aakurus aT amr ur IUM ROUTARD SV rare r us dl. Jn rrererri EET r Tur Vell eVeaei as a eret jd mum iiri eria rea om siraratd, ARTI inier a HORAE t riri Mena d J n ami Nae DH 4» (tnim tir enitn IEEEERE EuHERHRES S.i&2. C. 95 Y: l in ) y, k d J' . m AE Ws E LUPHLAPIIR LA PIE REUS on Nn nuhi : Ko X ja 5 ' Al SERVI. COMMENTARII ACADEMIAE. SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE . 1OM. XVII po Aun MDCCLXXII. (RC OSIESSOBDCTEMNTRUU RMNLRENAN PETROPOLI- TYPI$ ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXIII A | B [On E Am : setabá teen SVMMARIVM DISSERTATIONYM, QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM |J TOMVS XVIL aa MATHE- JCUHSAM (T2 Ra AMVEOITATSHSE2IG. (OTAMITXOD 2AYO A VAOLLA TWAMIMOS SHIO VOV AivX gvMoT. HTAM — ) dit MATHEMATICA. De indole fingulari feriérum | infinita- rum, quas finus vel cofinus angulo- . rum arithmetice progredientium for- mant, earumque Íummatione | et víu. Au&ore. Danicle Bernoulli pag. s. n differtatione ; praecedenti horum Commenta- riorum Tomo inferta , Celeb. Auctor duas /fe- ' ries quam maxime: notatu dignas ex ordiné ferierum recurrentium , «earumque genuinam fummationem et interpretationem -meditationi fuae fübiecit , quae ita fefe habebant :. Si in circulo , cuius radius — 1, fit arcus quicunque — x; erit | cof. x -]- cof. 2 x Cof. 3 -- Cof. 4.1 4-etc. — — 1 et fin.x-rfin.2 x--fin, $ x-r-fin. 4x «biete, — z A : a3 .qua$ gioteemeeitseneigigiset-io:)*0400 quis quidem fummas non. nifi fingulari atque in- congruo quafi. modo veras dici poffe, a Cel. Viro eft oftenfum. — Hoc tamen non obfiante ex his duabus fcriebus quafi ambiguis facili et legitima methodo aliae memoratu non minus dignae nullique proríus amphiboliae fubicctae: ; poffunt deriuari , quarum in- ve(tigatio- huiüs, - iquam* nunc tradimus ,^ díffertatio- nis argumentum conflituit; et quarum aliquas ope- rae pretium eft hic fuccin&te expofuiffe : . Si ponatur quadrans circuli —14 erit . D (íinxJ4:fin. 2X45n.32x-4-;fin. 4x etc. —4—i* 1I) cof. X 4-icof 2 x 5 cof. 3 X 4- 5 cof. 4x4 ete :44— qx4ix. II) fin. Y-i fini x4- fin.5 x 4- d, fin. RR uq adii Aix". IV) cof. x --1cóf: & x4-7 cof; 5 34-1 cof. 4x 4- etc. — log. — AINT quae feries non folum funt nouae, fed ideo etiam memorabiles , quod fumma finuum vel acl defi- niatur .pet'arcüm. ciiculh] 5 00 50) Á His feriebus plures analogas Cel. y pu in- vefligat ; totiusque huius, theoriae. vfum. exponit. in explicanda . doctrina, de. minimis: vibrationibus. fbont- rum. tenfürum., vniformium , pro. quarum, fcilicet c ir yatura, primitiua ,. füumto abíciffarum. initio in altét- .Utra : chordae. extremitate ,.. pofitaque abíciffa. .quali- cunque -— x et minima adplicata. eli» oflendit Cel, Vir in AGis Acad. .. Reg. Bero]. banc flatui poffe aequationem J Za. fin. x 4- Q. fin. 2-4 yf fin. 3-1 etc. vbi quidem a, (d, *y etc. defiguant paruulas .quau- titates arbitrarias et conftantes. II. eia ( o ) 2:2« * II. Proyexatis eanisdid: diophantei euolutio. | Au&ore L. Eulero pag. 24. Mis diophantea quanta lll. Ewero et quam LYA praeclara debeat incrementa , inter Geometras coaftat, et fane , qui , quantum Analyfis füblimior ex ea ipía lucri fit adepta , perpenderit, eam mi- nime effe repudiandam , haud aegre fatebitur , adde; quod eiusmodi inueftigationes füis nona careant deli- ciis animoque grauioribus ftudiis defeffo haud ingra- tam '"recreationem afferant. — Problema , quod lll. Vir hic peutiactag ; She pum vtique , ita fe habet :- Iuuenire quatuor mumeros eius indolis, vt 1*. qd Jingulrum , 2^. fumma factorum ex bbir, 3? fumma fa- Gorum ex ternis , et. 4", productum omnium fini nume- ri quadrati vel quod eodem redit. Inuenire. aequationem | biquadraticam buius. formae : rY—Ax-pBa—Cxrt-D-—o- quae omnes [uas radices babeat rationales, et. cuius. fin- guli cocficientes 4, B, C, D fint numeri. quadrati. Huius vero problematis folutionem generalem fruftra tentari ,. Cel. Auctor ftatim. obfernat, . vndé animum. non nifi ad. folutiones particulares intendit, b inter 89 «52 ( Q ) e eQen inter quas , quae numero$ minimos eft largita , ita fc habet, vt quatuor ifti numeri quaefiti fint I) 21. 20; ID) 21. 25; I1) 21.64; e£ IV. $1. 80. ex qua folutione vnica qüanqüam innumerae alias . poffunt deriuari ;; tamen ;,. quia prima foftuito quafi fefe obtülit, triethodum certam eiusmodi problemata re(oluendi , EU defiderari ,. inficias ire non licet; multum tamen hic profeciffe is vidéretur , cüi, Wa- turam huius formàe | . a e (x x A- 9) 4- (4 d- 6) xy ad quadratum rzeducendáae: penitius eüoluere contin- geret ;: quamobrem. Cel, Auctof, etiam hanc formu- Hn» caléulis füis:profequitur; | His accedunt confide- tátiodes de aliis. duóbus HARUM diopbanteis, quae ita. fe habent: ]) Inuenire quotcunque numeros., quorum quilibet in fum- - mám reliquorum duclur producat numerum quadratum. OH) Inuenire quotcunque numeros: quadratos , «t fumma - guimium quolibet ümmünula fügt. nuerus drin: xe III. Obfíeruationes. circa... bina js, ; quorum fummam in-duo alia biqua- ^ ^v dfatà refoluere liceat. " Au&ore L. Éulero pag. 64. Is theorertiatá' Quaé Citéa proprietates numeros ruit verfantüt ^ id quidem demormftfari folet. trium ^ w25 ( Oo ) S eben | 9 trium biquadratorum. fummam nullo modo poffe quo- que effe biquadratum , fiue a TD Ep VL aequationem effe impoffibilem ; neque vero id co- dem modo ctiam de differentiis valet, quandoqui- dem hanc aequationem |. A' -,- B' — C' — D' fiue AUMB'zG a D'íüue etian A'CD'—C —EB infinitis adeo modis refoluere licet; quod etfi for- . tafle etiam ab aliis Geometris eft praeflirum ; me- . thodus tamen ; qua Cel. Auctor hic vtitur, plus vno titulo omnem Analyflarum attentionem mereri eft cenfenda. ^ Quatuor numeri minimi propofitae quaeflioni fatisfacientes ita 0E ab lll Viro in- venti : | AZ4371069;B- 8497; C- 810319 et Dz 428397. | IV. | De varüs integrabilitatis generibus. Auctore L. Eulero pag. 70. Messe , per quos formulae differentia- les reddantur. integrabiles , inuefligatio tot fae- 'penumero tantisque inuoluitur difficultatibus , vt hoc ipfum argumentum eo magis fümmorum Geometra : rum ftudio dignum cenferi debeat , quo praeclario- Iem eiusmodi multiplicatores vfum praeftant. in re' Tom. XVII, Nou. Comm. b foluen- 10 $32 ( o.) 3e. foluendis aequationlbus altiorum graduum , ad qua- rum integrationem , ab his fubfidiis fi difcefferis , vix vllus aditus patere videbatur. | Quum. autem fiatim , ac vnus quispiam multiplicator fuerit co- gnitus, quem vtpote in quouis genere fimpliciffi- müm recte primitiuum appellare licet, ex eo infi- - nite multos alios deriuare liceat : quaeftio fine dubio maximi momeati inde nafcitur de inueuienda ^ ex- preffhoue generali , quae omnes plane multiplicato- xes poflbiles eiusdem formulae in fe complectatur ; atque iu hoc confiftit praecipuum momentum; quod liL Eurus ia praefenti differtatione meditationibus fuis e(t profecutus, dum pluribus fele&ís exemplis oflendit, femper duos multiplicatores primitiuos lo- cum habere, et nonnunquam víü quoque venire, vt plures multiplicatores videantur diuerfi ,. qui. ta- men ad duos queant reuocari ; et cum huiusmodi multiplicatorum inuentio quandoque etiam Analyfeos vires prorfus fuperet ; eo maiori attentione digna eft-ea methodus, quam ab.]ll. Viro in hoc fcripto ad hoc inftitutum legimus adplicatam , cuius ope plurimis cafibus tales mu'tiplicatores inuenire licet ; quaeque infignem víuüm habet in refolueudis- aequa- tionibus fecundi gradus, quas quippe omnes ad hanc formam redigere licet P4p-r-Qdz-r-R dy — o, pofito dy — dx; vbi manifetum e(t, fi vnus hu- jüs. REC Be ae innotuerit ; ie obti- neri aequationem femel integratam adeoque. primi ' ordi- »d3S (o) $9 1I ordinis; at vero fi bini multiplicatores fuerint co- gniti ,- tum ftatim; aequationem bis integratam | feu finitam «elici poffe, 'ita, vt integratione. repetita plane non füerit opus, | V. Obferuationes circa aequationem differentialem iyw Mur NS . Au&tore L. Eulero pag. 105. A o propofita, in qua euoluenda Ill. Eurus hic verfatur, quanquam in fe fatis fimplex - Videatur: eius tamen integratio tam eft intricata , yt omnes adhuc Analyfeos vires eluferit. —Contine- für ea fub forma generaliori , olim a Comite Rie Catio tractata ; dz--Pzdx-e-WQ4xIo; | ad quam duplici modo reuocatur ; primo fi per .f diuidatur; deinde etiam ponendo ,y.y — z; priori enim cafu prodit dy--Mdz--*7*—0j ita, vt fit z? — — 1; poflericri vero pofitione fit | dz--2M.z dx--eNdx—o; cNt fit z— 4. 1n tractanda bac aequaticne ll. Au- "or t mnerhogum generalem dudum à fe expofitam in ri ba auxie 15 ^ . e$ (0 ) $52 auxifium vocat, qua oftendit omnium aequationtim differentialium integrationem: commodiffime per inul- tiplicatores abíolui ; vnde Cel Vir. id operam .dat , vt binarum variabilium x et ;y inueftiget | functio- nem einsmodi 2, per quam aequatio propofita diuifa reddatur integrabilis. VT Confideratio 2equationis differentio- differentialis (a--bx)ddz-r- (cA ex)25 53 (fg x) £28* — o. Au&ore L. Eulero pag. 125. ^ (om e3 , quae hac differtatione continentur , fint eiusmódi , vt meris abfoluantur calculis alge- braicis; commode fieti non poteft, vt hic 'eorum tradatur epitome ; vnde mathematumi peritos ad ipfam differtationem neceffe eft vt quum VII. | Solutio Problematis Analytici. Au&ore A. I. Lexell pag. 155. 1)* Iloftr. Eulerus in "Tomo: praecedenti. Com- mentar, M gen iia rimatus eft; quae in .ple- num e$» (o0)S$ 18 müm explicari: poffunt , iouenit inuefligationem .hü- iusmodi füperficierum — ope fequentis problematis analytici perfici poffe: propofitis duabur «aviabilibus t etu, earum fex inuenire. funcliones 1, m, n, 4, v ita comparatas , vt Jex fequentibus. conditionibus. fatis- [iat : 15-05; IT. (9) — (05; nr. en IV. lA-mm-r-n—x5 V. Nap epe: yyzi VI. don fca ai Solutionem huius problematis ab Euleriana diuer- fam, heic proponit Cl. huius differtationis Auctor , quae füa concinnitate fe haud. parum "commendare videtur. "Tota fcilicet folutio €o redit, vt in fuper- ficie fphaerae defcribatur curua quaecunque et in circulo maximo eam in puncto quodam tangente , refecentur a puncto contactus bini arcus, quorum prior aequalis arcui curuae , alter aequalis | ipfius complemento ad go. gradus, ita vt fi punc&um conta&us fit E et hoc modo capiantur srcus EH, EI, arcus H I fit aequalis 90*, fumtis porro in fuperficie fphaerae tribus punctis A, B, C quadrante circuli inter íe diftantibus, ducantur ex his pun- ctis ad H, et I arcus circulorum maximorum , hoc enim fücto |, ", n exprimentur per. Cofinus arcuum AIBI et DI et 2, p, v. per. Cofinus arcuum AH, BH, DH. Tum enim fi arcus curuae, cui arus EH per conftru&ionem aequalis, dicatur o, j b 3 fint- n £35 (0 ) Side fintque €) et €) duae funciones quaecunque ipfius u, fiet t£-—K4L--sfíünooe etuc—Q! --»scofo, defignante 5 quantitatem variabilem ab c plane in- dependentem, | VIII. Exercitationes analyticae. Au&ore L. Eulero pag. :73. L hac differtatione 1l. Auctor relationem — haud parum notatu dignam ; quam inter fummas fíe- rierum diuergentium. huius formae qam. quiu "5" — etc, et iflarum ps 1 -l- zu E A ;-l- ete. intercedere x obferuauit , penitius perícrutatur. iftam legem hic in genere ita repraefentare licet , vt fit (n- x-2'74-92 0 4. neci oz o E00 TS Rc ee e tik ey ete.) denotante ouiidetibedds circuli; quae ae- qualitas, fiue z fuerit numerus par fiue impar, re- vera locum obtinet; vtrum vero etiam pro cafibus, quibns n eft numerus fractus, abíolute verá fit, cum «$22 ( 0 ) 82e 15 cum tuto affeuerari non poffit, Ill. Auc&or ita exa- minat , vt fcrutetur , num ea feriebus per approxima- tionem fümmatis íatisfaciat. In numeris vero inte- gris cafüs 5 — 3 ideo potifümum eft notatu diguus, quoniam haec feries X -|- i: 5 Foz etc. ita eft comparata, vt omes adhuc labores, quibus eius füummatio eít tentata, celuferit, quam Illuftr. Auctor ad examen. eo exactius hanc ipfam ob cau- fam reuocat; et quum ad fcopum propofitum per- veniri poffet , fi modo huius feriei logarithmicae 25.12 —3.18 -1- 4.104 — 5^1 5 -4- etc. fummam affignare liceret ; etiam hanc calculis ad- modum ingeniofis profequitur. ^ Huius argumenti tractatio Cel. Auctori anfam füppeditat , hanc feriem dex puma pne aep üceym- e), vs erc adcuratius perpendendi, cuius valores pro cafibus quibus 7 eft numerus integer impar, fingulari mo- do determinauit , et pro cuius fümmatione iam ge- neratim inflituenda methodo differentiali hic vtitur 5 vbi fimul llluftr. Auctori infignes quaedam obfer- vationes de integratione aequationum differentio - dif- ferentialium fefv obtulerunt, IX. 16 MCIE ) ot Ceo IX. | Digreflio de "Traie&oriis tam orthogo- nalibus quam obliquangulis, AuGore L. Eulero pag. 2cs. bfoleta propemodum hodie eft, quae tantopere iuter Geometras olim fuit agitata , de traiccto- ris quaeftio , quam Ill. Auctor hic denuo in fce-- nam. reuocat et nouis quam plurimis, obferuationibus haud mediocriter illuftrat. Principio di(tin&e expli- catur, qua ratione curuarum fíecandarum natura ect indoles in calculum fit. introducenda. Aequatio earum , quum innumerabiles lineas comprehendere debeat, praeter coordinatas x et y et- jam quantitatem quampiam tanquam parametrum continere debet, cuius valor dum fucceffiue vel au- £ctur vel minuitur, continuo aliae arque aliae li- neie fecandae prodeunt. Ita aequatio yy — f (x 4-2); vbi f eft quantitas conftans, continet infinitas parabo- las füper eodem axe eadem parametro f defcriptas , fed. quarum vertices continue per axem proferuntur, fiue eadem parabola fuper axe promota omnes cur- vas fecandas repraefentabit. Huiusmodi autem ae- quationum plures dantur claffes a íe probe diftin- guendae ; ad primam refert ]]l. Auctor aequationes cuiuscunque gradus algebraicas ; ed fecundam eas, quae, in fe quidem tranfcerdentes, non tamen nifi logarithmos et arcus circulares jnuoluunt ; ad tér- tiam we ( [9] ) Hr 17. tiam aequátiones differentiales non nifi tranícen- denter integrabiles ; ad quartam deniqué et quin- tam aequationes differentiales quascunque , et eas in- primis , vbi ipía differentialia ad plures dimenfiones affürgunt, ctfi ipía aequatio tantum fit differentialis primi gradus ^ His expofitis lll. Au&or ad ipfam traie&oriarum inuefligationem progreditur et quo argumentum hoc, in fe maxime diffüfum diftinctius poffit euolui, praecipuos cafus feparatim contempla- tur; quorum rimus: is eít,' quo parameter curua- rum fécandarum aequatur fünctioni cuicunque bina- rum coordinatarum ; /ecundus , quo adplicata y ae- quatur fünctioni cuicunque. parametri et abíciífae ; zerlius , quo. abíciffa aequatur fun&tioni cuicunque adplicatae et parametri ;; qua/i4$ , quo aequatio pro curuis fecandis eft homogenea; quimius, quo tam abíciffa , quam. adplicata., ;aequatur fünctioi cuicun- que parametri et nouae cuiusdam variabilis ; /exfus, quo tantum pro fingulis curuis fecandis aequatio differentialis datur ; /eprimus. denique , quo aequatio ifla refertur ad punc&um fixum. . His füb finem differtationis . adiungitur vberior euolutio | cafuum , quibus lineae fecandae íünt rectae. Tom, XVIL Nou. Comm. e PHY. 18 wec32 ( 0) a | PHYSICO - MATHEMATICA. P Expofitio theoretica fingularis machi- nae hydraulicae , "Tiguri Heluetio- rum exítructae. Auctore Dan, Bernoulli pag. 249: I: machinae , cuius hic expofitionem tradit Ill. ^" Auctor, confítrucione tantum cernitur ingenii , vt ea ia machinis hydraulicis haud fane poftremum locum occupare merito fit exiftimanda. — Ei in hoc differtationum fümmario defcribendae eo minus im- moramur, quo fücilius ex ipfa differtatione , icone infuper adiutüs , lector notionem eius fatis diftin- &am colligere poterit; adde ; quod vberior eius ex- pofitio ' transactionibus "Tigurinis a CL Zig/ero in- ferta legatur. Effe&us huius machinae, qui qui- dem tam eft admirandus, vt inuentor cius, artifex ftannarius Tigurinus, ndr. Wirz, paruula eius- modi machina aquam ad alütudinem octodecim pedum eleuauerit, potiilimum inde eft repetendus , quod -ea- alternis vicibus aquam et. aérem hauriat 5 ab intermixto autem a&re augeri aquarum afcenfus , etiam aliis machinis comprobatur ; quarum vna de- fcribitur in Comment, Acad. Paris. 1766.; vbi et- «$35 (0 ) $3 rp iam effectus huius principia mechanico- phyfica a CL. JNolleto traduntur ; quorfum etiam ea pertinent , quae lll. Auctor. in Hydrodynamica fua de aéris condenfati vi viua potentiali , cuius ope datum pondus ad certam altitudinem eleuare pofbt, eft commentatus. In hac differtatione lll. Auctor non ea íolum quae ad huius machinae explicationem : veramque eius occonomiam pertinent | Optatumque eius füucceffüm certiorem et vberiorem reddunt , am- ple expofuit , fed cum obferuaret , duo inprimis in- commoda víitatam eius conflrucionem haud medio- .criter premere , nouum huius cochleae: conftruendae modum eumque praeftantiorem et longe faciliorem excogitauit, qui etiam ipfa experientia Tigurini fuit comprobatus et füb finem differtationis diftincte defcribitur, | IL-sà . De Collifione corporum gyrantium. Au&Gore L. Eulero pag. 272. | do&rina de legibus motus corporum , inter fe E inuicem colliforum , multa adhuc dantur capita, haud quaquam plene explicata. | Merito huc refer- tur argumentum de corporum gyrantium collifione , circa quod exactius euoluendum lll murus in prae- fenti differtatione verfatur. . Si globus aliquis conci- guuur circa axem fixum in gyrum agi celeritate t2 quae eb «$3 (0) $88» quacunque ; in eumque dirc&e impingat alius glo- bus: fane haud. parum ardua eft quaeftio ; quem- nám motum poft confli&tum habiturus fit pofterior hicce globus, dum prior aliena vi perpetuo in mos tu fuo gyratorio conferuatur. Principio itaque Cel. Auctor re(olutionem huius problematis ad tres per- ducit. aequationes diffetentio differentiales ," quarum duae motum huius globi progrefliuum , tertia vero motum eiusdem rotatorium , qui ipfi tam ob. im- preffionem alterius globi rotantis , quam ob frictio- nem inducitur , determinant ; quasque fatis feliciter refoluere licuit , modo ambo ifla corpora concipian- tur ita dura, vt imprefliones factae tanquam infinite paruae fpectari queant. ^ Inprimis vero id temporis momentum. erat determinandüm , quo conflictus pe- nitus ceffat ; quod fieri non potuit, nifi düo genera principalia conftituantur , quorum priore globi ifti omni elaftica vi deftituti , pofleriore vero perfe&e elaftci fupponuntur.. Praecipua huius refolutionis difficultas inde originem trahit füam , quod globus prior aliena quadam vi .in-motu-íüo rotatorio con- feruari concipitur, quae quum admodum debeat effe irregularis , haec ipfa irregularitas ipfum quoque problema reddit intricatum. ^" Hanc ob rem Ill. Auctor aliam ^ quaeftionem ,. folutu faciliorem , in akherá differtàtiónis parte' proponit: ^i 'ícilicet ^ duo córpora fphacrica , circa axem verticalem gyrantia , iü fe muto füper plano horizontali quocunque im- pingant ; qualis futura. fi£. motus variatio, quam haec duO corpofa' düranté cóhfliétu' fibi inutuo 'fuüt ) indu- 55 (0)$t 2t idductura. ^ Aequationes pro folutione huius cafus inuentae iis quidem , ad quas prior eft perductus, funt fimiles , neque ideo refolutionem admittunt , nifi itidem ifla corpora ftatuantur duriffima , quae vero reítridio co minus aegre efít ferenda, cum omnia, quae adhuc de corporum collifione funt pro- lata, eidem innitantur hypothefi. B De colliione corporum pendulorum tam obliqua, quam motu gyra- torio perturbata. Au&ore L. Eulero pag. 315. I disquifitionibus phyfico inathematicis ea,. quae in theoria calculis funt definita , re ipfa quoque €xperimentis comprobari , quin res fit maximi mo- menti, nemo ibit inficias; Eo maiori itaque atten- tione digna-fünt, quae ab Ill. Euro in praefenti differtatione traduntur , vbi ftatim initio. modus ex- ponitur, quo omnia ea, quae in praecedenti fcripto de corporum. gyrantium collifione funt explicata, ipfa experientia illuftrari atque oculis quafi .exponi poffunt. Si enim duo globi ex filis ita fufpendan- tur, vt globi, dum fila in fitu verticali funt, fe contingant mutuo et reca per eorum centra tran- fins fit horizontalis: omnes illae collifiones facili sid - c 3 mecha- 2 epi (0)tfHe mechanismo poffunt produci. Quodfi fcilicet ifti globi in diuerfis planis verticalibus a fe inuicem di- ducantur iterumque ofcillationi permittantur; con- flictus non fclum eueniet obliquus , et vtrique glo- bo celeritates quaecunque , quibus inchoetur. impul- fus, imprimi poffunt; fed etiam fila contorquendo globis iflis motus gyratorius circa* axem — verticalem poteft induci; vt itaque hoc modo cmnia, quae ad corporum rotantium collifionem obliquam pertinent , quod propemodum plane nouum eft argumentum, ad experimenta poffint reuocari, Quae dum doceret in hac differtauone Cel. Auctor ; occafione bac ob- lata vífus eft, in leges collifionis corporum pendu- lorum in genere penitius inquirendi; neque enim opus eft, vt ambo corpora fint fphaerica; modo eiusmodi fint corpora rotunda , quorum axes inci- dant in ipía fila fuüfpenfionis; et circuli eorum ma- Ximi, quibus fe mutuo contingunt, per vtriusque centrum grauitatis tranféant, ^ Varia ver omenta in hac disquifitione probe funt perge. primo enim attritus ratio eft habenda, qui a collifione obliqua abeffe non poteft; deinde inprimis eft difpi- ciendum , vtrum ambo corpora elaftica fint , nec ne et quum infiniti dentur gradus elaflicitatis , duo ge- nera principalia a. Cel. Auctore conftituuntur; ad quorum prius corpora referuntur omnis elafticae vis expertia , ad poflerius vero corpora perfecte elaftica, feu in quibus impreffiones in conflida inductae per- fede reflituuntur, — Denique etiam hic impreffiones faciae concipinntur quam minimae, quia — ic ex$32 ( [o] ) e Àce 25 hic ftabilitae, fimulac figura notabiliter foret muta- ta, locum amplius in corporibus mollioribus gon haberent. IV. De vera Tautochrona in fluido. Auctore L. Eulero pag. 355- us eft inter Geometras celebris de tautochro- nis quaeftio , vt et ii; qui fummam funt in» ter mathematicos gloriam adepti, argumentum hoc fludio et acumine fuo perquam dignum femper exiflimauerint ; attamen , fi ab egregiis quampluri- mis inuentis , quibus, dum Geometrae in hoc ar- gumento elaborarent , analyfis eft locupletata , difces- feris, víum practicum in iis, quae de ifochronis in medio refiftente fünt prolata, iure defideres ; cur- va enim tautochrona , quam mathematici pro refi- flentia quadrato velocitatis proportionali , quae fola in rerum natura locum habere videtur, inuenerunt, eo magis efl ad praxin inepta, cum afcenfus et de- fcenfus corporis peculiares easque inter fe diuerías curuas ad tautochronismum requirat. — Huic income inodo qua poflit ratione remedium adferri , in ope- te fuo mechanico lll. Auctor fümmo ftudio inuefti- gauit; neque vero voti compos fieri potuit , nifi eo €afü , quo refiflentia fuerit quam minima ; meque pot illum alis fliciori fucceffuü gaudere licuit. (GO Cum m T ^82 ( o ) Site Cum itaque hoc argumentum tot tántisque impli- - ectur difficultatibus ; Cel. Auctor in hac differtatione id operam inprimis dat, vt omnia momenta, qui-. bus haec inueftigatio innitur , diftin&e et perípicue explicet ; quod fane eo cít vtilius, quo praeclariora ex problematis huius refolutione in Abnalyfin incre- menta effent redundatura, | Atque ipfius quidem huius negotii fundamentum Cel. Audor iam in opere fuo mechanico pofuiffe cenfendus eft, vbi fci- licec methodum explicuit , qua pro data curua quas cunque, füper qua corpus defícenfus fuos abíoluat , inuenire oporteat curuam iungendam afcenfui defti- gBatam , ita, vt quilibet deícenfus cum- afcenfü fe- quente dato tempore abíoluatur. Quo fcilicet pofito cardo rei in co tantum verfatur ;, vt cafus quaera- tür, quo curua afcenfus ipfi curuae defcenífus fimilis euadat et aequalis; cuius quaeftionis qua ratione ten- tanda fit íolutio , in hae differtatione Ill. Auctor adcuratius inueftigat. Quanquam vero ipfi licuerit , problema per adproximationem refoluere : haud tamen diffitetur, iftam folutionem effe füfpectam, quoniam, qui- bus innititur, ratiocinia plene perfpicua dici nullo mo- "do queant; quo tamen non obftante ipfa, qua vfus eft, methodus ob egregia fubfidia analytica omni attentione digna eft reputanda ; eo igitur magis operae pretium eft, vt in ardua quaeflüione hac euoluenda Geome- trae vires fuas exerceant, quo longius adhuc a ple- na eius refolutione fumus remoti. Ceterum folutio ab lll. Euero in opere mechanico data ad víum prae &icum prorfus. fufficit, etiamfi fluidum non. admo- ; dum et3$ ( o ) $e 25 dum rarum fit, modo ofcillationes admittantur fa- tis paruae. V. De 'Tautochrona in medio rariumo, quod refifit in ratione multiplicata quacunque celeritatis. AuGore L. Eulero pag. 54.9. 4 Rare pro mediis in ratione multiplicata quacunque celeritatis refiftrentibus felici fücceffü inueftigare qui voluerit ; tutiorem inire viam non potet, quam ordiendo disquifitiones fuas ab co cafu, quo media ifta flatuuntur rarijfima. Quaeftionis hu- ius, a Geometris in hoc argumento elaborantibus propemodum negle&ae , plena traditur refolutio in Volumine fecundo mechanices ab lll Euíero con- fcriptae. — Hoc tamen non obflante Cel. Au&or in praefenti differtatione problema hoc denuo retra&tat methodumque exhibet id refoluendi , quae et noui- tate et facilitate füa omnem mathematicorum atten- tionem meretur, cuius fcilicet ope pro medio quo- cunque rariffimo , cuius refiflentia rationem quam- cunque multiplicatam celeritatis fequitur ; tautochro- nas tam pro defcenfü , quam pro afceníu fatis expe- dite , fi in prima adproximatione fubfiframus , affi- gnare licet. lta fi fuerit refiftlentia ipfi celeritati Tom. XVII, Nou. Comm. d pro- 26 edi (0) eese. proportionalis vel fequatur quadratum — celcritatis 4 aequatio pro tautochronis reperitur priore caíu dscdaxvVi—.i2., a mv ya? pofleriore cafu vero ser: b .Xbdx. quarum aequationum iffa manife(to Cycloidem, haec vero iftam curuam exprimit, quam pro iíta lege refiflentiae hic prodire debere etiam cx aliis princi- piis conflat, ! VT. | Dilucidationes de 'T autochronismo. - "^ "Au&ore L. Eulero pag. 362. pou Yi. Euleras pro refilentia quadrato ce- leritatis proportionali curuas duabus partibus in- tet fe fimilibus conftantes affignaffet , fuper qnibus in fluido rariffümo non quidem delcenfus vel aícen- fus fcorfim effent ifochroni., jfed integrae potius oftillationes aequalibus abfoluerentur . temporibus ita, vt iflae curuae fümmoe cum, fru&du in ip(a. praxi loco cycloidis adhiberi pofle viderentur: longo poft temporis interuallo Fontainius , infignis . Geometra Gallus, argumentum hoc haud parum illuftrauit , dum ingeniofa methodo oftendit , iflas tautochronas ab Ill Ewéero inwentas pro refiflentia quadrato velo- citatis proportionali etiamnum locum habere ; fi, in» (00 fuper eso) e füper refiflentia ipfi celeritati proportiomais acceffc- rit. Poft cum aliquot abhinc annis Viri llluftres , D? Alembertius et la. Grange , hanc de tautochronis quaeftionem fümmo ingenii acumine excoluerumt, eam inuertentes, vt non pro certa quadam refiftez- tiae hypothefi tautochronas definire conarentur , fed viciffim eiusmodi refiftentiae leges inueftigarent,. pro quibus tautochronas ipfis affignare liceret ; neque ta- men et ipfis contigit effe tam felicibus , vt vltra fmplicem et duplicata rationem celeritatis, cui proportionalis effet refifentia, laborum füerum fuc- ceffus extenderent. Hoc tamen non obftante analy- fis, qua vfi funt Celeberrimi hi Geometrae, tam eft egregia tantaque in ea ingenii vis cernitur , vt, et& pleno fücceffü exciderint , eorum tamen labores omnium, qui fünt mathematum periti, attentione fint dignifümi ; quos dum lll Ewlryss perícrutare- tur; omnia, quae ab iflis fünt prae(tita, fine in- tricatis adeo calculis methodo longe faciliori expedi- ri poffe obferuauit, Quae igitur Ill. Auctor de hcc argumento efl meditatus, in praefenti differtatione exponit; neque tamen diffitetur , Geometras , mul- tum ia hac inuefligatione effe praeftitum , gloriiri non poffe, cum eiusmodi inprimis refiftlentiae hy- pothefes defiderentar, quae purae cuidam celeri:atis 5 fun&ioni effent proportionales ; quales cafus au'em ha&enus euolnere non licuit, nifi vbi refiftentiae lex tribus conflare partibus affümitur , 1^. termino prorfus conftante ; 2e, termino ipfi celeritati z et $*. ferrnino eius quadrato s: proportionali, feu vbi | ne refi- 28 e$ (0) $e refiftentia huic formulae proportionalis affumitue a--bu--cuus;cum vero líluftr. Auctori in me- chanica fua nondum licuerit terminum medium 4&4 in hoc problemate in calculam introducere : totum cafum modo memoratum hic vberius euoluit. VII. De Chordis vibrantibus disquifitio vlterior. Aucore L. Eulero pag. 38:. ec mathematicas ícientias , in quibus fumma lex eft euidentia, fuis carere controuerfiis , haud defünt exempla , quibus comprobari poft. lure huc referas argumentum de chordis vibranti- bus; cuius problematis refolutio dudum iam ab lll. Eulero data nondum adhuc ab omnibus dubiis et ob- iectionibus, quas Geometrae contra eam formaue- rant, potuit vindicari. Neque vero id adeo mirum eft, cum motus eiusmodi "vibratorii determinatio nouum plane calculi genus poflulet , cui parum ad- huc ad(ueti fünt mathematici, Qua confideratione impulíus Illuftr. Auctor hunc fibi in praefenti dis- fertatione praefixit fcopum , vt omnia momenta, quibus innititur ifta folutio , dilucide exponeret at- que ab omnibus dubiis contra eam formatis liberaret ; quae cum potiffimum contra ipfam , quae adhibetur, methodum moueantur; lll. Matos hic fubfifit in cafu eta ( [0] ) S tocm 29 eafü fimplicifümo omni cura euoluendo , quo fcili- cet chorda per totam füam longitudinem eiusdein cra(litiei affumitur, — Inprimis vero Cel. Auctoris folutio Cel. D' Aembertio: idco: fuit. fufpecta ;— quod tam late patet, vt non curuas folum certa quadam | aequatione analytica expreffas, verum etiam curuas comprehendat ex variis portionibus diuerfarum cur- varum vtcunque coaflatas vel et libero manus ductu formatas, dummodo omnes partes inter fe cohae- reant et nusquam hiatu interrumpantur ; dum Cel. ille Geometra. non admittendas cenfet , nifi eas cur- vas, quae flricto fenfü continuitatis lege continen- tur, et diuerfarum inprimis curuarum portiones ,. angulis in iuncturis prominentes, atque liinc aequa- tionis differentio — differentialis naturae , penitüs ad- veríantes prorfus reiicit. — Hifce dubiis omnibus Cel. Auctor ita refpondet , vt fibi füam de motu chor- darum vibratorio theoriam iam extra omnem dubi- tationem pofuiffs videatur; et facili atque concinna methodo figuram , quam chorda vniformiter craffa " cuius datur ftatus initialis tam ratione fiaurae, quam ratione motus ipfi imprefü , ad quoduis tempus eft habitura , inuenire docet, quatenus ícilicet eius *vi- brationes füerint quam minimae. | d 3 VIII. "T $45 ( o ) $e VIIT. Animaduerfiones in folutionem Bernoul- lanam de motu chordarum. Et 5; JTX. De motu vibratorio chordarum craffi- tie vtcunque variabili praeditarum. Auc&ore L. Eulero pag. 422. n horum Commentariorum Tom. XVI. ab Iiluftr. Geometra , Daniele. Bernoulli , conícripta legitur differtatio de motu chordarum ex duabus partibus diuerfae craífitiei compofitarum. ^ Celebrati huius de motibus vibratoriis argumenti «euolutio cum noua plane et parum adhuc inter Geometras vfitata re- quirat Analyíeos artificia e£ calculi genera: vehe- menter adhuc difcrepare inter fe folutiones mathe- maticorum , non eft, quod mireris — Idem et hic accidiffe videmus, dum íolutio , iam olim ab Ill. Eulero data , plurimum diffentit ab ea, quam in modo memorata differtatione Ill. Bermow/; explicat. Summo itaque iure veritatis. amor Cel Auctorem impellere debuit, vt ipfum diffenfus huius fontem detegere anniteretur ; quem ipfum fcopum in priori harum diflertationum fibi praefixit, in qua omnia momenta, quibus folutio Bernoulliana innititur , ri- gorofé ad examen reuocat. Principio quidem fla- . tim $35 (o 5 $55 51 -tim id Cel. Aucori in folutione Bernoulliana nmi- mis reftictum videtur, quod flituatur , in chordas inter vibrandum alias figuras cadere non poffe, nifi quae ad genus lincae finuum referantur, cum ta- men etiam aliae figurae quaecunque locum habere queant; fiquiuem totus chordae motus a figura ipfi jnitio impre(a, plane arbitraria , pendet; hoc ob- "feruato finzularem illam methodum , qua Cel. Ber- soulh wibrationes eiusmodi chordae inueftigat , Cel, "Auc&or fuo more ob oculos ponit , detectaque dis- crepantiae origine iftam circumfltantiam ita fuis ideis adcommodat , vt conufenfus iam vtriusque folutionis oriatur pulcherrimus. Eadem methodo, qua cafus ab Ill Bermoullio tractatus fcilicet chordarum ex dua- "$us partibus diuerfae cra(fitiei compofitarum , fuit 'expenfus, etiam motus chordarum , quae partibus quotcunque diuerfie craffitiei confiant , facile et ex- " pedite definiri poteft: vti Cel. Auctor in chorda ex tribus tantum partibus inaequalibus conflata in pofle. 1 riori differtationum allegatarum oftendit. X. "De motu Vel e chordarum craffi- tie vtcunque variabili praeditarum. AudQore L. Eulero pag. 452. LIE li. Auc&or in praecedente differtatio- ne methodum expofuit , motus vibratorios chor- dae 32 ec35 ( o ) $e3e- dae ex quotcunque partibus diuerfae craffitiei con- flantis affignandi ; id tamea inficias iri non poteft , cum in qualibet iun&ura lex continuitatis quodam- modo interrumpatur , etiam aberrationem quampiam caleuli a veritate admitti debere ; quae etfi tantum circa elementa chordae quam minima locum ha- bet adeoque pro nihilo reputari poteft; tamen quan- do chorda fuerit craffitiei per totam prorfus longi- tudinem variabilis, ifta aberratio in. omnibus pun- Cis vfü veniret atque idcirco valorem acquireret fi- nitum ; ex quo fequitur, hoc caíü methodum iftam valere non poffe. Vtne igitur in hoc argumento quidquam relinquatur defiderandum , Cel. Auctor iftum cafum, quo craffities prorfus per totam chor- dae longitudinem . variabilis effe ftatuitur, in hac differtatione feparatim — pertractat , atque per plura egregia calculi differentialis artificia eo vsque euol- vit, vt tandem facilem obtinuerit folutionem fe- quentis problematis , quod generaliffime motum chor- darum plane omnium in fe comple&itur, et quor- fum omnia, quae de boc argumento defiderari fo- lent, referri poffunt : quodque ita fe habet: Si cPor- da craffitiei. vtcungue variabilis in duobus terminis fixas a vi quacunque fuerit tenía ; definire tempus Jingularum vibrationum , quas edet. impulfa. y XI. et (o)its5e $3 XI. | Dé^moti vibratorio laminarum elafti- carum , vbi plures nouae vibrationum - dbiian ha&enus non. pertra&tatae euoluuntur. T L. Eulero pag. 449. n bac differeatione Cel. Anctor ea, quae iam olim . de laminis elafticis vibrantibus eft commentatus , aliquanto clarius et wberius exponit; noua autem fünt eà , quae. de pluribus €ontremifcendi | generibus ha&enus non tractatis tradit, quae omnia in lami- nis clatticis locum habere Potlme s quorum. quidem. praeci pua; funt - fequentia «. 1*..fi lamina fuerit. bel fus libera, .feu- incumbat: plano horizontali. 2* fi ea fuerit bui ipo Orkut oH , in altero autem ita (tllo defixa, vt circa eüm libere verti poffit; 3*. fi.ea in vtroque. termino -ope ftilorum -fuerit — d-fixa ;.4^.:fi;€ea fuerit vno termino, vt ante , fti- lo:fixa , altero. autem .1$nuro: infixa; :5*. fi «a fuerit vtroque termino muro immobili infixa. 6*. denique fi ea fuerit; vtroque. término libera ,' fed circa ^; me- dium alicubi. ftilo defixa ; quibus. cafibus omnibus Cel. Au&or motus vibratorios | inueftigat ,. quos: 1la- mina: «eiusmodi '- eliflica : fob altos Ouen nd recipere : sno tion & ac) | Oub8 93021llo1 tursohilh ) EC XVII. Noa. Conm. . e " Xi t4 «54$ ( o ) zelo XI. e Madian grauium. citiffimo; aper. : c5) curuis; fpecie. atibus ^ Anífkoite: L. Eulero pag. 4892 Ej5 methodus eL ét minimorum ita iam eft exculia ,, BID folum 1 inter puse o:nnino- €uruss,- ^fed inter' Lrknrbi quoque , ^modo certa quadam indole communi fint praeditae , € poffüc affgnari,. quae maximi miaimiue popcng gaudeat: tanien fi. ifta! communis: indoles: ia eo co fiftat. quod; omues iflae «curuae vaa eademque eur—: warüm fpecie contineantur ;' fateri coguntur Geomez trae, methodum in. hoc cafü maxima wel. minima: inueftigandi' fere proríüs lat.re. Huc refereada funt: ifta; duo: problemata , circ quae euoluenda. Cel. Aü- &or in hac differtatione: ver(atur:' fcilicet "datis id plano :horizontali duobus punétis , ^ inuenire i*, eum arcum circularem; deinde 2*. etiam eati femi: ellipfit: vt-corpus graue füper eo arcu vel circulari wel c[- liptico ex vno datorum punctorum defcendens: citis fime ad: alterüm | perueniat ;^ in ^ quibus : cafibus: etfi Cel. Auctori refolutio quodammodo fucceflit; éa ta-* men ia. aliis cafibus magis complicatis locum non inue-- nit... Continet haec iuueftigatio complura egreg'a cal-- culi artificia atque iftam quoque ob cauffa momni Geo-- rpetrarüm attentione digna eft ,;quia:plarimum. vtrique: intereft, quousque promoti fint Analyfeos limites quaes: que in ea adhuc defiderentur, follicite annotari. - PHY- «63$ ( o ) Sit $5 s M YSI * am bg. niri ceareotom rele | 6jprine Capoeta et Cyprinis M urfa, mem A. I. : Gueldenflaedt pe 507. psc Ci. 3 actor in defcribendis posgutuae quos mare Cafpium alit, iisque, quorum defcriptio- nés Too iam praecedenti "horüm Commentariorum. infetnetat , duos alios adiungit , Cagoeram et Mutfam quorüm 'vterque ad genus DOTEM pertinet, Hium quidem definit: Cyprindm cirris^2 fadio tertio pinnae dorjalis 'pofticae : vtrinque ferrato ; s cauda: bifurca. Hunc ; S COTPIPIN viris 4 rüdio teriio pinnae dorfalis dtrinque' phflice Jerrato , volore laterttu fufro- "atefcente , pirindrum ' inferiórum. fufco - albido ,' dorfo Blano, Nomi- na triuialia a vulgari appellatione s "quae accólis ^ma- fis Cafpii in vfu eft, defumta funt. ^Poftdefcriptio- nem externi habitus horitin pifcimin , Jattes :eorüm internae. vare siidtófhie deferibuntak. - Vp. da; Fa N 3935911 * (1 2b 11 —c-ira Poles rdi $9 ifie 301i '0:11000 *obotrrn ashiaiBine ivolisDOq s» bUjq iqrino de epe] mshihqmegp .mreslcóoos 335 sur Bs orien o»br nos 3519 In1 'osrisimQ QiasioduGUq is cobidp A K ^ 2 Aaa Pos ^H 36 eB;Co])ji- C AIB.Y H4 Obferaationum fplanchnologicarum. ad Acipenferis ruffici et Hufonis .anato-. men, fpeciatim vero. ad ipforunt au ditus d fpe&antium .,, continuatio. / ! 0105 rq ^ Auctore I. LT . Koelreuter pag. sor - Ser tabulae tres ,. organum. auditus pifcium; dug- rum , Acipenferis ruffici. et. Hufonis. exhibentes ,. jn Ve TESI explicatione tota. .baec differtatio: | confi- flit. Finis Cl. Auctori primarius e(t. demon(trare- hac partium., quae pifcium organum auditus. confli- tuunt ,. expofitione ,, quod pifces. fenfu. auditus- omni- no gaudeant. Nunc. quidem. de fimplici fonorum: perceptione. nullum: phyfiologis. dubium. fuit ,. quin ^" pifces audire poffe ,. multis ,., etiam: yulgaribus expe-- rimentis ,. dudum: conflitit, Sed id folummodo quae- rebatur. vtrum. pifces, aeque ac animalia. quadru- peda et aues adeo diflinde. audirent, vt, etiam. voces diuerías., aliasue fonorum. differentias. diflinguere. pof-- fent, an: modo: confufo: lioc fenfu: et: imperfecto prae- diti effent. Si enimr prius a pofleriori conftitiffet ,. fecutum: fuiffet ,. cochleam , quam partenr pifcibus deeffe notum. erat, nom adeo neceffario- ad. auditum: requiri , quam quidem alii putauerant ,' primariam- eti» (0) Sf 87 que fedem auditus potius im canalibus -femicirculari- bus ponendam effe, vtpote quos folos fere . pifcibus cumr cacteris animantibus communes effe | anatomico« rum. pariter. diligentia innotuerat. . Aliter. fentien- dam. fuiffet, fi poílerius per experientiam conftitis- fet. Atque hoc dubium praefenti organorum audi- tus. Acipenferis et Hufonis expofitione haud. foluitur. Interim, tamen omnino fcitu iucundae et vtiles di- gnaéque iudicatae: fünt rae AME ILEHNN quae ues menratiis noti POL n | Ir. Deíoriptio Vituli bicipitis , cui accedit commentatio de ortu monfirorum. | Aucore C. F. Mis P3g. $40- istos hic defciptus | proprio: (Enf& ibicefis vocari poterat, corpore fiquidem» toto extremitatibus que: fimplicibus ,.. folo capite et collo duplici inftru- &us.. Cor in eo fimplex fuit et aorta venaque. ca— va inferior ,' corpori fimplici refpondentes » aeque fimplices.' Sed' arteria; innominata ex lac aorta: pro duobus capitibus d"uplex oriebatur , 'quaramy quaelibet duas. Carotides edebat. Cauae fuperiores duae erant y. quarum: dextra: folito: modo:, finiftra. autenr ,.;prae- ter mituram addita, Giüllumque: ad: fimplex cor: ac- cám: ínueniens, miro miodo: circumerrabat ,; deni-- d que 38 e$ (o)23$- que 'in finum dextrum inferebatur. — Pulmmones tfes fue- runt; dexter , quafi dextro foetui,. fitiifter finiflro-pro- prius, mediusqüe tertius vtrique cónimunis. "Ex duabus arteriis pulmonalibus altera, folíto modo ex corde orta; pulmoni: dextro et medio profpexit; altera autém ; pro— prio fuo , vnde oriretür', corde carens, ex innóminata finiftra defcendit ; pulmoni medio et finiftto dicata. " Alia mirabilis ftru&turae exempla. in.'differtatione ipfa legi meréntur;. quibus (ingulis fere Peri/. HALLERI et WiINSLOWI fententia confirmatur, 7offé monfira mul- lo modo oriri ex fortuita duorum — foetuum | collfione | et concretione ; Jed nece[je ee, vi a primis uis iniis- eiusmodi monfira iam fuerint , nec aliter nfi monfirofe fürinari | inceperin. : JlArgumenta £o fere recurrunt i In ipfis iis, quie. monftrofa in corporibus funt, or- do et fines apparent adeo manifeíti , adeo ' artibus mon(trofis conuenientes , vt a fortuita collifione nun- quam 'exípeari poffint. —Vnde 'otnnino fequitur , monfílrofam in monflris flru&uram iisdem caufis de- Deri-, quibus monftra ipfa; quibüs et. foctus. naturae lis: ftru&turae | producuntur. — Deinde alia quae oritür, minus ab Audoribus agitata; Vtrum mon- ftra ex 'germinibus monftrofc-treatis originem ducant per modum. merae -euóltitioriis ,- quae. fententia. ple- rorumque Atictorum: sefts -an. Un Me potius. naturae generatricibus folitis; fed. per caufas accidentales mo- dificatis :;producantur ? Quémadmodum . nulli^ cafui fortuito nullique fortüitae collifioni ftru&urae., quae in. monftris apparent; organicae /adícribi poffunt, ita multo. minus: Diuino confilio. et. creationi.. eas- |. dem ec:s ( 0 ) $s$e- 39 dem. attribüenjas, fed a natura deriuandas effe , a CR .ALOAE. in hunc fcopu:m: inftitura quam et mra opera producere et fiaes, profejui , fed et in finibus hifce profequendis errare. po(le ;; innume- ris exemplis experimur , id, vituli non modo huius exemplo fed ferie, monítrorum | imprimis euincitur, in Adis Parifnis a Viris Cclebercimis deícriptorum. Ex. omnibus his enim obferuatiooibus euidenter apparet , mouftra naturae generatricis. qui- dem , noa cafus fortuii, opera , fed opera imperez fcéta effe et quae fucceffu caru-rint, Haec monftro- rum, cozuitio . ad demon(traudam exiflentiam NV- MLNIS DIVINI adhibetur. Denique. differentia in- ter monflra yera, in fpecie bicorporea,, -et, foetus concretos oftenditur, lla partes: primarias. ipíaque plerumque vifcera vitalig communia habent , adeo- que. vnicum femper. corpus Organicum . conflitount, Ia. bis quilibet. foetus, propriis fuis et ab. altero | di- füun&iffimis. partibus. gaudet ,; adeo, vt. duo corpora Sind. bmp; iciter coalita , referantur. 1 IV. De Reliquiis animalium. exoticorum "E SURE Afiam borealem repertis | . Complementum. / Auftore P. S. Pallas pag. 6. ji Au&or in hac: differtatione proptiis. nunc 'ob- ' ferüationibus: ea partim confirmat et^ complet , partim- 40 en [e)c- partimque corrigit ,' quae olim de foffilibus quadrüe pedum indicorum reliquiis , in remotiflimis ab eo^ rum loco natali regionibus inuentis, de eorumque et ipüus telluris noftri fatis , ation paffim obter . wationibus vfus fcripferat. ^ Veriffimum eft, per omuém Sibiriam wniuerfamque Afiam báreilémr teli- quias éiusmodi vafliffimorum zonae tortidae incola- rum difperfás effe et inueniri maxime in ripis flu- viorum campeltrium , folis alpeftribus Sibiriae tracti- bus faxisque telluri congenitis exceptis, quae neque offa Elephantum Rhinocerotumue neque corpora marina aut alia petrefa&a in fuo finu fouent, Con- gefta alibi, fed rarius, in vnüm quafi cumulum multorum défécratiicil offa intüentd funt. Alibi fingulorum 'animalium reliquiae tumulis arenofis fe- pultáe , alibi et frequentiffhime folitaria membra Eléphintum , Rhinocerotum , fociata cum corpo- rum mátinorum 'reliquiis repétinütur , vt meti- to in^ his 'phaenomenis cum. Cl. Auc&ore agnoftas indicia et effectus inundationis ,' nimium violentas, nimiumque terribiles, quam vt illa non vniuerfalis effe potuerit. — Addit his Clariffimus. Auctor alum ánfignem; fati huius: memorabilis teflem ,. incolam- que mundi antediluuiani , Rhinocerotem integrum €um corio cumque tendinum et carnium reliquiis: confer- vatum, in orientaliori Sibiria ad ripam Ji flu- vii repertum... Cuius animalis integrum caput alias- que partes Academiae noftrae mirando fpectaculo transmifit ,. et. quae nunc in; Gazophylacio academi- co.! afferuantur, .....Corium cadaueris huius et. carr : aliquam et35 (0. ) $806 41 aliquam inollitiem adhücdum fefuauérant ódorem- que fpirarunt quafi ammoniacalem , et leuiter fic- catae in furno multam pinguedinem exfudarunt. Sed praeftat accuratifüimam defcriptionem tum partium huius animalis ipfarum , tumi flatus in quo ^reper- tae funt ,' et cacteras circumftautias notabiles in ipfa differtatione perlegere. ^ Sufficit hic caeteras modo vaftorum calidi climatis animalium reliquias breuiter indicare ,, quarum vel mentio fit in hac diflertatio- ne vél defcriptio concinnata exflat. Os humeri huc pertinet Rhinocerotis integrum , in ripa arenoía Ir- 5i; üluuii a Cl. Auctore ipfo inuentum. — Dens porro molaris eiusdem animalis vna cum elephantinis offi- .bus repertus. Porro crauium fractum eiusdem, ver- füs Oceanum glacialem in. colle arenofo, et aliud fimile ad Lenam rcpertum,. | Denique integrum Rhi- nocerotis cranium ad fluuium Tf;bioi dete&um , cuius ob fingularem dentium (tru&uram et maxil- lam inferiorem egregie conferuatam vna cum. de- fcriptione icones quoque exhibentur. Vltimum 1o-. cum tenent crania duo animalis hactenus nondum cogniti. In illis mira offium craffities et et firmi- tas, et bafes cornuum , quae fingularia offa plana funt , cornuum fübftantiae continua , totam frontem, Íynciput et (occiput ad protuberantiam occipitalem vsque incruftant. Et horum quoque craniorum dee fcriptioni icones adiunguntur, | Tom. XVII. Nou. Comm. : f ASRTO- 4x: 240029] "ie AS'TRONOMICA---« pee iion ma. ouibus rain. NM i deem Disquifitio. de . inueftiganda. ;Parallaxi. ' Solis ex ^"TFranfitu Veneris: per $0- | IET. AUI EPA oT "Rüflore ,A.. I. Lexell | pag o9. "c Difertationi quae fub aufpiciis lilaftris. cca demiae Scientiarum iam feparatim typis excu- fa cit, locum quoque in praefenti "Tomo Commen- . tatiorum corcedere , Illuftr. Academiae placüit ;. par- tim quod piat deatonidm quafi exhibeat , praeceden- tium in hoc argumento lucubrationum ,' quae Com- mentariis infertae fünt, partim etiam quod Cl. hu- ius Differtationis Auctor , ^ nonnullis 'correctionibus praecedentem 'eius editionem emendare heic fibi pro-' pofuit, M3 : 1 a0 t My) Singula huius Differtationis momenta quunr attingere non liceat , fümma tantum eius capita bre-- viter exponemus, Antequam igitur Cl. Aud&or in- veftigationem Parallaxeos in:hac Differtatione adgre- ditur, generales quasdam. cautelas ; proponit ,. quae ab illis obferuari merentur, qui huiusmodi disqui- fitionem fafcipiunt. Hae autem co potifhmum re- deunt , vt 1. Methodus adhibeatur exacta et rigori ; ! - Gso- we35 (.0 ) cele» 43 Geometrico conformis, pro. computandis effectibus parallacticis; tum vero 2? vt de obferuationum pre- tio et bonitate non. ex praeconceptis opinionibus , fed ex certis criteriis veritatis, iudicium formetur. bt quod pofleriorem harum cautionum attinet, nul- lum eít dubium , quin ex eius potifümum neglectu, tot diueríae opiniones. de Parallaxi .ex | obferuationi- bus noui(limi. tranfitus deducenda, originem fuam re— petant. — Hinc. enim factum eft, vt Celebb. de. Lande et Plamman obferuationem | Rev. Pat. Hell , in fauorem obferuationis a Celeb... Planmam | Caianeburgi fadam , reiicia.t 5 contra vero wt Rev. Pat. He// et Celcb.. Pingré obfernationem. Warahnfienfem Pat. He/l, pro. omnimode. exacta. adoptantes , obferuationem Ca- ianeburgenfem — penitus repud:andam effe | cenfeant. CL autem huius differtationis Auctor ,. quum exif(ti- mauerit fibi non licere, de obíeruationum — pretio pro fuo arbitrio pronuntiare ; aequitati omnino con- forme iudicauit , fingulas obferuationes confulcre , nec vliam excludendam effe cenfuit , nifi quae ab ipfo Lius Auctore pro dubia babetur. Pro determinanda quantitate Parallaxeos, Au- €tor praefentis diffortationis duplicem imprimis ad- hibet Methodum , quarum prior abfoluitur compa- ritione durationum pro tranfitu Veneris ia Europa et Ainerica obferuatarum , alter vero fupponit com- pirationem durationum in America obfíeruatarum , cum temporibus quae effuxerunt inter contactus in- ternos pro ingrífu et egrcflu , in diuerfis Europae f 2 locis £e i$ )oí v8 locis, obferuatis. Quamuis enim prior Methodus in hac quaeftone dirimenda principale conftituat mo- mentum , pofterior tamen quoque cum: vfu adhibe— ri poterit , fiquidem Longitudines locorum vbi ob- feruationes contactus interni. pro egreffu factae funt, fatis exacte videntur determinatae , nam íi his Lon- gitudinibus ne minimus quidem error ineffet , pofte- rior haec Methodus, priori omnino nihil cederet. Vt vero perfpicuum fiat, quomodo Cl. Audor priori adhibita Methodo parallaxin Solis pro tem- pore tranfitus. 1769, inuenerit 8", so, fequentem adferre placet Tabulam , quae exhibet valores pro duratione tran(itus Veneris Geocentrica inter conta- &us internos, ex fingulis obferuationibus elicitos , prout variis hypothefibus 'parallaxeos ab 8", 30 ad &', 7o refpondent. | Dura» —$9$ ( 0 ) $93 45 Duratio Geocentrica pro hypothefi parallaxeos. $/., 30 8", 40 8. 50... 85,60 | $/, Jo Arx. Pr. Walüae : | | Dymond |5^44'. 564, 5/5. 4Y. 54. o sb, al, 5 1, 5?. aal. 495,5 59, 4v 467 8 | Wales 57,7 47) 8 $1. Iofepb. Calf. j Chappe 48, 7 ds vp Dom Vincent 47, 8 41. 59, 6 | Medina 42, 8| 544, 6 nf. Reg. Georgi i Green 44; 8L... 42. 18, 4- Solander cum : mom. pro egreffu | D. Greeo et Cook, 42, 6| 16,2 Wardbus / 4:3 P. Heli (42. 27, 6| 4Y- 56,5 Borgrewing | 9, 6 38,5 Caianeburg . | | ] Planman 41.55, 7| 41.47» 23,89 Kola: j Rumovski | 42-20; 1| 48,4» Ex hac Tabula iam: fponte: intelligitur ,. quod! fi aliqua. Parallaxcos. hypothefis. inueniri poffet, quae pro valoribus durationis Geocentricae ex fingulis ob- feruationibus deducendis , perfectum: exhiberet con- fenfum ,. eam. pro: vera: et omnimode: exacta effe ha- bendam ; quum vero huiusmodi confeníus ne voto quidem praecipi potuerit , facile perfpicitur eam: f3 Paral- I. HEN et32 (0) $9] — Parilaaxeos hypothefia pro maxime probabili cffe hacendam, qua adoptata diffenius obferuatioaum fiunt quam minimi. kx leui autem infpectione Tabulae noftrae patet , adhibito valore parallaxecs pro tem- pore tranfitus. $", 50, hoc commooum praeprimis obtineri; nam íi pro hac Parallaxeos hypothefi ad- hibpeatur quantitas durationis Geocentricae 55 41! g6" errores obíeruationum- pofitiui et negatui inuicem proxime reddentur aequales , tüm vero 1n obfcrua- : tiones Rev. Pat. Hz// et Cel Planen tales redun- dant errores , quales ipfis incffe , aliis rationibus fa- tis euidenter demonflrari poteft; ex quo omnino fas eft concludere , hunc valorem Parallaxeos pro tempore tranfitus 8^, so [feu pro diflanua media 8", 65 , fümma faltem gaudere probabilitate. — Pro alia hypothefi Parallaxeos , valor durationis Geocen- tricae ita quidem eligi poflet , vt errores cobferuatio- num pofitiui et negatiui ad aequalitatem — perauce- rentur , at tamen hoc vix praeítari potcft , nifi vel obferuationes . Americanae ad Sinum Hudfonis et. St. Iofephi in(titatae , magis quam per eft redJantur erroneae ,. vel quod hac in quaeftione prioecipale eft momentum , obferuationi aut Rev. Pat. He/] aut Cel. Planman iuflo maiores tr'buantur errores. Sic pro hypothefi Parallaxeos $", 40, pofita duratione Geocentrica 55. 414 54!, obferuatio Rev. Pat. Hell errori 26" redderetur obnoxia , quod nequaquam probabile videtur. Contra vero ex hypothefi Parsl- laxeos 8",695 pofita duratione Geocen:rica 5? 51. 58^, eiusdem quantitatis error in obferuationem Cel. PAan- mag Bs ( o)SHe 47 *hah reduudaret , quod haud parum a verifimilitu- dine recedit. | His igitur de caufis Auítor praefentis differtationis valorem Paraliaxeos mediae $",63 ado- ptandum ceufuit ; licet haud negare velit hunc va- lorem cum aliqua latitudine 3, 4 vel forfan adeo 6 partium decimarum fecundi definiri poffe ; fcilicet ita fibi perfüafum habet, fieri vix poffe quin Pa- rallaxis Solis media his limitibus 8", 27 et 8", 69 conti- neatur , tum vero haud parum probabile videri arctio- xes ip limites ftatu: poffe 8^,6o et 8", 66, fed qui ita comparati funt, vt omnes valores Parallaxeos, qui inter ipfos cadunt , eiusdem fere pretii haberi de- beant. Quum enim errores obferuationum vix cum. maiore quam triüm aut quatuor fecundorum prae- cifiode determinari ^ queant , fru(traneam . omnino - fuüfcipit operam, quisauis valorem Parallaxeos cum praecifione vniüs adeo partis centefimae fecundi erue- re laborat ; imprimis vero tanta praecifio ab illis fruftra exfpectatur , qui in effectibus parallacticis computandis , errores quinque, fex , immo adeo vi- ginti fecundorüm commiferünt. Ex noflra fuperius allata Tabula , iam funda- meotum quoque diuerfarum opinionum , in quas Auctores de Parallaxi abierunt, facile explicari po- terit. Ex hac igitur Tabula primum perípicuum redditur ,'quod exclufis obferuationibus Wardhufien-- fibus, Parallaxis media aeftimari debeat 8^, 54, qui valor ad 'eum quem Cel. 4e /z Lande adoptauit, proxime accedit. Deinde hinc quoque intelligitur noo ad 48 eo) ad mentem Rev, Pat. Hé/| parallaxin. mediam — ree flatui 8", 70 , fi ipfius obferuatio et illa Cel. Green fuper iníula Otahitee inftituta , pro omnimode exa- .&is habeantur, ex comparatione enim harum obíer- vationum hic Parallaxecs mediae valor omnino pro- dit; at quum hinc deducatur valor durationis Geo- centricae 5^, 42/. 7", facile confit hanc Parallaxin con(üítere non pofle, nifi in omnibus reliquis obfer- vationibus totius tranfitus, tam. Europeicis quam "Americanis errores admittantur et iufto maiores et in eundem fenfüm peccantes. — Denique clarum fit; quomodo Cel. Pizgré perductus fit ad Parallaxia me- diam $8", 80 ex comparatione obferuationum . D, Cbappe et Pat. Hell, nam fub bac Parallaxeos hy- pothefi , vtraque obferuatio praebet durationem Geo- centricam 5^, 42. o^; quum vero hinc binae reli- quae obferuationes Americanae contra omnem pro- babilitatem redderentur erroneae , dubitare licct ; au opinio Cel Pizgré vllam inuenire poffit fidem. Emendationes quas Cel. Auc&or huic Differta- tioni attulit, eo imprimis redeunt, vt expreffiones pro effectibus Parallacticis aliquanto exactiores iam adferret , quam factum erat in editione praecedenti , licet aberratio in praecedentibus effectibus Paral- lacicis. vix vaquam minutum fecundum excedat. Deinde , quum ex litteris Rev. Pat. Co//zs ad Cel. Rumovski , Cl Audor certior fa&cus fit, obferuatio- .nem Pekinenfem ob motum Penduli fümmopere ir- regularem , pro valde dubia effe habendam , huius ! obíer- e 1 ( o ) Gem 49 obferuitionis nullum füciendum effe v(um , exiftima- vit. Caetera in quibus haec differtatio a priori edi- tione differt, leuiufcula fünt , nec commemorari merentur. Quum víüus quaeftionis de Parallaxi Solis, in eo imprimis confiftat , vt vera dimenfio totius Sy- flematis Planetarii per mmenfüras cognitas exhiberi queat, nunc quoque haud abs re erit, fequentem adponere Tabellam , quae diítantias. Planetarum me- dios a Sole per femidiametros aequatoris Terrae no- ftrae expreffis ; fub hypothefi Parallaxeos mediae 8, 65 , exhibet : Diít med. a Sole Mercurii — 9252,0 Semid. Telluris Veneris 17288. 3 Terrae 23900,9 Martis 56417,6 Ü Iouis : 124508, I Saturni 227999, 5. Probe autem. notandum eft, has diftantias ctim — in- figni latitudine effe determinatas , quum fieri poffit, vt faltem tricentefima fui parte augeri vel diminui debeant. -"Fom.XVILNouComm. . g 1L. 5o eds (o) II. Obferuationes. aftronomicae Petropoli anno 1752. inflitutae. Auctore Stephano Rumovski p.-6g5: [tons hic non nullae obferuationes Setelli- tum louis, quas hoc anno Viris Cl. Lexe// et Rumovski in. obferuatorio Petropolitano inflituere li— cuit, Has excipit obíeruatio Eclipfeos Lunae quae contigit die :7 Q^. - Mutuus earum confenfus vel exigua inter momenta obferuationum differentia cer- titudinem earum demonflrare videtur. III. Determinatio Latitudinis et Longitu- dinis quorundam Sibiriae locorum de- du&a ex obferuationibus a D^ Is- lemeff anno 1770. inflitutis. - Auctore Stephano Rumovski pag. 677. T) Latitudipis omnium locorum , quo- rum hic fit mentio , fatis exacta eft, Longitu- dinis vero non item , certior reliquis videtur Lon- gitudo Arcis Víftkamenogorenfis ; interim tamen alio- rum exis (0) $9 LE: rum quoque locorum determinationes in conftruen- dis mappis Geographicis vfu fuo non carebunt. Quoniam inter obferuationes Vftkamenogoren- fis fuere non nullae correfpondentes obíeruationibus , quas Cel. Lowitz in, Atracan infüituit , anfam hinc arripuit Cl. Audor in Longitudinem huius vrbis inquirere, atque inde Longitudinem Vftkamenogorsk vlterius confirmare. Obferuationes, quae hic refe- runtur, videndi cupidos ad ipfam differtationem able- gamus , confecarium vero earum hic apponimus. Latitudo |Longit. in temp.|Longit. in grad. Borealis |i merid. Parif. à primo merid. " Barnaul ^ — |53*.20^. o. 5. 24. 27, or. |ror^. 6.45" Smeiuogorsk S1. 19.927: |$.. 19; I8. 99. 49. 39 Fodinaze Koliwa- nowoskrefenfes — |5r. 19. 25. Vftkamenogorsk |49. 56. 45. Arx Semipalatnagja5o. 29. 45. Statio Karjakows- kaa — 52. 16. 30. Arx Schelefinskaia53. 51. 52. Arx Omskaga — 54. 58. 5. ua lara 56. 54. 42. Oftium Fluminis . Iíchim CLRES SUR RS A ftracan 46..21. 19.|9.. 2. 5I. 65. 42.45. Latitudo vrbis Aftracan , quae hic fubiungi- tur, deducta eft ex tribus altitudinibus Solis meridia- nis circa folftitum itidem a Cel. Lowirz inftitutis. | ' P2? Iv. $.. 2X4 OT. 100, 20. 15 52 eS (o) $ed Expofitio declinationis magneticae in Imperio, Ruflico eiusque. vicinia obferuatae. Auc&ore W. p Krafft psg. 695^ n mappis etiam recenti(fimis , quibus ingeniofa Cel, Halleii methodo. obíeruationes declinationis ma- gncticae delineari folent , in. 1mperio Ruffico ob de- fectum. obíerüationum ingcns hiatus €t lacuna cer— nitur. Huic vt medela adferretur , Cel. Aucor omnes obíeruatio:es fcdulo collegit, quae hifce an- nis ab Aflronomis Academiae pcregrinantibus in quam plurimis Imperii Rüffici locis fuper acu. ma- gnetica funt inftitutae; Praemiffa itaque | breui. eo- rüm; «quae hactenus a mathematicis in. hoc argu- mento pracítita funt , notitia, obferuatiopes- iflae de- clinationis magneticae per Imperium Rufficum fa- &ae vàa cum lougitudine et lanitüdine. locorum geographica in praefenti differtatione recenfentur 5 quae cum mappae eiusmodi declinatoriae, fuo quae- libet loco , effent infertae: duo inprimis momenta , eaque laud contemnenda , quae hactenus erant dubia et obfchra , ex iffis obfcruationibüus confirmari et il- lufiravi. poterant primo: enim. iamr' ductus illius me- ridiaui magnctici., qui per NoUami: Hollandiam trati- fit, ianv inulto ,. ren 'ante', cuideftius eft explo ratus $ eo o0)y$8e 53 ratus; fecundo iam propefnodum extra dubium eft pofitum ,. declinationes, maris Cafpici, olim a: Maz Jébenbroeckio curuis ex Noua Brittania progreffis at- tribuas , curuis adícribendas effe im Oceano Indico ab Halleio 'confignstis ,. basque: tücceffüi tem poris ver- fus occaíum. aliquomodo. effe .promotas. — Ad. polos magneticos quod attinet , etfi pro eorum fitu defi- niendo parum: luminis ex his obferuationibus lücrari poffe videmur ; tamen, fi in re tam lubrica conie- &uris indulgere placeat , ex Cel. Auctoris opinione polus magneticus borealis in terris incognitis Groen- landiae. füb latitudine 70?. circiter et 25?. ad occa- fum a Parifiis; auftralis vero fub latitudine 50? et 9C^. circiter ad ortum a. meridiano Parifino foret conftituendus. In fine differtationis faciles traduntur formulae trigonometicae , fecundum quas ex dato. fitu vtriusque poli magnetici geographico ipía acus mágneticae declinatio pro loco quouis propofito pot- eft computari. £ $3 V. "s egiS (0) $e ELS V. Epitome obferuationum | meteorologi- carum Petropoli anno 1772. fecundum Calendarium correétum — inflitutarum cui accedunt obferuationes nonnullae circa tempus , quo Flumen Neua gla- cie dpa et iterum ab ea liberatur. Au&ore I. A. Euler pag. 706. Cs et methodus et infirumenta , a Cel. Auctore in his obferuationibus adhibita, iam ante in To- mis horum Commentariorum praecedentibus fufius fint defcripta: hic tantum potiora obferuationum mo- menta excerpere placet. Altitudo Barometri media toto hoc anno fuit 28,01; maxima 28, 77; mini-- ma vero 27,10; adeoque fpatium variationis I, 67. polli. Altitudo thermometri maxima 104; mini- ma 208. grad. diui. delislianae. ^ Aurorae boreales adparuerunt 2r. His fubiungit Cel. Auctor tabu- lam tempora indicantem , quibus inde ab anno 1718 finzulis annis glacies fluuium Neuae tam obtegere quam deferere coepit eamque compluribus elegantibus Obíeruationjbus illuflrauit. REA INDEX. e$ (o)St59- 55 INDEX DISSERTATIONYV M. Matbematica. Dan. Bernoulli , De indole fingulari ferierum — infini- tarum, quas finus vel cofinus angulorum arith metice progredientium formant, ea- rumque fümmatione ct víu pag. 5. L. Euler, Problematis cuiusdam diophantei euolu- tio pag. 24. ' Eiusdem , Obferuationes circa bina biquadrata , quo- ' rum fummam in duo alia biquadrata re- foluere liceat pag. 64. Eiusdem , De variis integrabilitatis generibus p. 7o. Eiusdem , Obíeruationes circa aequationem differen- talem y4y--Mydx--NZ4x-—o | pig. 105. Eiusdem , Confideratio aequationis differentio differentia- lis (24-5x)ddz--(c4p-ex) "595 ( fg1)7-—0 pag. 125. JA. I. Lexel|, Solutio Problematis Analytici p. 155. L. Eulr , Exercitationes analyticae pag. 173. Eiusdem , Digreffüo de Traiecoriis tam orthogona- libus quam obliquangulis pag. 205. Pijf- 56 edis 92) Pbyfico- Matbematic a. Dan. Bernou/ , Expofitio theoretica fingularis ma- chinae hydraulicae , Tiguri Heluetiorum exflructae pag. 249. L Euer, De Collifionc corporum S rintium. pag. Eiusdem , Eiusdem , Eiusdem , Eiusdem ,.— Eiusdem , Eiusdem , Eiusdem : Eiusdem ,. Eiusdem, | 232. | De colliüone corporum pendulorum tam obliqua , quam motu gyratorio pertur- bata pag. 315. quee De vera Tautochrona in fluido P. 355. De Tautochrona in medio rariffimo, quod refifit in ratione multiplicata dratmane celeritatis. pag... 349. Dilucidationes de Tautochronismo p. 362. De Chordis vibramibus disquifitio vlte- rior pag. 38r. Animaduerfiones in. folutionem Bernoullia- : pam, de motu. chordarum ex duabus par- tibus diucrfàe craffitiei compofitarum Tom. XVI. Noy. comment pag. 410. De motu vibratorio chordarum ex parti- bus quotcunqne diuerfae crafflitiei com- pofitarum. P. 422 De motu, vibratorio.. chordarum — vtcuaque variabili praeditarum p. 432. De motu, vibratorio-laminarum elaftica- rum , vbi plures nouae vibrationum ípe- cies «d$ (o)29e $3 -2 .-eies ha&enus non enar euoluun- tur. pag. 449 Eiusdem , De motu grauium ditiffimo fuper curuis i pecie datis pag. 488. Pb»5»fica. A. I. Gueldenflaedt , Cyprinus Capoeta et Cyprinus | | .J Murfa pag. 507. I. T. .Kaelreuter , Obferuationum fplanchnologicarum, ad Acipenferis ruffici et Hufonis anato- men, fpeciatim — vero ad ipforum audi- tus organum , fÍpectantium continuatiQ - pag. 52r. C. F. «Aic , Defcriptio Vituli Dieipitis , cui accedit. commentatio de ortu monílrorum pag. 540. P. S.Pallas , De Reliquiis: animalium exoticorum per ^Afiam borealem repertis. Comple- mentum pag. 576. Af ronoinica. A. I. Lexell , Disqaifitio de inue(tiganda Parallaxi So- lis ex Tranfitu Veneris per Solem An- nO 1I769. pag. 609. Stepb. Rumovski , Obferuationes Aftronomicae Petro- poli anno 1772. inftitutae pag. 673. Eiusdem , Determinatio Latitudinis et Longitudinis |» quorundam Sibiriae Locorum deducta . Tom. XVII. Nou. Comm. h ex 58 es (0)6$:32«. ex obferuationibus a D'^ Isgemief infüitu- tis Anno 1770. pag. 673. W. L.Kroft , Expofitio Declinationis magneticae in variis Imperii Ruffici regionibus obfer- vatae pag. 695. 1. Alb. Euler, Epitome obferuationum | meteorologi- carum Petropoli Anno 1772. fecundum Calendarium correctum inftitutarum., cui acceduut obferuationes nonnullae circa tempus , quo flumen Neua glacie obdu- citur et iterum ab ca liberatur p. 706. MATHE- MATHEMATICA. | Tom. XVII. Nou, Comm. A DE - «M -9 A $* 3 10.525 jy - YT T t X x L 1 Á 2] 4 ^ i T z A » 2 : TRACT SANES - ] "Mon m j hib? MISC n Hia mot rm e np Nr oh oi SU QN? Go AH wi radi SPTTENUPPHRIAENDE ". : TRU ESTEE —— Ps ^ : ! VS TERES Y s ^ T Y. ] ood A , 1 4 k 1 — F L. P B ' DA ^ LI R^ D A2 LEES - ye P, ; ^ 1 * AME E: "^ p : D g* * N ; - - 1 n " * * er 1 : 1 d ev V Wr y Me AC x E rF Y " x di $54 SN ^ lj e SUE [4 ^ ^ s : 2-1 ? UN ? a gor. mi T AX b ?. 4 ^ , '] RAUS j lH y n UR ^ d po i hs - f T —-—— dori, 1 $ X , y - LENT. cde 3 s. "t P : b VN 2 & CT 2, - * | UC j zl 1 / — * POI e c * des ST [ov ?h NIC AT " ^s IX us Pv r T y tX T. Dd i , i1 20 f " 5 BJ ^ 4 T ^ t e 4 A VN " Jl Ur * » CES. EM 5. ND DE INDOLE SINGVLARI SERIERVM INFINITARVM QVAS SINVS VEL COSINVS ANGVLORVM ARITHMETICE ^ PROGREDIENTIVM FORMANT, EARVMQVE SVMMATIO- NE ET VSV. Auctore DANIELE BERNOVLLI. 6. r. n fchediasmate , quod fuperiori anno ad Acade- miam transmifi , de fummationibus Z7congrué veris ferierum periodice recurrentium , veraque - - earum interpretatione , duas potiffimum pertra- C&aui eiusmodi feries cum annexo earundem valore. Quod fi nempe in circulo, vnitatem pro radio ha- bente; fumatur arcus qualiscunque x; docet calcu- lus, effe feriem initam cof.x -4- cof. 2 x -- co 5. x -F cof. 4. x -- etc. — — ;; Simulque fin. x -- fin. 2 X 4-fin, 3x X10 —.( jin. wen 4x -r ete. — — 3 jm. Vers. X A 2 Ex- 4 —— —BDR. SINGVLARI. QVODAM- — t Explicui UU BUS veritatis fpeclem ; qua huiusmodi proprietates funt accipiendae ; atque ge- nuinam interprctatonem mcam cum minime inuti- lem exiflimem ,* néc in Analyfi- abftracta:, ;nec «in peculiari problematum: quorundam phyfico- mechani- corum contemplatione ; ; operae pretium erit hoc ar- gua.entum , quactum . fieri poteft ; augere atque por iere E» 6 s - Ambae priememorataé feries dà; laffem. fecurrentiumi |pertincüt , ideo quod: in vtraque jfingu- li termini. fint aequales : termino. praecedenti. pue plcató per 2 cof x minus termino antepraecedente ; fic vtraque feries ordini, qui. dicitur, fecundo an- numerata duos habet indices , nempe 2 cof. v et - r. Notabitur quoque , quod fuas babeant periodos, quae copftantifime recurrüut, perfecte easdem , et quod fumma terminorum, vnamquamuis. periodum forman - tium , fit femper nihilo aequalis. Sola perféda ter» minorum , poít abfolutam quamu:s periodum , re- generatione, coniunGaa cum adcurata periodorum an- nihilatione conficitur- vtriusque. feriei valor: fi ^ wl altera «conditio tantillum deficiat ,.- fümma . fe toto coclo diuería: prodibit , etiamfi. difcrimen..ve infinite paruum: ftatuatur ; folum enim nihilum à folutum , fi abfolute. infinities fumtum: ponatur, per- manere b quod. eft, |. Demonftraui. | autem. in priori fchediasmate , priememoratos - valores vtrius- que feriei ideo faitem veros-effe, quia aequum ius in fingulos .cuiusuis periodi terminos cadere ponen- dum eít, quod principigat foli. infinito . abfeluto -xd c & com- "JSERIERVM' GENERE. ^ ; competit. ' Magni , mihi haec videtur obferuatio mo- menti 10 aliquibus pertractaudis quacflion:bus phyfi- -€0- , mecbanicis de motiunculis valde paruis, quae. a Bcometris. pro infinite paruis. cenfentur , €t quae locum habere. non poffunt , nfi. ablolute nihilum ftatuatur id, quod pro infsite pàáruo affüumtum füit, Sic contradi&tionem aliquando. implicare poffunt , quae p pro MESH KU demonftratis habentur , quando vis y pan m nifi vibrationibus. Ys de paruis fübfti- tuant vibrationes perfecte nullas ; tunc autem varia- tiones mortuüm in perfe&a quiete quaeruntur: con- tradicio emergens non eft pofita in Analyfi, fed potius in-phyfica, quia perfecta quies e ya iuü- finite-paruo haberi nequit... ^ 7. T 502 0$5:8. Notetur' infuper , ambas feries lime: tales : paragrapho: primo expofitas effe | generales | pro omni arcu x: imo poterit cenferi vel ipía' integra peripheria circuli; fiue femel fiue pluries fumta , maior; quiz tam arcus x quam arcus 4/4--x eose dem habent^finus et:cofinus et finus verfos , fi per n intelligatur qualiscunque numerms integer , et per q quadrans circuli : attamen excipiendus e(t cafus, quo fumitür arcus x perfeile nullus; dico perfecie nullus ;:^ideo quod: omnis magnitudo poffibilis , vt- cunqüe / paruam | concipere -poffimus , 'theorema accu» rate: reftituit ^ In^ hoc cafu vtraque: feries fit : infi- nita; poft quamuis. reuolutionem :pumerus 7 fubito integra vnitaté augetur, et hoc.modo lex continui- tatis: veluti; in punéo ' mathematico ^ interrumpitur ; jup - A 3 aut, 6 DE SINGVLARI QVODAM aut, fi mauis, in medio punc&o, quae tamen pto: tinus reítituitur pro quauis noua reuolutione. $. 4. Tametfi fümmae duarum ferierum non- nifi fingulari atque incongruo modo verae dici pos- fint, quod iu praecedente oftendi fchediasmate; facili tamen operatione eaque legitima nouas füppeditant nulli porro amphiboliae fubiectas, quia nouae feries emergentes manifefte ad fummam praefcriptam con- vergunt, fecus ac feries primitiuae, ex quibus nouae deducuntur. Incipiam a ferie cofinuum | (A)cof, x 4- cof. 2 x--cof, 3 x --cof. 4.X -- etc. — — 1. Licebit vtique confiderare arcum x tanquam varia- bilem , eamque. multiplicare per 2x, vt fic habeatur dxcof. x 4-dxcof. 2 x -- d xcof. 4 X -I- dx cof. 4x -4- etc, z-—idxX; haec vero fi integretur, cüm additione con- ftantis C, dat fin. x ; fin. 2 x --5fin. 5 x 4- ; fin. 4. J- etc; zC-ix. At vero conflans affüumta C non fine cir- cumfpectione erit determinanda. ^ Quis eft , qui- non primo pütet afpecu , nullo adhuc inftituto. praeuio examine, quod euanefcente arcu x, integra fimul finuum feries euanefcat , praefertim cum coefficien- tes terminorum continue decrefcant: attamen falleret haec praeconcepta opinio : certum enim eft, verum conitantis addendae valorem. effe aequalem | quadranti circuli ,, quem vocaui 4, et, quod mirum videbitur; ipfam feriem finuum: nunquam fieri maiorem , quam cum fumitur arcus x omni arcu afífignabili minor fiue infinite paruus, vt communi loquendi modo vtar, modo non fit perfede. nullus. ^ NNodum: quis- que SERIERVM GENERE. . 3$ que fibi foluet, modo confideret infinitos dari ter- minos, qui omnes minime a fe inuicem differre cenferi potint j ; fic fin. x cenferi poteft — ; fin. » x vel — i fin. 3 x etc, nec dubium eft, quin quantitas infinite. parua iufinities fümta tandem. Bee. poffit dimit Baltaiii? c oic6o NEEDS RA. Á S. 5. Cum igitur. cafus, quo [ede Aw minime fit aptus ad quaefitum valorem conftantis C addendac determinandum ; opera danda eft, vt alius inueniatur cafüs , quo fümma feriei perípecta . habeatür: huiusmodi cafus eft, cum fümitur x — 4 fiue aequalis quadranti circuli ;; tunc enim feries fi- nuum ipod dabit p^ feriem fpecialem xr --o —i-Lbo-4-:4-0—7-4-0o-retc vel fimpliciter puces -1- etc. viis olim Leibnitius dedit pro- femiquadrante gps? de $4; oportet igitur pro hoc cafü, vt fit C—;4— 14, fiue C — 5 vnde: üednein tur umma feriei infinitae " ; — (B)ün. a4: fin. 2X4di fin. 5x T1 fiu. 4 4 -- etc; -4-ix. Noua eft haec feries atque ideo notatu digna , quod fümma finuüum definiatur per arcum circuli ; nec amplius vlla incongruitatis fpecie laborat, quamuis ex ferie imcongrue vera fit petita, quia perpetuo ma- gis magisque ad verum valorem conuetait eumque tandem tantum non attingit, quiscunque füerit pri- mus arcus x, modo contineatur intra terminos o et 360". Id vero quemadmodum contingere poffit , j Rquenti intelligetur exemplo , quo füccefüiue prit X-—3 s DE .SINGVEARI: QVODAM Xx—i4p Xxtiqyxicidiccmiq et q, pro. quud je deción, oriuntur; aeqnationes;s :... NU mand Li—4-4detc)1Y3 52g ybbantg -(- wur dk DEbh-Aete)Y3-ips. (x— -.(o- NI GHiii.. os -04-0 — 04 etc. )Y 304i « « X-8 (-1-4-iI—iMEPCO ts s ete Y 3-54 - eM ^ CIHRERELAD et Kon) esa inci S5 0.085 6. Facile sci see ex. allatis ide ; non defüturam. aequationem. generalem , done C; arcus x noH. attingit. totius , circumferentiae. ; vltimum, ,terz minum ;. in''ipfo autem hoc termino. fübi o, fallit. fegulag némipe in ipfo puncto, quod fimul finis eft primae reuolutionis et initium — fecundae , "ofi fumma feriei a^ valore..— 4 ad valorem t4 qui faltus contingit, quoties noua repetitur reuolutio: in- téger. autem tranfitus ,;; quod liceat repetere , perfi- citur, non in arculo d x; qualis communiter. con- cipitur ,. fed. in vnico pun&o vere mathematico. In integrum rcftituitur- theorema , fi pro quáuis réüo- lutione alia atque alia conueniens conftans addatur; erit fcilicet pro prima .reuolutione ..C — 45; pro . fe- cunda. C — 3/45 pro tertia. Ci — 5 4, atque, pro, zte- fima reuolutione . C — (27—1)4.. Sic. erit genera- liter. fin. X - 6n. 2 x4: 5 fan; 3 4t- Fere (22— 1)4- -i; At ipfà liaec /conftantis recurrens, variatio repugnare videtur ^ coátinuitatis - legi; quae. vtique pro. quauis incipiente" nouá reuolutione interrumpitur ,- dum fal- va manet per totum: vniás ; eiusdemque: reuolutionis decur- jCSBRIBRVM; GENBRE. 9: decürfum:,'de-quo adeoque, folo. deinceps; dicam. In- torim. nunc liquet, quod. fi fuerit arcus x, omni. quantitate. a(fignabili minor , modo non fi. perte. nulius , fore fummam a ifg (B) in paragrapho quia- to E quadranti circüli/sequalem; ^^ o ms ^y. Prouti feriem (B) paragraphi quinti: de- iibi ex ferie (A) paragraphi quarti , 'eadém me- thodo nouam deducemus fíeriem- ex inuenta (B). Nempe multiplicetur leries-( B): eiusque. valer ; ad- fcriptus; per. Zu, vt. fic habeatur Zx fin. x 4 2d x in, 2 x; -Fidxfin.3x--;dxfio, 4Xt etc. —qdx—ixdy: haer. nunc ofterior aequatio jntegretur' cum ^ additione pu. is € ' C; fic prodit; — cof. x—; cof 2X-—5cof. 3x: rof 4 4— Zee zie -ixx--C. "Hic rurfus^quan— a ul ex cafu aliquo peculiarr; qui fus fe fimplicitate commendet, deducenda eft; fumatur x— 4, et obtinebitur 1— 5-r-5;— 5, etc. —iq49tC; hinc. dam iunoteftit conftans C per feriem ; fed determi- nabitur multo breuius, fi fimul in fubfidium "Yüce- - tur alius cafus 2 quo ponitur x—254; Exinde enim fit 1-1 TES —qncy dip diüifione pet 4- oritur..nüüuc ;— 4 zs — 5 -d- €. zc i144 -1- 1C; combinando . antem - vtramque: aequationem, emer(am., "commlni :f.rie. expreffam , "incidimus . in. - fimplicifmarm. aequationem: C --144—; C t, 44; fiue. €--uwc Subfituto hoc valore. in. aequatione .ge- nerali. , ix inm oie 5| tanlegis grodty nome. feries detis " eof ext. m ickara dr js eof, x *e etc.. 1j —iqq-qxcix. fom. XVII, Nou. Comm. B $. 8. 10 DE SINGVEARI QVODAM 6. 8. Ex modo dicto valore feriei (C) inftat - corollarii , pofito arcu x — o, deducitur valor feriei I4dici:tacTet.—i474, kc peldtate. quod theorema , fi bene memini , iam. diu ab aliis alia methodo fuit demonfiratum. Similiter, pofito - X24, deducitur cadem íeries , cum fignis altcr- naüm permutatis, nempe: | 12 css ete. — q: q. ] Si ambae hae feries addantur , reperietur etian Isid etc—i44 | Poterit quoque vicitfim, quadratum quadrantis cir- culi per huiusmodi feries numeticas. s usglipipe determinari: Erit nempe qii "s secre DD vel | q4— (iid ti-á--et.) * vel. etiam, | 49— z(r4$ rRáLLRAS-etyÓy 5 Atque fic itis valorem. feriei (C), ex valore feriei- (B): 6$; 5. expofitae ,, vbi nunc emu mus, quod fi praefatam. feriem (B) generalius pro. quacunque reuolutione exprimere voluiffemus ad:nor* mam ^paragraphi^ fext( ; tunc quoque" valorem fe- riei (C) generalius pro quauis. data. nte&ma reuo- lutione expreffum obtinuiffemus ; fcilicet — — cof. x 4-; cof. Ev t jo cot 4X*-etc. z(4nn-4n4-2g2 d —(25— Dp EIE ; qui . SERIERVM GENERE. 11 qui valor locum habet, fi arcus affüumtus x fuerit maior, quam 4.(/t— :r.)4 et minor, quam 474, at- que adco confiflat inter limites 4. (n— x.) q et 4nq. $. 9. Ex praemiffis iam apparet, quemadmo- dum ex quauis ferie inuenta poffit alia noua deduci, per meros arcus circulares fummibilis: hoc modo alternatim feries finuum et feries cofinuum —prodi- bunt: omnes autem ex ferie primitiua (A) paragra- phi quarti , hybrida atque incongrua, fic erunt de— promptae; non puto abs re fore, fi operationem iftam paullo vlterius profecutus fuero eo fine, wt lex variationum tanto magis elucefcat. Quod fi ita- que aequatio (C) in fine paragraphi feptimi expo- fita iterum per Zx multiplicerur poftmodumque in- tcgretur absque vlla conflantis additione ( qnia eva- nefente arcu x fimul feries eiusque valor appofitus euauefcunt) ; incidimus in nouam feriem eiusdemque valorem , (D) fin. TW ? XH, fin. $ x 4r 7; fin. appen : e140X—aqXxbi In noua Mn ferie notari potifümum meretur cafus, quo pro arcu primi termini arbitrario fumitur ie quadrans circuli , quia hoc modo iterum , vt in paragrapho octauo, nouam docemur aequationem in- ter feriem numericam et cubum quadrantis circuli ; ch igitur 5t reperitur feries numerica. cos 3s x irp 1-54! 5 - bete 10 * í2 DE bye — vel Ii Herpes LE ORE ACIES [T-TT -— mrUp .ingds xA -4G- i st. Em. euet: APuo3- eso et $. 10. Mliplican iterum: aequatione. (D)i ptaecedeate patazrip^o expofita per dx, JY&daque eius integratione cum: additione: »conftautis br nouam acquirimus 4ejuationem ^ ^ 777 007 Ih, ! El Ls ^ co x4 ; cof. ds te oie cent DE ^ cipes 5.9 Uo "y dix m TC, in inm Ds sel ii ih gae Mir Bfri oz mpeslinicn *. Gm x iu e ade 3eetce Ti VAIO "à nn (: Verum i et, alii cafus. ic ju [ubüdium. vocentur, pote- rit conftaus. C€.alio. modo ,. ad praefeus Anftitutum magis. accommodaro. ,. exprimi. Conderemus. Agitur. cafum , quo. poaitur X 22245, ic. obtinemus Mya tioaem hanc. gMigm x gi angibisni.: (IHDGSOBES ^ T E. rcc Eum fiue ibuerfí fignis VICE MEE «n a—hH4t- THE deep Notetur nune, quod it feries ^ i [] Jit zin N- sc NONI UE 1 1 e iet "Sp Goie ug oia G Tz ET :-5 3*. iz 4* defi eu ap T ie in fillann ad feriem. noz Mine n - ysefo "7H qa AI " 3 * H R 4 3f 5n I (yai ] int: 13521 S Ln ou otilo3 vt $ ad J, quód. dH ddiondritum diocatur ^ .pona- tur C pro priori ferie et s pto pofterioti , fic erit j Cer 7 SBRIERVM: GENERE. | »u3 (rmi jeter ; ense et lot quete.) DES «denar ^ "PD epe eiat 2j Ja iH er de Sup) Wb Cerg i SI Gy MAN £r. Ais -fubftiruto Ho valore in acquatione. AEG e ri, HJ lau & rete c. Lr jl "udidsa "habebimus QC z— Pana, vel ei € A P Atque hic valor e(t quantitatis in: aeq "nói principali fubftituéndàe , quo- facto- rurfus. nouam ob- tinemus feriem ciusque valorem ^ — ^. (E) cof. x 4-5 cof. 2 2xL S2Jpih H X sot Sx cot. DAE CIC m d m TOME bw m LUE x gis Si i iid 25 gusttisen mr e "7 Pus X e Eriem- mumericam - dieux n : XY. j cb. LM Rt Hie ao ERN ^" p IU iat i ena tit iac odd ur rae ub dis" 2553/71 T : dusbgecny c SUME bone pier peto. 19s — 33 - tht BE c as "s NILE S ibit. 3h-ealisL (exis vade. ex. additione. barum. ambarum. RR 1g SQUAER iin riollo0o0 citomettdi ; éjlidermth or in | éyootu( vr d, ePi AR ioeft)am Bg ospnEss ron "Hue manipanetr suptir; pimp. Num lusaj mois annos te, Sti yeon moo misbentfp ent LE T EAT em "esbrmnidorseshiSy ciuaitao vel vicifhm: |. suqo msterinsg — m2231-91- 9b '"—c6(ic-LhtLncanS "inb ; eia pM MA A "to: $426,512; Denique.5.. vt hoc; d pes ope s e Do v ettigiis dedü- *93022 vu T! ciror 14. DE SINGVLARI QVODAM citur ex praefata aequatione. (E) candid noua aequatio (F)fin.x 4- £ fin. 2 x4. nfn.3 t4-5 fin. 4.X -|- etc. —ir x—549x'--4iqx— and Si in hac aequatione generali ponatur x — 4, obti- nebitur feries citifüme tandem conuergens vna «cum eius valore expreffo per quintam dimenfionem. qua- drantis eirculi , nempe I—hnd-h— X4 eec atque viciffim " PLYG-i45-54et Sic iam manifelum eft, poffe huiusmodi ferles altioris ordinis pro lubitu couftrui , quae omnes ex prima ferie fundamentali (A) paragrapho. quarto ex- pofita fücceffiue fuerint erutae , tametfi, per fe nom aliter quam incongrue vera dici poflit. Vnaquaeuis autem feries de nouo eruta fons et origo eft innu- merarum , pro ratione arcus affüumti x, quae omnes erunt fümmablles ; huiüsmodi corollaria aliis fibi for- manda relinquo , fi qui fiat, qui hafce disquifitiones haud faftidiant. | Silentio quoque transmittam femi- tas quasdam compendiarias , quae ad nouas altiorum ordinum feries formandas conducant , quamuis bac de re legem condere generalem opus difficile putem. $. 12. Quod ad feries attinet , quibus diuerfae quantitates quadrántis q defniüntür j. has: ita feligere potui ; vt nemo fit, qui non primo afpecu legem gene- SERTERVM GENERE. | 1$ vo v NES generalem , fecundum quam. fingulae prosrediantur , perfpiciat. Quod fi coefficientes hifce fériebus prae- fixi aeque perípicui effent , magno. id commodo eue- niffet; quicquid fit, omnes , quos calculo n fi-- mul Mario exponam : , q—ia-iti- ; - etc.) conf $6. X ER rp iie: $59 d—4G-ukh-ieHe).... $ 9 $564; t E UN 12 q4—Tüu-nTa-atetc).... $ zr. Hinc apparet, dignitates altiores quadrantis 4 citis- fime canuergere, fimulque cocfficientes crefcere quam: ^ E * . *. 4 proxime in ratione radii ad. quadrantem... $. 13. '"Theoremata, quae attult, omnia leui negotio deriuata funt ex theoremate abftracto: primi- tiuo , cuins vera interpretatio nondum füerat obfer- vata 5. fed. et: alins. theorematis mentionem; feci para- grapho: primo ,. non: de: cofinibus, fed de ipfis finibus. quod plane eiusdem eft naturae cum altero, | Scili- cet demonftraui in. priar fchediasmate , effe feriem. infinitam, - got 2: vM CUP Tfünt fin.x -«-fin.x 3.4. X d- iguet-91- 9h. , finr fino s fin. 3x fin 4x ete fin.vert.e" Inde: vero- iterum: tot noua. deriuari. poffent. theore- mata., ac antea, nifi integratiunculae.,,.. per. quas.iui- mus ;. * fae longe aitioris indaginis » impedimentum facefferent. - Prima: quidem: operatio: parum negotii d) faceffit ; ^ DE -.SENGNB ART :QVODA M fi f $,.at ero, fequentes, omnes, -omáfem protinus; eludere videnzur, Analyíünm. —.Calculum.. pro; ; primaj illa; operatione : fupessida a. de ; Nitcriotibus; -yides: BB. Aic üb oigsloo esp ,9nmo 3H b'orpalüp 3 :33Din (S. 14. "Multiplicata igitor. praefau- noüwa. age. quatione per dy, factaque int egratione oritur. . - cof. Ls icof.2x- 3 cof. 33- tola dioec mns ; 2] — e aM Ponatur fin. vers. nmEE IÍT MET fit; din. 1 Vas-az et d x— zd s quibus walóribus fobticatis oritur Bi ane ! apre : bec n dxüng oq, Me 5 implicitor YouacpuS Üsipdt * », ipe C-inrlligirur conflaps. conueniens. rox... determinan« da. Eft igitur, mutatis; cofinnum. fignis; ámisotq pf. «s cof, 2 4-5 cof, 3X5 cof, 4.4 etc. 5 2 log. 7. Vt: nunc determinetur conflans. C, jo fübfidium ^ vo- candus eft catus. particularis: ad -hoc miegotiati com- modus , qualis-eft, fr. ponatur. x eio atque :adeo gemis. fic; enim- oritur feries numera. ^ [7 s'á "Aigs r t i-i Pi EE, "ou c, ] t ix, i fiue RR. "N jest sms Pic aar pine At vero.notum ett, feriem UE Tad Íogarith- mum. hyperbolicam- ex binario » €rgo- nunc- Tabetur rn m "dog 2— log.-- P Bu 2p, i vnde. deniqie. Chiba. e densi eii din QR b oda u- ibis «G) t^ À 4 « .'SERIERVM GENERF. . 17. mi )cot diti cof, esit di AEVNAE 2L ri à "D" Ho:resslgg. 73773108 5, . 1,4 a. "vers. Eigo fi fuerit x -— o, vel etiam x — 44, fit mns ma feriei infinita atque e contrario tota euaneícit, cum fümitur x — $4, vel x — 5 4. u-— &. 15. Ex inuentis valoribus ferierum noftra- rum (qui variante arcu x vtique fimul variant, fola excepta ferie (A) $. 4.) intelligimus arcus defignari poffe tales, vt fumma feriei maxima vel minima fiat. Determinatio horum maximorum vel mini- morum pro feriebus noftris nunc per fe patet. Sic feries in fine paragraphi feptimi pofita, nempe cof, X--1cof. 2 x 4-5 cof. 3 x 4- i; cof 4 X 4- etc. minima eft, cum fumitur x — 24; tunc antem fit ipf feries — — 54 4. Similiter feries (D) fin x-1,fin. 2 x 4-4 fin, 3 x4 s, fin. 4 X4 etc. (vid. $9.) maxima fit, cum fumitur x-2g—24V& minima autem quando ponitur x — 24 -- 2 QV In priori cafu fit fumma feriei — 0,2 pei , in po- fleriori — — 0, 256 4^ fiue proxime — ih I. Sed et haec eadem feries fuos habet arcus x, pro quibus fumma ipfius tota CniBelcits cum autem haec füm- ma fit femper —244x—i4qxX Fix , fiet hic valor —0, fi fumatur vel X-o, vel x— 24, vel x— 44. $. 16. Iam vero hic rurfus aliquid emergit plane fingulare , íi ad feries altiores progrediamur , vbi formula fümmatoria plura, quam tria, indicat puncta, pro quibus feries euanefcere poffit , et plura, quam duo, punca, in quibus íeries ad maximum 25: Tom. XVII. Nou. Comm. C vel 1$ DE. SINGVLARI QVODAM vel. minimum .valorém reducatur : tunc- nempe «con. tingit, vt formula fummatoria praeter vera huius conditionis puncta, fimul alia indicet proríus. fala ; iteratum piradoxum quisque fibi foluet , modo . me- minerit totam praemiffim theoriam vnicam admit- tere reuolutionem ,. ita vt arcus x nec maior. accipi pofüt quam 4, nec minor nihilo fiue. negatiuus. Ergo omnes reiiciendae eruat radices ,. quarumi |v4- lor x extra praefatos. cancellos . vagatur ; . reliquae omnes , non folum. verae , fed. et. xtiles , érunt re- tinendae. — Hanc animaduerüonem exemplo iffuftràbo, quod petam a ferie (F) paragrapho vndecimo. . expo- fita, cüius (cilicet fummam inuenimus s m4dx-iqqxy--4qx- ugs Lia hanc formulam fi faciamus Z0 habebimus tres .ra- dices veras atque vtiles,. némpc. X —0; x—214 etx. — 44: His. accedunt. . duae aliae. radices non folum inutiles fed et prorfus falíae , nempe xX—24 —24VY fimulque x— 244-24Y. . Dico autem ideo falfis efle , quia prior eft negatiua, et altera maior quam 4 4,- atque fic. ambae cancellos o et 4q trans- grediuntur. - Quod. nunc. attinet ad valores arcuum 4, pro quibus fumma. feriei, (5b maxima vel. mini- | ma fit, oportet. difforentiale. quantitatis. fummatoriae ponere acquale nihilo , , vnde habetur pro (dos ne- osa Maki csi eise cos EA u -iqqkikl fm cs pm E D aequatio debite. .tra&táta gen elici eng - fona Ll (2c 23Y (dist iron. osh miu ? ^ , - 1 , " » iod J 4rnio9 ovt uli V X-.mollaec 1/ /SERTERVM' GENERE. T haec expreffio -quatuor. inuoluit pavoná, tidie E: Esso: ned — E DI deinde . | eov Iiex segibquir m oes capi ie ac denique. . 4 LU WWE 3. abi i "Y Vom 4o -24Y5 11) : jin Duae priores , quae proxime. faciunt xu 3; 366 4, .et *-o, 6340, cum contineantur intra limites o et wu. 4, quaeftiool ini EUM. d optime. fatisfücinnt :. duae jid autem, quae proxime faciunt | |... 0 t repe et X —— 0,476 4. 1:000) cum extra praefatos june. Vp Ca d rend fant atque adeo. cca dedi ido: 4-9 dee exudisiuh »: TER $..17-. Praemifla theoria néceffaria. mihi vide- "7 ) tur, in explicanda doctrina de minimis. vibrationibus' chordarum tenfarum. ,vniformium. - Sit chorda fixa in guise fui. extremitatibus , fumaturque. pro yni- t ate P: adius circuli , cuius peripheria: fit MIT longitu- - dioi. chordae fi ue — 4 4: fuerit nunc c lórda paulu- lum incnruata E yotentiolis vnicuique püncto appli- catis , quibus. omnibus fimul relaxatis motiunculae reciprocae. in chorda oboriamtur; oftendi autem in actis Acad. reg,. Berol. quod. :vnicuique puncto .infint vel inéffe- poffint plures aut etiam innumerae vibra- Xu C 2 tiun- 20 DE 'SINGVLARI QVODAM tiunculae- fimplices.atque regulares coexiflentes , nec fe vllo 'modo perturbantes. | Sic fumto initio abícis- farum in alterutra extremitate chordae , . pofitaque abíciffa qualicunque — x, minima applicata yu demonflraui, affumi pofie hanc p pro cur. vatura primitiua : Ja fin x--6fin. 2 x - y fin. 5 x 4-Ó (in. 4x 4-etc. vbi quidem pcr a, Q, «y, 8 etc. intclliguntur. par- vulae quantitates bn ere ae conftantes, ^ Notetur autem terminum a fin. x exprimere vibrationes pri- mi ordinis , quatenus fuper dimidia chordae. longi- tudine formantur, terminum Gfiu o x vibrationes fecundi ordinis. füper chordae quarta parte, et dic porfo: fic co&fficientes a, & etc. denotant ampliai- dines excurficnum pto fingulis vibrationum ordini- bus. Oportet igitur, vt pofito valore-à maximo , quem argumentum noflrrum- phyfice conficeratum ferre poffi t relatiue ad longitudinem chordae , opor- tet, inquam, vt valores a, 6, y, 9 etc. minimum decrefcant in tatione 1, $, 5, 4 etc. jmo cum fum- ma huius feriei fit adhuc infinita , contingere poffet, vt chorda aliquibus in locis enormiter ab axe rece- ' deret inter vibrandum ; flatuo propterea ccfficien- tes. a, 5, ty, à etc. magis. adhuc decrefcere debere, Id. vero praemiffa theoria noftra egregie uten Sic in ferie 6. 13. forent. cu&fficientes a, 5, y, à etc, omnes inter fe aequales ;- vnde haberctur ia fin. x — $ inversa" - i ergo -setin: X4-2x4-fin. hae tiia »j U/SERIERVM- GENERE. 21 ergo foret pro initio abKiffarum , vbi x — o, prima applicata infinities maior quam 4, quod contradictio- nem inuoluit cum prob'emate phyfico. Similiter in ferie- (B) paragraphi quinti, ^ pofito x — o , non oA prima applicata , quin valor feriei tunc fit — 4, atque adeo prima applicata — 44, quem va- lorem chorda ioter vibrandum nunquam afíu mere poteft. Haec fatis probant, quam ci ircümfpeéte pro- cedendum fit, Cüm "quantitatibus phyficis valde" par- vis infinite. parua in abflracto fubflituimus ;. nec- oc- curritur incommodo , fi coéfücientes a, 6, ry, Ó etc. oportionalitez vtcunque diminuantur , - bi perfcete annihilentor ;. ;, tunc autem. integra . chorda. perfcéte 9 iefcit :. buius inf liti . - remedii in..toto. praefentis d rationis decurfu, plurima. pafim - vidimus exeme- ph. Sic. feries (A) $. 5. et — — i, qualiscunque fr arcus X. fiue affirmatidus fiue negatisus , fiue finitus. fiue. infinitus fiue. infinite: paruus: attamen f 1 fuerit arcus a. perfecte. nullas, fit [cries manifefte infinita, f |.$. 18. Pracfatum Tictpichodi genus. afficere de- finit feries noftras finuum altiorum ordinum , cuius« mbdi funt feries (D) et (E) 6 $& 9 ct 1r. expofitae, in. quibus omnibus - prima; atque vltima applicata per- fe&e. euane(cunt , fada flicet x — o, vel x — 49 fic vt pleniffime- ad. theoriam chordarum vibrantium applicari. poffint... Quod attinet "?d feriem. (D); haec fübminiftrat talem ioci ipe - curuatura chordae - aja; jd -- —$4q2—iq2524 LE; ides — C is At 2 & £2 DE :SINGVLARI .QVODAM At vero feries (F) dat aequationem | ^. 5:3 085 M EDCET LEER Duct imas 021 atque. fic- porro; fi. vlterius. pepe iHe :; Pro. grin ferie; habemus... o af diSIsuBsa 625iaj v-se Pm, eieio oup gis ievRdifocl3q960A4 CULDOORE 891 pro altera. Yero fit. Loi ndi ies i miyd. uon itaroq opns 45. Yi 45S 24, dc. jit mUubu5n39 hinc' cogüofcimts amiplitudines" fingülarum "vibratidn éülarumi fpecialium', ex "quibus integer chordze mo- tus vibritorius componitur. Porro, fi templum vnius' régülaris "vibrations füper "Minidil ordae longitüdine fornídtae dicatür 7, haec tempuftula - um fequentibus vibtatiauncalaram clatiibus eruüt Ted ? EG Tm atque fic habemus | notionem diflindtiffimam motus vibratorii in: chorda. , «cuius «curuatura Lx em LN r4 aequatione Bondi DR MEN eto aiács eil aut alia aequatione ad mentem fosise ofi T mati, fimulque ibtelligimus fore j.-vt: po(t quoduis tempufculum 7. fingnla chordae: puncta ^ ad^ momen^ tum: temporis perfecte quiefcant , 4t figuram ptimi- tiva, ad. partes? oppofitas ;refümat. integra chorda; Ex. his .concludo; poffe ;in :hoc- argumento ^ formulas analyticas im abf/ratío generaliter effe veras, quae ida in cafibus irse contradictionem cum T VIE Ar hypo- b. 'SERIERVM. GENERE. 28. hypotliefibus phyficis inuoluant. ^Caeterufn curuae, quas pro chorda vibrante methodus noftra fübmini- firat , omnes ;ex: duobus: faltem: ramis fimilibus et aequalibus , attamen. quoad latitudiaem aeque ac lon- gitudinem fitu inuerío pofitis, inftar literae S com- preffae, componuntur; analyfis in fuperioribus or- dinibus equidem plures alios indicare poteft ramos, quos vero fynthefis noftra nullo modo admittit, quia extra limites oO ét 44 cadunt. Praememoratae «c0n- tradicliomi aliter occurri non. poteft, quam faciendo vibratiunculas , non infinite paruas , fed perfecte nullas : : Haunsmodi cafus admittit analyfis al phyica repudiat. ^ E AB | DpnD rm 2513 TU UbdS] ken UP «iu SES hid x9 (hofSUbetc rer £2 rm uy gatHor mp free ET "RI - ei pt H 11 "cf ki. rv ^ne M me TT b " t(* 4 E" Na ^ uf r4 * H D ZI BOE WNUT IMEEM ZU» .v58b1g al» ssi "Ung "e f- , z -MEN. LONO VOAXYNNHES Ui Wig vidas toy agercetys y Oairdy ite Codes VAL S vea s t * $*eUN NON. velud vega qoi S SS Pet 1n titu Am vo9: 2: CE -- «7 — y RES. I. Uydbyt PRO- 24- ! LL JTOER IL PROBLEMATIS coc bk DIOPHANTEI-- ^ EVOLVTIO nt ines ^ v "Auctore. Padi qege- din ur Mb oc 119g D- b. un. X. | [fos Aet iftud - - problema Diopharteum | tradtas- fem , quo quearebantur tres numeri , quo ED fumma 2*. fümma productorum ex binis et 3*. pro- ducum omnium fint numeri quadrati, íolutio tan- tis difficultatibus implicata videbatur, vt huius ge- neris problemata adhuc difficiliora vix aggredi effem aufus, Multo autem difficilius effe problema , cuius enodationem hic füfpicio , nemo dubitabit, qui eius . folutionem tentare voluerit. Problema autem hoc ita fe habet: | | Inuenire quatuor numeros eius indolis , vt Y?. fum- ma fingulorum , 2^. fumma factorum ex binis 3". fum- ma faclorum ex ternis , et 4?. producium omnium fint numeri quadrati. Vel quod eodem redit Inuenire aequationem biquadraticam buius. formae EU -HBx eem o, quae omnes fuas OX . fadices PROBLEMA DIOPHANTEVM. ss radices babeat. valionales ,. et. cuiur . infuper Jinguli : " € nci A, B, C, D Jin; nweaueri quadrati. ». Non dubito fore plerosque , BU mirabun- tur, me in huiusmodi quaeftionibus euoluendis ; quas nunc quidem fummi Geometrae auerfari viden- tur, operam confumere; verum equidem fateri co- gor, me ex huiusmodi inueftigationibus tantundem fere voluptatis capere , quam ex profuudifhimis Geo- metriae íublimioris fpeculationibus. ^ Ac fi plu- rimum ítudii et laboris impendi in quaeftionibus grauioribus euoluendis, huiusmodi variatio argumen- ti quandam mihi haud ingratam recreationem affer- re fole. — Ceterum. Analyfis fublimior tantum debet Methodo. Diophanteae, vt nefas videatur eam peni- tus repudiare, — r Problema igitur propofitum buco A primum .Obferuo , folutionem eius generalem fruftra tentari j- poftquam | enim pluribus modis calculum inflituiffem , ac femper in formulas nullo pacto ex- tricabiles Dus iod agnoui vix quicquam praeftari poffe, niü vircs i iras in (olutionem quandam par- ticularem intendamus, |Scquenti ergo modo quatuor numéros quaefitos conftituo : Mab, Mic, Mcd, Mda vbi etfi quinque litterae funt inductae, tamen haec po- to ifla limitadone reftringitur, vt productam pri- - mi dn tertium aequale fit producto fecundi in quar- ong quie refiri&io vtique in fe non eft neceffaria, -'Tom, XVII. Nou. Comm. D vixque 26 PROBLEMA vixque dubitare licet ,^ quin etiam eiusmodi quater- ni numeri quaefito fatisfaciant ; in quibus haec con- ditio locum non habeat; verum equidem nullam adhuc viam detegere valui , qua huiusmodi. mos Des elicere liceret. . Hac. igitur. numerorum: quaefitorum - forma Gaii ; quatuor conditiones, praefcriptae (Ma -aequationes. fuppeditant :. * oxi IL M(zbct£c Fcd-- 4a) — Quadrato. IL. M (a£be tr bec d4- cdda4-daab4-2abcd) — Quadr. III. M'(adbecd-4- ab ecdd4 aa. bcd. aabbod) — - uade. IV. M' aab ccd d-— Quadr. vbi poflrema. conditio. iam. fponte: impletur, neque. vero, hinc. concludere licet, liimitationem fupra; ins ductam. effe neceffariam 5; cum: eadem, conditio: aeque: obtineretur , fi. quis. quatuor. numerorum, infüper per: numerum quadratum. quemcunque. multipl:caretur,, quo. pacto. folutio. ab, omni. reftri&tione liberaretur , fed tum, reliquae. aequationes, nullo, modo, refolui. poflent. 5. Reflrictio: autem: adhibita: lioc: commodiino- bis largitur, vt tertia. aequatio: hanc: formam: induat: Mabced(ab.-- ber ed- día) Quadr. vnde cum. ob. primam. iam. quadratum cffe. debeat. haec -forma M (ab-- bec ed-- da), neceffe DIOPHANTEYV M. 23 neceffe eft, vt hoc produ&um a bcd quadrato ae- quetur. Praeterea autem vt tam primae quam ter- tiae conditioni fatisfiat , capi oportet M -—ab-4-be-r-cd-- da vel fi haec fumma factorem habeat quadratum puta ff fufficiet fumi db-t-bc-rod-r da Mc DES : fiquidem per fe manifeftum eft, folütionem femper, ad numeros integros reduci pofíe. 6. Hinc iam ratio eft perfpicua , cur initio quatuor quaefitis numeris factorem communem M tribuerim ; eo igitur rite definito , vt fit M—ab-rbe-cd da vel Mzcth-et eei et MM^DUD ; ; duae «tantum. fuperfunt conditiones ,. quas impleri — alteram -fcilicet modo elicui, qua effe debet abcd — Quadrato | alteram aequatio fecunda fuppeditat, quae poftulat ob. factorem M* iam quadratum , vt fit abbc-cbccd acdd--aabd- 2abcd — Quadr. veg in hanc formam redigitur : (aa cc)bd t ac(bb3- dd) 2abed — Quadr. feu bd(aa4-cc)- (b 4- dy ac — Quadr. ! 3. Tota ergo quaeflio ad. inuentionem huius- modi quatuor numerorum 4, 5, c£, d eft perducta , vt binis modo memoratis benedi fatisfiat 5 vbi notari conuenit, inter binos numcros. 4 et €. fimilem I 9tioon D 2 Iatio-* Ex TPROÉStEtEMA S "' Yationem "intercedere atque inter binos & €t 4; at- que totum negotium a fola ratione tà? inter 2 etc quam inter 5 €t Z pendere, Quare wt pro quauis folutione minimos numeros obtineamus, tam. numeros ^" et.c quam. à et 4 primos inter íe ftatui opottct. Si enim communem haberent diuiforem ; co fublato conditioni vtrique aeque fatisfieret.. $. Quia euolutio pofterioris aequationis praeci- puas difficultates inuoluit, ab. ca inchoandum cffe arbitror , ac primo. quidem: obferuo ,. etiamfi ea. duas fationcs. « : € et b: d contineat, neutram. tamen. ar- ?bitrio. noftro. relinqui ; vnde inprimis inquirendum - eft, cuiusmodi rationes pro. alterutra accipi debeant, "wt forma. noftra quadratum reddi poffit. Quod quo. facilius perfpiciatur ,. confideremus. cafum ,, quo loco alterius rationis fatio. dupla poneretur, fit ergo j:a-—co:tr,et haec forma ea4-4-2£c-4- 94€ quadratum reddi deberet; quod autem. nunquam fie- ri poffe facile. intelligitur. .Pofito enim 4 — p 4- 4 et £—p-—4, prodit haec. forma . :32p — 544 quae nullo modo. vnquam. quadratum exhibere pot- eft; idem eueuit fi poneretur 2:4 — 3 sr; vnde patet ,. nonnifi certas rationum fpecies pro. by: ratiodunmv Z2:rv €t 5:4 affümi poffe; reliquas vero. omncs ab hac inueftigatione. excludi, 9. Statim: autem patet inter rationes huic fco- - po accümmodatas primum locum: obtinere rationes quadradicas; fit ind ss ane q4, €t formula Toftra by had Cresc ec) cae tpa dy Bn o i acque- DIOPHANTEVIHMH. 25 aeqüetur huic quadrato TVpUqeir a TOR qoare vude fit an(pp--q4) a--nnpp4qc impp mme -— mmw—n»rppqq ideoque 7 — s gpl qui mapa xd ft Bis pg. vt habeamus. has formulas fatisfa- cientes bi. Pb gu (EE—mnppgq. "estet dieu erret RM er m exiflente ken. "— "€ Euoluamus cafus fimpliciores numerorum. k et.& et. habebimus. aequationis. noftrae. fequentes re- folutiones. fi fuerit b —? erit I. ZI pq? /— .]p 42— spbqq. ey PP--q4* 3c«pPad? c 77 4BP--a4y —- 6244 III "EE uPRdd es y. t— ISPpPUq QUOTE *(Pp-1- gay -sbpaa" P (89-44) "- «ppqq MOM wlzpPdTG". 1204 VI.— — 29D P4q MITAD. Vy AE sce PERS Mac CT ESETETTT, ; VIIL 2 — roe EL aA 7T specus s pn. n » qud , » : à " qiia PME": RE ie tb... mn ads BNEUIJLZUDEZOIID | ds EI. Si jam pro litteris E T 2. q eiusmodi valores inueairi poflent , yt produ&um.- 4c fcu haec Exodus cRADEUP PMIEEF SOS P s(kk— no) epp adr dce opa | fieret numerus: qnadratus-,. baberetur folutio: proble- matis. propofiti.., figuidem. tum ob &d— 44 'etiam f rmulà 2 £c Z foret quadratum. » Verum haec inuefligatio. nimis: eft. molefta ,, quam: vt eam: füfcipi couueniat; ac fi forte fuccederet ,' 4d. maximos nu- méros'cefte perduceret. Quare confültum «erit etiam apu D $5 aliae ip ^ PROBLEMA alias rationes pro ^. contemplari, quae quidem alte- ri conditioni (cilicet bd(aa--cc)--ac(b4-4). — Quadr. conuenire queant. At ob fimilem rationem fra&io- num j et *- omnes valores hic pro *- eruti etiam viciffim pro : affumi. poterunt , vnde denuo nouae huius generit fractiones elicientur, 12. In genere quidem hic labor nim!s- foret taediofus , vnde cafüs primo (impliciores euoluam :- fi : — i etit z—H AU. $3 LE —$23 nj Ho 33 fi i — i erit pO ard. xijand 35 323. MR QS 48 fq teni Np MpuE) m fi f — 1 erit 2 — 555 15 ui y En ergo hic praeter expectationem duos cafus , qui- bus. pro a ct c nümieri quadrati prodierunt; vnde cum etiam b et d fint numeri quadrati duas. iam fumus adepti problematis noftri folutiones. 15. En ergo duas problematis nofiri . folutio- nes ; quarum prima ob 4 — 64; b.—-93. €z24 0, ct d— 4 pracbet : M — 345 3L 441 E 196 -4- 256 — 1469 ficque quataor numeri quaefiti (ünt Ll 1469. 196; 1l. 1469. 256; llL. 1469. 441; j IV. 1469; 576. Altera ob 2— 64; b — 95 € — 289; d — 4 dat M. $16 -- 2601 4- dE aire 4589 vnde DIOPHANTEVM. gx vnde alii quatuor numeri problemati fatisfacientes funt Tt .1. 4589. 256; 1l. 4589. 576 ; IIL 4.589. Hc ! IV. 4589... 2601. Has autem folutiones haud facile ex: formula $. rr. data deriuare licuiffet ,, etiamfi. in. ea. contineantur. x4. Cum autem: fingulae fractiones, pro. t . jn- b ventae.- etiam pro 7. vfíürpari queant ;, eüoluamus. fimpliciores. » quae. funt z qu E .0$. g20101Ee. 20. 28 . 32. 38 : 8.9. »9595 7 9) 8 $. i9. 3:95589:.1,.9, 9 etc.. EID Sit. igirur primo, *.— 2. et. habebitur wr hs: ——á I2 66-49 ac — Quadr; H cui. fatisfcic 7 — —4, ponatur ergo * T. S ps de 192: 2 96.x--12XXx .196:-1- 49 x: 4:00.-- 14:5, X: -- 12. XX. — m(2o--xy) ergo: 145: -- 12:x:——4QOy-|-xgjg et xl 9» CTS hincque. $-— 122—197 9. feu: pofito: y, — 2- ^4: Lo——.4 mmo—-0 T T;2- 97 TW: ( ^ —ÁÀ mm -—-2m. vnde. fequentess nouae: fra&tiones: idoneae: finpliciores colliguntur: 4^ 4; — 24... 32 ,. Tav x. $T w; 77 n» as. avt mmo 1 E314 , i I)5;. LE "PRODPLEMA :* ..45. Statuatur. fimili modo 5. — $ fietque 2044 -i- 20 ££ -- $1ac —n "T cui fatisficit BUE fit ergo * a ope 20 -i- 49 x 20 XX Robo, $1 -- 8r * I21' mE n (uy eigo "PI -p220 X25 22y -- Xyy etc o0 250 m 5e 21! . à ricis et 4. — 923 —::» -- 109: — TmmTm-3-3:2mmn--so nm" - prr | JOcpES Vo7T |mm—znn vnde elicitur I s. ita. St fit abcd quadratum. - dau , £ LIEU iu rn s 16. Haec folutio mobis largitur quatuor nume- ros mylto minores problemati fatisfacientos, Cum enim Babeamus z- | 7 q-— 16, — Vu EET d—24 erit factor communicis 8 ne vo - 1o (2^ fi ) d —— 80 um 25 IL€— f TECTA ^ vnde ay fA e erit MI 21 1, et quatuor nume yi probléma foluentes ezunt — «€ ^" e L 21.907 B 2E. 55$. TII. toad 64, ctiV. 21. 8o. quorum fumma fingulorum eft —9.2r fümma prodüctorum'ex binis — x10, 2r' fumma produ&orum ex ternis — 4800 21 ProduQdum omnium | — 1600.21 Lec Ái-. DIOPHAN TE V M. 38 ita vt huius aequationis biquadraticae | x'—9.21* X --1 105.2 1 3x—4800 .2 114-1600". 24 —0 radices fint 2I. 20; 21. 25; 21. 64 ; 2t. 80. 17. Ex cogniti autem vna íolutione, certa methodo aliae imo infinitae elici poffunt ; quod quo facilius oftendam , hac poftrema folutione vtar, qua pofito I —i inuenimus in genere *- — *2 —2:*» s c yy — a: vnde vt abc d fiat quadratum ,. reddi oportet. hanc formam : | 5 (yJ —20)( yy —2 2y - 101) — Quadrato | id quod «euenit .fumto ,y— 5. Statuatur ergo ycm4 5 et habebitur: 5 (zz-- 1024-5)62— 122-- 16)— n feu 400 -- 5002 — 49522—10Zz 4-92 —[ cui etiam fatisfacit z — r €t 7 — 6, vnde autem eadem f[olutio refultat. - 18. Vt aliam folutionem eliciamus ; fingamus radicem quadratam huius formae 20 4- 2 2— $9 £z, cuius quadratum 490 -1- 500 jo gil ga arg "pesa. ili formae aequatum praebet (ED —5)z- 5-19. fcu &— — 87. 12708 L—— 3241155 |... 32,105 ——— OL o——á3 a — 26635321 ASIE, — 2201 ... Tom. XVII. Nou. Comm. E . ádeo- 94 s PORRO BOLOEOMSAS 55 ideoque z — EL: et. y — 1365. vnde: jpro 4 et c nue» meri enormes refültant , m euoluere operae non eft pretium. di ia aSiibis 19. Vt autem. plures folutiones. deriuare liceat, Ob cafüm cognitum z — r, ponamus z — go et prodibit haec forma ad quadratum redigenda 400-1- 1600 9-1- 240072 -- 16007 la eos d 4-500-1- 15002-1- 1500? 2-|- 5007 xf 1 —495 — 9997v-i- Rr den , p uer — IJIO— -.I10v p 35H w3uR Jy 9pEY T5 BEES. de feu 400-1-210094-34059 -- 2100 V -- 40CU - D cuius radix pofita c 20-L-'7v—20v9 dat - hi 105? 4205 — T 4200 7—0 feu v-—-—;i et r--v-—is vt ante. Ob formam reciprocam erit etiam 9 — — 5? et 1-4- 9-15 et 2:5— 53, hincque dm um vnde autem non alia folutio obtinetur. 9.. Quanquam autem hoc modo. ex. qualibet foluta. aliae. innumerae | deduci , poffunt ; tamen quia in primas cafa quafi fortuito incidimus; me- thodus adhuc certa defideratur , quae ad buius pro- bleinatis folutionem perducat ; cuius inuentio in ana- lyü D.ophantea vtique maximi foret momenti. Ve- rum antequam talem methodum expectare liceat , neceffe videtur, vt natura huius formae d ac(rx 2-73) H- (a 4-6) Xy 3 LEOTE . "E / Ly 4. e ad DIOPHANTE'TY M. 35 ad quadratum reducendae accuratius inueftigetur , et rationes pro 2:6 affumendae , quibus reíolutio fuc- cedit, explorentur, vnde hanc quaeftionem perfcru- tandam | propono. : Inuemire ommes valores idoneos pro ratione 3: c i tuendos , ct. baec expre[fto : | va-xy)24-xy (a2 ec)-1- 24x y nain acqualis. reddi £9. ^ 2r. Bx füperioribus iam fatis liquet, rationem 4:6 neutiquam pro lubitu accipi poffe, fed eam certis conditionibus effe adflri&am , quas potiffimum determinari oportet. — Ad has toni finas explorau- das flatuamus: - | : | NM E Swvryeriw "iu quam UE in misuces formas transfundere licet: |- ido ue ; Grill Dori «(a oy. "e —2z2z2 ! aM . (224 46-60) (X -4 X 4:3) — 6224 (40) "(x—Y AL. (e24-cc) x 43) Y) — 2 22 (a6 (x49 IV. (aad 4a c) (x47) 22 2 2-k(a- 6 (x4). - e». Cum iam ex prima forma obliginws, formular 44-66 faüorem effe numeri huius - for- ma //—2z2, qui, vti conflat, alios non admittit diuifores, nifi qui ipfi fint vel huius formae A A —2BB vel hiius 2AA—BB, fequitur nume- rum a.4-4-c c in alterutra harum. formarum con- tineri debere. ; Ex tertia autem forma intelligitur , ; E 2 eundem 36 " PROBLEMA eundem numerum 24-1 cc, cum fit diuifor formae 222--1t, etam ia forma 2 A A 4- B B contineri debere. Jam vero numeri formae 2A A— B B. vel AA-—2DE praeter binarium aiios non babent di- vifores primos , nifi qui in forma 87 -t- 1 conti- neantur, et nu mcti formae 2 A A -,- B B alios non habent'diuifores primos praeter binarium , nifi. qui vel in hac forma $5-- x vel 87--5 €ontinean- tur, Fx quo coccluditur hacc conditio, vt nume- rus Z2 -j-6€ alios praeter binarium non habeat di- wifores primos, nifi qui fint formae 8 2 -4- x. - 25. Simili modo cum altera formula 4a --4ac--cc fit diuifor formae 6 z s -4- 41, quae alios diuifores praeter 2 ct 3 non admittit. primos , nifi qui in aliqua harum formularum : y 24-1, 248-i- 5, 248-17, 241 d- dal : ai aaun contineantur ; tum vero qmia eadem formula. aa -F- 4Gc-66 etiam eft diuilfor formae. 2 2 z Ag , 'eà praeter 2 alios. non admittit diuifores primos, mifi qui ia alterutra harum formarum $8 4 -i- i ve $5-L 3 contineantur, Ex quibus coniunctis fequi- tur nümerum aa8--4a4c-j-606 praeter 2 ét g .alios diuifores primos . hatere non poffe, nifi qui contineantur vel in hac. formula 340-1 vel hac B4H- Xx. "gü 24. Hinc e valides rationis a:c primum omnes ii excluduntur, quibus numerus aa -- ce, haberet diuiforem primum formae 87-4- 5, fiqui- dem reliquae formae ineptae 852 -1- 3 et &5-1- 7 fponte DIOPHANTEYVM. 37 fponte excluduntur, propterea quod fümma düorum quadratorum 2 4 -4-€ per tales numeros nunquam diuifibilis. exi(tit. ^ Deinde etiam ii: valores. rationis 4:€ excluduntur, quibus numerus a 24-4 a € -- ce, Qui per fe praeter 2 et 3 alios habere nequit diui- fores, nifi qui fint huius formae,12 z 4- 1 vel huius formae 12 7 -j- 11; haberet diuiforem vel huius for- mae 24 -|- r3 vel huius 247-1 23. — Quocirca ex rationibus pro a:c adhibendis primo expungi de- bent omues eae , quibus numerus «4 -- ec diuidi poteft per numerum primum formae 87-i—5, de- inde etiam eae, quibus numerus a d -- 4a6 -- cc admitteret diuiforem formae 24/4- 13 vel 2474- £3. | a5 Quando: autem ratio 2:c ita eft compa- rati, vt numerus a4--cc nullum habeat d:uiforem formae 8 n 4- 5; tum viciffim certum eft, eundem mumerum ram in hac forma 2A A — B B quam hac 2 A A 4- B B contineri. Ac fi quoque. nume- rus aar 406-66. nullum habet diuiforem formae 24. n -- 18. vel 241-23; tum perinde certum eft, eundem numerum tam in hac forma 2A A--BB quam ifta 6 A A 4- B B contineri. | Hac duplici re- gula obferuata facili negotio omnes rationes, quas lo- €O a: u afumi noa licet , excluduntur. ) ^" . a6. Fada autem hac exclufione, pro fra&ione *- fequentes valores funt reli&i: Li & 4 4 5 8 8 siiie n sac idibdr c. e 1$.12/52,45 525 25 435, €2(43,32 75, 3.9 123 35 15 16 16. 46 16 317 1$ 19 20 2041426! .20 3 7-50 x3» s mg )123329 S 313 19 3.9 »7 2/4 30 20 21 21! 23 24 24$ 24 24 24 2$ 258 13 ) 19) $ Y PDIUSOLUO 290X3 98133295 a2 *- 25 25 25 425 27 27 7- 29 39 ' 28 29 ^. 0512) 165 173 11) 205 3 3j 133 135 25?) G3 - Bl M E 35 vbi 5$ ^ PROBLEMA vbi obferuari conuenit, reliquas rationes omnes fruftra adhibitum iri; num autem hae omnes po(t exclu- fiones. Sxpolitesi relictae füccedant ; -quaeftio eft ma- ximi momenti, quae vix decidi poffe videtur. 27. Hic prima ratio in. praecedentibus. non- dum inuenta eft 7, quae igitur an folutionem quae- ftionis IUE. videamus, Fieri nempe ogattetáa ENT Ponatur x - -- 4 "o p 4; vt prodent tii forma : . 337pp— It34q—U0.- quod an fieri poffit , | fácilius | exploratur j quam exc forma praecedente : fatisüciunt autem hi valores rmi- nimi p—3, et q—4, vnde colligitur x — 7 et J—-1, (eu R-—— .flatuatur ergo Z-—— C, et prodit: | . H Eknqi» À vdd ein fie iR : ! — 701—559 m L5 7ft--v7of— (167 vude colligitur 9 — — ré. et DUSRES OI EREMR IT" feu x Ll zit got ac a6; 7mm-—i.mmn—nm « »y S6iu- 1f 1110 —— Án di 3 e$. Cum deinde etiam alios plures cafus e exa- minaffem , inueni negotium femper | fuccedere ; ex quo affeuerare vix dubito , omnes iflas fra&iones. pott binas exclufiones ante memoratas relictas femper ita effe comparatas , vt loco rationis E pofita aequa- tionem sap di gr Ma Ax T1 d refo- DIOPHANTEY M. 39 vefolubilem . reddant. .. Nunc. igitur. omnino operae foret pretium in indolem harum fractionum: accura- tius, inquirere , ,earumque; verum. characterem . inda- gare, quo eae ab omnibus reliquis fractionibus di-. ftinguuntur. Primo quidem. patet, in iis omnes fra- &iones huius formae P occurrere , quomodo autem reliquarum n fit SO IRAE " joe videtur indagiuis..