter Unearum a pylori valuula interuallo ,
confpiciendum. Reclum , proprie fic di(flum , pro-
xima inteftini parte paulo amplius , rugis innumeris
transuerfis notatum.

Vermes praeterea non omittendi funt turbinati,
ab 5 Un. ad 2~ Un. longi , et ^ Un. lati , coloris
vtl rulTi vel ex albido flauefcentis , rugisque circu-
laribus vndique diflindi , quorum non exigua copia
totum inteflmorum canalem , inprimis vero redum
inhabitabat , in quo ad 80 facile numerare mihi
Ucuerar. Muco partim fupra dido Ubere eos inna-
tare , partim pedunculi vel probofcidis ope , quam e
cradiore corporis extremirate pro lubitu vel propel-
Itre , vel penitus reducere pofifunt , inteftini tunicis
adeo arde inhaerere vidi , vt , dum eorum nonnul-
los vi inde auellere conabar , faepius eam abruptam
Tom.XV.Nou.Coixim. Ttt reUn-

514 DESCRIPTIO PISCIS,

relitiquerent. Pleniorem huius vermis, hirtoriam m
defcriptionc pifcis , Cyprini rutili , Limi qiiem Rufli
Halaivel vocant , tradere mihi condiiutum eft. Ve*
fica aerea fimplex , m.igaa , verfus infcriora angu-
ftior , fuperiora verfus amplior , et ab abdomiais
lateribus , cui interftrato vtrinque pinguedinis tradu
cohaeret , facile feparabilis. Summitas ipfius coarcfla-
ta primum , iterumque , circa colkm (extam , kui-
ter ampliata , dextrorfum deorfumquc flcdlebatur ,
et hac ipdi flexura in dudlum aereum , penna co-
lumbina crafliorem ac in oefophagi cauum patentem
definebat.

Renes in vnum corpus coaliti , longiffimi , ad
diaphragmatis bafln latiori principio orti , et ad ex-
tremitatem ipforum acuminatam vsque , quae veficae
vrinariae fundo obuerlLi efl , fenfim anguftiores fadi.

Vreteres , ex huius vifceris medio ennti, duo,
quorum vnus , fubftantia eius euolutus , in finiflro ,
alter , eadem vndique obtedus , in dextro renum
latere decurrit , veficae vrinariae fundo infercbantur.

Vefica vrinaria ellipticae figurae , fub afcenfa
obliquo , in vrethram parentiffimi oris excurrens.

Peritoneum argentei coloris , pundis nigrican-
tibus rarioribus adfperfum.

Coftae 37. vertebrae m vniuerfum 62. 35 fc.
dorfi , et 27 caudae.

MEN-

E COREGONORVM GENERE ctc. 515
MENSVRA.

Longitudo tota, fc. ab oris extremo iid api

ces radiorum pinn. caudae long.
Ab oris cxtremo ad oculi medium
. ad angulum operc. branch.

poftxum ------

— _ a(j pinnns pedlorales - -

^ — ad pinnam dorfi primam

. aj pinnam dorfi fccundan

. ad pinnas ventraJes -

— - ad pinnae ani principium

Longitudo pinnarum pedlorulium - -
. — - pinnae dorfi pnmac, ad bafin

• • radiorum longiorun

fecundae -----

— pinnarum ventralium - - -

pinnae ani , ad bafin, - - -

pinnac caudae tota

• ' radiorum , ad bifur

cationem , ----..

A fine fixo pinnae dorC primae ad pinnae
dorf. fecundae princ. - -

libero pinnae dorf. fecundae ad cau-

dae extremum ----...

ad pinnae caudae

principium - - - - ^ .

A principio pinnarum ped. ad principium
pinnarum ventral. - - - - - -

— — ventralium ad anum —

Ttt fl

P011.

Lin

parif.

'',1

4

— -

10

/>

3

2

3

5

6

9

9

6

9

3

1

8

I

^l

I

9

—

10

I

8

I

5

I

9

4
3

II

Afi-

51(5 DESCRIPT. PISC. E COREGON. GEN. etc.

A fine fixo pinnae ani ^d pianac caudae

principium ------

Diameter oculi - - - > - .
Latitudo horizontaiis per oculorum axes
inter pinn. dorr prim.

et pinn. ped. - - --.--.
intcr extremos margi-

nes principii pinn. vcntr. - - -
— — — ad pinnae caudae prin-

cipium - _ - - - _ _
Latitudo perpendicularis per oculi medium

—— . prlnc. pinn. pecfl.

— princ. pinn. dor(.

primae -------

— — princ. pinn. ani

.—- - ^— princ. pinn. caudae

Poll. Lin,
parir.

1 1

10'

DE

DE

L E O N E

OBSERVATIONES ANATOMICAR

A u c t o r e
C. F. W O L F F.

d. 23. Maii 1771.

In eos flrudurae charadleres praecipiie inquifiui ,
quibus fingularia huius animalis attributa maxime
deberi \idebantuf. Mufculos ideo cubiti notaui et
humeri mufculos ad pL^dus fitos , quorum nempe
adionibus maximam vim Leo exferere dicitur. Dein-
de neruos extremtatis anterioris. Denique vifcera
quoque thoracis et abdominis, quorum ftrudura non
modo ad robur corpori* multum conferre, fed ratio-
nem quoque exhiberc vifa eft , vnde fingularis, quae
in hoc animali obreruatur, alacritas et audacia aliquo
inodo intelligi polTHit.

Remota cute thoracis , mufculus pedoralis , Mufculus
qui pedorali maiori humano refpondet, ( minor enim peQoralis.
deficit ) in confpedum venit. In eo iam non nuUa
notabilia occurrunt. Ex quatuor plane diflindis por- gius por-
tionibus ille conftat , quarum prima , quae reliquistio exte-
fupcrftrata eft , a manubrio (terni et a latere Ikrni "°y^S- ^*
ad quintam circiter cnftam vsque, deinde a peculiari ^ xxvlf
ligamento quodam originem fuam ducit. Ligamen-

T 1 1 3 ^ tum

5iS OBSERVATIONES

tum hoc fiimmo apici fterni firmiter adhaeret , iti-
deque furfum ad aliquot pollices continuatur et pro-
ducitiir ex fibns tendineis horum pedoraiium \trius-
que lateris ipfis , in illo loco concurrentibus , fibi-
que inuicem intertextis , quemadmodum ex fibris
trapeziorum ligamentum nuchae efficitur. Hac ftrudu-
ra 5 dum pundum fixum extenditur et librarum
quoque copia augetur , Tis mufcuh increfcit et nul-
lum tamen motui colli impedimcntum producitur, quod
iicret fi fternum olleum furfum mngis extenderetur.
Fibrae huius portionis conuergendo ad latus thoracis
verfus os humeri decurrunt et mufculum paulo an-
guftiorem et fatis fortem conftituunt , qui in varias
minorcs portiones mufculofo membranofas, vt triceps
femoris , diffinditur , iisque in fpinam humeri, quae
a tubere maiori defcendit , fe infinuat , partemquc
occupat offis humeri dimidiam infcriorem , dum fi'
brae infimae huius portionis ad condylum liumeri
externum , tanquam locum , ab hypomochlio re-
motifiimum vsque decurrunt ; vnde patet , infertio-
nem huius mufculi ita comparatam elfe , vt maxi-
mum effcclum exfercre polht ; cum in homine idem
mufculus prope extren^.itatem fuperiorem fefe inferat,
portio fu- ibique exiguam tantummodo pariem occupet. Akera
P^'^^'^ ..pedoralis portio , fuperior, aliqua fui parte priori
.^.^^^yj fublirata, oritur a ligamento fupradicto, a manubrio
f^erni et a parte flerni , quae primae coftae refpon-
det. Inde fibris parallelis verfus humerum decurrit
€t fimiii modo, vt prior portio, in partes mufculofo-
membranofas diuiditur , quibus mediam oflis humeri

partem

ANATOMICAE. 51^

pnrtem in eadem fpina occupat , adeo , yt fibrae fu-
periores ad extremitatem ruperiorem fere attingant y
inferiores autem retro portionem primum ad aliquod
fpatium defcendant cum eaque in eandem fpinae par-
teni inferantur , quemadmodum fimilem (Iruduram
quoque in infertione tricipitis femoris in homme ob-
feruamus. Tertia portio , infcrior , a (lerni parte Portio in-
inferiore oritur , quae (extae et (eptimae coltae re- ^^^^^^ i^)
fpondet; atque inde fibris craflioribus mufculofis ver-
fus os humeri ad(cendit , retro priores portiones
tranfit ct in partem fuperiorem ofTis humeri , ad
bafin tubercuJi maioris Tsque , inferitur. Denique Portlo ab-
xjuarta portio , indma*, a linea aiba abdominis ori- dominalis
ginem ducit et cum fibris mufcuii dcCcendentis con- ^^'^
nexa eft ^sque ad marginem cofiarum fpuriarum.
Ibi ab illis fecedit et \erfus humerum adfcendir ,
abitque in longum gracilem mufculum , qui coniun-
dus denique cum fibris portionii inferioris in eandem
tuberis bafin in(eritur.

Totum i2:itur os humeri ab extremitate fua Vfus mu-
fuperiori vsque ad inferiorem ab hoc mufculo pedo- ^^ . P®'
rali comprehenditur ,• cum exiguum tantum , yix
duorum poUicum , haud procul ab extremitate fu-
periori oflis humeri , (patium in homine fit , quod
infertione pectoralis maioris occupatur ; vbi tamcn
notandum , os humeri in leone , vt in reliquis
fere animalibus , crafiius et robufiius , fed breuius
quoque e(fe pro portione animahs, quam in homine.
Hinc fundio mufcuH intelligetur. In eo quidem con-
veait cum pt;dorali humano , vt brachium verfus

thora-

520 OBSER V ATIONES

thoracem addiicat. BifTert nutem in eo , Tt motus
iile mddudorius \n kone minor fit quoid diftantiam ,
led ioiige Yalidior , et maior nuoad vim, qua motus
peragitur. Ipfa en''m lila iiirertio ad extremitatem
inferiorem efficit ^ vt neque abduci brachium a tho-
race, neque adduci ad eundcm eo vsque pofllt quam
in homine , vbi inrcrtio h^^pomochlio propior maio-
rem arcum decribcre finit extremitatem brachii in-
feriorem. Sed cadem inlertio cauih fimul eft , vt
motus ille minor cum vi , co maiori , excrceatur ,
quod facile intelligitiir. Generatim ita mulculorum
in lco e fabricam compuratam eife obferuaui , vt
motus minus nccurati minusc^fuc corpleti et paucio-
res quoque, quam in liomine , motus, fed longe va-
lidiores, per cos exerccri poflint. Dcnique mufculus
pedoralis alhgando praecipue humero ad thoracem
inferuit , quo mobilior cubitus in motibus fuis ma-
iorem firmitatcm ncquirat. Caeterum fuperiores por-
liones mufculi humerum furfum fimui inferiores
deorfum trahere pofle , fi feiundim agant , facile
patet.

In fele fimilcm fere huius mufcuii flru^fluram

iiuius "mu- iuueni , fed tertia circiter pars ofVis humeri inferior

fculi in ab infcrtione eiusdem libera manet. Minor ergo ,

^^'^- quam Iconi , fed maior , quam homini , vis inde

feli refukat.

Pedlorali alius mufculus incumbit , qui ad
flexores cubiti pertinet. Hos autem non fatis inteili-
gemus omnes , nill flngularis quidam , et , quantum

fcio,

Struft

ura

ANATOMICAE 5^1

fclo , proprius leoni , mufculus, rtiagnus eredor cer-
vici , antea innotuerit.

Hic mufculus ab ofle occipitis et ligamento Magnus
nuchiie originem fuam ducit. ]nde fleftendo fefe ^^'^^^^

ceruicis

ex parte colli pofleriori verfus anteriorem et defccn- /fjg i^^\
dendo fimul Yerlus humerum in enormem malFam
carncam cylindricam excrefcit , quae vtrinque ad
collum duo quafl alia coUa acceflbria referri videtur.
Nam fi totum colhim in quatuor partes aequales
diuiferis, cluac earum exteriores a folis fere his mus-
culis efliciuntur. Fibrae, dum circa coUum flecftun-
tur , diuergunt ; in parte vero antenori et prope
humcru/n in planitiem magis expauduntur cum in
parte colli laterali perfedc cylindricam figuram efie-
cerint. Infertio mu(cuH fingularis efl. Abeunt enim '
fibrae eius, quae exteriores funt et fuperficiem tenent
in lineam quandam debilem albam tendineam , quae
transuerfahter fere et dutfiu ferpentino fuper caput
offis humeri in facie eius anteriori decurrit. (fig. j.e.)
Haec hnea formatur a fibris eredoris huius magni
ceruicis et a fibris , quibus alter flexorum cubiti
Qfitur. Vtriusque mufcuh fibrae carneae funt , et
nonnifi in ipfi linea, quae tenuis eft, albefcnnt, adeo
vt hnea ob-hterata hinc inde videatur. Perfede fi-
miiis eadem efl infcriptionibus tendineis mufculi redli
abdominis , nifi vt etiam debiUor fit illis. Fibrae
eredoris profundiores, in fpecie quae in media mus-
culi parte fitae funt, in clauiculam inferuntur , ex
qua itidem flexoris quoque fibrae profundae enafcuntur,
Tom.XV. Nou. Comm. V v v dum

522 OBSERV ATIONES

dum laterales vtriusque mufculi fibrae, fiue profuiidae,
liue fuperficiales iuerint, fola linea ilia alba intermedia
coniunguntur. Clauicula , quam dixi , magis quam
humana curuata eft et fimplicem arcum figura re-
fert. Extremitas anterior tenuior , fnbcylindrica ,
capitulo paruo infiruda , poftcrior , feu exterior ,
plana et lata eft. Totius ofiiculi longitudo ad arcum
iTiaiorem tribus pollicibus odloque lineis , latitudo
inaxima feptem lineis aequalis eft. AJeoque diame-
trum capitis oflis hurjieri, cui incumbit, longjtudinc
fua non excedit. Nulli ofii per ligamenta
vel per articulationem adned:itur fed inter mu-
fculos didlos ^flexorem cubiti et ereclorem cerui-
cis , qiiafi fuspcnfi haeret , in eorumque carne adeo
fepulta eft , vt nifi mufculi diflecentur, eius externc
nuUum veftigium appareat. la fcle eandem ferc
clauiculae rationem inueni refpciflu figurae , fitus et
connexionis ; fed paulo minor haec pro portione ani-
inalis , quam in leone vila eft.

Analogia I^ixi proprium hunc mufculum efle leoni, non,

ereaoris quod uihil cflet in aliis animalibus vel etiam in
magni. homine , quod ei refpondcret, nam datur omiiino in
ipfo homine aliquid eius analogi , fit ideo , quod
hoc analogum a mufculo leonis adeo tamen diflert ,
vt eidem vfui inferuirc non poflit. In fele loco
vaftiflTimi cylindrici mufculi , qui circa colkim quafl
torquetur , tres dantur tenues nec iatae fed longae
laminae mufculares a ligamento nuchae ortae , qua-
rum duae interiores cum aha portione , a fterno

orta ,

ANATOMICAE. 523

orta , in ventrem flexoris ciibiti abeiint , cuins illae
totidem capita referunt , exterior autem in apone-
vroticam vaginam humeri inferitur. In homine facile
patet , refpondere eredori leonis partem fuperiorem
ceruicalem trapezii , quae ab ofle rccipitis et liga-
inento nuchae orta in partcm pofleriorem clau cuiae
inleritur , quae portio aeque , ac felis mulculi , ab
illo leonis mufculo figurae infertionis et muneris
refpedu diflfcrt. Trapezios generatim foli homini
proprios efle puto.

Vfus huius mufculi varius eft. Primaria adio Vfus eius-
in eredione ceruicis confiftit. Sed notabile efl, ma- ^^^-
gnum hunc mufculum eo munere nunquam fungi
pofle , niii in auxiHum flmul vocentur et flexor
ille cubiti , quocum , nullo oflTc fixo intercedente ,
coniandus ell , et ipfe anconeus magnus. Nam cla-
vicufa , quae inter eredorem ceruicis et flexorem
cubiti fufpenfa mobih's haeret , nuUum illi pundum
fixum fuppeditiire poteft. Hoc igitur a mufculo
flexore praeftari debet. Sed hoc ipfum fieri non
poteft , nifi cubitus, vnde porro flexorem fuam fir*
mitatem petere oportet , ope iinconei magni fixus
prius redditus fuerit. Quum vero os humeri quoque
et fcapulam fixa efle oporteat, vt vlna firmari et an-
coneus agere poflit ; facile patet , ad vnam eredio-
nem ceruicis omnes fcre mufculos extremitatum an-
teriorum fimul concurrere dcbere , et iUum motum
ceruicis fine motu extremitatum exerceri non poflTe.
Quae fane fiibrica haud apta eft muhis diucrfis et

V V V 2 deter-

524- observationes

determinntls motibus exercendis ; nam ad pnucas ea
ratione compofitas adiones redibunt , quascunque leo
omnibus Tui corporis mufculis eifficere poteft ; fed
eo aptior quoque ea fabrica inde euadit maximis viri-
bus exferendis , \ti continuo patebit.

AOriones Si alter horum mufculorum agit , caput ad

fpecialio- latus oppofitum reiicltur et in eo fitu tenetur. Sic
res. Rup- j^q plcruiTique dum inccdit , caput gerere folet , et
ceratio^^ pcculian igitur mufculo leonis haec propna eidem
adtio debetur. Si ambo mufculi fimul agunt , col-
lum rigefcit et caput eleuatur. Eam adionem leo
exferit , dum rugit. Denique eadem adlionc et toto
mufculorum fuperius diderum apparatu vtitur, dum
aliquid dilacerat aut difrumpit. Vngulis enim et
dcntibus dum leo praedam arripit , pedibus, adeoque
vi anconei rnagni hanc ad foUim deprimit, eredor»
autem ceruicis partem , dentibus prehenfam, furfum
ducit , qua aclione vix efle exiftimo , quod non dis-
rumpere aut diffringere poflit, et quann etiam inter
omnes , quas exfcrere poteft, validifllmam efle credo.
Kam bini hi mufculi erec1:or ccruicis et anconeus
magnus , praecip.ue hic poftcrior , qui eredorem vi
longe praeceliit , flne dubio robufliflimi funt inter
omnes , quos in corpore leonis inuenias. Praeterea
ita quoque compoflti funt hi mufcuh , vt ex ipfa
compofltionis ratione flngulari modo aliquod ilHs
Tirium augmentum accedat. Dum enim pundlum
fixum erecloris magni ceruicis foli flexoris cubiti et
praecipue anconei magni adioni innititur j hoc

pun-

' ANATOMIC AE. 42S

ptindlum fixnm eo firmius reddetur , quo miigis ,
quoque validius anconeus magnus agit. Quo magis
'igitur praeda ad folura deprimiiur ope anconei , eo
validiub eredor agere , partemque dentibus comprc-
henlain furfum contra abripere poterlt. Imo cum
puncT:um illud, quod fixum dicitur, clauicnla nempe
et tota linea alba mobiks fint,- dum anconeus vlnam
cxtendit , dumque flexor fimul vlnae agit, pundum
lixum eredloris deorfum trahetur et a ccruice et
caplte , tanquam pundlo mobili magis rem.ouebitur.
Qiiodfi nunc erecflorem fimul in adione verfari
pofueris , qiio minus fe cxtendi , pundumque fixum
a mobili remoueri finat ^ patet , ipfo anconeo , quo
praeda verfus folum deprimitur , ceruicem fimul et
caput, cuius inter maxilljs pars altcra praedae tene-
tur , retrorfum duci , adeoque vim eredoris augeri ,
quod fane fieri non polfet , fi clauicuk fixa effet,
Qiiantum igitur haec fabrica in leone minus apta
ell humana fiibrica ad Tarios multiplicesque motus
inftituendos , tantum quoque aptior eft eadem ad
fummas in vnica faltem adlione vires exferendas, Av

Etiam hoc notabile eft in illa dilacerationis adlione
quod ahquatenus fpontanea fit et mechanica. Dum-
enim leo , fiido in praedam faltu, pedibus anteriori-
bus eam deprimit , dentibusque fimul arripit , eo
ipfo quoque ceruix cum parte , dentibus praehenfa ^
ct neceffario , furfum retrahitur. Neque impro-
babile eft , eredlorem, dum anconeus magnus vlnam^
eiusque fimul flexorem extendit , ea adione iacefTiri
atque adeo per modum irritationis ad adio-

V Y Y 3 nem

$26 OBSERVATIONES

nem perduci , quo eo magis efEcitur , Yt "^adio
ertdoris ceruicis cum adione anconei magni ne-
ceflario coniunda fit. Sic vno igitur eodemque momen-
to et eadem aclione qua praeda capitur, eadem quo-
que dilacerabitur.

Flexor cii- Mufculus , quem incumberc dixi pedorali ,

^v! P^ flexor cubiti pedoralis , originem ducit a ligamento

/fjg * j^') manubrii (lcrni , porro a manubrio ipfo et a parte
laterali ftcrni ^ cui prima ct fecunda cofta refpon-
dent. Oritur , vt folent mufculi , a fterni Jattre
orti , fibris tendineis breuilTimis abitque in mufcu-
lum planum qui fibris longis , fenfim conuergenii-
bus ad latus thoracis fuper mediam portioncm pe-
(^oralis vcrfus brachium decurrit , et in regione fle-
xurae cubiti tandem tendinem producit breuem te-
retem , quo cum fimiii tendine flexoris deltoidei
coniungitur et in faciem anteriorem radii inferitur
ad angulum , femiredo maiorem. Vfus eft fiedere
antibrachium.

Vfus eius- . Tn homine nullus mufcuius reperitur , qui

dem. ortus a thorace ad cubitum \sque pertingeret. In

fcapulum tranfeunt , os thoraci proximum , qui in-
de oriuntur , vel faltim ad humerum perueniunt,
Cubitum nullus eorum attingit. Qui autem in cu-
bitum inferuntur , vel ab humero , offe proxime
praecedente , vel a fcapula faltim ortum petunt.
Sed facile patet, quid fingulari hac fabrica efficiatur.
Qui mufculi , vti flexores in homine , vel ab offe
humeri vel a margine cauitatis glenoideae et ab

apo-

A N ATOiVllC AE. 527

apopbyfi conicoidea fcapnlae oiiuntnr, paralleli de-
cuniint ofli humeri cubitoquc cxtenlb , in eumque
inferuntur ad angulum omnium acutiilimum ; \nde
cubitum nonnifi cum maxima difficultate mouere
poflunt in qua difficultatc (uperanda magna pars vi-
rium confumitur. Si "vero a Iterno flexor cubiti
aduenit , in radium extcnlum impingit ad angulum,
fi brachium thoraci parallelum teneatur muho ma-
iorem femiredo et fere perpendicularis. Tum nul-
la ergo diflicuhas fuperanda ert et omnis vis mufcu-
li ad mouendum antibrachium immediate adhibetur.
Longe ergo aptior ad vires cxferendas haec fibrica
in leone quam in homine e(t. Sed patet fimul ,
quo maiori cum vi motus ille in leone exercetur ,
eo minus hunc motum fore complctum. Nam
nonnifi eo Tsque mufculus cubitum fleclere poterit ,
donec pundum infertionis cum pundo mufculi fixo
ct hypomochlio in vnam lineam redam contingat
et angulus infertionis euanuerit ; id quod fiet, quan-
do cubitus cum ofle humeri angulum efficit , prae-
tcr propter acqualem angulo infertionis. Quo 'igi-
tur hic angulus infertionis maior eft , eo minus
cubitus fledi poterit. Maxima flexio fiet , fi mu-
fculus flexor vti in homine vel ab offc humeri, vel,
quod etiam praeftat , a margine cauitatis glenoideae
et proceffu coracoideo ortus radio extenfo paralielus
inferatur , nullumque cum eodem vel minimum an-
gulum efficiat. Sed non modo hic flexor pedora-
lis ipfe cubitum vltra angulum , angulo infertionis
aequalem , fledere non poteft , fed impedit quoque ,

dum

S2S OBSER V ATIONES

dum a^it , quo minus reliqui fiexores , ab humero
yel a fcapula orti , ^ltra eundem angulum cubitum
fiedere poflint. Quamprimum enim hoc ^adlum eft,
flexor pecfloralis retrahcre cubitum ccnibitur. Va-
rias ergo ob caufas haec flradura iucommoda ell ,
fi ad varietatem motuum. inde pendentium corum-
que perfedionem refpicias ,• aptiflima contra , li ad
gradum virium , mufculo ex(erendarum , quem fci-
licet folum in hoc animale finem fuifle cognofci-
mus , attenderis.

Analogia. In fele fimilis flexor pedoralis exiflit fed mul-

to tenuior et longior pro portione animahs. Si
fabricam humanam pro norma conftituere velis , ad
quam reliqua animalia comparentur , hunc flexorem
cubiti tanquam portionem pecloralis maioris confi-
derare oportet. Nam pecftoralis in leone , humano
maiori re(pondens , ad exrremitatem inferiorem hu-
meri Ysque fe extendit. Haec ergo eius portio pau-
lo vlterius ad radium vsque piogreditur.

Flpxordel- Secundus flexor- cubiti deltoideus eft idemque

toideus rnufcuhis , in qucm ercdlor magnus ceruicis inter-
l S- -^' -/ -^ media linea alba finitur , cuiusque in fuperioribus
mentionem iam feci. Oritur crgo hic flcxor a dida
Ijnea alba et a clauicula , quae in media parte li-
neae albae fepulta in carne horuni mu(culorum
haerct. Inde eius fibrne ad ficiem nnteriorem oflls
humeri conuergendo decurrunt , adeo vt variae ea-
rum hinc inde pennatim in ftrias tenwiineas concur-

rant

A N A T O M I C A E. 529

rant et vltimato in regione flexurac in anguftiorem
tcndinem teretem omnes coHi.gantur , mufculque fi-
guram triangularem efficiant. Tendo cum fiexoris
pecfloraiis tendine coniungitur, tendinemque commu-
nem conftituit , qui porro cum tertii flexoris ten-
dine coalefcens in radium denique fe inferit.

Omnibus notis hic mufculus deltoideo huma- Analogia.
no , ekuatori humeri , qui in leonc et fele non
exiftit , fimilis eft , adeo , vt pro eodem , cuius
ctiam locum occupat , haberi poflit , cum eo tamen
difcrimine , vt qui in homine brachium attolht ,
anribrachium in leone fleAat. Sed mirandam vfus.
etiam in hoc exemplo natura fe praebet , quae vi-
ribus confulens omnibus modis in hoc animale ,
motum quoque peculiarem altcri membro detrahit
plane , alterique addit fuperfluum ne aliquo modo
vires perdantur. Omnibus enim , quibus homo , et
praeterea pedorali quoque , leo flexoribus cubiti gau-
det. Ergo fuperfluus deltoideus eft , nifi ad vim
in fledendo aucftam refpicias. Sed fi humero, velut
in homine hic mufculus inferitur , quo motus efli-
ciatur proprius , eleuatio humeri ^ flexio non modo
debihor inde redditur , fed quantum huic adioni vi-
rium decedit , id neque adhibetur oiine ad nouam
iliam adlionem efliciendam ob infertionem deltoidci
in humerum , quae nota eft, viribus minime fiuien-
tem. In liomine contra manifeftum eft m hoc ex-
emplo , quam egregie , cum difpendio nempe vi-
rium , motuum varietati profpedum fit.

Tom. XV. Nou. Coram. X x x Tertius

530 O B S E R V A T I O N E S

Flexor cu« Tcrtius cubki flexor , mufGulus egregius , ro-

biti, qui bi- buftus , durus , ventricolus , facie nitida , fuperne in-
^011^7" ^^^"^*^^^^ argenteo-fplendidus , refpondet bicipiti hu~
(fig. 3. k.) ""^3110 ,. cui ^ praeterquam quod nom^n bicipitis noa
T.XXVIII. couueniat , in omnibus reliquis notis fimilis eft.
Oritur principio tendineo , forti , tertti » eoque vni-
co , a margine fuperiori cauitatis glenoideae fcapula€y
in quo loGo tuberculum eft , quod quafi vdligiuni
apophyleos coracoideae refeit. Tranfir deinde fub
ligamentum articulatorium humeri et fub infertio-
nem fupremam mufculi pedoralis , cuius partera
tendineam in eo loco perforat. In confpeftum ve-
nit infra caput oflis humeri et ad latus interius pe-
^oralis. Ibi expandi fenfim incipit in ventrem ro*-
tundum y magnum , humairo bicipite etiam propor-
tione longitudinis mufculi et ollis humeri quadruplo
faltim craffiorcm et finitur tcndine fortiflimo tereti ,
qui cum communi tendine flcxorum pedoralis et
deltoidei coniungitur , er in radium denique inleri-
tur , loco tertiam circiter partem totius antibrachii
ab extremitate fuperiori remoto.

Flexor cu- Denique quartus flexor cubitt brachiaeus eft,,

*w*r^^"^ horum , quos ha^flenus pertradaui , minimus , neque
tamen inualidus. Oritur fibris mere carneis ah ex-
teriori oflis humcri facie inter infertionem pedora-
lis et anconeum extermim fub mufculo , quem po>-
ftea dicara , tenfore vaginae hiimeralis. Inde obli^
^ue verfus interiora brachii decurrit et cum tendinc

coni^

ANATOMICAE, 531

commiini flexonim coiiiundus hic quoque in radium
inreritur.

Ad extenfores niinc perueninuis cubiti , ideo Extenror«»
pnecipue notabiies , quod maxima vis leonis com-^^^^^^«
muni liorum mufculorum adioni , qua nempe prae-
dam percutit et quae percuffio extenfione cubiti ab-
foluitur , Yulgo , nec perperam , vt puto, attribui-
tur. Nimirum in leone , vti in reiiquis fere ani-
malibus oflTa extremitatis anterioris ita compofita
funt , vt , dum flexura cubiti , vti in fitu naturali ,
anterior , olecranum autem pofterius eft , dorfum
manus , aliter atquc in homine , fimul anterius ,
palmaque pofterior ponatur , vel extenfo carpo ver-
(us tcrram refpiciat. Hinc homo fledendo cubitum
et transuerfim , animaiia contra extendeodo eundem
et deorfum palma feriunt, Adeoque homini fiexo-
res cubiti , animalibus extenfores eiusdem mufculi
funt verberatorii. Extenforibus autem homo in fc-
riendo nonniii ad pugiium infligendum , non palmx
feriendum , vci poteft. ^

Tres dantur in leone mufculi extcnforcs an-
conei , quorum primus , idemque mai^imus fltu me-
dius , fecundus externus , tertiiis minimusque inter-
nus eft. Prius quam vero hos mufculos defcribam ,
ordo poftulat , vt membranam exponam aponeuroti-
cam , fimilem fiifciae latae pntius quam debiiiori
humcrali vaginae huminis , vna cum mufcuio eius-

X X X 2 dem

5^2 OBSEKV ATIONES

dem tenfore , qua ineiribrana omnes mufcuU ad hu-
merum fiti , praecipue vero anconei includuiitur
comprimunturquc,

Mufculus Mufculus ille durus ^ tendinco-carneus , ex fi-

einae hu- ^^^^ ^^1^'iQ decudiuis , contextus , originem a baii
meralis tota fcapulae ducit fibris tendineo-membranofis fbr-
(fig. 2. />) tiflimis , vnde conformiter fitui fcnpulae , (quae ia
T.XXVIII Iqqq^ ei fgig b^Q bxeuiori , lateribusque duobus lon-
gioribus gaudct , ) perpendiculariter "verfus humerum
adfcendit , et porro a tota fibi hac ratione fubicda
fpina fcapulae. Fibrae , quae a parte bafeos fupra-»
(pinata oriuntur , oblique verfus humerum defcen-
dunt , in eundemque quoad maiorem partem infe-
runtur , in fpinam , quae a tubere maiori defcendit.
Aliae tamen earum magis obHque progrediuntur et
in membranam didam tranfeunt , in eaque oblique
verfus regionem flexurae cubiti tendineae decurrunt,
lUae fibrae , quae a parte bafeos infrafpinata ortum
duxerunt , magis perpendiculariter "verfus humerum
tranfeunt ; fed in medio hoc itinere in tendineam
membranam humeralem abeunt , in qua eandem
continuo diredlionem obferuantes circa brachium vol-
tuntur. Qiiae denique fibrae a fpina fcapulae oriun-
tur , cxceptis lUis quae ab ipfo acromio originem
ducunt , eae a prioribus fibris , a bafi ortis, fcre te-
guntur. Sic olTi humeri et thoraci paralleli defcen-
dunt , et in eodem termino , vbi fibrae a bafi pro-
dudae membranefcere incipiebant , hae quoque ean-

dem

ANATOMICAE. 533

dem naturam membranofam induunt , et ad yagi-
nam humeri conftituendam concurrunt. Quae verq
ab ipfo acromio nafcuntur , iilae maxime cum iis ,
quae a parte bafeos fuprafpinata ortum duxerant , ia
ipinam ofTis liumeri tranfeunt , nonnullae tamen ea-
riim itidem in membranam oblique abeunt. Sic
igitur complicatus ifte mufculus , miflfa fibrarum
fuarum aliqua parte in fplnam offis humeri , reli-
quis", iisque plurimis , producit membranam fortifli-
mam , lineam , aut plus ea craflam , ex fibris du-
liflimis , longitudinalibus , transuerfalibus et obliquis
compofitam. Longitudinales enim a fibris mufculi , ^embrana
fpinac fcapuke adhaerentibus , producuntur , indeque ^^SJnae
fiiper mulculos anconeos magnum et externum ad
regionem olecrani reda defcendunt , eosque mufcu-
los contegunt. Transuerfales fibris mufcularibus de-
bentur , quae a parte bafeos fcapulae infrafpinata
oriuntur. Hae fuper mufculos anconeos ad interius
latus humeri perueniunt , totumque brachium cir-^
cumdant. Denique obliquae a parte bafeos fupra-
fpinata et ab acromio maxime proueniunt et verfus
flexuram cubiti tendunt. Haec membrana nunc va-
ginam conftituit , qua omnes ad humerum fiti
mufculi , maxime tamen anconei includuntur et
continentur. Nam quae ad interius brachii latus
pertingunt , rariores tantum et debiiiores fibrae funt,
In parte exteriori vero copiofiflimae et durifllmae Vagin*^
fibrae membranam efficiunt firmiflimam et validifli-
mam, Denique membrana terminatur deorfum ,

X i^ X 3 dum

534 OBSERVATIONES

^iim fibrae eliisdem partim cum lata maflli tendrnet
ancoDeorum , adeo quidem firmiter , coaiefcunt , vt
leparari nequeant, partim vero in fimilem vaginam,
qua raufculi ad vlnam et radium fiti iiiuefiiuutur ,
abeunt.
Wusvagi- Vfus qnidem eiusmodi vaginarum aliquld ad-

«ae hume-hucdum obfcuri habet in explicationibus phyfiologo-
calis. xLim j tieque enim , quomodo ad \im muicuii,dum
agit , augendam , aliquid conferant , fatis manifeftum
cfl , neque omnino quidquam in eum vfum efficerc
pollunt vaginae , quas eo tempore , dum mufculus
agit , praecipue fi nullis propriis mufculis tenforibus
inftrudae funt , neceifario iaxiores effe oportet mu-
fculis ipfis , quos inuediunt ; fiquidem fibra tendi-
nea minus qiiam carnea contradilis eft ^ adeoque
mufcuhim eo tempore comprimere , aut continerc
non potTunt Videntur pctius ad cotiferuandum
mufculi robur et firmiratem fibrarum dcftinatae efle.
Vt enim minus coutradliles , ita duriores minusque
cxteufiles quoque funt fibrae tendineae quam carneae,
fldeoque impedient , quominus vel ab antagoniftis ,
vel ahis caufis mufcuii inclufi nimium extendantur,
laxentur et mollefcant. Qiiicquid iuterea fit j fiuc
immediate vim mufculi agentis augeant , vt vulgo
putatur , fiue robori eiusdem intrinfeco conferuando
inferuiant ; hoc certum tamen elt , mufculos eius-
niodi vaginis indutos , caeteris paribus fortiores ae-
ilimandos elTe , quam fi nudi funt ; idque co magis
cum videmus , praecipue iilos mufculos vaginis do-

natos

anatomicae: 53^

catos effe ,, qui vel fua nntura ct debiliores fnnt et
nimiae extenfionl facile exponuntur , vt longi extre-
mitatiina mufculi , \el qui magnis effedibus ,. quibus
Tires vix fufficiant ,. exlerendis deftinati funt , vti
in exemplo crotaphytis apparet. Similiter ergo dc
noftris q.uoque anconeis iudicandum erit , notabile
iis accedere robur ob Yaginam hanc rigidiffimam ^
qua inuoluuntur. Et omnino hi mufculi fingulari
fibraium duritie et firmitate gaudent , quam ipE
iFag.inac debert , facile cenfeas. '

Caeterum mufculus fenfor vaginae praeterquam Vfns imr-
qood hanc membranam intendat , os humeri quo- ^^^'^ ^®"^*"
que , cui pars fibrarum fuarum inferitur et totura
braehium ad thoracem alligat j nou modo djdis
earneis fibris fcd ipfa membrana quoque ,, quae cir-
ea Gs humeri producitur et in olecrano firmatur..
Adeoque pedorali in lua adione refpondet, Hic
enim os humeri ad partcm thoracis anteriorem re-
Tincit , ille idem ^erfus partem pofteriorem retra*
hit ; adeoque efficitur vt os. humeri valida vi ad
thoracem firmetur atque in fuo fitu fixetur , ne m
magnis anconeorum a^flionibas vllo modO' vacillar©
pollit.

