HIDOER tait TELE aan ; 'hopHRTEEEEI JEEHEBPEU d ii nm ton mieidrair e "EHEETET) nm nmm HUEEPPEUE HERI THEM DULHEHHEI » -— no n j i NOVI COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM — IMPERIALIS PETROPOLITANAE TOM. XIX. pro Anno MDCCLXXIV. TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXYV. SVMMARIVM DISSERTATIONVM, : QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM |. TOMVS XIX. a2 MATHE- X X RERUUR. VM EA gs MC DICA Poo noo o OP OIC- Wa PICPSE PRSE RS EEE UPC P CEST BodoRB ob MATHEMATICA: I. | De valore formulae integralis / I lg td caf quo poft integrationem ponitur 2 -— I. Au&ore L. Eulero pag. s. n hac Differtatione liluftr. Ewero propofitum eft, binorum- infignium theorematum - demon- flrationem ex principiis calculi integralis ador- nare , ad quae theoremata confideratio arcuum circularium , qui eundem habent vel finum, vel »tangentem , iam dudum ipfum perduxerat. Poffunt - wero haec theoremata ita enunciari, vt valor for- mulae integralis fupra propofitae, fi I*. figna fupe- riora adhibeantur , ftatuatur effe dE regen ; "n vero ll*. fi figaa inferiora in víüm vocentur, ad- | aA 3 firme- tum 6 ape. 6 )egototot obw firmetur effe — integratione a termino i: n Tang. 7." £0 vsque dd $— 1; inflituta et defignante m fe miperipheriam circuli cuius radius — x. Occurrunt quidem eorundem Theorematum demonftrationes in Calculo Integral Mluftr. Auctoris, quum vero fub- fidia integrationis ex alio Eiusdem opere ,. Introdu- Gio? nimirum in zalym iufinitorum;, petantur; hoc loco integrationem formularum ita perficiendam exifli- mauit, vt fimul principia quibus illa innititur, fuc- cincte compleGeretur ; tum vero pro cafü quo poft integrationem ponitur z— rr, fingularia artificia qui- bus füummatio feriarum abíoluitur, dilucide exponen- da iudicauit, Antequam formulae integralis propofitae iutc- gratio fuüfcipiatur , formulae hae integrales fimpli- ghe e srt S t :-dpE€Y icc - ] "0 o— 1 dem ante omnia fractio rugs in. fuas fractiones fimplices partiales refoluenda efl. Ad hoc autem poracienanghs neceffum eit, vt denominatores 1 -- 2" et 1r —2", in fuos factores fimplices reales et ima—- ginarios refoluantur, Prior fcilicet x -pLz*, cafü tantum quo 5 numerus impar, vnum factorem hà- bet rcalem x 4- z , caeterum omnes füng imaginarii, €t bini eorüm femper in hac forma conti:ebuntur y —22cof D-- 2. Tum vero cof. ita accipi debet, vt fiat cof. 9 (D — — x. et fin. & Q — o, ideo- que "o , euoluendae, vbi qni- e$ (o)s€ —' " que quum anguli quorum cofinus — — t, fint w, 37, 5 7, 7 71 etc. pro (D hiac fequentes deducen- tur valores 7-, 7, *7 etc. Pofterior 1—2^, facto- rem femper habet realem r — 2, praetered cafu 7 nu- meri paris r2, reliqui vero factores femper funt ima- ginarii fub ifta forma 1—2zcof.(p-rz' comprehenfi. Tum autem ita (D accipi debet, vt fiat cof. 5 (D— r, ita vt habeantur pro () huiusmodi valores ?7, 57, t. L etc. Inuentis factoribus denominatorum fim- plicibus, pro fracionibus partialibus ex illis oriun- dis, quaeri debet numerator, ped hunc in mo- dum perficitur : : fit fractio partialis z^—, facileque g" —- fane demonf(trabitur cafa z — f, efe « — ———— hoc in cafu tum numerator quermi SECAPNUISSQE eua- nefcit , erit ergo - Wu cbec(m 1pgT—* — n 2H 3 vnde pofito 2 — f, & —igm-t, Inuentis fractioni- bus partialibus reliquum. e(l, vt integratio inftitua- tur et poft integrationem ponatür z— 0o, ex quo quum integrale. emanefcere debeat, valor conftan- .tis adiiciendae innotefcet. ^ Hoc igitur modo Illuftr. Audor inuenit binas illas formulas Buodzmr uw I2" ? gr LE integratas exhibere valores integrales partim — Loga- rithmicos, partim etiam qui arcus circulares inuol- vunt. Dum autem ad integrationem formulie pro- pofitae E: SEA C Oo ) Ge ew pofitae propius accedit liluftr. Eurus, primum ge- neratim confiderat formulas | gm Yat 2 Pup. 4s et MK vat d 2 exiflente 5 -4- K — 5» , pro his fcilicet formulis in- tegralia logarithmica íe deftruent , ita vt fola rema- neant, quae arcus circulares inuoluunt. |^ Deuique fi pro his formulis integratis, poft integrationem pona- tur z — r, integralia per binas progreílioncs finuum - ex arcubus in arithmetica progreffione, "exprimen- tur, quarum progreffhonum fummationes fingularía requirunt artificia , quibus abíolutis , ifla obtinetur conclufio , quod formulae integralis valor, fignis 7T adhibitis fuperioribus fit em "ETWEX: et fignis inferiorie bus cu m. n lang. —— II. De valore formulae integralis A-— tw RO c -d- £ — e n E? cafü, quo poft integrationem ponitur bake Ys Au&ore L. Eulero pag. 3o. E: confideratione arcuum circularium , qui eun- dem habent vel finum vel tangentem ; iam olim e$25 ( 0 ) $t 9 olim inuenit Illuftr, huius differtationis Auctor, de- fignantibus z7 et /& numeros quoscunque , effe ] "m ELS Lo elo m po Sq o9 We ECL Et. fü--m AL ACUNA EA ete. E— £n. "* -" 7 x. 1 L Y -— T t Y One t etc meine T QU acm! aom — in-m ! sn-A — in—m "4h Yang. —* Lj tum vero easdem quoque feries oriri ex ceuolutione formularum integralium in priori Differtatione .con- fideratarum , fi quidem poft integrationem ponitur £ — r. Quod fi loco ^? adhibeatur 2:À ct pona- tur — À — o, prodibit Li 1 Li itd. I Li CCHTAS ni wa Muir vert Phu BXLOR EX Ef. T $^ — 0 uL g^ — mu LAETYS I EC Di eai 2 cof T5 / 142^ E et 1 L] 1 Y Y Y à -—0 ixa 2 eme dry uec $A-r-O etc. P £^—9 5-0 —-E Tang. *3— f 2AÀ —ÀÀ— gar e In hac igitur Differtatione llluftr. Auctori propofi- tum eft, vt oftendat quomodo ex valoribus harum formularum integralium cognitis, illi deriuari queant, qui refpondent formulis integralibus in fronte huius Diff rtationis propofitis , quod nouo et fingulari ar- tiücio perficit. Pofito nimirum 7T | — 7 "7.0 — 2 X cor s — S et — Tang. -7— T, 2 tam in his valoribus, quam formulis integralibus Tom. XIX,Nov.Comm, ^ ^ b qui- ro «t3 (0^7) cexem quibus: aequantüt" ; ;' non folum quautitatem: z-fed etei- iam o, tamquim variabilem ípectat, vnde . primum diffzrentiando pofita nd i variabili , colligitur j a3—9 pom Pei ds d Dr EIE ue Medis tühi vero denuo différentiando,, pofita fola littera, «r.- variabili, erit GE ds. -— x x L4 o ex: quo viciffim integratiane ita: inflituta, wt fola AL n iced pro. variabili , deducitur px eiut m 7. fia. ze 1 a Lcd RI T e MUR EET Simili modo ex- altera: formula: eoHigitur gn ETE dr, ThE 1a zm, da 4 A cof. Tx eu Lh | sia : doe. Mu j d d í "i Si nunc ponatür GS s et (En WS idem ra- tioeiniuai yia. , 9btinebitur. A—U , $4À--0 et. Edu P M e Tr na. i AUR. 3:5 N COL. T cof. 7x Y 4-3 $5 Tn A-—u 24-0 jy 2fünTr on: FEN n do 7 .À col. TF 05 I—2:/ ^ x» zc 2 Mus modo pertingere, licet ad. formulas inte grales, quae Zz vel altiores poteflates ipfius 7z in- voluunt. Sufficit "Vero. heic" obferuaffe y ellen. genere zl Si— 9 Mf s ferrea zn 2-2) »polito Sz -—c— xv PEL eti.. Lr: ( 9 ) $524 X secipiendum .wero eft fignum füperius f. füerit y nu- Amerus par , inferius autem fi impar, Simili ratig- Re erit uc e ah ee ib. A ] .OCTTUTNNPUDT Y RR - i22 s). pofito - Tx Tang. T5, "héicque fignum 4- valebit pro » muüméto pari, 3- vero pro » numerQ impari. Tnuentio Seiur valo- Á rum pro formulis propofitis redücitür ad fücteffiuas euolutiones diffrentialium (88a 46 (So etc (£D, (183), e 46tC,. "Deinje fi ia fericbus , quibus S'et T década pwd- * Éidbi lias ipfius "d fpe&tetut y confequemur 'quiqire per Yüccefluas différebtiatiopes .,' valorcs Api ($8) mss eK. , br quide obftrüate cortes psc : L gu pen —v(y—1)(y ^ 2». * s TM I "iunt (GAMa]* (53-6 QST aps psc) et figna-fuperiora—valeat (i y. numerus impar ; 4nfe- riora vcro fi y nümcrus par. ^Padem ratioue erit aes ( M ia T TA dv dn S enu. pq -t Ouen 1 . *" L8 JA TGxnge edet GR ete.) de fignis cadem regula valet , 'ac fupra, «util Du Quem- tim: E dbefi 12 eNi(o)fi€ MJ Quemadmodum valores formularum intezrá- lium iam propofitarum , per continuam differentia- tionem formularum S et T eliciuntur , ita per in- tegrationem earundem formularum , dum in 4g ductae füpponuntur , aliarum formularum integra- lium valores exhibentur, cuius rei fpecimen Illuftr. Au&or in Additamento Differtationi praefenti ^ fub- junco exponit. Nam fi ponatur ghc9 d. qt Dd og vbi praetcr variabilem z etiam o vt variabilis con- fideratur, per naturam formularum integralium duas variabiles inuoluentium erit. /S Zu —/2*/V da, vbi in integralibus /5 do, f/ V4, folao vt va- riabilis tractatur, tum vero in integratione /2*/* du, fola e vt variabilis fpectatur. — Ex hoc igitur prin- cipio confequitur effe fSda—iTang.*9-3-9 — m P sid 2^ 4-0 Fg í de als fimilique modo [128—-—Ico 22 —]— quibus aequari debent expreffiones ex fericbus deductae (X -4- 19) (5 V — 9) (s À 4 0) (7 & — w) eic. (X — uw) (sÀ -- o) (5 (5 X-— 0) (7 X -E- t) etc. AA $€ÀX 25 À A [ud $ÀX——UQ 25ÀÀA— (003 etc. Cafuum particularium euolutiones , quae ab Illufir. Auctore propofitae funt , Lectores rerum Mathcma- ticarum et33 ( o Xe EET ticarum curiofi ex ipía Differtatione haurire. noa juterinittent, | III. Noua Methodus quantitates integrales determinandi. Aud&ore L. Eulero pag. 66. Ba Iuftr. huius Differtationis A mars, dum faepius fibi occurriffent formulae integrales, quae per logarithmum quantitatis variabilis erant di- vilae, fe nunquam perfpicere potuiffe, .ad quodnam geuus quantitaturn. effent referendae. De fimplici(h- ma quidem formula huius generis f75 conflabat , eam a termino z — o ad —.r integratam , iufi- nite magnum exhibere. Nunc vero llluftr. Aucto- ri fucceíht euolutio plurium huiusmodi formularum [3 , quae pofito poft integrationem z — r, való- Jes finitae magnitudinis fortinutur. Inter fimplicio- rcs illarum eít haec / (5—** , cuius valorem pri- mum quantitatem finitae magnitudiuis, deinde reapfe ipü /2 aequalem , fingulari ratiocinio heic oftendit ]tluftr. Auctor, quo eodem ratiocinio quoque oftendi poteft effe p mee —l(n--1) "Verum quum hoc ratiocinium per quantitates infinite paruas pro- cedat, llluftris Au&or de planiori Methodo follici- tus erat, quam Methodum ipfi füppeditauit confi- ! b 3 dera- défátio' fastignhi "binas — varinbHes C dmtolaentitnai; Scopus autem huius Differtationis praecigum is. iet; j vt Methodus ifta perfpicge explicetur. — Ex natura. fun&tionum ,. quae, binas variabiles s. eg. v, inuoluunt , colifzigr ,- hut di P aliqua Düiesmodi- Aucrít! Cai &io , fitque CHE t S280 Line d P| — (ds | JP.4 2 — S, viel effe [4 pA Fm s P] M fimilique módo vlterius ptócedendo: - d | dam .id*s L Gur dm ur) ag — d e (T. ete. POET 1 à u$ "wp. ; Hoc principium ,pro praeíenti negotio. , xtile cuadfit, guando.funétio P. ita eft comparata , vt cafu. parti- ulari,. quo peft integrationem ipfi z certus valdi yspote 2:—4 tribuitur, S —/ P4 'abeat "id fün- .Qionem.íclius variabilis 4, tum enim inte rdtionBs füpra memorátae.locüm habebunt, modo po "fiugü- Jas, ponatur Hd. "Simili quoque "modo ex" nütür- a functionum binas variabiles' inuolüentiüm , dedi- PEL pu quod fit /Sdu —[42/P Zu, vbi in integra libus JSdu,f[Pdzu variabilita$: folid$. 2 fpe&taur y tum vero in integrali [25 JP vatibititis Tolids E. Hae veto inte&rationes repeti quoque Poffühtg Oseéy4u PSán-yudmpdufPuduet fdufdwfSdy "2fdzpfdujdwyPwuw. '"Quedü mune. P. ciusmiagi Aft fandio würiabiliumr!z' et 4, vt formülse integlid- Ais f, P d z valor, certo cafu puta e —4,, commode exhiberi queat per quantitatem S, quae fit^ fünttio folius variabilis z; pro.eodem caía s za, fosmalg- "rum lintegralium fd f Pau, f dzfdufP du;wa- -lores determimari poffunt; modo: formulae; f,/S diu , -Ki3 e fdu «£35 ( o) e cS«n 15: JdufSdu integrationem admittant, —Vfüm et ad- plicationem binorum horum -priücipiorum Tilutr, Auéor:vagis exemplis illuftrauit et pro. priori tla—.. tuendo ,. gi id gts—i I mt mm ras s sus j integratione& illae prodeunt, quas. im Differtatione: praecedenti contemplatus erat. Pro pofteriorà flagüens ^ do: P 25: inuenitur | f (COH eMUBA Hays ULM Bir. infinitus , cb - ifisitum pa ponitur z z- 2S. quum valor v .C' non dependeat ab. u.,. ;C £uh- dem rctinebit valorem qui icquid fit v, MISDQUM habs» bitur» - z"gds P cue . ; (E T -2)dz —]n-x L5 ju t5 —I1 mune Áfcéndendo ad alteram integrationem. fiet fdu fP du, —I(r4- PLE et /5 EAR DRE EN xz —., ideoque-fgu fS du— ee 3) ut r)—ri-rCerFD 2 44]z : : E -ari] I2 e - hinc 'tzibus Butgsmoiht integralibns: con- iunctis elidi poffunt. conftantes C et D. Deinde f ponatur | P 16 ec (o )fs eU uim | 1 u--d- x "Tu prodibunt formulae integrales , quas Illuftr. Eulerüs in Additamento prioris Diflertationis fufius contem- platus erat. — Praecipue vero beic occupatus eft in €0, vt principii iam. ftabiliti adplicationem faciat, ad formulas integrales / *^*, fPu, atque f 925, J/Q4u, dum fcilicet ponitur P —zcof.u4- 2^ cof. e uz) cof. 5 t&4- s "cof. 4.04 etc. et Q—zün.u-E-z fin.22--z' fin.5 44-z fin. 4 4 4- etc. Relationes autem ifiae horum integralium inueniun- tür, vt fit je -— —fQdu; £i itm —fdufPdu; , (25 f [235 — e fdu fdufQdu etc. nec non yop Pd: [T pe —fdufQdus [52/22 f[82* — — f du fdu fP du etc. Tum vero fi illi valores 'integralium defiderentur , quos confequuntur pofito Z — r, in formulis inte- gralibus , vbi folus angulus £ pro variabili babetur, ante integrationes iam fltatuere licebit z — rz , ex quo fiet pru efeu a Q———l — Y 1 : JP du A ud fuu [Pug cB. Api J4du[dufPdu—C-Bu-ctiAw-—1w ctc. nec non fQ4u-ifin.iu;fdufQdu-/dulfn.:u, ' cuiu$ p ede (0)tt6 17 A euius integralis enolutio non conítat, Pto formulis variabilem € inuoluentibus , colligitur: ds r?*dz.— Pdz]j,.fd»fdz rPdz.— Pdzp, Ber Dey Ins f FER roc EIE ete pofito nimirum £ — r, ita vt hinc valores integra- lium qeepi" vel post fum per arcum 4& expreffos aífgnari liceat, cafu quo poft integrationem ponitur £ — r. IV. Demonftratio "T'heorematis Newtonia- ni, de Euolutione poteflatum bino- mii, pro cafibus quibus exponentes non funt numeri integri. Au&ore L. Eulero pag. 105. heorema binomiale, quod quantitatem (2 -4- Dy euolutam exhibet, fundamentum conftituit to- tius Analyfeos fublimioris, ideoque tanto magis ope. rae pretium eft, vt eius veritas pro quocuauque va- lore exponentis z íolide demonftretur. — Modus. au- tem quo Summus Newiorur ad hoc Theorema eft perductus , eius veritatem nonni( pro exponente 7 numero integro patefacit ; ita vt dubium effe queat, an idem Thcorema quoque valeat pro exponente 7, fiuc numero fracto, feu negatiuo , feu adeo irratio- Tom. X1X. Nou. Comm. c nali, :$ ef32 ( 0 ) $s3e» nali. ^ Dantur enim eiusmodi cafüs, vbi formula quiepíam vera eít, quoties exponens s numerus jn- teger pofitiuus fupponitur, at a veritate multum abludit , fi 7 ftatuatur numerus fra&us; cuius rei infigne fpecimen heic exhibuit Illuítr. Ewulerus. Hoc igitur incommodum perpendens , demonfítrationem huius Theorematis.ex analyfi infinitorum petitam olim tradiderat, quam tamen a vitio petionis prin- cipii haud prorfus immunem effe, iam agnofcit ; fiquidem ip(a analyfis infinitorum Theoremate bino- miali innititur. — Et licet vel maxime haec demon- ftratio ex. analyfi infinitorum ita adornari poffet, vt veritas eius pro cafu exponentis ;; numeri integri tantummodo, füpponatur ; tamen negari nequit de- monítrationem: cx meris Analyíeos finitorum ptinci- piis deductam , effe praeoptandam. Huiusmodi au- tenv demonftrationem ir Tomo VIII. Nouor. Com- mentar. exhibuit Illuftr; Academiae no(trae focius Jepinus , in qua demon(tratione vix quicquam defi- deratur , nifi fi forfan quod in eliciendis valoribus coefficientium pro ferie, cui (x 4- x)" fupponitur ae- qualis ,, multum inductioni fit tribuendum. Quae ab Illu(tr. Euro heic proponitur demom- firatio,, iti procedit, vt non tam quaeratur quomos do quantitas (r-r x)" euoluenda fit ; fed potius qui- nam fit valor feriei I -En ange SE n x pma etc. il. 2 de qua quidem férie conflat, eam cafu m numeri integri, acqualemv effe (r-i- x)', generatim vero: huius: -— e$22 ( o ) $52 19 huius feriei valorem indicandum iudicat liluftr. Au- &or, figno [z] . Quodfi nunc duo talia figna [m] [z] in fe inuicem ducantur, «et produétum exprimi fupponatur per feriem I--AX--Bx-L-Cx etc. coefficientes A, D, C per litteras zz et n determina- ri euidens efít, patetque modum quo haec detcrmi- matio fit, ab indole litterarum 7 et t; non peudere, ideoque eundem effe fiue zz n füpponantur integri , fin fra&i. At fi z, n numeri integri , eft omnino [m][2] — (x 4- 3)" ^ — [m 3-1]; vnde generatim quoque pu)pn]— [m 2], Dxj[]Lp]— Donna p] et py-t nj Hinc colligitur [z] IMS üj , vnde veritas Theorema- tis pro cafu 7 numeri fracti innotefcit , fi 7 ita af- . fumatur vt 2? euadat numerus integer , eft enim in]-- (x 4- xy" hinc [in] — (14-3 — [n]. Si 7 denotet numerum negatiuum, fit n—— t£; tumque ob s nx Menta icd I, fit [4] — 5:4— ( EXP (r7 (x 2o eg )o(tHe V. Problema. Diophantaeum fingulare. Au&ore L. Eulero pag. 112. po cuius refolutionem heic tradit llluftr. Eufrur, ilud efl; quo duo quaeruntur nume- Ij, quorum productum vtrouis fiue auctum fiue minutum euadat quadratum. — Quum igitur hos nu- meros fractos effe oporteat, ftatuantur zo, exquo colligitur vtramque. hanc expreffionem -xy M- xz et Xy 3-4 * quadrato aequari , vnde vtraque huius erit formae a4-4-b6b-I-2ab, ideoque xy fit —aa4- 5b -—e6--dd,tum vero remanet vt. 257, fiat qua- dratum. Si pro s, f! tales accipiantur numeri vt fit mm--nn-—r, crit e—ma nó et. d—na—mb, tum vero fi ponatur gm — $8—34; g—. P9. PP--324? PP--44 quaeílio eo reducitur. vt expreflio aabbp'-—- 2ab(aa-bb)p'q--2 aabbpp qq —2ab (aa—bb) pq A- aa bo Q. -F(sa—b) pbq4 euadat quadratum , modo «a-4-£5 fuerit quadratum, quod facile obtinetur , ponendo p-—«4ab(aa—65b) et q—a *-6aabb4- b. Verum quum ex fimpliciffimis valoribus ipforum & ct b, valde mágni prodeant pro fractionibus 7,7-, inquirendum iudicauit llluftr. Eulerus an non folu- tiones in numeris minoribus inuenire liceat, Et li- cet prima quidem tentamina , quibus fuperiorem fo- lutio- e$3(0o)29- 2I Jutionem contrahi poffe exiftimauerit , non fücceffe- rint, aliam tamen deinde inuenit folutionem valde planam et facilem. — Scilicet. ponendo numeros quae- fitos A, B refpc&iue aequales fra&iooibus 55-5? et 5:23, quae(tio co reducitur, vt hae fractiones e:-2-^5 cc-Fd4 euadant quadrata. — Si igitur füppo- Caebcá P? abcd , nantur numcratores quadratis aequari , remanet tan- tum vt produum a bcd fiat quadratum. — Condi- tione quà a4 -- bb, cc-1- dd füupponuntur qua- drata folutio quidem limitatur., at baec conditio fi- mul ad fimplicifimos valores deducere videtur. Po- fitis iim — a—pp-44; b—2pq; e— rr—55, d—2ar5 ficri debet abcdcepq(pp—qqarsirer—s5) ita vt quaeftio reducatur ad problema iam notum ; quo duo triaogula rectangula in numeris quaeruntur, quorum arcae inter fe fint acquales. LI € 5$ V1. 22 eBP(e)fU. m— bici o dee Ben cem De Tabula Numerorum Primorum vs- que ad Millonem et vltra continuan- da; in qua fimul omnium numerorum non primorum minimi diuifores exprimantur,. T * Au&ore L. Eulero pag. 152. b haec Differtatio expofitionem modi, qug Tabula numerorum primorum vsque ad. millies mille ; vel vltra fi placuerit ,. labore haud ita ope- rofo confirui queat, Si enim in huiusmodi Tabula omnes numeri ofdine recenferentur, non folum. eius confirudio nimis euaderet operofa fed etiam in vo- lumen valde magnum excrefceret ; hoc vero incom- modum vt euitetur omnes numeri ex hac Tabula excludendi funt , quorum diuifores fponte inno- tefcunt ; quales funt praeter numeros pares, qui per 38 vel 5 diuifibiles funt. — In hanc igitur Tabulam alii non referuntur numeri, nifi quorum diuifores fint, vel 7, vel zx vel x3 vel alii numeri primi maiores, cuiusmodi vsque. ad triginta numerantur octo. Numeri igitur hac Tabula comprehenfi, hac forma generali exhiberi poffunt 50 4-1- r, vbi 4 de- fignat numerum quemcunque, r vero non nifi oco valores recipere poteft, ; 1; 7, I1, 18, 479 199 25,29: Quod e$ (o ) toes *3 Quod fi nunc in forma quarta huiusmodi Tabula fit conflruenda , in qualibet pagina quinquaginta valo- res litterae q in prima columoa verticali locum in- venire poterunt , huicque columnae adiungi | debent oco a latere, quae refpondent octo valoribus litte- rae fr. Quoniam itaque quaelibet pagina continet quinquaginta valores litterae q, vnaquaeque autem 4 valeat 30, cenfendum eft quamlibet paginam conti- nere r5oo numerus, illis etiam comprehenfis , qui in Tabula non comparent. — Hinc fi Tabula vsque ad millies mille fit cenftruenda , 666 paginis abfol- vetur, quod volumen pro nimis magno haberi non debet. Si in genere quaerendi fint numeri formae goq-r,qui per numerum primum- quemcunque datum P fint diuifibiles , notandum e(t quod fi vnus quispianr innotuerit valor ipfius 4 fatisfaciens, omnes alios hinc deriuari poffe, pro dato nimirum . valore ipfius r. Nam íi pofito 4 —4, fiat 30 a 4- r diui- bilis per P, erit quoque 30 4 f diuifibilis per P', fi pro g affümatur aliquis valorum cz 4- P5 2 4- 2 P, €4-3. Pet. vcl a—P,2a—2P,a—gPetc. Si itaque pro qualibet columna verticali prima, conftet areola , cui. numerum. P tamquam: diuiforem infcribi Oportet, tum per omnes paginas fequeutes areolae , quibus idem numerus infcribendus cít; facillime de- finientur. . ]n eo igitur praecipuus labor verfatur, vt propofito numero P, pro fingulis refiduis r, de- finiantur minimi numeri g, qui formulam 504--f diuifiblem producant per P, nam his numeris ia- ventis 24 ex22 ( 0) $sfee ventis , reliqui valores ipforum 4g, continua addi. tione numeri P inuenientur. ^ Quomodo vero inue- ftigatio ifta minimorum numerorum 4, propofitis di- viforibus feptem iftis numeris 7) YI, I8, 17, 19, 23, 29 pro fingulis reGduis r; fit inftituenda, id Illuftr, Auctor feptem Problematibus oflendit quibus tamen recenfendis non eft vt immoremur, quia deinceps totam. hanc inueftigationem octo. problematibus ge- neralibus comprehenfus efl. Haec autem problemata ita enunciantur ; propofito diuifore primo 30a-t- 15; 302-- 7; 304 -- 11; 30a -- 13 pro fingulis refiduis r, omnes inuenire quotos 4, vt formula 50 4 4- f fiat diuifibilis, per aliquem diui- forum propofitorum. — Vt idea folutionis horum pro- blematum conftet, felisamus illud quo ponitur diui- for primus huius formae 30 24- 11. Quum itaque minimus numerus hoc diuifore fignandus fit 30. 302a -1- 80. 22 4 -1- 121 pro hoc numero erit q—580aa--224--4 et r— r. Iam pro reliquis numeris per 30 2 4- 11 diuifilibus, quia tantum numeri defiderantur impares , ad nume- rum füpra inuentum continuo addatur 60.a 4 22 — 2 aU -- 22/7, fiue (2 a4 1)? — 8? hocque modo ifta conficietur Tabella eBi(o)Sme 2$ e ; govada-r 35.944. .. . I 30.2a--24.0--4 .... 23 go 444-26.04-5 ... . 15 3o^ald :4-28;29-P 6 .... 3 * $0.22 -4-30.0 4-6 .... 29 0 sgo.42--32.2--'2?.... 2T 2 8o «2 F3423T$8.... x13 ete. etc, hinc vero feligantur illi quoti: 4, qui refpondeot octo refiduis .affumtis, 15,72, LL54:13» *7,.19; 234.29. Re(dua enim. eiusmodi vt 15,21, 5, 27, 3, 25, fponte liquet , numeros exhibere per 5 aut 3 diui- fibiles , qui. ex Tabula. exclufi funt. Singulis his oco. . Proolematibus. lllu(tr. Ewerus Tabulas fub- iünxit, quae minimos exhibent quotos pro diuifori- bus formae propofitas, millionario minoribus, ad fingula o&o refidua relatos; Tum. vero ex. octo his. Tabulis, Tabulam generalem fub(üidiariam. confecit , qua pro omnibus diuiforibus primis a 7 vsque ad I000, minimi quoti fingulis. octo refiduis. refpon- dentes, exhibentur. (Hoc autem. praeftito, opera ipía Tabulas conficiendi in eo confiflet ,, vt procedendo a numeris primis miuuribus ad maiores, pro quouis ex Tabula fubfidiaria exquiratur quotus 7, qui. pro refiduo r exhibet numerum minimum formae 30.4--f per propofitum diuifibilem. Quodü hic diuifor di- catur D, in columna vertcali quaeratur valor ipfius .Q, tumque in eadem linea horizontali , fub refiduo r ^ fom, XIX. Nou. Comm. d illa 26 ed (0)zf3 illa inuenietur areola cui infcribi debet diuifor pro- pofitus D. Reliquae autem arceolae eodem diuifore implendae inuenientur, fi pro 4 fíucceíffiue adhibean- tur, 2--D, ?24-2D, q-- 3 Detc.. Areolae. quae diuifore non impletae funt , figuentur littera 5, quae fignificabit numerum huic areolae refpondentem effe primum, Víus autem huiusmodi Tabulae facilis eft,. nam propofito numero quocunque , quem examinare quis voluerit , vtrum primus fit nec ne, et quos- nam habeat diuifores , diuidet iftum: numerum per 350, quotusque dabit valorem litterae 4, re(iduum ve- ro erit r. In prima igitur columna verticali quae- ratur numerus 4, €t a latere inuenietur areola fub refiduo r, quae oflendet vtrum numerus fit primus, vel quemnam habeat minimum: diuiforem, Vt con- fiructio ipfius Tabulae eo facilius procedat, totus labor inter plures perfonas diflribui poflet, in feptem ex: cauffa penía , ita vt primum a o ad 50o0,fe- cundum hinc ad xoooo, tertium ab hoc termino ad. 15000, quartunr ab hoc ad 20000, quintum ad 25000, fextum ad 30oooo ct denique féptimunr ad finem porrigeretur. - Quo autem: melius. perfpicere— tur idea huius laboris, Tabulam: adnectendendam iu- dicauit Illu(tr. Ezbrus, qua valores ipfius ga 33300 ad 33400 comprehenduntur, ideoque illi numeri ,, qui millies mille: proxime fünt. minores. VII. (0 oret (o ) tide a 3t VII. De refolutione Polygonorum reüili- . meorum. Diflertatio Prima, Au&ore A. I Lexell pag. 184. (o lam diu regulae pro refolutione triangulo- | rum, Geometris familiares füerint, mirari licet, «ur non reliquarum figurarum rectilinearum- refolu- tionem adgreffi funt; quod fine dubio ea de cauffa fatum eít, quia refolutio reliquarum figurarum ad «ommunes Trigonometriae regulas. facile reducitur. Intetim tamen ad promouendos fines Geometriae xtile erit, fi pro hac refolutione regulae exhiberi qucant generales et a praeceptis Trigonometriae in- depeudentes, quo in negotio Auc&or huius Differta- tionis praeuntem habet Cel. Lomberr, qui ideam Tétragonometriae feu doctrinae de refolutione qua- drilaterorum primus exhibuit. — Quum pro quolibet Polygono praeter parter eius principales , latera et angulos quibus includitur, confiderari quoque pos- fint lineae diagooales et anguli, quos hi fiue inter fs, ieu cum lateribus Polygoni conflituunt facile intelligitur ; fi fiogularum harum partium quis ra- tionem habere voluerit, rem fore valde difficilem et operofam ; quare Audor nofler confiderationem tantum partium principalium fufcipiendam iudicauit, imprimis quod tota haec inuelligatio ad bina prin- d 2 cipia i. ETT cipia aeque generalia, ac facilia, reuocari queat, Sunt vero ifta bina Theoremata : 1 "V i! Si Poloni vedlilinti anguli externi dicantur a, B, vy, 0,0... et Tetera. ipfis. interiacentia. "relpectiue Lid gnentur. pef 3, b, C. d ul oefit I. afin.a4- bfin.(a-4 Q)- c. Gn. (a4 Gy)... in. (a B4-ny.. AX—o 1L. acof.a--£cof (a4 )4-e.cof. (a4 B y)... cof Car (y. ap —0O «bi quidem fin. (a -- 8 -- y .... 4 X) poni poteft O et eot (a Br Y see 4 X) — r. Per combinationem binorum horum Theorematum omnées.eae aequationes inuenientür , quae re (ole vniuscuiusque Polygoni inferuiunt , . id quod Auctor nofter exemplo Tetragoni , Pentagoni, Hexagoni et Hepta2oni ita. illu(trauit , vt. fimul haud obfícurum efle pofiit quomodo. res pro. alio quocunque Polygono fit perficienda... Vt vero applicatio aequationum fic in- ventarum ad reíolutionem , Polygonorum fieri queat, praeprimis noflé oportet , quaenam quaeítiones pro vnoquoque Polygono refoluendae occurrant | Notum autem eít in. vnoquoque. Polygono requiri ,. vt fi late- rum numerus fit 4, partes cognitae habeantur 2 7 — 3, ex quibus partibus faltem .s& — 2 latera occurrere oportet. | Nam fi tantum 5— 3 latera haberentur cognita , problema non effet determinatum , fiqui- dem vnus Polygoni angulus, femper ex reliquis de- terminatur. In aequatione igitur pro refolutione Polygoni, femper 2 (f — 1) occurrent partes, et prou- ti inter has partes vel omnia habeantur latera , vel tantum etit (co) tie T tatum 4 — 1, bina -folutionum habebimus genera. In priori vbi n occurrunt latera et g—2 anguli, .quae- fi poteft vel quodpiam laterum , datis reliquis. nu- meto 5— x, et angulis numero 5 —2» , vel quis- piam angulorum , datis omnibus lateribus et angulis numero 5— 3. 1n pofleriori genere ex datis late- ribus.numero 27 — I! et angulis numero f.— 2, quae- ritur quispiam angulorum, Praeter haec autem bi- na genera , habetur adhuc tertium vbi ,ex angulis n —r et lateribus n — 2 quaeritur .quodpiam late- rum, diítinguendum autem e(t hoc genus a priori- bus, quia heic omnes Polygoni auguli reapíe funt cogniti. ^ Quaeftiones. ad vnamquamque claffem per- tinentes , in ordines redigi poffunt , fi attendatur ad fitum ,-quem partes omiffae inter, fe tenent ; quum - igitur pro prima claffe bini anguli jin ,aequatione non reperiantur folutionum ordines varios |habebi- müs, prouti inter hos duos angulos ,vnum,, , bina, trina , etc. latera interiacent ; hocque modo pro nu- mero laterum fiue impari 2 42--1, fiue pari — 2.87, confequemur 47. ordines. In Secunda .claffe, vnum la- tus, vnusque angulus ex aequatione exfulant, igitur folutionum ordines coguofcentur ex fitu, quem tenet angulus omiffüs refpectu lateris, omiffi,; , hincque, pro numero laterum impiri 2 m «t , bacc. claffis . dabit fi-L 1 Ordines, pro-numero autem pari 277, tàntum $» ordines, 1n Tertia.clath refpicieadum folumumodo eft, ad fitum lateris quaerendi, refpe&u lateris omis- fi, Solutiones vero íub vnojuoque ordine primae €laffis contentae reperientur , . fi attendarur ad latera : d'3 et go | «$32 (0 ) Sto» et angulos, qui refpectu angulorum omifforum eun- dem tenent firum , et quidem fi numerus laterum fuerit impar » 5 -Lr, wnusquisque ordo 277r diuerías praebebit folutiones, vnde íolutionum nume- rus 5; (2 5 4- 1); fin vero fuerit numerus laterum par, duo cafus iterum -erunt fecernendi, prouti fcilicet hic numerus fit vel paritcr par, vel impariter pat. Pro priori cafu pofito numero hoc — 4 4-2, 2 44 ordines primae claffis praebebunt 4-z:-- 2 folutiones, wnusque 2774-1 folutiones , hinc omncs coniunctim (4 m 13) (2 m4- 1) folutiones. Pro numero laterum pariter pari 4.77, 2 7: — x ordines dabunt 4: folu- tiones, vnus vero tantum 277, hinc omnes iunctim 2m(43— 31) Pro fecunda claffe pofito numero laterum impari 2 7 4- 1, ordines z dabunt 2 zz; fo- iutiones , ynus vero z; folutiones tantum, hinc omnes junctim z74(27:-- 1?) Pofito nvmero laterum pari , vnusquisque ordo pracbet tot folutiones, quot angu- li funt Polygoni demto vno, hincque omnes iunctim pro numero laterum impariter pari (45Ó4- 1)(2 m-4- 1) et pro numero pariter puri 2 f/(4.5 — 1). Hincque r:gula jam deducitur generalis ; fiue numerus late- rum fuerit par feu impar, fi exprimatur per NN femper effe numerum folutionum ad. binas priores claffes pertinentinm "IN (N — 3). Hinc pro triangulo habebuntur 6, pro Tetragono 1:2, pro Pentagono 20, pro Hexagono 30; ficque Bosius: Ad finem huius Differtationis fubiunxit Cl. Auctor folutiones non- nullorum Problematum ex doctrina comb: nationum , quae cum hoc argumento quandamr habent affinita- tem. eB o)fHe T tem. Sunt vero ifta Problemata :. pro quolibet Po. lygono determinare numerum diagopnalium , qui po- fio numero laterum IN erit 5—2; inuefligare nu- merum angulorum in quolibet Polygono fiue late- rum fíeü diagonalium, qui erit — BE AESECAM tum vero inuenire quot modis data puncta quorum nu- - merus eft M, ita lineis rectis iungi poffunt, vt oria- tur Polygonum numero laterum N. Numerus au- tem horum modorum erit | | X (M-1i)(M-2) (M-3)....(M—N-F2)(M-N4- 1) Binc & M—N, fiet —i(N—D(N-2)(N—3)... 2. 1. PHYSICO- $i —owÉÉ Co) es PHYSICO- MATHEMATICA: ! : Commentatio phyfico mechanica ge- | meralior principii de coexiftentia vibra- tionum fimplicium haud perturbata- " rum in fyflemate compofito. Au&ore D. Bernoulli pag. 259. Commentariis noftris et Derolinen(ibus infertis, profundifimae iam extant Cel. Auctoris disqui- fitiones ,, idem in hac differtatione aliquot exemplis atque ipfo experientiae teftimonio confirmat. Omnia corpora fonora infinite multos fonos et infinite mul- tos modos correípondentes peragendi vibrationes fuas inuoluere «et in qualibet vibrationum diuería fpecie inflexiones partium -corporis diuerfo modo fieri, Cel. Auctor exemplo a chordis muficis defumpto oflen- dit; in eiusmodi enim chorda faepe fimul duo plu- resue foni re ipía auditu percipiuntur; ita, vt at- tentus mufíicus, praeter fonum fündamentalem eius- que duodecimam , tertiam quoque maiorem octauae duplicis fiue decimam feptimam fimul fonantem di- flinguere queat, nec nifi nimia cum fíono fündamen- tali confonantia impediatur, quominus et ipíam octa- | vam P hoc, de quo in variis differtationibus, mf22 ( 0 ) $92» 33 vam. cum octaua duplice fubaudiat. Porro fi lami- pa chalybea longiufcula , cuiusmodi plures combina- tac ludum muficum gallice carillon dictum effor- mant, e filo fufpenfa percutiatur ; plerumque pro re nata quatuor pluresue foni diuerfi, diftin&i atque pleni; immo in choro mufico finguli foni ; non te- nore folum, fed et modificatione inftrumenti difcrepan- tes , etfi fimul fonantes et. in eodem a&re ad.aurem propagati, diftinc&e tamea e longinquo auribus perci- piuntur , manifefto indicio, innumeras vibratiuncu- las in qualibet particula aérea excitatas minime fefe perturbare , fed fingulas, ac fi. vnaquaeque fola effet, fuam illibatam tueri indolem. ^ Sonos laminarum eiusmodi chalybearum ingeniofa methodo fcrutatus eft Cel. Auctor; analoga ei, qua JVewionus radios di- verficolores examini fuo fuübmifit ; cum fcilicet in- tellexiffet , laminam inter vibrandum figuram affü- mere anguiformem , quae axem in diuerfis punctis interíecet totidemque quafi 7070s efüciat: methodum hinc deduxit fagaciffmus Vir , ex eiusmodi lamina percuffa inter plures, quos edit, fonos datum quen- dam folum , fuppre(üs ccteris omnibus, cliciendi ; quaelibet fcilicet vibrationum fpecies et quilibet fo- nus ifli fpeciei debitus determinatum fuum habet eius- modi nodorum numerum ;; ita, vt pro fimpliciffima vibratione et fono fundamentali duo, pro 'equente tres et ita porro nodi fint crituri, quorum pofitio- nes calculo definire Cel. Auctor iam olim docuit. $i ergo v. c. fonum , ordine fuo tertium adeoque wibrationibus quatuor nodos formantibus . debitum , Tom. X1 X. Nou. Comm. [- folum 34 e$ (0o)$5- folum ex lamina percuffa elicere placeat; notetuf ifte fonus in monochordo; tum lamina iu fingulis quaternis nodis digitis comprimatur et percutatur quo fa&do ea eundem , fi experimentum omoi cura inftituatur , fonum eft editura. Hifce praemiffis Cel, Auctor vfum principii fui latiffme patentem in ab- firufifümis huius argumenti quaeftionibus euoluendis comprobat, et in hac tlicoria plene contineri often- dit, quicquid catenae fufpenfae , et chordae tenfae fiue vniformiter fiue inaequaliter craffie , motibus fuis reciprocis, proprium habent; vbi notandum eft, vibrationes illas in fyflemate coexiflentes alias effe alis tardiores ; in chordis vero vniformiter craffis vibrationem cuiuscunque ordinis exacte fübmultiplamt effe vibrationis fundamentalis ; vnde intelligitur ,- fi omnes omnium ordinum vibratioues fzzz/ incipiaut , chordas vniformes pro qualbet curua initali poft quamuis vibrationem fündamentalem ad flatum quiíe- tis momentaneae reduci ; quam proprietatem primus animaduertit Ill. D'Afemberr ; cui tamen theoremati hanc addit conditionem Cel. Audor, vt radiüs ofcu- li feu curuaturae pro quouis puncto pro infinito id eft infinities maiore , quam longitudo chordae , poíht affumi ; vn!e omnes varationcs, quae per faltum fiunt , excluduntur. — Poffunt vero etiam vi- brationes. diuerforum ordinum om fimul incipere; quem cafum quoque complecitur principium Ber- noullianum , vnde Cel. Auctor folutionem inde pe- titam multo gcneraliorem exiítimat ea , quae a fume mis Geometris eft allata. Inprimis vero infignis illius HP(ofe s 35 illius eft vfus in foluendis quaeftionibus eiusmodi ad fiftemata corporum numcro finitorum.- quotcunque pertinentibus , qude non videntur alia methodo per- tracari poíle; quod argumentum Cl. Au&or exem- plo eoque fimplicifhmo illu(trat, dum fcilicet con- fiderat pendulum bimembre, in. quo duo corpora filo intermedio connexa , fuperne altero filo fufpen- duntur motibusque rcciprocis agitantur , quorum phaenomena hic acutifüima analyfi indagantur. ]I. Commentatio phyfico- mechanica fpe- cialior de motibus reciprocis. compoft- tis, multifaris, nondum exploratis , qui pendulis bimembribus facilius ob- feruari poflunt , 3n confirmationem prin- cipi fui de coexiftentia vibratio- num fimpliciorum, bier Dan. Bernoulli pag. 260. prose differtatio plenam continet 'euolutionem vibrationum penduli eiusmodi bifili ; duobus penduículis onufti , cuius modo m«ntionem fecimus, Preuitas partim , partim quoqne commoditas, quo fcilicet experimenta , calculos theoriae CORRER, . €uaderent faciliora , fuascrunt , vt Cel. Auctor. ca- € 2 - fum 86 «t$ Co) Se fum fimplicifüimum eligeret et fimul quoque pen- .dulum illud bifilüm (tatueret. aequimembre. — Dua - itaque elementa füperfüt, a quorum variis condi- tionibus vibrationes peuaduli abfolutae vàriantur; nem- pe i relatio inter maffas binorum corporum et e^* diflaniiolae illas ad quas ambo iila poadufcula in primo motus abfoluti momento concipiuntur didu-. Ca; Singulae huius penduli vibrationes abfolutae componuntur ex duabus ofcillationibus | regularibus binorum iftorum corporum ; pro vtraque a(lignari poteft longitudo penduli fimplicis ifochroni ; et ra- tio inter: longitudines duorum horam pendulorum fimplicium pendet a relatione inter maffas pondufcu- lorum; pofita fcilicet. maffa corporis fuperioris — inferioris — p. erunt duae illae loagitudines. quaefi- tae —/-- Y Lt vbi figaum fuperius pro ofcil- litionibus celerioribus , inferius pro tardioribus valet, et / deügnat longitudinem fili vtriusque. Si itaque : 2 z B fütuatur. 7—7Y it: 44V Lh zai, wi & 5; tempora ofcillationum fiiuplicium | eruat commeafurabilia , quae autem i denorentur per £ et T; figatur in genere T — z£. - His pofitis. Cel. Aucor diuer(arum hypothefium euentus percurrit , prouti £ fuerit numerus aut rationalis isque vel in- teger vel fractus aut irrationalis; et.fingulis cafibus phaenomena totius vibrationis abíolatae inueftigat, oflenditque , quomodo experimentis haec theoria vl- terius pofüt confirmari ; vbi etfi negari nou poteft, inter perpetuas rérum omnium variationes motibus iftis poft magaum eorum numerum ab alienis im- pedi- es (o)z283- 37 pedimentis phyücis vix euitabiles a20malias iadutum dris experimaentacoris tamen iütelluzeatis. oculos emie canta veritatis veiligia haud effugient. la fiue di(- Wertatious Cel. Auctor notatu maxime dignum af- frt exenplan de ünzuladi ofcillationis genere in bilance ooferuitae , quod ipfis Cel. Auctoris verbis h:c receníebimus: Cun aliquaido in libra , | mairri. eaque. [a*pigra, alzram launcem forie fortuua. ad latus dinucerem mox- . que vur[us- dunitterem , accidit vtique , vt. protinus binc nde ojcillaret nec a5- initio lanx oppofita de loco moue- retur ; mv auien ei baec quoque agitari fenfimque ma- dores ofcilitionzs formaye, dun e courario lanx. prior uotum [uim ovilatoriun gradatim perderet | tandemque fere quiejveret.; boc. ipfo momento aidera maxvauus- mo- iuis gradum , initiali laucis [oviae fere aequalem , at- puge»at ; Qunc ordine couprario eaedem anutaliones vepe- debautar , 5que dum prima laux motum fuwm primiti- -um iuegram refumeret jJoviaque quie ad woueutua seddezreiur ;. bazc autem | ojcillationum | communicatio qe reciproralio diu. fatis. . fe - manifelabat. | Atjue huius motas ofcillatorii a Cel. BernmwZ2 hic deleripti .de- -erninatio, dubium eft nullum ,. quia. fit. maxime arjua et (iijuliria prorfus poculet Aoaly(Sos arii. ficia, | 35 ex.(o)$e9e -— III. De Ofcillationibus minimis penduli quotcunque ponduículis onufti. Au&ore L. Eulero pag. 285. . E huius differtationis Ill. Auc&or hoc argumea- tum a primis inde mechanicae principiis repetit; confiderat fcilicet pendulum tenui(fimum fiue graui- tatis expers, cui pendufícula quotcunque data in da- tis a fe inuicem interuallis fuerint alligata , et mo^ tus qualiscunque oícillatorius initio impreífus; tum pro determinato aliquo fitu , quem elapfo quodam tempore hoc pendulüm eft habiturum , 1l. Audor vires acceleratrices inuefligat , quibus fingula illa pondufícula follicitantur ; vnde per notás mechanicae leges totidem adipifícitur aequationcs differentiales fe- cundi gradus, quibus motus determinatio continetur. Vix autem iu refoluendis his aequationibus, quae pro quantiscunque etiam ofcillationibus valent, pe- dem proferre liceret ;. nifi excuríus penduli ftatuan- tur quam inimi; hac vero conditione etfi inuentae aequationes haud parum contrahuntur , nec nifi vni- cam continent variabilium dimenfionum; carum ta- men refolutio adeo nonu eft obuia, vt pctius- non nifi plane fingularibus fuccedat calculi artificis, quae Ccl. Audor hic dilucide exponit ; vbi fimul cuinci- tur, principum DBeinoullianum , quo omnes huius- modi ,ofcillationes ex duabus vel pluribus motibus ofcil- ex22 ( 0 ) $90 39 ofcillatoriis fimplicibus et regularibus componi fla- tuuntur, in primis motus principiis effe. funaatum, . Cum vero haec ll. Auctoris refolutio vix ad plura, quam quatuor, pondufcula felici fucceffu pos- fit adhiberi ; alia eaque maxime elegans methodus hoc problema perfectiffüme —refoluendi adiungitur ; quae vero iam hac fiogulari diíhcultate premitur, yt vix vllo modo ad, cafüm determinatum., quo .penduli flatus initialis praeícribitur , pofüt , fi vel tria tantum fint ponduícula , adaptari. Sub finem differtationis lll. Auctor in fpecie eum cafüm euol- - yit, quo omnia ponduícula et omnia eorundem in- teruilla füppoouautur aequalia, eumque ad aequitio- nem ordinis 7 perducit, cuius fi elici poffeot radi- «es , completa huius cafus haberetur reíolutio. "AN De motu ofcillatorio binarum lancium ex libra fufpenfarum. Au&Gore L. Eulero pag. 302. Nune hoc motus ofcillatorii genus ab Ill. Ber- noullio obfernatum füpra iam in Summario differ- tationis fecundae Ill. .Berzou/ defcripfimus. In hac, de qua agimus, differtatione lll. Eulerus id operam dat; vt motus huius fingularis admirabilia phaeno- mena, quibus euoluendis fübfidia analytica ad mo- tus 49 e$ (o) $t tus ofcillatorios. definiendos a Geometris adhiberi fo- lita vix fuffücere xidentur, e primis inde motuum principiis perfcrutetur omnesque cius circumftantias follicite expendat. Prima , quae in obferuationis ex- pofitione fe offert , circum(tautia eft ea, vt libra di- catur fuiffc fubpigra ;. vnde centrüm grauitatis iugi infra centrum motus e(t ftatuendum. — Confiderat ita- que lll Au&or libram iam circa centrum fufpen- fionis in motu conflitatam ita, vt fíub certis an- gulis iugum a pofitione horizontali , vtraque vero lanx a verticali-deftlectat ; Locum vtriusque lancis pir coordinatas orthogonales fupra lí;ea horizontali per centrum motus duca conítitutas de(ignat , et vires acceleratrices inueftigat ;, quibus vtraque laox in dire&ione vtriusque coordinatae ad motum folli- citatur, quaeque partim a grauitate , partim a ten- fionibus filorum oriuntur; vnde igitur per principia mechanica iam quatuor obtinentur acquationes diffe- rentio-differeutiales ; quibus inuentis motum quoque iugi confiderat , cuius acceleratio angularis quintam fuppeditat ; quibus quinque aequationibus tota deter- minatio motuum et iuzi et lancium continetur ; fi- quidem eae totidem incognuitis fcilicet praeter binas tenfiones filorum inclinationi iugi et binis angulis , quibus vtraque lanx a linea verticali deflectit , ad quoduis tempus definiendis adeoque vero tam iugi quam lancium fitui affignando , íuffciunt. Trans- cenderet vero harum acequationum refoiutio vires analyfeos , nifi iftos angulos quam mimos flatuere et omnem huius argumenti disquifitionem ad ofcil- lationes wc32 ( Ó ) e con 4I lationes mrzimas reftringere vellemus. — Hac. vero -conditione admiffa, lll. Auctori folutionem difficil- "limi huius problematis feliciter. ad finem ^ perducere licuit ; ex qua iam intelligitur , phaenomena a lll. Bernoullio obferuata non nif in lancibus /ubpigmir lo- - cum habere poffe; íi vero centrum. grauitatis iugi cum centro motus congrueret, iugo nullum plane motum ofcillatorium impreffüm iri, nec vllum fo- re , quamdiu iugum , inclinatum licet , quiefcit , in» ter vtriusque lancis of(cillationes commercium ; de 3lis. vero lancibus, in quibus centrum grauitatis adeo altius eft puncto fufpenfionis , plane non cft .quaeftio; fiquidem iugum .vel minima inclinatione fubuertitur. | His itaque. expeditis lll. Audor in phaenomena horum motuum adcuratius inquirit ; orditur a caíu fimplicifümo, quo iugum in fitu. ho- rizontali immobile relinquitur , lancibus autem am- babus qualiscunque motus imprimitur ; fiet, vt et iugum «et lances regulari motu. ofcillatorio neuti- quam fefe inuicem turbante feorfim ferantur; vnde "hic cafus in obferuatione Bernoulliana certe. locum aon obtinuit. Supponit itaque lll. Auctor, iugo fub initium experimenti certam quandam inclinatio- nem fuiffe indu&am eamque tum fibi libere per- miffam ; ia qua hypothefi iterum tres cafus funt "diftinguendi; aut cnim , dum haec inclinatio iugo conciliaretur , binae lances interim quieuerünt , | aut alterutri tantum aut ambabus, fimul aliquis motus imprimebatur. Hos fingulos cafus lll. Auctor ad €xamen réuocat ; primo cafu ambas lances perpetuo Tom. X1X. Nou. Comm. f in a e$35 ( 0 ) ffe in quiete, ofcillaate licet iugo , perfeueraturas docet theoria; fecundo altera laux nullum plane motum conciperet , certe quamdiu ofcillationes lancis ad mo- tum concitatac pro miuimis haberi poflunt; reftat ergo tertius cafus, in quo fortaflis obferuatio.— Ber- noulliana locum habere videri debet ; quod vt pa- tefcerec, I1lJ. Auctor libram hac ratione motam ia determinato quodam exemplo perfequitur et pofitio- nem tam iügi, quam lancium ad fingula íemimi- nuta fecunda affgnat; neque vllibi vlla admirabi- lium iftorum phaenomenorum , de quibus diximus , alternae fcilicet ofcillationis et quietis lancium , ve- fligia deprehendit. - Facile itaque hinc intelligitur, esliquam librae circumflantiam in "hac differtatione non fuiff? in computum adducam , quae in libra, circa quam Ill. Bernoullius obferuationem inftituit lo- 'tum obtinuit; nec latere Ill. Auctorem haec diffe- rentia potuit , fiquidem hic contemplatus eft libram non nifi circa centrum motus fui «mobilem ; quod ipfüm ergo centrum tanquam immobile. eft fpecta- tum ; dum in libra Bernoulliana, non ex hoc cen- tro , fed ex fcapo fufpenfa , ipfum: illud motus cen- trum cum tot2 libra eft mobile et ex. impulfu al- terutrius lancis reipfa ad motum follicitatur, Hunc igitur cafum lll Auctor peculiari dif- fertatione complectitur ei;(o)t4e 48 Explicatio motus ofcillatorii mirabilis in libra maiore obferuati, Au&ore L. Eulero pag. 325. | d folutionem praefentis prob'ematis iam per ed, quae in praecedente difftrtatione funt expofita , via egregie flernitur ; fola enim expreflio pro acce- leratione angulari iugi lancis iam ex jrune fufpen- íac adeoque refultans inde aequatio difftrentio - diffe- rentialis diuerfam a priori formam induet. ll. Au- &or tamen hoc negotium iterum a primis principiis repetit , et propofitam quaeftionem ad quinque aequatio- nes differ.ntiales fecundi gradus reuocat, quibus fub conditione ofcillationum f/nigarum S shicndis fublimia Analyieos artificia adplicat, ^ His feliciter expeditis origo mirabilis illius phaenomeni , alternae fcilicet quietis er. ofcillationis binarum lancium , ftatim ma- nifefts- fe prodidit indiciis ; fi enim. deflexionem vnius lancis a linca verticali per w, eam alterius per 9 defignemus; exprtffioncs horum -angulorum fequentes - formas 'funt adeptae; w— P--Q; et 9 —P-Q, vbi litterse, P «t Q gugnixires indi- cant cum tempore certa lege variabls; fi igitur , durantibus librae ofcillationibus , euadat P—Q, lanx . prior ad maximas excurfiones , pofterior ad quietem peruenict j vbi vero temporis fucceffu deinceps fiet ("3 pz $43 iy " "m eR» (o) t$ P—-—Q; commutata erit fcena , quiefcet prior - lanx, altera aximos adepta gradus. ofc llationis. fuae; quae viciffüitudo , vsque dum omnis motus tue- rit exfítinctus, ftatis recurret temporibus; ita, vt motus illi obíeruati , etíü prima froate videntur jn- extricabiles , iam plenifüme ex hac theoria poffint explicari. Ceterum cum folutio completa fex quan- titates arbitrarias per integrationem —ingreffas inuol- vat; facile intelligitur, infinitam motuum vatieta- tem et complura fingularia phaenomena hic locunr habere poffe ; vnde Ill. Auctor pro dato flatu ini- tiali euolutionem aliquot cafüum fpecialium in fine fuübiungit, VI. De motu turbinatorio chordarum mu- ficarum ; vbi fimul vniuerfa theoria tam aequilibrii, quam motus corporum flexibilium fimulque etiam elaílico- rum breuiter explicatur. AuGore L. Eulero pag. 340. D motibus chordarum vibrantium infinitam dari varietatem , omnes earundem theoriae a. Geome- tris allatae abunde teflantur ; hoc tamen non obfítan- .te datur motus vibratorii genus, quod iítae theo- rie, quamuis late pateant, non íunt complexae , cum exS$ (0) $$ 45 cum fcilicet motus ofcillatorii non, vt communiter fuppoai folet , in eodem femper plano peraguntur, fed fingula ciordae vibrantis puncta motu quafi Zzur- "Binatorio circa axem reuoluuntur ; cuiusmodi motus in craffioribus chordis adeo oculis diftingui poffunt. "Circa. hoc igitur motus ofcillatorii genus penitius euoluendum pracfens veríatur lll. Audoris differta- tio, in qua vniuerfa theoria de filorum et perfecte flexibilium ^et elafticorum ,aequilibrio et motu ad fummum perfectonis gradum eueca merito eft cen- fenda, Ceterum cum haec di(fertatio meris abfolua- tur calculis analyticis:: Geometras grauifimi huius argumenti curiofos ad eam ipíam ablegamus, f $ PHYSI- 46 cord ( o) $$ PHYSICA: J. Defcriptio Phalli quinquanguli feu fun- gi Sinenfium Mo - ku - fm. Au&Gore Reuer. P. Cibot S. I. pag. 373. ransmiffim a. Reuer. P. Cibot e Soc. lI. Mis- fionario Pekinenfi defcriptionem Fungi apud Sip»as prouenientis, gallico fcrmone exatatam, Academia dignam cenfuit ,, quae Commentariis fuis inferatur , taüto magis, quo rarius producta natu- ralia in penetralibus Chinae genita Phyfiophilis in- notefcunt et quo curiofior variis momentis defcripta vifà eft fpecies , quam ad PPa/los botanicorum perti- nere opinamur, nouamque huius generis minime ad- hucdum numerofi acceffionem fiatuimus , a. formas Jlipitis pentagona, capituloque quinqueualui pxaecipue deter- miunandam. . Applaufum quoque mereri videtur opinio auctoris de fungorum poflibili multiplicatione per arti- ficiale folum certis fpeciebus proprium, et ce proprie- tate radicum putridarum certae arboris productioni pe- culiarium inter fongos fpecierum fanente.. INollemus timen inde quidquam pro generatione acquiuoca,et con- tra corporum organicorum ortum e femine, vel ouo vel qualicunque flamine proprio concludi, | tenim in arti- | ficiali fungorum productione hoc tantummodo prae- ftarj ets$ ( o7) e:fes (43 flari poffe putamus, vt folum laetiori incremento et multiplicationi peculiarium füngorum adaptatum praebeatur. atomariis fungorum feminibus im ima ate mofphaera obuolitantibas ; non vero, hoc ipfum ío- Jum geniali virtute fuos fungos fponte producere poffe, fanus hodie quisquam exiítimabit. | Neque hoc auctoris noflri fententia effe videtur, licet a Chinen- fium forte philofophia haud abhorreat. — Certo ve- ro certius eft fungorum :nultas fpecies ífub deter- minatie arboris vmbra folum e putreícentibus arbo- ris ramulis frondeque paratum inuenire, cui prae- fertim addictae et adaptatae funt, imo multas certa- rum radicum vel arborum quafi parafiticas effe ; ldque adeo in propatulo cuiuis adtentius infpicienti erit, vt etiam apud plebem ruthenicam complures :Agaricorum Boletorumque fpecies ab arbore, fub qua praecfpue prouenire et colligi folent , v. gr. Quer- «u, Populo, Betula, Pinu, cet. denominatae füe- rintet vuleo appellentur ; idemque apud alias gen- tes, fungorum licet minus curiofas , obtinet, II. De ítruc&tura Veficulae fellese Leonis. Au&ore C. F. Wolff pag. 379. p eas partes ,, quae in corpore leonis imprimis notabiles vifae funt, et quae in fua fiructura ali- "quid fingulare habent, etzm vwcficula fellea. xeferen- Ac! QE da 48 et32 ) o ( $939 da eft, cuius interna cauitas tot plicis muitifariis: inftructa, in tot loculamenta cellasque per ipías il- las plicas diuifa eft, vt non vnam cauitatem , feu receptaculum , fed potius congeriem multarum caui- tatum et folliculorum hanc leoninam veficulam effe dixeris: — Eo magis autem haec (tructura Anatomi- corum attentionem excitauit, quo minus fimile quid in homine et in aliis animalibus obíeruatur , et quo failius ex eadem calidum illud leoris temperamene: tum aliquo modo explicari poffe "videtur. — Totius igitur veficulae ,' praefertim vero internae eius ftru- &urae et plicarum , quae varii generis funt, defcri- ptio in hac differtatione exhibetur, iconeque illu- firatur , quae minutiffime omnia exprimit, quaecun- que in illa obfermari potuerunt. Duc&um cyflicum folum , qui folus in homi- ne cauernofus efl, aequalem intus et plicis "priua- tum effe videbis; Collum autem et partem corpo- ris fere dimidiam infignibus pulcherrimisque plicis plenam reperies. | Maxime rotabilis eft in alio loco tanta plicarum conglomeratio, quibus tota cauitas veficulae adeo occupatur, vt nonnifi exiguum fora- minulum , quod «acum vix admittit, íuper(t, et quibus igitur veficula fellea in duos quafi faccos fe- paratos diuiditur., folo illo foramine inter fe com— municantes. [licae ipfae "variae figurae et. fabricae fünt. Alibi fimplices dantur femilunares et difin- &1e , alibi multae iun vnum glomerem compofitae funt, Vt veficula plicis intus, ita plicae porro rt- gis in fuis fuperficieous exornantur , quo tota illius í facies ! e5(o)2t. 40 facies interna crifpa efficitur. —Fundüs tamen folis , quas dixi rugis, nullis veris plicis gaudet , ct. gene- ratim maxima plicarum copia in parte veficulae po- fteriori pofita eft. — [conem explicatio comitatur eo- rum, quae in icone continentur , ex qua vel fola lector ideam veficulae felleae leonis haurire poterit. III. IV et VI. Equus Hemionus, 'Tetrao arenaria et Lacerta apoda, defcribente P. S. Pallas p. 594. feq. et pag. 455. bfoluto itinere Cl. Auctor nouas animalium fpe- cies , quas per borealem Afiam obferuauit, fuc» cefüue illuftrare pergit , atque praefenti Commenta- riorum Volumini iuferit Quadrupedis , Auis atque Amphibii, quae imprimis memoriae digna funt vi- fa, hiítoriam. Quadrupes, noua eft Solidipedum minime nu- meroío gencri acceflio , intermedium inter Equum et Afinum animal, íeéd quod humano generi non magis, quam Aíricana Zebra, fíeruire hactenus di- dicit. Credit illud antiquioribus Zoologis, ARISTO- TELI , THEOPHRASTO , atque ÁELIANO aliquali- ter notum atque uli foecundi feu Hemioni, quo ipfe vtitur nofter , nomine indicatum fuiffe, Recen- Mjores, praefertim lll Viri LiNxNÉvs et Bvrro- - "Tom. XIX. Nou. Comm. g |. NIVS $o oS (o) NIVS Comer , de(criptionis accuratioris defectu , cum Qua;ro feu fero Afino confuderunt Heionum. a quo tamen multis notis differt. Soli illum MES- SERSCHMIDIVS et GMELINVS /en..in patriae Mon- golae confiniis curiotius iofpexeraut ,' neuter vero; vti nec Miffionarii apud Sinas, deícriptionem etus fatis accuratam dederunt. Pleniffüünam igitur Hemio- ni hi(toriam, atque. delinatiodem | verbis pariter et cae(iro exaratam .propofüit Auctor, cum Anatome, curatisque proportionum meafuris, quibus omnibus de fpecie huius animalis dubitatio eximitur, quod magnitudiae et intcrna. flructura -proxime ad. Cabal- lum accedit, caput eodem , imo et A(no longius habet, aurium proportione ét cáuda vaccina cum Zebra, angu(tis ve(tigiis formaque vngularum cum Afino , flatura reliqua et elegantia membrorum ' nia- gis cum hybrido Mulo conuenit; fcd propriam" et priuam habet conformationem dorfi arcuatam et fi- mul carinatam ; infignemque fub naribus cartilagi- num prominentiam verruciformem. Non defperat Auctor etiam hanc Equi fpeciem cicurari et , fi de-; tur opera, in humanos vfüs domefticam redii pos- fe, quod ob celeritatem curfus fummam , qua pos let hoc animal, optabile vtique effet. Teirao, quam arerariam coguominauit Auctor, media inter Kazagm Arabum feu Alchatam ornitho- logis didam , et Tetraonem paradoxam alibi no(lro defcriptam , in defertis Tataricis auftralioribus circa Cafpium lacum patentibus, inter arenofos maxime colles , obferuata 'eft. Lisdins , quod Audor - pott exara- jS (o Me $r exaratam typo deftriptionem monet, eadem effe; quam HassELQvIsTIVs in itinere. Palaeftino nomi- die Teiraonis orientalis impetrfectius defcripfit, Et quandoquidem is fuam in faltibus INatoliae, et for- fitan in Aegypto quoque , hybernis menfibus obfer- vari dicat, verofimillimum eft has aues e defertis fupra Mare Cafpium pofitis boreali bruma in tepi- das Afiae minoris regiones depelli. Mirum et ambiguae flru&turae eft Mpbibium, quod tertio loco defcribit nofler et Lavcertam apedam appellat. Singula enim ftructurae externae atque in-. ternae miembra Lacertis ita fimile illud reddunt , vt pedibus additis Lacertam omnibus numeris abfolutam fifleret. Verum anticis artubus plane caret ,' licet .ticatrix eorum quafi locum. indicet ct ruga inde longitudinalis per latera doríales fquamas a ventrali- bus dirimat prorfus vt in Angue ventrali CaTEs- BAEO delineata , quae forte affinis Lac. apodae noftrae deprehendetur; pofticoram autem pedum minima tan- tum rudimenta adfünt, quibus tamen offa linearia , iliacorum füccedanea , refpondent, quemadmodum et- jam flerni vicariam. compagem offeo - cartilazineam Anatome huius Amphibii detexit, | Superfluum fo- ret fingula hic denuo exponere , quum Auctor in.ex- ordio deícriptionis fümmaritet enumerauerit ea , qui- bus anoma'am hancce fpeciem cum Lacertis conuenire curiofiore infpe&ione atque diffe&tione. didicit, Subiecit Auctor, occafione Fermium in ventri- culo Lacertae apodae repertorüm , qui cum Tricbau- vidibus; a -Cel, ROEDERERO in fingulari humaoae IUD £2 gentis 4 HE eti 0): gentis epidemia obferuatis omnino conueniunt , binas alias vermium fpecies , quae cum iftis , nonnullis- que Taeniarum fpecicbus hamoía roftri armatura conueniunt, iUm f Obferuationes in Gado Lota inftitutae. Aucore I, 'T. Koelreuter. p. 424. rÉ vulgatifimo pifce , Lota Gallorum , aliqua ob- feruauit Cl. Auctor , quae excerpta. Commenta- riis Academiae inferi digni(fima vifa funt. Equidem pleraque minutiores ftructurae inconftantias concernunt, ea tamen et ipíà vtilitate non carent íüa; vti v. gr. ex obíeruato numero vertebrarum variabili diíci- mus , non effe, vt Ichthyologi recentiffimi conten- derunt , confltantifimum hunc numerum, Maxime vcro momentoía eft obfíeruatio Auctoris Cl. circa plenarium ductus aérei in vefica natatoria Lotae de- fetum , plexusque vaforum fingulari diftributione veficam illam pingentium, — E quibus füumma cum veri fpecie concludit nofler : peculiari hocce appa- ratu a natura peragi fecretionem vel liberationem | aris fanguine fubacti , eandemque in omni natatilium genere locum habere ; dum iis quoque piícibus, qui aéreo du- €&u in oefophagum inferto inflru&am veficam nata- toriam habent, is ductus, quippe valuula ad cítium Ocfophageum oppofita claufus , non ad introfufcipien- dum «$55 (0) $50 $3 dum ex oefophago a&rem extraneum , fed ad fuüper- fluum fecretionis inteftinum a&rem emittendum , de- ftinatus videatur. VII. Acerina; pifcis, ad percae genus per- tinens , defcriptus ; Auctore A. I. Güldenflaedt p. 455. pues Ichthyologis huc vsque ignotus, fed in hac differtatione fecundum fitum , numerum , figu- - ram , proportionem atque colorem. partium externa- rum internarumque deícriptus , et dimen(ionibus at- que icone , cuius fquamae vitio Chalcographi iu(to latiores funt , repraefentatus , ad Percae genus, ab Ichthyologis neotericis determinatum , pertinet et proxime ad Percam cermuam D XNNAEI accedit , a qua primo intuitu capite longo et roítro producto differt. 4cerina hic pifcis dicitur, quum verofimi- le fit, hauc veterum denominationem inagis ad no- ftrum piffem , mare nigrum inhabitantem , quam ad Percam cermuam , quae in mari nigro deficit, perti- nere, prouti Ichthyologi eandem non nifi dubitantes inter Synonyma Pereae cermuae receperunt. Wn VIT. 54 $32 (0) t9 H VIII. Sex auium defcriptiones ; f uctore A. l. Güldenflaedt p. 565. S iuum gea quarum ab Ofnithologis nulla mentio fida e(t, in montofis et campcfítribus in- ter mare caífpium et nigrum obferuztae proponun- tüt ; ad genera linmea»a referuntur, nominibus tri- vialibus imbuuntur, ab adfinibus rite. feparantur , fe- cündum oeconomiam et mores, nec non fecundum figuram , numerum , colorem et.proportionem pat- tium externarum , addita fexus differentia, defcri- buntur , atque iconibus magnitudinem Dabordlem re- ptaefentantibus illuftrantur. E: Harum prima Loxia Rubicilla, quae magnitu- dine et colore proxime ad Eruwceatorem , ro(iro ad Coccotbraufiem accedit , colore trunci coccinco , albi-- do et cinerafcente lepide variegato , remigibus re- &ricibusque nigris rofeo fimbriatis .a congeneribus difinguenda; ad alueos glareofos torrentium Caucafi babitaus et baccis Hippopháés KRhamnoidis victitans. Sccunda auis Tamagra Melanidiera dicitur , cui magna fimilitudo eff cum Fringilla. $rifíi ; attamen ab illa pariter ac ab congeneribus feparatur: colore corporis fupra ferrugineo, fubtus flauo; alis cauda- que fufcis ; et pileo maris nigro a fronte vsque ad nucham extenfo, Habitat illa in promontoriis cau- caficis «232 ( 0 ) S8fee $5 caficis in dumetis Rhamoi Paliuri , intet ramos il- lius nidificat et feminibus eiusdem victitat. , Tertia auis nomine JMufcicapae Melanoleucae imbuta eft, quae fimillima Morzci/ae Leucomelae in Tomo XIV. Commentariorum propofitae. . llla dif- fert a congeribus: colore corporis albo ; gula, ca- piftro et alis nigris ; rectricibus albis , apice nigris, In fruticetis ad. fluuiorum ripas per aeflatem in Gcorgia campeflri degit. Quarta , Motacilla Erytbrogaffra lagu, Mo- jacillae Pboenicuro tummopere analoga eft. — Diltiü- guitur a, congeneribus: roftro et pedibus atris, criffQ et cauda caílaneis ; mare corpore et alis ni2ris , pi« leo et alarum fpeculo albo; femina corpore toto et alis cinereis. — Aeflate. in Hippopha&tis Caucafi per- aca, cum prole ibidem. progenita adulta aufirum verfus migrat, Quinta auis di&a eft .Scobpax Subarquata. , quae ftatura Pbazopi, quo dimidio minor , roflro ar- cuato , pedibus nigris , dorfo cinerco , gula , pectore €t abdomine ruffo et fufco vwndulatis, crílo albo maculis füfcis pi&o , a congeneribus dignofcenda. Hofpitatur haec migratoria auis per aeflatem ad lit- tora maris cafpii et fluuii Tanais, fed vix vltra oftium fluuii. Choper adfcendens. Sexta auis Seolpax cinerea denominata eft; quae. .Scolopace "Totano aliquantum minor , roftro: re- curuo, colore füpra cinereo , infra albo ct pedibus Bo oben facile a congencribus feparanda , quibus . $6 E EA ( [e] ) C cOae quibus Recuruiroflram Auocettam affinitate intermedia adiungit. n inundatis ad margines lacuum falforum .. Circa mare cafpium obu:orum per aeítatem — frequens haec migratoria auis adeft, quae per hyemem au- ftraliora petit. | IX. Quatuor Fucorum fpecies defcriptae ab I. Lepechin pag. 476. pecies Fucorum quatuor , in mari Albo lectas, hac in differtatione proponit Auctor. — Harum duae foliis intus cauis euidenter ab omnibus huc vs- que notis differunt, et nouum ordinem in Fucorum fimilia fibi vindicare videntur. ^ A cauitate interna foliorumque figura denominationes quoque petitae funt; et alter FVCVS TVDBVLOSVS ; alter vero SACCATVS dici funt. Prior caule tereii - ramofo , ramis opofitis vel alternis , folüs longis tubul)is ; po- fterior autem caule plato Tamofo ramis oppofiis , foliis ouato oblmgis &umidis intus cauis definiuntur. — Keli- quae duae, quae fequuntur, fpecies, folia plana gerunt, et Noftro fub nominibus fuci DICHOTOMI et fuci GRAMINIFOLII veniunt. Alter corum definitur quod fit Fucus, acaulos , frondibus. dicbotomis, membra- tacéis , ligulatis vndique proliferis ; alter vero. quod fit aule tereti ,. fubdiuifo ,. 1ubulofo , foliis. linearibus. dupli- €i ferie pofitis , planis membranaceis, 1x. -* A595, o ) dite " pv? GIXe ros Minera argenti cornea chemice exa- minata et defcripta ; pág. 483. na .ab E. Laxmann flenfis in limine huius differtationis non folum variis illis fententiis ,, Quas de minera bac raà- riffima 'fonerunt minefalozi'l fed'etiam' potiótibus il- lis momentis quae ad hiftoriam illius naturalem per- tinere poffunt; variae obferuationes , tam notas Cha- racterií:cas, quam genefin eius fpectantes , fequuntur. Inter illas attentionem merentur: odor ille fpecificus, 'mon ingratus , debilis , .mixturam vitriolico argilla- ceam vcl margaceam indicans, cuius nulla apud Autores mentio occurrit; vt et methodus liquandi , quae prorfus eadem , ac Docimaflae de müm:zra argen- Hi vilrea pra:ícribunt. Ratione genefeos minera cor- nea , a praedicta vi/rea ícilicet deriuatur , cuius va- riae aetates , ex factis permultis obícruationibus mi- neralogicis in ipfis fodinis ordine naturali defcribun- tur. Pertinet itaque rariífuna illa emere cornez au- torum ad tertiam aetatem zzerae agenti plumbei co- foris. Agricolae, quam . recentiores viiregz; nominarunts eílque argentum bic, in mineris nimirum puris, nec acido falis communis , nec alcali , nec ferro fed (ul. phure mineralifitum , quod variis experimentis me- tallurzicis abunde demonftratur. Tom, XIX. Nou. Comm. h ASTRO- 58 eS ( o) tue | ASTRONOMICA I Commentatio: Hypothetica iile; pericu- lo, a nimia Cometae àppropin- quatione metuendo. Au&ore .L. Eulero pag. 499. - |a AÁftronomia vix proponi poteft quaeftio maio- | ris momenti , quam eà, qua disquiritur , de periculo quod tellari noftrae metuendum fit a nimia Cometae cuiusdam appropinquatione ad "eam. Quamuis autém occafione notiffimi iftius Co- -metae , qui Anno 1759. apparuit , varia ab Aftro- nomis tradita fuerunt , pro explicandis perturbatio- "pibus, quas Cometae ab actionibus Planetarum pa- tiuntur; ea tamen vix ad praefentem quacftionem adplicari poterunt, in qua fupponitur Cometam tam prope ad tellurem accedere ; vt eius actio forían "ipfam acionem Solis exfüperare poflit. Pro hac igi- tur quaeflione* enodanda , Illuftr. Egu/erur in praefcnti * Differtatione cafüm hypotheticum | confiderauit, quo " Cometa'in ipfo plano Eclipticae incedens, et motu " re&tilineo ad. Solem pergens, orbitam telluris in eius- ""modi loco'interfecaré fupponitur, vt tellus fimul in hoc loco reperiatur ac Cometa ad eum perueni- Ls , f nimirum ante mutuam occurfum , nulla effet horum -2$332 ( 0 ) $c $9 horum Planetarum actio intcr fe ; accedente | igitur as&ione mutua tclluris et Comerae ;. quaeritur quas- mam mutationes, tam terra quam Cometa inde fint paffuri. Traditis igitur formulis generalibus, pro perturbationibus tam motus terrae ,, quam Cometae , iluür. Au&or hunc motum fcpofita primum actio- nc mutua Cometae et telluris confiderat , vbi qui- dem neglecta excentricitate orbitae telluris, hanc or- bitam vt circulum contemplatur , cuius radius ae- quetur difiantiae mediae: telluris a fole , et motum terrae in hoc circulo vniformem , aequalem fcilicet motui medio , fupponit. Motus vero Cometae ma- ioris facilitatis caufía, vt rectilineus confideratur , «ualis fuppofitio eo magis admitti debet , quod obli- quitas curfus hoc in negotio vix quicquam turbet, Pro Cometa igitur in hac linea reca incedente , in- weftigari debent , celeritas quam ad certam a Sole diflantiam habet et tempus quo ab hac diftanda, ad Eclipticam pertingeret , mutua actione Terrae et Cometae plane neglecta , in hoc autem loco Ecli- pticae conflictus oriretur terrae et. Cometae, quem timen ob mutuam acticnem fortafbs euitabunt. His praemifüs , dum actio telluris ec Cornecae mutua im computum ducitur, certa confütaenda eft epocha, a qua hanc a&ionem fatis fieri fenfibilem cenferi de- Act, et quum maffae Cometarum prae maffa Solis, .walde fint exiguae , haec epocha proxime ante ipfum tempus coniunctionis terrae et Cometae conftitui de- .bet, quemadmodum heic ab llluftr. Eu/ero epocha duobus circiter diebus ante coniunctionem . conftitui- j h 2 tur. 6o | d» (0) stie tur. Tempore huius epochae flabilito ; quum ae- quationes differentiales quibus perturbationes expri- muntur, ita fint comparatae , vt folita methodus apporopinquandi ad eas adplicari non queat, llluftre Eulhrus aliam viam fibi ^ non fupereffe iudicauit , quam vt tam motuur terrae quam Cometae perexi- gua temporis interudlla' profequeretur. —Scihcet fi tam locus térrie , quam Cometae determinetur per coordinatas orthogonales ad certam directionem fixam relatas, ét pro ipío tempore epochae non folum valores harum coordinatarum conftiterint, fed etiam celeritates tam "Cometae , quam terrae fecundum di- rcétiones Coordinatarum cognitae habeantur; inqui- rendum eft quinam valores elapfo minimo tempore $b hac épocha, non folum coordinatis, fed etiam ccleritatibus tribuendi fint, id quod facile praeftatur. Nam fi coordinatze '" telluris" pro tempore epochae dicantur X et Y, Cometae vero x et y ,-celeritates que pro iellure exprimantur per Eia 4 et pro Co- meta per 22, 22, elapfo minimo tempore d dum valores coordinatarum iam fupponuntur effe X, Y, &!, y, habebitur X'—X--dX-FiddX ; Y'— Y -4Y 4 id4Y; xX'— x-pFdx-iddx;y-cy-cdy-diddy et 4X dX | ddX. dY . dV | ddY. dat — coii, dam ECC dx dr ) dr — d FE SEP E: » d" — PE E dcm zbugE vbi quidem valores differentialium fecundi gradus, ex aequationibus pro perturbationibus allatis elici debent. - Pro et»(o)t$e ét "Pro valore autem interualli Z obferuandum eft, il- ]um eo minorem accipi debere , quo propior Cometa tel- liri fit, quoniam in maxima appropinquatione actio Cometae in teliurem valde fenfibilis fieri poteft. Ad praeícriprum igitue huius Methodi, llluftr.. Eubrus pro cafu hypothetico a fe confideráto ,in quo mas- fa Cometae maffamn terrae aequare fupponitur , mo- tum tim tellaris quam Cometae, per interuallg continuo minora, a duobus ante cooiunctionem die- bus , vsque ad coniunctionem profequitur; tum vero poft coniunctionem-dum Cometa a. tellure recedit , . interuallis continuo maioribus affumtis , eandem mo- tum examinat. | Coaclufiones vero ex his calculis deducas fingulari Tabula complexus eft, ex qua primo intuitu liquet , quomodo motus terrae et Co- metae ob mutuam acionem affciatur. Et de tellu- ;re quidem liquet, Cometam in motu eius angulari vix quidquam turbare , diffantiam vero terrae a So-. - 1e ob a&ionem Cometae aliquantulum augeri. — De Cometa autem conítat eius- receffum a terra; ipfi acceffui fere effe fimilem , vnde eorum opinio peni- tus refellitur , qui exiftimarunt Cometam , dum ad tellurem proxime accedit , in fatellitem. abire poffe. In vniuerfum autem hinc colligitur , nec Cometam, nec tellurem in motu fuo nim.s magnam perturba- tionem pati ; fed potius poft mutuum occurfum eo- rum motum haud multum difcrepantem fore «ab eo, qui locum bhabuiffet , fi nullus contigiffet occur(us 5 id quod potiffimum inde euenit, quii in receffü Cometae , €effe&us qui in acceffu producebatur , qua hg maxi- $t es(o)it maximam psrtem de(ruatur; hoc vero facile elu- ccícit, fi flatus telluris et Cometae poft ceffantem &&ionem mutuam, comparetur cum eo flatu in quo vterque veríatus fuiffet eodem tempore, fi actio mu- tua plane locum non habuiffet. Cognito autem lo- co et motu , fine Planetae feu Cometae poít mu- tuam actionem , definiri quoque poteft motus, quao wterque deinceps circa Solem reuoluatur; vbi qui- dem pro praeíenti cafu , ratione motus terrae colli- gitur, in excentricitate vix vllam fenfibilem produ- ci mutationem , femiaxem autem orbitae telluris pirte íua bimillefima augeri, ex quo in tempore periodico producetur augmentum feptem borarum, Quod autem orbitam Cometae attinct, «eius excene tricitas ab vnitate vix tantillum differet , femiaxis autem transuerfus haberetur aequalis 4658750 femi- diametris terrae , .hincque tempus periodicum colli- £eretur 2716 annorum, quod fepofita actione mW- tua plane eííe debuiflet infinitum. | II. | De differentia inter parallelum Lunae. verum et apparentem. Au&ore A. IL Lexell pag. 549. N oun eft, Aftronomos differentiam inter afcen- fiones re&as binorum aftrorum , ita obícruare folerc , wt binorum filorum micrometri, vel reti- | culi -$(o)te - 63 «uli normaliter fe decuffantium , vnum it difponant, "t 3b a(lro praecedente radi videatur, tum vero appulfus aftrorum ad alterum filum priori normale -motent; iüteruallum enim. temporis inter moments appulfus praelapfum , fi debito modo in angulum horarium conuertatur, dabit differentiam inter Afcen- fiones rectas binorum: Aftrorum. In hac igitur Me- thodo fupponitur , quod a(irum praecedens motu fuo circulum parallelum circa polum aequatoris defcri- bere videatur, quod quidem cüm veritate non plane conciliari potcft, fi aftrum praecedens , tempore in- .ter binos appulíus efluxo, declinationis fuae, vel Parallaxis fi aliquam habuerit , vel etiam refra&tio- nis, fenfibilem patiatur mutationem. — Dum itaque, comparatio inflituitur Lunae cum aliqua ftella fixa , fi Luna ílellam praecedat , hoc obferuandi modo ad- hibito , differentia afcenfionum rectarum limbi Lu- nac ad filum normale adpellentis et ftellae fixae non nifi aliqua adhibita correctione inuenitur; quia ni- mirum filum quod a limbo Lunae raditur, non -prorfüs coincidit, cum circulo maximo , qui nor- malis eft, ad circolum declinationis Lunae , tempo- re quo alteruter limbus Lunae pcr filum normale tranfit. Angulum iflum inter parallelum Lunae ve- rum et adparentem , quatenus 3 mutata ^ Parallaxi "altitudinis prcducitur, primus: determinauit Celeb. Mayerus formula fatis concinna , cuius tamen demon. firiionem r-ticuit; hanc vero formulam minus ex- "adam reputans Ccl. .de /a Lande, aliam in eius lo- cum Ííubflituit , quae ipfi verior vifa eft. 1n hac "E... igitur 64 «$32 ( 0 ^S — igitur Differtatione Clar. Au&ori id propofitum eft, vt non folum de angulo ex mutata Parallaxi oriun- do, fed etiam de eo, qui ex mutata declinatione et rcfractione producitur , rigorofe inquireret. In hoc autem negotio, quum variatio Parallaxeos ;- praepri- mis in altitudinibus Lunae nou nimis exiguis potis- fimum trahat momentum , angulum Paralleli Lunae veri «t apparentis , primum «a fub hypothefi inucfli- - gandum iudicauit , qua ratio Parallaxeos tantum ha- betur, declinatio autem Lubae plane fupponittr in- variabilis et refractionis nulla proríus habetur ratio. Ratiociniis igitur Geometricis et omni rigore vetis, colligit fore "Tauszentem buius argui, aequalem Tan- genti parallaxeos. afcenfionis reddue pro Luna dudae in Jinum declinationis adparentis , ex qua formula dum valor pro Tangente parallaxeos aícenfionis rectae euoluitur , deducitur alia quae cum Mayceriana pro- xime confentit; ita vt illa a Mayero allata ad veri- tatem proxime accedat , quod omnino fecus eft cum formula Cel. de /z Lande, haec enim cum formula Auctoris noflri omnino conciliari nequit 5. difcrimine quidem tam magno exiftente, vt ex formula Cel. de i4 Lande angulus duplo maior nonnunquam re- periatur, quam ope formulae ab Auctore allatae , immo vt formula Cel. de /a Laude angulum hunc exhibeat euanefcentem , cum effe debeat maximus, Quamuis.sutem de veritate formulae ab Auctore al- latae , nullum fuboriri poíüt dubium, propter rigo- rofas demonf(lrationes quibus munita eít, ne tamen infignis Aftronomi Cel de /a Laude opinioni, nimis : tribue SES ( o ) $223 65 tribusnt Aflronomise cultores ; quae cirea ^ de- mon(ílrationem ab illufiri hoc .Aflronomo pro fua formula flabilienda , allatam , merito defiderantur , - Aud&or huius differtationis perfpicue expofuit. Tran- fitu deinde facto ad illam hypothefin, qua etiam declinatio fupponitur variabilis , formulam fatis ex- hibet concinnam , qua valor anguli inter parallelum Lunae verum et apparentem exhibetur , con(iderata variabilitate tam Parallaxeos , quam declinationis ; vbi quidem iterum fepofita variatione declinationis; eadem pro iílo angulo inuenitur exprefíio , quam fü- pra inuenerat. Denique angulum quoque inueftigat ex mutata refractione oriundum , vbi pro hoc angulo pro- dit formula, quae vix cum illa, quam tradit Cel, de la Lande in fua Aftronomia , conciliari poterit. III. Nonnulla loca Lunae, ex obferuatio- nibus circa occultationes fixarum a Lu- na, Anno 1774. Petropoli, et alibi inflitutis , determinata. Au&ore A. I. Lexell pag. 580. E» anno 1774. appulfuüs Lunae ad infignio- res quasdam flellas Hyadum , Petropoli et aliis in lócis faepius obferuare licuerit, Cl. Auctor huius Differtationis operae pretium duxit computo. harum Tom. XIX. Nou. Comm. i obfer» (46 «pas (05), S88 obferuationum | inflituto , determinationes locorum Lunae inde eruere. Obferuationes vero. in compu- tum ductae fequentes funt: Immerfio a TauriStockholmiae D. 22. Ian. 67. 