- ^^ | 29. Videamus autem , qud in genere nu« meri q.et € «comparati effe debeant, vt 4a -i-cc obtineat fonomam AA —2 BB. | Pofito autem aacc — AA —2BB erit A A—aa—cc-t-2BB ideoque. tam A 3-2 quam A — a, vtpote diuifores formae c &--:2 B Bj Vaniaid formae amiire de- bent, vnde: ppfitü x ouf ue t5 - A-r-a—pp--244, et pedis deoa ft A— Buscas et 4— RRxcppT DL: et ob Hispa pe 2ppyrr--2 6s) diri Ls dri Az b—ps—qr. Me T diens conditio praeferipta impletur . fümendo ju eet ge fa aedi, y Es (—apr-oe4qi vnde fit — aa ete (perry 4 qqss* T4 ( (99 rrXqu 25) 6 pars quae forma non folum. ett. no) einid end 1 (Bb-rtH-244-2- 255] chepscher). fed etiam... — i (m(b--rr-aqq- iss] VR GPUERIO- 40 H4 PROBLEMA ' ^: Vnde tam io. bac. forma AA-—-2 ied ama ifta: A A ha z'B B continetur. -$0- "Evolnamus fimili modo dheram. cotiiti- nem , quae poftulat : d c4 406A AER BB, et cum fiat bs (a-4-2c) -S-AARABB (cu Ld debet effe: N ——MÀ et 4-F2c— ALErpép ergo a 2 c wap ie edi tum vero ob. 2BB.£ aec (f£ Sun) (144-27) fit. oBcux-$3uy et czzux--21y, ideoque . a-—— 2tt—8ty-1-6yy A- 3uu —4ux-- xx feu a—2(t—y)t—57»)2-(0—x)(3u—2) ét c—2ux4A- 4£y.- ] Vel fitt y -r-v etxcu-zwt fat vago Yo foo posee qud ec4y(y--07)H-24(«—2) | hocque modo fimul alteri conditioni , quae. efie de- bet a&3-446-4-c€ — 6 AAA- BB, fatisfit. / 31. Quo igitur vtrique conditioni fatisfiat, ne- ceffe elt,. vt ambo numeri a et € fimul infcquenti- bus binis formulis contineantur : a-(p— rXpor)4-2(1—5(9 t5); e — apro qe a-íu— Pe c— aux ty. ; | Noua - DIOPHANTEVM: P Noua ergo hinc nafcitur quaeftio, quomodo hae bi- nae geminae formulae ad eundem valorem fint re- ducendae ; ad quod neceffe eft, vt huic aequalitati fatisfiat : es f (ux-3- 2 1j) NOS JP Ys (pr3-245)(3uu— 4UX-- XX- 211—819 4-6)J) quoniam totum negotium in ratione 23 c veríatur. . Aliud Problema. Diophanteum. Inuenire quotcunque umeros , quorum quilibet in - fummam reliquorum "VS CS op rem numerum quadvacum: 'ti PTEDENTI E LS | 7 $2. Sint numeri 'Gisenig 5,9", ete, eo. rumque fumma — 3; ij diu "nd vtomnes hae formulae : : p -— 2526-9, G—, 4G s) etc. fint Aaa , quie cum fint fimiles , fufficit "in vna pofuiffe p(5- D-—4£b, vnde fit P— Quare numcri quiefii erunt | Ro ANS "S S M. ete T3? acpEgg? " ib b? 1-4 kk ] .dümmodo eorum fumma fiat — S; ficque problema -huc redit, wt. quaerantur numeri quoipungpe 3^7 b, k etc. ita comparati , vt. fiat | CLE adio: ep emer t Dewey 35. Statuamus y quoniam his numeri plerum- que funt fradi, 7 Tom.XVII. Nou. Comm. F Jo -L etc. — I. feci 8-—p AEN S iz dm etc. [» Ti et quaeftio- huc. redit , » vt : aliquot fractiones- huius- modi ud : 0» -— Z j 4 [2 68 T aa-aa? bb? S64 Y Y T inueniantur, quorum fümma vnitati aequetur ; vbi obferuo, quemlibet denominatorem effe fummam duo- rum. quadratorum;: ';Quodfi ergo: talis denominator fit numerus primus , ex eo duae tantum eiusmodi nafcuntur fractioaés ,- ilice aoldo14 | bui 9£A^ a c ; cea Ga--AA4 ^" ga-aa? quarum fumma cum- vanitati acquetur , euidens eft, ambas fimul capi non poffe, nifi quacftio: de. :duo- bus numeris, inftituatur, quorum, alter. in. me ductus. praebeat quadratum. Tum enim ob aa dU T! — I be; »2 aacra -Qa--X4 ^ » fumto. $ pro lubitu "numeri fatisfacientes. erunt Maa et; M. aa) qui. gropiesem E iii salam. pi iil .tatém. cn Eb Lr: r 91 ü ' 'L 34- Quando autem. eros un numeri fant inueftigandi, qui problemati. conueniant ; neceffe - ft xt etiam cafus, quibus denominatores funt numeri 'compofiti , "euoluantür ;' fiquidem. inde plures. fractio- nes. huius indolis fotrrari: poffüat ; quarum cum. bi- nae itidem vnitati € Í fas MN modo. eas repraefeütabg- ——— -—L -Denominator D — SERI, s ad VES, at. (ab —«6) i TEE B. * —aby zm b ' , » (1-3 errem |^ thbaeh 251); . deno DIO?TPHHANTETYM. 43 Denominator D— (aa-1- a2) (55 2- $6) (cc -A-y ty) 1 2188: aio cdit o p CO Hv» (nS o H $ M — 2 b by— M EY dc aby- THEY ; (r4 Gea MM Y Lih) (abc --a68c —agety--abry)*|.- CTIRETSPUITISPTI: D EL EE CUT 3 is Mei says -u by» LED ERR "n E tts ordinem. cundum annotaffe. juus- bit, effe pus H "v aud dd 181ribtfoz) GAS m I— EY et — KIETRUNIETIMM Ir y 4 PE Lise iu "Dic SED. ki is —D ide D ' Deinde in ordine tertio, fi quatuor. partes prioris columnae inuicem addantur 2 fumma erit e 82 yiorord atn 9 c ocio ub cy ri emn] j.7] -fH TEM. pre pi Heres Hinc. non contemnenda .fübfidia peti poterunt pro quauis numerorum quaefitorum . multitudine, dum, fi folutio in Benere tentaretur , infignes difficultates occurrerent. Quoniam igicür cafüs duorum nuinero- rum per íe eft perfpicuus, a caíü triam exordiar inde ad quatuor. progreffurus. 11, ^in LI 1 ÀJ "T | i1 Cafus trium fiümeror. - . $6. Ponafnus pro tribus numeris: quaefitis has fra&iones ; . Mesa KC : cce d NN à dd rkii c (| 9a-- Xa? (aa-- a a6 6-66)? (aa i o0 0 -3- 6 6) quarum fumma eft |. TUS ; mcis wie a - : d ra aad M. "ag 4 d'a be QA OMS "EY v7a--aa« T1 (a-raa)6b-3-68) vnitati aequanda F 2 vnde 23^ 44 PROBLEMA ': vnde fit a a (bb -- €€) — — hincque * its AG "e FERE Quare fümtis a — 4. DG etoa-—bb-r- c ni , numeri quaefiti-ad integros perducti erunt : a 4 (b b. -- €6); (26 — a 6) ; (a 6— ay. lam vero eft ab. -46—3058—6 —6G(2bb— 3] et 28 —ab— 358 6— Dj -—b($88— bb. Confequenter habebimus has formulas 16bb6G(bb 4-68); 66(352-606) ; bb(aeG—bby quarum. quaelibet in E aud Iam duda pro- . ducit quadratum. | v Euoluamus y olutiones fi implicite; ponendo numeros minores loco b et 8, querum tan- tum ratio fpectatur , ac fi ambo. fint "(— nu- meri quaefiti net 4 ibus hoe RUN Bs : numeri UM " m LES (i LL Jem Lol , ;p-— 320. $;q-—5121 ;7—4 $-—36o (gui 69. ^ T—8t »$--7488 ; 4 —— 2116 E ded * fd [sl "e E sje go|S* gm es 5t 57600 5; Q2:15689; r— 1936 13 ET V. poliifc 4852 54-2209 ;7-—2704 dia ixp-— 2600 A4 f369 ; fc 12100 88. DIOPHANTE VM. 43 58. Aliae flies uci cone ex hia fot». mulis :- Í oid à M adii (ab—a6* .. ENTETT- T €a--« 2? (a a 34- x a Jb 6 4- 86) ? (aaa) -A- 88) Een fumma eft asbb-r-dx66—aa668—e«abb sr OL il ER, CE: 7 (8 8-- & ay b -43- 66) quae cum. vnitati aequari debeat , fiet. ; MM : a4 5b —€6€ 2aabb--aa6 6—aabb -—o, hinc ELTE bb. dec — aL. E feu (2 — L5. vnde b—a et $6—Y (4a —aa). Capiatur ergo : pes a—omn;a-—mnoonn; b—mmA ann; 6—mm-onn erüntque tres numeri quacfiti | -— 8mmnmnm -r- 4 7) qm 2mn-—omnt)(mm-- 228) r-(mm—o2mm-oenmu) umm--2nnu) vnde fequentes folutiones deducuntur VREET E'UUWSEW«os 839 5 me 1E. 5-18. 9. 85; q-—1321.169; — 121 ML .$2l8.4465 55. 5047281. 32394; £281.95 IV. 5—8.56.145; j 4—289.169;. f2-289. 121 V. pc9:9s328 50/5: 925 gre 52 p $- on—5 361. 121 VL. 5—8.100.689; q-—1089.1569;7— 1089.9 VII. 5—8.16.1025; qQ-21089.1521;7--1089. 5329 VIII.0——8. 144. 11055 q— 1681.2209; f— 1681. 1 IX. 568.225.949; 4-221849. 1369;,T--1849. 529. "à F 35 89. 46. UPROBLEMXE . 89. Neque vero haec folutio generalis eft pu- tanda , fed potius innumerabiles aliae locum habent;: quae in his geminis formulis: non. continentur, Pro generali enim folutione hanc acquationei Teolui oporteret : TESOMERMTSTTIN Cc uu i | vnde oritur x xyy zz—X x —yy—s523—2 -——9 hiacque. z z — *2-552-9*, ita vt haec formula S (xxyy—i)rzx--yyMey o5 in genere ad quadratum reduci debeat; ua quo- modo fit efficiendum , non patei... «5 — 40. Interim ex íolutione iam aliunde -cogni«* tà ope huius formulae infinitae aliae. elici poffunt -Diuidantur enim terni numeri inuenti veluti 40, 9» 81 per eorum meis 189, vt hae fra&iones. ob- tineantur: - TN INS 1e CIR ES ' KH cgnv Ee-i1v..9* quarüm- vra tantum — cognita fumatür, pro "ns binis reliquis veto haec aequatio refoluatur: ^^ . | $yJZ2—yy—u4m--o fuzzs— "ct vnde fit | - (95» — 2 — Y(oy y — 9 Gy »-4- 3g M" Quia: autem notüimus, fatisfacere - vitet yx, ftatuamus yz fitque lio .do5.9 Ad 5(9»y DIOPHANTENVN M. 47 8 (9 7y—4)2—V(g.13-F-22u-4-40 (49.14 $81.48) ita vt haec formula ad: quadratum fit- reducenda 273 —-22.11051-4-3041 4(U-- 1763 3-4 u cuius radix fi ftatuatur 2*5 -- Vt -o2 uut. (i-i TE 4. 13. 21)uu-- 44(4 3-5 zo «tage 26tf T "Ty LE et 4 — "T 11e mismas] Hd: APA CUN. N hs — - 1022393 —1138 pro figno fuperiori 4 — —*- — DL C EE pro figno inferiori Mz MS et ob y— s v , qui duo valores conueniunt et ob Jz mÉm át. Z-— E 4 H8? e t7. 6. t7. $95? Lo ses, ULM UE 9g« 1138? — 4* — 6: T * del4Q 3 chow TR vnde ternae fractiones prodeunt. LA .580240 — - 57600 3$9 iai55561 * — 136564 quie. in integris dant hos numeros : is] p—^4 136561 — 4. 17. 29. 277] o 546244 q-— 480249. -—693 200,25 480249. T2493. 57600:Z. 240. u£spiumi748890 hincque D-3-q--r— 13. 17. 29. 277—1775293. Hac ergo methodo. folutiones particulares. done ad maiorem generalitatem. Süghantur. gQ'g ^ Cafüs quatuor numerorum. 41. Statuamus quatuor. fractiones : aa bb (cb—a&? — . | (a&—amby —— e aho P5a4 t6? Id (rap --L«al(55 oe ris fumma eft - "own " uaa bb d d | rmewbe. o 07 manu VERSCCpppEani vnita- 48 PROBLEMA vnitati aequanda ; vnde fit: 24a4bb--aae 6 --aabb—4anbt - b — zgu--V(raaau— sat—agaa) ideoqu € — 2aa-r«« 5 — za&-ovy(sua-saa). feu &- 27üa--Xa — Quare litteras a et a. ita accipi oportet , vt forma» lag«a—22424 quadratum euadat. 44: Hunc in finem ponamus : Y (3 &a&—244)— «- 7 (a— a) fietque 2anna--a2nnaccammad mmo —wmima. Ergo a— um tL-omn-onun- et azcmm-uomn | hinc 4— 4 — —2 54n-r-4nu et V(8a4a—2aa)c—-—mm--4mn4 2nn. Quocirca habebimus | vel 5&- : c m-eimn—inní: mm —.mn-goinn) o mma-imncinma z(mm--2mua-—nny-E(mm-inm)? ——— Tr. TiA- «Aa -4-6nn vel : zer — (mm--:mn—s2nn)mm--4mua-6un) — mm--»mn-—znm e z(mm--2Tn—znn)!--(mm-:nn ja amm—a4mn 4- 2nan* Tasdem numeri quaeüiti habebuntur- p-—aa(bb-i- 66) ; T C otn r—(ab—aBy Cerdo p*zx:(a8—ab). 458. Cum fit a — mm-FE»nn, loo « alii numeri affümi nequeunt, nifi qui fint. vcl primi huius formae 87 -- 1 feu 8574-35 vel ex huius- modi primis compofiti, Simpliciores cum numeris a et DIOPHANTEVYV M. 49 : et Y(5aa-2aad) ipfis. rgibondenciaod in fequenti ta- bella exhibeo: | €$—31:825 12343953 16276031419 áà D 3. I187| $g221| 99143| 99| 759 ..Nd D— 115209| 4155154974137] 989 Nn rr EEECNFI m 1| orr RuPOEMEETT T 6—311i| 17, 41| 27 59| 57 67| 43 ;wel b-az|. Ss Im II a ^^^ &4. Cum ergo in genere fit: a-—mm--emn—onn,b-— mmiomn-—onm ac munis 6— mm--amn4ó6mn vel g-3imm- atbbens erit AIME PLAINS A9 | irs feste. "ub- a8 — —snn(n4 y vel — insti ea «48—ab- 4n(mn(mm--2mn—onn) vel Eri dissi iiit — Tem. (aa hacc amm(n-- n) -ann(m— sny et àb-- 66 n (m--n) (m4- 81) --»nn(m--4n). . vel zzemm(sm-m)-»(m-n)(m—2ny vnde in numeris fequentes naocifcimur folutiones: . (Tem, XVII. Nou. Comm. G I. $0 PROBLEMA Yl. $35 dai ns fo; s-o BL —5i (—1i. r2, sca III. 5-261; q-5; T-512; $-32 IV. 9-841; q-61; f—225.450; 35-450 V. pci21.205; | q—121.101; r—16.52; $—121.32 VL $-121.289; q-121.101; /225.50j $-2121.50 VIL. 52121.2305; q—!21.241; r2576.1152; J—121. 115a VIIL 5—169.229; 4-169.145;r- 9. 18; s$-169. 18 iX. p-169.449; 4-169.145; fT264. 128; s-169. 128. 45. Formulae generales autem ita fc habebunt vel | )d — (m m(m- ny --2n(m — 2 n) )(mm-4- 2m2— anny q — (m- n) (m A- s n) 4- ag (m4-4n) )) (mma- 2mn— 222) r— 8nn(m n) (mm » mn—a nn) sc8Bun(mau) 4nu(uan) vel p (mmm ny A en(m-— 2 ny (mm--2:,n—2 nu) q — (mim(2 m — 8) -- (m — n) (n—22) Kaum-4-2:1—225). y— emuiu(m-—2n)(nm--2mm—2nma) sc om(u—2nymm(m—2n). | Vtroque cafu quatuor numeri f, g, T, f ita funt comparati, vt quilbet in fümmam trium reliquo- rum du&us producat numerum quadratum. — Quan- quam autem hinc innumerabiles folutíones deriuare licet ,' haec folutio nonniüi pro maxime particulari eft habenda, 46. DIOPHANTE VY M. 5t 46. Solutio autem generaliter inftruitur , po- nendo in genere pro quaternis fractionibus : ^* 1 t t CEASRSGGESEAM DEWEY hows. quarum fümma cum vnitati effe debeat aequalis , oritur haec aequatio vOXz-09Jypovzf-p 2094 axxX-4d-3 dUyRuixxzadoxxyyd 2)y-4-22zz cuius autem refolutio maximis difficultatibus eft im- plicata, Verum fi ex iam inuentis folutionibus, pro binis litteris x et v idonei valores accipiuntur, prae- ter valores reliquarum y et z coguitos innurmerabi- les alii a(fignari poterunt. vorzyyis 47. Vt hoc exemplo oftendam , affümam folu- tionem fecundam his fractionibus 3, i5, ;, ; conten» tam indeque flatuo vc — 2 et x—5, reliquas au- tem, quae hoc exemplo íünt y-— 1r et z—2 vt incognitas fpeco. —Habebimus ergo hanc aequa- tionem 96 yyzz—yyzz-|l- 15 yy-- 1522-65 feu 7yy z— 3JJ-- 322-1 13 ex qua prodit eise RS , ita vt haec formula :333-7 quadrato aequari. debeat , quod. duobus | cafi- bus y —: I et y— 2 euenire nouimus. lam. 7))y—3 in genere fit quadratum ponendo J — pim qui in 3. -i- 13 fubftitutus dat i6 4-104. T 148mm— g12m144—0 ar G 2 cuius 52 PROBLEMA. at radix prit | mm fü vid: dat cad : vtrinque reperitar y — $9 et Z — i | 48. Quanquam. antem, hoc modo. ex inuenta qua- vis folutione continuo. alias nouas elicere. licet, tamen fic mox ad numeros pracgrandes. peruenitur ; $ quod co maius eff incommodum , cum aliunde folutiones: multo fimpliciores obtineri queant ; ; id quod quidem nülla certa "methodo ,' fed. mero: tentamine praeftátur - Confiderantur. fcikieet: plures. fra&iones huius. formae zz..55 €X quibus quippe quatuor. eligi oportet, qua- rum fumma vnitati aequetur z Ita fümtis fra&ioni- bus, EMA denominatores in r3o» continentur : 1 4 r 9: i9 $* 305 135; EP 5z5- $$ Woo 139; sU m. 349 25 6* JC . CXMUNELT : ET TES $ 1035 i$) 3905 $$» 535. "aG3o0 9$ i139 i nt binarumr ;j, et Hs umma eft 8 huic addatur ;$, proditque 5; — $4, quae cum j$& producit vitatem, . TE ! It quatuor. fra&iones/ (0201 — 0504! naiusoooi qw dualis. p BEL. 9n ic5500;] 18 9 $5. 9» 130 9 13» praebent los numeros ^ .55 70035 11 759 Xt 90 b— 40, q- 3?, E $49. &XxXY Alo modo fit ^ . Xr nüowp Rp 2 t4. Y í t ——1—— DÀ ERO a eet quae cum. i, dat vaitatem vade | ex fractionibue ^ DIE Ut urs adio - pafcuntur hi CS ne —9 Q3 xa v zog UC PM 201 D qui d DLOPHANTE VM. ET qui vtique multo. funt minores, quam: füperiores certa ratione inuenti , primis quidem ibi | exceptis , qui ob: aequales numeros: excludendi videntur. 49. Simili modo pofita. fumma f -4- g^ -F £— 170 reperiuntur duae: folutiones z dino I Yi4—19r fon 555185. ig II. £—219,» 4-37» r—43,45— d famma:. heniscio ben 290 dat ^ H gin ft; gs 40, (rer, Me 128. Hinc itaque. patet. cafu quafi fortuito multo: fimpli- ciores numeros problemati fatisfacientes- reperiri. , at- que adeo hac ratione nom difficulter.quinque numeri a(figmari poffünt, vt quilibet per reliquorum. fum- mam multiplicatus praebeat numerum) quadratum ; fq funtz. .. 40,5 455 38, 145 ^id 9^ 98» 169, 250. e Hocque modo S, plures. numeros. huius. indolis detegere licet, ad- quos inueniendos nulla certa mee thodus adhuc eft explorata, - Appendix. )g3ilu 35i 50- Si; problemati: modo: tractato: Baec; conditio adiungatur , vt finguli numeri effe debeant , quadrati; quaeftionis —— natura immutatur d TE its enune- cigbitur íR) N Rame n je quacunque ywngiégusiiÉt, a Jung "o amnium. quolibes imminuta fiat numerus quadratas..— WE-A - G 3 Sint 273 PROBLEMA - Sint numcri quadrati quaefiti A*, B', C', D' etc. quorum fumma ponatur — S, fierique. dcbet S—-A'—P,S-B'-Q',S-C'-R' et. vnde patet, S effe (ümmam eiusmodi binorum. qua- dratorum , quae pluribus modis in bina quadrata fe di(tribui rwv feu pofito S — x x-- y y,. hanc duorum quadratorum fummam indefinite in. alia bina quadrata fecari oportet , quot in genere ita Ppraeftatur: — -— 8 u— s S— ;[ MEUF Y »»y 4- (E57 E zm -—Ex4jy. 51. Pro cafu ergo Tm T poni debet: .— | lá | A-*.ee UR Uf» et (53r rel s TL INE et fümma MS ou tum ipfi x x -j- y y. aequari. Quod cum in genere difficulter praeftetur , in folu- tionem particularem inquiramus. ponendo ?- E : vnde fit nt UT Y CE UTE , pc f(ff—31) Aa tui s TOR Mn tt dea ^ ex qua fequitur x ctf y ftu x— 8f (ff-1) "owe — hincque |onergeien ir^ gp dai radices in integris. et haec oritur aequatio: — A-—S$ DIOPHANTEV M. 55 -53ff- eS | B—2f(5/'—1off-- 3)— 2f(5ff —1X f — 5) C— (ff 3f 1f ex) UP Hafen) vnde fi f — 2 fequuntur hi numeri A—c16.53.5; B— 4.11.1; C — 3. 15. 3 feu A— 249; Beg TOI TIS » 52. Ad cáfüm autem quatuor quadratorum progrediamur , quandoquidem tum problema fit dif- ficilimum , vt íolutio adeo fimplicifima iam ad maximos numeros ex(íüurgat. Faciamus ergo | A— «v —ac2fx—(f—u»y. | (ff—»)r—zs:fy. 4 A -—3X; »——M ? GC zie: 9, 1jj -—— apx—(pb:) | blz ned er cum fit cA BB--CCczxz-pj5y— UU 922, poto breuitatis ergo E —, —g prodit haec ae- quaio: . rp UELUU Me E 13. ap ayroo f feu (pp— 1) 31 — »8(pp-i- 1) xy—4ppxx | 4p(pp— 1) xy —(ppiyax 1222 — (pri) opp -t- V(ge(pp x) -agp(pp-) (op--1) - 4p; (p-1) — (pp-1) (pp) —AbI(Dp-1y -a(ppry xappp-3)H- (px) JV(zg(pp^- 1) ^ 4gp(bp- 1)-(p-) X . 538. Haec formula rationalis reddenda infigni moleftia premi videtur ». quam autem ponendo p—$2- tollére licet. — Facilior vero redditur folu- Mer: A tio ; hincque $6 — X" UPRDSLEMO tio, fi pro primo vinnm fümatur ^ y mde fit: 25 7 Yr Jo —REüore^"Xe) opp -eog(ppt Depp x y hihéga --4$(pp—3) xy px) JJ — — "apCpp-3) dc (pc x)V (ag(pp--x) "agploo- e vbi quanti pr ratiomalis reddenda eft... 0 v EC -d- 4p 4- Cg —4)0b—AED--EE ... cuius. radix, ; pofita. £P b3-25-3-g dit cen id vt fic tEET— g(gg J- 2e(gg- 1) -- (gg x (gg) fem tE* Z- (gé-E1) — 2(88-1)-1- (xg-F D) (ge-1) Ergo Ve s 2g -p 1) vel URS $ M * 54. Euoluamus primo . E griorem, folutionem vtpote fimpliciorem;, et ob 2- — E 'et p —-&8 E Memo mUMo Ee m is exaucid i —g; B-UcH—9, Cof E fip A-g; Ec JH UE e cz - cáf-45 ji D- 33* £ e E LAM x ; forent ergo duo* quadrata A" D inter fe aequalia — A- Dc A Uem ccu et pro jdn ' i) i 5p- eR ien et cC- Ce catho — erred ^ (JJ 43-13 quae radices per Cff3- 1) multiplicando ad. nume- rOS integros reuocatae fien A- D—a4f(f- DU d B-sf(f'-6f4- 1); | [o C-Gf-1)U* —6ff1) vnde — DIOPHANTENY M. 37 "nde fümto fzz » oritur haec folutio :. -7Acx8.8.55; D 22:8.3.55 B zz 4. 7$ C zzi 8. £u A—120; "Poe EQ st Bias d ene SE *J 35. E aequalitas duorum numerorum minus placet ;, euoluamus alteram - folutionem E: - Ee vnde fit xgcg' «1, Jc eg et ob p— £i erit 2 Agi BgMect-tE— cnp nt psp 2 et Brie»: MBA p eg feu & E --1 T SO x) B—sf(g--D-sg(f-wo. CET SEEDS M S id gel D-—2gíf-r2). deum T Yer dun, E" powUr prc p ema ad integros Udo A s, | ue A-comn(ff-- ) DE CPE RM pni bea. (f-0 —(f-» m "datos CIAR Hug pono. j D E ME dodo dii s DES. Hinc fumto f — » vt — Uu erunt quat&op quadratorum. neben 2 ji yjidiosewes nos dia 5e 9.5. m 89899009 . Bze, 322843 z- 639604 (Eg 920 33019 cs 931791 oDsag. s. cs Bas ónoe. LE. XVII. Nou.Comm. - | H 5G. 58 ^PROBLEMA' jc 56. Ob.hos. numeros tam grandes. problema eo .mag s;e(t: attentione dignum ; quamobrem. Oope- rae, pr-tium vicetur;, adhuc aliam eius. folutionem et particularem proponere. Poíitis igitur quatuor quadratis quaefits 9 v, v, y yy "xu ; primo -has duas tantum conditiones: confideto: ^ * CES Te ORT vod yrtzz2—ü et rrtyyppisoüa TW quibus xt fitisfaciam a "affuma: binos nümeros 4 et & vt fit 22-- adi — A Aj dcsfiatüg — 0 o QU--yy-- zz —5t t etr , Xxdyyadn-$5493 1753-8 vt vtrinque eadem. prodeat aequatio. [—A aa ( ny 8s) maa(ve- pri) e anA UE: DA D fiaiili modo pro binis reliquis conditionibus pono vr 31453591. 5C 2283 JJctUU-EXxli— cipes prrltete Wiper: insi ed A WERTUOASO y" S 2X prodibtque hinc 4... 2 o prid aa(vo--xx)— Ur ertie Siu : - quae. duae aequationes additae dant. Q11í aox-apy zi f hincque z TES RI Lj . . ^ m * * 4 qui valor in priori-fubflitüatur fietque^ .- ^ 4a4yy 4 XII acUU—adxx—càAvy-o feu aaxx(vo—y y) 2a Avxyy-- &evvyy—aay* et ax — ^»»»:x»v A Vis Sp aav" -2av-xd»vyj -adueyS aat) vv—)3 2 E Ir » YÁÉ 713 5 4 Irio2.40v1 HV X .cn 'quae TAM | indi0irtuüáitt * E ey DIO PHAN'TEYV M. $5 quae ob A'A — «à za abit in i ^ L^ — 1 !rreivrit* 14 t , L " -— ^ T «x -— vy V(advt-paays) Io) EIES MOIXO S Sffiffü POETS f*- aw Zi AÀ*5 (X e (O3 57. Ponatur v — y (x -- 5») et cum fiat - Y (aav --aay )—397Y (AA 4aar 6 UE "ER ) Ud haec radix — A E Iw PIU js SERE 35,5 "T * 6aa5. Pofads -—s * Eo af gae yu dau: : E ERLUBL kbps mda ig ios cmq di hincque $ — —— $10 3 t LM MRATOTS Quare MER JUS E ib. Tadix..illa, i^ mésgé - cvar (| — AA RA — a A ed a) (hà s aA sen (za A cbe ESAE s i p p TE E73 land tet iy 2 TOR Aii ' Euer baa 555.4 : Z3 de a d Ata m c ded e AS d AT TOMIPTYY ? Ay PRICE! E. " Porro ^ vago our Fera cesa (coti feng y muc i sep (a As DIUETTEVEICHEUITL x i UE 4€ MA 31313 pns UN 4 "wg | — 4A— ECT 4 (A (A* -- «a a AA «at D. EN . Wig e .. UARAA ftev A pL - y - -284 — vel A "ena Ec tetraib be $e CES GEN HTUTD 200) 44AAÀ AA 3 A* — 4 a* QOISQE me. f E $^ * P y wt mot Ey "C IE -— X. vel. 4€AA ; à CEERL | Itt. —ts Conífequenter habebimus - jügi EIRbEUD Oi:DTOT201HEl mi*otir vel Fabi AN LURAUN OON E s — sA*—aa* x [* ————- e ÀObs?O0ORER UL vel ; 77 44—:aa* —5044AA ee VP v Ta Á AAT eft 2. — àà— 322, es ob -*. T XORTUY.. CURA. 441 P IACA 744 204 1j Jo6 vévcbot -—^"$&5 An POP | H Qo x 58. éo —— ^PROBLEMXE 58. Duas igitur adepti fumus folutiones, qua- rum. prior ita fe habet : fumto.y c 2aaA v€—a(AA—2aa) : xxzbaaA J-2a4A &IG(AAÀ-244) | ut) , vnde fumendo. «.— 3, a -— 4 et A-— murs y prodit. fo- lutio fimpliciffima. 9-28; L5 120; y 2 120; & — o Altera autem. folutió: in. tumétis. integris dat 9 —A(AA-—2 aa) A Ads uA— WU Py 24A — 22a) x—224c0K&(3A!-—za2). J-28a4A(AA--2aA—22a2)(AA—2aA— sam) (CENA bos dMad -4«). Vnde fümtis o— 35, 4—4, À-—5 folutio ümplicifi- ma. emergit: U—47.97.253 Abk M | X-58.3.5.1551 —t 186120 —— W. (Jm 8.9. 5. 87.25, 7392120... 5... Rees loy Z-—3.7.1551 -— 832571 quorum: numerorum. quuin fuat ovV0-— 567773584 — &$X— 34640654400 JJ — 130428494409 . &2- 1060870041 DIOPFHANTEVM. -é Epi t" à reperiturque. i : Owi-«yy4«uazl-arATy9 ;vUXyJypEER2iC9805 UU-d XXJZ£Z--190445:; QUA-XX--yyz- 213628. at Vara nfocc ais I1201.1555297. | ! $9. Quo ratio: harum: fornrularum: clarius per- fpiciatut , notati conuenit effe :: osA- 4a *"——(AAx saA- 342) AA- -2aA-2 4d). ynde erit: . 9—a(AA—2aa)( A A4 &aK— nad) (KA sn A-—naa) Z— & (AA—2aa) (AA 2aA—2aa)( (A.A—2aA— 244) X—c2axA (AA4-5 a A—2 ax) (&A—2oN—2a2) Ji— zac A (AA 2a.A—2zaa) (AA—242A--2aa) ficque patet, numeros az et a: inter. fe. permutari, vt matura rei. poftulat. Quod facilius ex his formulis. perfpcieturz ^^ 7 07 07 [Se xev d w—a(ae—-am(3a -k6aama—d) | 07, x—a(aa- aa)(34 -:6aa ax—ay. | | | Qcc2aeA(3a "p 6aaua— a?) | | 4 2anA (3a ide Y | ET . Hinc eft in: genere PRERE uà QU-p Xxx yo (a irt "wer rrsmw-yaby. Xx-g- mmc a (a 41i 3aaa -- 11a "aw Tay c ^ wodyy422— Aa a Exe ryz aea 0s 99-FXX- ZX—AÀ' (a! — a; wk! 4-15 a € rat E i | Hs à 6s | PROBLEMA et fumma omnium xx-yy--zz--vo- A'(a "454a "^2 4 175a'a 4924 duos ee vcl aie ) quae in hos factores refoluitur : : j A' (a4* -- 6a a -- a )(a' --28a a 4-6a a agg a' ^ ka. .60. Neque. tamen, hae. formulae minimos nu- meros füppeditant ; fequenti enim , modo , minores re- SETUP Vt,formula aav -4-aay b fiat quadratum , fumtis fimilibus numeris à et &, vt Dt. x LT b b M L e— - A B dac flatuatur | ciem 1 avo— 8M ct ayyz bM, feu **—^7$. vt fat |... AA LU Lu A. «gy. ab? 25M £) rf 1 u - Y (a a v -4-aay)—BM-— e EST naim vbi neceffe eft, vt 7... fit quà uidfatum,- "Sit GE a € — I UT Tm T pais eritque XE: tum | -— Adapted Bn... cu — m et! EIE, —aón a (72 — 1) a 6n à ODE (Boll&m x —6bm-EaBn) Mu 3 "5 —an*y — óm(a6—ub' — Ld T Jam ponatur a—215 2.9204 A29 Ls 6— 12 .et B2 33; qum. 21 192—355 eritque 25 eds LU Locis oca vt DIOPHANTEV. 63 —3 et n— " vnde collieitur :. 25 .xX — 2g. 35.3 c 37 76215 1 s(20 - 37) - 71 y -— d ms "T — * eR "4 r kc e A) L.] ne pt HE UE . L Pro figno fi bé eriori ergo erit vnde in integris $8.97 —168 12723. 5.7 — 105! Y (ex 4- yy 4-22) — 305 j Y(vv4yy4d-22—332 04 2—8.5.72:285| V(vv xx4-22)— 207 2449 5— 60 Y (vo xx4cy)y)—343. 4i FTN (QUAE XIdJJ ERI 121249 — 29.37. TI — .autem. formulae. generales funt ; swrafe Cf aGf- 2Gftrzsg cues Yd es AI SBREXER,, BR - Ufa) (9/28) Kad sé - irs rd iHi é A -éBe. "Uu uibs wd K. E "y - fon 251t0€ Irem rt i2 | 0 I nid HITOUO —, | » ?LJTLD " LI atr sn Tis GTODGDRUUSG Sat Co 14 Ud snpsouoka foin) oup: uq ; "(1B11I-732 uugidieatq: ne. julibb pr Sol T 1 ; "dInosip ! OP- ép (gh PRECOR ge OBSERVATIONES. CIRCA BINA BIOVADRATA QVORVM SVMMAM IN DVO ALIA BIQVA- DRATA RESOLVERE LICEAT. ^ ^. Auctore 1 L EFLERO. x. i eee demonftratum (it , neque fummam — neque differentiam duorum biqnadratorum , quadra- tum effe poffe , multo minus biquadratum 'effe po terit ; haud mipori autem fiducia negari foler, fum- mam trium adeo biquadratorum ynguam biqüadra- tum effe poffe , etiamfi hoc nusquam demonftratum reperiatur. Vtrum autem quatuor biquadrata reperi- re liceat, quorum íumema fit biquadratum; merito dubitamus, quum a nemine adhuc talia biquadrata fint exhibita. | : 2. . Quamuis autem demonftrari poffet, non dari terna biquadrata, quorum fumma quoque fit biquadratum ; id tamen meutiquam ad differentias extendere liceret, neque enim propterea affrmari poffet, talem aequationem A*' -i- B' — C' — D* effe impofüibilem ; obferuaui enim hanc aequationem adeo infinitis modis refolui poffe. Neque tamen affeuerare aufim , hoc a nemine, adhuc effe praeftitum et.nunc — quidem me" OBSERVATIONES CIRCA BIQVADRATA. 65 quidem minime vacat, omnia monumenta in hoc Analyfis genere euoluere ; quicquid autem fit, fpe- ro, methodum, qua füm vfürus, non omni attentione fore indignam. Manifeftum aütem eft; hanc quaeftio- nem verfari circa bina biquadratorum paria, quorum fiuc fummae fiue differentiae inter fe fint aequales, fi enim fuerit A'--.D' — C'-i- D'; vtique etiam ert A' — D'- C — B ; xnde hoc Problema. nobis fit HE aedes | Prob ema. | Inuenire bina biquadrata A* et B',quorum fum- mam in alia duo. biquadrata refoluere. liceat ,. ita «t babeatur "a aequalitas A -A- D' C'-- D*. : Solutio. 5. Quum igitur hinc effe debeat A TBZIC-D, ponamus | A-brgG D—2?- 94; C—r-Es et B—r-s Nt prodeat ifia aequatio concinnior cpu(pp2a-agrs(rra 53) cui quidem fatisfieri liquet, fumendo r— 5 et $-4, verum inde nihil plane incraremur , quum »riatur cafus per fc obvius C — A et B — D, in- terim tamen hic, ipfe cafus En ap folutiones ma- nuducere valet. 4. Iam füatuamus : hagejei q—by; Kcu x er | Tom. XVII, Nou.Comm. ; bin vt 68; — OBSERVATIONES vt obtineat ifta aequatio refoluenda ab(auaxs--bbyy) —kkzz-Fyy) — B —anb vnde. ftatim. deducimus 2? — 5—9^P i quam ergo fractionem quadratum reddi oportet, Hic autém flatim in oculos incurrit caíus , quo hoc vfu: venit , fcilicet fumendo Ee eb, tum enim fit. 9 y. —— a b(bboi).— xx ab(bb—i) 44, vnde fieret jieui x-z xz hipceque p —a, Q— ab, r-—ab, s-—a, qui valores HORE ipfum illum. cafum per fe eds 5. Hunc igitur cafüm profequentes,. flatuamus; k — a b (x -- 2); et. aequatio, noftra. transfundetur in. hanc formam. y3 — a3B((bb acaban? abbat) --aa (bbs sb isa Bat) zx ab(ob —i—z) NM TomenE--9 cunc atque ex hac aequatione: elicimus: 2 CEEN — a V (bb 1) -4- (sbb—1(05—1:) z 4- sbb: E DLE CAL UUPCE Ü€—i — 2. Qu igitur formulam :; (bb-x JM(bb- 3)(5bb- x)e4- Pila er BHO Ades -bbzt ad quadratum. perducamus ;, ftatnamus, ejus. radicem; —- bb—zi--fz--gzsz ; et litteras f et g ita affumamus, vt terni termini priores deftruantur, quare quum huius. formae h sed dratum fit: (bb —1)--2(bb - 1) fs- 2 (bb - guo fas gen Aff. primi. CIRCA BIQVADRATA. 67 primi quidem termini fe fponte deftruunt , vt autem idem in fecundis eueniat, fumi debet , Í fs atque pro tertiis habebimus 3bb(bb—2)— 2(bb— 1)g-c:b— em, vnde colligitur — 3b* 18$ bb Ec s(bà—1:) — ? quibus valoribus definitis , aequatio refoluenda fit (gg b0)u—b b (bb — du 2f&g .Ynde colligimus "o g-bàbbb—i)—cfg az uTT BbeRasiilho 6. Hinc igitur littera 5 adhuc arbitrio | noftro permittitur; ea igitur pro lubitu. affumta, fimul at- .que hinc quantitatem, z. determinauerimus , ftatim "habebimus IN x-cbb—ri-z et J — -a(bb— 1 fz--gzz) | hincque porro p—a(bb—1-s r—ab(x 4 (bb —1-—2) q—ab(bb—1-rFfzgsz)s— a(bb—1-4fz-gzz) quae formulae quum omnes fint per a diuifibiles , eam diuifione tollere licebit, ita vt fit pc—bb—r-8) 0 r—b(1--z(bb--1—2) (q—b(bb—x1-E-fadgnz) s—bb—1-fz-M-gzz wbi notandum , fi numeri x et y communem habue- rint fadorem, eum diuifione ante tolli poffé, quam €— A I 2 litterae 27 '€e& ^ OBSERVATIONES ^ litterae p, 4, r, 5 inde defniuntur. Operae igitur pretium erit, folutiones quasdam: fpeciales cuoluere ; at vero flatim apparet, íümi nom poffé b — rz, quia fieret g — c» ; multo vero. minus ponere licet b — o, quia fieret 4 — 0; ex quo cafus expediamuüs. duos tantum , primo fcilicet /—2, tum vero ó- 3 : P Solutio Specialis. 7. Sit & — 2 ac fuperiores valores colliguntur;, vt fequitur z ; Wy dec dna cue i) € iu» deinde quia littera « plane. non: in computum ingre- ditur , eius loco vnitas fcribatur , tum vero erit , . 6600. — 21g II. 6600 25 66097? X — Sc 3929 —— 392 5 J — S 3 H a.* 3949. ^ 345-8939? —— | 3 ] $5407. 1100: — 3. 2889454 : 2929? 29297 totum. autem negotium redit ad rationem inter ax et y, quae quum fit 3. ——. 32880194] — 28594941. —-. 3210519. .— 1070183: T 418702929 ^ 2929» 729. 2929..84. " .— 274.2929. 2 habebimus - X 2-739083 . et y — pioria " tum igitur ob v k—2(r-4-2)— £2 cz zs ee "n keen fore 2—79083 ; | 12:27.1905.8—5 14:5 66. 4—2.1070183—21409366 | $— 1070. 185. Conféquenter pro ipfis radicibus PA deep nan- ia d hi A—5 CIRCA BIQVADRATA. €g —A-—--4—2219449; C— 1584749 (Bcr—52-555617; D — 2061283 eritque propterea. A" -- B' — C'-r- D. II^ Solutio Specialis. 2 mti —3 Md da 13 sls. nne $39 idegque-* : B2: SUD Mo ens d Inge E porro qÍlÍeut I ue 9 et 169 169 169 169 69 169 — i oo 9 — 84-8; (13-1 $ 85) — 8-4 s e om tree ficque erit : X1y-8.1I44.169:8. D50911 — 144. 169:1509rx ideoque - | H | ! ? Xx — 144. 169 — 24336 et yi 509rr eX quibus valoribus confequimur | f —. 243855; f — 159408 — 144. 1105 44254527385 $— 150911. | Atque hinc ipae litterae A, B, C; D: ore dia | UA 477069; € -— 810319 | íigB- o 8497; D 428397 eritque iterum A'-1- B —C'-4-D' , atque hi nume- xi videntur minimi quaeftioni noftrae fatisfacientes, ls DE 79. po mE Go) n DE VARIIS INTEGRABILIT ATIS GENERIBVS A uc tore L EVLER OQ. 1 i a : , i quantitas variabilis ? abfolute fpectetur et quae- ratur, quomodo quantitatem V — comparatam effe oporteat ,. vt: formula ' V 2 p- fiat iátegrabilis ; tunc nullum eft dubium , quin iítfa quantitas. V. de- beat effi functio quaepiam .ipfius f. Vocabulum enim integrabilitatis ita hic fenfu latiffimo accipio, vt quaecunque functio ipfius f fücrit V, formulam V 4 f, femper: integrabilem. effe dicam , nihilque. interfit , fiue eius integrale algébraice ue pér logarithmos , fiue per arcus circulares j. fiue- per :quascunque- altio- res quantitates tranfcendentes, .exprimatur., quando- quidem formulam. integralem.. [V dp,, femper per quadraturam cuiuspiam. curuae. exhibere Jig» 2i. - 7$ Longe aliter aütém fe fes habet, Ain quantitas 5 certa quadam ratione ad alias quantita- tes variabiles refertur, tum enim praeter functiones ipfius $ quantitati illi V, etiam alios valores tri- buere licet , quibus formula V 4$- integrabilis red- ditur. Veluti fi p ita isd binas coordinatas x et y a rcfe- VARIA GENERA INTEGRABILITATIS. ji referatur , vt fit dyz -pdz fiue 9 — an , tüm lo- co V. etiam fumi poterit. Xy quoniam. (UE afi xdp reuera eft integrabilis P quum enim. fit JKfxdpzpx—[pdx. » ob fpdx y. ert vtique . fxdp—px -y 3. Quin, etiam idem locum habet in ipfis: diff.rentiabbus. primitiuis d x et dy; vt enim for- mula. V 4 x. fit integrábilis, hoc. non. folum: vfu: ves nit, íi fucrit V fundio. quaecunque. ipfius x; fed. etiam. cafü, quo: V — f, quum fit fpdx-y, fimili modo, vt formula fV d/y fiat. integrabilis , loco. V. non; folum; fun&io: gusectéue- ser e "a acci- pi di » fed: etiami cafu. V — 5 , fit f X.. 4. Quo liaec: generalius. Bored vocemus: cete V. multiplicatorem , per quem. quaepiam formnla. differentialis. reddatur integrabilis ,, vnde. ex praemiffis patet, fi formula differentialis füerit vel 4 p. veli Z x. vel. d y, tum multiplicatorem. effe vel. Va vel. V — p, vel: V — 5, ! 5.. Quantumuis; liaec. facilis et: obuia: videan- tur; tamen. faepenumero; inueftigatio: huiusmodi.mul- tiplicatorum: maxime: ardua. deprehenditur, et: quod. eius. víüum: maxime: commendat ;, faepius. hoc. mo-. - do: aequationes; differentiales,, tam: fecundi ,; quam altiorum: graduum ,, fatis commode: refeluete licet ,, adi quas: absque: his, fubfidii» vix: alius: aditus. patere: | Xideatur:. Saepius. ' enim; iami notaui,, praecipuüm. nego-- q4a. 57,7; VARIA . GENERA *4 « i a IA IA dt negotium in aequationibus diferentislibus integran- dis ad inuentionem idoneorum multiplicatorum re- duci, ex quo inueftigatio huiusmodi multiplicato- rum fine dubio maximi momenti cenferi debet. 6. Haec accuratius perfcrutandi- occáfionem mi- hi dedit haec quaeftio, qua linea curva inter bi- nas coordinatas y et y contenta quaeritur , cuius radius ofculi.aequalis fit futurus. lineae. rectae , Y (xx4-5»5, j34 quum enim' pofito 2 y 9 da x üt. radius bg L4ÓG-bpp) baec habetur aequatio refoluenda uL AP iu eod ' ut 2ghünisian Dt 1 fh ton dk Y(xx--99) itofoti i cuius vtrumque membrum non fine »dmiratione integrabile fieri deprehendi , ope multiplicatoris 4 --pj,tum enim, pro pofteriori membro fit dA PY) pia d ty : YxkA-yy) — Y (xx4-221 euius integrale eft V (v x a7 y y) pro priori vero membro, res non adeo ef iu feta , pofito autem J—pxe&d9, vt fiat buie ey Lido Meoque ads habebimus d) (199) dp gpdp-s(- ppp epdp-det 1p) vpdp ità INTEGRABILITATIS. "78 Éta vt ptius membrum fiat Co d9(xa-pp)y--vpdp (x 4a- P p» euius feel manifefto eft — Px— ed UAEEETS DT EREOT YG PP) ficque. t tota aequatio integralis erit Y (&z-pyj)-- Cm... 7. Haec igitur perpendens , non amplius du- bitaui , quin omnes huiusmodi formulae differentia- les duplicem admittant multiplicatorem , ita vt, fi talis formula iam per fe fit integrabilis , quae in genere fit Z v, praeter multiplicatores naturales, qui funt fünctiones ipfius v , etiam dentur multiplicato- -xes alius indolis, qui non fint functiones ipfius v, quemadmodum in exemplis allatis fieri vidimus. ^58. Statim autem ac vnus quispiam multipli- cator fuerit cognitus, ex eo mox infinitos alios mul- 'tiplicatores concludere licet ; ita quum. formulae d x multiplicator fit 5, et fpdx—y, tum. functio .quaecunque ipfius y, quae fit Y, per f$ multiplicata, dabit etiam multiplicatorem idoneum, nam .Z x mul- tiplicatum in. Y ? dat Y d y, quod manife(to eft in- tegrabile. Deindefi X denotet functionem iiim. que ipfius x, formula dy multiplicatorem habebit € tum enim prodit: UM IXdx o Similimodo MN fit ui (o £*4dp cr), «m 9uist * ; "Tom, XVII. Nou. Comm. K f "4. . NARIA GENERA fi V denotet fun&ionem quamcunque formulae f$ «s tum V x erit multiplicator ipfius 4p, quidem erit Vxdp-—V.d(px—-p huiusmodi 2utem multiplicatores , qui "hoc modo e ex vno quodam multiplicatore | cognito concluduntur , omnes eiusdem geueris füot ceníendi, vnde. fimpli- cdifimum «orum in. quouis. genere primitiuum ap- pellabo, quippe quo Ex esf reliqui omnes inno- tefcunt. 9. lta fi ia genere propofit fit. huiusmodi formula differentialis , Pdp--Q4x má R4 y i cg vbi P, Q, R fint functiones quaecunque cium X, 7 et p, quae integrabilis reddatur ope multiplica- toris M, fequenti modo omnes reliqui multiplicato- ges eiusdem generis inueniri poterunt, .. Ponatur M(P4p--Q4x--R4y)—d4v,. ita vt do fit verum differentiale , ac denotet 'V funcionem quamcunque ipfius v, manifeftumque erit, multiphcatorem. quoque fore Hi M; fi esu us habebitur .VM(P4p--Qdz4-R4dy)— Vdv, n | quie formula per hypothefin eft integrabilis. F . 10. Simili modo, fi pro cadem formula pro* pofita ; a M— 'adhuc INTEGRABILITATIS. 45 adhuc alius multiplicator primitiuus IN füerit. réper- tus; tum ex ceo etiam infiniti alii eiusjem generis erui poterunt, ita vt hoc modo duae inueniantur formulae generales, pro multiplicatoribus formulae -differentialis propofitae, Hinc ergo ifta quaeftio maxi- mi momenti nafcitur, quam fceorfim propos ope- 43e xen erit. | ie blema. | Si formula (x Ir eio dig 43 integrabilis fiat tam per multiplicatorem M, quiam per alium diuerfae naturae N, inuenire expreffio- nem generalem , quae omnes plane multiplicatores pofübiles eiusdem formulae in fe complectatur, Quum M et N fint multiplicatores , ponamus M(Pd4p--Q4x--R4y)—4v - et N(P4p--Q4x--Rdy—du eruntque quantitates 9 et 4 cognitae fünctiones, iam dénotet z fünc&ionem quamcunque binarum harum variabilium 9 et 4, cuius differentiale propterea hue iusmodi formam habebit: dz-cSdvo--Tdu vbi fün&iones S et T ex fun&ione z erunt cognie ind , hac forma jam inuenta, dico exprefüonem ges - : K 2 neralem; 26 ^! VARIA GENERA neralem', omnes plane multiplicatores in fe com^. ple&entem , fore : eUSM-ETNS tum enim habebitur : | "d (S M - T N)(P4p t Qdz-- R dy)-Sdv-- T du— dz, cuius integrale per hypothefin eft z, vbi pro z fuu- &io quaecunque binarum. variabilium z£ et & pro lu- bitu fumi poteft. 11. Vt hoc exemplo illuftremus , fit propofi- ta formula d$, cuius duo multiplicatores conftaat M 3 et. IN —ix, binc, ergo. fit dp-—4v etxdp-du, ideoque Q-—pocetu-—px-—)y, quare .fi. z denotet functionem quamcunque harum duarum variabilium v et u, fitque dz—Sdv--T4nu, multiplicator vniuerfalis erit S -1- T x. 12. Circa hanc. formulam obferuandum .eft , non abíolute neceffarium effe, vt valores Bison S et T ex certd quadam fünctione z deriuentur. Dummodo enim pro litteris S et T eiusmodi | fun-; &iones ipfarum * et z capiantur, vt fit (22) 2 (Z5 tüm enim femper formula S M -- T N erit multi- plicator idoneus formulae diff rentialis | Pdp--Qdx--Rdy;- 4 et producti integrale etit. ipfa functio illa £z, quam ex Minnie S et T facile innenire licet, ET 13. INTEGRABILITATIS. "E 21$. Quod autem | ifta formula SM--TN omnts plane multiplicatores formulae diffcrentialis propofitae in fe comple&atur, ratio in eo eft fita , quod (femper duo tantum eiusmodi multiplicatores primitiui M et N exhiberi queant, qui a fíe in- vicem non pendeant; fi enim plures eiusmodi mul- tiplicatores locum haberent ; tum forma iftra vtique non forct generalis , fed alia multo generalior exhi- beri poffét; ratio autem, cur duo tantum huiusmodi multiplicatores locum inueniant, in eo eft quaeren- da , quod inter ternas noftras variabiles X,J et p vnica detur relatio , fcilicet ? — 42, fi enim vlte- rius progredi et infuper litteram 4 introducere veli- mus, vt fit : dp-—qdx, fiue q— $5 quaelibet formula differentialis tres adeo multiplica- tores admitteret ,' quemadmodum «ex forma fimpli- cifima 74 manifflum eft, quae primum ipfa eft integrabilis, feu multiplicator — — 1, fecundus mul- tiplicator eft y, quoniam f[»4d4—4J-—/4dy at Jade fpei dct vnde fit [ydq —4y —t?, | tertius vero multiplicator eft x, quum fit Jdxdqcxq—p, ex quo fatis patet his cafibus tria integrabilitatis &e mera locum habere. : | | | FX " K 35 | | I4. 7$ VARIA GENERA r4. Contemplemur autem hic tantum ternas. variabiles x, y et p, exiftente ? — 22, et quo cla- rius appareat, femper duos multiplicatores primiti- vos locum habcre , varios cafus fimpliciores in mé- dium afferàmus; quibus hos duos multiplicatores , fiae diuinando , fiue quocunque alio modo , reperire licuit, quos cafus fequenti modo adiungamus, Il. «x dp-r- Bpdx. 15 Haec formula primo per fe eft integtabi- lis ; quum eius integrale fit e(px-Jy)--gJ jta vt mu'!tiplicator primus fit — x. Alter malti- plicator erit 9^—'39—'; tum enim integrale fit f*25. Pro multiplicatore igitur vniuerfali inuenien- do erit ex 6. 1o. Ms xost Nui: 825i vza(pz—))--Bymapszac (8-2) ét a c ptu, quare fi fuerit dZ-—Sdeo--Td4mu, multiplicator generalis erit 8; SORT yon in) 16. Vnico autem cafu, quo a — x et G — r, haec folutio fit incongrua , quippe quo ambo mul- tiplicatores non amplius erunt diuerfi, vterque enim fieret z- 1r, hocque incommodum etiam víü venit, quotics G — a, tum enim prius integrale eft «x " -. et INTEGRABILITATIS. 79 et alter rhultiplicator p*—'49—'* eius foret poteftas, neque propterea a priori multiplicatore differret , quod quidem per fe euidens eft, quum : totum nego- tium a ratione inter « ct pendeat , quare hic no- va quaeftio oritur, num cafu. 9 — « exhiberi queat alius multiplicator , et quomodo futurus fit expres- fus , quem cafum feorfim euoluamus, ll. x 2p -- pd x. (17. Circa priorem multiplicatorem — x hic nulía eft difficultas, quum integrale fit p x, alter vero multiplicator , non tam facile fe offert , re au- tem diligentius perpenfa, multiplicator íe obtulit , z-Lx,erit enim f(rdp--pdx)LxcpuLs—y, uU autem modo alius colligitur multiplicator fiet enim integrale x -/R-—iTLbr, neque «24 hic Vhlsiplicafl tertius a duobus prio- ribus difcrepat , quum enim eX prioribus fit ,"nMszrz, pc—pX et [NN — Lo eti uzprxLaomy, manifelum eft, tertium integrale effe füncionem ipfius 4 et v, quum fit u — EXT E A LÉIÉLx nm | T Ex hoc igitur exemplo intelligitur , faepenumero plu- res multiplicatores diuerfos videri poffe, quum ta- men, ad dnos reduci queant , ad quod diiudicandum tantum €x binis multiplicatoribus eliciantur litterae e v ct 4 *: er ? $6 - VARIA GENERA € et 4, ex quibus femper reliqua integralia, quot- cunque fuerint inuenta , componi reperientur, Ill. a. y dp 2- B ? d y. 18. Hic iterum vnus multiplicator - fponte fe offert, fcilicet 9*—' jP—' , cui refpondet integrale 1*5? fiue quod eodem redit, fuümto multiplicatore ect erit integrale —alp--gly-—Lp y, quod quum fit illius logarithmus , etiam a priore diffcrre non eft cenfendum ; alter pog t E probe perpenf colligitur x p ya , incen enim erit spys —- (925m, tum etiam quafi fponte fe prodit multiplicator Ep erit enim aydp— dy, fady——. a» pày—p8»—x ISTA TI pteteafeg re vnde totum integrale erit - L—7-rG-Bx, hoc sli iam in duobus praecedentibus continetur, erit enim ! .J M-cg*-—ufP—' eaevecpP,NIxpy p | B--« 2» nde diuicendo « per p '"ubWgitenb Lupe a-g^ arg , oritur integrale (a B) — 2. Haec INTEGRABILITATIS. — $i Haec autem redu&io non fuccedit , cafü quo Qz- & quem cafum feorfim eüóoluamus. dV.»dp—pády. 19. Cum hoc cafü fit &—- 4 ét "Bex x, erit prior multiplicator 33" praeterea. vero colligitur multiplicator E ; tum enim erit niis Uo psp ds — "" NEL RUN s ode Ad haec enim formula differentiata praebet ROSpLPU) Bitecdr — r. dypx — f? obdyzpds prr te » LA quum ATM habeamus duos traTphicatens . alte- rum M — ;-, et alterum N — — $ , vnde fit . vl et ultk -Ly &z vaduidd Tundtionem quamcunque binarum quan- titatum 9 et u, erit multiplicator generalis — EAD dz MD -ENGI 35 y5 (Lu V. VE TE xdx. C 2o. Primo haec formula ipli per fe eft inte- grabilis , ita vt fit | M-zzeto—i(pp--xax), tum vero alius multiplicator deprehenditur arcus cuius tángens eft 2 -—5N, tum enim erit f (p dp xd) A. tang. - — 1 (pp xx) A. tang. *. —f (pp x x). A. tang, - — ;(pp-- x) A. tang. 7 ju cfi(pdx-xdp) j — "Tem.XVII. Nou. Comm. L at $j» VARIA. GENERA at eft. fitpdx— DES vnde integrale quaefitum erit s(pp-- x x) A. ung. 2 —J -t- ed 21. Ex his exemplis abunde patet, inuentio- nem huiusmodi multiplicatorum — neutiquam . effe obuiam , fed fíaepenumero admodum effe abícondi- tam , quia etiam euenire poteft ,, vt vires analyfeos plane fuperet.- Interim tamen methodum quandam hic aperiam , ad hoc inftitutum. accommodatam, cu- ius ope plurimis cafibus tales multiplicatores inue-- nire licet, 22. Quum ratio duplicis multiplicatoris in eo lateat , quod huiusmodi formulae differendales fint fecundi gradus, vnde fit, vt vterque multiplicator vnam tautum quafi integrationem inuoluat , ideo- que duplex integratio etiam duplicem. multiplicato- rem requirat, hinc viciffim,, ambos multiplicatores reperire licebit, fi vtramque ihtegrátionem abfolua- mus. Quemadmodum igitur hac! methodo. vti ens teat, in fequentibus exemplis docebimus. | Exemplum. I. ME ux 25. Propofita formula differeditiali, xd5- pda, eius. vtrumque multiplicatorem inuenire. — Quum haec formula per fe m" iR Us d , ideoque. M-c:1 ponatur ^ 5 NE 2494 pds du gei Galle CAT: ficque INTEGRABILITATIS $3 ficque vna integratio e(t abíoluta, pro altera vero quum fit 5—7. , per dx multiplicando ob pZx—dy habebimus 4,y — ?2*, vnde integrando elicimus ycoLx—/doLx,idcoque fdvLx—voLz—y— bxLx—y, vnde intelligimus ! formulam doL:x effe integrabi- lem, fiquidem eius integrale e(t » x L x —y , quare uum 4 denotet ipíam formulam noftram propo- tam , xdp-- px, patet eius multiplicatorem, p M 24. Bote modo etiam alios multiplitdtórcs reperire licet, quum enim fit cud x diy — d a dy -— ux erit etiam —5- — 57 ,. bs. integrando ydo... doct cem dd $. a-/A75 —Lx, ergo f/27? -Lle-LmLa zu integrabilis erzo eft formula yd dwy. feu a —— "vU ficque muirigHiseos erit du - vo re Mies y. xx? quem ergo loco .N adünitre: licet, vnde ,- quum fit ^$—px eta- Lx—iz jo .dop»d .fi Z. denotet functionem quamcunque ipari. 9 etu eiit multiplicator generalis. j aq obav dz 42z | vem Cart ia v Jj xx Ben ? 6L q URN mon L » veluti 84 VARIA GENERAR — veliti. & füeric A — mde iezitio óis9oof? cerno? (LEy- aw et E v, vnde. oritut hic multiplicator :: ! piu. Wu yr Wu r- uc pzzU— Lx—gy pod r qui eft multiplicator priori loco- inuentus. Exemplum 2. 25. Propo(ita formula diffrentiali «xd pb * Bp4x, eius. ambos multiplicatores inuenire. Quum haec formula. iam. per fe fit integrabilis, erit Mcr er pofito ;z: esed T á e Xdp-i1-(.pdx--do etit v—epx-4-(j—a)y. vnde: colligitur a wir s quae per Z x multiplicata: praebet ,. dy-—pdz—tTT--tzücair, hincque: dz dre &dy : Hie & 7 v--(a—g»y»* integrando igitur obtinebimus. di CIN S, Luxzcit4Lo--(«-)y Cy vite ficque. erit: | AS. dv ^| Tuc —4Lbe-o-(4-9y-(r-kxo vnde patet,, formulae: noftrae d 9: multiplicatosem fore. ai- [4 — U-la—B»- pz? é vti INTEGRABILITATIS. $5 vti per fe eft manifeftum ,. tum: enim. ittegralé erit eLp--QLx ji Exemplum: 3. 26. Propofitr formulm »4f- xd x, eius ambos: multiplicatores inuenire. Hic iterum; primis multiplicator. et M. — r et pofito: pdpo-xdx — dw erit Pp2-xrx-. z v , hinc p—Y(aa—zxix) et per dx multiplicando: i dy—pdx-—ádxV(zv—rx), ponatur tantisper. 2 € — J£. ',. fietque. (mix. V (rs — xx) £3. Arc, fig. f.— /- LI -k- 5s. Arc. fin.8. — ETT pci dpt tini a E] ys —zx x): plu de £f d s. Arc. (in, & y j 3 e ideoque ^ : [sds. A. fin. fas -is usas] fin.2—y2 *& ji hi X iprss A crt es UJ» at € (i1 fos ovde ^ ] ; :sdscpdp--xdx, - htc $Wx (n4 vnde: patet, noftrae: formulae: mvtlgtiatorem efíe Ar; fin. "Pv rm fiue: Arc.. tang. $t - endotitimm 27: Haec autem operatio: nimis p molefta , "Jed vc ed, in. formulis: magi& complicatis, vti M - 5 3: n quea- $6. UOYARIACGENERA 75 queamus ; quare eam íequenti modo-aciliorem red- dere conemur. Quum inuenerimus: : dy-—adxVí(ss—xx), flataamus hic x sz. fitque 5x — 85d x Vx 82 cetur cad quae per 5s diuifa dat Iber 23 —z V ése BC eri et lisse ig. d- 2f? — fds. vt — zz) TIS Yd: » v» peg gp e a iae f4zV(r—zz) Ka s abfolute datur, quum fit certa: quaedam functio ipfius X — —-, poftremum autem membrum 'rcftituto pro z valore e. ,abit in - i X nj) d (f5—x 3». P. xdv iab vnde binis integralibus per " affectis coniungendis t — d*(ay—x Y(r s f— a3)— fas Lia ex ids patet, formulae nofirae T Bdp-I-xdxzsds — 4... Cosas a mo lipligetgrst effe . | "27. "nw z2y— zY(er—ae)s Ti da ob $1—5p-- x3, xi diii: trans» INTEGRABILITATIS. s "t m 2*—?* . qui T transmutatur in hamc formam TYEWT AE fi po. natur — M , erit 2 —- fds V(1— NU — Busty oder uz [da V (x—z2)— sPprz CXiflente z— pie atque hinc soul fbepeore din een facile elicere licet. 28. Hinc patet, fi formula propofita fit apdp --8xdx, quo cafü iterum et M — 1 et — gb yx, 2 2 ^ alterum -multiplicatorem repertum iri - N-— 2y —xp — (aph--Bxxy tum enim integrale hiac natum erit NS rcp d aped —fB822. exiflente. - 3 DA ut EE rry r2). | Exemplum ' 4. 29. Propofita formula Aus spiri : Po 'dpb--Qa"—'dx, t: eius multiplicatores inuenire. Quum alter multipli- cator iterum fit cognitus, «s —1, pofita nofira formula — du, erit P-—-82x"—nmo 15 ge BE TC a Poeni 7 «PP--BAa ? vnde fit » : p—(rv- -gsj, hincque (dyzpizckds(no-Quy, P | "um $8: 21 VARIA GENERA Y ftatuafüur nunc —- NOCENNTTENTIEIS "v -—;", fitque X —:5:z, habebimus ! age. d X ORLENEN quae per 5 s diuifa, dat edi IS Ea enint -8zf., hinc integrando j a 1 x 2 ÓE/AXU um fda(1 -grjagui -zy, vbi Ke dh penultimum eft determinatum, qu pe certa quaedam. fun&io ipfius ur ipeh i cg es z—E—qeenr * 5 . A m ; à vltimüm vero membrum , fi in eo d abit in tí M 1 [5E gx, atque ob (6-Brf-p erit T BET 1 IHE gads (s^ — gp —[reas E ) Ec ERR quibus fubftitutis fiet | [3 ay-px)—fdz(1— e eR Quum autem fit s — (n o , erit ds — (nof "dv et 5 — X ex INTEGRABILITATIS. 98 ex quo primum membrum -fiet : d goi» -px»s (1v) m cuius integrale quum iam fit inuentum , patet for- - mulae propofitae Z v jii qd effe to 78A M- 2j 2y—p x nep * oqugrpt Exemplum s. $0. Propofita formula differentiali : P; 'dp-a-Qx 'd4dx-de, eius multiplicatorem alterum inuenire. Quum hinc fit qoa 4- & gi erit LJ pz- (mo — 5. ^y et dy-pdx- dx(mu-*f. x x" ponatur hic iterum qJv-—34" et x—52, erit "- 2 E dy —(rdzzds)sm(ry—28. 27)", mon * quae diuifa per 5 7 , praebet dy : | À olmuacdsa-—5ay--LtDG-Tecp, £m hinc integrando m--n yds | VE def uum eaxc [de(1— f. jy T/ 40m 5 Pi €f 5E (a —28.2, ;;; Tom. XVII. Nou. Comm. MT Ybi $69 — VARIA GENERA vbi membrum penultimum eft functio cognita ipfius 2, vltimum autem 1ubftituto loco z valore — , abit in T? xds od pxds WEIT i —t*8 vy —fii QLií £2 | quare hinc colligimus ds ng J saei e M B3) Jem an ane, $ sr quum autem fit fg s — (moy erir ds—im de d$ E dv et uwcrkecde eR1nn SLM 4$ E cu 9j nn gypmmn:- eX quo colligitur formulae noftrae ridpdcis: multi- plica'orem effe T" uw qe du p. ee dis ret d AN vmi Qnae Pues co 51. Hac&enus eiusmodi formulas fümus con- templati, quae cum per fe funt integrabiles, tum vero doas tactum variabiles p et x contineant; fimi- li adtem. modo iftas formulas tractare licebit, quae tan- tum has duas variabiles 5 et y inuoluant, vbi qui- dem affumimus, has forinulas per fe effe integtabiles. Exemplum 6. Propofita formula : P714p-d- B7 dpdv, * cius INTEGRABILITATIS. 91 eius alterum multiplicatorem inuefligare. — Primum integrando colligimus m.— up - e y , vnde fit p me-? y d pet Ln et dy—pdx-—dx(no—75 yy ideoque d g ocjeu Ji PRA (m o - 5? v ftatuatur iam hie: "n y 4" et yz, wt obti- ncamus y405^545 --zds sm(1 -—nf 8. gy quae aequatio diüits per ;?—* dat dx, dz. zds m—n-— bifidis ci AU "m: (1-2 . ann s(x di -haec aequatio. fimili. modo vt füpra integratur, et ex penultimo. membro iterum nafcitur functio dcter- minata ipfius z; fi in merribro poftremo loco 2 ipfius valorem 2- oiii: j p » X m—n xds o, qdes mta im-&— fim. 9 Jo $ vat gy 57a M 5 ex 9? : ^ VARIA/GENERA :;' ex his igitur colligimus d $ i dz UE aeui [zx 1-3 4-1) —/[ . ey E wereTtiyecs Up m l'as € gy ^ ACTA 1 A. ST quum nunc fit $ — (zm v^, erit dsz i.m" | dv, hinc. d$ Y I zie I X 1 Li Q RUN n g^ ng" mn. vnde concludimus formulae noftrae propofitae multi- plicatorem fore GrETES. QCIESDE n mdi 14m pp t v (5p T5, oe 32. Etü haec exempla iam fatis late patere videntur; tamen, fi res ipía fpectetur, ea etiam nunc funt vehementer, particularia , fiquidem pro v for- mula binomialis vtroque cafu prodit, in exemplo penultimo litteras f et x, in vliimo vero f ct y inuoluens , atque hinc vix liquet , quomodo opera- tiones THU oporteat , íi plures termini in valo- ^re ipfius v occurrant. Interim tamen fequenti: mo- - do ia: TEM multo sniee we reddi. — Prgbie$q a: .' Si €, eiusmodi fuerit. fun&io quantitatum ? et x, vt ea pofito p- xq, induit^ hanc formam X Q, ita vt Q tantum fit functio ipfius q, tum propo- INTEGRABILITATIS. $3 propofia formula differentiali 2 €) eius alternm - multijlicaturem inuenire. Solutio. Pofito vt ante. (1) — 4o, vt fit v— Q, ponatur p — 3^4 éritque per hypothéfin e — x" Q, VL. hiac Q— a4» Runc flatuatur porro x" — 7, vt fiat Q —z, iam quotcunque dimenfiones ipfius q in funcione Q contineantur , etiamfi refolutio iftius aequationis vires analyfeos fuperet, tamen certum eft, inde valorem radicis 4g per certam. quandam fun- (tionem ipfius z, quae fit Z, expreffüum iri, ita vt fit 4— Z, hinc pe Zut4y- Wrath y i jam cum fit Las atc , erit at —GcG)j- XA-a * r^g t d N end JEN u uU, d v. au" —dz.vyn ' Ta AREE x a5 - - ' à $6 - D P 5 s " . et multiplicando per - x 4 habebimus [It (1123935213 —" . : : ndy Zdo Zdz À-«:— "OQ cv "y ert ? M "y 5 n LU Lo S Ld Ju M " vbi 94 ^' VARIA GENERA vbi membrum vltimum variabilem z continens da- bit functionem determinatam ipfius 2, penultimum ea p i vero pro 4 reftituto. valore 7; ob ms EY abit in xdv : * IL i» quare integrando habebimus gh 5t | ny dae. xda . due ou^ s ix EO Cr ie Re ES id 24s au y ; v v vnde fit do . ioHbl osi ie SUA i qct nre Aug AED vu pt Quocirca concludimus , nnde noftrae d v—d Ly multiplicatorem quaefitum effe - Pt oO 1) — IOCGSDIET IAS (x7 7E. GOMMA 140910 e aet fuerit functio ipfarum , et y, vt pofito ? — 5^4 ea obtineat hanc formam J" Q , exiftente Q funcione ipfius q, tum - propofita formula differentiali 7 €. , eius multiplicatorem | in- venire. | Solutio. Pofito iterum ZXY— 4v, erit v — €, et pofito ? —5^4, fiet v —"* Q, hincquee Q— S. J ftatua- INTEGRABILITATIS. 95 ftatuatur nunc y" —2, vt fiat. Q — 2; vnde quum Q üt fun&io ipüus 4, per refolutiovem gequatio- num 4 aequabitur certae cuipiam functioni ipfius £, quae fit-Z , ita- vt. fit g—25. Hip pc) et dy—cpdx—y Zdx, vude fit i—L : quum autem fit j" — z- , erit x ! X 4 * IE Li | Eu | d y. v" qd - unm — rb ; z E J n et 4j zi NOE :) ex quo habebitur q. - Tu * — i 2 QE j dR—k-IXGLPUIBOmLXx i A—1 quod multiplicatum per 7. 9. " praebebit ndx.9" "e XN viz : Q09.R 2. - zo — hic vltimi. membri integrale manife(to | eft certa poteftas ipfius z, quam. faltem per quadraturas ex- "hibere licet; penultimum vero meinbrum ob Dj 1 n 2 M "X iis 5 p idu pg i dop : £—4—g: abit 187—174 pvz^ et fübfituto pro z eius valore i. , transformatur in quare o6 —^ :NARIA 'GENERA! | quare primo. membro ERE recto integratidnn confequimur | nx9 9 —f(A— Dx. Ec - doct ^ T Xem (22d g.z.^ E l ia Z atque hinc colligitur ! t-r n Z quum igitur fit dv — d X, patet formulam propo- fitam 4 i An reddi , fi multiplicetur. per (x^ "(N—1)x -r- 2 EG qui idcirco eft multiplicator quatit. L] A: fdv.9* —(Q- 1) 22- nx. ELLEN 34. Quum in problemate penultimo formulae d fy multiplicator fit px-O Dy ET rond d huius formulae xd ESSERE: "m E) (0) quae etiam eft Mig: , diferente quippe. cuius integrale eft, ——— . "m —áuo multiplicator. erit b* (Q)". | X d. 1)7, fimili modo quum in vltimo proble- din formulae d multiplicator: fit inuentus (qo 7 Mg ((X — az )z-ei )j erit huius formulae | :] quippe wee conoci $3 - d à (à n Pies "n diac etiam et verum differentiale, quippe cuius integrale eft. 7. Lo: , multiplica- tor erit (4 — ))x-r-7- is "a duo cafus ob. fimplici- tatem multiplicatoris Mec. notatu digui videntur, €X quo operae pretium erit, in genere omnes for- mulas differentiales inueftigare, quibus talis multi- plicator cotueniat, quem in fincm hoc Lemma praemictimus. «Lemma. .85..Si THING differentialis d €) | multipli- cator fuerit V , tum viciffim formulae differentialis dV roulüplicator erit 9, qium enim fit fa4V—V Oo —/fV.4Q, | quoniam formula V 4 X» per ^hypothefin eft inte- rabilis ; neceffe eft; etiam formulam f 412 V effe integrabilem. ira. dinandpoo COD Q2 : EPODIGLI dA 5 56. Inuenire omnes formulas differentiales 2 €), quibus conueniat multiplicator «y -- Bx, denotante .& numerum qüemcunque. ! Solutio. Quum ob dy — dx, fit Xu. d(xy--px)—(na-0)pdzJd-xdp, huius formulae multiplicatorem oportet effe (y, ex Tom.X VII, Nou. Comm. N qua 98 VARIA GENERA qua conditione quantitatem €» determinsre licet. Sit igitur propofita haec formula differentialis (a -i- 13)pd x -Ad-xdp, pro qua .habetur multiplicator M — x eritque v—ay-r- px, alter vero multiplicator erit Noc-x*5-Hüetioe pum 4 a f. 3t t. auare fi 7 denotet functionem quamcunque binarum variabilium Qj €9zcag-ppr^ég9p it, in genere multiplicator nofirae formulae erit , M (42) -- N (45, | quamobrem , quum fit Q, — (22) -- x* (32), eius differentiale | d f) | continebit omnes formulas dif&rentiales, quibus conuenit multiplicator «y 4 px. 37. Si pro Z fumatur fun&dio quaecunque ipfius &, erit Cnm et (22) erit fün&io quaedam ipfius u quae fit fu, hinc noftrum erit (1 — : x*, fiu za Pea a quae forma probe conuenit cum problemate $. $25. vbi multiplicator erat f.x — (A -1- 1) y , ita; vt. fit «—-(^-r 1) Deinde quoi hic ct 4 Q, ibi INTEGRABILITATIS. 99 dv jb erat ——— : ficque quod hic eft £; ibi [Ui i 1Di. erat — WOMPEE , NA CT T at vero ibi erat |. ua ; g £i ax"Q-re zr ita vt inde fit "u ugue Sen DEC quam formam in illa contineri , fatis manifeftum eft. Hinc ergo patet illud problema effe cafüum — maxime particularem huius problematis, huiusque folutionem igfióities latius patere. Problema. .--88. Inuenire omnes formulas. diffrentiales d €), quibus conueniat multiplicator aX. . Solutio. | Qluti ob dx-, fit USB aon pi Quum organ 2. "s confideremus hoc ipfum differentiale tanquam. for- mulam propofitam ;. cuius: multiplicator KL. fit in- Xeftsipdum, et quum primus multiplicator fitM— I, N 2 erit 100 !;VARIA GENERA | |. erit 0 — X x--7- , alter autem. multiplicator colli- A 1 ji quare fi Z de- gitur |N, — $^, ex quo «fit dies notet funcionem quamcunque binarum variabilium Q -- I 9 -—ax--7- et u—j) .., p P * . S qs l . po i0 generalis pro multiplicatore quaefito erit (rs 14) -- 7^ Ge», vbi notandum, fi pro Z füumatur tantum func&io vnicae variabilis ;, tum hanc folutionem ad cafum problematis $. 33. perducere. 39. Quae hactenus. de inueftigatione multipli- catorum. funt. tradita , infignem praeftant vfum. in refolutione aequationum differentialium fecundi gra- dus, quum enim ob 2y —54dx, omnes aequatio - nes huius ordinis ad hanc formam redigere liceat , psp eren Rdyco, maniflum eft; fi vnus huius formulae - multiplica- tor innoteféat 7 tum flatim aequationem femek in- tegratam ; quae erit differentialis primi ordinis, obti- neri , quam deinceps - fecundum. praecepta cognita tractari conueniet ; at.; vero. fi bini. eius. fonmulae multiplicatores fürint. cogniti , tum ftatim acqua- tionem finitam 'fgu. bis iritegratam elicere licebit, ita vC non opus fit integratione repetita," quam. opera- tionem. ron: Protéumte doscamus, i^c io13 6m 178. eHtiilg ITI Dic eei 1 e evi Pro- INTEGRABILITATIS (ox Problema. 40. Propofita aequatione differentiali : : P2p--Qdx--Rdyzo, " fi eius duo multiplicatores imnotefcant M. et N, eius aequationem finitam bis integratam inuenire, Quum M et N fint multiplicatore$ Cogüiti , ponamus : M(PZp-t-Qdxz--R4jy)— do et N(P4p--Qdx--R4y)—du, hinc habebuntur quantitates v et 4, quomodocun- que ex ternis variabilibus f, x et y conflatae. Ob priorem igitur multiplicatorem fiet v — 4 et ob pofteriorem 4 — 5, vbi a et & fünt binae conflantes; vtraque jutegrationé ingreffie ; quum igitur duae habeantur aequationes finitae inter ternas vatiabiles x, y et p, fi inde p climinetur ; prodibit aequatio finita inter binas coordinatas x et y , vel quod eodem re- dit, inde determinari poterunt binae harum litte- rarum per tertiam. 41. Hanc methodüm ex iskcedentibus per plura exempla facile illuftrare liceret , verum inftar omnium nobis erit, problema initio huius differta- tionis. commemoratum , quo linea curua. aequatione inter binas coordipatas * ety exprimenda quaeritur, cuius radius ofculi dequetur formulae 2 Y (xx-4-77) N 3 Exem- 192. ^ VARIA GENERA Exemplum. Propofita aequatione differentiali rond gradus dp ndx (i pp? ky) inuenire aequationem finitam inter x et y, ope du- plicis multiplicatoris. Primum multiplicatorem iam fupra obíeruauimus effe x 4-p.y, vnde fit — eus o n(cdxdydy) adeoque erit LEER ET n Y (xx--yy)-a. Pro altero multiplicatore , quoniam is tam facile non liquet, tam eum, quam integrale inde natum fimul inueftigemus , ponens primo y — x 2, et ob dy-—pdx fit. páx-—zdx-Mxdz hincque i quo valore fübftituto , formula nofira erit Mic dica eec E cipio i 03 eno d quare pofito porro z — CES a vnde fit j— am dckBp. Y (1 4-2 2z)-— (: 4- Pk zenu et DIET PUPPOUTPET 1) a a —?4* trans- JXNTEGRABILITATIS tos transformatur nofira formula in hanc dp — ap mpg -4-94)-- ndq (1 -- p p) — — — — ——— —— (1-2 p) q G -- by Y (z4-94) uu HE 3-44) )dp A-ndq(x TRIN qa -r- 2p) du -r- 4 4) vel in q-2-^nY6G-C-432) ( dh qYao-cC?) (CE o nn hinc igitur patet; pro altero multiplicatore fumi debere | qYc-- bb 5 M- — q--ny(c24-44)? tumque fit ALL AGE DUAL MALTA du — eu TU 4-44) quae formula eft integrabilis fietque inde x —f Jof MUHERUTT ex qua vel g per 5, vel p per q determinabitur , tum vero quum fit 8 —$—P4 inde fit 1m )x gplIUEN qui valor ig prima aequatione fabftitutus praebet —2xvV0--bp. yG-- p9 x 99) — e cR Uu NL Va ^ rr nunc :04 | VARIA. GENERA INTEGRABIL. nunc igitur inueniri potell x, vnde colligitur. | uw -— —üa(-—b) . r^ Ug TyDSEAZHYUCCE , ficque quia datur f per 2g, vel 4 per " etiam X €odem modo definitur , deinde vero erit — iq--nNY(: 2-4 Trao pp quae eft folutio completa problematis, * ODSER- -(o)tue - Xo$ | OBSERVATIONES CIRCA AEQVATIONEM DIFFERENTIALEM | jydy-- Mydx -.- Ndxz— o. Auctore | L EVLERO. I. T hac aequatione quantitates M et N vt funéctio- nes quaecunque variabilis x fpectantur; et. cum haec aequatio ita fit comparata , vt in genere nullo modo integrari queat, methodis faltem «etiamnunc - cognitis; praecipua quaeítio in ea indole binarum fun&ionum M ect N inueftiganda verfatur, qua in- tegratio abfolui queat; vnde quidem cafus per fe ob- vios, veluti quando vel altera euanefcit, vel ambae in ratione conftante confiftunt , excludi conuenit. IIl. Cum forma huius aequationis fatis fit fim- plex, vt mirari liceat, quod eius integratio. vires Analyfeos adhuc eluferit , eius certe confideratio eo maiori attentione digna videtur; idque potiffimum quod in forma generaliori , a Comite Riccatio olim tractata dz--Pzd4dx--Qédx—o, continetur, ad quam adeo duplici modo reuocarí ;poteft. Primo enim per y diuifa praebet Tom.XVILNou.Comm. | OQ dy 106: DE AEQVATIONE dy - Ny-'dzx--Mdtzo, | ita vM SE D E As Yero pofito. JJ—5, Ee ds -xP2MzE dx--2NdxLo; ita vt fit 5 —;. Vbi in genere obferuaffe iuuabit ; ITA poto z — y^—: formam generalem in haüc mutari en — »Q75 TU. 9 d. o, ita v quiualentibus fint habendi, III. Patet ergo, quod tantum in tranfitu mo- nüeritri , Cifum 4— 2, quem Ricatus olim impri4 mis eft coriterriplatus , "hác proprietate prae reliquis effe Wunde 21 Nt hac reductione ad fe ipfum re- »iterum dat binarium. Tum vero "s Ces ET quo aequatio Y da --P adx d-Q4x-—o genératiin ; eft: integrabilis , perducitur | ad. alterum. n eo — — £2, vnde cum .poteftati j*? aequiualeat quafa. fona exponentialis &? , etiam haec aequatio - Cd y PO ara-Qr-o pro integrabili eff habenda , cuius integratio ponendo 6 ansa fiat y — — 1o et 4j——*3 hincque prodeat | dv—-Qvudx—FPdxktzo, per fé eft manifelta.- ! - IV. QVADAM. DIFFERENTIALL ^ xoy 51V. Vt. autem.ad ipfam aequationem — propo- fitam reuertar , ante omnia obíeruo: me ad fimilem formam , cum olim aequationem differentialem tertii gradus hanc: d'o4-A diddv--Bdr dv--Codt -—o tractaffem 7s vbi. quidem A, B, C et 4; funt con- 'flantes, effe. perduétum. Pofito fcilicet g — edt obtinueram . . ddx-k 3 did Add (i LAxxeBraC)df- o 'feu rationem elementi conftantis d; 'exuendo : d. 35 (8x4 A) dx 3 (x^ pA xx Bx-4- C)dt—o. Nunc pofüeram 25. hincque d; — ^7, ex quo nata erat haec aequatio : ex. dyA (3 x4- Ad x4 Cx rAsrLBiiOSs * — 9 . fiue Jdy (32-7 A) die Gr "EAzz Bra C)ds—o quae vtique in. forma propofita moppependuu- V. Cum igitür aequatio differentialis tertii or- dinis, "vnde hanc deriuauimus , fit integrabilis, ac pofito . x'-gA xx--Bx-C—(x—e)(x— 8) ser x € 15 ;eius integrale - «completum. fit — pé Or Geét a4 Bee linc fequitur, etiam noftrae aequationis: diia jy (3x - A) ydx 4. ubt PBrv Circo ' Cow : | O 2 t inte- 108 .DE AEQVATIONE. integrale: in genere. exhiberi: poffe ; Manostes adeo: algebraice ita expreffum inde: elicui | - (7G a xe-8)8 CE (x- S Gr") yg G-yXs-o"-E vbi notandum eít, effe | A--a-6—y; B-aCerayM86y et €—-a 8. VI. Cum. enim ob ics M viai 1. deinem vai? aFe p EGe y y Ht e xiigs "ig. v ias dt. | (EY FAS) (ay FHe**?x*4 (4-6 GHoe-xt | [EN Inde. porro. colligitur: | | eH 8 1 (^, aMHeYt ^a-8Y Feat e yt: La C OGE TOV MEN. gcc Ee Hac EO v: u ficque. conficitur a i5 Herr z4(r—2) 6-5 GE uber : : fimilique modo 6)/g— «t Jy G-9G-y zT -ne inia : E- $—oau)Get et y-E(x— y) (* —2)— nm vnde veritas integralis exhibiti. fit manifefta, et quia id inuoluit quantitatem conftantem. E. per axbltraridi F, G, H. definitam , pro completo erit habendum. VIT. Haec con(ideratio- viam. nobis aperit, à priori ad acquationes formae propofitae perueniendi. Sumtis QVADAM. DIFFERENTIALL 109 ,Sumtis. enim. tribus, functionibus ipfius; quae fint B, Q, R.fttuatur aequatio integralis ::..- sy A PP (» 4- Q Cy -- R)' z Conf "nde haec nafcitur aequatio. différentialis :. X d'y 4- X dP TEM »dy-E- »d.R;— Jj e? 12 "s yoQ re y --R -— : quae a fractionibus liberata hanc induit formam * - Qr er 9) jg dy yay (A (Q--R)-4 g (P--R)4-9(P*-Q. )) dy QR: kPR-p4«EQ)4:y (xdP-- j.4Q-4-v4R) AE XOQ-- R)4P 4 p (P 4 R)4Q --» (P -- Q)4 R) TAQRZP-4: gk PR2QA4- v PQZR — 0 ex suns forma: PER refültat flatuendo: .A--gW4-4»20o: " AQR4 pe sry 4yPQ—o TÉ MPH juQ3dR—o feu XP4- pk Q-E yR-—- Conft. ,VIIL. Si Bie ponamus X P4 Q--»R-—a« et P2- Q-j- R— S, ve fingulas litteras: P, Q, R hinc definire valeamus, ratione habita. primae con- ditionis, qua cffe oportet X -- V -1- » — 0; reperie- mus hos valores: . P-— zz E ABS OO 4E sa ce (i — 9 Y OX — gan i vc S) 19A Q— D ae A Bilan Kxteacct panas S) PUPLENY" R— 3 NIS (vv R2 UAE UU MNANSE TNRE) meg. my vbi: figna: radicalia. ob. ARX Re Y—Àp. i zer. fe. conueniunt, Ó 5 IX 110 ^ DE' AEQVATIONE UEX. Irrátionalitáte harum formularum füblata ad eandem aequationém 'perüeniturj: cuius integrale füpra exhibui ($. V.) vnde hanc «uolutionem vlte- rius non profequor. lnterim tamen maximi mo- menti effe arbitror , obícruaffe aequationem differen- tialem "generalem $. "VIL expofitam per fe- reddi in- tegrabilem , fi ea diuidatur per .. (Qr P)oaQ)--B;: EM (quod. fi ad dequationem füperiorem ydy A- (5x27 Ay gr da (X - Aca Baar attendamus; reperiemus; eam per (e npn d fi diuidatur. per hanc formam: ,.... 4 Y aus ox J ay G xx 2 Ax -4-B) xy (2-- AX m 14 Ba) 4x TAÀxxxBx4- E etiamfi hinc minus pateat , intcgrale adco algcbraice 'exhiberi poffe. "Quae obieruatio me deducit ad me- ythodum illam.;generalem iam «dudum. à me' expofi- itam, qua oftendi, ómn:uüm .aequationum | diffréitia- ium -integrationes. comibexigupe p mpl ds : ielns poff& 1-44 -4- 4 $9H0q0 sli» mip ,«monib «X. Cum igitur. hic multiplicitor feu M. ita com paratus effe debeat , vt formula per fe fiat integrabilis , vtique iéeetie- eft, vt^ Critéri huiusmodi formularum perfpecta habeamus... quae. integrabilita- tem certo indicent, etiamfi forte ipía integratio dif- ficulier ac nornifi pér quadratüras fatis 'cómphicatás confici queat. — Omnium | autem-formularüm "inte- grabilium , cuiuscunque gradus differentialia impli- 5i C cent, QVADAM;DIFFERENTIAIT —— six cent. hanc efle piagrimtna, BHpeb; senpoürei NE: peátisoi asd 15 gy-— pdx, Fyicsie dE daqmrdx etc. quo pa&o eae femper ad tilem (formam Vdx re- ducuntur , in qua littera Y. .vtcunque quantitates X, yb.4q,* etc. impl HANE àm futurum fit — 4» — 2s PG tad dud 3) - ad. Gee —o ac .viciffi m quoties haec conditio locum habeat , to- tics quoque. fortnülam. Vd " effe integrabilem. P XI. Hane. igitur quaetiohem. nunc cuoluendam fufipio VAEUTMLAEITIU " Á . Inueftisare. eiusmodi ertet z binarum varia- ülum x. €t. y » fer. quam aequatio, noftra. .— ydy-a-Mydx--Ndx-—o diua fiat. integrabilis V : [1821 Hoc ergo. cafu erit bc EST --E vnde colligitur (i-£-2:G2 b2-E-USGD tum vero ob e -£ porro differentiando reperitur d. i 1-226 0 - 4:09 odi COH. cn Eu i bu E 4 | VY ONSNE Vai: s dac iequtionem ems MrGnionfl. don&io- ne e E | '30 1 75 M - NT 24-2, 09 — o. feu MZ-My(- -N(2-2-462-—o- xIL rro »—DE AEQVATIONÉ XH. Si loc -diuiforis ZZ; fürratur poteftas quae cunque Z", vt integrabilis reddi debeat haec forma: ydy--Mydx-- Ndz (DER SD da s fun&ionem Z ex hac aequatione definiri oportebit - M Z — n (M y 4- N) 2? 24-27 09-0 vnde vicifüm inuefligatio ita inflitui | poterit ,. vt fümta pro lubitu forma functionis Z; inde indoles quantitatum M et N, quae per folam variabilem x determinantur, quaeratur; vt aequatio propofita hoc modo integrabilis reddi queat. Quamobrem his ve- ftigiis infiftens fequentes cafus euoluam , vbi iceqr litteris P, Q, R etc. UNA Mee variabilis indicari moneo. iy cafus I. | Quo. intzerabilis reddi debei. baee forma x Jdy--Mydx--Ndx (yH- PB) cs XIII. Cum ergo fit z- yd P erit (H hs r et (E izjcam vnde $. praec. hanc füppeditat aequationem : ocMy--MP—-nMy-nN-4- quoniam igitur M, N et P funt functiones folius x, fcorfim effe debet: I sdP—(n—1)Mdx et 2*. »N4x—MPZ2x, UE Quare QVADAM DIFFERENTIALL ^ sg Quare pro Bes fümta funcione P habebimus Mig — -odrbadens t dads vnde dicimus. hast dy oon Jdy ides E 1 integrabilem reddi, fi diuidatur per formam ( y--P)*. XIV. Haec autem aequatio nullam plane ha- bet difücultatem , quoniam «eft. homogenea, atque adeo per hauc formam (s — 1))g y 3- 8 y P-J- P.P diuifa integrabilis euadat, ex quo diuifore , quia con- ftat factoribus Cy z P) (n — 1) J -4- T, deducitur ae- quatio ; b dy -- --üP ^ , (n — 1)d y-2-üP — 0o »—sa xy-P. Ca—00—23 Q—3)9-F. e cuius integralis manifefto eft Lor PY m A (n — 1) 4- P) quae etiam ex illo diuifore concluditur, — Tantum obferuo cafü s — 2, quo haec forma fit incongrua, integrale fore - Aon P) — 24 — Conf .quippe cuius ditpentiació praebet y4y--: E :ydP--PdP.. c, (prep, Py. XV. Singularis hic, fe obtulit. din; quo 4e« quatio: T (QrP- — A (n — 1)y -- P), quae ob conflantem arbitrariam A eft indefinita , füm- to 2 — 2 hac indole penitus priuatur. ^ Vt autem tüm eius vera forma eliciatur , flatuatur more foli- "Tom, XVII. Nou. Comm. P to 114. DE AEQVATIONE- to 4 —2 -1- 9, denotante a sacan EM par- vam, vt fit (y4- PP —r-r-ol(y--P; fic illa aequatio. hanc induet formam Jr P2 e( y 47 P y 4- P) AGy23- P) H- Any fit nunc Ac 1-1- Ba ac prodibit (z c B Gange P) ct Br d- P» ficque loco conflantis A alia arbitraria DB eft in- troducta. XVI. Vt aequationem inuentam elegantiorem. reddamus , ponamus P — 4*-7', vt prodeat Jg dy -4- na ydx-pat—'dx-—o quam ergo integrabilem fieri nouimus , fi diuidatur- per (y 4-7 2*7 y, et integrale eius completum erit (y -pat mmm A (n Dei 7) dum obferuetur cafü 7 — 2 integrale effe Kracs—)- 5 VecConf rl (rx) Hic vero nouus. cafus fingularis occurrit zz — d, 4e Varie rw. yd x dx — L— *-— Conff. | Quod vt ex dd illa genti eruatur » pofito. &-— 1-ro erit (rt iqajxj- r4 a y 1)—AÀ (eret tux) igit QVADAM DIFFERENTIALL zr$ fit ergo A— r-- Bo prodibitque (y 1)zy4 Ix B feu y--7-7— —Conft. vt ante. Cafus, II Quo integrabilis reddenda eft baec forma J4y 9a M; My d x 2EN d Qc Py-Qy XVIL. Quia hic et Z —y y-- Py 4- Q pro $. 12. habebimus: d £u uesiabdup Pado ro cH hincque iftam aequationem refoluendam o-—cMyy --MPj--MQ —27MP .—gMP —zNP E T J-25N P THÉ, vnde refültant hae tres: . ndP—(2n—1)MZ4x feu My T ,ndQ-o—1:MP4x--enNdx nsIN,ERESAO euo N(Zào: eT EECOdT nP —- (zn—iP Ergo ngu sre OE dii m t 4 aros pibe m c ciu quae aequatio per pias multiplicata et integrata dat Ü -— 2 P - P:s—a n6 — (DE AEQVATIONE /^ GJ—x4& p: E —iPi—tÓR A, , hincque fit. Q- PFPIUA E et per E xotililia erit. $—5X. Mdádx-- Ly eNdsc. zr t GPAPST S. XVIII. Sit. Puce aatis Neeypi ft Q—x"—--Bxx ; Mdxz2ta?"7 dy " INdszP de 4 Bode atque hinc intelligimus hanc.aequationém Jdy-A- ani?" — yda-- at" —! dy--BxdX-o integrabilem reddi , fi: dinidatur per- Cy y -- z fA OI. IHQE 4UB xj Euidens eft hanc aequationem ad fimpliciorem. for- mam. perduci ponendo y — z — 5^"—', tum enim prodit | edi k Dod an E quae per (zz-i- B Ea diuifa- vtique fit^ integrábi« lis integrali exi(tente :. | — I1 x2 aer - Xd z). 2(1- 1(sà--Brry Al (z-r-Dxa) "xoc cuius pofterius. membrum. pofito. z — « x. abit. in. da ita vt nulla fuperfit difficultas. Cafus QVADAM -DIFFERENTIALL iz:7 . Cafus III. Quo. intezrabilis: reddenda. eff baec. forma 9d 2t M y dx A4-N4d- QA-PyLRQr-RY* nu NT NC Jj 4 P Qy A- R erit COEUR E 2b Q ELTE) 7 MEER On eX quo fequenti aequationi eft licisficiendacn o-—Mjy-- MPy.r MQyEIMR —32M —»2nMP —5MQ — nNQ : ur —gnN —snNP Án. T ay * P quae fuppeditat has. quatuor. dcterminationes z 1. nd P —(5n—1)Mdx 2*5. rgQ — (zn— 1 MP Zxr.-- ymrN4x S-TdR- (w-—1:)yN'Q4x-4-znNP4x 4. TNQdx-—MRd4s XX. Ex vltima collizimus M: N — zr Q:R, vnde. ex prioribus litteras- M. et. IN: elidendo- obtine- nius: i (3n— 1)02Q— (2z—1)PQ4P4- 5R4P et (82—1)Q4R — (1—1) QQ2P-2- 2PR2P hincque (22—1)PQgR4-3R4R'— (n— 1)0Q4Q-- 2PR4Q. Vnde fi quantitates Q. ct. R. per. P. definire licuerit , tum crit Mx —.* R d? N dx — — Gn—0Q9 Ps Primum 18 . DE AEQVATIONE Primum autem obferuo illis acquationibus fatisfieri poffe ponendo ! QUAE iet Best P hosque coefficientes a et 8 duplicem determinatio- nem fortiri., fcilicet Xel ia 4 et 8 — — 2"n—7 * e. (n — t36n — «4» vel a — 27—7, et 6 ILE quo quidem caíu aequatio noftra fit homogenea. [1] | Tín XXI. Confideremus primo cafum quo 7 — rz, quippe quem iam fupra aliunde clicnimus ; eruunt- que noftrae aequationes : 1, e Q4Q—PQZAZP-4 3RZP et 2*. QZR—PRZP hincque 3, PO2R--35RZR—2 PRZ2Q. lam ex 2*. fit Q — "577, fumtoque ZR conftante d LOREM P4p--RAE, vnde prima abit in hanc: A sum c- 2PPRAP DIPRRIM CIUECSNRITP feu DEPRRd4P FARM | DPRP-—3RZR diuidatur per P R V R. vt prodeat Ipadt e MORUEINE SUP adl TA dR dR VR — PyR culus prius membrum integratum dat 2 TOP RSS dR : 1j s MdR dR dk, UU hincque d PI PyR/ Pv R quae quidem forma parum lucri attuliffe videtur. XXII. QVADAM: DIFFERENTIALL - z:9 .. XXH. Ponamus autem fA —w, vt fit P ns ac poftrema aequatio Hosp dabit : iuu-d- A vnde fit BACH VA odo hinc- que e integranio 2YVR-—zu4/-4-Au-r-2B et R-(G v--iAu-g-B) et ob Q— T m — PIPYKE —iuY R erit Q—:iu(tu--iAu-- D)ac denique Mdx—idP-—iuduet Nádx—idP.R —;$* —iduYR—idu( V 4 1Au-B) flatuamus nunc u—2x--2f vt fuat P—3zxx--6fr4d-3[ff-- A; Q—3(r2-f)( WM afin ; --FAx-J- Af 4B R— (x ""eafer-e ifs P) ' -d- A dC Afe C 4- B Mdx—3dx(x--f)et Ndx-—dx(x cS " xx4-3]ff x f TA Af : B XXIII. Ponamus porro z sf—a, 5f A-—betf--Af Bof» atque obtinebimus. hanc aequationenr dy (82-2) ydx (6 ctexx-qbxde) dx— o quae ergo integrabilis reddetur, fi diuidatur per E asiknexapbyuon(s xa) axxo) p A (x axxa bx c) ficque 120 DE AEQVATIONE ficque. diuiforis forma hoc .cafü sffümta ad eam ipfim jnregrationem nos deduxit , quam iam fupra $. !X. fumus adepti. Circa hunc «ergo diuiforem annotaffe iüuabit quod fupra iam vidimus, fi ponatur . x Laxxd4-bx-4-e (t a)(x 4-5) cy) vt fit -2 a-—a48$4 y; b—a84-a y 8 y; et ezaby, diuiforem noftrum fic in ternos fadores refolutum exhiberi poffe 7 Gera er-8)) C Ged-o) (4-y) t (4-8 (y) €t acquationis noffrae integrale completum fore (Fey (-- 8) Co Gr4- S) 4-05 Cy Gc ty )xc-2))'-* 2 Conf. XXIV. Circa aequationem differentio - differen- tialem $, er. quae per R diuiía eft: 2PPRddP-L-2PRdrP'-LPPdPdR — S34R MH ——À M — — dKR —MOUO—I- -— obferuo, eam multo facilius integrari poffe, fi modo per ^? multiplicetur , vt habeatur R. Rt TA j . [ aPPRdPddP--.PRdP EP YdPdR— 3 aP d R* cuius integrale flatim eft tA RBPI .P-rA hincque Ld cuius.integrale denuo eft — P 2AÀ a REN Pr A)4 B. XXV. Pro pofitione ? — x calculum | in ge- mere expedire licuit, pro aliis autem valoribus ipfius f negotium mipus fuccedit, excepto vnico cafu 2—:, supo [4 id quo - QVADAM |DIFFERENTIALL tar quo aequatio prima 6. 19. ftatim dat ZP — o idco- que P—2; vnde inter Q et. R haec. prodit aequatio —iaQ4R43 RZR—-i :QQ4Q-r2 aRadQ feu 9R4R-F2QQZ2Q—6aR4Q-4-4Q4R quam autcm euoluere non licet, nifi famatur 4 — o, tum agtem oritur £RR T ;Q —Conft feu Rc Y(A—4Q)). Deinde N4dx-idQ.et disi dgem Statuamus | Qz3x, vt fiat R-Y(A-427); Ndx-dx et Mádxz zif. vnde deducimus hanc aequationem differentialem; jy dy-4- vals -d-4x c gg quam nunc nouimus integrabilem p» at fi diuidatur. per T Y (aa xg Y (A — 4 9) | Hinc autem ipfum integrale neutiquam explicite ex- - hibzri poteft; quin etiam aequatio ifta ita eft com- parata, vt nulla LUE via ad conftructionem perduci queat. Cafus IV. Quo integrabilis veudenda efl baec forma Jdy--Mydx--Néx — E dfegkoé-cor t aat RR E oim "Tem,XVILNou.Comm. | Q XXVI. 122 DE AEQVATIONE XXVI. Pro hoc cafü methodus noftra fequens tes füppeditat aequationes : 1. nd P —(4n—1)Mdx 2?, nd Q— (30 —1) MPdx-F4nNdx 3. ndR — (21—1)MQdx--35 NPdx 4. ndS—(n—1) MRZx--2nNQdx 5*. MS-—znzNR fu M:N—m"R:S vnde deriuantur iflae (41—1)R4Q—(31— x)PRZP 4 4SaP (42—1)Rd4R—(22n—1)QR4P--3PS4P (445 —1)RdS-—(n—1)RR4P-r-2QS4P, eX binis po(tremis elidendo Q oritur: 2(421—1)RSaR—(21n—31)(410—1)RRdS—6PSSaP — (n— 1)(22— 1)R'2P. XXVII. Quoniam hic in genere vix quicquam concludere licet , praeter cafum homogeneitatis , quo fieri poteft Q-wPsgqesse PEU etus cp" confideremus cafum 7 — r, vt diuifor fit dcs bunch QA TER Ar Habebimus ergo M2x 214 P: Ndx- E 1.5R4Q-—95,PR4PpASdP 2, 3R2R — QR4P-Mo-3PS4P $.gRWS EbQSZP vnde eliminato Q ex duabus poftremis fit 2RSdR—RR4S—2SPSSaP SINE iC ,o et quae QVADAM DIFFERENTIALL 1:25 quae per S S diuifa commode integrationem admit- tit praebetquc RA I tPP3pA MIS quare ex fecunda elicitur — süR,,sPS.—:dR , sPR E —— dP E Ct dpecPPuA XXVIII. Prima vero dat : d4Q-— ;PdP.L:54P— PP. 4RdP. s (PP A) inde vero fümendo 4 P con(ítaus reperitur : po sPdR zPPRdP—z:AnRdP 4Q — UT PEZ A M (PP -4- A»? ficque Bus. haec aequatio differentialis fecundi gradus ddR:;-. PdR sPPRdP—;:I:ARdP, 2 c dP BP AC dO 9 (P P —— A)* ;PdP-—o quam dubito in genere refolui poffe. XXIX. Confiderabo ergo cafüm quo A —0, ideoque S-ER et Q— 0 gl; ita vt haec refoluenda fit aequatio: ddR dR sRdP..2 ——— Statuamus ergo R — a P' -- 4 fietque dus dua. wwe 6a Pd P—3 aPaP--;aP4P—;PZP— oO dP et füumto Be- zx erit d d sudP — PE v 1j "awpnsto pro qua porro u—P^ et ex aequalitate AA—2^-4j-20 colligo A — x d- $, hincque integrale completum 5 1 - PROA u--ab uu Pt Q 2 , Quo- :1»4 DE AEQVAT. QVAD. DIFFERENT, Quocirca habebimus: up qa P EPI Q-IP. de alo. Pd e miiBos Sc(x Pp Ep: ac tandem MZ x — id4P, et N2x —?T:(, P'-r-a P: ix id Po» XXX. Statuamus nunc P-—:;', vt füblata irrationalitate fiat : Mdx tdt et Ndx—* Gu -I- m. 4- i mo et aequatio noflra huius fit formae : ydy--ytt dt 4-22 (55 -- at -- 8) — o quam iam nouimus integrabilem reddi fi diuidatur per JU (ur M 2att—25) y Gu car Er) - Gi rar. EY. Hic diuifor duobus conftat factoribus : GG P ehy-632j ren) Qo GP y-€) cai Tali) fi diuifores magis complicatos adhibere vellemus, vix quicquam ad víum inde concludere liceret. H CONSI: e232 ( o-) tse | 12$ CONSIDERATIO AEQVATIONIS | .DDIFFER ENTIO - DIFFERENTIALIS (a-5x)ddz- (ct ex)2225 4. (fg zero C Auctore MO pu RELG€XR I. prieo haec aequatio ad formam differentialem fim- plicem reuocari poteft ponendo / z — fo d x, vt fit E —udx- ope — ddz dz? z z ac d4xdo, nba | 4s — dxdo--eovds. Diui&à enim illa aequatione per z 4x hinc orietur: (ar bx)dv (a bx)vvdx- (cp ex)* 4*4 ( f-- gas 25— cuius integratio íi pateret , foret pro poti iz-—fvdx. |I. Hinc duplici modo terminus fimplini quan- titate v affectus elidi potefl. Pro altero. ponamus v-— u- X denotante X functionem ipfius x mox determinandam ; et facta fubftitutione fiet 6e rb)dut (atc b uud (e ex)i* M(f--gx) z&] iairyXds-r(a--b3)dX i-e TGbX)KXdxi7 ^ Tr (er ex)E3s 1 Q 3 Iam 126 CONSIDERATIO AEQVATIONIS Iam füatuatur X — —6--*9, vt fit Bo (a DEO) (aX cz arcet zlictitxids , prodibitque " | )d x. 4 (ac-44-2bcx--bexx)dx (a--52)du 4- (a - bx)uudx 4-(f- gx) 25 4- worn dam LL (ec-acex-reexx)db( 77 4Xx(a—L- bx ) feu hoc modo: du-- u udx--* (a -4-bx)( f -^4-g x)2-2 (ac4- bez 4- bex xc — (c-i-ex)? dx- Q 4 X x(a-- b x) Suit III. Per alteram methodum cum priore con- iun&am ponatur o — Pu 4- X, exiftentibus P et X functionibus ipfius v, et fubftitutione facta obtinebitur: (a--bar)Pdu-r (a; -bx)PPuudx4- (c -ex) A45 A C EE T (a-Fox)ud P 4 (adc box)dX (3 Tr 2(a-- bx) PXudx4- (a--bx)X X dx [zT d- (cx ex)ERS j x vnde fieri debet | €:xe27*1* E (2 bx) dP-- 2 (a-- bx) PX 43x—o- latroduxi autem hic binas functiones P et X , quo inueftigatio latius pateat; vulgo enim hac altera me- thodo vtentes ponere folemus v—Pz, vt fit X —o, quo caíu erit d P. (c--4- e x) dix. — dP,c dx,Gae—bc dx m Xü-rbx) feu P AE S; ZU & ww ücba— 9 vnde integrando, colligitur : [es qec-he. mu NEN IY Pav (a-Fbx) «8$ —C et P—Cx «(abxp ^ er; aequatio. noftra differentialis primi gradus erit Ex DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS, 1:27 -— 41 ied 2€ isse Cx s(agbxy -F TU CCE- : (aba) E77 T7 Aun -poMSEEO IN. xx fiue hoc modo | quu f —f. L ESSE Cdu-COx *(zxFbxp — *uudxxt(akbx) 2 i f dgx)ds quu IV. Sin autem in genere ponatur ocPu--X datuamEque ; CEU -- 2 Xdx— o, x (a --5x) aequatio noftra differentialis hanc induit formam: PduA-PPuudx--dX--X Xdx-- e-ce9X dx Cf ng EE de is "X(a4-bx) in qua vel P vel X pro lubitu accipi poteft, vnde altera definietur. — Veluti fi capiatur P — a x", fiet geEvemiEd 6-6 C—ex — -—na—c-—(nb-Eex DUELO 2«(4-b x) 7 axX(a-- bx) Ex his formis cafus, quibus aequatio fit integrabilis, elicere licet, quos autem facilius ex is aequatione propofita cognofcere poterimus. V. Quodfi quaerere. velimus cafus , quibus ae- quatio propotita integrationem admittit , in quo quidem omnis opera collocanda . videtür quamdiu integrationem in genere inftituere non licet, pri- mum quidem ftatim íe offert forma 2—4A x" (a--bx) quae vt fatisfaciat, definiri oportet relationem quan- titatum conftantiium 4, 5, c, e, f; g. Cum igitur fit ds. —mdx, nbbdsz* g4-b X z LT xx deem? erit 13$ .— CONSIDERATIO AEQVATIONIS etit : . p TENPTPETE: 2mhbdzt n(n—4i)jbbdxt. J- a ac "hi cp v (uM P - hincque nafcitur fa&a diuifione per dx' baec ae. quatio zm—UU-im.lpoimc ema FRELEST üa-r-o02x — Oo f-r-gax ud D nb(c--ex is 2c x "E y. IUE LED quae vt fubfifterc poffit , bini poftremi termini collecti n b((n—1)bx-L-c-Eex) x (a -4— b x) ps denominatorem a -1- b x amittere debent ex quo fit j semb:(n—1)b--e,feum—t — Lr m e e gmid rcs: ita vt habeatur haec aequatio m OLLUS-EUEf it midi petet Iia ia asse crum nbc:w — —o0 xx vude hae duae nafcuntur aequationes loco z valorem inuentum ftribendo : m(m-—ai)ea--mc--f-o et (»m---:)bc * "T2 bcc laut m(m-i- b E das Td ne —55 4-555 -4-g — 0. Multiplicetur haec per a et illa per — Z fiet (umma: amab-4- mbc—mae-r-be—ce-- 5:5 -I-ag—bf —o — abf—aag-—abc--ace-——bcc et hincque z — PRONUS ECL ng e abf—aag—2aab--aae (ni 3 1yai-i- eee bE 7- $8b-4-bc—ae qui valores in prima fubftituti dant (bf-ag) &-f( (2abb-I-3bbc- 3abe-bce--ate)4-c, a b- eyab-ae--bc)-o -Fg(2aab—aac4A- abc-ace-F bcc) quae DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. quae refoluta praebet , ag-bf-inab-ae c) ath) Goabaet ho V - f) fiue : giae abf — (2ab — ac- —acAebc)(a Az E v (a — o — raf) LETT Quare fi littera g hunc. habeat valorem , ; aequatio nolira integrale habebit z— A x" (z--bxy* exiftente Ee vga sra et n-—ri--t-— ET b* VI. Alia via cafus integrabiles reperiuntut, fi valor ipfius z in feriem conuertatuf, quae fi alicubi Fingatur ergo : Cer M. qa Bat Cate Date EM etc. et facta fubftitutione confequemur : A -1 1)Aax" 4 (04: 00Bax74- Pini Ycaa^ odi oDax**ete. zii 4u(n-1JAO d (p r)RBb. (nr 2n) Co nAÀc -r(n4-1)Be 4 (n - 2) Cc c (04-3) De | 4 WRAHTHETTUECEHPLIS T es) Ce JA foie io o een CT vrEit "Df DE rz p "dB g$ 4d $71) Uni quos fingulos terminos. ad nihilum reduci oportet, - Primo ergo erit n (n— 1) a 4n " i o hiricque wj si ES a—ccE y (i— AED NER 2f) porro velor — | cudpit oe M IADOSA)R — neg B AEG Eg6en 47 2nd -c: A «C- d. )nb—(n-2-:)e—8 p — —(ü- cab g B a —Ó M € Urmpifa-pixmpE(n4ali)4ef U 7$ a(27--1)a2pe) C D —— —(n-d-:Xn2c-:)b—(n-2-2€—8 EC casse IY fenjeg C 7 (n2 3) n4 26 HU 1-3) 24 "e s(( n-4-2)0-4-6) - T4 etc. ^ TemXVII. Nou. Comm. R Haec ^$$0 - CONSIDERATIO AEQVATIONIS Haec ergo feries alicubi abrumpitur ; fi fümto pro i P P numero quocunque integro pofitiuo, quo «tiam cy- phra referatur , fuerit g—- (a--i)n--i—1)5—(n--i)e.- 4 Cum autem fit 2-j-;— 6/2-2«—c2x V(a—cy —54af) — , - 2G » "et Ari Ru cre ur Ser EIE £ — -—((2i-E)a—c-d-y((a—cy—. NU RE. v [ao a [I3 ———— —— —— — 49009 et euoluendo g-— ded 2abf --c(ae — bc) a! aiiab- (224-1 234-1 (ae—bc)) 4- (iab -ae— bc) Macy —42/)) ): PORTE: 2a a. fi ergo effet ;— — 1, quod autem hic fumere non licet , cafus praecedens emergeret. Hinc igitur in- numerabiles alii cafus fimiles. eruuntur. VII. Poffümus etiam feriem , in qua expo- nentes ipfius x decrefcant , affümere , hoc modo &—A Xr Bit— 4 Ca^ e Da E z^7* 4 etc. qua fubítítuta noftra aequatio fit px) Abe pa(1-1)Aa3974- (0-1) -2) Bax"-*4d(n- yt n-3)Cax"-- etc. 4(n-iyn-2)B5 4(n- 2Xn-3) Có - --(n-3)0-4)Db: 4 nÀC. d (n—1) Be, 4 (0—2) Cc , 42Àe6 4 (n—1)Be tO-2Ce 4 (5—3) De 4 Af c Bf t Cf *Y Agok BE £UA COCE. x Dg hincque effe debet n(n—1)5-i-ne-i-g— 00 feu. — phy, vel g——utb--nb—ne. rnes Vero ; DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. r5: "Boe eC 00 -enespf AL ÁÀ C — (n—)n—- ente BR (Qn—2)b-Fe e((2n—s (zn—3 b4-e) — (n—:Xn-:)a--(- ze f — (n—3(n—2a4-(9—3)04- f D- — a(ezm—4)b-e) -— C; D- «(2 s)b-e) c ; etc, ü Sit vt ante. 7 numerus integer pofitiuus , cyphre non exclufi, et integrale finitum obtinebitur, quo- ties fuerit ! T (n—1)(n—i—1)a-r-(n—i)eA-f — o vnde fit put i--:))0——c-py((a—c)?-—2.af) — — ———À—— —M — vt inuenimus ; g--—mn(n-x)b-1-e), ideoque — Gi jac 4 Mac)" — «af )) (:i— 1)ab—bc-4- 2ae-- by (a c) cf—4a m LIE quae euoluta praebet vt ante pc UNE 2ab f -|-c(ae- bc) —a(2iiab-- (214-1) (n6- bc) — tiaboapae betae) anf] 20a ita vt hinc iidem cafus ac ante prodeant; atque 3deo eadem integralia ordine Tetrogrado fcripta ob- tinea ntur. .VHE. Verum ante quam integrale per feriem inueftigemus , noftra aequatio transformati poteft in aliam eiusdém. formae res wd mr -Ó — dv , mbdes m appir mmbbda* t 7210. -IMA-- v (a--bx) T [C Toxy facaque fübflitutione A C-EMy IEabee m(m-—ubbàz* .— » CAES Au T 7a-rbx "Io (ceer dh mb(c--ex)dx* iw. riso. TUx(a--5x) 0. iOLipi Gepoims Er R2 T fiat 15$ X CONSIDERATIO AEQVATIONIS * fiat m» 1)bx--c--ex diuiflbite per a-t- 2x ,- cfüt- que Ie CE 1 i. (n— 25r e— EU t HI noftraque aequatio: PHEHUNT,: (e-bx)ydde--(e4- (57 b bea ob- ar yen iT Cf Cg Def Le DES Eris Ponatur breuitatis gratia *^* -- 2 b —ece PES 8-- UI - vend qa vt habeatur forma. propofitac. fimilis (3-6 x) ddv ---! UT ga EE TT. (f wx) — —g quae ergo cíl iutegrabilis, fi fuerit. Y4-— 2abf-A- (ae — bc - —a(:ii iab- (211-1 Xt Xe be) cg oiebeeee- be) Vit v ((a —c) g-af) 2.0 q- at eft. ae— be— 2ab—ae--bc, vnde habetur M 2abf--c(2ab—- ae bc)-a ( z(i3-1)tab—(2i-4-: ! Yae— bc) zE( 4c )ab—ae c) c) V(a- c —4af ) " züa cg--te5- d -EP9', ideoque e — 260b 20b f-L-c(ac— bc)—a (2 : (2 (I-4-1)*ab Y'ab—(2i-4- 1 (ae—be) ) c G- ) Ge 1)ob- 264-56) V )V ((Gc)?-5a7) 20d quae expreffio congruit cunmr praecedente ,. fi. ibi. lo- . co i ponatur — i— r.. Quare hic iam. pro 7 omnes: numeros integros tam. Eum quam Mega Mp fü- mere: licet. IX. Fieri autem poteó. vt cafüs, qui per priorem fcrienr funt integrabiles ,, iidem. quoque. per pofleriorem | integrari ficque pro: eadem aequatione &emina integralia exhiberi queant. ^ Ponamus enim numerum 7 pro hac pofíteriori forma füperare nu- merum integrum 7 praecedentis formae exceffü &— rz, ita DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. :533 ifa vt hic pro ; feribamus ?-- «— s. Que fo vt ambo valores ipfius g congruant fieri neceffe eft 2(i--a)'ab—-(2i4-2a—1Y ae —bo)—2iiab-E( 2i 1 (a e-bv)y et z(7--a)ab —ae t bc—2iab-r-ae—bec ex qua fequitur aab—ae—bc. n priori autem. fcribendo. «a5 loco ee— 5e; prodit per ab diuidendo z(r-a)—2ai—z«cda-sziitzaida quae cum fit identica pro omnibus valoribus ipfius 7, habebimus a — 45—?*; quae expreffüo debet cfle numerus integer. : | X. Quoniam igitur infinitos valores pro litte- ra £ eruimus, quibus aequatio propofita integratio- nem. admittit, atque adeo: formula algebraica pro z fatisfaciens affignari poteft ;;, operae pretium. eft . vt hos cafus acsuratius perpendamus. — Denotante ergo i numerum quemcunque integrum fiue pofitiuum fiue negatiuum , euolutio prior $, 7. fa&a has duas conditiones poítulat z n(n— )b--2e4-g—0 et Ww Dap rcr En D wier mun ex quibus deducitur z n- —b—e--y(b—9 —58). ep m UU 3 2 — i zUguis iu qo cde op vnde fit 2*i 9, i hecaecenvb bp by(e dt ean $— 20b ! Quoties. ergo. liaec formula. qc—ae-a y(ü—ey — «gt b ((a— c? — 2f) aab & R3 bi :34 — CONSIDERATIO AEQVATIONIS : vbi partes irrationales tam . pofitiue quam — negatiue accipi poffunt, aequatur numero integro fiue pofiti-: vo fiue negatiuo, toties propofita aequatio integratio- nem admittit. XI. Si coefficientes a, b, c, e, f, g fint fatis nales , vt hoc fieri poffit vel vtrumque fignum ra- dicale fieri rationale debet, vel fe mutuo defttaere. Pro hoc cafü fit ^ u aa(b—ey —4aabg —bb/a—cy —4abbf feu Nisi tpe adipe 4E tum vero fit neceffe eft ; — m E Pro illo vero cafu fi flatuamus : Y ((a—c)—4af)—b .et Y(($—e)— 4bg)—k lind yemas et g-e-—5-h 4a Tales igitur valores fi habeant litterae f et g, di- ak—bb fpiciatur an haec expreffio »*—5*-—2*—?5 fit mu- merus integer ? Tum euim fi fit numerus integer pofitiuus, valor ipfius z per feriem priorem , fin autem negatiuus, per poflteriorem exhiberi poterit, Ac fi infuper ^*7** fuerit numerus integer, vtro- que modo integratio abíolui poterit; vnde integrale. completum algebraicum obtinebitur. XII. Cafus etiam integrabiles inueftigari pos- funt quaerendo füdorem , pcr quem aequatio multi- plicata fiat integrabilis: — In hunc finem confidere- dus aequationem huius formae: ddz-p-Qdxdz---Rzdx —o ita PIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. :3$ ita vt fit LL r6-em icd pi 7w(aA- bx) | et R — LA exy Sitque multplicator 2p dz-r-4qzzdx, ideoque ae- quatio integrabilis : apdzddz 4 qudxddz--2pQdxdz 4-Q qudx dz 4 apRedx ds ias. í ; --4Rzzdx —o. Statuatur aequatio integralis : pdz-rqzdxdzzzdx f/Rqdx—Cdx cuius. differentiali inde ablato fieri debet: | -F2Q pdxdz' —dpdz' —qdxds* | Y "FQqudx dzA- 2 Rpaudx'da—adxdqdz—ozdx dzf R 3: fu xnde hae duae aequationes. exiftunt : dp qdx—2Qpdx feu *?. 175 — 2Qdx et Qgqdx-FE2Rpdx—dq—2dxfRqdx—o. Ponaur /R 4d. — S, erit R d x — 25 et Qqdx-i-2*25—4q4—25dx—o feu d$— 899 cc 004 3 LAICUS —- Qqadx 4. 3 (2p et pro QZx fcripto fuperiori valore PES À S qd x EUEX 444... 2341 P. — qàx T 2p 4pP «PP Sit x numerus cuius logarithmus — r et integran- do eruitur | —jfqdz (fam Phara : — Pr "q—f.—R— ud 484p 0989 (eu. x P S-—fx ilz y pP 3124 —Ífqdz fipdbti in x? SciC-Ex »? 41, vnde fit 196 —.CONSIDERATIO AEQVATIONIS ífqdàx $-2iC«k TG —Lf/Rg4x, hincque petro C [eds 4 d LC ep 4—44p , PE R-— E 4p 2 2ppdx — e TS ni 2p Ex quibus colligimus , stagnis hac aequatione dz 6h95. (Cu 7p pls ap qd petis — o fi ea dien in2pdz--qzdx fote integrale fadx pdz Fqzdxdz-M-(Cw ? p44) 557 —Adx. XIIL His ad propofitum accommodatis primo obtinemus : SERI E d € d S &ümnBa T p 97$ vnde colligimus —.. T EE pe Isi ee ba) —X 2(ae— boc), I lm X L2 fqdx 2 cb IP 8: x*(akbi)- TE . (a c— bo: : f-gx C x: x5 (abu). t «boda. d'-p op dp Ax(a4-bx) — 4ppdx Át eft 4 — Pier dE $P indeque d em a(c--ex)dp, apdx(ac-p:bex-pbexx) - àdp ^ "*(a--bx) & x (0 -4- b xy d 2 quibus fübftitutis pas didici enr 4C Emnde 2s LCxs a [2 S dx X dr Grexdap EX(aYhx) | X 4- b X) pm (uio |, 2pdd, dp E wx(ad-bxy UU A XIV. DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. 157 XIV. Verum hoc modo haud minoribus dif- ficultatibus implicamur., quam fi ipíam aequationem propofitam Tefoluere vellemus. — Aliam «ergo viam magis particularem ingrediamur , «et quaeramus :con- ditiones :coefBcientium A, B, C vt haec aequatio: Ax Mddz4 Bi —'dxdz4Cx^—'zdX —o fi mukiplicetur per 2 x 4z -« zx, fiat integra- bilis. «Cum igitur productum fit --2A2^ dddz 3-2 Bx ixdz 4-aBa^—'zdx dz 4-aCa^-tzz dy — 0 a A x adxddz -r2Cx^—'zdx ds integrale fit neceffe. eft A x7 dz ca Ax zdxdz4-5— Cx azda —Edx cuius differentiale fi inde —— prodibit haec aequatio : Vaxdxdz (2B—(X--1 A—aA) ; ( daa" zdxX'dz(aB-4.2 C—aAA — 2ac y. ms "Vnde vtroque membro feorfim annihilato fit primo B-*—-A hinque —?——& CIE SD EEEICES EDI e ex qua duplici modo eruitur : vlà-cs--1 wel C — 806! A. Duae ergo aequationes oriuntur | altera. Ax*"ddz-H(a--1)A v'dxde3 Citta — zo altera. Ax ddz-Ei(a-1) A ^ dxdz-1o(A-1) A x97 2 2x* — 0 - "Tom. XVII. Nou. Comm. S . qua- 188 — CONSIDERATIO. AEQVATIONIS- quarum vtraque per 2 x4'z-pFezdx multiplicete fit integrabilis ; illius enim integrale erit : Aa ds"7ra Ax zdxdz--C xS ada —E4dx huius vero. A xt dst ta Aa zdxdz-A jos À z3— zzdx: x. .. XV; Summa ergo harum düarum aequatio-- num codem. fa&ore integrabilis. reddetur, Scilicet: - haec. aequatio :: (A a? 4- Da3?)ddz- ((a-E1 Axe Xx 1)Da^—' )4xds: 4 (Cx*7 a(&À—1)Da^-)zdx — o: multiplicata per 2 x dz -a zx. integrale. praebet (Aa* *-I- D3^ * da! c- a (A aH Da*)adxdz: -- (Ca*--taaDa?^- )azda —Edx^ quod ifto modo repraefentari poteft :- (Aa*--Da^—) ada4-1azdx) — dx (aan Aes Ci lae E ) ità vt fit 4E-F (às A — 4C) xz 25 A x* 4r Do" de xdz4iozdx—idxy-——— Ponatur- a*zx-v ert x7 z(zxdz-pazdax)-avdw, ideoque. A | d zdv 2X in aS X acum E D vnde, fik. z04— &. LS L6 s 1o £E-H(u2A—4C)ov fem n (OAXCD4e 2 dy BIFNERENTISEDIBSERENTEAVBS 139 edo . M lm Tix; V(aE-F(aaA-4C)es) — — Y(Ax*--Dx) XVI. Quo nunc hanc aequationem ad noftram formam perducamus , quod duplici modo fieri pot- €ft, ponamus primo A-— a, vt facta diuifione per xt habeatur haec aequatio : (D-4- A x) 4d2-1-((44-1)D-1-( 4-12 1 )A y ) 8827 c Ge(a-1)D4-Cx) £2£ —0o quae multiplicata per x*(2x4z-i-ezx) fit inte- grabilis , exiflente integrali pofito ax*zz-covo feuz cag iw ELLL I ht? T dy E dx V(4&E-HaaA—4C)ov)- Y a*"(DXAx) V dota A à) Sit iam D—«; A—b; (a-t)aze, feu a—tL — i, et C — g et prodibit haec aequatio : ! : (a--bx) dd (c4- 087639884: xdz 4 (iecore B £ zum zd E -9 àta vt pro forma propofita fit e ES et tf— (2 TIT ETE huiusque aequationis pofito & — a^ 349. integrale erit : | à | Faroe ME mum Y (ETE -4Bve) 7 Ys(e* buy XVII. ME nunc fecundo M &.- 2, vt facta diuifione per x*--' oriatur haec aequatio : $2 (A -- D 140. CONSIDERATIO AEQVATIONIS: (A 4- D 3) dd z -i- (a -i- 1) A 4- (a 4- 9 D 2) 4245 TO M in( M 1)Dxz7 — o quae multiplicata per a* '(2xdz-l-azdxX),. pofito —3;0 Wn. X"zz--vovíeuz-—x ' v habebit integralez ET B c Snow «S Y(4Et(axA—4C)vv) Ya^A--Dax) Va(AcDx) Sit iam A—2a; D—Z; (a4-1)2—c, feu ac t — x et C — f vt obtineatur haec aequatio : - (ac bx)ddz -i- (c 4- 8579 x) 8838 ( f. 666 2d — o 4839 et pro forma propofita fit PE. CCNRITT m IE E. : PETI. cuius pofito z — 3' :«7 integrale eft: 2d eM dx Y(4E-- (£29 —4f)vv) Y x(ab2) XVIII. Non folum autem quotics. ip(a: aequa- tio propofita : (ab x)dd z--(c 4-6 x) 2535 22 (frgx)*as — 0 in altera harum formarum: eft. contenta ,. quod euenit: f füerit. vel e — 96-9 cet cf — Bsieaio cmm s 20 16 a. bc(c— aY 4Ga vel E PM REQUE gi c 2C integrationem | admittit, fed ctiam quoties eadem transformata in alterutra continetur. — Transformatio: autem vt fupra $. 8. vidimus fit fubílitutione s-— DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. x4 e zb tà T be, vnde oritur "De (a bx)dduA-(cA-ex e 829 A- (f 4 v x) véfisen - exiílente ez uu -. e et 3g —£t4- ACE E Haec autem ponendo v — x" s, ob d v —ndx ds ddv —. n(n-—1)àdx*- 2ndxds. dds T XL deve i pus IM LEA (0p i transformatur in hanc: (a - 52)2 454 2n(a 4-bx)423* Potro RAT T] M GM4TEx deis 4-8 (e 2- €x)? E Q i5. i-o (4-32 &£| vnde hi bini cafüs- integrabiles eruuntur. Primus i D—2; A— b; (a --i)a— 25na-cc (e 1)b-conb-a- x0. r«a(a— 1)a—mn(n— x)a-C- nc peg C—n(n- 1)b 4-229699 go pg — Lce u—€——RT) hiacque a—22—;--5 , et e— 10 57 MITTEN atque. (n—24- 2)(0—14-.5)a— n(1— 1)a4- nef vnde f — 25 —i-d- tL ed EE RU Alter cafus- his tob uus continetur : Aca; Dcb; (e-t-1)a-onate;. (eti) b anb e — e C—a(n—i1)aa-ne-d-fi ise bine) UEES n pots tL RA fa $3 Vu 142 . CONSIDERATIO AEQVATIONIS: EN uoa Locos nipeerbaD Bs Brita s d) vnde fit a— 23 — 1-E 75 e — 20529 atque. pi -- 5: — bc(a- c) r1 4QqG0 44a Vbi conftat numerum 7 nihil conferte. XIX. Quatuor ergo hinc na&i fumus cafus integrabiles , qui funt: Er CLE E EE RON (RUE NU rec d r6 4 o?. e pic -- 2 du — be —9 2a E UT d E (2c — a) (206—305 3". e— c: *G6 o eoe zitue9 fe^; eePSAES ERU drin quibus adeo integrale ibiipléohi exhibuimus. ^ Vi- deamus ergo quomodo hi cafus fe habeant ad con- ditionem , quam fupra ex ferie deduximus ,- vtrum in ea contineantur nec ne? Pro primo igitur habemus boc 4t uh. po eLbu-:9 z . 2 et Y (2— €) —4af e -d-$, vnde haec fitinall unit oP rue mTTI ics U-i- 2: numeras integer effe deberet. Pro fecundo eft pou —aez et Y(p-e- -4hg— t ergo haec formula A mn v (a —o* —- (uf) p TOT Cp * ——3 2/32. . numerus integer effe deberet. | Pro DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. x45 Pro tertio: e(t Dc—aepL—,p—eL-iü0:9. ep Y(a—-o—&af) t$; vnde haec formula: ko 1 bb [^] - a M ü a —i-ri-- y (bb( cm 16 aa bg) numerus integer effe deberet. Pro quarto eft be—aezz cis ld et Y (b-ef— —4b5g) — 3-9 » vnde haec guum A MN 4 '((a — c)? — 4 af). -pyi-recy-ien numerus integer effe. deberet. Vnde perfpicitue hos. quatuor cafus. in fuperiori con-. ditione non contineri ,, ideoque hinc omnino. nouos cafus. integrabilitatis erui. M T. Cum igitur hi cafüs, quibus integrale completum eruimus, omnino difcrepent ab. iis , qui- bus fupra integrale particulare exhibuimus, iuuabit oftendiffe ,, quomodo. etiam his cafibus integrale com- pletum. obtineri poffit; quod adds modo. facilli- me praeftari videtur, Si aequationi. P4 QAXWE PREDA. —o fatisciat valor z — V , vt fit PddV-- QdxdV--RV dx —o, : illa.aequatio reddetur integrabilis. ducta in. fs PWGi-zivs Pofita: ' | Mu D 144 | CONSIDERATIO AEQVATIONIS | TPofito enim iis: PVddz-LOvdrdz.-RYzdxt me 7 y CPV dzg—zd4W) — S dx, erit. n. id "E 'QVd xdzA-RW zdx? - VdPdz--PzddV i-sdV4P Sd PU da-gdN x fOesempene Vane Dodd voa ets — fÉFOdm. z(PddV-L-QdxdyWA4.R Vix —f[S5 IP. du ^ P(Vdz-—zdYV, hi At P44V--QdsdV-ERV4s — SE ideoque habetur: Su Sdx-l(V. dz—zdVW) UPC Aus 'Couft wnde erit —[Qdx [5 ut V4z-adV — Cu .5 dx wet —f[Qdz xd zagan dk MW MALI. E eft: mese Ebinptenm. ex Lidpaesicntar z — érutüm. - | XXI, Quoniam wtriusque generis cafus «ex ae- quatione propofita e'iciuntur, fi ea per formam apádz--4dzdx multiplicata integrabilis efficia- tur, pofito p — uu, vt fit Q-—-z2uu(c-4-ex), audu 4 — "zxü--5x) das ? &rit aequatio integralis : uudz -qudxdzA4(Cn v» qq)239 — Adx". wbi eft siotianit 4(a tbe MIA. oo Me ideo- DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. 14$ ideoque i Ca (uda piiiny -—Adx- NUN HELLE 4u verum quaptitatem 4 ex hac aequatione elici oportet. ddu — fe-cex)du 4 (f--gx) udz 4, (gc s be bes a)ud o da [d M à x (a —- bx) 5 € X(8 4e b x) 2 2(06— e — bo c Cx [eo ab EE: ^ 4u et prioris quidem generis cafus hinc fuüumta conftan- te C— o funt deducti. emn haec aequatio pofitó G6 —-— «m acp bz) LEN " abit in haüc -—4€ 13(05c—ae6 Cx b: (a --bx) «5 e dE —ddw 4 Exextibiv | (f LExX)vdxt 4. Q x(a-1n-b5x) xx(a--bx) cuius applicatio eft facilior, vnde fi C — o , quanti» tas v íatisfacere debet huic aequationi : -A. (e--ex)dxzd*v (f--gx)vdzx* .— (a E bx)ddo-p Eam tte9.LUEUMLT I0 ita vt hinc ex valore particulari obtineatur come. e At fi ponamus 4 — x" (4 -1- b xy" erit "eru t -4 —s3b 74 cubus Uf-mc- (ge me-i-^ mnb)x) Te Ly (aX bx) JU sd. Sep G atc —- (2n bcx-- (n—: Y nbb-—be) xz U xax(a--5x)? ideoque tam exponentes z; et » cum conflante C, quam relatio coefficientium 2, 5, ce, e, f, g ex hac iegnatinae definiri debet : 2(ae—bc), . M ye PAR ^(a4-bx) «9 — CATER gg 1Y(a4-bx) Tom. XVII. Nou. Comm. T -- 146 CONSIDERATIO AEQVATIONIS -i- (4 d- 0x) Cf —me--(g —me-A-2mnb)x)2-ac (a—n)bcx -rEG-— 1)(b—e)b5xx. XXII. Hinc plures cafus refultant, quos euol- vamus: Primus. Si exponens 2(00—bc),. CENT — .ae—b LL 4n-r 2-2 fcu m — e quo effe debet t—4--2--o feu NO LEE. . Xt. habeatur Y iC(e- bx) — cU bx). Ha (f- doch 4- (g— 252? Ya bx) Jouet (2 D B t Ynb—e)b xx vbi pofiremum membrum per g-j-b x diuifibile- effe debet , id quod duplici modo ficri poteft. T2UVel 6i -2— rj 4d6oQue e c ir ficque erit pri cM CU CHO E (g — ES) ye: 49a 402 Q, vnde fit iCactemita fa moyen oen et iCpIÉtEL:.-.g— Lg baro *9d 208 4aGa Ergo «uh vec b (a3-o? — LIUM. Dc LMREE y bf—ag— TERT Í[Íug-Z7--- —.W(c-4-ex) | du-— za en 2a -bxy- b E: et ILI SM LE £ sien: p Va(qH x)-bx (us x ?*. Confequenter ae- quátio integralis (ets 2€ DIFFERENTIO:DIFFERENTIALIS. vay ENTM | ^u pe (x^** (24-bx)da-- 46-918 -E 95, cand yy — Adx* BE. — (^) sudes a «aa xoc - e "ne Buo URS 56 2*. Vel eft y — 95 ct , ideoque e — — et n——05 vndé fit. | x C(a- Hx) — 52 2 (ab) 4f — 69 RD -Mg- tese] x4c4- 5e bey ergo ; Et e RT. TM sedg. e — b(cc-——aa) bc(a —c) — V ndtids et ; C b — 995779 -- g 4- e uOzÉg-—-bieL— vnde colligitur 2 f— ag feu g —?/; qui eft cafus , quo aequatio propofita per a 4- b x diuifibilis exiftit, ficque nihil habet difficultatis. XXIII. Secundus cafüs eft quo 2Gel-b)—4m--accr et t'—4m-o-o ideoque z — es et n c 2b-ki0:—:55, jta vt ha- beamus 3CCa- bx) tae ba 4 (f— et (g eaa a) -1-acA-(2 —1)5cx-4-(1—1 (nb —e)bxx | qui cafus iterum in duos difpertitur : 1*. Vel eft 5» — r , ideoque 2ae—2bczaab —— sab-p:bco b(sa-zcy et e- pou 2G vade fit ;C5 (a ife tchat eet uw hiucque rDOULcoedd |e(a—e)c— r. : (a—6o0* .C-— 43 fcfoUL85-f "Y bl et 148 CONSIDERATIO AEQVATIONIS zbee aa) p pia gaz el b c(a 4 c) e oc e£ 1:548. qui eft kr quartus in 6. ro. —.ae—bc — d5-1-:ae—2bc —— 2^. Vel eft g— 7 — Ua. ideoque e— 1 et 7 —,; vnde aequatio per 2 -1- b x diuiía ü. i e — caa 4-3 bx) Ao f A- E) e (g - eoa be Cx ^gd N 4aa ita vt fit T ; C — UM f --t6—9 mx ru b(cc —a) bc b (-4- c)(a — : c) Reni, e e e di c cl ca c z2 qui erat cafus 2?. in $. r9. XXIV. Tertius cafus eft quo ipe i2 4-221 €t C—4m-4-»-x ab ideoque 74 — £-€2* et indosurT E ^aG 40b ficque habebimus : iCx(a- bx) 670 ao bao) Hf 564:9 Eg pet e Sw (aae pao) 6aaQq 85ag -1-ac-4r-(2 —1)bcxA- (n—1 (nb —1)oxx cuius vltimum membrum duplici modo per a-r2x redditur diuifibile. eSbarlac tes eder, ideoque e— 56 228: 0 4ab E vnde oritur - nCaum -—. (0-1-2€) one to (a--bx)4-f-- e(z OO pg 4-16: 16.0a ita vt fieri oporteat | P E:o6e i ri fies £e feu prm 16g 16 8 et DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. :49 et ONE o Cad rs NATL 16a q- 5aG0q 160g qui erat cafus 3? in 6. r9. A Si g — Ue c ticene be feu gu deem et f:— 1 204 uut nn (a4-b X) tf— uL tgx ipie 16 88 Te ideoque: | | f -i- Exi9ec oid i -e00—:2 — 9 ftu yes VENIS eray ECC eus) al Psi as PE gi ea) qui erat cafus. x^, in $. r9. XXV. Quarius cafüs eft quo z(qe—bc) —— ECT — —t—R —0—4/-1.2—0. 68 — —47--2-—9 ideoque z; — ^9 et m — **--9'—À^, vt habeamus: a b. E — cc bx) E (q- c (a--e b(aa— 4C — (apo x) (ar bxyf— r0 (p Hane) "qr peeb Eee DOT DAR vnde fin?ulas- poteffates. feorfim: tollendo: colligimus 2 mo Mu bg y bba—co) | (ab —ae-4-be(ab—at—bc) o ^agq 208. TS bcc—aa;. UR pp—v 4-4g paie) 3 o mcr QINEEIR —Qo 20g: 2Qqu 2d 2 i) ex illa- fit g-'€—:P ex hac vero: £f4-ag — ideoque. f — e— E. quae funt binae. soudid tiones ; tumr vero: capi debebit E APRES 163 i(a— c). T $ XX VL. :56 — CONSIDERATIO AEQVATIONIS - XXVI. Quintus cafus quo e(ae—bc) 2c ab —4h4-220; et —5—4m-F-2-t, ideoque mILÉUES etn CUR rdi de vt habeamus: (Caetera bx eae bxX f 9 (gy. --aàc pp aec c Cx— (ab—ae 4- bcYab- -bc(ab-—ae—bc) XX 4adq hincque: bb(2c-4-a) (2c— sa) bl(a— c(2c-1-2).. (ab—ae--bc(ab—ae- Fc) -— 16 2 Q0 "d bg WOMIT «aa 4Qdaq -O feu E — (b—2 doc x74 e) Gero af— Oe) --acezco feu fc EHE) et 16 q 1 — À ;.C-— ^05 XXVII. Sextus cafus quo ie — 4nd ao et —^—4:4-2— 2 ideoque m-— 5o etnl2bet—3* vt habeamus: LCxx 839 (a p bx] Grex f 2 GE bla) v) zt f —ae-Ebc) ,. "uec zab zu E ex kei er tec baP ae Eo) 4. x vnde fieri oportet: . £E—:2 gf — tt --ac-o TN deuiH a uade nn —bitp agp PELIS p rnit Pr 9 pem —c(«ab-—2ae-- bc) Íei i- TII FR 10 — —bct4ab—asae--b5c) o9 XXVIII. Pro his autem pw omnibus cum ft u-—x"(a-r-bxy erit DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. 15x erit : e x77 (a--bxy 7 (e4-62) —mx"- (a--bxy —nbx" (a-- bx feu $-—a"— (aX bx) (c —ma-- (e — (m 4-1)5) x) vnde aequatio integralis colligitur : x" (a4 bxy MESS rumen eda)- Andi a (a -- b x) Uh abs QC MBR EU n —iCxe2 TÜ(e-Ebx) ANTEA zzdx c-ma--(e- (m a- 1)b)x Ai vel erit d z —- SEO | Edu-- 2t. puer ru AH dxV (A— 4"Üa--bx) «5 zz) — M ——— —— —— —— — —— —ÓM — Pu ce Pu b 73 Quare pro cafibus inuentis integralia aequationjs propofitae dxd (f--gx)mdat.o. (a ib 3)dd s - (c t7 ex DEAE qU-EEDtUI— fequenti modo fe habebunt. Cafus I C. a is aee U(20- 6) L. - i DE ta E m3; nor, eclt0O5 pllUEEDetlClilt-, Integrale igitur erit saiG pha) in Ri -Y(A— | («af — (4- (8 uc -c)) sa) Cafus.IL -. e—*5 g—Hü fj — 5:5, n-o et Co i-e, Intes 152. CONSIDERATIO AEQVATIONIS Integrale ergo erit a (c— 8) 4-5 (c — a)x Sue Hzc LN e. dx —(a— sv (A (ef. P mir. Er. fiue uis 4aaxx duds — dx. Em Y (A 44-9 ey -44f), 23. 24x -— 444XX. | Asa : Cafus IIL (mV CEREEd; mt, acier i CoSest, vnde integrale eft MESA c-ayvtex, dx- dx SEWPUM 4íVa-2 e E) M ^ 2e4AX(a--bx) - jo La ge A44 X x (a-4-bx Cafus IV. eztmen gc gp 275, ni et Cc£EEe, vnde integrale eff d» erae d z. -Y(&4- ((—J— —4af)zz [d Dm 4x X 24x Ar (ein 44XX(a4- bx). s Clu ^ t pee), gu tecabe eg tbecna. ;fm- "Du m ret iC "aur ; vnde integrale erit al 220-2 b(aed-a)x dx (pa Loc) "164072 ^ &GX(4pb) — X) CEN) - 16aax(aóx) Cafus DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. 153 Cafus.VI ec Em vf eda e-d em a). jas. nci et 1 1Czg-Me, vide integrale erit ; d'y s a. b(a-2c) —16aag)es du ES LL a pac x TA ; e 4 X ** (g4-bx) €: afus. VII. facte 2bce— -a6). PgpmUmS Inm plltee etel ba Lo d j vude integrale erit K cb(ecabw 15d Xo V/A ((a-ey -4.af yas 2A(a--bx) - A" (a-pbxy- 4 xX(a-- bx) . 1 Cafus VIII. £e más yes LN sepe; M Ili e - a. an ib-ees- te 9 "aab eric eicee ecpbep vnde integrale erit 26—a4(2e— 3D dx , Qb-ae--bo) ze ds —— DUMELLL e E T 4X(G--bx) X" (a--bx) 4abx(a--bx) . Cafus IX. f EESTI ueni q— ii V) üLEh ; et ; C— bg—i(b—ey vnde integrale cx (e—bx dx ((b—eY —4bg)zs d Lp ru yr SRMCCL ite Y VT ze ix) T — map bay 4 (a-- bx) D - Tom. XVII. Nou.Comm. V XXIX. t£$4 CONSID. AEQVAT. DIFFERENTIO-DIFF. XXIX. Praeter hos vero mouem cafus, quibus binae. relationes inter coeffcientes praefícribuntur , initio. innumerabiles cafus integrabiles duplici modo eruimus. Altero priori €. VI. integrale algebraicum huius formae: — — EIAx-LBatU-CXa-DatU --etc. affignari poteft, íi denotante Z numerum. integruns pofitiuum quemcunque fuerit: «*(n-—1)a--me--f-o et Q -r-2(m2-i-—i)b--n-4-3e--g—o Altero. vero. pofteriori $. VIIL. Integrale huius eff formae 2 (a4 pr Ue C EIE D Aa Bats C4 etc. ) fi fucrit )(n — 1)a-- oie o et (Dei 1)b- rH o 26—e)g S54 Pt — tto, Quae integralia etfi funt particularia ,, tamen ex. iis: completa facile determinantur. sOLV- et3$ ( 0 ) $e 155 SOLVTIO PROBLEMATIS ANALYTICI. Auctore AND. IOH. LEXELL. X. Tie Problema Analyticum, cuius folutionem heic exponere conftitui, idem «eft, quod ab lllu(tr. Ewero in Tomo XVI1. Comment. pag. 6. ita pro- pofitam habetur : Propofitis duabus wariabilibus t ét u, earum fex inuenire funtfiomes Y, m, n et s ys, v. ita comparata , wi fex fequentibus conditionibus. atisfidt : T. 623—025 IT. 7)59)5 nr. 02-625 E EIOS ENS V*., NAM e H-Yyy—1; vi [X A- 18 g. 4- ny z— 9. Quamuis enim ab llluftr. Ewkro huius Pro- TES folutio elegantiffima iam fit allata , tamen praefentem hac occafione proponendam , aliquam at- tentionem mereri exiftimo , quod non folum directa fit, (ed etiam, qued vix fufpicari liceret , ex prin- cipiis doctrinae fphaericae 'deducta, quae tamen prin- cipia primo intuitu, cum hoc argumento, vix quic- quam commune habcre videntur. ^ Antequam vero ipfam Problematis folutionem adferre licet, Lemma- ta quaedam e doctrina fphaerica praemittenda erunt. V 2 Lem- Fig. '* ?* drante. circuli inter fc diftantibus ,. fi bina alia pun- 19. 2e. (96 SOLVTIO Lemma IL. 2. Si in füperficie Sphaerae, tria dentur pun- . &a A, D, D, quadrante circuli inter fe. diflantia , et quartum quodeunque pun&um F in eadem fíu- perficie cum illis iungatur, arcubus circulorum maximorum" AF, BF, DF; erit cof, A F* --cof. BF* --cof. DE^ — 1. Demonflratio.. Sit centrum. Sphaerae. in. C et du&is radiis AC, BC, DC, ex pundo F.in,planum BCA demittatur perpeodicularis F P, tum: vero: in | rectas AC, BC, DC normales F N, F M, FO, iun-. gantur autem MP, NP, CE. Erunt igitur cofinus arcuum A F, BF, DF refpe&iue aequales. cofinubus angulorum A CF, BCF, DC FE; quorum. cofinus funt CN,CM.FP([(..CO (Y A c3 cx? cR cp)» 6ft Veto | CM'-4-CN'—CF et CP"--PF^— CF, hinc cof. AF" --co. BE --cof DE de ei EL Haec propofitio. quidem: iam. dudum: cognita. eft, quum vero non.Ííuccurrat vbi eius demoaflratio alla-- ta fit, ne quid. dcfiderari. poffet ,. eam. hoc id non. practePauupn effe -exiftimaui.. Lemma .]I.: ! 5. Datis vt ante tribus punctis A, B,.D qua- Ca PROBLEMATIS. ANALYTICI. 157 &a E,F vbicunque in füperficie Sphaerica affuman- tur, quae tam inter fe, quam cum. punctis A, B, D iungantur arcubus circulorum maximorum BF, AE, BE, IVESAT, DTI, en cot. EF- cof. AE cof AF-4- coL BEcof, BE-F-cof.DE cof.DF. Demonfítratio. Producantur arcus B E, B F. vsque dum cir- culo imaximo. A D' occurrant. in M. et NN ,. eritque ex elementis. Trigonometriae Sphaericae : cof. EF — cof A E co. AF-- fin. AE fin. AF co. EAF, quum autem fit —— co.EA F —cot.EADcof FAD4 fin. EAD fin.FAD. habebitur: cof EF—cof. A Ecof. AF--fin. AEG n. AFcof. EAD cof. FAD tn. AEfin.AFfin.B ADfin.FAD. Atqui eft fin. AEfin. EA D— fin. EM —co( B E fin-.AF&ün.F.A D—fin.F Nzcof. BF , tum. vero: fin. AEcof.EA D— cof. EU fin. AE cot. FAD— cof F D;. his- igitur: valoribus- in: vir d ione: pro: cof. EF füb-. ftitutis-,. fiet: cof. E €— AEcof. AF-rcof.BE cof. BFcof. DE cof DF, COLPOTk rr. Hinc facile: deducitur. effe : 2co. FE— fin. AE(n. AEfn. EAFA4G. DpEfn.BFfin.EBF fin. DE Ga.D. EF Gin. ED F. V3 Coroll Es 158 01€ vt I6 Coroll 2. Si EF (tatuatur aequalis quadranti circuli, fiet cof. E F — o, ideoque pro hoc cafu cof. A Ecof. A F -- cof. BEcof.BF cot. DE cot.DF —0, Si puncta E et F coiacidant, fit cof. EF — r, ideo- que pro eo cafu cof. A E 4- cof. BE -- co. DE' — 1, vti etiam in fuperiori Lemmate demonftrauimus, Sin vero puncta E, F íemicirculo inter íe di(lent, erit cof. E F — — r, ideoque cot. AE co. AF--cof. BE cof. BF-- cof. DE cof. DF — - 1, quod etiam .cum. Lemmate primo apprime congruit, quia hoc in cafu cot. AFZ-coC AE, cot BF—-co(BE, cof. DF—-cof. DE. Scholion. Demonftratio quidem noflra ad eum cafum quafi re(lricda: videtur , quo puncta E,F intra eun- dem octantem Sphaerae cadunt, at fi intra diueríos caderent , demonílratio tamen aeque faácile procedit. Ponamus exempli cauffa F cadere in octantem Sphae- rae proxinom arcui A D adiacentem , eritque cof. E A F— cof. EADcof. FAD— fin. EAD fin.FAD hincque pro iíto cafü cof. EF-cof. AEcof AF 4 fin. AEfin.A Fco. EADcofFAD -Íin.AEfin. AEfin EADfin.F AD. Quum PROBLEMATIS ANALYTiCI. 