Wfii''' — — FORTHE PEOPLE FOR EDVCATION FORSCIENCE LIBRARY or THEAMERICAN MUSEUM OF NATUPAL HISTORY f Boond n NOV I COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE tomTxvi " pro Anno MDCCLXXI. PETP>.OPOLl TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXII. ^■§m SVMMARIVM DISSERTATIONVM, QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM TOMVS XVL a a MATHE« r. r MATHEMATICA. L De Solidis qiiorum faperficiem in pla- num explicare licet. Auftore L. Eulero pag. 3. Notum eft ex ipfa Geometria elementari cj- lindros et conos ca gaudere proprietate , quod eorum fuperficies in planum explicari queat , quae proprietas ad omnia deinde corpora cylindrica et conica extenditur , quorum bafibus figura quaecunque tribuitur ^ contra "vero de fphaera conftat, eius fuperficiem nullo modo in pla- num explicari fiue fuperficie plana obduci pofle ; quacftio igitur hinc nafcitur maxime notatu digna , quo chaniclere ea folida inflruda efTe oportet , quo- rum fuperficiem in planum explicare licet , atque cius quaeftionis ires omnino folutiones ab lliufir. a 3 Eiilero - tegralis , qua de intcgrationibus formularum diflcreii- tialium disquiritur , in quibus ftindioiiCs duariim Ynrabilium occurrunt. Quum cnim calculus varia- tionum in co vcrletnr , vt fi propofita fucrit quae- cnnquc relatio binarum vnriabilium .v et ;- ct ca aliquantilUim varictur , inuctlit^andum fit , quam mut.ntioncm fiibeant non (olum x et y fcd etiam eorum differentialia quaecunquc cx huiusmodi varia- tionc: tione ; omnino liquet has variationes facilc aflignari poflc fi y confideretur yt fundio binarum variabi- lum A- et /, quo ipfo variatio quaefita ipfius.^- alias figno ^y exprimi (olita , jam exprimetur ha,c for- mula dt(^-^y Si nimirum y concipiatur vt appli- cata alicuius lineae curuae cuius abfcifla fit A', in ca culo var^ationum reqairitur , vt relatio aflagnc- tur , quae omnes alias curuas iiuic proximas com- plcdicur; maniteftum autcm elt omnes has curuas exprimi pofle aequatione j^ — V, vbi V fundio tft quaecunque ipforum .v et /, modo ita fiierit compa- rata , vt pofito / — o prodeat V — X, idtoque % -- X aequatio qiuie pro curna principali locuni haucie debcr. In ipfi- vcro variatipuibus iniicfiigan- d's ita verlatur lUuflr. Eukrus ^ vt confiderf^t fun^ diones fecundum ordinem expreflionum , tradlando fcilicet primum ♦brmiilas quae x tx. y tantum con- tinent , deinde formulas quae praeter x et y eoruni ditferentialia priiiii , fecundi vel altiorum graduunfi compledunmr , tum vero progreditur ad expreflio- ncs quac tormulas quoque integrales iuuoluunt , in- venit autem variationem formulae inte^ralis / Z :, puflto dZ — }\dx->r^dy-\-^dp-\-(^dci etc vbi hac exprimi formula : Tom.XVI.Nou.Comm. b Per- xo *>¥.i ( o ) l?l*- Perfpicuum autem eft huiusmodi expreflioncs ( J-f- ) ( ^^y ) determinatos valores adipilci ncin poffe , ni- fi y coiifideretur vt dcterminata fundlio iprorum x ct tj in doClrina autem variationum eiusmodi rclatio inter x et y vt planc incognita fpediri (blet , imprimis quando iiuius dodrinae applicatio lit , ad quacftioiies de maximiset minimis, vbi requiritnr vt huiusmodi varia- tio in nihiium abeat. OHendcndum igitur fuif, quomo- do formula fupra allata in ali-.nn transformari poflit, ita comparatam , vt fub figno fummatorio non oc- currat nifi (—-) , ex quo colliyitur , pro cafu va- riationis euanefcentis , membrum iftud figno fumma- torio affcdum in nihiium abire. Methodus haec , quae ad quascunque exprefllones duarum variabihum patet , etiam facile adplicari potcft , ad formulasquae tres variabilcs x, y, z inuoluit , in hoc auttm ne- gotio necefllim efl vnam earum vti z tamquam funftionem binarum rcliquarum .v et y confiderare. Heic igitur regulae praefcribuntur pro inucnienda variatione expreflionum quae vel folas variabilcs .v, y, z inuoluunt , vcl praetcrca ditfcrcntialia quaccun- que ipfius 2, vel dcniquc formulam integralcm du- plicatam ffZdxdy vbi Z eft funclio quaecunque variabilium x, j', z ct diffcrcntialium quorumcuti- que ipfius ~, intcgratio autcm ita inflitucnda ell , vt pro prima integrationc fola .v vt variabilis tra- ngrue veris earumque inter- pretatione et vfu. -t Au£lore Dan. Bcrnoulli pag. 71. r*^ ; Qnan.uis Scientiae Maihematicne ct principiorum cuidcntia et cnncliifioniim certitudiiiC , reliquis omnibus palmam pracnpiant , faicndum tamen crt , multa in iisdem occurrcre , quae primo iniuitu non folum paradoxa , fed adeo abfurda videntur ^ huius- modi q{\ iummatio icricrum rccurrcntium , quippc qnae lacpius indicat lummam feriei ahcuius propofi- tae, magis \el minus a \eritatc dilcrtpantcm , c)uum tamcn ipla opcratio Analytica indicaret fummatio- nem allatam pro genuina effe habendam. Sic pro ferie fimphciflima i— i+i — i + i etc cuius fum- ma Hatuitur — i- facile quidem liquet \bicunqiie haec ferics abrumperctur fummam allatam fcmper fore erroneam , ratio autcm cur pro vcra haberi jqucat in eo fita efl , quod quum fcries nunquam finiri fupponatur , aequahs ratio fit quae \rgeat \t eius fiimma fit i et o, vnde fumma flatuenda eft quantitas qune acquahtcr diftat ab i et o, hoc cft rr U quod ctiain opcrationes Analyticae indicant cy. ^ratia fi cuoluatur tradio ^— ^ — ct pofl cuolutionem poQdtur ,v— i. Ncque tan^cn liaec tuhinia froprie lotiucn- loqueiido fiue vera fcu ftilfa dki potcft , qiiod non loUim pio exoii.plo alhito , , \bi lenes ad lummam nequc cojuer^t , ncc ab. ea diuergit , (ed etiam pio lericbus oiiicr^cntibus locum habcf. Sic fumma lcrici i — 2 -f- 3 — 4 ctr. inucnitur efTe :=^ ^ , eius- quc aCcrti veritas non ii)lum pcr operationes Ana- lytica^ denionilrari potcd , fcd etiam inde confirma- tur , quod ex hac fumma aliarum quantitatum va- lores deducantur \eritati plane congruae. Quum enim per euohition:m formulae ■ ' ^y oriatur -— ^ =r I — 2 A- -j- 3 -V X — 4 x' -+- 5 x' etc. , inde ficile deducitur A'-iX.v+5A-^ — iVetc. zrLog. (i-\-x), atquc fi ponatur x ^- i inde habetur Log. 2— i — i + 5— ^ + s'ctc., de cuius vcritate quum dubitare non hccat , ncque ditfitendum e(l , quin lumma fe- riei 1—2 + 3—4+5 etc. fit — ^. Pro feriebus recurrentibus vbi datur certa pcriodus tcrminorum , quae continuo rccurrit , facilc fumma afllgnari pot- cH , fi enim in periodo continuo recurrcnte primus termmus fit a, fumma primi et (ccundi ^, fumma ter priorum f etc. et numerus tcrminorum in hac periodo w, erit fumma ferici — litl^ii-?^ , modo fumma cuiusuis periodi jntegrae fit o; ratio autem in eo fita eft , quod fi fcries circa primum periodi terminum abrumpatur fumma fit «, fi circa fecun- dum b, circa tertium c etc. igitur quum hi valo- res pro fumma aequo iure gaudtant, (umma ftatuen- da erit 'L±±±±£lL\ Ad huiusmodi (erics pcrtinent, qui formantur ex finubus vel cufi;mbus arcuum fe- b 3 cuuuum «4 •>¥.% ( 0 ) V^*" cundum arlthmcticam progreflionem procedentium , ct qnum in genere fit : cof. X + cof. 2 A' + cof 3 * + cof. 4 ^ + etc. =: - ^ ceu a plurimis Audoribus demonflratum repcritur , ii pro X ponatur a^, j^i ^i 3^ etc. dcfignniue q angulum rcdum , habcbuntiir ferics rccurreincs di- verfae , pro quibus fumma continuo e(l ~ — ',. Sin- gularis autem heic occurrit cafus , qui a regula gc- nerali differt , fi fcilicet ponatur x— ^nq , defi- gnante n numerum integrum , tum cnim hacc (c- ries abit ia I -t- 1 4- I -I- I etc. cuius fumma certe nullo fenfu ftatui poteft — — '„ Pro finuum progrelfione fequcns habetur formula : Sin.A'-fSin.ajr + Sin.3j:4-Sin.4A-+etc.— ^. _' ^. ., cuius aequationis veritas , quamuis ab Illuflr. huius diflertationis Aucflore iam cgregiae flabilita fit , ta- men eandem facillimo hoc ratiocioio illuflrarc non pigcbit : ponatur Sin. X + Sin. 2 x + Sin. 3 x + Sin. 4 -v + etc. r= S, mutiplicetur tota acquatio per cof x ct fiet Sin.o: 4 a Sin. zx-\-2 Sin. 3x4-2 Sin. 4A'+etc.- 2 ScoCx ideoque Sin. A = 2 S (i - cof. x). Licct ea quae in hac Diflcrtationc ab Illuflr. Bn- miillio allaia funt , multis in tafibus iis dubiis quac circa circa fumnnntioncs fericrum oriuntur , diluendis fuf- ficere qucaiu ; tamen alii atque alii dantur cafus , quibus cxp!icationes ab Ipfo allatae minus fati>facerc \identur , quamobrem non difRtemur nobis rragis placerc e;im cxplicationem , quam lllunr. Eulcrut jn Inllitutionibus Calculi DiHcrcntialis Cap. III. §. iio. adfcrt , quippc qua oinnibus dubiis piaue fatis- fieri pofle txi(timamus. IV. Euolutlo formulae integralis integratione a valore x zzo ad a* = i extenfa. AuQore L. Eulero pag. 91. Quum qni in hac DifTcrtatione occurrunt ralculi Analytici ita compnrati fint , •vt eorum lum- marium quoddam vix tradi qucat , Mathematum peritos ad ipfam differtationcm ablcgamus , id tan- turn monuilfc contenti , quod lllulU. Eulerus heic fufius profequutus fit , quae olim in Tomo V. Comment. Petropol. de iiitegrationibus formularum differentialium fub certis conditionibus peragendis iam expofuit. ^v V. ■ '..!^ Problematis cuiusdam Geometrici 2 prorfus (ingularis euolutio. I'' .$- ■ - AuQore L. Eulero pag. 140. 'itllnl 0..- ; -i . . w P roblema Geomctricum , ciiius euolutionem' hefc tradit lllurtr Eulerus in eo courillit , vt quae- ratur linea curua , cuius diim ducitur tangens qune- cunque datae lineae redae occurrens, et anguius intcr tangcntem et redam datam interceptus bilece- tur , redla iila bifecans curuae perpetuo fit norma- lis. Perlpicuum quidem eft omnes circulos qai da- tam redam habcnt tangentem , huic probhmati (a- tisfacere , dubium tamen adl^uc relinquitiir \triim praeter circul-im aliae dcntur lineae curuue , quae conditiones Problematis adimplcant. Hanc i^itur quielHonem eo maiori atteniione digaani iudiciiuit Illuflr. Audor , quod inuenta iam Iblutione Analy- tica , tamen dubium fupcrlit , vtrum vnica curua an plures ei fatisliiciant. Q^uod vero ad iplam Iblutio- nem Analyticam attinet , ea inter difficiiiorcs haberi meretur , quod primo intuitu ncxus intcr buia ifta punda curuae, prius vbi tangitur et aitcrum ci corrcla- tum vbi normalitcr traiicitur , fe non manifcnv.r. Ad nexum autem hunc indagandum tangens curuiic du- fta quoquc concipiatur ad pundum poftcrins , quo ipfo euidcns cft angulum quem haec tangcns f.icit cum cum redii data , dimidium forc illiiis quem tangcns prior cum caiiem rv-dla ficit , vnde demum deduci- tur , fi angulus dimidius dicatur w, tangens ipft rc- fpondens i er Tangcns prior T, fore T fimilem fun-, dionem 2 w nc f e(l ipfius w. Hac autem proprieta- te pracftippofita , facillimum iam eft , aequationenn An.ilyticam pro curna inuenire, cum fcilicet duplex quaeritur valor portionis redae datae interceptae in- ter binas tangentes , qu.im aeqnationem Analyticam practer T et f angulus o) ingreditur. Loco autem aequationis intcr T, / et w, alia quaeri poteft inter refedas rcdae datae et angulum w , vel etiam intcr normales ad curuam in binis punftis correlatis et hunc angulum , vel etiam inter binos arcus curuae ct hune angulum , vtl inter curuae radios ofculi ad bina punda correlata et eundem anguhim etc. Quum autem his aequJtionibus tres incognitae infmt , vide- retur easdem problemati reloluendo non fufficere , notandnm tamen ti\ , reapfe binas heic occurrere ae- quationes , quarum altera exinde defumitur , qiiod ftt ex, caulfa T talis hindio ipfius 2 w ac f eft ipfiu» 0). Et fi haec conditio in calculum introducatur inueniri poteft aequatio , quae praeter angulum w, vnicam tantum variabilem inuoluit. Ad hoc com- probandum confideremus aequationem llluftr. Audlo- ris §. 8. qua rdatio definitur inter refe Tom.XVI.Nou.Comm. c ia in hanc abit Y -: '^. fin. u , \bi Y limilis debct efTe fundio ipfius 2 w, ac t{\ j ipfius oj. Ponanuis igitur tlTQ j zzz (p : b) critque vnde pro C^ : w iterum fubftituto ^ habebitur yj^^Ay+J^ il^^J^ ^^ etc. — i;^ Sin. u aequatio quae binas tantum variabilesj' et w inuol- vit. Quaeftio igitur eo reducitur , vtrum praeter circulum aliae lineae curuae dcntur , quae hanc ae- quationem adimpleant ? Si valor ipfius j exprima- tur per feriem , in qua poteltates ipfius co expo- nentes iutegros et pofitiuos tantum habent , facile quidem oftcndi potcll , pro huiusmodi fuppofitione , circulum (ohim fatisfaccre , quum vero nuila adeflc vidcatur ratio , cur pro y eiusmodi expreflionem fupponere non liceret , vbi exponentcs poteflatuin jpfius oj occurrercnt fiue negatiui, fiue frac^i, omni- no probnbilc efl praetcr circulum dari infinitas li- neas curuas quae Problemati allato fatisfaciunt. VI. VI. Confiderationes Cyclometricae. Auftore L. Eulero pag. 160, Varia in hac differtatione proponuntur ab Illurtr. eius Audore circa conftrudionem Lunularum quadrabilium , notum autem eft hanc quaellionem co redire , vt quaerantur bini anguli , qui inter fe dup!icatam tenent rationem finuurr, adco vt fi vnus corum dicatur ;/; alter «, efle dcbeat m:n::Sin m '. Sin. n . Communiter quidem in refolutione proble- iratis de lunulis quadrabilibus fupponi folet nume- ros m et « cffe commenfurabiles , demonftratum ta- irien adhuc non inuenimus, nullo nlio cafu folutio- ncm Geometricam exfpcdari pofle. Hx ipfa quae- ftionis natura inieliigitur quidem rationem fmuum effe debere algebraicam quum alioquin ratio angulo- rum algebraice definiri non poflit , inde tamen noQ lequi videtur , hanc rationem numeris tantum inte- gris crcumfcribi. Qoam vero Methodus adhuc de- fidcrctur quo hoc problcma etiam per angulos non commenfurabiles expediri poteft , llluftr. Audor heic praeprimis fibi confidcrandos propofuit calus , quibus problematis folutio per circulum et normam cxpe- diri potcft , qui cafus numero habcntur quinque. Si cnim ftatuatur m — \ \x. in ct « zr ^ v co , fequentes Cafus Geometricam admittunt conftrudionem per cir- c 2 culum ^^ «.>|9| ( O ) |g*<- culiim ct normam 1°. fi w— 45" ct n — 90°, om cH calUN notiflimac Luiuilnc Hipp(cr;its, II. (1 wr ^oi et « — Iw, 111. fi w - oj et « r i oj , IV. fiwr.o) ct « — i u , denique \', fi w nz ' oj et « — * o). PofTiint vcri) omnts lii calus f;ic:llime cietegi , fi fta- tuntiir ni zz IX. z et «zzv5;, quo faflo erit jj.:v::Sin fjis*:Sin.vx:' feu Sin. [jl 2;Sin.y^:: V{jl: Vv, qpum cnim fit SiD. |JL c — Sin. ;5 ; 2'*- ' cof. cf^- ' - (fjL - 2) 2»^-' cof 2»^-' -t- t^--'''^--' ofi-' cof. t'^-^- ctc.) Sin.v;;— Sin. z ^2"— cof. c'— - (v - 2) 2*—' cof. s*"* ^ ^^!-=^;=^^2*-'cQf ^'^'- etc.) inde fict yyCa»*-' cofc'^-' -({jL- 2) ^►'-W. if'-' + ^-!^:;i]^5 2>'-' cof. £''-'- etc.): y|J.(2*-' cof. s'-' - (y- 2) 2^^cof s-' + ^^!=^"- 2'"' col. s''-' -etc). Fonamus i.im }jl cff-- numerum minorem , et fubfli- tuamus pro \y. numeros integros i, 2, 3 etc, quo fado patebit pro jji. ~ 1, v trcs adipilci polfe \alo- res , Yt aequatio fiat quadratica vel ad quadraticam facife dcprimcnda , erit lcilicct v -vel n: 2, quo ca- fu cof z — -'— , \cl V rz 3 , vnde oritur aequatio V3— 4cofc'-i, fcu cof. z'— '- "^ ''^ - , vel V—St ex quo fit y 5 — 16 cof. 2' — 3. 4 cof s' -h I, aequatio biquadratica lcd quac ad quadraticam facilc dcpri- -I^i ( o ) |<^<- si depr*mitur, Si fx ponatur — 2, vniciis habetur va- lor ipfius y lcilicct — 3, vude prodit aequatio qua- dratica 2 V 3. cof: x: = + V 2. cof. z* -V 2. Denique pro jx = 3 , prodit j' — 5 vt aequatio fiat bicjuadratica , ad quadr.iticani deprimenda : ^y 5. cof. z-Vs — 16 V 3 cof.s*- 3. ^V:^,cor.z"+Y3. Si alia fupponatur ratio inter |jt et v conftrudio lunularum ad altiores locos Geometricos aflurgit , quae tarnen femper liaberi dcbet pro Geometrica fi \f. et y intcr fe fint commeufurabiks. VIT. De criteriis integrabilitatis fbrmula- rum differentialium Diflertatio Secunda. Au£lore A. I. Lexell pag. 171. Quum in priori de hoc argumento Difl*ertatione, Tomo XV. NoT. Comment. inferta nuila al- lata fint exempla , quibus "vfus et applicatio dodri- nae de criteriis integrabi4itatis illuftrari poCTet , CU AU(ftor in praefenti differtatione huiusmodi defcdum fupplcre conftituit , in antecefTum autem varia prae- mittere ipfl e re vifum eft , quae ad ea aut ftabi- lienda aut vltccius cxplicanda , quae in priori Dis- c 3 ferta- «* **¥.% ( 0 ) ^:4<- fertatjone tradita funt , neceflaria cfTc poterunt. Et primum quidem multo exaAiorcm heic proponere conftituit demonllrationem infignis iftius Theorema- tis Eukriafii ) quod ipfum quafi fundamcntum tot us huius dodrinac cenferi potclt , quam quae in priori Diflertationc occurrit, et de qua obferuat, eam haud leuibus dubiis eflc obnoxiam, quum contra hacc iani allata fummum prae fe fcrat rigorem. Deinde for- mulas recenftt , quae integrabiles efTe dcbent , -vt Ibfmulae dxfS dx vel d xfd xfV d x integrabiles fiant. Porro cum in priori diflcrtatione condiciones quidcm expoluiflTet , quibus integrab:litas formulae difFerentialis duplicatae /'/"V ^.v ^/ continctur , iam quoque tradidit conditiones quae locum halere de- bcnt , vt huiusmodi forinnla duplicata bis vd tcr ctc. fit integrabihs , hoc cft yt ffd x d y ffV d x dy \el ffdxdyffdxdyff\dxdy vera fint inte- gralia , quae regulae maximam hnbere poffunt vtili- tatem , quando disquircndum, an huiusmodi formula difTcrentialis duplicaia integralc finitum admittar. Ft hinc quidcm iam fiicile concliiditur , quomodo eius- dcm gencris conditioncs dctegi pofljnt , pro formulis diffcrent ;vhbus triplicatis , vel adco comphcatiorilrtrv Q;.iod autcm imprimts fpedat ea exempla , quae ad do^rrnnm dc crixeriis integrabilitatis ilJuftrandam hcic vt\hvx fant , in iis proponcndis itu \erfatus cft CI. Aihflor , VI primum eiusmodi adducat formulas dif- ftrenniaks duarum variabilium a*, r, fluac pcr fc in- ret^rabiPcs fnnt , deindc progrediatur ad fofn.nlas tJif- ftrentiaks quae Ijcct ptr le intc^rabilcs non fint , ccrto certo Mmcn multiplicatore adhibito ad integrabilita- tem pcrduci poirmt , pro huiusmodi cnim cafibus vCus dodrinae de criteriis integrabilitatis infignis efle folet , ad hos multiplicatores detegendos. Kt hinc quidcm occalioncm nadus cft , generaliter demon- ftranai formukm difFcrcntialem homogeneam Rdx + Sdy fieri integrabilem , fi diuidatur per R.v-fS/. Deinde formulae proponuntur differentiaks, quae tres variabiles .v, y, z inuoluunt , quae itcrum duphcis gencris funt , aut per fe integrabiles , aut quae in certum multiplicatorem dudae ad integrabilitatem perducuntur. Ex poftcriori genere variae heic con- fidcrantur formulae difFerentiales homogeneae , pro quibus multiplicatores idonei eas ad integrabilitatem pcrducentcs inueftigantur , tum vero demum genera- litcr demonftratur formulam differentialom homoge- neam quamcunque primi gradus X(i x-^Y dj-^-Zdz-^-Y dv ctc. fieri integrabilem fi diuidatur per Xx-\-Yy-^Zz-\-W Vy quod tamen tantum fub ea conditione valet, quod haec fbrmula fit poiribili- , nam queniadmodum quae- cunque formula differentialis binas variabiks inuol- vens Kdx-i-Sdjf femper fit realis , ita contra pro formulis differentialibus tres vel plures variabi- les inuoluentibus tenendum eft , eas non femper efle poffibiles fed certam praefcribi conditionem ex qua 4e earum realitate iudicium ferre licet. ^uocics aa- tem *+ ->^.-§ ( O ) |-c*<.- tem huiasmodi formiilae differcntijlcs homogeneae fuerint poflibiles , toties integrabiks euadent , fi di- \id;intur per formulam fupra allatam. Excmpla autem formularum differentialium duplicatarum, quae heic quoque adferre in animum indiixerat Cl. Au- ^or , fententia mutata in aliam occafionem referuare fatiu5 duxit. i. VIII. Demonftratio Theorematis Analytici a Cel. la Grange inuentl AuGore A. I. Lexell pag i-o. Dum CeJ. la Gratige in Tomo XXIV. Aclorum Academiae Scicntiarum Bcrolincnfis in modum inquireret, quo cuiuscunquc aequationis algcbraicae radiccs per feries exprimi poflint, ad elcgnntiflinuKn deuenit Thcorema , quo forma vniuscuiiisque radi- cis exprlmitur, inuenit enim quod fi fit f — .v-4 (J5.vr o, vbi t et .V funt binne variabiies ct (J) X fiiniftio quac- cunque ipfius x, effc deberc : \l/X—\bt4-(ht.\L't+ tlll^.:L j_ li»!*!.'-^-' 4- d\^i*^f j_ e tc. -r T if T * i.idf * i.i.idr» ' i.j.i4di» ' Quum vero ratiocinium quo Cel. la Gran^e ad hoc Theorema pcrduftus fit, non nifl pro indu^ione ad- modura ptrticulari habcri queat , ipfumquc Theorc- ma fit gencralifllmum , adeo vt non folum locum habeat quando Cj) or eft fuocflio algebraica ipfius .r, fed etiam pro quibuscunquc fundionibus tranfcenden- tibus ^ hinc CI, huius differtationis Audor opcrae pretium duxit in generalem et latiflune patentem cius demonftrationem inquircre. Hac autem demon- flratione tradita . Theorematis \fum adhuc genera- liorem efTe oflendit , adeo vt eius ope non (olum fundio quaccunque ipfias a;, fed adeo fundio bina- rum variabilium x et i exhiberi queat. Deinde ve- ro Theorema adhuc multo latius extenditur , fi fue- rit ; — A'4-P— o, vbi P defignat quantitatem quo- modocunquc ex at et t conflatam , pro hoc enim cnfu nan lolum quaeuis funiftio ipflus x, fed etiam fundio quaecunque binarum variabilium a: et f, per folam t fatis concinne exhiben potcft , quod etiam vi- ciflTim valcre de fundionibus ipflus /, vel ipfarum x et /, per x exprimendis per fe euidens eft. Vt de- mum de v(u huius Theorematis aliqua conflarent Cl. Audor eius adplicationem commonflrauit , ad cxprimendas aequatioinim algebraicarum radiccs per feries , vbi tamen id obferuat , has feries fiiep'us non fieri conucrgentes ideoque radices aequationis non exhibere , neque criterium conflare ex quo demon- ftrari poii>t pro vniuscuiusque aequationis algebraicae radicibus , tot exhiberi poffe feries conucrgente?, quot radices illa habuerit reales. Porro quum C|) .v quas- cunque fundiones tranfcendentes inuohiere poflit , huius Theoreniaris applicatio ad huiusmodi cafus Tom.XVI.Nou.Comm. d quo- quoque fc extendit , ex quo geiicre notiflunum cfl Pioblenia Keplerianum pro quo lcilicct liabctur tz^x + « Sin. a; , hincque variae dcduci pofTunt cxpreflio- nes pro dcterminando angulo x ope anguli t , non folum en:m ipfe hic angulus .v fcd etiam eius finus vel cofinus , \tl Tangens fatis concinne per t ex- primi potefl , vbi tamcn ct obleruari merctur cx- prefllones hinc dedudas , raro adco ficri cop.ucrgcn- tes , vt cum vfu in Aflronomia adhiberi poflcnt. PHY- PHYSICO- MATHEMATICA. I. Dc Vibrationibiis chordarum ^ ex diia- bus partibus tam longitudine quam craffitieab inuicem diuerfis compofitarum. Au£lore Daniele Bernoulli pag. s^;^. Theoria de motu chordnrum vibrfitorio quanquam dudum ert a lummis Geonietris omni Iludio pertraddta , ita tamen reconditis et abftrufis disqui- fitionibus impiicatur, \t iis cuoluendis et extrican- dis mathematicorum adeo pr ncipes ingenii fui acu- men etiamnum adplicare opcrae omnino pretium arbitrentur. Neque \ero (olum ipfa fua natura fm- gulari attentione digna eft ifta quacftio , fcd cam quoquc ob cauflTam fummi monienti reputanda, quod a cognitione naiurae mininiorum iftorum motnum trcmulorum primaria totius Acuftices fundamcnta deriiiantur , id quod llluftres Geometrae , DaJi. Ber- mulli et Leon. Eulerus in variis huius argumenti diflertationibus de (ono indrurrcntorum muficorum , tibiarum varii generis , tympanorum , vt et campa- d 2 uarum, aS ->p.i ( o ) :>■?!<- iiarum , fummo ingenio docuerunt. lo praefenti tradatione quo mngis ledorcs fuos ad per- fpiciendas meditationes fuas adcommodet quafi et praeparet 111. Audlor , praccipua theorema- ta theunac communis de chordis vibrantibiis tota fua Jongitudine vnitbrmibus palfim demo.)(lratde prae- mittit ; atque hoc modo viam (lernit ad indai^aiv- dam naturam motus vibratorii chordarum ex dua- bus partibus conllruiflarum et longitudine et crafli- tie inaequalibus. Principio autem cafum aliqaem fimpliciorcm 111. Audor contemplatur, chordam fcilicet vniformitcr grauem, fed connexam cum fllo omni grauitate defti- tuto; quale quidcm ctfi adu in rcrum natura nullibi datur, iflius tamen cafus imaginjrii euolutio haud pa- rum confert ad explicatior.em argnmcnti prim.arii , "vbi fcilicet in fili illius grauitate cnrcntis locum alius chordae portio , fuo quoque pondere dcnata ec cum priori conncxa fubllituitur. Ad fonos a vi- brationibus chordae ciusmodi compofitac orinndos qiiod attinet, ii quidcm, (i binae partcs nodo alioue fimili aiodo connecftcrcntnr , nimis rauci forent , quam vt fonis muficis annumerari pofTent ; alio nutem cxem- plo optime diUicidat 111. Audor arguirentum fuum a fidibus , quibus mufici vtuntur , pctito , filo me- tallico ad augcndam granitatem foni inuolutis^ qua- rum , quid obflat ? quin fingi po(fint talcs fpecics , "vbi chordac certa tantum pars filo mctallico cft im- plicata , parte rcliqua maneiuc nuda. Hanc Hanc itaque quaeftionem maximc memorabi- lem 111. Audor ita pertradat , vt omnes et fingu- las vibrationum fpecies pro eiusmodi chordis deter- minet finuilcjue in valores inquirat fonorum iftis motuum vibratoriorum Ipeciebus debitorum. Sub finem differtationis fuae 111. Audor alius quoque modi mentionem facit y quo in chorda ali- qua vibrante lex continuitatis interrumpi poteft , fi fcilicet ea quidem tota fua longitudine fit vnifor- mis , fed in puncflo quodam arbitrario annexum ha- beat pondufculumi cuius quidem calus euolutio mo- tusque vibratorii pro tali chorda detcrminatio Geo- metrarum attentionem vtiquc eft mereri exiflimanda. II. Se£lio quarta de motii Aeris in Tubis. Au£lore L. Eulero pag. 281. Tradlatus hydrodynamiei , quem per partes his Commentariis infcruimus , ab 111. Eukro con- fcripti quarta , quae hic fiftitur fedlio , adhuc ad theoriam de motu fluidorum lineari , iam in tcrtia feclione tradlari cc^eptam , pertinct. Huius fcilicet argumenti primariam diuifionem 111. Audlor a flui- dorum diuerfa indole , quatenus eorum denfitas vel d 3 coa» conftans vel variabilis eft , commodilTime repctcn- dnm ftatuit omnemque fliiidorum diuerfuatem hoc iatuitu ad duas fpecies , aqujc et acris , reuocauit. Expedita itaque in praecedente fcdtione to- ta de motu aquae lineari dudrina ^ hic ad altcram fluidorum Ipeciem , elafticorum nen pe , gci crali aeris nomine contentDrum , progreditur. i\t \e- ro etiam hic variatio amphtudmis tuborum tan- topere iilos calculos omiie^ que argumcnti traftatio- nem adficit , vt eius peculiaris ratio fuerit habt nda. Hanc ob rem IIL Audlor in tribus prioribus capiti- bus motum aeris non , nifi in tubis acqnaLter am- pHs contcmplatur. Stntim vcro , quantis difRculta- tibus implicata fit dcterminatio motus aeris, vel pri- mo tcntamine III. Audor oflendit , dum fcihcet ca- fum fimpliciHimum , quo acr eodem vbique caloris gradu praeditus in tubo acquahter amplo , rcmoto adco grauitatis efFedu , moucri concip:tur , ad ac- quationem quidem differentialcm fccundi gradus pcr- ducere Ijcuit , fed talcm , cuius relohitio nullo ctm- (uetae Analyfeos artificio expcdiri pottrt. Conmio- difTime tamen hac in re vfu vcnit , vt ifla aequatio felici fucceffu ad acris agitationcs mmimas , vbi fcili- cct fingulae particuhic non nifi quam minimc a lo- co initiah rccedunt , accommod:iri poiht ^ quo igitur praefuppofito , fi in fiatu initiaii pro quouis tubi loco aeris tam dcnfiMs quam cdcritas fit data , ad quoduis clapfum tcmpus (fatum ct motum acris in tubo 111. Audlor in primo capitc dcfinire dccct. Qii an- -I^ ( 0 ) m^" 3r Quanquam vero iam hic inficias ire non licet , fb- lutioncm illam adeo non circ generalem , \t potius \ltiM Ipeciem motus quam maxime particularem nu.lo niodo pateat : tamen hoc non oblht , quin ea in pluribus lummi momenti disquifitionibiis phyfi- cis vfum praeQet ampiiflimum ; id quod in fequcn- tibus ipfe lli. Vir infignibus cxemplis comprobat ; dum (ciiicet in (ecundo capite theoriam fuam ad dodrinam de propagatione (oni adplicat , a Geome- trarum nullo , fi a Cel. La Graitgio difcefferis , fe- lici latis fucccffu pertradatam. Hoc igitur grauifTi- iTium argumentum 111. Audor pro tubis aequaliter amplis ita cxpedit , \t , fi in iis puHus alicubi in fpatio minimo fuerit excitatus , quo aer vtcunque a (iatu aequilibrii receflerit , huius agitationis minimae propai.^ationem ad quoduis tempus definire doceat et quidem \°. fi tubus fuerit \trinque in infinitum ex- tcnfus 2°. ab vna parte in infinitum extenfus ab al- tera vero vel tlaufus vel apertus 3°. vtrinque aper- tus 4°. denique ab vna parte apertus , ab altera ve- ro claufus. Alicrum phaenomenon , cui explicando 111. Auclor theoriae (uae principia hadenus tradita adplicat, et in quo^ a natunie fcrutatoribus vix quid- quiim praeditum eft , in (ono , qaem tibiae edunt infl-itae , eiusque explicationc verfatur. Dudum qui- dcnn 111. Audor elegantcm fimilitudinem inter na- turam eiusmcxii foni et kges chordarum vibrant um detexit ; nullo autem modo ipfi eo vsque progredi licuit, vt ipfam aeris agitationem , qua ifti foni ge- Derantur , calculis definire potuerit ; lam vero in capitc capite tertio abflrufum hoc argumentum 111. AutTtor ope theoriae luae tam felici lucccflu perfcquitur, vt omnes ilUs motus aens olc lUuorios in lubi!» aiqua- liter amphs determinare Ibnosque tibiarum varii ge- neris , fiue ftnt vtiinque fiue ab vna partc tantum apertae , fiue ctiam vtrmque claulae , dihic dc ex- plicarc eorumque lcges ex genuinis principiis , con- fentitnte experientia , dcriuare pollit. Hic vero , vbi thcoriam cum cxperimentis companire quis ve- lit , id probe pcrpeudi nccclfe eft , in omni i(!o cal- culo latcra tubi tanto rigore praed ta aHumi , vt nulhus plane imprelfionis et agitationis fmt capacia; quam conditioncm cum praxis perfccftc non admit- tat , experientiam tamen co minus a thcoria , nuo durjor fuerit tubi materia , difcrcpaturam , dubitari non poteit. His abfolutls III. Audlor ad tubos irMequalUeY mnphs progreditur ; quae quidcm inucfligatio nuiho pluribus , quam praecedens , obflacuhs tt ditFicultati- bus premitur. In capite igitur quarto ante omnia motus aeris in tubo inacqualiter amplo ad fcirniulas analyti-as reuocatur , quae vero cum ob dcfedum Analyfeos rtfolui non queant , tantum ad agitat ones aeris mwimas adcommodantur. Ncquc vcro ctiam admilTa hac rcfirid:;one , geHcralis obtcnta cft refo- lutio ; quanquam enim finguhir bus artificiis conti- ruo phircs repcriantur tuborum figurae , in qiiibus aeris agitationes minimas definire licct ; infinite ta- mcn multae tuboruiii figurae locum hic prorhis non inue- inueniiiiU , pro quibus etiamnum motus aeris detcr- minjri non potell. Ex eorum igitur tuborum clif- fe , quorum fi^uris principia theoriae hadenus tra- ditae adcomrrodari licuit , lUuftr. Audor fpicies aliquot fimplicillimas examini pcculiari lubiicit ; at- que hunc in finem in capite quinio aeris agitatio- nes miuimas in tubis figuram conoidicam hyperbo- iicam habentibus inueftigat , in quibus motus ifti trcmuli , modo fint minimi , perinde ac in tubis .aequalitcr amplis , licet calculo paululum operofiore, definiri poffunt Poft hos deinceps in capite fexto, 111. Auclor eadem mcthodo circa tubos figurae com- cae verlatur ; cuius argumenti euolutio etiam eam ob cauffam notatu quam maxime digna eft , quod inde cclligcre licet , qua ratione pulfus quicunque ia libero aere quaquauerfum propagetur , fi quidera vniuerfum aerem circumflnum circa centrum quall pulfus in infinite nuiltos conos , quorum vertices ia ifto centro concurrant , diftributum concipere licet. III. Dc Perturbatione niotus Terrae ab a£lione Veneris oriunda. Auftore L. Eulero pag. 42(5. Quum ex dodrina grauitatis Newtouiana fcquatur» omnia corpora coeleftia mutua et reciproca in- ter fe affici adlione , inde quoque intelligitur Planc- Tom.XVI.Nou.Comm. t lam tam quemcunque primarium qui fi fola vi verfus Solem attraiiente ageretur, elliprem circa Solem de- fcribLrn , accedente acftione reliquorum Planeiarum , ab hoc motu ret^ubri ct clliptico m.ultum deturbari. Res igitur ed in Allronomia maximi momenti , iias penu bationes et i.iaequalitatcs in motibus Planeta- rum ex adione eorum mutua oriundas peripicue definire ct expl.care , qnamobrem etiam fummi no- ftri aeui Geoinetrae Clairalitut , d^Altmbertus et im- primis Uludr. huius difllrtationis Aucflor in pertur- bationibus h.s definiendis , infignem coiiocarunt cpe- ram. Qiiod autem imprimis motum Telluris no- ftrae attinet , notum ell , eum praeter \im princi- palem , qua -verfus Solcm agitatur, adlionibus louis, Veneris et Lunae admoJum fenfibiliter adfici. In praclenti igitur Diflertatione lllurtr. Eukrus pertur- bationcm motus Terrae ab adione Vencris oriun- dam txamini fubiicere operae prctium duxit , idque eo maiori cum iure , quod in hac inacqualitate de- finienda (ecundum confuetab in huiusmodi operatio- nibus MethoJos procederc non liceat. Scilicet in formulis idis qnac pro ndione Vcncris in Tcrram inueniuntur , quum duplicis generis occurrant ter- mini , alii quos diflantia Veneris a Sole ingreditur, alii Yero in quibus diflantia Vcneris a Terra repe- ritur , Ttraque horum tcrminorum fpecies fingula- rem meretur confidcrntioncm. Prior enim , quam lllufl. Audor partem adionis Vencris Solarcm iio- minauit , ita comparata eft , vt fiuc tantum ad mo- tum medium Vcneris rcfpiciatur feu etiam excentri- cita« citatls ratio habeatur , fatis commode per fcricm conucrgentem exprimi queat. Cum pofteriori au- tem , quae lieic pars terreflris adlionis Veneris dici- tur , res longe alitcr fe habct , (cilicet quuiu for- mulam irrationalem quam dillantia Veneris a Terra ingreditur , nullo modo in leriem conuergentem re- fohicre liceat , omnia intcgralia , in quibus exprefllo huius diftantiae reperitur rriechanice tantum defi- nienda funt , quod etiam hcic pro fingulis 5 gra- dibus elongationis mediac Vcneris a Terra pracfti- tum eft. Valoribus autcm horum integralium defi- nitis , fi parti terreftri adionis Veneris addatur pars Solaris , facile tota perturbatio ab adlione Veneris orta definitur , quam igitur Illuftr. Audor in Ta- hella ad finem dilfcrtationis fubnexa repraefentat. Si haec Tabula conferatur cum ea , quam adfert Celeb. de la Caille in Tabulis fuis Solaribus , infignis inter eas reperietur difcrepantia, in Tabula fcilicct Dni de Ja Caille , a o Sig. vsque ad II Sig. 3°- exprefho pro adione Veneris eft negatiua , et maximum eius reperitur circa I Sig. i°. \bi eft zz— 5, 6^ a II Sig. 3°. \ero vsque ad VI Sig. pcrturbatio haec pofitiua flatuitur , et maximum adipifcitur valorem circa IV Sig. 3°. fcilicct +15", 2. In Tabula praefenti per fex figna pracccdentia pcrturbatio efl: negaiiua et maximum induit valorem circa II Sig. 10°. vbi efl zz — 22", 3. Liquet igicur hinc maximum difcrimen quod inter hanc Tabulam et eam Dni c/e la Caille oritur "vsque ad 30" affurgcre , quae differentia in loco Solis definiendo ccrte pro infigni habcnda eft. e a PHYSICA. P H Y S IC A. I- ' ' ' Dc Corde Leonis. ' AiiSore C. F. Wofff pag. 471, , r Soluni coi' lcoois, quotid fingulari;i , qu.ie in eo Gccurrunr , anatomice deJcribiiur. Deinde effe- «ftus , quos fingul;uis illa llrudurn in lundionibus cordis producit , qui notabiks (unt , ct iplani quo- que corporis hua*iiii pliyfiologiam illullrant , cxpli- cantur. Pcricardium in hoc animali plciium fpiflb cruore et adco dilkntum inucniLbatur , vt maximam partem cauitatis thoricis , quae muUum fanguiucm itidim ccnnncbat , repleret. Ventriculi contra et auriculae cordis vacuae erant. Hacc crgo oir.nino cauf» morris fuit ; cum neque cor fe dilatare , ucque ctrchro (ulHcicns , (quae ad fuftinendas adiones ani- males et vitiles m eo continuo rccjniritur ,) copia fanguini» fuppeditari potuerit, Qiiae circa figuram cordis leonini , eiusquc ftruftnram internam et partes , auricul.is , lcptum , \entricuIos , orificia corundem et vniuulas , hifcc practixis , Cdlumnabqiie carneas. , notabilia occurrunt, ca in ipla Diilertatione legcnda funt. Praecipuac tantun:.- "^Ui ( o ) i-'?^*- 3'7 tantumn'odo obferuiUionis mcntionem facieiTius , quac in occonomiam 'vitalem rraximum fibi iiifluxum via- dicat , et vnde patebit , quo vsque in Viiriis anima- libus aifliones vitalcs variare pofiirt. " Leoni cor da- tum eft , pro mole corporis paruum , (cd vcntncu- lis innriidam praegrandibus ^ vnde parietes eiusdem aeque ac feptum , fi ad alia animalia comparantnr ,• mire tenues lunt. Hoc hadenus etiam a Parifinis Scriptoribiis iam obferuatum et pro rei dignitatc ^ traditum fuit (videantur, quae in hac DiflT. pag. 477 et 478. deinde quae pag. 491. dida funt ). Sed j quod magis forte attentionem Anatomici meretur , quodque minus ab aliis obreruatum fuit , illud eft , quod trunci arteriarum , quae ex ventriculis oriUD- tur , quemadmodum ventriculi ipfi proporiione alio- rum animalium magni funt , parui potius exiftant proportione eadem , et quod rami earum arteria- rum fimiii modo decrefcere pergant. Nam , (i ar- te.riae leonis ad artcrias aliorum animalium in ea- dem ratione iterum effent , vti vtntriculi cordis funt , quod tamen verifimile videri poiuifTet , nihil eo mutaretur in motu fanguinis. Maflii fanguinil maior pcr vafa maicra fimili modo in leone quam in aliis animalibus movieretur. Quo magis autem ratio arteriarum lconis ad aliorum animalium arte- rias fucceifiue decrefcit i eo magis qiioqne celeritas , qua (anguis in leone mouetur , celeritatem fupcra- bit , qua idcm in aliis animnlibus propellitur. Hacc itaqiie vt accuratius definiri ct aeitimari pofllnt, ven- triculos cordis ct antrias prnecipuas maiores in leo- «3 nc ne et in hominc , aliisque in animalibus metitus eft Clar. Audor , ventriculosque cum magnitudine cor- dis , arterias vero cum ventriculis eorundem anima- lium comparauit , vnde apparuit , quantum in leone ventriculi proportione cordis totius maiores , artc- riae vero proportione ventriculorum minores fint quam in aliis animalibus. Media cordis humani longitudo 4 poilicum et lo linearum , circumfe- ^rentia transuer(alis autem lO pollicum eft. Ventri- culus dexter pro hac cordis magnitudine longitudine gaudet 3 poll. 8 lin. et circumfcrentia $. poll. 4 lin, Iq corde leonis igitur , cum eius longitudo fit 5 poll. 3 lin. et circumferentia 1 1 poU. 4 Im. ventriculus dexter , fiquidcm ille nunc ad cor ean- dem (juam in homine rationcm haberct , Jongitudi- ne elTe dcberct 3 poli. 10 lin. et circumfercntia 6 poll. Sed inuenitur longitudine 4 poll. 7 lin. et circumferentia 9 poll. 6 lin. Adeoqtie ventricnius dexter in leone quinta (ere parte proportione cordis longior quam in homine , et plus quam tertia pnr- te amplior efl. Ne vero huec difltrcntia , quac fa- ne notabilis e([ , p;iruitati potius ventriculi cordis humani , quam mngnitudini lconini adli;r:benda efle videatur , ventricnlus humanns porro cum' fclino et vitulino comparatus c(\. Fclino vcntriculo propor- tione corculi fui ad normam humanam longitudo effe dcbuinct 12 lin. ct amplitudo 15,- lin, Sed illa noiinfi 10 lin. haec tantummodo iij lin. in- venta fnit Vitulinus , qui longitudine 3 poll. ^ lin. et ampliiudi.ie 4 pull. 3; lin. elle dcbuiffct , non- nifi nifi a poll. I lin. longiis et 3 poll. 10 lin. nm- plus inueniebatur , vndc patet , In his animalibus ventriculum ctiiim humano minorem , nec crgo pc« riculum errandi g(^c , fi magnimdo ventriculorum lconis ex comparatione ventriculorum hominis diiu- dicatur. Ventriculus cordis finiflcr in leone pro- portione cordis eflo dcbuiflet longitudine 3 poU. 7^ lin. et ambitu 4 poU. 4i lin. Sed obferuatus eft longitudine 5 poU. et ambitu 8 poll. 2 lin. Pro- inde ifte ventriculus in leone plus quam quarta parte folito longior et duplo fere amplior eft. In fele nempe ct vitulo menfurae itidem humanis , quibus cum leoninae comparatae funt , minores fue- re , excepta fola circumferentia in corde vitulino , quae pauilulo humana maior fuit. Pro hac enor- mi ventriculorum magnitudine fieri non potuit , quin et mire tenuis fit fubftantia carnea , qua cor efficitur. Paries ventriculi finiflri in corde vitulino et fcliiio dupio fere craflior eft quam idem paries eodem in loco in corde humano* At ifte paries hu- manus tamen efl; ad leoninum vt 95 : 5. De magnitudine arteriarum vltima modo re- fiilMta repetemus. Ambitus trunci aortae propor- tionc ventriculi fui in lcone fere dimidio quam in homine minor eft. Nimirum antc ramos maiores editos maximam partem leonis aorta ad humanaiil cfl vti I : (2 — j.). Sed hoc magno decremento noti' oblknte tamen aorta poft ramos maiores iilos edi- tos adhuc porro erga hominis aortam decrefcit , ea- quc multo plus qiiam dimidio minor euadlt. Kam ybi ad columnam \ertebrarum (e applicat, antcquam primam intcrcollalem aitcriam cdidcrit , ad huma- mm eft vti i ; 2* , prope diaphragma autem vti I : 25. Idemq-uc de caetcris trunci aortae ramis va- let. Arteria fubdauia dextra ad eandem hominis arieriam eft vti i : 2;. Subclauia finiftra vti i : 2j ct carotides adeo tere (unt vti i : 3. Kcquc alitcr comparatum cft cum arteriis pulmonalibus. Trnn- cus arteriarum pulmonalium ad eundcm truncura in homine proportione ventriculi fui dcxtri le ha- bct vti I : i|. Sed eius ramus dextcr vti i : 2 et iinifter vti i : 2.1. Prubabilc igiiur eft , idcm vafo- rum decrementum continuatum iri porro p:r (ucce- dentes ramificationes , adeo , vt in ordinibus vltimis, veluti in decimo quinto , vd (exto , vafcula dccu- plo quoquc circitcr in ambitu (uo hunvanis propor- tione vcniriculi finiftri minora finr. Hinc flicile colligitnr , qnnnto ccleritas motus fanguinis in kone maior fit quatn in homuic ct in aliis animalibus. Etiamfi in calcnlo multa largia- naur ; (nam in imn.inucndis potius, quam in au- gendis mirabilibus Audor pcccare voluit) (angui» tamen quamprimum ex corde erumpit , et in ea parte Aortae , quac citra ramos cft , quadruplo i.im ccicrius in Iconc quam in hnminc ct in aliis ani- piaiibus qnadrupcdibiis moucbitur ; noncuplo aiucm in ramis (ecundi vcl tcrtii ordinis , quorum , veluti carotidum , peripheriac triplo ct lumina igitur non cuplo cuplo qnam in hominc rainor.i funt ; denique cen- tuplo celcrius in ramis decimis quintis , quorum pe- liplieriac decuplo ct lumina centuplo in kone mi- iiora lunc quam iii hominc, Qiium rmguinis motum in homine ob lumi- m ramorum , qui ex trunco quouis criuntur , con- iuncfla femper mulio maiora lumine trunci , conti- nuo retardiri notum fit , prout fanguis fuccefliuc per ryrtcma artcriarum progreditur ; eaque retarda- tio fccundum cnlculos , a Ccleberrimis Phyfiologis inrtitutos enormis fere euadat ; ( Keilivs celerita- tem , q'ia in vltimis arteriolis fanguis mouetur , ad eam , qua per aortam propellitur , paflim fe babere inuenit vt i : 443 07. vid. Perll/. Hall. El. Phyf. Toin II. p. 174.) non minus mirum forte videbi- tur , fl pericula docuerint > in leone retardationem nullam fiuri , fed potius accelerari fanguinem prou- ti per arterias progreJitur. Nam iflaec retardatio tanta cum fit in homine ; crediditTes , eam neceflli- riam efle ad vitam animaiis. Quum ergo non fit , fequitur , aliam et peculiarem caulam efle debere , cur tanta fit in hominc. Sic alia alia illuflrant. Ra- tio fummae luminum ramorum , qui ex trunco aortae oriuutur , aortae nempe dorfilis , ful chuiiae Ttriusque ct corotidis vtriusque ad lumen trunci aortae in leone eft vt 94I : 147 vel vt 1 : (i 14 ,'5). Ratio fummae luminum ramorum Fulmonalium , dextri nempe et finiflri ad lumen trunci pulmona- lis efl vt 885 : i33t , quae eft i : (li --i- circiter 5,), Tom.XVl.Nou.Comm, • f Vndc Vnde patct , noii modo retardationem nulhim , fcd magnam potius accekrationem i;uig;uini leonis con- tiri^jere , dunn ex trunco aortae , vel etiam arteria- rum pulmoaalium in ramos eorum ingreditur. Haec tandem incredibilis fcre celeritas Cingui- nis influxum quoque haberc videtur in naturam ec attributa leonis. Kobur non modo corporjs quoad partcm et agilitatem iiuius animalis , fcd audaciam quoqiie et airocitatem inde dcriuat Clar. Audor > quod quo padlo quibusue argumcatis fiat , in ip(a. Diflertatioue legi merctur. IL Obferuationes fplanchnologicae ad Aci- penferis Rutheni Lijin. anatomen fpedantes. Au£lore I. T. Koclreuter pag. 511. Qiuanquam ca , quae in hac Diflertatione de ftru- clura interna Acipenferis ruibem traduntur, cius iudolis non fint , vt oeconomia Yitaiis pifcium iis aliqua ratione ilhiflrari , vel phyfioiogia incri-mcn- tum inde aliquod capcrc pofllt , (lunt nempe mtrae partium abdominaUum delcriptioncs Zootomicac) , tamcn non ingrata forc (pcrauimus cuicoribus fcica- tiae tiac natiirnlis , qiii quippe iii condcndis animaliiim charactcribus nonnunquam ctiam intcriori partiuni contormatione vtuntur ; atque in hunc finem im- primis hae dcfcriptiones inferuire poflc "videntur. Hepar primum confidcratur. Agitur de eius colore, figur^i , diuifione in duodecim lobos , qui omnes fe- cundum figuram , quae fingulis diiierfli et irregula- ris ert , prolixe defcribuntiir. Caeterum nihil in his occurrit , quod fe diflinguat , \el quod notabile fit. Veficulae fcllenc deinde ct dudus cyftici mentio fir , in quibus nihil inloliti cft. Oefcphagi pars prior intus glabra , ea autcm , quae propior -ventriculo , papillis in fuperficie intcriori obfita eft. Ventricu- lus ipfe figura ouatus , caeterum carnofus , craffus et durus e{\ et ^xntriculo auium graniuorarum fimih's. Duodeniim tcrcs , itidem durum. Pancreas figura reniformi gaudet , idtmquc difTedum etiam intus ftruduram monf^rat renum f^rudurac quodammodo fimilcm- Subfiantia (cilicet exteriori corticaH durio- ri , coloreque diflinda et interiori moHiori pracdi- tnm eft , ilhique radiatim quafi ex pcripheria Yer- fus centrum producitur. His \ifcerum abdomina- lium defcriptionibus figuras cordis Clar, AuCtor adiunxir. f ft iir. 44 *>-^.l ( o ) ^?2<- III. De Hermaphrodito ad (exum virilem pertinente. Au£lore I. Lepechin pag. 525. E^regiae obferuationes funt , et quae non pcffunt non gratiflimae efle phyfiologis , quas Clar. Auctor in hac Diflertatione Acadcmiac communica- "vit. Si nihil aliud per hermaphroditum intcllexe- ris , quam homincm , qui intcr naturam fcmineam tt mafculam \ere ambigit , hic certe „ quem dcfcri- ptum tenemus , hermaphroditus fuit. Hoc folo rc- fpe^ftu fci , vt caeteris hadenus in fcenam produdis , nomen illud denegari poterit , fi hominem poftulcs, qui officio vtroque , femineo et mafculo pro lubitu in negotio gencrationis fungi poflit. Hoc enim re- Ipedu mas ille fuit , fed tamen probe diflinguendus non modo a feminis illis quae ob folam maiorem chtoridem , mcmbrum virile mentientem , immcrito ct finc \lla caufi pro hermaphroditis habitae fue- runt , fed etiam a maribus , quornm tcfticuli iu abdomine retenti aliquam ouariorum fpeciem retulc- Tunt. Scrotum noflro homini longitudinaliter diui- fum erat in duos facculos oblongos , rima profunda diflindos, quorum quisquc fuum tcfliculum interdum continebat , ct qui extremitate fua antcriori fiipra balin penis coniungcbantur , adeo , vt facculi hibia maiorx maiora vuluae , rima hanc ipfam ct penis , folitcr brciiior, a labiis inclufus , clitoridcm ad amullim rekrrct. Sed ifte penis imperforatiis quoque et lo- co vrethrac nounifi fuico longitudiuali inflrudus erat , cum vrcthra iam fub radice penis intra labia terminarctur. Quid ergo obrtat , quo minns pro vcra cliioride habcatur haec pars , quae ncque fpe- cie externa , neque ftrudura membrum virilc fed omni refpedu clitoridem refert. His notis fexus feminini accedunt facics imberbis! vox feminea! (oam homincm nonnifi viuum obferuare licuit,) et taii- dem mammiie muhebres , turgidae , p.ipiilis craifio- ribus , arcola cincfris, inflruLlac ! Rede raonuit Clar, Audlor non cafj hacc omuia accidifle. Nam inter ipfas caufas formatrices , quaecunqwe hae fuerint , et quantumcunque eaidtm nos latere velis , tamen ali- quid fuifTc , qiiod ad fingendam feminam requiritur , vel aliquid deiuiffe ^ quod ad producendum marcm necefTirium efl , rcs fpfa loquitur ,, confirmatque ob' feriiatio , quam Clar. Auiflor addit duorum fratrum , qui hcrmaphrodito noftro fuere , et quibus amboljus eadem partium genitalium conformatio , idemque muliebris habitus erat. Neque autem verifimile eft, praedelincata fuifle primordiai horum hominum in ouis materni«. Nam aut feminae aur mares per- fecfli , ro;i homincs dubii , prnedelineati fuiffent, ac- qae minus ac monftra il!a , quae , poftquam nata funt, perire ncceffe ef^.. Caetcrum viros tamien efTe hos hermaphroditos pericula docuerunt. Nam maxi- mu5 eorum natu vxorem duxit ex eaque liberos genuir. f a iVo IV. Salmo Leucichthys et Cyprinus Chal- coides deicripti. Au£^ore A. I. Gueldenftaedt pag. 5^1. Mare Carpiiim , qiiorfum Clar. hiiiiis Dificrta- tionis Aiidor indagandorum naturae produ- dorum caufa mifliis eft , pilcibus quidem , eodcm refcrcntc , omuino abundnt , fcd magis tamcu indi- viduorum copia , quam varietate fpecierum fuperbit. Hae enim ad decades quatuor vix accedunt , maxi- mamque partem Europene et aquis dulcibus com- munes funt. Plerasque Clar. Audor recenlet et nonnullas ex Acipenfcrum genere , chanKflcribus a capitis partibus dcfumtis , detcrminat. Dcinde duas fpecies producit , qunrum altera ad Salmomim ahcra ad Cyprinonim genus pertinct , quaeque phuic indi- gcnae mari Cafpio et Ichtyologis minus notae funt. Salmoni nomen fpecificum triuiale Leucicbthydh , Cyprino vero Chalcoldh addidit et vtriusque piRis delcriptionem concinnauit. Prior vb'que pcr Rus- fiam Belaia Rybv^a ^ id efl albi pi lci s poderior \c- ro Harengi Kislarienfis nomme venit , vnde nomina triuiaha petita. iUe ob maxillas edentulas , infcrio- remque longiorcm facile cum SaJmone Albtila LlN- NAEI confundi poffct , quamobrcm fcquentcs aii ba- rum fpccierum charadcres effcntialcs conlhtuti funt: Leu- '•*>^.i ( o ) ^9^<* 47 Leiiiqichthys erit : Salmo maxillLs edentulls inferiore longiore ; riidiis membraruic branchiolkgae decem, Albiila autcm : Salmo maxillis infcriorc longiore , radiis mcinbranae branchiolkgae feptem. Hic porte- rior , Cjfprhm ncmpc Chalcoides , a con^;eneribus fpcciebus (cqucnti characlerc dirtingui-tur : Cyprinus pedalis , radus pinnae ani nouemdecim maxilla in- feriore longiore iucuruj. V. KrafcheninnikoLiia ^ nouum planta- rum genus. Audorc A. I. Gueldenflaedt p. 548. Nouum hoc plantarum genus , quod Clar. Audor hx nobis offert , quodque in memoriam Viri mentiirimi , membri olim Academiae noftrae , Kra" Jchcninn Iwuiam appellat , a pluribus quidem Botani- cis hadcnus viTum et colk<5tum , fed non fatis ad- ciirate , -vti Clar. Audor obferuat , examinatum , ncquc adeo rcifle determniatum fuir. TOVRNEFOR.-'^ TIVS primus hanc plantam inuenit in Orienie, eam- que Ceratnidis fui geueri adiunxit , quod idem Cera- tocarpus LlNNAEl eft. Deinde Stellervs ean- dem in campis libiricis reperit ;, fed varie , nunc ad Bliti , nunc ad Camphoratae genus retulit. Illuftr, LiNNAEVS prius Vrticam poft haec A.xiridm ean- dera dcra appcIUiuit , quem etiam GmELFNVS in Flora Sibirica iecutus tll , adco tan cn , \t iple de x-ro genere adhuc dubiiis pcrinanfcrit. Hos onnies ita- que Clar. Audor iion modo in aHit^nationc generis kd eatcnus etiam crrafle exidimat , quod geiicratitn ad \niim liorum generum , iamiam n(*t(»rum , intei quae quafi ambigua fit , lianc plantam refercndam efle , vuanimi licet lenfu , credider nr. Nam na- vam prorlus , propriique generis illam iudicat , quamuis tamen omniiio concedit , miilta illi cum Vrtica et plura adhuc cum Ceratocarpo communia efle , fldeo » vt media quali intcr didla haec gcnera ct Atriplicem fit , eaque coniungat. Conllituit tius chnracflerem genericum , cuius notac praecipuc in florum mafculorum Perimthio tetraphylioy perfiflen- tt ; CoroUa nulla ; Stamimm filamentis quatuor ca- pillaribus, thalamo inlertis, antherisquc lubrotundis didymis ; in florum femineorum Perianthio mono- pliylio Corolla nulla Gcrmine ouato iiipero, Stylo ilfnplici , Stigmatibus duobus capillaribus rcflexis , Pericarpii calyce dilatato , femen viiuique tegentc ; Sdmineque vmco , ouato - comprcflb confillunt. Et cum charadercm CerarcKarpi , quocum magna Kra- fcheninnikouiae flmilitudo eit , haI4| ( o ) r^<^ 53 vationcs Amtricaras ciim ii.figni niimero carum , quae in turopa iiillirutae fuciui.t , comparare bc- ceflum duxit , in quo negotio cxfequendo duo ca- lus feorfim confiderandi tuerunt , prior quo ratio habetur tam contaduum internorum quam cxtcrno- rum , altcr quo ad coiuadus lantum internos -vt- pote certiores tantum relpicimr His itaque prae- luppofitis , fi TT defignat Parallaxin Solis tempore tianfitus , >- autem corredionem Latitudinis Geocen- tricae Veneris ex Tabulis alTumtac pro temporc coniunctionis , inuenit con binationcm cbfcruaticnum pro Infula Regis Georgii cum Eur(>peicis praetcre pro priori ca(u tc — 8'', 68 — o, Oo77 J tt j^ro fo- ilcriori TT ~ 8", 58 — c, oo8c.j. Simili rrodo com- binatio obicruaticjnum ad finiim Hudlonis fadarum cum Europeicis dat pro priori cafu ttzzS", 52 — 0,0019. j et pro pofteriori TT — 8",74— o,co2 9J'. Denique obferuat;ones Californiae inflitutae , fi ci.m Europeicis corrparentur , pratbent pro pcfleriori ca- fu TT — 8, 61 — o, C062.J, pro hoc fcilicet loco obferuationes tantum contadluum internorum in ccm- putum dudae fuerunt. Vt autem nunc ex his di- ■verfis conclufionibus \alor medius rite exquiiatur , •vnicuique earum ca tributnda eft probnbilitas , quae ipfi reapfe competir , ct quae proportionalis eft cen- ftnda cotfficienti ipfius tt in atqiiatiine vnde eius \aIor dedudus eft. Hoc moc'o igitur pnbabilitate» acfiimaDdr, inucnit Cl. Audlor \alortm parallaxis me- dium tcmpore tranfitus fore n: ~ S", 63 — o, 0062.^-, fi ad omnes obftruaiiones ntf.ndatur , \el TrrzS, 57 S 3 -o, — 0,00(^2. J'^ fi obferuationes in Infiila Regis Gc- orgii pro contadibus externis excludnntur , \el TT — 8", 62 — o, 006$. j fi obfcruationes contaduum externorum pro finu Hudfonis etiam excludantur , "vnde cxade quidem ftatuere licuit i:— S, 60 — 0^006. y, Ad huius autem conclufionis \lteriorem confirma- tionem Cl. Auftor obfcruationes Americanas fcor- Cm cum obferuationibus in iis Lapponiae locis fa- dti?, -vbi totum tranfitum obferuare licuit comparat , tum etiam ipfas obferuationes Americanas inter fc confert , ex priori disquifitione inuenit mcdio fumto •71 — 8, ^4. — o, ooVS.jj' , et ex pofleriori -tt— 8", 47 — o, oi.J. Denique vt Talor abfolutus ipfius w inueniatur corredionem Latitudinis Gcocentricae fup- ponit 8", vnde habetur ttzzS", 55 de qua Aiidor nofter affirmare non dubitat eam vltra partem dc- cimam fecundi a veritate nou fore difcrepantem. Si contaftuum externorum pro Infula Regis Georgii ratio haberetur , nuUum quidem cft dubium , quia valor Parallaxis aliquanto maior prodirct , oftcndit igitur Cl. Audlor has obfcruationcs imprimis pro contadu externo circa egreffum infignibus crroribus effe obnoxias , qua etiam occafione in Longitudincm Geographicam Infulac Regis Georgii a Parifii» inquirir, quaeab ipfo inuenta eft lo''. 7'. 22" verfus Occid. VI- timo demum loco exponit quales crrorcs in obfer- Tationibus admittcre neccffe foret , fi Parallaxis ad 10 fec. vcl ad 9 fcc. , augcnda effet. Et pro Paral- laxi quidcm 10 fec. mcdius valor crrorum vsque ad duo minuta prima increfccrct , pro hypotheft autcm -141 ( 0 ) ^c^<- 55 antem Parallaxis 9" hic error vix infra ao aut 30 fec. fubfiftere poffet. III. Elementa Aftronomica Theoriae Ve- neris dedufla ex obferuatione tranfi- tus Veneris fub Sole ad finum Hudfb- nis^ Californiae et in Infula Re- ' gis Georgii inflituta. Au£lore W. L. KrafTt pag. 649. Caniundiones eclipticae Veneris cum Sole, etiam» fi a principali iftiusmodi obteruationum , in definienda paralLixi Solis horizontali , v(u dilcefleris, eam qiioque ob cauffam Aflronomorum attentionem fummo iure prouocant , quod ad perficienda theo- riae huius planetae primaria elementa maxime (unt accommodatae. Noftri igitur aeui Aftronomis cum tam contigerit effe felicibus , "vt bis intra nouem annos rarillimo hoc fruerentur pbaenomeno ; quin in motuum Veneris cognitionem infignis inde redun- daucrit vtilitas , dubitari non poteft. Hunc ipfum quoque fcopum in hac differtationc fibi fixit Cl. Audlor , dum vltimi tranfitus Veneris fub Sole 1759. vifi tres omnibus numeris abfolutae obferua- tiones ad Academiam eflent tran&miflae, Pnnripio itaque itjqiie Cl. Audlor id opcram dat , \t motus Vene- ris horarios in ecliptica , in orbita rtlatiua et in latitudinem fumma cum praccfione definiat ; qui- bus pracmiflis ex mora ingreilus vcl cgrcffus pcr efFe(fliis paralladlicos in hypothefi parallaxis Solis — 8", 55 computatos ad centrum tcrrae reduda quantitatem femidiamctri Vcneris determinat ; vnde porro ad diftantiam centrorum minimam, latitudinem Veneris gcocentricam atque coninncflionis tempus ve- rum, inueftiganda progreditur. Locum Nodi Vene- ris ex hac ipfa obferuatione dedudum cum eo , qucm obferuatio anni i7^.^ ( O ) ^c|< bi quum litterac /, »7, n ct X, fx, v itidem certas funcfliones binarum Yariabilium t ct u fignificcnt, ex mtura huiusmodi funftionum conftat cffe debere ; 4- lam IN PLANVM EXPUCARE LICET. 5 4. I:\in in fuperficic explanata praeter pnndiim Tab. i. V duo alia intinite propinqua v et v^ contemplemur, Fig. *. pro quorum ilio coordinatae fint O T n: f et Tv — «4-^/« pvo hoc >ero Ot — t-^dt QttVzzity ita -vt pundta V ct » x-^-Kdu II^* y-\-^du et IIF" z-^vdu fimili modo quia pro pun^fto v^ applicata u manct abfcifla vero t fuo differcnnali dt augetur , pro pua- fto z^ ternae coordinatae eront : r" x-^ldt IV^^ y^mdt et 111"" z + ndt. 6. Conftat autem fi pro pundo quociinquein fiiperficic Iblidi coordlnatae fucriut x^y «t z pro A 3 aliop € DE SOLTDTS Cn^OR. SVPERFTC. fllio \ero pundo proximo x\ \'\ ct z\ tum corum pundorum dinantiam fore — V((a,-' — a) -^('y^— J)' -4-(s^— xr)'"); hinc pro triangulo Z z z' habebimus fingula eius latera i°. Z z — d u^V (W -^- \x.~ -{- v^); 2.\ 7.z'-dty{l'-\-m-\-n) ct :i^" zz'—-V{{-kdu-ldtf -^-f )x d u — }H d tV+lv d u-nd tY) C)uezz'—y(dr.\//j^mtft 4-« ;/) -f^w' (X A + |x jx + vv )- 2 rt'; tf^w (/X + ;// jj. +;; K^). 7. lam quum (uperficies folidi prorfiis debent conuenire cum figuru plana (Fig. 2 ) necclTe eft , \t triangula 7. z z^ et V -y 'y'' fint non fohim acquaha, fed etiam fimiUa ideoque latcra homologa acqualia , fcilicet: r. ZzznY-v, IV. Zz'—M -r" et z z'' ~ c n^' Tnde tres fequentes nancifcimur aequationes 1°. y^-^-xiS -^-v-x; \\\ f-\-m~^"n—i; III". dt\f+m'-{-n]-\-du^>.''^\k-\v")-:idtdu[l'K-\-m\x. -\-nv)z:zdt^ -\-du tertia autem ob binas priorcs rcducitur ad hanc l\-{-m [X -\- nv — o , quibus tribus acquationibus folutio problemntis noflri continctur, ex quo intelligitur eam reduci ad fequens problema analyticum : Propo/itis duabuf variahilibus t et u earum fex inuenire funCtiones I, m, n ^; X, jjl, y ita comparatas^ vt fex fequentibus conditionibus fati^Jiat r. (S=(jT); nM'-T)=(2r); iii"Ma-:)=d-P IV. ll-\-mm-\-nn—i :, V°. XX-h^Ljji. + vv— i ; Vr. l\-\-m\K-\rny—o quod IN PLANVM EXPLICARE LICET. 7 quoJ problerna iii fe confiderntiini longe videtur diP- ficillinnim , ciiius tamcn Iblutionem fatis coucinnara iulra. cxhibcre. lieebit. SECVNDA SOLVTIO. ex principiis Gcometricis petita., 8. Vt hanc folutionem a primis principiis re- petamus , confidercmus corpora vel prismatica vel pvramidica , quae bafibus cxceptis charta. obdudai ijucliigantur , atquc in hac chiirta plicae redilineae deprctiendcntur vel inter' fe parallclae , vei ad cer" tum puncliim verxiceni fcilicet pyiamidis conuer- gentes.-, quae lincae redae quotcunqi-ie fuerint, litte- ris A ff,- B b,. C c, D d etc. defignentur. Quodfi cr- go charta in planum expandatur , in ea eaedem li- neac redae A a, B b^ C c- erc. occurrent, eruntque vel inter fe paralklae \cl ad certum pundum coa- vergentes. Vnde viciilim fi fuper charta plana hu- iu&modi lineae reftae ducantur, fecundum quas char- tam plicare liceat , ea certo corpori veL prismatico^ yi,i pyramidico obducendo^ erit. apta.. 9. Quin etiam in ifla charta plana redas A^,, B b, C f etc. pro lubitu ducere liccbit , ita vt ne- que inter fe fint parulleljc neque ad certum pun- dum conuergant , dummodo fe mutuo nusquam de- aiffcnt , quemadrnodum (Fig. 3;) declarat quocunque Tab. I. eaum modo ifta charta fecundum- has redlas plicetur ^''°' ^" fcmper conciperc licebit eiusmodi folidum,. cui ifta olurta plicata adaptari pofiit, Ex quo paiec: praeter corpora 8 DE SOLIDIS qVOR. SVPERFIC. corpora prismatica ct pyramidica , alia quoquc dari corporum genera quae hoc modo charta obduci queant , quorumquc adeo lupcrficiem in plunum ex- plicare liccat 10. In fuperficie ergo horum corporum da- buntur ctiam quotcunque lineae recflae Ao, Bb, Cc, Dd ctc. quae etiamfi ncque intcr fe fint parallelae, neque ad quodpiam pundum coiiuergentes , tamen ita crunt comparatae , vt binae quaeque proximae Teluti Aa et Bb^ vel B^ et Cf, vel Cc et Ddctc. tiifi fint parallelae , produ^ (' ^^-«- y •>) • quum igitur tang. d fundioni cucunque ipfius lang. ^ aequetur , habebimus talem 22.^ — c|) : ( ^) , ficque quantitas aequabitur fundioni homogeneae nullius dimeufionis ipfarum x et y hmcque porro ipfa quan- titas z aequabicur fundioni homogeneae vnius di- menfi mis ipfarum x et /, fiue quod eodem reJit ae^Uatio iiitcr x^j ct z, ita crit comparata , vt iu '• ■ • - ea IINl PLANVM EXPLICARE LICET. xj •a trcs variabilcs x, J' et ^ ybiqiie cundcm dimcn- fionum niiircrum adimplciuu. Qiiodfi vnn ccord - natariim .v, /, z in infinitum abcar , aequntio pro folido duas tantum rtliquas implicabit coordinatas , quod eft criterium corporum cylindricorum. 19. Aliis folidis noflro prcblcmati fatisfacicn- tibus hic euoluendis non immoramur ; quum infra vbi teriiam Methodum trademus , multo facilius cuida huiusmodi corporum genera cognofcere quea* mus. Interea dum ifla fecunda Methodus , tam fa- cilem nobis fuppeditauit fohitlonem , cum per Mc- thodum priorem vix vUam fohitionem fperare li- cuirtet ; nunc etiam priorcm folut oncm vbcrius euol- verc atquc adeo formulas illas analyticas primo in- tuitu fumn opere arduas , refoluere potenmus vnde iu Analyfin phirimum lucis infcretur. Ad hoc praeflandum lantum opus erit , vt hanc pofteriorera lolutionem ad elementa prioris folhcite reuocemus. Applicatio Methodi poflrerioris ad folutio* nem priorem. 20. Qiioniam in poflcriori fohitione iam fbr* mulas pro ttrnis coordinatis a', y tt z quibus natu- ra fohdi continetur , eiicuimus , in eo nobis crit elaborandum vt etiam formulas pro figura plana i.i quam (uperficics folidi exp'icatur , inuefligemus. Hic ante omnia curua illa duplicis curuaturac b \' v ac- curatius ef\ perpendenda , quippe qnac per explica- tionem ilUus iuperficiei etiam ad planum perduci- B 3 tur. x+ VE SOLIDIS qVOR. SVPERFIC. tiir. Quum autem haec curua per inflexioncm in* finitis n^odis ad planum reduci atque adeo in lineam redam extendi queat , ante omnia inquiiendum ell, quanam lege banc redudionem ad planum fieri opor- tear. Ex faperioribus autem manifeftum eft , hanc redudioncm ita fieri debere , \t binae quaeque tan- Tab. I. gcntes proximae V S, et «u x eundem fuum intcr fe FJg- 4- conferucnt , fiue vt anguhis inter eas interceptus SVx maneat idem. SciUcet ipfa hnea curua BVy ita aJ planum eft redigenda , vt bina eius quaeque elementa proxima eandem incHnationem inter fe coa- ferusnt. 2 1. Praccipuum igitur negot"um huc redit , vt angulum infinite paruum S V / inucrtigemus , quem in finem ab angulo M U tn eft cxordiendum. Qiium autem fit angulus T U M — <^ , ct angulus tumir^-V-d^, manifefio fequitur angulus M\J in ~d^y deinde quia fupra iam inuenimus US-i^ tang.^, erit ex natura differcntialiutn r/i-zi-rtangi + rt^.^i; tang.5) rz^;tang.a-f-^^j.tang.e^-|f;., ^bi ^^zn-^^-^, quum igiturfit Uwz^y^^^, crit Ujrctang O + ^/i-tang.d 0^« __ df __ ^ tang. e -h ^±L. Ex S itaque in \} s ducatur pcrpcndiculum H r ^ vt h.nbeatur rs — liiA, tum vcro crit S r — v ^^ tang. ^, vnde ct- iam elementum S s dcfinire hccret , fiquidcm co opus habeiemus. 22. Nunc ex pundlo r in tangcntcm i'xquo- quc pcrpcndiculum ducamus r^, vt duda Sf fiat norma- IN PLANVM EXPLICARE LICET. <$ normalis in «yx, \bi notandum triangiilum S r §> fo- rc rcdanguhim ad r, quin S r ad ipfum pluupni jUV ert normalis. Quia nunc anguliis rs^-^o^-& erit f ^ — j- r. fm. r x^ — '^J , vnde colligitur Sf :=:y(^'^' ^"«'i e^-go negotium ob dtipii^em curuaturam non impeditur , quae in tran- ficu monuifle (at efl:. Quoniam autcm hic cardo rei in hoc angulo elemcntari S V j" vcrfatur , voce- mus hunc angulum S V j- — fl' w , ita vt fit fl^o» 31 V{a ^' fin. O^- 4- ^ r), fiue ccclcntcs /, // ct i' cuni angul-.s <^ ei 0 , erat idem elementum \' v z::^ jJ^^.-- , \nde confo- quimur-i/r fin. (s^ — dp (ui ^ fin. d, quae cum illa ae- quatione j-^ — tang. u co;iiund:a, dabit pro praefenti- tibus coordinatis p tt q fequer.tcs valores integrales p^ fAhJH-^ ct qzzf-^"^'^, inuentis his quanti- tatibus p ti q^ quac itiJem Innt fundliones eiufdem vnriabilis /, capiatur intcruallum VZ— x, quae eft altera variabilis in calculum introJuccnda atque ex pundo Z ad axcm dcmiffo pcrpendiculo Z T , inuenimus OTzr /> — J"fin. u ct TZ — 7— j-conu. 25. Quoniam igitur pro pundo Z ad pla- num redudo determinatinncm fumns adepti , pona- mus eius coordinatas OTr^Tet TZ~U, quae ita per binas variabiles ; et x definiuntur , vt fit T := p - X fin. 0) =/,^^"i - s fin. (o U = ^~.cof:a)=ry^ii:^-i.cof:o, \bi notandum angulum u ita pendere ab angulis ^ et d, vt fit ^ w zz V {d^' fin. ^' + ' cof. ^ 3: ; fi n . ^ -I- « cof. <^— X fm. $ ; A' fin.<^cof e+>' cof ^cof. Q-z fin.^-; fin. ^cof ^+^con ^cof. ^ — V Hn. d. Dcinde vcro pro differentialibiis fequentes ; l.dxco{.^-dyCm.^ — -sd^an.9 ll.dx{\n.^-^dycoC.^—j^-dsan.9-sddcoi:,^ et III. ^.vfin., q et r, ita vt fit pp^qq-\-rr~x Q,t dp^ -{-dq^ -\-dr -zidfii^ inuencrimus /fin.w-l-Xcof 03=/» et /cof.oj-Xfin.w— 1£ ,' • fi illam differentiemus habebimus ^ / fin. u-H ''/>^cof. u-i-/^ wcof cj— X i/o) fin. u =rrnn-i i XX + jjljx+vv - 1 5 ct /X+w/|j.+;;v-o practcrea vcro h;nc modt^ dcduximus iflam infigncm proprict.uem , vt fit <^X--ri:=/T-}-XU-/d^/(T-Utang w); j — ?/;T -{- fjL U —Jdm (T - U tan.;. w) ; c— « T-h V U - /rt'// (T-U tang. w). Qiuim igitur /, m et n fint fundioncs eiusdem va« nabiiis w , manifeftum efl ternas has formulas reue- Ta intcgrabiles reddi , fi modo expreifio T-Utang. o» fuerit fundio quaccunque nouae variabilis oj; qua- re fi talis funcftio indicetur littera H habebimus T — Utang.u~Xl, qua aequatione quaefita illa re- latio , quae inter \ariabiles T, U et u inttrcedero debet determinatur. 37. Quare fi pro fl accipiatur pro lubitu fun- Aio quaecunque ipfius u, cuius ctiam vt vidimus litterae p, q ct r funt certae fundiones , per quas jam litteras /, w, n et X, |jl, y definiuimus , binac variabiles T et U, ita debeut efle comparatae , vC Tom.XVI. Nou.Comm. D fiat «(? DE SOLTDIS qVOR. SVPERFIC. fiat T :r: II -i- U tang. 0) , fcilicet nunc tantum binaS Tariabiles U et w in calculo retineamus ct loco T idum valorem intro-lucamus , tum igitur ternae no- ftrie formulae ii,te-,rales ita repraefentari poterunt; X— l a -i- /Utang.cd-H^ U-/I1 dl j' — w H -4- w U tang. co -f- jj. U — / n ^«1 2=« Xl-h«Utang. a) + vU-/IL(/« quae exprcfllones facile transformantur in fequeotes :c-U( / tang.oj-i-X)-|-//nitate pertradare locus pcrmittat ; tantum igitur inde de- promamus , quantum ad praefens inflitutum expe- dicndum futHcir. Sepofita autcm tam corporis lucidi quam opaci figura , hic rantum formam quafi coni vmbrofi fpeclcmus , quem in finem. duas eius fcdio- nes inter fe paralklas ac dato interuallo diflantes contemplemur , quibus quum figuras quascunquc tri- bucre liceat , manifi-flum efl , hanc confiderjt oacm omncs prurlus vnibrarum figuras in le complcdi. Xab T. 4-- Sint igitur duac hae Sccfliones normalci tig. 6. in planum tabulae recftaeque A rf pcr^cndirulantcr infillentes , ac prior quidcm fit curua B U IV cuius natura aeqiiatione quacunque inter coordinatas ATrT et T U n; U exprimatur; limili modo fit b u W al- tera curua a priorc vtcunque diucrfa pro qua data fit aequatio inter coordinatas a t -zz t, t uz::u^ ir.ter- vallum autem harum fedionum ponatur A^rr a, hic quidcm altcram Sct^lioncm B U U^ tam*,uam dilcum IN PLANVM EXPLICARE LICET. 29 difciim pl.iniini liiciJiim fpcclarc; liccbit , et dum ilttni b u u^ difcum phmum op: cum rcfcrt>, n r.i- diis lucidis ille ip(c conus \mbroIU3 orictur , c^uem contemplamur. 43. PHnda autcm U ct u ita fint fumti , vt recfla U u produda rcferat radium vmbram termi- naiitcm , quae cum in plano vtrumqiic difcum tan^ gentc , fita effe dcbeat , neccfle eft vt ambo clcmen- ta, U U'' ct tt // cum reciT erit etiam ^' « — Cp ci t. 4+. Spcctetur igitur hacc quantitas (J), vt va* liab lis quaiuitas principjlis, per quam rcliquac omiies dctermincntur fcqucnti modo. PrO pfiore cufua BU, fit T funftio (juaecunque ipfius Cp, cUius quip* pe natura , indoles curuae B U U'' definitur tum ve- ro trit :, XY-jV, etYZ— a atque nunc facile erit aequatinnem intcr has ternas coordinatas , qua natura fupcrficiei quaefitae expri- matur eruere 4(J, Principia fcilicet Geometriae ftatim nobis fuppeditant has analogias : T—t:a::T — y:x; feu Tx — tx — aT—ay \J — u:a::\J-z:xj fiue \Jx — uxzz:a\J -az, vnde per ambas variabiles (^ et ,v, ambas coordina- tas j et z dcfinire licebit, fiquidem habcbimus: v-T- ^-^ ct z-V~ ^-^' : ^ a a ' quodfi enim ex his duabus aequationibus variabilis (P cum quantitatibus inde pcndentibus T, r et U, 8 feliminentur , refultabit aequatio naturam noftrae fu- perficiei exprimens. 47. Tali autem climinatione ncutiquam indi- gemus , qnum natura fupcrficiei multo clarius ex binis aequaiionibus inuchtis peripici poflit , quae per fe iam ita (unt fimplices , vt folutionem commodio- rem defidcrarc ncfas toret , interim tamen formas harum m PLANVM EXPLICARE LICET. si harum aequationum aliquantillum immutare haud inutile erit. Generaliori autem modo , valores pro y ct z \tx repraelentemus ;'r::P + Q^.r etcnR + S.v, vbi iam litterac P, Q^, R, S ftgnificent fundiones alterius varibialis Cp, atque nunc quaeftio in hoc verfabitur , cuiusmodi hac fund;iones cfTe debeant , vt binae aequationcs exhibitae fuperficiem in planum explicabilem definiant. 48. Comparemus ergo has formas affumta.s cum iis quas ante inuenimus, ac primo quidem ha- bebimus : PixT et RzrU, Q='-:=:^, 5=^" \bi quum T et r fint fundliones arbitrariae ipfius Cj), euidens eft fundiones P et Q etiam pro lubitu ac- cipi poflTc , at quoniam U et « certo modo a T et t pendent, etiam fundiones R et S certo modo a binis prioribus P et Q^ pendere debebunt. Quum autem fit T = P, rzrP+-aQ, U=:R et «zzR+flS hos vnlores fubftituamus in formulis fundamentalibus d\3 — (^dT et d u =