Analogus hic mufculus ef! parti poteiort dcl'- AnalogJjt
toidis ,. quae ab acromio et fpina fcapuke origmena ^^"sdem^
ducit y cum parti eiusdem anteriori flexoreoi cubiti
dcltoidem refponderc Hipra. vidimuji.

53<^ OBSERVATIONES

Strii£hira ^^ ^^^ ftruiflura diuerfa eft. Tenuis lamina

eius in carnea a bafi lcapulae praecipue , tum et fibris de-
^^^^' bilioribus a fpinae parte inferiori orta tenuifTimam

fro vagina m.embranam producit. Sed ab acromio
peculjaris mufculus oritur , fubuentricofus , a priori
plane feparatus , qui totus in fpinam huraeri tranfit,
nec quidquam ad vaginam contribuit.

Anconeus Anconeus denique magnus fequitur , quem fa*

magnus ^iQ \i aeque , qua poUet , ac muneris , quo fungi-
T^XVIII ^^^ ' praeflantia , principem in toto corpore leonis
jmufculum effe arbitror , qucm vna cum erecftorc
ceruicis folum naturam curaflTe , folum ornaffe dixc-
ris. Vis quidem non \na cau(a ell , cur maxima
huic mufculo attribuatur , vti in fequ:ntibus patebit;
munere autcm infignem eflTe , facile credas , fi con-
fideraueris , hunc cum eredore ceruicis praecipuum
inftrumentum effe , quo animalia leo occidit (cui
tamen prouinciae ille maxime praefedlus effe vide-
tur) cuiusque vnice virtutc fretum hoc animal audax
nihil non aggreditur vincitque.

Eius origo. Ille oritur fibris Carneis fub mufculo tenforc

vaginae humeralis a cofta fcapulae, cuius maximam
quidem partem principium hoc mufculi occupat ,
Tt quarta circiter pars eius verfus bafin libera ma-
neat pro adhaefione teretium mufculorum. lam
notandum eft , hanc coftam fcapulae in leone lon-
giorem efle pro portione reliquarum partium quam

in

ANATOMICAE, 537

iii homlnc , et , vt paucis dicam , folam eius par-
tem , ab anconeo occupatam , haud cedere longitudi-
ne dimidiae parti odis humeri ; vnde iam cx prin-
cipio validitas mufculi cognofci poteft. liide ergo
inufculus ortus adlutum vaklopere intumefcit , et
fub tcnfore vaginae , tanquam e fpelunca lua prodit.
Hic nempe tenfor , dum fibris aponeuroticis a parte
bafeos infrafpinata oritur proxime ad ficiem exter-
nam (capulae continuat vsque in cam regionem , vbi
2 corta anconeus oriri incipit. Ibi tenfor aequahter
margmi fpinae eleuatur (uper faciem fcapuhie ab ea-
que €t a colh fcapulae ren;ouetur tres digitos trans-
verios , eaque ratione carneis fibris ad humerum vs-
que continuat. Torum igitur hoc fpatium , quod
tenfori mulculo coftaeque intereft , a craflo hoc prin^
cipio anconei repletur. Hic vero , dum prodit ,
ilico et latior fit multo et craflior , vt inde appa-
reat , eum tamen , quatenus a tenfore tegitur , ab
eod-sm compreflum fuifle. Sc progreditur vallifli- Ventns
mus muff ulus fibris arcuatis , quae valde diuergunt , ^^^^^^P^i^'
ventremque conftituunt , deinde itenim conuergunt
ad tcndinem producendum. Mufculus , hoc modo
produdus , fi tendinem nempe , quem poftea dicam
conoidcum , quo in olecranum inferitur, feparaueris,
folamque partem mufculofam refpicias , maffam car-
neam refert figurae fubglobofae , vel irregulariter
cubicae, cuius nempe latitudo nullo modo longitudi-
ni cedit, et craflitics haud multo ktitudine aut longi-
tudine inferior eft. Si etiam os humeri ita dirigi-
tur , vt cum fcapula , quam a bafi ad cauitattm
Tom.XV.Nou.Comm. Y y y gle-

538 OBSERV ATIONES

glenoideam eiusdem fere cum ofle humeri longitu-
dinis efle monui , angulum intercipiat redum ; hoc
totum fpatium inter humerum et fcapulam a folo
hoc anconeo occupatur , et humerus cum (capula et
interiedo anconeo magno iterum maflam quadrati
cam refert. In omnibus animalibus anconeus ma-
gnus mufculus longus fubcylindricus efl:. In homine
is anconeus , qui magno leonis refpondet , iile eft ,
qui longus dicitur ; idemque a parte coftae kapulae
breuiflfima illa oritur fola quae cnllum vocatur ,
vnde non alius nifi fubcylindricus mufculus , nequc
craflus euadcre potuit. Simii'sque eiusdcm figura
in fele eft. Quos aliorum animaHum anconeos , fi
comparaueris cum illo in leone , videntur hi longi
graciies mufculi modo ad vlnam mouendam fadi
efle, cum ille quadraticus folus ad magnas ope vlnae
vires exferendas produdlus fit. Neque etiam in aliis
mufcuh*s maioribus exemplum facile inucnitur eius-
inodi figurae , qui quippe vel plani funt et fatis
plerumque tenues , vt mufculi ad thoracem fiti, vel
longi fubcylindrici , vt mufcuh extremitatum. Neque
in maximorum animalium glutaeis magnis tius fi-
gurae maflam inueniri perfuafus fum , quorum tamea
glutaeorum infertio in os femoris exferendis v'ribus
adeo parum fauet , vt magnitudo eorum omnino
magis obftaculis vincendis quam producendis efledi-
bus inferuire videatur.

Infertio. Tendine tandem la4:o et craflb conoide fbrtifli-

mo anconeus finitur. Ei in fuperficie exteriori fibrac

acce-

ANATOMICAE. 539

nccedunt a vagina humerali , quae ad ipnim bafm
cum hoc tendine concrefcit, vnde ille notabiliter aU"
getur. Tendo deinde coniungitur cum colaterali
exterioris , et ad faciem interiorem humeri cum
intenoris , anconei tendinibus , quibus vnitis ampla
maira tendinea formatur. Hac tanquam in capfula
totum olccrauum praecipue proceflTus vlnae anconeu5
fulcipitur. Ea huius maffae tendineae portio , quae
in facic pofieriori ad procefliim anconeum decurrit ,
duriflinis fibris in eius fubftantiam olTeam intrat ,
totamque eiusdcm tum luperiorem , quae verfus
huaierum ip cflat , tum pofteriorem plannm latam-
que fuperficem occupat. Latcrales vero didtae cap-
fulae tendineae partcs exterior et interior fuper anti-
brachium defcendunt et vaginam antibraciiii pro-
ducunt. In eandemque vaginam etiam fuperficiales
fibrae illius portionis abeunt, quae in proceflum an-
coneum infcritur.

Nunc verum quidem efl: in fele , et etlam in
ipfo homine fimilem fere effe anconeorum ad vlnam
applicfltionem. Interim primo quidem fatendum
tamen eft , hanc appHcationem pro viribus parcendis
nrxlius excogitari non poffe. IMam tendinis pars ,
quae in anconeum proceffum inferitur, refpcdu hneae
a pundlo infertionis ad articulationem dud^ae , ad
quam (cilicet folam refpiciendum eft , anguh) in-
fcrtionis omnino redo gaudet ; quamuis fibrae in
anconei faciem pofteriorem intrantes, lefpedlu huius
fhcici fub angulo acut.ffirno inferantur. Ea vero

Y y y a ten-

540 OBSERVATIONES

tendinis portio , qfuae iii vaginam antibnichii abit ,
praeter illam vtilem infertionem totiim antibrachium
ipfa hac mediante vagina in ringulis pundtis com-
prehendit. Deinde porro confiderandum eft , in ho-
mine omnia longe ci^Q debiliora, tendinem, qui pro-
ceffui anconeo inferitur , vaginam , qua antibrachium
prehenditur , et proceffum anconeum ipfum. Deni-
que propinquitatem inlertionis anconeae ad hypo-
mochhon in homine quidem , vt fere vbique fieri
folet , nocere facilitati motus , in leone vero nullo
modo eidem obflaculo effe. Nam in leone anti-
brachium in parte fuperiori adeo craflum, praeterea-
que vna cum manu adeo breuc eft , vt nullus pro
infertione anconei locus in vhia aptior reperiri pofle
videatur , quominus ob imminutam motus celerita-
tem efledlus adionis quoque imminuatur qyam ille,
qui propior hypomochlio eft. Qiiibus omnibus com-
putatis apparet quamuis homini et feli , caeterisque
forte animaUbus, fimilis quoad infertionem anconeorum
ftrudura lit ,* nuUo tamen modo eundem inde vfum
redundare pofle in exferendis viribus , qui in leone
obtinetur..

Vlres hu- Vfum huius mufculi in fuperioribus iam ex-

ius mufculi plicui , vbi de eredore ceruicis et de adione di-
maximas jacerationis agebatur. De viribus addcre liceat , eas

eile opor- . . . /» j i.

tet. paene incredibiles videri , fi ad onuies mufcuh pro-

prietates attenderis ^ Principium largum validum ,
quo a fcapula oritur ! Infertio, qua ad vlnam appli-
catur , pro viribus parcendis YtiliflTima , inflmulque

ANATOMICAE, 541

validiirima. Crafiities Ycntris, qiia gaudet, enormis !
Membnma rigida , qua includitur et fdenique quae
haud minoris , quam priora, mome iti ert , breuitas
totius mufculi , fiugularumque eius fibrarum , cum
mufculi crallitie coniunda. Quo enim miiorem
copiam fibrarum mufculus habet , qune ex craflitie
eiusdem iudicatur , et quo breuiores hae fibrae funt,
00 maius robur ei inelTe facile intelligitur. Ideoque
qui mulculi longi (lint, eos vaginis, vel infcriptioni-.
bus tendineis , vel aliis artificiis , quibus debilitati
eorum fiiccurratur , munitos vidcmus. Ex his
omnibus igitur coHigendum efle exiftimo , hunc
mufculum anconeum leonis omnino fingulare exem-
phim vaiiditatis et roboris cxhibere , nec perperam
leoni , praecipue eius adlioni, qua ferit, vim maxi-
me infignem infolitamque adfcriptam efle.

Secundus nnconeus exterior efl:. Ille oritur Anconeus
fub parte tenroris anteriori a plana lataque facie tu- ^^^^^""^ ..
beris maioris oflis humeri carneus , et porro ab ex- x.XXVlII,
teriori eiusdem oflis fupcrficie. Inde latus et craflTus
recfta defcendit et cito in tendinem abit, ipfo mufcu •
lo Jatiorem , qui coniundus cum teudine magni, in
proceflTum anconeum partim, partimque in aponeuro-
ticam vaginam antibrachii inferitur. Quamuis vi longe
cedat anconeo magno , tamen et ipfe validiis mus-
culus eft , qui fymbolum fuum haud fpernendum ad
adionem cubiti conferre videtur.

Tertius autem , interior , omnino , quatenus ^^'^^^"eus

1 V 1 -. , internus

m leone , paruus mufculus eft , et parum , credo ?(fig. 3. fy

Yyy 3 con-T.xxviII,

542 OBSERVATIONES

contrJbuit ad vires augendas. Idem oritur a fuper-
ficie ofTis humeri interna fibris carneis et ad latus
interius defcendit. Inieritur tendine tenuiori in latus
interius proceffus anconei.

Keliquos yel humeri, Yel fcapulae mulculos, vcl

manus extremae , cur in kone magis inquirerem et

defcriberem quam in quouis animale alio , nullam

caufam \ideo. De neruib quaedam notatu digna

, ©ccurrunt. Haec addo.

De Neruis brachialibiis.

Neruos in leone aliter reperi , atque putaue-
ram. (^uis enim non crederet tantae mailae mu-
fculari proportionatam quoque datam effe copiam
neruorum ? et fane , qui ftatuunt , neruos fluido
niufculis aduehendo inleruire , quo motus in illis
producerentur , haad facile phaenomenon hoc in ex-
fpedatum interpraetari poterunt.

Trunei Nerui enim leoni "valde exigui funt , quod

^uatuor. i(3em quoque de arteriis et de venis \alet. Quatuor

trunci in nr.eo exemplo ad producendos brachiales

neruos ex medulla ceruicali concurrunt, quorum duo

fuperiores quidem ex interftitio inter penultimam

et antepenultimam vertebram colli alter anterior ,

Eorum alter pofterior prodeunt. llle , qui antcrior eft ,

primus jpfe haud \alidus , et radiali humano vel mediano

H' 3« ^'i yiix latior, poft breue fpat^um in tres ramos tenuio-

res diuiditur , quorum fuperior minimus continuo

carni

ANATOMIGAE. 543

carni fubrcapuLri quosdam ramulos communicat aiiosNemus

que ad mufculos fupra - infraque - fpinatos mittit. ^P^"^***
' 1 1 pulans

Hic loco fuperfcapularis humani eUe videtur , eiq»e/f^g^ ^. f.)

magnitudine fere aequalis eft. In fele duos truncos

fuperfcapulares rcperi aequales , quorum vnus pro

portione animalis hunc vnicum leonis ncruum longe

fuperat. Secundus ramus neruus radial:s , idemqueNeruusra-

humano radiali manifefto tenuior eft. Si vero ad ^ialis

proportionem animalis refpicias odluplo faltem craflio- ^"^* 3- &)

rem eum efTe oporteret , vt refpondeat magnitudine

neruo humaao. Defcendit ille fine ramis notabilibus

ad medium os humeri vsque. Ibi diuifus in duoa

ramos aequales retro os humeri tranfit , ct vt fieri

folet , in reliquis animalibus fecundum longituJineni

radii decurrit diftribuendus in dorfo manus. In fele

hic neruus infignis eft magnituUnis et non adeo

multum abeft, quin, quod incredibile videtur, craflitie

aequalis ftt radiali leonis. Tertius primi trunci ra-^^j"*^'

nius ille neruus eft quem m homme medianum /^ ^ ^^

vocamus. Hic notabile fpatium fine ramis defcendit,

tum duas radices accipit, fibi fere aequales, a neruo

cubitaeo. Inde paululum augetur. Pofthaec ad

partem inferiorem oflis humeri peruenit. Ibi fm-

gularis trabecula offea a corpore oflis fecedit, iterum-

que cum eodcm coniungitur. Sub hac trabecula, quafi

fub ponte neruus vna cum arteria et vena brachiali

tranfit et diuiditur in duos ramos , quorum alter

mufculos ad vlnam fitos adit , alter ad palmam

manus peruemt , fblitoque modo in digitales diui-

ditur. Similis irabecula oflea pro tranfitu nerui

fiiedi-

544 OBSER V ATINOES

mediani in fele eft, fed longior, elegantiorque, viam
producens ainpliorem. Hic medinnus neruus , etiam
pofl acceptas radices a cubitaeo , tamen fenfibili gra-
du tenuior itidem eft quam medianus in homine ,
ct proportione reliquarum partium fere oduplo te-
nuiorem efle cenfeo. In fele et coniun(flum cuni
cubitaeo \sque fere ad tranfitum per foramen oflis
humeri , vbi vterque ramus a fe inuicem fecedit ,
et feparatum truncum hunc medianum reperi. Siue
vero proprius truncus , fiue ramus fuerit trunci ,
fibi cum cubitaeo communis , proportione animalis
tamen etiam humano , cralTior eft , Lcet enormcm
illam crairitiem non habeat , quam radialis.
Truncus Secundus pro brachio truncus ceruicalis poft

fecundus aliquod ab ortu fpatium tres notabiles ramos reddit
(fig. 3* t».) anattomoticos, a fe inuicem rcmotos, breu ores, qui in
plexum latum planumque, a tertio et quano trunco
Kerui ax- formatum , inferuntur. Pofthaec truncus ipfe in
illares jjuos ramos aequales finditur ; atque hi fub cellulc-
(ng 3W'^0 fani, quae fubfcapularem obducit, repunt ad anguhim
inter humerum et fcapulam et in mufculos fuper-
fcapulares et qui ad latus exterius humeri fuperne
collocantur , k(c diftribuunt , vnde ergo patct , hos
ramos loco eius nerui effe, qui in homine axillaris
dicitur. Vtrique fimul fumti omnino maiores et
quil bet eorum circiter aequalis eft axillari humano;
fed multum tamen abeft , quin iuftam proportione
reliquarum partium magnitudinem habeant. In fele
ctiam hic neruus valdopere , humanum aeque ac
leoninum rektiua, crafTitie fuperat.

Ter-

ANATOMICAE. s^s

Tertiiis truncus ex interflitio inter vltimam Tertius
et penultimiim vertebram colli prodit. Hic neruus J^^"^^^^
intcr reliquos maxime fpedabilis eft et \idetur pnmo ^ ^' ^'^
intuitu eiusmodi neruus fere elFe quales in leone
quaeliueris. Gaudet etiam latitudine quinque linea-
rum et dimidiae. Verum enim vbi rede confidera-
veris iianc laininam nerueam , vix lineam crafliim
eam inuenies. Adeoque minorem longe portionem
fubllantiae meduUaris, quam alteruter priorum trun-
corum brachio adfert ; neque notabiles neruos hic
truncus edit. Primus ramulus eft , qui cuti pro- Cutaneus
fpicit intcrioris partis humeri et loco cutanei interni internus
cUe videtur. Deinde continuo truncus coniungitur ^°*'
cum quarto et expanfionem nerueam cum eodem pro-
ducit latam , ob.ongam , valde tenuem , hinc inde
quafi in filamenta fifl-im, in qua tres illi rami ana-
flomotici trunci fecundi recipiuutur. Poika a quarto
trunco iterum fecedit, et nunc notabili gradu, quam
ante coniundionem , anguftior , fed tantundem quo-
que craiiior , vnaque moUior efl:. Tum vero denuo
latefcere et expandi in maiorem plunitiem incipit.
Tandemque lenfim in mera filamenta tenuiflima
feparata flabelli inllar difpergitur, quae retro medium
os humeri progrediuntur , ibique maxime circa
periofteum in cellulofa et adipe , partim quoque iti
adiacentibus mufculis diftribuuntur Neque in homine
neque in fele quod huic neruo fimile fit , reperitur.
Loco vero eiusdem mufculo-cutaneus eft.

Deniqne quartus truncus ex interf^itio inter Quartus
vltimam vertebram colli et primam dorfi nafcitur. t^^u^cusC/f)
Tom.XV.Nou.Comm. 2 z z lile

S^6 OBSER VATIONES

Ifte omnium reliquorum validiflimus et aeqiialis cir-
citer eft coniundis in vnum truncum ceruicaii fep-
timo et otftauo ex quo trunco cubitaeus et cutaneus
internus in homine criri- folent. Tamen multum
abeft, quin requifitam proportione miirculorurn craftl-
tiem habeat. Poft aliquod fpatium vnitur cum tertio
trunco in didum latum plexum nerucum , eique in
eo latere , vbi accedit , craflitiem paulo maiorem ,
quam in oppofito latere producit. Secedit deindeab
illo et duos ramos anaftomoticos ad medianum mittit
quibus arteria brachialis et vena comes compleftuntur,
Neruus ynde neruus paulo tenuior euadit et cubitaeum nunc
cubitaeus j-gp^j-j.^ ^^j cubitaeo craftior et aequalis circiter mediano
vel etiam paulo maior eodem cft ; neque tamen
iuftam proportione mufculorum crafluiem habet.
Defcendendo verftis cubitum primo attenuatur, deinde
denuo intumefcit , fimulque mollescit et rubricundo
colore tingitur , vt rctro condylum internum oflis
humeri clauae fere figura gaudeat. Tum inter
mufculos ad cubitum fitos fe recipit, iisque ramulos
reddit folitoque modo ad latus vlnare decurrit et ad
palmam , vbi diftribuitur , peruenit.

Explicatio Dummodo ad phaenomena neruorum notiflTima

cxiguae attenditur ; quae difiicihs videtur primo intuitu ,
neruorum nferuorum exigua ad mufculos ratio , eam expHcatu
admufcu- j^^^^ difficilem efle exiftimo. Si neruus , qui mu-

los ratio»

jiis. fculum adit , ligatur vel diflecatur , mufculus nullo

modo aut viribus fuis, aut facultate motus, deftituitur;
foli animae potcntia aufertur motum pro arbitrio

fuo

A N A T O M I C A E. 54.7

fuo in hoc mufculo excitandi. Si enim vel mufculus
ipfe vel neriius infra ligaturam irritatur, ^ehementiffi-
-mos ille motus adutum exercet. Non igitur a ner-
vis mufculorum facuJtas mouendi aut vires depen-
dent , quae mufculo ipfi eflentialiter infunt. Nerui
vero animae infcfuiunt, quo mufculum quafi tangtre
cumqiie ad moturn fuum edendum follicitare poffit.
Eaque ratione in diuerfis corporis partibus motus
pro lubitu excitat moderatque.

Neque in corpore humano exempla defunt vbi
awt validis mufculis validae exiguis lub neruis vires
cxferuntur , aut debilioribus partibus magni nerui
praefunt. 111 ud in cordQ quod viribus , quas exferit,
non minus , quam neruorum fuorum exiguitate in-
figne elt , hoc in digitis elucet , qui viribus fatis
mediocribus neruisque permagnis inftrudli funt. Quid
crgo demum magni aut parui nerui efficient ? aut
quid dicendum trit de illis mufculis , qui m.agnis
neruis, et de his, qui paruis inflrud:! funt? fiquidem
foli animae nerui inferuiunt, vt motus mufculorum
iis mediantibus excitet atque moderet; facile apparet;
ibi multis fibrillis nerueis, vel quod idem eft magnis
ncruis , qui multas iibrillas contineant , opus €{fe, vbi
irulti et varii motus a mufculis produci et ab ani-
ma excitari, variaque ratione determinari et moderari
ppffupt , fiue cum magna vi hi raotus exerceantur
io mufculis magnis et validis , fiue in debilibus mu-
fculis debiles tantummodo motus fmt, qui producun-
tur j ibi vero magnos neruos fuperiiuos efle, minores

Z 2 z a con-

54S OBSERVATIONES

conuenire , vbi ( vel magnis cum viribus , vel par-
vis ) motus nonnifi pauci, iique vno femper eodem-
que modo exercentur , vbi minor in motibus yarie-
tas et parum adeo negotii' in mufculis animae eft,
In ipfis addudis exemplis rei veritas Te manireitar.
Cor enim , quod , licet vi magna , tamen iieruis
exguis gaudet , quos et ipfos renlorios folummodo
efle puto , liberum prorfus ab omni animae arbitrio
eft, quae neque excitare, neque interrumpere, neque
vllo modo validos eius motus mutare vel detcrminare
poteft. Sed mirum eft, quantum cadem contra im-
perium liabeat in digitos mufici , qui craflis ideo
neruis inftrudi funt.

Qiium ergo in leone magnos quidem et vali-
dos mulculos , fed pauciores , eosque ita applicatos
inuenerimus , vt magnas quidem vires in motibus ,
quos exercent , fed pauciores quoque motus diuerfos
efficere poflint ^ quumque omnia generatim ita com-
parata fint , vt facile appareat , folis viribus , dis-
pendio varietatis motuum in hoc animali conful-
tum effe ; non mirum fane eft , fi neruos in eodem
debiliores inueneris.

Si quis vero crediderit forte , neruos eo in-
feruirc , vt fluidum nerueum mufculis adferant ,
quo fibriilae eorum inflentur , et motus in iis pro-
ducantur , tum fane magni mufculi leonis mafTae
inutiles erunt , quae ob defe(5lum fluidi neruei fuc-
currentis nunquam fatis inflari , nunquam , quamuif
magni fmt , magnas vires exferere poterunt.

Caete-

A N A T 0 M I C A E. 549

Cneterum ex comparatione {lru(flnrae lconis Schollum
cum huiT.ana apparct quoque melius , quam ex fola ^^ J^J^^V"
humanae confidenuione apparcre poted , quam omni- humani»
bus modis in homine , etiam , fi aliter fieri noii
potuit, cum maximo difpendio virium , multitudi-
ni et varietati motuum , eorundemque plenitudini
et perfxlioni profpexcrit Sapientia Diuina. Membra
hominis longa funt et gracilia , et idem de mufcu-
lis eorum valet. Horum praetcren pundum mobile
plerumque propius eflc folet hypomochiio. Plerum-
que etiam ad angulum acutiorem inferuntur. Haec
omnia eo exadle redeunt , vt homo inde euadat de-
bilior , fcd tantundcm quoque mobilior et in diri-
gendis motibus dexterior , ad quam dextcritatem
luam vicilTim partem contribuunt magni , quibus
inftrudus eft , nerui,

Cauendum autem eft in comparatione virluai
diuerforum animahum cum humanis , ne , quae ipfi
huic dexteritati humanae , vel ingenio , vel maiori
appiicationi et diligentiae debentur , viribus adfcri-
bantur. Probe cauendum adeo , ne cum foliditate
oirium et firmitatc ligamentorum vires mufculares
confundantur. Dum pondera homo eleuat , liga-
mcnta maxime patiuntur et vi ponderum firmitate
fua refiftunt. Dum onera , quae fert , capiti , vel
ceruici et dorfo incumbunt , offi , praecipue verte-
brae , earumque cartilagines comprimuntur , fuaque
duritie vel elafticitate refiflunt Mufculi nil confe-
runt ^ nifi , vt totum corpus in aequilibrio et iin-

2 z z 3 gula

550 OBSERV ATIONES

guk membra in fiio fitu eredo contiiieant ^ qiiod
nulliiis fere momenti res ed. Si ponderi quoque ,
quod homo dorfo fuftinet , imimal homine maius
fuccumberet , etiam hoc noli mirari. Nam colum-
m vertebrarum in homine ereda eft et "vertebra ver-
tebrac incumbit. In animaliura columna horizontali
vertebrae a fe. inuicem (e disrumpi patiuntur. Multa
alia hic porro funt confideranda , quae euolucrc ni-
mis longum eflct, et a meo penfo alienum. Obfer-
vata de vifceribus leonis proxime dabo.

EXPLICATIO TABVLARVM.

JFig. I. Mufculi humeri et cubiti ex parte antcrio-
ri thorncis orti.

a. a, Latifiimis colli.

b. b» Portionei fternomaftoideorum.

c. Portio laryngis.

d. Mngnus eredor ceruicis.

e. Linea tendinea.

/. Flexor cubiti deltoideus.

g. Flexoi; cubiti pedoralis.

h. h. Portio mufculi pe(floralis exterior.

;. Portio eiusdem fuperior.

jb. Portio inferior.

/. Portio abdominalis.

m, Manubrium fterni.

«. Ligamentum manubrii (lerni.

fig. a. Mufculi ad exteriorcm partem humeri fiti.
<t» Tuberculum maius oiTis humeri.

b.

ANATOMICAE. 551

h. Tenfor Yagiiiae humeralis.

c. Margo huius mufculi , a quo membrana va-
ginae reiedii ell.

d. Anconeus magnus.

e. Margo refedae membranne -vbi cum tendinc
anconeorum mufculorum concrefcit.

/. Anconeus externus,

g. Pcccorulis maior.

h. Flexor cubiti peifloralis.

i. Flexor cubiti deltoideus.

k, Portio flcxoris cubiti , qui bicipiti humano

refpondet.

/. Fiexor cubiti brachiaeus.
Fig- 3« Nerui brachiaics.

A. Pedoraiis mufculus.

B. Portio flexoris deltoidei.

C. Flexor pedloralis.

D. Anconeus magnus.

E. Suprafpinati portio.

F. Subfcapularis coniundus cum tereii.

G. Portio latiflimi dorfi.
H. Portio {lernomafloidei.

I. Pars inferior anconei interni , cuius pars fu-
perior refedla cfl: , vt neruus s appareat.

K. Mufculus flexor , qui bicipiti humano re-
fpondet.

*. Truncus neruorum brachialium primus.

bs Truncus fecundus.

c, Tertius. d. Quartus.

€. Arteria axiliaris.

55.2 OBSERVATIONES ANAT0P4ICAE.

/. Neruiis qui fuperfcapukri humano refpondet.

g, Neruus radialis.

b. Neruus medianu«i.

/. j^. Eius diuifio , poftquam per foramen fingu-

lare olTis humeri tranfiit.
./ Rami tres anaftomotici inter truncos fecun-

dum et tertium.
m. «. Nerui , qui loco fub axillaris humani funt.
c* Ncruus cutaneus , qui loco cutanei interni

e(fe \idctur.
p, Ncruus cubitaeus.
q, r. Rami anaftomotici inter cubilaeum et""me-

dianum.
X. Neruus , qui mufculo-cutanei humani loco

eft.

Vngulae vna cum vltimis phalangibus di-
gitorum in cute effarcienda reli<5lae , quae
ideo in his figuris deficiunt.

NOVAE

->¥.i ( t> ) lcS- 553

NOVAE

PLANTARVM

SPECIES.

Auctore
E. L A X M A N N.

E.\hibit d. 20. lunii 1771.

TT^x herbario meo fibirico , quod per qulnquenniiim
JI.J praeiertim in alpinis auftralionbus comparaui ,
quodque pluiculas nouas fpecies continet , Pempta-
dem hic ftirpium fpeciofiorum publicae luci com-
mitto. Primus eorum mihi dicitur ;

I.

VERONICA pinnata fpica terminali , foliis linea-T. xxix.
ribus, dentato pinnatis. . Fig. 1.

DESCR. RADIX ramofo fibrofa , perennis.

CAVLES phirimi , pedales , ere^fli , teretes ,
{impliciffimi , herbacei.

FOLIA linearia , alterna , confertiffima 5 infe-
riora pinnata , intermedia dentata , fuperiora inte-
gcrrima.

SPICA terminalis caule dimidio breuior ,
plerum.que ^nica , floribus confertiffimis.

Tom. XV. Nou. Comai. A a a a CALY-

554- NOVAE PLANTARVM SPECIES.

CALYCIS perianthium quadripartitum^, per-
fiftens , laciiiiis lanccolatis , acutis.

COROLLA dilute coerulea ; tubo calyce pau-
lo longiore ; limbo quadripartito plano ; lacinlae oua»
tae , inferiore reliquis minore.

STAMINVM filamenta duo adfcendentia , co-
rollae tubo quadruplo longiora , antheris oblongis.

' PISTILLI , germn compreffum , ftylus filifor-
mis , iQugitudine filamentorum , perfiftens , Jiigma
limplex.

PERICARPII capfula ouata , obcordata , apice
comprefla , glabra , bllocularis , quadriuaiuis.

SEMINA plurima , rotunda , rufa , minima.

Habitat ad Obum fluuium in apricis ,• floret
circa initium lunii \ caules , folia et perianthio pu-
be quadam tenuiflima coriacea vcftita.

Obferu. In alpibus Siniae Sopka , Reunoua
Sopka , aliisque altioribus argentifodinam Smeino-
gorsk circumiacentibus montibus , varietatem huius
Veronicae obferuari glabram, floribus albis, foliis fuc»
culentis , caule palmari.

IL

Secundo loco prodeat noua Spiracac fpecies ,
elegantiflimus in fuo genere frutex , quam ob lo-
cum natalem altaienfem dico , et a congeneribus fc-
quenti denominacione diflinguo.