15g Quum igitur fit fiL AE co. EAD— cof. ED fin. AF cof. F AD—co(.F D fin. AEfin,EA D—fin. EM —coft. BE fin. AF fin. FA D—fin.F N— —cot BF prodibit vt antea cof. E F — cof. A E cof. A F -- cof. B Eco BF 4 cof.D E cof. DF. Lemma IIl. . 4. Si ex puncto quocunque A in füperficie Tab. L Sphaerica , ducantur ad tria punda D, C, D in eo- Fig. » dem circulo maximo fita, arcus circulorum | maxi- morum AB, AC, AD, cerit : cof ACfin. BD-—cof.A D fin. BC-r-cof. A B fin. CD, tum vero : fin.ACfin.BDcof. ACB-cof. A Bcof.CD-cof.ADcof; BC, Demonílratio. Quum fit cof. A B-- cof. A Ccof. BC-- fin. ACfin.BCcof. ACE atque cof. A D—cof. A Ccot. D C— fin. A Cfin.CD cof. ACB habebitur ; cof. AB (in.CD-coC AD in.BC-cof. AC(co. BC fin. CD4-cof.CDfn,BC) —cof. AC fin. B D, En 160 $1 6vL. VITSE Qu Eft vero queque -^ cof. ABcof. CD-cot, ADco.BC- fiu. ACcof. AC B(fin.BCcof.CD-4-cof.BCfin.CD) —Ífin A Cfin. BDcot ACD. Corolb Cafn quo B D aequalis quadranti circuli, ideo- que cof, B) — o er üm. B3 —" Bet cof. A C — cof. A B án. C D4-cot A Dfin. BC fin. ACcof. A CB—cot. A Bcot. C D—cof. AD cof BC. 5. His igitur praemonitis, nunc ipfam folu- tionem Problematis noflri adgrediamur et primum quidem attentionem faciamus ad tres vltimas condi- - tiones , quibus praefcribitur, vt fit H-A-mn-nn—i3 AMpPWMew-ci et 4AX-Lmy--uo. Tb. I, Si enim in fuperficie Sphaerica data fuerint puncta Fig. 4. A, B, D quadrante circuli inter íe di(lantia, tum vero. vbicunque in eadem fuperficie bina alia affuman- tur puncta 1, H arcu 90^ ister fe diftantia et iungan- tur AI, BI, DI, AH, BH, DH, rper Lemma noftrum I1"? et Lemmatis II^ Coroll. 2^" habe- bimus. | cof. AI --co BI--co DY — 1 5 cof. AH" --cof. BH: cot. DH — 1; €of. A Tcof. AH -- cof. BI cot. BH 4- cof. DIcof. DH — o, ex quo iam patet litteras /, 7, n commode reprae- fentari poffe per cofinus arcuum A I, BT, DI, at- que A, M, » per cofinus arcuum. A H; D H, D-H. Vt vero nunc indolem quantitatum Z, 2, 7, A, M, v e talem PROBLEMATIS ANALYTICL . sóc talem quoque eruamus, qua prioribus tribus condi- tionibus fatisfiat ," concipiamus fitum proximum ar- cus I H, ex variabilitate quantitatum /, z: 5, A, V, V, feu arcuum AI, BI, DI, AH, BH, DH pen- dentem effe 7 5 et fecet hic arcus priorem IH. in puuco E, tum vero iungantur arcus AE, DE, DE, Per Lemm. autem 111^ Coroll. iam habebimus: cof. ATL fio. EH-- cof. AH fin. EL— co. AE - co. BI io. EH -- co. BB fin. EI— cof. BE cof. DIfin. EH-4 cot. DH fin. EI— cof. DE nec non cof. Alcof EH —cof AH cof ET— fin; AEcof. AEI: cof. BI co. EH — cof, BHcof, EI — fin. BEcof. BEI cof. DIco.EH— cof. DHcot. EI-—fin.DEcof(. DEI. Si igitur arcus EH. dicatur o, ideoque EI—g90^-«, tum vero. cof AE— 5, cocBE—4, co. DE—r, |. ) nünc has adipifeemur acquationes : | Ifin.o 4 Acof.a 2p; míin.o-- y. cof. oa— 4; nfin.a--y coto r atque — (c aids Icof.o—An.s—fin. AEcof AET; scof.— NN w— fin.BEcof(.BEI acof.u —"fin o—fin. D Eco. DEI. 6. Si nunc arcus EH, dum in E abit, concipiatur tangere lineam quabdam curuam e E M in fuperficie fphaerae deícriptam , abícindatur arcus cuui EM-EH-eo, fitque diff&rentiale arcus Tom, XVII. Nou. Comm. . X E M. 12 | SOLVTIO EM-Ee-do, tumque ducatur Ae, et arcus eG perpeudicularis in A E. Quum nunc fit EG-cEecotAEH--Eecot AEI* et d. co AE—4p — —EG fin. AE; prodibit dp-dauín.AEcoLAEI, atqui eft lfin«d 4- A cof. o — p, captis igitur vtrinque differentialibus prodibit : di(in. à -- dA cof. 4- do (Icof. a — ^ fin.) — dp atque quum habeatur We dp—duatin.AEcof.AEI-—da(Icof.o—Ain.w) conf. $. praec. erit quoque dl(ün.«-1-dAcof.o — o feu d —— dITang. o. Simili modo fi duci concipiantur arcus Be, De, demonftrabitur effe dq-—dafin,BEcoC BEI et dr—difin.DEcof, DEI, vnde deducitur dmíin.a--d M. cof.9—0 et dn(in. u--dvcofto—o fcu dy.—-—dmYang.a et dy ——dnTang o. H8 Quum iteque iam fit | | dA:dli: dsdu::dvsdn::— Tang. o: r, patet litteras 7, m, s, À, M, » fünctioncs effe eius- dem variabilis «X. Hinc vero quandoquidem inte- gralia f (ldtA-Adu); fndtsgdà f(ndt3-vdu) ; redu- "PROBLEMATIS ANALYTICI. 163 reducantur ad integrabilitatem formularum ftdl -udX)- f aKt-uTang.o) ; f(tdm--udy.)—fam(t-uTang.u) f(tdn--udv) — fdn(s — u Tang.o) perfpicitur has tres formulae fieri integrabiles , fi t —u'Tang.w füerit functio variabilis o, quod. iim facile obtinetur , ftatuendo t-—KXL-L-sfíno etu-— )-r-rcof a, vbi &Y et €)! defignant quascunque fünctiones ipfius €, f aütem denotat quantitatem indeterminatam ab o plane non pendentem , hoc enim- modo fiet - £ — uv Tang. o — X1 — X Tang. o, feu funcioni folam variabilem c inuoluenti.: *3. Sequenti igitur modo hinc folutio Proble-- matis no(lri adornari poteft: In. fuperficie fphserae' defcribatur curua quaecunque M E. et in circulo ma- Ximo eam ad E tangente H E I, abfcindatur arcus EH-—EMc-o, tum vero fumatur punctum I vt fit IH — 90o*... Porro ex punc&is A,B;D qua- drante circuli inter fe diftantibus, ducantur. arcus circulorum maximorum AI, AE, AH, BI, BE, BH, DL DE, D H-et ponantur" quantitates 7, 27,5 refpe&tiue aequales cofinubus arcuum. A I, B I, D Ll. nec non A, p,» proportionales cofinubus arcuum: AH, BH, DH. Statustur. autem £— $4 sfn o etu — Q4 scof. v, defignantibus X1, €)/ fun&iones quascunque ipfius o, s "ero quantitatem indeterminatam ab q non penden- X 2 |^. ftem. - e B 164 »—$0LVTIO. tem. Si enim cof A F,cof. B F, cof. D E nunc quo- que refpeciue exprimantur littcris |, q; f facile. intellig tur has quantitates. effc. (unct. ones ipfius q. Euidens autem eft ob aequationcs cof. AIL ia. EH -4- cof. A Hcof. EH-—cofAE cof. BI (in. EH 4-cof. BH cof. FE H — cot BE cof. D1in. E. H-cot DH co, E H —cot. DE nec non - cof. A Icof. EH — cof AH (in. E H— fin. AEcof. ARI cof.'Blco(. EH —cof. BHfin. EH — n. Bt.cot BEE cof. DIcof. EH —cot,. DH fin. EH — fin. DD es quae in has transformantur | Ifin. à A cof. o— p; 1 cof. —A in. a — 1? — fin. .A Eco AEI t n. o 4- y. cof. — 95 mcof. a — y. (n. Me ni rm BE cof. BEI fi fin.o--vycofo—r; nem fin. 9 — 77 — fin. DEcof. DEI emergere: —— - ] —pfin.o 4-fcof.u; pita ni "E 71— q (in. o 4-3 3cof.a; |. —qcof. a — 2 fin. o UP ey à 4-27 cof. a; » rco a— 37 (in. a | | €X quo omnino colligitur , quantitates 7, z7, t, A, MK, effé funciones ipfius o, tum vero vt fupra $ prae- cedenti , demon(trabitur effe : d» idlisdy tdm: Jb: apa um xev abs auem fit — d I"IM»PERnP EE na PROBLEMATIS ANALYTICL ^ 65 f (Ht du) S lt Xu— f(td F-ud *) npe on cnt uf (rdmaudyp) - f(n dt--y du)-— ni«vu-fudn T ud y), func confcquemur [dd edo 14 a-[41(0 — Q/! Tang. uy f(mdt3- y. du) — mt A yu f d m(X, — XY Tang «) x OP diy du) —nttvu—/fdn(Q—XTang.o). ]am autem de integrabilitate harum- formularum , nullum amplius fupereít dubium , fiquidem | quanti- tates figno integrationis affectae , non nifi functiones folam' & inuoluentes comple&antur. . Caeterum haec integralia exprimi 'quoque poffunt fequenti modo : - f (I dt-- X du) — f d €, 4-Xd Q/)44 sCI fia. a 4- Xcof: o) f ndi-- y du) —f (md X -- yd 9) 4 502 fin. a 4- Jc cof d) f (n 41 4-v atit Soie (4 fin. o4 NE wel etiam ita . . , : CIdt Ndu)— A DIRAS i | - f(mat 3- y. du) — f ina Q3 p.d 4) 4-59 f(ndt-» duj Z find o 4- yd) rre $. Nune autem operae pretium quoque erit finzulares quasdam affe&iones quantitatum /, m, A, A, ps v et p, qQ, r heic accuratius ex pendere. Quod autem priores attinet ,' obferuamus eas d differen- .tialia fic fatis Ei cin exprimi: . ]— $?5sew. — d.a Sec.w, 4 — dàrSe.uw c d.Taigoo — d. Tanga? " — q."ang.a "ALI —d.Coe.m. ,-——d.qSe-o d.r Cofe-a . |. 7 d. Calo "mE AH é Coo $9) — EG Td opa X5 AUT NH. 166 ^ 'SOLVTIO Y Vlterius quum fit. Loc hae etis [-— t3 LEE prodibit quadratis fümendis (-4- mm A- nn)cof, a — a (Dhd- mp. nv) fin. cof p -E (3 -- p. p. -- vv)fin. [^ cof. -1 fin. o* -: f LIE AAT feu. do —dp 4 dq dr. Idem vero etiam fequenti modo demonftratur t ada Ip aumt c m— (Qpiqu-crr) fin «c2 fi tocof,u etaient) LS. A ae $27 cobas tum. vero . lla-mm-- nni; ppt et vn on eniro hábebitur cof. o* —cof. g' BEAT eam, (cu pem — heard Praeterea. notari quoque meretur, formulas ittegelles in $ praecedenti allatas, introducendo pro/ et. A eorum valores, fic exprimi poffe: | f (1dt- 9 da)a fpa in. ini ud 9)4-/ 2? (aX1cof.a- 2) in.o)--5p JGndi- du) fgid Oo fin ui d CY/cof. 0H f: 2*(d €. cof-d in. u)45 f (ndi vdi)—[r (din. « d cof, a) ft dT 7 (d. C. coe dC (ina at vel etiam hoc modo: T( ldt --Adu) ph -p Secr Ap (29-5; . p.Cofec. "iir sp d. Tang. [79 d. Cof.t | f(ndt-- jd cp A pteem ae fa S $4 Mida — [RR [ p cie c Cer Qo gp. 9. Quum PROBLEMATIS ANALYTICI. 163 9. Quum Illuftr. Eu/erus ad folutionem prae- fentis Problematis ^Analytici, perduc&us fuerit ex confideratione folidorum , quorum füperficies in pla- num explicare licet , haud incongruum erit expen- dere , qualis intercedat affinitas inter Problema Ana- lyticum et quaeftionem iftam Geometricam. | Quo- niam autem prima folutio , quam Illuftr, Eulerus pro íolidis quorum füperficies in planum explicari fe finunt , in Differtatione füa attulit, directe re- foluatur in folutionem Problematis huius Analytici ; inueftigabimus tantum , vtrum et quo refpecu íolu- tio fecunda in differtatioge Illuftr. Euri allata, cum problemate hoc Anilytico congruat? Funda- mentum autem iftius folutionis in eo pofitum eft, quod pro omni -.folido cuius fuüperficies in planum. fit explicabilis , ex quolibet füperficiei pun&o , fal- tem vna educi poffit linea re&a , quae tota. in hanc fuperficiem incidat et quod binae quaeuis huiusmodi recae inter fe proximae in eodem plano fint con- ftitutae , ideoque vel inter fe fint parallelae , vel in aliquo pun&o concurrant. Hinc autem perípicitur per occurfüs harum recarum formari lineam cur: vam duplicis curuaturae ita comparatam , vt fingu- le eius tangentes produ&dae in ipfam 92 VR i corporis quaefiti incidant. 10. Si igitur fuerit 2v V huiusmodi linea curua duplicis curuaturae , fitque eius proiectio | in datum planum A T U, linea curua 2 4 U pro qua dicantur coordinatae A-T — T et TU—U, tum vero linea U V normalis ad planum AUT, quae | "curuae Tab. I. Fig. 5. Tb. IT 168. UH SIG! LV TIPO curüae duplicis, curuaturae occurrit in, V , ftatuatur zz V et ex natura curüarum. duplicis curuaturae in- telligitur , tam. U, quam V efle fun&iooem quanti-, tais T. .. Concipiamus iam 4 cffe proximum, in proie&ione 4 4 U. punctum, et ducas efle £7, uv, illam fcilicet perpendicularem ad A T, hanc vero ad planum A T U normalem, quae occurrat curuae duplicis curnaturae in puocto v, ita vt fit V « dif- £rentiale. curuae 4 9 V. quod. dicamus 4 S , fignifican- te. S. ipfum arcum 2 V. Per V-autem concipiantur. du&do;e PV, PQ. refpectiue parallelae ipfis A T, T U, angulosque v. V P, v V Q, v VU refpectiue. defi-. gnemus pr litteras $, », €... Quum igitur fiot. U. et. V «fündiiones, ipfius T, liquet. quoque angulos. 65:9; Ó determinatas huius quantitatis cffe fundio-, nes, ncc non differentiale : 4$ V (4. H- 4 e d V) Vicifüm autem hinc collizere [licet ,. non folum T. D. £M fed etiam i. LS ha cras conftituere fübé. ones reu S. m ir. Vt autem rli quae esteri inter dS. Fig. ;,:€U differentialia. ipforum, T, U; V facilius inueniatur;. €t 6. co:cipiamus 4v productam fi opus fit, Occurrere. plhno PV OQ in s, ita vt fiat uisasa Va per. 5. "autem ducantur-lineae 5 p,.5 4 parallelae. ipfis. V Q, 'VP et'iungantur. $9, qv, V s. Si nunc, pet 4, de&a concipiatur 4. IN parallela ipfi A T, erit ob. — parallelam et aequal. m ipfi $44. U.& parallela LN dpfi Vs; eft ero. quoque V 4 parallela, ipfi PROBLEMATIS ANALYTICL ^ t65 ipfii U N et 4 parallela ipfi 4 N; erunt ergo trian- gula 5 V4, & UN inter fc fimilix et aequalia, hoc eft UN zz Vig eteuiN mcs qim Vo. Porro, ob v s .normalem ad plaaum PVQ et sf perpendicularem ipfi P V, nec non s4 perpendicula- rem ipfi V Q, erunt qüoque vp,vq ipfis V P, V Q refpe&iue perpendiculares ,' vnde confequimur Visgein sint cof. o V P; U Nzc V q—V ».cof. 9 VQ et | v£—Vwv.cof. c VU hoc ef — dT—4Scof. 6; EU dScot. ; ; dV —dScof.0 12. Vt autem inueniatur aequatio, quae ad. totam fuperficiem in' planum ' explicabilem — pateat , fümatur in tangente V v M .pun&um aliquod Z, ex quo demittatur in. planum A T U perpendicularis Z Y, tum vero ducatur Y X perpendicularis ad A T. Duéáa autem per Y, Y L parallelà ipfi A T, quae ordinatae T U' occurrit in L, atque per Z, OZ parallela ipfi Y U, quae re&ae U V. occurrat in O, iam facile quidem. demonftrabitur effe X L- ZN coí.à; UL-ZN cof. et. VO—ZV cof; demonítratio enim eodem modo procedit , ac ea, qua füpra eui&um dedimus eff "ND Vocof Z ; Vq— Vwvcof.v; v— V vcof. f. Si igitur iam. dicatur Z V — 5$, de qua facile intel- ligitur , quod'a quantitatibus T, U, V prorfus "Pa in- dependens ,. pro coordinatis AX zx yix Yem yrilet Y ZisW e: Tom. X VII. Nou. Comm. Y ji has 170 SOLVTIO has confequemur expreffiones : 3—AX—AT-TX—AT-YLC-T — scof.2—/f4S cof. & — s cof. d J—XY-—U T-UL-—U —- :cof. — f dScof.* — scof. X Z—ZY-VU-VO-cV — roof, 06 — f dScof. 0— scof. 9. 15. Verum enimuero quum prior folutio in Diffrtatione Illuftr. Eweri allata praebeat x (dt --Adu); y —f(mdt--y.du); z — f (ndi--vdu) habebitur per folutionem noftram fupra expofitam x— fP(4Q.fia. a 4-d C cof. o)4- / 1? (dO, cof. a —4 C! (in. 9) — 5p J —f 4 (4 oin, a 4-d C) cof.)4- f 4 (d X, cof. à — 4 Qn. u)— 5 z— fr (d fin. 4-d Q! cof. «)|t- $7 (dX, cof. o — 2X in o) — 5f qui valores ad identitatem cum | modo allatis redu- cuntur , füpponendo p—«coté&; q-—cof.'w et r — cof 6, praetereaque ftatuendo d X cof. o — d X?! (in. o — o. Quum enim effe debeat "LUE 2T E. Bv. . b(dX1n.e--d Xo'cofa)4- 2? (JX)cof.a-2 O/fin.a) dU" col 4^ q(dCYün.o-4d XL.cofo)4- 4 3 (dXYcof.a-d Qn.«) euidens omnino eít ad hoc efficiendum requiri, wt fit £5, — Tang. o, Pofito autem 2X, — 4! Tang.u, habebitur d €, fin. à -i-. Q/ cof. a — jr. — 48. Ex his igitur concludere licet, folutionem generalem Problematis Analytici, dum adplicatur ad folutio- nem PROBLEMATIS ANALYTICL ^ 174 sem fecundam quaeftionis Geometricae ab Ilíuftr. Eulro alatam , ita reftringi debere , vt ponatur — f 4S.fin.u —5fig.o et uz / dS.cof. —scof. v, quum tamen in folutione generali , quae cum folu- tione prima llluftr. Euri aeque late patere debet, nulla omnino eiusmodi conditio pro natura functio- num 4L et ()' praefcripta iutelligatur. ^ Dubium igitur effe poteft, vtrum folutio fecunda llluftr. Eulri generalis fit, feu an praeter ea folida, ad quae haec folutio adplicatur , nulla alia dentur, quorum fuperficies in planum fit explicabilis , vel potius annon Problema Anályticum latius pateat, quam quae- ftio illa Geometrica ? Pofterius quidem mihi , proba- bilius videtur, dubio autem allato perfecte diluendo me imparem effe, fateri cogor. 14. Denique ab.argumento noflro haud alie- num erit; oftendere , qualis inter folutiones TMluftr. Euleri YI" et 1II^" intercedat confenfus, feu am- bas has folutignes bene inter fe conciliari. Quum igitur tertia 'folutio eo. zedeat , «wt /ftatui debeat J—M--NX étz—P-rQx, pofitis M, N, P, Q quibuscunque füncionibus eius- dem variabilis o, modo haec adimpleatur conditio $1343 nunc difpiciendum venit, an fecundam folutionem -ad "fimilem "formam reducendo, huic con- ditioni fatisfiat. Quum igitur per fecundam folu- tionem habuerimus : x—T-—scof2; y—U-—3cof.4; et 2— V—scof. 0 vbi XbzfdScotó; U—fdScof.q; V— f dScof.04 Y. erit 19» SOLVTIO PROBLEM. ANALYTICI. erit nunc s — 7-77, qui valor in expre(fionibus pro y et z fubititutus praebet : —— Ucof.à — T cof. e » 2a —em xe 5 Abalate ci Mg 4- et a BEEN 704 Ft- 9j. Comparando igitue iu mem cum iftis J—M-Nx;msIP4-Qx EN E —— Ucof.6 — T cof. v. cof. ^ . hum - T cof. —— M-— cof. 2 ? N-—j of. 9? P- r^i ? Q- "coc Sumtis autem NER C: erit dM 20.2 T1998. prsw aw S ELS re v; ' ^ eld c 2 3t — T (d v fin. v cof. 6 ». le à—a4 : mfin. €) 771 e. Q2 TXMNES dP—T (dfi. à 8 cof. idco cof. 8 fin. 2j co — p d E fin. Cof. — dw fin. wo d N-— Js - T Aecof e d d e. fi. Qcof-à — d 8. in. 0 LA E Q— TI cof. idi m T c ! dM : eX quo iam euidenter patet effe 77 — 97 , ita wt hinc confenfüs harum folutionum | fiat manife(tus. Caeterum kun omnino meretur efle: dM NS eof. eof. à Kee —4 QD: m) —4 i ge EXER- LURRIUTO ES USOEL LO xq EXERCITATIONES | AN AMPOPOTTC^AUE Auctore L EFVLER O "M | Mon parum notatu digna v idetni refatio ; quam inter .fummas harum fetierum diuergentium - 1—2"--3"— 4" -- 5" — etc. et HITS NL is, f abt DEBA NU ; -l- etc. E urog im obéroni , €t quae ita "s habet : (x—27-9^— 4^ etc. — yX D — E etc. Eie dris viel ete) I—2 "F3 —4 etc —3 | TW ub ict i-4 bo cdo- SS re Ho enel 1—2 et LL. rc | ! 1—2'.3— 4^ cete — iz E ERES HE E SES -pete): 1—323'4-g5—4 etm. 00 n " I— 2'4-8/— 4 "c etc "i e SES et) NUS -F3 —4- Fete gt | 1—2'-3 — 4 4 etc -W-d ES sit "usi n d dtc.) IE TL TEROUTR UT TY 174 EXERCITATIONES vbi 7 denotat peripheriam circuli, cuius diameter CAT. 2. Hinc concludere licet, in genere inter has feries infinitas D*rm p—2'74-3'7"—4'— rete, et a Vat get gat etc. huiusmodi relationem locum habere, vt fit 1—2'"7--53''—4—4- etc. ^ 1.9.5 xd (n- 1) EXX » vbi quidem nouimus, quoties n "Es numerus im- par excepto cafü 7 — 1, fore N —— 0; quoties au- tem fit ? numerus par, effe IN vel 4- x vel — r. Scilicet fi fit z numérus irmtpariter par formae 4--2, erit IN.zz-j- 1, fin autem $ numerus pariter par formae 4.77, erit IN — — xz. Vnde .cu- iusmodi functio IN fit ipfius 2 haud difficulter :con- iicéte ieebit:; (cim fü i f— 5,3, 4,5, 6,7, $,9,T0, IT, 12, 15 etc. fit Nc 1, 00,—1, 0, 4-1,0, —1,0,7F1, 6; —I, o'etc. SG A Tx 4£- tc.) 9. Neque etiam , fi rem 'dttentius perpenda- mus; cafus -p — t "hie légi aduerfatur, qua fieri debet N — o; nihil enim impedit, quo . minus "hanc aequalitatem admittamus.: 1—2'F3' —4 4 etc. — Lo(tbLRRPRpDEet) quandoquidem feriei - I-F-id-;-i--étc fumma ANALYTICAE. 175 fumma. eft infinita, vnde vtique fieri potefi -.oevz feu fummae feriei 4 —Ii--tr£-rI:-l-cetc. Quamobrem fine vlla exceptione fi fuerit n — r, 2,93, 4,5, 6,7, $,9e€tc. erit Nz:0,41,0,—1,9, 3-1, 0,— 1, O etc. cui quidem legi innumerae formulae pro N affumene dae fatisfücere poffünt, | Verum dubitare non licet ; quin fimplicifuuma maximeque naturalis hic locum inueniat , quae eft N — cof. *—* s, denotante hic «t angulum duobus rectis aequalem , quoniam finus. to7 tus — : affumitur ; vt - fit femicircumferentia cizculi. 4. Admiffa ergo hac coniectura , habebimus in genere: 5—2 1.2.8..(n-1 1y—2'"7-4- 5^7 —4" 7 4- etc.—2 cof. mag em mia i 1 I t 3 d $c etc) fiue conuertendo : : : UC I wN- T ete, TT ——— ————. nue s m . Sgt 2cof *— tq 1.2.9. ey) | (ratae 37 — 4*7 etc.) atque ex praecedentibus manifeftum eft, hanc aequa- litatem reuera confiflere quoties füerit 2? numerus par, neque etiam a veritate discedere cafibus, qui- bus 7 eft numerus impar. Quare fi ea vera fit pro cafi- I mu 126 EXERCITATIONES ud ; quibus 7 cft numerüs ffactus , formulae! 2. 9... .(n- 1) valores per interpolationem | as- - mE debent, qui quidem pro femiffübus ita fe habent : ün—ic;, FRE $5 74 25 etc. funt. 1Y m; Y g; o5 Y m UHTY m 2557? V mete. 2.26222 et oí tier eio APER MTWTY T co y2? X2? y37" 425? 3T ur P Pro his ergo cafibus habebimus : METTE DO m ri 7 (1—Y2--Y3—V4—Y 5— etc.) SEE acram o TE c (1—2 Y 24-3 Y 3—4Y 4.4 etc.) rd i8 di p UR £Ytm T (1—2/Y 24-3 V.3— 4^ Y 44ketc.) 1-- ey gg tELdeeIlIIL]I$IYtm m'(1- 2 "Va4t5 Y 3—4 V 44- etc.) d -— HORS Ed ett mpl cx IY m *5(1-2'V 24-8 Y 3-4 Tagete) M quae "aequalitates , an abfolute fint verae ;. pertinaci-: ter affeuerare non aufim ; fcrutari ergo conuenit , nüm- fériebus | per- approximationem fummatis ' fatis- fiat; ac pro prima quidem colligimus , 1—Y 2--Y 3—V 44-V 5 — etc. — 0, 380317 proxime qui numerus per TY 2 multiplicatur: dat 1, 689665, cui fumma feriei , 1 TA es oz; UO pr aequalis deprehenditur. 6. Quoniam autem numeris imparibus pro »2 accipiendis hinc nihil concludi pofie videtur , propte- . rea €) E , n7 , , Nl. —— — — — ANALUYTICAE. Ino a*y teà. qüod: a&terü m: membrum: noflrae | acquationiis abit in:$j vt.hos valores inucftigemus, pro s poramus nu- méruiitnftmté parum excedentem numerum integrum, feu fcribamus 7-41- o loco s, denotante ü .fractio- nem nis pam; atque. habebimns- I T" pea Das €of. iéofz— 9m (1:2. MUCEN e ^) d us qao f. i1 elei y gba, beni dar Hic igitur primo obferuo effe I porum —4 tou (x -— ula) vbi logarithmi: rie feu hyperbolici. fant intel ligendi, ita vt fit I I vla q'cu—qq g^ Simili modo erit Mi | aut" acatt ae att das eti m9 — mx um): tum vero fit ' cof, *—3*--* z — cof. — -TOma.UTÍn —--. z Denique cum oftenderim olim formulae I. 2....(/- 1--9) valorem cafü y — i effe —1— O, 53721566 P fi fcribamus brcuitatis gratia Man 0,5772166490155325 fümendo z—1; 2; 3t5 zi: 5 etc. fit 1 2,..(0-119)-1-A05 H1); 2-- (3-22); 6--(1-6x)95 24-H(50-24Ju etc. 7. Confideremus hinc potifümum cafum £2— 3; quandoquidem haec feries I -]- 3c n--5-- etc Tom, XVII. Nou. Comm. Z ita 17$ EXERCITATIONES ita eft comparata, vt omnes adhuc labores ad eius fummam inueftigandam fruftra fufcepti fint. Cum igitur fit cof. *—* m — o et fin. *—* s — 1, noftra aequatio hanc induet formam : -u(- TZ TL. Verum quia I—2'-|- 35 — 4" -- etc. — 0, pofito o — o, habebimus I Tstactuid ttgmero pes "ax 4-5 "I54etc.) ficque ad fcopum pertiogeremus , fi huius feriti lo- garitlimiete 212—585 13-- 4 14 —5' 15 -t- etc. fummam aílgnare liceret. — Simili autem. modo pro reliquis poteftatibus reperitur I--5,--5 4-35 p etc, — —7* (212-3134 -4 14—5^ 15 etc.) T à 24(3-2X)0 PE statee( UrWa(ralmA 1—2-R8 4 rec -a(2']2-3 134-4 14 - etc. mE. t5 tete c e (a 2512—3'13--4*14—5 15 etc) - NUES CER 12—5'13--4*14—5 15 4- etc.) ,.$. Propofita ergo nobis fit haec feries infinita: 212—383 13-4 14— 515-6 16 1 I3 4- etc. — Z vt fiat 1-2-5 -- 5 -I- 5 -- ete — i7 "1Z, et quo minus de eius fümma defperemus, notetur efle T isis 14-15 4-16 — ete — DP Illa ! Ü ANALYTICAE.: 179 Illa autem feries Z in plures formas transmutari poteft , veluti Z-—ls—3li--6It—1o044-1 "Inew 2I libet et ZI 4812-9125 16D 4- 25177 et —a[23—6]13— ro]: — 20125. — etc. Si enim in genere ponamus | Za BI TES cA ete, effe debet. 2a--6— 4 hincque $— dest dee s a--26—9 (y-— rT5a4!w— 9T74 64-2 y--0— 16 ó—10—4a10—28—8«4 'y--204-£— 25 EE leiecale -—15-r-9«4 hic vero füumfimus a — rz, vt progrefio maxime fiat regularis. o. Haec poflerior forma maxime ad inflitu- tum noftrum videtur accommodata ,. quoniam loga- rithmi in feries conuergentes refoluuntur. Hunc in finem pro terminis pofitiuis hac refolutione vtar ; cum quilibet hàc forma contineatur Y mx — xxl-4——— Xxl(i—- inde nafcitur haec feries infinita : xx CI isudczaxs ci ete) feu haec 1 Y a Deos T ug ES i ns 26 zB ES 289* s: 5. PL » due 'etc. Pro terminis autem negatiuis forma generalis eft —x(x4-1)/82 3 —— x (x-A- Y)/(1-- zm ) 4xXx(Xx-- 1) zs quae 180 EXERCITATIONES quae refoluitur ià hanc feriem : I 1 Y I t t — — — SO GRAGqub. sic XU UNE sur etc. vnde valor ipfius Z in has feries transformatur : I odthoieood es pL BL ete) CY MERC Sep ;: d etc. Tem - £u St mrPC un bim ENFGRPIC SUME UIS bus in Pte) i 5.29 10. Quodfi nunc bridal gratia ponamus : 1--n-d-h Mp PIE ET ars E-book gk bb m E ^ -pL- 4r ete — y 0 Y--5-4-5--*5-r-et.—3 ma vbi quidem numeri a, $, y, S etc. funt cogniti ; et .quia | , I-— Y--1i-—rIetc6—; erit a i : LASS T Ti T onc etc.) MIOmT-5n-u-d-ete)b (y 2*4. miae) Vina -hu-h-i-t oam Khen d ee) vbi iam totum negotium ad APIS Os harum Brom EPIO SUR LÁ etes eft eductum, quarum poteftatura Ex 6; 12,20etc, funt numeri pronici, E K« ANALYTICAE. i81 rr. Huius autem feriei finguli t.e nini , quo- Hi Xx"(x-- 1 "k ftatem refolui poffunt , quae ita fe habent: rum forma eft in partes fimplicum pote- N - t LÀ — — 1l &(x--:0)7-* SUE » / u Az E — 1 L] xx y — xà (x—-1)* T PORT: na xXx) — EXC! rM ces id G A (x4. sr bh :(r— E I (45 S/z ——t EU a ts b de A er M E pmo X44 Cum iam (íuümmas praefixo figno / indicando fit I I ' fü-pap gio erit I mu Eg X(X4- 1) Y ia sadi Tyoay- 4s I-—2 à Y i dd. B. V og cmd, decis co — afi 4i A-n-ti 12. In fingulis his expreffionibus. numeros abfolutos commode im vnurms colligere licet , et cum. deinde fit p E (9-7. aca-T;fictm9 [iyw fi-ó)m te Zzgy | habe- "255 EXERCITATIONES habebimus I I 3 V IET 2« € 1.2 $5.15 e z I — Jag 8- 2amT--v- I — La 4e 5 Uus 4s 5,9, 9 d xmdc Diam 1. 26 Z4 & I — 4 5.6.7 g 5. 6. 7^ 829 [| magia——5.28m 1,;407T p e 23 3e 42 5 sce 8. 9 ? 6.7.8. p Oe TE Í asi Y. de 726m E ,20T 1. 2« 2414. 546 etc. vbi haec reductio notatu digna e(t obferuanda : n 4, n(n--1) n(n-g-iM«(2n23) — n(n-c-i(n-2)- o n—1) I*'pha-EOS 5o Wupu-toeapm ipee one T 1,2 T. n * 1.2 esc es (lI—1) 1* 2» ó eec * c9 TL fit enim fümma ex lege nota — (n -—1)(n 2 2)(n 2p 2). (2n — 1) EET le 2« gj le €.» ye ume 13. His igitur valoribus fübílitutis obtine- bimus : Z2. idedu Qm er) Gm sam) Lyn ES 2a) 4 "bn m p isam 28034 iem uc $297 2am- 126m) t; "(5m "Eee e tnt 2aTm (— S a8 — arm )4- etc. I1» 2«9324« 5.6 1e 2e 3e quae expreífüo in has feries refoluitur : — X TUS "OE ecl x 3.4. 5 4s rm -« agree ra 5e 6. 7. 8* Es ;d- etc. m—À T 2 2.25 ze 2$ gv 364425 2972454. 5,2 2«3e4« 2« 3e 4e SeÓe 2! amt 6$T* yn$ $T £o dU 2. 2.25 br 3,26 2 4» 4, 28 RÀ 5,219 T — 6, CEDE i etc. 2,51 "5g 5.6. 7 6« 7» 8. 0 e BUT Ce EX s i ? Md (2 7 Mal le4. 29 m 1,2. 5. En RE 162. 3,6,212 T——— Ie 2e 3« puru IEEE quf 26m C- dT pest mi. m wee Journ eate Ex s etc.) la 203. $'2ls I. 2» 3» 4» 96 2 18 9» 1O. 10. 1I. 12e 13 T: 2ym e. 2!* AU LEE ig M ————— 1e 2« i 4! ncn ——— E Loud uer etc.) le 2e3o 10. 219 2 etc; I4. ANALYTICAE 183 14. Hinc deducimur ad iftam feriem infini- tam generalem , quae illas feries numericas omnee in fe complec&itur : 1 gore (m4-1YmE2) (n--2) (n - 3)(nd- 4) fi. 2?" troie o(1t2)2 o?^--* 2. 5. (n4- 3) Q^ 2-6 (14-3) 24- 4X 5Xn--6) 2, 78::4J (mp4) 25 cuius igitur fummam inueftigari oportet, —Quodái enim huius feriei fammam in genere hoc figno S(n) indicemus , habebimus Z—-iMS() 220 (5 5(3) 4 28005, —5(5)) 42yn0' (4-854 29 m (5 - (9) 4 etc. IQ» 2 etc. Series autem no(lra generalis ita commodius exhibe- ri potet TI mn rynyi). manyiyma-ay 4) n(14-1) S "ES R ELI nm 24 72. 3. a5 — nf nma Xna-5)04-6) | (14-1 (n2-4X14-6 Xn4- 7 YX4- 8)4-etc. —Ó ——M ———M —M— LUE 41/9 7.8 Audi Brat Au BL —————í—ÓÀ Qus did. RUNS sinc 4e iu. ofte . vbi denominatores numero ^4 carent, —Poffünt etiam figuli termini ita per factores repraefentari, vt fta- tuatur ; S (2) — A -A- AB-4- ABC-4- ABCD -- ABCDE -4- etc. eritque | A LC rM. OEDGPS A, ruere] S bea. — A(n4-1)* Init fur ee, c 4.31)? .Qexsyeesyeee) V Grreyneennes «o 4^4CH2) ER) * 7 4 5 (mrsYnr-5) vbi 17 EXERCITATIONES vbi factor in genere hanc babet formam Uc 71- à — rn ep 2X — s 7 2X 1). AUS X GIC A) /15 Incipiamus a cafu. fimpliciffimo. Les EE et T EOM rü- genere "eft vnde: fit ^ Lr 2.5 355.7 2.5.7. 0 ; S(1) zi4- das TEC FIBER 8. 3 p ds 8 et Oe 2 etc.) Cum autem f RM er cla R-riowp. Ha S a S Tea or ie Ie 1 3. 5.7 iW iu Y PES mc "EP SEES TNNT ESTTSTEREA etc.— o erit 14-;-d- RT. PB pete Lili cb ideoque $(1) —;-31-:— 3i et 343, A8 o8-* 16. Quo autem fummas reliquarum ferierum facilius definire queamus, loco z. fcribamus x, wt fit x —;, et cum habeamus: A3 yn! (n-iXn 4-2) at (n-4-:Y(n4- 3Yn A4) 4m: SQ) i oro 5s nere "2ln--2) " T 2. i (h -i- 3) bs Tete. quae cafu s — x abit in SO)SWID Xu ia best, ERR ex -|- etc, fu S(TECY PENA P Pu pe -- ze SEN -pzrteut X^-A- etc. vel S(1]zE x-pixx(r- ir miri LL MET AnIM: dad -- etc.) vd Hog TEB(r«ibx4R Eid X uu X pies Y X *-etc.) ^At eft Y (1—44)— 1-14x— id x- DEL UI 1eXes: S ufa C etc. 2» 4. 6 2« t 65 9 vnde DUX FRAX II .4 X -Eetc)z 1-2x-Y (1-42) ergo K N AXLYTEITCAE- ^ 185 ergo S(1)—x-]- EXE cV 049 cs reir v Cose) ficque pofito x—; fit S (1 )—i(r--2—3 vt füpra. 17. Ponamus nunc n—$, fitque 5(3)—Q, exiftente S (1). pcre—v40—:2. dta vt fit. P-r-ixx-4-L 2 4p eia MEA -]- etc. 2e $e & GL EIN z 4. $ 5. $7 s 6« 7» 89 9 Qcir-cru i -RIL pee Ex his colligitur: | ENMMNEPALDIMKIENN NEP EMEN SIE LIS LP ME Prxx—Q—;x —4X4 bre Eueueta TWOIVDCE Au scs TES 2e3 45546 d ^ ux ctc, hincque differentiando 2Py 4225 - fOmoauox ti gat E65 ga e57 p pat Seno pa d. 2 3 RENE xxdP-— 2e3 204.* 4.5.6.7 E at 875 —axqax i $8 quies Lat pier patre ET cuius triplum ad "NON additum praebet ee d Q-— a E 2.3 4* 418 a. 4. 5. 6. 7 S inp IICSUUpHE ASI pa eiat p4 trn pete 2 L1 D 5 6 e 2. 3 EE 4« 596,7 4. et d ie Vs t4: ;* T4. 2e 3^ x * 4 2» 2» 4e 5 - T etc. hinc -2Px4-*43* — 19-—dxx et dQ- AxxdP-2Pxdx-xxdx vnde ob dP-idi- nit. S Hu ILLA cd xdx dQ--ixdx-4i xdxV (1 4x)4 QT -uda sis - et intéá gi Q—- — 33 y — —4X)-r Ponatur x — zy guogucalu : fit P.— :, erit Q-—; ita vt fit 8(1)z5; S(a)z s, et — i $(1)21; X —S(g-4. "Tom. XVII. Nou. Comm. A a 18. colligitur 1s 136 EXERCITATIONES . 18. Ponamus nunc in genere. S(y)—P, et frgngntem fagingrm. S (0 -4- 2) — Q erit p xt 2L Ed xt c (n. 4-2) a 3) nes 25 -—L Cus (n -4- 6) yt etc, 2» 3. qt Q—LMUU ED EU HE ger p esee ue B Mc Eae) ni 3) ree ex quibus colligitur fore Q-—Px—:i(u4-1)fPdx-—: (n— x) f €: Hinc ergo ex valore S(s) definiri uU valor S (n-1- 2) excepto quidem cafu 7 -— 1, quia tum in /?4* occurret /*7. At quia iam conflat cafus — r—6xx—(:--2XvV(r—24x) S$(s) 2 ———áádát M» Ífi hic pro P fümatur , fiet S(5)zPx—2fPdx—xxf[Ftr, quàe per integrationem euoluta dat S(s)z4(1—1 ied 104 '— Qa x—9xx)Y(1—42)) Pofito ergo x —ifit S(53) — Z.—.—, ideoque cs —9(5)-—— | I9. Sit porro 7 — 5 et —5(r—is5xr4 10x —-(14-24— o xx)V(1—4X) erit S(7) ZPx—afPdx—2xxfF25), quibus - integralibus- euolutis tandem reperitur :' S (7) ANALYTICAE. 183 S(7)2 (1-28 xu4 56x —14a^— (1--2x—22xx-po ox") V(1-44)j Pofito ergo x — i fit S49) zug rb dT i EIS hinceque — —5(7 —— 32 Quare fi, quae hactenus inuenimus, colligamus, etiam fequentes valores coniectura facile obtinebimus : SUE DUI E.A 2. 2? * 1» 2.2! S (3) MS TU H — Poor S()-4244—;5 —uc s (7) —iac nme t 20. Hinc igitur tandem pro z fequentem va« lorem adipifcimur: b. 2 4 c m? £ m1? 3»4. 23? 5.6« 2* 7«5«26 9. 19«25 11v 12,2 ita vt fit I --L-d-u--5--eteimmZ, feu | 1d-bd-h--hoeetecima- ESTIS c im cete Cuius feriei vt fümmam inueftigemus , confideremus - tanquam quantitatem variabilem , factoque 7 — (D ponamus a9. ep, 696 i Y 4 E97 ape ete — 5 9. 16 erit 25: —a ' 4- 8 4-y 0 24-30 Trete vnde formemus : 232—282 "428 Qr &ay D 4-428 Q^ etc, 4-268 T4 by. Aa 2 Iam 189; EXERCITATIONES 'famoquia:;S c 5&5; rica eous d —LceY-E:$9 etc, 3 crit 2 f/zzd—&dO -r- y Q^ 4-84» --- etc z— " hincque | Bacon ossis sae euo. . Cum nunc fit a cis, reperitur per. in- MET. GEI uz , vti tentanti patebit, Hinc cum dd s — «dcn colligitur ig—[adp—iQp-if 225, eto uecpqesiry p/227, , ideoque 1 1-5 --5 H- 5 H- ete. ebd don et ob (D —7 (tu c — 2 erit Icio rete. cadqyeace-wpoure -y$sso pw tang. — ? J tang. tang. Q —2f Qdd/n. q- f4i&n.Q at ef fdq&sqpdqo-— ergo I-E 5-757755 H- ete. — 7775 4-2 fb 4 Tn. o vbi integralibus ita fümtis, vt euanefcant , pofito ( — o, flatui deinceps debet (0 — 7, vt. obtineatur fumma íériei propofitae. ^ Etü autem integra - tio infitui nequit , tamen per quadraturas eius valor fi ANAXLYTICA:E. 189 valor definiri poteft. | At véro ipía feries ante. in- venta per Z maxime eít idonea ad fummam proxi- me determinandam. 22. Hinc anfam arripio accuratius iftam feriem perpendendi : ErPSU nn soppd yn q-euEne ep. opo dearum 2e Je -j- (ac (4-5) (n -- 9) yn -]- etc. 2e 3. 4 cuius valores pro cafibus, quibus 7 efít numerus in- teger impar, methodo fingulari determinauimus, qui ita fé habent: 5n—1; P-—i(1r2x—Y (1—4x) n—3; P—Z(r—-6xx—(14-2x3)V(1—42)) n—5; P—Z45(1—15xx4-10ox* —(1-Fax—9xx)V(x—42)) n2 7; Pzii(1-28xx4-563^ 143" -(H-23-22 334-202) V (1-43). Quare cum fümmatio in genere ad aequationem dif- ferentialem reduci queat, operae pretium videtur examinare, quomodo his cafibus ifti valores fatisfa- ciant. Conueniet autem potius diffrentialia confide- rari , quae funt SM d/Pi i. ix n Eon uu d $4; dP—: — iem xXx—3xX dure ce: Sir mor de cr E) -— d P n-—"7; gemi Xdu43rfrx-—zx q oRlirxgeru, Ya —24x) 23. In genere autem eft differentiando : 2 PIA" nx "p EEDEDgeE: 'UEXU X9 anne ete, Aasg Pona- 190 EXERCITATIONES E ne dPoinej dp "RE Ponamus x —jy y et $£2— $7. — s, vt habeamus | $y7— ny" cn imei pl CEU ene J"-* Let, vnde fit | -Uu me LC Yn--2) (n-4-:Yn-E sYn--4) 471-2176 J* n —J" 4- ny" 7 A- c LL yr - zy hincque porro: | dd." $ we n(un--1)4-2) , HC ue et (HEBR de * J T (1 xy (4-2) n4- 3X4) T4p2 oq *ü E J - etc, Eft vero etiam : : s 2a uu Cr Dn ad oss, Pep riores a is dign (n-- 3)(n-- 2) 4 3) (0 4. V ETDD EDS yes quae multiplicata per 55 ^^^" et denuo differentiata producit n(n4-xYn4-2) , II RUD IN 1 $ enc Td ics n(n—i)y- puc NE das ect imd, tal j quae feries per füperiorem etiam eft aul a SR ORC d) SENT PMID ita vt inter * et y banc habeamus aequationem - dtt spma4y— diy mtt 24« ANALYTICAE. 101 e4. Sumto elemento dy conftante haec aequa- tio euoluta dat : "dd s4-(1 —21)y7" 4yd;— 4 (1 yy" mdy-— I. 4J7 dd s-- 8 (2 - 2) gt dyd 4 (2-nYa ys dy. quae per 5^"—"' multiplicata abit in hanc: JU (x -43y)ddsA-(1—21) ydyds—4(1—2)54y. — 8(2-i) j^dyds—4(2—n)(1—n) yysdy — quae pofito y y — x fümtoque dx conftante trans- formatur in hanc xx(1—4x)ads--(y—n)xdxds—( 1-n)dy —a(s —an)sxdxds—(a—ny x —n)sxdx — vbi eft — 2? feu P —/5sdx. Integrationes autem hac lege inflitoi debent, vt exiflente x infinite par- vo fiat , ds ii—L(- Peri qat tulle i qm 25. Si haec aequatio per feriem infinitam in- tegretur , incipiendo a termino x"—"', ipía propofita ferie$ reproducitur , .fed etiam initium fieri. poteft a termino conflante x", vnde quoque integrale obtine- tur, quod autem noftris conditionibus non fatis facit; verum praeterea aliud integrale elici poteft, quod cum illo coniun&im negotium conficit. Fingatur ergo pesos Bx --Cx--D»x-rEx"-F x*nete, erit ? PE 2c A--2Bx-4-5Cxx4-4Dx* -F5Ex!-6Ex*4- etc. et 347 B36Cr 12Dsz42oEx* -4:38Fa" 4 -42Gx"-tetc, quibus 291 EXERCITATIONES quibus feriebus fubílitutis fieri oportet : e(1 -njO— (2n): —4)Ox-—(2-n)(: -n)Ax? —(»—nY( -n)Bx5—(2 -1)Y(i -n)Cx*—(:-ny- -n)Dx5 -- ü0—n1n)A | -R2(«i-n)B -- s(1-2)C | 2p. (G-2)D -L5(i—n1) E —(i—n)A — x(5-21)A —4(s—22)B | — 6(5—2n)C —i$(5—2n)D etc. — (i—n)B -- 6 € —(r—n)D. — (i—n) E T -- 2B — & B SN 12 D -- 2 E ) — 2« C — 48 D quae aequatio reducitur ad hanc formam: —(r—2)0—(3—nYi—n)Ox-p. (s — n)Bx* 4-2(4—x)!Cx3-41- 3[5—n)Dx*—-4 (6 — n) Ex5 s : x s—n)ls-m)A-- (5-62 n]B —(z- na -n)C—(s— nY 1o—n)D *le€ ——*. 26. Singulis ergo terminis ad nihilum per- ductis, fieri debet O — o nif fit * — 1, at. pro re- liquis coefficientibus habebitur D Grme-fuUm—— mA 1 1(s— n) : | — (s —n)(s—n)qp —. («—)(6 — n) CAI B- n is ^i D-—tc-956—m5QC-—í-—-G—9-60—5 A4 3» s (5-—n) dd OE EE E c 6—209-2])—C6—6-—190(-509—) A TM 4 (6 — n) EX ie 2» 35 4 etc. vnde lex progreffionis eft manifefta. — Cafü autem s 1 quantitas O manet indefinita, tum. autem aequationi fatisfit , reliquis coefficientibus omnibus annihilatis , ita vt fit 5 — O, etiamfi ex his deter- minationibus valores quoque finiti pro iis affumi poflent veluti i —1A; Ct: A; D-— T^ Aet. Le 1422 3 vnde integrale completum foret : $—O0-rFA-q G4 x-pEix qp RRIXq ert x? etc. 1,2 . 267 e 2« Zo 4 27. Simili modo. pro reliquis cafibus , quibus ^» cít numerus integer, fit quidem .O — o; fed A numerus arbitrarius ; fed praeterea alius quidam udis coeffi- ANALYTICAE, 193 cóefficiens etiam non definitur , quem propterea pro lubitu affuümere licet. X Quare fi is — o ponatur, habebitur integrale terminis finitis contentum , quod ita fe habebit : | Bu— 3; Oo; Aiddef B-—0o; Co etc. En-—417 0—co0;'Amdet B--ao;"C-—^ etc. finc 5; O— o; Aindef BZ-A; C—o; D—o etc. fi nà—6; O-—c; Aindef. B2-2A4; C—0o; Dco etc. finc?;O0-o; AindeffB--3A4; C— A; Do; etc fin—8; Oc o; Aindef. B-- 44; Cz77A; D—o; Ec oetc. fin—9;,0--o;"Aindi£ BZ25A;/Cc A; D-—— ;A; E—o (i 32 10;0—0; Aindef. B--6A; C—tA; DE - AS E-—o 1150— 0; AindcB--7À; C—— 57A; D— A; El mA. 28. Ecce ergo pro omnibus cafibus, quibus 5 efl numerus integer pofitiuns praeter 7? — 2 integra- lia particularia, vnde partes rationales formularum füpra pro 47 inuentarum colligi poflunt : bnt 2$; 520 di n-- 5: fcAÀx fine 4; REA fi n— 5; sc A(x—xx) fi n— 6; s— A(x—2xx) fi hz2. sc—À(v —35xdx) fi 5y— 8; sc A(x— 4X Xx-- 84) fi 1 9; sc A(x—sxx-4 6x —x) fi n10; s A(x—6xx-- 10x —4x) fi nz11 ; y— A(x—7xx-- 15x —310a'-- x) fi n712; $c A(x—8xx-r-21x —20 x 4- 5 X). Tom. XVII, Nou. Comm. Bb 29. TET jme 194. EXERCITATIONES 29. Pro numero ergo quocsmqia, n integrale hoc particulare eft jz2A y GIL ga lL mL me-9 yf 8er) "m 2. 3 Lu Css pe Xn—oYn-19) E T? Ie 2*9 G3. 4 7-16.) quae feries etfi in infinitum continuata fatisfacit, ta- men cum quispiam terminus «euanuerit, fequentes omn:s omittere licet, quippe qui feorfim fumti . aliud integrale particulare praeberent. Ceterum hinc euidens eft, quamlibet harum formula- rum ex binis praecedentibus ita definiri , vt fi pro cafibus 2 —y»,4-—v--1, n—Y-i-2, valor ipfius ; ponantur 5, $/, $5" futurum fit DeC E AO E fiquidem conftans A in omnibus eundem valorem retineat. — Atque vi huius legis pro cafü 2» — 2 ftatui oportet * — o. Verum vti iam monui , haec integralia particularia noftris conditionibus non fatis- faciunt , verumtamen partes rationales íuppeditant vti mox videoimus. 50. Vt autem completa integralia eruamus, alia integralia: particularia iuuefligemus , quae partes irrationales praebeant. In hunc finem ponamus i 63 dt ofddx: Ium Mr m €ri E iYC cb "p pig | (1 id (1—45) (zo ddt. '4dxdt dx. et dds— — Lf 6: SUA qM E m - : 1l 3 1 $5 Y evum de c pj s (1-42) quibus ANALYTICAE. 195 quibus fubflitutis noftra aequatio differentio - differen- tialis abibit-in hanc formam : ^ ax(1—4x)ddt—-(n—1)xdtdx4(n—i)idx! —e(2n-3)vxdtdx—n(n-1)ixdx p Ponatur hic : t —A--Bx4-Ca--Dx --Ea' FF Ga -cretce. factaque fübflitutione peruenitur ad hanc aequationem: o-(a-)A-man-1)A- (1- S)Cxx—2 pss -3(n-s)Ex' s - (n-2Y(1-3)B-(u2-4),1-5)C-(2-6)91-7)D ^^" nifi ergo 7 — x debet effc A — o, et pro reliquis fit Qu 2-—:0—39-—-- o—2B 1 (0 — 2) D--— GIUOSER si IE 2p 2 (n—4) E—- 902p! (n— 2 3 —e)— 7 p, 3(n— 5) I« 2« 8 — $81. Ex his ergo valores finiti ipfius 7 pro fingulis numeris integris 7 ita fe habebunt: h 5n-xag PA (fru uer Bt Ronin Bx fi n— 4; rz B(x—ox») fi ni— 5; t B(x—3xx) COEM qs RAD CE —4x3- 2x) fpc I—B(x—5xx4- 52) fi n— 8; tZ B(x—6xx--9x AA) finc 9; I-—Bg-—.xxVpi4x —7x) . fi nzz10; t B(x—8xx-F20x —163 2x) et in genere. Bb2 t—B 196 EXERCITATIONES tcxP ] — UL 2A de mid ad oa — (nn 5n y 1 IP a. 5 15 agna 9a — etc. 2. 3e vbi iterum vt ante // — ;! — £ x. 2. Quemadmodum BE feriem P defignaui- mus bs r (m, &i feriem s — 42 per Z (7) defigne- mus, erit generatim Z(:1)——A-r,35— hic A—-; et B—; xim] ves uo tala vt hae formae ad feriem pro- X 3c- A x--z* 3L "pofitam accommodenuur. 5t V9 mel: qup Rae m mu) Vc x) EGinAQG-eaMpLS z(6)—A(x— zxag)t!tectizRein) z(7)—A(G—3xx-x "pEGE eee Z (8)— A(x—4Xxx--3x dFhinouni ienelius A Z(9)—A(x—s5 xd 6 x'—x !)4 Socr cut euet Z(10)2— A (x—6 xx4-10 x —4.x*) Lites at ey etc. 33. Quoniam hi vilores feriem fecurrentem confüituunt , cum quisqüe 4equetur praecedentium - vltimo, demto penultimo pet x multiplicato , termi- nus generalis feu valor 22 (7) finite exprimi pote- rit, erit enim cx proprietate ferierum recurren- tium : Ya —4x) —Ya—42)* X(5)—MUu : £x» ONG Me 4x)? vbi !'ANALYTICAE ' 193 vbi ex binis primis cocfficientes M et N ita defi- niuntur vt fit M-— (^ -- B) ( (—2:x—y(0—4x)— A--B (3 — uy 2xy(—*4x) x y (1—«X) (B--A)(:—2 2-4 V(1— 42) — B-—A 1d4-y0—5£xjR MN 2XYy(1—2*2a) ESI — xY4(i—^x) " ) Cum autem pro nofiro cafu fit A — —i et D— i erit I 1--Y (1—4x)wN: dcc be u ^ b IE PET RISUS UN LC xY(1—4x) 2 j x 1:—Y(1i—4xXxyv'— d4P BENE UAR DS a FREUT SERE UR e Fn 2 dx exiftente f e. xg A eus ni xt -- Lr e -- UE en ant -It (rasa oe DIM get ctc. 2e 34. Huius ergo feriei sálor , quem ponimus P eft : e m wena me ma di ad quod integrale inueniendum ponatur Lem) -y erit dy — v et x — y —J y , vnde fit p n-I 3a 1101 he doi) M uo dg P-fdy(y—c23)5 7 x7 "4. ideoque em LATER mener Qmtii) S) pofio ac Bb 5 | vnde 198 — EXERCITATIONES vnde pro formulis fupra (14) expofitis colligitur n--2 CLEA [elio am 2" n(n-4r- 1) ick xti formulae ibi fe habent: I esas: 0 (G-i2i)see 7 2"(n-4- 1)n quae expreílo prorfus congruit cum iis, quas füpra . $. 19. fola inductione nixi dedimus, ita vt nunc quidem nullum amplius dubium fupereffe poffit. 55. Deinde memorabile eft, huius aequationis diffcrentio-differentialis xx(x—4x)dds— (n — 1)xdx ds 4 (u—sysdx" -F2(22—5)xxdxds—(n— x Yo- andy 9 integrale completum et quidem algebraicum affignari poffe, quod' ex praecedentibus ita fe habet: Cx ome UE Dx a-Y(1-4x)N17? $— y(-4x) 2 V(x-4x) — quod quomodo per. integrationem inde erui queat , non tam facile patet. — Hinc tamen ftatim intelligi- tur, fubftitutionem. s — 5" — ; plurimum effe pro- futuram, pofito enim in $. 50; 7 — y x haec aequa- tio nafcitur axx(x—4x)ddu—(n—3)xdxdu—(n-2Yn- 3)xuda^ — o feu T2(22-7)xxdxdu a(r—4x)ddu—(n—3)dx du - (n—2)(n—3)udxX^ — o - 2(22—*)xdxdu cuius ergo integrale eft REST. s pete 36. S (n—-— ANALYTICAE. 199 $6. Si in hac aequatione ponatur Y(t1-43)2 y; et elenentum d y vt conftans introducatur , prodi- bit ifta aequatio fimplicior (x —7»ddu-4- 2(n— 3)» dydu—(n-2Yn—3)udy —o cuius integrale. iam effe sagfat y n-—2 "—2 ide C -E) 4D LO. Quo igitur pateat , quomodo haec inde elici queat : ponamus 2 — m -1- 2 vt babeamus: (x —)ddu-- 2 (m—1) ydydu—m(m—1)udy —o vbi commode tentari poffe patet hanc pofitionem y — (e 4- 67)" vnde fit du—mSdy(n--Syy"— et ddu—m(m-—1)864y (a--5y)^- quo facto erit é m (m— x (a8 y)" (881 4) 26 (ay--6))-aa- 208-66 yy) o ideoque 66—a2a; ergo tu — C(x 4- yy. Afque ob fignum ambiguum obtinebitur integrale completum : uy — C (1 2-7 »)" -- D (1 — y. .. 87. Ceterum notaffe, iuuabit hanc | poftremam aequationem (x —-»y)ddu-- 2(m—1) ydydu—m(m— x)ud y —o reddi integrabilem, fi diuidatur per (x 3-7)". Prior vero aequatio : SO FAV (n— sdxdu- (1 2) 1— 3)udx'- Oo T: A E - in- 200; EXERCITATIONES integrabilis euadet fi multiplicetur per " xe ge ruf] Hobo) cy Nigga In genere autem propofita hac aequatione yx (A-EBxyddu-; t(2a--X) A xdaduA ta(^—2) A udx' Hi 2a-4E4-1) Bxxdxdu-F-;a(^- 1) Bud 19 fi ca multiplicetur per xMsdu--ax*n5udx, fier integrabilis , eritque. integrale : x^ (A4-Bx) du 4-ax^7'( A--Bax)ududx--12 x3) — (A--Bx)u dx" ziCdx* feu xy T2 ax'— ududx xau 'dx 38S. BR UEBSY emo a" gu au re wereca hincqne jm V u— atf 4x Y C. Y(A-L-Bx) 38. In hac autem aequatione. generali noftra füperior non continetur: quare conditiones aequatio- nis huius xx(AJ-Bx)ddut x(C4 Dz)4udx--(E--Fx)udx — o accuratius inue(tigemus , vt per xà—'du-r-ax7" uud multiplicata: fiat integrabilis, ^ Ac primo quidem in- tegrale fit Ix Npipuer: T e 2E yUyude | -- Gu P —G4x UA autem , vt fit primo | Cc(a--iXMA; Dc(--iAx-4-1B " Ws, tum SANALYTICARE. 2ít tum vero triplici modo 1. vel E—ia(A—2)A et F —;a(A— 1)B qui eft ca- | fus fuperior II. vel A-2242; ; Ez ia(224-1)B manente E indefinito III. vel Az224p1; E-io(2a-1)A manente F indefinito. $9. En. ergo duas aequationes differentio-diffe- rentiales fatis late pateutes , quas hac methodo iute- grale licet : Ja xx(A4-Bx)ddu4- (* enAP qcwes HEudx r (2a H)Bxxdxda A-i yy Bxudx —o quae per x!'*dü-r-art"—udx multiplicata integrale dat. . x77 (A--Bx)dz 4-ax?*77 (AdBx) ududx 4-3 E x'^uud x TU 'aaBa**'yudx Altera vero forma eft It xa(A-4-Bx)dduA- (224-2) A x d xduA- 1 a(2 a8— 1 )Audx" -H(2 * uec Faudx —o quae per penEigc-àay'"—-'udx oes iftud fuppeditat integrale : 137437 (A 4-Bx)du -aa7*(A 4-Bx )ududx4- i anAxt d: Est TIiFExY46ydx In priorifi ponatur A- r, B--4 et 2a-4- 12-54-35, atque E — o prodit aequatio in $. 35 propofita. - Tom. XVII. Nou. Comm. Cc 40. :—Gádx. —Gáx. 402 EXERCITATIONES 40. Verum alia datur via fummam. progres - fionis $. 235 iiLAUUI x Mcd Yes oca Creep oe ete, inuefligandi, in qua- quia x vt conftans fpe&tatur : confideremus hanc feriem - ÉL 4 penat eee L-e6€. à vbi 2a —2 x et Rd —X"— $^ lam in fubfidium vocetur haec feries i (r--ayyTe- eG mayptts 0 (n— i). 5. COCTHUEPET SIT WEDWE du ctE eM d —4ay (n—2)n(m-1)(n4- 2). "PYSIP"som ye. pro vna Ícribamus breuitatis gratia I-- A4 y 4-Ba'y -L- C 2 )* -1- etc. eritque TM f—i-4-25—A4 Md-gm Be | iate, C4'ete. Statuatur nunc $—ifdz(x-4- A d y A- Ba! yA- E ER ac fieri oportet fy»4z-—zz fy dactfyyds fX dz —unfyds ideoque ingenere | j [9^ 4225. 2A: Bb dz Bu -—a ON rA APER RS RPRERRA Ln ———— —RÓMLE - EISE i - ANALYTICAE. 203 fi poft integrationem ipfi » certus valor tribuatur. 41. icd Cis effe ingenere : 2A —t f» dz-— Lfyó dz -L -—— XLI In 2 n4A—2 bincque diffcrentiando et per y?-—" diuidendo colli- gitur (1EA— 2) yydz— (2A- 1)dz4-yd Q4- (251) Qdy quae. aequatio pro omnibus numeris À locum habere debet , vnde erit tm yyéz—sodz-L-504dy quam (n—2)jyydz ——dz4-7y4Q—Q4y ergo d z—:94» — 240—904». vnde fit 3y-—z — (n—2)y34-: £s dQ — —(2n—s)yd Lim ul n—i ecu uuu tr s ipti hincque dz--—5dy(s PROP can Quare pofito poft integrationem y—Y 2A Ag BAT C ym da n-4-A—2 Teperiturque yo hy po duayr tt dee: USO y] RAT) | oafdy(a—53) fi poít integrationem ponatur y — Y 5. 42. Et(i autem haec methodus ftatim pro fum. mà miae fornulam integralem exhibet, tamen Eug! n Cc 2 Yerum &04 EXERCITATIONES ANALYTICAE. verum valorem in expreffione algebraica mon often- dit. In íuperioribus autem vidimus efle dRLIJ x | — (1 — 4X) "ES dx mea) Vatt vnde concludimus fore hic (o wc PI; PRESS f^yu- qs )- 7 Ya Quare fi flatuamus 2 x — a2, ct uot formu- lie integralis cafu y — Y » erit valor algebraicus : E de e pau MEE vnd mpg gemere erg quae circumílantia minime *isasditisiia videtur , cum forte hinc plura alia praeclara in hoc nocnun deriuare liccat, DIGRES- BELUME LL p o ot e rst RAUS Lon 3 et32(0)8$53€/: 205 DIGRESSIO DE 'TRAIECTORIS TAM ORTHOGONALIBVS QVAM OBLIQVANGVLIS. Auctore L EVLERO. I. Eyec6m de traie&toriis fere obfoletam , in fce- nam reuocaturi , primum accurate explicare debemus, qua ratione naturam et indolem curuarüum fecandarum in calculum introduci conueniat ,. deinde methodum exponere debemus , cuius ope traiectoriae determinari queant. 2. Quod primum ad curuas fecandas attinet , ante omnia aequatio earum naturam exprimens eít perpendenda et quoniam innumerabiles lineage füb eadem aequatione comprehendi debent, praeter coor- dinatas x et y quantitas quacpiam tanquam parame- ter, quam littera a defignabimus , in aequatione in- effe debet , quae in infinitum variata ornnes curuas fecandas exhibeat , ità fcilicet vt quamdiu litterae a idem valor tribuitur , aequatio habeatur pro vna quadam determinata linea fecunda , dum autem va- lor hüius litterae fücceffue vel augetur vel dimi- muitur, ad alias continuo lineas fecandas perueniamus, ]tà fi aequatio propofita fuerit yy -—— 4x, in ea continentur omnes parabolae fuper eodem axe defcri- Cc: ptae 206 DIGRESSIO ptae et eodem vertice praeditae , at ratione parame- tri 4 vtcunque inter fe difcrepantes. — At haec ae- quatio y y — fx -- ef vbi f fit quantitas vere con- ftans , continebit iufinitas parabolas fuper eodem axe, eadem parametro f defcriptas , fed quarum vertices per axem continuo proferuntur, fcilicet eadem para- bola fuper axe promota omnes curuas fecandas re- praefentabit. Porro aequatio y — 4x complectitur omnes lineis rectas ex eodem puncto eductas; at haec aequatio y y — 22 — x x, pracbet- omnes circu- los ex eodem centro defcriptos. De natura curuarum fecandarum. 3. Ante igitur quam quaeflio de traiectoriis fufcipiatur, aequatio omnes curuas fecandas comple- €&ens , probe eít perpendenda , quae vti iam notaui- mus, praeter coordinatas parametrum variabilem a continere debet , quam olim etiam moduli nomine indicauerunt , praeter quam aliae couflantes quae- cunque veluti f, g, b ineffe poffunt, quippe quae pro omnibus curuis eosdem valores retineant. | Hu- iusmodi autem aequationum plura genera diuería confiderari merentur, ad quorum primum merito referuntur omues aequationes algebraicae , cuiuscun- que fuerint gradus; ad fecundum referamus eas ae- quationes , quae quidem funt tranfceüdentes , verum tamen vel logarithmos vel arcus circulares inuol-. yunt, quandoquidem hae quantitates nunc quidem perinde, ac niece tractari folent. | Meli f fuerit. J— a Ang. fin. Y (s4- -xa)- V(aaxc3 m in des dian? fb. SR. DE TRAIECTORIIS. 207 in hac aequatione omnes cycloides füper eadem bafi defcriptae exprimuntur, quomodocunque circulus ge- mitor immutetur. Tertium vero genus deftinatum fit aequationibus differentialibus, quas quidem non nifi tranfcendenter integrare liceat , cuiusmodi fupra Occurrit dy — jy... vbi X fun&io quaecunque ipfius x et A ipfius z. — Circa talem aequationem nihil. omnino flatuere licet , nifi ante accurate fue- rit definitum , qua lege integratio fieri fit intelli- genda, vtrum fcilicet noua conflans per integratio- nem introducenda , pendeat a parametro 4 nec ne? quod iudcium it facillime inflitui poffe videtur , vt dicamus integrationem ita effe iunftituendam , vt fümto x — b, fiat y — e, quippe quo paco integra- tio determinatur , tum autem liberum nobis relin- quitur, vtrum hae litterae 5 et c fint vere con- ftantes, an certo quodam modo a parametro 4 pen- deant ? Manifetum autem eft in quaeftione circa traiectorias iftam indolem quantitatum b et «& im- primis fpectari debere , etiamfi earum. neutra in dui i mi digetanun Occurrat, ,dBedidde Fin if res habet, E pro cur- vis fecandis aequatio quaecunque differentialis datur, in quo quartum genus conftituimus veluti 4y — V4, vbi V fit fun&io quaecunque tam ipfarum x. et y quam parametri:g, etiamfi enim huiusmodi | aequa- tionem forfan allo modo ad integrationem vel fal- tem ad fcparationem perducere liceat ;; tamen ratio . integrationis apud nos conftituta effe debet , vt .po- x uh fito 208 DIGRESSIO "Tab. 1I. Fig. x. fito x — b fiat y — c, vbi iterum definiri oportet an et quanam ratione haec quantitates b et c 4 pa- rfametro a pendeant ,' atque hoc quidem iüdicium fi res in genere fpe&etur vtique erit difficillimum. 5. Multo vero adhuc difficilius negotium ex- pedietur , quando aequatio pro curuis fecandis eft quidem tantum differentialis primi gradus, íed vbi ipfa differentialia ad plures dimenfiones exíürgunt , quo quintum genus ponamus , quod ita commodiffi- me defribi poteft, wt (i breuitatis gratia 22 — p, aequatio pro curuis fecandis vtcunque compofita fue- rit ex quantitatibus x, y, p et parametro 4, interim tamen pro determinatione curuarum fecandarum ea- dem funt tenenda , quae iam ante praecepimus. At fi aequatio pro curuis fecandis adeo ad differentialia fecundi gradus afcendat, multo maiore circumfpectio- ne erit opus, cum ea duplicem integrationem re- quirat, et vtriusque conflantis ingreffae indoles per- fecte debeat effe perfpecta , quin etiam bas binas conflantes follicite a. fe inuicem diftingui oportet , ex quo huiusmodi quaefliones etiamnunc "vix in confiderationem | duci poffunt. De Traiectorüs in genere. 6. Con(tituta aequatione pro curuis fecandis, cu- iuscunque fint generis, fit curua A M in vna ea- rum, pro qua parameter — g, pro puncto autem M coordinatae IP — x et PM — y, ita vt detur cer- ta penaao inter has tres quantitates x, y €t d; de- jnde —— — P—W 1H ED o Lem MERE. 1 k DE TRAIECTORIIS. 209 inde vero fit E M traiectoria quaecunque, cuius cum punéum M ipfi commune fit cam curüa fe- «anda A M, etiam communes habebit coordinatas x et y, verum quatenus hae coordinatae ad traiccto- riam referuntur, aequatio inter y ct y maxime di- -ferépabit a füperiore, dum fcilicet in. hac paramcter & neutiquam iaeffe debet, quoniam eadem traiecto- ria ad omnes íecandas aeque refértür; €x quo iam intelligitur, quemadmodum ad aequationem pro tra- jectoria peruenire queamuüs, conditio fcilicet fectio- nis fuppeditabit nobis certam aequationem , in quam tres quantitates x, y et 4 wtcunque ingrediantur , vnde fi hanc aequationem cum praecedente combi- nemus, parametrüm 4 inde per methodos notas eliminare poterimus atque aequatio refultans inter X et y erit ipfa aequatio quaefita pro traiectoria, .. . *, Cum nunc in problemate tra:ectoriarum angulus zz M | , quem traiectoria cum quauis ftcan- darum facit , conflans atque adeo datus cffe debeat , ponamus eius tangentem — &, atque vt eius valo- rem inueftigemus, cónfideretur applicata proxima p p curuae fecandae in z, traiectoriae vero in jg. occurrens , atque pro traiectoria fractio £7 exprimet tangentem anguli y. M 7, at pro angulo 5 M s in- veniendo differentietur aequatio data pro curuis fe- candis et quia etiam parameter g ibi variabilis ha- betur, orietur inde huiusmodi aequatio differentialis; dy-—pdx--4da ^ Tom.XVII. Nou. Corm. Dd vbi sí0 / DIGRESSIO vbi quantitates p et 4 quomodocunque litteras x, y et a inuoluant , quo fao, cum pro curua A M z parameter 4 eadem maneat, habebitur pro elemen- to M m, -—95, ? quae eft tangens anguli zz M 7, vnde colligitur dif- ferentiae horum angulorum [. M zz; tangens —4»—pdx—a C" dx-z-pdy ficque iam habemus alteram illam aequationem quae erit Zy(x —apy—d x(x 4- f) , quam cum aequatione pro curuis fecandis-data con- iungere , indeque parametrum a eliminare debemus, vt obt;ineamus aequationem inter x et y, qua nmatu- ra traiectoriae exprimetur ; probe autem hic animad- vertendum eft, etiamíi in aequatione inuenta dy(x—ap)—dx(p--a); bina tantum differentialia d x et d y infint, tamen parametrum a quatenus fcilicet in littera f 'inuolui. tur, pro variabili haberi debere. 8. Quod fi ergo eueniat, vt littera 5 para- metrum a non inuoluat , fed tantum ex ipfis coor- dinatis x et y componatur , tum aequatio inuenta d y(x —ap) — d x (a 4 p) quia tantum duas variabiles x et y continet, matu- ram traie&coriae adaequate exprimet, tantum enim opus eíl, vt eius integrale inuc(ligetur. At fi quan- titas f etiam parametrum 4 contineat, tum ex aequatione finita pro curuis fecandis data quaeratur valor DE TRAIECTORIIS. 21r valor ipfius 2 per x et y expreffus, qui in quanti- tate f loco a fubfítitutus , praebebit aequationem dif- ferentialem puram pro traiectoria quaefita, veluti fi curuae fecundae fuerint recae ex codem pundo a ductae, pro quibus habeatur haec aequatio y —a x erit f — a et q — x , vnde altera aequatio fit d y (1 — a a) — d x (a -- a) in qua fi ex aequatione data fcribatur 2 — *- , pro- dibit' pro traiectoria haec aequatio differentialis dy (x —a y) —dx(ax--y), quae quum fit homogenea pofito y — vx transfor- matur in hanc edx.—-du(—ou-- du . q«vudu Ia bobine tn. b, rp Red Eu cuius integrale eft: alx — Ang. Tang. u—& L Y (1 4-42) -aLe , vnde fit | "eL 240-99 — Ang. Tang. u fiue etiam q Des» -— Ang Tang. 77 qua aequatione natura fpiralis logarithmicae expri- mitur, nifi fit a — ce, feu angulus interfectionum re&us , quo cafu fit Y (xx--yy)-— 0, pro circulo. 9. Verum faepenumero vfü venit, vt ex ae- quatione data valorem ipfius a haud commode de- riuare liceat, neque adeo eius loco fubftitutio in al- fera aequatione fieri queat , tum autem perpenden- Abl: : Dd2 dum 212 DIGRESSIO dum «ít, ad cognitionem traie&oriae non abfolute requiri aequationem puram inter coordinatas x et y, fed fufficit, dummodo eliciatur. aequatio diffcrentialis, duas tantum variabiles inuoluens , ita fi pro curuis fecandis applicata y aequetur fünctioni cuicuaque ipfarum x et a eaque diff.rentiata praebeat dy—pdx-r-q4da | ita vt 5 et 4 tantum fint functiones ipfarum x et 2, tum ifte valor loco 2y f(crioatur in aequatione in- venta , et refultabit haec aequatio : E adx(r--pph-qda(r—ep)—o,. quae quia tantum duas continet variabiles 2 «et a, ca valor ipfius x per «4 determinari poterit , id quod ad traiectoriam con(truendam füfficit, tum enim pro qualibet curua fecanda A M m, vbi — 4 Cer- tum fortitur valorem , definietur abíciffa I P — x vnde ipfum pun&um M, quod fimul eft in traie- Coria , innotefit , ficque omnia plane traiectoriae puncta reperientur. Veluti fi fuerit J-aVY(r—zacx), erit. p— 55. et q—Y(1—342), qui valores in illa aequatione fubflituti praebent adx(x—xx-raaxa)—-da(x—xxY4ax4 Y (1—xx))—o. Sin autem ftatim eliminamus a ex aequatione " dy(x-F 48882 — d 2 (s — 425. Mess zs ponendo à — y —;5» prodibit dy(x—xx--ayx)zdx(au—axx—yx, vnde CSTTPISPERENEN DE TRAIECTORIIS J 215 vnde pro cafü traiecoriarum | erthogonalium , v E "m, fit | Aunhd y cd x rm xx), quae per x diuifa et integrata praebet aXX ciIyy-IS, quae eft aequatio finita pro traiecoría orthogonali, y 030.) Quo autem. hoc.argumentum in -fe | ma- xime diffüfum ordine pertractemus , CLERO cafus diftinctius euoluamus. Ca[fus Primus quo parameter aequatur fün&ioni cuicunque binarum coordinatarum X ety. Si aequatio pro curuis fecandis ita fuerit comparata , vt ex ea valor parametri 4 commode pcr fancionm ipfarum x et iJ determinari poffit , fa&a differentiatione prodeat : ^4d4a—Pdx--Qdy ybi P et Q erunt certae functiones ipfarum x et y, quae vti RN ita a fe inuicem Bendcpé, vt fit G0 —G32, (o TUM pro eadem parametro ", fit d y tg P r Rer Q. ? i : ponatur hic valor in fuperiori aequatione inuenta loco ?, et pro traiectoria haec obtinebitur acquatio dy(Q-- aP) 2 dx (aQ— P, quae ergo eft aequatio differentialis, qua relatio inter ipfas coordinatas traie&toriae exprimitur, ad quam integrandam quaeri oportet eiusmodi functionem 8Uj: Dd s ipfa- £IA DIGRESSIO ipfarum x et y, per quam ea aequatio xg ens reddatur integrabilis, 1r. Quod hic de. ipfa parámetro a eft alla- tum, valet etiam de functione quacunque parame- ri, quae fit — A, fi enim pro curuis fecandis fue- rit A — functioni ipfarum x et y, ponatur que dA -—Pd4x-L-Qdy habebitur vtique vt ante pro traiectoriis haec ae- quatio : d y (Q-4-«P) —dx(aQ-— P), ita fi fuerit Rz uox pn RE PEE SEE EO E vnde pro traie&oriis habebitur haec aequatio dy()—-rex-—7)-—dx(ag"— -—a-) quod fi ergo traiectoriae orthogonales effe "iru feu & — cv aequatio erit Wo dd i mns dr, quae integrata dat -—— ——spÀ RM rep EP, —— hincque Ly—Lxr-r-Lece,;fíeu,y—cex. 12. Vt hunc cafüm exemplis aliquanto gene- ralioribus quoque illuftremus , fit X. functio quaecun- que DE TRAIECTORIIS er; que ipfius x et Y fün&io quaecunque ipfius y, po- naturque brcuitatis gratia dX —:Xidxetid Y gc 4y., quo pofito fit pro curuis fecandis A — X Y. erit;P c Xlet; Qo Y, vnde pro traiecoriis habebitur ifta aequatio: —. &y(Y! 4-a X!) Z d x (a Y' — X!), hincque pro orthogonalibus X! dy — Y'd y feu 22 — t. 13. Ponamus nunc pro curuis fecandis huius- modi dari aequationem , Nx x enu B X Y 0 — XX atque hinc pro traiectoriis naícetur haec aequatio diffzrentialis d y (X Y! c a X! Y) Z dx (o X Y! — X! Y) hincque pro orthogonalibus Ydy — Xdx » zv w^ ? ita fi fuerit A cro qal Jh. ita vt pro curuis fecandis proponatur haec aequatio A zz a yg quae aequatio infinitas tam parabolas quam hyper- boias fupeériorum ordinum continet , tum ob X'om, at mU eH NW :g—', pro traiectoriis Mu ADus oritur haec aequatio ydy-—zdx "t u am ? cuius ex — DIDDBDC RUE S STO cuius integrale eft . pauvre nJJ c asXX- dee, dcin quae femper eft pro fc&ione Conica idque vel sp vel hyperbola. í 14. Cáfus Secundus, quo applicata y sequa- fur funcioni cuicunque parametri a et abíciffae x. Pro hoc cafü prodeat per differentiationem : dy—Pdx-r-Qda , id vbi P et Q funt certae MS ipfarum 4' et x atque eiusmodi, vt fit iy SS à , Quare quum ma. nente a hinc fit 2y— p, hic ld loco p in ae- quatione generali fupra inuenta fubftitutus , dabit pro traiectoriis hanc aéquationem d y (1 —« P) Zt d x (a 4- P) v5 quae quum adhuc tras variabiles contineat loco dy valor modo datus fubfti tuatur , ficque orietur haec aequatio Quitsdtaet adpiatsdosen ie POE Quie tantum duas variabiles x ct a continet, vnde pro quauis parametro 4 hoc eft pro qualibet curuarum feandartüm defiairi poteft abfciff i P — x, hincque ipfüim pundüum M in triiectoria fitum , quod ad curuam confiruendam fufficit. Pro traiectoriis ergo orthogoaalibus habebitur haec aequatio . —PQ4a-dx(1 ux fiue d x(1 4 PP PQdi- ficque totum regotium iam huc redit , vt huius ae- quationis integrale inuefligetur. $ I5: DE TRAIECTORIIS. 217 1s. Quodfi hic pro exemplis flatuere vellemus J—AÀ--X vl y— A X perípicuum eft haec. ea- dem exempla iam caíü praecedente effe pertractata, contemplemur ergo hoc exemplum fàtis memorabilo yY(2ax—xx), ita vt curuae fecandae fint circuli infiniti , fe mu- tuo tangentes in eodem puncto A, quorum centrá in eandem rectam cadant. Hinc igitur erit pe. st q—x PR x ij F T7 Yyisez—za)? Q— Y(2ax —x x) hincque 1 4-P P- :zax—xx? vnde pro traiecoria orthogonali próuenit haec ae- quatio aadx-r(ax— sid acf; quae per 2 x x diuifa dat adxAd-xda., da. aaxzx as — 9» cuius integrale eft Li (e zem "ry3) fiue ec(2a4—x)c--a«4ax quae abit in hanc ec(23ax—ux)—-- aant, quum autem fit 20X—XX-—yy radice extracta fit eycaxctEM, Tom. XVII. Nou. Comm. Ee ita 219. DIGRES SIO ita vt eliminata 2, pro- SrajeR og otiliüpoosl oria- tur haec aequatio | e ap apego wee Bp JN quae etiam eft pró circulo. 16. Cafus Tertius, quo abfciffa x aequatur fiun- &íoni y et parametri 4. Praebeat haec aequatio differentiata dx—Pd y 4 Qda vbi.P et Q erunt tales functiones ipfarum y et 4 vt fit (22) — (22) ; iam quum manente 2 hinc fiat á— AW Nine valor loco ? füpra fubftitutus dabit pro Mud hanc, aequationem . | , d y (P — a) — d x (1 4- a P) Heu in qua loco dx valor fuperior fubftituatur , vt. Es tiveatur fequens aequatio duas tantum variabiles y et 4 inuoluens Q4a(x 43-4 P) 4- a d y (1 4-PP) -—o cuius refolutio confi duanen) traiedtoriarum füppe- ditabit. 17. Hinc fi traie&oriae debeant effe orthogo- nales feu & — «v. pro iis habebitur haec aequatio: - PQ4a-A-dy(x--PP)—o at fi angulus interfecionis debeat cbe icd quod euenit fi traiectoria curuas propofitas, tangat ob ac o habebitur haec aequatio Q2 —0, fiue Q— o. quae eft aequatio finita , ex qua y per 4 vel Loos fim a per y definiri poterit al vnde refültabit -eius- modi DE TRAIECTORIIS. 219 modi. traiectoria, quae omnes. cüruas fecandas contin gat, veluti fi fuerit, a — £99——77*, quae eft pro infinitis rectis certo modo 'in : plano ductis, ob Q— RC, baec aequatio y -a. praebebit Jineam curuam omnes rectas illas tangentem , cuius ae- quatio inter. coordinatas x et y ob 4 — Jy erit , quae cíl, pro parabola parametro f de- fcripta, Caeterum. quum | coordipatae -inter fe fint permutabiles, hic patus a li read non diffetre eft genfandus. - io m i —» yc ll Cafus Quartus, quo aequatio pro curuis fe- candis inter coordinatas z, y ct parametrum a. eít homogenea., ita vt hae tres quantitates vbique. eun- dem dimenfionum numerum adimpleant, — Quoniam aequatio. inter x, y et a propofita eft homogenea , fi faciamus has .fubftitutiones x — 2 et J-au, parae meter 2 per diuifionem penitus tolletur , ita. vt re- fultet aequatio duas tantura variabiles 7 et 4 inuols vens, qua ergo certa relatio inter ; et w exprime- tur, vnde fumtis differentialibus prodire ponamus du-—"v dt,ita vt tam 4 quam «o vt functiones ipfius ; fpecari queant. Hinc autem differentiando adi- pifimur: — dx-—adt-r-tda et AE wb Ec dd hinc ergo pro eadem curua fecanda A M, quia pa- rameter g manet eadem, erit dx—ad? ct dy-avdt vnde fit ^£ — v, qui valor in acquatiore generali. fupra iba loco $ fcribi debet, fcribantur autem y E62 ibidcm 220 DIGRESSIO | ibidem loco Zy et dx, valores modo exhibiti , . at- que pro traiectoriis obtinebitur iíta aequatio (avdt-4-uda)(1 —av)— (adi-1-tda)(a-1- 9) quae tantum duas continet variabiles 7 ct a, ex qua elicimus : da(u—auv—ot—tvoy—aadt(1 "mw quae fponte eft feparabilis et pracbet : da — &dt(i--vv) — "; (u(: — av) —t1 (a 4-0) 19. Hac ergo aequatione parameter g aequa- bitur certae fünc&tioni ipfius ;, quae fi loco a in ae- quationibus principalibus , x — a£ et y —a u fubfti- tuatur, tam pro x quam pro y certas functiones ipfius 7 confequimur , vnde natura traiectoriae facil- lime perfpicitur , quin etiam fi ex his aequationi- bus quantitas 7 eliminetur; peruenietur ad aequatio- nem puram inter ipfas coordinatas x et y pro tra- lectoria quaefita, quae quum nouam conflantem ver- bi 'gratia c inuo!uat per integrationem ingreffam , €a variata infinitas nancifemur traiectorias, quod quo facilius perfpiciatur, ponamus effe i &dt(r-1i- v v) (u(1 —«*vj—1(a 4- v v)) a -—«€ T, vude pro traiectoriis has reperimus formmlis x —eTz et y —ve T «. "-5 LOT eritque integrando 20. Quodfi hunc cafum accuratius perpenda- mus,;- facile deprehendemus , omnes curuas fecandas hoc cafu fimiles inter fe fore. ^ Confideretur enim curua determinata, cuius abíciffa fit £, applicata vero v, e fit DE TRAIECTORIIS. 221 fit igitur D V haec curua determinata, cuiüs abfcis- Tab. II. fas IT —: et applicata T V — u, vbi fcilicet in- Fi& 2 ter ; et 4 eadem aequatio fubfiftat, hac autem cur- va defcripta , (i pro quocunque valore parametri 4 fiant hae proportiones I: —IT:LIP. et 1:4— TVs PM, euidens eft fore Ep-—a4x£:oct6 PM £29 ficque punctum M erit in vua curuarum fecauda- -rum huic fcilicet parametro 2 conueniente, ficque haec curua A M perfe&e fimilis erit D V, quod quum de omnibus curuis fecandis aeque valeat, pa- tet omnes etiam inter íe effe fimiles , atque vicis- fim fi omnes curuae fecandae fuerint fimiles; tum defcribatur vna earum ex parametro 2 — 1 quae fit curua D V, vbi V fit punctum homologum puncto M, eruntque coordinatae I T — 7 et TU-—« eae ipfae, ad quas initio aequationem homogeneam re- duximus, Simili autem modo intelligitur, quoniam pro traie&oriis inuentae fünt formulae x — cT et J-eTu, omnes has traie&orias etiam inter fe fo- re curuas fimiles, ita vt fi vna fuerit defcripta vere bi gratia pro valore c — 1, reliquae. omnes ex ea ope principii fimilitudinis conflrui queant. —Manife- ftum autem eft, principium fimilitudinis ad punctum fixum I referri debere , quod probe notandum, ne notio fimilitudinis hic perperam applicetur. — Hic fcilicet non tam fimilitudo abfoluta curuarum fecan- darum fpectatur , quam fimilitudo pofitionis refpectu. T" Ee 3 puncti 225 . DIGRESSIO pun&i fixi I, quam ita comparatam intelligi opor- tct, vt omnes rectae ex hoc puncto l1 edu&ae cun- ctas cüruas- fecandas in T PRIME — mM traiiciant. | 21. Exempli loco afferamus aequationem iam fupra tracdtatam y y — 2a xxx quippe qude eft homogenea ; pofito autem x —a£et,y — 4 &, ea abit in hanc uuzail-hiíeu ucY(eor- pn áta wt HESS quibus valoribus fubftitutis pto tipie&ianiis haec eli: citur iscg differéntialis : j : da sc mdt f A ARISI PER Y Wo ao m EM LIT dq — (t—&vY(st—ti)v(z2t—tt) ? hinc ergo pro traiectoriis orthogonalibus habebitur . . da L LORANOONT IP DOE; TRU PT ag: ene 7 7t EHE cuius integrale eft Log.a — L Y &!)4- Lc fiue «Y (rh m quare pro his traie&oriis habebimus x-zxcY (2 LD—1) ety —ce(2—12D),. ex pofteriori fit —- — 216—) ;í LIU bincque . ^ dn e i Cy—yy)—zx "n ficque iridis ER: inter x et y haec - xxccacy—y» | B, GO 22. Cafus Quintus , quo tam abíciffa x quam Spplicata J aequatur. ua cuicunque parametri 2 et DE TRAIECTORIIS. 223 et nouae cuiusdam variabilis: z. Quum. x fit fun- &io binarum variabilium :z: et a. itidemque y functio earundem, ponamus differentiando prodire: —— dx-—Pdt--Qda etdy—Rd:i--Sda vbi notandum eft, fore dP, ... (dQ ds da! 3 et (B — * ( ii Iam quia pro eadem curua ELE AM parameter d y I 4 non váriatur, pro ea erit £2. — - qui valor loco f (ub(titutus , in aequatione generali pro. traiectoriis fupra data, praebet iftam aequationem :. (R4: --Sda)(P— eR) (di Qd) P-ER) quae reducitur ad hanc: - da(PS— QR —«(PQ-I-RS)-sadr (PP ^- RR) 23. Quodfi ergo traiectoriae orthogonales de- fiderentur , pofito a — ec pro iis habebitur ifla ae- quatio 4:i(PP--RR) H- da (PQ-- RS) o in cuius refolutione - vel integratione totum nego- tium verfatur. At fi curua defideretur, quae omnes propofitas contingat pofito: & — o; prodit haec ae- quatio finita PS — QR —o. Talis fcilicet curua locum habet, quando curuae fecandae ita funt com- paratae, vt binae proximae quaeuis fe alicubi con- tingant , tum. enim curua, quae per omnia haec con- tactus puacta traducitur., fimul omnes tanget. Hue jusmodi «contactus euenire poteft in infinitis lineis rectis, $24. DIGRESSIO rc&tis , certa lege ductis, quas in genere noftro mo- do repraefentare licet , vt fit xy-—t ety—at-4-A vbi A denotat fünctioncnm quamcunque ipfius e, fitque d A — Al da, hoc ergo cafu fiet - P-r::Q-5o,RCa c 5c du vnde pro curua quaefita reperitur A!--r-0 ita vt fiat X——A ety —A-—a A. 24. Cafus Sexius quo tantum pro fingulis cur- vis fecandis aequatio diffrentialis inter coordinatas x l €t y datur. Sollicite hic diflingui oportet inter aequatio- nem differentialem , quae taotum ad fingulas curuas fecandas refertur et inter aequationem differentialem, quae o::nes plane curuas fecandas in íe fimul com- plectitur , cuiusmodi aequationibus hactenus in cafi- bus pertractatis fumus vfi, tali forma dyzcpdx--4da expreffhs, iu quas fcilicet binae coordinatae x €t y, atque etiam párameter 2 tanquam variabiles ingrediun- tur, earum igitur character in hoc confiftir, quod terna differeutialia 4 x, dy et d 4 in iis occurrant. ' 45. DECTRAIECIORIIS ^?ess$ ilii: At aequationes, de. quibus .in choc. cafü;fer- mo: eft, tantum -duo. diffctentialia: d a et;d y. inuol- Nüntj.- etiamfi parameter "um t nnde quas jad obese uiii iden Us Soo dt x va fecanda hoc modo mea, dus ier E Vd: 3» p a gne. fols eovt variat bilis f| (pe&tatur ) tan te te habit dh 32) ratione fi cur wupé tur? Bs a para Ns 71 et NS i [3 "famen fip ro Bos inte; NE LE ter 4 varietur , ied sie n fuc as ád omae curuas fecandas adhiberi poterit, "ex quo dam" fatis euro cuiu ptu MIBUn aii om "nata cV. 1 id. Mas. curüds nere. on Nego pude RS ! fupe ondes nes fi dt STE i 012 m üb eria! fif pei E yino. dif- VL ey Pr P" dili Trans deen Ner ere versum v ps Mes TE pi icatae: txhibeat ,^ f recipiat, eius. determi fimul iur: wi rien o t . mom fotet;determinata;, quare -fi- buiusmodi... cafus proponatur, ante:-oainia in. ipfa! propofitione. definiri debec; ;quanam lege. háec. integratio.fit inflitnenda | | quae conditio: ita . generatim; exprimi- poteft ;.. vt po- Coterificdie ai iei | quidém quantitates. f et *vel: prorfus: funt conflantes: vel. etiam: certo. quo« o5 Fom. XVlIlNou.Comm. Ff dam 46 — DIGRESSIO:! dam modo a parametro^g :pendeant, ità vt dum variaijo parametrum g ad àlias cüruas fecandás tran- fimus , etiam '' litteris. f et: 4 alii valores. tribui- des beaut.- ;Manifitum. enim eft, nifi ralis | conditio -ex- preílis verbis / fuerit. 'conftitüta imbqeiec x | quam Am abfolutam, uiBinaüab abor od sbasoSE 29 ' 23. Edi autem | talis. aequatio qró "ipai curuis fecandis fufficit " tamen cam. neutiquam ad | traicctorias determinandas. adhibere Ticet , "quoniam enim talis: formula dy -— Vx, ad. "oftium. cafum fecundum: accedere. videtur X,Vbi erat 3] rui» mmmup dy- Ls zw Pd4x--Qda, à utto MTM t eà primum: quidem- nullum eft. dubium , quin. ; hie! fit P— V, fed altera quantitas Q ,:a qua effcutialiter determinatio. traiectoriarum . . pendet ,; quandoquidem pro iis inuenimus. | ESOS (Qde up meds e PP, Tt hic prorius; non eum g quer US MAEAN AEQ E3, HI EU CR Quotiés. dolEm! A diim T dx vel integrare vel faltem ad 'quadraturas: cognitas: redücere licet , huic incommodo facile" remedium: adfertur ; namque intégrale inuentum / V Z x, atque. vt. modo ante; praecepimus rite determinatum ; denuo: differen- tictur. , dum non. folum zx, fed etiam 4 variabile accipiatur ,. cuius. differenrialis quidem pars. elemen- tum 4x .continens erit. ipfa formula. propofita . V 2x y. altera. vero pars elemento | d.a affecta. dabit b— im membri T di 4, vel breuius. - mem-, DE. TRAIECTORIIS — 2s; brum Q4a obtinebitur fi; integtüle / V d x per fo- lam. variabile ui diffcrenti tur. Quando autem for- oc modo i T non licet, tum euam nulla. adnuc yi, patet, quantitatem Q ita co- gnotendi, yt Ae pro. yg dein confici poffit. | . Y. J kh "y 71$ € Ly T 29. Cognita "tdem. e snc luna in. bnius- I A r odi forulis difftrentialibus completis dep P4x4-Qda,. | Pg ye f detur altera. pars P 4r, alteram Q4. a inueftigandi, quum enim fit Ge 2) (55; hic valor (er » affignari potet , bincque 1 pr 9) dx » 35d quum dx (i9) E difgrentiale |j ipiius. Q. A os fola. yatiabili x, manifeftum ett fore. Q-f4x( C ; fi quidem ia hac integratione tantum x pro variabili" habea- tür. ^ Pro noftro ergo caíu vbi P-EV- haberémius BUS (du Gg. nct pro traiectóriis. "hanc aue fionem. AO ibo; ua NS 5v A da(í - a V)/ds x C —adz(i «NY. in. qua quum parameter a. fit.e effentialiter. variabilis ; P formula fd. ($3). nullum. plane. vum | pra raeflare. pot- eft, nifi haec integratio actu. expediri . queat. - .; His difücultatibus quibus pracfens. cafüs premitur dilucide LE ies ie ini pretium erít vnum ca- fum ii ) EV traicctorías affignare licet , et- iamfi ed d i UJNax neque fdx sy » inte- griri poffit , vnde. fequens P Problema proponamus. T; mor owot stitrnad Iv ts TO vati it ROERS EA IT lay Bud FPES .- "Pro- gab SAMABE RESS$LO:: L.. Pug ós E Mte. ^9 und E ; uomodo pro - cur- vis ET pus difféfentialem ^ 4j 2- Vd (voi. v tam parametrüm. 4 quam übfeifüm x abfol- vit) comparatam effe oporteat , vt inde traiectorias definire liceat ,. etiamfi ipfa formula. fNádx nullo xiiUdo idtegrübilis' exiftát; inabiüp tin; 3c) o2. &132lqmo . ermilpid vilis»; ift 016b Mh Solutio. | La e "^ MM e^ TURA €tgo nego ium |] hüc | Telit, ia. at inuefli us. quo , traieé rias fine formula n ire. liceat ,. ac .quem in nien e den: bio di dadrM vilorein rmalae ron: 1 xe resti , Completa: pro «c omuibus : cinis MU dy ZV4 Ix da .— gnde fecundum. praecepta. ante. dua. ro taie — eft. haec,aequatio . yq yn - XY L. - : Q4a(1—aV) c adz(x -i- V vv) jr : quae. bir dius wniiles LA D E. imc dabicor ceria c aequa- tio Mia ine ph sam dus euideris: eft tanus nem talis fuliétionis in "genere non iin tifaculis cip époni ; uam id ipfum, de quo quieritur: obisdiib ss ibm p Con putos [ umen. datur « cafü a £s S inu Sd fücc edit, a orm ;f pinu itd fa iioc pol HE b d [1 j 0 pg p eg d 9r, cL gs aV—t: XX. & 31 DE)TRAIECTORIIS .aa9 *t:quacrámus iam; fünctionem .ipfius 4, tantum; quae ^fit-A, per quam:ifta aequatio; multiplicata fiat dae :grabilis., fcilicet haec forma «5 ap ew Iq Af uo con perci GO.cr maa / 249 quac lae LU cüm | pir P4 x4 Qus, (d erabilis exifi exi ; quae inte de 30) b zn 2462] Y í 5*4 A E 6:15) 3 1727195 POP ' duisi UN Jn RR I o omutit i QUIT nid ary 13 4x-- Qda 16 LURFRO pg 4A itg is adis ^al ilis et 3 Bor P usum ne pen ic aia : bes s io) 2 | SD xd dTXLS tote -L- Ludi uiri P a dis iE 'tthlkla en men en a rd e 5. PE 79 B RIaId [17 nj Wii. 1 Ye Ns 12:196 B . du m $j x. fit, f loco foto: »bi ue. Derim ig e po LM s MÁLE iii. he Y— Tr Quilq URS - ( t ' ; D a , 2s nU. n $n ' E : —: 0. pio Nerd Li Li A (13) 6p a refs iid fA Ada tiii. — : sejuaione jii generis 1 puo rodar yw et nens 73 Ff 49 ^^" DIGRESSIO' variabilitatem ipfius z relata , ita vt abfíciffa non aliter nifi , vt conflans, iu ea iufit , quare fi nunc x pro conftante habeamus claufülis: illis reiectis ,; quippe - quae tantum ob duas variabiles . fuerunt. vfurpatae ; babebimus hanc aequationem differentialem : — «d A(racVN) HS coRem Isa 1 IE qua certa relatio inter A et V exprimitur , abfciffa fcilicet x. vt conftante fpe&tata , nunc vero. iude pe tim elicimus «dA .—: —ü-exa)dV -ogadY LaXAK ar A Té vij X). ^«Y-ru "aa V. " cuius integrale et. ^. . ul gauospato aLA-—aL(aV- 1 F-aLY( I "m V)-Ang Tun V4aLX vbi loco conftautis introduximus. fün& &ionem . v ,quam-- cunque ipfius x, quare per hanc Rot, ES titas V certo modo determinatur. pr A et X que erit fun&io ipfarum a et x, "Qiaht in Toi gute noftro defideratur. — ^. | jmibU- 53- Quod. fi enim pro bilis: curuis fecindis habeatur. ifta aequatío. differentialis d y — V dx x, fi- ve laec integralis y —f/ Vx, bb V. fit ea ipf fa fün&io ipfarum 4 et x, quam modo inuenimus , tum pro traie&toriis ínuenta eft haec aequatio per hypotheün iotegrabilis "uesditioan 39g esas oA dxCXU-EAQdazo,. B iti oibus Ly cuius integrale reperietür , fi; folum prius membrum ántegretur pofito; conflante , vnde hoc integrale erit. Q e Afdx FT» C, 142335 ^ gi om rb DAT TEM vbi n DE TRAIECTORIIS. 29 vbi "quantitas C vel. eft vere. conftans ,'' vel ,- certo: miodo:3 parametro. a ^pendebit ,' qui. modus ex ea conditione , qua: prius: integrale f V.d x capi .debet eft petendus. Pro qualibet fcilicet curua fecanda ex eius parametro 4 hinc colligitur. abíciffa x, indeque. puactum M, quod fimul eft in traieoria quaefita, -84. llla. autem | aequatio - logarithmica ; qua; Tab, II. natura fundtionis 'V definitur, commodius ità reprac- Fig *. fentari poteft. TUCNUPTCEN 3" Bn "Y - "iden" làAle. vmi d 5.5111 -;r Ang. Tang. V.zz a L (e — 4X 14 eminds 3i; vnde generatim pro angulo interfe&ionis quocunque valorem ipfius V neutiquam elicere. licet ; confiderc- mus. autem ' cafum. quo. traiectoriae- réquiruntur j0ED thogon males, quia. enim: 'tum dit ace, ideoque. ca NS Up aV aequatio noftra. fiet Hades de, à Áng. T2085 — Algopven— TM | cie en Pei " vnde fequitur effc debere - en 134 02f SE TREO "at in ) ) 1 AR E SESS Djvusdes wo sU GGG YO— xy fiue YcEYOT RETO) vbi quum nihil. Ampediat,. quo. minus pro a X fiba- mus Eo o] nas d js csyueWYP-E eo 4 die | hinc. vero bud colligimus. "EH 21 ] ui M ni WITZ e Y VV). r$ xis ut JGUXCYX Xnaid 85. Confequenter fi pro curuis Baud pro* pofita. fuerit; haec aequatio. diffcrentialis : LUDERE Adx m3 b ttcg AN | 4)—Zlxx—im! Cre f mu dz. üd pé ^ ^ wd ei "Agam al DIGRESSIO g«uq ipfum integrale euanefeit: p vbi X denotat fuün&ionem- quamcunque ipfius. z 'ét & ipfius. a, poterimus «traiectorias : orthogonales. in- 'veniré,, pro» iis «enim eA npe enu mti x3 [TREO iir.aodileg a on... .eubrno3eq. Re VÀ eic iy vbi C ve. et | quantitas confáos "Mel. E [ij " modo a parametro a pendet, duemaimodum /1 conditio: inte&r:tionis formulae UEPuxg á ot fpa dta 3» poftulat. iio 3b. e1üDi iosui rui nt Hic ergo praeter omnem exfpeétationem' "dd' easdem traic&torias peruenigmus , quas fuüpra/ eX 'hátura /bra- ehyftochronarum ;famus, adepti. . Bt. risuistedi Env -- dM /36, Quo; autem. clarius. , appateat ,. - quantitas. C. pendeat. AR A Madero oam euruis fecandis , «fequenti. ratione «olligere. lige iftam integrationem . jesse vt : —/rxcaw Bo A auci abge: Luc adab vbi x denotet. vel quantitatem. vere, confantem,,. y el vtcunque ab 4 pendentem , prouti ] lib buerit, dum abi X co vel cuipi cuipiam valori ;ato-:et quia aequationem: diffcrentialem im genere fumfimus — — 2 RN nidod x (X. brin dy—Pdx--Qda, D qa "rv hoc pofiremum membrum, e; «rom iu d 4B, atque Ma E ba yin ut jx pen denti zs erit Pr c Rn E d Er iom pro traié&oriis ócchgouitits 'innénimus . hanc aequationérmi ntegralem. raspole: oogil. aisadi s iiton J XXdx n s sba I 2d i6 es & Y JWxx-aMy- c- 7-9, CAT RENS e iov AS ^ hoius- DE. TR ALIECTORIIS. :235 - "huiusque. dfferentiale. contineri debet in forma a A32h XV A Qda co KO. neceffe eff, vt hoc poftremum membrum "A Q4« 3equetur iH 224 C ,'réiectis fcilicet tetiinis ab 'x peudentibus , dum etiam haec integratio- eadem ^ dege OCT Sees ce HIS, AUNE RT fit hr sb 09r! atisiüb Beqciup L8 oin05, 14. T eorr we P ung. DEAD T pps naa [n hp Tuus zc cm -—A 4B IA o. eun) feos di «8$ - A "ideoque FA oda 3 tj Min: eftá^ dry x gogo TM Es E. dénorat j: uantitifem. vere 'conffantedi. FR ..« 0 ergo ^ vti in rach yftochronis vfu. venit littera. B. Y vd euaneícit. vel vera eft conflaus ,. tum pofterior fittera C denotabit veram conffaütém , .. quemadmo- dum, ibi inuenimus, Quocirca haec determinatio I3; ,multo Tatius .pitet quam. illa , quae 'erat. ex. brachy- 'fochromis petita , quandoquidem hic pro B íunctio- ) nem VRIEAESS Npsns. A.. aflumere | licet. » Sit; ibi fuiffet B — o Cra cs Cas E quo zequatio tfo curuis fe- Tab. IL, " candis refertur ad. punctum fixum. Sit igitur "1 Vig » pun&um illud fixum , ad quod primum cürüae fe- À Idea A Mz re&rantur ," per diffautiam. 1M — o €t angulum .C 1 M — $a directione fixa I C fum- /tum ac pro hac quidem eurua A M z fit. parame- ter — 4, variabilis fi ad alias curwas fecandas. tran- Bis, : 'eonftais: vero quamdiu in eadem. remanemus.. RO Tom. XVII. Nou. Comm. Gg" Dabi- - , :234 M» DIGRESSIO - Dabitur ergo pro curuis fecandis aciinio: gus 9,0 et 4, ex cuius diffcrentiatione prodeat . dp — pdv--4da, -. ! vnde pro eadem curüa fecanda A M: " dc ghi ert 4p —pdv, | mL vnde deüuire licet angulum A M nh quem haec cur- va cum reci I M con(ituit quippe cuius tangens , quae in genere eft "42, pro hoc cafu erit -—pe 38. Sit iam curua E M y traiectoria quaecun- - que fíecans curuam A M füb angulo A M E cuius tangens fit vt aate — a, et quia eaedem variabiles v et (D etiam ad traiectoriam pertinent. pro qua parameter Z vtique: variabilis haberi debet , erit an- guli I M E tangens — een quo angulo cüm prae- cedente comparato colligetur. tangens dif ecquis usi zum hoc eft - n. "Wr a AM LL de VÀ eaim miii Id 4. due-d-pesd — ij "vt pro 4tiie&otlis: réfultet ida. aequatio — — : (vp—a)dv—vdQ(rz--apv) , quae pro traiectoriis orthogonslibus ob a — tv abit àn hanc dv-cpovdQ o Igi ocsz danc. ergo aequationem cum praecedente. ita con- -dmugi oportet; vt in:ea duae tantum variabiles in— ifat,:hocque modo inuentio traiectoriarum perduce- 2gur. ad aequationem. diffcrentialem VETE , inter —guà$ variabiles. à: 39. ie 12 Li v0 p DE: TRAIECTORIIS. 235 (5.589. Quodfi etgo-aequatio pro curuis fecandis ita fuerit comparata ; vt. angulus (Q commode. per fun&cionem ipfarum 9 et.a exprimi poffit ,. tum inp aequatione differentiali d —pdo-r-q4 da litterae 5 et 4 datae erunt fünttiomes ipfarum 9 eta ita vt fit (5 — (25; hoc valore iam' pro d (p fub- ftituto pro traicétoriis in petere orietur "haec ae- quatio- quda(i-F upv)-- adv 4 Bbvu)-o JA T1 hincque pro orthogonalibus : : opes, *da-r- dv (1 -- ppov)zzo. i: he TNR /40., Ponamus, lineas fecandas omnes effe rectas ex E ipfo pun&o I eductas et quia anguli A M Í euanefcunt ;. manifetum eft fore, ? — o,, ideoque ae- quatio erit pro lineis. fecandis d — qda fiue d -—4a nihil enim. impedit quomipus angulum Q, tamquam ipfim parametrum a fpe&cmus ita vt fit 4— 1, tum ELT p traiectoriis babebimus banc aequationem : - i vda-caduco ys ob dedos Hem» "nPTPvY E ! ^J eEIu5 | S hanc- Ss o fed ETT s oy dE fa tim ita vt fit var ev deo. ] Y ^ vwd [o] Am | x lw 2 "v ^ ab 4 "iow. —— TOME SER owe t BRUM vnde patet. raiector iam effe. fpiralem. ieu, omnes radios. I M fub angulo conflante , cuius tan- "m Gga gens ss — ^ PPCGREÉSSTO : gens L— — à', féantem, ac fi foerit a ——»v, fit d v-— o feu v-.c ideoque v — €, quo «aín | traies. étoria'erit circülus ceotro c deferiptuus 5 5-0 050 . 41. Retineamus aequatioüem generidem;. diÓ-pdve-4-qda ita vt pro vnaquaque curua fecanda , fit $c f P", d» fumamusque hanc formulam integrari non. pofie,. ita vt hinc 4 non liqueat , et quaeramus wti ia proble- mate cafüi fexto apnexo indolem fun&ionis p, vt traiectoria conflrui p , pro qua quum pm tio fit Y «do 4-b pou). 4424- »04xpv) —95. namus, wt füpra hanc aequationem - Astirtubifem reddi, fi multiplicetur per A fuüctionem quamcur- que ipfius «, ne autem in ambages incidamus; con- fideremus. tantum raiectorias. orthogonales , pro qu bus haec aequatio 22 ali eme dh : 44a d- Ad pi PES S Mua vocis ey -XÀ — debet effe integrabilis j d igiur ett, yt fit. AED EE. oe nea UE inea : at vero P (Bree (o6. "uu T. qu vnde ifta aequatio induet hanc formam — s Abe cHGern ad i9 ges adDer "ie da rry P 3 dre DE TRAJIECTORIIS. 257 Uo 4s. Quia in his differentialibus | fola" parame- tet 2 vt variabilis occurrit , fpectemus. reuera v vt confítantem et adipifcemur. hanc. Aequationem Adf 4^ Gs ED pos vnde fit l |da— . d — dp p A E — RUEPRRVE $ ou 13-P 35s TU quae i integrata dat j L A-— Lo 3 (1 4-: gum La vnde colligiur Q3 € MS I. AWYi-rrU Avo) et Ya poo ere ries 48. Confequenter fi pro curuis iAngreeyes pro detur. aequatío E gs fue . LP o5 —A "TE SCUY T bas y (0 S e sn í : E ^ denotat fun&ionem quameunque ipfius v et A ipfius a, tum pro traiectoriis. orfhibf odas y col- ligitur ifa aequatio differentialis : " X TUSCE Eoo p er adi i quae quum per fe fit BHSEEDHM, aequatio finita ita fe. ubeculd JC TNPRWE | RETIA y dv —C, ET ^ (Y—xA»»)— ü in qua integratione parameter 4 pro cónftante habe- nr. Atque haec aequatio pro curuis fecandis eadem eft, quam in fuperiori differtatione $. 30. ex bra- chyftochronis deduximus, - fi modo hic loco v apud mus s, loco V veto 944. —. ^7 " ^7 Gg35 ; EVO- f » ECT "Tab. II. Fig. 4. se98 |— "^"DIGRESSIO ^: EVOLVTIO VBERIOR CASVVM, QVIBVS LINEAE SECANDAE - VPPRBNPRDETIH CHAM. Solisaniets Problema IL Si re&ae fecaudae ita fuerint ductae, vt fin- gulae tangant datam lineam curuam, inuenire lineam curuam , had has rectas. (ad angulum datum fecat. - / j^ 7 m . EXPERS RBS Sit curua DU ad axem A T relata eaque proponitur , pro qua fit abícila A T — 7 et appli- cata T Uc, ita vt 4 fit functio quaecunque ipfius £ data, iam ex huius curuae puncto U ducatur tan- gens indefinita U S, quae ergo erit vna ex noftris lineis fecandis,. vnde íi in €a capiatur punctum quodcunque M, toordinatae: fupra - adhibitae | erunt nunc AP — x ec PM zy, inter quas iam aequa- tionem erui oportet ; introducendo fcilicet. parame- trum variabilem 2. Quoniam autem haec linea fe- canda a reliquis diftinguitur eo , qnod haec ipfam curuam datam in puncto U tangat, hoc ipfum pun&um U continebit notionem — parametri ,. atque abíciffam A 1 — 7, tamquam parametram fpe&are li- €et , atque nunc. 4 erit functio parametri /, ex na- turà autem Llmius fün&ionis innotefcit angu us quo fe&s. haec U S. 3d. axem. noftrum inclinatur , cuius . i du — * » qr tangens eft 7— 9. Vrae s "Dr * 21. u A dy L ys d : i9 At DE TRAIECTORIIS 2s$9 — At vero etiam hunc. angulum ex noftris coor- dinatis x et y cum £ et u' comparatis . poterimus definite , erit; enim etiam tangens c iftius anguli P— -—— v. vnde variando £4. acqnasio pro omnibus cur- vis fecaudis eri£o^? gcn doli xd bzw y-—Ux-d-u-to, quae. praeter variabiles x et J continet t infuper para- metrum 7 eiusque fun&iones 4 et 9, quae in locum litterae 4 fübftitui intelligi debent. Quoniam | vero iam pofüimus 24 — 2 9 fit porro d v — wd: atque nunc aequatio differentialis pro curuis fecandis erit dy-vdxd (xw-—wi)dt — PES cad, " quae cum forma noftra. generali comparata. - dy —pdx--4da ob a! praebet p-—^vet4 —(x—0w. — Hinc. igitur pro traiectoriis quibuscunque, dum anguli interfectionis tangens ett z^ vp tanc aequationem qdt(x -«p)—adxs(r ad vbi p eft functio parametri z, quae fubftitutis valo- ribus abit in hanc formam vidi. —a) (r —t) —ax(1-- vv) fiue | d v(x- - av)x— )—edx(íbev. y ergo ef aequatio pro omnibus traiectoriis, i . Ponamus primo a — o, ita vt omnes lineae fcandae a traie&oria tangi debeant, ) atque habebimus E nde fit y — 4, ficque. prodit ipía liüea | lom [ M $40: UUDIGRESSIO:!: va Miei pet fypothefin: noftrae "fineae: funt - nena Pqut ca(us per fe eft obuius. ^ ^ [: 'Ponamus autem porro à — ce; vt traiectótisé prodeant orthogonales ,, vnde nafci deóns omnes il- lae curuae , quae ex euolutione curüde D'U oriun- tur, facto autem a — e» noflra aequatio abit in banc , | vidis y í dv (x —t)—dx(x -4-vw) feu Te Li. Quae tantum duas variabiles. continet , hae forma. te- fraefentata gvdvo-dx(i D ordlace di: quae per Y(r4-vv v) diuifa manifefto fit integrabilis : tvdv ^ 561 —adsYG-ees)r, xedpoi 7» oer ATE EET) Va v2) íàg Ni integralis enim eft. | xV(i-vo)z-/ 5S8 : T2» -uya tv2)-/. AS * vC (14-99)— vbi formula | Nido SPEO [dt Y (x 4- ow) à indi ibt denotat arcum. cüruae- propofitac D.U, deinde 8 ex puncto A erigatur ad axem perpendicularis. retain MS fecans in R erit B Res CY aor geb roeg cdjie ideoque : ni 2 RM-RU-DU«C, j TUE ita vt t — tgo L1 HEN MERE ies MU-C (n5 aliai abícindatur ergo. in "figura arcus Dc- C, wt fiat UM a ális | U €, atque nunc maniftum eft b TH A | oo punctum DE TRAIECTORIIS. tat punctum M efíe in curus ex euolutione nata C M, initio euolutioois in puncto C fac. Verum fi ae- quationem pro hac curua C M defideremus, ex ac- quatione. inuenta habemus ftatim gydtyt zc zh?) "y0-4c79v) ? hincque porro you aca EP a, vnde fi liceret. variabilem i climinare, haberetur ae- (ano. pura inter x et J pro curua quaefita. yl Sed vidcamus etiam, qualis futura fit traiecto- ria, fi angulus interíc&iouis fuerit quicunque con- flans ; tum autem aequatio inuenta reducatur ad hanc formam. adx(x4-v9)—xdo(x- av)—tdv(av—x) fiue MUT &dv(i—«v) — fd v(x v — 1) h Y 75 7^7 &( -4-v') ? ^i que cum forma generali vi dx--PxdvezcQdo, qimeparati integrabilis redditur ; fi multiplicetur per £/* ^" , tum enim integrale erit. * gel tit o felti* Qdo, quum igitur hic fit Péo-2799 eritf P4v-LY (1--vv)-i visui a (td vv) Bids dolos: : E pP — E hoe Tang. *y6 pen, Pi anillom. XVII, Nou. Comm. H h | quo- zw. quocirca. ob Q— t(av——) — p &(r^--707) ^. vnde erit. fei *4*, Qdu fol! Po teft! fii efti ita vt fiat x6 t9» y gpplrdo ex quo faca fub(titutione habebimus 5: Arc. Tang. o 3 dn e£ vin - 5 Atc. Tag. p. Faieuthh MCA CEEUTS di.e * eed hincque | «AC. Tang.v -LAÀIC. Tangib; TOR TA pres —— Jfat.e Yap). P log n iL Sint re&ae íecandae ita ductae, vt fingulae earum U M fint normales in curuam :datam- A U et quaerantur traiectoriae. pro quouis angulo inter- fectionis. (onc Mee $3 Qui$ul. Pro curua data AU fit iterum abfciffa AT- t et applicata T U — v, tum vero fit du — v dt, ita vt hae quantitates tanquam —fünctiones ^ parametri variabilis fpe&entur, 'ducta iam ad .pun&um U normali U N M confit angudi TUN tangentem fore — v ob fubnormalem TN I" —ue c BN rn atti J - »hinc- DE TRAIECTORIIS 243 hincque normalem |. UN c «Y (x4- v«). Quia nunc recta U N M eft vna ex fecandis, fuma- tur in ea punctum quodcunque /M. et vocatis. coor* dinatis AP-—xcect PM — erit TP-—x-:eUT 4-PM-— uy, manifeftum autem eft fore v — EA vnde deduci- tur haec aequatio i; peri PIRE NS 3 J-—f—u—iz et .. Differentietur nunc ifla aequatio et reperietur: m d mix dqD. m tdv dy —t"y vv vdt il C quáe comparata cum forma generali: S Ay—pdx-r 44a, praebet. p — 5 hinc. : i103 ; s ' d Icpp—— UL? et qdazc—zi* — dieat a 77 at vero pro traiectoriis. inuenta eft haec aequatio adx(x--pp)—ada(x—ap) ^ dil Ponamus hic primo & — o, Vt inueniamius: eam tra- iecriam , quae omnes, noflras lineas rectas. tangat , quam patet effe euolutam curuae propofitae A V5 pro hac ergo habebimus iftam jq 44a o, vnde fit E 4n (x—)0dv-r-vdtr(1 n "eui Hh 2 hinc- € — oIDDC RESSPO: .., hincque TL. Beet UxyL-t-—?35i6--vv) ; ' | WEST. dau hincque porro . | T dt(:-4- vv d v quae fünt coordinate pro euoluta curuae propofitae, praeterea. vero noraffe inuabit , quum fit T P—x-t— pi site dlc y LL z— bun proportionem JA TN:UN-— —TP: UM ita vt fit cm LLdf(ras mu) uci | UN—-ifckmE quae eft ipfa expreffio cognita pro. radio ofculi UM. | Contemplemur etiam cafüm , quo a — ev, vt omnes traiectorias orthogonales cliéniis Tum ve- IO aequatio inuenta abit in hanc —— d i * dx(r--pp)d-pqda—o . pd hoc cft | dx (aeos) t£ P d eo moy quae reducitur ad hanc formam S 053, 1; 7 22 LN edge s )^u SITO dx - $6--09)7 x v 2-99) quae cum forma generali dx--Pdxdo- "T — ^ sompa- DE TRAIECTORIIS. 245 comparata, dat ^ - Jgcrano - elite 1a "PévoLl—. ; vG4a- v9)" 1 inc. f? dvo—L*Yt Y es et e eo — MEI perquam quantitatem. noftra aequatio uvis im fit dxzv(i-a-vv) .— xdv m deca: pn td v. » v — vVvy(ra-v9) ; (vy (rv) ? cuius integrale e(t qa à; ' AE Opp € "a4 OU HA eet Rui eL C 1 Hg wt fic ; "nt NON TNI C NCS -hincque : 36s) : — c — — J — 1ü-rcvv) . Quodfi iam hie conftaritem. e; ponamus — o, . habebimus x— 7 et y — —, quo cafu traiectoria Orthogonalis eft'ipíi turüd noftra propofita AU, fed praeter hanc infinitae adhuc aliae dantur, quae inueniuntur, fi c non fit — o, capiantur enim in fingulis noftris redis portiones U j.—6o atgne mg nifftum eft fore yos — P 7 et U 30ep32)7— 1 U — Ps quibus fubftitutis babebimus X—AT--Tz—A« et J—gi-4"-—-M7, Y Ga a- v) .ex quo intelligitur omnes curuas per puncta haec M ducas, . quae parallelae | vocari folent curuae AU, oup Hh 3 efle | 246 ^)» C 1GRESSIO:- effe traie&orias orthogonales,. conftat enim omnes has curuas communem habere euolutam. ^. |^ Sin autem angulus interíe&ionis fuerit em que ; aequatio inuenta erit adx(1 "vv)--(v72)*7* i? corp gen A EST v4 quae reducatur ad hanc formam : HUE (v—a)xdv — ent (v——a)tdv—. du ('v—oa)tdv dX Teo TERM. MAE TE &v (vo) vnde fit " [P4o-iAng Tang ,v 4-LY-t*9, 5.4. vnde calculus reducitur ad quantitatem exponentia- lem , in cuius expenentem T Buoni». cuius Tàngens eft v. ! Problema "m Propofita curua quacunque A U per. coordina- t5 AT—:et TA» data, fi ad fingula, eius | punda. U fecundum legem. quamcunque datam edu- cantur rectae. U M, inuenire traie&orias , dipas ginad has rectas fub angulo dato traiiciant, SolutiU. "5 Ponamus vt ante Z4 — v 4t et vocemus, an- gulum T U-M — (P qui vel ipfe vel cuius Sinus, ^[Jangentüe., per: quahtitates ad curuam pertinentes . vtcunque- determinetur, "ita vt-fit d p — g 4, at- Baud b db que "DE TRAIECTORIIS 244 que omnes iflae quantitates, tanquam functiones pa- rametri fpecari queant. " Quum igitur. U M fit. vna eX rectis (ecandis ; fümto in ea pud&o quocunque M habebimus pro traic&toriis A P — x et P M — y, at- que nunc vt ante euidens eft-fore FS Tag. zz £—2 s uc)? vnde definitur EE UE EG ui uu us T J "3. Tons. : Tang. $ N Differentietur haec aequatio :. — D-22429. ,54gr— 129 dy —dxcot— 5 —vdt—dtcot. o-4- eritque | p-—cotLO et x --pp— uia et — (t —x)d qda—U-— —vdi—dtco.(, quare quum -pro traiecoriis inuenta [it haec ae- quatio adx(1--pp)--24a(ap—)—0; quae duas tantum variabiles complectitur et altera x vnam dimenfionem non fíuperat , eius reíolutio erit in noflra poteftate. Euoluamus autem potiffimum cafüm , quo a-—o, vt curua inueniatur omnes has rectas propofitas tan- geus, pro hac igitur curua aequatio erit 222 — o fiuc —gp-74: fin? ^ dtfin.Q.co.D —.. vfn.D* — fin.Q cof. "ORI hinc- 248 — DIGRESSIO DE. TRAIECTORIJS. hincque - frietípnni (T e T3 y — Peer? .L. eof. t J Gi " quum ergo hiac fit Lg o— fin. Q* fin. $, cof. D pim dam B ? inde concluditur ipfa recta U M -— — L. vji» C- $9, DIY notandum autem 3 effe pun&um, : in quo duae huíus- modi rectae fibi proximae ax wb ss PHYSI- |. PHYSICO. MATHEMATICA. - -* Tom, XVII. Nou, Comm, li EXFO- wis ui ) qim 254 EXPOSITIO THEORETICA SINGVLARIS MACHINAE HYDRAVLICAE: TIGVRI HELVETIORVM —EXSTRVCTAE. Auctore ADANIELE BERNOVLLI. | midi | achinam , de qua nobis fermo erit, non du- M bito inter ingeniofiffimas referre ;. inuento- rem habuit virum egregium , Znáream Wirz Tigurinum , Artificem ftannarium , variis ornatum dignitatibus in ciuitate patria, füoque ingenio me- €hanico inter conciues confpicuum ; Quin ipfe in- ventor paruulam optatifümo cum fucceffu exflruxit machinam in fluuio Limagi, cuius ope aquae ad notabilem eleuantur altitudinem in víus officinae tin&oriae ad ripam fitae. Accuratiorem nouae hu- ius machinae defcriptionem dedit C]. lob. Henricus . Zislr Med. D. in tertio Volumine Transactionum Tigurinarum , ad quam [licet lectorem ablegare , cui perfun&toria noflra delineatio non fatisfecerit. P d $. 2. Interna machinae Wirzianae firu&ura ea- dem. perfecte si quae.tympani horologici, cui ela- n li 2 ftrum ^ ^535. E 255 |. MjA& CH 1:N-A firum inelüfüm e(t fpirile ; figura! noftra: prima fe- Cionem .fillit. tympani. perpendicularem ad axem $ intolecrum. habet defignatum litteris 2; 2, 2,4, quod definit in fitellam aquis bauriéüdis dicatam A; ca- vitati tympani incluía eft lamina flannea , dimidiam lineam cráffi, atque. ductu fpirali ab interiori inuo- lucri fuperficie verfus centrum intorta, rclidto de- bito interuallo inter bine Si laminae duplicaturam 5 fic helices formantur. 1,25 3,4; 5, 6 etc. Vtra-- que ora laminae intortae "d quaeuis exaciffhme in eodem planos, vt helices a. fendis fnperimpofitis in vtroque latere perfccte claudautur ; Ferruminatione hoc opus, in quo cardo rei.vertitur , perficere do- cuit au&dor. Ex medio alterutrius fundi eXüriaudf bulbus petforatus inftar. modioli rotae vel c formatus ). per quem aquae [ aec £x intima i lateraliter exprimantur et transfundantur in diabete. vel fiphonem immobilem, primo horizontalem, mox incuruatum et werticaliter -affurgentem ; diabetes aquarum cleuationi et effluxui pero onfidum. fupe-. rius dicatus | £13 modiolus - autem. fua. cauitate extre- mitatem UM ftridiffime Circumple&atur , ita vt in tota iundura ne guttula quidem | duidi vtut compreffi , perfpirare . poft; | attamen opcra detur ,. vt praefatum «hoenicium « circa diabetis exortum. ipfi infertum, absque. notabili. impedimento: rotari. poflit s figura fecunda. hanc machinationis partem. exprimit, l $. g. Víus machinae Wirzianae in co confi- flit, vt aquis ad dimidiam propemodum altitudinem fubmería fit, axe horizontaliter pofito: -altera; vero: T AN dimi- HYDRAVLICA TIGVRINA. $55 üiinidietas extra aquas promioeat;- tuim fi. rotetüt machina , fecundum ductum fpirarum a centro vere fus peripheriam 5 fiet , vt alternis. vicibus aquam et aérem hauriat, vtrumque fluidum verfus centrum profluat , per choenicium: in. diabeten transfundatur , in diábete affurgat ;, tandemque eiiciatur. :| Sic par- vula machina afcenfüum. aquarum obtinuit inuentor octodecim pedum , quae machinae prae(tantia | atque theoria omnibus erunt mirabiles: nec tamen. omnis a'machina obtinetur effcctus, nifi. partes eius fin- gulae ad debitam xconformatiouém atque proportio» nem füerint reductae ; vltimi machipae perfectio in eo confiflere videtur, vt quauis reuolutione.; extima helix , ad dimidiam | fui partem. nouis impleatur ,8quis,- pofteaque aére. naturali:, | vt ambo fluida - fe- cunda rcuolutione in ^helicem fecundam , tertia. in tertiam , et fic porro , progrediantur , donec ad in- timam peruenerint helicem , vt ex hac per choeni- citm in diabeten transfundantur , eleuentur ac deni- qae effüluan. |^ Nifi ommis aqua in primam. helicem haufta , fao. ordine hanc viam perficiat ,.- neceffe - eit wt pars eius in fupremo helicis loco retropellatur atque regurgitet in helicem praecedentem , vnde ve- nerat: ifla vero regurgitatio effe&um non. folum. di- minuit, fed et aliquando. integrum - euertit ,. quod ipfüi contigit^ Inuentori^ im primo: fuo tentamine , cum helices verfus centrum nimis coarctabat ; com- TDiffüm errorem: protinus animaduertit , factaque eius . correctione pleniffimum. a machina obtinuit effectum. abs machinae / non: fine - praeuio.. circumftan- vEi li 3 tiarum 254 » — MACHINA tiarum examine aggredienda eft: cum vero interna aquarum in fingulis helicibus difpofitio. atque ordi- natio, a qua totus machinae effectus pendet , oculis difcerni non poflit, haec disquifitio 2 priori fecun- dum veras leges hydrof(taticas inftituenda. erit. . ^ €& 4. Ante omnia exiítimo attendendum effe ad altitudinem , ad quam aquae fint eleuandae, et quanta inde in infima diabetis. parte oritura fit com- preffio ; difpiciendum ; Ponamus primo nullam effe hanc altitudinem , ita vt aquae effluant per axem excauatum horizontalem ; tunc vtique in fingulis helicibus aquae intimum "Occupabunt locum , aér.fü- premum , nec aér ií(te ert compre(fus; feruabit fuam denfitatem naturalem , placidusque fiet. ytrius- que fluidi transfluxus; fi modo orificium | effluxus amplum fuerit, lentiusque . machina circumagatur ; nec tune, fi animus a refi(tentiis alienis abftrahatur, vlla vis ad machinam rotandam. requiretur. Si ve- TO diabetes aliquam | habuerit altitudinem , tunc aquae in illo contentae repriment aquas effüluxui proximas , fimulque- -aérem fubfequentem compriment, et in minus volumen condenfabunt: Inde facile videtur fore vt aquae in fingulis helicibus elenentur in la- tere finiftro figurae. noftrae , deprimanturque in. la- tere dextro: fic finguli arcus aquei. pre(lionem. exer- cebunt verfus centrum , atque fümma omnium. ha. rum preffionum dabit proxime integram potentiam in eleuationem. aquarum , quae in diabete continen- tur , impendendam : vocabo. deinceps pro quauis he- fine , aliudisem arcus. aquei illam altitudinem | ver- [v tica- HYDRAVLICA TIGVRINA. 255 tialem , qua in illa helice extremitas | poflerior aquae -eleuata eft füpra extremitatem auteriorem j finguli autem arcus aérei comprimuntur vi, quae refpondet fummae altitudinum arcuum aqueorum ^a tergo fübfequentium ; quanto magis eleuandae fünt aquae in diabete affürgeate , tanto maiores oriri de- bent altitüdides arcuum aqueorum , donec tandem füunmitatem helicis fuae attigerint ; qui vltimus eft machinae propofitae effe&us: tunc arcus aquei integram capacitatem lateralem finiftram ' occupant , totum jue latus dextrum aére fit repletum | oportet : figura noftra prima vltimo huic ftatui refpondet , in qua numeri impares arcus aqueos , numeri pares arcus aéreos indicant ; hunc vltimum ftatum | vt. fin- guli arcus aquci fimul attingant, opera danda eft, ne vlla in ordinatione perturbatio oriri: poffit :: quod fi akituio diabetae affurgentis excedat fuos limites, nüllae profe&o aquae efüuent, nullaque a fitella haurientur, nifi quantum requiritur ,. vt^ paruuli excitentur motus reciproci, dum alternis vicibus parum aquae fitellam- ingreditur rurfusque eiicitur. - - 6. s. Cum uullas arcus aqueus maiorem | pos- fit habere altitudinem , quam eft diameter helicis fuae, fequitur aquas in diabete contentas nunquam maio- rem exercere poffe repulfüam , quam qui refpondet altitudini omnium diametrorum ad fingulas helices pertinentium ; imo 05 multas rationes requiritur , vt aquie in diabete contentae minorem renifum. fa-. ciat, quam qui deducitur ex praefata diametrorum fumma; inter has rationes pro momentofiffima ha- beo 256 MACH LNA: 48/0 t beo , quod helices in progreffu fuo verfus centrum aliquam capacitatis fuae diminutionem capeffere. de- beant, vti. mox. demonftrabo ,. fi. omnia rite. perfi- dium fuerit aquis repleta, fiet vt haec eadem. aque rum quantitas in interioribus helicibus arcum cdiors met plus quam 180 graduum ; tunc. autem necefía eft, vt altitudo 4reus aque. minor fit. quam, diame- ter helicis 5; apparet exinde, non tam diametros. he« licum, quam altitudines arcuum aqueorum. accipiens das effe, ex quarum fumma aliquod de altitudine diabetis ferri poteft iudicium ; attamen cum mon ita pridem. paruulam obtinuiffem machinam ,. protinus prouidi, fore vt machinula diabeten admitteret, mul- to altiorem quam effet famma altitudinum. arcuum aqueorum , immo quam íumma diametrorum; id valde paradoxum videbatur amicis. praefentibus ,. in goorum cosfpedu primum parabam experimentum ; mox tamen ,. audita afferti ratione , in fententiam zceam traufierunt., nec exípedationem noflram fe. fellit expcrimentum. Jam dicam , quod res eft... —c ($6. Machina. Wirziana alternatim aquam et aérem. haurit ,.. hauftaque. per orificium diabetis - fu- perius reddit ; diabetes in paruula machioula , quam prae mavibus habebamus , vix duas lineas in diame- tro habebat, nec aquae in hoc fiphone ftrictiori. dif- fluere poterant: igitur iu illo formari debebant co- lumellae aqueae et aéreae alternatim '. pofitae , | atque s(cendere.: cum. Vero pondus columellarum aérearum. facile: negligi poffit, folae columnae aqueae POR, i 3s - fuo H HYDRAVLICA TIGVRINA. 233 fuo reacionem facient: poflulat igitur aequilibrium , wt maxima diabetis altitudo aeftimetur ex fola füum- ma .columellarum aquearum , X neglecta altitudine :columellarum .aérearum : hoc: modo altitudo :diabetis abíoluta erit multo maior quam altitudo hydrofta- tica. — Erit autem altitudo hydroftatica ad altitudi- "em abíolutam proxime vt 1adord x- log. hyperb. (1 3-2), fi per a intelligatur ipfamet altitudo hy- droflatica , et per .À altitudo aquae, «cuius preffio eadem fit cum ;preffione atmofphaerae. At fiaquae ductus afcendens amplior fuerit, facile eueniet, vt aAÉr intermixtus erumpat, ficque pars aquarum. con- fluat, quod fij contingat , minorem aícenfum machi- na permittet. 20$. 3. Quae modo dixi de augenda aquarum eleuatione ab intermixto aére, iam diu mihi fue- rant obíeruata, cum viderem idem hoc artificium Parifiis füiffe excogitatum atque felici cum fücceffu adhibitum in antlia afpirante (pompe afpirante), cuius ope aquae àd altitudinem notabiliter maiorem quam 33 aut 32. pedum ex caftello adducebantur , prouti videre eít in poflerioribus Commentariis Academiae Regiae Scientiarum Parifinae , huncque mirandum effe&um obtinuit Inuentor hoc folo artificio, quod in inferiori. parte machinae a&ri per paruulum fora- minulum acceffüm concederet: fic nempe aquae aére permixtae veluti fluidum cfformebant fpecifice leuius quam eft aqua pura, quod tanto altius quanto leuius €ft 3 preffone atmofphaerae cleuari poterat, — Vi- Tom. XVII. Nou. Coram. Kk |. dean- 5858 MACHINE deantur hac de re hiftoria et Commentarii praelau- datae Academiàe ad annum 1766. pag. 150. et 431. Summam memorabilis inuenti paucis exponam ver- bis. ^ Machina exftat Parifiis in aedibus D. Bellangé compofita ex tubo vel diabete verticalirer affurgente; extremitate fua inferiore aquis immerío; diametrum internam habet io. lin. atque afcendit ad altitudi- nem 55. ped. vbi inferitur in antliam , 25. Lin. pro diametro interna bhabertem , in qua embolus agitationes reciprocas 8. poll. permittit; embolus ipfe perforatus eft atque valuula inftructus,. quae afcenfum aquis concedit ; deícenfum aut regreffum negat: in infima tubi parte fimilis eft. valuula aquis ex caftello vel dolio ingreffüm in tubum , cum em- bolus in antlia eleuatur , concedens, regreffum , cum deprimitur embolus , vetans. Denique in parua di- ftantia, veluti decem pollicum , a fuperficie aquae in dolio contentae , diabetes afcendens a latere par- vulo foramine perforatus eft, cuius diameter femilie fieam parum fuperit, intérius valuula debilifima ac mobiliffima obtecta , a&ri externo , dum embolus eleuatur , ingreffum permittente, at egreffüum omnem; cumr deprimitur embolus , impediente. ^ Ope huius inachinae , dum agitatur embolus, aquae ad totam diabetis akitudinem 55. ped. vna cum permixto a&- i6, per foraminulum laterale ingreffo , eleuantur , antliam ingrediuntur , embolum dum depremitur traii- ciunt , ob eodemque mox eleuato ex antlia eiiciun- tur Cl JNollius vera huius effétus tradit princi- pia mechanico-plryfica generalia ; menfuras atque pro- portio- HYDRAVLICA TIGVRINA. 259 portiones reconditas non addit, quae calculum paul- lo operofiorem requirunt ,. quamuis plane neceffariae fint, vt pro diuer(üs circumf(tantiis effectus non ío- Jum explicari fed et prouideri poffint. ^Commenta- tiones , quas reliquas. fecit Cl. D. No//e?^, nunc nimis alienas, in aliud diffram otium. . Nuuc in viam redeo. EZ | " . $. 8. Quae adhuc diximus, geoeraliora funt ; funt autem nonnulla fpecialius pertracanda. | Quo maior adhibetur ípirarum numerus , eo facilius con- tinget, vt aquae in diuerfis helicibus fitum obti- neant valde inordinatum ; in aliquibus hclicibus aj/r- iudines arcuum. aqueorum (s 4.) poterunt effe maxi- mae , in aliis minores, in aliis ncgatiuae, fi nempe pracponderent in latere. dextro; pro re nata fiet, vt effectus oriatur maximus , vel. minor vel etiam nullus ,. quod pofterius iam dixi $. 3. ipfi Inuentori .in primo fuo tentamine contigiffe. ^ Ante .omnia certiores fimus , fieri non poffe, quin finguli arcus aquei magis fint eleuati a latere finiftro , quam .a | dextro; fic enim omnes ad communem inter fe cone - fpirabunt effectum ; at enim. quamuis tunc aquae in yna vcl altera helice imo in fingulis. helicibus . fint multo minus eleuatae, quam alias fieri. potuiff.t , de- crefcet quidem altitudo , ad quam aquae per. diabeten eleuari. pofünt, fimul autem in eadem. ratione de- crefcet potentia ad machinam circumagc ndam . dowd fita, ita. vt nihil. de effc&u virili perdatur. ; $.. 9. Cardo: negotii in hoc verti videtur, vt cuiuis helici debita concilietur capacitas: cum arti- : Kk 2 | feX 260 M/ACHINA | ^ fex noft.r, id fécuüdo fuo- tentamine ,. fingulis heli- cibus. aequalem dediff?t capacitatem , egregium ha- buit. fücceffum, nec tamen. optimum ,. fi aquae ad. ma- jorem. élenandac fuiffent altitudinem.. Optima erit methodüs ; «quae ad ductam paragraphi quinti infti- tuitur : drcus. aquei füuin vtique volumen. feruaat ,. dum. omncs. helices. percurrunt ,. fi. modo aquae nus- quam rcgurgitare poffint in helicem. proximam vnde venerant; at véro. arcus a&rei ,.. dum. cochleam. per- currunt, continuo magis magisque comprimuntur , condenfantur , atque in minus volumen coércentur. Velim: autem. égó ,. vt' vterque. arcus, aqueus et aécreus , vbique integram. expleant helicem ;. id enim ni fiat , perturbabitur fitus, quem. aqüae et a&r ii. helicibus: fingulis. obferuare. debent, atque. in: para- graphum praecedentem. peccabitur. — Neceffe adeoque eft, vt capacitas helicum. tauto magis diminuatur , quanto. propior- facta. eft. centro... In. primo. tentà-. mine Inuentor. nimis. conftrinxit. helices: verfus. cen- trum , in: fecundo. nimis aperuit. Quod fi huic no-- ftro. fatisfiat. praecepto , eueniet: vbique, vt arcus aqueus- plusquam. dimidiam: helicis- fuae. occupet. par- tem ; atque adeo vt. a/tifudo. arcus aquei ad. integram: helicis- diametrum. nunquam afcendere. poffit ,. etiamfi. fümmitas arcus- aquer in: ipfa: fummitate: helicis- pos fita fit: femper enim: deficiet ifta: altitudo- ea: parte. quae. refpondet finui verío. arculi- fu perabundautis z- at exiguus. eft: ifle. defe&us ,. nec. vllum. inde: oritur effetius: vtilis. decrementum ,. ratione- habita- ad* poten- tiam. motricém. fimul. diminutam, Hos. fingulos: ar-- cus; HYDRAVLICA TIGVRINA. 26i cus aqueos, quotcunque fücrint, certiffime habebi- mus confpirantes: apteque. locatos ,. quae. fola conditio " effentialiter cum argumento noftro- connexa. videtur , atque optatum machinae fucceffüm certum reddit : nec tàmen requiritur, vt. Omni accuratione expleatur: imo pro miuoribus aquarum cleuationibus: parum de- rogabitur cx. machinae perfe&ione ,- fi. eadem. capaci- tis'in fiugulis helicibus conícruetur.. $10. Vt. vera. atque. conuenientiffima: deter- minetur amplitudo: in- fingulis: helicibus, ante omnia .xefpiciencum. eft ad. altitudinem diabetis: per quem aquae eleuandae. funt : vidimus autem $6. 6. diabeten, praefertim fi^ ftri&ior fuerit ,.. columellis: impleri aqueis: et. a&reis alternatim - 'pofitis- atque: folas- priores pondere: fuo: comprimere. aérem. infimum. diabeti ' in- carceratum , quia; pondus columellarum. aérearum facile- negligi: poteft; eadem. autem. ett compreffio aris in: intima: helice, quae eft. in' infima. parte dia- betis 3^fuerit i iam altitudo: diabetis: — 5: et altitudo integra omnium: columellarum aquearum- — a. ha- bebimus- vi paragraphi. fexti. a.