isiqvOR.:.$ypiiRFic. :.(t) — i^ vcl (hzi^.i^ ilA vt eius loco alteni iittera- riiMi a vci S nrbitno noftro permittiuur , quare ft P , (^ ct K fiieriiit functioiics quaccuiique eiusdcm cuiiJbdiim variabilis , tuin S talis fundiQ . e.us- dem variabilis cfle debct , vt fit t/ S ~ ^ {]ue ^ — ^^; qu:n etinm adhuc commoJius hacc folutjo ita adornari poterii , vt dicamus pro litteris P, Q, R S ciusmodi fuiKflioiies cuiuspiam variabiiis aflumi debere, vt fiat ^j-^^ vel ctiam J^-^^^, quoa a 'fti^irlt praeftitum 'hae duac aequationcs j—?-i-qx et :;irR + S.v naturam.folidi quaeliti expriment. (^ ;.,;,, 5;0,. Perinde efl. quaqunque littera illa variabt- ''Iis cuiusyfundlioucs ' funt P , (^, R et S iiid cetur, ^qui,n etiam pro ca vna harnm quatuor P, Q, R, S ^afTumi porcrit , cuiui dcindc trcs rtliquae fundioncs ..funt intcUigendae, Uinc quamdiu vna earum valo- renr^conflantem rctinet, reiiquac ctiam mancbunt con- (lantcs , Ac tum ex variabilitate ipfius x oricntur omncs lincac redac , quas in fupcrficic ducere licct. 51. Conditioni autcm praefcriptae jl~^7> manifcf^o fatisfict fumcndo quantltates P et R con- ftantes ; vnde folutio particularis problcmatis nofUi , (Qqaitqr., fonamus enim effe.PczA et R — B, ita ' Tt nunc S f'pcni$ ^. '^J ipfA' IN PLA^sIVM ^XrLICARR UCt/r. .33 ipdiriirn .v ecj', fiiie z acqiinbitur fundioiii homo- gencae vnius dinicnfionis ipfarum .r et j, quod cli criterium fupcrficierum conicarum. 52. ConJitioni ctiiim fdtisfit fumendo Q^~ c et S — O, ita vt R ninneat fundio quaecunque ipfius P, qno cafu pro z prodibit fundio quaecun- que ipfiusjK, quae quum duas tantum variabiles iii- Toluat >- et s erit pro folido cylindrico. Idem \Ca \enit, fi ftituamus vcl P — o et Q^zz o vel R ~ o ct S :r; o, priore cnim ca(u habetur y — o pof^e- riore vxro c zr o , vtroquc cafu acquatio cll pro plano. 53. Vcrum vt ctinm alias fpecies huiusmoji foliJoru.n cognolcaiuus pro fimplicioribus accipia- mus : atquc vt conditioiii pracfcriptac fatisfi.it neceffe eft fit ^-^Cp^-* — l^Cp^-'^, vndc duplex determinatio oritur , prima fcilicet exponentium p — a — (5" - y akcr.i vcro coefHcientium : L^ ~ li, cui vtrique fa- tisfiet fumendo vt fequitur a- l-S-^; b~ ■^^-: c-^^; d-J^ K-f-X' H-f-a" X_(_y' )J.-I-» a — )i-Y-\; prrK-+-ia.^ 7 — X + Vi 0— fx + )', tum Tero aequationes erunt : y — a^^^^-^b^^^x; z — c (^^ -{- d (^^ X. Tom.XVI.Nou.Comm. E 54- 34 DE SOL. QVOR. SVPERF. IN PLAN. etc. 54. In numeris crgo dcterminatis confidere- mus hunc ca(um : y z= 2

.)'■> Pt ^■> ^ ^^^- Tcrtium deniquc genus ciu^n.odi cxprclliones continet in qu.bus prneterca formulae intcgralcs inuoluuntur , quorium pertinent exprtflio- nes illae in calculo variationum imprimis confidera- tac , quae hac forma funt rcpracfentatac /V ^x, vbi V eft fundio quaecunque non folum ipfarum x ec y\ fed etiam quantitatum /), q, r etc. , quin ctiam ea. alias infupcr formulas integrales inuolucre poteft. 3. His circa tcrna huiusmo.li cxprcflionum gencra confliitutis , ficilius indolcm calculi variatio- num cxplicarc potcrimus. Totum enim ncgotiurn luic redit , vt fi propofita fucrit rcLuio quaccunquc inter .v etj eaque aliquantillum varictur , feu eius loco alia quacpiam relatio intcr x et y ab illa infi- nite parum quomodocunquc difcrcpans adhibcatur , inueiligari oporteat , quantam mutationcm omnes illae cxprefllones, tam primi , quam fccundi et ter- tii generis fmt fubiturac ad quod inucnicndum iu calculo variationum prouti cquidcm cum olim tra- ftaui , praetcr ditferentiale djy quo quantitas y au- gctur dum x in X'\-dx abit , ipfi quantitati j' aliud incrcmcntum S y tribuitur pcnitus ab arbitrio noflro peudens ncque per x determinatuni > cui incrcmcnta varia- VARIATIOKVM TRACTANDT. 31 variationis noinen indidcram atquc methodiim cx- pofueram variationes indc in fmgula cxprLrnonuin- gcnera redundantcs inuenicndi. 4. Videbatur igitur calculus variationum omni- no fingulare calculi gcnus conllitucrc , vcrum polt- quam eius indolcm accuratius cflcm perfcrutatus , vniuerfum hunc calculum perfpexi leui fa»fla immu- tatione ad fecundam partem calculi integralis cuius elen.enta in tcrtio voluminc opcris mei de hoc ar- gumento expofui , reduci poflc. Pertradaui autem in ifta fecunda parte eas intcgrationts , quae circa fundliotics duarum variabilium vcrliintur in quo cal- culi gencrc etiam nunc vix vltra prima clcmenta progredi hcuit. 5. lllius fcilicct incrcmenti loco , quod varia- tioncm appcliaui, iplam quantitatcm j non amplius tamquam fundionem folius variabilis x confidero , (ed cam tamquam func^loncm binarum variabilium X et t in calculum introduco, fic cnim dum - ct s oprcna , cum aliis quibubcunciue luperficicbus i{fi proximis comparari debcar, id c( m- irodiliime fict nouam variabilem / introi.'.uccnuo, ita \t iam z (pcdlanda fit \t fundlio trium variabilium, x\j et /, quae quidem fumto f ~o, in fundlio- n.m fiipi-r.orcm abcant , at dum ipfi ^ valc^-rcs ii.fi- nitc p;irui tr Luuntur , on nes lufcrficics proxin as cornplcdatur , quo pofito pcrfpicuum elf , quoniam \araLi!es .v et > a n( ua r, ncutiquam pencent ca- rum difTcrtntialia i/ x ct (i y nullo modo cum d£ ptrmifccri , (ola \cro ccordinata z triplicis gcncris incrcmcnta capcre potcfL , praeter bina enim iam antc conimen-orata , quae \el ab x \el ab j prcfi- filcuntur , accipere poter^t incremtntum a \ariabili- tate ipfius l oriuncum , quod tali formula '-/iaT)(V^)^-^-^>' ita vt nunc qiiartum incmbrum praebeat hanc fbr- mam : /'- G a Simili Sa METHODVS NOVA CALCVLVM Simili modo quintum mcmbrum ope fecundi rcducitur vbi loco P fcnbitur Q_' et loco (^AiL5_) , (^-|L^^), ftue loco (i^) (cribendo (^3^,) ficque habebitur quod pofterius membrum cum tertio conferatur, vbi loco wntum P' fcribi debet (^) , quo pado totum- mcmbrum induet hanc formam : fextum \ero membrum bis cum fecundo collatum reducitur ad hanc fbrmam : /Q''('-j^)^^''/('rf)^ff)^^'+#(.^)(T^')^-^"'^^ 28. Si hoc modo \lterius progrediamur ad fequentia membra, feptimum membrum in fequentea partes refoluitur : /R (.w,)''/-/(^,) ( Jl Hr+niT^Cr^^''^ --^('-i)(T»''-v* deinde odauum membrum /R'(raj57)''^-/(j^:)(^J''J'+/(rr)(|:^;)'/^- -#(2-f)(ri^)^^-''r tum nonum mcmbrum flet /I^''(uwP'^^-/(^r)(ff)'^^'+>'(^-^^(u-7^V.V ct decimum /R'"^.-^J<^.v-/(j-^J(^V.+/(J-f)(^^V.v VARIATIONVM TRACTANDI. 53 29. Culligamus nunc omncs iftas formulas m Tnam (ummnm, atque \ariatio quacfita plunbus con- ftabit membris , quarum primum formulas intcgralcs duplicatas, rtliqua vcro fimplices completflentur, hoc pado variatio quaefita (equcnti modo erit exprelfa : ^dy ^~^dxdy^ Kdx^ dy' l i^i:L' ) — ( "^* R" \ WO' ^ ^dx dy^f j dy ^dxdy Kdx^ dy' \ ix d' L -(4^) j I /(i=)PV.v+/(i^/Kii5)-/H;+/K'V.v(,-^.) -/''/(4f )(^)+/^j'(if )(^; I ,,, -/''^■(■^4^)(^)+/''-v(if)f3¥^) I 30. Verum quid hacc fingula membra propric fignificent et ad quemnam vfum adhiberi qucant , neutiquam adhuc perfpicere licet, unde hoc argumcn- tum cuius prima fundamenta etiamnunc vix iacfla. funt cenfenda omncm Geometrarum attentionem at- qiie multo accuratiorem inueftigafjoncm poftulare vi- detur, quod ncgotium vix ante fufcipere licet, quam G 3 calus 54- METHODVS NOVA CALCVLVM cafiis nonniilli particularcs omni ftudio ct diligcntia fueriiit eiiDluti , quin etiam ipfa pars prior , quac tantum circa fundioncs vnius variabilis veriatur neutiquam aJhuc (ati^ clarc et dillin(flc clt enucleata, ita vt pcrfpicuc intclligercmus verani indokm at- que naturam fin;ularum partium , quibus variatio- nem contincri inuenimus , quem in fineni ciiluci- dat;ones (cqucntes hic adiungcre virum e(t. Dilucichrioncs fiipcr Thcoria variarionum ad fundioncs laltcm vniiis variabilis ac- commodara. 31. Q^iiacfiioncs puac Iiic occurrunt ad hoc problcina gencrale rcuocarc liccr : Explicatio Si y fuerlt junCllo qurccunque ilf'if x , huhque ^^, ^^'^' de/iniaiur lalor cuiuspiam forihulae intenralis clatae blematis. ^», , , -i fr f~ ■ ■ f Z d X , demtante Z exprejjionevi ex i]fis quantitati - bus X .'/ y larwuque dij^ereiitialiuni rationibus vtcun' que conip'fitam , quaeflio e/i , fi loco iliius fun{l.on s y alia quaecunque illi proxima feu iiipinite parum tantum ab ea difcrepans adhibeat:,r , quanto nia.orem minorem- ve valorem , tum eadem formula integrahs iZdx ft confecuiura. 32. At quia hoc modo ifta quacrtio cnunciita nimis videri pofTet abdraAa , cam more (oluito ad Gcomerriam reuocemus. Sit igitnr luper axe Tab. ir. A P , propofita curua quaecunquc A Al aequatinne S- ■'• intcr abfcifTam A P — a: et applic.itain PM~y exprefla , pro qua definiri oportcat vdlor^m forn.ulae cuius- VARIATIONVM TRACTANDT. 5 5 cuiuspiam iiitcgralis /"Z r/a- , qiii fit — W , quo polito coiifidcrctur iili.i curiiii quaecuiique a jx in- finite parum a data di:crepans, ac fi pro hac curua itidem dtfiniatur vnlor formuiae fT^dx^ quatritur , quantum i(tc valor a pracccdente (it di(crepaturus , euidens enim ert , hoc di(crimcn pratbcre iplam ■variationem quantitatis W , quam fupra ope calculi variatioiium exhibuimus. 33. Quo haec adhuc clariora euadant , exem- plum quodpiam profcramus , quo propofita curua A M eiusque axe A P tamquam verticali confiderato, quaertiir tempus quo corpus cx pundo A (uper hac curua AM dtlcendcns vsque ad pund im M pcr- tingit. lam quia ci-leritas corporis in Al,e(l vt W k^zJ/ x et ipfum curuae elLmcntum zz. d x ^ { \ i-pp)^ pofito (cilicct d y zz p d X vti in folutione generali cfi: prae eptum ; erit teir pus per clementum M ;« — ^ a: i±L::^±Pl vnde formula intcgralis / 2.dx pro hoc ca(u abit \n fdx''^^^/-^^ ita vt habeatur 2"^;^' , quare nunc tempus erit definiendum , quo corpus fupcr curna quacunque proxima a jjl delcendens ab « vsque ad |jl perueniet , vbi difcrimen dabit ipfam varijtioucm foniiulac / prima variationis , ft.mper in ni- hilum abit. Neque dcuiatio curuarum proximaruin « fjL a princlpali A M intra tcrminos A et M qnic- quam ad variationem confert ^ ex quo haec curua re* fpedu formulae integralis / Z <^A' inprimis t([ me- morabilis , qnandoquidem in ea hacc formula inte- gralis vd maximum vcl miaimum obtinet valorem. Explicatio 3p. Progrediamnr nnnc ad fccundam partem parti' e- Y.|j.i3tio,.,i^ jypj..^ innentae , quae eft v«nat.one. '^ M^j^ ) ( P - ^-J -^ J tf - 'M ^" ^''') circa quam prmnm obferuo, quoniam ca ad tcnninum M rcrcrtnr per intcgrationcm rite inflitutam, inlupcr adiici delere, fimilem exprcfllonem ad rcrminum prio- rem A relatam , at \ero figno contrario afFc(flam , id qnod ideo e(f ncccfr.irium vt fado .v r: o , ttiaiii h.iec cxprclfio pcnitus tollatur. Kctlrtur autcm ifta pars dt ,p-) (P - 1-^ 4- p'f - ctc.) "vnicc VARIATIONVM TRACTANDT. $9 vnice ad \ltinium terminum M, \bi dt(j^^ ipfuni fpatioliim M fx exprimit , fimiliquc modo in alte- ram partcm pro initio A fpatiolum A a. ingredie- tur. Hinc patet fi omnes curuae proximae a |i, per ipfos ambos terminos A et M ducantur tum ■variationcm lccundae partis in niiiilum abire. 40. Confideremus autem cafum , quo curua proxima a fj. pcr primum quidem terminum A tran- fit non vcro quoque pcr alterum M, fed fit pun- d:um {JL eius tcrminus , atque variatio ex fecunda parte nata erit = M,x(P-^-^^-ii| etc). Atque hinc ctiam definire poterimus vsriationem ex codem fonte oriundam , fi curua proxima Afx, noa in ipfo pundo fx led alio quocunque cj terminctur , ex- iftente femper interuallo ^x oj infinite paiuo. Duda enim applicata uimp, variatio modo inuenta infuper augeri debet particula formulae /Z ideoque H 2 ota \ndc fit: tang. ojMo- ff -1-/', atque hinc colligitur hac autem formula exprimitur dcclinatio diredlionis jjL u a dircdionc M ?n , quae quidem , vt iam ante oblcruauimus femper cft quam minima. 45. Qiiodfi ergo Tangens in fx perfcdc fuerit parallcla tan^cnti in M , quod cucnit , fi eiiam ia curua generatrice B N , tangens ad N iiuic fuerit par.iliel.i, tum variatio ex tertia parte oriunda pror- fus cuancfcit , quod etiam dc tcrmino initiali A eft fi tangcntcs iti A et B inter fc fuerint VARIATIONVM TRA.CTANDI. €% fuerint parallelae , atque hinc iam perfpicitur , vt \ari.iti(incs ex quarta parte oriundae cu.mclcapt , nccLfT.- clT, vt pracrcrea ctiam rad:i oiculi m j-unclis JVl et |x tiant aequal^s. 4.6. Atquc cx his iam fatis pcrfpicuum eft , variationes ex fecunda partj or undas euanefcere , fi on nes curuae proximae a fx pir vtrumquc lerminum M et A ducantur. Deinde vero inlupcr etiam va- riati.»nes terta.. partis, fi omnes curuae proximac fin ul in vtroquc tcrinmo A et M cum cun.a principali AM comn unes habeat tangentes. Praaerea vero quoque variarioncs quartae pariis in nihilum abire , fi omnes curuae proximae in terminis A et M iufupcr ratione curuaturae cum curua principali con- vcniant. Hic autem probe memmifTc iuuabit , va- riatioues tertiae partis per fe euanclcere , fi modo quantitas Z n-n diticrcntialia fccundi gradus in- voluat ; quartae vcro partis femper euanefcere nifi difFcrcntialia tertii gradus in quantitatem 2 ingre- diantur , et ita porro. Vnde quum initio oflenderi- mus , qunmodo vanatio primae partis ad nihilum fit redigeiida , nu;.c euidentiirnne intellgimus fub quibus.oam conditiouibus , omnes variaticinis partes finuil euanclc.int. Dilucidationes circa curuas maximi, minimiLie proprietatc praeditas. 47. Si torn.ul.i inttgralis fZdx in curua qu.iefiM dcbeat cfTe vel maxuiium vel n.iuimum , iam lUpra oltcud.iiius , pufito 4Z 6i. METHODVS NOVA CALCVLVM : ■• (fZ- M dx -h N //j + P ^p -i- Q_r/9 + R ^r -4- ctc. naturam huius curuac , hac expnnn acquatioac : quac aequatio nifi quantitates P, Q, R euanefcant, vel fint conftantes , femper cfl: diffcrentialis vel (e- cundi , vel quarti , vcl (cxti , aliusue gradiis paris. Hic crgo ftjtim mcmoratu dignum occurrit quod ilta aequatio nunquam vel fimpliciter diffcrcntialis , vel tertii , vel quinti, aliusue grndus imparis euadat, id quod mox clarius exponemu;^. 48. Qiiaefliones ergo huc pcrtinentes , fponte in varias diuiduntur pro gradu differentiah"um , ad qucm aequationcs cxfurgunt , quandoquidcm ab hoc gradu natura folutionis maxime pendet , proptcrea (]uod ca fempcr totidcm conitantcs arbitrarias in- voJuir. Ad primam ergo claflem rcfcrimus cos cafus quibns acquatio pro maximo vel minimo inucnta prorfus e(l finita. Ad (ccundam auicm chifTcm eos , quibus haec acquatio fit diffcrcntiahs fecundi gradus, ad tertiam eos , quibus aequatio ad quaitum gra- dum a(ccndit ct ita porro , quas fmgulas chUfcs or- dinc dcfcribamu?. 1. ClanTs. ^^ foUuioncm crgo primac daffis f(3rmul!i f 2, (/ X Hatim pcrducit quando expreflio Z tantuni per coordinatas x et y cxclufis omnium diffcrcntia- lium rationibus determinatur , quia enim hoc cafu , fimplicitcr fit ^Z — M r/.v -I- N dv ■nequatio pro curua maximi vcl minimi crit N=:o, quae ergo acquatio omQino ert determinata , atque »• - adco VARIATIONVM TRACTANDI. 6$ flJeo curua (luisniciens vnica in fuo genere. Veluti fi quacrarur linea in qua valor formui&e fdxizxj-})') fiat maximus vel minimus, ob Z rr a xj —y}\ idco- quc N — 2 (-^'— j)» aequatio quaefita erit .v— j'— o, fcu linca quaefita erit rccla ad axem angulo femi- redo iixlinata , pro qua er§o valor formulae pro- pofitae intcgralis eft %' , qui vtique minor eft , quam fi vUa alia linea curua fumeretur pro eadera fcilicet ablciffa. 49. His autem cafibus prima claffis nondum cxhauritur , fcd dantur adhuc alii perinde ad aequa- tiones finitas ducentes , ad quod oftendendum , fit 3 fundio quaecunque ipfarum x et y atque d 3 ziz 'iSl d X -\- T^ d y , iamquc ponatur 2—3/) erit- que M = 5??p ; N — 9^/? ,• P =:^ 3 ? quare vt for- mtila fZdx fiat maximum vel minimum aequatio reperitur: qnae itidem eft aequatio finita. Quod quidem etiara ftatim praeuidere licuiffct , quum enim fit pdx-dy^ hacc Formula integralis /3 d y a praecedente fZdx aliter non differt , nifi quod coordinatae x et y fint permutatae , vnde quod de priore erat afiirmatum , ctiam de pofteriore valet. Hinc natura primae clafTis adhuc gcneralius ita defcribi poteft ; vt ea compk(flatur omnes for- mulas inte^rales huinsmodi /(Z-^-^p^dx, vbi litterae Z et 3 denotant fundiones quascunque ipfa- Tom,XVI.Nou.Comm, I rum 6S METHODVS nova calcvlvm fum tV ct y , tum enim aequatio pro curua maximi Vel minimi erit : o = N - !0? , ^uac ell aequatio omiiino detcrminata. II. Clailis. 5^' Ad claflem fecundam rtfcrimus cas fbr- mulas integralcs f7.dx , quae deducunt ad a-.quntiO' ncm diffcrcntialem fecundi gradus , huc trgo primo pertincnc callis , quibus Z tantum ex littcris x , y et p componitur , ita vt fit d7.— Vidx-\-\^dy-\-Vdp vnde quidem cafum poflcriorem primae clalTis exci- pere oportct, quippc quod eucnit, li P tULrit fur.dio tantum ipfarum x et >- , ita vt pro praeienti cafti quantitas P practer x et y ctiam Ltteram p com- plc(fli dtbeat. Tum autem aequatio pro cnrua quae- fita erit o — N— ^-|-, vbi quum P inuoiuat/), idco- quet/. (^) formula^-^ conliutbit difTcrcntialia fe- cundi gradus , haec crgo acquatio neuiiquam cit de-, tcrmiiiata , quum duas adco conltantcs arbitrarias re- cipiat , quibus, efHci potclt , vt curua pcr et 9 m. ciaflTs. fuerit componta vt pofito dZ — Nidx-^-l^dy-^-Vdp^C^dq 1 2 etiam c>S METHODVS KOVA CALCVLVM etinm quantitas Q inuoluat litteram ^, tum huiu^* modi calus ad tcrtiam claflem erunt referendi et quum aequatio pro curua quaefita' reperiatur euidcns eft terminum —'^ inuoluerc diffcrentiaiia a X- quarti gradus, vnde aequatio finita pro curua implicabit quatuor confhantcs arhurarias, quibus ergo effici potefi, Yt curua dtfiderata non folum per datos duos ter- minos tranfeat , fed etiam eius tangentes in -vtroque termino datam obtineant poruioneni, in qua quadru- plici detcrminatione natura quaefiionum ad lianc claflrem pertinentium continetur et accuratiirimc perfpicitur. 53. Reliquis cafibus ad hanc claflem pcrtincnr tibus non immoror, verum potius illuflrationis caufl[a Tab ir '"^^"^^ adferam exemphim , qno curuae elafticae in- Fig. I. Tefligari foleat. Sciiicet li littera f denotet radium ofcuU curuae quacfitae in pundo M , omnes haa curuae hac gauJent proprietate , vt in iis hacc for- nuila ^iiSlL±P_P] fii minimum , ideoquc habcatur Z = , Quum Tcro fit e ::=: q q habebimus 2 rr , — — rrrr; "vnde fit quare quum ob N =r o-, aequatio pro curuis quaa- fitis lit: ^ d P , d dQ, VARTATIOMVM TRACTANDI. fr<, cius integmle ftatim praebet P _ d a _. A , quac aJhuc eft difFerentialis tertii gradus-. 54. Verum haec acquatio adhuc in gencrc in- tcgrari poteft , inultiplicctur enim per qd x — dp , \t habeatur haec aequatio ?dp-qd(^—kdq, quum vero fit dZ — ?dp-\-Q/q erit Vdp — dTu — Qdq^ quo valore fubftituto aequatio refultat hacc : d2. - Q^d q — q d Q^ziz A d p, cuius in- tegrale manifefto eft Z — Q^q ~ Ap -\- B , nunc igitur pro Z et Q_ valores fupra dati fubflituantur atque najicifeemur fcqucntem aequationem ; {i-i-ppy- ^ mutatis igitur fignis conftantium colligemu» qqz:z{Ap-+-B){i-i~ppy-^ ideoque ficquc concludimus dx = '~1 (i -^ppyy {Ap^B) hiocque porro dy = ^^ (i-hppyV{Ap-\-B) quibus duabus aequationibus Gonftrudio cirruae a&- foluitur. * 3 55^ 70 METH. NOVA CALCVL. VARIAT. TRACT. 55, Ciim olim b:iec Mcthodus maxin.orum ct minimorum tradari cll coc] ta , non lo'um cius>n.odi curuae lunt inuenigntac in quibus lornuia quaepiam integralis yZ — etc. quacuis pcri >dus tx duo- bus faltem terminis conllat , poR quos (erics eadcm relurgit ; confideremus iam (cries pcriodicas trium ter^ninorurn , atque crnPantcr talcs \t fumma tcrmi- Borum pro quauis periodo fit — o, ad quam clas- fcm pcrtinent ferics finuum aut cofinuum , quorum anguli formant pro^riffioiiem arithmcticam. Sit, \erbi gruiia, fcrics infinita (B) i— i + o-f i — i+o-i- 1 — ttc. cuiue INCONGRVE VERIS. 11 coiiis fcilicct (^iineiiis periociis conflnt ex tr;lms ter- mins I, — I cc c ; hncc lcr cs rccurrcns forn^.iuur fi romnni duorum (juorumuis termmorum , le inuiccm lubfctiucntium (un atur fub figno contrario pro tcr- mino proximc (ecuiente hnbctque , pro quocunque indice «, tcrminum gcr.cralcm -i— (l-LztLy-n-i )" '— (Ti-i^-lrrJ)''. Pcrtinct quoquc haec lerics ad fericm finuum: fumntur nempe fin. isC^-f fm. 2 i 20* H-fin. 3. i2o°-4-fin.4. i20M-etc. atque finguii ter- mini multiplictntur per -- atque fic formabitur rur, fus ferics propofita (B). Qiiacritur nunc fumma hu- ius ferici (B) : an (unma eadcm erit ouae in leric (A), ideo quod finguli tcrmini (upcrabundantcs in fcrie (B) fint nihilo aiquales ? minime erit eadem ', \cra cnim acftimatio fic ell forniai.da. Cum nurrerus pcriodorum nihil nd furrnam faciat , omne quac(tionis. momeiitum in hoc confiftcc »n fcries in eadem pcriodo abrumpatur \cl a pri- mo , vel a fccundo vel a tertio periodi termino : in primo cafu fit fumma feriei (B) zr i: in du(bus pcftcrioribus fit — o: quoniam autcm fii.guli cafus , fi fcries infinta ctnfeatur, aequo intcr (e gaudcnt .iure , poncnda erit (umma — 5 ad ncrmam rcgulac fundan.entalis in aeftimanoa iorte, mutato autcm (ulo ordine trium terminorum cuiu^uii» pcriodi , alia ori- tur fumma ; fic fi , verbi gratia , formeiur leries (C)i-4-o— i-j-i-4-o— i-j- i_-|-o— etc. habebimus duos cafus pro fumma i ct vnum ca(um pro o; tJidc nunc fumma facienda eft — ^ K 3 §• 7. 78 DE SVMMATIONIBVS SERIERVM §. 7. Vtidcciinquc principiiim noftrum con- tcmplcmur , mirificum manifclbt conrenfum. Ad- dantur fcries (A) cuiui fummam inuenimus — i et feries (B) — ? , oportet vt (iimma ab additione oria- tur ~ ff. Nempe oritur : (A) I — i_-i-i— i-f-i_i+i-i4-r_ etc. — l (B) I- 1-+-0+1 — i + o + i- I-I-0+ etc. =: j (A)-h(B) 2-2_-t-i + o+o~i + 2-2+i+ etc.zrl. Notetur nunc aggregntum cx \traque (cric ro- vam fbrmare fcriem rccurrentem , in qua quacuis periodus confhu cx fex terminis , poft quos con(^an- tcr cadem rcfUrgit. lam \ero fi (crics in primo pcriodi termino terminari ccnfcatur, erit lumma - 2 ,• fi in fccundo fit fumma m o; i\ in tertio , erit fumma — i eadcmquc crit fumma fi in quarto vel in quinto tcrmino ferics tcrminctur atquc tnndcm (\3mma crit — o , fi in \ltimo pcriodi tcrmino fc- rics abrupta putctur ; funt igitur duo cafus , qui- bus fumma fit — o; dein tres cafus , quibus fit ri ct Ynus cafus , qui (ummam facit — z-^ liinc doce- mur , ex lcge probabilitatum , fummam fcrici 2 — a H- i 4-0-I-0 — I -f- 2 — 2-f- 1 4-ctc. flatucndam cfle ■zz I plane vt prouidebatur. Simili modo , fi ferics (B) ab fcrie A fubtra- hatur , ferics noua fexti ordinis oritur , cuius fingu- Jae pcrioJi confbnt ex tcrminis o—o+i — 2 + 2-1 ct cuius fumma prouidctur rr l. Rcucra fumma cft \cl o \cl o vel i \cl — I \el o, prouti fcrics \cl INCONGRVE VERIS. 79 Ycl in primo , vcl in fcciindo , tcrtio , quarto, quln- to vel lexto periodi terniino abrumpi cenfcatur : igitur in tribus calibus fit fumma ferici =z o , in duobus fit fumma — i ct in vnico cafu zz — i ; ergo valor fummac in ab/Ira&o (latucndus zn l. Si lubeat infuper combinationcm inlUtucrc intcr fcries (A), (B) et (C), qualiscunquc illa fuerir, iioua indo proucnicns ferics fummam liabcbit prm- cipio noftro cxadc confiirmem. Id quidcm prin- cipium iam ante hos quadraginta annos , cum in contcmplandis fcriebus rccurrcntibus mc occuparcm , perlpcxeram , nunc autem in luccm poncrc \olui , vt inde genuina huiusmodi fummationum intcrpre- tatio patcrct , fine qua facile nubcs pro lunone ac- cipi pofTct. Si concipiamus pundum aliquod fixum in linca rcda ct finguhis lummas poflibiles rcprae-» fcntemus per diftantiam pundli a praefato pundo fixo , principium noftrum exhibet diHantiam centri grauitatis , quae omnibus iftis diftantiis conuenit. Quotcunquc interim tcrmini fibi inuiccm addantur , lummae rcalcs nunquam conuergunt ■vcrfus detcr- minatum centrum grauitatis , fed potius circa illud a punflo ad puniflum tranfiliunt : igitur huiusmodi fcrics hoc nominc iuutiles fiunt ad problemata phy- fico-mcchnnica appropinquatione (oluenda , nifi fum- rna vniuscuiusuis periodi diminuatur, id quod me- diante ipfi fcrie primitiua infinita , etiamfi incon- gruenter vera , faepe fieri poteft , vti in anreceffum monui f 5 • vbi dixi quod pofito x zz. i aequatio I - 2 .r4- 3 A." A- - 4-v' 4- 5 X- ctc. - ^7^), equidem S4) DE SVMMATIONIBVS SERIERVM equidem fit incongruc vcni , fcd qliod tamen lcgiti- irio modo indc deducacur acqu;Uio nulli dubio lubiecT:» I - » -i- ^ - * 'h ; - ctc. — lo-, 2. Mihi quidem principiuiTi , de quo fcrmo eft , nntequam vllum vlterius cxamen dc illo inftituerem fuit per fe clarum , fimul autem intclligo alios ali- tcr fentire poffe : quoniam autcm dcmonllrationem dircdam principii non video , multiplici indu(ftio.ie argumcntum (bbilicndum cffe cenfui. §. 8. Quod ad vnam quamuis fcriei pcriodum flttinet , potcll illa cx quotcunquc imo innumcris compofita eflTe terminisi fuerit primus pcriodi ter- minus a , fumma ex duobus primis tcrminis b , fumma ex tribus primis tcrminis c et fic porro do- nec periodus integra fucrit exhaufb , fitque ;; nu- merus tcrminorum quamuis pcriodum formantium , principium noftrum dabit furamam ferici rccurrcntis infinitac — ° -h ^' -^_±:±jt£^ f^ modo fumma cuiusuis periodi intcgrac ponatur — o ct quacunquc metho- do alia , fcries fummata fucrit, nunquarh fumm.a ab ifto valore diflfcrct, ctiamfi fumma non alitcr quam incongrtie vera fit ncc vllam admittat fcries appro- pinquationcm qnantuscunquc torni.inorum numcrns iiL^grcgetur : Haec ideo notari incrcntur, quod omncs fcrics finuum atquc confinuum , quorum an^uli a- rithmcticam formant progrelfionem , pcrfcdc perti- licant ad fcr;cs rccu rentcs de quibus hic fcrmoncm facio : etfi enim in fcrie gencralitcr cxprcffa nulU appareat pcriodus , apparcbic timcn in quouis cafu pccu- INCONGRVE ViRIS. 8i peculiari i imo finiplicifllma feries finiiiim aut co- finiium , omncs ordincs in fe comprehcndit pro ra- tione, quam primus angulus habct ad quatuor rcdos, fiuc llmel fiuc quoticscunque fumtos. §. 9. Si fumatur in circulo , vnitatem pro radio habcnte arcus quali-cunque .v , animaducrtit Illuftris de la Grange , quod fit feries iufinita cof. jr+cof. 2.v+cof. 3.v-|-cor.4..r+cor. 5A"+etc.z:-| fiue aequalis cof. 60°. ncgatiue fiimto, Hoc thcore- rra inter incongruc vcra pono , ncc aliter interpre- tandum eft , quam quod valor fcriei medius fit in- ter omnes cuiusuis periodi valores reales pofllbilcs. lam vero apparct foiam hanc lcricm in fc com- prehendcre omncs ordines fcricrum rccurrentium: nam fi quadrans circiili fiue angulus redus dicatur q et punatur ruccefllue x—2.q; xz:tq^ '^':=^q i X — ^q etc. obtincbimus feries recurrentes , quae kquuntur pro ordine fccundo , rert o , quarto, fexto - i+i:-i-|-i-i 4-14. etc. — •] -i+i) -5-; + i — i— s + i — ctc. O-I— o-fi; + o-i— 0+ I+O— I — CtC. •-^-1-^ + ^ + 1)+ ■- i-i-i + ^+i+i-etc. Summa fingularum harum ferierum , pro re- gula §. 8. femper dabit valorem -i plane vt in- Tom.XVl.Nou.Comm. L dicat 8a DE SVMMATIONIBVS SERIERVM dicat ipfum theorema generale. Sic vltima fcries pro lexto oraine lummam habet 1 + o - I- ? - I + o __ _ . . vndc intcllijiimus, quemadmodum huiusmodi thcore- mata fuit interpretanda et c]ualis inde vlus in foluen- dis problumatis li:>eiari pollit ; nihil vnquam ftatuen- dum, quod cum vcra iufmiti idca confiftcrc nequeat. §. lo. Si cx duabiis pUiribusue fcricbus rccurrenti- bus, additionc tcrminorum analogr)rum, noua formetur fcrics hacc quoquc recurrens erit, vt vidimus §. 7. Index autcm ordinis pro noua fcric fempcr erit minimus communis diuiduus omnium indicum , qui conueni- vnt ordin bus ferierum ex quibus noua fi^rmata fuir. Sic agi^rcgatuii quatu-or (criciiim numtricarum ia praecedcnte paragrapho expofitarum et ad ordinem kcundum , tcrtium , quartum et fcxtum pertinen- tium , fer'ctn formabit recurrentcm de ordine duo- dccirno , cuius luinma , fi in infinitum continuctur , neccfl-irio crit zz - 2. Id vcro kquens confirmabit fchcma — T-| i;-i-'pi_-i_|-i_i,^.i_ia-i-i4-i_i-f i — i-fetc.r-l -5-Hi)-:-:+i-;-i+i-.:~;+i-:-^+i-etc.z-L o- i—o-fi>f 0—1—0+ i-Ho— I— o-fi + o— I— o-Htc.--s L-:-i-:+M iM-:-;-i- :+:+!+ !-;-i-ctc.--i lUmma (— i— i— i+i --1+2-1+1— i — i-i+4)-i-i-i-i-ctc --2. Quac- INCONGRVE VERIS. 83 Quacnuiir nunc nd normam paragraphi oAaui fumma fcriei \ltimae in infmitum continuatae et erit haec fumma Scilicet inter duodecim cafus aeque ficiles vnus eft, qui fummam dat i:: o ^ tres ca(us quibus fumma obtinetur — i ; quatuor quibus (umma fit — 2 , tres quibus — 3 ct vnus quo fumma prodit —4; ergo regula probabiiitatum cxigic vt ftatuatur fum- ma = - 2 nec vbquam principium fallit. §. II. Elegantiilimum vtique thcorema ed; , cuius mentionciii fcci ab initio paragraphi noni ; mirum ncmpc ci\ , quod qualiscunquc fuerit arcus .%• , fumma omnium cofinuum in infinitum , con- ftantcr eadem prodeat. Incipiatur ieries ab arculo vtcunque paruo vel vtcunque magno ^ imo excedat primus arcus .v intcgram circuli peripheriam , non fallct tlieorema , quod (ummam ficit — — 3. Tanto minus reticendos cffe puto cafus fblitarios , quibus affumitur .v rr 4 « ^ intciligendo per ?i numerum intcgrum qualcmcunquc , non cxccpta nullitate : la his nimirum cafibus nafcitur cx tlicoremate feries vnitntum i-\-i-\-i-{-i-\-i-\- etc. de qua non apparet , quod vllo fenfu dici poffit =: — 5 , cum fit aperte infinita nullique dubio in- certaeue interpretationi fubmiflli. Ergo hi cafus reuera a regula gcnerali erunt excipicndi , an vero L 2 thcore- «4 DE SVMMATIONIBVS SERIERVM theorcma , qiiod calcuhis vniiierfalitcr \eriim indi- cac , in jliquibus cafibus taUum cde pottrit ? imo poterit , l\ caCus i(U cius fint indolis ac hic fuut. Paradoxum fic explico. Notctur quod , fi ponatur x zz ^ u q -\- a. ^ theorema totam fuam \im retineat, vtcunque parua fuerit quaiuitas a , Ibla cniai nullitas eius abioluta exdudenda cft , quia icilictt in thcorcmate leries conlidcratur non nlatiuc fcd abfolute infinita ; Dico igitur non dari arculum a , qui vUam talfitatis lufpicionem moucre poiht ^ quicquid cx-lHt , fi ab- folute infin ties replicari pouatur, in infin:tum tran- fire potcfl. Ergo in arcu x non cxcluduntur arculi; excluduntur faltcm punda vcrc mathematica , quo- rum exitkntiam ct pofitioncm analyfis abltrntfta in- dicare nequit. Sic methodus tangentium i;.dicare Hfn potefl punda regrcfTuum (points dc rcbrouffe- mcnt) fi quae fint in curua propofiia , rcc tanicn proptcrea methodus taiigc.itium intViiigitur aut vliius falfitatis argui potcfh Sic igitur theoremn , de quo agimus , valct de omni iragnitudine arcus affumti X , a nihilo vsquc ad fincm intcgrae primac reuo- ■lutionis, ab initio fccundae rcuolutionis vsque ad finem , et fic dc reuohitione qu.nuis quoties libucrit rcpetita ; cxcipiuntur faltem puncfla vcrc matliemati- ca cuiusuis tranfitionis vna cum ip(o pundo initiali. §. 12. Praemiffam vrgcrc cxplicationem volui, '<|uia ferics infinitac fiiuium atquc cofinunm cgrcgic ilhi- •ilrant abftrufiflimum acquc ac vtihlhnium aigumtntum dc INCONGRVE VERIS. SS dc minimis chordnrum vibmtionibus. Dirputatnm diu ell intcr primos huins (acculi matheniaticos , an lin.,uhi chordac puncla ad quamcunque ab axe dilV.intiam mini- inam deduci poliint , vt vibrationcs luas forment rcgu- larcs, mihi autcin nunc \idctur id affirmari non poflb, n fi per vibrationes minimas intelligantur vibrationcs vcre niilhie ; equidem et tunc ratio qualiscunque inter lingulas applicatas concipi poteft ^ rcuera aut(.m curuatura qualibcunquc quacritur in linea pcrftde reda et motus vibratorius in quietc abfoluta. Vc- rum haec diicufllo nimis adhuc a propohto nofiro re- mota ert, quam vt illi in pracfentia rcrum infiflam. Notctur autcm dari progreflioncs flnuum atque co- finuum innumcras , fi diuerfae coefficicntcs terminis feriei praeficantur , quarum ah"ac pracfato incom- modo fubiedae fint ahae non fint. Caeterum theo- remati, quod de progrcflionc cofinuum infinita alle- gatum fuit, mutatis mutanJis fimile inquiram de progrcflfionc finuum , idco qucd maxime ad prae- fens inftitutum nofirum pcrtinet ncc mcm-nerim an ab aliis iam expofitum fuerit , imo fortafle a me ipfomet. §• 13. Froponatur ergo indaganda feries in- finita fin. .V 4- fin. 2. v-l-fm. 3A + fin.4A-i- etc. Dico 1 fin. X i fummam huius feriei fiatuendam effe z=:- z- iin. vers. x En demonfirationis fummarium. Ptrtinet feries propofita ad ferles recurrentcs fecundi ordinis, cuius ambo indices funt acof .vet-i, L 3 fi^ 8^ DE SVMMATIONIBVS SERIERVM fic vt quiuis tern-.inus fit acqualis termino praccc- dcnti multipiicato pcr i coC .v demto termino ante- praccedente. Igitur , fecundum theoriam ferierum recurrentium , formanda eft aequatio fecundi ordinis X j- — 2 X cof. X — i , cuius ambae radices funt X — cof A,--|-V(ncof.A'~ i) et x — cof..v-y(Gcof .v- i) fiue paullo contradlius s^zizolx-^-^m.xV — i ct X — cof. .V — fin..vy— !• Sic nunc, pofito indice termiiii — « , in aiitectfiiim innotcfcit fore tcrminum generalem in (crie propofita =ra(cof .V4- fin..vy-- t )M-S(cof. .v- fin..v V - if , \bi coefl[icientes a et § ex cognitis duobus primis (erioi propofirae terminis (unt determinandae vel compendiofius ex primo et ex eo qui primum prae- cederet quiquc fbret — o : hoc modo inucnitur aL~[V—i et Szr — ',V — I, ipfeque tandcm tcrminus ( cof .V -H (i n'. .v V - I )" - ( cof -V - fi n . .v V - i f geoerahs 7v~i • Hoc modo intelligitur , (i.ricm propofitam aggregn- tam cfife ex duabus fericbus gcomctricis, quae fumma- tioncm admittunt. Nocetur autem hanc ipfam fummationem pertinere ad tlieoremara ifwovgruenter vera. Sit igitur n numcrus abfolute iufinitus , erit fumma feriei gcomctricac , tcrmino gcncrali ( cof .v H- fin. X V - i)'' cxprc(rac , = '±±JL±j!±JL:L=7^\ pa- litcrquc fumma ferici geomctricac , tcrmino generali (cof. X - fin. xV -1 )" exprcffae , ^Sl^.iJL^J}!'-JLi^. Ex- inde INCONGRVE VERIS. S7 inde fequitur , efle fiimmam quaefitam feriei propo- {\ tie i n fi n i tae — T ( cof. ^: -f- /m. xv— ,.)._ (eo/.x — jm.jcy — , ) i jitae innnitae _ j. __.— ^^ _^ _ ^ ^ _-^__^__ ^ j zV — 1 j quac , fi re. .. . .> m'»"^ \.". §. 16. Inuenimus nempe gencralitcr i fin. X (In.Ar+un. 2A'+rin.3 A-+nn.4 A*+fin. 5 a: -l-ctc.rz;^^— - — -7 ^natur xzn^q fiue 120°. prodit feries jV3-;y3 + o) + iV3 -^"^^S + etc rrlVs: hic pcriodus quaeuis conftat ex tribus terminis ^ V 3 - I V 3 4- o atque reguk noftra paragraphi odaui indicat eandcitt fummam __ 1^3-^-0-4-0 _ I . Sumatur porro x~lq fiue 45°. atquc obti- nebitur feries iT/i yi+i+Vi+o-Vi-i-Vi-o^+V-L+i+etc.^iy^yi. Hic quaeuis periodus conftat ex odlo prioribus ter- tninis , quae ad lcgem noftram §. 8. lacic fummam feriei "~ 8 Tom. XVI. Nou.Comm. M Quan- 90 DE SVMM. SERIER. INCONGRVE VERIS. Quando minus concinna eft expreflio fuuiufii ijn quauis pcriodo occurentium , in vfum vocare 11- cebit tabulas finuum , quam operationem vnico illu- ftrabo exemplo Fuerit xznlq fiue :z: 40'. Erit , ad legem §. 13, fiimma ferici fiue 4 fin. X _ o. 3^13938 _ fin.vers;i:-~o. 233955^ ~~ '* ^"^^^^' Ifte vero idem valor obtinebitur vi regulae paragra- pho odauo expofitac , fi ex tabulis liuuum excer- pantur fucceffuic finus 40'. 80°. 120°. 160°. 200°. 240°. 280° 320°. et 3o, conftantis additione haud eft cpus. Quarc cxtcnlb vtroque integrali vsque ad a* ~ i , pars intcgralij poftrema fponte cuanefcit , critque pro cafu x— i fxf''dx{i-x^Y'z=j^;^Jx^-'dx{i-x^f-\ Cum igitnr fumto m~i {it fx^-'dx{\-x^)°:Zj x^-} pofito X— ly nancifcimur pro codem cafu .v zz. i fequentes valores : hinc- CVIVSDAM INTEGRALIS. 93 liincqne pro nurrero quocunque intcgro poGtiuo « concludimus fbre fx^-'dx{i-x^f-^.~. n £\ modo numeri / ct g fint pofitiui. - , C D r O 1 1. I, 2. Hinc ergo TiciiTim valor huiusmodi pro- dudi ex quotcunque flidloribus formati , per formu- km integralem exprimi poteft , ita Tt fit I. 2- 'i , . , . tl f integrali hoc a valore a.-o vsque ad .vri extcnfo. C o r Q 1 1. 2, .-j', 3- Qpodfi crgo huiusmodi habeatur progreflio.' /-+-£' (/-t-g) (/-(-'£)' (J-i-gXJ-l-^6X/-4-3g)' (/-f-g;(/-J-^gJ(/-4-3gX/-f-4g)» ^^^ eius terminus generalis qui indici indefinito « con- f venit commode hac forma integrali '~fxf-'dx{x'X^f repraefentatur , cuius ope ea progrefiio interpolari , ciusque termini indicibus fraiftis refpondentes exhibe- ri poterunt. C o r o 1 1. 3. 4. Si loco n fcribamus « — j , h^ebimus : ^ 3 (Tii) 54 EVOLVTIO FORMVLAE ^""^ =-^A^-Va(i-a«)«-' quae per y-i^ multiplicata praebet J^ ^: 3 " _ J^-fxf-^dxh-x^r'^ S c h o I i on i. 5. Hanc pofleriorcm formam immediate ex praccedentc dcriuare licuiflet , cum modo den.onftra- \erimus effe : fiquidem vtrumque integrale a valore x zr o vsque ad X ~ i extendatur ; quam intcgralium detcrmi- nationem in leqnentibus vbique fubintelligi op.irtet. Deindc eti;im perpctuo cft tcnem^um , qunntitates / et g cfle pofitiuas, quippe quam conditioncm dc- monflratio allata abfolute poflulat. Quod autem ad numerum n attinct , quatcnus co indcx cuiusque termini progreflionis (§. 3.) dcfignatur , nih.l impc- dit , quominus co nnmcri quicunquc fiue pofuiui fi- \c negatiui denotcntur , quandoquidcm eius progres- fionis omnes termini ctiam indicibus negatiuis re- fpondentes per formulam integralem datam txhilxri ccnfentur. Interim tamen probc tenendum eft hanc redudionem /a;' - Va:(i - aO"' ^ f^^^^ A^~ ' ^-v ( » - •vO'" "" ' noa cfle "veriiati confcntancam , nifi fit w> o; quia ahu^^uia CVIVSDAM INTEGRALIS. 95 aHoquin pars algebraica j-^-^ ;v-^(i — A*^)*^ nofl eua- nefccret pofito x — i. Scholion 2. 6. Huiusmodi feries , quas tranfcendentes ap- pclliire licet , quia termini indicibus fradis refpon- dentes funt quantitaies tranlcendcntes , iam olim in Comment. Petrop. Tomo V. fufius fum profecutus; \nde iioc loco non tam i(hs progredlones , quam eximias formularum integralium comparationes, quac inde deriuantur , diligentius fum (crutaturus. Cum fcilicct oftendiffem iiuius produfti indefiniti 1.2.3....» \alorem hac formuhi integrali /', "vnde fit fx^^dxzzdjj et /*zr Tom.XVI.Nou.Comm. N — /« pS EVOLVTIO FORMVLAE -/.vr:.-j/j-}/j, idcoque/M/ir=(/p% ita vt fit I. 2. 3 nztfdj{l'yy quae fi^rmula ex priori nafcitur ponendo /:= i . Pro intcrpolatione ergo iuiiusinodi fbrmarum totum ne- gotiUiH huc rcducitur , vt ill'us formulae integralis Jdx{l],f valorrs dcniiiantur , quando exponens n cft numerus fradus. Vcluti fi // fit ::^ \ ^ aflignari oportet va'orcm huius formulae fdxVj-x^ quem ol m iam oflendi cffc rr: ^ V tt dcnotante tt circuli peripheriam cuius diamctcr — i : pro aliis autem numeris fradis eius valorem ad quadraturas curuarum algebraicarum altioris ordinis rcuocare docui. Qiiae redudio cum minime fit obuia , atque tum folum locum habcat, quando fornuilae /^ x (/i)" intcgratio a valorc a: — o ad .v — i cxtcnditur , fingiilari at- tcntionc digna yidetur. Etfi autem iam olim hoc argumcntum tradaui , tamen quia per plurcs amba- gcs eo fum pcrdu(flus , idcm hic rcfumcre ct con- cinnius cuulucrc cunllitui. Theorema 2. 12. Si fbrmulae integrales n valore .v — o Tsque ad a* — i cxtcndantur et « dcnotet numerum integrum pofitiuum crit: 1. 2. 3 « . , fx^-'dx{i-x^f" («+iX«-+-2X«+3) ■'• "~ n" ^J'^ ^ ^ '/x^-"dx{i-x^y''- quicunquc numcri pofitiui loco / ct g accipiantur. Dcmon- n-* CVIVSDAM INTEGRALIS. 99 Demonflratio. Cum fupra ( § 4.. ) oftenderimus efle : habebimus fi loco « (cribamus 2 n Cf+g)(f+^i).--U+"^"grg'\f+--m)'' ^ ^ DiuidiUiir nunc prima acquatio pcr fccundam , ac prodibit ifta tertia : C/+O/+1 g)(/4-^«+2^g) . . (f-\-2ng) _ g\f+ 2 ng) fx^"dx(i^xS)^- («-i- i)(«-h 2) 2«" z{f+ng) Jx'-'Mi-x^y At fi in prima aequationc loco / fcribatur f+ng^ orictur huLc aequatio quarta : I. 2. 3 » ( f+ ng)ug , {f+(n+i)g){f+[n+2)g).Af-\ing)-g^U+^^^gY ^ ^ Muttipiicetur haec qunrta aequatio per illam tertiam ac reperietur ipfa aequatio demonftranda : I. 2. 3 ..... « ^ , fx^-'dx(\-xsy" C o r o 1 1. I. 13. Si in prima acquarione ftatuatur/— « ct gzr I orietur idem producftum : N 2 t]Ua .i«o EVOLVTIO FORMVLAE qua acquatione cum illa collata adipifcimur: gj-xf-h^s-' t^x{i-xs p - ' —Jx'-'dx[i-x^y^'' CoroII. 2. 14- Si iu illi aeqiuitione loco .v (ci-ibamus x^, fict ita vt iam conrequamnr ift:im comparationcm inter fequentes formulas intcgnlcb : /^K-VA-(i-^^7-'z:/.v^-^''s-^'a-(i-a-^- rvf-V/.v^-A-^)"- ■i]-s.\ Jx* dx\i -x-/"-'' C o r o n. 3. ,_ y , i5- Si in ae]n:Uione th.orematis ponamus '"^'"f — o ob (i-.v^r — ^'"(/ir, po-eftates ipfius g fe jdfertrucnt orictiirque haec acquatio : I. 2. 3-...n , rx^-'dx{r^Y-'^ GH^i^r^T^r ^ «^^•'" "^-'^^^'^^'''j^-^dyir^f^ •^nde colligimus {fxf-'dx(nY-y n^dW^j^---^^'"""''^'^''^^"^ firu. ob Jxf-'dx{V^f-'—Lfxf-"dxO'.T hanc . af (A-^-'r/.r( /;,)''/ "^- /^■Ta^ir '^^^•'"'"''''■^^"*''*'^'"'- CorolL CVIVSDAM INTEGRALIS. mt C O r O 1 I. 4. j6. Ponamiis hic /z= i , ^ n: 2. ct n n: '^ -vt f^; fit numcrus iutcgcr pofitiuus , et ob Jdx{l-xY* — 1. 2. 3 ...... tn crit OT 1, 2.3 ...'« -^ 3 * hincque fd.x{l),Y — V I. 2. 3 . . . w/. '^ A.v'"-' ^'>'(/-i-;X + i)«^) quarum illa per hanc diuifi praebet : ( /'-f X«g-t-e)( /--i-x^zg-f-^g) .. . .( f^-KngJ^ng) __ ^HJ+J^-i-i)l7+ A«g) /.r^- V.v(i-aS,^''--' / x^ ~'dx ("r^y ^"~' • At fi in ncquationc prima loco / fcribamus /+X;;g obtmcbimus : I. a CVIVSDAM INTEGRALIS. lat i^ 2 n^ ( f-{'Kf^g)ng quac diiflc aequationes in fe du^flac producunt ipfam aequalitatem dcmonfirandam : 1 . 2 ..... « "^ f^ s: ^ •. (X«-i-i)(X;;+2) (X;?-i-»}— A+i^' "^^ ' ' CoroII. I. •3, Si in nequatione princlpali ftatuamus /— X « et g — i reperiemus etiam : ^^. .^ u_? -^[^'^''-'dxii- xf - ' (X.,-t-.>\Xn-4-:J.. ..(Xi-f-n) X -+- 1 ' ' quae forma loco .v fcribendo .v* abit in hanc : ^''^J x^""^-' d x ii-x^f-" ita vt habeamus hoc thcorema latifllme patens : /•.v^-'fl'.v(i-.x-«)^''-" ,/,v^-^^.-^.-(i-.-r-'./^.^;--^^^ C o r o II. 2. 24. Hoc iam theorema locum habet , ctiamfi n non ht numerus integer , ijuin etiam cum nume- O a rum 10* EVOLVTIO FORMVLAE riim X pro liibitu accipcre liceat , loco X « fcriba- mus tn y et pcruenicmus ad hoc theorema : fx^-dx i-x^""-' _ kfx"^^-' dx{i-x^f ' ' C orol 1. lamus gzro; c induet fbrmam jxf-^dxil^X"' kfx^^^^-^dxii 25. Si ponamus g — o; ob i — x^ szgp^^ hoc theorema ilbm induet fbrmam : /a,-^-' dx[l], )"•-+-"- — /a-^ - ' ^x ( /i /' - ' quae commodius ita repraefentatur : jxJ-^dxii^r-^"-' —'^'- '^•^^^ -^^ Tbi euidens eft numeros m et n inter fe permutari pofle. S c h o 1 i o n. 25. Dupliccm crgo dctcximus fontem , rnde innumerabiles formularum integrahum comparationcs haurire licet ; alter fons §. 24. patefadus compledi- tur huiusmodi forrauLis integrales jx^-^dx^i -x^y-' , quas iam ante aliquod tcmpus pertradaui in obfer- Yationibus circa integralia formularum /x^-' dx{i - a")^ "" ^ «ifii . . a vay CVIVSDAM INTEGRALIS. 109 a valorc x =. o vsqiie ad x zr i extenfa , vbi often- di primo litteras p et q inter fe permutari poffe , vt fit fxf-' dx[l - X^y ~ ' -/a-J- dx[l -A^^ " ^ tnm vero etiam efle X^-' dx TT ' (I— >v")"* >» imprimis autem demonftraui efle : x^-'dx x^-^^i-^dx x^-'dx x^-^^-^^dx f r — r r ■V ( I ^x''^-^' f ( I -xy-'' ^ -k-^ I -A''*)"-'" -^ > ( I -xy^ jn qua aequatione comparatio in §. 24- inuenta iam continetur ; ita vt hinc nihil noui , quod non iam cuolui, dcduci queat. Altcrum igitur fontem §. 2.$ indicatum hic potilllmum inuefligandum fulcipio,vbi cum fiue vlla reflridione fumi queat /~ i, aequa- tio noftra primaria erit : cuius bencficio valores formulae integralis fdx^V^f- quando X non eft numerus intcgcr ad quadraturas curuarum algcbraicarum rcuocare licebit; quandoqui- dem quoties X eft numcrus integer , integratio ha- betur ablbluta , quoniam eft fdxO'.f^t. 2. 3 X, Maximi autem momenti quaeftio verfatur circn co» O 3 cafus. t^ty EVOLVTIO fORMVLAE cafus ^ quibus X efl numerus rrndus , quos crgo pro ratione denominationis hic ruccclliuc fum dcfiniturus. Problema 2. 27. Denotante / numerum intcgrum pofitiuum i dcfinirc valorem formulae intcgralis fdx{l).y in- tegratione ab .v — o vi-que ad .v ir i extcnta. S o I Li t i o. In aequationc nulka gcncrali faciamus ;/; zz H ctitque (/^.v(/^7 _ _ vM« — fdx[l',) n-^-^J^ ^^{^ '^ J Sit iam h — i :::z ( , ct ob 2 « — i — / -f- i crit fdxi/l^y''-'^ 1. 2- 3 (M-i) fumatur porro /'.— 2 \t fit «^— iir;H-i, fietque I. 2. 3-..(^+0 ideoque V{i. 2. 3 (;4-i) •' \bi euidcns cfl pro i numeros tantiim imparcs fumi conucnire , quoniam pro paribus euolut.o pcr le tft manifeHa. CoroII. I. a8. Omncs autem cafus facile reducuntur ad ^— I , ■vcl adto ad izz-^j , dummodo cnim ;4- 1 , non CVIVSDAM INTEGRALIS. iii Bon fit numcrus negatiuus rcdu(5tio inucnta locum habet. Pro hoc er^o cafu erit : C o r o i I. 2. 29 Hoc autem cafu principali expedito ob fdx [ l), f — nfdx JIT~' habebimus , fdxVV^-\yi:; Jdx{l%f-^^-Vii atque in genere fdxinj^. rri. 1. II..:..., (i^ V TT. Problema 5. 30. Dcnotante / numerum integrum pofitiuum definire valorem formulae integralis fdx(^l^f~ in- tegratione ab a; rr. o ad x — i extenfa. S O 1 Ll c i o. Inchoemus ab aequatioiie praecedejitis problc- matis : atque in lorma gcnerali ftatuamus m — 2. n , vt habeatur : 111 EVOLVTIO formvlae ac mukiplicando has diias aequalitates adipifcimur : fa x[i j^) Hic iam ponatur n ~ \ vt fit fdx{l%)'-':=i. a. 3 (/-i) fumaturque it— 3 ac prodibit ^^^^^:z9fx^-dxy{i^xy'\fx'-^-'dxh^-x'r vnde concludimus rdxVHi)'-' % , x'-'dx ^ x''-'dx ^Vp/i .f- . Vi. 2. 3...(i-^i) y(i-.v'/~' V(i-A-7-' Coroll. I. 31. Bini hic occurrunt cafus principalcs , a quibus rcHqui omnes pendcnt , poncndo lcilicet vel i :z: I vel i — 2 , qui funt : I. /--L^ =y p/_i-£_ ./ -^£_ y(/i/ y(i-xy >"(i-.v")' II. fJ±-=V 9/^i-. / ^^i_ r/i y(.-.v') v(.-A-') .v' r/ .1- I d X quae poflcrior forma ob f- —- / -; y(i-.r') ^ y(i-.r') 35; abit CVIVSDAM INTEGRALIS. 113 .abit in C o r o 1 1. 2. 32. Si vti in obferuationibus meis ante atlegatis x^-'dx ibreuitatis gratia ponamus /-; — (f ) > ^tquc ■V(ii-x*f~i TT Tt ibi pro hac clafle (r) — — 7 — i?— ^, tura yero 3 ""• i (7)=/-! =: A , erit I. /-i:L-=rypCO(0=:Vs,aA lI./_ll-rr:y3(0(i)=:V^*- C o r o 1 1. ;j, 33. Pro cafu ergo priori habebimus, MvV(/ir-^'=^^ M ii^VpaA pro altero vero cafu fdxV{V^y^-Vi^-fdxy{l',)^-iy^^^ et /^xy(/;)^«-' rr 1. 1. ^ ^n^y^^ Tom.XVI. Nou.Comm. P Pro- 11+ EVOLVTIO FORMVLAH: Problema 4. 34.. Denotante i uumerum integrum pofitiuum - — I definire Valorem formulae integralis fdx{ll.f integratione ab A' — o ad a" — i exteudi. S o 1 u t i o. In folutione problematis praccedentis perdudli fumus ad hanc aequationem forma generalis autem fumendo tu :^ 3 » pracbet fdx[l%T-'fdx{l\,Y''-' X""'-' dx Jdx{l^r^-' -^^{i-x')-'^ quibus coniungendis adipifrimur, (A^A-(/i '"-')'„ , X''''-' d X A-^"''-' Ca P 3: G)^ US EVOLVTIO FORMVLAE , , X X d X d X atque ex his valores omnium rtliquarum formuU- rum huius claflis affignaui fcilicet: (0 = if (1):='; i\)-\\ {X)^\\ (n=J (f)z=A; (n=e;(i)=zi| C o r o 1 1. I. 39. Sumto exponente i :r: i crit : Jdx ^(/g" = V 5^(0(0(0(0 ^^^^' 5^ % A' B vnde in gcncre concludimus fore dcnotante » uume- rum intcgrum quemcunque fdxVUk) i:^ ;< f. V . . • . ^^ V5 . g. A B. C o r o 1 1. 2. 40. Sit nunc i r: a ct cura prodeat : /^:tV(/-)~':=yi.5*(0(n(0(0 crit CVIVSDAM INTEGRALIS. 119 crit hacc exprefllo Vs^allOCOO^Vs^ag.?^ et in gcnerc fdx y (/;)""'= ]. h ';..., ^v 5'. «s. «-». C o r o 1 1 5. 5 1. Sit i — 3 et forma iniienta : /^.ty(4r^z=y2. 5*(D(l)(i)(V) ob (f) = i(D; (f)c:U^)i(V) = |.^(D abit in y^. 5'(l)(!)(^)(f) = V5'.J.,^ Tnde in genere colligitijr : C o r o 1 1. 4. 42. Pofito denique in4 forma noftra : rdxVU',)"=:V6. 5'(-:)(^)(V)(") ob transformabitur in hanc : ^5.5(n(^)(0(0 = V5.n¥ ita -vt fit in genere /^.v y(4)""'-M. V .... 12^/5. ««s^.^3 . Scho- x:%o EVOLVTIO FORMVXA^ S c h o 1 i o a. 4^. Si valprem formulae integralis /^ 5.1.2.3(0(0(0(0. CoroH. 5. 49. Sit n — 6^ ct habcbimus has rcdudiones: [;]-;V^^.^(O(l) [O^^^v-d. 1.2. 3. 4.(1) (^) (0(0(0. Coroll. (5. 50. Pofito n — J fequentes fcx prodeunt ae- quationes r [o = ;vy(O(O(O(0(o(o [n^fVT*. 1(0(0(0(0(0(0- xa5 EVOLVTIO FORMVLAE [n = rv'7\i..(0(^)co(i)U)(^) [n=:^v7'.i.2.3(:)(0c:)(0(:)a) [n=^>"7.i.2.3.4.5('^)(0(OC0CO(i). C o r o 1 1. /. 5r. Sit «~8, ct fcptcm h.ac rcdudlioncs im- pctrabiintur. [n = ri^s^(l)C:)(!)(t)(n(OCn [|]-|V8^2(|)'(0^(^)'(:)-iVS'(i)(t)(^) [i]=:tvs\^.^.^(^j (:y=',v &[i) [l]=iys\j.2.3.^(l)i;)i'^)i',)il)^){\) [n = *H V 8\4. 2.6.4. ^^fitTiilQ ^IV S.2.^(l)(l)ii) [ J] = J V 8. I. 2. 3. 4. 5. ^ (0 (0 (0 (0 (0 (n (0- S c h o I i o n. 5 2. Superfluum foret hos cafus \Iterins cuol- Tcrc cum cx allatis ordo iflarum formularum fatis pcrfpiciatur. Si enim in formula propofita [-^] numeri w ct « fiiu intcr fe primi lcx cft n:ani- fcfta , cum fiat CVIVSDAM INTEGRALIS. 127 fin autcm hi numcri m ct n communem habeant diuiforcm expediet quidem fraftionem - ad mini- mam formam rcduci et ex cafibus praecedcntibus quacfitum valorem peti, interim tamcn ctiam opcra- tio hcK modo inrtitui potcrir. Cum cxprcflio quae- Cta certc hanc habeat formam Tbi Q eft produdlum cx «— i formulis integrnlibus P vero produdum ex aliquot numcris ablblutis , primum pro illo produdo Q inueniendo , continue- tur haec formularum feries (^J(i^)(i-p) donec nu- inerator fuperet exponcntcm «, eiusque loco exccffus fupra « fcribatur , qui fi ponatur tr a , \t iam formuia nollra fit (|) , hic ipfe numcrator a dabit fadorem produdi P tum hinc formularum feries porro (btuatur (^,) (""^— ) ("-~— ) etc. doncc iterum ad numeratorem exponcnte « maiorem perueniatur , formulaque prodciit {—^) cuius loco fcribi oportet ( "l) , fimulque hinc (a-iflor § in produdum P in- feratur , ficque progredi conucniet, donec pro Q pro- dierint « — i formulae. <;^uac operationes quo faci- lius intelligantur, cafum formulae [j^Jrr > V 12'P. Q^ hoc modo cuo'uamus , \bi inucfligatio litterarum Q €t P ita indituctur. ProQ.....(f)(t)(D(V)(O(^)(n(V)(0(t)(n Pro P (5. 3 p. 1 1 -xj-"^ V( I -.%•")"-'" « , ^ d X ^ xdx x"-^- dx y(.i - .v''/-"' y (I - .v'';"-" > ( I - xy\ C o r o 1 1. 2. n 61 Vcl fi ad abbrcuiandum ftatuamus y( i -.v")""'" — X erit .V" - ' d X .v'""' dx .v"-«-'^a'_ « 2«. 3 a... (?«-«)/ — — — •/"~3^----/'~^C — " * , , ,//.v xdx / '- ' d x^ fd X {J^,f-^' — 11+^/(1 _.^-v.j7-,. Statuatur nunc v — H et jjl =z ^ tum \cro x~n wr habcamus : fdxiP.y^.fdxUif _ j^ ■'^''Zl.i^ qttl CVIVSDAM INTFGRALIS. 15-:' quae breiiitntis gratin , mnre fupra \fitnto , ita con- cinnc rcter.it ur : ^ n -■ *■ u -* >- m -* ■G) lam loco X fucccflruie fcribantur numeri 1,0,3,4...... omnesque liae aequationes , quarum numcrus e(I zn in (e inuicem ducantur , et aequatio rc(ultaas crit : *" • ,7:^. m-t-a' m-^., • m-f-n m^S,. -'^«, ' • \i ' ^ ,. 7, T ....m ( ' ) ! ' y ( '^ y (IL \ ^' • (n .-.,V'-+- )"-+-i;..--(^-t-"'K"i ^ ™"^ ^~'^ • * • • V„. ^* Simili •intcm modo pars prior transformetur vt (ic p ," [.;][i][v] [,f] ' ■ [2=1:1] ["-^] ['--.] [-ii] cuius conuenientia cum forma praecedente multipli- cando per crucem , \t aiunt, Iponte (c prodit. Cum "vero ex natura harum formularum fit [1:^']-«^[;]. [:i±l:]-1rhl[i.]; ["dtl] - ^"^' [^ CtC. ob harum formularum numerum ~ w, euadct haec prior pars : [ - ] . __- !L («-i-ij(«-|-2)l«H-3, («-f-wO quae cum aequalis fit parti altcri antc exhibitae : w". '• '• ' ^ f ^) ( j_W J_) . . . . r f_) (n-H-Xi-l-=An-t-5) .... (n+m) ^m^m-Vm' nwi' Tom.XVI.Nou.Comm. S adipi- X38 EVOLVTIO FORMVLAE adipiTcimur hanc acquationem : ["] = ^4"-.=^.3..--'«t)(i){i) (=r) ita vt fic "/ I 2. "1 . ;« [f ] - m \ ±1-LLl!1 f<_>, fi_) (._) ^ ^ /«_>) ^" ^ fi^ \vi^ \ia' \ml " ' ' ^m-^ quae cum propofitii in §. 53. ob (-^) =: ^ omnino coni;ruit , ex quo cius veritas nunc quidem ex prin- cipus ccrt.llimib tfi eiiida. Demonfliatio Theorematis §. 59. propofiti. Etiam hoc Thcorema tirmiori dcmonfiratione indigct , quam ex aequaliiatc anie ftubilita ; [-1. [-1 ^H -' '-'t ' -— X m (X_\ rX -)- " 1 \-i-m in' ■- n -* ita adorno. Exiftente a communi diuifore uume- rorum m et ?z, loco X Uiccefliue fcribantur numeri a, 2«, 3« ctc. vsquc ad «, quorum multituJo cft — - atquc omnes acqualitates hoc modo rc(ultantes in Ic iiiuiccm diicantiir , vt prodeat hacc aequatio [---] [11^15] f^»] [--^1] W^ - "* - - "" .. -' *_ .. -^ (^) (~*) (L?) . . . (2.), ' m-i-x m~i-2a m-+. s a »ii-t- H m' ^m ^ \ m ^ m ' lam CVIVSDAM INTEGRALIS. m^ Iim prior pars in hanc formam ipfi acqualem trani- mutctur : ' • ['i±?] [1^»] ["--f-] .... [-^1 quac ob ["^]— ~^[^] ficquc dc ceteris rcducitur ad hanc : tftj '71-+-«* ii-t-:a* n-^ i X ''"''' n. -+.771' Poftcrior vero aequutionis pars fimili modo transfbr- inatur in : tm.-^. ^« _!«_"... ._Z5L («)(L5)(L5)....(«.) n-+-ot n_|_:a' n-f-sa n-t-rTi » m / » /n ' V n» ' \nl Tndc enafcitur hacc aequatio : HY «^ - ri^. «. 2«. 3a....^«(y (^*) O. -(^) hincque [::L]-wy— (a.aa.sa... w(t) (12) (!«).. ..(^))* quae exprcflTio cum praccedente compnrata praebel hanc aequationem : («. 2a,3ct....;«(4)(i-«}(if)....^^)) = ^- -3 '«(i)(,r)(;^)..--Cr) quod de omnibus diuiforibus communibus binorum numerorum m et n eft intelligendum. S a PRC>- PROBLEMATIS CVIVSDAM GEOMETRICI PKOKSVS SL\G\LAR1S EVOLVHO. A 11 c t o r c L. E F L E Pv 0. Qiiacftioncm hic gcoii ctricam nJ cxnmcn fum rc- votaairus cjiiac cu;ii nd gcnub adluic nondum tr;itm — iii fpecflari pofllt , ncccfie efl vt rc(fla AT fimil s omnino fit fundio anguli dupli BTMn^o). Harum autem rcdarum A ; et A T diflerentia T r, quia PROBLEMATIS GEOMETRICr. 143 quia ob triangulum r mT redangulum efle debet j ( — J_ , ex hac ipfa conditione Iblutio problc- matis erit deducenda. Cctcrimi hic notari conucniet angulnin B M;; — co dcfignare nmphtudinem arcus A fN , iti vt arcus AM amplitudo ilUus fit dupla. 6. Ad quacflioncm itaque refoluendam difpi- ^,''^- ^^' ciamus , quomodo per anguUim B / w = u et tan- '^' ^* gentem t m — t interuaUum A t in refta pofitionc data A B detcrminetur , vbi quidem perinde eft vbi puncflum fixum A accipiatur. Ducla igitur curuae tangente proxima \kr, vt fit angulus B t p. n co +//«, ideoque angukis / fx r — t pro ? ciusmodi fuicflio ipfuis w fit inuc-rt^ganda \t fi pro T fimilis fuii<3:io ipfius 2 w (cnbatui* , acquationi modo inucntae fatisfiat. Quemadmodum autem cius- modi conditioncs fiut adimplendne , methodus ccrta adhuc defiJcratur , impiimis fi fohitioncs generales ■ poftulentur. Quamobrem haud inutiie erit acquatio- nem inucntam io plurimas alias formas transfundere, ex quibus quae fuerit fimplicillima, faciilime quoquc poterit traiflari. 8, AngnUim quidcm w pcrpctuo in calculo conferuari oportct quia per eum quantitates ad bina puntfta tn et M referendae comfnodidime definiuntur. Ponamus igitur ipfa interuaUa A/— .v et ATzzX, ita vt iam fimiii modo X tahs deb at elTe fundio ipfuis 2 oj , qualis x fuerit ipfuis u. Quia crgo habcmus f —TjL^^ - X ct f^-J^^ — x, hinc fit / — ^^/~ et nunc (olutio problcmatis perducitur ad hanc aequat onem : X^ X — p^ tang. oj fcu X cof. w — ^^ fin. 0) -|- .V cof 0). Qiiodfi PROBLEMATIS GEOMETRICI. 14S Quodfi porro ponamus .vfin.tij— j finniliquc modo X fin. 2 oj zi; Y vt fit X cof. w iz -^-—^ , hacc ac- quatio prodit fimplicior : -X-zz:^-^ feu Yz=-^fin. 0) cui aequationi ita fatisficri oportct , \t qualis y fuerit fundio ipfius w, talis Y fit funclio ipfius a cj. 9. PofTumus quoquc pro puncTio vi ipfam nor- malem m T in calculum introducere , pofita enim viT — p , et normali pundo M conueniente — P , quia eft p-/tang. oi, erit fimili modo P-Ttang. 2u ct ob t z^ t^ et T — U2Ll^ aequatio folutionem contincns abit iii hanc formam : /2 P ci cii CQ/'. ; 03 rp d Ui coj. lo p , (jVn. 2co)» ^ (//n. wj» /m. cj ' ' quae differentiata dat : 2T du coS.ztii pdtxj eor.co d ^ ___ fi d cj co/.m ». o (/m. 2UJ)» (Jm. co)- J/R. co (/fn. co)- feu Fddi cof ziii — ^dp fin. w cof (:i'zzdp cof 03 fin. 201 ita vt fit P = ^ cof u tang. - oj. 10. In computum etiam duci potefi ipfe arcus Tab. H curuae A w , qui ponatur — J" , ita vt rclatio intcr ^''S- 3- hunc arcum A ffi — s et amplitudinem eius u fit definienda. Ex figura autem 2, hoc facillime prae- ftabitur , cum enim pofita tangente m t ^ t fit \y- r zz t -\- d t et m ^x. — d s ^ ob t $ — t din hinc- que r 0 — '-^-;^^^ erit jx 0 — ; + ^ / 4- t-1.^;^ , Tom.XVI.Nou.Comm. T quae 145 E V O L V T I O quiic linca ipfi {j, t ^ t -\- d s acqiialis fiatui dcbct \ndc oilligiuir : s ~dt -{- t d co nj. jm. ui jm. uj Tab. II. idcoqiie r r^^/d^J- fin. u. Qnarc fi fimili moJo ^'S- 2. ponatur arcus AMii::S tangcute cxificntc MT — T^ habcbimus quos valores in aequaiione fupra inuenta T cof « — / -4- i^ fin. (J cof. 0) lublUtui oportct , ex quo conficitur ;r-^ fdS fin. u cof 0) — .-V Z^^-'" fin. w -f- j - fin. w cof u -'^;^fd s fiii. u feu /^Sfin. cocof ci)~Cn.wy^j"fin.ca4-j-^ fin.w" cof oo. II. Hac acquatione diffcrcntiata prodit ^S fm. (jj cof oj — 2 r/w fi;i. oj cof wyV/j" fin. oj -\-ds fin. oa' 4- '!''-' fi n. oj' cof (ii-\-zds fin. u cof (^"-ds fin. u' a oj ac facfla diuifione pcr fin. o) cof u fi^t dS—^db^fds fin. u ^h ^ «'j cof. co 4-i?^^'fin OJ Dcnuo ergo difTcrcntiatione infiituta nancifcimur :■ a+iyfin d d s cof oj //^S^sf/ojrt^xfin.oj-f-cf/rf^xcof. 0) -zd(jidsCin ojL-i-l^'fin.oj. idcoquc ddS—2 dds cof oj -\- ^-J fin. oj \bi quidcm ditTcrcntialc dbj prcj conliinti cfi fumtum. Huic acqnationi fitis.ficri fiatim liqnct , lumcndo ^— o, quia tum quoque fit — --, — G j hmc antim L' , 1 . : . . colli- PROBLEMATIS GEOAIETRICI. 1+7 colligitur s — a -\- b bi ita Tt nrcus Avi — y fit nm- plitudini proportionalis , quac ci\ notiflinia circuli propricta?. 12. Quodfi porro radins ofculi ciiruac in m ftatuatur n: r , in M \'ero ~R, quoniam tum fit d s -z. r d (i^ et ^SrsR^w, aequationem modo in- Ycntam facilc ad radios curuaturae traducimus , vnde refultat c tj' R — 3 r/ r cof 03 -f- —'■ fin. w , \bi miilto mngis pcrfpicuum cft circulos fatisfacerc , cum fumto radio olculi conftante conditio iflius ac- quationis implcatur. Vltcrius \cro curuae A 7« M euoluta induci potcft, cuius radius ofculi pro puncl:o ex m nato fi ponatur — ?', pro pundlo autem ab M deriuato — R', quia conftat cffe d r zr. r' d i^} ct ^R — c R' j — A ('i — cof.. w), ic^. SimiU modo fi flatuamus :■ j— A + B(In.u + Cfin.3cj+Dfin. 5 oj+Efin.7 w+FCn.90) ctc hincque 4^— BcDfoi+3Ccof3(d + 5Dcof5w+7Ecof7" etc. <2 co aGc^uatio noftra induet hanc formam :. o=:B 15= EVOLVTIO o=:B fin, 2W+ 3C rm.4ti}+5 D riii.6u-i-7E fin. 8 w-f-pFfui. I ou-H ctc. -3C -5J) -7E -vF -iiG -A-B - C - D Tbi fit A rr o, tiim vero vt ante C — o, D =: o, E — o , F r: o etc. ita vt his valoribus coniundis Iiabeatur j — a(i — cof. (n) -{- b fin. u quae eft ipfa Ibhitio iam ante inuenta. 