SPiRAEA

NOVAE PLANTARVM SPECIES, 55$

SPIRAEA foliis lanceolatis, integcrrimis, gla- t. XXIX.
bris, ad bafin angudatis , feflilibus , floribus racemo« Fig. 2,
fis , racemis {implicibus.

DESCR. RADIX lignea , folidimma , ramofo
fibrofi.

CAVLIS fruticofus , folidus , quadripedalis ,
laeuis , ramofus.

FOLIA fparfa , lanceolata, integerrima, in den-,
ticulum excurrentia , ad bafin anguUata , glabra ,
felTilia , patentia , plana , dilute Yiridia et quali
inembranacea.

RACEMI plures , fimplices , in capitulum
ouale congedis , ramos terminantes.

CALYCIS perianthium monophyllum , ba(i
planum , quinquefidum , laciniis acutis , paiuis.

COROLLAE petala quinque , alba , ouata ,
obtufa , patentia vnguUms anguftatis, magnitudinc pc-
talorum fpiraeae opulifbliae.

STAMINVM filamenta capillaria , circiter tri-
ginta , petalis longiora ^ Antherae lubrotundae.

PITILLl germina quinque, flvli filiformes, lon-
gitudine calycis , ftigmata fimplicia , obtufa.

PERICARPII capfulae quinque, oblongae, te-
retes , accuminatae.

Aaaa 2 SEMI-

55(5 NOVAE PLANTARVM SPECIES.

SEMINA pliirima , ouata , parua.

Habitac in montoris radicibus alpinm Mnloi
Altai. Fioret circa finem lunii. Inter fiuuios Injae
(Mna et Bjelaja {dex^si) haud procul a munimento
Tigiretskoi Krepoft vt et ad amnem Kabanovka legi.

III.

Tertia noftra planta erit ex ordine ringcn-
tium.

T. XXIX. DRACOCFPHALVM altaienfe foliis radicali-

Fig. 3. bus cordatis , orenatis , petiolatis ; cauliins orbicu*

latis fublerratis reflllibus , floribus verticillatis , bra-

deis iaciniatis , oblongis.

DESCR. RADIX fufca , fibrofa , perennis.

CAVLIS plerumque vnicus (raro plures) qua-
drangularis , fimplex , eredus , pedalis , lierbaceus.

FOLIA kuiter rugofa , radicalia pauca , ob-
longn , cordata , crcnata , obtula , petiolata petiolis
foliis longioribus , liirfutis : cauUna oppofita alterno
ordine , orbicuiata , crenato ferrata , quinqueneruia ,
feflTilia , ad bafin hirfuta : floralia profundius ferrata ,
laciniis accuminatis , in violaceum colorem vergen-
tia , neruis hirfutis.

BRACTEAE colore foliorum floralium , ob-
longae , profunde laciniatae , hirfutae, ad bafin floris
pkrumque duae vel tres.

VERTI-

NOVAE PLANTARVM SPECIES. 557

VERTICILLI ex nlis foiiorum floralium to-
tideni iii capitulum coardlati , floribus fex vcl odo
raaxiinis , vioiacco coeruleis , pateatibu.'i.

CALYCIS perianthiiim tubulatum , ftriatum ,
hirfutum , quinquefidum, laciniis lanceolatis, integer-
rimis , inaequalibus ; fuperiore latiore obtufiufculo ,
reliquis angullioribus acutis.

COROLLA ringens: tuhus longitudine calycis,
verfus faucem fenfim ampliatus ; faux maxima , in-
flata , barbata , hians ; labium fuperius fornicatum ,
emargitiatum , lobis rotundatis, intergerrimis ^ lahVim
inf^rius trifidum , laciniis lateralibus obtufis, integer-
rimis reflexis , media pendente , emarginata , loa-
giore.

STAMINVM //j/;/^«^^ quatuor, filiformia, fub
labio fuperiore recondita , quorum duo paulo lon-
giora \ antherae uigrae , lubcordatae , lobis longifli-
mis , diftantibus.

PISTILLI germen quadripartitum ; Jlylus fili-
formis ftaminibus paulo longior , Jligma bifidum ,.
tenue , reflexum.

PERICiRPIVM nullum.

SEMINA quatuor , ouato oblonga, nigra, vCx^
tida , hilo aibo , plano , ouato.

Habitat in fummis cacuminibus alpium Maloi
Altai et ^injae Sopka in vmbrofis verfus feptemtrio-

A a a a 3 nem

S.s^ NOVAE FLANTARVM SPECIES.

nem vergentibus. Alibi iiunqnam vidi. Floret
lunio.

Obferu. Maxime adfinis noflra 'planta Dracocepha'
l) grapJifloro lin. Sp. Pl. Tom. 2. p. 830.
11. 8. Fl. Sib. Tom. 3. p. 233. n. 5(5. Ra-
dix enim fufca fibrofa , caulis quadrangulus ,
calyx quinquefidus , hirfutus , lacinia fupe-"
riore latiore , maximi et coerulei denique
fiores in ambabus hifce plantis fimillima :
longitudo autem caulis pedaliS , folia radica-
lia crenata , cordata , cauhna quinqueneruia
orbiculata , floralia profunde ferrata , bradleae
denique profunde laciniatae laciniis accumina-
tis nofirum Dracocephalum a linneano fe-
parant.

IV.

Dracocephalo huic duas Papilionnceas fubiungo,
tt quidem quarto loco Robiniae fpeciem , quae mihi
ob ingentes acutiflimasque fpinas :

TaKXXX. ROBINIA fpinqfijjima foliis iunioris plantac

^^%- 4- fparfis, abruptae pinnatis, flipulatis, petiolo perfiflen-

te , arboreo , inque fpinam acutifliaiam exeunte :

adultae vero plantae foliis quaternatis , fubpetiolatis ,

fafciculatis , floribus feflllibus.

DESCR. RADIX ramofa , fruticola , folida ,
Idngiflima , varie fefe extendens.

CAVLES

NOVAE PLANTARVM SPECIES. .$59

CAVLES plurcs fruticofi , plerumque orgya-
ks , fulidi , teretcs , cortice lutco , ^irldsfcente ^
coriiiceo, glabro, ramofiHjaii, ramis foliatis, virgatis.

FOLIA ramulorum et furculorum primi annl
fparfri , abrupte pinnata , tri tcI quadriiuga , pinnis
lanceohuis acutis fpinelcentibus , petiolo coflaceo ia
mucronem acutilTimum exeunte , perfidente : in a-
dulta \ero planta folia quaternata , petiolo breui
fpinula terminato infidentia , oblonga , obtufa cum
fpinula, Yerfus bafin fenfim atigudiora: petioli fafci-
culati, fifcicuiis ex alis petiolorum coftaccorum per-
fiftentium.

STIPVLAE duae ad bafin petiolorum coflaceo-
rum lanceolatae , membranaceae, acutae, fpinefcentes,
cum petiolo caulem ampleclentes.

FLORES feffiles e fifciculisfoliorum, plerum-
<jue ex fingulo falciculo vnicus,

CALYCIS perianthium coloratum , quadri-
dentatum , denticulo fupremo latiori , emarginato ,
caeteris acutis,

COROLLA Papilionacea , inagnitudine et
figura Robiniae caraganae fiimillima.

STAMINA et piftillum vti in congeneribus.

PERICARPIVM Legumen cylindraceum, pol-
licare.

SEMI-

S6o NOVAE PLANTARVM SPECIES.

SEMINA plerumqiie quinque ycI fex oblonga,
cylindrica.

Habitat ad Selengam fluuiiim in campis moii-
tofis , arenofo glareofis : alibi nunquam vidi. Floret
lunio.

Obs. Frutex hic elegantiffimus non quidem pror-

fus nouus, led minus rite hiiAenus defcriptus.

Figura Ammanni Tab. XXXV. Robiniam

pygmacam liluftr. a Linne repraefcntat, neque

ex defcriptione pag. 204 data aliud videri

poteft. luniores vero plantae , qnas ex fe-

minibus (atis in horto academico accepit ,

quarum mentionem pag. 205 fecit , quaeque

iamdudum perierc , nihil aliud quam noftra

Robinia fuere. Nunc iterum ex feminibus

quae exportaui , nonnulhi fpecimina in horto

noftro academico \igent. Allata noHra figura

ramulum adultae phantae cum fiore, magni-

tudine naturali , optime repraeientat,

V.

Altera Papilionacea qiiam propono eft Trifolii,
generis botanicis difficiUimi , noua Ipecies , mihi ob
locum natalem transbaicalenfem :

Tab.XXX. TKIFOLIVM dauriaim foliis ouahbus , inte-

•tJg- 5* gerrimis , Tenofis, caule eredo, floribus capitatis, ca-
pitulis axillaribus et peduncuhuis ct feffilibus ex fm-
guia ala.

DESCR.

NOVAE PLANTARVM SPECIES. 561

DESCR. RADIX ramofa , longiflima , pe-
rennis.

CaVLIS herbaceus , ftriatus, eredus , foiiatus,
ramofus , ramis fparfis , fbliatis.

FOLIA ternata , petiolata , foliolis oualibus ,
integerrimis , obbufis, denticulo fpiniformi terminatis,
Tenofis, laeuibus, lateralibus feffilibus terminali paulo
maiore , remotiore.

STIPVLAE duae, fetaceae, ad bafm petiolorum.

FLORES Capitula ex alis foliorum plurima
ct quidem ex fingula ala bina, pedunculatum Ynum,
lefTiIe alterum.

CALYCIS perianthium monophyllum, tubuk-
tum , quinquedentatum, denticulis lanceolatis, acutis,
longitudine tubi , periiflens.

COROLLA flaua , perfiflens , marcefcens ,
Vexillum obtufum , patens, Alae vexillo paulo breuio-
nes , carlna longitudine alarum , interdum paulo
longior.

STAMINVM Filamenta diadelpha, adfcendentia
Anthenae fimplices.

PISTILLI Germen fubrotundum , Jiylus fili-
fbrmis , adfcendens pcrfiflens , Jiygma fimplex.

PERICARPIVM Legumen ouatum, acutum, vni-
value , monofpermum.

Habitat ad Selengam fluuium in pinetis. Floret
lulio.

Tom.XV.Nou.Comm. B b b b EX-

$62 NOVAE PLANTARVM SPECIES.
EXPLICATIO TABVLARVM.

Tab. XXIX. Fig. 2. Veronica pinnata cum flore

et fruclu.

Fig. 2. Spiraea altaienfis cum florc.

Fig. 3. Dracocephalum altaienfe.

a. Calyx cum ftaminibus, piftillo
et bracleis.

b, Bradea.

Tab. XXX. Fig. 4. Robinia fpinofifllma cum flore.
Fig. 5. Trifolium daurium cum flore.

a. Flos per microfcopium am-
pliatus.

b. Flos magnitudine naturali.

c. Vexillum.

d. Carina cum alis.

e. Stamina cum pifl;ilIo.
/. Calyx.

g. Lcgumen.

ASTRO-

ASTRONOMICA.

Bbbb a OBSER-

.OBSERVATIONES

NON NVLLAE OBSERVATORIO PETROFOLI

iNSTlTVrAE.

A u c t o r e
STEPHANO RVMOVSKl.

Anno i7<^7.
Occultatio Pleyadum a Luna die

s >S.arf.

Praeccdentibus tranfitnm Lunae per Pleyades diebus
ob coelum nubilum motum horologii ad examea
reuocare non licuit ^ ipfo vero die tranfitiis , tubo
quadrantis tripedalis in Sirium diredo, obferuaui ap-
pulfum illius

ad fil. vert. microm. p^ 52^ 12^'

obliqu. — 53- 23

Exitum e tubo — 53. 45*

Poft modum tubo Dollondlano fex pedes longo
ad idem horologium obferuaui Lunam limbooblcuro
occultafle.

Seleno - • - - - - ii^ 5^. 53^'
Eledram ii. 8. 85

Maiam 1 1, 34. 38

Lucidae pleyadum proximam 12. 9. 23
•VI feu Lucidam Pleyadum 12. 13. 43!
Emerjdo Eledlrae 11* $6 26,

Bbbb 3 £mer-

$66

OB SERV ATIONES

Emerfio Elecflrae obferuata ell: ad limbum
Lunae lucidum et tremulum ; quam obrem pro ex-
acla reputari iiequit; praecedentes vero ad femiiTem
fecundi certae funt.

Nubila coeli flicies durat vsque ad /j Martii ,
qua demum fequentes capere licuit altitudines Solis
correfpondentes.

Ante merid.

Alt. Olis

Poft. merid.

Mcridies

V' 46'. 43"
- 48. 4

23^ 0'

2^ 17'. 40"

1(5. 21.:

O^ 2^ II^'l

— 2. 12I

- 51 15

23. 20

13. 2

- 2. 81-

- 52. 345
9 SS 56

23. 40

II. 42.i
2. 8. 25

- 2. 8i

0. 2. 1O5.

Meridies medius
Corredlio meridiei

Meridies verus

o.

2. 10, 3
- 28,3

o. I. 42.

Eodcm die tranfitum Sirii per tubum qua-
drnntis, priftinum fitum fcruantis, fequentem in modum
obfcruaui.

Appuk. ad fil. vert. micr. 9^ 2C^. 48^'^ acc. hor. 47^7

ad fil. obliqu. 22. o> - - 47,. (5

Exitus ftellae e tubo 22. i<5 j - - 47,0.

Pofita itaque acceleratione horologii fupra diem
folarem medium 47^ 3 momenta rmmerfionum ad
tempus verum reduda habebunt fe , vt fequitur.

Immer-

PETROPOLI INSTITVTAE. 5^7

Immerr. Seleno - - - - - ii^. 9'. 10''
Eleclrae 11. 25^

Maiae i r. 35. 54.

Stellae Lucid. Pleyad. prox. 12. 12. 3

•v^ feii Lucidae Pleyad. 12. 16. 5g,

Inuigitanti mihi huic phaenomeno minores ftel-
lae longius, maiores yero minus limbo Lunae inherere
Ti(ae funt , id quod mereri Yidetur, vt obferuationi-
bus aliorum aflronomorum vel confirmetur vel euer-
tatur,

Labentibus menfibus Fcbruario et Martio plures
inftitutae funt fuper Satellites louis obferuationes ,
verum motum horologii obferuationibus altitudinum
Sohs correfpondentium flabihre non licuit , id circo

22 KarUi

referendis iis fuperfedeo. Emerfio tantum die ^ ^ ^^^^^

horologio monftrante 7^ 3 5'- 18" obferuata hoc
incommodo non laborat 5 nam eo iplb die meridies
corredlus ex altitudinibus Solis correfpondentibus
o^ I o'. o", (J et die " f^^' eodem modo meridies
verus repertus eft o^ 10'. 42'', 3; vnde tempus verum
Em, L Sat. Ims erit 7^. 25'. a^

Anno

$6S

OBSERVATIONES

Anno 1768.

Ternp. HorolJTcmp. yer.

Die j% Fcbr. meridies ex
8 paribus altitudinura Solis
correfpond.

Corredlio meridiei

Mcridies verus

Immers, 1. Sat. loiiis tubo

Gregoriano 24 poU. longo.

^lsleniefftubo Achr. 10 ped

Die 4 Febr. meridies me-

dius ex 4. paribus alt. Solis

correfpondent.

Corredlio meridiei

Meridies verus

Die ^^-l^. meridies medins

I MarfiJ

cx fex paribus altit. Solis
correfpondent.

Corredio meridiei
Meridies verus.
Eodem die obfcruata e(l Imm.
I. Sat. louis tubo Gregoriano
24 poll.
Obleruatio liaec fubdubia eft|
ob intemperiem aeris

Die 'J-If^^/ meridies medius

2 i'\art.

ex 4. paribus altit. Solis cor-
refpondentium.

Corredio meridiei
Meridics verus

0^5 i^ 40'', 9

- 25, 7

5i< 14, 2

^3-
13.

52.
52.

o. 52.

o. 52.

57, 5
26, ^

30,8

59 24-

I. 6. 2,9
— 28,6

I. 5. 34, 3

5. 54- 3<J.

I. 7.

I. 6.

2S, 7
32, 4i

4. 4-8. 50

Eodem

PETROFOLI INSTITVTAE. 569

Eodem die coelo fereno fed
Luna fpleiidente

/;//;;/. III. Sap. louis
Imm. II. Sat. louis
j-jjg ii_P£br. nieridies mediiis

4 xAart.

cx fpx pAribiis altit. Solis
correfpondent.

Corredio merid.
Meridies verus.
Die ^^^- Imm. III. Sat.
louls coelo fereno.

Die

-3 Vebr.

meridies medius

10 Mar/

cx 5 paribus altitud. Solis
correfpondent.

Corredlio meridiei

i Meridies verus

I

Eodem die Imm, I. Sat louis
\ Die fequenti horologiun
ad quod hucusque obreruatio
nes peradlae (unt, pDll meri-
diem (ubftitit ; id circo in
fequentibus aliud a Charoft
nempe elaboratum ad obfer
vationes adhibitum eft.

Die Ts Martii meridies
medius ex fex paribus altit.
Solis correfp.

Corredio mcridiei
Meridies verus.

Tom. XV. Nou. Comm.

Temp.Horol.|Terap. ver.

12^ 58^ 3ii"
14. 17. 4P

1 1 9. 1 d, 9

- 28,9
r. 8. 48

17. I. 45

I. 12. 3(J

-~ 28, 3
r. 12. 7,7

14. 25. $5

13. 10. 40

'5. 49-49

o.

o.

6. 6,^

- 27,9
5.38, 8
Cccc

Eo-

570

OBS. PETROP. INST.

Eodem die coelo fereno Imm'
I. Sat.

Die /5 Mart. meridies me
dius ex fex paribus altit. Soiib
correfpond.

Corredlio meridiei
Meridies verus
Die 5ff Mart. meridies me
dius ex fex paribus alt. Solis
correfpond.

Corredio meridiei

Meridies verus

Eodem die aere tranquillo ,

coelo fereno Imm. I. Sat.

louis.

Die liil^- meridies me-

I ApriU

dius ex fex paribus altit.
Solis correfpondent.

Correiflio meridiei
Meridies verus

Temp.Horol

9^ 4V- 4-<^

o. 6. 23, 9
o. 5. 56, I

o. 7- 52, 3
— 26, 2

O. 7. 25, I

11.42. 3

O. 9. 15, 5
~ 25, 5
0. 8. 50.

Femp. ver.
9^ 39'. o^'

II. 34. 52.

OBSEK-

-1^.1 ( O ) |c?.-

571

OBSERVATIONES

ASTRONOMICAE

ANNIS 17^9 ET 1770. INSTITVTAE.

Vna cum determinationibus geographicis ali-

quot locorum Imperii Ruflici

inde dedudis.

A II (H: o r e
W. L. K R A F F T.

In obferuationibus , quas hic Academiae exhibeo ]
iiiftrumentis ^fus fum iibdem , quibus obleruatio
Venerii!. in Sole a me inftituta. lis igitur defcri-
bendis hic non immoror , cum iam in Commenta-
riorum nollrorum praecedenti tomo reperiantur de-
fcripta. Id vnum arbitror praemonendum, altitudi-
iiibus fiderum hic recenfitis corredliones neceffarias
tam ob deuiationem radii Yifionis , quam quae pa-
railaxi , refracftioni et redudioni ad centrum alki
debentur , iam efle , \t fpatio parceretur , adplicatas.

/. Obferuationes pro latitiidine geograpbiea
oppidi Vfa.

Anno 1769. menfe Augufti nov. ftil.

d. 22.

^5.

Aitir. nierid. O

lil uat acquat.

35'.i7'.i2"

Decl bor. O

46^i7'.33" |ii°. o'.36" j 35=^ 16^ . si^
45°. 57'. 1" I 10". 39'. 5»" 1 35".0'. 10".

C c c c a Menfc

572 013SERVATI0NES ASTRONOMICAE

1.

4-
5-
8.

Menfe Septembris.

43^
42^^
41'
4-0^

27'. 4o''
21'. 39"

//

59'.

5 2^

3<^'.3S'. 4

.,/

10'. 2

19

8\

6°. 42'. 2''

5-3V.33''
i°.2o'.54-".

3 5"
35'
35'
35'
35

17'.

x7'.
16'.

,/

12'

59'

3.^

17'. 10

Eodem menfe.

/ a aquilae

3.! 43°. 3 3^- 59"
Aldebaran

8°. 16'. 43''. B.

3 5". 17'. i<^'^

23.

51

19'. 20",

16' i'.4.^".B. 3 5". 17^38".

Vnde , fumto medio arithmetico , colligitur
Altitudo aequatoris

35^17'. 15''
et latitudo borealis 54°.42'.45''.

//, Ohferuatio occiiltationh Jlellac r Taiiri

Juh Luna ij6f^- d. 24. Aug, n, Ji,

Vfae injlituta,

Motus horologii , ad quod haec obferuatlo eft
inftituta , altitudinibus Solis corrcfpondentibus adcu-
rate exploratus fe habere deprehenlus eft , vti fe-
quens oftendit tabula :

1769. menfe Aug. n. ft.

Reiardatio
horologii temp

3'.-i3^^ I

6', 2^". 6 27

2

d.

Merid. \erus

17-
18.

20.

2 1 I o". o

b

oK 1 3'.

o^ 10'.

3'- 35

I 8". 7 i

21''. 3

b ^l

3^iV'.

12^57'/. 7

med,

"9

// ^

2^0

vnde

ANNIS i75p ET 1770. ' 573

ynde conciuditur retardatio diurna horologii fuper
tempus medium 3^. o" et d. 24. Aug. meridies yc-
jus 1 1^ 50'. 40''.

Die 25. Aug. temp. ciuili ^ mane , monflran-
te horologio 3^-39'. ^s" obftruaui immerfionem
flclhie r\j fub Luua, tubo praeftanti DolloncHano 10.
pcdum , aere tranquillo et puro. Licet eclipfis
fadla fit ad hmbum Lunac luciJum ,* tamen , cum
fuerit flre inftantanea , incertitudo momenti afhgnati
"vltra duo vcl tria miuuta fecunda exrendi iroxi
potcft.

Huius itaque occultationis inuenitur pro me-
ridiano oppidi Vfa tempus . verum 1769. d. 24.
Aug 15^ 50', 44'^^ fiue ob aequationem temporis
4- 1'. 48^'. tcmpus m.edium 15^ 52'. 32".

Longitiido geographica ofpidi Ffa ex bac
ohjeruatione dediida.

Stelhie huius , quae efl quintae magnitudinis
et in ffonte Tauri borea , ex ephcmeridibus Cel. Dni
de la Caille coliigitur (*), habita ratione cfieclus nuta^
tionis et aberrationis , lequens pofitio :

Afcenfio reda 6^\ 6K 54''

Dcclinatio bor. 22". 29'. 46^'

Lnngiiudo 2'. 8". S6\ 2^"

Latitudo o^ 41^. 3"

C c c c 3 quibus

(•; Conf. Introd. ad ephemerides pro anno 1765. pag. 6S-

574- OBSERVATIONES ASTROXOMICAE

quibus cocftitutis , ex tabulis lunaribus Cel. Maieri
concluditur pro meridiano Farifino tempus medium
coDiunctionis verae ftellae Tu cum Lu::a i7<59. d.
S4. Aug. 13^5'- 23''.

Fadis pluribus pro quaefita meridianorum dif-
ferentia hypotbefibus , quas hic adferre- foret fuper-
fluum , inueni veram huius loci longitudinem a Lu-
tetiis Parifiorum ftatui debere 3^ 3+'. 14" verfus
orientem ; hac enim affumta , 0'>feruationi pleue ^-
tisfit , \ti ex fequenti calculo paiet :

Tcmp. med. obferuat 15^ 52'. 22''

Differ. merid 3^ SV- ^V

Temp. merid. Paris 12*. iS'. i S^'

Longt. L«nac vera . . . . 2^ 8\ 2S'. 50'^
Latit. Lunae vera B. . . . x*. 7'. 52''

Parall. C horiz. pro fig.

Sphaeroid. terrae 59'. 12"

Semidiam. C ^uda in ra-

tione altitud 16'. 24"

Parallaxis C io longit. ... + 14'. 21^'

in latit — 36' 32"

Longit. C appar 2' 8°. 43^ n"

Latit. C ^PPiir o^ 31' 20''

Difitr. appar. long. t \:? et C i s'- 1 3''

' - - - latitud. 9' 4.<5"

■>>

Diflantia appar. centrorum . . . 16'. 24".

Cam

ANNIS 17(^9 ET 1770. 575

Cum igitur computata in hac longituJinis geogra-
phicae hypotheri diftantia centrorum apparens pror-
fus congruat cum femidiamctro Lunae apparente ;
ea hinc plene confirmatur , fiquidem a tabularum
erroribus animum ablkahamus , quos ob deRdum
obferuationis correfpondentis inueftigare non licuit.
Qiiare ftatui poterit.

Longit. geograph. oppidi Vfa verfus orien-
tem a Lutetiis Parifiorum.

in tempore . . . 3^. 34'. 14"
in part. circuli 53^ 33'. 30''.

///. Ohfcriiatio Cometac anni /7^. Vfae

inftitiita,

Infignem hunc Cometam , quamuis diuturna
fuerit ipfius adparitio , tamen partim coelo , in iftis
regionibus eo anni tempore Ytplurimum nubilo et
pluuio , partim itineris inopino cafu impeditus non
nifi Ynica vice adcurate obferuare potui \ die nimi-
rum 3. Sept. n. ft. quo Cometa ad parallelum
fteliae y Orionis prope acceflit. Horologii mei
confueti , fed de nouo fufpenfi , motum non nift ad
meridianam , quam quidem fatis exadam noui ^
exarainare licuit. Erat autem merldies verus:

d. 31. Aug. ... ii^ 58'. ip^i
d. 4. Sept. . . . ii^. 42^ 33".

cx quibus cum tempore medio collatis coliigitur re-
tardatio penduli diurna (iiper tempus medium 3'. 37''-7

vade

57^ OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

vndc (latui poteft d. 3. Septeinbr. merid. verus

11^46'. 30'^

Qnadninte , poftquam filorum tubo infertorum
poritionem probe exploraucram , in circulo aliquo
verticali , ad cuius azimutum , calculo ex datis ob-
feruationis fncile inuenienJum , ob circuli azimuta-
lis paruitatem non attendi, firmato , Cometam cum
flella y Orionis comparaui ,• notaui nempe

Temp. horol.

12^58 -3

Temp. ver.

13^ S'. 19"

13*. 14'. 13''

appulfum Cometae ad fi-
lum verticale lub altitu-
dinc 12°. 50'. 27''
appulfum flellae y Orio-
nis ad idem filum fub al-
titudine 12°. 40' 59".

Ex ephemeridibus Cel. de 1a CaUIe inuenitur
pro hoc tempore ilellae y Orionis

Afcenfio reda . . . 78°. 11'. 52"
Declin. bor 6\ 7^ i^'.

vnde , fado calculo , prodiit pro tempore

d 3. Sept. n.ft. 13^ 8'. 19". Temp. ver. fub mer. Vfenfi
adeoque 9'. 34'. 5^'. Temp. ^erJ
et 9 . 3 2'. 5 8". Temp. med.^

Cometae.

Afcenf rea. . . 76°.37'.39'MLo"§it. • . 2'. K^^ i- i^
Declin. bor. . . 6\ iS^ o" JLatit. auftr. i5°. 33'. 20''.

Calcu'

ANNIS 17^9 ET 1770. 577

Calcuhs pracccdentis ohfcruationis cx ele^
mcntis thcoriae huius Comctac,

(^Linliscunque haec fit obferuatio ^ iuuat tamen
eam comparare curn theorii huius Cometae , quam
a comphiribus Aftronomis inueftigatam \^) accipimus.
Eminet inprimis ea , quam in peculiari (cripto :
Kecherches et calcuh fur la maie orbite de la Co-
viete de t annee 1759, noua methodo lUuftr. Eulerus
ilabiHuit ; quae igitur elementa , cum ifle liber
Afironomorum latere neminem cenfendus fit , hic
fuppono cognita. Vt vero ante omnia de obferua-
tionis meae vel defedu ycI praecifione co procliuius
eflet iudicium ; obfcruationes diebus 2, 3 et 4 Sep-
tembris in citato fcripto pag. 4. recenfitas interpo-
lando fequentes eliciii formulas generales: die 3. Sept«

Longit. Cometae zi^^^^s^^^.iS^^+SS^, 58.5;'^4-o,93.5;5:".
Latitudo . . . zz i(5°37^48"-l-i7<5', 40.5;"+o, 25.«^"

Cum igitur propofita obferuatio praecedat hanc
epocham intcruallo 2^ 51^ 13"^ erit s-— 2^ ■85 3(S'
quo Yalore fubftituto prodit Cometae longitudo 2.*
i5^ 7'. o'' ; et latitudo i(S°. 29'. 25''* quarum ergo
haec ab obferuata 2' 55'' illa vero nihil difcrepat;
ita , Yt haec obferuatio cum reliquis fatis benc con-

fentire

(•) Conf. B ernoul/i , A^ron. Berol. Recueil pour les Aftronom.

Tom.XV.Nou.Comm. Dddd

^578 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

fentire cenfenda fit. Inft-tuto itaque praeuio hoc
obreruationis examine-, eiusdem calculus in liypotbefi
traiedoriae ellipticae ex ckmentis Ewerianh ita fe
habet.

Obferuatio praecedit tempus peribelii interuailo
54,25323 dicr. ex quo pofita SoliS a terra diflantia
media — i , concluditur Cometae.

Anomalia vera 14.0^10'. 5"

Elong.aNododefc.

in orbita 9°. o'.5 2"
in ecHpt. 6^50'. ^2'^

DiftantiaaOle 1,04931.
Long. helioc. 0^1° 5 5^23''
Latit. bclioc 5°52'49'A.

Pro locis geocentricis coUig'tur ex tabulis CeL
de h Caille ad tempus propofuae obferuationis.

Longitudo G = 5* 11" 32' 47'' ^ eiusque a terra
diftantia in: i, 00753 quibus pofitis , prodit.

Anguluscommutationis ^o''^^':^^"
Angulus elongationis 85°2(5' 3"

Long.Com.geoc. 2^i5° 6^42'^
Latit. geoc. i6°25'35^^

•vbi quidem longitudo non nifi 25" ab obferuata
difcrepat ^ Lititudo vero computata cum obferuaiione
jion aeque fehciter congruit.

ri

ANNIS 1759 ET 1770.

579

VI* Ohferiiationes pro latitiidine oppidi
Sijrajh ijjo d. 28* Martii n, Ji,

Altit.merid.

Declinatio

Alt.aequat.

39° 54-' ^3^'

3° 3''5^^'.B

3^' 50' 27''

49^5 5' 9"

13° 5' 4''-

3<^°5o' 5''

5 8° 3^' 56''

2i°4<5'5 3/'-

3^' 50' 3''

5 7° 49' 47^'

20^S9'^i'-

36°5c' c^^

29^ 9U7"

7°4o'2 2".A

3<5°5o' 9^'

5i^iV52"

8 8° V3<^".B

3^^49'44''

21° 2' 36'^

57°5 2'45"-

36° 50' 9''

18° 26' 14"

55°i<^'i^''-

3^° 50' 2"

22° 37^ 37''

59"27'57''~-

3^° 50' 20''

Sumto medio . .

. 36° 50' 7"

Latit

. bor. . . .

. 53' 9'53''.

Sol.

<t Leonis

^ . . . .

V . . . .

a Hydrae
Polaris.
p. Cnffiop.
<t . . . .

V . . . .

Ohferiiatio tranjitiis Liinae ad Jlellam ^
Taiiri 1J70. d, /. .^pr. n, Ji. in oppido

Sifran,

De horologii , quo vfus fum , aftronomici
motu captis quamplurimis altitudinibus Solis cor-
refpondentibus perfede conftitit ; ex quibus prodiit

d. 29. Martii Merid. Ter. ii^ 58' 5i''. 8
d. 30. ----- o^ o' 26'/. 4
d. 3. Aprilis - - - o^ ^' 39''. a

vnde concluditur acceleratio penduli diurna fuper
tcmpus medium i 52". 8 atque hinc d. i. Aprilis
merid. verus o^ 3' 35'^ 2. Quamprimum per cre-
pufculum vefpertinum fieri potuit, ad Lunam obfer-

D d d d 2 van-

5 80 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

vandam me accinxi ; et cum flellam non procul. a
Lunae limbo remotam fatis diftinde confpicerem, tres
lcquentes inftitui obferuationes. Qiiadrante nim.rum,
de cuius errore perfede conditit , ad certum ele-
vationis gradum firmato, eo ipfo momento , quo
Lunae limbus iilum medium immobile attigit ,
ftellae ab ifto limbo diftantiam micrometro fum
dmienftis ; ynde pro eodem momento Ytriusque fi-
deris aititudo innotuit.

Temp. horol
- 7^ 3^' 50''

7' 37' 15"
7'37'36''

Temp. horol.
7^41' 40"
7^41^50''

7^42^11"

Obferuatio Prima.

Temp.ver

7^ 32' 45^' Ahit. limbiCi^^ei*. 44*2 2^45"
Altit. ^y . . 44° o'i6^^

DifTer. appar. ahit. o^^^'^^'^,
7^ 33' io''|Stella in filD \'erticali
7^ 33' 3i''iLimb. ^occid in eodem vertic-

IDifFer. appulfuum —21'^.

Obfcruatio Secunda.

Temp. ver.

7' 37' 35''
7' 37' 45''

7^3S' 6'

<^ y in filo verticali.

Altit. hmbi^infer. 43"42'44"

Altit. ^y . . . 43°ii^'5 5'^

DifFer. appar. altit. 0^2 ^'-fp'^
Limb. ^occid.in eodem vcrtic*
Differ. appulfum — 31''.

Obfer-

Temp. horol
7^ 46' 40''

ANNIS i7<^9 ET 1770.
Obfematio Terria.

Temp. Yer

7' 41' 55"
7^ 42' 35"

58t

7^47'

4'

7' 4^' 59'

i^ 'd in filo verticali
LiiTib. 3 occid. in eoietTi
DifFcr. appuiruum — 40''
Altit limb. 3 infer.43' 2^42''
Altit. ^ y . . . . 42"37'27''

DifFer^ appar. alcit. 0^25 '15"

•vbi notari coniienit, nkitudines has per refradionem
iam efle corredns.