-1- A log. Hecam (r4- $)- 5 quam proxime ; atque haec aequatio, facillima: appropinquatione ,. fubminiftrabit; valorem altitudinis: 45. füb: qua. aqua. comprimit aérem in in- tima: helice: contentum; quia- vero altitudo atmofphae- rae- concurrit. ad- .comprimendum: eundem. a&rem , haec in: aquam: conuería- erit — A et integra. alti- .tudo- —a4 A. la extima: helice aér eft natura- lis;,. atque comprimitur fola: altitudine A: erit adeo- que genitus aéris natüralis ad denfitatem: aeris in UK K. 5. inti- 262 MACHINA. intima helice. contenti vt A ad À-1-a, et cum quantitas a&ris eadem fit in vtraque belice, erit fpatium aéreum in extima helice ad idem RR in intima vt À -4- 2 ad A; quod fi itaque fpatium aéreum in extima helice fit — c, erit. idem fpatium in intima helice — —^— c et cum extima helix ae- quali volumine aéris atque aquae impleta ponatur, erit capacitas extimae beligisuge — 24; capacitas vero intimae helicis — € -1- 5e; funt itaque ambae ca- pacitates vt 1 ad aA E érit quoque capacitas ex- timae helicis ad diffcrentiam inter extimam et inti- mam vt r ad L———. Quod deinde attinet ad helices | intermedias , fufficiet praefatam differentiam aequaliter diflribucre , ita vt differentia inter quasuis duas helices proximas eadem fit, nempe — L— x7,» fi per s intel- ligatur numerus helicum.. lode fue Lune etiam de- ducitur pro quauis helice ratio ioter arcum aqueum et.arcum aéreum , modo vnica'quaeuis helix vni- formis amplitudinis cenfeatur. *Q rd màdzg 6. rr. Lubet haec omnia vnico illüfftare ex- emplo: ponatur a — A — 32 ped. paris. fic fiet, vi paragraphi praecedentis, altitudo diabetis P— a 4- A log. hyperb. (1 -1- £) — 54, ped. neglecta fractione fu- peraddenda ; habebimus porro denfitatem aeris in in- tima helice duplo maiorem , quam eft denfitas aris naturalis : capacitatem intimae hclicis — tribus quar- tis partibus capacitatis extimae helicis. — Denique duae partes HYDRAVLICA TIGVRINA. 263 partes intimae helicis aqua, vna pars aére conden- fato replebitur : arcus nimirum aqueus erit 240. gr. a€reus 120 gr. | Numerus autem fpirarum vel he- licum tantus fit oportet, vt fi in fummam colligan- tur a/udimesg arcuum aqueorum paragrapho quarto: definitorum , fiat hacc fumma paullo maior, quam $52 pd. Caeterum praefatae menfürae conueniunt machinae non íolum perfectiffüamae, fed et ad ftatum maximae fuae efficacitatis reductae , pro quo nimi- rum finguli arcus aquei ad fumritatem helicis fuae pertingunt ; quia vero in hoc ftatu fücile euenit, vt aquae hanc fümmitatem praeterlabantur et in Bii: cem praegzreffam regurgitent , imo vt aquae in dia- bete fubfiftant nullaeque effüluant ; velim vt in cal- culo altitudo 5 octaua vel faltem decima fua parte maior adlibeatur , quam quae pro altitudine diabetis - propofita eft: -conuenienti(hmas puto allatas propor- tiones, cum aquae ad altitudinem 48 vel 5o pedum funt eleuandae. mo íi diabetes ita amplus ponatur, vt conferuatio columellarum.. aérearum integra | lo- cum habere non poífit, tunc altitudo eius parum fuperabit altitudinem? a, id eft, 32 ped. haec omnia probe difpiciantur i2 MR iin machinae confiru-. quo tentetür. .. . i - $. x2. Quae dixi. de augmento. altitudinis , ad | quam aquae data máchina eleuari poffint , ab inter- . fertis columellis aéreis oriundo ; effentiàliter ad. ma- "chinae effectum pertinent , nec fine difpendio adhibi- tarum virium motricium negligi poffunt; et enim machina nihil addit alütudini 4, quod mon accépe- rit 561. ividM A CHINA: xit a viribus motricibus adlibitis, et cum "vires eae- dem impendantur, fiue negligatur augmentum fiue. fludiofe .conferuetur , .caueamus., ne plus de viribus 3notricibus :pereat ;, quam neceffe c(l: vires motrices non folam in motum .aquarum -machinae incluía- rum «earumque in fingulis helicibus eleuationem, fed €t in compreífionem atque «conden(íationem aeris in- terni impenduntur. -Oftendi autem in Hydérodynamá- «4 Tea, omni .aéri condenfato vg viuam | potentialem jneffe, «cuius ope datum pondus, ad certam altitu- dinem, quam in 4Hjydrodjnemica definiui , -eleuari pofüt, antequam exhauíía fuerit. — In noflro autem argumento, quod hic tractamus, exhauritur , dum omnes aquae vlterius eleuantur ad altitudinem 5 —4 fue altitudinem. A log.'hyp. (1 -1- ). Huc quadrat Hydrodynamücae fecionis decimae | paragraphus .qua- dragefimus. Igitur fi nobis timeamus a nimia .dia- betis amplitudine, quam vt columellae aéreae ma- mere poffint integrae , exiftimo "huic incommodo oc-. curri pofíe, fi plures diabetae :coniungantur: Nec tamen puto, fieri vnquam poff-, vt omnes aquae in diabete confluant, liberamque aéri eruptionem .con- «edant; videtur. enim id minime timendum effe de aquis celeriter fatis transfluentibus , nec .de aére tot vinculis retento. Quin etiam fi concedatur, aéreni maxima parte in aquas proximas penetrare , an pro- pterea fe flatim 4otus extricabit ? non puto; videtur enim, in progreffu fuo aquas permaníuras effe fpu- - mofas, atque adeo leuiores, quam fint aquae purae 5. huiusmodi permixtio, acris cum aqua eundem prope- modum - HYDRAVLICA. TIGVRINA. 265. modum effe&um habébit ,' quem faciunt columellae &queae et a&reae fibi inuicem fuccedentes. .. & 13. Pauca .fuperfunt monenda de diabete affurgente ; equidem exiftimo non male actum fore, fi amplirudo eius fiat vniformis atque tanta fit, quan- ta e(t amplitudo helicis intimae , fique machina ea circumagatur velocitate , vt omnis aqua omnisque aér cx helice in diabeten quauis reuolutione trans- fundantur. Hac pofita diftributione erunt fingulae columellae aqueae in diabete eiusdem altitudinis ; ipfaeque etiam columellae a&reae, fi in deufitatem naturalem reftitutae putentur, eadem illa altitudine gauderent in hypothefi noftra , qua nimirum fingu- - lis machinae reuolutionibus aquam et aérem natura- lem aequali volumine hauriri ponimus, cui foli hypothefi;' breuitatis gratia , infi(limus , ne in re facili. molefti fimus nimia prolixitate, Sit nunc altitu- do cauiusuis columellae aqueae — a, earumque numerus —5,atque putemus columellam aqueam effe in. diabetis fummitate pofitam; erit altitudo fubfequentis colu- mellae aéreae — "een deinde fimilis M en pro « » fecunda, tertia etc. Columella aérea erit redo m ete YSque dum perueniatur ad sam co- A r3 lumellam aéream, cuius altitudo erit — erue -z lgi- tur omnes et fiagulae columellae aéreae fimul fum- tae altitudinem habebunt, aequalem fummae termi- norum | : At. e LAE poA S esaet Pyme A--29 A-r-s« À--n& Tom. XVII. Nou. Comm. L1 Equi- 266: JA MACHINA Equidem notum eft, huiuscemiodi progreffones in- definitas perfecte fuüummabiles non efle; poffo tamen quam proxime earum fummam indicari , quicunque : numeri affumantur pro literis A, a et *. Sic pe- culiari S RRghagone inuenio hio fummam. pro- pemodam — At. 4- A log, hyperb. Lt E, quae expreffio 4 fatis conuenit argumento noftro ; fue- Uis: exempli gratia , A — 32 ped. à — 1 ped. et — 32, erit fumma omnium altitudinum a&rearumi 2-1 52 log. hyperb. 7? — 21, 916. At vero fum- Le omnium. columellarum aquearum altitudinem habet 24 — 32. Hae determinationes optime con- veniunt cum paragraplo vndecimo , vbi idem per- tractauimus fub alia facie exemplum , cum litera 4 idem figniücet , quod. 7 a. $. r4. Fieri vtique poteft , vt machina, dum rotatur, aquam et aérem naturalem inaequali volu- mine hauriat ; tunc etiam columellae aqueae et a8. reae in diabete mutabuntur: fuerint ambo volumina praefata a et 6; fiet quaeuis columna aquea, vt an- tea, — à; at vero quaeuis columna aérea füam al- titudinem mutibit in ratione «a ad 6; igitur. altitu- do pro omnibus columellis aqueis manebit —7a—24; at Vero altitudo pro. omnibus columellis aéreis fiet -— AG pa 2A--2n8--& cui log. hyperb. *^—— Te Haec omnia ita fe habere , Obíeruare potui in machinula typica cuius diabetes componebatur ex tubis vitreis decem pollices longis , iu vtraque extremitate cochlea ori- chalcea MUN vt vnus cum altero firmiter co- haere- , ——-—— UIDES ee. HYDRAVLICA TIGVRINA. s6q baereret atque perfecte iungeretur; fic altitudo dia- betis: pro: lubitu augeri vel diminui poterat. | Con- venientifimum autem videbatur, cum machinu!a ita aquis fubmergebatur , vt aequali volumine aquam et aérem naturalem alternatim in fe ingurgitaret , quod fa&um facile intelligitur ex comparatione columel- larum aquearum et a&rearum in diabete. $. 15. Non difficile eft, rem ita immutare , vt aqua et aér fimul in diabeten transfluant , nec tum porro vllae formabuntur columellae ia diabete , fed aqua hab.bitur infigniter fpumofa vel aére tur-. gida: fluidum mixtum denfius erit in inferiori dia- betis parte. quam in fuperiori; id quoque contingit in noua . machina, Parifina |$, *7.. defcripta. | Haec denfitatum — variatio pluribus quaeftionibus phyficis . foluendis inferuire poteft: nunc vero aliud non mo- . nebo, quam quod ad argumentum roíltrum pertinet, Dico igitur , quod pro noua hac hypothefi in duo- bus paragrahis praecedentibus litera | « confideranda fit tanquam infinite parua, numerus 7 tanquam in- finite magnus, 'ita vt pro za íemper poni poffit altitudo 4, quae denotat altitudinem. omnis aquae in diabete contentae ; fi ab omni aére liberaretur :. hoc . moco poteft quantitas 45. 510g. hyperb, 25-2575 . cenferi — ^* og. hyp. (1 -- 5): eft itaque alutudo, quam omnis aér inaequaliter. denfus occupat, vt 4 ad *& log hypert. (1 4- $) vel, pofito $ — a, vt a ad ..Alog. hyp. (x 4- £)..| Sic igitur fi ponatur, exem- pli gratia, 4 —— A, erunt. praefatae altitudines. in. ra . | Lis tione ape o4A4lAVEHA COMIUNAA IY tione.r ad log. hyp. 2 fiue; proxime vt 100/2d.695 vüde integra diabetis'altitudo nune fiet —159* 32:5 4.08: peo. couferantut $.$. 6. 1o et r;. Suprema autem columella aérea altitudinem — habebit. duplam ud quam infima. habet, $ 16. Atque haec funt, quae partim. ad no- vae cochleae explicationem , partim ad veram eius- dem oeconomiam-, quae optatum fücceffüm et: ccr—- tiorem et vberiorem reddat, inferuire pofle. exifti- maui: fua. nouitate perinde placuit: atque. ingenio" - haec machina omnibus, in quorum: notitiam — venit ; de- pluribuis- autem- eius. momentis: varii: varia: ftàátüc— runt; duo funt quae mihi quidem in macbina Wir- ziama minus placent; rimum e(t,' quod' difficilli-- mum. putem, praefertim in machinis maiusculis , totum laminae intortae tractum vtroque fundo. ita: Cooperire ,. vt. ne minima quidem rimulàa füperfit ;: hinc ficum e(t. aceufante ipfo-Cl. Ziegéro, vices- fante rotationé aquae in diabete. mox: fubfiderent 5. quae certe füfpenfae haerere debebant. S'eswedum eft, quod diametri helicum verfus interiora infiguiter de-- crefcant , nimio virium motricium decremento ; alium: igitur: fuafi cochleae: perficiendae modum: praeftan-- iorem fimul atque fua conftrucione longe facilio- - rem, quem nunc quoque ipfi artifices tigurini fee quuntur. NNouam. cochleam: paucis: exponam . verbis; . $. r'7.. Tubus plumbeus fuffücientis longitudinis; cuius diameter 8, ro vel to» lineas: habuerit , tym- pano circumfleQatur gyris iuxta fe inuicem: pofitis 5; diame- HYDRAVLICA TIGVRINA. 26$ diameter tympani, pro re nata , fit vnius , duorum pluriumue: pedum ;, atque tubus efformet: duodecim , fedecim aut. plures circumuolutiones ;;tum vero ver- fus.axem tympani dirigatur ibique. cum —affürgente , vt. ante, conijungatur. . Huiusmodi machinae. con- fiructio vtique facillims:; eft ,; neo. vlli periculo^ vel minimae eruptionis:lateris obnoxia ,- quae in latenti- bus rimulis timeri pofüt,. fimulque maiores format arcus:aqueos; íed et haec mutata. confiructio ean- dem vbique requirit helicum - diminutionem ,. quara paragrapho: nono. et: fequentibus. defmiui,- qaa fola effici poteft , vt finguli arcus aquei atque aérei im toto . plumbei . decurfu. fua. fponte. debitam | conferuent ditpofitionem- atque collocationemr: patet' vero hanc helicum diminutionem duobus diuerfis. modis pofle obtineri ,- vel ccarctando tubum: plumbeum tympano cylindrico. circumflectendum ,.. vel adhibendo tympa- mum.conicum pro tubo. vniformiter amplo, cuius- modi. propemodum configuratio in horologiis porta- tilibus: conciliatur: paruulo cono truneato , quem ca- tenula inuoluit: , et quem galli fufre vocant.. Sic pro exemplo: quod in paragrapho decimo' atque. vndeci- mo .pertracauimus:, diametri. in; vtraque bafi ratio-- nem obtinerent vt 4^ ad 3, fi tubus. plumbeus ab vna bafi ad. ERSE decurrat, . 6. 1E Si lu&at- praesto tympano, fiue cy- lindrico fiue: conico ,.capfulam vel receptaculum cy- lindricum longitudinaliter et-füb axe- communi fir- Imiter: pradiusgesd cui tubus plümbeus pleno: orificio Lg : infera | Tab. IIT. 270 MACHINA inferatur. fiet. vt alternis vicibus aqua et a&r in iflud receptaculum iniiciantür ,. ex. quo demum vtrumque fluidum ia diabeten attollentem impelle- tur, fed alio modo , ac antea: nempe .altera medie- tas receptaculi erit aquis repleta , altera a&re con- denfato; aér condeniatus aquam in diabeten impel- let, fimu!que et ipfe, vna cum aqua, iugiter in eundem iniicietur : quod receptaculum perdit , con- tinue reparatur ab effüluxu per tubum in cauitatem receptaculi hiantem , . vid. fig. 3. Sic igitur traie- &io, in vtroque fluido fimul facta , non finct ve- nam fuperius effluentem effe interruptam ; aér, ni fallor , cum aqua permixtus manebit in diabete ,' at dum aíceodit dilatabitur, et cum iam cffluxui proxi- mus eít, ad denfitatem naturalem reductus erit, In machina Pariüna $. 7. defcripta vtrumque fluidum eodem modo manet permixtum , etiamfi in fupre- ma parte maffae aéreo - aqueae nonnifi fexta pars denfitatis naturalis füperfit , quae aequae purae ineft, Atque fic etiam paragrapho decimo quinto fatisfeci- mus, vnde fortaffe augmentum altitudinis, de quo paragrapho fexto mentionem feci , vel in. fiphonibus amplioribus, integrum mancbit et omne virium in rotationem machinae adhibitarum difpendium vita- bitur. Caeterum machina Wirziana , quae alis in- firuca eft, facile ab ipfo flumine , cui infidet , ro- tatur. . nv x d EXPLI- HY DRAVLICA TIGVRIN A. 271 EXPLICATIO FIGVRARVM. Fisura prima et fecunda pertinent ad paragra- phum fecundum atque indicant , quemadmodum, al- ternis vicibus , aqua et aér ex cauitate intimae he- licis C, in figura prima, impellantur in canalem C figurae fecundae , poftquam choenicion fundo machi- 036, circa centrum perforato , fuperimpofitum et exacte adaptatum fuit. Figura tertia pertinet ad paragraphum 1*5 et 18. atque ideam vel configurationem machinae cor- recae fifi — Nempe z bcd corticem fitit tympa- niformem , cui canalis plumbeus - 12/9,.9./4.4.9. 0 «0. $ S 25. 26.27. 58.29. 30 circumuolutus eft. —Praefato tympano 42c4 firmi- ter adiungitur receptaculum cef ex ferro conftru- &um, fuper quo extremitas tubi plumbei a 29 ad 30 decurrit, eidemque inferitur , ita vt, alternis Vicibus, aqua et aér ex tubo in cauitatem recepta- culi iniiciantur. X Vtrumque autem fluidum fimul per du&um excretorium C D, continue cum integra machina rotatum , traiicietur in diabeten affurgen- . tem et immotum D F. "Tab . III. amo et22 (o) iden: ! DE: COLLISIONE CORPORVM. GYRANTIVM. Auctore C. E'FP"LER'O,. Problema I S globus.circa axem fixum. in gyrum agatur, celeritate quacunque , in eumque impingat di- rce&e alius globus; definire confli&um , fiue motum, quo pofterior globus poft confi&um mouebitur , quandoquidem prior globus vi aliena perpetuo io motn füo gyratorio conferuetur. Solutio. Tab. V. - r. Axis fixus circa quem prior globus gyrs- Fig. r. tur , perpendicularis concipiatur ad planum tabulae, fitque eius.centrum in A et radius A D —2, du- catürque directio fixa, quae fit A D E, ad quam tamquam axem elementa calculi referamus; pona- mus iftius globi radium A D — «4 et celeritatem - gyratoriam feu angularem — «4, qua hic globus in fenfum D CF in gyrum agatur , ita vt cius celeri- tas in puncto D vel C fit — 22, wbi notandum € effe angulum vno mianuto fecundo abfoluendum. .$. Quia LI DE COLÉIS; CORPOR; GYRANTIVM. 2738 75/0 ev Quia: dónflituta ficti in dircctüm affumimus, meceffüm eft, vt centrum alterius globi in. ipío pla« no tabulae profératur, -ponamms mutem huius globi radium — P, eiusque. mafam — D, ita autem fi cam paratus , "vt. eius centrum | inertiae in iptum cen- trum globi i incidat. .Quilem- autem motum hic Blo- . bus ante. e um, habuerit , , deinceps indicemus , quoüiam in ud ; Analyfi ,. , Qüatenus ex | principiis Py nicae. in Di b man, PELA E IUE fuerit fautor, iml is 15 fiude' Mat Bie Me z m pend hdi ie fitum in figura repraefentatum -«uius Centrum - 5 "i ideo ue ducta reca A B, conta&dus | mutuus. ifa. C. jucidet, .foretque ,centrorum -. diftantia bisibdin nifi. .ob confli&um. quaepiam impres- fiozmutua-effet producta, vade ob hanc. impreflio- mem diftantia A DB. aliquantillum erit minor, quare pofito breuitatis grata. a EM nuo»c diftan- | iasA Bes vol quidem. Jing) Y oet, hane quantitatem. s, emper. fore. quam. minimam b dum Autem. ambc up qes, hoc fpati lum — "n dte fe o, quati trà rünt,. in ipfo nA ce- 2 Sens aw ed Nei s P tu certa i n ABER | we T. B aget heus di- Tectione | nrem han vim E prio- 5) denis od es ei eerte fprdtari. pote- rit, vt enm Pon * ^ Koi EA et ex "E ii oam as AE d "ue . ** Tom. XVII, Nou. duh cátis- a744 " |!" DE COLLISIONE |. — catisque : coordinatis A X — x. et B Mni i Hail o bunus |. -« x—(c—s)cof. D. uy -(- 0f. Q. vnde fit cof. -F-y fin. (D — c— : atque si.0-jate- 0; quas formulas in pofterum plurimum. notaffe ' iüua- bit. Conttitutis his coordinatis motum centri globi B exprimere poterimus , -quippe cuius celeritas fe- cundum directionem A E etit. — 27 et fecundum dirc&ionem X B — 77, quatenus autem. hic. globus à vi S in directione C B vrgetur , inde nafcetur vis m directione A X —S.co(. D. et in bust uds mu dire&ione XB—S.ün. — «5 adeosbi 5. Quia vero globus A in gyrum" agftur in fenfuui D C F, fimul ac alter globus eum contingere incoepit , ipfi til ob impreffionem, quam'ob fri&tio- nem inducetur etiam motus gyratorius in fenfum CGH, cuius celeritas angularis 'praefenti momen- to, c fe 93d , ita vt celeritas in. puncto: C' futura fit p dU dflaai! hic exiguam illam diminutionem ob particulam ni negligere licet , cuius celetitatis di- re&io erit. recta C Y ad BC normalis, - Haec fcili- cet foret celeritas pundi C, fi centrum. globi B quiefceret ; verum quia Eua centrum. motum ha- bet ante affiznatum , idem quoque infüper pun&o C tribui debet, ^ Quatenus autem. pun&um C in dire- &ione A X celeritate — 77 fertur, inde in dire&io- nem Cy re(ultat ccleritas - fia. ? ex - altera x ve- 91 y "B Ü, iiie - t IHülyy IO "2 H E [| A d dius. Hd I CORPORVM GYRANTIVM. s75 fo celeritate 7 ? in dire&ione X DB 'refultat 72 cof. ; ras vt vera pen globi B in. hog C futura. fit | A I1 "US ws atlas HAN IRNSA (oco EN utem fi LEN LE E. rt n iti ny? Sti. i T Gb orar cof. des " e ppt T. ig -kui FR yc Tf. nar TS iuis Du ü1 ih DT i eM ud iando —— eM AB: D I el 311] Q- -dy cot Q--4Q( x cof: 4 7f.) zd » Kx) 5 v) 3432 M ^. Aro B 35: mi uid recae (5), "a ifa qu T a$- at - PN : 2n * LET D tur s ay uM as i dis Relódim nCy y obtir etur anm AE e EC P5 - reddi eic Finis di Lt nus autem pundum C in | priori glo- 1 Tr L Paid in eadem dire&ione cui fi ill: itas effet aequalis, nul- t ontact contingeret j nulla ergo vis e | ur irme d tege ae B fiue. accele- à Er "T - quamdiu Lc ad ? or« pete ga quil iem tag! numi, 2 — 3d Ea MERE Ub P "ias dá tritus e iur; i torii globi C y ibit contr: A oroii Dg. er Ir di Foi 195 [49 kits umts ibnusoA Misg «£25355lE up b. UNE o eati fight gto AE uar ifllr 0456; 234 qaior effe quam. ill jd. motus.. gyratorius. globi. B axe aae. rt 1 W NISL: | 11 viris loa 2016091 Zing *4 5. Mafbiadi Xo X Ag s76 — "IDE :COLLISIONE 5:05 /'? qd?" Cafas i quo? 4a t. MS a e -*:5) 12 et motus Byratorius globi B, acceleratü 50005 0s i4 . lit? Quo 4 a zzb4i a. (e —4)22 et motus. ifle nullam alterationem patitur , ac ^ 1*5 quo & a zii "d i: —h$ 2 motusque. "ifle rctardatur.- -t 3 i 7. Haec autem vis fine acc cota fi tugl retar- LA gyritonvm globi. B ob friétionem. pa- ta&u , partim Yero: a mutua preftione hà , imo corpora fe. vrgent , pendere. | Quum igitur. duo globi fe mutuo "vrgeant. wb —S, frictio indt exprimi folet formula 9 S, vbi Ue 'w certa fractio ab. afpriti endens, qua plerumque DUI ; wel i. Pi: corpora pests SUN leui fu ud minor , confequenter. globus. B in pun&o | P fecun- dum directionem. CY ita. follicitatur , vt. hae i A pro jrimo cafu fit — -1- 8 S, pro fecundo cafa — 3t pro. teriio cafu — L—— 28 inen amitlon$ 3t 635i $. Ne opus habeamus bos tres. cafus perpetuo a fe inuiem diftinguere , fit. Pf epit atia LBS. fecundum. Surium Y agens, ita vt fit cafü primo ^ ^ 7^ — naso witirn X —3S, cafü fecundo € —o et cafa tertio Z 2-3 $, | Haec autem vis X non folum motüm . gyratorium globi B afficit, fed etiam eius motum progre ddque perinde , , d fi jn ea in ipfo: PM applicàta , , TIN ergo orietur vis fecundum ^". U"AXL-ZX[nQ etc CORPORVM GYRANTIVM. z77 et fecundum dire&ionem «s:00 sin orv' abo * E AX Dnm cus o ^h vnde omnes Virés. itn dpidieeuond buins slo- ai. fric XB A^ apLéliAR di guid éplldsk . Vis fecundum directionem AX -ScotD X: s. M fecundum. directionem f "X BzS.(n.(QXcat.Q. Ex his v vir S erántibus "pofita altitudine ex E5208 Ido abitar iride zt. fümtoque ele- flante, motus, progrefí iol b de- his. dus iplboka i n e & : 3t zh T &.c 0— X n. » Ts ftii m dc AdOLE C ERIS Ln FroQ; Joro DT et ei dre EUdnir zt YI EH S -x .pro e an ! grriioro »fü globi mmomenes Mur — BE gom momentum [^9 1 tur ifa aequat: Lupin th i LX füe : dati uiam » L | 1g. Eüoluamus ei psuitinpii priores —— eemper duas fequentes $ —— "TT dd x cott rte IY Pup aids s dx oer sbny 1r hi 4y cot 4 geo: pn. ib. b. ig r jeoL.eiN Mec ; 7 b hi E T aas 1 6 AX qnos s e L4 Cm eme east) dox Vaeerci n T ».O- dc dise Q--(e bug WiE^vTe Pr AN Dé. $ ^. -- atque | T 2758 | " "DE €OLLISIONE '* atque vlterius differentiando ^^ ^: 5 70 ! ddxcof. -- 4d y fin, (p —— —dds—(e—s)dQ' - .' dd ycot. (p— ddx fin. Q—(c—5440- 2dsdQ Bla wf binae aequationes . motam. rogreuum. Bt pei fünto: dX 4, mssoifors qualdüpdbes 513. t (eo ERENUE) d QNM dr? 1g .H. iem 14d —2 did : je eie. nU "mu um , r^ & ibi B unnm DEO! *-. xe. Tn his duabus. aequationibus tres runt variabiles , z, D et s, fiquidem S et X (unt fun&tio- nes ipfius. r hárum autem aequationum ; quia funt diffe rentiales fecundi. gr adus, "refolutio maximas habe- ret difficultates, nifi. piutte vfu etfi ivgaive: titatum 7 et o tantum d differentialia , non vero ipíae- otcürraüt atque hanc ob cauffam eas ad differentialia primi gradus renocare. licebit ; fequenti modo. 'Po« matüg ^05: otritQs afiremsitiz xia 6 S orogs wand uL M — diva Y xx da us! e Bt ME wpt ^ f1 Ere £s " m onu ) ^ him tt110 ny et. quia di ,erat..con(lans ,. prior pofitio praebet — — ers 138 * idunt ds. dp. ei ates ron BW an bes - fit. be » 1. T. — nee veg oe (7 oc otrfh dds— Ape, Mh, che " bitch iy Tou Td yi LÀ ! Ó2OE£ 3f On Osiris altera veto po (aw ^MÍR co Sp; Q E d "Eds d4 24 -- 42 i c 4659.2: EX YT "d ETT enm vilodies fitis 3 ambae sole aeg" aig pe. b: ene ind t Ormas:- Dua) shi Aoguds j - * A $3 LÀ ls erigi ph jqds—-— £u peel bid oda alise - 0/55 - aae | in CORPORVM GYRANTIVM. 279 iu quibus adhuc infunt tres variabiles 5, 4 et s, fice. que binas priores p et 4 per pofteriorem s definiri Oportet, quo autem bii praeftari poffit , plurimum notaff: juuabit " uoniam .$ eft particula admodum parua, hic loco c&— ;' fcribi" poffe fimplici ter c, Nulla autem patet via ad harum .aequatio- num refolutionem. perdüceüs. - Videtur autem ^hic potiffimum scite cari DIMUCtea, qnd, quaeris $ fit quai infinite parua , num forte hinc aliquid fub- fidum pei pot ^7 0 eil 4 ro nisiut ond! XX evi pis. uc adbt es es simi vtm sss X1. Quando autem 5 eft quantitas vehementer exigua , quemadmodum vfu venit ia:'corporibus , fal. tem mediocriter. duris ; tum conflius. tam. exiguo temporis puacto abfoluitur, vt interea angulus (D quim minimam. mutationem fübeat, ita vt quanti-- tates. $.et. D. quafi infinite | parua | eiusdem | ordinis. fpecari debeant , tum autem. in prima | aequatione- fecundus terminus c d (D ad. ordinem | infinite, par- vorum quafi fecundum pertinet ideoque refpe&u pri- : wiscebilll8l Trid cgoc AES GERM d" m ad e quatione fecundus terminus — 225 4(p continens duas dimenfiones infinite paruorum euanefcit prae- primo, vbi tantum vnica eít dimen(io , ' hoc. autem admido noftrae aéquationes diftrentiales fecundi gra- dit PAS esa sio, E udolo cipes ; -et ed dp — 2g Bae t » eat vagi v: " w^ oE a. e USOS nas IBS a spa EITUUT Sddixofkv T ban . quarum prior per d riii ex jnregrata prielet zs Jd CM P. Cavi ET. "aliat : ^e I diti I y/81712. y PiLe23 f i MbEISCLI. T & dai 9 (4 j ar Va uw à - vnde bs * W esso 707 DE//COLLISIONE 50^ vie PUB M eid? deiDnt'adfLo etciiep at | Sms EK ML NL im fecunda. aequatio. hoc, modo. expreffa ELS P oe *"gEdto 0 egEdi qNMO SCENE cb av(ér ua TE dod dabit — cda Ny; M VYX EE. FEET quam étui 4 à as acu pP CA Ln "ine deus ved x E oewo t dii al pet - get: eps oM Ue. 4008-7 LIT -Définito- igicur motu: ditioni globi - fimili modo eius motum gyratorium.: definire-po: —À teftia enim: M— ip inuenta .- rica cgbEg: ida auliuas-: [a E USER y cuius. ingre asit a adis gl NOTANT CLEMETRM ems "i Bis v en yd — — denuo eft iterat: , et ex valori- tus hic inuentis. prioribus. H . "nl celeritas motus. progreffui globi B definiri poteft, eut bid s--d pm hop m d 1 ds UN o4 "ic - "ec 95 49 c cof. Vote fin. He | : ien ! CORPORVM GYRANTIVM. 281 13. At vero pro hoc motu-perfe&e cognofcen- do etiam ipfum angulum ( noffe debemus, quae inuentio nalla laborat difficultate ; quum fit ds FD Eds $-/3- c ipsas Ht Be ViC- Sd Deiade eodem modo ipíà celeritas gyratoria globi B quae eft — 2$, ita reperietur expreffa 2gb ds cwpc—EEBu veccgysd 14. Expreífiones autem has ob geminam inte- grationem nimis generales atque adeo vagas , ex fta- tu initiali, quem merito vti datum fpe&amus; re- ftringi et determinari oportet , iam autem innui- mus initio fuiffe 7 — o et quia tum confli&us inci- pit et nulla adhuc impreffio fa&a eft, erat etiam $— O0, ita vt pofito 7 — o, fiat etiam 5 — o. Po- namus autem globi B ante conflictum motum ita fuiffe comparatum , vt primus contactus contigerit in pun&o D ficque initio fuerit (D — o; deinde ve* ro huius globi celeritatem fecundum directionem EA fuiffe —: et in directione ID — z, ita vt hic globus in directione L D aduenerit , denique ve- ro eidem globo ante conflictum tribuamus motum gyratorium — *y in eundem fenfum CGH, hinc igitur fado ; — o debet effe. dx — 2 :É— A-—-m uav—mn, ; WE quia igitur initio erat in. O- 0 et cof. (D— 1, erat vtique "m — 95 et n6, n . Tom. X V1I. Nou. Comm. Nn | ita 282 DE COLLISIONE ità vt pro initio fieri debeat icu Wu oem Denique pro motu gyratorio initio fieri debet Hv. 15. Quare fi primum integrale f/S 2.5 ita ca- piamus vt pofito f — o, quod initio euenit , .eua- nefcat pro prima aequatione $. 1r. —— j» 2imp 5 C— S fSds, "2 ui fit conftans C — z^ ita, vt haec prima dequatig de- terminata fit | án cunt A 3d d hincqus | »rma dg ^ —Y (mm (mm £f; EIS Ini Pro fecunda gequatione integrata , fit conflans illa D-—x fiquidem fequens integrale ra - Í Xxds : ELICIT | — ipfo initio à ficque haec fecunda . segundo jta fe habebit : É i. " Xds Isid BÓ ne MIL EE b quoniam autem x eft — -- 0 S nifi — o, P nd mula a&u integrata dat ^ 89 —4--5(mu— -Ymm-/$i) hincqué porro ob pts v edoc (n2- 8m) dtp 3. ds ; di— : x:Y(nm-:ff/ ds) ergo dt— conclu- CORPORYM GYRANTIVM. 85 | iliteliditas ipfe angulus e ios. zz eim pgs quae expreffio fponte euanefeit in initio. "Simili modo pro motu Byratorio fumto. iterum f A145. habebimus primo | 4e "di 4,2958 Sds "mu DOE Bkk. | Yn - ES FfSds) - € SH ym [8d1) ficque omnes formulae folutionem . continentes. fünt penitus determinatae , atque ex his deducimus vtram- que celeritatem progrefüiuam . : - 15 — nin. 4-6 fin. Qn Y (mm- 3; Ef Sd s)- cot (mm- XE/S d») —- fin. Q(n-- 8) 4i- Y (mm — 3 *é/S d.r)-cof.D-1- 9 fin. D) 1 — (n -1-3m)cof. p «- (fin. p -- à cof. Q)Y Gum —* sE fSds) quarum illa. .pro initio manifefto dat. dx. dy — Ts m et altera dT —n. TTE v 16. Hoc ergo modo fatis feliciter. problema refoluimus , fiquidem ambo corpora füeript ita dura, vt impre(fio fada tanquam infinite parua fpectari poft, quum autem omnes formulae , quae folutios nem conftituunt , inuoluant functionem. S, cuius na- tura nobis neutiquam eft.cognita ; quoniam tantum nouimus crefcente impreffüione s, etiam functionem, S augeri , hac formulae nobis parum lucis fuppeditant ad cognitionem omnium mutationum ,. quae motui. globi. B durante confli&u inducuntur. | Verum ,pa- rum refert omnes has mutationes .accurate cogno- qu; NES. a s iffe, (e84 ^ DE COLLISIONE viffe , dummodo eius motum , quem finito confli&u cft habiturus, affignare valeamus ; quare in hoc nobis erit elaborandum , vt id temporis momentum inue- ftigemus , quo conflictus penitus ceffat, — Hic autem finis confli&us definiri non poteft, nifi conftet, vtrum ambo corpora propofita fint elaftica nec ne, atque hinc. duo genera principalia fünt conftituenda ; quo- rum priore ambos globos omni elafticitate deftitutos 2ffümemus , altero vero vtrique poetam elafüicita- tem tribuemus. Primum genus globorum omni elafticitate carentium. 17. Quando ambo corpora nula prorfus elafti- citate funt praedita confli&us eo vsque tantum dii- rat, quoad impreffio fibi mutuo facta, fcu (patium 5 maximum euaferit , tum enim fübito vis rcpellens S euanefcit , quoniam impreffiones inductae non re- ftituuntur atque tum globi non amplius in fe mu- tuo agunt, ceffante enim mutua actione ipfe con- flitus ceffat. — Hoc ergo, genere conflictus finitur, H quando valor formulae 2j in nihilum abit, | Quum jgitur inuenerimus $. 15. 2: —Y (mm --*EfS ds) hic valor euanefcit, quando fit mm-—*EfSds,fine /Sd sz T7, fcilicet cum initio effet ; — o et S— o eo tone 5 cum S creícit, donec fiat S/9Sdr—mm. atque CORPORVM GYRANTIVM. 285 stque tum confli&us fübito finitur. —Subftituamus igitur vbique hunc valorem loco / S d s, atque. for- mulae ànte inuentae fequenti modo determinabuntur o UEM r —(nz- 8 m)t 37 n E 1-0; Ir. £22—5-E 2m; WI D—— olde — omb I u-xctu 18. Pro motu ergo progreffiuo globi B. poft conflictum habebimus primo eius celeritatem , fccun- m CINE A X fiue (315 — (n d- à m) n. D, deinde celeritatem in directione X B — £2 — (n E à m) cot. D atque tertio pro eius motu gyratorio celeritatem angularem —.— PCR QUE 24 vnde intelligitur, ifta. motus momenta perfecte Co güofi non poffe, nifi pro fine conflictus innoteícat tam tempus £, quam quantitas impreffionis s, his enim inuentis etiam angulus (D erit cognitus; at vero inter » et £ hanc clicuimus relationem. 4 d s U— Yom —]/$45) quocirca hic nihil certi definire licet , nifi natura functiouis S fuerit perípecta. 19. Quo igitur hinc faltem aliquid colligere liceat , fingamus aliquam hypothefin a veritate non adeo abhorrentem ílatuamusque à Nn3 ri 286 DEO COLLISIONE. . APP MAE DUE VOR ME" Nr iic vt fiat Ld joi .msolzv nur JHpio7 rts ISP ns ep 352109LD1 3 11h Ski c ideoque pro fine tonfittus "m"n-^^Mss fiue t$ 7 À deinde quia fit" Exodi ds dr-— Y(mm-—AXAss) erit integrando n As ? — j Ang. fin. 7* ib pro gs ergo conte ets à Ang. fin x — 7, pro m ergo cl Yo prodit angulus jit - p ub6 mg, p. Amo nm intra) 2C€À — 6 mST *A6, cognito autem hoc angulo. o reliqua momenta erunt die -(r2-àn) ses qim (n-kz8 ment D: et , I4 -p3mb5 di— Y LÁ vbi notetur, numerum A effe. quafi infinitum , pro- pterea , quod Ac - et 5 per hypothefin quantitas infinite dm ; o. Quoniam igitur angulus (D et quam mi- nimus , Dar Lot fin. b — preciavc d €t cof. $-:, " 2 c hinc ergo. finito :confli&u. globi, B. celerius in ; ite- €ione A X reperietur | £, Ld — t * CORPORVM GYRANTIVM. 87 dx. Lu Qo eo my &m(nz-9m) zmEAm (nzi-imyr : dt — NEU AXC us DE ANS Ee -(— SEEN dl aóg) 2À0 — "T — ciim (na -- Bm(m— 2)) | et celeritas in directione XB 1 A -—Hn -- hs "s : diui quo editis angularis in fenfum CcG H qe. m b ist St n ES Ms iler primam celeritatem fecundum A X quafi euanefcere, celeritatem autem angularem, quae ante confli&um erat ^y, nunc mutari in y -1- 37? mi et globo motum fecundum X D relinqui, cuius &lbriids fit — n -- à 5, vbi notandum , fignum -,-- valere " Ki i primo, quo eft . | cgam BS een )32; ideoque... 2077, SCHO aiiis ita.vt (a fueri ^aaüwygitUilo Lm, tum celeritas globi poft conflictum in dire&iohe XB fotura fit 4-9; i — Cája fecundo quo. et 3 J9331090 1 R " ir | I au -by—zb "um Ji ot hp * ifta celeritas eit E14 TOP ETT "Tertio vero cdfa quo — 4adby-RÜ-n—-Üm Cs celeritas ifta fiet n—9 m. dbi e suc - Be altero: genere :glóborum — au sun .er. Si-ambo globi fuerint. perfecte elaftici a Con-. E. non finitur, vbi imprefüo facta eft maxima, fed 488 ;DE COLLISIONE. fed quia haec ipía impreffio iterum refüütuftur, tum demum confli&us ceffat , cum denuo euaferit 5 — o, ita vt tam in fine quam initio conflictus Tabeamas f — o, vtroque ergo cafü' quoque erit S.— 0; atque adeo etiam /Sds;—20. Neque tamen hinc fequi- tur motum poft conflitum eundem fore , qui eiat ante, vbi nunc oflendemus. 22. Quoniam enim inuenimus : ac um-—*E[Sdis), ied hincque 4 IYQGm-t*fSds), ex hac forma perfpicuum eft poft initium cobfliétus quamdiu impreffio augetur, fiue formula $- ; pofiti- vum obtinet valorem , tum formulae hie dieicali fignum -i- tribui debere ; at quando iam fit refti- tutio, fiue impreffio s iterum diminuitur ; türa ob 2: negatiuum, formulam illam radicalem quoque ne- gatiue capi oportebit , ideoque quum in fine confli- Gus fiat ! fSds-o, tum erit dr, Quum igitur poft confli&um in nofiri formulis fu- - pra inuentis expretfro Y (um — 5/845) vbique fiat — — t4, illae formulae fequenti modo fe habebunt : dIÉnd-aíaóm; p a imt; d£— iios IET EZ E- bd CORPORVM.GYRANTIVM; 289 ex quibus. colligigus ambas . celeritates poft conflitum dv ahis A sy cof o - (a 28 m)fin.€p et rt "a fin. .t- (n.2-. 2.9 t) cof. Q. 25. Quia autem corpora admodum dura affu- mimus, etiam totum tempus conflicus £ pro eua- nefcente haberi poterit, ex quo fimul angulus (b SEE , Ma vt fit. "in db. agt.cof. D zm vus, quo. "circa poft conflictum celeritas globi D fecundum Mirectionem UACXGcrit 47 — m, celeritas vero RENT A B E eer (4 T 2 A) tg tum vero celeritas gyratoria in fenfum : E! Y $mb "c G Lr e es ER | vbi ratione celeritatis 22 notari oportet, fignorum ambiguorum fuperius valere , fi fuerit caa Ege om bryMiit Enapiüm inferius vero , quando. fuerit aaa Ui p n-aóm «d enel 20m at vero jp quo aaciidancbycen, tum celeritas illa 77 erit — f. | — "Tom. XVII. Nou. Comm. 0o ^^ 25. 290 DE COLLISIONE 24. Caeterum probe hic eít animaduerten- dum , folutionem hanc locum habere non poffe, nifi ambo corpora füerint maxime dura, ita vt tam ipfa impreffio s, quam angulus (D pro quantitatibus euincícentibus haberi queant, vnde nifi tanta duri- ties in vtroque corpore infit, mirari non debemus, fi hae determinationes e veritate recefferint. — Quod autem hoc problema' tantis difficultatibus fuerit in "wolutum, caufa fine dubio in hoc eft fita , quod glo- bum A, vi quadam aliena perpetuo in codem mo- tus ftatu conferuari fuppofuimus , ad quod quum vis admodum irregularis requiratur , mirum non eft hanc.ipfam irregularitatem in noftram folutionem effe ingreffam , vnde fequentis Problematis folutio- nem faciliorem fperare poterimus. - Problema 1L Si duo corpora fphaerica füper' plano hori- zontali vtcunque mota, atque infüper motu gyrato- rio circa axem verticalem praedita ;, in fe mutuo incurrant , inuéftigare motus mutationem, quam haec corpora durante confliu, fibi mutuo inducent. hi Solutio. 25. Moueantur igitur centra vtriusque | globi in eodem plano tabulae ct motus gyràtorius vtrius- que fiat circa axem ad hoc planum mnormalem , hoc enim modo eueniet, vt dum in fe: mutuo impin- gunt Jis - [emper in eodem plano. fiat , et per E d ;| 72. £nutuam CORPORVM GYRANTIVM. 9: mutuam actionem neque. motus de hoc plano detur- betur, neque pofitio axium varictur, 26. . Poft confli&us. initium - elapfo tempore. Lun IV. — i! , reperiantur centra vtriusque globi in punctis Fig. 2. M et 'N, ponaturque: maffa prioris — M eius radius — 8 et momentum inertiae refpectu axis gyrationis —aMaa; alterius vero globi maffa. fit — NN, ra- dius — b et' momentum "inertiae. — (IN P 5, vbi notandum, fi ambo globi ex materia homogenea con- flent, fore « — (9 — 1. Pofita. porro fumma radio- rum 2-j-b — c, nunc interuallum centrorum M. N ob impreffiones fibi mutuo inductas aliquanto minus erit: quam e, ponatur igitur. diflantia MNze-—,, fitque vis, qua iam fe mutuo vrgent, —S,quam vti functionem ipfius $ fpectare licet, quae euanefcat facto $— 0, hic igitur vi S globus M follicitabitur in dire&ione T M alter vero globus in directione T N exillente T pun&o conta&us, per quod ducta fit recta t T 6, tangens communis ad retam M. N normalis, 28523. Sumta iam, reCa fixa AB loco axis , ad quam ex centris Me N demittantur. perpendicula M P et. e Q. vocenturque coordinatae. AP uas PM-—y et AQ—4 et QN, tum vero ponatur angulus, quo recta M N ad i(tum axem. inclinatur — (D eritque manifefto Calc sp (eet et y—y-r (7 -j)fin. 28. His pofitis pro temporis momento propo- fito 7 motus progreffiuus globi M. ita erit compara- Y Oo 2 tus, ' 3 UTM 395 ^ DE COLLISIONE tus , yt elus celeritas fecundum A P. fütara üt. — $4. et fecundum P M ra alterius vero globi iN cele- ritas fecundum AQczá et fecundum : QN- ; Ybi obferuandum eft fore dx —dx—dsco(,(D -(c— 5) 4Q.fin.D et d»! —dy —dsfn. Q-r(c— 7)4Q. cof. G. vnde fit d x! cof. (D 4- dy! in. (D — 4 x cof: D dy fin. —ds. et ^ dx! fin.(O—dy'cot.(p — dx fin.(D— dycot.(p—(6-5)4 Q- Pro motu autem gyratorio et eodem temporis. mo- mento gyretur globus M ita, vt eius punctum T moueatur fecundum directionem T £ celeritate angue. hri 4, alterius vero globi pun&um, T fecun- dum eandem direcionem T celeritate; angulari -—- 17; vnde fequitur, fi 'vtriusque globi centrum quiefceret , Veram celeritatem jut T quatenus ad globum M pertinet fore — M T. 2 -E ;, Quatenus au- tem idem T pertinet ad alterum globum N, eius celeritatem fore — N T.2*; verum quia femper im- preffionem 5 vt valde exiguam fpectare licet , hic tuto ponere poterimus M T —a et NT — b, 29. Quoniam vero etiam centra. globorum mouentur, eorum motus infüper ad. iftos motus pun&i 'T accedet.. Hinc autem per refolutionem eam tantum partem adiiciamus , quae etiam fecun- dum directionem Tft fit directa, dum altera pars incidit in dire&ionem M N; et in impreffonem fa- Cam CORPORVM GYRANTIVM. z95 dam redundat. His autem. pro. globo M Vera ce PU IU! MMNNÓN z£— is Gn ar i2 cof Q.. In altero vero globo N vera celeritas puncti T, fe- cundum directionem T 4; erit | bea i fi. Q - Z7. cof. ee —— Tn fin. . 4 22.. cof, [. ERG DLL. ; -$o. Hanc vtramque BA celeritatem. ideo definire neceffe eft , vt. iudicare pofímus, vtrum in ipfo contactu attritus hincque fricio eueniat nec nef perfpicuum autem eft, fi ambae illae celeritates in-. ter fe fuerint aequales, nullum plane dari attritum, neque propterea ob hanc cauffim motum globorum afüci. . Hic ergo cafus locum habet ,. quando, fuerit ad 3 —bdàá» ES (c VEN DE 1 " vel TM ds eL: ; quem cafum primum conftituamus. —Secundas autem cafus locum habeat, quando celeritas. prior maior eft polleriore , quod euenit fi fuerit T4 e: E "irm eG DET di, ? hoc cafu, du celeritas globi M maior eft quam globi N, huius punctum T abripietur ideoque aece- lerabitur fecundum directionem T 7, contra vero ob reactionem motus gyratorius prioris M retardabi- tur. eriius vero cafus Cgeee ,; fà fuerit. 22$ i S6-Oo$T zb n t Oo 3 atque 294. . DE COLLISIONE atque hoc cafü motus gyratorius prioris globi M accelerabitur , alterius vero retardabitur. 31. Conftat autem frictionem femper propor- tionalem effe adprefhoni mutuae, quae hic eít ipía vis — S, vnde ponamus fri&ionem inde natam. — 0 S, atque cafü fecundo globus M. praeter vim ante memoratam , ctiam follicitabitur fecundum di- re&ionem 70 vi — 9 S, alterum vero. globum. N praeterea fufliiere etiam vim —3.S. fecundum di- recionem: T z. .Calculum autem tantum ad hunc cafum fecundum accommodabimus , quoniam i$ fa. cillime. ad cafüm ferftium transferri poterit , fumendo tantum litteram à. negatiue ; quin, etiam pro primo valebit fumto 3 — o. v "^ gs. Nuüc demum accelerationes vtriusque mo« tus definire poterimus, quum enim globus M a duabus viribus follicitetur altera — S in directione T M, altera vero à S in directione T 6, ex his de- dücetur pro dire&ione A.P vis — — S cof. (b -4- P S fin. o et pro dire&ione P M vis — — S fin. 6 — 8 S cof. Q. Pro altero vero lobo elicimus vim fec. A Q — -4- Sco. (D — 8 S n. (b et vim fec, Q N z 4-5 fin. (p 4- 6 Scof. (p quae yires ad motum progreffuum referuntur , pro motu vero gyratorio globi M vis T & — 3 S prae- bet momentum retardans à a2 S, globi vero N. vis. T;-365 praebet momentum accelerans à 2 S. 33. CORPORVM GYRANTIVM. 295 53. His viribus inuentis , pro motu progres- fiuo globi M has duas adipifcimur aequationes ; p, M32: —.. S cof. 4-8 S fin. ; 2gdti? IL 1227» — S in. B— 9 Sco (b. z2gdi^ pro motu progreffiuo autem globi N. has: III. £7 —Scof. 0 —858 fin. O ; agdt? — IV. E E cu zB 5 fin. D —93 S cot. Q5; denique pro itr gyratorio. globorüm M et N nan- cifcimur adhuc has duas aequationes: . V. aMxaacddé — s 2 S; VI. BxpMid]— P8, ud 15 Has aequationes infpicienti flatim | patet primam et tertiam iuncti íumtam dare: Mddx-JA-Nddax -—o; fimilique modo fecundam et quartam Loudletrin dare Mddy--Nddy' —o, j : atque hinc ftatim deducimus integrando : : Mdádx-r-N43x —Adt; et Mdy-1- Nd)y!— Bat vbi A et B funt conflantes per integrationem in- greffae , quas adeo vlterius integrantes , confequimur Mx-- Nx'—At-r-115; ec My-- N/'— Br-4- 8 quibus formulis promotio vniformis centri inertiae communis , , vel etiam conferuatio quantitatis motus indicatur. Eodem autem modo aequatio quinta et fexta iunctim ' praebent : i e aMa eo6 .. DE COLLISIONE eMeaddó-r-QNbadwzo ideoque | dv D NIA qvy—dREL : i «Maio N7"—'Couf,, : ynde intelligitur, dir motus gyratorius vnius globi vel augetur vel minuitur, tum motum gyratorium alterius vice verfa vel. diminui vel augeri. $4. Si hós valores pro x ét-$! inuentos, in formulis füpra datis (.$. -27.) fubftituamus , repe- riemus pl AtkH ING). x — VERPRTETITN M-N . 1 M--N x — Bt--9 —N(c—9fi.O , ,1 — Bt -- M (c — s) fin. Bx cnr ees DIRE HIAISIQIET EGIRTNRDM ex his colligimus differentiando dx-— sis RineTfI ext — 5) Q fin. ft y uo? Aqua. os] —xeeoetace denuoque iiliomar ddx —Eddse. .O —3a Nd: dO fin 4- Ntc - 3)d d fin Ace erit VUL esne-W MN EUL UK OILS LEEREN ———— ddyNi2ie ddsfin. CNET Nd idiiQotd TCMNETTE n air N AG nid n jnuentis autem x et. y "cb es x! et 5f, 35. Ex-his vltimis formulis fecundi grádus, elicimus. 'binas fequentes -concinniores d dxcof,. D -1- d dy fin. (pLtUxceni ep dd x im, p — deepest ét enc nnug "Wero €x formulis principalibus x et zz. $. 92. adipi- CORPORVM GYRANTIVM. $93 adipiícimur M (d d x co. Q -- d d y fin.Q) -gq 2gdt? TNT set M(ddzxfin.D — ddyeof.d) — zet DESCURAEWIE Y m — -- y S 9 atque hinc duas fequentes aequationes finales dd$-i-(c—5)dq — — £0 e NS iP. et FPE xí , TS :£0 dt? (67 )44— 24r o itioce ssa , ex quibus binas variabiles * et (D ad quoduis tem- pus definiri oportet , fiue quod perinde e(t, quan- titates ? et (D per variabilem s, cuius functio eft 5, exprimantur, Ponamus autem breuitatis gratia 2EOLAE NIS — 2) vt habeamus: dds 4-(c—5)4 p ——X41'; et (e-5)ddp-2didp-- o za hae ergo aequationes omnino fimiles fünt iis , ad quas praecedens problema perduximus , ideoque eas etiam ad differentiàlia primi gradus tantum reducere liceret , vti füpra fecimus $. ro. , quoniam autem haec reducio nihil plane fubfidii ad noftrum inftitu- tum adfert, aliud remedium nobis relinqui non vi- detur, nifi vt hic etiam ambos globos valde duros flatuamus, vt quantitates 5 et (D tuto tamquam minimas-fpectare eaque. membra , in quibus cae ad plures quam vnam dimenfionem afícendunt, reiicere queamus , quemadmodum etiam in fuperiori proble- mate fecimüs. JHoc- autem modo noftra tractatio non adeo limitari eft cenfenda., quoniam omnia, quae . adhuc de collifione corporum funt prolata, eidem "Tom. XVII, Nou, Comm, Pp hypo- A 298 — 5 "IDE :COLLISIONE hypotheü innituntur, quod nghe nelidentis fint duriffima. | $6. Sint igitur ambo noftri globi duriffimi et quia ambas quantitates $ et (D tamquam euanefcen- tes fpectare licet, fiquidem axis AB ita ducatur , vt in initio LL MR per amborum globorum cen- tra tranfeat, ita vt pofitio axis A.B non amplius fit arbitraria ; noftrae duae , gequationies feguentes formas indueht i |ddrc—Xdrf et cdd Eds quarum illa vti füpra integrata praebet | | ds*?^* : dT DP MNIUCUME [1 4p — D—2/Z d: hincque Lic w. d un ds et di: Y (D— af Eds) , quam valorem fi in altera acquatione übfütiamus : prodibit haec pile dad em 5x4 "dia E I — y —ijxz3) cuius: integrale eft dps Ls »Y (Ds [24 Atque fimili modo pro motu gyratorio ob - 140,53 LEN dt, — $Nzds diu. &a(M4-N) &e(M--N)ViD—»[Zds) . $ Mx dti 0Mzds et m c-r TENE G&(M-A-N)-—— B&Or-a-N)v(D—2jEd9 per Sul udin ied obtinetur eig ese ep Y (D—2efXds) et Sci zu iet 175 Iu buo: | "3. CORPORVM GYRANTIVM. 59g $7. Quo ores iflas" conftantes integratione ingreffas rite definiamus , contemplemur flatum ini- tialem , quo erat 7 — o hincque etiam 5 — o, at- qué adeo /2/ 4.5 — o et pro globo M fümamus eius celeritàtem fuiffe; fccundum. A P — p et fecundum: PM-— m, eiusque celeritatem angularem in fenfum. T:-gqk, pro altero globo N fuiffe . celeritatem. in. dire&ione A Q — 4 et in directione Q N — 5, cele- ritatem Vero angularem. id T$— A ita vt initio me ) ph E i-i tum vero d d x' pr d-4. 15 LEY P iA [i EM 38. Si lios valores pro iu initiali in füpe- rioribus aequationibus - fubftituamus : ex $. 33. etit: ob prn « fin. D — o. | ds ITA LM Nb €t 2$ 7 — yu-W &. E T Hr» i b—x ROUGE. at "NL SC k CL - ?T ARAM: A3 Ud ida o MM :-cedQ pia Ma M-CN dti JEOCRRIIS KL. sour dy deinde £x. 5. 25. d "ritur TEM ir GP d | nos cT -gl ij 9—gpue io 371101231 l'Y 3 bel: | A rods. $4.10 isi vnde imrhédiate colligimus pro initio |. A-—p-4.et pts ps hincque prro——— ^ aaa A—Mp--Nqe«t B—Mm--N», — reliquae vero conflantes- liinc: ita: dete£minabuntur 2. 61i Pp2 D -— $0 — ' DE COLLISIONE —(p-Q;E ripae 7d Fap-in e 4 — $M'p-—4) 1 J et. G— V 7 BECRICNT eH 99. Definitis his ciiditibus dárár ipfo con- fitu ad tempus £ hice e 'aequationes. innentás et habebimus : 3; —Y (p- D-22420; (43 —— "—— ? itia o0 -3Y (o7 - 2/45) H—u- LH as (00) Y (9-0 —»/ £45), & 21 —Y-F ggacx 0 7 -g—V((p-4) Pd vii deducuntur ipíàe celeritates progreffiuae.. ii—tsbesip.h V(p-pt-if spo FE, doe MAN í Ear Sis Qa- Y -tf- [240 pés lolo M iu nao (pq — 2/3 dr) dt ro lobo N, | er t ERsQ--Y(b-g - -sf Ed; ds : F^ pHieana ad corpora omnis elàteris - expertia. | 40. Si ambo globi, omni. : elaflicitate careant Al iam fupra obferuauimus , confiitum terminari ,. vbi impreffio facta eft maxima feu $0; quare - infine- conflitus erit 2/2: 45$ — (p — ay * siti pro hoc momento habebimus praeter $;— 9 — — | 2 — werinipin WB, 10) CE Sdn scd Wero celerittes. progres poft. -— Pro CORPORVM.GYRANTIVM. go: Pro glbo M. . dz Mb Acids dy—. ETT, bt Mulw Pod gu cm 7 KIND S ,.Pro globo. N, Xeto, SEE LLUME-ENI.. et dY-aq iso Ww VUEWP COUMEINTES M-ENC celeritates autem gyratorias in fenfum T F virinque 1$ — €$N n ko 4M dv L: po glbo M, i —g Noa, c pro globo N, 21— y. 9x3(0— 2), L] mes 85(M— N) "£r Anteqüám 4utém hinc vllas conclufiones Primus deducere liceat , diligenter difpiciendum eft, fub qui- Cafus. busnam conditionibus quilibet cafüuum ad confti- tutorum | locum habeat ; quod -iudicium feorfim tam pro initio confli&us , ,,Qquam pro. fine inflitui debet. Ex allatis autem ibi criteriis , patet primum cafüm quo à — o pro initio conflictus locum effe ljabitae rum, ^ü ferit — d | dqud-—by—n- n. pro fine autem inpet ü fuerit. Ua mby—meby o pus quae duae' conditiones quum "inter. fe conueniant, pa- tet , primum cafum per totum conflictum , vakre , fi modo iuitio- Yi lweniiy n —Przo hoc.ergo frimo cafu fi fuerit : aiiis "ME udbiu.o: a M — b y»—n—m, i: poft confli&um: fiugula: motus elementa. ita fe Lha- bebunt : E o ODOPUmTIa cas KNEE MITES GN d.d LARA AMD UE TIT ! "BP Us eU (su m pv. b uds c wa NT NEORIPU S CEUTIEDI n ee ext k II. Cofüs. DE COLLISIONE 302 , dx ——Mp--Nq, dy — essel dt — CN. di 745 et M da — Mp--Nq; dy eiit : Vnde intelligitur cfi confi: &uüm. virümque globum fecundum dire&ionem axis A B eadeni celeritate pro- gredi , at fecundum dire&ionem 3d A B normalem ni vtrumque globum cam celeritatem ,. quam ante ha- bebat, conferuare , quia etiam. vterque pruna mo- tum Byratotitum retinebit, Qus ^42. Secutidus autem. cafus , quo. , habet valo- 'rem "pofitiuum; pro. conflictus initio locum; habebit , fi fuerit pe i ay —bybn-m, . fíoded 2T coti at vero pro fine confli&us fi fuerit PI iQ ey. — Lpy—bNO -P- $M—e n n--3(p— sig T 4 & (M 4- N 8 (M 4- N) ay. —byen— T PUE: OLI. -4)G-- ZEN) RA-m- $ (P— 2a Bom ac Bare ON) Ul MES BO a-R) quare dummodo pofterior conditio - locum: habeat. y cafus fecundus per totum confli&um — vigebit ;; .mo- tusque poít conflitum: fequenti modo fe habebit ; Poo . . Si conditio | | Kk: TNT E M -- (a N). rm bvy9u m -- RP UCRUNE TR. AO erit pro globo M at pro globo. N d x - Pos 4.8 dy! .— $M(p—23. d"n— PX(p— d) T 4 pma Ht MUpNP? dre —Y-t BRM ZEN) 43* CORPORVM GYRANTIVM. $93 43. Vt porto cafus tertius , . quo 9 (umi de- IIl. Cafus, bet negatiue , locum . habeat ,; pro initio. conflictus haec conditio requiritur : i | "4V—by-n—m, pro fine vero conflictus haec Log —9 (5 — 3X& (8 -— 1) M B (a 47 1) N) d Mrd iE B^ Lor onr ro PA BUR ae NE TITO quae pofterior conditio priorem iam inuoluit , vnde cafüs tertius per totum conflitum vigébit, fi füerit L9 (p —q( a (B I 1) M -I- 8 (a i 1) N) d isdem JURA TT: oma amd tum autem poít confli&um erit pro globo M dz .Mp--Nq. dy — $Np—29. d£— $N(P—4) dt— MAN ? ai;—HY M-N ? di— V T vat) et pro alteró globo N dx! —M5--Nq. d»! — y. .SM(»-- d) et du. -y, .SM(p—Q dt ^ |MxNoO? dd. M-EN di &b(M4-N)* 44. His autem tribus cafibus folutio problema - tis neutiquam cxhauritur , fupetfunt enim adhuc duo cafüs maxime memorabiles, alter quo aV —by-—n—m--k, alter vero quo L «4x —bv-—n-m-—k exiftente k «230 — 2) (8 e 1 )M 4e B (a 4- 1N) ; " : & (9 (M -A- N) ita tamen, vt fit & — o, priori enim cafü in ipfo conflius initio à habebit valorem pofitiuum , fed durante confli&u frictio fubito ceffübit , ita vt dein- ceps vsque ad finem confli&us flatui debeat à — o, id quod etiam de altero cafu eft intelligendum, hoc tantum difcrimine, quod ab initio ' habeat valo- . rem negatiuum, ^ Quemadmodum igitür his cafibus n vtrius- m $04 ''" DE''COLLISIONE* ^ vtriusque globi motus poft confli&um e fic. babitu- rus, quaeftio:haud: parum eft ardua ; .quum .inter- vallum confli&us in duas partcs dinidi debeat , quae contjnuitatis. lege. deftituuntur, ; fequenti autem modo hos cafüs prorfus fingulares expedire poterimus. .... 45. Durante, igitur conflictu id iemporis puns &um inueftigari debet. L quo. fictio. PUQRHE eua- y nefere incipit, id. quod euenit vbi üt adt — Pd Le d ji "Cdi. FOE aw d t ex formulis autem $ . 88. inuentis , haec. , conditio praebet |.— aj — by - EGCEBI (5 — q 22V ((pa- o - a 3d) d XBRCEN) C Znema-$(p—4— V (Cb —a) cHBES fiue: ee BB-ioN -- Bie OP qi y—ixd ay.-by—an- "T ILE NE Mig x[z8) ? ponamus hic breuitàtis" gratia - 9 (e (8 -i- 1) M -1- 8 (x — L2 Me NIOEDSUGM V e & B (M -4- N) | Leid wt fiat ay —by—n— "-4-^(p— q— Y(p- » -af X45) et quia per hypothe(in eft Cg ic^ yum, hinc:habebimus — — k—a(pca-Y(- ^M 45; | quare pro hoc momento temporis colligimus. i: b Dd Ls |-—2/X4s)— d Adeoque ,... xA 1. | -afEdmp o6 0 umm 46. 19900 p TUOHNHS ! a » CORPORYM GYRANTIVM. [goj 46. Pro. hoc. iam. temporis momento inueflii- gemus vtriusque globi anotug. , i. habebirgus s * s motu globi M . ^ jsINEBNP NO — BURG LUEN. nu x dt ^ M--N lzeN gna D dt we A0 EN)? dt ES SEA TM pro motu globi N. dx. Mp--Ng.. d-)) zi dt ^ M--N. —aalP- £- Ji " ponen df -U nitien TAY ore e3 zoo i 1 5 t n m i 3 47. Hae ergo celeritates — inuentae [o- eum habent in. fine prioris partis collifionis , ideo- que tamquam celeritates initiales pro parte collifio- nis pofteriori fant fpectandae , hanc igitur partem inueftigaturi , refüumamus formulas integrales pri- mum inuentss, "in quibus adhuc conítantes indeter- minatae, A, B, C etc, iofünt, easque nunc ita. de- finiamus, vt pro initio huius temporis, quo eft Y (p -4) Zzaf€-dn-É2pq-t A^ ? celeritates. eae ipfe prodeant, dia modo i inuenimus, vbi notari oportet, pro hac temporis parte. fumi de- bere 0 — 0, hae autem formulae nunc ita fe -ha- bebunt «5 -p-q-i;* ; 528 — E hincque 2- EK. bel iftae conftintes. ita determinantur J'TomXVILNouComm ^ Qq ^ ^ Ec-s pi ^' pE COLLISIONE EI "us A—M$--N(PO Qig 8L HT OPEN ! Jim e p— Mm-4-Nnj F-k—- WA LAE N) ;. Bnotit FECE $ hM ; ' KITE m - h G-— MI Cg ucl : Í ..Nunc demum 23d finem. partis pofterioris M pz licet ; : pro quo quum fit sim dr rs q),fiue.- Y pra -q) — f 2 df-sBA. eaedem formulae generales ad hunc ftatum. accom- modatae pro fine confli&us dabunt ;: ; ^ — aid mus s . cd — N . UIS dU. UE D S nfolrdam 7 /* et pro .globo. priori .M. . uy dx-Mp-4Ngq.l dy —m- SEN. . dó— o SN Fr ir M-EN ? d AQ EN)? a Je EVAUCEN) e [ " 175; PA. esq et pro globo: N de" esa d» T VENUTP MEMT T. dy SRM di — M-EN 3 df cb AOLAE-N) 7: folypieR Quae formulae fi: fucrit: cio congruunt cum ..ca- fu. primo; at^fi fiat &.— A (p — 4), eae .cum cafu fe- cundo conueniunt, prorfus vti natura rei poftulat. 49. At fi fucrit a. — -byc—n—m-k ra tiocinium fimili modo inftitui deberet , verum. faci- Je. iatelligitur inde. pro fine conflictus Tegueates' for- Aaglas. effc. ptodituras.. 1 1 n » ! "n i. zi mhHu-;9 5-9 pro globo M sti dx — Mb--N4..d y — t :1- SE. 86 $kN dt HB-EN- Mii iens * xax "Soo CLESNE et pro globo Nipisspicinsn5 n c3 ef dx'—— M EUN qu D Uns — a E e ($kM . ee kM disc AO UNA '29 - AQ-r -N)? dt —— 'BrAOL * Ybi CORPORYM GYRANTIVM. 8397 vbi iterum notaffe iuuabit, hunc cafüm in primum recidere, fi k — 0o, in tertium vero. fi. k— ^(p—4). Sicque tota haec determinatio quinque cafibus com- prehendi debet. Applicatio ad corpora elaftica. |. . 50. Quando ambo globi funt perfecte elaftici,, confli&us ante. ron. finitur, quam impreffio. facta iterum ad nihilum redigatur , ita vt in fine, cor- fli&us denuo fiat s — o atque etiam /X d $ Zo. "Werum formula radicalis 2 (o 8mY(p- gr -2/Z4)) : quam diu impreffio augetur, pofitiuum fortitur valo- rem , negatiuum vero, dum reftitutio | abfoluitur , fiquidem priori cafu £* pofitiuum ,. altero vero. ne- gatiuum induit valorem... Quocirca in fine conflictus erit haec formula radicalis. — — (9 — 4). 51i. Quodf ergo hunc valorem "vbique. (übiti- pe pro fine cooflidtus habebimus primo " ' — Off àQ n Compro (p uqye onim 28 (p— d deinde pro globo M reperiemus Cia dx —Mp--N4.. 8-2: dm-Urfcs : dt M-4-N MA-N ?d47.- CMAMN su B: Wiese eod. «a(MA-N) ^ ct pro globo N | : d»! caer . dx —Mf-4-Nq4 "E 3 NIST UNTEN ik t-g ? di TUN 912 d'* : IDs a [piu rt Le NrrEdidanti rm: boh Sus 25zb* "eni. s 5A. ys NE PRUT sib emend so — U759& ^COLLISIÓNE: ^^ $2. Hic autem imprimis ' ráiótie "litterae à animaduertendum e(t, eàm hibere vien pofiti- vum, quamdiu feri enu rd Aid ae odi e due A cd ZI Ji ici ds DU [ fiue (ubi nisi | a y. — by - 3X -B (5 q-Y((- ay -AfXan) "a BAM -4- N) : n2-m-4-3(p-4—Y (p—4 —2fXds»), fiie ^- ay — bre n-m4' eB M Bo eov EOS -4- Y-0 i ds). vnde iam intelligitur litteram M negatiue capi debe- re, quaudo fuerit ay—bvn-m— siat mirer Q)- Jf: Edo at vero quando fit. t4 pala sif akWk-bycn-—m, ID EIDu Hi tum litteram à in nihilum abire. Vnde 'vt ante tres cafus refülant , quorum frümus fit vbi à — o, Jecundus vbi à habet valorem pofitiuum , zerfius ve- ro vbi negatiuum. — . dp pe. d : 53. Incipiamus a pes primo. ,. quo Ao atque is in initio conflictus locum habebit , quoties fuerit ak —-by—n—m, EE 3 in fine vero conflictus quando etiam füerit - ak—-bycn-m "i Qd ex quo intefligitür , fi hic cafüs in initio confli&us locum habeat , tum eum per totum confliàum effe duraturum ; quare hinc pots determinatlones - deducimus : : Si CORPORVM GYRANTIVM. 399 'Si füerit 2j. —by — n — ui erit: . pro globo M dx . (M—N5-4-:N4.30* —w. d$ 2. Sd cuo D BEBA. $»udrp—73$3:;—M pro globo vero N i da! .— zMp--(N—M4. d5»'—— 4. d*»—, dt ^ MN P3: 175 n e 54. Confideremus nunc cafüm fecundum , quo 3 eft .pofitiuum , atque vt is iam initio confüétus eueniat oportet effe axk—bymn-m, verum vt etiam in fine locum habeat, debet effe LS L. ;SQa-Q oco M Bla -- 0. a y by mp tp Aes eB (a c ON; vnde quum femper fit p 7 4; conditio pofterior prio- rem in íe continet ; ideoque cafus fecundus per. to- fum :confli&um fubfiflit vnde hae fequuntur deter- gninationesz ^ |^ —- . Si fuerit: — TIE — ate! Qao week n) tum erit pro globo M; ds -—(M— N)pP- pu. Mu -29 NIP—2) 6dt M-N m IU et L4 c iixp-p dt ac(M--N) et pro altero: globo. N d'x LSU d jc. SM. du— ; rr . M, PERS MI ER. $5. Cafus denique tertius tam in initio, quam ^in fine adhuc vigebit , quando fucrit d 1t eee de DM a- B (x -- 38). | gis —-by4án- n 7. apBiM--N) ie | Qq 3 ac 316 DE COLLISIONE ac tum ín füperioribus formulis à negatiue capi debet, vnde fequentes determinationes adipifcimur : zi — m -—i5p-—axXat (8-1 08 4 (a (2N) Si füetit qu bv n t ES poft confli&um erit pro globo M d x .— (M— Mr- Np SNAM dy — gi 25 NQ—1. TR. cer dtc wer M-A-N &a (M-4- N) et pro globo IN | d xt (N—Mq--: Mp: dV — gp 2bM(p—D. dy—,, :8M(p—a) Qi xYN- UP UM-CN ?at-^ Cm A i à , f i ; 56. Vt nunc etiam in cafus hinc exclufos es quiramus, qui contingunt quando fuerit: as —byzcn—m--k,; dum ícilicet & inter limites o et 28 (p— qa B 2-1) M a- B (a À- N) « B (M 4- N) : continetur; ante omnia formulas integrales fupra: in- ventas in genere fumtas , neque ad certum (tatum initialem accommodatas ob. oculos ponamus: . ob Pt pda dais. LING (X) —, 43 TUM s Xa (E-9 Y (n-- 2[Zdy) 32— plpLGS dM oat 4 A FRA. & a (M -3- N) rx we RM ir Y(D—2fXd45, ay imo CE gx(E-9Y(D-2/Za:r) ex (D ef Eua) qu REN 5T CORPORVM GYRANTIVM. 3iz 5*7. Quodfi hae formulae ad ftatum noftrum initialem referantur , quo eft zi 12 ip Hd dx! bi Aj dé UN fequenti modo ecc baies 2 A—Mp?rN4;YD—-p-4; B—HMm-Nmn i—n—m4(p—4); F— gj 5 30—3; Gy LX dai NO B5 N) qui-funt ipfi valores iam ante inuenti. His ita praeparatis aggrediamur cafum , quo 4v —by-n-—m--t, exiftente (p —232)'& (8 -— 2) Ni ta kc nu) ks 29 aB(M--N) atque iam vidimus in ipfo initio dus fecundum à — o valere , dehinc vero tantum ad certum quen- dam terminum continuari , quem reperiemus pro hoc loco; pofito vt ante breuitatis gratia Ub (e D-t-) EB ÜN)— A ; sin dad N) c4-VMdqor j-2[Edomà et Y(p-4 —sfZds)-—p—4—43 vnde pro hoc momento valor /Z2 d s determinatur , nobis autem fufficit valorem formulae huius radica- lis noffe. Atque hinc pro hoc termino habebimus iftas determinationes : dt M-A-N MA-N d-t A(MA-N? dt cA dx —Mp-cNq4.. EC Uo — Moi "kx q E) à 723 28 CN Sedo SRM 4t —nt A(X AN)? dt y BEAQ LS) fcilicet gi? — '" DE COLLISIONE féilicet quoniam totum conflictus tempus im duas partes diuidi debet , hae celeritates locum habent in. fige partis prioris , quae ergo eaedem locum quoque habebunt in initío fecundae pattis , vbi. erit 3-— jo. .5$8. Nunc motum per fecundam partem jn- veligemus , pro qua. celeritates modo inuen e fta- tum initialem conftituunt , quam ob caufam munc vti debemus formulis ponerabals $. 55. sila quer: niam autem pro initio huius Pra et Y D-sfXdsy)-p—-a—i, | hoc valore pofito ipfae illae celeritates prodie de- bent , vnde nafcuntür. i 3 sequationes ..—.— I Ii MN er gis 1-4 — — Mp4N Bar d x i IL. $9 — neo De D-07 A m icex T d Ly "T m— (235. 24 "y INQUE 4 TR: AOL QN)c7 MN MEN RA SkM o B ME Iv. à P Ec acuit 2i dia io eM d» — M — V. d:—M Er ks mL VE TI tau €X priore et fecmnda fequitur ACMp--N4, quia D manet wt ante -9-4 : deinde ex tertia - €t quarta | Mic -Mm--Nn €t E-—n^— — at ex quinta &t fexta litterae d et G immediate dantur F—h- urdlizui 6— rate i : 1 59. CORPORVM CYRANTIVM. | yi8 59. Quodíi hos valores conflantium introduca- mus, formulae $. 55. generales exhibebunt motum corporum per partem pofteriorem temporis, vbi 9 — o. Atque hinc pro fine huius partis adeoque totius conflictus ftratui debebit Y (D-2/fz4:)—-—(5—4), vnde confequimur fequentes determinationes : Si fuerit a 4. — by — n — 1 -1- k. cxiftente ka2^(p—q) tum poft confli&um cerit pro globo M le a s - 2N ; dy .— SRN e" CR tur 4P—n- ACA 4- B) Qr norm ME QURE 4t —FP &à4 A (M -4-N) at pro globo N Bun edes n4 SRM , dq— y... 8 BRxMO dt A MAN AO-CNP di BPAOL-ENY 6c. Hinc iam fponte cafus adhuc refiduus re- foluitur in hunc modum : $i fuerit a y. —^» — t — m — E, exiftente k 4 2 A(p— poft confli&tum erit pro globo M 4 x. (N—N)p-I:Nq. dy — DRAN . dg. PRN sd p Hau Cadko T AUFS) di— Fr zAGIN et pro altero globo IN à x' — (N—Myp-:Mq. d y .— SRM ; £—y- SEM UL. di M--N ^ dt —" A(MIN) at—'. BblAQ-EN? Tom. XVII. Nou. Comm. Rr vbi $14 DE COLLISIONE CORPOR. GYRANTIVM, vbi manifeflum eft, fi fuerit k — o, ambos hos ca- füs ad cafum primum reuocari ; at fi fuerit tum cafüs penultimus reuoluitur ad ca(um fecundum, vltimus autem ad cafum tertium , ita vt nusquam faltus occurrat. ec5(o)$3€ 915 DE. COLLISIONE CORPORVM. PENDVLORVM, TAM OBLIQVA, QVAM MOTV GYRATORIO PERTVRBATA. Auctore L EFLERO I. (Q** in differtatione praecedente. funt determi- nata, egregie per motum pendulorum illuftra- ri atque experimentis comprobari poffunt. Si enim duo globi M. et N ita filorum ope ex punctis A et B fíufpendantur; vt dum fila fitum verticalem tenent, globi fe mutuo contingant , atque recta M N per eorum centra tranfiens fiat horizontalis ;. tum omnes illae collifiones, quas aute deíiniuimus, facili mechanismo produci poffunt. Si enim ambo globi in eodem plano verticali , in quo fila A M et B N verfantur , de fitu naturali deducantur, indeque fu- bito dimittantur , vt fimul ad ftatum naturalem per- veniant ; tup» conflictus orietur dire&us , cuius phoenomena iam pridem íunt explorata atque per huiusmodi experimenda comprobata. Si autem elo- bi in diuerfis. planis verticalibus deducantur iterum. que ita dimittantur, wt fimul ad ftatum naturalem pertingant , tum confli&us eueniet obliquus , de quo Rr2 etiam Tab. IV. Fig, 3. 916 "DE COLLISIONE etiam nunc regulae certae nusquam reperiuntur tra- ditae , femper autem in ipfo collifionis momento , non folum reca M N fed etiam dire&io vtriusque motus erit horizontalis , omnino vti in fuperiori differtatione affumfimus. 2. Hoc autem modo non folum vtrique glo- bo celeritates quaecunque , quibus confli&us inchoe- tur, imprimi poffunt, fed etiam fila contorquendo vtrique motus gyratorius quicunque induci potcrit , qui quum femper circa axem, quem ipfum filum exhi- bet fiat , etiam in conflictu axis vtriusque gyrationis erit verticalis, prorfus vti in fuperiori fcripto affüume- fimus, quin etiam durante confliu , circa hos axes in globis motus gyratorius generari poterit , ita vt hoc modo non folum omnia , quse de colli- fione obliqua inueftigauimus , experimentis confirma- ri, fed globis infüper motus gyratorius imprimi pos- fit, de quo motu nihil adhuc ab iis, qui de colli- fione corporum tractauerunt ,. accurate eft definitum. 3. Neque etiam abíolute opus eft, vt ambo corpora fint globi, fed ad ioftitutum noftrum fufüi- cit, vt fint eiusmodi corpora rotünda , quorum axes .incidant in ipía fila fufpenfionis , tum vero etiam "Tab. IV. Yig. rc neceffe eft , vt eorum circuli maximr, quibus fe mutuo contingunt, per vtriusque centrum grauitatis tranfeant. Sint igitur centra haec in punctis M et N et vocemus pro priore radium circuli illius. ma- ximi MCc-c2, alterius «ero globi N radium NC— 5, praeterea vero pondus illius fiue maíí ftatuatür m —HM, / CORPORVM PENDVLORVM. 517 — M, huius vero — N, praeterea autem pro motu gyratorio , fit prioris corporis M. momentum incr- tiae. refpe&u axis M A—a Maz , alterius vero corporis IN refpectu axis N B — (8 N P5, vbi per nota praecepta , pro data vtriusque corporis figura, nümeri a et 9 inueniri poffunt. 4. Vt nunc flatum motus vtriusque corporis ante conflictum accurate de(cribamus , repraefentent ciruli Aa C et BC circalos illos maximos in plano horizontali, quibus corpora fe in puncto C contingunt , ita vt fit M C — 4 et NC— 2, hunc enim fitum concipiamus in ipío collifionis initio tenere ,, quo ambo centra peruenerint fecundum di- reciones xk. M et » N; ex quorum motuum refolu- tione nafcatur pro corpore MM celeritas fecundum pM —5 et fecundum 2» M — m, pro altero vero corpore N, celeritas fecundum 4 N — 4 et fecun- dum z N — 7, praeterea vero corpus M gyretur in fenfum C 2 A, celeritate angulari — j., alterum vero N in fenfum C PB celeritate —», ita vt pro illo celeritas puncti C — 2 X, pro hoc vero celeri- tas pancti C— 2», hisque elementis vtriusque cor- poris motus ante conflictum erit definitus, 5. Hic ante omnia notandum eft, vt figura initium conflidus repraefentet , interuallum | centro- rum M N minus effe debere, quam inflanti praece- dente, vbi haec diftantia erat ikv, fiue rectam. j. » maiorem effe debere, quam: M N, hoc autem eueni- ze nequit, nifi fit interuallum 4 2 M NN. fiue nifi Rr 3 fit 318 DE COLLISIONE fit Mp N4, fiue p—4:»0, femper autem fi- guram ita repraefentare licet , vt fiat f quantitas pofitiua , tum ergo vel 4 debet cffe quantitas ne- gatiua, vel fi fit pofitiua, debet effe 4 5, quod ad reliquas quautitates attinet 77,7, et v; eae cen- fendae funt pofitiuae , fi earum directiones cum fi- gura conüeniant, fecus eae fumendae funr negatiuae, . quae quidem per íe fatis funt perfpicua, 6. His circa flatum corporum ante conflictum definitis , pro eorum ftatu poít conflidum pona- mius celeritates fecundum easdem directiones fümtas primo quidem pro corpore M: celer. centri fec. p M — f; fec. m M — m' et an- gularem in fenfum C4 A — i | pro altero autem corpore N, fit. celerit. centri fec, q IN — x» et angularis in fenfum CobB—" ficque nunc totum negotium eo redit, vt ex datis celeritatibus ante confli&um , quae funt p, 4, i n, Ha? definiantur celeritates poft coufli&um, .quae funt f, 4, t, v; v!, v, cognitis fcilicet , quae initio iam. indicauimus , mafüs corporum M et N, purro radiis 4 €t P ac denique etiam momentis inertiae «Maa et QMbLb. 7. Antequam autem flatum corporum poft confli&um definire liceat , nonnulla momenta íunt probe perpendenda, Primo enim , quum nulla. col- lifio CORPORVM PENDVLORVM. 319 lifio obliqua euenire queat, nifi in contactu corpo- rum attritus coutingat , frictionis ratio omnino ha- beri debet , quoniam igitur frictio certae parti cui- . piam adprefífionis mutuae aequalis cenferi folet , quae pars vulgo fiue i fiue ji, fiue etiam minor acf(ti- matur, prouti corpora fuerint. magis minusue leui- gata, loco huius fractionis hic in genere littera vtamur, ita vt vis qua ambo corpora fibi mutuo adprimuntur per ó multiplicata exhibeat quantitatem frctionis. Deinde vero imprimis difpiciendum eft , vtrum ambo corpora fiat elaftica nec ne, et quum infiniti dentur gradus elafticitatis , hic duo praecipua corporum genera primum fumus contemplaturi. Pri- mo ícilicet loco corpora omni elaflicitate deftituta confiderabimus , deinde vero eiusmodi corpora, quae perfe&e fint elaftica , feu in quibus impreffiones in- ter conflitum inductae perfecte rcftituantur. — De vtroque autem genere tenendum eft, irmipreffiones fibi mutuo facas , quam minimas effe debere , quia alioquin regulae , quas fumus daturi ob figuram mu- tatam non amplius locum habere poffent , vnde cor- pora molliora hinc excludi oportet. ^ Denique quo fequentes calculi fiant faciliores breuitatis gratia E» formulae à «8-2 M -- B (x -- )N aB(M--N) . ? ífcribamus fimpliciter A; ita vt fieret A — o, fi frictio, euanefceret. T. Col- 3*0 DE COLLISIONE L Collitio corporum omnis elateris | expertium. 8. Hic ante omnia has duas fociis probe perpendi oportet, 5$-1-a & €t 6 -- bv, quarum illa indicat veram celeritatem puncti C quatenus ad corpus prius M pertinet, fecundum directionem C D, normalem ad axem M N,, haec vero indicat celeri- tatem eiusdem punc&i C quatenus ad alterum. cor- pus pertinet in eadem directione C D, prout enim hae duae formulae inter fe füerint vel aequales , ca- fus collifionis follicite diftingui oportet, atque infu- per cafus inaequalitatis , duplici modo confiderari debent , prouti differentia iftarum formularum , fue- rit vel minor vel maior , quam haec formula A(p—4, vnde cum ipfa differentia illa poffit effe vel pofitiua vel negatiua , hinc quinque cafüs nafcun- tur, fecundum quos collifionis praecepta exhiberi — oportet. Cafus Primus. quo fz-- a V — t 4- y. 9. Hoc cafü poft collifionem habebimtis pro corpore M p-— BILE m-—m;ypo-y pro corpore vero N Mp--N Ni — olco TREND A f cs V cy. Cafus Secundus. | quo m-E-ay 2 n--by et m--ay. S n-4-by 4- A(p—4» ponatur ergo z-regk—nu-rby-r*y ^(p— 4) ita CORPORVM PENDWLORVM. gai ita vt fit «y certa fractio wnitate rainor. Pro hoc cafu poft collifionem habebitur pro corpore M: —Mp-4-N4. ,4I—;,, 9 YN(B—4). 414—445 N (bo) j'— M-N ? € MaN ? kF—ER &0(M -4-N) pro corpore vero N: g-— Mes " n ii5e- 2. "S VEI RR Cafus Tertius. quo m--ak 25--b5v-A-^(p—q. Pro hoc cafu poft collifionem habebitur pro corpore M Mp--N3. wi 8 8p—2. ug! —pn SNO TO ,)-— "M--EN- a"-N j ÉE—PF W--N. &4 (M-4-N) pro corpore N —Mp--N4. p c $345 BEIW. 4—tUeE ncm y —» EN) | Cafus Quartus. quo n-Fby t mc aq. , at n by am -e- rA (9-9), ponatur 2 4-5 y — m 4- a jV. "y 5 (p — 4), ita vt fit «y fractio vnitate minor. Pro hoccafu poft colliüonem habebitur pro corpore M —M Nq. od: SN (0—2; 1— vy9 N(P-4) pro MM vero N E Nou.Comm. Ss Cafus s:2 | " DE COLLISIONE: | ;*Cafus Quintus; ^ 1 worm pro pt46yUcxegueuAC—. o Pro hoc cafu poft collifionem: imis o1] ^pro cerpgre M ^ se L5 Hos NM pande 12. SAND eH |— 5N(p—9 OP—YT ui Ltda. UMTN ? qmm paLBNELS eer pear A. . pro «cor orpore vero IN , Aris ow | — M P--Nq. uon ies. qe ERG C MAN Ni 113 s ^ Bbcn 4- Ny IO. qp in primo caíu eftz-^- 2: : fuerit ; q-apkpindaby., "u—'-. Ci. ; poca dne cafus fecundus vel tertius iod habet, ita wt-cafus ficuadus. medium quoddam teueat inter pri- Thüm et tertium ; atque fi fit Y—o in^ prinum recidat , fin autem fit.y — 1, in tertium. — Simili mojo tam. pro quarto, quam pro quinto cafu eft n-bytem-ag. : et cafüs quartus certum tenet medium inter primum et quintum ,. ità vt fi fit 'y — o, in primum, fin autem fit y — rin quintum cadat. ^ Praettérea 'et- iam manifeftlum eft, fi frictio -penitus euanefceret , tum omnes hos quinque cafus proríus inter fe con- venire, atque ad folum primum reduci , dta. vt omnis diuerfitas horum cafüum foli frictioni fit tri- buenda. '^Quodfi ergo nulla effet fri&io feu -ó — o , in collifione tantum celeritates fecundum dire&tio- : nogcmem | ow CORPORVM PENDVLORVM. 323 nem i&us.A B mutationem | paterentur, celeritates vero: laterales fecundum directiones. :; M et 5 N prorfus immutatae relinquerentur , quin.etiam motus gyratorius vtriusque corporis neutiquam per confli- c&um afficeretur. — Huc autem redeunt omuia. ea , quae ante de collifione corporum obliqua fünt tra- dita, ex qü0 omnes mutationes, quae hic occurrunt, TN ipiptidnen originém ducunt. $6 $i 11. Quodf. iam. noftros quinque. aus perpen- «damus ,. flatim. apparet, fri&ionem iu celeritates p et 4j, quae ir;dire&ione confli&us. A.B funt | conftitu- tae, plane. non influere , pro omnibus enim cafibus femper. ett L.— XP -2-N4 , sod. f! zh MAGN "XX ita vt fecundüm hanc diredionem ^ ambo corpora poft confli&tum 'communi -motu." progrediantur , cu- dus" celeritas communi : Corporum centro grauitatis conueniat... 1jboy ' * Pii 44 g.! 12. Quod deinde ad. celeritates. laterales atti- net, quae aote conflidum funt^ m et 7?, poft confli- &um vero m! et 4; manifeftum eft pro: omnibus cá- fibus fore : EE PERSTESUERM fiue etiam in his cceleritatibus quantitatem motus conferpari. Porro vero circa motus. daPeheries ,per- petuo haec proprietas fubfiftet . n «Ma y ^H NAy zaMayu GN»; Qj dg ca quae ^ty 3:4 | . DE COLLISIONE quae aequatío quodammodo. conferuationem. motus gyratorii continere eít cenfenda, ^ Denique vero et- iam haec coaditio. in omnibus cafibus locum. inue- nit, vt fit í m'—aay —m—maag. fiue m'—m-—a«a(y/—q).- atque. »/ — 85v —n— bv (eu s! —n— b (v —v). 13. Vt aliquod exemplum notatu. dignum: ad- feramus, ponamus maffam corporis NN effe quafi infinitam eiusque centram aute conflitum — quieícere ita, vt fit q— o et n— o, motum autem eius gyratorium celeritate. angulari v exhiberi , tum ve- ro alterum corpus M in id directe incurrat fecun- dum dire&ionem AB celeritate — f, celeritas autem tam lateralis zz, quam gyratoria p. euanefcat ,.- hoc pofito. quum. fit. "--a4u-o (UNE Mec t euidens. eft, hanc quaeftionem vel ad. cafum: quartum vel quintum referendam. efle , (ícilicet ad. quartum cafüm pertinebit , fi ob A-6039 (fuerit (prece AE iG 4-29p fin autem. fit bv t (12-2)805, tum ad quintum. cafüm pertinebit; Pro:cafü quarto: quum fit &b v: Y — — (a —- (a3- 9p poft confli&um. habebimus *-— lf L— & bv. . j bl b v. ulii DU X gt er CORPORVM /PENDVLORVM. . 4es tum vero : 4 —'0;"y uy verum (i ca(üs quintus locam habeat, poft conflictum erit pro corpore M. yp-—oi m'—óOp et y! — 82, II. Collifio corporum perfecte. efafticorumt. r4. Totum iudicium Llc iterum exordiendum eft a forinulis m -r ze et 2-7 b», vtrum eae fint aequales an. inaequales ,. hocque cafü vtra maior vel minor ? tum vero differentiam. comparari oportet , cum: formula 2 A (5 — 4); an ea maior fit minorue ,. vnde fimili modo quinque cafus diuerfi euoluendi occurrunt. - Cafus Primus. quo 5-r-eu-nm-by Pro hoc cafu habebimus poft collifionem pro corpore M p-G—9:.:89;: m wy pro corpore vero IN g— GEH nun; y Cafus Secundus. quo "J-ag. e n-4-bv at gap n4 by 2 ACp— q) ponatur ergo REEL i-TyaU y W ita vt y ft fradio vnitate minor. Pro Boc: cafa. poft collifionem habobitup- Ss 3 pro 426 ^DE COLLISIONE pro corpore M Qisv. tfiv |. ——(MeWNp-E2NS4..4*.44 "s-—d tle p— C MIN h « 19 9 PN e^ m! -— m YVES id) s E —I UTRatM-EN). J8U* UJ d pro corpore autem N.— — .— Pos (— N—Mg--eMa- 449 «9: Ww i0 M-RNTUY. LGEM. 2 y89 M(p — q) (p LE agb; ety emn 2 dies z^ .. Cafüs. tertius. «55 quo. vdbiiosiei inia 2 A(p— - 9. T € hoc ca(u- poft: collifionem. erit! |^ 95 s e 3c pro corpore MU J 3Rib C12V nu c tin fe e 2i [23 (n Nyp-piNTq. m! —m a$wpI IO4 fi» : odiouo Td mE ani Sepniuo obdmr ili bmi a5 N(p N (p —4) ace Lek p) TT &a(M 4- N) — ; z^ pro corpore autem iN. d — UT iaNE sus eec; que 5swibHes «Sog encoded wis» 5040 1! ety» o E NRNIT Cafus Qui es ME in "1 quo mbbyS mra at l4-by « m--ag-i- 2 A(f Q) ponatur ergo nb by FOR E IURI 284) ita. vt fit y frà&tig vüitáte minor. ; ^*^ -- —À—ÀÀ Hoc ergo cafü poft tolliionem ' habebimus :: 3 .pro corpore M . - pere anl— dy5NO a): no m DUTY BÉ--Oe—q avg-L I xu NS «a (M4 N) pro corpore vero N. die Ld oifycs 0 gi [—(N—M4--2 Mp. EE —iYbNO—p. jas M (p) MaNIG Aor 1 dis MN O? ducalis 189 [o -4-N)* E p Catus CORPORVM .PENDVLORVM. $5* dim 2o Cafus Quintus. sc quo 2-Eby 2 m-- ag 2 (pq). Pro hoc ergo càfu , poft. collifionem habemus | pro corpore M- 41 (—W pco. TRES :8N(—4. "me "SN(b—d ? -— — M:LEN3U ^? m. rs "Mp M E aonpN) et pro corpore IN / 3 la— 0. E e; mu HUI; din em EE cu p iterum vt Tuin imprimis animad- - verti conuenit, fi omnis frictio euanuerit | ob à— o; omnes hos quinque cafüs "ad perfe&üm coufenfum reduci , ita vt celeritates poft confli&tum: eosdem va- lores obtineant ,.. qni in cafü primo- fünt *.expreffi , guae determinationes conueniunt cum; iis, quae vul- go ex fula motus rcfolutione. pro: collifione obliqua huiusmodi - ; cerporum .deduci folent , 'omnis -igitur diuerfitas in. noftris cafibus a fola frjeyone pro- fidfcitur. | | 16. In omnibus st QU dde iit: " celerita- tes. ecupguip- directionem; confli&us..A B, quae funt P! et $', prorfus inter fe conueniunt, iisque propter- €a nulla mutatio. ob fridionem infertur. . Circa has celeritate: $. PEU imprimis. -notaffe, iuuabit fore: oti M! aedilis Msi- Us, isossiep. stil 1 prorfus xti. M «motus —poftalat.. Pesca vero notatu. dignum. hic occurrit €ffe- femper E -— TES ILYPUM ES ex quibus duabus proprietatibus queis liaec ma- xime focmsgalis, fgaodote 456 -f- 105: soo MPPU-NIJJ-MPEMLNgZ qua » n? "T "UDE. COLLISIONE qua conferuatio virium viuaram continetur , fi enim ad quadratum prioris aequationis. quadratum — alte- rius in MN du&um addatur et fumma per. .M 4- IN diuidatur , haec ipfa formula. refu]tat. 17. Quod vero ad celeritates z/ et 7/ attinet , omnes cafüs in hoc conueniunt , vt fit Mu--N»y5-—Mm--Nn^, qua couferuatio motus indicatur, foc autem oco circa vires viuas nihil concluditur: Etfi enim ex primo cafu oritur | Mm u--Nmaumnu- Mum-A-Nnn, tamen ex reliquis longe alius valor eruitur , ita vt .hic vires :wiuae locum non habeant. 138. Ratione motus gyratorii autem , omnes quinque cáfus im hoc conueniunt , quod fit «May --8Névf—aMay- GNDY, deinde vero fi ifte motus cum laterali conferatur , omnibus cafibus fequentes quogue proprietates con- veniunt : m—oaapyl—m- ea, fiue m —m-aa(y!—g), et t£ — n — b (/ — y). 19. Excmpli loco, ftatüamus iterum corporis N maffam quafi infinitam, cuins centrum ante con- fli&um quieuerit , folo motu gyratorio ei relicto celeritate angulari — v, pro alteto autem corpore M ante confli&um fuerit m — o et x — o, quibus po- fitis habebimus cafum quartum , ob q—0 et 5—0, -fi. fuerit | by 4 2 (1 3- 30, quo cafu. crit yó —— 7" (a2)? at, CORPORVM PENDVLORVM, 329 at fi fuerit by 4 2(1-2-1)9 sj tunc cafus quintus locum habet , confequenter pro cafü quarto corpus M poft rolli&onem — his. feretur celeritatibus by ]P-—-bj m! — 4d- ER ? Eden pro cafu autem quinto, hae celeritates erunt / C ME ». l —À . l — 218p j'—p;m-sóp; pt alterum autem corpus N, motum fuum conferuat. III. Colli&ío corporum non perfecte elafíticorum. 20. Ex binis praecedentibus corporum generi- bus ficile poffümus deducere, regulas pro collifione corporum non perfecte ENIMS , ln quibus fcili- cet imprefüones fibi inuicem inductae non penitus reflituuntur, Quoniam igitur tantum €x parte re- ftituuntur , denotet littera e eam partem , quae actu reftituitur, ita vt fi fuerit c — o , corpora omni elafticitate deflituantur , fin autem fit e — 1 , cor- pora habeantur perfecte elaftica ; vnde intelligitur fra&ionem e gradum elafticitatis commode exprime- re, quo. pofito fi ante conflictum omnia manent eadem , vt füpra fünt conftituta , regulae collifionis per quinque caíus diftributae fequenti modo fe ha- bebunt, Cafus Primus. quo z4-aMv zcn-- br. "Tom. XVII. Nou. Comm. Tt Hoc $30 DE COLLISIONE Hoc cafü poft collifionem erit T ene M pro TEC vero N 4! — EPEEQ-EEn 9 3 LN Cafus Secundus. . quo A--apM f 4--by et m--apentby (1-9 ^($—4) ponatur ergo m-r4 p. —mn-r-by4- y (x 4-€)^(p—4) ita, vt 'y fit fracio vnitate minor. Pro hoc ergo cafü , poft collifionem habebimus j/—trENM IO; n! —1n-—- (x o9; — uy —(1s-9Yy89N(b—q4) M — We «&a(M--Nj pro corpore autem N | —— M p-4-Na-r-tM(5— q) i 2X Yy9$ M(p—q4) d uu UMWQGGNUTU b ftem na O97 —M4N y —y- (i-i). 2e—9- BeUMA-NY Cafus Tertius. quo m--ak$endby--acr9ga(p-2o. Pro hoc caíu poft confli&ionem erit pro corpore M pec Nq—tN(p— I— Ww — N (p— 2) pres Sese Nar a ipd 5 ni — m Cree) ong. — Wy —í(x A GNI Eu —- (i e) 9. & a( M A4- N) n! —net y! —y s. corpore N —M N M(p — TAROT M(b—4) g —Xr-F! dE (pc: n —anp(rqi)o y —y-r (a 69. M(p—2a) abcr EH CORPORVM PENDVLORV M. '33I Cafus Quartus. - quo zy nage, at ti--by m-2-a y (1--)^(9— 4); ponatur ergo n-- bv m-r-ay.A- (1 4-9) Y ^ (5— 2); ita vt fit 'y fra&io vnitate minor. ; Hoc cafu poft collifionem erit pro corpore M p—Hexr-m 9-2; "Mm EM-r-N p— yere) y 3. iS pro corpore vero IN pL SMS n! —n-—(1 1c) y 9. NE ed y —y-—(-roY9. src Cafus Quintus. quo n4-byz apr (14-9^(5—4) Pro hoc cafu poft collifionem habemus pro corpore M, iN EN PERDU 1 cx À N (5 —29 p LEDETACTA 02 s om!z- gu (x46) d eeIN Ie ju NOD) í MUN VO OB PETENS pro corpore N . —HM p --N4 Mp —. LET g'zz P2 ls- s (b —4) ; nl— 1—(14-5 9. rs ia M (p— y —y— Ts L ; à. mea 21. Hic iterum ambae celeritates 9! et 4! per omnes quinque cafus eosdem retinent valores, at- que etiamnunc quantitas motus eadem conferuatur, quum fit 5 | ife: Tt2 Mp $5? DE COLLISIONE CORP. PENDVL, M! -- Ng .— Mp -4- N q. pw autem ad vires viuas attinet , quoniam hic fit —p' —t(p— q), fi 3 quadratum illius aequationis addamus huius quadratum per M N multiplicatum , et per M-EN, diuidamus, refultat fequens aequatio ; Mp Neq —Mpp-- Nqq -( —66, 8. (p— qy' ex qua patet, fummam virium viuarum poft colli- fionem femper minorem effe, quam ante, nifi fit .£-z1 et iacturam aequari CURIE mds da 22. Praetereà pro omnibus quinque cafibus iterum erit Mm--Nizr-Mmw--Nn, tum vero etiam aMay -a-8N2vy—aMzyk--8Nbv, denique etiam hae proprietates omnibus fünt com- munes, vt fit n-—-m-aa(wW-—y)et n —n —Qb(y —y) atque adeo hae proprietates femper valent , fiue cor- pora fint elaftica , fiue fecus, quoniam in his for- mulis non folum littera à, fed etiam littera e ex :calculo eft egreffa, 2ngemec3mecomeqemecemcee oe eco amen e MER RR RE TUAM RU. S seme quet DE (o) 833 DE VERA ATAVTOCHRONA IN FLVIDO. Auctore LE En bolts. (Q* hactenus de tautochronis im medio refiften- .te ingenti ftudio funt prolata, non tam -ob vfum practicum omni laude digna funt aeftimanda, fed vires ingenii , quibus fcientia plurimum locuple- tari folet , non mediocriter exercuerunt. — Primum enim in rerum matura vix alia refiftentiae lex re- peritur, nifi quae quadrato velocitatis fit proportio- nalis ; tum — vero etiam in hac ipía refiftentiae hy- pothefi curua tautochrona a Geometris a(fignata nul- lum plane vfüm in praxi habere poteft; propterea quod. afcenfüs et defcenfuüs corporis peculiares et di- verfas curuas ad tautochronismum requirunt; etiam- fi enim hae duae curuae coniungantur et ofcillatio- nes in curua defcenfüum incipientes aequalibus ab- foluantur temporibus ; tamen ofcillationes fequentes , quae in tautochrona afcenfus effent incepturae , tau- tochronismi proprietate erunt deítitutae, — Quemad- modum autem huic incommodo occurri poffet, ia Opere mio mechanico fummo ftudio inueftigaui, neque tamen optatum ícopum mihi attingere licuit , nifi eo cafu; quo refiflentia: fuerit quam . minima 5 Tt 3 neque Tab. IV. neque vero quisquam ab eo «tempore feliciori fuc- ceffu in hoc negotio elaborauiffe videtur. Ob tan- tas igitur difficultates operae pretium erit, praeci- pua momenta, quibus haec inueftigatio innititur , perfpicue expofuiffe , cum nullum fit dubium ; quin analyfis infignia incrementa fit acceptura , fi cui ar- duum hoc negotium expedire contigerit. Fundamen- tum huius inueftigationis fine dubio ex eo proble- mate repeti oportet , quo pro data curua quacun- que , fuper qua corpus defcenfüs fuos abíoluat , in- veni curuam iungendam afcenfui deftinatam ,- ita , .vt quilibet defcenfus cum aícenfu fequente dato tem- pore abfoluatur. ^ Nuuc enim totum negotium €o reducitur , .vt cafus quaeratur, quo curua aícenfus pfi curuae deícenfus fimilis euadat et aequalis; fic enim omnes plaue ofcillationes fiue in hac fiue in altera curua incipiant , neceffario erunt i(ochronae; -atque hanc demum curuam licebit veram tautochro- ;am in fluido adpellari. Quomodo igitur huius -quaeftionis folutionem tentari conueniat, hic adcura- tius fum .examinaturus, $1. Repraefentetur igitur ifta curua in f Fig. $. gura annexa, quae circa axem verticalem OA duos Tamos habeat. fimiles et aequales O E et Oe et fu- qnamüs. corpus ex E defcenfum inchoaffe, in altero autem ramo iterum aícendere vsque ad e, ita, vt tempus totius ofcillationis per arrum E Oe femper eiusdem quantitatis effe dcbeat , vbicunque deícenfus Ápcepcrit, 9tD9f lb. $ 2. TAVTOCHRONA IN FLVIDO. 335 .$..». lam vtrumque motum tam afcenfüus quam defcenfüs feorfim perpendamus ac primo qui-' dem pro defcenfü vocetur abíciffa. O x — x et -arcus Q 5 — S; celeritas autem in punco.S debita fit al- P titudini V, ac prc motus. hanc praeberit 3e-,. quationem- dV ——dX-rcV4S fiue dV. — eV dicond X quae in e—*" ducta et integrata dabit e" 5Vy-—C—fe-*54X quod poftremum integrale ita capiatür; vt if pun- &o infimo O, vbi et x — o et S — o, euanefcat ; pro. conftante autem inuenta C flatuamus corporis celeritatem in punto infimo O debitam effe altitu- dini £, factoque S — o et V — &, elicitur €onftans C-£, ficque habebimus po TET V-—eé5(k—fe-*5d X). $. s. Eodem modo euoluamus motum afcen- fus, pro quo fit abfciffa O x — x et arcus Os— s. et altitudo celeritati in 5. debita — v; quo [ERO aequatio motum exprimens erit do-——dx-—cvods fiuu v--cv d: — —d x quae per &^* multiplicata et integrata dat é&'o—C-—étdg : quod poftremum integrale etiam euanefcat in ipfo. derat O et quia hic altitudo celeritati debita ct- iamnum 336 DUBIESN ERG iamnum ei bs fco Y emat c. selligivur disi k ,2Jt4 ; vt fit pro aícenfü 9 —e-* (k-— f. "IPP $. 4. Definita vtraque celeritate confideremus etiam tempora, quibus arcus O S et/O s abífoluun- . tur ct quia ipíae celeritates. per V V et Y v expri-- munbtur, erit pro defeenfir tempus per arcum p dS E. dS Yon e- ua) 74 V. (ef eda)? ita füumendum , . vt euanefcat , . facto S —. 02... Pro.. afcenfu autem erit fimili pode temps pa O s es CIA I gr eas ^yu-crpeéngm | quod integrale etiam in nihilum abire debet, facte flo, $. 5. Prior harum formularum integralium exprimet tempus totius defcenfus per arcum EO, fi peracta integratione flatuatur G [i AERE; tempus autem aícenfus per totum arcum Oe ex formula pofteriore elicitur , fi poft integrationem fiat f etd iba quocirca efficiendum eft; vt liaec. duo tempora iun- &im. fümta quantitati confianti fiant^ aequalia ; in gu autem neutiquam ingredi debet quantitas £, quippe TAVTOGHRONA 1N FLVIDO. $31 quippe quae pro diuerfis ofcillat:onibus diueríos for. titur valores, | $. 6. Quoaiam híc bimse variábiles de CL X perinde ac S et s nullo modo a fe inuicem pendent; quoniam in figura punctum ; reípectu S. nulla re- latione definitur ; nobis liberam relinquitur , certam quandam relationem inter haec bina puncta s et S fiabilire ; ad noftrum autem — inftitutum | conuenit fiatui | V A adu fic enim tam in ipfo puncto O, vbi vtraque for- mula euanefcit;, quam pro termiuis S et 5, vbi vtra- que formula fieri deber — k, conditio motus imple- tur. Denotemus autem hunc ytriusque formulae va- lorem littera — z ficque habebimus uud Xa, daactedxct n^ ug: - $7. Hoc facto tempus per ytrumque arcum OS et or iunctim fümtum erit | I ei. cS cs posae ai 4S gta i apt. vf T OT IS YG-m Y gom Wü-3 cuius integralis valor and & — k debet effe quan- titas conflans, non pendens 4 k, quae proprietas cum huic Vid conueniat a. dz Yy(z(k—z) quippe quàe abit in & 7, quare f huic formulae cones Msg: flatuámus , adipifcimur OUT ET P PES PES Tem. XVII Nou. Comm. V y et 338 DE VERA et integrando vbi conflante addenja non eft opus, quia cafu , quo S —o et 5— o, fponte fit z— o; ficque. obtinui- mus hanc formulam fatis concinpam cS es —6 *-d-£6 -laeYm $. $. Cónditiones igitur , quibus fatisfieri opor- tere hactenus mpenteusy fequentibus irpnd; con- tinentur : [. "ds —£5dz IL'gu—tTUd x ARBIENE!: IIL-. —e..*;etIecY-s quibus facile infinitis modis fatisfieri! poteft, atque adeo hinc clare intelligitur , quomodo fi curua pro de'cenfu O E, vtcunque fuerit data, inde curua pro afcenfu. O e definiri pofüt ; quod quidem problema in opere citato fufius fum períccutus. $. 9. Nunc autem potiffimum praecipua. con- ditio ad inftitutum noftrum pertinens cft expenden- da, qua poftulatur, vt curua Oe proríus fimilis et aequalis prodeat curuae O F. — Ad hoc autem neceffa eft, vt elementum 4 X eodem prorfus mo- do per arcum O S cum fuo elemento 2S determi- netur ,. quo elementum 4 x per arcum refpondentem O ; cum füo elemento d 5; fcilicet fi ftatuamus .— dX -——d»AE 8 quoque | TAVTOCHRONA IN FLVIDO. 339 uoque effe debet EU dux cds s «dum chara&er ^ vtrinque denotat fünctionem eius- dem indolis. | Hac ergo conditione principali intro- ducta fequentibus aequationibus fatisfieri oportebit : 2 E343. A: S zo eSdz Vii AL duró acum. de 0—€S c $ , Mila jet—at Y s "His ergo tribus aequationibus folutio huius quaeftio- nis. difficillimae continetur , et G-ometrae , qui hunc laborem fuícipere voluerint ;. plurimum certe prae- fütiffe erunt cenfendi , fi his conditionibus fatisfa- ciendi methodum inuencerint. 6. 16. Quo vim iflarum formularum melius -perfpiciamus , confideremus cafüm , quo vel ipfum fluidum eft rarifimum vel totus arcus vna ofcilla- tione confectus quafi infinite. parüus , quandoquidem motus afícenfus et defcenfus inter fe erunt fimiles et aequales , tum autem. pro. dcfcen(u. erit P ZES: 27i Ien€uS 1—e lizuMey 5 et e * —1—3iacVz hoc enim /modo tertiae aequationi manifefle fatisfit, lam pro prima aequatione , quum fit ex es vibe eS Ya (e *)yme(i-e- t4 € x ; 41M j i Z1 TEE ' m rg »ponendo. 2. — a, erit a—aa(— 2€ A CN Mise v Y 2 | et 849 DE VERA cS , et du-caadS(e nu PU REM d X, cS 4deoque babebitur 4'X — aa rd S (e ut —1). quae eft aequatio pro arcu vds. pr . Pro. TS autem quum fit Ya—a(e s * — 1) erit Que - pst du 1) et dz —aacds (eet Mn MPorcopua Adeoque dx—aacds(x—e *), — "d ul quae duae aequationes vfique conueniunt cafü, quo wel S fiue 5, vel c eft infinite paruum , tum M fit - nes vo, CONI ^j (4 f-rzMSetai-e |—-rier, ita vt oriatur: dX-—228$4$8 et ds tits; icgne vtraque aequatio eandem curuam exprimit. $. 11. Generatim antem güktiitam Botafle in- vabit ; binas aequationes inuentas lege continuitatis inter fe cohaerere , fi enim in priori loco S fcriba- "ur — $ et -1- x loco X deut abit in lon aed dx-aacdS(x phia 3), quae eft ipfa altera aequatio, vnde patet curuam afcepfus reuera effe continuationem curuae defcenfus , eademque aequationc pum , etiamfi ambo rari non P bt H TAVTOCHRONA IN FLVIDO. . 54: yon fueriot inter fe aequales; .Hoc ca(u perpenfo in . genere colligimus ftatui debere LUER A | J 4 EE EE €, Aia fic enim quoque tertiae . noflrae aequationi fatisfit » et nunc bina tempora deícenfus et aícenfüs non am- plius funt aequalia. "Tenendum autem eft, quanti- tatem .y pro puncto infimo O in vnitatem abire debere , quoniam hoc loco quantitas z euanefcit , ex- ponentialia autem abeunt in wnitatem. ^. Hinc iam pro defcenfu ob Wo: Ario] PET WAT 0-—S Yzca(y-6. *) ct z— isi A ed y : habebimus | ^ myiiub.c- t8 " | daz-2addy(y—e *)2-aacdS(ye |? —e-*5) vnde pro curua deducitur 1 aequatio dXz-2aady(J erg )veaedS(ye* E A Eodem modo pro a(cenfü , quum fit - Y z—a(e* D y) ideoque . à ax ; xzcaa(eto aye m --2». differentiando nancifcimur dz—aacds(e**5-y6* 2)-s«ady(e* a iJ) aie. [2 TUNE fit - rit 3 4— . " "dx-aucds(s —6 S jiiewadyte ; —ye-7*)), I VvY3 quae ^ [i 342 DE VERA .quae aequatio ex praecedente refültat , fi loco X fcribatur x et — * loco S dum quantitas y eundem retinct valorem , ex quo etiamnunc intelligimus cur- vam aícenfus cum curua deícenfus «effe continuam , dummodo y fuerit functio par ipfius S, quae fcili- cet wine maneat, etiamfi arcus S negatiue capiatur, $ r8. Nunc igitur quaeflio huc redit, cuius- modi functio par ipfius S pro y accipi debeat, vt aequatio pro afcenfü inter x et 5, cum aequatione inter X et S plane conueniat. Attendenti autem ftatim perfpicuum erit, hoc euenire, fi X aequetur functio- ni pari arcus S, vnde fequitur d X aequari elemen- to 4S in fun&ioneni imparem ipfius S du&o. Hoc obferuato alterutram harum | duarum, aequationum confileraffe fufficiet , quam ita comparatam effe opor- tet, vt fi arcus S vel 5 negatiue accipiatur manen- te y inuariato, eadem aequatio refultare debeat , confideremus igitur aequationem pofteriorem; cana cs 3 dx—aacds(x -y& ?)—aaady(e fly) quae fumto ; negatiue abit in hanc r* Js ! Jess i dxccaacds(yg * -1)* 2aady(ye**—e 3 quae duae aequationes vt inter fe congruant , ne» ceffe. eft, vt fit ag dirt e- aue wor €.) 46) s [2 E te. 3) —2cdszo vbi TAVTOCHRONA DE FLVIDO. 343 wbi fingula membra inuoluunt functiones impares ipüus s, quandoquidem ,y eft functio par. Nam quum fit per feriem etin € $ e es aluet s 5* etc. et 2-7 —,. 60, Lo p—ic ier -—mrusCJ etes erit vtique eu —e(tzocpd-i€ 8-4. 2636 quae manifefto eft fundio impar, quod etiam de cs cs put owns yalet , fimul autem hinc perfpicitur formulam . fore fun&ionem parem. $. 13. Huc ergo ardua noftra quaeftio eft per» duca, vt ex poftrema. illa aequatione valor. quanti- tatis y eruatur, quippe quem iam nouimus fore fun- étionem parem ipfius s. - Ac primo quidem- vt. ex- ponentialia elidamus , ftatuamus s€4 in) ocebl ita vt p fit. fün&io impar ipfius. f, ac vicifim 4 "m ipfius p, hinc autem elicimus: ^"zYa--pp--p s & 3 —Y(xa-sp-p MAY dE dd ad gk.6d 3 — qu EIL de 7^ | his lis autém valoribus fabftitutis — iq induet. lianc foripam : 2jdy. Y (4-2) p4y ydp E IUesEpe yn $. r4. Vt hanc aequationem etiam ab irratio- nalibus liberemüs , flatuamus J —jrimerT vbi r debet £t fün&io par ipfias 5, vt fit dui deop.,1u P4dp Q. dy RIA (2 pp: et facta multiplicatione per (1 -- ppy'* - inc impetramus aequationem : 2rdrp(v pp) -pdr(a- pp) -arpap £rdp(x 4 opp) - dp(X -- 5p)z- o. Quia nouimus cafu f — o fieri deberé 7£-—— r, ftr- tUamuüs r-- 1 4-4, ita vt 4 fit fun&io par ipfius p eüanefceds cafu p— o atque hinc perueniemus ad iftàm dequationem : 2gdq pip) pdt) 24 P dp--adi(x — 2pp)-ppdpo;. Tentanti binc facile patebit, pro littera 4 nullam: poteftatem fimplicem ipfius p fatisfacere poffe, vnde concludere debemus, valorem ipfius 4 vix aliter nifi per feriem infinitam exprimi poffe, appa ph | namus : T q rd y ad 4- B? -- C7--Dp'-4-ete vnde fit | 11 —2A5-4-4Bp' 4-6Cp^ -- 8Dp A- etc. porro TAVTOCHARONA IN FLVIDO. — 34$ porro q — A'p'--2 ABp 4L (6AC-E Pp! --- etc. et 1245— 4 A' E12 ABp"- C 802 A C-p- Bc etc, qui valores fübflituantur vt fequitur : Jitfrenosa »eietph odo: e 4A' 12 AB-H-8(2AC-- B) PE M TiiAB H- 2 AH- r4B LeC.l:5sD |[E2A R4B 6C 13 pr pp) — bis (-- p) — 224p 2A lLeABS Oo 44(i—2pp—H.A LB C n ab IA VDTUIUEC EP IL ni $ 3:5. Singulas igitur columnas ad nihilum redigentes reperiemus fequeotes aequationes: . l. 34^—1—0; ficque A—; I], 4A -5B—0;. et .B—- Ul-i | li 2A'-12AB42 B4-7C-6; hinc C—-F4 IV. 16.AC4-8B' F8AB-r 4C 9D-6; pccum ex quo valores T" 4 E hM T. colligimus fcquentes : r—i--ip-sapt 7 "99b. quo inuento habemus y — 7755» vbi recordemur efie . Tom. XVII. Nou. Comm. Xxx Be L LI 346 "^ DE VERA es cs : '€s m Pli cdit be et Y(1 p) XEM SE 2, 2, ; ita vt nunc quantitas. y nobis iam fatis exaéte t explorata , quum. enim in praxi nonnifi oícillatio-- nés [íatis paruae admitti foleant ideoque arcum $ perpetuo tauquam fatis paruum fpectare liceat, va- Tor inuentus: ysque ad. o&auam poteftatem. ipfius y exactus , praxi omnino Dd eft fniigduss quum fit ; —icg-4 Ep es 26456 c5 * 2s 2« 4e Ó Be Xb Supra autém vidimus, TU ES vicitlim formu- lae arcum 5 inuoluentes E p detérminentur , erat Kilicet | "Sv G-ebp-epe 6 v (pp -p Fckiapiaphg Eum viaa irn FERIIS LÉLY(r-cpprpetéd:— EO. "s 16. Quodfi nunc quantitatem J. pro cogni- ta habeamus, videamus, quomodo ipfa aequatio tauto- chronae exprimatur , quoniam pro 4 x Kos in- venimus aequationem A4 | — E ipa TIS: -dxzaaeds(amy.e ^ cs cs dx—Aaacds( y. n *—1)4 24ady(. emi) : quarum prior a pofteriori fübtracta nobis fuppedita-. vit válorem ipfius y:-nünc has duas aequationes à in, vicem addamus, vi prodeat c- x 2dx -"TAVTOCHRONA IN. FLVILO.: | 347 C8. cs : 2dy—24a(254j. [civis s ai n dig *ae 1) -baacy dio fe 7) juae aequatio, fi loco j etiam noftra. variabilis f in- troducatur , AD e d Missta url rbi dy a 52)3- T fiue ^ ; : EE bYG-dn-- 2288. | quae ergo eft aequatio. pro vera curua. Vepinctune guam quaefiuimus. . ; $. 17. Hoc modo BUE hafirudit pen; iet proximationem xefoluimus, fin autem wti in analy-. fi füblimiori operationes algebrae communis pro con«: ceffis haberi folent, ita refolutionem | aequationum differentialinm primi gradus nobis tamquam conces- fim fpectare- liceat , folutio noftri problematis ita concinne expedietur. Quaeratur. quantitas variabilis JN ex hac differentiali. primi gradus : Peri tog es —t5 d : 46s P ud cs. 27dy(e*—e—)—2dy(& —-e *)cyds(e NU n —2c0d$-z0, integratione ita inflituta, vt pofito $—0, fiat y — x, quo facto aequatio pro tauto- abge quaefita inter abíciffam X et arcum ita ex- BEUOCHUEA el obibat da us .. dde cisdiad eie as m —*! 4TRO- bdx-oydy(e^-pe7)-2dy(e *-Fe *)4-eyds(e *?-e :) vnde per operationes notiffimas conflructio curuae confici poterit. am Xx 2 $. 12. 348 DE VERA TAVTOCHRONA IN FLVIDO. $. 18. Haec ipf autem folutio merito non pirum fuüfpe&a videri pcteft, quoniam ratiocinia, quibus innititur, plena perfpicuitate carent , quamob- rem Geometrae eo magis funt excitandi , vt arduae huius quaeftionis dignitate impulfi vires füas in eius folutione exercere velint ; equidem lubens fiteor me omnem hactenus operam in hoc negotio fruflra con- fumfiffe ,. interim tamen folutio hic in medium al- lata , etiamfi fit errorea , tamen ratione ipfius ana- lyfeos attentione non indigna eft vifa , caeterum hoc. ipfum Problema in Mechanicae meae Volumine 1]? pro cafü quo fluidum eft rarifhmum , iam rite 'fo- lutum. dedi — Solutio autem ibi data ad praefentes denominationes translata pro vera tautochrona lune aequationem 'praebuerat : | dx-cacds(cr-- 265), quae ad vfum pracicum proríus eft fufficiens ; quin etiam fi fluidum non fuerit admodum rarum, dum- modo ofcillationes admittantur fatis paruae, eadem folutio valebit. Nihilo vero minus folutionem com- pletam merito defideramus el 23532 C o ) (ree 919 D E TAVTOCHRONA IN MEDIO: RARISSIMO , QVOD RESISTIT :; AN RATIONE MVLTIPLICATA. QVA- CVNQVE CELERITATIS. Auctorc - : Lb/OEOESDOESR3QDS 4 sintionen * "y un 3 Ee huius quaeftionis iam im Mechanicae meae Volumine fecundo plenam dedi folutio- Bem , nemo tamen eorum, qui hoc argumentum de- inceps pertractirunt ac penitus exhaufiffe ^ videntur , eandent inuefligationem | eft. aggreffüs ,, etiamfi hinc via tutifüüima parari videatur. ad. eiusmodi — media, quorum refiftentia poteftati cuicunque celeritatis fue- rit proportionalis | Quare ne haec materia obliuioni tradater , am hic denuo retractare vifum eft, idque co magis, quod. nunc methodum faciliorem fum ex- hibiturus. 1. Sit igitur A S C huiusmodi Tautochrona fi- Tab. IV, ve afcenfus, fiue deícenfas , namque modo oftenfum Fig. €. eft eundem calculum ad vtrumque cafum accomrrio- dari poffe, fitque A punéum infímum, et C ter- minus (iue afcenfus, fiue defcenfus, cuius eleuatio füper terminum imum A in axe verticali fit Ak—k, ita vt totum tempus per arcum AC requiratur €onftadtis quantitatis. pro omnibus valoribus litterae k. AH Xx3 2. Tum 350 DE TAVTOCHRONA 2. Tum vero pro 'punco indefinito S, voce- tur abfciffa A.X —— Y. (eto arcus AS s, celeritas porro in^ S Vocetür — u et tempüs, quo arcus AS ábfoluitur — £, ita vt fit 2 — f/4*. . Porra ' denotet w^" eam. celeritatis poteftatem, cui. refiflentia fit; pro- portionalis , atque pro motus determinatione habebi- tur huiusmodi aequatio: : 2uduc-—adx-e-«-»uw'"ds denotante A eunr coefficientem: minimum, quo actio refiflentiae determinatur, huiusque litterae A valor pofitiuus ad defceníüm , negatiuus ARtEPA ad "agens fum referetur. AC .$. Tam. cum neglecta reli n binc. scc oHm 4 (k — TR | i1 Oi; 8 en pofito x—k, celeritas in "—— I 'eua- nefcere debet, pro cafu efiientiaé dde hane aie : Ji yia a) AEN QAM Re ESU quae feries vtique maxime. erit ,conuérgeus ob p quantitatem quam minimam , atque adeo füfficere e, ^ poffet folam litteram P .in alculume introduxiffe . " j^ p interim tamen hic operae pretium erit, noftram in- veftigationem . etiam ad , maiorem. praecifionis. $5 düm. profequi. Hiuc autem, ,porro , colligitur. dud. 3x7 (e- AP na" (k- Me Q4X na*— (k- ra "UR LLA dnd cs: Eigene ol IBN n(n- vat xyPQ 2811 | P50 1/021. (rh E A omonilandaoeisy endismo NI hs 7 - E bs low EP 6x A His IN MEDIO RARISSIMO. 551 His igitur valoribus ; in qois noftra cedi fit rij we Pt vnl visa aR etc. cz PU rdpe na"-' (k— tel. sono 2pN'na" (b x7 Qds (pna? yas —ay P df ideoque |.|.-. juo , P y(k- "P Qin — (k- —— T—À d Q—n.a7 f (&— —xJ-' P475 R—.a'- Jf(k- -xj-'Od? ! Eie d ie -X) -* P'ds. 4. Valores autem haruin* mun P, Q;R per integrationem ira determinari oportet, vt eua-' nefcant pofito x — k, id . quod. ideo. eft- neceffe , :vt celeritas ia termino € euanefcat. Manifeftum igitur eft, 1(tas litteras. fa&orem: effe. habitüras;(& — x) -veb adeo eius quandam poteftatem - altiorem . quam : fet quente ratiocinio cognuofcere licebit. | - Sit: (E Dy maxima pote(tas ,: quam - littera P: inuoluit, ita : v Ld fractio (E— xy non amplius per & — x fit . diuifibi- - lis, feu quod eodem redit, quae pofito x — &- non' amplius euanefcat. Quoniam aufem iftius fractionis, tam numerator P, quam denominator (k — xf eua- nefcit faco x-—k, fecundum reguldin notiffimam^ eius valor pro hoc cafü eruetur , fr tàm- numerator, quam denominator feorfim diffcrentientur js jeficquei [rm fü x — k haec fractio erit ; yYoley - rridl - dP k-X "d LX gi H -— — 2-( -Xfd: » —-— E, a (k sisi aga ELE TW RSS (k-xy^— Sd i quae $52 ^ Dk TAViOCHRONA quae fiacdio vt fa&o x — L fit finita , neceffe. eft, fit mcit- ideoque e — n -1- 1. Nam quia ra- .tio ii non ivuoluit k, hinc noftra condufio non turbatur , quocirca efficimus quantitatem. P inuolne- re factorem (—xyt. 5. Eodem modo ratiocinium círca litteram. Q. inftituamus , cuius maximus factor itidem. fit (k- 3, et cafu x — & quoque. erit "Ef Q. sj 4Q q—'(p- k— Xy "Pd: (E—3* — —e4d: —edx(k- E *«— (-édx(k—xy-7 : quae forma ob gU :* pj, P-(-2) e; P! abit in m te ica umm quae ergo vt fado x-— k prodeat finita neceffe eft, fit e— 2n-r- 1, ita vt littera Q certe fa&orem fit habitura (k — xy ^7'. Eodem modo iudicium cir- ca litteram: R. inflituetur , erit enim | ME 4R 41.8 gm. "(—x—-Qds (E73 — Teu MEET m cce "om n(ii—1) 2 a" t (k— k— xy a dx | M. son 0 f Lom ICT iila cuius expreffionis pars prior ob Qizntb at "rc; ' priáebet e —:— 37, fiue e—3 " -j- 1, quem eun- dem valorem quoque pars pofleror ob [^- (k- xe praebet ficque lex manifetla. eft ,^ fi quis vlterius p gredi voluerit, — - 6. In- IN-.MEDIO RARISSIMO. $53 .6. Inuentis autem his litteris P,:Q, R quum üt | uu—a(k—2)-2-X P 4-3 Q 4- ^R etc. huius poteftas exponentis — — à, praebebit I I MERIT aà0Q y o EVR 1 à —Ya(k-x) 'a k-3y" jdn a4 'égox EpovY RQ. *r s 4(k-xf — «(k-xY 1 AOP' : P can ergo quum fit 27 — 2*, pro elemento temporis fe- quentem .nancifcimur formulam: - d s i Mer , *Qds , XRds P qe mr ET z a P (- x a(k-xy a(k-x) XP E. QMP 4s d: * 5 ua a'(- rii a (k- xy X P'ds ; EC ak - xy cüius integrale quum exprimat tempus per AS— 5, ita debet capi, vt euanefcat pofito 5— 0o, vel x—0, quo facto fi ftatuatur x — &, obtinebitur tempus to- .tius fiue defcenfus fiue afcenfüs, quod ob tautochro» nismi indolem ita debet effe comparatum , vt quan- Tem. X VII. Nou. Comm, Yy titas 254 DE TAVTOCHRONA titas k inde proríus exulat atque adeo termini, vbi Occurreret ; fe mutuo deítruant. 7. Negl.Ga autem refiftentia, notum eft, huic indoli fatisfieri , fumendo - ; dX-dqxg m k x L tum enim primum membrum prodit E b d x dt E Y a y(kx—x«a)? cuius integrale eft 2v yx T Arc. (in. *7 pofito erzo x — k, colligitur totum tempus 2v5m —Tmyb Yea, a WA CU qi in quam expreifionem littera k non amplus ingre- ditur. Quodfíi erzo adm:ffa refiflentia effici potue- It, Vt totum tempus eidem formulae acqucetur , ac fequentia membra íe mutuo deftruant , negotium pe- nitus erit confeum, — — - 8. Quum füblata refiftentia inuenimus 4f-—dxy 2 quem valorem etiam in medio. refiftente propemo- dum valere certum eft, reuera fumamus effe. dscdxY b Apdx-i-X qdx-- A rdx-i- etc. quo valore fubftituto ,; elementum. tem | : poris fequenti- bus membris exprimetur E TP IN.MEDIO RARISSIMO. 355 Wr o Pe. NQnvE j NRI M dizYy*. "s s V(kx-xx) ^ a^ (k- -xy 2 (- AY ME xy Apdx Mcr ,NPQa V2. Füiiisn: duccecut Mi k- s T3 : "d va (kx) a (k-ay zd Pphdk "PdxV2 m. mnc a * (kx a! (k— LP A There : t Ax ede. -3). E. xy ATP pdx LEL — o. Hic praeter terminum primum | occurrunt membra fiue littera A fimpliciter , fiue eius quadra- to, fiue eius cubo aff:&a , totumque, negotium nunc huc redit , vt fingulorum horum. membrorum inte- gralia fado x — k, fe mutuo tollant pro quolibet ordine , quod quomodo praeftari queat, in ordine pri- mo ofteadamus, vbi efficiendum eft; vt Yye a. pofito 356 DE TAVTOCHRONA : s d pofito x — k, fiat —V-l ri Pm | a a) —x Quum autem fit P-—afk-xrfldáds, loco d's valore principali fubfituto d x Y , caete-. ris enim partibus haec formula ad ordines fequentes deuoluitur , pro: hoe ordine erit FEAZ "yip eg Quo autem iftae formulae pleniores reddantur , flatua- mus 4&—ce et x —z2z, fietque P-oseVbfdz(ec—s&y, quem valorem nouimus inuoluere factorem (ce-— $2)' fiue (c— z) t *. Quum: nunc efficiendum fit, vt px Ybr purs vb. pde EUIS Ld E c TN (k— xy V x (ee—- sx) Boc poftremum integrale itx reducatur (Ed E zP zdFP iqétaa df D cc V (£6— zz) "Fey Ge ux)' cuius membrum primurr fponte euauefcit ficto Z0 at fi in poíleriori ponatur x — k, fiue z — c, quo. niam IN MEDIO RARISSIMO. 3s7 niam P facorem habet (c — $)' * ",. id fato z— ec ueceffirio euanefcit, dummodo. fuerit 9 -- 1 $1 fiue H2» — iy femper autem affumi conuenit 2 -i- 12-2, quia aliae refiftentiae hypothefes forent. maxime ab- fürdae. — Hanc T rem nobis fupereft haec aequatio pda dx Lh udP q—b gude(cc n / Vik— X)- aec V(ce—zz)— €€ Y(e—az) idcoque iutegrando . pix : Ec mri Ve er) anm: /yü— EucEE ucapI (ee 2x) Mut bor. Fado igitur z—., pro toto tempore prodibit. dx 2 "m f Ad. REICH AE n6 C m X) 7 àn4a 10. Quantitatem igitur p ita deffoiti oportet vt'formolà f ,íLiE. imtegraus poüitoque x — k, pro- veniat eadem Susnus E 2 dd su I € "n-—1 b T | 2n--1 atque facile perfpicitur, pro p accipi TO Mo E poteflatem ipfius x, quandoquidetn A' imeffe" nequit Hünc in fuüemr ftàtuatur eiu B p — 9x" et adhibita fubtitutione k 25: ee et x5 za producitur etl. far 0x" dx My aad — qnm. Y(k— Cup "Y (O38) — t dHü3-1 fat nunc z — ev, ita vt poft brc» poni LE y — 1 et adipifcimur mo 2e 358 ^ DE TAVTOCHRONA qa --1go . $8 —————— — o0 7n T — g^ LL dM Y(1—vo) ^ eon-ai Hinc autem loco & penitus exulare debet littera c; quod cu:nit fumendo zz — 7 — 1, eritque nunc Qr gm AI. 0 dig p q*'—: JE bs T s C amit /: Ium vero formula "a ARR do pofito poít integrationem v — r, praebet certum numerum abfolutum , quem littera N indicemus , ita vt nuuc etiam coefficientem confequamur qiu. 0 Dn MÀ n t. (2 m-p- 1j uN ir. Inuenüs igitur litteris 0 et 21, prodit lit- ficque. pro primo ordine approximationis littera A fimpliciter affecto adepti fumus pro curua tautochro- na hanc aequationem Aa —'bx-udx w— D. T CL ETE Iii daa] N qua primus gradus noftroe approximat'onis conti- netur et quia medium. ratriffimum efle affumitur, in hoc gradu acquiefcere poterimus, — laterim tamen hinc fatis int-lligitur ? 3 ain fequeütem approxi- matio- IN :' MEDIO RARISSItMO. 359 mationis gradum , quadrato A A affe&um, expediti oporteat. ! 12. Hinc (i refiftentia ipfi celeritati fuerit pro- portionalis ideojue exponens 24 — x ct 7— i, ae- quatio pro Tautochrona hinc reperitur dr—dxwyb- ior diis ERE x Vx (22-2- 1) Na* qua aequatione | mauifefto cyclois. exprimitur , id quod ezregie conuenit. Sin autem refüiftlentia fequa- tur quadratum celeritatis erit 2 — ri et pro curua Tautochrona oritur RI NON ds—dxy - TWO id quod etiam. conuenit cum "Tautochrona pro hoc medio refiflente inu:n'a. 13. Totum ergo negotium hic redit ad in- ventionem numeri NN ex integratione formulae qui d 5] ; É py ai: ej E(i (HU deriuandi, poftquam fcilicet. pofitum füerit v — r, quare a cafibus fimpliciffimis inchoemus, — Ac rimo Lon fi fuerit 2 2 — 1 , prodit NZD zn Tum vero pro cafuü 25— 2 fit. N —IJamn vdv — -— 1. y (1 — vv) Pro aliis cafibus in fubfidium vocetur T reductio geaeralis :- Q*t*dqo.- ; Un y--1 v'do d Sad e x u$ Pyacwel- y3 2" rp 3g u- -v) quae . 560 DE TAVTOCHRONA quae cafü e — z, quo.opus habemus, pratbet Q'ut'gwe y 4- I v'do Íy(r-vs) "ya Y(x- v vj? vnde fequentem geminam tabellam valorum ipfius N deducimus : anzciN a -4N —x f SN E 3 4N—13 e 8N c... o6 DN —— 5$. f czn0dWom isi1dT $(N.— $$$ mg iu. Ge GEuo[N $555 At fi 27 non füerit numerus integer, numerus N aliter definiri nequit, nifi per quadraturas curuarum altiores. x4. lta ergo pro medio quocunque .raniíl- mo, cuius refiftentiz rationem quamcunque multipli- catam celeritatis fequitur, Tautochronae tam pro de- Ícenfü.quam- pro afcenfü fatis expedite funt affignatae , quatenus ícilicet prima approximatione fumus con- tenti. Verum haec adeo multo latius patent et Tau- tochronas inuenire licebit, fi refiftentia huiusmodi formula. exprimatur A u^" -- AN up ac M ie?" etc. vbi coefficientes A, A, A" quam minimi reputentur , fi enim exponentibus illis 2 s, 2 »!, 2 7 etc. quae- rantur numeri refpondentes N, N', N" acquisto pro curua Tautochrona defcenfus erit ( gd Neondub.ucda cdacmubaris wit d:—dxYt— —-— — ————4— (22 -- )N - (2 fi! -- 1) INI Al gba md IN MEDIO RARISSIMO. 561 famtis autem litteris A, A, A" negatiuis, haec ae- quatio Tautochronam afcenfus declarabit. 15, Circa illas autem "Tautochronas pro re- fifentiae hypothefibus fimplicibus notandum eft, ex Tautochrona defícenfus inueniri Tautochronam afcen- fus, fi à negatiuc capiatur, vnde fufficiet pro fingu- - lis hypothefibus Tautochronas defceníus affignaffe , quae dum motus hac aequatione exprimitur 2udu-—-—adx-r-Aw"'ds fequenti modo fe habebunt Pro refiftentia Au vbis-o tds Au vbin—: eda vb Mas Au vbi n2 de—dxVL —7 Abaxdx Av' vbi n—3 4ds—dxY? AT ap Aw vbi n— 4 - MrmdkYh- nilAba etc, Pro refi(tentia Au vbin-cci ye—dx Vi. —bdx T yax Au "bem ds—dxVh— REORUM 2« ^u xbin— : a s—dzYt NEVECRI 1r ]dg "t Au wbi d ds—dxVh ones AbaS:? x5: Au* vbi 8—2 4; MU Uie. ddl Aba? :257:3 Q — 541(347 T7 De etc. Tom. XVII. Nou. Comm. Zz DILV- 362 e32 (.0 ) $&9ee DILVCIDATIONES TAVTOCHRONISMO. Auctore L, ESFOLoE Ri. peus olim curuas Tautochronas in fluido, cu- ius refiftentia quadrato celeritatis proportionalis eft, poft plures irritos conatus clicuiffem | easque fummus Geometra beatae memoriae lobanses Bernoulli calculo füo quoque comprobaflet , totum hoc argu- mentum in Mechanicae meae Volumine fecundo fu- fius fum perfecutus et quoniam pro deíceníu et afcenfuü Tautochronae reperiuntur diuerfie ideoque ad praxin funt inutiles , plurimum operae impendi, vt curuas duabus partibus fimilibus conftantes inuefliga- rem, fuper quibus non quidem defcenfus vel afcen- fus feorfim forent ifochroni , fed potius integrae ofcillationes aequalibus temporibus abfoluerentur ,.quod autem negotium ob fümmas calculi difficultates. mi- hi non nifi pro fluidis rariffimis fuccefft , ita wt curua, quam ibi füm adeptus, maximo cum fructu loco cycloidis in praxi adhiberi poffe videatur , tum vero etiam pro aliis refillentiae. hypothefibus ; vel cubo, vel biquadrato vel alii cuicunque poteftati celeritatis proportionalibus fruflra tautochronas anqui- fiui, interim tamen pro cafibus, vbi hae refiftentiae fuerint DILVCIDAT. DE TAVTOCHRONISMO. 