0.26"; Styl. Nou. Emer(io ^ - .- ibidem m yard Immerfio « Tauri Petropoli 5» T4 «P. o SE Emerfio - .- ^ ibidem 8. 20.44 lmmeérfio *y Tauri Stockholmiae 18.Febr. 6. 39. 51 Emerfo - - ibidem 7. 19. 33 Immerfíió a Tauri Parifiis a Meffer x 4.Apr, 6. 26. o BEuerüg!W w 12 C EAD 4. 35.59 Immerfio a ibidem ab A4: belui I METPEETU Emerfio - - - -— ym 7. 35.58 Immerfio eiusdem Verfilis — CIR: Emerfüio - - ibidem 7495: 302 Immerfio a Geneuae 6. 47.56 Emerfio -- .- ibidem " 9. 56.361 Immerfio.. « Mediolani pic M. Emerfio - - ibidem 8. 10.42 Immerfio a Petropoli 8. 28.34 Emerío -. -. ibidem 9. 8.20 Immerfio 26 Tauri Petropoli d. 28. Aug. 11. 48.45; Emerfio - - ibidem 12. 32.29 Immeríio y Tauri Parifiis d. 24. Sept. 14. 22.317 Emcerfio - /— - | ibidem 14. 45.571 Imm:rfio ^v , Petropoli 16. 59.55 Immerfio y Tauri Parifiis d. 18. Nou. 5.55.25 —— Emerfio - - ibidem |... 6.52.47: dubia Immerfio y Petropoli 8:18:53 711] Emerío wes (0o) $t: 263 Emerüo - - ibidem d. r$. Nou. 9^ 144. 5 Immerío r0 Tauri Parifiis Ille; 5.28 iBuerfios meno m6 dbidem;.., 11. 20.49; lmmerfio.« Tauri Parifiis E5419 5. LI Immerfio eiusdem Petropoli 17.41.30 . dubia Ex his obíeruationibus pro locis Lunae fequentes elicitae funt* conclufiones [ Coniunciio Lumae : Longit. Lunae |Latit. Lunae Temp. med. Parif. Anno 1774. Auftr. cum a Taurid.22.lIan. 5'".54/.24//2* 6.98... 7,04. 55. 15! Jy Tauri 18.Febr.. 5. 41. 39 |2. 2. 38. 40, 44. 56. 13 mu3uri:a4. Apr. ? 5.4 7.192: 6.:97.. 5L, 0524.0. 22 20 Tauri 28: Aug. 10: 56.19 2. 4. 48.52, o|s. 715. 25 "y Tauri 24.Sept..15. 0.41 |2. 2. 39.16, 85. 9. 56 ty Tauri 18. Nou. 7.4. 5 2. 2. 39.84, 54-58. O 10 Tauri - — - zr1.316.27 2. 4. 48. 42, 64. 59. IO aTauri. -.-5 s 140525. 4:42:46. 38:444 0/4. :59. 49. Pro differentiis meridianorum vero colligitur ex ob- feruationibus d. 22. lan. inter Stockholmiam et Pe- tropolin — 4$/, 58" , quae nonnullis fecundis dubia effe poteít , quia de temporibus veris obíeruationum aliquauntillum cffe pofüt dubium, ^ Ex obíeruationi- bus d. r4. Aprilis habetur differentia meridianorum inter obferuatorium Parifienfe et Mediolanum o?.:27/, 22 Geneuam O. 15i 14: Petropolin I. 51. 55- quae conclufiones non niü vno vel altero fecundo dubiae efle poterunt. Ex obíeruationibus circa "y Tauri d. 18. Nou. concluditur differentia meridiano- 1 i2 rum 68 e$35 o ) $t*« rum inter obferuatorium Parifienfe et Petropolitanum 1? $1'. $3!. Sub finem huius Differtationis Auctor varias fübiecit cantelas, ad quas in computo huius- modi obíeruationum attendi debet, quae cuius fint pretii , apud Aftronomos efto iudicium. IV. e Experimenta acu magnetica Petropoli inftituta. Au&ore W. L, Krafit pag. $43. Mss bina illa celebratiffima phaenomena, de- clinatio et inclinatio, etfi , theoriam magpneti- cam fi fpectes, neutrum fibi potiori prae altero iu- re phyücorum attentionem vindicare poffe videtur, mipnime tamen eandem adhuc. experta íunt experi. mentatorum induflriam ; vix enim pro tribus qua- tuorue locis inclinatio acus magneticae ea praecifio- ne eft definita, quam ob acus inclinatorias ad infi- gnem perfe&ionis gradum iam euectas in huiusce- modi obferuationibus hodie merito fperare licet. Eo vtiliorerm igitur operam Auctor collocaffe cenfendus eít in obferuanda acu inclinatoria ,. cum fex abhinc annis eadem obferuatio hic loci multa cura iam fue- rit inflituta ,, ita, vt. comparatione facta, annuse variationis , fi qua ineft inclinationi , quaedam certe vefligia inde .dignoíci queant. Priacipio differtatio- nis Auctor fundamenta , quibus víus inflrumenti in- clinatorii et methodus eius ope quantitatem inclina- tionis e*25 ( o ) Ste 69 tionis magneticae definiendi innititur, ex primis me- chanicae principiis repetit eamque ad obferuationes fuas, *duabus acubus inftitutas, adplicat. —Infignis vtilifimo huic inftrumento perfectio conciliaretur , fi comrnodior methodus pateret, fitum centri gra- .witatis acus refpectu. centri ofcillationis et quidem pro acu viribus magneticis iam imbuta definiendi , quam confüeta illa, quae polorum magneticorum inuerfione abfoluitur. ^ Deduxit Auctor ex obíerua- tionibus füis, inclinationem acus magneticae 16 poll. 2 lin. decim. pedis Lond. longae — 75^". 37^ Petro- poli ad finem anni 1774. annuam vero eius vatia- . tionem , fi modo vniformis fit, exiftimat heic loci flatui poffe, — r8. minut. prim. quod quidem iu- "dicium vlterioribus obferuationibus , quas Auctor non negliget , emendabitur. Ad idem tempus acus qua- tuor pollices longa a feptentrione ad occidentem de- clinauir angulo — 4^. 5o vnde fequi videtur , in his regionibus declinationem. fubinde hifce quidem teme» poribus fieri maiorem.. : V. Duarum Eclypfium Solis die :£ O&o- bris 1772 et d. Z. Martii 1773 obfer- vationes fa&ae in vrbe Dmitriewsk a Petro Inochodzow pag. 625. : ipiis tubo Achromatico Dollondiano 12 pedum obferuauit Inoch. prioris Ecly pfis finem 1^".22.58"5; 1:8 pofte- 4o we35 ( 0 ) $52 pofterioris vero initium 185 45/59! temporis we- ri E quibus obferuationibus deducitur differentia - meridianorum inter Parifios et Dmitriewsk 2^. 52/. ii^ Eleuationem poli huius loci inuenit 50". 5!. 6". . | [. | y De Differentia Meridianorum Petropo- litani et Pekinenfis. Au&Gore. P. Hallerftein. pag. 650. Ree P. Hazllerfein (e obfíeruationes antecefforis fui Pat. Iumgnatii Koegler circa eclipfes Satelli- tum Iouis, com paraffe cum illis, quae a Cel. de jIsl in Obferuatorio Petropolitano inftitutae erant, €X qua comparatione inuen't pro differentia meridia- norum. obferuatorii Petropolitani et. Collegii Pekinen- fis. 5^. 44/. 16!;. quae tamen conclufio ipfi non nifi. inter quatuor aur quinque fecunda certa . videbatur , ob infignem difcrepantiam- Tuborum , quibus hae ob- feruationes inílitutae eraüt. Poftmodum vero quum. refciuiffet confilium. quod Cel. He// dedit , pro com- parandis huiusmodi obferuationibus , idem fequutus, fuperiorum obferuationum denuo facta comparatione . pro differentia meridianorum inuenit 5^. 44^. 20" , qui numerus potior ipfi videtur,. quam is quem prius ínuenerat, Verum in tanta conclufionum dis- crepantia, vbi diffenfus vsque ad fex minuta prima affurgit, certitudo vix maior quam decem fcrupulo- | rum e32 ( o ) $2e T rum fecuhdorum exfpectari poterit. Propius quidem fcopum attigiffe videtar P. Ha/er/ein, fà fumto pri- mum medio ex comparatione immeríionum et emtr- fionum , certos fibi ftataiffet limites , pro eliminan- dis obíeruationibus , quae vltra eosdem a medio de- clinarent. — Hinc fi is flatuatur regula vt elimioan- dae fint obferuationes , quae plus quam duobus mi- putis primis a medio differunt, quum ex immer- fionibus habeatur mcdium furmendo differentia meri- dianorum 5^. 44/. 15! , concludendae erant pro im- merüonibus conclufio primá, fecuada et vltima , /his igitur reiectis, fi denuo medium fumatur, elicietur medium 5^. 44/ 16". ^ Simili ftabilita regula pro emerfionibus , eli'ninandae funt conclufiones prima et vltima ex reliquis vcro fiet medium fümendo 5^. 44. 24!.Conclufiones vero fine dubio adhuc tutiores inue- nientuf ; [íi omnes illae eliminentur. comparationes, quae plus quam minuto ' primo a mediis difcrepant. | UIT, Eclipfes Satelitum Iouis Anno 1:774. Petropoli in fpecula Aftronomica obferuatas , recen(uit, A. I. Lexell pag. 656. E haec differtatio catalogum | earum — obfer- vationum, quae circa Eelipíes Sateliitum Iouis, anno 1774. Petropoli inftitutae funt, 72 exis (0o) VII. Epitome obferustionum meteorologi- carum Petropoli anno 1774. fecun- dum Calendarium correctum inflitutarum, Au&ore I. A. Euler pag. 659. ltitudo Barometri maxima füit 259, 2r poll. duodec. pedis parifini menfe Decembri ; mini- ma 26, 98; vbi Cel. Auctor obferuat , altitudinem Barometri hoc anno maximam , prorfus et omnium fuiffe maximam , quae vnquam Petropoli obíeruatae fuerunt; porro recenfet variationes quasdam Darome- tri fubitaneas. Gradus frigoris maximi fuit 191" diu, de l'slianae, d. 2o Febr. calor vero maximus ad 3o6 pertigit d. 8. Iulii; frigus. ergo mitius, et calor etiam minor fuit hoc anno , quam binis annis proxime praecedentibus; hiems vero quantum frigo- ris vi hoc anno remifit, tantundem diuturnitate compenfauit; 25 enim dies frigidiores gradu r50o hoc anno plures fuerunt, quam binis praeterlapfis. - Subiungit Cel. Auctor obíeruationes ventorum et re- liquorum coeli phaenomenorum. RUN dH DEDE, INDEX o9E2 (0) £3 78 ^ INDEX DISSERTATIONVM. Matbematica. L. Eukr , De valore formulae integralis Cr eR -L- ire Lens Kr Ms cafü , quo poft integrationem ponitur £ — rx pa2. 3. Eiusdem , De valore formulae integralis 2^-€ PN 2^9 [UU cafu , quo poft integrationem ponitur z—r pag. 3o. Eiusdem , Noua Methodus quantitates integrales de- terminandi pag. 60. Eiusdem , Demonftratio Theorematis Newtoniani , de euolutione poteftatum binomii, pro cafibus quibus exponentes non fíünt numeri integri pag. 103. Eiusdem , Problema Diophanteum fingulare p. x12. Eiusdem , De Tabula Numerorum Primorum - vsque . ad Millionem et vltra continuanda ; in qua - - fimül omnium numerorum non primorum . minimi diuifores exprimantur. pag. 132. ^ Tom. XIX. Nou. Comm. k 4, T. 74 - wis (0 $t A. L. Lexell , De refolutione Polygonorum re&ilineo- rum. Liffertatio Prima pag. 184. : Pbyfico- Matbematica. Dan. Bernoulli, Commentatio phyfico mechanica ge- neralior principii de coéxiftentia vibrationum fimplicium haud perturbatarum in fyflema- te compofito pag. 239. - Eiusdem , Commentatio phyfico- mechanica fpecialior de motibus reciprocis ; compofitis , multifa- ris, nondum exploratis, qui pendulis bi- membribus facilius obferuari poffunt , in corn firmationem principii fui de coéxiftentia vis. brationum fimpliciorum pag. 260. L. Eur, De Ofcilistionibus minimis peuduli quot- cunque ponduículis onufti pag. 285. Eiurdem , Te motn ofeillatorio binarum lancium ex libra fufpenfarum pag. 3o2. Eiurdem , Explicatio motus ofcilltorii mirabilis in libra maiore obferuati pag. 325. Eiusdem , De motu turbinatorio chordarum | mufica- rum; vbi fimul vniuerfa theoria tam aequi- librii, quam motus corporum flexibilium fimulque etiam elafticorum breuiter explica- tur pag. 340. Pica. —— —— Á— -——— "——————— eei (o) Sites 75 P. bf ta P. Cibo: , Defcriptio Phalli quinquaguli feu fungi Sinenfium 7Mo- ku-fin pag. 373. C. F. Wolff, De ftru&ura Veficulae felleae | Leonis pig. 379. P..S. Palla , Equus Hemionus, Mongolis Dshikketaei didus pag. 394. Eiusdem , Tetrao Arenarii, pag. 41$. I. T. Koelreuter , Obferuationcs in Gado Lota infti- tutae , pdg. 424. P..S. Pallas , Lacerta Apoda defcripta, pag. 435. 4A. I. Güldenfigedt , Acerina; piícis, ad percee genus pertinens , defcriptus 5; -pag. 455. Eiusdem , Sex auium decriptiones ; pag. $63. 1. Lepecbin , Quatuor Fucorum fpecies defcriptae p. 476. E. Laxmann, Minera argenti cornea chemice exami- nata..et deícripta pag. 482. Aflironomic a. L. Eur , Commentatio Hypothetica de periculo, a nimia Cometae appropinquatione mectuendo P38. 499. A. I. Lexell , De differentia inter parallelum Lunae verum €t apparentem pag. 549- Eius- 16 e$5$ ( 0 ) $s$e Eiusdem , Nonnulla loca Luuse, ex obferuationibus . circa occultationcs fixarum a Luna, Anno 1774. Petropoli , et alibi inflitutis ; determi- - nata pag. 5950. W.L. Kreff , Experimenta acu magnetica Petropoli inflituta pag. 6ro. P. Inwbodzxo , Duarum Eclipfium Solis dic 5; O&o- bris 1772 et d. 4. Martii 1773. obferuatio- nes factae in vrbe Dmitricfüsk pag. 623. P. Hallrfisin , De Differentia Meridianorum - Petro- politani et Pekinenfis pag. 650. A. T. Lexell , Eclipfes Satellitum Iouis ; Anno 1774, ' .Petropoli in fpecula Aftronomica. obferuatae , pag. 636. I. A. Euler ;, Epitome obferuationum | meteorologica- rum Petropoli anno 1774. fecundum Calen- darium correctum inflitntarum pág. 6539, MATHE- MATHEMATICA. Tom, XIX. Nou. Comm. A DE dao d. «ak a ade -— — ne "1 * ^. - i - - : * xi? i ; 4 » " c : ss : , M *y D : z x 1 oen S P" MÀ Y » d ttes bh A | : / E (ue E Ee " j$ ) d " * ] Y : : Uu B DE YALORE FORMVLAE | INTEGRALIS I 3* CASV QVO POST INTEGRATIONEM TONILVR.2—. I, Ninolie E CR OPaL OE Ro. S uo ic mihi propofitum eft, duo infignia theo- remata, ad quae iám dudum ex confidera- tione arcuum circularium, qui vel eundem habent finum; vel tangentem, füeram perdu- «tus, ex ipfis principiis calculi integralis demonftra- T€; duo autem illa theoremata ita fe habent I. ———— ——— $—————— " 1-g-241. . n 7^ [Agri E- 2 — "Ub — 1 - II. : - — dui — / UEEUR 4j tang. 77. Uu CLACHROVALURESTORESULART —-— fi quidem integratio a termino z — o vsque ad tet- minum £z — r extendatur , vbi 7 denotat ferniperi- pheriam circuli, cuius. radius. — z.. Has quidem tor- mulas. iam. integratas dedi-in. Ca/culo. integral , ve- rum ibi fubfidia integrationis. fcilicet | refolutionem denominatoris T - z" ,'tüm vero. etiim. relolutio- nem ipfius fractionis ia fractiones partiales ex mea introductione. in. analvfin. infinilorum. petiui, nunc autem, ne opus fit haec adminicula aliunde. conquirere, iu ipía. iutegratione.. omnia. principia ,. quibus innititur, füccincte. complce&tar, inprimis autem. reductio ad ca- fum, quo poft integrationem. ponitür z— r,, peculia- ria. artificia circa. füummationem: ferierum: poftulat , quae etiam in fequentibus. dilucide. fum. expofiturus , 'quae. tractatio. co. maioris. momenti. videtur, quod fi- milis. integratio etiam. in his formulis. multo latius. patentibus. fuccedit ,. cuiusmodi. funt: JETONA a D AN fi; quidem exponens jx. numeros. integros: denotet , quemadmodum .alia ' occafione. fufius. explicabo: u Problema r. gm —'d x. 6.. 2. Formulam: differentialem. e aM I--3$. grare;,, vbi; fcilicet: effe. debet: zz — a. Log Solutio. E Hic- igitur-denomioator. 1.-4- 2". in füos. facto-- res: fimplices refolui. debet ;, vbi. vero. ante. omnia - e À | notan- — inte- but Ic ER ao nca cec Mhia Y -— Mex Je CVIVSDAM. INTEGRALIS. ; notauduur eft, [i » fuerit numerus impar,.- vnum fa&orem fore r-L-z, pro reliquis factoribus imagi- naris, bini contineantur in hac. forma pho apsco. Q-1-22,, | quie pofito nihilo aequalis praebet: z — p (cof. (D --Y-—ríin.Q): lisdem igitur cafibus-ipfe denominator 1r --.s" eua- nefcere debet. ^ Cum igitur. fit: z — p (cof. D -t- Y —1-(n, D, erit 2£ —pp(cot. 2 D.-1- Y — x fia. 2 (QD) 8 —p' (cof 3 D -- V:— 1 fia. 3: (D) et (** -£" zz p (cot. .-t- Y —a fin;z qp) hoc igitur duplici. valore loco z" fubflituto fict L i4-2:'—3:1--f'cof.5ib 4-5" V — 16n.9(p—0* IL 1-r-2^—14-f' cot. 8p — p" V — 1 fin.2p— o quarum aequationum fumma: praebet: 24 29" cof. n D — o; differentia vero earundem 25 Y :fnnOQ-—o, ex pofleriore fequitur fin. (Q — o, ex priore vero 1 -- f^ cof, m (D — 0, id quoi fieri nequit ia rationalibus ; nifi fit 5 — r;. et cof. 2 (D — — x. quo ipío fit fin. &(D—o, vti con-- ditio ex pofleriore poftulat :: omnes. autem: anguli quorum Cofiaus eft — — x funt. 7,937,57,77 etc.. n | A 3 fqui- 6 DE VALORE FORMVLAE . quibus ergo angulus s» D aequari poteft; vnde fe- quentes. pro (D obtinebimus valores : LN CRM IER LOL INST. " - fi Uu L^ 7 ex quibus tot capi debent, donec denominator re- füllet 1-1-2", quemadmodum «x fingulis cafibus facile iudicatur | Y fin—terit(pb—m, hincque :-z— 142 II. fi n—2 erit D—90', hincque 1-:2z-— 14-22 : III. fi 1— 3 crit (p—60' et —180'" hinc 1 -- 2 — (1-4 z)(1 —2-4- 22) IV. fi ri—4 erit (D—45' et —135' hinc 1-cz/z(1-2V 2-4 pzz)( 1 4-2Y 2--e2) V. fin— 5 erit (D—56 et — 108 et — 180, hincque 1 -- z/—(1-1-2)(1-4-2£c0f.72 -1- zz)(1 —2 cof. 36 4- z 2). Cum igitur ingenere denominatoris 1 -- 2" wnus- fa&or duplex fit i—ezcofQ-r-2zz | fi quidem angulo. C debitos tribuamus valores , fra- emo 1 &io PED fra&ionem inuoluet partialem huius formae Á-LBzZ 1—2zcf.Q--zz? à vbi.totum negotium redit ad cocffcieutes A et B. determinandos — Hi autem facilius reperientur fi fa- &ores contemplemur fimplices imaginarios , qui funt UY z—co(t(Q — Y — 1 fin. (D IF. s — cof. D 4- Y — 1 fin. p : vs, : 1 3 ( J tum enim fra&io propofita tales inuoluet fraétiones. partiales r a-—cQ—wy-ifi$9 z—cy.gpQ--y-aifin.G i* Iam CVIVSDAM INTEGRALIS. Jy Iam pro coefficiente a. inueniendo- ftatuatur - ddusdia a: | 148 7 £25bQ-Y-iüap CR vbi-.R comple&itur omnes reliquas fractiones partiae les; fit autem. breuitatis ergo cof. Q - Y — 1 (in. D — f, vt habeamus feu pou prz-f Tl. — p; 5: T TNR n — &--R TUE -— f) » X -j- ^9 indeque pim a — f habebimus. gf P r-r- z Hoc autem cafü tam. numerator quam denominator. exanefcit ; erit ergo ms" -—í(m—si)fz- I ghi ? » cafu .s ety a — Ea. iterum z —f Tl: B deut E: Cum igituf. fit E Uu —eto--Y-i:üup | erit 4 Ng bins s abf (s - a) ou Y —1 s. (u-—5)o, idi hinc-- 8. DE VALORE FCRMVLAE hincque :« j 1] fnkl q, xi Let. Tage cid cat 1 fin. -— e — 1 (co/(m—8) C —Y —1 fiu.(u —m Qj ; quibus... valoribus. inuentis , binae noftrae iae inatir pattiales erunt "IET T PI ZA. Z—X399——:UwpU EL LEFIUA S quae ad eandem Ud pK perductae daat Q.-4- (& —:9) V — :J1n« Q |— a 2 u-ees feu loco « et 5$ valores inuentos fubflituendo *zcof (m — 1) p — ££? cof of (m — 5 Q — 6n. (fin. (m—52)b ^1-—22zcol. WD-L zz hacque fractione pr cum füpra pofita A -—- B Sues cde 1—520 0-22 comparata , colligimus A. rnpeoL etu. nio cie rco «(b -—— £cof (m—a-— 2. et B — -- cof. (m — 2) ; cum autem fit fin. D — o et «cof. n-—-—t erit cof (m -5)(D—- cof. m4, et t fin. (m- 2) P— - fin. "Q9, ideoque A-rcof(m—1)bD et B—-— £cof.m p ; Confequenter ex hac fractione Sienoli naícitur in- tegrale BIYQ — 22cof. 4-22) 4- 12-7:9 À tang, 262 CVIVSDAM INTECRALIS. 5 wbi fi loco A et D valores fübflituantur, «erit hoc integrile | —cof. m Q1Y (1— 2 cof ps2) 7 fin.opA tang 57572 4C quae conftans ex termino z — o definita praebet in- tegrale hoc determinatum —£-cof.mQ/V (1 —ozcof D4-zz)4-3-fin.mQDA tang. ^ VEA vbi tantum opus eft loco (D debitos fuos in 0 fcribere ,' indeque omnia integralia partialia iunctim . fumere, Praeterea vero cafibus, quibus denominator -.3 4-2" fadorem habet 1-- z quod euenit, fi 5$ fue- rit numerus impar; pars integralis inde oriunda adiici debet , quae ita inuenitur: flatuatur xmi vnde fit um -— 1 -- em veri za-g-R(r1-r-2), faüdoque z — — r1 prodit z—t4azt pu quia autem hoc cafu tam unumerator quam denomi- nator euanefit , loco vtriusque fuum diketentiuo ponatur, fietque (m — 13) 27—* -- gm z"— e — —MM—À —M—À MÀ E —————— —————— e Hn ybi numerator 2" -—* (m — x -1-:54 £2), pofito. 2— — x: (ry? abit in -(-1") et denominator in 4-7 adeoque a2— —— ; " Tom. XIX. Nou. Comm. D pars He !DE VALORE FORMVL AE ^^ 200 3i — LH jin] a9 15 XC) a ide pars igitur integralis hiac nata erit oe La) cafibus igitur vbi rz eft numerus. par , hoc integraée ert — (x e. fin autem zz eft numcrus impar fit illud 3-Z/(-1-2) ^ Quod f iam loco (D fubfti- tuamus fuos valores m peli a 2m " Hu 9j mA NDA n integrale quacfitum erit ul 25n— des HN : 25,2. y I5 -2 cot? ] V 12 x col. p. z2-- fip. 7T Atan e lu" ras Ta $ 1—2 cof. TL z (in. 27 —: cof?7 | V 1-22 2acof. Q-Ezz- (in. 77A tang. gr 1— —z cof. *n | TQ —:-cof, 27] r-scof(D rzz 4- 2-fin. 577A tang. j ^ 1—2coÍ. 7 etc. etc. quibus infüper cafu, quo 5 fit numerus impar, Wr iungi debet ep ru 4 — (3) Scholion. $. 3. Ne opus fit integrationem formulae (A--Bz)dz [x-uwuwut qd rIm aliunde repetere, refoluatur numerator A-F B in has partes —B CVIVSDAM INTEGR ALIS. II — DP cof. 4» d Bzet' A --: B cof. Qo j! atque cx priore manifelo oritur integrale BlV1c-25sco.(Q-L-z2;^ pro aítera aüremi párte cuti fit ^^ - d z fin. (D ien z fin. f; EESNENCS oj.Q--zu "P AAEC. tang. i — z cof. (D ) altera pars huius integralis - i sella (A -- B cof. Q) f dau a fiet A -E Boo. 4. z fin. - à jud 3 Arc. tang. E ord ficque" illius formulae integratio ita. fe habebit 43245 —]B]Y rx —aaicepbi-bua e *» 1—2zc«ofp]--z2-- i ; Tu A 4- Bcof. t zfn.Q | proc Sb AIC fag. 7 . Quod integrale iam euanefcit pofito z —O ita, vt conflantis additione non fit opus. "ái Problema. , eq "Z. e. - A ^ ES ; Laon" 4 ^ t 6. 4. Formulam differentialem "pogé dnte- grare, vbi fcilicet effe debet m — m. "Gun . ATH ; 22 | Solutio. : Hic obíerüàndum eft, denominatorem femper facdorem habere 1 — z; tum vero; quoties 7 füerit numerus par, etiam- factor aderit r 4- z, reliqui au- tem fictores fimplices omnes erunt imaginarii , quo- "rum bini tálem 'conftituuüt fa&orem duplicem $b—2pzcoLQ-r-2z, | m Tis Boa qui e ^l LI * 12 — : DE VALORE FORMVLAE. - qui cum cuanefcat pofito vel £ — p (cot: D-p V. — s fin. *cl z —p(cof. D — Y. — sfia. (D) , | iisdem cafibus ipfe denominator r — z* euane(cet; tum autem. erit 2" — p" (co. mp -- V — x fin.» , ideoque denominator fiet | i — p" (co 1 Q' -E- Y — x fin. n D) qui cum: euanefcere: debeat ,, fieri oportet I. r—j"cof.5(Q-—o et II. ?"Y —1fin.29—o , €x. quo. concludimus. fi.n p —o et co. 5 P — -- 15; Wt autem. fiat I—f'cnd-o; capi debet: cof. n y — -1- *,, eritque ? — 1, ita vt factor duplex. fit r—22zcof. D--zz. Loco n Q igitur omnes. arcus. fumi poffunt, quo- rum. Cofinus.— 4- r. qui funt ocz,27T,4 77,67, 87 ctc. valoresque anguli ipfi (D erunt rid co MM nia c. n thm ?:m vm et fictores. (implices: denominatoris- hinc oriundi erunt: z — cof. (D 2- Y — 1 fin. D. Pon&- CVIVSDAM INTEGRALIS. 1$ Ponamus breuitatis gratia f — cot. Q 4- V — 1 (in. b it, vt f geminum valorem inuoluat, et factor fim- plex erit x —f; flatuatur ergo fractio partialis hinc Cm oriunda — .7—; ponaturque N IIS DM. et pir. 2 —f nali erit EdH-235 007- binc füumto z —f inuenitur itid 1 -— [1 a EL H I1—3 Cafü autem. z — f tam: numerator quam. denomina- tor fimul euanefcunt ,, ideoque loco: verisisque diffe- rentiale capi debet , reperiturque a--—if"—"; |J «um autem: fit. f — cot. 4- Y — x fin. d» , erit E oce COE Qr — 0:0 2—- Y — 1 fin, (ns — 9) (D fiue ob fin.n D — o, co. n — x, cof (ur— 1) — cofim QD et. fin. (ur — 8 — fin. 5 (D erit Of^-"-cotmoÓ--Y-rfumd ex quo: duplici fa&ore imaginario: hae. duae: oriuntut fractiones: partiales. Lor ocfomQ-.y fim. m s.c mQ—wvy—afinmd Ww za—co.Q—wy-—ifm$. "a—«o4-wy-—aiJjin.$.? LR JT 34 — 2!DEÉ VALORE FORMVI AE? M CRT e RAE quae contrahuntur. in hanc ^ ^. ^ da 12 s pen (z eof. m (p — cof. Q eof. MIE-dou P 406 1—2 zc0f. Q ELS DRURT RR rt 4 ie Be pars integralis aMiittuE j jc QE 25d ápwOn PEN. GBMTQCT du c q fin. a p Q—220.p-22 -— cuius integrale erit —- cof. imn Q IY -2 zcol. ol.D-r-az4- 2: ia. ut Angl. tang, EN feu conflante definita j^ hocce; ^nancifcimur integrale determinatum — --cof, m Q7Y 3-2 tol pa pz fin. "D Angl TERI PIX — cafa igitur quo (D—o erit hoc integrale — -Ea-s cuius autem tantum femiffis fumi. debet — — .Ix— 2 cafibus autem, quibus 5 eft numerüs par et ry haec-producitur pars integralis — t cof. may 1 t22422) ( cuius aütem iterum tantum femiffis —icof. m m(ri ax). cápi 'oportet;^vbi notandum , fi 5 fit^ numerus | , 1 fore cof. g v — — 1; contféquénter integrale ^ quaefi- fum. fequenti modo exprimetur J A E a hs 10164 2 1 nh 3 A CVIVSDAWM"INTEGR ALIS. rg integrale inuenire : exiítente f4 -- M. — fl, ita tamen, vt tam y quam g. fint numeri pofitiui. | En der iiehilid LO, Hic igitur Td aliud opus eft, nifi vt termi- Tl — 1 3 op ui integrales formulae f - ua n inuenti ge- Sibdatd?! dum altera vice loco ?» fcribitur Bo cum fit pro terminis logarithmicis mr ET ent cof. &T — — cof. T$ cof. rit — — cof VAT —— "Tof DA. PERI T etc. MILIA 4 9*2 i ! tU " , vnde 2—3 M ; d qom m8) | i den : Im fin. 7 —icof 237 JY 3-3 s Co 27 4- agp in. 2A tang. ——— i - I Col. 7 4- zur — fin. A tang. — UT b ' , UR » d TY. £96 HOLZ E fin.t* —icor.tns iz ]Y 1-2 PURLEWTTES i0,:97 A tang. .— — " I- -2 coL.*t* - "il z (in. 77 "s —icoLt t] Y i-a e TELA TEN £84 tang. x -2 cof. 7b etc. etc. E uoosmud 459,5 ko tua. €. s. Formulae differentialis gimp e o——t ] OR MEENIEE yz 16 DE VALORE FORMVLAE vnde patet, omnes terminos logarithmicos fe inuí- ccm deftruere, — Porro vero pro arcubus circularibus cum fit fin, ** —fin. 77; fin.* Vua 1** fe, hi termiui duphicabuntur ita, wt ae, quaefi- tum proditurum fit zünt* - ER z fin. 7 2&7 A tang. zfin.? " « 1—2c0[. r PE d 2- fin. £7 A tang. 5 2 fin. £5 n M fin. F* A tang. -l- etc. : n quorum terminorum , fi 7 denotet numerum quem- cunque imparem , forma generalis crit & Rn. * z- fin. -?* A tang. * pape ci terminos autem eousque continnare oportet, quoad numerus non fuperet exponentem £, ita, vt, fi sg fuerit numerus impar, vltimus terminus . contineat i-n; fin autem 7z fit numerus par, valor futurus ipfius fit 4— n — x. Corollarium. $. 6. Cum cafus 2 — x. binc excludatur, cafu 2-2 integrale erit 2 fin, ^* A tang. z; Cafu 1 — 3 integrale erit 3 fin. 77 A tang. *Y*- , et cafu n— 4 crit ink fin, EA tapg. 1:—5 4. fin. T A tang. 2. Proble« CVIVSDAM INTEGRALIS. 17 TE Problema. 6. 7. Formulae differeetialis praecedentis inte- grale a(fignare , cafü quo z — x ; quandoquidem fu- perius iategrale ita eft (umtum , xt euanefcat pofi- IB z— o. Solutio. Cum integralis quaeüti quaelibet pars hanc habeat : formam z fin. ** Ii-— z cof. ?- fin. 7. A tang. haec forma pofito z — 1 abit in hanc in. £5 2- fin. TA tang. - m —cof,i* jam vero e(t fin. '* E dv dE Lud —n 7T deca - ideoque Atm acbsks —ix e i — cot. * ANC adi Benetátim pars EIAS P erit ; i o£ Gn. m C— LeylIÍtÉE fin, 410.9 — 217 fin, 7 integrale ergo quaefitum per binas Ííequentes pro- gretliones exprimitur 2 on Senn IT fin. UE dl cud fin, 77) — zi .fio. 77 4-3. fin. 277 4 5. fin, —7 venti ne "Eom. X1X. Nou.Comm. s vbi 18 »J.DE VALORE FORMVLAE - wbi fi breuitatis gratia fcribamus 7* — 3 , erit inte grale iftud commodius expreffum ita ibn S-rfin. 3 9 4- fin. 5 3c. AGAR fin. 9) 27 (r.fin 3 4 3 fin. 39-L5fin.s9-E.. 3 .. -ifin.i9) ma quoties 2 füerit numerus impar, erit 4 — f, fin autem 7 numerus pàr erit 4 — // — I. Cum igitur totum ' negotium huc redeat, vt hae duae feries fummentur; ftatuamus £z fin. S -- 6n..3 9 --fin. $9 4-.... -- fin.i9 et £—1.(in 9 4- 5. fin. 33 1-5 fin. ESL. T ifin. E ita vt noftrum integrale fit "CHhdEm pro priore ferie cum fit 2 fin.9 fin.j9 —cof. (ji — 1)9 —cof.(i-- 1)9, erit. 2 s fin.9—cof.o.S —cof 29 -cof. 49--cof. 69 —... cof. Es )9 --cof.2 9--cof. 49--cof. 694... ita vt fit 2 5. fin. S — 1 — cof. (i 4- 1)9 , ergo. $— — ef U43-09 Í — warns 7 jins$ à Pro altera autem ferie, fpe&emus primum angulum S vt variabilem , et cum fit d.cof.i9 — —id9 in.i9 erit f/ i49 fin. i92 coi; quo notato reperietur 313 dd iini ftd 9——cof.9 —cof. 439 —cof 5 9 — ... .. —cof 9 quae feries multiplicetur per 2 fin. 9 et cum fit . afin.9cof.i9 — —fin.(i— 1)3 4- fin. (4 1)9., erit- 2fin.S9/:14 9 — — fin.(;-- 1)9, 'quo- CVIVSDAM INTEGRALIS. 1g quocirca habebimus [14 3 — — £5 * , hincque — cf. (1 4 UR 9 Jin. (i — 1) 9 cof. $ P— 2 fin. & qum m 2)i.97 Quibus valoribus inuentis integrale nofrum ita fe "or i i | T —Omoi--)5 HTPEPIT 02208 Gmfin.(P 4-09 cof. 9. Mim. " njin.9 nnfi.9 n n fin. 9? P nunc fit vel i— n — x , vl i-—", prout 5$ fuerit numerus par vel impar, vtrumque cafum feor- fim euoluamus. | I. Si » fit numerus pàr, erit i—n-it, et i--1—nm, et quia 9 — 77 erit (i 4- )9—m T; "Eid fia. (i -i- 1) 2 xs et cof. G3 1)9 —--1j genie formula. noftra erit. — 7 : Ji A conféquenter E integrale quefiam hoc cafa erit fiat II. At f- figi. ideoque (j4- 1) - n- 1, erit angulus C 1)9.— (a x) mnm proe vnde fi EE 4 otn cof (i4 -1)9 — MUT et 6n. 4-1)9— --E ih. 9 quibus: valoribus: fubftitutis formula euadet Á T cof. 9 E $9 -i1- mcoj9 wies t nes n n jins 9 CU ann 62329 ww UT 7t - contrahitur in edema: qae con abit E18. rün 9.9 (in, **" lav C a Confe- 20 DE VALORE FORMVLAE Confequenter, fiue 2 fit numerus par, fiue impar erit f - WEN. T imde Jm n pesa meo I-r23" n fin, 77 Corollarium r. $. 8. Si ergo fuerit z24- —7 , et poft inte- grationem ita inflitutam , vt. integrale euancfcat po- fito 2 — o, capiatur z — rx, femper fiet Mice Meca E po— Xu dé E -- zz" uin, —7 Corollarium 2. €. 9. Cum per feriem. infinitam fit I — i —— EI. au 28. 175p w& S 1pm AUpEUÜ—RCUEBA -—A * de Boflrae formulae integrale in genere erit 4m 27M L sid p dr S. gm--.n ut di f-- n T n4 2n . th- 31 min -ete. 2^ OgkL* ghi s^ d- an $^ K^ Rentkrain epa geb. vnde pofito z — x fcquentis feriei infinitae: fumma- tio habebitur 1 Y Li ALLEN BE ? m LAG AM T m Hn-E-n T Th--258 (omn T* ETE - etc. mm-—— r1 pr 1 ffRRS S. nün. 7 Ta E- * Ein ET uU Ky. 4n PP vel CVIV$DAM INTEGRALIS. ax vel ob 5 — m 4- y huius. | Ln PETS E st RM de BM 7 0 am--W * am--2 9. TERT -r etc, AN URN pM 1-569 12 da dad zr (1-4 p. jn. Ee TRAIT aem d uini ent Xr etc, Exempla, L Si 5—zr ett erit: S 4S d e j 4 ideoque ^ t. —Rri—id4ic;bsddetc peganeqpb-ine h-etc.- IT. Si m xm ?Si m—r'et yzcacerit m4 k— 3: et fin, 775. € x ideoque - aT Tr- ic 1— is— í-rete I i-ppe—d cete Un y EE: )—i—iRiq«i—i-id etc nt. s "1i et kc9erit pobm—4 et (in. 2 — Jr ddeoque. ES m —-pircrb-i-itebs-an-:ctC Addatur huic" feries" exemplo: 1 inuenta: prodibitque £44 -etc fiue 33 T etc. : HE 2g ich E Pa DIY —Pbtb-hdti;— ybi terruini pofitini in fotma 84-F1j yc gt ves Io in forma 84-— 1 coutinentur. ! E "s | C3 Pro- 22 ^DE VALORE FORMVLAE Problemas 5^ doge €. ro. Formulam integralem I—2z" exiftente :4 -|- p. — n integrare. Solutio. Cum igitur a formula integrali : - Paipta —*r'Ugg : ec formula f — — w- v fm x fubtrahi debeat , primi — fe derrosii ET quod ob 27mm. 21.7] — MEO nr HOS et hinc ob a" .-— n cof. 7 — cof, . t7 etiam de fecundis valet; pro tertiis idem euenit, quis m 41 z—s . na e 15 pw TOT y] et hinc quia * cof. £77 — cof. £57 ; atque Bot modo- omnes logarithmi plane fe defiruent; arcus vero circulares, quia. - E fin, £7 — — fin. *77 et fin. iet — fin C gi omnes manifefto Neh o ; vnde. integrale qvae- "fitum per meros. arcus circulares exprimitur ; eritque /IST85 CVIVS$DAM'INTEGRALIS. 25 27 ameta: LE f " — dz-tfn.-*77 A tang. i—z* — - d I— 2 cof, ** E] ein. £7 1n. 6 7r Bufmnt".7 A tano. OS *- fin. 77A tan jeu. ub i» * ^ b Iob 51 CEcoíss fi UM At gfin.** pr a ES * *z zs i- - a cof, t vnde, fi 2 denotet numerum parem quemcunque , finguli hi termini in hac forma generali contine buntur 77 ^E fin. 77 Arc. tang. 1 I—zcof,"— EE Has autem formulas eo vsque continuari oportet , quamdiu 7 non füperet exponentem 7; quare fi 5 fit numerus par, vltimus valor erit js fin au- tem 7 fit impar vltimus ille valor erit. 2— 2 — x. Caeterum. notaflé iuuabit , totum hoc integrale eua- neícere unto & o. Qr. P£obletma. $. 1r. Praecedentis formulae integralís valo» rem inueftigare pro cafü quo ponitur. z — zr. 5» 5 b Solutio. . Cum omnium partium forma generalis hoc cafu abeat in. pane L J fin. iT wk * finimz A tang. D | 1- "Acor TS En 24 DE VALORE FORMVLAE Eít vero, vti ante iam vidimus fin. T f, £5 Ld — LL " iw cot. 1* — tang. (* — 22) .4-c0 nde ifte arcus erit e -— T, ideoque tota forma 27 T fin. nx p fin. e. * falion Fapdlia gratia : r$, .vt habeamus hanc formulam A fin. ;j39-— Lm fin. ; 9- quod .fi iam loco i fucce(hue fcribamus numeras 2, 4, 6, 8 etc. vsque ad vltimum 7, qui eft vel 7; vel 2 — 1,.valor integralis .quaefitus ;per has duas Ícr'es exprimerur zT (fin. 9.-fin.4 9 T fan. 6 9 — . 9,99 er fin i9) —:7 (2 fin-2 9 4- 46n. 42-6 fin.69 4- .,... -rifin. i2) flatuamus igitur vt fupra £—2Ííin.2 9-r- 4(in. 49 --6(in.69 4 ..... E i(in.i9 £- hn.» 9.r10:459 4- fia, 6 9 X .....-r- n. 9 ita vt valor quem quaerimus futurus n 27 - t i. Iam m priorem multiplicemus per 2 fin. 9 , et cum fit 2fin.9fin jS—cof(i—1)9—cof(i3 1)9- erit 2 5.fin.9—coi.9—cof. 5 9—cof. 53 of 79. "cof (3 09 "cof. 39-rcof. 5 9--cof. 7 9 fcu CVIVSDAM INTEGRALIS. 2$ feu 2 y. fin. 9 — cof. 9 — cof. ( 4- 1) 9 ergo £-— fin. eof. --09 ^2 fin. 9 t 2 fim, 3 Adtera feries mültiplicetur per ZS- et cum fit -f(Gd 9 n. i 9 — — cof. i 9) prodibit integrando ftd 9 — —cof. 2 9 —cof. 4 9 —cof. 6 9 — .....— cof i 9 quae denuo multiplicata per 2 fin. 9- ob 2fin.9cof.i9—fin.(i4-1)9—fin.(j—1)9. praebet 2 (in.9/1 49—1in.9—fin.59—(in.59—(in.-7 S -.... —fir-(/-4- 1)3 | -Hán.39-4-fin.5 94-fid.7 9 hinc per s(in. 9 diuidendo fit Eis beef 09. cy t4 z Smart vnde colligimus DO -—— (i 4-1) cof G 2-3) 9 fin. (i (i 1)9e.* F— 7; UR fmm . ges "^am. ws - His igitur valoribus s et 7 inuentis integrale quaei- fitum erit Tc. m. mqeo.(i--» ENTLAUE: 1)cof.(6-4- 1) & o fin. (i 2 1) 9 cof. € a njm.2 & n fm? cum nunc fit 9L, duo cafus euolueundi füper- " funt, alter quo s eft numerus par et ;— 7, alter . vero quo Z eíl numerus impar et 2 — £$ — 1. IL 5i TH. erit (4 122 —mm4--"—mm--3 , vnde ob fin. 5; 7 — O erit ! cof.ti--1)9—co(armcol 9, et fin (i4-1)9-—cofamm(n.2, quibus fübftítutis habebimus 7.73 n jin. reliqua fcilicet. membra íe muto de(trüunt ita, vt Nalof quaefitüg fit 092 — T nfin.$8 — niang,2" . Tom, XIX. Nou. Comm. D 1I. 26 DE VALORE FORMVLAE IL Si i—5—z: ideoque ij-1—95 erit (j4-1) 9—9m et cof. 4- 1,9-— cof. mm, at fia.(i4- 1)9 —0, vnde formula nofira fiet 72/3 , vbi fcilicet re-. liqui termini praeter hunc fefe mutuo deftruxerunt., Vnde patet, fiue exponens 7 fuerit par, fiue im- par, vtroque cafu valorem integralis quaefiti eff& Ec PN 7 miang.— 7 Corollarium r. $. 12. Si ergo fuerit z 4- p. — f, et poft inte- £rationem ita inflitutam , vt integrale euanefcat po- fito 2 — o, capiatur z — rz, femper fiet Corollarium 2. $. 13. Cum per feriem infinitam fit I 1—2" integrale noftrae formulae erit in genere LA em --n 5m: enm -d-su : Wc^m-n' misn Wan Me ey M $a oh din eM dst | gh Klin Wan C vnde pofito z — 1, fequentis feriei infinitae fumma tio hibebitur — tpa! dp a? db p at 4e n" d etes E... LICLI A CVIVSDAM INTEGRALIS ey I I 1 ^ XU erp —d—-7——-—--etc. "U mtmrn! hun! m4 3n m4 4n (c Mtang.——7 I I I I . T — — ———— -— etcCe Mo pn qeb2n W-3" Wdra4h quae [feries a fuperiori tantum ratione fignorum diífcrepat; vel cum fit 27 — m 4- . erit I I I t NET ov VE m 2. 2114- M- i gi-4-2 M. T 414-3 p. -J- etc. Qu y jtang. 7 Y*Y I I 1 I Ko 2k 3WzAO 4gW-37 Exempla. I. Quia hae duae feries íe mutuo deftruunt €afü pj — 5, hoc cafu fiet S. , 2 m tang. ——- m0, II. Sumamus z — t1 et V. — 2 colligiturque rm -«-iddRasdcagd aged i etc. f Er: D»nBCx e ue H LS "OH v Fon E] EBUEUEISLTU S Pr v6tn t fi ergo hanc feriem per 2 multiplicemus, habebimus 27 —i—ir-i—i -2—3$- is etC ac fupra autem ($. 9.) inueneramus 3 ER J1-F-i—iz—s:dbr;H.a—as-— nd etc. hinc, fi ab illa ferie hanc fübtrahamus , prodibit. " Qz—i-imP- ;-4Rds c oauicdbag od etc 2 Sw quae 28. DE VALORE FORMVLAE quae. iti souigoud in bap diffribuitur: [4-2 18^ 15 i$ ut deer A! etc. vnde fequitur fore. X—;ti—üdba-45t65-se(0. —83(-:id- is 5 - etc) Scholion. $. r4. Ae quülitas harum. duarum fericerum. eo» magis e(t notatu digna , quod eius. veritas non pae rum abítrufa videtur: rem igitur" fequenti modo ten temus.. POETA pro priore gts. AM calé FIRE z7 —2 Ay — zc z--LE a. TUSCE -- etc;. eritque diisdat sd, d-s Bx pu s ure qe pm d2cI-AURz'-a)-4 ux —3m5--& et. — 0— vnde: fit: COSME :— z:))dom: $ E-/ Ioe— CrRLL in quo integrali poni. debet: z — r5; qua: forma: cun problemate poílremo comparata fit z — i o MR eta--6, ka vt fit. z-- p. —n; hinc er. collis gitur ^L p.d gc U- — $. i taügs. E 2.V 9; Pro altcra. dou ponamus: Lv —EqE-SSq. Tt ete. CVIVSDAM INTEGRALIS. so vt, pofito z— rz fieri debeat 5— 3.7 ; erit ergo diff. rentiando ; | d'—s-z'-p a -z*-- gU - a pm ee I5 qz ynde fit — f(:-—2ndz. &—f mumrT LA qua aequatione. cum problemate. vItimo: comparata; eb m-—2; 4 —4;^-—6 pofitoque z— z prodit T 7 m tà8 EE 6YV3" 7" 1 " nir erit 37 — 7. hiucque ss MEROBINIUASEEUC V DE VALORE FORMVYLAE IN TEGRALIS g^-—9 À 4-0 Áriv, Ta CASV QVO POST INTEGRATIONEM - PONITVR z— r. PL En zy Auctore 5 ADR L EVFLERO. 6 x E confideratione innumerabilium arcuum. circula- rium qui communem habeüt vcl finum vel tangentem ,. lam olim fammationem duarum ferie- rum infinitarum deduxi , quae ob fummam genera- litatem. maxime memoratu dignae videbantur. — Si enim litere 77 et 7 nümeros quoscunque détotant ; pofita diametri ratione ad peripheram vt x ad 7, ille duae fummationes hoc modo fe habebant: 7t L] . HER mm cci alle. mA cL mb uuss n--m tue quie cT — Hf et E GE VER UR nei d S. S EU CUEMEES 2 LN E uc a5 mcn mcm cM (C — sung. 7* Fu P—-————ÉETTEgPT.———————S Ves DE VALOR. FORM. CVIVSD. INTEGRAL. 3 atque ex his duabus feriebus iam tum temporis cli- cueram fümmationes omnium ferierum illarum , qua: rum denominatores fecundum poteflates numerorum naturalium progrediuntur , quemadmodum in intro- ductione. in apalyfin infinitorum et alibi fufius ex- pofui. | Nunc autem eaedem feries me perduxerunt ad integrationem formulae in titulo expreffae , quae eo magis attentione digna videtur ;, quod huiusmodi integrationes aliis methodis neutiquam exíequi liceat. 6. 2. Statim autem patet: bas duas feries in- finitas oriri ex euolutione quarundam formularum iütegralium , fi poft integrationem quantitati varia- bili certus valor, veluti vnitas tribuatur; ita prior feries deducitur ex euolutione huius formulae integralis f YETREG dz I--Z pofteriore vero ex euolutione i(lius gmn—r:l wyt—m—t: Es E 1—Z fi quidem poft integrationem fiztuatur z— rr. "Dein- Ceps autem ex ipfis priocipiis calculi integralis de- monfílraui, valorem integralis prioris harum dua- rum formularum , fi quidem ponatur $ — rz, reduci ad hanc formulam fimplicem 2 : n fin. zi integrale autem | pofterius , eodem ans z-1,adiflam yd fi .ang. —7 (cp 32 DE VALORE FORMVLAE ita, wt ex ipfis calculi ijntegralis principiis certum fit effe fi quidem poft integrationem ita inftitutam ;, wt in- tegrale euanefcat pofito z — o, flatuatur z — xz. - $. S. Quo iam hanc. duplicem . integrationem ad formam propofitam reducamus , faciamus 7—2A et m — ^ — 9, vnde binae illae feries infinitae banc induent formam CUNGEE ME RON cu— MEI Lnsd FUEL TL M dE o A—t gum A42 2À—0 3À-4-0) sh SÀ—t0O "uc SÀ-1-O pe. DUE NT M gai " ADLER — ER gl 1 — À—tw prm t zA—«x 3À-4-t9 n S5A—Q Bird T etc. harum igitur ferierum prioris fumma erit 7 7 T —u) — u 2. fin. - 2 Aco( T poflerioris vero fümma erit 7T i1 T tang. d 2Àtn Jap fea ME ES nml Qu g. 2 Acotang. 75 2AÀ Quod fi ergo A gratia posit 7 "T aAcol $3 — S, et 7, ng. 7? — T, habe- CVIVSDAM INTEGRALIS. [9] o2 habebimus fequentes duas integrationes Qy^—o s 2^ -- 0 - (dado p dr dE Me J IL—24^ *s$ EO ? 8. 4. Circa ha$ binas integrationes ante omnia Obferuo , eas perinde locam habere , fiue pro lite- ris A et «9 accipiantur numeri inteeri, fiue fracti. Sint eoim À et 9 numeri fracti quicunque , an eua1- dint integri, fi multiplicentur, per a, quo pofito fiat E. m PRINT LA e T Y m x 4 eritque —5 — t7. ct pote ess quaecunque a ie ; prior igitur formula erit ; EX «A9. at Aena 1-]- ax wbi, cum iam omnes exponentes fiot numeri inte- gri, valor huius formulae pofito poft integrationem X-—1:,4 quandoquidem. tünc etiam fit z-—-r, à praec dente eo tantum differt , quod hic habeamus & A et aQ loco A et 9, ac praeterea hic adüt fa- &or a, quocirca valor iítius formulae. erit "t 7"; —- d pts —— e. " EECOUco( "UEM X cop 9 y 2A 2A qui ergo valor eft — S prorfüs vt ante; quae: iden- titas etiam manifefto eft in altera formula. «nde patet, etiamfi pro A et o fractiones quaecunque ac- cipiantur , iutegrationem hic exhibitam nihilo mi- nus locum eff: habituram ; quae circumftantia probe Tom. X1X. Nou. Comm. E notari 4. DE VALORE FOAMVLAE notari meretur, quoniam in fequentibus literam a tanquam variabilem fümus tractaturi,. | $. 5. Poftquam igitur binae i(lie formulae integrales literis S et T iudicatae fuerint integratae , ita, vt euaneícant pofito z — o, integralia fpectari poterunt non folum vt functiones quantitatis z, fed etiam vt fünctiones binarum variabilium 2 et «, quandoquidem numerum o tauquam quantitatem va- ribilem tractare licet , quin etiam exponentem A pro quantitate variabili habere liceret; fed quia hinc formulae integrales alius generis effent proditurae , atque hic contemplari con(titui , folam quantitatem Q, praeter ipfam variabilem z, hic vt quantitatem: variabilem fum tractaturus. $. 6. Cum igitur fit S— 9. p guru S ELE nd Sos takibisee fioe 0 Veios 1 dg pM ES in qua integratione fola z vt variabilis fpectatur , erit vtique fecundum fignandi morem iam fatis vfü receptum dS g^—9 1 g^ 4- t 4)- il pk haec iam formula denuo diffrentietur, pofita fola litera o variabili , eritque ddS x admi. c aln "TII GUI INN. du quae formula ducta in d z, ac denuo integrata fola & habita pro variabili , dabit [458 4 CVIVSDAM INTEGRALIS., 35 ddS go poe ro [45 zu c rum mac, QA TE dzdw/ I-3-& vbi notetur effe "7E Si 5 X cof, ^ dA ita, vt hinc deducamus d$ Tte in. ES 22e: 4 A À cof, 75 ; hoc igitur valore fübftituto nancifiimur hanc inte- grationem yu: dm E P aar pun c TÍn T ELS dE oh N (cof (m5. $. 7. Quod fi iam altera formula fimili modo tractetur, cum fit T tang evenit d T: Tc do/' ^ 4AA cof. 79 2X ex formula autem integrali erit A—0.. yÀA--0 pcm vnde colligimus fequentem integrationem f dz lz-— "NEN ES AT 1— 2 4. A À cof. TA $. 8. Quoniam literas S et T etiam per feries Er dedimus , erit etiam per fimiles feries E 2 (gs de 36; . "DE VALORE FORMVLAE 3. 6n a — me zacta Mae (^ E mM — (s em E (Ex — OE "(sXk-—)? Test (sA—2)* etc. Tm [i b^ SEM ap" y : T ot* TO A À col. Hou Similique modo. etiam pro. altera ferie. eue tom : I (kcu SE "TE TÉ Tad ficque fucamas. harum. pis quoque: duplici modo repraefentauimus , fcilicet per formulam euolutam. quantitatem, 7r inuoluentem , tum. véro: etiam. per- formulam, integralém ;; quae-ita eft comparata, wt. eius. intezrale nulla. methodo: adhuc. confueta. affigna-- ti pofht. 6. 9. Applicemus: lias. integrationes. ad: aliquot: cafus. particulares; ac primo» quidem fumamus 9». o, quo quidem. cafu. prior integrario. fponte: in.. oculos, incurrit , at poflerior praebet: * 5. 5^ Tu ge E CIDEIES i J[llzkx;Ce— ET fiue: s)—'gelz Ly CLEA TT 75 pese 7 AE lincque. fimul iftam. ic --- RF TT vuU eovsvanrer V DONI C4Ma cio: 0 fiue: I. -- 5 -L- cl i5 pee rpHeeteszc T id. quod, iam; dudum, a. me. eft. demonfiratum.. 6.. 1Q.. T*.Àn o X TERRE CC YT. ae. Puro j * CVIVSDAM INTEGRALIS. $7 €. 10. Hic flatim. patet, perinde effe, quinam numerus. pro A accipiatur 5 fit igitur A.— r, et ha- bebitur. ifla. integratio dac Deme ROBERT 3352 ex qua fequentia. integralia. fimpliciora: dzlz et dzls. D— MES deriuare licet, ope: huius. ratiocinii 5, ftatuatur sdzlz uer. dv et. pofito. z:5 — v ,, vt. fit £4 $.— 77. et. Ig — iiw prodibit Iria Md P, M fi ícilicet: poft ibusgratiodilul fiat v — r quippe. quo: cafu: etiam: fit & — 1; fic: igitür: erit: joies Em FE ^ nunc: prior: illa: formula: addatur: ad: inuentam eritque: dzlz--zdàzles;— ptc-* L——323z. EE v. liaec: aü*em formula: fponte. reducitur: ad! hanc: ers E SEE Lu E 1—3$. 8; modo: antem: vidimus: effe: 2 ue: / 25 78—£ P, itd, vt fit: Ier ep vnde. maaifcfto: fit P — — 77, ex: quo: fequitur: fore: dle u^ Um. TUUCLo - ENTE fimili modo erit 101—889 —-— " E " quae;, - TC ——— 38 DE VALORE FORMVLAE quae, füpra et infra per 1 — z diuidendo , praebet dzix.—. mm 1/4. Uer "az quare iam adepti fümus tres integrationes memoratu maxime diguas I. [2319 imm — Ip 12 dle TT I. fire IIL./4*7* — — 7" quibus adiungi poteft zdzlz .—. T (mee e Év. $. rr. Quemadmodum igitur hae formulae ex ipfis calculi integralis principiis funt deductae , ita etiam earum veritas per reíolutionem in feries facile comprobatur ; cum enim fit Y 3 4 5 Cp ioc8RBbZEGCEE-E-s&Gs et ingenere ^P WEE eU. TV AMA muc Cae ua qui valor pofito z — 1 reducitur ad acc Patet fore PEE Il I dic boxes ret fiuc Lc scbal incdeas l7 8E L7 fimili modo ob L — ———id-Ez--zz--s5 --az'-Letc. erit de——i-i-i-h-u4-—etto-—-—7, feu 6 Ici^ci- fj apeiduy clef 6.» tum CVIVSDAM INTEGRALIS. 39 tum vero ob ———r-4Ezg-i 4-2 -- 2' -1- etc. erit dise. -. I I Aa ES CS ewEu ur ;—6te —— T5, fiue I SENI: i-a» clo re Eodem modo etiam gesere EU D—227. z fiue ; 15 4- cl sx 7l etc, — 77 quae quidem íummationes iam fünt notifümae, Ne- que tamen quisquam adhuc methodo directa often- dit effe 1 Li m -— ou TT 160 35 etc. u—À 24 $. 12. Ponamus nunc u — r, et noftrae inte- grationes has induent. formas -27(r-zz)dzim mmn. i : T ,; et / 1x 4A À cof, T Q,-9—'(üazx)dzlm — cT 2.Jf: iut. RAMSEY 4 ^ cof. —— TRECE vnde pro iltioefis valoribus ipfius A, quos iac binario non minores accipere licet, fcquentes obtinen- tur integrationes 1. f. AX-—» crit C UWEL — ER Cur TX 14. E cua VIE —(1:-2-zz)dzlz T —dzls. * 2^", f—e3 1 z* Um LL fiue /— 5 5 — 8 I». ^—3 habebimus 1. 49. DE VALORE FORMVLAE I. —HcpE eI TT, et I 54 ef ukULCSOOE SEE E —sdlz —U- : 1-—26 PESE C—zz--z*- aL Hae autem duae formulae ponendo z z — « abibunt in fequentes : — d v (1— v) Iv — cmm I. do DU hE *z e. f-— dvlv — —— cm I—— UU Uv 27 IIl*. Sit ^ — 4.;et confequemur ;? 2ES(a EEMuE mayNiet e axVaca s I--5 J 16(24V2.. 32(24- V2) . 7ESraxz)em ^2 —zzdzix TU juu a — (r-sxprsem)-— i6(ad-Y2) quae poftrema forma reducitur ad banc f— iz .pfe—mdsis. mm ü— 22 pA EEUTUTLT las) efl vero / — 255? — 77 wnde reperitur àzlt(r:—222).— —TmT(:-y:).— diis m y s(zRgEmK 4€) v7 $v2 - qui "E jam in fuperiori caíü A — 2 eít inuentus. Bi 15. Nihil autem impedit , quo minus et- jam faciamus A — 1, dummodo integralia ita capian- tur vt euanefcant , pofito z — o , tum autem repe- riemus —a—z2z)0izlz x et z(t-- 2) 5 —u--22dz]1e m pu "M NEED ren vnde hinc nihil concludere licet. ^ Ceterum etiam noftrae feries fupra inuentae manifefto declarant , ea- rum CVIYSDAM;iINTEGRALIS. — 4i rum fummas effe . infinitàs, quandoquidem — primus terminus vtriusque ys £t infuitus ,- fumto vti fecimus A— 1 et 9 — r., | $. 14. His cafibus euolutis , vlterius progte- diamur ac ponamus formulas: nteigalos inuentas .' a 2 EnSE I. eA - ros d Es Íta wt Re cum pou A E^ : T "Wo - M fe et ipi ie a ios em 4 XÀ col, 93. 4 À X cot, 59 atque vt ante iam differentiemus folo numero 6 pro variabili habito; quo facto fequentes nancifci- mur wide | g^ —w ABE z d S'4 — -ds(]gy — s, dmi dea f » rs —2^ Hunc in finem ponamus breuitatis ergo angulum " sd vt fit I3 — gu ———. ———ds E CRRGT Xo Si a qQ* KT 1 d'- — AX sopor 4€ reperiemus fm. Q — ef 9? a- 2 fin. Q? fi. Q* | di. : dm d(Q— LAT 4o wbi eft 2p — m ; vnde colligimus | "Tom. XIX. Nou. Comm. F (22) DE VALORE FORMVLAE - ruber 21)- iC TENE . iu) X: ; e us *Oo- à cof.» i cof.——- — cof. A fimili modo ob T' — eX imd erit d. gy x eer, hincque TO 2 fin. 7 42 confequenter integrationes hinc natae erunt NER D deggru e n ( z) Li" T (6 2 f^ 2À Er I-l-2 : cof. ol. — A—0 -L O T (O ^q—2z^ ve — "Tos cof. —— 2À $. 15. Si iam eodem modo feries $. 8. in- ventas denuo differentiemus , fümta fola « variabili , perueniamus ad íequentes fummationes 2 I "a spe. 4 eemeret xr ES 3 2 — QUEE EUN — Wh. cipi cof. Lm cof. E EN —u) T (-pu)* GA—uj ^ (sepu) ; Toc auam etc. 2 fin. Ss —n-g CEU Tox (s [yw T GX3 rum Tro t)3 etc. TN 16. Si iam hic fümamus a — o et X— I, prior . esr hanc Iden. formam d z (1 zy fit LÉT7-h Ru —itidh-—s-it etc, ine vt fit 1 £ ai "id COMMA rS E. F GIC quem- CVIVSDAM INTEGRALIS. 4s , quemadmodum - iam dudum demonftraui, Altera au- "tem integratio hoc cafü in nihilam abit. Ex prio- ri Yero integrali deiz*- qm! 6y-p zm i8 , alia deriuare ron licet , vti fupra fecimus ex for- mula dzbmz L7 U-w-« A 30 5 1—25 L] propterea quod hic denominator r -j- £ £ non habet factores reales. $. 13. Sumamus igitur A—» et 9 —1, ac prior integratio dabit JL ERO E D MERITO 1 --zf A5 Witt? feries autem hinc nata erit 5th-h-hcbhtki-et.,ita vt fit s ss Y X e I E 1 I pues 3T? i ;$ 53 75 ": 9? d. us STA 6«Y 8 quae fuperiori addita praebet 1—- cO LAO CNET. dL. Ea a LLPS 13 5 93 53 i XC Altera vero integratio hoc cafu dat [RE (Lz)? m5 — D-42227 — 16 quae cum paragrapho praecedenti perfécte congruit ; quemadmodum etiam feries hinc nata eft h—h4n—h-d-h-— hiec 13 3 53 j 7; 93 11$ I d $. 18. Quo autem facilius fequentes integra- tiones per continuam differentiationem elicere valca- F 2 ^ mus, wu ph VALORE FORMWLAE ^ inus, eas in genere repraefeütemus : et: cnim ' priore fit —e-— 0; Ap adire IL f c RM depu S zh e t Tue dd Sy — n) mas eso Ch VOTE ULT ws prse 2gh— 94 z^43- €: VL f— rua BAB Soeem àÀ—uU A -T Uu VIL/— d is [a] — Iesu etc. ^14 BEES 'etc.. 6. x9. Pro his differentiationibus continuis facilius ab(oluendis ;, ponamus breuitatis ergo 5 — a. vt fit , 5— a tüm vero fit fin, « 9 —5 ct cof. à e — 4; erit- CVIVSDAM INTEGR ALIS. eritque: dp—eqdum et dq——apdu; Prácterea- vero notetur effe.- n n—rt p mS d. Pos cs a. d.i x m S OE His- praemiffis ob S — a. 7 erit: ES ew in: , deinde 445) — a: (;4- A) , porro: du — ^ (a ge] Q3) mat (o m Eae (be Gracug acm TM jest aenptae ote ng hi autem. valotes: ob: f pi 1'— Q q; ad. fequentes. re-- Qucuntur: es 0: Dom à PE Ga NET (E25 — Bop d. o2 q? &r NT "S "* id A) at pt - 73 3oe Crue CR 2E US s 2S «j4 «15 a aM 5) sra poe vi gom. d6r9A L0. veta ast eo "pere ra da)—c«CxE—xc$;-A F3 ) 45 . 29" 46 . DE VALORE FORMVLAE | 6. 20. Has pofteriores formas reporte licet ope horum duorum lemmatum I (n 4- 1)p "4r m" I. 4. VSPSCOBQU T. m ; Abt". Pod Prices - 2 q q [A - hinc enim reperiemus — i cao (£5) — a a. ?- Sw q4 TII KE PLN ms 3) SUE: e (5 u q d? S Ro * 26 3 Ds 15) 4 Cu d d*s prs 5 203.04 — 20 I (2) scar m A » d$.S, |. 6 (as 3*4 pw s. 20 P P (R$) ca pit tEPIOR d$ $4... .,? [a7 44 5.6 D 849 I$a S» d Qu) —5 (e ry cur oer Tr) d?S — L] 269.570 54 840 E m y * Go EGET AVE webs P 6. 21. Ipíae autem feries "his CRM refpon- dentes 1 I t I —di—s s* ES Uds enc t wn) * $A— uA 5À-r-u etc. T-—s— -L -— ete, EE n XU TW I e r ce mre bins (À-4- 0)? feta "T xxu (sÀ—14)! —(sÀ--u) dd I M BUS Duce le 2 Cors c? / — DU! (s cR GXLus GXcaE Q)* t etc. d5s — 1.2.3 1: 29,3 7 192.3 1e 26 3 1,24 3 -- (aos «o^ 7 (Acw* | (Q-Ew)*. (GÀ—Gy Tg :b (sA—«q«)* ete. (d* SYL. 1.2.3. 4 | 1.2- 746 0e 24 784 1e 26 e 4 1. 293. 4. d ie —(A—w) ' (-pw) (siA—w? (sA4-o0)5 (3À—t)5 T etc. d*s — Pe 3e Sede S. 1e 2e Se 44$. 16 2e 3e 4e 5 I. 24 $ 4* 5$. | f.2. 30 4e S LL | (zs ML E Q--w* "(GA—ws9 ' (A4-w* T GA—p c eu dó S sa" eO . 6 AT IIl» »*540) m fee s» Ó leseec* (4« us) —— —acw T [WESS Lo? (53A—0/ (3À—- 9)? (3À— qj Qj 3 -— etc. — ILC oo 9)10 CERE EICHCRC A I*N. e — efc d a? —A—— ime (3à—tw)* ' (s3A--u)*- (cay : etc. etc, etc. Circa CVIVSDAM INTEGRAL!S. 43 -Circa hos autem valores probe meminiffe opportet , effe — 00 EL E * LS — 7 09 a—7 p—fin.ao —(in.*5 et q—cof. a —cof, t $. 22. Eodem modo expediamus valores feu formulas M dH alterius generis, pro quibus eít T -— tung; T vnde continuo diferentiando oriuntur fequentes in- tegrationes AIT UL. 2^ d- c do* NLIS regu qu eor -u Myra 9 —( 2gh—9. $9 ERIT 1. ES E UE DOS ums MEUS e UU cH $. 23. Ponatur iteram 5, — «; fin. a u—f» t cof 49 — 4 , vt fit -u P T -— "wi quae 48 DE VALORE FORMVLAE: quae formula fecundum lemmata 6$. 20. continno dif ferentiata dabit | T f (2) 4 I (E88). wi "d 12) X Qc ua benedicens (5-4 (G- EE a een (e zm 8 elem e 2016 ed | 6. 24. Series autem infinitae; quae hinc nafcun- tur , erunt I1 I r I4 I 1I Ties TOUT t A— 9 3À--0 EAS: sA—u xs et. 2 -— e [remm th ven: * xcu T ces i* Cic T etc. (iD —maS Dax kcu usc caede ifie (£22 rur 6€ TA ete c (2) — cuf 7 ag t Aet C phu F GRcug o le Cus T WU MU qe aras) — BC E Cru Eds ci eur TE cres (Xd 1 etc. TNCET NR Poo erit, hinc cafus fim- pliciffimos euolüere , qui oriuntur ponendo ?-— I &E 0-0, ita yt fit 40— 7, p — Onet q—1; vnde. habebimus Pro CVIVSDAM INTEGRALIS. ^. Pro ordine priore - — zx 9 etc. 6. 26. Hinc l 49 Pro ordine pofleriore T-o etc. ergo, omiffis valoribus: euanefcer- tibus, ex priore ordine habebimus íequentes formue las integrales cum dz 127225 gode COTON TU NE dz(Lz)yt-— 12-227. d z; (126 1 Sam etc. " 64 "256 €tc. "T — —T—1—ijTt:-— feriebus inde natis ;45— sis etc uai: Tn gi S L ct etc. 1 :: E nLGHdauü-5r-u—n rete Dt E zn mci s etc. etc. 6. 27. Ex altero autem ordine pro eodem cafü oriuntur —dz(z* — T' TEEEDNES 16 -üz (2 m 1 ETOETY ctc. J 7x etc. . "Tom. XIX. Nou, Comm. Lx Dm rbd ran m T$ nis pbaecbas beo ee Eo uper €tc, G $. 28. 50 - DE VALORE FORMVLAE $. 28. Quemadmodum ex primo integrali or— dinis pofterioris deduximus has formulas [de deer E I gi ism Pu qu —27- "E IS VE iz 9 fimiles quoque. formulae integrales ex (equentibus de- duci poffunt; cum enim fit EDUC EO LM jd 1 1—zz:"7 wy e? ponamus efle A s FEX bu dad f'zum —P- D—zm 16 dz (I2) —— DAMM et Jf ez Ar uh c nunc vero flatuatur zz — v, vt fit 2dz —:dv - et /z —i1v, ideoque /z' — 1/v' , quibus fubftitu- tis erit xxu gduudv Tr**. Pi 2 sf. LL ma UP ;(P— e ? vnde fit 16P—P-—7 ideoque P — — 7: 249 ficque. has duas habebimius integrationes nouas [5809 m em ; €t [2209 — ERAT Lid 1--z 120. hinc autem. per féries Ho fcis — pm 6L Pp EE TÀ-retc)et 1— 2 JXDUEEMTG(- siege -- etc i42 r2o *L d z (lgy5 6: $. 29. Porro f iua Lar ponamus effe duy L3 zdz(lz Ju —P; vt CVIVSDAM INTEGRALIS. 5: vt hinc obtineamus dz(lc5-— p..mq$ dee. . p..wvf E uid uc P . nunc Bitur flatuamus z Z — v, eritque Exon umb. vnde fit P—-—E, EIII fouaeque integrationes hinc deductae funt 5 6 d z (1z) E EN et I1—2 63 dz(lz) ..... s:m9 SEC m 252 at vero per feries reperitur [2552 iem z-120(1-bL-d Lnd 545 su etc. D—z 6z ct ^ d stt 9 rnonoh4i Ru S ELE ete ita vt fit Pedum are CB ais -- etc; — T. et SOLES. "TT Lage EL e ETUTEO, iue at m x doa — 69 dos 7$ us " etc — 30249 ^— $2« 94$. $. 50. Con(üderemus etiam cafus, quibus Eug — Xx Jt3, VEUfIC q,— T, et qu — *. hine p—4-—7., vnde pro vtroque ordine fequentes ha- - bebimus valores 52 DE VALORE FORMVLABE . Pro ordine priore U— dS TT dw 332 d*^SwN Zc—— arat dwi^ 1285V2 pun d.t0t^— 7 $12, €4 2 HT (e [O3 mao tVTo ———— dw 7 ax6& v2? etc. 6. gr. Hinc Pro ordine pofteriore ; y iXqp — BOTNCRCSME (ener í(dd' Ty. — TY (aus ps 16 di TC m* — Md oi! —: 16. dfq y S AMT e) "Tr. 64 d5 T T^ cd * : Pal) 61 m? m 256 (E ies v2: d o? 22 etc. igitur fequentes integrationes s cum fcricbus refpondentibus refültant; ac primo quis dem ex ordine primo J-ztcimuACi-B BY Ti-1& 4s ede festidstse I o pet ie decis tte [7m — Db ecu qb E UT - etc. [Cini o e un MR ETE cit J-tz2 mU ea uo Mer. ie Mz pUDEONMN ; 6 ? eur amie micum EM eo J-tEEUS ce HT D - Sepe pER- pes - 5 retc. €LC. d 1— i cGEW etc, $. 32- CVIVSDAM INTEGRALIS. 55. o8: 32 Eodem: modo integrationes alterius or. dinis cum feriebus erunt cRmi-id:ic-itsocatg-t- mucus bp RER ES te Jiuocho-soiekoWa cq [5M mtb ete reto te fI eds-HtL-TMBPRUAE ES T6 [ED ITmS - i-r: d- E ebore ete; 6 ipyrcürcepogpoRg eg pre zr — dia — zu dbi ee L TE n, 4 2 ye 1o -- etc. etc. Hae autem feries funt eae ipfae, quas iam füpra 6$. 26 et 23. fumus confecuti. $. 33. Praeterea autem ii cafus imprimis no- tari merentur, quibus formulae integrales in formas fimpliciores refolui poffunt. ^ Haec autem refolutio tantum fpectat ad fractionem 2—92L 2^4 0 iw : rhe 55 ? omiffo fa&ore ?*(/z)*; ad quod oftendendum fv- mam us prinia Az2g etuozcr, «ne fit «-:7, pcíino,et q— cof7, tum autem, in priori ordine- occurrunt alternat!m fequentes fra&iones ao]; EEGOH ES — 022 Q--a$ —— 1—z24-3*5 G 3 quac 54 DE VALORE FORMVLAE ^" . quae pofito z z — v abit in RD EU érga cum fit da Li L-a— e et Iz-9iv, hinc talis forma | I d v (19y* 2i. 94yp P * integrari poterit cafü fcilicet € — z. "M Ex Lees uy ie "- (—2z2) uL 1-4 z$ hi T ORTA s(r—2z2--z)! c 1 —2. 2 —U0 " quae pofito z z — v abit in IG gu DES IRNAD TNTL- viel ; quae ergo forma du&a in 7 (/z) vel. in I CP [7] (foy we femper integrari poteft pofito 9 — x. $. 34. Eolem cafu ordo pofterior fcquentes füppeditat refolutiones T ze(u—22)) ID $92 n d T arg-mEREJd-*. T 332 5w3 : 1--v-a-v0v? 1 — x6 | : 3 I quae in 2* (/2) ^. vel in mi x " Q'zy! duda fem- per eft integrabilis IL. T—EZÜ-22)— ——2 T i 2424-22 — IELasb "UTI MESE ME 5 -4-22--:9)2 quae fado zz -—— v fit quae ergo formulae in 22 (/ vj?" dnétae fiunt in- tegrabiles ; quia autem in hac refolutione numerato-- res per z vcl v diuidere non licet , alia refolutione eft opus , quae reperitur i gX— CVIVSDAM INTEGRALIS 55 Pals soa itte mein, 1 — x5 2(1— zz) 3(!-—Lxt5-Laet fiue -—*:70 —"v(i1--27). "à s (1— v). s5(1 9.0 4-7 v 0) quae | formulae. duéae in cis qopee vel in Eus 4" (/ gj !--* integrationem quoque admittunt. :$; 35. Porro manente à — 3 fuüumatür o — $5 Ytfita — 7;p [n —7 et q — cof. ; et €x ordine priore orientur fequentes reductioncs. , Jose st) — ace d$ is z(:-E-2 EU NES ux anc m m) s(1—22--z)yY vnde multiplicando per 2*/2*' oriuntur formulae integrationem admittentes cafu z — 1. unundlde.C-u | m(r— mz) dd PES. [ 1 À t-il 1—5225--2* quae per $5(/zyi--* multiplicata integrari poterit ca(ü £ — 1; ex ordine vero pofteriori fequentes pro- dibunt reductiones. I z(r—2).- z(:- 2) ^ Tou o4-53-.x* Pha quae.ducta in 4* z^ fit inteBrabilis, DEI II 2 42S) — LS pope j It 9-295). f z6 U.3( 5-32) 3(í zm E) quae formulae in *(/zy'-7F' du&ise fiunt iritegra- biles. & 36. Operae iam erít pretium haec. integra- lia a&u euoluere, quare ex $. $3. eiusque nuinero I manciícimur fequentes integrationes 9 041 'npdm.: one Aes TÉ D rx/unce i educi : 9igryx dvüvo* .— ga (:..ly— st 2. Vy d 6-1)—X y ni deinde 56 DE VALORE FORMVLAE deinde vero ex eiusdem 6$ numero II vbi etiam. haec reductio locum habet am(u-dmm)n. j('amm 2 zz(í-—3:22) — m. UE4a$ 0 00 sg --2z) $( 2-244225). :0 24-9 v(—227) quáe duca in 72? /« dabit dvlv |, : fdv(r—:7)1v—4 uy $, ——7TX 5714-7 (37 ".— 9-4 750v Q4 m quarum formularum prior integrationem admittit, eft enim Zl eL CENE IDE 12 vnde inuenitur poflerior gfésu— ce un EE icd 1-— 77-77 SD $. 57. Ex & 34 eiusque numero I fequitur MEET dv — &b.— T us dear unie qu ew » a vU EROGO uVpaq ilt TT M rcacpevr o go & Ya deinde vero ex numero Il fit du Imo. mu Eoo kg D)l9 L—— 1m MJ UPDOLEU-Uv) dd ^ as fupra autem inuenimus effe dvlv .— TT —À € 1— UD 6 quo valore fubftituto fit : dvof:-Ep20mlv—,. Tc 1-4 U--UTvV 9 maxime igitur operae pretium eft Miam has poftre- mas integrationes euoluifle. $. 38. Quod fi ambae formulae integrales dv(i-—zav)v. et Kf iniu mm PDe—0-.77 1-4- UV --v V sd CVIVSDAM INTEGRALIS. $3 iu feries conuertantur reperitur 2 i d I l — 4 f rds C Xd eid 456. ct d^v( v)lv— SPEM LS 3 Mu EU —-—1—iLbs—u-—aplgs— iat. vnde has duas fummationes attentione nofítra non indignas affequimur PH i1 —i1—5 Eu 15 T as d ET X 357 vi — ut Mm 108 etc; — TEE Tx II. I zx x3 5 coisd as — as ix zs vi —i "E zssetCs —— "d quarum prior a pofíteriore ablata praebet x 3 i5 — secl ondas 666. — 70, «uius duplum perducit ad hanc Eua deu Ree ost quae quoniam cum fecunda congruit, veritas vtrius- que füummationis fatis confirmatur; quod [fi vero fecunda a duplo primae fubtrahatur, remanebit ifla feries memorabilis . I—i—i£-—i ideas —c3u-idcclo quie in periodos 6 terminos complectentes di(lributa, manifeftum ordinem in numeratoribus declarat, quip- pe qui funt 1—3—2—3- T 16. Additamentum. 6. 39. Quemadmodum füperiores integratio- mes per continuam differentiationem . formularum S et T deduximus , ita etiam per integrationem alias et prorfus fingulares integrationes impetrabimus; fi -. dom.XIX.NouComm . .H enim 58 DE VALORE FORMVLAE enim vt fupra fuerit S —/77*5, exiftente T for- mula illa e—9 4 ER X ROT quae praeter z etiam exponentem Vácididem o in- voluere concipitur , erit per naturam iuo di duas variabiles inuoluentium WS46-—fi5fTda, vbi inpriore iata integrali f S 2, vbi 2 pro con- ftanti habetur, ftatim fcribi poteft z — z ; hoc igi- tur lemmate praemiffo , quia eft a^—9 2^ ra qub epiza 1-3- g^ xz ^ ambas formulas füpra tractatas nempe S et T hoc modo euoluamus, et quia vtramque triplici modo expreffam dedimus; primo fcilicet per feriem | infi- tam ; fecundo , per formulam finitam: ac tertio per formulam integralem ; etiam quantitates , quae pro integralibus /S 2€ et / T 4o refultabunt , erunt inter fc aequales. $. 4o. Incipiamus a. formula S, et. cum per feriem fuerit [t 4n— Sim xau nu aipb esc axis. erit P. fSdaz-l c Q-o9)-( e—— ( ^ etc. --C quam conflantem ita definire decet, vt integrale euaneícat pofito o — o, qub ie erit [S4 CVIVSDAM INTEGRALIS. 59 dSdu-ciMBl29 -- 15S Lp LAS -p-etc. 3À--0 SA —t quae expretfio reducitur ad fequentem fS4doc — X2 09)G-—w)(GX- )(zX—w)(s-t- 0) efe (X— v) (s À 4-9) 5 À — 9) (2 À 4- t) (9 À — w) etc Deinde quia per formulam finitam erat c du "m gc EVI Eu ibl sd PEN CCN wbi fi breuitatis gratia ponatur RAT ze D wt "t d — 29^ erit / Sd — 7t " quia igitur nouimus effe ! di» 7E 1 fms --tang.i3 | fümamus fin. $ — cof. D fiue 9 — go! — p — 7-0 eritque 2 9 — — d D vnde fit , Jw cohsne (29) j quoniam autem eft Q7? etitz-: 4D sncluer vnde noftrum integrale erit fSdacc—ltung, 709—9 — P ang: * 20-2 €x tertia autem formula Job e^-—wu. g^ S— Buyer EB 2^ R- NS EY. $^ uo iu fSdu-f hU LH NIU AT quod integrale a termino z — o vsque ad termi- num z — i extendi affümitur ; ficque tres ifli va- i H 2 lores api 4* , colligitur 'fore 11 6o DE VALORE FORMVLAE fores inuenti inter fe erunt aequales. — Ac ne ob con- ftantes forte addendas vllum dubium fuperfit , fingu- lae iflae expreffiones fponte euanefcunt cafu à — o. 6. 41. Confideremus hinc primo - aequalitatem inter formulam primam et fecundam : et quia vtra- que eft logarithmus, erit f eu) —— (o 2 GÀ — u) (s X - 017 À — w) ete. E raiarw qr — (A— w)(s À 4- «) (5 A — €) (7 À -4- €) etc, cum igitur huius fractionis numerator euanefcat c4- fbus, vel o—-2A, vel o—-F3^, vel a2—52, vel 9 —-- 7A etc. euidens eft iisdem cafibus quo- que tangentem fieri — o ; denominator vero euanefcit cafibus vel à — A, vel 9— —53* vel o — 4-5 vel o — — ^A etc, quibus ergo cafibus tangens in infinitum eXxcrefcere debet , id quod eriam pulcher- rime euenit. Ceterum haec expre(fio congruit cum €i , quam iam dudum. inueni et in iutroductione: ex pofui.. 6. 42. Productum: autem iftud infinitum. per principia alibi ftabilita ad formulas integrales. reduci: poteft ope. huius lemmatis latiffime. patentis: a (c -4- 5b) (a -- k) (c4- 5 -4- ) (a 2 k)'c A- b A2 Ry erc Ls. b (c 2-a) 6 2- k Mbps s k)(C.- Q 24-2 k)etc. fz—d 235 x- a—h f*&-7'dez(iec2)*v i fi quidem poft vtramque integrationem fiat £ — r.. Nofliro igitur «afü ezit e —A-2- 9, b— A - 9 62-2 e kzc4 vnde valor moli produci «rit, /z NebE: CVIVSDAM INTEGR ALIS, 6x — m dfe 2a 23 dz1 1 bd ACE nd fz^t-de(e-amM 3 formulae autem iífae integrales concinniores euadant flatuendo 2^ ^ — y, tum enim erit — tang. race [dy (r Lyn jube: —5 yp wrapt JRICE IN quae expreffio vtique omni attentione digna videtur. Denique ex formula integrali inuenta erit quoque 259—09 d 2^-4- 0 paa zlz $. 43- Operae erit pretium, etiam aliquot ca- fus particulares euoluere s fit igitur primo ^z—2 et à — r ac per exprefhonem infinitam: erit S4 ME "EG 5 11 !$3 19 2U 27.29 235,:7 eC [0] — zie em. qe eX Less mue d ueris ior M ama 1.7 9eil5 12.23 25.31 33e 3g e[Co: deinde per expreffiouenr finitam. habebimus: fSdu-ltang. 7 à at per formulam Adern n do zh -— Em dz iP LN MEET "um vero ex aequalitate. duarum: priorgum expres- fionum tang. £f — 75, 975, 1977t etc, 1297. $158. 17.23 hineque per binas formulas inte, grales tang. 5? b. fdAG exp 93 idi m E [dy — 95) gU.LUS H 3 6. 44 62 DE VALORE FORMVLAE - $. 44. Ponamus nunc effe. ALS ctu-idc per expreffionem infinitam erit A fSdu-liimi2Bdw ete fecundo , per expreffionem finitam fSdu-iltang P-—y $134 ita, vt futurum fit iy seem —— 4954 (3107-34 16. etc. 1505 3r Zeit I3« 17 huiusque produ&i valor per formulas integrales erit f dor(aieeoy yy 78i f[4y 47:4) l Denique formula integralis praebebit — (—z(—zz)d J/ 9 das. - "n $. 4s. Eodem modo etiam btrbloaDd alte- ram formi T cuius valor per feriem erat T-— m€— m iz y nx GT JUzU 5i S Aetio. vnde fit | fT do—-I(&-u) — cra) — T(83-9) — I(3A 4) - etc. quae exprefüo vt euaneícat pofito à — o; erit Ps FEN 25 À À [T4e— 1. 9ÀÀ—OU 25AÀAÀ—uQ0 etc. deinde vero cum per formulam finitam fuerit T — A tang. TX erit [T d o — f *59 tang. 79^ vbi pofito 79 — (b erit. JT d o —f4 Q tang. Q--letQ. ita vt fit gs Here | cuius CVIVSDAM "'INTEGRALIS. 63 cuius valor cafu. o — o fit. fponte — o denique per formulam integralem habebimus 103 ahT5à.. g^4-9 ) COEUR "EP ETE intecrile itidem a termino z — o vsque ad termi- num z — rt extendi debet. 6. 46. Iam comparatio duorum priorum va- lorem hanc praebet aequationem " imm— X, o AU 225A X 46A et cof Em "yuwerma GA à XX—ua fcc sze EDI (Qo à —- tpe $39 Ui 53) (2077 3.) "ete. " fi Tattókes oguli iterum in fimplices euoludn- gd erit i — À-€9 À—0 sÀ--9 sÀ—4&à 5A-L-9 5A —0o cof. ibm A x: aeimPPWP- Mure SX C FER E quae formula cum redu&ione generali fupra allata comparata dat, aA d 0, À—2A, cezz—0 et kK— 2A vnde colligimus DBg-"oupav .c e oun lew sido momadir 14m m. * cof, T mM Vt aütem exponentes negatiuos 2— 9— ' d a fuperius productum 'it4 repraefentemus Ma iom u. 25482 0:23 5 A— eoí; —— "al E DAN, NES. ete, eritque" fac comparatione a —A— —0,bzA ccce €t Kk — 2 A ficque per formulas integrale Arr. [n —1 cof. €4. DE VALORE FORMVLAE Dor o8 agii (CÁC do einn —X—o fz?— dz(r—2N o quae expreffio ad fimpliciorem formam reduci nequit. 6. 47. Sit nunc etiam ÀA— 2 .et 9— erünt- que ternae noflrae expreífiones LIT4us—ILL Len; Büc fTdà—]25 99, Bo n ei de 3.9. p.58 13^ LES 45 AL fT45--—1cofT —--il2 ita, vt fit 1 — 2. 2:6. 6 10,10 14e I4 a Y—3i.Q 05,0905. U07* etc. :de 3 Se 7 9« [X 17. F3 .quod ;produ&um per formulas integrales ita «expti- mitur 5 D — 4C à "LES (1 —2) Ya fás(1—--)^* ; I fom[rexsuss.- —d quod ergo integrale a termino z — o, vsque ad z — 1 extenfum praebet eundem valorem 4-272, cuius aequalitatis ratio vtique difficillime patet. 6. 48. Sit denique vt füpra A— 3 et e — z $c terpae formulae ita fe habebunt I. / T d o — Hi. $5 i25 ete zB. : mI. us : etc. Jl /T4o— — cof. 2— —1XizbT, ita vt fit 2 15. 1$ 21, 21 y3 2. 4* », 10 1416 39923 -— Ws 3 o9 9 — ideo- CVIVSDAM. INTEGRALIS. ideoque per.binas formulas integrales —fdz( (1—52 ? € ". vs 3. fdz(t— az) Ill. /T do —/ —c59 75 quae pofito z x — « abit in hanc — r-—d*v(: vU MElgqus[em—s i 465 Hinc igitur patet hac methodo plane noua perue- - miri ad formulas integrales , quas per methodos ad- huc cognitas nullo modo euolucre vel faltem inter fe comparare licuit. -TomXIX.NonComm, I NOVA a6 . GlIIizem m yrteet y: "9 NOVA METHODVS- QVANTITATES INTEGRALES DETERMINANDI. Auctore L EVLERKO. 6. r. ( "um mihi faepius occurriffent formulae differen- tiales, quae per logarithmum quantitatis varia- bilis erant diuifie, veluti F^* , nunquam perfpicere potui, ad quodnam genus quantitatum earum inte- gralia fint referenda, quin etiam maxime difficile videbatur eorum valores faltem vero proxime affi- gnare. Quod quidem ad formulam integralem fim- pliciffomam huius generis /2* attinet, fàcile patet , fi cam ita integrari concipiam , vt euanefcat pofito . £—0, tum vero ftatuatur z — rx ; quantitatem in- finite magnam effe prodituram ; quod fi enim va- riabilis s iam proxime ad vnitatem accefferit , vt fit Z—1-—u, exiftete « quantitate infinite parua , tum ob dz —-— du et /z —l(x —u) — — u : haec formula erit f 4* , cuius valor vtique fit infinitus. . At vero dantur omnino huiusmodi formulae integra- les f/*9^ , quae, etiamfi ponatur z — 1, tamen va- lores finitae magnitudinis fortiuntur: quod determi- ! naffe DE QVANTITATIBVS INTEGRALIBVS. 63 naffe eo magis operae pretium videtur , quod nulla adhuc cognita e(t via iftos valores inueftigaudi. 6. ». Confideremus exempli gratia hanc for- mulam fatis fimplicem / 9—72*, quae memorata lege integrata valorem £i habere facile oftendi poteft: Pofito enim. ——-^ — y, vt formula noftra fiat /;d z, ideoque exprimat aream cüruae, pro abíciffa z applicatam habentis — y, ifta area a ter- mino. z — o vsque ad terminum z — r extenfía vti- que valorem finitum non multo maiorem quam ;j repraefentabit ; pofita enim abfciffa z—0 ; fiet etiam applicata y» —0, at fumta £-— rz pro applicata Z-——'1 J —"z- tam numerator quam denominator euane- Ídt, ergo eorum loco fubftitutis fuis differentialibus fiet y — z — 1. Pro abfciffis autem mediis pona- mus z — e^", exiftente e numero , cuius logarith- mus hyperbolicus eft vnitas , erit | "—r: C-—I (oU —nu uy — gg? * quae, fi 2 fuerit numerus valde magnus, vt ab- fciffa z fiat minima , applicata erit proxime y — 1; qui ergo valor multo maior erit quam abíciffa z; forma fcilicet huius curuae fimilis: erit figurae ad- ie&dae, vbi AP denotat abíciffim. z et P M appli- «atam jy, abíciffae-vero A.B — 1 refpondet applicata BC--: qua curua deepeio eius ara AMCB non multum. fuperabit aream trianguli A B C^ quae eft — ;. ELT | DTE. C js $. 3. "Tab. I. Fig. 1. 6$ DE QVANTITATI2RVS$ 6 3. Nupet autem , ^in aliis inueftigationibus Occupatus , praeter expectationem inueni , hanc aream aequalem effe logarithmo hyperbolico binarii , ita vt ea per fra&iones decimales fit / 2 — 0,6931471805; fequenti autem ratiocinio huc fum perdu&us: Cum reuera fit /z — ?——' , quia differentiando vtrinque prodit £4 —2*, et fümto z — 1. vtraque. expreffio — euanefcit, loco o fcribo 4, denotante 4 numerum infinitum , eritque /z — i(z/ — x), hincque appli- catà 2—1t r—sz J-— 0 -— UE 3 i(4—1) i(r—2) Qo ,Q-2)42 - ) et formula integralis f .. Nunc igitur fla- i (x — 2!) 1 tuo 2! — x, vt fiat z — x^, vbi notetur pro vtroque integrationes termino 2— o et z.——1 ctiam fore X—0 et x— 1; quia igitur hinc fit dz—ix/—'dx, formula integralis euadit xi—'dx(x-—3xX) d idacr) ; quam. ergo integrari dira 4 termino Y—0 vs- que ad terminum x — 6$. 4. Spe&emus. nunc 7 vt numerum valde i I—X magnum, et fracio ——-—— refoluitur in hanc pro- greffionem geometricam /JXANTEGRALIBVS —. 69 dieofokGA-e qa avc4ex 4x 42x54... 7! cuius finguli termini in 25—7' x duc&i et integrati praebent hanc feriem xb. ai t ; xi qoe set | yi-—i RN : z MTM. e » z id^-rx i-T-2 i43 21—1I quie vtique euaneícit fàcto x — o. Nunc igitur fu- matur x — rz et valor quaefitus noftrae formulae in- tegralis erit P-umuncg4AEMeeduu P -Lai 1-2 [n 24—t vbi quidem litera ? denotat numerum infinite. ma- gnum , ita vt numerus horum terminorum fit re- vera infinitus Nihilo vero minus, quia finguli termini funt infinite parui, haec feries fummam habebit finitam , quam fequenti modo ad feriem or- dinariam reducere licet. | 6. 5. Series inuenta fpecari poteft tanquam differentia inter binas fequentes progrefüones har- monicas | Aci--i58-:d-i-:0-:-....-73— C Bczs-i-d-id-i4-id-:d-... 4 ;— quandoquidem differentia A — B ipfam feriem in- ventam exhibet; quia autem numerus terminorum feriei A eft 2; — r, feriei vero B — i — z, ille du- plo maior eft quam hic, quocirca, vt feriem re- gularem obtineamus , fingulos terminos feriei D per fatum à fcriei A termino fecundo , quarto, fexto; pu octauo editt - j:0 DE QVANTITATIBVS o&auo etc, auferamus , quo pacto fimul ad finem vtriusque peruenietur , eritque i; A-B-r-iti-ici-itete in infinitum , cuius ergo valor eft 7 2, ita vt nunc quidem folide fit demonftratum ,. formulae integralis propofitae / &—2** cafu z — 1 valorem reuera effe ae ADS $. 