20. Hacc autcm folutio merito non fatis gc- neralis videtur , cum ex valoribus ipfius j multipla paria anguU u practcr nccclfiiatcm reiecerimus ; iis cnim admiflis fi flatuamus : j^zrA+Bcof aj-fCcof.20j -i-Dcof.3u+Ecof 4u4-Fcof 5 u etc. vt fit ^-J^— Bfin.u— 2Cfin.2(jj— sDfin.su— 4Efin.4u-5Ffin.5a)-ctc. fequcns rcfuhat aequatio : o— B-faCcofcfl-Bcofaci:— 2Ccof3co-3Dcof4U-4Econ5a)-5Fcof.5c«i + 3D -f-4E +5F +6G -V-7H + A +B +C +D Tbi iterum efl: Bzz-A; Czro, Dzzo, E = o, Fro, G-oetc. ' ita vt nunc quidcm certum videatur , folutionem praeccdcntem latiirime paterc , ncquc practcr circu- los vllas ahas curuas quacftioni (atisficcrc poffc. Quod enim hic de cofinibus cft oficnlum, idcm fimih mo- do dc finibus dcmonllratur. 21. PROBLF.MATIS GEOMKTRICI. 253 21. Ciim iginir fuperior indiKflio fit pcnitus confirmiua , ilhie determinationes eo magis (unt no- tatu d:gime quae huc redeunt , vt fi fuerit : etc. tum iflae quantitates ita determinentnr , vt fit B zr ^^ ; C = -"— ; D — -^- ; Enr ,-f-^ etc qui valorcs, quemadmodum ex illis *relationibus com- moJc dcriueutur , omniQo accuratiorem disquifitio- nem mereri videntur. 22. Simili vero rrodo fi ibi §. 15. ftatuatur: j> — ?lw-S5w'-i-(Eai'-2)u'-|-(Sw'-ctc. vt fit l2r::Sl-323w'-h5 10 (E w'- i4lt)u + 1 8 Gcu'- ctc — 2a2l + 6a55 — loaS +14-«!^ + 2g2l - (Jg?5 +ioe£ - 2 9( 4- 2' S - i' CC + 2* JD - a' e etc. Tom.XVI.Nou.Comm. V vnde rU EVOLVTIO vnde nafcuntur hae determinationes ; a*(E —9(1 -i- ^i^ 4- _i-^- _H -^ _H _?__ >• s- ' 1 .... S ' I .... 7 I .... s ctc. quae cnolutae fcquentes fuppcditant valores : ^i^b; 25rr,-^,- ^=^^i ^=~ etc. quae fimplex prot;;reliioais lcx nonnifi per multas ainbages ex ill s fornailis dediicicur , ideoque diftiu- dior euolutio maxiine defideratur. 23. Neque vcro hoc argumentum fitis vali- dum \iJctur ad euiiKcndum practcr circulum nullas alias lincas curuas quacllioni nolUae fatisfacere. Cum enim aequationem Y — '~fin. w ita relohii opor- teat , vt Y fiat talis fundio ipfius 2 w , qualis y efl ipfius 0), refolutio hic adhibita naturam ilUus ae- quationis minime exhaurire videtur, propterea quod pro y eiusmodi (ericm alTumfimus , ..in qua nonnifi potcftates ipfuis w, quaruni expoiieiues funt numcri intcgri pofitiui , occurrunt ; dum firtnffe etiam ex- poncntes vd fridi vel negatiui , vel ctiam irratio- nalcs atque adeo imagiuarii locum habcre poflcnt ; imaginariis fciiicet fe mutuo dcQrucntibus. Qiiod num fieri pofht ftituamus : ^ - A w* H- B w"^^ -i- C w> ctc. quorum PROBLEMATIS GEOMETRICI. «55 qnorum cxpor.cntiiim primus a fit minimus. Erit ergo ^^— a A o)*-' -H gBo)'^-' etc. quae ("eries per 2 fin. w — 2 u - — '- u) ^ -I- — ^ — - (») * — etc. multiplicata praebet hanc formam 2aAa.*-4-2eBai^ etc. _!4^ 0.« + - _ £j_L ojS + ^ _ ctc. + -i-^ 0« -+- ♦ _^ etc. ipfi Y =r s* A w* -f- 2^ B oi^ -f- 2"^ C co'*' etc. aequan- dam. Neccffe crgo cft , \t infimae poteftates vtrin- que fint acquales , \nde fit 2*— 2a, quod realiter duobus tantum modis ficri potelt fumendo vel «— i vel a — 2 , ex quo feries fupra affumtae totum ue- gotium conficere vidcntur. 24. Cum autcm nullum fit dubium , quin aequatio 2" — 2 a praetcr has duas radices inrume- ras alias imaginarias compkdatur , merito nalcitur fufpicio , ex iis quoque Ibiutiones vtiles na(ci poffe. Ncque igitur abs re forc arbitror mcthodum indi- caffc , qua etiam radiccs in nginarias huius aequatio- nis proxime faltcm definire liceat. Cum ergo a fit humerus imaginarius, cius forma ccrio efUiuiusmodi a - fx + V y - I , vnde fit 2«=:2^ z>'f-'-z^{Qoi{vl-)^--V -i. fin. (iz/s)), cui 2az::2jx4-2vy— X V • iw tpS EVOLVTIO it3 aeqiiale ftatui debct vt partcs realcs ct imagiiia- riae rcorftm aequentur : hinc ergo flt 2 iK — i^ cqC {y I 2.) ec a V — 2"- fin. {y l 2] ideoque 4({jL|jt.-f-V)^)zra''* et vz=V (2' ^ — ' - [}. ii.\ Ponamus Tj^^rr-cof.t^^ctoritur v-2^~' fin.(pz [xtan^.^p. Cum igitur fit cof. (i» / 2) — -p.— = cof Cj) , fequi- tur fore v/2 — 2 n tz -A^ ^ j denorante 2 « tt mul- tipLum qaodcunque totius circumfcrentiae. Qunrc ha- botur [k l 2. tamj. (p— 2«7r+C|) ct p.=r f|^^;J , <5Hi valor eum illo ex formula (ji. — a'^~" coi. <$> oriuiKlo conaenire dejjet Hoc auccm t)b n nuaie- riim arbiirarium dumrriodo inttgrum infinkis mckiis obtineri poffe euidcns e(l. Scilicet fumendo « — i fC poncudo r"* — 7-^:77— i^ r approximationibus aliqiiot inftitutis colligitur an^iulus (p — (Jx", 24.', 24.", hina- quc j*. zr 4, 0980835 et v:r: 7, 51850, ita vt (it arrjxHz^V- 1 — 4, 0980836 -4^7,5 I 850. V-r. 25. Inuentis ergo huiusmodi valoribus imagi- nariis pro a, \t fit 2*— aa, talis forma pro j fingi debet Vndc fit Y— 2 a Aoj*-2'aBw*-f-'+2*«Ca)*"^*-2''aDaj*-+-* +- ctc qaae PROBLEMATIS GEOMETRICL J57 quae feries ipfi |±? fin. w= J-^ (2 0) - _;^^ w' H- ^-^^ o/ - etc.) t acqualis eft (hitiicnda , (cilicct huic expreflioiu vnde fequentcs determinationes colliguntur : 2*aB=:(a-i-2)B-i-,-~ 2*aC-(a-f-4)C4-^-^,^^-h ^, £''aD=::(a-i- Tel j:iai^flii.(v/a)). ($H S5 w -f €(0*+ ^w'+ etc. ) V 3 quarum iS$ E V O L V T I O quarum fumma ycI diffcrentia itidem pracbct -valo- rcm ihtibfacicntem pro j'. Huidcns autcm eft hos \alores niinimc in tcries fecundum potenates fim' plices ipfuis w progrcdicntes conuerti poflc. Huius- niodi autem formac Ibtim ab initio pro y fingi pofliint ; vbi cum in Y contincatur cof. ( ^' / 2 oj ) notandum efl: effe : cof (K/2ai)zzcof(v/oj). cof (v/2) — fin.fv/a)). fin. (v/a). 27. Ne autem hunc calculum nimis moleiUim quo infinitac aliae problematis folutiones dcclarari \identur fufcipiam idem ex rdatione inter radios ofculi euolutae curuae quaefltae facilius ol^endi poflTe \idetur. Cum enim §. 12. inuencrimus 4-R'— 3r' cof w-h^fin.oj , fi fingamus : f^i^Aw^^ + Bw^-^-^^-Cw^^-^^ + etc. vt fit R'-2"Aw''-Vi''-^^Bw''-^'+2''-+-*Coj''-^*+ etc. pro potcflate infima oj" debct effc 4. ^''A — 3A4-«A fcu 4. 2"— 3+"=^""^' cui conditioni duplici modo fatisfit , altero fi~~t , altcro « — — I. Statuamus ergo r'— -^^- Bu4- Cw'-}- Da)'-i-etc. crit ^-^-\- B +3Cw-f- 5Da)*-f-etc. R'— ~ H- 1 B« 4- 8 Cw^H 3 i Dw'4- ctc. Tnde PROBLEMATIS GEOMETRlGl. i^p vndc colligitur eflc debere : LA_4-8Ba)-4-3 2Ca)'4-i28Dw*-4-ctC. = 3A-H3B -I- 3 C -p 3 D 3 A r B 5 C -A-f-B - 3 C -H 5 D . A _ B _ , C " ' 1 ....f i.... I t A , B hincque eiusmodi eruuntur vnlores, qui vtique folu- tionem realenn praebere videntur. Interim tamen defideratur adhuc ir.ethodus hoc problema perfedius rcfolueudi CONSI- CONSIDERATIONES C Y C L O M E T R I C A E. A u c t 0 r c L. E V L E R O. Lunularum quadrabiliuin conflri:(ftio ab inuentione binorum anguloriim pendet , qui intcr fe rntio- nem duplicatam finuum tenennt , binos fcilicet cius- modi angulos m ct n inucftigari oportct , vt fit m-.nz:^ fin. m' : fin. n feu ^-^^^ — —^ quam aequalitatcm hic accuratius pcrpendcre con- liitui. c. Dato autem angulo quocunque w valorem cxpreflionis inde natae ^-^ haud ditHcuitcr aflignare licet , idque duplici modo vel in gradibus , fi an- gulus ;;; ita detur , vel in partibus radii — i , fi arcus angulum meticns in partibus radii cxprimatur facile autem altcra expreflio ad alteram rcducitur. 3. De hac autcm cxprenione ^^^^^, obfeMio , c\m primo , fi anguhis m cuancfcat , cuadere infini- tam, tum vero diminui ad ccnum \sc|ue tcrminum, quo fuperato dcnuo augetur fK|uidcm angulo ;;/ ad duos rcdos audo ob fin. ;;; — o , iterum fit infini- ti. Q:ioJ quo chirius appiucat , fit r nota anguli redli , et quia fin. 5 r =: 5 j fiu. ; r ~ ^ ; fin. 3 r :=: ^ ct fin. rzr 1 fi fuc- CONSIDERATIONES CYCLOMETRICAE. i6i fi fucrit crit jl^ — '^^'^ -^^' ^' »'■' ^' '"'^' 3r; Vn oor. 4-. Antequam igitur angulus ni nonagiiita gra- dus attingit formula ~^, fit mininaj colligitur autem hoc euenirc vbi fit m zr i tang. fn , (eu arcus angulum metiens acqualis femiffi tangentis. Hunc angulum nonnifi proxime aiTignare licet , qui cal- culo inftituto reperitur -66^,4.(5', 5^1" vnde prodit Talor omnium minimus —^ — 79, 07102 grad. 5. Hunc angulum tam infigni proprietate prae- ditum littera a denotabo , ita vt fit a - 66°, 46^, 54^' in gradibus, in partibus radii autem a-i,i6ss6x, vbi obferuare licet luinc angulum neque ad pcriphe- riam neque ad radium rationem commenfurabilem tenere , fed vtriusque refpcdu pro tranfceudente efle habendum. 6. Interim tamen iuuabit praecipuas aflfediones huius anguli perpendifle repcritur autem : fin.fl-o, 9190096^ cof <7z: 0,3 942360 i tang.flfz 2,331122 tum vero fm. 2 <7=ro, 7245132 ct cofec. 2 « ir 1, 380050 dupUim angulum idco confidero, quia obfli;' tang.fl', fit fjrmula nollra ;--^ — r-^ ^ cofec. 2 o, ita vt Jm. 0* Jin. 1 a ' 1,380050 fit valor minimus quem formula j-^ Tom.XVI.Nou.Comm. X afle- i6z CONSIDERATIONES aflequi potcfl. Idcm aiitcm in gradibus cxprcCTus diu Yt antc 79% 07102. 7. Vt crgo bini anguli m et n nuioiKm tcnc- ant duplicatam fiuuum , feu \t fit ^-^—^-JL-^ ,, necefTe eft altcrum corum m infra ')(aia.|x-^jx*4-4*I^') \ndc colligitur proxime v-y7r,a.-',.. + ^^^.pfXfx. 9 Sin autcm angulus m fit parumper minor angulo a , altcr n parumper erit maior. Satuaur ergo m — a — [x. ct n — a -{-v \ atquc tormula ■ "' .. abit in quac. CYCLOMETRICAE. icTj qunc ob nngiilum |x minimum in talcm fericm tuol- vatur : A ~ B |x -f- C fx' - D [jl' -+- E fx' - ctc. \bi litterac A , B , C , D ctc. hoc modo defi- niuatur Afin.fl* — flf— o hinc Anr— ^ — — i— Bfin.^'-f- Afni.2rt- I rro hinc B::ro ob A=jj^ Cfin.<7' + Bfin. art-f Acof 20 — 0 D fin. rt' -f C fin. 2 (z -I- Bcof 2 tf - 1 A fin. 2 a rr o E fin.tf'4-Dfin. 2^-f Ccof 2^-^Bfin 2 /— 3 hinc w — w et n~,*w. Erit er^o i—6zz-^-Sz'-^6z fcu ^'6z-6zz-\-Sz'-o qiiao aeqii.itio per 2(1 — 2) diiiilii &xt 2-z-azz— o viide collijiitur c: — - --t^-^^-cof.w et cof. 2 w- '--Ji= : problcma pLitium. IV. Sit jx — I ct ^=4- hiiic ;« — .'w et «— 2w Erit crgo 3=4---8x:'4-Sx:2t~i fcu i-z-zzz-\~zz*zo quae aequatio per i—z diuifa dat I — 2^^— dx:' — o problema folidum. V. Sit {J.— 3 et vzr^. hinc ?«~|a3 et «=2w. Erit ergo i =:i(Ss'— 12 jj— s^c^-f-s^sfx:— 3 feu i-HS ^-6zz — ^z' + 6z*zzQ quae pcr i — x; diuidi dat i~{-^z — 2Zz-6z^ — o probJema folidum. VI. Sit ixzii et yzz S hinc z« — sco et « — Iw. Erit ergo ^zz: s z— 16 z^-hzQz' — Sz feu I-5S +4.2 —o quac pec i — c diui(a pracbet i ^ z-h zz-^z'-^z* = 0 et in hanc formam transfunditur ; {2Zz-{-z-[f—l feu 2ZZ-\-z-',zzy!J hinc :s — -'^^'^^-^^^"'— cof.co er cof.^w-^^iii^^^Iii^^J ita vt bic prodeat problema planum^ VIL i(J8 C O N S I D E R A T I O N E S VII. Sit |xrr 2 ct v^5 l^inc w — w ct nzzlhi. Erit ergo 3 — loxixr— 5 — 32-'-f-40 2'— lox: feu ^■^ $ z—szz-^oz^-^-iC z^-o et per i-s diuidendo 4 + 9-+-4--— i<5:c;*-i6 2;*— o problema folidum VIII. Sit fxzr. 3 et v— 5 hinc m — \bi et « — i». Ergo smoc'— i5c;- 48:s'h-<7os'~i5x: feu x-{-i5--4-Oc'4-24-x;no ct pir i -z diuidendo l-{-l6z-\- 16 ZZ— l^z' - Z^z'' 1Z.O quae reducitur ad hanc formam {i^^z-\-6zzy-6oiz-\-zz)' vnde fit, ccy^o-H.sVdo — (Jsc+S^;-!- I idcoque z-=:'-^[';^f21T^-^ feu^r:-4+Vi5+V(i5-6Vi5) yel s =1: v.-^-^-t-vt^^-K^Vii)— cof. w ct cof. 2 w =: -^^^';-"^''^ ficque etiam hoc cafu problema eft planum. IX. Sit jxrr^ et vzr^ hinc in — iisi et «rr.^(j. Ergo \— OfOZ^—icO^^-h-s — ^A^z^^oz —'i.oz fcu I— 5 c-TO 3^4-20.2'+» o^*—i(?i:;'—0 et per \—z diuidcndo \- jipZ—\\zz-\-6z -\- \6z*—o at haec acquatio nonnili coaftrudionem folidam ad- mittit. 18. Quinque crgo cafus fumiis adepti , quibus opc circuli ct normae lunuliib quadrabiics cxhibcre , vcl hanc acquationem ^^ — -^ conilrucrc lictt : I. CYCLOMETRICAE. iC^ I. Cafus OTr:45' ct 0 = 90° II. Cafus m—\i3^ et « — Ju exiftcntc cof. w — ^ ^.~- \el cof. 2 oj — I — V 3 III. Cafus w = w et « — | w exiftentc coC 0) — ^^^-~-' vel cof. ggj— ' ~'^" IV. Gifus /;; iz: 5 w et ;z z= | w exiftentc V. Cafus m — \tji et « = | oj exiftente cof. w z: v-^-^-f-v:^^-^«v-^) vel cof 2 w i: i±^T£V^\ 12 6 19. Pro aliis rationibus inter arcus m et n affumtis conftrudio lunularum ad altiores locos geo- inetricos affurgit , neque vero minus pro geometri- ca eft habenda. Vtrum autcm praeter lios cafus nullae aliae lunulae geometrice aflignari queant , ncc nc ? in dubio relinquendum videtur. Neque contra valeret argumentum afFerri vulgo folitum , quod in- de circuli quadratura conlequeretur , etiamfi et id , nifi quadratura indefinita fpedetur , parum roboris habere videatur. Etfi enim fatis conftet rationcm peripheride ad diametrum per numeros rationales exprimi non poffe , minus tamen adhuc pcrfpicitur, numcros etiam irrationales ad hunc fcopum cfle incptos. Verum etiamfi efl[et euidum , hanc ratio- nem ne furdis quidem numeris vlio modo exhiberi pofl^e , tamen inde vix quicquam pro arcubus ad totam circumfcrentiam incommenfurabiUbus conclu- dere liceret. Veluti fi quis arcum circuli finu vcr- Tom.XVI.Nou.Comm. Y bi 170 CONSIDERAT. CYCLOMETRICAE. bi gratia — j — o, 666C666 dcterminatum gcomc- tricc aflignare docuerit , inde minime aiihiic quanti- tas peripheriae coUigi poflet ; ex quo huiub^modi rc- (Jlificatio inipofllbilitati quadraturac ciiculi aduirlari haud videatur ^ nifl forte ad ipfam methodum , qua quis ad valorem arcus , cuius finus eft zz | pcriie' nerit , refpiciamus , cum enim eidem finui innumc- ri arcus conueniant , ob lcgem continuitatis mcsho- dus fmiul omncs iflos arcus complcdi dcbcret , ideo- que algebraica exprcfllone contineri non poffct; prae- terquam quod difflrentia vel fumma horum arcuum etiam intcgram peripheriam cflTet oflcnfura. Hac igitur ratione dcmum confirmata pronunciare lice- bit , nuliius prorfus arcus circularis , geometrice af- %nabilis , quantitatem geomctrice deiiniri poflTe. DE DE CRITERIIS INTEGRABILITATIS FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM, DISSERTATIO SECVNDA. Auctor e AN D. I OH. LEXELL. In iis qiiac critcriis ititegrabiHtntis , Tomo praece- denti horuir» Commcntariorum perrcripfi , haud immcrito defidcrari videtur , quod dodrina a nie tunc expofita , cxemplis quibusdam illuftrctur , quo- rum fcilicet \fus huiusmodi in re infignis efTe fo- let, ad ipfuni argumentum non modo illurtrnndum, \crum ctiam contirmandum et ftabiliendum. Ht tunc temporis quidem , quamuis in animo habcrem aliqua huiusmodi proponere exempla , a propofito taircn defiflcre coadus fui , nc in nimiam excrcfce- rct molem dificrtntio (upra commcmorara 5 hac igi- tur occafione , quod tum intermifTum fuit , doctri- nam fcilicct traditam fclcdis quibusdam excmplis illudrarc , leuiter adumbrare con(iitui , vbi tamen quacdam praemittere c re efTe iudicaui , quibus ea , quac antea a me expofita funt magis plana ct per- fpicua rcddi potcrunt. Y a 2. Quod I7a DE CRITERIIS INTEGRABILIT. 2. Quod itaqiie primum demonnrationem infi- gnis Theorematis Eulcriani § T et feqq. diflcrt. prioris allatam attinet , ingenue fateor eam adeo mihi non fatisfeciflre , ne aliqui adhuc in animo re- manercnt dubitationis fcrupuli. Quum autcm poft- modum \iam dctexerim , qua hanc dcmondrationem ad fummum certitudinis et euidcntiae rigorem per- ducere mihl licuit, nonnuUa ca de re monuifTe haud pigebit. Ex iis quae antea demonflrata funt , fequitur effe : lx.-fMdx; v-/Hdx; 'nzifPdx-r-^Ndx; K-fq^dx; -f'^?dx-\-f'^Ndxcu:, vnde deducitur hincque Simili rationc oflenditur fore N = (U)-^P0-\-9{i-;)'^ritS).... + u (1-;) P =: (^lJ)4-/)(^-5)+9(J-^;+r(J-^^).... 4- u (i^^i 4- y ^^iii)-^Pi'4)'^'lili)'^ri'/^)....^uii-l ctc. Atqui §. 7. Diflert. i. inuenimus M = (J^)-t-?(Ji)-+-y(iJ)-t-r(li).... -V- »(^-1) N = (Jf)-+-P(^)-4-?(if )-Hr(4^).... + « (Ji) TT etc. Si FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 173 Si igitur hi valorcs ipforum M, N, P etc. ita inter le comparentur, \t finguli termini fingulis acqucn- tur , inde fequcntes f-icile deducentur aequalitatcs : /d |X,__/^ V >,. (dn\^(dTr\. (djJ.)-(dji_\ (d\i\_fdT>. in quibus ipfum criterium integrabilitatis refidere antea cbfcruatum efl. Verum quum excipere lice- ret ex aequalitate binorum valorum ex : gr. ipGus M non ftatim fequi in vtraque expreflione fingulos tcrminos , qui iisdem litteris /), q, r etc. afficiun- tur , inter fc cnb acquiUidGS , iam aliam adiiciamus dcmonftrandi rationem huic obiedioiii non obnoxiam. 3. Quum enim fit; tum vero l|-p=(ra^,)+P(Jf4) + ?(|^p)+'-(J|j;)-+'"i|3^,)+(fe') (jl)=(irf,)+?(l7f,)+?(J-75i)+'-(j7i)---+«'iin)+(^?«'=- (H)='^-^'y+?(J-i^)+?(f-|;^P+Ki|^,)...-h»(j-i^,) + CS) (H'=(|:^,)+P<^)+?(||5ip+r(i|f,)...+»(i|^,)-(-(J,') (j-;)=(^,)+f(:-if,)+?(2-Tf;+'-(j-i4'-+«(i'^T;+(K)+(0) ttc. etc. Y 3 prae- 174 DE CRITERIIS INTEGRABILIT. practcrca autcin habcntur Mif=-i-^^ii-/,>+''j(}^:+''piU^,)----+ Simili modo ob fdx[f^)-f', - et diffcrentiahum inde ortorum. Qiian,uis autcm 2 a ca 182 DE CRITERIIS INTEGRABILIT. ea quac tum a nobis allata fuere, gen.ralitcr locum habeant , qualiscunque (luuntitas V concipiatur tfle fundio ipforum a", r, z et diffcrentialium inde pen- dentium , tamen quum potillimum ad eos calus pertinerc videantur , quibus V ert fundio algebraici, nullam fcilicet torinulam intcgralcm ipfa iiiuohiens , hoc loco haud iniucundum fore arbitrati fnmus fufius exponere , quae critcria integrabilitatis locum haberc dcbcant pro cafu formulac diffcrcntialis dn- plicatae \'dxdy^ \bi V ftatuitur —fVdxdy, imprimis quum acquationes , quibus haec criteria continentnr mirabili quadam concinnitatc et prae- ftantia fe commendire vidcantur. Statuamus iijitur \'ti antca § ii. Dilfert. I, dW — Ldx-^-l^d :.-{-? dp-\~(ldti h-R dr 4- etc. -^Mdj H- Vdp' -f- Q' dq< -+- R' dr' ^q;d(i"-\-R" dr" ^-K'"dr'" ct tum quidem quia cuidcns cft \' d x dy infcgrale admittere non pofle , nifi formula quoque \ dxdy fit integrabilis , facile intclligitur ante omnia rcqui- ri , vt acqujtionibus §. 33- Diflert I f:uisfiat. Vt •vcro conditioncs qnoque inueniantur , quae pro iti- tegrabilitatc fonnulac \' d x dy fpcciatim pracfcriben- dae funt , ponamus : ^^'-'hdx-^-vdz-^-Ttdp +K dq -\- ^dr + etc. -\-\y>dy -\- Ti' d p' -\- k' d (^' -\-^'dr' -\-K"dq"-^^"dr" -\-fdr'" tum FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 183 tum vero pofito ^V d x dy — 7. d Zzz2d X -{-Tidp-^^ dp -\-0, dq -^^dy ^'f'dp'-]-OJdq' ^^^' -}- 0."d(i". Nc autem nimui multitudine formulaium obruamur, ponamns in valore diff.rentiulis dZ vltimos termi- nos cfle '^dp et '^''dp' cx natura enim aequatio- num vltimarum ad quas calculus perducet , facile apparebit enodationcm fpecialis huius exempli , vim demondracionis gcneralis habcrc. Rationibus autem fubdudis vti §. -^S. Diflert. I. ftdlum e(t , inuenie- mus critcria integrabilitatis formulae Vdxdy fe- qiientibus (eptem contineri acquationibus : Olzo; 0'-oi OJzoi mz:o^ Tr^'zo:^^l"=.Oi^J"zo. Eadem crireria igitur feqaciUibus quo.]Ue aequatio- iiibus expreffi efle , intelligi dcbct : o — ( AL^ ) — (AL^ ) _ (■-£lL5_ ■) -4- ( 'h\' ) o — (4L^> — • ( '^♦.ti ) _ l i!5 > (±±1.) ^d~idy^ xd' fy'\ [ d* x" \ (_^'"' \ .4_ /■ d d V \ ^ ^dx-dy*' — ^dxdy^' ^dxdy-'' ^^ ^dxdy' O — ^dl^^' — ^d'x>dy' - ^Jxyry' ^- ^al'd>J ^d x dy> ^ — ydx^dy'^ — ^di^dyi' \^^fj-yl ^ U x' dy' ^dxdyl / d* H" >, , f d^ ) " ^JTTy^' "+" ^dxdy^-' ** -^ quaruin 18+ DE CRITERIIS INTEGRABILIT. quarum ncquntioniim rntib cx difTertiitionc tupcriori perfpicua rcdditux. p. In formulis difTcrentialibus littcrns Graecas inuoluentibus , earum vnlores §. cp. Didcrt. 1. ;illa- tos introducamns , quo fndo hns fepteni obtii:cbimus aequnlitates , criteria intcgrabilitatis propofitae for- nuilac \''(ixdy complecTiontcs : I. sN-.^j-^O + C-/^^ II. +N- = fJi)-1-(li|5) o <^y-° - \dy' III.sN-.C^Il^^-C^^^^-irro I V. ^ N - 3 'lli) -^ ^ (li^r) - &) " o -3^i^)4-.(j4^) VI.6N-3(^^)-4-^fJ4j;^-(^) = o VII.4N-3(l^; + ^(^,'f]-(^^') = o. Si vero fc.incntes iiim inflitunntur combinationcs V — 2 l ct VT — 2.111 conlequcmur : Vlte- FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 1S5 Vlterius fumcndo ( III ) -f- VI - V + I - II atquc (III)_^ V-VIM-III-II (vbi (III) fignificat aequationcm tertiam § 29. Diffcrt: L) prodibit : Denique capicndo (IV-IXj+Vll ct (II-VIII) + 1V obtinebimus : ++C!;^')-3C^') in qua aequatione fi deleantur termini , qui propter aequationes niodo allatas nihilo aequaifttur , tandem fiet: Simili vero prorfus modo demonftrabitur efle 3'5y)-(.^v)-t-c^.)=°- Porro et hoc obferuari meretur , efle tam ( f^ ) > quam C^^') — o, quod facile patet , fi IV — 1 fub- trahatur a (I) atque Vll — 111 a (V). Aeqiiationcs "vero modo inuentae ita com.paratae funt , vt facilli- jne combinari queant , cum iis quas §. 32. Dilkrt, I. in mcdium attulimus , nihil autcm attinct , dc mo- do quo hae combinntiOiies inflitucndae vbcrius dis- ferere , quia ex formulis indc dcdudis , ficile pa- tcfcat qua ratione tormandae fint. Iftae formuJne Tom.XVLMou.Comm. Aa aute;u i8dp'^(^dq' ^q'Vr/. Euidcns fcilicct cft cadem huiusmodi acquationibus exprimi : Q-3 ■■°(4';J) + ctc. .. .^^.3 C^)-H^(i^)- ■'o(A.) z=. 0 •7 •' ;:.■ ■ 4-M^,^')- '0 («^) ..wi,-j.:. - «=>(^') ■ '' A a 2 Q'— 3 i88 DE CRITERIIS INTEGRABILIT. Q!- 3 i'-;^)^ 6 {^) - lo ( 1!X.) H- etc. d R" dy 3 y-JJ'^ ^dxSy^ *" ^dj.\iy' 0!'- 3 (^) + « ("^;) - 10 (-"^: ) + etc. «('■4i;:)-io(.^j =o d-v » ft^- ' ^d xiy^' Cci'T'' Inutile niitcm ducimus \\\ dcmonftrationcm harum acqualitatum \lterius inquircrc , pracfcrtim quia fa- cile praeuidcre licet , calculum co pcrduccntcm, ni- mis euadere prolixum , nobis autem modum quen- dam tencndum cflc iudicauimus , ne maiori prolixi- tate lcdorum defiUigemus attcntionem. Quod quum ita fit , ctiam ea quae dc formulis diffcrentialibus triplicatis vcl altiorum ordinum , fimili ratione ac de duplicatis demonftrari poflcnt , plane practermit- tenda cfle ccnfuimus. 12. Cum autcm nunc dodlrinam antca cxpofi- tam cxemplis quibusdam illuflrare nobis proponinuis, in genere praemonendum efl , cxcmpla ifla a nobis adduccnda duplicis cflc generis, prius cnim cas com- pkcflctur formulas dificrcntialcs , quae pcr fe inte- grationem ndmittunt, dum poflerius ad ciusmodi pcr- tinct formulas , quac non quidcm pcr lc iutcgrabilcs funt FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 189 fiint , idoneo tamcn rniiltiplicatore adhib:to in qucm dnci dcbent, rcddi poflunt intcgrabilcs. In co ctcnim praecipnus \iiis doclrinac de criteriis integrabilitatis confilHt , quod anfam pracbcat huiusmodi multipli- catores inucnicndi ^ nam iis formnlis difFercntialibus , quas per fc integrabiics effe conftat , ipforum in- tegralia alTignare , minimum quidem hac in rc fa- ccflit negotium. Praeterca et eam ordinis rcgulam obieruandam nobis pracfcripfimus , quam fupra quo- quc fecuti fumus, \t formulas primum difFcrentiales fimplices trademus , tum vero ad duplicatas et al- tiorum gencrum progrediamur. 13. Sit igitur nunc propofita haec aequatio y yy p pp de qua ad praefcriptum regularum antca trnditarum inquiri dcbet , an formula W d x fit integrabilis nec ne ? Differcntiali autem fumto habemus : ^y y y J y JK yy ^ yZ ^p ppl f^y yy pp-T ps y-r"yk^-ri t>p>^^ vnde pro M,N,P etc. fequentes obtinemus \alores: Mz^^L-tl z Nrr-i£itfi'4-l£££4!: nq y yy^ y y ^ y'^ ^ p p-J y yy pp^ p' "> X.— _yT-^ yp^ ^—y Quum itaque elTe debcat Aa 3 ^primum ipo DE CRITERIIS INTEGRABILIT. pr imum inucnicmus '^f pp ^ y yy) +,,(- ^ .,^+ . - •-^•0 — - *L^_PzJX*pdx , -jclp dy , *xdx _ •j^y , ,. '/dj _ I^a. 'xqdK. y y "^ y' "^ y yy'^' ^t' pp p ^l_xqdy_, xyd^,*xyqdp_-yqdx_,^{pdy — ydp) tP tP t^ PP PP FOHiMVLARVM DIFFERSNTIALIVM. 191 cuiiis intcgnilc iniiiiifLfto cl\ ^ \ -s. y- ' y p — 'JiJJL -U LZ. Pf ^ ? • 14.. Propofita niinc c(1o rormiila qii.un examinemus an bis fit integrabilis , hoc eft an noi lohim f^'dx^ verum etiam f d x I V d x vcrum co.ftitiuit intcgrale ? DifE.rciuiali autem fumto prodit dy — ^'^r-^rdx-\--idq __ 2(,xr-^2q)dy _ {6p ndx~\-6 xqdp^e xpdq) — yy y. yi j,i ' -^» -r ^* ^s Tnde fequentes confcquimur valores : M =: — - '-^ H- -% y y 7^ >* p — — '^ 3: 7 — ^ p . 1 '8 ^ 1'*: >' :>* X. j,^ yi y y Vid.ndum igitur cft , vtriim his duabus fatisflat ac]uati-)njbus :. N — '^ ^ -4- ^-^^ ^^L^ — o et ■^^ r^ ^ d x^- dx^ — ^ ^ TTT ^ d x^ — ■" • quod ft ciicnerit , nuUum eft dubium, quin formula propofita fit integrabilis. Quum autem habeatur Q _ rf_5L — — - *4-^ et ^ d X y y y^ ccrte 192 DE CRITERIIS INTEGRABILIT. certe adipifcimur ^ d X ^ ci X' dx^ Pro podcriori criterio habemiis Dc reliquis formulis , quas integrabiles eflfc oportet , periculum nunc quoquc facere iubct , habebimus a tcm : f\ ? d X - ^ ) ^^ (^d X -\- :i fK d X ^ o. 15. Dum cxcmpla iam propofituri crimus formulurum uifftrcntrahum , quac pcr lc intc^rabilcs non FORMVLARVM DIFFERENTIALIN M. 1^3 non funt , :it iii certos multiplicaiorcs dinflae ad ia- tcgrabilitiitcm perducantiir , liaud prae^er rcm cru , de indolc horum multiplicatorum p;\uca praclari. Primum igitur- licct concedenclum fit , \namquam- que formulam difflrcntialem eius efTe indolis , vt in ccrtum multiplicatorem duda integrabilis rcddatur , minime tamen inde fequitur huiusnK di nuilt:plica- torem pro idoneo effe habendum , fi differentialia altiorum ordmum in^ioluat , quam quac in ip& for- mula differentiali propofita repcriuntur. Quum enim jnieyratio in eo confiltat , vt formula dif!crentialis propofita , ad aliam gradus prox me infcrioris dc- primatur , facile Iiquct ineptuiri habcndum effe mul- tiplicatorem , qui difFerentialia fuperioris gradus in- volueret , quam quae in ipfi formula ad ititcgran- dum propofita cccurrunt. Sic fi quaeratur intcgra- le f()rmulae ^^ d x per fe non integrnbilis, in qua v|-' quamcunque defignat fundionem ipforum .r, y^ p, ^, quiu;s facilc iudicare poteft , multiplicntorem hunc in fuicm adhibcndum non inuolucre debere valorcs ditFereiuinles vltra p affurgentes , quoniam ipfum in- tegrale , quodcunquc demum fit , vt fundio ipfo- rum X, j, p confidcrari dcbct. Deinde ct id notari jnerctur quod fi multiplicator aliquis idoneus for- mulae \\/ d x fuerit inuentus , quem littera (|) indi- gitemus , tu:n ex hoc infinitos alios elici poffc , quorum ope eadem fbrmula \\^ d x reddatur iate- grabilis. Si enim ponamus f(^\\/dxzzz^ facile intelligitur huiusmodi formulam dzT:z (deflgnan- tc r : ;2 quamcunque fundionem ipfuis z) pro inte- Tom.XVLNou.Comm. Bb grabi- ip4. DE CRITERIIS INTEGRABILIT. grabili efTe habendam , fu]inJcm huiiis formulae ia- tegrato refcremJd cft ad primam calculi integrahs partem , quae dc integratione formularum dfferca- tialium \n cam variabilem inuoluentium agit , cu- ius Qiimes optr.it Oiies hoc in ncgotio pro conceflis haberi debent. Liquet igitur multjphcatores idoneos forniulac propofltae \pdx, generaliter hac expreino- ne contincri cp T : s leu (^ F : [ f(P ^l^ d x) hincque ex vnico mu tiplicatore Cp uuiento , mfinitam mul- titudinem dcduci polfe. In inuertigando autem mul- tiphcatore (p, haec praefcribenda videtur rcgula , vt femper fimplicilhmus qui fieri poflit exquiratur , h(X efl taUs , qui minimum numerum \ariabiUum ar, y, p etc. iivuoluit, fic fi propofita fucrit formula \\^ d X in qua \\j fundio habetur iplorum .v, j',p, ^, fimpUcitiimus erit muhipl cator $>, fi ita compara- tus fit , \t vnicam tanrum \ariabilem .v inuohiat. Qiiiodfi autcm talcm inucnire non hceat , proxime inquirendum efl , vtrum detur fundio quaedam \el foUus y \el ipforum x tt y per quam >|/ _-o^ ideoque ^ — v d x , feu Cp — f^^'^*, Integrale au- tem ipfum iam erit j ^-'^'"^'' , ideoque totius formu- laa propofitae : Enimuero operae pretium iam quoque erit inuefti- gare multiplicatorcm gcncraliorcm , qui fundio fit \triusquc x et/, et de quo ex antea monitis qui- dem conf^at , eum huiusmodi exprimi forma : gjvdxY -.(lyef^^^^-^fe^^^^^zdx). Statuamus autem vt antea hunc multipiicatorem (J), et quum nunc fit V — <$>^/'4-i''^" + -) > "^c non dV — d(^{p-\-yv-\-z) ^(^(^dp~\-y dv -\- V dy -\- dz) erit M =: (i|) (p -I- >"i^ + ~) -H 4^ i^ -+- 'S ■-> N n: C^ip +/ i' -1- ^) -H Cp V ' B b a V-4/ , vbi Cp' deooMt fiinaio- nem (btiim .v inuoluciitcni , ^ ■Mmm talcm qu:ie •vtramque .v et j continet , atquc ob liis \aloribus in acquatione ruperiuri fubditucis coa- fequimur : Nunc fiicilc quidem apparet , hanc acquationcm iii duas di(pe(ci pofle partes , quarum vtraque cuanefce- rc debet , erit fcilicct I. (p'v-^-^^- = o et II. i'/^)iyv^zyili] = o, cx priori ftatim deducitur Cp' — i?-^'"' *, quod autera poderiorem attinet , facile licjuet v|y habere deberc hutusmoii formam rif/S-hT), dcfignantibus S et r fundioiies quasdam Iblius variabilis .v. Fict Tcro indc (i±)=^r':iyS + T) et i'^-j=:i'-/^'+'-^)r>:iyS + T) hinc cr^o pmdibit Sij.-^z)~y^^-i^ = o, idcoquc S V - i|- - o ct S s - ^^-I = o , yndc dcducitur l^ — ^fvd. ^j T^fSzdx^fe^^^^^^zdx, m ulti- FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. xp7 muUiplic:Uor qaacritus igitiir crit g;^jx Y:(^y ^i^'1* + j e'^^"". z d x) prorfas \ti fapra docuimus. 17. Pra formulii diffeientiuli : CLxdy-^-^ydx-^-x^^riyxdy^^jdx) quacramus nunc multiplicatorem , quo integrabilis reddatur , pofito igitur hoc multiplicatore 1=: (j> , habebimus Vz=.(^{o.xp-\-^y^x''r{yxp^$y)) idcoque diflferentiatione inftituta , fcqucntes prodibunt Talores : TA:iz{'^^)iaxp-\-^y-^x^y^{yxp-\-By)) ^:=i{^){axp^^y^x-y^{yxp^By)) P =: CP ( fl :v 4- Y ^™ "*" >")♦ Quum igitur cffe debeat N - ^ = 0 , hinc dc- ducetur : + (pf^-i-A-«y-(«Y.rp4-(«^-i)5») et quia- Bb 8 (t)((3 I9S DE CRITERIIS INTEGRABILIT. (p[(l - a + x'^y\{n+ 1 )^-(/// + i ) Y)) + (g) (Pj+^ -vV+O Kiinc \eio cuidens eft , huic aequationi l:\tisficri, fi ftatuatur (p — .v^y , quo fecflo erit (^):^H.v''-y et (J-|)rzX.x«j^-' hisquc valoribus introdudis et tota acquatlone per x^^y^ diuifa , fiit (3 - a -i- ^'"fi (« + i) vy-^y) = o. Hinc autem obtinemus l°p-anKa-X(3; IP f«+ i)J-(w+ i)y^hV-^^ cx priori fit(3(i-l-X) — a(i+H), ex pofte- riori \ero J(i-V-«-HX)— y(i-Hw + k-) , fiue ?^( r + ;2 + X)=;a7/; + a( i +k) — a;;; + |3( i + X), crit igitur a{$fi-ym)-((iy-aSit + r„ vnde i+Xr?^^ fimilique modo i -f- k := ^^JiLr-JL^-), Intcgralc autem aeqn;itionis propofitae nunc inuc- nieiur Practerca autem crit +/Ayfa^;' + .v'"-'y((w+!)Y-^y>' + W(5'j')) AN^/jt- FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 199 /N dx—fk vV^ - ' (a .V dy + ^y dx + x^^y^ y x dv\ ^y dx)) -i-fx^j^ (3 dx + jt^^j" -'{nyxdj+{n + i) $ydx)) — a. x^-^ ' y^ -\- y x^ '^'^ ~^ 'y^ "*" ". iS. PropoQta acquntionc diff.rcntiali liomoge- nea R d x -h S d y ^ pro qua R ct S (unt fundiones honnogeneac ipfarum x et 7 , inueftigcmus multi- plicatorcm , qui eam intcgrabiicm re.ldat. Si igitur ftatuatur hic multiplicator (p , habcbimus V z= Cp ( R + S />) , hinc M::r(J4)(R + Sp)-i-Cl)((J-|)-f-prf^)) N = (i|)(R+Sp)-HCp((5-^)4-p(^-f» et P r:: 0 S , tum vero erit Dum igitur ex hac aequatione valor litterae erui debet , primum obreruaffo iuuat, pro (p affumi poffe functioncm homogcneam ipHirum x et y. Ponamus autem Cp> cffe fundioncm homogeneam }ft dimenfio- nis et per ea quae in Tom. I. Calculi Diflierent. Jllurtris. Eulcrt §. 222. demonflrantur , habebimus ;«(p = :c(^4)4-r(^f), hincque Ky['^)^mK(^-Kx{f-) hoc igitur valore in aequatione fuperiori introdudo, fiet f«R(p^(R^' + Sj)(^-|).::Cp(/(^5^)-i'(f|)) pro- 200 DH CRITERIIS liMTEGRABILlT. proiiiJc Simili ratione probatur efle {Rx + Sj)(jj~:-mS' , vbi R' et S' funcliones funt nullius dimenfionis ipfirum .v et y , pofito autem. R' .v rr R et S' A" r; S , quaeramus nnftiplicatorem forinulae differentiahs K d x-i-S djt ^ qui \ti antea demonftrauimus erit ^-—75- j l^inc crgo fiet forirula ■. nd X -t- Sdy -R' xd X -t-S,' x dy K' d x -^ 5' d ^ Kx-^-Sy R'a:'"-+-s' ;c> ~" R' x -+ S' y integrabilis , cx quo uuUum eft dubium , quin K'dx -\- S' d y reddatur integrabilis diuidendo eam per K' X -\- S'j. Si R' et S' futrint fundiones — i di- menfionis, multiplicctur vtraque per X}' et ftatua- tur K'.vj>'— R et.S'A,'y — S, ficque multiplicator formulae ditfercntialis R^/.v + St/rj Iwbebitur ^-^^-^ , intcgrabilis igitur erit formula V^' yy d r_H- S' xydy — R' d x -f. S' d.y I h' x' y -i- S' X y* R'x.+.S'J» • Tom.XVI.Nou.Comm, Cc Per ao2 DE CRITERIIS INTEGRABILIT. Per fe autem patet cfTc / M d X — (p R ct f^ (i X = (P S, 19. Niinc niitem flicile perfpicitur , quomodo iiuiefligatio idoiiei multiplicatoris pro tormula Rdx -^- S dy fiiciliiis inrtitiii poirit. Si enim is multi- plicatur , vt anrea (upponatur zz 4> , tum vero po- natur RCj) — T et SCpnU, ex iis quae lupra mo- nuimus facile inrJlig tor , T ct U pro fun- S > ) Cj) Kjc-f-i>> ideoque Cp - ^^-. Patet FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. ^oj Pdtet autem coJem negotio multiplicatorem latius quoqiic paccntem inucniri , qiiia eiiim eft idcoque fi ponatur ?i^|^ — -^, multiplicator ido* ueus fbrmulne propofitae , nunc quoque erit 2^. -+. . (p — 7T-—--F- , ipfum autem integrale inde oriua- iv A," + o y dum eft ^Z'"-*-^ 20, Confideremus iam formulam difFerentla- lcm : dx{ci.-\-(^x-\- yj)-{' dy{$ -]- sx -i- ^ y) cuius fadorem per qucm multiplicata intcgrabilis fiat , inueftigari oportet. Primum igitur liquet , fi ftatuatur a-^-^x-^-yyzriz et B-^-ex-i-^y^zu inde fieri (idxi-ydjzzdz , edx + ^dy — du hincquc quibus valoribus fubftitutis noftra formula in hanc traiisformatur {^ z - e u) d z ~\- ((^j u ~ y z) d u vbi quum iam quantitates , in quas dz et du du- cuntur, fint funflioucs homogencae ipliuum z et «, C c a per .204- DE CRITERIIS INTEGRABILIT. per ^ anteceiicntcm , multiplicator lianc formulatn inte^rabilem redJens ent (f a — 'v u J i -t- ( (J « — « = )" ' fiiie haec formula fict integrabilis diuifa per + [6+ 1 x-\-yy) ((p ^ - Y £ )jM P ^ - « e). Videamui vcro nunc an ct alio modo , hunc mul- tiplicatorera detcgcrc liceat , Itatuamus igicur cum zz CP , quumque fit VrrCp^a + t^p-f-p.v + e.vp + Yi^ + ^/p) ^rit l^^[^^U + Sp-^^X\ixp + yy-\-^y0\-(^{y-V^p) jHinc ob N - ^ =: o , fiet cx qua aequatione valorcm ipfius 0 quaerere oportet. Verum cnimucro quia infiniti valores pro 0 fine dubio dantur , qui huic acquationi fatisfaciant » ton- gruum crit pro aliquem valorcm afiumere, cum- que cxaminarc, an conditioni noftrae fatisfaciat. Qoan- doquidcm veto cafu a~o et ^ ~o, muliiplicator eflfc debcat inde rationem adipifcimur pro nofiro cafu fuppoDcndi Hiac FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 205 Hinc vero fit (1^)= (- P (a'-H w)- (a-j- p a:-4- Yr) - eCj -f- w)) ^' (^^)=z(-y(.v-f-/;0-(^H-e.v4-«^;)-<^(:K4-»))4>' vndc Cp'(efj'+«)(<^-ie.v+^i')+l3(A-4-7;/X<^+a-+^j)-Y(.r4/«)(a4f3.v+v>')"\ -^(^+")(«-iPA+7>')y fieri igitur debet -(a+|3 .v+y >•)'£ (.v+w;)+ ^( y+«)) + (^+e.v+^ jj')^ Y (i^+w^-H (3 ( .v-i- w ) )z: o. feu (^+£.v+^>')^p;;7+y «4 PA-+y>') - (a-i p A- + yj) (e ;;/ + < ;/-i- e -V -^ ^ jy ) — ©. Quae conditio manifefte impletur , ftatuendo ^m-\-y ti — a. ct ew + ^w— ^, Tnde obtinemus Per fe autem euidens eft, hunc ir.ultiplicatorcm cum prius inuento prorfus coincidcre. Vlterius Tcro ob /Mfl'.vrr/^^(^J;(a4pA+yj)+/^j(^J)(^ + e.v4 0)+/^(P^A' + <'(,^):(«-ip.v+y^)+yct):p^A-+y^j), crit /Mdx — -^B'p4-C-'''ipil:.v^-V.v^^-^(p+ ctc. Hiiius igitur formulae ope , criterium integrabilitatis lequenteni nobis praebebit aequationcm : o-ACp -B?i| + C'^-D^4-E^=I>-< -B -^4C -9D 4-i^.E -25. F 1. 2. J '. 2. Z I. 2. 1 I. 2. 3 1. »• l , L6.s.^£ — '^•■^•^* F + etc. — ctc. + etc. ' i.j. j. ♦ 1.1. 1. ♦ etc etc. vbi iam progrefllonis kx pro omnibus terminis fati* efl mauifcftii. Verum ex liac acquatione nihil aliud concludi poteft , nifi quod Cp per huiusmodi aequa- tionem determinetur : Tom.XVLNou.Comm. Dd A'

-m introducendo , in ae- quatione (uperiori ex crutr.o intcgrabilitatis dedu- Ct-A , conLqiiemiir o=:A-E(X4-i) fCX(XJ-iM +X':+2C-DX(X-i)(X-a) "9 i;X(X-i)-i 8l>X-6DH-tX,X-i (X-2J(X-3) + i6EX,X-i;(X-2)H-72EX(X-i}+96EX+24.E-etc. quac aJ hanc reducitur e=A-B(XM)-fC(X-fiKx+2)-D(X-hi\X+2)(X+3) + EiX-}-i;x+-i)(X4-3;(x++)....-4-L(x-i-i)(X-f2)....(X-^;;/). Si igitur cx hac aequatione finguli \alores ipfuis X inucdigentur , vnajuaeque huiusmodi cxprellio x^ ^ pro niultiphcatore idoneo formulac noftrae differen- tialis propofitac habenda eft, integratione autcm atftu inrtitiita , habebimus : xdv x^cldv vVv ^"'"'«/'""'jN B A 'A-+-:) pofitis fcilicet A=(X-fi)A' A'-^, B=(X-f-2)B'-fA' C=(X-l-3:C'-i^B' C'=,-iL_--^,— + ^,^;;^, ctc. etc. Quoniam vcro nunc intcgralc cmerj;cn5 fimilis cd: formac , ac ipta aeqiiatio difici<.niialis propolita , FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. aix mox liqiict quoinodo intcgratio \Itcrius continuari poflit , \bi quidcm notari mcretur , fi ex acquiuio- ne \ndc X dctcrminatur , il!a tot fortiatur \alores diucrfos , quoti gradus aequatio dilTerentialis propo- llta e(l , inde ficri \t pro fingulis \aloribus ipfius X inucniantur acquationcs diffcrcntinles gradus proxime infcrioris , per qu.irum igitur dcbitam inter fe com- binat oncm , aequatio tandcm eruetur , quae folas quantitatcs finitas x et j inuoluit. Verum huic rei txplicandae diutius inhaererc minus necefle ducimus, praeprimis quod artificia in huius aequationis inte- gratione adhibenda , iam accurate fint expofita. Vid. llluil.r. Euleyi Calcul. Integ. Vol. II. p. 483. et feqq. 2.2- Pro formula difTercntiali : vbi K et L qusiscunquc fundlioncs ipfius .v defignant, quaeratur iam multiplicator (p eam intcgrabilem rcd- dens. Qnum \cro fit Y — (^{q-\-¥.p-\-Ly) , erit M = (^S(^+Kp-i-Lj)-l-Cp(p,^+j--5 Nrr(j-^)(^-i-K/,4-L;0 4-CpL P = (il^^^-^K/,-i-L.r)-f-^K; Q-Ct). At pro integrabilitatc formulac propofitac habctur fubilitutis igitur \aloribus fupra iiiuentis , hanc con- fequcmur acquationem : Dd 2 Cp(L 21 z DE CRITERIIS INTEGRABILIT. Huic acquatioiit quuiTi vnriis modis (atibfieri pofilt , cutus nonnullos particul-.ires contcmplabiniur pro Cj) idoneos valorcs exliibentes , horum vcro fir.e dubio rimplicifliiiuis e(t , quo 0 lupponitur tantum e^Te fuij^flio ipfius X, pro quo iutur habcbimus cuius acquationis opc fi

et poftcrior pcr y^ fumta diffcren- tia prodibit (p dc/y~jdc/) _ o • ('^^^\— n ■ (^A^^ — cs His autem valoribus in aequntione noflra critcrium intcgrabilitutis exprimcnte lublHtutis , fcquens orie- tur aequatio : (Sj^ + TpjCL-l^l-KCjJJ+pJ-I^ + SCLj^ + ^^) -TUft+XU-S+2K?)+^^4^+p^-V2pJ|+JI(^-Kp-L^) = o vbi fi termini litteris j, p et q afFciHii feorfim nihi- lo aequentur , hae trcs habcbuntur aequationes : II. (L-iy)T-KiT-(L+f3T + ilI+l%»-!^-=<» III. 2S-sKT + p^ = o D d 3 quae 214- DE CRITERIIS INTEGRABILIT. quac iii fcquentes contrahuntiir : Spontc autcm liqiiet , binas poflcriorcs prorfus con- gruere , adeo vt totum negocium nunc co rcdeat , \t cx prima et tertia acquatione \alores littcrarum S et T inueftigentur. At quum climinando S vel T ad acquationem diffcrcntialem pcrucniatur tcrtii gradus , quae quam ip(a propofita multo difticilius loiuitur , tenendum eft huiusmodi muliiphcatorem Sj'-|-Tp non nifi pro certis \aloribus littcrarum K ct L adhibendum efle. Primum vero erit hinc autem fiet djiS _ l^dS ■ SSdT __Sdd-V _ dSdT , SdT' _LdT— Tdt,- ax» T Ux ~^T'i.Ux zTdx^ :Td JC»"' 5TTd*= dx 4-iLS=:o, quac commodius ita cxprimitur : r/. L T - :i L T. t^ rr ^^ - ^. e-^ -4- f:^) . Iiacc aequatio r gralc indc orictur 1 •Six Si hacc aequatio multiplicctur pcr e , inte- TL^ ^^ ' =r"^ i-^i^^J.^s^dT^) + c, hiHcquc „ rS Ix C p J ~ X ill, _ Jl^^ -f- «^ ~T~ Tdx ' T T d ; L Si igitur propofita fiient huiusmodi acquaiio : „ rsd X certum FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 215 certum cft cam integrabilem reddi per hunc mnlti- pliciUorcm Sy-\~Tp et ipllim quidem integralc tum crit : quod pofito C — o , in hanc fatis concinnam abit formnm : T T rt'/' + 2 T S}' dy dx-\-yy S S dx" =: B T dx\ 25. Tribuamus iam mnltiphcatori Cp huius- modi formam : (^ — Kyy-^Syp-k-Tpp, eritque (^^)=2^R+pS;(lf)=2pT4-7S /'ddCP^ dR , ^dS. ( ddCp S_ ^^dj dS /d dOJx , p . / d d 4> \_c . ;d d (|)^ — o T ^di;^;— 2^? Id^-dp/— '^' \-r^i — ^- His valoribus in acquatione pro criterio intcgrabiii- tatis all.ua fubrtituiis, iitque terminis feorfim nihilo aequatis , quae produdlis y\ y p ^ p\ y q ^ p q affi- ciuntur , (equentcs confcquemur aequationes : L ^.Kh-d.\^t—-\-'^-J^^^o ^ d X * d X- "•+."- = ■/■ d d 5; d X ' li j:* III. 4R-2(SK4-TL) + J|-:r:o IV. 2R-(SK-i-TL)4-i^^-i^4-^^T_^ V. 3 S - C> T K + 2 ^-I- = 0 Harum 2i<) DE CRITERIIS INTEGRABILIT. Harum 11 ct III ftatim phne coincidentes habentur, dcindc vcro fi ex 2. IV iubtrAhatitr III , prodibit quae iam manifefto p^aebet differcntinle flcquationis quintae , quocirca determinatio quantitatum K, S, T ex his tribus aequationibus pctenda ei\ : II. 4 R-c(SKH-TL)-f-j^=:o III. 3 S - (J T K 4- 2 jj " o. Si fundlioncs R , S , T pro datis habcntiir , tum vero qiijcratur, qualcs K et L fint fuuclioncs ipfius .v vt formula ii dj-^ K dy d x -\- Lj d x'' , per R/ '+-Sj'/)-t-T/)/) fiat integiabll s , Ilat.m obtincbimus ¥ ; R— S K , d^ l3 — JJ — . S ti T . _£S ^ — T~ '' Tdx — T iTT 3T'I d3c '' 1 i» * praeterea autem reqniritur , vt huic quoque fatis- fiat aequatrorii ; li_R _ d M--+-iii.) 4- 1 R L =: o adco vt ipfi quantitas R , iam pcr S ct T certa ratione detcrminetur. Flurcs cafus muhiplicatorum forpulae /idj-i-Kcfy dx-{-Lyd x" rnr:; ■ adfcrrc FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 21*7 adferrc fuperuacnneum eft , pro quacunquc cnim nuiltiplic.Horis forma , opc acquationis §. 23. alla- tac , tot acquationes inuenirc licct, qiiot rcquiruntur ad iprum muitiplicatorem perfcde dcterminandum. z6, Tranfeamus nunc ad formulas differcntialeS \ dx \tx comparatas, vt fundio V praetcr x, bina» alias variabilcs y tt z cum earum diffcrcntialibus qaibuscunque inuoluat , pofito difFercntiaii dx con- Itaiue, Sit \ero ex huiusmodi formularum numero propofita (equens quam examinare oportet , vtrum integrabilis (it nec Be ? Si igitur fttatuamus ij — /j^ |^ — ^ , atquc dV zzlAdx^Kdy-\-Vdp ndz-\-^di,* habebimus pro noftro cafu , M — 4,^ - izii^^ • N = ^- - ^ ; Qiiocirca quum pro integrabilitatc formulnc propofi- tac, binis lcqucntibus acquationibus latisfacicndum fit: N-i|- = o;3?-J|r:o taloribus fubftitutis , omnino patet has conditioncs perfede implcri , vndc ccrto indicio conftat formu- lam noftram intcgrabilem cffe. Erit fcilicct t-^^d.^-o et £_->_-dx-/'^^dx+f^'^^dxz:o i /^'■^dx-2jQ.dxz:o. 28. Quum exempla modo allata quam maxime fint obuia nonnulKi adiungere placet eiusmodi for- mularum differcntialium , quae non quidem per fe integrabiles (unt , ope multiplicatorum tamen ad in- tegrabil tatem perduci poterunt. Ponamus itaque propofitam cflTe iflam formulam diffcrentialem : d X (x z" -h X y' — x' zp' ~ x" y p) pro qua multiplicatorcm (J) inucfligari oportet , ita comparatum , vt <^dx[xz" -^-xy* - X zp' - X y p) E e * inte- C20 DE CRITERII5 INTEGRABILTT. intcgrationem admittat. At ex iis qiiae fupra montti- mus , nunc deducitur efle : ■-\-(P{z' -4-/ — zx zp^— 2 xyp) l^zz{'j^^)(xz' + xy-x'zp'-xyp)^(!i{^xy-xp) m-{^^l){xz+x/-x'zp'-x'jp)+(p{zxz'xy) V--x'y(t)i ^z=-x' z{z+f)^-^(p(ydj+zdz) fcu f?=-i^:j^', hincque integrando i L Cb — L - -'- , fiue d) r: ' Euidens FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 22 s Euldens Tero efl; hunc mukiplicatorem quaeftioni fatisfacere , quum integrale noftrac formnlae inde prodeat ^, ""* ^. Quod reliqnas ibrmulas integrabllc» attinet , (jbfcruare licet efle : Siqindem multiplicator iam inuentm fu Cprjjr^,^, integraii exitknte ^rzjiri 7 inde qaidem mox patet ; gcneralcm formam multiplicatorum hac expreffione contineri (pzz^^-^-, r:(— ^-.^). Pcriculum igi- tur faciamns hunc multiplicatorem immediate ex Boftris. formulis eruendi. Et quia (P nunc confide- lari dcbeat \t fundio trium variabilium a: , j' , « ponamus Cp — (p'\|^, vbi CP^ binas tantum variabiles j et z inuoluere concipitur , vp autem omncs tre* X , J ^ z. Tum vero crit iz['^) zi ^ dz{'^) + ^^dz{'^) proind* inde autem conlequimuT :::-4(p'vK yfl^H-xr^^^^-C^^^Cp^+cp^^^vtyXAirp+jrsp'), fiae x|/#'(«'+r')4CpVv{.(2*+y>Cl)V;t(g)(«'+/-;»r/^-;s«p'| ^-A^^^iydjf-^zdz) , £ c 3 qaam «21 DE CRITERIIS INTEGRABILIT. qiiflm aequationcm in binas fequentes difpertirc li- cebit : d^Piz^h/)-dxi^-^):z-i-y'^xzp'-xrp). Ex priori ftatim habetur (J)' zz (— ^tt vt antea , porterior vero praebet -«(i-i)(TT^j?)=''^-''-v(j4)=«'.2-*)+'/-(f*). Tcntetur iam pro v|/ huiusmodi forma ^^^^zzF: XV, vbi X fundionem incognitam ipfuis x , V aurcm ipforum j' et ;s defignat et diffcrentiatione inftituta , habebitur CX quo fit ?^ — L^2lliLY_ ciii nequationi manifefto fatisfit , ponendo ~ — ^^ , feu X rr .V et d v _ _ r.J.^j^) f-cu V ex quo forma gcneralis multiplicatoris nunc crit (t> — L r • ( - - ). Practerea cti:im obferuaflc iuuat, quantitatem vjy cx hac formula deterniinari '-^&z=.dj{^/^)-\-dz{'^l), vbi fi ponatur v^— T^XCp', hanc confcqucmur aequutiouem : FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 223 d X — * dx X ct multiplicator inuentus omnino ad priorcm redk. 29. Propofita niinc fit formuln diffcrentialis : ^x[ yy+Jz-^-z z)-\- dfz z-\-x i^x X )+ dz ( v x -\ xy -\-yy) et quia conflat eam non efie integrabilem , operam darc oportct , vt inucniatur multiplicator , cuius ope integrabilis fiat. Sit hic multiplicator zi (p>, qua* propter , fi breuitatis gratia ponatur yy-Vyz-\-zz-\-p[zz-\-xz-Vx x)-\-p' (x x +xj -\-jy]-^ erit M = vp (^4)-^^^^"+ " ^*^^"^^'+ * ^'P'^ N - v^ (Jl) + Ct)(2Ki+p')+.vp'-fs); ?-(pixx+zz-\-xz^ g^ — vl^ (^^ + 4^C asf i+p)+A^+;') ; ^—4^. ArA"+.v>'+>y). Criteria igitur integrabilitatis quum nunc praebeant:- N - ^^ = o et !^ - 1» - o d X d X has binas adipifcemur aequationes : I- ^ (r>) - "A {xx-\-xz-\-zz)\-2(p{ y~x+pi{ y-z))-» II. vP(J|) - 1? (.v.r+.t:r+j^}+2Cp(^-a4-p(^-r)j:=C7 quarum differentia dat +2(|)(>'-;2Xi-hp+p')-a conle* a«4- DE CRITERIIS INTEGRABILIT. confequcntcr Hinc mox quidem iiinotefcit , ftatui pofle l^ — - 'SL^ 'Ly-^- ^^ , fiue 0 — L . quum eo ipfo quoque fiat (^) — (^) , ncc noti Vtraque conditio fupra praefcripta impleatur. Inte- grale autem formulae propofitae hunc adhibendo mul- tiplicatorem prodibit : 30. Qiiamuis mu'tlplicator iam inuentus quae- ftioni liiti^faciat , quum tamen et ahi «jentur , qui- bus idem perficcre hcet , inueftigationenj huius mul- tiphcatoris ita inflruamus , Mt ad rehquos quoque perduxifle , cenfcri quear. Ex natura igitur quac- ftonis quuni facile pcrfpiciatur pro muhiphcatorc Cj) commode adhibcri pofTe fun', s, inde hanc ehcimus acquationem : Pcr acquationes vcro nortras I et II confcquimur vK ;. ( j^) 4- 2 (^J?)) =: ^J ixxy+xxz-{-}ZZ-hyjzi- ^xyz) - 2(p[yy'\-zz-xj-xz+p{zz-zy}j-p'iyj-zj')) fimiliquc mndo ^2(p({y'-x]p+('i''X)p') quac FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 225 qnne in hnnc transformatur \ndc nunc deducitur -2(p(yy+zj+jy^p{zz+xx-zj-xy)+p>{xx-\-jy'XZ-)'z)), Si nunc vtrinque addantur 3 "^ 4" » prodibii : in+^.^P^l^-^^ix+y+zXxy+xz+jz^+^^^^^Oy+zz+^jz+ixy+zxz) H-Cp i2(.v'+s'+ 3xz+2xj+zjz)+(pil'+3Xj+ 2XZ+ 2yz). Lcui autem adhibita attentione , quum deprehenda- tur cffe \\^ dx-d. {x+y + z){xy + xz+yz)- ^[xy + x z+y z) {dx +dy+ dz) coifHciens autem ipfius ^- fit — d. {x-+y-\-z),xy'irXZ-]ryz) , nollra aequatio nunc concinnam hanc confequctur formam : {n+-2)d. {x-+-j-+z)(xY-+xz-\-yz) - 2{n + 3 r .vy-v XZ+) zy.dx+dy+dz^—^^-^^x+j+z^ixy+xz+yz) ex quo denique deducimus : h.0-{n+2)L.{x+j+z)l.vj+xz+yz)-2in+3)Ux+j+z), iiue _ (xv-\-xz-^YzT-*-^ ^" {x-i-j-\-z)'^^* • Tom.XVI.Nou.Comm. Ff Hinc 22(S DE CRITERIIS INTEGRABILIT. Hinc quiJcm mox apparet , forrnas fimplicinimas multipl.catoriim obtincri , fi Ihuutur ?; vcl n:— 2, vcl «— — 4-, priori catu fit Cprr (5: -Sj» > poftcriori autem CD — ! -. Practerea etiam cafus notari mcretur quo « — — 3, quum tunc multiplicntor fiat (h - 1 -, qui ex naiura fundionum homogenearum immcdia- tc dcducitur , \ti infra oitendendi dabitur locus. No- tandum autem eft liunc vltimum multiplicatorcm , integrale pracbere Logaritlimicum , quum fit pro ifto cafu 4)d « _ d.C»-f-3'-f-g)fa:>-»-»g-t-.yz) _ tJAxj-Ay^^^ IlinCQUe r^Ax — T xy^x7.^y s Dcnique etiam notari meretur , effe ob ideoque fMdx — (pin' -^-y z-^zz). Simili ratione habcbitur f^dx-^^^xx-^-zz^-xz) ct /Tulx-(^{xx-vyy-vxj). 31. FORMVLARVM DIFFERENTIALIVM. 227 31. Confidcrcmus nunc formukm difFereutia- lem homogcncam pro qua muUiplicator idoneus eam integrabilem red- dens cxquiri dcbcat , adeo vt fi is ponatur (J), fit formula (p {K d X -{- S dy -\-T dz) integrabilis. Ex natura autcm quaenionis intelligi- tur pro 0 afTumi pofle fundionem liomogeneam ipfitrum .v, j', z, tunc \'ero fi ponatur (pR — X, (pSrr Y, (p T — Z erunt quoque X, Y, Z fundioncs homogeneae eius- dem dimenfionis ipfarum x, j, z. Per naturam au- tcm fundionum homogencarum iam liabebimus : Atqui ob integrabilitatem formulac Xdx ^Y dj-]-Zdz cfTc debet Ijy^— ^dlc^J' 'ri''— ^d-T^' '^dT^''— dj>' his igitur aequalitat.bus in vlum vocatis acquationes fuperiores in fequcntes transformantur : «,X = .v(l-^)+Wf|)-4- = "- ' .^'""-'jc) »fw-i>rTn-0 TTi-i^ ^m^ y* ^ ^//™. j"'-*-' S 4- m dj{ y"^. d^-\ z-my^^-^d^-yz-^^H^Y-^d^^-^y^z) ^mdy {-■a^-'^^ ^^ ^V"»-'^-'. j'z . . . j:: 'i:+'-^^^V"'^"'-^y2 Tom.XVl.Nou.Comm. Gg atque £54- DEMONSTRATIO SINGVLARIS atqiie aJco iii gcncrc Si igitiir f()rmiil;i (A) pro valorc quocunqiic littcrae f/i veritati fuerit conrcntaiica , nullum c(l dubium , quin vern quoqiic fit , fi in locum ipfius ?n fublU- tuatur w -H « , defi^nante ;; numcrum quemcunque intcgrnm pofitiuum. Quum autcm pofito w— i oriatur aequatio identica y (t. z — d^.y z — o \ liquet quoque hinc in genere cfle pro numcro quocunque VI intcgro ct pofitiuo : vbi vltimum membrum figno ~\~ nfficictnr , fi m fuerit numerus par , contra vero fi inipar. IV. Loco Lcmmatis allati , aliud miilto ge- neralius proponi potoifiTct ita exprcffum : Si fiierii J^d'^.z-Ky'^-' ^^ j z -f- H;— ^-^ >^-' d^. f z -.M2Lr^;i^)/- = ^-j/'c4-ctc.-o erit quoqiie y^-^ur'-^'.z -(x+ i]/(r'-^\ yz+^^^f^j'^-'i^'"-^'. /z ->:i^ill!ArriJ/-'^--+-. y c: 4- ctc. - o. Patct vcro demonftrationem huius Lemmatis , fimili rationc adornari dcbcrc ac pro Lcmmatc praccedcntc, Yt vcro in gcncrc liqucat tirc : THEOREMATIS ANALYTICI. 235 _ x:x-.):x-o ^,x — » ^m y'^ _^ ctc. — o neccfllim cft , "vt pofito ;;; — o fit y^^d'. z-ny""-'. d°. yz^ "LL^iJ y^ - \ d\ / z -"-^.I-T-J"-"'" ^^>''^4- ctc. =:o fcu diuidi tota nequatione pcr y" z de quo inm nulium cft dubium, quum haec exprefllo fit — ( I — I )" — o. Quum itaque fit f d\ z - nj'' -' d°.jz-\- "Ll^^Uy - - d\ / z ^nJn_;^)Sn_-2)y-,^.^^,^^ CtC. ~Q pofito \ zz n -]- ;;/, inde inm tuto inferri potcfl eflfe: j^ d'\ z-^hj^-' d"^. j z~^ \lh_-_o / - » dr y s _ MAj:^'!^^^!!] j ^ - V". v' ^ + ctc. zr o \bi obferuandum cfl, quod qunm pro ;Miumerus qui- cunquc accipi queat, Lemma lioc poflcrius verum fit, quicunque demum fuerit valor numeri X. V. Hifcc pracmonitis ad dcmonflrationem Tiico- rematis laudati progrcd amur. T h e o r c m a. Si dcfignante (J) x funClinnem quamciinque datam ipfuis X, fuerit t — x -f- Cp x — o, twn ft \\/-s. et v|/t G s 2 dcfi^nent 2 36 DEMONSTRATIO SINGVLARIS de/isnent fun&iones 'quaTcunque Jimiks ipforum x e; t , ,alque ponatur v]^' t — ^-^J^-' erit : Dcmonftratio. Q\n\m fit / — .v-Cp.v, fi v|.'^ figniricet fiindlio- ncm quamcur.que ipfius t, erit vjy ; — v{y (a- - (J) x), ell vcro hinc ergo habetur vi.;-viy.v-(p.v ^'.v+=^-^t--^i^^'''dt'^+ etc. Tum Ycro fi loco ipfius \]/ t fuccefluie fubflitumtur habcbimus quociue d. $ f-. 4<' 1 d. (Dx-.v}>^ jc _ 4axdd.0jc-\j^ , (}iy'd». J)x»'x I (Pa^d-.l);^' \J<- a: _ ^j^^ "T" 1. i d * 1. 2 d X* ' I. 2. I. I dx' , rf d. ^ X» \i)' X (P X. d^ !^ X» vj^Vx I g>^.^ 'T" 1.3. jd** 1.:. 3dx' "*" + r^^^' - «c- etc. Si iam in Lemmate noftro §. 11. loco y fubftitua- tiir (P .V et loco z^ v^' x patet fore generatim adeoque a pnrte dextra aequationis inuentae , termi- nos qui in iisdem lineis verticalibus collocantur fe mutuo deflruere , adeo \t (olus remaneat terminus priraus \\j x, ex quo iam confequitur efle d\ $t'v{/ f etc. VL Si ftatuatur >4v.v — a*, ideoque \|^ / — ^ et v|>' ; — I , liabcbitnr i deoque Gg 3 quoii eaS DEMONSTRATIO SINGVLARIS quoJ etiam cx Theoremate noftro , ftatim dcducitur, poucndo \|v .V :^ Cp .V atquc \]/ l zs (p t , habcbitur eniin ' .v dtlUuatur , pa- tet nccciiarium effe , vt nd \\j t addatur eiusmodi fundio ipfius t, cuius per x cxprcflae primus tcr- minus fit -f- 0 .v v^' .v, quahs igitur crit (p ; >4>' ^ , hoc autem h^o habebimus : (px.rf.(|)j\j<'x^0j:\dd.il)yv|)'x _^_ Quuiu THEOREMATI<; ANALYTICI. 2;, 9 Quum vero nuiic cx ruprji allatis §. III., conflet effe cuiJens eft terminos {Px- d. \l/'_x (px ci. ^ X v[)'ji; cx aequatione nnodo allata eliminari pofle , fi ad vjy ^ 4- Cp r vp' / addatur tars tundio ipfius ^, cuius pcr X expredae primus terminus fit 'L^^L^ ^ (juae proprietas manifefto coiripetit ipfi ^— ^^*J- , tum au- tem fiet ^ (I>x'dJ.!Ta4)'y_g)xM3^---H )'i-i-*f-»'>i $£2^.v{/x , (^x^ dd.<^x\i/x __ (Pxdditlx^.^i^x -^^'dd.^x^\y x elimioandos requiri , .vt addatur ^J:^±J.^ atque fi-, mili ratione hoc ratiociniiim "vlterius profcquendo ,, etiam tcrmini diff,rentialia altiorum graduum inuol- ventes eliminari poCTunt , adeo vt rcmaneat folus primus terminus ',',-:x> VIII. Si T defignet fundionem quamcunquc ipGus t , ope Thcorematis huius valor fundio- nis : .h 540 DEMONSTRATIO SINGVLARIS nis \jy (.v 4- T) facile detcrminari poterit. Quum enim {it vK.v-|-T)= ^•^•+Tvt.'^4-I1M'^ ^-"l^y + etc. fi feorfim quaerantur Yiilores fundionum v|/a:, T 4^'.v, y^T^ ^^^' ^^^ ' cxprefli , conlequemur : xK.v+T)-vly/+Cl);vl.'/-H '-^p + ^-ML^^^ + ^-^^^^^Ll + etc. H- Txl>'; +TCp/v|>"/+I^^l'' + •^^;^^;'^';;^"' 4- etc, + 3l;i;'if + 11^^-2 + etc. + ^V +«<^' •ybi ruppoiiiinus vL";— 'LJiLL : yh^" / — L^' etc. ^ d f ' ~ d f Valorcm autem liunc ipfius \p(x~{-T) inuentum , >cl leui adiiibita attentione , facile quisque inucniet Cc repraefentnri pofle : vK.v+T]-vl.(/4-T)+(I)/vl.^(;-|-T)4-^-^^iyil> . d d. J l^ vt<' (f -t- T) , -j- T fcilicet in fingulis difrcrentiationibus pro conflantc habita , nam fi Iiaec cxpreflio euoluatur , prodibit vKr+T)-vp/+Tvl.'/+ V±L* +:^' +If^^';i-' + etc. (D/vl.'(;+T) - (prvl.';+T(p/*. '^\."t+'''^ + I»:::^ + etc. d, 0) f vi/ f f-f-T) — 4. ^i^^l^i + Td^^vl-':/ 4, J2d^^'_2 _)_ etc. " ;r- dT — ' i.adl 1-2 dt i.j.i.jdf dd.cpf^V('-HT) _ + 4^b^^' + T-Jd.:p>V'f ^ etc. d» cpr v|/ t^-Tj — + 4!ALL»I12 + etc. quorum THEOREMATIS ANALYTICI. 24.1 qiioriim terminorum fumma Tt modo vidimus erat = v|.(:c^T). IX. Hinc vero patct , quomodo praefens Theo- Tema ad calum multo latius patentcm adplicari de- beat , quo nimirum quacritur valor fundtionis cuius- cunque ambarum variabilium x et t, Si igitur pro- pofita fu-rii rnndio -^ (.v, /) ex tiuantitatibus x et f, vtcunque coiiipofita , confideremus primum t vt co iltantcm , feu in hac fundione loco ipfius x fub- ftituan us a, tum autem per Theorema noftrum , quaeramus vnlorem ipfius \p (a, x) , qui erit :r:xt/(a,0 + 4^^ vi.'(a,OH-^-^'^'j|^+ ^^^f.^' + etc. poft peradas vero differentiationes loco a iterum introducatur ?, atque iam expreflio hinc oriunda de- fin et quantitatem fundionis \4^ (x, /). Quum cnira \j^ (a:. t^ fit fimilis fundio ipforum a; et ;, ac \p (a, x) fit ipforum a et :*:, liquet omuino , fi in valore pofteriorib fut dionis loco a introoucatur f, eam in prinrem abire , ratio autem cur demum pofl per- adas diffcreniiationes t loco a introduximus , haec e(t , quod in valoribus diffcrential bus occurrat quan- titas vj^' (a, /) , quae loco a introdudo t migrat in \\^'{t,t)y in qua funcftione quum prius ;, -vt con- .f^ans haberi debcat, poflerius vcro pro varialili fpe- dari , vt omnis euitetur confufio , tirncc omnes dif- fcrentiationes abfolutae fuerint. praefiabit a in locum ipfius t (ubfiituerc. Vt vero huius aflcrii virita- tem eo melius ob oculos pontre liceat , facili quodam exemplo id illuftrare pl icet. Sit igitur 'lom.XVl.Nou.Comm. Hh f=.x 242 DEMO\'SrRATIO SlNGVLARIS / — X— «.V, atqiie riippnnamiis hinc quacri valo- rcni ipdub / .v pcr Ibluin / exprcflfum.. ^uuiiv iu- que fic (p X — nx ; Cp ; — ?; ; j \^ (/, .v) — t x ideoque \{/ (a, .r) — ax, ^ {a.^t) — at et 4^' (a, /)=:«, hinc habtbitur : ax~at-\-nci.t-\-nat-\-ncji.t'^ etc. = p5i._ vndc fubftituto iam ^ iii locuin ipfms a, orictur ;a= -"- , I — rv ' \ti per fe quoque pcrfpicuum eft. X. Deinde vero et id pracpriinis notari mc- retur , Thcorcma pracfcns multo generalius quoque exprimi poffc. ^7 enim fuppouaiur t — x — P, t^/ P difignat fitt6iwncm i/uanuimqne ambatum variabilium X -f_ 2_ (d/ri>;^\?_ (^dd.f-^X^y P^ .d^p-vt>'.C\ _£{.(,. OinMibns igitur his valoribus in vnam fummam coUedis , obtincbimus : '•:Jt ' 1... ;Jf- ' 1.2. .. + (1P ' rz,|,A--Pxj,'.v+ ^'t— - T^^^^ 4- p^^'-7-, - etc. + P 4.' X- p(^-- p ^-i-f ) + fi i'-^tif ;- ^ cH''^;") + etc. 4- -L 0-r-A>'^\— P Aid.p-v|/';e,_,_ p-- .4!rj;'x\ . 4- _J_ (dd.pJv|/^_ _P_ .:JVP-VJ;'XN I gtc. ' 1. :.3 \ d^- ,. .. ; ^ J x^ ^ ' 4-_L_ (£2:il£;— ctc. ' 1.2. .» ^ a.c' ^' etc. Quum autem pcr Lcmma noQrum in gcncre con- ftet eflc d'-'i>'x ^cr-'Wx\ , /-^-'P^vl'!- V u x' ~' J 2A W -+- CtC H h a Leccs- i++ DEMONSTRATIO SINGVLARIS ncccfllim ert , \t ;i parte dcxtni aeqnationis , omnes termini , qui in jisdcm lineis vcrticalibns dilpofiti funr, feu qui difflrentialia eiusdem gradus inuoluunt, fpontc euanefcant , vndc habcbitur : 4- .V X ^p, + l"v^', + \!f*' +• ltCl*2 + ,41£_^;;. + e,c. peraiftis autcm differentiationibus loco /' iterum fcri- bi potcft ;. Nune \ero perfpicua euadit ratio , cur diff^rentiationibus inrtitutis , t' ia P' pro conllanti habcri debcat , quum enim fit conaat \a^orcm ipfius ^p .v hinc definiri poOc , fi ad \|/ f addantur eiusmodi fundiones ipfius r, qui- bus per :i: expreflis , non folum quantitas P x//' .v , fed etiam termini qui differentialia ipfius \//' x in- voluunt , climinari poflunt , at pro — ? ^l^' x elimi- nanJo fbtim liquet , ad \|/ ^ addi dcbere quantita- tem , quae fimilis efl fundio ipfius t ac P \|/' .v cft ipfius .V, idcoque dum in P loco t fcribitur /', pa- tet ad ^t addi debcrc terminum V yp' t , \bi P' cft fimilis fundio ipforum i' ct t, ac P eft ipforum t et x\ tum vero etiam perfpicuum cfl \trinque /' Tt conflantem fpecftari dcbere. Similis antem res efl cum reliquis terminis differentiaiia ipfius ^l^' x in- \oluentibus. XI. Perpcnfis iis quac fupra (§. 9) attulimus, iam cuidcns quoquc cfl , qua rntione funaio quac- cunque ipforum x et t y\j{x,i), pro hypothcfi qua t—x THEORriMATIS ANALYTICI. 245 / zr .t - P, pcr foLim variabilem ; dctcra.inari queat, prinuim enim patet cffe vi^ (a, X)— vjy (a, O + P^ v{>'(a, /) -i-^-ifl?K?,n ^ dd,p^'{,,t) 1. !. 3.VdF ctc. dcindc vero intelligitur quum \|y (;, .v) fimilis fit fiiniflio ipforum / et x\ ac \jy(a, a.) ell ipforum a et .V, poftcriorem fun(flionis valorem in pnorcm abire , fi vbique loco a introducatur t, praeterea vero (emper notandum eft , poft peradas differentia- tiones \bique loco /' fcnbi debere f. Sic exempli cauflli fi fiierit t — x — t x^ atque hinc inueftigari debcat valor ipfius t t x pcr t exprefTus, ftatim fiet P-/A-,P'-/'/, \K^, x)zLltx, v{y(a,;)-aa/ et viy'(a,/)-aa, Vnde prodibit a a .V =; a a r -h a a /''; -+- a a /'' / + aa f '* ; 4- etc. ideoque- ttx-i + t'-\-t'^t*-\- etc. = ^, , qui valor omnino veritati eft confentaneus. XII. Vt iam de fingulari huius Theorematis vfu , breuiter quaedam adferamus , examinemus prinio , quoiriodo eius ope radicem cuiuscunque ae- quationis algebraicae per feriem exprin^ere liceat, in quem vfum, ipfum Thcorcma a Celeb. la Grange inuentum effe conftat. Si igitur propofita fucrit hacc acquatio algebraica ad rationalitatem perduda : x — a-i-bx^-^cx^-^dx^-^-ex*-^- eic. H h 3 quac- :;4^ DEMONSTRATIO SlNGVLARlS qnacrirur vt cx Iiac ncqiiatione , valor ipfuis .v pcr (ericm mera? qiiantitatcs conluintes inuoluentem ex- primatiir. Cornparaia autcm hac acquatione ciim ilia generali : .V rr r + Cp .V cuidens cft , hcic (\atni dcberc / = ^ et ^ .%' ~ b x" -\- £ X -h d X -\-e .v' + ctc. ideoquc <^ t -=ih t^-\- c t' -\- d C -\- e i^ -\- etc. tum autcm vi Tlieorematis habebitur — /_l_Cp;^_^'/ ,^d.i.4^;'^_u^ 0! /* vbi nimirum pnfl: per;i(fl.i8 diffcrcntiationcs loco t fcribi debet a, Non vcro (olum valor ipfuis radicis x^ fed etiam potclbuis ipfuis vcl alius (undionis cuiuscunquc , hiuc adi^nari poterit , fic cniiii habc- bitur d.(^rr-' /r/.4)i*.r-' /.ct5/\/"-' A-r+;«.0/.r-H— ^^^— + —,-d7- + -=737 ^'-^^^^•) XII. lOum vcro bas cxprclhoncs ;i(ftu cuohio- re conabimur, ante omnia nccc^Tum cft , vt valor ipfuis CP /'' per (iiriem cxprcffus inuclligetur , quum igitur fit (^ t — t t {h ^ c l -\- d t' -[- c t' -\- ctc.) , crit (^ t" — r-"(Z;-i- c t -\-dt'' -htf/'-i- etc)" ez THr.OREMATIS ANALYTICI. -47 ex qiio totum nc^otium eo rcducir.ur , Yt poJyno- mium b ^ c s -{-d t" -\-e t' ^ etc. ad potcftatem n cucl^atur , quum vero conHet po- reft.itcm polynomii ti huiusniodi habere dcbcrc for- niam : b' -^ c' t -i- d' l t -\- e' t' -{- etc. i.im quaeflio in eo vcrfatur , vt valores cocfHcien- tium b' , t' , a' ctc. determincntur. At quum Ht {b']-i-t + c/t' + et'+ ctc.y — b' -{-c' t -{- a' 1 1 -{-t' t' + etc. erit quoque t _j_t ( _t- dl- -^.et'-+-j t' -h elc.~ L' -t-i' t -i- d' i* -h e' t' ~i- j' t*-^. etc. vnde iam fiicile deducuntur fequentes valores ipforum b', c' , d' etc. b^^b" 0 ^ ..,.1 ^ ^ XIV. 248 DEMONSTRATIO SINGVLARIS XIV. Inucnta igitiir exprclllone ipfius (J) /" , iam fupcrcfl , vt euoluatur quoijue ^-' (J) ;".;'"-' , quem in finem notetur efle (P^a t'^-^—t'^-^'^-\b'-\-cit-\-d>tt^e't'-\-J't'-\- etc.) vndc pofito brcuitatis gratia 2 « 4- m -- i — X , in- venietur if(I)/"./"-'rX(X-iXX-2)./X-H>'^'^'''+rA-M)VX-i)..(X+i-HV/^-+-'-'' + (X-f2X^+i)X ,(X+2-Hy';'^*-''+(X-h3X>v+2)..(X+3-H^'/^-^'-''-+etc. ideoque fi h — « — i , habebitur X — k. zz « -V- '« et proinde 4 (X+ 2XX + i). . . (7« + « -I- a)^' /'"-+-^'+ etc. vbi obferuari dcbet elTe X rr a « -1- «/ — i. XV, Hinc pro x^ iam fcqucns deducitur ex- prefTio : *'"zra'"+m(fl'"-^' ^ + fl''^V+fl'"-*-^ tf ^ + ^^n^^u^ijn^, ^. ^^ _^_ ^j^,_ j 4- etc. +Wfl'"-f-Vrt'((;;/+6)+(w + 8)(;;; + 7)0 ^> 4 '""^' '''^'^■+-f'"^'^a' y -j- ctc.) 4-yi«"'-+- V ^((;;;+ 8)4 (;;;+ 1 o) (w+p) a i» + ('"+-'X'^+'-X"t-f^'^^ ^' + ctc.) + etc. etc. Pofito igitiir ;;; — i habebimus X-z:^a-^ab{i-\-2..ab-\- 5-a'b'+ i^a'b*+ etc.) + a%'( i-\-5.ab+2i.a' b'+ S^a'b' -^- etc.) + aV/( i+6.ff^+2 8.u*/!;'+etc. j -+- etc. -H aV i- (3 -h 14 « ^ -i- d^o a' 6' 4- etc.) -t- flV .v+t-, fcriem ex forma .v — a-f *-^^~=-^ dcdudam , fiepiu«> ficri diucrgcntem. Tantum igi- tur abcrt , vt per adplicationcm Theorematis Ol. La Grange , omnes aequationum radices alfignari queant, vt planc non conftct, an quouis cafu, prae- tcr vnicam hoc modo dctcrminare liceat ? XVII. Si in exprcffione /-.r — (p.v, fundio (J) .V quascunqne quantitatcs tranfcendcntes inuoluat , vaior tamcn ipfius .v aequationi fatisficiens, Theore- mate praefcnti in vfum vocato facile dcfiniri poted, fic fi fucrit / — A-i-«fin..v, quo cafu (p.v=i — ;/fm..v habebitnr \]jx—\bi-n fin t ^' t -\- '^''JiiL-li^Ii - iL^iiyy"-'!^' ^ ' ' I. t dl I. j. : d /- , »!♦ d\,fin. \* >j.' / _ •^ .. 7. ;. ♦ dJJ *-^^' Notum THEOREMATIS ANALYTICI. 15 3 Notum antem cft rcfolutionem memorabilis iUiiis Pro- blcmiUis Kepleriaiii^ quo quaeritur, vt pro data qua- cunquc anomalia media planetae , inucuiatur anomalia vcra , ad huiusmodi rcduci aequationem ; rr .V + « ^i"- x. Si enim anomalia mcdia dicatur ?, anomalia vera u ct anomalia cxcentrica .t, excentri- citas autem per n dtfignciur , in Anronomicis dc- monftrari folet efle :: Tang. 5 u ~ Tang. | A'^^^, tum vero /r.v + 7? fin. x. Ponamus igitur primum eflc vjv x — {\n. x , vnde ^ t — iln. t et v4>' / — cof t critque iam fin.i— Cinj~n fm.^coC 1 4-2^1M::-l!5L^ _ "^^'^-/'lilli^-^+etc. ' ,. 2 dt 1. ;. 3 d t- ' quae acquado etiam ita exprimi potell fin.A— fin. f - i fin. 2 ; + "-^}^ - 'x:^-^ + "r^^a f! - ^^c. Quum itaque flr ** ■ 7.- 2. -. *.-..Tn. 3. 3. ♦ . . . (-'1-1) + 1:^:1- 'Ii^IHrhL) cof 4 1 + =j:Ii!^'H!lztl^Gof 6 f ... -4- COf 2W/ 1.3 [■■r—z) ^ ' !. 3...(m-3j vbi vltimus tcrminus figno -1- nfikictur , fi m fit numcras par, negatiuo autem fi impar. Deinde h.ibcbi- tur quoqne .(")-<-*) fin. 5r..,.-l-fin.(2/«+ i)i Ybi itenim vltimo termino fignum -^- tribui d.bct, fi m fit numerus par , contra fi impnr. Hifcc ita- que p.otatis fi iam diffvrentiatio adu inftitiiatur pro- dibft r I i 3 fi"- 254 DF.MONSTR. SING. THEOR. ANAL. Cm.x-Cm.t =-^2rir,. «/--"— (sfin./- 3'fin. 3 0 + —^ii-i- :i'. fni.i/ — 4-'. fiii.^O '^TF:^.-— ( T-* ^"^- ^ - 5- 3* fiti. 3^+5*. fin. 5 ; ) -.-rTTT!!.-— AuT: ; fi".