563 fuerint quam minimae, mihi licuit tautochronas tam pro deícentu , quam pro afcenfu affignare , neque vero deiaceps has inueftigationes vlterius fum profc- cutus, Deinde autem longo poft temporis interuallo infiguüis Gcometra Gallus Fontaine feliciffimo fucccs- fu per methodum ingeniofiffümam oftendit , meas Tautochronas pro refiflentia quadrato celeritatis pro- portionali etiamnunc locum habere, fi infuper refi- flentia ipfi. .celeritati. proportionalís acceffcrit , qua inueftigatione ardua ifla de Tautochronis quacfto plurimum eft illutrata. — Aliquot autem abhinc an- nis Viri Celeberrimi d' 4lembert et la Grange hanc quaeftionem denuo infigni ftudio funt agegreífi; quae- ftionem autem ipíam ita inuerterunt, vt non pro certa quadam refitentiae hypothefi in Tautochronas inquirerent , fed viciffim eiusmodi refiftentiae leges inue(tigarent , pro quibus ipfis Tautochronas exhibe- re liceret, neque tamen ipfis licuit pro vlla hypo- thefi (impliciori, qua refiftentia poteftati cuipiam celeritatis effet proportionalis , praeter rationem fim- plicem et duplicatam celeritatum | optatum fcopum attingere, — Interim tamen fummo. ardore corum Analyfin füm perfcrutatus et ingeniofiffima artificia, quibus font vfi, admiratus , calculis enim fübtiliffi- mis et maxime lübricis omnia fubt referca , vt non nifi fumma adhibita attentione. perfpici-queant ;. quae autem funt praeftitay mihi quidem fine tantis calculi tricis multo. faciliori negotio expediri poffe viden- tur, quam ob rem quae de hoc argumento fum Za | medi- "Tab. 1V. 7. defcenfüs fiue afcenfus; A P axis verticalis; A M Fig. 364. DILVCEIDATIONES meditatus ob rei dignitatem hic breuiter fum expo- fiturus. $6. 1. St AME curua , füper qua fiant fiue arcus quicunque —- 5; eique abíciffa refpondens AP —2x; ita, vt aequatio. inter x et s definiat naturam curuae. Tum vero fit celeritas corporis in M — 4, et tempus , quo arcus AM abfoluitur ,, — :, ita, vt femper habeatur d: — 25. lam fi corpus a fola grauitate vrgeretur ; haberetur vtique udu--—gdx;denotante gy quantitatem grauitatis. At fi corpus infuper patiatur refiflentiam quamcun- que , quae fit — R, quam in. genere fpectemus , vt functionem. quamcunque binarum variabilium 4 et x fiue 4 et 5, quandoquidem x ab s pendere concipi- tur; tum, vti conflat, pro motu deícenfus valebit haec aequatio ! uduc-c-gdx--Rdsrs pro motu autem afcenfas haec: uduc--—gdx—Rds Quodfi ergo. ipfa curua cum refiflentia detur, cele- ritatem 4 ex hac aequatione definiri oportebit. uwdu-c-—gdx-r-Rds vbi figaum füperius afcenfüm , inferius vero de- fcenfüm innuit, lnuenta autem celeritate tempus determinari debebit ex hac aequatione Z7 — $*. 6. 2. Sin autem viciffim ipfüm tempus 7 pro- ponatur ; functione quacunque binarum variabilium 4 ct $ DE TAVTOCHRONISMO. 365 uy et $ expreffüum ; tum ipfam curuam vua cum réfiftentia fequenti modo inuenire licebit: diffzren- tiata fcilicet forma pro tempore ? propofita prodeat dt-Mds-r-N4u, et quia 2; — ?^* habebitur ita aequatio Mdr-ENdu— 5 hincque i Sul qy, —-—— M L udu- SEL M quae forma cum lac udu--—gdx-r-Rds comparata praebet —gdx--Rdsciel Em, quae acquatio pofito g 2x — S 4 s denotante S fun- &ionem ipfius s abit in hanc —S-rR-— M euoluta enim firmüls ——, pars folam varidbilem 5 inmoluens aequetur ipfi — S, vnde deinceps natu- ra curuae definietur ; reliqua vero pars ambas varid- biles 4 et 5 continens ipfi -j- R aequalis ponatur ; hincque ipía refiflentia fiue pro defcenfu fiuc pro afcenfü innotefcet. $. 3. His praemiffis ipfum propofitum adgre- diamur ; quo curua A M tautochronismi proprietate gaudere requiritur , vbi ante omnía pérpendi opor- tet, cuiusmodi fünctio binarum variabilium 4 et s sumi debeat pro tempore 7, vt tempus totius fiue Zz9 deícen- 366 M. . DILVCIDATIONES: defcenfus fiue. a(cenfus obtineat quantitatem conftan- tem. Primum autem quia z indicat tempus, quo arcus indefinitus. À M. — 5. percurritur ; maiufeftum eft, hanc fun&ionem in nihilum abire debere , po- fit arcu £-— o, qui eft vnus terminus fiue deu. fus fiue aícénfus. totius ; -alter autcm -términus ibi exiftit , vbi celeritas corporis z fir nulla; quaré cum tempus inter hos terminos interceptum dcbeat effe conftans, functio illa pro tempore affumenda: pofito 4 — o iu quantitatem conflantem abire debet, qui- bus duabus conditionibus iunctis tempus. 7 A C functione ipfarum y et .s* eft exprimendum ; quae fücto s — o euanefcat ; facto autem 4 — o abeat in quantitatem confianteng. pür S oan Quo. hoc clarius. reddamus , . fümamus. pro tempore 7 hanc formulam « Arc. tang. *5, quae formula vtique euanefcit fumto $ — o5 füumto autem u — 0 prodit a Arc. tang..co, fiue denotante. T peripheriam circuli , cuius diameter — r. Hinc autem fit E Ne J'L. QN di dtc EN GP vnde pro formula noftra generali di—Mds--Ndu fi j pm «Nu [vh à eii €NSiL M LUE C et N— un? -N?Ss? hincque dcnique ij gene) oco ao «NS Bic DE'TAVTOCHRONISMO. 63 hic pars a- fola variabili 5 pendens — ** praebet - LS. Altera vero pars dat DU —a x N) — hem — "BONA d ita x VE refiflentia fit direde vt EUadranith celerita- tis , inuerfe autem vt ipfe arcus 5; at fi capiatur TID haec iefiftentia penitus euanefcit ct curua prodit rautochrona in vacuo; cum enim fit uud x. — Sd, bin hoc cafu fit DS EUN eure et intezrando Nm c N quae vtique eft aequatio pro cycloide. $. 5. Quo autem hoc argumentum generalius pertractemus , poilquam pro tempore 7 talis functio, qualem defcripfimus , fuerit affümta ; videamus , quemadmodum in formula differentiali | di—-Mds--Nd4u quantitates M et NN futurae fint comparatae, Hunc in fiuem cum fit M — (72; ipfa autem funcdio 7 pofito 4 — o fiat conftans ; neceffe eft, vt formula - (34) fiue littera M fiat — o pofito 4 — o. — Dein- . de quia N — (2!); funáio autem 7, pofito s— o, euaneícat , etiim ipfa littera N fa&to £59 euane- ícere debebit , ficque rautochronismus poftulat , vt in formula dt—-Md4s--Nd4u. " [13 à litté- $68 DILVCIDATIONES litera M euanefcat , fa&o &— o; littera autem /N euanefcat , facto 5 — 0o quibus duabus conditionibus ex ipía rei natura haec tertia eft adiungenda, wt ipífa formula M4 s-- NZu fit verum differentiale , fiue vt fit ($3) — (2. $. 6. His autem conditionibus plene fatisfit fiatuendo Este teer, c denotante Q functionem quamcunque ambarum va- riabilium gy et 5; erit enim — et — — $ J — Q- mou dummodo Q neque habeat factorem s neque v. Quod autem haec formula verum fit differentiale, facile oftenditur ponendo g—7v;;-hinc enim quia Q eft fun&io duarum dimenfionum ipfarum 4 et s, eua- üet Qr Fund. v; deinde vero numerator u4 ; —$du abit in —5 do; ficque tota fractio fiet — x. quod vtique eft verum differential. — His autem pro M et N valoribus fübftitutis aequatio no- fira finalis erit —S-FRI*-e, cui pro indole funcionis Q facile infinitis modis fatisfieri licet. Y 6. 7. Vt irrationalia euitemus, pro Q fuma- mus talem formam P gl $8. 43 £ u^ Qzaw-F ru ys 3A EP ete atque DETAVTOCHRONISMO. 369g &tque hinc nancifcimur — $4 RIGOESE. (yc p 3v. ttt etc, " $$ vnde pro natura cüruge ftatuemüs S — y 5 ideoque gdx-'ysds,ità, vt tautochrona iterum fit cy- clois , dummodo kde enin RzIC-ST-—(g—i5E—trete. qua expreffhone inuoluitur iéilleoia ipüi celcritati & fimplciter proportionalis ,' cui adiungere licebit. ge* fieratiám functionem :quamcunque vnius dimenfionis jpfrum 4g et 5, «cuiusmodi funt termini XAR 2. 0109, £u* Co yt Eu e $. 8. Denotet 4 fünctonem ipfius s, qude euanefcat pofito s — o, ac facile perfyicitur, etiam hanc formam multo generaliorcm — udq—q44u dtl euaefito: fatisfacere ;. fi. modo: pro Q. licspistol fuün- tio duarüm dimenfionum iptarum 4 ct Q, Hinc autem erit uda | — —4 MUST EUN SERA atque inde refültat ifta aequatio: Yi — wdq—Ods. —S--R-— is T ; » | cní aequationi infinitis modis fatisflerl potcft. -&. 9. Vhnico autem modo hinc terminus a ce- leritate u immunis refultare poteft , fumendo fcilicet - * pro Q.— Sit igitur Q— «4^ 4-7 Q* ita, vt et- "Eom. XVII. Nou. Comm. Aaa iam 370 DILVCIDATIONES iam Q' comple&atur functiones duarum dimenfionum ipífarüin 4 et 4; quare cum nunc fit zd —S$ SUR ug E flatuatur ,S-c44, ita, vt pro curua tautochrona ha- eatur g dx-a q4$;tum vero pro refi tentia .ob- tiaetur Q4 2 d -— IR — LE TE iis rrr: "E ? vbi pars —9- denotabit functionem quàmcunque vnius tantum dimenfionis ipfarum 4 et 4; ideoque tam "iinpgs , quam irrationalia. euitando. fumi poterit —Qu-i8-LiPILUIIDíWVet. 00 ni infuper adiungi pofiit » e? 93? ' 4* rmi cma 0 ose quin etiam tales fimpliciter. radicales Y guvu bu*vu " f q Up AEUMEEL FS HG $. ro. Hic iam facile effici poteft, vt in for- mula refiftentiae R. occurrat terminus f /' quadrato fcilicet. celeritatis fimpliciter proportionalis ^ Ex ae- quatione fcilicet pofltrema fiat u7 digest "wu? uh: ? dq. 'yds vnde deducitur ; d s — 443, €t integrando s — $4 (y -1- f 4) -tC€ quae jioen ita definiri debet, vt 4 fimul cum $ euanefcat , ita, vt fit d —j iere fiue ef—Y- fa papfy ficque DE TAVTOCHRONISMO. . $7: ficqué fun&io de nouo iutrodudta q ita definitur , vt ft q— GU -1)i hune, igitur valorem pro 4 vbique fubftituendo * pro. veniet tota refiftentia' huic cafui conueniens "CER-Buac-fw -- EP 4p EZ etc. quibus infuper pro lubitu NR quaecumque vnius dimenfionis adiungi poffunt. .$. xr. Ifta inueftigatio tam igi patet , vt fe- re Omnes refiftentiae hypothefes , quas Viri Celeber- rimi, Fontaine, D'Ajembert et la Grange , per me- thodos maxime intricatas et calculos operofiffimos elicuerunt , in. ea contineantur, | Saltem non parum difficile foret , inde eiusmodi refiftentiae hypothefin eruere , quam non fàcile ex noftra folütione deriua- re liceret ; neque autem hinc vlla via nobis aperi- tur ad eiusmodi refiftentiam , quae vel cubo vel alii cüipiam altiori poteftati cnet eflet proportionalis. - 6$. 12. Hoc autem mirum videri! non debet ; cum formula, quam hic pro tempore affumfimus , neutiquam fit generalis , cum potius cafum fatis particularem complectatur ; facile enim quotcunque alias formulas.ad inftitutum aeque adcommodatas ex- cogitare licet ; quomodo autem eiusmodi formae in- veftigari queant, quae ad certam refiftentiae hypo- thefin deducant, minime adhuc patet, neque etiam vlla methodus id praeftandi etiamnunc perfpicitur. ne autem clarius pateat , infinitas folutiones 'in no- Aaa 2 ftra $574 - DILVCIDATIONES fira euolutione non contentas facili negotio exhiberi poffe, vnico exemplo declaraffe PUR: Sumatug fcilicet tempus £a Ac. tang - ji quae formula vtique cia fafto $— 0; facto m tem 4 — o fit eonflans — a. Arc, tang, 15 hinc au- iem oritur - dt—a ita, vt fit Mc : eut: tu) : cidit T— d$ 4asu( eu) u-u (a 9) M N-— a s(S — 1) 251-4 253u(1 4-8 )-3- u* (i 4- 3 d : wipndr—sto du 235 -4-su(i r$; 45 V? (C3 52) A-52) et vnde confequimur i Im iPlpitit euet oce aca 3 c R-— & 5$. itid nba! mu 03 2 : ex quo colligimus S.— — 77—; ficque I gdx—— dg €t £x——- ul 3) de Conft ms.cetu mes tum vero refiflentia prodit 25ul:s 259a eR) dE (oe $)—- 09 0-9) ap R— Tego TEE ex quo facile perfpicitur , fi huiusmodi formulae vl- lum vfum habere poffent, fine vlla difficultate quot- cunque alias fimiles erui poffe; fateor autem , pas rum fructus pro fcopo noftro hinc fperari licht; $ 13. Inter huiusmodi autem formas maxime eminet €à ipíi, qua iam ante fumus víi et quae nos deduxit ad refiflentiam iam ab. aliis tractatam , (0 pum € [/ - DE TAVTOCHRONISMO. . 334 partim ipfi celeritati , partim eius quadrato propor- tionadlem ; quin etiam hanc formam adhue latius extendere licet; fumta enim pro v func&ione qua- cuüque ipfius celeritatis 4, quae pofito ;—o euane- fcat , ctiam haec forma pari fucceífu dt-—" d 4 -—- qd* vlurpari poterit, (i modo Q denotet fun&ionem dua- rum dimenfionum ipíarum 4 et v, tum enim ipfum tempus 47 aequabitur fünctioni nullius dimenfionis iplarum 4 et v, fiue functioni fra&ionis £. Hinc autem pro motu corporis habebitur iíta aequatio ^dq—4dv-—ds, 241—14» — 45; (jue &vdq—qudv—Qds, quae ad formam generalem uUdu—-—Sd4s-L-Rds accommodata praebet Vd pr av vite ED cuius expreffonis portio folam f vel 4 inuoluens pro termino —545; reliqua vero pro termino -- Rd s accipi debebit. | $. 14, Hinc autem nullas refiftentize hypothe- fes concinnas deriuare licebit, ni(i pro v' accipiatur potcftas w^; tum vero ifla formula latius non patet, quam ipía ante vfitata | dt — 527448; | quia enim ibi t 7 functio fra&ionis ^;, eadem fpon- m Aaa$3 — te 374 DILVCIDATIONES. -— m ^ ; " . 4M te reducitur ad functionem /fractionis 25 ficque ni- hil impedit , quominus loco 4" ipfa littera 4 " ribae tur ; quam ob cauffam ipía formula primum: vfiratà eo magis fit notatu digna ; quocirca fi loco y ipfam celeritatem 4 introducamus , aequatio pro rautochro- na atque ipfo corporis motu erit. — u*dq. Qds : « VO UT 7n ue T1 vbi cum valor ipfius Q capi queat —aq4-Qqu- yw TROP ME haec aequatio induet iítam ibid udu—-oqdi uds v (2 — A $ redis Leeds, -om. etc, im ita, vt nunc wundbn ii /s] ? áaiiQ S-ag; et TRz-Qwr CL jet -LE—t um -e eta neque ergo pro altioribus ipfius u "pared ^ ter- minus ab arcu s non pendens exhiberi poterit ; pro quadrato autem us factor. zh rs vtique - quarititas conílans reddi poteft, vti füpra fecimus; tum vero etiam pro lubitu functioni ipfius $ cuicunque ae- qualis ftatui poteft, Suma enim hac functione -Z,erit d4 . y.— TER eT n vnde fun&io 4 ita definitur , vt fit. q zewys el AS emis ds, atque hinc quzeflio refolui poteft, fi medium in du- plicata. ratione. celeritatis refiftens ' non fuerit "vnifor- me DE TAVTOCHRONISMO. 375 me fed eius denfitas. Ó a loco punáài M pendeat. | —— $' rs. Inprimis autem circa hanc formam no- . tatu digna eft haec infignis proprietas, quod etiam ipfe corporis motus füper. tautochrona generatim de- finiri poffit, cum enim oriatur haec aequatio: udg—qdu — ds. * imeQ u j prius autem | membrum it Mie rentidle fun&tionis ipfius 2 2.; perfpicuum eft , fi id per 7- multiplicetur , etiam nunc fore integrabile , ita, vt tum habeatur DM LERSLIEAMIT ra u 3 : cuius ergo vtrumque membrum eft integrabile; quod etiam hac fimplici fübftitutione facillime obtinetur : ponendo 4 —42,tum enim fün&io Q abit in for- mam 4'z, denotante z functionem quampiam ipfius z et quia udq—qdu fit — 4! dz his fübílitutis refultat ifta aequatio —-—d2-.ds* z "3? vnde functio quaedam ipfius z aequabitur integrali e —^. q $. 16. Quicquid autem fit, in hac inueftigatio- ne etiamnum parum praeftitiffe . gloriari poffumus; quoniam ab iis, qui hoc argumentum tractauere , eiusmodi inprimis refiftentiae hypothefes defiderari folent , quae purae cuidam celeritatis. t4 functioni fint proportionales. Huiusmodi autem cafus hadte- nii: nus a6 — ^DILVCIDATIONES: pus euoluere non licet, nifi. vbi refiftentia buic fore mulae 2-- buc. Ww affümitur proportionalis, quae ícilicet conftet tribus partibus, prima proríus con- flauÓt& 4, Altera. ipfi celeritati. Qu, tertía vcro eius quadrato u. proportionali , qui cafus cum prae rcli quis maxime attentionem nofiram mereatur, ope- rae pretium erit cum maiore cura «euoluiffe , quan- doquidem in Mechanica mea mihi tum temporis »on. licuit partem mediam ipfi celeritati gy dps pakm. 5.4 iu calculum iutroJucere, a Problema. 6. 1. Si refiflentia medii. e formulae, "ES bua cw fuerit proportionalis et corpus deor- fum vrgeatur vi vniformi , determinare curuam. tau- tochronam. tam. defcenfus quam afcenfus. * LJ M Solutio. Manentibus denominationibus ante adbibitis pro motu deícenfus habebimus hanc aequationem ; udu—-—gdx-r(act buc cu)ds, in qua cum Tréfiflentiae partem primam cum vi ab- foluta commode coniungere liceat ; flatuamus »- gdx-ads-pds, i vbi p certa erit fundo arcus ;, mox - aeffaféndi, iti, vt Laec aequatio naturam curuae tautochronac. fi Ls A ed T igitur erit ^ Tam DETAVTOGHRONISMO. :377 Jam introducatur functio quaepiam arcus s , quae ft 4 et cum ipío arcu. s euaneícat. et- flatuatur tem- pus, quo arcus A M — * percurritur ; / ^ t — f Arc. tang. Venet quae expreífio pofito 4 — 6 ideoque etiàm 5 — o in nihilum abit; at pro toto tempore: defcenfus ,' vbi u-—o; prodit ;— f Arc. tang: &- BYFXTIOTTGSA ci qoa adeoque quantitas conftans Hinc autemiodifferentian- do erüimus ^... iS taa b Out r- XLI UR fe - (a^ B)g*- mem c quod differentiale cum aequari debeat don * habe. bimus 103:3ido» abav ay f.i dq -qudu)zd s([(o* HB C TR vx" » Hic igitur ex aequatione affumta fubflituamus —..... sinc «pde ctae dida ca " ac prodibit i ne e cs any f dq bqde qtbu-e ed dis); - com s (at rp 8)4 4-2 Gy q uA yw) osi vbi triplicis. Beneris términi occurrunt; fcilícet àb 'g liberi J tum: vero-folam 4 ac denique "eius. quadra- tum ;Z' inuoluentes,, quos feorfim ad nihilum redigi oportet ; . vnde P dequentes acquationes emergunt. [21] € DjRE i L— AÁ 9] d . ayfp- (^ 2 B')4 » tipp soqpigipichu eo oig oi ai HL ay fu d. q—7£gudsy— vds. E - T XVII. Nou. DUE, :Bbb ^ ^ — quarum 478 ""DILVCIDXTIONES: quarum . prima ftatim praebet. - | | HS. wg. " Oio*-f0,n 32. 7 aY; | 3 . tinet d pop fecunda a p " dut 4 —5Ó 2 : — vm ] itertia Eis dat L«ufdq d$ — y--afcdq et iutegrando sosdB 1ANCE NEZ log: m ELE LP 1 integratione ita ich , vt pofito 2 — o fiat quo- que 5— o. Hinc ad .numeros PSI dsuio erit &-—I int- uu Q5 vnde E FELT (3 —1)5 atque hinc b. (o 4: get) » gamer Quo nürc has formulas commodiores: reddamus; quo- niam numerorum: à, 8, *y tantum ratio in peii tum venit , faciamus () — 5, eritque afclc-—2 atque, p —— 8 29 (i 1) (vod gu I) Sit nunc: — A ate. — y eritque k — SETA ; atque a-ccyY (4 k— b Hinc igitur aequatio pro. curua tautochrona defcen- fus erit — gdz-adíck (io y)ds aequa. .DE TAVTOCHRONISMO. 379 "T A PZZARCÓOAA" lcs IMAReIEUM su PII j litigio vero motum determinans 1 udu---'-(e— Wu -t- (^ tieeadt hincque tempus per arcum: A M — : oritur (Q7 :)Miafs $homeini dE Yt kp): e Y (kk V] p^r. rer DRILL ideoque. tempus totius deícentüs "d ' 8T Gi Lj; Arc ting. $e quod.; vtiqüe ie -— cd jam e inn vltra A. continuetur , quod fit. fumendo,.s. negat ue , ea; vltro. praebet. tautochronam . afcenfüs ;, quandoquie dem: fumto .$ et. d s- negpsiue; aequatio.. Bra Ajout erit: was pda (ce bari) d ry qure "vtique motum afcenfus GERINS v uet OR '$'18. Dubium "hic occufrere gofiet ,- quod pro tempore: ? .expreffio. negatiua . ett. inuenta ; : fed tenendum e(t ; formam irrationalem: Y (Gk — b) ne? e accipi poffé, ita , vt reuera habeatur. ^t gs it £g. EA Hes ^ — qns, À.n tàng S adbe Q6 outta octies 'eftj arcum- RR negatiüae:: refpons dentem quadránte ; effe. maiorém;--.: Quod. auté til»; ad ipfum motum füper hac curua attinet , aequatio no- fua ad feparabilitatem unti ; Jat Acc ED eti. od dumm vnde tota aequatio per e^* — x diuifa reperitur (^5 —1)sdz— —*-ds-r-bz ds—ezxmds Bbb 2 quae UJ 235! ud s 380 DILVCIDATIONES DE TAVTOCHRON. E 21 m quae fponte dat jbnaaqdgn3))-ttu, EI GM A P: WIS WE od T T cuius! pofiremi membri integrale eft-:7 (1 269 prioris autem; membri, integrale et logarithmos et quadraturam circuli inuoluit. jb $. 19. Alii: adhuc dubio hic neceffe. videtur Oc- curri ; (ilicet cum tempus definiatur arcu circuli , cu- fus tangens: praelcribitur , eidem autem tangenti inna merabiles arcus conueniant ,' videri poffet ,. hanc for- mülám fimul omnes: ofcillátiónes: füper hac: curüa in fé complecti j^ vnde ^quia' hi arcus in progreffione' . arithmetica progrediuntur , íequeretur omnes plane: ofcillationes. inter fe. fore aequediurnas ,- quod tamen fccus euenire nouimus. Haec quidem conclufio lo-. cum effet habitura , fi motus tam afcenfus ,. quam defcenfüs fuper eadem curua eadem, aequatione | ex- primeretur; at quia hoc non víu venit, mirum nom eft, quod formula pro tempore data vnicam tantum ofillationétri continéat, quae fcilicet a dextra ad fi- niftram progreditur , motus vero a finiflra.ad dex- tram -alia.diuerí(a aequatione determinatur ficque | illa. conclufio nullo; modo - hic: admitti. potefl. E . 13 i1 3 Lit] ? 3 iii G»rrrorc 111529057237 : ejs o) et A18 11 48r mem DE "CHORDIS VIBRANTIBVS | DISQVISITIO VLTERIOR. Auctore L EVLERO. Es in huiusmodi quaeftionibus analytícis vix vl- laus locus. controuerfíis rclinqui videtur ;. tamen; quia determinatio. omnium. motuum , 'quos-«chorda inter viorandum recipere poteft, nouum plane calculi genus requirit ,, cui ^ Gcometrae parum: adhuc. funt affueti ,, mirum non elt, . quod: folutio completa , quam íam olim ex his. principiis deductam dederam, plerisque non parum fufpc&ta: videatur. . Quam ob rem: hic operam dabo, vt omnia momenta, quibus haec folutio innititur ; dilucide. exponam atque 'ab omnibus dubiis et obicctionibus vindicem , et .quo- niam ifta dubia plerumque circa ipfam methodum , qua fum. vfus, moueri folent, fufficiet cafum. fim- plicifimum , quo chorda per totam longitudinem eiusdem . crafhtiei. flatuitur , omni ftudio euoluiffe. Praeterea. vero omnes vibràtiones tanquam infinite paruas fpectibo, quae hypothefis ab omnibus, i» hoc argumentum tractarunt, eft affumta. ]: 0 € x. Primum ergo. craffitiem et maffam EE dae, cuius motum hic füm inucfiigaturus ,: ita | ad geom reuocabo , vt portionis iftius chordae , cu- ! Bbb35 ius Tab. V. 385 DE CHORDIS ius longitudo —£&, mafíam feu pondus flatuam — K; neque enim hic ipfam. materiam,,, ex .qua .chorda eft confe&a , confiderare opus eft , dummodo chorda fuerit perfecte flexilis , quandoquidem . totus motus tantum ab eius longitudine et maffi, praecipue au- tem a vi tendente pendet;. quod quidem nulli du- bio eft fubiectum. 6. 2». Sit igitur chorda in. punctis A et B fixa, cuius longitudinem ponamus A B — 2; cuius ergo maffa- feu, pondus. erit — E25. tum. vero fit tenfa, vi quacunque ; px pn zm aequalem. flatuamus; id - quod. etiam | fequenti; modo: menti repraefentare licet ,; quód chorda , vtrinque. fecundum .ip&us dire- &ionem trahatur. a viribus aequalibus Aa Béóc T$ tum. vero vt inter viirandum ipfi termini A et. B immoti. maneant, necefle eft ,. vt chorda in.punctis A et. B. infüper. certis viribus Aa ect B'Q ad prio- es; normalibus vrgeatur , quae: quidem : vires per: fe non -dantur;, fed: quouis; momento . ita «comparatae effe; debent , vt. ambo: chordae. termini A et B in fao. loco. retineantur ;. perfpicuum: autem eft, quam« diu i chorda . fitum. naturalem. in. dire&tum - extenfum: AiB::teneat.;' has vires fore nullas ; dum autem. vera bi:gratia.furfum incuruatur in. fitum: A y D, eui- dens. eft , vires? illas. A.&. et. B (8:deorfum: tendere debere ; neque. vero opus effe , has vires. noffe , fed deinceps per. ipfam. folutionem. pro : quouis : chordae ftatii facile: determivabuntur.: . Hac ratione. clariorem ideam: confcquimur: earum: virium, | quibus .chorda in punctis A; ct. B. fixa. retinetur., 6. 3. VIBRANTIPTY S. 835. 6. 3. Ponamus iam tempore quocunque elapíó —- ?, quod in minutis fecundis dari (umimus , chor- dam noftram | incuruatar effc «in figuram Ay B, pto qua vocemus. coordinatas A X — x; et X Y bait ita, vt fit BX —a— x; et quóniam 'omnes vibra» tiones pro infinite parüis habentur, ^ omnes! adplica- tae X Y — y érünt quam minimae ; "vnde fütim duo infignia calculi fubfidia adipifcimur: 1") quod clorüae portio A Y ipfi abfciffae A X — x aequalis cineri poteft; cuius propterea pondus erit — - 25) quod pun&um chordae Y inter vibrandum alium motum recipere nequit , nifi qui fiat fecundum ipfam dire&ionem adplicatae Y X, dum fcilicet ad fitum naturalem A B accedit; fin autem inde recedit , di- recio motus erit contraria fecundum Y v. His con- ftitutis euideus cft, angulos A Y X vbique fore tan- tum 'non rectos, feu quod eodem. redit , tangentem in puncto Y tántütà non parallelam axi A B. Quan- quam autem haec hypothefis ftatim , ac vibràtiones non amplius fünt quafi infinite paruae , a veritate dberrare debet; tamen contra | illam ab aduerfariis nullum dubium moueri folet. $. 4. Cum igitur ad quoduis tempus 7 figu- ram chordae Ay B determinari oporteat ; euidens eft, adplicatam y tanquam functionem binarum va: riabilium , temporis fcilicet 7 et abfciffae x, fpe&ari debere , ex quo adplicata duplicis differentiationis cft capax ; prouti fcilicet vel folum tempus z vel fola abfcifa x variabilis reputatur. Sumita fcilicet abícis- fa x conflante , illa fun&io indicabit quanta ad quod- ps vis "984 DE CHORDIS vis tempus £ futura fit puncti Y difiantia ab axe A B, et poft quantum tempus. hoc, punctum Y. in locum priftinum reuertatur ; vnde tempora vibratio- num diiudicare licebit; fumto autem. tempore 7 con- flante cadem fun&io pro. quauis abfiffa A X —:x praebebit quantitatem | adplicatae X Y — y, ficque indolem curuae A.y B.ad datum tempüs: declarabit; - 6. 5. Sumamüs autem praefenti tempore pun- €tum chordae Y ab axe recedere atque. eius celeri- tás formula (2 ) exprimetur , cuius differentiale de- nuo per 4f diuifum dabit ipfam accelerationem uz a9» ; quae vt cum grauitate naturali. per, vnie tatem | expreffa comparari poffit. diuidi debet. per 2b, denotante 5 altitudinem ,. ex qua . grauia. .vno minuto fecundo delabuntur s, ita , vt .haec, accelera: tio futura fit — s 5 cui ergo aequalis, efle . de- . bet vis, qua hoc Md. s elementum verfüs . Y 9. vr- getur , diuifa. per. pondufculum huius elementi :. qua- re cum hoc pondufculum fit Ed elementum chor- dee Y»-dx in diredione Y v follicitari debet vi c (2 , tanta fcilicet vi. in. fingulis. chordae elementis opus eft, vt motus talis prodeat, qualem formulae analyticae complectuntur. | Aflumimus au- tem noflris formulis. verum chordae motum definiri, ficque neceffe eft, vt fingula chordae elementa in di- rectione Y v follicitentur. 3 6, 6. Cum autem tales vires reuera non. ad- fint; necefle eft; vt hae vires quafi fidae illis viri- 1 bus ; mnoib VIBRANTIBPEVS. 5895. bus, quibus chorda reuera follicitatur , aequiualeant, ficque quaeftio huc eft perducta , quomodo illae vi- res inuentae , quas elementares vocabimus , quoniam fingulis elementis. adplicatae concipiuntur ,; compas. ratie effe debeant, vt viribus, quibus chorda acu: follicitatur, perfe&e. aequiualeant ;. fiue fi fingulis. chordae elementis eaedem. vires. in. directione con- traria adplicatae concipiantur,. necefle eft, vt hae. vires cum illis, quibus chorda actu follicitatur ; in aequilibrio confiftant ;. ficque noftra quaeftio ad. in-- weftigationem ftatus aequilibrii eft perducta. $. 7. Adplicemus igitur noftras vires elemen-- Tab. V. tares modo contrario , ita, vt nunc elementum chor- Fig 2 dae Y follicitetur in directione Y U Kdx (227) x 20k dt et quia hae vires. in -zequilibrio. confiftere as cum . ilis, quae chordam a&u folicitant et quae ,. vti vidimus , íünt 1^. vires tendentes duc DA deinde vero vires illae incognitae A « et B Qj, quas ponamus Aa —F et B — G quae, certae erunt: fun&tiones temporis /, vti deinceps videbimus ; ante omnia neceffe eft, vt omnium virium. momenta , quae in punctum Y agunt, wtrinque fe deflruant , ; propterea quod chorda. perfe&e flexilis affumitur., Inueftigemus ergo momenta omnium noftrarum vi- rium, quae a' parte anteriore feu finiflra in punctum Y agunt, vt ea deinceps ad nihilum redigamus ; tum enim ex .-altera: parte. dextrorfüum | momenta - "Tom. XVII. Nou. Comm. Cce fpon- 486 DE CHORDIS fponte quoque euanefcent, quia omnes vires fümtae fimul in aequilibrio coufiftunt. $. 8. Ad partem ergo finiftram primum agit - vis tendens À 4 — m, cuius momentum in punctum Y eft cy in fentum X A, alterius autem vis Aa-cF momentum in íenfüum contrarium agens erit F x atque in eundem fenfum etiam agent omnes illae vires elementares verfus axem — vrgentes. Ad harum igitur momentum inueftigandum confide- - remus punctum Y tanquam fixum ct fpectemus pun- &um quodcunque y tanquam variabile a termino A vsque ad Y fuccefhue promouendum , pro quo pun- &o fint coordinatae AXTSNI GL T E Y. et vis elementaris fecundum y x vrgens —Rod XoddY* "Mg bI idaarus cuius momentum in punctum Y prodit multipli- cando per interuallum xX—xrx—X,; ita, vt hoc momentum fit (x*—XiKdX ddY UNA a EEG ac fiai cuius integrale ob x conftans erit — Kx pdkadbY s x rpxaxaav (0 TiebhA" nem*ro. Bbkjr dr et exprimit momentum virium elementarium ad arcum A y adplicatarum , fiquidem hacc intezralia ita funt capienda, vt euanefcant, fumto X — o. Promoucamus nunc | pun&um J wsque in Y atque moinen- VIBRANTIBPBVYS 383 momentum virium elementarium per totum arcum A y adplicatarum erit dx.ddy fxsáx.ddy z5x Cf qÉ f 27) quod reducitur fponte ad hanc expreílionem K dx.ddy aad d x[ quae gemina integratio ita inftitui debet, vt fümto X-—o vtraque euaneícat. $. 9. His igitur momentis colle&is , quia eo- rum fumma ad nihilum redigi debet , Koniequir fequentem Ma pos : my-—Fx--Ifdx[2ni$y quam vt a fignis fnoeadiks liberemus , quae ab« fciffam x tanquam variabilem inuoluunt, differentie- mus pofita fola x variabili et per d x diuidendo ob- tinemus n2 — Ecran unn quae denuo fimili modo differentiata fuppeditat hanc aequationem E concinnam ddy ddy T. ey ES EX. . Pofito ergo breuitatis gratia 2bkw E "5 GT EK ^ habebimus tandem iflam elegantem aequationem hint 62) — c. (14») Quae aequatio totum motum , cuius chorda eft ca- pax, in íe complectitur, ita, vt refolutio noftrae quacflionis ab integratione iflius aequationis differen- Cco 2 tialis 988 DE'CHORDIS tialis fecundi gradus peudeat, et. quae a confuetis aequationibus huius ordinis hoc .potifümum diícre- pat, quod hic functio binarum variabilium 7 et x quaeritur atque ob hanc ipíam circum(tantiam ifta quaeftio 'ad nouam illam calculi integrális partem eft referenda , quae ad fun&iones duarum pluriumue variabilium eft accommodata. $. ro. Hic autem flatim. commodiffime 2d venit; vt iflam aequationem perfe&te integrare liceat, dum eius integrale completum reperitur y zc Q.ct-a- x) 2- NA. (er — X) cuius veritas tentant mox facile patebit; fi enim huiusmodi funciones more iam recepto diffrentie- mus ; habebimus (83) -- a0 ie e: m) died (c £ — x) et 222 — d£. QI (es a x) n c. Nl (et — x) UE modo , fumendo folam x variabilem , erit (12) — QX- (e t 27 x) — NP (ct — x) et P — Q^. (c £ -4- x) 47 Np. (e£ — x) vnde manifefto fit Gu2) — e Gu Hic iam probe notandum eft, characteribus Q.et ip fun&iones quascunque denotari fiue regulares fiue vt- cunque irregulares: quo ipfo haec analyíeos fpecies ab ordinaria plurimum difícrepat , quod hic adeo fün&iones vtcunque irregulares ct. nulla continuitatis lege adílrictae ingrediantur; id quod in confueta Ana- VIBRANTIDPVS& 485 Analyfi nusquam vfu "venire folet; quae quo clarius ob oculos ponantur , quoniam functiones per lineas curuas indicare Geometrae affüeuerunt , formula Q (ct -L- x) denotet adplicatam | curuae cuiuscunque abíciffie c? -i- x refpoudentem ; fimilique modo for- mula xp (c£ — x) denotabit adplicatam alius curuae cuiuscunque abfiffuüe c£ — x refpondentem atque neu- tiquam opus eft, vt hae duae lineae curuae certà quadam aequatione analytica exprimi queant, verum etiam curuae ex portionibus variis diuerfarum cur- varum vtcunque conflatae atque adeo curuse libero manus du&u vtcunque formatae hic locum inueniunt; dummodo omnes partes inter fe cohaereant et nusquam hiatu abrumpantur. Nihil ergo impedit , quominus hae curuae ex pluribus lineis rectis inter fe iunctis vel etiam arcubus circularibus aliarumue curuarum permixti componantur. — & 11. Ob banc ipfam autem circumftantiam ifta mea folutio lllufiri D' 4lemberto aliisque Geo- metris maxime fufpecta videtur , qui in hoc nego- tio alias lineas curuas admittere non vult, nifi quae certis aequationibus analyticis exprimantur , | quaeque continuitatis lege ftrico fenfu contineantur. — Inpri- mis autem hinc portiones diuerfarum curuarum , quae in iun&uris angulis promineant, excludit, dum huiusmodi anguli naturae aequationis differentio- dif- ferentialis penitus aduerfari ipfi videntur; faepius. equidem refpondi, hic tales angulos , quales perti- meícit, nullo modo locum habere poffe, quia: hic tantum: vibrationes infinite paruae fpectantur, vbi, Ccc 3 vti T 4.6 390 DE CHORDIS . vti iam notauimus , omnes tangentes tantum non axi debent effe parallelae ,, verum tamen hoc "Viro Illuftri neutiquam fufficere eft vifum atque etiam inclinationes adeo infinite paruas reformidat. ^ Hanc autem litem equidem prorfus dirimere fpero, fi . Oflendero , angulos adeo maxime prominentes in cur- vis illis functiones (D et Xp repraefentantibus nego. tium plane non turbare , id quod hoc íolo exem- plo probaffe fufficiet. Functio fcilicet (D. eiusmodi linea curua regulari repraefentetur , cuius abíciffae cuicunque 4 refpondeat adplicata 3 Qu-cY(s—xa; cuius lineae forma ita erit comparata ; eft fcilicet no- Tab, V, tiffima . parabola cubicalis Neiliana, quae adeo in Fig. 3. puncto C cufpidem infinite acutam continet; interim tamen haec cufpis neutiquam impedit , quominus ifta fun&io aequationi noftrae fatisfaciat ; fumta enim abfciffüu — c £-4- x vt habeamus faltem pro funcio- ne priore y—Ya(a—ct—azy dy | —26Ya p) sur mers ddy«.. —82c Ya PES fimilique modo d y —2Ya 2 —— dxJ — et —— 9. Y (a — et — ay amme——Q—. 999 9. Y (a — et — x) et VIDBRANTIDVS 891 d dy Re uc Ya da iade ias tdic. ai^ quibus formulis aequationi L)-e 7) dx NC perfecte fatisfit; nequidem exclufo catu 2 — cz 4 n. vbi cüfpis occurrit, ex quo fine dubio rc&e conclu- dere licet ; fi cufpis adeo negotium non turbat ; multo minus angulofas prominentias easque adco in- fuite. paruas effe pertimefcendas, $. 12. His praenotatis integrale completum noftrae aequationis ad ipfum cafum propofitum chor- dae vibrantis adcommodemus, vbi duabus conditioni- bus erit fatisüciendum. — Primum fcilicet vt in A, vbi x — o, adplicata y femper euaneícat pro omni tempore 7; deinde vt idem eueniat in altero termi- no D, vbi x—2. Prima autem conditio pofito Ec-0 praebet | Jc0er-A- wet qui valor cum debeat effe — o, neceffe eft, vt fit V oetlÉ—Q.et | .hoc eft, curua funcione wp repraefentanda ita effe debet comparata , vt adplicata eidem abfciffae refpon-- dens negatiua fit illius, quae in curua (D eidem ab- fciffie refpondet , vnde fequitur , fore generatim V.(ect—x)- —0.(er—2); vnde ifta conditio nobis füppeditat hanc aequationem: -Q. (c£ A x) — Q (er — x) ct fic 'Tab. V. Fig. 4. 392 DE CHORDIS fic enim fa&o x — o, manifefto prodit y.— o. Pro altera conditione faciamus nunc x —4; iterumque fieri debet Q(cr--a)—-qQ(ect—a)—o fiue Q(ct--ayz Qocr—a); vnde fi faciamus ct—a-cu;eritef--a—u--22, ita vt in genere efle debeat Q. (u 4- 2a) — Qv. Curua fcilicet hac funétione (D repraefentanda ita de- bet effe comparata , vt quaecunque adplicata refpon- deat abíciffae 4, eadem quoque reípondeat omnibus abícifhs ) u-3-22451u--4451-4-6 a; etc. itidemque retrogrediendo his abíci(his u—2a;u-—4as;u—ó6a etc. ex quo intelligitur , quemadmodum hanc curuam in infinitum continuari oporteat. — Talem ergo curuam fequeuti modo confirui conueniet ; fuper portione axis AC-—— 24 con(truatut. pro lubitu linea curua quaecunque F G, ita tamen, vt adplicata C G ae- qualis. fiat. adplicatae A F, tum vero eadem haec curva F G vltra C dextrorfum defcribatur, fimilique | modo etiam finiftroríum ab F ita, vt fingulis axis portionibus — 2 4. fimiles et aequales portiones cur- vae F.G fuperfiruantur ; hacque. fola | circumftantia obferuata defcriptio curuae FG. penitus noflro arbi- trio |w: VILBEORAGNSPIOENW SS — vy trio relinquitur atque fiue ex pluribus lineis rcéi fiuc. ex arcubus quarumcunque curuarum fiue libero manus. tradu vtcunque. delineari poterit ;.- dummodo ytrinque prouti modo. innuimus.;continuetur. $ r3. Tali autem linea cutua, quam fealam conftructionis adpellare liceat, éré&a , femper certus quidam - motus: vibratorius chotide fequenti módo facillime :definietur dum fcilicet figura chordae, quam ad quoduis tempus z- eft habitura, a(hgoabitur.- Com enim c lineam quandam rectam ,'7. vero numerum abfolutum -denotet , | fümatur' ab an pun&do A in- teruallum ATc—er, et. ab boc puncto T'.vtrinque abfcindantur. iiterealla TS Ts-xet. adplicatae Sm. "MES ; quo. facto pro figura. chordae noftrae dbfciffae A x v refpondebit ad plicata EY $ y^ LM quia in fcalà' noftra eft AS Lx et A-y-cf-x; hnic autem per * clrum eft, pto ipfo" fermino: Cchordaé' A,' vbi x —— 6, ideoque et Mugs Su p sii adplicatati fore — T V—T Vo, Pro altero autem termino xh vbi E PN. idcoqile etiam: capi" oportet T S— 7; — 4, adplicatae S Zet '$z vtique erünt aequales , » ' quandoquidem tum vog valorum AS ét A'y diflantia eff 22, confequefit earum differentia! — o, pro chorda adplicdnami" "in termino B' praebens ; quare cutn hoc modo ad 'quod- 'vis-tempus figura chordae* facillime: FU » SR chordae motus perfeéte' imiotefcit erre. T4. Quoniam. jn. fcala; abfcifis: ibtcruallo ,z-24 continuo crefcentihus aequales oadplic ataqimde- s Tort, XVII. NowComm ^ Déàd tron- fpondent ; manifeftum eft, pro alio tempore ;! fi fuerit ci —c£-724, chordam eandem figuram e(fe recuperaturam , quam tempore 7 habuerat; inte- rei vero chorda duas vibrationes abfoluiffe cenfetur ita, vt // — £? exhibeat tempus duarum vibrationum; quia autem ;/!—7 —** tempus vnius vibrationis erit — *- idque iam in minutis fecundis expreffüm, atque hic commodifhime vfü venit, vt tempus cu- jusque vibrationis neutiquam pendeat ab indole fi- gurarum , quas chorda inter vibrandum induit, fed femper fimplicifüima hac formula 5 exprimatur. Cum. vero im pofuiffemus c — 3:57: qunc pa- JlvE. ficque pro chordis eiusdem craffitiei, pro qüibus fcilicet E eun- dem obtinet valorem , tempora vibrationum erunt vti 7. hoc eft, inter fe tenent rationem compofi- tam ex fimplici longitudinum et reciproca fubdupli- cata virium tendentium , quae quidem ratio iam du- dum eft cognita et per experimenta confirmata. Prae- terea. quoniam foni a chordis editi ex numero vi- brationum dato tempore abfolutarum aeftimari ío- - lent; hic notaffe iuuabit , numerum vibrationum a noftra chorda fingulis minutis fecundis-editarum fo- fe — € c YitRT *7 ficque ipfi foni tenent rationem a a compofitam eX directa fübduplicata DAE - et reciproca fimplici longitudinum a. $. 15. Si in. füperioribüs formulis ponamus tempus /— 9; - gears ipfam figuram, quam chorda VIBRANTIBDVYV S. 395 chorda initio habuerit, pro qua igitur abfciffae x refpondet adplicata e y—06x-Q.—x vnde viciffim ex figura chordae ioitiali iam quodam- modo natura fcalae confiructionis colligi | poterit ;- neque tamen penitus inde determinatur, cuius ratio per fe eft manifefta , quoniam in ftatu Tini prae- ter figuram etiam motus, qui chordae potuit effe impreffüs, fpecari debet, ita, vt ftatus initialis duabus rebus contineatur ; SES fcilicet figura chor-. dae inducta , deinde ctiam motu , qui ipfi fuerit impreffus, Quo igitur huius circumflantiae ratio-- nem teneamus, ex formulis generalibus celeritatem chordae puncti Y deriuemus , quae erit (9 — e Q(cra- x) eO (es — x) qua exhibetur celeritas puncti y ab axe recedentis at- que ipía celeritas per fpatium vno minuto percur- rendum indicatur. $. x6. Vt igitur vniuerfam: noflram- inieftiga- Tab. V. tionem ad ftatum chordae. initialem atque cognitum Fig. 5. adcommodemus , referat A Y B figuram chordae ini- tialem et ponamus adplicatam abíciffae x reíponden- tem X Y —FL.x; deinde pro motu initiali fuper eodem axe A B—a exftruatur fcala celeritarum A Z B, cuius quaelibet adplicata X Z exhibeat cele- ritatem , qua punctum chordae ab axe recedit, quae cum etiam fit certa functio abíciffie A X — x, re- praefentetur functione A'.x; nunc igitur neceffe eft, wt pro noflris formulis generalibus fiat , Ddd a ox Tab. V. Fig. 6. $96: —- DE CHORDIS . eSigids Quoc s. wu suisuded oisi thi0do det ons modo pro celeritate , fido T to. c Qurengbluc- x clim quam pofteriorem aequationem' per 7x inultiplicane do et integrando reducimus ad hanc formam : i Duk: CERA STi Hlisag amt adipen bs. ^ x exprimit aream. curnae A X iae ficque. fti (r.0 —x— 83 fears ER, dv Nunc igitur ex his. duabus acquationibus vocan UM E f M M oii xc TOP Te RARI. uM et 2 —x—2*— eT anpfin: j sébroH: Hunc in finem in. "fig. s füper axe AB 15 epiac. fcribatur caruaà M O N fumendo primar. adplicatum. AM arbitrariae longitudinis — f et pro abíciffa . X. fiat XO0-—f-- area 4T £, $17. lam ex i(ta figura' 5. fcala conftru&io-: nis facile. fequenti modo ex(iruetur : cüm enim: ft Ox— i504: Pd et Qr iro SXYS primo fumto x — 0j; erit in A adpliata |... , *93 OP UR d : Iac Hid pr ex M Hm | CU " ita, vt fit proprie. | | &OQAX —-—zx; £i erit VIZERANIISB)Yy Ss 33917 erit pro x ad plicata. Xx- Latex rm et pro altéra AU occi.yD-cUY ac denique fumtis vtrinque ab(ci(is AJ.—4 AA, | tum fiet adplicata in puncto B — : B N. et. AS —BN: ficque. "me extremae D b et A! al fiant inter fe aequales , ficque toti haec curüa bafi — is A!B — 224 infidens. ex ftatu: chordae. initiali plene: eft confirudia; et nihil aliud füpereft; nifi vt haec ipfa curua 4! b replicetur tam dextrorfüm , quam finiftrorfüm, qüo- ties libuerit; hocque modo tota. fcala: confltructionis conficietur, ex qua deinceps ad hiis tempns fiz. gura chordae innotefcet, - 6$ 18. Poftquam - gitur ipfum sedie ifo dbi vpiqu nunc vires illas initio memoratas. Aa et B, quae ad retinendos chordae términos A et B immotos' requiruntur et quae erant incognitae, definire poterimus. Quem in finem cunctas vires: fiagulis us pünctis X adplicatas propius;perpen- damus Supra gutem. $, 8. vidimus a PANE finiftra. in pundum' Y agere, vires fequentes 1^, vim ten-. dentem A a — 7 2*. vim illam incognitam Aa- F &t 35. Omnes: Vifes eementares portion] ^A:y ^ ad- ^h Ddd 3 plica- dii DE CHORDIS plicatas, quarum cum quaelibt fit — T7". 42$) omnium fumma erit K (dzdàdy— "T Zbk/t Du T nf 4 xq cuius t ERE eft z- 72 -- Conft. quae ita Fic effe comparata , vt integrale euanefcat fümto x — o. Deinde etiam harum virium | mo- menta pro pun&o Y fümus contemplati; ac primae vis Aa — m momentum erat T y; vis autem F mo- mentum in fenfum contrarium ageus F x, cui ad-, iungi debet momentum ex omnibus viribus elemen- taribus ortum dx. ddy — d nil z GE f. daf45 19— m. fdx ($2 - Conf) m(y 4 C). Cum igitur iam inuentum fit yzOoGr--2-90(ct-2 ga d — ( (ct A- x) 4- (cc — x) di una ila virium elementarium ob 2»--C— -Q 6r x) a- Q(os- 3 30e erit alb (ra 3 dO Gr) - 2 en Progenita autem inde momenta iam erunt, vis ten- dentis * momentum i — m (D (ct-a- 3) —O/6:—2) alterius autem vis F momentum — F x; virium au- tem elementarium momentum vy (D(ct-a-3—0(6t—x)—-2xQ!ci quae VIBRANTIBVS T quae duo pofteriora in contrarium fenfum vrgent et quia fe mutuo deftruere debent , nafcitur baec ae- quatio a (Q (c£ -A- x) - b (et — x») — Fx-cmx(b(et4-x) - p(et—x)—2x(ern vnde manifeflo innotefcit vis illa iacognita F-—omQ'er cui autem non aequabitur vis in altero termino B -G quandoquidem adplicata y pro abíciffa Bx-a- x aliaa fanc&ione exprimitur. Hanc autem vim G fimili modo per fequens ratiocinium colli- gere poterimus , quod omnum virium elementa- rium per totam chordam A y ai eeu fum- ma erit a (Q!(cz 2-2) -- (1—2)—2 Qcn-G m cum debeat effe — o; concludimus fore G — v (Q! (c& 4-4) - 0 (02 —2) — 2 (en) 6. 19. Hactenus igitur folutionem quenti problematis generalis tradidimus : Problema generale. Dato flatu initiali cbordae — vniformiter. eraffae Jam ratione figurae , quam ratione motus ipfi impreffi , definire ad quoduis tempus figuram , quam cborda dein- ceps efü babitura , quatenus fcilicet eius. vibrakiones fuerint quam minimae. Perfpicuum autem eft , olitipd ids quam dedimus, non folum effe admodum facilem et con- cinnam , fed etiam naturae quacftionis admodum cons Tob. V. Fig. 2 490 ^ DE :CIHi0 R D'I$ : tonformem:; quaodoquidem. ad: omnes. flatus. | initia- les eft alicommodata ,: dum aliae: folutiones , quae plerumque prodierunt , tautum ^ad certas ,. cur- varum fpecies , ad quas chorda idter vibrandum fe Gortiponere- foteft j fudt reflrictae, | [Nemo autem ne- gare poteft, quin flatus. initialis chordae penitus a noftro arbitrio pendeat nec quisquam . oflendere eft conatus, quod chorda femper íe ad illas. curvarum fpecies formare, debeat , poftquam ipfi iuitio aliaé figurae fuerint impreffae ; quia etiam ipfe Hüftr, D' Alembertus hoc negotium non (íüícepit, fed po- tius declarauit , illis cafibus, quibus chordae initio figurae ab me curuis difcrepantes fuerint. inductae , motum fecuturum ope Analyfeos plane' affignari nor poffe ; quod equidem de. Analyfi ordinaria. facile cón- cedo; atque in hoc ipfo nón pirum mihi pre(ti- tiffe videor , quod nouum illad Analyfeos genus ;, quod circa funciones duarum variibilium* veríatur, felici^. fücceffu. ad motum. chordarum adpliguerim. Vt autem omnibus plane dubiis occurram ,. aliquot cafus fimpliciffimos , qui Analyfi refragari videntur, euoluam ac deinde oftémdami, reámi folutionem non folum experientiae ,' fed' et omnibus: moruuf prin- cipiis: perfecte effe confentaneam. | (om^ did Gáfus primus. : | Si chorda initio a (tatu náturali A D. ita* fue rit didudía;, vt^ triangulum ifofteles: A D B''confli- tüit, cuius quidem altitudo: C D fucrit- quam- mi- mima ,- hiücque fübitó' dimittatut., vc ,motum "H2 3 quic- ————— VIBRANTI;B,VS 4ot a. quiete incipiat , inuenire eius motum. vibra- torium. | | Euolutio. $. 2o. Cum ergo initio omnia chordae cle. menta fuerint in quiete et fingula puncta in vtro- que latere A D et B D nullis plane viribus follici- tentur, quoniam tenfiones chordae vbique funt ae- quales" et contrariae, cuidens eft, primo inflanti omnia haec puncta nullum motum adipifci , fed in quiete effe permanfüra; folum füpremum elemen- tum in apice D fitum ob tenfionem chordae vtrin- que oblique follicitatür , fecundum directiones; D: A. ct D B; inde ergo wtique nafcetur vis fecundum directionem D C follicitans, ex quo punctum D re- wera in directione D C moneri incipiet , dum omnia reliqua chordae puncta adhuc in quiete perfeuerant. Statim autem-atque hoc puncum D moueri ínci- piet ac primo quafi infante ad G. vsque peruenerit, nunc puncta illa E et F ad motum concitari inci- pient, propterea quod tenfiones vtrinque circa haec puncta non amplius in aequilibrio fünt pofitae, dum Feliqua puncta ab E verfus A «ta F verfus B etiam nunc manent immota, - Puncta autem in fpa- tiolo E GF fita, quia non amplius | follicitantur , motu iam acquifito verfus axem A B properabunt , fieque denuo quopiam tempufculo elapfo chordae inducetur figura A 2f B, hocque modo tandem ad ftatum naturalem .A B perueniet ; vnde fimili rnodo in plagam oppofitam extrauagabitur. Tom. XVII. Nou. Comm, | Eee 6$. 2r. "Tab. V. Fig. 8. 402 DE: CHORDIS 6$. 21. Qui haec attentius perpendere voluerit, fine dubio. concedere cogetur, chordam tali modo, vt diximus, ad motum íe effe compofituram. Vi- deamus ergo , cuiusmodi. motum folutio noftra ge- neralis fit praebitura; íi enim ea ad fimilem plane mótum- perduxerit ;- dubitari certe amplius non po- terit, quin €a fit veritati confentanea, Sin autem alm atque diuerfüm motüm inde inuenerimus : tum ea fine dubio pro fufpe&á haberi poteft. Li 6. 22. Quia omnes ccleritates initiales euane- fcunt ficque -fcala celeritatum in: ipfum .axem A B incidit ;.etiam areae illae A X Z (fig. 5.) euanefcent hincque linea illa F V.G erit reca axi A B. paral- Jlela.ab.eoque interuallo .arbitrario A F — C G- re- mota;. ex. quo fcala conftructionis fequenti modo erit comparata. ' Scilicet fuper interuallo : principali A B exiftit etiam A ifofceles a « b, cuius altitudo tantum femiffis eft figurae initialis C D. . Interuallo autem |.A A'! finiftrorfum fimile A ifofceles fitu in-- verfo imminebit 4'o/g atque hoc. modo dextram verfus füper interualla aequalia fimilia triangula al- .ternatim deorfum et fürfüm vergentia exítrui debent atque. ex hac fcala. vtique - dp: poo Np e initialis. refultat. .$. 23. Quoniam hic tempus vnius vibrationis habetur — 2, fumto interuallo A Ter d, pun&um T incidet in ipfum .punctum D, vnde. fi- gura chordae fimilis prodiret initiali , fed in pla-- Bam oppofitam verfa, vti natura vibrationum exigit ; tempo- VIBRANTIDYS 493. tempore autem medio, quo £ — —, Ae PR illud T in fcala conftructionis füb ipfo apice erit fitum , hicque manifeftum eft, pro figura chordae omnes adplicatas in nihilum effe abituras feu momento lioc medio chorda per ipfum flatum | naturalem tranfit , ls id quod etiam nulli dubio eft obnoxium. - /$. 24. Quacramus vero figuram . chardae s pro tempore ? — ; ita ,.vt fit. ATecepciumVAB et quamdiu abfciffae x funt minores, quam AT x — 44, adplicatae y continuo: creícere | debent | ideo- 'qüe tantum, quantum in figura: initiali a pun&o A increfcebant ; . fimulac: vero abfciffa x euadit — 124, adplicata y aequabitur dimidiae altitudini figurae ini-: tialis. Nunc igitur capiatur abfciffa x maior,:.quam 40, 3C facile patebit. I adplicatas -y prodire inter fe aequales et quidem — £4 4 — A 4, quod euenit ,:do-: nec fiat x —ia,.Ííicque per hoc fpatium. portio chordae parallela erit axi A B; fin autem. x2 i2; adplicatae denuo ' decrefcent- vniformiter , donec in ipfo :termino : B euanefcuat. Confeqüenter elapfo tempore ; — .*.; chorda figuram habebit ^A E TB. cum figura initialis. fuiffet A D B, ita, vt crura: ila A D et D D in pun&is E et F'bifecentur. et portio E F axi fit parallela; patet igitur , quod .ini- tio monuimus , folam chordae portionem EF huc- vsque effe; promotam ; portiones autem extremas "ACE et BF. etiamnum manfiffe immotas.;. qui-;er- 8o motus cum: extra; omnem dubitationem fit. pofi. tus; foliditatem noftrae folutionis generalis maxime Ece2 confir- "Tab. A Fig. 9. 404 DE CHORDIS confirmat, ita; vt nunt quidem - nulli iam ade locus. xélinqai videatur, $. 25. Statim quidem: obiicietur , cum initio chorda in angulum A D B | fuerit cfformata , , hunc angulum in fequentibus vibrationibus continuo magis magisque obtufum fieri; ac fortaffe adeo ad expe- rieütiàám prouocdbitur, quód equidem: megare- neuti- quam füftineo; verum hic probe obíeruari conueniet; in noftro calculo. chordam perfecte flexibilem effe as- fumtam , ita, vt flexurae angulofae neutiquam- refi-. flat... Cum autem nulla chorda ex quacunque mate- ria confecta plane omni rigore fit deftituta ; | huic ipfi cauffae vtique erit-adfcribendum ,. fi. illi. anguli: inter vibrandum continue magis obtunduntut neque ergo.hoc etiamfi experientiae fuerit confentaneum , noftrae methodo vllam vim inferre poteft , vt^ eius foliditas inde aodio di reddi queat. | | P fecundus. Si M AER Tb. V. Si initio non tota chorda A B; fed tantum ig. 1c. eius femiffis A C in figuram trianguli ifofcelis A C diducatur; altera parte C B manente immota ,. tum vero. chorda fubito ex hoc ftatu remittatur; inue- fligare eius, motum. tremulum fecuturum, 1 Euolutio. " Su '" 6. 26. Hic cafus eo magis eft memoratu . di- gnus, quod non folum lll. Z' A4Jembertus ,' fed etiam alii, qui idem argumentum tractauerunt ; iftum ca- —- - fum VIBRANTIBY s 405 füm hon fünt aufi attingere, eumque acco A'a'yi aduerfari- fünt "arbitrati. — Ante autern quim cius euolutionem füfcipiamus', populari rTatiocinio vtentes videamus , cuiusmoii motus infequi debeat ac primo quidem cum chorda. ipfo initio füerit in quiete , euidens eft, haec duo tantum puncta Z et C ad motum. follicitari , propterea quod in omniius reli- quis chordae, punctis tenfiones virinque fe in acqui- librio foruant; hinc ergo pun&um 4 axem AB verfus "vrgebitur, pun&um C vero ab axe furfüm detorquebitur, quoniam alium motum nifi in dirc- &ione ad axem normali recipere nequit, —Sequenti- bus vero porro temporis pundliis continuo maior trianguli A 4 C portio ad axem accedet , fimul vero alterius partis C 7. portio quaedam fupra axem cle- Vabitur, et fic mox vndatio furfum vergens A dC vsque ad alterum terminum B propagabtur , quae «um negari mnequeant, videamus , qualem ^ motum nofira folutio producere: debeat. | | —., 6$. 27. Quia primo inffanti chorda motum ex quiete incepit, fcala conftructionis ita! erit compa- rita, vti figura exhibet , fcilicet interuallo A B , quo ipfa chorda refertur imminebit fala a à vt, f- milis plane ipfi figurae initiali, triangulo nimirum Mofcele a 3 -y et reliqua. portione / recta 'Y B confi- ftens , hoc folo difcrimine , quod hic trianguli alti- tudo duplo minor eft, quam in figura initiali 5; at vero finiftrorfüm eadem figura fitü innerfo eft deli- ncandas, ita, vt portioni axis A € immineat Aabe EM Eee deorfum Tab. V. Y'ig. 1I doe. DE CHORDIS : Tab. V. F ig. 12. deorfum vergens; reliqua parte c'a exiftente reda axi parallela ; quo facto haec figure a c0... Q. axi 9(B- 22a infiflens replicetur :dextrorfum, quousque libuerit; fingula porro interualla 9( A , A B, B E' in. quaternas partes fecentur , quo facilius | flatus chordae fequentes fcrutari valeamus. | . Bid ds "6. 28. Cum tempus vnius vibrationis fupra fit inuentum — *, ipfa chordae longitudo A B— 2, tempus vnius vibrationis exhibere cenfeatur , ideo- que quartae illae partes in figura expreffae etiam quartam partem durationis vnius vibrationis eXhibe- bunt atque hinc ad temporis momenta ab initio - elapa t2; 12; ia et a figuram chordae explo- remus. CARN UP TV (fig. 4) in pun&o D erit accipienda , et cum femper pro abfiffa z — o adplicata in ipía chorda etiam fit — o; pro abfciffa x —2z«— A D adplica- ta erit Cy —Aa—0 vnde patet, chordam ab A vsque ad D in ipfum axem incidere. ^ Tum vero capiatur y —14— AC; atque in fcala relationis adplicatae a T V vtriuque hoc interuallo diftantes . erunt Ec et $95 ; vnde pro figura. chordae adplica- ta erit Ec — $95 —Coc, ita, vt iam Dz fit. por- tio chordae; porro fumamus x — 2 — A E atque in fcala relationis a. puncto D vtrinque capiantur tanta interualla D B — D € — £a et iam noftra ad- plicata; erit. B — €«— 0, ita, vt in hoc loco puncum chordae iterum in axem incidat; denique DOPO 6. 29. Pro tempore igitur —!2 adplicata illa - VIBRANTIBDBVS 403 pro abíciffa x— 4 in «fcala relationis a pun&o D abfcindantur vtrinque interualla .D.D' — D € —23; et iam adplicatarum differentia in his pun&is D'e —(&5—0; hinc igitur coguofcimus elapfo tempore —.ia figuram chordae ita fore. comparatam , vt vtrinque per interualla A D et B.E chorda cum. ipfo axe conueniat; per interuallum autem D E triangulum ifofceles furfüum formet A c E cuius. au- tem altitudo Cc duplo erit minor, quam in ftatu initiali ; ita, vt vndatio vsque in fpatium D E fit promota. $. 80. Ebr iam ab initio fit tempus !4 et nunc adplicata illa T V conftituenda erit in ili Hun&o C, a quo Pune (uccolfiie vtrinque capi debebunt icerbatla 405350524 eta ac primo pro x -— i4 habebimus in fcala relationis-adplicatas Ec et Dó, quarum differentia Ec- D3 fit negatiua fiue pro abfiffa x — ; 2 oftendit adplicatam deorfum verfam , quae iterum erit duplo miuor,. quam in figura initiali. ^ Capiatur nunc x — AC — ia et in ícala conftru&ionis habebuntur binae adplicatae D (9 €t A a, quarum differentia euanefcit , ita ,. vt in pun&o C chordae adplicata iterum — euanefcat,' ita; vt hic ^ ifofeles fub axe deorfum fit. verfum. Por- ro füumto x — i24, in fcala conftructionis habebuntur adplicatae D &/ et $5, quarum differentia erit. po- fitiua et duplo minor altitudine trianguli in figura jnitiali. — Quocirca. elapío tempore — 7 4 chorda in duo triangula ifofcelia erit inflexa ,. priore deorfum , pofteriore vero furfum vergente. - | $. T Tab. V. Fig. 15. "Tab. » Fig. 1 408 "ODE:CHORDIS: $. 51. Elapfüm iam ab initio fit. tempus :4, et nunc adplicata T V ftatuenda erit. in E; hinc pro figura chordae füumatur primo x—,;24 et in. fcala. conftructionis habebimus binas adplicatas B 8 et C y; quarum differentia — o. oftendit portionem chordas A D in ipfo axe fore fitam; capiatur porro £i ua-ccAC,et in fcala conftru&ionis habebun- tur: binae adplicatae D'c et D9, quarum dif&ren- tia. negatiua aequabitur femi(h aluitudinis trianguli in figura. initiali. « Sumto autem , X — $4 binge ad- plicatae in fcala erunt. C! «y^ et ripis quarum difie- rentia — Oo oftendit chordam in: E | in axem inci- dere pariter atque per totum. interuallum | refiduum E B ficque manifeftum eft, hanc figuram. fimilem prorfus effe illi,» quam pro tempore elapfo EE Anicpimmyg nifi qned) haec fitum inuerfum teneat. $. 32. Elapfum denique fit ab initio tempus -- 4, ita , vt hic figura chordae circa finem pri- mae " vibrationis fit definienda et. nunc adplicata . Alla T V incidet in B, ex quo ergo vtrinque abícinda- mus interualla :4; ia et ia. . Nunc ergo. pro x--1a in fala habebimus binas adplicatas D'e! et Ec, quarum differentia — o praebet. pro chorda y-z20. Sit nunc x — 1a,et binae. adplicatae in fca- la erunt. C'»y! et Cy quarum differentia iterum —o * praebet y — O, ita, vt iam tota prior femiffis phare dae in ipfum axem iucidat. Verum fümto 1-24; binae adplicatae fcalae erunt B/ó/ et. D 9, Ero differentia eft negatiua atque ipfi altitudini trianguli in VIBRANTIBVS 459 in-ftatu initiali gequalis ; ex quo patet, hanc chor- dae figuram proríus fimilem et aequalem effe ip& gurae initiali , nifi quod eius fitus fit inuerfus ; et cum iam prima vibratio fit terminata, etiam fequens motus per fe cognofcetur; ita, vt fuperfluum foret has determinationes vlterius profequi. 6. 53. Omnino igitur noftra euolutio motum oftendit illi , quem coniectura collegimus ; 'confor- mem ; ita, vt hinc nullum amplius dubium contra hanc folutionem moueri pofht; quare cum ifte cafus maxime adueríari fit vifus, eo iam feliciflime «xpe- dito meam theorram de chordis vibrantibus abunde extra omnem dubitationem collocaffe mihi equidem videor ; atque adeo fpero, in pofterum X woe ob- ie&ionibus fufficienter effe refponfüm , its, wt fü perfluum — foret , Hei cp cafus fimili modo euolucre. H -, Tem. X VII. Nou. Comm. | Fff ANI- - BS ^ ed (e )f59e ANIMADVERSIONES IN SOLVTIONEM BERNOVLLIANAM " | DE MOTV CHORDARVM. EX DVABVS PARTIBVS DIVERSAE CRASSI- ^ TIEI COMPOSITARVM. TOM. XVI. NOV. COMMENT. Auctore L. EVLE RO. (Q7 haec folutio plurimum diffentiat ab illa , X quam iam olim de eodem. argumento dede- ram , atque adeo a methodo mea huiusmodi quae- fliones tracandi maxime difcrepet , Illu(tris. Auctor veritatis amore ductus, non aegre feret, fi omnia momenta , quibus eius folutio innititur , ad examen reuocauero , quoniam enim huiusmodi quaeftiones plane nouae Analyfeos genus , cui Geometrae adhuc parum fünt affuücti ; poftulant ; mirum fane non eft, fi in folutionibus etiamnum ingens difcrimen depre- henditur. I. Principio Hluftris Auctor innuere videtur, in chordas inter vibrandum alias figuras cadere non poffe, nifi quae ad genus lineae finuum referantur , quem tamen etiam aliae vue quaecunque 'Íocum ftii | habere DE MOTV CHORDARVM. 41I habere queant, fiquidem totus chordae motus a fi- gura, quae ipfi initio fuerit impreffa , pendet, haec figura autem plane arbitrio noftro relinquitur ,. inte- rim tamen facile concedo, talem figuram chordae ex duabus partibus inaequalibus compofitae conuenire poffe ;, quemadmodum autem motus deinceps futurus fit comparatus, Illuftris Auctor fingulari plane ra- tione ipueftigauit loco citato, quam. meo equidem more hic ob oculos fum expofiturus. II. Sit igitur chorda A B C, ex duabus par- Tab. VI. tibus inaequalibus A B et B C conflata, atque in Fig. 5 terminis A et C fixa, ponamus longitudines : vtrius- que partis A B — a et B C — 5, maffam autem illius portionis — A, huius vero — B, ipfa autem chor- dae tenfio fit — F, tum vero flatuatur breuitatis gratia | n anBP ou et EEe- aps ' vbi littera b indicat altitudinem, vnde grauia. delas buntur tempore. minuti fecundi, vt fcilicet hoc mo- do tempora in. minutis comandi. exprimi queant. III. Inter vibrandum autem elapfo ' tempore — fec. induerit chorda figuram A F C, quae qui- dem in genere linearum finuum contineatur. Sum- ta iam in parte A B abfciffü — A X — x, cui re- Ípondeat applicata X Y — y, pro portione autem altera , notetur abfiff B X — x', et applicata X! Y! — ^, tum vero principia motus féquentes fup- peditant aequationes. Pro priore quidem parte A B habetur : : | ! Fff2 (125) T 412 D E MOTV (22)— ——L n ($54 xi ) 3. fimilique modo pro 3 DC ($50 — 88 20 quae formulae vtique omnes motus s: goffübilepa ij qui quidem in hanc chordam cadere poffunt , in fe complectuntur. His expofitis, llluflris Auctor; Te c«urua A F, hanc conftituit aequationem. - J — m fin, 65 Gin, *2, pro altera vero F B iftam: 4! — n fin. 61 fip. ATESOE in quas formulas fimul ipfum tempus elagfing in- troduxi , quo facilius deinceps tempus cuiusque vi- brationis cognoíci poflit. Nunc flatim perfpicuum eft, in his duabus formulis tres quantitates indefinitas contineri, litteras fcilicet 0 et f vna «um ratione in- ter coefficientes 7; et 7, quibus ergo tribus conditio- nibus fatisfieri poffe videtur. IV. Sequentibus autem tribus conditionibus Il- . luftris Au&or fatisfieri oportere ftatuit. 1^. Scilicet in ipía iunctura B vbi x — a et 3! — o, vtraque applicata » conuenire debet , vnde oritur ifta aequa- litas t (in, * * — n fin. 0 f. Deinde quia chorda in puncto C fixa ponitur , facto 3! — b, femper effe oportet fin, & (f -i- $2 2 o, Mn | vnde CHORDAR VM, 413 vüde iam duse quaütitatum illarum | indeterminata- rum determinantur, Tertiam autem determinatio . mem inde petit, quod ambabus part;bus in ipfa iun- &ura F communem tribuit tangentem , vnde vtique fequitur effe debere 2 cof. £ — f cof. 8 f, hocque modo ternae illae quantitates indefinitae egre- Bic determinari videntur, V. Quod autem ad hanc igi conditio- nem attinet, equidem nullam rationem pérípicio , cur in puncto F, vbi ambae chordae partes iungun- tur, vtraque taagens abfolute congruere debeat, prae- cipue quum hic tantum de vibrationibus infinite paruis agatur, ideoque nulla fenübilis diuerfitas in inclinatione elementorum locum habere pofüit. Sta- tim equidem íüfpicatus eram hoc ideo ab Auctore requiri vt acceleratones prope iun&curam F vtrin- Que ad aequalitatem redigerentur. Verumtamen ne haec quidem couditio hoc pa&o adimpletur. , nam vis acceleratrix in hoc loco ex parte priore eít (zz )--—Zz fin. 9*,. ex EE autem fit jg fin. 0f, quae E. sies nunquam aequaks effe pos- funt, quamdiu litterae a et (2 difcrepant, quum pri*- ma conditio iam poftulauerit. gi (in. *? — 9 fin, 0 f, y: : [eu M Fffs VI. 414 | DE MOTV VI. Non folum autem haec conditio mihi non neceffaria videtur, fed etiam mox oftendam, eam plane effe fuperfluam et plerumque indoli quaeftio- nis aduerfantem. . Hic faltem extra dubium pofitum videtur, omiffa hac conditione problema adhuc in- determinatum reli&um iri, ^et litteram 0 nondum dcterminati , et quafi arbitrio noftro permitti. Ab hac littera autem pendet tempus cuiusque vibratio- nis, quod autem experientia tefte nequaquam inde- terminatum effe poteft, etiamfi in jun&ura F inae- qualis inclinatio admitteretur. | 5 fn: VII Poftquam autem has rationes diu "mul- tumque mecum perpendiffim , tandem vitium ali- quod in eo latere deprehendi, quod ambo coefficien- tes m et n inter fe quafi inaequales fpectantur , quo- rum tamen aequalitatem rei naturam —poftulare ita manifeftum reddetur: Vt in ipfa iun&ura F omnis falus et continui interruptio euitetur , non füfficit , vt pro axis punco B vna eademque applicata y vtrinque refültet, fed etiam ipfi anguli, quorum fi- nus in fuperiores aequationes ingrediuntur , ordine non interrupto progredi debent, ita vt in ipfo, pun- &o B ambo illi arcus , 55 ex priori parte, et. ef ex pofteriori aequales fieri debeant , vnde ftatim col- ligimus f — 7, haecque adeo conditio potior vide- für, quam altera, vbi ipfi finus horum arcuum fpe- &antur. Sumto autem f — ?- valores illi ipfius y aequales inter fe fieri nequeunt, nifi ftatuatur nm. Statim autem ac flatuamus z — 5», quia iam ma&i | E fumus CHORDARVM. 415 fumus f — 7, fola fupereft quantitas indefinita 0, inde viique determinanda, vt punctum C maneat fixum, ex quo manife(tum eft, circa inclinationem illam elementorum in pun&o F nihil prorfus arbi- trio noflro relinqui. . VHI. Hac circumftantia autem probe obferua- ti, etiam fuperiores formulae Bernoullianae egregie cum mea fíolutione confpirabunt. Pofito enim n—metf-—l, fumendo x! — 2 in ipfo termino C applicata oritur j!—m fia. 6 (2 -- 8), quae vt femper fiat o, arcus, cuius finus hic occur- rit, vel o, vel 180, vel 360 effe debet , ponamus igitur | ec 24 g) —7, | fiue angulo 180?, ficque iam littera 6 determinatur, vnde fponte tempus vnius vibrationis fe prodit, quum enim omnes applicatae initio vbi 7 — o, füerint. o, idemque denuo víu veniat fi 07 — 7, tempus vnius . vibrationis hinc irbanifelto fit 7 —67, quod confe- quenter erit — 7- -- t idque in ipfis minutis fecun- dis expreffum , . jamque ergo euidens, eft, tempus vi- brationis nullo modo ab angulo illo infinite ,paruo , quo elementa circa. iun&uram F forte ad fe inuicem inclinantur, pendere, prorfüs vti ipía experientia ma- nifefto declarat ,. id' quod etiam . Piiieis cum. mea Theoria.copgrüit, «500 0o 6s ghe AT PREE IX, » £16 . DE MOTV IX. Neque vero hoc tempus vniüs vibratio- nis ad figuram illam , qua chorda fecundum liveam fiuuum incurtuatur, eft adftrictum , * fed. quaecunque alia figura eidem chordae initio füerit impreffa , eo- dem femper tempore eius vibrationes abíoluentur , nifi forte ob fingulares circumítantias eueniat, vt motus vibratorius vel duplo, vel triplo, vel qua- druplo etc. crebrior reddatur, id quod: fequenti mo- do fücile oflendo. Priori formulae (422) — aa ($22) qua motus prioris partis exprimitur, in genere fa- tisfacit hoc integrale completum ; | yzO:G--E)— v :(6—2), vbi (Q et wp fünctiones quascunque fübiun&arüm . quantitatum 7 -1- 7- et — 7 defignare poffunt , quod non folum de fuactionibus vere analyticis, quas fci- licet per formulas analyticas exprimere: licet, eíl intelligendum ; fed ctiam ia genere valet pro fun« &ionibus discoutinuis , feu quae pcr cüruas quascuns que libero manus tra&u delineatas repraefentari pos- funt, ita vt formu'a Q^ :(; -1- £) denotct applicatam cuiuscunque curuae, abíciffae z -4- K. refpondentem ;. fimilique modo altera formula wp:(7— 9), fius eiusdem fiue alius cuiuscunque lineae curuae appli- catam , abíciffae 7 — 7- refpondentem. X. Haec fümma -vniuerfalitas probe eff no- tanda , quum ca demum indoles quaeftionis exhau- - riatur, CHORDAR'V M. p riatur , quandequidem chordae initio figura quaecun- que penitus ab arbitrio noflro pendens indüci qiüeat, cuius étiam. nàturam nulla analytica aequatione com- prehendere liceat ,. Beque.etiam. quod faepius — methodum .meam uit obie&um, neceffe eft, curuae illae characteribus (D et vp. defignatae ikd- bili: quafi tracu. procedant, fed etiam aeque fatisfa- ciunt, quamuis ex pluribus lineis rectis , vel portio: nibus aliarum curuarum , vtcunque inter fe et. fub M^ per fractionem am nfihife pirdam ji pod cando. Quod autem huiusmodi anguli in iftis cur- yis.» et Ap, nullam moram faceffant , "vel ex hoc folo. «afu liquebit , quando in his curuis adeo cufpis occurrat. Si enim pro fun&ione (p abíciffá ur ponatur — £, fi füerit bw uzYg(e-uy j haec curua vtique pro abfciffa 4 — & habebit ' cufpiz dem parabolae cubicalis Neilianae , interim tamen haec ip(à formula etiamnunc aequationi differentiali perfedte Grisfieits quum enim ob 4—7-4-2. fit ju: LI, et. $4 — — a5 pofito J20: M c Y e (c — uy, per differentiationem nancifcimur , fümta ue ; va- riabili : 418 — ; DE MOTV:' 3 454 meii bs '" et (^ md ———— — f Y (cay ei tum- "Yero: / fumta fola x variabili reperitur ^ ' (iis [11 2n n 2Yc diac BE ddyw—— 360 i) VI - (1s) — redd. j : q« Y (c-— u) ficque. manifefto eft (422)— —a&wv (£22) » neque cufp's illa. infinite acuta vllum aie impe- dimentum, multo minus ergo ciusmodi anguli, qua-* les iu his curuis (^ et xp admittimus , Yilo odR fucceffum noftri calculi turbsbunt. En Xl. Eodem autem modo pro altera chordae pute DB C, cuius motus hac aequatione continetur (382) — 8 8 (522) in genere íatisfiet hoc integrali bei e ; J —0:u-r-f--g)—v:G-f- vbi characteres (D. et Np. iterum — quascun- que denotare poffunt , fiue easdem vt ante, fiue etiam diuerfas, id quod ftatim clarius exponemus, Quum pro vtraque. parte chordae applicatae y per binas functiones (D et xp exprimantur; ante omnia probe obferuaffe iuuabit, vtrasque iftas functiones feorfim aequationi differentio-differentiali conuenire. Ideo enim huiusmodi functiones funt introductae, vt integrale completum obtineremus , deinde vero ma- nifeftum eft; pue formulam pro parte, A B; j tantum ! CHORDARVM. 419 tantum valere a termino x — o, vsque ad termi- num x-— 4, fimilique modo altera formula pro pat- te 5 c valebit 3 termino x/— o vsque ad 2'— &., XII. Quum iam curuae illae functionibus [0 et v expreffae continuo quodam tractu fine . vlla - interruptione progredi debeant , hoc aeque de abícis- fis quam de applicatis vtriusque eft intelligendum , pofito ergo pro ipfo pun&o B in priori formula xa, in altera vero 3x/— o, vtrinque eadem ab- fciffa in. illis "pir yd ud ex quo fta- tim fequitur £d-LIÍ—ÉH d-f , : ideoque T 2., deinde vt etiam pro puncto B ea- dem FER: B F obtineatur , debet effe Q:G4-2)— 0:0 4-7) 4 ois ficque ob - manifeflo pofterior fun&io (b cum prio- ri debet cohténite: ; quod etim. de Mie d c V eft iege odas | SCIT. His igitur expeditis pro motu portionis A B, habemus hanc aequationem : . jy—0:0--2)—wv:C—2) quae valet ab x — o vsque ad 7; pro iltera a autem portione B C habemus: y/20:€4-£--D-w: pDP. quae valet ab x! — o, vsque x/— b, atqué hoc qui- dem DM indoli quaeftionis refpe&u iun&urae in r Ggge puncto 420 DE MOTV-. puncto B eft fatisüctnm. . Nunc igitur. efficiendum eft, yt. in ipfo termino A. vbi x — 9, epplicata y fempet.cnanefat, quod vtiqne euenit , fi. fun&io. Np rorfus conueniat cum functione QD, fiue binae li- M" illae curüae his fun&ionibus repraefentatae in Viícam. coalefcere debeant , dps fieri debeat | QibmNPitEo Tene igitur , yt in altero termino, B, »bi EA à etiam applicata ?^ perpetuo ad nihilum sedigatury sad quod. ob qp — e Eu yt. fit Mir e: gs cg -0: (t -£—5)20, quod quidem non. is facile etii poffe - b can at pofito. SES 4 23M - EC E — v , hinc ifta conditio exoritur , vt ft Qin €MRELO:uw,. vnde. intelligimus curam illam , qua functio ( re- ; praefentatur , ita effe debere comparatam , vt quae applicata conuenit abKiffae cuicunque v, eadem quo: que abíciffae v -- 52 --*? itemque duERC Po et in genere abide "UV AP AD G2 g conueniat , froid i numerum integrum quem- cunque. Quamcuaque ergo formam - habuerit ifla cprua, ea in infinitum. producta. infinitis portioni- bus aequalibus et fimilibus compofita exiftet, ine à terual- 98.4 CHORDAR V M. 421 teruallo fingularam harum portionum aequalium gh Á- Lu -- 2 - XIV. Hoc iam modo omnibus conditionibus , quas natura quaeflionis poftulat, pleniffime eft fatis- fadum , atque nunc facillimum erit tempus cuius- que vibrationis aílignare, quum enim initio fuerit t — o, euidens eft, elapfo tempore mue lth chordae eandem iterum figuram induci debere fiue chordam ad ipfum ftatum initialem reduci. Interea autem chorda cenferi folet peregiffe duas vibrationes, ficque adeo tempus vnius vibrationis plane idem erit, - quod iam füpra indicauimus, fcilicet | d m4 B Denique manifeé(tum eft, hanc folutionem generslis- fram ad omnes plane ftatus, qui chordae initio ine uci poffünt, patere , prorfus vti ipfa natura quaeftio- nis poftulat, quod autem fupra memorauimus ad hanc quaeftionem foluendam nouo Abalyfos genere opus effe, in eo eft fitum , quod noftra folutio com» ple&itur functiones plane arbitrarias , cuiusmodi olim paturje Analyfeos repugnare funt viae. | "Ggg3a3 DE 422 | ext32 ( o ) eco DE MOTV- | Fan VIBRATORIO CHORDARVM EX PARTIBVS QVOTCVNQVE DIVERSAE CRASSITIEI COMPOSITARVM. I Auctore L EVLERO. Le methodo, qua cafüm ab Illuflri Bermoullio — tractatum expendimus ; etiam motus :chorda- rum, quae ex partibus quotcunque diuerfüe craffitiei funt compofitae , facile et expedite definiri poteft , id quod cafu, quo chorda ex tribus tantum . gu partibus conftat , oftendiffe fufüciet, . Tab. VI. —T. Sit igitur chorda A D in terminis À ec D Fig. z. fixa ex tribus partibus AB—a, BC—; et CD—e compofita, quarum diuería craífities ita ad calculum referatur , vt ex genere, vnde portio A B eft de- fumta , chorda longitudiüis — & pondus babeat, — A; C€horda autem ex eo genere, vnde portio B C eft de- fumita et pariter longitudinis — k, pondus habeat — B, fimilique modo C fit pondus chordae itidem longitudinis k ex eo genere, vnde tertia portio CD eft defümta , tum vero fit pondus feu vis, qua ifta chorda tenditur, K, hinc pro qualibet portione fe- quentes quantitates determinetur denotante P altitu- dinem DE MOTV CHORDARVM. ^ 423 dinem lapfus vno minuto fecundo faci, ita vt fit b — 15i ped.Rhen. Statuatur pro prima portione 2bkt-aaj | pro fecunda portione 2bk.t —gg €t pro tertia portione quarum formularum rationem intelligere licet ex füperiori diffartatione , qua motum chordarum vni- formium generalifime determinauimus. *. His pofitis vocemus pro prima portione A B — 2, abíciffüm quamcunque A X — x et appli- catam A Y — y, ita vt x non vltra a augeri pos- fit, pro fecunda autem portione B C — » vocetur . übfciffa quaecunque a pun&o B defumta B X'— 5! et applicata X' Y! — 5/, vbi abfciffa B X! — 2! non vltra 5 augeri poteft. — Pro tertia autem portione CD -—., fit abfciffa a puncto C fumta C X" — x eique refpondens applicata X"Y"— j5!, vbi ergo po- fito x!—^«c in ipfum terminum D peruenitur. Tam elapío tempore 7, quod femper in minutis fecundis exhibeatur , per principia füpra ftabilita, motus fin- gularum portionum fequentibus aequationibus diffe- tentio - differentialibus definietur : l. pro portione A B (22?) —«a (22? o L] dd 4 RIA dd 4 Il. pro portione B B (77) — 8852) . 1 EET T IIl. pro portione CD (Z2)— Y Y G7) UD facile 424. DE MOTV fucile enim patet pro qualibet portione motüm pet eadem principia fcorfim determinari debere. 3. Integralia completa harum aequationum nulla plane laborant difficultate , quae ita fe habere reperiuntur : I. pro prima portione .y — IO *)-g-i) II. pro fecunda portione )/ — Qa-cfts 2 )7 NA fs x .ML pro tertia portione P d oV E) id quibus poflerioribus formulis quantitates f «et g introduximus , propterea quod abfciffie x! et x" non ab eodem initio A funt fumtae , praeterea vero cha- racteres (D, (Q, Q et. Vp, A^, Sp^. fun&ioncs quas- cunque formularum , quibus funt praefixi , denotare. pofiüunt , quas adeo per lineas curuas quascunque res praefentare licebit , nequidem eiusmodi lincis exce-. ptis, quae libero manus tractu duci poffunt. Nunc haec iutegralia completa ad ipíum ftatum chordae propofitae- adcommodari oportet ; ac* pro prima qui- dem parte, quia chorda in puncto A eft fixa, Por fito x — o, etiam fieri debet y — o, vade OritUF | (Dit — Ml ficque. functio xp congruere debet cum fapétinses 4. Hiac igitur fi ad ipfam jun&uram B progrediamur; applicata hoc loco erit: oQea2-06—-2. Eadem autem applicata ex formulis fecundac por- tionis, fümendo a! — o, prodit — Qaufy-v( - f), quae CHORD'A R V M. a2$ quae. exprefhio ergo illi aequalis effe debet, idque ita vt non folum quantitates functionibus fübnexae con« veniant, Ífed ctiam ipae functiones, quippe quod ratio continuitatis poftulat ; quandoquidem functiones Q et vp feorfim aequationibus differentialibus fatisa- ciunt; . Ob hanc ergo rationem flatim colligimus — $,tum vero !/ — (Q et xp/ — (p, ita vt pro idi portione B C s habeamus aequationem —Qeac--5-060-z-32, vod 'pro fequente siti C, vbi 4! zug applicata prodit m6 v. E.D- T -b, cui. ergo aequalis fieri debet tertia formula genéráfis fi ibi flatuatur. x — o, quae aea Q^(ra-0-wr-g, quocirca ob easdem rationes habebimus g — 2 -- 5, ac ratione functionum ( — (p et Xp/ — (D, ita. xt EP portione C D ifta valeat aequatio — J-6gr-tiprD-O00-l-6-—53M. Quum denique Muss hic 3/—ce, in termino D applicata iterum cuanefcere debeat , neceffe eft vt mur: ws Q(x-ic-RR-00-f-&R-652 vnde iam natura fundionis (D ita reftringitur , vt, 0G 2-2 g3)-9:5 &ilicet fi hae functiones -denotent. applicatas curuae "Tom. XVII. Nou. Comm, Hhh cuius- 426 4; DE MOTV. cuiuscunque, haec curua ita debet eftt MUR , vt abícilis interuallo 28 zm 2 h duis: Bee 4 dicibus. TEM vbique applicatie refpondeant. .- 1 -. 4 Aequationes igitur ad noftrum : cafum ac- commodatae pro fingulis Vecrincs atii ita fe habebunt s. " i ab )—0(42)- Qü-2) pto portione AB- J'cQo (t0 t2-00-L- *') pro portione BC «a J'—O( rrr) -Qu-r-g y) pro portione CD vbi quidem fün&io (D cám indolem habere debet, quam modo ante defcripfüimus , vnde ftatim colligi- tur elapfo tempore | — Tp -m omnes dg ideoque totius chordae seid ite- rum ad eum ftatum effe peruenturam , quem initio, vbi £ — o, obtinuerat , quare quum chorda interea duas vibrationes abíoluiffe cenfeatur , tempus vnius- Eon 4 NIDtOHpRis erit ?. 4-5 gg ehe in minutis Es M expreffüm , quae expreffio fine dubio fimplicior effe non poflet, 5. Ex formulis jnuentis porro facilis et fatis elegans conítructio concinnari poterit, fimilis illi , quam pro cafü' chordarum vniformium tradidimus , gue fcilicet epe cuiusdam. fcalae confiructionis per- | . ficieba- CH'OR'D' A;RUN M. 407 ficiebatur, Quocbiam autem formulae ? et 4,7, T meros tantum numeros indicant , multiplicentur eae per certam quandam Jineam arbitrariam , quae — i, in quam igitur omnes füperiores formulae , cha- raCeri fun&ionis (D fubnexae , du&tae funt toreilisei- dae. Atque nunc pro qualibet abíciffa in ipía chor- da et ab eius initio A fumta, in fcala confiructio- nis capi debebit peculiaris quaedam abfcifla ,, quam abfciffam. fictam adpellare liceat , et quam littera v defignemus , «uius relatio ad abíciffas chordae. deiusn aü modo. fe habebit : Pro abfciffa ipfius chordae| ^ Abfcifü fita $; pt ASK Tec is ; 1M rid i. Li j iibgg dM x'GULGO! y "e Wo ocPr MNA sos faooj Bos - rà —n i AE EU . HP. AX/—2-Eba! |o v— ise" pro. tota longitudine chordae ^^ ^ ^^ - S1 H |: Rig 1 --— (ow " ADcacb-u6,. abfciffa. ficia. eondet. id hd n "n Mou. Sob eco date cg eii ^ar u. amibdi' à atque hinc itn eft, quomodo: cuiuis abfciffie in ipfa chorda a termino da defümtae , eidem re- : ns ábíciffÜ fictà definiri: queat quib etiam. vi- ciffir qu Buy, d quauis "abíciffa Ln Dep E deus abfciffa éra chordae reperiatur. ^ ^^ urtos) tis adornandam in axe Ert SAPE. intervallum -— aicsi(r 4E n roh eb RE : "TE Hhh 2 fuper 6. Àd confirü&ionem generalem huius Problema- Tab. VI. $ 428 ^. .DE MOTV füper quo defcribatur linea. curua quaecunque 4 w, ita wt applicatae extremae 4o et iw fint inter fe Aecquales,. tum. eadem, haec curua tam dextrorfum quam. fiuittzorfum fuper. eodem axe replicetur .quo- ties. jubuerit, . Suffüciet autem vtrinque femel eara repetiuiffe ,.. quoniam - tempus £ non opus eft viua valorem d OL À aep) £01 - augere, tum fi ad tempus quodcunque 7 velimus chordae figuram affignare; a puncto fixo a capiamus interuallum 47 — i7, cui refpondeat applicata 76, quo facto, vt in ip chordae figura inueoiamus ap- plicatam , quae - refpondeat cuicunque abíciffae x, a- termino. A fümtae (vbi iam perinde eft in quam- nam portionem chordae alter eius terminus cadat), quaeratür primo abíciffa fica v illi refpondens et a puocto 7 vtrinque .abfcindantur interualla aequalia Iultugc-v, vt in fcala conftructionis habeantur binae applicatae sw s et 5's/, tum applicata fizurae cordae quaefita erit y — us — ws', quae operatio fi pro quauis abfciffa x inftituatur, hoc modo dceli- siPaortr tota cordae figura , pro ifto tempore 7. ro wn Tr 81 g.. Quod fi fuerit. red [9) et puj yu pun&o « capiatur, hoc modo rcfultabit. figura, quam chorda ipfo initio habuerit, tum wá etiam ipfe motus, qui fingulis chordae elementis inerat, facile innotefcet , quum enim in genere habeamus , 296 9- Q- 9 ; * erit CHORDARVM, 429 erit. celeritzs pun&i chordae refpondentis M)-iQ:(t--v—iqQ:(ii—eov, ideoque pro ftatu initiali — $3) —ib:(v) —idl:(—v) atque hinc vicifüm , fi flatus chordae initialis fuerit cognitus , tam ratione figurae, quam ratione mo- tus, inueniri poterit fcala conftru&tionis conueniens, id quod aliquanto clarius expofuiffe iuuabit. 8. Scilicet fi in flatu initiali, vbi 7 — 6, ab- fdiffe x a termino fixo A fümtae , cui sei Goddit abíiiffa ficta — v, adplicata fit —T:«e, quoniam fpe&ari poteft, vt certa functio ipfius v, celeritas a2utem in eodem loco fit — i ^': v, vbi A':v in d v duétum exprimit differentiale 4 : v, com paren- tur. hi. valores cum fcala relationis , atque habebi- mus has aequationes : « Qio- ) —oc 9) r:v et A'io— (v) — Q'(—«) quae quae poflerior meljuptio in dv inito et integrata dibei5 s; tinere litt: os6 aput e Qo)a- QC): 9-2 ex qua aequatione cum priore deducitur - vrai E LIE Pa et QC-9)-14: v-iTiv4iF eX quibus. formulis fcala relationis tam dextrorfum A quam finifirorfüm a termino v — o, vsque ad nid Minom | TA D EIC -hbaD ums Hhhs3 facile 450 DE MOTV facile conftruetur et fuper axe interuallum. du plo maius —ai(fa. e) complebitur , quam figuram deinceps. tam dextror- füm quàm finiftrorfum replicari oportet , caeterum notári conuenit , fi (cala celeritatum initialium füupet abfiffis fitis o exüruda: detur , ita vt eius. appli- cata fit 2 ^': 9, tum aream huius fcalae fore: ziA:v,ideoque A:q — tree, (ns ficque valor huius funcionis 4: facillime inno- tefcit. . Euidens eft hanc conftru&ionem prorfus con- venire cum illa, quae circa chordas vniformis cras- fitiei eft tradita. - 9. Caeterum diffiteri non poffumus, qnoniam in qualibet iunctura B, C lex continuitatis quodam- — - modo interrumpitur , etiam aberrationem- quampiam calculi a veritate admitti debere , quae autem quum tantum circa elementa chordae quam minima locum habeat, pro nihilo. haberi poterit, quam ob caus- fam hae formulae adhiberi non poterunt, quando chorda proríus habuerit crafhtiem per totam longi- tudinem variabilem , quia tum aberratio in omnibus quias, vfu veniret , Btque idcirco yalorem finitum. 4dquireret. " Huiusmodi. autem aberratio tantum. in figura. chordae: cerneretur, dum. tempus: cuiusque vi- brationis idem effet proditurum ; vti regula hic in- - venta poftulat, -quoniam ex aliis phaenomenis. iam fümus certi, tempora vibrationurn noi .a- figura chordarum pendere. 1 10. CHORDARVM. 481 $0. Quare fi chorda craffitie vtcunque — varia- bili fuerit praedita, pro abíciffa quacunque — zm, cra(fities ita fe habeat , vt fi corda longitudinis —& fuerit aeque craffi, eius pondus futurum fit — V, quoniam ergo huius elementi longitudo eft — 4x, fi ponamus 2 bk. x zu, pro formulis illis — & b c —uw? [3 L? etc. hic indefinite habebimus - , huius ergo formulae integrale , per totam cordae longitudinem fümtum, dabit tempus fingularum n, ita vt hoc tempus fit à dxvv- YG b & K)? dum fcilicet hoc integrale /7 x Y V per totam chor. dae longitudinem extenditur , quum igitur praeci- .pua quaeftio fuper chordis vibrantibus in hoc verfíe- tur, vt tempora vibrationum definiamus , ipfas au- tem figuras, quas chorda inter vibrandum induit, parum morari foleamus , quaeftio de motu vibrato- - rio chordarum, ex quotcunque partibus diuer(ae cras- fitiei eae fuerint compofitae , fiue adeo craffitiem ha- beant vtcunque variabilem , nunc quidem pro perfe- &e foluta erit Bri DE Tab. VI Fig. 4. 46s on wu E arduo DE MOTV ... 1 VIBRA'TORIO CHORDARVM CRASSITIE. VTCVNQVE | VARIABILI | "PRAEDITARVM. ^00 Auctore . L EVLERO. | I. NI huiusmodi chorda in terminis A et D fixa et tenfa a vi feu. pondere K, ponatur eius longitu. do AB-—2 et abfciffa portione quacunque A Xzcx, craífíties in x ita fit comparata , vt-fi haberetur chorda vniformis eiusdem craffitiei , cuius longitudo -—k, eius pondus futurum effet — X denotante X fan&tionem quamcunque ipfius x, quippe qua ratio craffitie variabilis continetur, hinc ergo elementi chordae 4 x maffüla fen pondufeulum erit — rtr ideoque pondus portionis A X —1/X4 x in quo ! integrali fi fiat x — «4, prodibit pondus totius chor- . dae 'A D. iita Ponamus .nunc elapío 7 min. iss wes chordae X perueniffe in Y, vbi quidem femper af- fumimus hoc interuallum X Y — y effe quafi infi- mite paruum , ita vt omnes tangentes in his punétis Y infinite param ab axe dechnent, ac pro puncto Y haec scili aequetur Snenlo minimo — 4. A C Haec DE CHORD. VIBRANT. CRASS. VARIA D. 433 Haec igitur applicata X Y — y erit fünctio binarum variabillium ; et x, vnde celeritas pun&i Y a X digredientis erit e 7) eiusque incrementum feu acce- leratio — 5, (722), pond b altitudinem lapfus pro vno minuto fecundo, quae ducta in maffam elemen- ti Zx dabit ipam vim , qua elementum in Y fe- cundum dire&ionem X Y follicitatur — Z2*(23») quia enim excurfiones funt infinite paruae, pundum J aliter moueri nequit nifi in directione X Y. III. Nunc igitur etiam vires, quibus pun- étum y reuera follicitatur , expendi oportet, quae aliae non fünt nifi tenfiones, quibus pun&um Y cum verfüs A, tum in plagam oppofitam verfus B vrgetur; fit igitur O tenfio punctum Y verfus A trahens, hincque orietur vis in directione abfciffae X A — Ocof. Q at in directione . applicatae Y X — O fin. o; at pro elemento fequente, quum fit eius inciiniao ad axem --oa--d« et tenfio — O -1- 2 O; hinc nafcetur vis fecundum X B — (0 -1- 4. O) cof. (o -4- 4 «) -et vis in dire&ione X Y — (6 -r d. €) fin. (o -- &. 9). —]sm vero vires in dire&ione axis agentes fe mutuo deflruere debent, quia alioquin pun&um Y non fe- cundum applicatam moueretut , neceffe igitur eft; fiat —- La O cof. à — (0 -F- d 9) cof. (o 4- du) | uen. XVII. Nou. Comm. lii ideoque | 434 DE CHORDIS VIBRANTIBVS ideoque d O cof. o0 — O. d o fin. o 2 6, ideoque dO-Odse rt quia autem "m o eft infinite paruus, vtique hinc f:quitut 7 O — o, ita vt tenfio O fit conllans feu per totam cordae longitudinem eadem ; quare quum in termino A tenfio manifefto aequetur pon- deri K, quo chorda tenditur , erit vtique O — K. IV. Contemplemur nunc vires in directione X Y agentes , et quia ob fia. o — ( 22) prior vis in directione Y X eft KQ2 altera autem huic contraria ipfo fui differentiali auge- tur eritque idcirco | -OK (22)4-R (333) ficque. punctum Y reuera in dire&ione X Y follici- tabitur vi —Kdéz(i4 d x? quae ergo neceffario aequalis effe debet vi illi acce- leratrici füpra inuentae, vnde exoritur i(ta aequatio s d dd ies : Tx qu)cKEdr(12); quae pr Kd4x dinit producit hanc acquationem finalem : ud (? Soy: -- (335) 2bk. K «( d t* d zi) Ponamus breuitatis gratia | T K — T1 dL . quae —— — iain m RU t CRASSITIEI VARIABILIS. : 4595 "quae ergo littera defignat functionem ipfius x, a tempore 7 immunem , ita vt habeamus ev (2 d) c LAUR (125 4»); dt? ax* quam autem ces adhuc nullo modo in genere refoluere licuit , interim tamen per feriem infinitam eius integrale adeo completum exhiberi poteft. De- notante enim € fünctionem quamcunque temporis £, litteris vero P, Q, R, S etc. functiones tantum al- terius variabilis x3; fingatur | 6 y —PO--Q29--R ud -4- S (72) etc. et "ing dd y CIC, Bi s ing (ar (dd ddQ (dd V HP et GC dani — e (2 T i xt C L5) "T co ) v Dx3 ) etc, quae feries vt praecedenti in zv ductae aequetur, con- fequimur has determinationes : "ugs" (45) — o ideoque P—«ax-- 6 d x? IP. (229) — w P; fiue Q— fd xfwPdx d x? An. (25) —wQ; fiue R— /2xfwQdx d x? .IV*. (C33) — w R; fiue S—/f/dx/wR4x et. d x* Verum hinc parum lucri impetramus , atque hanc ob rem conueniet cafus aliquot particulares euoluere, id quod in Problematibus fequentibus expediemus.. Problema I. | Inuenire clus, quibus aequationi diffcrentiali i in- ventae : ; vie xm 42) ; Iii $ fatis- 4356 — DE CHORDIS VIBRANTIBVS fatisficit haec forma integralis : y pO fad), vbi p, z fint fün&iones tantum ipfius a. Solutio. V. Character (D hic denotat functionem quam- cunque quantitatis füffixae £-1-//z 4 x, nmequidem functionibus discontinuis exceptis, cuius dificsin lali more folito , per (D, (/, (p^ etc. defignabimus, ex hac autem forma ftatim colligimus: (222) )-p d (t--f/sdx), tum vero reperimus (à5) — ($2) p(é- fa dx) pa (re f[242), hincque | (dy) 5 38? b (rim fada) 8S EREPE (t4 fads) dax? A-pusqQpg-afzdx), | cui illa. forma in x ducta diga debet, vnde fe- pd . $2$— 0; ideoque p — ax d *, ozdp--pdz—o ; fiue zip —C ideoque z— xt 2 CE III. tandem effe debet — 3 $ — Gzorge "Confequenter fi craffities chordae ita fuerit We X Tata, vt fiat aud uod cie) 3s W-— x uas? tum motum chordae a&u definire licebit. / Euolutio cafus quo craffities chordae ita variatur, vt fiat: x CIC VI. "* CRASSITIEI VARIABILIS. 457 - VI. 1n hac expreffione litterae. e, et f perin- de ac b, k et x denotant quantitates lineares, dum . litterae 7,2 aeque ac pondera K, X in meris nume- tis dantur, ita vt conditio praefcripta homogeneita- te. gaudeat. — Hac forma cum füpra inuenta collata elit; primo. C — c5 4 — V 5, et c f. iisgde p—nx--fetz- E CEIS hincque aM cdx — C (1... IBS —H Eon TE cl asp urea d E FIRED Quum igitur pro eadem chorda, cuius craffitiem qua- dratum cc inuoluit, loco c etiam — c fcribere liceat; haec quoque forma integralis locum habebit: ys fva m EP quocirca introducendo binas functiones arbitrarias (D et Xj nancifáimur verum integrale completum | pro nofiro cafu , ícilicet : )—0x-- f) - og hee a DV ID 2nmp VII. Nihil igitur aliud fupereft, nifi vt hoc integrale completum ad ftatum noftrae quaeftionis adcommodemus. Ac primo quidem quum pofito X — o, effe debeat y — 0o; euidens eft, functionem p alteri (D fub |figno contrario aequari debere ; ita vt iam habeamus Quo igitur. etiam in altero termino fümto x —a denuo fiat y — o, neceffe eft vt fit BU ^w iab litis vnde 438 DE CHORDIS VIBRANTIBVS vnde intelligimus, functionem (D fiue lineam curuam - hac funcione defignatam ita comparatam efle de- bere, vt dum abíciffae interuallo — 4275-5, augen tur, applicatae continuo eaedem récurrant , que admodum hanc conditionem in Differtatione fuperio- ri de chordis vniformibus fufe explicauimus. ^ Hine porro fequitur, quum initio fuiffet 7; — 0; elapfo tempore £ — 477^. min. fec, chordam perfedte in priftinum ftatum reflitui , duplici vibratione peracta, ita vt tempus vnius vibrationis futurum fit — fus cfi fec. fiue quod eodem redit haec chorda fingulis minutis fecundis £C a e ) abfoluet vibrationes, — Hocque adeo cafü abut" quam in fuperiore differtatione in- nuimus, egregié confirmatur , quod enim hic voca- vimus X, ibi erat V, tempus vibrationis autem as- feruimus ibi effe — / 25**., dum integrale per to- tam chordae longitudinem x — 4 eXtenditur, hic aütem tempus vibrationis prodiit — /'z 4 x , integra- li etiam per totam chordae longitudinem extenío exiftente Muy quae eft prorfus eadem forma. Problema IL Inuenire cafus, quibus aequationi noftrae df ferentiali talis fatisfacit forma integralis : yc—po ( 2a-f242)4-4 0 GE fxdx) hr Solutio. CRASSITIEI V ARTABILIS. 439 Solutio. VIII. Euolutione huius formae Got reperie- mus vt fequitur : DU fads) Qt - fzdx d (taf af d) (122 der TW. : aub AP qupd á de o qpIEMEEPÜ zs «^gz5 T- Bg Le wa pu tu quocirca fequentes conditiones adimpleri oportet EU. 42?—0; fiue p—ax- Qj ea IP. 2zdp--pdz-r-255—0; fiue 227—-(2 &dp4-pdz) Inr. 18155335. pzz-—pu; IV. q4zz—qw, ideoque z — v. Qui poftremus valor w — zz in penultima fubfli- tutus praebet 22d4-r-4qdx-—o, quae in 4 du&a et integrata praebet 2 44 — C: Hinc igitur habemus B6 ouigdge—*02 q 4 gd vnde noftra fecunda aequatio fit dd 2Cdp. 2Cbdq— á 220 ym Mp n [e] verum ob p-—ax--Q erit 2x—^2 ; et per 2 C diuidendo fiet cdi -- gi Q5 440. DE CHORDIS VIBRANTIBVS vbi elementum df fumtum eft conftans, Verum fecunda aequatio fponte fit integrabilis multiplicata per p, quum enim fit 7p — 27, ea transformatur in hanc: dd ry tPApazpdptppdz-o : cuius integrale eft ( 2(pip 148 I os pp — D. Modo ante autem habebamus z — .£., ita vt nunc Q4? habeamus &'$dq—qdp) C? — D "dp xw gU Eee quae pofito 4 — u f abit in hanc: appdu--e22? —Dd4p ynde colligitur dp — auudu «4 «c ii ad] 25 — gas p 4" D'Duu—cC vnde 4 per p vel viciffim facile definitur. Quo in- yento erit | LE E. ! [S em Cc m— p. drum M ae en q—puctz-r, t 1 -—5 is IX. Quia autem hinc quantitas y non per $, fed viciffim 5 per 4 definitur, excepto folo cafu D — o, quandoquidem quantitatem C nihilo aequa- re non licet ; cafus D — o vtique fingularem euo- lutionem meretür, pro quo ftatim habemus —aeuudu.-.dp L CI PX cuius integrale eft 1 — QU BU E T ideo- CRASSITIEI VARIABILIS. 441 E. Mec ED .(r -- E 8); Sidi porro - esr at J- Ef) — Y t£?? (x E j) C C cy S — pb TIL. OpYRIRED p Y p(--Epy Buc (t (CC muc ec em ET py e DRE — pb (rsEp) V :SPhG- Eg) e. ^ Ysrp(r-4-E D Hinc autem confequitur formula integralis led —— v rstexp X. Quo has formulas concinniores reddamus et fimul homogeneitati confulamus , ftatuamus bzznx--J; vtfita-n, tum vero fumamus D — EESRUE J-Ep-ttuÉR et habebimus c (n x A- f -- g) fadxc— y "g(n&--/) hinc $ o Ynnggc "4 non - 3Y (nx4f) (rfreyss - 9 V (nx) (nx-- fy Tom. XVII. Nou. Comm. Kkk ac 442 . DE CHORDIS VIBRANTIBVS ac denique — q— Y HUE ^ iadl Caeterum quia integrale /z d x ita capi conuenit, vt euanefcat pofito x — o, hoc obferuato erit 3 3 VUEAC M oo etinm |. mie ie. xÍ& ng(nx-J) ' XI. Quoniam v — z z, patet, pro eodem va- lore ipfius «» litteram z tam pofitiue , quam ne- gatiue accipi pofle, at fi eam negatiue capiamus , quod fit, dum loco c fcribimus — c, etiam littera 4 valorem fortitur negatiuum , vnde pro eadem ae- quatione diffrentiali etiam fequens forma integralis valebit y mp —fazdx)—aqwu' (t-fadx) quae forma fi ad ante inuentam addatur, habebitur integrale completum noftrae aequationis , quippe quod erit y—poG-rfsdx)*py a —fsda) 4 (ram f/2dx) 4 vt —/zd x Haec autem forma difficulter ad motum chordarum adcommodari poteft, quandoquidem etiamfi fumamus V c — 0 pro cafu x — 0o, non fit y — 0o, multo minus pro cafu x — 4 quaefüoni fatisfiezi poterit. Problema Ilf. Propofita aequatione differentiali fecundi gra- sa(137) zx (25; bio CRASSITIEI VARIABILIS. 44.3 vbi 2 denotet quamcunque functionem ipfius x tan- tum ; eius integrale per huiusmodi feriem infinitam exprimere : JzpO(t-- f/sdx)-d- a (1-- ad x)A-r (t4 f/udx) 4 5 QD -- f2 dx) etc. Solutio. | XII. Si finguli ifti termini per differentiatioe nem , vt ante , euoluantur, vbi iam vidimus effe t — 2 2, fcquentes conditiones erunt adimplendae: I. 4dp —o; Il. ^**--2zdp-X-pdz-o IIT". 777 -22dq4-qdu—o; IV?. 14* i ozdr-prda—oetc. Ex Eus ftatim colligitur $ — 4 x --f, fecunda ad hanc formam reducta Abs Adeo, P prts $4 — —f$ d. ppz ideoque og eii yps, quemadmodum autem hic 4 exprimitur per z et f, ita quoque r exprimetur per z et 4 ita, vt fit r——f[dxfgd.443, eodemque modo porro ;——fdxfid.rrsz etc. Alia Solutio. Solutio adhuc concinnior reddi poteft, fuümen- do z —ivv, vt aequatio propofita fit d.d ddy Kkk 2 tum 444. DE CHORDIS VIBRANTIBVS tum enim manente p —///x--f, íecunda conditio hanc induet formam dd$.j.ogdp--podv-o; fiue d x? ddq— —v(vdptpdv)-—oodpo, q—-—fdxfv.d.po, eodemque modo reperitur r-—-fdx[vd.qu et sz—fdxfvd.ro etc. XIII Haec ergo forma in infinitum eft coi- tinuanda , nifi forte eueniat, vt quaepiam litterarum q, *, * etc. euanefcat tum enim totum integrale forma finita exprimetur; «et quia pro eodem valore Z2-—i9, quantitttem z fiue y 4 ctiam negatiue fumere licet, gemina huiusmodi forma obtinebitur , quae. coniunctim integrale completum referet , id quod cafibus, quibus omnes hae quantitates euadunt fimplices poteftates ipfius x, clarius elucebit. Quodfi Quam ob rem quum pro his cafibus fit vel pz vel p — x, fequentes valores fequenti modo íe ha- bebunt : Pro primo cafa, quo p — I, habebimus NESLLLNKUN NEIN 2A(2 A -- x) pn 2A (22--D( 4A4-1)(424-2) & A(3X4- 1)(53- 2) . 5^5 2A(2A4- 1) (42-1) (434-2) (644-2) .624-5) ja haec $2—-— CRASSITIEI VARIADILIS. 445 haec progreffüo igitur abrumpitur, quoties fuerit vel A-o, vel 3^4-1—0 feu A——;, vel A——3;, vel A-—-—; ideoque in genere fi ALI— uL ; quo caíu —i. —2i fit v —ax/--' hinque z—iaaxs-* ergo —a4i me ccrq. i-r Pro pofleriore cafu, quo p — x, habebimus: , &&(A 4 x) Lie] — | 9 Qer rr 2)(5A-r3) . x6 ^n* TE (234-2), 44-2 X424-3)(634-3) (634-4) quae progreffio abrumpitur, quoties fucrit vel A—— z vel A— —35; vel —-—i et in genere fi fuerit Lm —2i —— , vnde fit y—ax-'; DI aut fee etc. ) MN — -—323 et zz-la xs—:. Hique cafus manifefto conue- niunt cum iis, qui in famofía aequatioge Riccatiana locum habent. " XIV. At füper folutione generali 6$. 12. id imprimis memoratu dignum víu venit, quod omnes litterae 5,4, T, etc. per geminam integrationem de- .finiantur, ideoque binas confítantes arbitrarias reci- piant, quum tamen iam character (QD omnes poffi- biles functiones in fe inuoluat. Verum hoc nequa- quam mirum videri debet, fi enim haec forma DO Gr f[24dx) 3 40... r DU. 6 D... etc. Kkk 3 aequa. od P" a! (A4 2323-42): att o aie !07 0 (224-1) 22-2) (4-2) (44-3) 446 DE CHORDIS VIBRANTIBVS 2equationi noftrae differentiali fatisfaciat , euidens eft, etiam fequentes formas efle fatisfacturas: 20... EqQDU Lii er DULL. etc. item pO"... .- o DU... etc. atque hinc huiusmodi formae coniunctae pariter ía- üsfacient , veluti PO... (on... (rra q e gp)" .. (rar ay PY... etc. hicque adeo prima quantitas 5, quum fit —7"x--f, in pofterioribus formis adiectis diuerfos valores in- duere poterit , vnde ratio huius multiplicitatis in ocu- los incurrit. | XV. Quum igitur litterae f, g, 7, » etc. du- plicem determinationem ab arbitrio noftro penden- tem recipere queant , fingulas ita conftituere licebit, vt pro vtroque chordae termino, fcilicet tam fi X-—0, quam fi x — a, euanefcant, quod adeo in prima p fieri poffet fümendo f—0o et n —0o, quo quidem cafu chorda in quiete perfifleret, at quomo- docunque litteram '? accipere lubuerit , omnes litte- rae fequentes q, r, * etc. femper ita definiri poffunt, vt euanefcant pofito tam Y — o'quam x-—4, quae circumfítantia nobis facilem fuppeditat folutionem fe- quentis Problematis , quod generalifime motum omnium plane chordarum in fe complectitur , quo omnia quae de. hoc argumento defiderari folent , referri poffunt, Problema Generaliffimum. Si chorda craffitiei vtcunque variabilis, in duo- bus terminis fixa , a vi quacunque füerit tenía, definire tempus fingularum vibrationum , quas edet impulía. Solutio. CRASSITIE VARIABILIS. 447 Solutio. Chordae craffities fe habeat eo modo, vti fu- pra $. x. et vocetur eius longitudo A B — 2 et vis chordam tendens aequetur ponderi K, tum vero po- natur Ec d S2 T7 abl. K ? et quum motus chordae definiatur hac aequatione "T && (52) — (G2) modo ante vidimus huic aequationi tali forma : J —pO (t -fsdx)--qQ'...rQ... e D", . . etc. ita fatisfieri poffe , vt poft primum finguli coefficien- tes q, ^, $ etc. pro vtroque chordae termino eua- nefcant tam pofito x — o, quam x —a. — His iam coefficientibus ita determinatis et fümto p — rx, ae- quatio integralis completa ita exhiberi poterit, wt fit y 0t aMfzdx) up ip tak c^-40 0--fzdx) —4 NV! (E—/fz d x) 4- r Q'G--fzdx) - r(N" à — f z dx) 4 5Q"ü--fzdx) 4r s (vP "P (t — fz d x) etc. Quum enim aequatio inuoluat quadratum zz, eius radicem z tam pofitiue quam negatiue capere licet, et ex fuperioribus facile colligitur ; fumto z negati- ve , coefficientium alternos (ignum contrarium reci- pere debere ; nihil aliud igitur fupereft, nifi vt hoc integrale completum ad ftatum quaeftionis accom- mode- 448 DE CHORD. VIBRANT. CRASS. VARIABD. modetur , quo requiritur , vt pofito fiue x—o fiue Xx — a4, valor ipfius y in nihilum abeat. X Ponamus igitur x — o et formulam fzd4x ita captum aífü- mamus, vt euanefcat pofito x — o atque ob euane- fcentes 4, 7, 5, £ etc. habebimus y — o, vnde ma- nifefto fequitur, fun&ionem «p conuenire debere cum fun&ione (D ita, vt fit Xp — Q. Nunc ergo pro cafü x — a, quo litterae 4, f, s, £ etc. itidem an- nihilantur , fümamus formulam /fz 4x accipere va- lorem — A, et nunc habebitur y—0o€r-4)—0O00-4A)—o, vnde difcimus, indolem iftius fun&ionis (D ita com- paratam effe debere , vt femper fiat Q( --2U)— $t quicquid füerit U, id quod etiam in functionibus (Q!, x// locum habebit. Quocirca in quocunque fta- tu chorda fuerit pro flatu praefenti , poft elapfum t tempus ^ in eundem ftatum reuertetur , hocque temporis interuallo binas abfoluiffe vibrationes cenferi folet , ita vt. tempus vnius vibrationis fit — A. Ecce ergo folutionem noftri Problematis , quae ita fe habebit: ob 2 2 — ——. fuümatur integrale formulae [dx Y X per totam longitudinem chordae extenfum ac tempus fingularum vibrationum in minutis fecun- dis expreffum erit /——"X , ex quo vibrationum vno minuto fecundo editarum numerus erit Y2?K. DE ec55 ( 0 ) ge3e 44 DE »MOTV VIBRATORIO LAMINARVM ELASTICARVM , VBI PLVRES NOVAE VIBRATIONVM SPECIES HACTE- NVS NON PERTRACTATAE EVOLVVNTVR. Á uc tore L. EV LER Q0. (dos hoc argumentum- iam olim füfius pers tractaui , tamen quoniam ab eo tempore verd methodus huiusmodi quaeftiones foluendi demum excoli eft coepta , non inutile erit idem problema denuo tractare. X. Lamivam igitur elafticam hic fum confi- deraturus per totam longitudinem eiusdem: craffitiei atque eodem elateris gradu praeditam , cuius maflam feu pondus ita in calculum introduco , :vt pro lon- gitudine laminae -—-£&, maffam Ífeu pondus ponam LK, tum vero hanc laminam in flatu fuo naturali in diretum extenfam affüumo, quae ob elafticitatem omni incuruationi ita refiflat, vt momentum virium ipfi datam curuaturam inducentium radio ofculi eius.curuaturae fit reciproce proportionale, fcilicet fi alicubi radius curuaturae fuerit — r, ad laminam in hoc fiatu curuato conferuandam pe ciu mo- mentum virium — Sz*. -"Tom.X VII. Nou. Comm. Li II. 'Tab. VI. Fig. 1. 430 DE MOTV VIBRATORIO II. Sit igitur A B huiusmodi lamina elaftica , altero termino A a muro feu parieti immobili infixa; - quae deinde a viribus quotcunque incurmata fit in ftatum A Y F, quam minime a ftatu naturali A B difcrepantem , quoniam enim hic de vibrationibus mi- nimis quaeftio inftituitur , curua A Y F tam parum a recta A B ceu axe recedere eft fümenda, vt omnes applicatae X Y (int quafi infinite paruae , et dum lamina motu vibratorio agitatur ; fingula eius pun- &a Y fecundum ipías applicatas X Y, fiue acceden- do ad axem, fiue inde recedendo moueantur. Hinc fi abíciffa a termino B computata vocetur BX —x et applicata. X Y — y, quoniam haec vt infinite parua fpectatur , ipfe arcus F Y abfícifie B X —— x aequalis cenferi poterit, quemadmodum etiam arcus A Y recae A X aequalis cenfetur. — Hinc portionis laminae F Y maffa feu pondus erit. — **, eiusque elemeati pondufzulum E27, ac fi longitudinem hu- ius laminae vocemus B A — 4, eius maffa feu pon- dus erit X*, Praeterea ex formulis notifimis radii ofculi ÁÀ in puncto Y furfüm vergentis valor eft E — a denotante d$ elementum curuae , quod quum fit "aequale elemento abíciffae 7 x, radius ifte ofuli YR-—r erit — 775, hincque momentum huic curuaturae debitum erit — DECUN, 3d» Scilicet fi - in F applicata concipiatur vis quaepiam Ff, ea tanta effe debct, vt eius momentum refpectu. puncti Y fiat —Eeddg tum enim ila vis hanc curua- turam Cubierie valebit. IIT. LAMINARVM: ELASTICARVM. — 451 III. Contemplemur iam ipfum motum vibra- tionum , ac tempore quodam ab initio elapfo — f, quod in minutis fecundis dari. fumimus, lamina acce- perit figuram A Y F, ac fi motum quafi ab axe recedentem. fpe&emus, celeritas puccti Y in directio- ne Y V referatur formula 22 quatenus fcilicet hic y a folo tempore / pendere concipitur, ita vt Z2 hic denotet augmentum , quod diflantia X Y — y, tem- pufculo d: accipit, hincque acceleratio huius pundí exprimetur formula rd ; quae vt etiam ad menfüe ras abfolutas reuocetur, exhibebit ipfam vim accele- ratricem fi diuidatur per 2 5b, denotante P altitudi- nem, per quam grauia vno minuto fecundo delabun- tur, ficque. vis acceleratrix fecundum directionem X V erit — 242. , dum fcilicet vis acceleratrix erpigne naturalis vnitate repraefentatur. IV. Quum autem hic in motum totius lami- pae A Y F inquiramus; perfpicuum eft , applicatam XY -—y,funcionem effe duarum variabilium ab- fciffae fcilicet B X — x et temporis — 7, ita vt in ea duplex variabilitas ineffe poffit; ad has igitur variationes diftinguendas , more folito vtemur for- mulis vncinulis inclufis ficque formula radium ofcu- li in Y cxhibens, qoos ibi fola x variabilis fta- tuitur, ita referetur (157 DE vnde momentum elaftici- tatis in hoc loco ZK PC fi», breuitatis fcilicet gratia hic momentum elafticitatis voco illud virium mo- mentum , quod ad illam curuaturam retinendam poftulatur, fimilique modo vis illa acceleratrix in L112 . dire- 452 DE MOTV VIBRATORIO. directione X V, vbi folum tempus £ variari affümi- tur, ita exhiberi debet, vt fit 5 (742), ex quó maniféftum- eft, hanc inueftigatiorem ad' illam par- tem calculi. integralis pertinere , quae cirea fun&io- nes duarum variabilium verfatur , atque hoe ipfo ifta quaeftio: ab aliis; vbi vnius tatum variabilis fanctiones quaeruntur, maxime difcrepat ac ^ prorfus fingularém-. foluendi methodum. poflulat, fiquidem folutionem perfe&am.et latiffime .patentem— defidere- mus-, quemadmodum occafione Problematis: de chor- dis vibrantibus íaepius iam eft inculcatum. I 'WV. Vt ergo talis motus , qualem laminae no- fürse illis formulis Analyticis tribuimus, reuera producatur , fingulis elementis X y — d x, quorum maffüla feu pondufculum eft EX. vis acceleratrix fe- cundum directionem Y V — 2,(73»), hincque vis 2 E aát? ? motrix — E; (725) applicata eft intelligendz, fci- licet fi fingulis laminae elementis huiusmodi vires Y V-—E25(12») effent applicatae, illae praecife il- lum. ipfum motum laminae effent inducturae , quem formulae. noftrae. Analyticae inuoluunt, quare vt hic motus cum. veritate conueniat, neceffe eft, vt omnes iftae . vires. elementares aequiualeant illis viribus , quibus lamina. reuera follicitatur, laminae autem nullae aliae vires funt applicatae ,. nifi quibus muro infixa reunetur, VE: Inchoc ipfo: autem . cardo 1 Bloscgu yerfatur ,. — vires intra mürum exferi - | debe- LAMINARVM ELASTICARVM. — 455 debeant , vt lamina inflexioni refiftere poffit, hicque ftatim facile perfpicitur , vnicam vimi verbi gratià in punco A applicatam , quantumuis fuerit magna, nequaquam ipflexioni refiftlere poffe, verum fi prae- terea alia vis veluti in puncto 4 in directione cori- traria applicetur, quilibet facile intelliget, huiuss modi. duabus viribus: fimul agentibus, defideratum effectum "vtique. produci. poffe, hoc autem loto nós- bis (ufficit: noffé, omnes: vires. quivus lamiinà noftrà $&u follicitatur , ífemiper reduci poffe ad binas. vires in punctis A et 2.applicatas, de quarumi quantitate nondum: fumus: folliciti , quandoquidem: pro: quouis laminae; ftatu. | vehementer varigri poffünt, verum ipfa demum: folutio nobis has vires declarabit, atque tum.mianiféftum fict quantas vires murus feu paries a portione infixa A 2 quouis momento füflineat. -. — Vl Tota crgo quaeftio huc redit,. quomodo wires: illae. elementares: Y V — 27 (4*5). comparatae effe debeant, vt binis illis viribus ib A et a appli- 'candis ctiamíi ignotis aequiualeant, tum autem iflae vires elementares illis, quae in punctis A .et z appli- catae concipiuntur , aequiualebunt, fi eaedem vires XY'V laminae in directione contraria applicatae cuim binis iftis: poftremis in aequilibrio fuerint conftitutae; ficque hoc modo tota quaefiio ad inuefligationem flatus-aequilibrii' feducitur ; ita vt nünhc ron ámplius ipfe motus. in: confiderationem: veniat. Hanc obrem Tsb.v1I, fingulis: punctis laminae Y in. plagam" contrariam Fig. a. spplicentur vires illae elementares ^ ' | Y YVcENQA , I | "i901 Llil:s quas 454 | DE MOTV VIBRATORIO : quas formulam breuitatis gratia per pdx More mus;-vt fit vis : jon Y Vzpdymke di. bh dt? atque has vires ita comparatas effe oportet, vt cum binis illis viribus laminae in punctis A ct 4 appli- catis in aequilibrio confiftant , hoc. modo fi pun&um laminae Y. confideremus , atque ambas laminae por- tiones F Y et A Y vtrinque circa .Y fias fpecte- muüs , illa portio F Y nullas alias vires fuftinet nifi quas hic elementares nominamus , dum altera por- tio A Y duas infüper vires ignotas in A et «4 ge- rit, quae ergo duplices vires refpetu Y vtrinque in aequilibrio effe debent , fufficiet igitur vires por- tioni B Y applicatas fpe&afle , quae quum ]lamiaae . curuaturam in ipío punc&o Y fuftentare debeant , quandoquidem illis remotis portio Y F ftatim in di- re&um -extenderetur , momentum iftarum virium aequari. debet ipfi illi momento elifociestis fupra definito ,. qnod erat PR dd vnde ftatim principalem aequationem — confequemur ; quae. totam .Problematis folutionem continebit. VIIL Quo igitur commodius momentum omnium iflarum virium elementarium refpectu puncti Y eruamus , hoc ipfum punctum tantispef quafi fixum fpecemus, ita vt coordinatae x. et y pro confiantibus habeantur, atque ab F veríus Y | progre- LAMINARVM ELASTICARVM. 435 progrediendo, fumamus pun&um y variabile , pro. quo idcirco coordiuatae Bx—X'*et *y ey nunc noftrae erunt variabiles , huicque puncto y. in dire&ione y x applicata fit vis — Pd X cuius ino- mentum refpe&u pun&i Y erit | OPxX.X x-P4X(x-2X, fütito ergo huius formulae integrali , momentum ab omnibus. viribus arcui F y applicatis | oriundum . erit ob x conftans —rPPgX*pPXdjX,; quod quidem ita fumi debet, vt euanefcente. abíciffa Bx-— X fimul euanefcat. Transferamus iam, pun- &um y vsque in Y fietque X —x'ct. P —,con- fequenter momentum omnium virium elementarium per portionem F Y refpe&u puncti Y erit Econdfgapus purus -fdxfpdx efdxfty (4225 — S VLESEEATIOE | di* quae "duplex integratio ita ei inflituenda, vt fum- to X — o tam integrale fx (125), quam [4 x fd x (£92) euanefcat, quandoquidem puncto Y in ipfo termino F fumto, nullae plane vires adfunt vltra F agentes, IX. Momentum ergo hoc modo inuentum aequari debet ipfi momento elafticitatis in. puncto Y, quatenus autem in figura hae vires elementares deor- / 456 DE MOTV VIDRATORIO deorfum tendunt, non folum curuaturam in Y non fuftinerent, fed, adeo ad extenfionem in dire&um demicccht, ex quo manifeftum eft , accelerationem illum (227) neceffario valorem negatiuum habere de- bere, quod etiam ipía rei natura manifefto declarat , nam dum lamina AF a flatu naturali digreditur , eius motus certe non accelerabitur , fed potius re- tardabitur , quo obferuato fequentem - 'adnitidaeut nancifcimur : — fdxfdx(d£2)— —-— Kv (122); fiue: dn —fdxfdx(i3» —obkece(822),. Ma d.i? d x* qui coefficiens pofiremus quum neceffario fit pofi- tiuus, ponamus breuitatis gratia 25kcce— b i Z habeamus hanc aequationem : | T —fdx fd x (3&5) — p (H8?) | et quia in illa integratione fola x vt wariabilis fpe- €atur, fumtis vtrinque differentialibus , habebimus —fd x (1522) 0 (12) ac denzo differentiando dt? — (4122) zz 02), a cnius formulae. fatis. con- cinnae integratione. tota folutio noftri Problematis pendet. X. Hic igitur quaeritur, cuiusmodi functio ape plicata y. debeat effe binarum | variabilium ^x et. £3 vt aequationi differentiali quarti ordinis, quam mo- do elicuimus, fatisat, Aute autem quam hoc ne- gotium fufcipiamus , omnes conditiones perpendiffe. juuabit quibus quadruplex intégratio iftius aequa" ; tionis ^ LAMINARVM. ELASTICARVM. — 457 tionis, determinari atque ad noítrum cafum accom- modari debebit. — Ac primo quidem iam vidimus, fumta abíciffa x — o, hoc eít pro ipfo termino ex- tremo F, tam fpdx quam fd xfpd x euancfcere debere , quare quum fuerit fbdx-c—Kec(f2) et fdAxf/pdx——Kec(a22) Sd x*. ante omnia hís conditionibus fatisfieri debet P.