6. Simile ratiocinium etiam ad. formulam "—1)4dz d: integralem generaliorem f n accommodari poteft, ac tandem reperietur cafu z — r eius valo- rem fore /[(g-4- 1); quia igitur pari modo erit ys —(n-r-1), fi hanc ab illa fübtrahamus, prodit fequens integratio e E UU Jh Jut rujb4L. n fi fcilicet integratio a termino z — o vsque ad ter- minum zx — r extendatur. $. 7. Quia autem haec demonftratio per quan- titates infinitas et infinite paruas procedit, merito aliam methodum planam et confuetam defideramus , quae ad easdem fümmas perducere valeat ; quae qui- dcm ipueftigatio maxime ardua videbitur. Interim tamen, cum nuper confideratio fünctionum duas variabiles inuoluentium me ad integrationem formu- larum differentialium prorfus fingularium perduxiffet, quae aliis methodis fruftra tentantur, ex eodem prin- b JONTEGRALIBVS. 75 principio quoque integrationes bic exhibitas deriuan- das effe intellexi. — Hanc igitur methodum tanquam fontem prorfus nouum , ex quo integrationes , aliis methodis inacceffas, haurire liceat , clare et perfpicue explicabo , cui negotio iflam disquifitionem prae- cipue deítinaui. Een nta. 6. 8. Si P füerit funcio quaecunque duarum variabilium z et 4, ac ponatur /P dz —S, vt et- iam S fit fün&io binarum variabilium. z et 4, tum erit fasi. Demonftratio. Cum in integratione formulae f/P Zz fola s - vt variabilis fpe&etur, erit (23) —- P, quae formula . denuo differentiata fola 2 pro variabili habita prae- bet (225-) — (£7) , quae in d$ du&a et integrata producit (25) — /2 z (£7) quandoquidem ex princi- piis calculi integralis et [ds E res 25) q. e. d. Corollarium 1. $. 9. Eodem modo per huiusmodi differenlia- lia vbi tantum 4 pro variabili fpectatur vlterius pro- gredi licet , vnde fequentes oriuntur integrationes E zy 2 (SeBycet da? (£ SZ à r3) z» dz (4-5) n* Ins. oetc. etc. | Corol- Ja DE QVANTITATIBVS Corollarium 2. $. xo. Quod fi ergo formula f/PZz fuetit integrabilis , ita vt eius integrale S exhiberi pofht , tum etiam omnes iftae formulae integrales . fdáz(5,fdz(125, fd QA ete integrationem admittent , atque adeo ipía integralia exhiberi poterunt. ; Scholion. | 6. rr. Ex his quidem formulis fi in genere tracentur, parum vtilitatis in calculum. integralem redundat. At fi functio P ita fuerit comparata, vt integrale /P 22, cafu faltem particulari, quo poft integrationem variabili z certus quidam valor. puta £ —4 tribuitur, commode exhiberi pote(t , vt. hoc caíü quantitas S abeat in fun&ionem f(olius variabi- lis & fatis fimplicem , tum integrationes memoratae perinde locum habebunt, fi quidem poft fingulas integrationes. ponatur z — 4, atque hinc ad eiusmo- di integrationes plerumque peruenitur, quas aliis methodis vix , ac ne. vix quidem perficere liceat : atque hinc oritur Primum principium integrationum. 6. 12. Si P eiusmodi füerit functio binarum variabilium z et y, vt valor integralis f/P Zz. fal- tem caíu certo z — 4 commode exprimi queat, qui valor fit — S, functio fcilicet ipfius 4 tantum; tum etiam íequentia integralia fi quidem poft integra- tionem )UOINTEGRALIBEY S. 73 tionem pariter ftatuatur 3 —4 commode exhiberi perunt fcilicet [Pdz—S':-. dPN (dS. (dz Gu —(i 3) d'dP dàs) fd s (£35) — ($22) du? [4 * GS "ei us : qr prede ee: etc, .. etc. Exemplum r. €. 13. Si fuerit P — 2", erit quidem in genere ne poet | fP4s—TED vnde cafü z— r hic valor fatis fimplex nafcitur quao 04 Wt fit S — £—, cum deinde per diffc- rentiationes continuas, dum fola « pro variabili ha- betur, prodeat dPy 5 dd P|— 2 (—s€ix, tum vero (x (/2), porro gna 03., 03-4 2 ere hinc fequentes obtinentur valores integrales , fi qui- dem poft andas integrationes flatuatur z — 1 : [ini 1» 2339 4 [9 dz— Deng ula cp etx Js94s(lz) ——uu f[zdzlzg-—-—.——a muc [9dz(Iz) —tr ay fzidz(lz) —-; fs*dx (ls) —— A [2 dz(lz) —-— Wr De -- Tom.XIX. Nou. Comm. K vnde Rec NE M (u 4-:)* Ge ace rs DE QVANTITATIBVS vüde concludimus 'generaliter: fore AU TNIG. 1.2.9. 4H MOT [S9 dz(lzy —-r (bip vbi fignum -1- valet fi 4 fit numerus par, alterum vero — fi 5 fit numerus impar. Hae- quidem integrationes iam aliunde íàtis funt. notae; id. quod mirum non eft, quoniam tam fimplicem formulam pro P affüumfimus: breuiter igitup repetamus eos cafus, quos iam nuper expediui. cds -— Exemplum 2, R— uo pie ee esee pou en iam dudum demon(traui , formulae / P 2 z valorem integralem cafü quo poft integrationem ponitur ; &——I yid efle. S — 2.11 cof. LA &. 14. Si fuerit. P. — ? ig NS V p atd-uoa 1 | dP hinc ergo cum fit (77) — URTRTWE "ge 2 metet ddP RE aed eced det tum vero ($27)— Tr (y gi —u—i p nario et c —- " n BN etc. ; ctc, c ^YNTEGRALIBVYS. 75 ex cognito valore S. fequentes na&i íümus integra- tiones - EL 6 TERT zi————dz— —5— inc EE nrceuor m o-pL uw —t ; n fL — dele III. f Euer e n í I--z du* (gu — ip et duo: IV. f VICA TEE dre -— gh—tu—trp.gtaa—: j V. fI m — dx sy o etc. etc. Exemplum 5. 4 —u-—rl1.l. gu —: $. 15. Si fuerit P — — I pr Pd "Ql fimili modo demonfraui valorem formulae integra- ls /P4z, cafu quo poft integrationem ponitur & — I, fore — - tang. 73 atque du Wee integrationes pro eodem cafü $— x fuerunt deductae | h | K 2 | l. 46 ^ DE QVANTITATIBVS amc uet uot X) AUNT $ NS m ODE, E. REMO dz—S$--tng?* mobi 1st iom dzla—(i5 2) I—z" gh — à — ip gta-u—a III. d i rum——:4 202) — 010 -gt—uü—:.[ n o-d-u-—r: IVUJ: ZAQUY: —;———dz(z)-— G5 gh —u—' Landi: - Vf Ye dz(szy— — etc. ctc. Scholion. 6. 16. Quo igitur vberiores fru&us ex hoc principio expectare queamus , praecipuum negotium huc redit; vt eiusmodi functiones binarum variabi- lium z et 4 pro P inueftigemus, ita vt valor for- mulae integralis faltem certo quodam cafu puta Z — r fuccincte affignari, poffit, quemadmodum in allatis exemplis fieri licuit. Quemadmodum autem, hoc principium ex continua differentiatione eft dedu- &um , ita codem modo continua integratio ad víum noftrum accommodari poterit. ! | Lemma. Il. up 6. 17. Si P fuerit functio duarum variabilium z et 4, ac ponatur /PZz— S vt etiam S fic fun- é&io duarum variabilium z et u, tum erit /Sdu c INTEGRALIBVS. 7 —f[d8fP dt, wbi in. integralibus formulis /P Zu et f S.diu fola t pro variabili habetur, in formula autem /d z/ P du fola s. Demonflratio. - Ponáàtür /S du — V , vt fit .S — (1Y) ,. ideo- que (Y) — fP d a eritque (227) — P; vnde, per du IM icanaó et Kaecrando erit (15) —fPdu, ex —quo fequitur V — /d 3/P4u —/S du. q. €. d. Corollarrum'' r. 6. 18. Hoc modo etiam integratio repeti pot- e(t; vnde orietur talis. aequatio /duf/Sdu—/dxz f4 uf P du; hinc autem plerumque parum vtilitatis expectari poteít, nifi forte iftae integrationes com- mode (uüccedant, Corollarium 2. .-, & 1g. Quod fi ergo formula /P dz fuerit integrabilis, fcilicet —S altera hinc deducta /7z /P du eatenus tantum integrari poterit , quatenus integrale JS du integrare licet. Secundum principium. integrationum, $. 20. Si P eiusmodi füerit fün&io duarum. variabiiium z et v, vt formulae integralis /P4z -valor certo faltem cafu puta z — 4 commode exhi- beri queat, ita, vt hoc cafu quantitas S fiat functio folius variabilis 5; tum etiam pro eodem cafü z—a K 3 huius 29. DE QVANTITATIBVS huius formulae integralis /2zf/Puy valor affignari poterit, fi modo formulam /S 44 integrare licuerit. Exemplum r. git $. 21r. Sumamus P—2", eritque P d2—7 53 quae formula cafu z — x abit in ,—. , quod ergo loco S fcribatur. "Tum vero quia eft z* ; (x e um fSduzl(ud 1) ,; etit ftem — (ui); yPda-fzdut—-.—;stqua fi quidem poft illam integrationem ponatur z — r, Quia autem omnis integratio additionem . conflantis * poftulat , hic potius flatui oportebit : opem Jia xL. uz —l(uA- 1) -- €; atque hic quidem facile intelligitur , hanc conflan- tem C effe debere infinitam, quoniam in formula' T . u i3 à i cl 2M | integrali fractio 7 pofito z — r fit imfinita, ita vt. hinc parum pro infüituto noftro fequi videatur, ^Qorollarium r. 6. 22. Quoniam autem hacc conftans C non 4 variabili 4! pendet , ea. retinebit eundem valorem ;. quicunque numeri determinati pro 4 accipiantur. Su- si | mamus - INTEGRALIDVS . 79 mamus igitur primo t—77, tum vero ctiam 4—7, vt habeamus. iftos valores —I(m--1)-- C et zd Il fao id-dY-c quarum altera ab altera fubtra&a relinquet iftam iu- tegrationem notatu digniffimam (7 —2)4z | m--ai loi vtw-E quemadmodum iam fupra ex longe aliis principiis demonftrauimus, omoi 2. 6. 53. Si ad alteram integrationem — afcenda- : zt . Ev. mus , quia et /Pdu—;z, erit (duf t duzze s tum vero ob fSdu-JI(u-r 1) 4- C, erit pred ree UaenrCerD ficque habebimus adis fgg a 1)7(62- 133 1) -- Cu - D vbi copftantes C et D non ab z pendent ; quare vt eas eliminemus tres caíus determinatos euoluamus z"^dz * L JQgsy —Unrrxyur:)-m—i:rCmaD t1] 1I, $0 DE QVANTITATIBVS IL. fs Ez : — (n-- 1) (n-1- 1)— —n—-1i-r-Cn-- D edm II — (k-2-1)/(k4- 1) -k— 1x -i- Ck - D. eritque I—III—(5-4- 1)/(m41)— (kt 1)Z(k4-1))-k—ma C (m—Ek) et II - IIl — (2 4- 1)/(2-- 1) - (E -- x)/(k4- CI ED hincque deducimus (rix Yao) k-- 1) n— k) (ke 1) (&—my)n-k (L- TI n—-(1-THD(u- 5) — 7 mes Ps Meme m t (E4-x (mk) 4-1) atque hinc deducimus íequentem integrationem dz ((n— k) 2" — (mm — k) z^ Emma / Q3y -r Oi 4-1) (0— 8) 1 (2 Y. 1) —(n- x) (m— k) Z (n-- 1) pe 1) Qi — 9) 2 (E 4- 1). Corollarium — 5. 6. 14. Operae pretium erit aliquot cafus euol- vere , vbi quidem numeros ;;, 2? ct k inter fe in- aequales accipi conuenit, quia aliter omnes termini íe deftruerent. ]. Sit igitur 5 — 2, n — x et k — o erit ARA TL 3/3—412—lI& II. Sit 5 — B, n— x et k— 0o eritque PS Cac e eats — fda Pn (24-2——4/4-6]2z alo - 14. I1I. INTEGRALIBVS.: $1 HE: Sit9m—3,n-2 et kc—o ct erit paene :zz--1d 2. rd z(z—i1y (2 z- (22 -4-1)—- —814- 9l3- I5 —— (12! "r UAR ^ EIN. Sit € ——3..7—2 ct LE — 1 et prodit (zi —:z2--2)dz — (zdz(z—1iy.—4]4— * J'en ER ERT. PE ü zy —A4l4—613 Fal Corolarium 4. 6. 25. In his cafibus notatu dignum occurrit, quod numerator in formulis integralibus factorem habet (z — 1) , quod ideo neceffario víü venit, me valores integralium euadant in&üniti. Quia enim de- nominator (/z) euanefcit cafü z — r, fi ponamus z — 1 — «9 cxi(lente o infinite paruo , erit 1z— —m et (/z) — 4 wo. Neceffe erzo eft vt in numeratore adfit. fa&or , - qui calu z — r — o itidem praebeat &&, quod euenit fi ibi fa&or fuerit (z — x). ! ^ Scholion. $. 26. Integratio, quam in «corollario primo fumus naci , ideo omni digna yidetur attentione , quod valores integrales iude nati caíu .£ — x nullo adhuc modo affignare potuerim , etiamfi tam fim- pliciter per logarithmos exprimantur. Át vero in- tegrationes , in Corollario fecundo inuentae, etiamfi multo magis arduae videantur , tamen ex prioribus ope reductionum cogaitarum - non diffüculter deriugri poffunt; id quod pro vnico cafa offendiffe faffciet. Ponamus : " "Tom. XIX. Nou. Comm. L yf" 82 DE QVANTITATIEVS 12 RD. P -1-/ 5*5 eritque differentiaudo dz(m—1Yy.—dp. $92. 129 (z)* STE c (zz) vnde aequatís terminis feorfim vel per (/z) wel per lx diuifae habebimusque has duas aequalitates dou ES LB p ERN (x—x1)-—TLedp—.-wax ex quarum. priore oritur 9——z(z— 1) , hincque f$zc—322442—1 ideoque q—322—42 dr jta vt fit d£(a—313y .—— —z(E—1»X, pott) tue: )dz E Sn l1z iz hic autem. prius. membrum. pofito z:— rz fponte eua- nefiit; pofito enim. z-—r-a vt fit /z— — o, . ail m . ? — e MY ert pc—uao(r—om) ideoque £-—oe(1—s)—0o- ob «.— o, pofterius vero membrum in has partes 'difcerpi poteft gj [82 —yp'exss Lz prioris. autem pattis integrale eft. 5/7 ,. poflerioris "eo — 14 ?3 ficque totum. hoc intcp rade. erit 51i —fa—8l8-—. gx e—Br prorfus vti inuenimus. Hoc igitur modo fi in ge- nere ftatuamus: [S33 zz f A- f, erit differentiando Prisc tk dz üazp —— iz PNES m bs x whde iflae duae fluunt sequ eet p—-Vzu et 4——4 i ; "T wy . lam D ' ^oc c OReEM. , T7 * - '"- | INTEGRALIBVS $$ Iam vt terminus £f. euaneícat pofito z — r , nume- rator f fü&orem habere debet (2 — 1); qui ergo et- iam fa&or effe debet quantitatis V. Sit igitur Eu 9E- eritque p — —U(z— 1), vnde fit dp —-dU(z-1y—2UZs(z-1)—(2-YX RUM 1)-2Ud), hincque fit Qdz-—(z--s1)(2Udz-—dU(z-—1); quia ergo 4 factorem Lhabet z — r formula f*ts femper iu partes refo!ui poteft, quarum integralia per corollarium primum affignare licet , fi moo U fuerit. aggregatum ex quorcuüque potefiatibus ip(íius £&; vnde fequeus deducitur theorema. Theorema. $. 27. Si fuerit P—Azs*--Ba*--CaizY4-Ds»5 "be ita, vt fumma coefficientium : A -- B-- C 4- Detc, — 0 tum erit £55 22— A l(a-- D -2- B/(64- 1)2- C/(y 4 1)H-D (941) fi quidem póft integrationem flatuatur z — r, —A Demonítratio. Cum hoc ipfo cafu, quo poft integrationem guonen alt - ft | | 2tdz - $7 lz jz10- dea denotante ^ illam conflantem infinitam integratione ingrefíam erit , Quit: L 2 Af $44 — DE QVANTITATIBVS dem PIX TAM D codemqué modo 8/5 - 816-24: Ba etc. elc. fi haec integralia omnia in. vnam fummam colligan- tur erit (A 4- B-2- C 4- D 4- etc)A— 0, hincque erit integrale quaefitum Teeaneeds DuoviMC Rv ren AUR q. e. d. Corollarium r. $. 28. Quia fupponimus A -- B -- C-- D-- ete, — 0o euidens efl formulam P.— A * -1- B 5 -- C zY -- D zP .1- ete, facorem habere z — x quemadmodum iam ante n0-. tauimus, , Corollarium — 2. $. 29. Quia eft (z— rj atia n0 1 a 11 00983) s hoc valore loco P pofito, erit A — 1 et a —7; deinde | Bz-i et 6zm- 1; porro C2^9—? et y —n-2;ctc. — MAC OA INTEGRALIBVS. $s hinc igitur erit je -I(n4-x)- -Tntt s In- 1)— eI n- 2y E. 206—029 09] (n — 93) 4- etc. fi modo exponens z fuerit nihilo maior, vel fal- tem vnitate non minor , quia alioquin cafü 2 — r ^d mdp M bg. fractio a rum fieret infinita ; hoc autem non ob- flante area fupra confiderata fiet finita, ita vt fuffi- ciat dummodo fit 7 2 o. Exemplum 2. T-u-r n-]-u-1 "prison rims erit/Pdz— fi quidem poft integratíonemi ponatur z — r denm ergo valorem literae S tribuimus. Nunc fpectata z vt conílante erit Aaiduwz-—. ideoque : T 6.50. Sit P— ITUED m ces mtm du fatur) Eel i vends (1 [24 2$77z MiB IR! hd ctus umane vnde fiet E d datori wp JSdu-—f Ep zt" iz j cum igitu fit cof, 77 — fin, 77—9 erit .- TE L 3 hinc 86 — DE QVANTITATIBVS hinc fi ponamus run s (P, erit d (p—— zi", ideoque f5wuwg-- AS — — tang. i D, quocirca habebimus b. Á-— u) fS4duc-—ltang,. **—9, ita vt pofito poft integrationem üct I affecuti fimus hanc integrationem 3er 5 duet, — — X 4- P Lu E " [taug. pui. Tee E Exemplum 5. già ES A -LER8—I : &usr. Sit E —— TORT MEE: fPds-tang. 75 — 8$ vnde fit fSdu-c-—icof. 5, hiüc «um fit Jo uum e [ol sec Se Ped cp (r— 27s nancifiimur fequentem. integrationem, fi quidem ia- tegrale à termino Z—— 0 vsque ad terminum £ — i extendatur olei -- 24-1 Es 9 VITE j.— 4 J€0f 75. Haec quidem dno poflteriora exempla iam ante fufius expediui ; vnde iis magis enoluendis non immoror: fíed ad fequens problema progredior. Pro- INTEGRALIBVS. 87 Problema. Si proponantur hae duae feries infinite P— cof u4- 2^ cof. 2 t 2 co 34 c2 cof gu 4 ^ cofi s u-- etc. et Q—z (in.z 4-2 (in. 2-- 2 fin. 3 4 A- ' (ia. 4 a 4 2^ fia. 5 4 4- etc. quae- binas variabiles z et z inuoluuot, inuenire re- lationes inter formulis iategrales [225 , KP4a et p ,/Q4 u aliasque. formulas integrales per con- tinuam. integrationem inde natas, Solutio. | $. $2. Cum: vtraque feries fit recurrens , re- peritur per formulas finitas P— zolu—z22 ; MIB eec 2 fin.u — i1—3izou-dciu Cu zwlu-pmE "nde ft NUN M | fas —py.àmwtu—-19———liYsi-—szcoíudtzz 2 1—2 $00.52 et f/Qdu —f, 0T. lY 1—28cof. up az 1-2250).u--55 ita vt fit f*i2—-—fQdu;tum vero etiam erit [Si —[—— d z fin. w — A tang. - z finu T : 22500). -p 2m T —zc.u? at fi ifte arcus differentietur fümto dis angulo ü yariabili ; epit mfimu CER zcof.u-2z 4; tang. - EJ s 1— z cof. u u —1-—23szcfu mr NES 4 Q E. Deis 6. 33. Verum eaedem relationes facilius ex ipfis fericbus deriuantur: Cum enim fit PX $$ DE QVANTITATIBVS P—szcot u-r-2* cof. 21-2 cof. 154 2, cof. 4uctc. crit fis nkse& y Etiuí Fnit ec, et /P du — EP op eRPeIRItL E URI* etc, et quia c(t j Q—z fin. u--zzfin. 24-2 fin.3u4- etc. etit [83e RB .prmPeis.p Mt ete, et /Qdu — — kw — 9 0f eu LL greeu orc. vnde mánifeftum eft fore [125 — — [Qdu ec [9252 P du. 6. 34. Quo hoc modo vlterius progredi liceat ( flatuamus breuitatis gratia P/ EE Ec uy zt" 2 cd. ou p zi cosi e 3! etc, ct Q' ET ERES 39ct£s p^ MEET etc, et Q/ — 5f p ez fm s a. 2 rh ete, put urekin patefru etc. et Qui — 2 finu LE 8 roe pu p 2 Dt tetc, pin —2etu tL ssufiu pou oj rt etc et QM 2 fina uu fre oa p menn ote, etc. etc. etc. etc. et hinc comparationes ante inuentae continuabuntur a Ghana crücuf Qe ruESES S JEPd u. pP/ —fESR IQ e IS — f P'du. PI —f'*uE -— -f[Q' du, QU pp — f P! du. p/! — f —f Q" du, NC yore fT du. et. — etc. etc, — etc. etc — etc. vnde TTA INTEGRALIBVS - $9 vnde plures infignes relationes deduci poffunt. $. 35. Maxime autem notatu dignae et ad noftrum inflitutum accommodatae fünt eae relationes, vbi formulae integrales, in quibus fola £ eft variabi- lis, reducuntur ad alias formulas integrales, in qui- bus fola s eft variabilis, cuiusmodi funt , quae fe- quuntur piyU:—-—fQo4u p» —f25 f*2* —z —[duf P du pu — f?2 fx [2* — p fdufduf Qdu pu yis ads s [oe [rit — "— 4- f/du fdu fdu f Pdu IEEE ym Qi vei od etc. Similique modo pro altero genere Q' —/92* — c /Pdu Q" —fispons— —fdufQdu Qu — (3s [es (S7 * —— [dufdufPdu Qs JEN ; (922 — 4- /du fdu fdu [ Qd u Q'—fis 5 (às fà» ($2 (955— [du [du [du [duf P du ctc. 6. 36. Quod fi iam noftrarum ferierum , fiue, quod eodem redit , quantitatum A P, p, p. p etc. et Q', Q", Q* Q' etc. eos tantum Viloses defideremus, quos adipiícuntur Tom, XIX. Nou. Comm. M |» pofito s»? DE QVANTITATIBVS pofito z —t, hoc commodi affequimur, vt in for- mulis integralibus. vbi folus angulus 4 pro variabili habetur, ftatim. ante. integrationes ponere liceat z— 1, . hoc autem facto. erit B cni et Qut Js cc COta 2 — 2 Cof. wu 2-2 Cj. u tum vero porro fPdu-—A-—iu fdufPdu—B-XMAu-—ium fdufdufPdu—C--Buy-r-iAuuw—Ztmu f4u fdu [du fPduzz D -CutiBuu-d-; Au —Auu at pro forriulis, vbi eft. 2, calculus noo tam concin—- ne .[íuccedit ; erit enim Q-—i coim. fQdu-ilfin.1u fdufQdu-fdulfiu iu quae formula cum omnem integrationem refpuat 5 vix vlterius progredi.licet ;. interim. tamen erit. fdufdu[fQdu-fdufdulfm.iu f[4u [du [dufQdu- -fdu du f[dulfin.iu. LIMEN Quod ad priores formulas variabilem Z- idiuoluentes- attinet, per notas reduciones elicitur js ees a dep MEE -—fPi*la vbi- prius membrum 72 fP 2s citudeitip pofito z— x tum vero qeu ex pix fis phas gras quibus xim Mic us colligimus fore: . "ipt— Ld INTEGRKALIBVS 91 eg Qro fads p x—[Hilm Quee pm eg yis a Qu. yaisuu zr zs (ep. zd | Qv— fe (Lay 2d $. 59. Ex his igitur fequentium | formularum integralium valores affignare poffümus cau quo £ — x pi y rds sg——B-Amciuu -m28 aio icd eine 1n, 14 (x — DE CudiBusdiAu — uu * pv -—-—pfF. P 2; 1e 2. 3 PL Pd " secu D METTE ctc. | » " T Eodemque modo - 3 BECAKUL OR TUN | Q' vds LENS zu Qu — s fd sis — —fdulfi. iu n Quis: rods Raf —Cc- Bu-iAundA Mo PEN YERE: —fdu fdu fdul nta Q' — [225 tat: E Da Cu E Bu c5 Aw - etc. : Dee -rg--uu t o 5$. 89. Cum igitur. fit ^ PE X ER .et Q- zfi.u- l — M —Ó— im a —22 [puri aul ^1 —— 285 00[. Wem m ei OIMP M 2 ha&e- » DE QVANTITATIBVS hactenus id fümus affecuti , vt harum duarum | for- mularum integralium f dz(cfu—z) ([ 25" gE T o e d z fin.u zy 1-—220f.u--zz D-—3z0fu-r-zz valores cafü z — 1r commode per angulum & affi- gnare valeamus, fi modo conflaret, quo facto quan- titates A, B, C, D determinari oporteat ,' id quod vix alio modo nifi per ipfas feries, vnde hae quan- titates funt natae , fieri poffe videtur. $. 4o. Omiffis igitur formulis integralibus , quae quantitatem Q inuoluunt , quippe quarum in- tegratio mipus füccedit , alteras tantum confidere- mus, et pofito ftatim 2 — x vbi fit P— — 7i ita vt fit cof. 4 -- cof. à £4 -1i- co 54 -- co 440 — — 2 fi per Zu multiplicemus et integremus , habebimus Que p ect lici a eet Leiter A tg quae conílans nihilo aequalis videri poteft , quia po- fito 4—20 fümma feriei euanefcere videtur; at fum- to angulo 4 infinite paruo feries praebebit u-dru-c-ud-ugMcTucTUu-4etc in infinitum notum autem eft, talem feriem füummam finitam ha- bere poffe, vnde hoc cafü omiffo flatuamus y — m, feu potius y — ^ c o prodibitque haec feries exiften- te o angulo infinite paruo —0-dHo0-—u0-rFru—o--0-—o-4etc. vbi quia figna alternantur, nullum e(t dubium, quin fumma feriei euanefcat, quae cum cffe. debeat A — 7 cuidens INTEGRALIBVS 93 euidens eft, fieri conftantem A — iT, it, vt iam habeamus ' | — Jin.u 4, fin.2u y. firez u 3» fin.«u 4 fin. su — T—1üu NC Ua ot p mos. Hoc modo conftantem determinandi llluütr. Davie Bernoulli primus eft vfus , qui praeterea multa prae- clara circa indolem harum ferierum annotauit. $ 41r. Multiplicemus porro hanc vltimam fe- riem per — 44, et integratio dabit pines pensq in puede —B-—tm pex 2? 3* 4 2 p" ad quam conílantem inueniendam ponamus primo u —o fietque icu d-sd-ud-bH- uete cB Cuius Bici fion iam pridem primus demon- ftraui eff; — 77; verum fi haec veritas nobis effet ignota, egregia illa methodo a magno Beruoullio ad- hibita vtamur ac ponamus 4 — 7 eritque Li NI.Los 1 * v Lx i. Ft -Tt T QT* zi 2S 32 P zt ;ctce.- B. T : zb - ambae hae joies uds un u—-odzv.sde6 b -—-7 cuius duplum dor Btatnthbtntn—4B-tt-B vnde colligitur -— ita vt fit püIlw e Mp. eiu prs — —mT TU »- em — 6 $. 42. Eodem modo vlterius progrediamur , et denuo per 24 muliiplicando et integrando adipiícimur M 3 Quos 94 DE QVANTITATIBVS Wc PME pel pue tb ete, — C 4 TT — wuwood * 1z ifi fiatuatur v — o, fümma ferie manifefto eua- -— prodiret enim pofito 4 — o zu T Scd-E-r EE ete c 77 quae ob o — o fit — o ficque erit C — o ideoque u$ QU — Pap metu pup feci Lp TU MEI SCCOTUTLAM wu cy wm * 12 $. 43. Duczatur haea feries in E et inte- gtatio: praeb.bit py RUIN LE QU cof. Ar etc e nDorres pese ut t 2* / 3* b j A2 *$ hinc Tümto" 4 —'6 "a H I ' I z res E zs 28 i n eb "m l- 3* €tc. EE D f nunc Xero fiat etiam 4 — m fietque T ; e M - Js — a - pu 1 T TaG ds" — TU E [PE H 1* r Lus E: E Pci en ee, n E: ; a hae TAM Qo ME rey additae dant bn zcet.—2D- T [ie odes MB vt npmeratores fiant — 2* prae- id | LT EE uud A-4454 ete — 16 D —- Be origar end quae eft eadem M desi feriei ) 1 TAE : ^ quam iam cuidas inueneram , habebimus iam Pul z— er. u 1 E: ee « m zu SA — Tt. ct LANE i* E 4 zm po EXE 90 12 s" 2 48, TM 44. Mifpiicds iterum per. du et inte- £r1n2o- confequimur » w "grs -— INTEGRALIBV S. 95 QY mE al er Perieg LET —7 dU p matu. 48 2*9 vbi vti in-cafu penultimo conftans E. iterum fit — o ita vt habeamus P- pni Y fer Lp Hit Seg E m Wa Tu* u$ 36 46 240 $. 45. Multiplicemus denuo rer —du prodi- bitque integrando puce oe wp EY per eret. -E-? um ud ii eie. u* Ni AEMOR d "arm - vbi ad conftantem determinandam Beas t4—O critque. i e dedo a cir iei ele. 7s tum vero fümatur 4 — 7 ct fiet — xm ux. LG quae additae. dant RAL o L cp Pun -— " quae multiplicetur per 32 vt omnes numeratores 6 fiant 64 — 2». et orietur 6 . 15-1 2e edo; cd. 6t — 64 pI—ME vnde colligitur F'— Z. ita vt fit^ | pre uper pu erre . cof. er petc- zat waim a més pie -6. 46. Has feries vlterius continuare fuper- fluum foret , cum lex. progreffionis iam fatis fit manifefla, praecipue fí in fubfidiunr vocentur fum- maiiones poteftatum reciprocarumy parium, quas.olim vsque ad poteffatem trigefimam: fupputatas dedi. Quod, quo clarius perfpiciatur iftas füummas fequen- ti. modo: repraefentemus i v nd 5--5--54-h2- Bann tte c amm vt fit a L--L-pkH-E-CEd Cb etc —VS6m vtfice Eo id su uus eC Y T vt PY Sb aoa c au età m vt fit à — sn etc, eu. etc. - atque his pofitis fequentes habebimus integrationes pro cafu fcilicet: & — i Q —J iR inc iu— A tung et pi cf S arai ts Qu—[— P erp -—acTmzp—im "um o. EEIP e Ilem —amm, 7t pm.E-E 2g d z fiv«u (2). Ac! u? " u* 4 us dia 0 8T. amm. —diT. 3 ioi d z(o.u—2z) (!2)5— 6 4 u* e —— a zo oe REA 120 —'ym —bm. --pamcm. ag Ds AMA VH. d 2 fin. u (1 2)6 * —f s zz Teem—y T.i 1-80 pamm ho iT. dig 1—aztju--229 7o €tc. ete etc. $. 47. Operae pretium erit, aliquos cafus, qui- bus angulo s datus valor tribuitur, ob oculos expo- nere. Ponamus igitur 4— 0o quo cafu formulae no- firae alternatim euanefcunt, rcliquae vero praebebunt cS Is—ams*—T* -fdt, EXP rr 6mhem S 1—$ 99 e| (25 b. 6 m6 )— 2 120 —'y" —— 93$ his affines funt. formulae, quae oriuntur ex pofitione um INTEGRA EIDVS. 97 $--mc« vbi iterum abeunt alternae finum & inuol- veutes et remanebunt fequentes | dz cxi ow mam 1 feres la cic TE —damm Ci) BENE D LRERRUET T 1--2 6 "^ - 220 ^ — Li dzs (125 — : mn . 1-2 120 7 LM di ? r7 Y 3E-ENPUED ép mesa 143 729 $ 48. Hic notatu dignum occurrit, quod va- lores alterni, quos hic omifimus, etiam euanefcant pofito 4 — 7; deinde non minus notatu dignum eft, easdem formulas quoque euanefcere pofito & — 2 7, fola prima excepta, quippe quae etiam non euanefcit pofito 4 — o; reliquae vero , fcilicet tertia , quinta, feptima etc. certe euanefcunt cafibus 4y—0 et u—rm, quin etiam 4 — 2 7. Quod quo clarius. appareat , has formulas per factores repraefentemus eritque ter- tiae valor —su(T—u2m-qu), quintae: vero valor reperitur ss(mT—u)(em—u)(4mTTM6mu-—sSsutw, quod etiam in fequentibus vfu venit. Ingenere au- tem obíeruari meretur, omnes no(lras formulas fola prima excerpta eosdem íortiri valores , fiue ponatur 4 — o fiue & — 2 T, quippe quibus tam idem finus quam cofinus refpondet. ^ Videtur quidem eundem confenfüum locum habere debere fi ponatur 4 -—— 4 T et 4 — 6 7, verum Illutte. Bermoulius iam luculen- ter oflendit, angulum 4 in his valoribus non vltra - "Tom. XIX. Nou.Comm. (ON qua- 9$ | DE QVAMTITATIBVS quatuor rectos augeri poffe. Huiusmodi autem ano- malia etiam. in omnibus vulgaribus fericbus. quibus- arcus. exprimuntur occurrit, atque adeo in. Leibniaia-- /a , inqua eft —tang.w .. (tang. u)* (fang.u)* .. (fang.uYy , (fang.u) — - 5x ]CMMEX qQOne — Qneur o Cog — etc. — angulum. v: non: vltra 180. gr.. augere licet.. Si enim poueremus 4— x89" -rFu foret. vtique: tang.u——tang. qu ncque: tamen. feries. illa. exprimeret arcum ^ -- t fed tantum: arcum: z, cuiusmod:: phaenomena:. etiam in aliis. fimilibus. feriebus- locum: habent. — Quod au- tem: prima. feries. hinc. plerumque: excipi: debeat, ra- tio in: eo. eft: fita ,. quod: in: formula: integrali: pofito: 4L. denominator: fiat: (r— 2). qui. cafü zZ — r euaneícit: ideoque: formula: in: infinitum: excrefcit,. id: quod .in, fequentibus;. quae: per. / 2. funt: multiplicatae;, non. amplius euenit, quia: L5—. cafu z — x: non am: plius fit: infinitus.fed. tantum: — — x. et fi maior: — poteftas. logarithmi: adfit: fit: adeo: — o;- $. 49.. Ponamus: nunc- etiàm: 7 — 90^, feu: u—1, vt fit co 4 — o et fin. y — 1 hocque. cafu: omnes formulae. generales. fequentes. obtinebunt. vae- lores . CE AE d rijhomm ^ eí zdz 1l2z——"- 14-22 ny. f-àz.qx —m leRe92 3 yum (25 —.. zm* PER 6.7 —,v.w12$ 6. 50.. INTEGRALIBVY S. 99 - - $. so. Confideremus etiam cafum. y — 6o gr. fiue 4—7 vt fit;co(,. 45 — 1 et fin y — Y et for- mulae c iii perducent ad fequentia integralia v f —m- €—— 3 áz(r—2z) g— TT P—xLS [YSpS 36 SIy p UDERLEN PHI NM, SUE j mU pem Nm. nica8b. . .$4* Tm ^ f* Simili. modo. fi ponamus y — 120 — 7 wt fit €oí34—-—i.ect fing; — Y: (íequentes. iutcgraticues D) itis affines prodibuut Wos dz jdouwgnE EADEM OEYt- iden $2) lz p ERE 18 E Byci ep om — zz "LM OST ficque pro lubitu numerus huiusmodi integrationum fpecialium augeri poterit. 6. 51. Quemadmodum iftae integrationes me- morabiles ex priore ferie noflra P. pofito 2— 1 funt deductae, ita eodem modo alteram feriem Q pertra- &emus. Cum igitur ft Q-—hn. ut fin. 224- (in. 5 z -- fin. 42 ete.— cot. $4 fi per — Zu multiplicemus et integremus , repetitur feries poeni qo v .pete iniu A prc qua conftnte determinanda ponatur z—— 7c wt fit — p-d-i—5--i-—i-;-—€60—4À quccirca fit A — — /2 ita , vt habeamus p/— hp hen p ecu 9*1 p etc — —72 fin. ig N 2 pro 100. DE QVANTITATIBVS pro quo valore ícribamus breuitatis gratia 4 ^: fi quidem eum fÍfpe&amus tanjuam certam ipfius fundionem ita vt fit P' — ^ : uw. $. 52. Multiplicando porro per 44 et inte- grando nancifáimur hanc íeriem Q E 2p meu pfe etc. —fdu A:u — Au vbi haec formula integralis inuoluet certam conftan- tem quam facile definire licet ex caíü 4&4 — 0o quia enim feries euanefcit , fieri debet A':o-—o ficque integratio plene determinatur. i $. 55. Si eodem modo vlterius progrediamur multiplicando per — 24, prodibit haec feries pure peli pm —fdu 4 ;— All; tu. Iam ad conftantem, quae in hac expreffione contine« tur, definiendam fit 1* y—o eritque 53-55 H7 52-5 2-3 etc — A":o i7. fit u— m et fiet —35--54-5--5- etc — A": quibus additis prodit --5 7 - 5s-- & t etc. —A"o-- A" hacque quatuor fumta erit 5-7 5-- 5-5 ete — 4 Al:o 4-44"; 0—4/;0 vnde oritur 9 A':o-L 4 A':mq—o ex qua conítans in formulam noftram integralem A';yp-c-—fdusu ingreffa determinari debet. $. 54. Multiplicemus denuo per Z4 et inte- g£remus prodibitque QU ue peru resa prt) ete fdu A u— Al atque INTEGCRALIBY $ 10t atque haec functio A'':; ita debet determinari, vt euanefcat füumto & — o fiue vt fiat A" ; o — o. Eodem modo vlterius progrediendo fiet MI . Lr .* pr—9o p oRrtpmr i f[duAllzu— Ag huiusque func&ionis indoles fequenti modo determi- nabitur: ponatur fcilicet vt hactenus y—o et u— T eritque 1 I e OUAXVT, N'utn. latae — 4. :0 et —Hbh-uL5-LLet- Am hinc addendo 5L A ete— AU:o4- AT 7T et multiplicando per x6 Sou ete — 16 A'*; o4- 16 A; yS— AI':0 ficque fieri debebit xs A'" :o-F 16 Al m — o etc. $. 55. Hinc igitur fequentes adipiftemur in- tegrationts pro cafü z — I vu dz(cfu—z) —.-— — L—[ 0 EET l2fn.iu — A: u Mop asma Yyugefdwasy-—A'vnu 1—235 mfud-zz III. — /. àz(cfu—z) 025 — —fdu Au — A ig —2zc0fu--22 z d zfimn.v qa — ll -— Ill IV. ome 1 — 2 z Cof. u-r22 —fdua'u AUN -f. dt dz(cfu-—z) TN —fdu AM gg — Au 3-223 C0«u 4 -4-95$9 24 VL pe d z [fm.u (12) — —fduaWuy-A'u 1—2 1-—zzo0fu-e229 70 etc. etc. . etc. etc. Has autem expreffones facile quousque libuerit con- tinuare licet, fi modo integratio cuiusque integralis N 3 rite 130» DE QVANTITATIBVS INTEGRALIBVS. rite inflituatur; «conditiones autem , quas impleti oportet , fequenti modo referri poffunt A :o-—o! | «3 Alo 24 Al m —0 All :o—0 I5. o M AT rop A -OSHg 634" 92- 64 AV: t—0o AMI US —05 255A: o. 1-255 AVE; p — o CIC. "4^ dte: etc, 1 "etc: ? Caeterum quia pofleriores integrationes abfoluere non licet; hinc parum vtilitatis exfpectare poffumus. $. $6. Caeterum methodus, qua "hic fumus vfi, ad conflautes ^ per" quamque integrationem . ingreffas determinandas , a3 celeberrimo Berrou/lio primum eft adhibita atque eo maiori attentione digna eft aefti- manda, quod -eius ope fümmationes meae ferierum reciprocarum ;poteftatum .obtineri poffunt, quando- quidem credideram, eas anon aliter nifi ex con(idera- tione infinitorum arcuum .qui vel eodem finu vel cofinu gaudent, .demonftrari ;pofíc. DE- emo) 103 " DEMONSTRATIO THEOREMATIS. NEV'TONIANI. DE EVOLVTIONE POTESTATVM. BINOMII .PRO' CASIBVS QVIBVS EXPONENTES. NON. SVNT NVMERI INTEGRI.. Auctore E. BE JCE BORGO. e xx. " dus hoc, ita' repráefentàri folitum: (a by oa ya bic bum, v 9*-*D' ete. quatenus latiffime' patere;.et füb* exponente" 7,: omnes plane: numeros : poifibiles: complecti cénfetür ;. funda- mentum: conftituit^ vniuerfae" anilyfeos: füblimioris ; vnde-eius veritatem" folidiffime. demonítrari^ neceffe eft. | Modus autem ,.quo- ad hoc theoréma eft per- ventum , dum: quantitas: z-- b aliquoties: in fe in— vicem multiplicari: folet,.ita' eft comparatus ,- Xt pro exponente 7 alii numeri: non' prodeant , nifi qui fint integri pofitiui, fiquidem continuo* multiplicando per eandem quantitatem a -1- 2- aliae poteftates oriri nequeunt; nifi quarum exponentes: indicent fatorum numerum , qui non numerus integer omnino effe nequit; Interim tamen vix'quisquam dubitaffe vi- detur, 104 — DE THEOREMATE detur , quin, fi haec formula vera fuerit pto omni- bus numeris integris loco s affumtis, eadem quoque vera fit futura pro omnibus. plane numeris fiue fra- &is , fiue-adeo irrationalibus ; quae. conclufio. quan- quam hoc cafu locum habet , id. tamen, ob alias ra- tiones vfu venit, quandoquidem eiusmodi cafus ex- hiberi poffunt , quibus formula quaepiam vera de- prehenditur , quoties exponens 7: fuerit. numerus in- teger pofitiuus, eddem, autem neutiquam locum habere pofüt, fimulac eidem ex ponenti valores fra- Qi tribuantur. $. 2. Quo hoc exemplo yóiéchlug,, propo- fita fit fequens feries — . i-a" (i—a".(x—4"7) — (r—4*).(1—a"7).(x—à"?) —— ———— 2. 1—4 1—24 1—4 -- (1 —a^).(x—a"7).(1 —a*—). G xd) | iR o Moe DO We og -l- etc. cnius valor quoties exponens f? fuerit numerus integer pofitiuus , femper huic ipfi exponenti z aeqnalis de- prehenditur , neque tamen hinc concludere licet, hanc acqualitatem fubfiftere , dum pro 7 alii numeri ac- cipiuntur; haec autem proprietas locum quoque ha- bet füumendo,7— o , tum enim ob c" — 1 flatim primus terminus euanefcit, vua. cum omnibus fequen- tibus, quippe. qui fatorem habent r — a^ — o ita vt hoc c.fü noftra feries, fiat — o, hoc eft ipfi expo- nenti ? — o aequalis; tum VEI fümto f — x pri-, mus terminus fit L—* — 1 at fecundus. terminus, ob I— eis 9m €uanefcit vna.cum omnibus fequen- tibus BINOMIALKX: 105 Xibus , ita ^vt «hoc cafü s — i ipfa feries. fiat — x. Confideremus adhuc cafüm 5 — 2, quo primus ter- minus fit —^ — r 44, at fecundus terminus prae- bet/(— 70-60 — 92 — t — 4, tertius: vero.cum - omni- 1 — a? bus fequentibus , ob fadorem' 1 — 2^—*-—— o euane- Ícet , ex quo fumma moftrà feriei erit — 2 hoc ett ipfi s aequalis, — Statuamus adliuc a $ ét primus terminus dabit ILI MPH A "i 4^ fecundus vero terminus praebet. TIPS 'HESPMIE ( — 42). PE UE e qula Mag Riga uv Afi. sg j quartus "autem terminus et-fequentes vombes qui& continent factorem 1 — a^— 5 — o cuanefcunt , vnde - no(ira feries hoc: cafü 7—5 «uadit — 3.,. Similique 3modo, oftendi. poteft, ; quicunque. numerus. integcr, lo- 40. accipiatur,, feriem, noftramceidem. namero a2e- qualem effe .prodituram : ü quilibet antem; facile per- Ípiciet;, fi caperetur 7 — 4 hanc fcriem maxime. «effe Eee a valore, z. ; T m T EN Cum. igitur de dac. formüla vin wa lg texas! Geeda-at me: )(- -4 Maca m Bat 3 lg R Ifingsg din wg nbisibtes Sisi liceat; 'éam: femper veram effe , quoties ' " füeritnumerüs j hüteger" pofitiaüis 7. 'heque vero- haec aequalitas pro aliis numeris locunr?"hábeat , merito quoque dubitare: licebit j 'aü Pru theorema ex Lg us amd 223 üe-l n. pedir nc pg py etc, 1 » E etc. T :-Toln, XIX. Nou. Codi O gene- 106 DE THEOREMATE generaliffime: veritati fit confentaneum , etiamfi certi fimus , id verum effe, quoties exponens s fuerit nu. merus integer pofitiuus, Quamobrem eo magis. vti- que neceffe eft, vt ifta. veritas. rigorofa- demonftratio: ne corroboretur. . Equidem, olim demonftrationem ex aoàlyfi infinitorum petitam tradideram ; fed quia ipía hacc analyfis noftro theoremate innititur, eam tanquam petitionem — principii ' penitus reiiciendam nunc agnoíco ; ab hoc vitio autem immunem de- monfítrationem dedic Illu(ir. Academiae noftrae So- cius Aer in Tomo VIII. Nouor. Commentar. , vbi. pro formula (x-i- i)" affumens feriem .gene- ralem A x" A- B x" —7' 4- C x" — * -1- etc. T methodo maxime ingenioífa elicuit valores aliquot coefficientum A, B, C, D etc. et ex eorum conferi- fü cum ferie Neutoniana , fiae dubio fite codcludere potuit, etiam reliquos omnes regulae fore confor- mes; interim tamen cgregia ifta demonftratio. plu- rimum inductione innititur, praeterea vero etiam notari conuenit fecundum tóefficiéhtem - B ex hac methodo determinationem non accepiffe, fed: ex aliis conditionibus haud parum abfíconditis et abftrufis re- petiiffe. "Vnde meam demonftrationem Geometris eo gratiorem fore confido; quod in ea nihil plane in- duc&ioni tribuitur. $, 4. Ante omnia autem cum fit a--b—a(x i eritque quoque (g -- 5)" — a" (1 -4- EL)" ficque totum negotium reducitur ad euolutionem "huius poteftatis O zoVL X Lc eg ^ BINOMIATI. 107 m 7), quae porro ponendo ; ^ —x redit ad hanc (a 4- xy, quam nouimus, quoties exponens 5 fue- rit numerus integer pofitiuus , aequalem fore huic feriei 1--*. x E Y a. n on— P LM n—! deed v P» etc. werum fi 5» non "n numerus integer pofitiuus, valorem huius ferie tanquam incognitum fpe&emus, eiusque. loco hoc figno [s] vtamur, ita wt iam in genere habeamus [n] r4d- x4. DT d etc. de qua etiam nunc plus non nouimus, quam caáfü, quo 7 eft numerus .integer pofitiuus, fore [7] (x--x)" reliquis autem «cafibus quinam valores huic figno [7] conueniant, fequenti modo inuefligemus : Vnde de- mum patebit, etiam in genere fore [5] — (1 -i- x) quicunque numeri pro exponente m accipiaatur, guo paco propofito noftro plene fatisfecerimus. & 5. Ad hanc inueflgationem inftituendam duas huiusmodi feries feu duo talia figna [s] et [m] in fe inuicem multiplicemus vt. feriem obtineamus huic producto [m].[z]. 2equalem , quam facile patet huiusmodi forma expreffum iri: 1--A x-- Bx --Cx-r-Dxs -r Ex etc. cuius coefficientes A, B, C, D, E etc. quemadmo- dum per binas literas s; et 7 determinentur vt pateat; ipfam multiplicationem faltem inchoemus O 2 (n]— Io8 DE UEEERR PLACE Cm]zmr4A-ToxA-il. Bretog sae a2: doni x de pam OU o- HONEC RI etéU B Diem rcm. PT XXetc -—Lür- mw Stet f "iso —. Xx etc. Qücd^ fi iam: T produ&am inchoatum: cum. forma affumta -'^ «^^ : Laaunstris up EA Cu etc. qua idem produ&um exprimi ponimus, compare- mus, ftatim. intelligitur, fore. A-ccm-A-mn et. BTE TS r^f .5on—i E—E indi UBzemcm cg :g-y-77—. vnde fit B T --- m-—-mn-—rv pScILIEC i Haa XEXR C128 1. 2. 7S ($7 6. Queniadmodum hic duos primos coeffi- cientes A. et B, per literas 5z et. 57 determinare li- cuit , ita manifeftum eft, fi fuperior multiplicatio vlterius continuaretur , 12H etam. fequentcs. coeffi- cientes C, D, E ctc. per easdem litcras zr et m de- finiri poffe , quamuis calculus mox. ita fieret. mole- ftus, vt maximum laborem requirerct. ^ Intetim ta- men hinc tuto concludere poffuümus omnes plane coefficientes A; B,.C, D, E etc; certo modo per binas literas 77 et f? determinari debere; etiamfi ipfam rationem , qua quisque per has literas defivitur, ad huc iznoremus , hic autem imprimis obfruari; con- venit, hanc compofitionis rationem non ab indole li- tera- KBINOWMIALIL PR terarum ;7 et 4 pendere; fed periade fe cffe habi- turn; fiue. hae literae set. 7 denotent numeros integros fiue alios numeros quoscunque.- Hoc ratio- cinium . non: vulgare. probe. potetur , quoniam ei to- ta vis noftrae demoaftrationis inititur, $. 7. Hinc facilis nobis via Rperitnr a veroe valores omnium coefficientium A, B, C. D, E etc. jnucniendi, dum. fcilicet. literas 7; et 2.tanquam nu- meros integros fpectamus ,,.quandoquidem hinc eae- dem determinationes oriuntur ac fi quoscunque alios numeros denotarent. Spectis autem literis zy ct m vt numeris integris vtique habebimus. [y] — (1 4- xj" et. [nj -- 3)", vnde, harum. formularum produ- ctum erit [a]. [2] — (1 Hüe qum Yero haec poteftas euoluitur in hauc feriem : DR TE ana - Debo mus" aiio tt men mobs Ay 2 3 nunc igitur fi literas zz et ^» in genere. fpcctemus hane feriem ifto figno [ur-1- 2] indicari oportet , vn- de hanc infignem veritatem. naacifcimur, femper effe [m]- [o] — [2 M- 7] quicunque etiam numeri, loco illarum literarum | adhibeantur: - .6. 8. Cum igitur binae huiusmodi formulae (m] et fs] in fe inuicem ductae praebeant fimplicem formulam eiusdem. indolis, ita etiam plures eiusmo- di formulae in fe inuicem ductae ad fimplicem rcuo- cabuntur, habebimus fcilicet fequentes reductiones. [m] . [2] z— [m -4- nj [n]; [*] [n] — Um n 1 2 21 [m] - [n] - L0] [4] — [n 3i 8 2 P - 4] ete. O 5 hinc IIO DE THEOREMATE hinc fi omnes ifti numeri m, m, f, q etc. intet. (e capiantur aequales fcilicet — fu Pob quu —— tes reductiones poteftatum [Imy — [sm]; [m]! — [a m]5 [m] isla "); ete. vnde generaliter erit [zz]? — [a 5]; denotante z nu- meruni 2Uemcunque integrum, 6. o. His praenotatis denotet litera 7? nume- rum quemcunque integrum pofitiuum ac ftatuamus primo 277 —3 vt fit 4; — ? ac poftremaruim for- mularüm prima dabit [;] — [/] quia autem £ eft numerus integer , erit [/]— (x -i- x) (vide $. 4) ficque erit [i] — (1 -L- xy vnde radicem quadrátam extrahendo fit [/] — (1 -- x) ficque iam tantum fü: mus confecuti , vt theorema Neutonianum etiam verum fit cafibus , quibus exponens s eft huiusmodi fractio ;. $. 16. Simili modo fi ponamus $3m—i vt fit m — 1, altera formularum fuperiorum praebet | —Ii-—ir--4/ hinc radicem extrahendo nancifci- mur [i]— (1 -- ay ficque theorema noftrum Cm verum eft fi exponeus m fuerit huiusmodi fra&io ! :» atque hinc in genere manifeftum fore [-]— [1 4- x]: ita vt iam demonfltratum fit, theorema noftrum ve- rum effe , fi pro exponente z fractio quaecunque -? accipiatur , vnde veritas iam eft euica pro omni- bus numeris pofitiuis loco exponentis s accipiendis. $. 1r. BINOMIALIL i5 6. 11. Supereft igitur tantum, vt veritas quo- que oflendatur pro cafibus, quibus exponens 7 eft nu- merus negatiuus, Hunc ia finem in fuübfidium vo- cemus redu&ionem primo. inuentam [z:]. [7] — [4 4- 1] vbi denotet &, numerum pofitiuum fiue integrum fiue fracum ita vt fit vti modo oftendimus [m] — (rz -4- X)", deinde vero ftatuatur & — — z eritque 1574-7t— o. ideoque [o] — (1 -1- x)? — rt, qui- bus fub(titutis formula fuperior a ppeditat (1 4- x)". [-5]- x vnde colligimus [— m]— hoses d4x)7 ficque etiam demonítratum eft theorema. Neutonia- num verum: quoque effe, fi exponens f& fuerit nume- rus negatiuus quicunque atque adeo hoc theorema munc quidem firmiflfimis rationibus eft confirmatum. M" | PROBLE- 112 $32 (o: ),. Seo: | PROBLEMA DIOPHANTAEVM SINGVLARE.. Auctore L EVLERO Problema... [25e duos numeros, quorum productum vtro» ; vis fiue au&um fiue minutum: fiat quadratum. . 1 " : Vile Pm d n oco nd pies $. r. Cum ambo numeri quaefiti neceffario fint fraci, ponatur vna 7 et altera 7- et conditiones Problematis poftulant, vt fit o - —L R3 ecmoEVR-p—Im 2-2 ——275 quae ergo formulae etiam per z z multiplicatae de- bent eff quadrata; gps hae conditiones fuut adim- plendae . MUR A i d y vin Xm a0 [-] a NM Js $. 2. Cum iam fit aa -- bb-d- iei cn ex hoc fonte folutionem peti coüueniet ; quia autem duae huiusmodi conditiones proponuntur, ponamus du- plici modo effe tam xy—aadbb quam xy—ce-4- dd, Bii ita PROBLEMA DIOPHANTEV M. 113 ita vt fit za -- bb —cc-- dd, id quod. infinitis modis euenire poteft, vnde pro priore conditione faiamus xz —»sabetyz-2cd, quo paco am- bae conditiones adimplentur, quare cum inde habea- mus quis et y — 2»cd EN crit nunc yy t3 —aa--bb—cc-r- dd, wnde deducimus E£r— *«abcd: fiue z€*5.—.. abcd "dd b Tu mu Tywqg M4-u0b ita vt haec formula -^^*4. reddi debeat quadratum, a6 --5b prieterea. vero etiam neceffe eft vt fit ec--dd-aa-r-bb. $. 3. Incipiamus ab hac poflrema coaditione, 4C denotent literae zz €t z eiusmodi numeros, vt fit g;i--nn--1:,id quod facile praeftatur, ac capiatur c—ma--nubed—nua—mb tum enim erit .ee2d- dd —(aa --bb)(mm--n9)-—aa--b5b hinc igitur altera conditio poftulat vt fit zz ..eb((ma-Pnb(na—mb)— gy IS aa--bb "Wa vel etiam zz. ab(am-bmn)(bm- an) ar an0-E-bb quandoquidem po(tremus fa&or b 5 — aH idem dat Quairatum ac praecedens (ma—t b). Tom. XIX. Nou. Comm. P 6. 4 314 PRODLEMA €. 4. Notum autem eft literis. ?/ ct f.hos valores. tribui. debere ; | | mIiÉP-.84 nepuplLi£9 82-14 tum enim fit 7/277 -- 5 5? — x, hinc autem erit am -- bnc Je et bm— an— EE 9) , ppt PP--44 quae formulae in e TET multiplicatae. praebent: ábh 2(bb—ca)pg(bpbo—sqa). «abppaaq (pp—44) -- — (pa PP (Pp--dq* cuius fractionis numeratorem breuitatis gratia de- fignemus litera S, ita vt fit S—abp'4- 2 (bb-aa)p q-6 ab pp qq-»(bb-aa)pq dui quo valore notato erit mm Ll. bs S wici pP IE UE i(aa--bb)(pp--49 zz-—abS. 2€ 5. Hinc igitur fa&a fübftitutione erit abS—aabbyp —2ab(aa-bb)pq- Gaa bbppqq --2ab(aa-bb)pq t aabbq" quae formula , cum tam primum quam poftremum membrum fint quadrata, commode ad quadratum re- duci poterit ,. ita vt litteris 2 et £ pro lubitu aí- fumtis valores idonei, pro p et 4 erui poíünt, tum vero vt etiam formula | s (aa 2-65) (ppc3i- 24) 2z fiat quadratum : neceffe ceít litteras « et b ità affüumi vt aa -j- b b. fiat quadratum , quo facto ra- dicem quadratam extrahendo. habebitur : à(ppcr-44)9Yaa-A-bb—YabS 6-6. DIOPHANT E.V M. 115 6. 6, Statuamus igitur fecundum praecepta co- gnita | YabS—abpp— aa—bBpq-cabqt tum autem erit ab5- aa bbp - -aab(aa-bb)p qaaa bb ig obi WR raa bb q' F(2a — bby PD44 quod quadratum fi cum formula füperiori compa- xetur, membra. prima , fecunda et vltima fe mutuo j tollünt, reliqua' vero per 44 diuiía banc fuppedi- tant aequationem —6aabbp-4- 2ab(aa- bb)q- 24abbp- s al (ta-b)g-e aD b quae reducitur ad banc formam ^ Cuab(aa-—bbyq—(a SULUn desk de g ——a*--saabb-Lb* vnde concluditur Dec PX T quae fractio fi deprimi nequeat, quod quidem nuün- quam euenire poteft , ponatur pza4ab(aa— bb) et q—a* -- 6aabb-- b*. €. 7. Sumtis igitur numeris 2 et b ita. vt &a-r- bb fiat quadratum; hae formulae nobis prae- bent idoneos valores pro literis p et 4, quibus in- ventis erit Npitage Vae bbs YabS- EE (aa-biypt ab hineque. .....;; e P aua ES (Ppa-qq)v aa Abb, tum vero ipfi numeri quaefiti erubt. mw, Y. € dw —— £ab et 2 SELL PEEYCEERDL TESI EL. mm ue OBEN T TE UIT PE Ue Bl d m II6 PROBLEMA vbi litteris z; et n hi tributi fünt valores M SEDXS Bp — mp. C TruBP--qa T PPd4! hic perinde eít fiue valor pofterior prodeat ne- gatiuus fiue pofitiuus , femper enim pofitiuus locum habebit valor, quandoquidem terminus y Z producto XJ tam addi quam fubtrahi dcbet. $. 8. Quia a2 -- bb debet effe quadratum , cafüs fimpliciffimus quo hoc contingit eft 2 — 4 et b— 3, tum enim erit Yaa--bb—s,ab-isctaa—hb)—, ex his igitur porro deducimus $— 336, 4— 1201, deinde SES cian TE 2540 hincque $oLcGb p--24g-—14pq 2. 14 pq $ (P. 4-44) inn? denique Vero pro y inueniendo erit (ma-- nb) — LHP et (mb — —na)cUbb Dot ^ PP PP-*-44 quibus. valoribus (ubfituejs erit € et 20 — maimaeuosim) z t3 gr 2z pro his formulis autem euoluendis notetur effe : pp — 112896, q4 — 1442401, p4— 403536. vnde élicitur Dp-3-44—1555297, — — 15838812 hiac ma 158383812 1355297 $» 1555297 — 1329505 ac $0707? TS ul 2895304 porro n — 1555292? Hn P ; vnde. fit 4m--3n-— 1555297 et 45-3 1 —727933 hiiüc etg colligiaius 7 £i Giossioat 15595297 et »- E— ELEIILILEL 25. zióVok PETÉTIUS (158358812 $. 9. DIOPHANTEVM; rr €. o. Cum hi numeri fint tam immenfi ; ac- cüratius inquiramus , an non folutionem in numeris minoribus eruere liceat, et quo calculum paulisper contrahamus , incipiamus ab aequatione &aognhom-ebmom- 2r, vbi eít 4 aq --5b —bb^—434 et g— 204... as P?--44 PP--ad4 haecque formula quadrátum efficienda tam negatiue quam pofitiue accipi poteft; ftatuamus iam a — n5 .et p— provciprimo fit d M "o ERA eL SE rr--:? tum vero baec formula ad quadratum redüci debeat iz3 nbb(n(rr—:)--27)((rr—1-—2nr7) zz(rr--iy Eit (hn -EU(rr--iy fiue [^Unb BIOT e n ( — CIAM RS —- (n (rr-—i:)--Tsr)rr 1 Hu LER nni hic autem primo obferuamus cafü r — x hanc for- — 8n 1 4717 mulam euadere — EA fiue etiam vU erem quae ergo erit quadratum dummodo 575-i- x. fuerit quadratum , praeterea vero notaffé iuuabit, fumto — 5 hanc formulam fieri —-—mnn(nn-- 1) cuius negatiuum iterum fit quadratum , fi modo nn-j- 1 fit quadratum, cum igitur duos lam ha- beamus cafus, quibus haec formula fit quadratum, ex iis alios cafus fecundum praeceptá cognita eliciamus, Euolutio prima. 6, 1o, Cam vtroque cafu 75 -p- 1 debeat cfle quadratum ponamus; zz(rr asy —CT Towt fit LJ P$ TT "9 ;,PROBLEMA TT-s"(»r--n(rr-—x)(anr-—(rr—2) quae formula quia euadit quadr un pofito .& — fiatuamus rlÉri-rvertque rr- 1-2 9-rvv vnde oritur TT-—n((z-4-2(4- 1)9--0vo)(2n(n—1)v—o9)) quae formula euoluta praebet T T —451n4-4n (ar bot Dar TOP OR tv" jin: ergo bod —eon--Qmn--sn— v-i-fvv; ideoque Tia RR OA )u-m4- 2n — Y) vv4-2f(tind-25—1)v Up ou c*4nfvo | vbi duo membra priora mutuo fe tollunt , capiamus igitur fita, vt etiam tertia membra fe deftruant, vn- de fieri debet 4n(nn—x)-—í(nn--an—x1) --4nf Gue —n—enn—icc-—(nn--i)-a4nf ideoque f—- Cr - 0, Dar iam cognito valore f reliqua membra per. z' * diuifa dant en(nn—2n—1)—-20nv—2s2f(nu--2n0—1)—ffo vnde colligitur genu mein dumunu rnm pae——— ———— € Án À— 4 2 n — À — hinc autem valor: ipfius y multo magis fieret com- plicatus, quia in hac formula numerus 2 ad ocauam poteftatem exfurgit, i ? Evotu- DIOPHANTEVM. 119 Euolutio fecunda. .— .& xr, Ponamus nunc, r — n -4- v, eritque TT — n(n(nn-- 1) -1-2 (m7 1 vA-n vv (an-4- 1-7), ideoque euoluendo | TTzcnnu(m-X1)-r-2n(nn-A-1) "u— an (m-1-1)v Q —nim. Ponatur igitur T-n^(nn--1i)-r(nn--1)o--fv' , cuius quadratum dat TT-na (m4 x) "pan(m4-1) v4 en(m-x) fov a(nn4-1)fo "eff dr (nn4- 1) vv vbi duo membra priora iam fe deflruunt, vt igitur etiam termini v fe de(truant fumi debet f — — 97-9, tum vero bina membra pofleriora per «' diuifa praebent —2n(nn--1)—-nnv-—s2(nn--1)f--ffv vnde fit p-— — zníÍnn-L:)—:mn-)f "djdhn.- quae formula loco f valorem fubftituendo praebet : —2^«n(nn-:n—:): 5sn*-2nn-i g.— vnde fit — c ug-f OM x is d TUETEP Y PE hinc cum fit s» — €. erit p—a az alieb bbb! et q—54 -- 2aabb-- b, $. 12. Quod fi ergo hic vt fupra fumatug & — 4 et b — 3, reperietur p— 949—183. 73 ct q— 1649 —: 97.17 qui numeri cum fint maiores iis, quos fupra inue- nimus 120 PROBLEMA nimus , videntur maiores numeros quaefitos produ- cere; quia autem vterque eft impar, reductio quae- piam locum inueniet: interim tamen ad numeros mi- nores non peruenitur. $. x3. Si formulae hic pro T T' inuentae fi- £na inuertamus vt prodeat: TT—zno'ron(nnd- x)v —2n(nn4- xyv—nn(max) ac ponamus |Tcnavev--(nn-d-ai)v--f, erit fumto quadrato TT-znnvtren(m-x)v p anfovi smdi)fod-f F(nn4-xyvo vbi prima et fecunda membra fe deflruunt, ac pro tertiis fiat f — — &*--^*, jam inuento hoc valore fiat etiam v— ff--nn(nn--1y — 2 n(nn-r x 1) —af(nu-- 1) et fubftituto pro f valor inuentus — €*—-?* repe. ritür 9 — "7--*??--1, hincque port LicLUR(. cxdn) o 9 ylIlICEUtE— — quia igitur 2 — 7- erit Nm PET Qq 77^. 4aeb(bb-—aa) - Quae folutio eosdem praebet valores, quos per pri- mam euolutionem eruimus , ex quo concludi poffe videtur , fimpliciores folutiones huius Problematis vix expectari poffe, * $ ie EY DIOPHANTEYV M. 121 $. 14. Imprimis autem hic cafus omni atten- tione dignus occurrit; quo v — o, wbi formula T T fponte fit quadratum , fcilicet 5m(nm-i- 1) ita vt hoc caíü prodeat zz(rr-- JACLE E 9 LLEGUE nn(untn--1) feu radice quadrata extracta -- )v A— . zírr E 21-cEL— B (nn-- 1); cum autem fit 9 — 0, ob r—n-i- € erit e — € vnde colligitur EN EUEIN II. EU (1) —yaaepi o Yaacbb? porto ob r—5—27- erit 5—a et q—b, ec—ma-rnb et d—na-—tmb exiftente — aa—bb LM ams - dadpuu i ie oap Bb | quocirca erit c— 4 et 4 — b, wnde bini numeri quaefiti erunt, L$—WLtUM NL Lime Ynus USED 75$ 2d L alter 2 — zz ac2adb ? ita vt ambo noftri numeri fint inter fe aequales, meminiffe autem oportet formulam &42-1- ^5 qua- dratum efle. debere. $. 1s. Quanquam autem haec folutio fatis cft fimplex , tamen indoli quacfítionis propofitae minus fatisfacere eft cenfenda , propterea quod duos nume- ros aequales exhibet , cum noftrum Problema mani- ' fefto duos numeros inaequales poftulet ,' interim ta- men deducimur ad folutionem huius quaeftionis: In- ... Tom. X1X. Nou. Comm. Q venire 122 PROBLEMA venire muIREYun: quadratum , | qui radice fus fiue auctus Jue minutus producat: quadratum. Quod fi ergo radix «huius quadrati vocétur — z, erit vti modo inuenimus z —**--7^, dummodo aa-4-bb füerit quadratum , capiatur ergo a—pp—44 et bc 254, vt fiat aa d- b b — (p p-t-4 qY, hinc- que folutio nofira , praebet. 2 — .(?2-k9?' vnde «Pa CpP — dd) pro z fequentes valores fimpliciores eruuntur F.H. WS, HT.z8, IV". $5, Vus, VESTE etc. $. 16. Etfi autem hic cafus parum ad propofitum noftrum confitrre videtur, tamen eius confideratio atten- ta mox eiusmodi binos numeros fuppeditauit ipfi Proble- mati propofito. fatisfacientes , cuiusmodi funt hi, duo numeri | im ep Bt di tum enim erit ND UBD AysE A (B 4- 1)5* vbi — ? Bei quie ca Boe igeue vterque autem valor in: A — 255 ductus manifeftg praebet. quadrata :. Eodem modo reliquae. conditiones: 12 AB-4-B-B(A4-1) ob A--1— 5 Z&6s et A-1—3is viraque in B — i5 ducta pariter quadrata exhibenti^ $. 17. Nunc igitur multo magis mirari opor- tet , cur iftam folutionem fatis fimplicem ex analy- fi fupra allata nullo modo elicere licuerit, quin et- iam ^ hi duo numeri nequidemi "in formulis no- ftris fopra: vfurpatis fcilicet" £ — 785 ert ». — 2*3 Contineri "videntur , cum noftri ^ nümeratores in iiir Ten factores DIOPHANTEV M. 125 fa&ores refolui. nequeant; denominatores autem non fint quadrata , hac autem circumftantia probe per- ,penfa , facile agnofcimus; folutionem . problematis no- ftri longe alio:modo effe aggrediendam , .vt, huius- modi folutiones.fimpliciores . eliciamus , atque hinc clare perfpicimus , quanti fit momenti huiusmodi Problemata idoneo modo ad calculum reuocare, hanc- que ob rem fequentem íolutionem (atis perm hic fubiungamus. Solutio plana. Fiet des "Brobofiti $. 18. Denotent litterae. A et B. binos nume- ros quaefitos , ita vt hae formulae AB -- A—A(B-4- 1) et ABH- B—B(A 4 1) debeant effe quadrata ; hunc in finem tribuamus his numeris fequentes formas CN ECL RE TS: 2G FM fic enim prodibit Ap ue eq B po ptis "zw 2cd quare vt io ope. illac formulae fiant quadrata, pro priore neceffe eft, vt fit £5-E*^ quadratum , pro. al- tera antem, vt haec forma Em fit quadratum. $. 19. Quo igitur his conditionibus fatisfacia- mus , ítatuamus tam a4-4-bb—UO0 ctec--dd—u, tum vero neceffe eft vt etiam productum acd * Q2 fiat 124 PROBLEMA fiat quadratüam , quae quidem pofitio iam eft limi- tata, dum iftis conditionibus etiam aliis modis fatis- fieri poffet, at vero fimplici(fimas folutiones füppe- ditare videtur; Hunc igitur in finem ponamus a—pp-4q4,b-—2p4,c-—rr—5ss5 et dzzors vt fiat aa-- bb —(pp--44). et ect dd — (rrA- 5s) ita vt fit — (Ppp-uaay — (rr-essy des «Paipp—ad) er D EUreESC- tun vero füpereft vt abcd—2pq(pp—q44). 2xk (eriarsk fiue haec formula ba(pb—adq.rs(rr—ss) fiat quadratum , hic vero cafus manifefto ad proble- ma íatis norum deducitur , quo duo triangula re- &angula in numeris quaeruntur, quorum. areae fint inter fe aequales; quaeruntur igitur duo numeri, vterque formae. xy (x x— y.y) quorum productum fit quadratum , vnde in fequenti Tabella fimplicio- res numeros huius formae exhibeamus per factores expteffos, vbi quidem factores quadratos omittamus: TY DIOPHANTE V M. ER 4 2 x M eo RIS 4 ^u pmo mas - mn hs wd LiT e "OS 20€ $i .jm. 929p Mtt Sigel c 1^ Ys wv pn gr VS ow d on Moa. LJ w-19 r4 lw SS Ak. m d ric gj 0 €^ Tc c» c wi p c5 P €0 c5 c5 pF. à cO x LM P" .5 e e $e A7, 9 Tw aua d|m9*e6coguddaàcodecdduscusdwgdsa ^q ug e XA Er e lE tego "| IM o oe P 0 rope rco v0 9 9 O [9] - (o [z La] La 39. 5. 7. TI et Ls 2. 3. 5. 7. TI 3. TI. I3 2. 3.5. 1I. 19 2. 5..9..7. 13 3. 13. 2. 3.5. 7. X3. 2. 3. 7. 1I €. 40. 126 PROBLEMA $. eo. Haec tabula nobis iam aliquot folutio- nes füpped:tat , quarum prima et fimpliciffima ori- tur fumendo f — 5, 2 — 2, et r.— 6, $-r x. vnde Oritur A-iscds ct BIER qui funt ipfi numeri fupra memorati ; in noflra au- tem tabellà occurrunt quoque ifti numeri x — 8 et J — 7 eosdem factores /2.:3. 5.7 continentes, hinc igitur formemus numerum - C— V erit C — 3:5 vbi 3360—— 4. 840 quemadmodum igitur ambo numeri A et B quaefi- to fatisfecerunt , ita etiam hi duo numeri A et C eodemque modo etiam ifti B et, C feorüm fatisfa- cient. 5$. etx. Porto etiam iidem E 2, 3. 5. II reperiuntur cafibus x — 6 et y -— 5 item. x — 8 et y — 5 fumtis ergo p — 6. di—5 , £— S! Bb 35, nafcuntur ifli numeri fatisfacientes A- seb U-bssüpg r4 r98 fimili modo infuper plures alias íolutioncs ex ta- bula ifta peti licet. $. 22. Quo autem plures huiusmodi folutio- nes exhibere qucamus , faciamus p4(pp—aq)-rs(rr—ss) quod cum in genere non nifi operofe effici queat, cafum magis particularem accipiamus et ftatuamus f —p, vt fieri debeat p—aq —s(pp—ssr, vnde DIOPHANTEVM. 127 vnde elicimus db-qq--9g5--575, quare flatuamus f — 4 -1- 7 s, vt fiat gini -p ?7* fiue 112 4-nns—2mmnq-A-mms, vnde colligitur £ — 77—7*.: Sumamus igitur nLn--27 7n q—mm-mnnets—nn-— omn eritque pcr-cmm-—mnunq4mn—omm—-—mm-—nnAun, vbi litteras s et s pro lubitu tam negatiuas quam pofitiuas accipere licet ; haec ergo folutio ita fe ha- bebit: Sumto numero 7 negatiuo habebimus p—mmn-mn-Ann rLllinm--qmaenn .qccomm-nn £$—nn4 emm vnde iam innumerabiles folutiones nafcuntur , inde wero habebitur a—pp-—244, b—255q, c—rr—55 ct d—ars vnde numeri quaefiti reperientur RAT (Phb--34* — —28--bb5et B-::2-44—(rr--59* Co4^Pü(pP—ad) sab 2cd 4TS(rr—Ssy $. 23. Cum haec folutio tantopere . difcrepet 4 prima, quam dedimus ;, operae pretium erit inue- figare ,- quomodo haec etiam in illa contineatur. Pofueramus autem ipíos numeros quacfitos Z—- et 7- tum vero ftatuimus Ty-wqabb--eEMgg hinc vero deduximus 5*5 — Ps it ita vt effe debeat primo | | 4a-- bb ec dd, tum vero ,275; — 0j jam LU i 128 PROBLEMA iam tribuamus tam litteris 2 et b, quam c et d communem factorem et ftatuamus a —f p et b —f d tum vero c —gr et d —g 5, eritque aa--bb—ff (pp--44) et Aa humo. s quae formulae cum fibi debeant aequari , fiat Pb--4q-—gg etrr-css—ff fic enim fiet x y —ffgg, praeterea vero effe debebit (zug ÜRtit:fuelz2—pgrr—[D: Quamobrem ftatuamus p—e«-Q(, 4-22 atque r—'y y —39 cet s— 2ry8 vt fiat pict-agec ao^ AT —gg etrra rs—(yy 99) zff vnde erit f—vywvy--399etg—aa-- pg et nunc habebitur | 1322—4ag(aa-—).y 9 (yy —9 8), ita vt hoc productum a B(aa-—€$6). y 9 yy -—ó à) debeat effe quadratum, quae eft eadem formula quam in folutione pofleriore quadratum efficere debuimus, .Cui conditioni quando erit fatistacum numeri quae- fiti ita fe habebunt : eg —— 38b. aa-bb .ce-- dd € zz Wuagd v» 3 aed. y ——acd —.aa--bb £ — £z — 20b quae funt. eaedem formulae , quibus folutio pofterior eft faperftrueta. 6. 24. DIOPHANTEV M. 129 5$. 94s Hic: ctiam generalius. inimi fla- uele - » Pb qq—Ngg *et Mrd vnde. AU IME Xylaacsbbocc-dd N/fàg. tum xero vt.aüte debet :effe l EET bars Pons NJf£g IU ENT ita »i debeat effe c fiue Npqrszuy fümamus exempli gratia IN — 5 et cum effe debeat 5(0b-- 447 858g po 4) a 24) fumamus m 2p— q—aa—€8 gp aqoa 26€ pM .Ac reperietur. "n l di » XOT LE ETIESTENT: S í ? q——— Pv PUE AH modo guia debet effe 5. rra 2254, habebitur |. "à aman e— eur mn et £ — (yS5—yy24-58 ea iam üperet" vt SbpQrs reddatur TETUR nus. lique modo folutionem generaliorem reddere licebit. ki 25. Quoniam autem folutio noftri. proble- matis "perducta eft ad inuentionem duorum trian- gulorum- cre&augulorum, quorum areae inter fe teneant rationemm quadraticam, adiungamus tiic aliquot. folu- tiones quaeftionis latius |pátentis', quo fcilicet | quae- runtur duo triangula re&angula , quorum árede UR tam inter-fe teneant ratiomemr puta vt & et 8 i vt effé debéat?r g(pp— qu): rr(r-:s)— i.c ssp UT om. X1 X. Nou. Comm. R Cui 130 PROBLEMA Cui conditioni fatisfiet fequentibus octo formulis pump m Vbi notaffe iuuabit, fi qui horum numerorum pro- deant negatiui, eos, tuto in pofitiuos verti poffe, tum vero pro vtroque triangulo maiores numeros literis p et 7; minores vero literis 4 ct s tribui oportere, 6. 26. Pro noflro igitur Problemate tantum opus eft, vt loco a et (9. numeri quadrati accipian- tur, id quod exemplo illuftraffe fufficiet. Sumamus igitur à — 9 et 6 — 4. ac. fequentes cto folntiones obtinebuntur ; Ti 23—125, 92-35 BH. B7. UI 11.525, q-— IV. 59934 0 2T V a4. 4 D VY. p—68, q—409 VII. ?— 54, q—22 VII. 0-76, qz 32 n-—— n» gem ro y HT [denas E sp r—68 f—44 r —*16 et et et et et et et ct E ua U Wem 5 — T recti $— R2 uranio $282 $252 52192; Quae DIOPHANTEV M. 151 Quae folutiones ob. communes diuifores reducuntur ad Auer fimpliciores : 2. E usi mas | £ocXd ftf i NE LU 7 g— I D'—I4 H f—I* EEUU OU T M PXSEIU R3305 195755: 49, q— ^1 | n—225 et $— 1* V. PANIER Q|xriI20:6t 2:144 EEUU 559—190 [-f—ITM t £— 3 BN »o-94az-ia | f—22 cet R— 16 NI 07—19, 4-8 | f——I9 et 1—.83 hinc igitur facile i oio ics oaaecwp deliderentur deducere licet. 1x32 32:06 7) S9 (o7 v DE. TABVL A. NVMERORVM PRIMORYM, VSQVE .AD MILLIONEM ET 'VLTRA CON- TINVANDA ; IN .QVA, $STMVL OMNIVM NV- MERORVM NON-PRIMORVM MINIMI | DIVISORES EXPRIMANTVR. Auctore s i omnes numeros , ab vnitate vsquc ad millies mille ordine recenfere , et vnicuique fuum diui- forem, vel notam numeri primi adfcribere vellemus: - tam labor quam volumen , huiusmodi tabuias con- tinens, in immenfüm excreíceret ; quamobrem con- veniet, omnes eos numeros, quorum diuifores mini- mi fponte patent, prorfus praetermittere , vnde non folum omnes numeros pares fed etiam eos, qui vel per 3 vcl per s funt diuifibiles, excludemus, quippe quorum minimi diuifores fponte fe produnt. Alios igitur numeros in nofiram tabulam non referemus praeter primos , nifi quorum minimi diuifores fint vel 7 vel x1 vel 15 vel alii numeri primi maio- res; cuiusmodi numeri vsque ad triginta funt tan- tum oco ifti : 773, 7; 11; 13, 17, 19) 23 €t 29. $. 2. DE NVMERIS PRIMIS. 133. 1 & 25 Omnes ergo numeri, quos in noftram tabulam referemus, in hac forma generali 344 -4- rf erunt contenti, vbi ^ denotat octo illos numeros mo- do' memoratos , pro 4 vero füccefhuc fcribamus omnes plane numeros naturales o, r, 2, 3, 4 etc. donec valor formulae 30 4 vsque ad vnum millio- rem éxcreítat , quod fit, fumendo q— 33333 vcl etiam vltra, fi limitem vnius. millionis transgredi Veliesutias." .$..5. Quod fi iam Litas tabufam in quarto expedire voluerimus; in qualibet pagina commode po- terius quinquaginta valores litterae 4 in prima cuiusque columna a fummo: ad imum defcendendo exprimere , cui dextrorfum octo columnas adiunge- mus pro octo valoribus littérae r ficque tantum opus erit fingulis areolis ia octo iftis columnis, quae cuilibet valori litterae 4 refípondent, vel minimos diuifores numeri 50 4-j- *r vel notam numeri primi, quae nobis erit littera 5, iufcribere; (ic enim propofito quo- cünque: numero N' diuidatur ille per 50! et ' quotus ex diuifione refültaus fit — g refiduàmr vero reftans -— r, um hi numeri q et fin: noftris, tabulis quac- rantur et areola vtrique «conueniens oftendet . mini- mum diuiforem- huius numeri IN vel charaetz rem f, fi fucrit numerus primus, | i ! $. 4." Si "fingulae- igitur paginae continean quinquaginta valores litterae 4, quibus octo miemo- ratae columnae ffint-adiumc&tae , quiélibct pagina ex- tendetur ad o: 50 —— 1500: numeros ficque. vsque ad vnum millionem: opus erit 666 "paginis; quare * R 3 cum 134 DE NVMERIS PRIMIS. cum vana fchedacin | quarto praebeat o&o - paginas, numerus. fchedarum erít 85 circiter , vnde; nafcitur volumen non nimis magnum et aliquot calculatores fufficient ad totum opus breui nds fpatio ex- fequendum. $. 5. Singulae igitur paginae huius. operis ita erunt difpofitae, vti fpecimen annexum. ofteudit, in. quo primam paginam repraefentamus , cuius prima columna litterae 4 fubiacens eius valores a .o . vsque ad 49 exhibet, cui ad dextram adiundcae íunt octo ilae columnae in fronte gerentes totidem refidua I).71,4 E Eg 4E 35 4E7,.I195. 29, 5,$9, CAD, Vero. Miumili modo fequens pagina in prima «columna continebit numeros 50. 51.....99 tertia vero a roo vsque ad. 149 etc. vbi femper octo columnae fequentes ea- dem octo refidua referunt ficque totum negotium huc redit, vt in fingulas areolas, quarum | quaelibet pagina continet 400, vel diuifores debitos vel litte- ram f vtpote notam numeri primi inferamus, quem infinem fequentia fubfidia explicare neceffe erit. gx :[:9 LESE] 17,1923 |29 o PPP IP'IPIP? tv pp por pen pep cer niuprm p 2|PIP|P Domini qup 3 7*9 p umiptqonop n 4|[11]P P 71|P |P |11|fp S:uRIPIT PP [13 pp 6|p|15 pp jp 7 |11 77217119) p ^p'p *p dp 135 "DE NVMERIS. PRIMIS. els reeseeee'ealagerS$aaz9arfT?8aae?Ta 23 am 4m | E Ov q[9e9. rS RE SLL SD Ge pes C aediao d uaar? n —— —— ———— MÀ : —— neserzeereZZeaaer ia | o^ 6 On. E eornm n Parfaaaeau Pu B. I^ «€ ul |I HIDMODEDUAEDUACT. NEC EC god Ümuem cec exer O (0 7]. db -RC UE OMSO NE GR HAGAE Re. sue e| x«- €o r ÓN EO [OT ET ny cube r4 m aaa wx WAIT uo Vo oO Cu lo ua GV CR CE S. $9 9 uq CedelbereWeeaeseraaa : ON c5 - r|ZaaaeeftaaZ € RAE Tq 99. eX - - m oO TES mm t» is cae d de 0 9 6 TW | | $. 6. Ponamus hrs in genere quaerendos effe ' omncs numeros formae p--r* 'qui per | datum numerum: primum P fiat. di ifibiles ita' yt à areo- las his jnumeris refpondentes ipfe pumerus P'infcri- bi debeat, nifi: forte' eidem areólae "iam nümerus mi- nor fuerit infcriptus, ^ Sumamus aütem pro refiduo dias formulam 304r « diuifibilem fieri per pro- pofitum) numerum primum P caáfu quo |g—« ita vt numerüs 504-1-a diuifignem per. P admittat, tum igitur manifeftum eft formulam 304-14 et- iam diuiübilem fore fümeüdo 4—aA- 1 P: xàde hoc commodutii | nancifcim ut, vt fi in quapiam columna pro refiduo a -numerüs $304-1-4 diuifibilis fuerit per P cafü g — 4; tum omnes valores de €a- dem indole gaudentes füturi fint a -j- P5 ai- 2 P; &-- 35P;a--4P; a--5 P «tc. iuxta, quos igi- | tur DE NVMERIS PRIMIS. 137 tur areolis refpondentibus fub refiduo ao diuifor ifle primus P infcribi debebit , quod ergo negotium per omnes paginas fequentes facillime abfoluetur. Dum- modo igitur pro qualibet columna prima areola con- flet, cui numerum primum P infcribi oportet; tum per omnes paginas fequentes areolae, quibus idem nu- merus infcribi debet, facillime definiuntur. $. 7. Sumto autem numero primo quocunque P, minimus numerus, cuius minimus. diuifor eft — P eft (emper P P, in cuius igitur areola omnium pri- mo numerus P inícribendus, erit 5 ita fi proponatur, diuifor 7, is in noftra tabula primum occurret apud numerum 49 — $0. I -]- 19 vbi eft qà— 1 et r— 19; at fi diuifor proponatur r1, minimus nümeruüs, cui is in noftra tabula refpondebit, erit 11* — 12r, pro quo erit 4 — 4 et r — 1 ficque in prima columna vbi r — 1 apud 4— 4 occurret nümerus. 1r , qui deinceps pro eadem columna conueniet omnibus va- loribus, qui fünt 4 -- 1r zz 15; 265537; 485 59 etc. vsque ad finem totius tabulae. $. 8. Praecipuus igitur labor in hoc confiftet, vt propofito numero quocunque P pro fingulis re- fiduis r definiantur minimi numeri 4, qui formulam. 3904 -i-r diuifibilem producant per P; haec autem inueftigatio eo modo e(t inftituenda , quemadmodum in fequenti Problemate docebimus, vbi pro diuifore P fumemus $3 quippe qui eít minimus diuifor , qui in noftra tabula occurrere poteít, propterea quod nü-' meri primi minores 2, 3 et 5 íunt eXclufi. .: Tom. XIX. Nou. me S Pro- 138 DE NVMERIS PRIMIS. . Problema 1r. Pro finsulis oio walribus liferae' v inuenire minimos valores ltierae/ q, quitus JITRUNE Ki q i r per 2 fiat diulfibilis, SayiE ypttqug) 35g "9l Sit primo r — x et formula 50 4-1- 1. diuifi- bilisefle. cevet per 7, posatur ergo 304 4-1—74A eritque A —44-- t£, ita. 24-1 1 duifibilis effe debet per 7, quod manifefto- fit fi ia. 3, omnes ergo valores ipfius q erunt 8, 10, 17, 24,31, 58, 455 52, 59, 66 etc. Sit fecundo r —:. 3 et formula 30.4 -1- 7 diui- fibilis mauifefto. fit fi 4 — o, eius ergo fequens va- lores funt 7, 14; 21, 28, 35, 42, 49, 56 etc. vnde fingulis areolis in noftra tabula numerum 7 infcribamus. praeterquam. primae; areolae, quae conti- net notam f. Sit ferfio y — x1-et fiato 30q--1r—74A eritque. .À — 4 4 -- X -- *17-*, vbi ergo ett 4— 5 eiusque: fequentes. valores. 12, 19, 26, 33, 40, 47 etc. ^ Sit uarto r — 15 et fiat 80 4-1- 13 — 7 A eritque À — 4.4 -1- 1 -- Libr vbi ergo q—— 4 et fequentes eius. valores. 11, 18, 25, 32, 39» 46, 53. etc. " I I» it DE NVMERIS PRIMIS. 199 Sit quinto f — 17. vt formula 350 4 -1- 17. di- vifibilis efle debeat per 7, ideoque ponamus eam -7A fietque A — 4 4 -- 2 -- *L* 5 quocirca. q effe debet — 2 et valores fequentes erunt . 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51 etc. Sit fexto r — 19 et, fiat 504-1- 19 —*3AÀ ideoque A — 4 4 -41- 2 -r- Hs , manifefto hinc. fit q — x fequentes autem valores erunt $8), 19, 25, 29? 360, 453, $9 etc Sit feptimo r — 23 fietque 304 -1- 25 — 7 A hinc A —44-1- 3 M debet ergo. efle 4 —6 €t fequentes valores . $397 295 271925 41s 48 etc. Sit ofauo r — 29 et SS ESE RR UA ita , Vt AZ 44 -- 4 Hn HET e tii manifeífto 2 — 3 et fequentes valores . 10, 17, 24, 31, 38, 45 etc. Corollarium r. Quia areola, quae refpondet numeris [2— ,;], prima eft, .cui diuifor 7 eft infcribendus; omnes prae- Cedentes numeri in "noítra tabula relati érünt primi, ideoque eorum areolas charactere 5 impleri oportet. Corollarium: 2... Quia igitur pro omnibus o&o refiduis f mi- nimos quotos 4 aíügnauimus, quibus formula 5024-7 ; S2 pet LJ dig -DE NVMERIS PRIMIS. per 7 diuifibilis euadit, vnde fimul omaes fequentes valores ipfius q facillime innotefcunt , eos fequenti modo confpectui exponamus, quo facilius omnes areo- lae numero 7 implendae per omnes tabulas fequen- tes agnofcantur EGRATTTUM 19 q—|. 3 I fequentes 9 —| IO 8 (egügnies |. lus du VU EET 2] I7 | 2I ET fequentes q— 94 128 .28 | 22 generaliter3-77:717 5-7 H4- H2 VT tpm 70 078 (dad Edd rM etc. etc. Problema 2. Propofito diuifore xx pro fingulis refiduis v ^ inue- sire minimos quoto Q, quibus formula 3o q--r per ir Jit diuifibilis. Solutio. Cum minimus numerus hunc diuiforem ge- rens fit 121 — 30. 4 -1- 1, prima areola, in qua ifte diuifor rr occurret, erit [2— 1] , omnes praecedentes areolae adhuc vacuae charactere. p funt replendae nunc igitur pro fingulis refiduis r quotos minimos q quaeramus, E" es DE NVMERIS PRIMIS. ^ 442 ^. Si r — 1 modo vidimus fore q — 4 oe iere q—4-43-1r5 . Sit 7 — 3 et ponatur 30 4 -1- 7 — 11 A erit Le 2g--tEL—L.q—:i0t vnde fit 2 — 6 et in genere q — 6 -1- x14, 3. Si r— x1 ponatur 304 -- 11 — 11 A vnde g —o minimus autem erit Oo -i- 1r. | 4. Si r— x3 ponatur 304--13 — xr A vnde erit Azc2gQq-4-1-4- t effe igitur debet 4 — 8 et in genere q— 8 4- 1r m. 5*5. Si r — 17 ponatur 304-- 17— 11A vnde erit R— »gd poe quod diuifibile fit per 11 ponendo 4 — 2 vel cum hic non fit minimus erit 4 —.3 et in genere q— 13-2- 115. 6, Si r — xg ponatur 302--19— 11 À vnde fit Azaoq-4- i4 ! vnde effe debet q — 10'et in genere 4— 10-1- 117. | O4. Si r— 23 ponatur 504-4 23— 11A. vnde fit Acagaerut6t à vbi effe debet q — 4 et in genere 4 — 4 -1- 113. 8*. Si r 29. ponatüt 50 4 31- 29 — 11 A hinc- que fit A-cogq42- UE dm efíe debet 4 — 6 et in genere q—6 ri S$*3 Hos 142 DE NVMERIS PRIMIS. Hos igitur valores ita DD Kp een pro diuifore II 4 Ser V ge poa pns g— AIME I3 | 10 4| 6 fsequ 2—| 15 | 13 | 22 | 1 B "OCENTIET fequ.g— 3 35 | 42 | 26. | 28 fequ. g— | 37 | 49 46 | 5^ | 37 1.39 etc, £IGo i etc. Problema . 35. Propofito. diuifore. x 3. pro fingulis. rofiduis v inueni. Ye quolos q, «tL formula Soq--r diuibids Áiat per. 13. Solutio, | Cum minimus numerus ia noftra tabula, qui diui- forem 1 3 adícriptum habebit, fit 15-—169—30.5--19,.- omnia loca vacua charactere f funt replenda. . Pro reliquis refiduis aliam viam ineamus: cum enim 50. 5 -- 19. minimus fit nümerus diuifore 13 fi- - £nandus, omnes maiores cóntinebuntur in bac; for- ma 39.5 -- 19 -1- 132 , quia autem numeri pares excluduntur, pro s fumi debent tantum numeri pa- res, ita, vt tantum multipla 26 addi debeant, vbi no- tandum, fi numeri prodcant maiores quam: 50, tum vuüitatem accedere ad primum membrum. 30 4 quod hic eff 30. 5; habebimus fcilicet. duas columoas prio- Iém pro 4, alteram vero pro r, quae quafi monetas diuerfae fpeciei referunt, quarum triginta fub fpecie r contentae faciunt vnitatem pro altéra fpecie q. Hoc notato, quia pro primo cafu habuimus q— 5 et r— 19 continuo hic 26 addamus vti fequens fche- ma declarabit, . Je DE NVMERIS$ PRIMIS. 143 - r 5 - I9 PX] 6 -—- I5. 26 3 we cap 26 BEL 26 9 ó* 3 26 9 "7 29 26 10 -c-— (25 26 II - 2Y 26 12 - 17 26 13 - 13 26 14 "i 9 26 15 —— 5 26 16 - I 26 16 — 27 26 Hae operationes fcilicet eo vs- que füat continuaadae donec fub columua * omnia refidua oc- currant; tum igitur vnicuique valor refpondens 4 habebitur; hinc igitur fequens fchema coa- ftituatur.. Pro 144 DE NVMÉRIS PRIMIS. Pro diuifore 13 mm. I my II q— I6 ph 17 qu ner fequ. qà— | 29 | 21 ES 20 fequ. q4—| 42 | 34 |34 | 33 etc, etc. etc. Scholion. Non autem opus eít füpcriores operationes eo vsque continuare, donec octo noftra refidua omhia occurrant, fed fufficit quatuor tantum noffe; ex quo- libet enim cafü 4 — 4 et r —a etiam cafus. quo r--$30-a facile deducitur; cum enim fit 30a-4-« diuifibile per. 15; erit 30 (a -1- 1) — 50 -1- a etiam diuifibile; hincque etiam eius negatiuum — 3o(a4- 1) 4 50— a; addatur 30. 13 vt habeatur 30 (12 — 4) --5o—« diuifibile per 15, ergo fi fuerit r— 3o —« erit 4— 12—4. MHinc igitur quia primo erat 4—5 et 4 — 19, nunc pro r—50—19-94I erit 4 zT. Deinde erat «— 7. 6t. 24— 8, hinc pso cafü. r— 530 —7-:28 crit 4 — 4 fiue q— 17. Porro vbi a — 25 erat 4— 9; hinc fi r—1 fit 4—3 fiue 2— 16. Eo- dem modo vbi « — 17 erat a — 12 hinc fi r—t:3g fiit 4 — o hoc eíl. 9 — 15. Probléma 4. Propofito diuifore — 1*7 pro fingulis refiduis x inue- mire quotos q, vi formula 3o q--r diuifibilir fiat fer 17- Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore fignan- dus fit 17 — 289 — 30. 9 -- 19 pro £o erit 4 — 9 ^ €t DE NVMERIS PRIMIS. 143 et / — 19 atque omnes praecedentes areolae adhuc vacuae littera f erunt replendae. Nunc igitur fi 7 €t r vt nomina duarum [ípecierum fpectemus , qua- rum prior continet triginta pofterioris; primus nofter numerus per 17 diuifibilis erit 9? -- 19, cui fi continuo addamus 2. 