^-;H3'fi". 3^i-7. 5*.ii". St-I^ Cui.Jt) H- etc. XVTII Snpponamus iterum efTe vp.v — cof.x ideoquc \ty ; — co(. / ct v}^' / r - fin. r, critque iam : qune euoluta pniebet : cof..r=cof /+ "(i-cof.20-^-;^j3cof ^3.cor.304- ^^^. 2'cof 2/-4'.cof. 4O + =7:t.~7 '■T '^"'- ^ - 5. 3' cof 3 / + 5' cof. 5 i) --—Tr-i^-T' 2'cof. 2^-6. 4*cor.4M-6'. coff)/) -i- etc. Simili rntione nlinc quaeuis fundiones nngnli .v pcr t exprimi poffunt, quin ct adeo funciioncs -vtcunque ex X et / coiTipofitac, In gcnere aiiteiTi notafle mcrctur , has (cries non fieri conuergcntes iiifi ex- centricitas « fit f.itis pariia , atquc pro lis etiam ca- fibus adco lentc conucrgunt, vt vix vllo cum frudu ad quaercndas aequationcs centrorum in Allrononiia adhiberi pofiint. niYSI- PHYSICa MATHEMATICA. DE VIBRATIONIBVS CHORDARVM, EX DVABVS PARTIBVS , TAM LONGITVDI- NE OyAM CRASSITIE , AB INVICEM DIVERSIS , COMPOSITARVM. A u c t o r c DANIELE BERNOVLLL Pod fertiliffimam , qiinm varii primi ordinis Geomctrae meffucrunt fegetem de mininiis mntibus treiTiulis ilociironis a quibus integra acudica , fortaflls et ipfa optica , pcndet, non vcreor pro fpicilegio intada aliqua , vt vt leu'ora videri poflint , luperaddere. Cupidus in perlpjcicn- da vibrationum natura , quas chorda , ex duabus par- tibus , longitudine aeque ac crallitie inaequal bus , compofita atque tenfa affcdaret , in var as incidi formulas , quae aliqua indigerc interpretatione atque commentatione vifie funt , vt oninis et fingulae vi- brationum fpecies inde dcterminentur , fimul nc va- leres (onorum fingulis \ibrationum fpecicbus debito- rum : Huiusmodi loni , quod fateor , (i ambae clior- dae partes uodo aliquo al oue modo fimili inter fe eflent connexne , ob nimiam foam raucedinem inter Tom.XVi.Nou.Comm. Kk fono^ iSS DE VIBR ATIONI B VS Ibnos muficos rcfcrri noii poflcnt at alius fingi pot- cll moJus obicdo nollro magis accomnioJatus : cum ncmpc fid bus facpc vtantur mufici , filo mctallico cij-cunKiudo inuolutis , co fine vt quantum con- venit , lulHcientcr tenflie H^num tanto grauiorem edaut : quidni liceat fides fupponcrc pro pnrte tan- tum filo metallico inuolutas , nuda manentc parte rcliqua : nec enim hic vidco quid fonum obtundcre polHt : huiusmodi autem fidcs. dato pondere tcnfae dabunt vtiquc fonum acutiorcm qua n fi totaj cflcnt fuo filo mctaUico circumuoiutae , grauiorem vero quam fi tota fua longitudinc cflTcnt nudac. Igitur haud abs re crit , in verum foni valorcm inqu;rerc fimulquc reli^na Inic pcrtincntia explorarc. §. 2. Antc omnia ad analylin quaeflionum noflrarum conducit thcoria communis , dc chordis vibrantibus tota lua Jongitudinc vniformibus , p.ifum dcmonflrata , cuius praccipua thcor^mata hacc lunt, Tal) III. Sit a b c chorda tendi tota fua longitudinc *'*£• '• vniformis caque intcr vibrandum ad momcntum as- fumcrc ponatur curuatur.im cda; cadct vtique ma- xima ampliiudo bd in puncT;um chordac medium Z^^ fit fcmilongitudo chordac cb:^L^ maxima ampli- tudo b d — a-^ fumto quocunquc alio puntfto g, po- nauir tg — .r, patuuhi. appUcata fezzy:, pondus chardam tendcns rz: P: fumatur longitudo quacuis chordac a atquc pondufculum cius longitudinis po- natur —p. Sit dcnique quadrans circuli vnitnrcm pro radin habcntis — <; Ilis fadis dcnominationibus fequcntcs habcntur ^alorcs aiquc c.\pi«.iiiu;.ci. A. Tro C II O R D A R V M. i59 A. Pro ncqiuuionc ad cnriT.im c d a obtinetiir j zn a liii. Arc. ^ y , quac ncqiuitio fillit ciiruam fi- ■nuum , it;i \t pofito fcmicirculo — longitudini c a ct nrcu quocunquc -zzcg fit \biquc ge proportiona- lis finui huius arcus. Hacc curuatura conuenit tro- choidi \chiti infinite elongatac. B. Pro quouis pundo e fit fubtangcns gf ^ fin. Arc ^ fuie gf—'^ tang. Arc. ^ q : ncc '^ cofArc,^^ ab hoc ditfcrre ccnfcnda cft \alore ipfa tangcns ef^ quoniam applicata g e \eluti infinite parua cenfctur. Notctur autem hanc tangentcm modo aftirmatiuc modo negatiuc fumendam effc , prouti pnnclum g ad \nam \cl altcram partcm pundi b fumtiim fue- rit : fi itaque alHrm.atiuc accipiatur pro ramo c dy crit ncgatiue fumcnda pro ramo a d tt viciflim. C. Longitndo pcnduli fimplicis ifochroui cum ^ibrationibus c'iordac — -^— '- , \nde tempurculum vn us \ibrat'nnis definitnr : (ed ct idem tcmpufcu- lum absque ('uppofita .circuli ad radium proportione indicatur hac fjrmula ^ x ^-- f.ue fimplicius , pofira longitudinc arbitraria o— 2 L , formula |-jL,j;, .qu^ac defi^nat minimam altitudincm quam cor.iHis- libere . cadcndo dtfcnbit tempufculo vnins \il)r.itionis. Igi- . tur pofito /— tempori quo corpus delabitur per altitudinem L fit tcmpu(cu nm wvu-y vibrationis — ' ^ : > > 'vbi nuoc pi-r /> intcUigitui;, pondgs uuc- grac chordae a c. ;,.' K k 2 D. Si ft()0 DE VIBRATIONIBVS D. Si longitudo a c diuidatiir \\\ quotcunquc pnrtcs ncqiuiles «, vibrationes harmonicne fieri pos- lui.t nmul luper quauis partc , fadis nltcrnis chor- dac in partcs contrarias incuruationibus vcluti fcr- pentinis atquc tunc erit tempufculam lingularunn \ibrationum — ~V ^. Hinc oriuntur foni acccflb- rii , qui dicuntur havmonki in progrcliionc nunicro- rum naturalium dum pro intcgra longitudine chor- dae formatnr ^onwi funianientalis^ qui vnitati reCpon- dct. Imo omncs et fingiilas diuerfi gcneris vibra- tioncs fimul coexiflcre in vna eademquc chorda pos- fe , dcmonfiraui in Commentariis Academicis Bcro- lincnfibus. Cacterum defignabo , pro vibrationibus fiinda- mentalibus , curuam adc nomine curuac vibratoriae primitiuae. §. 3. Notetur iam quod fi pnrs chordae qnae- \is a g ab chorda integra ac rcfccetnr punclnmque g conncxum iupponatur cum filo omnis grauitatis cxpcrtc , cuius longitudo fg fticrit acqualis fiibtan- genti pro puncflo f, nulla plane inde oriri pofiit mutatio nec in curuaturam edc nec in vibrationcs chordae refiduae gc^ fi'o /g omni grauitate cxpcrti conncxae , figura fecunda hanc intcgram mutationcm rcpracfcntat nec diffcrt a figura prima, nifi quod ar- cus curuae ae pundis fit notatus vt inde npparcat quod nullo modo nd fyficma propofitum p.rtincat atquc vnicc pro fiipplemento idcali curnac vibrato- riae truncatae fumendus fit : fic in vtraquc figuni curui- C H O R D A R V M. z6i ciirnatura aedc prorfus erit cadem. Tunc autcm rcquiriiiir vt longitudo a c vel rcmilongitudo b c dcliniatur cx datis longitudinibus fg et gc: quo fado oinnia innotcfccnt ; liocquc modo facilis erit foiutio (equentis quactticnis. . §. 4, Sit fg filum grauitatis cxpers fixum in Tab. IfL puncto / aiquc connexum cum chorda vniformiter '^\' a. graui g e : ponatur potcntia tendcns — pondcri P dum chordae iongitudo a pondulculum habi.re • jx^nitur , quod fit ~p, tum vtique fict pro vibrationibus fim- plicifiimis \el tundamcntalibus , vt filum f e pcrpe- tuo pofitum fit in dirtdum dum chorda edc in- curuatnr , prorlus vt in figura prima , fimulquc vt tangens curiiac in cxrremitate e fit ipla fe. Ponatur porro longitudo fg—h^ longitudo gc — ^ky his omnibus pofit.s qu:ieritur natura vibrationum. Ex pracmifils patct , nil aliud hic rcquiri quam vt dctcrminetur longitudo ac^ quia hac co- gnita chorda g c vibrationes fuas prorfus eodem mo- do faciet , ac fi lon^itudinem haberct a c efii-tque fixa in pundis a tt c remoto filo /g, fit igitur longitudo fl t- ir 2 L fiue fcmilongitudo bc — h, hal)cbitur vi §. 2. art. B. haec aequatio /::=— ^xtang. Arc. ^ 7 , vbi fignum ponitur negatiuum , quia hic punduin d (emper cadit intra punda d ct c [^. z, art. B) : atque hacc aequato inicruit ad dctcrminan- dum val'irem longitudinis ac pro cunia libratoria primithia , qnam pcr 2 L jndicauimus : hanc riuuc aequatiuuem paulo accuratius prolequemur. K k 3 §• 5. ft5a D E V I B R A T I O N 1 B V S §. 5. C"uin qunntitiAS Arc. ^ ^ indicct qnadran- tcm circiili , vnitatcm pro radio habentis , rniilti- plicatum pcr rationem ^ , ponemus breuitatis caula "^a—z. \bi z denotnt arcum circularcm radio \ni- tate defcriptum, atque fic acquatio noftra abit in hanc alteram ^" = ~ ^^^TiS~ ' "^ ^"^ fignum ncgatiuum indicat effe arrum ^ q^ fiue z fcmper quadrantc cir- cuii maigrem ; mux autcm \iJcbinui3 hulc acqua- tioni infinitas conucnirc radices : cuni arcub z intcr omnes pollilMles n.inimus ell inluuit \ibrationibus fundamcntalibus explicandi^. Dc hoc calu ante omnia dicemus. I. Sit longitudo / fiue longitudo fili fg in- finita , crit tangcns in e par;U!cIa cum linca f c at- que fic cadet pundum e in ipkim pundlum d fic Tt fiat b c — g c fiuc L — X atque adco 7. — q : Cafus ifie pcr (e obuius imn.ediatc acquaiione i.ofira indicatur , ideo quod tangcns quadrantis eft infinita. II. Si , e contrario , ponatnr / r= o ita \t fi- lum f^ cuantlcat , crit punduni c fixum in g ct chorda g c \ibrationes fuas pro thcoria comn uni facict ct pundum d cadct in iredium chdrdac g c ; fic igitur oportct vt fiat L — .^ A , qund itaum ac- quatio noftia indicat , quandoquidim oritur c 7 — 7. — z q ^ cuius tangens — o. III. Sic igitur, manentibuscaetcris omnibus , fola ' \ariantc longitudinc fih, (ubfilknt omnc^ r//;M,;r 17/'^- lonue pilmahiae iiura hmitcs Lr.X ct L-^X, atque aoco C H O R D A R V iM. z63 adco omncs foni, qui a diLicifa iDngitiidinc fili oriri polUmt, fubfutent intra octauavt lunt cnim loni loii-. gitudinibui L rcciproce proportionalc?. §. 6. Facile nnnc crit lonsMtudincm 'flli ca con.litione determinarc , vt (onns intcrmcdius pro- veniat qualiscunque datus : ctcnim hoc dato inno- tefcit rntio ^\ hinc valor 2 atque valor -'3.^^^-^^%' , qni poftcrior multiplicatus pcr longitudinem chordac dahit dcfidcrntam longitudincm fili j totum proctfTum •vnico illudrabo excmplo. Fucrit longitudo fili fg dcterminnnda ca con- ditione vt foaus a \ibration;bus /^- ^t' f rcliihans in- teruallo vnius quintae fiue dinpcntes deprimatur in- fra fonum , qucm chordn g c fola edit cum cit fixa in puncto g , pro quo lcilitct cafu inuenimus Pro hoc exemplo oportct vt fiat ^f — L = ix;x — -^X- vnde Z-^q-\q — Arc. 12 cuius valor proximc — ** fiue 2. 095 et cuius tan- gens -—1.732,- vndc /g r: / := i'js X fiue -q. 827X atque fic facillime determinatur longitudo fili ex data longitudine chordac pro dato fono produccndo ^ at tacdiofior fit calculus , quando cx datis longitu- dinibus fiii at-iuc c>iOrJ:\c dctcrminanda eft longitudo L ; quod nunc faciam. §. 7 Rtdcimus igitur ad aequationcm para* gniphi qu.irti fcilicct /— — - tang. Arc. ^ ^7 , in qua 154- DE VIBRATIONIBVS qua fi longitudincs / ct X dnt;ic fuerint, potcrit lon- gitudo quaefita L proxime inuer.iri tenta do , qiio fado variae funt methodi, quibus, longitudo haec ea quaiibet accuratione detcrminatur. Co^nita longitu- dmc L, habetur <7 ^ n 2 L , quoJ inJicat , chordam gc filo /^ conncxam vibrationes faci-re iiochronas cum vibrationibus chordae eiusdem fpcc ei to.ienique pondere tenfae , quae longitudinem habeat ac et quac fixa fit in pundis ^ et f , fimiles ofm ob- tinui ae^juationes, cum inquirerem in (onns tibiarum diucrfimode conllrudarum, de quibus tra<5l>itum con- fcripfi , qui extat , dans les memoires de CAcadeviie R. des fciences de Paris potir tannee 1762. ^ag. 43 x. Praefatam acquationem cxcmplo aliquo illufirabo. Fueruit longitudines fili f g et chordae g c in- ter fe aequalcs atque fic habcbitur >^3-^tang. Arc^ ^ fiue ^z-tang.Arc.^'': fiue fimpHciter ^^-- tang.^' j nam exprcffio Arc. ^' nil aliud indicat, quam quoJ quantitas ^? fit tanquam nrcus circularis, radio vni- tate defcriptus , confidcrandus j igitur excmplum no- ftrum puftulat vt quaeratur arcus circuli , cuius tangens negatiue fumta fit ipfi arcui aequalis : hunc arcum inuenio 116° 15', cuius magnitudo — 2.02S et cuius t.uigcns ——2.028. Hft igitur ^'^2.028 atque pofito ^='.' fit L- ;;°;sX; hinc /7f - ^Ln '.'osTX: Ergo tandem cft (onui chordne finpl cis gc ad fonum ciusdcm chordae acquali filo fg iuncftae vt iiooo ad 7093^ fi prior indicctur per c crit altcr nicdius C H O R D A R V M. 163 medins intcr c ct f: iiiterualliiin cfl \nius quintae cuni diir:iJio (cn itoiiio. Si poniuur gcncralitcr t/X, fit /. '2^r-tnng.\^, qu>ic acquatio r.oi docct arcum inueiiiendum cflc , qui fit aJ tan^eiucm (unm ncg.uiuc fumtam vc ■vnitas ad numerum / fi.ue vt longitudo chordae ad longitudinem fili : fi arcus ifte , quocunque modo inucntus , ponatur r= A erit "-^ := A atque adeo L — '^ X. Intelligimus cx fimplicitate harum for- n\ularum, huiusmodi quaefiiones optimc definiri quod fecimus, ex longitudine cmiae vibratoriae primitiuae. §. 8. Qiiae adhuc diximus , pertincnt ad "vi- brationcs primarias fonosquc funda\nentalcs inde for- matos , hae vibrationcs dicuntur primi ordinis 5 no- tum autem e(t gcomctris , dari fimul , in vno eodemque fyftcmate, infinitas alias \ibrationum fpecies quae pertinent ad ordinem fccundum, tertium, quar- tum etc. ^ hos omnes ordincs dcmon(h-aui in diuerfis lchedlasmatibus dc chordis inaequaliter craflis , de laminis ehiAicis , quae innumeris modis in vfum adhiberi po^Tunt , de tibiis feu fiftulis muficis etc. quibus IUufiris Kulcrus no(\er addidit vibrationes in tympanis atquc campanis. In chordis tenfis fimplicibus atque vnifbrmi- bus omnca hi , varii ordinis , foni progrediuntur vt numeri naturalcs , quod idem vakre dcmonfiraui pro tibiis cylindricis vtraque extremitatc apertis^ pro tibiis autem altcrutra extremitate claufis fonos pro- Tom.XVI. Nuu.Comm. Ll grcdi ^6C D E V I B R A T 1 O NM B V S gredi oftcnJi \t luimeri n:uurnlcs impares cxclufii nuineris p.uibus; in oliis lyllematibus alia kge, quae facpiliinic tr.iurcendeutalis cli , (i)ni pro^^rcdiuntur \ tanta curn fit hac de rc varictas , non abs re crit etiam vibrationcs , de quibus hic lcrmo clt, cxaiiiiui noftro fubiiccre. §. 9. Hunc in fincm notemus acquationcm no- ftjram / ::^ — J^ t-ani;. Arc. ^-^ infinitas habcrc radicc&, qiU;ie fqcefliuc longitudinem, L diminuuiir. In prima radice, vbi L maximi cft , Arcus ^ q (emper maior eft qnadra .te circuli et minoc (emicirculo ; pro fe- cunda radicc Arcui idcm continetur intcr limircs 39 ec 47; pro tertia radice inter iimitcs 5^ et 6 q^ ct fic porro; erit nempc liiccclliae Arcus ^^11(7+^^ 3 7 -H S ,• 5 7 -1- Y ctc. In his va'oribus arculi fupcraddendi a, S, y otc continuc decrefcunc , ita vt tandem ncyligi podint , praclertim fi longius filum chordae (uent a.nncxum , aut fi illos neglgcre nolimus , poliint falccm fiuc vllo ncgocio proxime determinari Iccun^ dum legcm aequationis : co^nito autom, verbi gratia pro ttrtio ordiue arculo y , arit £^ ^ ~ S ? -H y-, T.ulc L— ^ — ^^' '^''^*- ^^'■l"'^^"' f^"'*^ P'"'-' rJ"i'"o ordinc L — - '' X: pro ("ccundo ordnc L :-' — ' „X: pro icrtiu ordme Ln^r^-^^X atque (ic porro : vui, quad iam monui , aiculj a , (3 , y etc. ex aequ.»r tionc noflra pura^raphi (cptimi lunt dctcrminandi. rro, hoc prwccdcndi moao idt.n , ijuud aiiuaifimus iwra- C H O R D A R V M. aff* pnni^r.ipho fcptimo , exempliim profeqiicmur , m quo (lipporuimub longituuineiu fili / aequ.ilcm lon* gitudiiu chordac. §. lo. In iflo cxcmplo inm vidimus fumcn- dum efle, pro vibrationibus fundamcntnlibus Icu primi ordinis , nrcum 116"^, cuius ncmpe valor acqualis eft fuac tangenti negntiuc (umtae hic igitur cll ar- culus a— a qui \alores in gradus circuli conuerfi parum a Vil- lurjbus indicatis differui.t : hoc modo abb.,ue vUa- Ll 2 r.du- 468 DE VIBRATIONIBVS rediKftione praeuia fit prcximc pro primo ordinc L — If-^-^ X : pro lccundo ordine L — ^y—— X : pro tcrtio ordine L zr il-ll^-^ X atque pro n"-^"''* ordiiic L — ^,^^_^"~ '«''.[.'^fj,'^^,^ ^tq"e hae for- iinihic \ix a Y.ero abcrrant, mlcruiunt autcm quarn iiaxime ad legem variutionum inrpicicndam. Atca- mcn hacc mcthodus non forct incunda fx longitu- do tili efllt admodum parua, intcUigimus hinc fonos, qui in variis ordinibus oriuntur , minime dici pofle harmonicos, ctiamfi a v:bra.tionibu& chordae vnifor- mis proprie edantur ; admitto quidein principia mu- fica a D. Kanieau adhrbita ; disphcct autem funda- mentum cui principia (ua fuperrtruit ct quod a na- tura fbnorum accefforiorum pctit : Duo tamen caru& funt , quibiis foni progrcirioiicm harmonicam for- maiu. F^rinuis elt quando longituuo fili / tota eua- nclcit ; fccundus quaudo hnt.c longituJo ponitur infi- nita. Primus cafus fiflit theoriam chordarum com- mur.cm , pro qua finguli arcus a, &, y ^tc. fuint acqualcs quadranti circul-i atque longitudines L fuc- cclliue fiunt aequales ^ X, i X, iX etc. vnde foni pro- grediuntur in ratione numcrorum naturalium, Se- cuudus cafiis portulat vt fingnli arcus a, S, y etc. euancfcant : hoc modo longtndines L fucccfliue fiuut aequales X, 5 X, ;X ipfique foni progrediuniur in ra- tione numcrorum naturalinm iinpirinm. In vtro- quc cafu foni funt Ivarmonxi. Hacc omnia quidcm non alucr quam in abjlracio funt accipicnda , quia £la grauitatis cxpcrtia vtiquc noii dantur ,• attameii ahquid C H O R D A R V M. ^69 nliquid confcri-c poflriiiu nd plcnrorcm vibriUionum notionem libi compiirjndam, qiiicqnid fit, non omit- tenda putaui , quia pro lund.imLnto indruiuiii iis c]U;K nuhi diccndii lliperlunt , cum de vibnvt.o iibus chordi^e , cx duabus partibus compofnae , adurus , filo /^ gnuiitat s experti (ubftituam alius chordae portioiicm cum altcra chorda g c connexae ambas- que data qnau.s grauitafe domuas fupponam. §. 12. S:nt nunc dnae diuerfae chordae hg er Tab. III. gc , quae iiucr vbrandum affumant fitum b e F'o- 3' et ec atque propofuum fuerit naturam et pro- prictatcs haruni v bratianum inqnirere. Hnnc in fi- nem notab mus ancc omnia ticri non poffe quiii ambae chorJae in pundo ' Vp ~~ V p' Ad normam liiiius aeqiuuionis \nica , quae fiiperet^ , irrco^nita L detcrminan 'a re(\at , qiio f^idb erit 2 L fiue loiigitiu:'o ai; aeqiuilis longitaaini chor- dac fimplcis eiusdcin craiiUici cum chorda cg quae eodem pondere. Cenla \ibrapioncs ifochronas facict cum- tylkmate propofuo chordarum c g et b g. § 14. (^nod fi iam' in aeqnatioiie noara §. r3- '^:'^ ^'^ ponatiir grauitas chordac bg fuie p' rr O'^ orinir itcrum problcma §. ^. pro filo grauitatis cxpcrte longitudinis / vel X' : vidimus autcm in eodem pa- ragrapho quarto , ctlc tunc /' vcl nunc A' — - ^ wng. Arc. ^ q : quaeritur itaque , quod non flatim apparet , quomodo hacc aequatio cx noftra aequatio- ne §: 13. deduci potTit ? hunc in finem confideremus grauitatcm p* tanquam infinitc paruam atque fic erit Arc ^-^"y infinite paruus ctproinde arcus if\e non dif- fert ab liia tangente. Eft itaque tang. Arc.^^'^=iL~F^ ^' — lVp* tang. Arc. — >^'<7 -x, ^ fiue — — - — hl±J —^J-. Subfiituto hoc valore pro potkriori membro atquationis hacqne multipli- cata per V p oritur '-L2 — — tang. Arc. |- q fiue tan- dem X' — — t- tang. Arc. ^17. Sic itaque problema paragraphi quarti optime deducitur cx problemate paragraphi decimi tertii. i 15. 272 13 E VIB R AT lONI B V S §. 15. Si porro ponntiir Ion:itiido bg vcl X' =: o , opoitct \t fit - t;uig. Aic. ^- ^ — O , vnde oritur - (j --z z q vel == 4 ^ vcl -~ 6 q ctc. atque L — ' X ve! rr \ A vel n: \ X, qiiiie proprictas con- vjiiit vtique cljordnc finipi.ci cg longitudiiiis X fixae in pundis g et c. Scd fi ponatur X — o oportet tnni?. Arc '^^ q vt lit — ■ — TT—f— — — o , luic tnng. Arc. p ^r o, vnde nunc ^ ^ zr a *•• Ergo vibratio- ncs ambarum chordnrum connexarum ikclironac crunt cum vibrationibus ciiordae fimpiicis ciusdcm cr.i(htiei cum chorda c g atque todem pondere tenfae , cuius longitudo fit — l\l A fuie ctiam cum vibrat-onibus chordae fimphcis tiusdem craditiei cum ciiorda bg codcmquc pondere tenfae cuius longitudo foret-S^. Si porro fumatur (onus chordac fimphcis k)ngitudiuis ^ f feu 2X, eiusdem craihtici cum chorda bg , pro (ono fundamentah , erit lonus chordae ciusdcm loii Tom.XVl.Nou.Cymm. M m gitu- 274- D E V I B R A T I O N 1 B V S gitiidinis fcd acquiilitcr craffae cum chorda cg prif^ris otflaua : fonus autcai (ylkinatis propofiti cxpruiictur per if, atquc erit mcdius inter tcrtiain miuurcm et tcrtiam maiorem Ibui fundamcntalis. §. i8. Apparet ex flllato excmplo nnte omnia, repetltis tentaminibus , cxplorandum eflc arcum fuie augulum - q fundamcntalcm , qui acquationi para- griphi dccimi tertii fatisfaciat. Fucrit angulus ifte rr (p habebitur ^ ^ - (p atquc L r= I X. At rurfus patet aequationem paragraphi dccimi tertii iufinitas haberc radiccs , quac lungitudincm L fucccfTuie minorcm atque minorcm fiiciunt foiioque acutiori rcfpondcnt , dum indicant vtramque chur- dam plurics pofle axcm intcrlccare ntque inflcxioncs contrarias afTunicre prouti figuri quinta et lequen- tcs indicant. Sic omncs configuratiuncs , quas chur- dae inter vibrandum afTumcre pofTunt, obtir-ebuntur, fi nulla radix practcrmiitatur. De his configuratio- iiibus atque infl^xionibus, quae ambas chordas in phi- rcs ramos fiue concameratioi es difpefcunt » notan- dum cft , quod \nica concnmeratio irrigularis fir , illa fciiicct qune pumftum ainbas chordas conncdtcns continet : Reliquae concamerationcs omucs in ^tra- quc chorda erunt reguhircs inibr cliordarum fimpli- ciura tota fua longitudine vniformium vibrantiiim : quac in vna cadcmqiic chorda forniantur lunt unuics i4iter C H O R D A R V M. -75 intcr fc acqiuilos , longiorcs aurcm rmnt in chorda tciuiiori , brciuorcs in cnilViori ; critqiie longitiido concamcriitionum in vna chorda praecilc — 2 L in alcera — 2L' — =-^L: hacc omnia cx ipfa rci na- tura abstjue calculo per fe patent. Similc* forcnt V'bi-.itiones acfrcac in fiflnrs , fi columna aiirca filUiiac inclula in dnas diucrlas partcs dirpercerctnr dinerla dcnfitate praediias aut ciiam in acrc libcro , in quo (onus propagatur , (i acr a fu- bita mutatione caloris denfitatcm fuam aliquo in lo- co confcll: m mutare putctur ^ annon lufpicari licet , fimile ahquid coniin^^crc , quotics radius luminis ex vno mcdio in aHud incidit. Q_uicquid fit , ope- rae pretium erit accuratius in vibrationcs altiorum ordinum inquircre , quod excmplo ahquo uuac faciam. §. 19 Sit itcrum , Tt §. 13 X' — X atquc J*~4p, quibus llippofitionibus conuemt atqnntio — 2 tang. Arc. ^ <7 rz tang. Arc. — q , pro quo vidi- mus §. 17. cfle arcum fundamentaLm '^^ q :zz 54.°. 45': atque arcum '-^ +f A . jjyj A erC» Ita quoque pro altera chorda longitudo L', dimidil- tis terminis , fit fucccfliue aequalis 5ia '^ • JJI '^ • »3» '^ • Tiji A . 75js A . Tp+i A . 55,» A . ClC» foni autem progrediuntur in ratione denominatorum 2xp:5oi :939: i22ictc. Configurationcs , quns ambae chordac intcr vi- brandum allumuut , filluntur pro quatuur caflbus iimj^li- C H O R D A R V M. »77 fimplicifTimis figuris 4. 5. 6. 7. quarum aff dioncs Tab. III. quiM^iw propria i'\iA co.tcmplatione contp eiet. De- teru.i ■:vii> h agituduiibu!» L et L' haoaur 2 L — longitudmi cniiisu:s concamerationis in cliorda teti- •vioi» et 2. U — longitudini concamerationum in chorda craiiiore : Frnnt autem in vtraque chorda concamcrationcs rcpl.candae contc proxime nd pua- ftum by in quo cnordae vnitae tunt , peruentum fuerit y tunc concamcratio mtcr:nedia vcrobiqu^ rcliqua ex duabus portionibus virius.]Ui. chordae erit compofiia, fimul tamen cum reliquis concamerauonibus lyii- chrona. Inrcrfedliones j qua» cuniae cum toto axe for- mant , fieiit omnes pro cadem chorda liib angulis perfcde aequalibus : at vero masimae amplitudines concamerationum in ehorda tcnuiori , pro noftro cxemplo fuint maiorcs quam in chorda crafiiori , quamuis axem fub angulo minori interfecent , ex- ceptis cafibus , qui figuris 8, 5^ etc. rcfpondent , de quibus nunc dicam. §. 20. Notabile e(l , quod prnememoratne vi- brntionum (pecies diuerfae , quamuis infinitae fint , no^dum tamen omnes , quae oriri poffunt, expkant, Id quidem non porui non animaduertere , p»)(fquanFi "Vidi tranfitum a configuratione figurae quintae ad lextam , iu qua fo-lenori tres funt nodi , cum iti praecedente vnicus tffet ; vnde intellexi , configura- tionem dari mediam au(^bus nodis douatam , qual. ni Mm 3 mit 478 t)E VIBR ATIONIBVS fiftit figura odtiufl. Ita quoque deficere \ideo con- iigurationem tiiiur;ie noniie , qunc quinque filUt no- xios. In genere metiiouus priumiUa priietermittit configurationes> pro quibus pundum connexionis b incidit in nodum et in quibus numcrus nodorum fit — 3« — I, ft per « iutcjligntur r.umerus qualis- •cunque integer. Akeram hanc vibrai.onum clallem ita dcfiiiire licet. In par.ignpho pTnecedent-e Tnonui , quod li •arcus ~q-(^ latibtdciat acquationi — 2 t.ing Arc.^^ n: tang. Arc. '^^ ^ , fiiturum fit \t fimul arcus 2 ^ - Cj), 2 ^4- $), 4^ - (p, 4 ? + \, U^ etc. qui nunc ^alorcs fiL,uris 8 et 9 pcrfcde conueniunt ; hae itaque nouae confignrationts prio- xibus erunt ordine luo intercalanuac, quo taJlo (im; cs ordines obtincntur et numcrns nodorum cuiuis lui- niero natuiali potcrit cflc acqualis. f ai. CHORDARV M. 179 § 21. Ad diiclum prncJTiifli cxcmpli , fingula aliii pcrtnnflari atquc ccimpuuri potcrinu : Conducct aucem pracuio vti cxaminc f^nthctico de proportio- nc , qu.ic intcrccjit imcr Vp ct ^ p' y quiie infcr- \ict ad proportion.m intcr tangentes indicandum ; tum ct de. proportionc , qui^e ipfu> arcubus compe- tcre dcbet ; etenim li altcrutra tangens multo ma- ior debeat effe (lia locia , indicium babcmus angu- lum non mukum a redo deficere atquc fi Cmul ipfe angulus multum exce^cre dcbeat angulum lo.- cium , indicium quoque habcbimus dc paruitate po- llerioris anguii. § 22. Plurima fbrent fuperaddenda , veluti quaeftiones dc abbrcuiatione alterutrius chordae rcqui- fita , vt fonus tunoamentalis cmcrgens datum inde formet interuallum muficum cum fono fundamentali qui ed tur absque ifta abbreuiatione. In huiusmodi quaelHonibus ante omnia , longitudo L \el U per acquationcm §. 13. ell determinanda , quo fido ex interuallo mufico dato innotefcit valor nouae lon- gitudinis L vel L', \nde determinatur longitudo^ chordae abbrcuiandae. Sic pro cxcmplo §. 17. fx chorda craflior appofito digito reducatur ad longitu- dinem ^|y longitudinis fuac naturalis , inde obtinebi- tur oclaua loni qui editur remoto digito^ Potefl ctiam alfus confidernri modus , quo lex continuitatis in chorda vibrante interrumpitur , geo- mctra- £80 DE VIBRATIONIBVS CHO.^DARVM. tnctrariim attentionc non indigniis , fi fcilicet chor- da , tota fua lougitudinc vnifarmis , in piincto nli- quo auucxum liabcrc pouatur pondufculu;!! : Hic equidem ambo lcgmcnta chordae in pundo , vbi pon.lufculum fuperadditum habent , ncutiquam com- niunem habent tangentem ; ambie vcro tangcntes funt tanqunm fila grauitatis expertia atque pondulcu- Jo alligata confidoranda , fimuL)ue efficiendum , vt vibrationcs pondufculi fiant ifcchronae , cQm vibra- tiunibus vtriubquc chordae fcgmentL SECTIO SECTIO GLVARTA M O T V A E R I S IN TVBIS. A u c to r e L. E V L E R 0. CAPVT I. DE AERTS AGITATIONIBVS ^flNIMIS IN TVBIS AEQVALITER AiMPUS. Problema 6/. I. Dim ner in tubo nequiliter amplo horizontallter yat. iv, pofito fiiie lit ri-dv.b {iiie cimms vtcnnqie n^i tig- 70» tatur , acquationcs inucnire , quiuus cius niotus) de- terminaiur. S o 1 u t i o. Sit A B tubu!» propontiis , qni (lue fit reflu» fiue curun> , f.inquam redus» iu fij.ur;i repra;.ie fa- Tuai.XVl. iNou.Comm. Nn lur, 48» D E M O T V tur , quoni.im \idimiis ab eius cnrunminc motum noii pcitiirbari. Sit ergo eius iimpl.tuJo conlluis — ^. Ad hoc autem problcma rciol lenJum vti eoni.enict mLthodo poftcrion , qua flatus ucris in tu'>o quicu iquc cum Iktu initiali comparatnr. bo- lutionem er^o ex problemate 4.5 pctamii^ qiiem in fi em confhieremus aeri;» particulam , quae in tio , vbi erat tcmpus t — Q, fucrit iu S, ac ponamus fp.itiu'!! A S — S, e us partici'1-ie vcro dcnlitatem — Q; at amplitudo tubi , qu.ie ibi pofita crat — H hic nobis eft — ff. lam elapCo temporc —i ca.1cm particula perucncrit in s , iVatuaturque (patium As — s. eius dcnfit.is —(7, preilio — />, cr cileri- tas, rccundu'Ti dircdlionem j B :=^ a — ij-p aiiiplitu- dine tub' exifte te u — /! His pjifits pr ma aequa- tio ibi inucnta praLbet ^(^^) — Q,- deinde quia ob tubum horizontul ter podtum grauitas motum i-.on afficit , altera aequatio ibi inuenta hanc induet tor- mam ?Xi£ — — preirioicm p perpL.ru() deiifitati q cfTc proportionalcm ^ vn.'e fi dcnfitati datae b conueni.it prclfjo z:: o, crit /)— '-i, ex quo ptifltrjor aeuatio fit prima. AERIS IN TVBIS. aij primi cxiftente q (i-^) — Q. Hinc igitur denfitatem q clidcrc licct ciim fit ideoqiie . idj\ — 4_a _ ws!i Quocirca habebimus hanc acquationem , qua mo- tus determinatio continetur sgadQ. /'d s\ z g g /ddt\ . /d jy /J i t) — _ 6Qas ^dS/ -6~^dS»'' "^ ^ds' ^d 1^'' — ^ quam aequationem ita refolui oportet , Tt pofit» ) S-S-\-z ira vt z (pe^f^ancia fit \t quan- titjs 111 nima , aTiiic acinaii.) , moium dcturminani hanc induet torina.n ; quae cum fbrmula (^^) pruc vnitatc quafi cuanclcat contrahKur in. hanc : cuius fi modo primus teiminus abeflfet , integrnle ex ijs, quae iam in hoc nouo cakuli i^enure (unt com- perta , dari poflTet; foret eiiim ^rrr:C.+/VL|-')-f-A:(S-;y4i') Cum aure n primus terminus Hjlam variabilem S con- tu.eat cuius Q elt tund o data , intugratio eo non turb.itur , entquc acquaiionis noftrae integrale coni- plef.an :. z=/^S/2. + r:(S + /yi^)-f A:;S-/yif) qtTo inuento v.t reliquae motus condiiioncs eliciamur, Qb. s,— S -+- z erit (^^')-L + /|^+r':(S+?V'-f-")+AUS-/V'f'') et ex quarum f()rrr.arum illa colligitur dcnfirasaeris in X elap.o temporc / quae eft y — -77- ; hincque por- 28S D E M O T V ro prcflloprr^, ex liac vero cckritas in co'em loco b' — (j^), ficqiie ad quoduis umpus ftaius in quo aer verlabitir , pcrfc. V. elapfo tcmpore quocunque ^::r:B, Pro (cala ergo ^'■g- 74. denfitatum C Q. D cx Ihitu initiali foimata m ex- tremitate B, ob Q— B fit applicata B J) — o. Sit igitur AB tubus propofitus in B terminatus ct aper- lus vltra A autcm vtcnnque cxtenlus, atque ex fla- tu initiali formata fit (cula denfitatum C w; B in B cum axc AB concurrens i fcala autcm cckritatum fit H M F. Quia iam elapfo tcii.porc quocunquc— f deufitas aeris ad B pcrpctuo dcbct cfTc cadcm — B, primum oblcruo hanc conditionem pcrindc locum habere A E RIS IN TVBIS. 301 habere dcbcre , quaecunquc fucrit fcnla cclcritiuum ; hoc eft fuie acri iii tubo imprcfTus fucrit initio quispiam motus , fuie tota iigitaiio tuuum in pcr- turb«tione cckritatifi (ubllitcrit, Qvvanquam autem haec propriecis illi aifris eltmcuto , quod (juoHis tempore in orificio B B -verratur , conuenit , tamen quia translatio (ingulorum elemcntorum eft quam minima , eriam illi ekmcnto , quod initio orificium B B occupaucrac , condanter tribui poteft. EfFluxe- rit ergo tempus quojcunquc — t at a pundo B fumto vtriniue intcruallo B;crBT:=iry'°^, continuatio fcalarum it;i eflc debet comparata , vt fiat 7 — Q^=:B, quarc ob SQ — o hoc cafu fieri oportet — i T N + 1 T M + I / ?: 4- U w = o feu T IVt -^ ; w — T N -f- ? « — o , quod cum cucnire neccfle fit quaecunque fuerit fcald celcritatum fcorfim debet efle et T M -i- f w/ z= o et T N — f « =r o. Ex priori conditione patet fcalam denfitatum CfwB ita vkra B continuari debere vt curua B M (t fimi- lis fiat ct aequaiis curuac BwzC, ki ad partem axis contrariam difponarur, Deinde pro lcala cele- ritatum continuatio F N^ parircr fimilis et aequa- lis flatuatur curuae F ;; E fimul(.,ue ad eandem axis partem pofita ^ hacque Icgc vtramque fcalam denfi- tatum ct cdcritatum vltra ttrminum B coniinuari coiiuenir, Pp 3 CoroII. SQz D E M O T V Coroll. I. 22. Si tubus ex parte A in infitiitum exten- ditin- , hac condructione vtraque fcala B in ii;fnn- tuni continuabitur. At fi tubus in A quoque fit terminatus , tum hoc modo fcalas ron vltra termi- num a exiftente B 6. Prout ergo tubiis in B fucrit vel aper- tu9 vel claulus vtriusque fcalae coutinuatio diuerfo quidem ratione axis fed pari modo refpedtu ipfarum applicatarum inftitui debct. lllo fcilicet cafu lcalac denfitatum , lioc vcro fcalae celcritatum continuatio ad contrariam axis partem cft difponenda. C o r o 1 1. 2. 27. Qiioniam cafu quo tubus in BB cft clau- fus , aeris ad B fiti cclcritas femper e(l nulla , hinc fpontc fcquitur cum nunquam de loco fuo reccdcrc : vnde translationis fpatium Ss fupra in generc dcfini- Tom.XVi.Nou.Comm. Qq tum 30(J D E M O T V tiim hic qiioque ciianefcere debet. Pundlo autcm S in B tr;m-)lato fit vtiquc. quia crt TNt n = B in -BTN — o, arca enim B T N in contrariam axis partcm cadcns ncgatiuc capi debct. P r o b I c m a y^. 28. Si tubus acqualitcr amplus fucrit in fe rediens , quamcunque habucrit figuram , vtramque fcahim denfitatum ct celcritatum ad ftatum initialcm extrudam vtrinquc in iufinitum continuarc. S o I u t i o. Tab V. Longitudo tubi in dircdlum cxtenfli in tabuhi Fig. 76. 1'epracfcntctur linca rccla ASA', ita vt puncftum A' tota perimetro pcrcurfa in pundum A recidere fit concipicndum. Exfirudla ergo fuper hac linea A S A' tam fcala dcnfitatum C Q C qunm fcahi cc- Jeritatum ETE' ita vt fi in S initio fuerir denfitas zz Q ct cclcritas fccundum dirtdioncm S A' ~ T fint applicatae S 0 = /2: — ^-^ et S T - T V -^ euidens cfi in pundlo A' effc dcbcre A' O — A C et A' E' n A E qunndoquidcm pundum A' cum pundo A conuenit. SimiU ir^odo tnbum phirics pcrcurrcn- do pro fingulis reuokitionibus rcpctitis in axe ca- piantur intcrualla A' A", A" A'", A"' A"" etc. tubi longitudini A A' acqunha , et quia firgula pun^ --, ac tum demum aerem in S agitationem efTe fenfu- rum. Elaplum ergo ian^ fit maius tempus t ca- piaturque interuallum S r — r V -|^ , ad altcram cnim partem non opus elt aequale fpatium S T ab- fcmdi , quia ibi fcalae in axem incidunt, Nunc igi- tur aeris ekmcntum ex S translatum erit in j , vt fit fpatiolum Sj-=-H;n-+-iH?wz, tum vcro denlitas huius ekmenti erit q —'^[i -\- \t m-\- \ t n) et celeritas verfus B tcndcns m — \ [t m -\- t n) V -^^ poHqnam autem clapfu:n fiicrit tempus /-SGV-- ob t m — o ^ et t n — o cius motus iterum extin- (^q 3 guitut 3to D E M O T V guitiir denfitasquc naturnlis B rcrtituitur , in quo llatu dciuccps pcrpctuo pcrfcucrabit. Simili modo in altcrn tubi p;irtc rcs fe habcbit,- pun(5lnmque S' qniefcet doncc claplum fuerit ttm- pus / — S' G V -^- , deinccps autem elnpfo tempore /=:S'T'VJLj translatio fiet pcr Ip.itiolum S' j' :=: ^ G T' N' + ^ G T' M' quia in Hgiira npplicata T' M' infra nxem cnJit ; tum nntcm dcnfitns erit ^ =r B ( I - ^ T' N' - 5 T' M') ct ccleritas ycrfus B direaa y — ^T' N' -h T' M') V i|f. Statim autem ac tcmpus t — S' H V j|^ cffluxcrit ncr in S' in aequilibrium rcllitu(.tur , omniaquc acris clcmcnta non diutius agitaiioni erunt fiibicda quam diirante tempore r= G H V A — -^ min. fec. Mnnifcnum ergo c(1 , quomodo pulfus initio in interiiallo G H excitntus labente tempore vtrinquc in tubo pro- pagctur. C o r o 1 1. I. 32. Pofita ergo diOantia HS — /, pnlfus initio in fpatio G H excitatus ad S vsque propagntur tem- pore zz ^^'f-- min, fec. vnde patct propagationem efle vniformem et tempore vnius minuti fecundi fieri per fpatum — V-|''; quod fi dcnfitns mtrcurii fumatur pro vnitate , vt fit a nltitudo baromctri quafi 25 ped. lond. erit dcnfitas acris Z? - r^Irji^ijsUs» ob g — 16 pcd. lond. fiet circiicr 916 pcd. Coroll. AERIS IN TVBIS. :3u C O r O I I. 2. '■ - - 33. Ex foliitione cciain iiifjlligitiir, cuiiismoii agitatione particula aeris S concitetur , primo iiempe propcILtur pcr CpitiolLim S s zz !^ H / « -4- 5 H / ;// deinde denfitatem obtnebit q — li{i-\-y?n-\-ltti) ac tertio celeritatem verfus B acquiret v~l{in \-tm)'V'-^', "vnde patet celeritatem lianc excefTui denlitatis fupra dcofitatem naturalcm effe proportionalem ^ quando- quidem el^ '?7i=: a V J'-. C o r o 1 I. 5. 34. Imprimis autcm hic notari meretur pul- fus in fpatio G H excicati propagationem in plagam A non ne.effario acque cfTe fortem atque in plagarn B. Si enim in puUu initiali fcala denfitatum con- grueret cum fcala celeritatum \t effet T'M'r-T'N' et t m — tn ^ tum propagatio verfus A prorfus eua» nefceret , altcra vero vcrfus A maxime vigeret. S c h o 1 i o n i. 3 5- Hac pulfuum promotione foni propagatio puiccrrime illufkatur ; quocunque enim modo fonus producatur , femper copia quacdam aeris in fpatio G H contenta de flatu acquilibrii deturbatur , fiue in fola denfitate fiuc (ola ccieritate fiue vtraque coniundim ipfi mutatio inducatur. Quocunque au- ccm modo hoc eueniat propagatio huius pulfus vtrinque in tubo pari alifoluitur celcritatc , eriamfi forte io alterflm lubi plagam multo fit vehemcntior ■ -'_ . quam 3T« D E M 0 T V ^uam iii alterara. Id aiitem tantum hic obiid , potcft , quod cxpsrientia Ipitium per quod fonus iatcrualio vnius minuti fecundi propagatur multo inaius , fcilicet 1040 ped. lond, exhibeat; quam no- ftra Thcoria ortcndit. Cuius phaenomeni cauia vei in eo eft pofita quod hic in calculo puUus tantum itiinimos admittimus , ii autem foni , quorum pro- pagatio per experimcnta eft dcfinita , tam fuennt vehemcntes , vt calculus nofter ad eos non debeat flccommodari ; ideoque adhuc in dubio reUnquatur flnnon foni maxime debiles ea ipfa ccleritate quam inucnimus , reuera progrediantur, Vel fi etiam hic cxperientia refragetur , fufpicari liccret , acceleratio- nem hanc ingenti particularum folidarum in aerc ▼olitantium copiae tribui debcre , dum enim agita- tio ad vnum terminum huiusmodi particulae pcr- tingit , codcm inftanti ctiam terminus oppofitus im- peUitur ncque tcmpore opus forct ad fonum per fubftantiam harum particularnm propulfandum. Huic ccrte circumftaniiae , quod hic Ibnum in tubo in- chidimus hic dilTcnlus ab expcrientia tribui nequit , quoniam infra vidcbimus etiam in aere vndique aperto eandem cclcritatem pro foni propagationc in- veniri. Interim tamen hic diffenfus nnn obftat , quo minus hinc tam produdio qiiam propagatio ib- ni rcdle explicari ftt ccnfcnda. Fortafte ctiam ratio- ncm huius diflcnfus in eo quacri liccbit quod ae- rem tantum 750 vicibus rariorcm ftatuimus nqua ^ fi enim ei raritatcm i)66 vicibus maiorcm tribua- mus , calculus cum cxpericutia pulcrc conltntict. Scho- AEKIS IN T ViilS. 313 Scholion 2. 35. Qiioniam clapfo tcniporc t zzS t V ~~ agitatio pur.di S ita per ambas applicatas t ?n tt tn fcabrum dcfinitur , vt fit ibi dcnfitas ^ — B(i-VU/« H- l t n) et celeritas « — s (; in -\- t n) V —^- cuidens eft totum puKum initialem G H hoc tempore trans- ferri in fpatium Y X — G H vt fit H X -^ V =-p , rcliquo aere in aequilibrio exiftente praetcrquam in fimili fpatio ad alteram partem in tubo fumto. In hoc autcm fpatio Y X agitatio per vmcam lcnlam YZX ita formatam \t applicata S2 fit femifum- mae ill.uum t m -\- t n aequalis , repraefeiitabitur quippe quae tadem fimili modo quo in pulfu ini- tiaii ct denfitatem et ccleritatem in S exhibebit , cum iam pro punc^ro S iit q — V> {i -\- S 7L) feu /|- rr S 2, et y := S 2 l^ ^% hincquc tramlatio eleincnti S ita dcterminctiir vt fit S / n areae XS2. Haec ergo noua Irala fimplcx Y 2 X ex binis ini- tialibus fijrmata in^iolem pulfuum vcrlus B propagato- rum dcclarat vnde etiam diucrlae fonorum qiialita- tes txplicari dclxbunt. Primum autem hic dilJingui- tur latitutio puhuum Y X — K G quae prout fue- rit ma'or minorue , (onus indc certam indolom ha- bebit ; Deinde ex ipfa curuae Y 2 X figura prout vel maiorem minorcmue habuerit amphtudinem S 2, vcl tota ad eandem axis partem vel pnnim fupra axem partim infra eum fuerit fita , vcl alia quacunnue rationc fuerit affcda , fonus quoque di- verCo modo fcnfum auditus afficiet. Ab amphtudinc Tom.XVl. rsou.Comm. Rr qui- 314 D E M O T V quidem S 2 fortitiido feu vehemcntia foni pende- re videtur qiiiileb autem qualitutes reliquis proprie- tatibus fi^uiac Y Z X refpondeaut haud (atis l,quet; id faltem ptrfpicuum ell infinitam fcrc ionorum \a- rietatem hiuc cxplicari debere ; cuiusmodi funt foni diuerlas litteras vocalcs a, ^, /, o, u exprimentes , aliae.jue innumerae difTercntiae. J)einJe etiam ratio (ingularis phaenomcni adhuc non explicati hinc in- teihgitur , quomodo fiat , vt fi agit.itio YZX tan- quam initialis confidcretur , ea tantum in vnam plagam B vlrerius propagctur , neque v'los nouos pulius retro verfus A excitet. Vidcmus enim (i ipfe pulfus initialis G H iam ita effet comparatus , vt binac fcalae inter fe conuenirent , quemadmodum fit in pulfibus propagatis , tum etiam nuUam pro- pagationem in plagam A effe fccutur.im. Ii7iprimis etiam hic notandum eft , eosdem puKus propagatcs cx infinitis pulfibus in.tiahbus oriri poffc , quoniam infinitis modis cx binis fcalis diuerfis pullus initialis G H, eadem fcahi pro pulfibus propagatis Y X pro- duci poteft , vndc non mirum fi laepe diuerfae cau- fae fimiles fonos cfHciunt. S c h o 1 1 o n ?. Tab. V. S'^' Hadenus vnicum tantum pulfum fum Fig. 78. contemphuus ncque proptcrea ad eas fonorum afic- diones refpexi , quae ex fucceifionc et ordine plu- rium puiiuum nafcuntur , quaics funt grauit;is et acumcn ; ex quo fonre foni etiam infinitain varieta- tcm adipilcuuiur. Quoniam vcro hic non vniuer- fam AERIS IN TVBIS. 31J fam fonorum dodrinam tradere eft propoCtum, tan- tum obferuo fi initio non vnus fed plures pulfus a, g, -y in aere fint excitati qucmlibet eorum perinde propagari ac fi reliqui planc abeflent , neque pro- pterca plures fonos fimul excitatos inter fe confun- di. Q^iJod phacnomenon cu.ti alias (oliitu pcrquam difficile fit vifum , ex principiis ftabilitis fponte fe- quitur. Cum enim fupcr diredlrice A B ambae fca- lae vbique practcrquam in locis a, g, y cum ip(b axe congruant, fi lociim qucnicnnque S confideremus, ad eum elapfo tempore t-S y V —^ folus pulfus y cum fuis affcdlionibus propagaiur, neque reliqui pul- fus a et S qiiicquam turbant ; clapfo autem tempo- re t zrS^ y —^ , quo ille pulfus iam vltra e(t pro- motus , ad locum S pulfus 6 cum Juis affedionibus perfcrtur , ac deinceps poft tempus ; — S a V ^-~ pulfus a. Ex quo clariflime intelligitur , quemad- modum plures foni vel flmul vcl (iiccefliue excitati ita flatis temporibus ad qucniUiS locum S proferantur , vt nulkis eorum rcliqu-s flt imp.diircnto , fed qui- libet aeque aerem in S txcitet , ac fi reliqui plane abeffent. Ceterum quatcnus hic pulfus tubo aequali- ter amplo inclufbs confideramus ; huic caufae eft iribuendiim , quod finguli pulfus propagati perpetuo eandem vmi retineant , quantumuis enim puncflum S a pulfibus primitiuis diflans accipiatur, pulfus propagati fcmper per fimilem fcalam repraefentaniur vnde non fblum eandem vim fed etiam casdem af- fediones retineant neccffe efl. Qiiando autem tales R r 2 pulfus 5xam prioris fpcft.ire liccbit ^ corumquc intcrualliim eo maiiis euadct, quo magis ad pullum principalcm G H appropinqucmus. C o r o 1 1. 2. 40 In ipfo autcm pulfus principalis loco GH et po(l cum vcrfus A binae agitationes eo perlatae intcruallo tcmporis — 2 B H V — a (c inuiccm diflabunr, quod li fucrit fjtis notabiic poflcrior prioris quafi echo exhibcbit. Coroll. AERIS IN TVBIS. 319 C O r O 1 1. 3. 41. Si initio plurcs in nibo cxcitati fiierint pulfus co.1cm modo :uque in praecedcnte problemate oaendi potcil , fingulorum propagationem a reliquis niinime perturbari , licque etiani hic plures fouos inuicem non confundi. S chol i on i. 42. Solutio huius problematis nos praeter ex- Tab. V, pe(flationcm ad explicationem duorum phaenomeno- Fig. 80- ruiii imprimis mcmorabilium manuducit, relonantiae lcilicct et echo. Primum autem videmus horum phacnomcnorum cauliim vulgo perperam repercuflio- ni cuipiam efTe adlcriptam ^ cum enim in tubo ad B B aperto , in aitera \cro partc ad A A quafi in infiaitum txtculb fi vspiam in L pulfus feu (onus excitetur , is nonnifi m orificio B B funplex exau- diatur ; inde vero ad L recedendo ita duphcetur , vt interuallum continuo fiat maius primo hic refo- nautia oritur , tum vero in L et vltra hunc locum verfus A, fi modo interuallum LB fatis fit mngnum vt tcmpus , quo a fono eius dupkim percurreretur , feutiri qucat , rcpctitio illius foni exaudietur , cum tainen hic nulla rcflexio cernatur , nifi forte dicere vclimus repcrcufionem hic in B B fieri ab aere ex- terno quod lamcn ab opinione vulgari plurimum abhorret. Ita fi interuallum BL eflct 1040 pedum fonus in L editus pofl: duo minuta fecunda ibi ite- rum audiretur , et quod hic de tubis eft didum , quo- 3ao D E M O T V quodammodo etiam ad ambulacra ct ■vicos anguftos praecipuc fi fuperne fuerint tt-dli , traui^rerri Ijcet , vnde plurium phacnomenorum in huiusmodi locis obftTuatorum ratio reddi potcrit. S c h o ] i o n 2. 43. Deinde etiam hmc rationem tubarum ftentorv.arum iam quodammodo coiJiLiere poterinuis , fi enim in tubo ud L fonus fucrit cxcitatus , puKus indc per orificium B B pari propemodum vi in li- berum nercm expellitur, et quia hic non an pl us indolem habet puhuum propa^^atorum , qua tantum in vnam phie;;im proferantur eriam quaqiia vcrfiis expanditur. <^uia vero orificium B B non ell ma- ius quam pulfus initiiihs , e longinquo fonus non fbrtior (ed cum qiiaJam refonantia coniun<5lus au- dietur. Sin autem tubus vt vulgo fieri (okt circa orificium niagis dilatetur , nullum c(t dubium, quin fcopo propofito raagis fuisfiat : quoniam in B B multo maior aeris copia agiMUir , idccque in acrc cxterno fortiores puhus generat. Nunc antcm ctiam propagationem pulluum in tubis ex altcra partc claufis fcrutemur. Problema 75. Tab VL 44-- ^i Tubus acqualiter amplus ad B B fit Fig. 81- clanfus , ad alternm ^ero partem A A in infiiiitum extenfus , in coquc iili.cubi \chiti in fpatiolo G H puHus quicunquc cxcitetur , huius pullus propagi- tioncm pcr totum tubum inucftigar.e. Solutio. Solutio. '/'■' Si in fpatii GH quo pulfus cjccitatur furd» t fiierit deiifitas n; Q nauiraii cxiflente — C, ct ce- leritas vcrfus B dircda i zr Y ftaiuantur applicatac t mzn I^:^^^ et t n — r V -^ , \t obtinean- tur fcalnc denfitatum ct ccLritatum GmU et G?2H, quae per rcliquam tubi extcnfionLm cum ipfo. axc cur.uenire funt ccnfcndae. Axe iam A B extra tir- bum iu infinitiim prolongato , fumtoque interuallo B T =r B^ ftatuatur applicata T M. ~ t m ad ean- dem axis partem , ad contrariam vero T N rr: ? « , \t fic lcalae qiiafi. pulfus (ccundarii h M g et h N g exrruantur. Hinc in ipfo termino B B acr tamdiu quiefcct, quoad vterque pullus co propagetnr , quod fimul continget elaplb tempore zr B H V -4i elapfo autem tcmporc maiore ? rr B ^ V ■— , eiusmodi ia BB agjtatio excitabitur, vt futura fit denfitas ^ — B (i-4-|TN-h'.TM-}-i/«-|-if7;/)r:B(i4-?«+^w)* celeritas vero « nulla quia aer in B B non poteft non efle quiefcens. In alio vero quouis tubi loco S intra terminum B et locum primi puKus G H accepto ad eum hic prlmui pulfus prius appcllet, et elaplo tempore t — S t V ~ denfitas ibi crit <7 =: B (i + 5 / « + I ^ w) celeritas vero «::;|(?«-f /;«i y '4-?. Deindei vero etiam alter pulfus fecundarius gh eo perfcretur , et elapfo tempore /=r STV -^ = (B/-hBS) V -^^ ibi erit dcnfitas ^— B(i+-U« -i-itm) vt ante ccltritas vero y:ir — s(f «4-/W;'^^ T^ » Tom.XVI. Kou.Comm. S s illi 321 D R M O T V illi contrnria. In ipfo autem pulfus G H loco ei ponc euin veiTus A auibo pulfus le cxcipicnt clapfo tempore 2. BH V _— ^ ,• atque in A pro pulfu prin- cipali elapfo temporc / — A / V — erit denfitas qz=:B(i — 'Jn^[tm) et celeritas y — i(;«-;w)yi-^ , qiia ngitatione finita pro pulfu fecundario elapfo tcmpore i = AT V ^^=:(A t -{- ^ B i) V ^-^^ rc- perietur ad A dcnfitas g — B [i — l t n -i- [ i f?i) ct celcritas a — — [ (t n — t ni) V -|-, Sicque propaga- tio pulfus primum excitati G li pcr totum tubum innotclcit. Coroll. I. 45. Perinde ergo atque in cafu praccedente pcr fpatium B H quacdam loni rcpetitio pcrcipic- tur , quae nifi tcmporis intcruallum ic:ntiri qucat , pro rcfonantia crit liabcnda, in iplb autcm locoGH et poll cum in A ccho co magis erit dillinclum , quo maius fucrit fpatium B H. Coroll. 2. ^6. Pulfus autcm in fpatio G A pone pulfum principalcm excitati alius crunt indolis , ac pulfus ante eum in fpatio B H produdi , fierique adco poteft \t in altcrutram plagam nuUa prop.igatio contingar , quoniam altcro calu agitatio dcfinitur fumma applicatarum t r -\- 1 w , altcro vcro carum difTercntiA t n — t m. Scho- AERIS IN TVBIS. 323 SchoIIon. 47. Diflniiilitudini puUuum in tubo vtrlnquc propagatoruni expcricntia neutiquam aducrfari eft putanda , f\ in (bnis nullum dilcrimen animaduerti- tur. Etiamfi cnim binae (calac G w H et G « H ita fint comparatae , vt prouti Ttl lumma vel dif- fercntia applicatarum t m et t n capi debeit , maxi- mum discrimen oriri dcbeat , tamen perpcndendum cft , quoniam omncs foni pluribus pulfibus fucceffiuc produdis confiant ; qui a motu quodam rcciproco nalcuntur , eos femper ita efle comparatos , vt al- tcrnatim fcalas illas contrario modo difpofitas prac- beant , ideoque i\ vnus pulfus in vnam plagam fue- rit fortior quam in altcram , contrarium in fcqucn- te euenict , ct quoniam itniuti noftri fingulos dilcer- nere non valent , ctiam illud discrimen in fonfus non cadit. Quodfi altcrni pullus in altcram pU- gam prorfus non propagcntur , fonus percipictur vna o&aua grauior , etiamfi corpus fonorum duplo plures cdat vibrationcs. An autem huiusmodi cafus vnquam cueniant , in dubio eit rclinqucndum. Problema /5. 4S. Si in tubo acqualitcr ampio et vtrinque -pgij^ y^ nperto A A B B alicubi in t pulfus quicunque ex- Fig. sat citetur , eius propagationcm per totum tubum de- tcrminare. S s 2 Solutia 5^4- D E M O T V So I U t io. Etfi agviiado fcmper . in 'quodam fpat'o , vti ba^aus aflumlnnus ficri debet , tarricii nunc a ki- titudine pullbs animum ablhahamus , qiiandoquidcm «5 praecedcHitibus cffcdus inde qriundus fatis intclii- g'tur,:, ct agitationem in \nico pundo ; faiiilam hic coutempIeiTiur , \'bi i\ (yerit dcnlitus — Q^ naturali Cix^ftcnte zz:By et celcritas in plagam AB dircda z= T capiatur /;« — /?= -^' ct /« = T V A. , in rcliquis autem tubi pur.dlis hae binae applicatac euanclcant. Produdo iam axe A B vtrinqne in in- fiQitum, fumtih.juc (patiis B A^, A'' B^'' etc. A B^ B'' A'^ longitudini tubi aequalibus , cx pracccptis fupra datis continuatio ambarum lcalarum ita inf^i- tui- debet. Primo fumto interualio BTBr, quia tubus in' B eft apertus capiatur T M zr / m infra , atj T N ~ r B. (upra axem : tum fimili modo ad altc- ram partem (umto AT' — A/, quia tubus in A ec^am eft apertus capiatur T^ Al^ — / w infra et T^ N^ — /« (upra axem. lam hac fcala V IVT' N^ cnm ocificio BB coUato , (umatur B/^rzBT^» t^ J!/ — T' ISV ct /^ H^ — T^ N^ vtrumqus fnpra axcm , ficqnc vtrinquc in infinitum progrLdieiido applicatae T N ,ct / « omncs fiipra axcm , alterac vcro T M et / w altcrnatim fnpra ct infra axcm crunt 'difpofitae , et in quouis (patio intcrn;ill.i AT ct A/ pritiio A'^, vti ct intcrualhi B f, B/ ctiam pri- mo B/ erunt acqualia. Ilis pofitis ad quoduis tubi pupcflum S fuccclliuc plurcs adcoquc infiniti pulus pcr- AF. RTS IN TVBIS. 325 perrcrentur , primo ncirpe pulfns principalis t m n polt t.mpi!^ — S / y ^-~ , tum pulms T M N poft tempus -ST V,-^'^(B/-hBS)V^-^ , tcrtio pulfus rM^N^ po(t tempus rST^V A^-^A/ + AS) y _L. et ita porro , qiuirum pulluum ruccclTiuorum inJolcs iii (cqucntc tabelhi cxhibetur : Eliipro tcmpore In tubi pundo S crit ab initio : dcnfitiis StV ^ 2 g B ( I + 1 / M -f- U w) (2B;-S 0 V^-4- |B(i-;n2-U;«) (.AM-SOV,^- (2A;-i-2Bf-SOV^^ (2A^+2B/ + S0>'77-. (2A;-|-4-B;-S0"^^r^-a (4Ar-i-2B/+S0vJ-„ (+Ar + 4B;-S0vi-^ etc. B(i ^\tn — \tm) B(i-;f«4-ln«) B(i+i?«4-U?«) V>[\-\tn-\tm') B(i + '/« — ;//«) B(i —\tn-\-\tm) etc. cclcritas iec. AB + !(;« + n«)V'-f^ ^,\[tn\tm)V'-^ + \{tn-tm)V'-p + i[tn-tm)-VljB ^\[tn-\rtm)V^S* + l{tn-\-tm)y '-p + ^^«-;;«)V^" + \{tn-tm)yi^ etc. Coroll. I. 49. PuUus ergo fucccfluic acrcm in S conci- tnntcs ratione indolis funt quadruplices , quartus cnim quisque eadem indole cft pracditus , tcmp ore autem — 2 A B V' — qunterni pulius in eundem tubi lf>cum appclUmc , hiqne paribus intcrualUs fe infequcntur , fi Tuerit B/zr A/ et St:zi'^Et. Ss 3 Coroll. AK 3»ff D E M O T V C o r o 1 ]. Q, 50. Cum tempore 2 A B > -- quatuor pul fus cdaiitiir , fingiilis minutis fecundis cuenicnt y '-p pulfus , qui numcrus fi A B in pcdibus Lond exprimatur fit — ^. Si hi pulfus fint fuis fortcs fonum refrent , qui ergo ab Yuico acris pulfu or- tus ell ceofendus. C o r o 1 1. 2' 5i- Si primus pi.iKus in iplo orificio BB ex- citetur, ibidcmque quafi auris tencatur , ob S/ — o, B/ — o et A; — AB, omnes puKus erunt gemi- nati , feque fequentur temporibus 2 AB V ^— ^^^ fec. fiquidem AB in pedibus cxprimntur. Hinc fi lon- gitudo A B fit quiifi 500 pcd. plurcs ciusdcm loni repctitiones fingulis minutis liscundis le excipient ct cxaqdiaitur. S c h o 1 1 o n. 5i. Hiuc intclligere licct quomodo echo phi* rium repetitionum gcncretur, cum tubus fuis longus talc phacnomcnum cxhibere pofiit , neque tameii \lla loni rcpercufiio cncniat. Sccundum calculum quidem fingulae rcpctitioncs acque dcberent cfie fortcs \eruin tamen ficilc intelligitur plurcs cfic caiilas quibus Icquentes rcpctitioncs continuo dcbilitcntur quoniam conditionibns in calculo alfumtis , in praxi ncuiiquam fuisficri potcfi. Cum tamen cxempla non dcfi- , AEKIS IN TVBIS. 327 deficlant , quibus eiusdem vocis pkires repetitiones fatis diftinde cduntur , nullum ert dubium , quin carum caufa in fimili acris agitatione qualem liic funuis contcmphui , fit qiiaercnda. Dcinde etiam rcfonantiae ratio hinc potiflinuim cxplirari debcre "videtur ctiamfi laterum tubi natura , qiiatcnns ab aere interno fiiuul motnm vibrstorium recipiunt , eo non parum conferat. Practcrea ex praecedciuibus fatis ert manifcftnm ' Iiis fuuilia phaenomena prodirc debere , fi tubiis vtrinqiie claufus accipiatur , pulfus enim deriuati fuper axe eodcm plane modo erunt difpofui, hoc tantum difcrimine, quod hic applicatae t n ex celeritatibus natac aitcrnatim infra et iUpra axem coUocari dcbcant : ncque ergo opus cfle arbi- tror \t hunc cafum feorfuTi cuoluam. Indc autcm i:on contemncndae dilucidationcs pro motu t^^mpano- rnm deriuari potcrunt^ etfi enim membranae quibus tympana teguntur , eorumque latera fonum potifli- nuim moderantur , tamen in aere inclufo quoque ratio rcpctionis pulfuum qnaercnda videtur. Super- cfl igitur in hoc c;ipitc tantum , vt agirationcm acris in tubis ex altera partc claufis, ex aitcra vero aperiis iiiuelligcmus. Problema yy. 53. Si tubus aequaluer amplus AABB fuerit Tab. VI. in altero termino A A apcrtus , in altero vcro BB Fig- 83- claufus atque in eo ad ; pulfus quicunque fuerit ex- citatus , eius propagationem in tubo inuclligare. Solutio. 318 D E M O T V S O 1 U t i O. In acre ad ; agitato fit denfitas =:: Q^ natnriili exifiente — B , ct cclcritas f.cundum dircctianem A A =: T , inde capiatur nn — l^ ct ?« — YV-i-^ ita vt pundum m refcrat firalam denfitatum , pun- (ftiim n vero fcalam celcritatum fiquidcm reliqua vtriusque fcalac pundla in ipium axcm incidunr. lam co vtrinque pro.ludo (unitoquc interualio B T — B^, quia tubus in B B c(l cLuifus , applicata T M — / ;« fupra, altera vero TN - f « infra axem eft ponenda. Ad alteram vcro p.irtcm quia tubus in A A eft apertus , fumto fpatio A T^ — A f , applicata T^W — tm infra , altera vero T'^^-tn fupra axcm ftatuatur , fimilique molo fumto A / j rr A T , fieri oportet t'' 7n" =i~TM z:z~t m et j// „// _. ^ -p jvj _- _ ^ „_ Tum iterum vltra B progrediendo funto intcruullo B/'rrBT^ capi dc- bet t' m' zz-h T' W zz - t m ct t' n' — - T'' N^ — — ;«, fic porro vtrinquc in infinitum. Nunc videamus quomodo omncs if\i pulfus fucccfliiic ad tubi pundlum quodcunqne S pcrueniant, id quod cx adiunda tabella pcrfpicictur : Elapfo AERIS IN TVBIS. 3=9 Elapfo nb initio tcmporc (iAt+2Bt-St)y^, {zAt + 2Bt + St]V^-^ UA/ + 4B/-S0-V^rf. (+Af + = B/ + SOVrf„ (4At-{-^Bt-St)V±. (4.A; + 4B; + S0V,-^\ etc. In tubi pun(flo S crit Denfitas ICcIeritas kc. A B B{i + 'itn+lt m)\ + [{t n + 1 m)V ^-^^ B{i + ltn+lt?}/) B{i +ltn-\tm) E(i +'jn-ltm) Q(i — 'jn-'afm) B(i— ^;«-i;w) ^{i—Un+ym) B{i—ltn + 'jm) -'-Atn + tm)yi-^/ +;(;«-;;«) VLif -U;«-;w)"^'-F ~l(tri+tm)V'-^ + 'Atn+tm)VLS^ -\itn-tm)Vl^' + 'i{tn~tm)Vi3^ i^{i+\tn+'jm) +l{tn + t7n)Vil^ eic. etc. Coroli. I. 5+. Hoc crgo ca(u maior difparitas in pulfi- bus fuccefliuis ad eundem locum appellentibus cer- nitur , quoniam hic demum odauus quisque ad ean- dem indolem reucrtitur. Temporis autem inttrualla eandem lcgem tcnent vt ante. C o r o 1 1. 2. 5 5. Si fit S ; — o et A ; :r3 o , ita vt fonus in A edatur ibiquc auris conl^tiiatur , ordo et in- doles pulCuum ad aurtm luccefliue delatorum ita fe habebit : Tom.XVI.Nou.Comm. T t Elapfo 330 D E M O T V itapro temporc dcnfitas celcritAS ^ABV^, B(i) 0 4ABV^, B(i) + 2tnV i^ 6ABV-L 2ga B(i) - 2 ; « y if* denfitas ergo hic nullam fubit mntationcm , vnde fi primus pulfus nullam habuerit cclcritatem , fe- querncs omnes fe mutuo deftruuut. CoroII. 3, 56, Sin autem fonus in B B cxcitetur , ibi- que a lenfu auditus pulfus {e^iucntes excipiamur, vt lit S/— o, Bfno et A^ — AB tum cclerirat io pulfibus appellentibus erit nulla , dcnfitas fola. alternatm erit =B(i- 2 tm) et B (i -f- 2 ; w) hique puUus temporis interuallis 2 A B V -^ fc jn- fequcntur. His autem duobus cafibus quatcrni pulfiis in vnum vniuntur quam ob caulain ctiam hi pulfus complcxi alia proprictate pracditi lunt ac pullus fim- plices propagati. S c h o 1 i o n r. $7. Quac hadenus h:c fimttradita dc pulfunm indole ct propa^ationc, Phyjicis occafioncm pratbcic poflunt in naturam tam fonorum quam auditus Tab. VI. accuratius inquirendi. In quo negotio imprimis crit Fig. 34.. perpcndcndum, fi pulfus a quacunque caula excitatus fecundnm dircdionem A B in acrc propngctur , ct uunc quidem fpatium Y X occupet i cius naturam fcmpcr AKRIS IN TVBIS. 331 fempe»' Vna quadam linea curua XZY i-eptdefentari polTc, quac finml fit (cala dcnruiuum et cJeritatum etiainfi in pullu principali hae duae lcalac maxin\e fuerint dincrfac ; hoc autem dc pulfibus fimplicibus eft intclligcndum , non vcro dc complexis , qui ex pluribns fimplicibus a contrariis plagis in eundcra 1 )cum vcnicntibus coalefcunt , cuiusmodi funt ii , quos in coioll. 2 ct 3 defcripfi. Dum igitur pul- lus ilie fimplcx in fpatio X Y verlatur , primum eius latitudo X Y confiderari debct intra quam aer de Oatu aequihbrii cft deturbatus , extra eam vero vbique quiefcit: quo enim haec latitudo fucrit maioc eo plenior quafi erit fonus. Deinde curua illaXZY hoc modo aeris agitationem dcclarat : cn fcilicet acris particula quae ante pulfus aduentum erat in S nunc erit translata in / , vt fit fpati.olum S i" n: arcae X S Z ad lineam illam red:am , qua vnitas defignatur, appUcatae : tum veroeius denfitas 9 ita erit comparata , vt fu 9 rr B ( i -f- S Z) denotanie B denfuatem naturalem feu erit SZzz/S- , motu flutem fimul verfus B feretur , cuius celeritas erit -SZV'-|5. Eadcm autem hic reda pro vnitntc affumta eft intcUigenda , qua in fcalis puIUis prin- cipalis conflruendis fncrimus vfi. Qiiodfi ergo aer hac agitatione ad aurem pLrfcratur , hinc erit colli- gendum , quomodo auditus organum atficiatur. S c h o 1 i o n 2. 58. tn ligura totam curuam XZY fupra axem dcfcriptam cxhibco ; id quod eucnit , cum in T t 2 toto . 33i D E M O T V toto pulfus interuallo dcnfitas acris naturali eft maior , fimulque fingulae aeris particulac motu verfus B dircdio fuit prneditae : quod fi eucniat podrcma pulfus particula ex Y in y erit traublata \t fit fpatioium Y y =r arcac X 2 Y , hoc fcilicet cafu vniuerfus aer poll pulfum ab agitatione praece- dente pcr tnntum fpatiolum fuccclfiffe cil intelli- Tab. VI getT-^us. Qiiod fi talis fucccffio non contingat vt F'g- 85. pollrema pulfus particula Y in loco fno naturali perfiftat, curua X 2 Y agitationcm exhibcns ita erit comparata vt partim (upra partim infra axem fit difpofita , eiusque area ncgatiua Y 2' O pofitiuae X 2 O fiat aequalis. Tum igitur fi pars fuperior antecedat , ad aurem prius perftrentur acris parti- culae naturali denfiores et in plagam 13 motae, pofl vero fequentur particulae rariores , motum retro dircdlum habcntes. Ex quo concludcndum viiictur , efrentialc fonorum difcrimcn in hoc efTe confiitucn- duni , prout pars fuperior X20 vcl praccedat vcl fequatur. Si cueniret vt haec curua ter vel quin- quies axcm X Y fecaret , indc fine dubio peculiares flffecliones in fonum redundarcnt. Scmpcr autem figura huius curuae XZY, maximc cfientialc difcri- mcn fonornm rcpracfentarc cfi cenlcnda; co nimirum difcrimine rcmoto quod a fucceffione pluiium pulfnum proficifcitur. Quanquam autem hacc cx fola confi- dcratione tuborum aeque amplorum funt dedufta , tamen mnlto latius patcnt , et per ca quac circa tubos inaequalitcr amplos perfcrutari liccbit confirma- buntur. CAPVT A E RIS I N T VBIS. 333 CAPVT III. DE MOTV OSCILLATORrO AERIS IN TV- BIS AECiJ^ALITER AMPLIS AD SONOS TI13JARVM EXPLICANDOS. P r o b I e m a ;r8. 59. Si tiibiis A A.BB vtrinque fiierit aper- Tab. vr. tus , aerqiic in eo contentus quomodocunque de fta- Fig. gc lu aequilibrii deturbetur , motum ofcillatorium, quo aer ia tubo deinccps agitabitur , deteraiinare. S o 1 u t i o. Aequilibrii primam perturbatiohem ad calcu- lum rejocaturi ponamus in loco tubi quocun.jue S denfitatem efle z= Q_ naturali exijftente — B, ct ce- leritatcm fecundum dirediioncm A B ibi efle — T,- hinc fupra axem A B in punjflo S erigantur duae applicat.ie S Qn: /| et S Y — T V -|-^ , certa qua- dam. linea ret puncla A, ct A^, ficquc p )rro vtrinquc in infinitum. Pro lcalae cclcritatum E B continuationc autem rcda A E efl eius diameta- pune^ta vcro B et B^ centra ramorum alternatim aequalium , vnde rec^^ac A^ E'', A'''' W iterum erunt diametri ficque ambae fcalac facilc iii infinitum continuantur. QuoJfi iam a prima agita- tione elapfum fit tempus — /, a pundo S vtrin- quc fuper axe abfcindantur fpatia ST — Srrr; Vi|-? , ibique dudis ad vtramque fcalam applicatis T iM , TN, tfit^ t tj, quia eae hic contra cadunt ac fu- pra affumfimus , particulae acris quae initio erat in S nunc erit denfitas q — q{i-SQ+lTN-[Ti^-:tn-ltm) et ccleritas a rr - KT N - T M + r« + O;/) V '-|i fecunJum A B , ipfa vcro hacc particula translata crit in s vt fit Ipatiolum :j X - i T N f « - ; S Q.T M -H ; S Q / //; quatenus AERTS IN TVBIS. 34J (Juatcnus fcilicet h.ie nrcne fnpra axem Ciuliinf , quie partes enim infhi axem cidaiu ncgat;uae luut ccn- fendae. Ponamus autem tantum elapfum efle tempus f, vt fit ST — S/-2AB ideoquc fzrsABV^A., ct manifi-dum eft punda T tt c in interuallis A' B^ et A^''B^'' fimilucr efie fita ac pu. dum S in in- tcruallo A B, ideo]ue fore TM — /wziSQ^ et T N — Hi — SY; vnde poft hoc tempus erit denfitas in S nempe ^rrQ(i — 2 S Q^) et celeritas y — - S Y V ^^ zr - T. Hinc fi initio fuerit in S denfitas Q — B -4- O naturali fcilicet B tantillo nia- ior , ob SQ — §- crit nunc ^— B— O, tantundem minor naturali , tum vero etiam celeritas « primac eft aequalis fed in plagam oppofitam direda; ex quo ftatu , qui primo dircde eft contrarius , intelligitur jam acrem vnam ofcillationem abfoluifle , quia non- i^ifi port tempus duplo maius in fiatum initialem rtuertetur , ita vt tcmpus cuiusque ofcillationis fit ceniendum — 2 A B V -A_. Quod autem ad trans- iationis fpatiolum S s attinet , ob TN/«--AEYS-ABE+BSYl-AEYS+AEB-BSTro SQTM = SQDB + ABD-ASQ et SQr;«=:ASQ-ABD-SQ,DB=3SQTM vnde patet hanc translationem euanefcere. Conclu- dimus trgo fi fpatum a fono vno minuto fccundo percurfum ponatur V'-!-? — /t, tempus vnius ofcil- latitmis fore — ^J^ , et fingulis minutis fecundis ab- V V 3 folui 3+ft D E M O T V foliii ofcillationcs ~, qui numcrus fimul naturasn foni liinc editi exhibet. Coroll. r. 6^ Qua«do crgo tubus ex alterji parte eft ckufiis fingulae ofcillationes duplo longius durain , quam fi idem tubus vtrinque eflct apcrtus , eodcm- que propterea tempore dimidium tantum ofciilatio- num numerum abfoluit, Seu tubus ex alteni partc claufus fonum vna 0(flaua edit grauiorem , quam fi «ffet vtrinque apertus. CoroU. 2. 68. Soni autem hic aeque atquc in tubis Vtrinque apertis inter fe tenent rationem reciprocnm longitudiiiuin , ita vt quo tubus fuerit longior, cius fonus eo futurus fit grauior; vnde fi tubi longitudo fonum C edcntis fit cognita, quae hoc cafu quafi 4 erit pcdum , pro omnibus reliquis fonis muficis lon- |;itudo facilc alhgnabitur. S c h o 1 i o n. i. 69 Hic nutcm primam agitationcm non itt aceommodarc licet , vt olcillationcs duplo fiant fre- quentiorcs , qucmadmodnm in cafu tuborum vtrin- que apertorum vfu vcnit , fi enim hic iisdem ma- nentibus (iralis tubo longitudinem duplam A A'' tri- buamus cumquc in A'' claufum ponamus , figura fcilac cclcritatum, quac in punclum A^ incidere de- bcrct AERIS IN TVBI$. 