- vt fumto: x — o fiat (722) — o .1P. wt fumto: x — o fiat (72) — o. Duae reliquae conditiones ex ftatu laminae in ipfo pun&o A fünt petendae , ad quem peruenimus fta- tuendo x — 4, quandoquidem longitudinem laminae vibrantis iam füpra pofuimus A B — z, vnde per fe patet applicatam y femper euanefcére debere. | Alte- ri conditio aeque efl euidens , quod tangens in pun- €to A debeat incidere in axem A D, ex quo tertia et quarta conditio poítulant , vt fiat füumto x za HE y-—o.e IV*. (2) —0 haeque quatuor conditiones femper adimpleri debent, quicunque valor tempori 7 tribuatur. XI. Quod autem ad ipfam integrationem in- ventae ii * y (ii--rü, | attinet ; ftatim fateri cogor , me nullo adhuc modo eius integrale completum , quod quidem quatuor functiones arbitrarias inuoluere deberet , inuenire po- tuiffe; quam ob cauffam etiam completa folutio hu- - Tom. XVII. Nou. Comm. Mmm jus .458 — "DE'MOTY. VIBRATORIO ius problematis , quae. fcilicet ad. ftatum quemcunque initialem. laminae accommodari . poffet, prouti hoc negotium in. chordis vibrantibus fuccefüt , nullo ad- huc modo exfpe&tari poteft, interim per feries infi- nitas quodammodo hunc :.defe&um fupplere. licet. Denotent enim hae quatuor litterae P, Q, R, S fun- &iones quascunque temporis £, ac ftatuatur per fe- riem infinitam : JA P m UE TER Le EXORT - LI .9 fip lO Sh xtt ERES dpa et. hinc colligimus — (dy) iaa). x ddQO, x'ddR, .x* dds x* ddP/ , x$ddQ' dt? dt? b'dàgr bd£g — b dp b* dt b5 d£? X6 ddR' .a7 dS. x9 ddb* x9 ddQ". z'? ddR'^ etc b E dtt zt df PB di 7 P9 d t? IEEE d fimilique modo fumto tantum x variabili b' (22)— 1.2.3.4 P-F2.5.4.5 QE 3:4.5.6 R44 5.67 S 4r 5.6.7. 8P/ 4.6.7.8. QE er. 8.9. 1o LS, 9.10.11 S" etc. quae feries quum illi aequalis effe debeat , fequentes fponte fe produnt determinationes gr ws | ddP 1—..,010 . R/—.—. 44R P ME 1.52.3. « dl? ? ;Q— 2.2.4. 5 d 13 ? R 3$ 224. 5.6 dd* S —-— vais m E pz Jap spi d*P rne 4e 362 7 di? ? E 5.6» 7o sát?? Mw 1le22 204» 5» 6» 70 8 dt* lI — d*Q ^. R/— d*R l|— d'*s QE ur ? KR —T; ete Adi SEES UL 11 TVA XIIL His determinationibus inuentis , valor applicatae y ex quatuor fequentibus feriebus . infinitis reperietur compofitus ; * PEE LAMINARVM ELASTICARVM. ^ 459 uS L stade «x lee qup g!? dép pe M Pie —Betc hoe map thouiegpl eU loh udd —ihdro Es uidéQs. Qi— cxt upot 2 we1s pet cte x6ddR gre d* R / UWfed6R TRA E dani t -—-——Er rc don rio n e afdds T; xi! d*s LIE x!$d65s e). dpic. Spi Hdpbh CL natdtm V xu. -npóri dro quae Qudtios feries non Wem cias ., fed ét- jam vnaquaeque feorfim aequationi noftrae differen- tiali quarti ordinis fatisfaciunt. Interim tamen hinc parum lucri ad ipfam folutionem noftri problematis redundat. XIII. Quocirca coa&us fum , in integrali par- ticulari noftrae, aequationis' acquiefcere , ftatim autem talis forma non parum geueralis fefe of&rt, in quam j quidem jam prima mea inucfligatione incideram , nunc autem clarius et diflindius fum expofiturus. " Satisfacit fcilicet fequens forma: 0x J — cof. 607 ( A cof, * -- B fin.** "Ces TDe 5) vbi notandum coefficientes A, B, C, D effe quanti- tates lineares ; quam formam aequationi differentiali fatisfacere , tentanti patebit, fit enim doddés 79 c AIRE uut "4C DE 7) dt? et 62 dx yat eot P4 (A cotts *LBfn.**4-Ce? 4De. 5). - . XIV. Accommodemüs nuüc hunc valorem ad quatuor illas conditiones fupra memoratas, ac pri- Mmm 2a | mo 460 DE MOTV VIBRATORIO | mo quidem valor (22?) pofito x — o, hanc prae- bet aequationem : Ls T. —A--C-« Do; fue Ac C- D Íecunda autem conditio ($ 22) fato x — o praebet IT, —B--C-D-o fiue B—C- D. Tertia vero conditio poftulans y — 6, fumto x—a fuppeditat hanc aequationcom NI? Acofi2--Bán.fe4Ce9 4-De^ ?) c o. Quarta denique conditio, qua effe oportet (22) — o pofito x — 4 dat 8a IV*, —A n4? e Bot t Cet — Dg" 4 —9 mus breuirdtis gratia 5» — (p, atque ob valores in- ventos A — C--- D et B—C-— D, binae. vltimae a2equationes fient III. (CÀD)cof. f4-(C-D) fin. 4- Ce? De-9— 9 1V. -(C4-D)fin. f 4-(C-D)cof. (p 4- CD e-9?— o vnde duplici modo elicitur C fndQ-—cotQ—e-? cot rün. D ce-? D — cot. D-rfin.Q--e9. — cot fin. D. quorum valorum aequalitas producit hanc aequa- tionem » zz — cof. (o (e? -i- e-9) EX qua aequatione numerum feu angulum 9 dic Oportet , quo inuento flatim erit 0(— 2, et quum | initio LAMINARVM ELASTICARVM. 46: initio fuiffet ; — o, fi faciamus 060; — m, lamina interea vnam vibrationem abíoluiffe cenfetur , ita vt tempus vnius vibrationis fit j5. - XVI. Proponitur igitur haec aequatio : 2 — — cof. Q (e£? -i- e-9), / nde valores ipfius (D eruere oportet , cuiusmodi fi- ne BR dantur infiniti , tam pofitiui , quam nega- tiui. In pofitiuos igitur primum inquiramus ac fla- pr: quidem ^ obferuo , angulum QD neceffario recto maiorem -effe debere , vt eius cofinus fiat negatiuus, - hunc in finem fit e nota anguli recti , fiue g—347-— 1,570796326, et. flatuamus p — e -4i- o, vt noftra aequatio fiat 2 — L fin. q (c6 e? -L- 6 56-9) vbi manifeftum eft, dari valorem ipfius o, eumque fatis exiguum, qui quaefito fatisfaciat , quem deinceps accurate fumus definituri. Deinde vero ctiam valor aliquanto dari poterit minor, quam $3, pofito enim «D — 3 e — o, prodit ifla aequatio . 2 — 4- fin. o (£? * e7? -i- e7?82?). Simili modo intelligimus, dari :valores-alternatim minores .et maiores quam 5$, 720, !1g-étc. quos ;eX fequentibus aequalitatibns eruere debemus , ;quas cum praecedentibus fimul confpecui exponamus: dus. Din £s accfün(( e? ep ect en) J V. Q—5e-9 c-finu(eéte ettet) JMIL D—5e-ce o-fnu(éu ree) IV. Q-7g-—w- 2—fin.o(e te7 rettet") x. Q-—59gbeo 2-finmuo(é'et"petet) enpsd' MN d s vbi 462 DE MOTV VIBRATORIO ' vbi manifeftum eft, valores ipfius o continue fieri minores. Pro valoribus negatiuis faciamus ftatim ( —-—w, vt habeamus: | — cof. sp (e -1- e *) vnde eaedem proríus reperiuntur folutiones ac fupra, XVII Quo facilius has formulas euoluere queamus , ante omnia indagare debemus valorem £^, vbi Logarithmus hyperbolicus ipfius e eft vnitas, quare Logarithmos vulgares adhibendo erit Log.e — 0, 43429, 44819; vnde colligimus - ntt L. £* — 0, 4342944819. 3, 1415926535 — — 1, 36437763 , hincque porto L. & — 0, 6821881 hincque Men termini, quibus indigemus, facile cój- liguntur, quare quum exiflente o fractione fatis Tene, fit proxime | e? —id-u-dio iw 4-40'4-,1.9" etc. e? 1-04 i'-i9 didnt etc. cof. o — x —1u^ 1, w* etc, et fin.o— 9 — 1o ris ete, prima füperiorum formularum producit 2 — 5,018536.0--4,60260.0 ^E1,67275.0 —-0, 37638. LN vnde fatis exacte. concluditur | 9.— 0,304532, ideoque (D — x, 87511 neque LAMINARVM ELASTICARVM. . 465 neque opus eft ad maiorem praecifionis gradum pro- gredi. Secunda autem formula fuppeditat fequentem ^v aan "ITI EUM 4- 37» 10890. QU pro qua fit Q—0,01829, ita vt hinc fit «p —4,69408 ; vnde liquet in reliquis formulis valorem € penitus negligi poffe ita vt fit Q-—5e 706 9g etc | XVIII. Omnes iftos valores ibilus (^ ordine magnitudinis , fequens Tabella fifit , vna cum tem- poribus vibrationum his valoribus congruentibus ; y» Tempora vibrat.| Soni editi | 3,87514| o; 89347. 7 I; 1192 23 4,69408| 0,14258 6, 9977 7,85473| 0, 905092 19,6388 10, 99553| 0,024953 40, 1107 14; 13711]. 0, 01573 63, 5439 XIX. Inprimis autem: ad tempora ifta vibra- tionum et fonos iis editos perfecte cognofcendos, prae- ter longitudinem laminae vibrantis A B — «4 noffe oportet valorem litterae 5, erat autem. 1 —2 bkee, vbi P denotat altitudinem lapfus grauium tempore vnius minuti fecundi, ita vt fit b 15,4 ped. Rhea. ideoque 2 2 — 31,1 ped., tum vero k erat longi- 464 DE MOTV VIBRATOR IO , longitudo laminae pro arbitrio fumta , cuius pondus experientia definitum fuüumfimus — K, at vero ce eam denotat quantitatem , qua elaflicitas. noftrae la- minae.determinatur , ita fcilicet vt fi alicubi fuerit radius curuaturae — r, momentum elafticitatis futu- rum fit — *-*, vnde valorem huius quantitatis per experimenta explorari oportet, id quod commodiffi- Tab. VIL me fequenti modo praeftari poterit. — Infigatur ca I 3* ]amina longitudinis k, cuius pondus exploratum. fuit K, termino fuo A « muro feu parieti immobili, vt fit AK — k, eique in termino K appendatur ali- quod pondus I, quo terminus K normaliter ad AK follicitetur ;, et vsque in & détorqueatur, ita tamen, vt hoc fpatium K. & vehemeater fit exiguum refpe&tu totius longitudinis A K, atque facile patet, fi per ex- perimentum exploratum fuerit iftud fpatiolum Kk quod fit — i, ex eo ipíam quantitatem cc deter- minari poffe. — Hic ergo íola vis feu pondus I in liminam noftram agit ;. vnde fi ponatur abfíciffa K X —x et applicata X Y — 7, momentum . huius vis in punctum y eft — I x cui aequale effe debet momentum elafticitatis in puncto Y, quod wti ante vidimus eft de: WE dd LOK), ficque pro figura huius laminae labebitur ifta ae- quatio , dist dd» ; K d doy ess. Ir—kKcec(- z)3 vnde "ES PEE 2) —, quae bis complote integrata praebet Kcc ! "uq J-—si4 ar. XX. LAMINARVM ELASTICARVM. 46; XX. Quum nunc in ipfo puncto K, vbi »— 0, applicata » per hypothefin aequetur interuallo K kj, euidens eft fore: - XKccei - ; E IA I Praeterea pofito x — & fieri debet y — o, vnde col- ligimus PE-r-a.-t —o,ideque a——ik — - Et, denique in eodem pundo A fieri debct 22 — 0, ex quo colligitur ocix palikutaftus-ik, qui valor praecedenti aequatus füppeditat: - $8 ec —E Sicque pro qualibet famina valor huius cótiftantis "T per vnicum experimentum facile exploratur, hinc- que pro nof(tris formulis fit 3a LR OWD RO T j4* x; ? quo cognito, numeri illi vibrationum vno minuto fes cundo editarum perfecte innoteícunt, XXI. Eadem igitur lamina elaftica diucrfas "ibrationum fpecies recipere poteft, prouti fine du- bio initio aliam atque aliam impulfionem acceperit, prima fcilicet fpecies dat fonum grauiffmum, fe- quentes continuo magis intenduntur fiuntque acutio- res, ipfi autem vibrationum numeri mox poft pri- mam fpeciem fecundum quadrata numerorum natuü- zalium increfunt, praecipuum autem difcrimen ha- -. Tom.XVIlNouComm, |. Nnn rum 466. — DE MOTV.VIBRATORIO;.: ^ rum Ífpécierum in eo eft fitum , quod quum in pri- ma ípecie lamina. A F axem A B nusquam fecet,- fiquidem in A tantum tangit, ita fecunda fpecies axem AB femel, tertia vero bis, quarta: ter «etc, interfecet , quemadmodum iam olim fuit oftenfum ;. interim tamen tota haec folutio maxime €ít parti- cularis, quia tantum ad certas curuarum fpecies re-- "Tab. VII. Wig. firingitur ,' atque a folutione. generali, qualem . de chordis dare licuit, longi(bme adhuc. fumus. remoti... Reftat igitur vt vires fupra memoratas, quae ad laminam in muro continendam requiruntur , inue(li-. gemus. Hunc in finem confideremus laminae pun- &um Y, quod a parte dextra viribus tantum elemen- taribus vrgetur , quarum eff&&um duplici. modo fpectari oportet , altero ícilicet refpectu fümmae vis, rium elementarium a puncto Y vsque ad pun&um F applicàtarum , quae, vti füpta vidimus, eft /[p dx, altero vero modo refpectu momenti harum virium, quod eft /d x /pd x. Hoc momentum autem itiue- | ignes efle uedpr d TINI Mc cies »), ; que hi fe fcilicet iftae vires tamquam deorfum cgfientàh fpectaatur , vnde ipfa virium illarum fumma colli- BEBE PET 3. Jpdxz- Kee, | vbi notetur breuitatis gratia | fupra pofitum ofi; b-—--bkcs. - dI r Contemplemur nuüc ipfam aequationem integralem ad quam fupra perüenimus; inuenimus autem po- | "fito T 4 ow) LAMINARVM ELASTICARVM. 4641 fito breuitatis gratia 5* — (D cuius valorem pro fin- gulis fpeciebus modo ante elicuimüs , fequentes va- lores pro litteris A; B, C, D; C— fin. OL cof — 2-9; D cof 3 fin. T. A— 2 fin. (p 4-69 —6—9; Bru SES —9 quibus definitis prodierat: |J eof. 0 0L (A cot 12-4 Bfün. d 4-De 7) vnde concludimus ke )ccuemar ae an A cof? - Pis tta C De" ^ Ex Bec is cof. 607 (2 A fin.? 12 — Beo A24. Ce? Lei Bh | "quibus formulis tam dti , quam momentum vi- rium elementarium a parte Tues ag pun&o la- minae Y exprimitur. | Promoueamus nunc pun&um Y vsque ad termi- mum A. vhi X — 4 et. cep ct fumma omnium virium arcui A F applicatarum erit: [px z$cot: 082 (4- A fin.(p — Bcof. Qt C2 — De-9) iar- — s cof 601 (2 fin. e? -— PA . Similique. modo carundem virium momentum sspe- .&u punci A erit: fdxfpd x—55. cof: 08: (-A cof. D- B iu.(p 4- C? 4-De- 9) Ys — P cof. 062 (» fin. (D(e9--6—9) — a cot, p (9 — 679), Hoc duplici virium. effe&u. inuento ,manife(tum. eft, portiunculam laminae muro. infixam A & in puncto cs Nnn a 4 tan- 468 DE MOTIV "VIBRATORIO : & tanta vi vrgeri debere, vt eius. momeotum pto pun&do A itidem fiat — f/4 x/pd x ficque ex lon- gitudiue iftius portionis A a innoteícit ipfi yis pua- &o « applicauda , quam. vocemus — V, et nunc fa- cle vis, quam ipfum A. fuftinet, defiaietur, quando- quidem ea aequalis et contraria effe debet fümmae virium vtrinque applicatarum , fcilicet i(ta vis erit — V-Lfpdx, hocque modo omnia fant determi- nata, quae quidem füper hac folutione porco de- fiderari poffünt. XXII. Haec funt fere, quae iam olim de eo- dém hoc Problemate füm commentatus , nifi quod hic fint aliquanto clarius et vberius expofita ; verum eadem lamina pluribus adhuc aliis modis. tractata motum tremulum recipere poteft, dnm «enim hic lamina A D altero termiao D proríüs libera eft af-. fumta , altero vero termino A muro infixa, pluri- bus aliis modis lamina fiue in alterutro termino, fi- ve in vtroque defigi poteft, non enim abfolute opus eft, vt lamina in termino À muro infigatur, fed motus quoque tremulus oriri debet, etiamfi in pun- &o A tantum ftilo ita defigatur, vt libere circa eum gyrari poffit atque adeo vterque terminus A et B plane liber relinqui poffet; tum vero defixio ope ftyli in vtroque termino atque adeo etiam in locis intermediis admitti poffet, quod. etiam de altero modo, quo lamina muro infigitur, eft intelligendum. Hinc igitur plura genera contremiícendi im lamina locut babere poffunt, quorum: praecipua in fequenti- bus Problematibus fum: euoluturus. Pro- LAMINARVM ELASTICARVM. 469 Problema IL XXIIL Si lamina proríüs fuerit fibera feu in- Tab. VII. cumbat plano horizontali ; definire motum Yibratorium; ig^ 4r cuius eft capax. Solutio Sit longitudo laminae A B. — a, quae elapfo. tempore £ figuram ceperit A Y P, quam minime ab axe A B difrepantem , ipía autem lamina ita fit — comparata , quemadmodum. fupra defcripfimus , fcili- cet lo»gitudini & refpondeat pondus K et pro cur- vaturi, cuius radius ofculi —— v, fit momen- tum elaflicitatis — *5^, vnde ponatur J'— 2 bkeve, | quadratum autem c c per experimentum fupra allc- gatum inuentum fit ceci quibus pofitis fs abíciffae cuicunque A X — x refpon- deat applicata X Y — y; manifeftum eft, iterum per- veniri ad banc aequationem diff&rentialem OPI eique idcirco fatisfacere hanc integralemr hineque 5^ — ^P, J.— cot. 60:(A cof." 4-B (in. Ce*.-D : 2) quare quum extremitas F nullam füftineat vim, hoc loco. tam. (222) quam ( 22) euanefcet , vnde iam hae duae determinationes prodeunt AczCH-DD; eDBiGC-D haus Nun 3 Deime 4:0. DE MOTV VIBRATORIO Deinde omnium virium elementarium per arcum F Y fumma erat f/pd x — — £ (12) —— ES ET — £'cof. 002 (A in.** —Bcof.**-pCe* —De. *) harum autem virium momentum pro puncto T IMMUNE | me 8 x ...9 — £ cof. 6 0t( — Acof,** — Bin.**--Ce? De. ?) quae duae quantitates a punco Y ad alterum. ter- minum G vsque translatae vbi X — a, denuo cuane- fcere debent ; et fi breuitatis gratia ponamus ** — 4, has duas conditiones praebent: A. fin.Z — B.cof. 4-C. e$ —D.e7 *— 0; — A. cof. Z — B. in. Z4: C. 4- D. e^ $0 fupra autem iam inuenimus | Ac:Qu-D eupccc-B5 vnde duplicem fequentem valorem elicimus: — C cofZ4ü.£—6- $5... fin. d — cot. Z 4- £7? D —cotZ-finZ-é ^ fin. Z 4-cof. — &* vnde elicitur. 2 — cof. Z (& -i- e7*) cui ftatim fatisücit Z — o, ideoque et 0 — o, quo ipfo flatus quietis continetur; pro aliis valoribus primum obferuo, fiue angulus & pofitiue fiue negatiue capiatur, perinde. effe ; deinde facile perfpicitur , hunc angulum Z recto maiorem fle debere, quare ne nijtf : j cofinus Li LAMINARVM ELASTICARV M. 4t cofinus Z fiat negatiuus, tribus adeo rectis maior effe debet , ftatuamus ergo 4 — 3 e -- &, ct cffe oportebit - 2 — fin. o (£44? -- 6 ^ e 79, fupra autem inuenimus effe, acu gm III, 31770; et € ** — 60, 00899 ita vt o fit fra&io: vehementer parua ,. hincque. tuto poni poffit fin.u — 9 et e?— 1 -F o et ec ^— 1—u, quocirca aequatio noftra dabit : : een 11,32669.0 t 111,30871,.0 ficquegzo,o1765, quia igitur 32974, 71287. erit-Z 2-45 75005 —** ex quo valore concludimus epus vnius rilarods U* CR UNA ME 48 — 6B O, 14042 7; et fonus fiue vibrationum vno minuto fecundo edi- tarum numerus "— bb —7,12146.75 y haecque eft fimplicifima vibrationum . fpecies , quas lamina. noftra edere poteft, qui fonus binis octauis cum vna quinta fuperat illum, quem eadem chorda editura effet, fi in A muro effet infixa, praeterea vero innumeros lios valores pro 4 inuenire licet ; ponendo £-5e—u; vel 7g-2-u, vel 9g—u etc. vbi- manifefto angulus e pro euanefcente haberi | po- terit, atque hinc, eaedem vibrationes refültabunt, quae. fupra — i 4372 DE MOTV VIBRATORIO fupra fpeciem tertiam , T , quintam etc. con- ftitucbaut. Problema If. XXIV. Si eadem lamina elaftica in termino À fuerit libera, in altero vero B ita ftylo defixa , vt circa eum libere verti poffit; inuenire motum vi- bratorium, cuius erit capax. Solutio. i Pro hoc ergo csfu eaedem aequationes locum habent, quas modo ante euoluimus, fcilicet pofita abfciffa A X — x et applicata X Y — y habebimus 9x ELE: cof 00 r(A.cof.**--B.fi.*2--Ce?-pDe ?) — et quia extremitas E vbi x— o, nullas vires fu- ftinet , habebimus. vt aute AcC--D et B—C-D tum vero etiam pro arcu E Y erit fumma virium elementarium fpdxz-Kec.cot.60: (A fins? -Bcof!24Cé5-D£- D et momentum barum virium refpectu : m ES cof, 0 02 (A cof. 52 -4- B fin. t: Ce Dà 7) quae formulae ad alterum terminum vsque B exten- dantur faciendo y — a, ac prior quidem cum vi, quam ipfe ftylus in B fuftnet, in aequilibrio exifie- 1e r^v quare fi fümamus flylum in pun&o B : fufti- LAMINARVM ELASTICARVM. ^ 473 fuftinere vim B —G, pofitoque vt ante ** — 4; fieri oportet | — ESUCA fin. d— Bcot. 7 4-C. é —D.e75)4-G-o, ita vt iam cognofcemus hanc vim B quae erit G — Kec." cof. 08 : (A fin. PE: — Bcot.Z 4 Cé- De$), deiode autem momentum hatum virium , neceffario hic debet euaneícere, quia enim lamina circa B li- bere mobilis eft, nullum momentum incuruans hic fta-. tui poteft, erit ergo: A cof. Z 4- Bia. Z -Cé —De-5— denique hic manifefto effe debet y — o, vude fit Acof.Z-4- B fin.Z-- Céé -- De-* —0 ex quibus duabus poftremis aequationibus fatim fluit Acof Z-3-Bfia.Z—0 et Cé-r De--—o, ex qua poftrema fit C —e-íet Dz—é, qui valores infuper in lineolam paruam fünt ducen- di, vt applicatae y fiant lineares et fimul infinite paruae, hinc ergo colligitur A-—eei—-68;B-—ei-&4, quibus valoribus fübflitutis prodibit fequens aequatio o —e- (cot £ -- fin. Z) —é (co. Z — fin. Z) fiue é-— Tang, EY vel ef cor C ün.e wernh per qpetiem notiffíimas redit ad hanc ef — Tang. (e 2 £). ien. XVII. Nou. Chin Ooo Hinc 414 DE';MOTV | VIBRATORIO | ; Hinc. ftitim. patet .fatisfücere Z — 9, quo. ipfe. flatus. aequilibrii continetur, — Deinde vero valores, idonei pto, & continuo 0, propius accedent, ad. hos, angue 36 2 6j 251 * e etc, fi-enim ponamus dm $e—u erit Tangens j-lims 1-- proxime , Cui aequalis. efie debet formula X6 564559 4 ái "s n2 3d n aid-ueds IDE ji vt. fit 9 eis lng T hls propemodum . I "— "".f.r. du B. iocoRdAo nu in atque propius o — * (I1. 582-3- 5.ni 1L -4- S008 *€2205,0005885, pro fequentibus cafibus autem hauc correctionem | penitus negligere licebit , dta vt áti valores pro ^A fint Lu £556 3Hake 3193666 "spES du iquethiopelissg tou] disi Il.Z2z76g»5 -—10j21:0r7 qug 2 IV.6 — P — 13, 35176 etc. - » videamus. autem an etiam dentur. valores negatiui ,. quem in finem ponamus 4 — bd effeque oportebit - eo ee eno emo —Tang.4—-—— pUppea fiue Tang. A PI quie aequatio cum praecedente conuenit, ita vt illi- inuenti valores etiam pro w valeant, ficque valores ipfius LAMINARVM ELASTICARVM. 435 ipfius 4 tam pofitiue Quam negatiue capi queant. Quia. autem: vtrinque pro 60 idem valores prodeunt, variae fpecies. vibrationum , quas haec lamina reci- , pete poteft , erunt fequentes : : | Temp. vibrat. Soni editi. I 0,20375;; 4; 9019 ** AL 0,056288 . . | 15,9044 "AAA 6, 03014, 77, I1 93) 364v 7 IV. 0,017625 . . q^96794'9», :bnno3 3 Coroll. XXV. Quum foni ab eadem lamina vtrinque libera editi , rationem horum numerorum fequantur 7,1215; 19,6388; 40, 1107 | euidens. eft .hos fonos acutiores effe illis, quos | hic inuenimus , ita vt ftylus in termino B Aetius Ío- num laminae grauiorem reddat, quemadmodum et- iam vidimus fi lamina altero termino plane muró fit infixa , , fonos adhuc multo graniores Bebes, Problema III. XXVI. Si lamina in vtroque termino A et B Tab. VII. ope fiylorum fuerit defixa, definire motus vibrato- Fig 7 Ti0s , (37:4 oli poteft. . )lo5sus (a 'act à Solutio. Pro curuatura laminae habemus ftatim eandem áequationem vt ante, SMifgotiats "det du RIS ita exprimitur : : Vbi Ooo 2 RM 476 DE MOTV VIBRATORIO : Jy cof. 6$: (A cof. .:O -L- B in, D 4- C? 4- De-9) quia nunc lamina in termino A eft fixa, ftatim habemus y — o fi x—0o, vnde haec emergit deter- minatio ; A-r-C--D-o; deinde in hoc puncto A nulla datur vis incuruans , vnde formula (127) euanefcere debet , ex quo nafci- tur haec fecunda determinatio ! —A-r-C-rT-D-o, ficque habebimus has fimpliciffimas relationes A —o.ct C-I- D— o. Conüderemus nunc etiam vim, quam ftylus in A a füftinet, quae fit Ae —E «€t normalis ad axem A B, quae quum fola in terminum A agat, aequa- lis erit vi illi fupra definitae /P Zx pofito x —o, ficque erit | —Keccot667z(-B-C—-D)—E. Nunc autem pro portione laminae AY, maiori cu. ra imprimis tam fummam virium elementarium quam earüm momentum refpectu puncti Y aífignare debemus, Hunc in finem integrale fp 4x ita eft füumendum, vt euanefcat pofito x — o, ex quo habebimus fpdxz Kec. cof. 06; (A fin.(p- Bcot.(p- C9 -D e$ TE co[607 | (—B-I-C—D) quae formula per dx multiplicata et eadem lege integrata praebet momentum virium elementarium féx LAMINARVM ELASTICARVM. 477 fdxfpd x —— Kc e. t cof. 6 64 (— A cof. - Bí. - Cc De-9) tKec.z5cof 007 (— A -A- C -- D) Kec. cot. 00:£(— B -i- C — D)x quibus formulis in fequentibus plurimum vtemrur. Interim hic notaffe iuuabit , fi ad illud momentum addatur momentum vis E quod eft —Ex-—-—Kecf ^; cof. 09 2( — —B-4-C-D)x, tum ob — A -r-C-- ps ET £5 totum momentum fore | z-Ker.tfcof. 607 (— Aco(.D-B fin.D--Cé*--De-9) cui S cuite elafticitatis negatiue fümtum prae- cife eft aequale, vti rei natura poftulat. | Promouea- mus nunc punctum Y vsque ad alterum terminum B, faciendo x — « feu 55 —Z vti fupra et fumma omnium virium clementarium vna cum vi fyli E erit | —-Ke.. ff ! cot F(— A cot Z- Bin. 2-4 CA De) quae cum vi quam ftylus B füflinet, quae ft Bf — F euanefcere debet , propterea quod omnes has vires in aequilibrio confiftere oportet , vnde etiam. vis ilta B f innoteícit , erit enim FE —-Kec.8? coC 007 (- Acof. Z- Bfia. Z--Cé -De?). Porro quum terminus B a fola hae vi retineatur, cuius momentum pro pun&o B e(t nullum, hic etiam nulla curuatura locum habere potefi, vnde totum iftud momentum ad terminum D translatum, " Qoo 3 facien- 478 DE MOTV VIBRATORIO: faciendo (p — Z nihilo Be effe debet, ex quo fiet , — A cof. — B fin. L-Cé «De - e. Denique quum hoc loco etiam fit J— o, habebi- mus. infuper A cof. Z -1- B fin, ?LCé4-De- deae quae duae poftremae aequationes cum binis illis initio inuentis problema noftrum. penitus refoluent. Quare quum fupra inueniffemus A-——o et D—- C, hae duae pofteriores aequationes dabunt —B fin.Z 4-Cé—Ce-5z0o et Bfin.Z-- Céé- Ce f—o vnde manifeíto fequitur, fore Bfíin.Z — 0, fiue fin. Z — o, ideoque Z vel - vel 2 - vel 3 m vel 47 etc. fiue im genere Z — im —** ita vt habea- mus 6 — 57, quare quum pro tempore vnius vi- brationis . fit. mee -T- erit hoc tempus — ;25— , vnde diuerfis vibrationum — fpecies E RU. Tabella exhibemus : Tempus. vnius vibrat. Sonus feu num, vibrat, ij— 1| 0,318375 8, 1416 ?* d-2|' 0,0796 12; 5664 ^? i-c 3| 0,0354 28, 2744 25. i-a o,6rgg- | 50, 2656 ?* ; €t€ i. i | etc. , ficque hi diuerfi foni fecundum ipfos numeros . .qua- siete intenduntur. Á Utm c : 701 BEIM tudo Coroll. LAMINARVM ELASTICARVM. 479 Coroll. Quando ergo lamina vtroque termino A et B ftylo eft defixa foni diuerfi plane erunt regulares et inter íe harmonici, ac íi cum fonis praecedentis problematis conferantur , aliquanto reperientur gra- viores, quam [i lamina in vnico tantum termino flo figeretur. - : Problema IV. - . Si lamina elaflicà' priori termino A, vt ante fuerit ftylo A a defixa, fed altero termino B » mu- ro infixa, definire. motus vibratorios , quos haec lapins recipere iod ' k^ S olutio. XXVII. Hic omnia perinde fe habebunt vti in problemate praecedente donec ad terminum B vs- que perueniatur, erit igitur quoque Azo; et Dz- C et vis quam fiylus A « fuftinet AezzE-—-Ker. s cof. ez (— B-4C— -D), tum vero in ipfo pun&o B vbi x—a4 et D —4 erit 1^. y — o vnde fit Acof. -4- Bin.Z 4- C -- De7* —o, deinde vero quia lamina hic muro eft infixa erit (22)— o fiue — Afin. £-- Bco 2 -- Cf -De7f —o ynde quum. fit A esie et D— — C, erit Bün.Z4-C(ef—e-5)-0 et Bof. [0 ec)o et 480 DE MOTV VIBRATORIO é—ei eíi—ai &r Tang. $ — dUexmUT Sus quae aequatio quum plane conueniat cum foíutione Problematis tertii manifettum ef etiam easdem vi- brationum (pecies hic locum effe rdi T ergo id fequente Tabella fiftimus : Temp. vibrat. Soni editi. L o293755;: 43 9079 7; iL 0,062887; | | 15»9944 JH. 0, 03013 75 83) 1832. ' IV. 0, 01762 7; 56, 1451. Quod autem ad vires fpecat, quas ipfe murus fu- ftiuet , confideremus primo totum momentum virium ab A Mou ad B laminae applicatarum , quod erat —Kze. P5 cof.807(— A co, Z —Bán.Z - Cf Def) €ui disais effe debet momentum a muro fuftenta- tum , vnde fi in 5» concipiatur vis tantum momen- tum producens, quae fit — G, tum in pun&o B füftinebit tantam vim Bf—F quae cum reliquis | nimirum E, et f/p x iu nihilum redigatur. Coroll. Omnino hic notatu dignum eft, quod lamina altero termino ftylo, altero vero muro infixa, eos- dem plaue fonos edat, ac íi altero termino effet - libera , altero tantum ftylo defixa, ex quo fequitur terminum liberum perinde fe — ad terminum ftylo LAMINARVM ELASTICARVM. 4$: fiylo defixum , vti terminus ftylo defixus, fe habet ad terminum muro infixum. Problema V. Si lamina vtroque termino A4 et Bà fuerit po VII. muro immobili infixa, definire motus vibratorios ^ & iá quos recipere poterit. Solutio. Pofita vt aste longitudine laminae A B — 2, pro eius curuatura femper eadem aequatio valebit , qua ha&enus fumus víi, ac pro hoc caíu folutio (a- tis expedite euolui poteft, propterea quod pro vtro- que termino A et B, eft tam y —o, quam (22-0 hincque fequentes.quatuor aequationes obtincntur : IL A-cxCrD-—o II. B--C—D-—o IIL Acot.Z4-Bfiu.Z4- C£ -De-?—0 — IV. —Afin.Z4- Bcof.Z--Cé —De-$—o quarum 1II.cof.Z—1V.(n.Z praebet A-cCé(fin £— cot. )—De- * (fin. cof) es U L-C-D, vnde 3 d TI m de fimili modo TII. fia. iPhr cof.Z dat .B—- Cé (cof Z - fin.Z) —De- (án. — cof. £) C e(fin. L6 co o) rs D — —é (coi Z --in.Z)« 1 "Tom. XVII. Nou, Comm. Ppp qui l —-—C-HD, vnde — 4$2 DE MOTV VIBRATORIO qui valores inter fe aequáti producunt fequentem aequationem : 2 — cof. Z (e$ -4- e7$), | quae eft eadem folutio ac ea ad quam Problema 17*7 perduxerat , ita vt fequens Tabella iterum fit habi- tura locum : Temp. vibrat. Soni editi L 0,140942; Il. 0,05092 | 19,6588 III. 0; 02495 40, 1 107 IV. 0,01573 | 63, 5438 etc. |» etc. Coroll. Maxime hic memoratu digaum occurrit; quod lamina vtrinque eosdem íonos edat, atque lamina vtrinque libera , idque eo inagis quod modo ante vidimus, fi alter terminus ftylo fit defixus, eundem fonum oriri, fiue alter terminus fuerit liber j fiue muro infixus , ita vt hi duo flatus, quibus lamina vel eft libera, vel muro infixa, quafi inter fe con- veuire videantur, interim tamen aliquod effentiale difcrimen intercedit ; quum cafus principalis, quem initio tractauimus , vbi alter terminus liber, alter muro erat infixus ,, alias dederit vibrationes , quam cafüs vbi vterque terminus erat liber, affinitas certe infignis intercedit ratione formularum ex quibus an- gulum 4 elici oportet , quippe quae pro his cafibus tantum figno differant, Prable- LAMINARVM ELASTICARVM. 483 Problema VI. Si lamina vtroque termino A et DB fuerit li- bera íed circa medium alicubi in C ftylo defixa, motus vibratorios definire , quos recipere poteft. Solutio. Antequam folutionem huius Wai füfci- Te VII, piamus, feqüentia praenotari oportet: 1". in ipfo put- c a &o C vbi applicata perpetuo dot debet , eui- dens eft vtrinque angulos A C E et B CF. aequales effe debere propterea quod lamina nusquam inflexio- nem ad angulum finitum admittit, quum ergo hi duo anguli fimul euanefcant et fimul maxime ab axe-declinent perfpicuum eft, ambas portiones C E et C F paribus temporibus ofcillationes fuas effe ab- foluturas, interim tamen fiylus in C defixus necefüà- rio faltum in lege continuitatis producere debet, quum portio C F certe alium motum fit receptura , quam fi ftylus abeffet , tempore tamen vibrationis €odem manente , ita vt pro vtraque portione littera noftra 0, eundem habeat valorem. His igitur nota- : tis, ponamus portionem A C — «a et alteram BC , ita vt 2g aequetur toti longitudini c. vocetur pro priori parte AX —x et X Y — y, pro altera ve- ro parte Ba/—3! et. Y!4/ — j/, et flatuentur. aequa- tiones ponendo breuitatis gratia ** — (p ec *z — (p. Pro portione EC . J —cof, 0 04 (A cof. (D-- B fin. (p4- Cc?-- De7? Ppp2 Pro 494 DE MOTV VIBRATORIO . Pro altera portione F C . J! — cof. C92 (A! cof. (p^ 4- B'fia. Qe ce D'e-9. Confideremus priorem portionem E C pro qua fi x — o, debet effe tàm (227) Z o quam (72)-0, vnde fequuntur hae duae determinationes : — A-rC--D—o et —B--C—D-—o, quod fi nunc a termino E vsque ad C progredia- mur fumendo x — « et ponendo $5 — 4, pro hoc puncto C habemus i*. y — o vnde fit Acof.Z --Bfin.Z-- C --De7*—o, praeterea notentur tres fequentes valores (12) — -$ cof. 60: (— A fin. Z-- Bcof. 2-- C£ —De-f) (132)— 'cof. 60: (C Acof. Z— Bfin.Z--Cé* 4- Det) $23)— ? cof. 68: CI- A fia.Z —Beof. 24- C — De?) quibus formulis indoles curuae circa punctum C de- terminatur. Simili modo ex altera parte , fi fuma- mus a'— Q et ponamus !? — 4! obtinebimus fe- quentes formulas : — A -- C a4 D'zzo, —B'-4- C «D! -o;: A! cof. 2! -4- B! fin. Z/ 4- C -- D'e-* — o 27) m? cof 06 r(— A'fin.Z!4- B cof. 2-- C'£— De7*) 33) tco i(- A'cof Z/— Bn. Z--C'eS 4- De 9) d x'* 22: — 5s cof. 907 (3- A'f n, Z— Blcof. - Cet — Die- $). Hic igitur. "biben fex aequationes determinatas pro determinandis nofttis oco coefücientibus A, B, C, D et LAMINARVM ELASTICARVM. :4&; et A5PDB^C!D'. Deinde quia vti iam notauimus debet effe (22) — (225.5, hiuc Daícitur feptima ac- »quatio | ' — A fin. Z 4-Bcof. Z 4-Cé— D e—- f — — A'(in. Z!4- B'cof Z/ ! 4 Clé —Dte-*. Octaua autem aequatio inde eft petenda , quod am- :bae portiones in puncto C communi curuatüra. de- bent effe praeditae, vnde fi formula (24?) fuerit po- fitiua , curuatüra in C furíüm verget , at fi formu- la (1427) quoque effet pofitiua , curuatura deorfüm vergeret ; ideoque priori effet contraria, quare wt curuatura vtrinque fiat communis neceffe eft, vt fumma iftarum formularum euaneícat ; ex quo octa- va nofira aequatio ita fe habebit: —Acof.2 — Bfin.Z 4- Céé -- De-— A'cof. Z — B! (in. 2! -4- Ce -L- D'e—f — o. Reliquae autem: formulae (Z2); (22) inferuiunt in- veftigandae vi Cg quam ftylus in C fuftinet , quam inueftigationem , quum. parui fit momenti , hic non Iefpicimus. — Ex odo autem illis aequationibus non folum relatio inter octo noftras incognitas A, B,C, D - et A!, E/, C^, D definietur; fed infuper ad aequationem peruenietur ab his litteris immunem, ex qua angulos 6 'et é/ erui oportebit, ad quod vtique vna aequatio fuffcit, quum ratio iftorum angulorum Z£ et £^ de- tur, quippe quae eft vt a. ad (4. Elifis antem. lit- teris A, B et A/, B/ fex priores aequationes reducun- tur ad has relationes : ^» à Ppp3 — —À go 496 DE MOTV VIBRATORIO . C —cof.Z-4 fin é—ei C — cof, Zl 4 fin. ZI e € D coíZ-ün.Z--& ?D'— cotZfin.z Ee Quoniam autem hic indefinita ratio angulorum 4 et ó! calculi euolutionem difficillimam reddere de- bet, cafum quo Q — « ideoque angulus Z — Z/ ac- curatius. expediamus ; Cafüs quo ftylus C per ipfum: pun&um medium laminae tranfit, ita vt fit Q — «. on E seii aeu ME Tea & et 5 inter fe fient aequales fractioni fcilicet — cof: Z 4- fin. £ —e- f "cof. Z 4- fin. d -- & ita vt iam fit C—DpVvsec-Dv hincque — A-—D(14-V) et B—D(V—1); A'—D/(V4- 1) et B/— D'(V — x), | qui valores in feptima et octaua fubftituti praebent: (D—D!(V 4- 1)fin.Z — (D—D'(V— 1)cof.Z—(D—D5V& -(D—D!)e-*—o CD -- D^(V -- 1)cof. 4 (D--D^(V—1) in.Z -(D--D^Ve* — (D4- D)e-$—o vnde patet P vel D'——D ve D'—-FD ideoque geminam íolutionem prodire l. Sit igitur 1*. D'— — D eritque V 27 1. fin. 4 — (V —1)co. Z - Ve -- e —0 ct LAMINARVM ELASTICARVM. 487 et fi loco V cius valor fübftituatur, reperietur 2 — — cof. £ (éé 4- e-t) YL Sin autem fumamus D'— D debebit effe (V 4- 1)cof. Z 4-(V 2 1)6n.Z—V c£ — 27$ —6, ex quo pro V fubftituto valore. habebitur ei-- wing Coj.Q — jin. à Vade patet priori cafu laminam perinde contremifces re, atque in noítra euolutione principali , fi longi- tudo laminae taütum ad femiffin reduceretur, pofte- riori vero cafü tremores conuenient cum Problemate fecundo , fi ibi etiam longitudo laminae duplo fu- matur minor, fiue aequalis femiffi noftrae laminae A B. Atque hinc facile intelligere licet , quomodo calculus inftitui deberet , fi lamina adeo in pluribus punctis ftylo figeretur. DE 'Yab. VI. Fig. 5. 45. Ono egg B) ge HU DE | MOTV GRAVIVM CITISSIMO | SVEER CVRVIS SPECIE DATIS. Auctore LE FE Honc Problema Tr. Y. Ds ;'in . plano ;'horizontali punáis A ct B, inue- nire, eum arcum «ircularem A PB.üper quo cgrpus 'ex , . . defcendendo citifme in B peruanas . Solutio. Bife&a diflantia A B in C fit AC—BCc-4Z, ac per C ducta verticali P O fit O centrum arcus quaefiti , eiusque radius OA--OP-—r erit PC—r—Y (rr—aa)—p; vt fat — uL, fumantur coordinatae orthogonales PXexjXY 5n, ctt JzV (art—ax) z Y (EP P x - x x), et elementum curuse — 747... , quare cum ce- : : 4 (2r - o x) leritas in Y -fit — Y (p — x) erit elementum tem poris - Tdv di — 4(p—x)6r«z-—xx)? ita repraefentandum rüàx 1 8 P — quz prs -— DE MOTV GRAVIVM SVPER CVRVIS etc. 489 cuius integrale ita füumtum vt euanefcat pofito x— o, fi (tatuatur x —5, dabit tempus deícenfüs per arcum A P, cuius duplum erit tempus motus ab A ad B, quod m:nimum effe oportet. Cum igitur fit dxYir y? LEE d. Jam vM FEE: erit per feriem infinitam d dxVir nz: XX I». $ ' 7 — Y(px-xx) PEE En rr DET s etc). At pofito. poít integrationem x—f, fit f/ — 7". v GLO denotante. 7r peripheriam circuli cuius fame EE tum vero eft in genere : xx 48-1 sz dx Cilmi" up coa. quum 7] Cnr quer d ien -X Y(px-xx) 2n BÀ vesc wc Y (pm quoi poftremum membrum fa&o xz euanefcit. Quare cum fit fI m 377 : dz erit Arat x?do L2 f$ DTP x5 dw —. d$ [ett TP x*dx — 1.35.7 Whaips mI trm d etc. Quibus valoribus fubftitutis obtinebimus tempus per AP | zoom ? penes PPI OBS 3.35.5 ?* X. etc, 2e2.4,8 TT 26:9 5: 3. 6e 12. T3 12, 32, 5? UT (t tL Lct4Z z ui D D) 22.47.62 GE -- etc em.XVII.Nou.Comm. | Qqq Cum . A 499 ^ DE MOTV-GRAVIVM Cum igitur fit ? ?b^ —— BB 2r -— d adis D0)7. ob 7 tp: fi ftatuamus E ocnn;cerntpplzctt, et ar — lacu, a doa Ay cnn)? hincque | VEL. va vV27 2yny(i—nny Vel pofito HUE. n-—, wt fit P—qui— erll[aü (m m — 1) ; j zy(mm —3i)? crit tempus per -TmVa à : TET 1 I Est ridet st : EE Tus: mann m unen gd etc). vbi 7 ita definiri debet , vt haec expreffio minimum valorem confequatur. . Quare ob: | 9" dm Gm "mtm -— x) — — Yum-i) (mm— 1)Y (mm— x) habebitur per *Y* diuidendo a 07H — 1X 2 2. .2 Reti Li NER LAS 19 $2 12.4 I Mira eg Wr ( 1)Y (mm 1) ur Ti 27, 42* m 42, 6a" T6 T etc.) 7H18 — v2 | - MOST a ait. fon pvty à Bo» y —— me aiiis 5 L] Meme t Sed eic) 3 (um 1)" 27 5 2*. 4*4 6 quae a C EHR per (m im — 3) Yos ihn -Ü pride. SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. 4ox 1 HC Nc? rog 1*,$?, $*. 1 1 11*3?7,57,20 r.p aM AL. iM L LBIMTAE. dí PDA AE L 43 3 Vna mi T v2 42.607 U m* * 22.42.62, 42! *3* B u— I —À io : -— 15:2 t — 1$ 27, s? 37. s? E 23" m? 22, 4! m* 22, 42,62" T6 mE NE EE V uU Aree SPALLE LU age 33d S2 TT X 2 227.4 ^ m2 22.47. 6" m4 29.47.69. * ms olla ^ ah sets aZ ow V MOEAR ER L 2^ mi a5, 4^ m* 23, 45.6 "^ m$ nihilo aequandum ; vnde finguli termini collecti dabunt : | Li D. UM NO DOKN 1 7327.37.59. 1*.:7.57.05 x .— | s IT 3 2?.2 27. 42. Py m :32247.62.2 22.4 2,62.42.2" [T] etc. —O9 quae ad hanc reducitur : EM uu. 15644 f DC a3,23..59 4 777 12: 235 5*0 os — etc, — o vbi numeri rr, 31,59,95 funt quadrati pares qui- nario minuti. Quo hinc valorem ipíius zz eruamus, hanc aequationem. ita repraefentemus: T9877 ECC D ES o l0 agi sie iu dic Cle eruntque harum litterarum valores tam ipfi quam . eorum logarithmi : À—2,47500000 Bo, 4843750 C—o, 2304687 *D-o,1449584 - E—20, 1059755 :s Fo—0,0803659 G—o, 0651991. H—0,05437025 I — 0, 04350380 K —9, 0412122 .1A—:0,4393327 1B—29,6851817 | C— 9, 3626120 1] D— 9, 1612436 /E-9,0169309 |1F—8,9050720.- 4JG-8,8142416. 1H — 8,7580055 11-—:8,6724492 iK-—8,6150254.- Qqq42 Ex 492 DE MOTV GRAVIVM. Ex primo termino ftatim patet, effe mmt», ve- rum tamen valor m -— 3 nimis magnus deprcheu- ditir; ex quo zr intra limites 2,75 et 3,00 continetur. Tribuamus ergo ipfi w/7; quosdam valores a. veri- tate: parum difcrepantes, et orones terminos feriei colligamus , vti hinc videre licet: "Hu -—2,;94| M — — M —— mim-2 95 — MÀ MX —M— 0,93535742| 09322034 566586] 2556593 90692] 89773 39402 ! 19140 4734| 4654. 124.5 1219 3431 335 98| 96 29| 28 8t & fumma zr, (0030682| 0, 0, 99938853 error 4- 0, 0032682 |—0; 000611'7 ex quibus binis erroribus concluditur valor. vero proximus 8:1» 2,948358, hinc V(um-— 1)— 1, 59581 , et CP - peti et 6) 11643 0, uite PO cC iud T 1,056136,a vnde arcus A P. continebit 71^, 14!, 92/4 Coroll, SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. Coroll 'r. 2. Arcus ergo quaefitus A P C ita commo- diffime deícribitur vt per recae A DB puncum me- dium C duca verticali, capiatur CP— o, 716435,AC feu C O— o, 33970. A C, eritque O centrum cir- culi defcribendi eiusque radius OA — 1,056156. AC, Coroll :2. 5. Cum angulus BO P fit 71^, r4/, 74. : f ducatur corda B P erit angulus CBP— 35,37, 34" vnde colligitur ipfa corda B.P — r, 2301315. A C. Nulla autem. harum rationum Eakiónalis efle videtur. Scholion. 4. 'Fabulae logarithmorum , quibus im füpe- riori calculo fum vfüs , vix fufficiunt , vt valorem ipfius zz 77 accuratius definiamus. — Interim tamen; cum is intra limites 2, 948 et 2,949 contineatur , faciamus pro vtroque calculos qui ita fe habent: 493 11 9 — 2, 948 mm - 2,949 o, 9325358 0; 9325194 557249 | . 556971 $9956 89864 ! 39193 | 19167 4670 4662 3224. 1222 $37 556 96 96 28 28 8 8 TA m 3 1,0001222 |0, 9997551 Krr. — Lr 1222 |- 2449 Qq44.3 494 DE MOTV CRAVIVM vnde colligitur 57:— 2,948353288, ita vt Valor fupra inuentus tam prope ad veritatem accedat , vt - hic vix certior aeftimari queat; diícrimen enim fà- cile ab errore vltimarum notarum oriri potuit. Hinc foret 5 9 — "4 cuius quippe valor eft 2,948; ne- que propius veritatem affequi licet, nifi quis velit maioribus logarithmorum tabulis vti. Scholion 2. 5. Forfitan iuuabit ex inuento hoc valore sg; ipfüm tempus defcenfus per arcum AP definiuiffe. Quia igitur erat mna — " ar nd n EIDORUTAG DR Y (mm — x) : D mYa a — ; -21,458365 Y a; Y (mtm — x) í à | eto et ob tempus per mmva PACT, —-1). fingulos terminos p logarithmos enoluendo. habe- bimus; | AP— Gt Scricr dor deret) /a In SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. 495 — 1, 00000000 — 0, 08479368 — 0,01617743 — 0,00381040 —2.0, 00098949 mro — 0,CoO27197 an —0,00007575t: 1*€-8,6424546 |; — 000002267 |. 16 — 8, 5865971 P. m 00000676 Su e 8 $567499| zu -—— 0, 00000205 ]X — 8, 4921971 |z:: — 0) 09090063 reliquae 26 | 1a —9,3979400 16 — 9,1480625 I'y — 8,98979090 ]à — 8, 8757161 Lie 8, 2824011 1£ — 8,'7068240 [ele S|es|R e S z- [ ex S | m fumma — r, 10615285 vnde colligitur tempus. per A P — 0, 8035822. 1 Y et pro 7 fubftito valore eft —2,525280.Y a ideoque tempus per AP B 5,050560. Y a. Scholion 5. . 6. Problema hoc ideo notatu dignum videtitr; quod'fíolutio ex aequatione infinita , cuius radix in- veftigari debet , fit.petenda. Cum enim quaeftio , in genere qua. inter omnes omnino curuas ab A ad B ducendas ea quaeritur , fuper qua motus citiffime - abfoluatur , methodo maximorum et minimorum ex- pedite conficiatur , videri poterat, fi eadem quaeftio tantum ad arcus circulares reftringatur , folutionem vix difficiliorem effe futuram ; quod tamen multo "fecus euenit — Quamobrem in doctrina maximorum ms d et 496 DE MOTV GRAVIVM et minimorum etiamnum methodus defideratur , in- ter omnes tantum curuas, quae ad certam quandam fpeciem referantur , eam determinandi , quae certa quapiam maximi minimiue proprietate fit praedita. 1a hoc quidem genere alia methodus adhuc non patet, nifi qua hic fum vfus, qua ea quantitas, - quie maxima minimaue fieri debet , per feriem «x- primirur, indeque more íolito valor maximo mini- moue conueniens eruitur. Quodfi folutio problema- tis propofiti ad eiusmodi numeros perduxiffet , quo- füm certa quaedam proprietas agnoíci potuiffit , in- de fortaffe aliam. methodum magis directam conie- &ura affequi licuiffet ; verum numeri inuenti ita ab omni ptoportione cognita abhorrent , vt nullum veftigium aliter eo perueniendi pateat. Problema 2. 7. Datis in. recta lhorizontali binis pun&is A et B inter omnes femi-ellipíes fuper axe A DB de- fcribendas eam definire A P B, fuper qua graue in A deícendens citifime ad B perueniat. Solutio. Bifetta A B in C ponatur CA— CB—a, qui erit alter femi-axis ellipfis datus , quaefitus au- tem ponatur CP — f. Vocatis coordinatis C X — x, X Y-—jy,etitaayy--ppxx—aapp; vude X—3$ Y(ppo—gj) etdxc-—. 294» 3Y0p—22). Ergo SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. 497 Ergo elementum cuüruae in Y-—-4i»Y'U'--aa—p»5. bYPP—o»» Quare cum celeritas in Y fit — Y y, erit temporis quo arcus A Y conficitur , elementum dy Cb* -- (a6 —bf)yy) PYX(PP—25» quod ita integrari debet , vt euanefcat fado y — o tum vero pofito y — 5, habebitur tempus deíceníus -per A P, quod minimum effe oportet. Cum autem hinc feries concinna elici nequeat, alteram variabilem x in cam introducamus; et quia jy—tY(aa—-xus); dy—— Li i & y (aa — xa) " hincque elementum curuae (LL dxY (d —(aa -pp)x x) aY(aa—xx) erit temporis elementum 1 dxV (at Lon dui à oi i Y p — Ld » T (aa—x xy ] quod ita integratum vt pofito x — o euanefcat, facto Xx — a dabit tempus defcenfus per A P. Hoc autem integrale haud diffüculter in feriem infinitam con- vertimus , pofito enim breuitatis gratia 2:—h? — 5; erit Y (4 — (aa — pp) « x) : nx XX ong? x ; n3 x6 E I- 37, * To 15 — 1.0 c -etc [i ^aGd a40* — a 4689 ) — Tom. xvil Nou.Comm. RrrI vnde —aa(r— » 498 ADDE MOTV GRAVIVM vnde fit elementum temporis aYVe dx be. VIT Var. Yp : EM ioay 7] SIUE : EC ui e (aa — xx) T "s dx Spectemus integrale f ; Vt datum, fitque eius (aa- xxy valor — 4, cfü x—a,et cum in Benere fit x^cdx E X dx — 2 3 ^7Y (aa) m 3 2A (aa —xxy sra (aa-xx)* ts erit cafu x —a vt fequitur dx & 4 : d 2us Yd («a—2xx) xxdx f ezdi- M. 2S (2a — x x)* 4 N mers —À 22. 3 f cc i54a Ya (aa —Xx)* " | df DE ACPIN pe pD Ya (aa— x x)* Hisque fübftitutis colligitur tempus per A P Le lc in- tm 26g940— Te Té 3. 206. 10 —etc.) vb Z4 sep TEN S$e74 &I PERI 2 He Jet og. Lek: 1.3.54," -"IeTa de 5 Pee $27 21S VUE —aBFPUCLLÓBIBHCIBiI Rnigl te3i7108$79)6tc, "7 I.2' 3. 7 le 247 e7«1lI I. 2«43« 4 3«7el «I5 Vbi ob 2—P??—n, eft p-aY(x—n) et —2pdp—aadn. Quare N SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. 499 — fi ponamus breuitatis gratia hoc tempus : 50-7 An— —Ban- Cm -Dr" —En-— etc) erento praebet hanc aequationem o— 1 —An— Br—Cs5 —Ds'-Ew —4AÀA—8B—12»C—16 D—9?o0E—24F c4A4 8B i2C4Ei6D420E quae reducitur -ad bogéors » iLPAug4ZLBan--iC-RUDa--LuE ete. feu P—BRBDJ ILLI rs V nü-r-ut Es TN RA PUTEM uc REM rrt- Etc. 1. 2* 2. 4 3. 7. 1118" ; vnde valor numeri z elici debet, quo inuento eft pa — 1»), in hunc finem , cum fit — Bc i À; CzoBi D-23C; E-——SD F—:RE —mE; H-i5G; I[— Hl etc. habentur hi valores in logarithmis z.- IN 9,5228783; 1? A — 9,63: 0252 ] B £28, 8538720; 15B-—9,0429282 4C — 8, 5114494; I5 C — 8, 7332981 4D-—8,257866:;. 15D — 8,5171264. ]E— 8,0989830; 11 E/ 7/8, 5500391 LE —uo5s$7901; 7f F — 8, 2155714. 1G — 7,8336133; 1:2 G — 8, 0981265 IH -—59:0902. /?: 1] — 7,99580416 1l -—7,6374258; bel — 7,9096841 IK —755555657; IZ5KC— 78305802. Rrr2a Primum 590 DE MOTV GRAVIV M Primum autem ftatim apparet effe n 7, quin etiam binis fumtis terminis primis 5 — 2; quare confíide- rentur limites 7? — o, 6 et 4 — o, 7 quibus fit: "30,6 g—— 1. 0, - 0, 30000000. 2. 3974026 5409089 5s 1168852[ 1856060 4. 426316]| 789802 5. 174099[ 876295 6. sies. 1925379 T. e 35090 103252 $8. 16320| 57589 9. .. 8185, 32771 10. 4094|.- IgI23 0,31597944| 0, 38836146 cum. feq. 4r80| | $8246 um À—À € $i — ln A füumma 0,a31602124| 4 9,.38874392 o; eii 0; 383333353 Error—- o, 01731209] 3- 0, 05541059 ex quibus erroribus proxime colligitur 5 E 0,6258 Fiant ergo duae nouae hypothefes : SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. 5o: 9g —o,620 "n — 0,625 0, 26571430 90,26785720 4243377 4312093 129262 E32410T7 secar] 501934 z051t5[ ^ 215520 »iteo| 97466 441431 46697 21756[ 25178 val II820 5682 6157 T 0, 33319692 8523] 9250 secu .0,33328942 epe] 0.,33333333 Error — 0, 00350660, — 0,00004391- vnde patet numerum 7 adeo maiorem effe quam 05625 foretque fatis exacte 7—0,625063, hinc 1-7 — 0,374937 et P — «Y (x—12) —09,61232. a ita vt pro ellipfi quaefita fit WOPQPET: 9 612892 quae ratio cum mulla cognita comuenire videtur. Scholron. | 8. Operae pretium videtur valorem ipfius 7 accuratius inuefligare ,, quoniam vidimus primis li- mitibus tantopere effe aberratum ;, conucniet igitur Rrr 3 prae- DE MOTV GRAVIVM- 505 praeter valorem. 5— 0,625, alium affümi, qui. praebeat errorem fere aequalem at diuerfi figni vu- de hae duae hypoethefes confiderentur : Ww z3i0,625 n—.0,62525 O0, 26785720 0, 26794292 4312093 4314855 1321107 1522576 501934. 502579 215520| 215862 97466 97653 46697 4680r 23178] 28237 119820! 11853 $157 6177 0,33319692, 0,33333685 Term. feqq. 2453 74:1 ies -— O,353?27145! o, 33341159 Oo, 33333333 0, 333355333 ——— ——— | — — — Etror — o, 000061881 4- 0,00007826 Hic etiam neceffe eft fummam fequentium termino- rum accuratius colligi , quae fcre vti eft notata, re- peritur. Ex deprehenfis ergo erroribus colligitur verus valor 7 — 0,6250883 , parum a praecedente difcrepans ; hincque .p — 0,6123001.a — C P. Corollarium r. 9. Ea ergo ellipfis, quae hac minimi proprie- fate eft praedita ita definitur, wt fi femiaxis hori- "" Zonta- SVPER CVRVIS SPECIE DATIS. $63 Zontalis CA — BC ponatur — a, fit femiaxis con- iugatus verticalis — "CP -0, 6123001. a. - Tum vero diftantia foci F a centro erit C E V (aa — pp) a Yn— o, 79962 a, et femiparameter : — f -a-ma-o, 5749117 4. Cop rolbl o 10. Haec ellipfis fpecies nullis rationibus co- guitis continetur , neque enim ratio elementorum eius rationaliter, rique per indolem circuli exprimi pofí;: videtur ; ita vt ifla fpecies omnino fit fingu- laris, neque aliis praeterea proprietatibus praedita exi(timanda, à Scholion. . ir. Ex his exemplis intelligitur , quam infi- -gnis adhuc pars methodi maximorum «et minimo- rum iaceat inculta cum fi fpecies curuarum ex qui- bus electio maximi minimiue fieri debet, propona- tur alia via haud pateat, nifi vt radix ex aequatio- ne infinita extrahatur. Atque in his quidem exem- plis commode víü venit, vt termini iftius aegüatio- nis infinitae fitis promte conuergant, quod fi in aliis quaeftionibus fecus eueniat , multo maiori labo- re erit opus, quin etiam fi aequatio plures veladeo infinitas inuoluat radices reales, refolutio completa nc expectanda quidem videtur, Quod co magis mi- rum $o4 DE MOTV GRAV.SVP. CVRV. SPECIE etc, rum videri debet, cum snethodus maximorum et minimorum iam ita fit exculta, vt non folum in- ter omnes omnino curüas fed ctiam inter infinitas tantum certa quadam indole praeditas , velnti quae fint eiusdem longitudinis , vel eandem aream inclu- dant , ea affgnari poífic, cui maximi minimiue proprietas quaecam conueniat. — Nunc igitur intelli- gimus plurimum intereffe, wtrum curuae infinitae propofitae communi quaedam proprietate , veluti ea- dem longitudine fint praedita, an vero omnes cer- ta quadam curuarnm fpecie contineantur; hoc enim pofteriori cafu fateri cogimur methodum huiusmodi quaeftiones refoluendi etiamnunc penitus latere; quae refolutio enim in cafibus hic enolutis fucceffit , in alis magís complicatis locum omnino non inuenit. Plurimum autem intereffe arbitror , quaecunque ad- huc in Analyfi defiderantur, follicite annotarí. PHYSI- PHYSICA Tom. XVII. Nou, Comm, Sss CYPRI- edis (Co) $e 507 CYPRINVS CAPOETA | ET ^ CYPRINVS MVRSA. Auctore 4. IL. GFELDENSTAEDT.. ncolis sri; Cafpii nantibus ,, in commentatione nupera de Sa/mone Leucicbtbyde et Cyprino Cbal- €oide enumeratis, adíociandum e(t par fratrum nobile ex eadem numerofiffima Cbajcoidis fami- la, qui nobis, ad ripas Cyri Teflifii , quod Geor- &iae metropolis eft, per hyemem hifloriae naturalis £ratià, annuente RVSSIAE AVGVSTISSIMA et fauente GEORGIAE SERENISSIMO commo- rantibus , innotuerunt. Alter horum : Cafoéta; alter Mur/a et Georgianis et adfinibus Per/fis ac Turcis au- dit; atque hanc ob cauffam etiam a nobis vterque eodem nomine triuiali imbuitur, cum fynonyma idonea ad pifces hofce , qui nobis omnino noui vi- dentur , denominandos deficiant, in quae attamen inquirant ichthyologi, qui otii et librorum copia fruuntur, quibus nos peregrinatores caremus. — Ex regulis: fyftematicis Summorum. Virorum, ARTEDIVM volumus atque LINNAEVM, et Capoitam et Mur/atu ad Cyprini genus, pertinere affirmauimus ; quod vt pateat , cum reliquis attributis , vtriusque fuccifas tradamus defcriptiones, Sss2o .LE- $08 CYPRINVS CAPOETA DESCRIPTIO CFPRINT CAPOETAE. Habitus analogus Cyprino Orfó ; magnitudo pe^ dalis , indiuiduis maximis. vix. vnquam 14 polliceS- anglicaios excedentibus; /fefurd compreffo - oblonga ; latitudine genio ee fepties a longitudine fuperata. Caput breue , fed latiffiumum , glabrum , verti- ce conuexo, fufco; zofirum obtufifhme conicum , ante mandibulam. füperiorem prominens; mandibula fuperior. vaginata , femilunata , inferior conuexe " cuata , 4/abii ftrictifhmis ,. cartilagineis , . inferiore praefertim margine acutiffimo; verbo: or fimilli um ori. Cyprini Nafi , fed latiora omnia. y. x Cirrus vtrinque. ad angulos oris folirins 1 ijnipsti- ore transuerío- triplo breuicr. (em Nares" duplices , inter roftrum et oculos me- dium occupantes , valuula intermedia diftinctae, Oculi fàt magni , laterales ; iride argentea , fü- perne füfco - aurata ; pupilla circulari. iila Opercula brancbiarum Iaeuia , fufca 1 eos : aperturas branchiarum vtrinque. folitarias. goteagaids tueibrana. brancbio-/tega. Ntrinque. triradiata , alba. Dorfum: ante pinnam dorfi acutiufculum , . pa- rumr adícendeus; pone pinnam rotundatum, horizon tale 5; Jatera conuexiufcula ; Jimez lateralis initio: inter pinnas. pectorales et ventrales nonnihil deorfum cur- vata, abdomini propior, quam js; ; abdomen "ud tum , vbique planum. 2 64 Pond ET/-CYPRINVS/'MYVRS A. $69 co^ Squamae totam: corpus obtegentes , imbriéatáe, rotundatae , mediocres , laeucs ,- flriatae ,' argenteae , in dorío et lateribus fufco adumbratae et punctis fufcis circa €— irroratae ; in ventre minores et albae. u Ir SW Pinna dor alio pitis j^ odbedtii: — occus pans, trapezoidea ; radiis 13. faepius tantum r2. primo breuiffimo ; fecundo: duplo. longiori ; tertio omnium longifümo , retrorfum vtrinque a bafi vl- trà medium denticulis deorfim fpe&antibus ferrato, - - Pimnae pedforales oblongo - acüminatae ;. radiis 19. rarius 17 vel i8. decrefcentibus. Pisae ventrales dorfali oppofitae , in medio ventre fitac , obtufe tripezoideae , Me ad bafim apophyi lanceolata. ds TR RN munitae , radiis 10. rarius 9. decreícentibus, — Pimna analis im medio inter. pinpas ventrales - et caudam , proxime pone anum. obuia figura ven- tralibus. analoga ,. fed. ,lengior ;. radiis .conflanter 9. primo minima. et difficilius. detegeudo ; fccundo lon- " Biori; tertio: longiffimo ; reliquis. decrefcentibus. : Cauda. verticalis., bifurca., cruribus aequalibus ; kn 19. exceptis vtrinque 3 vel 4. breuioribus extimis ; omnibus pariter cum. Teliquis pinnarum ra- diis ramof(is; fed tribus. primis. pinnae .doríalis et analis atque primis pinnarum..pe&toralium et vcn- tralium indiuifis ;; omnibus, inermibus. . | "Color pinnarum: omnium fuícus ;- panctulis on fícurioribus irroratus ,; fed in pinnis. ventralibus fuper- t (iO Sss 5 ne 510 ne albidus. CYPRINVS CAPOETA In iunioribus digitalibus. et. fpithameis color hic dilutior atque pinnae ventrales et analis rubenti -albae , immaculatae , quos Georgian pecu- liari nomine PirGbku] ab adultis. diftinguunt. Dimenfines partium. externarum fecundum pe- dem duodecimalem Lomdinenfem ita: —5 — 0—0 7. —. Ad initium P. licae: di 9. — — -— .-— .-— adextremum P. dorí| 6. |3. —— um surdus uad caudae, radicem. dro.46. — o — 7 aiaesuddmaxiliam, inferiora — — anm ak ax ooami d fadicem DP. pectori Se — ied e Tomas fdicem D ventrals se. — i mum cambore n 28 Aüftium Pam — ED — - '2' - - gd exeemum P. ani| 8. |7. Diameter oculorum i: EHE Te- 0 ERE LIII IT. jdüter nare& ^—— poccQe UWMAL 18. LL C À'[dtef oculos — — - - 179. -—————— perpendicularis ad oculos ^ — — —- 3. —— ——— ad P. pe&oralium radicem - | rz. |10 -——- ——- maximus ad P. doríalis initium| 2. |9. —— ——— ad anum —-— — -— -—. -I.|7O —— ——— ad caudae radiiem — — — — -| r.|2. ——--——— jnter caudae crura T 2 uu uL -—— —.—— transuerfalis ad angulos oris - -|— jrr ——- .—— 8d aperturas branchiarum | — jj r.|7- —— ——- qaximus ad P. dorfalem - | 1./9. -—— ——— ad anum - — Mar —— —- ad caudae radiieom —-. -— -j— |4- E ET CYPRINVS$ MVRSA. T0: - | poll fin. Longitudo cittorum - - - -. 4— 8. Longitudo fquamarum. máximarum — — — |i Latitudo eaum —- - - - - -—1g3i Haec de externis fuffüciant , nunc quaedam. de internis addamus. Cauitas oris alba , glabra , edentula , ipfis fau- cium officulis inferioribus , congeneribus propriis, vix a4c ne vix exafperatis ; officulo ouali plano , füperne in faucibus fito etiam glabro; ZJngue immobilis ad- nata. | ; Braucbiae vtrinque quatuor, ín parte concaua tuberculis obfoletis , glabris ," vtrinque pectinatae ; accedit fiuces verfus radius quintus impennis et an- '"trorfum tantum obfíoletius pectinatus. Cor depreffüim , ambitu rotundatum criftae galli figuram fiftens, pericardio tenuiffimo inuolutum. Diapbragma totum tendineum , anguftum. . Hepatis corpus latum , lacero-quadragonum , fub diaphragmate fpinam veríus fitum , ex quo de- Kendit deorfum: ad latus ventriculi dextrum froceffar, penna anferina non craffior, qui in medio ventricu- "jo retrorfüm) dilatatus in lobulum cordatum , polli- cem latum , atque ab hinc vlterius fecundum ven- *riculum procedit et vix pollicem. ante anum am- 'plificatus iterum in lobulum cordatum , femipolli- ecem latum ,' antrorfüm in ipfa ventriculi curuitura repofitum, AL 7/3 512 .,:CYPRINVS CAPOETA : |. 1. Feficula felle amplifima ,' pyriformis, fundo anum veríus fpectans, (fub ventriculo. iu medio ab- domine fita , ab hepate. fcparata j. inter inteflini gy- ros abícondita , bile tenui , virefcente repleta. Lien linearis , medio et apice amplificatus, fpi- nam verfus et finifgror.um | inter inteftini "flexuras latens. 240 Sb AME oc oo Fentriculus! ab. inteftino silicon alibi us nifi quod. aliquantum amplior fit, et recta a gula -Xsque.ad anum fere procedat. ^ "Tracus inteflinalis longior, quam vix in vllo pifce , decies ," duodecies et vitra corporis longi cie exfüperans in indi- .viduo antea. dimenfo , 12; pollices longo, r32. pol- lices, ;in altero; 14. fre pollices longo, r80. pol- lices a gula ad anum adaequans, varie | fpiraliter tortus retortusque., fpiris breui cellulofa ar&te | inter Íe connexis, intcerítitiis pinguedinem oleofam fouen- "tibus, Tunicae inteflinalis tractus tenuiffimae ,.- ita vt difficillime integre rcaolui- poffit ; fibris in ven- triculo Tongitudinaliter ferpentinis, in reliquo tractu redis. Cauitas inteftini glabra, muco albido ícatens. Veficulae fpermaticae et ouaria alba, linearii , anguíla, vtrinque a fphin&tere veficae a&reae ad anum. procedentia. "i IUE E lr Pei itoracum — —— aterrima N&ftitum. sog ou V6 di «érea per. totum Pme ad. fpititi dor( decurrens; argentea , medio conftrida ; du&u pneumatico e. gula procedente et parti' inferiori fub fphiuctere iuferto. HUM i Reus ET CYPRINVS MVRSA. s:5 Rener ad ípinam dorfi , fupra veficam a&ream fiti, confluentes, faaguinolenti , in veficulam vti- nariam , ad anum obuiam , fefe exonerantcs. '. Caro alba, fapida , officulis plurimis bifurcis ftipata, Coftae vtrinque 19. vertebrae. 43. . Habitat in mari Cafpio, ex quo per menf:s hyemales ad prolificationis negotia celebranda Cyrum et fluuios hunc petentes ahi fed vix vltra rig Wu! procedit. DESCRIPTIO CFYPRINI MFRSAE. | Habitus analogus Lucio Efóci ; magnitudo peda- lis, indiuiduis maximis vix 16. pollices anglicanos exfuperantibus, — S/zrura tetragono — oblonga , latitu- dine ftpties, craffitie nonies a longitudine fuperata. Cajut elongatum , conicum, compreffiufculum, glabrum, vertice conuexo , pedi ; parum adfcen- dente , fufco; ro/frum rotundatum , tumidum , ante mandibulam füperiorem prominens; mandibula. fuüpe- rior profunde vaginata , parabolica; inferior mento breuior , femicircularis ; /abijz laxa , tumidiffima; fa- perius integrum , inferius trilobum ; os claufum transuerfale , capitis diametro aequale , , apertum tu- bulofüm.: ^ —- Cirri quatuor; - duo ad latera roftri; duo ad angulos oris, longitudine inter fe et diametro traüss - verfo oris aequales. Nares, oculis propiores quam roftro , vtrinque duplices , valuula intermedia aperturam pofticam ebegente. | : . Tom, XVII. Nou. Cola Ttt Oculi 514 "CYPRINVS CAPOETA Oculi ad latera capitis fiti , mediocres, con- vexi ; iride flauicante , fuperne fufco maculata , pu- pilla circulari. : ví | Opercula . brancbiarum laeuia , fufca , ^ aperturas branchiarum | vtrinque. obtegentia ; membrana brancbio- Jiega vtrinque. triradiata , alba. Dorn rectum , vix a vertice adfcendens, la- tum, planum fere fine vlla conuexitate, a vertice ad pinnam dorfi pariter ac ab ea ad caudam ; /atera conuexa ; //mea. lateralis veca, medium corporis oc- cupans ; abdomen latum , vbique planum. ex Squamae totum corpus obtegentes, denfe im- bricatae , tetragouo- rotundatae , paruae ; muco ob- ductae, aurata, fupra fufco adumbratae , fübtus albidae. | Pinna doríalis folitaria , in medio dorfi fita 3 trapezoideae radi ra, rarius ri. primo breuiffimo; fecundo duplo fouztari s ; tertio omnium longifiimo ; craffiffimo , retroríüm vtrinque a baü vltra. medium denticulis deorfum fpectantibus ferrato. Pinnae pedorales oblongae , rotundatae ; ps 17. rarius 16. decreícentibus, Pinnae ventrales dorfali oppofitae , in. medio ventre. fitae ,- obtufae trapezoideae j. radiis. 8. datu fcentibus. | Pina anaüs in iliedio inter pinnas ventrales et caudam , ptoxime pone anum obuia, figura ven- tralibus analoga, vix: longior; radiis conftanter 7, S longiffimo , et P ho gearcppro jgs1do " 33 ! " Cauda ET CYPRINVS MYVRSA. 5t5: "Ceuda vwerticalis , bifürca , cruribus aequalibus; radiis r9. neglectis vtrinque tribus quatuorue bre-. vioribus; omnibus paritcr cum reliquis pinnarum ra- diis ramofis, exceptis tribus primis. pinnae dorfalis et primis folitariis pinnarum pe&oralium , veatra- lium atque anoalis indiuifis ;; omnibus inermibus.. | Cobr pinmarum pe&oralium , dor. et. caudae fufcus ; ventralium albus, füfco fupra maculatus ; analis autem. pinna tota alba. Dümenfones partium externarum ita- fecundum anglicanos pollices et lineas. poll. ilio; Longitudo ab apice. toítri ad caudae extremum r2. | 2. -.-. 7 7 d,inidüm-P. doríalis |. s.16. - - -7 - ad extremum eiusdem | 6.|ro. —-5 7, .7,,. 7, ad caudae radicem. —. [10.[ T. -. Toss Tl.ad maxillam inferiorem! — [ 6. - -, 7. ^ ad radicem P. pe&oralis 2.|t0.- Eodem, iv Ad PRHHEm P. estais] 5.]-S. | Wewi€O o .rad mutum Pe am. x 71 8 T dp. - - 7, -. ad extremum P. ani - | 9.[3.- Diameter oculorum - —- -- Lease —|3. OE 8-8 5. OMEN a Che EE! c Er C dnte UCM c D Iu DaoE s us — [10. — perpendicularis ad oculos - - Bod: —— —-— ad pe&oralium radicem | — | 1.13, —— —— qnaximus ad P. dorfalem |.-| 2.|— -— lo, ad anum: - —- — -| n|6,- ——- ——— ad caudae radiiem - - -| z.|r. —— -—— intr caudae cruraa - - -4 39. Ttt 5$ Dia« $16 ; '"CYPRINVS CAPOETA Diameter erubiegorfalié ad siqui oris - - jest PEE" ad aperturas branchiarum . -- —— —-- maximus corporis ad P. dorfi ——.—-— 2d anum ; -.. - Eddie. —— —-— ad caudas radicem - ^- |. - Longitudo cirrorum anticonum | - —- 4 —— —— — poflicorum ^ 0 4 Longitudo fquamarum maximarum - -— Latitudo earum | - - - - - -* Reftlat, vt agatur de internis Cyprinae Murjae. Cauitas oris alba , edentula , officulorum fau- eium füpremo Oouato, glabro, duobus inferioribus vix eXafperatis ;. Lingua immobilis, adnata et. ob- foleta. ho Brancbiae vtrinque quatuor, in parte concaua ferie duplici tuberculorum acutorum,, breuium ac glabrorum ob(íitae; accedit fauces verfus radius quin- tus absque branchia , aatrorfüm tantum ferie vnica tubercalorum munitus. Cor oblongum , obfolete triguetrum , pericar- dio tenuiffimo inuolutum. * .. Diapbragma tendineum , angufiuum. —— — Hepar-corpore lato füb diaphragmate et. pone ventriculum omnem abdominis latitudinem occupat , et dextrorfum dimittit a medio ventriculo ad anum fere vsque $roceffum linearem , pennae anferinae cras- fitie, qui in medio fub fundo veficulae felleae bifur- catur in lobulum finifirum , breuiorem , anguftum 2: et ET CYPRINVS MVRSA. 517 et dextrum longiorem , in'fine ante anum in figu- ram triquetram dilatitum. - V éficula. fellea! magna ,'. pyriformis, in medio abdomine iater. inteftini: gyros. fita , fundo obtufüifi- mo ouario dextro impreffa , atra bile: (catens. Lien linearis , finiftrorfum fitus, a. diaphrag- mate vsque ad medium abdomen excurrens , obfcure rubens , ventriculo poftice adhaerens. 5 Ventriculus non nifi diametro aliquantum am- pliori a rau inteflinal; dittinguendus ,' qui ipfo pifce fere duplo longior, in dimenfo nimirum indiuiduo 18. pollices, fed in alio pariter pedali 253. pollices adaequat; (a gula ad anum fere vsque re&e defcen- dit; dein finiflrorfum reflectitur et adícendit paral- leliter vitra medium abdomen ; exinde dextrorfum et deorfum tendit per femipollicem ; tunc furfum et finiftrorfüm per fesquipollicem procedit ; iterum per pollicem deorfum. et dextrorfum abit;. ab hinc. per femipollicem finiftrorfüm adfcendit, tandemque fupra fecundam flexuram deorfüm recta ad. anum proce- dit. "Tunicae inteftini fat craffae ; "fibris rectis ; cae vitas glabra mucum plurimum in initio OUR; in prozreffü brunneum continens. - Ouarid vtrinque. ad veficam | aérea fita 5» diaphragmate ad anüm vsque extenía, oblonga, com- preffi, alba, ouulis magnitudine feminis pujasisiok lanuario foeta; - Veficulae fpermatieae lineares , albae. Peritonaeum NY pedoants epidermide atra | "ve- fitum. ! p. ni. 82. à T tt * Vefica $18: CYPRINVS CAPOETA : »* Fefica. aérea: argentea: parua:,. a diaphragmate- ad medium abdomen tantum; decurrens, medio con--- ftri ; parte fupetiori cylindrica inferiore ' triplo longiore , acuminata , penna aníerina angufliore; du- &um pnueumaticum- recipiente, Q1 i49. Qi Renes.ad fpinam , fopra veficam .aéream fiti , fanguinolenti, confluentes, in veficulam vrinariam ante anum fefe exonerantes. |. uiiass Caro alb3 , íapida, officulis. bifurcis fere ca- reüs.; :coflae. vtrinque 203. vertebrae 43. o 0 0o Habita in mari Cafpio ,. ex . quo ;ad nuptias celebrandas Cyrum adícendit .per menfes vernales — Terek. fluuium pariter. vt JFojgam et Murfa. et. Cápoita -teípuit; quamquam. alias. Trek fluuio. et. Cyro pifces. fere; omnes: communes. fint , fcilicet .Sa7- mo Salar., Cyprinus.Cbalcoides , Carpio. , . Vitiba , . et Nafus y" Silurus Glanis;, quibus accedunt . A4cipenfer Huft ,.-Sturio ,' atque. Seuruga et Scbypa. Rufforum $ fed Acipenfer -Rutbenus. feu .Sterletta. Rufprum ,' Salmo. Leucicbibys. ec. Cyprinur. Cultratus Wokam. trequentitfi-- me: petentes ; Cyrum et Terek fluuium. fugiunt. — Quibus addendi funt duo Cyprimi cirrofi , quo» rum alter Zerek fluuium , alter. Cyrum e mare Cafpio adícendit. ^ Terekienfis ," (uadentibus. 4drzedianis obfer- vationibus., cum: Barbo Auctorum idem e(t; Cyren- fis , huic: fimillimus: maguitucine tripedali , | figura fitu ec numero partium externarum , nec non lon- gitudine tractus inteflinals , qui «corpore duplo et quod :excurrit. longior atque. in. vtroque fpiraliter contortus ita in proportione ac colore partium. ex- i "de terna- "T ibit ET CYPRINVS MVRSA. 519 £ernarum differentia fat euidens inter piftem Tere- kienfem (eu. .Barbum Auctorum , qui F/atfcb. Rufforum, et Cyrenfem , . qui. Capito. nobis et T/cbanari- Georgia- mir audit, — Capito nimirum. differt a. Barbo: capite longiore , latiore et minus depreffo ;; roftro obtufio- re; cirris loagioribus ; oculis maioribus; corpofe aliquantum magis compreffo ; pinna dorfali a roftro 4nulto remotiori; tandem colore laterum. infra li- neam et piunis inferioribus omnibus luteis; iterum -Nertebris tribus pluribus; fcilicet (47. quarum im Barbo tantum 44. In pofterum ,. dum Auc&orum obíeruationes atque icones cum noftris conferre -lice- bit, füüus de his atque generatim, de Cyprinis cirro- fis, minus rite determinatis ; quos omnes fub. di- verfo coelo videre contigit , agere - conflituimus. - Nunc nomina eorum ípecifica . condere füfficiat et noua et reformata; fit igitur, | BARBVS, Cyprinus- cirris 4. radio tertio pin- nae dorfals vtrinque poftice ferrato; colore laterum .et pianarum | inferiorum albido; dorfo acuto. CAPITO , ,Crprinus cirris 4. radio tertio p; ü- nae dorfalis vtrinque poftice ferrato ; colore laterum et pinnarum inferiorum luteo ; dorfo acuto. MVRSA , Cyprinus cirris 4. radio tertio pin- nae dorí(alis vtrinque poftice ferrzto ; colore laterum fafco - lutefcente , pianarum inferiorum füfco albido; dorfo plano, CARPIO, Oyprimus cirris 5. radio tertio pin- nae dorfalis atque analis vtrinque poftice ferrato. 232230 CAPOE- "Tab. V III. "Tab. IX. $20 CYPRINVS CAPOETA - CAPOETA , Cyprinus cirris 2. radio tertio pinnae dorfíalis poftice vtrinque fcrrato; cauda bifurca, GODBIO , Cyprinus cirtis 2. radiis omnibus inermibus ; cauda bifurca. TINCA, Opprimus cirris 2. radiis omnibus "juüermibus ; cauda integra. Coronidem imponamus differtationi esplidisio- ne iconum ad hifloriam Cyprini Capoctae et M pet- tinentium. Fig. xr. Cyprinus Capotta magnitudine naturali. Fig. 2. Caput Oyprini Capoctae. antecedente ali- quantum maioris, a parte inferiori , vt pateat roflri et oris &ru&urá , dtque . membranae branchic flegae radiorüm numerus ternus. Fig. 3. Cyprinus Murfa magnitudine € Fig. 4. Caput Cyprinae Mur/ae antecedente ali- quantum maioris, a parte inferiori, vt pateat ro- firi et oris flructura , nec non radiopim membranae branchioftegae numerus ternus. Fig. 5s. Trac&us inteftinalis Cyprinae | Murjae , 4 gula a ad anum P longitudine ct flexuris natura- libus cx indiuiduo , cuius icon figura 3. eft. OBSER- -He(o)tHe. $21 OBSERVATIONVM SPLANCHN OLOGICARVM j AD ACIPENSERIS XRVSSICI ET HVSONIS ANATOMEN, SPECIATIM VERO AD IPSO- RVM AVDITVS ORGANVM, SPECTAN- TIVM, CONTINVATIO. Auctore l T. KOELREV TER. (3 multis abhinc annis circa dubium . pifcium X. auditum in diuerfüm traxit Phyfiologos fen- tentia , nunc curatiori partium , quae auditus orga- num iu hoc animalium , fpeciatim vero Acipenferis genere, conftituere. vifae funt , inuefligatione, ea- ründemque intimiori inter fe nexu , ita a me illu- flrata ac confirmata eft , vt de vera eius natura et vfü nullum amplius iis füpereffe poffe dubium, con- fidenter fperem , qui infequentes figuras , in quibus genuina ac. completa huius organi conformatio ex- pofita eft, ftudiofe confulere , earumque fuccincta . explicatione vti velint. m Tab. X. Acipenferis Ruffici organum auditus, tam in nexu fuo cum cranio , quam diíinde ex- pofitum , magnitudine naturali. Fig. I- XI. * Tom. XVII. Nou. Comm. Vvv Fig. 522 OBSERVATIONES Fig; Bap fitit cranii cartilaginei partem , quae au- ditus organo finiflri lateris fedem praebet; et qui- dem ab interna facie. Portio haec tota cartilaginea eft, excepta la- mina offea, fítrati bafilaris offei puse, , Cui adnatum eft firmiter cranium. 4. . Corpus veficulofum. à b. b. b. Membranae et fibrillae , illud fuftentan- - tes, quibus pro neceflütate vel tenditur , vel relaxatur organum. : c: Neruus auditorius anticus. d. | Neruus auditorius pofticus. € et f. Canales duo femicirculares aperti, vt pro- pagines membranaceae in confpectum ve- niant e. anticus; f. pofticus, Amplior eft longe horum canalium cauitas, quam mox dictarum propaginum craflities , ita, vt hae laxae ac liberae penitus in iis hae- reant. & £-£. Sectiones fubflantiae cranii cartilaginei perpendiculares. b. Offis fphenoidei feu bafilaris pars. 4 k. Nerui alii , huc non fpectantes. Fig. 1I. Eadem portio ab exteriore facie. Canales tres femicirculares aperti , cum fuis propaginibus, "Tam canales ipfi, quam propagines femicirculares ad vtram- que extremitatem ampliores , in medio autem angu- ftiores (unt. Aue [2 An- SPLANCHNOLOGICAE. 553 Anticus, f. Pofticus. g. Exterior f. lateralis. b. Apophyfis ftrati fphenoidei offei. "o deg. ILL, Corpus veficulofum eiusdem lateris, cum an- nexis fibi propaginibus femicircularibus , neruis etc. ab interiore , cerebro obuerfa facie. ^ Refectae prius funt, antequam exemtum fuerit , nonaullae mem- branae ac fibrillae , quae illud camerae , 2uditus or- gana continentis , parietibus affgebant. ^ Totum hoc veficulotum corpus vma cum fuis propaginibus et facculo, ipfi annexis, liquore limpido fuboleofo tam extus circumfufüm , quam intus repletum effe folet, &. Corpus veficulofum , crumenam referens , ve- ftibulo aliorum animalium analogum. g. Propago femicircularis antica. f. Propago femicircularis poftca, e. Propago femicircularis exterior f. lateralis, €. Fxtremitas propaginis femicircularis shSivne An" ferior , amplicata. ; b, Extremitas propaginis femicircularis potiice in- ferior , ampliata. . d. Exiremitas propaginis femicircularis exterioris f. lateralis anterior , ampliata. 9. Corpufculum , -veficulam.. collapfám Mica, eiusdem , cum 4, c. d. nodofis quafi et amplia- tis propaginum extremitatibus ; formae ac fub- flantiae, V v v 2 ! si. Ner- $24 1H. Ó. 9. 1. OBSERVATIONES Neruus auditorius anticus. Neruus auditorius pofticus. Nerui auditorii poftici ramus craffior , in ,S. excurrens. Eiusdem nerui ramus tentior. Membrana , a corpore veficulofo anteriora ver- fus expanfa. Officenlum auditus maius, verfus marginem dentatocrematum , per facculum , illud includen- tem , transparens. Fig. IV. ldem corpus veficulofüm , cum annexis fibi propiginibus femicircularibus ; neruis etc. ab exterio- re , ccrebro auería facie. . Corpus. veficulofum, Propago femicircularis antica. Propago femicircularís poftica. Propago femicircularis exterior f. lateralis. Extremitas propaginis femicircularis anticae in- ferior , ampliata. . Extremitas propaginis femicircularis | pofticae inferior , ampliata. Extremitas propaginis femicircularis f. lateralis anterior , ampliata. Canalis , vtrique propaginis, fc. anticae et la- teralis extremitati ampliatae communis. . Corpufculum , veficulam collapfam referens , eiusdem , cum £. c. 4. nodofis quafi et amplia- wMtis, SPLANCHNOLOGICAE. 5355 tis propaginum: extremitatibus , formae ac füb- flantiae.- | s. Neruus auditorius anticus. —-. Nerüus auditorius pofticus. | f. 4. 9. Nerui auditorii antici (77) ramuli tres 5 quo- rum vnum f. propaginis femicircularis anticae; alterum vero 4. ac tertium 0. exterioris extre- mitas ampliata excipit. ^F. Locus, ad quem uerui auditorii poftici (7.) ra- mi, craffior fc. (Fig. ILI. c ) et tenuior (ibid e.) in vnum iterum. coalefcunt ,. rurfüsque propa- ginis femicircularis pofticae di gliancoderti ver- fus , diuiduntur. ]. ]. Membrana, a corpore veficulofo anteriora ver- |o fus expaufa. ín i. Officulum maius , transparens. b. Lamina cartilaginea , officulo maiori contigua , *-- facculoque ,, illad includenti ,. infita , a cranio refciffa. | | "^ Fig. v. TRE Orten auditus pars, cui latior iffa membrana (Fig. III et LIV. L L), camerae parieti anteriori af- fixa, demta efl, vt ea , duae füb ifta latebaat, con- fpici pofünt, . A A AD Superfiites citt eic xefectae mar- gon cere d. Corpuículum aliud , veficulae fimile, extre- mitati propaginis anticae inferiori: 'amplia- tie contiguum. . ' : [ t j áo 8 "o1 TOWN Y' s e. Pro- $26 | — OBSERVATIONES' e, Propago femicircularis antica. f. Prominentia. veficulofa alia , minor. £. Neruus auditorius pofticus. b. Fibrillae , nerui auditorii poftici fobolis , fü»er prominentiam veficulofam , minorem , reptatus ac infertio. — Fibrilla haec maceratione in qua- tuor minores fe facile fidit fuperius. Fig. VI. Membrana (Fig. 1I et IV. Z4 7. 7) feparatim expofita. Fafcia tenax , albicans, tendinofa forfan , ipfi membranae fubílantiae innata. b. Faíciae extremitas inferior , acutior , omnique nexu foluta. . Foramen ; an naturale aquaeductus oftiolum ; $ an ex incuria factum ? Fig. VII. pa t officuli maioris cum proxime annexis fibi partibus , ab exteriore facie. *». Neruus auditorius- pofticus. i. Sacculus cum fuo officulo maiore, cochleae. forte vicem explens. Not. Frigidis pifcibus vniuerfis nullam effe cochleam ,| omnes vno ore confentiunt Anatomici, attamcn ego in Clu- pea Harengo recenti, non falito, praeter. facculum , officulum , maius continentem , machinulam eiusm: di , eamque nitidiffimam olim inueni, pone pofticum oculi ambitum fub globuli offei albicantis forma prominen- tem , duobusque intus foraminibus , pcfteriorem ipfius faciem verfus, peruiam, quorum vnum, exterius fitu; in canalem [e EAS: em ducit , alterum , interius 5 autem corpori veficulofo obuerfum eft. f. Pro- SPLANCHNOLOGICAE se; f. Prominentia veficulofa , minor (Fig. V. f.). -à. Corpuículum , veficulam collapfam referens, (Fig. 1II et 1V. 9, à). x. Molecula ex albido pallide flauefcens, dura, transparens ; an officuli maioris apophyfis ? J. Reliquiae et veftigia laminae cranii cartilagineae (Fig. IV. 5) quae et fimul locum in facculo indigitant , cui ifta adeo firmiter adhaefit , vt mon nifi forfice feparari inde potuerit. e. Ramus nerui auditorii poftici tenuior (Fig. III. e.) transparens. c. Eiusdem nerui ramus craffior, transparens (Fig. III. c.). : Fig. VIII. " A. Lamina cartilaginea (Fig. IV. 5.) a cranio refciffa , facie; qua cranio erat adnata. . 4. b, c. Subftantia albicans, ligamento fimilis, anu- |... 1o quafi oblongo , radiisque , inde emiffis, diftin&a , qua mediante cranio firmiter ad- haefit lamina. — | B. Eadem facie , facculo obuerfa. d. c, f.g. Subflantiae albicantis , ligamento fimilis terminos denotant. Fig. IX. j Extremitates am»liatae. propaginum , femicir- cularis anticae et lateralis , adapertae. ^ Vt interiora harum partium eo melius in confpectum veniant, omnem antea earum cerebro obuerfüm parietem re- Íecare ideo necefíc erat , quia non minima, extre- mita- E $538 —OBSERVWVATIONES mitatum praefertim ampliatarum, ela(ticitas , craffa- que et cartilaginea fere ipíarum fubftant a: pleniorem earum explicationem alias nimium | quantum Niupe- diuiffet.. | 4. Neruus auditorius anticus. b. Corpuículum vweficulae fimile (Fig. V. £4), ex- tremitati propaginis anticae uis ctdli vet din . «ontiguum. | €. Propaginis femicircularis anticae extremitas in- o rfecior (Fig. ILI iet 1V. z «.). d. Propaginis femicircularis lateralis extremitas an- terior (Fig. 1I] et IV. 2. z.). €. €. €. Prominentiae tres , duriufculae., conoideae , vel ob finum :profundiorem , quo inferior et truncata ipfarum pars exfculpta quafi eft; in- fündibuliformes potius dicendae. ^ Aueríam :ha- rum f. exteriorem faciem ramuli nerui audi- torii antici tres fübeunt, inque fubflantia ea- : Tründem euauefcere videntur. Quartam eiusmo- di prominentiarum vid, Fig. X. ;. An in his pro- minentiis potior fedes fenfus auditus ponenda ? Certe coniecturae huic neruorum infitio, ela- flica et cartilaginea fere extremitatum — fubftan- tia, liquorisque inteftini , quacunque vi fuper eas hinc inde agitati ; ineuitabilis ad eas adli- fio maximopere fauent. &. Ramulus primus f. maior, trausparens, f. Ramalus fecundus, minor, transparens, i. Ramulus «tertius. minimus , transparens. 5. Plica. valuulofa;, oblique :transuerfim c | : | OP. SPLANCHNOLOGICAE. 529 Obf. Quae in harum. partium cauo inueni, non nifi fo^ fabuli granula erant minutiffima , nudo tamen oculo vifibilia ,; variae maguitudinis et viginti circiter numero ; an ofliculi minoris, fitu cor- rupti , recrementa ? Apparet etiam ex hac fi- $ura ; quomodo neruus auditorius anticus , poítquam hanc organi portionem fubiit, cx interiore in exteriorem eius faciem flatim | fe fubducat ,.cum e contrario poflicus in illa po- tiffimum fubfiftat. Fig X. ri Corpus veficulofum cum vtraque propaginum Temicircularium extremitate (cxcepta lateralis * pofte- riore) adapertum , toto organi páriete ; cerebro ob- verío, ex eadem ratione, quam Fig. 1X. attulimus, antea refecto, | "' «€, Corpus veficulofum. ' J - &. Extremitas propaginis femicircularis anticae fu- c€ d. "ES - perior. - Eiusdem inferior. Extremitas propaginis femicircularis pofticae fu- lperiór, 1:161 WwiWéb ph , Eiusdem inferior. | pofterior. - | Eiusdem anteriof. - Jü €. . f. Extremitas propaginis | femicircularis lateralis g p. Septum dimidiatufn ; craffufculum , ad oram crenatum y corpori veficulofo tam fuperius quam inferius et ad pofleriora vndique adnatum, In- — Tem, XVII. Nou. Comm. Xxx "ter 530 OBSERVATIONES ter angulum huius fepti inferiorem externum - que orgini parietem via anguítior in extremi- tatem propaginis femicircularis lateralis - pofte- riorem patet, Prominentia alia duriufcula , cum duplici finu, quorum. vnus canalem, alter corpus. rwn o refpicit. - Oftium extremitati propaginis- anticae : Mtiori, lateralisque anteriori commune. . | Neruuli rami tenuioris (Fig. III. e.) foboles, prominentiam Z. excurrentes. 5. Plica quaedam exftans. Reliqua eadem , quae in Fig. IIT. fub lit. m, ". 1. 0. g. c. Fig. IV. 2. 9. Fig. V. fb. et Fig. IX. lit. 0t n. videre licet. - M Obf. Aperto corpore veficulofo ; fedimentum album; quafi calearium , pauca quidem in copia, in eo repertum eft. Caeterum quoque conftat; ex hac figura, propagines tres femicirculares quin- que orificiis , vti canales tres femicirculares. in ipfo homine. aliisque quadrupedibus, in corpus veficulofum , ceu véftibulum ipfarum , hiare; primum fc. propaginis poíticae fuperius , ac anguftius oftium ; fecundum eiusdem inferius , amplum valde; tertium anticae fuperius ac anguftius; quartum lateralis poflerius , fatis anguftuni , et quintum , extremitati propagi- mis anticae inferiori , lateralisque: anteriori com- mune valdeque amplum. | Fig. SPLANCHNOLOGICAE. 53: Fig. XI. Sacculi officuli maioris diffzti facies interior. &. Neruus auditorius poflicus. 5. Oftium largum ; € corporis. veficulofi cauo in facculum ducens. - Not. Ofüicula auditus ipfa vide apud K/eimiwm , in Mifc. Pifc. Ll. Tab. II. £. 34. cui in pife modo demortuo, vel certe recentiori integriora videre contigit. Tab. XI Acipenferis Hufonis , Rufüis Bcluga didi, "Organum auditus, tam in nexu fuo cum cranio , quam diftin&e expofitum , magni- tudine naturali. Fi ig. XII - XVII. Fig. XII. Cranii cartilaginei pars cum auditus ofgano — finiftri lateris, ab interna. facie. a. Corpus veficulofum. L b. b. b. b, Ligamenta varia tendinofa, . quorum ope cranii parietibus hine "inde." alli- iet: gatum ac füflentatum eft organum. rat. Mrs, Neruus auditorius anticus. . d. .Neruus auditorius pofticus: ab initio . jnter fe coniuncti incedentes. €. £.&, Sc&iones fubfiantiae cranii cartilaginei perpendiculares. ( f. f Strati fphenoidei offei pars. Neruus alius , huc non ípectans. b. Seta porcina aquaeductui , in cranii ca- vum patenti , immifla, — «02 Mr crm Fig. $j34 A OBSERVATIONES Fig. XIII. Eiusdem lateris organum , velamentis fuis de- nudatum. JETM 8 "Corpus veficulofüm , crumenae fimile. ^ T Oftia canalis femicircularis antici. - . Oftia canalis femicircularis poftici.. É Extremitas propaginis. femicircularis anticae fuperior. , e Extremitas eiusdem Mods inferior , am- ^ Pliata. 50154 Extremitas propuginis femicirculris ju dt : fupetior. Qin 19 g. Extremitas eiusdem propaginis si kai am- pliata. cs À. Sacculus officnlorum auditus ,. e corpore ve- ficulofo, crumenae fimili , fufpenfus, hin) Neruus auditorius anticus. Neruus. auditorius pofticus. Neruus alius, huc non fpectans. Seta porcina per aquaeductus oftiolum in facculi cauitatem demíífa. —Vfus huius aquae- dué&tus procul dubio in eo confiftit,' vt, nie mia potiffimum in organi preflione vel mem- branarum , illud fuftentantium , tenfione, aquulae , qua omne fcatet , effogiam prae- beat. us s i - A dM. d Sgc.APFm ^ t Mn oxllgsdl o Organum auditus integrum atque corbpletum : dextri lateris , ab. ; nil facig.; uv o» 4 £OKXG 4. Cor- *Jy C SPLANCHNOLOGICAE. 593 4. Corpus veficulofüm ; crumenae fimile. b... Propago. femicircularis | antica, c. Propago femicircularis poftica. T d. Propago femicircularis exterior f. lateralis. b. Vtriusque propaginis , ífc/ anticae ac lateralis extremitatum ioferiorum confluxio in commu- nem ac fere cylindricum canalem. €. Sacculus officulorum auditus, | f. Neruus auditorius anticus , aueríam extremita- tum propag. femicirc. anticae et hieralis am- 55. pliatarum faciem. quaerens, 2 05 g. Neruus auditorius poflicus , in hasie atat fa- fciculum , facculo, |officula continenti , infito- rum, maxima ex parte anterius definens , alio piri ramo longius protracto in auerfam pro- páginis femicircularis ape ampliatae faciem eXcurretis. »:3 XV. : " | Mem organpm iéroe niai s facculo fibtnero relicto. ET. AS | Hong 4.' Septum dimidiatum , raf ufculum. b. b. b. b, Prominentiae duriufculae ac finuofae, ner- .. Vorum ramulos excipientes, . | 6. d. e. f. Ramuli vtriusque. nerui auditorii , per fubdiaphanam . Ppropaginum : fubflantiam | transparentes, 5o o48$. Ofium extremitati propaginis anticae in» feriori , lateralisque anteriori commune. : NN XXX S Fig. 534 OBSERVATIONES. Fig.; XVI. Corpus veficulofum , finiftrri lateris , hórizün- taliter diffe&um , cum annexo facculo. 4. Oftium largum , per quod e corpore veficulo- ^ fo in facculum aditus patet. —— Lb. Seta porcina per aquaeductus oftiolum.- in fac- culi cauum demiffa. .€. Septi dimidiati pars, — — .Fig. XVH. Gaéculas fecundum fuae bafis longitudinem diffectus. . | 4. Officulum auditus maius, incudem, /&ipitello . (03 conuexo inftructam , referens. b. Officulum aliud minus, in eiusdem facculi ca- vo et hàud procul ab iflo repertum, — Tertium, fi modo adfuerit , fruflra quaefiui, in pifte, . per Wolgae fluuium longo itinere Petropolin .congelato aduecto vicifümque regelato corru- ptioni forte obnoxium. Ob eandem quoque ra- tionem de nexu horum officulorum cum fac- culis, in quibus funt inclu(a, nihil certi agmi- hi conflat. Nullibi annexa i €ffe, cum re- centiorum nonnullis vix crediderim ; certe enim in'Muftela vnlgari Cyprinisque iri - plaram officuli maioris faciem , mediantibus tribus cir-. citer fibrillis nis , ac facill|me rumpen- .dis, interiori. facculi vel veficulae fuperficiei adhaerere vidi. | P ii | p : Tab. SPLANCHNOLOGICAE. 535 Tab. XII Meatus, falfo fic dictus auditorius externus, ex Acipenfere. Hufone Fig. XVIII - XXI. Canalem iftum ,; quem Cel. K/eimus in Miff. Pit. L p. rg. Tab. 1L fig. A. b. pro meatu audi- torio Sturionis externo. olim. habuit , longe. alium effe , ex fequeatibus íatis. füuperque. conftabit. Decurrit fc. ifte inter fupremam ac pofticam mufículi omnium maximi , primi operculi branchia- . füm offis eleuatoris portionem (cuius carne totus, et quidem ftatim ab exteriore ipfius oftio , 'obtegitur) , et modo memorati ofílis extremitatem füperiorem. Fig. XVIII et XIX. z. Mufculus vero ille inter . oculum et anticum f. primum opetculi branchiarum - 0$ fatis craffum leuiterque arcuatum fitus eft. Prin- cipium eius oculi regio fupraorbitalis, tota cránii cartilaginei cauitas , velum palatinum omnisque an- terior primi operculi branchiarum offis: margo - exci- piuit,- "tendo autem extremitati eiusdem offis 'iufe* riori inferitur. In vnius pollicis diflantia ab oftio füo (Fig. XVIII, XIX et XX. 5.) canalis alium recipit diodfisdlilor?; jonge minorem (ibid. c), qui tenuem inter bmelni lamellam , ipfamque cranii car« tilagineam fubftantiam (Fig. XVIII et XIX. 4) de- litefcit, vltra tertiam fuae ^ longitudinis partem , eamque inferiorem , in canalis maioris cauitatem demiffus , ' eiusdemque füperficiei internae poftica fua cie admatus, Num canaliculi huius extremitas fu- petior (Fig. XIX. e) in finum , fübftantia , cerebro 0i 151 non 536 OBSERVATIONES non abíimili, repletum (ibid, f.) hiet , vel ex ea ipfa oriatur, id quod verofimilius- mihi videtur, iam e memoria exceffit. . Alterum vero eius /ogiieiu t (ibid. g.) in canalis maioris cauum patuiffe, certo mihi conftat; circa quod valuülarum ' fpuriarum , furfum fpe&antium rudimenta, quibus munitum eft, forfan miraberis ideo; quod ad liquorem potius: ef- fundendum , quam récipiendum compofitus efle. vi« deatur canaliculus. - Canalis maior ; dum. (itum re- tinet. naturalem ,. incuruatus eft, fima, facie. poflerio- ra , conuexa anteriora capitis refpiciens , ' füperiusque piullo amplior, quam inferiora. veríus, 'ac hiatu. largo in imas fauces patens. . Velum autem palati- num; quod canalem excipit , faccum. quafi. ibidem efformat , branchias veras veríus patentem , fundoque. fuo contractiore anteriora reípicientem. ^. Exteriori. huius facci parieti interius branchiarnm , vt ita di- cam , fuccenturiatarum . feu fpuriarum vna adnata eft; cuius lamellae radiatae ac in fumina tantum ipfarum parte liberae funt, ab anterioribus pofterio- rà verfus magnitudine fenfim decrefcentes. ^ Canalis hic defcripti. vfus absque dubio in «eo confi(tit, vt. ifta branchiarum | füccenturiatarum . fpecies partesque adiacentes , ope aquae, per: interualla eas transfluen-. tis , muco aliisque fordibus , continuo inde excretis , mediante hoc aquaeductu , liberentur, An ftructura haec Acipenferum. illaque Balaenarum | fiftulae , | ve-. ram quandam. iuter íe habeant fimilitudinem , ei-- demque forte . vfui. inferuiant , merito quaeritur Ü quá igitur de meatu. auditorio externo ,. quo. in- - vento SPÉANCHNOLOGICAE i5$j vento gloriantur nonnulli ,. fentiendüm fit, cuiuis facile intellectu eft... Nullam omnino ómni pitcium genti ,. cetis. forté folis exceptis a' natura datum effe, curatior naütium: perpluriuid inueftigatio du- :' dum me docuit, licet de auditu eorum nullus vn- quam , inprimis autem, poft integri huius organi in chondropterygiis inuentum , iim ante hos (redecim annos a me abfolutum , ne tantulum quidem dubi- taucrim. Quis enim hunc fenfüm in tanta huie or- gano cum aliorum. animantiuti auditus organo com- muni fimilitudine, aliarumque circumftantiarum:con- venientia pifcibus impofterum: déneget, nifi. praeiu- diciis mifere occaecátur, ominique ingenii acumine plane catens ? Gaudent itaque", mea quidem feüten- ti&, auditu pifces, fonique tremores pér aquam, 3d radios fonoros excipiendos aptiffimam ,. corporis veficulofi, propaginum femicircularium, officulorum- que propriis faccülis: incluforum opé, ipfis commu- nicatos , aft materia fuboleoía , auditus organo omni extus vndique circumfufa , forte aliquantum. tempe- ràtos, percipiunt. | Fig: XVIII. Canalis maior , ad. fauces ducens, finiftri: late- ris, cum accedente canaliculo. minore ,. in fitu fuo naturali. | | a. Canalis maior. eau b. Oftium canalis fuperius: f; externum , pro me&- tu auditorio falfo habitum: €. Canaliculi- cum: canale. coniunctio, Tom.XVII. Nou. Comm, Yyy | £44 338 OBSERVATIONES s d. Cranii cartilaginei pars. turali. Tr latino , a. -.Brauchiarum fuccenturistarum vna;,. extra. re- liquarum ordinem , veli palatini facco, inte- rius. adnata ,. ac transparens. FE XIX, - Jdem dextri lateris , inque fitu pariter na- Canalis sie Oflium eiusdem externum. . Canaliculus, . Cranii cartilaginei pars. Canaliculi extremitas | fuperior. . Subítantia, cerebro non abfimilis ; .qua finus quidam cranii cartilaginei refertus eft. — An glandulae conglomeratae - fpecies ? Locus , ad quem orificium canaliculi inferius in canalis maioris cauum patet. Fig. XX. Canalis maior, finiftri lateris , cum velo pa- feparatim expofitus. Canalis ipfe. : Oflium eius externum. -Canaliculi portio. Iura i 1 Branchiarum fuccenturiatarum vna, trans- parens. i: dii Velum palatinum, "Veli palatini. faccus. Apertura: veli. palatini f eiamiens veras verfus. 4; Fig. SPLANCHNOLOGICAE. 39 Fig XXI . , Camalis maioris finiftri literis , velique palati- ni, diffe&orum facies interior, a. Canalis, | ! b. Canaliculus, —- c, Branchiarum füccenturiatarum vna, exteriori faci palatini parieti interius adnata, 340 -5(o)$x DESCRIPTIO VITVLI S BICIPITIS CVI ACCEDIT COMMENTATIO. DE ORTY M Qo ieri Qe S eu 3 v. Auctore (Quesdro JE QUE. E M NE hic, qui in ipfo partu periit, duplici , eoque feparato , capite, collo duplici, fed ad bafin capitis vsque concreto , communibusque integu- meutis inuoluto , thorace autem , abdomine , pedi- bus anterioribus et pofterioribus fimplicibus infiructus fuit. In columna vertebrali circa fecundam et ter- tiam vertebram dorfi duplex effe incipiebat. ^ Inde furfum duplex, deorfüm fimplex columna vertebra- rum continuabatur. Caeterum vitulus nonnihil de- formis , pectore et dorfo gibbofus , pedibusque pofte- rioribus diftortis erat. Quae igitur proprie monftro- fa fuerint in hoc animali ea nonnifi in parte thora- cis fuperiore et in collo duplici concreto quaerenda fuiffe , facile praeuidetur. Tab XIII. Aperto thorace cor vnicum et fimplex in Fi. 1 omnibus fuis partibus inueni , (fig. 1 et 2.) quod tamen folito maius et ventriculis maioribus inflru- é&um erat. Ex ventriculo finiftro aorta nata , poft- quam duas coronarias arterias folito loco edidit, et retro DESCRIPTIO; VITVLI BICIPITIS. 541 fetto arteriam pulmonalem : i in eius latere dextro prodiit.( fig. r. g.) ilico in duos ramos , craflitiei fere aequalis, pofteriorem (b) et.anteriorem (4) di- viditur. — Pofterior breuis. eft et conftituit ,, quamuis anteriori .vix.craffior , truncum .aortae continuatum ; qui ex latere fuo finiftro arteriam fubclauiam fini- firam (x.) edit et. eo ipfo quoque loco cum .du&u arteriofo. Botalli, itidem (bi fere aequali ,. coit iu aortam doríalem., duplo praecedente trunco aortae maiorem. Anterior breuiffümus, et vix vllus; trun- cus commiunis duarum arteriarum innominatarum efl, in quas ile acutum íe diuidit. Aorta igitur in duas partes aequales diuiditur, quarum .altera capi- tibus et pedi anteriori dextro profpicit , altera cum aequali fibi ductu arteriofo coniunca , quo integra quafi aorta reftituitur., reliquo corpori inferiori pe- digue anteriori finifro ramos largitur, "Truncus ar- teriarum donpminataeum ilico, vti di&um, in has truncus diflindtus conféri Yogi; & coctis deuua (k-) poft breue. fpatium arteriam vertebralem | dex- tram (7) et fübclauiam dextram (m.) feparatim edit; deinde in dnas carotides (f. o.) pro capite dextro di-- viditur , .quae porro íolito. modo | progrediuntur. Arteria innominata finiflra.(5.) paulo longior ade Ácendit; tum primo e latere fuo finifiro arteriam edit infignem (2.) alMeri carotidi circiter aequalem, Ea arcuatim deorfüm regreditur et in «duos ramos diuiditur (r. 5.), qui finguli , a. fanguine forte exe tenfi, fuo trünco maiores funt, €t quorum alter Yyy a , infe ái 7 DESCRIPTIO "et iiérior: maiorque (5.) in pulmonem finiftrum (olus; alter füperior et minor (r. in pulmonem , qui in- ter dextrum et finiftrum pulmonem medius exiflit ; et duobus quafi vitulis communis eft, inferitur: Adeoque haec arteria «integram pulmonalém vituli cuiusdam finiri refert, - Eius ramus inferior loco fiaiflri, et füperior loco dextri rami eft . Pofthaec árteria innominata finiftra ramum fecundum - reddit (6295. qu'EDepoHpP pP paulo minorem prio- Ie;,' nec tamen minus notabilem.:' Hic re&a contraà truncum , et angulo cum eo intercepto acuto regre- ditur verfus bain cordis, infinuatque fe inter auri-. culam finiffram (W.) ed magnam molem adipis con- globatae (V.) quae huic auriculae et bafi cordis ad- haeret. Huic adipi infignem ramum largitur.: (fig. 2. Q) ipfa reliqua arteria per totam pofteriorem M rin cordis ad apicem vsque decurtit , - (fig. .'R.) ramos latetaliter. diftribuit et in carne -cordis sodinitur: Haec itaque arteria coronaria cordis et in fpecie quidem finiftra eft. - Dixi duas | — folito loco ex aortà natas effe. ^ Earüm dextra (per mediam fuperficiem anteriorem cordis decurrit (fig. 1. Q.), refertque. igitur eam , quae vulgo dextra vocstur fini(lra autem non in füperficiem pofterio- rem ;, fed in marginem: finiftrum ' obtufum' cordis defcendit. G.). Haec —— potius , quam illa, quae ex^ innomihata oritur , ' tanquam ^ fupernumeraria icenfeti debet. aDendtiltiésue hae tres infignes arteriae xoronariae aliquam iam füperfluitatem. in ipfo corde, VN nullam licet m — hàbeat, ob "ma- t | gnitu- VITWNEISRICIPITIS. 343 gnitudinem tamen fesquialteri vitulo — profpiciendo fufficere videtur. - Denique arteria innominata poft coronariam datam ilico. in duas carotides (v. zv) ca- pitis finillri diuiditur , folito modo ad latera afperae arteriae finiftrae veríus hoc caput adícendentes. Patet igitur prinum , imo et vnicum mani- Schol. fetum. duplicitatis , feu. monftrofitatis | principium |. in duabus arteriis innominatis vel ;. quod. idem. eft, in earum duabus. efficiendis pari. trunco Dacrcu Nam ad hunc truncum vsque aorta et fimplex eft et nihil, quod praeter naturam effet , in íe habet; poft illum trancum .eadem porro plane naturalis effe pergit. Si alteram harum innominatarum ,. finiftram nemp2; auferas, omuia reliqua in f paturali funt. Dextra enim innominata primo, vt fieri de- bet fübclauiam et vertebralem dextram edit, deinde. in duas pro vno capite carotides diuiditur.. TTrun- eus aortae continuatus poft innominatam emiffim fubclauiam finiftram prorfus vt fieri folet, cum ver- tebrali: finiftra edit, et cum ductu Botalli.folito mo- do in. aortam dorfalem confluit, ^ Haec tanti füperflui fanguinis caufa , arteriam innominatam finiftram puta, quantus füfficit ad al- terum. caput et €ollum nutriendum, 'facile ideam fuppeditabit quam pridem pro ortu móüfttórüin pro- pofüi; vegetationis alicuius luxurizntis , feu copio- fioris fecretionis fucci , in folida organica abeuntis , qua -füb primis formationis initiis in hoc loco , vbi muünc truncus duatum. innominatarum. exiit, — prae- Inaugio ter Schol. "Tab XIII. | Fig. 1 Schol. $44 DESCRIPTIO ter folitum , tantum quoque fücci ,^ nouis quafi vi- ribus intrinfecis fubortis, " excretum — fuit, quantum 3d alterum. caput' producendum requirebatur ;. quem- ádmodum' nunc, vafis formatis, praeter folitum , tantum. quoque- fánguinis adhucdum'traunsfertur, quan - tum. ad. alterum, caput nutriendum opus eft. Exifunt venae cauae: füperiores; duae; (1c II.) duabus. innomiüaris: arteriis: refpondenres 5; vuüa.. tane tum inferior (fig. 9. X:)'ad' aortami: vnicam- refpi- ciens — Harum altera: dextra (fig- 1. x.) primaria et naturalis eft, quemadmodum. innominatam | huius lateris: vidimus effe, ^ Altera- autem ,. quae finiftra eft (fg. 1. ra) fapernumeraria. pro capite finiflro/ ac« ceffit , tauquam effectus luxuriantis vegetationis, Dextra folito. füo loco , ex finu' venarum. cauarum et auricula dextra (X) oritur et reca adícendit. Deiode plàne vt fieri debet, vertebralem dextram (3:) reddit et porro fübclauiam dextram (4. 5 ) ex: qua iugularis dextra (6.) oritur. Denique im venam (ub- clauiàm finiflram , quse venam iugularem finiflram ederet , abire deberet. Sed hic praeter folitum trua- cus: reliquus- in. latere. finiflro- capitis. fui. dextri ad- foendit (7.).5. deinde loco fubclauiae finiftrae duos ra- mos. emittit, (8.. 9.) qui ad alterum. vicinum | col- lum finiftrum. tranfeunt , ibique munere. iugularis dextrae funguntur.,. et reliqua vena (ro.) iugularis finiftra. capitis dextri. manet. | . Aliquid! caufae. huius erroris naturae facile in» — I zimuüs; ^ Sangiais: brachii. finiftri.,. qui: hoc: loco'in ^ cauam VITVLI BICIPITIS. $45 cauam fuperiorem ingredi, viamque adeo fibi füb- clauiam finiftram producere debuiffet ;; locum fimi. lem. viciniorem ,. multoque. oportuniorem , venam: cauam | nempe. füperiorem. nouam finiftram (11. 14.) inuenit , in eamque deductus eft (13). ldem ergo brachialis fanguis, . cum deficeret in hoc loco ,. vbi requiritur pro vena caua dextra; et nouus infolitus fanguis ex nouo capite rediens eius loco fe offerret ; quid mirum, fi hic receptus, loco fubclauiae fini- fira, iufolitam nouam iugularem produxit? — ^ "Nena caua füperior finiftra, quam praeter na- Tab. XIII, turam pro capite finiftro accefüffe dixi, miro ortu : XIV. gaudet, mírasque per ambages redux a capite errat, 9" donec idoneum infertionfs Jocum inueniat, quafi na- turam dubiam fuiffe dicas, quorfum hunc nouum fanguinem capitis finiflri pof fundamenta cordis fünpli- cir jam formata reduceret. Colle&is enim vena iu-. gulari finiftra (fig. . 4.) fubclauia finiftra (fig. x. X3.) et wertebrali finiftra (12.) truncus nunc wena Cama fuperior (11. primum reéta defeendit ,' wt fo- fet vena caua fuperior, infinuatque fe (fig. 2. 0.) inter auriculam finiftram (fig. 2. T.) et finum ve- marum pulmonalium (fip ?. 7.) tanquam fi dextrum finum ct Vettriculum dextrum. in hoc loco quaere- ret, et applicat fe fuperficiem pofteriorem huius fi- nus finiftri. in latere eius finiftro (ig. 2. k, k) vt videretur eidem in hoc loco inferta effe, ^ Sed con- tinuat reuera inter membranas: finus pulmonalis ad eius bafin vsque et.ad baüin cordis (fig. 2. f.).. Ibi Qua coguito errore a tramite hactenus obferuato ^» dom. XVII. Nou.Comm. Zu defle- Schol. 546 ^M» DESCRIPTIO deflectitur dextrorfüti (fig. 2. p. q.). "Tendit reca verfus finum venaram cauarum. Eique inferitur in eo loco, eodemque oftio , quo vena coronaria ma- £ua in hoc finu aperitur , adeo , vt vena coronaria, cuius proprium orificium fimul intra oftium venae cauae.finiftrae apparet , nonnifi ramus fit huius. ve- nae cauae , prope eius. oftium ei infertus. Certum autem eft, primo. tempore. venam. co- ronariam truncum , cauam finiflram eius ramum fuif. Nam commune illud oftium , quod imme- diate in finum dextrum hiat , indubitate ad venam coronariam pertinet , omnibus notis pro eodem oftio . Ccognofcendum. ^ Poftquam autem vena caua et pars T4. XIII. Fig. 1. venae coronariae , quae inter coniunctionem amba- rum venarum et finum dextrum breuiffima eft ; fanguine copiofiori ad. modum dilatata fuit, et re- liqua vena coronaria ad coniunctionem vsque ,. an- , &üftior contra permanfit , vena caua cum parte ve- nae coronariae , in finum hiante, in truncum , reli- qua coronaria ad coniunctionem vsque in ramum illius permutata fuit. Sic tandem et viribus natu- rae media inueniri poffe, quibus errores commiffi corrigantur ,, SVPREMVM NVMEN voluit. Pulmones tres exiftunt , primus, dexter, (F. G. H. L) et fecundus , finifter , (K. L.) locis con- fuetis pofiti , tertius. medius (M. N. O.) loco paulo fuperiore pone arterias innominatas collocatus eft. Hi membranis quidem ; a pleura deductis, minime autem fubftantia pulmonari inter fc coniunguntur. i XXxd*X-* Dex- VITVLI BICIPITIS. $41 Dexter quatuor lobos habet, «quorum. infimus (F.) maximus , duo fuperiores (H. et L.), quafi appendi- ces , minimi funt. Pulmo medius, | vel fuperior, minor et trilobus eft (M. N. O). .Sinifler dextro fere aequalís ex lobis duobus. tantummodo - conflat , fuperiore maiore (K.) inferiore minore (L.). . His pulmonibus duae afperae arteriae refpondent ex duo- bus collis deriuatae. Earum dextra (D.) vbi in tho- racem venit, in. duos ramos finditur, in^ dextrum maiorem , qui pulmonem dextrum . adit ; et fini- ftrum longe minorem, qui in medium pulmonem diftribuitur. Idem dicendum eft de afpera arteria finiftra (E.). Diuifa enim in duos ramos fimiles , dextrum paruum, pulmoni eidem | medio , finiirum maiorem finiftro pulmoni tradit. Aere per afperam arteriam. dextram. impulfo , is permeat. inflatque pul- monem. dextrum et medium , finilro inta&o reli&o, Miffo aere. per. afperam arteriam finiftram , idem fiuiftrum pulmonem extendit et | medium . eundeto j intacto pulmone dextro. Ex. bis; apparet ; ..pulmo- nem dextrum et dimidium medium ad foetum dex- trum pertinere. Illum eiusdem dextram, :-hunc fi- niftrum :pulmonem referre, Pulmonem - finiftrum cum dimidio medii foetui finitro- proprium, illum |o Ón finitrum , hoc dextrum eiusdem. efie. L4 FOfTI ra -'5. Arteria. pito iion - folito isis ex Tab. XIII. ventriculo dextro ortus, (g.) retro. aortam. fe ime Fig. rz. mergit, ibique in duos ramos fere aequales. breuis- fimos diuiditur ;; quorum anterior du&us arteriofus. MN 422 DBotal- Schol. 548 DESCRIPTIO |: Botalliin occurrentem fibi aortam continuatam -(5.) inferitur , ex cuiu$ ipfo infertionis angulo. in fuper- ficie anteriore , latereque finiftro fubclauia finiftra (a.) oritur. :; Ramus fofterior Ííeu:. profündior ilico in duos;ramos finditür , dextrum et fuperiorem. . lile retro dortam'continuatam dextrorfum petit ,' editis- que duobus furculis (Z. e) in lobulos pulmonis dex- tri fuperiores (H.- L) , ipfe (5. c.) in: duos maiores inferiores lobos (G. F.) huius «pulmonis :diftribuitur. Superior re&a adfcendit ( f.) et in ^ pulmonem me- dium in eius lobos dexteriores en M.) inferitur.. Hinc pátet, totam hanc arteriam | puit lem , ex dextro vefitriculo ortam , quae ' caeterum parum -praeter maturam in fe babet , ad folum vi- tulum dextrum pertinere , adeo vt ramus eius dex- ter (b) dextrum , fuperior (f^) finiftrum: ramum re- ferat. .Nam diftributio arteriarum afperarum docuit, pulmonem dextrum :cum dimidio fuperioris , quibus folis arteria. pulmonalis profpicit, nonnifi dextri' vi- tuli pulmones effe. Eoque ipfo, eodemque argue meuto cum conftiterit, pulmonem finiftrum cum alteta parte fuperioris , feü medii pulmonis , quibus arteria (4; 4. r. 5.) ex innominata fidifira orta , pro-. fpicit,.ad vitulum fiüiftrum pertinere; patet fimul arteriam hanc (g. g.) vt fupra iam monui, inte- gram arteriam pulmonalem vituli finiftri effc... Opor- tet autem haec obfetuare , vt conditio totius mon- ftri indé, vt; dextrum vitulum ia formatione pri- — má fiif furi monniü accefforium ob vegeta- BE: tionem VITVLI BICIPITIS — 54$ tionem. luxuriantem fuiffe , vt denique dextrum proríus naturalem , ^nec nifi finiflrum praeter natu- ram pemieda effe , inde pateat. 2M Sinus pulmonalis (fig. 2. i) truncos veno- fos tres emittit, qui breues et indiuifi in tres pulmones vicinos tramfeunt. Qui in pülmonem fu- ESTO , ambobus vitulis communem , abit Cn.) , maior eft et éx angulo finus fuperiore dextro ori- tur. -— Ille , qui in finitrum pulmonem tranfit , (7.) minor , ex angulo eiusdem finiftro, et qui in dex- trum pulmonem inferitur (7) finitro fere aequalis , ex dextro latere finus fuam originem ducit. - - Denique oefophagi , qui ex collis duo in tho- Tb. XIV. racem .defcendunt , proxime fuper diaphragma in Fig. 2. vnum confluunt , qui porro folito modo iud per- fonat et in . ventriculum inferitur, vint: ey ORTV MONSTRORVM. pe bis. 5 —— Contra ortum monftrorum ex. éolliGóne et concretione. duorum embryonum , qui antea feparati fuerint , vel etiam ex deítra&tione. vel transmutatio- ne pàártium foetus fimplicis , quae antea integrae et naturales fuiffent per caufas accidentales , ad generá- tionem non pertinentes, pfimus, quantum ício , DvvERNEVS fcripfit in a&is Parlllnis :ai&ó 1706. Lemde LiEMERIVS, argumentis. quamuis ingenio- fifümis , tamen infeliciter illum ortum defendit, ibi- dem anno 1724. Denique Peril. L, B. de HarreR ENA Zzz38 et | $50 0 BIESIOR TN et WiNsLOWVS, magni aeque Viri, ille in opufcu- lis anatomicis , hic in actis laudatis anno: 1733 et 1734 tanta contra hanc hypothefin argumenta pro- duxerunt, vt pluribus aliis vix opus fit , certe , vt validiora dici non poffint. Imprimis regularitatem , oppofüerunt , et ordinem in monf(tris obíeruari non minorem , quam in corporibus naturalibus ipfis qui cum fortuita collifione et concretione , vcl cum ac- cidentali transmutatione nullo modo conciliari. poffit. Hic ordo in noftro vt in omnibus reliquis monftris apparet. Cur oefophagus vnius vituli modo cum Ocfophago alterius, nec quacunque cum alia parte ,- cur ambo in eodem loco fecum inuicem collidunt et concreícunt , adeo vt vtrique , quousque feparati funt, eadem longitudo maneat *. Cur pulmo vnius modo. cum pulmone alterius , cur arteria innominata tantummodo cum arteria. innominata vel cum aorta concurrit, comprimitur et concrefcit* Cur non aliquan- doin aliquo monftro oefophagus cum vena iugulari, vel pulmo cum hepate vel carotis cum vena caua con- creuit? Non poffunt enim partes; alterius foetus par- tes fui fimiles et conuenientes locaque carum loca fimilia et conuenientia in altero foetu inftin&u quafi quaerere , repulfis remotisque vel de(tru&tis reliquis paribus omnibus , quae fibi neceffario occurrere de- bent , priusquam ad illa. perueniunt. - Praeterea in omnibus fere monftris fingulares difficultates occurrunt fecundum -hanc hypothefia inexplicabiles', cuiusmodi plurimas WINSLOWVS eX. variis. mon(trorum defcriptionibus et Peri. HALLE- RVS MONSTRORVM. 551 RVS ex propriis fuis obferuationibus collegit , et quae non minus in noftro quoque exemplo abun- dant.. In eo cor fimplex eft, nec quidquam com- pofiti vel praeter naturam habet; adeoque ex fen- tentia Ce. LigwERII cor alterum , 'finiflri nempe vituli, plane defiru&um eft. Quum etiam aorta , ex hoc corde vnico nata, fimplex fit, aorta quo- que vituli finiflrri tota perdita «erit, exceptis eius ramis maioribus , arteria innominata et fubclauia fi- niftra , quae íolae de fyftemate arteriofo vituli fini- firi reftiterunt. Has igitur arterias füperftites in hac hypothefi füpponere oportebit orificiis apertis, nec fanguine effluente ; translatas effe ad aortam vituli dextti, in eamque, nouis ibi foraminibus fubortis , quaü trans plantatas. Quis talia autem concipere, aut quis ferre poteft ? Vena caua fuperior vituli finiflri, quae , quamuis in dextro huius vituli latere natura- liter fita , adeoque collifioni cum vitulo dextro et deftructioni primum *expofita , tamen: íola ex fyfte- mate venofo vituli finiftri füupereft ,^ non deftructa , fed ex latere dextro trans arteriam innominatam in latus finiftrum promota fuit. ^ Deinde cius orificio. abrupto, et mobili hactenus, noua pars acceífit ,- quae naturaliter. non exiftit, qua nempe haec vena ex latere finiflro inter bafin cordis et finum pulmo- nalem in latus dextrum tranfit (fig. 2. f. 4.). Hac mediante venam coronariam magnam vituli dextri perforauit eique accreuit, ^ Arteriam pulmonalem vituli finiflri, quam oriri vidimus eX arteria inno- minata eiusdem vituli, .defiru&o corde finiftro in» verfam 552: ^oDE ORTY verfam eff? füpponere oportet, adeo vt truncus; cordi ereptus , furfum , rami: vero deorfum fpe&ent;. tum adglutinatam propriae fui vituli arteriae inno- minatae. Denique quid iudicandum de noua tertia. arteria coronaria cordis, quae ex innominata finira: oritur. Haec fane nullo modo, etiamí quaelibet fingere licuerit, ex hypothefi collifionis explicari poteft. Ad vitulum dextrum ea pertinet , fiquidem. iu eius corde diftribuitur. ^ Neque tamen uaturolis: eft, vt ante collifionem duorum embryonum in hoc córde:; in quo nihil mutatum eft , iam exttitiffe di« ci poffit. Nam duae aliae coronariae , ex aorta. vt: folent natae , iam. adfunt. ^ Refponderi ergo poffet quamuis praeternaturalis fit; tamen cafu id conti- giffe vt in dextro horum embryonum ; antequam collififfünt, eiusmodi praeter naturam producta ar- teria iam exfliterit, quae poftea per contingentem. collifionem produci non potuit. Sed tum porro qui fieri potuit, vt haec arteria oriatur ex innominata. vituli finiftti, qui eo tempore a dextro: adhucdum: feparatus. fuit? Ad hanc quaeftionem. plane nihil, ne ineptum. quidem quod fit, "pidora ennt exiflimo; ^: 5. ds Patet igitur, sain iba: tos non fic bic vt aliquando duo. feparati integri embryones fuerint, qui deinde .contingentes et compreffi, partibus eo« rum nounullis deftru&is , aliis coalitis et commixtis,- concrefcerent in| vnum nouum compofitum corpus; ea: vero, quae vel defe&u partium vel infolita flructue TA. monftra funt, non ita fieri, vt prius integri et matu. MONSTRORVM. 