17 — 34 hoc eft i^? -r4 operationes fequentes praebebunt valores ü " » 9. (t. i19 10 5c! 29 II met, 13 " I ET T 5 I5 -. 9 16 -3 I5 I9 CW* I9 (18 &- 2f 9 . 4* $$" 20 » 29 225 - ^* 3 28 mic 24 . &' rr vnde fequens fchema perficitür. - Pro diuifore 17 (r) ? — € adm —— |——|————— —— D P wgEm 9| 13.1523 qL39)M D. q|47 CM etc. . etc Tom. XIX. Nou. Comm. 246 DE NVMERIS PRIMIS. Problema 5. Propofio diuifore pro fingulis vefiduis x inuenire quotos q» t formula 3o0q 4 t diuifibilis fiat per 19. Solutio. Minimus numerus hoc diuifore fignandus erit 36: 30.12-F1 ità vt fit q— 12. et r—1; hinc formulae 12 -r 1") continuo addatur numerus 2.19 — 88 — 10) 4- 8'7 fiue 2 — 22/7, vnde fe- quentes nafcuntur operationes £1: 4 12 - I 13 * 9- I4 "tt 19 15 Ue: 25x 17 » 3 18 i225 19 -- 19 Le 20 -» 24 22 di 5 28 - 15 29 - 23 31 - x vnde fequens fchema conficitur. | Pre DE NVMERIS. PRIMIS. 147 Pro diuifore 19 9 «J- xime 27 [38. 46 | 37 etc. Problema 6. - - Propofito diuifore 23 pro fimguls vefidui v inue- Mire quot0s q, wt. formula 30 qr diujfibilis fiat La 23. Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore 253 fi- :gnondus fit 253' — 529 — 30. 13 -- 19 erit 4 — 17 St y — 19. Nunc igitur formulae 17/9-- 19/7 Continuo addamus numerum. 46 — 11-1- 16') fiue 29 — 1407 wt fcquitur g em » 17K Ez 19 * 19 - 5 20 x - 2I 03 z 7 ae qc - 23 25 m. 9 26 : - 25 oS X - II 29 - m 27 31 - 13 32 5 290 34* vm 15 36 - I 37 7 - 17 39 E 3 4o - 19 gne hoc fchcma conficitur. | T 2 Pro 14$ ^ DE NVMERIS PRIMIS. Pro diuifore 93 I9 | 25 | ?9 | N-— I T up —————— Emma mee LL punc —n— map) decem 73 —€— —- E—U€ q— 36 | 22 y 23 | $32 | 3: .49 t 46 | 55. q—1]1.39 45 . etc. etc. etc. Problema 7. Propofito diuiore so pro fingulis vefiduis —r in- venire quoios q, ot formula 30q-- t diuifizilis fiat per.a9. Solutio. Cum mibimus numerus hoc diuifore fignandus fit 29 — 841 I930. 28 r erit q — 28 et rt. Nunc igitur ad 25877 p 1? continuo addfmus 58 — 19... 28 fiue 20? — 2/ vti. fequitur Elis. cae e g 28 - Y 29 - 29 3r - 23 33 - 25 35 - 2 37 * 2r 39 - 19 4t E 17 43 ^ 1$ 4.5 - 13 47 - II 49 ^ 9 5 - 7 53 - $ 57 - I vnde DE NVMERIS PRIMIS. 149 vnde fequens fchema pro diuifore 29 conficitur ; o E 2d 19 |23 | paso qiie [srier EC CNINCOMBISC AN q— [5o 175. 68 | 64 | 58 etc. etc .. etc, Scholion. Pro fequentibus diuiforibus talia Problemata gene- ralius tracari poffunt ficque totum negotium noftrum conficietur , quando fequentia octo problemata foluemus. Problema generale I. Propofito diuifore primo 30 4-1 pro fingu- lis refiduis r omnes quotos 4 inuenire, vt formula 30 4-rr diuifbilis fiat per numerum 30 a 4- 1, Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore fignandus fit 9o022-- 608 4- t erit 4—30444-24 et r — rx. Nunc igitür ad hanc numerum (30244 2 4)? 4 1( continuo addámus duplum diuiforem 604 4-2 — 2 4 4-200 fiue (2a-F 1)? — 28? vti fequitur v joac-1- 16 4 joaa--12»4 4 I1 goaa4-i4a - I I 3 5 g3oaa-r-8a4 * 3 T 9 I 3 [- T 3 q 150 DE NVMERIS. PRIMIS: *» Soi de 16: | - 1135 MN | 4 304a-- 182a [T * 380aa- oda - 34 ww $30aa-3-22a "EGAL: Mesa. goaa--244a4 - 4$ 3o04a-i-26a3 LIN T. 302a-4-28a e T. 3023a-3-530oa - 29 3044-320 t1 Nunc igitur fingula noftra refidua in linea verticali exponamus et fingulis quotos refpoudentzs q adícri- bins | I Hitsbeppn ado 9 Mlidiligi- ^ |do2a--2a --n(so -d- 4j 30aa-4- 84 .—--in(80 2 -1- x) L |jOa4--ri$22--"(30Qq H1) |3o 44 -- 14 6 H- (30 a --.1) uj 89 4:4 1- 18.2 e (30 a --1- 1) 19 i30 a4 -- 204-- n (30a -r X). 23 |30a4-- 24 €--.1 (304 «-)1). 29 j30a4.-- 30 4 -- 1 (30 a -4- 1). Scholion. Quod fi tabulam. numerorum primorum vsque ad vnum millionem continuare velimus; maiores di- vifores primi in-ea Occurrere non. poffunt, quam 1000; Vnde tantum opus eít noflra fchemata pro omnibus numeris. primis millenario non maioribus exten- DE NVMERIS PRIMIS. ryi extendere; hinc diüifores primi in formula $40 a 1 egulpadi in-adiuncta tabula referuntur ' Nunc igitur pro fingulis his diuiforibus fchernata- nofira vti incepimus adiungere poterimus. ^ TABV- 752 DE NVMERIS PRIMIS. TABVLA | exhibens minimos quotos 4 pro diuiforibus primis formae 30.4 -2- 1 ad fingula octo | refidua relatos,. a Diuifon x J jaz9 | 28 |?9. St 34. HRS | 4S tt so 54 ^60 61 124]. 15 -360| 168| 180 I5I 460| *90 "$so| 870| 90oo I81 | 1092. 1158 'I200, I224| 1260 1610. 16538 208Cc| 2IIO 26 10|. 2646 211 | I484| 1526 241 | 1956. 1984. 271 | 2448| 2502 331 | 3652| 3718 3850, 3894 421 | 5908| 5992 6160, 6216 541 | 9756| 9864| 9936| 9972|r004410080 0152/10260 571 |ro868/rog8o|[1r1058/.r1096|tr172|1 12101 1286111400 6or |:12040I216c|t 2240/12280|12360|1240012480|12600 651 |13272/133998/13482/13524.1£5608/1156501373413860 661 |14564|t4696114:784/14828|14016|149060/ 15048 15180 691 |15916|16054/16146|16192.16284/1633C|16422/16560 251i [18800/t8950|1905C|19100|192c019250|10350 19500 27| SII 21924/:208622904/12248/:2356224102251:8 22680. 33. 991. |32736/3293433066/533132/33264.33330]33462/33660 Problema generale II. — Propofito diuifore primo 307 —1 pro omni- bus refiduis r inuenire quotos 4, vt formula 504-F f diuifibilis fit per 30 4 — a. Solutio. DE NVMERIS PRIMIS. 153 Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore fignandus fit 50. 3024 — 2. 50 à-1- 15 erit q— 50aa4—2a er r—r nunc igitur ad hanc formulam (3022 — 2 a)? --1iV) continuo addatur numerus 602—2 — 24 — 2 (0 fiue (22— 1)?-- 287, vnde fequitur g - f ——— s$oea4-- 18 - I $oa2-d- oa4—r1 - 29 $oaa--2a—x «- 27 S802a4d-4a-—1 - 25 $0224 - 60 —1 Soz2a043- 80a—1 - 2I .3044--104—I - I9 SoqZzdI2si1.- 17 Ssoaadi4£$20—31 - 15 504a4-162—1 - 13 — l M9 o2 3804a--i82—1 - II 3SOoduWg-200i5Ia t 9 [Toy W^ po MCI CNET d Hinc igitur quoti 4 fingulis refiduis r refpondentes erunt r 7 I90424—2a-r-n(3goa-— t1) 4|30a4--22a—1 -- n(80 a — x) Ii |3502a--138a— 1 - 2 (30 4 — 1) 13/3024 4- 16 4 — 1 4-2 (50 4 — 1) 17]30aa--124— 1 4- n (80 a — 1) 19]3504 4-- 10a — 1-2 (80 a — 1) 23|30aa---6a—1 t a(30 2 — 1) 29|304a4- oa4—1 -- n (30a — x). Tom. X1X. Nou. Comm. V Cum 154. DE NVMERIS PRIMIS. Cum igitur diuifor nofter 302 — t contiaeatur in forma 304-- 29 exiflente a — 4 4- 1; ex noftra ta- bula excerpautur ordine omnes numeri primi for- mae 504-4-29 ct pro fingulis capiatur 2 — 4 4- E hincque fequens prodit. Tabula generalis &|Diuifo! xr: | 7 II rs Jy 3» 25 | 2 29 28, Sae p AU EUR 39| ..35| ?9 59 116 1653| 1I55| r5I I39 1i131| II19 89 264 335| 323 317 299| 287, 269 I49 740| $859, 839| 829 799 779, "49 179 | 1068, 1211!| 1187| 1175 II39" IiI5| IO79 239 | 19094, 2095| 2063, 2047 1999, 1967, 1919 269 | 2412. 2627| 259I| 2575 2519 24853| 2429 359 | 4296| 4583| 4535| 4511 4439 4391| 4319 389 | 5044 5355, 5803| 5277 -5199' $147 5069 419 | 5852| 6187| 6151| 6103 6019| 5963, 5879 449 | 6720 7079| 7019| 6989. 6899 6839 6749 479 | 7648| $031 | 7967| 7935 7839| 7715 7679 509 | 8636. 9045: 8975| 8941 8859, 8771, 8669 569 1079911247 11710 1889 1105712019 $0943 10829/ 3 I19601243912359|12319|12259(12199 14476/15003/14915[14871/14783114739 l'7282/ 1159/20 33Y NLTG63I7256 diy S19 218162246322355223012219322139 2346424135/240232396725855/23799 287682951129387/29325|29201]29139 I21190II999 1465114519 1742317279 2205121869 2368723519 29015/|28829|. Pro- DE NVMERIS PRIMIS. 155 Problema generale III. Propofito diuifore primo 30 a -- 7, pro fingu- lis refiduis r inuenire quotos 4, vt formula 30 4 -- r diuifibilis fiat per 350 a -1- 7. Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore fignan- dus fit 50. 302 a 3- 30. 14 4 -]- 49, pro eo erit q— 30aa4-1-14a-1- 1 et r— 19. Nunc igitur ad formulam (30 2a —- 14 a -4- 1? -1- 19/? conti- nuo addatur numerus 60 4-L- 14 — 2 à? -.- 14(7? fiue (2a -- 1)? — 16? vnde fequitur q , 304a-1-142-- I - 19 380aa--16a--5» - 3 50aa--i82a--2ao - I 304a-1-204 -1 3 - I 30224-1222 -1- 3 - 15 g3oaa2-i-242-r-3 - 29 8044-1 26 a-1- 4 - r3 S$04a-1 284-14 - 2q 304a -1- 30a-1- 5 T II goaa2-1-32a-2- 5 "i 25 g8044-1- 34.8 -1- 6 - 9 38o04a-1-536a-1-6 - 25 30423-3824 -- 7 - LE —— — — —— — M — 156 DE NVMERIS PRIMIS. Et hinc pro fingulis refiduis r quoti 4 ita colli- guntur ——9 —— 490 44 na Rd PYOSW 433044 -1- 38a 4- 7? -4- n (80 a -t- 7) 11304242 -3- 304 4- 5 4- 1 (30 à -- 7) 15|30 2a -t- 26 4 -1- 4 d- (30 a -4- 7) 17)5022-1- 382 2- 2 H- 2(80a2 24—- 3) - 1950 44 -- I4 4 -- X1 -4- 2 (80 a -4- 7) 25130 aa -- 56 a -4A- 6 -4- 1 (50 a -4- 3) 293022 -2— 24a -41- 5 -- 1 (30a -4- 3) Cum diuifor nofter in forma 50 72-- 7 contineatur, excerpantur ex tabula noftra ordiae omnes numeri primi huius formae ac pro fingulis erit 2—4 hinc- que fequens conítruatur "Tabula DE NVMERIS PRIMIS. 157 Tabula KE ndErli 13 17 I9 23 29 ——— M— | —— LI 3 7 5 4 2 I 6 3 53 2355 05 6o 50 45 72 57 163| 20953|. 185. 1268) I58| 149| 198|, I7r 333| 391| 365| 3523| 308| 31:3 384| 345 563, 639| 605| 588| 554 | 537 Ó839| 579 853| 947| 905| 884| $842| 821| 936| $873 2613| 2779| 2705. 2668 2594| 2557| 2760| 2649 3203, 3387| 3305, 3264. 3182| 3141| 3366| 3243 89853| 4055, 3965| 3920; 8839| 3785| 40352| 3897 4563| 4783, 4685| 4636, 4538| 4489 4755, 4611 5333| 5571| 5465| 5412, 5306| 5253 5544| 5385 7053, 7327| 7205| 7144 7022| 6961| 7296) 7113 8003| 8295| 8165; 8160 797* .7905| 8262, 8C67 " |[IO0083|to411|10265|11019210046|. 9973 1374/10155 112131155911405 E13 281 1174/1: £d97|11520 11289 1240812767126051252412362/1228112726 12483 ' 17763|18199|/18005'17908[17714|17617|18150/17859 I9253|E19707|119505 10404119202. 19101i|t9656/18353 7 |20803|21275|2106$20960/20750/2064.5/2 1222/20907 /l25813[:6459261052598825754/25637,:628025929 ' 27603:8147/279052778427542/27421|2808627725| 29453/39015|29765|29640/2939029265| 9952/29577 31363351943/3168537556312983116931878 31491 | 133333133931,336653353233266/5313333864 33465 Vg | Pro- 158 DE NVMERIS PRIMIS. Problema generale IV. Propofito. diuifore. primo 3o 2 — 7; pro fingu- - lis refiduis r inuenire quotos 4, vt formula 304--f fiat diuifibilis per 30 2 — 7. Solutio. j Cum minimus numerus hoc diuiore fignan- dus fit 30.5044 — 30.14 a -- 49 erit q—-30a —144--I et r — 19; hinc ad numerum (30 aa — 14. à -- 1)? 4-197? continuo addatur forma 6o4-— I4 — 2 g9? — 14" fai (2a—r1)?9.r r6'7. vnde calculus ifte Oritur ) q - r goaga-— 144--I pes 19 30a44-—124--r . 5 3o0aa—1ioa - 2I 3Soaa— 8a - t 3024— 6a-—r - 23 30024— 4a—r - 9 goaa-— 2a4—2 - 25 goaa-d- oa-—aeO - lI 3o0aa-- 2a—83 - 27] go2a-- 4$a4—5 z IS 30244 6a—4 - 29 3oaa-c- 8a—4 - 15 302a84-108—4 - I 30aa--t12a—5 7E 17 3oaa-d-!4a—5 - 8 302a4-16a—6 - 19 J. Hinc DE NVMERIS PRIMIS. 159 Hiüc igitur quoti ordine- difponantur pro fingulis noflris refiduis 7 vti fequitur :1 -——— 1 q 3044-4 100 — 4-1 (304 — 7) 7|3044— 8a—o-r-n" (30a — 3) r1|3022-F oa—2-4 "(30a — 1) I3|3042a - 424—353 -^(302 — 7) 17|3022 4-128 — 5 - 12 (50a — 3) 19]3002— 14a-- 1x -2 (302 — 7) 283 |3004a — 6a4—31-rn(30a — 7) B9l3022-- 6a—24-—n(50a— 7) Cum igitur diuifor nofter 30 7— 7 pertineat ad formam 30 4--23, ex tabula noftra ordine excer- pantur omnes numeri primi formae 30 2 -- 13 erit que pro fingulis z — 4 -- 3 hincque fequens Zabulz generalis conficiatur 160 — — DE NVMERIS PRIMIS. | 1*7 19 | 25 a |Diuifor 1 29 1|, 23 | S2 5 205 En. $2 2| 598! 200196 139 93| 107, 128 3| :88 296 H 301 -^7420/:77958/.284 4| II3 516 sp $2936 «25 .. 55 x 6| 175. | 1136 | 278| 1 I142| 90235 P845 III? 8. 255 1996 1 20JII| 180g 1871, 1876 0,263 | 2516 28 2533| 2305| 2375| 2480 IO 293 | 30996 3115, 2861] 2939| 3056 I2| 353 | 4436 4181| 4155| 4247| 4388 13.383. 1252 06 | 5119| 522 | 4889| 4991. 5144 15| 443 | 6896 6575 | 6541| 6659. 6836 17| 503 4|. 8836 | " $869. 8453| 8567, 9768 I9, 565 1101610678/10828/109083 11055|10565|10715|10940 20 22 23 25 26 | 593 |1219611840|11998(112077112235|1 1721|11879|1 21 :6 653 |1473614344/114518|14605|14779/14213|14.387, 14648 683 |16096|15686|15868/159591614:|:5549.15731|16004 743 t8996|t $550|18748/1884719045|1 8401118599 18896| 718 |20556|20072|:0278/20381,20587/19917|20123 20430 29| $63 |25516|2499825228|2534:|25573/24825|25055|25400 32. 953 |310236/30464130718/50845/31099]30273|30527,30908| 33| 983 |32996|32406/32668 32799135061|32209|32471|]32864. Problema generale V. Propofito diuifore 30 4 -- 11 primo, inuenire pro fingulis refiduis r, quotos 4, vt formula 304 f fiat diuifibiiis per 30 2 4- 11. Solutio. Cum minimus hoc diuifore fignandus nume- . fus fit 390.30 a44-F 30.22 a-- I21, pro €o erit ! p DE NVMERIS PRIMIS. 161 qz 30aad224-4 ct r— 1. Nunc igiter ad formulam (32 a44- 22.2 - 4)? 4- z'? continuo nmu- merum 60a8--22—249.-22/" fiue (26-4 12 — gt"? vddamus , vti fequitüt 3394 En a.q pL ug Soaa4dessa-4- S3oaa-d-2624 304a2-4-28a4- 30a24-50a-4 3022-5244 302a 54a 3804a--564a 4 30644-58244 3022-4-40a4- 1o - 19 g024€6--424--F131Y - IX 3040--444a4-Fr12 .- k: 3044-4 46z-4-12 - 25 394a-r4824-4 183 - 7. M ÁÓÁဗ aa —— tt hinc pro fingulis refiduis y. quoti 4 colliguntur fequenti . modo : 1 Q9 6 0-0 un. [| J 30244 22 4 E 4 h^(9044-11) 7/5022--28a-4- 6-Fn(3oa-- 11) 11]302a4- 42a 4- 11 -- 2 (80 a 4- 11) 13130224 4-34a-- 84n(504- 11) 17]30444- 484--13 - n (80 a - 11) 19]302a4-402 4-10 4-7" (802 -- 11) - 23 /8042a--24a-- 4-- n(80a-- 11) 29 |30 £a -- 80a -- 6 - (80 a 4- 11) "Tom. XIX. Nou. Comm. Xx Cum a Diuifor| I 162 DE NVMERIS PRIMIS. Cum nunc diuifor ille 3024- rx in forma 304 - II contiueatur, excerpantur ordine ex tabula noftra omnes l31428.3162232075/31816322693201031492/316861. numeri, ac pro fingulis erit a — Tabula generalis. T 8 I3 4- 6 56 72 9I 58 66 165 I96| 229 172, 186 840 380| 427 346, 366 575 624| 685 580 606 I216 I292| 1381 I228| 1266 21!00 2200| 2517 2116, 2166 2652 2744 2875 2650 2706 3224 3348| 3493 3244 3306 5360 5520| 5707 5386 5466 6192 6364| 6565 6220 65306 7984 7238| 7483 7114 7206|. 8036 8232. 8461 8068 8166| 99048| 9152 9395|19256| 9499 | 9082! 9186 136961382414123|1395214251|1408015738|13 866 16580|[1652016847|16666016987|1680016426|16566 I9504|1945619811|1960819963/11976019354|19506, 224682265225015/22796:2317922960/22522|22686 25872/26048264.59|26224.26635/2640025930|26106 27664278462 8271:2280282$45525210277242'7906 29716/2970430143[2989250331/30080/29578/29766|. Proble-- DE NVMERIS PRIMIS. 163 Problema generale VI. Propofito diuifore 304 — x1, pro fingulis refiduis r inuenire quotos 4, vt formula 304-L-f diuifibilis fiat per 30 a — rr. Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore fignandus. fit 30.304a— 30.224 4- 121, erit q(— 30aa-224 4 4. et r—1 vnde ad numerum (302a—22a 4 4J9-4- 11 continuo addi debemus formulam 60 a — 22 — 2 4 — a2/? feu (2a — x)? 4- 8", vti ex fequente calcu- lo conftat q - r 50aa—252a-4-4 E I 504—200 3 - 9 5044-—18424-2 - 17 3024—16a-4-I - 25 5o4ad—ri4adr 1 - 3 goda—124—0 - II 80 4 42-———IOd4-Xt - I9 38044— 84—25 - 27 350aa— 6a—2 ^ 5 $50dd-— 444—383 - I3 504ü— 24—4. - 2I 80ad4— oa—s - 29 30441 28 -—5 * 7 50444 £44—6 - 15 50424a4-4- 604—973 - 23 Soaa-4d- 8a4—343 - I. X 2 Quotos 164 DE NVMERIS PRIMIS. Quotos autem hinc pro fingulis noftris. refiduis or- dine hic difponamus Ll gq ^1 1044 -—224--4-L- "(30 4 — 11) 7 |g0aadt- 24—5--m(304— 11) 11 |joacv—1:20—0--7(304-— II) 13 |]5042G8— 40 —8--"(30a—1r) t7 i50a0— 15a 4-2 -- 2 (30 a. — 11) 19 |508G8 — Io 4 — Y -L- f (50. a — 11) 23 Demo 64—7-1- n(30a.— 11) 20 i3080— O4-—5--(304-— 11). Cum nunc diuifor nofler 50 2— rr fit Ííormae 3o0q-- 19, ex tabula noflra excerpantur omnes nu- meri primi buius formae , et pro fingulis erit £—q-|-1, vnde confliruitur ftquens tabula DE NVMERIS PRIMIS. 165 I2772|r5326 12978/(1314312854/13019/t15 14973225 , 1673007323. D chi quito. r6850 rTO39 17417 17275 19712/20327 1996 8| 101731981420019 20429 20275 22908[2357123184|2 23405|23018/:3239/23681,23515 24.596|25 28324882 25101247102?495925397,25225 28152 2688728458] 2870328274|2851929009|28825 la4]t 33936134743.34272:34541/340703433934877 34675 Problema generale VI. Propofito diuifore 30 2-- 13, pro fingulis re- fiduis 7 inuenire quotos 4, vt formula 30 2 4- r di- vifibilis fiat per 50. 2-E- 13. Solutio. Cum minimus numerus hoc dinuifore fign:n- dus fit 30.5044-1—530.26 a -1- 169, pro quo erit 4— 50244--26 qd 4 5 et r--1g nunc igi- tur ad formulam (50.2.a -- 26 a - 5?-1- 19? con- As tinuo 166 DE NVMERIS PRIMIS. tinuo addatur numerus 604-426 — 2 Q4 -L- 5n fiue (2 a-- 1/? — 4" vnde ille nafcitur calculus: 3daa-Haé al 5 - 19 38042-31-28a-4- 6 - 15 30aa2a-31-50a4- 4 - II 3oaa--52a-- 8 - 7 g02a4-1-348 1.9 7 3 30444-1- 56.8 1.9. [7.4:29 38o0aa--28a-d 1o - 25 goaa--40o0a-ir - 2I- 3oaa--242ad 12 - 17 80428-44418 - 18 3044--46a-F14 - 9 3042443-48a-- 15 - 5 504a-3-50a-d-16 - I 3508-31-52 2-4-16 - 233 goaa-i-54a417 - 28 .So44 -- 56a-r 18 - 19e — — — — MÀ— — ——— Munc autem pro fingulis refiduis 7 quoti 4 ita col- liguntur, vti fequitur : u q A — Bá p———— 1/302 € -- 50.4 -L- 16 -- n (30 a -4- 13) 75o044-2-32a-- $-75(s0a-r 13) 11|]3024-- 304 -- 7--"(80a-- 13) 133042 -- 44 6 - 13 -1- 1 (36 4 -1- 13) 17 304 4-1- 42 4 -- 12 -1- f (580 a -]- 13) 19504a--264-- 5--n(3oa-- 183) 23/308 4-]- 54a 43- 17 -- n (80 à -ti- 13) 2939040 -1- 386 4-]- 9-1- ^ (304 31- 13). Cum a|Difol] : | 7 II d e LS DE NVMERIS PRIMIS. 163 Cum nunc diuifor 504-1- 15 fit formae 5304-1- 15, ex tabula noflra excerpantur ordine numeri 'primi ilic expofitae, eritque 4 — 4, vnde fequens tabula ge- neralis conftruitur: 13 43 "73 nos 163 193 223 283 313 373 433 463 523 613 643 673 733 $23 853 885 16 8| y 13 12 5 96 79 67 87 84 61 256| 192| 187| 221| 216! 177 436 374 | 365| 41!5| 408| 353 IOI6| o18| 9075]. 985| 972| 885 1396| 1280, 1265| 13557, 1344| 1241 Eo nyoR 1687| 1791, 1776, 1657, x865| 1731 2896! 2726| 2707| 2839 2820| 2669, 2933, 2763 3516. 3328, 3307| 3453, 3432| 3265| 3557| 3369 4936| 4712. 4687| 4861. 4836/ 4637| 4985| 4761 6596 $835| 6307 6509 6480 6249 6655| 6393 7516| 7238, 7207| 7423| 7392| 7145| 7577| 7299 9536| 9222, 9187l 9431| 9396, 9117| 9605! 9291 153016|126481260712895|1285212525|:13097|12729 I4296/13910|11386714167|14124.13781|14381/13995 1563615232/£518715501|!1545615097|15725/15321 18496/180561: 80071834911830017909|18595/18153 23236|22742]22687,2307123016/22577|25345,2285 1 21000811 210436 7:34165/84708240832504924537 26696/26166|26107|2651926460/25989/26813 26283 Problema generale VIII. Propofito diuifore 50 a — 15 pro fngulis re- Io1 95 245| 20I 449, 387 IO37| 939 I421| 1305 fiduis r inuenire quotos 4 formulam $39 4 4-7 diui- fibillem reddentes per 30 a — 15. Solutio. 168. . DE NVMERIS PRIMIS. . Solutio. Cum minimus numerus hoc diuifore fignandus fit 30. 502a— 30.26 a-1- 169, erit q—$30a4 —264--5 etr — 19, vnde ad numerum (30 a4 — 26 4 4-5)? 4- 19? continuo addi «debet | formula 60 a — 26 — 2 4! — 26 feu (2a — x9 4- 4 vti fequens calculus declarat - y 39044-26a4-5 - x9 304a—24adc-4 - 23 30a304—22a24-35 - o7 g804g—2?20a20 453 - X goaa-—iS8aL-2 - » 30a2—16a8-*1 -— 9 S8940u—124u-ro - 13 3048—12a4—1 - 17 3o0g-t10g-—95 2I g3o0aa—- $8a-—3 - 25 So0aa- 6óa—a& - 29 Soda-— 42—24. - 5 90404— 204—5 - v 50244" o0o4—6 - II 3o004ad4-- 20—73 - 15 $028-- 4a—8 - 19. JDE NVMERIS: PRIMIS. 469 ^'Quotos'autem: hinc pro fingulis noílris refiduis v ordinc hic exponamus | i g - 1 Ee ID a 3--QU(go4—IS TAE MS 220—5-F"9(3oa-— 183) 1]3o042-- 0a-—6 t 1(so4 — 13) lacaa 14.4 4- 0-- (50 2 — 13) r "* A |] ju le [E52 |3o 44 — 122 —31X-5(304-— 193) » (19.130 44 — 26 d 3.5 -- (30 € — 15) * 23 [30,40 —244 4- 4 -- (80 4 — 183) 2945044 — 6 $62-4-ní(soa-— 13). . Cum "dibifor ille. 304 —13 in forma 36 q.4- 17 NT contentus, ex tabula. prima éXcerpantür ordine nu. .- meri primi formulae 89 4 - 17. eritque. pro. fingulis. . 4— s I "hincque fequens Aabula generalis: Egger ^ m M 170 DE NVMERIS PRIMIS. |? |Divitog anco hide dorm a 17 V s 23 24 16| 2| 47 83, rrt II4 92 4| 107 403, 467| 47 £24 5| 187 10:653 77538 T 630 6| 167 965! 1063| 1974 996 7| 197 | 1333, 1451| 1464 1372 8, 227 | 1763, 1899| 19r 4 1808 9 257 | 2253 2407| 2424. 2304. II| 317 | 2413, 5603| 2624 3476 I2| 347 | 4083| 429I| 4314 4t152 | 4244 16| 467 | 7363, 7643| 7674 7450| 7487| 72379| 7300| 7580 19 557 |1904531078710824110564!10601|10541|r0378|t0712 | 587 IIÓO3119551II19941172011759|1 148511524 11876 21| 617 12813/13183.132241293612977/12689 1273013109 22| 647 |1408314471145141421214255|1395313990|14384 23, 677 |155131581915864155481559351527715322|15728 27| 797 219398 T5IIR BO4 i D4g2oI545 "UI TS ORZRO TIO 28, 827 |22963234592351423128:23183/22797/:22852|23348 29 857 24655|25 167252242482 24881/2448124538/25052 3o0| 887 |26403|26935/26994.2658026659|26225|26284|268 1 32| 947 |30083|30651,30714.3027230335|29893|29956|50524, 33 977 52213|32599]32664.532208/32275/31817/31882/32 46 Scholion generale. Quoniam diuifores primos maiores in tabulam numerorum primorum introduci non conuenit, nifi omnes minores iam füerint expediti, omnino neceffe eft, vt ex octo tabulis praecedentibus vna tabula ma- ! " mne DE NVMERIS PRIMIS. 171 xime gencralis conficiatur, in. qud pro omnibus diui- foribus primis ordine difpofitis minimi quoti 4 ex- hibeantur fingulis noflris octo refiduis | refpondentes, quorum areolae fingulis illis diuiforibus fignari debent. TABVLA AVXILIARIS VNIVERSALIS pro omnibus diuiforibus primis a 7 vsque ad 1000 continuatis, minimos quotos 4 exhi- | bens fingulis octo refiduis | refpondentes. . Diuifores Refidua : 1,74]|11/13|17,; 19/23 |29 7 S UE n Sore ti II 4| 6| 1r1| 8| 153, 10 13 16 2 151 I2|..5 1*7 13, 23| 24| 16 17. 9 19 12| 27| 18. 23, I4| I9 47 | 3101114 92| 95| 73 53 |1386104118 125/139. 93 59 |116163155151143139 61 |124|136144.148.156 160 63 16: pog 18$p76 5 5B sob o7s gi 168182215|196:2292101 72186 Y Diui- DE NVMERIS PRIMIS. 29-33 "ST . 918 «[roó63 Irr28 uw kebrolUra d [accessere tee EHUSP 9S jours: 234 268 323 365 407 307 $74 432 478 605 659 744 690 839 810 dud 391 360, 467, 4.83 448 939 598 735 755 790| 947 Ul211I lagslr es cesare [ra lis6sl 8999141808 995| 997! 1074| her ris d qoas e ^ 918 P 317, 355 352, 305 350, 427 415| 408 £24, 431 461| 410 493 588 62.4. 680 »54 685 662 523 689 72] 829 $20 : $809 $40 $84| 842 955, 972 996/1007 IO 1777 289 299 3!3 400 353 581 439 425 557 650 625 699 799 85a 821 251 : 2 3 245 291 287| 384 loce lior EE 139915051465 :523:81717321 868 Diui- DEG — wtf DE NVMERIS P&IMIS. I 4 t 174519311824 1495 19942095 I956 [2896 43286/3431 3328/3307 1856/1918 2063 2016 2:26 7 2424 2358/2428 26272591 25022538 27192795 1984 2150 2401 27262707 13] 17 | 19 | 25 18851778 1$39|1961 194920111809/1871 204720151999/1967 20322064.2080l2 112 220023172250:2116 2304/232122010218 2463253323952375 2573253725192483 2556/2592 26102646 2668259425572760 274428752800|2650 2839/2820/2669/5 9332763 30573115 286129393056 |9264:3182,3141/3366/3243 3603/3624 3718/5762 4055/3965 4083/42914314415241754013 426 9/4106 4199/4385|4315 32443306 3557/3369 33703560 38943969 4032|389'7 4036/4244. 3348/3493/3410 345334323265 34.76|3497/3349 378438283850 8920/3830/3785 4865418141534247]4388 /:3545114463/44394391|4319 456317834685 4636453844894758.46 11 403647124687 4788,509149145015,48384939141,5065 5206/4.966/5068/511952214-8894991|5144- $044.5355/5303/5277,5225/5199|5 147/5069 5333,557115465|54125306|525355445385 *oa 48614836|46374985476 r Diui- Diuifores Doumamrekinmrune ucc d coc menzcgm 174 DE NVMERIS PRIMIS. Ed ——— — RC ORR ——— — ici serunt den] dep moror (adio 9| 5440| 5627, $520| 5707 6, 5903 5712 5821].5650 2] 6187, 6131| 6105| 6047 5908| 5992| 6048. 6076| 6152| 6160, 6216, 6500 6192| 6278. 6479 6564| 6565, 6450 in 6306 6596|. 6356, 6307, 650« SY 6249| 6653 6393 6424|:6775| 6570, 6687| 6482. 6599 i53 6745 9 e a EINE: 5600, 5386 5466 5739, 5957, 5875 6019 5963/5879 6896! 6630, 6748, 6693. 6575! 6541| 665 6720| 7079, 7019| 6989 W Ao Bac 683 79053, 73?7| 7205 | 7144| 7022| 6961, 7296! 7113 7084 7176| 7391| 7238| 7483| 7360| 7114 7516, 7235| 7207 "7423| 7392| 7145| 75'77 7363, 7643| 7674 '"456| 7483| 7279. 780 7648| 8031| 7967, 7935| 5871| 7839| 7775 8003, 8295| 8165| 8100, 7979| 7905| 8262 9036, 8134| 8365| 82525| 8461| 8350| 8068 $300| 8699. 8466, 8599. 8566, 8499| 8867 $836| 85534. 8668. 8754| 8869, 8455! 8563 $656 9943 8975 8941| 8873| 8839 8771 9048 9r52| 9395| 9256| 9499| 9360| 9082 9536, 9222| 9187, 9431| 9396| 9117| 9605 9756| 9864| 9956 9oy tee PrrODSR TONEBLOSSG ^q s Our Mane - Eq on Natu dais [Lon Dd 104553110787|10$2410564.10601/10341/1103578|1 0712 1101610678/10828/10903|11053|10565 10'715|10940 jo7921124711117111135|1105"7]11101910945|10829.- 1086810982|1105811096(1117211210112861 1400 v B Ne d cA niu tar ore Qd PUn sup gpaiotqoen mp b HORT: Ove Diui- DE NVMERIS PRIMIS. 175 I i-o dr rg [3 | 17 | 19 | 28 | 29 —— |—— |——————————— —————— M: REEL um Reano ——|————— (erom M LT —— 12190/11840119981207712235 11721111879] 12116 1196012439 1255912319122591219912119|1 1999 12040|1216012240/1122801125360|12400|12480|t 2600 12453/12767 1260512524/1236211228112726|12483 1302612648 12607128931285212525|1309712729 12813/131831132241293612977 126891273013100 12772132671297813143/1285413019/1334913225 1327213398'13482/113524|[13608/1365013734.13860 |13696113824/1412513952|1425111408013738/13866 14296139101386714167/1412413781/1438113995 140831144711451414212142551395313996 14384. 14736143441451814605|1477914213/438714648 14476115003 1491514871/1478314739/1465114519 1456414696 1478414828/14916/149601504 I5180 15636152321538715501|1545615097/.1572512 532r 15513/158191586415548,15593/52771532215728' 156861586815059|16141/11554915731|16004. 160541614616 192|16284/163301642216560 16520 16847116660/698'7/1680016426:16566 1782316992/17181/16850/:7039 1741717275 EvaeTIParCrL7GOSUTIOGTI7S16 742317279 17763181991800517908177141176171815017859 18496/1805618007/18349/(8300|1790918593/18155 1820418795184501864718302/184991889318745 18g96(1185501874818847,19045|r8401/2859918896 18800/1895019050/19100/19200|19250/19350(19500 19255/1970719505|19404(19202|l1o9101(11965619555 Ys itii rin pre oA e cb ga Cr UU Ro - |[19712/2032719968'20173/1 98142 UMOPEATe UNT ] Iui- I5916 16580 16756 17232 20536/20072/2027820381/205571991720123|20430 208032127521065209602075020645/21222/20907 21333/218112186421492 215452117521226]21704 21816224632235522301221932213922031]21869 exenaoxiaud sss 24822356224.10/2251£$£|22680 [246822632230 1522796/23179 229602252: |232362274222687230712301622577/23345122851 23514 23125/231853/22797/22852. bist 128768 29511 29387 29325 2920129139 29015 28829 29453|30915129765296402939C|2926520952]29577 ]29716|29704:30143/2989230331|3008c/295:78/29766 130083|3065 1,50714.30272/30335|29893/:29956|305 24. 31036|39464/30718/30845|31099]30273.30527]30908 31563|31943|31685|31556:31298|31169/31878|3 1491 $1428|31622/32075,:31816/32269|3201c|31492.31686 ipoaads229922542m u209223v28 't3294 99292208 Diui- DE NVMERIS PRIMIS. Diuifores xr | 7 — p TM id 19 983 |32996|32406|32 32668, 3279983061 3220932471 32864. 991 32736/3293433066|3313233264/33330533462|33660 997 133333/33931/335665/33532/33266|33133/33864|3346 5 |,3009 33936/34743|34272/34541/34070/34339]3 49877134675 Problema. Tabulam numerorum primorum quousque libue- rit continuare, quae fimul omnium numerorum non primorum diuifores minimos exhibeat. Solutio Ante omnia in fingulis paginis quotquot erit opus lineae illae tam "verticales quam horizontales quae in pagina hic annexa cernuntur, erunt du- cendae; Qui labor, cum per fe effet immenfüs, eum commodifime. in typographia exíequi licebit ; vbi Omnes paginae talibus retibus fignatae breui temporis fpatio excudi poterunt. Quin etiam; cum fingulae pa- ginae in fuprema linea horizontali octo noftra. refi- QUà I, 7, II, 18, 17, 19, 25, 29 referant, ea flatim in omnibus paginis fimul typo exprimi con.. veniet. . Deinde quia primae «columnae verticales quotos 4 ordine numerorum naturali procedentes com- ple&untur eorumque quinquaginta fingulis paginis in-, feri debeut, horum numercrum binae poftremae notae etiam in typographia adiungi poterunt; dum alter- natim numeri OO, OI, O2, O3, O4, O5 vsque ad 49, tum vero 50, 51, 52, 53 etc. vsque ad 99 in Tom. XIX. Nou. Comm. Z ^. hie 178 DE NVMERIS PRIMIS. his primis columnis repraefentuntur , quibus dein- ceps centuriae feu notae praecedentes facili negotio calamo praefiguntur; vbi quidem fufficiet, hoc in fó- lo füpremo loco notaffe. Quibus praeparatis finguli diufores primi *7, 1r, 13, 17 etc. ordine areolis fuis per omnes pagiuas infcribantur. A feptenario igitur erit incipiendum, qui, cum in prima columna rcfiuuum referente primum quoto 4—53 adícribi - debeat , íequ.ntes quoti continuo feptenario augendi pariter numero 7 defignari debebunt , qui labor fa- cile per omaes fequeates tabulas continuabitur ; fi- milique modo pro reliquis 1r, r3, 17 etc. hoc opus abfolucetur. Deinde eodem modo diuifor rr per omnes paginas pro fingulis refiduis areolis debi- tis infcribatur, fi quidem adhuc erunt vacuae ; tum veto pari modo negotium pro omnibus fequentibus diuiforibus primis inftituatur; fcilicet fi ad diuiforem quemcunque primum qui fit D fuerit peruentum , pro eo tabula praecedens generalis minimos praebet: quotos. 4 , fingulis octo refiduis 7 refpondentes ; qui- bus. notatis in fingulis columnis eae areolae hoc di- vifore D fignentur, quae refpondebunt quotis 4 -- D, 42D, 2--3D, 4c 4 D etc, donec. ad. finem perueniatur; vbi autem ifte diuifor D primum in his tabulis occurret, omnes areolae praecedentes figno numerorum primcrum $ impleantur: ita fi hae ta- bulae non. vltra vnum millionem extendi debeant, vltimus diuifor primus erit 997 et vltimus quotus q— 353353; ficque totum hoc negotium ad finem erit perductum, Tum igitur fi numerus quicunque ! M. mil- * DE NVMERIS PRIMIS. 179 M millionem non füperans examinandus proponatur, is per 30 diuifus praebeat quotum —4 et refiduum —r; quibus binis valoribus in tabula quaeratur areo- la refpondens, et numerus ibi fignatus oftendet mi- nimum diuiforem iftius numeri: fin autem inu ea areola reperiatur littera p, id erit fignum, propofitum numerum M. effe primum. Quo autem hoc opus, quod vtique multum temporis poftularet, fi ab vna perfona abfolui deberet, facilius exfequi liceat , totum laborem plures períonae commode inter fe partiri poterunt, dum quilibet cer- tum penfüm abíoluendum fufcipiet. Ita cum hae tabulae , fi quidem ad vnum millionem fint exten- dendae, vsque ad quotum 4 — 33400 continuari de- beant, totus labor in feptem penía diflribui poterit , quorum primum 3 4— o vsque ad 5oooc,fecundum ab hoc termino vsque ad 4 — rooOo, tertium ab hoc vsque ad 4 — 15000, quartum ab hoc termino vsque ad 4 — 20000, quintum ab hoc vsque ad q — 25000, íextum ab hoc termino vsque ad qg — 50000 et feptimum ab hoc termino vsque ad finem porrigetur. Hoc pacto, quia fingulae paginae quinquaginta valores ipfius 7 complectuntur , in quoli- bet penfo habebuntur centum paginae adimplendae. - ' — Pofteriora quidem: penfa continuo: plus. laboris requirent: quia. in ijs plures diuifores occurrunt. Quo hoc- clarius appareat, ponamus penfum aliquod in- cipere a valore 4 — A, et quia femper a. diuiforibus minimis. ordine: procedi: opportet, pro quolibet. diui-- ! Z2 fore 130 — — DE NVMERIS PRIMIS. fore D ante omnia quaeratur eius. multiplum | pro- xime minus quam A, quod fit z; D; tum iftud mul- tiplum zz D addatur ad valores omnes ipíus 4 in noftra tabula diuifori D refpondentes, Sicque habe- buntur totidem areolae quibus ifte diuifor primus D erit infcribendus ; fequentes autem areolae facillime obtinentur ; dum illi primi valores ipfius q coónti— nuo ipfo diuifore D augentur. Harum regularum ope duas vltimas paginas huiusmodi tabularum ex- pediuimus, quae valores ipfius 4 a termino 33300 vsque ad 33400 comple&untur. Scholion. Quanquam ope tabulae noftrae auxiliaris omnes diuifores primi haud difficulter in tabulam numero- rorum primorum inferuntur: tamen, quando iam ad diuifores primos maiores füerit peruentum, etiam alio modo eorum infertio in hanc tabulam perfici pote- rit; id quod imprimis pro diuiforibus maximis labo- rem mirifice diminuit. Sit enim A diuifor quicun- que primus maior quam roo, qui,quia primum ii- fcribitur areolae numero A A refpondenti , deinceps tantum pro huiusmodi productis A B locum inue- niet, vbi alter factor B. dum ipfe maior quam A nullum habet diuiforem ipfo numero À minorem. Quare cum A 7 1oo, numerus B non maior erit quam 10000; vnde, nifi is fuerit primus, diuiforem habebit centenario minorem, qui ergo tabulae in(cribi deberet non autem numerus A; quam ob rem ifte diuifor A tum tantum erit inícribendus, quando fac- . tor Pro fing. areolis ini Orr | ors | i9 |] r9 67 |397| *7 | 183 | 23 | 29 b |4653| D II |337 7 II 7T |.P P. 4T 1p Li IUS idrI o [277] P |4ro] b Far. | p [.7]18. [23 |453] P | P |19| P p 53 b 7 II I3I b b 7 109.|809| 17 lava ud "s 1394.5 ] 7 |467| 7.| 19 |179| P |?3. | | &x|59 | 29 |409| f | (25259 1 7 b 7 p Ad pag. 180. dZEESZESESESECESENENE:) BLUR IECUR o] PEETTEGOR CC 33300] 19 | P | 13 |347 p 7 [ pr 91. Sez adesso SD EESPXSSIU ZEND P 723127, | EX 367^ | b |463| p 337 7 o2| 7 | P |83 [17 | 19 | 29 | | cru p CIA Ied os| Po rr. P 7 (1T. B Te "n 30 gh o4 |r9r |229| 7 Po?9 p o5|| 73 | 82r| S31 ire cre] b T] p z e cgo Pp eese oy ga) 07| 4t p D |S31 |54I o8| 61 |383 | 1t 29 Ti 225 o9| 7 17 23 59 b |381| 4t io|r8r| p | :7 7 | 1r |[641| 13 ii| P |?533| 7 x2|| rr |orr b |3 Di 7 x3) 1897/8 7 EDS EE ESSE Eur NUN EE7/S E DS esr i18 15| p | 19 |5 7 3 o 16| p 17|23 |281] ? | 7 r8| p |193 7 p 9| t9 | 199 | 153 20|29 | 7 I! b 21 b 59 |149 | 47 | 22|| I3 P P |479| 7 |163 37 ET b 23 24 25 31 II 3] 26 J 5 b 27/487 28| 67 |467| 37 | P |1909| 7 P |13 h p J b p 17 II 29 3o 32 3r 7 13 II b P 19 55 sr) pes ja d E pfo desi : 34 C en ep cg BH eig fe eee Tree dee dea T e mr d e iori fro n pes Jg pour Jp o D |3183 | !r Tu eget Loto e eA Pe R62 y 88] 19 |37 | 5 | 7 |617| pP 58 | P Bg penser. u$. D. enl. p. [Mp 49|| 23 | 13 p D |ag9 | xx 7l 17 67 p p p 45| 1313 |» |97 | 7 | P | 19 | 11 46| P |j181 ^7 | 2 P 7| P. P |. TW 47/1269/11 |907| ? | P | P. 7 |t | l 18 | 7 |563 | D | P |178 | 8* od "y 29 | |49 lix |311' 7 513 /523 P" pev a T^g o am URI Y- 9] 2f zm ** . DE NVMERIS PRIMIS. rfi tor B fuerit numerus prímus. -Hinc igitur propofito - huiusmodi diuifore primo A, pro B excerpantur ex noftra tabula omnes numeri primi maiores quam A, eo vsque, donec productum A B füperet vnum mil- lionem ; hisque omnibus produ&is in tabula noftra infcribi debebit numerus A, vtpote minimus eorumdi- uifor primus. Quo autem haec operatio facilius ad for- mam no(ítram numerorum generalem 304--f reuocari poífüt , ponamus effe A—5302-1-a et B—530o2-1- 6, et quia produ&um erit 50 40--3025-305a--«6, ^vbi fit « 6 — 50 X -1-.y , hoc productum in forma 304 Fr contincbitur, füumendo 4— 3025 -- a6 g-ba-- x et r— Jy, confequenter areolae huic formae refpon- denti infcribi debebit diuifor primus A; quod quo exemplo illuftremus , proponatur numerus A — 9o et excerpantur ex nofítra tabula psne pro B fe- quentes numeri primi B B B 300) z168,340 10/550 — i 3o 19 |33 7 135 I1 3o 29 |38 I9 |35 I3 3I 7 |33 28 |35 19 31 11/933 29 |56 7 kB: £7.94 t. 1 [56 II 31 25 |54. II |36 13 32 7|34 13 56 17 32 II |i4 I9 |36 33 3590817 36029 [36 29 82/25 Pro fingulis igitur productis hinc natis diuifor 907 arcolis infcribi debet, 4g Scho- 182 DE NVMERIS PRIMIS. Scholion. Ex binis poftremis tabulis iam omnes nume- ri inter limites 999000 et 1002000 examinari poffunt, vtrum fint primi nec ne: et cafu pofterio- re fimul eorem diuifores minimi innotefcunt — Pa- tet igitur, intra hoc interuallum omnino 228 nu- meros primos contineri, ex quibus eos , qui vnum millionem füperant operae pretium erit hic exhi- bere , quandoquidem alia via nondum patet ; tam ingentes numeros primos affignandi, Numeri primi vno millione maiores. 1000003 1000009 1000033 1000037 1000039 JyOOOOS8I I000099 I1OOOII7 XOOOI2I 10001533 IOOOISI 1000159 1000169 XOOOIT7I 10001835 1000187 1000193 1000199 IO00429 10004583 IOOO0457 IO000507 1000537 IOO054I 1000547 I000577 1000579 IO000589 IoOco609 1000619 IOOOÓ2I I000633 1000639 IOOOÓ51 100066757 1000669 1000999 IO0O01005 IOOIOI7 1001023 IOO1027 IOOIO4I IOOIOÓ9 IOOIO87 1001089 1001093 I2OIIO7 1001125 IOOIIA4I I001153 IOOI159 IOOII73 IOOIIT77 "qIOOQI Igi IO01467 IOOI49I IOOISOI I001519 IOOIS27 IOOI^53I 1001549 IOOIS55I rOOoI1563 IOO1569 1001587 IOOIS9I 1001593 ICOIÓ2I 1001629 I001639 I001659 1001669 1900215 100O02II . , 1000213 - 4 1000251 1000249 1000253 1000261 1000273 1000289 1000?9gI 1020505 1000513 1000553 1000357 1020567 1000579 I000381 10005393 1000397 1000403 1000409 I000425 1000427 DE NVMERIS PRIMIS. I000679 1000691 100c0697 I00072I 1000723 1000763 I000777 1000793 ; I000801 1000829 1000847 IO00849 100c859 1000889 1000907 | IO009l9 1000921 1000931 1000969 1002973 I000$61. IOOII97 IOOI219 1001257 IOOI267 1001279 IOO0I29I 1001303 IOOIS$II IOOlS39?1 r00Y3?3 1001527 10015347 IOO1353 IOOI$369 10013651 10015387 1001589 -IOOIA40! ICOOI4II IOOI451 ,IOOI4X47 ||I000981/;| 1001459 IOOIÓ83 1Cc1687 rOor7143 |IO001725 1001743 1001785 1001797 |IOOISOI 1001807 1001809 Io0182I 100185I IOO1839 IOOI9O9 IOOIQ9II 1001933 IOOI94I IOO01947 1001953 1001977 1OOI98I IOO1983 ,1001989. 1853 DE 184 eS ( o ) See "T3 E RESOLVTIONE POLYGONORVM RECTILINEORVM. DISSERTATIO PRIMA. Auctore AND. IOH. LEXELL. I. (^^ 4 multo inde tempore quae ad refolutionem triangulorum pertinent , a Geometris dilucide fuerint expofita ; mirari omnino conuenit , cur non vlterius progreffi funt ad refolutionem nimirum qua- drilaterorum et reliquorum Polygonorum. — Quod autem communi doctrina Trigonometriae contenti , refolutionem caeterorum Polygonorum. non fuícepe- rint, id ea imprimis de cauffa fictum effe arbitror, quod refolutio vniuscuiusque Polygoni ad ^ Trigono- metriae regulas reuocari poflit , Polygonum iftud in triangula ope diagonalium refoluendo. — Quamuis autem haec refolutio ab iis, qui principiis Trigono- metriae probe imbuti funt, facili negotio abfoluatur, tamen ad promotionem fcientiae pertinere cenfen- dum eft, íi regulae tradantur pro huiusmodi reío- lutione generales et a praeceptis Trigonometriae in- dependentes , quam ob rationem multum laudandum efle exiftimo confilium Cel. Lamberi qui primus quantum DE RESOL. POLYGON;;RECTILINEOR, :55 quapvtum conflat, in libro qui-infcrieitur.: -3*eptráge- gur. Statfematit 1I. &cil.,, ideam. exhibuit; Tetragono- metriae (cu.-do&rinae de, refolutione .quadrilaterorum rectilineorum ,. quam. deinceps laudabili induítria ex- fecutam, effe vidimus a Cl. Iobamme Tob. Mayero iu Differtatione quadam | Geometrica , Góttingae | anno proxime praeterito , euulgata. — Interim. tamen. diffi- teri non poffum ,. quin. refolutio Pentagonorum.. vel: Polygonorum plurium, adhuc laterum fi, eodem mo-, do perficeretur , operofos, et difufos valde requireret; labores. , quapropter qui huiusmodi, refolutionem | fu fcipere vult, de eo praeprimis follicitus effe, debet , vt.totam. banc, doctrioam, ad ,priucipia: pauciffima, et (ua dpalieiete maxime. conípicua. reuocare .queat. ^ . Reíolutio autem, Polygonorum duplici mode fufcipi puirn in quouis enim: Polygono, practer eas partes , quae ad ipfüm. eius circuitum. pertinent; ane, gulos et latera quibus includi itur , confiderari quo- que poffunt, lineae diagonales per. quas Polygonum. iftud in triangula refoluitur , nec rou. anguli ,.. quos hae lineae diagonales cum. ipfis: lateribus Polygoni conflituunt. Quare polygonorum refolutio . vel... ita infructur, vt tantum ad partes eius principales , an- gulos nimirum, et. latera ipfius, circuitum, conftituen- tia adtendatur , vel etiam. in hac. reíolutione ;.confi- deratio non modo partium iflarum principalium | fed linearum. quoque. diagonalium.,, et angulorum. inter has. diagonales et latera, polygoni ,,; adhiberi poterit, Facile, autem li ;uet ob multiplicem ..combinationem diagonalium et..an2 julorum.. ad ápfas. pertinentium. ,Lom. XIX. Nou. Comm "9 5 Aa tam 186 DE RESOLVTIONE tam inter fe; quam cum partibus principalibus Po- lygoni, pofteriorem iftum refolutionis modum val- de lite patere et pro modico fatis numero laterum Polygoni, folutiones numero plurimas fuppelitare , quas omnes qui recenfere voluerit, taediofum non mious quam diffufum fufciperet laborem. De prio- ri vero refolutionis fpecie , qua partes circuitum Po- lygoni includentes , folum confiderantur , ex infra dicendis patebit , eam pro vnoquoque Polygono ad totidem. reuocari pofle aequationes, quot lateribus ipfum. Polygonum conítat, hasque aequationes ope duorum Theorematum aeque elegantium ac late parentium: facili negotio elici poffe; quo ipfo prae- fito iure meritoque contendere. licet ,. refolutionem Polygoni quotcunque demum füerit laterum ad dif- ficiliores operationes Analyticas non perducere, quam quibus. ipfa Trianguli refolutio abfoluitur. Praemis- fis etenim binis his "Theorematibus generalibus, quae pro omnibus Polygonis aeque valent, per debitam eorum inter fe combinationem , omnes inuenientur gequationes , quas haec refolutionis fpecies requirit ,. ficque pro Tetragono quatuor omnino huiusmodi aequationes. inuenientur, pro Pentagono quinque; pro Hexagono fex et in genere pro Polygono numero laterum exiftente — 7, aequationes quoque numero 5 clicientur. — Haec ipía autem in fequentibus vbe- rius explicabimus, dum hifce Theorematibus demon- flratis, oftenderimus. quomodo ifia eorum combina- tio inftitui debeat per quam acquationes ad vnum- quodque Polygonum pertinentes eliciuntur, nec noa ! quo- POLYGONORVM RECTILINEORVM. 184 quomodo ope barum aequationum , omnes folutio- num cafus facile expediri poffunt. 5. Theoremata igitur ifla fundamenti loco fübfternenda , ita habentur expreffa : S; polygoni recilnei anguli externi dicantur a, Q, e, 9, €. et latera ipfis interiacentia refpetliue de- fünentur per a, b, c, d, e... erit: I. afin.a4-5fin.(64-)2-c(in.(&---4-7y )H- 4Gn.(a-- G4-y 4-5)... . JL Gn.(a--Q-4-y... 4: X)Izo IL acofa- Pcof. (a4 8)*-ecof (a-- Q--y)-dcof. (a Q -^y--3)... 4 /cof («4 8 i-y.. -—0. Demonftratio. . Repraefentet figura rectilinea ABCDEFG Heptagonum et productis lateribus C B, D C, D E, EF dum lateri A G produ&o occurrant in H, I, M, O ; liquet effe angulum BAH— e; HBA—; ICH—y; LDI—6; MEO—:; OFG-—2; EGO "15 tumque latera AB, BC, CD, DE, E F, FG refpe&iue indigitari litteris a, b, c, d, e, f, g. Tum vero habebitur: ang. CHK—BAH--HDA-—a-4 8 | DIK-—CHK-rICH-a-c84-v 560—-DMN-LDI-4DIK-—a-(-ry4$ 360 - EOM —360 -DMN-4-OEM—a4 (8 4-*y4à € 360 —F G Oc 360 - EOM OF G-e4 Q4 y494 616 360 —a ry F9 r6 Aa2 lam "Tab. T. Fig. 2. 188: " DE RESOLVTIONE . Iam fi ex pun&is B, C, D, E, F ia AG perpen- diculares ducantur Ba; C», DA.Ei, F g. et .ex.- puoéis. D, C, E, EF ipfi AG parallelae quae rectae D/ in J£, c, e, f occurrant , fiet bL-cbAJha.D ACH n. bc —BC.fia. CB5— BC.fia. CHK —2fia.(a 4- G) Dc—CD.fin. DCc— CD. ün.DI Kc fin (e 4) - De-DE.ün DEezDE.fin. DMN—-— fin. (at 4-2) ef — EF. fin. E F f—EF.(in, EO M—-— efin.(a -- Q 4 *y- 0-16) [1 —EG.fin.F GO— —fün.(a4- G4 "y--9 Fe 4 2). Quum igitur fit; ^ lb bete Deef-fixo, erit quoque. « fin. at bn. (ar 8)--c fin. (a4 Gy 44 6n. (c 4 8- y 8) e fin.(G-- ^y 4-8 42) Tf fin. (ar Py -93612)—9, cui aequationi fi placet adiici poterit terminus... -.& n.(e 4- (y HL E He quippe qui per fe eudaefcit , exiítente & c (84-79 2-6 B Wok ue | Porro. habebimus quoque Aa—BA.cofBAH-2cof.a ab —BC.co. C Bc ——BC.co. C HK —- £. te bI —CE.co(LDCecez-—-CD.cof,. C I K —— c. cof(a EQ y) li -DE.co. DEe ——DE.co DMN-— —4.cof. (a3- B-4- y 49) ig —EF.cot EF f —-— E F. cot EO N—-e.cof (a--Q tyr 4-6, G g — FG.cot. F GO— fcof. (a 4- 8 *y 4-8 464-2) denique ; AG—g—get rf "rre ey * Verum POLYGONORVM RECTILINEORVM. :89 Verum enim vero eft Aa-ab—bl—li—-ig-4-Gg--AG-a fiet igitar harüim linearum valoribus introludis —— 'acof a 4-bcof (a F8) --c cof (a4-8 y Ed cof («* G ^y 1:5)... Ecol (44-B Y :--- 6r )—0. Demon(üratio haec noftra licet Hepiagono folum fir adcommodata , tameh facile con(tat , demo iftratio- nem eoiem modo adornuri poffe, quodcuaque pro- poütum fuerit Polygonum , ita vt in genere ftatue- re liceat, pro quocunque Polyaono cu:us augult ex- terni funt, &, G, y, 9 .... A et latera ipfis inter- ficentia 25; b, €, d. ... 7, etfe I..a (n.a fin (a«- G)4-« fin.(a4- g4- y)... -- Jin. (a4 y... 3 -N)—0 II. acof.a4-b cof.(a- )--c cof (a-F 4-7y) I cof e Qry s )— 9. Iaterim haud fuperuacaneum erit aliam. adhuc ad- iungere demonítritionem , quae pro numero laterum Polygoni quocunque valet, Demonftratio Il. 4. Huius demotlfirationis vis in eo confiftet , vt probemus Theoremata noftra veritati effe. confen- t2nea . pro. Polygono. quocünque numero laterum ^-- 1, fi generaliter. vera. fint pro quocunque: Po /.lygono numero laterum 5,.fic-enim veritas horum 'heorematum pro Polygono quotcüaque laterum - ri- te fibi couflabit, modo pro Triangulo iuconcufla Tab. L ,, maneat. Propofitum | itaque. fit Polygonum A B.C Fig. 3 —.]13EE GH numero laterum 7 -- z, et ducta diago- | A43 nali 190 DE RESOLVTIONE nal FH per quam triangulum GFH refecatur, oftendemus propofíitiones fupra allatas locum habere pro Pelypgono ABCDEFGH, fi vera. fueriat po Polygono A BC DEFEFH «et pro triangulo FGH. Hunc in fiaem producta concipiantur latera Polygoni EF, FG, AH et diagona'is H F, tum- -que dicantur pro Polygooo ABCDEFH anguli cof.(a-- 4- y... fi n.(a-- y... cof. (2-1 g4-y- fin. (a-- Q4-*y . externi & Biy,V/naX UE EEKEIIOCEHMM et latera eiusdem Polygoni 4, b c, d....], mHF,mn-AH. Pro Polygono auttm ABCDEFGH fint. anguli. externi &; B, y,9 ....3; J/—KFG, 7—LGH,/—GHM latera vero a, b,0)d NTIyuW — EG p—GH;w-:m Porro fi dicatur angulus IFG— b, fiet. 180 — — pk. — p/ ex quo colligitur g/— jk 4- Q 4- 180*, hinc vero obtinebimus . Jp )——cof. Qcof.(a-p (8-4 -^y.... --p.)3-fin.(D fin. (a-4-(94- y... X) Ep IHH-T)—-— cof. (D 4- 7)cof. (a 4- Q 4- y. . . -- .) 4r fin. (D 4- 7) fin. (& 4- Q 4- y... -- c gh 4p m)—-— cof (D 4-7) in. (à 4- 9 4- y... M) — fin. (QD -- 2)cof. (a 4- Q 4-*y.. .-- 9)- Ex quibus valoribus colligimus m cof. (o-4- (84 -*y -. . M )H- cof. (a-- Q--"y .. . - p." m) — — cof. (a-- ^y .. .-- p) (n! cof. D -- p cof. (D4-m)) -- fin. (e 4»... - &) (ui fin.D--pfin.(Q4-7)) ; n! (in. 4 pJ))—-—cot.Q in. (a-- 84-y...-- 9) - fin (Pfin. (a4 ny... p.) POLYGONORVM RECTILINEORVM. 191: ul Gn. (aA-(--y . . M!) - p fia. (e ry." I] 4-0) — —fin.(a-F Bay . . . ry.) Gn'cof- D--pcof- ((D4-m))—cof.(a-F 4-"y . .. i) (m'Go.C-- pin. )). At pro triangulo G F H eft m'cof.D--pcof.(D--m)——m et mlün.D-pfin.(D--0)—0 quas propofitiones heic ceu cx Elementis cognitas affümerc licet , fiet igitur m'cof.(a--G 4 *y...- y! )-pcot (at B-4-"y..-- i - m) cof (at G4- Y i) et Amin. (a4- y... )-pcof(a-k-94- y... H- m) — mn (any. -)- - Dum igitur habetur pro Polypgono ABCDEFH ain.a--Pfin (a4 )--cfin (a--Q4-*y). -. min. (4-4 ... .- 0 acof. a bcof.(a. 8)--ecof.(a--4-^y ). . -.. cof. (a - Q-4-*y . . 24-0 | erit itidem pro Polypgono ABCDEFGH a fin.a-F bfin. (e. - 8) 4- c fin. (a 4- G - *y) ... 4- m' Gin. (&4- 4- ty... p.) | 4- f fin. (a4 Q4-vy...-- 4-0) —0 'acof. a -- bcof (a- 8) 4- e cof. (a. 4- 8 - y). .. -- m'cof. (a 4 Q4-vy... p^) | Vn | -Fpcof (a Q ny... -- i 4-0) 4-0 | vbi quidem in priori aequatione adiici poterit ter- |: minus T nfin.(a-F y... - JI 3-7 - ») et in pofleriori, loco s fcribi | ncof.(a.-3 Q4-"y...-- p. À-7--9).. | Binc itaque perfpicitur aequationes ^nofiras locum inuenturas pro Polygono numero laterum -- 1 i | fi generaliter valeant pro Polygono numero late- | Tum 7 et pro triangulo. ^ Nullum autem eft du- bium , quis pro triangulo feu fimplicifüma figura | Xeilinea verae fint, oportet igitur eas fimiliter pro | quadri- "Tab. I. Fig. 4. n, I. xoa DE REROLVTIONE ^ quadrilatero ; Lhincque pro Pentagono, tumque Hexa- g£ono, immo in genere Polygono quotcunque laterum petíecte veras efle. 5. Quum per figuram. re&ilineam ' in genere intelligatur fpatium lineis rectis vndiquaque termi natum , quaeritur merito an .no(tra TTheoremata .et- iim valeant pro iis figuris rectilineis, ia quibus anguli externi occurrunt , qui binos ángulos rectos exfuperant , quos 'igitur gibéor feu conuexos adpel- laré-: licebit, | Scilicet. ex... demouftrationibus. allatis , jam quidem perfpicue intelligitur ,. pro .Polygonis quae in Geometria praeprimis | conficeruri folent, quorum omnes anguli externi funt comcagi feu duo: bus redis minores, haec Theoremata perfe&e vale- re, vtrüm- Vero aeque 'fcliciter adplicari. poffint ad Polygona' in quibus -"angnli externi conuexi Occur-. runt, res bondum: ad liquidum perducta effe vide- tur. Vt autem conflet etiam pro huiusmedi. Poly- .... gonis. veritatem noftrorum Theorematum indubiam manere , «a(us .nonnullos fimpliciores huiusmodi Po- lygonorum *contemplabimur. XConfideremus Igitur quadrilaterum A B C D, cuius. a»gulus internus ACD eft gibbus fen duobus re&is maior, in hoc autem quadrilatero fi productis lateribus: A B, B C, A D, litterae &, Q; yy; 9 adhibcantur ad mom defignandos angulos: a—2aAB; g—bPBC; y - sseterens 3—4DC latera autem A B, BC, CD, DA refpectiue expri- mantur litteris 4 b, c, d, patebit, omnino. cffe « fin. ^ POLYGONORVM RECTILINEORVM. 19$ & in.a--5 fin.(a--)4-e in.(e-1 B. V^) H2 io (o - 4) 4-8) —0 et a cof.a--bcof.(a4 (3)4-e col. (a-I-B t y )H-d cof: (a-- (4-9 )—0. ld igitur heic tantum probandum relinquitur , pro angulo externo ex binis lateribus B C, C D formato non fumi debere angulum D C e, fed eius comple- mentum ad 360', id quod íequenti modo perfpi- "cuum reddetur. Concipiamus per punctum A ductas efie lineas Aa, A Q, A*y quae cum data reca M A N angulos conftituunt aequales iis, quos A B, BC, CD produdae fi opus fit, faciunt cum recta A D, vbi quidem obíeruare conuenit , vt quae li- neae A B refpettu A D furfum tendenti, ducitur parallela Aa, füpra lineam M A N cadat , quae Yero lineis B C, C D deorfum tendentibus aguntur pirallelae A G, A^ infra. lineam. M A N cadere debeant. ^ Hoc facto generatio angulorum externo- rum pro quadrilatero A BC D commode explicari poteft per motum rotatorium recae A M circa pun- &um A, primus fcilicet angulus externus «—2AB generabitur, dum A M in fitum A «4 peruenerit, deinde angulus externus Q — 5 B C orietur quando .- A a fitum A (8 occupauerit, exiftente / B C — aA, porro anaeulus yy producctur dum A Q in eundem fenfum rotando in fitum A ^y perduca fuerit et de- nique angulus 9 habebitur, quando reca A "y rotan- do primitiuum locum: A.M occupauerit. — Naturae vero rei conueniens.,eft ,.. vt. hanc rotationem feu fitus mutationem íüpponamus in eundem femper fieri íenfüm , quo fuppofito omnino liquet effe. angulum My —8gAMGA-180-- NA y — 360 —(Q A y. .« "Lom. X1X. Nou, Comin, . Bb Iro "Tab. I. Fig. 4. D, PI 194. DE RESOLVTIONE Pro quadrilatero vero ithoc A BC D, notare con- venit fümmam omnium angulorum externorum non quatuor angulis rectis, íed duplo eorum aequari, eft eoim a-r --yA-9 MA CuMG--BAM- MA A-yAM, quare quum MAae-4-«AQ8-2-GAM— 560' itemque 'Tab. I. Fig. 5. n. I4 MAy--yvYAMc-zs6o, patet omnino effe & -- Q -- y 4-9 — 8. 360". 6. Conufideremus quoque quadrilaterum A B CD cuius bina latera A B, CD £e decuffant in punco E, productis autem lateribus AD, AB, BC fi à, Q, *y, 9 adhibeantur ad fequentes angulos ex- primendos : a—aAB; 8-360 —bBC; y—360"— CD et 9—CD4, fiet iterum afia.a-t5fin.(c-4-)2-cfin.(a4-(9--*y)3-d Gin. (4-8 (vH tumque &cof.a--bcof. o 9)--ecof. ober pudeat (ex B--ny43)o, quarum aequationum demonftrationes heic adponere nihil attinet; quum earum ratio ex praecedentibus facile iutelligatur. Quod vero pro angulis externis quos lineae A D, B C itemque. BC, CD inter. fe faciunt, »mon fumi debeant anguli 5 BC et c C D, fed eorum: comiplementa ad. quatuor rectos, fimili Indo ac fupra explicari poteft. Duca fcilicet li- Ü dU. nea i POLYGONORVM RECTILINEORVM. tos nea fécta M N per punc&um eius: A ducantur lineae Fig. s. Ad A(, A'y quae cum M N angulos conftituunt ?* 2 re(pectinié aequales iis, quos A B,^C D ct B.C pro- ductae. cum. re&a A D faciunt; vbi quidem de fitu. linearum A:a, A 8; Ay obferuàndum , quod | A & ad partem füperiorem ipfius M A N cadat, dum AB refpectu A D furfum tendit, A 9 vero et Ay deorfum teuüdent, quia BC, C Ind dücun- tur Tum vero intelligitur «n a—a4AB-—MAo; B—36o'— CBE—sAN4-NAg qy—36o0 —CDZ8AM4-180 4-NAÀ y. et ÓZCDZ-y AM ita vt omnino fit pr. —MAcF2AN--NAGTGAM --180 --NA yy AM Qüac autem nunc de quadrilateris monuimus , eo- dem tenore quoque demon(trantur de figuris quiu- que, fex et plurium laterum , modo ifte fenfus vo- ci anguli externi tribuatur , quem eidem tribuendum eff: iam oflendimus; hocque obferuato nullum eft dubium Theoremata noftra gencraliter vera effe pro omnibus figuris rectilineis. Notare autem heic con- veuit, fummam omnium angulorum externorum in figuara quacunque re&ilinea aequalem effe vel qua- tuor angulis reis, vel multiplo cuidam quatuor angulorum rectorum. ^ Et quidem pro dato numero 2? laterum Polygoni , obferuauimus iftud multiplum quatuor angulorum rectorum, cui anguli ext-rni &equantur, vsque ad numerum 7 -— 2 increícere , eum vero exfuperare non pofle, ficque pro triangu- Bb2 lo mcd. 360". "Tab. I. Fig. 3. Rn- xoG6 ^|. . DE RESOLVTIONE lo. valor angulorum externorum erit 360', pro Tetra- gono vel 860, vel 2. 360, ;pro Pentagono vel- 360", vel. 2. 560^, vel 3. 560" et ficin caeteris. Huius au- tem dicti veritatern rigorofa demonftratione heic fir- mam reddere , ad inftitutum: noftrum non pertinet. 7. Pro Polygono regulari. vbi perfecta tam laterum , quam augulorum inter fe obtioet aequali- fis, polito uuincro laterum Polygoni 75 noftrae aec- quationcs in has fequentes abibunt: fin. a -1- fin. a -1- fin. 3 & -- fin.4à... .-1- fin|(n—1)a—o cof, à -1- cof. 2 &-1- cof. 3 & -- cof. 4 &. . .. -4- cof. (—1)a—o. Aliunde autem conílat prioris progref&üonis fümmamt efíc fin.** (in, *—J g fin. macof i (n- 108 See :—— pofteriorisque — € din a e fin. « oportet igitur vtramque hanc expreffionem nihilo aequari , de quo quidem nullum remanet dubium , fi confideremus factorem communem larum expres- fionum fin imfa—fin 180 '—0, ob na — 360. Licet autem vtraque haec expreífio feorfim euane- Ícat, id tamen nihil impedit , quo minus ratio prioris ad pofleriorem cy fit , quippe quae — — Tang. ;a«. 8. Le binis noflris Theorematibus fupra alla- tis, bina quoque alia aliquanto generaliora deduci poffunt. Si nimirum per Polygoni ABCDEFGH puncum 4A ducatur re&a quaecunque O A P' et di- catur angulus B. A O, quem haec reca cuni latere Poly- POLYGONORVM RECTILINEORVM. r935 Polygoni A B conftituit (D, tumque vt ante anguli externi Polygoni litteris, o, Q, y, 0...» lateraque literis a, 2, c, d... defignentur , erit I. Eoo fin.CD--8)--« in. (4-8 -y)4- 4 in. bd». je nn (DF .. .-23-»)—0 II. iecur. Q-rb cof (Q4 8)4-e cof (D4-8-4-y) à-4 cof (D--824- y 2-9). . 4 ncot(D4-4-y . x y)aco, Pro his aequationibus demonftrationes tradi quidem poffent , fimiles ills quibus fupra $. 3 et 4 vfi fumus , vt tameu rem in compendium mittamus , placet haec Theoremata ex binis fupra demonftratis deducere,-quod fic commode fiet. Quia ang. BAN — BAO--NAO, fi dicatur N AOC-— p erit & — (D rw ,ideoqque D —« 4- Vp, heic vero. ad fienorum diuerfitatem attendere nihil attinet , quare fufüciet ftatuiffe (D — c -- «p vti figura allata po- flulat. Quum igitur in genere fit fin. (D-4- 0) — fin.(a -41- e)cof. xp-4- cof. (a -- e fin. Np. et cof, ((D -1- &) — cof (a -1- o) cof. Np — fin. (a 4- «) fin. Vp, liquet priorem iftam exprefhonem - &fin.Q 4-bfin. (D B) cfin. (DA B 4-y)3-26n. (D 4 Gy 2)... Tino oor rb er) in UM refolai cof. xj (a fin.a-k5 in. (a. J- (2)--e fin.(a-: ^y) 3-4 Gin. (a -- B - "y 4-3)... 426n.(a4- B. F Y -- 4-9) t "NT (acof. o. &cof (a-- B)4-e co (a Q -7*y ) 3-7 cof(a--84-y 4-9)... -r- 2cof (a 4- G3 Y -- 99 Bb 5 tuim- 198. DE RESOLVTIONE tumque pofteriorem expreíffionem acof. D 4-5 cof (D--8)- ecot (D4-B4-y) 3- cot (D 1- 84-48)... pncot («4 ay... A8y) in has- refolui cof. N,(a cof.a4-5 cof.(o (3)4-e cof. (a4- Q4-y )4- d cof (a4- 8-- y 4-3)... . -r- ti cof. (& 4- -- "y .. y) fin. AL (afin.a--bfin.(a4 B)4. fin (&--Q4-*y)t-d Gn. (a4 Q3 y4-9)... i -- nn. (& 4- Q 4 y... --- v)). Quare quum vtráque pars ex qua tam prior quam poflerior expreffio componitur, euancfat, omnino - euidenter cognofcimus vtramque banc expreffiorem nihilo aequari. Si Q — o has confcquemur aequa- litates : b in.B-Fefin.(B4-^y Hr dGn.(B 3-3. fin. (B4 4-3. v)—0 et a-rócot B-tecol. (B4 "y )H-dcof.(B-- y 4-9). .-- cot. Q-- ny 0... )—0, quae ex prioribus illis €. 5. allatis. immediate .col- liguntur , modo. loco litterarum e, £, c, d etc. lit- terae b, c, d, e etc. tumque loco litterarum &; B4 'y; 9 etc. litterae Q, y, 9, € etc, fufficiantur. - 9. Diximus füpra per combinationem bino- rum noftrorum Theorematum omiies. iftas acquatio- nes facile inueniri , quae refolutioni vniuscuiusque Polygoni inferuiunt; vt vero ceo clarius quisque perípicere queat, quomodo haec combinatio fit in- flituenda , | eandem aliquot. excmplis illuftrabimus 5 . , Wbi quidem'a fimplicifüimis Polygonorum fpeciebus Tsb. I initium faccre, conducet. Pro triangulo igitur ABC Fig. 6. cuims angui «xterni «AD, 2BC,cCA litteris a; B, POLYGONORVM RECTILINEORV M. 195 «a, (: y et latera AB, BC, CA litteris a, b, c exprimantur , noftra Theoremata binas has fuppedi- tant aequationes : : &(in.a-1-b fin.(a-1-)—0 ; a cof.a-t-b cof. (a-1-8)--c —6. Quum ex pofteriori harum aequationum deducatur € ——4 cof. a — b cof. (« -1- () fümendo vtrinque quadrata obtinebimus: cca cof. a^ -4- "cof. (a-1- B) -1- 2 abcof acof. (o-1-() eft vero per priorem aequationem 4 (in.a -4- & fin. (a-1- Q) 4- 2a b fin. a fin. (a-1- 8) — 0 hincque fiet : i ceez — aco -peabcof.acof(a4- 4-P cof. (a ^—— era fin.a "Lud fin.a fin (ege ied Tiiota eot quia nimirum eft | cof. a cof. (a -4- ) 4- fin. a fin. (a-1- 8) — cof. Q.. Prima igitur aequatio refolutioni trianguli inferuiens iflhaec erit : .l ec—aa-d-bb-- 2abcoft Q. Reliquáe duae fequentes habentur: - IL afin.o-1-Pfin. (2-8) —0; VIT. afin. a—bfin.y—0, quarum fecunda per ipfum Theorema noftrum pri- mum exprimitur , tertia vero ex hoc. Theoremate deducitur in locum ipfius fin. (a -1- Q) fübflituendo — fin.*,,, quippe quum fit y — 360' —a — f. Patet autem has tres aequationes fufficere ad omncs quaefliones refoluendas, quibus ex datis tribus parti- bus 'Tab, Y, Fig. 7. 260 DE RESOLVTIONE bus trianguli, quarta quaecunque inueftiganda eft. Si ex datis tribus lateribus trianguli a, b, c inue(ti- gaudus fit aliquis angulorum , vel fi ex datis duobus lateribus 24, & cum angulo interiacente. fit. quaeren- dum latus oppofitum , vel fi datis duobus lateribus, quorum vnum aagulo dato opponitur , alterum ipfi adiacet, fit quaerendum reliquum latus angulo dato quoque adiacens ; íolutio perficietur ope aequationis noflrae primae. ^ Si vero ex datis duobus iateribus cum angulo intcriascente , fit quaerendus alteruter reliquorum angulorum , vel ex datis duobus lateri- bus cum angulo vni ipforum oppofito , fit quaeren- dus angulus interiacens; quaeftionis refolutio ex ae- quatione /ecuuda |deducecur. Demum fi ex datis duobus lateribus et angulo vni ipforum oppofito , quaerendus fit angulus alteri oppofitus , huic quae- ftioni refoluendae infceruiet aequatio 7evzj2 , quae iti- dem adhiberi poteft pro iíta quaeftione , qua ex an- gulis binis et latere. quodam trianguli , quodpiam reliquorum laterum inuefligandum eft, 1o. Pergamus jam ad confiderandum quadri- laterum , cuius anguli externi à A B, b BC, cC D, 4DA. litteris a, (3, *y, 9 refpectiue defignentur , .lattera vero AD, BC, CD, D A eodem ordinc lit- teris 2, b, c, d iudigitentur, pro ifto igitur quadri- latero noftra Theoremata has fuppeditant aequationes: j ' &fin.a.-1- bfin. («-41- 8)-- cin (a-1- 8-17 y) — 0 , &acof.a-i- bcof. (a. -1- B) 4- eco. (a-41- (-41- y) 1- 4—0. Ex POLYGONORVM RECTILINEORVM. eo: Ex pofteriori harum aequationum: confequimur d— — cof. a — bcof. (a-4- 8)— c cot. (a7 B2 Y); . hinc füumtis quadratis , dd—a' cof.a* 4 /3c-f. 24-8)? 4-2" cof. (a 4» B4")? -- :abcof cof. tn -- )4-2ac cof.orcof, tot 3- y) ep 2bccof.(ac- Beo 28h huic autem aequationi addatur quadratum prioris ae- quationis , quo facto prodibit : dd—4à b --c 4-2 al(cof.acot(a-- )--fin afin.(a4- Q)) - --2 uen a cof.(a-4- 8 4-)-1-fin.a fin.(a-4- 8L) J-2&c(cof.(a- )cof.(a-1-(9-1—y )-- fin. (e). (a-t Bt) Sg Ar -- 2abcof.-1-2accof.( B4 ^y )-- 25e cof. ita vt noflra sequatio prize fit: : | I. dd—4 A- D - c 4- 2abcof 8.4 eaccof (Q^) 4 e becot.y. "Porro ex aequatione noftra pofteriori colligitur d-1-ccof.(o.-1- 8 4- y )——4cof.a—bcof.(a--(9), feu ob. Ft y—360—8 d-i- ccof.ó —— acof a— bcof.(a -41- Q) , | : fumtis igitur quadratis prodibit - dd 4-2 decof.à-pcccol. 9^ —a cof. a^ --b cof (a--8) 4-2 ab cof.a cof. (a4 ), ex prima vero aequatione fit .€c fin 9^— 4^ in. 4-P fin. (e 4-8) 4-24 b i.a fin. (a71- 8), vnde has aequationes addendo colligimus. M. dd-4-2dccof.ó 4-ec— —aa-- 2abcof. Qj -1- bb, quae eft aequatio fecumdz reíolutioni. Tetragoni iníer- - viens Tertia aequatio eft ifta primitiua: --— HL afin.a--bfin. BF D ctieto Gifs vo tb ime 97 | et quaria demum | —. Tom, XIX. Nou.Comm. Cc IV. 202 DE RESOLVTIONE IV. afin.a-- bfin.(a 4- 8) —cfin.6 — o, quae ex priori elicitur loco fiu. (& -L- 8 -1- y) adhi- bendo — fin. à, ob 8 — 36o0' — (a -i- (8 4A- y). Qua. autem ratione ope barum quatuor aequationum omnes quaeftiones ad refolutionem — quadrilateri re- fpe&u angulorum et laterum quibus includitur, per- tinentes, refolui debeant ; iam fufius oftendere prae- termittimus, quia nondum of(lendimus quot et quae- nam huiusmodi quaeftiones refoluendae occurrunt, de quo infra ex inítituto agemus. 1I. Pro Peatagono fequentes binas adipifcimur aequationes : | a in.a-1-5 fia. (a-1- 9)-1-€ fin.(a-1- y )H-d Ga (a -Q ^y 4-3) —o (A) a cof.a-1- 5 cof. /a-4- B)H-c cof (a-1- Q--"y H-d cot (a4 1-9) Xexo, quarum poflerior vel ita exprimatur -—e-cacof a-41-b cof (e.--(9) T cof. (a-4- 8-1 y) d cof. (a4 4 Yt3) (B) vel fic t —e— dco e—acof. a-- b cof. (a--8)4-c cof.(a- -4-y) CC), Ex priore autem dum pro fia.(a -1- G4- y 1-3) füb- flituitur — fin, c£, confequimur dfin.eca fin.a-r- b fin. (a. -- (8) 4- cfin.(2 4-8 - y) (D). eumtis iam quadratis aequationum (B), (C), nec non aequationum (A) (D) additisque quadratis ex (B), (A) et (C), (D) has obtinebimus aequationes : I. eeza b c 4. t 2a5cof.Q4- 2a e cof (Q4-*y M- 2adcot. (G-t-y 8) -- 24e cof.y 4-2 bd cof. (oy 4 9) 4 ecd cot.à IL. ed t 2edcof ea 4b ke 4 24bcot. 4 2accof (y )4-obecof.sy, .'quae j ' POLYGONORVM RECTILINEORV M. 203 quae fünt aequationes fima et fect]da pro refolutio- ne Pentagoni. llenariam quacratorum. euolutionem et reliquas reductiones, quibus ad h:s aequationes pertingimus, beic exponere nibil attinct , quum ha- rum operationum ratio ex praecedentibus fatis in— -telligatur. Reliquae tres aequationcs pro reíolutione Pentagoni fcquentcs habentur: III. afin.a -- 2 ün.(e--8)3-cfin. (a--Q-Ey) 3- din.(a-- B 4-^y -3)zo IV. «(in a-- bn (e-- (9) 4-c fin Co--B4y) — dfin.s— o ^ N.. afin.a-- b fin.(a4-8) —cfin.(Ó Fe) — d fin.ezc o quarum Zeriia eft ipía noflra aequatio primitiua (A), quarta vero ct quinig ex bac deriuantur , fubftituen- do primum pro fia. (a -1- -- y -1- 6), — fin. c cum vero ttiam pro fin. (a -t- Q 4- y), — Gin. (8 2 e), quum nempe fit ! a-1I-4- y 9— 360'—€ et a -- Q4- y —360"—8 - «. 12. Pro Hexagono primitiuae nofílrae acqua- tiones fequentes funt: 4 fin. 4-5 fin. (a 8)2-c fin.(a-- £47) H- d in. (a By 8) -efin.(a4 Q4-y4-8 4-2) — o (A) acof &--bcof.(a--8)4- ecof (24-8 4-)--d cot (a-4- (9: y 9) 4- e cof. (a--H-y-4- 04-6) —— f (B). Prior vero his quoque binis modis exprimatur : a fin.a-Eb fin.(o-- )4-6 fin.(a-4-Q-4-y)-2 fin (24 Q4- 4-3 X-efin.Z (C) afin.a4-b fin.(a- Q)* c (in.(a--4-»y )—4 fin.(e-4-2)4-efin.Z, (E). Pofteriori item binae hae tribuantur formae: 'acof a-L-b cof (14-8) « cof. (a-- "y )H-dcof. (a -4-*y-3)—-ecot:Z-f (D) -acof.a--bcol. CSPPTUISALUP S —-—4dcoí.(e 4) -ecof£ —f (F). Cc 2 Addi- do DE REROLVTIONE .Additis nunc quadratis aequationum (A), CP) ac (O, (D) tumque (E), (F) et fa&a debita reduct:one has tres adipifemur aequationes pro reíolurione Hexagoni : ; I. f —aa c bb-rec-pdd-Fee -F2ab cot.4- 2accof.(Q -y)4- Lado ya S M raaeco t €) 4 25ccof.*y4- 2 bdcof.(^y- 9 )4- 2becof (ny--9 --&)H- 26 dco 3- 2 cecot: (8 4- e) | «2decol e II. ff-- ee 2efcot.á—aa-4- bb--ce4-dd --2ab cof (9--2ac cof: (Q--*y)- ead cof. (Q-t*y 49 ) "25e cofny t 2bdcof. (^y 9)4-2cd cof.à , III. ff --ee-i- dd —aa--bb--c«e | 4 2efcot.Z 4-2fdcof. (5 4-8)-- sedcof.e — --2abcof 8. 2accof. (B--y )Hsibecot "Z Quibus infüper adiungantur hae tres fequentes : IV. afin.a-4- b fin. (& —1- 8) 4- e in. (6 -41- 4- y) A- div. (à 4 —t-y 1-8) -- e fin. (a 4- Q -t- *y 4-9 4-6)— 0, V. afin.o4 b fin.(a4-Q)4-c fin (a4 Q4 y)4- fin. (a G4-*y--3)—efin.Z— 0, Vl. afin. 4b fin.(a-- Q)--c fin.(a4-Q 1-7y)—4 in.(e- Z)—e fin.Z— o. Et his quidem feX aequationibus , quaeftiones de re- folutione Hexagoni , quae noftri nunc funt inftituti perfe&e refolui poffunt. 15. Haec exempla abunde quidem fufficiust , ad oftendendum, qua ratione pro Polygono quotcun- que fuerit latezum , aequationes eidem reíoluendo inferuientes inueftigandae funt et ex íola quidem in- fpectione exemplorum modo allatorum , facile diiu- dicari poterit, quaenam fit forma harum aequatio- num pro quibusuis Polygonis. Sic pro E uu cuius angulos externos ponamus efle, a, Q, y, 0...» et POLYGONORVM RECTILINEORVM. 205 et litera 2, 5, €, d...g, has feptem aequationes nullo negotio confequemur : L gz—aa-r-b54-cc....-- ff -1- 2abcof. B -raaccot(B-4-y r-2adcof(Q E*y--3). ..--2af co((8 A- y... 2) . --2becot.y4-20dcof(y49) -1-2bf col. (y 4-9 ..-1- 4) -1- 2cdcof.à -1- 2cecof.( 4-e)-4- 2ef cot (94-6-1- 4) | --2de cof e-1- 2d f cof. (e4- £)-4- 2e f cof. d AL g2--/f —aa-4-bb...--ee ! ur DM UD eOC: --2ac cof. (O-4-ry). .. 1 - sae cot (81-7 - 9 4-5) Ü -]- 2bc cof.^y A- 26d cof. (^y J5- MSN, (ny-1-9 -1-6) b -1- 2c dcof.ó -4- 2c e cof. (8 -i- e)-24- 2 d e cof.e. III. ££--ff4- ee —AGQua-- bb-4- cc-A- dd "wet2g fco w-2g2cot(u- 4) 2efcof.Z | .-24bcof.(94-24ccof (4-4 2adcoC (By à) -E2be cof. *yA- 2 bd cof. oy--8 )4- 2ed cof.3. IV. à in.a-4-b fin. (a-t- B)-I-c (in. (a-- 84-4. .-- f (in. (a-4- 47 y - i-o "W. afin. a-t-b fin.(a3- 8)-1—c fin. (a-- 84-3... A-efin.(a-4- G. . .2-8— f fin4—o "VI. a(n.a-1-b fio. (a1-).. .—1-4 in.(x-4- 4—y-1-9)—e Gin (q-41-2)— f ia.w—o vir 4 fin. a-i-b fin.(a1-8)-4— fin (a-- 84-*y ) - d fin. (w4-5 4-8) -e fin. (14-4 )— f in.q—0o. Simili vero modo pro Polygonis plurium adhuc la- terüm procedere licet, ita vt practer prolixitatem . .et laborem has aoridpes litteris confignandi , hoc negotium nullam prorfus aliam pariat difficultatem. T meet] Ng E EDEN T e n PE o stud ese S ees " íi mam 14, De aequationibus his nofítris in genere obferüare conuenit , quod illae quas fingula Polygo- ni litera ingrediuntur , fecundae fint dimenfionis , dui ipía quadrata horum laterum inuoluunt; iftae vero aequationes in quibus vnum Polygoni latus de- Van primae funt dimenfionis feu lineares, qua- c 3 propter 2 206 DE RESOLVTIONE i propter refolutio pofteriorum harum aequationum pro faciliori habetur quam illarum | priorum , qua-' tenus nimirum de aliquo latere. Polygoui | inuefli- £ando quaze(lio infütuitur. — Deinde notare quoque juuat , pro numero laterum Polygoni pari , totidem 2equationes vnius. clafüis occuriere ac alterius, nu- merus fcilicct aequationum fingularum dafium di- midium rumerum laterum Polygoni adaequabit; at fi numerus laterum Polygoni fit impar, aequatio- nes lineares vna plures habentur, quam aequationes fecundae dimenfionis, omnium fícilicet numero , nu- merum laterum Polygoni exaequante, —Aequationes autem iftae lineares primitiuae, quae cof.a, cof. (o -1- 8) etc. inuoluunt, fub ifta forma propofitae ad refolu- tionem Peolygonorum aptae non funt, quum has acquationes omnia latera omnesque anguli Polygoni ingrediantur; quare fi ex iisdem quodpiam latus vel aliquis angulus determinari deberet, plura cognitu necefíaria eoe rg quam quae ad vniuscuius- que Polygoni perkctam determinationem | requirun- tur. jum vero hae aequationes folutionibus aptae euadunt , quando per eorum combirationem cum ae- quationibus primitiuis linearibus , quae Sinus inuol- vunt, «ruuotur iftae aequationes fecundi dimenfio- nis, in quibus omnia quidem Polygoni latera occur- runt, numerus autem angulorum binario deficit a numero omnium angulorum Polygoni. 15. Antequam perfpicue intelligi poflit; qua ratione. rcfulutio Polvgonorum per aequationes in . praecedentibus exjofitas, abfolnatur; neceffarium eft vt dilu- * P p. RAM NN TUR s al RTI POLYGONORVM RECTILINEORVM. 207 dilucide modum explicemus, quo omnes harum re- folutionum cafüs enumerari et diflincte recenferi poffunt. Ex primis autem Gceometriae Elementis cogaofcitur, vnumquodque Polygonum perfecte effe determinatum , fi in ipfo partium principalium co- gnitarum numerus ternario deficiat a numero omnium harum partium ; id eft Polygonum perfe&e habebi- tur determinatum , fi non plures quam tres partes principales habeantur incognitae , hincque fi nume- rus laterum dicatur 7, partes cognitas numero 2 2-5 adeffe oportet ; vbi tameu perfpicuum eft, eum ca- fum excipi, quo omnes anguli externi Polygoni dan- tur, quippe quum vnus horum angulorum, fíem- per ex reliquis determinetur , dum omnium fumma aequatur vel quatuor redis, vel multiplo cuidam quatuor re&orum. Si itaque praeter omnes angu- los externos Polygoni , latera numero 5 — 3 cogno- fcantur , tenendum eft ipfum Polygonum hinc per- fecte non effe determinatum , fsd infuper requiri vt reliquorum trium laterum quodpiam cognitum fit, ita vt quouis cafü pro plenaria cuiusuis .Polygoui determinatione , faltem 9 —2 latera cognita effe oporteat. Si iam aliquis angulus vel quoddam la- tus Polygoni determinari deb:at, intelligitur - eam inueftigationem perfici ope aequationis, quam 27—2 partium principalium Polygoni- ingrediuntur et in ifta aequatione vel omnii Polygoni latera , vel fal- tem omnia vno tantum excepto occurrere debere, Nam pro eo etiam cafü, quo omncs anguli Poly- Boni cogniti fupponuntur , quia fimul s— 2 latera cognita 208 | DE . RESOLVTIONE cognita effe oportet; perípicitut omnino ? — x la- tera aequationem ingredi debere; at tamen iftam folutionum fpeciem qua omnibus abgulis Polygoni cognitis latus quodpiam. quaerendum eft, a reliquis folutionum fpecisbus feorfim conufiderare conueniet, Prouti nuuc aequationem .pro folutiooe Polygoni in- feruiestem , vel omnia latera ingrediuntur , vel vnum in ea defideratur , binas íolutionum claffes adipiftemur ; quarum rior continet quae(liones pro quibus foluendis inferuit aequatio omnia, Polygoni latera et angulos numero 5" — 2 complectens , foffe- fior autem in Ííe comprehendet folutiones , quibus expediendis-inferuit aequatio in qua vnum Polygoni latus, vnusque item angulus deficit ; quatenus nimi- rum quacfüo eft de. quopiam angulorum determi- nando, His vero adiungi poteft zeriía cla(fis folu- tionum etiam abfoluendarum ope aequationis, in qua vnum latus vnusque item angulus deficit, dum ni- mirum aliquod laterum quaeritur; pro his autem cafibus fponte patet omnes Polygoni angulos pro cognitis effe habendos, quam ob cauffam hanc ter- tiam folutionum claffem a duabus prioribus merito diftinguendam effe cenfuimus. 16. Quacfliones ad vnamquamque claffem per- tinentes, in certos iterum ordines redigi poffunt, fi at- tendatur ad fitum partium omiffarum inter fe, fic pro frima fclutionum claffe, alium confequemur folutionum ozdinem pro cafü quo bini anguli ex aequatione exclufi fibi funt proximi , alios ordines pro cafibus, quibus angulos omiffos , vcl vnus, vel quo, POLYGONORVM RECTILINEORVM. 265. duo, vel tres reliquorum angulorum interponuntur. In hec autem diflinctione cafíuum vlterius progredi neceffüm non eft, quam pro numero quidem ]late- rum impari — 25 -- r, vbi angulos omiffos angu- li ? ioteriacent , nam fi longius quis progredi vel- let , cafus antea confiderati manifeflo recurrerent ; fimili ratione pro numero laterum pari — 2 1, fi- nem diuifionis ordinum facere oportet, vbi ad eum peruentum füerit , quo angulos omiffos ; auguli m — x interiacent. Pro fecunda claffe diflributio fo- lutionum in ordines perficietur , dum attentio adhi- bcrur ad angulum et latus omiffüm , ideoque diuerfi ordines emergent , prouti angulus omiffus lateri omiffo vel füerit adiacens, vel inter angulum et la- tus, reliquorum laterum vnum , aut duo, aut tria etc, interiaceant. De limitibus autem huic diftribu- tioni in ordines praeícribendis , fimilis habetur re- gula ac pro claífe priori , fcilicet fi numerus late- rum fucrit impar; — 2 7-1- 1 vltimus ordo erit is, pro quo latus et angulum omiffüm , zz latera interiacent , pro numero autem laterum pari —25, vltimus ordo erit is, quo latus et angulum — omis» fum 2z1— 1 latera interiacent. ^ Terzja demum clas- fis uuliam parit difficultatem , pro ea eaim omnes .anauli vt cogniti. fpectari poffunt , quare in folutio- num enumeratione heic tantum reípiciendum eft | ad fitum , quem teneat latus inueftigandum refpeéu la- teris omiffi, ^ Tom.XIX.NouComm. Dd 17. 'Tab. I. Fig. 7. ar0. |. DE RESOLVTIONE - 17. His igitur in genere obíernatis ad cafus defcendamus fpeciales, vbi quidem quia omnes quae- füiones circa refolutionem trianguli iam fatis. cogni- tae fünt, initium faciamus a refolutione quadrilateri ABCLD. Pro hoc itaque quadr.latero ad primam quaeftionum claffem. omnes eae pertinent, quarum folutio abíoluitur aequatione ,, quam omnia CTetra- goni latera. 