4.43 beret huic hypothefi aduerfatur , eademque rc- pugnantia deprehenditur , fi longitudinem tubi quater vel fexies vel odies vel fecundum quemuis numc- rum parcm , multiplicare vellemus , ita vt huius- modi tubus nullo modo ad fonum , qui ad principa- lem teneat rationem vt 2:1,4:1,6: i (eu 2. i: 1 cdendum fit aptus. Secundum nHmeros impares autem haec redudlio egregie fuccedit : concipiamus enim tubum triplo longiorem A B^ in A apertum in B vero claufum , in quo aeri eiusmodi fit agi- tatio induda , vt fcala denfitatum fit A D A^ D^ et fcala cekritatum E B E'' B'' , quarum forma condi- tionibus pracfcriptis vtique conucnit ; et cum coq- tinuatio ambarum fcalnrum fc quoque habeat vt ante ofcillationcs etiam caedem inde nafcentur , ex quo iutelUgitur in huiusmodi tubo primam agitationem ita comparatam effe poffe , vt motus ofcillatorius inde gcnitus prorfus conueniat cum tubo triplo bre- viori , quod etiam de quintuplo , feptuplo etc. bre- vior.bus valet. Cun^ igitur tubi A B in altera parte claufi foiius principalis fit — j-~ idem tubus quo- que fub certis circumftantiis edere poterit hos fonos Scholion 2. 70. Cum ex praecedente problematae naturam tibiarum fupcrne apertarum tam dilucide explica- verinius, multo minus hic dubitare licet, quin motus ofcillatorius bic definitus rationem contineat tibiarum fuperne 344- IJ I^ M O T V fuperne claufariim. IZxperimcnta autcm confulcntes omnia cgreL,ic cum hac thcoria con(eutire deprthcn- dinnus cum conllct eandem tibiam , ll [uperne daii- datur , fonum ^;na o«ftaua gramorcm efle edituram : deinde etiam iam obferuatum cft , fi huiusmodi li- biae fnperne clauiac certo modo inflentur , ficri pofle vt fonus edatur triplo vel CjUintupIo altior , nunquam aiitem duplo altior , qui fcilicct principali foret vna 0(flaua altior. In huiusmodi autcm tibiis iam vidcmus acrem ahcrnis vicibus in cas intrarc iterumque cxpeili, qui aer expuhiis tt iam defcripto motu ofcillatorio praeditus , cum cxtcrno aere hunc motum eo ftcilius communicabit , in eoquc pio- pagabit , interim tamen ob haiic ipiam caufun difcrimen aliquod inerit intcr fonos tibiarum aper- rarum et claufirum , vnde eos digno(ccre l.ceat. Deinde ctiam mirum non eft , qnod tibiamm foni haud parum a matcria , cx qua tibiac (unt conf.(fl;ic penJcant, indeque notam quandam manitcdam (ccum gerant. lam enim animaduertimus matcriam tubo- rum motum o(cil!atorium phirimum impedire pode, et nunc addcre iicet, ab acre ctiam quendam moium gyratorium cum ipfo tubo comiininic;n-i a quo de- inceps fonus tibiac viciiTim afiicitur. At fi grauita- tem et acumen {bnoruxn tantum (pcclcmus , fohus longitudinis ratio eft habenda , ncque materia vcl ftrma tubi quicqu:1m co confcrct , dummodo fint tubi acqualltcr ampli. CuiusmoJi tamen (onos fuu editurac tibiac inacqualiter amplae quaeflio cfl nltio- i-ls indagiirts cuius fbhuioticm vix adhuc (pcrarc hcer. • Pfo- A ERIS I N TVBIS. 34-5 P r o b I c m a 80. 71. Si tubiis ncqiuilin.r ninpliis in vtroque tcr- Tah. vji, mino AA et B B tucrit clauCus , et aer in eo con- Fig. gg. tentus vtcunque de ftatu aequilibrii deturbetur , mutum ofcillatorium aeris inde oriundum dcterminare, S o 1 u t i o. Sit dcnfitas aeris initio in tubi loco S inducta — Q , naturali exiftente — B ccleritas vero in pla- gnm AB = T, capiaturque S Qri / J =: ^- et S T cr T V ^-|-^, vnde vtraquc lcala dcufitntum CD, et celcritatuni ATB conlUuatur, quarum haec ne- ceflario pcr punda A et B tranfire debet. Tum fccundum prnecepta data vtraque fcala vtrinque fupcr axe produdo per continuam replicarioncm , vti ex figura videre licct continuctur. Qiio fndo fi pofl tempus quodcunque eUipfum — ^ a pundo S vtrin- que capiantur interualla ST — S/zzrV--^, ex vtriusque fcahc applicatis in pundis T et ; defini- tur nunc acris , qui initio fucrat ad S I. denfitas ^- Q.(i -SQ^- ^TN-|-^TM + J?« + -U/») II. celcritiis T — [(T N-T M-\- 1 n-^ tm)y i^j. ac practcrca fpatium , quo is verfus B erit pro- inotus nempe III. fpatiolum ScrrriTN/«-iSQTM-M-SQn;j hincque ergo fintus acris in tubo ad quoduis tem- pus / definietur. Ponamus iiunc tcmpus elapfum Tonri.XVl.Nou.Comm. Xx effe 34-5 D E M O T V cfTe ; rr 2 A B V _A_ , \t puncflii T et / ciuliuit in S^ et S''^ punaa ipfi S liomuloija , critciuc uim in loco S I. denritas^:iQ.(i-SQ-;SY4-lS(^+:S T-f ;SQ.)-q II.celcrit.isyz:KST-SQ.-hST+SQ)V=f-"z:STyii-^-T III. fpatiolum S cr — o ita \'t nunc acr in ipfum flatum primitiuum flt rcdudus , cum claplo tantum tcmpore dimidio irrABV^^ ftatum fcre contrarium habuifrct. Cum igitur illo tenipore duas ofcillationcs abfoluifffc fit cenfcndus , tcmpus fingularum olcillationum crit — A B V ^-|^ — Y 5 dcnotante k—V '-^-^ fpatium , per quod aer vno minuto fccundo propagatur; vnde jiumerus ofcillationum fingulis minuris fccundis cdi- tarum crit — -*- , qui fimul pro mcnfuru Ibni hoc motu produdi habctur. C o r o 1 1. I. 72. Si tubus eflct duplo longior ir A A'' iis- dem manentibus fcalis, quippc quac huic tubo vtrin- que daufo conucnirc poflunt , motus cfcilhitorius idem oriretur , vndc fieri potell , vt tubus vtrinqiic daufus eundcm edat fonum, ac tubus duplo breuior quo.f idcm valct fi tubus triplo , vd quadruplo etc. longior accipcrctur. CoroU. AERIS IN T VBIS. 347 C O r O I 1. 2. 73. Cum igitur fonus priiicipalis fit — ^ , idcm tubus vtrinque cliUifus, (i prima agitatio certo quodam modo tcmperetur , hos quov]Uc Ibnos '-^ , -i^ , -^ etc. cderc potcrit : omninoquc horum tu- borum eadem erit ratio ac tuborum vtrinquc apcr- torum , dum coiitra ii , qui cx altcra parte (unt apcrti , ex altcra \ero claufi fonos vna odlaua gra- viorcs cdunt. S c h o 1 i o n i. 74. Qiicmadmodum aiitcm acri huiusmodi tubo inclufo agitatio induci pollit, haud liquet vndc eiiam nulla exempla fonorum h;ic ratione gaiitorum proferre 1 cct ; quin etiam quamuis ibi quaedam a^itatio excitarctur , ramen quia tubus vndiquc efl; claufus , motus olciliatorius nequc cum aere externo communicari ncque lonus exaudiri pollet. Si enim tubi latera fimul contremilcant , eorum fonus pro- prius potius quam aeris inclufi pcr acrem externum propagabitur : (iitim autem atque ip(a tubi materia motum vibrarorium concipit , aeris indufi n otus maxime turbiitur, ncquc amplius legts pcr calculum inuentas fcquitiir : fi enim acri vbi t(\ magis com- prc^Tus ipfa tubi Litera aliquantillum cedant , co de- bilus inde acr vicinus concitabitur , haecque pracci- pua caufii ede vidctur , cur talis aeris motus tam cito exiinguatur , cuni tamcn fecundum Thcoriam X X 2 peren- 348 D E M O T V percnnis eflc deberet ; qiioJ non folum de his tubls \triiique claufis fcd ctiain rcliquis omnibus eft in- teiligendum. QuomoJ.ocunque nutcm hacc morus de- biliratio ob tubi mareriam eueni.it inde tamen dura- tio fitigularum olcillationum non afficitur , quarum tcmpora cum calculo fempcr confentire deprchen- duotur etfi ob illam caufam motus ofcillatir.num con- tinuo debilitctur , et mox prorlus cxdnguatur. S c h o I i o n 2. 75. Qnanquam autem in his tubis fingulae ofcillationes ccrtis- temporibus abfoluuntur , atque in eodem tubo funi ratione grauitatis ct acuminis difcre- pare non pofTunt tamen in iis ratione reliquarum qualitatum maximum difcrimen inefle potert , a di- ■vcrfa indole pulfuum in aere excitatorum oriundum, Cum enim acr in huiusmodi tubis infinitis modis de (latu aequil;brii deturbari pofiit, dum vel fola den- fitas in fingulis acris elcmcntis altcratur , vd iis tantum motus quidam in.iucitur, vcl vtrumque fimul cuenit , hinc maxima diucrfitas in motu fingularum ofcillationum oriri poterit , vnde mirum vidcbitur quod eadem tibia inflata fonum fempcr eiusdem in- dol s cdat ; non loquor autem hic de grauitate, quae nullam variationem patitur , fed de ea qualitatc , qua fonos tibiarum a fonis cordarum aliorumque in- flrumentorum difiinguimus. Quia autcm tibiae in- flatione ad fi)nos edcndos excitantur , facilc intclligi- tur, hinc ambas fcalas dcnfitatum ct cclcritatum noii i:i iniinitum variari pofiTc, fed fcmpjr ab acrc inflato taiTi AERIS IN TVBIS. 34, tnm ccrtam condcnfationcm qimm ccrtum rr;Oiiim prodiici dcbcrc , it;i \t hic non aniplius infiiiita \arietiis UKum inuenire qucat: huicqnc caufiie quali- tas illa qua foui tibiarum a rcliquis inftrumcntis difcrcpaiit , finc dubio c(l tribuenda. Vnde fi fortc quocunque modo acri in tubis \trinque claufis agi- tatio inuuci pc^fllt , fonus quidtm ratione grauitatis et acuminis cakulo forct conlentaneus , fed a fono tibiarum nraxime ditferrc poflct. CAPVT IV. DE AGITATIONE MINIMA AERIS IN TVBIS INAEQVALITER AMPLIS. Problema 81. "76. Dum aer quomodocunque in tubo inae- i|naliter amplo mouetur , eius motum ad formulas aiiaiyucas reuocare , quibus eius determinatio ad quodu^s tempus contincatur. S o I II t i o. Init'o flatum aeris tanquam cof^nitum fpC(fta- nius ; tum igitur pro loco tubi quocunque S vocata d'flantia A S zz S pon.imus fuiffe de fitatem — Q, et cekritatem fccundum tubi diredionem A B zr T, Xx 3 ita 3 50 D E M O T V ili Yt Q ct T fint fnnAiones d;itae qn.\ntit;uis S; ciiius ctiam funclio erit amplitudo tubi in hoc loco, quae fit rr Xl, pcrinde atque eius nltitudo (iiper plano quoJam hor zontali fixo , qune fit rz 2, fi- quidcm et gnuiitatis ratioucm in motu aeris haberc Telimus. lam tlapfo tcmpore — t illam aeris par- ticuiam ponamus peruenifie in x, vt fit Ipat um Ar — j-, et tubi amplitudo rrw, eiusque altituuo fuper illo plano horizont.ili n c, quae quantitatcs w et ^ funt funiflioncs datae ipfius j", ipfa \ero i\iec qujntitas s cfi funtftio duarum variabdium S et ; ; nunc vero in hoc loco s fit neris denfitas — q , celeritas verlus B — T, quae cft — (i^) , et prcfl'10 nz/), quam pcr denfitatem q ita dctcrminari noui- mus , vt fit p zz °-~'; denfitas q ell quoque fundio binariim variabilium S ct t. His pofitis principia fupra fiabilita pro hoc cafu praebcut has duas ac- quatioiie? : in qua pofieriori tempus t vt conftans fpcdatur , quae propterca ita exhiberi pctcft Ex priori autem habemus /^— /Q-f-/n — /co— /(— ) vode folam S variabilcm fumendo colligimns ; fcldS\ t /djl) — d 1 _t djl _ ! /1 a;N _ ^ d S» -^ < ^(J S/ -' Ci.='+(ai') «{.^)=(i|r'); \bi in nolUa aequationc occurrit {'-) eius ioco vni- tatem fcribere li.cet praeterquam in duobus tcrminis u) d j M s a.a s Mg' » quia -hic. ob difiercntiam inter / et S miniimm fere eft du d a. w ii s — ii a s > ideoque prae differentia non amph"us particula ( ^-| ) vt cuanefccns fpcclari potcfl. Qua circumftantia ob- lcruata habcbimus _i_ (d_dv\ ldd\}\ I ^Uj dSl i d Sl li_v\ bd^z d Q. cc^dr»' — ^dS*/."' wds SidS~ £ldS\A%i ods Qd t vbi cum punfta S et x fibi fint proxima , loco ^^ fcribere licct ^ fundionem ipfius S tantum. De- inde ob eandem rationem quia formula ^s nafci- ♦,v;Tom.XVI.Nou.Gomm. Yy tiir g^4 I^ E I\l O T V tur cx formula /^f- fi hic loco S Ccribatur S 4- v, erit uis — ildh~^'ds ' ilds' Poniutius ergo breuitatis gratia ^-^ — U , quae erit fundlio data ipfius S, vnde fit amplitudo Hr A^-'^"'^^'. fictquc nollra aequatio : cc\ dt- ■' '-~ ^dS^ ' "^ ^ ^Us' ~^ dS TdS Q.dS qiia refoluta erit pro motus detcrminatione : qula eft o) z= XI -|- ^ = A ^J'^'*^ (i + U -y) deinde celcritas y — C~) et prefllo /> = ^. C o r o 1 J. I. 79. Totum ergo negotium Inic rcdit vt cx aequatione difFcrcntiali (ccundi gradus inucnta inue- (ligetur , qualis fundlio fit quantitas v binarum va- riabilium S et /, Tbi quidcm oblcruo binos tcrmi- nos nollremos — ^^ — ,^ refolutioncm non im- ' a d S Q_d S pcdirc quoniam fundioncm folius variabilis S con- tinent. C o r o ] 1. 2. 80. Conditioncs autem , fub quibus acqiiationis inuentac intcgralc complctum crncrc licct opc mc- thodorum quidcm adhuc cognitarum, ab iudolc tundio- nis U, qua ca pcr variabilcm S dcfinitur pcndcnt. Pro AERIS IN TVBIS. J5J Pro einsquc nntnrn fieri poteft , vt integratio modo fuccedat modo caiculi viros (upcrct. S c h o 1 i o n. 8r. Hic igitur confugiendum efl 3d ea analy- feos fublimioris , quae circa fundioncs duarum va- riabilium verfatur artificia , quibus huiusmodi ae- quationes tra(flarc docui ; vbi in eos cafus fundionum U et T, quac lolam variabilem S inuoluere afTumuntur , in- quiri oportct quibus integralc complctum exliibere licet, Antc omnia autem hic obfcruari oportet , quoties hacc integratio liiccedit per mcthodos qui- dem cognitns , integralc Icmper huiusmodi forma exprimi \t fit ^- L/: (S ± cO^-Mf';[S±ct)-\-Nf": (S±ct) etc. "vbi circa hacc fundionum figna tenendum eft j fi fuerit /: // = V effe f: u:=: ^l^ f": u ==: l^J, etc. Hinc patct infmitas folutioncs locum habere poflc , prcut huius formac progreflio viterius continuetur. Primam ergo folutionem lcu primos integrabilitatis cafus ex folo priino termino huius progreflionis in- veftigabo , deinde duos eius terminos in fubfidium vocando fecundos integrabilitatis cafus cliciam , flc- quc porro ad altiores afcendere liccbit , plures con- tinuo terminos accipiendo. Y y a Proble- 35^ D E M O T V Problema 85. Si. Iimcnirc iMtionciii amplirudinis tubi , in quo aer minimas pcragit agitatione!» , \t motus dc- termiiutio pcr priiViam loluendi methojum liiccedat. S o 1 u t i o. Cniti poflta tubi nmplitudinc Slz= A c-^'^^ hacc nequiuio intcgrari dcbeat : j_ /ddvs flii^j) i_ TT i'^.?) _i *Ay ^3 iS^ c c ^dt* '' — KiS- ' ~^ ^~d~S' "^" dS adS Q.dS ftatuamus '■j =r L/: (S H- r /) -f- O \bi L ct O tan- tum iun fundioncs ipfuis S, ct fadla fubfUtutionc obtinebimus : +'-s¥/--(s+^-o+":^" Ms V dV dS _ MZ __ 4 Q. _6dz_ dCL quac iuniftim fumta ipfi ^-i (^^^,^) - L/": (S + f ?) aequari oportet : vnde nafcuntur hae acquatioucs : • L '/i ^- L U n o ■*'• dS' "^ ds TTT ddO _, UdO-t-OdU _ bdZ _ cUL — -, ^*'- Js= "T Js fl-as Q.cis" — ^ quarum fccunda integrata dat ^^-l-LUziC, qu:ie cum prima collata pracbct -^^:=:C, bincque cum as da L = aS + e ct V = ^^=.if,. Quarc Ct AERIS IN TVBIS. 557 fit ^-^ — -^-''•^ fict nmplitudo tubi £1 = ,^^gp , rolutionem opc primac mcthodi admittens. Tertia \ero aequatio integrata dat : J|-|.UO-LZ-/qzrC fcu ob U-=^, quae pcr (a S + S)' diuifa ct integrata producit O ^ S (I-2 4-/Q.4-C) Quare fi amplitudo tubi ita fit variabilis , vt lon- gituditii A S ^ S refpoadeat amplitudo a—.^Jl— , tum aequationis motum detcrminantis integrale com-* plctum crit , ^S(C+^Z+/Q.) , ^ . ,« rj-(«S-T-g;7 ; /, gv +(«S-i-g)r:(S-4-rO C« j -t- »; ■ -H (a S -f- 5) A : (S - ^ 0 quandoquidem fundionem affumtam /:(S-+-fO gGminare licet introducendo tam — c quam -f- e. C o r o 1 1. I. 83. In hac fohitione ftatim continetur cafus tuborum aeque amplorum conflantes ita definiendo vt fit azr o et 6~ i. Haec autem folutio multo latius patet , cum eius ope agitationes aeris in tubis eiusmodi inacqualiter amplis quoque definiri queant, quorum amplitudo in hac formula continetur a---^ Yv 3 CorolL Q$t D E M O T V C o r o 1 1. 2. 84. Iiiuciua nutem hac funclinne v claofo tcinporc / aer qui initio erat ad S trnuslutus erit pcr inteniallum Ss =zrj tum vero eius denfitas ob U = ii^erit Coroll. 5. 85. Cum autcm diffcrcntiando fit : (J-l) -2a(cxS-|e;/^^^:^^?^^ + C4i-2-i-/Q+ar: (S-Hr/V|-« A:(S-.0 4(aS4-eT';(S4-c-0+(aS-]-g)A':CS-i7j habebitur pro dcnfitatc : J^=zi-C-^-Z-/Q.-har:(S-hc-/) _4-a A:(S-r/) KaS+g)r':(S-t<:/)-(aS+g;A':(S-fO ct pro cclcritate : S c h o 1 i o n. 85. Si tubos, ad quos hacc folutio c(\. accom- 'modata , rotundos (V.uunmus , vt omncs (icftioncs ad cius dircJlioncm normnlitcr fadlac fintcirculi, corum fii;nr;i cl! coDoidica hypcrbolica conucrfionc hypcr- Tal>. VII. bolnc ni-quilnterac 4^CiM circa altcrnni a(rymtotam i''is- S''. 1 B njta. Cum cnim in hnc hypcrbola fit S M. IS — a a ^ crit amplitudo in S z::: tt S M" rz '^-^" , (uinro AERIS IN TVBIS. 359 fumto crgo interuallo I A = ^ , et pofito A S = S ob IS — *-^^S fict amplitudo a nz ^^=44, idco- que //— TT a, a a a, Quotics crgo tubiis iiabucrit huiusmodi figurnm conoidicam hypcrbolicnm , aeris agitationes in huiusmodi tubis , dummodo fint mi- nimae , perinde definiri potcrunt , atque in tubis aequaliter ampiis. Interim tamen ip(a motus dctcr- minatio ahquanto erit operofior, Cctcrum hic ob- feruari conuenit aeris grauitatem, quam in fuperiori- bus capitibus negleximus , inucrtigationcm plane noo turbarc : id quod etiam de aliis "viribus , quae forte aercm foUicitarcnt cft tencndum. ProblGma 84. 85. Inucftigare rationem qua tubi amplituJo debct efle comparata vt acquationis diffcrentiodiffe- rentiahs intcgrale completum pcr fecundam formam cxhibcri pollit. S o 1 Li t i o. Hic fcihcct quacritur indoles funflionis U a fola vanabili S pendentis , 'vt aequationji noUrae in- tegrale complctum huiusmodi forma exprimi qucat : vnO-HM/'': (54-^04- L/:(S-f-^0 vbi L, M , O fint funcf^iones folius variabih's S. Fa- ciamus ergo fubftitutionem in noftra aequationc , ac reperiemus : 3 funiatur quoquc c5~ r: y , eritquc ^ — iuriii et L _ ^-^^s^TeT- Hoc AERISINTVBIS. 3^3 Hoc autcm cafii tubi habcbuntur conici vcl pyra- midicj , in quibus ergo pnriter agitationes aeris mi- nimas dcfinire liccbit. Coroll. 5. 89. Si fumatur y — o, tubus ita crit forma- tus vt fit XI — , — P--^, ieu amplirudines erunt reciproce \t biquadrata abfciflarum : tum autem fit M:r^(aS+g}'- et L=:-(aS4-g}. C o r o 1 1. 4. 90. In gencre autem haec folutio ad eiusmodi Tab, VIJ, tubos conoidicos applicari potcfl qui oriuntur ex con- f^^S* 5°' verfione huiusmodi curuae hyperbolicae circa axem I B , pro qua pofita abfcifla A S — .v , et apph'cata S M :i= V , fit j — ~~ : quae curua axem in A fecans duas habet afymtotas G H et K L inter fe normales. Sch o 1 i o n I. 91. Si etiiim figuras tubi transccndentcs co- gnofcere velimus ficiamus B :r A 7« w et A— ^ et acquatio ' ^ M = o , qiiac contrahitur in hanc z/Md^ — ^^ — o. Ex illa autem fit 2 M *- »« tan^. I tn S -{- n). lam ex acquatione Mdjy— ^JM _ A d S __ /\ J S c^ !i — ^' — _i. r d s rof. c m s -t-jo* y m ting. C m S _f_ n ^ vnn ' Jm. ( //i S -+7^1)^ d S A S vnde fit M = A ( I -f. (,« S -i- fc) tang. (w S ^- «)) , hini.^iie p irro 771 cy, . V m S -(- 1 ; ac denique prodit ampiitudo fl n ^"^ feil a- // (> -^{mS-t-k)tanj^.{m S -f- fijj* S c h o 1 i o n 2. pa. Adbuc facilius hanc refolutionem inftltuerc licet hoc mo.io : cuin ex prima aec]u.irioiie fit U — — l-^ ponatur fiatim L — M y , critque MUrz-V^ et LU = -L2L^, a S a S ' cx quo fccnnda ae]uatio fiet - ^^'p + zMdy — o fcu i^ -zdyd^ 2 z 3 fimili ^66 D E M O T V fimili modo tertia abit in hanc formam : dS - • d S ^ ' fadlaque euolutione hoc eft M ^/^j -j' (/^ M = o fcu ^^ z=. 4JL> Ex his coniundis fit vt ante d dy zr. i y dy dS». Quod fi hinc ftntim tubi formas algcbraicas elicere "vehmus fumatur fuperior conllans m iz o ., >t fit dy^yydS ideoque ^ r:i - S - ^ , lcu y — j[=f-^. Tum aequatio Mdy~ydM.z:zA.dS dat ideoque •^^^— 3aa(aSH-e) *-•■ ^ ~ 3a(«s-f-g)~» ac deniquc araplitudo H— ^^^/^yj^-^ prorfus vt ante. S c h o 1 i o n 5. 93. Practer hos duos cafus autcm , quibus fbrma tubi vel cft algcbraica , vcl a circulo pcndct , tertium non omitti conucnit, quo ea pcr qunntitatcs cxponcntiales dctcrminatur. Pro co autem aequationis d dy zz lydy d S integralc fumitur dy-dS[yy-vim) Ynde fit 2 w S 4- a « — ^ y^ ^"^^ ^i^ tum AERIS IN TVBIS. 3:iS + cr f:'S-\c!) + iN + ^^ -f- "^ -f-M ^ dS , d J M H-UN -f-L + UM ^-u'l , N a u , M il) + Vf" - N - M - L vnde dediicimus quatuor fequeates acquationes : I. liJ^4-UNzzo n lii^ -4- ^-l-B -+- ud_N -+- N^u _i_ n M — Q dS-^^dS~ dS ]v^* w IH. dun^'-^'-{-'^,^ 4- U L - o a s- " s ii o Cum nunc cx prima fit U i= "^'/g^ > ponamus M — Nj ct L — N 2, \t fi.it UN=r:::i:^f!^i U M - =iJ. '^J? ,• et U L =: ::iJ/ tli : aS' aS' dS' quibus Yaloribus fubftitiicndis ae()uatio II. fit ddS 3 N -J -v -4- ; T d N __ j_d d N iiS "" dS' ' Vd N qune contr;ihitur in Ii;inc formam : II. d •< N '-^^2Nc/j- Tertia AERIS IN TVBIS. s^j^ Tertia acquatio vero hinc euadit : tiddy^zifidy-+.yddH , aNir-t-j»dN iyddfi—.idyd}i __ t j^M quae contrahitur in hanc fbrmam : III. ^iAJiJL-yjyjl ^ 2Ndz~o. Quarta denique ita euohiitur : Nd dz-+.7ds dz-i~zddM _ ; zdd N — idzdH -, d S' d S» — ° quae ergo pracbet hanc fbrmam : IV Ndaz — zdtJN Q •»• * • d"s — • Ex his triplici modo fit : dd N „ // V ^ S ddy-+-idzdS d ef g vnde hae duae aequntiones refoluendae proponuntur: nydydS-ddy-^-zdzdS ct yddz-zddy-zzdzd'^ quarum porterior integnua ftatim dat y dz-zdy — dS{zz-^ A) prior \ero pariter integrata praebet : dy -^ z z d S — d S {y y -^ B) feu dy^dS {yy - 2 s + B). ]am ilhi pcr hanc diuifa fuppeditat hanc acquatio- ncm ab elemento dS Hberam ydz — zdy s z -4- A dy yy — z 2H-B fit z — uy et haec aequatio fit y y d u uuy y ^ \ ^y » — 2 u>-f-g feu y* du - 2 uy* du -H ^yy du-u uyy dy-kdy—o. Tom.XVI.Nou.Comm. Aaa Neccs- 370 D E M O T V Ncccn'it:i5 hic vrgct , vt faciamus A — o et B — Gj quo f.ido iLibcbhnus : yj du—^uydu — u u dy — o feu jjdu — d. u uy diuidamus per iC j erit ^' -r. ^„^3"/) eiusque integrale: _L- — — — — fCU y — — — -_ Ct 3_mlif.tf_ \ndc fit ^ S - -^- = yA^iiy , fiue ^Szr^:^-^.^-, iu vt fit ; --S-1 ct « = ^^. Ergo iiim per S habcbimus hos valores : -u — — i_ocm^J.cc S-4-g)^ ^f. ^ 3 g^ m- (a^j+J^ •^ mi (a S -H €ji — a^ '"'■ ~ — mS(aSH-€)' - a'* Ponamus breuitatis gratia ^, =: v' vt fiat V — — T a r« s -H gi» Pt <>■ — iJfJLi^ s -)-g) ■^ (xS-t-g)» — V^ '='■ ^ — (aSH-ej-— V Nunc porro ex acquatione IV colligimus; N ^/ s - ^ ^ N — A ^ S — ^ It u quae ob z—-\^'^^ diuifi per ;s x: dat -//. |. — ^ (a* -f- y' uJ et intcgrando hinc N — ^(a*H-5a y'"'~5y*^*)~^^ et euoluendo XT — A fg S -4- %f — 5 A 7''^ S-f-g)^ — ; A •y»-4-B(aS-4-g) — («"s -4- g? — "7^ mutatis fcilicet conftantibus , vnde ftatim dcfinitur amplitudo tubi Xl — -^ , tum vero erit ' N N ' M — —^a''' ^^ ei 1. _ .^^^^^.zz^, i>. Pro A E R I S I N T V B I S. 37i Pro qunntitatc nntem O vt nnte cfl: QLiotics crgo nmplitudo fL hoc modo dcfinitur , fo- lutio compkta noftri problcmatis ita fe hiibebit vt fit : c—0-fNr":(S + i-0 + Mr':(S + ^0 + Lr:(S + rO + NA":(S-rO + MA':(S-rO + LA:(S-a> Dcinde vero eft denfitas ? =:^ Q.(i - Ji:^ - ©) et celeritas y — (^). C o r o 1 1. I. 95. Determinatio haec amplitudinis tubi refo- lutionem propofitam admittens dupHci modo eft particularis, dum du:is conltantes arbitrarias in aequa- tione intcr j et z inuenta nihilo acquales pofuimus; interim tamen forma pro XI eruta plurcs adhiic conftantes arbitrarias compleditur , ideoque huius patct quam cafus praecedens in omni extenfione acccptus. C 0 r o 1 1. 2. <)6. Cafus ftmphciorcs in hac foUitione con- tenti oriuntur fi fiat y— o, tum enim erit : M A (g S -4- C,6 -4- B 'g S -4- g) ^^— (aS^-gj' prout igitur fuerit vel A — o vel B ~ o , reperi- tur vcl N zr (a S 4- 6}" ' vel N =: (a S 4- gj^ A a a 2 illo >^^z D E r/i O T V illo igitnr cnfu amplitudo ita dcfinitur vt fit Xl-C(rtS-i-g)% hoc vero fLrzC(aS + S;-*. C o r o 1 1. -. 97. Solutio pcr opcrationcm primi ordinis inuenta ctiam duos cafus fimpliciorcs deijcrat hos: a — c(oiS-{-q' ct n — c (a s H- e;- ' operatio vero fecundi ordinis pmcbucrat hos duos a =: C (a S 4- g)' et fl ::= C (a S H- S)- * nunc haec tertii ordinis fuppcditat : a-C(aS-^q* et il-C(aS + §)-% vnde conciudere licet hanc methodum ad omncs tu- bos applicari poflc hac formula fl = C(aS-+-Sj— '' conientos j exclufis cxponcntibus imparibiis. S c h o I i o n i. 98. Omncs plane tuborum formae hoc modo rcfohitioncm admittcntcs rcpcti dcbcnt cx hac aequa- tionc y du—z u/ du - u uyy dy -4- Bjj' du — Ady — o vbi A ct B conllantcs ab arbitrio noftro pendentcs dcnotant , cjuas tamcn ambas in praccedentc folutio- ne cuancfcente? facere fum coacftus , vt intcgratio lucceJcrct. Nunc autcm obkruo dummodo licAzo ideoque liS — ^- ' —--1:^ — il inte- AERIS IN TVBIS. 373 intcgration»m eriarr.nunc adminiftrari poflc , qiine- cunqiie coalbns pro B nflTumatur. Cum cnim tum 11 1 yj d it— zujdu — uuciy-\-'Bdu— o ponamus u uy ~ x fcu ^ — ^ crit L^fj-dx-hBdu—o fcu ^. l,-l-Br///(0'H-f"=o qui efl cafus intcgrabilis acquationis Riccatianae , cui latisfacit forma £.— --+- -- ; fit enim Baa , 7Eae u u -h ■% — 0 vnde fumi debet ita vt fit . _ — eg , ± Ponatur crgo •vt aequationis j 1 _ 4_" f 1 y _i_ l^ — o (i X e e ^*'' ^ iTf^ — ^ integrale completum eruamus , orieturquc : "r u ^^ eutt ^^ e c — quac pcr a S — ddv-4- ; fi = d S — ddg 1T~ " .1 " J — -^^ ^ _ y _ „ \nde . AERIS IN TVBIS. 375 vnde deducimiis : I. 2 X dx dS> — ddx -h2.dydS II. \ d d X - X d dy -^,- ^j dy dS - 1 X d zdS zz O III. ddz-zzdxd^i — o IV. zddy-jddz-\-zzdzdS — o hincque integnindo I. xxdS—dx-\-iydS-\-Con^.dS II + 111. ydx-xdy-\-dz-\-jydS>-^xzdS> — Co\\^.d^ IV. zdy-ydz-^-zzdSzzQon^i.dS. Omnes has tres conftantes nihilo fumamus aequnles , et vltima praebet^= — S, ita \t lit j— — sS, vbi cnnflantis additione non eft opns , quia loco S fcriptum conciperc licet S -|- - vti fupra. Pofito igitur y — — zS ex prima fit d x z: d S{xx-\- 2. z S), et ex fecunda -Ss^.v + SAY/^-.rs^S + ^;::;4-SS;s^^S=:o quae pcr z z diuifa et integrata edit -^^-i + ^S'-i-^A = o ideoque xjni^^^J hocque valore in nrima fubfiituto fit dxzzdS{x.v'-\-^^^pi) cui cum fatisfaciat a' — — | , ponatur xz=:— l-hi critque o :=z d v -- ^^ -h '-^'^ -\-dS, cuius in- tegrale , BSS-i-AAS-AS*-^S' V (TT^ ruppeditat 37^ D E M O T V BS4-AA-AS^-;S' , hincque porro 3(AH-S^) -3S(A+S^) ^^ — BS+AA-AS-^S* " -^'"BS+AA-aS -iS*. Siipereft zdN -N d zzzCdS, ideoqw ^--C/i-^ Tnde reliqua facile expediuntur. S c h o 1 i o n ^;, 100, Hoc modo progredicndo continuo phires reperiuntur tuborum figurae , in qiiibus acr s agita- tioues minimas definire liccbit , ct quaelibet adeo operatio infinitics maiorem multtudincm fiippeditat, <5uam praecedens. Interim tamen infinicac tuboruin figurac manent exchifiic , pro quibus ctinmnum ae- ris motum detcrmiuari non licct, Polt liguram er- go cylindricnm , qiiam fchci rncccnu cxpcdiuiir.us , fequitur conoidica hypcrbnhca , xx dilficihorcm fo- lutioncm |X)finIans quam illa , cum ab caJem ope- rationc prima fic fup^icditata , ita vt hac dune figu- rae ad jvimum ordincm fint rcfcrendiie. Fx ordine fecundo imprimis notatu efi digna figura conica ae- quatione fl — A s r contcnta , tum vcro etiam hyperbohca H — ^^ , ncc non hacc algebraica multo hitius patcns Sl — - f ^^- , prnctcr quas innumcra- biles aliae tranfcendjcntcs fimt erutac ; pio ahioribus autem ordinibus motus determinatio continuo fit opcrofior , vt operfle non fit pi-etinm tantos laboros fufcipcrc. Species itaquc tantum fimpHciflimas cxa- niini fum fubicL^urus. CAPVT AERIS IN TVBIS. 377 CAPVT V DE MINEMIS AERIS AGITATIONIBVS IN TV-^ BIS FIGVRAM CONOIDICAM HYPEK- BOLICAM HABENTIBVS. Pr obl e m a 86, lOT. Si tubi figura oriatur ex coniierfione Tab. VII. arcus hyperbolae nequilaterac A B circi afymtoiam F'g' 91- 1 L fada , et aer in to contentus initio quomodo- cunquc de flatu acquilibrii fuerit i^eturbatus , agita- tiones eius fequentcs ad quoduis tcmpus inuelligare. S o 1 11 t i o. Sit I interfcdio afymtotarum, fumtoque fpatlo I S — S amplitudo tubi ibi ponatur fl — ^^^ , agi- tatio autem aeri primum inducla ita fe habrat , \t in tubi loco S fuerit denfitas ir Q_ et celeritas fc- cundum 1 B — T. Elapfo iam t mpore quocun(]ue t , ex folutione fupra (82 et 84) exhibita , vbi ob a— I , b — o , negligamus grau'tatis effcdum acr cx S per fpati(>liim Ss-v erit trani.Iatus vt fit pofito V 'j^ ziz c , tum vcro crit mutata coafla.tc denfitas ?rQ(i-,| + r:(S+r/)+A:(S-f/)-Sr':(S+rO-SA'.(S cY)) Tom.XVl.Nuu Comm. Bbb cc 37^ D E M O T V ct celeritas Quaeftio autem niinc huc redit: vt ad flatum initia- lem natuni tundionum T et A accommodetur: po- fito ergo t =: o , fieri debet i; =r o , q — Q^ct « — Y , vnde coliigimus lias aequationes : I.SS/||/|-i-Sr:S4-S A:S = o 11. -, /9.-+- r: S 4- A: S - S r': S - S A': S = 0 llLr = c Sir':S-A':S) quarum quidem duae priores inter fe conucniunt, vt tam ex rei natuni quain differentiationc prioris intclli- gitur. Ponamus breuitatis gratia T : S -1- A : S :=: .v et r : S — a; S znj , vt prodeat II. acquatio — Ig- -^ x — ^-^ — o et III. aequatio Y — 'J^^ , atcjue I,SSn\lf-^Sx=:o. quae quidem illam in fe complcditur. Hinc ergo cft .vn:-S/^-?/2: , inde \ew j^^p-p , ita vt obtineamus : T:S--lSf'^/^-\-^J^^ et A. :5_- =^«^y ss 'b .c/ -s^ vndc fit a'- S — — ■ /^ — /^- Cum AERIS IN TVBIS. 37^ Cum igitur pro fingulis axis pundis S ex ftatu ini- tiiili dcntur quantitatcs /2:ci:2j=-? proxime et T hinc conrtruantur duae curuac C F c et T) A d y \t fint earum applicatae S T 31 T^: S et S A =1 a': S, quac curuae autcm non \ltra tubi longitudinem AB extcndantur eritque tum per quadraturas harum curiiarum : r: S != A C S r ct a: S — A D S A. His curuis conQrudis clapfo tempore — f , in axc a pundo S vtrinque capiantur interualla S T ~ S ? — c t eritque tum translatio Sx — SS Af-| /^ + S^ACTM-^ A Dn^) dcnfitas<7 = (^(i-/J+ACTM4-AD;«-S.TM-S.n2) celcritas ^ = c S (T M. - t n) quae deternunationes valent quamdiu pundla T et t non extra tubum A B cadunt. Coroll I. 102. Si fupcr axe IL intra tubi extenfionem Tab. Vir. AB , in cuius loco S pofito interuallo I S ir S , eft ^^S' ■£>-• amplitudo fl =:^ j{ , -'iliiic duae confiruantur lineae curuae EQf ct FT/, quarum applicatae fint illac fundiones hinc ita determinantur , vt fit r':S=:-.-SQ_+^ST ct A'. S = -- SQ_-^ST hincque porro r:S---iAF.SQ+'.AFSTet A:S--', AESQ-UFST. Bbb 2 Coroll. 380 D E M O T V C O r O 1 I. 2. 103. Hinc autcm claplo temporc t famtisqne a pundo S inurudUts S T — S t — 1; i referitur aeris qui initio ad S verfabatur : dcfifitas ^-0.(1-/1 -lAETM-:AE/w;+^AFTN-*AF;«+iS(TM+m-TN4-f«)) cdcritas y- 'i-Sl-TMH-TN-t-^wH-f") ct transhtio S'yzrSS/^-^/|-LS(AETM-AFTN-^AEn;;-^AFf«) vnde cum pofuo f — o fiat S 1; — o , patet cfle SSf^^lf-S. AESQ ita \t fit Sv:iLSC2AESQ.-.VETM-AEr;77-fAFTN-AFf«). Sc h o I i oa i. 103. Conrtrudio in coroliariis data , ctfi plu- rcs tcrminos compreliendit quam pnor , tamen ad calculuin quouis caTu oblato euolucudum mulio magis eft accommodata quoniam in ca agitationes , qujc \cl ob turbatam in.tio denfitatem vel ob motuni imprefTum oriuntur^ lcorfim cxliibcntur. Haec autt:m diftindtio maxime cft necefTaria fi co itiiuiationuin ■vtrinsque fcalae cxtrucflae EQ^ct ¥Xf explor;ire \climus; qu(xi quidem ad pcittdam motus cognitio- rem < mr.ino efl neccflarium Cominodius autcm hac cxprtllioncs exhibcri pofTunt , vt nou pcndcar.t a cubi AERIS IN TVBIS. 381 a tiibi ternniiio A : ciim enim ex ipia conftra(5tioa© pate.it e'Jc : /1|- /21 — A_E^^ ex pofitione /9.- S SQ.- AESQ., qu'l iis valonbus uidrodudis , obtinebimus has dcter- miQationts : i--iH-:S(TAl-|-?w-2SQ)-iS(TN-f«) -|-^fSQ;/«-SQT,M)-i-iTN/« » — ; c S ( ; ;// -- 1 M -H T N -4- ? «) Si;- ;S(:>Q/w-SQ l iM) + ^S. T N?» qnac formiijac idco ad c.ilcukiin n agis (unt accom- modatac (juod a ucutri) tubi tcrmino pendcut. Id antcm hic in^primi^ notjn conucuit, dilhirtiam cuius- qtie puiKfli S ab anvmtofae iiiitio i lciiicet 1 S z: S in coaipuium venu-v. S G h o I i o n c. 105- Antcquain autem hic \ltcr'iis pro^^cdi liccat , accuiafus lcal.-isr ^ qulbus ad niotum definicn- duin \tor . perp.udi coiu+cnit, Vtraque (cilicet ex ftat.u qui ai-ri in tubo contcnto initio fuerit inJuctus coutrui dtbt, huuc aut.m (litum ira dctermuiari nffimo , \t r.eris ad S verfa t w- le^^fitis fuerit — Q raturil exiltcnte n^ B ^ cekritas vero lecundum dir.clioncm A B - T. H i pi^fu-is coallru(9:i-o fcafac hT nnIlT fa orat difficultate cum eius fit appLcata S T — J^ , ahera vcro fciiia E Q^ , qnac Bbb 3 for- §84 D E M O T V fbrmulam integralem inuoluit, quandam dilucidatlo- Tab. \ai. ncm ub conlhntem implexam polUilat. Primo igitur ^'g- 93- cum in finguiis pundlis S denfitas aatur Q ira con- flruatur curua C V , vt vocato interuallo CSV:^ S, fit eius applicata SWcizf^/^, lumta (cilicet reda quacunque pro vnitate. lum vero huc curua de- fcripta fcala EQ^, qua opus eft, ita conlirui debet, vt capiatur vbique ciiis appLcata SQ-S. S V4- A CS V , ficque huius fcalae fingulac applicatac , qua tubus extendiiur , ex curua data C V alllc^nari potcrunt. Cum dcinde etiam area (calae AESQ in nolkas for- mulas ingrediatur , notari conucnit (fle AESQ— S. S Q- S S. S V idcoque A E S Q:= S. A C S V. S c h o 1 i o n ;^. Tab.Vlir. 106. Operae pretium erit hanc curuam C V, f"'g- S'4- quac proprie fcala dcnfitatnm vocari potcfl , loco illius lcalac EQ^ ad vlum aJhiberc. Sit igitur CQf ifla fcala dcnfitatum , in qua pofito interu.nllo I S rr S fit applicata S Q=r ^-^ /|^ , in (cala cclcri- tatum vero F T/ fit vt ante applicata S T =r -L Quod fi igitur iftam fcalam CQc loco praccedcntis EQ^ fubftituere veliiinis , in fornuihs inuentis loco S Q fcribi oportct S. S Q-h ACSQet S. ACSQ loco illius areae A E S Q. Cum nunc fit If rr S S. S Q ex §. 103 obtinebiinus pro tcmporc qiio- cunque elaplo / lun.tis intcruallis S T — S / — f /. dcnfi- AERIS IN TVBIS. 383 dcnfitatem^ — Qfi-SS. SQ^-;S. ACTM-'S. AC/w ^4_^TN/;i + .:SS(TM + n;/)-^S(TN-n;) i +:S(ACTM + aC/»;) quae expreflio conirahitiir in hnnc : 9=iQ(i + ^SS(TM+;;y/-2SQ.)-'S(TN-/«)+ITN;;;). Dcinde erit celcritas tf-US(-S.TM + S.;///-ACTM + AC;w + TN+/«) fcu « — -JfSS(TM -//;/)- -U-S.TMn;/+^c;S(TN + r«). Denique \ero fpatium translationis S v reperitur : S-JziS^iS. ACSQ.-S.ACTM-S. AC/;;/ + TNnO fcu S-y^^SS^SQ/OT-SQTM^ + iS. TNrw. His ergo formulis vtpote ad calculum maxime ac- commodatis in fequentibus vtar. Problema Sy: io7- Si tubus in A fuerit terminatus ibique fiue apertus fiuc claufus , vtriusque fcake denfita- tum et cclcritatnm prouti in Icholio praecedentc (106) funt conliitutae , continuationem fuper axe •vltra A produdo inuertigarc. S o I Li t i o. Sit diflantia lA— ff, ac primo confidercmusTab. VIII. cafum , quo tubus in A eft apertns j ibi ergo den- rig. 9s- fitas 3$4 D E M O T V fitiis rcmpcr naturali crit acqiinlis idcoqne Q=: B , \ndc icala denlitatum A M ptr piiiidum A tranfi- bit , fcala vero celcritdtum fit t N. Cum iam p;.r- pcrpctuo cfle debcat qzr.Q_zzBt clapfo lempore c]uocunque f fumtisque a pundo A \trini]ue inter- vallis AT ~ A t — c t formula , quae tum denfita- tem in A exprimcre eft inuenta , praebere debet ^ — Q. Quare illa formula fumendo pundum in- definitum S in ipfo pundo A huc tiansftratur : fict ergo Sq— o, S Y^: AF, ct S-a; vnde cf ntinuationem vtriusque fcalac ita compara- tam efle oportet , vt fiat S S (T M -f f m) - S (T N - / «) -f T N M? = o idque ita vt neutrius contiiiuatio ab altcra pendcat. Scorfim ergo cfle dcbtt M/; ^ — T M , ex quo intelligitur lcalam dcnfitatum A M ita contmuari oportcre , vt pars continuata A m ipfi fcalae A M fimilis fit fed ad axis parttm contrariam relata. Pro continuatione vero fcalae celcritatum inucnienda fla- tuamus AT=: A t — X, T N zzy et t n — Zj et cum cflc dcbcat T N n; - tf (T N - / «) = o fiet fydx-^-fzdx-aj-^-azzzo-, hinc dilTcrcntlando j(/x-^z(TN + n;).. Primo ergo efle oportct T ^ -{-- 1 ti — o, et (calae «B continuatio erit BN ipfi aequalis ct contrarie fita ; pro altcrius vcro (calac dcnfuatum c m con- tinnatione inutnicnda vocatis fpatiis B T n; B / :r;.v, applicata cognita tm—y et incognita TM — xr, fieri dcbet /;/^.v+/xr^.v -f- />(.=;- j') = 0, vnde rcpcritur X X X x^ z—y~~e bfe^ ydx—-j^ze hfebdy. Coroll, i: FJg- ^7- 112. Cafu quo tubus in B c(l apcrtus , pofl- quam ex formula inucnta fingulae applicatac T N fucrint dcfinitae , non opus e(l aream hiiius conti- nuationis feorfim quacri , cum cx conditionc prac- fcripta fit arca B/T N z= I B (T N - / «) - B// m. Coioll. . A ERIS IN TVBIS. 3S9 Coroll. 2. 113. Simili moJo pro ca(u quo tubus in B Tab. VIII e([ claulub coiitinuationis Icaiiie dcnfitaium c M area *'S- 98- hac rjtionc dcfmitur B cT y\ = l B {i m - T M) - B c t m cx quo fufficit eius applicatas TM alViiinauifle. Coroll. 5.- VI 4. Si diftantia IB— ^ prae intcruallis BT r= B / — .V fucrit yalde magna , vt fit e ^z: i ; vel fi fradtio ^ vt conftans fpecflari polTit , crit 2 e *> f e~~^ i/y — 1 y ; ex quo pro vtroquc cafu fit z—f^ hincquc continuatio pcrinde fe habcbit , ac fi tubus eflet cylindricus. Problema Sgi. 115. Si tubus hyperbolicus in termino A fuc- Tal^- VIII rit apertus , et aer in eo contcntus pcr (p;itium mi- '^' ^^' nimum G H de acquihbrio vtcunquc turbctur , hu- ius pulfus prop-iijationcm dcterminarc. S o 1 u t i o. Super intern.illo G H dclcrlbatur vtraquc fcala' denfitatum G M H ct cclcritatum GNH, ita vt fi in T pofita diftantia ITzzS, initio fiierit denfitas — Q et celeritas in pllgam A H ~ T fint' applica- tac T M ^ —/} ct T N zi: ^^^. His fcaUs crtnflii Ccc 3. tutis 390 D E M O T V tutis per praeccpta ante tradita continuatio carum \ltra A verfus 1 ita inftitui dcbct : Primo fcilicct quia ambae fcalac ab A ad G in ipfum axem A G incidunt , per tantumdsm (patium Ag— AG vtra- que fcaia paritcr in axem Ag cadet; tum vero qiiia tubus ad A elt apertus fcala denfiratum continuabi- tur mgmh curna fimili ipfi GMH ad contrariam axis partem fita. Pro continuatione vcro fc;ilae ce- leritatum fumta abfciffa A i — AT zz x, ct vocata applicata TM—jk, exilknte interuallo lA — a; X quantitas e'^ , quia .v tantum pcr fpatiolum n ini- mum G H variatur , vt conflans fpectari potcrit ita vt fit cx (107) z ::z y feu / h — T N , totaque cur- va g n b limilis lcaiac G N II ct ad caudem axis partem difpolita. Hoc moJo tota rtr-usquc fcalae continuatio haberctur , fi tubus ad altcram parttm in infinitum cfTct extenfus ; fin autcm alicubi in B terii.inarctur , prout ibi foret apcrtus \\\ claulus , nouae repetitiones vtriusque fcalne indc orircntur prorfus vt in tubis cylindricis. Hic autcm tantum agitationem quae in ipfo orificio A a gignetur, per- fcrutari cil propofitum , quoniam ca cum acre libe- ro communicatur , in coque vltcrius propagatur ; quae autcm deinccps adhuc nafccrcntur rcpaitiones , eas liic vtpote mcras refonantias non pcr(i.quar , fi- quidem earum ratio ex fuperioribus fatis cll maui. fefta. In A ergo acr erit tranquillus doncc cfnuxc- rit tempus cr: '^^ ; ac tum fimul vtcrquc luKus co appcUct. Sumamus vtrinquc iutcru;illum AT— A; AERIS IN TVBIS. 391 rrt-r, ct quia piirKfli A dirtantia a ccntro hyptr- bol.ie I eft I A — tf, in formulis §. io V~ ^ S. S T Rcdciimus ad apcituram B b fumamusque B 5" = B S-' — .V — ^ - 2 rt -f- S , et pofito S^T^^izj', applicata in S'^ ftatucndi eric X — x z—y + '^e'^ fe by d x feu S^' T^^ - %' T^ 4- I- e^ [e~\ d S. S'' T^ quac loco S^ T^ fupra inuentum valorem fubftituen- do reducitur ad lianc formam : ficque \lterius progrcdi licet , quousquc libuerit. Verum hic potifllmum videamus , in quo ftatu futurus ftt acr , qui initio erat ad S poft tempus t — ~, quo cafu abfcifl^ie vtrinque abfcindendac ca- dent in S'^ ct 'S>''' ita vt in folutione generali §. io5 fiat T N =: S''' T^^ et tn — $''' V , tum igitur coiligctur , dcnfit.is ^-Q_(i-'S(S^^T'^-S^-'''T''/^) + ',S''''''T''''^S^T^ ccleritas b— ii-SCS^^T^^-l-S^^/T''''^ translatio SszzlS. S''' Y^^^S'^ T^^ Area autem hacc S''^ T^^^ S^^ T^ ita per meras ap- plica- +03 D E M O T V plicatas txprimi potcft ; cum ex coutinu.itiouis in- dole fit I. SYS'T^=:«(SY-S^YO II. S'' T'' S''' X"' — a (S'' X''~S''' X''') III. SYS^/T/^in^CS^^T^^-ST) IV.S^T^-S^^T^^^^CS^n^V-S^-TO erit combinando : IV-i. STS'^S'^z=:^(S'^r'^-S^TO-a(ST-S TO II-III. STS^^-^T/^/zztf^S^l^-S^^T^O-Z^^S^T^-ST) vnde colligimiis aream S'"Y'''S'^Y'^-(Z'-fl)(SY-S'Y'-S"Y"j + ^S^Y'^--«S'"Y'''. In qua fi valorcs pro his applicatis inuentos iublU- tuamus rcperitur ifta area poiicndo S Y zr v -s s ?_ ^ ^ L L -A -a~^\^ "fc^ ydS-e^ fe '^y d^^-^e ^^ fc^ y dS-e''' f e ^j d S) \bi integralia ita capi debcnt vt ca, qu;ic inuoluunt a cuanekant pofito S — cr, alicra vcro pofito S rr b. Hacc crgo exprcilio pro arca inucnta in 5 S dudi praciict fpatium translationis S s. Dcinde pro reli- quis elcmentis iiabcbinuis : SiVYir_ s'/iT'''r 1^!^\^ /yO^S 4- ^ ^V^S'^S+ J,^V^ V et S^T"^+S"'T'"- zj - f^^, e^fe^jdS^ ■ e^fe^ ydSv/je~jdS- 1 c'^ f? y dS) CorolL AERIS IN TVBIS. /j-oi C o r o 1 1. r. 125. Hinc ergo patet ob fcalam celeritatum poft tempus — lAJ ftaiiim aeris in tubo multum ab initiali difcrepare poflc quod di(crimen eo minus propius fcala principalis F T G ad axcm acceffcrit. Coroll. 2. i2oi. vallo ASrzS, aeri in S initio ciusmodi indudus iit ftatus , vt dcnfitas fuerii n: Q naturali cxiftentc — B celeritas vero in diredionc A B =r T. Cum nunc tubi amplitudo in S fit n — « « S S ex (88) ad hunc calum accon^modato habebimus a— i, §— o, hiocque M ~ ^ ct L — ^-^^. Quodfi iam folutio- nem probl. 84.. huc transferamus, et grauitatis aftio- nem neghgamus , obtinebimus primo tum vero elipfo tempore quocunque ; ftatus acris , qui initio fuerat in S ita definitur vt fit fpatium translationis Ss-^-L-JSSdSI^-'sT'i (S + f 0 + s-ir:(S4 ci)=v -^A':(S-rO + ^,A:(S-rO ynde pro denfitate q et ccleritate y deducimus : (l^)zz-:=^JSSdSI^-ir'':{S-^ct) + ^J':iS + cO-h^:{S-^ct) ^lf -^A":(S-fO + rsA':(S-rO-|.A:(S-^/) ^^ «b ±f, ^ ^- cft )rrs - h/^S^S/} - ,^r': (.S+ct]+'~J : (S + rf) -5I A':(S-f/)4|yA:(S-f/) qunre cum fit ^ = Q(i — 5^5^— (jgO coUigimus ^ = Q(»-/i^H-sr": ($ + ./) + ! A'':(S-.;)) Eee a ac 404. D E M O T V ac dcniiuc ob y :=:('] p erit « - -^l r": (S + c-t) + f, r': (S+ct) + lA":iS-ct)-i-^A':{S-ct). Hinc cr^o pro ftatu initiali poncnJo t — o aJi- pilcimur ; 'V^^JSSdSl'^-k{r':S-\-A':S)-i-^^ et r':S-A':S — ^ vt flat II. S(iS/^-dj ct III. lSSr(/S~-Sdz-{-zdS hincque y-fSdS/f ct -l-l/rdS fcu zr:z^jrdS vudc AERIS IN TVBIS. 405 vnde fundioncs ita definiuntur , vt fit : T':S=:;/SdS/1^- ^JXdS et A':Sz^USdS/^-{-^jrdS hincquc porro diffcrentiando r": S := ■ S /|: - -L /-T fl' S - ^-i^ S T A":s-is/^-{-^jrds + ^^sr integrando vero reperitur : r:S=;S/S^S/|:-'/SS^S/3^-^SS/'T E M O T V His curiiis defcrrptis poft tempus eltpfam — f, 4 pundo S \trinque ablcindantur inttriiarii ST-S/zit'; et ex npplicatis his pundlis rcfpondentibus ftatus ae- ris qui initio ad S \erlabatur nunc itu definitur , \t fit «z:,^(n;;+n2-TM+TN) + j^rATM-ATN-A/w-A/«) at fpatiolum translationis S x zr •y ita exprimetur : Sxzz3-3/-SS^S/f^-^-^(ATM-ATN4-A/;;;+A/«) ^ ^^ (M : A T M - M : A T N) -^ -^^iM : A nn i- M : A t }j) feu Sxii:^3/'SS<^S/§=-;i.3(ATM-ATN + A/;;;+A;»)+;^ (M : ATM - M : ATN-t M : A;;;;-f M : A/;;) \bi ta/SSdSIf —fS.Sq.dS-S.AS(^-M:ASQ, Coroll I. 128. Ad quoduis ergo tcmpus / fumtis in- tcruallis ST ~S t =z c t aeris qui initio erat in S ftatus ita definitur vt fit I. denfitas ^=Q_( i + ^-L(TM + /;;;- 2 SQ.)-;i5(TN-/«)) II. celeritas « r ^(/;;;-TM)+ ^(7 N+/;;)4- ^^. /;;;TM- ^JATN+A/;?} III. rpatiolum Sj-r:;^(2ASQ-ATM-A/;;;)+^./;;TN) -,-^(2M:ASQ-M: ATM-M:A/w)-^-^^(M: AlN-M:A/«> CoroU. A E R I S I N T V B I S. 407 C O r O I 1. li 129. Si diaantia A S confideretur vt infinita, tubas- cooicus abibic in cyliiidncum ; et quia tum fit ideoque s^. ASQ-o; at f^ M: A S q=:/d? S /^ tum vero iAST=r^/"T hincque ex for- mulis fupra inucntis obtinebuiius ; AERIS IN T VBTS. 41 y v-,^J(a^sy^hIl^-:^T':(f+ct)^^^_r:{s-\-ct) (a -(- s)s ^ ' vnde pro ftatu initiali cognito colligimus : 0^(~r7TJ(^-\-0'^sIl--^jr':s-^A':0 o = -/J + -i^^(r":x + A":x) « = e-^(r'':^-A":.)4-^_^Jr':/-A':x). Ex illa fit r":x + ^":J- = (« + x)/|r et r':s-\-A':s=zf(a-{-s:dsI'^ atque r:x+ A:x=/^x/(flH-x) r'/x/|: ex ifla vero /Tfc^/r':x-A':j), feu r(r':x-A':0=-(^+x)/r^/ hincque <:(r":x-A":x)=r-/Tr/x-(fl-i-x)T et c (r:x-A:x) — -/(a-j-x)^x/T^x. Qiii valores in prlma aequatione fubftituti praebent: o =:/(a + x)Vx / J^ - (<3r+x) / (a+x) r/ x lf+fdsf{a-Vs)ds If G g g 2 vnde 420 D E M O T V vnde ambiguitas ob conftantem per intcgrationem jngieflram oriunda tollitur , cum debcac cfTe : fdsJ{a^s)dslfzz{a^-s)f{a-\-s)dsl%-f'a-\-s)'dsll quac duo integralia fin.plicia ita capiantiir , vt po- iito s — o euanercant. Fundioncs ergo f ct a ita definiuiitur vt fit a": s - \{a -t- x) /|= + ^l^^\p-^Al tum \ero T': s =zlf{a -\- s) d s l"^ - ^t^lAl A>: s — 'J(a -^ s) d s If ^^.^^^' et r:s-l(a+s)f{a-\-s)dsll^^lf{a + sydsl^-^±^^^'J £,:s=:l{a-^s)f(:a-\-s)dsI^-{-lf{a + sydsJl^+Uu±llilLlAl Statuamus ergo in S duas applicatas S 0.= (a -+- x) /f et S V rz (l:tiLl_JiiIli defcriptisque binis (calis C Q_c ct D V d\ erit r":xrr:SQ-'SV; a": x::=:lSQ.4-^SV r':x-'5ACSQ.-iADSV; a':x:zIACSQ+:ADSQ Pro tempore ergo clapfo t fumtis interuallis S T z:z S t —. c. t dcnfitas q et celeritas y ita definiuntur \t fit : ^-Q.(i-f-^(^,(TM-TN^-/;;; + /«-2SQ)) tt— __l_-^ {t m H-- / «-T M -+-T N;-i-^--,( A C T M ' ""^ -ADTN-AC/w- AD/«) .' *■ - '-. quae AERIS 1 N T VBIS. 421 quae duo elcmcnta nofTc fnfficit, cum inde tertium, nempe fpatiolum S / taciie concludatur. Vt iam inueftigemus quomodo vtramque fca- lam "vltra A continuari oporteat , funiamus pun- (flum S in iplo tcrmino A, vt fit / = 0, et abfcis- fis vtrinque A T' =: A t' := c t , quoniam areas cur- varum a pun^flo A dextrorlum computauimus , quae nunc fiiiiftrorrum cadunt , negatiue capi debent, erit- que pro hoc pundo A y-q(i4-^-^(T'M' + /'w'-£AC)-^(PN'-;'»')) »=^-i(fW-T'M')4-;-(T'N'+/V)-f^-^^(ACT'MM-AO'fw') -^^, (ADT'N'-AD;'4 Nunc duo cafus funt expedicndi prout tubus in ter- mino A fuent apertus vel claulus : • •> I. Sit tubus in Aa apcrtus et quia ibi denfitas perpctuo manet naturalis , vt fit Q^iz B et ^ — B , crit AC — o; fieriquc necefle eft T' W -h t' m' =zo ct T' N^ = /' n! hoc ergo cafu vtraque fcala prorfus vt iri tubis cy- lindricis continuatur 5 fcala fcilicet denfitatum CQc ad aheram axis partem , celeritatum vero D V ' , ipfa vcro a Sule di- Ihntia dicatur O i — /< , Ven-.ris \cro a Sole didantia O ? — '"^', ciusque a tcrra diflantia ^^nw, tum vcro voccntur anguli Longitudin*.m cxhibcntes VOi DE PERT. MOT. TrRR. AB ACTION. V£N. 4^7 V G i =: ^ ct V G ? -- (]) , ac nianifcnum eft forc — ucoC.Q cc y ~ u fiii. d, idcoque tt ti — x x -i-jj, tum vcro erit zi-:i—uu-\-V'V^2UVCo{:.i(p-Q). 3. Inm ob .iclioncm Solis tcrni vrgctur in diredione ^ G vi zz ^ , ob adionem Veneris au- tcm, tcrra vrgetur in direcftionc ^ ? vi — -*,, prae- terea vcro qniu Solem in quicte (pcdamus , vires quibus ip(e .Sol follicitatur contrnrio modo in ter- ram transferri oportet , a terra autem Sol vrgetur in dirc(flione G i vi = ^ > ex quo eadem Tis ipfi tcrnie in diredione J G applicata eft cenfenda. De- inde quiii Sol a Vencrc vrgetur fccundum G ? vi := -'- , ducl.i r(.(fl:i ^ V ipfi ? G parallela ," tcrra quoque ccnfenda e(l vrgcri in direcflionc ^ V, vi ^ quocirca terra omnino his tribus viribus follicitari eft concipiendu , primo in dircclitMie ^ G adtft vis rr -^-^— . Sccw:da vis agit in dircdione § V eft quc — ;^- Tertla vcro vis agit in dircclione ^?,quae eft ':^ -^. auTj 4. Qiio iam lias vlrcs fccundum dircclioncs coordinatarum noftrarum rcfoUiamus , demittatur ex ? in G V psrpendiculum ? P, ad quod ex ^ rcdae G V p.iralkla agatur J Q , eritque G P =: '^. cof (^ et P ? = V ftn. 4) , vndc colligitur $Q=.v-ccof Cp, ct ? Q— 1; fin. Cp — j', atque hinc pro dircc^lione ab(ci(rje X G rcfnltant iftae vircs __ q -4- 5 x_ , l.cof d)-!- -- ^-'^''■°''-^ — ^®.-+-*''^ 4- tl^ 4- liff^l^', Hhh a Tum 4iS DE PILRTVRBATIONE MOTVS Tum \cro pro direclionc applicatac ^X, colligua- mi' Iiae vircs fin. 4> S (■Bfrn.J Dcnotct nnnc dr clcmcntiim temporis pro conflan- te h:ibendam , fitqne a qtiantit:i& conR:ins nntnnie huius temporis coniicn-icns ac principin motus nobis binas- (eqiicatcs fuppeditant aequationes : T di ^^. ^i - (G -+• S)J^ ] Af°-t? -4- 9 (J — •ucaj.qi} — TI ^^y^ J^. (P-*- ^' _4_ ^^'''r? _l_ « (> — vjii. tP) _ Q 5-. Calculum autem ab his coordinatis , ad alias mduci conucnit , quae ad longitudinem terrac me- tliam referantur. ijucatur ergo redla O M longitu- dinem terrae mediam repracfentans , ad quam cx terra demittatur perpendicularis ^ .v, vt habcantur nouae coordinatae , O .v— X ct .v ^ — Y, tum vero vocetur angulus V O M — ;, qui ipfam longi- ludinem tcrrae mcdiam cxprimit cuius differcntiale dt vtique illi clcmcnto teraporis dr eft proportio- nale , ideoque eius loco vlurpari poterit , vti mox videbimus , hinc autcm coordinatae praccedentcs ita determinantnr , vt fit x—y. cof. / - Y fin. t, y—Y cof. M- X fi n. r, innnebit autcm vf nnte uu-yi^ -\-Y'., ct a'air;tt«-li-''V— 2«'rcor.(4)- ^), TERRAE AB ACTIOXE VENERIS. 429 6. Pcr difFcrentiationem igitur clicimiis : — dXco[\t-dY. Cw.t-jdt et dj~dY.col\t-\-dXCm.t~\-d t{Xcoi:.t-Y{in.t) — dXfin.t-\-dY.coU-\-xdt. Deniioque differcntiiindo ddx-ddX cof.; -ddY dn.t-dX.dt Ci:).t-dYdt coC. t-dydt —ddX.coC.t-ddYCin.t-zdtidX.Cm.t-\-dYcoLt)-dt\XcoCt-YCin.t] ddj':=^ ddX fin./-f ddY.coC.t+zdt^dXcoC.t-dYCm.tydt^X^na-^-coC.t) vndc aequationes noftrae ita erunt comparatae : I. ti d X Co/. t—dd Y/m. t — 2 d t (d XJm. t -^d^ Cof.l : — d I» (X CoJ. t — Y/m. f ) ad T- , ( o -+- S XX CoJ. t— VJtn.t) _, 9 coj. ^) ■_ 9 (X Co/. f— Y/(n. f _. v m/. (^) _ nddX. fin. f -f- d d Y Cor.f ■+- i d t (d X Col.t — d Y /m.Q — d )' (XJin. t .+. Y Cof.f) • adT^S 7. Qiio autem hinc formas fimpliciores erua- mus , duplici combinationc vtemur , prima fciliccf combinatio. I. cof".; -f- II. fin. t fuppeditat : i3dX—,dtd\ — Xit s)x ^ I , s_££/^(^::^^ gfX-i>.ca/.((|)~») _, ^ altera \ero combinatio ef!o I. — fin. t -4- II. cof"; t quae praebet : id\- ^z di.dX — Ydt^ , (o -t- $;y I s//y!-(^ — f) 1 9 (Y — u/m. ($— X) — ^, II h h 3 Quo +30 DE PERTVRBATIONE MOTVS Quo has aeqiiationes adhuc traclabiliores reddamus, mentem primo abtkahamus ab aiflionc Veneris , icu ponamus $ — o , vt habeamus iftas acquatiunes ddX — 2dldr — Xdt' , (e -t- 5 )X — _ adT- ^" u' — ddY-4-2df. dX — Yd /J , (O-4. $ ',Y J_ ^ a d T» " ' u' — nunc antcm terrnni fecundum ipfum motum mcdium ferri afflimamus , ita vt pofita dilhuitis mcdia tcrrac a Sole —a, pro hoc cafu liabituri finius X— a; Y — oet«— ff, qui valores in noUris aequationibus producunt a d T' ^ flj - — ^ > altera vcro fponte euancfcit , Tnde intelligimus loco clementi dr diffcrciuialc motiis mcdii r/ / intro- duftum iri , fi modo loco a *■ et quum porro fit I — 8 A: + ~T7T~ -^ ~ 77T~z X fj(SVa euolutione binae noftme acquationcs fequcntes induent formas : ^ 5 A.-* - 1 5 .V a:;'J' -H ■/ )*zzo - 10. A-'j -f ", .Vj' — o quac ferics quum a* et y fint fratftioncs (luis pnrunc vehementer conuergunt , quod quo clarius appaiear, has acquationcs in mcmbra .dMpetcuimiis Itcundum ^imenfionum luimcrum , quas binae litterae .v ct y adimplent. Ac prima quidcm ncmbra vocabimus principalia , fcquentia vero anncxa. • lo. Facilc hic pcrlpiccre licet quantitatcm .v per certam feriem cofinnnm cxj^rimi ^icbcre, altcram vero y pcr fi iiilcm lcr cm fmuurn , hinc in fubfi- dium foiutionis oblcruairc iuiiabit, i\ mcmbra anncxa prioris aequationis contincaiu ^J cof /jl t , poftcrioris vero TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 433 Yero aequationis hunc termiaum Ni fin. |jl t, tiim in in iplis feriebus ipfarum x tt y , fimiles tcrminos occurrcrc debere. Pro X igitur occurrere fumamus terminum S? cof. [x ; , pro / vero N fin. [.». t , qui valores in partes priscipales indudli praebent : tfiJ — jx', ?r?-j- 2 ;x N-^ 3 0? — 9(?( {a.'.f 3 ) + 2 {j. N M"|j.\N-| 2|J.f^ , •vnde colligimus fiue quatenus ?t iam eft iniientum crit N = -^ - -1«. Hinc notari conuenit cafii quo fJi.~o, forc !??- 3!)?; ?t iz: 5 ^Oi fiquidcm fucrit M — o , id quod femper ciienict , tum vero cafu quo jji — t , neceflario fiet fOI — 2 M, tum vcro valor ?^ manet indefinitus, ex eoque prodibit N ~ M — 2 3*?. II. Qnoniam iam vidimus pro motu tcrrae medio fiue ciiculari , fieri tam x z:z o, quam j^iro, vndc eatenus tantum quantitatcs x et y ccrtos for- ticntur valores , quateuus orbita terrae excentricitate c{\ pracdita, denotct igitur K cxccntricitatcm orbitae tcrrcrtris , et pro vtraque quantitate .v et j fequen- tes ordines conftitui conucniet .r =r K ^ ^- r 0. -H K' dl + lC ©^ j' = K P 4- K\ Qn^ K^ R + K\ S quos fingulos ordines fuccefiTiue cuolui ncccffe efl:. Tom.XVI.Nou Comm. lii Pro III. 4:34 DE PERTVRBATIONE MOTVS Pro primo igitur ordinc , qui excentricitate fimpUci K eft aflTcc^us . habebimus has duas acLjuationes : Pro fecundo ordine qui quadrato K K eft aflfe-3^P =o 5 "• Pro tcrtio ordine qui cubo K* eft affedus , acquatio- nes noftrae erunt I- ^-d'?-3.3{,+P'-4^'=o^ JI-^+TT ,-3^q-3PO;+6r.P-|P'^cS Pro ^«ar/o denique ordine biquadrato K* affcdo , ae- quationes erunt I- ^-Tr-3^;+<5^9t+3. o;;+5ap'4-i2.^pq') II. l^'+^;-3^R-3Pj)t-3aQ; +6s>^Q_4-i=p^ap^- ■;•' -^p'<^;! -io^\P+V^F = o j 12. Euolutio primi ordinis omnino eft fncilli- ma , quia membra annexa defunt , quare pro angu- lo quocunque {i- t fempcr crit !Pi — o et .M — o , vnde etiam S"^ ct N euanefccrent , Iblo cxcepto cnfu (X — I , quo cafu littera ?i manct indctcrmin;ita pro qua igitur vnitatcm fcribcrc licct , quia inm habct TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 43$ habet indcfinitiim coefficicntcm K , inde autem col- liijitur N rz — 2. Quocirca pro primo ordine hanc habcmus lohitionem : '^N rr cof. / ; P~— afin. r. Hic euidens e(l anguliim t fimul anomaliam mediam terrae defignare , quae vtique pari pafTu cum lon- gitudine procederct , fi terra a fola vi Sohiri folli- citarctur , quemadmodum hic aflumimus , hac fcili- cct hypothefi aphelium quielceret, quippc quod non- nifi ob perturbationes ' motum adipifcitur. Suprx quidem hunc anguhim t ab initio arietis computaui- mus et hanc ob rem , hic ifti angulo t conftantem adiici oportebat , quae quum facile fubinteUigatur , eam breuitatis cauffa omifimus. 1 3. Progrediamur ergo ad ordinem fecundum litteris D ct Q contentum ac pro priorc aequatione membrum annexum 3 '^' — ^ P' pracbet — H- ? cof 2 f pro akera vcro aequatione membrum annexum — 3 ^ P praebet ^- 3 fin. 2 t. Hic ergo pro parte conftaiite feu angulo fx^no, eft ?}?--* et xM — o, vndc dcfinitur 9i — — ^, tum vero Nnzo, pro an^ulo autem 2;, vbi fA.— 2 habemus !Dl — -t-!et /Vl:i:-i-3, vnde colligimus 9^ =: | ; N — i , pro ordine ergo fecundo nadi (umus 0.-.-\-\-\col'^t ; q= + ifin.2^- 14-. H nc pro ordine tertio mcmbra annexa prioris acquationis pracbent vt ftquitur : 1 i i 2 pro 43f.(Cl)-0+;-^(^(i+X)-^cof((p-0) = IL '-^'\-'4f> +Hrin.X(p-O + :-^(«Y-^fin.(0- 0)1:0 18. Qiiia hic termini poflremi folas quantita- tes cognitas compledluntur , quas ad quo<1uis tempus facilc aflignarc licct , ftatuamus breuitatis gratia U--cof.((I)-0+:-;^(«(H-X)-a;co(.((p-/)) ct TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 439 et V=:^^rin.(Cl)-r)-^"-^'^Y-'urin.((I)-;)) et poftcrior aeqiuuio diida 111 d t et intcgrata ftutim pracbi-t ; vnde fit qui viilor in priori fubftitutus dat quam igitur inte^rari oportet. 19. Euadet autem haec aequatio integrabilis , multiplicando eam per d t coC t y quippe integrale rcperitur : ^_^'cor.; + X'rin.;+2/^/.cor.;/VTi mox darius apparebit. Hoc ideo monendum duximus , ne quis puter hunc an- gulum ; perinde atque illum qui fupra eft intro- du(flus a loco Aphelii eflc computandum. -De parte priore a6lionis Veneris Solari di6ta. 24. Hic igitur littera U dcnotabit formulam : ^» cof [(^ - t) pro priori aequatione , littera autem V=J-^fin.(Cl)-0 pro aequatione poftcriori. Hasquc formulas iterum fubdiuidcre licct , quatcnus vel ad lolum motum medium Ipedaiiuis , vel etiam cxccntricitatis Vcne- ris rationcm habcre vchmus , quod poftcrius fupcr- fluum vidcri potcft , quum orbita Vcnens mininiam habeat cxcentricitatcm , vnde vix \llus cflcdui ia perturbationcm Tcrrac oriri potcft. 25. Dcnotct igitnr b diftantiam mcdiam Vc- neris a Solc et qiiia cxccntricitatcm ncgligimu^, ha- bebimus v ~ b , tum vtro anguUis Cj) longitudincm Vcnc- TERRAE AB ACTIONE VENERI5. 44^ Veneris mediam dcfignabit , ideoque angulus CP — • D cloiigationeiii mediam Vcncris a Tcrra e Sole fpo- 2Vcof.r + Ufin./=?-J(',fin.r/)-0-l-'^i"-fp+0) 2Vfin.?-Ucor./=:^-J(+kof:(p-0->cof(p + 0' 25. His igitur notatis fingulae formukc intp- gralcs , quae yalores X' et Y' conllituunt fequenti modo fc habebunt : /V^/=:-/-fin.p.^. = -- ^ /^n2Vco(:/ + Ufin.0 = ,-,/'^^(^rin.(/)-r} + »fin.(/)+f) /^; ( 2 V fin. ;-U cof 0= HA^^ ^' cof.( p- 0 - 1 cof (p+0) — ; 'L" (/'^- 'P — f) _ zjin.{p^t) \ •' J b 0 V v\ ^ J b b m vndc colligimus ipfis quantitates X' ct Y' ■y- a a f: coj. p cof. p i cof. p \ e_a m — ;. cof.p Fl^ m 2{iii—i) a (m "^- i)' ~ i 6* m (m TO — i) Y' — °-° (- ^Jttl + ^ /'^- P 4- f*"-P ^ liiZiP) — 12. l "'•--"i-«--)/;g.j "bb^ mm ~ m '[in—i) m_|-i/ b b^ m m {m'^ — i) . 27. Omnino hic infigne dubium occurrit, quod cafu m :=z I \traque haec qiiantitas abeat in inlini- K Jj;k 2 tum. 4f4 DE PERTVRBATIONE MOTVS tum , qiind vt quc maxime efllt nblurdum , vcrum pcrpcndendum tll , hoc cafu angulum p, abire in t et quia iam (upra vidimus ob conltantes inttgratio- num , ingrcdi talem formam mdefiaitam A -\- h ( ►+- C cof. ; -f- D fin. f , manifeltum elt illud infini- tum conlhntibus C vel D tolli polTe. Ccterum hic ipfo cafus ;« — I peculiarem merctur reiohitionem , tum enim erit angulus p — t conlhns qui fit a, vq- dc integrando erit /fl'n2Vco(./-f-Ufin./)i^J|(Ufin.a-;con(p4-r)) /a';(2Vfin./-Ucoi:/)-H(Ucof.a-:fin.(p4-0) quamobrem hoc cafu confequimur X-H(2cofp + U.fin. (/+«)-, corp)^;-2(Icofp+L/.fin.(/+a)) Y'-if(-fin.;)+/cof(H-a;-;fin.p)-°-|(-ifin.;;-^/cof.(/+a)> Vbi notandum his formuhs -; / fin. (/ 4- a) et / cof (/ + a) fnotum iiphclii tcrrae innui. 28. nadciuis tantum ad motum mcdium Ve- neris refpexinus neglcda cxcentricitate , intcrim ta- men operac prctium eft ctiain huius rationcm ha- bcre , fit igifur k ifta cxctntricitas et anguhis q anomalia n edia Veneris fiatque dq^ndt, quu po- fito habebimus vti conlbt V — ^ (r -I- K col, q) ct (p — (^ — 2 K fi \ ,7, dcnotantc ^ longitudincm n.cdiani , ita At lit ^ — /-^, qnuni crgo lam fit ^ — t ZLp — ZK fin. q crit TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 445 erit fin.{(p—t) — Cir].p — 2K(in.qcoC.p et cof.((|)-0 = cor.^ Ergo quia liinc colligemiis : U.z^;(cof./)-2>ccor.(/)+-7) ct V=;-|(nn./)-cKfin.(/)4-?)). 29. Quoniam autem ea quae a partibus po- tioribus oriuntur iam expidiuimus, fumamus tantum V- + ''-^'(i-2Col\{p + q) et V -'^«(- 2 fin. (/)+?) hincque porro iVcof.H-Uan.; = !^(-fin.(p4-^-0-3.fin.(/)4-^+O) iLVCina-Vcof.t — ^\-coUp+q-t) + 2CoC.{p-\'q-\-t) ■ atque hinc deducimus integraha nollra J b b ^ m -i- n -^ /r/K^ V cof. r 4- U fin. /j - ''^° (^-^-^^^^^-^^+^-^^-^-^^^n -' Z;6 V m-4-n — I 7n_+.n-f-i / fiitfVdt-'^ QfLilt^i^ ; mdt-^-^ [-ili^-tii)) . ./ ii^^/i-t-n,»'' bb m -{-n ' 30. Ex his itaquc coUiginius quacfuos \aIo- rcs pro X' et Y' vti fcquiintur : ■yj _ H jg / *-coi.{p-^.q) , cof. P -t- 7) , T fa'. (p-f-^K 60 "1 * rt m _f- R — 1 ' m _f. a -f. i ■^ = '-^ (,i^,^-jpir-,)- crf. (p + (?) y/— x£: f-i-<-"--f^-4-7) _ 4jm.(p-f-,;) _ , ri.i.(f.-f-^ , e.fh.fp..^ ■*■ — 66 '^ (m-f-a;' m-^-n m -f. n — . ^ m^^^-V-^T^' ^xaj ((m-+-nr- — ,(m-^-n -t-.) ^ ( f) A- n^ K Ji li 3 Omnino 44E PERTVREATIONE MOTVi, Omnino igitur ex parte Solari adionis Veneris oriun- tur fequcntes valores pro noftris X' et Y' X' — —. ".— l- COf.fi — 'JLl?. jr^-k-n—, Cof.Cb+q) -^ bb rnl.vi^-i) ^ bb ' [m^n){{m-^n:--0 ^i^^^i iquas formulas quum in generc CLioIucre liciicrit , manifenum eft casdem etiam ad acftionem , cuiusuis alius Plaiictae in terram agcntis accommodari pode , quin etiam loco Tcrrae quemlibet alium Pljneram primarium fubftituere licebir , itj vt ea quae hafte»- nus (unt tradita ad motum cuiusuis Planetae ab alio quocunquc perturbatum iraiibfcrri qucant. De parte altera terreftri aclionis Vcneris. 31. Hic igitur habemus : U-^:(^(i+X)- ficque angulo / — 10°, rcfpondet angulus p — 6°. 15'. i&" ideoquc angulo f — 5', relpcndcbit p - 3 • -/'• 39"' 34' 44-S DE PERTVRBATIONE MOTVS 34. Hic autcm ftatim maxima difficultas oc- currit iii tormula irrationali r^ — V^aa — zab co!. p ~\- b b) qiiam nuUo modo in (eriem conuergcntcm rcroluere liccc, id quod integratio more praccedcnte inditucada requirerer, quam ob cauffam intcgralia noflra , me- chanice tintum dcfinire cogimur, id quod iequtnti Tab. X. modo praellari potcrir. Incipiamus ab eiu^modi fitu, F'g- 2. quo terra et Vtnus crant in coniundionc \eluti tcrra in T ct Venus in V, a quo fitu motum vtrin- que pcr cxigua interualla \sque ad coniuncflionein fequentem proiequamur. Haec autem interualla ae- qualia faciamus , quibus angulus p — 5° refpondcat , ita vt integra rcuolutio in 72 momenta diuidatur , pro fingulis autem fiet angulus / = 4. 5"=: 7°. 59'. 37" pro quo commoJe 8° vfurpare licerer. Pro ipfo ergo hoc initio ob a—i^ et Z» — 0,7234» ct p~o rcperitur «> — c — ^ — o, i-j66o , hiucquc U — 13, 07060 i et V n: o hinc ob ; ;=r o a V cof. t "Y- U fin. / — o ct 2 V fin. ; — U cof. / = — 13, 0^060. Pro fequcntibus momentis calculus ita commodiirime inflituetur : fumtis valoribus a — b cof. p et b fin. p , quaeratur angulus A vt fit tang. A :=z L[!2Lt fcili- cet erit A — O ^ ? , vnde ftatim deducitur ^t-'^-ia-bcof.p)[cc.A Dcindc TERRAE AB ACTIONE VENI-RIS. 449 Dcindc iniicntis U ct V , quncratur an^ulus B vt fit tang. B = '-^ , tum enim reperictur c V cof. f + U fin. ? - ^ii^- ??il' — U fin. (B+ /) Scc, B 2 Vfin./-Ucor.; — -U.Sec.B.cor.(B-i-0. Quare fecundum haec pracccpta , fingula illa mo- menta euoluantur. 35. Sccundum liaec praeccpta computata cft fequens tabula quae pro fingiilis momcntis cxhibet jralores quantitatum />, /, Log, ci^ Log. U , Log. V , L (2 Vcof. ;-+- U fin. /), Log. ( £ V fin. i - U cof. t ). Tom. XVL Nou. Gomm. L 1 1 450 DE PERTVRBATIONE MOTVS TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 451 Log. V. L. P. T. Log. P. IL — ro — co — 1,1162956 0, 4288710 +0,8434623 -1,0426259 ^ 0,6089295 1,0159197 -0,8264993 ^ c, 621-1^-^6 1,0174272 — 0,4404008 0, SV^iS-ffJ 0,9490722 -9,1687130 0, 4955663 o,S49o539 + 0,1205327 0,4103764 0,7337769 + 0,3099703 0, 32444^5 0,6107520 + 0,5686832 0, 2404967 0,4809425 +0,3789528 0, 1602388 0,3444499 +0,3659349 0, 0S3S607 O^ly^S^^^.^S +0,3392659 0, 01 11601 0,03597781+0,3039294 9, 94^3053 9^8493453 '+0,2632829 9, S766074 9.^144753 +0,2182427 9^ 814^179 9,2622612 +0,1699952 9.7539836 + 7,812434^ +0,1182556 9, 6()6o5^9 -9,1114274 +0,0638452 9, 6397946 9,3641290 ' + 0,0062803 9. 5S51749 9,4887634^+9,9460757 9» 53^74^3 9, 5604947 +9,8826492 P, 4790488 9,6043823 + 9,8159294 9, 4269020 9,6305167 +9,7452747 9i 3749909 9.^451575 +9,6704380 9,3225812 9,6507332 +9,5904115 9,2696513 — 9,6505104 + 9,5043127 Lll +5a DE PERTVRBATIONE MOTVS p 1 t. Log. ^y 1 Lo?. LT 125 199. 3C. 3, 1S5S533 9, 5931719 130 207- 50. 0, 1948645 9> 5812410 135 215. 50. 0, 2029675 9, 5705114 140 223. 4-P. 0, 210C971 9. 5 52722-S TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 453 Lng. V 9, 2151S3 9, 15903&9 9, o999<^ic 9, C37I547 8, (,6%goo6 8, S931S I 3 8, 0C7184-3 8,7C3<5S37' 8, 57+0971 8, 39+8218 8, O917220 co I.. P. ! Log. P. II. -9,64.51785 9,6366590 -9,62465,53 -9,61204-69 •9,5975991 9,5827465 9,5683258 905325 + S 9,5395963 9,5270811 9,5158652 9,5060048 +9,4104024 1+9,3063203 + 9,1915869 1+9,0486173 1+8,8725635 I+8.6187154 + 8,096674.8 -8, 1410493 -8,5767402 -8,7792723 -8,9115587 — 9,oii728S 36. Repraefcntcntur hacc moment.i more Geo- Tab. X. metrico , (iipcr nxe A O per interualla aequalia S- 3' AB, BC, CD etc. ct in his llngulis puncflis ap- plicatae crigantur A r;, B Z', Qc etc. referentcs eas quaniitates U vel V , vel 2 V cof. ? -f- U fin, t \el 2 V fin./ — Ucof. / quas integrari oportet , ita vt areae Iniius lineae curuac exhibeant integralia quaefita, at- que iam manifeftum ert, fi inuenta fuerit area Afl^K, fe.]uentem kalh fiicile inucniri fi ad illam addatur trnpezium Kt/L, cuius area proxime efl ^KL(K)t+L/}, verum quia hoc interuallum KL quafi eflet —dt eft — 7^ 59'. 37" eius valor in partibus radii ex- prefTus erit 0,1394835 cuius log. efl 9,1438047 fmgula autem integralia ita capiamu?, \t in ipfo ini- tio A euancfcant , hos igitur calculos fequens Ta- bula exhibebit : LU 3 P 454 DE PERTVRBATIONE MOTVS p ) fVdt /V rf r '; o Incr. + 0 1,7383 +0 0,1869 5. Incr. 1,7383 i,47<5o 0, 1 869 0,4698 10. Incr. 3,2143 1,1178 0,6567 c, 5750 i 15. Incr. 4,33^1 c,8o66 1,2317 1 c,5522 1 £0. Incr. 5,1387 c,58i5 ',7839 c,478o 25. Incr. 5,72oc 0,4299 2,2619 0,5970 30. Incr, 6,1501 0,3^92 2,6589 1 0,3260 , 35. Incr. 0,4793 0,2604 2,9849 0, 2680 40. Incr. <5,7397 c, 2122 3,2529 0,2218 45. Incr. 6,9519 c, i77<5 3,4847 0,1852 50. Incr. 7,1295 0,1520 3,6699 0,1559 55- Incr: 7,2815 0, 1324 3,8--58 0,1324 60. Incr. 7,4139 0,117^ 3,9582 0,1134 65. + 7,5315 4- 4,07 «6 TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 4.55 fcitfV dt y'rf/(2Vcof.