Longitudo geograpMca oppidi Sisran ex ob*
feruatione praecedente dedu&a.

Elementa calculi cx tabulis aftronomicis depromta ita
fe habent ; 1770. Temp. Parifino med. April.

i^ 4^ o' o^'.

Stel2;«afc.R.appar.8o°59'o"
Declinatio . . ao^SS^so''
Longitudo . 2' 2i°3V42"

Latit. auftr. 2°i3'26'^iParaIl. aequat.

.Mot. Lunae hor. in long.4-35^32^^
in latit. + 3' 5'/
indeclin.4- 4' 3"

Lunae Long. ver. 2^2 2°2i'3 8"

:^emidiameter

59^25'^

Latit auftr. i°2i'2o''lPar.horiz. pro j fphaeroid. sp^i^''

Decliuat. bor. 2i°53'47''|Aequ. temp.adtemp.ver. add.s^^S'^

cx quibus concluditur coniunclionis verae ftellae ^\S
cum Luna tempus Parifiimm medium 1770, d. i.
April 2^0' 45''-

Dddd a

Con*

SSi OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

Conftitutis his elementis , pro tribus iflis mo-
mcntis , quibus ftella in filo verticali obferuata eft ,
diiferentias longitudinam et Luitudinum (leliae et
Lunae ope angulorum paralladicorum indagaui. Huius
calcuii potiora elementa in fequcnti laterculo ex-
hibentur^ in figura vero i: Tab. XXXI repraefen-
tet Z zenit loci propofiti , P et IT polos aequatoris
et eclipticae, S locum (leliae, A et L locum Lunae
apparentem et Yerum. Mora femidiametri 3 per
meridianum inuenta eft i'i3''^ per circulos autem
iftos Ycrticales i' 29".

Calculus obferiiationis.

mae

Temp. medio .... 7^3<^''58''
Difflapp.alt.centriSet (lellae o"3S'59''''
Parall. altitud. A L . . W^i-^^

//

T idae

o°4o' 9"
42^37''

//

/,

6''

//

DifFe*. vera altitud . . i^^i^^io
DifFer. azimutalis appar. A X o°20^ 4
Ducatur Ljji- cum ZX paralL eritque
AjJi, a AX fubtrahendum :=: — 14^^
ParalL azimutalis . . ..+16''''

DifTer. azim. vera L/ . . 0^20'

Angul. diflantiae Z S L .

Diftantia centr. vera S L

AnguL paralL Z S P .

Ang, pofitionis P S 11 .

Hinc

Ang. coniundionis TISL 5a°i8^54^^

Diffcrentia latitud. Sm . . o°5i^ 7''''

longitud Lm V 6^ ^^^

//

13 5432

i°23'37
34^49^3 2^^

3^34^50^^

0°2l'5l"

-iV'
+ 16"

o°2i^53'^
I4°4S'3^"

i^25'36^'
35°i4'2o"

T 1 1 tJae

7'45'43''

43

/ r.H

53^37^4^''
o°5c'46''

i* S'55"

I°2V2l^'

//

O''^^'^^

-14"

+ i7_;|

i5°3^' 3"

i°27'33''
35°37'2o''

54^48' 13"
c°5o'28''

i°ii'3^

,//

Ybi

ANNIS 11^9 ET 1770.

583

\bi qiiidem arcus L m rediidionc ad eclipiicam non

iadjget.

Ex inuentis his longitudinum diiTercntiis , opc
motus horarii Lunae in longitudinem n: 35^ 32'^,
per finguhis iftas obleruationes tempus medium con-
iundionis \erae definitur ^ ex quo cum tempore Pa-
rifino , quod eft 2''. 40'. 4-5", collato difiereutia me-
ridianorum innotefcit.

1 Temp. m,ed. coni. verae
exobfcru, I. 5^ 45^ i<^''

II.
III.

5'. ^5'. I
5'. 44'. $6^

DifFer. meridian.
3^4'.3i''
3'. V. i 6^^
3'.V. 11^'.

Sumto itaque medio flatui potefl: Longitudo
oppidi Sibran a Lutetiis Pariflorum verfus orientem

in tempore 3^. 4'. 19''

vel in partibus circuli . . 46''. 4'. 45'^

VL Ohferiiatio Immcrjiojiis' IP' Satcllitis lo*
vis ihidcm injlituta.

Horologio in hac obferuatione eodem , quo in
praecedente , vfus fum ^ et quae ad motum eius di-
iudicandum pertinent , ibi iam funt recenfita. Die
ap Martii 1770. pnft mediam nodem , monflrante
horologio 2^ 14' 56'% pcr tubum DoIIondianum ^chro*
maticum 10. pedum , II'^"^ Satellcs louis in vm-
bram penitus immergi vifus eft ^ quae ergo eclipfis
accidit tempore vero fub meridiano oppidi Sisrau
die 2p. Martii 14^ 15'. 5>''.

Obfer-

584. OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

Obrernationem hanc pro exadtiiTima non ven-
dito , fiquidem facla cft acre vaporibus pleno et lo-
vo vix (ex gradus fupra horizontem eleuato. Ope-
rae tamen pretium efl: , eam comparari cum fui
correfpondente , quam in vrbe Tfcherkaski prope
Maeotidem fimili tubo et fluiente coelo Chriftoph.
Eulenis inftituit , vbi quidem haec immerfio conti-
git temp. vero d. 29. Martii 1 3''- 4o^ 30''. Qiiam-
obrem inde concluditur differentia meridianorum

inter Sisran et Tfcherkaski . . . 0^34.'. 3P^'

adeoque inter Tfcherkaski et Lutetias Parif 2''. 29'. 38'^

vel in partibus circuli . . . . 37°. 2V.30''.

ita , vt longitudo huius vrbis ab infuhi Ferri fta-
tuenda fit 57°. 17'. 30"^ latitudo vcro obfcruata efl:
47^ 13'. 40".

Obferuatio haec pro Geographia haud contem-
nendi vfus eft ^ liquet enim inde , in mappis etiam
praeftantiffimis oftium Tanais fcu littus orientale
Maeotidis ad tres vsque gradus nimis ad orientem
efle pofitum ; ex quo interuallum inter inare ni-
grum et Cafpicum totidem gradibus augendum eft ;
ita , vt fufpicio , in quam dudum inciderunt Geo-
graphi , bina ifta maria nimis efle in mappis fibi
inuicem vicina , hac obferuatione ccmfirmata et cx-
tra dubium pofita efle cenfenda fit.

VII.

ANNIS i7<^9 ET 1770. 585

VII. Ohfcruatio Emerjionis I""' Satellitis Iq<
vis Kiouii injiituta,

Ex obreruationibus SoUs correfpoiidentibus in-
ireni

d. 13. Aug. 1770. merid. ver. 11^57'. 2i^^3
d. 15 ii^. 56'. 25'^

cx quo concluditur retnrdatio penduli diurna fuper
tenipus mcdium zr 17"^ quam tamen exadius 20".
Itatui pofle exiftimo.

rie 14. Augufti , aere fereno et tranqiiillo ,'
fed luce crepufculari adhuc fenfibili , monftrante lio-
rologio 7^* 45'. 51", I'"''* Satelles louis , ex vmbra
emergere tubo achromatico 10. ped. obferuatus eft \
cuius emerlionis inuenitur

temp. ver. .... 7^49'. 9''.
Eadem Parifiis fec, ephem. contigit . * . 5^53'. 59".

Tnde prodit merid. different. in tempore 1^55'. 10''.
\el in part. circuli . . 2 8°. 47'. 30".

tjuae determinatio, cum ephemeridum pro iflo tem-
pore cum coelo confenfus ex aliis obferuationibus
huius fatellitis confirmetur , a veritate multum dis-
crepare non poteft.

Eleuationem poli conclufi 50^ 30',* quae vl-

tra vnum minutum primum incerta non efl ; nihil

enim in altitudinibus G meridianis defiderabatur,

nifi quod eas per errorem quadrantis corrigere non

Tom.XV. Nou. Comm. Eeee licuit,

5 85 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

licuit , cuius verificationi n^ceffitas inopina repenti-
ni ex ifti vrbe abitus obftitit.

VIIL Declimtio aciis magneticae,

Vfae fub latitud. bor. 54-° 5 3^ et SS^^as'
verfus orientem a Lutetiis Parifiorum acus magnetica
5 poll. longa, die 29 Septembr. n. ft. 17^9 repetito
follicite experimento , 1° 30^ a feptentrione verfus
ortum declinare reperta elt.

IX. Ohferuationes- meteorologicae.

i75p. d. 0.6. Septembr Vfae hora 8 vefpertina ,
Aurora borealis inufitatae prorfus claritatis
vifa eft , fulgura quaquauerfum eiaculans ve-
hementiflima. Huius aurorae afpcdus , nun-
ciantibus noueUis publicis , per omnem fere
Germaniam patuit ; eodem die in regionibus
Rheni terra A-ehementi motu concuiHi refcr-
tur ; huius phaenomeni apparitio tam late ex-
tenfa, vt nonnunquam eadem aurora bor. per
totam Europam vifa fuerit, de ingenti materiae
eam generantis altitudine dubitare non fmit.

1770. d. 2. Apr. Anrora bor. infignis claritatis in
vrbe Sisran vifa.

1770. d. 12. Febr. tenue veftigium luminis zodia-
calis pofl O occafum ; eadem apparitio etiam
d. 27 obferuata. d. 28 Martii lumen hoc
CafTinianum pulcerrimum vifum eft inter
horam 9 et lO, ab horizontc ad conflellatio-
nem pleiadum vsque protenfum.

Halones

ANNIS 17^9 ET 1770. 587

Halones circa Lunam vifi funt diebus 14 et 15
Februar , quorum pofterior uotatu inprimis di-
gnus. Taceo pbaenomena halonum vfitata ; id
■vnum annoto ; exiguo fupra halonem primarium
interuallo viius eft arcus alius halonis fecundarii,
fed inuerfi , Lunae conuexitatem obuertentis ,
qui pariter , ac primarius , colores, iridi aemu-
los, (ed ordine inuerfo oftendebat. Dies praecefTit
fubnubila. Thermom. De l'hlianum 178°.
Halonis eiusmodi excentrici apparitio fallor ,
an cum Hugeniana horum phaenomenorum ex-
plicntione, a particulis glacialibus, in atmofpbaera
pcndulis petita , haud ita facile conciliari poteft.

Eeec 2 DE-

DETERMINATIO
LONGITVDINIS GEOGRAPHia\E

PLVRIMORVM LOCORVM, IN QVIBVS

ECLIPSIS SOLIS A. 17(^9. OBSER-

VATA FVIT.

V

A u c t o r e
AN D. lOH, LEX ELL.

I.

IiUer methodos \ulgo vfitatas , pro determinandis
longitudinibus locorum ex inftitutis obferuationi-
bus Eclipfium Solis , frequentiffinno \fu apud Aftro-
nomos inualuit ea , qua ex Longitudine et altitudi-
ne Nonagefimi , Parallaxes Lunae tam in Longtudi-
nem quam Latitudinem determinantur , indeque ve-
rum tempus coniundionis Solis et Lunae eruitur.
Quum igitur eodem fere temporc , quo ad praefcri-
ptum elegantiffimae Methodi ab llluftr. Eukro in-
ventae (quae in Part. II. Tom. XIV. horum Com-
naentar. expofita legitur) , phirimarum obferuationum
fuper Eclipfi Solari Anno 17(^9. fadarum calculum
inftituiflfem ^ auidus effem fcire , an Methodo Nona-
gefimi adhibita ad easdem pertingere liceret conclu-
fiones ; \t has obferuationes , fecundum praecepta
quoque Methodi Nonagefimalis computarem, in ani-
mum induxi. Laborem autem hunc adgreflus , in-

fignes

LONGIT. GEOGR. EX ECLIPSI SOLIS etc. 589

fignes niihi fiatim fe obiecernnt diflicultates , quippe
quum inuenerim iilam Methodum \ti ab Aftrono-
mis communiter ndhibetur , omnino operofiflimam
eflc et variis defcdibus laborare , quorum in nume-
ro fcquentes praecipui mihi Yifi funt : P. Formu-
lae quae pro computandis Parallaxibus tam Longitu-
dinis quam Latitudinis , imprimis fub hypotheli fi-
gurae telluris Sphaeroidicae , in fcripcis Aftronomo-
rum adferri folent , non folum quam maxime pro-
lixae et intricatae funt , fed etiam propter faepius
repetcndas approximationcs ad calculum moleftiili-
mae. II^ Mcthodi Yulgares definiendi corrediones
Longitudinis et Latitudinis Lunae , omnino incertae
funt et faepius in graues errores inducunt. Iir^^Com-
muniter refpedlus haberi non folet ad corrediones ,
quibus Paraliaxis Lunae aur Diametri Solis Tel Lu-
nae indigere poflint , et licet probabile fit has cor-
rediunculas fore quam minimas , eas tamen mini-
me -negligere licebit , donec ad eiusmodi peruentum
fuerit conclufiones , ex quibus appareat id flne fenft*
bili errore fieri pofle.

2. Dum itaque ob rationes rtiodo allegatas
Mcthodum vulgarem deferere coadus fui , in aliam
incidi ab ea in paucis diuerfam , fed vt fpero mul-
to concinniorem et ad calculum ineundum accom-
modatiorem , ad cuius qunque praefcriptum, plerasque
obferuationes Eclipfis Solis A. i7<J9. computaui ,
calculis his cnm iis qui Tomo praecedenti inferti
funt egregie coiifentientibus. Breuem igitur expofi-

E e e e 3 tionem

590 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

tionem horum calculorum et conclufionum inde de-
dudarum eo minus Aftronomis difpiacituram confi-
do , quod fuie exacla determinatione Longitudinum
pro iis locis , vbi traniitus Veneris obferuatus fuit ,
obferuationes poilerioris huius Phaenomeni inutiles
cuadant ad determinandam quantitatem Parallaxis So-
laris , dum ea tamen loca escipienda funt , in qui-
bus , tam ingrcffum quam egreffum Veneris obfer-
vare licuit. Congruum autem mihi vifum eft,
hanc tradlatiunculam in tres dispertiri Articulos ,
quorum prlmiis continebit delineationem nouae Me-
thodi ex obferuatis Edipfibus Solanbus Longitudi-
nem locorum determinandi , fecimdus breuem fiflet
expofitionem elementorum per calcuhim ex fingulis
obferuationibus deducftorum et terthis denique modum
cx aequationibus finalibus , non folum corrcdioncs
elementorum Aftronomicorum inueniendi , fed etiam
•veras Longitudines locorum determinandi.

ARTICVLVS L

Expofitio Methodi ex obferuationibus Ecli-

pfium Solis , Longitudines locorum

determinandi.

3. Quum in praefenti disquifltlone verae fi-
gurae telluris rationem habere conftituimus , e re
quoque erit pro vnoquoque loco , in quo Echpfis
Sohs obferuata fuit , cognofcere tum diftantiam lui-
ius loci a centro telhiris , cum etiam anguhim quem
re(^a ad centrum telluris duda facit cum linea ad

fuper-

SOLIS A. 17^9. DETERMINATAE. $91

fuperficiem telluris hoc in loco perpendiculari. Sit t. XXXL
itaque ALB meridianus quidam terrcflris per da- Fig. 2.
tum terrae locum L tranficns , qui aequatori oc-
currac in pundo A, Polo in B exidente , fuppona-
mus autem eius figuram effe ellipticam , quoniam
huiusmodi figuram a vera non rnultum abludere
polTe conftat , dudis igitur recflis A C et B C ad
centrun"i teliuris C, hae redae axcs eUipfeos conlH-
tuent. Deinde ducatur etiam L O normalis ad fu-
perficiem telluris in pundo L, quae quum in pla-
num ACB incidat , occurrat rcdiic AC in pundo
O et iungatur L C. lam fi produdlis C L et O L
bini in coelo punda z et Zierpondcre concipiantur ^
liquet polierius id efle , quod communiter nomine
zenith venire folet , nos vero idem zenith apparens
appellabimus , vt diftinguatur a pundo z , quod
nobis zenith verum dicetur. Demde euidens quo«
que eft angulum LOA aequalem efle Latitudini
loci L , quam littera L indigitabimus.

4. Vt autem niinc valores anguli O L C et
redac LC inueftigentur , defcribatur centro C radio
CA circulus, cui reda LP ex L ad AC normaliter
dcmifHi occurrat in pundo M et iungatur CM , tuni
vero anguii A C L et A C M litteris N et M in-
fignientur. Qiioniam igitur A L B fupponitur effc
ellipfis atque ratio axium ACetBC cognita afTumi-
tur , ftatuamus A C*. BC: : i: « , adeo vt fit B C
=:iAC, quum vero habeatur PL: PM : : AC: BC,
crit Tang. M : Tang. N : : P L : P M ; ; 1 ; ». Vlterius

quum

592 LONGIT. GECGRAPHICAE EX ECLIPSI

quum fit Tang. L: Tang. N : : PC: PO , per pro-
prietatem ellipfis vero PC: PO : : A C^y: BC^ -.: i\n
erit Tang, L:Tang. N : ; i\n\ \nde Tang.N = «'Tang.L,
per quam itaque formulam ex dato angulo L in-
\enitur N , hincque O L C =z L — N. Porro ob
n Tang. M' ~" Tang. N' erit quoque Tang. M*
Tang. L. Tang. N , hincque

fin. M' cof. L cof. N zz cof. M\ fm. L. fin. N ,
cx quo coUigitur

cof L. cof. N =: cof M' cof. (L - N) , vnde

cof M':cor.N'::cor.L:cor.Ncor.(L-N), eft vero

L C ^ : M C ^ : : cof. M' : cof. N^ , quapropter erit

L C ^ : A C ^ : : cof. L : cof. N cof. (L - N) feu

LC=:A C y ■ .^ ^

coj. N coj. (L — N)*

Formulae igitur pro angulo N et linea L C inue-
niendis fequentes notari merentur :

Tang.N = «'Tang.L; LC^ACV^-^^-^

in pofteriori autem ob angulum L — N femper mi-
nimum , etiam termino cof. (L — N) omilfo , habe-
tur LCrACV-^. Quoniam angulus ZL5;=CLO,
euidens iam eft , modo detur ratio inter diametrum
aequatoris et axem telluris , pro Yuoquoquc telluris
loco facile inueniii poffe diftantiam inter Zenith ve-
rum et apparens et ea inuenta diftantias corporum
coeleftium a Zenith vero fme vUa difficultate com-
putari polfe.

5. Hifce

SOLIS A. 17(^9. DETERMINATAE. 593

5. Hifce igitiir praemonitis, repraefentct P5;M
meridiaiium alicuius loci , in quo Eclipris Solis ob-
feruata fuit , fitque eius Zenitii Yerum in z et Po-
lus . aequatoris in P. Pro dato tcmpore obferuatio-
nis , fcilicet aut initii vei finis obferuati , aut Pha-
feos alicuius , fit M PQ angulus liorarius , occurrat
autem circulus dedinatic^nis PQ^ aequatori YMQ_ in
pundo Q, atque propttr datos arcus MQ et Y Q,
priorcm fcilicet angulo M P Q aequalem , pofterio-
rem aiccnfioni redae Solis pro hoc tempore , dabi-
turquoque TM — + YQh^MQ, vbi iudicium haud
difficile eft , quaenam figna pro quouis cafu obti-
neant. Ad cognofcendam vi.ro afcenfionem redlam
Solis pro tempore obferuationis , fufficiet Longitudi-
nem loci , in quo obferuatio ftida a vera non muU
tum vltra aliquot minuta prima abludentem affiime-
re. Quin etiam, fi in aeftimanda Longitudine gra-
vior committeretur error , calculo ad nnem per-
dudo Longitudo loci ad veritatem muho propius
accedens inueniri poteft , cum qua calculum denuo
inire licebit.

6. Defignet iterum P-^^M meridianum, YMT Vj
aequatorem et Y N © echpticam polo eius in 11
exiftente, dudlis quadrantibus circulorum maximorum
n P © et n -s N , prior erit coUirus folftitiorum
qui aequatori occurrat in pundo T , pofterior vero
in ecHptica definiet pundlum N quod iam pundum
Nonagefimi adpellare licebit , etfi a pundo No- .
iingefimi communiter fic dido diuerftim fit , hoc
Tora.XV.Nou.Comm. F f f f enim

Tab.XXXl

4-

5^^ LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

enim definitur quadrante circuli maximi fl 2 N'
per zenith apparens Z dudlo , ambobus tamsn pun-
(ftis dum n eft in meridiano , plane coircidentibus.
Situm vero iftius pundi N calculo iam facile dcfiaire
poterimus. In triangulo enim Spliaerico TI P ^ ob
data latera 11 P et ?z nec non angulam interiacen-
tem n P ^ =: i8o ■- M T =1 90 ^:: T M , dabitur
per cognitas regulas Trigonometriae Sphaericae, tam
latus n z quam angukis P IT 5; zz N SB , vnde No-
nagefimi non folam longitudo , led etiam diftantia
a, zenith vero innotefcet.

7. Priusquam ad inueftigationem formularum

pro parallaxibus Longitudinis et Latitudinis Lunae

progrediamur , opus eft , vt expreflio pro parallaxi

Tab.XXXldiftantiae ipfius a zenith vero inueftigetur. Sit igitur

1"% 5. L locus obferuationis, S locus Lunae vel aliuscuius-

cunque aftri , fiue in ipfo meridiano feu extra cun-

dem , dudis lineis CLs; , CS et LS, patet diftan-

tiam aftri a zenith vero z e centro telluris C vifam.

menfurari angulo L C S , parallaxin autem huius

diftantiae per angulum LSC exprimi. Quum iam

fit

5iLS=::LCS + LSC, crit fin.^fLSnfm LCScof LSC

4-cor.LCSfm.LSC,
quoniam autem habcatur

fin.sLS : fm.LSC : : CS : CL erit

^.ftn.LSC::-:fm.LCS.cof.LSC+conLCS.fin,LSC

ex

SOLIS A 1^69. DETERMINATAE. 595

cx qno deducitiir

_ , _ fin.LCS
Tnng.LSC = |sr7^-j^^

Si iam parallaxis aequatorea Lunae horizontalis dica-
tur n, erit 11 = ^, ideoque fi ftatuatur CL=:eAC
ifbi valorem numeri e per formulam § 4 datam
definirc licet , habebitur £|=£^^zz^-^ , hoc igitur
valore in aequatione fuperiori lubftituto , confeque-
mur Tang. L S C 1= J^;^^. (^uum pro noftro
inftituto , non praecife opus fit hanc parallaxin di-
llantiae a zenith vero cognofcere, quia ftatim paral-
laxes Longitudinis et Latitudinis inueftigare conftitui-
mus , liuic fbrmulae omnino pro vfu praefenti ac-
quiefcere poterimus , ceterum quoniam alioquin fae-
pius eiusmodi occurrant cafus , vbi ipfam paralJaxin
diftantiae a zenith nofle iuuat , haud fuperfluum
cxiftimauimus , fequentem expreflTionis modo allatae
transformationem , vt videtur non inelegantem
heic fubiungere. In formula noftra loco 11 intro-
ducatur fin. 11 , quod eo magis facere licebit , quia
exadius fit |^ zr fin. n quam zz: U , eritque

TiinP- T <; r — f Jin. n. /m. L C S

ponatur igitur e fin. 11 — fin. Cj) , ex quo fiet

T^nP- L^C — fin>0'fin.L CS
1 ang. J. ^ V^ — ^ .-;fn.(p.co/.LC S'

Hinc igitur deducitur

* "• ^ — /m. L C S -h Tang.L S C coj. L C S >

F f f f 2 indc-

595 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI
indeque

H-fin. 0 ___ {ln.LCS-4-2Tang.LSC.Cnr.lLCS-
r^^."^ "" ikTc S — 2 Tang. L C S fai. i L C S*

L C S /fin. I L C S Cof.LSC -+- Cof iLCS.Hn L S^\

— Cot. -— WiLCSCof.LSC^^f iLCSfin.LSCy

LC S^

- Cot. ^-^ Tang. (L S C - ^-f?) ,

Eft vero ^-=tJ^-^ z= Tang. (e^^^/ , proinde fict

Tang. ( L S C - t£i; := Tang. ^-^-^ Taag. (?^) .

T. XXXI. 8. Sit iam 11 Polus cdipticae, Y NP ecliptica,

Fig. <?• z zenith verum atque duda qundrante TI^N, N

pundLim Nonagefimi , fi locus Lunae a centro

Telluris vifus fuerit in L , et dudo arcu circuli

maximi zLX capiatur LX aequalis parallaxi di-

ftantiae a zenith , erit X locus Lunae apparens pro

obferuatore , cuius zenith yerum in z. Ducantur

iam per Polum eclipticae qundrantes 11 LP et 11 Xp

eclipticae in puncflis P, p occurrentes • euidens eft

parallaxin Longitudinis Lunae exprimi angulo PIIp

et parallaxin Latitudinis differentia arcuum 11 L et

n X. Si igitur ex X in 11 L demittatur perpen-

dicularis X/, coincidct ea proxime cum circulo

minori polo 11 per X defcripto , vnde parallaxis

Latitudinis iam exprimetur per arculum L/, Lon-

gitudinis vero per ? p. In tr'angulo vero LX/

habetur X /rz L X fia. X L / et L / iz L X cof. X L / ,

quum igitur fit

SOLIS A. 1169. DETERMINATAE. 5^7

L A =r 1^-^'--^^ , crit X / zz md'!l^^iSj^^>L^ atque
l^l^L^fjHi^^i^Jd ^ deinde ob P/^zr-^^J- fiet

I — e n. cof. 2 L ■* co/. P L

p js 6 H jin. ■z L. r?fi. X L l

9. Ducatur nunc per ^ in IIL norrnalis arcus
zm , eritque in triangulo rcdangujo ;s n K , fin. z K
— fin. n z fin. 5; n K ^ fin. TI s rin. N P, at in tr im-
gulo reaangulo js; L K, fin. 2; K — fin. 5; L fin. z L K,
ideoque fin. 2; L. fin. s L K — fin. 11 ;s. fin. N P pro
Parallaxi igitur longitudinis haec piodibit exprcffio :

p.,„ T „„» P /) — £n/m._n::;./m.NP tnfin.zK

rai. i^uiJg. — A /^ — ■ co/.PL(i -enco^.JiL) co/PL(i-enco/.2L}*

Vlterius quum fit Tang. H K = Tang. 11 z cof. N P,
inucnto n K liabebitur L K z= 90°— 11 K — L P ,
tum Yero erit cof X L / - cof K L 2; 3: l^f)^ ,
quare fiet Paral. Latit. zz '-^}^':\^-^^

Circa has exprefliones parallaxium Longitudinis et
Latitudinis notandum eft , eas non quidem exade
\eras efle , fiquidem L/ non praecife fit aequalis
differentiae arcuum 11 L et n X , neque Vp exade
:ir-v— , aberratio vero harum expreirionum a veris

- cof. P L '

-valoribus tantilla erit , vt pro Luna nunquam ad
•vnum minutum fecundum afllirgat. Ceterum fi quis
has parallaxes accuratius inuefligare voluerit, fequenti
modo res ipfi peragenda efl. Inuento primum arcu
;2 X , ex datis iam 11 5; , 11 L, s L et L X, quaerat
n X ope huius formulae

^Qp TT \ coj. TI L /m. 8 A — '^o/- n z.Sin. L X

■ /i«. 2 L . ; .. '

Ffffa ^A

598 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Yel etiam

cof IIXrrcor.riL.cor.LX- rin.IILrin. LXcof. nLx:.

DifFerentia inter 11 X et II L dabit pnralhixin Latitii-
dinis. Porro habetur lin. X H L '= ^i^^ j/^i^^ ,
vnde cognofcetur angulus X 11 L zn parallaxi Lon-
gitudinis. In praefenti autem negotio tantis am-
bagibus opus non eft. Denique notari conuenit iii
formulis paralladicis , loco parallaxis Lunae horizon-
talis aequatoreae , in 11 fubflituendam effe hanc pa-
raliaxin , parallaxi Solis muldatam.

10. Quum in Tabulis plerumque aflignari

foleat , diameter Lunae horizontalis qualis fub ae-

/ quatore videtur , nunc neceflum cft , vt primum

quaeratur menfura huius diametri ex centro tcUuris

fpedatae , erit vero , fi diameter horizontalis fub

aequatore vifa dicatur D, ea quae e centro fpedatur

Dcof. n, loco autem huius Dcofll, iam fimplici-

Tal.XXXIter fcribamus D. Deinde vt valor diametri Lunae

3fig' 5' apparentis pro dato obferuationis loco et tempore

inueniatur , fit iterum S locus Lunae apparens ,

atque (i diameter Lunae apparens pro diftantia ap-

parente zLS a zenith vero dicatur A , erit

A:D::SC:LSS quum igitur fit

L S z:: V(S C ^ 4- L C ^ - 2 S C. L C. cof. L C S),
atque L| — e 11 , prodibit

A : D : : I : y ( I + e' n' - 2 £ n cof. L C S)
cx q«o pro?iime fit A =: rzTi^cojrrcs

quae

SOUS A. 1759. DETERMINATAE. S99

qiiae expreflTio oinnino tam prope ad veritatcm ac-
cedil , Yt abbeiratio pro nulk reputari queat.

II. Qiium nunc cognita fit diameter Lunae Tab XXXI
apparens , cum diametro Solis, dabitur diflantia cea- ^^S- 7-
trorum Solis et Luoae apparens O ^ , quippe quae
pro obferuato initio \el fine Ecliplis aequatur rum-
mae femidiamctrorum Solis et Lunae , fi autem
Phafis quaedam obferuata fuerit , ad femidiametrum
Lunae apparentem addere oportet partem lucidam
difci Solis ex obferuatione conclufam et ex fumma
fubtrahere femidiametrum Solis, quo fado prodibit
diftantia centiorum apparens. lam fi ex 3 ia
eciipticam demittatur perpendicularis 3 B erit eOr
aequalis Latitudini Lunae apparenti , quae inuenitur
fi ex Latitudine Lunae geocentrica fubtrahatur paral-
Jaxis Latitudinis , tum vero in triangulo redlangula
3 O B ex datis O 3 ct 3 B habetur

Bo=:V(o3?-3B^)=:y(o34-3BXo3-3B),

quoniam fiue \llo errore, hoc triangulum tamquam'
reclilineum fpedlari poteft. Tum autem BO^f: Pa-
rallaxi Longitudinis Lunae , dabit differentiam lon-
gitudinum Solis et Lunae , quae fi per motum ho-
rarium Lunae relatiuum in Hcliptica in tempus con*-
Yertatur , atque quantitas temporis hinc oriunda ad
datum tempus obferuationis addatur vel ab eo fub-^
trahatur , quemadmodum ex circumftantiis facile di-
judicare licebit ^ orietur tempus verum coniundionis'
Solis et Lunae , ad meridianum loci in quo obferi*'
\atio fada eft relatum. Quodft igitur in pluribus'

locis

^oo LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

loeis obferuationes Eclipfis So.lis inftitutae fuerint ,
pro omnibus ad piaercripuim huius Methodi , tem-
pora coniundionis Solis et Lunae determinari pote-
runt , diflerentiae autem inter haec tempora , difFe-
rentias quoque Meridianorum his locis relponden-
titim , in tempore exprelTas, exhibebunt.

i2. Hucusque a nobis fuppofitum fuit , omnia
elementa Aftronomica ex Tabulis defumta , quibus
calculus Eclipfis Solis fupcrftruitur , Yeritati pcrfede
effe confentanea , quum vero imprimis quod ad
Longitudinem ct Latitudinem Lunae attinet, Tabulis
Aftronomicis vix m/aior certitudo , quam quac intra
•vnum minutum primum continetur adfcribi queat ^
tum vero incertum fit , an non parallaxis Lunae
horizontalis aequatorea in Tabulis alfignata , tantil-
lam admittat corredionem , idque praecipue ob incer-
titudinem verae figurae Telluris ; cum etiam probabile
denique fit femidiametros Solis et Lunae aliquam
admittere pofle correcfliunculam fuie realem , feu ex
refradlione atmofphaerae Lunaris vel inflexione ra-
diorum Solis prope limbum Lunae oriundam, nccef-
fum omnino ell , vt inquiramus , quomodo conclu-
fjo nolka pro tempore coniundionis ob huiusmodi
corrediones immutetur. Quod igitur primum atti-
net corredionem , qua Longitudo Lunae ex tabulis
defumta indiget , tenendum eft vix opus effe , vllam
eius hoc in negotio habere rationem , fiquidemi Pa-
rallaxes Longitudinis et Latitudinis , propter aliquan-
tum immutatam Longitudinem Lunae fenfibilem non.

patian-

S0LI5 A. 17(^9. DETERMINATAE. 601

patinntur vnriationem, Si enim ponamus corredio-
ncm Longitudinis ad 1' afTurgere, atque arcum NP
efle Intis paruum , parallaxis Longitudinis inde 2"
\el ad fummum 3'' immutabitur. ■ Qiiamuis itaque
corredio. em Longitudinis in fequentibus calculis pla-
ne prnetermifnnus , pro iis tamen calibus ybi N P
paruus elt , huius etiam corrediuncuiae pro paral-
faxi Longitudinis oriundae rationem habuimus conf^
§. 24. Vt Yero ratio habeatur reliquarum corre-
clionum ponamus efTe corrcdionem latitudinis y ,
fummae femidiametrorum Sohs et Lunne ^ , quo-
niam hic imprimis ad obferuationes initii et finis
Echpfeos attendimus , dcnique corredionem paral-
laxeos Lunae horizontnhs aequntoreae zz: tt. Atque
quum nunc inquirendum fit , quam variationem fu-
beat differentia apparens longitudinum Sohs et Lu-
nae , habebimus eam ftatim — ^. B O + ^•/' j vbi d
parallaxin Longitudinis defignat. Deinde quum fit
BO cathetus trianguli redanguli cuius hypothenufa
eft O 3, alter vero cathetus 3B aequalis Latitudini
Lunae ipfa parnllaxi Latitudinis muldatae , haud
difHcile erit ex datis corredionibus fummae femidia- ■*

metrorum, latitudinis et Parallaxis, variationem ipfius
B O deducere.