2, b, c, d binique anguli ingrediuntur ; haec vero claíüs in duos difpefcitur ordines prouti bini anguli omiffi vel fibi fuerint proximi , vel in- vicem oppofiti.. Ad priorem ordinem, quo exclufi cenfentur anguli « «et 3Ó f(íequentia referenda (funt Problemata : ]. Datis lateribus a, b, c, d et angulo Q , inuenire angulum *y. ]I. Datis lateribus 2, 5, e et angulis Q, *y inueniré latus 2, quod düsulis omifüs interiacer. III. Datis lateribus g, c, d et angulis Q, "y inueni- re latus 5, quod angulis datis. interiacet. IV. Datis lateribus: a; b,d et.angulis Q, *y inue- nire latus. c, quod: vni «angulorum: datorum | adia- cet 5 liquet; autem folutionem eodem redire fiue quaeratur latus c , fcu datis lateribus b,c, d. inue- ftigandum. fit latus e, — Solutiones. autem. horum quatuor. Problematum : adornantur ope aequationis.17^* 6. 10. Ht Ad fecundum ordinem prioris cla(fis , quo exclufi fupponuntur anguli a et xy, íequentia bina proble. mata pertinent, — eV D V, POLYGONORVM RECTILINEORVM. »rt V. Ex datis lateribus 4, b, c, d et angulo Q, inue- * nire angulum 3, quaeftio autem eodem redit. fi dato angulo 9, quaerendus fit (3. VI. Ex datis lateribus a, 5, c et angulis Q, */ in- venire latus d, vbi perinde e(t quodnam laterum fit inueftigandum, | Horum problematum folutio- nes perficiuntur. per aequationem 11^"? 6. ro. ^"Quaeftiones /ecwidae claffis iterum. in binos difpefcun- tur ordines, prouti latus omiffum et angulus exclu- fus fibi vel adiacent ,^ vel vnum latus ipfis interie- cerit. ^ Ad priorem ordinem fi omiffum intelligatur latus Z cum angulo ó,tria pertinent Problemata : -H.-VIHI, 1X. ibas ex datis lateribus a, b, c et.binis angulorum «, Q, ^y, quaeritur tertius an- gulus vel yy, vel Q, vel a. — Soluticones horum Problematum deducuntur ex aequatione — li^ L6. 10. Dénique ad pofteriorem ordinem omiffo latere d et angulo /y,'féquentid referenda funt Problemata : X. XI. XII. quibus, ex datis lateribus e, 5, c et binis angulorum «, Q, 9, quaeritur vel 3, vel Q, vel e, quorum Problematum folutiones ope aequa- tionis IV** 6. 10. adornantur. Praeter haec. vero. Problemata pro folutione quadrila- "teri, adhuc bina occurrunt ad zerZia claffem - refe- Sae , nimirum XIII. quo, datis omnibus angulis quadrilateri ct [a- teribus a, b fibi adiacentibus, quaeritur latus c. Ddz x1V. 212 DE RESOLVTIONE XIV. quo, datis itidem omnibus angulis quadrilate- ri et lateribus 4, c fibi oppofitis, quaeritur la- tus b. Pro his vero Problematibus folutiones ope aequationum III et IV. 6. ro. expedientur. Hac igitur ratione vt fperamus, dilucide fatis ex- plicauimus omnia Problemata , quae foluenda. occur- runt pro Tetragono, quatenus refpe&us habctur ad eius partes principales , latera nimirum et angulos quibus includitur. Si bina Problemata ad tertiam . claffem referenda feponantur , folutionum numerus pro binis prioribus claffibus numero duodenario ab- foluetur , quarum fex ad vnamquamque claffem re- feruntur. 18. In folutione Pentagoni problemata Primae claffis ea dicuntur, in quibus confideratio binorum angulorum excluditur, vnde pro hac claffe bini exorientur ordines, prouti fcilicet anguli omiffi vel inuicem füerint proximi dum eidem lateri adiacet , vel bina ipfis interponantur latera. — Pro priori or- .dine haec habebimus Problemata ; | Propofis omnibus Pentagomi lateribus ek tribus angulis (8, *y, 9, quarum partium femper feptem. quae- vir vt coguiae fpecantur , inuenire l latus e; IL. latus 2; lil. latus 5; IV. angulum sy; V. angulum f, horum problematum folutiones ex aequatione I"* 6. Xr. deducuntur, Pro fecundo ordine ifla funt Problemata : Pro- i POLYGONORVM. RECTILINEORVM. 2:3 Profofitis omnibus Penlagoni lateribus, anulis au- sem gribus Qy vy, 6 et fuppofito «quod | barum | partium Jepiem quaeuis cognitae funt , inuenire V]. latus ^; VIX. latus 2; VIIT. latus e; IX. i .gulum 8; X. angulum e, folutiones deducuntur ex aequatione 11^ 6. rr. Secundae vero claíffis Problemata pro Pentago- no ad tres reducuntur ordines, pro primo etenim ordine latus omiffüm angulo omiffo e(t adiacens, pro fecundo inter angulum omiffüum et latus exclufum , aliud interiacet latus. et demum pro tertio ordine inter partes omiffas bina numerantur latera. — Pro- .blemata primi ex hac claffe ordinis ita enunciantur: Propofitis. quatuor . lateribus a, b, c, d. et. quatuor anzulhs a, D, *y, 0, fi praeter latera terni anguli |. co- gnitj babeantur , inuenire : XT angulum a; XII. angulum Q; XIII. angulum vy; |. XIV. anculum ó, | ! folutio autem abfoluetur per aequationem tertiam $. rr. Pro fecundo ordine fequentia habebuntur Problemata: Propofitis quatuor lateribus a, b, cy d et quatuor anzuls a, Q, *y, e, quaerere quempiam borum angulo- rum , dun reliquae paries t cognitae. [peilantur XV. angulum à; XVI. angulum (3j; XVII. angu- lum y; XVIII. angulum e&- folutio petenda eft ex aequatione IV. 6. 1r. Dd s Ter- 214 DE RESOLVTIONE Tertii ordinis non nifi duo problemata oriuntur e quentia : | UU M XIX. Datis Pentagoni teslDie exco e, et anguli .&, D, 9- quaerere; angulum € xel 7 XX. Datis üsdem lateribus et angulis e n e quat- vere. angulum à. .Horum problematum folutiones. per sequationem quintam .$.. 11. expedicntur. Ex. tertia claZe. bina adipifcemur Problemata : : XXI. quo datis Pentagoni angulis et Jateribus 4, b, € - Quaeritur latus d, XXM. Quo ex datis itidem rit et. lateribus. a, b, d quaeritur latus c .— haec autem problemata per alterutram trium vlti- marum -aequationum 6. rr. folui poterunt, Exclu- fis proolematibus tertiae claffis, fi quisquam conclu- deret nómerum' problematum' àd binas claffes prio- res pertinentium ad. 4o affürgere ; quod quinque oc- currant | folutionum . ordines. et vnaquaeque |folutio octo contineat partes Pentagoni, is valde falleretur ol nam ex his partibus plurimae funt, inter quas pro . aliis atque aliis folutionibus perfecta. intercedit pari- tas. "Vt hoc exemplo iluffremus, pro órdine primo prioris claffs ex datis Pentagoni hérbus cet angu- lis. *y,.9 eodem modo determinabitur | angulus e quo cx iisdem lateribus et angulis. Q, ^». determina- tur angulus 9, id quod cum ex ipía rei natura: ad- modum perfpicuum eft, tum euidenter quoque de- | um decla- POLYGONORYM RECTILINEORVM. sr5 claratur per aequationem noflram. primam 6. xx, quippe quum rationes quibus anguli (2 et óO huic infunt aequationi in perfccta fint paritate. Tum ve- ro quoque inter modos , quibus latera .4, d. vel b, € -eidem aequationi iníunt ; paritas habetur. manifefla. r9. Pro Hexagono problemata primae cliffis in tres fübdiuiduntur ordines, prouti binos angulos omi(fos vel vnum ; vel duo, vel trii interiacent latera. Ad primum horum ordinum referenda funt Problemata, quibus per aequationem quam omnia Hexa- goni (aléra €t anguli Q, *y, à, e ingrediuntur ,— deter- euinari deber | L latus f; IT. latus a5. IIT. latus 55 IV. latus 6; -— V. angulus e; VI. angulus 9 hoc autem praeftabitur in fübfidium. vocati aequatio- ne I. $. 12. Ad fecundum ordinem pertinent Problemata , quibus ex aequwione quam omnia Hexagomi latera | eb: anguli B. y. 9, & ingrediuntur , determinatur VH. latus 2; VIII. latus 2; IX. latus f; X ang. i XI ang. 0; Xll. aug. y buic vfui inferuit aequatio. II. y. 1. Tertius ordo huius cla(fis continet: problemata, quibgs . per aéquationem quam polygoni. latéra: ei anguli gy. ángrediuntur. , quaeri. debent. XlIIL latus 5; XIV. latus 4; XV. Coil? g, quem in fnem adhibenda: eft: aequatio I. $12. | Secun- "E UN 4 OE E) - ns 77 ^ DEURBSOLVTIONE 707 Secunda claffis problematum fimili modo in tres füb- d:uiditur ordincs, prout nimirum angulus omiffus lateri exclufo wel adiacet, vel inter angulum et la- tus, vnum aut duo latera interiacent. | Pro primo huius claffis ordine Problemata oriuntur , quibus ex aequalione compleclente omnia Hexagoni latera praeier f, omnesque angul»s praeter $, quaeruntur XVI. angulus a; XVII. angulus 8; . XVIII. angu- lus y; XiX. angulus à; XX. angulus e, quorum folutio ab aequatione IV. 6. 12. pendet, Ad fecundum huius claffis ordinem | fpe&ant Proble- mata , quibus ex aequatione quam omnia latera excepta f, et omnes, anguli praeter e ingrediuntur , quaeritur XXI. angulus a; XXII. angulus: Q5: XXIIT, pu- lus "y ; XXIV. angulus à; XXV.. angulus à vbi folutio inuenitur ope aequationis " V"*. 6, 12, Tertius demum ordo fecundae claffis in. fe compre- hendet Problemata , quibus ex aequatione quam latera a, b, c, d, e ei anguli & Q, y, e & ingrediuntur, de- perminari debent XXVI. angulusa; XXVII. angulus 8; XXVIII. an- gulus y; XXIX. angulus c; XXX. angulus £, quod perficietur adhibendo aequationem Vi1'*" 6$. 15, Ad tertiam claffem tria pertinent problemata : XXXI. quo datis lateribus a,b, c, d quaeritur latus e XXXIll. quo ex lateribus a, b, c, e quaeritur. d. XAXIIL. quo ope laterum a,b, d, e inueffigandum eft e | quae FOLYGONORVM RECTILINEORV M. 217 quae Problemata per aequationem 1V'^* vel] V?" et VI^" 6$. r2. folui poffunt. Si tertiae cla(fis Proble- mata feponantur, quae ad binas priores clafíes perti- nent, numerantur 30, pro Pentagono autem nume- -rus Problematum ex his claffibus erat 20, pro Te- "tragono 12, dum pro triangulo íex tantum huius generis oriuntur Problemata, Quod íi igitur in ge- nere numcrus laterum Polygoni exprimatur per f, -hiuc per inducionem colligere poterimus numerum -omnium Problematum ad binas claffes priores perti- -nentium effe — s (n — 1). Vt autem pateat, hoc omnino in genere verum eífe, cafus Polygonorum :adhuc magis compofitorum | contemplabimur , pro -quibus iftam folutionum enumcrationem ita adorna- »bimus, vt adplicari pofüt ad. Polygona quotcunque iterum, : 20. In recenfendis folutionibus cuiuscunque Po- lygoni , id imprimis agitur, vt numerus fingulo- .rum ordinum íub binis prioribus claffibus contento- rum exponatur, tumque vt in folutiones. ex wvno- -quoque ordine deducendas inquiratur. — Hoc autem .poflerius facillime perficietur pro prima quidem fo- lutionum claffe, fi attendatur ad latera et angulos quorum eadem e(t ratio in aequationibus; tum au- tem anguli vcl latera pari modo aequationi cuidam ^ -huius clatfis infunt , quando eundem fitum refpectu . ,angulorum omifforum tenent. Sic bina latera quae angulis omi(lis adiacent dummodo in contrarias acci- |piuntur plagas, pro hac claffe in perfecta funt pari- — »tate. Pro fecundae claffis ordinibus , fi numerus la- | Tom.XIX.Nou.Comm. . Ee terum T— S DE RESOLVTÍONE Ej terum Polygoni fuérit par , tot liabebantur. folutio- nes, quot anguli vnicuique aequationi infunt, at fi numerus laterum Polygoni impar fit — 25-4-r, vltimus ordo huius clafüs, quo angulus omiffus la- teri omiffo opponitur , non ni(i s folutiones fuppe- ditabit, quippe quum pro hoc ordine angulorum: ia 2equatione contentorum tot habeantur paria. — Sit igitur propofitum Polygonum numero laterum | im- pari 2 5 —- r; dam autem heic fpeciatim loquuturi fümus de Ezdécagas , quae de hoc Polygono dicen- tur, fimili ratione ad alia quaecunque Polygona rmu- mero laterum impari , adplicari poterunt. Expri- mantur iam latera Endecagomi per a, b, e, d... 1 et anguli eius externi per A, B, C, D. ..L. Ad pti- | mam itaque folutionum claffem: eae referuntur, quas bini anguli huius Polygoni non ingrediuntur. et quoniam euüidens eft vnum eorum pro arbitrio fem- per affumi poffe, ponamus angulum L femper effc omiffüm , quo [ítüppofito numerus ordinum huius €laffis determinabitur ex vario fitu , quem alter an- £ulus tenere poterit refpectu anguli L. ^ Confeque- mur igitur quinque ordines, prouti nimirum omiffi concipiuntur anguli: IA SII LI JL LSIV T D vtr fi enim vlterius pro2rediamur , conítabit fitum an- guli E refpeu anguli L fimilem effe ac anguli F, tumque angulum D refpe&u L, fitum tenere. fimi- lem illi, quem tenet G refpe&tu ipfius L et fic in fequentibus, quare hinc nullae nouae oriuntur folu- tioncs. UNE. C RAE NE ANE uem, TREE es POLYGONORVM RECTILINEORVM, sre tiones. Ian genere pro numero laterum 28 -|- x hac ratione 5 emergent ordines. ) Pro l. oriine exclufis angulis K, L paritas inter- écdit angulos A, I; B, H;CGG;DFE; rü latera mn E. b, Ls coUa dd s €,f angulus vero E et latus / paría non agnofcunt pre hoc ordine ; efl igitur omnium folutionum numerus tam ex angulis quam lateribus — tr, et in genere pro numero laterum e -j- r, totidem quoque per hunc crdinem x angulis et lateribus habebuntur folutiones. . "Pro IT. :ordine exclufis dre L, l paritas ha-- betur inter angulos A, H; 86; C, T; D, E latera 5k; a i; 5, b Prs4f angulus autem K et latus e :paribus deftituuntur , erit ergo folutionum ;numerus:ex hoc ordine finus nae feu in génere — 2» m 4-1. * Pro III. .Ofdine omiffis angulis L, H paritas in- tercedit 5 , angulos No GI FO C EL ER: Jara | 4, i efie b, £3 i5 E d, € quibus. accedunt angulus D et latus k, quorum non Occurrunt paria r fólutionum igitur numero ex hoc ordine exiflente 11, cu in genere 2 5-1 I. , Pro ordine, 1v d .omifüis angulis L, G paritas ha- Bru o5 3:cocidiab | Tm Ee2 angu- 250^ .. DE RESOLVTIONE angulis A, F; B, E; C, D;H,K lteribus £j i; 4,5; a, gi b f; 6€ angulus autém ] et latus d paribus deftituuntur , vnde folutionum numerus iterum fiet 1I; feu in ge-' nere 2 7 -i- t. Pro V? ordine omifüis angulis L, F paritas ori- tur inter angulos A, E; B, D; K, G; I, H; latera; iR, dao Ea o otl tue his accedunt angulus C et latus e, quae paria mo& agnofcunt, ex quo folutionum numerus denuo fit t1, . fca in genere 2 7 -4- 1. Quum igitur fiaguli - or- dines praebeant 2 z7-j- r (íolutiones, numerus aue tem ordinum fit s, patet. primam claffem continere $$ (2 5 -- 1): folutiones, $1. Pro fecunda claffe ordines habebimus fi. de Endecagono (íermo fit fex, in gen:re autem f; -- 1. Scilicet fi ponatur latus / continuo exclu- di, numerus ordinum aeftimabitur ex vario fitu, quem angulus omiífus refpectu lateris / habe.e pot- e; hinc planum euadit pro Endecagono fex oriri ordines prouti praeter latus /, omiffus fuerit angulus KF.L;IEF; ES TIEHIW. HV" G.VIVE vlterius autem procedendo perueniemus ad angulos, qui refpectu lateris / fimilem teaent fitum ac quis-- piam horum propofitorum. Simili modo in genere conftat pro. Polygono numero laterum 2 5m-j- r; ru- merum ordinum huius clafüs aequalem effe m-1- 1. c 2 POLYGONORVM RECTILINEORVM. 2ar Quinque priores ordinum iam propofitorum tot prae- bent folutiones , quot anguli ingrediuntur aequatio- nes ad ipfos pertinentes , id eft pro E.ndecagano 1o in genere autem 2 77; vltimus autem ordo quo an- gulus omiffus lateri omiífo opponitur, dimidium numerum íolutionum hoc e(t pro Endecagono s vel in genere m? folutiones fuppeditabit , quate ex bis fecundae claffis ordinibus colle&im íumtis coníeque- mur 2/7-4- 9m — tm(2 m -- 1) folutioncs; at pri- ma. clafis fuppeditauerat. quoque z£(s m -- 1) folu- tiones, ideoque numerus folutionum ex binis his claffibus erit 2 (2 s: —- 1) — n(* — x) , fi ponatur numerus laterum — 2 5 4- 1 — f. De folutionibus tertiae cliffis, quae íéorfim confiderandae funt, heic in genere monuiffs fu(ficiat pro numero laterum impari 2 7 -j- 1, easdem numero 75 exprimi , at fi numerus laterum fuerit par — 2 5$, quaeftionce ad hanc claffem referendae numero 5 occurrent. 22. Si numerus laterum Polygoni fuerit par, bini habebuntur cafus , maioris perfpicuitatis gratia feorfim contemplandi , prouti nimirum numerus ifte fuerit vel impariter , vel pariter par. .Confideremus itaque primo Polygonum numero laterum impariter pari praeditum et in exemplum adhibeamus Deca- £onum , cuius latera dicantur a, b, c, d... k ct anguli A, B, C, D...K, et pro prima quidem fo- lutionum. cla flatim patet quinque inueniri ordi- nes, prouti omiff cenfcntur anguli : i lI E,;H; Il. K; G;1V* E;F;V^ K,E. U Ee3 in 222 DE RESOLVTIONE Ia genere pro numero laterum 4 zu -4- 2, hoc mo- do. 27-1- r iuaenieutür | ordines, Pro l. ordine decagoni fequentia habemus paria "neülor. 4 BH. D, G5 C. P BUE laterum y pe v v. fU NI accedunt latera 4 et 4, quae paria non habeot, hinc folutionum numerus fiet 10, et iu genere 4u--2« Pro II. ordine exclufis: age K, H paria 'ec- currunt : adgulor. A, G3 D, F;,C, E Micrüm hop. (Gus €T. 70i C3 e, d accedunt anguli I, D tam inter fe, quam cum re- liquis diípares, ex quo folutionum numerus 10, fcu in geuere 4 -j- a2. Pio III. ordine exclufis angulis K,G paritas ha- betur angulor. I, H; AQ ES JD E; C4 D later. iy ubsg oue, aig ud 8s oid. accedunt latera b, c paribus deí(tituta; folutionum numerus fit 10., in geuere 4-77 -]- 2. Pro IV. ordine omiffis angulis 'K, F patia Te- bemus angulor. I, G; A, E; B, D laterum dud Vae kh, 65 4, 4 4D, P quibus adnumerantur aoguli. C, H inter fe. difparesa binc folutionum numerus 10, ícu in genere-444- 2. Pro TPOLYGONORVM 'RECTILINEORVM. 223 Pro V^ ordine omiffis angulis K, E. fibi inuicem oppofitis , occurrunt anguli et latera, ex quibus duplici modo paria formari poffunt ; feu occurrunt paria inter fe congrua et quidem angulorum 3 DT HC, Gm. 7227, i. A, p Hy e tum vero laterum I. * A Il. " 4 quibus paribus accedit par laterum 5, g, quod aliud fibi congruum. non- agnofcit, numerus igitur íolu- -tionum pro hoc ordine erit — 5; leui autem. adhi- bita attentione conflat pro fuppofitione generali . nu- meri laterum — 4 7 -i-.2,. hunc ordinem | 2» z -j- x -Jargiri folutiones , fcilicet angulorum bina quaeuis -femper occurrent paria ««ongrua , totidemque paria --ongrua laterum-, .vnico tamen. remanente laterum pari, quod alind fibi congruum mon. | habet, idque .€a compledetur latera , quae ab angulis omiffis vtrin- que aequaliter diftant. Quatuor ordines priores hu- dus .claflis pro.decagono .praebebant 40 folutiones, quibus ex vltimo ordine accedunt quinque; at in ge- nere pro numero laterum 477-j- 2, liquet 27 "ordines priores fuüppeditare' 2 77(4 zy -3- 2) folutiones, "hisque ex vltimo ordine accedere 2 5 -j- 1 folutio- nes, ita vt Problematum ad claffem primam refe- rendorum numerus fit — e m(412-1- 2)-2- 2 15-3- 3 —(47:4- x) (2 11 4- 1). Quod fecundam attinet cfaffem;, illa nullam parit difficultatem , habentur enim pro hac claffe 27-1- x ordines , quorum vnusquis 477-|- 1 largitur folu- qi | tiones, . DLP DE RESOLVTIONE tiones, totidem fcilicet, quot arguli ingrediuntur aequationes ad hanc claffem pertinentes. — Solutionum igitur ex hac claffe ortarum numerus erit (2 7-4 1) (4m -4- 1), hincque prima et fecunda claffis. con- iunctim praebebunt folutiones (4. $ -t- 1) (4 m -1- 2) — ní(n— 1), exiflente numero laterum Polygoni z4Im--2a-h 25. Pro numero- laterum pariter pari, in exem- plum proferamus Dodecagonum cuius latera dicantur a, ,c,d...m etanguli externi A, B, C, D...M. Pro hoc igitor Polygono tam prima, quam fecunda clafhs folutionum fex fub fe comprehendet ordines; et 'jn genere pro Polygono quocunque, numero late- rum exi(llente 475, ordines 'ad vnamquamque claffem pertinentes habebuntur' 2 f$, "Ordines Dodecagoni füb prima claffe contenti fequentes numerantur, "m- ti omiífi cenfentar anguli T. M,L;n*. M, K, II. MI; IV*. M,H; V*. M6 JOVE. UM, E. Pro fingulis autem his itiitibuh paria angulorum et laterum , cum angulis vel lateribus feparatim oc- currentibus , ita fuüccincte repracfentare licebit : Y POLYGONORVM RECTILINEORVM. 22$ Pro.ordineParia angulor. et laterum |A.nguli et lat |Numer. folut, f pom M d : Ff mur B,1; C,H; D,G; E,R|. *om,kia,igbyb;e,gd,f We A,I; B,H; €, G; D,F L;- E ENT TY C NATA UL, IL, E; A,H; B,G; C, F;D,E * M di m,bs ugs bf, 6e LI AG; DE,.C,E y a E. £5 À. 5i 8,254,f; b,25 65 M mile cw v» min ovo Jols LH; ALESEES CD... N id k, 5b; 5g; "m, f 4,6; b, 5c n Paria. dupla Par fimplex | 6 I I L, s. É H2 5 mitlinlnso 53. B.15 -./. -j à b). hg, , f, b, € 4, d$ m,e$ . In genere autem pro numero laterum Polygoni 4 v, facile colligitur vnumquemque. priorum 2 z — 1 or- dinum praebere 4 7 íoiutiones, vltimum vero prc quo anguli omifífi inuicem funt oppofiti , non fup- peditare nifi 277 íolutiones; quum fícilicet ex late- ribus inueniantur 2 7; paria , quorum bina quacuis inter fe. congruunt, ita vt pro iouefligatione late- rum tantum 77 quaefüiones inter fe diueríae oOccur- rant, pro angulis vero habebuntüur » m — r paria inter quae vnum , quod cum nullo alio congruit, hinc ex angulis refultabunt »; quaeftiones diueríae , ficque tam ex angulis, quam lateribus pro hoc vl- f Tom. XIX. Nov. Comm. Ff | timo L] dad DE RESOLVTIONE ^ ^ timo ordine 2 5 prodibunt folutiones. Quum igitur ex 27: — 1 prioribus ordinibus naícantut. 427,2 74 — 1) folutiones ,. coniunctim cum vltimo ordine numerus folutionum ex tota prima claffe erit -——4m(im-ai)-- 2 — 2.0 (4149 — 1). Quod vero fecundam attinet claffem , facile | petípi- citur fingulos eius ordines ad tot perducere folutio- nes, quot in Polygono habentur anguli vno excepto, quapropter ex tota hac «claffe orientur 27(47— 1) folutiones perinde ac ex prima, ficque ex binis clas- fibus omnino habebuntur 4 5 (47 -— 1x) quaeftiones pro huiusmodi Polygono refoluendae. Vnde. noftra iterum confirmatur. regula : pro vnoquoque Polygo- no quacftionum ad binas priores clafíts fpectantium numerum effe a(n— 1), exprimente 7 numerum laterum Polygoni. Sicque per fingulos cafus eun- do, huius TUN. M veritatem exacte demonftratam dedimus. 24. Vt eo luculentius perfpiciatur , quomodo - haec difpertitio folutionum pro quocunque Polygono fatis commode inftitui queat , placet eandem exem- plo quodam vberius illuftrare. —Ponamus igitur pro Heptagono omnes cafus folutionum effe defcribendos, et pro ifto polygono latera exprimi litteris, a; 5, e...g, angulos vero indigitari per A, B, C... G. Quo obíeruato fcribantur hae partes prouti fe ordine ex- cipiunt, fequentem in modum: Aa B5 Cc Dd Ee FfGg Aa Bó Cc D4. ": Trimum POLYGONORVM RECTILINEORVM. $27 Primum igitur liquet pro prima folutionum " claffe, ordines inueniri tres, prouti omiffi concipiuntur anguli : G, F : G, n ! LG. A II. G, B III. G, D mam cafus quo G, A S cInduDAnr nullo refpecu di- fpar eit ab eo, quo G, F omiffi concipiuntur. Pro primo ordine fi exclufi cenfeantur anguli G, F, patet 'fequentes partes Polygoni refpectu horum angulorum fimiliter difpofitas effe : angulos A, E; B, D et latera g,e5 2,4; b,c latus autem f quod angulis omiffis interponitur et angulus C paribus deftituuntur , quocirca concludi-. tur pro hoc ordine feptem diuerífas oriri quae(tio- mes. Pro fecundo ordine exclufis angulis G, E, con- flat partes Polygoni, quae refpe&u horum angulo- rum eundem tenent fitum , effe fequentes ; .. angulos. A, D; B, C et latera f,e;. 2,0; a,€ 'at angulus F qui intermedius eft inter omiffos .et atus £, quod ab vtroque hoc angulo numeratur ter- "tium , caeteris partibus diffimiles erunt, ficque pro "hoc ordine iterum feptem emergent folutiones, Pro "Rériio ordine refpe&u angulorum omifforum G, D partes Polygoni fequentes eundem tenent fitum : anguli F, E; A, C. et latera f, d; g,0; a, b, 'Jatus autem e ab: vtroque angulo G et. D^. numera- "tur fecundum , angulusque item | B,. qui fecundus «eft, tam a G quam. D, paria non habent , hinc ex AMD. Ffa hoc $26 DE RESOLVTIONE . ^: hoc:denuo; ordine feptem: prodibunt folutiones. .Pfo fecunda :claffe ;quatuor. habebuntur | ordiaes prouti . praeter. angulum. G. omiffüm.: concipiatur | bus 71 d 44 C. Pro. tribus. prioribus. ordinibus leui adhibita attentio- ne -comílgat determinationes . reliquorum . angulorum nullam .inter .fe praeferre: fimilitudinem ;; at pro quarto ordine, quo omiffum flatuitur latus c; ma- nifeftum e(t angulos A, F; B, E; C, D in perfccta effe. paritate ,, ideoque pro hoc ordine tres tantum. labébuntur fclutiones , cum trium priorum vnus- queque fex: omnino. praebeat. £5. Haec igitur fünt principia ex quibus 'fo- lutio. cuiusuis Polygoni adornatur , quatenus refpi- ciendum. foluunmodo eft ad latera et angulos: qui- bus comprehenditur. Poítquam. enim ex 1heorema- tibus generalibus ad Polygonum propofitum : adplica- tis, deducae füerint aequationes ad iflud. Polygo- num. pertinentes , enumeratio. Problematum quae pro. dicto. Polygono. locum habebunt , ratione in fuperio- ribus. praeícripta inftitui debet, tumque oftenden- dum: e(t , quaenam aequationum. inuentarum. pro- vno-- quoque: Problemate: foluendo. adhiberi debeat. Quod autem. reliquum: operis. eft, in eo confiflit, vt pro. fingulis. Problematibus , aequationes ita euoluantur, vt folutionibus euadant accommoda:ae ; id. eft wt quantitates: incognitae: per: iis. aequationes: commode. determin;ri queant. ^ Huiusmodi autcm; euolutio, prae- POLYGONORVM RECTILINEORVM. 229 praeterquam quod nullam | paríat difficultatem j exem- plis melius illuftrari poteft , quam certis regularum praeceptis ftabiliri. lu genere tamea. obíeruare ;con- venit.determinationem laterum Polygoni per Pro- blemata primae claífis ad aequationes deducere | qua- draticas fiue -puras, feu affectas ; hoc eft fi latus in- cognitum dicatur x, «ius "determinatio abíoluetur vel per aequationem x' — P, pofito quod P fit «quantitas cognita ex cognitis Polygoni lateribus et angulis. certo. modo compofita ; vel per aequationem X -ABPxr-—Q, vbi Pet Q iterum funt quantita- ites cognitae ex partibus Polygoni cogaitis conflatae, JDeterminatio angulorum incognitorum . per - Proble- mata huius claffis ,' inftituetur per aequationem vel duius formae cof. (D — R , vel iftius cof. (D — R fin. (D 4- S, defignante ( angulum incognitum ;, R vero et S quantitates cognitas latera et angulos Polygoni in- -. voluentes. | Denique inue(tigatio angulorum. per Pro- blemata fecundae claffiss ad. huiusmodi perducet ae- 'quaticnes z "Tang. D —R, fin. D—R. vel fin. Q-—R cof. D4-S,. "defignantibus iterum: R, S quantitates quaspiam cogni- tas. Sic per aequatioaem: tertiam. pro Tetragono 6. 1o. habetur ies (b fin. —— cfin-.(B-— yy — Tang. e — — & -j- & cof. B: 4c coJ. i 4-3). iper aequationem vero quartam: fin. 5 — 2/m-a fin (c 3- 8) be Ld MR el Ff5 | ^ Tum 2390 |. DE RESOLVTIONE Tum vero per — tertiam pro Tetragorio elicitur : fin. p ——. €. B (b fin. n. & -4- c fin. (& -- y) — a fin. & : b coJ. a, - c cof. (&-- y) 9 vel potius fi placet fin. (a -1- B) — — eee Dee, 26. Diximus fupra in refolutione : Pelggohe- rum refpe&um. quoque haberi poffe ;ai lineas | eius diagonales , et angulos harum diagonalium cum ]la- Aeribus Polygoni , hanc autem reíolutionis fpeciem multo latius patere; quam illam priorem iam a nobis adumbratam. . Interim tamen videtur haec :quoque refolutio ad. certa principia generalia! reuo- cari poffe, quamuis omnium folutionum euolutio aud parum euadat prolixa. |Pro iíthac vero reío- lutione id imprimis agendum eít, vt certa íolutio- num conftituantur genera , quae deinde in. fíuas clas- fes et ordines fibi fübordinatos commode diftribui poterunt, Sic fi attendatur ad vnicam tantum dia- gonalem Polygoni eiusque angulos cum. lateribus Polygoni , duo genera folutionum conftitui poffunt ; quorum prius eas complectitur quaeftiones quas haec linea diagonalis ingreditur ,. pofterius autem folutio- nes inuoluere cenfendum eft, quae non.ipíam. diae gonalem , fed angulos tamen.eius cum lateribus Po- lygoni inuoluunt. ^ Prius genus in varias fübdiuidi poteft claffes' prouti cum hac linea diagonali ;; vnum vel duo , vel tria vel adeo omnia Polygoni. -atera folutionem ingrediantur. Haec autem conditio fem- per POLYGONORVM: RECTILINEO?"'M, 23r per quidem praefcribitur , vt faltem vnum Polygo ni latus cum diagonali in folutione occurrat ; nam ex folis angulis figurae cuiuscunque rectilineae , linea quaedam ad eam pertinens , íiue. latus fuerif feu diagonalis minime determinari pote(t.. Pro. folutio- nibus pofterioris generis, f(imili ex principio diftri- butio in clafles perficienda videtur; attendendo ni- mirum ad numerum laterum |. Polygoni , ;quae folu- tionem ingrediuntur. Haec autem: partitio;quae pro vnico Polygoni diagonali haud. parum complicata eft, multo intricatior euadet fi ad binas, tres vel plures Polygoni diagonales (imul attendendum. fit ; nec adhuc quidem mibi liquet quomodo ita .in ge- nere adumbrari poffet, vt ad. vnumquodque | Poly- £onum facilis eius siet adplicatio. " TUR 27. Qui attente confiderauerit modum . - quo euolutio folutionum pro quouis Polygono perficienda eft, facile perípiciet eam ad ifta Problemata referri pofíe ,. quae ad doctrinam de combinationibus perti- nent; quare quum circa refolutionem Polygonorum aliae quoque occurrant quaeftiones , quarum folutio- nes ex hac doctrina petendae fíunt, de praecipuis quibusdam earum nonnulla monuiffe haud pigebit. A Geometris quaeftionem propofitam fuiffe conflat , quot diagonales in. vnoquoque Polygono duci queant, huius autem quaeftionis folutio facillime expedietur , fi confideremus quot omnino in vniuerfüm . duci pofüint lineae rectae , bina quaeuis puncta Polygoni iungendo; fi enim a numero omnium harum li- nearüm sjz J DE. RESOLVTIONE nearum fuübtrahatur numerus laterum Polygoni, re- fiduum dabit numerum: linearum diagonalium. | Po- fito igitur numero laterum Polygoni — s, patet ex quouis eius puncto A ad reliqua. B; C, D :etc, quo» rum numerus e(l 9 -— 1r, duci. quoque pofle y — t lineas reas, fimiliter ex angulo B ad: punda C, D; E etc duci poterunt 7— 2 lineac réQtae. et. ]li- neae ex puncto C ad punca D, E «tc, ducendae habbbuntur 5 —j ex quo colligitur numerum omnium harum linearum 'recarum;. effe fummam progtetfionis. arithmeticae vnitate créfccntis , ^ cuius primus terminus:-e(l x et. vltimus. n — x, hincque —U-),. Ex hac igitur fumma fübtrahatur fumma laterum- Polygoni' 5, reflabit fumma: linearum diago- nahum — *9—? ,/ficque. pro. quadrilatero: confeques - mur 2 diagonales, pro Pentagono s, pro Hexagono 9 etc. vti vnicuique ad ipfas quoque figuras attcn- denti , haud dubium cffé poterit. Deinde ifia quo- que proponi poteft quaeflio , quot in wnoquoque Polygono dentur anguli fiue laterum , fiue diagota- lium ? Facile autem liquet ad hanc quaeflionis refo- lutionem id tantum requiri , vt inueftigetur quot- nam anguli conftituantur circa punctum quodcunque A Polygoni; fi enim numerus ^ horüm angulorum multiplicetur per numerum laterum Polygoni ,- 'ha- bebitur numerus omnium angulorum ad Polygonum pertinentium. — At circa punctum A in polygono m laterum, inuenientur omnino 9—*— anguli; tot fcilicet. habebuntur , quot modis litterae B, C, D ..G reliqua POLYGONORVM RECTILÍNEORVM. 25553 réliqua puiéta Polygonj indigitantes inter fe combi- mári poffuüt; binas quásuis earüm iungehndo , liarumi autém combinationum nümerus eft &£—2909 —», ex- iltente numero litterarum B, C, 1 Mey P Coníequitur ergo in figura re&ilinea numero late- rum ^/ praedita, effe numerum omnium angnploruni fiue laterum feu diagonalium — 26.—2€—29 et fi inde fübtrahantur anguli, quos latera Polygoni inter fe conflituunt , quorum numerus eft z, habebitur Aumerus angulorum , quos diagonales fiue Anter fe, fcu cum lateribus conftituunt — * UE Ue $8. Denique haec deni Hieud pirum «c curio- fa proponi poteft, quot modis data quacuis puncta A, B, C; D...L guorum numerus eft 7, lineis t£e&is ita iubgi poffunt, vt inde oriatur Polygonum numéro laterum 5 praeditum ? Si nimirum quatuor proponantur puncta A, DB, C, D, patet per eorum €oniunctionem tria omnino quadrilatera produci pos- fe ABCD, ABDC, AC D B; prouti fcilicet or- do quo litterae A B C D fe infequuntur, immute- tur. In hoc igitur Problemate id agitur, vt datis litteris A, B; C, D...K, L quorum numerus eft -*», quaeratur , quot dentur variationes pro ordine , quo bae litterae fe infequuntur ; intelligitur autem ordinem litterarum eundem manere, quaecunque ea- rum prima cenfeatur; ita wt bae «combinationes ABCD, BCDA, CDAB, DABC, nec non DCBA,CBAD, BADC, 'ADCB ratione or- . Tom XIX.Nou.Conm | Gg | dinis 284 . DE RESOLVTIONE: dinis litteras intercedentis pro identicis fint habendae. Quum izitur pofitio vniuscuiusque litterae heic non fpe&etüur, modo eundem- ordinem refpectu reliqua- rum íeruct; ponamus A effe in vnoquoque, ordine primam , tum autem liqu;t, perinde 2 fiue A cum reliquis illo moao A, D, e D...K, L, fiue hoc Al. K-S06, 85 iungatur , PETUM Y numerus omnium permutationum pro litteris , B, C, D...K,L quaeratur, dimidium huius numeri exprimet nü- merum variationum pro ordine inter litteras A, D, C, D...K,L; inter permutationes enim litterarum D, C...K, L binae quaeuis .dantur quae ipfi A. iunctae , .vnaami eandemque. variationem | ordinis inter A, B, C...K, L producunt. . At. pro litteris DB; C, D... Kj; L earum numero exiítente 7 — r, nu- merus omnium permutationum eft — (n — x) (2 — 2) (n — 3)... 2.1, ideoque numerus qui exprimit va- riationes ordines inter latera Polygoni numero 7, erit — &—D90—90—27::**1 — [dem. vero- etiam fequenti ratione deimoifttári poteft. Ponámus m de- figoare numerum , qui exprimit variationes ordinis inter litteras A, B, C, D... K, EL. et omnes harum litterarum factas effe permutationes; euidens itaque erit 3d cundem ordinem ess referri debere | permu- tationes ; quibus litterae A, B, C, D... K, L fi in orbem difponantur, eundem inter fe feruent inne cuiusmodi: funt : A, B,C. IER; L; 5, C, 509p d L,A; C; DE... L, A,B; etc. L, E, I ...C, B, A; Ab, RD; C; B; BA, TUN DECR etc. Lcui POLYGONORVM RECTÍLINEORVM, 255 Leui autem: adhibita: attentione conftat, ad. vnum- quemque ordinem. hoc modo-e s-permutationes. re- fcrendas,. efl; ; ; pam. feruato. ordine. litterarum: inter fe, littera À numerari potett vel prima, vel fecunda, vel xertia vel &fima , idque düplici ratione, ^ Fiet igi- tur 2 2;7 àequalis numéro omnium permutationum, quae cum litteris: Aj. P, d . js L idus ERES Xi$c eflesusu050p5! mt. 5 lily ipit vigor: burns i yen vnde confeqüitur m —i(n—i)(n—eo)m—3)...3.2. 1 prorfus vt modo inuenimus OR s heic nu- merum punctorum 4A, D, C, D... K, L aequare numerum laterum Polygoni ; at fi numerus puncto- .fum — ; maior fit numero laterum 7, quaeítio ali- quanto generalior euadit , quae tamen aeque felici- 'ter expediri poteft, dum nempe iir quot mo- dis iungendo punda A, B, C, D...K,L formari poffit Polygonum numero. laterum " cobfans? Si fcilicet quaeratur numerus omnium combinationum inter litteras A, B, C, D... K; L quarum 7 fimul fumi oportet, hicque numerus multiplicetur per eum , qui exprimit variationes ordinis pro qualibet combinatione ;. habebitur--numerus- qui indigitabit quot modis ex datis pun&is A, D, C, D... K, L exiften- te eorum numero 7, conftrui poffit Polygonum nu- meri 5. At numerus combinationum eft —— m(m i) — 3) — :).. uc np Om KE. n(n-——i)(n—2):*.3. a1 2rd: r Gg2 HA e56 DE RESOL. POLYGON. RECTILINEOR. quare fiet numerus. modorum quibus ex pun&is «A, .B, C... K, L conftruitur Polygonum —mn-—1) (m— 2)(m—3)-. Gi) 2)m—n 1), quod etiam alio modo facile euinci poterit.. | Hinc intelligitur ex quatuor. punctis , .quadruplici mmodo triangula conítrui poffe ; ex quinque punctis decem ex fex punctis viginti et fic in fequentibus . Ex quinque autem punctis quadrilatera conítrui poffunt quindecim , ex fex 45 , ex feptem 105 etc. PHYSI- PHYSICO- MATHEMATICA. gocce re $1 -e$3(o)$93e . 289- COMMENTATIO PHYSICO - MECHANICA GENERALIOR PRINCIPII COEXISTENTIA VIBR ATIONVM SIMPLICIVM HAVD PERTVRBATARVM IN SYSTEMATE COMPOSITO. M DL66T Aucore DANIELE BERNOVLLI. $. I. on haefito principium, de quo hic fermo eft et quod in Commentariis. Academiae. Berolinenfis demonftraui, inter vtiliffima re- ferre theoremata phyfico - mechanica, et- iamfi fümmis quibusdam Geometris vifüm fuerit non poffe integram , de chordis vniformiter, craílis vibrantibus, theoriam exinde deduci , cui tamen fententiae ego nunquam affentire potui íármiter per- fuafus , omnem hanc theoriam in hoc folo pofitam effe, vt vibrationes fingulorum ordinum inferiorum exacte fint fubmultiplae , duratione íua , vibratio- num chordae fupdamentalium. | Ponamus autem , ad momentum chordam tenfam curuaturas admittere, quas principium meum non pofüt exacte [uppedi- tare, » 240 DE CHORDIS tare, nemo tamen inficias ibit ; tales fappeditare, quae ab omni curüatura data, in tota chordae lon- gitudine , imfimite parum differant : id etenim apodicti- ce demonftraui ; velim. igitur mihi fignificetur, quid per difcrimen jfimite parum in hoc negotio intelligi debeat , et quidem in argumento , quo ipfae vibra- tiones fupponi debent infinite paruae , ita vt folu- tionem abfolute geometricam pro vibrationibus vts cunque fenfibilibus nequidem admittat: fi folutionem pure geometricam in his contendas, motum vibra- torium determinabis in perfecta quiete, quia nec minimae vibrationes funt perfediae inter fe ifochro- nae. At probe gnarus quam jnutile fit cum aliis de rebus difputare , quae vnice ab idea ;/m/miti fiue abfoluti fiue relatiuj pendent fimulque ambiguam in- voluunt quaeftionem , quo vsque iftud infinitum cum argumento fübfirato phyfico in fingulis patti- bus elementaribus confiftere poffit ; horum , ingnam, gnarus , nolui litem, qua nodgs in fcirpo quaeritur, ' vrgere maluique ad argumenta , quae dicuntur 244 bominem , confugere; igitur problema propofui de vibrátiouibus chordae inaequaliter craffae, cuius ío- lutio generalis adhuc defideratur quidem , at quod diuerías admittit folutiones particulares , vifurus quae- mam inter methodos nofítras fertiliorem habitura effet fegetem , at vero intra eosdem , füa quisque metho- do víus, fubfiitimus cancellos , nifi quod mea, fya- thetica potius quam pure analytica, methodus, co- rollaria prodiderit fpecialiffima , quae fübterfugerunt Imethodos , pisei opinantur , fertiliores, "Tolle modo omnem 7 L4 VIBRANTIDPVS ^41 ómnem de infinito amphiboliam ; quod in honorem ftudii mathematici dixerim , fallere nefcii ; €t omnem duter nos tolles: contronerfiam, OEMU 1 Mitos: $ 2. Sed quam. egregie ipfa experientia docet atque confirmat coéxiftentiam. vibrationum in chorda tenía , dum. quaeuis vibratio fimplex feorfim orga- E auditus. diftincte percipitur; | experimentum . volo notifümum , quod nondum fuerat explicatum , cum An wna eademque chorda faepe fimul -duo pluresue Íoni percipiuntur , inter. quos eminent fonus funda- mentalis eiusque, duodecima ;. imo muficus attentüs fubandit, atque. diftingnit tertiam | maiorem octauae .duplicis fiue. decimam ,feptimam, fimul. fonantem ; fonant vtique et ipfa Ocaua cum octaua duplice qui vero foni ob nimiam confonantiam, difficulter a fono fundamentali dignofcuntur, Mire. placuit phae- nomeni explicatio mea Magno Eukro, quam. ean- cem prorfus reiecit. fagaciffimus geometra .de. la Grarge.. Exemplum, afferam fimplicifümum vt cla- mius pateat. quod rcs eft. | 25b andit p aequalis femicirculo, cuius radius vnitite expreffus, eft ;. ponatur longitudo chordae. — /; fuma- aAprin, chorda "bíciffa.x; fit pro. fono su maxima. elongatio.. SUL ab axe — « et pro íono tertii ordinis, — 5; fit denique pro " abíciffa: X, appli- cata —J; crit aequatio . ad curuam chordae pro ío- lo fono fangaentali, y — a fin £p et pro eiusdem ; duodecima J fin 5*9; pro ambabus jyibrationi- "bus coexiftentibus babes itaque; y— ein; p fint : "Tom. X1X. Nou. Comm, Hh fac 242 DE CHORDIS. fac 8 — o folum audies fonum. fundameatalem ; po- ne e contrario (quod haud difficulter obtinetur, wt conflat per experimenta mufica) « — o, percipies folam duodecimam : denique fi fenfibilis fit ratio inter a et 6, ambo foni fimul percipiuntur ; prae- minebit alteri fonus, pro quo maiores et fortiores militant elongaticnes: haec indicat theoria noftra , confirmat experientia ; quid dubium mouere poffit vel vllam haefitationem , nullus videre pofíum. $. 3. Ab exemplo in chordis muficis fumpto progrediamur ad alud , difficiliores quidem ac fu- blimiores calculos poftulans, quod vero plures fonos co&xiftentes eosque admodum diftinétos fed valde dis- fonos auribus offert. Scilicet in arte mufica adhi- bere etiam íolent laminas chalybeas variae dimenfio- nis, quae combinatae ludum cefformant gallice «a- rion di&um ; huiusmodi laminae prismaticae lon- giufculae , e filo fufpeufac , percutiantur , plerum- - que pro re nata tres, quatuor pluresue fonos ,' di- veríos , diftinctos , atque plenos fimul edunt. De- dimus autem , llluflris Eulerus et ego , integram horum íonorum et vibrationum , quibus quisque fo- nus debetur, theoriam , cui multas fuüperaddidi ob- feruationes experimentales , quibus abftrrufa haec theo- ria egregie confirmata fuit. — Viam ingreffus fum plane fimilem cum ea; quam calcauerat . Nestonus in aurea theoria fua de coloribus ; modum oftendi quo ad lubitum ío»us quisque fupprimi poffit ita , vt vnus folus retineatur. — Poftquam enim intellexiffem lamioam inter vibraüdum figuram affumere angui- formem, -— VIBRANTIBVS — sg formem , quae axem diuerfis in pundis, in quibus modi formantur, interfecet , protinus animaduerti im numeras admittendas effe, in eadem lamina percus- fa, vibrationum fpecies, quarum quaeuis fuum ha- beat nodorum numerum determinatum ; pro fimpli- -Ciffima vibratione ; quae fono reíponderet fündamen- -tali , duos orituros effe nodos, pro fequente tres , .dein quatuor etc. Facile autem intelligitur , fi laminz duobus extremis digitis eo iu. loco. prehenda- tur, vbi nodus eít, cuicunque vibrationi nodus iíte repondeat , fore vt, a lamina percuffa folus fonus, ifti vibrationi debitus , edatur, fuppreffis caeteris omnibus, niíi fortaffe nodus ifte communis fit duo- bus pluribusue vibrationum ordinibus ; Cafíus ifle praefertim obtinetur, fi lamina in medio, vbi nem- pe centrum grauitatis eft, prehendatur ; punctum enim medium nodum fiftit omnibus et fingulis or- dinibus , quorum nodi fünt numero impares , com- munem ; fic (oli ordines nodorum parium fuüppri - muntur in hoc cafu fpecialifmo , manent impares omnes; Igitur Jamina in alo nodo digitis premen- da eft, vt vuicus prodeat fonus purus, clarus , me- dullofus atque firmatus, praeter quem nihil percipia- tur, quam flrepitus aliquis fuffocatus. Ad hoc re- quiritur, vt finguli nodi pro- quouis ordine eorum- que pofitiones calcul» fubducantur , quod olim feci ; his pofitionibus cognitis , cuiusuis experimepti euen- tus pracíagiri poterit. . Si quae(tio fuerit verbi gratia de vibrationibus quatuor nodos formantibus , .a. qui- bus fonus edatur ordine fuo tertius, in quocunque Hh 2 nodo TS 2ODE CHORDIS:' nodo aut'in quibusuis 'nodis binis "fimul; qut, 'etiam: totnis vel/menique'finguli . quatertüis lamina digitis" comprimatür 'dtque percu iatut fonus vnicus- femper: que idem: orictur, fi omni accuratione' experimen-! tümifüerit inftitutum ; "hunc fonum notaui i0 ^miosc nochordio eundemque etiam: di(tincte ^ percepi, scum? lamiba e'filo -fufpeafa. percüceretur' etfi multos alios: fóhos tunc haberet permixtos. ^ An non^huiusmodi".. experimenta. veluti apodictice demonftrant , - coéxiftea-. tiam plurium fonorum prouenire a coéxiflentia plue- riuiB'vibrationum , nequaquam í& inuicem pertür- bintium ? Adde his experimentis "plurima alia, quae | - allesaui in Exercitatione de fonis, qui a' tibiis. pneus niaticis formantur , Comrmeraítis Academiae Parifi-^ nae inferta , vbi principiorum meorum feliciffimum:: víum- ii. plürimis. nouis problematibus fo'uendis mes chànico- muficis abunde oftendi fimulque experimene- tis confirmaui. Sed quid profundioribus opus, e(t iu- re per fe clara ? an non e longinquo in choro; Mus: fico finguli foni, vtut fimul fonantes ,' diftin&e^ percipiuntur, qui non folum tenore fuo fed et moe: dificatiorie, inftrumento propria, valdé inter. fe di-- verfi fant *' An nion. haec omnia: in eodem: aete- ine- terrhedió. pbopagintur ?^ An non id quauis particula acre ," vbicunque fuerit. pofita, iünumetraz.: fimul excitantur vibratiunculae , quarum quaeuis fuam per- petüo conferuat indolem , quam: fi fola. effet; Video certo idem hic accidere a&ri- tremulo, quod -obír- vatur in camera obícura de materia aetherea ,, dum. infiniti radii ex omni plaga adueavantess atque per mini- - « VIBRANTIDY S. 24$. miniamtr aperturam tranfeuntés:finguli: obiécta -ex- tcrad nitidiffime interne . depingunt. absque . pertur- bationej'oculisque difcernuntur. qualía funt, prouti. , auribus. foni fimul . percipiuntur varii, vnusquisque * tenoris: vibracionibus: fuis fimplicibus debiti. ^Attde« -— ydo de: re; nimis mauaife(ta- difputare, | :$:04. Reli&a hac: coatroüerífia ,' liceat tihtoqm , LONGE de: praeftaatia: methodi. noftrae. comimeatarii Sit fyí(tema qualecunque ex. pluribus corporibus 'cer-^ t1 lege mobilibus , 'compo(itum ,. quae a fitu. fuo » matürali paulalum diftracta: moxque fibi relicta motie bus reciprocis inter fe diuerfülimis agitentur atque tuac'quaeítio (it determinaadi hofce motus in. fingu- lis corporibus. ' Nom puto. quaeftionem hanc gene- ralem vnquam ante me fuiffe tra&atam ;. ego qui- dem, cum ante hos 4o annos de motibus recipro- ci$. catenae füfpenfae- fimulque:de | pluribus corpori- bus; e filo; flexili fufpenüs »eorumque , vibrationibus vel'ofcillationibus agerem. in. Cliscipe seat veteri bus Academiae ,' niolum oftendi, quo. ofcillationes - fynchronae; quas regulares et permanentes ab eo tempore vocaui, fiogalorum corporum. fimul vibran- tium , füasque vibrationes/; eodem inflanti incipien- tium atque 'fiaientium ' determinarentur; problema iftud tot femper: radices "habet. quot. funt^corpora ia fyftemate atque. docet configurationem' fitus | initialis corporum , vt inde vibrationes fyüchrouae fiant , fimplices ,, regulares atque permanentes : Cum vero praeter hos cafus. faepius infpicerem: motus otcillato- rios in variis corporibus filo flexili counexis et fus- Mbug'.. penfis, 246 DE CHORDIS : penfis, dici non potet, quam varios , vagantes. anormes , inconflantes illos tuac confpexerim , ita vt: tüm temporis, quo nouum adhuc erat argumentum, exiftiinatem fru(tra operam impendi in illorum ia- dagioem géometrico mechanicam ; nec dabito quia. idem feníerint hac de re vel praeftantiffimi huius. faeculi geometrae , quia nulla huius quaeftionis ío- lutio comparuerat, cum tandem obíeruafíem | atque deinonfirafíem motus reciprocos in fiagulis | corpori- bus femper componi ex ofcillationibus omnibus, quas fyitema admittit, fimplicibus et regularibus, qua- rum determinationem praemiferam. — Hoc autem problema poílremum omnibus numeris eft .determi- natum , - pure geometricum nec vlli controuerfiae obnoxium , quotcunque fuerint corpora, qualiscun- que eorum maffi, vbicunque fint pofita et quibus- cunque demum vinculis ; inflexionem admittentibus , inter fe connexa, — Haec cum ita fint absque vlla exceptione pro quocunque corporum numero, vera etiam erunt, íi numerus i(te flatuatur infinitus et quidem complete vera , hinc apparet in theoria no- ftra contineri , quicquid catenae fuípena(ae , chordae tenfae fiue vniformiter fiue inaequaliter craffae , mo- tibus fuis reciprocis , proprium habent, ^ Denique notandum eft , praefatas vibrationes in, fyflemate coéxiflentes , alias aliis effe tardiores , chordas autem vniformiter craffis eius effe indolis , vt quaeuis vi- bratio , cuiuscunque fit ordinis, exacte fubmultipla fit, vibrationis tardiffimae fundamentalis; igitur omnes omnium ordinum vibrationes , fi fimul incipiant fi- mul V IRR AONST ESBIV $5 943 nul etiam finient cum vibratione tardiffima , vnde intelligitur qui fiat, vt folae chordae vniformes egre- gia gaudeant proprietate , quam llluftris Geometra, D. D'Alembert primus in illis fagaciffüme animad- *wertit , ícilicet quod pro qualicunque curuatura. ini- -tiali , poft quamuis vibrationem fundamentalem. quae- vis chordae puncta in flatum. quietis momentaneac reducantur , cui ego theoremati plane confentio, mo- do nullum fit, in curuatura affümta , punctum; quod contradictionem implicet cum hypothefi , qua fingulae motiunculae pro i5fmite paruis habentur. ]n hanc hypothefin impingunt omnes variationes «uae fiunt per faltus ; oportet , meo iudicio, vt ra- dius ofculi pro quouis puncto poffit pro infinite magno haberi , id eft, infinities maiore , quam, ver- bi gratia , longitudo chordae, . Haec quidem pro vi- -brationibus. plurium | ordinum . co&xiftentium , quae fingulae quietem offrunt momentaneam , quoties vi- bratio fundamentalis ad. eam perducta eft; at vero «afus ifte vnicus efl inter infinitos ; etenim vibrationes diueríorum ordinum poffunt non fimul incipere et mé tunc quidem deficit principium noflrum ,. ita vt hoc titnlo íolutio nofira pofht pro multo genera- liori haberi, quam quae a fummis Geometris im- pertita fuit; Indicat enim methodus noftra fore, vt fingulae vibrationes vnius eiusdemque ordinis abfol- vantur et reciprocentur eodem modo ac fi nulli alii vibration fint permixtae. Hinc oritur theore- ma generalius. | Quis- "S stu | 1248 . /DE CHORDIS: Y Quiscunque fuerit. fatus. chordae: vitformis: tenfae 2 gro dato quouis temporis inflami, tam vaütionedn- .«uruationis .cbordae quam . ratione. notus — abfoluti^ in -Lagfingulis particulis , is idem:ftatus fitu. dxueffo ve- o etrret pofb. quoduis: interuallum nius: vibyatioris "fit- qon fundamentalis: celi ám eodem fiu pofl quasids duas "wibrationes: fom si.nuq S8bl1002 20 B Hinc illa affinitas : quam priefeus argaiméntum "bá- de cum. theoria ferierum. recurrentit, ;Inde etiam pluríma, eduxi confe&aría pro. chordis. inaequaliter ;eraffis y notatu pariter. i quie. vix.a fublimio- "ribus calculis ,expectanda iflent. absque fofi agfirg. 35255: & s. Redeo ad: fyftemata: »corporum :numeto PAP quotcunque; quae non puto: alitérc quam methodo noftra pertractari poffe. vtpote. quae. ne- *céffario 'praeuiam determinationem 'fingülatrum oradi- «umo in /gequatione: algebraiom:icaruscanque: dignitatis *pofulant.. 1n boc latiffimo! campo nülláe quacftio- nes ancipites occurrunt; mulla ^hic» lis »eft 35 folutio Jborum:; :problématum in :eb/Trac/o cfaciliso eft; xtcunque iprélixa ,aut' difficilis: faepe :fit- methodi- applicatio 3n concreto. olpía vera methodusiiin: hoc. «con(i(tit , vk dm fyftemate. fiagulo rcovpord;ab axe: aequilibrii :idi* ducta: putentur auque "proportio elongátiorum abaxe; fecundum 'principia:mechanica ;, inqniratür ea lege), Nt: vires ^acceleratrices/corporum'werfus axem fint ipfis 'elongationibus:! proportionales :: hoc praeftito fibt vtique, vt fingulae fyflematis partes fimul-ofcillatios nes fuas perficiant, fi fimul eas inchoarint, atque teo : hoc VIBRANTIDBDV S. 249 hoc modo ofcillationes fimplices , fynchronae , per- manentes fiant. Verum aequatio finalis, qua cor. porum. fingulae elongationes ab axe determinantur , tot habebit dimenfiones, quot funt corpora , vade fe- quitur totidem fimul fore radices, quarum quaeuis fingularem fyftematis configurationem initialem fi(tit fimulque diuerfam longitudinem penduli fimplicis ifochroni exhibet: quaelibet etiam configuratio fer- wabit pro vaico corpore diductionem. arbitrariam , ad quam caeterae diductiones determinabuntur. Sic rur-- fus erit problema determinatum , vt quaeratur quae- nam in quauis configuratione feorfim fumta diductio arbitraria feligenda fit, vt pro co8xiftentibus fingu- lis yibrationibus ab initio diductio cuiusuis corporis abíoluta datam obtineat maguitudinem, ^ Hinc deni- Que patet, quod in omni fyflemate, vtcunque eius partes a fitu aequilibrii füeriat deductae , motus ab- folutus inde oriturus definiri poffit, $. 6, Syítemata corporum , diuerfis vinculis connexorum , innumera concipi poffunt; in aliis motus reciproci fingulorum ordinum ita rapide fe fübfequuntur, vt oculorum aciem effügiant, cuius- modi effe folent chordae muícae teníae , quibus et- jam. corpora anncxa e(fe poffunt: ad hunc cenfum quoque pertinent laminae elafticae earumque motus tremuli a. percuffione fiue etiam campanae aut tym- pana, de quibus pofterioribus folus Incomparabilis . Eulerus agere aufus e(t. Hoíce motus tremulos au- xis, non oculus, diiudicat ; fi modo plusquam tri- ginta vibrationes intra minutum fecundum perfician- . Tom. XIX, Nou. Comm, li tür, 4 2$0 DE CHORDIS tur. Quia vero phaenomena, in diuerfitate fonorum co&xiflentium , obferuata aliter ab aliis explicantur , argumentum no(rum malo dilucidare , a motibus reciprocis in fyítemate , qui oculis diftiacte cum omnibus variationibus obferuari poffunt. ^ Huic fini egregie inferuiunt pendula multifila, fi fcilicet plura. corpora, filis intermediis connexa, fuüfpendantur mo- tibusque reciprocis agitentur : tunc, pro diuerfis cir- cümí(lantiis , tam varii co&xiftentes motus in fingus lis corporibus apparent, vt non aliter quam ad le- gem principii noftri explicari poffe videantur: fi verbi gratia, tria corpora plumbea vncis paruulis inflructa ad commodiorem füfpeufionem , duobus fi- lis intermediis connexa , atque corpus fupremum fi- lo tertio fufpendatur, tumque fingula corpora pro- lubitu a fitu fuo naturali paululum diducantur tan- demque totum fy(tema fimul fibi relinquatur , tunc plerumque in fingulis corporibus agitationes hinc in- de oriuntür tam irregulares omnique titulo tam va- riabiles ac incerti , vt ab omni lege mechanica folu- tas dixeris. Attamen, ex datis corporum maflis, eorundemque diftantiis a puncto fuípenfionis ac de- nique diductionibus primitiuis, fitus fingulorum cor- porum pro quouis momento temporis defiderato praedici poteft, fecundum theoriam no(tram. Sed et plura puncta cardinalia , oculis facile diícernibilia, ita d«terminari poffunt, wt totim theoriam hanc exacte per experimenta confirment. At caálenlus, pro pluribus corporibus filo contiexis ac fufpenfis;, Operofus nec euitabilis requiritur; imprimis nego- tuum UT PR Tr TU UMEN VPBRGUuUANTJTISV:S. 235I tium faceffit taediofa fingularum radicum inueftiga- tio in aequatione , quie cuiuslibet corporis elonga- tionem ab axe, pro ofcillationibus fimplicibus et perfe&e fynchronis in fyftemate formandis, indicat. Methodum docuiffe generalem contentus, folum com- mentabor cafum fimpliciffimum pro duobus corpori- bus, ícopo noflro non male. congruum. $. 7. Sit pendulum bimembre a c d (fig. 1 et 2); corpus fuperius in c, inferius in 7; putentur haec corpora a fitu fuo naturali diducta in b et e; Data elongatione 2 c quaeritur elongatio e hac lege , vt ambo corpora ofícillationes fimplices et regulares, ifo- chronas ac fynchronas faciant? Plurima iam pafüm pertra&daui argumenta, quae fingula hanc quaeftio- nem , ceu fimplex corollarium, in fe continent; to- ta autem eius íolutio in eo confiftit vt, fecundum leges mechanicas , determinentur vires acceleratrices pro ambobus corporibus in 5b et e pofitis, eaeque viis fimul perficiendis P c et e d proportionales fiant: his veítigiis infiftendo fequens oritur aequatio. Sit longitudo fili ac —/; c4 — ^; maffa cor- Bons jn 2—75;5 in d-— qp; elougatio óc —a4; ed —fd--ef—a-i- 6: his pofitis fit, ( — X) .(m 4- p) — A (m -- p) i MEE poca 6-tmÀaa hinc 6 — (n--.0 —72a-E a y(m-- yy. — y A- «(m 2 M) 12) 21 * Igitur aequatio duas habet radices, quia fcilicet duo funt corpora , quae ambae radices femper íünt rea- les; fignum autem fuperius, quantitati radicali prae- li 2 fixum, "Tab. II. 252 DE CHORDIS fixum , valet pro configuratione prima ; inferius pro fecunda. Poftquam fic determinata fuit ratio inter 6 et &, licet etiam determinare longitudinem penduli fim- plicis ifochroni cum vibrationibus fimplicibus pendu- li bimembris pro vtraque claffe. Si nempe pracfata longitudo penduli fimplicis ifochroni ponatur — P, reperitur p Wd cop — m WN—tx Vd atque fi pro $ fubflituatur valor eius modo inuen- tus fimulque,, breuitatis gratia, ponatur m--pWk-M et A —i— L, prodit tandem dre Pw AE 211À i a5" PA ML-EV(MMLL-r-«uMIL--4^MMll) 6. 8. Inferuient praemiffae formulae ad veram indolem totius argumenti noflri detegendam.: Ete- nim, quae dicta funt ia praecedente paragrapho , vnice inferuiunt ad quamuis vibrationum fpeciem feorüm explicandam , accipiendo fignum fuperius pro configuratione prima 'et inferius "pro fecunda; quod fi vero ambas vibrationum fpecies fimul exiíte- re velimus, tunc amplitudines Pc in vuraque fisu- ra vtcunque diuerfis affümere licebit easque ita f«li- gere, vt ab initio , diductiones abfolutae amborum corporum ab axe, quaeuis datam maznirudinem ob- tineat. pofteaque ambo corpora fecundum legem vtrius- que configurationis fimul ofcillent , fic. variatio fitus "Mbfoluta fingulis momentis in vtroque corpore inno- teícet, VIBRANTIBDBVS 253 tefcet , fi vtraque ofcillatio feorim ,' vna poft alte- ram confideretur , deindeque loco axis recti a c d fumatur figura paululum intlexa g 5 e, fuper qua inflexio figurae fecundae conftruatur. — Confiro&tio haec figura tertia explicatur, in qua configuratio & be dc a plane cadem e(t cum figura prima , iisdem litteris circumícripta ; poít modum arculus b! ;! fizurae fecundae ad finiftram pofitus , transla- tus eft in fitumr Z/ P figurae tertiae; fic a combina- ta ofcillatione fitus corporis fuperioris ia figura ter- tia, pro affüumto temporis momento, cerit in pun- &o 5/: fimiliter pro inferiori corpore arculus 4 e figurae fecundae ad dextram pofitus, translatus -eft in fitum e e! figurae tertiae , quia fcilicet ab ofcil- latione primae configurationis punctum 4 translatum fuit in e: Denique fi in configuratione tertia con- iungantur puncta 4 et // pariter ac punca P! et e rais a D! et b! &! habebimus fitum penduli bimem- bris, pro dato temporis puncto, in 4 5! e, Caeterum notari meretur, quod fi in confi- guratione prima filum inferius e b producatur vsque n o, vbi axem 'interfecat, futurum fit, vt longitudo 0 d fiat aequalis longitudini -penduli fimplicis ifo- chroni «um ofciliationibus fimplicibus penduli .com- pofiti tardioris, prouti 1n configuratione fecunda lon- gitudo analoza .0 7 denotat longitudinem penduli fimplicis ifochroni cum ofcillationibus — fimplicibus penduli compofiti celerioris. Nec minus notatu di- gnum eft, quod generaliter ambo pendula fimplicia, vtrique -ofcillationum fpeciei reípondentia , fimul li 3 fuinta 254 — DE CHORDIS fumta femper fint aequalia longitudini amborum fi- lorum /-4- A fiue —2a 4 vel 4 d! pro duabus prio- ribus figuris; reperio enim , quod fit 4 o figurae primae aequalis o! 4! figurae fecundae. Egregia haec proprietas deducitur ex valore vtroque penduli fim- plicis ifochroni in fine paragraphi praecedentis expo- fito. Eft nempe in figura prima d Vp. 50 SU TLUMN SMNORL DE 0 —À-h wa yu RIG GR MÉELGC Ond LI). fimulque in fig. fecunda —————— Á—MMMM ——— — ——Ó e v». 0d —-l- ML—wVOMMLL-A-«RMIL-- 4E MID) Inde deducitur quod fit fümma vtriusque valoris, nempe 0 4 -- 0! Z — 1-41- ^, fi pro L reftituatur va- lor eius affumtus A — . . Video hic veftigia naturae fpeciofa fimplicitate confpicuae. ." 6. og. Defcendam ad exempla fpecialiora: Sint ambo fila inter fe aequalia fiue /— ^, fiet in. pa- ragrapho feptimo pro figura prima et fecunda ef 6 —daY?--* atque ed—a6—a-Fayt-th, /Si vero, quod licet, quaeuis configuratio feor(im fumatur, poterunt amplitudines vel diductiones £c atque 5! c! inaequales accipi ; pouatur itique bc—a« et bc — al; tunc erit in figura prima ed—a-r- a Y7--* ct in figura fecunda m edi ala! Y TEE: nüru&ionis $. 8. indicatae , fiet pro fi- fantia abfoluta bc — a -- « pro cor- pere Ergo, vi cO gura tertia di VIBRANTIBPVS. 255 pore fuperiore ; verum pro inferiore corpore obtine- tur diftantia abíoluta eéd—ed—eec-ca-ray *-P etl eft vero per conítructionem , ee' in figura tertia aequalis 4! e! in figura fecunda fiue — o! — o! ie et quoniam in figura tertia arculus e &/ ad finiftram axis a d, in figura autem íecunda ad dextram (umi- tur, facienda nunc erit ed ——a-r-gdyt-th,; hinc eda aY* Up al-g'Y Hoa pal pa y mes. al ym atque fic tandem pro figura tertia inuenimus bc —a-ra! atque e'd—a-ral a YT b - qd y TP s Igitur ex datis duabus ofcillationibus. elementaribus determinare licet ofcillationem refultantem com pofi- tam configuratione tertia repraefentatam. 6. 10. Facile nunc erit refpondere ad quae- flionem vniuetfam , nempe vt pro motu reciproco abíoluto figurae tertiae determínentur ambae ofcilla- tiones elementares, ex quibus componitur. Confi- "deretur itaque , in figura tertia a ! e tanquam po- fitio initialis penduli bimembris ponaturque diftantia áaitialis f! c — a et eZ — b ac quaerantur. quantita- tes a et 4, Sic habebimus , vi paragraphi praece- "dentis , 4-1-2—2a et a-1-al-- 4 y 8-EB — a) y "E BL, Ope $56 DE CHORDIS Ope harum duarum aequatiuncularum. elementarium inuenitur a Y*-EP --b—a 4 —2 VR i ,4Y Tta (RTI EE MN a Cognitis in figura prima et fecunda diductionibus primitiuis b c et // c^, a quibus vnitis refultet da- ta configuratio initialis tertia , inferuiet paragraphus deptimus ad determinandas, im ambabus figuris pri- mis , diductiones corporis inferioris , vt iam monui in paragrapho praecedente ; erit fcilicet b—a £d—a4-- a y "3e —rgymt- b zymes fimulque a—b m Valent hae formulae, quoties ambo fila funt inter fe aequalia, quaecunque caeterum fit ratio inter mafías Corporum fufpeníforum. Tum etiam , pro ambobus definiendis pendulis fimplicibus ifochronis cum ambabus ofclillationibus elermentaribus , vtemur duabus formulis in fine para- graphi octaui expofitis , faciendo / — A atque adeo L--o fimulque , fi lubeat , reftituendo pro M. va- lorem eius z -i- k. Hoc modo oritur, pro figura prima ; longitudo penduli fimplicis ifochroni fiue — ed —l-- TEES atque pro figura fecunda, odi Dy cn (d —a! — 4! y 2 ——iayT tb. ib-- ]am VIBRAUNOTIBUS Tam" ieitar-iatégrà: relatio iitén? ofcillationes elemen- tares' (quarum. Qoacuis ei fimplex j, permanens ,. in- variabilis legibusque cognitis penduli- fimplicis - fubie- - " ét) ct motus reciprocos. abfolutos ad normam | figu-: rae tertiae inde- re(ültantes ; qui videri poterunt val- de- atiomali et^ plerisque. i in cafibus nunquam | in fla. poc ever recüurrünt. — S TR ttf E Mia ry» Sii UA hiqit fili 7 quidratüc* Tw ofcillationes principales: n fecundum. léges configu-^ Lo Mit 4 ratio is B uotis minuto fecundo abfolüantur, " erit 4, EN y mi rr — — 440 in: 'vhdé habetur" lin.,. fuerit , verbi. gratia," Cae zi16. ti LP dn "iliünonee 32:9: Ync. erit 4 [i— 215: lin. fiue Aran pha poll. a1ilin. Simul. autem . -ofcillationes £e-. - | pro lege. configurationis. fecundae ,- perf-. 4 ciiin: quouis femiminuto fecundo eritque. pendulum, a fimplex-ifochronum ,cum hifce . oícillationibus. ele-; ü mentaribus. — rro lin. In genere fi animus fit. pro- dataconfiguratione tertia primitiua determinare - tempora ofcillationum elementarium. . pro ' configura- . tione. rima et fecunda , ex quibus | motus reciprodi | | i a I Ponantur ,. haec tempora vnice .confi-. ur 2. maffis. amborum corporum, let. longitudini- bus-filorum. nec elongationes. initiales 4 b € et. ed in » figufa tertia; quicquam. .cón. ferent | ad determinanda ; |. tefnpora ofcillationnm. fimplicium án. duabus, primis: r figuftis ;.at- vero. praefatae | elongationes dl £, et 5 dr, figurae. tertiae » determinant apppliegdines, bc et IP / njbus. ed £b 4, 4 in figura. Pg fom, XIX. Nou. Comm. Kk 258 DE CHORDIS ma ac fecunda, ^ Quamuis porro ofcillationes ambae. generatrices in duabus figuris primis fint plane fim- plices et permaaentes et vnaquaeuis earum motum perficiant fecundum easdem leges quibus pendulum fimplex mouetur , attamen motus reciproci abíoluti in figura tertia plerumque , pro variis circumftan- tiis, mirum in modum variantur , dum ambo cor- pora ab initio in Z/ et &/ pofita omni titulo a mo- tu corporis penduli fimplicis recedunt atque excur- fiones faciunt modo maiores modo minores easque temporibus inaequalibus perficiunt nec accelerationes. aut retardationes admittunt , quae fint diflantiis Cor- porum ab axe proportionales. His tamea non ob- ftantibus fpinis, motus integer corporum pro confi- guratione tertià ope vtilifimi principii noflri exacte determinari poteft pro quocunque temporis momen- : to: Requirit autem methodus nofira, vt ex datis filorum longitudinibus, corporum fufpenforum mas- fis eorumque ab axe diductionibus initialibus deter- minentur omnes et fingulae ofcillationes fyftematis propofiti fimplices ac permanentes, a quarum con- cürfu motus reciproci abfoluti femper deduci pote- rünt, qui datis circumflantiis foli conueniant , cum fit problema noflrum plane determioatum | quotcun- - qüe fuerint corpora; igitur quidni determinatum erit, fi-numerus corporum cenfeatur infinitus; So- lutio autem problematis determinati aut fallax eft aut problema , pro tota eius extenfione , comple&i- tur Si vero re(tri&ionem fufpiceris in folutione mea de vibrationibus chordarum tenfarum , 3b ini- a ' tio VIBRAÁNTISY S. a*p: tio certà lege ipcuruatarum , illá neceffario confiftet jn infufficiente enumeratione vibrationum fimplicium Taylorianarum , ex quibus vibrationes componantur e. ' 1 ET 3 PO M | 4 à Ergo darentur vibrationes fimplices Tayloria- pae in vna eademque chordà , quae fimul incipiant fimulque terminentur et quarum tempora non fo- rent: fübmültipla temporis vniü$ vibrationis funda- mentalis, quàm nemo fouebit fententiam. | Non in- fitam lici. nec euim aliud intendi hifce pagellis ; quam vt viam praepararem , quae nos ad plsniorem principii noftri applicatioem conducerét in proble- mate foluendo mechanico , fimplicifmo quidem fed nondum explorato, quantumuis plurimis proprietati- bus geometrarum attentione digno, —De hoc proxi- ma agam occáfione. T SEEN ICE LEE "GOMMENBARIOI ,PHYSICO - MECHANIGA... 4 "T — € í9 iajtat si MOTIBYS RE CIPROCIS COMPOSITIS.. remm "a MYLTIFAR IIS, NONDVM FA R. IN PENDVLIS BIMEMBRIBYS F Ü » B; SERVARI POSSINT IN (CONFIRM. AM. PRINCIPII SVI.DE COEXI: BODAS TIL i BRATIONVM. SIMPLIC IORYM- XH E TEE | E $otft -j ji | (Au&ore " à 2.4] 328 7 à 1 DANIELE BERNOELLL. NON [TE P pos huius argumenti noftri explanatione vtat .in hac altera parte ad motus reciprocos in pen- dulis bimembribus determinandos; facillimus vtique eft cafüs ifle fpecialis nec tamen , quantum fcio, &ihuc examinatus ratione inaequalitatum et apparen- tium irregularitatum , quae in motibus reciprocis pendulorum compofitorum latent veramque eorum indolem conftituunt, nifi folicite fegregatae fueriot ofcillationes folitariae fimplices et regulares ab innu- meris motibus reciprocis , quos pendula compofita naturaliter perficiunt. Pendula autem: quod feligam Y Y) : &» bifila DE MOTV PENDVLORVM. 6x ^bifila iisque folis infiam etiamfi methodus noftra ad quemuis filorum -corporumque -connexoruümr 'nu- amerum applicari pott. moueor partim :x jcalculo- zum Lbrenitate partim -vt argumentum tanto fnagis Anclareícat. fipuulque .experimenta in. confirmationem foecundiffümi principii noftri infbtuenda tanto fiant faciligra magisque «confpicua : imo fufficiet pro infti- tuto. noftro. onfideraffe pendula aequimembria ,. am- :*bobus fcilicet. fumtis filis inter fe- aequalibus; wnde formulae.in prima no(lra di(lertatione. praeliminari £xpofirae admodum contrabuntur. His omnibus fa- eis. reftri&ionibus duo fuper erunt elementa a quo- pum. variatione aibitraria variantur motus, aeciproci gp in propofito pendnlo; przum poütum eft in proportione mafífe corporis fuperioris ad maífam inferioris ,2 qua fola proportione pendet ratio inter pendula fimplicia cum duabus ofcillationibus rcgula- ri lS ,. ex quibus motus reciproci abíoluti. compo- guntur, ifochrona ; alerum elementum pro lubitu variabile confiftit ia diflantiolis, ad quas ambo cor- pora diducta fuerunt in primo motus abíoluti mgo- mento, a quarum variatione plurimae iniiciuntur : motiunculis abfoluris varíationes. In prima Com- mentatione $.. 10, pofui didu&ionem , initialem pro corpore fuperiori —4 €t pro inferiori — — b, vbi no- tandum eft quod, fi ab initio ambo corpora ad par- tes oppofi itas refpectu axis verticalis pofita fuerint ,, poffit diftantiola 4 pro corpore firperiort femper pro affirmatiua accipi mutato faltem figno diductioni Corporis inferioris praefixo. ^ De vtroque elemento tib i^ INS 1. ec: ^ feorfim: £62 DE MOTV feorfim quaedam moncbo retentis literis et figurisin prima Commentatione adhibitis atque explicatis, $ 6$. 2. Initium faciam ab maífis, vnde pendent jongitudines pendulorum fimplicium ifochronorum cum áàmbabus ofcillationibus regularibus ex quibus motus reciproci abfoluti componantur. Vidimus au- tem $. o. praecedentis Commentationis has pendu- lorum fimplicium longitudines effe , pro ofcillátio- nibus tardioribus — /-i- 7 Y ——*- , €t pro ofcillatio- nibus celerioribus — 7— Y ——. Patet ex iftis formulis eam femper proportionem maffis zm et jk afügnari poffe vt praefatae longitudines quamcunque datam proportionem obtineant atque, fi prcportio haec fümatur vt numerus quadratus maior ad nu- merum quadratum minorem, fore vt tempora ofcil- ationum fimplicium fint vt numerus integer ad nu- merum integrum , fecus fore haec tempora incom- menfürabilia: fuerit tempus vnius ofcillationis fim- plicis tardioris pro configuratione prima -— T ác tempus vnius ofcillationis celerioris ad modum figu- ráe fecundae — ; , ponaturque T — 77; dico aliter -atque aliter , pro diuerfitate numeri 7, fe habituros motus reciprocos abfolutos ad modum figurae tertiae. Diuerfes euentus percurram prouti fuerit 5 vel nu- merus integer vel fra&us vel irrationalis. $. 8. Ponatur pro 5s numerus integer , fict vt ambo corpora, poft fingula temporis interualla T; fimul extremitatem ofcillationis attingant et in fta- tum quietis zLomentaneae perueniant fimulque no- | vam PENTVLORVM. 264. vam inchoarent ofcillationemfi mplicem. | Nec tamen exinde fequitur fore vt ambo corpora, motu abío- luto veríus axem regrediantur; fieri enim poteft, vt. incipientes nouae ofcillationes fimplices , hoc tempo- ris momento, in diuerías partes eant atque corpus alterutrum motu abfoluto etiamnum. paululum. rece- dat ab axe, fiue inferius fit corpus fiue fuperius ;: interea tamen flatus ifte quietis momentaneae , qui in. vtroque corpore, pro ambabus ofcillationibus fimpli-. bus fimul continget , oculorum intentorum: aciem non effugiet, quandoquidem et ipfe motus abfolutus hoc temporis momento ceffabit; Probe hic obferuan- dum eft ipfigoe difcrimen in. motibus reciprocis ab- folutis contingere , prouti numerus integer. 5 fuerit vel.par vel impar; in priori. enim cafu perfecte fingulae recurrent circumítantiae poft quaeuis de-. mum bina interualla 2 T , in pofteriori poft fingula fimplicia interualla T; atque haec obferuatio paritet formanda eft de duobus punétis qualibuscunque in chor- da vniformi vibrante pro ratione vibrationum fime. plicium , quae motus reciprocos chordae abíolutos. conftituunt ; etenim in his motibus reciprocis. pari- ter fieri potefl, vt a flatu perfectae quietis momen- taneae totius chordae , alia puncta extrorfum alia introríum moucantur; fingula chordae puncta equi- dem, poft fingulas vibrationes fundamentales , pe- riodicos flatus quietis momentaneae fimul obtinent, 3t minime fimul, in omni caíü, excurfiones fuas. abfoluunt motu fuo abfoluto nec in vllo pun&o mo- tiunculae reciprocae abíolutae leges obferuant motuum pee fim- 263 ; xA DEC MQ TV EE fimpliciuntzifochronorunr ,. qui- proprie- vibrationes. aut: efcillattiones -dicuntur.. Quod .fi- vero numerus. integeP- n. fuerit- impar, . fiet. vt- poft fingula. tempo- rissinteruall: T4;.ambo: corpora. fimul..pro. momento. quiefeant ;»configurationemque- initialem refumant. fi- mulque «etiam: axem verticalem. tranfeant, quamuis: a; momento -communis- quietis. ad. diuerfas ire poffint. partes. | alterum. fcilicet. accedere. ad. axem. alterum. recederé; ; motus. denique. reciproci ab(oluti. minime Pit sipeivics notiffimas. ifochronismi.- leges , . dum. durante:-vna- eademque -ofcillatione- fundamentali- cor- .pora-nunc. progreffiua ,.nunc-retrograda nunc. ftatio- - naria effe-poffint.atque- idem. in. fingulis chordae ir-. rogulariter . vibrantis. punétis 'contingere.. poteft. . ^ ^ Quod ff pro z accipiatur numérüs nbh 'iüte-" gér; veluti aut 7 , periodi in-motibus* rtciprócis abfolitis nom nifi poft plures: ofcillationes. fundamén-^ tales recurrent ; veluti" poft fex sut^ feptem huiüs-^ niodi 'ofcillationes- atque id his cáfibus,- vt dé^mios" tiUüs- reciptocis "inde réfültantibüs ré&e iudicate "pós-*^ m ^rüffüs* difpiciendum- erit^aü denominator ^ id^ s fráctionibus "ad^minimos" terminos" reductis , « fit^ goi par^vel impar:' Sed ^in ' pofterióri-càfü attédendum "erit?^ad nurerdtotem "an^ fit ntimerus pat" vel dmipir; etenim "aliter^fe res- habebit "pto"ntifiez» :$^79tet pro 7$" baec" mitifeft"fient*? - fi"notiTolam'b ad periodos pfo "quietis" miórmentineze ^ con&ür(u^ ofed.* et^ pto toofizuratione " fyftemátis ,- , his mófhéttis;imgone fpondente ; animum " 1 atténdams "ls P Xo PENDYLORYVYM. e65 Denique fi fuerit ;» numerus irrationalis , nul- la vnquam fiet reftitutio perfecta neque ratione con- curfus in quiete momentanea neque ratione configu- rationis in fyítemate ,. etiamfi ambas ofcillationes fim- plices liberrime fieri et continuari füupponzs fine fi- ne; attamen . pro quouis momento dato in vtroque corpore et fitus et velocitas determinari poterunt ad mentem theoriae noftrae , vti infra videbimus. | a) $ 4. Defcendamus ad exempla particularia, retinendo hypothefin ' aequalitatis inter ambo fila, vtrumque aequale /. | (a) Ponatur corpus fuperius z; — 16 et inferius Mm 9i fiet Vinc * —i,; Lhinc longitudo penduli fimplicis ifocbroni cum, ofcillationibus . fimplicibus 3; eSI iid IC PPaNS -tardioribus zs -dnAY uie: lac pro ofcillatio- nibus celerioribus — /— / Y —^— — 2 /; hinc. prius m -- n alterius quadruplum eft; vnde T — 27 et 2— 2. (b) Inuertantur corpora atgue nunc füpponatur yL— 9 ct X — 10; habebitur Y —— —$; hinc lon- .gitudo penduli etat Ad aft m 21 et celerioris zzi/; vnde T— $7 et 5 — 3. (c) Manente maffa corporis füperioris , apparet pendulum fimplex ifochronum cum ofcillationibus fim- plicibus primi generis tanio maius fore quanto .ma- ior fumitur maífa corporis inferioris et tanto minus pro ofcilationibus fimplicibus fecundi generis atque fic duplici titulo fore vt numerus s increfcat. — Si maffa corporis inferioris y. fuerit admodum magna, -— Tom, XIX. Nou. Comm. LI erit 266 DE MOTV erit propemodum pendulum pro prioribus ofcillatio- mibus — 2/7 et pro ofcillationibus fecundi geueris ad- modjuim paruum numerusque 5 proueniet perma- gnus. Si e contrario mafla. ju ftatuatur perexigua , fieat ambo pendula fimplicia ifochrona proxime ia- ter (e aequalia et numerus 7 parum vnitate maior. Attamen pendulum fimplex ifochronum cum otcilla- tionibus fimplicibus primi generis fempcr excedet pendulum alterum , quod conuenit ofcillationibus fe- cundi generis et numerus 2 femper vnitatem pau- lulum excedet. Sequitur exinde , ambo puucta in- terlectionis o et o' ia duabus primis figuris fore pro- xime ad puné&ta media c et c! pofita, primum paul- lo füperius alterum paullo inferius, nec id feri poteft quin; pro ofcillationibus fimplicibus wvtrius- que gencris, corpus inferius arcus deícribat longe maiores quam corpus füperius, quod adeoque tan- tum non quiefcere debet, ne nimium recedamus, refp:&u ad corpus ioferius, ab hypothef qua fingu- lae ofcillationes admodum exiguae fuüpponuntur. | $. 