553 aiatürales embryones füerint ; qui deinde per «caufas dccidentales ad generationem mon pertinentes , muti- Tati vel trausmutati füérint; fed neceffe effe, vt vtra- Que monftrorum genera a ;jprimis fuis ànitiis iam «eiusmodi monftra fuerint. Verum punc ali :quaeftio oritur. .Fieri pot- dft, ((üiquidém nempe cum reliquis animalibus: foli itae ftruéturae itecomparatum «eft,) vt et monftra ex germinibus oriantur , :monfítrofe «creatis, et poteft quoque fieri, ( quandoquidem caetera animalia viri- ibus naturae id generatione produücuntur,) vt «et monftra iisdem viribus generatricibus , fed modifica- itis, tanquam 'monftra producantur, Non modo ne- mo laudatorum: Auctorum , qui de monftris fcripfe- runt, lanc quaeftionem «tetigit , fed' fere: plerique etiam ; fi pauca; MERIT verba excipias , refutata hy- pothefi-«collifionis «et ?ransmutationis accidentalis , ilico de germinibus loquuntur , mmon(ítrofe «creatis, tan- quam fi., dummodo per transmutationem monftra non oriuntur. neceffe fit, vt ex germinibus origi- Tem ducant praedelineatis. "Quamobrem vt hanc de riod(lris . cognitionem — perficiam , fecutus magni WiwNstowir méthodum , in iisdem monftris, quo- rum defcriptionés in acis Pari(inis habemus, qui- busque; et. DvyvERNEY et WiNsLOW vfi funt, talia nunc indicia quaeram , quae nos imprimis do- ceant, vtrüm viribus naturae generatricibus folitis , fed - modificatis-, monftra producta, an vero germina eorum ' a: DEO' immediate creata,. et naturae ope - Tom, XVII. Nou. Comm. Aasa tan- 555 |! DE; DREW tantummodo euoluta fucrint. ^ Praemonere autem oportet , longe admodum difficilius effe omnino, hoc pofterius quam prius in ftructuris moaftrorum dete- gere, — Nihil. enim facilius eft, quam in operibus naturae talia documenta inuenire ; quae euincant ; ea non fimplici fortuito cafui deberi. ^ Quicquid in mon(rofi compofitione pulchrum occurrit ,' quic- quid regulare et .fecuudum ordinem eft, quicquid certum finem declarat, id contra cafüm loquitur ; contraque fortoitam concreícentiam et transmutatio- nem accidentalem. ^ Sed quid vis vt inueniamus in monftris, quod viribus quidem naturae (a DEO in hunc finem füabilitis) baud aeque vero diuina po- tentia immediate in germinibus illorum , effici po- tuiffet ? Vel contra quod. immediate quidem DEVS creare, non autem mediantibus viribus naturae pro- ducere potuerit , et vnde igitur, vtrum producta naturae an DEL opera immediata monftra fint , conftaret ? Hoc folum nobis reftabit ; ' vt videamus , quemadmodum in fuperioribus obferuauimus , mon- ftrofam compofitionem fiepe nimis pulchram , ni- misque regularem et nimis prudentem effe, quam vt fimplici accidenti caufae deberi poffit, numne contra eandem nimis quoque vitiofam faepe. nimis— que imperfectam inueniamus, quam vt Diuino con- filio immediate fic in germinibus praeflabilita effe pofht. T. I Eiusmodi vitia naturae vbique abundant, et primum. occurrunt in eodem exemplo, in quo ce-- leberrimus DvvERNEY prima argumenta contra con- curfum MONSTRORVHM. $55 curfum duorum embryonum detexit, (Mem. de l'Acc, 1706.) et quibus ipfis deinde WINSLOWVS quoque wfus eft. Monítrum hoc compofitum erat ex. duo- bus pueris , pelui et hypogaftrio connatis, in qui- bus praeter caeteras partes ipfa etiam monftrofi pel- vis ex duabus peluibus adeo eleganter et concinne compofita erat, vt facile plus, quam coeca fortuita collitio in ea. Viris acutiffimis eluceret. Sed in iis- dem pueris inteftina tenuia , fingulis adhucdum pro- pria confluebant in vnum commune colon. Hcc in re&um terminabatur , quod, cum nec extus vllum orificii ani veftigium appareret, fefe inferebat in magnam vtrique foetui communem veficam vrina- riam , quafi in cloacam , in quam foeces deponeban- tur, vna cum vrina poftea per duas vrethras duosque penes emingendae. Penes autem prodibant in parte po- fleriori , vbi naturaliter anus effe folet ; cum in re- gione pubis et ad vmbilicum vsque foetus connati effent. Tefticuli , epididymides et veficulae femina- les, fingulis pueris propriae , naturali modo fe ha- bcbant, fed du&us eiaculatorii, quibus femen ex ve- ficulis feminalibus in coitu expelli debuiffet , non in vrethram , fed in ipfam veficam vrinariam hiabant orificiis ; nullis proftatis neque fphincteribus cinctis , vnde fícmen non modo continuo ftillabat , fed etiam, in veficam vrinariam depofitum , cum communi vri- nae et foecum aluinarum maffa continuo commifce- batur. "n b MU | Non loquor de compofitione. totorum ^ ccrpo- rum, qua adülti ob ficüm non parallelum fed obli- A32. quum $36 |, BE 9RTY --^ quum. erga. fe inuicem: ambulare: hi. foetus: vix. pov tuiffent. — Omitto. quoque difficillimam: exeretionem: foccum. aluinarum ;, qua. vitam: nonuifi. moleftam. et continuis mozbis obnoxiam. geffiffent. . Sola. organa generationis. produco,, in,quibus quaedam prorfus inexplicabilia inuenio. Negotium. generationis cum: femen. veficae. vrinariae, immiffum., cum» vrina et foecibus aluinis commixtumr, corrumpi neceffe: fue-. rit, ipfo D'vvERNEIO» concedente, exerceri: nullo modo potuit. Cur ergo tefticuli ,, cur. epididymides: et. veficulae feminales.factae ,; egregiaque adeo» arte; conftructae. funt; ,, cum. finis , cur factae funt per ea- rum. infertionem. im. veficam: vrinariam: plane de— firuitur ? Vel cur hae partes noni folito: modo. in: wrethram fed potius im veficam. vrinariamv inferun-: tur, cum fpraefentes . tefliculi ,, epididymides , vafà deferentia et veficulae: feminales finem. generationis: aliquando: praeftandae tamen: teflentur £.. Non. poffunt: huiusmodi ftru&urae contradictoriae 5. non. poflunt: huiusmodi : hominum: imperfectifmorum. aeque ac: miferrimorum: germina: confilio: praemeditato: facta. et: praeftabilita effe, — Nam fine omni dubio: confultius: fuiffet , tefticulos. aut nullos plane et veficulas. femi: nales formare , aut formatas in vrethram: deriuare ,. inteflinoque: recto. proprium» exitum: dare: et homines; parallelos. et. lateraliter. coniungere. Verum rei veritas quaenam: fit, non latet. Structura corporis humani et vires ei infitae , quas vno weibo eius maíuram.dicimus;, adeo a CREATORE:; cO0r- MONSTRORVM. $53 doordinatae funt, vt miros effe&us , et fapientiae AVCTORIS plenos producere pofünt.. Sed eandem na- turam: eriam. caufis alienis accidentibus in fuis operi- bus turbari, eoque modo quafi errores committere: poffe ,, non: minus ab: eius Sapienti(fimo AVCTORE conccffüm eft — Eadem porro; quod magis adhuc mi- run! eft. eiusmodi! errores. commiffos corrigere" pot- eft. (Conferatur de his erroribus et correctionibus etiam locus, quem: poft defcriptionem venae cauae fuperioris finiftrae im hac differtatione addidi). ^ Sed iterum: modo feliciter corrigit, modo: infeliciter. Auertit a corpore morbos, et morbos praefentes: curat |. Materiam: febrilemv mitigat et cuum fuüdore expellit; — Sed interdum ,. quando: hae: viae fudorife- rae occlufae funt, agitatamv materiamv febrilem etiam cum: vi verfus cerebrum: pellit ,. ibique" inflammatio nem: producit et mortem. Similiter hae: vires cor- pora organica: ftruere. poffünt , ei, corpori ,. cui infünt: fimilia. Sed modificatae per. caufüs alienas; monftra: producunt ,, tusbatae errores committunt ,. impeditae- flructuram. imperfe&tam ,. vitiofam ,. contradicentemm efficiunt. Eiusmodi ergo vitiofa. flructurg: etíam . in: praefenti: noftro: exemplo .confufio viarum - vrinariae- rum et feminalium: cum aluinis: ef. quam' natura ob impedimenta: producere coa&a: fuit. Idque non. modo analogia fuadet, fed res ipfa demonftrat. Con- iuncis enim embryonibus im regione pubis et hy- pogaftrii, locus omnino defuit, quo viae vrinariae et feminales feparatim ab aluinis deriuarentur. Quo minus ergo exitus vrinae plane interdiceretur, quae Aa az $3 Ictene TI DE ORTV retenta mortem neceffirio produxiffet ; coniunxit euidenter potius has vrinae et feminis vias cum al- vinis , deduxitque ad eum locum qui naturaliter al- vinis tantum deflinatus eft. — Itaque manifeflo cor- reXit peccatum in compofitione embryonum per pel- ves et hypogaftria commifíum. — Non plane quidem correxit, fed tamen aliquantulum, ^ Sed peccata in germinibus creatis , quandoquidem fani iumus, fiatue-. rc non poffumus. Adeoque non caufis quidem , a generatione alienis, accidentibus , haec flructura, ex naturali , quae prius füiffet , ia mon(lrofam ramsmutata , fed viribus tamen generatricibus ipfis, per eiusmodi cauías alienas modificatis produca non autem a DEO: praeftabilita füit. Caeterum fines, quos naturam in corrigendis erroribus perfequi dixi, non huic naturae proprie, neque animae, fed AVCTORI earum , quo vsque veri fines funt , adícribendos effe , qui fcilicet naturam arte vere diuina ita inftlruxerit, wt etiam alienis caufis quibusuis turbata vel impedita , tamen non opus perditum deferat , fed , quantum fieri pot— eft, aliis modis idobeis perficiat quisque facile vi- det, atque fatis iam monui. In a&is Parifinis auno r*70o. a LEMERIO foetus leporini defcribuntur , pectore connati capite. vno communi. ' Loco oefophagi nonnifi parua ca- vitas fündo coeco reperiebatur, vnde animal deglu- tire ,. adeoque. vitam extra vterum continuare , non poterat. An MONSTRORVM. 559 An etiam hic defectus ocfophagi et deglutitio- mis non vitium naturae fed flrudtura confilio prae- meditato ita faá&a fuit? liNam morbo. pharyngem non coalitum fuilie ducet totius oefophagi plenaria abfentia. : In iisdem anno 1700. Cel. MrERY foetum hu- manum defcriptit vertebris vltimis lumborum adeo retortis, vt pubes genua et pedes extremi retrorfum refpexerint. Capitis , thoracis et abdominis cauita- tés praeterea apertae erant, et auriculae cordis vna communi cauitate gaudcbant , quae venas omnes re— cipiebat et in ventriculum dextrum hiabat, Hic communicabat cum ventriculo finiftro , qui aortam. non modo, íed etiam pulmonalem arteriam edebat, Solent laudatiüüimi Viri dicere , monftra a Summo CREATORE ideo praeftabilita effe , vt fapien- tiam et gloriam fuam in innumeris rerum varieta- tibus manifeftaret ; ego nonnifi corpora naturaliter formati ad hunc. fcopum referri poffe exiftimo. Quam male vero monftrum hoc ob pedes et pubem retrorfum ípectantes , adeo deforme, illi ideae re- fpondeat , non opus eft, vt dicam. Cauitates cor- poris autem non eff:c&us ceníere oportet caufae ali- cuius violentae ; qua partes antea- integrae , deftru- cae fuiffent. —Purulentas enim et laceratas eas Cel. MERy inueniffet, facilequé eiusmodi deftru&ionem a mala conformatione diflinxiffet, Si vero iam pri- dem et fücceffiue illa deftructio contigiffet foetus fà» ne co vsque in vtero non potuiffet viuere et nutri- Ii, a; HN UN. &69 | DE ORTWVW ri. Sed inueni quoque in ouis incubatis, thoracem €t abdomen ita formari, vt in principio apertae .ca- vitates fint, «quarum latera reflexz in membranam amnii «ontinuantur ; deinde latera prolongata arite- rius contingant paulatim «et concrefcant. ( vid. -obfer- vationes meas in ouis incubatis inflitutas ,, in. Com- mentar, Tom. XIIL pag. 492. $$. 131. 132. 134. 135.. Patet igitur in hoc umonítro viribus naturae, dum corpus :conftruerent , impedimentum .occurriffe ,, quo minus iuchoatum thoracem «t abdomen perfice- re potuerint ; adeoque ftru&uram hanc opus naturae imperfectum non in germine. ex inftituto praeftabili- tum effe, Neque cordis et vaforum .conformatio ad vitam idonea effe widetur. In iidem-.anno z702. foetus ifélinus ab :eo- dem: Au&ore:: expofitus eft, a capite vsque ad vm bilicum. fimplex .inde deorfum totus duplex. Afpe- ra.artenia cum .-oefophago. adeo «coniunóta erat, wt vna. tantummodo wtrique communis .cauitas effet «et. vnus,canalis, «qui feparatus a pulmonibus in' folum. ventriculum fe inferebat. ^ Deglutire ergo fed mon refpirare-.animal poterat. «Quare etiam nonnifi vnam horam. poít- partum,, foraminis .oualis et ductus Bo- talli "beneficio vixit. Non. fieri poffe. exiftimo ,. v£- fingularis quae- dam fpecies animalis ab Ente intelligente. fingatur ,. cuius fingularitas praecipue iu:€o confiftat ,. vt. wie - Vere ct exiftere non. poffit. fa MONSTRORVM. s6t In iisdem 1705. monftrum ouinum a Viro ANTOINE miílum defcribitur, quod in íolo ouis abdomine cum vmbilico et pedibus pofterioribus con- fiftit, fine capite fine pedibus anterioribus et fine thorace. In hoc abdomine nihil erat praeter me- fenterium cum inteítinis et parte , ventriculo ana- loga. Hepar nullum , nulli renes, multo minus cor aut pulmones. Cordis munere trunci vaíorum vmbilicalium fungebantur. í | Etiam ne hoc quidem opus maturae turbatae et opus imperfe&um ? Sed perfe&um fuae fpeciei animal füit? Nam embryonem prius integrum fuüis- fe, pofíteaque caufis violentis ad has reliquias vsque deftru&um , nemo, qui functiones partium corporis avimalis intelligit , cogitare poteft. Si vel cor mo- do femel naturaliter in embryone exflitiffet, ita, vt vita huius illi , vt naturaliter fit,- innixa fuiffet , nunquam fieri potuiffet , vt pars modo cordis de- flrueretur ífalua vita embryonis, multo minus cot totum cum tota aorta et vena caua, cum pulmo- nibus, cum toto thorace et capite. — Huiusque fen- tentiae eriam Perill. L, B. v. HarrER eft, qui hoc mon(trum omnino ad .originalia refert. (Opufcul. anat. Edit. 1751. pag. 210.) ^ Quid ergo füpereft, quam/ vt pro opere habeatur hoc monfítrum naturae, quod fucceffu caruit? —— Im iisdem anno 1709. monftri mentio fit. cu- ius defcriptiouem BARTHOLOMAEVS SEYFARTHVS miferat. In €o praeter multa alia ditflormia vnus - I Tom. XVII. Nou, Comm, Bbbb tantum 562 DE ORTV tantum: ccn!us in media bafi frontis pofitus erat, palpebris fuis et tunicis , adnata et «ormea pellucida ; irideque et tandem folitis. mufculis inftructus , neruo vero optico priuatus, Quis huius oculi finis fuit? Vtrum vt potue- rit hoc imonftrum videre ? An vt ne potuerit? Si fuit vt potuerit, cur neruus opticus omiffüs eft, quo deficiente fiais ille nunquam obtinebitur? Si, vt ne, cur ergo tanto artificio oculus in hoc mon-- firo fabrefactus eft ? Naturam oculum perfectum mo- litam , ob impedimenta perficere non potuifle , id cogitari poteft. Sed CREATOREM huiusmodi ftru- Curam , neque volentem , neque nolentem , in. ger- mine ex confilio delineaffe , id cogitari non poteft. - Focetui monoculo ibidem r71:7. deícripto duo oculi fuerunt minores, propriis fcleroticis deftituti , maioribusque lentibus praediti , in media parte ba- feos frontis collecti , et vna communi fclerotica in- clufi , eoque modo in vnum oculi bulbum redacti €t communi fimiliter cornea inftructi. Quamuis foetus non coecus fuerit , tamen ma- nifeftum eft, vifum ob paruitatem zerinarum earum- que in minutis oculis ad lentes chryftallinas maiores propinquitatem , nec non ob communem co/eam nonni maxime confufum et longe peiorem fuiffe , quim fi vnus fimplex oculus huius gemelli oculi locum occupaffet. ^ Cur ergo non potius aut plane . Quo oculi feparati , aut. plane vnus, qui incorruptus fit et fimplex * Sed video hic, vt in omnibus re- liquis , MONSTRORVM. $63 liquis exemplis obftacula, naturae oppofita. Ex vna parte vires determinatae ad oculos duos producea- dos et fucci requifiti adfuerunt ; ex altera vero, cum orbitae , fedes oculorum folitae , vel aliena ma- teria occupatae ,. vel aliis caufis quibusuis praeclu- fae , et locus poít illas aptifümus , vni tantum ocu- lo recipiendo par fuerit ;, locus pro duobus oculis defecit ; adeoque natura duos in vnum compingere . coacta fuit. Vnum bulbum produxit, in quo ta- men veftigia virium duobus producendis parium , tecognofcuntur. Neque ile foetus 17:2. cum corde, extra thoracem , qui integer fuit, pendulo, a CREATO- RE ita formatus effe poteft, — Nam etiamfi vitium leuifüonum et vix vllum effet, nunquam tamen po- tero illud CREATORI attribuere. — Neque. vlla caufa , fi vnquam cor thorace inclufüm fuiffet, hunc aperire ; cor expellere et poftea thoracem circa ma- gua vaía cordis iterum claudere potuifftt. ^ Sed ex Obferuatis, quorum fupra mentionem feci , quibus- que conftat, thoracem fimiliter; vt abdomen primo tempore in embryone apertum , lateribus fücce(fi— ve productis tandem fe claudere (Conf. Tom. Comm, XIIL pag. 496. $. 135.) mea quidem f:ntentia. non incomprehenfibile videtur , qui fieri potuerit, vt thorax, vel ob nimiam cordis magnitudinem , il— lud , dum fe conftrinxerit , non complexus fit, wel ob alias caufas nimis cito , et prius quam latera eius fais clongata fuiffent fe conftrinxerit , adeoque cor omiferit. Qui phaenomena ouorum incubatorum | Bbbb 2 nouit Ó E64. i DE.ORTN J;5:;'rT nouit ét locum cordis fub collo , qui idem in. hot foetu quoque füit, aliasque circumfítantias multas confiderat , ei de hac veritate fcrupulus nullus refta- re poteft. Anno r7:6. MrnIvs propofuit foetum , cu— ius hepar, ventriculus, inte(tina et lien extra ab— domen in funiculo vmbilicali , in ficcum dilatato , fita erant. Orificium , quo abdomen in hunc fac— cum funiculi hiabat, anguftum erat et folum me— fenterium continebat. ^ Vefica et rencs in abdomine locis folitis fiti. Adduco hoc exemplum ob fimilitudinem cum praecedenti, tum. etiam. quod WINSLOWVS , ger- minum , ni fallor, defenfor, aeque ac MERIvs, quí aliter et mecum , fenfiffe videtur , períuafüs füit manifeftisque argumentis demonfítrauit ,, haec viícera: caufis mechanicis ex abdomine , in quo antea inclu- fà fuiffent , expelli nullo modo potuiff. | Quum vero non magis probabile fit, hanc conformationem,, ad vitam ineptam ,. 2 CREATORE praedelineatam fuiffe , nihil reftat, quam vt viribus generatricibus: hoc vitium imputemns.: Nimirum aeque hic ac in priori cafu abdomen: nimis cito et nimis arce fe contraxit vifcerumque: illorum prima initia exclu— fit. Qui ex hiftoria oui incubati nouit, etiam. po-- firemo: tempore: abdomen: inpullo iam: perfecto: circa: vmbilicum: adhucdum: apertum effe et aliquam. inte— ftinorum: tenuium partem extra illud propendere ,, tertio autem» et quarto incubationis die totum. abdo- men MONSTRORVHM. Us6s men late patere, renes longitudinaliter fpinae dorfi applicatos, re'iqua viícera autem: anterius et.a fpi— na doríi remotiores fitos effe, ilit nullum. plane du- bium erit, quin in omnibus huius generis mon- flris praematura | contractio abdominis vel thoracis vnica et vera cauía fit qua: partes, fpinae dorfi pro- - Ximae quidem comprehenduntur , remotiores vero praeter naturam excluduntur. Adeoque in hisexem- plis clare videmus; in monflris , vti partes practer- naturales fünt, earum: praeternaturalem. formationem feu generationem: caufam. fuiffe harum. partium, non praeternaturalium: creationem , neque naturaliter for- matorum transmutationem. Auno r720o. Idem Vir celeberrimus, MER1vs, yna cum puella integra et naturali aliam | monítro— fam , fed a priori feparatam: natam effe. vidit fine capite collo et brachiis, íine corde et pulmonibus ;, fine hepate ventriculo et inteflinis tenuibus. — In thorace anguftiori et breuiori nonnifi vena caua cum 3O0rta, in quam illa immediate tranfiit, et renes; in abdomine merum. inteflinums coecum. duabus. ap- pendiculis vermiformibus iuffru&um ,. colon inde con- tinuatum et rectum , porro partes genitales integrae: collocabantur- A DEO ipfo hoc corpus ita. praedelinestum: mom effe ,. ab. iis, qui a me. diffentiunt , fere: pofco.. Integrum: autem. id prius aliquando et mutilatum. | poftea: caufis. violentie aut: morbo» nom: fuiffe ,. idi va— lide demonítrat. praeter alia argumenta. integerrimus. bbbb s venae: 566 DE ORTV venae cauae in aortam immediatus traofitus, inter quas nulla caufa et nullus morbus cor cripere , aa- nihilare , vaíaque denuo adeo adcurate conglut:nare | poteft, et porro fecundus proceffus vermiformiis , quem nullus morbus, aeque ac primus eft , organi- cum, producere potuit. (Reftat ergo , vt vires ge- neratrices hoc corpus ita, vt repertum et obferua- tum fuit, produxerint. Deoique etiam in.noftro vitulo bicipite, qui ad monftra pulchra et feliciter producta pertinet , variae monítrofae ftructurae , quas ex caufis natura- libus , ad generatrices pertinentibus , non minus, vt mihi videtur, facile quam vere in fcholiis interfper- fis explicui, nonne fe ipfis oftendunt , eiusmodi firucuras neque a Diuina potentia immediate, neque a morbis vel caufis accidentalibus , fed a generatrici- bus modificatis folis pendere * Qui enim ex caufis naturalibus vere explicari poffent , quae nonnifi ab arbitrio DEI immediate penderent ? Fundamentum totius monftri , vegetatio luxurians, qua nouus fuc- corum fons apertus toti accefforio capiti et collo producendis anfam dedit, et qui idem poftea paula- tim nouam arteriam innominatam , factae iníolitae excretionis fuccorum veftigium , produxit , huc per- tinet (vide duo priora fcholia). Pertinet huc porro infolitus fanguis , a nouo capite rediens , effectus ex— cretionis illius praeter naturam factae, quo, loco venae fübclauiae finiftrae , aliena iugularis iugulari finiftrae capitis dextri reddebatur (vid. fchol ter- tium). Tandem mira infertio venae cauae füperio- : ris MONSTROR V M. $63 ris capitis finiftri in venum coronariam magnam vi- tuli prunarii, cauáeque in truncum , coronariae in ramum mutatio (vid. fchol. quartum) nimis quidem, vt mihi videtur, luculcatam noitrain propugnatam - Veritatem oftendunt. Credo autem fore, vt fufficiant haec exempla ad demonítrandum , moníira mon immediata DEI fed. maturae opera effí , quae Jucce]u caruerint ; . fiquidem fere vbique vt in adductis vidimus vitia ^ manifefla , errores quafi non praeui(i, et corre&iones imperfe- &ae elucent. Rariflima exempla funt, íi vlla qui- dem dantur, vbi natura aberrando a folita confor- matione inceptum opus adeo feliciter perfecerit , vel errores commiífos adeo. dextre correxerit, vt .pro praemeditatis operibus haberi poffint ; vtque videri poffünt ( vidi Perill. et magni HALLERI opufcul, anat. p. 198. "exemplaria effe noui generis creatu- rarum €t documenta ;. qua ratione diuina fapientia »€t alias formas hominum pofíht efficere fuo in ge- »nere perfectiffüimas et felicifimas.,,, ^ Quae huius fapientiae documenta nonne iam fatis clara in ani- malium et plantarum familiis , generibus , fpeciebus et varietatibus infinitis exftant ? Et quorum huius Sapientiae documentorum nonne vniuería natura iam plena eft? Discamus autem ex rariffimis , quae in lucem | prodeunt, monftris ,. ftru&uram | naturalem corporis noftri, quae infinitis perfe&ionibus abundat, et quae, hoc. paruo. monftrorum numero non ob- ftante , mirabiliter conftans eft, mon. neceffariam effe ! Bonon Sapientiae INV MINIS "deberi ! et Prouiden- tiae 568 DE ORTV tiae EIVS incomprehenfibili ! Sic nim ratio de moaftris philcefophandi et verior mihi et longe vwti- lior effe videtur. | Pleraque ,.dico, nifi omnia, monflrorum exem- pla, etiamfi non femper vitia in fe habeant adeo Tnauifefla , quam in adductis vidimus, tamen non expertia funt omnis inconuenientiae et irregularita- tis , quae indicet, -eas ftructuras non praecog'tatas effe, Sic in noftro exemplo et in ipfo Perill. HAr- £ERI pulcherrimo foetu bicipite et ; nifi fallor, in omnibus monftris compofitis, quibus vnum cor com- mune eft, quae mempe inter caetera elegantiffima effe folent , irregularitas manifefta ,' et quafi nonnifi ideo admiffa, vt "vitia et incommoda maiora eui- tentur , in truncis venarum apparet. Syftema arte- riofüm (de aortico loquor, nam pulmonare a veno- fo pendet) elegantiffimum mon modo in his mon- ftris et regulare , fed adeo etiam formatum «eífe fo- let, wt leges maturalis ftructurae in eo obferuatae non obícure appareant. ^ Sic arteria innominata fe- cunda in noftro vitulo, "vt vaturaliter folet, ex aorta, non ex primaria innominata , non ex corde ipfo, non ex dextri vituli carotide aliqua , oritur. Sed fubclauia finiftra , quod omnino mirum eft, non conformiter dextrae ex innominata fui lateris, fed ex arcu aortae originem. ducit ; nam baec fingularis lex eft firu&ursze naturaliss Sed venae quam mire combinantur et modis inauditis ! quae quippe neque 2d leges naturales fe, neque ad conformitatem fua- xüm arteriarum adftringunt, ^| Vena «aua fuperior fini- MONSTRORYVWM. $69 finiftra in noflro exemplo fecundum. leges folitas ex propria auricula oriri , ad conformitatem arteriarum vero cum vena caua fuperiori dextra in vnum trun- cum confluere debuiffet , fed quaerit fibi pro trunco venam , inter omnes maxime inexfpectatam , coros nariam magnam cordis, íe ipfa multo minorem , et quam ideo in fui ramum permutat. In foetu bicipite Perill. FlArrERI duae aortae fünt, duae- que arteriae pulmonales. Quatuor ergo, his arteriis refpondentes , auriculae et finus venarum .effe debe- rent. Verum ne duae quidem, quot in fimplici foetu , fed plane vga tantummodo exiftit ,. et tamen loco quatuor, quinque venae cauae et vna rurfum tintummodo pulmonalis adeft. " Quum in fyftemate arteriofo aortico eius non modo fymmetriae fed etiam quantum fieri poteft ipíae fingulares ftru&u- rae naturalis leges adeo eximie obíeruentur , cur mon; Íi praemeditatae. bae (iructurae monflrofae ef- fent, cur non et iu venis cauis obferuarentur eaedem ? Sed caufa, cur illud fieri poffit in arteriis , et cur meceffe fit, vt confüfio oriatur in venis, me mini- me. latet. Non poffum autem hunc nodum hic &uoluere, (vid. interim in fuperioribus defcriptio- nem venae cauae fuperioris finiflrae , vbi aliqua ver- ba, huc fpectantia inieci,). neque intrare | pleniorem explicationem modi , quo moní(tra formantur , cuius ibidem poft defcriptionem fyflematis arteriarum — ali- quam mentionem feci. Pro his autem duo alia mo- menta adiungere conuenientius effe videtur. -.. oom. XVII. Nou. Comm. Cccc- Prius $a — MW YBEJORTY Prius eft definire limites inter monftra ' com- pofita et foetus gemellos inter fe mere concretos | 1 qui adeo et fuperficialiter et profundius concreti ob- feruati effe dicuntur ; vt Ipfe etiam Perill. Harrr- RVS (opufcul. anat. p. 217. n. 1. ».) hos limites figere difficile effe iudicauerit ; vndeque factum eft, vt foetus concreti, ab Auctoribus confufi cum mon- (iris veris, tanquam arguinenta confiderati füerint pro'ortu monítrorum ex fimili daorum foetum concurfü et concfetioné , quem ortum fub initio hu- ius commentationis refutaui.- Hi limites itaque fic definiri. et figi poffe videntur. 'l1u monftris compo- fiis communicatio organica inter compofitos foetus obtinet,. Id. eft , dantur in iis partes organicae vtri- que foetui commünes , vwti'cor et aorta. in noftro exemplo , cor in plurimis , caput in porcino mon- ftro Perill. HarrERI, peluis in. DvvERNEIANO etc. In gemellis concretis contra ,- quantuümitis pro- fünde concreüerint , ^ quae partes modo a^ defiru&io- ne'(üperíunt, càe femper nonnifi alteri foetuum pro- priae diftinciffimaeque ab^ altero , et neceffario erunt. Hi characteres enim eius indolis funt , vt a priori demonftrari poffint. ^ Sed credo etiam ,^ non- nifi "füperficiales concretiones et. eo" vsque tantum dari , vt ne mufculorüm quidem et ofhum j^ irte minus. vifcerumi - S uagtico- qd opus we ; Alterum eft monere , quod etiam ex folis ar- gumentis'alibi pro' epigenefi ^datis, iam fequatür, etiam monftra hos naturae produci , non ex ger- . minibus MONSTRORVM. s" minibus creatis euolui. .Quodfi haec. vero propria fuae originis documenta fuppeditent ; ea viciffim ar- £umenta fimul. pro epigenefi effe. * —" EXPLICATIO TABVLARVM. Fig. 1. Cor cum. vafis maioribus in füperfi- P v cie anteriori. À.-Caput dextrum. . B. Sioiftrum. "C. Locus quo vsque colla concretà fitit D. Afpera arteria colli dextri. E. Afpera arteria colli finiftri. F. G. H. I. Quatuor lobi ' pulmonis me K. L. Lobus füperior et inferior" pulmonis finiftri. M. N. O. Tres lobi pulmonis aida communis, P. Cor. Ventriculus eius dexter.- | .Q. Arteria coronaria ex syn ortae orificio : riata. R. Arteria coronaria 'ex. fito nortaé orificio "COIfA A Ea ct D Jie ad bafin m iss arterias [ineb » vens tegensue. Sibi Qi bare V. Moles adipis conglobati- retro auriculam fini- firam bafi cordis. adfidens. ae -:. W. . Auricula finiftra, "ION - X. Auricula. dextra. Z. Aorta doríalis. atiulitoJ gioi dE Cccc 2 G. At^ $15 | V BE /ORT Y O1 &. Arteria pulmonalis; 'ex cie: orta vnic4 ,. ad folum vitulum dextrum pertinens. | ^. b. c, Eius ramus, dextrum referens, iu iaonk pulnonis dextri G. F. | d. e. Ramuli eiusdem lateris in loguipe eiusdem puluonis HL. | € j Pat f. Ramus arteriae. pulmonalis , pie referens , in pulmonem. fuperiorem diftributus, £g. Aorta. b. Continuatio aortae poít arterias innominatas editas. à. Truncus breuiffimus. duarum arteriarum iung- minatarüm. — k. Arteria innominata dextra. Ll | Arteria vertebralis dextra. 7. Artcria fubclaua dextra. 7 Carotis dextra. capitis. dextri, 2.. Sini(lra. eiusdem. capitis. f. Arteria innominata finiflra.. q. Arteria pulmonalis ; , quae ex ei oritur , al fi- niftrum. vitulum pertinens. ' f. s. Duo eius rami, trunco maiores , quorum ille in. pulmonem füperiorem. hic. in. nitrum. &, Arteria coronaria cordis, ex eadem orta , in fuperficiem poflcriorem cordis procedens. v. Carotis finiftra capitis finiflri. t» Carotis dextra eiusdem capitis. z. Truncus arteriae vertebralis et fübclauiae |fini- flrae , ortus ex aortae ,' vbi cum duc&u arte- ziofo coniungitur ;. facie poflica,. WR MONSTRORYV M. $15 uy. Arteria fübelauia finiftra, $. Arteria vertebralis finiftra. i. Vena caua fuperior pro capite dextro. 2. Vena pulmonalis dextra, : 53. Vena vertebralis dextra, 4. Vena fübclauia dextra, 5. Vena axillaris dextra. 6. Vena iugularis dextra capitis dextri, 7. lugularis finiftra capitis. eiusdem. 8$. Vena muícularis pro capite finiftro, 9. Vena iugularis dextra capitis fini(lri, 10. Continuatio iugularis finiftrae .capitis dextri, zr. Vena caua fuperior finiftra, 22. Vena vertebralis finiflra. 13. Vena axillaris finiflra. 14. lugularis finiflra capitis. finiftri. 15, Vena pulmonalis. finiftra, H ig. 2. Cor cuni vafis maioribus in füperficie pofteriori, . A. Cordis füperficies pofterior plana. D. C. Pulmo finifter. 1X E. Pulmo füperior feu medius. . F.G.H. I. Pulmo dexter. K. Subílantia ligamentofa, qua pulmo dexter et - finiffer coniunguntur, AL. Afpera- arteria colli finiftri. 2M. Afpera arteria colli . dextri. N.O. Moles adipofa conglobata: O eius. pars fi- LOHN reclinata vt arteria P. appareat. Ccec 3 P. Aje 574 B vXxE5PooRTY P. Arteria cordis , quae loco coronarise finiftrae e(t; eadem (fig. rz. 7.). Q. Eius ramüs ia molem adipofam. R. R. Eius continuatio, - S. Adeps, quae eam comitatur. T. Auricula finiftra. V. Baíis auriculae dextrae. W.Sinus venarum cauarum. X. Vena caua inferior. Z. Venà caua fuperior dextra. Q, Vena vertebrals dextra, | b. Venae cauae füperioris dextrae. coniinuatio. : c. Vena axillaris dextra (fig. 1. $.). d. lugularis dextra: capitis dextri, e, lugularis fini(ira capitis dextri. - f. Vena in mufculos colli capitis finiflri. g. lugularis dextra capitis finiftri. ^ - : : b. Continuatio iugularis finiftrae capitis dextri, | i. Sinus venarum pulmonalium. k. k. Venae cauae fuperioris finiftrae arca cohae- fio cum- variis finus pulmonalis Lig | E Vena pulmonalis finiftra. Z ud . Vena pulmonalis füperior, quae ope fübfian- tiae k. ad tres pulmones peruenit, | Cg Xena pulmonalis dextra, 0. Veua caua fuperior finiftra, j. Eius poft cohaefioiem cum ' finu pulmonali in- tra huius membranas continuatio et Ius vbi - dextrorfüm osque - € E | 4. Eius MONSTRORV M. 575 4. Eius continuatio et locus. vbi in venam coro- nariam magnam. inferitur. "^r. Eius ramus primus, vena vertebralis, - ;. Eius continuatio fürfüm , quae vena fuübclauia finiftra eft. ?. Vena axillaris finiftra. ) v. Vena iugularis finiflra. - w. ^. Pars aortae..dorfalis in, partem anteriorem retracae , ne partes praecipuas huius figurae tegat. d vas ^ X. Arterii fuübclauía finiftra. J.. Arteria axillaris finiftra. |. .£. Arteria vertebralis finiftra. 5376 e$35 (0 ) Ste DE RELIQVIIS ANIMALIVM EXOTICORVM PER ASIAM BOREALEM REPERTIS COMPLEMENTVM. Auctore P. S. PALLA S. M* forte vifa funt, quae de foffilibus quadru- pedum ludicorum, praefertim Rhinocerotum rcliquiis per Sibiriam inuentis olim € Gazopaylacio Academiae expofui. Tam itineranti per. has ipfas terras, quas offibus foffülibus admirandis refertas effe docui, maiora adhüc miracula fefe obtulerunt , quae nunc; fimul cum obferuationibus quibusdam genera- lioribus, ad doctrinam de fatis horum ojfium ali- quando ftabiliendam apprime facientibus , pro com- plenda priore tractatiuncula breuiter exponam. Primum ergo moneam, vceriffimum me de- prehendiffe , quod prius alienis innixus obferuationi- bus fcripferam , per vniuerfam A(am borealem ab ipfo Tanai fluuio ad extremum Antiquae telluris Americae vicinum angulum , vix vllum dari flu- vium infigniorem , praecipue campefirem , in cuius xipis vel alueo non fuerint reperta , faepiusque ad- huc inucniantur offa Elephantum , aliorumque va- füfmorum et non huius climatis animantium, Dico cam- ' DE RELIQVIIS ANIMAL. EXOTICOR. $75 campeftrem fluuium: in vniuerfüm enim ftatui pot- €f alpettres Sibiriae tracus, qui congenitis telluri faxis , verticali proxima directione fiffilibus exafpe- xantur , continuisque Iugis vniuerfam peruadunt Afiam, —€clüs paffüm aeternaque niue candidis cacuminibus fupra nubes fcfe extollentes , quadrupedum exotico- rum pariter atque corporum marinorum foflilibus reliquiis expertes effe. — Contra vbi Alpium afiatica- rum extremi colles ih planitiem demittuntur , ma- gisque vbi vafii fuccedunt campi limo vel arena fca- turiginofo argillarum — flrato fuperingeftis aequati ; ibi ripae fluminum atque riuorum planitiem trans- fulcantium elatiores vbique fere offibus atque reli- quiis variis aduentitiis funt firaciffimae ; fatis certo, vt videtur, argumento has ipfas reliquias etiam in locis a curfü fluminum remotis elatiore camporum folo fepultas paffim latere. Defunt eaedem vero vel parcifüme faltim occurrunt, vbi telluris ab. alluuie dipeflri remotioris füperficies nimium demittitur , vbi immenfae regnant paludes atque pafcua depreffa. Quae quidem norma adeo firina eít, vt ad obum fiudium , qui fecundüm imam calcem Vralenfis iugi ad ar&on defluens modo humiles palude fyluis- "que imperuias, modo elstas habet ripas, offa ele- phantina fimiliaque iis fere locis tantum reperian- -tur , vbi adiacentes colles arenofi vel limofi prae- ruüptas ripas efficiunt. Neque ad irtim eiusue col. Jaterales campeftres fluuios huiusmodi ripa fere vlla €t, e qua, dum a vernis exundationes vel per ae aie fubterraneas fübruitur ,. Offa mamontea "Tom. XVII. Nou. Comm. Dddd dicta $78 DE RELIQVIIS di&a fimiliaque non in lucem prodeant. Imo quid- quid «dentium | eburncorum per Sibiriam colligitur atque venum. adportatur e. praeruptis fcmper altiori- busque. fluuiorum ripis , . | praemia arenofis erui: conílans eft. fama. | Huic obferuationi ; quae ad extricanda fita os- fium foffilium ducere aliquando poterit, alias eodem facientes füperaddam. ^ Notabile primum eft in omni climate vel füb omni latitudine, a zona montium Afiam diuidentium vsque ad dGngliciktus Oceani bo- realis oras vniucrfam Sibiriam vbique offibus :ma- monteis aeque feracem effe; -optimumque reperitur ebur foffle in terris ar&ico circulo vicinis , inque regionibus maxime orientalibus, quae fub eadem latitudine Europa multo frigidiores funt, et quarum folum aeftate tantum in füperficie regelari folet. »k Lj Porro obferuatum eft, quod Offa maiorum. minorumique animalium quibusdam locis maxima. copia congeíta iacent, vt quafi gregem animalium: vafliffimorum ibi obrutam fuifle diceres. — Rara au- tem . huius rci exempla innotuerunt ; Celeberrima. funt , ripa Tanais in vicinia oppidi Koffyzrk , quam. nuper accuratius defcripfit Cel. S. G. GMELINVvs (95. magisque ripae Obenfis aluei praeruptae et glaréofae, quas alternatim adiacentes colles arenofi variis pas- fm ftratis argillofis , ferruginofisque confpicui , pau- lo () S. G. Gwsrrw Reife durch Rasfland Vol. I. pag. e itemque: p. 78. e£ feq. ANIMALIVM EXOTICORVM. 579 lo infra vicum Kufchewatenfam (Ku/cbewazkoi Pogoff) huic fluuio praebent et in quibus elephantinorum offum maxima copia, dentes, ícapulae, vertebrae, coftae, offa innominata artuumque fülcra vbique fere fparfa iacent et ab alluuione aquarum in lucem producuntur; ita vt ab incolis fere quotannis ebur ibi colligi foleat , plurimaque offa a ftudiofo, quem vere anni 177:. verius glacialem Oceanum fecun- dum Obum flauium dimiferam , JBagfiio Sujef in praedictis ripis inuenta fuerint. Deinde wero quibusdam in locis fingulorum faepe vel paucorum animalium reliquias in tumulis arenofis, vno quafi fepulcro condita reperiri , variis exemplis comprobare poffüm. — Sed in plerisque ripis, quae foffili ebore o(fibusque inclaruerunt, mem- bra animalium plerumque disiecta reperiuntur , qua- fi a fluctibus agitata et obruta limo vel glareofis maxime fítratis euidentifüme vndarum effe&u et flu- &uatione congeftis , imo variis faepe corporum ma- rinorum reliquiis confociata. . Huius momenti, iu extricanda offium foflhlium hiftoria grauiffimi , plu- ribus in locis luculentifflima exempla propriis oculis vidi. Primus ad Rhymnum nobis Iaik dictum flu- vium, qui per vaftos magnae Tatariae campos in Mare Cafpium fluit, parallelus tractui montano, ex Vralenfis iugi ramo primario ad ipfum mare vsque collibus decrefcentibus , fabulofis continuato, inter- que praedium fluuium et Volgam fere medio. Tracus ifte montanus maximam partem conftat faxo glareofo, fchifüsque variis in flrata horizontalia Dddd fiffi- 589 DE RELIQVIIS fifüüibus, argillis porro verficoloribus, margis atque creta , non fine crebis paíhm petrefactorum marino- rum veftiziis. — Campi ad orientem iugi latfüme pateates, falíasinofi , limo flaue(ícente , fubtili arena ImBixto , aequabili conteguntur , quo etiam conftant ripae praeruptae Rhymni, paílm ad plures orgyas elatae, . In limo totam planitiem occupante filices quidem nusquam inueniuntur, fed vbique fere fo- dientibus et ad ripas , inque lacunis íalfis occurrunt immixtae teílae calcinatae. concharum | marinarum , quarüm fragmentis comminutis in vicinia Maris Ca- fpi omne littus apprime conftat (*). . Ex eodem hmoío íolo Rhymnus ,. vbicunque aitiores ripas fu- bruit crebro in confpectum producit Elephantums dentes ,, maxillas , magna artuum offa , Bubalorum immania cum cornibus capita , fimilesque reliquias , quarum bene magnum numerum. per haíce regiones profectus miraculi loco apud plebem adíeruari vidi y quaeque magis integra reliquerat aetas collegi (**). Neque folum. Rhymnum fed et alios deferti Tatarici fluuios huiusmodi reliquias e ripis abreptas alueis -voluere argumento. poteft effe Bubali cranium fra- &um , quod ex-Irgifo fluuio Voleam augente pifca- torio rete extractum Samarae accepi (f) , atque Ele- phantis ebur corruptum quod in laxarte repertumr Oren- (*) Patras Reifen durch das Rufüfche Reich 7o J. gag. ' 366. 379: (9) Joi. p. 378: feg. 4or t£. qr (I7: Lor, dit. p. 558: eg. » . ANIMALIVM ÉXOTICORVM. 58i Orenburgi apud mercatorem Ducharum pro(lare vidi. Poffem hic quoque memorare ebur foffle in regione colliculofa inter Volgam et Swjagam , quae firatis calcareis atque argillofis , immenía petrefacto- rum mariüorum copia foetis vbique fcatet, pathim 4d riuos reperiundüm , cuius exemplum (TT) recen- tius in Diario itineris per illas regiones facti come memoraui. — Neque non huc pertinent reliquiae cre- brae Elephantinorum fceletorum , quae fecundum 'Turam, [fettum et Slhiaffum fluuios, ad ipfam cal- cem "orientalem "Vralenfium Alpium , itemque ab occideute huius fugi fecundum Kamam et. influentes illam fuuios iisdem faepe in firatis terrae cum re- liquiis mariuae originis occurrere folent. Quae prius zequore vere fübmería atque in ftrata telluris füper- ficialia poftmodum depofita fuiffe praefertim edoctus füi exemplo offum ad Ifettum fluuium in tractu riui Suwarif;b , Haud longe ab oppidulo cui a copía ríaarum in eo tracu wbique frequentium nomen eft (Koltfcbedanrkoi Offrog) propiusque .adhuc Tama- kulenfem vicum füb ftratis variae arenae, argillae atque ferruginofi lapidis, fimul cum Gloffopetris , pyritibus aliisque marinae ipnundationis argumentis repertorum , de quibus accuratam expofitionem in fecundo. Ytinerarii Volumine commwunicaui, Merentur hic denique recenferi maffie poly- morphae , teflaceis mariuis , petrificatis refertae, quas Dddd s Dili- (H2 Loc. cit, p. 140. l l $8 DE RELIQVIIS Diligentifimus Studiofus, quem fupra nominaui, ad ripas Obi fluuii easdem reperit, de quibus quod o(fibus praefertim elephantinis abundant fupra monui. Sed omnium clariffma , fimul cum offibus fofhlibus copiofis, veftigia maris ad lrtia fluuium inueni, cuius totum decurfum relegi acftlate anni 1771. àd calcem vsque lugi per Afiam continui Altaici ibidem dicti, quod hic ipíe fluuius perfrin- gens e praeruptis quafi faucibus montani clauftri in campos arenofos vafliffumos effunditur. Luftrans ipfe - ripas eXaltatas , quae a!terna vice huic fluuio per campeílria iam tendenti adiacent pracruptae, et Con- ftant mera glarea fuper aquigena argillaum fuper- ficie ftratificata , variis in locis , quae in ltinerario (Vol. 11.) fpeciatim recenfita funt, offa corrupta Ele- phantum , Bubalorum , Rhinocerotum in virgineis arenae verficoloris flratis haerentia tetigi, fimulque mirabundus obfíeruaui arenam iisdem in locis, vti paffim ad Irtin , teflaceis calcinatis originem | mari- nam vndique loquentibus fatis copiofe commixtam effe, Imo reperi fimul fragmenta offea, quae for- ma et textura nonnifi ad maiorum pifcium marino- rum crania pertinuiffe fatis euidenter perfpici poterat, In regione huius fluuii, vt hic obiter addam, perfe&tifime appsret offa foffilia fimul cum | veftigüs maris vsque ad ipfam calcem alpe(tris iugi fparía iacere. Etenim vsque in regionem metallis feracem Cae(areisque argentifodinis celebrem , quae iugi Al- taici quafi fimbriam borealem conftituit , rupibusque amaxime exafperata efl, reliquias Elephantis duobus locis ANIMALIVM EXOTICORV M. 583 locis repertas vidi. | Ex ipfa fcilicet argentifodina primaria, quae a copia ftrpentum iaclyta eft (Suzei- üozorskoi -Rüdwik ) inter |mineras fuperficiarias ,— in mon:e vltra feptuag/nta orgyas elato , effo(fum fuit fragmentum | molaris. Elephantini ' antiquiffimi ; €0- demque in monte Corallitas varios ipfe legi , et in montibus vicinis Calcareis Entrochitae copiofe repe- riuntur, | Ab his deinde montibus (qui ftrata non habent horizontalia ; fed. maxime acuto: angulo. in- clinata) quinque fere. milliarum. germanicorum diftan- tia, depreffiori ia regione , vbi iam plana fit tellus et ager, praeter eminentes hinc inde colliculos | ru- peftres venisque metallicis non expertes, flauenti fere limo coaftat, ad finiftram. ripam riui cuiusdam ad Obum longinquo flexuotoque curfu tendentis, cui Ali nomen eft, aliquot annis ante meum in hatce regiones aduentum rufticus pifcaturam exercens de- texerat Ebur Elephantis e praerupto loco ripae pro- minulum , dederatque: occafionem curiofiori per moe- tallifoffores inquifitioni, qua non folum complura eiusdem Elephantis maiora offa fatisque corrupti mo- lares , fed eodem quoque in loco minoris cuiusdam igaotaeque vifae quadrupedis paucae reliquiae reper-: tae funt , e quibus vltimis molarem vnicum , qui ad me peruenit, quique poft corrupta minora vtrius- que: animalis offa cum ebore magis edaci aeuo relu- &auerat, inm fecundo Volumine Wüinerarii delineatum deli, ipfe tunc ignorans atque dubitans cuiusnani effet animalis ;' donec nuperrime accepto integerrimo Rhinocerotis cranio , de quo infra fermo erit, ifturri sibi quoque 584 DE RELIQVIIS - quoque molarem ad Rhinocerotem. pertinuiffe di- dici, Huic expofitioni e nuperrimis. obferuationibus addam repertos ad. lenifeam | molares klephantinos: . quorum vnum ipíe inueni pau!o. infra Krasncjarenfe oppidum , vbi montes a palmario lugo fparfi in plasitiem ftratis horizonti fere parallelis. in plani- tiem ,dectefcunt, in ripa praerupta lapillofo - glareo- fa , vbi crebra fimul fragmenta occurrunt liguorum intra glaream petrefacorum , quae forma íua detri- ta et exeía teflantur, ante lapidificationem in aquis agitata et putrida facta fuiffe. — Alterum molarem in regione maxime boreali hoc anno inuenit faepius laudatus ftudiofus B. .$ujef, paulo fupra hybernacu- lum .Selakin) , quod in latitudine boreali feptuaginta fere graduum ad lenifeam pofitum eft, in locis ri- pae vbi non raro petrefaca quoque marina leguntur. Si recenfitis hucusque obferuationibus addas ma- gnam copiam ofüum Elephanti , aliaque exotica cra- nia a Samojedis colligi venumique Berefouam adpor- tari e planitie, quam colunt , vaftiffima , fyluis de- nudata, Sibiriaeque borealem oram vsque in latitu- dinem fexaginta octo circiter graduum conftituentis ; hanc ipfam vero planitiem monumenta plurima in- vndantis olim. Pelagi feruare ; — fi denique perpen- das latentia vbique fere per telluris depreffioris fira- ta, folis Iugis palmariis montium exceptis, pctre- facta corporum marinorum , integraque flrata aequo- ream originem arguentia obíeruari , et iis praefer- tin mre vbi quadrupedum exoticarum offa in fü- perficie 3 ANIMALIVM EXOTICORVM. $83 perficie telluris: latent , marina. fimul varia modo iislem, modo fubiectis in flratis admixta effe ;: Tum quidem fateor, contra opiniones in hac re caetcras omnes, maxime verofimile / videri offa fubterranea quadrupedum in Auf(tralibus terris natorum , | quae nunc per borcalem Afiam fparía iacent, reliquias - effe cadauerum «x auftrali patria in arcticas vsque plagas abreptorüm et grauiflima forte olim globi terraquei cataftrophe | fübmerforum : Eamque | non folum vere extitiffe , fed etiam violentiffimam" at- que fubitancam fuiffe nouo atque inaudito argumen- to probabile reddam. | | : Loquor de re portento proxima , de reperto in frigidiffima orientalioris Sibiriae plaga Rbinocerote $egro, per tot retro faecula in conglaciato: itiho- Ípitae buius terrae folo , cum. corio eumque tendinum ei carnium. infignibur reliquiis. conferuato, ^ Qua. qui» - dem in re mihi fidem fa&uros eruditos fere defpe- rarem , nifi varias , de quibus hic erit fermo , fos- files huius animalis partes, et integrum — praefertim Caput Academiae noftrae nuper pro teftimonio ve- ritatis transmififem ; ad cuius itaque l/frrem con» Jefjum tanquam ad oculares tefles in re ferc incredi- bii prouoco, . À Quum .Menfe Martio huius Anni (1752.) Tr- eutiam peruenifem , e primis qude mihi oblata fünt curiofis erat Capur fofüle animalis cuiusdam vaftae molis , corio fuo naturali vetitum , imo tendipum atque ligamentorum reliquias plurimas oftendens , quod e figura , veftigiisque cornuum illico pro Rhi- -. Tem, XVII. Nou, Comm. Ecce noce- LEON 596 DE RELIQVIIS nocerotis capite agnoui , reique monftrofitate percul- fus et dubitans confirmatus ílatim fui additis eius- dem animalis pedibus , poftico vsque ad femur inte- gro et antici extremitate, in quibus non folum di-. vifura vngularum Rhinocerotis characteriftica, fed corium pariter, imo carnium duratarum groffiores fibrae, velut in Mumia naturali füupererant. — Haíce reliquias , ab Exce/entiffimo lreutenfis. ditionie totius- que Orientalis Sibiriae Gubernatore ,| Exercitus | duce atque. Equite. aurato .NbpAMO de DBRIL mihi tunc traditas, ea ipfa hyeme transmiferat e di(trictu Le- neufi fiue lacutenfi praefectus quidam (prawite] Rus- fi vocant) plebis lacuticae in tracu Wiluji fluuii (BMAb0M) degentis , qui fluuius fub latitudine boreali faxaginta quatuor circiter graduum ab occidente fluzns infra lacutiam vrbem ia Lenam incidit. -. Re- lato praeftti [oANNIsS ARGvNOFr Rufüica lingua confcripta , dataque Decembri menfe r271. ex hy- bernaculo ad. Wiluénfe oftium fito (Nisbnmoe Wiljuiskoi Simowje), lrcutiae vero. 27"^ Februarii fequentis an- ni accepta , cuius fidum apographum Academiae ob- tuli , fequentia continet: '*Eo ipfo Decembri menfe ,in ripa Wiluji fluuii arenofa ; fub praerupto quin- ,,Que orgyis ab aqua remota colle, quadragenis cir- »citer ftadiis Rufficis,, ( quae quingentis orgyis com- pleatur) *fuüpra hybernaculum . Wilujenfe fuperius » OFVercbnoi. Wiljuiskoe Simoje) repertum füiffe aquis »elutum cadauer animalis arena fíemifepulti , cuius longitudo quindecim dodrantes , altitudo decem do- »drantes aequaffe videbatur ; quodque nec a Ruffis | »€ius ANIMALIVM EXOTICORVM. $8*7 ,eius regionis incolis , neque a gentibus interroga ,,tis agnitum vel vnquam antea in illa plaga vifum fuiffe Praefectus teftatur. ^ Quum itaque ineruditis »etiam res mira et infolita eueniffet , edictumque »prius a Gubernatore emanauerat , vt omnis gene- »ris curiofa, quae in Ircutenfi dictione offerrentur , »praefe&i ad Gubernatorem deferrent , Caput reperti animalis cum duobus pedibus citiffime , (optime- »que feruata) per Olecmenfe munimentum lrcutiam transmifía fuerunt; reliquum vero cadauer , cor- ruptum valde, licet corio naturali adhuc obuolu- tum , praeter vnicum adhuc pedem , qui ad Prae- »fecuram Iacutenfis Proüinciae transmittebatur , in »loco reli&um periit. ,, In capite pedibusque recenter acceptis corium atque tendines aliquam mollitiem a terreno humore madentes feruauerant , foetoremque fpirabant non recens corruptarum carnium , fed latrinis prorfus an- tiquis comparandum , quafi Ammoniacalem. | Prope- rans illo tempore , vt Baikalem lacum ante disru- ptam glaciem traiicerem , neque de accuratiore de- fcriptione cogitare potui , neque partes illas Rhino- cerotis foffiles delineare tempus permifit. | Itaque Ircutiae relictas in furno omni cura fenfimque. ex-— ficcari iuffi; quod quum diutiffime continuata cura , propter exíuüdantem continuo pinguinofitatem vix tandem aucto calore obtineri potuiffet , cafu interea accidit , vt pars füperior cruris poflerioris , omnise que pes anticus in fürno nimis ardenti ambureren- tur et ab iis, quibus ficcandi cura erat demandata Eecee2 abie- $83 DE RELIQVIIS abiecta 'fuerint. ^ Caput vero et extremitas. poftici pedis integerrima atque ficcatione vix mutata ad me peruenerunt , eoque ftatu in priore adiectarum tabu- Tab. XV. larum (Tab. XV.) accuratifüme depica exhibentur , Fig. I. Caput (fig. 1.) a latere. dextro , pes vero pofticus 3 latere pariter (fig. 2.) et a facie antica (fig. 3.) infpectus. Odor partium mollium , quae pinguedi- nis haud parum in medullis feruauerant, ficcatione denuo tranfiit in foetorem tetrüm carnium poft ali- quam putrefactionem ardore folis exficcatarum, quem etiam nunc feruant. le; Animal, cuius hae partes fuerunt, non. e maximis füi generis neque aetate prouecum erat, vt teftantur offa capitis magis , quam in craniis Rhinocerotum olim a me deícriptis , difcreta. Adul- tum tamen fuiffe e comparatione magnitudinis cum iis ipfis craniis fenioribus, quae in variis Sibiriae regio- nibus fofülia reperta funt , apparet. Longitudo ca- pitis tota a fumma cri(íta occipitali ad extremum roftri offei denudati aequat meníurae Parifinae duos pedes, tresque pollices cum dimidio. Cornua cum capite adlata non fuerunt, prius forte abrupta et a flumine vel tranfeuntibus gentilibus , qui venationi operam nauant, ablata. Apparent autem cornu na- falis pariter atque frontalis euidentiffima veftigia ; Area fcilicet inaequalis, (fig. r. 4.) inter orbitas le- viter protuberans, ouato - rhomboida fere forma co- rio deftituta eft, .foloque incruftata periofteo. tenui , quafi corneo , creberrimisque villis erectis, corneis MS ; aequat haec area longitudine 6, 51! ]ati- tudine ANIMALIVM EXOTICORVM. 3589 tudine 5!, anteriore angulo acutius terminata intér- Tab XV. ie&o ifthmo femipollicari corii integri discreta ef "9 ab area tuberculofa (fig. 1. 5.) ouali in roftro offeo - confpicua , cui cornu nafale innatum fuiffe probat productio corii in fibras deníata atque extenuata corneas , íupra poíticum marginem tuberis nafalis continuatas ; huiusque tuberis longitudo 8", 6" cire citer explet. : Corium maximam partem capitis iltcclins in Lou flatu fubflantiae e(t tenaciffimae, fibrofae ; corio arte pro calceamentorum foleis durato fimilis ; extus fuffum , intus vero fubftantia albida gaudens, ignique iniectum inflar vulgaris corii foetidum. Cir- ca os, vbi mollia carnofaque labra füerunt , maxi- me corrüptum atque lacerum , offeas maxillarum extremitates reliquit nudas; paífm etiam in latere finifro , quod aéris iniuriis diutius expofitum forte fuit, corium hinc inde cariofüm quafi et a füperfi- Cie exefüm apparet. Sed maximam partem, a dex- tro praefertim latere , quod depictum fuit, fuperfi- ciem ita feruauit. integram , vt per totum illud la- tus, itemque in vertice inter orbitas crebri pori, feu wt rectius dicam lacunae minutae, quibus forte pili infederunt , appareant. Imo in regione mandi- bulae, a latere dextro quibusdam locis copiofi ad- huc fuperfünt pili , fafciculatim nafcentes, maximam partem ad radicem fére vsque detriti , hinc inde vero ad dua$ tresue lineas longi, antrorfüm atque deorfüm profttati , rigiduli, gryfeo -cinerei, praee ter vnicum alterumue pilum nigrum fingulo fafci- ipu: O Ecce 3s culo $90 DE RELIQVIIS Tab. XV.culg additum , paulo rigidiorem reliquis. — Mirum Fig. 1. tür, addendae fuperfunt ; maxime quod et orbitas obtegens palpebrasque for- mans corii pars maximam partem incorrupta füper- fit, ita vt palpebrarum aperturae, difformes licet , vix digitum admittentes ,, ipfumque circa palpebras corium in rugas fübcirculares reficcatum appareant; dum ipía oculorum caua luto argillofo feu. hümo: animali repleta videntur, quale partem quoque .ca- vitatis cranii occupauerat, Adfíunt fub corio fibrae tendineae copiofae ac fatis firmae , mufculorum ma- xime temporalium atque maffeterum reliquiae , et in faucibus fibrarum pterygoidearum fafciculi infignes dependent. Offa denudata flauo colore tin&a funt, neque adeo folida , vt in aliis foífilibus Rhinocerotum cra- niis, Praefertim os fcutiforme , quod cornu nafalis firmamentum .praeftat, cum fíübiecto fulcro offco craffiffimo vomeri comparando nondum coaluit, fed harmonia tuberculofa totius plani, vt epiphyfíes os- fium iuniorum folent, inarticulatur. ^ Extremitates maxillrum neque dentium nec alueolorum vefti- gium vllum habent, imo paffim integumentorum reliquiis incruftatae funt; primusque molaris a mar- gine terminali mandibulae quadripollicari interuallo diftat. Vlteriorem hic omitto maxillae atque den- tium defícriptionem , quae ftatim e cranio Rhinoce-- rotis in Dauria citeriore reperto praeftabitur; adeo- que tantum menfürae quaedam capitis, de quo agi- t 229 Oculo- ANIMALIVM EXOTICORVM, $9I Oculorum aperturae ab apice. -xoftri offzi Tob. XV. llinc vet REN SP Hmm abel. ra 6. 3 Eaedem inter fe perephippium adlitt. 2. — xr. 7. Sed ducto per gulam filo .- | - - 2. e$. 6. Circu:nferentia extremi roflri pone ritum 2. 6. — Superior max/lla infcriorem fupereminet — . rz. x. Latitudo extremitatis mandibulae | .- Edid d. Latitudo -vomeris fub offe cornigero roflri — 3.. 5. Circumferentia capitis pone tuber nafi - 3. -— S. Circumferentia traus ipfas orbitas aream- que frontalem cornigeram - PN STRE CONI Altitudo verticalis | capitis in medio ephippii ^ :—» "pirum sr I. I. — Axis transuerfa per orbitas - — - — IO. 6. Eadem ad poíticam bafia zygomatum — 11 3. Pes, qui mihi füpereft, poflicus finifri ,^ ni Fig. 2, y; fallor, cruris non folum corium maximam partem pilis eorumue radicibus inftructüm , integerrimum ; tendines et ligamenta calcis robuftiffima conferuauit , fed corium etiam vsque ad flexuram genu integerri- mum fuerat, inque locum mufículorum limus atra corii vacuum occupabat. — Extremitas pedis in tres vngulas fiffAa eft, quarum foli offei nuclei , ^ confer- vato hinc inde perioflco füperfünt ,' calcei vero cor- . mei abícefferunt neque fimul fuere; adlati. ^ Pili in multis locis corii adhuc füperfünt, ab vna ad tres lineas longi , fatis rigidi, fordide cinereo - pallefcen- tes; totumque pedem iisdem fafciculatim nafcentibus, deorfüumque proflratis obfitum fuiffe e relictis detri- torum reliquiis apparet. . Tantam vero pilorum co- piam, $Sjs — ^UUDECRELIQVITS Tab. XV. piam , quantam in lioc pedc atdüé' ib deftripto cá-. Fig. d 3. pit$ adfuiffe apparet, im hbinocerotibus, quos in "Eüropim adüectos noftra vidit aetas , nunquam , fi beüe memini ," obferudta fuit ; adeoque aliis diiudi- caüdurm relinquo nonne. Khinocerotem ;Lenenfíem no- firüm in temperatióri forte Afiae mediae'climate natum fuiffe fit exiftimandum. — Rhinocerotes enim in fylüofis Indiae' borealis dari relationibus "innixus adfirmare foffum' ; eosque ab' iis, quos calidiffima gignit Africa , pilófióre €orio differre verofimile eft; vti ali$ quóque animalia calidioris 'climátis: iidem in temperata plagá natis glabriora folent effe. Men- furas pedis fequentes addere vifum eft; Longitüdo a calcanco ad. margines medios —— vnguhrum | - - .- - - - a.49"el, Vngulae mediae latitudo |^ - | — - -^- 2. 9i Eiusdem altitudo |. - | - - - - - rz. 5. Latitudo vngulae interioris | - - - |- - 2, 4. Altitudo eiuslten —- | - - *-* - -3.5. Latitudo vngulae exterioris. | - | -.— - — 2. 9. Eiusdem altitudo. || 7. — |. -. - - .- 3. v Circumferentia pedis füpra hulum s X d Circumfetentia ad calancum | .- - - I y. - | Defiptae hic reliquiae Rhinocerotis in borea- Ii terra per quot faécula fepultae fuerint ; iudicabunt facile qüi pérpendánt illá nonnifi telluris noftrae per- turbatione tanta illuc peruenire potuiffe," quantany 3ntiquiffima hominum chronica praeter vnicum Di- luuium nullibi commemorant; Pér tàntuin vero — acuí ANIMALIVM EXOTICORVM. $95 seuj fpatium füb glaciali zova cadauer animalis quoad partes molles tenacioris compagis , ( vti funt corium Rhinocerotis crafbffimum , tendinesque robuflifhimi ) , conferuatum fuiffe non videbitur mirum, fi cogites etiam in regionibus Sibiriae multo. auftralioribus ter- ram aeflate tantum in fuüperficie regelari ,, quod fo- lis GiMELINI (in Itinerario Sibirico) teflimoniis de regioue lacutenfi atque Argunenfi probaífe fufficeret, lpfe per Dauriam Mofcua multo aufítraliorem pro- fectus in campis intermontanis ad Ingodam et Onos spem lunio menfe ardentiffuma aeítate folum in pro- funditate trium circiter ífpithamarum variis locis ge« la adhuc zigere deprehendcebam, — Studiofus fupra lau- datus, qui Oceanum glacialem adiit, multis in 1o Cis circa Obdorienfe munimentum füb latitudine bo- reali 67 circiter graduum fitum , vlteriusque vere fus Septentriones fub finem aeítatis , in illo climate - vix ad exitum vsque lulii perdurantis, explorans Obíeruauit in locis altioribus, foli ex pofitis , circa Obdor;enfe oppidulum íolum vlnari circiter profun- ditate , in deprefhoribus vix ad femiulnam degelari , inque «conuallibus a íole tutis per totam aeítatem niues atque glaciem conferuari ; vlterius verfus Ocea- num progreffus vbi defunt fyluae , folum arenofum , Q«guod omnium primum reíolui calore folet , tantum 23d (emiulnam plus minus mollefcere , paludofa loca vero vix ad fpithamam mitefcere; imo vbi muícofa loca funt fub caefpite mufcofo vel conglaciatam terram , vel fi paludofüs locus fit, nudam glaciem inuenit ; quo fit vt Samojedae aefiate. per paludes Jom.XVlLNou.Comm. ^ Ffíf ar&i- $94 ^DE RELIQVIIS - ar&icae plagae Rhangiferis tuto vagentur , licet muícofa vligo faepe ad plures orgyas ante pedes in- cede;tium qua flu&uet , Rangiferiqué pedibus non- nifi ia cruíta glaciali: firmamentum inueniant, Idem ftudiofus hoc iterum aano fecundum lenifeam per rigentes illas plagas iter carpens, füb hac longitu- dine adhuc iagratiorem terram vix ad palmam trans- verfam 'emolliri retulit. Sed in Lénenü tra&u oinuique orientali ^ Sibiria fub latitudine , " qualem Wilui fluuius percurrit, clima multo rigidius effe , minusque profüude terram regelari quam in Sibiria citeriore ià eadem a polo diítantia conftans fatisque per^ obferuationes confirmata lex, cui orientaliora loca 'hüius "regiodis adftricta. funt ; communisque 'pe- rériüatorum fama confirmat. — Itaque tantum 'hóc videtur ftupendum, quomodo Rhinocerotis in auftra- lioribus terris A(fiae nati cadauer integrum tanta velemettia- atque celeritate per tot mille fladia in- dréticas terras transuectumi , ibique arena obrutum et coüglaciatum' fuerit, vt putrefactione partes mol- les interea non diffluxerint. taque cataftrophes tre^ meudae , integrique forte Pelagi Afiam ab auftro ad Boream violentiffime transfluentis argumentum prae- bet Rhinocerotis noftri cadauer , praefertim fi' prius. expofita adiungas , quibus rmnixta pir totam Sibiriam éum marinis corporibus "variis in ipfo fuperficialt- terrae ftrato offa animaliom in Auftrali folam cli- inate viuentium indicaui. Neque forte aliénum erit breuiter hic commimorare ftatum catébae ^ montium que Afiam totam ad orientalem vsque Oceanum 2 41i K - ' pet- ANIMALIVM EXOTICORVM. —— $35 percurrit , auftralesque totius Sibiriae limites confti- tuit, vbique nudis diícerptisque rupibus horridae, quafi laceratae, fluuiorum ad feptentrionem fluen- tium crebris alueis conuallibusque interruptae et omnino violenti quodam effe&u in hunc ftatum re- dacam, quem in Alpibus Europae, iugoque Vra- lenfi alia dirc&ione ab auflrro ad boream tendente non aeque obferuamüs. ^ Sed mitto hy pothetica , aliisque excolendà relinquo ; hoc tantum moniturus exemplo Rhinocerotis noftri plane. fubuerti ^ fenten- tiam , quam in priore tractatione ipfe verofimilio- rem exiftimaueram, quaque animalia, quorum mem- bra in iftis terris hodie leguntur , ibidem habitaffe, fed mutato. vicunque terrae climate rase pics ) Addám nunc plura exempla memoranda os- fium. ex auftralioribus terris in Sibiriam ignoto mo- bis aeuo translatorum et nunc fofülium, ^ Nolo de EF lephantinis offibus et ebore mamonteo , per orien- talem praefertim Sibiriam notiffima merce y atque, vt fupra di&um ft, vix non vbique feperiiftido füfior. effe. Sed commetrorari merentur plures aliae R biuocerotum partes, quae mihi per Sibiriam itineran- ti oblatae | funt, addendaque defcriptioni craüicrum huius animalis , in priori tractatione exhibitae , quae nunc e p Side cum maxilla et dentibus ad me perlito fpecimine. (applere poffum. im Humerum , quem propter magnitudirem , bre- . , T * natem atque crafhtiem fummam nullius alterius F £ff 2 ani- 596 DE RELIQVIIS.. animalis quam Rhinocerotis fuiffe facile erat perfpi- cere, ipfe inueni in ripa quadam arenofa lrtis flu- vii , Elephantinis quoque offibus fatis feraci , ad ipfas excubias Korjakoueníes paulo infra lamyfche- venfe fortalitium. fitas, — Dedi eius menforas in Je- cundo Volumine Winerarit, adeoque plura hic addere fuperfedebo , neque lcon neceffiria videtur. -— lam füpra breniter adtigi molirem Rhiuocerotis cum Elephantis offibus ia. ripa riui 4e per Barabenfem planitiem. fluentis effoffuüm , «cuius etiam iconem ltinerario infertam fuiffe dixi. — Fractum porro Rhinocerotis cranium ex Obenfi regione per ftudio- fum Bafil Sujef accepi , quod in colle arenofo de- fertorum. hyperboreorum. verfus Oceanum glacialem repertum fuiffe affirmabatur. — Simile cranium ad Lenam: olim. repertum. adferuabatur Ircutiae , mihi- que occaüone (íüpra defripti capitis traditum füit, — Denique integerrimum omnium , quae vidi, Rhinocerotis cranium. in regione érindata jani obla- tum eft, quod ad flauium. T/cbitoi , qui Selennam influit, in. regione campeftri quidem , fed vndique montibus praealtis, rupeflribus cincta ,. ripae ruina in confpectum. prodiiffi atque pro. Draconis capite miraculofo a plebe habitum fuiffe fcio. Propter dentes. quibus: in(tru&um: eft , adie&tamque maxillam, quae partes craoirs prius a me defcriptis IU icones varias ex illo. confici curaui , quibus ftructu- ra tota offium capitis dentiumque Rhinocerotis per- fecte. illufütrabitur (Tab, X VL). Et ANIMALIYM EXOTICORVM. sgT Eft hoc cranium e maximis fui generis, to- Tàb XVÀ taque longitudine à fummo coriffae occipitalis ad. extremunmr roflrri offi aequat duos pedes et (feptem pollices menfuürae Parifinae. — E flatu o(fium | tobu- füffimo eorumque per totum: caput coalitione per fecta et afperatibus tuberum: et apophyfium — maxi- Te prominulis apparet effe cranium :animali$ aetate maxime viget Mandibula menturas aptus didit : i Ab angulo bafeos ad marginem inciforume 1^" r0, Ramorum. altitudo ad condylos - - -— 8. 6. EKatitudo ramorum ad baüm - -— - -— s. 3. BDiüdantia inter angulos bafeos - - -« — 6 4 Coasdylorum diameter longus — — -— - g. 3. Latituio apicis feu margo inciforius — — 3. r. Molarium poftremcrum diftantia ab inuicem — 5. 7. Long:tudo. omnium: alueolorum molariumr — 7. $8. Diftautia mol'aris primia margine inciforio — 3. O. (Longitudo. refpondens omnium» molarium in maxilla fuperiore - - - — -- y. 9. (Eorumque diftantiz inter fe fubaequabilis) - 3. —. E] Molares: füperioris maxillae (fig. zr. 2.) non fo- prj, ,, s, lum magnitudine: funt. infignes, fedi etiam ftru&turam: habent, qualem: adhuc ím quadrupede nulla. defcri- ptam «ffe fcio. On ncs fcilicet coronam fupra ha- bent planam». infculptam: cmuernis profundis , fenfim coarQatis., margine cincti prominulo , :transwenfitu Ffff 3 fub- $98 | . DE RELIQVIIS Tab. XVI. fubtiliffime firiato , € fubftantia vitrea fa&o ; qualis et totam coronae àream PARU fimbriae. in- ftar cingit. — Pofficus roolarium (fig. 1. 4) omnium eft crafhffimus atque radice pofterius. maxima , foli- da, infimo quafi laciniata, anterius vero minore extrorfum. verzente firmitlhime alueo incuneatus hae- rct. Diamcter baíeos transucrfus vsque 2d 2" i// longitudinalis exterius 2^ aequat; íed corona furfum coarctatur , neque transuería latitudine vltra 1". 5;!/ diametroque longitudinali 1 Il, eli fupcerat. — lrregula- riter quadrangula eft, cauernasque veríus marginem pofteriorem duas habet fuübcirculares , quarum — inte- rior minor; anterius infculpta tertia cauerna oblon- ga eft, perque medium coronae obliqua introrfum atque retroríum effunditur. Molaris huic Aie qon (fig. 2. 5.) coronam habet omnium latiffüirnaam , magis regulariter qua- drangulam , paulujum excauatam , bafi vero minus cráffus eít priore et radicibus magis diuarcatis fir- matur, interiore quidem breuiore , craffa , quadrila- ciniata , exteriusque binis transuerfim compr.ffis, la- tiufculis. ^ Corenae diameter longitudinalis 1! g/ transuerfus anticae i^. ro]/ explet, — Cauernas habet item fubrotundas duas. aaterioremque oblongam, obli- quam , non vero effüfam , fed cum exteriore cauer- - narum circularium conflaentem. Tértius molaris (üg. 2. c.) radicibus anteceden- ti fere fimilis, coronam habet magis depreffam , an« ; tror- ANIMALIVM EXOTICORVM. 599 trorfüm magis inclinatam , planiorem , cuiusque dia- meter. transuerfus maior 1^. 8; dum longitudinalis vix i". 4! excedit. —Caueruae huic minores, vna poíterius oualis , altera oblonga, fubflexuofa, cum adiacente exterius. paruula fübcoalita. .. Quartus inolapis (fig. 2. 4.) radice vix differt , "eie coronae circumícriptione fimilis eft, verum paulo minor eoque diuerfüs quod cauerpam habeat tantum geminam alteram lunari fere circum(criptio- ne reflexam , cum minore a'tera fubconfluentem., — Quintum. adfuiffz dentem prioribus multo minorem, triplici radice inítructum et fubtriangularem e forma alueolorum apparet; is. vero ab vtroque latere in cranio noftro deficit. Inferioris maxillae (fix. 3. 4) molares longe Fig, 5, 4, diuerfam formam exhibent. Multo fcilicet anguftio— res habent planioresque coronas , neque cauernis ex- fculptas , fed f[olidas, foloque limbo vitreo am- beunte exornatas. — Po/ffremus horum (fig. 3. aa.) pariter maximus quidem eft, íed quoad coronam magis coarctatus, Diameter eius longitudinalis 1" 92/ transuerfus ad bafin i", 2;" fed quoad aream coro- nae vix vltra 1^. aequat; forma fingularis, duobus interius finubus excita. figma (X) graecorum ruditer LE referens. kd: : ost Proximus (8s. 3: bb) diametrum habet lon- gitudinalem: 1,5" transuer(alem ad fummum 1^. 177; on; i " NONE ; €oro- 4, 600 DE RELIQVIIS Tab.XVI.coronae area plana , oblongoquadrata , vnico interius lig. 3. 4- (inu. exciía, "Tert (fig. 3. cc.» corona fupra integerrima, plana , quadrata ,, diametrum transuerífalem vix pol. licari maiorem , longitudinem 1^". 2; habet. Eique fimillimus quartus (fig. 3. dZ.) wtramque diame- trum babet aequalem , pollicati paulo mimorem. -— Deíunt in maxilla inferiore dentes duo antici, quorum «uus quarto fimilis et aequalis, prior wero omnium minimus fuiffe videtur. . Omnium infro- rum molarium radix fere duplex tantum eft. Fig. x. 3. In apice maxillae inferioris feu ipfo margine , vt ita dicam , inciforio deotes quidem nulli adfunt ; veruntamen apparent veftigia oblitterata quatuor (fig. 3. ee.) alueolorum mipnu(ículorum , aequidittan- tium, e quibus exteriores duo obfoled má », fed in- OA íatis infignibus foffis denotati funt. — In fu- periore quoque maxilla huius cranii 2d anticum pa- lati termivum vtrinque (fig. z, £6.) tuber offtum adflat obíoletiffima foffa notatum , quae alueoli quan- dam praefentis veftigium. refert. — An. itaque certa aetate. Rhinoceroti dentes primores , faltem inferius, enafcuntur, haud diu duraturi ? Indeque forte dis- fenfus au&orum qui Rhinocerotis dentes deícribunt ? Adlatis omnibus, quae in defcriptione cranii Rhinocerotis dope zeftabant , tianío ad defcri- . pionem ANIMALIVM EXOTICORV M. 6ot ptionem Craniorum foffiium diuerü generis; quae tan- to magis memoriae digna vifa fuot, quia quadrupes; 4d quod pertinuerunt , ad hanc vsque diem a Zoo- legis nondum rite defcripta eft. — Duo accepi , de quibus loquor crania, quo- Tab.XVII rum perfecius triplex icon Tabulae noftrae XVII. a fronte (fip. x.), a latere (fig. 2) , et a bafi (fig. 3.) confpectum exprimit, Hoc quidem vltimum Bere- fouam oppidum ,' quod ad Obum fitum eft, e ter- ris hyperboreis (Tundra) adlatum fuit ; alterum fae- pius nominatus S/udi)us ab Oceano rediens aduerfo flumine OObo ipfe inuenit iu ripa feptuagenis circi- ter ftadiis Rufficis (10 milliaribus) füpra Obdorienfe munimeotum. ^ Animal cui debentur, fípecies eft "Fauri feri , quae connatis in frontem cornibus con- venit cum Bubalo capenü cuius cornua I/yfriffmmus BvrroNvs (*) dedit, vel potius cum Bifonte Americano (99, cuius. caput olim ficcatum | in Mufeo Britannico: vidi ,' cornibus fimiliter bafi fupra frontem diffüfis, fecundum latera capitis inflexis, qualía in noftris craniis fuiffe apparet. ^ Nollem ta- 7nen pro certo affirmare ad pofleriorem crania ifta zeferenda effe; poffent alii forte affini , fed Indicae adis cum f : d APTE origi- vino mer .(*) Hifloire naturelle Ediz. minor, Pol. 23. tab. 4L. p.c , .€**) Hifi. de Ia nouvelle France par le P. Charlevoix foi, ha CHITe A 77 1. - Ld "Lom. XVII. Nou. Comm. G g g g 602 DE RELIQVIIS Tab.XVIIoriginis Bifonti deberi , qui cum multis aliis inte- rioris Afiae quadrupedibus hucusque incognitus man- fife potuit. . Itaque ferioribus obferuationibus deter- minandum relinquo cuiusnam animalis vere fuerint quae deícribo crania. Compages eorundem folidiffima eft, craífifi- fnisque conílat otfibus, vt vix vlli quadrupedi tan ta cranii craffities obferuetur , ctiam, Rhinocerote non excepto Maximeque neceffaria fuit ollae no- - bilifuima fenfus organa defendentis foliditas in anima» li, quod ipío vertice ; ipíà cerebri lorica omnem fureatis irae vim exferere Natura deflinauit. — lpía Olla cerebri exterius ruditer eft quadrilatera ; magis- que adhuc tetraédra forma o[fium voflri feu | maxillae fuperioris, cuius parietes laterales in'cranio foffli füperftites (fig. r. 2. 4a.) planiufculi , et ad fron- tem planam , palatumque verticales fere funt. — Ab Orbitis 4d occipitalem vsque criftam verticem totum occupant ba/es cornuum , cranio inolitae (fig. x. € «:), intermedia foffa vel femicanali vix digiti minoris capaci diremtae , pofficeque ipfam criflam occipita- lem fuperemineutes (fig. 2. c.) Sunt hae bafes pla- $a Offea, digiti transuerfi craffitie, bregmata teta itücruflantia , fubtriangularia , totaque cauernis cellu- lofis et prominentiis exafperata , vt corneae fubftan- tiae continuatione craffa loricata fuiffe appareat. In- terius haec plada mmrgine terminantur reciffimo , arguto, exterius contracta continuantur in procejfus | | offcos ANIMALIVM EXOTICORVM. — .605 offeos robufiiffimos. (fig. x - 3. 44.) depreffos, coni- Tab. XVII €OS, fere verticaliter. fecundum tempora, deflexos , fulcis longitudinalibus ruditer porcatos et in fofüli cranio apice praefractos , qui corzuum. vaginis inhae- ferunt, — Orbitae (fig. x —3. ee.) a bafi cornuum diftin&ae , fornices fünt offei robufliffüumi , maxime prominentes , antice confirmati tubere ofleo , quo foramen atque canalis arteriofus füpraciliaris defen- duntur. — Contra vero zygomata (ff.) admodum funt reducta et exigua, quippe quae füb cornuum deflexis proceffibus tuta latent. — Offa nmafi, atque maxillae füperioris extremitas , cum parte alueolo- rum molarium defunt etiam in fpecimine foffili , perfe&tiori , quod accepimus, Apparet antem mola- res ytrinque fex adfuiffe, quorum in yno cranio fuperfünt pofticus maximus et aliquot e reliquis an- trorífum fenfim minoribus, — Habent hi molares co- ronam valde angulofam , inque media füperficie ca- wernas coecas multiformes , iis analogas, quas in Rhinocerote defcripfi , fed magis angulofas , limbo- que lamellae vitreae non firiato fed laeuiffíimo mar- ginatas, Cranium totum per omnes partes craffiffimam habet /uübflantiam , futuris quoque craffis contigna- tum. Praefertim cauerna cerebri , quae psrexigua eft, crafüffimo folidoque offe conftat , deftituta quo- que foraminibus in bafi Jecerif dictis, quae vix non € data funt animalibus , quarumque loco ma- Gggga gis 604 DE RELIQVIIS- Tab. XVII gis»cylindrici et mediocres. adfunt. canales .queniad- .modum et reliqua. arteriofa- cranii foramina folito minora funt, ^ Eaque caui atque canalium | znguftia vt foliditati confuleret. Natura | cerebrum | huic | ani- mali dedit. exiguum , . atque | vti. forma. cauernae teftatur, (fex. fere pollices. longa , fed vix vltra 2/!. 6! diametro dilatata). ferme. cylindraceum, Hinc et foramen occipitale pro . transmittenda ,exiliore . medulla pariter proportione angu(tius effe potuit. atque. lumine. vix pollicari hiat ,. fimul -fub- ftantia offea pollicem fere craífà circomcirea. 'fit- matum. TUEDP CT ! Iv 3:8 FE] a MA nonnullas , flo exploratas e 'cranio ER CNMEN | M loseinido: téfius crani] a margine poftico bafeos. cornuum ad anticum finem al: veolotum molarium .- -.- - -- 352! 4^, Diameter longitudinalis bafeos.cornuum ^ e. 6. 8, Latitudo earundem - - - - - - 6. s rzr. Earundem dilantia a futura cfüüum , — — mi Ba i5 pP PITE 6i. . Exceífus, earundem vitia Occiput - n 0.0... 6. Longitudo proceffus cornuum | - ^ - | 0. 5. 9& Eorundem latitudo bafi - - - - - o.g. 8. Atque eraffities Lu - e cues no .$. "-— ETT cuc , 29532 Oibi- ANIMALIVM EXOTICORVM. . 6o$ Orbitarum fornix pofterius a eranio pro- ^c mint. - - - -'"- "-'^ 62, $, | Antcrius um E sive Didi Stitaital ow al A csi fümmá . cranii. inter. ruga pes margins -. - .- 5- - Q9 5. Diameter transuerfus occipitis prope bafes bOrobuin: ^S ej. URUUL Q, 5. 9, Inferius ad tubera mammillria - - o. ; ME A Diameter verticalls - - - - 0.5. Qc. Diameter transuerfus roflri ad bafin - o. 5. 4. Latitudo offüum roftri laterallum - - o. 4. 6, Latitudo palati inter molares - - ^- 0.2, ir. Longitudo zygomatum — per fubten- . BLUE EAR UB eda oSiilgsasifod i, Alueoli molarium omnes fimul - .- 0.5. m. Crafhties fubflantiae offeae in fronte - 0. o. 6i. In offibus roftri lateralibus - - - Áo o. 5. In fornice orbitaium -- .- - ^- oco. 8$. Sed vbi tuber füpraciliare - —- - Oo. *x. 8. Effent adhuc quaedam dicenda de DBubalorum maximis craniis, qualia iam in prioribus deícripfi ; quorumque aliqua durante itinere, quod me tenet , in auftralioribus Imperii Ruthenici, ad laikum et QUITcA Ggz8g 9 I:tin o6 DE RELIQVIIS ANIMAL, EXOTICOR. Irtin inuenta, vnum vero e maxime borealibus ad Obum fluuium adlatum obtinui. .Sed quum de. iis in Itinerario mentionem factam inuenient Lectores, - nollem heic repetitione taediofus effe, deque Obfer- vatis hactenus" eirea reliquias quadrupedum | exoticorum it! Afü boreali repertis finem facio. ASTRO- ASTRONOMICA..- DISQVI- z^ , ^ -- * - ove / , E. zx 34 1 r: - dix. d i : 1 " S : -- É "E T n d e MEA E - ^ Y D Tr ad » 2? r D E j yr i : & Ad — * L am c , * dot p s jf Y à i i p s e VITE ace, Are, EAS T. à; ere ae. md T : Acn ; ins - j J^ ^ ^ " x L n : . E ' A * D 2 J Y E [Ass » S : [^x "" * ] . X ] 1 3 E 2 cs Gwe39 (o ) $3» 609 DISQVISITIO NE »» INVESTIGANDA : PARALLAXI SOLIS, EX TRANSITV "VENERIS PER SOLEM ANNO 1769. Auctore 4ND. IOH. LEXELL, I. Q omnes qui ex nouiffimo tranfitu Ves m neris per Solem, Parallaxin Solis definire fufce- perunt , de eo inter fe confentiant , quod valor Pa- rallaxeos pro tempore tranfitus 8 minuta fecunda excedat, contra vero infra 9 fecunda fubfiftat; ta- men Ífi de exactiori menfura huius Parallaxeos quae- flio (it, tantam inter varios Auctores reperimus di- fcrepantiam, vt in eam facile quis induci poffet opi- nionem , de hac parallaxi vix cum praecifione fe» miffis fecundi aliquid. certi flatui poffe. |^ Quemad- modum enim nonnulli, Parallaxin pro tempore tran- fitus 8, $ fecundorum füiffe perhibent, ita ex ad- verfo alii cam "vsque ad 8, 75 fecunda augere haud dubitant , inter quas determinationes , omnino maior Tom. XVII. Nou. Comm. Hhhh eft 610 DE PARALLAXI SOLIS ; eft diffenfus, quam vt hoc in negotio admitti poffe videatur. Operae igitur pretium effe duxi, hac Differtatione expendere , vtrum et quousque de ve- ra quaatitate Parallaxeos Solis, vel aliquid certi, vel probabiliter faltem definiri poteft; tum vero etiam rationes explicare ex quibus fa&um eft, vt varii Aucores pro Parallaxi inuenerint valores a veritate haud parum difcrepantes , fimulque iftas cautiones perfpicue definre , quibus opus eft, ne in hac inue- fügatione vllae committantur fallaciae. . Quibus prae- monitis, conclufiones adferam , quas ex calculis omni rigore et exactitudine inftitutis , pro Parallax: Solis deduxi, quae conclufiones fi.cum iis, quas alii Auctores fe inueniffe affirmant , comparentur ; haud Obícurum euadec, quid de vera quantitate Paraliaxeos Solis iudicandum fit. "^ 7$ Quoniam tota inueftigatio Parallaxeos. Solis obferuation:bus contactuum Veneris cum Sole iuni- titur, atque in his obferuationibus aliquales errores: ineffe poffunt, facile intelligitur certos praeícribi li- mites, intr quos non nifi cum maiori. vel minori probabilitate de valore Parallaxeos aliquid defiviri poteft. — Quemadmodum eaim eae conclufiones Pa- rallaxin fpe&antes omnino pro certis. et indubitatis haberi merentur, quibus in dubium vocatis , obfer- vationibus tanti tribuendi funt errores, qui omni verifimilitudine deftituuntur et. quos pro abfurdis tuto habere licet ;: ita eae conclufiones tantum vt probabiles fpectandae funt, quibus negatis, obferua- tionibus maiores non inferuntur eryores, quam quos | | ipfis DE PARALLAXI SOLIS. 6t ipfis ineffe poffe, experientiae nequaquam repugnet. Perfpicuum igitur hinc euadit, pro certifhma et in- dubitata veritate habendum cfle , quod Parallaxis So- lis decem minutis fecundis multo minor fit, quippe quum ex valore Parallaxeos decem —fecundorum , fequeretur obíeruationibus errores ineffe, qui vs- que ad duo, tria immo quatuor minuta prima increfcerent , quod nemine contradicente pro ma- ximo abfurdo habere licebit. Simili modo etiam pro certo afürmare poffümus , Parallaxin Solis certe maiorem effe 8", contra vero minorem 9", quum ex vtraque fuppofitione Parallaxeos fiue 8, fiue 9 fecundorum , aliac atque aliae obferuationes fide di- gniffimae in fufpicionem vcnirent errorum vsque ad minutum primum et vltra affurgentium, quod etiam omni deflituitur verifimilitudine. — Immo pro certo etiam afferere audemus , Farallaxin Solis tempore tranfitus (4; inter hos limites 8", 5 et $^,* neces- fario contineri , quum alterutro horum valorum pro vero aflum:o , obferuation:bus quae caetcroquin omnes veritatis characteres prae fe ferunt, 40 vel 30 fe-- cundorum errores effent tribuendi. lnfra autem fu- fius explicabimus , vnde ifti characteres funt dedu- cendi €x quibus de obferuationum probabilitate iudi- Hhhh e cium (2) Neceffum eft vt hoc loco moream , quod vbicunque in hac Diífertatione voce Parallaxeos fmpliciter vtar, fermo fit de Parallaxi aequatorea Solis tempore tran- Ífitus; Parallaxin autem Solis diflantiae mediae conue- nientem , nomine Paraliaxeos mediae indigitabo. 6zz- DE PARALLAXI SOLIS. cium inftitui oportet. Sin autem nunc limites pra valore Parallaxeos - magis coarcteotur , . conclufiones hunc valorem fpectantes non: amplius. pro. ; indubita- tis haberi; merentur , fed maiori tantum vel minori probabilitate: gaudebunt. | Sic etiamfi mihi quidem valde probabile videatur, Parallxia. Solis excedere 8^, 4. et aliquanto minorem effe 8", 6, hanc tamen conclufionem. pro indubitata pronuatiare vix aufim , et fi.limites Farallaxeos adhuc magis reftringantur ex. gr. ad 8", 45 et 8'",55, omnino períuafus fum vtrumque horum valorum admitti. poífe , obferua- tionibus etiam melioris notae non multum repugnan- tibus, Verum. igitur valorem Parallaxeos Solis, pro iis quibus obferuationes laborant erroribus , vix cum maiori praecifione quam: decimae partis fecundi defi- nire poffe exiftimo ; ex quo circa inue(ligationem Parallaxeos hanc regulam praefcribendam effe cenfeo; vt is valor pro Parallaxi maxime probabilis habea- tur, qui obíeruationibus faltem melioris notae opti- me piane Quod Auctores de quantitate hindibrisos Solis in tot diuerías abierint fententias, ex duplici imprimis ratione factum effe credimus ; primum quod effectus Parallacticos adhibuerint non vsquequaque ex- actos, tum» vero /ecuundoó quod de obferuationum praeftantia et. exactitudine diuerfimode iudicaucrint. Quod igitur priorem errorum cauffam attinet, te- nendum eft etiam minutiores quasdam aberrationes hac in disquifitione euitandas effe, vbi vnusquisque Au&or fummam exactitudinem ct praecifionem fuis calcu- DE PARALLAXI SOLIS. 615 calculis vindicare videtur. ^ Quamobrem nunc qui- dem breuiter. explicabimus , quid in Mcthodis ab Aftronomis receptis pro computandis effectibus Pa- rallaxeos iure meritoque defiderari poffit. — Primum igitur obferuo in his Methodis aberrationem | quan- dam inde effe metuendam, quod pro computo Pa- zallaxeos nulla plane haberi foleat ratio verae fi;u- zae Telluris Si enim PZ z defignet meridianum Tab. XVIIr alicuius loci , in quo P fit Folus aequatoris , Z ze- PEU nith appareus fpectiatoris , z. punctum vbi recta per centrum telluris et locum fpectatoris ducta me- ridiaao occurrit, atque ponatur effe C locus So- lis, V locus Veneris verus et D locus eius appa- rens; perípicuum omnino eft effccum Parallaxeos computari debere; nom quemadimodum: vulgo fit, fe- cundum arcum circuli maximi Z V 4, fed fecunium arcum z VD. Si [fcilicet ducta concipiatur linea CV, facile patebit angulum C V D pluribus minu- tis primis differre poffe ab angulo C V 2, vnde fi pofterior loco prioris adhibeatur , errores inde haud contemnendi emergere poffunt , quando effi&us Pa- rallaxeos fecundum dircctonaem V C exquiri debet, vt taceam ipfam quantitatem lineae V D faepe mul- to alam prodire pro hypothefi figurae Telluris fphaeroidicae , quam fi Tellus conciperetur effe per- fe&te fphaerica. 4. Qualiscunque autem. fitaberratio hinc oriun- Fig. »: da , aliquibus tamen in cafibus multo maior fit quae ]^' inde prodit, quod arcus circulorum . maximo- . rum z V A et 2 C per centra Solis et Veneris ex Hhhh 5 puncto 614 DE PARALLAXI. SOLIS. pu»cdo z duci, vt inter fe paralleli confiderentur, ktiamfi enim plurimum eueniat , vt angulus A V C ab angulo V C z non nifi aliquot minutis primis diffrat, dantur tamen omnino cafus, quibus diffe- rentia horum aagulorum, ad plures gradus vsque increfcit , quemadmodum factum effe nouimus pro obíeruationibus contactuum Veneris in ingreffu St. lofephi in California infüitutis , pro quibus fcilicet angulus A V C fere tribus gradibus angulo V C x maior reperitur ; quae differentia omnino maior eft, quim vt eam tuto negligere liceat — Deinde 111? perpendendum eft angulum. A V C adhuc nouam admittere correctionem, quo ad angulum DVC reducitur. Sit enim V A Parallaxis di(tantiae Vene- ris a punco z, CO Parallaxis Solis, ductaque con- cipiatur A D parallela et aequalis ipfi C O et iun- gatur V D. Tum facile quidem patet verum effe- cum Parallaxeos pro loco Veneris immutando, fta- tui debere aequalem lineae V D , id eft fi locus So- lis per Parallaxin nullam. mutationem fubire conci- piatur, intelligendum | eft locum Veneris verum V ob Parülaxin mutari in locum apparentem D. Angulus autem D V C qui aeaualis eft füummae an- gulorum AVCet DV A , nunc multo magis di- Ícrepabit ab angulo V C z. Caeterum obferuari me- retür, quod quum fit DVA:DAV::DA: VD::DA:AV-—DA«::i»:5 proxime, tum vero quoque habeatur ang. DAVZz VzC fatis prope, effe ang. DV C—-VCz-1-;VzC faltem cum DE PARALLAXI SOLIS. érs$ cum praecifione aliquot. minutorum fecundorum ; vnicum fi excipiamus cafüm fupra commemora- tum obferuationis in California fictae , pro quo angulum A V C exactius computare licebit. | Aber- ratio vero ifta pro valore anguli D V C non folum tum infignis eft momenti , quando angulus A V C multum ab angulo V Cz differt, íed etiam iis in cafibus , vbi angulus D V C proxime ad re- &um accedit ; quantilla enim fuerit aberratio , quae tum committitur in valore anguli D V C affignando, illa maximum habere poteft influxum , quando effe- «tus Parallaxeos fecundum directionem V C determi- mari debet; quippe quum reductio lineae V D | ad effectuum íecundum V C, potiffimum pendeat ex co- finu angui DV C, qui pro cafü quo DV C a reco non multum difcrepat , ex leui mutatione ipfius anguli, infigniter immutari poteft. ^ Huius- modi autem obtinent ca(íus pro contactibus in egreffu ad Sinum Hudfonis obíeruatis , erat enim angulus D VC pro his obferuationibus a go" non multum difcrepans. ^ Propter has igitur iam allatas rationes fa&um effe cenfemus, quod Cel. D. 4e /a Lande pro contactu interno in ingreffu Californiae effectum Pa- rallhxeos in tempore inuenerit -j- 18", 1, quem in- venire debuiffet -- 16", 4, contra autem pro con- ta&u interno circa egreffum ad Sinum Hudfonis eum inuenerit -3- 35^", 0, qui tamen füb hypothefi Ele- mentorum .a Cel. de js Lande affumtorum , effe. de- beret -- 38", 9. .Fatéor quidem hos errores. effe exiguos, neque valores Parailaxeos inde multum trs] | reddi "Tab.XVII Fig. 2. 616 DE PARALLAXI SOLIS. reddi dubios , fimul tamen concedendum effe exifti- n:0, quod fi piures huiusmodi errores accuiiulcntur, fieri poffe vt valor medius pro Parallaxi | inuentus faltem 4, parte minuti fecundi a weritate difcrcpet, ]n genere autem tenendum eft, buiusmodi calculos ita infituendos effe, vt quantum fieri pofht, fum- mam prae fe ferant exact.tudinem , ne íalicet pro- pter defictum Theoriae et Methodorum corclufiones reddantur dübiae , praeprimis vbi ob incertitudinem obíeruationum haud leuibus erroribus euadere poffunt obuoxiae. 5. Quo autem melius. iitelipaitug] quae de valore anguli D V C rite determinando fupra mo- nuimus , eadem heic vno obtutu Lectoribus ob ocu- los ponere iuuabit. Si igitur z fuerit punctum vbi reda per centrum telluris et locum obfeérudtoris ducta meridiano occurrit, C locus Solis verus, et V locus Veneris, ductique concipiantur arcus circus lorum maximorum zCO, zV A, capiatur C O aequalis effectui Parallaxeos pro Sole et V A fimili effe&tui pro Venere, tum vero per A duca conci- piatur A D parallela et aequalis ipfi C O et iun- gatur D V. Quod fi nunc locus Solis per Parál- laxin non mutari concipiatur ,. facile quoque perfpi- citur ob effetum Parallaxeos diftantiam apparentem centrorum Solis et Veneris effe aequalem ipfi DC, ideoque effe&um Parallaxeos pro diftantia centro- rum aequari ipi CV—CD-—CV-—AO. Ex iis autem quae füpra attulimus , patet angulum ji VC—DVA UH A V C fore quam proxime ae- qualem DE^PARALLAXI SOLIS 619 qualem. V C z H-z V-z C. - Quodü nunc Methodus communiter recepta pro inueniendo angulo D V C , «eum hac iam -expofita:; conferatur ; facile. patet. in valorem iftius anguli. infignes errores irrepere poffe ; fi calculi ad praefcriptum Methodi vulgaris infti- tüantur, . Praeterquam enim quod in Methodo vul gari loco. puncti z ip(um zenith vfurpari foleat , cir* cui CO, V A wt inter-fe paralleli: fpectari. fo- lent , thm vero denique: anguli B js pilas; plane ; oL T refpectus. -.: 36. 4itera autem eaque pom I2tlO . dnfigsiis E banid , quae inter Auctorum fententias de Pas rillaxi inuenitur , deducenda eft ex diuerfitate iudi» ciorum , quae de. Obferuatioriüm exactitudine et prae» flantià. ferri folent. Quum fcilicet durationes totius tranfitus a Rev. P. He] in Wardhus et Cel. D. Plaunman Caianeburgi obferuatae plus iufto intcr. fé difcrepent ;; Auctores | vnam. vel alteram. harum ob^ feruationum in fauorem alterius , erroris condemnan- dam! effe exiftimarunt ,.licet valde quidem. probabile fit in vtraque. aliqualem . latere. errorem, — Verum enimuero.inftituti mei ratio nunc. quidem non fpo- ftulat , vt hoc ipfum heic exacte demonfirem , fi- quidem de errore harum obfíeruationüm infra füfius agendi dabitur. occafio ; quare charaderes tantum quosdam exponere conducet ,-eX quibus de praeflan- tia obferuat!onum faltem. probabiliter iudicare licet. Primus igitur chara&er. veritatis obferuationum | me» rito habetut , quod momenta a pluribus in codem loco obíeruatoribus , pro contactíbus affignita ; : noir - "fom, XVII. Nou. Comm. liii multum 618 DE PARALLAXI SOLIS. multum inter fe difcrepent ; quamuis enim aliqualis diffenfus ex diuerfo effe&u tuborum et diuerfo acu- mine vifus oriundus omnino admitti debeat, tamen fi is vltra 15 aut 20 fecunda affurgit , ipfam obfer- vationum probabilitatem non poteft non multum in- fringere. — Secundus chara&er veritatis inde deduei- tur, quod fi alicubi contactus tam internus , quam externus imprimis pro egreffu fuerit obíeruatus, mo*- ra inter hos contactus ex obferuationibus talis pro- deat, quae couciliari poíiit cum meníüra diametri Veneris, quam quidem 5*7, 2 effe probabiliter íta- tuere licet , vel faltem nou nifi duabus decimis par- tibus fecundi maiorem. —Terziwz chara&erem veri- tatis in eo merito conflituimus , quod obferuationes in variis locis factae, pro quibus effe&us parallacti- ci non multum diuerfi funt , easdem proxime prae- beant differentias meridianorum inter haec loca, quae iam ex aliis obferuationibus ftabilitae funt. ^ Quum igitur obferuationes Grenouici, Parifiis , Stockhol- miae et Vpfíaliae inter íe comparatae, fatis bene confentiant.et de differentiis meridianorum inter haec loca nullum fit dubium , tuto flatuere licet , reli- quas obferuationes pro contactibus internis in ingres- fu in varii locis Europeicis inítitutas , eatenus pro exactis habendas effe, quateuus cum medio in- ter obferuationes in locis iam nominatis capto bene confentiunt. Pro contactu interno in ingreffü aeque certum veritatis criterium non quidem fuppetit , quum pro Petropoli, qui vnicus eft locus ex iis vbi egreffus fuit obíeruatus , cuius Longitudo pro exacte DE PARALLAXI SOLIS. 619 exacte cognita haberi poteft; ip(ae obferuationes con- tactus interni admodum fint dubiae; verum tamen quum obf(eruationes pro contactu interno Wardhufiis, Orenburgi et in Gurjef inftitutae , fatis bene inter fe confentiant et dubium circa differentias mericia- norum inter haec loca vix quinque fecunda exfupe- rare poffit; etiam probabiliter flatuere fas eft, ob- feruationes quae a medio inter prius nominatas fum- to multum difcrepant pro fufpectis merito effe ha- bendas, et fimile omnino iudicium ferre licet de momentis pro contactu externo, fi eorum compa- ratione facta, cum obferuationibus huius contactus in Wardhus, GurJef et Orenburg inflitutis , ab his multum reperiantur difcrepantes. - 7. Antequam conclufiones quas pro Parallaxi Solis ex tranfitu Veneris deduxi , expofiturus fuüm.; neceffüum omnino eft, vt Methodum quam hoc in negotio mihi fequendam propofui , vberius expli- cem, Inter Varias autem "Methodos , quibus ex ob- feruatione tranfitus Veneris inuefligationem Paral- laxeos Solis fufcipere licet , pro praefenti quidem cafu tutiffima habenda eft ea , qua durationes totius tranfitus in variis locis obferuatae inter fe comparan- tur; quippe quum haec Methodus exacam Longi- tudinem locorum vbi obferuationes factae fünt, non omnino praerequirat. — Hoc igitur modo fi duratio- nes totius tranfitus in America obferuatae tam inter fe, quam cum iis, quae Caianeburgi, Wacdhufiis et in Kola obferuatae fünt, comparentur, certiffi- mae obtineri poffunt conclufiones pro valore Paral- liii 2 laxeos. 620 DE: PARALLAXI SOLIS. laxeos. ; Praeter. hanc autem: Methodum «etiam^ alia - cum. vfu adhiceri poteft ; in eo confiflens; quod du: ratio inter. contactum internum pro ingreffu : alicubi in Europa obferuatum. fimilemque 'contactuni. pro egreffu in alio quodam loco: cognito - fiue ; Europae feu Afiae vifum , comparetur cum Obferuationibus totius tranfitus in America factis. - Quamuis enim conclufiones hinc deductae pro aeque certis. haberi non debent, ac illae quae ex durationibus in iisdem locis obferuatis deducuntur; quum praeter crrores obferuationum , nunc quoque aberrationes circa diffe- rentias meridianorum negotium turbare queant ; quunr tamen pro huiusmodi comparationibus a me inftitu- iis, loca vbi contactus internus in egreffu fuit. |ob- feruatus , fatis exacte fint determinata , cum .praeci- fione. faltem | quinque aut. decem fecundorum ,. dé Longitudine autem locorum vbi conta&us internus in ingreffu fuit obferuatus , Parifiorum. fcilicet, Gre- nouici; Stockholmiae et Vpfíaliae vix vllum fit du- bium et praeterea obíeruationes in his locis factae egregie inter fe confentiant; certo perfuafus fum va- lores Parallaxeos ex his quoque comparationibus eli- citos non multum a veritate recedere poffe. .. Quic- quid tamen fit, eos tantum ad conclufiones prioris generis confirmandas et ftabiliendas adducere: volui. Caeterum in genere quidem hanc mihi praefcripfi legém , vt obfernationes tantum contactuum interno- rum , quoad fieri liceret in vfüm. vocarem ; verum quum Caianeburgi contactus internus pro egreffu ob^ feruari non potuit et aequum mihi vifum non fit, 09k] 4 obfer- DE PARALLAXI SOLIS. 621 obferuationem Caianeburgenfem e numero 'comipára- tionum penitus excludere; pro hoc loco durationem inter conta&um internum pro ingreffü et externum pro egreffu cum durationibus inter cont»s&us inter- nos in America .obferuatos comparaui; tum vero quia obferuationi in Wardhus factae , vbi pro egres- | fü vterque contactus obferuatus füit, fimile ius de- negandum non effe videbatur , etiam fimilem com- parationem pro Wardhus inftituendam effe iudicaui. Vbi reticere tamen non poffüm , valores Parallaxeos ex hoc genere comparationum deductos haud aeque certos videri, ac qui prodeunt, dum durationes in- ter contadus internos inter fe conferuntur, fiquis dem. illi valores propter leuiffimas correctiones Dia- metri Veneris haud exiguam íübire poffunt muta- tionem ,. quod infra quidem euidentius. Ob oculos ponemus. -8. Vt omnes calculos ad fümmam praecifio- nem exigere liceret , elementa Aftronomica faltem quam proxime vera adhibere neceffe erat , ne pro- pter errores in. his Elementis commiffos , eff&us - paralla&ticos a veritate multum | aberrantes. inueni- rem. Sequentia igitur Elementa Aftronomica , in vfüm calculi 4 me fucrunt praefüppofita : .l. Tempus verum Parifinum pro coniun&ione So- lis et. Veneris. Die 8 Iunii. xo". 144 o, : TI. Latit. Veneris Geocentrica hoc tempore 10^ 16". hincque Giftantia minima centrorüm 10^10!. EL. P. YN III. 622 DE PARALLAXI SOLIS. III. Diameter Solis 31^. 51" et. IV. Diameter Veneris 57". 2. Quum autem negare non velim, haec elementa ali- quam admittere poffe correctionem , obferuandum tan- tum mihi eft, quod frimum eorum attinet ,. illud adeo exac&e effe determinatam , ac pro effectibus Paral- la&icis cum, fummo. rigore determinandis requiritur; reliqua. autem Elementa quod conceruit, latitudinem ícilicet. Veneris et. Diametros Solis et Veneris, cal- culos ita. inftruendos effe ratus fum , vt etiam ratio haberetur corre&ionum , quas haec Elementa adhuc admittere poffent, 9. Ad inueniendum effe&um Parallaxeos in tempore feu quantitatem , qua introitus vel egreffus Veneris aut acceleratur, aut retardatur, neceffum eft vt prius cognofcatur effe&us Paralla&icus fecun- dum circulum maximum z V. Notum autem eft . hunc effe&um fequenti exprimi effe confuetum for- mula "M19 "T2b.XVIII (z — 1)7. án. z V. Fig. 2. 1— (7 — 1)m.cof. z V defignante 2; 5 rationem inter Parallaxes horizonta- les Veneris et Solis, littera autem v ipfam Paral- laxin Solis denorinte, in qua quidem formula deno- minatoris; membrum pofterius ob paruitatem fuam tuto negligere licet, . Verum haec formula pro ve- ri Telluris figura fphaeroidica valores exhibere pot- eft Rire Paralla&icorum a veritate baud parum difcre- DE PARALLAXI SOLIS. 623 difcrepantes ; fi igitur pro loco vbi obferuatio. ali- qua inftituta eft,. reca ad centrum telluris ducta fupponatur effe ad radium aequatoris vt c: 1 et Pa- rallaxis Solis aequatorea exprimatur littera T, eX- actior formula qua effectus Paralla&ticus V D cxhi- betur, iam ita erit expreffa G-—1))emfin.z V 1 — (E — x)em cof. z V VD-— in qua denominatoris membrum pofterius fi placet ; vt admodum exiguum negligere licebit. ^ Nullus quidem dubito quin plurimi fiot , qui exactitudinem quam heic fecutus fum pro fuperflua et imaginaria habebunt, immo ipíe primum in eadem fui fenten- tia; poftquam autem intellexi , valores pro effecti- bus parallaCticis obferuationum in Lapponia facta- rum , propter correctionem iam allatam , duobus fe- cundis in tempore immutari, eandem non prorfus negligendam effe cenfui , imprimis quando de Paral- laxi Solis cum praecifione 7, fec. determinanda. quae- flio eft, Porro fatendum tamen eft, valorem íam alatum ipfius V D non omnimode effe exactum, Nam pro fumma praecifione obtinenda , effe&us Pa- Id VA et D A — CO, feorfim ope formu- arum , tT. fin. 2v » em. fin 2 C VALUE T S uq C0Lm- m 1—767. cof. 5 V I—tT.cofí zV funt computandi; deinde vero in triangulo DV A , ex dais VA et DA cum angulo D A V, lor lineae "Tab. XVIII. Fig. 3. 624 DE PARALLAXI SOLIS. linea D V exquitendus. ^ Quomodo autem | diftantia: Veneris a pun&o z fcu arcus z V computari debcat, hoc loco explicare. minus eft necefle; fiquidem is Calculus fecundum varias Methodos iuftitui potelt , intef quas tamen €eà , quam tradit Lilutir. Eulerus in Part. II. Tom. XIV. Nouorum Comment. omni- no quam maxime «expedita mihi videtur, IO. Supra . quidem . iam expofüi , quaenam cautelae obferuari debeant , circa. verum valorem. T £uli D V C definiendum , nunc igitur reliquum | eft vt oftendam , quomodo dato effe&u Parallaxeos V. d et angulo. D V C inueniri debeat effectus poralla&i- cus fecundum directionem V C, feu quod idem. eft CV-—CD. Centro igitur C Bis C D defcriptus intelligatur arcus circuli , qui ipfi VC in B occur- rat et iungatur D B, tum vero in valore pro: effe- &u Parallaxeos V D — V A — CO proxime, pro ud valor eius approximatus fubftituatur , vt habeatur ipfius V D valor abfolutus faltem proxime — verus , hinc autem quaeratur angulus V CD per fequen- tem analogiam : DOC EMI: DVC:Sa.DCV.. Cognito nunc angulo D.C V- dábitur TNI DBC-— 9o —i;DCV, iim ideoque BEC ; VDB-DBC- DVC vel —DVC-DBC, €x quo obtinetur. |. snduted Sag y adl b—-vc-DpDc- je Da 0 A'Y "3385 "x9 DE PARALLAXI SOLIS, 625 vnde fi ponatur ^"vVD-gm, ent V Bs POR Bic. quidem primum obferuare licet , nequaquam necefforium effe, vt valor lineae V B in numceris abfolutis exhibeatur , affumto fcilicet certo valore Pa- rallaxeos tamquam cognito; expreífio enim generalis iam tradita fatis exacta e(t, etiamfi 7 non eundem prorfus haberet valorem ; ac qui pro inueftigando angulo V CD in valore lineae V D fubftituitur, Deiade patet fuperfluam omnioo effe exactitudinem; qua praeícribitur vt angulus V C D inueftigetur cum praecifione decimae partis fecundi quamuis enim valor lineae V B cum praecifione 4 computari de- beat , vehementer tamen falleretur , qui exiftimaret ad hanc exactitudinem obtinendam id requiri, vt angulus V C D vsque ad decimam fecundi partem fit cognitus, cum potius verus valor lineae V B imprimis pendeat ab exa&itudine valoris lineae V D et anguli V D B, cuius anguli certitudo potiffimum - dependet ab angulo D V C, immo füperfluum erit angulum V C D cum tanto rigore definire, quando in valore anguli C V D determinando errores com- mittuntur aliquot graduum. — Quod autem haec ne- quaquam gratis di&a fint, vnusquisque ipfe facile experiri poteft, fi enim valorem anguli V CD in- ventum aliquot fecundis auxerit vel minuerit, ta^ men valorem pro V B inde vix vllam fubire mus» tationem inueniet. "Tom. XVII. Nou. Comm. Kkkk 2Is 636 DE PARALLAXI SOLIS. : rr. Caeterum et fequenti modo inueftigdtio quantitatis liaeae V B fuícipi poterit: ex puncto D in V C demittatur. perpendicularis D & et quum iam. fit V B—VE-LrDBE,tuüum vero habeatur VVE-—VD' CoD VC et ut hie. ME quam proxime , erit omnino iM DE VD(Cu D V c xp rnsaees, fi igitur ponatur V D — Q7, fiet ak vVB-— 8 v (Cof. D V C zE Q m. P ven) 2DC in pofleriori igitur membro vncinulis inclufo, fi pro m valor proxime, verus fufficiatur, iam inno- tefcet valor ipfius V B. In Tomo XIV.'Nouor. Comment. valor ipius V B ' ipfi 87. Cot DV C tantum pofitus eft aequalis, at plurimis omnino 1n cafibus poflerius membrum ex linca B E oriundum non fine metu fenfibilis erroris negligi poteft , im- primis vbi angulus D V C mon multum differt a re&o ; fatendum igitur e(t effe&us Parallacticos. in Tom. XIV. ec XVI. Nou, Comment, allato , le- viores quasdam admittere correctiones. Tab.XVIHL . 12. Poftquam igitur hoc modo valor lineae pe 4 VB inaüentus füerit, nunc effectus Parallaxeos fecun- dum orbitam. Veteris inueftigari poteít, fi «enim centro C radio C B defcribatur arcus circuli, qui or- bitae Veneris in puncto X occurrat et iungatur B X, tum vero ex C in orbitam ducta concipiatur per- ; penidi- DE PARALLAXI SOLIS. 625 pendicularis C.M, quae erit aequalis diflantiae mi- nimae centrorum Solis et Veneris, liquet effectum parallaxeos fecundum orbitam fore —.V X, quem fequenti ratione indagare licet. ^ In valore lineae V B pro 7 íubflituatur valor ad veritatem | proxime accedens , vnde habebitur V C — C.B -- V B, tum vero ex datis VC, BC ec CM, anguli CX M, CV M innotefcent ; quorum differentia et V C X; hinc autem prodit CX B—929 —iXCE,. ao triangulo igitur V B X valor ipfius V X fequenti formula exprimetur : wap diss V p./»vsx fm.V XB? ideoque fi V B ponatur — 89 v habebitur V X — — AY T. fin. VERX * fin. vXB ? quin etiam ex valore ipius VD flatim deducitur | N X [e T. fia.V DB. fin. V BX "'Tab.XVTIY jin.D B V]in. VK B* Fig.3et4 fodécts autem valore fpatii V X, quantitas tempo- ris ipfi percurrendo a Venere impenfi, ob datum motum horarium Veneris in orbita facile eruitur , atque fi hoc tempus addatur. vel fübtrahatur a fa pore, quod Veuus adhibet ad percurrendam: chor- diam X M , habebitur tempus per fpatium V M., 13 Tpdcilé quidcm intelligitur hanc expreffio- nem pro fpatio V M feu pro tempore ad idem per- currendum neccffirio ,— pro fatis exacta haberi non poffe , ni valores linearum C B «t CM bene. fue- rint definiti ; reliquum itaque eft, vt difpiciamus Kkkk 2 quam Tig. 5* 628 DE PARALLAXI SOLIS. quam mutationem fübeat linea V M, fi ipfis C B et CM leuiores quaedam - tribuantur corrcctiones, Primum autem fuppooamus C V inuariatam manere at C M augeri particula C p, ftatuamus igitur cen- tro V- radio V C arcum circuli defcribi , cui occur- rit reca per f ipfi V M parallela in S , tum vero du&am effe S ;z parallelam ipü .C M et perfpicuum quidem. eft ob augmentum C f lineam VM diminui partcala M m — S f, patet autem effe ' Sp:Cp:: Tang. SCp:r::Tangg.CVM:zrz. Maneat nunc porro C M inuariata at diflantia C V incrementum. accipere concipiatur — 4 S^, ita vt ve- ra diflantia centrorum. fit — V $/—VC--4S!, tum vero du&ae intelligantur C S^ et S; | quarum haec parallela eft ipfi C M, eritque in triangulo C45 CS':qS'::x:Cot CS '4z2 x :Co. CV. M, ideoque ! Mm —CS'z4SSe.CVM. Defignemus nunc corre&ionem diflantiae minimae C M littera y, correctiones autem lineae. CB pro contactibus quidem externis littera p. et pro inter- nis littera y, et ponatur valor hlneae V X — «y 7r, valor autem. lineae X M ex aflumuis C B et CM deductus — L, erit omnino verus valor pro linea VM —L--ym-c-yTang.CVM-r-p.Se. CVM pro contactibus externis, pro internis autem VM DE PARALLAXI SOLIS. 625 VM— L 4- y 1—J. Tang.C V M-i-»Se.CV M. - Notari autem conueDit, pro contactibus externis CB aequari fummae femidiametrorum Solis ct Veneris €t pro internis earum differentiae , tumr vero litte- xam L et angulum C V M diueríos quoque adipifci valores prout fiue de contactibus externis feu de im- ternis quaeítio eft. Si nunc z ponatur efle nume- rus, in quem valor ípatit multiplicari debet, wt prodeat tempus quod Venus ipf percurrendo impen- dit , valor corrc&tus pro tempore per lineam V M prodibit cmn r—1Hmy. Tang CV M 4-my.Sec. CV M. -F uu y. Sec.CVM. I4. Si igitur. in eodem loco contactus inter—' Tab. XVIIE nüs tam pro ingrcflu quam egreffu fit obíeruatus ,, Fig. s- quibus obíeruationibus refpondeant loca Veneris vera im orbita V et v, liquet hinc pro temporibus per VM et v M has inueniri expreffiones z "lempus per V M — mL -- mym—myTang CVM -rüuySe CVM "Tempus per v M — m L -4- my'n—myTang Co M | -rmySec.Co M vnde iam» tot» duratio tranfitus huiusmodi formula exhiberi poteft z Duraiio tranfius — e mL --wm—&yM- 8v, vbi * £ et 0 funt cocfficicntes cogniti et determi- nati , haec autem duratio aequalis poni debet ipfi Gurationi obferuatae quam dicamus D. $i nuoc pro Kkkk 3 alio 639 DE PARALLAXI SOLIS. alio quodam loco fimilis duratio tranfitus D! fuerit obferuata eius fimilem quoque exprceflionem inuenire licet, ita vt fit ( vilius ibi iig: cl -- 0 y, fubtracta autem hac aequatione a Wr e obtine- bitur D— pr— (oy 2 (8-020) yp CUERO y qLbPcP.izT yif 15. Quum correctiones y et » fint quam mi- nimae, pro cafü quo durationes inter contactus in- ternos pluribus in locis obícruatae inter fe comparan- tur, valor Parallaxeos ob has correctiones vix vltra . centefimam partem minuti fecundi immutari poterit; €o tamen minus fuperfluum iudicari debet , quod harum correctionum heic habuerimus refpectum , quia fic quidem certifime redcóiti fumus conuici ; ex leui quadam mutatioude valorum pro Latitudine Veneris Geocentrica atque Diametris Solis et. Ve- neris, Paralaxin nullam fenfiblem pati mutatio- nem. Dum vero comparatio inftituitur durationis inter conta&um internum pro ingreffu et externum pro egreffu alicubi obferuatze , cum valore duratio- nis inter contactus internos pro alio loco , inuento , hae correctiones omnino haud contemnendam produ- cere poterunt variationem - in valore Parallaxeos , quod infra dum huiusmodi comparationum attuleri- mus exempla euidentius patebit, Praeterea hoc loco à reti- & DE PARALLAXI SOLIS. 651 reticendum non effe videtur , primo intuitu ineptam omnino videri poífe noftram operandi rationem , qua in valorem Parallaxeos praeter numerum abíolutum binas adhuc incognitas y et v 'introduximus, quum neceffitas non vrgeat, niü vnam earum in hunc va- lorem ingredi. Scilicet quia binas has obtinuimus aequationes : D-—samL--w"2—4y4-6y; pietgértisban in -- à! y videri poteft ex vnaquaque earum valorem correctio« nis y quaeri pofft, quibus valoribus inter fe aequa- tis obtincretur expreffio pro Parallaxi, quam prac- ter numerum abíolutum , non nifi éorre&dio y in- greditur. — Ratio autem cur haac procedendi viam hac occafione eligere non placuit, in eo imprimis fita eft, quod valorem quantitatis 2z7:L etí cx ipfis C B et C M facile deducendum , in calculum introducere plane non voluerimus , quum fieri pos- fit, vt duratio ifta Geocentrica ex calculo deducta cum obfíeruata non conueniat; imprimis fi vt qui- dim- opinantur atmofphaera Veneris aliquem ' habue- rit effetum ad durationem tranfitus. imminuendam. Praeterea. autem ex infra monendis patebit , pro comparationibus durationum inter contactus internos, correctiones ex y et y emergentes conflantem inter Íe tenere rationem. eamque ita comiparatam , vt ea- rum effectus proxime fe inuicem deftruant, 16, Haec igitur et Methodus ad cuius praé? fcriptum calculum Parallaxeos inftituere in animum induxi, vt quantum fieri poffet conclufiones inueni- rem 632 DE PARALLAXI SOLIS. rem certas et éxactas — Inutile autem duco de praes rogatinis quas haec Methodus prae aliis fibi vindi- care poteft, hoc loco multa commemorare; quis- quis enim eam rite examipare voluerit, facile inuce niet vix quidquam ad íumrmam exactitudinem re- quiri, Quum tamen fufpicandi locas fit , id .Me* thodo noftrae vitio verti poffe, quod Analyíeos quandam ípeciem referat, ideoque wt nonnulli autus mant incertitudini et obfcuri tati fit obnoxia , neces- | fum. omnino eít, vt de hoc crimine mentem bre- viter exponam. Primum igitur fateor me valde du- bitare, an demonítrari queat Methodum quaudam ,; eam praeprimis ob cauffam quod Analytica fit , in- certitudini reddi obnoxiam , quum ha&enus omnes Mathematicorum periti , in ea videutur fuiffe opi- nione Analyfia fummum effe remedium , quo pro- blemata etiam Afítronomica expedite refolui poffunt, Porro notandum eft ia Methodo noflra vitium iítud Analyífeos adhibitae in eo confiflere, primum quod eff-ctus paralia&ici generaliter a nobis fint determi- nati, pro quocunque demum valore Parallaxeos , cum tamen in Methodis vulgo adhibitis, vfu rece. prüm fit, vt hi effeus pro determinato quodam valore Parallaxeos computentur , et fecundo quod cor- recionum iflarum y et » refpectum habere non ne- gleximus, Quod pofterius quidem attinet, de eo plura monere heic opus non eft, quum in 8$. prae- cedeuti iam fufficiens 4 nobis allata fit ratio ,- cur has correctiones plaue omittere non voluerimus. De Ls igitur defectu tenendum eft, tantum abeffe , & vt DE PARALLAXI SOLIS. 633 vt pro vitio quodam babendum fit , quod generales expreíliones effc&uum Paralladicorum adhibuerimus Vt potius Methodus noflra eo 3pío facilior, faltem magis directa enadat, quam fi fecundum tritam et vulgo receptam rationem ; in veram quantitatem Paralaxeos per regulam fal(e pofitionis inquiratur, Id autem facili exemplo heic illuftrare. haud pige- bit. Ponamus quantitatem Parallaxeos inueftigandam effe ex comparatione durationum inter contactus in- ternos pro Arce Principis Walliae et Infula Regis Georgii , breuitatis autem gratia confiderationem Correctionum .y et v heic feponamus; quum igitur fit pro priori loco effectus parallacicus ad duratio- nem Geocentricam augendam 24,88."f et pro po» fleriori ad eam diminuendam 84,01, 7, liquet dif ferentiam inter durationes -^obíeruatas 920", 2 effe debere — 108, 89. m, eX quo fit y — 99 — 8/45. Iam penes vnumquemque iudicium efto , an non haec vperandi ratio multo facilior fit communiter recepta, - qua primum per effectus parallacticos ex certa hy- pothefi Parallaxeos computatos, durationes Geocen- tricae ex binis obferuationibus deduci debent, quae fi inuicem difrepent, ex hac differentia per regu- lam trium inueftipgandum eft, quomodo Parallaxis immutari debuiffet, vt iidem prodirent valores pro duratione Geocentrica, — Mihi quidem ita perfüafum €ft, eos Auctores haud immerito taxari , qui in re facillima et fatis obuia operationem indirectam eli- gere praeoptant , vbi facilior et magis directa nego- tium abfoluendi füppetit ratio. Tom. XVII. Nou. Comm. EHI: 17. 