13. Supponamus igitur primum O 3 conftan- '^•. ^^^
tem , at 2 B particula quadam augeri debere , fi ^^^* ^*
itaque ccntro O radio O 3 defcribatur arcus circuli
3 L et ducatur L ^ ita , vt fit L b vera quantitas
latitudinis Lunae apparentis, tum vero iungatur LO
Tom.X V. Nou. Comm. G g g g et

^02 LONGIT, GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

et dncatur ^m parallck ipfi B O, exprimet B^
zz: 3 ??t dimiuutionem ipfius B O propter augmen-
tum Latitudinis apparcntis oriiindam. Quu.ii Acro
fit A 3 L ;/7 co 3 O B erit 3 ;;/ : L ;;/ : : 3' B : B O
ideoque B ^ =:= 3 ;;/ =i L ;;/ Tang. 3 O B. Si iam
dicatur parallaxis Latitudinis p^, liabebitur eius cor-
redio ex corredione tt deducenda zn K^ , MndQ fiet
L ;// z=7 — — 5 confequenter fi angulus 3 O B pcr
0 exprimatur erit B ^ — (j' - ^ ) Tang. 3 O B
z:z [j — ^) Tang. ([). Ponam.us Latitudinem appa-
rentem nulia indigere corredione , at (ummam (e-
midiametrorum quantitate 3^ augeri debcre , produ-
cflis igitur reda 3 ;;/ ipfi B O parallcla ct arcu
3 L, O/ ipfis ita occurrat in / et ;/, vt fit /;/-^,
tumque demiffa perpendiculari ly^ erit augmentum
ipfius BO propter correcHiionem S oriundum — B^'
ex fimilitudine autem trian^. / 3 ;/ et ^ 0 B ha-
betur B^C — S/) :/;/:: 03:B0, vnde By — -^.

COJ. y\i

zzz ^ Sec. Cp. Vtramque igitur corredionem iplius
B O coUigendo fiet :

J.BOiiB^^^-B^ii^Sec.^-j.Tang.Cp + f^^Tang.Cp.

Denique qnoniam habemus dp — ^-^ , tota correaio
dil^antiae Solis et Lunae fecundum lungitudinem fic
crit exprefla :
^.B0±^P=:=^Sec.(f)-jKTang.C|)4-s{p'Tang.(})4;:/>)

\bi fignorum ambiguorum fuperlus valebit , dum
par^llaxis Longitudinis ad B O addi debet , inferius

SOLIS A. 1^69. DETERMINATAE. 60^

vero fi II B Q fubtrahenda fit. Si haec corndio
nunc inucnta in tempus conuertatur et valor inde
oriundus addatur ad expreffionem fupra inuentam
tcmporis , quod difftrentiae longitudinum Solis et
Lunae refpondet , haecque noua temporis expreflio
correcla , ad tempus obferuationis vel addatur , vel
ab eo fubtrahatur, quemadmodum circumflaniiae re-
quirunt , obtinebitur verum momentum coniundio-
nis Soh's ct Lunae dato meridiano refpondens.

14. Ex his igitur patet, fi in vno eodemque
loco , binae inftitutae fuerint obferuationes phafium
eiusdem Echpfis , imprimis fi tam initium quam fi-
nem obfcruare licuerit, duas inde pro tempore con-
iundionis prodire exprefTiones , ex quibus inter fe
comparatis deduci poteft aequatio , quae praeter nu-
merum. aliquem abfolutum tres incognitas ^^y et tt
inuoluit. Liquet enim , fi pro initio Eclipfis obfer-
vato , tempus coniundionis exprimatur per hanc
formulam :

pro fine vero per iftam

tum vna harum expreffionum ab altera fubtrada
prodire :

T-T^-i-(a-g)^^-((3--^)jl'+(V-'vi)7r=:o.

Simili ratione fi pro duobus aliis lerrae locis, eiusi.
modi aequationes inuentae fuerint , et in omnibus
tribus, coeflacientes incognitarum , ^, y et Tt infigni-

G g g g a ter

60^ LONGIT. GEOGRAPHlCAE EX ECLIPSI

ter discrepent , ex iisdem aequationibiis veri valores
corredionum ^, jk et tt elici poterunt, quibus valo-
ribus Turfus in expreilionibus temporum coniundio-
nis fubltitutis , vera momenta coniundionum defi-
nientun Elementis autem Aflronomicis hac ratione
certo determiuatis, pro vnoquoque loco, vbi vnicam
tantum obfcruationem inftituere licuit , etiam verum
momentum coniundionis Solis et Lunae in tempore
iVleridiano iftius loci refpondente , cxprimi poterit.

15. Vt de veris valoribus corred-onum $^y
ct TT certi fieri queamus , praeprimis neceflfnm erit ^
vt eiusmodi aequationes adhibeantur, in quibus coef-
ficientes incognitarum $, y tt tt infignitcr difFerunt ,
fi enim difterentia harum coefficicntium fit exigua ,
ipfae aequationes pro coincidentibus haberi debent ex
quibus , omnino nihil concludi poterit. Eiusmodi
autem aequationibus quales defideramus obtentis ,
vnica quae circa corredionum inueftigationem fuper-
eft incertitudo , orietur ex incertitudine momento-
rum obferuatorum , at vero hi errores tanto maio-
rcm habebunt influxum , quanto minores fuerint
coefiicientes , quibus ^, y et tt afficiuntur , ne igi-
tur de his valoribus nimis praecipitanter quicquam
flatuamus , conducet ad manus habere fufficientem
numerum aequationum etiam talium , in quibus
coefiicientes incognitarum haud multum difFerunt ,
vt deinde ex conuenientia vel difcrepantia numero-
rum abfolutorum , de certitudine et praeftantia ob-
feruationum iudicium ferre liceat. Pro iis vero ca-

fibus

SOLIS A. 17^9. DETERMINATAE. ^05

fibus vbi OB proxime — ^B adeoque ang. Cf) non
pnrum a 90° diilcrt , nollra methodus inuiniendi
corredioaes non amplius cum \lu adhiberi potcft ,
quum corrediones ipiius B O , tum non amplius ,
Yt minimae refpedu iplius B O confiderari poflint.
Cum autem tales occurrunt cafus , valorem approxi-
matum corredionum ahunde conclulum ftatim ad-
hibere licebit , indeque nouum deducere vaiorem
anguli CP, nec non fi phicuerit corredionum huic
angulo rclpondentium.

•
i5. Quoniam Longitudines et Latitudines Lu-
nae , quales in nollris calculis adliibentur , non fo-
lum eo refpedlu erroneae funt , . quatenus Tabulae
Aftronomicae ex quibus defumtae fuerunt a veritate
deficiunt ^ fed etiam quatenus in aeftunanda Longitu-
diiie loci pro qua obleruationem aliquam computa-
vimus , a veritate aberrauimus; videri poffet etiam
corredionum ad poderioris generis errorcs deftruen-
dos necelTariarum in noftris calculis haberi debuifle
rationem. Verum de Longitudine Lunae iam fupra
monuimus , etiam grauiores errores in ea aeftiman-
da commiflbs , parallaxes Longitudinis et Latitudinis
inuentas non multum immutare. Motus autem ho-
rarius Lunae in latitudinem quum exiguus flt , fa-
cile 1 quet , etiam fenflbiles errores in longitudine
loci aeflimanda commiflbs , determinationem latitu-
dinis non multum incertam reddera De reliquo
.aiculis ad fincm perdudis , imprimis fi pro eodem
ioco adfuerint obferuationes initii et finis , ex inucn-

Gggg 3 tis

6o6 LONGIT GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

tis tr.omentis teniporum coniundionum , Longitudo
loci a Tera certe non yitra so''^ deficiens definiri
potcrit , cuiii qua deinde omiics caiculos denuo in-
ftituere licebit.

ARTICVLVS IL

Recenfio elementonim per calculum ex fin-
gulis obferuationibus deduftorum.

17. Qiioniam nimis longum atque etiam fu-
perfluum foret, , fingulos calculos arithmeticos ob-
feruationum a nobis computatarum heic exponere ,
fufficiet binis tantum exemplis illurtraffe , quomodo
huiusmodi calculus , tam pro obferuato initio, quam
fine Eclipfls inlHtui debeat , quibus exemplis deinde
fubiungamus Tabellam repraefentantem ea elementa ,
quae pro detcrminando tennpore vero coniundionis
Solis et Lunae ex fingulis obferuationibus deduda
funt. In anteceffum autem monuiffe iuuabit , ele-
mentis Aflronomicis ex Tabulis Mayerianis deprom-
tis , nos vfos fuifle iisdem , quibus calculi ad prae-
fcriptum Methodi Eukrianae inftituti fuperflruuntur,
irid. Tom. XIV. Nov. Comment. P. II. pag. 350.
Qiuim vero pro calculo exadiflime inftituendo , et-
iam minimarum variationum , quae Parallaxis Lu-
nae aequatorea eiusque Diameter horizontalis aequa-
torea fubeunt , rationem habere vtile duximus ; hinc
Elementa Aflronomica non folum pro ipfo tempore
coniundionis , fed etiam pro binis horis ante con-

iun(Sio-

SOLIS A. i7(>p. DETERMINATAE. ^07

iun(flionem , atque vna hora pofl: coniundlionein
elicere conflitui, quoniam intra hoc temporis inreriuil-
Jum , omneij obferuationcs fuper hac Eclipfi inftitu-
tas cadere deprehendi. Haec autem elementa fe-
quenti laterculo ob oculos ponam , vt vnicuique de
exaditudine calculorum iudicium ferre , integrum
fit.

Temp.med, Par
A. 11^9. s.Iun
Alcen, O red-a

Semid. O
Parallax. Obor.
Longit. 3 vera
Latit. 3 Bor.
Parai. ^aequat.
Piiral.reduaall
Diamet.3 hor.

aequatorea
Diamct. 3 a
centr. terrae vi(a

Logaiithmi
pro mot. horar
3 in Longit

in latitut.
L. Hzr
L. 1) =
proredudl fpatii

in tempus

1 8. Elementa Aftronomica ex Tab. defumta.

I o .

72^ 24'. 40"

15'. 47^'

2^i2°.35^54^4

I. 2. 41, 2

61. 22, 8

6i. 14, ^

33- 28, S
33. 28, 5

9, 8005789
8, 758517^

3, 5652337
3, 3028718

0, 2275550

19 • 30'

20'. 30

72°. 27'. 14"

2^i3°.i3^49'^4

59.14» 7'
61. 22, 2

61. 14, 2
33. 28, 5

33. 28, 2

72°. 29'. 49"

2'.i3".5iU4^3
55 48, o
61. 21,7

<^i.i3,7

33-28, 2
33.27,9

8. 7590380

3, 5<55i(528

3, 3028070

3, 5^^50919

3, 3027421

21'

30'

72°. 3 2^ 23''

2^14". 2 9' 39",!
52.21,1
61. 21,2

<5i.i3,2

33.27,9

3 3.27,(J

9, SOOd^^o^

8,7594580

3, 565o44<^
3, 3026772

o, 227556^
Calcu-

60 8 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Calculus pro obferuationibus Eclipfis Solaris,
Cirenouici inftitutis.

19. Qiium eleiiatio Poli obfernatorii Grcno-
Ticenfis exade determinata fit 51°. 28"^. 40-"^, habebi-
tur lub hypothefi figurae telluris fphaeroidicae , qua
ratio axis ad diairietrum aequatoris affumitur \t
200:201, diftantia inter zenith verum et zenith
apparens rr 16^. ^^^\ vnde fiet P s = 38°. 48^. 4^^,
tum vero quoque habebitur Log. e =^ 9, 9986814.

T XXXI Initium huius Eclipfis obferuatum ert a Celeb.

Fig. 3. Maskeljne Temporc vero i8^ 38^. 54^^ ex quo fiet
ang. MPQ_~ 80°. 16^. 30^^ 5 quum autem differentia
meridianorum inter obferuatorium Grenouicenfe et
Parifmum fit 9'. 16'', erit tempus Parifinum verum
hiiius obferuationis 18^48^. 10^^ et n^^edium i 8^.46^1^^,
quo tempore habctur afcenfio Solis reda 72°.25^.2i^^^
vnde deducitur .arcus yMziiMP — VQ,=z 7°. Si''. 9-^^
et ^s P €B m 97°. 5 1^. 9^\ {a).

Calcukis pro refohitione trlana^uli Sphaerici

s p n. '

>ig. 4. Vbi P ^ =: 3S°. 48^. V\ n P = 23°. 28''. 9''

et ang. 5; P 11 =: 82°. 8^. 51^^ Demiflb ex ;s ia IIP
arcu z R perpendiculari erit :

Log.

(a) Notandum efl, figuram a nobis allatam huic exemplo
non efTe accommodatam , quiuis autem facile perfpicit ,
pro hoc cafu pun£lum V cadere inter M et T, fic enim
angulus » P gB certe fiet ebtufus.

SOLIS A. 1^69, DETERMINATAE. 609

Log. fin. P -s = 9. 797003 5 Log.Tang.Pc;zi: 9.90 5 2 844.
L.fin.sPn — 9. 9959084 Log.co[^5;Pn— 9-1355249

L. fin, zKzz:9 79291 19 L. Tang.PRzzp.o^oSo^s

;2R=i:3S°. 22'. 13'^ PR=i6°. 16'. 8"

Pnzz23. 28, 9

nRl:i7. 12. I

Log. cof. z R zi: 9. 8943247 LTang.^R^ 9.8985858
Log. cor.nR~ 9. 9801295 L.fin. 1X^11:9.470 8699

Log. cof. n z =: 9. 8744543 L.Ta.^N =10.4277 159
n;5;~4i°.3o'.i'' ©N — 59°.3i'.ii''

YN:=:o'.20.2 8.49
Long 3:=r 2. 12.46". a

NPzz 52.17,13.

Calculus pro refolutione trianguli n 5; L : pjg, ^^

L. fin. TI 5; ZZ9. 8212670 L.Tang.n2;zr9.9468i25
L. fin.N P :=9. 8982227 L.cof.NP —9.7 865491

L. fin. K 5; ==9.7194897 L.Tang.TIK— 9.7333617
Kzzi:3i°.3^'.5o" nK=r 2 8°.2 5'.2i"

PLiz I. I. 4^,1

29. 27. 7
L K zz (5o. 32. 53.

Calculus pro denominatore formularum Paral-
la^flicarum : ^,

Tom.XV.Nou.Comm. H h h h Log.

610 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Log.cof.K^zr9.930 2355

L. cof. L K ~ 9.6^ 1 6944. ia part. rad.

L. cof.L z =1:9.62 19300 ellcor sL — 0,0074.374

L. gll— 3.5639151 i—gllcoCsL— 0,9925626
L. Conft. —4.685574-9

L.£ncor5jLi=:'7. 87 14200

CalcuUis pro parallaxi tam Longitudinis, quani

Latitudinis atque diainetro apparente

L(i-enco[;sL)ii:9. 9967579 L.snCompl.m^. 5671 572

L. compl. 1^:0.0032421 L.Tang.LK-io.2482083

L. £ n 3=3.56^391 51 L. cof. L.C;— 9.6 21 9300

3.5671572 L.Par.Lat.r::3.4372955
L. fin. K 5? —9.7 194897 Par. Lat. =1 2737'^, i

3.2866469 L. D =:3. 3028718

L. cof. P L 3:9.9999299 L.Compl. =10.0032421

Log.Par.Long.zz 3.2867170 L. A =::3.3o6ii39

Par. Long. :zi 1935", 2 A rz 2023, 5

Calculus pro refolutione trianguli 3 O B et
^^' tempore coniundionis :

A — 2023, 5 L. Summae ==3.4665266

^1=1894,0 L. Differ. ==2.9955036

3917,5 L. BG^ ::3 6.462030 2

L. B O 3=3.2310151
G 3=: 1958,7 BO=: 1702,2

3B= 969,0 P. Long. z= 1935, 2

Summa = 2927, 7 3^37? 4

Differ. = 98pj7

L. 3<^37>

SOLIS A. 17(^9. DETERMINATAE. 611

1.3537,4=3.5^07911 5i4S''z= 1^42^3//
L red. tcmp. =1:0.2275550 +Temp.ob[:z: 18. 38. 54

L. 5143" — 3.7S83451 Temp.coni.-20. 21. 17

Cakulus pro corredionibus temporis coniun-
«^ionis :

L. 3 Bn2.p8532 L.Sec Cl)=ro.o(5o95

L. B O 3=3-23^01 L red. —0.22755

in temp. . ^

L.Tang.Cprz 9.75531 L.Scc.Cp- 0.28851

L. red. =1:0. 22755

in temp.

LTanj;.Cpzr9.98 2 86 L. ^=19.72148

-L ^ rr 9. 87205 L. red. z:?o.22755

in teirp. jn temp. . .

L.^Tang. Cp -9.85492^ L.|— 9.94903

in temp.

^Tang.Cl)=zo,72

lr=o, 89

Summa rzi, 5i.

llinc ergo deducitur verum tempus coniundionis :
20^ 21'. 17^'+ ij 94. ^ — o, ^6.y 4- I5 61 TT.

20. Finis Eclipfis ibidem a Celeb. Maskelyne
obfcruatus eft Temp. yero 20^23^.30'^, ex quo
habetur ang. M P Qn 54°. 7'. 30'^ Tempus vero
Parifinum verum huius obleruationis erit 20^32'.46"

Hhhh a et

6iz LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

et medium lo^, 30'. 38" , quo tempore erat afcenfio
Solis reda 72^29^ 50'', ideoque Y M— 18°, 22'. 20''
et 5;P2B:=z7i°.37'.4o".

Calculus pro refolutione trianguli Spbaerici

sPn.

L. fin.P5?i=:9.7970 035 L. Tang.P 2; =r 9.9^52844
L.fin 5; Fnm 9. 977 2795 L.cof.aPII — 9.4985710

L. fin.5;R = 9. 7742830 L.Tang PR— 9.4038554
«R — 36°. 29'. 23" PRzri4°. 13U6''

Pn=:23. 28. 9

n R=:37- 41. 25
L.co{;5?Rzr 9.9052353 L.Tang.^R=z9. 8690459
L.cor.nRi=:9. 89835*^2 L fin.nR:39.78632o3

L.cof.nsr — 9. 8035925 L.Tang.©N-io.o82725<J
n2;=z5o°.29'.2 8" eN=z 50°. 23'. 27''

VNzzi^ 9.34-33
Long. 2 1=2. 13. 52. 8

NPzz 34. 17. 3S
Calculus pro refolutionc trianguli II 2 L:
L. fin. n^; z= 9. 8873505 L. Tang.n^-10.0837582^
L. fin. N Piz: 9.7508368 L.cof NP1Z9. 9i7o67(j'

L. fin. Ks:=: 9. 6381873 L.Tang.nK=io.ooo8258
Kj5;:=25°. 55'.58" HK = 45^3'. 16"

PLiz: 55-45,8

45 59. 2
LK=:44. o. 58
Calcu-

SOLIS A. 17(59. DETERMINATAE (J13

Calculus pro denominatore formularum paral-
kdicarum :

L. cof. L K zz^, 85681(52

L. cof. L 5; rrp. 8n33<55 ia part. rad.

L. e n =: 3. 5<537733 erTcof. L5;=: 0,01 1500
L. conft. 1=4. (585574-9 i-ellcof.Ls — 0,988500.

L.ellcof.L;?;— 8.o<5o(584-S

Calculus pro Parallaxibus et Diametro ap-
parente ;

L.(i-eIIcofL5;)rr9. 99497^7 L.ellCompl z:^.s6Sy^66

L. Compl. =0.0050233 L.Tang.LKzz9.985o8i5

L.e n =:3-5<^37733 L.cof L ;s =1:9.8 11 33<^<5r

3.56879^5 L.Par.Lat.z=3.3<^5 2i45
L. fin. K;szr9 6381873 Par.Lat.rz23i8, (5

3.2069839 L. D n3, 3027421

L. cof. P Lzr^. 99 9 9429 L.Compl.— 0.0050233

L. Par. Long. =1:3 2070410 L. A zi3.3o77<^54

Par. Long. zz 1610, 8 A zz 2031, 3

Calculus pro refolutionc trianguli 3 O B et
tempore coniun^^ionis :

-.1 Hhhh 3 ^==

61^ LONGIT. GEOGFAPHICAE EX ECLIPSI

Azr203i,3 Log. Summaerz 3-475^421

//— i894-,o L. Differ. —2.9709974

3925, 3 L» B O' hkS 44(5(5395

L. B Ozi:3 2233197
G S =:: i9<^2,<5 BOzi: i<572, 3

3 B:=: 1027,2 P. Long. ;^ i<5io, 8

Summa =z 2989, 8 <5i, 5

Differ. :=: 93 5^4

L.<5r, 5 = 1.7888751 loV^rr: i'.44-'

L. red. 3:0.227556^4 Sub.aTemp.obf.- 20^23'. 30'^

L. 104'' r:i 2.0 1(543 15 Temp. coni. z:z 2,0^,21'. ^6'^

Calculus pro corredtionibus temporis coniun-
tfionis.

L. 3 B ==3. 01165 Log.Sec.(I)=:o.o<5952
L. BO=3 22332 L.|z=9 <54i94

L. Tang (p =19. 78833 L. red. rr 0.22755

L. red. 1=0. 22755 in temp.

in lemp.

L. Tang. 0 =[0. 01588 Log. Sec. $11: o 29707
L ^=9. S0013 ^ 1—9. 869^9

in Ump, ■ .

L:|T.Cprz:9.8i()oi ^ Tang. Cf> =-0, 655

|=+0,74I

Corr. III.— + 0, o8<J

Hinc

SOUS A. 1759, DETFRMINATAE. ^15

Hinc habetur veriim tempus coniunaionis:

20^ 21^. ^6''- I, 98.(^+1, 04./-i-0, 09. TT

at quum pro initio edet

20. 21. 17 4- I, 94- ^ — o, 95.7 4- I. (5i. 'jT

habebitur fubtrahendo hanc expreffionem ab illa , fe-
quens aequatio :

2.9 — ^, ^2.^ -^ 2, 00.7 — I, 52. TT n: o.

Denique et notari meretur»^ quod fi Ytraque expres-
fio addatur et fumma per 2 diuidatur , prodeat haec
exprcifio pro tempore coniundionis :

20^ 21^. :^2''-o, 02.^-^-0, o^.jy^-CoSS.it
feu neglcdis plane corredionibus 8 et j, quorum
coefficientes funt quam minimi, 20^.21''. ^^''^+o, 85 tt,
ideoque fi certe conftaret tt cfle zz o , fme fenfibili
errore ftatui polfet verum tempus coniundionis Gre-
Douicenfe 20^. 2i\ 32''^.

21. Quum exempla iam allata abunde fiitis-
ficere poflint , ad praxin calculi noftri illuftrandam ,
rehquum eft , vt elementa pro calculo coniuncflionis
verae ex fingulis obferuationibus a nobis computatis
deduda exponamus , vbi quidem quum pro corre-
(flionibus ^^ j ct tt inueniendis neceftiim fit , obrer-
vationes tam initii , quam finis Eclipfeos in iisdem
Jocis inftitutas adhibere , has obferuationes a reliquis
diftinguamus easque numeris maioribus I. II. IIL
etc. indigitemus , quibus dein totidem. refpondebunt
aequationes corredlionibus inueftigandis inferuientes.

.Elemen-

6i6 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECUPSI

Elementa calculi coniunftionnm

I. II. iir.

Locus obferuationis
Nomeii obferu.
Tempus obferuat.
Vzz=i

Y N —

Long. 3 =:

NPzr

n^zr

Lat. 3 =
LKc=

Par. Long. n
Par. Lat. zz

A =z

Temp. coni. z=
an. (pzn

Lezardi prom
Bradley.

is^ iV. 54"
40°. 19. 24
9. 9987382

103^ s^'- 15"

o^i4°.2V-5&''
2. 12. 44. 29

58.19. 31

40. 26. 48

I. I. 54,5
(S4. 5 I. 21
33-30. 34

2036", o

2783, I
2021, 2
1721, 8

20^ o'. 30'
28°. 24. 40

Grenouicum
Maskelyne

18^38'. 5 4''
38. 48. 4
9, 9986814

97^ 51'. 9"

Lutetia haril.
Meflier.

18^47'. 13"
41. 2.6. 45

9,9987817
95°. 46'. 26''

0^20^2 8'.49"
2. 12. 45. 2
52. 17. 13
41- 30. I

I. i.4<^,i
<^o.32. 53
3i.3<^ 50

o^i9°.49'-37"
2. 12.45. 24

52.55-47
44.25. 52

I. 1-49,5
58. 23. 20

33. 57. 25

193 5^ 2

2737, I
2023, 5
1702, 2
20^ 21'. 17"
29. 39. 10

2o<53", I
260S, 7
2023, 9

l520, 3

20^ 30'. 51''
34, II. 30

SOLIS A. i7<^9. DETERMINATAE. 517

ex obferuato initio Eclipfis dedufla.

IV. V VJ.

VII.

Jionon a
Zanotti
ip*'. 28'. 14''

Caiancburi^un)
Planman

21^ 0'. 53''

Petropohs
Stahl

2 1^ 10'. 24''

Wiirdhus
Hell

2r^ 22'. 42'^

45. 47. 32
9s 99894^^7
85". 30' 59''

25°. 59'- 58

9, 9982485
62° 20^3^'

30°. 18. 31

9» 9983857

5 9^ 57'. 22"

19'. 48. 18
9» 9980826
56^ 52'. 28^'

2^ 2^28'.35''

2. 13.10. 57

0^24^43; 3 5^'
2. 12.48'. 33

i^24°.3i'. 3"
2. 13. 5.4^

l\22°.48'. <^"

2. 13. 5. 8

48. 4 58
5I.43- 0
I. 1.32,4
48.33. 37

18. 34.43
41. 58. 4(^

39.58,6
48. 32.26

20. 16. $^
46. 16. 9
I. 0. 2,1

44. 33.49

10 42. 22

37.52. 55

59' 30,4
51. 3<^. ^6

35 50. 2

12. 18. 15

14. 50. 24,

6. 33. 0

21 57", I

789, 1

928,4

421,9

2249, 5

2711, 0

2517,^

2880, I

2027, 8

2031, 8

2033, I

2030, 4

1327, 7
2 1^ 6'. 36''

1750,7
22^. 12'. 22''

1635, 9

22^22'. 36"

i83<5, 7
2 2^ 26'. 16^'

47°. 23. 0

26°. 53. 10

33°.3i. 40

20°, 35. 0

Tom. XV. Nou. Comm.

111

£1(^

61 S LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIP3I

Elementa calculi comunftionum

vn. IX. X.

Locus obreruationis Vmba j

Gurj-t 1

Orenburgnm

rsomcn obferuac.

Pidet i

Lowits

KrnlFc

Tempus obferuat.

2 1^3 3'. 43"

23' 29U5"

.23^,30'. 22"

?z -

23^27. 29

43^ 9'. 5 8"

38°. 30. 40

L. e —

9, 99S1661

9, 9988454

9,9986717

zVq^ —

54°. .V. i6"

2 5^ 4'. 51''

24^56^ 7^'

Y N 1=

2^ o°.5 3^36"

2.\l 1°.20' 31^'

2^1 2;. 26^2 4''

Long. 3 =:

2. 13. 10. 1 1

2. 13. 38. 25

2. 13. 31. 2

NP

12. K^.35

2. 17-54

T. 4 38

nz-

41. 32. 7

6$. I. 18

60. 28. 8

Lat. 3 -

59.34,5

57- 0,5

57-40,9

LK

48. 7-44

24. 2.44

28. 34-27

zY.

8. 6.18

2. 5.0

0. 56 14

Par. Long. :=.

522, 0

135,3

60,9

Par. Lat. pr

2729? -

15 16, 5

1779, 5

A =r

2O32, 0

2041, 0

2040, 0

BO=:

1771,^

495, 8

1O20, 7

Temp. coni. —

2 2^38^1^"

2 3'. 47'. 31'^

24^ 0^9^'

ang. Cp^

25°. 30. 30

75°. 24. 10

58^44- 20

SOLIS A. i7<^p. DETERMINATAE. 619
ex obferuato initio Eclipfis dedufta.

xi.

lakutsk

Caua

IbleniefF

Maloii

29^ 5'. 5 2''

18^ 11'. i'^

28''. I 2. 30

35". 24. 23

9,99^34-75

9, 99S5588

5 8\5S^ 0''

10 4.°. 49'- 17'''

4-'. 5° 11'. 5''

o^i8°.36'.54''

^» 13 54.31

2. 12. 47. 38

51. i<^ 34

54. 10. 44

44- 39 37

3^. 13.45

55.32,9

I. 1-37,3

57. 21. 0

<^5. 45.4S

33. 15 22

28 38. 5

2023, 3

i7<^<^, »

2597, 5

2950,2

20245 I

2621, 4

1815, 8

1809, 5

29^ C^ SL^'

19^. 51'- 50''

. 22^ 2. SO

2 2^2^. 0

I i ii 2

Ele-

620 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Elementa calculi coniunflionis

I

]L

III.

Locus obleriiationisvt aote

• . . .

Nomen obleruat.

. . • . •

Teiripus obfefuat.

19'. 57'. 17"

20^.23'. 30'^

20^27'. 24"

P^-

• • . . •

. • • •

Log. e —

. • • « .

• . • .

Z?Q^=Z

78°. 11'. 7"

7i'-37'.4o'^

70^ 39'. 24"
i^ 8^39'.35''

Y N —

i^ 3^52^18"

i'. 9'. 34'. 3 3"

Long. 3 =

z. 13.49- 12

2.13. 52. 8

2. 13.48.43

N P-

39-5^. 54

34- 17.35

35. 9. 8

Tlz-

49.43. 0

50. 29. 28

53. 6.42

Lat. 3 __

$6, 1,9

55.45,8

5<5. 4,4

LK=:

4^6.56. 12

44. 0.58

4i-3<5.52

Kz=z

29. 19.45

25. 45.58

27. 25. 7

Par. Long. —

1813,^

1610, 8

1707, 3

Par. Lat. liz:

2358,0

2318, 6

2185,3

A —

2029, 3

2031, 3

2031, 6

BO^

i<^85,3

1^72, 3

15^9» 2

Temp. coni. rr

2 0^ 0'. 54''

20^21 '.46''

20^31'. 15"

ang. <P —

30°. 4.5. 50

31°. 33-40

3<^^55. 20

SOLIS A. 170-9. DETERMINATAE. 621
ex obferciato fiiie Eciipfis dedufta.

vir.

IV.

V.

VI.

m ' • *
• ' • • •

. > • . •

Maycr

•

2 0^54-'. 11"
• • • •

2 3^ o^. o^'

• • • • .

2 3^ (5'. 14"

23^22^.36'^

• • • .

. • * • •

32". 28'. 12"

• • • «

30°. 54'. 54"

26\^S'.^9"

i^ii°.i9'.i6''

2^I1°.20'.52"

2'. 10^42'. 5 2''

2^i5^4S'.32"

2. 13. 42.52

2. 14. 2 1. 2

2. 14. 18. 20

2. 14. 25.43

32. 23. 3^

3. 0. 10

3.35. 28

2. 21. 49

59' ^-^9

47. 22. 42

51.43. 21

42. 2. 51

56,:^6,3

53. 8,1

53.22,8

52. 37,0

34. 26". 20

41- 4<^. 31

37.2(5. 33

47. $.$9

27. 21. 6

2. 12.33

2.49. 6

I. 34.58

1706, 3

142", 9

1S2\S

102'^, 2

jS6s, I

2468, I

2253, 9

2710, (5

2034i4-

2034, 5

2026y 2

2032, I

1230, 2

1827, 5

1720, 8

ipii, <^ j

ai^ 7'.35''

22^ 12^35"

2 2l2 2'.5<j''

22^25^55/^

5i°.i3. lo

21°. 30'. 20'^

2 8^52'.20'' [

13^ 8^4o'M

liii 3

£Ie«

(>22 LOXGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI
Elementa calculi coniunftionis

VIII.

IX.

X.

Locus obieruationib

vt iupni

1

Nomen obferuat.

, • .

Tempus obferuu.

V z~

Log. s z=

2 3^ 3 V. 8''

24^26'. 48''

25*. a'.43"

• * * • •

J

zTq^zz

23°.55/.5i"

ic° 46/. 39^'

i°.4<5'.5 5^'

X N —

2*. 16°. 5 9'. 3 9"

2^21°.)b'.l6"

2^28°.44'-35"

Long. S -

2. 14 26. 17

2. 14. 14. 29

2. 14* 29. 23

N Vzz

2. 33-22

• 7.43.47

14. 15. 12

Uzzz

45. 50.5^

66, 20. 6

(>i. 58. 22

Lat. 3 zz

52.39.5

53-43,8

52. 22,6

LK-

43. 18. 8

22. 57.44

27. 54. 13

Y^zzz:

I. 50. 1

7. 4 34

12. 13 9
8oS'V3

Par Long

1 1 8", 6

4 5 8", 8

Par. Lat. zz

2540, 0

1441, 7

1(^98, 8

A —

2033, 8

2040, 7

2038, S

BO=:

1863, 6

833, 3

1335, 0

Temp. coni. zz

2 2^3 8'. 21"

23^50'. 26"

24^ 0'. 24"

ang. <pzz

18^23'. 10''

<J4°.56Uo"

47°.iV.4o'^ 1

SOViS A. 1769. DE
ex obferiiato fine

XI.

TEKMINATAE. 523
Eclipfis dediifla.