5. Poftquam , pro dato pendulc compofito, longitudiacs pendulorum fimplicium requifitas deter- minauimus; fuüpereft, vt ab datis diductionibus initia- libus 5/ c et &' d in figura tertia, (quas in prima noftra commentatione literis « et 5 denotauimus) in- quiramus in femi amplitudines à c ct /' &' pro am- bibus figuris primis , quas vocauimus 2 et &!; In- dicaui hos valores paragrapho decimo primae com- mentationis: tranfcribam valores paulo magis con- cinnatos nempe £-—it PENDVLOR V M. 267 a—cia-i(b—a)v.— , atque a-ia-i(b-2)Yzt-. Cognitis valoribus « et a! arculorum bc et «c, innotefcent etiam arculi infériores e d et e'd! per pa- ragraphos 7 ct 9; crit nempe, pro cafu amborum florum inter fe aequalium , ed—aà-r a yh et e! d! — a! — ol Y 2b, Atque hoc modo determinauimus , pro data confi- gurationc initiali motuum reciprocorum abfoluto- fum , ambas figuras fimplices generatrices. Inde ta- lia confequuntur corollaria, (2) Si, pro configuratione tertia, fiat a—(b-a)Y 5, proueniet o —0; a — 4; atque fic figura tertia pla- ne eadem crit cum figura prima , ad cuius fimpli- cem normam fient motus reciproci abfoluti , etane- fcentibus ofcillationibus fimplicibus fecundi ordinis fi- gura fecunda expreífhis. (b) Sin altera quantitas a ponatur — o, tunc fiet & — a; cuaneícent ofcillationes fimplices primi ordi- nis, ac folae retinebuntur ofcillationes fecundi ordi- nis et configuratio tertia plane eadem erit cum fe- cunda. (c) Indicant etiam formulae noflrae , quod, fi di- ftantia initialis 5. in figura tertia fümatur maior quam a(x-r Y2—*?), fiat , in figura fecunda , 2! c' negatiua ita vt fi in figura prima pofita fit bc ad finiftram , altera Z/;! ponenda fit ad dextram. (d) Si pro figura tertia ponstur diductio initialis b'c— e d fiue a— b ita vt filum inferius ab. initio L12 motus 268 DE MOTV motus abfoluti fit. verticaliter pofitum , fiet a — a! —iug, quaecunque fuerit proportio inter maífas 77 €et.j«, atque tunc erit e d (fig. 1)—i4 H-ia Y TEE fimulque ad partes contrarías : d (fig. 27) 7— 24 m cs 6; 6. Vtar praefertim. poftremo. hoc corollario, partim ob. fimplicitatem. calculorum ,. partim vt. ia. experimentis inflituendis certi fimus de exacta fimul- taneitate, qua ambo corpora motum fuum incipere dévent ; quod fi enim folum corpus fuperius, extre- mis dig: tis ad latus diducatur , filum inferius fua fponte. ad fitum verticalem fe componet ipfoque mo- iento dimiffionis neceffo eft, vt ambo corpora exacte fimul moueri incipiant. Progredior ad pauca exem- pla fimpliciffima , inftituto noftro accommoda omni- que titulo determinata, Exemplum primum. Sit lon- gitudo /— X — 275 lin. Parif. maffa corporis. fupe- rioris. — r6 (Íemiunciis, maffa corporis inferioris — 9 femiunciis; quoniam vero hae maffae in vno puncto concentratae ponuntur, erunt longitudines fi- lorum a centris corporum dimetiendae ; tum pute-- tur corpus fuperius in figura tertia ad. diftantiam 4. poll. fiue 48 lin. didu&um in pun&um /£, ita vt fit diftantia z — £'c — 48 lin. cui quoque di(tan- tia initialis inferioris corporis 5 — e'4 aequalis im hoc exemplo. ponitur. His PENDVLORVM. 269 - His pofitis. fit. quantit quoque pro figura prima EUUc—d4-—:2-—.24li (8. 5.) fimulqu: ed—a-payt-*- £4 — 64 lin. ($.. 5). Pro figura autem. fecunda habebitur oet alit antera: lim yt ante , verum diftantia inferior u 5 " e! d —— a! — a! Y RAE —— 3 ü—— I6 lin.. wbi fignüm. negatiuum indicat, hanc diftantiam ad alteram: partem axis. a 4! efís accipiendam. Denique pendulum: fimplex. ifochronum cum ofcillationibus zegularibus figurae primae refpondentibus fit — $4 —440lin. ($. 4.) ac pro figura fecunda fimile pen- dulum: ifochronum: longitudinem obtinet rro lin. Igitur ofcillationes fimplices regulares tardiores for- mabuntur ad quaeuis minuta fecunda , celeriores ad quaeuis femi - minuta fecunda. — Sic itaque omnia determinauimus , quae ad ambas ofcillationes fimpli- ces et regulares ,, ad ductum duarum primarum fi- guraruüum , pertinent , eX quarum combinatione inte- ger motus abíolutus , pro figura tertia , deduci po- terit fecundum: praecepta , paragrapho octauo primae commentationis ,, exhibita: Etenim motus in pen- dulo fimplici ficile determinantur: rem profequar, pro: praef:nti exemplo , poft quaeuis femi - minuta fecunda. ^ Ab initio corporis fuperioris diftantia ab axe ad finifiram eft — 2 a — 48 lin. poft femi- mi- nutum: fecundum. corpus i(tud (üperius perficiet. pro ELS figura £10 DE MOTV figura primà verfus dextram femiofcillationem —'4 -— 24]lin. et pro figura fecunda ofcillationem — inte- gram —24 — 48 lin. pariter verfus dextram ; at- que adeo pro figura tertia fpatium deícribet 72 lin. fic itaque tünc pofitum erit ad dextram axis a quo diftabit 24 lin, hoc ipfo momento ftationarius ecrit motus ofcillatorius figurae fecundae atque retrogradi incipiet , dum ratione alterius motus ofcillatorii fi- gurae priae maxima fua velocitate. verfus dextram gaudebit: i2itur corpus finito primo femi - minuto fecundo etiamnum verfus dextram moueri perget motu compofito ex duobus motibus fimplicibus ob. viam euntibus, quorum alter retardatur alter acces leratur; fic vnus alterum mox deftruet; interea au- tem , quod me calculus deinceps indicandus docuit , corpus flu etizmnum fpatiolum 3 lin. verfus dex- tiam motu fuo abíoluto perficiet , :uncque diílabit ab axe 27 lineis eoque ipfo momento velocitas ab^ foluta nulla eft et corpus incipiet retrogredi , | abfit itaque vt motus abíolutos corporis pro ofcillationi- bus regularibüs habeamus ; malim eos nomine ge- neraliori fuotuum reciprocorum defignare, qui non poffunt aliter , vt videtur, quam ad mentem theo- riae noftrae defcribi. Porro tempus , quo corpus fu- perius, motu fuo abíoluto , vltimum fpatiolum trium linearum defcribit, eft aequale dimidio minu- to fccundo multiplicato per rationem arcus 14. 28/4 40! ad 9o" vel paulo minus quam ;; minuti fecun- di atque adco tempus elapfum integrum — Z mi- nuti fecundi etc. quo ipío temporis puncto incipit cor- pus PENDVLOR V M. 271 pus retrozredi verfus finiftram tuncque motum fervat ad fiuem vsque alterius femi-minuti fecundi, quo imo- mento pofitum crit in ipfo axe verticali ; quoniam ecim inteerum minutum fecundum «lapfum e(l, posjuam motus incepit, corpus integram ofcillationeni 2 a. fiue 48 lin. verfus dextrám interea refpectu primae fizurae perfcit dum refpe&u alterius figurae duas abfoluit o(cil- Jationes atque fic in locum vnde veaerat rediit: hoc temporis puncto motus corporis erit iterum veluti ftationarius , quia fimul pro vtraque ofcillatione fim- plici limen attigit; mox igitur corpus de nouo mo- tum abíolutum iacipiet verfus dextram atque inuer- fo ordine motuque priori cobtrario tandem poft duo minuta fecunda in locum primitiuum redibit, id eft poft à minuti fecundi iterum maximam fuam ha- bebit elongationem ab axe, 27 linearum indeque tempore ;; minuti fecundi redibit in locum , qui ab aXe 24. lin. diftat ad dextram , vnde finito quarto femi - minuto fecundo in punctum primitiuum re- dibit motusque füos reciprocos porto continuabit ea- dem lege. $. 7. Atque fic totum definiuimus motum ín corpore füperiori ; figura quarta vno intuitu rem ex- plicabit. Sit m5 — 48 lin. 2 2 — 24. lin. 9 4 — 2 lin. Denotet 2? locum corporis pro filo verticali ;. 7 fi- tum corporis initialem ; fitque tempus vnius femi- minuti fecundi — 7, dico tempore 7 corpus peruen- turum in pun&um p; fíequente tempore 7 defcriptu- rum fpatiolum 52-1 42; in puncto 7 fore ad mo- mentum ftationarium indeque tertio tempore 7 in- verío *[ab. II. 272 DE MOTV verfo motu percurfurum fpatium $4-1-4 p ac deni- que quarto tempore 7 deícripturum fpatium t5 tempuículum autem quo percurritur ípatiolum 4 erit proxime — $/ fiue ;4 minuti fecundi ^ Haec cum ita fint, non video quid pro motu abíoluto intelligi debeat per vnicam oftillationem ;. fi enim per primam ofcillationem integram intelligere velis fpatium defcriptum z7 p erit pro fecunda ofcillatione integra füumendum ípatium 54--q47; fc quidem tempora forent aequalia , fpatia defcripta inaequalia ; fi vero affümas motus integros et inuerífos, ícili- cet m dq et q7:7, tunc fpatia erunt aequalia at tem- pore inaequalia. | Mihi itaque mon vt ofcillationes fed. vt motus reciproci funt, qui aliquando fvas- for- mant periodos recurrentes ,. aliquando non formant aut tardifhme formant. ldemque dixerim de pun- €tis in chordis vibrantibus fiue aequaliter fiue inae- qualiter craffis, Verum , quod nunc potiffíámum volo, in hec confiftit , vt theotid noftra ad exfermuenta reuocetur, quibus accurate confirmetur ; facillimum autem erit obferuare puncum extremum (fig. 4.) pofteaque arcum aícenfüs » 4 comparare cum arcu deícenfus 9 5»; indicat theoria hos arcus rationem inter fe ha- bituros vt 27 ad 48 fiue vt 9 ad 16 ipfümque corpus füperius viam integram 774 defcripturum tempore Z vnius minuti fecundi: tum porro docet theoria , corpus retrogreffurum veríus finiflram at- que elapfis 4; minuti fecundi peruenturum in ipfüm moss ?; vbi nouus fieri debeat regrefíius verfus dextram ;5 mg PENDVLORVM. R75 dextram ; puoctum . autem fecundi regreffus iterum accurate Obíeruari poterit et. examinari. an. fiat in ipfo. pun&o m1 pefimodum corpus fecunda vice pcr- venire debet ad pun&um 4 ibique tertius fieri | re- Brefíus ; Anteruallum autem .terpporis inter. fecundum et. tertium egre(fum. iterum. prexime erit 4 minuti fcc, Denique poft vltimum . Anteruallum temporis. $, g Amin. fec. corpus fpatium, integrum 4 ut. per. fecerit gportet imminente quarto ef yltso .periodi primae regre(fu, Qua accuratips. inflitutum fucrit iflud. ex- perimentorum geunns, tanto magis, wt nullus dubir tQ, euentus conueniet cum theoria. | he 00$. B. :Profequamur. nune ctiam «motus rocipta-- £0s. pro €odem exemplo. iu corpore iafebiori : Diflan- tia. ánferioris corporis ab axe ad finiftram ' ab. initio iterum. e(t — 2.4 — 48 lin. poft femi - minutum fe- cundum deícripferit hoc corpus verfus dextram : fp sium ed (Gs, 1.) zz $a.cz 64 lin. ($.:6:) pro legc o(cil- lationum jimplicium tardiorum fmnlque .:;pro- Jege altera verfus. finitram. fpatium;:2. el a! (fig. 8:) — $a &n32lin. ergo vtzoque. motu com pofito (patium perr cpiretur verfüs dextram: intra femi-minutum fecun dum , quod erit c 82 lin, . Caeterum ab initio vel etiam .quoties corpus inferius in fitum. primitiuum redit; quietem | momentaneam. obtinet -intenfiorem , quam .in. pendulis- fimplicibus ,; quia. non. folum « pro vtroque ofcilationum fimplicium genere velocitates epanefcunt fed et ambae vweiocitates naícentes funt £ontrariae et aequales. .Sequente íemi-minuto fecun- do corpus , pro lege .ofcillaionum fimplicium tar- , Kom. X1X. Nou.Comm. Mm . .dio- 294 DE MOTV. diorum , iterum defcribet verfus dextram 64 lin, et pro legc altera 32 lin. pariter verfus dextram; ergo fpatium defcriptum a^ motu compofito — 96 lin, elapfis ambobus femi — minutis. fecundis corpus infe- rius flationarium: eft, retrogredi incipit ac tertio femi - minuto fecundo iterum percurrit veríaüs fini firam 96 lin. pariterque quarto femi- minüto fecun- do 32 lin. atque fic ad fitum primitiuum redit. lgi- tur excurfiones integrae erupt r28 lin. alternatim ad dextram atque finiftram , ncc hic vllum erit pun&um regreffüs intermedium , motus abíolutus tamen valde diffart a motu penduli fimplicis ; ma- ximus receffus ab axe ad finiftram eft 48 lin. ad dextram. vero 8olin. Vnicum allegabo experimentum, fed apodicicum , quod in eo confiflit wt videatur num reuera maxima elongato corporis ab axe dit S$olin. Inde iterum confirmabitur thecria, Compareatur nunc motus abíoluti pro vtroque corpore in praefenti exemplo: ln vtroque | perfcéta erit periodus recurrens pofl duo minuta fecunda, cor- pus autem fuperius quatuor manifeftos - faciet itus reditusque , intermedios multo minores duobus ex- tremis, corpus inferius duos faltem faciet motus re- ciprocos et inuerfo oriine perfecte inter fe- aequales, Porro corpus fuperius maiores formabit ab axe dis. ceffus ad finittram' quam' ad dextram ; ^ contrarium accidit in corpore inferiori : Denique poft duo femi- minuta fecunda «corpus füperius erit in ipfo axe poe fitum , inferius aütem eo ipfo momento ab axe erit remotif&murr; ideique MAE pott fex, decem etc, femi-minata fecund, Hi MES PENDVLORVM. 27$ 0 0& 9. Exemplum. fecundum. | Ynuertamus. nunc corpora ita vt fuperius fit — 9 femiunciis 1c infe- rius — 16 íemiunciis , caetera. Vero . omnia eadem permaneant; quae in priori exemplo ; - fola. pendula fimplicia. ifochrona cum; ofcillationibus regularibus ad: normam duarum figurarum primarum orituris , mutantur; fiet - YRMH engines iftius. s; pendula ad figura . prima . , 3m asy Lt iaa —s] 9bui 91n3i71. Obuu»s! aan ur 2 O0 figura fécuada ' A uai up i MC ps tot. Jia atque. hoc - "ug TERME vnius ofcillationis | regula- ris tardioris tres perficientur , ofcillationes. regulares c€eleriores. . Sic facile eíti praeuidere fore. vt. in mo- tibus recipfocis compofitis. omnia | poft. quamuis ofcil- lationem fimplicem tardiorem perfé&e- reftituantur ; nec tamen propterea meo faltem iudicio, motus ille pro. vna: oícillatione. erit ;habendus ,... quandoquidem quiuis motus compofitus, qui ab vna extremitate ad alteram. perficitur ,- manifefte ex . tribus. motibus. reci- procis con(tat , vti mox -videbimus. -Commodiffime tempus vnius. ofcillationis regularis tardioris diuide- mus in tres. partes aequales fimulgue in anteccffum obfcruabimus ,; vti. in mechanica demon(tratur ,. quod fi' integra penduli- excurfio fit c. «, primo .trien- . te de(cribatur: fpatium. 7.4, fecundo fpatium, & 5: ter- tioque iterum fpatium ia, fimulque quouis. triente temporis integra at(olua fln ofcillatio celerior , cuius excurfio — 2 a^. vel — 2.4, quandoquidem hic ite- zo94 M m 2 rum Mbsrgor , f) bib ec ue — "U7BÉ MoTV ^^ rum fit d -: w ' Videamus nüné motum comoofi« tum pró — fuperiori àd normam figurie- bon tiae y in qua bb-be-cuw- *4lia. DU "Excurfio: intésrà cotpotis fupétioris pro fótü — fit — 4a -- 96 lik primo tfiente term- poris defcribetüg fpatium abfolutum 5; — 4 —— 60 lin. (Sempé fpatium i ab ofcllitione regulari tardiori et fpatium 2 a a celeriori ; dpues ie ose dex- — — a, id eft, A UERUA per eum 24 lin. ter- tio autem triente iterum defcribit Hiotd ptogreffiaó fpatium oia fiaitó fcilicet primo triente corpüs fu- periüs diftabit à fitu initisli 60 liv tertio triente $96 lia. Hos fitus diuerfos indicat figura 5$, vbi ite rum 5 7:—-48lin. ny paritee 2548 lin. deinde: 7p L—d4zsieli. atque fic erit corpus poft primum temiporis interuallam | in 25 E" fecundum imos "et poft tertium in 7. Vetum notetur , corpus. fuperius , icum perue- niet poft primum temporis trientem in fitum p, gau- dere etiamtmum aliqua velocitate ver(as dextram -at« que fic peruenire poffe dd puncdum 4, parum -qui- dem diftaüs. antequam velocitas abfoluta toti ^ eua neféàtg Ia hoc pun&o q poütum et punctum -re- greffus,' quód folum - 4n experimenio re&e "obferuati peu a Vero pun&o 4 tegreditur "corpus vsqué in P (aca s rcp) indeque fecundus fit regreffus vere fus déxtram? fic proprie fecundo temporis triente corpus viam defcribit f 4? s, quac eft aequalis E - m 2 p4; inuenio autem parüulam diftantiam - Ü 2— -— PENDNVLORVM | *74 bqz524lin.x(—cof.6 5^. 54/4: cof. 60^)2- 24.lin. x0.09 16 — s lia. dgitur fi fümatur 54 — 9 7—— 14;lin. regteffus fiet 4n punctis et 7, haecque fi cum experimento ac- xurate inflituendo -conueniant , iteram theoriam no- fiam coufirmabunt. "Ambobus autem Tegreffus puu- €tis 4 ct 7 ipíà quoque puncta extrema f ét 5; an- vip n fünt. U] " wr yo diis qoa "Fadiamus nunc; quoque calculum . pro inferiori corpore ad modum, quem jninimus pro primo. exemplo in paragrapho . ocdauo: Hic ruríus requiritur ante omnia, vt in figura prima ex data - bia determinetur Au *dzza--aY "ups ass TES 54 linm fimolqae | án figura fecundi feri - ipgurguig quau.. S ate d din s igitur excurfio dul 2edzzroslin. atque 9?! zz— 12. Si iterum tempus ofcillationis fimplicis tardioris diuidatur in tres partes aequales, -deícribet corpus inferius pro ofcillatione «tardiore , durante pri- mo triente , 27 lin. durante fecundo triente 54 liu, et. durante tertio triente 27 lin, ac, pro oícillatio- .ne.ccleriori, perficict iisdem temporis interuallis fücs ce(bue 12 liu, verfus jfiniflram , tum rurfus 12 lin, verfus dextram ac denique a2 lin. weríus finiftram hinc vtroque motu coniuncto primo triente percur- ret corpus veríus dextram (patium 27 lin, — 12 lins wel 15 lin. fecundo triente. pariter verfus dextràm fpatium 54 lin. -j- 42 in. fiue 66 lin. ac tertio trien- CB Mm sg te — 27$ » DE MOTV ] te itidem verfus dextram 27 lin. — 12 lin. vel r5 lin. atque tunc motu contrario fingula recurrent, mec vlla in corpore inferiori erunt puncta regreffus ,. nifi in puná&is extremis, Filum inferius vtroque fitu exe tremo erit verticaliter pofitum pariter atque in mé- dio excurfionis; fic quidem corpus ipfum , motibus fuis reciprocis , vtrinque aequalibus, in medio ve- lociffimis ofcillationes mentitur fimplices perinde ac fi in pendulo fierent fimplici; attamen velocitates in omnibus locis intermediis longe aliter fe habent nec enim in noftro argumento vires acceleratrices pro motu abfoluto fünt diftantiis ab axe proportio- nales ; funt tamen, in hoc exemplo, motus integri reciproci ifochroni, fiue maiores fiue minores excur- fiones efficiantur. Vnica quidem lex eft ifochronis- mi in vno corpore; at in pluribus corporibus in fe inuicem agentibus haec lex infinitis modis variari poteft, quia non licet variare diftantiam initialem ab axe pro vno corpore, que. fimul varietur. in re- liquis corporibus ^ » Situ $. xz. Videmus iu hát altefo puuevn omnia perinde aequaliter fe: habere ab vtraque axis parte, fecu$, ac in primo exemplo, in quo clongationes fuperioris corporis ad finiflram .indicatae per mn (fig. 4.) notabiliter. exceduut elongationes ad: dextram: expreffs per 24; e(t enim. 2254: 1q—— 48:23 7 16:9; vti demonflrauimus $. 7. dum e contrario ia infe- riori corpore elongationes ad finiftram:. funt multo minores. elongationibus ad dextram in ratione 48 ad 80 fiue 3. ad 5: perinde autem poft quasuis bi- I nas PENDVLOR V M. 279 nas ofcillationes fundamentales in primo exemplo recurrunt , iu fecundo poft quasuis fiagulas huius- modi ofcillationcs: atque idem contingit quoties nu- merus ofcillationum fimplicium tàrdiorum fubmulti- plus eft numeri celeriorum eodem tempore abíolu- tarum ofcillationum ; verum quando ratio inter hos ambos numeros minus fimplex eft, plures atque plures requiruntur ofcillationes ; vt perfecta fiat re- rum omnium reftitutio. Liceat vnicum fuperaddere ca(üm , quo ambo pendula fimplicia , cum ofcilla- tionibus vtriusque generis ifochrona , vel potius tem- pora horum pendulorum parum a ratione multipla recedunt. | "me Exemplum tertium. Ponatur ea, inter maffas $ et p., ratio vt duodecim ofcillationes tardiores , ad normam figurae primae, perficiantur eodem tem- pore, quo viginti quinque abfoluuntur Oofcillationes celeriores fecandum leges figurae fecundae. : Sic qui- dem 3b initio motus reciproci abfoluti. parum* ab exemplo noftro primo $. 6. abludent." Durante pri- ma ofcillatione tardiore corpus fuperius iterum per- veniet proxime vsque ad punctum 4 figurae quar- tae, veruntamen id paullulum praeteribit , poft fe- -eundam ofcillationem fimilem , proxime perueniet in pun&um primitiuum 77, nec tamen id prorfus attinget; excurfiones laterales ad finiftram , qualis eft » n, fenfim decrefcent atque excurfiones ad dex- tram, qualis eft 74 , increfcent , vsque dum maxi- mae fiant a latere dextro, minimae a latere finiftro, in ratione 16 ad 9, quac ab initio füerat vt $ ad TET 16 ; 210 x ERN OMOTRV. 24 16; hacc maxima wariatio periodice continget pofi quasuis duodenas ofcillationes tardiorcs., diuque ifla reciprocatio fubfiftit, fi. modo. motus reciproci libere fiant atque accurata. inflituantur experiment. (Quod dein pertinet ad. morum corporis inferioris, dico fi miles reciprocationes jntcr maximas et minimas «logs gationes,, ab. vtroque latere, orituras fed ordiuc. ina verío. Vidimus .nimruum, $, 8, quod fi tempora pro wttogue ofcillationum. fimplicium genere fucrint praecife in ratione gupla; maximum reccffum. ab axe fore ad finilüilam 48 Ln. «t ad dextram 1o lin. hancque. legem per totum experimenti decurífum efie fupflituram. ^ Nunc vero in pracfenti exemplo , ab initio. increfcent. difccffus ab axe. ad finiflram , de- creícent ad dextram ;j aequales fient. pofl. fex oícilla- tiones tardiores et poft totidem ofcillationes fequens tes maximae erunt ad latus finiftrum | minimae ad dextrum ; finita hac prima periodo , recurrent mu4 tato juin , eaedem motuum reciprocorum eges poft fingulas. duodenas ofcillationes fimplices "tardiores. at« que variationes. Haec omnia fi experimentis , ied accurate inflituendis, refpondeant , non íolum theo" riam confirmabunt , fcd :et "haud gnum momenti illi fuperaddent. . TM (S. x2. Vereor. equidem 5i ne perpetuae. rerum omnium variationes veris motuum .reciproconum lee fibus nimiam iniiciant moram , quam wt hi motus poft. magnam .eorum numerum . integri feruentur ab impedimentis. phyficis ; nullus tamen .dubito qnin iilis "veftigia xeritatis fipt manifeflatura, quae intelli- : PENDVLOR V M. 298z intelligentibus fufficiant. Ego quidem memini, me forté fortuna. fimiles motuum reciprocationes in. duos bus córporibus ," fed" aliter/connexis ; "olim :obferuaffe tintoque magis fuiffe 'miratum , quod tunc'' tempo» ris vfum principii de coéxiftentia | vibrationum . fim» plicum regularium , nondum cogitaffem.. Obferua- eu | de qua loquor , haec eft. - pof bx ... Cum aliquando. in. libra. » -májori eaqüé . füi- gn, alteram lancem forte fortuna ad latus diducc- rem moxque rurfus dimitterem ;- accidit vtique vt protinus | hinc. inde ofcillaret nec ab initio lanx op- pofita de loco rnoueretur : mox autem et haec ,quo- que agitari fenfimque maiores olcillationes. foramare , dum € contrario lanx ptior motum. fuum ofcillàto- rium gradatim. perderet tandemque. fere quiefceret 5 hoc ipfo momento. altera maximum . motionis gra- dum , initiali lancis fociae fere aequalem , attinge- bat : tunc ordine contrario eaedem . mutationes repe- tebantur, vsque dum prima lanx motum fuum pri- mitiuum integrum refumeret fociaque quieti ad mo- mentum redderetur ; haec autem ofcillationum com- municatio ac reciprocatio diu fatis fcfe manifeflabat, n fit'argümentum noftrum ,^ cum vel. minimus: furai- lus innumeros offerat freictdsi jnter. quos paucos «de- cerpfi- le&u facillimos. | Si. plura: quam 'diio corpora | füfrenfa confiderate Tlubeat , "res quidem iu abfítra&o foret. aeque* facilis , ^" conceffa ^ radicum in^ altioribus aequationibus extriftiobéd at. fimul:nimis in concre- "Tom. XIX. Nou.Comm. Nn to ACA $. 15. Ex- paucis: allatis liquet, quam fertile Nu "Tab. IL ^ 282 "INE) Mq Y. 3:4 to laboriofa; Ipía interim argumenti natura praeter eam , quam docuimus: methodum , nullam aliam ad- mittere videtur ; manifeftum. etiam e(t hauc metho- dum omnia comprehendere , quae rei ip& |infünt, quiscunque. fuerit corporum numerus fiue finitus fi- we infinitus, qualis foret in catenis füfpenfis vel et- iam in chordis muficis: tenfis, . Caeterum paffim in hoc fchediasmate mentio- nem feci punétorum regréffüuum ; haec autem ex eo determinantur , vt, pro ofcillationibus fimplicibus vtriusque generis , pun&a quaerantur in quibus mo- tus fint contrarii Cum velocitatibus aequalibus, fi tempora fümantur eadem ; hinc ambo fpatia, vtro- que pendulo fimplici defcripta , innoteftcunt ; füumma wel differentia fpatiorum defcriptorum dabit in pen- dulo compofito locum abfolutum. ^ Si porro füper vtraque excurfione integra in ambabus ofcillationibus fimplicibus tanquam fuper diametro couftruatur cir- culus in eoque abfcindatur arcus qualiscunque, arcus ifle exprimet tempus infümtum , finus verfus huius arcus indicabit fpatium hoc tempore defcriptum et finus ipfe dabit velocitatem | corporis pro. — ófcillatione fimplici, Sint nempe (fig, 6 et 7.) af ed «et af! "m duo circuli radiis a0 et «o! defcripti fintque . radii 580 et a'o! aequales elongationibus initialibus corporis fuperioris ab axe pro vtraque ofcillationum . fimpli- cium cliffe fiue 20 — « atque. 4-0! — a/,.... Confide- rantur hic. viae a. corporibus | ofcillando - defcriptae — Jincae rectae ob infguem , quae fupponi- tur FE.NDVLORVHM. 283. tur in! ofcillationibus , paruitatem. Sint porro tem- pora, quibus integrae ofcillationes « € et a! «^ perfi- ciüntür aequalia; et 7^ et. velocitates in punctis me-, diis 0 et o! — c^ et c^. Peruenerit inter ofcillaadum corpus eodem temporis: interuallo ex punctis q. et. af. im. puncta. e et e, ex quibus erigantur perpendicu- lares e b "ut quq e' D: erunt. velocitates in. pun&is e etat. — eb s; et vU c^, quae affirmatiuae. vcl negati- v3e pro He nata. erutit. accipiendae ; :habebimus quo-. qué tempora pro'percürfis fpatiis a e et 4! e: aequa-. lia Ve Poet e ?!, haecque tempora pro motu ab-. foluto fcmper aatis funt inter fe aequalia. . Sit nunc qautans circuli , cuius radius vnitate exrri- Witut , — 4, ponaturque fpatium ze — x; fpatium. oer Crit arcus af exprimeidue pere mula riplicarum per atcum cuius finàs verius eft X , id eft, Fe. a Arc.fin. verf x atque femicirculus afe per £a4, liocque modo fit zz Meere ** pariterque | a In s; vnde, ob praefatam temporum. aequalitatem . vel potius identitatem , obtinemus 7 Arc; fin. verf. x z— i! Arc. fin. verf. 2^: quia. porro ve- locitates in punctis e et e! debent «ffe inter fe con- trariae et Men habebitur quoque x RT gmlIYeUy—m gd , praefatis ambabus aequationi- bus facillime tentando fatis fict et inucnientur valo- res X atque.A! quod nunc exemplo paragraphi fexti explicabo , in quo facienda eft a — a'; £ — 2 1/5 €— ic, quia fclicet velocitates maximae c et cf a vt ys ad V£*, fi per Pet F' intelligantur, 2P ^F? Nn2 pro 484;.— DE MOTV PENDVLORVM: pro vtraque ofcillationum fimplicium claffe.,.. longi- tudines pendulorum fimplicium. ifochronorum ,. id eft, vt r ad 2 in praefenti exemplo. '. Hinc :fequi-. tür, ob aequalitatem: radiorüm /z o eta! o*, fore ar-. cam af b aequalem dimidio: arcui ^a^ f* £^. fimulque; be fiue fin. Arca f b — 2 0! &' fiue aequalem .2 (in, ; Arc. a! f! I negatiue fümto, cui vtrique - conditioni: fatis. fit ;" fumendo. arcum" a.f b — 1045. 28. 4ol;. Sic. fiet. 2e 1.,25000 & — $6: 80.lin. . fimulque a! e! — 1, 87500. 6 2 45 lin. hi. duo. valores. nos do-, cent , corpus fuperius ab initio vsque ad primum gendum regreffüs defcribere. fpatium 50 lin. ofcilla- tione. fua. fimplici tardiore atque 45 lin. ofcillatione fua celeriori , adeoque motu fuo compofito 75 lin. Haec omnia exacte conueniunt cum paragrapho fexto. f Sed hoc exemplum: facillime per prima ele- menta. geometrica foluitur, poflquam demonftraui- mus, pofitis radiis: a 0 et. a^ o" inter fe aequalibus ,. quod fit he — 2 D! e' fimulque arcus a f b — dimidio arcui 4! f! b/ (iue f b — 1e! b^ vnde ftatim, absque vlla appropinquatione , inuenitur exacte o& rue fias arc. f b—4rad.—;a— 6lin. adeoque: ae—4a— 30 lin. vt ante. DE puseeso (7o) $$$ 285. emitnibros» $)010203 DE OSCILLA TTIONIBVS MINIMIS. PENDVLI QVOTCVNQVB TON- . ' DVSCVLIS ONVSTI. Auctore Weseiectbando E Lou RO iudiop x9 Problema. S. filo tenuiffimo fiue grauitatis experti quotcun- )' que pondufcula A, B, C, D iu datis a fe inui- cem. interuallis fuerint alligata , idque ex puncto O fufpenfüm. et vtcunque ad motum . concitatum ofcilla- tiones minimas peragat, cius flatum et motum. ad quoduis tempus definire. Solutio. 6. r. Ex puncto füfpenfionis O' ducatur. re& mpg qm verticalis O V, et quicunque motus-pendulo primum: Fig. z. fuerit impreffus elapío tempore — £ pendulum te- neat fitumr in figura expreffum O A B C D etc. et ex fingulis pondufculis ad' verticalem O V agantur normales A P, BQ; CR, DS etc. lam quia fin- gula pondufcula dantur , eorum: maffae feu pondera defignentur litteris A, B, C, D eic. et quiz eorum interualla etiany dantur ponamus diftantias OA-—a, AB—5; BC—c; CD—4 etc. N Ds. Porro 486: DE OSCÍLLATIÓNIBVS Porro pro fingulis pondufculis flatuantur coordinatae OPc4; OQ OR-—34; QS 4" erc |PA-—y; OB) RC-—9 SD-J ec Tum vero ductis verticalibus A 4, B r; Cs etc. vo- centur anguli quibus fingula interualla a fitu. verti- cali declinant AOp—p; BAq—4; CBr-cr; D aec etc. ex quibus illae coordinatae ita determinantur vt fit x —acof.p y aln x! —Aacof.p--bcof.q ! —afin.p4-bfin.g x! —acof p4-bcof.q- ecof.r |y! —afin.p4- bti rien fom 297) a!lI—acof.p4-bcof.q--ecot.rA-dcof. s»! — afin. p-r bl. c5 n.rn4 dán f ctc. etc. $. 2. His pofitis, pro motu determinando vocetur | tenfio fili OA — P tenfio fili AB—Q tenfio fili BC— R tenfio fili CD—S atque hinc; fi tempus 7 in minutis fecundis expri- matur eiusque difkrentiale d; pro conflante habeatur, altitudo autem ex qua grauia vno minuto fecundo libere delabuntur notetur littera g, principia mecha- nica fequentes fünppeditant aequationes PENDYVLI MVLTIMEMBRIS. 287 didam. Pc gas lády .. EE, PEE Q.cof. q! A. m Pp Lp, Of. q (6 dd £ — addat Mas — gehe y Rohr Es — frg p nier adu R cof. r scfsiddy^ . ; | Rfm.r 4, S fin. ere: i6 oe ve MePBCS In e pup Nc ow S/cof.s ddy" .. .SfWs ugd(5 7" D zB t? D. etc. etc. || etc. etc. harum aequationum numerus, qui duplo maior eft »quam numerus pendulorum, fufficit tam. ad fingulas tenfiones P, Q, R, S etc. quam ad angulos 5, 4, r, $ etc. bistermiTiamáos pro quouis tempore 4. €. 3. Haec ita fe habent in genere quantaecun- "que etiam fuerint ofcillationes ; quo autem ca(u vix "wlterius progredi licet,.quam ob rem «cogimur inue- .füigationes noftras tantum ad «os cafus accommodare, -quibus ofcillationes funt quam minimae, yti in pro- blemate enunciatur. Quin igitur hoc cafu omnes an- guli 5, 4, r, * effe debent quam minimi, pro eorum cofinibus fcribere licebit vnitatem ; pro finibus autem ipfos angulos 5, 4, r, s etc. Hinc igitur fingulae ab- fciffae et applicatae fortientur valores Ea NE EESTI x! —a4-b J! —ap--5q Co gll. bec 3! — ap-pbgA- er ali— eM b-kee-p-d | yl! —ap-rbq-p ert ds etc, ——— etc, -IQQuia igitur abíciffae hoc cafu fiunt conflantes, carum -Miffcrentialia euanefcent ; ex quibus nafcentur fcquen- /Xes aequationes : 3 | 0—A e88 — ^ DE OSCILLATIONIBVS c—A-P4-Q; o—B-Q--R; o—C-R-F$; : i i | oc D-S ex quibus flatim fingulae tenfiones facillime definiun- tur, fcilicet S—D; R—C4D; Q-B4C4D et PCA4D--C4D; etc. hinc ad calculum contrahendum ponamus treni gna | P—rpRECGDga hincerit — 8 E4EP at o. 53 bu D. R — C--D —P- $— Éd-ampnacan Ber enb 3 V RU BALL S-—— D aet coli adig uf pE tunc. SEP St Ez ME etc, — etc. etc. $. 4. Quod fi iam pro applicatis y, 5^, 5/! itemque pro tenfionibus P, Q, R, S etc. fuos fcriba- mus valores, adipiftemur fequentes aequationes diffe- rentiales fecundi gradus: I. franc 45-- (a —1)g ! iz 11,2442. -5424— 1. 89 1 (6^ 1)r 2gdàt? III. RR —yr (y —1)5 add bdd cdár--d.dds—— FÉ py deas puc Cdp t Eet— ós—-—s. Sicque totum negotium ad refolutionem harum ae- quationum differentio-differentialium reducitur, quae vtique artificia prorfus fingularia poftulat. $. s. Quia in omnibus his aequationibus va- riabiles. p, q, r; s etc tantum vnicam tenent dimen- fionem, euidens eft, his aequationibus íatisteri - poffe, 3 ; fi PENDVLI MVLTIMEMBRIS. 289 fi. inter quantitates: 5, q, ^, $ certae rationes conftan- tes ftatuantur. Sit igitur lpe- 9 m; qom syramgsiscOr fic enim illae áequationes fequentes induent formas: tgp sdds——a9(g-1-(a—1):x zgdP — JL 9525225 — 6:9z-- (8-1) 2 , HI SP 69242 — an dirai e 3» IV. Gum roagdes —0$9z----—9z. quae aequationes cum omnes inter fe conuenire de- beant, fingulas ad hanc formam reuocemus $ dz Lu -—TÀ. PEÀIT TR h E in fingulis fubftituto nancifcemur fequen- quatuor aequationes inter méras quantitates con- flantes ,.| fcilicet [n mis —-—a89(--(a—1)3 T. fin) 88 .p(6-i)€ , HE ck ge EIE EE y 8-- y -— 19 iss (See -*-EiLeecbi oso à ^ $. 6. Ex his iam aequationibus determinare licebit coé&fücientes affümtos 9(, 95, €, ctc. Ex pri- ima enim erit —— (085 — C (a—2); ex fecunda erit | bis N "Lm LbYAQ yg oc €odem modo ex tertia elicimus . En d $5 b of AUC ERUNT RUN NN a rm: y-—rtk Y-—ik " Tom.XIX. Nou. Comm. Oo.- Qui ijo DE OSCILLATIONIBVS Qui valores in quarta- füb(tituti! producent: aequatio- nem alzebraicam , ex qua quaütitatem iacoguitam: & determinari. opportebit; vbi aejuatio- tot. inuoluat ra- dices, quot dantur poadufcu!laz ita vt pro k. totidem diuerfi valores fint prodituri. Quarta autem aequat.o quae hic eft vltima hac forma repractentatur ; 912-1 -5 b -I-€e-i-:4— D 5—0.— 6. 3. Subfiituamus nuuc fuccefüue valores ex prioribus aequatiouibus inuentos iu poflerioribus; et quia erat f?) fet tuos 36 -2€-5-r Dg DE- Div Teo 1) EM SII MES DN DNSMMRAU 1 c a («—; CR K^ $3—:K — (—udad (Y-z* qui Miam ad fequentes formas reducuntur («— x)& 5—a— - (a M. 1) za —t eSI nba di (a. -—- 1) e- I) w- )2- — a$y- setae i-e eite 613 piu PRISCA a. abc m eie wes cw $ * " 6. $. Quod fi iam iflos valotes iu sequatione inuenta füb(lituamus , pro determinatione quantitatis k. prodibit aequatio quárti gradus, dd quam commodius inueniendam | illam aequationem multiplicemus per RAT )Y--3 vt habeatur iflá acquatio: — md ee ecd C E dam, ie Hu m i Ner e vunp . ena — facto PENDVLI "MVLTIMEMBRIS. ^ 29x fa&o.autem calculo aequatio ifla biquadratica ita re- perietur expreíla : ] P | eo 2 Ab. ey ety. K' —aSy (aX bed) kb. Y Med. 6 "4c. (a - 8 — 1) r- Ad, a(8.4- ty —.1). z is a d(x 64. ey Sy -a— $-y2- I ) P (0j) bedsa "A —4 b6. ^y Dey pet abe mo 46d (a 4,6 — 1) vbi obferuaffe iuuabit, primo' litteras a, 2, e,.d fem- sper denotare diftantias pofitiuas.; tum . vero litteras a, 8,.'y, efle numeros pofitiuos atque: adeo vnitate. ma- iores. Hinc enim ratio intelligi poterit , cur. omnes quatuor radices huius aequationis proditurae fint rea- les: .eas / autem . omnes. die poliriqes. permutatio . fi- Baoruin, declarat. - brun | $. 9. pfi refolutioni huius aequationis hic non jmmoramus, quando juidem fi numerus poudufculorum effet maior a tali inueftigatione prorfus abítinere togeremur: defignemus: igitur. quatuor huius aequa- tionis radices litteris &, & &/ et &/ ex quarum fin- gülis peculiares: valores. pro litteris 9, 85, € et. colligemus, quos. pariter hoc. modo defignemus 9// 33/, €! $i; 9I, 9, €, QI er 9U, 95", C. y; vbi quidem "patet , litteras 91, 9U, 9//, 9/ arbitrio nofiro Oo 2 peni- * e92- - DE OSCILLATIONIBVS penitus relinqui; ita vt hoc modo quatuor possc, quantitates pro lubitu accipiendas. $. 10. Profequamur igitur noftrum calculum pro fola radice k, cui refpondent co&fficientes 9f, 25, (€, à, quandoquidem quod pro hac radice fuerit comper- tum facillime quoque ad reliquas radices applica- tur, Cum igitur (tatuiffemus hanc aequationem dif-- ferentialem — fecundi .gradus ES — ££, it vt fit £22 -1-*£*—0 [íi ponamus *£ —AA vt fit A—Y':£ a fi quidem £k íemper e(t Lost realis pofitiua, Sod tum eft poft duplicem integrationem prodire z — f fin (A2 -j- 9): vbi 9 eft angulus ab arbitrio noftro pendens. altera autem confílans arbitraria f fine re- firictione vnitati aequalis poni potefl: propterea quod co&fficiens 91 iam eft arbitrarius. Hinc igitur ad quod- vis tempus 7 finguli anguli f, 4, r, 5 ita ditermi- nabuntur, vt fit J. p — 96 in. (7 4- 9); q— 35 in. (12-9); r- € fin. (44.9; et 5— 4 fin.Q£4- 9) fimilique modo fi ex rcliquis , radicibus , k', hy ud Kou edus E y £84 RUCCTPERIURU ES d praeter illam folutionem adhuc habebimus tres fe- quentes I. p-3I! fin (A! t--9! ); qz 85! fin (4^ 1--9/);. rz €' fin./ 24.9! ); £z! fia. Qt 4- 9!) ETT. p-3I" fio (hi pg; q-99! (in. (A t9; r Gn 1 (4-9!) ;— án. (A7 4- 9") Ty. PENDVLI MVLTIMEMBRIS. 293 IV. 23i! n.(/s 4.9! ; 4-25! fi. (Az 940); p fim Qs 4 9h f qi fin. (A! S gi, CY $. 1r. Singulae autem hae quatuor folutiones maxime funt particulares: propterea quod duas tan- . tum conftantes arbitrarias inuoluunt, fcilicet 9( et 9., dum íoluto generalis ob quatuor aequationes diffe- rentio-differentiales octo conílantes arbitrarias com- plecti deberet. Qualis igitur motus fingulis refpondeat Operae pretium erit accuratius inueftigare ; ac primo quidem quoniam pro qualibet cafu quatuor anguli f. 4, "; * eandem perpetuo inter fe feruant ratio- nem, motus erit maxime regularis et pendulum per- inde ofcillations fuas pereget ac fi cffet fimplex; at- que quia elapfo tempore 7 — — *$ fi loco ; ícribamus 22-3 finguli anguli in M sd flatum rcuertun. tur, ideoque pendulum interea duos ofcillationes abfol- viffe cenfetur , ficque tempus vnius ofcillationis erit —X — $1 quod adeo tempus in minutis fecundis exprimitur. Eodem modo pro fecunda radice K^ erit tempus vnius cuiusque ofcillationis — wer pro ter- tia radice — 7*7 et pro quarta 797 Ae : $. 12. Cum igitur hae quatuor folutiones fim- plices problemati noftro fatisfaciant , quoiam in ae- quationibus differentio - differenrialibus ad quas nos folutio perduxit fingulac quantitates f, 4, 7, 5 vbi que vnam tantum dimenfiouem tencat, folutiones illae particulares quomodocunque inter (e combinentur pro- E Oo 3 blema- -! 494 - DE'OSCILLATIONIBVS : "blemati pariter. fatisfacient., vnde fequens folutio ges 'neralis conficitur; f — 93 fin. Qu 4- 9) 4-9l! (in. £4-9^)4-9t fia QU 4-94 91 in, I4 9) q— 85n.[A r4 9)4-35/(in.(V£4-97)4 85" ia (Az 4-94 25" fin. (t4 Sn ) r — € n. :4-9)4 €! fin. (774-254. fin.(A!4-9^-4 € fin.(A//;4.9^) $— Q9 fin. (r9 4 Qfin.(/4-9/) 4-9" Gn Q1 9 D an (44-94) in'his enim formulis odo occurrunt conftantes arbi- tririae, fcilicet quatuor coéfficientes 9f, 9j! 9( 9// quippe pér quos reliqui determinantur ; tum quatuor | i anguli 9, 9/, 9. "9! quemadmodum gemina inte-. gratio quatüor de aequationum — pofiulat. Hinc. igitür patet, principium llluftriff. D. Bernmou/, quo omnes liniusmodi ofcillationes ex duobus vel pluri- bus motibus ofcillatoriis fimplcibus et regularibus. componi flatuit, ommino in primis Totus principiis effe fundatum atque - ddeo ex iis immediate deduci potle, 6. 15. Ope harum igitur formularum.ad quod- vis tempus-;. finguli illi anguli. 9, 2, r et .s.a(ligna- ri hiacque ftatus, penduli definiri poterit. Quin et- iam horum angulorum variationes momentaneae ce-- leritates praebebunt, quibus ftatus penduli quouis tcm- poris momento Z:' immutatur, Cum enim formulae. ] $i ? E )i 43 fa t exprimant celeritates" angulares , quibus ifti anguli tempuículo d4' augentur, hae celcritates ita fe ha- bebunt - *, », t | L.S PENDVLI MVLTIMEMBRIS. 295 a- Nel co (3) EMO cof. (Az -9 4X9 cof (A!!; 4 9) -L- ALI! 9// cof (A na Sul) | 44—A S5cof (At 4-9)4- A 9S cof (24-94 4 AU 93! cot. (Ap 4-945. Ang ATA 25! co. Quitg 4- 97) : $-— Meat LÀ ^" NE" coL (Nt e 9^) E MIE"cof (Ara 97 i RES A! (S! cof (un £4 g. At) EE p — (At-4- 9-4-A!bfcof. (A!t4-9^)4-A" cof. (N'r 4.9) B AU i» cof. " E 9) ficque omnia fumus adepti, quae circa folutionem huius problematis defiderari poffunt, - Corollarium. € x4. Maxima igitur difficultas in refolutioe ne aequationis alzebraicae ex qua omnes valores lit terae k determinari oportet , occurrit ; "praecipue fi pendulum pluribus penduículis fuerit oneratum. Tum vero etiám quemadmodum pro fingulis valoribus ipfius k co&íficictites 25, € et (9 definiri commode queant nondum fíatis liquet pro pluribus quam qua- tuor pondufcülis. Quo igitur hanc inueftigationem - faciliorem reddamus , differeutias inter biuas aequa- tiones fe ínfequentes ($. 5.) exhibitas confideremus ] —**—-a960F(a—1)85 fiue o-93 —a)-(a—-1)85 ]-1I. $/— oq S4 0—1)- €(£—1) I|-1ll. €£——635-4-€(6-y—1)- 9ty —-9 - lii-1V. PEE —-Y€-ry9 vnde £96 —. DE OSCILLATIONIBVS vnde facile patet quomodo -haé aequalitates" fiut continuandae ," fi | ponduículorum — numerus fuerit maior. e TN. IL ; mS 6. x5. Supra litterae 25, € et Q ex pri- ma 9( determinauimus; nuuc autem a. poftrema inci* pientes fingulas ex vltima (9 deriuemus, vnde fit vt fequitur | le O13 3o FDE—25 NL M , 4d ietddicuoe 1 ^ Wez9S-i) 625—G (8 cia. TE — i) — (Q9 (v 744, eupoit &9(—25 (a4-6—1—7)—€(86— 1). cos vnde reperimus . 5-kxv-. docUUE s-—iY-p6rvY-r-p -Uv) U- $ «Y - pcY-rop6- iT R)r Ny 329) viigagian vU qui valores in prima aequatione fubftituti producent iflam aequationem ; pras oic erB—i-DGry-i-D -2) Xy (o—pD(Gr8—:-b)rES(G—L)y-i més aD ECCE IRSE TR. quae aequatio manifeéfto afcendit ad quartum ordinem, €x qua incognitae k.quatuor valores inueftigari op- portet: hocque modo operatio inftitui facile potetit ;- fi pondufculorum numerus fuerit maior, S AWieiil - Scho- PENDVLI- MVLTIMEMBRIS. — 297 Scholion. 8. 16. Quamuis autem haec folutio fit maxi- me lites. et problemiati: perfe&iffime fatisfaciat , ta- men maximae occurrunt difficultates , fi eam ad ca- fum determinatum applicare voluerimus. Quod fi enim pro flatu initiali vbi 7 — o fingulis angulis f, 4, r5 datos valores tribuere velimus, fimulque fingulis pon- duículis datas celeritates angulares, ad octo aequatio- me$ perueniemus, quae fimiles erunt duabus aequatio- nibus ex angulo p natis: fi enim requiratur vt ini- tio fuerit angulus p — f eiusque celeritas angularis —i hae duae obtinentur aequationes: f-—396ün 9-—- 9I! fio, 9/-1- 9l (in. 9! -1— 9j! Gin, 9t et 4—À9IcoL.9 X 9('cof. 9! -- X! 9( cof, 9//--A/!!gtllcof, 9. fimilesque binae aequationes obtinebuntur pro reli- quis pondufculis. Nunc igitur requiritur vt ex his octo aequationibus octo illae conflantes arbitrariae 9(, 9i, 9// 9i! ec 9, 9^, 9l, gil definiantur, quem fane laborem vix quisquam exfe- quetur: íi modo corpufculorum numerus ternarium fuperauerit; quamobrem iam dudum non dubitaui as- feuerare , folutionem hanc quantumuis elegantem et perfectam plane effe ineptam ; vt ad caíus determi- natos, quibus penduli ftatus initialis praefcribitur ad 3ptari poffit. Ex quo manifeíto fequitur, fi problema .ita proponatur, vt fi pendulo datus ftatus et motus. initio imprimatur , motus deinceps fecuturus definir debeat ; longe aliam folutionem requiri, quae proinde ab hac maxime difcrepare debebit. Tom.XiX.Nou.Conm. | Pp EVO- 9$ — ' DE OSCILLATIONIBVS - EVOLVTIO CASVS quo oninia pondufcula tunt aequalia: eorum- que interualla etiam aequalia. —4; ponatur autem breuitatis gratia z- — A. | - 6$. 1*7. Sit. primo pondufculorum. numerus — 2. erit a— 2 et G-— r, vnde aequationcs ex 6. 13. erunt | o-z-—39((a—u)-4-8 et uc —25964- 29; ex pofteriore fequitur | qui valor in priore fubftitutus dat o--B6-w-.9 fiue (2—u) —2—0 vnde ítatim. deducitur $-—4- --Ya ideoque y —2 TYsimL, tum vero 9f per 3b. its exprimitur vt fit 9(— 96-9 vbi 33 pro lubitu accipi poteft. — Quare íi bini va- lores ipfius & fint & et &/, hisque refpondeant litte- rae 9i/ et 25' folutio in his aequationibus continebi- tur pofito A — V5 et A! — Y 5£ p— 3 fin. (A2 4- 9) 4- 9t (in. (2 1-97). et q— 35 in. (A7 -4- 9) 41- 28/ fin. (A 1 -4- 9^). $. 18. Sit pondufculorum numerus — 8$, erit- que &—8, 6-2 ct y — 1, vnde acquationes noftrae erunt ozc—9((5—10)-1- 235 (iue o—9f(g --«)— 235 Qu-—39-2-435—€ | €,——2:25-r- 2€ ex PENDVLI . MVLTIMEMDRIS. .299 Ex hac fit 8 — $6—? tum. vero experiote ; E E -u.—ugse-JEg e " ms LÉITG--6u--u vnde aequatio prodit : Q6 9549. 6-9 — (s -—w)-—0 fiue 6—18u--9uu-—u -—o cuius ergo dabuntur tres radices, ideoque valores pro k, k', k', ex quibus tota folutio facile conficitur. $. 19. Sit ponduftulorum .numerus — 4, crit 4-4, 6—3, y —2,0 — 1, vnde noflrae aequa- tiones erunt | ; oc3(«—20- a 355 | S8y——2439--69—5€ |4€u——395--4&&-9 oOSuac—í€d-22. Ex vltima fit € -— P» 2-2 —u) d— D6 iet —(s$-—6u--uy) SIRO, N—2 (a4 36i 4- I2. ioos ) .qui. valores fübítituti hanc praebent aequationem 4 — 16u -- 72uu —96u-1- 24 — 0 "cuius quatuor radices quaeri oportet. $. 20..Sit. numerus pondufculorum — 5, erit Q47m5,92:4,y— 3,0 2, c£— 1, et aequatio- nes noftrae erunt ! Pp 5 e— ; idcm vero. fii RESET di 96.25, €, 3» vltimus ED Ern a ee i gi ec e oiu d —ua 0X Yeu — maa ep comer em 0-9, u etes ne: —4Ydn— (n— — -— - E 1 mcus E csl eee s $9), p X 4xan- -5)ne-6. ti n—n4 cti *g00 ^ DE OSCILLATIONIBVS O c X (s -— —W -— 4. 25 3 m an x $4-—-—53-2-895—3€ di G€,——243-.-6€ —29 Ou——s€--429-€C €u—-29-r»€ hic ex tribus. pofterioribus. colligimus - ss tama €— £(6—-ó6u--uu 2x & (24 — 96 r2 war iD) l tum. vero. inuenitur 9| — € (120—240u-- 120 uu.— 20u. A- u') o 1 quibus. valoribus fubftitutis. aequatio: fequens. refultat: 4 -—25U -|-2004 — 600uu--60040—122z20. $. 21. Hinc generaliter fi numerus: pondufcu- lorum. füerit — 7, aequatio. ex: qua: zi definiri: debet: per ipiis indné&ionem. colligitur fore — - — yu EU pL nr jus n(n o n(n—3)yn—2)y(n-—s)u* OLI ege petuum etc, fuerit. 3t. finguli fequenti modo: determ:nabuntur . —HIa eur P res Y n1) m—3),/5 e Cesar Xn: Yn) ,* "n | «3. 1910572057 143 145..27£. 38.54 415; 1 e. 2? 12,27, 32... NEC CAE OSPERT IT 2, 234.5 12..22,. 27, 4. 12,27, 219 4*0 [h JN QS $; ^ | &íCo, &tC.. r / ! 4 : "Eantum: c- PENDVLI -MVLITIMEMBRIS. 30r Tantum igitur re(tat methodus, cuius ope illius ae- quatignis, 7 radices elici quzant, quippe quibus inuen- tis. folutio- co apleta huius. cafus. habebitur. $. 22. Aequatio illa. ordinis z, ex. qua. valores: Litterae ; definire oportet etiam. hoc modo: concin- nius referri poteft u- EN uta Mee y yt — i-i FE. E vamos etc; hinc autem coéfficientes 9, 33, €, Gy etc: etiam hoc: modo exhiberi poffunt. | ! : bs 94 |. ,.,n—r n(m—iy,m— , m(m—uif(m—2),m—z -de $23..." SQ—uw "—E-Due i 6 c d i c mM SN etc. Min ?Y 3. 2e $4 - bs x .2. g. L (a- 1 )e— v - i Xr s E : u — —1)8-—2)* (1—3)* (4 ns etc.. le 2e 3. " Io 2 Ergus pof ameet eet | ius ceptis MEET etr LE " Es n (s—s(n ui m5: 4 (n—3:Xn—á4Y'(n—5) , n-—6 -cEnige-3)— en du c 6 —n—XJ(n—: (n—54 (n—5) n—7 etc. 1. 2e 3$ etc. | etc. vbi fienorum: ambignorume fuperiorgz funt: accipienda: fü m fuerit numerus impar; inferiorz autem fi par. jo2 |ooepBito)t?üe 9c DE MOTYV OSCILLATORIO BINARVM LANCIVM EX LIBRA "ng SVSPENSARVM. . ^Auctoré t. ETLERO. ? "$- I9 LJ fingulare atque maxima attentione dignum videtur .illud ofcillationum ,genuss' cuius nuper mentionem fecit llluftriffimus '"Berzoul/us, his verbis: Cun aliquando iti libra , snziori. eaque fubpigra, aleram lancem forte. fortuna. ad. letus diducereftt , moxque vurjus dimitterem , accidit vtique, «t pro- iimus binc inde ofcilaret , mec ab initio lanx oppo- Jita de loco moueretur : mox autem et baec quo- que agitari fenfimque . tiaiores ofcillatione s formare , dum e comwario lanx prior motum Juüm ofcillato- Trium gradatim perderet: tandemque vere quiefceret s Hoc ipfo momento altera maximum | 1xotionis | gra- dum , imitiali laneis [ociae fere aequalem , aitinge- bat, tunc ordive contra»io , eaedem mutationes ve- petebatur ,/— sgue , dum prima laux— metum. fuum primitiuum integrum. vefianevet fociaque quieti ad momentum. redderetur: bace autem o[cillationutmm eom —"utticalie «e veciprocatio diu fatis fefe suanifefl bat ; Non DE MOTV OSCILL. LANCIVM LIBRAE. 50$ Non dubito quin determinatio motus iftius ofcillato-« rii-omnibus geometris maxime ardua videatur , ne- que enim video, quemadmodnm fubfidia quibus ha- étenus ad alia oícillationum. genera euoluenda felici- ter vfi funt, ad genus hocce expediendum ,. cum fucceffu adhiberi queant ; quamebrem ad prima mo- tus principia confügiendur; effe , cenfeo , vt omnia commemorata. motus Phaenomena , quae. vtique fum- mopere admirabilia videntur. rite explicari | queant. Hanc. igitur inueíligationem: hic fuícipere conttitui , operam imprimis daturus , ne. .vllam circumftantiam quae quicquam ad hunc motum conferre valeànt umi praetermiffurus. 6. 2. Ac primo quidem libra feu bilanx , in qua illuftris Auctor motus illos. mirabiles obferua- vit, fübpigra perhibetur ; vnde perfpicuum eft, cen- trum grauitatis jugi infra pun&um fuüfpenfionis feu centrum motus fitum füiffe. . Deinde ctiim facile intelligitur , motum ab vna lance cum altera com- municari noa potuiffe , nifi iugum aliquam inclina-; tionem: fuerit paffum , quam ob rem; vt in motus tam ipfius iugi quam binarum lancium rite inqui- ram , ad quodcunque tempus ab initio elapfum, quod fit — k, et in minutus fecundis. exprimatur , eonfiderabo fitum: tam iugi quam lancium. $. 3. Sit igitur C punc&um füfpenfionis , feu centrum motus, circa quod iugum in plano verti- cali eft mobile et per hoc punctum C ducatur rcCta horizontalis 9 4, itemque vetticalis C c. — Hoc "C autem "Tab, 1II. Fig. 2. 304 DE MOTV OSCILLATORIO autem inílanti iugum reperiatur in fitu inclinato ACB, ac ponatur angulus inclinatonis A Cp —BC4-e: ipfum vero iugum hic tanquam li- neam rectam A C B repraeíento, ex «cuius extremi- tatibus. A et B lances fint fufpeníae. —^Vocemus igi- tur longitudinem brachiorum CA— CB-a« ct maffam feu pondus ipfius iugi cum trutina , exami ne , «et omnibus partibus quae «cum «eo firmiter funt connexae — M; eius autem «centrum grauitatis cadat in pun&tum G infra C fitum ad interuallum C G-—, quod ergo a verticali C c declinabit angu- lo GCceccw. Praeterea vero fit momentum iner« tiae totius iugi refpectu centri grauitatis G — M & £, quod fcilicet reperitur, fi fingulae. iugi particulae per quadrata diftantiarum fuarum a centro grauitatis G multiplicentur et in vnam fümmam colligantur ; vnde momentum inertiae refpe&u «centri motus C ert — M (& k -4- c x). $. 4. Nunc porro affuüumamus ambas tied ex ipfis iugi extremitatibus A «et B ef(le fufpenías , qua- re ducantur inde verticales A a et B 5, quem fitum lances tenerent , fi nullam haberent inclinationem 5 hic autem ambas lances , tanquam fimplicia ponde- ra, ope filorum grauitatis expertium ex puncis A et B fuüfpenfa , confidero, et longitudinem wtrius- .que fili AP— BQ vocemus — 5, pondus autem .lancis vtriusque — L. Nunc autem porro lanx A P declinet a men Aa angulo, P ÁAa— Et angulo QB b — em * & E T E R T $ " eo 9f EANCIVM LIBRAE.- "t -905 0 € s. Nunc ex pun&is P et Q ad axem no- ftrum .horizontalem per. C du&um ducamus perpen- ,:dicula P 5. et Q 4, atque vt horum locorum P et Q rationem in calculum introducamus , vocemus pro vtro- que quafi. coordinatas. C p — x et 9 P —y; tum ve- r0 C q— 3x! et q Q — jy, quas autem. per elementa jam ante introdu&ta determinari opportet.: € 6. Hunc infinem pro lance P in vertica- dem P? produ&am ex A ducamus normalem A r, et quia A P — P et angulus AP r— « erit Ar--bín.w et Pr— bcof.*. Deinde ex triangulo A C a vbi CA—a et angulus |^ ACa-— o erit Aa — afin. o et Ca —acof.a, wnde pro puncto P binae coordinatae erunt cCp-—x-—Ca--Ar-acof u--5f(ín. w et Pp-—y—Pr—Aac-bcof wan. o. Eodem modo pre altera lance , fi ex C agantur ver- ticalis B 8 et horizontalis B s, erit B 6 — a (in. € «€t C6—acof.9, deinde Bé. S et Qs—bcof. 9 "vnde colligimus mEquei-—cos- £4 — a cof. e — b fin S et | Qg— —Qs-4 B6 - b col. 9 4 4 fin. o. $ 94. lam pro motu determinando confideren- fur vires quibus ambae lauces folucitantur , quae quidem primo a grauitate deorfum vrgentur vi 22455 praeterea vero fuflinent tenfionem filorum AP et B Q. Sit igitur pro lance P tenfio fili A P — P, quae da dat vim verticalem fecundum P 9 — P col. v ^ AXom, XIX. Nou.Comm. Qq et "Tab. If. Fig. 3- Fig. 4 4e . DE MÓTV OSCILLXTORIO et vim horizontalem fecundum p C — P fin. «; ita vt - lanx P fürfam vrgeatur fecundum Ppvi-z Pcof D, -ex quibus viribus motus huius lintis per: kquesih duas aequationes differentio differeutiales definitur mAgagt. — mv ddy —.L-Pew n I. agdi* " 2x 1t. 2gdtt — m PS. « $. 8. Simili modo: altera lanx ob ioion ii furfum wrgetür viz- Qcof( 39, fecundem dire&tio- nem |. horizontalem. |. vero. C 4 vi zz Q 6n, 9 ; ficque deorfum vrgebitur. vi z— L — Q cof. .;. vnde principia motus iterum dyas aequationes nobis fuppeditant ddx' ior SEU — LO. cof. Ila. gvdagum xy waad vbi g. denotat altitudinem, ex: qua grania vió minuz to fecundo delabuutur. mer dne $. 9. Cum igitur mótrum vtriusque "lancis expediuertmus, coatemplemur nunc etiám morümi ipfius iugi; qui cum. fit gyratorius , quaeramus. vires acce- Jerairices; quae tendaüt ad anguium P C-A;/—. 9 au- gendum ; vbi primo :occutrit. proprium iugi. pondus — M, quod, quia ia centro grauitatis G. colle&um ef putandum , producet momeotum ad angulum qg imminuendnm , eritque propterea. — — M € fin. «9, Deinde vero iugum vrgetur a tenfionc vtriusque fi- li, et a tenlione A P oritur momentum 'ad angu- lim & diminuendum tehdetis , pro quo . inuehiendo notetur effe angulum. CA 2 — 90'— 6; ergo quía Pac erit totus angulus CAP DUgor — 9-4, cuius finus dire: — cof. (o — «), ex quo momentum hinc oriundum erit — P ato (aw). Ab altera autem parte; CISLANCIVM LIBRAE. |. 397 parte, quia eft angulus CB—9o-t» et QBb—9 erit. C, BQ- 90 4-9 — 9, cuius finus — cof. (3—«). Momentum igitur hinc natum ,. quia tendit ad an- gulum e augendum, erit z2 4- Qa cof. ($—); fic- que omnia momenta in iugum agentia iunctim, erunt —Mcefin.o—Pacof.(o —)-1- Qacot(. (3 — «) quod momentum pcr. momentur inertiae — M (EE4 ec) diuifüm praebet accelerationem angularem , quae fe- cündum principia motus hanc aequationem fappeditat : dde zu M c fin. tà — Pa cof. (tj — Y) -4- Q a cof. ($-— t). IIT Y a jt nm M (tk 2-6 c) Quas, quinque aequationes totam problematis folu- tionem complectuntur. $. 10. Quo autem pateát, quasnam, res ex quinque - bis aequationibus. determinare opporteat , primum flatim apparet , 3nte omnia ambas teufio- nes P et Q definiri debere ; tum vero ex tribus ae- quationibus quae rclinquentur tantum opus eft vt mofiro$ angulos w, 9 et o eliciamus. His cnim in- ventis , ad datum quoduis tempus £ vcrum fitum tem iugi quam ambarum lancium poterimus affi- nite. Sicque tota ifla fublimis quaeflio perfe&e crit foluta; fültem fi quae obflacula occurrant , id non mmechanicae. fed foli analyfi erit tribuendum. $. 1r. Statim autem pcrfpicitur, omnem ope: pk .Bequicquam impedi et inutiliter collocari , quam- iu tres nofiri anguli w, 2, o ad quantitates notae biles exíurgere poffot; quam ob rem, vti in ple- risque aliis ofcillationum gencribus, bos angulos qua- fi infinite paruos ftatuere conueniet, vt eorum finus sho ^": Qqas ipfis $08 — DE MÓTV OSCILLATORIO ipfis angulis, cofinus vero vnitati aequales reputari queant; ficque noflra inueftigatio tantum ad ofcilla- tiones quam minimas Vangpi- ips) Tum vetro coor- dinatae x et y, item Xx et , adus: modo expri- mentur : x dina x—w.--b9 ycÉb-—aa eb y zm b-p au. €. 12. His obíeruatis quinque noftrae aequa- tioncs. fequentes. induent formas: bddw — .. PY. —sddw --.1. v I. agdi? — s x. lI. zpAié E bddg$ X eddo — . 9 Ir. :gdp — Tp: IV. tirs E UE V. dd v — 2 Mco—Po--Qa vog] M (k k 4- c.c); ex quarum aequationum fecunda et quarta tái colligimus ambas tenfiones P et Q; erit enim '- Loddo Laddwc PIA "£dt* a-L et Q— L- zgdi*" : ) 6. 13. Subftituamus igitur hos valores in tri- bus reliquis aequationibus, quae euadent ' . . ^ f. 534" —. 4. a"nddo —b5dd$. 0. a9ddo zgdi? Tm Von III. LM »gdi* »4-. CC) Q--2Lacdd i M. auci ut $"——Mceo ex quibus iam tres angulos «, 9 et o determinare oportet. $. 14. Quia poftrema aequatio folam | variabi- lem o cum tempore £ inuoluit, ab eius refolutione inchoémus. Hunc in finem ponamus brcuitatis gratia CIIETDESTITE d SEE ES —f wt fiat 7725 -I- a — o, vnde M LANCIVM LIBRAE. 399 vnde patet ofcillationes iugi fimiles fore pendulo fime plici cuius longitudo — f, vnde iíta aequatio inte- grata dabit o — € (iu. (y E E V*£), vbi. € et *y (unt conflantes per duplicem integrationem ingteífe 5 quam ob rem tempus fingularum ofciliationum qui» bus iugum agitabitur in minutis fecundis expreffum erit —-Yf. Cum igitur fit f — c 4*5 * E97, patet, í$ libra noa effet fübpigra , feu (à centrum — grauitatis G in ipfo centro motus C effet fitum , ob &-—20 fore f — co, ideoque iugum nullum moturm oícillatorium effe recepturum. $. 15. Cum igitur fic £47, — — 9. ifle valor Quas reliquas aequationes ita transformabit bddw —— — ITp di 2.109 Quia autem AM o Ld ea infinite paruus , po- ma harum aequationum membra faltem in prin- ipio praetermittere licebit; vnde vtriusque lancis motus pariter congruet cum ofcillationibus penduli fimplicis cuius-longitudo — &. ^ Hincque per quan- titates finitas reperietur (CE. X—9tn. (a4- 2 Y 25) YI. 9 —356n.(6 3-7 V *8) ^hi autem valores tantum "vt vero proximi íunt fpectandi. ...& 16. Quo igitur hos binos motus accuratius definiamus , loco « in ipfis aequationibus. differentia— libus fuum valorem fub(tituamus ; quod quo facilius fieri poffit , fit breuitatis gratia V*$ — 2 vt fiat o —€ (in. (y A2, LS Qq 3 et 310 DE MOTV OSCILLATORIO et. habebimus has aequationes : 36:3 TOM bddu —.. e € fin- (y 3-3 1) zgd IT Kite Du ipe huh " Pads? Sx a 9 € fm Cha Xf - "2 zgd1*-—— 73 atque hic etiam . faciamus Y x6 cg vt prima mem- bra harum aequationum fiant, . (IE BUÓ dd» dag - Jg Rai -—- . $. 13. lam pro priore aeqiacióne ponam "t vera effe [ *-3lfiu (a4-.7)H-p, eritque du-9ty.dicof. (a4 pn ép e ddw—— 9g e dE fin. (a A- &2)--445 , quo valore fubftituto erit ddp . ATUM a 3 € fin. deae i PODUB Rudf — bito. Nunc autem notetur effe fin. (4-17 [ue (lp oer) irser cent ap —icof (a— y (I -Metet oce e) Ponatur psp regt (agomik s (ui -1)44 N cof (a 4-»y-H(a-FX)) et facta fubítitutione prodibit fequens aequatio —..; — EUM cof. (ay ap (eX) e R3 X cof (a- ey --t(q X) ——i ! M Cof da 295. A 299): NaoKfert ah td atto (a— Y t — X) — 2 cof. (a-k- "y IQ EX) Aequentur nunc feorfim tam cofinus differentiae quam €«ofiaus fummae , ac obtinebuntur hae aequalitates; |. oL Ma-—! iM LEE et mE ; ex "UEANCIVM LIBRAE. ETT ex quibus Teperietur Lx ETILI : — RRaWwCS, ru oM es — MGu—2X f DÀ NUS Misc N quocirca angulus w ita accuratius exprimetur vt fit, | Me msiecr noe dr e cof. (a. — Y te A) 2. Ap 3E. cot (ary de ps2) 6$. 18. Eodem todo tractémus alteram áequá. ionem , quae a Ud — 29-25 € ln. (y A0) quae aequátio à praecedente non diffzrt, nifi quod ibi etat -pz hic eft — a, ita vt tantum locó 2 nunc fcribendum . fit —a.. Deinde vero, quia, hic agitur de angulo 9, loco litterarum 9f et^ a. hic fcribere debemus 95 et (3, vnde huius x eg valot correctus erit 8:39 Gn (84-140 — 3:95 cof. (— y --tQ.-3) —ODEEUDS cof. (64^) (p 4-2)» 2 N(:] 3) Erat. veto 6 — € in. (y --* 5» tin rg. In fiin formulis probe diffingui conue- D i quantitates cognitas et incognitás; cognitae au- tem funt, praeter diftantias a, b et c vna curi pon- deribus. L. et. M quantitates inde formiatae f et ntt- meri.A et M: incognirae igitur eruüt fequentes fex 91, 5, € et. a, 5yi tot fcilicet conítantes arbitrariae ob duplicea i integrationem trium aequationum dífferen- ' tio-differentialium introduci debebant, vt folutió gene ralis prodiret ; quod etiam natur rei poftulat. Nam fi fülatus initialis quomodocunque fucrit datus, is non 312 DE MOTV OSCILLATORIO non folum per tres angulos «, 9 et « determinatur, fed etiam ad motum , qui fiue iugo fiue vtrique lan- ci imprimi potuit eft attendendum , vnde fex con- ditionibus pro quouis caíü erit fatisfaciendum, ^ "| $. *o. Hunc infinem neceffe eft, vt etiam ce» leritates angulares, quae tribus noftris angulis praefen- ti tempore £ conueniunt exprimamus ;. quae ita fe habebunt qme : | 41— p 9lcof. (a gi 7) EISE fin. (a —yt (pA) — Ep -A-Xa9€ M su jS cof oL E ee. s ide ed el 2ÀQ RA) ERECTUS (in. (8-1- yccQ - E) ac denique SA coL (y--A2. ud y hocque. modo tota folutio huius ptoblematis difficil: limi feliciter ad finem eft perducta. $. 2r. Iam obferuauimus ». 5 dio centrum. motus C in ipfo centro grauitatis exiflerer, tum fore f— co hincque à — Y *£ —0 , ficque igo nullum plane motum ofcillatorium recipere poffe; quandoquidem in omni fitu foret in aequilibrio. Vnde etiam am- bae lances ita feorüim ofcillare poffent, vt neutrius motus ab altera perturbetur, id quod etiam noftrae formulae manifefto declarant ; quoniam partes pofte- riores , quae ob motum iugi funt adiectae euaneíce- rent; tum enim anguli * et 9 fimpliciter per for- mulas 9f fin. (& -1- E /) et 9$ fin. ec p. £) exprime- rentur , ' t C it , LANCIVM LIBRAE. . 313 zentur , ficque vtriusque motus admodum penduli fimplicis ofcillationes peragere poffet, neque carum motus vllo módo in (e inuicem intfiueret ; hoc autem intelligendum eft quamdiu iügum maneret in quiete, €tü in ftatu inclinato. ^ Vt primum autem motum acceperit, quia nullae vires adfünt eum reprimen- tes, angulus e mox tantopere- increfceret , vt. non amplius pro minimo haberi poffet ; hoc igitur cafü me formulae quidem quas inuenimus | locum — habere poffent. ^ At fi centrum grauitatis G adeo fupra centrum motus C effet pofitum , ita vt interuallum GOC-—. foret negatiuum , etiam quantitas z. negati- va euaderet , numerus autem A imaginarius ; quam Ob caufam omnis motus, ofcillatorius penitus exclu- deretur , quandoquidem iugum a minima inclinatio- ne prorfus prolaberetur. 6. 2s. Vt igitur ea Pio. quae ab Il- lu(tri Berszoul commemorantur fe manifeflare | pos- fent, omnino requiritur, vt centrum grauitatis G infra centrum motus C cadat, hoc eft vt libra fit fübpigra. — loterim tamen , quoniam interuallum € G— c femper valde exiguum effe folet , euidens €ít, longitudinem f femper fore praegrandem , hinc- que. numcrum A valde. paruum ; dum contra nume- rus y — V *£ plerumque eft valde notabilis, nifi forte lances P et Q per breuiffima fila fufpendantur «quod autem. nunquam fieri folet , hanc ob rem in genere. hic affumere: licet, numerum A femper mul-- to minorem effe quam p. "Tom. XIX. Nou. Comm. R " 6. 23. $14 DE MOTV OSCILLATORIO $. $3. Vt iam.ia phaenomena motus accurae tlus inquiramus , primum. obíeruo , qualiscumque fi- tus et motus ambabus lancibus fücrit- impreffus; fi ipfüm iugum in quiete relinquitur, idque in fi- tu fuo horizontali, ita vt initio fuerit tam (—20 quim e — o, ob £z o, fore tam € fin.^y —o quam A € cof. y — o, id quod fieri. nequit ,. nifi. fit € —o; pofito autem € — o, prodiret « — 9f (in. (x - uf) et 9- —35 in. (6 4- y 2), exitlente o — € fin. (y - 2) quae tres$ formulae nullo modo in íe inuicem in- fluunt. Hoc igitur cafü tam iugum quam vtra- que lanx feorfim motu ofcillatorio regulari ferretur, neque vllius motus a reliquis perturbaretur ; quod cum in phaenomeais memoratis non víu venerit, id manifefto e(t indicio, iugum primo motus initio vel non fuiffe in quiete , vcl quandam inclinationem accepiffe ,, id quod «tiam ab impul(u, quem. altera lanx initio accepiffe fertur neceffarda euenire debuit. &. 24. Ponamus igitur primo initio iugum ita de fitu fuo. naturali fuiffe depulfam , vt tüm füerit angulus a—tm, neque vero praeterea vllum mo- tum accepiffe ; i quo pofito primo initio vbi 7— o erat 5 — G fin. y , tum. vero 22 — A € cof. y — 0, vnde cclligimus *y.—. 99" — 7 et € — s. Ipfum au- tem iugum. deinceps ofcilationes pcraget repulares is conformes pendu!o fimplici, cuius longitudo ' f — BEAD vnde fit AT Yt, ita vt ker t [—:£ nde Y v ie $ 25. QANCIVAM LIBRAE. 315 6. 25. Nune igitür bos valores € —5, ct et d gi formulis pro angulis 4 et 29 inuen- tis fabfütvamus , €titque. | *— 9 fia. (a p. £)2-2 1 ER Lco. (a 2 4 t (ge —A) ce AAEEE cof (a 4- Z H- (p 172) et 9-— —:85 fin. (€-]- gf) — 3E DELE cof. (6 — T-E t (p. —9 P ars rem cot SE foot Cum autem fit . cot (a4- z(j.— 2) — 90 "Te Ba tà rd 93) et eof é- n (M 3M) 4 90^ zc —fin. PrEIM rit áliquanto, concinnius | NV | 3-9 n. Co pt) Nu psim fin, (a-1- E (gy. — X) i I | Lee ee fin. (& 4-7 Q& 4- 2)) et 9.— 35 in. (4.1.7) - 22222 fin, (8 —- 1 (jc 73) » 10 v TEE o Un 3er Tpesp).- vnde porro pro vtroque motu angulari deducimus | d — peor (a e or) E HD cof (ae (ge M»). as * &£ (2 —2) (p. -4- Arcs Cof. (a 4- 4 (4. 4-3) "go pg ppp cof (8-4 7)— Mg cof. (8 -f(p.—) 4 MES Mic CET cof. : e * Lg. 4-2). ^&( Rr2 EVO- g16 DE MOTV OSCILLATORIO EVOLVTIO |. CASVS quo primo initio ambae lances in fitu verti- cali quieuerunt, dum iugum ad angu- lum ACP—zz fuit inclinatum, 6. 26. Cum igitar initio faerit tam X — o et E | dy, —. dg; —— pt Po quim $5— 0 et 25 — o, pofito ; — o — pro determinatione conftantium habebimus has quatuor aequationes : l..-0—-fin.e4 LET . fin. isis unm uu 4 g (2 E -- X2 II. o — fn. Jv ;o E Nee fin. 6 III. o — cof a Mu Xam Ju i jk e (: 4 — X) gp * g (2 x 3- X) cof. V. O — cof, E Mean Ag --X)n a7 qo EA cof. 6 4- MAN A cof É quae ad fequentes formas fimpliciores reducuntur I. o— fin. Mg m e D SSRDEACE fin. & ]lL o—fífinG8—.^3»&am SERT iy fin. 8 HI.o-—cot. à — 3^» 52m zriek dc Xxx) c0 € V.oc- | XA pu am IV. o c E A COLIB quibus aequationibus pluribus modis ftisfieri poffe videtur: aliquos igitur percurramus. 6. 27. Sumamus «— o ct $£—0, wt binis prioribus fatisfiat; ac pofleriores erunt emu li AABgucME Ill. o — zx eur. € AX uaT IV. o— E LEN quibus nullo modo f(atisferi poteft, cum eorum ! fumma / LANCIVM LIBRAE. 813 fumma fit o—2. dem euenit fi fumamus a — ogó* et 8 — 90" , quo binis potlerioribus fatisfiat; ac prio» res euadent GEMMAM AXM Mem I. nc Erwepri titer VPE Vp STUNT dn IL-o- PG aic SKI quarum fümma iterum daret 2 — o, id quod eft ab- furdum. Tale autem abfürdum etiam in genere occurs rit, cum : . 1fin. 6 4- II fin. à — 0 — 2 fin. a (in. 85 eodemque modo : Ill cof. 6 4- IV cof. à — o — 2 cof. « cof. 6 quod vtrumque fimul fieri nequit. $. 28. Verum , quoniam has aequationes ex principalibus vel per 96 vel per 35 diuidendo elicui- mus, eos factores quibus totum negotium confici deber e medio fuftulimus, Nullo fcilicet alio modo huic cafui fatisfieri poteft, nifi ftatuendo tam 9t — o quam 25 — o, vnde intelligimus, hoc cafu ambas lan- €ces perpetuo in quiete effe permaníüras , neque vl- lum motum effe recepturas , etiamfi interea. iugum inclinationes fuas perpertuo abfíoluat. | EVOLVTIO CASVS quo primo initio vna lanx P a fitu verticali ad angulum P A 7 — z diducitur, altera lance in quiete relicta, dum iugum ad angu- lum A C P — z; fuerit inclinatum. ' € 29 Hoc igitur cafu pofito 7—0 effe opor- tt —5, 3—0, T'—o ct 75— 0, vnie.| fe- Rr 3 quen- $18 DE MOTV OSCILLATORIO quentes quatuor obtinemus aequationes iam: ad: fore mam fimplicifmam perductas : E AXpuag m ]. 5» — 9f fin. agr d fin.& Il. 0— 35 án. $— *»4229$7, 55.8 2g nu —X3) LE —— AAMM&am | HI. o — cof a TEE cof. & E LNAMRamo co[, G 1U.:5.— cU. b'a- HD NON f. | vbi quidem tertia per 9( quarta autem per 295 mul- tiplicanda eft intelligenda; vnde patet, fi fuerit 25 — 0, tam fecundae quam quartae aequationi fimul fatis-. ficri; tum autem, quia ipfe angulus 9: euanefceret , vrcunque reliquis aequationibus fatisfierct, et altera lanx ferueqem ad morum effet pernentura , vnde con- cludimus , fieri poffe, wt alteri lanx perpetuo in. quiete perfeueret. Pro motu autem lancis P aequa- tionibus I et III fatisfieri oportet, $. 50. Tertiae autem aequationi , quoníam pats pofterior prae prima eft quafi infinité parua, fatisfie- ri nequit, nifi fit cof. & — o, hoc eft a — 99; tum autem pro prima etit EE AXqpQt a n pu AIT ECTU REY. vnde deducitur valor litterae 9f, qui proxime erit 2-5, ita vt pro moti primae. lancis habeamus lHanc acquationem : — n fin. (9O* - j 2) 4- Dkenk fin, (99k (ji) | ON am EG EOER fin, 99 E os Ly Ll [ &. L^ LANCIVM. L'BRAE. 819 cocoa pg p) Me ETT * cof. (99* THX) «g(M ; c» A. 2 X) am «8G B-- À) us cof. (90 TUA) ing notetur effe fin.(90* - gj.) — cof. f£ et fín. go" --£ (y. - X) — cot t(qc 4-2); cof.(9o" 4- e. f) z- fip. 4 et cof (90^ 4- £ (pv - A)z-fin.£ (y. 4- 3) Vade: patet, motum huius lancis non amplius effe regularem ; fed eo magis a notü penduli fimplicis eff xeceffurum , quo maiores fucriot co&ificientes bi- norum. potremorum terminorum. Quin etiam ifle . motus perturbatus ita repracfentari- poterit , fecun- dum principium Celeberrimi Bermouhi , wt fit pet- miftus ex triplici ofcillationum genere, quorum pri- mi tempus vnius ofcillationis fit t , lecundi ves URNA. — pe tertii —— "$5 haec friliet. permix» tio oritur ex motu gicilistorló iugi. $ gr. Hinc igitur iterum difcimus, quomodo- cunque tim ipfum iusum quam altera lanx initio ad motum fucrint concitati , nullum plane motum in altera lance generari. botré , id quod! memorato experimento aduerfari videtur. Verum: probe notan- dum eft, nos hic tantum de ofcillationibus minimis loqui , vnde neutiquam affeuerare poffumus, talem communicationem in maioribus ofcillationibus locum habere non poffe. Qucniam enim angulos w, 9 eto tam paruos affümfimus, vt loco eorum fianum ipíos angulos, loco cofinugm. vero ipfam vnitatem fcri- bere licerct , eüidéns eft, fi ipfos (nus et cofinus in geom introducere vcluiffemus , inde wtique in- Beas 320 DE MOTV OSCILLATOR!O gens difcrimen oriturum fuiffe, neque veró etiam hunc motum ex theoria definire licuiffet. .— Vided- mus igitur etiam, quales motus fint proditurií, fi et- iam alteri lanci initio motus quicunque fuerit ime pretfus, T) TANE EVOLVTIO CASVS - quo initio praeter inclinationem iugi ad an- gulum AC — z; vtraque lanx ad. quandum inclinationem diducitur , fcilicet lanx P ad an- gulum PAa-—z et lanx Q ad an- angulum Q D 5 — z'. $. 32. Hic fcilicet affumimus, neutri. lanci ini- tio motum fuiffe inpreffum , ita wt fuerit . tam jj --0 quam 4? — o, ad quod vtique calculus ac- commodabitur, flatuendo tam &—9o' quam $— 9o. Tum vero ob inclinationes initiales erit vt ante vi— dimus 9( — 2 et 25 — z»/, vnde pro motu vtriusque lancis impetramus has aequationes : «—1co( iei 1- A eam co pp) Eo cof 2 (p. --X) et Ae meat 203EG LX TM —MBRpammut e" Aupaomn S —n cot mt rz COE Mr cof. 1 (. 4- ). 6. 33. Quo has formulas magis contrahamus , ponamus breuitatis gratia A M. M Te — i; tum igitur habebimus tam pro motu lancium quam -iugi w —ncof. yt 4-07 cof Eg. — N) — rr cof 2 (p 4A) — 4l m n! j / Xu rm cof. pz — 177. cof. Z(g - X) 4- 227^ cof 43) et 9 — m coí. A2 hinc- .LANCIVM LIBRAB. ^" gar hincque pro celeritatibus angularibus habebimus d — —gunfn, p. ; — (06-7957 (in. 2 (p. — X) 4- 6:5 EE fia, t Qu 4- X) $3 —— p.n fiu. jt monet i, tg. —3)- E" t (gj T2) $1. c——Amt. 6 534. Hinc igitur patet, litteras s t et n! de- fignare maximas digreífiones , ad quas tam iugum quam ambae lances a ftatu aequilibrii diuagari ^ pos- funt, quod quidem de ipío iugo omni rigore eít verum. Pro lancibus autem vtique fieri poteft, vt Ob partes pofteriores maxima digreífio fiat modo ali- Quanto maior modo minor quam f et 5',quae irre- gularitas eo erit maior, quo maior fuerit motus iugi feu angulus 2; tum yero etiam potiffimum peadebit a numero 4, qui eo erit maior , quo lon- gius fuerit iugum , cuius femiffis et. — 2; quam Ob caufam in minoribus bilancibus irregularitas talis miaus p rCipi poterit, $. 55. Quo indolem harum formularuum cla- rius illuffremus , quoniam numerus (4 — Y t5 plce- rumque mülto maior eft, quam A—Y*£, fuma- Blscexempli gratia A.— ret gy — 3, ut tempus vnius oícillationis iugi fiat — 7c", lancium vero, qua- tenus motus eft regularis — 7^; tum igitur. erit j— 5*2, vbi g eít circiter 16. pedum anglicorum ; vnde fi effet 2 — 2 pedum, foret — £&. Sed vt cal- culus commodius reddatur, fumamus 7; — ;; tum ve- Io angulos z5,.5 et 5! ponamus circiter 10 graduum, - "Tom. XIX. Nou. Comm. Ss fcu 3:5 . DE MOTY QOSCILLATORIO feu in:partijbus'radii mi m s i, quibus oneris "bus fubftitutis: noftrae formulie erunt xz iof: (8. E )1-.2ss COÍS 2 6 — 55s CO. 4l 3-5 bin — aco aide ia eo RE b did 81 — s fin. 22 -- i fin. 4T ; ifin.5 £ -- s; fiu. 2 7 — ;;; fin. 42 ANRMAE pent py» 9 c fid. 7. 6. 56. Quia tempus £ exprimitur in minutis fecundis , hic autem vt angulus fpe&atur : patet, vnum minutum fecundum aequiualere angulo $7: circiter. Vnde fi ftatum librae cum lancibus, per in- terualla | femi- minuti fecundi examinare velimus , loco ; fucceffiue fcribamus angulos o, 30, 60, go, 120 etc. et ad quoduis momentum ternos dneu]gs Q, « et 9 in fequenti tabula referamus, vbi fractio- nem ; pro decem ipn computemus , es fit sii 15 wet eer coz 3l 2 LANCIVM dHBEONETC 929 olr1o* 1/54 5" 58) 4olb- cot 5 aeilots ad ol—10?. . j1-— 9 $91! . o— 5o*.'.$;-p o? gj otH- 9? 9rd 1e nj 4O'g-i9^.. aulee ioa 65 —:49*-::5 872 mo^ 1; 40H- ot. 4d— oto oai 4 o*^F 9* Sold to" ol- 0? 814-0? E | Q'SKag rota metis gd; 6! id g? 4o4- o? Ai l- o? ! H i» ey ro? s coperot candae 9? c8 8M, c Ex bac autem abus nid apparet , irregulari- tatem motus lancium tam effe exiguam, vt in praxi vix percipi poffe; neque enim vnquam numcro 2 maior valor tribui poffe videtur. | '$. 37. Cum igitur nullum plane duin appareat, vnde tam mirabilia .:phaenomena. in motu Jancium. oriri. potuiffent , dum ambae lances alterna- tim motum ofcillatorium..cencepiffe ,;tum vero .ite- zum .conquieuiffe ;perhibentur., fateri:cogimur,.a lon- e alia canfa illud phaenomeson -remorarum ...pro- du&um fuiffe, fue.ea in maioribus motibus fit.quace renda, fiue in.