634. DE PARALLAXI SOLIS. r7. Quum Methodus a me adhibita poftulet , yt duüratio tranfitus inter contacum internum |. Ve- neris pro ingreffu et conta&um fiue internum feu externum pro egreffu alicubi. obferuata , aequalis po- natur valori eiusdem darationis per calculum inuen- to; primum quidem heic ob oculos ponere licebit valores , quos calculi noftri praebuerunt, pro tem- poribus a Venere adhibitis ad. percurrenda Ípatia VM,«cM, indeque deductis durationibus tranfitus, vbi autem monendum eft, breuiratis gratia quanti- tatem femidurationis Geocentricae inter contactus in- ternos littera T a nobis indigitari , fimiliterque va-- lorem femidurationis Geocentricae | inter contactus externos littera I^ deüignari : Pro. Arce "Principis Walliae ad Sinum Hudfonis. Temp. per VM—T--29,45.7—13,04-- 19,8 7.Y | per v MZT4- 4,57 1—13,41. 20.12. Durat!o obferuata, Durat.Z2T--24,88.1—26,45J-F39,99.. — 5^. 45-23" 741] » Pro Sto. Jofepho Californiae. Temp. per VMZT4- 1,96.1—1 3.34.J/1- 20,06.7 | per v M2 T—33,92.7—13,75J 1 20,34 * , . Durat.zeT— 31,96.71—27,09J-F40409 — DAC ADT UR | ^ Pro Infula Regis Georgii alias Otahitee dicta - 1 Temp. per V MZ T—39,44.7 —13,80./--20,3 8 V 1 pero M ZT—44,5 7.1—13,86 y 20,42 , | Durat-2T1—84,01,* -27,6060./ 140,80. — 5 Pao. 59H D - 1 3 » P | DE PARALLAXI SOLIS, 635 Pro Wardhus in Finmarkia, Temp. per VM-T-i-45,81.1—12,83.)--19,76.V per v MZ T-4-32,06.1—13,20.74-19,82./ | 9Mz T!-E 29,5 1.T—11,92.)-- 19,1 5. |. Durat.-2T--77,87.1—25,87,/--39,58.. — 59.55. 14!l. —T-4-1^r35,3 2.1—24,19J--19;15.p-F 19,82./-6^.11^33^,8 Pro Caianeburg in Finlandia, Temp. per VMZT-F47,47.711—12,84.)4- 19,7 5.Y per vcMz1^-32,39 1—11,90.y4-19, 14. Durat.ZT--T^4 79,86. 1—24,2 4.7419 14-4 19,7 5 — 6 ar, 4vll, 5 Pro Kola in Lapponia Ruffica. end per VMZT-r46,05.1—12,87 )--19,76 Y per o Mz T4-533,12.7—-15,01 y--19,85.7 Durat.Z£ T4-7 9,1 5.1—25,88)--89,599 — 5^. 5l. 1'7!. Quod autem valores durationum obferuatos attinet , notandum eft pro locis Americanis tales a me heic adhibitos fuiffe, qui prodeunt, dum ex obferuationi- bus in vnoquoque loco ioftitutis media fumuntur , pro Wardhus autem eam durationis quantitatem adhibui; quae cx momentis a Rev. Pat. He/] a(fi- gnatis deducitur , praeprimis quum Cel. huic viro nullam praebere velim anfam querendi , quod eius Obferuationem ex víu determinandae Parallaxeos fé- cludam. Porro notari quoque meretur moram Geo- - centricam inter contactum Veneris iiem et ex- ternum a me àdhibitam fuiffe 1:$/ 45^, qualis ni- mirum ex valoribus diametrorum Solis et Veneris hill. atque 636 DE PARALLAXI SOLIS. atque difítantiae minimae centrorum a. me affumtis prodit. 18. Quodfi munc aequationes fupra allatae, mo- do quem in $. 14. defcripfimus inter fe combinen- tur, valores pro Parallaxi Solis inuenientur tales » quales fequens Tabula refert : Valores Parallaxeos ex comparatione obferuationum.. Pro. CE ETE : "Cum Inf. Reg. Georgii[8, 45 — o, O1 1- rtr uoo y Arce Prine. Walliae. 2: Js TES idis Me IE St. Jofeph. in Calif. €. CX: Denies | Waxdlnus vu comede Nt tag (u—6)-eo, 06e Wardhus. 8,59—0.018.9 8,54— 0011.9 1-0 4-1: 94007: Y hz 8» 49 — O: OI. t epa, y: - - Z. St. Jofepho. Californiae Arc. Princ; Walliae. 1 E 60 S Mrs - (Wardhus 8,67—0,021.9—0,.178 ( (ui) -orae (pe Wardhus $,38— 0021.9 - Caianeburg: 8, 60r fy Qd gig -dooneozu SomHo neat Arce Princ, ([8,88—0,011 g2-O6,007.y - .- -. |Wardhus Walliae 8,86—-0,025 4—0O;3 Sz Qe rion Io(u4-v ) Wardhus 8,27—0,025.4 - - -Ciianeburg, 8. ,7I — 0:011.5-3- O, OO8. yv ae X ola. Antequam vero ex his inuentis medium. quendam valorem. Parallaxeos quaeramus , € re eft vt in ge- nere. obíeruemus ,, tutiffimas determinationes et mini- me ex correctionibus. elementorum dependentes eas merito habendas effe, quae ex durationibus inter contactus internos eliciuntur, fiquidem valores coeffi- cientium pro y et v adeo parui fint, vt certum fit .ex iis in valorem Parallaxeos fenfibilem non induci muta- DE PARALLAXI SOLIS. 637 mutationem.- Si enim noftras determinationes quis accomimodare voluerit ad valores diflantiae. minimae et diametrorum a Celeb. 4e /z Lande inuentos, po- nere debebit y — — 2",53 et y — — 1^ 8, ex quo valores pro Parallaxi centefima tantum parte fecundi augentur. Contra vero minus tutae habendae fuut conclufiones , quae obtinentur conferendo: durationes inter contactus internos pro locis Americanis, cum iis, quas inter contactum iuternum pro ingreffü et externum pro egreffu W'ardhufiis et Caianeburgi ob- feruaras effe conílat , quum. leuis correctio diametri Veneris heic infignem producere valeat mutationem. Si enim füpponamus Diametrum Veneris tantum quinti parte fecundi augeri , valor Parallaxeos de- du&us ex comparatione obferuationis ad Sinum Hud- fonis inftitutae , cum fupra di&is Wardhufiis et Ca- Janeburgt factis, iam ,2, partibus minuti fecundi immutabitur. Quamuis autem. fatis probabile videa- tur valorem Diametri Veneris a nobis adhibitum fatis effe exactum , tamen adfirmare non aufim. aberrationem. ; fecundi pro hoc valore admitti nom poffe, prae- primis quum. hoc in negotio maior fit obferuatio- num: diffenfüs, quam: vt cum fümma exactitudine et praecifione. hic valor determinari poffit ^ Quic- quid tamen de hac incertitudine. fit, correctionem (p.— v). pro: euanefcente. habebo, ideoque in fequen- tibus dum. valor medius Parallaxeos inueftigandus eft, omnes correctiones. fupra: allatas plane negligam. 19. Dum ex valoribus pro Parallaxi fupra in- ventis medium exquiri debet, ante omnia noran- Ll111l 5$ dum. 658 DE PARALLAXI SOLIS dum eft omnes conclufiones eiusdem pretii habendas non effe. Probabiltas enim vniuscuiusque valoris merito acftimatur ex quantitate coefficientis pro 7 in illa acequatione vnde hic valor deductus fuit, quas probablitates in Tabula fupra allata numeris 3, 2 et 1 expreflimus. Vt autem hoc adhuc melius in- telligatur , perpendendum tantum eft, quod variatio vnius partis decimae fecundi in valore Parallaxcos deducto ex obfíeruatione Infulae Regis Georgii com- binata cum Wardhufienfi vel Caianeburgenfi , triplo maiorem praefupponat obferuationum errorem, quam fi eadem aberratio produceretur pro valore Paral- laxeos iauento ex comparatione obferuationum Ward- hufienfis vel. Caianeburzenfis cum illa , quae ad Si- num Hudíonis facta eft. Hoc ergo modo omnes noftras conclufiones in tres claffes partiri licebit et ex fingulis medium fumere, tum vero denuo ex his mediis, medium valorem Parallaxeos | colligere licet , refpiciendo ad eorum probabilitates , quae iam proportionales erunt productis ex probabilitate fingu- larum conclufionum in numerum earum. Quae ope- ratio fequenti Tabella exponitur: Prob 58 | 2 Lyj4y 1 qt — 8!., 5 9/8". 4.5/8" 4x. Med. T. Prob. 12..6 .8,52 8, 58/8, 68/8, 49 II. I0. 5.4 8,56 8, 39/8, 67/8, 88 I1. 6..5.. 8,50 8,548, 38/8, 86 Med. med. 7— 8,55 6, 608, 27 : 8, 7r Med. —8,54,8, 56/8, 6o | 20. DE PARALLAXI SOLIS. 659 20. Hanc quidem couclufionem a veritate haud multuin rccedere oporteret, 1i omnes obíeruationes pro aeque certis habere liceret , | vel fi iudicare fas eff:t easdem aequalibus fere erroribus effe obnoxias " quum vero hoc nequaquam locum habeat , fatendum omnino eft, in fuperiori comparatione l'. obferua- tionem in Kola inítitutam cum reliquis eundem certitudinis gradum fibi non vindicare , quia Cel. huius obferuatíonis Auctor de Wiptentis a [íe afl- gnatis afürmauit, eadem tantum aeftimatione | qua- dam definita effe et per nubes capta. Quamuis au- tem hae obferuationes maioribus erroribus non vi- deantur' obnoxuiae , quam eae quae in Caianeburg vel Wardhus inftitutae funt, quum tamen certum fit propter earum aberrationem , errorem in valore Parallaxeos commiffum , augeri, tutifümum quidem videtur has obferuationes feponere. Il. Infra often- demus cum maxima probabilitate vtrique obferua- tioni. tam. Wardhufieni. quam - Caianeburgenfi .ali- quem adfcribendum. effe errorem ,' quum ergo obfer- vatio Wardhufienfis duplici modo ingrediatur inue- ftigationem pro valore Parallaxeos fupra inftitutam liquet hunc errorem duplicem quoque obtinere effe- &um pto valore. Parallaxeos augendo , praeprimis quia. error huius obferuationis in 'conta&u interno pro ingreffü refidet. ^ His igitur de cauffis fatis effe poffumus perfuafi valorem medium Parallaxeos iam inuentum aliquantum. imminuendum effe. —Sepofita autem primum obferuatione Kolae inflituta ;. fequen- tes: bis Parelini deducuntur conclufonss : Prob. 640 DE PARALLAXI SOLIS. Prob 5]. 2 Med. I. Probab. 9. 8/5» Sz 8 »v $45 8l II. $..09; da 8, 59/8, 67 8, $8 Med. med. T8 5, EP Porro & ad Nic iud adhuc imminuendám €x fingulis bínis conclufionibus pro Wardhus medium in calculum introducatur, íequenti modo Parallaxcos valor medius inuenietur ; Prob. 3 | 2 I m — 8, sg sa sli 41 Med. T. Prob. $4 i 3 9,49 8, 3s] 683,49 . ll. 6... 95,8550 EP 388, 87 . 1H. 4..2 8,5t | ]9» 27 27 Med, —: - Med.— 8,49 49 5, 5c 8, 5t 51 Hinc igitur pro Para/exi Sols Borisontàh ao fidbirru dempore: tranfitus adhibere licebit 7 — $8", 5o, vbi ta- men ingenue fiteor me de hoc valore: Parallaxeos adeo perfuafum mon effe, vt negare vellem? eum ali- quot centefimis partibus minuti fecundi augeri vel minui poffe, neque multum repugnibo, fi quis hanc Parallaxiun flatuere welit: 8", 54; vel 8",46 quo- rüm. yalorum pofterior ex- folis obferuationibus Arne- ricanis: dedücitur. —:Grauiífimae tamen effe videntur rationes, quae fuadent Parallaxin nec infra $!", 44 deprimendam effe, nec vltra 8,56 fec, augeri debe— ze, quas ex:fequentibus mclius: perípicere licebit, — Jta , 21. DE PARALLAXI SOLIS, 6p .-* $r. Quum videri poffet me in fauorem obfer vationis Caianeburgenfis pretium obferuationis Ward- hufienfis diminuifle, nunc quidem a me éa remo- verda eft fufpicio , -quod crederem : obfcruationis Wardhufienfis errorem duplo maiorem effe errore j obíeruationis Caianeburgenfis , fi enim errores pro: his obferuationibus tantum ftatuantur aequales; ta- men; effcctus prioris ad Parallaxin plus iufto augen-: dam: duplo maior erit, quam pofterioris ad cam diminuendam , haec ergo praecipua fuit ratio cur ad. aequalitatem quandam obtinendam , medium ex con- clufionibus. pro Wardhus inuentis in vfum vocare placuit. Hoc vero eo tutius facere licuit, quod con- - clufiones ex obferuationibas Americanis deductae qua- : fi pro norma haberi queant , ad quam reliquarüm : probabilitatem exigere conuenit. Quamuis enim non negauerim. "obferuationibus Americanis aliquantillos errores, ineffe quoque: poffe ; eos tamen vltra 5" pro durationis quantitate obferuata increfcere poffe, vix probabile: videtur. ^ Verum tamen Cel. D. de ja , Lande affentiri non poffum , dum contendit obferua- : tionem Caianeburgenfem prae Wardhufienfi. nouies: maiorem fibi vindicare probabilitatem, quum ex füu-: pra allatis" pateat ,' difcrepantiam conclufionum ex. obferuatione Wardhufienfi inücntarum non- effe. nifi: duplo maiorem ea, quae pro obferuatione Caianebur- : genfi fe prodit et fi leuiores quasdam aberrationes in. obferuationibus. Americanis admittere | velimus, : diffenfus ifti ad multo. maiorem aequalitatem perdu- €i poterunt. Si enim fuüpponere vellemus duratio- Tom. XVII, Nou. Comm. Mmmm nem d42 DE PARALLAXI SOLIS: nem pro Arce Principis Walliae 5" effe. augendam , haec obferuatio: cum Wardhufienfi | comparata. praes beret 7 — 8/,78, cum ex eius combinatione cunt Caianeburgenfi fequeretur 7.— $^",18. Simul vera et. hinc perfpicuum. euadit | obíeruationem: Wardhu- fienfem ab omni füfpicione. erroris. nequaquam libe- Fari poffe, vt enim ex eius comparatione cum ob-: feruatione pro Arce Principis Walliae prodire pof fet valor Parallaxeos 8'",6, duratio tranfitus in po- fleriori loco. obferuata 15. fecundis efftt augenda , quod quidem nulla probabilitate gaudet. | 22, Sequitur itaque vt ad praefcriptum regu-- larum $. 6. allatarum ,. probabilitatem. . fingularunr obíeruationum a3 nobis (upra adhibitarum.. fub. exa-. mén reuocemus. . Quod igitur frimum: attinet obfer- vationes in Arce Principis Walliae et St. lofephi- in Califoraia inftitutas ; :tenendum | eft primum | et fccundum, veritatis characterem. iis fatis bene conues njre. Scilicet quum pro: priori. loco momenta a. binis obferuatoribus pro contactibus internis affignata,. pro pofleriori autem. obferuationes a. tribus. obferua- toribus fi&ae, tam parum inter fe difcrepent, vt. maximus diffenfus circa durationem tranfitus ex. ob- feruationibus deductam , feptem minuta fecunda nou. excedat ;. credere. omnino fàs eft, has obferuationes - eíle, admodum: exa&as. Porro. pro Fortalitio Princi- pis. Walliae. etiam fecundo criterio veritatis faltem. quod. obferuationem Cel. D. Dymond. pro. egreffu. at- tinet, egregie. fatisfit. — Pro St. Iofepho in Califor-. nia: lise momenta ; pro. sogtaétu. externo in egreffü [f1 fi IT] 4 a. di- DE PARALLAXI SOLIS. 643 4 diuerfis obferuatoribus affignata non parum diffe- tant, tamen momentum a Cel. D. Cbofpe allatum, pro afit: valore Diametri Veneris, a veritate non multum aberrare deprehenditur. — Quicquid au- tem de conta&u externo fit, fi ad primum verita- tis characterem pro contactibus internis attendamus , fatendum omnino eft, nullam nobis oboriri- poffé füfpicionem , quod vlurü Bofdfü mbmedtordn plus- uam quinque fecundis effe poffit erroneum. — Quumi da inueniatur valorem Parallaxeos ex comparatio- ne harum obferuationnm in America factarum de- wd , maximum effe $",6r, minimum Yero ! $15 iam omnino fatis tuto flatuere poffumus valo- 5i. Puls faltem intra hos limites contineri. De obferuatione tranfisus in Infula Regis Geor- gii. fé ; fateri omnino cogimur criteria veritatis in eam deque bene non quadrare , ac in binas prio- re$ ; pfo contactu enim interno in ingreffu diffenfus inter morriénta Obferuata - vsque ad 2o! affürgit et pro conta&u interno circa egreffüum , bina momenta sfüignata 10^ diferünt. P Olifdfütones abfemi cónd tactus externi in egreffu , adhuc magis dubiae funt , quippe quum in iis faltem pro valore diametri Ve- neris 4 nobis. affuümto , ad minimum errores 8o! deprehenduntur, Hac autem incertitudine non ob- flante, pro valde probabili afferere audeo , duratio- nem tranfitus fupra a nobis pro hoc loco adhibi- tam, quae ex mediis inter momenta otferuata fum- tis deducitur, vix maiorem quam- 5 íecundorum mutationem .admittere.,. cuius affexti. rationes heic Mmmm: expo- 644 DE PARALLAXI. SOLIS. exponere haud inutile erit. — Etiamfi igitur. negan- dum non fit , obferuationibus contactum externorum in egreffü pro hoc loco graues ineffe errores , ta- men aequitas poflulare videtur , vt pro conta&u in- terno eiusmodi adhibeatur momentuin , quo affumto hi errores aliquantum imminui poffunt, wnde pro contactu interno in egreffu vel ipfum momentum a Cel. D. Green afügnatam adhiberi poterit , .vel .etiam, momento a D. Green obíeruato duplo maio- rem tribuendo probabilitatem | prae, obíeruatione. . Cl. D. Cok , momentum medium eligi poterit ,. vix tamen fufpicari. fas eft, verum contactus momen- tum obferuationem Cel. Greez praecedere. Pro. con- tau quidem interno in ingreffü, aut. fimpliciter medium fumendo ex momentis.a tribus obferuatori- bus .allatis , aut obferuationi Cel Greeg duplicem tribuendo valorem prae reliquis , verum contactus momentum faltem fatis probabiliter determinari pot- eft. Quin etiam fi momentis a D. Green allatis tantum acquiefcere. vellemus , durationem . tranfitus pro hoc loco inueniemus , quae a nobis adhibitam non nifi 4 fecundis füperst. 25. Progrediamur nunc ad obferuationes in Wardhus inflitutas et quum de momentis. quae Rev. Pat. He/! pro egreífu adhibenda effe ftatuit (a) nullum nobis obortum fit dubium, quin fatis exacta. fiat ; heic parum. examinare placet momentum. a. | Rev. 9 Videatur. Appendix ad. i ipn Ipfius proanno 1773 (OP PO 43 10. DE PARALLAXI SOLIS 645 Rev. Pat. He// pro contactu interno in ingreffu ob- feruatum, —— Tametfi vero pro obíeruationibus huius contactus in. Wardhus factis , primum veritatis cri- terium locum non habeat, fiquidem obferuationes Pat. Sainovics ec D. Borgrewing 25 fecundis inter fe difcrepent , tamen hunc diflenfüm hoc loco vrge- re nolo, quum Rev. Pat. He eius rationem | nulli Qubio obnoxiam ex diuerío effe&u Tuborum et di- werío acumine vifus obferuatorum , . fe reddere poffe - «onfidat. Difpiciendum igitur tantum eft, vtrum obíeruatio Pat. Hel confentiat cum illis, quae pro contactu interno circa ingrckflum soni d funt in - locis Europeicis cuims fitum Geographicum perfecte cognitum habemus, Grenouici fcilicet , Londini, Oxoniae , Parifiorum , Stockholmiae et Vpfíaliae ? "fabula igitur heic adnexa omnes has obferuationes in fingulis locis fictas et debito modo ad mcridia- num Pariünum reductas exhibui, vbi quidem mo- nendum eft pro obferuatoriis Londinenfibus eas a me adhibitas fuiffe Lengitudines, quas Cel. de /a Lande jn Differtatione fua de Parallaxi Solis nuper edita nec non in füis Ephemeridibus Aftronomicis (Con- noiffance des temps) attulit, pro Oxonia autem Lon- £itudinem a me affümtam fuiffe 14^ 19" a Parifiis . Occid., tum Vero pro Stockholmia 1^ 2! 55" et pro Vpülliae 1.1574" item a Parifiis Oriental, qui fcilicet Longitudinum valores pro his locis , ex ob- ' feruationibus Fclipfium Solis Annis 1764. et 1569 | facis, proxime deducuntur. — Has autem determina- tiones faltem pro Stockholmia et Vpfalia adeo exa- Mmmm 3 étas 646 DE. PARALLAXI SOLIS. &tas effe perfuafus füm , vt maiorem quam düorum aut trium fecundorum mutationem non admittant. : Nomen loci et Obferuat. "inlObferuat. ad m Ó Mie locisi ierid. Parif, Nomen loci et- |Obferuat. in (Obferuat. aó Obferuat, . j|fingulis locis|merid, Parif | redu&tae Ww - ae, | redu&ae. " Grenouici wp : T2 Hitchins .| Hornsby 3^. 24l. ya ; 38. 31" Heift 58/.55!| | Clare .24.28|. 38.46 Horsley 58.43| Syke | 24«22|. 88.40 Dunn Shuckburgh || 24. 25 |. 38. 43 Dollond 58. 55| Nikitin 24.16| 38.534 Nairne 58. 35 |Williamfon| |. 24. I1| 39.29 Maskelyne 58. 38 | Horsley 24. 28| 38-46 Londini Stockbolmiae |. i" Aubert 39. 55| Wilke $5, 4x. 45 | :.3f Canton 38. 47 JWargentin. 41.47| 38.47 Hirft 88. 5o | Ferner. 41.48]| : 38. 48 Bewis 58. 46 | Vpfaliae | ERSTE Parifiis | . Bergman |. 85. 40..9|..88 47. Bernoulli 38. 57 | Melander | 40.12| 38 50 Meffier 39. 45 | Profperin | 40. 12]. | 38. 50 Duíéour |. . 88. 43]. Uoienum 40.15. 89 53 Caffini de Thury, | 39 55 med. |7^. 5 !. 43" Maraldi 1 |. 99, 50 "Wir rdbus «| afa e cote Bory : 58. 474 i - FO EU Fouchy | 89. 4] PI Hell. 9 34^ 117. 88. ?9 ds Caiewiurg | »:Difienf. x* -Diffenf.| j$ sno ido, olg. audi ood DE PARALLAXI SOLIS; —— 6ày Heic autem primum obferuare conuenit Longitudi- nem pro Wardhus a Parifiis a me affumtam fuiffe: 1^. 55, $^, quum Rev. Pat. He// eandem adprobare videatur, ex obíeruatione Eclipftos Solis A. 1769, eandem inueni 1^5 55/6". vel 7", qua igitur in- vfüm vocata diffenfus momenti a Pat. He// affignati a reliquis foret 12", Pro Grenouico. quidem binas: obferuationes Cl. D. Hitcbins et Duns excludendas: effe cenfüi, quod a medio inter omnes obferuationes: pro hoc loco , fümto, vltra viginti fecunda difcre- pent, quum tamen reliquarum quinque obíeruatioe num diffeufüs decem fecunda mon fuperet. ^ Obfer- vationes autem Oxonienfes eam imprimis ob ratio» nem attuli , vt. pateret me in hoc examine infti- tuendo nullo praeiudicio effe occupatum , quum: ín ter obíeruationes Oxonieufes. binae fit ,' quae. cum. momento Rev. Pat. He// optime confentiunt. — Im- mo ex magno numero obferuationum — pro contactu hoc interno quarum copia adhuc fuppetit , nonnul« Jae quidem inueniuntur , quae obferuationi: Pat. He. fauent , fimul tamen certum eft , ex obferuationibus: heic exclufis , quintuplo maiorem effe numerum ea«: rum, quae momentum a P. He// affignatum erroris: arguunt , quam quae illud abfoluunt. ^ Verum. tae men plures obferuationes: heic congerere neceffe; non: erat , quum id mihi propofitum fuerit: obferuationes: tantum confülere fa&as in eiusmodi locis,. quorum: Longitudines Geographicac exacte effent cognitae. Certum igitur eft, obferuationem Rev. Pat. Hed pro contactu interno in ingre(fu a reliquis: optimae" ^ notae 648. . DE PARALLAXI SOLIS. notie obíerustionibus. Europeicis per^ medium t4: vel r2 fec. difcrepare. | Quae difcrepantia vtrum ex : errore. quodam. obíeruationss Wardhufienfis originem ducat nec ne definire nolo ? Si enim Rev. Pat. Hel. rationem excogitare -valeat ,^ qua fua obferuatio cum . reliquis fupra allatis coaciliari poífit , id quidem .me aegre non fereute fiet , donec autem id factum füe- . rit , fine aliqua offenfione Rev. Pat. He// diffenfum . ' huac,; nomine erroris in fequentibus vt et hucusque . feci , indigitabo. Indubitata tamen hinc fequitur con- . fequentia., pro valore Parallaxeos inueftigando mo- . mentum a Pat, He// affigoatum nequaquam vt vnice . exactum in vfüm vocari debere , quum in aliquali . obferuationum diffenfu , regula ab Aflronomis prae- . fcripta de medio fuümendo , vt tutiffima ratio verita- . tem proxime attingendi ; refpici debeat, 24. Simili. modo nunc obíeruationem — Caiane- . burgi pro contactu externo inftitutam füb examen reuocare conuenit ; vtrum cum reliquis contactus ex- . terni in egreffuü obferuationibus confentiat , nec ne?. Quamuis autem hoc examen aeque certum haberi ne- queat , ac illud quod pro conta&u interno ingreffus iam . in medium protulimus , quum de Loagitudinibus loco- . rum non nifi cum praecifione 5 fecundorum perfua- . fi effe poffimus, valde tamen probabiliter hinc col- . ligi::poteft obferuationem Cel. P/emzan in.defe&tu . peccare, quum. omnes reliquae obíeruationes eam : hoc refpe&u erroris arguant. In hoc autem exami- . De abfoluendo omnia momenta. obíeruata ad Meridia- num DE PARALLAXI SOLIS. 649 num Petropolitanum reuocare placet ,. in quem víum Longitudines locorum fequentes a. me | adhibi- tae fuere ; Petropolis a Parifis z^. 32/. Caianeburg db sd Wardhus PME Gurjef — 3. 18. Orenburg. now eros Pekin | 7. 36. Pro Caianeburg quidem Gurjef et o" Orient. 41 Orenburg Longi- tudines adhibui , quas ex Eclipfi Solis Anno 1:769, elicui vid. Tom. XV. Nouor. Comment. , nifi quod Longitudinem Orenburgenfem $ fecundis auxerim, vtrum autem haec Longitudo adhuc zo". augmen- . tum admittat , valde dubito ; faltem ex obfcruatione Ecipfeos Solis jn Orenburg facta , id nunquam pro- bari poterit. Tom. XVII. NonComm ^ Nann Locné 650 DE PARALLAXI SOLIS. Obferuat. ad Merid, Petro- Locus et. |. Moment. —-i:Nomen Qb| Obferuat. feruat, pol. reducta. Warabus | Borgrewing 15^. 45. 39! 1 5^, 45!. 16, à P. Hell 45. 44 43. 22. P. Sainowics ^ 45. 45. 43. 29. Petrotoli "i P. Stahl... [. 43. 14. Lexell 493. 24. Euler 43. 3I. P. Mayer 43. 41. Gurjef Lowits I7. JI- 6.|. 49. 22. Orenburg i Krafft Ir7. 23. 24. 48. 32. Caianeburg Med, [157 43'. 25! Planman 15. 32. 27.] 43. 7. diffcr. |. — ri8!, Quamuis hinc pateat obferuationem | Caianeburgenfem à reliquis per medium $^ differre , tameu in eam procliuior fum fententiam , ipfum hoc medium 3 fecundis a veritate aberrare poffe, ita vt error ob- feruationis Caianeburgenfíis circiter | 15" — aeftimari queat. Sed de abfoluto valore huius erroris folliciti non fumus, fufficit quod generaliter euictum dede- rimus iftam obferuationem erroris cuiusdam fuípicio- nem haud effugere poífe. lnterim tamen fi quis ! "f01 orrihes DE PARALLAXI SOLIS. és: omnes reliquas obferuationes pro contactu externo in fauorem obferuationis Caianeburgenfis pro erro- neis declarare velit , ad eum conuincendum fequens proponere licebit argumentum vix vlli exceptioni obnoxium. — Notum eft Cel. D. Rwwovski in Kola non obíeruaffe contactum externum , certo tamen vidiffe quod hic conta&us tempore r5^ 55' 31". nondum tranfiiffet ,. comparetur igitur hoc momen- tum cum obferuatione Cel..P/anman íaepius comme- morata et inuenietur differentia meridianorum inter Caianeburg et Kola 21^ 20", quae tamen ex obfer- vata Eclipfi Solis tantum habetur 21! 1", Longitu- do enim Kolae a me inuenta eft 2^ 2/ 42!. Etfi iam concederem verifimile effe, vt Longitudo pro Kola 10" fit augenda , eaque pro Caianeburg forían 5 fec. minuenda ; quum tamen ex altera parte pro- babiliter concludere licet ; verum momentum con- fa&us externi pro Kola faltem quinque fecundis fe- rius incidiffe quam momentum a Celeb. Rumovski notatum 15^. 55/. 31'; fatis omnino certe colligere poflumus obíeruationem Cel. P/zmman pro contactu externo errori ad minimum 1o" effe obnoxiam. Id eaim vnusquisque facile concedet , multo magis pro- babile effe , vt Cel. P/ammam pro conta&u externo errorem comimiferit decem | fecuadorum ;, quam vt obferuatio Cel. Rumovski pro fine Eclipfeos Solis , ex qua fcilicet Longitudo Kolae deducta eít , integris viginti minutis fecundis fit erronea. 25. Refpectus itaque fi habeatur horum erro- rum , quibus obferüationes in Wardhus et Caiane- Nnnn 2 burg aw DE PARALLAXI SOLIS. burg factae , obnoxiae videntur, perfpieuum fane fiet valorem medium Parallaxeos, quem fupra elicui , fumma gaudere probabilitate ;; vt eius veritas tamen co magis confirmetur et ftabiliatur ,, nunc haud in- congruumr erit exponere , quinam pro: Parallax: iu- veniantur valores, fi iuxta modum $ 7. expofitum obferuationes in diverfis locis pro ingrcffu et egres- ^fae factae inter fe combinentur, indeque deducti va- "P'ab.XV II Fig. 4 lores pro duratione tranfitus per chordam V Mv, comparentur cum durationibus tranfitus in America obferuatis. Pro contactu autem interno ia ingreffu, adjhibebimus obíeruationes Grenouici , Parifiis, Stock- holmiae et Vpfaliae factas , et pro contactu interno in egreffü obíeruationes Wardhu(iis , Gurjcf, Oren- burgi et Pekini inflitutas , quas o'ones ad meridia- num Parifinum reducemus , adhibitis differentiis Meridianorum iam fupra expofitis. ^ Hinc vero fe- quentes eliciuntur valores temporum per chordas VMetovoM, vbi maioris compendii cauffa corre- &iones y et v iam prorfus omifimus. Temp. pr V M — — Obferuatio ad Merid. Parif. reducta Pro: Parifiis —'T--49, 79.-T . 7.88". 45!! Grenouico | —T-r249, 709.7 58. 39 Stockholmia — T 4- 48, 94.7 58 54 V pfalia —'T 4-48, 89.T 58. 56 ; Oxonia —T-449,657 "7.38.41 vbi DE PARALLAXI SOLIS. 651 vbi notandum eft, a me in vfum vocata fuiff mo- menta a Celeb. Viris Mafkelyne , Meffier ,. Wargen- tin Bergman et Sykes , obíeruata. Temp. pr vM Obferuat, ad Merid. Parif. reducta Pro Wardhus -— T-r32,06.-T | 13^.32. 17" P. Hell Guref | — T-r45,41.0- ^ 13. 34. 12 Orenburg — T1 -r 43,77. 7 33. 56 Krafft Pro Gurjef quidem momentum medium , inter ifta , quae a Cel. Lowits et Cl. Inocbodzow athenata ha- bentur, in víum vocaui, "Vt autem melius intelli— gatur quomodo comparatio fupra commemorata in- füituenda fit; id vnico exemplo usd s faffüciet quum igitur fit , Temp. per V M Parifiis — T 4-49, 79. T Temp. per « M Wardhus — T -- 32, o6. m €rit Temp. per VM 9— 2 T-- 81,85. 7 — 5^. 53! s^, quod fi nunc haec aequatio combinetur cum illa pro Infula Regis Georgii inuenta : 2T — 84,01. 7 — 5" 30, 3^, 5, inde prodibit 165, 86. * — 25. 25! s — 1408", s, ex quo fit T — 8,49. 26. Valores ígitur Parallaxeos per combina. tionem obferuationum füpra allatarum inuentos, íc- quend Tabula ob oculos ponere. fufficiet &- iNnnunus Valo- 654 DE PARALLAXI- SOLIS. Valores Parallxeos ex. comparatione obfer- vationum pro Infula (St. Iofeph. Arce. cum R.. Georg. Prin. Walliae | 2 49 8! 53 2 E Grenouico 8, 54 8, 59 8, 69 Stockholmia $8, 48 8, 52 8, 54 X pfalial." 85.457 8, 50 8, 5I Oxonia $8, 52 | 8, 58 8, 66 Gurjef et Parif| 8, 5o 8, 54 8, wg Grenouic 8, 54 8; 59 8, 68 Stockholmia $8, 49 | 8, 53 8, 55 Vpfalia| 8, 48 8, 51 8, 55 Oxonij| $8, 53 8, 58 8, 66 Orenb. et Parif| 8, 49 8, 52 8, 55 Grenouico| 8, 53 8, 58 8, 65 Stockholmia| $8, 48 8i gx 8, 2B Vpíalia| 8, 47 8, 50 8, 50 Oxonia| $8, 52 8, 56 8, 65 Si nunc ex valoribus his mediis; fingulorum pro- habilitates refpectiue proportionales aeftimando nume- ris 3, 2, 1r, medium fumatur; prodit valor medius Parallaxeos ' 8", 55 citcitet , vnde conclufio noftra füpra inuenta egregie confirmatur. Videntur autem conclufiones heic inuentae eo maiorem mereri fidem, quod optime inter fe confentiant. 27. In eorum gratiam , qui modo vulgariter recepto valorem Parallaxeos quaerere praeoptant, ef- fectus DE PARALLAXI SOLIS. 655 fecus Paralla&icos pro fingulis obferuationibus. qua» rum in praecedentibus vfüm fecimus , fub hypothefi Parallaxeos. 8", 5 computatos , fequenti Tabula ex- ponere iuuat, vbi contactus internos pro ingreffu et egreffu numeris 1I. et 11I. refpectiue defignabo, exteraum autem pro egreffu numero IV. indigitabo: Effedus Paralladtici fub DIRE Parallaxeos $", 5. Cont, II. |Cont. Ti Cont. IV. Arx.Pr. Walliae4- 4^ 10",34- — 38",8 St lofephus |p 16,74-4.48, 4 Infula R. Georgiii— 5. 35, 2--6: 18, 9 Wardhus — 4-6. 29, 44— 4. 32, 5|— 4^. xol, 8. Caiasburg [6,43,5- - -|74.35,9 Kola --6, 31, 4|—4. 41, 6 Lutetia Parif.--7, 3,2|]- - - - Grenouic. H-7, 2,5] - - - Stockholmia H-6. 56,0- - - - Vpfaia 6. 55,6|- - - - Oxonia H-7. n9b| -* - - Gurjef -- --6. 26,0| | piens - 0-2 -2j—6.312,1] | I : 28. Antequam vero iam ad conclufiones no- firas finales progrediamur , haud practer rem erit ; fequentem heic.adponere Tabulam , qua valores pro duratione Geocentrica ex variis hypothefbus Paral- laxcos deducti répracfentantur : : Duratio 656 DE PARALLAXI SOLIS, Duratio Geocentrica pro hypothefi Parallaxeos , | .St. Ilofephus Inf. Reg. Georgii Wardhus Caianeburg Kola W ardhus. . Par. Grenouic, Oxonia Stockhol mía V pfalia Gurjef . . Parif. Grenouic, Oxonia Stockholmia V píalia Orenb. . . Parif. Grenouic. Oxonia Stockholmia V píaliaj TL 8l. 28 ]p.-5 nen HD Lo — gll, RO ce z— Bl, $0 — — gli, Jo Arx. Pr. Walliae5^, 4.14. 1 5 7^ ash iL Motor 41 E 2 |". 41! 4.9!!, 5" E aal. 4:7", 46,4| | 49,6 52; 8 56,9 : 40, 8 49; 2 57,6| 42. 6,0| 42 42.27; 7] 42. 19, 9| 42. 12, 1 X 4I. 41. 55335 7| 41. 4757| .41- 89 7| 41. 85 7 42.20, 1|. 42, Yo, f] 20251452 56,83 42. 12, 6 4,5| 41.56,3 48. 1 19; 4 11,2| 42. 9,0 $459 18, 1 9,8 1,6 555 1c, 7 2,6] 41.54,5 46,4 (9,51 J, 0 52,9 44, 8 16,6 2» 3 57,6 48,1 23,6 14,1| 49. 4,6 55,0 22,2 12, 7 3, 2 53,6 14,9 5; 41. 56,0 46,6 1354 ED 54.4 5 45,1 34. j ibis 55,7] 46, 3 21,1 118 42. 2,4 53,1 19; 7 10,4 1,0 51,7). 12,4 3,2| 41.53.9 44.6 10, 9 1,6 E 42,1 29. Ex iis quae in ritis fufius difpu- tata fünt, fequentes nunc deducere licet conclufiones: I. Parallaxin Solis 8", 5 certe effe maiorem, mi- norem tamen quam il z Il. DE PARALLAXI SOLIS. 651 Xl Cum fumma probabilitate flatui poffe, valo- rem fParallaxcos etiam 8^, 4 fupergredi, nec tamen ad 8^", 6 increfcere. III. Valorem Parallaxeos Solis aequatoreae teme pore tranfitus , fatis exacte definiri per 8", 50, nec vllam tamen abfürditatem inuoluere , fi hic valor tribus aut quatuor partibus centefimis fe- cundi augeatur vel minuatur. Quod primam harum .conclufionum attinet , füffi- ciet. tantum heic oftendere Parallaxin $^, 3 certo efífe maiorem , fimilia enim incommoda quae valo- rem Paralaxeos $",$ premunt, ctiam pro valore $',7 (e produnt 1. Igitur quum valor Paral- Jaxeos 8^", 5 tantum €X comparatione obferuationis Caianeburgen(is cum illa ad Sinum Hudfonis facta, deducatur et fupra oflenfum fit, durationem tranfi- tus pro Caianeburg , quindecim , vel ad minimum decem fecunlerum augmentum admittere ; inde fa- cile colligitur ex comparatione ifta maxime erro- neum. prodire Parallaxeos valorem , quinque enim fecundorum augmentum in duratione tranfitus pro Caianeburg , in. valore Parallaxeos augmentum 5 fe- cundi producit. Il. Si admitteretur valor Paral- laxeos 8^, 53, ftatuendum effet, aut durationem Geo- centricam ex obíeruationibus ad Sinum Hudíonis et in Caianeburg factis, elicitam effe veram , aut eam pro confenfu cum reliquis obferuationibus America- nis obtinendo , aliquantum effe minuendam. Si prius, duratio tranfitus pro Infula Regis Georgii affigna- Tom. XVII. Nou, Comm. Oooo ta (698 "DE PARALLAXI SOLIS. "ta 16' effet augenda, duratio autem pro St. Jofe- "pho Californiae 1o! augmentum pateretur , quod pro infigni abfurdo habere licet. Sin autem. pofterius flatuatur., obferuationes pro cgreffu in. Wardhus, Gurjef, et. Orenburg factae, praeter omnem Dto-." babilitatem | redderentur Bit pngae , lam enim pro duratione Geocentrica 5^ 414. 5-!, obíeruatio Ward- hufienüs pro egre(lu faltem , 16", Gurj:fuenfis 2o! Orcnburgenfis 17" fierent erroneae , fi igitur in du- ratiorde pro tranfitu St. Iofephi in California obier- "vato error 5" admitteretur ; omnes errores fupra. al- lati adhuc $^ augerentur. Quod autem in obferua- ' tione Gurjefüenf error 5o vcl iu Orcnburgen(i 24^ deprehenderetur , ne minimam quidem habet veri- tatis. fpeciem. ^ IIF. Fx valoribus pro duratione Geocentrica fub hac hypothefi Parallaxeos | inuentis , liquet maximum eorum diffeofum vsque ad 45^ affüurgere, quae aberratio etian fi per quatuor mo- menta obferuata diftribuenda videatur, tamen pro abfurda haberi meretur; demonftrari enim poteft in- ter quatuor huiusmodi momenta, bina faepius | dari in quibus maiores quam quinque fecundorum erro- res fufpicari non licet. 1V*. Obferuationcs Petropo- li pro contacu interno factae hinc vno minuto pri- mo fierent erroneae, qualem errorem ipfis ineffe nobis quidem perfuaderi non poteft. —Fatemur qui- dem has obferuationes erroribus 4o fec. effe obno- xias; maxime tamen iniquum effe arbitramur , eas- dem erroris integri minuti primi arguere velle , et füfpicio Cel. 4e /« Laude in Differraatione Eius de Paral- DE PARALLAXI SOLIS. ^ 639. Pàrallaxi , de errore obferuationis Petropolitanae pro- .. lata omni deflituitur verifimilitudine ," quod quidem. hoc modo facile euincitur. | Supponamus in affignaa- . do tempore Penduli, errorem integri minuti, primi . pro contactibus internis Petropoli effe commiffum ; . flatuendum igitur erit, aut momenta pro contaci- bus externis integro minuto quoque «eíle mutanda, aut eadem | quemadmodum .- prolata funt, recte fc habere. ^ Prius autem abfürdum effe per $. 24. euincitur, pofteriori igitur fuppofitione adoptata mo- - ra inter binos conta&us fiet fere 19/, quae certe iufto maior eft, 30. De /ecunda conclufione . noftra. tenendum eft; eam praeprimis inde confirmari , quod l, va- lores Parallaxeos ex comparatione. durationum ad Sinum Haudfonis et in California deducti , continean- tur his limitibus 8", 55 et 8",61, vnde maxima cum probabilitate colligere licet Parallaxin | 8",40 fupponi debere maiorem. Il". Obferuationes, Ward- hufienfes et Caianeburgenfes vtcunque inter fe | infi- gniter difcrepent, tamen cum obferuatione fuper In- .fula Reg. Georgii comparatae ,. valores praebent pro Parallaxi , qui proxime circa hos limites 8", 4 ct $" 6 fubfiflunt, vnde quum vtraque obíeruatio fal- tem decem fecundorum- corre&ionem admittat, fum- ma probabilitate gaudet Parallaxin. inter hos gqeeté ! $/, 4. et 8,6 contineri, praefertim quia in dura- tione tranfitus;;pro Iofula «Reg. Georgii maiorem quam quinque fecundorum. errorem. fufpicari. fis non eft. 11] Maximus diffenfus: inter valores duratio- Oooo?2 ni$ 660. DE PARALLAXI SOLIS. nis Geocentricae pro hypothefi Parallaxeos. 8^, 4. ad 30" affürgit, quem adhuc pro nimio recte habere licet , praefertim quia cafus dantur vbi totus hic. er- ror in vnica fere obíeruatione , Gurjefuenfi ex. gra- tia, effet quaerendus. ^ Pro hypothefi Paralaxeos. $6 diffenfus non: habebitur: nifi 50", qui ex ob- feruationibus in Wardhus et Caiàneburg factis. pro— dit; quum: igitur hunc errorem in. fola. obferuatio-- ne Caianeburgeníi quaerere non liceat ;; fed. certum: omnino fit obíeruationem: R. Pat. He// a fufpicione: erroris liberari non poffe, inde inferre poffumus Pa- rallaxin quoque 8", 6 effe minorem; t 31. Denique Zertizm noftram | conclufionenr quod attinet, argumenta pro ea demonftranda. repe- tere , heic eo minus e(t neceffe ; quod ex. disquifi- tionibus noflris fupra inflitutis euidenter: pateat Pa- rallaxin Solis flatui poffe quam. proxime — $!, 5o: vel fi placet 8"; 53. Dixi autem. me: non repue gnante pro Parallaxi adhiberi poffe 7 — 8", 46, quia: hic valor ex folis obferuationibus. Americauis. inter fe comparatis colligitur , et quum obferuationes ad: Sinum Hudfíonis et in. California factae fingularia: prae fe ferant veritatis: criteria, in valore Paral- laxeos determinando, illis- merito. infigne tribuendum: eft meritum, Eo- tamen. non. obfílante:,, fortiores: omnino: nobis. videntur effe rationes, quae Parallaxim: $', 46: aliquanto maiorem- effe vrgent, quam: quae in huius valoris fauorem adduci poffunt et valor quidem a nobis adhibitus: 7: — 8",.5o obferuationibus. Americanis tam bene fátisfacit , vt: maiorem. con- | | fenfum DE PARALLAXI SOLIS. 661 fenfum defiderare non poffimus. Erit igitur nobis -Paralaxis Solis borizontelie aequatorea pro tempore irasflus — 8",50 ex quo illa Parallaxis aeguatorea; quae diflantiae mediae Solis a erra conuemit , prodi- bit 8",65 wcl fi potius Parallaxi Polari vti placet ; ila inuenietur 8" , 59, fub ea fcilicet hypothefi, quod radius aequatoris fiatuatur effe ad (íemiaxem telluris vt 20* ad 200. Limites autemr intra quos valor Parallaxeos ^ Solis mediae cadere concipien- dus e(t, fttuere licebit 8", 59 vel 8^,67, faltetra idem iiltra 8^ 53 et $',69 | prorogari non poffe videntur. 32. Nunc quidem obícurüm fud effe poteff, quid de valore Parallaxeos a €el. de /7 Lande in— vento flatuendum fit, maxime fcilicet probabile: effe;. quod is iufto minor fit et quidem: a veritate: cir- citer decima parte fecundi difcrepet. — Atqui de hoc errore in determinatione Celh. de /z Laa4e. commis- fo, multis heic agere füperfluum foret ,. fufficiet nobis oftendiffe hanc determinationem eo minus pro vera haberi poffe, quod valores Parallaxeos ex fim gulis obferuationibus a Cel. hoc Viro deducti, haud parum a veritate recedant. — Sequen:i igitur Tabula valores pro Parallaxi tam a Cel. de Je Lande inuen- tos; quamr veros fimul confpectui exponamus : Wardhus , Caisneb. — Arx. Prin. Walliae — St. Iofeph C. Ih Land. ver. C. ]a Land.vev.. C: 1a Land ver. |C. a Land , vet. rx.Pr.Wlliae| 9,08 |8,98 8.49 8,4r . "T St. lofeph| 8, &r |8,80| 8,43 8,52 8,56 [ | R. Georgii 8,72. 8,72| 8,52 8,53, 6,55 |3,609| 8,53 858,56. Qooo 3 No- 6625 DE PARALLAXI SOLIS. Notandum autem eft. valores pro. St. lofepho non prorfus eosdem heic occurrere, ac quos fupra $. 18. inuenimus , partim. quia nunc cum Cel. de /a Lande momenta pro ifto loco a Cel. Cbafpe obíeruata - in víüum vocauimus; partim etiam quod effectus Paral- rallacticos a prioribus aliquantum —diueríos adhibui- mus; heic enim eiusmodi effe&us Parallactici adhi- bendi fuerunt, qui Elementis a Cel. de /; Lande affumtis conuenirent, Ex Tabula vero heic allata facile colligi poteft , quod feclufa prima columna, medium ex reliquis foret 8", 54; tum vero fimul patet con- fenfüm obferuationis Caianeburgenfis cum Americanis tantum non effe ac fibi perfuafit Cel. de /z Laude, ideoque obferuationi Caianeburgenfi prae Wardhu- fieni nouies maiorem probabilitatem tribui non poffe. | Aberratio autem ifta in determinatione Cel. Viri commiffa , potiffimum orizinem ducit , ex ipfa Methodo ,. fecundum | quam computum fuum infti- tuit; fcilicet pro contactu interno ingreffüs ad Si- num Haudíonis obíeruati inuenit effe&um - Parallaxeos -1-.4.. 9", 8, quem inuenire debuiffet —- 4^. 6^, o , pro contactu autem interno egreffus -1- o^ 37, o, qui eft -- 38", 9. Propter hos autem effectus | Pa- rallacticos licet non. multum a. veris aberrantes fa- &um e(t, vt Cel. 4e ja Lande ex comparatione ob- feruationum in America factarum inter fe, iuflo minores inueniret valores Parallaxeos ; contra vero €x comparatione obferuationis Caianeburgenfis cum .. .. illa ad Sinum Hudíonis faca valorem iuftlo maio- rem , quae quod fatis exacte confentiret , cum binis. reliquis .iDE PARALLAXI SOLIS. 663 reliquis valoribus ex obferuatione iffa Caiancburgenfi dedu&is , inde C«l. Vir ftatim collegit fingularem iftum coníentum . obferuationis Caianeburgenfis cum .Americanis , certifimo effe indicio valorem Paral- -laxeos mediae a fe bene effe determinatum. — Nunc vero fi calculos fuos. pro effitibus Parallacticis. mo- - do commemoratis rite examinare velit, fimulque ea expendere quae fupra de errore obíeruationis Caiane- burgenfis adduximus ; non dubitamus quin facile con- cedet valorem Parallaxeos a fe adoptatum | augmeu- tum admittere , falt:m fateri cogetur computandi Methodum a fe adhibitam a fumma exactitudine et praecifione multum diflare, 53. Quod Parallaxin Solis cum aliqua latitu- dine definiendam effz cenfuerimus ,' nemo mirabitur , cui in mentem venerit obferuationes | Aftronomicas , perinde ac quaatitates Geometricas pro abfolute ex- a&is hab:ri non poffe. ^ Omnes igitur illi Paral- laxeos valores vt probabiles fpectari merentur ,. qui- bus melioris notae obíeruationes imprimis America- nae pro Sinu Hudíonis et Sto. lofepho , non vltra - 5 fecunda redduütur erroneae, ^ Neque certo qui- dem determinare valemus , quousque limites Paral- . laxeos mediae prorogari poffint, interim vti. fupra jam innuimus , probabile nobis videtur hos limites vltra 8",57 et 8'",69 extendi non poffe. Ratio .autem huius noflrae affertionis fequens e(t: Ex com- paratione obíeruationum in Lapponia factarum cum .ila pro In(ula Regis Georgii, patet, quod nulla habita. ratione. correctionum . quas obfíeruationes ad- mitte- 664 DE PARALLAXI SOLIS. míttere poffuut, limites ipfius v fint 8", 49 et 8! £9. Conf $. 18. ^ Qaodf nunc in vtraque obferuatione Wardhufienfi fcilicet et Caianeburgenfi error zo fe- cundorum admittatur , hi limites fient - — $8", 45 et 7 — 8',55, quumque fieri poffit vt in duratio- ne pro Infula Regis Georgii incertitudo adfit 5 fe- cundorum , exiflimauimus fine errore pro Parallaxi media hos praefcribi poffe limites 8", 57 et 8", 69. Vtrum vero determinatio Parallaxeos Solis ex no- viffimo tranfitu Veneris deducenda tantam admittat- praecifionem , v€ dubium centefimam fecundi par- tem non füpergrediatur , iure meritoque dubitamus. Scilicet ad tantam exactitudinem obtinendam omning requireretur , vt durationes in Infula Reg. Georgii , Caianeburgi et Wardhufiis obfernatae non plüs quam duobus fecundis effent incertae, talem autem prae- ciüionem ne fperandam quidem fuiffe cenfcmus. Fa- temur igitur valde dubia nobis videri, quae R. P. Hel in Opufculo de Parallaxi Solis profert, de praecifione Parallaxeos, quam ex obferuationum in Wardhus et fuper Infula Otahitee factarum | compa- "ratione deduxit, — Etfi enim R.. P. He// concedere- mus obferuationem Wardhufienfem ne vwno quidem minuto fecundo erroneam effe, tamen nullam con- cipere poffumus rationem , cur P. He// eandem ex- actitudinem tribuat durationi pro Infula Reg. Geor- "gii inuentae. ^ Recordari enim debuiffet momenta contacuum pro hoc loco adhibita , non effe obfer- vàti, fed per medium ex obferuatis deducta ; quum igitur vnius obferuatoris momentum multo magis sm efie DE PARALLAXI:. SOLIS. ^ — 66g effe poffit erroneum «quam alterius, liquet; omnino de duratione pro lnfula Regis Georgii aliquam re manere incertitudinem. : Porro :etiamíi. Rev. Pat. He/l largiri. vellemus;momenta. haec. pro 1nfula. Reg. Georgii veritati: perfecte «confentice ;; tamen minime inde fequeretur;ex hac ob(íeruatione et Wardhufienfi valorem. Parallaxeos- cum | praecifione centefimae par- fis fecundi cognoíci; hoc enim concedi non poffe videtur antequam. a..-Rew. .;Pat. He// demon(tratum fuerit, obferuatorem füper Infula Regis. Georgii con- füitutum ,' qui .cum. Pat. He// eodem: acumine vifus gaudens , aeque. fortem ^ adhibuiffet ; Tubum ;ac: quo R. P. .He/ vfus ett, haec -praecife: momenta | pro cou- iactibus-ioternis. vsque &d praecifionem : duorum fe- -undorum: inuenire debuiffe;;; quae ex momentis re- *éra obfíeruatis medio | capto. deducuntur. -.. Denique fi :excobíeraatione; Rev...P.. He// exacte: fequatur. Pa- xallaxis media 8/, 7. quemadmodum ipfe 'contendit fcire. quidem optaremus an idem valor Parallaxeos ex. Sociorum .Ipfius obíeruationibus deduci : poffit. et Quaenam momenta: pro lafula Reg. Georgii adhibere debeamus , .vt- obferuationes |R. P. Sainouics et / Cl. Borgreuing , cum moments a P. Hell: queas pent fecte. conciliari: queant. ? | 35. Antequam huic .de Parallaxi. Solis FROM fitioni fnem imponamus, .haud inutile. erit olten- dere quales prodeant: obferuationum ^ correctiones ex hypothefi- — $'; 50; hünc aurem in finem neces- íum eft, vt primum duratio Geocentrica pro hac hypothefi determinetur , tum vero inde deducatur z* Tom, X VII. Nou. Comm. Pppp tem- 666 DE PARALLAXI. SOLIS. tempus medii tranfitus pro loco quodam cognito ex. cauffa Lutetia Parifiorum. | Si igitur ex valoribus Durationis Geocentricae. pro. hypothefi *r — 8", 50. 6. 29. allatis ,; medium, fumatur,' habebitur. duratio Geocentrica inter conta&us internos: 5^. 41^. 57", quam tamen in fauorem obíeruationum ja America fa&arum ftatuere licebit. 5P, 41^. 56! , ita vt femis- fis huius durationis fit 25.50//58". . Quodfi nuné (Tab.XV!II Fig. 4. tempus verum contactus interni pro. Parifiis 'flàtua- tur. 7^. .5 8. 45 et refpe&us habeatur effe&us Paral- la&ici, qui pro hoc contacu eft -1- 7. 5", 2,- pro- dibit tempus verum medii tranfitus Parifinum 10* 56. 44"... Quoniam. vero haec determinatio dubia videri poffet , fi duratio Geocentrica aliquot fecun- dorum. mutationem admitteret ,; vel momentum cone» tactus interni pro Parifiis a nobis non rede effet ftabilitum ; hoc tempus medii tranfitus etiam alia - ratione inueftigabimus, ^ Conferamus fcilicet obferua- tiones pro ingreffu Parifiis, Grenouici , Oxoniae Stockholmiae et Vpfaliae factas, cum obíeruationibus pro egreffu in. Wardhus , | Gurjef et Orenburg infti- tutis, indeque obtinebimus non folum ' valores tem- poris a Venere impenfi per chordam VM « ex ob- feruationibus deductos, fíed etiam differentiam tem- porum per VM , v M ex effectibus parallacticis de- ducendam, vnde fingula tempora per VM et 9o M determinari poffunt, quo ipfo tempus medii tranfi- tus fponte innotefcit. Facta autem huiusmodi com- binatioge , fequentes inuenimus determinationes : pro tempote vero medii tranfitus Parifino: — 4f ^ff1293 ? ! (103 DE PARALLAXI SOLIS. 667 ex Wardhus et Paris 19^. 56/46! 'ex Gurjefet Paris 10^. 56!. 44! ^Grenouic. ^ ^ ^ 48 Grenouic. TYN. *- 'Oxonia 00004945. Oxonia 46,5 -'" Stockholmia 47 — «: Stockholmia 48,0 Vpfilia 48 V p(alia 49 med. 10.36.45, med I0. 56. 47 ex Orenburg et Paris. 10? 56/, 46! Í "Grenouic, ..- 2091.1 ^" Oxonia 43:5: Stockholmia. . 19.495; 3 Vpfalia c 48 )211-. 1f! med. 10.36.4555. Hinc ex omnibus medium fomendo , prodit tempus medii tranfitus Parifinum 10^. 36'. 46! , quod tan- tum duobus fecundis a prius inuento diffrt , quare fine errore fenfibili vt fupra pro hoc momento ad- hibere licet 13. 36.. 44/. "Tempore autem medii tranfitus inuento, nunc etiam Longitüdines locorum 'i^dà- America: determinari. poterunt , indeque vera con- ^ taduum momenta inueftigari. Pro Infula Regis Georgii ftpponamus vera momenta contactum, fuis» fe, 215 44.. 9. pro conta&u interno in ingreffü , et P 14. 6! pro contactu interno in egreflu, quae. fcilicet inneniuntur fi obferuationibus Cel. Greem prae reliquis ibidem factis duplex tribuatur probabilitas , hinc igitur erit tempus per V M « — 5^. 30'. 4" et differentia temporum per MV, M*— 44", ex quo deducitur tempus medii cranfitus pro hoc loco 1 Ppppa o^ 29 LocusObferu. fece Otahitee |10^* 7*. St. Jofeph. 7. 28. Fort.Pr. Wall. NWardhu: Caianeburg Kola| Lut. Parif. Grenou Oxonia Stockholm. 668: DE PARALLAXI SOLIS. G^, 29, 26! , ideoque; Longitudo" -eius;; occidentalis a Parifiis-105; 7:18"; quad& vero fimpl«iter. ex:mo- mentis obíeruatis) mcdias íumantur, prodibit | haec Longitudo! 1o*. 3. 16" de:qua difcrepantia non ,mul- tum Jaboramus.' 'Similiteg pro reliquis locis; .Ame- ricanis tempora medii tranfitus— indeque Longitudi- nes locorum: deducuntuf j^ quos calculos heic recen- fere fuperfluum effet. — Pro locis : aurem , Europeicis ex cognitis Longitudinibus.locorum , primum; tem- pora medii tranfitus determinauimus , dcinde ; vero ope durationis Geocentricae. et. effe&uum. | Parallacti- corum , vera momenta contaduum pro fingulis lo- cis elicuimus, | Conclufrores-autem- ipn iam fuccin- &e feti repraefentábimüs. "Tabella z- Longitud. a a Temp. 4d Kt Mcm. (sow n bs "Cor ^ Mem. Cor. - Parifiis. tranfit, idiot Cont. H. i Mg peine i| Cont. IV. Oteidi) - «7 Op 231 P D mé 'S^atfohagtat as raa ja s^ "à "a 5^. Jjéri) 4zibisz 48.40. «| Qe, 37. 25k. Lr Bebo pona NETS, 14. s 19. 8e om 15. 22. P 75 L2 ai up Tem Odebt| " ^ - 430 7 OPES ,OH dà zl I, $9. 8:905) E873 de $2/, 50 9/134:25 23 |15« 27. 23e ax |r5^ 45* 44". I. 4I 41&/29/40412£6118425-0315. | 99:139 42091 |. iam | dM 35s 32.41 qi md 112: 39. 26. : 9. 4I. 57. | 35. 35. 6. TEE 6«.:: 16s) ER TO. SOrTe m 7 "agi qe Wr [ei Oihooqazr denda o. 9.16 Occ. i0. 2228/12233 7,0 29428» — (17 772 5$ nu o. 34. 1i p || uos erpuioss- Basin 25555 ZLIBDI IL T NA ia 53« Oris 39: 37 eudiboctlade ea doni "uini s5iList FX. /3. INEO (Er C E . 49. 4- "m ^m xg.342 "^ V ROOUOPM?TS - 92 o * 16. 52€48..— (I7. r1.6 ; 8 81 1G. n 7:54xr i owe tos Sit. veg Ze 23.22 X2o.UàIZUNUOMGMU vq daumneocunio itis mb bu "rm £OCXq GUDHHLBBO IUD S91 0122. 193102B ib gip SQE SU £03959 - Probe "E id. 2 DE PARALLAXI SOLIS; 666 Probe .;autem heic notandum. eft; haec momenta cor- reca tautum: valere :fub- fequentibus hy pothefibus , 1: quod Parallaxis fit^ $^, 55 T. dinde valor dura- tionis Gcocentricae aequetum 5^ 41'.56" ,. vbi. qui- -dem vix duorum fíecundorüm error metuendus eft; III fi. témpus obferuationis Pariünae a. nobis recte fit :affumstum ; quod. omnino fumma gaudet probabi- litate, couf.:6:/ 2585; IV. quod —Longitudines loco- ruüm::a: nobis adhibitae fint. exactae ;' id autem.de plu- rimis; valere nullum eft dubium ,.. V^, denique quod "Diameter "Weneris: fit . 53, 2,. nam hac Diametro Er , momenta conta&uum- externorum : muta- ri quoque debent. - Conclufiones igitur heic allatas non quidem. pro: varitutihtié apodié&tis : venditare. au- deo ; vnius wel alterius fecundi: aberrationem ;. luben- ter admittens, praeprimis quia valorem - Parallaxeos » aliquantula; parte: augeri. vel imminui poffe iam con- cefferim , vtrum ' vero: hae determinationes. aliquá gaüdeant probabilitate vel minus, peritis harum re- rum: iudicibus: ;dijüdicapdum | relinquo. . Id certe a me impetrare nom potui, vt contra omnem verifimili- tudinem , in fauorem vnius obíeruationis , omnes re» liquas erroris accufarem , vel vt crederem quempiam Aftronomum:. vteunque exercitatum aliqua infallibili- tatis; práérógatiua prae caeteris inftru&um effe, 5. - 25 35. Stabilito. valore, Parallaxeos;, de: correctio» nibus Elementorum Aftronomicotuni. quae | adhibui mmus , pauca adiicienda reftant. - Quod igitur primum attinct.tempus verum coniunctionis Solis et. Vene- ri$; id.ex témpore medii tranfitus jam. inuentu de« br Ppppsa3 duci- 670 DE PARALLAXI SOLIS, ducitur , fübtrahendo 25'. 41", lita vt hinc conftet coniunctionem Solis et Veneris — tempore Parifino. vero! D. 9$. lun. 1369. xo, 14^. 5", quod momentum íàltm cum praecifione trium aut qua tuor fecundorum pro exado haberi debet. 1I". De latitudine Veneris Geocentrica ex durationibus tran- fitus nihil certi definiri poteft, nifi quantitas diame- tri.Solis exacte: fit definita, ^ ')Obferuationes autem Mücrometro: obiectiuo fa&ae circa diftantias margi- ium. Solis:et Veneris; probant diftantiam. minimam ceatrorum Solis et. Veneris; pto hypothefi Diametri Solis :51^.:51/; ftatui debere | o^. xo" wel xo^. 9", conf. Tom. X VL: Nouor. | Comment, , ; nihilominus tamen: fatendum eft , his valoribus: pro; diametro So- lis .ec|diflantía: minima centrorum ,: in víum. vocatis, - prodire: durationem Geocentricam ' 5". 45! 6", quae ab ebíeruata. faltem 10". differret. ^ Verum Cel. de 4/4 Lande vt huiusmu.; :nfuüm tolleret , : diametrum Solis:adhuc :$; fecundis diminuendam effe contendit , quae diminutio fi. admittatur, nullum: eft. dubium «5 walor diftantiae minimae ex obferuationibus :du- rationumr,. perinde. ac ex menfüris Micrometro ca- ptis, prodeat ro^ $^, ita: vt. hoc modo perfectus ha- rum; obferuationum :confenfus obtineatur:'' Licet vero hanc diminutionem: plane: negare: non füftineamus , maior tamen effe videtur ," quam ^vt admitti: queat , nifi menfuris'actualibus: Micrometris inftitutis plenius confirmetur, Quare dubii omnino fümus, an non potius affenfüs praebendus fit eorum fententiae , qui eoatendun atmofphaeram Veneris aliquid. contuliffe , : : j 1 ad DE PARALLAXI SOLIS. 67t ad durationem tranfitus inter contactus internos coar- €tandam , praefertim | quum .ipfa phaenomena circa contactus internos in variis locis obieruata , hanc opi- nionem haud parum confirment. Diflantiam igitur centrorum minimam tantispE; 10/.:9/ ftatuamus, do- nec eius quantitas exacior argumentis indubitatis ftá- biliri queat ; hinc autem fiet Latitudo Veteris Geo- centrica tempore coniunctionis ol. 15! 7, 'vnde ;de- imum deducitur Latit, Venéris. Heliocentrica pro 49- &n tempore 4^4", 9, quumque locus 'coniurictiónis fit 2*1 oin m. habebitur locus: nodi "Veneris 2*, 14^. 36!. 25!. I. Quod diametrum - Veneris attinet , perfuafum eben mihi habeo cam. $5", » ftatui poffe aequalem , neque tamen abfurdum aliquod implicaret ,' fi decima vel quinta parte fecundi au- geatur , tantus enim eft diffenfus obíeruationum pro mora Veneris inter binos contactus externum ét in- Tum, vt praecifio maior quam ; fecundi vix fpe- "queat. Valor autem hic diametri Veneris ex - xx dnd Micrometro. obiectiuo factis , tam: ij tran- fitu Veneris A. 1761, quam pro Long » dri: me confirmatur. 56. Hae igitur praecipuae "hA sedititicubk, quas hoc loco de Parallaxi Solis proponendas habui, quasque iam Le&orum in hifce rebüs peritorum exa- mini et cenfürae libenter íübmitto. Cum fümma autem confidentia affeuerare audeo, me in hac inue- ftigatione vbique veritatis amore ductum füiffe , qua- re fi in ratiociniis a me' allatis vitium quoddam for- fan. irrepferit , id ex praeiudicio quodam originem non 672 DE. PARALLAXI. SOLIS. non.ducere , ipfe mihi conícius fum. . Tametfi vero rationes a me allatae , mihi quidem fàtis perípicuae et euidentes. videantur ; facile quidem praeuideo. illas eum ífucceffum non .effe;habituras, ;.vt Auctores. qui de Parallaxi Solis diuerfas a mea. fouent opiniones; conuincere valeant... INeui enim. mentes hominum ita effe comparatas , vt a fententiis femel receptis rece- dere non velint. ^ Nec hac di(quifitione eum. mihi propofui fcopum , wt-aliorum. fententias. refe]lerem Ícd vt intelligatur haud leues fuiffe rationes, quibiis . inductus in Tomo XVI. Nou. Comment. Parallaxin Solis mediam $8", 68 effe (latuebam: ^ Denique fi quis fuerit , qui oftendere. valeat aut Methodum a me ad- hibitam effe vitiofam , aut. in, calculis meis. infignes latere errores ,. aut conclufiones inde deductas effe falías; de eo commonefactus, .non folum errores meos Áponte confitebor , fed etiam valorem Parallaexos heic adoptatum minus recte fe habere agnofcam. | Sin au- tem id a nemine praeflari poterit, in ea. quidem conftanter permanebo fententia, valorem Parallaxeos mediae contineri faltem inter gl 51 et 8", 69, fatisque probabiliter ftatui poffe 8/65, aliis tamen. liberum relinquens de Parallaxi pro lubitu iudicandi ; ;' nec enim eam mihi vindicare poffum auctoritatem , vt hunc Parallaxeos valorem non folum. noftri. aeui Af(tronomis, fed. etiam. pofleris. adoptáudtima et. ad- probandum obtruderem. yntso3hac costth bae a (3 ODBSER- coe Co.) $e 078 ot OBSERVATIONES aid ASTRONOMICAE -PETROPOLI ANNO 1772. INSTITNTAE. Auctore 31m o£ TM s TDBCDUUTAUE phloLOEEPS)H TOR uoc. wSTEPHANO RFPMOVSKL ^» x ESI iy 5 ELI 6c0r19] fr ED TUUS LES a Tulii Imm. I. Sat. Iouis ^ 10" 39/.6!. Obeniadio inftituta eft a Viro Cel Lexejl Mfie 2 . Iulii Imm. 1L. Sat. Iouis Focn fereno ^Satéllitis lumedü diminutum ^ r1»*. 3o. 1 hs 7? Satellitem perdo ex confpectu . gt. 19, ^Rurfüm micare videtar i i A5 X Prorfus difparet - 45. e Eadem 1mm, obfervata et aA D" Lese! 32 2 ai. 1 1/, Ex quo apparet momentum , quo mihi $a- (qm rürfum. micare jest dot nón nifi fallaciam opticain fuiffc. L Die € ub Imm. I. Sat, Iouis coelo fereno ^ Lumen. Satellitis imminutum. á LS LE 4.5!l, Satellitem difficile ohipicid UN FIT MER Prorfus difparet — 33. 20. - .Eadem a D" Lexell erai ett 15. 33. 38. "Die. mmÉé Imm, Ll. Sat, louis . 15. 28. 26, Obferuatio peracta eft a. D" Lex : 5: Tor. X VII. Nou. Comm, 'Qqq4q Die 674 OBSERVATIONES Die i; $jj Em. IL Satellitis Iouis v. 24! oll. Itidem a D"? Lexe/l] eft. obferuata. Die X. Sept. Em. Il. Satellitis Iouis Satellitem primum «conípicio; ^ 12. 32. 43. Pariter cum reliquis lucet 44. O. In hac obferuatione ob coelum nubilum non Sa- tellites modo, verum et ipfe Iupiter non diftincte fuit confpicuus', ita vt Satellitem pluribus minutis fccundis tardius mihi fefe obtuliffe exiftimem. Die 4. Sep. Em. II. Sat. Iouis coelo ad Satelles prodit ex vmbra 9*. 45. 35l. Aeque ac reliqui lucet 2 «X 43. Eodem die Imm. IV. Sat. Iouis | d Lumen Sarellitis diminuitur I0. 17. O. Jam aegre coofpicio ^. —— ^ 20. O. Immerfio totalis | 21i. $0. -Eadem a D'^ Lexell obferuata eft 1o. 21. 7. Obferuationes a Viro Cel Lexell infpecula in- feriori , meae vero in fuperiori inflitutae. funt; illae tubo Gregoriano duorum circiter pelum ,. hae vero tubo achromatico Dollondiano 3; circiter r pedum tri- plici lente obieciua inítruéto. Obferuatio Eclipfeos Lunae, . we — Die i odd ih s Ty ' Huic phaenomeno Cel. Lexell et ego disdem in locis, in quibus fupra relatae obferuationes. infti- tutae funt , ipe rS / leifium PETROPOLI INSTITVTAE.. 6375 Initium Eclipfeos obíeruare non licuit. . — «Lexell ... Ramovski. Vmbra ad Ariftarchum -UL UBI 3o! Ariflarchus immergit — - 5^. 46. 38' 15. 4.5. 55. V mbra ad Copernicum 5. 5I. 31s o.] Copernicus immergit ^ LEN rm. Vmbra ad Tychonem eir 45:58: E5- "Tycho immergit | 3. 54. 92i 3 Heraclides immergit LL L3 T-b- Vmbra ad Infulam Sinus mediió. o. 3916. o. 4o. Vmbra ad Archimedem Archimedes immergit Helicon immergit Infula finus medii immergit . Vmbra ad Platonem "Vmbra ad Manilium y Manilius immergit lato immergit l pe » Menelaum Menelaus immergit "VWmbra ad Fracaftorium "Vmbra ad Plinium Vmbra ad mare Nectaris Plinius immergit Fracaftorius immergit. Mare NeGaris. Ammergit. » 6. 1*7. 56. ——— ad Petauium -———-. ad Langrenum Meffila immergit "-JAMirAd. — Qq44 2 Vmbra 6976 OBSERV. PETROIOLI INSTITVTAE. Lexell |. Rutmovski. NL 20 29'. 14". | (65.21'/3o^| '.32:..5. Totalis Lunae Immerfio. 6.57. 0:|6. 37^ 9 Ex. pott. immerfionem coe, | Ju teet lum fit nubilum, poftquam ve ro nubes difceffere Eclipfi ad fi nem vergente fequentia inomenta fucre obferuata. Vmbra àd mare Crifiuu Totum. in. vrobra (78 mo Mare Humorum. emergit. aere Menelaus ex vmbra PEEL TUN does Plinius emergit LION DUM Pceffidonius emergit 9. 8.22 ]- - - Mare ncé&taris totum 2 extra... 9. 14. 0.|9- 14. 57- Promontorium Ss. vmbram| 14.82. |i— :—— Mare Crifum emergit ssE*. 22. |9.. 19. 20. | MareFoecueditatis totum extra 18.974 — —- Mare Crifium totum. dide 21.48.|.| 22. . 0. Finis ipe E 9. 26.32. 9». a 37: -Momenta ie obferuata. funt. tubis. To ollondianis trium- circiter pedum Sume lente sicci gau- Henne ee35 (0 ) cipe 623 - DETERMINATIO . LATITVDINIS ET LONGITVDINIS - QVORVNDAM SIBIRIAE LOCORVM DEDVCTA EX OBSERVATIONIBVS A D' ISLENIEFF INSTITVTIS ANNO 1770. Auctore STEPHANO RFMOFSKI, [it Cl. Iobannes Islenieff , antequam inter in Mol- . 9 dauiam ingrederetur , transmifit ad Academiam Scientiarum 1mp:rialem diarium obferuationum , quas ex lakutk redeens pro definienda pofitione quoerun- dam Sibiriae locorum inftituit ; operae pretium ita- que facturum me exiftimaui , fi potiores earum vna cum confecariis vfuüi Geographico infeiuient.bus - hic exponerem. ! Obferuationes in Bernaul inftitutae. ... Quadrantis ad altitudines |obferuandas. adhibiti verificatio hic non eft inftituta ; interim tamen, pro "wt infra videbimus, errorem quadrantis ab altitudini- bus obferuatis fübtrahendum tuto flatuere poffumus 5! 42^, &undem nempe qualis in Iakutsk fuit re- portus, b uL m r Hi Qq445 Alti- 678 DETERMINAT. LONGIT. ET LATIT. Altitudines Solis meridianae. Alüt.limb. O| Error Ded. Olis Obferu| Superior | Quadr. Auftr. 1. lan.|15?. 48/43 | 1$ 4:45 "1— 3'^cx0"^; 5,— 16.18", 3|21*. 6. 20 53?.20. 9,8 8 5$. — .|15. 10. 18, 5]. — - |—3. 8, 8— 16. 17, 8/20. .$4- $9» 5,53. 19. E. "6 7. — 16. 33. 43. | - - [|—73* 25, 4716.17, 7|20. 31v. 8, 6|53. 20. 11; az 3. Febr. 2O- 18.12, 5| - —2. 25, 6|— 16. 16, 116.46. 6,553. 20. 4. 7 : 20. 39.5597] mw: 10] B.037 i| 16.15, 8/16. 28. 32, 2,53. 19- 56, € 5 Febr. 22. 25.52. |— 5.42 |— 2. 10. '— 16. 14, 7|14- 36. 19,5]$3. 19. 55, 3 : edium 53. 20. I. 2s Bsjicido Altitudines Stellarum fixarum. Dies | Nomen Altitudo | Error | Retr. |Decl.ad diem| Aberr. Nut Latitudo Obíeru| 95tell. merid. | Quadr. | Bradl.| obferuat. | ? IAM. . ^. [an. Capella - 82?.30/.23/4,5.—5'.42/|— 8", |45?.44/.28" 4 — 6',41— 0'^,3539.20*. 1^ 45- 44. 28, 2|H- 6, 6—0, 3/53: 19. 57, 5 45. 44. pu 7; 6— 0, 4/53. 19- 49, 2 7, 4[T- O0, 753. 19- 49, 7 — J|Capella —|82. 30. 27 - 21 . Ian. - peb.|-apella ||82.30..36,5| 7 - — le Perfei.[75: 99 44835 — |Capela 82. 30. 34, val €9 "IO » s D NI x [] |] 3 E Ds] 2 Ll o e La NO [a Ie [*)] t ! 1 l oo M EN ad ES p M on 4s |t. — [| Perfi 75. 5.93. | -. - |—15.1|39. 19. 33, €|-- 7, 3[H-O, 7/53: I9- 45» f — apella |2..30.32, | -. 7 [- 8. [43:445 28, s|H- 7».8/—0, 453. 19. 53» 1 Bore | am | verfus - ede 7 j 19: or. | Draconis 77. $9. 39, 5| -. - [|-—12, |65.28.46. 8|[—18, 8|—4, 0/53: 20. 10, $ s Draconis81I. 23. 504 51 8,7]62. 2.17,21- 9, 7|—O; 1/53. 20. 16, 2 T7 07777 Medium | 53. 19. 57. Hinc fequitur Latitudinein Bernaul flatui P, TO- tunde 55*. oo*. Pro definienda. ^. v huiüs loci occur- runt in Diario binae fequentes obferuationes. Die f. Ian. Imm. I. Sat. Iouis 185. 25/. 52/l. t, v. Ventus tubum agitando obíeruationem hanc reddidit dubiam. Die QVORVNDAM SIBIRIAE LOC. 679 Die 77 V5. Imm. I. Sat. Iouis | 165. 36!. 36!!, t. v, Obf:ruatio ob lumen crepuículare ad pauca fecunda dubia. Deficientibus | obferuationibus correfpondentibus non aliud füpeteft quam vt [mmerfiones obíeruatas cum momentis e Tabulis depromtis comparemus. Prior collata cum momento tabulari dat differentiam meridisiibrüm inter. Lutetiam Pátifiórum cet Barnaul -5*..14^. 35! , poflerior vero 5^ e4'. 19". Vnde per- fp.itur in alterutra obferuatione: latere errorem. 1o min. primorum; vtrum vcro prior peccet in de- f:&u , aut pofterior in exceffu ex obferuationibus in aliis locis inftitutis erit decidendum., ^ . Die; E vin obferuata eft dcclinatio acus ma- epiilcie 2'. 45! verfus orientem. Obleruationes in Fortalitio Smeinogorsk inftitutae. ' Die 53. Febr. obíeruata cft maxima altitudo limbi Solis fuperioris 29*. 27^. 36;/; vnde pofito er- rore quadrantis — 5^, 42", Refr. i! 4i!!, parali. 7, 5 ? Diam. Olis 16. 11^, 6: fic maxima altituco Cen- "a .Olis 29. 4^, 8^, » ; Pufita longitudine huius fta- tionis a meridiano Pari(ino computata 5^, 2o! habe- . tur Declinatio. Olis 9'. 46*. 24^, 8 Auflr. . Vnde com- , plementam altitudinis. peti 30. 59". 33^, ac ipfa Po- di altitudo, prodit |.5 1^. 9!. 27". Eodem die obferuata: eft maxima €" Re- uia 37. 1^. uU quac errore pror) — 5!. 4oll, "12 Refrat, 680 DETER SINAT. LONGIT, ET LATIT. Refra&,. — 44,5 correa fit. 51. 55. 20", 7. 3: Yero Declinatio Reguli. ad d:em ob(crpajiouis 13. 5'. 6, 4. Aberr, — 6/, 8. Nut. — 6^, 8; Hinc. De- clinatio Reguli apparens ad ;;. liche 13. 4h53 52 Bor. , et altitudo Poli concluditur ,5 1*. 9. 824/.. Die :5 Febr. obfíeruata cft id maxima limbi Olis fuperioris 29*. 49. 38", quae errore qua- - drantis — 5/. 4a, Refra&. — 1/. 59", 5, parall. 4- 5",3 correcta fit 29. 42/. 25, 7? : Et cum ; Diam, .Olis 6t x6. 11/, get AES g^. 24!. 18", 7 Avr prodit altitudo Poli 51*. 9f. d 14 Eodem die jhindo maxima. 6. Geminorum obferuata eft 67^. 24^. 47", 5 , cui applicata corre- &ione quadrantis — 5*. li Refra&, — 23',5 fit altitudo correcta. 67. 24^, 24", ^ Cum vero pud tio. 6. Geminorum ad diem Obferuationis fit * :85'. 48, 3. Aberr. coat Nut. — 4, $ erit clinatio ftellae apparens ad ; Macs 28. 33^ 44! * 'et altitudo Poli quaefita. 51. . 9. 20, P oo dri .Vnde fumto medio obtinemus Latitudinem. or talitii Smeinogorsk. 51*..9'..27" fiue. rotunde 5 1.. 9j. Pro longitudine bsc flationis - vnica tiani jnftituta eft obferuatio die 52. Febr. Imm. T. Sat. To- vis 167. 46! 44! c v. ER ero eadem juxta 'Ephe- eicon ^Affronomicas ^ad meridianum ^ Párifinum . 2 1l, 26. — Vnde differentia meridianorum Smei- E et Lutetiae. Parifiorum prodi T 19^ 19", ; 1 2: n "Lh ! à ! e dil ü Deter- QVORVNDAM SIBIRIAE. LOC... 68: Determinatio Latitudinis Fodinarum .... Koliwanowoskrefenfium. Die $ Febr. obferuata "eft maxima altitudo Reguli pir*. Y. 56! quie. errore Ud Um s 4.2! et Refr, — 44!, 6 correcta fit au 45!. 41 RE "vero Declinatio Reguli apparens ad ;;. Febr. 15. 4. 52/59 exiftente Aberr. — 6", 6. Nut. — - Gli 8. Vnde altitu- 'do' loci prodit 51. 19!. 23: | . Eodem die maxima altitudo Arcturi obíeFuata eft 59. 10. 28. Cui applicata correctione quadran- tis — 5/. 42!!, Reft. — 34" fit altitudo correcta 59". 4. das Declinatio Aréturi ad diem obferuationis eft 20. 23. 53, 3 Abert. n25r 2, sie eue ne Hinc Declinatio flellae apparens 29.23. 35^, t et Lati- tudo oci 51^. 19/25, 3. | -Obferuationes in. Fortalitio Vilkamenogorsk inftitutae. - Diütius hic loci quam in aliis cómmoratüs. . eft CI. -obferuator. i CE: fedulo incubuit obferuationibus "pro Latitudine aeque ac pro Longitudine definienda. | —— Die 21. Martii inflituit quadrantis verificationem ad horizontem , quam ante omnia hic proponimns. -Dire&o tubo quadrantis in obiectum ad 400 cic diftans altitudo illius fupra horizontem in fitu re&o quadrantis obferuata «eft 2»! 47;/, - in fitu vero inuerfo quadratis , centro illius ad eandem altitudinem eleuato , eiusdem obiecti depreffio infra horizontem reperta eft 8^ 307", Vnde error qua- "Eom. XVII. Nou. Comm. Rrrr drantis$ * 63» DETERMINAT. LONGIT. ET LATIT. drantis circa horizontem ftatuendus foret. — 5/. 39, nifi diuerfum quid füadereat obfepuationes prope Zenith inftitutae ; non nullae earum dant errorem quadrantis — 5'" 48^", 1 aliae vero — 5. 44", 1: et cum per obferuationes in lakutsk : habitas. coní(tet arcum quadrantis iuftae effe magnitudinis , tutius nos acturos exiftimauimus , fi illum — 5^. 42" affumferi- mus, talem nempe qualem obfernationes ia ;lakutsk et poflhac in Tobolsk inílitutae praebuere. Ex magno numero altitudinum meridianarum Solis et ftellarum fixarum feleciores tantum ad de- finiendam Latitudinem Fortalitii Vftkamenogorsk ad- hibituri initium faciemus ab altitudiaibus Solis. ies [Altit.limb, Q| Error Ketr. "ad|* Diam. |Declinat. Olis Diuids bíeru.| Superior. |Qualr. — mrall.| Olis Auftr. » Apr|i9*. 8.28755|—5 "42^ — 4:7, 0|15^.55^, 9| 8*2". 56", 6 |a0?.56^53" 9; ——|5:2- 18. 40 - 2-38, 7|[t5-56, s|I1. 53. 13, 7|49. 56. 51 $115.54, 8[4- 10. 35, Q39- 56. 46 «$3, 615.41. 47, v52,' 916. 56. "9, L] 52. 5 37. 6. 33, $6. 3.18 $7.15. 27 $7.32. 3 Q infer. .49, 6pt. 8. $1 321. 47. 261, Medium — 49.56.4557. "E anna nd43323 C auumoO o9 11V 2c. moltieie /TQVORVNDAM ;SIBIRIAE. LOC. 685 Altitudines Stellarum fixarum 2 : j:;,; Auftrum verfüs ob(eruatae. .Nomina | Altitudo | Error | Bradl. | Dedlin. ad P à Stellar. |. | meridiana Quadr. D UM ann. doni T &- Apr.|, Vrfae Mai. 899, 4/.39^4 a . Apr. C Bootis |g1. 27.18, 5 QBootis |74. 20. 9,5. «c Lirae |78. 43. $2 Apt» Bootis |79: 27: $9, 5 Bootis 481. 27. 11,5 Bootis | |74. 20... 0 s. Apr. Regulus '|53. 14- 32 Bootis |79.28. 2 Bootis 181.27. 15,5 J Bootis 74.20. 8 « Lirae (78.44. 1 2 Apr.|Regulus |53. 14. 35,5 Bootis. 79. 28.33 C Bootis |81.27.28 dBootis 74.20. 10 Lirae —|74-43. 57, $/— 5. 4? $42 mos Br-r$3,2i-4. 5,49. 56. 42, 1| ||) | 49-56-45, 6| Boream verfíus Altitudo | Error | Refr. | Declin. ad |; ^ werd. Quadr, Bradl. | ans. 1770. Praec.| Aberr. | Nut. | Latitudo rf; mai. [8 12.45' Lo) — s! qol — 8^, 154,589.18. 44^: 3I—6, 7| 4- 11^,0|— 6", 4149.56.49" ,3 | 0707 053» 737. 12:47» 1|—7, 37 8; 675, 8449. 56.485 3 356- 7:973 CHE 7; 4/—55 1/49. 56. $9, 4. 165. 28. 48, 6|—6, s|3- 5, 8[—3, 449. 56.46, pd ET tue —6, 7-11, 4 6, 449. 57. 1!; 3.- - - |-7-»3F- 9, 175, 8/49. $6. 51, ;3 - - - [—77,1p-7, 775; 149.56.55, qoom 7o d$ t s, 9—3, 49.56.45; C54. 58. 39; 3—7, 2-13, 67-7, 1|49.57. 1, 1I; 6|[—6, 4|49. $56. 57, —7,4H- 9, 475, 849.56. $4, 1iH- 8, 2—55, 1]49. 57. 2, 6, 4i—3, 4149. 56. 52, 49. 56. 525 €$4 DETIRMINAT. LCNCGIT. ET LATIT. Ium nurc cbferuatores circa 6 Poctis ct à Vríae , nec ron ó Fcoti et a Lraconis infbtutae commode adhiberi poffunt ad detegercum errorem quadrantis prope Zenith : nam illae ad puicta- diui- fionis $1*. 8C, W 81*. 40; hae vero. ad pie 74. 20! ct 74. 40! perzctae funt. Ex altitudinitus 6 Bootis dicbus. 7. to. x6. 26 Arrilis obferuatis ac ope Praeceffionis , Aberrationis et Nutationi» ad initium anni reductis fumto medio prodit altitudo meridiana 6 Ecotis - $à* 23. 314,$ Refradio | — .8.6 $1.28. 23, 2 Simili modo altit. 8 Vrfae maioris ad gings? initium anni recucta ex omnibus media- 81. 44. 2, 3 Keíractio ^ — 8&4 $1. 43. 53,9 Summa altitudinum — 173. x1. 17, 1 Comrlen entum 2d duos rectos | 36 48. 42, 9 D.ffrentia Declinaticnum | 157... 0^. 18,2 Error duplus - 11. 56, 3 fimplex ab alüt. fubtrahendus ^ — 5. 48, x. Fodem medo fi altitudines à Pcotis diebus 7. 10. 16. 26. April obíeruatze ope Praeceffienis, Aber- rationis et Nutationis redvcantur ad initium ' arni, et ífumatur media inuenitur altitudo meridiana à Bootis ^c *:aUpd€w u$ 74.:9c.3958 Refractio 0 16,0 74. 20. 9,8 [ : j Altitu* | -QVORVNDAM SIBIRIAE LOC, 685 Altdtudo « Draconis fimiliter. ad dnitium auni reducta fit — -.-— 74. 33. 57, 4. : | Keliadtionmi WA 0x45, 3 By qi Mn C ETA LE . Summa altitudinum — 148. 53. 45, 5 . . Complementum SI. 25.114,15 Eft vero diffrenua Declinationum — 31. 17. 42, 7 d p S D'FI.28 2 - Error fimplex . HE 4795. 44, I, Hinc apparet errorem RS SM prope Z«nith effe proxime — 5'. .46", 1 qui cum parum differat ab errore eiusdem circa horizontem antea reperto , et fumto ex vtroque medio refultet 5^. 42/4 per- fpicuum fit, cür in compütandis obferüationibus cum "ipfum errorem 'cuadrauti praefixerimus , qualis in lakutsk fuit detectus. . Eklipfes Satellitum Iouis. Obferuationes Satellitum louis a Cl. lsemeff eodem tubo, qüo in lakutsk, inflitutae funt; nempe Dollondiano 1o pedes, a Socio vero tubo Aftrono- mico 315 pedes longo. Die i. Martii Imm. II. Sat. 16?, 31^ 52! t, v. bon, sp. April: Imm, I. Sat. 13. 40.20. b. L.UESOCÜIUS . 39. 51. Z.—— ]mm. 1I]I. Sat. 16. 27. 44. dubia E o-—- ]mm. ll). Sat. 15. 40. 2. b. a —— lmm, l $at. 15.55.56. b. "$" "Socius 54. 40. Rrirr Die 686 DETERMINAT. LONGIT, ET LATIT. Die ;$. April Imm. IL. Sat. 165.1555... b, Socius - 15.38. : e Atm ImmidkoSa& ir. $T554. 2b Socius 57. 34 Maius Imm. II. Sat. 10. 42. 23. dub. —— |mm. IL. Sat. 10. 14. 23. Subdub. —— Imm. I. Sat. 12. 3.537. Sat bon. Imm. III. Sat. 12. 22. 56. bon. 155 Imm. II. Sat. 15. 48. 43. dub. —— lImm. L Sat z4. 0.22. bon. vf — DLLEN"T i SPSRO| SS*23* Ex pluribus hoc interuallo temporis in aliis locis infiitutis obferustionibus a Viro Celeberr. JPar- gentin mibi communicatis, paucae funt, cum qui- bus hae directe comparari ' poffunt ; ; et quidem. 1. Dic 5$. April. Imm. II. Sat, 16". 15.53/.. Vfkamen. Ir.55. 8. Tyrnav. Different. merid. — 4. 20. 45. Longit. Tyrnau. a mer. Par. x. 0.55. Diff. merid, Paris. et Vlkam. | 5. 21. 40, II. Die ?- ^45 Imm. L Sat. 13. 9.56. Tyrnav. i Rev. 149.48. iiia 25. Die 3 cu «M Imm. I. Sat. dera 777. 88. ^r. Tyr. .. obferuata eft dr. 57. 54. Vítkamen. Dif. merid. .—. — 4.. 19. 53. Long. Tyr. a mer. Paris. 1. 0.55. Diff, mer. Paris. et "Vfkam. e 5.20.48. iol III. QVORVNDAM SIBIRIAE: LOC. 687 UL Die 5 E Imm. 1L Sat. 15^. 48^. 43". Vtkamen, | IO. 29. 9. Parifiis Diferent, merid, ^ ^ 5. 19. 34. IV. Die ; E? Imm. I. Sat. 14. 0.22. Vílkamen. 9. 40. 27. Tyraav. Differ. merid. — 4. 19. 55. Long. Tyra. a mer. Paris. tf. o. 55. Long. Vftkamen, à mer. Paris. 5. 20. 50. V. Die Maii Imm. I. Sat. 15. 2. 18. Berol, 1 ROwAD/—S 355 18.28. 19. ar Maii Imi. L Sat, 7. 380.19. Berol — t s obferuata eft — :12.. 7.37. Vftkamen, Diffirent. merid. ^ | 4. 37. o. Long. Berol. a mer. Parif. 0.44. 25. . Long. V.tkamen. a mer. Parif. 5. 21. 25. Negle&a tertia comparatione fumtoque ex re- liquis medio Differentia scia este Parifenfis et V (ikamenogorenfis prodit 55. 21^; 10 verf. orientem. Vix diuerfam praebent réliquae obferuátiones cum Tabulis collatae ; quare determinatio a tertia: come pujgione, petita. merito reiicienda effe videtur. "Inter obferuationes | Satellitum louis a Celeb, a orns in, , Aftracan ioftituras dantur non nullae , quae cum obíeruationibus Vftkamenozorenfisbus di- Icecte comparari poffunt; Quare non inanem operam sii factu- 688; DETERMINAT. LONGIT. ET LATIT. facturum me exiflimo , fi eas hic expofuero, ac ftabilita Longitudine - Vrbis Aftracan fupra reper- tam Longitudinem .Víftkamenogorsk vlterius con- firmauero. —— | Obferuationes in Aftracan inftitutae. . Die iz AUI Imm. I. .Sat.. 147, 559/15. t, X. is. April Imm. I. Sat. I3. 16. (p s. N4. CEhmm, DD Sat. 13. 32. 18. ; 2 ——- |mm. LI Sat. 11. 42. 7. ' $ Iunii Em. IL. Sat. ro. 15. 39. $s- vsiapesiencdt - «Em. I. Sat. 12. 8. iG. d. Lec Hur L ST P4. P» 9. E bz - mu Em. I. Sat. 8. 30. » VERS Gd [840 C10. 53:49: lulii Em I. Sat. ; 8.40. 50.- A3]e — ies *"Oj- Ww . . Omnes iftae obferuationes, nota bonitatis infi- £nitae funt; praeflantior. vero omnium eft Emerfio . die. 25. lunii obferuata. Eft. iam ydiln Die ** &* fmm. IT. Sat. 13^ 32^. 18". Aftrac.- Eadem obfíeruata 10. 29. 9. Parifiis , Differ. mer, Paris. et Aftrac. 3. 3. 9. Die QVORVNDAM SIBIRIAE LOC. 689 Die ^5 JM Imm. I. Sat, ^ 11^. 42^. 5. Arftric. Eadém obferuata eft 9. 40. 23. Tyrnav. Differ. meridian. ^9. ;. 40. Longit. Tyrnav. (D o"ES. Diff. merid. Paris.et Aftrac. 3. 2.55. r Die. à. Iun. Em. I. Sat. 12^ 8.16". | Aftrac. obferuata eft I0. 8.30. Stockh. Longit. Sioekhiel miae iG. obl tiii x Diff merid. JUR A TO CANC NI Cu .. Die. ap lui. n. I. Sat. 10. 56. 28 A (trac. obíeruata eft '8. 34. 19. Tyrnav. "Longit.Tyrnàv. ^ 1. 0.35 Diff mer. Paris. et Aftrac. 3. 93. 4. Longitudo itaque media e binis Immerfionibus totidemque Emerfionibus fit 5. !, 51! Quodfi nunc Imm. L. die 3. April et ^5 -nec non Imm, lL die 2:797 jn Aftracan et- Vftka- menogorsk obferuatae inter fe comparentur , prima dat differentia meridianorum — »^, 29, 39; fecun- da 2^. 18. 15'.et denique tertia 2. 16! 15! ;. Ex quo denuo perfpicitur Imm. 1I. die 21. Maii obfer- vatam errore quodam effe affe&tam ; id circo fumto e binis reliquis medio prodit differentia meridiano- rum Aftracanenfis et Vítkamenogorenfis 2^, 18!. 27" Tom.X VII. Nou. Comm, Ssss ac 690. DETERMINAT. LONGIT. ET LATIT. ac Lougittdo Vftkamenogorsk a pente Parifino computata 5^. o1'. 18. Rotunde itaque ftatuere poffamus Litiadinem Vftkameaogorsk 49'.56; et Longitudinem 5^4 21;. Die E pens Declinatio. acus magneticae obfer- vata eft 2". praeceffe verfus orientem. Stabilita iam Longitudine Fortalitii Vftkame-. nogorsk facile e(t iudicium ferre, vtra obferuationum Barnaulenfium .a. veritate aberret ; in mappis Geogra- phicis Longitudo Barnaul praecife 7 gradus maior ponitur, quam eft Longitudo Vflkamgnogorsk ; vnde perfpicuum fit primam obferuationém peccare Nia de- fecu: 10 min. Pup et Longitüudihem Barnaül fla- tuendam effe 5^, 24*. 27". Determinatio Latitudinis Arcis Semipalat- naia dictae. nec nifi pro definienda Latitudine locorum inftitutae funt obferuationes : Longitudinem «corum, quoties Paucae hic et in omnibus fequentibus. locis ; | í intererat noffe, fümfi ex Mappa. Gcográghicà r omen LAltit. max. | Error. | Refr. Decl.ad diem Aberr. | Nut. | Latitudo | Sn Quadr. Bradl. | obferuat. r^ ^; o — sa 712" | 38?-34/ -34* 3259 5,- HE 6" Mir I 303,29 50 NUR - -.-:5pbH-1, .8|l— 5$, 1/50. £9. 40, J |—51.6| 8. 16.36, 412-1, 0]— 5, 850 $9.48, 2] 2 - - cA— Die z P Altitudo maxima limbi Olis fupe- rioris obferuata e(t 62". 46'. 28" quae errore Qui- ORUEES S, S. drantis ^; QVORVNDAM. SIBIRIAE LCC, 69a drantis. — 5. 42! Refract. — 26", o parall. -- 3", 9 corrcéta fit 62^. 40. 20^ , ac altitudo Centr:. Olis 62.24. 33)/ exiftente 1 Diam. Olis 15^ 46/, 5 et cum Dcclinatio Olis fit 22.54. 25;! erit Latitudo loci So. 29. 52/l. Sumto ex omnibus medio prodit Altitudo Poli 3o". 294. Determinatio Latitudinis ftationis Karjakowskaia dictae. Die £. lulii maxima altitudo limbi OClis fü- perioris obferuata eft 5 9. 47. 55". cui applicata cor- re&ione quadrantis — 5^ 42", Refract. — 35", $ pa- rall. * 4583 fit altitudo correcta 59. 41^ 414, 8. Et cum i Diam. Clis fit 15'. 46", 8 et Declinatio 21. 4a!. 28)! prodit Latitudo quaefita 52^. 16!. 35;". Die 2 £j. lulii itidem: obfcruata eft maxima -al- titudo limbi Clis. CPEHOrIS 59 .3$..42', quae er- cca quadrantis — 5f. 42^ Jeeiraeh — $3", 6 parall. 4 4", » correcta fit. 59*. 32.30", 6 , vnde cxilsnfe ..1 Diam. Olis 15/. 46", 9 Decdinatione 2317. 53'. bus ft Latitudo quaefita 52^. 16!, 28/4, r. Quare . altitudo. Poli ftationis Cinco arida po- mi poteft rotude 52^. 16//. : "n Determinatio Latitudinis arcis . Schelefinskaja dictae. Die i. Iulii altitudo maxima limbi COl's fü- perioris obsuata. eft. 55. 7^. 53^, 5. cui. fi; applice- 5sss a tur 692 DETERMINAT. LONGIT. ET LATIT. tur correctio: quadrantis — 5. 42 Refradt. — 36! 8 "parall. y Rd prodit altitndo correcta 57'.1!. 59! 5. Vnde cum ; Diam. Olis fit 15, 17", 5. et Declina- ^io Olis 23*. 18! 12/ inüenitür altitüdo Poli. 53^ S ,5o^, 2 2. : l De JC Die 2. 'Tulit 'altitudd ^ maxim limbi Ólis .fu- perioris obfernata denuo eft 56". 55/. 44! , quae ' ad- hibita. debita. correctione. quadrantis, Petras; 137^, I parall. 4- 4", 7., £ Diam. igi, — 15^ 17',' 5 dat al- titudinem Centri Clis 56. 2f. ETUR. , vnde ob De- igi ca Olis' 20". 6!. 6 prodit altitudo. Poli jc te 35 ^ 9. M Et , latitudo arcis Sites dps dictae. ftatui pais 59 51. 52^. i , Determinatio Latitudinis arcis; ^ ' : , - Omskaia dictae. | | ier Brad] * Diam. [Dédisac! Olig e 7 — [oe — E EE ; BORD Latitudo 38- EIE 139.56". ZR 2 H $5 $us D 5. 3A B 2i m— $2- 39. 54, - - |[-- 236; sa ai 7|17. 4.7.13 —5.42:/—— 38, 2115.49, 0|17..15. 46. Die 5 [os maxima altitudo a Aquilae obfer- vata eft 45. 25. 15/, cui fi applicetur. debita : cor- rc&io gugdrantis ; Refract. — a1'. 1^ fit altitudo cor- reda 49). 18. 3 2!l, Et cum dedinatio a Aquilae ad diem obferuationis fit 8^. 164. 57", 3 Abcerr. 4- 5,6 Nut. q 11/;9:^ fit. declinatio" flellae appzrens ad wi $*. 16; 49,6 e Pietkeltuga $458.17"; 5. — E o2 ledia ;QVORVNDAM /SIBIRIAE /LOC. :653 ou Media: omnium sis o arcis! Omskaia disc mr. 58.5 dur 2, 9 Determinatio Latitudinis Vrbis Tarae, id Die 4 m Aug. maxima altitudo limbi Clis (u- perioris obferudta eft^ 43^. 12/29", cui fi applice- tur debita correctio quadrantis , Refra&t. — 55^, r, parall. 4- 5", 9 prodit 47^. 5!. 59'l, 6. et cum ; Diam. Olis fit 15' 50". 9 Declinatio Olis 13. 44/. 58ll, erit primum altitudo centri 46 . 50. 8", 7, Dein Latitudo Tarae 56". 54^. 4 9!l, 8. E I Dies: NUS Alic max] Error | Refr. Dedio: Stell. obferu.| Stellar obferuat. (Quadr. ad diem obf. Aberr. | Nut. |. Latitudo £j Aug |x Lirae 338 [719.46' .36^ 7.5 — 5! 42" — 187,8, 389.34 34/52. [EEUPUTUA ,8-i-5^5, 4 4.5 69. 5 4. Z Tm 4 — |w Aqui. |41.:8. 5$. |—5. 42 |— 1, 5 8. 16. 37, 49-7, 57-6, O|s6. 54.43, 7 cum 718, 838- 34.525. 4-71-13,.0 Hc o5 1) 5| 8.167 39» See y, He Aug|e Lirae |71 46. 34 po 4|50- 54. 37, 8 JMEMR Aquilsej41. 28. 52 ! 62-6, 0/56. $4.47, 1 Sumto ex omnibus conclutonibus noms pro- dit Latitudo vrbis Tarae 56.54. 42" fiu rotunde 56. 54j. Determinatio Latitudinis oftii Fluminis Iíchim in Jrtifch. fefe exonerantis EA: Kefr. | Ded. Stell. eoi Quadr. ad diem obf. Aber. s EE Lir 4.2"4- 1^. 6",5| 89.16". 52 1d- 8^4 d 0,5 7*.41*.40" 1 Pegafi |$9. 15.17, - 34, 216.50. 31, 37- 4, O 1,57. 41. 41, 6 as; Augió Pegafi $9. 19. 16, 34» 2/6. 50. 31, 4d- 4s Y 157: 41. 43; 3 L4 xd Ssss 5 Ob- 694 DETERMINAT. LONGIT, ET LATIT. Obferuata eft ibidem die i: Aug. altitudo maxima limbi Olis fuperioris 49'. 4. 5o! , vnde Latitudo Oftii Fluminis lfchim concluditur 57. 41*. 5o/. verum quia obferuatio haec dubia eft, non ha- bita eius ratione Latitudiuem quaefitam 57^. 41^. 41^ vel rotunde 57. 41? flatuendam eíle exiflimo., EXPO- ^ 1 e — MH wc35 ( 0 ) $52 695 | EXPOSITIO DECLINATIONIS MAGNETICAE IN VARIIS IMPERII RVSSICI REGIONIBVS , OBSERVATAE. SW Auctore W. L. KR AF F T. & ui, fn dodrina de declinatione magnetica duae potiíüi- mum eminent epochae , ab illuflri vtraque in- ventore profecta et ob nouam cognitioni abfíltruüi hu- ius phaenomeni,, cuius veram rationem intimis na- tine receffibus reconditam iure dixeris , illatam lu- cem quam -maxime. celebris. .. Prima ab. Edw. Halleio originem repetit , cu- ius mappa declinatoria , ftatum terrae magneticum pro anno 1700. septstfentans , tantam inter phyficos celebritatem eft adepta , vt ei hic defcribendae fuper- wacuam quis impenderet operam ; altera vero Ill. L. Eulkro debetur, qui loco quatuor polorum | ma- gneticorum ab Ha/leio in terra conflitutorum famofis . Àllis curuis- magneticis explicandis etiam duos fuffi- cere, fümma cum verifimilitudine commonftrans , hoc modo complicatifimum illud fyftema | magneti- cum .Halleianums ad multo maiorem fimplicitatem vv de quo peculiaris Cel. Viri differtatio Actis ü Dero- 696: Dz JDECLINATIONE Berolinenfibus adíànnum: 1757. inferta legitur. Ab eo- inde. tempore . graui(limi . huius argumenti cardo in eo iam potiflimum vettitür , vt recéntiores ^ob- fernationes inter fe; et ; cum untiqaidripdd mutuám ipfis lucem largiendo iudiciofe comparentur atque de vero polorum magneticorum fitu, de flexibus meridianorum magneticorum et cuüruarum declina- tionis deque multiplicibus variationibus , quas iftae lineae ratione tam pofitionis. quam curuedinis fuae fübire videntur , quasque ad geographicum et nauti- cum vfum fummi foret momenti penitius perípexis- fe, magis fubinde certa et ip(íis experientiis confor- mia eliciantur iudicia. Nota eft hoc in genere map- pà declinationufn a Dnis AMountaime et Dodfon ftaui telluris maguetico ad annum 1744. adcommiodata , quae Bougueri inflitutionibus nanigationis annexa cér- nitur; inprimis vero merita laude ornanda' eft egre- gia opera Cel Virorum, I. C. Wiki et Mart. Sz0emeri ,' quorum hic in duobus fpeciminibus ply- -fico - gceographicis Vpfaliae editis chartam | Halleia- "am fecundum nouiffimas - obferuationes ad annum huius feculi quinquagefimum, reduxit. :curnarumque magnueticarum motus acuto examine efít /profecutus'; ille vero in A&is ;Holmienfibus anni 1768. fyfte- ma inclinationis: magneticae met!hodo Halleianae ana- loga magno cum: iudicii acumine delineauit ; vnde etiam doctrina de declinatione magnetis haud parum luminis eft lucratà; ^ Denique etiam huc pertinent duae mappae vtrümquüe hemifphaerium terreftre. re- 'praefentantes , anno 1752. Aniftelodami aere incifae, quarum ACVS MAGNETICAE 69j quarum titulus e(t: Nouvelle carte du glo- be terreflre - montrant les variations du compas ... telles , qu'on les a trouvées l'an 1750 - - par mul- titude d'obferuations propres & autres, par Vic. vas Euwyk, Capitain de Navire.,. quibus vero, cum lateat , quo fint fündamento confiructae , quantum tribui poffit, haud conftat. Potifümum vero regio- nibus, pro quibus, qui huic disquifitioni animum adplicuerunt , obferuationum penuria quam maxime laborabant; tota, qua patet, lmperii Ruffici exteu- fio eft annumeranda ; vnde in mappis etiam recen- tifümis ingens ibi hiatus et lacuna cernitur. ^ Huic igitur defecui cum nunc quidem Academicorum pe- regrinantium ftudio haud parum medelae fit alla- tum ; operae vtique pretium eft, iítas obferuationes cüm ceteris combinari et quàles inde conclufiones , vel, fi mauis in re tam lubrica, coniecturae de fta- tu telluris magnetico poffint deduci, adcuratius in- veftigari. 6. 2. Ante omnia itaque tabulam hic exhibe- . bo ipfas obferuationes confpectui exponentem vna cum pofitione locorum obferuationis geographica ; vbi longitudines a meridiano Parifino computari funt intelligendae ; ipfas vero obferuationes fecundum gra- dus declinationis difpofui, Tom. XVII. Nou. Comm. Tttt Tabue 6p DE : DECLINATIONE Tabula Declinationum. magneticarum in Rus- fia venen vicinia obíeruatarum. : ben obteruat. C. ithatinenburg, Ponoi Vf 4451 Vkamenogors- kaja Barnaul Or :kK 'Kola Catan Gurje£ Orenburg Petropolis Vmba "'Tobolsk lakuck Zarizin Gluchov iip Decl. mus Annus bs 1761. du ES O. 1769.,67.. .4.. 38^. 49. 1. 19... D. Mai. 1769. S4". 42.. $37. 33.. 1. 39'. O. Octobr. 1770. 49". 56.. 8o". 20.. 27. o. Q. 1770. 53. ) 81.1159 ES. 1769 51.12. s io^, o. pel vw, Iun. 1769, 68^. 52!, 30". 45^ 2^. o. W. 1961. 54. 14. 48". 38' 2..25'. W. 1769. 47. 71. 49 . 49. 3.25. W. Aug. 1769. 51. 46. 52". 50. 3*. 3o'. W. Mar. 1772. 59. 56! 28. o! 3 39. W. 1769. 66'. 44.. 31. 52. 3". 3c^. W. Mai. ! 1761. 58". 12. 66. ol. 3. 52! O, 1769. 62", 42^ 127. 23.. s". c. W. Iun 1770. 48. 42.. 42". 4. 5". o. W. Mat. | 1770. 51^. 40. 32^. 5. 5^, 80^. W. . Sept. Loc. ACVS$ MAGNETICAE, 699 Loc. obíeruat. Annus Latit. ^ Long. Decl magn. Dmitrevsk. — 1771. 50. 5. saut ot M Duca. 2:20f pads, Tfcherkask |. 1770. 47. 15^. SW. 24s 5. 5o. W. Mart. Sisran 1770. 53. 9'. 46*. 4f. 5*. 5o. W. Cafía 1772. «X. "o!. W. s nid o "opio ni i AM. Reul ^ ^. ^ 1751:. 59.26. e32*. r9'. 95:30 W. Febr. Krementfchuk 1870/4 v8. 86:4 2/09. Io W. Mas. Y jl Riga ^ 1750. 56'. 50. 217,39. 8. o. W. ái "^ Nov. | Samara 1770. 48". 29. 33. 2 8. 10. W. muria HrÉfg. a^ Sitftha ^ 17370. 43 «gr . 32« S. : 9*. 15. W, TY Jlal^. 6] FETTE , 241 Bender 1972; 45". sot. jos 9. AE W. St. Elifabeth 1770. 48. 435: S00. Jt; 9*. 45 W. ' '" Ad declinationem magnetis Petropoli^ obferua- tam quod: attinet , ea nulli fere: fenfibili! mutationi obnoxia videtur; namque anno r74r. mente Apr;li ea fummo ftudio, fauentibus et'loco et inflrumento er omnibus circumflantiis, a b. parente obferuata' eft 3:56. W; ita vt hoc temporis interuallo tantum 26. minutis decreuiffe videatur. 1n obferuatione vé- IO lakutienfi crrorem catami irtepfife pote. eamoue erienialem effe Tufpicor 2^ id. quod lineas tragneticas Tttt2 carum- 700 DE DECLINATIONE earumque ductus intuenti ftatim — patebit. — D'eni- que etiam hac occafione antiquam aliquam | obferua- tionem recenfere placet , quam in libro aliquo bi- bliochecae imperialis manu incogniti auctoris con(i- gnatam reperio: Mofcuae 4. 1732. mene Aug. decli- falio maguelis S^ 26. $. 3. Si iam hae obferuationes mappae decli- natoriae füo quaelibet loco inferantur: duo inprimis momenta , notatu haud indigna , confpicienda fe praebent : Y. enim declinationes orientales. manifeftis pro: dunt indiciis continuationem illius 'meridiani ma- guetici, qui per. Nouam Hollandiam et infulam Celebem in Chinam porrigitur; qui itaque motu fere perpendiculari vsque ad latitudinem 4o circiter graduum afcendit ; tum flexu directioni curuarum declinationis analogo veríus occafum . dirigi confpi- tur, donec per regiones fupra mare. Cafpicum fitas in Laponiam afcendat. - IY. Si declinationes occidentales intuemur, ve- rifimilimum . fit, declinationes maris Cafpici non, vt Cel. Mufcbenbroeckio videbatur in diff. de magne- te pag. 165, aílignari debere curuis ex Noua Brit- tania progreffis , quae fucceffuü temporis verfus ae- quatorem . aliquantum. defcenderint, fiquidem nunc quidem multo effe probabilius adparet , iftas . decli- nationes deberi curuis in Oceano Indico ab Halleio configoatis iisque per Afiam continuatis et verfus occafum aliquomodo pramotisa j vti etiam. Cel. Szroe- erus ACVS MAGNETICAE. y7or merus loc, cit, declinationes Europae auftralioris non - cum Mu/cbenbroekio lineis; ex . Virginia ductis, fed i$, quae mare Asthiopicum peragrant , iure annu- diia $. 4. De fitu polorum magnueticorum geogra- phico quanquam ex his obíeruationibus parum lu- minis lucrari poffe videmur; id tamen operam de- di, vt inuefliparem , in quibus regionibus confli- tuendi fint ifti poli ;, quo declinationes ex theoria computatae ipfas obferuationes aliquomodo referrent ; cum ícilicet abfurdum foret , polos telluris magneti- cos fibi tanquam fu/da concipere, quibus quippe fine dubio aliquis ambitus atque extenfio quaedám Competit , ita, vt de resioe potius polari, quam de ipfo polo tanquam puncto confiderato fermo fit ; contentus fui, talia ftatus terrae magnetici elementa quaefiuiffe , quae propofitae cuicunque ex füperiori- |bus obferuationibus vel ipfa vel admiffa in vno al- teroue elemento vel in pluribus fimul variatione rom mimis magna fatisficerent. Quo conftituto ex iftis ob-- feruationibus coniunctim: fumtis fequens fefe obtulit. Coniectura de ftatu telluris magnetico. I. Polus. magneticus Porea/it pofitus cffe videtur in terra incognita Groeulandiae. 1) in meridiano 25 gradus. circiter- a: Parif ad occafum diítante ;. 2) et fub latitudine. 70. veli quod: excurrit , graduum. 405 DE DECLINATIONE II. Polo autem magnetico. euf/rali locus. affignan- dus videtur in terris. ipcognitis auftrzlibus in meridiano | aliquo ab infula. Ceylon | haud multum remoto, ita, vr cius sip 1) longítudo geographica oo circiter graduum a meridiano Po ad ortum , 42) latitudo. vero. 50, propemodum flatui debe- re cenfenda fit, aedi Omnes. hae RUE fuos fine dubio admittunt lm.tes et potfümum obfernationibus 1u— pra expofitis funt adcomn odatae ; et fimul quoque tantum hypot^efi , quod directio acus in loco quo- cunque circulum per binos polos magneticos et. lo- cum iftum in füperficie terrae defiriptum contingat, fuperftructae ; interim id notari miretur, eas fatis be- ne altem quod ad polum borealem attinet conzruere cum iis, quae a Cel. Jickio ex obferuation.bus zm- cünationis magueticae fmot deuuctae ; dc auflra'i ve- ro difficilius eff iudicium , neque etiam inlinatio- nes inter Africam et Nouam Hollandiam | dctectze , cum ea, quam dixi, poli auftralis pofitione conci- liari non poffunt, € s. Atque haec fünt potiffimum , quibus coniectandis obfiruationes magneticae in Imperio Kus- fico inflitutae occaionem praebuerunt ; qua fup- , peditata haud reor prorfus alienum formulas, fatis fimplices , tradidiffe, fecundum quas ex dato polo- rum , ACVS MAGNETICAE. 7g rum muazaeticorum fitu geogriphico declinario ma- - gnetica pro loco quous propofi:io poflit. computari. ; Sint in füperficie telluris puncta P et f ambo poli magres tici i iaagantar. ii atcu P p et. ex polo terrae 7 ducatur accus z C — a, arcum Pf. fübana- gulo - ^P —4Z in C bifea»s, vt it PC. Z; Pp- b. Arcus T C a meridiano aliquo fixo, v. c, Parifino ecliuet ver(us. ortum aagulo Lar C — (Q. Sit nunc A locus ille propofitus ; pro quo declinatio acus mazneticae fit compu:anda, diftet is a meridiano TL ver(us ortum angulo L 1A — 9, vt fit C mA — (p—9,et vocetur complementum latitudinis z À -— A. Cum iam porro declinationem. magneticam ex hypothefi Lll. Eu/eri (*) ita ponam effe compa- ratimr, "vt dir: &io acüs circulum per locum propo- fitum et binos polos magnceticos defcriptum contin- gat: concipiamus per P, A et f circulum effe du- &uüm; cuius centrum cadat ia. O ; quo pofto fi Aó fit ad OA normalis, angulus AS QA CA erit declinatio quaefita ; quae in quemnam feníum cadat, ex ipfo linearum fita facile patet, — Atque hic quidem primo angulus CA7 fla- tim definitur: -.demi(fo enim. ex C in 7 A perpen- diculo C D, et pofito fegmento 1 D— x, ita, vt fit ; tang. x — tang. 4 cof. (b -39) | cx U- Memoir, de Berlin 1757. Tab. VI. Fig. 7. 7 04- DE DECLINATIONE ex nota triangulorum fphaericorum proprietate fta- tim colligitur we. jim. vs fin. zx. tang. (D— 9) tang. CA 7T — MA — | et pofito CA — v, in fubfidium calculi fübfequentis computetur cof, v — «f, e. LE (x— 5 Pro a!teró angulo C L 2. inueniendo demittatur ex A normaliter in P C arcus ^c, pofitoque fegmentg q?e—y, vt fit tang. y — tang. f. cof. (D — As. habebitur 2 (Co — finsy- feng. (D -— 9) In P UM tang. T CA — CBE RR REEL. €x quo, cum pro figura adpofita fit L CA- ma & -- PC2 , angulus P CA — « innotefcit, Demiffó iam: ex O in C perpendiculo OF et pofito fegmento' FCzz, o OCP—3$9o 7 tang. 2 — — fin. * tang. OC. Cum vero fit cof, O P — cof. P. co. OC - et cof. O X — cof. «: cof. OC — fin. v. fin. OC. fin. aequatis intet fe O P et O'À prodit —. €f. '" — cof. b Wdeoque hinc í — £f. b — cof. v ACVS MAGNETICAE. 5o; quo inuento erit tang. O AE — neis e Em atque ob CAó6290'-- CAO hinc colligitur ma in. (v — 2)1 tang. CA à — -- Pez mue, «Elementa hic adhibita , 2, b, £ et (D ex dato polorum .magneticorum fitu , per notas formulas tri- £onometricas facile. computantur. Valores eorum medios, id eít tales, qui propofitae cuicunque ex obferuationibus fuperioribus, admiffa fcilicet ia ^ vno akteroue vel omnibus fimul variatione som mimis ma- £^4 , adcommodari poffunt , inueni fequentes: e 40 8 y CES Das. quorum eXa&iorem determinationem proximae occa- fioni , aucto obferuationum . numero , referuo. — His vero elementis cognitis ; quomodo fitus geographi- cus vtriusque poli magnetici fit computandus, fu- perfluum feret hic prolixius exponi. | Tom.XVIL.NouComm. Vvvv EPI- 306 E qu EPITOME OBSERVATIONVM METEOROLOGICARY: M PETROPOLI ANNO MDCCLX XII. SECVNDVM CALENDARIVM CORRECTVM INSTITVTARVM CVI ACCEDVNT OBSERVATIONES NONNVLLAE CIRCA. TEMPVS, QvO. FLVMEN. NEVA GLACIE OBDVCITVR ET ITERVM AB EA LIBERATVR. Auctore l. ALBERTO EVLER. - (Corr de nouo-omnibus inftrumentis ,. quae neceffaria funt ad. obferuationes meteorologicas inftituendas ," incoepi prima .die huius 17724 anni eas eadem methodo annotare , qua annis praeteritis vfus fum et quam fuüfius in Tomi XIV. parte | po- fteriori horum Commentariorum explicui. — Vt au- tem exteri melius füas obferuationes cum meis con- ferre poilint, expeditius mihi vifum eft hic et in pofterum calendarium corre&um vel. gregorianum vbique receptum loco luliani fequi. His monitis obferuationum | ipfarum potiora momenta fequenti ordine feorfim enarrabo. n n OBSERVATION. METEOROLOGICAE. 703 IL Obferuationes Barometricae. Scala Barometri diuifa eft in pollices, quorum duodecim pedem regium parifinum conftituunt. . Qui. vis autem iterum in viginti partes aequales fubdi- vifus e(t, ita vt facile fingulae partes centefimae vnius pollicis diftingui pofünt. ^ Diameter tubi ali- quantillum partem decimam pollicis fuperat. ^ Pri- mis feptem menfibus locus barometri diflabat ab oftio " fluminis Nevae interuallo 60oo circiter pedum , et eleuatio eius fupra mediam füperficiem NNevae erat 30 pedum. .Pofthac verum barometrum ad diftan- tiam 500o pedum ab ofílio transportatum . fuit - et eleuatio loci eius fupra planum fluminis 18 pedes vix fuüperabat. Obferuationes ipfas circa altitudines barometri in duas tabulas fequentes diftribui , quarum prima exhibet pro fingulis men(ibus 1) altitudinem — maxi- mam €t 2) minimam , 3) variationem feu differen- tiam inter altitudinem maximam et minimam 4) medium feu femi-fummam altitudinis maximae. et minimac; denique 5) altitudinem barometri mediam. fiue fummam omnium altitudinum inim per nu- '| merum. earum, Tabula fecunda vero oftexdit per quod inter- vallum temporis flarus Barometri in quolibet menfe fuperabat altitudines 28:55, 28:55» 28 et 2755, pol- licum , quibus interuallis per dies et horas. expreffis adiecta eft columna (ingularis , quae indicat altitudi- nem , quam flatus barometri füperabat praecife per dimidium menfis, Vvvva 708 "OBSERV ATIONES I. Barometri Altitudines maximae, minimae et. mediae vna cum. variatione. maxima et ftatu. medio, pro. fingulis menfibus an- ni 1772.. fecundum Calendarium. Gregorianum.. , Altitudo minima v P. ef. , die h hora. Altitudo maxima enfe. |Dig. p. c| die hora Ianuar. | 28. 61 |20. merid. Februar.| 28: 8: 48. 15. Xl. a. m Mar... 28: 6r er /8$. VIL. a; m. iopiet Ms VI. m April. 28. 31 r4. VÉ a.m.| 27. 38 |:8. VI. Mai. (28:37 14 IX: a. m| 27. 55 |:8 VES o.- 82 Iunii 28. 43 13. merid. [ 27. 65 P8 E m.| O. 8o Iul |28:25 23.. Vl. a. m. (27:5 46 8. meridie. O&obr.. "zl 65 13. X. p.m p.m. |n Nov. 28: 4: r8. HE. p.m. 57, 66 2: Hl. pm] 9 9. 59: |o. XIE p. m. i : d Decemb. 28. top pe XL p.m. 27..62.. 2. IL p.m. p.m. r. r$ |27..42 |it. 31. XIT. pm. n 35 |28. oo] ; Mene — II. METEOROLOGICAE, 799 IL... Numerus dierum quibus altitudo. Barome- tri füperabat terminos quesdam cir ca. altitudinem mediam: anni füpra 28. 03: VvYtY 3 Vbi 710 OBSERVATIONES -Nbi notandum eft, duas priores figuras altitu- dinum | barometriéarum pollices integros aflignare , pofteriores vero partes. cente(imas vnius pollicis. Tum vero monendum eft a. m. fignificare ame tue- Tridiem , p. m. vero fof meridiem. Patet «rgo altitudinem maximam barometri | per totum annum fuiffe 2875; pollicum die 12"* Menfis Decembris hora X1"^ poft meridiem. At altitudo minima fuit 272, pollicum die 23"* Men(is Februarii hora ll^ poft meridiem : va- de variatio totalis 155 poll. et medium inter altitu- dinem maximam et minimam 2725 poll. Altitudo media autem inter omnes fuit 28,5, poll. Porro mercurius in tubo barometri fe fuflen- tabat pam 8:5 poll. per dies 137; Ts poll. per dies 169; 28 poll per dies 1955 et fupra *5 poll per dies 222j. Vnde concluditur mercurium fe fuftentaffe per $nteruallum dimidii anni vel 183 dierum fupra alitudinem 28,3, poll. quae altitudo prorfus conuc- nit cum media. IT. METEOROLOGICAE. 711 ]l. Obferuationes Thermometricae. Thermometrum deslislianum , cuius conftru- €ionis principium fatis conftat, a&ri expofitum et in tali loco femper pofitum füit, vt fol id nec di- ICcte nec per reuerberationem irradiare potuerit. Obferuationes hoc Thermometro inftitutas ite- rum in duas tabulas difpofui , quarum prior altitu- dinem maximam et minimam vna cum differentia inter easdem indicat , pofterior vero fpeciatim flatum frigoris et caloris pro fingulis menfibus ex- hibet. — Intelligo autem per ftatum frigoris. altitu- dinem minimam Thermometri pro vnoquoque . die , . quae plerumque tempore matutino et vefpertino ob- feruatur; [imilique modo per ftatum caloris alti- tudinem maximarn Thermometri vel eam, quae ple- rumque poít meridiem. notatur. - Oftendit autem tabula haec fecunda pro quo- vis menfe numerum dierum , quibus ftatus frigoris et caloris fuperabat terminos nonnullos in Thermo- metro deslisliano. . Vnde patet hoc anno 1772. fuis- fe dies 144 frigidiores gradu :i50?, inter quos 89 frigidiores fuerunt gradu 160" et $6 frigidiores gra- du 170, deinde 25 dies, quibus frigus füuperabat 180 gradum, et inter hos r4. dies, quibus frigus gradum 199^ et 3 dies, quibus gradum 299"am fuperabat, Sic et de flatu caloris. T. 712 OBSERVATIONVM T. Thermometri Altitudines minimae et ma- xumae pro fingulis menfibus anni 1772. fe- cundum Calendarium. Gregorianum. I96 | 7. Vl.a. m. | 208 12. VI. a. m. 146 | 184 | 56. VL.a.m.| 132 |25. ll. l.p. p.m. —— — — | — — (145. X 1. V. d. mj: OE d 21. V VI. a. m. TIM 18. VI. a. m. 174 Bo. VlLa.m|. — | 208. Menfe Febr.| 104. Menfe Tulii XI. Status METEOAQLOGIULC AE. ?rgvr 2. Status frigoris: et caloris. Dies SET frigus faperabac gradus Dies calidiofes s Speciatim. vero frigus oblerddtüim fuit intra gradus 21O et 200 die 12, 15, 21, Februarii 209 et Ne die 7, 29. Tan. et dié xr, 14, 17; 18, uc 20, 22, 23, 24, 29, Februarii. 190 et 180 die 5; 6, 25, Ian. item die 1o, 15, 19, 28 Febr. et die 12, 16, 25, 24. Martii 180 ct 170 die 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 26, 27, 28, 30, 31. Ian. item die 16, 25, 26 Febr, porro die 53, 4, 5, 6, 3, 8, 9, 10, II; I5, 14, 15, 17, 19, 21. Martii denique die 5o. Decembris. . Tom. XVII. Nou. Comm. Xxxx Calor - 14 OBSERVATIONES Calor autem: deprehentus: fuit: intra: gradus 100 €t IIO die 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 2, | 28, 29; 39, 31. lulii; et die rz, 2, [ EL $5. ?» 10. Menfis Augufli. | | €" i5i 110 ct 120. die 31. Mái , à porro die 3. 4e 53 15, ] [AU |,16,.26, 29. lunii, item die 2, 5, ! 1045 D 6, 7, 9; 10, 13, I4, 15; 16; j-1 | c1 754 2 E* e. ] be Dedi qu bs 14, 18, 19, 24425, | :26, 27. Septembris; dapHque die l. Octobris, 120 et 150. die 16, 17, 26, 27. Aprilis; die 25^. I3, 19, 26, 21, 26, 27, 29,80. ?" Maii; die 1,2, 6, 7, 8, 14, 17, 18, 531—25, 27, 28, 30. lunii; die 1,8, 11, 14. lulii; die I5, 16, 17,20 — 23, 28, 29, 3 1. Augufti; /die zr, 2r 35 5,173; 9 — U74:20] 22,* 23, 25,:28,.,29. Septembris, et die - 2, 39; 4; 5. Menfis Octobris. 19. lulii, deinde die 6, 7, ;. 26, 27, 50. Augufti, die 19, 244 li METEOROLOGICA E. 415 III. Ventüs;ét Mentorum: DiréCtiones. -IVent.|V ent.| Procel- Varia- lenis fortis dies | dies: | (iiu | jum [mule Jd lofus . Nord N OOf $-O Sud W VéeilN - W ibilis. . dies | dies ies d iesldies |dies dies | diés die dies e T FrE|toe| |s|-6 34t.p.8 zu: 3 16 |10.| 2 lol; —[-—l|.s 4 I 13:| 6 .| 65:| 32 3 2131 2: noo— 16. |: 10 P I2 0 a 2]553: [—- 81]. 6: 1 12.].9 1/7 | 4|! —|—[.2 10 ii x 14 |[.8 5 81 3 T3 P^ ^ 5 6 I AX Wi. D LN? 6. N52 —|ri--— J E 20 $ I r 2 2|2] rr 6 I 9 8 4 — , I 4. o 8 5 — IN$ 15.113 5.| 2 —eud: SofKr- 03 | 12 7 f" E 54,8 7 2 E aRTEAEY [EI 6| 3 3-54 IE c5 5 EL 150 d12.| 46. l6: l41- 22 Ds 566 |54. | 55 |: 8 [s 9 ; Procellae fpeciatim, flabant e regione dies ^ Nord die r1. Martii, 24. Aprilis, 24. Maii et g. Iunii - - 4- m. die 25. Febr. 12. Martii , 15, 16, x abs Maii, 12. Iunii et 15 Augufi .- -.- A $ Qn .die 15, 29. lan. 20, 21. Mart. z, Iul. x: Oa. et 17 Dec 7 ($-0. die 11, 12,17, 18. lanuarii et 5. Norembsts Exe 5 | Sud /die 11 et 12. Nouembris - -. - Da dieo:^d | | S-W die 16, 19. Tanuar. r Martii, 17 Iunii 21 Septem 28 0d. Bue P. Nouembris - b. toes Ere "| Wet die 14. Ianuarii, 27 Febr. 2» Martii, 4. Maii, IO Tulii, 10, | | 22, 25. Sept. 30 Octobr. 17, 19 ct 21 Nouembris a [New d c M zai PERDER IER ED HOMME. , Ee c .oc. : E. | SJGYTWMERSG D YE EEXS TIE TN 416 OBSERVATIONES 1V..Conftitutio .Coel. . .. t. Coelum etat ferenum 2. Nebulofüm. [ a /ISumma Summ | Menfe |die | dierum [ die ... Bierum Ianuarii ire 34. 9$. 6.12 5$.£50. 4. ^ murz -1-c07. i-1 - - gU (o: Fébroari]|ro — 15.17 — 25.28.29. 2 |. 17 [4.8.11. nu $1820. 8 | ococMartü o |2— 014.16.18.23. 24.25. - |. 18 8: £5. x. ! -il--4 3 A prilis $719 —xs|$0* $0; -—- 7| (97 |n 14. m 1528 l- d. Maü ^ [L2.3.12.13.18. 19:202 5.29. sQ| redegi se g-:-) 7p | duni [12.8/14.25.30 -- - - ét [in.45 35 |- t 4] 7-1 73 | Tiii [1.2.3.4 20 —3T. - - -"| 16 $44- 5. 17 20. a3 30- &' i | *Auguüi | 54 ' -| 1-2 [75-7537 sla. r£D Get 7| Cp now. E Septembr rf.i2:26, ^2 !—- | 2 |-^ S 7p s3hd 3. 8. I8. 119.0301 79 s | OGobr. |1.3. 19. x3. 20. - - 2 -^ 9 4. 9. r9. - 204 3 | ""Nouembr:.3.18.2:.22.. 4 —| - |- 5 12. 3:22.26.27129..30| 77 | Decembr 23. 27. 30- XE Rae 4,t111.^?E 2274 x Digg A17 1772.ldies ferent ergo YO füerünt ^-. - 102 À Dies 4 nebulofi ^s . rry 48 5. Nix. I | 4. Pluuia. "Summa | Oe HRUTGLE SD Menfe die LI ; jdierum: die. : 3ib ft Januári |16.13—16.19—23.27.30.31. 13 2 Bijsud sx HON Febtuariijx —.6.8.9. 16427. -. - 10 "E Martii , 1.14.21. 22. 28. 50... » - 6 26.29. 31. bres CUN T, Aprilis |1.2. 3. 5. 18. 20.24. - —- 7 1. 2. 5. 8. 10. 16; 18. 19. 25. 26| Maii2 ||pg:10.11.136. -- - - -| 4 ]14.6.7-8.11.15.16.21.22:25.28.31 l]nuni ^ [[-5-:07.27207 7 7o07[ — [46112116 20. 22.26-27.28: lulii , ------.-..|-—]1s—isnm--2---- Augufti 27-7 ----]l| — $. 15 — 20. 25 — 55, 27.28. 30- Sépiembgr Ne que MEHR C VMB SN e ps |1——446:8-10.1 5—18.20—23.25 527.298. 50 - - - 4.11. 15 —— 18. 24, 26 — 30- - |7.8. 9.12 - 15.17.19. 2 3-26.29. 30. 1; 18. 20. 25. 28. & «- O&obris 25.21.22. Nouembr.3O. - Decembr. Sic RR À. TUN S Nix decidit us PM | -Pluit "diebus - - - - -114 ua METEOROLOGICAE 5g V. Reliqua phaenomena. | Grando decidit diebus 5; die fcilicet 3, 5. Aprilis, porro die 10 et 16 Maii, denique die ds Octobris. Aurorae boreales obíeruatae füerunt 21, die fcilicet 6 et 3r lanuarii; item die 10, 28 et 29 Februarii, porro die 2, 5, 6, 8, xo et 34. Martii, die 3, 4 et rx Aprilis, die 24- et 25 Septembris, die 27 Octobris, die x5 et 21 Nouembris, denique die r8 et 24 Decembris. Tonuit 7"*, die fcilicet 4. et 27 Iunii, die 5 Iu- lii , die 12, x4 et 27 Augufti ,.et vltimo die 5 Septembris. Parhelion mitidum obferuatum fuit die. 5o De- cembris. Flumen Neua a glacie liberatum fuit die 18 Apri- lis et glacie. obductum fuit die 23 De» cembris, Xzxx95 Hac 718 . OBSERVATIONES Hac occafione le&ori auido huiusmodi anno- tationum non displiciturum effe arbitror, hic vno intuitu omnía tempora aduentus et difceffus glaciei e flumine Neua inuenire, quae ab anno 1718. hu- cusque ferie non interrupta obferuatà fuerunt, Quam ob ,caufam [latim eam ipfam tabulam adiungam, quae fingulis annis nofiro Calendario iuferitur: vbi infuper tempus ad Calendarium ercgoríanum reduxi et nümerum dierum adnexui, per quos flumen ob- ducum et liberum fuit a glacie. Deinde in duabus fequentibus tabellis. fcorfim expofui, quibus annis fempora aduentus et diféeffus glacici intra fingulos limites per 6 dies progredientes contenta fint. ^* Hinc patet, fpatio 56 annorum glaciem flu- men .Neua . I. Seri(ime obduxiffe die 23 Decembris , quod -s(! cguidem euenit,hoc 1772. Anno, ac H. Citifüime die 31 Octobris, anno fcilicet i6l. Hi bini limites diflant inter fe interuallo 53 ,dierum , et medium incidit in diem 26 No- vembris , e quod coincidit éum ' tempore medio inter omnia capto. III. Glacies porro flumen citiffime defervit die 2 Aprilis , quod eueniffe refertur Anno: 1723. «m ^ «a &É 5a lV. At feriffime hoc contigit die 7 Maii, annis ícilicet 1739. et 1742. Interuallum intra hos binos limites eft 35 dierum et medium cadit in diem 19 Aprilis Sin autem me- E REXKZ dium VI. E VII. METEOROLOGICAE. 419 dium inter'omnia | haec tempora capiatur , inuenitur id cadere in diem 2o Aprilis. Interuallum temporis ; quo flumen glacie ob- ductum maa(it, fuit maximum anno r739- 1740, Ícilicet 183 dierum , vcl per femis- fem anni et ! Minimum anno 1i722- 1723. vt et anno 1772 17753, II4 dierum: variatio maxima eft itaque 69 dierum et interuallum medium 148 dierum. Sin autem medium intra omnia haec interualla capiatur , inuenitur id 145 dierum. Interuallum temporis , quo flumen a glacie liberum füit, erat maximum et quidem 249 dierum , anno hoc praeterlapfo 1772, et VIII. Minimum fuit Anno 1739, fcilicet tantum 4X. 18x dierum. Differentia ergo maxima eft 68 dierum, et medium 2r5 dierum. Sin au- tem medium inter omnia haec interualla ca- piatur, inuenitur id 220 dierum, Tandem ex tabellis binis pofterioribus patet, glaciem flumen Neua faepifüme reliquiffe circa medium Aprilis. At flumen glacie obductum fuit frequentiffi- me circa medium Nouembris, vt et circa initium Decembris, ü -E Ta- 420 ODSERVATIONES I. Tabula indicans tempus, quo flumen glacie obductum et ab ea iterum liberatum fuit. Flumen a glacie Flumen glacie Flumen |-Flumen | liberatum obductum glacie li- glacie obdu- Calend. Tut. Calend.Corr. Calend. Iul. Hr || 4- April. |rs. April. rz. Nov, . 19. - - 3o - a Oo. s. Aptil (r6-/-' . I2. t - 23. us EI B. uibugl7uu- T- .[r 2:089|54. tis 4. ||[27. Mart. AUI m [s Cctober" 7. NOüuembr. .. Nov. Cammjs- dae Pacem ui ree tde Laict m R aan d. d SMETEOROLOGICAE.''^ er Flumen a glie - lumen glacie ^. umen | Flumen liberatum obdu&um a glacie li- |glacie obdu- berum per jum manfit Calend. Iul. Calend.Corr.| Calend. Tul. alend. Corr. dies. per dies - 15. 3. Apr | 3. Nov. ELT 29, -|- 4. April, 123. O&obr. 14. April. 23 - - |125. Mart. 14. Nov. | 203 271 1. De. 1X OTI. 3 Nov. ^|. 212 154. i25." ct s - | 7. Nov. À 227 PREEMÉ 6. April. - - "1. - [Du " 4429 10. 136.1 65 -- - 2" 245 233 132 7T. - - - -. 16..- - . auiraas nal 138 ,. : AES zi [:) 235 13o 2.. " M3. — ou [12e i [e 223 | 134 257. Mare nmmibe c doo : 237 9. April. T--]l]4 - 9. - - --[|»- - Ép'- Mai. 18. - $5 7-7 April 16. - d. mi ex - 0-2. B9..- E. - BAMUABEhis d 81k . Mart. |11. April. 23. - 1 - v - - 24. E v. *. April 2-242 - 7 PA prins dear I3. - - j|26. - -.| rx. Dec. : Mr eod ..- - Lo. O&obr. 3t. OGobr. SPAN. Lem iem - - [rre Nov. p. Nov. Ji19. TA hygs.r$ n3. —- - 24. - e qe 9m oo - [jr2. Dec. 2 5. Dec. g* r7 - - -.| : a - la s i Tem.XVILNouComm « Yyyy Flu- 444 — OBSERVAT. METEOROL OGICAE. Flumen a glacie liberabatur. (ntra limites Gne. Tu Tolian. - | Calenda Corse Amie | 5. . April n — 728. 35. Pos di do 6s. - | s. April. 10. — 6. —— |1718. 32. $5. 56. 61. 62. 64.67. | | 4. April. ko. z— à -——— 21. 11724- 26. 29. 33. 44. 52. 53. $4- 58.59. 66. 69. 72. 73- CERNI 1720..21..2.5. 27. 30: 36- 38. 4.5 ! ; a au. vé» prm i.|1719- 22. 34. 41. 68. 7f. —- 1731.40.49. 60. 63. - - 1759742. 2,5. - - Flumen glacie obducebatur. Emu limites 39 Summa. Calend. Correa. : 1723. 23- 28. 43: 44- 54- $7 6c. : 61. - c 1923.26. 32- 33.42. 4&9. $E $5. 62.64.65. 66.67. - g22. 28$: $3. - - - 1719. 37 29. 68. - Ld - 1772. - - Ld - - Errata. pag. 674. lin. x. loco 7 24, o - lege 714^. o^. —- lin. 10. loco 5 Sept. lege 15. OGobr. & T - — * "X TÉE/fFáA L4 24 j -Nov. Cónunent. dcad . fap.fc. Petropod. 4ó»v.. XVÁE.— Tab. 1. Nov. Comment: Acad mp «c. Petropol. 4m. XVIE. Tul. [re 2 EA P aai Nov. Cirn. Acad. Imp. Sc. Petrop. Tom. XVII Tab. I. b 4 hment: Acad. £mp. de. Pezropot. Torn. ATIC TAA IL d. 30 es de poi) HER 97 gp. | Ur W P E n7 z Y à zi 7 Z 2 o19 924 2à 268 2 NN Zia. Aov.Gormment- Acad. Imp. ee. JPetropod Torn XVI TIT. E * E JM /h3 Vo». Cornimenf Váoao Irnip.«fo. efropot. Jom. XVZ. Tad. Iv E " JNov. Comment--4oad mp ho Petropot. Tom. XVII. Fal JV. Mo "Nov. Cement . Acad. efrnp fre. Petropet.. Torn. XVI. T25 V. 4 iz. uo. 2. EY — B i4 x F1 i : á 3 * s ecco - 3 LU E 7 ^ Lo Con. LE TN EH J 7 e Aes. i [ I- UPOC. Zbzi. XVZ. Zaó VL. Lr AVov. Comment. dcad Jmp .Secent. Tetropot . orn. XVIE | Ta2 VIE. Jov . Comernt. dea. dup. ceo. Jetrapot. Jom. XVII. 124] Aov . Coment. dead. rp ce. AK etropot. Tom . XVII. Tad | S Ww ————————— . m Mov, Grrument, Acad, Dr, Sent. Poleoput, Torn, XH, Tab, X, et XT. - $£ Zu. 2 (oo Rs z ; Mov. Gormerd- Al Bo Biropod Jor, AVIL Ioh. X7 E | IX UA Uu qw i al | is B Pott. Trot tom ment Arad Jo FHropod Torn. XVIE a6 Xin. ou Commento Araa JG Pébropo£. Tosn.XVIT. Ja6 X7 TN J Uli MW NN AD, Nou Commento dad Je Potropol. Jom XVILTAA AB Nov. Comment. Acad. $c. uda ade lom. oZ JIininud. Menf. Parif. 9 Ped. D Z P. Nav. Comment. Acad. Sc d'etropol Tom: XVII. Tab. XV. ERES TED S minaheMewePunyASPeN Su MDLDE Mig. Comer Mead. S2, Hotrepod Jr. XVII Fab. XET ? . g A toy oz. LOTITMCPI- c PA B n orpo JI 722 —AZZLCLA YZZr 14 j ^ | M v í 3 Y - d (M i 72 poll egy. pL L— um Jor. Crwertenrt. Tad. $c PF oetropo! Jor, -XFZL Ub XUI. 3 E ', í ' T" ] La ubi L —— e É- -— ' " ^ £1 ! Mm i , , A "zb via t RU oT AZ - Ww J T , vy B * l á " * , i LI ] & h » i Kl z | get id SM bon " E £ LI NN "i ^ d ul j A MC D] Ll "3 i " P j ki , £4 J IE ' a ( i a et Du "PA gd 5 9 TN ie E TA M b / Bou WP. qr j Mer nona LUNO A : á tha TM.LUPSA J ! P pm - C. "i mum REED »et HH Vimus TREE room in DOS TON "n non Mp M ran HEP mm H Hd In md ine iieden RI Tm eren ERI IM ee: 1859 SV uda Vr Ve Me viia Io eR AEQ OPE