^-+-UIIn;^](/'^/(2Vnn.f— Ucof/) -f- 0 v-,013 0 4-0 o,4S5 5 — 0 - 1,5782 0,0130 0,0588 0,4855 1,2077 -1,6782 -1,2351 0,0718 0,1317 1,5932 1,4470 -2,9133 -0,5589 0,2035 0, 2IOI 35I402 1,3440 -3,5722 -0,2022 o,4-i3 0,0765 +,3932 0,0572 9o. Incr. 7,980+ 0,0719 4,4504 0,2505 95. Incr. 8,05-3 0,0680 4,5009 c,o4+7 lOO. Incr. 8, 1203 0,0647 4,5+56 0,0396 105. Incr. 8, 1850 c,o6i9 +,5^52 0,0351 IIO. Incr. 8, 24^9 0,0595 4,6203 0,0311 115. Incr. 8,306 + 0,057+ +,651 + 0,0270 1«0. Incr. 8,3638 o,os56 4,6784 c,0244 125- incr. 8,419+ c,C5 + i +,7028 C,02I4 130. ^-854635 + 4>72+a fV dt TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 457 /yat /^A'2Vcof.-+-Ufin./ )I/i/:2Vfin./-Ucor/) + 4j4657 0,5738 h8,6368 f 0,0415 -1,3800 + c, 2181 5,0395 0,5865 + 8,6783 + 0,0132 -1, I6I9 +0,1944 5,6260 0, ;p76 + 8,6915 — OjOo^'^ -0.>v/75 + 0,1721 6. "^30 0,6073 +8,6829 -0,0251 -0,7954 + 0,1514 6,8309 c,6i58 + 8,6578 -0,0376 -0,6440 fO,T322 7,4467 0,6232 >r 8,6202 -0,0467 -0,5118 + 0,1146 8,0699 0 .62^9 +-8,5735 -c,o533 -0,3972 + 0,0987 8,6998 0,6357 i- 8, 5202 -0,0578 -0,2985 + o,c843 P,3355 0,64.09 + 8,4624 -0,0605 -0,2142 + 0,0713 9,9764 0,6456 + 8,4019 — 0,0618 -0,1429 f o,o59S 10,6220 0,6497 + 8,3401 -0,0622 -0,0831 + 0,0495 11,2717 0,6531 - f 8, 2779 -0,0618 -0,0326 f 0,0401 11,9248- 0,6563 - f-8,2i6i -0,0608 f 0,0075 f 0,0320 -i- 12,5811- Tom.XV] h8,i553 [.Nou.Coram. f 0,0395 IVl m m 45 S VE PERTVrvBATlONE MOTVS p rcdt fVdt 13-. + 8,^635 4-4,724.2 Incr. 0,0525 c,o!88 13?. 8,5»5o 4j7+jO Incr. C,0512 0,0163 14-0. S,5<572 +,7593 iacr. '^,-;oi 0,0140 14.5. 8,6173 +,7733 Incr. c,0+93 0,01 19 150. 8,6666 4,785 = Incr. 0,0+87 0,0099 155- 8,7153 +>795i Incr. 0,04-81 c,oo8o i6o. 8,763 + 4,8031 Incr. 0,0476 o,co6i 155. S,8iio 4,8092 Incr. c,0473 0,0043 170. 8,8583 4,Si35 Incr. 0,0471 0,0026 175- 8,90> + 4, 8 1 6 1 Incr. 0,0469 o,ooo<^ 180. + 8,95^-3 14; 8 170 37. Hinc iam ficilc colligcntur valorcs tann ipfius X" quatn Y", ope formuliri.m traditarum §. 21. quos in lcqucnte Tabula exhibebimus , iis autL-m infuper adiunycmus , pcrturbatiouis priorcs illas partcs cx acflionc Soluri oriuudas , ncs^lcaa fcilicet cxccn- TERRAE AB ACTIONE VENERIS. 459 fdtfVdf /-^/raVcoD^-Ufln./Jl/or/CiVlin./- -Ucof/) + 12, 5811 + 0,6591 ,'-8,155 3 -c,o5y+ + 0,0395 + 0,0249 +13,2+02 + c,65i6 -1-8,095;» -0,0578 + 0,0644 + C,oiS6 ■ + 13,9018 + 0,6638 + 8,0381 — 0,0560 + 0,0830 + 0,0130 + 14,5656 + 0,6656 + 7,9821 -0,0541 + o,o;>6o + 0,0082 + 15, 23ii + 0,6670 + 7,9-80 -0,0524 + 0,1042 + 0,0038 + 15,8982 + c,66S2 + 7,8756 -0,0507 + 0, icSo + 0,0000 + 16,5664 •7-7,8249 — 0,0490 + 0,10S0 -0,0055 + 17, 2356 + 0,6699 + 7,7759 -0,0475 4-0,1045 -0,0068 + 17,9055 + 0,6704 + 7,7 = 84 -0,0462 + C50977 - 0,0099 + '8,5759 + 0,6707 + 7,6822 -0,0451 + 0,0888 - 0,0130 + 19,2466 + 7,<^37i + 0,0758 exccntricitate Vcneris , inuenimus autcm fupra iftam partem priorem pro angulo p X' - If. -^- cof. p =r + 6, 8980. cof. p coefficientis Logarithmo exiftente +0,8387228 Y' - °-^,^l^i^Lrt-; iin.pzz- 17,17201. fin.p coefficicntis Logarithmo exiftente -- 1,2348211. M m m a Tabu- 4(Jo DE PERTVRBATIONE MOTVS Tabiih pro X ct Y pro X pars I. I pnrs II. 1 tntiim o + 9738'- 3, 5586+ 2,415 + 3, 9565 + 3, 4490 + 2, 9152 + 2, 3593 + 1,7853 + 1,1978 + c, 6012 + 0, 0000 - 9, ^36S lc, 412 -II, 5599 12,6624 I', 6795 -14,6178 ■t- 1,0570, - c, 4130' - 3, 6132 5, 2803 6, 9637 8, 6447 10, 3031 II, 8942 13, 4200 »5, 4503-14, 849 6, 1661 0, 6012—16, 750- 1. 1978-17, 1934 -17, 4888 - J7, 6309 -17, 6i8s -17, 45x6 -17, 1369 -1,7853 -2, 3593 2, 9152 3,4490 -3, 9565 — 16, 1661 J7, 3519 18, 3912 19, 2741 19, 9902 2c, 5337, 2C, 9006 21, 0934' TERRAE AB AaiONE VENERIS. 4 2571 — 8, 58(5i — 9, 8495 — 11, 0379 + -12, 1424]+ -I?, 1545 — 14, 0665 -14, 87.6 -15, 5631 ^16, 1364 — 1(5, 58(59 — 1(5, 911 1 pro II o • o, 0570 c, 1104 + c, 1943 + 0,3650 0, (5679 I> 1795 1, I94C 2, 91 80 4> '953 5,7724 7,6534 9, 8556 + 12, 35<57 + 15, 1637 4-18, 2406 + 21,4890 -17, I72CJ+28, 9657 -17 I067 — 17,1067 + 25,19914- 8,0924 totum o i,4394c66 7,9355 8, 1199 7, 947X 7, 3821 6,4131 5, 0160 3, 2064. c, 9727 1,6537 4,5779 + 11,7937 + 15, 8274- + 3', 9341 — 16, 9111 + 37, 0350J+2C, 1239 -16, 5869+41, 23-794-24,6510 — 16, i-j^^+^^, 4968I+29, 3604. -15, 563i;+4y, 76461+34, 201 S -14, 87i6|+54, C061 +39, 1345 -14,0665 + 5?, 174-1+ 44> 1077 M m m 3 Tabula 4<^t DE PERTVRBATIONE MOTVS Tabiila pro X et Y pro X pzzo 130 135 140 145 150 155 160 165 170 180 pars 1, pars II, 1 -4» 4-339-16,6785 '4, 877<5-i5» 9972 -5, 2841-15, 3751 -5,<5505- 14, 5564 ^5, 9738-13» 64<54 - 6, a5 17— 12, 663 S -6, 4820- 11,6304 — 6, 5529—10, 5642 ^5,7932- 9, 474 ; -6, 8717- 8, 4145 --5, 8980- 7, 375S totum 1 -21, II24 -2C, 8748 -2C, 6602 -20, 2069 -19» 5202 -18, 9175 -18, II24 -17, 2271 -16, 2674 -If, 2862 -14, 2738 TEi^RAE AB ACTIONE VENERIS. 4(^3 Tdbula pro X et Y F^ Y ; ;:;,^ p:irs T. p.as II. tutiim — iS, i5 + J ^■<-^^. 2i57 T- 45^,0612 -12, 14-24 •1-66, 1 2 / a -i-53,96+o — X 1, ^37? 4-6p, 8504 4-58,8125 - 9, 8495 +-73, 3^14 4-63, 5iiy — 8, 5861 476,6282 4-68, 0421 - 7, 2571 + 69,6272 4-72, 3701 - 5,8732 4-52, ^n-T^ l ,-..-' r ., — 4, 44+4 4 84, 76<54 4 80, 3220 - 2, 9819 4 86, S883 483, 9064 — 1,4966 4 88, 7097 4-87, 2131 — 0 i4-9o, 23641+9°? -3^^ a». 4^4 DE PERTVRBATIONE MOTVS 38. Quo autcm faciUus has dc,rerminationcs ad Tfum Artrowomicum accommodemus , notandum eft totum negotium ad valorem littterae Y" redirc , ex quo ftcile ftatim cfTeaum perturbationis cognolccre licet, quippe qui angulo perevisco conUac quem ad locuii. Lllu^ ca labulis lolitis defumtum fiue ad- dere fiue inde auferre oportet. Qyi^r^ vnim defini- ri debeat angulus M G § ad longitudinem tcrrae meciiam addendus eius tangens eft -—-^ ~ _— ^ —^, quem ergo angulum hic in duas partcs dift^-i^^^i ^^'"- vf>r,\t oM.'- — -«>w»a ^iuicipaiis ex folo motu re- gulari eft petenda , cuius crgo tangcns c\\ X -p^ , quem angulum Tabulae Solares confuetae exhibcnt , quem littera vi indicemus, altera vero pars , ipfam perturbationem continens notetur littera w , ita vt ad locum Terrae medium addi oporteat angulum 39. Quum igitur habeamus Tang. ( -vj -4- w ) '^ .Vx-t X X' = '^^"S '^ ^- ^. i quoniam angulus 0) prae 7) cfl vchemcnter paruus ; tum vcro fit Tang.^-r^, hinc colligimus ^^ zr ^-^ propterea quod quantitatcs XX' ct a X^ lunt quafi euanefcentes. Practerea vero quia angu- lus y] c(\ \aldc paruus cjusque cofinus vix ab vni- tate ditfcrt tum vcro ctiani loco i -h X tuto fcri- bere hcct i, habcbimus fimphciter w — X Y', Inte- rim fi ctiam hanim podrcmarum conditionum ra- tionem habcre vclimus , rcpcritur ^— r — v-r— vy''' quae TBRRAE AB ACTIONE VENERIS. 4^5 quae cxpreflio a praecedente vix pitrticula fenfibili difcrepabit. 40, Qiioniam igitur tota pcrturbatio w, quam bic quacrinuis pcr folam quantitatcm Y' determina- wv , cuius valores modo ante vsque ad 180° cxhi- buimus, Jiunc accuratius nobis oikndcre incumbit , qucmadmodura lii valorcs ad praxin accomtnodari qucaut. Supra autcm lam innuimus, conf^antes pcr integrationes ingrefTas , ita capi debere vt pofl fiu- guias reuolutiones ;, liae perturbationcs itcrum cua- n-.rcantj quod etiam de dimidiis reuolutionibus efl tcnendiim. Quare quum pro J 80° valor ipfius Y' proJicrit -+- 9-^, oz6^ , ob conftantes illas memora- tas a quolibct valore ipfius Y^ pro angulo ? O ^ fiibtrahi debet numcrus proportionalis , fcilicet ^. po, 02^4. — ? O i- o, 50014 vnde facile erit lias corrediones in Tabulam fuperio-' rcra introducere. 41. Denique fupereft, vt valorem littcrae "A confideremns qui a ratione mafTae Vcneris ad maffam ibiarem pendet quae autcm ratio adliuc plane eft ignota. Satis probabiic autcm videtur Veneris mas- fam vix -a mafla tcrrae dilcrepare propterca quod cius niagnitudo ron nultum a terrae deficit , denfiias vero aliquanro maior c*.n(ctur, quandoquidem pla- nttae quo Soli lunt propiores eo etiam denfiores acdimantur. Statuamus crgo Veneris mnffam ipfi mafl-ie terrae acqualem quam ex nouiifimis paral- lojn.XVl.Nou.Comm. Nnn laxis ^ DE PERTVRBATIONE AIOTVS Itxis Solis obferuationibus , coUigimus — i,,^,^ dum inafla Solis vnitate referatur , hinc igitur habebimus X — T-osfss atque ex hoc valore fingulos angulos u, dui pcrturbationem contincnt fupputcmus ; Si foite inafla Vcneris aliquanto maior vel minor eflct, qu:m- titates in fequenii Tabula occurrentes in cadcm nuione iiint augendac vel minuendae. Practerca notanduin eft argumentum p acquari angulo 0-t feu de- fignarc elongationcm mediam Vcneris a Terra c Sole fpedtatam. Tabula TERRAE AB ACTIONE VENERIS. ^67 Tabula oftcndcns pcrtiirbationes motus ter- rae , ab a6lione Veneris ortas : F s.g. I. s,,. 11. S.g. Jll. Sig. IV. S.g. V. S.g. P 0 0,0 i3>8 21,6 20,6 i3'0 4,4 30 1 o>5 14, 2 21, 7 20,4 12,7 4, 1 29 2 j,o i4>6 2 1,8 20, 2 12,4 3-9 28 3 '>5 ic, 0 2/, 9 20, 0 12, I 3' 7 27 4 -. 0 I5>4 22, 0 19.8 11,8 3' 5 26 5 2,4 15, 7 22, 1 19,6 n,5 3>3 25 6 2.9 16, i 22, 2 19.4 I j, 2 3>i 24 7 3» 4 i5 22, 2 19,2 10,9 2.9 23 8 3' 9 16.8 22,3 19, 0 10, 6 2' 7 22 9 4>4 i7> J 22,3 18,8 'p>3 2.5 21 10 4.8 I7>4 22,3 18. 5 10, 0 2>3 20 II 5>3 '7>8 22,3 i8>3 9>7 2,1 19 12 f-8 18, I 22,3 18. 1 9^4 I>9 iS 13 3 18,4 22,3 17,5 P, I ',7 17 U 6,8 18,7 2 2, 2 I7>6 8,8 1,6 16 15 7' 3 18,9 22, 2 17' 3 8,5 i'5 '5 16 7' 8 19,2 22,2 17.1 8,2 i'3 14 17 8>3 19>5 22, I 16,8 7,9 I) 1 13 18 8,8 i9>7 22, I 16,5 7' 6 i>o 12 19 9,2 19' 9 22, 0 j6, 2 7' 3 0,9 II 20 9,6 20, I 21,9 15' i> 7,0 0,8 10 21 10, 1 20,3 21,8 i5'7 6,7 0.6 9 22 10,6 20,5 21,7 15' 4 6,4 C.5 8 23 11,0 207 2T, 6 15' I 6, I 0,4 7 = 4 ii>4 20, 9 21,5 i4>8 5' 9 ^'3 6 25 i',8 21,0 21,3 J4'5 5' 7 0, 2 5 ;6 12, 2 2T, 2 21. 2 14, 2 5> + 0, 2 4 27 12,6 2I>3 21, I 13' 9 5' I 0, I 3 2 8 '3.0 21,4 2 1, 0 13' 6 4.8 0, I 2 29 i3>4 21>5 2C,8 ^3' 3 4> et dccimam vix partcm pcricardii occupnbnt., xeliqiia cauitatc cjuote nigro r<:pl6ta. Caeterum cor flaccidiKTi , ventriculis .wriculis qiic collapfi^ , et lan- guine plnne vacuis , facic anteriori , quae in aliis anin.alibus gibba efrc lolet , plana , rngis quc nii- iiimis transuerlahbus noiatu. Sanii,uincm cordis omnem et valbrum hi pericardio et thorace fuifTe , vndc illa vacua cflcnt , facile intclligebatur. Ku- ptiiram a.utem vafis cuiusdam nuspiam nperi. In lupcrficie cordis quidem propc bafin , tum maxime in aoria , qua parte intra pericardium contiiictur ex crefccntiac obferuabantur figurae fere conicae , qua- jrum maiores polliccm et vltra ad bafm ktae et aeque longae erant. At liae in fola tunica exterua, quae a lamiiia internA pericardii continuatur., exiHe- bant , a matcrla quadam tcnaci , ibi dcpofita , pro- ^uiflae , nec vllam corrhmunicationcfn ci.m cauitate interDa harum par^ium habebant. Vcrifimile igitur efl, fiingujnem per vafa cxhalantia pleairac et pcri- cardij ptnetrAfTe, quae , pnvccipuc in pericardio , naturalitcr etiam ,, i-ta .comparata efle condat , vc fcriini 5 noiabili lubcdine tir.dum , permittant , cu~ iu^ furpcr ajit}tia portio in perjcardio poft mortcm rcperiri folct. A.n ctiam ex ipfvs vcniriculis , tcm- porc jyfioles ,, per pariexes xoroi* , quos in leone ijiire .tpnucs effe in fubfequcntiius dicam , (anguis trin^fudanit ? Excmpium in vciicula fcllea habemus, quic , iiuHis vafis , viam p raebentibu' , bilem per- fnii.irc (jnir. CactLrum hanc ipf.un cxirnuafationcm iran^iii«i& caulaiii pro\inuni niortis juilil- , L-ul)inni noa DE CORDE LEONIS. 473 non cft , fiquidcm cor non modo in fua n(flione adco impcditum inde fuit , vt dilat.iri non potucrit, (cd va(a quoquc ct cor iplum fanguine omni priua- ta , ccrcbro nihil luppcditarc potucrunt , \nde dcbi- licatem primo , tanJcmquc lipothymiam perpctuam, vcl , fi mauis ; apoplcxiae fpcciem , oriri neccfle fuit. Pericardium , pro fitu cordis , alitcr atquc in Perlcar- homine , figura , ouo gallinaceo fimili , gaujct, cu ^'"'"' ,. ius vcrtex infcrior , vcrllis diaphragma rc(p cicn? , pj^ ' , ' ncutior j (uperior magis obtulus e(t. In vcrtice in a.b.c.d.g. fcridri pericardium diaphragmati non adhacrer , led mobile c(t , mcmbranisque longis (g. g) a mcdia- ftino produclis , tcnuiHmiis , pcllucidis ct rcticulari- biis , omcnto fimilibus , ad diaphragma modo adli- gatur. Ad vcrticem fupcriorem in parte antcriori proccOfus notabilis ( ^ ) a pcricardio producitur , quo aorta eiusqnc rami compleciuntur. \ena autem ca- va fupcrior , arteriae venacquc pulmonal s et caiia infcrior fcorfim fmgulae prodcunt latcraiitcr ct vcr- fus partem podcriorcm , pcricardium fimpliciter pcrforanJo. In hoc pericardio -, in mcdia ferc e'us parte ,S-tus cor* cor fitum crar , adco , vt prnctffuni (Fig. i. e.}'-}^^- aricria innominata , fubclauia finidra ct luperior ,, ^ ' / ^ arcns aortic pars (fig. 2.) qua ver!us d(^rfum cur- " vari incipit , al amque longitudinf- p.ric:'rdii par- tcm , proceffui d'clo aequalem , bulbus aortae ad- fccndcns (fig. 2. 7.) occuparet , ct in ea rcgione , Tom.XVl. Nou.Comm. Ooo vbi 474' D^'^ CORDE LFlON S. vbi YCna piilmonalis (fig. i. u.) pericardio cxit , eor (ua bafi incipcrct et c]uaiitnni longum crt , (fig. 2 e. b.) deorfiim fe extcndcrct ia parte pcricardii pofteriori ; \nde locus cordis in per.cardio ex com- paratione figurarum i et 2 faciie intelligi pottrit. Situs autem cordis in eo pcrxardii loco talis crt , qualis in animalibus efTe fblct. Bafi nempe furfum et apice rccfta dcorlum refpicir. Superficies , quae iii homine fupcrior cft , anterior ob hunc fitum , ct quae infcrior in hominc , polkrior in lconc , vt iu rcliquis animalibus quaJrupcdibus , euadit. Figura Scd figurae refpcdlu cor lconis tam ab hnma- cordis. ^ no qnam ab alit)rum animalium cordibus diffcrt. Et FiV 2 ' ^^^^^ figurs , non modo , quod fingularis eft , fcd idco maxinic notari mcrctur, quia ab interiori flru- «fVura cordis pcndet , qnae itidcm in leone a reli- quis animalibus dilTcrt , et in occonomiam vitalem infinxum fibi vindicat, Vti in hominc fupcrior cordis facics , ita in aniiTialibus anterior eiusdcm , quae ilii rcfpondct , fcmper notabili conuexitatc gau- det. In homine quidem hacc facies maxime promi- nct vcrius bafin , in eo loco , vbi arteria pulmona- lis cxoritur , ct in media fui parte. Inde verfus antcriora maxime , paulo minus vcrfus p)flcriora , dccliuis in margines abit , quorum anterior acutior tcnniorquc , poflcrior obtnfior ct craflus cft. In animalibus ea maximc diffcrcntia cfl , vt nullibi pc- culiariter haec facies promincat , (cd acquali modo conucxa flt , ncquc nmrgincs proprie producat fcd cor potius tcrcs icu conoidcum cfTiciat , co magis , cum DE CORDE LEONIS. 475 ciim fiicics poflerior , cuius rcfpondcns iufcrior ia homiiie plnna eO , itidcm aliqua conucxitatc gaudciU. Pnieterca in ipfa h;ic fupcrficic \cntriculi cordis in animalibus acquc ac in homine manifc(h) dillinguun- tur , et ventricuhis dcxter finidro notabiii partc al- tior fitus eft , adeo vt finirtcr dcorfum prominens folus apicem cordis cfHciat , dcxtcrque ad eundeni nil confcrat. Hinc apcx cordis acutns ct tota figu- ra conoidca , vel in homine femiconoidea , oritur ,- cum , fi ambo ventricuH acquali inre ad cxtremita- tcm vsque cordis producercntur , nulhis apex angu- ftior inde , ncc figura conoidea cordi , fed ouata, vel fubrotunda potius fuboriretur. In fele ventriculus dcxtcr vix ad dimidiam longitudincm cordis dcfcen- dit ^ dimidia huius pars inferior vna cum apice a folo finidro efficitur. Apcx in illa muUo quam in hominc acutior eft , et figura cordis longe maiori iure conoidca vocnri potert. Horum omnium in leone nihil obfcruatur. Superficies anterior plana crt aeque ac poftcrior , et margines vtrinque formantur aequales , obtufi , fed minus cralTi. Ventriculi in exteriori fupcrficie cordis nullo modo difiinguuntur. Fibrae enim , quae parictcm ventriculi dextri exte- riorem confiituunt , quaeque in homine , in fele, in cane , in vitulo a parte fepti anteriori oriuntur, ibi- que a fibris finiftri ventricuH per rimam adipe et vafis repletam , diflinguuntur ; hae fibrne in leone potius continuationcs efle videntur fibrarum trans- verfiiiium ventriculi finifiri , adeo , vt vtcrque vcn- triculus vno communi ftrato fibrarum , transuerfa- O o o 2 lium 47<> DE CORDE LEONIS. lium in rnperficie cxteriori tegatiir ; viide fingularis hnbitus cordi leonis conciliatur. Porro autcm \cn- triculus dcxtcr acquc ac finider ad extremitatem ys- que inferiorem cordis fe extendit. Indc apex angu- lUor et acutior dcficit , et totum cor leonis figuram nancifcitur lubrotundam ct planam , cum inreliquis, quancum fcio , animalibus quadrupedlbus , filtim in \itulo , cane et fele acque ac in homine , cor cras- fum teres et conoideum cxiftat. Auriciilae Auriculae minimae funt in cordc leonis , iu Tab. XI. fpccic dcxtra (^c.) quac tanquam tubercuhim crcna- ig. 2.e. , ^jj^-, {j^^j venae cauae fuperioris adfidet , nec nifi ob analogiam cum aliis animalibus tanquam pccuharis pars cordis in hoc animali confiderari poteft. Hoc ccrtum ert , fanguinis portiuncnlam , quae tempore fyftoles cordis in ea recipi potcli, nullius phme mo- mcnti cflc. Idcmque vakt de auricuhi finifira (f(9' ejt pollea , ex en id ejje , quod parum haberet fententias. ,.,1'arms , eP contra potiur totum effet cauiuu. Vemri- ,jcu/i emm tanv erant avip/i , i-; Jhn/ler , qui ad cu- ^fpidtm isque protenditur , (monui vero idcm valere 5-,de dextra,) latiiuduiem pro carna baud mamem r^- O o o 3. ^Jinqui- 478 DE CORDE LEONIS. ^Jinquerct , quae eo ui loco iplum tegit , quam duarum ^JineaTuni. Verjus hafin non plurcs kabcbat quam ^^leptem , quot eiiam praeditum erat fepium fere. ,, tx his igitur patet , in aliis leonum lubitdis retpcAu ventriculorum cordis eadem , quae propofui , obler- vata elTe. Aliqua tamen funt , in quibus hi audo- res a meis oblcruatis diflcntiunt. Fii^uram nempe cordi attribuunt oblongam , et '•'' cufpidem valde acu- fninatam^^. In meo certe (ubicifto cor et planum fuit ob ipfam carnis tcnuitatem et ventriculorum amplitudinem , et fubrotundum , cufpideque potius priuatum , cuius rei quoque ipfius cauinm adfignaui. Dcuique cor lconis ";//«//(? jnaius- quoque iuxta pro- j^portioncfn^, laudntis Audoribus vifum cft , ^'■quam „7« vllo alio ammali..,^ Sed de magnitudine huius vifceris in fubfcquentibns cx inftituto dicani. Ventriculi Vcntriculus dcxtcr in leonc primo intuftu dextri fi- oblongior quam in aliis animahbus efle videtur. Ac- ^V^" ,.,, curntiori tamcn examinc inClituto patct , hititudinc 1 ab. XII. „ . , . ,. ^ fig. 2. illum multo magis, quam longitudine fuperare ven- tricuhim fclinum , humanum et vituhnum. Totus enim vcntriculus in duas quafi partes fecundum longitudincm in leonc diuifus eft , in nnteriorem , quae antc feptum fita eft , et in pofteriorem , quae retro feptum abfconditur ct antcriori magnitudine vix ccdit. . Apcrto igitur ventriculo fola anterior cius pars apparct , quae totam ventriculi longitudi- nem, dimidiam vero tantummodo latitudincm rcfcrt, vnde primo intuitu iflc vcntriculus omnino multo quam DE CORDE LEONIS. 479 quiun iii hominc aliisque aiiimalibus oblongior videri dcbcr. Si \ero ventriculus vnii cum (epto in pla- niticm (Xtcndcrctiir , baud niulto ille minorem , quam cor iplum , latitudincin habcrct , tandemque fcrc figuram exprimeret. Scptum fcilicct in vcntricuio dextro valde Septum. conuexum efl , led alio modo , quam efle folet in Tab. XII. aliis animalibus et in homine. In his enim con- ^^" 3'"*' vcxitas hacc fepti maxime a craffitie carnis pendet ; facics; fiquidem fepti in ventriculum finiUrum refpiciens haud tanta concauitate pracdita eft, quantum conuexa eft in ventriculo dcxtro , fed potius plana efl. In Icone contra concauitas fepti in vcntriculo liniftro conuexitati qua in dextrum fpedat aequalis eft , et tota haec conuexitas a fepti complicatione pendct ; ncquc in plurimis locis hoc feptum craflitiem 5 vel 6 linearum excedir. In fola parte infima vbi cum parietibus ventriculorum coniungitur craflitie 10 linea- rum ert. Adeoque feptum in corde leonis nonnifi lamina carnea cfl , ita complicata, vt concaua facies ver(us flniftrum , conucxa verfus dextrum ventricu- lum refpiciat. In aliis animalibus vti in homine , denfa maflli carnca vtrique ventriculo cordis reda interpofita eft. Cacterum haec fepti facies dextra aequalis eft , neque lacertis carneis , neque frfTuri» aut foucis , vt cflTe folet in aliis animalibus, praedita eft ,- vnde omnino aliquod augmentum capacitati ventriculi accedit. In parte inferiori aliquot fora- minula cocca exigua dantur. In pirte fuperiori filamentum exoritur (0. B. j iti valuulae venofae partem H. 480 DE CORDE LEONIS. partem aiitcriorcm iiifcrtum , qiiod ipfiim in fde non nKxlo lcd ctiam in honiine inucniri fokt. raiiesven- Parics ventriculi dextri exrerniis, tcnuis cft et triculide.v-laxus et amplior , quam qui requiricur ad feptum t!^ xtt ^^§^'^^""^ i ^d^o , vt notabile fpatium iniLr conca- Fis-S- "^''^'^t^ni huius parictis et fepti conucxitatem in- a. b c. a tercedat. Firmior duriorque contra in aliis ani- raalibus caro, quae huric parictcm conllituit, contigua fepto incumbcrc f-lct. Cradities carnis huius parietis in parte fuperiori propo bafin rcmota adipe , quae illam in hoc Joco te^it, 4- lineis aequalis elt. Vtrfus apicem fcnfim tenuior illa cuadit. In corde humano in qiio ventriculus longe minor cft, candcm craflitiem inucni. lu fele et in vitulo propovtione cordis crairities etiam quam in hommc multo maior cli. L.nceiti Neque Juiic parieti multi laccrti mufculofi , niufciilnri. ^. .. . ,. . , . , Tab XII ^'•'"^^^ vcntnculi cauitas occuparctur , adnati lunt. l.-jg. ^. Alnximus e(rnim cit , qui parti parictis antcriori nd p. q. r. haerct (/. q. r. ). lile bifurcatus crt et apice luo in extrcinitaiem dextram valuulae tricuspidalis dic oninibus rcli<;)uis n-eniuris riraili niodo lUnua , vti in iiominibus et in kpue Hnnfi } , ne- qiialis crati5:;lin. Circumterentia eiusdcm «laxima sps. lin. Pro hac magnitudine cordis ventriculus de?iter , fi .eius maguitudo, ad magnitijdinem cordis iUfieadem ratione,, vti ii\ hom^ne^ cffct, (longitudine nempe vcntriculi ad iongitudLnem cordis , um.plitu- dine ciusdem ad circunilaentiam cordis rclata,) efle debcrct longitudine 12 luiearum , non pcnitus qui- dem , fed nonnifi minu-s vigefima lincac parte quae iiuJlius momcnti cfl. Amplitudo. autcm hu us vcn- triculi efll' debcrct 15^ lin. Lnm vero (umma lon- gjtudo ventriculi dtxcti in hoc corculo fclino non- nifi. lO lin. cxamun"iTn ct ainphtudo ii^ fn. in- venta fuit. Vnde patet ventricnlum dcxtruin cordis fdini multo ctiani iiumano vcntriculo proportione cordis rainorcm cflc. Cor vitulinum longitudinc crat 4 poll, Circumfercntia maxima propc bafin S poil. Vcntriculus dextcr igitur fecundum proportioncm humar.am effe deberct 3 poll. ct l lin. Circnm- ferentia autcm 4 poll. 3; hn. lam vero longitudo hiiius ventricuh nonnifi a poll. i lin. et circumfcraitia 3> poll 10 lin. fuit. Vndc patct , etiam in vitulino cnrdc vcntriculum dextrinn proportionc totius cor- dis multo quam in humano minorcm efTc. Diffe- rcntia igitur, qnae iiuer humanum ct lconinum ven- tricuUim inucnta fnit , non p.uuitati humani , fed fin- ' DE CORDE LEONIS. /-85 fingulari mngnitiidiiii vcntriciili konis adfcribcnda erit ; fK]uiJem et feli et vitulo vcntriculus luimano potiiis minor cxidir, acc verifimile adco cft, vclcae- tcris pyactcr Iconem qundrupedibus vcntriculum hunc dcxtrum cordis multo maiorem humano facile in- vcntum iri. Vcntricukis fmifler , qui , vti in homine , ita Ventricull in reli;]uis quoque quadrupcdibus non modo angu- ''"""'^ "" ftior et figurae oblongLie , led apice quoque >';ilde -^"1^' j^^j^ acuto tcrminatus eflTe foiet , in lcone multo latior Fig. 4, elt ct fine infcriori gaadet valde obtufo et dilatato. Adcoque figura eiusdem aeque ac dextri ventriculi fubrotunda cll ct figuram cordis imitatur. Scptuin , quj parte in hunc vcntriculum fpc- Septum rta, Anrtnc ra tioiulveiv triciilum finithum, rationcm iiihomine 49» DE CORDE LEONIS. Aort;i , vbi primum ex cordc emergit , nm- bitu gaudet extcrno (nnm tunicas vaforum fiie er- rorc proportionatas (upponi poflc exitlimo,) in lio- vti fe ha- "^"^^ pnori 3 poll. i^ lin. m polteriori , cui am- beat ad bitns vcntriculi finiftri maior , 3 poll. 5 lin. Mc- eaiidem dium pouamus 3 poll. 3 lin. Ambitus igitur rj- dicis aortae in leone proportione ambitus vcntriculi finiftri fccundum lianc normam efTe dcberet 6 poU. 11/, lin, ergo fere 7 poll. (ed inucnitur 3,- poll. Duplo ergo fere aorta in homine proportione ventri- culi fui ex quo oritur , quam in konc amplior eft.. Rationes Nunc vcrum quidem cfl , rationem aortae ad' vaforum ventriculum fuum in vitulo ob infigncm huius ven- ad ventn- j|.jj.^jjj circumfcrcntiam , quam notaui , itidcm mi- culos cor- ~. . , . ' ,, . , dis invi- "^''crn cUc quam in homme , (cd multo tamen ma- tulo et in gis hacc ratio vitulina maior lconina cft , quam mi- fele , vti nor humann. Nimirum ambitus aortae oricntis in fe habeant vjmio cft 2 pcU. 5 lin. ct cfTe dcberct , fi acqualis ad ratio. , . . . , . ^ ,, , ,,r nem hu- liomini et vitulo ratio effct , 2 poll. iii hn. Sex- manam. ta igitur partc vna quam in homine minor eft , Scholion. fcd tribus quintis partibus quam in leone maior. In felc eadem fcre quam in homine efl. Secundum humanam proportionem ambitus aortac cffe deberet 9a lin, ct inucnitur 9 lin. Similiquc modo compa- r.itum cffc rcpcri , cum continuatione aortae eiu>que ramis. Nimirum vbique hi rami pro}xirtione ven- triculi fui pnulo angulliorcs funt in vitulo quam ia homine , vt tamen cum mira illa anguflia , quae iri ramis finiilibus lconis oblcruatur , nuUo modo coin- prari DE CORDE LENOIS. 495 parari pofluit , ct \btqiic iidcm acqualcs fcrc pro- puitione vcntriculi humauis inucniuntur m fcle, Siibcl.uiia dcxtra in hominc priori i poU. 3 Ratio fub- lin. in pofleriori i poll 6\ hn. erat. Mcd um fu ^'"'^'^« ^ ,, I r t 1 j • • • t dextra». niimius I poll. 5 l.n. bubchiua dextra igitur m lco- ne proportione vcntriculi finiltri efle dcbcrct 3 polh /5 Jin. Eft autem i poU. 5 hn. Carotidum", quarum dcxtram fiaiftrac , in ho- Carotl- minibus acque ac in lcone , acqua^em rcpcri , cir- ^^"^ cumfcrcntia in homine vtroque prope bafin erat i poU. Adcoquc carotidcs in leonc proportione ven- tricuU fiiUlri cffc debcrcnt i poU. ii/, Via. ergo fere 2 po'h vel 24- 1 n. Sunt autem circumfcrentia 8 Unearum, et triplo igltur humanae amphores funt^ Siibclauia finilTra ih homihe priori' i poU'. i Subclaulae lin. in pofleriori i poU. 2 hn. Medium igitur i '"' poU. il Hn. Subchiuia finilha ergo in leone e(fe deberet 2 poU. 3? hn. h(\ tantummodo i poU. Aort.i , pollquam ramos maiores edidit , pro- Aortae xime pol\ fubcl.uiiam finiUram in homine priori eft ^ "" 2 poU. 8 hn. in polieriori 2 poU. 1 1 lui Me- ioj.gs^ dium 2 poU 95 hn. In lcone igitur aorta in hoc hico eCfe debcrct 5 p<")U. ii^ Un. ergo fere 6 poU. Ert tantummodo 3 polh i Un. Aorta vbi perfedo arcu ad corpora vertcbra- Aorta» rnm dorfi fe apphcat et verticaliter delcendcre inci- pit , in hominc ptiori 2 poU. 8 hn. in poftcr ori defcea- dentis. 49+ DE CORDE LEONIS. 2 poll. 6 lin. et circnmrerentia mcdia igitiir 2 poll. 7 lin crt. In leonc igitur proportione vcntriculi eflc dcberct 5 poll. 6jj lin. Ell 2 poll. Aortac Aorta denique thorncica prope trnnfitum per Pf^P'^ ''" diapliragma in liomine priori 2 pol!. 6 lin. in po- plnagma. n ■ ■ r n i- r ■ ^ Iteriori nonnifi 2 poll. 2 Iin. ct circumfcrcntia me- d'a 2 poU 4- lin. ell, Eadem crgo in leone elTe deberct 4 poll. ii-i lin. Ergo fcre 5 poH. Et non- nifi I poll. 9 lin. innenitur. Et partis Cactcrum Aortac in mcdia pnrte inter ccr et pnonsar- egrcffiiii^ maiorum ramorum , \bi in leone , vti in cusaortae 1 . i- n ad ventr "0"^"^^ » amplior clt , nec non proxime ante egres- fin. ratio- fum corundcm , vbi iterum anguft.or rcdditur eao' nesvtifint dem fere crga vcncricuUim ratioi.cm habct , cjuam huma- j,j jpjT-Q principio et proxime pofl edita vafli maiora. Nimirum in partc media intcr cor ct cgrcfTum va- forum circumferentiam aortae mediam in bominibus repcri 3 {X)II. 4 I.n, In lcone igitur effe dtbcret 7 poll. j,\ lin. ct inuenitur 3 poll. lo lin. Proxi- me autem antc vafa maiora in hominibus circum- ferentia aortae eft 3 poll. i lin. In leone effe de- bcrct 6 noll, 6[^ lin. et inucnitur 3 poll. di lin. Arteriae Dcnique artcria pulmonalis in homine priori pulmona- ^ poll. lO liu. clt. lu lcone igitur, fi in eadcm, quam iistriinci. ji^ Jiomine priori erga ventriculum dextrum ratione cflet , cffe debcret 5 poll. Su hn. Efl 3 poll. 4 lin. Arteriae Artcria pulmonalis dcxtra in hom.ine priori piil. dex- 2 poll. 2 lin. In lcone proportionc veiitriculi dcxtri *■"• effc dcbcrct 4 poll. ; iin. Ell 2 poll. Arte- DE CORDE LEONIS. 495 Arterui pulmonalis finiflra in homine priori etfiniflrae 2 poll. 4 lin. In lcone ad hanc normam eflc '^'•^ ventri- dcberct 4 poU. 3 A' hn. Elt i poll 10. lin. ^^'' vti fint ad Ex his igitur patct , truncos artcriarum , in hLnmnas. comparatione ad humanam lli-ucturam , proportione -^•■^^'''^^ 1 / II .'\ r proportio- •Ycntriculorum luorum vaLic paruos, icd ramos ipfis ^^ ventri- truncis tamen minores elTe re(pid:u eodem , et fi.c culorum continuo decrefcere. Aorta in leone primo quidem , ^^ ^'^^\ et co vfque , doncc maiores ramos dedit , in eadem P'"'^?^''*"'" ' ' ' ne trunco- ferc continuo ratione manet erga aortam humanam. rum in Nimirum dimidio fcre illa proportione venrriculi leoneml- fui , quam in homine minor eft. Tum vero ab "°'"^^ ^""' .... , . quam in hoc tcrmuio euis ratio erga humanam aortam eui- homine. denter decrefcit , tam in fui ipfius continuatione , quam etiam in ramis a fe editis. Quum enim haifle- nus aorta leonis ad humanam proportione ventriculi fui fuerit paulo maior quam 1:2; nimirum in prmio principio vt i:(2 — b^) in media inter prin- cipium et ramos maiore& parte vt i :(2 — ^) proxime ante ramos maiorcs vt i:(2— i) et proxime poft ramos maiores editos vt i:(2— 7'+); nunc incipit pkis quam dimidio aorta. humand minor efle. Nam vbi ad columnam vertebrarum primum fe applicat , eft vti 1 : 25. prope diaphragma autem vt i:2|. Atquc idem dc ramis aortae proximis quoque valct , qui itidem dimidio humanorum minores funt. Nam fubclauia dextra ad eandcm arteriam hominis cft vt 1:23; fubclauia finiftra vt 1 : 2J ; et carotidcs adeo ftrc funt vt 1:3. Arteria autcm pulmo- 49 '!"* ^^ trunco quouis oriuntur , coniunda , iu h )miiie, (eii^per maiora lumine trunci ; in leone hanc, retar- in leone datioDcm vel longe minorem, vel planc nullam efle. potius ac- pf jjjs quam menluram inlUtuimus, monere oportet , celeran . „ . ,. i-- videtur. aortam proxime poft ramos maiores editos , vbi in- cipit vna cum rubclauiis et carotidibus ramum aortae prioris rcfcrrc primo ampUorem elTe dcinde fuccelli- ve angulliorem fieri fine nouis ramis produ(ftis j veluti cx mcnfuris fupra datis apparct , quae docent, prope fubdauiam hanc aortam efle in ambitu fuo 3 poll i lin. prope vcrtebras autcm ante editam primam iiitcrcollalcm 2 poll. Non oportet in colligendis lumiiiibus rainorum metiri haiic aortam prope fubclauiam , vt facere folent in homine , vbi arteriae plcrnmque c} lindricae , vel vix tamen conoideae {l:::c, fed prcpe intercoilakm priroam, vbi anguIlilUiiia elt. Nam quantum fub finguhs diuifio- nibus vel poQ fingulas diuifioncs artcriac vel dila- tentur vcl atiguflcntur, id fcire noflra intcrell ^ fiue hoc fiat ilico in ipfo ramorum principio , fiue fen- fiin ct ad firicm corundcm vsque, \bi in alios ramos diuidi incipiunt , hoc nihil refert. His itaquc prae- monitis, aortac primac , trunci , periphcria cum fit 3 poll. 6 hn. hinicn cvit 14.7 ha. Lun-.cu fubcla- viac dextrae eft 24-!. »in. carotidis dcxtrac 5'. , ca- rotidis finiftrae 5; , iubclauiae fmiftrae i^, et aortae doflilis priusquain inter cuualem priniam cdit 48lin, i.L Sumnia DE CORDE IF.0NT5. 499 Summa igitur liimiinim bnrnm ramornm omnium 94-^ ad lunicn aorcae prini;je erit \t 94': '47, id eft vt i:(i-+t'5), Vnde p.uct , non niodo niil- lam retardationem , (cd acceleratioiicn) potius ia rrotu fanguinis obtincre iu lcone , proiit iPe per "vafa progreditur. FrequentiHima , qnae in homiuc inter fummam luminum ramorum (t lumen trunci inueniri fulet , rntio cft 3:2 vci i[: i. Ivamquc PERILL. L. B. V HALLER cx muliis operofis arteriarum men(uris quafi mediam clicuit. Simili ergo fere modo fangins in leoiie uccelcuitur, vti retardatur in hon.inc , fiouidcm ncmpe in ahis di- vifionum exemphs codcn ramorum coninn(florum ad truncum ratio obtinct quam in prima aortae di- vifione inucnimus. Quare , vt hoc experiamur, etiam arterias pulmonaks , quarum menluras habe- mus , aeftimnre conueniet. Lumen trunci arterine pulmonalis igittir c(l 133^ lin. Rami pulmonalis dextri lumen 48, et finiftri 40; lin. erit ; et fum- ma igitur luminum ramorum S8i. Krgo ratio fummae luminum ramorum ad lumen trunci in hoc exempln erit 88^: 133; quae eft i:'il-\- circiter Jj). Haec parum differt a priori, indicatque retardationcm fere aequalem , ct probat , variationcm relpedu ra- tionis ramorum ad trunccs in variis diuifionum exemplis minorcm effe quam exfpedari potcrat. Si in exemplo priori aortae cum ramis fuis, loco fub- clauiae dextrae et cnrotidum , arteriam innominatam pofueris, qua mediante illi rami ex aorta oriuntur; ratio ramorum inde cueniet adhuc minor. Nam R r r 2 circnm- §9iq DE CORDE LEONIS. circiimfercntiLi nrteriae innominntae nonnifi i8 lin. eft. Lun e 1 ig tiir 27 Iin. idemque coniur,(fliim cum lumiuijus (ubciauiuc (inidrne et aortae .dorralis. 87 lin. ad lumen trunci aortac erit vt S7: i47." vel i>(i^ + A) Ergo neque. hoc exep.plum pripvi- bus contrarium e{\. Quodfi eadem igitur ramorufn ad truiicos ratio iu Icqucntibus quoqiie aiteriarum di- vifionibus , quas non nictitus lum , obtineict , quod autcm non probnbile , quin potius impoiTibilc vide- tur , acceleratio indc cnormis euenirct , ct celcriias vix imaginabilis in vltimis ramis. Interim hoc inodo coUigamus (anguinem in kone non retardari fcd accelcrari potius , laltim in ramis , qui non ad minimos pcrtincut. Quod variationes aitinct , quae in variis Iconum fubicdis obtincre poffunt , vti iii iubicctis humanis obtinent , eas non negauerim. Scd co vsquc fe cxtcuderc pofTc has variationcs ,. vt qui rami in vno leone ad luum truncum (unt vti 1:1^ in altero maiorcs fint hoc trunco , id minimc cre- dibilc cll: ; cum eiusmodi variationcs in homine, vbi expcrtmenta rciterata exlbnt, nunquam inuentae fint> neque natura animalis cadcm manerct , fi firuclura corporis adeo vsque variarct. Neque quidquam ton- tra haiK accclcrationcm pofie , quae inter caulas re- tardantcs a pl.yfioiogis numerari fblcnt , atTriAum fanguinis , rcfiftentiam artcriarum .ctc. .facile intelli- gitur. N.im diimmodo rami coniun vcl dcriuato tantummodo languine a cerebro, diliria ec furores ci.(rint. Audaciam itaquc leonis , qua non mcdiocri gaudet , ct fcrocitatcm atrocitatciiique cx parte a cclcri lioc fanguinis mo- tu pcnderc cxilluno ; ct mcmorabile omnino eft , ipfas carotides , primarias artcrias ccrebri , adco ia- Cgniter ct prae aliis artcrii» anguflus eflc. Tab. XI. Fig. I. a. b. c. d. e. Pcricardium fanguinc diftentum. a. Vertcx inferior acutior. b. Vcrtcx fupcrior d)tufior, c. Pars antcrior , flerno contigua. d. Pars poflcrior , vcrtcbris incumbens. e. Appcndix pericnrdii , qua prima aorta ct pars artcriae innominatae inuoluuntur. /. /. Adcps fub tunica cxteriori laxa coUcAus. g.g. JMcmbrana tcnuis , rcticiilaris , qua pericar- dium diaphragmati adncditiw. h. Artcria innominata. i. Artcria (ubclania dcxtra. k. Carotis ocxtra. /. Siniflri, m. Sub- DE CORDE LEONIS. 503 m Subchuia finiftra, ;;. Aorta dorfalis , ab inflato pcricardio antrorfum protrada. 0. Vena caua fuperior. p. Vena fubclauia dextra. q. Siniftra. r. lugularis finiftra. /. Axillaris finiftra. t. Arteria pulmonalis fininra. u. Vena pulmonalis finiftra. v.w. Rami artcriae pulmonalis finiftrae. .V. z. Rami venae pulmonalis finiftrae. J. B C. Pulmo fiiiiftcr. A. Lobus medius. B. Pars lobi fuperioris , deorfum flexi. C. L.ibus inferior. D. Pulmo dcxtcr. E. Diuifio carotidis finiftrae. F - N. Larynx. F. G. H. I. K. Cartilago thy- reoidea. F. Pars , quae refert alam finiftram cartilaginis humanae. G. Pars , quae refert cornu inferlus , cricoideam compleiflens. H. Alae dexrrae pars. /. Cornu (uperius finiftrum. K. Apcx huius cartilaginis L. L. Intcrftitia replcta a mufculis cricothyreoideis. M. Ligamentum cricothyreoideum. N. Cartilago cricoidea. O. P. Q. Afpera arteria. O. Annuii cartilaginei , ( qui non integri funt ) exteriores. SQjr DE CO^DE LEONIS. P. Interiorcs , quibiis cxtciiores fqiu'.matim.incum- bunt: p vt vix intcr aimulos inta-flit.ium nietn- branaceum in parte txacheae anteriori dete- gatur. ; Q. Extremitatps annulorum latiores , et ^uac fae- pe connatae funt Tab. XII. Fig. 2, a. Cor. Eius fuperficies antcrior plana rugis tranS' verlalibus ; diftindione ventriciilorum nu.Jla confpicua. h. Apex obtufus. c. Excrefceutia practcrnaturalis. d. Auricula finittra. e. Dextra. Vtraqiie minima- /. Vena cau,i fuperior. g. Vena fubclauia dextra. h. .Siniflra. i. Aorta prima , quae bulbum efHcit. jt. Artcria inuominata. f. truncus communis. /. Artcria fubclauia dcxtra. VI Carotis dextra. n. Siniflra. 0. Subclauia finiftra. p. Aorta defccndens. q. Aorta prope diapliragma refcda. Y. Lobus pulmonis dcxtri fupcrior. , j". t. Maiius in duos fubdiuifus. i7. Infcrior. ?i'. Pulmonis Jduirtri lobus fupcrior. .V. Mcdius. y. Inferior. z. Triincus artcriac pulmonaf^. A. Artojiii pulmonalii finillra. J5. C. Eius rami. D. Ar- DE CORDE .LEDNIS. 505 jD. Artcxia pultriooiills dextrii. E. F. Eius niur. G. H Venne pulmonalc- dextri latcris. /. \'cnii p.ulmomilis finiara. K. vsque ad Q^ Larynx. K. N. Grtilago thy- reoidea. K. Pars , quae alac finiftrac refpondet. L. Eadem pars dcxtri lateris. A/. Apex , in quo partes lateralcs coniunguntur. A'^. Pars , quae cornu incrius rcfcrr. O. Cornu fupeiius rmidri latcrij;. P. Foraminulum pro vafis nutrientibus. j^. Cartilago cricoidca. ,,. R. Ligamentum cricotiiyreoideum. ^ ^. S- S. IntcrlUtia a muituiis cricothyrcoideis in fta- tn intcgro replcta. T. T. Annuli afperae artcriae cartilaginei extcrio- rcs , qui aliis interioribus , praecipue in ex- trcmitatibus fuis incumbunt. F. Tnteriores (emitcdti. JV. Exiromitates annulorum latiores. ^ ^^ ^^ X. Eacd;.m cogcretae. .,,, Z. Diuifio carotidif. .^ Fig. 3. Tab. XII. Ventricnlus cordis dexter apcrtns. -iua. h. c. d.e. Ventriculus apertus. a.b.c. Pars pa- rietis , ventriculi dextri , diffedi anterior rc- flexa. a. d. e. Huius parietis difledi pars pofteriQr reflexa,' ...Tom.XVLNou.Comm. Sss a.c. So6 DE CORDE LEONIS. a. c. Linca , qiia paries in parte anteriori fcpto aJliacret. /. Veiitriciilus cordis finiftcr intcger. g. g. Adeps , parieti , ^erfus bafin cordis externe adhaercns , vna cnm pariete diffedus b. h. Paries carno(us vcntriculi dcxiri difledus , vbi craflior cft. i.i.a. Idem paries , \bi tcnuior eft. k.l Falcicui mulculares , a fcpto in parietem tranfcunte?. m. ^eptum , eiusque pars antcrior. n. Foraminula cncca. 0. Papilla carnea fepti , ex qua filamcntum in , valuulam venolam ducitur. p. Lacertus carncus , qui in pnrtcm valuulne an- teriorem tranfic , totumque Iiuius partis la- tus dextrum occupat. p.p. Altcr eiusmodi ftfciculus carnofus , qui in partem vaiuuhie venolae pofterioreni tranfir. q. q q. Kadices hnrum fafciculorum , quibus cx parictc ventriculi oriuntur. f. Anafiomofis horum falciculorum. s. s- s. Columnae carnofae planiores et debiliores. .LX .'JkT /. /. Foucolac. 1'. Pars valuulae orificii venofi anterior , furfum flexa , vt orificium venofum et pars pofte- rior huius valuulae D. apparear. Pars cius- dcm valuulac finiflcrior rctro fcptum latet. ii\ zu. Fihimcnta huius partis valuulac , a mulcu- \o p. produda. X. In- DE CORDE LEONIS. 507 X. Interflitia intcr baec filamcnta , quafi foramiiu valiuiluc. z. Minoru eiusmodi roraminula. A. Foraminula triangularia. B. Filamentum a papilla 0. produAum. C. C. Filamenta retro fcptum ortn. D. Pars valuulae vcnoliic poflcrior. £. Pars valuulae huius , fcre annularis, media in* ter portioncm anteriorcm et poftcriorem. F. Filamenta huius partis pofterioris a mu(cuIo p p. produda. G. Pars valuulae venofac , quae carni cordis ad- haeret , et orificium venofum inueftit. G. H. Orificium venofum. H. Aditus in auricu- lam dextram. /. K. Valuula femilunaris antcrior diffedla. L. Valuula femilunaris in orificii arteriofi parte dextra fita. M. Valuula parti fmiftrae huius orificii adhaerens. N. A/. N. Bafes harum valuularum vel latera con- vexa , quibus parieti orificii adhaerent. 0. O. Margines carum liberi. P. P. Sinus inter valuulas et arteriae parietem in- tcrcepti , quo loco artcria eiiara paulo am- phor eft , vnde finus augentur. g.g. In hoc loco arteria paulo conftridior eft , et externe primum ex corde emcrgit. R. R. R. Tubercula fiuc noduli callofi , in quibus extremitates valuularum conueniunt. S. Truncus artcriae pulmonalis difiedus. Sss a T. Arr Soi DE CORDE LEONIS. T. Art:ria pulmoniilis dcxtr.'. r. Sininr.1. . . .i. fjfliaif.-io; Tab. xiir. Fig. ^'4, Vcntriculus cordLs (iniftcr apcrtns. , <7. Z7.,^inea , qua parics ventriculi finiftri cum ... lep.tc coniungitur. <-'ff.'kd Pnrics cordis porterior fcu vcntriculi finiflri. a. b. c. Scptum vna cum vcntriculo dcxtro rc- flexuin. c. d. Adeps , qui parieti vcntriculi finiftri vcrfus bafiiT externe incumbit , difTccftu?. e. e. Carnoia (ublbntia ventriculi fmiftri , vbi mi- ,. uus crafTj. /./. Eadem ^bi cradlor cfl. ■ i- g- Eadem vbi tcnuior. /'. Septnm cordis concanum. /. *•. Fafciculi mufculofi phniorcs , fcpto adnnti. /. Crafiior fafciculus mufculofus , fed planior iti- -ti-.. , .dtm , quo vcntriculi orificium arteriofum , tanquam Iphindere conflringi potcfl. < ih. n.-' Foramina caeca. 0. p. p. Craffus mufculus , qui folus fcrc rot.iin pnrtcm poftcriorcm valuul.ic venolac tuis fi- l.imentis occupat , compofnus tx dualus par- tibus 0 ct /) /), connatis. DE CORDE LEONIS. 505 q. q. Fafciciili , paticti ventriciili immifru r. Filamentum fjngukrc huius mufculi ramofum fepto immifTum. s. s. t. V. Filamenta huius mufculi in partem po- fteriorem \aluulac vcnofac inferta. c;'. Alius mufculiis valuulae venofae. X. z. Eius filamenta in partem anteriorcm valuu- lae inferta. A. B. Tertius valuulae mufculus filamentis fuis partim in antcriorem partim in pofteriorem valuulae partem infertus. C. C. Filamenta cius in partem anteriorem. D. Filamenta in partem pofteriorem. E. Vnluula orificii venofi , eius quidem pars an- tcrior. F. Pars poflcrior ; quae pnrtcs valuulae mitralcs vocari folent. G G. Valuula femilunaris finifterior diflecfla. H. Valuula fcmilunaris , quae anterior et dextc- terior eft. /. Vahuila femilunaris pofterior. A'. K K. Bafes valuularum femilunarium > quibus cordi adhacrent, L. L. Margincs carundem liberi, M. M. Sinus inter valuulas et parietem aortac jnterccpti, S s s 3 N. Ori' 510 r>E CORDE LEONIS. N. Orificiiim arteriae coronariae dextrae. O. Orificium arteriae caronariae finiftrum. P. P. Locus , \bi aorta intus prominct , et quafi piuilum conrtricla elh p. Tiibcrcula , in quibus cxtremitates valuularum coniunguntur. R. Cauirns aortae apcrtac. S. TruDcus aortae. Z Artcria innominata. F. Subclauia fuiiftra. fj^. Aorta defcendens. Adiunxi poUiccm , qiio in mcnfuris -vfus fum. irdif- OBSER- OBSERVATIONES SPLANCHNOLOGICAE, AD ACIPENSERIS RVTHENI LINN. ANA- TOMElM SPECTANTES. A 11 c t o r e ;. T. KO ELKEFTER, Ciim Petropoli olim in Acipenferis RufTici ana- tomia cdem occupntiis , ftruduram vanorum eius organorum ac vifcerum non modo plane fingu* l.irem ac mirabilem , fed noH paucis etiam mom^n* tis a conlueta aliorum pifcium conformatione mul-- tum diuerfam effe , euidenter cognoui ^ quae , cunfi digna mihi vifa fuerint , vt orbi literato communi- centur , in praefenti difTertatione obferuationes ift« fplanchnologicas quaiescunque , Anatomiae , quam comparatam vocant , amplificandae caufa potiflimum inllitutas , llhiftrijjimae offerre Academiae , casque partim copiofiori lermone, partim mera ac fuccin^fla figiiram explicatione , prolcqui, nunc mihi conftitu- tum elh Anatome Acipcnferis Rutheni , die 15 lan. mdcclix , Petropoli inftituta. Uepar grifeum, pundlis obfcurioribus confper- liim, in duodecim lobos erat diuifura quorum feptem dextra Siz ANATOME quinquc finiftram eius porrioncai conftitucbaiu. lllo- rum primus infrd lummitatcm dcxtrae portionis ob- iongam et rubacutam occurrit parailelograinus fere , pkiiiufculus , latcre exteriore , quo fcllis vericulam lambit , concauo carinatus , ac , quamuis cidcm nul- libi adhaereat , flauo tamcn bilis colore tinctus. Continuatur vltcrius infra hunc hcpatis fubftantia , ac incumbentcm ventriculi fummitatcm excipit. Fn- cie cxtcriore eadein portio latcri veficulac interno ardle adnata cft, cum c contrario continuata paiitcr, illique aduerfa hcpatis fublbntiac portio externum cius latus intcrna feu concaua fua flicic^ abique omni nexu , cingat , colore flauo paritcr imbuta. Sccun- dus lobus, fubtriangularis , fupcrficie lua interna in duas quafi laminas diuiius , qnarum fuperior , nn- guftior , infcrum veficuhie latns tangic » flauedine inde ctiam tinda , infcrior autcm , latior, cxtcric^ris "ventriculi Jatcns partcm lambit , coloris hcpati na- ^uralis. Tcrtius phniulculus, anticae pvlori rcgioni libcre incumbit , ipdimqne infcrius excip r. Qu.irtus fubulatus , tcnuis , duodcni principio , et quidcm la- teri cius cxterno , absquc ncxu, -.ipp.icatus, Quintus et infimus fitu , fatis mngiuis , lo.igus, fubtriquetrus ac leuiter acuminatus , partiin fuh extcrno , partim fub poftico duodcni Jatere coHocatus. Duo adhuc fuperfunt d.xtrae portio;iis lob' , piffis dorfum .re- fpicientcs , ac ocfophago fif-rtrati ; qiioriim inferiof fextus , maior , tenuis , fignra irrcc^ul.uis ; (cptimus denique , lub fexto fere totns rcconditur , eodcmque fitu parum (upcrior ,, ipinimus , ac tcrc fubulatus cft. AClP^NSli^IS .^VTHENI. 5;- cft. Iiucr cos lobos , qui ad ri.illiMni licp.uis pcrtio- ncm .pcrtincnt , piiauis , fuiumuatib huius vikciis oblon^iie paricer et iubacutae coiui .u;U:o , e huo rcnfim anguflior fadus , illorumquc primo , fibi ad- verro ex aitero latere, longe n.aior, Tupcr ocfophagi vciuriculum fubcuntis, portioncm (upenurcm, ip(am- quc vcntriculi fummitatcm m transucrlum maxime extcnditur. Sccundus , lungc infra hunc , acumina- tus , extremitate fua pancrcas fic didum attingit. Tcrtius ct quartus fub fecundo, oefophagi curuaturae interpofiti , paruuli : illc quidem acutus , planiufcU' lus et breuis , hic vero planus , fere circularis , obtufus , 'iftoque maior. Quintns tandem , ac omnium \ltimus, duplex, irregularis formae, anterius intcr p.increas , vcntriculi latus intcrnum et oefo- phagi flnem , in transucrfum fitus cft, Sunt equi- dem practer hos omnes pauci adhuc lobuli , intcr pofl cam (ummitatis duodeni fiiciem et oefophagi curuaturam reconditi , quos "vero , qnia minores funt momenti , ficco pcdc nunc tranfibimns. Id tanKn praetenre nolumus , quod eosdem curuaturae huic membraaa mediante duplicata, qua plurima vafa languine turgida , tam ex infiiTiis hepatis lobis , quam ex oefophagi , licnis , pancreatis, ventriculiquc fupcrficie proucnientia , fuflcntantur, anncxos videri- mus. Apcrto horum communi maiori , interno duodeni lateri , infra pancreas , adnato , expcrti fu- mus , aere furfum infiato non tantum omnia mox dicla vafa , fed ipfum etiam hepar intumuiffe. Vafa haec , pro arteriis procul dubio hab nda , per paria Tom.XVI.Nou.Comm. Ttt fere 514- A N A T O M E fere fcmpcr incedunt , venulaeque ramulum, cx lie- nali vena ortum , fingula eorum includunt. Latus ventriculi intcrnum , conuexaque inprimis pancreatis faci-s vtroque horum vaforuin genere fiuis copiofc inllruuntur , eorumque ope ardillimo cum hepate nexu coniunguntnr. Vefu-uk ftllis oblonga , bilc replctu , fubrtantlae folito crallioris , du&um cyjlkum manifeftum ex in- ferioie lii.i extrcmitate oblique dcorlum ac fmillror- fum emittit , in concaua feu interna iiepatis fuper- fieie , et quidem inter iplum huius vifceris corpus ac fecundum dcxtri lateris lobum , nudum fcre de- currcntem , et ventriculi faciei pofticae obuerfum. Oefophagi tradus adfcendens , ventriculum tiUidem fubicns , ligamcnti lati opc, c diaphragmate ac con- caua , eaque media hcpatis (upcrficie prodndi , ipG hepati adhaerct , ventriculus vero rusqiiam , nifi circa pof^icam et lateralcm pylori fac.cm , cidem arde , atlig'tur. Si oefophagum quoad extcrnam faciem a ven- triculo , qui ouatus , craffus , ac auium graniuora- rum ventriculo fimiHs efi , dignofcere velimus : omnem ilhim tradum , tam a diaphragmate , pone hepatis poilicam , eamque conucxam partem, defcen- dentem , quam etiam afcendcntcm , qui iuxta duo- denum et pancrcas efl , ilhas nomine infignire de- bcmus. Sin vcro cius hmites cx intcrna f;icic, eos- quc ad ahorum pifciiim analogiam , dcterminare nobis placcat : eiusdcm traiflus , ct quidctii defccn- dentis ACIPENSERIS RVTHENI. 515 dcntis fupcriorem et plusquam dimidiam partem, ob diuerlam omnino tam a reliqua ipfius portione , quam ab afccndcnte Ilruduram, priorcm oelophagum podcriorcm vcro ventriculum \ocare oportct. lllius cnim, (uperioris fc. partis intcrior fuperficies papillis planiufculis , fubtrianguhiribus , magnis , deorlumquc dcpendentibus , vndiquc inllruda , iiuius vero omnis glaberriir.a , rugisque longitudiiialibus, plus minusuc euidentibus notata eil ; qua in re cum aliorum pifcium vcntriculo conuenire quodammodo videtur , cum illa , oefophagi fc. proprie fic diifri portio , tcrminis fuis ab infequeute optime diftinguenda , ob papiilas partim etiam , quod prior ct ab altcra di- verfae omnino fit ftrudurae, oetbphagi nomcn potius mercatur. At cnim vero , fi quis hanc ndmittere velit dirtindionem , non videmus, quo nomine ouata ifta et mufculofa valde pars , qnam ventriculum fupra diximus , vocari poftit. Mallemus itaquG omnem illum a fluicibus indc ad ouatnm vsque ct carnoliim partem protenlum canakm, ftrudura quam- libet diucrfum , oefophagum , ouatam vcro ventricu- lum nuncnparc. Poflct etiam papiilata et albida luiius canalis pars ingluuics , laeuis vcro proprie oefophagus dici. Papillac iftae, e lata bafi in ncumen abeuntus , quo fummitati propiores , eo minores (unt intcrdum etiam , praefertim maiores , vno altcrouc denticulo quafi incifas et audas vidimus. Infimas earum , ad quinque circiter lineas vsquc , rugae co- mitantur longirudinales, illis altcrius portionis longe minorcs ac copiofiores. Laeuis oefophagi defcendentis T 1 1 fi portio, Si6 A N A T O M E pnrt'o , fcre in medio , ruminitatem tamcn rii:im •propiiis aliqiuintum, quam curuaturam, ditilum aereiun patnlo orc rccipit. Longitudb oefopha^ i dcfccndcntis tradiis 6'' erat , eorumque papillata portio syMaeuis 2I" abfoluebat ; tradus adendens , lacuis vero V' ex- acquabaT, Intcrior huius ruperficics cxalbidu c(l , rugis.iue prominentioribus, inprmiis curuaturam vcr- fus , minusque int^rruptis , longitudinalibus dillinJla anguftior quoquc parum. dcfcendcnte traclu. Cctirum annotari merctur , extcrnam oclophagi , vcntriculi , duodeni ac pancrcatis fupcrficiem colcrc e pal!i.,e purpureo nigricante , qualem etiam in Polypo cdo- podio Arilt. olim vidimus, fuilTe tindam. Featriculuf ta^flu duru?, mufcnlolis valde, tam "''quoad formam , . quam quoad lubltantiam , vt (upra iam monuimus , cum auium graniuoraruin icntri- ttilo fatis conuenit. ■' Hoc (lcunoum JonLitudmem , mediamque conuexae (acici partcm diffcclo , cralfi- "tiem fubrtantiac eius mulculoliic maxiaam , (c. iu mcd'o > fcptem circiter exaequare lineas , ac oe(o- 'phagum verfus magis , duodenum verius minus de- "crcfcere fenfim , ipfamque fub(tantiam fibrillis tcndi- nofis , albicantibus , tcnui(fimi?, ac vtplurimum ion- gitudin.ilibus , vndique pertcxtam e(fc vidimus. In- ^erior vcntriculi tunica , mufculo(-ic (ubHrata , albi- cans , Y^^ crafiii et laeuis , finus trcs notabilcs lon- 'gftudinalcs , duosque aggeres quafi , (upcrius diuiioi: , 'infcrius coniundos, ciusdemquc cum finubus dircdio- 'nis , alternatim efformat. Ipla vcntriculi cauitas valde ACIPENSERIS RVTHENI. 517 yalJc mediocris. Pylorum iniericr eins tiinica pti- ruin proloiigara contlituit. Diiodenwn teres atquc durum, Cx fecundum lon- gitudincm diflccctur , tiuplicem fotifTimum fubftan- tiam exlvbet , exteriorcm mulculofAUi ( an vafculo- fam potius vocare conuenit ? ) diamctri il/''^ y fibril- lis quc tendinofi? , minus licct , quam i\^ ventriculo , m.inifcftis , tenuiirunis , albicantibus , hinc et inde varioque modo in transuerfum excurrentibas diftin- (ftnm ; intcriorem glandnlofam , cniftitie paulo infe- riorcm ct cx ruffi> albicantem. Ipfa autem intcrior huius inteftini fuperficies innumeris foueis , quarum maiorcs reliquis proxime fub pyloro occurrunr , ex- prcfTi ct rcticulata vcluti apparct. youcae hae in fubfhntiac glindulolac profundum ducrnt , ac pcrfla- tu fingulac , ccUalarum Tub fpecie > intumefcunt. Paucreatis glandufa , fiigurne quodammodo re- niformis , ai.tica facic plana , poftica conuexa , mar- gine arcuato libero , odo circitcr crenis inaequalibus, obtufts , leuiter incifo , intcriore rediore , ad dimi- diam , camquc inferiorem partem , libero , ad alte- ram fuperiorem duoJeni fummitati , eiusdemque fi- niftro lateri arde adnato. Longitudo eius i^\ 8^^^, latitudo i-'-', i^''^ craflities autem maxima , ab exte- riore , fc. crenato margine interiorem verfus fenfim auda , lY''^ aequabar. Ad detegendam intcriorem huius glandulae conformationem , fedione per arcua- t\ marginis medium fada , eam in duo quafi hemi- fphaeria diuidebamus , codem modo , quo alias , ad ( T t t 3 nion- $iS A N A T O M E moiiftrandos dii<^us vrinarios , renes folent inddcre anatoniici , et ecce , comparuit quoque flrudura , praetcr opinioncm rcnum finillima, SubAantia cnim cxterior , quafi corticalis , firrra , vafculofa , coloris c furuo cineritii , a duoJeni exteriore non multum abludcns , ac ad fingulos crcnarum angulos , e peri- phcria centrum verfus , in dauos quafi alternatim longiores , linca in mcdio albicante notatos , ac in- ferius inter fe inuicem conucrgcntes producfla ; intc- rior autem , omnisque ea , quae intcr clauos erat intcrpofita , arcuatum pancreatis marginem vcrfus compreffior , red orcm verfus fpongiola magis , rc- ticulata , foueoiisque ac ceHulis eiusmodi , quales ia duodeno vidimus , praeJita erat. In conlpectum in- fimul quoquc vcnicbant inter crafliores clauorum ex- trcmitates (fu&us fex fcptemuc pancrentici partales , fuccum iploruin brcuifliina via iu receptaculum com- munc , fatis anguflum , quod proxime iis fubiacet , cffundentcs. Tota autcm t.im rcceptaculi , qiiana duduum horum , qui non nifi illius veluti latibula funt , interioi fuperficies reticulata paritcr , fouco- lisquG ac cellulis apertis , inflru(fla. Indc tandem liquor pancrcaticus , .1 dudu excretorio communi brcuifllmo ac ampliflimo cxccptus , ad pylori val- vulam , in finiflrum principii duodcni latus prono alue> eflFluit. Ex modo data pancreatis huius de- fcriptione patebit , fiUi eos vchcmcntcr , ()ui illud pro glanduhx conglomcrata vclint agnofcere \ nec ccnglolrata melius diccrctur , quod piurcs vno ha- bcit dudus in cauitatc fua cx:rctorios. Glandulae vcro ACIPENSERIS RVTHENI. 51^ vcro vicibiis illud fungi , nemo inficiabitur , licct ftriiduram cius aliarum glandularum ftrudurac mi- nus conucnientcm videat. Pari etiam ratione de flurionis duodeno iudicandum eflc ccnfcmus , cuius intcrior fublbnria humorcm qucndam , pancrcatiro analogum fecernit , quamuis glnndulae di(\indac in ea nusquam apparcant. Non admodum rara cll hacc ftrudura, fcd pluribus certc pifcibus communi?. Qiiod ad va[a binaria attinet ; dudus notabilis hcpaticus , fubdantia hcpatis vndiquc obtcdus , fub lobi dextri primi bafi , verfus poilicam , camque mediam , fcUeac veficul.ie fiiciem flcftitur , inde ve- ro cum eadem tunicarum ope arcfle coniundus , curfu defcendit parallelo , tandemque trium linca- rum diflantia ab eiusdem collo cyftico ducflui infc- ritur. lunguntur cidem , proxime ad ipfius infer- tionem , duo alii , direde fcre fibi inuicem oppofi- ti , alter , e continuata fub primo dextri latcris lo- bo fubfiantia ortus , defccndens , alter ex imo afiren- dcns , anguloquc acutilfimo ac communi cum priori ofiio cyfiicum fubeunt. Praetcr hos duo alii adhuc adfunt hcpatici duftus , quorum vnus , e dextrae hepatis portionis lummitatc ortus , fatis amplus , ct hcpatica (ubflantia vndique paritcr obtedus , median- tibus tunicis , cholidocho cominuni fub angulo val- de acuto adneditur , eiquc dccem linearum diflantia a pyioro immittitur ^ alter vcro , praecedenti bre- vior ct angufiior , e finiflra hepatis portione pro- veniens , cholidocho , iuxta ingreflTum eius in inte- ftiuum , iuferitur. Dudlus hic ipfe communis mox iufra 520 A N A T O Al F iofni t]iiinti hiiiiis Iv.p.uici inrcrtionenn , tacta priiis aliqua inflcxionc , intcr pylori \aUiulain (ummum- que duOvCni marginem , idem inti;u , illiusque ad oram polUcam (ub papiilae ulbicautis fpccic , orifi» cioque anguftiflimo , iutus prominct. Cctcrum in- ternam omnem valbrum horum biliaiiorum fuper- ficiem Licuem atquc politam , nec nifl ad dudus hepatici quinti oflium foramiuula nonnulla caeca , quae \ahiularum fortc vlces gcnere pcfl^iint , obfcr- vauimu^. Dudus hepatico-cyflici cmnino nuUi. Reliqua , quae ad ahorum organorum flruduram fpeftant , tx fcqucnti fi^urarum explicatione pe* tenda. Explicatio Fignranim naturali magmtudine dclincatarum. Tab. XIV. Fig. X. Cor , cum aniicxis fibi partibus , poftica facie cxpofitum. A. Cor. B. Bulbus Aortae , obfcure rubcns non albicans vt alias cfle folct , ncc aortae continuatus , fed propriis liinitibus ciicumfcriptus , ac tam fubftantia , qnam colorc cordi fuccenturiato externe fimilis. C. C. C Auricuhi cordis trilob.i. D. Trun- ACIPENSERIS RVTHENI. 521 D. Truncus venorus , ex vcnae c3uae fuperioris .10 inferiorib coniuncftione ortus. d. Auricu- lae Ipccies , ei adnexa j an fantjuinis recelTus aut diucrticulura ? E. Oftium canalis , diaphragma pcrforantis , ve- nofum , trunci vcnofi ortio angul\ius. F. Oftium canalis venofi , diaphragma perforan- ti3 , maius, G. Sinus venofus , Cue receptnculum Verneia- num , confluxu trunci D, caualiumque ve- noforum E et F oriundum. H. Aorta. «. Lobulus oblongus , membranaceus , tenuior , bulbo aHnatns. /3. Lobuhis duriufculus , ex altero latcre bulbi bafi affixus 3 minor, bulbo ipfo parum pal- lidior. y. Lobulus duriufcuUis, altcrius lateris , bulbi bafi affixus, maior, eiusdem coloris , ac prior. $. Sacculus auriculae trilobae. £ — £. Lobuli vel prominentiores , vel cordi pro- fundius immcrfi. ^.^.^. Venulje, diaphragmate in cor abeuntes. 0/^/! Aere , fiue per aortam , fiuc per vena- rum antrium impuKo, tam auncula et cor , quam aorta etiam , femper fi nul in- tumefcunt ; vakilarum itaque praclentia eP fedum hunc impcdire nequit. Tom.XVI.Nou.Comm, Vvv Fig. 52Z A N A T O M E Fig. 2. Truncus vcnofus ( Fig. i. D. ) cum auricula fua (Fig- I. d.) ci canalis \enoIus , angii(\ior ( Fig. 1. E) diaphragmaticus , diffedi, \t Reccptaculi Vcr- neiani interiora appareant. A. Oriium in Auriculam cordis patens, B. B. B. Trunci venofi et canalis diaphragma- tici partes dilTccftac. C. Auriculae minoris , trunco vcnofo , fub fac- culi fpecie , appcnfac , facics intcrior , reticu- lata , tendinofisque trabeculis nltruda. E. F. G Auricula cordis triloba ; \bi G (accu- lum Fig. 1. lub lit. 5" infignitum , denotat. Obf. Ad venae cauae fuperioris coniundio- ncm cum inferiore \aluulac duae, fibi in- vicem oppofitae , confpicuae occurrunt. Fig. 3- Trium auricnlac cordis loborum ficics intc- rior. A. A. Oftium amplum , cx Auricula in cor. B. Vnus auricuLic Iobus(\id. Fig. z. E.). C. Altcr lobus facciformis. D. Tertius lobus. Fig. 4. Cor fccundum longitudincm difllclum , \t \cn- triculi intcriora in coiiI]K!H€ ( 0 ) ^?-> 53 s SALMO LEVCICHTHYS ET CYPRINVS CHALCOIDES. DESCRIPTI. A u c 1 0 r c A. I. GVELDEN STJEDT, Marc Cafpium piicium quantitate omnino abun dans , magis indiiiiduoiam copia , qiiam Ipc- cierum varietate fuperbit ; hacc enim ad decades quatuor \^ix acccdunt. Plurimac harum Europaeaa et aqunrum dulcium funt. Ex Cyfrinorum genere inucniuntur: Barbiis ^ Carpw ^ Gobio ^ Tinca ^ Caras^ fvds , Kutihis , Idus , Orfin , Erytbiopibalmus , lcfes , Nafus ^ Alpius ^ Alburnus , Vijfiba , Brama^ Culiratus^ Bioerkna , Farenus , Ballerus ; quibus accedunt Efox Lueius , Sahno Salar , Sdurus Glanis , Cobitis Tae- nia et Barbatula , Pcrca Cernua , et Fhatalilis et La- cioperca ^ Gadus Lota (quae nomina ex J^V//. XII, Sr/l- Nat. Ilhtjir. Equ. avr. a LINNE intclligcn- dn). Agmiiii huic iungitur genciofii Acipenferuni gens , cu:n vulgo pifciiius a-fnuirer.inda , corpors molc fpeciola , indiuiduoriim copia immcnfi , fpc- cicrum numero minus nota. X X X 2 Nam 53« SALMO LEVCICHTHYS. Nam practer Hufonem , Sturmem ct Sterletm RuJJbnim , qiuie Acipenjer ruthenits LlNNAhl , (,c- currunt duae ab liis diucrlae (pecie^ , quarum \na Seuruga , altera Schypa , et a RuJJis et a nobis tri- vialiter appellatur ; quae certe omncs inter le valde afiiiies et aegre , a numero partium vix vnqiiam , dillinguendae. Numerus enim radiorum pinnarum \ix diffcrt in huius generis natnraliilimi fpecicbus , et , fi differat , nnnquam cnm ccrtitudine detern:i- nes 5 et cirrorum numerus in omnibus quatcrnus ; iiumerus autem fquamarum mainrum tuberculolarum in lineis ordinatarum equidem diuerfu^ , (ed min me conftans eft , quae inCuper in omnibus aetate pro- fedis obfoletae euadunt , ita vt nec pracfent^a vel abfentia tuberculornm fpecies didingnat. Capitis par- tes notas diffcrentiales haud infrequentes et conCan- tiffimas larginntur. Quacriuimus igitur , 7// K RA- MERI , dc animiilibus Au/lriacis meritiflimi , \e- ftigia prcmentes , notas fpecificas, Primarias ex ro(Ui figura , eiufdcmque ad oris diamctrum pro- portione , Cecnndarias ex labiorum figura e»- fitu cirrorum ad roftri apiccm et oris riduin relatiuo ; ex.nde nobis. Hufo : Acipenjer rofiro obtufifllmo , oris dia- metro longitudine ccdente ; cirris ori propioribus ; labi.s integris. Sturio : Acipenfer roftro fibtnfo , oris diametro transncrfo longitndmc acquali ,• cirris roftri npici pro- pior.bus i labiis bifid.s. Scbuba : SALMO LEVCrCHTHYS. 533 Schvpa : Adpenfer roftro obtulo, oris diaTietro quo!\d vnain tcriiam partem loiigiurc j cirris roliri ap.ci propioribub j labiis bifiilis. Sterkta: Acipenfer roflro fubulnto , recH^o, dia- rrcrro oris quadruplo longiore i ciins vix ori pro- pioribu>> ; labiis intcgris. Sewuga : Acipenfer roftro fpatulato , fub re- curuo , diainetro ons trans-vcrlo kxtuplo longio- re ; cirris ori piopioribus j labiis integris. Quorum tr>ae;nitudine Uufo primus , non raro nouempcdalis ; Sturio (bcundus , plerunique (expe- dalis ; Scky.a et Seuruga fubaequales , vix qumque pedaks ; Sterleta tandem raro tripedalis Sufliciant fpecifica haec Acipenferum nomina , donec plennriam horum hiftoriam loco opportuniori communicaue- rimus. Denominnndi reflnnt duo JVIaris Cafpii ciues , plane indigcni et lchthyoiogis minus noti , qui no- bis , ahero Sahtionibus , ahero Cyptinis , (ecundum principia Uluftr. Equitis aurati a LINNE in iyftenia- te Naiurae llabilira , adfociato , audiunt : Salmo Leucichthvs et Cyprinus Chalcotdes \ vtrumquc ntc delcribamus, SALMO LEVCICHTHYS. Statura et Magnitudo Sahionis Salaris LIN- NEI fcu Salmonis ptimi ARTEDU , qui Salwo cW- X X X 3 garU 534- SALMO LEVCICHTHYS. garis omnium audoriim , ita vt huius icones ctiam Leuckhtbydit ideam fat claram fiQant. Caput et Corpuf oblongum , parum comprcf- fum , extenfione ab apice roftri ad caudam \sque re(fta , plane non adfcendente ; hinc omnis latitudo pifcis ab abdomine modicc deorlum arcuato ; habitus fquamofus et malacopteryeiius. Ro/Irum obtufifllmum : manclihula fupcrior la- tilTima , integra , reda i inferior adlcendens , fubco- nica , apice tubcrculolo ante fuperiorcm promincns ; vtraqi*^ edcntula , ricfus tcrminaiis , ampliflin :us , quadratus ; Imgua triangularis , fohita , fubafpera ; oris cauitas a!ba immacuhita ; paJatum l.itum , phi- num , antrorfum vtrinque fubafpcrum denticulis mi- nimis , tacflu , non vifu , pcrcipicndis ; mres me- dium intcr rollrum ct ocnlum occiipnntcs , ;»pcrtura vtrinquc gcmina , nngurta ,• ociili hittrales , hbcri , ampli , iridc argcntca , punduhs nigris irrorata. J^ertex fi)rnicatus , nudus , ghiberrimus, fubdia- phanu'^ , hyaliiio - fulcus ct nigro pundatus. Bramhiarum op.ercula ex quatuor himinis ofl^cis conflata , comprefl^i , argentca ct puncflis nigris irro rata ; Mcmbraiia branchiollega alba , decem radiata , oflicuUs diitinft.flimis , latis , parum arcuatis. Branchiae vtrinque quinque ; rod i in anguhim valde acutum gcnicuhiri ; in partc conucxa quatuor anreriorum plumae duphccs et laxifllmac, qiiinto in ipfis fiiucibus obuio, nudo ; in partc concaua primus fccun- SALMO LEVCICHTHYS. 