30^52^37'^

8 5".4-3'.4S'

Hii/fnia
Horrebow
21'. 30'. 55''
34°.35. 15
9, 9985293
5 4°. 4 5 '.4.2''

4'.2o°.5 3'.i<^

2.15. 1.59

<^5. 51.17

37. 24.39

49.j24,8
71. 48. 12
33-40. 3

2037, 9
2906, 2
2016^, 6

1954,-4
29^ o'.i5'^

i'.43. o

i'-23\34'.3i"
2. 14^ 2.46^
20. 28. 15
5 I. 20. 20

54.47j9
39- 34- 5 S
15- 50.53

Windobona
Sambach

2 1^28'. 50^'
42. 4.31

9, 998S048

5 5°. 17'. 40''

1013,3
2274, I
2C34, 6
1(582, 5

2l".I2'. S"
31°» 4. 20'

1^19^.31^.31"

2. 13- 52. 4

24- 20. 33
5 3. 4. 4

55. 4^,2
33- 25, 39

20. 28. 34

Siockholttiia

Wargentin
2 2^ V.53'/

30^54'. 35"

9. 9984028

46°. '5'. 40"

1299, 7
191 8, I
203(5, 2

13495 9

21^27'. 25^'

4^'.3<>. 30 ,

2'. 0^55'. 26''
2. 14. 10. 38''

13. 15- 12

49. 47- 32

54- 5,0

40. 4. 14

10. 5. I

649",6

2351, 2

2035, I

1749, 4

21^33^57^'

27°. 3'.5o'M

Ele-

Locus oofenuuionis
Nomen obferuat
Tempus obferuat.
Vzzn
Log. e =:

Long- 3 ==:
NP =

n z —

Lat. 3 zz
LK =

Par. Long. rz

Par. Lat. =

A zz

BO zz

Temp. Coni. =r
Ang. (p iiz

6i24 ' LONGIT. GFOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Elementa calculi conmnftionis ex fine
Eclipfe dedu£ta

Pelio
Mallet

22^45'.36''
23° 24. 28

S>.99Si73<5
36^ 9. 10

2'.io°.26'.33"
2. 14 21. 6

3. 54. 33
44. 26. 9

53. 7,S
44. 44- 43
2. 44- 9

Kola
Rumov^ky
2 3^3o'.iS''
21°. 19. 4
9 99S1 189
24°. 5 3'. 19"

2'.I7°.I2'. V
2. 14. 2(5. 42

2. 45. 22
43. 40. 58

52. 37,^
45. 28. 24
I. 54. II

Ponoi

Malkt
24'. 7'. 55".
23°. 7. 51
9. 998 1661

15^29'. 50''

176^8
2(Jo4, 8
ao33, 2

1875, I
2i^57'.48"
I7°.i(5. 20

2'.2i°.37'. 52"

2. 14. 30. 9

7- 7. 43

4<^. 8. 59
52. 18,4

43. 12. 2

5. 8. 4

I23'',0

2638, 7

2032, 8

1893,^

2 2^33^33"

I5°.i9. o

3 3i^<^
2526, 4

2033, »
1866, I
23*. 6', 4"
18°. 9. 30

a2. De-

SOLIS A. 17^9. DETERMINATAE. 62S

22. Determinata igitur quantitate anguli (J)
valores corredi pro temporibus coniundionis facile
inueniuntiir , ex quibus deinceps pro iis locis, \bi
um initium , quam finem obieruare licuit , aequa-
tiones pro corredionibus $ j et n de£niendis , de-
ducuntur. Tempora autem coniundionis hinc in-
venta , ita crunt exprefla :

Pro Promontorio Lezardi Tempus con-

iunftionis.

ex initio 20^o'.3o''+i,92. <5'— 0,91.^+1,^3. tt

ex fine 20. o. 5^ —1,96. <$^+i,oi.j+o, i^.^tt

liin: aequat. I. 24 —3, 88. <^+ 1,9 2.^—1,44. Tr-o.

Pro Grenouico-

ex initio 2o^.2t'.i7''+i,94.^— o,9(?. j-l-ijdi.^Tr
ex fine 20. 21. ^6 —1,98.3^+1,04. ^+0,09.7^
aequat. II. 29 —3,92.3^+2,00.^^—1,52.7:1:0.

Pro Lutetia Paris.

ex initio 2o^3o'.5i'^+2,o4.3— IjI^.^^+Ij^^.tt
ex fine 20.31.15 —2,1 1.3-41,27. 7+0,03.77
aequat. 111. 24 —4.15.3^+2,42.^'— i,73.7rz:o.

Pro Bononia.

ex initio 2i^6'.36''4-2,49.3— i^S+J^+a^i^.TV
ex fine 21.7.35 —^j^o.^+^jio.j^-Oj^S.^r
aequat. IV. 59 — 5, 1 9- 3+3,94.7-2540.77-0.

Tom.XV.Nou.Comra. Kkkk Pro

6^6 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Pro Caianeburgo.

cx initio ta^i2'.22'^+i, 89. «5^-0, 85. 74-0,99'^
cx fine 22. 12. 35 — 1,8 i.^^-f o,<55.>'— 0,38.71
aequat. V. 13 —3,70.^+1,52.^-1,37.^=0.

Pro Petropoli.

ex initio 22^22'.36"-|-2,03.(5"— i, i^.^^-f-i^ip.Tr
ex fine 22. 22. $6 —1,93 <5^+o, 93. y— 0,49.71
aequat. VI. 20 —3,95.(^+2,05. ^'—i,^ 8. tt-O.

Pro Wardhiis.

cx initio 22^25'. i6"+i,8o.^— 0,54.^+0,59.7:
cx fine 22. 25.55 — 1,74. 3^+0, 39. j'— 0,25.7:
aequat. VII. 21 +3,54- <5^— 1,0 3.^^+0,94.7:3:0.

Pro Vmba.

cx initio 22^38'.i6"+i,87.<5"— o,8i.j/+o, 84 tt
ex fine 22.38.21 —1,78.3^+0,55.^-0,44.7:
aequat. VIIL 5 —3,55.(5^4-1, 37.^-1, 28. 7:-0.

Pro Gurjef.

cx initio a3^47'-3i"+5,7o. (5"— 5,48.^+4,74.7:
ex fine 23. 50.25 — 3,99. <5^+3,<^i. ^-1,53.7:
acquat. IX. 175^10,59.(5^+10.09.^-4,37.7:1:0.

Pro Orenburgo.

ex initio 24^ o'.49"+3, 25. «5^—2,78. ^^^ 1,38.7:
cx fine 24. a.24 —2, 49. (5^+1, 83.)'— 1,22,7:
aequat. X. 95 —5, 74. 5^+4,5 1,7- 2,60. 7:ro.

ho

SOLIS A. 1759. DETERMINATAE. ^27
Pro lakutsk.

cx initio 29^ o'. 2''+i,82.^—o,(58.j'— 0,4.5?. tt
ex fine 29. o. 15 -1,69. 3^-j-o,05.j/— 1,08. tt
aequat. XI. 13 —3,5 1.^-1-0,73. J^-Ojda.TT-o.

Pro Caua.

cxinitio 1 9^-5 i'.5o''+i, 83. «S^-o^^o.j+i, 37.71

Pro Hafnia.

cx fine 21^12^ 5"— i,97.^+i,02- y— o^i^.tt

Pro Windobona.

cx fine 2 1^2 7'. 2 5''— 2,46. (5^4- 1,79.7-0,3 3. 'T^

Pro Stockholmia.
cx fine 2i^33'.57"— 1,90. (5^+0, 85. ^^-0,25.7^

Pro PeUo.
Pro Kola.

cx fine 22^23^3 3"- 1,75. ^+0,4^. j-o,3P.'7^

Pro Ponoi.
cx fine 23^ 6'. V-ij^S.^+o,^^.;'-^,^^.^:.

23. Praeter obreruationes fupra recenfitas, non-
nullas quoque alias computaui , quas tanien praeter-
mittcre coadus fui , quum pro locis vbi inftitutac

K k i: k 2, fueruflt,

^2 8 LONGIT, GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

fuerunt , eiusmodi praebeant Longitudines , quae a
Longitudinibus eorundem locorum antea fatis exadle
determinatis infigtiiter differunt. Sic finis Eclipfis Goet-
tingae obferuatus 21^.12'. i6", praebet tempus coniundio-
nis 21^ 4'. 38'', quod fi conferatur cum tempoie con-
iundlionis Grenoukenfi etiam ex fine elicito 20^
21 ^ 4(5", habebitur differentia Mcridianorum inter
Grenoidcum et Goettingam 42'. 52", hoc cfl: plus
quam 3' maiorem , quam ex accuratilfimis obfer-
vationibus B: Mayeri deducitur. Neque praetexatur
fieri poife , Yt haec differentia ob corredliones (5^ , y
et TT oriatuf ^ neceffum enim eft, vt in expreffioni-
bus temporis coniundlionis ex vtraque obferuatione
dedudis, coefiicientes liaud multum inter fe fmt di-
■verfi. Obferuationes initii et finis Eclipfis Lundae
in Scania inflitutae vix quoque inter fe conciliari
polTunt, videtur autem maiorem obtineri confenfum,
fi fupponatur in allegando tempore initii Eclipfis
errorem integri minuti primi fuiffe commiflum ,
adeo vt liabeatur initium EcUpds ip^ 43'. 58''.
Quicquid autem de initio fit , notaffe fufHciet finem
21^33'. 50" vt vidctur exaAe obferuatum, praebere
pro tempore coniundionis hunc valorem :

21^. 14'. 30" -- i,P7- ^+ I5 01. y "- o, 17. TT.

Simili ratione finis Eclipfis Gryphiswaldiae 2i^
30'. 52" obferuatus , dat tempus coniundionis :

21^ 1(5^. 42" — 2, 05. 3^ 4- I. i6y — o, 17, TT.

ARTI-

SOLIS A. 1759. DETERMINATAE. (^29

ARTICVLVS III.

Determinatio correftionum ^, y et tt, vt et

LongitLidinum Geographicarum pro locis,

vbi obferuationes fiipra allatae in-

ftitutae fuerunt.

24.. Priiisquam ipdim iniieftigationem corre-
dionum ^yj et tt adgrediamur , haud abs re erit ,
quaedam de modo inueniendi corretfliones Tabula-
rum Lunarium ex obferuatis Eclipfibus Solis prae-
monerc. Primum igitur fi corrediones ^, j et tt
plane euanefcant , neceflum erit , vt valores inuenti
pro temporibus coniundionis veritati proxime fint
confentanei , quum omnis discrepantia , quae amplius
fupereffe poterit , ab incertitudine obferuationum ori-
ginem ducat. At vero ex aequationibus noftris im-
primis IV, IX et X coaftat , valores qui pro tem-
poribus coniunclionis ex obferuato initio et fine
Eclipfis deducuntur , nuUo modo inter fe conciliari
poffc , fi fupponatur valores ipforum ^^ y et tt fi-
mul euanefcere. Faciles quidem largimur , momen-
ta obferuati initii Eclipfis femper multo effe incer-
tiora momentis obferuati finis , hoc tamen initium
ad praecifionem 10" obferuari pofife exiftimamus ^
errores autem in hoc momento aflignando ad 2'
vel 3' affiirgentes , ab Aftronomis exercitatis com-
miffos fuiffe, nemo facile fufpicari poterit. Magnam
igitur committunt faUaciam , qui alfumtis tempori-
bus coniundionis ex obferuato fiue dedudis pro ve-

K k k k 3 ris,

630 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

ris , inde corredionem Longitudinis Lunae dedu-
cunt , pDftea vero ope argumenti Latitudinis cor-
redli , ip(am Latitudinis correcT:ionem quaerere co-
nantur ; ea enim quae iam monuimus , euidenter
oftendunt , valores corredionum (^, j/ et tt primum
efle quaerendos , tumqiie iiis corredionibus ita de-
terminatis , vt tam ex initio quam fine Eclipfis
idem proxime prodeat tempus coniuncflionis , Lon-
gitudmis corredionem fponte innotelcere. Tanto
magis autem minim videbitur Rev. P. Hell ia
Differtatione de Tranfitu Veneris ante dijcum Solis
Wardoehufii obferuato , in liunc errorem illapfum
fuifle ; quanto ccrtius deri.onflrari potefl , fl corre-
dliones (5^ et tt plane negliguntur, quemadmodum ab
ipfo fadum eft , corredioncm Latitudinis multo ta-
T XXXI ^^^ prodire maiorem , quam quae ab ipfo inuenta
Fig. 7. efl- Grenouici enim Cel. Maskelyne Temp. ve-
ro 19^. 30'. iV inuenit partem lucidam 15'. 14^,5,
pro qno tempore ex Tabulis habetur Latit. Luiiae
58'. 49", 4, deinde pcr calculum dcducitur Parall.
Latit. ni: 2529'', 5 et femidiameter Lunac apparens
1013,7, vnde fit 02 = 982, 2 ct ^^=999, 9,
quod certe fieri nequit nifi ^ B , (eu latitudo 1 8'^
diminuatur. Petropoli Cel. P. Mayer Temp. vcro
22*. 8'. 47'' inuenit partem lucidam 15'. 46", o, pro
quo tempore quum ex Tab. fit Latitudo Lunae
56'. 40", 9, calculus autem det Parail, Lat. 2367'', (J
et Semidiametrum Lunae apparentem 1017", 5 erit
in triangulo 3 O B, latus O 3 =: ioi5, 8 latus ve-
ro 3B— 1033,3 quae inter fe conciliari ne-

queunt ,

SOLTS A. i7<^9. DETERMINATAE. 631

queunt , nifi 3B ad minimum 17" diminuatur.
Neque error praefertim in priori obferuatione 2"
fupcnire poterit , vt ex menfurib partium lucidarum
ante et polt inftitutis , euidentcr patet. Q^Liodfi \e~
ro diameter Solis 4" augeatur , vt conueniat cum
ea quam P. Hell adhibuit , lamen certo affirmare
liceb t , corredionem Latitudinis ad minimum 16''
ftatui debere. Denique obferuari meretur ad inue-
niendam corredtionem Latitudinis nequaquam fuffi-
cere , vt verum argumentum Latitudinis innotefcat ,
quis enim affirmare audebit , in Tabulis Mayeria-
NIS, pro Latitudine Lunae nullos alios errores pos-
fibiles efle , quam qui ex argumentis Latitudinis
pcrperam aeftimatis originem ducunt.

25. Quum dubium videri poffet, an non cor-
redio Longitudinis Lunae in temporibus coniundio-
num inuentis fenfibilcm producat mutationem ? pro
iis obferuationibus vbi NP (Fig, 5.) exiguus eft ,
inquifiui quomodo ob corredionem Longitudinis ad
i' affurgentem , parallaxes Longitudinis indeque tem-
pora coniundionis immutentur , inueni autem tem-
pora coniundlionis dedudla ex obferuato fine Petro-
poli , Caianeburgi , Wardhufii , Vmbae , Kolae et
in Pello 2", in Ponoi vero i" prorogari , fimiliter
quoque temporibus coniunclionis ex obferuato initio,
Gurjefii 2" et Orenburgi 3" addi debere. Porro
quum in aequatione IX coefHcientes corredionum
^, ^' et TT fint praemagni , adeoque numerus abfolu-
tus huius aequationis , corredlionibus in ipfarum

coeffi-

632 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

coefFicientes dudis , non praecife aeftimnri qneat ae-
qualis , vt ad ■veritatem propius accederem , ftatim
fuppofui corredionem Latitudinis jzz — lo" atque
fub ea hypothefi vera momenta temporum coniiin-
dionis pro Gurjef inueni fequentia :

ex initio 23''.48'.35"+ <5,25.3^— (JjOO^r+a^^^.Tr

ex fine 23.49.51— 3,89.^+3.50^'— i^^P-^t^

hinc aequatio IX. 7(5 — 1 0,1 4.<5^+9, 5 0^—4, 13.71

Quantum ad reliquas aequationes attinet facile qui-
•vis perfpiciet 5 ex fuppofitione j/ n: — ■ lo, coefficien-
tes litterarum S^ y et tt non fenfibiliter mutari ,
quamobrem (ufficiet in vnaquaque earum pro j,— 10
fubftituere atque fic XI noflrae aequationcs corredio-
nibus determinandis inferuiente§ erunt :

L 5-3, 88 <^+i,92.j'-i,44.7r=:-o

II. 9— 3? 92. <5~+ 2,00.^— 1,52.71:1:0

IIL 0 — 4, i5-<5^ + 2, 42. j— 1,73,7: — o

IV. 20 — 5, i9.^ + 3,94.j>/ — 2,4o.7r~o

V. 0-3,70.3^+1,52.;/— 1,37.71 — o

VI. 2 — 3,96.(^ + 2,05.7— 1,(58. TTzro
VIL -29-3,54-^+i,03.j/-o,94.7rrro
VIIL- 7-3,65.^+1,37.^-1,28.77=1:0

IX. 7<5-io,i4.(5^ + 9,50.j/-4,i3 7^ — 0

X. 4<S- 5,74.^ + 4?<5i. j^-^j^o.Trzzo

XI. <^-3, Si^^ + Oj^S.J^-o,^^. 7rz=o.

26,

SOLIS A. 17^9. DETERMINATAE. (533

26. Qiii has aequatlones attente conrideraiierit,
facile iniieniec inter eabdem aliqiiaiem adefTe diffen-
fiim , vix tamen maiorem , quam qiii ex modicis
crroribus in ipfis obfcruationibus commiflls deuuci
potell , Vnica tamen exccpta aequatione Vir^"^^ qune
ccrte cum reliquis coafiltere nequit. Qfium igtur
iiumeri abfoUiti hnrum aequationum ad minimum
erronbus 15" obnoxii effe pofliat , valores corre-
<n:ionum o^j ec iz maxime laltem probabiles inue-
niffe erimus cenfeudi , fi hae corredliones ita com-
paratae fuerint , vt errores obieruationum quantum
fieri polfit depriniantur. QuoJ autem primum cor-
reclioncm Parallaxis attinet, quum accuratilFimis ob-
feruationibus P:ir.illix r^ Lunae iam definita fit , ifta cor-
redio aut omni.io pro niilla haberi poterit , autcerte
quam minima erit. Quoniam igitur Parallaxis Lunae
a nobis hejc adhibita talis efl: , quae ex modo didlis
obferuationibus (cqu"tur, fi ftatuatur ratio axis telluris
ad femidiametrum aequatoris , vt 177:178; pro ea
\ero ratione , quam nos fupra adhibuimus , paral-
lax-s circiter 3" minor prodiret ; exiftimauimus abs-
que fenfibili errore in aequationibus nollris poni poffc
TTz^— 3, quo fado eaedem in has transformantur :

I. 9» 3-3,88. (^+1,92.^3:0

IL 13, 6 — 3,92. (^^ + ^^oo. yzno

1]L 5, 2 — 4, 15 (5^4- 2,42.^:110

IV. 27,2 — 5,19.^43,94.7 = 0

V. 4, 1-3,70.(54-1, 52. ;^z=:o

VL 7,0-3,96.5^ + 2,05.7 = 0

• Tom.XV.Nou.Coram. LHl VII.

534 LONGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

VII. -27, 8-3,54' <^+ii03-y — o
V111.-3, 2-3,<^5.'^+ i> 37.7^0

IX. 88,4-10,14.^4-9,50.^-0

X 53, S-^j^^.^ + ^^^i.jK — o

XI. 7»9-3)5i <^+0)73-;':=^o.

27. Vt ininc valorcs approximatos corrcdio-
num $ et y inueniamus , con;paremus inter fe ae-
quationes II et IX , idque eam imprimis ob ratio-
iiem , quod numerus abfolutus aequationis II non
n-.ultum elTe pofTit dubius , quia obferuatio Eclipfis
Solis Grcnouici a pluribus obferuatoribus egregie
jnter fe conuenientibus inflituta fuit , in aequatione
vero IX ob coefficientes iplorum $ ny magnos ,
aliquantillus crror in numero abfoluto commifliis ,
minorem omnino producet variationem , quam in
reliquis aequationibus. Ex aequatione igitur II
deducitur :

jyz:—6^ 84-1,95. <5^ et ex acqu: IX j- — 9,3 + 1,07 ^

ex quibus fiet 0=32,5-4-0,89.(5^, feu ^zz — 2, 8
et yzz— 12. Si ponamus numerum abfolutum <ie-
quationis II 5'' luigcri debere , orictur j zz — 9, 3
et (J Jz: o , vnde proptcr incuitabiles errores obfer-
vationum tantisper (latuamus ^zz — 2 etj^zzi—ii,
Vt autem valorcs pro <5^ et y confequamur etiam
reliquis obfcruationibus fatisfacientes , danda opera efl:
vt numeri abfoluti noftrarum aequationum quantum
fieri licet dellruantur , quod fequenti modo adgrefli
fumus:

SOLIS A. 17^9. DETERMINATAE. 635

ij':--!^

$--2

;~-i

^n-i

I.

-f 9,3- 2^1

-11,8

+ 7,^

- 4,0

-1,9

- 5,9

+- 3,9

- 2,0

11.

+ 13,6- 22, c

- 8,4

+■ 7,?

~ 0,6

-2,0

- 2,6

+ 3,9

+- i,S

III.

+ 5,^" 2(5,6

-21,4

+ 8,3

-13,1

-2,4

-15,5

+ 4,1

-II, I

IV.

-f 27,2- 43,3

— 16,1

+ io,^

- 5,7

-3,9

- 9,6

-^ 5,2

- 4,4

V.

+ 4,ij- 1^,7

— 12,6

+ 7,4

- 5,2

-1,5

- <^,7

+- 3,7

- 3,0

VI.

-f 7,^|- 22,5

- 15,5

4- 7,9

- 7,6

-2,0

- 9,6

+- 4,0

- 5,6

Vll

-27, S~ 11,3

-38,4

+ 7,^

-31,3

-1,0

--32,^

+- 3,5

-28,8

VIll.

- 3,2- 15,1

-18,3

+ 7,3

-11,0

-S4

-I2,.>

+- 3,6

- 8,8

IX.

+ 88,4-104,5

-16,1

f20,3

+ 4,2

-9,5

- 5,3

+ 10,1

+- 4,8

X.

+ 53, S,- 50,7

+ 3,1

+ 11,5

+ 14,6

-4,6

+ IO,C

+ 5,-7

+ 15,7

XI.

4- 7,9,- 8,0

- o,i

+ 7,0

+ ^,9

-0,7

+ 6,2

-+ 3,5

+- 9^7

Ex his igitur iam concluderc poterimus , valores
correclionum y et S lcquentes affumi poffe j^ — - 12
et 3^ =: — 3 , 3deo vt totus -valor corredus ipfiusj'
fit — — 22.

29. His valoribus ipforum ^^ j ct t: adhibitis
facillimum iam euadet , non folum corredionem
Longitudinis Lunae , Ccd etiam veros valores pro
tempore coniundionis ex ringulis obferuationibus de-
dudos aflignare. Quum igitur ex obleruationibus
Grenouicenfibus inuentum fuerit tempus coniundio-
nis \erum Solis et Lunae

20^21^32^^ — 0, 02. ^4-0, 04.J/-+-O, 85. TT

fubftitutis pro (5^ , 7 et TT valoribus , fiet id tempus
20^2i'.3o'', at quum Tabulae Lunares Mayeri prae-
beant 20^23'. 19", patet errorera Tabuhirum pro
momento coniundionis acquari 1'. 49'' , quibus re-

L 11 1 2 fpon-

6^6 LOXGIT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

fpondet motus Lunae relatiuus in longitudinem i'.4''
qui igitur corredionem Longitudinis Lumie exprimit.
Simili modo obferuationes Bononitnfes praebent Tem-
pus coni. 3=21^.7'. 5'^ — o, 10. (5^H"0, i3.;'-+-o. 927:
qu.ie expreffio in hanc abit 21^. 7^. o" at quum ex
Tnb. ejfTe deberet Tempus coniunctionis 21^ S'. 40''
deducitur hinc corredio Longitudinis 59", ideoquc
fine fenfibili errore haec corrcdio i'. 2" aliami po~
terit. Tempora autcm coniundlionis ex finguHs ob-
feruationibus conclufa iam fe habebunt vti fequens
Tabula refert.

Tempiis coniunBionis vcrae Solis et Lunae.

ex initio Eclipfeos

ex fine Eclipfeos

in Caua

19^51^.56'^

Promont. Lezard

20. 0. 39

2 0^ o'.37''

Grenouico

20. 21. 28

20. 21. 29

Lutetia Paris.

20. 31. 5

20. 30. 54

Bononia

21. 7. 3

21. <5. 58

Gaianeburgo

22. 12. 32

22. 12. 29

Petropoli

22. 22. 5 I

22, 22. 45

Wardhus

22. 2(5. 23

H2, 25. 55

Vmba

22. 38. 26"

22. 38. 18

Gurief

23. 49 21

23.49. 25

Orenburg

24. 1.39

24. 1.54

lakutsk

• 9. 0. 12

29. 0. 21

Hafnia

2 1. II. 49

Windobona

21. 2^. 54

Stock-

S0L15 A. i7(^p. DETERMINATAE. 637

Stockholmia

Lundii

GryphisYViildiii

Pello

Kola

Ponoi

cx fine Edipfeos

21. 14. 14
21, \6. 23

21. 57. 42

22. 33- 31

23. 6. Q

29. Vt nunc vcrae Longitudincs eorum loco-
rum , quorum fitus Gcographicus vel hucusque in-
cognitus fuit , vel minus certe determinatus , hinc
dcterminari poflint , fundamenti loco fubfternamus
momenta coniundionum pro iis locis inuenta , quo-
rum Longitudines a meridiano Parifino iam antea
fatis exade determinatac funt , qualia igitur erunt ,
quae ex obferuationibus Grenouicenfibus , Eoiionienfi-
bus , Petropolitanis , Windobonenfi et Stockholmien-
fi deducuntur , haec autem momenta rtatim ad Me-
ridianum Parifmum reducamus , atque fic habebi-
mus pro tempore vero coniundionis Solis et Lunae
ad meridianum Parifmum fequentes valores ;

ex initio eclipfis
20^ 30^ 44"
20. 31. 5

20. 30. 5S
20. 30. 51

ex fine eclipfis

2 0^^ 30'-. 45''
20. 30. 54
20. 30. 53

20. 30. 45
20. 30. 44
20. 30. 5o>

Llll 3

Liquct

63 8 LONGiT. GEOGRAPHICAE EX ECLIPST

Liquet autem mom.entiim coniundionis ex initio
Eclipfis PMrifiis obieruato dedudum , incertius effe ,
quam vt cum caeteris in computum duci qucat,. vn-
de illud excludendum efle yidetur.

30. Si igitur momenta coniuncftionis pro re-
liquis locis inuenta , comparentur cum fingulis mo-
mentis Parifinis , atque conclurionum inde deducfla-
rum fumatur medium , prodibunt Longitudines eo-
rum locorum a meridiano Paririno fequentes :
Promontorium Lezardi o^ 30'. 11'' Occid.

Caianeburg

I.

41.

41 1

Orient.

Wardhus

Sr.

5S'

34

. . . . ex obferuato initio

CI.

55.

6

ex obferu. fine

Vmba . . .

2.

7-

33

Gurjef . .

S3.

18.

34

med ex omnibus

t3.

18.

37

ex fine cum momentis
pro fine

Orenburg .

S3.

30.

50

ex initio

C3.

31.

5

ex fine

lakutsk . .

^8.

29.

28

med. ex omnibus

C8.

29.

34

. . . ex fine

Caua

0.

38.

43.

Occid.

Hafnia

0.

41.

0.

Orient.

Lunda

0.

43.

25.

• • • .

Gryphiswaldia 0.

45.

34.

• • . •

Pello

I.

26.

53.

. « . •

Kola

2.

2.

42.

• • . .

Ponoi

2.

35.

II.

• » • •

31

SOLIS A 17^9. DETERMINATAE. 6^9

31. Quo melius pcrfpiciatur , qua praecifioiie
difFcrentiae M.ri'J!anorum niodo nfiignatae gaudeant ,
placet pro nonnuliis horum iocorum Longitudines
exaliis obferuationibus deduclas breuiter recenrere.
In Promontorio Lezard Emerfio I. Satcllitis louis
obfcTuata eft d. 8. lunii iv^p. temp. vero ^'\ id.
14." , eaJem Emerfio Stoclvholmiae obleruata fuit
io^\ 53'. 15'', Vplaliae autem lo^. 51'. 4.5'^, hinc fi
differentia Longitudinis inter Parifios et Stockholmiam
ponatur i^ 2'. 55", inter Vpfaliam vero et Parifios
i''. i^ 15", proJibit ex comparaticne obferuationis
in Promontorio Lezard fadae , cum Stockholmienli
€t Vpfalienfi , Longitudo huius promontoiii a Me-
ridiano Parifino o''. 30'. 6'' vel o^ 30'. 16'^, adeoque
medium fumendo o^". 30^ ii^' praecife vt modo iii«
venimus. Longitudo Caianeburgi pcr fiepius obfer-
vatas tclipfes Satellitum louis inuenta eft a Stock-
holmia o^ 3S'. 40" adeoque a Meridiano Parifino
1^41'- 35" > qiiiie tantum 6^' a n( ftra conckifione
diff^rt. Pro Gurjef obreruationes Satcihtum louis
cum Tabulis comparatae , proximae eandem prae-
bent huius loci Longitudincm , cum ea , quam ex
fine Eclipfis ibi obfruato deduximus. Vid. Part. 11.
Tom. XIV. Comment. p, 169. et fequu. Obferua-
tiones Satelhtum louis a Cl. Islenieff in lakutsk in-
IHfutae , praebent Longitudinem huius loci a Meri-
diano Parifino 8^ 29' 35^', quae tantum vnico fe-
cundo differt a noflra couclufione ex fine EcUpfis
dedu(fla. Conf. P. II. Tom. XiV. Comm. p. 308.
Immcrfionem T'' Sateliitis louis Ccl. Majon in Ca-

va

640 LONGIT. GrOGxRAPHICAE EX ECLIFSI

va obferuaiiit 1759. d. 5. Aprilis 13^. 4-9'. 35'^J1"3C
fi conferntur cum obferuntione eiusdem immerfionis
Stockhoimiac indituta 15^ 32'. 30^', diit diffcren-
tiam mLridianorum inter Cauam et Parirics 40^ o"
adeoque integro minuto prin o maiorem ea , quam
inueniinus , at ex obreruatione ingrefTus Veneris ibi-
dem inftitiita liquct , nollram determinationem non
multum vltra 30'' efTe erroneam , et prob^.bile quo-
que efl momentum inchontae Eclipfis minus exade
affignatum fuifTe. Praeterea noflrae determinaiiones
Longitudinum pro Hafnia et Lunda , circiter 30''
ab antca cognitis difixrunt , per obfcruotiones enim
Satellitum louis conclufa eft Longitudo Lundae a
Parifiis 43'. 50", dif^ri-ntia Longitudinis intcr Lun-
dam et Hafniam exiflente 2'. 2S", ceu ex menfuris
a Picardo inliitutis conliat. Q^Lium tamen obferua-
tiones Hafnienfcs et Lundenfcs pro fine Echpfis
egregie inter fe confcntiant , vix quidcm dubito ,
quin Longitudines horum locorum a nobis allatae ,
ad veritatem propius accedant , quam eae cuae ex
obferuationibus Satcllitum antea dcdudae funt. Si
igitur fupponatur Obfcruatorium Hafnienfe a Parifi-
no 41'. o" verfiis Orientem diflare , quum Vranie-
burgum celebris ifte locus Obferuatorii Tjchonis de
Brabe ab Hafiia 29" verfus Orientem diflet, erit Longi-
tudo Obfcruatorii Tychonici a Parifiis 41'. 29" adcoque
40'' minor , quam Cel. la Lande iii fuis ephemeri-
dibus Connoijfance des temps eam flatuere folet, De-
nique pcr obferuationes Satellitum louis confiat
Longitudinem loci Pello in Lapponia a meridiano

Parifino

SOLIS A. 17^9. DETERMINATAE. 6^1

Parifino effe circiter .i^ 27'. 3", quae egregie con-
venit cimi ea , quam fupra inuenimus.

32. Quamuis itaque determinationes Longitu-
dinum a nobis modo allatae, ita ede videntur com-
paratae , \t ad Yeritatem quam proxime accedant ,
haud tamen negare volumus , etiam eas , quae ex-
adilTimae nobis videntur corredionem 5" admittere
pofle , imprimis quum in dcterminandis valoribus
corredionum ^, j' et tt rigorem Geometricum fequi
non liceat. Hoc tamen pro certo affirmare aude"
mus , etiam negledis correcflionibus ^ et tt, Lati-
tudinis corre6lionem certe duplo fore maiorem ea ,
quam Rev. P. Heli inuenerat , quum tamen fi nos
eius ratiocinandi modum fecuti fuiflemus , eandem
vel faltem non multum diuerfam a fua corredioncm
Latitudinis inueniflemus.