€0., .quod.pun&a Aet; B; ynde.lan- ces füfpenduntur , .in eademi,re&ta cum centro moe tis C fita affumfimus. .Neque tamen; apparet , quo modo ex tantilla mutatione, quam in his punc&is e.t Ss2 : conci- 324 DE MOTV OSCILL. LANCIVM LIBRAE. concipere licet ,, tam enorme difcrimen oriri potue- rit; práecipue cum methodus , qua hic fümus vfi, nulli plane dubitationi locum relinquat. $ 38. His omnibus accuratius perpenfis, haud - difficulter perfpicere licet ,, a motu iugi ideo nul- lum motum ofcillatorium lancibus induci poffe, quia eius extremitates A et B tantum verticaliter mo- ventur , vnde etiam lancibus. nullus motus obliquus imprimi poteft. Vera ergo caufa , cur calculus no- fler a memoratis phaenomenis diffidest , in.co «ft fita, quod centrum motus C tanquam fixum fpe- C&auimus; ftatim autem atque ipfum. hoc punáum C aliquem motum horizontalem | conciperet, etiam punca A et B pari motu ferrentur , vnde vtique lances ad motum gyratorium concitari deberent. Haec autem circumfílantia manifeflo in libris locum habet, quippe quae noun ex ipfo centro. motus C , fed ex punco multo altiori, fcilicet ex fcapo feu trutina fu- Ípendi folent ;; atque ex hoc iam perfpicuum eft, 3 rudi illa impulfione, qua altera lanx concitata per- hibetur toti librae circa iftud pun&um fufpenfionis motum fuiffe impreffum , ob quem vtique extremi- tates iugi A et B non tantum verticaliter , fed et- iam horizontaliter agitari debuerint, ita vt hoc mo- tu poflteriori lances vrique motum: ofcillatorium ac- cipere debuerint. Quin etiam hinc iam ratio perfpi- citur , cur lances alternis vicibus modo quicuerint modo ofcillarint. ^ Pleniorem autem cafus euolutio- mem alia occafione accuratius pertractare conabor. EXPLI- prin Co 9[2Ce)f$e c $25 |o SOEXPLICATIO | MOTYS OSCILLA'TORII 2 MIRABILIS IN LIBRA MAIORE OBSERVATI. T'as Auctore TM L EFLERO. $i (.; nuper in caufam huius phaenomeni, quod illuftris — Bermouli&s commemorat — inquififfem , et folum librae iugum circa füum centrum mobile affumfiffem , ]uculenter demonftraui , hinc motum iftum mirabilem nullo modo oriri potuiffé. —Nul- lum igitur plane eft dubium, quin caufa iftius phae- nomeni in motu ofcillatorio totius librae ex fcapo fufpenfae fit quaerendum , quandoquidem talis mo- tus a rudi illa concuffone toti librae imprimi de- buit. Quoniam igitur agitationes folius iugi vix y quicquam jn motu ofcillatorio lancium immutare yalent, vti in füperiore difftrtatione oftendi , hic iu- gum cum trutina firmiter connexum affüumo, wt totum librae fyítema exceptis laucibus tanquam ler. pus rigidum fpecari poflit. 6. 2. Sit igitur O punc&um fufpenfionis, circa Tb. III, qnod toti libra cft mobilis, per quod ducatur recta PFi&- 5- horizontalis & O 5, tum vero etiam. verticalis. O o; 553 atque 826 DE MOTY OSC)LLATORIO atque clapfo poft initium /témpóte —:, quod fem- T in minutis (fecundis exprimo-, teneat. corpas N Drae-fittm vtcüaque inclinatum -O A B, vbi A-et- funt puncta ex quibus lances. fufpenduntur;- ita vt reca A B fitu aequilibrii foret horizontalis , recta vero O C, ad eam perpendiculariter ducta , vertica- lis; in qua ergo dabisur centrum grauitatis totius li- brae G. Dudcae concipiantur etiam recae OA et OB, quae vocéitüt ^O.A — O D.&-a, ct anguli QAB—OBAc--^c; ita vt (i OC — a fine et AC-—BC--acof a:.diftastia autem centri graui- tii$.G a puncto (ufpenfionis O . ponatur O G Praeterea fit imaffa E pondus totius librae , . oci bus: excepiis,. — M, eiusque momentum inertiae M. i1 vt ** foret Makeup penduli fimplicis ifochto- ni fi fola libra circa pun&um O ofcillaret. . Ad com- moditatem autem calculi. vocemus, infüper. Qa zzafinoy et AQ oP Cesta cef . Denique lances vt pondera ümplicia ex pundis A-et B íu- fpenfa fpe&emus., quorum maffa fit. —L; filorüm autem longitudo A.P z B.Q ^. $ .g. Praefenti autem flatu. ponatur declinatio librae ftu: aogulus.G. O.o;zz D, erüntque. angnli AOa zz a -— Qet BO4 —e 40; vbi rc&ae A à et Bb d intelligendae funt: verticales. .Hinc igitur erit — A a — a fin. (« — Q) — ecot (b —f n, QD et^ edens hei — f cot. cafes ho M pe AR) car Y a vo crane ld ipsos $ "sd Disc rr ware IN'LIBERA OBSERVATO:| —— 323 $. 4.:Porro pro pracfénti ftitu- declinet: | alteta lanx Poatfitu verticali angulo *P-A& a — wj; altera ve- lax Q angulo QBg — 9 ; vnde, fi ex pundis Q verticales azántür P et Q4, ob viamque longitudinem A P— BQ-—P habebimus ^ ap—h fin ^is Pp— Aat cof we cor für. O-Ebcofn; et. ex SHPRA pArtG 5 2 bg fin,9 et Qa B4 bcof. 9—ecof. DA n. 4-5 cof, iur 15; Nunc pro motu determinando fítatuan- tür pro binis punctis P et Q coordinstae. orthogo- (Op zz x e Gn. D -- f£ cot D 4 b fin; « et OP pz ymecot. Q —fün.Q 4 2cof.$; et eX altera parte ^04 ai — fcor, t — e fin. Q — b fin. 9 ct OQ quy — ecot Q 4 f ün. (- 4- 5 cof. 9. : His pofitis posatür tenfio fili APP et fili B Q — Q ; quibus lances P ct Q propemodum fur- fum UPC: dum. ob propriam grauitatem deor- füm vrgeatur vi — L. At tenfio P praebet vim di- re&e furfum trahentem — P cof. w, et viam horizonta- lem dextrorfum z- P (in. w:. pro altera vero lance tenfio Q. praebet vim verticalem furfum vrgentem — Q cof. 3 ct horizontalem dextrorfum — Q fin. 9. .$. 6. Definitis iftis viribus , quibus lances fol- Beier , principia motus pro lance P Pup um eas duas aequationes: .. inae T. E — Pn et. M. E Li-rus M i agd inouetunge ra P2 ) igd T ly o pro oV. agdt*7 adQ$ 4:8 — DE MOTV OSCILLATOIRO pro altera autem lance Q. habebimus bas: ddx' — Qfin.S ddy —,L—Qeks$ o0 Ill. rr od qu. IV. RINT oL atque ex his quatuor aequationibus motus vtriusque lancis determinari deoet. — r E $. 7. Iam motum angularem ipfius librae ag- grediamur; ac primo quidem. momenta omnium vi- v rium quibus follicitatur refpe&u puné&ti fufpenfionis: O colligi debent. ' Hic igitur primo occurrit pio- prium librae pondus M, quod in centro grauitatis G vni- tum producit momentum z MOGfin. O— M cfin.Q. Deinde vero tenfio P. momentum producit — P a fin, OAP. Eft vero hic angulus O AP— 90^ Ea — OE cuius finus — cof. (a — (P 4- y) ; ita vt hoc momen- tum fit | Pacof («— Qr») Z PCf cof. (4 — 0) — efin.(w — (D). Quod momentum pariter ac primum tendit ad an- gülum (Q imminuendum. Ex altera parte tenfio Q momentum exerit — Q.O B fin. OBQ: eft vero angulus O B Q — 9o" 4- a 4- (p — 2, cuius finus eft cof. (a -3- (p — 9)— cof. a. cof. (D —9)—fin.a in. (D— 9). vnde i(lud momentum erit Q. (fcot: (b — 9) — e fin. (b - 9), quod ad. declinationem (D augendam tendit. Hinc : igitur per principia motus deducitur haec aequatio: — — Mtfin,Q — P(fcof-— Q) — e fm. - 0) 4- Qo Cfcof. (b —9) — e fin.(0-9) Mhkh TXIRL $. 8. Nunc igitur ternos noflros angulos de- clinationis 4, 9- et (D tanquam infinite parsos. fpe- C&emus - IN LIBRA OBSERVATO. TA &emus, vt eorum «ofinus wnitati , finus vero ipfié angalis aequales reputari queant ; tum igitur erit "u—eDQ--f-a0w; y—e-f02-5 "t |ox-f-eo-b3; y-eufQ0-b et nunc quinque noílrae aequationes induent fequen. tcs formas: —— eddQ--bddw — .. *. -j4d$9 1. - lI. 28dft: 1? IT. a pgdi L —edip—bdd$ o3 | af4déb-25 Q. .. VLL ife T- P IB her 7. ; IV. 2gdi* xp L w. 220 — — mbi red bm DHoíf e 0o — 4 2) W.e 2gdi? — $. 9. Ex his a-quationibus primo tenfiones P €t Q definiri opportet , id quod commodifüime fit 4ex aequatione fecunda et quarta , vnde , quia mem- bra priora J I ! funt quafi infinite parua erit P—L EE OL, Lisin valores proxime weri pro reliquis acquationibus fufficiunt, ita vt nobis reliaquaniur trcs fcquentes ques d | | * ,eddQ--?^ddm-,-—.. | —bdd$.— I. TeraE der BB Puis laret yd: NP e dum 2-3) NU TERT GTNRR IS hic erzo ternae no(trae variables *, 9 et (Q maxi- me inter íe funt permixrae, ita vt non parum difficultatis in earum feparatione occurrat. 1S4 $. ro. Quoniam autem in his aequationibus ternae variabiles vbique vnicam dimenfionem habent, recurramus ad eam methodum, qua iam faepius opti- -mo cum fíucceffü (um víus, fcilicet , conftituatut — — Tom. X1X. Nou. Comm. T — talie 339 DE MOTV OSCILLATORIO | "tàlis aequatio differentialis fecundi gradus. Hm -. qua. motus penduli fimplicis longitudinis — 5 zupris , mitur, ac ftatuamus 4 — A 2 9—Bz ec (ps x fietque (- NN iy: [TEN LOU TANUIOMS umi et 220 LR 2gdt t^ "x «gditagn-s sinon yino s, ' quibus valoribus in noflris aequationibus tabfritutis et littera z per diuifionem. fublata- nancifcimur fcquentes aequationes ; I: Er A; III. e EE TqE T cm Sm 673 M Ce LCe as Led e D) , VN. pem WTUUWTROCUOUT $. rr. Ex harum aequationum duabus. priori- bus ftatim elicimus A ue z de DE E b Ugn P5 qui Valores in quinta (ubftituti praebent QC Md 6 Poss AnCLe —pocc COM ce aLe)-sitit quae reducitur ad hanc i c PPCM c2 2L 0)— PM bes sLbe r2 Lee MER - Mk cuius binas. radices ponamus breuitatis gratia tHc ^ vnum 5 — p et alteram P — 4, ita vt p vel 4. fe- quenti forma fit expreffum. : ;P(Mer2 Lo Lee tciMEE ——— — i sia MC , ——— M — M — ——— MÀ GINENERU o 5 5 D Ac — MM À X 6. 12. Cum igitur fit uM mp, Ht-wti conftat m g — fin.(y 4-: Y*2), vnde : IN LIBRA OBSFRVATO. $31 vnde quia prodit A-— B —,*-, folutio ita fe ha- AT. bebit: —À ESEUPN q NBI 141: : Q—C fin. (sy-- V E) et «459 — £5. in. (y A- 2 Y 58). Nunc autem fi loco 5 ftcribamus binos valores in- ventos P et 4, motus inde oriundos etiam coniunge- re licet, vt motus prodeat ofcillatorius ex binis fimplicibus mixtus, qui vt fiat generalis , .pro alte- ro loco confiantium C et *y fcribamus D et 9; fic- n obtinebitur fequens folutio generalior. | —Cfin. Cy -7Y 25). D fin. (8-1 V 5) et DES 0 ct. n. y divis zi) Dem fi i Ve £). 4 $13. sudes autem ob quatuor cóntie tes arbitrarios C, y et D,8 infinita vdrietas motuum, quos libra cum lancibus recipere | poteft , | continea- tur: tamen alia motuum genera non complectitur , ' nifi in quibus ambae lances aequali motu cientür, Haec igitur folutio neutiquam pro completa haberi poteft; tamen vtijue víu venire pote(ít vt ambae lances mo- tu diuerío agitentur, quemadmodum in phaenomeno ruato reuera accidit. Quin etiam ipfa analyfis de- clarat, hanc folutionem non effe generalem , ob. id ipfum quod tantum quatuor con(tantes arbitrarias contineat. Quia enim tres habebamus aequaticnes dif- ferentiales fecundi gradus, integratio completa adeo Íex quantitates. arbitrarias inuoluere debet , ad quam cliciendam nouis artificiis erit Opus ; quod igitur ne- onum omni cura dap Vig ». TE RESO- 53? DE MOTV OSCILLATORIO RESOLVTIO GENERALIS problematis propofiti. $. r4. Omui attentioae igitur perpendamus tres aequationes differentiales fecundi gradus , quibus Íolutio continetur zpapetim II!. "nom V. meis c (e 2 Le)P — Lew: doy Qo vbi , quiz im duszbus prioribus anguli w et 9 tan- tum permutantur, flatuamus «— ;-- 4 et 2—5$—4 vt prodeat fumma *-- 9— 2s et w—32-—2u, vnde conficietur eddQ-r-bdds Du-HLt——ie—4£-9 bddu AY I — III. ipa 04 — o: quae poflrema aequatio , quiz vnicam variabilem cum. tempore £ inuoluit ,. ftatim. praebet. integrale. u — E fin. (€34- £2 V 55); quod in praecedente folutione: erat praetermiffüm, j $. r5. Pro duabus rcliquis aequationibus flat vt fupra (D — Cz et 5 — A z exi(tente A ELTE Bias z— fin. Cy 2c £Y7E) eritque eu (übftitatis nancifcemur fequentes duas aequationes - —£* 25b. A—o et - Eh --C(Me--2Le)—2 ALe—o IN LIBRA OBSERVATO., 833 ex quarum priore fit A — ,€*-. Sicque reftabit haec vnica. aequatio EE --Me--2Le—:ibt* — o, $. 16. Quo hanc aequationem | commodiorem reddamus , ponamus breuitatis gratia — z:Leeh 35 E nore ec M.e--ibe. / et noftra aequatio hanc inaüuet formam: —$d1-Q6—o quae reducitur ad hanc formam quadraticam | bb—b(b-i-1a-m)--bmoo . cuius. binae radices erunt b-—i(Q2a-di4-gm)-- Yi(b--i--m)-—bm quae etiam: ita exprimi poffunt b-Li(bA-ir-m)4-vi FULL m- by «51 vnde: pater quantitatem: poft fignum: radicale pofitam fégiper effe pofitiuam , €t quidem: maiorem quam s 4-m— b); ; quare fi hanc radicem quadratam oosihdpN —a4(/4- m-—b)--w, erunt bini valores ipfius. P,. quos: iterum: dcfignemus literis p et 4 ifti pf—i-H-m-r-«etg-cb-—u. $. 17: Qnod fi ianr iflos valores inuentos reten- ta primo: littera: 5 fubftituamus reperiemus hos valores. « Q— Cfin (y p EV *£J et r—; £5, Gn. (y 21V £8). Erat vero 4 — E fin. (6 4- £ yos 4) vnde. porro: col. ligimus: A | Tt s m € - 334. DE MOTV OSCILLATORIO (42 ,£5 ; in (y 4-2 Y*5) 4- E fin. (c-- t V2 £) m 9 —,* any 28) - E n, (e 4-2 V 58). | $. 18. Hinc igitur folutionem completam ob- . tinebimus, fi loco 5 fucceffiue fcribamus tam pquam — — q. et valores inde refultantes in vnum fummam col- | ligamus. Dum autem pro P fcribimus g, loco con- ftantium C et y fcribamus D et 2; quo facto folu- tio completa ita fe habebit | ! (D — C fin. (y 7 Y* 5) - D n. (3-2 V5) 1f. — feq D*., fin. (8 -- 7/75) 4- E fin. (e-- t V*£) : H1 g— een in (y 41 ys 3 pe dn. (9 4 t V2 8) —- E für (e 1Y25) [/ q—26 | quié formülie fex conílantes arbitrarias innoluunt, fcilicet C, ^»; D, 35 E, e; in quo character veri- tatis. confpicitur, " $. rg. Ex his valoribus iam (atis eft perfpi- cuum , mirandum illud pháenomenon , quo ambae lances alternatim quiefcere et moteri funt obferuatae, vtique euenire poffe. Cum enim ambo anguli € et 9 talibus formulis definiantur 4 — P--Q et 9—P—Q, vbi literae P et Q cum tempore certo modo varian- tur, fi eueniat vt quodam tempore fiat Q — P an- Feriae «4 maximum obtineret valorem, 9 vero ad ni- hilum redigeretur, vnde prior lanx oM habebit motum gyratorium, poflerior vero quafi quieícet. Deiaceps vero veniet tempus quo etit Q — — P, ac fum prior lax ad quietem redigetur, pofterior vero maximas peraget ofcillationes: quae viciffitudo faepius occurret ftatis temporibus ; donec motus fuerit pror- — - fus - IN LIBRA OBSERVATO. 355 fus extinctus; Omnes autem circumflantiae talis mo- u$ reciproci à confítantibus arbitraríis pendebunt , ita vt etiam hic infinita varietas locum habere poffit. ..$. 20. Accuratius autem banc folutionem per- pendamus , fimulque mütationem momentaneam fin- -gulorum angulorum (, « et 9 fiue eorüm celeri- tates angulares definimus ; quod, quo facilius fieri pofüt ponamus breuitatis gratia ; Ns; VeE cy et Y 5£—X vt habeamus p cC Gn. Cy 4- p D 4- D fin. (8 4 v £) D Er € e, fin. ("v - | 02 4- zs fins (9 pyr) 4- Efin.(ekA7) $e fin. Cy 4- 2) 4- e 2, fin. (8 4-v 7) -Etin.(e M) vnde m celeritatibus FIAT ONER 29— y Ccof. Cy - j£) - v Dcof. (8 4-v1) dt it cof. Cy per) o 20 "b 5, cof, (8 xy 2)--AE cof(e4-A7) 4$. Bet ; cof Cy p t) 4-225 Dd cof. (9 4-V£) XE cof. (e4-^ z ). ài q—b L 2r. In talibus igitur librae agitationibus tres motus ofcilatorii (implices inter fe perrnifcentur, quorum primus refpondet pendulo fimplici longitu- dinis — p, quod fingulas . ofcillationes fuas peraget tempore — x min. fec. Alter motus fimplex refpon- det pendulo longitudinis — 4, quod fingulas ofcilla- tiones peragit tempore 7 fec. tertius -vero motus conuenit cum pendulo longitudinis 5, quod fingulas ofcillationes facit tempore — f. fec. Vbi quidem no- tandum,. motum . v librae tantum. ex duobus prio- LIS ribus 356 DE MOTV OSCILLATOSIO ribus generibus componi, dum in lancibus omnes tres motus inter fe permifceri poffunt , vnde fine dubio maxuma irregularitas in his motibus, atque adeo ad- mirabilia phaenomena locum habere poflunt. $. 22. Quoniam fex habemus «onflantes arbi- trarias, folutionem noftram ad omnes ftatus initia. les At a e poterimus , quando fcilicet pro tem- pore 7 — o tam ipfi anguli D, X et 9 quam etiam eorum celeritates RT E et FE vtcunque dantur ; tum igitur jucun um erit fiagulos cafüs per expe- rimenta comprobare, — Quia autem in hac folutione iugo librae peculiarem motum mon tribuimus, fi ex- perimenta. inftituere voluerimus , fcapum feu truti- nam cum lingula feu examine firmiter connectere debemus. "Tales igitur aliquos cafus pro flatu ini- tiali dato euoliamqus. EVOLVTIO CASVS quo initio erat D — 0; «—a et 9—0 ii o; -—o et 25. $. 23. Pofito igitur z—o jeqiiaigtin fex con- ditionibus erit fatisfaciendum Jl o-C fin. y 4- D fin. à II. a — 4, fin. y 4- 5; fin. à -4- E fin. € Y 4-5 fin. 8 — E fin.€ Ce E56 IV. o — y C cof. y -i- v D cof à V. o —iES S pNf yy -L- 7? "De co. à -- AF cole. AT. IL. jc y 4-225 e ;co à —AEcof&- $.24 '1N LIBRA OBSERVATO. 453 50& 44, Hic euidens eft,tribus pofterioribus con- ditionibus fatisfieri his tribus determinationibus; Q Ey 905 2'.2 Ez 90 $08.06 L— 99 hincque ttes priores aequationes 'euadeut l o—cC4-D 1L & — 65, 4- 25, 4- E et — Ce TON IlLo-— rz E cX- quarum prima fit D--C. IDeinde , quia Me "n dat E ——- 2667 :De — "Ce * Ce jnóe fit a(p-— 5) (4 — b)—2Ceiq— 1) vnde colligitur | : E Sub M xp: — wo Dt 3) d olt ud aW ypsetpDu-——te—— Denique db 1 —4lHr-feu «—2 E-crit E —;a. &. 25.:Si igitur. pro 2(2——P feribamus [e^ pro motu fecuturo. "habebimus fcx fequentes cetermi- mationes —— gd il E o- € cof. pr-Ccftvr fr ]p. owe ird Ay d Ag cof, V£ 4- ; '& cof. AT ES ES z Rex. s ES ; CoL. y? — 4 col Az. Jv. 27 Rh. Qa T PCM yt V. alc £t fincp. 2 4 27 RCE , fint — 1aAin. Az VLII-It pcm ; fins qe; 3 2f ce ; fin. v? 4- a Xfin. Az *nde ad quoduis:tempus-7 tám flatus librae cum «Tom. X1X, Nou. Comm, V v lanci- 339 DE MOTV OSCILLATORIO lancibus , quam finguli motus angulares defiairi poterunt. $. 26. Ponimus exempli-gratia b — 4; 7— 3 et 7; — 1, fictque p — 6 et 4 — 2; tum vero fumaes mus e— 2 , eritque pVivr—Vgi;humV&etCcs Pro hoc ergo cafu determinationes nofílrae erunt . I. — ia cof. ;: V$ —iacol. 2 Vg | IL *»—iacof 2Y£.r:acof. £Yg--iacof:Y£ Ill. 2 —;acof: Yf-F1acof. ? Y g — 1a cof. YS | JV. 39——1aYVÉ£(n.2 V£--2aY gfin.2Vg V. 22——ioV£fin.2 V£ ;aY gin z Vg -1aY £Gugt YS VI. 7 —iaVÉtün.2Y£—-iaY g(ün.tVg--iaVÉ(ntY£, EVOLVTIO CASVS quo initio erat $..27. Quia hic iterum tres iden fünt nullae, habebimus vt ante 'Y —93 c: 90, vnde tres priores' conditiones dant | 1. o4— C-- D II. o6 ;-B5;4-E Ill. o — YS De; E. Quia nunc 11 - III dat o— 2 E erit E-o; tum. vero IN LIBRA OBSERVATO. $39 vero erit ex Il^* D—— ies qui valor in prima fubftitutus praebet Et opaca poca iei ddeoque c- - Sin et Tu —oP-P | —4 D—-« ira! ficque formulae nofirae fient Mb. — € rpg Eae chido II. M — eer nt. ---- ex quibus seleirates Bn facile deducuntur. 6.:28. Hoc igitur cafü quia w-— 9 ambae lances eundem motum ofcillatorium recipient, quem- admodum in nofira prima íolutione particulari vfü venit. Hoc igitur cafü tam motus librae ipfius quam vtriusque lancis ex duplici motu fimplici «rit com- pofitus, qui hic neceffario certo quodam modo con- iunctus deprehenditur; ita vt ifle motus modo .ma- gis modo minus fiat irregularis: prouti tempora ofcil- lationum vtriusque generis plus vel minus a fe in- vicem difcrepabunt. Superfluum autem íoret plures huiusmodi cafus euoluere ; cum iam fátis fuperque fit demonflratum , motus illos mirabiles, vtcunque pri- mo afípeéui inextricabiles videantur, cum noftra theo- ria ex primis mechanicae principiis deducta perfe- &iffime conuenire. D" : ! Vvao DE 949 — I D DE MOTY TVRBINATORIO CHORDARVM MVSICARVM ; VBI SIMVL. VNIVERSA. THEORIA. TAM A. QVILIBRII QV AM. MOTVS CORPORVM FLEXI-. BILIVM SIMVLQVE ETIAM ELASTICORV M. BREVITER, EXrLICATVR. ! Au ctaobe T L EFKLER OO. $. | I.. Es Geometrae in: chordis infinitam: motus varictas- - 4: tem num. quidem: agnoüerunt ,. atque. adeo: feli ci cum fucceffu. determinauerunt: omnes- tamen: iftos; motus. perpetuo: in: eodem. plano: fieri. affüumferunt ;, ita vt non. folum. tota chorda: qupuis. momento: in. eodem: plano- fit fita , fed. etiam. fingula: eius: puncta: per lineas. rectas in. eodem. plavco. motum fuum per^. gant. Fieri autem: vtique: poteft, vt- chorda: quouis: momento- nom tota. in codem. plano: reperiatur ,. nee- que- etiam. fingula: eius. pun&a: ia- directum: mouean-- tur, fed. per- lineas curuas- vtcunque: circa: axent: re-- voluantur , cuiusmodi motum: adeo: in: chordis: gras-- fioribus- oculis. percip:re- licet: Talem: igitur. motum. hic: zu'binatorium: vocabo ,, eiusque. fymptomata. ex: ginis motus principiis. determinabo 5. vbi: quidem commo- DE MOTV TVRBINATORIO CHORDAR. 34x commode eueniet, vt omnes huius generis motus. uautumuis abfítru(i et complicati videantur, acque fücile definiri queant atque ii, qui in eodem plano abfoluuntur. Quin etdamr veritas prmcipii Bernou//iani hinc eluccbit : dum: etiam ommes ifti motus ex plu- ribus fimplicibus compofiti deprehenduntur, ita vt lioc principium adhuc multo latius pateat quam Il- luttriff. Inuentor: illud: extendit. $. 2». Etiamfi autem prima motus principia: ftatim. ad. hos: cafüs- euoluendos applicari queant, qua- tenus fcilicet omnes. iffiusmodi motus tanquam: in- finite. parui. fpecantur z tamem plurimum: — ad augmentum: fcientiae: conferet, fi quaeítionem in. latiori: fen(ü. accipiamus, atque in genere, primo quie dem: in. ffatum aequilibrii fili perfecte: flexilis, quod: a: viribus. quibuscunque: in fingulis: elementis: follici- tetur. inquiramus,, hincque: deinceps formulas pro eius. motir. quocunque, eliciamus,. quemadmodum: haec. in- velligatio pro: cafir quo: totum: filum: perpetuo: in: eodem: plano: verfatur duplici moio: a: me: iamr du- dum e(t praeffitum.. Hic autem: iftud problema: mul-- to latius: füm: extenfurus ,. vt: etiam ad fila nomin eo- dem plino conflitute,. fimulque: ad: vires. quascunque: mon in eodenr plàno agentes, pateat;; quod: quidem & nemine. adliuc, quantum mihi? conflat, eft factum.. Problema. generale: prius.. ST filo perfecte: flexili: in: fingulis: elementis: vires: quaecunque: fuerint; applicatae:,. deverminare: fL atum: ae—- peus in; quo» iftud: filum: conquiefcet.. V v. 5 Solütio:. 842 DE MOTV TVRBINATORIO Solutio. Tab. IV. 6. s. Quoniam igitur neque filum neque vi- Fig. 1. res follicitantes in eodem veríantur plano, confti- tuamus ternos axes fixos O A, O B et OC inter fe normales, quorum duo priores O A et O B in pla- no tabulae iaceant, tertius. vero O C ad eos fit perpendicularis, — Sit iam Z punc&um quodcunque flliIE ZzF, vnde primo ad planum tabulae demit- tatur perpendiculum Z Y, tum vero ex Y ad axem O A agatur normalis, et vocentur pro ifto fili pun- €o Z ternae coordinate OX-——x, X Y-y et YZ-z Tum vero fit elementum fili Z z — d rs, eritque 2.5 —4 x --d y -- dz, atque omnes vires, quibus hoc elementum follicitatur, refoluantur fecun- dum direciones trium axium noflrorum fixorum : fitque vis fecundum directionem Z P axi OA pa- ralelam agens — P 4 5; deinde vis fecundum directio- nem Z Q axi OB paralllam agens — Qs; ac tertio vis fecundum directionem Z R axi O C pa- rallelam agens — R d s. Sicque erit füumma omnium virium elementarium portioni fili EZ applicata- rum —/PZ4s; fimilique modo fumma omnium virium elementarium QZs —/Q4s, viriumque clementarium R d 5 fumma —/R d s». $. 4. Cum nunc totum filum fit in aequili- brio, fimulque perfecte flexile , necefle eft vt omnia harum virium momenta, quae flum EZ circa puné&um Z gyrari conarentur fe mutuo def(truant. Quare, cum filum in omncs plagas gyrari poffit, notum CHORDA'R V M. T notum- eff, omnes iftos motus gyratorios etiam ad trnos axes Z P, Z Q, Z R reluci poffi, ac pro flatu aequilibrii fü:icere; vt fiuzula momenta re- fpectu cuiusque. horum axium fe defiruant. | Coafi- deremus ergo primo axem ZP; eiusque refpectu tantum vires Qg s et R ds momenta producere va- lent ; ad quae inuenienda, íi ratiocinium eodem modo inftituatur, vti in cafu pro eojem plano feci, totum momentum ex "viribus Qs re(ultans erit f42/Q. ds: momentum vero ex viribus R Zy re- füitans erit /7y /R d s. Haec autem momenta, vti flatum figurde attente perpeadenti facile patebit, in plagas contrarias funt direda , vnde pro flatu aequi- librii requiritur vt fit /Z zfQ drcfdkWdsggEde dem modo, vt momenta refpectu axis Z Q fe de- firuant , neceffe eft vt t /2z/ Pds —f4 xf Rd. Ac denique deftru&io momentorum refpe&u tertii axis Z R. poftalabit hanc aequationem: f/2x/Q45s —/fdyfPds; quibus colligendis ftatus jeanitibri tres fequentes poftulat couditiones: Ll. f/dzJQas—fdyfRds; Il, fazf/ Pds—fdxfRds lll. f/áxfQds—fdyJPds. 6. s. Praeterea vero pro noflro inftituto im- primis etiam neceífe eft, vt tenfionem, qua filum no-: flrum in punc&o Z tenditur coznofamus. Quam quaeftionem fi eodem modo tractemus , quo pro ca- fü in eodem plano fümus v(i, facile fpiciemus , totam tenfionem per fequentem formulam exprimi debere : dxfPds--i2/Qds--izfRds — hic $44 . DE MOTV TVRBINATORIO Hic quidem rmoftram figuram iam fatis lineis et Tits tefis onuftam nolui pluribus lineis «ducendis magis perplexam reddere: fed potius conducet eam difler- tationem , qua confenfum geminae methodi pro fta- tu aequilibrii corporum. flexibilium adhibitae demon- firaui, «debita attentione perlegere: .hoc enim mo- do facile erit, omnia ratiocinia, quibus ibi fum vfüs ad praefentem cafum accommodare, Quin etiam haud difficulter noftra folutio ad fila vtcunque elaftica ex- tendi poterit, quod , etiamfi non ad praefens inflis. tutum noftrum pertineat: tameu 4naxime «dignum Widetur, vt hic breuiter doceatur. 6. 6. Quando (fcilicet noflro filo elafticitas. quaecunque £ribuitur, on amplius illa momenta . wirium , quae pro fingulis axibus Z P, Z Q et ZR inuenimus , nihilo aequalia fünt flatuenda, fed vi ela- füicae, qua filum inflexioni circa quemque horuni axium refiflit aequari debebit. "Hunc in finem pró áàxe Z P confideretur filli E Z proie&io in planum QZR facta, quod tcilicet axi Z P crit normale eiusque quaeratur eüruatura in pun&o Z, quippe cui elaflicitas proportiónalis erit cenfenda, Quia igi- tur indoles huius proic&ionis per binas ccord'natas J et z exprimitur, erit radius ofculi in puncto z. (y dz is "o Hyddz-dz (dy? | b. Cui , cum cügüatura fit reciproce proportionalis , poo inflexione circa axem Z P habebimus huiusmodi ae quationem : : IT CE- /(CHORDARVM " ads nisu. dd da fQds—fdyfRdesz—— — " (245 —dz t fimilique modo pro binis reliquis axibus habebimus Xfales aequationes: |JdzfPds—fdxfRds— I2 ntsisturdaluci ed (dx —dz y F (dvddx—dxddy) $3 | (4y —adxy wbi litterae D. E, F'exprimunt vires elafticas abfo-- lutas, quibus filum cuique inflexioni reluctatur; quae ergo litterae tam quantitates variabiles quam con- flantes denotare poffunt, fi quidem filum noa vbique habeat eundem clafticitatis gradum. — Hoc igitur mo- do quafi praeter opinionem iftud argumentum de fatu acquilibrii filorum tam perfe&e flexibil um quam ela(ticorum ad fummum perfectionis gra.um perduximus. c fdx[Qds—fayfPds— Problema generale alterum. Si filo perfecle flexili in fingulis elementis. vires quaecunguae fuerint applieatae , determinare. motum , quem iflud filum , vicuuque fuerit. impuljum , . deinceps brofequeiur. $. 7. Maneant omnia vti in praecedente pro- blemate tunt conftituta, vbi Pas, Qd s «t R$ * "oom. XIX. Nou, Comm. XX refe 346 | DE MOTV TVRBINATORIO referünt omnes vires elementares fingulis fili elemen- . tís applicatas , et quomodocunque hoc filum iaitio fue- rit ad motum coacitatum , , elapfo tempore 7 habeat fitum ia figura repraefentatum. | Quo pofito fi lon- gitudo fili indefinita E Z ponatur — 5, euidens eft terüa$ coordinatas x, y et z puncto Z reípondentes vt functiones fpe&ari debere biaarum variabilium. s et i. Porro quemcunque motum elementum Z z habuerit , eum refolui conueniet fecundum ternas dire&tiones Z P,ZQcet ZR: ac tum celeritas fe- cundum Z P erit — ($2) , et celritates pro duabus reliquis directionibus Z Q et Z R erunt fimili modo (I2 et (22) vnde deducuntur accelerationes ddx d dy ddz di qu) irr) EE rr2b i ad quas producendas requiruntur vires acceleratrices fecundum easdem. dire&tiones Z P, Z Q et Z R quiae, denotante g altitudinem lapfus in vno minuto fecun- do , PN ddzy, : ;dd9yY. 1 fddz "ers sr ri red 6. 8 Quod fi iam maffula elementi Zz—4d:; H8efignetur — S s, vbi S vel eft quantitas conftans , fi fcilicet filum füerit vbique aeque craffim , vel quantitas variabilis, et quidem functio quaepiam ipfius $ tantum , fi craífhties fili fuerit variabilis, vires motrices quibus elementum Z z fí:cundum easdem | directiones follicitari debet erunt ri ME Sds sds d d E E "2 et ZA e m dp) at dt? quam D n ——"ÀÁ— — ——— CHORDAR VM. S47 quam ob rem necefífo eft, vt iflae vires motrices producuntur a viribus füpra memoratis, quibus to- tum filum a&u vrgeri ponimus, ita, vt fumma omnium illarum virium aequiualens effe debeat füm- mae iftarum. — Cum autem , fi corpori cuicunque duplicis generis vires füerint applicatae ; quae fibi aequiualeant ; manifeftum eft, fi vires vnius generis . €orpori modo coatrario applicentur , tum corpus fo- *e in acquilibrio. Hoc igitur principio vtentes no- firo filo in fingulis elementis vires illas motrices fecundum directiones contrarias applicemus , quod fiet fi loco litterarum P, Q et R ífcribamus iftas, P^, Q' et R', exiftentibus PE P- 3 45; QI—Q-.5 04); R-R— 5 Qi) hocque s totum filum in.aequilibrio erit con- ftitutum. à; $. o. His igitur notatis pro motu quaefito no- ftri * habebimus fequentes tres aequationes fdzfQ'de—fdyfR'ds ^ * «d m Bias xz d As R/ ds IE f'dx/Q'dsz-/d»/fP!4s. Praeterea vero fi tenfio fili ponatur —T, erit etiam !pro hoc cafu T—GSft!2s-i- 2) fQ'as-- GSfR'ads ficque omnia quae ad motum filorum perfecte flexi- bilium pertinent füccincte hic funt comprehenfa. $. ro. Quin etiam , fi filum non fuerit per- fe&e fiexile , fcd WERE circa ternos axes vwtcun- Xx2 que e á 349 DE MOTV TVRBINATORIO que relu&etur ,. maneant vt ante elafticitates abfolu- tae circa hos axes, litteris D, E, F expreffae, fiue eae fint conflantes fiué vtcunque "varaoiles a fola Ícilicet variabili s pendentes, et formulae pro motu erunt fiz/Qd tc f dy RUD o CEP (ay — dx y E (/xddz — 168462) Rel kr deriNer (dx ! dg (dyddx—dxd Jas] 25 Fapy b ade ERE TT CER 14») (4y - -dyy vbi quidem monendum e(t, cuique radio ofculi id fignum -1- tribui oportere, prout vires follicitantes poftulant. Atque hoc modo vniuerfa theoria de ae- quilibrio et motu filorum tam perfecte flexibilium quum-eláfticorum, quae quidem adhuc defiderabatur, ad fummum perfectionis gradum eft euecta. 6. r1. Mirum hic merito videtur , quod iftae folutiones tribus aequationibus contineantur , dum in eodem plano totum negotium vnica aequatione con- fiitur. Cum enim hic tres occurrunt coordinatae X, », Z, dum in eolem plano duae tantum adfunt , plus vna aequatione infuper adiicienda non opus eft ad folutionem determinandam. At fi rem accuratius perpendamus, facile reperiemus , tres aequationes in- ventas ita a fe inuicem pendere, vt quaelibet in dua- bus reliquis iam coatineatur , ita vt reuera tota fo- luiio CHORDARV M. 349 jutio tantum duabus confi(tat aequationibus: ad quod oflendeudum ternas aequationes inuentas difífirentic- qus atque fequente ordine difponamus IL dyfP4s—ax/Qds—o ] 4zfQds—dyfRds —o ll.2xf/Rés—ázf/Pds—o atque iam euidens eít, fi prima multiplicetur per dz, fecunda per d x, ac tertia per dy, tum Sra &orum ittorum fummam fore Idz-4-ldx--lldy—o ficque manifetum e(t, quamlibet harum aequatio- num. iam in duabus reliquis contineri , ita vt tota folutio duabus tantum aequationibus abfoluatur, quem admodum rei natura poftulat. $. 12. Quodfi autem hoc idem criterium ad ternas aequationes noítras pro filis elafticis datas ac- commodemus , id neutiquam locum habere reperie- mus. Quare , cum iítüd criterium in ipía rei natu- ra fit fundatum , recte concludimus, in illis vitium quoddam latere , neque effctum vis elaíticae ita fe- cundum ternas no(tras directiones refolui poffe , vti fecimus, dum pro quolibet plano tanrum curuatu- yam proiectionis verae curuie fumus contemplati, Neque vero etiam theoria elafticitatis in. huiusmo !i filis ita eft explorata , vt hypothefis qua fumus víi certis principiis inniti cenferi queat; quin potius cozimur eam penitus reiicere atque ia veram con- flitutionem füperiorum aequationum accuratius in Xx3 quirere; 'Tab. IV. Fig. 2 350 — DE MOTV TVRBATORIO quirere. Quae inueftigatio , cum non parum afdua videatur, maximum fubfidium nobis ífuppeditabit il-- lud ipfüm criterium , quod iam nouimus in illis aequationibus locum habere debere. Emendatio formularum tam pro aequilibrio quam motu filorum elafticorum datarum. $. r3. Hic igitur ante omnia ad veram cur- vaturam quae filo in M. inducitur «ft refpiciendum, vbi imprimis planum, in quo duo elementa proxima fili erunt fita confiderare debemus , quandoquidem duo elementa non in directum — pofita certum .pla- num determinant , in quo fitus erit radius ofculi ; tum autem diípiciendum erit , fubquonam angulo iflud planum ad terna noftra plana principalia A.O B, AOC et BOC £i inclinatum. Primum igitur attendamus ad verum radium ofculi ,, qui curvatu- : ram fili in puncto M metitur, et qui per analyfin non parum taediofam fequenti TO ME expreffus n ——— ——— ——— ——— ——— ————M————— X4(dyddx—áxddyy --(dzddy-dyddz? -(dxddz—dzddxy cuius formulae denominator fi breuitatis gratia po- natur — o6, cofinus angulorum , fub quibus planum ' curuaturae ad terna plana principalia inclinatur erunt Pro plano A O B cofinus — 2272242495 Pro plano B O C cofinus — 22332—4744* : Pro plano A O Ccofinus — 22322— 22247 quo- CHORDAR VM 851 quorum cofinuum. quadrata in vnam fummam col- le&a faciunt vaitatem, vti natura rei poftulat. | $. 14. Quod fi iam fili, dum ad inuentam curuaturam cogitur, claíticitas abfoluta | defigaetur littera G, ita vt elafticitas qua huic inflexigni re- ]u&datur fit G., denotante r ipfum radium ofculi , tum ternae aequationes pro aequilibrio noftri fili elaftici erunt fequentes , quas ergo in locum earum quae fupra funt datae (ubítitui oportebit IxUdyyP2s—Jay Quy god que pdd) iud 2 Od.s dy [Rd — 995822 25022). Il.fdxf/Rds—fdzfP Wecocusr e Pro motu autem tantum opus, eft loco litterarum P, Q, R fcribi P, Q', R. Quod autem ad tenfio- nem fili attinet , fi T denotet vim qua punctum M fecundum tangentem veríus E tenditur, ea erit T—-(5/P4s—(1fQds—QD)fRas vbi iterum loco P, Q, R, fcribendo P', Q^, R/ ten- fio in flatu motus obtinetur. - .&. x5. Quo autem certiores fiamus, has formu- las rece íe habere , eas fecundum criterum — fupra datum examinemus ; hunc infinem eas differentiemus €t obtinebimus iei tres aequationes I. dyf P42s— -dx[Qds— x M MET 1Gsdpdis eid) if ——G md ads Jr — Il. 2z/Qds dyfRd;—9— o sGdds(azday- dyddz Bil Aui; Ill. dx[Rds— da[ Pds —eourrceen innate T 5 Quod. 355. DLE MOTV TVRBINATORIO Quod fi iam prima ducatur in dz, fecunda in dx et tertia in dy, et producta in vnam fummam colligantur, tam ex parte finifira quam dextra omnia membra íe mutuo deítruere deprehenduntur. Hoc igitur criterium , quoniam locum non cflet habitu- rum, fi vllae aliae formulae in loco dextro colloca- rentur , nobis firmiffüimum praebet documentum , formulas noftras iam veritati proríus efle confenta-. neas, ctiamfi fortaffe difficile fuerit rationem harum formularum a priori perípicere. | Applicatio borum principiorum ad chordas motu turbinatorio agitatas. $. 16. Sit igitur propofita chorda EF in pun&is E et F fixa, cuius loogitudo fit E F — 4, chorda autem ipía eius fit generis, cuius fi longi- tudo — 5 pondus feu maffa fic D; ita vt noftrae chordae maíía fit 2*, Tum vero corda haec tenía fit a vi E T — T, cui ergo tenfio chordae in pun-- &o E erit aequalis Iam quicunque motus chordae initio fuerit impreffus, elapío tempore — 7 chorda figuram habeat E Z F , vtcunque extra. planum ta- bulae exiftens , cuius fumta portione quacunque EZ-:,ex puncto Z in planum tabulae demitta- tur perpendiculum Z Y, hincque ad axem E F du- catur normalis Y X, et curua per omnia puncta Y. ducta erit proiectio chordae in planum tabulae facta; at ex X erigatur perpendiculum X V — Y Z , erit- guc pun&dum V in proiecione ad planum, quod per -CHORDAR VM. $55 per lineam E F plano tabula& perpendiculariter ia- fitit, fada ; tum. vero pro pinéto Z vocentür ter- nàe coordinatae E.X yy estyrep Yum s- ue. eritque etiam X V — z, ità vt x et y fnt. coordi. natae pro proiecione E Y F, atque v ct z- cootdi- natae pro proiectione E V F,. Vbi notetur, quemad- modum ex ipía chordae figura EZ F dantur binae proie&iones E Y F ct E V F, ita vicifüm ex binis proie&ionibus veram chordae figuram E ZF deter- minari, ficque ad quoduis tempus fufficiet Tamgee gms afizuaffe, $. 17. Nunc quia calculum. noftrum expedire non icet, nifi pro EOLDERURDUS quam minimis, bi- nàe coordinatae y et z tauquam ju&nite paruae funt fpcctandae , vtut refragari videatur. Hinc ergo, quia etiam differentialia d y et.dz prae d X quafi- euane- fcunt, elementum chordae erit 25— 4x, atque adeo abíciffü E X — x ipfi arcuí. EZ — s. aequalis eft cenfenda. | Quoniam hanc chordam vbique eius- dem craffitiei -atlumimus erit elementi Z5 maffula — BI quae;cum. füpra dcfignata fuerit per Ss IMS erit hic 5— 7. Praeterea. vero. hic quoque, quia 3b ipfa grauitate chordae mentem abítrahere conue- nit, ternae illae vires P, Q, R erunt nullae: inte- rim tamen formula /P 25, quouiam omnes vires fecundum directionem E F follicitantes defignat, ten- fionem in fe complectitur, quae, quia in partem contrariam vergit , erit /P. d & — — T5 bina. autem reliqua integralia / Q d s et /R d * reuera erunt ni- Tom. X1X. Nou. Comm. : vy hilo $54 DE MOTV TVRBINATORIO hilo aequalia. Quod autem ad accelerationes attinet, quoniam durante motu puncum Z candem. perpe- tuo feruat diflantiam a punco- E, pro «eo abíciffa ddx E X--x conflan mancbit, vnde erit (7). — o tum. vero etiam (227) — o, quod inde; patet , quod , T ERR "| j d x: p d d. 24:3 i. fit dx —ds, ideoque 72 — 1, confequenter (727)—o. Sicque folae vires acceleratrices fecundum Sina: reli- quas directioncs y et z relinquuntur , ex quibus pro motu noflrae chordae colligimus P-—-okQ'z—--( NAE E dz 2bg CE 2bg* di*^56 quibus valoribus fubftitutis fequentes impetrabimus aequationes ex $. rr. fi modo loco P, Q; R intel- hgantur P^ Q/, R/ L —T4y--45 45/4 s(5:2) — o. H. Lada fd s 32) dyfds(£e2)— o I. —Aai4 dre T4zo au quarum: fufficit fumfifle primam ac tertiam T "vena dem fecunda in his iam: continetur 5; atque hinc ob: d x — d:$ binas fequentes. nancifcimussaequationess Thgiv [ds $2) et y di* T dz (E93 2 3 Pres —rd E d. Je 6..18. Ponamus. nunc breuitatis gratia coéffi- &ientem: conflauntem: m £ — £c, vt habeamus iflas aequationes z d ize ro LECCE et E —fds( er) quae CHORDARVM. 553 quae denuo differentiatae per 7; diuidendo largium- tur nobis has aequationes dd dd ddzY... rdd preis 2 Ar E dp in quibus determinatio omnium- planc. motuum: quos chorda recipere walet. continetur. .— Vtraque. autem earum eandem ,refolutionem admittit , quam. pro motu chordae.in eodem plano dedimus. Atque hic manifeftum eft determinationem binarum variabilium J etz a Íe inuicem neutiquam .pendere , ita: vt vtrique feorfim fine vllo refpectu ad alterum ha- bito definiri queat ; quae :circumftantia fine dubio maximi eft momenti , dum' omnes motus turbinato- "ios aeque facile definire licebit , SH €os qui in €odem plano abíoluuntur. vu ret Anteqiitn autem Tolutionem generalem tradamus, haud incongruum erit, onines motus ré- gulares et fimplices euolüere, qui in noftram chor- dam cadere poffunt, et quoniam refolutio pro vtra- que plane eft eadem , fufficiet calculum pro altera inftituiffe Sit igitür f longitudo penduli fimplicis', cuius motui variationes ipfis y refpondent ; eritque vti conftat: iX cimi , quae bis integrata prae- bet y — E fin. (a 4-6 y SEL bi , quia arcus $ pro onftante eft habitus, is rqutiaodaégique in. conftan- te E coatineti d Cum autem. fit ks mis erit etiam "P (e) c t£J; ert autem |e—iIbg ddy ——.. By £6 — 5, vnde fit £—? — TRY ^ Yy sz Pofito $56 DE MOIV TVRBIN ATORIO Pofito igitur os d JA vt b dbielilius day eritque integrale completum y —E 6n. (Q 4- 2); vbi littera F ob tempus 7 hic conflans füumtum tan- quam functio ipfius ; fpe&ari poteft. Quare vt am- bae expreffüones ad identitatem reuocentur fümamus E — C fin. (B -i- 2) et F — C fin. (a -i- 2 Y *7) eritque ex binis valoribus cóniun&is :. ume C n. (a 4- £ Y? 5 fin. (g -4- £) . .$. 2o. Hac aequatione integrali inuenta eap ad cafum noftrae chordae accommodemus ; ac primo quidem .neceffe eft, vt. pofito s — o, hoc eft. iu termino E fiat pto omni tempore y — o, cui ergo aequationi vt fatisfiat flatui opportet 6 — o. — Porro vero etiam in altero termino F vbi s —a fcmper effe opportet y—0, vnde fieri neceffe eft fin. —-—0, id quod infinitis modis euenire poteft, fcilicct | fi s — im, denotante 7 numerum integrum quemcun- que, vnde colligimus e — 5. Erat vero e — Y t4 quocirca hinc colligitur longitudo penduli fimplicis Í— queLqQ» hinc erit V.88 zc y UELLE, quibus valoribus fubflitutis aequatio noflra erit J — C fin. (a -1- 175 7) fin. 175, & 20. Priimo initio ergo vbi erat 7 — o ha- bebimus y — C fin. « fin. £25 , quare fi hinc. eJabaiur tantum JCCHORDARVM. 357 tantum tempus 7, vt fit 1**'—2 w ideoque 4— 7, tum chorda in priflinum [acin reftituitur , liócaue tempore chorda binas vibrationes peregifle cecfetur, *nde fequitur tempus vnius — * in minutis fccun- dis expreffum ; ; vnde patet, eandem chordam iunu- ,merábiles motus regulares recipere poffe , dum fcili- cet loco 7 omnes numeri integri fübítituuntur. Nu- merus autem vibrationum , quas chorda fingulis mi- nutis fecundis edet erit. — 7*, qui ergo numerus fonum muficum de(ignat. Sicque cadem chorda in- numerabiles fonos edere val:t, inter quos maxime eminet fündamentalis , cafuüi / — r refpondens, qui rgo erit — 5: reliqui vero foni his numeris ex- primentur 25, £^, *:5, $?, quemadmodum quidem 2E TUA. iam inuulgus con(tat. $. 22. Pari prorfüs modo pro eodem tempo- re ? eademque abíciffae y reperitur , altera ordiuata z-—C!fu. (a! 4- ron, ims pro quà ii ep nine shes ogs erit ——, et fonus inde oriundus — 7* j ficque vtraque oidipdra g etam feorfim motu dign cietur. Ex ambabus autem con- iunctis nafícetur duplex fonus, fiquidem numeri et i! fücrint inaequales, quorum alter altero praeua- lebit, prouti coéffcientes C et C/ plus vel minus 3 fe inuicem difcrepant. At-fi ambo numeri i et. // fuerint aequales fonus tantum fimplex audietur , qui erit cnl , €eX quo hic motus chorüae etiam meri- hs pro fimplici haberi poteft, circa quem fequentia Y Y 34 notaffe 358 DE MOTV TVRBINATORIO notaffe iuuabit, z^". Si praeter ;i/— i etiam. fuerit a!— a erit y: z — C:C', hoc eft vbique in eadem ratione ; vnde patet fingula chordae puncta z per lineas rectas moueri, totumque chordae motum in eolem plano ad tabulam füb certo angulo inclinato fieri, eumque idcirco non, effe turbinatorium 2". At fi praeter // — i fuerit C! — C, fed anguli a et. af differant angulo recto , ita. vt. fic á É : fin. (o/ -- 175 7) — cof. (a -- *77 2). tüm erit y y 4- z z quantitis coüftaus. — Vnde patet, hoc cafü omnia chordae pun&a 'in circulis. circa axem EF reuolui , ac tempus "vnius reuolutionis fofe Ut. 5. Sin aütem tam €oéfficientes * C. et C/ quam. anguli «et o! fücrint inaequales ,- ma- neute / — ij, tum fingula chordae. punéa in. ellipfi- bus circa axem E F. renoluentur. | His igitur. duo- bus poflerioribus cafibus motus reuera erit. turbina- torius, et quia fonus inde tantum fimplex oritur rece inter motus fimplices refertur 4^. Verum fi etiam numeri 4 et 7! fuerint inaequales ; ita vt fi- mul duo foni generentur,' tuin fingula. chordae puncta in aliis lineis curuis: circa. axem. A M. re- "voluentur , quae pro inaequalitate horum .numero- rum magis minusue erunt .complicatae , et. ad altio- res grádus linearum pertinebunf, - I len Np jii $. 23. 'Tribüamus nunc numeris 7 et ;' fuc- ceffiie omnes valores zr, 2, 5, 4, 5^ quos recipere poffunt, et quia omnes formulae inde-orinàdae quoe. modocunque inter Ííe. coniungi poffunt obtincbimus pro- CHORDARVM. 359 pro vtraque ordinata y et z fequentes valores ge- nerales —A fin. (a 4-75 7) n. *' E Bün (B-E:755)6n.:5* ie Gin! 226». :7 2 - Dfin.(9 4- un fin, *7* et UO Es (a! 4-5 iyi. 1 Bf. (g!-- *57)fin.* 77 -- C' fin. (y! - 5251) fin. 4- D! (in. (9 4- 7e pio, tt Cum igitur hic. duplo plures occurrant conflantes arbitrariae , quam íi motus fieret in eodem plano , etiam multo maior multiplicitas motus locum ha- bere poteft , quam in eodem plano; inde autem per- petuo orientur íoni ex pluribus fimplicibus mixti, prorfus vt Celeberr. Bermoulius im motibus qui iu eodem plano peraguntur obferuauit ; hinc igitur eius theoria maxime ingeniofa infinities ampliorem exteu- fionem adipifiitur, dum fimul etiam ad omnes pla- ne motus turbinatorios accommodari poteft. Conftru&io generalis quibus chordae concitari poffunt. 6. 24. Quanquam formulae pro binis ordina- tis y et z fupra datae, fi quidem in infinitum con- tinuentur , omnes plane motus poflibiles in fe com- plecti cenferi queant: tamen inde neutiquam eos ca- fus refolucre licet , quibus chordae initio tam figu- rà quam motus quicunque füerit impreffüs. Pro his igitur cafibus omnino neceffe eft, vt integralia com- | pleta etc. etc. $66 — DE MOTV TVRBINATORIO pleta binarum illarum aequationum. diffrentio-diffe- rentialium fcilicet d:d 54 — .(d d-y (5s im d dzyY CS agis ds) RE E) 6667s exhibeantur , id quod per indiunss arbitrarizs- per- inde praeflari poteft, ac pro motibus in eodem pla- no eft fa&um, . Deaotent igitur chara&eres T et A functiones quascunque quantitatum ipfis. fübiundarum atque habsbimus fequentes determinationcs JY :(ebb0)-V:Gf-s5) et 2 à:(01-75)-75:(0£—7) vbi iftae functiones. per lineas curuas quascunque. fi ve continuas fiue vtcunque pro arbitrio ductas re- praefentari poffunt , dummodo per coatinuam repli- cationem fuper axe ita continuentur , vt. omuibus abíciffis interuallo — 2 «4 a fc inuicem difcrepanti- bus vbique aequales refpondeant applicatae, Hoc mo- do pro vtraque funcione liberum nobis relinquitur, fuper axe cuius longitudo — 5 a lineam quamcuaque defcribere , dummodo applicatae in vtroque termino fuerint inter fe aequales; quae conditio ideo eít nc- ceffaria , vt, fi fuper eodem axe continuato eaedem curuae replicentur , eae inter fe cohaereant. — Prae- terea vero etiam in deícriptione harum curuarum cauendum eít, ne ysquam earum tangentes ad axem fiant normales , vel adeo in antecedentia vergaat. $. 25. His circa iftras functiones praenotatis 2dq manifetum eft , fi tempus 7 augeatur portione D ita vt loco c: fcribendum fit c7 4- » a, tum vtram- que quantitatem y et z priftinum valorem effe. re- cupe- CHORDARVM. 361 cuperaturam, ita vt perpetuo poft tempus — ** te- ta chorda in eundem flatum reuertatur. — Quia igi- tur interea duas vibrationes peregiffe eft^ cenfenda , patet, cuiusque vibrationis tempus fore -—, vti fupra iam inuenimus, . Fieri quidem pote(t, vt hoc tempus euadat vel duplo 'vel triplo vel' vtcunque aliquoties minus, quando fcilicet ambae; fün&tiones ita fuerint comparatae , . vt non folum pro abíciíhe jateruallo — 2 a: diflantibus. easdem . ordinatas refe- rant; fed eaedem | iam ,reuertantur poít interualla minora $5, 75, R5, tf etc. Hocque | modo intelligi" tur, quemadmodum «eadem chorda: ad plures íonos diuerfos «edendos concitari- poffit , ' qui autem: femper fecundum. numeros 1, 2, 3, 4, 5 etc. progrediun- tur, omnino vti praecedens .euolutio. declarauit, .... 6. 26. Imprimis autem hic operae pretium erit,eam chordae figuram, quam poft tempus 7- ac- cipiet inueftigare;, quem in finem loco e$ íctibamus- €t -- a;tum autem' aad D apéggria hoftras eua- ^ hi Jl etl eritque .- HO. L. ' ig ei a (pads Lar (b a ulang) et iei Ari acr) A (Cf a- a 39. ii a antem. . per conditionem. generalem: eft. ! T ieteiea e) iei casto set (07) iei qmedozius iui iu ouils321 TS i(crutacps)o A: 10-3 (élaci) iet (2014 Myt -T: (ct —(a—$)— DT:(Cct -4- (a — $)) et "^ E! zE a(et —(a-—3)- A:(ctA- («— s) ^ Tom. XIX. Nou, Comm, Z ' Quod $62 DE MOTV TVRBINATORIO Quod (i autem hi valores negatiue capiantur , per^ fece conuenient cum iis, quae cafu priore abfíciffae & — refpondebant. Vnde intelligimus , . perpetuo elapfo tempore — £- chordam recepturam efíe figu- ram priori aequalem , fed contrario modo deícri- Tsb.1V. ptam, [ra fi nunc figura chordae fuerit E M NF, ' elapfo tempore — 2; quo vna vibratio contigiffe cen- fetur, eius figura erit F 17 e priori fcilicet aequalis, fed duplici modo inuer(a: non folum :enim ad alte- ram àxis partem cadit , fed etiam , quae figura ter» mino kh refpondebat nunc termino F reípondebit. Hanc igitur ob-caufam pro toto chordae motu de- terminando fufficiet , omnes figuras affignaffe , quas ab initio vsque ad: tempus 7 — 2- recipiet , quoniam poft hoc tempus priftinae figurae fiue fitu. iauerío fiue directo recurrente Tab. IV... 6. 2*3, Ad hanc igitur confiru&ionem facilli- FE- 4^ me expediendam in quopiam axe capiantur portio- ness DE, EF, FG, GH etc. longitudini, chordae — 4 aequaks , et füper binis D E F con(tituatur pro lubitu curua quaecunque 44.4 f, cuius applicatae ex- tremae D 2, F f fint inter fe aequales. Tum vero . eadem figura fuper fequente axis portiooc F,G, H fepetatur; ob rationes autem «modo expofitas vna repetitio fufficere poteft. Tum enim pro -tempote quocunque elapfo — £ (quod femper minus effc .pot- eft quam 2*) a puncto E abícindatur fpatium E.F —c7, et a puncto T vtrinque refcindantur interualla T P EE t 1 ) et CHORDARVM. .368 * € TQ—*, atque in punc&is P et Q ducantur spplicatae P p et Q4, quarum differentia Pp —Q4 dabit alterutram ordinatam ,y vel z: pro vtraque enim «duplex huiusmodi ftala pro lubitu conftitui poteft. Nihil quoque refert, quantumuis amplae hae fcalae conftituantur ; fi enim differentiae inter binas applicatas Pp et Q4 nimis fiant magnae, eas per nuümerum fatis grandem diuidi conueniet . quo ordi- natae y ct z intra iu(los terminos contineantur: vt fcilicet excurfiones chordae pro minimis haberi queant, 6. 28. Talibus igitur binis fcalis pro lubitu delineatis , ex vna proie&io chordae in planum ta- bulae fa&a E Y F (fig. r.) ex altera vero pro:ecio 4n plano perpendiculari faa E V F (fig. 2.) con- firuetur ; ex quibus coniunctis vera chordae figura ad tempus propofitum ionnotefcet; Hinc igitur fimul figura chordae initialis deriuari- poteft ; vbi quidem haud difficulter perfpicitur ;; eandem figuram initia- lem innumeris modis ex binis fcalis refultare. poffe: «quaecunque enim forma vni femiffi e f tribuatur , Íemper altera femiffis e 2 ita de(cribi poteft, vt-in- ;de data figura initialis conficiatur. Vnde patet, fem- per has geminas fcalas ita formari . poffe, vt. inde mon íolam data figura chordae initialis; fed etiam motus qui fingulis eius punctis imprimi. potuerit obtineatur , prorfus vti circa motus chordae in 'eodem pla»o factos füfius oflendi. Quemadmodum 'enim omnés chordae figurae in. binas proiectipnes E Zz2 refolui :864. DE MOTV TVRBINATORIO "fefolui poffunt, ita etiam eius motus per refofutiow - nem in binas iítas patiefligng: transferri . poteft, o c! SVPPLEMENTVM .continens analyfi n, pro incuruatione fili in fingulis punctis inuenienda. Tab. IV. ^ ^ ' 6$. 29. Confideretur fili elementum | quodcun- Fi $Cque Z z; pro^cuiüs terminis Z et & fiat vt fupra ^ternae ctióiifibiftact OX-—u X X —34 c YZ—s; "Oz — nui Xy-—y-4r-dy M rz 2E In plano autem tabulae fit eementum ^YycfducVda IS euius in plano tabulae ducantur tangentes proximae "€ T ét y, quibus ipfius fili tangentes Z 1 et zz occurrant in punctie T et ;. Quo faco binae iftae tangentes Z T et z/; definient planum , in quo bi- na fili elementa proxima incuruantur; vnde elemen- tum 7? T produ&um defignabit interfectionem plaui iftius cum plano tabulae. Quare fi ex Y in hanc rectam demittatur perpendiculum Y S, iungaturaue reda Z S, angulus ZS Y metitur inclinationem vtriusque plani ; tum vero bina fili: elementa. proxi- ma a fe inuicem declinabunt angula T Z z, qui fi Wocetur — d a, erit radius efculi in puncto Z —42. $. 5o. Nunc primo ad pofitionem tanzentium T et y & in plano tabulae inueniendam fit angulus XYT CHORDARVHM . 63 XYT-—O,ita vt fit tang. $i, eiusque. diffe- rentite d. exprimet angl. T Y £- Porro quia recta Z T tangit filum in puncto Z, ert Y T f(ubtan- gens — **; ipfa vero tangens Z T — 775, Hinc igitur pro fitu proximo erit gtcfR pq l—fit-Ldu--zd. $t, vnde fit i m d Yicti-Ladir, Eodem modo erit tangens proxima gp d.i $6 --ds-i-ad.25, vnde fit XE IT ds Zi-—*2:-L-zd.57 | Quare fi in plano tabulae ex T in Y 7 agatur nor- malis T 4, erit De-—245 rz fimilique modo fi ex T in tangentem Z5 agatur normalis T v, erit At vero ad hanc normalem T v ducendum, cum iam duda fic T 4 in Y z, ex hoc puncto z demitti de- bet in Z ; perpendiculum 49, vt habeatur tríangu- lum Tv ad y rectangulum, ex quo colligetur Te —Tw-rTav. Zzas & 3r. $566 DE MOTV TVRBINATORIO $. 31. Vt Lhaec elementa facilius inueniri queant, ftatuamus E dx-—pdzetdy-qdz, eritque du—dzVpp-i-qq et ds—dzY x --pp--44. His pofitis in plano tabulae habebimus Y Tc VER da et cum fit tang. ^ — 7. , erit angulus elementaris AY c HERE PpPoa44 ? vnde fit lineola Tau 3 CLE T II 4?P--44 Tum vero erit du- pp sag. Y PP--4a hincque colligitur fpatiolum T:czYdp -4-dq4. | Nunc quia triangulum T 74 fimile eft triangulo YTS ob " | YT-zVpp--44 reperietur perpendiculum YS I *(dp-'pdg) .f 77 o vd$g--dg** . $32. Nunc ad elementa extra planum tabu- lae geminas flc&amus acies: et quia cft ZT-—zY1--5p--44, cius- CHORDARVM. $937 eiusque incrementum UT -— z(pdp-radq4) H Y! PP--14 Quoniam iam inuenimus TiczVdp-r-44, ex triangulo re&angulo T v erit d dp --ds--(dp—»dg* ; Tvo-—zY 1--p--24 Hinc igitur cum radius ofculi noftri fili pro elemen- — — ds Ib. Z x, gum vocemus — r fit r— 72-5, hic vero fit do — zi, Critr — 777, vnde valoribus fubfli- tutis colligimus d z (1 TESI IUEGEIL EG D ULTIMUM Le cmm — Ydp -- dd -- dp —pdq) 6. 33. Vt autem ipfum planum in quo fit ifta fili incuruatio , quod fimpliciter planum curua- turae vocemus, accuratius coguofcammus , iamr nouie mus, eius interfectiorem cum plano tabulae effe re- &am ? T S, ad quam fi ex S perpendicularis. duca- tur Z S, triangula ? Tv et TZS manifeflo funt fimilia, vnde fiet Tz: To — TZ:ZS, hincque ZSIÉI-TZz— aug 3g -Fuap- pape. EM uL xTM Ante autem iam inuenimus rectam YS—2945—30; vVdp'-J-dq 7 quare fi 39 denotet inclinationem — plani T€ a 368 |. DE MOTV TVRBINATORIO ad planum tabulae, quia vt vidimus ct 9—ZSY, erit $. 34. Nunc igitur tantum fupereft, vt loco litterarum 9 et 4 affumtos valores "^ reftituamus : atque fi nullum horgm diderentialium pro conítante affumamus habebimus I. dp—t5Eiir0m0f3 n. dq dsàdy—adydiz LH d a? dz 2 Tum vero quia eft 7. — hd d y erit zoRG RE qd ALIENS A Eenb 1 ET &* hincque — (d»ddx—dxddy), qdp-—pdqg C2 dia: 4 ii; quibus valoribus fubftitutis obtinebimus y "dg Pi akt Udo Ed: 1 4- PP --44 dz 70d Ydp 4-d4 A-(q4p— TY: —Ylàs six cd rdizb [adi -dydd y r(yd du deldym ZIEQNECOULISCERE GA 3 peur c 3"LE-. ex quibus conficitur radius ofculi 2:055. | ; f——3Suzsdc udds)- dE ULP] - diis rdydds- ds FTIIT quae expreffüio prorfus congruit cum ea, quae fupra fuit allata. "Vbi adhuc notandum eft ; itam formu- 41 ^ Tm 13 CHORDARVM. 569 lam pro radio ofculi ope cuiusdam artificii alibi ex- plicandi ad hanc fimpliciorem reduci pofle; f — ds I-. v(ddat-pddy x ddz —ddrj At vero pro inclinatione plani curuaturae ad planum tabulae , quod fupra fecundum axes principales O A, O B, OC per angulum A O B defignauimus ,. ejus cofinus hinc colligitur LL udyddx—dxddy — — Y(dzddz-dxXddzy- duddy—djyddzf-(dy ddz --dsddyP) hincque per analogiam eiusdem plani curuaturae in- (Hngnonts ad planuum BO C cofinus erit — — — E ——— MÀ MM eT MÀ —— — ac digi pr " "dag COA cofinus erit. EU. ANM dud ueewuar c ru Yy(dzddx—dxddz?--(dzddy—dyddz)?-c(dydádx-—daxdiyy) qui cofinus etiam conueniunt cum fupra allegatis, $. 95. Caeterum hic nefas effet. praetermittere infigne fübfidium, quo etiam vis elaftica fimili modo fecundum alias dire&tiones refolui poteft, et quo tam vires fimplices quam motus refoluere confueuimus, Cum enim ad curuaturam inuentam noftro filo in- ducendam requiratur certum virium momentum , quod in ipfo plano curuaturae agat , ct quod per radium ofculi 7 huiusmodi formula 2- exprimi pos- fe conflat; vbi littera G elaflicitatem abfolutam de- notat, qua filum incuruationi fecundum iftam pla- gam refifit, fiue ea fit conftans fiue variabilis , . Tom. XIX. Nou, Comm. Aaa. nunc 570 DE MOTV TVRBINAT. CHORDARVM, nunc ex ip(a tractatione huius argumenti didicimus j quomodo hoc ipfum momentum virium fecundum terna planaa AO B, BOC, COA refolui queat , fjlicet haec vis elaftica. €. per primum cofinum multiplicata dabit vim inde refültantem Pro plano AO B — Suo irecdsgup. Simili modo pro plano BO C —96294»—45y242 ; A; s — C(üxddz-—dzdáxy et pro. plano A QC — 94r a223 prorfüs vti fupra obfrruauimus, Nunc igitur mul- to facilius erit iffam refolutionem hactenus plane incognitam pcr rationes folidas et certas confirmare, vnde ipfi fcientiae ac theoriae. elaflicitatis haud con- temnendum augmentunr accedit. PHYSI- PHYSICA. Aaa42 EVNGVS gene PT SES S. $73 aecyocNOGoYOS SINENSIVM MO-KV-SIN | DESCRIPTVS. "1 Rus. P. CIBOT apud Sinas Miffionar. Academ. Socio, B. xta me poütum eft. euoluere libros, quibus in -Europa Fungorum hiftoria hodie illu(trata eft, vt certior effe pofim illam fpeciem , de qua füm a&urus, vere incognitam effe Botanicis. Ita- que , fi forte praeuenerint alii, quae hic referam ad illuftranda vel faltem — confirmanda ea feruient , quae iam funt Ae Ex autopfia enim haec fcribo. Fungiis onem Mo-ku-/in, feu vulgato ma- eis nomine .Kuei- pi- ki- if4 chinenfes appellant ; locis vmbrofis, depreffis, humidis, calida praefer- tim poft pluuias tempeflate nafcitur. | Incrementum intrà duodecim fere horarum fpatium abíoluit ; per- fectusque ftatim flaccefcere incipit , curuatur, in fe recumbit et putredinem íentit ; attamen hoc illi ra- rius accidit, quandoquidem Infecta varia eiusdem fubflantiae auidiffüma vix terrà emergentem füngum plerumque obfident et ante perfe&um vegetationis fladium feér& totum abfümunt. In Fungo, quem defcripturus fum , tres di- Brie partes obferuandae veniunt, «o/uz fcilicet Au^. fcu Tab. V. 34 . EFVXNGVYS feu receptaculum quo fuftinetur , fier feu corpus fungi , eiusque cacumen fiue mucro valuatus. Receptaculum (A A.) vna cum radiculis (B B.) quibus fupra putridas Mori radices. (C C.) firmatur, . fubflantia conítat molli , tenella, alba, compactae fatis. texturae, ..Szifes fungi pentagonus ,. bafi . rece- ptaculo quafi vaginatus, illud angulis tantum pris- matis exilique apice contingit , ideoque dum matu- refiit aeque facile defluit ac fructus maturi Btupcer lus ab arboris ramo. Forma fítipitis , qui et corpus fungi conftituit (E E.) vbique pentaédro - prifmatica eft; longitudo tres quatuorue pollices, diameter quinque vel fex li- neas menfurae chinenfis aequare folet. — Per totam longitudinem. cauus eft (ff); color a bafi eleganter carneus vel exalbido- rubens, mucronem verfus fen- fim faturatior ; fübflantia tenerrima , leuis, füngofa, caucrnofaque , vt in fegment's apparet. Mucro Nel cacumen (G G.) quinis conniuet ted ciniis , quae angulis ftipitis refpondent , füntque te- retiufculae , acumipatae (1., coloris faturate rubri. Hic vcro rubor initio pailefcit, propter fuccum glu- tinofüm , virefcentem , qui exfüdans interualla cana- liculorum replet, et demum in fpeciem vernicis ficcatur. | Chinenfium Libri fungum , 7fo- ku - fn di- &um, inteftina vel excrementa gallinarum effe per- bibent, iisue comparant. ^ Faque comparatio quoad foetorcm fhngi aptifüma mibi viía eft, inque omnes mihi SINENSIVM MO -KY-SIN. ay mihi oblatos quadrat , nifi quod perfe&o incremento adhuc foetidiores magisque naufeofos deprehenderim. Eadem Chinenfium velumina admodum diuer- fa tradunt quoad fungi nofiri qualitates, — Patet inde variis in regionibus Imperii Sinici eundem |proue- nire, multoque alibi maiorem dari illis , . quos Pe- kini vidimus , quia et colore formaque variabilem. Ex antiquiorum recentiorumque ícriptis collatis clu- cet: fungum Mo - ku -/i: multis in locis ad. cibum tuto poffe adhiberi, alibi nociua qualitate infamem fe reddere , imo interdum praefentiffimi vencni vim exíerere , idque iisdem vulga in regionibus, vbi é(culentus nafcitur. Sequitur hinc , a matura foli, conflitutione tempeftatum , animalculisque forfan ve- nenatis, quie fungum noftrum fecantur ét obfident pendere vel innoxiami eius vel deleteriam virtutem. Eandem forte ob rationem varia efl natüra noxae, quam dicitur inferre , remcdiorumque contra veneé- num eiusdem laudatorum, Idem íere in Occidenta- fibus mundi plagis (Europa) obferuari folet: vno enim loco fine noxa comedurntür fungi, quí alibi veneno atrociores fe geflerunt ; furgorumque fpecies bene multae in tranfilpinis regionibus fiülubres ad menías adhibentur , quae im Gàllía paffim nocent. Affrmant Clünenfes: certiffimum: effe experimentum, quo fongi nocimi az falubribus diftingui poffint, fi medulla ficcata fcirpi paluftris minoris aquae , qui- bus fungi bulliunt , incoquatur; quae fi nigro co- lore inquipabitur, certiffÜimum erit venenofi fungi iü- dicium ; fin vero pura perüflat, vel cocturae fal- 1 ; tem 376 |FVNGVS tem colorem induat , absque omni periculo ferculum fore promittit, T Libri porro fungum Mo-ku-/fin tanquam prae- flans in vlceribus cancrofis remedium laudant ; adufti fungi cineres vlceri toties infpergere iubent, donec expurgata füerit malignitas omnis. Medici Chinen- fes internis quoque remediis admifcent , quorum ex- pofitio cognitionem Theoriae medicae Sinenfium: pos ceret , in. Europa adhucdum ignoratae, Colle&aneorum opus ampliffimum , cui titus jus Ku-kin-tu- fcbu , docet iis in locis, vbi: fungus Mo-ku-/in cibum praebet innoxium , abundantem eius meffem quotannis obtineri poffe , fi antiquas putridasque Mori radices locis humidis , auftro op- pofitis , fpiffaque vmbra arborum opacatis defodi cu- res. Fauet incremento eorum, copiofioremque pra- ventum reddit, fi terra fimo pinguis fit, vel radi- - ces defoffae foliis mori putridis obruantur, diligen- tiusque aqua perfündatur locus. ^ Concedamus iam huic artificiali fungorum produdtioni aeris conditio- nem , caloremque auftralium Chinae regionum , vbi a multis inde faeculis hac methodo vtuntur , fauere, vix tamen dubito jndufiriam | Europacorum faciles modos inuenturam , quibus vtile iftud artificium fibi proprium reddere. poflint, Non íolis Phyfiophilis hanc Sinenfium anti«- quitus exercitam artem propono, fed omnibus, qui fungos efculentos, in culinae quoque vfum, fimili ali- qua methodo excitare cupient. ^ Explorari. primo ! deberet, "SINÉNSIVM MÓ -KV-SIN, " gey débérét , cuiusnam arboris vel fruticis radicibus haec vel ila fungi fpecies praefertim gaudeat; quorum opé tunc eadem ratione cultura füngorum exerceri poffet, qua 'Chinenfes in radicibus Mori operantur ad' producendum füngum RBoftrum. ^ Dotanici huius: gentis afürmant cuiuslibet drboris radices nunquam: nifi certae fpeciei fungos generare , cuiuis autem at- bori,füam efle füngi fpeciem propriam jin quo me non illibenter confentientem habent | Memini enim quondam in auflralioribus Galliae vidiffe füngos for- maá.et coiore fingulares , putridis iunatos. radicibus, quorumque apud au&ores nuilum inueni veftigium, Memini, fungos. varios füb certis femper arboribus .Occurrere. Sed per vitae genus vrbanum , quo hic Pckini fumus adílrici , perque negotia quibus obrui- mur, non vacat, vt ipfe hanc Chinenfium opinio- nem propriamque fimul hypothefin experimentis confirmare poffm ; itaque Phyfiophilos Europae his fültem excitare volui, vt in eam inquiraot. | Quo, licet alium non prae(titerint vfum ,. quam vt noua producant magnificentiae et liberalitatis fummi Nu- minis argumenta , operae fane dignum fecifle vide- buntur. Attamen generi bumano forfan et hoc inde nafcetur emolumenti, vt facilis difcatur methodus, fungos certae fpeciei, in cibo falubriores producendi. Et quamuis in hoc praefertim feruiretur rufticis , tamen et hi laboribus aíüduis fuis mereri videntur, vt eorum commodis eruditi prodeffe velint, doceant- que qua methodo leues iffas domefticae vitae deli- €ias. procurare fibi pofünt. Forían plantarum quo- Tom. XIX. Nou. Comm, Bbb que |gy& FVNGVS SINENSIVM MO-KV-SIN. que variarum fücultas in his non minor crit, quam: arborum , quod. curioforum. experimentis relinquo ; hoc. folum. moniturus :: eosdem: fuagos,. qui in -equi- no. ftercore: creícere: amaüt ,. etiam' in: pratis. proue- nire; feutentiaque: Chinenfium: ramos. quique arbo- rum. pütridos,. fi. terra: ooruantur ,. iisdem ,. quibus radices ,. füngis: ortum. praebere. i Coronidem: impoaat obferuatio alia noa leuis, nec incuriofa. Fungus nofter /49- ku -/fin, prius- quam. e: terra: pullulat',. miautus: latet; intra receptas culum: feu: volüuam: füam' (L.) fizura tunc. ouslem,. radicula: petiolatam:. — Diffe&a: haec volua (M.) ali- quoties: exhibuit mihi: paruülum: fuhgi- primordium , in mucofo: liquore. natans;,. qui: crefceate' fungo abfu- mitur,. perfé&oque' eius: incremento' plane defecit , relicta: cantum: quafi' vernicis: tinctura: intra; capfulam. Videtur: haec obferuatio ,. de qua certi(fimus: (um , probare ,. per inuentum Cel... MicnErIE antiquam opinionem ;,. qua. fungi pro' meris- excrefcen:iis' decla- € odes rantur , penitus refütari ;: neque miuus: nos^ admoret,. quo plusin fcrutanda: rerum natura occupabimur, eo plus: in: Creatoris: admirationem efferri? debere, quo non poterit non augeri débitus in: corde. mortalium: erga perfectiffiumum: Numen amor. , em5(9o0)$ C - diei SIRVCIVRA. VESICVLAE. FELLEAE LEONIS, Auctore €; m mo LFIFri: qiero illie-plicze', «quae "intra veficulám: fel léam"^ldonis inuéniüntur , anatomicorum oculos pullo mOodo*fügerunt, quin fácile vfum «earum in . &cüenda bile'perfpexerint , easque inter caeteras" par^ tes peculiari attentione dignas iudicauerint. | "Quare praeter: cor'léonis et mufculos,, praecipuis: actionibus fWferuiéntes:, (quae in tomis Conimelricig? praece» -denribüs: défcripfr ,)'etiám hanc vtficulam ^ felleam., , maxife vero' plicas', qnibus interna «eius fuptrficies iMftru&a eft, inter^eas partes retuli , quas, occafio- ne'dátà*, paulo diligentius in hoc animali anguirc- rem et' deffehrem. |— — Iv fitusveficulde felléae^, in eius figura ex. Veficulae terifá'et in modo quo ex' tunicis füis componitur, habitus ex- patica" reperi , qude'' fingularia effent , et diucría a mu ^veficula;homiüis et'aliorum' animalium, Attimen notr eminet 'fündó* fuo' ante; marginem" anteriorem htpitis^ pauloque, qusm in'aliis animálibus pro- portione? minor 'effe videtur, et praeterquam , quod folito modó tota fua 'fuperficie fuperiori! hepatis" fu- perficieis infériori* adhaereat, duobus-quoque ligamen- "MOD Bbb 2 ti$ 380 DE STRVCTVRA tis: transuerfalibus ,. de: media: veficula ,. eiusque facie inferiori. exeuntibus ,. eidem hepatis faciei! adnecti-« tur. )jenique in fua. fubftantia: firmior ct craífior eft, falim:; in. plurimis: locis,, quod. quidem non: tam tunicis: ipfis ,, quam potius cratfiori: denfiorique: celiulofae. fubftaniiae. aebetur ,. quae tunicis: in: iis" lo- cis intereít,. easque a: fe. inuicem diftendit, — Et: im: liis: locis: veficula: fellea: inflexa. effe- folet: Ob cras- fitiem fübflantiae ,: ob: mo!em: totius: veficulae: mino- rem , ob' multitudinem . et: magnitudinem: plicarum: cauitas: interna: minor eft,. quam' in: homine et ig! aliis animalibus. Atque. haec. fere: omnia! fünt; prae ter plicas,. quae fingularia: in- hac: cyftüde^ legnina: deprehendi; Ihterna: Aperta: veficu/a ,. fe&tione: longitudinali: a ductu veliculae: choledocho: per: fuperficiem veficulae inferiorem! vs- fira£tura? que. jn; eius fundum. du&z ,. plicae- apparent ,; impriz Eeneratime nis: parieti: fuperiori ,. qui; hepati' applicatus: eft ,- et: lateribus: infidentee adeo. vt' extremitatibus: füis- iu: fuperficie; inferiori. concurrant: — Collum: veficulae: (Tab. VI. &. ÀJ eti corporis: pars: pofterior, anguftior (| 1.) maxime. illis: abundant ,. anterior'amplior (m: z.): et fundus: (v. n): nonnifi! rugis: gauient;: plicisque- eminentioribus: et: acutis: omnino» carent. Duplex: harum: plicarum: genus obfiruatur.. Aliae fimiplices funt, velüti: (x.. C.. Q.. V.) et. cum valuulis. vena- rum et cordis femilunaribus maxime. conueniunt ,. dum altero' fuo. margine: crafljori ,. magis vel. minus: conuexo ,. parietibus: veficulae. infident',. altero' acuto" eminent, et: in' extremitatibus: fuis arGtiores: fünt^- quam VESICVEAE FELLEAE LEONIS. s8r quam in: parte media. ^ Aliae vero' magis compofi- tae et quafi tener irdbi fünt.ex- fimplicibus ,. ve- luti. (y: *: z).. Deniqüue: tota. interna: fuperticies ve- ficulae ,. plicaeque. ipfae ,. tam -fiimplices: tum .com- pofitae: in: füis: füperficiebus: plane. obfitaz- (ünt rügue lis, vel. etiamé plicis minimis, ferpeatinis alibi , dlibi retiformibus j; et faeps in' his ipfis aliae: minos yes: obferuantur, .vt tota: vefica egregie intus: crifpa et plicata appareat: Dümque hae plicae , vario fi» tt^ et dire&ione inter fe" pofitae; fübt ,. loculamenta iater" eas formantur variae: figurae et capacitàtis'y: ve- luti (S et W.) ex: quibus: praecipue ea' notabilia füat,.quae inter plicàs: compofitas: continentur. (I: et L.) quaeque tanquam propria: receptacula: confideràri pos- fünt; fiquidem: circumiquaque .fere claufa fuht ,. et tionni(i: duobus: orificiis: gaudent ,. altero ,; quo' bilis ,. quie ex fünio' veficulae aduenit ,, in^ illud. intrare ,. altero',. quo' porro exire poffit: Quae inter plicas: finplices: contihentur: (z;. B... M.)' ccllae- funt: tantum» míodo', plerumque. tamen fatis: profundae; ^ Praeter haec: plura: alia! io: fttuctüra: interna: veficulae occur- rünt,: nomn' mibus- notàübiliz, veluti! fingulare: hoc: flrü&urae' genus ,. vbi tunicae. veficulae interiores ab: exterioribus recedunt, eoque cauitatein. illius angu-- ftlorem: efficiuat,. ipfisque plicas:,. quas dixi ,. con- glomeratas producunt, . Haec in: fpeciali. fingularum | — defcriptione: explicabo: Solent veficulam: felleam? humananmv praeter Peculiaris ductum: cyfticum: in. collani,. corpus et' fundum di- leo ninae veficulae pee Haec. Ieoninà: praeter: cylüicamductum (k. Mo anu Bob g et 3v IUE S/TRVQGOTYKAID et fundum (s, m.) in collum (k..7) in partem «oz. poris pofteriorem (/. mi) plicatam | angul(tioremque s: .et anteriorem. (m. 7.) ampliorem .conuenienter diuidi: poteft. lla enim .copiofitimis non ,modo , quibus; repleta .e(t , .et multiformibus conglomeratisque. pli- cis et loculamentis , inde formatis, .toto coelo ab anteriori, .quae amplior et plicis priuata , eoque. maiori cauitate donata eít, dif&rt,, fed etiam infigni. plica .orbiculari (z.) ab eadem .difüinguitur, Vt quaes vis fingularia et notatu .digua in flru&ura veficulae eo facilius notentur , .diuerías has E fecundi ordinem: pertractàbo. 1T IDu&us cy- Daé&us cyfticus (k. &) , aliter: atque; in -homis fici ftru- pe et in fele , laeui intus et a2equali füperficie ;gau- "ua. — det, mec pii fürs pafüm longitudinalibus (q. 4.) praeditus «cft, In homine veficula fellea ipfa plicis omnino caret; .ob(oJetiffimis rugulis retiformibus et vilis villofae tuniczé gaudet. In: füpremo eius collo plieae duae vel tres reperiri. folent. fimplices transuerfales. «| Inde ductus cyflicus totus. eiusmodi: lamellis transuéríalibus ct feptis ,^ trabeculisque , . vti vocari folent , repletus eft, iater quas cellulae irre- gulares continentur. Contrarium , igitur in. leone obtinet , vbi cyftis ipfa plicis infiguibus ftipata, du- €tus iisdem priuatus eft, ^ Orificium tamen, quo . du&us hepat'cus in -cyfticüm et .choledochum - apes ritur (o.) peculiari tenui valuula munitur (f.). adeo pofita, vt margo conucxus ductus verfus liepaticum (.) et cyflicum ," concauus choledochum (P.). refpi- ciat. Huic valaulae im pariete : 'du&us oppofito tuc u bercu- VESICVLAE FELLEAE LEONIS. 