537 fccundiis ct qiiintus apophfium keuium longifllma» rum \nico, tertius ct quirtns duplici ordine inlUudi, podcrioribus in tcrtio oWolctiffimis , in quarto fat cmini-utibus. Dorfitm latifllmnm , \biquc conucxum ; 'jcntef a bmnchiarum foramnic ad pinnas \cntralcs planiulcu- lus , ab hinc ad eandem fat conuexus ; latera plano conucxa , linea lateralis reftj, dorlo aliquantum pro- pior quam \entri , dorloque parallcla ; fquamae pro molc pifcis haud adco magnae , fubrotundae , imbri- catae , laeues , \biquc argenteo fplendore nitentcs, in dorfo a muco cutaneo fub fquamis nigro canefcentcs, pundis nigris \bique irroratae , fed in \entre im- maculatae ; anus caudac multo propior, quam capiti, proxime ante pninam ani , apertura duplici. Pinnae dorfaks duae, prima \era in mcdio cor- poris fita , pinnis \entral bus tantillum anterior , ex albicanti pundis nigris fufcefcenb , radiis quindecim , quorum quatuor primi intcgri, reliqui apice ramofi, primus minimus ; fecuuda fpuria , adipofa , craffa , lubJiaphana , hyalina , pundis nigris adfperfa , in- tegra , parua , pinnae ani oppofita. Vinnae peCtoraJes acuminatae, albae, pone bran- chiarum foramen fitac , radiis quatuordccim , primo intcgro , reliquis ramofis. Vinnae 'uentrales in medio abdomine , pone pedloralcs fitae , rotundatae , albae antrorfura fufco puadatae , jradiis \ndecim , primo integro j accedit fupra 53<^ SALMO LEVCICHTHYS. fupra biCm harum pinnarum apophyfis triquetra acu- jniuata , cartilagincii. Pinna o«/ dccrefcen?, rubicunda, fufco-maculata, radiis qu.uuordccim , primo brcui , fubadipolo , fi- mul cum kcundo , longillimo et intCijro , reliquis ramofij. Caiida pcrpendicularis , fcmilunata , fubadipofa hinc radii acgerrime numerandi , qui infuper ramo- fiflimi ad bafm fere vsque , ni fallimur , \iginti feptcm , a longidimis extimis num.erandi. Magnitudo tripedalis vulgo , non raro vltra. Difiwfiones partium externarum fccundum pedem Londinenfeni ita : Longitndo ab apice maxillac infcrioris adpoH fuperiorem ab apice maxillae fuperioris ad nares • ad oculum — — ad foramcn branchiarum , ad pinnac dorf i"^^ initium ■ fld pinnac dorf. i°^ extremum ■ ad pinnae dorf 2.°' initium ■ ad pinnae dorC 1"^ cxtremum — — ad caudae radicem • ad caudae cruris fupcr. apiccm ■ ab apicc max.llae inferioris ad pinnn rum pcdloral. rndxcm ■ ad pinnarum pcif^or. apicem ad pinnarum vcntral. radicem Lon.iii- poll h'n. — 4. a. 6. — 19. 6. 23 6. 3 -• 8. 3 4- - 37. 6. +3 9- 9- - '4- — 20. 6. SALMO LEVCICHTHYS. 537 poll.Jlin. Longitudo ad pinnarum vcntr. apicem 25. . ad anum - - - - - 31- . ad pinnac ani initium 31 4-. — ad pinnae ani cxtremum 35 lo - — ad caudae radicem 39. ad cruris inferior, caudae ap cem ^1-5. Diameter ridtus oris aperti pcrpendicularis 3 | 4-. transiierfalis - - 2- 8. incer nares - - - - - i. capitis perpendicularis inter nares - 2. intcr oculos ----- 2. capitis perpendlcularis intcr oculos - 3. oculorum - - - - - — to intcr lineas lateralcs ad branchiarun foramen 3. 6. corporis perpendicularis ibidem - - 5- <5 intcr Ineas laterales ad piiinas ventrak^ 3. corporis perpen .iculans ibidem - - 6. intcr Iineas laterales ad anum - - 2 • corporis perpenJicularis ibidcm - - 4. intcr I ntas lateralcs ad caudam - - i — — corporis perpendicularis ibidem - - 2. corporis perpend. maximus inter pin- nas Pcdl. ct Ventr. 6. 6. — — transuerfalis max mus ibidem - Pondui PKcis dimenfi adacquat ododecim libras medicinales. Cor fat magnum , exadle pyramidcm trique- tram referens , carnofum et lUidum, bali antrorfum Tom.XVLNou.Comm. Yyy fcu 533 SALMO LEVCICHTUYS. fcu furriim fpcdlante, fuiiflrorfum aorta Bulhta, dex- trorlum auricula amplidima auda. Diaphragma mcmbraiiacco-tendincum , peritoneum album. Hepar Litnm , quadrangulum, intcgrum, brun- neo-lutercens , diaphragmati adiaceiis, angulo finiiiro aliquantum defcendens ^ vcficula fellca ampliHinia, (U- pcrticici infcriori hepatis adhaerens et ad marginem anteriorem proininens , bilc atro-vircnte fcatens , \ifcera adiacentia inquinans'. Lien triangularis , latus , \ix hcpati minor , atcrrimus , in medio fere veutre, ventriculi flexurae adnexus , extrcmitate fuperiore fubbifida. Ocfophagus fat amplus diaphrngmatc pcrforato continuat in vcntriculuin ncc cartiia diftiiKflum , nec ampliorcm, qui rcc^ia pi.r i?. polliccs ad mcdium fcrc abdominis dcfcenfus rccuruatur , et per 5. pollices itcrum adicenfus fpin^fleri. pylori conthingitur ct abit in intejlinum , (juod dum longitudine 5. pollicum abloluta ad hepar pcrucncrit iterum reflcditur et per 1(5. polliccs ad anum vsque recla procedit , diamctro vbique aequali, vcntriculo dimidio angulliore procejfus vermicalarcs cacci , numcrofidimi , adipe in- tricati, omncm inteflini pcriphcnam a pyloro vsque ad flcxuram obfidentes , po(t flcxuram iii partc de- fcendente rariorcs et n\ vno tantum hitcrc intcdini nec vltra rcgioncm pyloro rcfpondentcm obuii , in- tcrne in intcftinum hiantcs,- quod intcrnc a lumini- bus hifco approximatis quali cribroluiu ct nnico tenuis- SALMO LEVCICHTHYS. 53^ tenuifllmo nlbido fcntcns , abhinc obfolete longitiidi- nalitcr ct tnndcm aliquot polliccs ante anum trans- \cr(alitcr rugolum ; vcntriculus intcrnc longitudinali- ter rugofusi , valuulis emincntiflimis redis atquc annulo parum cminenti ad pylorum terminatus. Ouaria duo , limplicia , pcr totum abdomcn ad liucra veflcae acreae vtrin(]ue dccurrcntia, obfcurc rubra ; 'veficuke fpcmaticae his analogae , albae. Vefica ocrea oblonga , amplifl"ima , fimplex , per totum abdomen ad fpinam dorfl decurrens; duCtu pnewuatico breui , fed amplo ab oefophago ad extrc- mitatem fuperiorem veflcae abcuntc. Renale i-ifcus' fanguinolentum , ad fpinam dorfi lutiflimum. Caro cruda rubicunda , coda alba omnino , cleofo - pinguis , fapidiflima , praelertim fumo in- durata et tunc fahuonem vulgarem et gratitudine et dulcedine muUoties cxfuperanfe , hinc merito in lum- mis pcr Ruffiam deliciis , menfis principum dicatis. Coitum cclcbraturus adfcendit e Mare Cafpio Ifolgam nciiflbus hicmalibus , rcliqua mare hoc pe- tcntium fluuiorum oflia omnino practeieuns , ex- ccpto Liico fcu Rhymno. Pcr R ffiam appcllatur Belaia Rybyza (efeAaa pMSijia) i. e. albus pilcis ; inde noiTicn triuiale 110 ■ ftrum , naturae pifcis conuenicntiflunum. Y y y 2 Ncml- 540 SALMO LEVCICHTHYS. Keminem dubitatiirum fore confidimus , quod pi(cis nunc l.u fu(e dclcripius Salmonibus LlNNAEI iure adfociatus fit , qui ad Coiegouos Artedii pcrtinct, atque propter maxili:is edentulus et intcrio- rem pro Coregono primo ArtediI et Sahnone Ai' bula LlNNAET haberi poflct , nifi magnitudo et reliqua non pauca aducrfirentur. Ad remoucndam hanc ambigiiitatem notis hifce fpccificis , radiorum membranae branchiodcgae numerus addendus eft ; fit igitur. Leu:ichtby s'. Salmo maxillis cdentulis, inferiore longiore ^ radiis menbrnnae branchioikgne decem. Albua : Salmo maxilHs cdcntuUs, infcriorc lon- giorc ; radiis membranae branchiolkgac (eptem. Synonjma cum vcri fpccie nulla cx ArtediO, qui vnicus lchthyolo>/orum indar omnium in pcrc- grinatione aJ manus c(l , Leucichthydi vindicare pos- fumus: hinc pro pifce nouo Mari Cafpio proprio habcmus. Accedamus ad focium , qui, CYPRINVS CHALCOIDES. Statura Clupeae Harengi^ cuius dariorem idcam icon magnitudincm naturalcm exprimens fiftit. Corpus comprcffo - oblongum , fquamofum ct malacoptcrygium. Caput comprcfnim , acuminatum ^ imndibul- liis hifce maris Qafpii , ad JVolgae et lerek fiuuii oft a iuflu lAirERATRlCis et AcADEMIAE ad in quircndum concrediia , colkdis vti. KRA- 54-3 ->^:^ ( o ) ?.-s|<* K R A S C H E N I N N I K O V I A , NOVVM PLANTARViM GLNVS. A u c t o r e A, L GVELDENSTAEDT. Corpora omnia \iua ct organica arcftiirimo affini- tatis vinculo intcr (e coniunxifTe lummum re- rum conditorcm , latis (uperque patct natur;ie con- fultis , omne in eo conuertcutibus , \t hngula cle- gantiffimae huius concatcnationis membra pcrlpiciant. Horuui induilria , quac intermcdiam Zoophytorum naturam rite determinauit , hidum cft , vt aliemfli- ma , animalia nimirum et plantae , fratres gcrmani euaRrinr. Sed dantur adhnc hiatus (at ampli intcr ordines chidinm et an pliores intcr gcncra ordinum, non culpa n.iturac , fahum fliccre nciciae , fed co- gnitionis noHrac , tcmporis bcneficio amphficandac , tcnuitate , qua in tanta rerum naturalium copia et inuc{^igiUorum inopia non pGffLimus non hucus- quc hiborare. Hinc Hiftorici naturalcs , pracfertim Eotanici , fyftemati naturali indulgcntes , nonnifi fragmenta ordinum propofucrunt . quac faepius man- ca funt, fiiepius nimis diucrfii coniungunt , ob dcfi- cicniem fpecierum notitiam ,• quarum fi pUires no- tae cuadunt , ordines faepe coalcfcunt et gcncra , quae antea ftrc diuerfi ordinis dixifTcs , intermediis nouls (at arde combiuantur. Vcritas KRASCII.V. NOV. PLANT. GENVS. 54^ Veriras didi clucct , fi , vt rcliqua taceanius , ad ordiuem XI.'. fyile-iiacis nutunilis , quod ///. E/u^s auratus a LlNNE iii Editione fexta Generwii platitayum propoluit , attendcre \tlis. Conucnics equidem nobilcum Lauruni et QaUitricben toto coelo, \t aiuct , dillcrrc ; attanicn quacdam communia habent , vt nou absquc rat.one eidcm ordini Inlcran- tur , ct forlan dies fero ver.icns, plantis inttrmcdiis detectis , maiorem afHnit.item reuelabir. Qbem;odii , Atriplitis et Ceratoearpi facics externa vix rcpugnat , quo minus eiusdem ordinis natiiralis haec gcnera habeas , quibus Vrtlca non iuepte ailfnciari poflit. Sed eadem haec facics et partium flrudura indicat gnaris , plantas alias adiiuc l.itv.re , quae ad integri- latem alHiiitatis fcalae. reqiuruntur, Ad hiatum luinc aliquomodo implendum in- fcru't planta hucusque minus cognita , quae nobis per campos Tanaicenfes et Wolgcnles peregrinantibus obuiam init; Qeraioidcm orientakm frutkojam , Elaea- gni folio TovRNEFORTIl (vid. corollar. p. 52.) vo- lumus , cuius paitiinii friidificationis cognitione et dcfcriptione omnino carcnt Botanici ; hinc fiidutn eft , vt ab illis vage huc indc relata fit. ToVRNEFORTIVS, qui omnium primus plan- tam in Or.ente ledam propofuit , cum Qeratoidi orientali niaiori et niinoyi , aunua , Pfyliii folio , fju cum Qcratocarto BvXBAVMTI et LlNNEI eius,dem geiicris e(I"e putauit ; Stellervs , qui eam in cam- pis Sibiricis inuenit , nunc ad Blitumy nunc ad Caw- Z z z 3 pbora- 550 KRASCHENINNIKOVIA phoratam retulit ; LlNNEVS priiis Vrtkae , nunc Axyridl fldnumerauit ^ GmelINVS tanaem , monitis Linneanis (cqueiis , panier Axyridi adlociauit in Flo- rae Sdvricae Tom. III. p. i8. r;ft (empcr dubitan- tcr; hinc /. c. ait: 'quouis modo in ftruduram par- „tium ad florum ct fruduum formationtm Ipecftan- ,,tium , diligenter inquifiuimu^ , fed , quod candide „fntemur, nihil diflincfli , oculis licet armatis vten- „tcs, clicuimus , vt de characfttre generico certi „quid profcrre nondum liceat. K. SlELLERVS ni- „hil quidqunm feminum dctexit , tria tantum fta- „mina in fingulis floiibus fibi vidifTe vifus efl ; du- „bitat autem , an non imaginatione tantum eiusmo- „di ilii fbrs cont)gerit„. Pl;intn Tiun in folo nntali florente a nobls examinnta , ccrto ccrtius conflat , quod non folum StELLERVS , f-d tt omncs rtliqui Botanici , huius plantae mentionem ficientcs , errauerint , cui cum Axirjde \ix \Ha , cum AiripHce ct Vriica haud pauca ct cum Qcratocarpo adhuc plura communia funt. Florcs plantae i^oilrae cum chnradcribus ho- rum gena-um , quos ///. Equet a Linne in editio- ne fexta gcnerum planiarum dedit , confcrenti , flatim pntct , quod nuUam liorum intrarc poffit , fcd po- tius genus proprium conf^ituat , omnino intcrmc- dium inter Airipliccm , Vrticam et Ceiaiocarpum, cum his fimul in ordinc fupra citato naiurali Ho/oracea- rum militandum. Genus NOVVM PLANTARVM GENVS. 5Si Geniis hoccc iioimm (alut.itiir a nobis : Kra- Jchcninmknuia. Sacrimi cmm efTc optamus manibus SrFPHANl KRASCHF.NINNrKOVII, lucmbu Illu/IrJf' Jiinac Acacimute ^ccniiarum Iinpcrialis Pctropoliianas quondam di^mdiaii , Botauici c RuJJIca gcute pri- mi , improbo itinerc Kaintlchatico , quod hifloriae naturalis gratia iniit , ftdula Florae ingricae conlcri- ptiouc , quam Penll. de GoRTER , ceu opus po(l- humum edidit , atque eruditis \ariis diflcrtationibus quas Commentarii Velropnliiani continent , otbi litte- rato (atis (upcrquc noti atque dc nobilifTima noflra fcicntia , quam proftfliis efl et cgregie auxit , mere- tiilimi ; acquum igitur effc putauimus , \t haec ipfa mcmoriac Viri optimi , praccaci (ato dcflorati , mo- numcnta ponat , licet non acrca , led lignca , iis ta- nicn pcrcnniora. Krafckeninnilouiae cliaradcrcm genericum ad naturae nutum concinnauimus (cquentcm : Mafculi jlores fubamcntacci ; CALYX : Perianthium tetraphyllum , pcrfiftcns ; fo- liolis aeqnalibus , ohtufis , concauis , in glo- buhim conniuentibus. COROLL: nulla. STAMINA : JilaJiienta quatuor , capillnria , thalamo inlcrta , foliolis calycinis oppofita , corum- quc longitudinc ; anlhcrae fubrotundac , di- dymac. Fminei Jlores in eadcm cum mafculis planta; CALYX; 5^1 KRASCHENINNIKOVIA CALYX : Perianthhim monophylliun , vrccnlito- compreirum, liilco vtrinqne cariiatum, ("ub- bifidum ; laciniis conuno- eredis , paralleli» , tunulofo-concauis ; fauce inti-r laciniarum fi- num angulliliinia , perturata. COROLLA nulb. PISTILLVM.: germen ouatum, fupcrum; /?i7//x flm- plex , per taucem perianthii trauieunb j Jhg- mata duo , capillaria , reflexa, PERICARPiVM: Cahx d latatus , ampl firatus , fe- men in fiuu fouens et vndiquc tei^ens. SEMEN vnicum , ouato-comprcfTum, arillo lixius- culo veftitum, quo defrado extrcmitares duae deorfum fiexae et approximntae lccelunt , vna acuminata et intcgra , alti.ra obtufa in duo labia dchifcente. Krafcheninnihuia igitur fyflcmatis Linneani Mnnoeciae Tetrandriae , po(l Vriicam ; fyltematis Gltcfufehiam Thalamollemonibus Tt-tranthcri^ , flori- bus fimplicibus , apctah^ , hypocarpiis, poft Frticam; fyftematis Ludiiigiani Rclatiuis Mnnophytis , apeta- lis , p()(\ Ceratocaypim , fydematis 'iournefoniani hcr- bis ct (uffruticibus ftamineis , quorum piltillum abit in femen calyce obuc^titum , poft Atrij licem ; tt fic rcliquis audlorum (yftcmatibus plantarum infcrcnda c(L Mirnbunnir firfin Iccftorcs , quo^t tanta intcr Krafchnnmikouiam et Ceraiocarfum antea praedicata lit NOVVM PLANTARVM GENVS. 553 fit affinitas , qiiam vix inucnient conferentes cha- raderem Ceruioiarpi , ab UL EquUe a LlNNE /. c. tniditum , cuTi Kralchcmnnihuiae charadere nunc exiubito; led (ji.rincnt ijurari ccrtiorc!» fadi , chara- d:crem Centocarii huc v^que notum minus naturaa conlentaneum e(fe. En ! retormatum : Qeratocarpi mafculi fiores folitarii , fparfi ; CALYX : perianthium monophylkim , cordato - tubu- lofum ; limbo poflice acuminato, antice femi- lunato, integcrr.mo. COROLLA nuUa. STAMEN : filamemmn vnlcum , capillare , vix tubo perianthi' longius , thalamo infertum et fun !o calycis adghitinatum ; anihera di- dy.T a , citda , \hra calycis limbum pro- niinens, Veminci fiores in eadem cum mafculis planta; CALYX : Penanibium monophyllum , cordato-com- prcflum, ncruo vtrinquc cminenti carinatum , fubbifidum ; laciniis fubulatis , diuergentibus ; fauce inter laciniarum fmum anguftiflima , rimam referente. COROLLA nulla. Tom. XVL Nou.Comra. A a a a PIS- 5H KRASCHENINNIKOVIA PISTILLVM : germeii oblongum , fuperiim ; Jlyli et Jligmata duo , cnpil aria , per faucem caly- cis tranlcuntin , patentia. .PERICARPIVM : C^/^v maior , figura immutata , femen in finu foucns et vndique tciiens. SEMEN oblongo - comprefTum , infcnie angufiius , fundo calycis adhacrens , aluis liberum , arilh laxiufculo vcfiitiim ^ quo detracfto extremita- tes duae deorlum flexae et npproximatae fe- cedunt , vna acuminata et intcgra , altcra obtufa in duo labia dchifcente. Ita partes frudificntionis Ceratocarpi Bvx- BAVMII in fblo natali arenulb - argillofo campoium apricorum tanaicenfium , woigen/iwn et tereicienfium a 54 ad 43. gradum latitudinis frequcter crcfrentcm ct laete pcr acftatem florcntem vidimus , multotics examinauimus , fedulo dcfcripfimus ct pingcrc cuia- vimus. Patet nunc fole meridiano clarius ex hoc ge- miino Qeraiocarpi charadere , fumma afTinitas Kra- fcbeninnikoulae , propter partes fcmineas fimilUmns. Florit us autem mafculis genera hacc duo d;u(.r(i(li- ma iUnr ; his eniin nccedit Krn/cbeninnikoiiia ^d Airi- plicem et propter numeri partium conucnicntiam magis adhuc nd Vrticam , a quibus attamen proptcr florum fcmincorum tlrucluram ncceflario fepdrandn. '''■'■"' ^'- '^ Planta, NOVVM PLANTARVM GENVS. 55 S Planta , qiiae nouum nunc fat ample determi- natum getrus conftituit , nobis audit triuialiter : Krafcheninnikouia Ceratoides ; cuius fynonyma funt fequentia : Ceratoides orientalis , fruiicofa , Elaengni falio TOVRNEFORTII COrolL p. 52, Vrtica foliis lanceolatis , femininis hirfutis RoYE- Nl Lugdb. 210. Axyris foliis lanceolatis tomentofis , floribtis fe^ mincis lanatis LlNNEl Spec. Plaiit, edit> 2. p. 1389- Axyris fruticofa , foribus femineis knatis Gmelini Flor. Sibir. Tom. III. p. 17. Blitum arborefcens incanum , LauerduJae folio Stelleri Flor. Ircut, 'j6y. fecundura Gmelinv^M /. c. Qawphorata , fpecies alia hirfuta et lanuginofa Id. l. c. IJ50. fcciindiim Gmel. /. ^. _,. Reftat , vt trndatur concifii Krafcheninnikouiae Qeratoidis A a a a a DE- SSS KRASHENINNIKOVIA. D E S C K I P T I O. RADIX lignola , ramodi , p^-Uce crafllor , pede profundius delcendeiis , pcrcnius , pro plantac ratione fat inagna. CAVLES plurcs , diflTufi , fubprocumbentes , fuffruticofi , terites,. pcnna anlcrina tcnu.ores , v;x tripedales ; feniores corticae (ordide cincreo ct fiflb ob-iudi , ramofi , ramis virgatis ; iuniorcs fimplices, inferne glabri , pallide nitcntes , a tuliorum lapla cicatrilati , ruperne lubuillolb - incani. FOLIA altcrnatim confcrta, lanccolati, vtrin- que attenuata , floralia fcre Incaria , intcgra , mar- ginc fubreflcxa , nonnunquam kuiter vndulata, fupra oblolctc trmeruia , infra a colta prominentc parum carinata , vtrinque , fcd inferne magis , incana , (ub- petiolata ; petiolo bafi diiitato fafciculum foliorum axillarcm faepius amplcxante. FLORES axillarcs, fcfl"ilcs , in fpica intcrru- pta terminali , vcl fimplici , vcl fpiculis brcu.Lus lateralibus lubraccmola diipofiti , mouoici. MASCVLI flores in caulis ct fpirularum ex- tremo confertifl"imi , minimi , ftrc gr;inulati , quo- rum perianthiim tetraphyilum , pcrfiflcns , cmarci- dum , fbliolis minimis , concnuis , obtufis , in globu- lum couniucntibus , txterne intcrncquc tomcnto bre- viflimo NOVVM PLANTARVM GENVS. 557 TiflTimo fubfltllato feii radiato oblitis ; filamcnta qua- tuor , capillaria , brcuiiruna , vix viira culyccm proniincntia , thulamo toliol.s calycmis oppofita iii- inlcrta ; antherae (ubrutuiidac , didymac , lutelcentes , polline glubulolo factac \ pijiilli rudimciitum nuUum.' FEMTNEI flores infra marcufos , rariores ct maiufculi ; horum perianthium monophyllum ,, vr- ceolato - compreffiim , llibbihdum ; laciniis cornuto- ercdis , parallclis , tubulolb - concauis ^ fauce inter laciniarum finum anguflifiima , perforata ; fiiperficie intcrna laeui , extcrna tota tomento breuifiimo, fiel- Jato obfiti et practerea, ad fundum viUis capiilaribus, quadrifarie ad angulos pofitis et: perianthio longitu- dine acqualibus oriiata ;, futura; vtrimjue ad plana pe« rianthii confpicua,, lulcata', diioc quafi foliold calycia- miituo confmigente ,. Ctd adecr firmiter , vt meuti- qnam absque dihiccratione fccediJnt , hinc calyx oinnino monophyllus ; germen ouatum , villofiim ,. fupcrum , er totum a perianthio- te(Sum r ^ed vndi- q.uaque liberum et non nifi fundo feir potius thaJa- mo adhaerens ; fiylus vnicus , nibens , per faucem- pcri.uuhii tranfcuns; fiigmata duo , capillaria , reflcxa, rubcntia y ipfo apice lutea et pubcfcentia ;, pericarpii \icibus> fuogitur calyx quadruplo maior ,. fubinflatus , fuice -vix peruia et villis fundi valde elongatis ; hinc fpicae in planta frudificantc villofifiimae , (eticeo- nit'jnres ; femen- ouato - comprcfTum , extremitate tenuioxe thalamo adhaerens , ceterum ia calyce A a a a s omning 5 5 8 KRASCHENINNIKOVI A omnino liberiim ncc vllibi adnatum, ari/h ]ax\uku\o et villolo veltitiim , quo dttrado extrcmitates duac , quae deorfum flexae ct approximatjc crant, lecedunr, vna acuminata ct integra , altcra (ibtufa in duo la- bia dehifcente. [ Strud:ura feminis accedit ad SalfO' hm ; tunica enim communis , quae (cmen fpiralitcr contortum continct et inuoluit , rtcflius pro arillo , ac pro capfula habetur in Salfola , i|ua dctracfla tu- nica , amplius nuUa et extremitas altera obtunulcu- la pariter in duo labia , ceu in duos cotylcdones , dehifcit; et dantur praeterea Salloiae fpccics , qua- rum femcn fcmcl tantummodo inflcxum et Krafche- vlnnlkouiae et Ceratocarpi femini fimillimum efl]. ODOR florum ct foliorum plane nullus. SAPOR foliorum fubauQcrus , herbaceus ^ ra- dicis ligneus , incrs. FLORET pcr Auguflum ad mcdium vsquc Scptcmbris ; pcr Scptcmbrcm ct Ocftobrtm frudifi- cans ; fcmina vcnto calyccm villonilimum apprehen- dcnte difpcrguntur. HABTTAT in folo nrenofo - nrgillofo , loca elata aprica amans; ad lanain ante oflia fluuii Bu- fulac ct ad WoJgam nnte oflia riuuli Mefchotnac cir- ca vrbem Zarizyn a nobis ; in Sibiria ad lenfeavi ct BaicaJem lirum a G.MFLTNO ct SlELLERO; in orieme a Tovrnefortio lc(fl;i. SuflPi- NOVVM PLANTARVM GENVS. 559 Siifficiant haec de Krafchenitmlkouia Ceratoide , qulbus cJ , quae iii Florae Sibincae 1 om. lll. pdg. 17. fcqq. dc pliuita noftm praedicata funt , conferre nun iniucundum crit. Addamus coronidis loco iconum explicationem ; Fig. I. Flos mafculus Krafchenmnikouiae. Tab.XVD. Fig. 2. Flos femineus Krafchmnnikouiae. Fig. 3. Piflillum eiusdem e calyce exemtum. Fjg. 4. Calyx Kralcheninnikouiae frudum maturum continens , \illis ad fundum quadrifarie pofitis et elongatis. Fig. 5. Semen matnrum Krafcheninnikouiae ^ e ca- lyce exemtum , arillo villofo \eflitum. Fig. 6 Semen idcm nudum , arillo detrado ia duas extrcmitates et ad harum alteram in duo labia feceflum. Fig. 7. Flos mafcuhis Qeratocarpi a parte antlca, \t pateat , quod limbus fit femilunatus et filamentum vltra tubum promineat. Fig. 8. Flos idcm a parte poflica , vt pateat , quod limbus ibidem acuminatus fit et aa- thcra promincat. Fig. 9. Flos femineus Ceratocarpi, Fig. S6o KRASHEN. NOVVM PLANT. GENVS. Fig. 10. Calyx Ceratocarpi femen maturum coq- tinens. Fig. II- Semen Qeratocarpl e calyce exemtum j arillo vcftitum. Fig. 12. Semen idem nudum , arillo dctraflo in duas extremitates et ad lurum alteram ia duo labia feceflTum, Fig. 13. Krafchenmihuia Qeratoides florensetfru- iftificans. Figurae omnes naturalem partlum, quas refe- runt , magnitudinem fillunt, cxceptis 7 ct 8. qnac aliquoties microfcopio audae funt , quia flos ma(cu- lus Ceratocarpi adeo exiguus efl , vt vix nut'is ocu- lis eum perfpicere , multo minus -diftin(5le pin^i-rc liceat. KOEL- KOELREVTERIA PANICVLATA NOVVM PLANTARVM GENVS. A u c t 0 r e E. L A X M A N N. Etiamfi iam per Ticennium et quod excurrit Ii liybtrnaciilis horti academici hacc viget arbu- lcLi ;i , attamen ad amuflim illam detcrminare huc- v^que nem ni hcuit dcficiens quotannis frudificatio. Pnor pars proxime praeterlapfae aeftatis , menfes dico Maium luniumque , qui adco fudi erant adeo- que florae fuiebant , vt Arachis hypogaea aliiquc Zonac torridae proprii ftirpes in fenedris mulei mei non tantum lacte floruerint fed et fru^ftus ma- turauerint , hanc quoque arbufculam , cuius kdum gcnialem , per plures annos fruftra exoptare noflri botanici , in area horti , floribus« ornarunt Contigit itaque mihi , nec fme deIc<5latione perquam eximia , rariflTimarum harum nuptiarum fpedatorem effe , qui vifis floribus , atljufculam hanc proprium ge- nus conftituentem , ad viuum dch"neare curaui , et vt Viro , et de re herbaria et de horto noflro bo- tan-co , optime merito Celcbcrrimo KoelretUero , quaiecunque pignus exif\imationi$ meae , re^niquc Tcgetabihs cultorum , erga ipfum darem , KoEL- Tora. XVI. Nou. Comm. B b b b Re v S6z KOELREVTERIANA REvrERTA\t nominaui , cuius chara(flerem generi- cum et delcriptioncm fequentibus irado. CALYCIS periauibiimi pcntaphyllum , infe- rum , foliolis ouatis , obtufis , concauis , membra- naceis , inaequalibus , vcrlus latus luperius adfccn- dcntibus , verfus intcrius vcro apperturam rclin- qucntibus. COROLLA tetrapctala , pctalis flauis , aequa- libus , verlus fupcnu«> latus adlcendcntibus ; i^nguibus lincaribus , tcrenulculis , pilofis , ercdis , longitudi- ne fbliorum pcriaitthii iilorumque bafi affixis ^ la- miiiis ouato lanccolatis , planis , apicibus reuolutis , ab vnguibus ad anguhim rcdum diftantibus. NECTARIViM fquama vndulnta , erccla, pur- pureo cinnabarina , ad bafiii fingulac laminae vnica , fauce.-n coronatam quafi fillcns anthtrasquc cingens. STAMINVM /A7wma odo , fubulata , cre- (Tta , vnguibus petalorum paulo brcuiora , corpulcu- lo cyhndrico, quod ell reccptacuhim genitalium , affixa : Antherae oblongac , obtufae biualues. PISTILLI germcn oblongum , triquctrum , S.tYlui fimplex, adlccndens , longitudine laminarum, Siigma trifidum , paruum , laciniis patcntibus. PERICARPII capfitk trilocularis , oblonga , cor^ufculo cylindrico rcccptaculi analogo affixa. SEMINA nuUa ob continuas pluuia* pcr to- tum luliuai maturaucrc. Con- NOVVM PLANTARVM GENV§. s^^ Confiftit itaque charader Koekcuterae noflrac cuius milii nomcn triuiale , ob florcs pnniculatos , paniculata audit , in cal)ce penthaphyllo , infero , fo- liolis inaequalibiis ^ in coiolla tetrapetala petalis ae- qualibus , verfus latus fuperius ad(cendcntibus ,• jn ne&ariis petaloideis fquama fcilicct Audulata ad bafm fingulae laminac \nica ,• inque dcmum corpufculo reccptaculi analogo , genitalia tantum fuflinente. Examinatis fic quae ad charaderem gerierl- cum pcrtinent , (equatur defcriptio reliquarum par- tium. RADIX ramofa , ob anguftiam forte vafis va- rlc tortuofa et in fibras plurimas capillarcs-diuifa. TRVNCVS arboreus , credus , teres , tunica- tus , laeuis , ramofus , altitudinem humanam fupe- rans. RAMI fparfi , patcntcs , tortuofi , aetatc pro- vcdliorcs trunciformes , iuniorcs glandulis piin(ftatis adfperfi , foliati. GEMMAE ex axillis foliorum valdfc rcfino- fae , fquamis imbricatis coniformes. PETIOLI fparfi , patentifllmi , bafi clauati , Vcrfus apicem canaliculati , longilTimi, FOLIA pinnata , pinnis plcrumque fexiugis cum impari , ouatis , laciniatis , fcrratis , acutis , glabris , planis. PEDVNCVLI terminales , fparfi , patentes , plurimis pedicellis ramofi. Bbbb 2 FLO- 504 KOELREVT. NOV. PLANT. GENVS. FLORHS panicuhiti in fingiilo pedictilo trcs vel plures. De loco natali nihil certi conf.at. Hofpitatur in tcpidtirio. Floruit circa initium lulii. T. xvui. ExpUcatio Figurarum. Fig. I. Icon KOELREVTERAE panUuhtae floren- tis magnitudine naiurali. Rcliquae figurae pcr Microrcopium dcliucaiac funt. Fig. 4. flos. Fig. 3. calyx. Fig. 4- piflillum. Fig. 5« flamen. Fig. 6. petalum cum nedario. Fig. 7- Receptaculum cum flaminibus , piftillo et yDo petalo. ASTRO- ASTRONOMICA. Bbbb 3 EXPE- EXPERIMENTA CIRCA LONGITVDINEM PENDVLl SIMPLICIS MINVTA SFXVNDA KOLAE ET ARCHANGELOPOLI OSCILLANTIS. Auctor e STEPHAKO RFMOFSKL In diflcrtatione , in qui expofui obreruatlCnem Trnnfuus Vcncris pcr difcum Solis Kohie infti- tutam , mcntioncm inicci experimentorum , circa Longitudinem pcnduli ibidem a me habitorum. Ra* tioncm igitur eorum , pro vt promifi , Academiae Scientinrum redditurus , ordiar a tentaminibus au- thomato , pcndulo inuariabili inftrudo , inftitutis. Authomaton hoc idem ipfum fuit , quo vfus cft Grifchouhis ad definiendam Longitudinem penduli fimpHcis Pctropoli, Oefcliae aliisque in locis, et cu- ius dcfcriptio lcgi potefi in Nov. Comm. Tom. VlL Quo fccurius iudicium dc experimcntis his Iccftores ferre queant , maioremque fiduciam confe- qucntiae inde dedudae niereantur , longior , ali- quantum ero in referendis circumftantiis , quae illa concomitabantur ^ in primis igitur fifto obferuatio- ncs , ex quibus perfpiciatur motus horologii aftrono- oiici Retardatit Hoiokm SSt EXPERIMENTA CIRCA LONGlT. mtci a le Paute claborati , cu;ti quo motum a«cho- mati pcndulo inuiiriabili iiiftrudi coinparaui. Merid. 'uerus ex altit. 0!it correfpondemib'is Die \rA^m ii''.^^'. i",47 /, Maii II. 58. 15, ;j. Maii II. 57-57, ii. Maii II. 5 /. 5 5, j\. Maii II. 57- 57, y,. Maii II. 57. 56, II- 57- 54, ji. Mati T. lunii V!'iua» 11.57.52, »1. }-Uii ?. lun;/ X 5. Ma/i II 5 3 5 57. 21, o ». 57- f 5, 3j 6^7 ^, 5 P, 8 II, I II, o 11, o 12, 8. Conftrctni obrcruationc^ metcorogicni; Kol.ic hoc menfe habitas , in Comn^ T0111. XIV, relatas , pa- tebit tcmpcriem acris fuiflc in caufa , quoJ horolo- gium aftronomicum n die 30. April ad 19 Maix di.uerfo motu ac (cqucntibiis inccflcrit, Primum tentamcn comparationum penduli nftro- nomici cum authomato pcndulo inuariabili gaudcn- t€ inllitui die -*,. Maii Quoniam vtro in hoc cx- perimento non contentus lui Ihitu nutliomati , (u- pcrfedeo nrfcrendis hoc dic inflitutis comparationi- bus ; id fohim addo , nunicrum ofcillationum fpatio dici fuUris mcdii in tcmpcrie a' fupra o thcrm. Rcaum. PENDVLI SIMPLICIS. 5^9 Rcaum. a pcndulo iouariabili confedarum cx iis fc- qui 9S995 quam proxime. Dic lcquenti nulluin non moui lapidcm , \t authomaton hoc in talcm llatum , qui mihi optimus -videretur, redigerem , et pollquam id muitiplicibus tcntaminibus fuerim affe- cutus, die /. Maii fequcntcs inllitui obferuationes. EXPERIMENTVM L Horologium Aflronom. riiermom. Reaum. Pendul. Num. ofc. fpat. diei Inuariab. Sol. mcd. confedar. I. II. in. IV. 10^57'. 7"m. 54- 55 56. 24 10. 59- 43 4: fupra 0 73ofc.I. V. 98994,0 128 IL VL 98994,0 230 IIL XIL 98993,0 450 IV. XIV. 98992,8 V. VI. II. 31. 29 33- 5 4* 2642 2752 V. XIII. 98992,8 VI. XIL 98992,9 VII. VIII. IX. 0. 2. 28. V. 3. 9 0. 4. 52 5 4772 4819 4937 Vll. XI. 98993,2 VIILXIII.98993,0 IX. X. 98993,3 X. XI. 4. 43. 4-9 4- 45. 32 6 24115 24223 X. L 9899-, 9 XL XIV. 989^3,0 XII. XIII XIV. 7. 4^99^^^ V. X. 98989,7 VI. VII. 11. 3- 17. - 5.41. 15^ 5044 5209 VI. 1. 98990,7 VII.XIV. 98991,0 Vlll. IX. ' I. 34- 49- - 39- 3. 151 7212 7503 Vlll. 1. 98991,0 IX. V. 98991,1 X. XI. 0. 15- 37. V. - 18. 35. 16. IOOI7 I022I X. XV. 98991,3 XI. IV. 98991,8 XII. XIII. 1.42. 54- - 48- 50. 17. «6018 i6^z6 XII. X. 98991,8 XIII. II. 98990, 5 XIV. XV. 3. 7. 47. - 10. 32. i6'i. 2,854. 22043 XIV. II. 9^990,6 XV. VIII. 98990,5 Sumto hinc medio prodit 98990$ et pro ra- tione temperiei audo 8$ ofcil. fic numerus ofcilla- tionum quaefitus 98999. EXPERIMENTVM V. I^ie Vi"i;; pofita eadem retardntione horologii diurna poft meridiem fetjuentes comparatioues kiflitui Cccc 3 Hor. 57+ EXPERIMENTA CIRCA LONGIT. Horolog. Aflronom. Therai. Reaum. Pendul. Inuariab. Num. otcil. (pat diei Sol. mcd. contcdar. 1. II. III. 2". 22'. 30' - 24.27 2. 25. 42 r^^fupr. 0 155 olc. 289 375 I. XI. 98990,3 II. XIU 98990,5 III. XII. 9899^,4 IV. V. VI. f, 49. 40 - 51. 50 4. 5 3- 3 3 I 2i 10273 10422 10540 IV. XI. 98990,5 V. XIV. 98990,2 VI. XII. 98990,5 VII. VIII. 5. 26. 7 27. 43 ^+- . 12779 12889 Vli. I. 98990,2 VIII.. II. 98990,6 IX. X. XI. 5. 54-41 56. 3 5. 57. 39 f4i 14743 14837 '4947 IX. lll. 98990,1 X. Xlil. 98990,0 XI. IV. 9899O.4 XII. XIII. XfV. 7. i6. 3<5 — 16. 25 7- 19.48 I3i 20375 20501 20595 XII. VII. 98990,9 XIII. VIlI.pS99C,4 XIV. IX. 98991,1 Mcdium 98990,5 Id quod pro rntionc tcmperiei 7' ofc. audum dat numerum otcillationum qucfitum 9S99S. Ex obfernntionibus itaquc die 6 Maii inftitutiis numerus ofcillnticnum fpatio diei Solnris medii in tcmperie aiiris 6° lupra o Thcrm. Rcaum. a puidulo - 98992- 9S995, ■ 98998, - 68999, - 98993. inuariabili Kolae confccflarum clt - .Die 13. Maii — 19. — 20. - — — 22. l ■• D 3 .^ Omninm PENDVLI SIMPLICIS. 5*75 Omniiim mediiim d;it 98996^ Idem vera pendulum in eadem tempcric iicris codemque tem- poris Ipatio Parifiis conficit 9S908. Quare vis grauitatis Parifiis ad vim grnnitatis Kolae erit ir lOooo^ : lOo ' 79 , ct cum Longitudo pcnduli fimplicis Parifiis pcr Expcrimcnta abbatis dc la Caille fit 440, 5 5 lin. Longitudo penduli ofcillationibus fuis minuta ficunda Kolae fub Latitudine 6 8'' 52^ . ,. . . 44-0, 55 '<(9899<^ir ,. indicantis erit zz ■-— — —i — 441, 34^11. (98908) Cl. Malletus in Ponoi fub latitudine 67°, 4L-' Longitudinem penduli fimplicis minuta fecunda olcit- lantis reperit 441, 22 lin. pofita Longitudine peu- duli Parifma 441, 57, qualis a de Mairan inuenta crt ; quodfi nos eandem in calculo adhibere velimu?, prodibit Longirudo penduli miauia fecunda KoUe olcillantis 441, 36 lin. - k.; In candem rem alio modo beneficio fc pcn- duli fimplicis inquifiturus , aliud horologium ab eo- dcm artifice elaboratum data opera ita adaptabam , vt a teit^pore medio retardarct 4;' circiter. Appa- ratus ad naec experimenta adh:bitus idem ipfe fuit , quali Scknginski v(us fum , et qui defcriptus a Crijchouio legitur in Tom. VII. Nov. Comm. Cc, virga fcrrea ct ponduftulum biconicum ab abbatc de ia Cai/le ad Grifchouium transmiffa , filum aloes , forccps cui fihim pondulculo onufhim inferitur , et machiua ad fuftinendam virgam ferream a Crijchouio exco- 57<^ EXPERIMENTA CIRCA LONGIT. excogitata , qua virga prehenfa ope cochlearum furfum et deorriim, pror(um ct antrorfum, dextror- fum et finiftrorfum mouetur , ita vt mediante hoc triplici motu commodiffime virga pendulo applicari, et num longitudo fili aequalis fit longitudini illius microfcopio examinari poflit. EXPERIMENTVM I. Die if. Maii retardatione diurna horologii Aftronomici a die Solari medio cxillente 4.'. 39" , barometro monftrante 29 dig. 4 lin. menf. Lond. in temperie acris thermomctri Reaumuriani 3' fu- flra Q, comparando ofcillationes penduli fimplicis cum raotu horologii Aftronomici primus pcndulo- rum concurfus ad eandem partem obferuatus eft horologio monftante 5''. 27'. o", dein penduhim Cm- plex prae liorologio Aflronomico lucrari videbatur concurrendo- ' ad eandem ad partem diuerfas 0. olc 5.^ 17'. 0". I. ofc. 5". £o'. 17". 2. 5. 13. 55- 3- 5. 27. 18. 4... 5. 3°- 45- 5. 5. 33- 50. 6. 5. 37. 27. 7- 5. 40. 40. 8. 5- 43. 51- — - _ _- IC. 5. 50. 4-8. 11. 5- 53- 59. 12. 5. 57. 27- 13. 6. 0. 34. «4. 6. 3. 52. In PENDVLI SIMPLICIS. 577 In difficultatc concurfus obferuandi crigo fita eft , qiiod conciirfibus acque a fe inuicem diftantibus r:iro rcCpondcant aequalia temporis inierualla. Di- Iparitiuem hanc cum cernerem in reliquis quoquc cxperimentis , ct in ccrtus hacrcrem , quibubnam concurilbus maior fidcs habcnda fit , cum omncs pa- ri cura oWcruati eflc vidcrentur, in computando in- teruallo temporis , quo pendulum fimplex lucrctur vnam olcillationem ad fequcntem methodum coh- fugi. Sit momentum horologii , quo primns pcn- diilorum concurlUs ob(truatus e(l — ^, et intcrual- lum tcmporis , quo pcndulum fimplcx prae horolo- gio Aflronomico lucratur vnam olcillationem ~ .v , horologio monflrante t -\- x penduhi concurrcnt , et fimplcx prae pendulo horologii lucrabitur vnam ofcillationcm. Pofl modum horologio indicante r-f-2.v pendulum fimplex lucrabiiur 2. ofcill. ' + 3'V - - - - - - 3- ofcill. i-\-^x - - - - - - 4. ofcill. et ita porro vsque dum pcndulum fimplcx ad quie- tcm fuerit redadum aut expcrimenrnm fuerit con- tinuatum. Ponamus illud fin tiim fuiffe poflquam pcndulum fm;plcx lucr.itum fucrit /; ciciUacioncs et cblcruatos effc m concurki^ , (nmma omniiim mo- mcntorum, quibus concurfns: cuenire debcbant, crit w r + (i -h 2 + 3 • • . . 4- '0 -^' ) et cum fumma mo- mentorum , quibus concurlus adlu funt obfcruati , Tom.XVLNou.Comm. Dddd dciur 378 EXPERIMENTA CIRCA LONGIT. detur ex ipfo cxperimcnto , quae fit — j", habebitut jwz-f (1 + 2 + 3. .. .4«) xz:s. Hmc x — —!-^;^ — ^ fel fi continuo omnes concurfus fuerint obferuati s -{n-\- x)t eru » = «+., et.v = — j—p Fada applicatione ad expcrimentum fit x— 79^. ai'. 43", w— 14, w/zz 73^ 58' o" et diuifor, quia nonus concurfus dcficit , hoc modo exprimi po- terit 1«^«+ i} — 9j ^c erit illc — 96; vnde inter- vallum temporis , quo penduhim fimplex pnie ho- rologio Aftronomico hicratur vnam ofcillationcm, prodit — 3'. 22'', 3, et numerus ofcilhitionum fpatio diei Solaris mcdii in temperie acris 3° (upra o a peudulo fimphci Kohic coaRdarum 8<55-}(5, 7. Per mukiphcia rero Grijchouii experimcnta conftat "Nariationem trium graduum thcrmomctri Reaumuriani produccre \ariationcm \nius quam pro- xime olcillatiouis in motu pcnduh fimphcis fpatio dici Solaris medii ,* quarc \t cxpcrimcnta nollra ad eandem tcmpcrii.m , in qua Parifiis codem pendulo ab abbatc de la Caille inlhtuta funt ncmpe 12' fu- pra o, rcducantur , a numero inucnto fubtrahi dc- bent 3 ofcillationcs , et prodit numcrus olcillatio- num quacfitus 865435 7- EXPERIMENTA^M 11. Dic f,. luhi rctardatione horologii Aflronomi- ci a dic folari mcdio cxifkutc V- 4i"> - in tcmpe- rie PENDVLI SIMPLICIS. 579 r'c fieris 15'' fiipra 0, bnrometro monftrflnte 29 dig. *7 lin. mcnCurnc Lond. incitabam ad motum pcndu- lum fimplcx ; pcrnclis iiliquot ofc-llationibus pcndula conciirrendo ad eandcm partcm concordare vifa funt horologio monllrante 4^^. 46'. 20" , fequentes \ero concurfus fequcntem in modum funt obferuati. ad ad eandem partem diucrfas 0. olcil. 4". 46'. 20". I. olc. V'. 49'- 45"- 2 — 4- 53. =2. 3. 4. 56.3^- 4 - 5. 0. 0. 5. 5. 3- 25. 6. 5. C. 36. 7. 5. ic. 26. 8. 5- 13- 40. 9- 5. 16. 55. 10. 5. 20 20. 1 1. 5- 23- 27. I 2. 5. 2(5. 56- 13. 5. 30. 21. 14. 5. 33. 3 baromctro monftrante 29 dig. 5 lin. . , ,.^ . menf, rENEVLI SIMPLICIS. 58x mcnf. Lond. in tcmferie aeris 17° fupra o prft me> riditm }eni.-iula concurrcbant ad ejndcm partem ho- rolojiic) inopllrante 3^18'. co". Lcn reliqui con- cuiius (cqucntem in modum fucre obleruati. ad ad eanc^em partem diuerfas 0 ofc. 3". ib'. 20". I. olc. 3'^. 2.'. 32". 2 3. 25. 5- 3. 3. 28. 21. + 3- 31. 35. 5. 3- 34- 57. 6 3. 38. 30- 7. 3- 41. 36. s 3. 45. 20. 9- 3- 48. 35. 10 3. 52. 2. II. 3. 55- 18. I 2 3. 58. 43. 13. 3. 2. 0. • + 4. 5. 2 8. i"). 4. 8. 57. i6 4. 15. 12. — — — - Hinc obtinebitur s = ^3^ 4.8'. zi", (n + 1) t ■=: $6\ 11'. 40" et i »(« 4- i) := i3<5 , quAte x — 3'- aik'' ct numerus ofcillationum a pendulo fimplici fpatio diei Sdlaris medii confedlarum c^ 86543, 8, qui pro ratione ttmperiei audus i, 7 o(cil]. prodic 8654^4. EXPERBIENTVM V. Die l'. lulii retardaiio horologii Aftronomici a die Solari medio inuenta eft 4', 41", barometro monftrante 29 dig. 2 lin. menf. l(.nd. in tempene aeris 8" fupra o poft meridiem incitabam ad mo- tum pcndulum fimplex , ac fequeutes concurfus ob- feruabam. D d d d 8 ad 5 52 EXPERIMENTA CIRCA LONGli. ad uu sandem p;irtcir. diucrfiis o. +'. 57'. 5S". - 5'. i'. 15". 2. 5. 4. 42. 3- 5. 7. 5T 4. 5. n. 40. 5. 5. 14- 59 1 c. 5. 18. 2T. 7. 5. 21. 47- ^ 8. 5. 25- 8. 9. 5. 28. 22. lO. 5- 31- 50. — - - — 12. 5. 38. 38. 13. 5. 42- 0. 14. 5- 45. 25. 15. 5. 48. 54- \6. 5. 52. 10. 17. 5. 55- 37. 18. 5. 58. 52. - - - ^ Fnda applicdticme metliodi Uipra memoratnc fit w=: 18, yrr (38'\25'. 52". w r r: 89^ 23'. 24", ct quia vtukcimus cotKurfus dcficit \n[n-\- 1) 1 1-160; hinc A*— 3'. 23", 4 et numerus ofcillationum fpntio diei Solnris mc.iii in temperic acris 8" fuprn o apcn- dulo fimplici confcdarum prodit 86541^ vcl dcmta \\ ofcill. pro ratione tcmperiei fit 8<55 40, Numcrus itaque ofcillationum Kolae in tem- perie aeris 12 fupra o fpatio dici Solaris medii a pcndulo fimplici confcdarum cfl pcr Exper. I. ------- II. - III. - IV. - V. 8^5+3,7 86542,2 86546, o 8<5545, 5 S654.0, o iNlcdium i>^543, 5 Idcin PENDVLI SIMrLIClS. 583 Idcm vero pendulum in eadem temperlc acris Parifiis iuxta cxpcrimciua abbatis de la Caille fpatio dici Solaris medii conficit 864.54- ofc. et longitudo pcndiili ibidem eft 440, 55 lin. Quare Longitu- do pendiili Kolac minuta fecunda indicantis cric 440, 55 xfs^^^s:)' . ,. Is6^5if = 4+i,46 1in. quac a pnus iniicnta d;ffcrt ,'/, lin. Cum vcro cxpcrimcnta pen- dulo fimplici inltitucnda maioiibiis difficultatibus fint obnoxia , quam quac pcndulo inuariabili pcraguntur, longitudincm penduli fupra inucntam veritati magis eflc conlcutancam cxiftimo. Kola naui vcdus ArchangclopoHn perucni die 15 Augulli. Animus ibi fuit a De Clslio de la Croyerc Longicudincm pcnduli fimplicis anno 1728 inucntam propriis experimentis comprobarc ; verum negotium Ikx: ea qua par eft certitudine perfitcre non potui. Motum horoiogii aftronomici cognofcere cupiens , fpatio duarum hebdomadum nullum prae- termifi diem , quin caperem ante meridiem altitu- dines Solis , vcrum poft meridiem die 28 Aug. tantum correfpondentes , et fequcnti mane easdcm capere licuit , ita vt ex iis meridiem verum et mediam nodem clicere , indeque motum horologii ftabilire fuerit in potclbte. En ipfas altitudinum oblcruatioiies. Dle t84 EXPrLRIMRNTA CIRCA LONGIT. Die V- ! ante meridiem altit. Glis Poli. nicrio. Mcridies 8^ 45'. =4" -. 4^. =1 24". 20' 2V22'. 8'' — a I. 13 11^3+'. 16" - - 17 - 50. 45 - 51. 40 24. 40 - 17- 5-^; — 16. 50 - - i7i - - 15 - 55. 1\ - 5cra 34. 23,8. Vnde coU-igitur rctardatio horologii fpatio dimidii diei folaris medii 14^' ct retardatio diiirna 29''. Tem* PEl^DVLI SITvrFT.ICIS.. s8$ Tcmperics acris intra hos binos dlcs iuxta ihcrmomctrum Rcnumurianum ante mcridicm 9 gra- duuin po(l meridiem vcro ad 13 vsquc gradus afccn- dere efl: obferuata, cadem fcilJcct quam proximc fuit c]uac et Kolac , dum idem horologium fpatio diei foluis mcdii retardarct lo". Et cum longitudo pen- duli minuta fccunda Kolae indicantis par praece- dcntia cxperimenta fit 44.1 , 34. lin. habebitur lon- gitudo penduli fingula minuta fecunda Archangelo- poli fub latitudine 54.°. 33' ofcillantis — '-li^^^^^l^ z=^ 44.1, 15 lin. parif Dr risHus ibidcm diuerfam ab hac reperit.pen- duli longitudinem ncmpe 440, 70 lin. parif. Penes kAores iudicium fit, vtra determinatio vcritati magis fit cenfentanca. Comparatio vcro longitudinum pen- duli Kol.ie 441,35; in Ponoi 441, 22; in Pello 441, 17 et PetropoH 441, 02 inuentarum monlVare videtur determinationem De flslianam huic efle poft- ponendam. Tom.XVI.Nou.Comm, Eeee DE DE PARALLAXI SOLIS CONCLVSA EX TRANSrrV VENERIS PER SOLEM A. 1759. IN INSVLA REGIS GEOKGII OBSEKVATO. Auctore AN D. lOH. LEXELL. I. Diim ex obfcrimtionibus Tranfitus Vencris per So- lcm , quamitas parallaxeos Solaris inucrtigari debet , maximc e rc eO , vt eiu^modi obfcruatio- nunri inter fe fiat comparatio , pro quibus cffttflus Parallaxis infigni aificitur diucrfitatc , ne alioquin ipfi crrorcs iu ob(*.ruationibus commifli omncm ef- fedum Parallaxis vcl plane abforbcant , vel faltcm qua potiorem partem imminuanr. Hinc igitiir li- quet cx obferimtionibus nouiflimi Tranfitus A. 1759. in \ariis Furopac rcgionibus infiitutis , dum inter fe comparantur , nihil ccrri de Paralhixi Solis ftatui poflro ; contra vcro harum obfcruationun) compara- tionem cum iis qiiae in Amcrica inflitutae fuerunt , co certiores pro Parallaxi Solis pracbcrc conciufio- nes , quo mai,'is fucrit diucrfus ctTcctus Parallaxcos pro obfcruatiouibus Americauis , ab co qui pro Eu- ropeicis DE PARALL. SOL. CCNCL. EX TRANS. ctc. 587 ropelcis obtinuit. In Parte II'^" Tom, XIV. horum Commentariorum fufe iam explicatum eft , qualem pracbeant Parallaxin obfcruationcs ad Sinum Hudfo- nis et in fortalitio St. lofcphi CaHforniae inftitutae fi cum Europeicis comparcntur ; quum igitur valo- res pro Parallaxi tum inucnti egrcgie inter fe con- fenferint, iisdem omniiio acquicfccre liccret , praefer- tim quia certilTime nobis habemus perfualum, quan- titatem Parallaxis tum inuentam vltra pnrtcm quin- tam vnius minuti fecundi a veritate discrcpaturam non fore. Verum enim vcro quum obferuationcs in infula Regis Gcorgii ab Aflronomis Anglis inflitutae, ita fint comparatac , vt pro iis effcdus Parallaxeos non modo (It infignis , led etiam plane contrarius illi , quo obfcruationcs in Europae fadae crant af- fe77-f79n L.tang.PQ^^ 10,3991 127 PQrz 6 8". 15'. 10" : ■ OPir U2. 25. 50 OQrr 44. 10. 40 -L.cof sQrr 9, 9049604 L.tang.:sQrr 9,8698252 L. cof OQr:9,8 5 5^2S7 L.fin.OQir 9,8431^24 L. cof. O 2—9,7005891 L.tan^.PO-r: 10,02(566:8 Ozzz 54\48'.5o" PO^r 46°.45'.3o'' AOP— S2.54.30 A02zr36. 9. o AO?zri3i.23.io"'"'' sO? = i67.32. 10 Qnum CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 591 Qiuim Igitur fit O ? iJ = ^ O ? + ^ u habe- blmus : L/ = 2, 97571 + 9 L j- — 2,97371+91 L. cof.cO? — Qj^^^^f^ + iil-) L.fin.cG?— 9,3 34-iooi L.OR= 2,9*533570 L.cot. 0^—9,8482257 ■ OR~Pi9"— I5'-I9" L. 0) =z2,i5<5o4o8 . ;2?-55'. 4'. 10" u— i43",'fW = 3'-2o" 0?i'z:i<57'-35'.3C>" Pro calculo pjralladico erit : L. fin. 5:?zzp,9i373 2^ L. §f"=:o, 3135793 Tab. XK. L(^-i)z; 0,3998467 L.fin.G^^y^^P^SSiipo^ l''S- 3« L. -^—0,31357^3 L.^^'^ — 9,6457700 L.cor.O?c;— 9,9897350 (-) L.i;w — 0,6457700 L.-^— 0,3033143 L. J— 2,9737149 ^oJrz-i^oio^.Tr hinc L. T.? 0"^ = 7,672055 i 0^—941,27+ 2,0105.71 O ? -y =: 0°. 1 6'. 9" BO?=:48.3^.47 BO^'i=:48.2o. 3S liim propter augmentum ex 'y X oriundum Ffg. 4. habcbitiir corre4i, 27+2,0105. 7r4-o,[33E.' PAR^LUVKI SOLIS "JXro q^jijfCftiunnL^acqiiatis dfe dcbeat P76-|-73-r^,oio5. 7:4-0,5^47. A.-+o,7+72.J'+o,o5r+.$. //. Conta&us intcrnus prQ ingyejfu, GeiHi^it 21^44'. a"i "^'"^^ dcdiicitnr ang. OP5; • — 33°- 59'. 22",! Tempiis anrem Pnrili-iiim huius oHferuationis ert 7'-'. '51'. 2"; ex quo habctur t -zz. <:}'. 18'. 5o"i zs ?, 314027. L. / — o,3<543685 L.(a.f.p)^,2,3756d3(> L. y := i,54924-S -■ • ''■ • . — iMiQ;0-K.=74-r.>h^-r^^^- ^^"^ '^^- '•^'* iij[> . L. cof. CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 593 L. cof: z Qizrp, 9272040 L.tang.sQ— 9,800-^903 L. cof. 0<^=9, 8638327 L.fin. 00.3:19, 834-1 21S L. cof. O z^9, 1910361 L tAU^.? Qz~ i), 96 s 96bS G2 = 5i°-4J^'-3o" POs^ 42'-45'.3o" AOP:= 82. 54. 50 .\\\\;j"\^;i ^^ AOs^ 40- 9- 20 > \' u, AO? — 128. 19. 10 -^' • C •' '. . -•'iDJe >? - 2;0? = 168. 28. 30 Ob O $ -y = « O ? + ; 0) fiet : L. j- =12,94-76069 L.x ==2,9476069 L.cof.sO? — 9,9911541 (-)L.fin.2;O?=:9,30o5 857 L.OR = 2,9387<5io L 001.0^ = 9,8955419 OR — 86S"=ri4". a8" L. w=2, 14373 + 5 5; ? :=: 5 2". 4^ o" wm39",5(»i=3'-i5'' O? -y^ i68^ 31'- 40" Seqnitiir calcuUis paralladicus ^^^ -^^^ L.fin.s? — 9,8969265 L.y=:o,2967732 Fig. 3. * L. (|--i) — 0,3998467 L.fin.O^-y^^i^^S^ipi L. y -0,2967732 L-^^J^ 1=9,5953923 L.cof.O? 1^:1:9,991 235 5 (-) L. -y (0 — 0,5953923 L. ^—0,2880087 L.x ==2,9476069 L.T. ? 01^=7,6477854 201^1:: o°.i5'.i7" ? w n — I, 9409. TT hinc B O ? = 5 1- 40- 49 01^=886,354-1,9409.71 BO-u^Si. 25. 32 Tom.XVLNou.Comm. Ffff Hinc 5P4. DE PARALLAXI SOLIS Hinc ergo dedacetur diftantia centrorum corredla r 8 55,3 5 + i,5>4op.7r4-o,<5235-v+o,78i8.j>+o,o49o^ cx quo fcquenb emergit aequatio : >rz-3i)<>5 + i,P4op.7r+c,52 3 5.A.-+0,78i8^+o,O4P0.$. ///. Co?it{iHiis intcrnus pro cgrcjfu. 5. Obferuatus eft d. 3 lun. 3''. 14'. 3", vndc habetur ang. O P s = 48°. 30'. 45", atque ob tempus Parilinum huius obferuationis ^13''. 21'. 3" erit t — 3^ 11'. 10"— 3, i86ni. Tab. XIX. L. / z:ro,5032609 *''?• '• L.(« + |3) -2,375^635 L. Y z::: 1,5492486 y^rriis,» L. 0^.-2,8789245 /=613, 4 L. V ; 11:2,0525095 ?V— 5JO, L.rin.OP^:-9,S74n9p L.cof OPc: :r p,82iij75 L.lm^(^—p, 85^3885 L. tang. PQ^rr 10,3272290 PQ- 64^47' 3.0" OP=lll2. 27. 30 j O^- 47- 40. o L. cof. CONCLVSA EX TR4NSIT. VENERIl S9g L. cofj^Qrr 9,8444.587 L.ting.zQpz 10,009^38^ L.cor.OQ.=P, 8283005 Lfin.GQ.^: 9,8587851 L.cof. 0^^9,5727593 L.tang.POsz::io, 141153» Oz — 6i\ 55'. lo" PO z-. 54°. 9'. o" A O Pn^ 83. o. 10 AO z= 137. 9, 1« A O ? := 33- 29- i^-^ zO^ — 170. 3 8. co Ob 09cJir::0? + ^w erit : L. j- "2,95775^4 L.x=r 2, 9577524 L.cor.cO? = 9,994i775(-) L.rm.sO?=:9, ^i i ^709- L. O R = 2,9519300 L.cot.O^ = 9,727i4^o OR— 895"=i4'-55" L. w— 1,8951593 x: ? - 6z°. 10'. o'^ w — 79"^ ^j— i'.5c" O ? ■1' 1= 170^ 40'. ic'' Pro calculo pnralladico habcbimus Tab.XIM. L fm. s $ —9,9455043 L ^f iro^S^^^^^^o Fig. <5. L. (^-i)— 0,3998467 L.fin, 09--^= 9,2095535 L. ^=: 0,34545 'o L "^—9,5553145 L.col.O^-j— 9,9942157 (-) L. V w —0,5553146 L. -^i'- 0,3 40565 7 L T"^95775a4 $f^ — -2,191 i.Trhinc L tAHg.^Ov- 7, 5 9.S5522 Oc— 907,30 + 2, 191 f.TT 2 O ^' r: G.i3'.38" A O 5 --33- ^9- 13 A G -J — 3 3- ^2 51 Ffff 2 Kx 5^5 DE PARALLAXI SOUS ;0 Tab. XIX. I^x particiihi i"X iani nafcitHi- dccremcntun» — c, ^'S' "■' 851!^.^— Q, 0554. ^ ct ^x pjirticuLi V Y increraen- tiim -h c, 5550.J' -h c, 0053; ^ , CGnfequciUcr crit; diOnntia ccntrorum corrcifta t 907, 3o+2,i9ii.7r-o,S3iS..X'4-o,5 550.>'-o,0 5oi.$ npiS + v ex quo li.^cc deducitur acquntio fm.ilis : vz-io,7oH-2, 191 1. 7^-0,83 IS..V4 0, 5 5 5O.J'-o,o5oi.0 At contnclus intcrnus circa ingrcHum prncbuit i~-3i,6 5-f 1, 9409. 77+0,623 5. v+o,7SiS.r+o,04 90 d mukiplicnta igiiur hnc poftcriori acquatione pcr '^j obtinebimus : 1,022 V-- 32, 3^-t-i,9S45- ^+0,6375. .v+o, 7994-r + 0,0501. '. Ex hac autcm acquatione cum fuperiori comparara deducitur (cquens \nlor ipiius j' , incognitam $ ncn inuohiens : y-— 21, 29 + 2, 0647. Tt — o, 0961. .v4-o, 6697. y 1J\ Co7itii&ns cxtcnnis pro cgrcf//. 6. Obfcruatus cft 3^ 32'. 14" ex quo fit ang. G P c; ri 53°. 3'. 30". Q^Lium vcro tempus Par fi- num huius obleruationis fit 13''. 39'. 14", habebitur 1-3'. 29'. 2i"=:3r4S9i6<55 L.Tang.(rzr 9, 7716335 L. j z= 2, 98344-S5 (T — 30". 35'. 9" J-— 9(52,<5i. Pro icmporc ob(cruationis cft A O P z S 3^ o'. S^'" et OP— 112^ 27'. 3c". L. IiQ. P2= 9, 9798486 L.Tang.Pxr— 10,5060715 Tab. XIX. L.fiD.QPzzi 9, 9026815 L.cof.OPszz 9,7788756 rig. 5.' L.fiii.sQ_= 9, 8825301 LTang.PQzr 10,28494.71 PQ:r: 62^34'-4o" O P := 112. 27. 30 OQ.- 49.52.50 L.cor:rQrr9,8i04899 L. Tang, 2 Q_:= 10,0720421 L.cof.OQ.^: 91^09144 2 L.fin.OQ.r: 9*8834927 L.cor.0^n:9,6i9534i L.Tang.PO^r: 10,1885494 Os— 65^23'. iv" PO::— 57'. 3'. 50" A O P = 83. o. 3^ A O 2 rr: 140. 4. 20 AO? — 30. 35- 10 2 O ? — 17^ 39' 30 L, i-zr 2, 9834488 L. j zi 2,9834.488 L.cof.5;0? = 9, 9942018 L.fin. 5:0?=:: 9,2103759 L. O R =^9^76776 ^* ^°^- ^ ^^ ^ Pjf5o9S78 O R=r95o"-i5'.5c" L. w rzT,854'Si25 S? — 55°. 39' o" ojzz72"rfa)=:i'.4o" O ? -vcr 170^41'- «^"- F f f f 3 Pio 59$ DE PARALLAXI SOLTS Pro calciilo P;iralla(flico habemus : Fig. 6! L.rin.:s?r:9,9595395 L. ^ zO,5 595 8 197^- 7t-o, i %66. .v+ i , 3003 .y et (j(.— viz— 2, 86 + 0,0(58 a. 71 + 0,0056-.^'— 0,0391.^. Compai-atio formularum pro iufula Regis Gcorgii inuentaium , cum iis quae ex ob^ fcruarionibus in Europa inftitutis dcducuntur. 7. Si Yalores ipforum jjl et v modo inuenti , iis aequentur qui ex obleruationibus in Europa fadis eliciti funt , et qui in P. II. Tom. XIV. Nov. Commcnt. p.p. 531 et 534.. recenfentur , inde va- lorcs ipfius X facili ncgotio deduci poterunt , qui ia duui. clafles diltribui debent, quarum prima eos com- plccletur , qui ex obfcruationibus circa ingreflTum Veneris inftitutis eruuntur , poflerior vero illos , quos obferuationes circa egrelTum Veneris luppedi- larunt. Claffis I. ex contadlu extcrno circa ingreflum 3r:z:-3<5,op + 5,957.7r — o,i:i5.j pro Greno&ico 6oo DE PARALLAXI SOLIS ex contdclu interno circa ingreffjm A'rr:— 35,42-l-7r — 0,202. y Gurjef '.^/x=z^2,g6--^,o6-{.ii-o,i9'j.y lakutsk. '" ■ 8. lam fi omncs valores ipfius x ex obferua- • liofiibos ingreflus dedu(fti in vnam colligantur lum- ■mam , habebimus : 6.vzr-205j5o + 35, 807.7^-0,717. jy. Simili ratione omnes valores ipfius .v ex obferuatio- nibus circa egreflum inuentos addtndo , obtinebimus: 7.v = + 42 5,3'^-'34,845-''- ^45o.j'. Ex priorl acqnatione racuium lumcndo cleducitur; ar::=-34,a5 + 5,9<^S. 7r- o, J 19 j' ez CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 6qi «X pofteriori aiiteiTi .v = + <5o,77-4,978.7r-0,2o7-JJ' hos igitur valorcs iam intcf Ic .Ae.quando, fequetj? rdultabit aeqiuuio iti:: <{-'- jum fupra iraditi introducantur , prodibic . {/. -I-V— 12, 29 -+- I, 2976.;' , hincque pofito jX-i->'-2X, crit y=r9,47-f-i,5 + i.X. Valor autcm hic ipfiu? X, iani fatis differre vide- tur ab eo , qnem obfcrujtioncs pro Sinu Hudfonis dediflfent , cx ii6 enim inucnimus 2X — — 11,51-1-1,2788. y. Orauis igitur hinc fuboritur fufpicio in obferuationcs infulae Regis Georgii liaud lcucs irrepfiffe ern res , ad quam fnfpicionem vltcrius confirmandam , quae- ramus quoque valorem ipfius fjL — ;/ r — 2, S(?, + o, 0682. 7T 4-0, 00 5 x cx contndibus extcrnis c^e. u- dli , cum iis c^u* » c-x 'ntcrnis eruimus , in vnana G g g g a fucrint ^p;i *r,.'T>X)E PARALLAXI SOLISr^-"^'^ fucrint collccli rummam , partim quoque quod coef- ficiens fpfuis tt adco fit jnfignis , \t nifi errores obfcruationum fuerint cnormes, condufiones pro ?a- rallaxi indc \'ix fcnfibilem patiantur nuitationem. Quo autcm euidentius haec pateant , exclufis valori- bus ipfius X ex contadibus extcrnis dcdnrtis , in Tnam fumTTlam colligamus Yalores .v vtriusqne clas- fis ex contadibus tantum internis dcriuatos , vndc inuenicm.us : 5A- — — Kjp, 4I + 2p, 850. TT— O, 592. J' Ct 4.vz: + 247, 18-20, 447. TT-o, S^S-J vnde mediis fumtis , fit ^ = -33, 88 + 5, 970. TT-o, 118.J' et a- — + obferuationes , ex quibus \aIorcs ipforum jj. et v eliciti fuerunt in Parr. II. Tom. XIV. Nou. Com- ment. plures quoque aliae calculo fubiedae fuerunt , operae omnino pretium cfle iudicauimus ex iisdem \alorcs ipforum jjc et k inucftigare , vt deinceps ha-f' rum obieruationum comparatio cum Americanis in- flitui quoque pofifet. Enimuero quia in calculo' harum obfer\iationum , non fokim certus valor pa-. raHaxis iam pro vero affumtus fit , kd etiam cor^' rcc':ionum quibus rcliqua elementa Aftronomica in- digent ratio fit habita -^ pro hifce correftionibus va- lores ipforum tum adhibitos rcrtitucndo , inuelligan-:,^ dum erat quomodo numcri abfokiri valorcs ipfius p.' vel V ingrcdientcs fe eflcnt habituri , fum vero quia ob elementa Aftronomica correda ipfi quoque coef- ficientes corrcclionum ?r et y fucrint immut.ari , nt- Gg gg 3. cclfuni €o6 DE PARALLAXI SOLIS cefTum quoque fuit inquircrc , quid his cocfiicienti- bus addi dcbertt , vt ad e;im redirent forman , quac locum habec pro hypothefi , qua liae torrciflioiieb x et y pla.ie fupponun;ur incognitae. Denique et id non rcticendum cft , pro nonniilliS harum oblcrua- tioium, numeros ablolutos valores ipldum ^x. ti y ifliiredientcs ex eo capite infi^nem fubiiflc mutatio- ncm , quod Lon^ituaiiiibus Gto-;iapii c s 1: .corum , \bi hac obftruatio: es erant ta(flac , eao a plic;itae fint corredioiies , quae in f'. IL Tomi. XIV. pa^. 520. et fequ. fucruiit (iab litae. Ncque tamcn hoc pro circulo vitiofo in argumentaiido habenduni eft , quod hae Lon^itudincs quafi ex ipla dcttrmination» Parallaxis fuerini deriuatae , vt enim taceam valo- rem Parallaxis tum inueiuum , ad veritaiem proxi- me acccdere , pleraeque harum Longitujinum ex obferuacis contndibus Vcncris cuin S<>Ie alia rat;one confirmnri pofTunt, qua omnino pcrinde erir , quam qi's adliiberc voluerit p-arallaxin , ne modo in eius ■valore aflumcnJo cnorniis coinmiitatur error. Sic •X. grafa nulla habita ratione corredae Longitndi- nis Geo.',raphicac , contadus intcrnus pro ingreflli ad Promontnrium Lezard oblcruatus hanc praebet aequati"nem : v^S^^o-Sj+S^.^Tt + Ojfi+^ .v-fo,764. r4-o,o5i ^ quae (i (ubirahatur a GtenoUiccnfi etiam cx oblerua- to contadlu intetio circa mgrefi^um dcdudla : V— 5,o5— c,soi. t4 o^ + 8.A f o, ,62. r rcmanebit Orr. 1,36— 0,017. 7r 4-0,004. x—o,ooi.>-o,c5 i.d. Haec COXCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 60-7 Hjcc aurcm ncquatio lubftitut nJo pro ;r, -f- i(J et j, -1-8, quod lalicm finc leufibili crrore fieri poteft, tranbmuiahitur in lcqui-ntcm : o zr I, 4-0 — o, 017. 71 — o, 051. &. Supponamus iam primo parallaxin 8", atque habe- binius 0,051.0—1,26 ideoque 9 — 25" , deinde flatuarrus tt — 9 eritquc 0,0510—1,25 -vnde $ — 25" perinde vt antea In Parte II. lom. XIV. Comn ent. autem (iippofita erat Oz: 2>", qui valor a moJo iniiento quam miniirum difcrepat. Caete- rum de Lingtndine Pron ontor.i Lezard confuli quo- que pottll Tom. XV. Nou. Comment. p. 638. 13. Hac jgitur ratione fcquentes adepti fi.imus valorei ipn^rum jul et v, quos more recepto in bi- nas dilp-lcere litebit clafTs , prouti fcilicet oblerua- tioies vel circa injireflrum Veneris , vel circa eius- dcm e^relTum in computum venerunt : Claffis I. ex contaiflu extcrno circa ingrenbm. I. [x.— 1^^2-2, ^^9. -n+o^^S^.x-^-o^iig.y Caua H. (.^.=3, 01-2, 471. 7r+o,683..r+o,729.j' Promont. Lczard III. iJ.iri, 3 1—2,45 5. -71+0,687. A.-+o,72<5.j^ Holmia IV. fjLr:i,6S-2,278.7r-|-o,69o Ar+o,723.y Ponoi ex conradu interno circa ingrefTum. I. V— 4, 76- 2, 505.7^+0,647, :f+o,762. r Lutetia Parifior. II. V — 4,72— 2, 470. 71+0,645. +0,764. y Caua III. k'— 4,71 -2,484. 7r+o,644.A-4o, 764 y Promont. Lezard IV. y— ^f-j^-^y^^Q-j.Ti-lOjCs^.xi-OyyiC.^ Ponoi Clafli& ^oS DE PARALLAXI SOLIS ClafTis n. ex contacflii interiio c:rca ingrcfTLim. I. >^- :i8, IO-2, cop.Tr-o, 859..V+0, 5 I 2.}' Orcnburg II. v-27,7o-2j2i3.7r-o,859.A-+o,5i2.j Orsk ex coiitndu cxccrno circa egrefrum, I. J^-r22, 52-1,567, 7:-c,883.a-+o,4.59.>' Wardhus II. ]J.= 255 88-1,845- 7^-0,883 .^'+0,469.^ Pctropolig ill. iJ.r2-, 96 2,157. 7t-c, 881. A--fo,, 5-7 i.j Orcnburg IV. /J.i:27,7i-2,27S.7r-c,8 8i..r+c,4.7i.j Or>k. Numerum autcm huiusmodi acquntionum , facile ad- iiuc.gugere .pQtuifTcmus , i\ uon lolym obf^ruationes ip! aUis Jocis pro ingreffu inrtitutas , de quibus ia P, U- 'lon). XIV. nulhi fa.i, . Chiflls CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 6op Claffis I. ex contndlu externo circa ingreflum I. A-n-34-, 80+5, 912. 7r-o. 125.J II. A.'zr-35, 094-5. P4-8. TT-o, 127.^ III. A' — — 32, 72-r5, 897. TT — o, laa.J' IV. Azr — 33, c6_+5, , erit 14.0: = -4.7S, 56+83, 4-59- 7t-i,702.J ex quo medio fumto colligitur jc — -34, 184-5» p^^i.TT-o, 121. y. Fodem modo omnibus valoribus ipfius .v ad poftcrio- lem claflam pertinentibus , ia vnam fummam col- ledis , fiet <5Ar — -}-382,' 3X qua dcducltur : ■;r — S^<5'8-OiCo77.j et xzzi^", 57 ~o, iCT^.jr. 16. Quoniam vt fupra obfcruaaimus, in(7mcnt;i coritauiuum externorum lupcr m(ula Kcgis, Georijii obferuata pro vsque adeo certis hLibcri nequeant ; haud inutile crit cxaminare ^ qur vnlfT produit pro parallaxi , fi loia momcnta coniac^luiim intcrnoruin m computum ducantur , coUcdis igaur valoribtis .v pr.oris CONCLVSA EX TRANSIT. VENERlS. 6it prioris claflis ex contadii iiitcrno dedudis » habebl- nnis : 4.vz=~i37, 39t-24, !i47- tt-o, 492. v At fupra §. 1 1. inucnimus 5.v=:- 159,41 + 29, 850. TT-o, S9^-r quorum fumma dat 9X — -'^o6j So-l-545 op-. ':t--i, 084- J' vnde mcdium fumendo prodit A*— — 34, 09 + 6, OII. 71— O, I20,>' Porro fi vaiores x pofterioris claflis ex contaclu in- terno deriuati inuicem addantur prodit ; £:*;;=:+ 128, 93-11,221. ir- 0,4-140 quum igitur §. 11. haberemus ; 4.v=:+ 247, 18-20, 447. 7r~o, 845.5', i'^^c fiet (Ja— 4-375, 11-31,558. ^-i, C59vr ideoque medio capto x~62, 59-5? 27S. TT-O, 210.7 Binos igitur valores medios quantitatis X inter fe aequando obtincbimus 0 — 95, 78 — 11, 289. TT-o, 090-^, ex qua aequatione deducitur 'TT— 8, 58-0,0080..)' tum vero hunc vaforcm in nlrerutra nequntione va- lorem ipfius .v exhibente lubUitucndo , fitt a':=:i7,44-o, 168. j. Hhhh 2 X7. 6i2 DE PARALLAXI SOLIS 17. Ue valore parnllaxis iam inucnto omnino certilVimam fuuere licet fpcm, quod a vcritatc non ad- inodum difcrepatiirus fit , quia coefficitus ipfius tt , in ae.'iuationibus paraliaxi dcterminnndac inkruienti- bus fit pratmagnus , quippe qui ad 11 vsque vni- tatfs affurgit. Qpi auteiri finiiulos valcircs ipfius .v vtriusque claflls leorfim intcr (c comparare voiuerit, inuenict valores pro parailaxi indc orituros fat ardis limitibus contincri , imprimis autem fi rationem taiuum haberc voluerit contactuum intcrnorum , de- prthcndct in exprellione pro Paraiiaxi numeruin ab- loUitum nec vltra 8,80 afllirgere, ncque intra 8,41 dcprimi , medium autem horum numcrorum S, 60 vix ditfcrt d numcro abfoiuto expreflioncm parallaxis fupra inucntam ingicdicnte. Qmim itaque quantitas parallaxis ex huiusmodi comparationc inncniganda tam arcftis includatiir hmitibus , nuiium dt dubium, quin hnc ratione crrores obferuationum, cum quibus cac fupcr infula Rcgis Gcorgii fodae comparantur , quam proxime dcllnidac fint, vnicum igitur dubium quo praeccdcns dctcrminatio prcmitur , origincm rc- pctit ex iis erroribus, quibus ipfae obteruaiioncs in- fuiac Regis Georgii affcdae cflTc poflint. Dc con- tadibus externis iam quidem quid fcntiamus , dixi- nnis , quod vero internos attinet , infra inquircmus, qnid tantilli crrorcs circa ipfos commifll, ad vaiorcm parallaxis immutanduiTi valcant. In antcccflum tamen moncrc iuuabit , inccrtitudinem hinc oriundam ad fextam paitcm minuti tccupdi non afllirgcre. iS. CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 5i3 iS. Q}]0 certiorcs qiioquc euadamns de \alori- bus p:irnlljxis, quos oblcruritioncs ad finum Hudfonis ct iu California fa(flac pracbcnt , valores ipforum |x ct V pro his locis inucntos , iam acqucmus iis, quos §.13 adduximus , hinc autem pro priori quidem loco fcquentes obtincbimus \alores ipfius .v. ClafTis L ex contadu cxtcrno circa ingrefliim. I. .vzi-3, 13 + 2, 455- TT-o, 163. j/ II. .VZ=- 3, 384-2,487 TT-O, 153.J/ III. .V — -I, 17 + 2, 453. TT-o, i58.y IV. .V— - I, 64+2, 2i5. 7r-o, is^.jy ex contadlu interno circa ingreflTuni I. .V— -4, 304-2, 519- TT-o, i^3.y , II. a; — — 4, 254-2, 478. TT — o, i<5<5.;' III. xzz — 4., 25+2, 507. 7r— o, i6j.y IV. .vr=: — i, 53 + 2, 231. Tr — o, 154. y. Claffis II. ex contadu interno cirCa egreflum I. a: = + 34, 49-2,045. TT-o, 168. y II. A'z; + 33, 97-2, 053. Tr—o, i58.jr ex contadu externo circa egrefrum I. A;zz+27, 90— I, 2S4. 7T-0, 159 ;y II. A" — + 32, 13— I, 534. 7: — o, 159. y III. .VIZ + 34, 84-2, 032. TT— O, l57.r IV. .V — +34., 53-2, 185. 7r-6, 157./. H h h h 3 1$. 6i^ DE PARALLAXI SOLTS 19. Omncs valores ipfius x prioris claflis in vnam coUigendo fummam obtinebimus : 8A'=-23, 77+ 19, 34<^- 'TT-i, 288. r cui aequatioui fi addatur ifia p, 4.77. P. IL Tom, XIV. Nov, Commcnt. tradita 6a':i:-2i,23 + i+j33I- '"-^,9'i-^-J' prodit i4Ji-=:-4.5, 00 + 35, ^77. 'f-2, 230./ hincque medium lumendo .vr=— 3, 21 + 2, 4.05. TT — o. 1(^0. J' Addantur nunc quoquc finguli vniorcs x e pofteriori clafTc , quo fafto liabebitur : ' horiim igitur fumma praebct : i3Ji'^4io, 13-21,788. Tr-2,2oi.i' hincque mcdio capto a:=3i, 55-1, <57<5. -Tr-o. 170 J- His valoribus ipfius x intcr fc acquatis , erit or=34, 7<5 — 4, 081. tt — o, oic^ ex qua dcducitur m— 8, 52 — ccoipO', hincquc a— 17,(^2 — 0,1^7. J' Si \aIores ipfius * ex coniadibus internis deriuato» felige- CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 6is feligere \ellemus , ii prioris claffis colleiSlim fumti dabuut p.vzr-S», 22 + 21, 553. 7r-i,432.jf •vnde -valor medius .r=:-3, 4-7 + 2, 39^. tt-o, isP-V valores autem pofterioris claffis coniundim pracbentl <5x — +195,92 — 10, 4-24- ir— 1,029. j ex qua fit a::= 32, ' IL .V~4- 50, 04— 3, 950. TT-O, iS^.j/ Ttwm hi valorcs coniundim fumuntiir cum iis, qui p. 533 P- IL Tom. XIV. Nouor. Comment. oc- currunt , pro prioci clafle coQlequeniur : p.rcr— 174, 8(5 4 38, 538. tt-i, z66.y pro poftcriori autera ' Wardhus X— 58, 7a — 4, 860. TT-o, aii.j' Kola 1 i i i 2 ex tfao DE PARALLAXl SOLIS ex contaftu extcrno circa egrcflum TzrsS, 92 — 4,671. Tf — c, loy.y Wardhiis X— 59, 34 — 4, 8i<5. TT— c, 206. y Caiamburg. Summa omniiim valoium x prioris claflis cft 3A' — -99, 82+17: -^e deducitur TT ^ 8, 62-0, 0089.