33. Denique haud fuperfluum erit , de gradu
certitudinis , quem obferuationes Echpfium Solis cir-
ca determinandas Longitudines locorum fibi vindi-
cant , quaedam adiicere. Vt autem diftinde aga-
mus , in genere obferuare licet , omnem incertitu-
dinem , qiia conchiflones hinc dedudae afliciuntur ,
ex duphci promanare fonte , fcihcet vel ex ipfis
erroribus obfcruationum , \el ex defccflu Theoriae et
calcuh. Non quidem diflitemur oWeruationes initii
eclipfis erroribus ad 10'' et vUra afllirgentibus efle
poflTe obnoxias , finem autem ad praecifionem 5'^
fecundorum obieruari pofle , omnes nobis largientur

Tom.XV.Nou.Comm. M m m m Allro-

6^1 LONGIT.GEOGRAPHICAE EX ECLIPSI

Aftroaomi. Qiiis autem Artronorroriim affirmare
audebit , fe de immerfione vcl emerfione alicuius
Satellitum louis intra 4 aut 5' ccrtum efTc ? Qiiae
de Tlieoriae defedibus in computo Eclipfium Sc^ls
a nonnuiiis etiam magni nominis Aftronomis iKifQ-
runtur , certe non eius funt momeiiti , Yt ccrtitudi-
nem conclufionum ex obleruatis Edipfibus Solis de-
dudarum infringere valeant. Quod enim 1''. incer-
titudinem verae figurae telluris attinet , ea adco
exiguum in calculos paralladicos Iiabet influxum ,
\t maximae yariationes , quae hinc in Parallaxibus
Longitudinis et Latitudinis oriantur certe non duo
aut tria fecunda fuperent. Si autem quis pro com-
putuidis parallaxibus eiusmodi adliibucrit formulas ,
quae vltra 15" a veritate deuiant , hic defcdus
certe pro infigni haberi meretur , qui autcm non
Theoriae fed calculatori vitio verti debet. IP. Ve-
ra quantitas diametrorum Solis et Lunae pro exade
cognita non quidem haberi poteft , huic autem in-
commodo facilis adfertur medela , fi ipfa corredio ,
aut femifummae , aut femidifRrentiae diamctrorum
in computum iiitroducatur. Quin etiam fi has dia-
metros exaAe cognofcere non liceat , fola in vfum
vocata corredione Latitudinis , longitudines locorum
absque errore 10" definiri poterunt. Sic fi pro no-
ftro caCu ponatur tam ^ quam tt — o, habebitur
valor ipfius y proxime :::::- 18'', ex quo fiet ttm-
pus coniundionis Grcnouicenfe zz 10^, 21'. 31" et
Gurjefuenfe ex obferuato fine Eclipfis 23^ 49' 26"
Viide prodiret diffcrentia meridianorum inter Greno-

vicuin

SOLIS A. 1759. DETERMINATAE (^43

\icum et Giirjef 3^ 27'. 52", quae a fupcrius in-
■vcnta vix diflert, Obleruatio finis Eclipfis in Ward-
iius , praebet (ub Iiac hypotbefi , tempus coniunclio-
nis —22^25^48", vnde prodibit Longitudo Ward-
liufii a Grenouico 2^ 4'. 17'', quae cum fuperius
inucnta bene confentit. . Quod IIF. ad Parallaxin
Luiiae fpedat , \idetur quidem eam iam adeo accu-
rate efle definitam , vt vix dubium $" fupertfle
poflit , obfcruationibus omnibus hunc in finem in-
ll[itut:s , pulcre inter fe confentientibus. Quicquid
autcm fit ex neglecfla quoque corredione Parallaxis,
nullum plane incommodum efle metuendum exem-
phi modo ailegata manifcfto odendunt. Qiiamuis
igitur corrediones ^^ y et 7: exadle non fint defi-
nitae, id tamen certitudinem conclufionum pro Lon-
gitudinibus Geographicis non multum turbat , mo-
do hae corrediones ita definiantur , vt iis fatisfa-
ciant aequationibus , in quibus earum coefficientes
funt praemagni. Inexfpedatum autem nemini oc-
currere debebit , fi quis dum veram Longitudinem
oppiJi Gurjef determinare conaretur , eamque ex
momento coniundionis pro fine Eclipfis conchilo
2.3^. 50'. 26'', omni Latitudinis corredione omifla ,
concluderet efle 3^ 19'. 11'' a meridiano Parifino ,
in errorem 30" incideret. Si vero idem perfpice-
ret initium Eclipfis praebere Longitudinem huius
loci a Meridiano Parifio 3^ 16'. 44", certe huius-
modi difleufum nuUa cum verifimihtudine , vel eX
errore obferuationum , vel ex defedu Theoriae de-
riuare poterit. Methodum itaque determinandi lon-

M m m m a gitu-

^44- LONGIT. GEOGRAPH. EX ECLIPSI etc.

gitiidines locorum ex Eclipfibus Solis pro certiflima
habere non dubitamus , atque omne dubium , quod
coQclufionibus ex ea dedud.s ineft , incertitudini ob-
feruationum tantum adrcr.bendum effci , quae tamen
obleruationes dum a peritis Altronomis inftituuatur,
pro fine Eclipfis non mukum \ltra 5" dubiae efle
pofTunt. Vtrum ex vnica vel binis obferuatis Ecli-
pubus Satellitum louis , Longitudo alicuius loci ad
praecifionem 10 ne dicam 5 lec. determinari queat
(nifi id forte cafu fortuito contingat) vehementer du-
bito ; pluribus faltem exemplis oftendi potefl: , ex
obferuationibus per aliquot decennia fuper Eclipfibus
Satellitum infi:itutis, Longitudines locorum Yix cuai
praecifione 5" ftabiliri potuifle.

LON-

LONGITVDO

S E R V A T O R I I

PETROPOLITANI

EX OBSERVATIONE ECLIPSIS SOLIS
A. 1759. DETERMINATA.

Auctore

AND. lOH. LEXELL.

I.

Praeter initium et fincm huius Eclipfis , vti fiipra
Yidimus Petropoli fiitis cxadc obferuatos , Cel.
Prof. Mayer micrometro obiediuo ad Tubum Achro-
maticum Dollondi 7 pedum appiicato , pliirimas in-
flituit menfuras partium lucidarum limbi Solis ;
quum igitur plerasque harum obleruationum com-
putauerim , quaenam ex iis deduci queant conclu-
fiones pro determinanda Longitudine obferuatorii
Petropolitani , breuiter heic exponere confiitui. In
vfum autem meum eas imprimis felegi obferuatio-
nes , pro quibus diftantiae apparentes centrorum So-
lis et Lunae feu redae haec centra iungentes , ante
et poft coniundlionem apparentem Solis et Lunae ,
ad Eclipticam videbantur aeque inclinatae , quae
cnim ex binis quibuscunque huiusmodi obreruationi-
bus dcducuntur exprefiiones pro tempore coniundio-
n';S , ita funt comparatae , vt dum inuicem addan-
tur , corrediones ex erroribus Latitudinis et diftan-

M m m m 3 tiae

545 LONGIT. OBSERVAT, rETROPOLIT.

tiae centroriim Solis et Lunae oritnr;\e fe mutuo
delh'Liant , pariuila remanente particula ex corredio-
ne paralkxis oriunda , quae autem quum de Paral-
T. XXXI. laxi non multuiri fimus dubii , quoque pkne negli-
Fig- 9' gi poterit. Repraefentet igitur M O N eclipticam ,
A B orbitam Lunae apparentem Petropoli \ifam ,
A et B duo quaecunque loca Lunae in orbita ap-
p;irenti , prior A ante coniuncftionem apparentem ,
alter B \ero poll eanciem , fmtque haec loca ita
dispofita vt fiat' angulus A O M zi: B O N. Hoc
fado fi corrediones Latitudmis et parallaxis \t an-
tea indigitentur per j' et tt, corredio autem diftan-
tiae apparentis centrorum per (5^, \bi ^ ob O A et
O B proxime aequales pro \traque obferuatione
eundem habebit valorem , angulus denique A O M
iz:: B O N exprimatur per (f), atque nunc ex iis
quae in Differtat. praecedenti §. 14. monuimus,
fequitur expre(fionem pro ten.pore coniunclionis ex
loco Lunae apparenti in A dcdudam , ita reprae-
fentari pofle :

T+a^Scc.Cf^-rt^Tang.Cp + y^rp/Tang.^+p)

\bi p' et p eosdcm habent fic^nificatus ac ante , a
vero denotat numerum per quem aliquod Ipaiium
multiplicari debet , \t tempus inueniatur , quod
Luna motu luo relatiuo huic fpatio percurrendo im-
pendit. S m li^ \ero modo ex loco Lunae in B ob-
feruato tempus coniundionis ita elicietur expreffum:

nunc

EX ECLIPSI SOLIS A. 176^9. 6-47

niinc aiitem probe notandiim eft , \aloies litternrum
p et p , non amplius eosdem eiTe ac in forauila
praecedenti. Additis \ero duabus his expreflionibus
et ex fumma earum medio fumto , orietur pro
tempore coniandionis fimplcx huiusmodi exprcfTio :
5(T-hT'j-i-(37r vbi Yt fupra dixim.us, quantitas minima
(3 TT 5 absque metu fenfibilis erroris omitti potcrit.

2. Methodus iam expofita , inueniendi vera
momenta temporis coniunclionis, tanto ihne maiorem
nieretur attentionem, quanto euidentius patet, etiam
infignes crrores Tabnlarum Lunarium , certitudinein
conchifionum -vix infringere, adeo vt vnicum dubium
quo determinationcs hinc elicitae prem.untur cx ip(a
incertitudinc obferuationum oriatur. Negare autem
non poflumus quin huiusmodi obferuationibus etiam
fumma indufiria et exaditudine infiitutis laepius
errores plurium fecundorum ineffe pofllnt, qui erro-
res tanto maiorem in determinationem pro tempore
coniundlionis habebunc influxum , quanto propius
loca A , et B diftant a coniuncftione SoHs et Lunae
apparenti. At vero quo propiora A et B funt ad
momentum coniundionis apparentis , eo minus erit
errandi periculum , propter dirtantiam apparentem
centrorum Sohs et Lunae , circa haec loca tard us
decrefcentem vcl increfcentem. Ex aduerfo autem
commode fit , vt licet pro locis A et B a coa-
iundione apparente magis remotis , ob motum
Lunae velociorcm fiicilius flt in errores illabi , hi
tamen errores in tempure coniundionis aflTignando non

nimis

^4S LONGIT. OBSERVAT. PETROPOLIT.

nimis magnam producant mutationein. Quamuis
vero quoquc mediocres errores in menfuris partium
lucidarum Tupponantur commiffi , modo pro binis
obferuationibus in eundem lenfum cadant et haud
inultum fint inaequales , pro tempore coniundtionis
tamen inuenietur expreflio haud multum a veritatc
abludens.

3. Ex praecedenti diflertatione conftat momen-
ta initii et finis Eclipfcos Grenouici obieruata pro
tempore coniundionis has praebuiffe exprefliones.

cx initio 20^21'. 17''+ 1, 94. <5' — o. 9(5.^^4-1, 5i. tt

ex fine 20. 21. 45 — i, 98. ^ + i, 04.^^ — 0, 09.71

cx quibus medium fumendo prodibit tempus con-
iundionis

20^21'. 3*'^— o, 02. ^4-0, 04. y-h o, 85. TT
"vhi quum coefficientes corredionum $ ct y fint
quam minimi , hos terminos tuto ncgligere potcri-
mus , adeo vt iam fit Tempus coniun<flionis A^erum
Solis et Lunae pro Meridiano Grenouicenfi 20^
ai'. 32" -4- o, 85. TT. Q^Lio autem certior euadercm
de certitudine huius conciufionis, ex obrtruationibus
a Celeb. Maskelyne circa partes hicidas inilitutis ,
valores pro tempore coniundionis chcere conlH-ui.
Hunc in finem imprimis lelegi binas fequentes obler-
Tationes :

Tcmp. Grenou. ver.
19^ 22'. 13''
37. 5<J

Pars lucida
i5^4o",5
15- 49) I

Calcu-

EX ECLIPSI SOLIS A. 17(59. 64.^

Cakiilo autem fubdudo pro his temporibus fequentia
iniieni clementa.

Temp. ver.

19^22'. 13'^

Semid. Lunae
apparens

1014, o

Latit. Lunae

Paral. Latit.lParal Longit.

59'. 7^o 25^1, 8 [ 1851, 9 '
37.56 1014,0 1 58.12,9 I 2498,5 I 1803,^

•vbi nocaffe fufficiat Latitudinem Lunae e Tabulis
depromtam, lo^' a nobis diminutam efle , quod hoc
in negotio nullam ptoducit mutationem.

Hinc ex priori obferuatione deducitur
tempus coniundionis

20^20'. 19/'+ 8,00. (^-7,82./+ (^,30. TT

ex pofteriori vero
jdeoque medium fumendo

20^ 2 l'. 32"- O, 07. ^ + 0,07.^4.0, 85. TT

vel reiedlis corredionibus ex <5^ et j profluentibus :
20^21'. 32^ + 0, 85. TT prorfus vt ante. Videtur
ergo hanc expreflionem pro tempore coniundlionis
Grenouicenfi , maxime indubitatam efle , vnde cum
ea flmiles exprefliones pro eodem tempore ad meri-
dianum Petropolitanum computato , tuto conferre
licebit.

4. Inter obferuationes a Celeb. Mayero iiiftitu-
tas , non nifl 14 inueniuntur efle correfpondentes ,
feu tales, vt binis quibusque idem refpondeat angulus
Cp , has autem obferuationes , vna cum reUquis elcr
mentis ex calculo dedudis, fcquenti Tabelia ob ocu-
los Donere , vifum eft.

Tom.XV.Nou.Comm. Nnnn Temp.

6S0 LONGIT. OBSERVAT. PETROPOLIT.

Temp.Petrop.ver.

Pars. Luc.

Diam. 3'

Latit. 3

Par. Lnt.lPar. Long

ante

coni. appar.

appar.

I.

7.i\ iS'.5i''

28'. 6\z

ioi6'',7

5 9'- 3 2^,9

2494",!

8 82",(5

n.

25. 32

25. 18, 2

10 15, 9

59. 9,9

2475,0

845,0

IIL

So. 50

23. 25, c

1017, 0

5 8. 5 1 , 6

2461, 9

814,8

IV.

34. 30

22. S,3

1017, I

58.39, 1

2452, 3

793,3

V.

43. 19

19. 21 , 1

1017, 2

58. 8,6

2429, 7

740, 9

VL

45. 48

18. 42, 3

1017,3

58. 0,1

2423, 4

726,0

VIL

51- 45

17. 22 , 8

1017,4

57.39, 5

^408, 3

(588, 9

poll.

coni. appar.

VII.

«2. 18. 28

16. 40, 5

1017,7

56. 5,8

-34-4, 8

513,6

VI.

24. 51

17.47,6

1017, 7

55.45,6

2332, 4

473,7

V.

28. 30

18. 35,6

1017, 8

55.33,0

2324, 5

449, 1

IV.

■ 37. 25 |2I-. 3,0

lOi 8, 0

«^5. 2,2

230(5,4

387, 8

IIL

40. 38 22. 6,2

1018, 1

54-51, 2

2300, (5

365, 3

IL

43--25 '22. 54, 4

loi 8, I

54-41, 6

2294, 7

345, 9

I.

53. 34

26. 35,6

IO18, 2

54. 6, I

2275, 9

274,0

Moniiifle aiitem hcic fufficiat , calciilo inftituto par-
tibus lucidiS quoque paruulam additam clTe corredio-
nem , propter ettedum refra^fliouis , quo fit \t hae
partes vifui minores of!erantur , quam reuera funt ,
quamuis hanc quoque corredliunculam ob ratione»
§ 2 allegatas tuto negligere licuiflet.

5. Ex hifcc elementis fequentes iam deducun-
tur exprefliones pro tempore coniundionis , in qui-
bus recenfendis cas , quae ex obferuationibus cor-
refpondcntibus deducuntur , femper coniundim ad-
feremus ;

Tempus

EX ECLIPSI SOLIS A. 17(^9. 6si

Tempus coniv.nfl:ionis ex fingulis obferuatio-
nibus conclufum.

I. 22^2 2'. 3 3''+ 2, I 2. <^ - I , 29.J/ + I, 27. Tt'

22. 23. 12 —2,03. (5^ + 1,21. J' — 0,52.71]

IL 22. 22. 16 +-2,31. ^-i,57-J+i74-5-7r^
22.23 25 —2,31. <^ + 1, 58. i' — 0,83.71;

IIL 2 2. 22. 2 1 4-2,45. (5^— 1,78. J'+ 1,57. Tr,

22.23 10 — 2,39. ^ + 1, 70. jF — 0,89.71)

IV. 22. 22. 19 +2,61. 6^ — 1,99.^/+ i,<^9. 7r'

22. 23. 19 —2,54, (5^-1-1,89. )^— 1,01. 7r;

V. 22. 21. 54- +3,30. ^ — s^^^.i^+^, 22.7r^
22. 23, 50 — 3,21. 5^+ 2, 73. j/— 1,52. tt;

VL 22. 21. 49 +3,(^4. ^ — ^,^».^'-!-^,^^?. 7T,
22. 2^. 33 — 3,<^9. «5^+3,29 j — 1,71.71;

VII. 22. 21. 43 +5,02. ^ — 4,73. /+ 3)42. tt'
22. 23. 28 —5, 12. ^4-4,82.^^—2,84.71^

Tempus coniunftionis quod medium fumendo

prodit.

I. 22^22'. 52^4 0,04. ^ — 0,04. j' 4-0,34.71

II. 42. 22. 50 —0,00. ^4- 0,00.^4-0, 3 i.7r
IIL 22.22.45 4-0,03.5^—0,04.^4-0,34.71

M n n n 2 IV.

55 a LONGIT. OBSERVAT. PETROPOLIT.

IV. 22^22'.49'^-f 0,04. 5^-0,05. r + o, 34- 'Tf

V. 22. 22. 52 +0,04. «^^ — o,C5. y + 0,35' '^

VI. 22. 22.41 —0,03. ^ + 0,03 y + o, 37-'^
VIL 22. 22. 35 -0,05.^ + 0,05.^ + 0,29.-7^

Hinc autem per mediuni colligitur tempus verum
coniundionis Solis et Lunae ad meridianum Petro-
politanum

22^ 21'. 47" + o,oi. 5^ — 0,01.^ + 0,33.7:

feu reicdis ^ et y 22^ 21'. 47" -+■ o, 33 tt, at pro
meridiano Grenonicenfi inuenimus 20^. 21'. 32"
-1-0,85.71 ex quo habebitur differentia Meridiano-
rum inter Grenouicum et Petropolin 2^1'. 13''— o,
52. TT, ideoque fi tt ftatuatur :=:— 3 erit Longitudo
ObfGruatorii Petropolitani a meridiano Parifmo i\
52'. 1" fin autem tt aflumatur iz: o proJibit ea
1^.51'. 59''. Ctterum fi in exprelfionibns pro
tempore coniundlionis Grenouicenfi , loco y eius
•valor lubrtituatur , prodibit hoc tempus 20*. 21'. 31^^
-4-- o, 85. TT , ynde Longitudo obleruatorii Petro-
p')liiani \no fecundo augebitur. Deinde quum con-
clufio ftptima a reliquis aliquantum diffcrat , fi ea
exclula ex rdiquis medium lumatur , erit tempus
coniundlionis Petropolitanum : 22^. 22'. 48''+ o, 34. 7r
h ncque differentia meridianorum inter obferuatoriuni
Grenouicenfe et Petropolitanum 2^ i' 17^-0, 5 i^tt,
quae pofuo tt :r- — 3 , dat Longitudinem Petrocolis
a meridiano Parifino 1^52^3", at (u!TUo 7m o
eandem praebct i^ 52^ i" , quae a communiter re-
cepta non diflert,

6. Circa

EX ECLIISI SOLIS A. i^6p. ^53

6. Circa fignificatum litterae ^ heic obferuari
meretur , quod is plane diuerfus fit ab co, quem
huic litterae in praecedtnti diflertatione tribuimus,
ibi enim S fignificabat corredlionem fummae femi-
diametrorum Solis et Lunae , heic Ycro ^ generali-
ter denotat corredionem cuiuscunque diftantiae ap-
parentis centrorum Solis et Lunac , quae ig'iur cum
de Piiafi aUqua obferuata quaeftio eft , inuoiutre pu-
tanda eft non modo corrcdlionem fcmioifFcreniiae
diametrorum Solis et Lunae , fed etiam partis luci-
dae menluratae , fi igitur corrtdio fen.idiametri
Lunaris exprin atur per a, femidiametri vero Sola-
ris per b, et pars lucida menlurata dicatur P, habe>»
bitur pro huiusmodi cafu $ zz: a — b (i - ^) fignifi-
cante d femidiametrum Sohs. Quodfi igitur de va-
lore ipfius ^ ex praecedenti Differtatione fatis effe-
mus certi , tamen inde minime fequeretur , hunc
valorem quantitati ^ heic adhibitae competcre. Ex
obferuationibus autem moco allatis valorem quanti-
tatis S eruere vellae , res fane foret difficillJma cb
ii'eu^tabiles errores obferuationum , id tamen notafie
iuuabit , fi hurc vulorem exade determinare hce-
ret , tum corrtdiones lemiiiametri tam Sohs,quam
Lunae feorfim iifli^nari poffe.

7 Q_"amquam fitus obferuatorii Petropolitani
cx obferuaiis tchpfibus SatelHtum louis iam anteji
latis exa^e definitus fit , noflra tameii opera ia
computandis obfcruation-bus memoratis eo n inus erit
fuperflua , quod hoc imprimis arguniCnto eui(ftum

N n n n 3 fit,

SS^ LONGIT. OBSERVAT. PETROPOLIT. etc.

fit , Longitudines locorum ex Eclipfibus Solis fal-
tem ad praecifionem 5'' definiri pofle , etiamfi ycI
maxime omnes corrediones Elementorum Alirono-
micorum plafie negligantur. Maximus quidem dis-
fenfus , qui in expreflionibus noftris pro tempore
coniundioais occurrit, ad 17'' alTurgit , qui tamen
reieda VII conclufione ad 11'' reducitur , iam ve-
ro vnicuique diiudicandum relinquo , an uon pro in-
veftigania Longitudine locorum ex Eclipfibus Satel-
litum louis , dum 12 obferuationes inter fe compa-
rantur , diffenfus ad 10" et \ltra affurgcntes nun-
quam non prodire foleant ? Hoc ipfo autem nihil
methodo vulgo receptae , longituJines locorum per
Eclipfes Satellitum definiendi , detnihere volo ^ fed
corum tantum refellere opinionem, qui Eclipfibus So-
laribus ad determinandas Longitudines locorum et-
iam deliquia Lunae praeferre non dubitant , dum
omnes conclufiones , quae ex prioribus deducuntur
pro incertiflimis habent.

EX-

EXPOSITIO OBSERVATIONVM

ASTRONOMICARVM

A. 1770. IN VRBE 2ARICIN
INSTITVTARVM.

a
PETRO INOCHODSOW,

l.

Verificatio Quadrantis ad horizontem.

I^Totatis in baculo duabus metis centro tubi immo-
x\ bilis , in Ytroque Quadrantis fitu redo et in-
verfo refpondentibus, hocque baculo ad dirtantiam |
Werftarum defixo, cepi altitudines harum inctarum.

In fitu quadrantis redo altitudo me-

tae iliperioris o". 11^36^'

In fitu inuerlo , altitudo inferioris o. 9. 26", 7

DiiTerentia 2. p, 3

Vnde error Quadrantis i. 4, 6.

Hacc operatio inftituta fuit die Aprilis (J'%
vet. (lyl. Barometro ante operationem monftrantc
28 Dig. I Lin. pofl: operationem 28 Dig. 5 Lin. ,

Die 17""° Aprilis in diftantia 300 perticarum
collocaui aflerem , fadlis in iplb \t ante duabus mc-
tis , atque reperi altitudinem

ia

6S6 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

in fitu redo metae fuperioris o^sV- s" i^ere
ia fitu inuerfo metae iiiferioris o. 52. 5 vndulante
"vnde error Quadr. o^.Sg".

Baromctrum mondrabat ante operatlonem 28 Dig.
3j Lin., poft operationem 28 Dig. 3; Lin.

Die 2 Maii cepi altitudincs earundem me-
tarum

in fitu re(flo 0°. 5 3'- So"

in fitu inuerfo o. 51. 3^

vnde crror Quadrantis i'. 7.

Altitudo Barometri ante operat. 27 Dig. io| Lin.,
poft operationem 27 Dig. lo^ Lin.

Die 8, Maii eorundem fignorum inueni alti-
tudines

in fitu rcdlo o'. 54-'. 9"

in fitu inuerfo o. 51. 59

Ex quibus prodit error i. 5.

Altit. Baromctri ante operat. 28 Dig. U Lin. poft
28 Dig. i§ Lin.

Die 18. Maii Earundem metarum altitudines

in fitu re^o 0°. 54'. 5'', 8

in fitu inuerfo o. 52. 1, 7

•vnde error Qiiadrantis i. 2.

Barometrum monflrabat ante operationem 27 Dig,
ii| Lin. poft operationem 27 Dig. i ji Lin.

Ex liis quinque operationibus error quadrantis
medius erit — i'. 3", 5> "vel reiiciendo fecundam

opera-

ii;.^ m ^RltllSf^ mSTITVTAE.. 657

operationem , quae pFOptei- vtidiilaitioiiem aeris eft

fabcfubia , prodibit error- Qiiadr£W)«fi -^ \'U^J'fe.'^iy'q-

'^ iijjM .1:1 fi eudaib muir^

Verificatio Qgadra^iti^ adl Zeoit.'

' ■ AftiCudd^
'(^■yrrae maidrrs

T1

Limbb ad Occid.

- G.':m.; ;S..

8o.' 5^. ^21

81. 41. I

82. 45.. 40
8 8. 45/42

Liitvbo ad Orient.
G: 'M; S./t

' 99v;-'^7^ '^3-;-;
98.' ■'^'t. 17

Error

ii'. 12''

ir.
II.

9

5'

97'-;:3<^;..5i

91. ''^<^.' '38 ' |ii. 10.

Ex his fumendo medium Arithmeticum erit. crror
11'. 9", I. Nunc fi fubtrahantur 10 minnta; prima,
quae in limbo Q.U'idrantis deticiunt , ideoqiu^e Jiac
quantitate indicatas altitudines augent , erit; error ex
iiac verificatione — 1'. 9/', i^ erat autcm ex verifi-
catione ad horizonrem — 1'. 4", 6 repertus , confe-
quenter ex vtraque redlificatione 1'. 6'', 8, qui ex
captis altitudinibus ' eft auferendus ,. fed pplt '7SJ et *
5oVii^<5", 8 fubtrahenda erunt. **! ^''^ *^^ '^'^ ''-

Craffitiem fiU micrometri etiam diuerfam' - iil-i
veni , ,fed ex multis ct repetitis obferuationibus! pror
diit ea 13".

11. Determinatio Latitudiiiis vrbis iZaricin.

Ex ingenti numero' obfcruattotfum fnper- 'a'ftr-
tudines meridianas Solis et iixaritm infiitutnrum, quac'
dam tantum feledae fuerunt , ad inueniendam huius
loci Latitucjinem. Et quum concluriones ex iis
dedudae egregie intcr fe cbnueniant , confidimus de-
TomXV. Nou.Comm. Oooo ter-

d5S OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

terminationcm Latitudinis ex iplis petitam , quam
proxime ad veritatem accedere. Primum itaquc
quum diebus a 21. Maii vet. St. ad 2. lunii obler-
vatae fuerint altitudines limbi Solis inferioris , con-
fiderandum eft veras altitudines centri Solis inueniri
fi ex valore femidiametri Solaris pro hoc tempore ,
fubtrahatur tum corredio inftrumenti, cum refradlio
parailaxi Solari minuta , atque differentia ad obfer-
vatam altitudinem limbi inferioris addatur. Inueni-
tur autem quantitatem addendam pro Iiis diebus fb-
re 14'. 17'', quare iam facillimum erit ex obferua-
tis his altitudinibus , Latitudinem loci deriuare, quod
fequenti Schemate exhibetur , vbi notafle iuuabit
pro computanda Declinatione Solis fuppofitam fuifle
Longitudinem Zaricini a Parifiis 2^48'.

Maii 21.

25^ <J3

Altit. limbi inf.
obferu,
(SS^ 8'. 40'^
38. 16

27.1 <^3- 50- 40

28; 63. S6. p

lunii 2.1 ^4. 18. 4

Altit. vera [ Decl. Olis
centri Solis

<J3°.2 2'.57
<^3' 52. 33
6^. 4. 57
6^. lO, 26
<54. 3^2. 21

22". 5^24'
22. 34. 45
22. 47. 6

22. 52. 40

23. 14. 28
Medium

Eleuatio Poli

48^42^.27'^
48. 42. 15
48. 42. 9
4S. 42. 14

48. 42. 7
48. 42. 14.

Sequentibus diebus a 2. lunii vsque ad 26.
captae fueruut altitudines limbi Solis fuperioris , vt
igitur ex iis ^erae aftitudints centri deducantur, ob-
feruaffe fufficiat ex altitudinibus obferuntis conftanter
fubtrahi debere 17'. 16'', binis diebus 25 et 26, lu-
nii exceptis , pro qnibus 17'. 17" iubtrahenda erunt.

lunii

IN ZARICIN INSTITVTAE.

es9

IudII 3
6

7
8

9

10

13

14^
i6

i8
ip

22
24
25
25

Altit. limbi Sup.
<J4°.52^35'^

64. 59. 18

65. I. 4
^5. I. SS
6S' 2.40
65. 2. 58
65. I. 9
64. 59- 30
(J4. 55. 29
64. 49- 48
(54. 45. 23

<J4. 33. 37

64. 23 25

54. II. 17

1

AltitcentriOlis

^4°. 35'. 19"
64. 42. 2
54. 43. 48
(54. 44. 39

54. 45. 24
d^. 45. 42

<J4- 43. 5 3
54. 42. 14

54. 38. 13
54. 32. 32
(54. 29. 7
64. 1(5. 21
64. 5. 10
54. o. 15
<53. 54. o

Declin. GlislEleuatio Poli

23°. 17'. 36" 48°. 42'. 17''

2 3- 24. 33
23. z6. 4

23. 27- 9
23. 27. 49
23. 28. 6

23. 25. 21
23. 24. 55
23. 20. 52

23- 15. 14
23. II. 4<^
22. 59. I

22. 48. 29

22. 42. 37
22. 35. 22

Medium

48. 42.31
48. 42. 16
48. 42. 30

48. 42. 25
48. 42. 24
48. 42. 28

48. 42. 42

48. 42. 39
48. 42. 42

48. 42. 39

48. 42. 40
48. 42. 19

48. 42. 22
48. 42. 22

48. 42. 2p

Si igitur ex omnibus his YJginti obferuationi-
bus flltitiidinum Solis medium fumatur , prodibit
cleuatio Poli Zaricini 48"". 42^ 25'^ Progrediamur
vcro nunc ad ftellas fixas , quarum altitudines ob-
leruatae funt, in earum autcm numero primum
occurrit Regulus , cuius Declinatio quum ineuntc
anno 1770 Tuerit 13'. s'- 8'', pro die vero 10 Apri-
lis inueniatur eiiis Deuiatio - 7", 3, Praeceffio -4,9
ct Aberratio — 3^', i , fimilique ratione pro die 24,
deuiatio -7,3, praecelTio -4,9 et aberratio -3ii;
ininc ex eius obferuatis altitudinibus , determiuatio-
nes latitudinis loci facile peti poffunt.

O 0 0 0 a d. i Q,

^60 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

d. lO.Apf.
d. i7---^

.s

SAltit. obreraatajAitit. -vtH |DecI.app.ReguH

54-'.24'.37'S5

5 4°. 2 2'. 50'^,
54. ^2. 53^
fif. ti. $±

54. 2^. 4<5

1 3^ 4-^
13. 4.
13. 4--
13. 4.
13, 4.

53"

53

54

54

54

mediunl

Eleuat. Poli
4.8^42'. 3''
48. 42. o
•4-8; 42. 2
4-8'; 42. 4
48. 42. 8

48^4^^3^^

.Reguluni >excipiat-

Ardtirus , cuius declinatio pro
.Annd . 1770. r. fuit 20°;. as^ 13'^ ad diem vero i
Maii. ;ba?betitr; eius deuiatio ~ 3,6; Praec. - <5, 5 ^
Aberratio M^ 4'^ 3 ; porro pro die 9 lunii deuiatio
^ 3'^ 3; praecefTio - 9, o et aberratio 4- lO, 6, qui-
bus obferuatis detenninatio Latitudinis loci ita fe
habebit.

>.

Aitit. obferuatal

Altit. vera

Declin. app.

Latitudo loci

. I. Maii

^i°.42'.39'' j

^1^41'. i'^

20°. 23'. 7"

48^.42'. 6^'

4.

6"i, 42, 41

61. 41. 3

20. 23. 8

48. 42. 5

7.

61, 42. 49

61. 41. 1 1

20. 23. 8

48. 41 57

12,

6"i, 42. 47

5i. 41. 9

20. 23. 9

48. 42. 0

13.

^i. 42. 44

<5i. 41. (5

20. 23. 9

48. 42. 3

24.

5i. 42. 45

6\. 41. 7

20. 23. 10

48- 42. 3

26.

<Ji. 42. 37

61. 40. S^

20. 23. II

48. 42. 12

2. lunii

61. 42. 45

61. 41. 7

20. 23. 1 1

48. 42. 4

3.

61. 42. 4(5"

(Ji. 41. 8

20. 23. II

48. 42. 3

8.

61, 42. 44

61. 41. (^

20. 23. 12

48. 42. 6

9'

df. 42. 47

61. 41. 9

20. 23. 12

48. 42. 3

,

Medium

48. 42. 4

Pro

IN 2ARICIN INSTITVTAE.

66 1

Pro calculo Latitudinis ex obferuationibus s Bootis
ineundo obferuamus fuiffe A. 1770. eius Declinationem
28^ 3'.' i^" Bor. , porro vero ad diem i. Maii
Deuiat. - 2, 5, Praec. - 5, 3 et Aberr. - i, 8 atque
ud'dien1 9. lunii Deuiat. -2,4, Praec. -7,7 et
Aberr. -h 7, o.

Altit. obferu.

Altlt. vera

Declin. app.

Latit. loci

d. I. Maii

59^22'. 20''

69\id. 52"

2 8^ 3'. 9"

48^42'. 17'^

4-

6^. 22. 14

6g. 20. 45 28. 3. 10

48. 4^. 24

20.

69, 22. 20

59. 20. 52 28. 3. 13

48. 42. 21

I. lunii

6^9. 22. 19

69. 20. 51 28. 3. 15

48. 42. 24.

2.

59. 22. 24

59. 20. 56^

2S. 3. 15

48. 42. 19

6.

59. 22. 33

59. 21. 5

28. 3. 15

|8. 42. 10

9'

6g. 22. 27

59. 26. 59

2'i. 3. 16
Medium

48. 42. 17
48. 42. 19

58. 49. 19
58. 49. 26
58 49.30
58. 49. 30
68. 49. 24

27^30'. 3/')48°.42'

Pro a Coronae Borealis babetur Declinatio ineunte
A. 1770 27^30^9'' Bor., pro die autem i5 Maii
Deiiiat — o, 9 , Praec. — 4» 9 et aberr, — o, 3, fi-
militer pro die 6 lunii deuiat. — o, 7 Praeces. — 5,8
et Aberr. 4- 4, 9. ^

Altit. obferu.JAItit. vera"Decl. app.|Latitudo loci

58'.49'.25",,I<^8'.47^.57"
58. 47. 50
58. 47. 57
58. 48. I
58. 48. I
58.47. 5S |27. 30. 8
58. 49. 22I ,58. 47. 54 '27. 30. 8 Us, 42. 14 .

I medium 148. 42. 10
O o o o 3 Adii-

i6Maii

24
29.
I lunii

5.
6.

^-7. 30. 5
27. 30. 6

^7. 30. 7
27. 30. 7

6"

48. 42. 15
48. 42. 9
48. 42. 6
48. 42. 6
48. 42. 13

^6z OBSERVATIONES ASTRONIOMICAE

Adiiciamiis deni-que quasdam altitudines ^ Bootis,
pro qua erat Decl. A. 1770. 14-° 43'- 39'' Bor , ad
diem yero a lunii deuiat. — 2, 5, Praec. — 7, i
et aberrat. -f- 2, 4 fimiliterque pro die p lunii ,
Deuiat. vt ante, Praeces —7^4 et Aberratio 4- 3,7*
A t.obferuJAltit. vera'Decl. app.lEleuatioPoli

d.^Iunii

3
5
6

8
9

S6. 2.45 5<^. I- o

I4°.43'.3 2"4S^42'.27''
14-43.32 48. 4-2. 32
$6. 2.41 55. o. $6 14. 43-33 48. 42. 37
55.2.52 $6.1. 7 14. 43.33 48. 42» 25

55.2.55 55. I. 10 14-43.3348.42.23
55.2.55 55.1,11 14.43.3348.42.22

medium 48. 42. 28

Si igitur ex omnibus liis determinationibus ,
quas ex altitudinibus fixarum deduximus, medium
fumatur prodibit Eleuatio Poli pro Zaricino 48°.42'.
14", quum vero obferuationes altitudinum Solis dediflent
48°.42^. 2S^\ medium ex his (umendo, fine fenfibili
crrore ea (iatui pofle videtur 48°. 42'. 20^' , prae-
fertim qutim plurcs aliae obferuationes fixarum con-
firment eam aliquanto efle maiorem, quam quae ex
obferuationibus Ar<5luri et Reguli fcqucretur.

m. Obferuationes pro Longitudine vrbis
Zaricin determinanda iioftitutae.

Temp. Pend. Temp, ver.

Die II Martii ineridies

medius ex altit. Soliscorrelp

Corrcdio mcridici

Meridies verus.

o^ o^ 20", 9

-17, 1
o^ o^ 3",8|

Dic

IN 2ARICIN INSTITVTAE.

^^3

Die I? Martii meridies ex
altit, correfp.

Corredio merid.

Meridies verus.

Die ~ Martii Imm. II.

SaP. louis obferuataTelefcopio

Gregoriano duoruin circiter

pedum.

Tcmpore obferuationis aer
erat tranquillus , fed circa
horizontem vaporofus , vt
nulium plane ftfciarum vefti
gium videre licuerit. Minutis
primis 7 elapfis, louis alti-
tudo 8°. 37'5*

Die m^li^ meridies ex
ex altit. correfp-

Corredlio merldiei
Meridies verus
Die */^;;/i" meridics ex
iltit, correlp.

Corredio meridiei
Meridies verus
Die ^/^;;//' Imm. II. Sat.
Sa telles fpkndorem- fumm

amittit
occultatur
cxtra omne dubium immerfus

Temp. Pend.

-17,2
o. o. 7, 9

la. 57.25

a

o.

o.

o.

o. 24, 3

- 17, 1

o. 7, 2

o. 17, 9
- 16, 3

O. I5 6

15.35. 17
35.49

l5, 3.6. 2

Tcn\p. veir.

iS^57Ui'^

i5. 35. 14
35. 45
35. 59

Obfer-

w^

66^ OBSERVATIONES ASTRQNOMICAE

Obfei-iutio inftitnta Telefcopio Gregoriano.
Fafciae louis confufe videbantuh Tempore bbfer-
vationis aer erat- tTanquillus , {i:d circa horizontetri*',
Yti hic femper fefe fieri folety vaporibus- afcendendibus
cx Folga ct lacubus • trar.s Fb/^^;7r iitis , infpiflatus j
nihilominiis haec obferiiatio yiderur bona-.

Die tI Aprilis mcridies
ex altit. correfp.

Corredio meridiei

Meridies verub

Die jI Aprilis meridie!-

ex altit. correfp.

Corredio meridiei

Mcridies veru^

Die T* Aprilis Inmi. I.

Satellitis loiiis
Imminutio lucis fenfibilis
Satelles immergi videtur
Extra omne dubium im-
mcrfus.

Obferuatio inftituta Tele^co-
pio Gregoriano, altitudo lo-
vis poll obferuationem 17^
38'.

Die 5I Aprilis meridies
ex altit correfp.

Correcflio meridiei
Meridies verus

Femp. Pend. Temp. ver.

o.

o.

o.

o.

o.

0'.2I",I

- 14, 1

o. 5, 9

o. 20, 5
o. 4? 3

38. 28

38. 34

i<^. 37.

38.

53

38. 25»

0.28, 9

-13. 7
0.15,2

Die

IN ZARICIN INSTITVTAE. 66$

Temp. Pend.

o^ .o'.3o",8

-12,8

o. o. i8, o

' 1)16 II Aprilis meridics ex
altitud. correfp.

Gorredlio Meridiei
Meridies verus
Dic l\ Imm, IIL Sat.
louis

Decrementum lucis fenfibile
Immergi videtur
Iterum apparet
Immerfio perfedai^. o. 35

Tempore obferuationis aer tranquillus. Altitu-
do louis poft obferuationem i6^ 12'. Emerfionem
obferuare non Jicuit.

Temp. ver.

13- $9' 30
14. o. ^6

14. o. 30

13. 59. 13
14- o. p

14- o. i^

14. o. 19

Die ^l

Aprilis meridies ex
altit. correfp.

Corredlio meridiei
Meridies verus
Die ^f Aprilis meridies ex
altit. correfp.

Corredio meridiei

Meridies verus

Die \l Aprilis Imm. 1,

Satellitis louis Tiibo Dollon-

diano 11 ped, obferuata

Tempore obferuationis aer
circa iiorizoniera erat vapo-

Tom.XV.Nou.Comm.

Temp. Pend.

Temp. Ver.

o^ o'.47",o

-12, 3

o. o. 34, 7

o.

o.

O. 50, 2
-12, 7

o. 37. 5

13. i'.43'

i^. 7«

Pppp

rofus

€66 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

rofus. Altitudo louis poft ob-
feruationem erat 13^-

Die 5§ Aprilis meridies ex
altit. correfp.

Corredio meridiei
Meridies verus

Die '-f ^t^if'^ merid. ex altit.
correfp.

Correcflio meridiei

_.^. Mcridies verus

"T)ie II Aprilis Occultatio

ftellae fixae a Luna

Haec obferuatio dubia eft ,
ob nubeculam per eam difci
Lunaris partem, vbi occul-
tatio obferuata propulfam.

Die -al Aprilis Imm. II.

tSatellitis louis

Satelles immergi videtur
Immerfio certe contigit
Altitudo louis poft obfer
vationem 17^ 8'. Acr tran-
quillus , icA ad horizontem
Taporofus.

Die
eorrofp.

Corre(fl:io meridiei
Meridiee veru&

Tcmp. Pend.Temp. rer.

T lurln n^^eridies ex altit

O^ l'.I2",7

-12, 8
o. o. 5^, p

O. I. 23) 2

11,6
o. I. 1 1, 6

8^39'. 28"

13. 43. 40
43- 51

o. 5.55,6
- 5y6

0. 5. 50,0

8^3S'.33^

13- 44.33
42.44

Pie

IN 2ARICIN INSTITVTAE. 66^^

Temp. Pend

O •

Die 7 JJJ-j meridics ex altit.
correfp.

Corredio meridiei

Meridies verus

Die V£i Occultatio tixae

a Luna obferuata

Dubium adeft 6^' in excefTu.

Die /5 lunii meridies ex

altit. correfp.

Corredlio meridiei
Meridies verusl
Die io lunii meridies ex
altit. correfp.

Corredio meridiei
Meridies verus
Die \% lunii meridies ex
altit correfp.

Dic ,5 lunii Emerjio II
Satellhis louis

Emerfionis initium'io. 23. 40
Satelles diftindle videturio. 24.. 26
Obferuatio fndla Tubo Dol-
londiano. Tempore obfer-
vationis aer erat tranquillus.
Altitudo louis pofl; obfer-
vationem 17^.53'. Trcs fafciae
in difco louis videbantur ,
fed non fatis diftinde.

Temp, ver.

<5^' 43^5

-4, 9

6. 38, 6

9'.i7U5"

o. 13. 55, 3

— 0,6

o. 13. 54,7

o. 14. 22, 7

-o, 3

o. 14. 22, 4

o. 14. 48, 5

9^11^22'^

10. p. 33
10. 10. 19

Pppp 2

Die

i58 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

Die i^ lunii Emerjio 1

Satellitis louiT,

Emerfio incipit
Satellitem video diftinde.
Altitudo louis poft obfer-
Tationem i7°.4<5', fafciae vt
praecedenti die videbantur.

Die gf Iiinii meridies ex
altit. correfp.

Corredlio meridiei
Meridies verus
Die V ffii nieridies ex altit.
correfp.

Corredio meridiei
Meridies verus
Die '/ ^i^ii nieridies ex altit.
correfp.

Corredlio meridiei
Meridies veru>
Die \l Emerfto L Sat. louis
obferuata.

Haec obferuatio dubia, fatel
les enim iam fatis diftindt
oculis repraefentabatur, cum
hoc momentum fignatum
fuit.

Die V iJ?| Emerfio L Sat.
louis^

Temp. Pend

p. 12

O» 17. 20, O

+ I, 2

O. 17. 21, 2

o. 19. 51, o

+ 2, 8

o. 19. 53, 8

O. 21. 27, 2

+ 3, 7

O. 2 1. 30, 9

8. 34. 33 8. 16. II

Temp. ver.

ii^53'.5i''
54. 3<5

Initium

IN 2ARICIN INSTITVTAE.

66^

|Temp. Pend.
Initium emerfionis 10^31'. 12"

Satellitem diftinde video
Obferuatio inflituta Tubo
Dollondiano. Quinque fafciae
in loue videbantur , fed non
fatis diftinde. Altitudo louis
18". 54'.

Die /5 lulii meridies ex
altit. correfp.

Corredlio meridiei
Meridies verus

Die y lulii mejridies ex
altit, correfp.

Corredio meridiei
Meridies verus

Die 1j lulit Emerjto I.
SatellUis louis

Initium emerfionii?
Satelles diftinde videtur

Obferuatio inftituta Tubo
DoUondiano , tempore obfer-
vationis ad plagas horizontis
Septentrionales et Qrientales
nubes atrae, tonitru et fulgur
aere vaporofo exiftente. Alti-
tudo /ouis 19°. 3'. Qiiinque
fafciae confule videbantur.

PPPP l

32. S

Temp. ver.
lo^ 9'. 5 5"
10. 10. 5i

o.

o.^

o..

8.

o. 39, I

+ <J, 9

o. 46", o

o. 31

+ 7,

o. 38, a

2g. 13

28. 5a

27 33
28. 13

Dic

^70 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

Die j| lulii meridies ex
altit. correfp.

Corredio meridiei
Meridies verus
Die I? lulii meridies ex
altit. correfp.

Corredio meridiei
Meridies verus
Die II lulii Emerjio I.
Satellitis louis.

Emerfio incipit
Satelles diftinde fplendet

Obferuatio flidla Telefcopio Gregoriano. Altitu-
do louis 13°. 14'. Aere poft pluuiam admodum
vaporofo.

Temp. Pend.

Temp. vcr

oK o^ 9^'

+ 8,2

0. 0. 17, 2

11. S9. 47,6

4- 9, 4

II. 59' 57,0

10. 22. 48

10^22^40

23. 40

23-32^

Die y Augufti meridies cx
altir. correfp.

Corredlio meridiei
Meridies veru
Die 5f Auguili meridiesex
altit. correfp.

Corred. meridiei
Meridies veru
Die 55 Augufti Emerjio 11.
Satdlitis louis.

Emerfio incipii
Satelles bene fplendet

Temp. Pend.

Temp. yer.

ii^sV.sV',^

+ 14, 5

II. 54.48, 8

II. 54. II, 8

+ 13,6

II. 54. 25,4

9. 16. 50

9^2 2^10"

17. 26

2 2. 4<5^

Immer-

IN 2ARIC1N INSTITVTAE. 6^i

Temp. Pend.|Temp. Tcr.

2d.5 8

9*. 3 2'. i^'
32. ip

Immerfio IIL SateHitis

Satelles abfconditur
Sine omni dubio immerfus
Obferuationes hae inftitutae
Telefcopio Gregoriano , aer
erat tranquillus, tres fafciae
ia difco louis videbantur.

Vt ex his obferuationibus vera longitudo vrbis
Zaricin determinetur , easdem partim cum TabuHs
Cel. Wargentin^ partim etiam cum aliis obferuationibus
correfpondentibus ab eodem viro Celeb. nobis com-
raunicatis comparauimus, vndc fequcntes dcdudae
funt conclufiones :

Die -^j. Aprilis Immerfio I. Satellitis louts.
Parifiis ex calculo 13^. 50'. 29^^
Zaricini obferuata 16. 38. 23

DifK-T. merid. inter 2. 47, 54-
Parifios et Zaricin

Dic j^ Apr. Iram. I. Parifiis lO. 14. 3

Zaricini obferu. 13, i. 7

Differ. Meridian. 2. 47

ex calc.

Die si luniiEmerfioi.Holmiae 10.

Zaricini

Differ. Merid.
inter Holm. et Parifios

II.

4
8. 30

53. 51

I.
I.

45. 21
2. 5^

Diifer. Mer. int. Par. et 2ar. 2. 48. i^

Die

^72 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE

Die lo. lunii Em. I. Holm. lo^ 8'. 30"
add. temp. 5. reuol. 8^. 20. 21. 4^

Temp. Em. die 15. lunii 6, 30. n
Haec Emerfio in Zaricin 8. i5. 11

I. 45. o

I. 2. 55

Longit a Parifiis 2. 48. 55

Die iV Iiilii Era. I. Berolini 9. 59- ^5
Subtr. Temp. 4 reuol 7^- i- 54- a

T. Em. I. Berolin, tS 8. 5.13
Zaricini obferuata 10. 9-5 5

2. 4. 42
Longit. Berol. a Parif. 44. 25

Longit. Zaricin a Parif. 2. 49. 7

Die ||. lulii Em. I. Tyrnavii 8. 34- 19
Subtr. temp. 4. reuol. 7^. i. 5 5« 23

T. Em. L d. i|. lulii Tyrnav 6. 38. 5(J
Zaricini obferuata 8. 27. 33

I. 4S. 37
Longit Tyrnaw a Parifiis i. o. 55

Longit. Zaricin a Parifiis 2. 49. 32

Dio

IN 2ARICIN INSTITVTAE. (J73

Die i|. lulii Em. I. Tyrnav 8^ sV- i/

Zaricini obreruat. 10. 22. 40

I. 48. 2t

I. o. 55

Longit. Zaricini a Pnrifiis 2. 49. i5

I^ie V;l^;;//'Tmm.II. Berolin. 14. 32. 7

Subtr. temp. 2. reuol. 7^. 2. 37. 6

T. Imm. II. Berol. ^*. Mart. 11.55, i

in Zaricin obferuat. 13 57. 21

2, 2. 20

44 25

Longit. Zaricin a Parifiis 2. 4^. 45

r)ie tSnf I^^m. n. Berol. 14. 32. 7

Zaricini i(J. 35. 46^

2. 3. 39

44. 25

Longit. Zaric. a Parif. 2. 48. 4

Die 5§.AprilTmiii.II.fyrnauii 1 1. 55. g

Zaricini 13. 42. 44

I- 47. 3^

I. o. 55

Longit. Zaricini a Parifiis 2. 48. 31
Tom.XV.Nou.Comm. Q.qqq Die

574 ORSERVATIONES ASTRONOMICAE

Die iV lunii Em. IL Tyn^auii 8^.23'. 37"

Zaricini 10. 9 33.

Longit.. Zaricin a Paririis 2. ^6, 51

Die ii. Atig. Em. IL Parifiis 5. 33. 3<5" ex calc.

Zaricini p. 22. 10

DifFer. Meridian. a, 48. 34.

Si iam omnium harum conclufionum fumatur
medium habebitur Longitudo Zaricini a Parifiis
s*. 48'. 14^^, dum medium ex immerfionibus dat
2^- 47'- 39" et ex. emerfionibus 2^. 48'. 39'V Inter
immerfiones vero reiedla ea Secundi , quae 5'. Mart,
obferuata fuit, Longitudinum ex reliquis dedudarum
incdium eli 2^ 47'. 53".. Simiiitcr fi ex nurriero
emerfionum excrudantur Emerfio I. die 55. lulii et
Emerfio Il^' die /p. luniij, quippe quum obfcruatiO'
Tyrnauienfis cum qua haec comparata efl, omninodubia-
"videatur , reliquae. praebebunt medium fumendo Lon-
gitudinem yrbis Zaricin a Parifiis 2^. 48'. 49". Vn-
de fi denuo ex melioris notae obferuationibus- me-
dium fumatur , prodibit quaefita difFcrcntia Meridia-
norum inter Zaricin et Parifios s^ 48^ 24'^, quam-
igitur numcro rotundo ftatuere licebit 2^ 4$'. 30''',
feu in grad. 42°. 7'. 30''.

IV.

IN ZARICIN INSTITVTAE. 6^^

IV. Declinatio Acus Magneticae.

Die 24. Aprilis duda linea meridiana methodocon-
fueta , declinationem acus repetitis vicibus inue-
ni 4'. I ad Occid. Die 2.5. Aprilis Declinationem
acus inueni modo 4.^^ modo 5** verfus Occid.

I3ie i5. Maii iterum duxi Lineam meridianam at-
que Declinationcm acus inueni 5*" verfus Occid.
Longitudo iicus erat 8, poUic. Angl,

Qqqq 2 EPITO-

E P I T O M E

OBSERVATIONVM

METEOROLOGICARVM PETROPOLI

A. MDCCLXX. ST. VET.

INSTITVTARVM.

Auctor e
WAN. ALBERTO EFLER.^

Ilsdem monitis quae dc ftntu inflrumentornm adhi-
bitorum et methodo mca obferuationes ipfas an-
notandi , anno praeterito praedicatus (um , progre-
diar iam ftatim ad Summarium obferuationum per
fingulos menfes huius anni MDCCLXX. inftituta-
rum , quas eodem ordine hic exponam quem prae-
terita Tice fecutus fum , et quidem quo melins
eae vno quafi intuitu cognofci poflint, fingulas clas-
fes fbrma tabularum exhibebo.

EPITOME OBSERV. METEOROL. etc. ^77

I.

Barometrum.

Scala diuifa eft in poUices et partes centefimas pollicls
feu partis duodecimae pedis Pariimi : cyphrae duae priores autem
denotant pollices integros , et binae pofteriores partes centefi-
mas. Barometrum fufpenfum erat ad altitudinem 20 pedum fu-
pra fuperficiem mediam fluminis Neuae in diftantia 6000 pe-
dum ab eius olHo.

denotat autem d. die\ h.

liora'y a. m. ante

mcridiem et p.

m.

pofl meridiem»

Menfe

Altitudo maxi-
ma

Altitudo mini-
ma

DifFerentia

TV* 1. Altitudo
Mediumi ,.
1 media

Altitudo
frequentilf.

lanuar.

28. 51
d. 15. h. 8. a m.

26. 90
d. 24.. med. noft.

I.

61

27.

7»

27-

89

2-8. 00

Febr.

28. 48
d. 14. h. 2 p, m.

27. 20
d 7. h. II. p. m.

I .

28

27.

84

^7-

95

27. 85

Mart.

28. 32
d. 6. h. 9. a. m.

27. 45
d. 27. h. 5. a. m.

0.

«7

27.
28.

88

03
00

27.

88

27. 92

April.

2 8. 4^
d.i6.h. r i.a. m.

27^ 61
d. 24 h. p a. m.

0.

85

28.

06

27. 92

Mai.

28. 43
d. S' meridie

27. 50
d. 20. h. (5. p. m.

0.

8?

28.

28.

03

27. g6

lun.

28. 16
d. 15:. h. 2. p. m.

27. 55
d. 3 h. 2. p. m.

0.

61

27.

85

27.

82

27- 83

lul.

28- 38
d, 1 i.h. p. a. m.

27. 71
d.3i.h.6. p. m.

0.

67

2 8.

05

28.

10

28. II

Aug.

28 21

d.24.h.i-io.p.m.

28. 30
d. 6. h. 9. p. m.

27. 6S
d. 3. meridie

0.

S3

27.

94

27.
27.

97
"8"6"

28. 02

Sept.
Oaobr.

27 08
d.17. h. 2.pr m.

I.

22

27.

69

27. 82
et

28. 05

28. 48
d. 9. h. 6. a. m.

27. 52
d 2.S- h. 4. p. m.

0.

96

28.

00

28.

02

27- 98

Nouemb.

-8- 63
d. 20. h.io p.m.

27. 08
d. s, h. 2.p. m.

I.

55

27.

85

^7-

81

27. 70
et

27- SO

Decembr.

28. 22
d. i4.h.6..am,

28. o^

Nouembr.

26. 76
d. 27. h, 8.p. m.

I.

4.6

2*7."

i

45

27.

62

27- 57

per totum
annum

26. j6
Decembr.

I.

87

27.

70 127.

Pa

27. 97

<iqqq 3

II.

<^j^ EPITGME GBSERVATIONyM

II.

TTiermometrum.

Thermometrum efl: deslislianum : aqua communis ebiil-
iit in punfto o, et congelat in punfto .150«

Menfe

Altitudo Altitudo
maxima minima

Differentia

lanuar.

14.6
i.4.h. 2. p. m.

'85
3. 29. h. g. a. m.

39

Februar.

-

141
d. g.h. 9. p. m.

1844
i. 14.^.7. a. m.

431

Mart.

129
d. qi.h 2. p.m

186
3. 6. h. 7- a. rn.

57
36

April.;
Maii

117
d. TS.h.i i.a.m.

'53

i3- h. 5. a. m.

117
d. 3.b. 2. p. m.

.152
d. 20. h.io.a.m.

3^

lunii

1 15
d. i2.h 2.p. m.

135
d. 3o.h.5.a. m.

20

luh

.1 06

d. 10 h. 2.p. m.

134-
d. 20.h. s- a- ni.

28

Auguft.

J03
d. II. h. 2.p.m.

d. 2i). h. 5". a. m.

34.

Septemb.

,116
1. i.h. 2. p. m

148
d. 16. h 7-a. m.

32

Oaobr.

I2i)

d. 3. meridie

150
d. 9. h. 6. a. m.

2.1

Nouemb.

136
d. i.ih. 2.p.m

17.3
d. io.h.7. a.tn

37

Decenib.

145
d. 24.h. p.p.m

176
d. 3i.h. 9.p.m

31

per totum
annum.

103

AnP-u^.

1.86
Mart.

83

III.

METEOROL,. PETROPOLI A, X770, 6jp

IU.
Frigus er calor.

Quouis d?e altitudrnem et minimam et inaximam Ther-
mometri feorfim annotaui, (juarum prima huius diei gradum fri-
goris , fecunda vero caloris gradum indicat. Tum elapfo men-
fe , fingulos eius dies hoc reipeOiu iit chafTes difh-iliui : vnde
deinceps haec fe<^uens Tabula nata efl.

Menfe.

Dies frigidiores gradibus.

Dres calidiores gradibus.

i8o|i 70,160

i5C^'f4C

130

die.s

28

31

30

IIC

I2C

(iS^o

140150

160

lanuar.

dies

I

dies

dies
19

dicb
3°

dies

dies

dies

dies

dies

dies
4

dies
"9

Febr.
Mart.

2

12

21

24. 28

7

16

I

8. 20

28 3»

I'

3

13

22-

April.

4- 20

2-

^'7

30

30

30-

3*

Mai.

I 17

31

20

3

20

2 8^

31

lun.

1

7

27

30
31

30 ;3o'[

lul.

12

5
3

20

31

31

31
31

Aug.

14

17

31

31

3T

S-ept.

oaob.

Nou.

- 1

13

28

I

1 1

27'

30

30
31

2^

30

I

23

3-t

I

15

24 29

30

2

205

II

I 2
26j

21^

28

310

Decemb.

4

8

26 31

31

per totum
annum.

4-

1 1 ■
34 183 1^38(220

516

8 50

139

IV.

^80 EPITOME OBSERVATIONVM

IV.

V e n t u s.

Menfe

Makcia

Ventus
lenis

Ventus
fortis

Ventus
procello'us

lan.

dies

dies
«3

dies

lO

dies
S

bebr.

i8

6

4

Mart.

9

14

8

April

lO

17

3

Moi

o

19

6

5

lun.

8

n

lul

7

2

18

4

Aug.

5

7

14

5

Sept.

7

_i7

6

oa.

I

7

20

9

3

Nou.

17

4

Dec. .

6

14

I I

per totun:!
flnnum

13

IIO

175

^7

V.

METEOROL. PETROPOLI A. 1770. 6S1
Direftio venti.

Meiile

N

dies
3
7

3

2

INC

dies
9

t2

19
13
I 1

1 0

dies
4

s 0

1 ^

SW

^ W

NW

varia-
bilis

ian.

dies
I

dies

4

dies
4

dies
2

dies
4

dies

Febr.

I

2

I

0

3

Miirt.

3

9

I

4

2

I

I

3

2

April.

I

I

I

Mai.

7

I

10

I

lun.

6

10

2

7

I

lul.

10

10

5

1

I
3

5

0

3'

Aug.

5

9

4

2,

7
2

5

.7

I
3
5

2
5

7

I

4

5ept.

5

6

I

ha.

2'

(5

I 3

ifiou.

5

8

5

2

2

I

t)ec.

'3

2

4
49

3
23

6

3

7

3

pertotum
annunn | ^

lOp

28

20

9

48 21

Tom. XV. Nou. Comm.

Rrrr

VI.

^82

EPlTOxME OBSERVATIONVM

VI.

Status coeli.

Meofe

fere-
num

aebu-
'ofuin

Pl

uuia •

. Nix

parca

dies

I

0

copioia

parc.

die&
15

10

cop.

Jits
I

Grando

lan.

dieb
5

jies .
4

10

dies

dies

Feb.

I2

Mart,

4-

8

2

8

2

4

3
4

14

April.

9

5

7
10

6

Mai.

1 1

2

lun.

II

14.

4

10
10

A

I

lul.

5

Aug.

7

6

9

15

»5

3 •
7

ij

13

^3

)

—

Sept.

2

5 '

10

oa.

4

1

6

Nou.

4

3 ,

I
I

3

Dec.

4

4

per totum
anuum

87

51

91

4^

VII.

METEOROL. PETROPOLl A. 1770. 683

vn.

Alia Phaenomena.

Mente

lan.

Febr.

Mart.

April.

Miii.

lun.

lul.

Aug.

ScDt.

oa.

Nou.

D c.

Fhaenomena

i^uinque aurorae boreales die 2. 14. 16. i^etip
Parafelena fplend, d. 20.

Duae aurorae boreales die 12 et 16.

per totum
annum

Fers aurorae boreaks die i. 2. et 4.
Trcs tonnit. die 21. 27 et 2S.
G^acies fluminis Neuae roluta eft die la

Tonuit

femel die fciticet 9.

Tonuit

bis. die 12 et 31.

Tonuit

quater. die <^. 8. 13 et 14.

Aurora borealis die 15.

Uuae aurorae boreales die 13 et 15
Die 9^"^ flumen Neuae trudere incoepit
i^laciem et penitus tecHium fuit glacie die 11.

Aurorae boreales Xll. Tonitrua X.

Mou. Com. Acad. Jr. Fclrop.Tjni.XV. TcO.J .

^,

J^tl/. J.

j: .^>.5j'.

Xh'^

a

Xa- ' J^

No». Cinn.jkad. Jc'. Iili\'p.'Jbm .XV . Z/'J.

Fi^.^S^

}L -r-r-JE^ j%,.T'3.

X ;i- X ,

Not\ Com. Acad. Sc.Pebop. Toni. XK TabJL.

V

JU-

:

"

^-

ur

Tia. 37.

J^OK Coin. Acul Sr.Pi'liiip. Toni. XE lab.ll.

FUI 30

JSTov. Com.A-.td. Sc.rL^rop.ljni.XY.lhb.m.

Mw. r.m.A-.i./. ^r,-.nin,f>.]:,m.xv.r.il'.m.

Fn;. ^o.

A

M

z

\

^^r""^^^

^

rT./ 'Jd--

a m e.

r,w. /'"

r,./ 48.

Nov. Com . Acad. Sc. Fetrop. Tom. XP^Tah TK

NoTK ( 'om . Acad. Sc. Fetrop. Tom. WTr/h JP:

—

m

i:

...y.

-.]

Fii! flS.

n

a

J Z-^

Fia. .w

\Fu7. A^

lui. ?*

M>^\ Cori. ./aic/. Sr. /ii^iy\ 7lm.J:7r TuA l

M>i'. Co/n. .An,/. Sc. Pe//vj' Tivti . AT Tu/>. r

Fu/. '^(i.

p — - /

""

O

I-r<^. ■'->8.

F/i/. LU

]\\yu. rom.AcaJ- Sr. Jk/2'jL^. TcWi.^XV.Ja/y.VL

l>

>^

^N^

X\

V\

\\

\\

V

//

//

//
/ /

'^ c

ri^. (>8.

'/n-l

xj.

l-\

A. E F O tl P

Tl

N,'i>. lom.yl;!./- Sr. Jt-/ivi:'i:mi.XV.7:i/> V/.

A. B r O H 1<

^Y'^^. cVm. .^vy. Sc. I\'t7-op. To7n,XV. Tai . VJI .

13

M>i'. Cmii. ^caJ J!- l\-i/o;j . Tom . XV 7ai. V/J .

Wov . Coju . Acad. Sc . FetJ-op . Tdm . XT. Tah . WII .

A/of Cotn . yfrat/. U> . Pefrap . Totn . XF Tah V7//

jiOi^. uj///..-A</./. j;-. 7?'^v/7.jrv/?.x^Zz/./x.

N\ x

JlOv. /v///../iA/ .\r.Ii/7:'p-7:^f"XP'.Tj'IX.

\\

' ^^^Vj.ii

;j^3^S#«».^.^-

Wov . Covn : Aciu/. J^c. F^^^op . ToTn.J^.Tal . X\

V.,r CoTti: Aead. ^Sr. retrvp . Sm. XT. Tai . X'

'^^Ai'

JVo^U.6:>/72. ^caJ. ^c. J^cfrvp.J^ym .Xr.y^i/^.Xl.i.

^<y. <:,''///. ./,.,./. Sr. y^//;yAjr'/// .r/^Z//' ,T/-

J^^^'. Co/n . ^rac^. J^c . I^ei/o/r ._ T<?7/i . XK . Tal? . JCI . d

^^^^:

A„<- , ,„>,.^<-m/.Sc. rrlivp 7:n,i Xl^ Ta/>.JC7.{'.

^^^!^^'^:M'^ *■: .-^^

JSfov . C c'/// . ^/^w^/. ^> . 72-^v// . Tovu . JLV. 2ah XII

^*;^^\\V?

Nov. ( ;>///. ./•,?,/ ^)> r,'/>v/^ Toiii Xr Tal, XI/

JSTov . Co7n . Jcad. Sc . rc^/rop . Tom. Xr . TaL . XIJT .

^*s*:

Ar,ir . Coin jlraj . < Ov r<-/rop . Tom . JCV . Ta/j . XJJT

^ i-a--

.r \

JVoi^. C \r/n.^-iruc/. Sr Fe^xrp lov/f Sr. 7al . JCIV

Niw. C^o^n.ylt-M/. Sr r,-/r;m 71>i„ Xr.Tni. Xn''.

Wov . Co/n . Jcad . Jc . FetJ^op . To7?i . XK. Tai . Xr.

M>v . Coin. J<-a.y . Sc. relrop . Toiii XI^. Tbi.XJ^.

^^^-.v

^^>

/

M^v Co7,i . Jc<2cf . Sr . ref?op . Tovn . Xr. TaL . XVI.

i^-r--^ 4s->---'j'~- ^-^■^^"Z.^"'^ i>'^^^ P" '"^^V/^

N^ov Co,n . Jcad. Sr 2',-/7oi> . Tojit . XV. Tai . XVl

c« n-» w Mii» » -TWi—ii »» ■

i^

lYiH'. ( 07/t . ./.W. Sc^ . I^etrop . 7om. XV^. Ta/y . XVl/r.

J\u'V. L 'ovii . Jcti^. Sc . refrop . Toni. XT. Ta/> . XV//r

-%

>^^ I

^oi^ . Com . Jcad, Sc . Pei^^op . Tom . J^K Tal . M. \

Wvv . Co7n . ^.W. Sc . T'/-/>op . Ibm . M^. TuL . ,1 /

J\^^i> . Com . ^4ca^. Sr . F.-^xyp . To7n . JCV. Ta^. XX

:i\rov . Cani . yh-aJ. . 0- . Pf/rvp . T.w, . JCV. Tai. XX .

jVc7U. n?/;i..^.^.iJ. Sr. J^l^fJY^K 7:>777.Xf^7:J^.XXJ,

Jl^c^v. uy//i ■ ^'fcaJ. .»;■ J>/7;-i>. Z'-7/i.Xf<7W.XXI.

2Vov. Corii.Jrad . Sc . Fe/T-ffji> .2Wn . XV. 7a^ . XXU

.V^l^. r^,n../ra./. ^t>. Fef,vp.T.>rn . XV. Tai, . XXJ/ .

W

N<?u . Com.JccU7f.Sc.R/;^<?p.7o7?i.Xr. Ta/? . JCXIIl .

1-^^.2.

J^,^L' . Com ..Jcit^/ Jc.R-fiop .7^^7/1 . JIV. Tal, . STXm .

: ^s^&^^juf^^Sw

n^^i'-: L^o/ri . -.:/<

'ra^/. ^>> . r,'f7\>p ■ TvYfi . Xt^ . Ta/> . .XX'." ,

^IW; Cffirii.. _/,-,/^. ^)\' . J',-u:yj . 'JZr/n . XV. Ta/> . XXV

JVi>i'. Com.Jr,?,/, j;-. 2','/jvp . r^» . JF. 7,//. . XA7

^

TVoi,' . Co7n . .:fccu/. JTc . Ji-^o^ . 7doi . JCV. 7al> . XX17I.

TVov . ('.»>, . ^JcaJ. j;- . I'etrw,^ . Jp?,, . JCV. Ta/< . XXVJI

^

v^r,>

fe\

uVotJ . {^^o/n . ^cad. JT- . I^e/ro^j . Tojn . JCF. Tal . XXV//I

-.Voi^ . Com ^cu^. S.- . Pfirop . Totu . ^y . Ta6 . XAV//i

T^i/. 2

'"^^ Ar

V <^

^<

My^' . Co/?f . ^Jrau/, ^7- . r^/, .^ . y.V//. . ^TT. lal . XXJX

JW . Com . Jccu/. J^c . Fetf~op . 7?rn . XV. 7<iL . XXJX

' /'p^^

^oi^. Com.Jca^ . Sc. ret7op To/ii . XV. T^tA . XXX.

"^^ir 3^

^f

A'

A^yv. Com.^cad!. Sr. FcY/vj>. To/a.^rf^ Tc^J. A.YAJ.

?/ ^

J^ Y O C

T}^. S.

Ti^. O.

^(9 ^-

O M

V.W. Sr. Jimy. Tom.JT Ta/^. .1-1.1/.

J/i/ J.

Ff,7. 3

T(//. ^

^{9 '^-

jyh/.