^ et A-zr 175 47-c, 168, j'. 24. Ex comparationc oblcruationiim ad Siaum Iludfbnis cum Lapponicis fequcntcs dcducuntur valo- res ipfius x : ChiTis L €x contaftu intcrno A-rr:-3, oS4 2, 35<>- tt — c, 155. ;' C.nracbnrg .r — — 2 79-i- 2, 245. TT-o, 153 j VVardhus A-— — 2, 61 -i- 2, 259. TT — o, I 53.J Kola Claffis COXCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 621 Clams II. cx cnnt:i(nii intcrno jr=r+29, 45-1, ^51- 7T-0, 17+.J W..rvilui3 x:=^ aS, S5-I, 329. TT-o, 174.J/ Kola ex contacflu cxtcrno .V — 2S, 39— I, 4-34-. ir — Cj 171- y Caiancburg A-— 27, 90- I, 284.. TT-o, 159./ Wardhus. Si ex \aloribus prioris clafl^is medium lumatur , prodit X — -2, 83 + 2, 287- TV-O, 154-/ ex vdloribus Tcro- pofterioris clalTis deducitur A-— 28, 65— I, 325. TT — o, 172.^ et contadus exttrnis exelufis a;r=2 8, r 4 — i , 3 59- ^-c, 170. j. Prior fuppofitio pracbet TT— 8, 71 — o, 005 o.j ct X— 1 7, 10— o, 166. y pofterior autcm TTzzS, 50- c, 0044 7 et .v— i(J, 60 — Oj \66.y. 25. lycnique comparatione fiicT:a obferuationum in California inflitutaruni cum Lapponicis , iequen- tes prodeunt valores ipfius x. I. Cladls, A" — — 18, 974-^5 235. 7T — o, i3<^-r Caianeburg -rz:;— 18, 6() 4-4, 121. TT — o, $35. >■ Wardhus A- — - 18, 4-7-1-4, 135 TT-o, iss.j Kola 11113 II. 6-2 DE PARALLAXI SOLIS vade mediiim A-=:-i8, <)9 + 4, 1^4. ^-o, i35-J'- 11. ClafTis. .r — 45) 23 — 3) 122- TT — o, 192. _>- Wardhus .rn: 44, 64.— 3, 194. TT — o, ipz./ Koh hincquc medio rumto .v=:44) 93-3, 158. tt-o, 192.J'. Valoribus ipfius x iam inter fe aequatis , ex aequa- tionc indc rerultantc deduciiur TizzSi^g — c, oo^jS.j et .rm^, 49— 0, 1(57. j. 26. Si nunc trcs \alorcs pio parallnxi cx fin- gulis oblcruationibus Americanis deducli , litteris A, B, C dcfii;nentur , tumque trcs \t lupru tormcntur hypothefes , quarum l. 19. Ttrr II A + 4B + 4C IL 27. 7T- II. A+ S B + 8 C IIL 23. Tti^ 11.A + 4B4- 8C fcquentcs inde deduccntur valores medii ipfius i: L TT rr 8, 68 — o, 0076./ IL TT — 8,67 - o, C074. y IIL TT m 8,62- 0,0077- J qui valorcs ccrte non magis diffcrunt ab iis , quos fupra inucnimus, quam vt huius difcrcpantiae ratio a lcuibus oblcruationum crroribus tacilc dcduci poflit. 27. CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. <>23 27. Nunc quoque iniucundum non forc arbi- tramur , inquirere qualcs inueniantur pro parallaxi valores , fi obfcruationum Amcricanarum inter fc inlHtuatur comparatio. Quum igitur obfcruationes ad finum Hudfonis fadac pracbucrint y— I, 57 — 0, 63(J.Tr-o, 095- a,--{-o, 6^1. y ex obferuationibus autcm in infula Regis Georgii fadis prodeat : vzz—zT, 294-2, 055. TT — o, 095. A.' + 0, 6^0. y horum valorum diffcrentia dat : oz: 22, 85-2, 701. TT + o, oor. .v-o, 029-^ ex qua dcducitur Tt — 8,4.5 4- o, 0004.. .V — o, 01 i.y fcu pro .V fubftituto cius valorc xz:i 17, 47 - o, i5S.y, 7: — 8, 47 — o, oii. :>'. Simili moJo ex contadibus cxtcrnis habetur pro Sinu Hudfonis |j.z= + o, 40 — 0, 549. TT— o, 090. .v4-o> 5o3-.v ct pro infula Rcgis Georgii [JL— -24, 15 + 2, 133. 7r-o,o9i- ■'V4-0, 531. .V. ex quibus fit 0=1245 55 — 2, 582. 714-0, 001 .v — o, 028 J' vnde TT — 9, 154-0, 0O04 X — 0,0 11. y feu 5-4- DR PARALLAXI SOLIS fcu pro X cius valore fiibnituto TT — 9, itf— o, oii. ><. Porro qiiia obferuationes contadluum intcrnorurn pro California dederunt K=— 10, 38+ O, 783. 7T-C> C98. .V-l 0,654.^/ hoc valore idi aequato, qui pro infuLi Regis G.orgii inuentus cll , habcbitur o-— 10, 91 — I, 282. TT-o, 002. x— c, 016.^ hincqne TT— 8, 51 — 0, 0016. x — c-, Q125./ et pro 1- valorc fubrtituto TT— 8, 4-8 — 0, oiti.r Demum fi valores ipfuis v cx obfeiuationibiis ad Sinum Hudfonis ct Californiae inlLtuiis (ic^iuclae iuter fe aequentur , obtincbitur hacc acquato: oziii, 95 — I, 4-' 9. TT-i-o, 003. v-o, 013 / vnde TrrzS, 42 4-0) oo:i T. .v — c, C092. y et pro .V valore cius introdudo TTzz 8, 4-(S — o. 0096. r. MeJium autem cx his quatuor dctcrniinatioiiibus TTzz 8, 64. -c, 1 1. V , cuni (■jpiM inucntis (atis bene conuenit. Nihilo iirnus t;imcii nulhim cll dubium, q\\\n dcterminatio cx contadibus cxtcrnis dedufta plus iullo a vcritatc diicicpct (^uoJ autcm e contra com- CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 6%$ comparatio contaduum intcrnorum iuflo rninores praebeaiit valores Parallaxis , proptcr leuiflimos crro- res obferuationum fieri poteft , quum in acquationi- bus vnde tt inueftigari debet , eius coefficiens fit ad- modum exiguus. Sic cx. gratia fi fupponatur du- rationem tranfitus inter binos contadlus internos pro infula Regis Gcorgii lo" efle minuendam , pro For- talitio autem Principis "U^^alliae tantundem augen- dam , inde numerus abfolutus in aequatione cx qua -jr cruitur, + o, 50 augebitur , ita vt habeatur 0=23, 3<5-2, ^ox. ir4-o,oOi. *-o,oftp./, cx quo fiet rx =z 8, <55 - 0, oir.j'. 28. Propter inccrtitudinem conla^uum exter- norum in Infula Regis Georgii obferuatorum , cic- iftis obferuationibus de vera quantitatc diametrorurrt Solis et Vcneris , nec non de correftione /, vix quicquam certi iudicarc licebit , interim notafle iu- vabit , li in aequationibus ipforum fx 4- J' et ^t. — v Yalores pro hoc loco exhibentibus , lubftituamar "va* lores pro Tt et x inuenti prodire : fA + J/rraX^- i2,5o+i, 30(J5->' et ^t - V — - 2, 17 - O, 04O4.J'. Combinemus vcro potius valorem ipfius p. pro Si- nu Hudfonis inuentum , cum valorc ipfius v pro Infula Regis Georgii , ex quo emcrget : H-+>'"-20,89-f-r,5i54.7r-o,i8(5i.A;+i,a729.y ^~yrr + 2i, Tom.XVI. Nou.Comm. Kkkk quae tf26 DE PARALLAXl SOLlS OT^ quie cxprcfllones introdudis pro tt ct .v ipforiim valoribus in fequcntes transformantur : {J. + V — - II, II + I, apsij p. — i'!::— c, (SS — 0,051 S.>' cx priori fit y-S, 58+ I, 55. X cx pofteriori autem ji — r i=— I, 12 — U>" Quum autem ex obferuationibus ad Siniim Hudfo- nis et Califurniae inuentum fit eflTe : jzrpi oo+i, 5<^'>.; /^— v — -c, 6s-;, X _y— 8,71+1, 55- >^^ p.-»'~-o, 94-,' X mcdio inter has tres determinationcs lumto . Oatui poterit ^^— 8, 7^- 29. Hinc quidetn adhuc de ver-! latuudioe "Vcneris Geocentr ca ncc ivm dianictri.) Vcneris , ni- hil concludi pofle videtur, nifi valor littcrac X, feu corredinnis , qua rcniidianiLtcr Solis indi^ct , fucrit dctermin.itus. (^uum autcm intir mcnfuras fxad s- fimas diimetri Solis in apcigco n Cclcb. Viris (/c la Lande ct Short inditntas , nonnili i'J' difcrc}xu;ria fit , medio intcr vtriusquc mcnUir.is cap'i> , diamc- trum Solis i^" diminucrc liccbit , c\ qiu. habeh^rnr" A — — 0,62, Hoc nutcm valorc p) > A m :t(.i.;uat'o- nibus fiipra alljtis (ubllituto , fiodit y :i: 7'', 8 ct CONCLVSA EX TRAXSIT. VENERIS. (J27 tr:^ — — c", 43 , riim ^eio fiet p. =r — i, 05 et V— — c, 19. (^uiim iyitur femidiamcter Vcncris •fit r: 29'', o ■+ ^- * \(.ru> talor Iniius rcniidinmc- tri erlt =28", 57 idcoque totiiis diametri 11:57", 14. quod omnino concordaro deprehenditur , cum men- furis hiiius diamctri Micrometro obicdliuo a variis oblcruatoribus inllitiUis. 30. Quod autem corredionem attinet , qunm rro latitudiiie Veneris inuenimus , non reticendum eil , cam multo magis diibiam vidcri , quum variac obfcruationes ad dilbiitiam minimam centrorum So- lis et Vencris dctcrminandam inlliiutae , probare vi- deantur , corredionem latitudinis aliquanto minorcm ftatuendam eflc. Ad Sinum fcilicet Hudfonis hacc dilhntia inuenta eft 9', 54", vnde prodit vcra dirtan- tia minima 10'. 5", 7, ideoquc correiflio latitudinis + i", 4. Noritoni in Pcnfyiuania eadem dii^antia inucnta fuit 10'. 3", i, vnde vcra diftantia minima 10'. 10", 4 et corredio latitudinis -f 6'', ». Nonae Angliae a Celeb. Wimhorp oblerUcita fuit diflantia minima 9'. 59", 7; vnde colligitur vera diflantia mi- nima 10'. 7", 8 et corrcdio Lntitudinis +3", 5. Deni- que fupcr Infula Rcgis Gcorgii diftantia minima inu(.nta eft 10' 25'', 4, quae eff.du Parallaxis correda pr^ie- bet veram dilhmtiam minimam 10'. 1 1', 6 idcoqv.e corredionem Latitudinis + 7'', 3. Caet^rum infignis difcrepantia harum dcterminationum , ad earum cer- titud.ncm infringcndam non parum vakt , praejri- mis quiim aliac obferuationes ad diftantias centro- K k k k 2. rum 6i^ DE PARALLAXI SOLIS rum Solis ct Veneris explorandas inflitutae , indici- re vidciintur diilantiain mininiam centrorum proxi- nie Uatui poflc lo'. ii", idcoque corredionem Lati- tudinis fere 7", quae tantum vnico fecundo ditfert ab ea , qnam obferuationcs contaduum praebenr. Hoc faltem audad:er atfirmare non dubitamus , ne- quaquam fieri puffe , \t corrcdio Latitudinis infra 5'' deprimatur. 51. Si iam in formula pro parallaxi inuenta TC — 8j 60 — c, 00. 6.y loco y eius \alor 4- 7i & in- troducatur , prodibit verus valor Varallaxeos Solis borizontaHs tempore Tranfitus Vencris per Solcm r= 8", 5 5 > corredio autem Longitudinis geocentri- cae hinc deducetur r::i6", 15, ex quo (equitur tempus coniuncf^ionis Solis et Veneris 4'. 5" tardius incidere , quam in calculis noflris fuppofitum fuit. Elementa igitur Aftronomica correda iam ita fc habebunt : Coniundio vera Solis ct Venerls contigit I75p. d. 3. lunii io\ m'.^.^" Tcmp. PariCmcdi» feu 10. 13. 57 Temp. vero pro quo momento erat : L Longitudo Solis et Vencris a*. 13'. 47'. ao" IL Latitudo Vencris Borealis 10'. i8", % 111. Parallaxis Solis horizontaiis 8", s $ pro difianria igitur Solis mcdia habetur parallaxie eiui horizQUtalis —8", 58, vnde difiantia Solis mc- dia CONXLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 629 dia 23753 femidiamctris aequatoris terreflris , pro- xime aequalis baberi poted. Notandum denique eft, fi ccrredio Laiitudinis llntuatur tantum 5" paralla- xin Solis inueniri 8", 57, id eft iS fec. diuerlam ab ea , quam adoptau mus , vnde tanto magis crederc fis trt , noftram ceterminationem pro parallaxi \ix -vicefiiv.a parte vnius minuti (ecuodi a \eritatc alie- nam cfle. 32. Vnicum elementum , cuius Tcrificationern adhuc fufcipcrc !icet , c(l ipla longitudo geographicx loci fuper infula Regis Georgii, \bi obltruatio perada cft, fi cnim ea quali<; a nobis aflumta fuit, multum a \cra abtrraret , ipfa quoque determinatio paral- laxis ipfi (uperftrudi aliquantum dubia redderctur. Vt autem \eram longitudinem eruamus , \alores ipfius y pro hoc loco inuentos a fe inuicem fubtra- hamus > quo fado prodibit haec acquatio ; 0=:— ao, 95 — o, 2502» TT-fi, 4553. A'-f o, 22d8. y + 0, 099i-^- In hac aeqaatione Tam qnidem ftatim pro ir, x et j valorcs abfdUuos in §. praecedenti fVabilitos intro- ducerc liceret , contukius tamen duximus pro 7r et X viilorcs ipforum quantitate / adhuc adft(fios fub- ftituere , \t appareat inccrtitudinim veri \a1oris pro j hoc negotium miaime turbarcr Hoc autem fa(5la prodibit O — 2, 32 — O, 0I flatui debet — 10, 20. Conflituamus iam duas hypothefes, qua- rnm prima erit , fi obferuatio contacflus interni D. Grcen pro ingr.fTj combinctur , cum obferuatione fi- milis contadus D. Cook pro egrefili , altera vero fi vice mutata obferuatio D. Cooh pro ingreffu , cum obicruatione D. Grcen pro egrelTu comparetur. Ex priori igi^^ur fiet. v — - 11C, 874-2, o3 3 toius triinfitiis propius ad coniundionem ibi fit obfer- vatus qu:ini ad centrum telluris , manifeftum reddi- tur pro hoc loco moram Veneris inter duos con- tadus iniernum et extcrnum , (altem i8', 40" fuifle dcbcre aequalem , quum tamen pro egreffu non nifi ad I S'- 11'' affurgat. Ex hoc tamen ratiocinio non- dum inferre licet , vtrum principalis error in obfcr- vationibus contaduum externorum , an forfan potius internorum lateat ? Quum vero obferuationes con- taduum internorum , egregie conueniant cum illis ad finum Hudfonis inflitutis , fufpicandi omnino ra- tionem habemus , in contadibus externis errorum fontem potiffimum quaeri debere. 35. Vt id ipfum nunc magis direde oflenda- inus , comparationem inftituamus , binorum valorum pro y ex contadibus internis inuentorum , cum iis , quos pro binis aliis locis ex obferuatione ingreffus ct egretrus elicuimus , et inde quaeramus \alorem ipfius d, quodfi enim ifte valor ex fingulis his com- parationibus proxime idem prodierit , id manifefto haberi debet indicio , momentis contaduum inter- norum , graucs errores ineffe non poffe. Ex ol> feruatione contadus interni Grenouici a Cel. Maskeljne fa(fla , hanc elicuimus acquationem : V— 5, 06 — 2, 5008. TT+o, 6477. X-rOy 75i9.y cum qua fi valores ipfius v pro rnfula Rcgis Georgii inuenti combinentur, hae duae prodibunt aequationes; o:=-f-344-»7- 7r-t-o, 0242. a:-o, 0259. j/ — c, O4PO. 9 Tom.XVI.Nou.Comm. Llll 0 = + 6 34- DE PARALLAXI SOLIS 0=r4-i5, 7<5-4><5pi9- "^ + i . 4795- -^^ + o, 2059. y + o, 0501 d. In vtraqnc pro tt ct .v introducantur valores §. 22. afli^nati , vnde in has transformabuntur : o^— »,07 — o, 0034 y — o, 0490. & o=:-hij 35-0, 01 s^^.^^ + o, 0501. d tum vero polito j z=. ■{- s", crit o = — I, 10 — o, 04.9^ et o — +1, 24-fo, o5od ex priori fit ^--22", ex poftcriori autem $--25'', adeo vt vix maor confenfus cxfpcdari potucrit. Obferuatio conta(flu5 intcrni pro egrefTu a Ccl. Prof Lowlts in Gurief fadla hanc praebet aequationcm : y— 29, ^9-- 2, 2752. Tt-o, 8595-^ + 0, 5»io.^ tbi notandum -eft, numcrum ablolutum huius aequa- tionis p. 442. P. IL Tom. XIV. Nov. Comment. allatum , in pracocdcntem cfTc immut;itum , qnum pMbdblc fit Loni^ituJinem opp di Gnricf a Panfiis cfT; paulo minorem ea , quac ibi affumta tuit. conf Tom. XV. Nov. Comment. p. 63S. Co rbinatis nunc valoribus v pro infula Regis Gccir^ii cum Guricfucnfi , hae prodibunt aequationcs: 03:60, 94—4, 2161. TT- I, 4S30. .V — o, 2768. y — o, C490. d 01=39) 99-^, 4<5<^3. TT-o, 0277..v-o,c4+o..>' 4- o, 05C1. ^ cx quibus dum pro tt et x valorc» lubiliiuuntur , prodit : o— — CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 6 5$ 0—-T, 23-0, 0008. j-o, 049. ^ feu O, O4P 0 — — I, 2,|. Ct oir+i, 10 — 0, oi2nedubium poui. 35. Ad fimile examen obferuationescontaduum extcrnorum iam quoque rcuocaturi fumus , quum autcm ex iisdem fi veritati fupponautur congruae aliquanto maior iequatur parallaxis ea , quam pro vera aflumfimus ,• ne proinde nobis obiici queat vim ratincinii noftri piane corruere , fi alia fupponatur parallaxis , inter valorcs ipfius x ex contadibus ex- ternis §. 7 et 14. dedudos , deftinato confilio binos elegimus , qui inter fc combinati maximum praebe- reiit valorem parallaxis. Tum vero inucnimus pro parallaxi TT— 9, 04 — o, 0073.J' indequc A-cr 17,77-0, 168. jv. H's igiiur valoribus tantispcr pro veris afTumtis , quacramus qualis ftatui dcbeat corredio Loni;itudinis L 1 1 1 2 Gcogra- "vnde habetur 0 rz: — 3 2". Fada iam combinatione valorum [jl pro infula fae- pius dida inuentorum cum eo , quem ex obleiua- tione Grcnouicenfi dediiximus , \troL]ue modo obti- nebimus ^ — — 32", quod autem eam imprimis ob caufllim fieri deber, quia \alor x prioris claffis vnde quantitatem par.illaxeos detcrminau:mus cx ipla ob- feruatioiie Grenoui-o, 0514. ^ ex pofteriori autcm o— -f o, 91— o, oii^y + o, 0523 & fuie onz + o, 82 + 0, 0523 ^ prior igitiir dabit 0--^^", pofterior vero 0--i6", quoriim valorum didcnfus omnino tantus eft , m eius rjtionem nullo modo reddere vaieamus , nifi fupponere vclimus in mnmentis contaduum ad in- fulam Regis Georgii obferuatis , infignes latere er- rorcs. 27. Nunc itaque quum elementa a nobis §. 31 ftabilita, fuis cxtra dubium collocata eflo videnn- tur, fi eorum fiat fubltitui.o in valoribus pro jx et V inuentis , fingularum obferuationum aberrariones , faltem quam maxime probabiles afilgnare poterimus. Si enim verum tempus vniuscuiusque contadus ponatur aequale momento obferuato — r'' , valor ipfius r facile dcterminari poteft, quippe qnum litrf- ris ^ et T idem conueniat coefficiens. Quadrupl-cis autem generis obleruationcs , numeris maioribus I. If. III. IV. inter fe difiinguentcs , quemadmodum in P. II. Tom. XIV. Nov, Comment: p. 483 fadum eft, fequentes adepti fumus valores ipforum t» Llll 3 63S DE PARALLAXI SOLIS L Pro Infula Regis Georgii longitudinc fup- pofita lo". 7'-"" vcrius Occid a Parifiiis. Moment. obfeni. Momcnt. ver. I.rzr + ei 21". 25'- 40" 21". 25'. 19" II rz^- 5 44- 2' 44- 7 nLr=+ 4 3^ 14. 3 3^ 13. 59 lV.r-_34. 32- 14 4S n. Pro arce Principis Walliae ad Sinum Hudfonis longitiidinc fuppofita 6'\ 20'. 20" Momcnt. obfcru Momcnt. ver. l.r^ + i o'^57'. 3" o^57'.i2" Il.r- + 7 I. 15. 24 i. 15. 17 in.r = -2 7. o- 47 7. o- 49 IV. r=:-i 19. ^i 19. 22 in. Pro caftJlo Sti lofcplii in California fup- pofita Longitudinc 7^ ^s', 8". I. r=+i IL r = -4 Momcnf. obleru. o^ 17'. 27" 5. 54. 50 Moment. ver. o^ 17'. 26" 5. 54- 54 38, Vt de cxn(f^itudinx; et prnccifione vnloris, quem pro parallaxi Solis adopuiuimus , co accura- tius fcrri queat iudicinm , inquircndum crit qualcs crrores in variis obfcruntionibus lupponi dcbcrent , ■vt parallaxis data aliqua quantitatc ficrct maior. Si euim CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS ^39 cnim hi crrore>^ enn.iant pr.iegrandcs , inde cerro in- ferre Jicebit , pirallaxin ad cum valorim incrcfcerc non pofle. Quum igitiir aeqmuio ex qua pro in- luh Kegis Georgii contaaibus intcrnis adhibitis , va- lorcm ipfius tt deriuauimus ita fe haberct : o n 95, 78 — II, 2S9. 71 — o, 090.7 liquct pro parallaxi 9'', numero abfoluto huius ae- quationis augmcnium ciiciicr ^, 86 tnbuendum efle, \iidc fi hacc corrcdio per \a!ore5 x vtriusque clas- fis nequalitcr dillribuatur , patet numeris abfolutis proris clallis addi debere —2,43 pofkricris vero + 2,43, Quodfi ounc rat.onem crrorum folum iti obferuationibus infulac Kesis Georgii quaerere valle- mus , numerus abiuUitus in acquatione valorem lit- tarae v pro hoc loco exhibente , augeri deberct in rat one i numeri - 2,43, id eft incrementum ca- pcrec — — 1,82, quam ob rcm f» denuo hic error aequaliter pcr vtrumque contadum intcrnum diftri- buatiir , habebinus pro contadu interno in ingreflii — I, 82 — c, 049- T fcu r— — 37", pro c( ntadu vero interno in egreflli + i, 8a — + o, 050. T lcu T — 4-36", qui errorcs omni deftituuntur verifimi- litudine. Sin vero parallaxis adeo fupponcretur eflTc 10'', vnde corrcdio numeri abfoluti prodiret — i5, !i, fi ea corredio tantnm ex erroribus ob- fe^uationum fuper infula Regis Gcorgii deriuanda eff^t , ad valorcm litterae v addi deheret — ex quo haberentur pro error bus obferuationum hi valures IL t— ~a'. 5'^ et III. r — + 2' , quod fioa 6^0 DE PAKALLAXl SOLIS non (()la:n non probabile , fed ne {X)fl"ibilc qniJem erte quiuis f;Kile agnolcct. Si vero (ub hypothefi parallaxis 9", errorum dirtributio acqualitcr fien de- beret , per omncs oblcruationcs , tum pro obferua' tion bus quidcm in Europa factiii , hos ftatuere ne- ceffum eft crrorcs IL t — -f 18" et 111. r zz — 18" pro obleruationibus autem inlulae Rcgis Georgii IL r — -18" tt ill. r=:-l-i8". Senfus autcm huius nortri afllrri non is eft, qnafi inde fequeretur, finguijs obferuationibus Europeicis raics errores tri- buendos efle , quum ex ipfa rei naiura perfpicuum fit , alias plus alias vero minus a vcritate deflt(fte- re pofic , led ita interpretandus eft , quod Uimma omnium errorum , quibus hae obleruationes afficiun- tur , tanta fit , vt fi omncs aequc aberraflent , fm- gula momcntfl conta4-<5^3-'^-0)0 277.j;-o,o4.4o.;'+-o,0 5oi.'r cui aequationi valores noflri pro tt, .v et j' certe fa- tisfacient , fuppofito tantnm r — — 3 ,• at fi paral- laxis effet 9'', ad numerum ablolutiim denuo 2, 01 cflent addcnda , ex quo iam fieret t — -f 40", ideo- que iundim r — -f 37". Sed quid opus elt plura huiusmodi excmpla cumuhire , qnum haec abunde fufficere qucant , ad euincendum , quod qnnntitas pa- rallaxs Solaris nullo modo Ysqiie aJ 9'' augcri pofiit. 40. Quum \ti fupra notauimus Artronnmi Angli fuper infula Regis Georgii, didantijm quoque niinimam centrorum Solis ct \ eneris oblcruaucrint y occafio hinc nobis datur examinandi , quo in pretio huiusmodi oblcruationcs habcri debeant ad parjlhixin Solis detrminandam. Pnnuim igiiur videam.us qualem obfcruatio modo mcinorata pracbeat paral- laxin , fi cum diflaiitiis minmiis , ad Sinum Hudfo- nis , Noritoni et nouac Anghae captis confcratur. Exprefl"iones autem. vcrae difbuitiae minimac pro his locis ita erunt compnrarae: Difl.mtia minima pro 9' 54" +1.361. TT Hudlons Bay lO'. 3"i4- o, 857- '^ Noriton 9- 5 9, 7 4- o, 946. TT Ncu-Engjjnd 10. 25, 4— I, 627. TT King Gcorg Eyland. Lx CONCLVSA EX TRANSIT. VENERIS. 545 Ex compirationc autem -vltimac cum reliquis dedu- citur TT— 10, 51 ^el 71—8,98^0171 — 9,97. Infignis difli.nliis , qui inter has detcrminationcs fc prodit , eas iam admodum quidcm dubias reddit , nc autcm nimis praccipitantcr iudicium tuliffe Yidea- niur , confiderarc tantum placet , quid error vnius minuti fecundi , ad has conclufiones immutandas valear. Supponamus igitur pro vltimo loco dill.Huiam minimam obleruatam vno minuto fecun- do imminui diberc , inutniemus autem tum pro tt fequentes valores 4-10,17, +8,58 et +9,57. Qiiid autem fi haec diltantia duobus vel tribus fc- cundis diminuenda fit vel potius quod probabihu» videtur eae pro HudfonsBay et noua Angha tan- tuiidem augendae ? Huiusmodi autcm errores dum de menfnris dinantiarum quaeftio ei\ , vix euitari poflc contendo , quamuis lubenter concedam micro- metris obiediuis , omncm quae defiderari poteft tri- bucndam effe exaAitudinem. Hoc enim in negotio , quum ditHciUimum omnino tlfct , innrumento eam conciliare pofitionem , in qua rcda pcr centra Ve- neris et Solis tranficns et;am per contadum imagi- num tranfuct , ficri omnino potuit vt dirtantia. hm- bi Veneris a limbo Sohs infto maior fit inuenta. Hoc (aitem ex pluribns obleruationibns fuper dilkn- tiis marginum Sohs et Veneris U\£t.s edoclus fum , in iisde'i) capiendis , errores 3, 4. quin et adeo 5" committi poffe , cnr autem huiusmodi operatio pro diftamia nunima niarginum menfuranda ab omni erraiidi pcriculo efle dcbcrct immunis nullam per- M ui m m 2 fpice- 644 DE PARALLAXI SOLIS fpicerc valeo rationem. De his autem alia occafio- ne furius agerc forfan licebit , pollquam plurcs dl- Ihiitiarum menfuras calculo fubicccrimus. Interim fi fuerint , qui cx obleruatiombus diUantiarum mi- nimarum , parallaxin 9" maiorcm dcriuare fatege- rint , ab illis mcriro poftularc licebit , vt fufficien^ tem fequentis quaeftionis folutionem reddant : cur probabilius fit in obferuationibus contaCtuum internorum a qmnquaginta vel pluribus objeruatoribus injiitutis ,. errores ad 20" 'vel adeo ad 30" ajjiirgentes Jlatuen- dos ejje , quam in binis obferuationibus dijlantiarum minimarum micrometro captis errores 3 <;•i^- - 0, 3T. vnde fx — — 2, 80 er v^— — 2, otf'. Ponamus iam fcmidiametrum Solis cffe — 947"' rt ex menruris Cel. rt'^ la Lande fcquitur , femidiame- trum autcm Veneris — 2S", (S ct pro contaftu ex- terno habebimus diftantiam centrorum 975", 6 , pro coiuadu ;iutcm intcrno —918", 4, quum autem ex cakulis noftris pro contadlu cxterno fit :=976"-}-(jt z=973", 20, et pro interno 918'M- v rr 915", 94;. cuiJciis hinc fit effi^flum refradionis fub hac hypo- thefi pro contadu externo effe — 2, 4 et pro inter- no — 2, 5 circitcr. Hinc autem dcduceretur , ob cffcdum refradlionis , contadum extcrnum 46", in— tcrnum vero 50" ad tempus coniunftionis appropin- quari. Si vero ma',is placuerit cum Aftronomis Anglis diametrum Solis rtatuere tantum —945"» 5 effe- olus refi-adionis pro contadu extcrno erit r- — 0,90 et pro contacftu intcrno zz-^Oy^C^ ideoque con* tQcljs externus hinc 17", internus vcro 19" verfus- rempus coniuuiftionis promouebitur. Ex his igitur liquet adhuc dum nihil certi de efftdu atmoiphae-- rae Veneris pronuntiari poffe , imprimis quum non- dum fufficicntcs praello fint rationes , ex quibus condudtre poffcmus valorcm littenie y multum in- fra 7'', 8 deprimi debere. Per fe autem patct Ya- lores a nobis affumtos litterarum >', {J. et v i«a efle M m m m 3: comp^ar 6^6 DE PARALLAXI SOLIS comparatos , \t cflfcdiii ex atmofphacra Vcncris ontiiro nullus relinquatur locus , nifi forliin \alor fcmidiiimetri Soli» aliquantum immutiindus eflct. Negare quidem non \olumus Vcncrcm atmoCphac- ra praeditam cffe , vtrutn \ero hucc atmolphacra fenfibilcm cxferere \alcat effedlum , ad ipfam dura- tionem tranfitus imminnendam , quaeflio tll , de qua nimis praeceps fcrtur iudicium, antequam ccrtiflhnis rationibus euidum fit , quinam \alorcs lutitudini Vcncris Geoccntricac atquc diametris Sol:s et \ene- ris reapfe compcierunt. 42, Quisquis nrgumcnta norir.i , quibus indn]ue nodorum motusannuus, ex iis lum- mj cum praecifione deriuantur, diametri quoqucVeneris adparcntis vera quantitas pcr ingreflus in difcum (olarem vel ex eodem egreffus moram tanta cum exaditudine poteft definiri , quantam ex dimenfionibus micromctro vulyari capfs obtinere vix licet. Inprimis autem his dirquifitiombus idoneae funt obferuationes illorum loco- rum, vbi totam tranfitus durationem conlpiccre Iicuit, Tom.XVLNou.Comra. N n n n ex 6SO ELEMENTA ASTRONOMICA ex qiiibjs quippe (ubtcnfae a Venere in Solis difco pcr- curlat tuta loii^itudo immediate innuielcit. Cum ita- que Vener.s a:(no 1769 in Sole vilae tres illius- rtuidi complctae obferuatione;» ad Acadeiniam fint tranMViifliie^ eas pro liioilicudis ilUs ekmeutis hic ad examen reuocare placuit. § 2. Ante omnia haec inueftigatio fummam in alfii^nanJis motibus Veneris horariis praecifionem po(hil.it , quaidoquidem ex iis orbitae apparentis in- clinatio dcfiiiitur. Cum itaque ad ttmpus coniundio- nis fic Vtni.ris anomal a media lo^ 4-°. 4='. i3"i excenirica 10* 5" >'. 54''; vera 10'. 5°. 21'. 30"; motus Veneris horarius medius ex euis reuolutioiibus coi^nitiis 4.'. c". 32; motus denique horarius Solis £'.23". 50; i(li motus lccuiidum mcihodum a Cel. La Lande in Comment. Acad. Parifinae anni 1761. cxpofitam computari ita deprthcnduntur eNprefii : Motus Vcncris horaiius hclioccntricus. in orbita . . . 3'. 5S". +0. Inchnatio orbitae Veneris in tcliptica . .3' 57''. 9» rtiatuae S^^zS'. 5+" Mo- in latituJ 14'' 09. tus ? horar. in orbita ap- a Sole 94-" +8. pareute 95". 52. F.x his motibus iii ratione dinantiarum Veneris a terra ct (oic audis coUiiiuntur Motus horarii gcoccntrici. in ecliptica 3'. 5-?". 54 in < rnita rciat ua . . . 4^'. o". 16 iu latiiudincm 3 3". 4-- §. 3. THEORIAE VENERTS. 6Si §. 3. Conflitutis hls, pro {Ingulis obfcr- vationum momentis cffldus parjHaxis lolis in accc- LrmJo vel rttardando contadu v (o ab eo, qui pro fpedatore in centro telluris conHituto locum habertr, funt indagandi ; quos in hypotheri parallaxis (o! s hori7,ontalis ~8". 55 vna cum tempor bus veris fingularum obfcruationum (ubiunda tabula repraefentat. I. Ad Sinum Hudfonis. Temp. ver. EfTcdlns paral'. Coi.t.l. 0^57'. i" 3'. ^o''. 8Accel. ....11. 1^15'. 2 5'' V. I"-". 9 ...111 7'. o'.49" c. 39".+ — . . . IV. 7*. 19'. 21" o'.5o",9 ergo pro centro terrae mora ingreflus 1 b'. 50" egrcffus 18 '.4 3*' duratio totius tranfitus inter contadlus intcruos II Pro California. Cont. TI. [o^ 17'. a-7''| o'. 1*7" 2 i\ccel.| durntio tranfitus '.41' 5 5^7 iIl.|5'.5V.5o"U'49"-9 Cont I. .. . Il ...111. ...IV. III. Pro Infula Regis Georgii. ii^ss^.^o", 5'. 33" ^Rctard.jmora ingrcfTus 18' 19'' 21^44.'. 2"|5'.36".4 -- I -- egrefTus iS'. 5" 3^14'. 3"! 6'. 17". 5. Acct-l [('uratio trandtus ^''.^^'iVU'.!!".^. Is^.A^'- 5S" §. 4. Principio i-;itur vt ex hs obfi-ruaiioni- bus feniidiameter Vcneris adparcns , in (cquen-ibus vlui futura , innotcfcat ; ftatuatur ceiurorum Ventris N n n n 2 e» ^?2 ELEMENTA ASTRONO^.ICA ct Solis dida i a nvninia izeo?''^ quilis cx tabuMs Hall.ianis rcptritur. Hac aHumta, ct poiua Veiicris feiiiidiainctro zz. 32 % quae ell roaxinia dus quanti- tas , quam aliqu^^t Ccl. Abbatis ae Cbapje olier- Yationcs anno 176 1 Tobolski i' ftitutae cedcrunt , mora ingrcffus vcl cgreffus gcoceniiica vicpri-hcnditijr ao''. 51'^,' quae fi cuir mora ^x ringuiii, oblcruaiio- mbus dcduda con parctur, prouit ex obleruatione fciridiam Vcncris . . ^ rr jr • S pcr ingreffum... aS''^. 90 Ad finum Hudfonis ;> ^ ^ ^ „,, c per egrclTum .... 28^ .73 T • ri D /- .. S Pei" ingrcfnirii ...^%'\n la mfula Reg. Georgn S /^ / •^ ° t pcr egreirum . • . 27 .75 Medium zS^^-sp. Verumtamen cum in vltima hac obfcruationc mora egreflus 18''. 5^' nimis parua fit ; ea crrori^m in alterutro cont.i(flu obleruato argucre vidctur j et cum infuper ctiam de contadlu cxtcrno in ingrcfTu non leuis fit dubitancli ntio, aluinde (c(c n.aniiclluis ; fumto ex duabus pnonbus determinationibus ir.cdio , lemidiameter Veneris tutius ftatuitur 28^' S^ quae iniliper , quando di(bntia centrorum miiunia ndcu- rntiiis innotucnt, etiam maiori cum praccifionc poicrit dcfiniri. §- 5. Cuni igitur folis fit fcmiJiameter —15' 47'''' o crit lcmidian ctr( rum differcnt^a 918^^. 2. Dimidia autcm duratio tr.infitns i;e(>cciurici iutcr cpcr pro vcra flfTua^.cndo , colligitur coniuu(ftionis ? ciim G 1769. li'n. 3- Ti-mpns verum Panfinum . . . . i o''. 1 4''. 8^' Ttmp. med. . i^''- 'i'- 5 5^' atquc hjnc diflcrcntia 11 cridiauorum a rarifiis Arcis THEORTAE VENERlS. 65 s Arcis Priiicipis Walliae 6^. 26^. i\*' Obferuatorii in inf. Georgii . .. 10*. 7''. 33"'. §, 7. Repcritur iani , his conftitutis, cx tubu- lis Cel. de la Caille pro ipfo coniuniftio.iis momcnto longitudo Veneris geocentrica — 2^ 1 3° 27''. ii^\ Latitudo Tero geocentrica (upra inuenti! zi lo^ 19^^.4 Latitudinem praebct heliocentricam — 4.^. 6'^ hinc ob iiiclinationem orbitae ad eclipticam —3°. 2 3' 20" conchiditiir arcus heliocentricus inter pundum Nodi et coniundionis rr i". 9'. 20^^^ ex quo pro tempore coniuniftionis prolit Longitudo hthocentrica Nodi dcfcendentis 8*. 14.'. 36^. 41^'', per quem Vcnus tran- liit lun. +''. 3^ 40^. 55^'' temp. Parifino medio. § 8. Ex Latitudinc Veneris geoccntrica 9'. 37"? in tranfitu eius pcr Solem anno i7<5i. obleruata inueni eius a Nodo diftantiam i'. 3^ 46^'; hinc cum fecundum calculos Ctl. de la Lande ( Mem. de Paris 1761. pag. 33<5.) momento coniuncflionis fue- rit Vencrii Longitudo heliocentrica 8'. 15°. 36^. 1 1''^ conciuditur Longitudo Nodi cclcendentis 8'. 14^32^. 25^^ Hoc eigo tempoiis interuallo , quod eft ^'"'•'•'"'"- 4- 36 a'*. 16* 22', motus lineae Nodorum Veneris deprehcnditur 4.^ 16^^ ; \nde prodit motus annuus refpedu neqninodiorum 32''''. 03 ; fiue — 18'^. 30 refpcdu fixarum , poGta ncmpe aequi- nodiorum praecelVione annua rr 50'^. 33. Haec determinatio — i H^^ 3 ab ea , quam Cel. la Lande ex theoria attradionis -vniuerlahs deduxit , difFert quantitdte 2^^. i. $. 9. 656 ELEMENTA ASTRONO.v.iCA §. p. Si tkmeDta hii(flcniis irucfiignta cnm ijs, in praecedeiiti Tomo Commemar oium pag. funt expofita , conferantur ^ non nifi in ttm- coniundionis difcrimcn 16'^ depreliendetur , quod Yero potifiimum a praecifione pcndct , «ua Longitudo Caftelli St. lolephi in Calitornia eft de- terminata. quae pore Interim igitur ifia clementa heic in confpe- iJlu ita exhiberi conucnit . 1769. lun. 3''. Longit. ? hchoc. Lat. heHoc. Dift. centr. min. L'>ng. Nodi afccnd. Mot. Nodi fccul. Diameter ? in difi O mcdia Ratio voluminum Veni-ris et terrae Venus per Nodum dcfcendentem tranfiit temp. Pa- rifino medio 1769. lun. 4''. 3"- 4o^. 5 5^''- fino medio Diffcrcntia a tabulis 10". 11'. 55" Halleiani^ Caflinianis 8'. 13^27'- 2 i^' + 1'. 3" + o^ V V. 6" 10' 12". 6 + 6" 7'' 2'. 14^36' 41" + 2'. 56" - r'. .V' 53 • =J + ^'- 43" ~ 3'. n' 16". 5 8585 : loooo. §. 9. Ad fcmidiamctrum Vcrcris quoJ atti- ncr ; mcnfurae ahcjuot micrometris ohic^fliuis captac cuiTi deteniiinntione §. 5. tradita optime confeii- tiunt. LIl cniin ca cx oblcruationibus Noritoni in Pculj^l- TIIEORIAE VEN€RIS. 6s^ Pcnfyliiania f.^iflis ; fuinto medio z%^\ s i retropoU aS'^ 5 i Ponoi a8^^. 6. Diftantia vcro centroriim minima , quam fu- pn §. 5. inueni 10''. 12^^. 5, per micrometra ob- iccliua non maior, quam lo^. lo'^ vel ad fummam lo^ 11^'' eft deprehenfa , pofita femidiametro Solis 15^. 47^^. Cel. La Lande vt confenfum inter con- dufiones ex durationc dedudas et immediatas men- furas obtineat , diamctrum Solis aliquot minutis fe- cundis minuendam cenfet : vnde prodiret diftantia ccntrorum minima lo^ T'^ vel iC. 8^^ Fortaflis vcro ratio diflenfus inrer geminas iftas determinatio- ncs potius in atraofphaera Veneris quaerenda vi- detuTk . \ f Tom.XVI.Nou. Comm. O o 0 o TEN- T ENTA MEN ORBITAE VENERIS EXCENTRICITATEM ET APHELIVM , HViVbqVE MOTVM ANNWM DtiFiNlENDI. A u c to r c W. L K R A F F T. Orb'tarum , in quibus fcruntur planetac , cxcen- tricitatibus , locis apheliorum , horunique an- nuis motibus dctinicndis cae prae cctcris accommo- datae funt oblcruatior.es , quae in principulibus orbi- tarum pundis , apfidibus et dilbintiis mediis , funt inllitutae. Ex tribus huiuscemoJi obferuaiionibus intcr fc combinandis exccntricitatem ct aphehi pofi- tioncm detcrminaudi , ea inier rchquas eniinet irc- thodus , quam in Comment. Acad, Panfinae thco- riae Sohs et Martis a Ccleb. Alironomis La Caillio et La Landio legimus adplicatam ; qnae vcro prac- ter motum planctac mcdium annuam quoquc aplic- liorum pracccflioncm tanquam calcnh elcmenta ium- ma cum praecifioic fupponit cognita. Motuum quiJem mcdiorum (atis cxadam cognitioncm Artro- nomoium dcbemuj xi^iiliis , qui contra iu alTjgnan- dis DE EXCENTR. ET APHEL. VENER. 6^9 dis apheliorum motibus notabiliter a fc inuiccm dilcrepauf, Id intuens opcrae pretium duxi pericu- lum facere , annon modo laudata mcthodus co vique polhc perfici , vt motus quoque aphdiorum annui quantitatcm patefaciat , quod tentamen Veneris theo- riae adplicatum Jeuiter hic adumbrarc conftitui. §. 2. Obferuationes , quibus in hac disquifitio- ne vfus lum , fequenti tabula compkcftor : 715. lan. I i-ji6. Aug. 26'^. 8^3 V- o",28''. 16'' 36/ 42'' V. 6».2 2'.5S"|ii*. 5"- 49'- a" + 2'.5 5"( + o' 51" 4.'.6^.2 5'.S3"lii'- 5"+9'-53'' ? prope perih.l? prope aphel. Temp Parif med Loc ? heUoc. in eclipt. Redud. ad orbit, Loc. ? in orbir. Temp. Parif med Loc. ? hehoc. in edipt. Reducfl. ad orbit. Loc. ? in orbit. $ 3. Statuto iam motu Vencris annuo mc- dio 7'. i+^ 4.7'', 29''^ i pro fingulis harum obkrua- tionum intcrualhs motus Loigitud nis mcdiae pof- fuiit computari , qui vna cum n.otibns Longitudinis \erae ex ob(eruationibus dcduiSis ita fe habcre de- prehenduntur : O o o o s Motus 1718. April 8'. lo^ 15'. 11" 1759. lun. 3"*. lo^ 11'. 39" 6*. 18°. ^2'. 13" - 2'. 49" 6'. iS". 59' 2+" ? prope ailh med. 8'. 13'. a7'- 20". + c'. 7" .'. ,3'. 27'. =7" ? prope dill med. tftfo DE EXCENTRICITATE Pro Interuallo iV° 1715-1716. Motus long. med.b^sp''.^^'.^!",^ lone. verae|6'. sp^.a^'. c" ll^^i^iS-iTiS. InV'" i^i$'i^6g 11°. 26^.42^ 5V.6°.2o^.5o^',6 § 4. Pro ttimpore priinac nollrac oblcruatio- nis colJigitur : ex tnbul. Ilalleiaivs reucra vero Longir. aphelii — L— 10'. 6''. 45^. 39^^. 5 — L -H r/ L Mot.aphel.annuus — |i. — ^«^^''•SS — {J- + d [i. Excentricitas — e rr o, 0069S rzz e + d e pofita didar.tia ined. rr i. vbi iam neeotium in eo verfatur , vt valores ha- rum corrc(fti()!nim ^ L, (/ ^j. ct d t ex obleruationi- bus dcliniantur. §. 5. Hunc in fincm pro Hngulis intcruallis quatuor ^ingantur ii} pothelc!» , in qunrum prima elementa Hallciana modo nllata aflTumuntur , in fe- cunda vcro tertia et quarta tel longitudini aphelii vcl cxcentricitati vcl motui aphelii annuo arbitraria augmenta tribuuntur ; quo fit , vt ex errorum va- riationibus inde oriundis aequationcs analyticae inco- gnitas illas iS828o5> computentur refpondentes his anomaliis veris ancma- liac excentricae et ^iiediae j eae ita rcperiuntur ex- preflae Anom. excentr. I. 5^ 29°. 4p^ 2i'^ 2 II. o'. 29°. 14^ 26"'. 2 Adeoque mot anom med.n qui cum debebat efle prodit error huius hypothefeos — — o''. 33^^ 6, O o o o 3 HjpO" Anom. med. 5'. 29°. 40^ 29 ^ 4 - 29°. 26". 9'' 4 6 29. 45. 4?- 0 6. 29. 46. 13. erae zizdvj excentrici- tatis — ct augmentnm cpochae aphelii — 3600" ; erit d v zr. - 3600" ; adeoque dmzz- f;-—';,^^.' Cum igitur verbi cauflli in hypothefi prima interualli primi fuerit 1; zn 5'. 29°. 40^ i 3^^.5 crit i - s. cof v zz I, 0069798 et d m — — 3549^^ 9> ^ti ^*^^ ^ado calculo fuit inuentum. §. 13. Anomaliam veram, cui acquatio ccntri maxima refpondet , fcquenti moJo faciliime deter- P p p p 2 mino. €61 DE EXCENT. ET APHEL. VENERIS. mino. Aequationum §. 5- expofitarura fumtis dtflb- rentialibus, habetur dmzzdKi +ccoC.e) et dv-'^-^:^ poflto f — V L. — V L=tJ J p I — I* Cum vero fit cof. e - -^:^ , cric dv=i '-'■'"-hy. de et dm — -^^'%- de ; quibus , cum pro aequationc centri maxima fit dvzzdm, inter fe aequatis , prodit ( I - e' ) y ( r - 0 — ( I - e-cof v)' fiue cum hic poteftates altiores excentricitatis negli- gere liceat, i — U':=(i — «• cof. v)* fcu cof.-yr-i-Je. Subftituta itaque excentricitate modo inucnta , proJit anomalia vera, cu5 refpondct acquatio centri maxima 2'. 29°. 41'. 34-'' i huic compctit anomalia media 3'. o*. 30'. 40" 4 ita , Tt quaefita aequatio maxima fit 4.9'. 6". DE DE LATITVDIME VENERIS GEOCENTRICA TEMPORE TRAN- SITVS A. 1759. A uc to r c JN D. lOH. LEXELL. In diflertatione de Parallaxi Solis cum Illuftr. Acad. Scientiarum nuper conimunicata , oflcn- fum a me fuit , obleruationes contadiium interno- rum pro tranfitu Veneris A. i^Cg. fafto , praebere Jatitudinem Veneris geocentricam tempore coniun- «Jlionis 10'. 19", quum tamen menfurae didantiarum minimarum inter centra Solis et Veneris , variis in locis captae , probare videantur hanc laftudinem aliquanto minorem fuiffe. Licet vero difTenfus qui inter valores iatitudinis vtroque modo elicitos , vix duo aut tria minuta fccunda fupcret , adcoquc de- lerminationem Pnrallaxis nullo modo dubiam redde- le queat ; haud inutile tamen eric fufius explicare , quaenam prodeat latitudo Geoccntrica ex obferuatis dilbntiis marginum Solis et Veneris , nec non aliis obferuationibus ad eam inquircndam inftitutis , quia (ic facile diiudicare litcbit , cuinam couclurioni po tior habenda (it £des ? Pp p p 3 «. Quum 6yo DE LATITVD. VENERIS 1. Qnum plcrisque Amcricac incolis luciindo fpedaculo totius terc trunfitub triii licucnt , fa^um qiioque e(t , vt in illis rcgionibus , plurimae et ex- adiliimiie obleruat.ones , ad diliant;am brcnidimain ccnrrorum Solis ct Venoris exploranJain inidtutac Cnt , intcr qu:is autcm praeprimis noiniiiari mcren- tur , quae Noritoni in Pcnlyiuaiiia , ct numcro plurimae et accuratione inligncs captac (unt menfurae diflantiarum proximarum intcr limbcs Solis et \ e- neris , quarum ob(erur.tionum , vt et rcliquorum phaenonienorum circa traulitum Veneris ibi obftr- \atorum cxpofitioncm , Illuflr. Socictns Scientiarum Londinenfis lubmittcre dignata eft. Quamuis autem a Cl. Pdttenhoufe opcratione graphica fingulas has mcnfuras examinaras cffe \iderimus eumque inuenis- fe tantum non omnibus fatisfieri , fi didantia vera minima centrorum Solis et Vcneris ponatnr lo'. lo", femidiametcr Solis 15'. 47" atque fcmidiametcr Ve- ncris zS", 5*0« delcnpti concipiantur arcus am,bn, rcdis OAetOBinw et« occurrentes , erunt- que partes refedae A m et B « eae quantitates , qui- bus diflantiae vcrae O A et O B ob cfFedum Paral- laxis , fiue imminui , fiue augcri debeant, vt in ap- parentes O ^, Q b transformentur. Quum igitur pro datis obleruationum temporibus hi ettedus Pa- rallaxis determinari polfint , dabuntur etiam valores linearum OA et O B, porro quum ipium tcmpus binas huiusmodi obferuationes interiacens quoque dc- tur , innotefcet valor lineae A B per datum mo- tum horarium Vcneris in orbita faciie determinan- dus. Inuentis igitur tribus trianguli O A B lateri- bus , quaellio eo rcuoluitur , vt inde eliciatur valor lineac perpendicularis OM, nec non fegmentorum AM et BM, quibus datis etiam tempus medii tranfuus cognofcetur. Breuitatis gratia dicamus la- tus OArr^, O Bzz ^ et AB — f femifummam au- tem laterum /, tumque ex Geometria conftabit areana totius trianguli AOB hac exprimi formula : A A O B z= V X (/ - «) (x - ^) (r - ^) cadcm autem arca , quum acqualis quoque fit i A B. O M , inde fequeiis ^educitur valor diftan- t;ae niiiiimae . OM 7 758, 71 V. 40. 4 729, 8 742, 77 VI. 4. 35. 5 9 704, 55 709, 6 707, 93 \bi notafle iuiiabit nos pro femidiametro Solis eum retinuiflfe valorem , quem audores ex (uis Gbferua- tionibus conclufcrunt , nimirum i5'-47"> nam fi haec fcmiaiametcr ali.]uanto minor (latui deberet , ftcik crit diiudicatu, quantam diftantia minima inde patiatur diminutionem. 5. Ne nimis prolixum et inutilem fufciperc- mus Liborem , c'rca combinationem barum ob(crua- tionum , cam nobis praelcripfunus regulam , vt fex priorum oblcruationum cum (ex vitimis inflituere- mus companuionem , pro reiiquis autem fex obfer- vationibus intermcdiis proxime circa ipfum tempus medii tranfitus faftis , inquircremus qualem finguiae diflantiae obferuatae praebeant valorem pro didantia minima , fi ad epocham medii tranfitus , reducan- tur , qooJ ob datos motus horarios (acile pcrficere licuit. Sequens autcm tabelia , non folum valores trium laterum O A , G B et A B trianguli A O B led etiam dilbntiae minimae O M inde cliciendae et tcmp3' 858, 87 |XVII. jvt fupra 8S7, 40 „ , ^ XVI. ' 1 856, 20 ; XIV. — — ' CXiII. rXVIII.7P7, 86- XVII. Jxvi. . ct1xv. I '- III. XIV. LXIII. 3P, 00 37, 73 -1 752, 33 8-4, «^7! 853, 20 J 842, co ! 8.4, 8 -i 773, 53 738, IV. rxviii.7sJ iXVII. JXVI. XV. XIV. cxiii. ,, ! rxviii XVII. et J^VI. ^xv. (XIV. Uiii. 77,- 817, 805, 784, 5c 757, ^^ 715, 13 <58o, 73 785, 20 773, 73 752, 5:3 7:5. 33 584, 07 548, 57 ,1, 5d 10, 5q' 8, 35 10, 31 9, 9, = 10' p," 31 S^- -6. 21 553» C7 ic, 9 2S. 32 J32, 47 P, 6ff 26. X 505, ?7 i», & + 25. 53 4C4, co 8, 4C^ 26. 57 428, pere fupcrfluum duximus , fiquidcm valores pro di- ftantia minima iam inuenti , tam ardis circumfcri- bantur hmitibus , vt nullum fit dubium , quin mc- dio ipforum fumto , vaior huius dillantiae vcro proximus obtineatur. Maxima fcilicct difcrcpantia horum valorum non nifi ad 5" nflurgit, quac fi com- binatio obferuationis IV cum XIV exdudatur, ad 3i" deprimitur , fin vero adeo omnes combinationcs cum IV et XIV excludantur , eadem 2" vix fuperabit , cx inuentis autem valoribus pro tcmpore mcdii tranfitus cuidentcr patct , obleruationcs IVtam et XlVtam, reh'quis inccrtiores effc habendas. Dcindc pro (ex obferuationibus intermediis notaffe fatis crit valores , qui cx earum rcdudione ad epocham me- dii tranfitus pro diftantia minima oriuntur , hi au- tem ita fe habciit : VII. GEOCENT. TEMPORE TRANSITVS. ^77 VII. 10'. 17" . 27 i ig'. 6", 87 Vlll. 12, 55 8, 53 IX. lO, 43 10, 25 X. II, 54 II, 10 xr. 14, 72 ! 10, 97 XII. 17, 93 1 8, 53 vbi itcium liquet obferuationem feptimam excludi poflc , quippc quae a reliquis plus iufto difcrepat. 6. In fuperioribus calculis , eam corredioncm quam diftantiae centrorum Solis et Vencris Tubeunt , propter diuerfam iftorum centrorum refradionem ^ iiegleximus plane , quia ccrto nobis habebamus com- pcrtum , diftaiuias illas hac de cauffa ne fcinifle qui- dem fecundi immutari. Id autem (equenti ratioci- nio planius fiet. Sit O A linea horizontalis pet ccntrum Solis duda , G ? M reda pcr centra Solis et Vcneris tranfiens et limbo Solis in M occurrens, dcmittantur ex ? et M in G A perpendiculares ? C et M B tumque capta M m aequ.tli differentiae rcfradlionum inter ccntrum Solis et pun- fcruationibus dcduxerimus diftantiam ccntrorum ve- ram =:. QM — V/«, quae tamcn aequalis cffe de- • Q.qqq 3 beret €7& 3DE LATITVD. VENERIS berct ipfi GM — ?M, correcflio huic diftantiae ad- iicienda crit rr V f» — ? M , hinc fi ccntro O ra- diis G V, O tfi delcribantur arcus circuh V v ec mp rcdac G M in i? ct p occurrentcs , habebitur ifla correaio ^ ? v - M p =r - (M »; - $ V) cof. G M B, quae quantitns pro fingulis noftris aequationibus mi- ninnum adipifciiur valorem. Pro obfcruationc cx. gr. Vl"» habemus G? — 632"^ ? C r= 390'^ ? V rz: o'', 4- et iM f/i — o", 6 vnde deducitur corre- dio zr — o, 2 cof G M B ir — o, 2 J-~ , ideoquc "vix — o", 1 maior. 7. Si nunc ex omnibus 35 vnloribu? , quos combinationcfe fupra allatae (uppeditant , medium la- matur , prodibit valor diftantiac minimae 10'. 9", 4^ fi vero comparatioues cum obferiiatione IV exclu- dantur , medio fumco inuenictur zz 10'. 9", 8 et de- nique cotnparationibns cum ob(cruatione XIV* etiam exclufis , valor huiiis diliantiae prodibit —10'. 10". Ex (ex obferujtioiiibus intcrmcdiis , medium fumen- do colhgitur didantia minima ic'. p", 4 et feptima exclufa 10^9", 9. Hinc itaque mcdio fumto inter omnes conclufioncs accuratiorcs , quae non nifi 2" inter fe difcrepant, cxafte omnino inucnictur diftan- tia centrorum Sohs et Veneris minima 10'. 10", af- fumto fcihcet pro (cmidiametro Solis valorc 15' et 47'% indc autcm liquct , fi haec femidiameter fta- tuatur 15'. 45'', 5, diftnntiam iflam minimam pro- dire debere 10'. 9". Quod tempus mcdii tranfitus aiiinet , ex couclufionibus optmic iutcr fc conlcn- ticn- GEOCENT. TEMPORE TRANSITVS. 679 ticntibus , quae remanent IVtam et XlVtam obfcr- vationem cxcludendo , medio capto idcm inuenitur 5^ 26', 7" , quum igitur idem tempus pro Parifiis incidat in lo^ 36'. 40'' circiter , difFerentia meridia- norum inter Lutetias Parifiorum et Noritonum ha- bebitur 5^ 10'. 33'' optime conueniens cum ilb, quam ex obferuationibus circa eclip(es SatcUitum louis Noritoni fadis deducere licuit. 8. Quamuis valor diftantiae minimae iam in- ventus , ex conclufionibus egregie inter fe confen- tientibus elicitus fit , adeo -vt iioc ex capite pro exaclifiimo habcri debcret , diffiteri tamcn nolumus nobis mukum probabile videri , eundem vno faltem fecundo augendum efle. Indolem enim obferuatio- num pro dillantiis marginum Solis et Vcneris mi- crometro obiediuo capiendis , inftitutarum qui rite perpenderit , facile concedet multo maiorem efle probabilitatem , -vt harum diftantiarum menfurae iu- rto prodeant maiores , quam vt in defc(flu peccarent. Ad inueniendam fcilicet diftantiam marginum mini- mam ca inftrumcnto tribni debet pofitio , qua reda per centra Solis et Veneris tranfiens cum ip(a fedio- ne lentium in Micrometro exade congriiit , in alio \cro quocunque inflrumenti fitu , diflantia margi-: num vera maior inueniri deber. Quum igiiur pro vnaquaque obferuatione non nifi vnica pofitione ia- ftrumenti diflantia marginum vera inueniri queat , liquet omnino maxime probabilc eflfe , vt harum diftantiarum menfurae veris aliquanto inueniantur inaiores, tfSo DE LATITVD. VENERIS maiores , vndc vicinim probabile cjuoqiic rcdJltur diftantifls ceiitrorum veris ali^uanto minores iniien- tas efle. Ncque tamcn hunc valorem dillaniiae mi- niniae phis quiim vno minnto iccurtdo augcre au- fim , quoniam alias ftatuendum cflct , onnies mcn- furas circa diftantias marginum captas in exceflii peccare , qnod tamen in tanto pracfertini obfcruatio- num numcro haud crcdjbile vidctur. Qijodii igitur. ex ratione fupra allata , fingulis diftantiis centrorum obferuatis vnius fecundi tribuatur augmcntum. , inde colligctur diftantiam minimam centrorum fuifle lo'. ii", fuppofita femidiametro Solis 15'. 47", quae au- tem diftantia inucnletur 10'. 10" fjura femidiameter Solis ftatuitur 15'. 4-5", 5. Cacterum fi cui vifuai fuerit hoc iUigmentum nulla vrgcnte neceftitate , di- ftantiae minimae fuifle tributum , tantum sbcft vt fententiae a nobis propDfit.oc morofe inhaererc veli- mus , vt potius .vnicuique liberum relinc|iiamus , va- lorcs pro diftantia minima ex obfcruationibus im- mediatc conclufos vid. §. 7. adoptare . fi ita pla- cucrit. 9. Vt copclufiones ex obferuationlbns Norito- Bi fadis dedudae tanto magis confirmcntur , haud abs re erit nonnullas heic adiicerc obfcruationes cir- ca diftantias marginum Solis ct \'encris Pliiladcl- phiae inftitutas , quae ita fe habcnt : Tcmp. GEOCENT. TEMPORE TRAKSITVS. 645 50 2.6. Medium ex conclurionibus inuentis dabit latitudinem* geoccntricam temporc coniundionis 10'. 22''^ circiter' quae fine dubio Yeram aliquanio excedit. 12. Quum in huiusmodi obferuationibus Tt*i cunque accurate inftitutae fuerint, \ix euitari queat,.» quin in notandis momentis appuUuum vnius lecundi ■ error committatur , intelligitur inter conclufiones tx illis dedudas fruftra talem defiderari conlenfum , qui fe prodit inter obferuationes dillantiarum pro lin-bis Sohs et Veneris Micrometro infiituta^. Neque igitur obferuatinnes hae appulfuum -vtiles cenieri dcbent, ad valorem Latitudinis exade definiendum , quum R r r r 3 -vnius 6%6 DE LATITVD. VENERTS vnius fecundi error in nppulfu , altitudlncm Venem 7'^ immurec pro nortro calu , adcoque iii Ijtitudiue TariiitioneiTi fcre 8'''' producat , quae aut. in multo fcnfibilior euadcret , fi angulus L O H maior crtet. Qiiodfi igiiur in vtroque appuUu tam Jimbi Solis quam centri Veneris error tantum viiius rccuiidi ccmmifrus fit, atque hi duo errorcs conlpirare con- cipiantur ad differentiam altitudinum vcl augendam , vel niiuuendam, inde in latitudincm crror vltra i6" afTurgens redundabit. Quod demum attmet niodum procedcndi a nobis adhibitum , exilHmamus tum finc dubio iili praeferendum efle, quo cx differentiig altitudinum et azimuthorum pcr ipfi appulfuum momenta exquifitorum , difFereiitiae longituijiium cc latitudinum inueftigantur. De longitudine cniin Vencris quum ex aliis obfcruationibus tam fcrti fiinus, vt vix error vnius fccundi metucndus fit , cam hoc in calculo vt cogniram fpc0.nrc licuit, ne obligati cflemus momenta quoque appuKuum ad fila vcrticalia confiderarc , fiquidem crrores in his appul- fibus commiflTj , conclufioncs pro latitudine nimium tnrbaturi eflfenr. DifTercntins autcm aititudinum potiiis calculi ope , quam ex obleruationibus erucndas cfTe ccnfu'mus , ne incertitudo refradionnm ncgotium turbaret, quae imprimis pro cxi^uis Solis altitudi- nibus fenfibilem habcre potcft influxum , et pro noflro quidem cafu quo altuudo Solis vcra 3 vel 4 gradus vix fuperauit , dubiiari nequir, qiiin refraftio a(^ualis ab ca quam in Tabulis aflmnaium cffe in- veaimiis, quam maximc cflTo potucnt diucrfa. »3. GEOCENT. TEMPORE TRANSITVS. , fi inquircrcmus. quo- moJo ad pertedum fere conienlum redi^i qucant, Quicqiiid auttin h.ic de re moncbimus , tantum vc conit-dliiram proponemus. Differcntias igitur tcm- porum iiitcr mo ncnta appuhnum ad filum horizon- tale confi.ierantcs inucnimus ea^ non aequab li lege proctderc, fimul autcm vidimus leui corrtdl one ad- hibita, huic incoinmodo inedelam adfcrri pofTe. DiP- fercntiam ("cil cet iiter momenta appulllium tam pro prima , qua n vltima obltruatione (emi^Tc (ccundi auximus, ita tamen vt pro priori ahitudo Veneris inde augeatur , pro vltima autem imminuatur , prior igitur difFcrentia hmc inuen etur 32'^ poOerior vero 25^^5. Subtracfl.i hac ab illa refiduum e(t 6 ^i , quod per reliqujs (ex obleruaiiones proportinnalitcr diflri- buimus , eoque fafto diffcientias appuKlium \t et \alores pro latitudme inde dedudlos tales inuenimus quales fequens Tabula refert : Diffcrcnt. Diffi Latit. obfcruar. corr. Gcoc. I. 3i",5 3 2",o 10'. 16" n. 30 30, o J5 III. 28 28, 5 19 IV. 27 28 ip V. 2Ex tr.ibus yero jcauiris iieri poteft, vt didantia minima •ex monientis contaftuum clicita aliquantum im- ■ininui dcbeat, quarum duac £tiam pro conclufionibus ex mcnftiris Micromctricis dcdutflisaliquam inuoluunt .diminutioncm , tert'a autcm prioris gcncris obfer- ■vationes ibbs afHccre vidctur. Primo fcilicct fi motus horarius Veneris in orbita quam afnimfimns, aliquan- tilla fui p.irte nugcri dcbeat , neceiTum quoque cft , \t diftiintia minima ex contadibus conclufli immi- Buenda fit ; dt'inde fi femidiamcter Solis imminuiio- nem patiatiir , hoc qiioquc vaicbit ad difiantiam centrorum minim.im minucndam , ct dcmum fi tcI proptcr rcfradioncm r.idiorum Solis in atmofpliaera Vcnerii ficlam , vel aliam quanrcunque rationcm phyficam, momcnta contaduum propius ad cpocham mcdii tranfitus coiuigcrinr, qunm cactcroquin ficri de- buiOfct, indc quoquc contingcrc pottil, vt cx momentis x: con- GEOCENT. TEMPORE TRANSiTVS. 689 contacfluum maior colligatur valor prodiftantia minima, quam \t cum reliquib obfcruatioiubus conlentieiis de- prehcnd.itur. 16 Qiiod igitur motum horarium Vencris in orbita attinct, quum l\oc in negotio maximi momcnti fitj, cum accurate exprimi , liaud incongruum ludi* cauimus lioc loco formulam tradere concinnam , cuius ope motus horarii Planctarnm helioccntrici in iplbrum orbitis, cum fumnva exaditudine comiputari poirunt. Sit igitur C^ fpatium a Planeta in orbita Tab. XX. circa Solem O interuallo vnius horae dcfcriptum , ^'S- ^* dudis itaque C O , ^ O exprimet angulus C O c motum horarium Planetac heliocentricum in orbita , tum autem ducatur arcus c D perpendicularis ad O C. Porro fi linea E S capiatur media propor- tionalis inter femiaxem maiorem et minorem orbitae, eaque pro radio aflfumta defcribatur centro S arcus E^ ita vt (edor ESe— fedori COc, dabit an- gulus EStf motum horarinm Planctae heliocentri- cum medinm, Quum itaque fit Sed.COf rSed. ES^, erit ]) f. O C — E ^. SE, ideoquc ob ang. CO^ : ang. ^^^'■Vc'H> "'^ ang. CO^:ang.ES^::SE^OC'. Dicatur iam anomalia Planetac \cra ab aphelio com- putata (p , anomalia media t , diftantia rredia a et cxceiitricitas e, eritque d 9^ ^^ i" latitudiaem 14", 088. Quum autem motus horarius terrae he- l.ocencricus pro eo tempore fucrit 143", 5o , habe- bitur motus relatiuus Veneris a tcrra in iiole vifus z=z 94-''; 46 fecundum long'tudinem , idcoque motus rtlatiuus in orbita 95", 50, ex quo dcducitur motus relatiuiis V^neris in arbita e tcrra vilus 240", i» ftre vt Celeb de la Lande innenir , tum vero quo- que habvbitur motus Veneris gcocentricus in longi- tudinem 237", 49 et in latitucUnera 35'', 52. (^uum itaque hinc pateat m^nus horarios a nobis afTumtos rite fe haberc , nulium quidem cft dubium , quin ex momentis contaduum deduci dt-bcat didantia ininima 10'. 13". 1 7. Examinemus antcm nunc, quantus cenferi debeat cf!cdus , pcr qucm momenta contadus pro ingnfTu fucrunt rctardata , pro egreffu attcm acce- krata , fiue hic efRdus rcfrndioni mdiorum '^olis iii iatmofphaera Veneris , fiuc alii cuidam caufTae phy- fic.ie fit adfcrilendus. Quum itjitur in Diflcrtntione de Parallaxi huic Toao Comment. infcrta ad has peru.nturh fit acquationcs : _y =r 8,7^ ftt M--»' = -0, 91 - -'« ^ » duas htic Oatuamus hypoticres , priorcm qua (cmi- diamctcr Solis 947" et difFerentii earum 918", 4. Diminurio igitur diflantiae cen- trorum, tam pro contadibus exicrnis, quiun intcrnis erit n; I, 52 , ex quo hi contiidus Rre 30'' verdis tmpiis coni:mdlionis promouebuntur. Pro pofttriGri hypothcfi ert > — 5, 4 ; hinc ;jL — — 2, 55 ct k :rr — i, -^9 , tum autem ob (ummam femidiametrorum P74", i et ditfereniiam ^916", 9 erit diminutio diftantiae centroriim pro contadibtis extcrnis o",<5 5, pro internis vcro o",69, ■vnde priores contadus 13" polleriorcs autem i+''> •verfus tempus conmn(flionis aprropinquantur. (^uic- quid autem hac de re iam denionfirauimus , id tan- tum hypothcticc afTcrtum cfTc qiiinis facile "videt , ea nimirum iuh conditione, quod \alorcs pro diftantia minima, tam ex obftruatio ibus Micrometricis quam oblcruatis contad:ibus de-iudi rite (e habcaiit, dc quo quidem nulla lu(picandi ratio nobis oborta eft , quum conlenfus obkruationum \triusque clafTis tantus fit , \t eum tcmere exflitifte credere non liceat. Sin autem huitsmodi qnaeJain adfurit caufTIi , quae ad moram Vcncris in Sole minuendam al:quiJ cfficcrc Ssb s 2 \aluit , 6c)i DE LATITVD. VENERIS GEOCENT. etc. valiut , pro certo tiimcn proniintiarc non aiideo, eanx in rcfracftione quudam radiorum Solis per atmofphae- raiii Vcncris facla , quiicri debere, totam lianc quae- fliincm aliis dirimendam iibcnter permittcns. Qiiic- quid igitur iiac de rc fit , quum polleriori adliibita liypotliefi concLufiones non rs.)ultum inttr fe dilcre^ pantes inueniantur , tuto afTuaiere liccbit (einiuume- trum So.!is pro temporc tranfitus A. ii6g fuifie 15'. 4.5", 5 ct diftantiam miaimam ccntrorum Solii ct Vcneris lo^ 10", ex quo colligitur LatitudiiKm Vcncris geocentrkam fuiflc 10'. 17'^ Dcindc coc- redtio longitudinis pro Vcnerc inuenietur 16", 5(J , adeo vt tempus coniundlionis cum Sole inciilcric Parifiis in 3 lunii lo''. i^*-, 3", ideoqHC tempus meilii tranfitus in 10''. 36', 38" tcinpore vcro. De parallaxi autcm iam monuimus eam, tx tantill.i di- minucioue latitudinis non nifi /j partc ftcuudi augcr;. EPITO- E P } T O M E OBSF.RVATIONVM METEOKOLOGICARVM , Q\AS ANNO MDCCLXXI. SECVNDV.U CALENDARIVM IVLIANVM PE- TROPOLI INSTilYlT A u c t o r lOANNES ALBEKJFS EVLER. Eiiarrabo hic more confueto altitudines praeclpuas tam Barometri quara Thermometri vna cum phaeiiomcnis potioribiis atmc^fphacrne , a me primis quinque menfibus vsqne ad dicm 23'"" Maii huius 177 1. anni annoratas ,• qua fcilicer die feries harum obfcruationurii , domicilio meo kicendio conflagrato, abrapta fut. Ne autcm hoc raoJo lacuna iiifit noUris coFnmeivtarlis ^ explebo eam exfGribendo pro mciifibus fequeatibu- carum obn.ruarionam mereoro- ]o.',icarum momenu primaria, qu;\e fedulus ac ex.idiiri- mus huius vrbii obierua.tor ,. D, Schruifr , raccum communicure voluit. En crgo ftatim furrimarium mcarum obfcrua- tioium , dc quibus aine omn'a niOiiendiim efl: , me eadem inftrumenta et eandem mvihodum adhibiiifle , quibus annis prneterltis vUi& fum,. de qua re fufiu^in Tcmi XIV. parte potkrion horum CDmracntarao- rum locutuj. fum. S s s s 5 Menre €94- OBSERVATIONES Menfe lanuarii. Baromctri altitudo maxima 28. 67. d. zj.h.lX.p m. altitudo miiiima z6. 96. d. 13. h. V.a.m. variiuio i. 71 medium 27 81 Altitudo media inter omnes 27. 83. Hic ct iii fequentibus binae cyphrae pofleriorcs partcs cotefimas poll cis , piiorcs vcro pollices intcgros denotant , quorum duodecim pcdem PjrifHUim re- gium conftituunt. Thermometri altitudo minima 192. d. ip.h IX.p m. ahitudo niaxinia 151 d i2.h.iX. p. m. differentia 4-1 grad. Deslisl. Mercurius in Thermorr.etro dtfcendcbat infra die fcilicet huius menfis gradum dicbus 190 2 180 8 17^ 9 160 8 X50 4 1 I 15. 16. 17. 21.24. 25 27. 2. 4. 7. 14. 20. 23. 2<5. 28. 29. 3. 5. 8. 9. 13 22- 30. 31. 6. 10. II. 12. Mercurius vero afcendebat fiipra dic fciliC' t gradum dicbns 160 1 1 J70 7 J80 10 190 3 2. 3. 5. 6. 8 9. 10. 1 I. 12. 13 31. 4. 7, 14 15. 22 29. 3-. I. 16. 17. 20. 21. 23. 25. 26. 27. 28 18. 19 24. Ventus METEOROLOGTCAE. 6^S Ventus vchcmciiter fpirabat diebus 17,- die fcilicet 2. 3. 7. 5 10. 1 1. 13, 14. 19. 20. 21. i2. 23. 24. 28. 2y. 31. Dics procellori fuerunt 5; fcilicet dies 4. 6. 12. 25. 26. Flabat ventus E regicine IViord N-O Otl s-o SUd s-w Wcll N-W die 4.. 7. 1 1 16. 18. 19, 29 I 9. 17. 22. 23. 24. 25.25.27.28 5. 10. 15 nuUo 2. 6. 12 21 nullo 8. 31 3 13. 14. 20. 30. fnmma dirum 7 10 3 o 4 o a 5 Coelum ferenum fuit diebus 9; ct quidcm d. i. 7. 15. i5. 18. 19. 21. 24. 27. Nebulae 5, die fcilicet 15. 17. i8, 2 i. 2p» Nix parca cecidit diebus 10, nempe d. 2. 3. 5. ^^ II. 13. 22. 25. 26. 29. Nix copiofa vcro die 12'"*. Parlielion nitidum obferuatum fuit die ai**, ct duo alia debiliora die 24 et 25". Aurorae boreales debiles fuerunt tres , d. 15. «7* et 28. Menfe C<)G OBSERVA TIONES Menfe Februarii. Barometri altitudo maxima 2S. 77. d. 7. h. Vll.a. m. altitudo minima 27 50. d. i. h. VU.a. m. vanatio i. 27. medium 28. 14. altitudo media intcr oranes 28.21. Thermometri altitiido minima 198. d. 2i.h, Vll.n. m. altiiudo maxima 153. d. 28. h. 11. p. m. differentia ^5. grad, Deslisl, Mercurins in Thcrmometro dcfcendebat infra gradum diebus 4 die fcilicet 190 12. 19. 20. 21. 180 6 6. 7. 14. 18. 22. 23. J7o 10 2- 3.4 5. 8. 9. II. 13. 15- 24- \6o 7 I. 10. \6. 17. 25. 2(J, 27. 150 I 28. Afcendebat vero Mercurius fupia gj-adumi dicbus I die fcihcct j6o 170 180 1. 10. 15. \6. 24. 25. 26 27 28. 2. 4. 5. 8. 9. 13- 14- 17. =2. 23. 3. 6. 7. I I, I 2. I S. 19. 20, 21. lUabcia fuit die 21 et 23. Dics vcntnfi ri ct quidcm dics i. 3. 6. 7. 8.9. 19. 24. =5. 2^. £S. Dic6 proccliofi 4, dics fcilicct 2. ^.-.^. 27. Vcnus M E T E O R O L O G I C A E . 150 5 8. 9. 10. 30. 31. Afcendebat autem lupra gradum dicbns die '•)ilr.! '■■'.. 150 5 7. 8. 25. 30. 3'. i6q 17 1 I. 2. 5. <5. 9. 10. II. 15- 15.17.18. 19- 20. 21. 23. 24. 29. 170 8 3. 4. 12. 14- 22. 26. 27. 28. 180 I 13. Malacia 5 diebus fuit ; d. 3. 5. 6. 28. 29. Dies ventofi 8. dies fcilicet 7. 8. 9. i 5. 16 iS. 21. 22. Dies procelbfus vnus fuit 23. Veutus fpirabat ex phga M-E T ELQ ?t Q t 0 G I C A E. ^^p plaga d'e Nord i. 3. 4.. 10. II. 20. 0.6. N-0 12. 13. 14.. 17. 18. 22. 27. Oft 15. 16. 24.. 28. S-0 5.cntiis e regio- METEOROLOGICAE. .■7©i fumma ' c regione die dicrum' Wofd 8. II. 12. .18. 22. 28. 29. 7. N-0 16. 17. 20. 21. 25. 30, 6. C(t 9. 10. 2(J. 3- s-o 5. I. Sud 7. 14- 2. s-w 2. 4. 2. Weft 3. 13- 2, N-W I. 6. 23. 24, 4- tentus ■variabilia 15. 19-27. 5' Dies fercni fuerunt 16 ^ fciHcet d. i. 3- 5. 7- 8- p» 15. 17. iS. 20. 22. 22. 23. 24.. 25. 2^, Nebulac 4; d. 4. 5. 8. 12. Nix parca die 2 et 30; copiofa die €. Pluit quinquies ; dic lo. 11. 27. 28. 30, Hoc menfe flumen Neva liberabatur a glacie etqui- dem die 19, pollquara per dies 159 glacie ob- dudum fliit. Menfe Maii vsque ad diem 33*"*. Barometri altitudo maxima 28. 52. d. 2. h. VII. a^.iti. altitudo minima 27. 90. d. 13. h. II. p.m, \ariatio 62. medtum 28. 21. altitado mcdia intci omnes 28. 13. T 1 1 1 3 Ther- TJSjL OBSELRVATIONES TherBiometri altitudo minima i6i. d. r. h. VT. a.m. altitudo maxiina 113. d. 2 1. h. 11. p^ ni. diflElrentia 48. grad. Deslil. Mercurius ia Thermometro defccndebat iiifra gradum 160 150 J40 130 X20 diebus die fcilictt I 3 2. 3. 9- 10 4. 5. die fcilicet ip. 11. \6. 17. 20, Pliiuia parca d. 3. 4. 12. 13. i8. Pluuia copiofa cecidit d. 14. Aurorae boreales d. i et 2, Progrediar nunc ad obferuationes D. Schroter et quo melius eae cum noRris comparari po(iint , exordiar ab ip(a prima die huius meufis Maii. Ob- feruauit autem Barometri altitudinem maximam 28. 52 d. 2. alcitnJinem minimam 27. 85 d. 13. vnde et ex obleruationibus tius, praecedentibus men- fibus inllitutis, concUiJere liccr, altitudiiics Paron etri quo D. SchvQ er vfus t\\ , non multum diffcrre ab eii, quas nos annotauimus. Thermometri altitudo minima i<^o d. i. ahitudo maxima 112 die 28 et 29. ia radiis Solis 66 d. 8. Dies 704- O E S 'ER V AT I O N ES Dies fcreiii XVIH. dic fcilicet z. S.^ ro. ir. i6, 17. 18. i.u>m Jrui/.Irnj>.dl:ri-/n>/;.7W„.X]7.T,tli /. Th/.: Nov.Com Acad.ImiyxrL.Pelrvp.TonhJM.Tab.I. Ji S O T 1 ITtn'. l \w. J,:iJ./,„^.,ic. J\/roj'. T,v,t.X\J.'nd).n. -Neo. Com.^.-.iJ./mp.Jc.rc/rrj,. ron,.XVT.Ta/'.lf. -^ Ji^JVoj^Com.^cM. Imp dc.reirofj. TomXW .Tlih.Ill. c/ Fi^. 2. ^,„ ./,■-/./ i„,f. ./;■. v.-/,-of. T.ni, xvr. T.ih 7V. ^ ^ J^u/. 7/: ?r F^.72. ivr i^/o |H — Ib .^r. JW. c<™.^y,v/,/ //«/>. ^;.jw^-o/>.r,„„.A'\T Tab iv. Fiq 70. Al II'. S s —^ n 1 — ^ _ M .1 ^ ' j_ 1 JVcv . fonf .Acjf^ . /f,/^' . J'r J!'//v/' 2?/'/ . M/ 71//' T ^/j/ 7^. 31 , - ] ~~— - ^B -^ a — ^S^^^-~~^-^ T| IVov . Com Acad Tmj.> Sc Tehvj} Tcon . X17 Tab Tij 7S Fy r/1t' ;4Ah: >^::ai 1:=^ ^ A G t^ ^l-JS^- ^ «^ [X T A' T,\/ . 8i. A S^ T T a' /' 3" / N >v .(?.->. „' ^//7 <9r.(o,,,. .ir,u/. ,v, -./?-/,>. v,./. '/;./«. .wi:i\,i- Vtl ..^^\ T> ^ r- — ^'— ^4iX-riL_ —^ — -l" ^T^ ^ n^^^^rM- n^ -'"N -'• ^^^ T k n\ \^ yk .Var. ( om. Aca^. Sr.P,.h-o,^o!. To,n. Xn.Tak (7/. Jlv.r^w. ^/r.u/^c. r.'/^^,'iW.T ,"i...-^. « »■ — __\, ^-^ " / \ r-\^ .<3^ — ^— #^. /v^ jaj ]^./ri-/,-rpc/.J'o7ri.XVl.rai.X. / /;/ x/i m^ ^M^M^ ^^^ ¥ sVcW U7,v. ^■Ici,^ I,„/, Sr. r,'/nyj 2h,„ XKZ Ta6 XL A^^cr Com. JcaJ Sc Ji-lr.Y 'Hnn XV I ///. A7/ Fzq .5 .Vor Cont Jcad Sc Fetrcp TrmXVITaiXII Fm. .5 rur. J www\ AW: Com. JcJil. Sc. Pclrrp. Ton XVl Tak M/l. .Vov. cb,„. ,-Av,p. Tofu. XVI Tah. XV i I ./'-y finjf Jc. Tet-.yp Tvni XVI. TaS.XV: Xi'!'. C(T7/t.Ac:^^//\r^7j/.Ji}7n.:xv2.7al.:n7. '^*1^>*- Vl i. CoTfL. AcaJ,. Sc. ^a^<:rpolXnn.:xvi.Tai . V v.vNi-^^v^^ ^w v>v:^- \>^^^-7AV \^^ /is^" 2. ^- .0- Nov. rom.Acu/. tff. P,'trop . Torii.XV/. Tah.XVII. V ? /fi I ,;4S '*« k. *^%Jf X,, cbrn .^.adJnT -^- ^'^^ ^""^''^ "'^ ^^^ Npi' Com yJcaii Jirtp Sc F.^trop. Tom. XVI Tab. XIX jVof Com.Jcad .hnp Sc Jrfrvjt liwi.XVJ lul> XX. Tia " C B A M r H "V- ^^*:'^: jVoi' Com. ^ciul. Jynp Sc Jetrcrp TcmiXM Tali XX: 'l 001 '25055 ' iiSii iliiiil