383 berculum refpondet, quod coacauitatem ^ valuutae adeo replet, vt fluidum ex. ductu hepatico vel cy- ftico' in choledochum- facillime traafire ," minus fa- cile ex' hepàtico vel choledocho ia cyíticum et dif ficillime ex' cyllico: vel. choledocho: in- hepaticum: venire: poflit. * -. VWefculae collum (k. 7) rugis potius quam pli»Studur: Kis "exornatum eft (r. s. 5) fed. fatis: emihentibus: colli vef egregie crifpis',. ferpentinis ,. maximiam: partem tlánba "lac verfalibus:. Cauitas aütem: huius: partis; veficulae ex- terno ambitüi; haud! refpondet, fed! níulto',. quam ob criifitiem" tuhicaruim: effe: deberet',. anguflior eft, In latere: dextró enim: (b.) tunicae intetiores (4.): ab éxterioribus: recédunt ,. fpatiümique; inter eas; denfa: tela! cellulofà! répletur.. Eo' efficitür,. vt' cauitas: colli? veficulàe' non' amplior fit quam ductus. cyfti- cu$, qüarmuis illud. exierho: ambiti: hüuuc- multo: fupéret.. —— /Retedünt vero etiim" ia aliis locis tünicae in» Twhicse terlores ab exterioribus: et imprimis: duo ,. praetef BE iam deícriptum ,. notabilia: exempla: occurrunt in bus pecu- parte corporis: pofteriori',;. quorum: quod prius: (9.) liari ftru- fequitur ,. in latere veficulae finittro. (DX) ,- quod" hoc E - porro'excipit iterum: in: déxtro- latere et. (E. et F.). M ,Ex. fitu. horum locorum: alterao' vfus: qui^ inde. ré- conglome. fültat ,. , facile idtelligitur.. ^ Nom folüm enim angu- ratas eff- fliorem: haec: loca! reddunt' cauitàtem' veficulae ^ et i^e: viam, quam bilem: tranfire oportet ,. fed ferpenti- nam quoque eandem' et; longiorem efficiunt, quo fit, vt diutius liaec: in: fuo" itinere: commorata.. crás- e; fior 284 DE STRVCTVRA: fior euadat. atque acrior. Sed ;praeterea alius huius. firucturae vfus e(t peculiaris. —Firmantur «et. nitun- tur his locis plicae «compofitae ,. quas conglomeratas, - dixi , veluti inter (D) et (v. E.) feries plicarum.con- Blomeratarum (x. y. y. A. C.) quaáü fufpen(à eft,. His nempe ea fabrica eft, vt fimili rccefbone tuni- «arum interiorum , -vaículofae nempe vna cum ner- wea et vilofa ab exterioribus, mulículofa et extima, ad aliquod fpatium , magis vel minus longum. ct, laum formentur. Sed in his ipfi locis neruea «um villofa a fubie&a vaículofa | iterum recedendo plicas fimplices producit , quae igitur omnes vafcue, lofae foli , ab externis diflanti, tanquam bafi com- muni infüdent, eiusque ope tanquam in vnam. moe, lem.conglomerantur. Haec nunc eadem | vaículoíae £ünicae pars, quae connexas plicas fimplices tenet in eXtremitatibus fuis, fundum wcficulae et ductum choledochum refpicientibus plica acuta terminatur , ^xeluti plica (x.) poflerius , anterius plica (C.); late- ^ribus fuis autem illis Jocis adhaeret , vbi fimpliciter. " gunicae interiores ab exterioribus receduat , veluti (v. D. E. R.), iisque igitur a muículofa et extima fe parata tenetur, Quse in Eiusmodi feries plicarum ; in vnam molem parte cor-conglomeratarum fingularis (a. C.) proxime poft ol so. collum in prima parte corporis veficulae occurrit y fletiori oc- quà. ipfa collum a corpore diftinguitur. Ea in ex- currunt tremitate fua, collum refpiciente plica infigni femi- Dod lunari (4.) im altera , quae verfus fundum refpicit , uci mili plica (C) terminatur, inter illam et parie- - ratarunt, tes VESICVLAE FELLEAE LEONIS. — $385 tes colli cauitas continetur in quam bilem intrantem commorari oportet. "lota plicarum fcries ob reces- fionem vafculofae tunicae, cui plicae infident, ab exterioribus adeo cauitatem ve(iculae in hac regione Occupat ; vt reliqua huius capacitas vix pennae an- ferinae craffitiem aequet. Plicae ipíae (| y. y. etc.) mar- ginibus fuis acutis verfus fundum .veficulae fpectant , adeo vt exitum bilis remorentur , excepta prima earum (x.) quae verfus ductum refpicit. ^ Extremi-- tatibus fuis autem fingulae hae plicae eiusmodi lo- cis (v. E ) et (D) ianituntur , vbi ob recefüionem tu- nicarum interiorum ab exterioribus fübfiantia veficulae craffüor eít; vti etiam bafis, cui fingulae plicae in- fident, tunica vaículofa ab exterioribus diftat ,. inter- pofita cellulofa , adeoque fubílantiam fimiliter in eo. loco craffiorem reddit, 3 Poft hanc anguftiorem veficulae partem infignis 2. Duo foi- folliculus fequitur (L) a parietibus veficulae ipfis fa. licei infi- ctus , pofterius plica (C.) anterius autem partibus ^ veficulae , vbi tunicae interiores ab exterioribus re- cedunt , (G et F.) iisque iotcrpofita parua plica (H.) terminatus. Hic circumquaque fere clautus eft et verfus ductum choledochum orificio, quod dicta plica terminalis (C.) efficit in canalem aperitur, a ferie illa plicarum (v. C) formatum, verfus fun- dum .veficulae autem nonnifi anzuftifmo orificio apertus eff, vix acum admittente, a minima illa plica (H.) formato et prope parietem veficulae in- feriorem fito. Ope huius orificii minimi (H) foll: mom cu'us ille (IL) vnaque cum hoc tota poflerior caui ;;, f. 3» Tom. XIX. Nou. Comm. Ccc tati$ coimuni- ^ cantes, quo fimul. tota velcula ia duis caui- tates diuidi- tur. a- 4. Canalis anguílior. 586 DE STRVCTVRA tatis veficulae pars ad ductum cyfíticum vsque, cum parte cauitatis veficulae anteriori (H.z 5) commu. nicat, Neque alia praeter hoc foramiaulum come municatio inter partem veficulae anteriorem et po- fleriorem datur ; adeo wt tota cauitas veficulae ia duos quafi faccos, folo illo anguíto foraminulo inter fe communicantes , diuifa fit; Paries internus hu- ius folliculi plicis fimplicibus longitudinaliter pofitis (K.) quaeque ipíae in fuis fuper&üciebus rugas traos- verfas habent, exornatus eft. —Deícriptum follicu- lum alius excipit. (L) omnibus noris illi finmlis, Hic pofterius eodem minimo oftiolo (H ), quo prior, terminatur , eodemque cum priori communicat , ans terius autem plica femilunari (N.) clauditur. —Pli- «ae , quibus parietes huius folliculi in(ru&i funt , (M.) diftin&iores prioribus magisque regulares et pulchriores funt. Deinde pars fequitur , vbi iterum , vti in fe- rie illa plicarum (x. y. y. A. C.) tunicae iateriores ab exterioribus recedentes , cauitatem veficuiae angu- fliorem reddunt, canalemque efficiunt breuiorem qui- dem fed etiam íatis anguftum , qui in icone apertus et extenfus repraefentatur (0.) Paries tamen internus in hac veficulae parte (o. mon adeo eminentibus plicis fed rugulis potius acutis (P.) ad du&um cana- lis transuerfalibus ornatus eft. — l'ofterius' anteriusque ile canalis plicis infignibus (N et Q.) terminatur. Earum poftrior (N.) verfus du&um cyfticum , ante- rior verfus fundum. füo margine acuto refpicit. Huic | VESICVLAE FELLEAE LEONIS. 383 Huic anteriori alia (V.) refpondet , quae vna s.Reccpta- tum illa receptaculum (S.) includit rugulis trans. culum. veríalious (T.) inflrucum. ^ Denique | magna. plica fimplex (Z.) quae totam veficulae cauitatem ambit , Finispart's partem folliculofam veficulae terminat , eamque a folliculo parte anteriori et fündo diftinguit. — Inter hanc ct ti plicam (V.) vltimum diuerticulum particulare (W.) c, continetur, rugulis egregiis (X.) reticulatis et trans- verfülibus itus ornatum, ln fündo veficulae et in tota parte corporis Pars. cor- anteriori nullae tunicarum interiorum ab exteriori- poris vefi- bus receffiones occurrunt , plicaeque nullae: forman- Pres tur; neque vlla peculiaris parietum craffities obfer- qu. vatur. Proinde cauitas huius partis anterioris mul- to maior eft et quafi diuerfum (a parte pofleriori , quae alià etiam flructura gaudet, et folliculofa eft , faccum effcit, . In hoc íacco tantummodo rugae crafliores obtufioresque obfernantur , vario modo dis- pofitae. Alibi retiformes exiftunt. (w.); alibi fere circulares (0). ^ In aliis locis. transuerfales ^ magis (A A), vel etiam longitudinales (£.) reperiuntur. Si quae forte funt , quae in bac defcriptione aut difficilius intelliguntur, aut omiffa vel neglecta funt, haec in fequenti indicatione eorum , quae in icone continentur, minutius explicabuntur. Tndicatio eorum , quae in icone continentur. Icon Tabula VI. expreffa veficulam felleam repraefentat in parte ab hepate auería longitudina- Cue liter $88 DE STRVCTVRA liter diffetam et explicitam, vt interna fiructura appareat. jn ea funt: a.Q. a. a. Diffe&ae veficulae margo, qui in fitu na- turali dexter ett. | b. b. b. Partes füperficiei veficulae externae. . €.€. €. Margo veficulae diffectae , in fitu | etiam naturali , finifler. 1 d. Pars fuperficiei externae, membrana externa obductae. e. Ligamentum veficulae laterale dextrum. Jf. Ligamentum fimile finifirum , cum veficulae membranis rcflexum. — Haec lizamenta dupli- catüura tuüicae externae veficulae inuoluta ex huius füperficie inferiori oriuntur, indeque lateraliter fecedunt;, et hepatis fuperficiei in- feriori applicantur. E. Duplcatura tunicae externae veficulae , qua li- gamentum inuoluitur. b. Ductus choledochi pars aperta , laeuis intus. i Pars ductus hepatici integri. uf k.k. Ductus cyfticus apertus. k. |. Collum veficulae felleae apertum. | Lm, Corporis veficulae pars poflerior , folliculo- fa; anguflior, quae prae caeteris partibus co- piofiimis , iisque multiformibus, et paffim coneglomeratis plicis et cellulis. loculamentis- que iofiructa eft, [;/ 09 70 VESICVLAE FELLEAE LEONIS. 389 mí. n. Pars corporis 'veficulae anterior, longe prae- celenti amplior , merisque tantum rugis Or- nata. ; .0&. Orificium du&us hepatici in cyflicum aperti. P Plica tenuis ; quae reditui bilis iu . veficulamm felleam aliquo. modo obftare. videtur; certius autem vetat, quo minus bilis, ex cyt(tide in du&um choledochum itura, in hepaticum ducum re£luat. i - 4.4. Plicae et flriae longitudinales , quibus ductus cyíticus intus inftru&us eft. r. $. IL. Cauitus tota colli ve(iculae ; rugulis trans- ver(is copiofillimis ornata. r rugae transuer- fae ferpsntinae, 5 aliae breuiores , magis re- &ae. 7. aliae dircctionibus variis. «v, Pars tunicae , feu fubílantiae , qua veficula fellea conftat. — Ea in hoc loco admodum — . €raffa e(t et plus | quim dimidiam partem . totius latitudiuis colli veficulae occupat. Re- liqua anguílior colli pars intus caua. eft, to- tamque hanc colli cauitatem. indicant litte- TW C EON w. luflexio veficulae felleae ,' et quafi terminus inter collum: et corpus, in externa fuperficie | . apparens. 1 - x, C. Corporis veficulae felleae pars prima , pli- cis acutis eminentibus transuer(is inftructa, Hoc fpatium x. C. fimiliter totam cauitatem. huius partie veficulae refert. — Partes latera- Ccc 3 - [s 359; "DE STRVCTVRA les veficulae in hac regione D et E fubfüan- tia folida cellulofa et tunicata occupantur. . Simili crafütie paries quoque gaudet hepati applicatus , adeo vt par$ plicata x. C. eleua- ta exiftat ; et cauitas in hac regione nonnifi anguílus canalis fit, praecipue in parte media. X. Prima plicarum , terminalis, quae margine fuo veríus ductum choledochum fpectat .et colli cauitatem a cauitate corporis diftinguit: (A J. Secunda et reliquae plicae , ^ marginibus: fuis acutis verfus fundum veficae refpicientes. 2. Rugulae, plicis. infidentes. | x A. Plica notabilior. B. Rugae eminentes, quibus illa exornata eft. C. Plica magna, qua haec pars plicata eleuatior a3 folliculo I. ipi gageest rugulis vatiis ornata. "Det E. Partes laterales veficulae quae folida füb- ftantia in hac regione rcpletae funt folam- que partem mediam exiguam, propiorem fuperficiei inferiori , cauam relinquunt. In- ter lis partes folidas plicae' x. y. j. A. C. quafi expaníae tenentur. F et G. Eadem fubflantia folida vtrinque magis intra cauitatem in hoc loco producta, adeo vt cauitas veficulae relidtia vix acum per- miferit. : ^H. Similis fubflantia folida , a pariete veficulae » hepati applicato , verfus oppofitum | inferio- rem VESICVLAE FELLEAE LEONIS. 39x gem-producta, adeo tamen, vt. inter hanc | productionem et parietem inferiorem. fpatium K. fimilineae circitcr relinguatur, | Haec, proáu- &io H. igitur vna cum lateralibus illis pro- ductionibus F «t G. et paricte .veficulpje in- feriori canaliculum efficit , breuem | quidem , fed anguítflimum quoque, vix acum admit- tente , quo folliculus I. cum folliculo L., ia fimulque tota cauitatis veficulae pars pofterior H. 5b. cum anteriori H. ?. communicat, ct qui ; nifi a productione H. relictus effet, tota veficulae cauitas in duas partes, perfecte fepa- ratis , diuiía effet. | Profunda cauitas, feu folliculus, vbi tum pa- ries fuperior , tum inferior veficulae a metis eius tunicis efficiuntur. Iíteque folliculus po- - flerius plica; terminali C, anterius anguíto illo orificio terminatur quod inter partes F. G. H. relinquitur. | Plicae lonzae eminentes .ramificatae fündo fol- .liculi , feu parieti füperiori veficulae , infi- dentes. L. Alter eiusmodi follicufus ,' orificio angu(to H. M. N. 3 priori diftinctus, anterius plica NN. et late- raliter fubftantia veficulae folida terminatus, Plicae longae . imbricatim fundo folliculi in- fidentes , rugulisque in fuis füperficiebus ornatae. Plica infignis , altera, qua conftat, lamina parietem folliculi L. efficiens , altera paralle- la 392 DE $TRVCTVRA la fuperficiei mi in pattem eleuatam O. continuata. Pars iuterior eleuata , parieti füpcriori infi- dens. Spatium inter fuperfciem O. et parie- tem füperiorem véficulae fubftantia folida cel- lulofa repletum eft. P. Rugae et ftriae , quibus haec elewatior pars O. Q R. T. V. notata eft. Plica fimilis illi. IN. cuius altera bain in fü- perficiem O. altera in cauitatem SS continuan- tur. Pars folida , fimilis ilis D et. E , quae pots diam :.cauitatem. veficuiae in hoc loco. occu- pat, et a pariete inferiori vsque in füperio- rem producitur. nter hanc et. parietem D. membrana O. et Plicse N et Q. expanfae te- nentur, Cauitas inter plicam Q et V. comprehenfa , minus tamen. profunda , quam folliculi Iet.L. cum tunicae interiores ab exterioribus in hoc loco aliquantum remotae et per craffiorem te- lam cellulofam feparatae exiftant. Rugae in hac cauitate. Plica magna fimplex, qua cauitas S. a pro- fundiori cauitate. W. diflinguitur. "WW. Cauitas profundior, in quo loco fefiler tu- nicae veficulae contiguae fibi incumbunt, ca- vitatemque adeo veficulae maiorem efficiunt. X. VESICVLAE*FELLEAE LEONIS. ag4 2v Rugulae ; quibus hiec veficulae pars. ornata "eft, hinc inde reticularcs. | ; Z. Magna plica circularis, qua tota veficulae ca- vitas in partem angufliorem plicatam , folli- culofamque et latiorem , ad fundum quafi per- tinentem , plicis eminentioribus priuatam di- (linguitu£, &. Lamina altera , qua haec plica efficitur, quae nempe tunica . veficulae interna . villofa cft. —Bu.Altera plicae- huius. lamina , eiusdem. tunicae. |. continuatio... ; um Tunicae, nerueae. pare , fimiliter plicam -ingre- . dientis.: (i E Membranae externae veficulae pàrs, füper pli catam- internarum tünicarum partem recta ex- | pana. | £ Rugae in parte véficulae anteriori Ampliori. , variis directionibus ductae, v. Retiformes.;, 0. Fere.circulares, CASAS Transuerfíales.: LR NE . *i , :d EN -"Yom.XIX.Nou Comm. . Ddd EQVVS$ se 7 Hbo)f€ 0 EQVVS HEMIONVS, MONGOLIS DSHIKKETAEI DICTVS ; .DESCRIBENTE P S PALLA S. quorum tres hucusque fpecíes Zoologi norunt, Caballum videlicet, cum Afino, per Afiam temperatam et Africam feros et vbique domeflícos ; tertiamque Zebram , pulcherrimum atque peculiare monftriferae Africae prolu&um, — Quartam addo, no- mine barbaro iam dudum celebrem , fed reapfe Zoo- logis hactenus fere penitus ignotum et obfcurum Animal, quod Hominis auram fugiens im defertiffi- mas Afíiie mediae íolitudines receffit , neque forte "libi nunc datur, nifi in vaflifmis Magnae Tata- ríae fübmontanis campis , inter Indos, Seres atque Sibiriam late patentibus, Nomen illi conuenire pof- fe credo Hewiomi , quod Graeci antiquiores non fo- Jum Mulis hybridis, fed «t huic animali , íam: iflis, ni fallor, temporibus vtcunque coguito, indiderunt. Sic enim ÁnRIsTOTELES haud dubie de illo erít intelligendus vbi (Hjj. amimaL Lib. VI. cap. 36.) narrat: *effe ín Syria quos Mulos, vel Semafinos » "upcioveg) appellant , genus diuerfum ab illo, quod ,COitu equi et Afinae generatur, fed fimili facie, - np Afini- fylucftres pictae quadam nomen / atia o» VIba- — EQVVS HEMIONVS , MONGOLIS etc. 39$ » Vrbanorum accepere. Et quidem , pergit , vt Afi- »ni illi feri (2voi &ygo), fic muli. ifti praeftant ,,Celeritate.. .. Procreant eiusmodi mulae fuo in ge- $uere, cuius rei argumento funt illae, quae tem- »pote Pharnacae , patris Pharnabazis in terram Phry- »giam venerunt et adhuc, exftant; tres tamen ex »nouenis, quot numero olim fuiffe aiunt, feruan- tur hoc tempore,, Et alio item loco Stagirita (ibid. cap. 24.) : **In. terra Syria , ait, fupra Phoe- pre mulae et co&unt.et pariunt omnes; fed id »genus diuerfüm e(t, quanquam fimile, | Itemque - Prpaus (bif. natur. Lib. VIII. cap. 44.) tradit a "TurorHRAasTO proditum, vulgo parere Mulos in Cappadocia , fed efle animal ibi fui generis. — Deni- que AELIANI (4e Animal Lib. XVI. cap. 9) huc videtur referri poffe locus, vbi fcribit: . **In.. India »Equorum ferorum et Af(inorum fimiliter greges »funt, et Afinos Equae facillime admittunt et ru- bros Mulos (worse mugce)c) pariunt ad curren- »dum praeftantiffimos , fed contrectationis impatien- 5t€6$, quos compedibus captos ad Prafiorum regem »adducunt, Ex iis, qui bimi comprehenduntur , ,domari poffunt: contra veruli, ab immanibus et Miipinerh feris nihil differunt, - "Noua haec ,Equini nominis progenies primum innotuit. per Diligeniiffmum .]MESSERSCHMIDIVM , qui tertia huius faeculi decade per Sibiriam iuffu PETRI Magni peregrinabatur ; praeterque ifium et j GusumvM , viginti poft annis illius veftigia le- («4 M44: 2 gentem, $96 ^ IEQYVS'HEMIONVS, ^"^ gtntem ,: nemo: Phyüophilas vnquam- animal: hocce Tariffimum' contemplatus eft. i Primus: itaque MEssERSCHMIDIVS- hanc: fpe- ciém differte: ab Afino' et* Caballo: diftinxerat , "àtque nomine Muli daturici ,-foetundi- Ariflotelis y Gappada- ici Erefüi in -Xenio - Ifidis: fibiricae , "quod : MStum extat , falutadit; €t hoc idem in Cafalbgum Mui Petropolitani . (*) "tranfit , a. BvFFONIO perperam pto! fynopymo Afini feri habitum (Hifl, matur. Edit. 7& v0 24. p. 6. mot) |. Defcriptio autem animalis, quam ^ad tria ^ cadauera "'exaranerat MEssERSCHMI- DIVS; periit; praeter: Ariatomica quaedam , et integram praéfertim ,* verbofifimam "Ofteologiam in Hodegetice eiusdem MSto confignatam: GMELINVS, quum in: Da- *üria ^ peregrinaretur , - Hemionos - noftros * inftitntis venationibus fruftra. petierat (T) ; qugm vero poflea , ' procuratis " per Celeberrimum Collegam cius. MünLE- KVM hyemali' tempore Hemionis ,' Ircutiae. concin- néuerat defcriptio inter ineditas eius. chartas. adhuc- | tiston tds. C4 Xen. Ifid. Sibir. Mfum fic habet: ,Mulus dauuricus » fóecundus" Ariftotelis , Cappádocicüs Erefü. ^ Ce/eitfum ,» Mongolorum in--Dánüria ;-Kfrhing "T'angutis ;.. Kitfeha- »r&h ve D/hengli - Kit/ehergh Indis cis Gaogemg. ,1,,an Ebraeorum Pered 2. Same 18. 1. Reg.-1. Arabi- . s» bibus Hagnar -ieáfcli 5 Char - Kur Ferfis ; ^ 'Tataris ^s Muhlammedaüis! Ko/gn ,' forfan 'e&-Chatelier ?! Serpe- Jy ram Stepnoi -kon. feu Equus campeflris Rufforum ; Iuba », breuiffima et. du&tu fpinae mediano in muftelina.pelle »Rigris, auribus et cauda afininis,,. Haec Mxssznsct, S 0) Reife durch. Sibirien II. "Theil p. roy. ' Vbi breuilfima ' "defcriptio , fed fida; e'relatione Mongolorum traditur. 4 E MONGOLIS DSHIKKRTAEI 397 dum: latet, «neque. fi / prodeat , Zoologis fatis£ccre pofíét, quippe breuis et: imperfecta, vti «pleraeque Optimi Viri de: Botanica ; ;pxaeclare- meriti , iu. Zoo- logicis vero: incuriofi , animalium adumbrationes vf folebant. -Adeoque'res ad. me: peruenit integra, quum in* Sibiriam: profectus fum. |. Miffionarii. enim: e |. So cietate Iefu,, qui Mongoliae. deferta variis occafioni- bus. peragrarunt et. videndi Hemionos opportunitate vfi.funt, vix vllam, praeter nomen, eorundem notitiam- reliqueruat. (*). "^ ^ Per totum igitur quàzriennium , quo auftrales Roffiae atque Sibiriae fines Tatariae magnae . defertis conterminos- relegi , nullum. non. moueram lapidem , nullisque ' fümtibus'peperceram:;, wt praemiis pariter at fanore excitarem "vebàtores gentiles - ad procuran- dum, e defertis extra: fines Imperii - Roffiei: pofitis ; fpecimen' et Hemioni , ^et Onagri. Aft. omnia ia- -caffum' fuere, donec. vere: Anni. 1772. extremae Da- vuriae campos ,- ab' Onone et. Arguno fluuiis: verfus "Mongoliam: defertám patentes :;peragrarem .. In ea- "dem illa: ratis moralibus habitata regione , vbi: an- tea Hemionus MESSERSCHMIDIO oblatus ; €t vüdec pro QGMELINO: miffus fuerat , mihi quoque | rariffi- mum hocce animal eminus videre stque defcribere coütigit, - " Solaque fere Argunen(ia deferta. nunc fünt, nia, a 42 did 3. -Nbi p) Malos p e oum Te - lo- tfe eodem fignificátu i ' di&tos, memoratos i inuenias in Opere Dv Hat»r: Vol.IV. sib. 79/54," Oonferáütur eti Afguthiins Santingta der «Reifen imo « Vol. Vll. p..75- e£ 592- 5398 ^ — EQVVS HEMIONVS, | vbi hodie intri limites Sibiriae adhuc obferuari fa- leant Hemioni ," dum aucta orientalis huius regionis populofitate diff«gere ec in auftraliore Mongolorum eremo fecuritatem quaefiuere , vnde nunc rarius in Dauuriam Rofücam euagantur,. Praefertim ilios ob- feruatum eft amare planitiem aridam et herbo(am circa Lacum falfuginofüm exficcatum , quem Tarei- fbr appellant, in ipfis Mongoliae Chinenfis finibus pofitum , patentesque inde vsque ad A4bagaitu col- lem intermontanos campos, qui famofo illo deferta Gobéenfi vsque ad Indiam extenfo, Hemionisque imprimis abundanti «continuantur. —Reliquus, enim tra&us Dauuriae Rofficae vel rupibus excelfis nimis horridus, iugisque niualibus munitus ,. vel. fyluis impeditus eft; qualia loca Hemioni non adeunt ne- que amant. 2 In Argunenfbus itaque campis fere quotannis adhuc, non quidem , vti prius, gregatim ,' nifi ans nona in arido vel ignibus ambuflo deferto -premen- te, fed tamen fparfim et a gregibus quafi aberrantes apparent Hemioni. (n apricis Mongoliae vero, prae- fertim vaftifima illa planitie glareofa, quam | Gobí appellant , maguis incedere gregibus autoptae mihi retulerunt itineratores, — Itaque Mongolis, eorumque linguam callentibus Dauuriae Tungufis notifimum funt animal, cui nomen D/bikketei , quod Auritum fignificat , indiderunt. | Eodem nomine transfugis € Songaría Calmaccis notum effe didici, quorum in priftina patria inquilinum itidem, Animal et a feris Afinis (Cbulàn) , ferisque. Caballis (Za&je) dittin&ifü- IRA -.— ,.. mum MONGOLIS DSHIKKETAEI. 399 mum habctur. Haud, vero certo dixerim, an Tata- riae vaftitiem magis ad. Occidentem , fitam frequen- tet; certe Kirgifis Nomadibus , . falte. Occidentali- bus; quantum refícire potui, nulla eft appellatio , qua diftin&um dcfignent. Neque determinate fatis de Onagris Perfiae Syriaeue locuti funt peregrinato- Ic$, vt liqueat annon Hemioni quoque in his den- tur regionibus, 1 "Amant noftri: praefertim pafcua aprica , fic- €2, fed herbis laeta folidis , montanis, quibus Da- yvuria IMongoliaque tota , tanquam alpina regio, abundat. .Ad aquas raro accedere dicuntur, patien- tifümique fitis effe, quae in deferto , quod colunt , faepe per centena fadia aquis , praefertim dulcibus ; deflituto , fumme neceffaria erat facultas, Onagrum et Equiferum in feruitutem redegit hominum audax induüria, et in mitiffima atque vtiliffima iumenta conuertere callait. | Hemionum vero noftrum , pariter atque Zebram Africae , nul- jus vnquam mortalium domare potuit , licet equi- tationis amantifümi Nomades Afie experimentum educandi pullos plus fimplici vice tentarint. — Nou tamen. defperandum effe puto , tenerrima aetate ca- ptis atque conclufo loco aptius, quam inter Noma- dum mappalia, educatis et. adfucfactis pullis, ali- quando fieri poffe domeflicam , fraenique patientcm hauc fpeciem ; quae tunc celeritate curíüs certe Equos cuiuscunque gentis, celerrimosque Syrize vel Arabiae Mulos vincet. Suadet hoc eadem in Ona- | gris, 400 EQV VS HEMIONVS , gris, quorum millenarii greges per-Afide- tempera- tioris Eremum- oberrant , paftoralibus Tataris experta - feritas , quam. tamen antiqui ita facile domare no-. rant, vt-etiam, ad generandos Mulós praeftantiffi- mos, Onagros manfüefactos praefertim adhibitos fuiffe VanRONIS , CoLvwERLAE, PriNmEQue teflimoniis - conftet ; imo VARRO fcriptum reliquerit(de re ruf. Lib. II. cap. 6) , **ad (Mulorum) femitationem ma »Xime idoneum .effe . Onagrum ; , quod .e.. fero "fiat »Inanfuetus, facile , et e manfüeto ferus. nunquam, ,... A MMongolica gente , Tungufisque. fola . potiffis. mum venatione. felicibus propter aecftumatiffimas.;. in4. ter hos. barbaros , . Equiferisque praelatas; carnes. et corium. aptum .ocreis , crebro occiduntur. Hemioni« Eft autem difficillima eorum. venatio ; , non. folum, enim vifü eximio pollent, íed etiam fecunda aura hominis non. vifi: efiauia per plura fladia. fentiunt prouidiffimique ad fugam fe componunt.- Celer. autem eorum tanta, tamque fere iucredibilis dicitur effe, vt- alipedes equos facili opera longiffime poft fe:relinquant , imo Antilopibus , propter pernicita- tem celebratis , velocius DA Hanc admirandam Ob celeritatem indomitamque feritatem adeo celebres apud Afide populos facti funt , vt etiam in prouer- bium cefferint, et; Tibetani Deum. igneum , quem. Cbamnimo appellant ,; Hemiono effixerint inequitantem. Propter eandem venationibus , ^ quas-Mongoli "magna equitum .manu inftituere folent, raro includuntur j fed potiffimum'.ex infidiis, a-latente poft. tumulum- boss in foffa -qualicunque ;Vénatoie: tunc; quum'aqua- tum MONGOLI : HIKKETAE!Y. 4ot tum ad riuos vel lacunas accurrunt , vel loca fal(u-. ginofa adeunt Natri vorandi caufa, íclopis ^ caedun- . tur... Narrant. tamen venatores , tempeflate pluuia atque turbulenta Hemionos quafi ftupere, vel he- befcere feüfibus , ita vt venatorem minus perfentifcant. Mares adulti , qui gregibus Equàrum plus minus numerofis duces funt, praefertim cautos atque v3Xo- HR cohortis prouidos cuftodes íe praebent, non fo- lum zeloty pia fumma equas ab alienis gregibus ar- centes, iunioresque mares, quum adoleuerunt ; e - turma depellentes ; fed etiam pericula. quaeuis *explo- rantes. Confpeco venatore , qui forte fub aduerío wento humi flratus adrepere gregi parat, dux gre- gis tanquam rem iníolitam. miratus, folus magno circuitu fa&o femel iterumque , imo quandoque ad tertiam vsque vicem propius dicitur accurrere , in- fpe&urus quid rei fit ; quo optima íàepe venatoribus -potiundae praedae offertur occafio. Sed perfpecto pe- riculo fumma tandem celeritate reuertitur , expectan- temque gregem equarum in fugam pellit. ' Capite femper ceruinum fere in morem elato, furre&tisque auribus incedunt Hemioni ; fugientes ad- huc magis in altum - proiiciunt caput, eriguntque caudam. Hinnitus grauior , magisque fonorus obíer- vatur, quam equorum. UPC conflant , praeter sdmiffarium ducem , equabus faepe pullisque vigenis, vel vitra. Plerumque tamen multo parciores effe folent , ita vt Hemionos multos quinae. imo pau- ciores íaepe fequantur vxorcs. Mares. iuniores, cum $doleuere , a patribus grege tandem abaci, e lon- lom. XIX. Nou. Comm. Eec ginquo 402? -ginquo fequuntur vel folitarii errant, donec equas itidem iuniores fui generis a grege alienare , vel aberrantes fibi adiungere queant. Oe//ri tempore et- iam feminei pulli, quae veneris nondum . patientes fünt, ab admiffario duce grege dicuntur expelli fo- lere. Fama eft^ Hemionos domefticas quoque ali- quando Equas abducere; iisque ad Venerem abuti; quod tamen non fatis fidis teftimoniis mihi confir- matum eft, licet. vero fimillima res videatur in 'tanta totius fübricae affinitate et magnitudinis fere paritate, quae. Hemionum .adhuc aptiorem copulae cum Equabus noftris reddit, quam eft Afinus, cu- jus tamen proles ex Equa, vti Equi ex Afina, vul- gatiffimis Equifonum experimentis confirmata eft, Coéunt Hemioni medio et füb finem Augufti; ilo enim tempore in diffe&a femella MESsER- SCHMIDIVS foetum magnitudine Mauris in altero vteri cornu reperit. Dicuntur autem vere parere, folitarios plerumque pullos .Et hi tertio anno exacto parentibus fere aequales puberesque fiunt, eb- feruantibus iftlarum regionum INomadibus. Pugnant inter fe praefertim morfu Hemioni ; quod et Equis fpontaneis folemne eft. Attamen vn- gula pariter ferire :callent , quod in Hemioni. pul- Yo obferuatum fuit, quem Ruffus aliquis in Da- vuriae. finibus ^ militiam | faciens in tenera aetate ceperat, quique ob. immanem feritatem vix per menfem viuus feruari. potnit. — Hybernum vellus peticus acftiuo gerunt , Erico - exalbidum, fubhir- tum, MONGOLIS DSHIKKETAEIL 40$ tum , pilis fefquipollicaribus ,.. in. dorfo. crifpulis vel vndatis.conflans. Hoc primo latim, vere ,. matu- rius paulo quam in-Caballis domeflicis ,. defluit fen- fim , fuccedeate füb exitum Maii. acítiuo pilo breui, flri&iftimo , eleganter laenigato ) gnato in BON be- ne curatis effs. folet. ERES : 35 Babui pro defcriptione , an hic. fifto ; prae: ter pelles complures ,, Hemioni- fcmellam integram , Cirbiter. triennem , quae.d. 26 Maii 1772. ad La- cum :Tarei; Dauuriae. occifa fuerat... Ab aftu vernali fummo tum regnante iam initium corruptionis fen- ferat; vt: Befcriptio et A natome , praefertim jn. loco omnibus vitae. commodis .deftituto , fub tentorio, - im ^nuda-.terra , non fine. taedio , naufea et labore confici potuerit. Impedimento in. pofteriore adhuc fuere. v8lnera animali, inflidta. .. Attamen quantum » potui omnia accuratiffime luftraui ; id. vnum dolens, quod in deferta regione ,' folus , fine. auxilio tum confhtutus , ron füf&cerim lanienae Equi fimul pro -:accuratiffima partium com paratione inftituendae; quem in finem. itaque accurzatifima 11l. BvEFONII defcri- ptione. Equi tunc. fum .. vfus, Icon ,. ad integrum cadauer parata (Tabula VIL), animal accuratiffime exprimit, illo corporis tu, quem Tungufi auto- ptae viuo animali maxime naturalem cffe adícuera- baut. Sequitur DESCRIPTIO. E " . — Hcmiono Magtitudo et facies Muli Gleis; fed omnibus momentis pt khrior. ^ Cetut equino maius, altiusque feu magis compreffum ; frons plana, sto yt , eee facie "Tab. VII. 404 — EQVVS HEMIONVS, facie anguftata in roftrum defcendeute ; latera capitis planiufcula , praefertim inter oculos et parotides, vbi diameter verticalis. maximiía; interualum ramorum mandibulae excauatum. Oris labia laxa , maxime fuperius, tenuiffime pilofa , margine fuüícefcente , extus veflito pilis rigi- dis, cano albis, inflexis. Commiffura oris, etiam intus, fübtilifime pilofi; buccae interius fufcae , pa- pills punctatae. — Dems in vniueríum. triginta octo, adeoque binis pauciores quam in Cabillo: Pri- mires vtrinque fex , medii (in noftro fpecimine con- geniti) quatuor vod lati, acie detriti , lacu- naque notati, fubparalleh; zterales (nouati) minores, oblique truncati , obtufi , valde conuergentes, fitu omnes vt in Equo, füperiores erecti, inferiores pro- nati. Camimi in vtroque fexu nulli; apparuit tamen in cranio femineo alueoli veftigium , in maxillae fuperioris medio , inter molares et primores , inter- vallo. Molares corona equinis fimillimi , in vtra- que maxilla vtrobique tantum tres perfecti ,' pone- quos propullulabat quartus, quintique alueolus ad- apertus in cranio depurgato apparebat; quorum MESSERSCHMIDIVS in mafculi cranio veftigium nullum commemorat. |— Dezs accefforius ante mo- lares füperiores vtrinque minutus ,, conoideo- obtüfüs , vix 4'! altitudine , de quibus apud eundem obferua- torem mentio nullas. — Pe/z; rugae r*7. anticae latae , magisque deletae , poíticae prominentiores et latiores. Nares MONGOLIS DSHIKKETAEL 46$ . Nares intus et margine füfcefcentes , equi- narum fimiles, patulae ; cartilago vtrinque fub na- ribus. verrucae obtuíie , magnae inflar protuberat. Pii nigricantes, longi, fparfi citca o$ et nares, quo- rum .longifimi (ad 2^) in labio inferiore, mento et externo margine narium. | Oculi mediocres ,, diametro longitudinali obfli- | qua. Pajpebrarum margines , areaque triangularis ante cànthum priorem nuda; fuíca. Cil2 tantum in füperiore palpebta , ab. ipfo margine paululum remota, neque ad canthos perducta , nigra , confer- tiffima , longitudine 7". — Pi; aliquot nigri, in quibus duo longiffimi (2". 5") pro(trati , infra can- thum anticum oculi per zygoma fparfi. — Periopb- pbalmium alum , opacum , latitudine 97". vsque ad pupillam: fere. extenfile , lunula in medio marginali , nigricante notatum. /í/bugo circa corneam. fuíco- "nigrefcit ;. Irides obícure cinereae , rugis radiatae ; Pupillae oblongae, directione diametri oculi obliquae, vel canthis. refpondentes. Aurer equinis multo maiores, pulchre arre- €t16, acutae, extus corpori concolores, margine verfus apicem , ipfoque apice interius füfcae , intus villo. per ambitum largo , fübcrifpo et exalbido con- niuentes, im cauitate nuda fcamnatae porcis di(tiche villofis ,. duobus. fecundum exteriorem marginem pa- rallelis , vno: interiori vicino: . Collum gracile et teretius equino, compreffum. Iuba àb occipite ad fcapulas aequabilis , erecta, equi- Eece 3 na 406 — EQVVS HEMIONVS, na multo mollior et qualis in. equino pullo folet effe, fufca, fummitatibus pilorum (ad 5". 6'/, ae- quantium) gryíeis. Vertex inter oculos et aures to- tus villo molli , breui, iubae concolore , loeo €a- pronae , cuius altitudo (ima x 9t, Truncus longiufculus , compreffus, pecore ma- - xime carinato-gibbo , dorfo rectinfculo, leuiter at- €U4lo , caeterum angulato , fere vt. in Afino. Arius nerüofi, pulcri , longi atque graciles , femoraque macilenta , vt in Mulis —Ca//i loco area in latere brachii interno repanda , oualis, fuperius acuta, nigra, nuda, epidermide duriuícula t.cti (dum forte callus vna cum pilo defluxerat). — Huius lon- gitudo e", $/, ]atitudo 1". 67" aequat. « In pofticis pedibus calli veftigium omnino nullum. | — JBu/bus pedis fupra vngulam laeuis,. inermis; .poftice pilis - longicribus, in penicillum confluentibus fuübbarbatus. In anticis ad penicillum interius macula nigra ; ex- terius litura füíca remotior; in pofticis fupra peni- cili bafin liturae duae obíoletae. — Vmnguíae nigrae, Quriffimae , laeues, oblongae, fere dimidiato- conicae, dorío conuexo -fubangulatae , fubtus cauae ; cbelidon dura, hiulca, didyma ; margo vogularum. pluries incifus, ( Cauda vaccinae fimilis , zemore tenui, tereti , 2b ano ad medium [ubtus lcongitvdinalter nucoj veftita Jeiis a bafi ad nedium lrcuiortus ,. firicus , «corpori concoloribus ; fubtus fuícis ; hirc in caxtre- mitatem flcccefam- fcrf.m SGrwlleg: (ae 9"), 1ignis. Villu: MONGOLIS DSHIKKETAEI 4o3 : Filus hyboernus, quem in pellibus vidi, bipol- licaris , fübhirtus et ia tergore vndulatus, camcelini fere inflar mollis, inferne cinereo - fufcefcens , extus gryfeus. 4effiuus pilus. (vix. 31.) breuis, elegantiffi- "me laeuigatus ; paflim pulcre vorticofus , nullibi (vt eftin Zebra) contrarius, — Sutra pilis adícendenti- diuergentibus difcors , per. frontem longitudinalis ; Alia a medio fupercilio antrorfüum vergens, pilis longioribus. -— Voices: wtrinque obfoletus 'ad iu- bam pone occiput; fub initio colli futura breuis, ' defcendens , dextrorfum intorta in vortices duos ap- proximatos; duo vortices fub bafi.colli , non exa&e oppofiti , coufluentes in futuram a medio fere collo per (ernum longitudinalem ;; dein magnus vtrinque ante commiffuram fcapulae ; porro alius vtrinque infignis diuergens in latere thoracis, ad armos; fu- pra quem difcordia pilorum cruciformis. Alius item vortex ante flexuram armorum; vorticulus in ipío angulo cubiti, futura ad medium brachium defcen- dens; vortex vtrinque ante vbera ; alius ante femo- ri in hypochondriis, aliusque infignis ante trochau- terem , à quo difcordia pilorum per foffam antefe- moralem defcendens, inter quam et vorticem antefe- moralem occurfu pilorum futura transuerfa hypo- chondrii oritur. | Colvr extremo roflro nudiufculo albidus , hinc ad capronam. fuluefceüs , in ceruice gryíeo - albidus, in trunco fuperius toto dilutiflfime gryíeo- fuluefcens . "quod Galli vocant -I/abe]- grifátre) , vertus latera di- - dutior, dilutifimus per artus anteriores anterius, et rc poíticos / | 468 EQVVS HEMIONVS; pofticos exterius; albidus in clunibus, artubus intus et trunco fübtus. Lorum íeu-linea fpinalis teftaceo- nigra a iuba vsque in caudam longitudinaliter de- .«urrens, fupra lumbos lateícens et fublanceolata, ver- fus caudam adtenuata, et vsque in floccum caudae producta. Pi ífetofi , vngularum coronam cingentes nigricant, zl : Vber nudum, nigrefcens, papilit binis , bre- vibus , «raífis,, obtuíis. ^ P/Zca transuería cutis inter femora, pone vber, remotiuscula. Jua (fab auno haemifphaerico) oblonga, bilabiata , labiis tumidulis, extus fuícis , fubpilofis , longitudine 5". 6", a qua- rum commiffura rhaphe nuda nigra inter femora decurrit, Intra commiffuram labiorum inferam /fftiuf laxus, rugofüs, 'nigricans, in quo caruncula com- preffa, inter 44as maiores , rugofo - hiulcas. Meníurae proportionum ,' fi vnquam in Zoo- logia, certe iis in generibus ,neceffariae , in qui- bus ípecies adeo inter íe fimiles a Natura funt redditae, vt quafi ad vnum omnes ecypum effor- matae videri poílünt. | Itaque minutiofus in traden- dis iis effe debeo , omnesque ita exegi, vt cum Buffonianis Caballi menfüris comparari queant. — Pon- dur partitim flatera füfpenfi animalis quingentas fexa- genas Libras medicas aequauit. - Longitudo ab interuallo aurium ad vs- queanum |. - .- - - gliM, gl, —— capitis figillatim - - - 03.8... —— a fummo labio ad anum - | - 6. 7. 1o. Altitu- ! MONGOLIS DSHIKKETAET. Altitudo animalis anterior a fpina inter- | fcapulari ad calcem menfurata - — s, 9l. Eadem poítice a lumbari fpioa ad calcem | 4, 5. Interuallum inter antica brachia ad pectus, multo minor quam in equo - o. 4. Circumferentia roflri pone nares . - — r,.r, -—— Otis ab angulo ad angulum per la- bium füperias - - - - - O.8 Latitudo labii fuperioris fub naribus .- - e.. Diftantia inter angulos maxillae inferioris o. 2. -—— narium inter fe antico finu — - ^ O.2. -—.———- poflico fiuu - - - 0.3. -——- à&b apice labii ad canchum oculorum z. o. -—- a cantho pofílico ad aurcm - e. 4. Diameter frontis inter füpercilia ^ * - o. 6. -—— oculi a cantho ad canthum - - oO. r. Apertura oculi - "£c z O.Q9. Diflantia eanthorum oculi filo per fron- tem planam ducto - .- - o6, —— ——— recta axi - - * O. 5. Circumferentia capitis ante oculos ^ - — 5.0, ——— capitis ad initium gulae et ante au- "CM MENU ARMED MI. $. T. —— — psulo pone oculos maxima - 2. 3. Longitudo narium - - s E SOIT. —— aurium ad occiput - - o. 9. ——— eXtetnae aperturae OM MD M If Circumferentia aurium bafi prono qe 409 8. Y I. 4« I. 6i. 4- $. 4. -—- in medio a margine ad marginem OQ. 5. xo. Tom, XIX. Nou. Comm. F ff Diftan- 410 | EQVVS HEMIONVS , Di(tantia aurium filo "per gulam ab apet- 2' turiscircumdudo | «. - .- "x. ——— aurium per verticem mii. s o. Altcudo capitis a fumma orbita ad au- gulos maxillae inferioris | - - o. roflri, medio inter oculos et nares o. Longitudo coli. - | - ^. ^- -.r. Circumferentia colli ad caput - -. ;. ad humeros — — 2 2. Latitudo colli in medio a iuba ad tracheam traisuctííà | - .- - - -0OQ Circumferentia thoracis ad armos — - — 3. trunci.in medio .- - - 4. ad femora (€) - - -4 Longitudo tenoris caudae * - I. flocci caudam exíuperantis - - o. Gircumferentia tenoris bafi - oe Longitudo humeri - - - o. brachii - - ELI. Diftanta callorum brachii fupra flexuram o. A cubiti flexura ad calcem Ret ML Longitudo cruris f gambe - - 4o. A flexura gambae ad veftigium AME Ab articulo bulbi pedis ad vngulae mar- gincp 0 7 07.57. x S.o* o. Longitudo pedunculi vnguhe — - — - o. 6!, 4* de IO. Oo. Lon- (*) Notandum ad has menfuras, animal ab interna putredi- re iam inflatum fuiffe, nec tumorem omnem, licet iu- cifione paruula fada , fubfediífe. MONGOLIS DSHIKKETAEIL 41x Longitudo vngulae feu vefligii - - o. 4. 8$. Eiusdem latitudo .. - : - - - 0. $. ^O. —— altitudo anterius NUNT S E uyiaiS. 0, Circumferentia vngulae ad coronam - o. 8. 10& - per ambitum | — . — - 9o IX. 8. —— ——— pedunculi vngulae - - o. 4. g. bulbi pedis ni^ MB NNLLA gambae anticae 7 | — ^ - O0. 5. €. ———— — articuli eiusdem - 5 x Oo, $.. 8. ———— — brachii ad eandem flexuram - o. 43. 2. —--:brachii füperius - - I. 3. Longitudo femoris - - 0 - I. OG. Latitudo eiusdem fumma - - - mr. o. o. EN UuDBe oM ue ERAS um T. Longitudo tibiae - - de ——— gambae feu cruris poftidi - - A flexura tibiae ad veftigium - — - A calcanei flexura ad caleem — — - Longitudo pedunculi vngulae - ^ - Ab articülo phalangis ad vngulae.mar- BeO5|0o90en t3 9 O &« D M a Pm. - 6 um Ei x5 Qu Tg. JH. Vngulae pofticae altitudo —- — - -5 "9 8. .0. —— longitudo per veflipium | - - O. 4. 8$. —— — latitudo fumma - - S RE HERES S—— circumferentia per ambitüfn ^| - oO. II. IO. Circumferentià vngolae ad coronum - O. &y. s. 2M peduBehE" vopguigg-ci- UU uri D^ 0v T, ——— bulbi pedis -UU - - Or EAST. ——— gambae fiue cruris - ON. rir je ——— tibiae ad flexurim —-ovrwo MUT 9. CO. Eft Circum- 412 EQVVS$ HEMIONV$, Circumfrentia femoris ad corpus -— - r4 gl. 5'/ Diflantia vberum a vulua - - - - r.0o.0. Partium interüarum fícrutinium fequentia no- tatu digniora exhibuit: MHepar trilobum , lobo dex- tro maximo, intermedio minore tripartito (cuius dexterior portio bicrenata), lobuloque infuper acces- fotio papillari ex interiori facie prominente. Cyfiis bilaria plane nulla. Lien magnus , oblongo fübtriat- gularis, planus , ventriculo per fufpenforium latum adnexus. Panereas diffufum. Situr coli atque coecà , fine vlla notabili diffe- rentia, vt in Equo fe habuit. Ventriculi figura mas £is oblonga , quam in Equo, arcu maiore ex ad- verfo oefophagi obfolete impreffo, hinc verfus pylo- rum magis ventricofo. —Oc/fpbagus diametro pollicis. Inteflinum tenue longitudine 22i vloarum | ruthenica- rum íeu quinquaginta circiter pedum parifinorum , lumine inaequali, a circumferentia. 4". ad 6". 1o ya- riante. Coecum ingens, cellulofum , equino fimilli- mum , longitudine fesquitripedali , octoque pollicum diametro. —Co/o) itidem equini adinftar cellulis cri- fpatum , longum 9 pedes cum dimidio, diametro .plus quam quadripollicari. ^ Recum cellulis deftitu- tum, 5; pedum longitudine. Renes erant pugno maiores, Verus bicornis, cuius cagiha longitudine 12 pollices aequabat. Vre- :brae orificium a labiis vuluae introrfum ad 5, 6!lF, remotum , digitum facile admittens , valuula cuta- cca, perampla contecum. — Veri orificium digito patu- MONGOLIS DSHIKKETAEL 4i3 patulum, collum. 5", intus rugis longitudinalibus porcatum ; Cormua non valde elongata. Mzssrn-. SCHMIDIVS poft xx Augufti femellam Hemioni dis- fecans in altero cornu iauenit foezum (vt eius ver- bis vtar) * mure domeftico fere maiorem, fuis mem- »branis inuolutum. —C/oriom libere fluctuans , nullis .condylomatibus vel placentis, neque in chorio, »neque in vteri parietibus vllibi confpicuis. ^ Oua- »fiwm eius lateris erat ouo columbino fübpar ;, (au- &um certe corpore luteo) *reniforme, durum, com- pactum ; cum tuba Fallopiavna tortuofe ad vterum ,procurrente et carunculae maioris ope in interno »Vterini cornu cauo praeclufa. Ex ouario per lon- »gitudinem diffecto eximi nudis digitis potuerunt »,0uula fere quina ; piío aequalia , membranacea , »diaphana , humore limpido , flauefcente fcatentia , »,quae aquae feruenti iniecta momento citius coagu- »labantur in duritiem albuminis gallinacei , cum ali- squa tamen mucciditate,. Haec MESSERSCHMIDIVS. Tboracis cadum peramplum. Pu wterque bilobus ; dextro accefforius /bbus impar pracelongus , retroflexus , cum finiftro quoque pulmone continua fubílantia cohaerens adeoque vere intermedius et me- diatinus. Cor vt in Afino, maximum , mole ca- put pueri decennis aequans ,. longitudine pariter at- que diametro bafeos circiter fpithamali, conico - acu» tum, - Tohymus glandula circa manubrium flerni parenchymate diffufa, cordis vaía atque tracheam obtegit. Fffg SCE« 414 EQVVS HEMIONVS, SCELETI offi equinis admodum fimilia , ita Nt. vix defcriptione indigeant ; imprimis differt cra- nium , quod itaque cum. equino accuratius conferam. Frons, in Hemioni cranio, cum roftro in continuo plano rectilineo pergit ; Pregmata conuexiora , eri/fa Occipitalis atque 0ndyl prominentiores quam in Equo; saxilla inferior multo latior ; angulo circu- lari quidem , fed pleniore. . OrBitae circulares , fed antice incifüra et crena lacera ad foramen fupraci- liare.: Cerebri cauernà vix ouo anferino capacior , diametro longitudinali 5'". 5/", trausuerfali 24, 6!/ Occipitales zozdyli quafi collo eleuati. proprio , cuius circumfrentia 7". ^ Facies 1aurina wel bubalina po- tius, quam- D'AVBENTONO obferuante equinum cranium inueríum ab occipitali latere ^ infpicientibus offert , ob infignem illam prominentiam condylo- rum, proceífus hyoideos fubaequantium , ia Hemio- no paululum deformata. -— Reliqua vix differre vi- fa funt. Cranii totius , cum maxilla plano cuidam impofiti, altitudo verticalis ad «ri(tam occipitalem erit 10", longitudo a. fumma «rifta ad marginem slueolarem maxillae füperioris 58/. 7/!l, bàifis trian- guli, quam conflituit longitudo maxillae inferioris , a dentibus primoribus ad conuexitatem angulorum, ri! vil, Latitudo cranii maxima inter pofticos mar- gines orbitarum ^ - 2 wectokglhigih ——- minima inter frontales incifuras orbi- tarum - - EE SM Diftan- MONGOLIS DSHIKKETAEI. Diftantia inter angulos maxillae inferioris o, o!l. —— inter condylorum. collum | - - o.4. Subtenfa- maxillae inferioris a fummis deu- R tibus. ad condylos fummos "t^c Altitudo. ramorum maxillae ab angulis ad , ^condylo .- | - -. «4 .- 0.6. ——— ad proceffus coronoideos |- | - 0.8. Diftantia ramorum mandibulae ad angulos o. 5. Laditudo offis maxillae infer. fümma ad angulos - JU HERI Y MIU SEDET IO e, —— " ad bafin condylorum - - 0.2. "Diameter orbitarum 14g OSEE E eO Rl ds Latitudo o(fium nafí ad frontem. - — o4. | verius eXtremitatem - — - 0.2. Oinum nafi pars vltra finum prominens |o. 2. ' Longítudo maxillae fup. vItra hiatum narium o. 4. Altitudo offis occipitalis a foramine ouali . 8d marginem criftae T5702, | Diameter foraminis oualis verticalis - — o. 1. transuerfus inter condylos - o. 1r. '——— cranii inter hiatus zygomaticos mi- a —— nima » - - - - L. Uim. ——- —-— inter proceffus coronoideos ma- . Xima T d Cx - I T i '- Oo. 3- Diftantia inter molares poftremos E. 6 2 ——— ——— anticos - - - - O. I. I Latitudo ifthmi maxillae inferioris —- . o. Arcus alueolaris dentium primorum - c, 3. , Lautudo dentium primorum fimul -. o.35. ——- ——— mediorum íupra - ncn 0s 415 g!ll, 2 I, 41 ^77 EQUUS HEMIONVS, OU Eorundem cráfüties — - - - - - elo" 41, ———— altitudo - 25 - e: U$. 0,8, Dentium molarium pofteriorum latitudo .o. zx. 2. Latitudo primorum molarium füperius -. o. x. 7. Cra(fities molarium fumma fuperius - — o. Oo. 1r. BECA E Ed cac RON inferius - - - -- O. O0, Altitudo molarium extra alueolos ^ -« ^ o.0. 6. Vertebrae in. vniuerfüm 55, TLoracis 18. fub- aequales ; €t coffae vtrinque totidem , quarum 'fep- tem verae, reliquae fpuriae. . Lumbares vetebrae quin- que, quarum tertia proccffibus transuerfis latiflima ; Q: - figsat feptempartitum ; caudae vertebrae 18. a prima (1^, 17/7) fenfim breuiores, Extremorum offa 3p equinis vix diuerf^, Carpus octo oflculorum , diucerfae molis et figurae , geminata: ferie fibi in- cumbentium. Tarfus ex ofüculis fenis, calcaneo, a(tragalo , fcaphoide ; cuboide et duobus innominatis, a (iructura ruminantium alienis, vt in Equo, com- pofitus. - Extremitatum menfurae fupra traditae funt; taediofum foret minutas in forma oflium differens tias fectari, quae faepe yix in oculos cadunt. Omnes vt breuiter colligam differentias , sa- le capiüis intér Caballum et Afinum medius eft He- mionus, Ííed longius habet vtroque, Eiusdem .et aurium proportione circiter cum Zebra conuenit. Dorfi fotmam plane fingularem — obtinet , angulatam quidem , vti Afino, fed arcuatam fimul ,' qualis in nullo congenerum anim dla obferuatur. Trumci re- ' liqua MONGOLIS DSHIKKETAEL 47 liqua circumcaefüra , vmew/sque fimilor | Afino, «riuum proportione magis cum Caballo conuenit. Caudam etam afinina magis depilem gerit, fere qualis in Zebra eft, íed longiorem et vaccinae fi- milem. — Cobre conítanti differt ab omnibus , Joo fpioali quidem — Afiui, fed nulla trabe transuerfim cruciato , diuerfus. Tota forma vtique magis cum hybrido Mulo, quam cum congeneribus fpeciebus , confentit, 3 quo, ni cauda et forma fpinae, admo» dum parum differre videretur. — Sed ex omnibus fatis apparet peculiarem effe et a citatis omnibus diftincifmam fpeciem , quae per (e propagatur et ita propria eft Afíise, vti Zebra Africae, quum contra communes ytrique terrae videantur efle Ca- ballus et Afinus. | Tom, XIX. Nou. Comm. Gg£ TE- 418 CEA ( [o] ) C cDen TETRAO ARENARIA; DESCRIBENTE P. S$. PALLAS. * | oes ornithologis Tetraonem mihi, videor de- fcribere ,, qui tamen notabili fimilitudine affinis eíl Albatae Pyreneas Caucafeasque Alpes incolenti , inter quam et Teiraonem , quam alibi (*) defcripfi , paradoxam quafi medium locam. occupat. — Noflra non, vti prior, ia locis montofis viuit , fed pofte- rioris ad exemplum arcnofis tantum defertis delecta. tur. Aft licet arenas ad lrtin et in Dauuria pera- grauerim vaílifimas, nunquam tamen in Sibiria hanc obíeruaui fpeciem , quae demum in fabuletis fluctuau- tibus, medio deferto inter Rhymnum et Volgam ex- tenfis, circaque Volzam verfüs Aftrachaniam late patentibus, copiofifüme oblata eft, quando deferta ila An. 1773. aeftate, fequentique vere- perluf(traui. Semina fcilicet Aflrragalorum maiora praefertim pro vi&u cligit , qualia funt alopecuroidis , Ciceris et phyfodis ioter arenoíos colles in laudata regione co- piofifüme prouenientium , perque totam aeftatem fuperfüuum Tetraonibus noflris pabulum —pracben- tium, Neque dubito defe&ui Aftragalorum tribuen- dum effe, quod in orientalioribus "Tatariae magnae arenis, (*) Reife durch Rufand Tom. Jk. pag: i2. — TETRAO ARENARIA.- 41$ arenis, vbi horum parcior eff prouentus , won oc- currant ; faltim quousque haec deferta a Curiofis exploratà nunc funt. Primo vere adfünt Tetraones arenariae; an - Nero in praedictis defertis hybernent, non pro certo affirmauerim. ^ Forfían Alaudarum atque Perdicum adinftar illis annis, quae tepidam cum exili niue hyemen in regionibus iftis ferunt , remanere; rigi- diore bruma veríus Caucafo vicina loca inque cali- diorem Perfiam migrare folent. ^ Obfíeruaui femper per paria volaütes, et. incubationis quoque tempore, quod ia luanium cadit, Mas femper cum focia fre- Quentat aquas , quarum haec fpecies maxime auida eft. Solent autem matutino praefertim tempore , verfüsque meridiem et occidente fole ad hydreumata in deferto a. Nomadibus effoffa , lacunasque. aquatum venire, vbi fiticulofiffimae toto pectore incumbunt ripis, vt lympha continuo trac&u hauíta , Columba- rum adinflar, impleantur. Eoque folo fere tem- pore accedentem venatorem non fíentiunt , alioquin cautiffimae , nec nifi inter volandum occidendae. Propter eandem fiticulofitatem nunquam longe ab aquis recedunt, fed in. vicinia nidulantur, certum- que praebent per torridas illas folitudines peregri- nantibus indicium vicinitatis aquarum, X Nufpiam copiofiores mihi occurrerunt , quam circa arenas fcaturiginofas ad Burlu-cbuduk , et in locis , quae ob venarum aquae et hydreumatum copiam Quadraginta et Centum fontes (Dyz/cbin et Soon. cbuduk) a Cal- Ggg2a muccis 430 TETRAO ARENARIA müccis appellantur ; et in genete, quo props Volgae fluuio eo frequentiores , frequentes etiam. in deferto Cumano , contra in aridifümis et fqualidis campis verfus Rhymnum nullae occurrunt. — Polant ob alarum formam et magnitudinem leniter et con- tinenter , columbarum fere inflar, quas aliquantum et habitu referunt, Inter volandum (fedentes vero nunquam ) ftridulam et amoenam edunt. vocem , Pra- tincolae fere fimilem , qua longius exaudiri poffunt, et propter quam forte a Tataris ad Achtubam dis- palantibus , qui Caucafeaà funt progenies , nomen D/berak metuerunt, Oua pariunt columbinis maio- r3, albo- pallida , quae initio Iunii in diffectis fe- minis matura inueni, JNidwm vero, licct diligenter . quaefitum , venatores noftri nunquam inuenerunt. "'ab, VIII. Magnitudiré haec Tetrao Perdicem | fuperat , | babitu Alchatam refert, — Roffrum quam in Perdice tenuius, prorfüs vt in Alchata, cinereo -coeruleícens, apice nigricante. Lingua anguíta, canaliculata , api- ce integerrima, —Pa/pebrae nudae, pallidae , margi- nibus fubpapillofis, flauefcentibus. ;Supercilia plumo- fa , tecta. ! Capub albido - cinereum in. MASCVLIS, ver- tice vsque in ceruicem gryfeo - flauefcenti | nebulofo. Guía ferrugineo - fuluà , colore weríus latera colli diffufo diluto, trianguloque atro fubmedio collo ter- minata. Colisg iugulumque totum , in hoc fexu, €ano albida, plumis veftità fingularibus truncatis , denfio- TETRAO ARENARIA. 42r denfioribus , elafticis , nitidis , columbarum fimilibus, Ceruix. inferior , dorfüm totum aduíque caudam, alarumque bafes plumis teftaceo-albidis; annulo fin- gulis fufco terminali , maculam ouatam lutefcentem cingente , notatis variantur. Inter pecus et iugulum circulus ater , hinc fpecur albidum 5 fed abdomen, fe- mora, criffüm atra. — Subcaudales albae , ftrigis ali- quot transuerfis nigris. Alze magnae, acutiffimae , fuübiur cum tectri- Cibus, pennisque hypochondriorum fubalaribus albae. Supra zeifrices primariae remigibus concolores , ca» nefcentes; fecumdariae extus luteo - füluefcentes , effi- cientes quafi fpeculum alare huius coloris, bafi fu- fícente teftaceoque nebulofae. —Remiges primariae , prae- fertim quinae extimae , acutiffimae , compofitis alis cauda vix breuiores ; /ecundarige 1 - 2r, vt et pri- mariae omnes, fufco - cancfcentes, bafi oblique albae, pleraeque apice exterius leuiter finuatae ; Zmmae 22 - $7. dilutiffime teftaceo cinereoque vndulatae ; extremo canefícenti-cinereae , duae margine exteriore, reliquae apice exterius toto luteae. Cauda acuta; re&rices fedecim , intermediae duse fuluefcentes , taeniolis transuerfis füfcis; reli- quae fufco gryíeoque crebro faíciatae , apice albae. FEMINA paulo maior Mare hucusque de- fcripto, a quo differt cofore per totum corpus palli- de flauefcente ; in capite, collo, iuguloque nigro Ggg5 - guitar 422 TETRAO ARENARIA. gultato , iu dorío fafciolis transuerfis fagittatis j^ cre- bris variegato ; Peáur illi pariter albidum , circulo nigro iugulum diftinguente obfoletiore; Gu/z flaue- dine vix vlla tin&a , luuula transuería nigra minus confpicua ; abdomen atque criffüum etiam huic errz, fubcaudales plumae extremo albae. Notabile quoque feminis plumas circa collum iugulumque molliores effe quam ia mare, acutas, et vndique diuerf(as. «lae obfoletius , caeterum vt in mare , coloratae, —— Pedes "Tetraoni arenariae , pariter vt Alchatae, exiles ;. Tibiae breuiculae , anticae fere ad digitos vsque plumis pallidis, fafco punctatis veftitae ; .Di- gii breues, difcreti , nudi , fübtus callofi , praefer- tim tubere tali haemifphaerico ; f/icze inter anticos digitos craífae , dimidios fere digitos connectentes ; folicur a calce remotior, verruciformis , wugue fu- bulato , introríum vetgente , ceu. calcare, prominu- lus; anticorum «nguger craffi , obtu(i , nigri. Pondus huius:auis fupra Libram medicam. in- ter bínas,ternasque fere vncias variat. Mem/urae fe- quentes adaotari merentur: | Longitudo a fummo roftro ad vropygium o! ro", co", ——- cQudae | - - eem tnim OLI DITE -—— roflri vsque ad oris angulos ^ - o. o. 8i -——- vlnae alarum |» |». * «4 o. g. € ——- eéxpanfarum alarum | - - *» (2. $.19- —— tibiae - E EWLUC «45 097 VE EE ——— digitorum anticorum medii cum 4/, | vnsgue | - " e - m O, T: Oo. -—— extimi cum 5^". vngie - - o, o. 8L. - TETRAO ARENARIA. 455 Longitudo intimi cum vngue pari - o. Oo. 37. gollicivpauis fere Kefülis 9 2-5 70 Q9... 2. Probum im omnibus vacuum inueni, medio- cri capicite. — F'emtriculus oui columbini mole, apice bilobus, intus nucis facile capax, adeoque tenui fub- ftantia debiliter tritutans A(tragalorum femina emol- lita, cum glarea multa permixta. — Imeffinum fpi— thamas fere fefquitres adaequat ; eoeca bina fpithama- lia, digitali longitudine ab ano remota. Tzfles ad- huc initio lunii mafculis turgidiffimi , lutei , vt fas cile appireat omnium Tetraonum in noftris ter- ris hanc fpeciem tardiffüme prurire atque pullos educare, s E OBSER- 424 ex35 (0 ) See OBSERVATIONES IN GADO LOTA. INSTITVTAE, Auctore Io T. KOEPRBFTER. (4 Lota (*) adeo notus inter Europaeos eft pifcis , vt defcriptione quidem non egeat; Atta- men aliqua in confideratione eius obferuaui, quae Ichthyologorum induftriam fuffügerunt , et in phi- lofophicam praefertim pifcium , cognitionem redun- dant, Itaque «a breuiter e deícriptione Lotae hic excerpfifffW , ideo baud inutile vitium eít, quod ea deícriptores hodiernos admonere poterunt, ne in ex- terna obiectorum deícriptione et in fuperficie quafi haerentes intimius naturae examen negligant , quod ad Phyfiologicos nobilioresque Zoographiae vfus du- cere pafüm poteft et plerumque etiam in tritiffimis atten- (*) Gadus (Loa) dipterygius cirratus, maxillis aequalibus. - Lixw, Syfl. nat, ed. X1I. p. 440. n. 14. Fn. Suec. 215. Gadus f. Siluus cirro in mente vnico 4r. gen. 22. Syn. 34. Sp. ro7. i Muftela fluuiatlis, Grsw. Hijf. eif. Tigur. rg98. p. 209. cum fig. A/drov. lchth. UA p losff pif. 146. t. 29. f. 6 et 165. t. 29. f- ro. Salv. pifc. 213. Schonev. ichth. 49. Carl. onom. 159. Will. ichih. 125» Raj. pic, 67, 6g. sf C£c—-—————MSOo083 y i EUM * » ^ "vu molóus Te t OBSERVATIONES IN GADO LOTA. 425 attentos fcrufatores non fine inuenti cuiusdam vel vtilis vel curiofi praemio dimittit, — Primum. itaque externarum: partium peculiaribus quibusdam momen- tis inhaerebo , anatomica notatu digniora in fine ad- nexurus, Plane fingulare primum eft, quod in Lota faepius obferuare mihi Jicuit ; poft mortem non tane tum opercula cuni membrana brachiofiega valde di- duci et item. os tanto ricu hiare ; vt vsque in fau- ces profpe&us liber pateat; fed ctiam dorfuni in flatu exanimi íolito magis depreffum ,. quafi opiftho tonicum , inferiorem; contra corporis ambitum ma- gis arcuatum et ventricofum deprehendi , quam in viuo pifce fuerat; id quod ím aliis huiusmodi aqna- tilibus füb iisdem circumfílantiis euenire baud folet, Narium fordmina ín Lota quaterna , esae valde inter íe reciotax adfuutz harumr oculis proxi. ma a margine orbitae duarunr [ínearum | interuallo -dilant, fubrotunda nec membrana tecta, — Pari ab his diffintia anterius paulfoque fuperius. fita (unt alia, audga(tiora illis ; et ad marginem pofleriorem méembramula lineari , tres quatuorue líneas longa im- | firu&ia, quaa: quis facile barbulam vocaret , fi ía piícé viuente , aqude immiffo, erectam ac fluctuan- tem eam: viderit. — Haecce duo narium vtriuque fo- ramina aquae perüia inuicem funt, | Sub capitis cüt& varii latent fimus .muciferi , quorum vnus vfrinque füper oculum [incae fateralis werfus principium excurrit atque illud excipit, — Si . Tom. X1X. Nou. Comm, Hhh in m" OBSERVATIONES — ^* in hunc, cute antea eum in finem cultello diffe- €t4, acrem inflaueris, facile omnes reliqui eiusdem lateris , fubinde etiam alterius fimul diftenduntur. Linea lateralis , quam fquamae valde exiguae , ag- grégatae , caeterisque multo minores .conítituunt , toto fuo decurfu de via recta parum declinat. —La- tent fub hac linea, ab eius principio ad tertiam totius pifcis longitudinis partem , officula decem (fortaffis ct. plura, vlterius enim haud profecutus fum) feu canaliculi dimidiati , muciferi , a^ primo ad vltimum magnitudine fenfim decrefcentes, Prin. us isque maximus, fc. 2: lin. longus, antice obtufus ac latus, poítice vero acuminatus et angufílus, finus cu- iusdam muciflui, fibique contigui extremo refpondet, cauitasque ipforum vtrique communis eft. Errant qui in Lota fimmam doríalbem tau- tum vnicam eamque iaüterruptam , vt in Lucioper- ca, conítituunt. Etenim prior pinna , quae breuis eít, re «vera diflinía apparet a fecunda ad caudam vsque extenía ; cutis videlicet fquamofà , praeterea- que nihil, fpatiolum inter vtramque intercedens oc- cupat.. Inter caudam et. fecundam dorfi itemque ani pinnam interftitium proprie nullum eft. Quantum denique numerus radiorum in pin- nis Lotae variare íoleat, e fequenti comparatione trium inuiduorum , quae diflecui ; patet: zi Primae Pector. 21. ventr. 7. dorf. ;; ani 75. Caudae 423. Alteri —— 2r. 4. —— i$ — 59. —-— 46. Tertiaó — 19. —— 7. —— i — 31. — 45. Proce- i alid ipt: ——Ü IN GADO LOTA INSTITVTAE. 4» -' Procedo ad internas partes, quarum in tribus fpecimiinibus inter decem et i2 pollices longitudiae aequantibus comparationem inftitui. Hepar aliquantum | inconftantis , quoad lobos, figurae et proportionis effe folet. ^ Coloris eft pallide rubicundi, et per dimidium fere caui abdo- minis exporrigitur , fuper ventriculum , appendicum ' pyloricarum radices ac inteftinorum partem expane fum. Figura eius in genere quodammodo flabelli- : formis eft , anguílo fcilicet principio circa. diaphrag- ma iucipit, et:prout abdomen ampliatur ipfum quo- que latitudine crefcit. — Margo eius inferior circus laris , eumque verífüs tenuatur fubftantia. In hypo- chondrio dextro fíubílantia hepatis fino rotundato quafi exfciffa eft, duodeni tantum colique flexuram excipiente. — Summitas vifceris anterior lobülo ob- longo aucta, qui non in omnibus praefens eft. Si- niftra portio in lobum grandiorem , fub poftica ven- triculi facie fitum , dextra ia minorem , fub coli flexura reconditum terminata. In tertio, quod diffe «ui , fpecimine potior bepatis portio in (inilro hy- pochondrio erat recondita: dexter ícilicet lobus acu- minatus , mediae magnitudinis ; intermedius five au- terior minimus ; finifter omnium maximus ac bi- partitus , lobulo interiore aut fuperiore obtufo, ex- teriore longiore et acaminato ; nec praeter hos vl- lus. 'In eodem Vermiculi nonnulli albicantes filifor- mes, a dimidia linea ad dimidium pollicem longi , altero extremo craíliores, altero tenuiores rugisque transuerfis notati , conuexae hepatis füperfciei con- "i Hhh 2 voluti 3 428. OBSERVATIONES woluti inhazerebant, quos pro Gordio marino Lim. agnofco. Extrema tantum vifíceris membrana coér- ceri , eaque facillime extricari mihi videbantur , re li&is quafi lacunis in ipfo parenchymate exfculptis , quae pro nido fuerant, , Vnus etiam alterue vermi- culorum inter mefenrerii partem , appendices pylori €onnectentem , delitefcebat folliculo quafi proprio jnuolutus, Viuentes ji vermiculi hirudinum more pro lubitu yel contrahi wel extendi poterant, tum- que ipforum extremitates modo rotundatae , modo acuminatie vifae; fed guttula fpiritus vini fuperfufa £05 momento citius necabat. —— | Veficula. fellig .otae arcui duodeni fubflrata , Aaequalisque fere wbique latitudinis, ductum faüum cyfticum breuiffüumum diflantia aliquot linearum a proximis pylori appendicibus in duodenum immittit, In verminofo illo hepate cyftis rubicunda ct bile wacua inuenta eft, —— Oefopbagus fupra pollicem longus, 4 lin. citci- ter latus, teres , fubílantiae magis compactae , rugis- que longitndinalibus albentibus et notabilioribus diftin- X&us, quam enirieuus. ^ Et is quidem duplam fe- xe oefophagi longitudinem habet, diametroque di- midium axeos paullo fuperat , faccum efformans am- . pliorem , oblongum ac fere membranaceum , in quo partes laruarum aquaticarum , ariflae pifcium. te- flarumque comminuta fragmenta reperiri folent. Pylorus faccolum minorem refert , in omnes partes 5. lineas circiter diametro acquantem , qui textu- IN GADO LOTA INSTITVTAE. 4:9 feXtura cómpadtiore et crafhore a' ventriculo facilé dignofcitur. ^ Ad principium colli cius abguftioris , iugum valuulofum , non in omnibus tamen valde confpicuum , apparet. .4ppendicees pyloricae in vno Ípecimine foemineo 25. binis faepe circa bafin inter íe concretis , in alio eiusdem fexus 29. quinque oftiis communibus in inteftinum hiantes, quorum duo proxime fub pylori valuula ; reliqua tria paullo in- ferius in triangulum pofita; ia tertio 46. inque ver- minofía ifta Lota, itidem foemella 4o. numceratae fuerunt. Er in hac quicem omnes quatuor commu- nibus ofliis proxime füb duodeni principio ipnfereban- tr, . Aderat in eadem Fafciola barbata L.1NN. quam ia Nous Commemariüs Petrop. Tom. XV. b. 499 et 513. nouo nomine generico Aranrborepbalum wocaui, £t internae duodeni tünicae ex Ooppofitó papillae dü- €tus cyfici inhaerebat. Hinc excipit Duodesnsm ab initio amplum fa-- tis, rugisque deftitutum , quibus contra ieiunuüm erat inflrüuctum ; totus praeterea intellinorum tra&us, imprimis vero duodeui pars inferior, glandulis mi- nimis innumeris fcatere. mihi videbatur, quae in ipto duodeno ita conípicuae erant , vt albentia veluti puués per ínteflini tunicas pelluccrent, Lien palide rubicándus , oblongus , planus fe- re ac tenuis , circa ouaril dextri íummitatem in- teftino redo , mefenterio moisibnan, leuiter adnextus aderat. Ouaria (Nouembzi) maxima, oblongs, ouulis minutifhümis, pallide flauefcentibus referta, Dextrum Hhh 3 finiftro 4530 OBSERVATIONES finitro multo maius ;; vtrumque circa inteflini- re&i: finem coadunatur in vnum , communique pone anum ouiductus oftio gaudet, quod immaturis adhuc ouis externe haud confpicuum eft. Renes duo, fupra diaphragma mole maximi, infra hoc ad imum abdominis vsque füper apophy-. fes vertebrarum transuerías raiiori textu decurrendo, circa veficae aerceae extremitatem in vnum. corpus coalefcunt et, aucta ibi valde fübftantia, totum caui abdominis angulum , vlterius productum , replent. i Vefica «rinaria capax , rugoía, vna parte ea- que longiore libera, altera veficae aereae, renum .extremo atque peritonaceo , (quod per totam aluum eft argentei coloris, punctis nigricantibus rariffimis adíperfi), arcte adhaeret. ^ Fundus eius in vzo fpe- ciminum. noftrorum recremento rubicuodo, renum fubitantiae haud abfimili refertus , feptoque in duos finus quafi diuifus, quorum dexter finifiro multo amplior et profundior erat. n a/tero lincari-oblon- £a, fundoque leniter incurua , extus peramplo pate- bat orificio. Terr denique varie anfracuoía et tur- gida fuit. Prerbra ita breuis, vt fere nulli; eius- que orificium ab ouiductus oflio lineae circiter in- teruallo diftat, ani principio proximum. Maxime memorabile conformationis momen- tum in Pzfica aérea Lotae obferuaui, Ea quidem fimplex eft, inferne fubcylindrica , fuperne ventri- cofa, et fummitate in crura duo breuia , obtuía et ampla diuiía, ideoque quafi cordata , fed. per totam caui IN CADO LOTA INSTITVTAE, 451 caui abdominis longitudinem extenía. ^ Pars. inferior fubcylindrica , primum angu(lior, verfus extremita- tem fenfim ampliatur , amplitudine apophyfium transueríarum in vertebris latitudini fiue nexui cum coftis exacte refpondente. Iu facie. vifceribus obuería ventris veficae , ro lin. circiter a bafi crurum di- flantia, non exacte in medio, fed paullo dexterius , circulus notari meretur pellucidus , pifi magnitudine, in quo tunica exterior veficae deficit. — Huic circel- lo inferuntur vafa duo , ni fallor arterjofa ab aor- tie maiori ramo fuper dextrum veficae crus excur- rente , ramulosque cum hepati , tum ventriculo ac mefenterio fübminiftrante, prouenientia (*). Fallumt igitur ac falluntur maxime, qui vafa iffa fanguinea pro ducu aereo, qualem tamen nullum vsouam emittit vefica Lotae , explorato et aperto habuerurt et defcripferunt. Haec ipía bina vafa fanguiuea, ftatim pott ingreffum in veficam , in arbuículas cir- citer fex , denfas, e circulo ifto pellucido , velut e "centro radiatim excurrentes , per infimas ramifica- tionum fubtilifüimarum gradus iterum , iteramque fubdiuifas , ac plane elegantiffimas difpertiuntur. Apparatus ifle plane fpecificus , ac fabrica ipfius veficae aereaé maxime fingularis, aperte qua- fi teflantur , naturam hic momentofum moliri opus, fecernendo íc. a&rem euolutum e fanguine, cui fixus antea inhaerebat , ac fuperfluum illius quantitatem refor (*) In Perca fluuiatili venae duae cum artexiola intermedia - obferuantur. 438 OBSERVATIONES reforbendo , fixamque iterum fanguinis maffie red4 dendo, Vtrumque fieri debere probat r.) ille ipfe apparatus, tam ratione diítributionis vaforum fans Buin orum , quim cuilibet fecretionis organo pro. priam femper ac ab omni alia, vuigarí inprimis mere nutriente , loage diuerfiffimam Pnyfiologt opti- me aznofícunt , quam etiam refípectu diuerfitatis tu- nicarum ;,. glandularum. alarumque partium ;. hanc 3éris officinam, faepius componentium, — Exempla hac in re comimemorauda funt inter alia Ophidiou bare batum L. Siluras Clarias L. Gadus Merluccius L. apud Willus bb. f. 113. 12. X74« et Scoinber Amiga L. fiue Leccia Ital x obferuatione Fracaffatài im Malpigb. Oper. omm. Lugdb. 1687. Tom il. p. 144. 2.) Ductus. pueumatici aliorum piícium, fluuiatilium potiffimum: eoque vere gaudentium, flructura, quip- pe quae pro vario valuularum (4) quibus altera il- lius extremitas circa Oefophagum vel ventriculum inftruitur, (itu ac conformationue aéris fecreti/ nou tantum; quideni, quantum forte alias neceffe effet, fed fub certis vel aquae im qua degunt, vel a&- ris exterui conditionibus mutatis ," fuperabundantenr eius partém , bullarum füb forma, facile eructa- ri quidem. finit, exteriori autem aditum; omnino prohibet, Praeíentia, aeris im vefica pifcium , ductu iflo, pneumatico reuera careatium , iugem mutuani- que. ipfius fecretionem: aeque ac. diminutionem ne- ceffarig (q) Vid €. s. Cyptini rutili Anatomen.in Aou. Comme mos Tom. Xv. P 50r. IN .GADO LOTO INSTITVTAE. 453 ceffario praefüpponens. ,Pifeium autem maximam gregem , .pelagicorum inprimis, quos inter Gadi, Blennii , Spari, .Labri, Sciaenage , Scombri , Siluri aliique iiis maxime affines, numerandi, claufam pe- nitus .habere veficam,; ,minorem longe du&u aéreo inftru&am ; minimamque, vel ccetacei ordinis, vel aby fo plerumque adícriptam .vefica natatoria plane carere , analogia duce contendere aufim. Largam fa- ne.hic ,obferuationum .omni attentione digni(fimarum meflem .afliduos anatomiae,comparatae, nimium quan- tum femper neglectae, cnltores in pofterum effe fa&u- ros, perfuafum mihi eft, remque totam ad liqui- dum perduci facile poff:, ab iis, quibug multige- nos pelagi pifces fecandi data ecrit occafio, meditet- raneo mihi nunc,, proh dolor! plane denegata. Pri- mam iftius fecretionis notionem vefica .Percae fluuia- tilis ac :Luciopercae, (mili vaforum fanguineorum gpparatu infigoium.: immo ipfius Gadi Callariae ac Lotae,folliculus aéreus, inu quibus fingulis du&um paeumaticum,, adhibita omni licet induflria, inue- nire non poteram, jam ante hos feptendecim . annos, 'tunc temporis Petropoli.degenti mibi fappeditauit ; inque aliorum quoque piícium ,.conformationem .ftu- diofius,poítea inquirendo, jac varia huc fpectantia momenta.probe, computando, veritatis eius tandem penitus conuictus fum. En igitur nouum 'in phy- fiologicis , ac prorfus fingulare | fecretionis .Benus, quod in hunc vsque diem fi non plane ignoratum j certe a nemine rationibus folidioribus illuftratum at» que confirmatum eft. . 3 Tom. XIX. Nou .Comm, Iii Caete- 434. OBSERV. IN GADO LOTO INSTITVTAE. Caeterum quod ad fubílantiam — veficae aéreae in Lota attinet, tunica eius exterior, praeíertim ad füubcylindricam partem albida, magisque. opaca eft, quim ad ventrem ; hac vero feparata interior dia- phana , perlarum ac argenti colore refplendens, in confpe&tum venit. De caetero vefica aérea vertebris, earumque apophyf(ibus ita arcte adhaeret , vt integra inde feparari haud queat. In binis, quas diffecui , cauitas abdominis ab- foluebatur eofli?g vna et viginti, quarum quatuor fü- periores cum ipfis 3, 4, 5 et 6 vertebrarum corpo- ribus, fequentes autem cum 17 transuerfis , valdeque prominentbus earum apophyfibus coniunctae erant. Vertebrae trunci in his 23, caudae 39 numerantur ; At in tertia numerus priorum Seque ac poltetiorum vna maior fuit, . Notanda denique füpereft r/ze pone brachia- rum vltimam in fauces patens; quatuorque faucium subercula feu areolae offeac, denticulis obfitae ac mo- biles, quarum mutuo ac continuo attritu cibi inter- pofiti comminuuntur, Harum duae fuperiores, fub- rotunjae , mufculo teguntur lineari, robuflo, ac pollicem circiter longo , cuius principium vtrumque trtiae, quartae et quintae potiffhmum vertebrse la- tus excipit ; duo inferiores autem , oblongae, illis» que parall.lae mufculo mouentur ex angulo bram- chiarum antico oito, LAC:R- f ed 0) 435 LACERTA APODA DESCRIPTA, Auctore pus. PoAGLL:ASS. T vniuerfo Corporum organicorum Imperio pul- cherrimum contemplatori fpectaculum offerunt - Affnitates naturales , quarum vinculis Conditor vbi- que fere fpecies et genera, immo ordines quoque naturales et füummas claífes inter íe | concatenauit , maximeque diílimilia, addendo hinc, demendo illinc, mutando , molliterque affimilando diffentientia , ex- tin&is quafi per gradus vmbris, continua fecit. Hanc in cogitantis atque comparantis animi delecamen- tum emicantem harmoniam eadem diligentia affe- étauit Natura, ac pulcritudinem vniuerfi , rerumque omnium in hoc globo creatarum in delicias fenfuum vbique luxuriantem. Et fi quidquam , certe haec duo maxime Creationis momenta homuncionum glo- riolae , totius noftri globi fines in fe concentrantium fauerent , íi barbarus homo aeque pulcritudine na- turae moueretur , ac politiorum mortalium vbique modica manus; aut fi non harmonica illa rerum naturalium concatenatio penitioris atque fublimioris effet indaginis. Hinc non finem huiusmodi preca- riam , fed caufam potius confenfus naturae quaefiue- runt recentiorum aliqui , haud tamen hucusque ad- lii 2 tigiffe 456 7 [LACER TÁ APODA. tigiffe dicendi funt, licet I// LiNNÉVs eiusque di- fcipulus ]Vobi4f. ALSTROEMERIVS magnam vtique Ípeciem veritatis pracbuerint opinioni, qua contendi- tur: initio rerum tot modo auimala vel plantas , quot ordines naturales vel fumma genera exítant, creata fuiffe, quorum adulteriis in. prima mundi in- fantia fen(üum prognatus fit, quem nunc perpetuum videmus, affünium et congenerum fpecierum nume«e rus Quae fi vere in rerum Natura vnquam exfíli- tit, per adulteria atque hybridorum propagationem , fpecierum multiplicatio ; nullam rationem — video ; quare ab antiquiffimis," quorum fcripta monumenta ex(lant, faeculis plane ceffiuerit et non potius ad nofira vsque tempora continuati, imo, proptcr .au- cum numcrum fpecierum € diuerfis connubiis pro- ducarum , harumque tanto maiorem analogiam et 2equalitatem , frequentior ctiam facta fit, ita wt hodie vulgo videres nouas enafci fpecies, ds di- ftindae perfiflant et. in nouam flirpem multiplica rentur. At fi noftro aeuo adulteriis etiam maxi- me affüinium animalium , et praefertim hybricorum in nouas fpecies propagationi obftacula nouimus; quaenam olim caufa eadem obfítacula fuftulit , quan- do deficientibus, fecundum iflam hypothefin ; fpe- ciebus intermediis, flationariae paucae in vafto Na- turae campo difpofitae multo maiori adhuc gradu diffimilitudinis a (e inuicem abhorrebant ? — Mihi potius videtur , et obferuationes variae confirmant , plerumque illas fpecies , quae inter fe quammaxime funt fimiles , tanto maiori antipathia et horrore ef- fluuio- LACERTA APODA 453 fluüiorum mutuo a promifcuis' adulteriis arceri. Ft licet induflria! humana hybrida produxerit multa , quorum nonnulla foecunda etfe et ambiguam flirpem propagare non folum concedo, fed ctiam confirmo ; ei tamen expcrientia docet fücceffü generationum ad alterutrius parentis formam et habitum fenfim redire , copulisque cum primaria ftirpe pronioribus plane deleri. Adeoque cum iis potius fentio ; qui putant fpecierum numerum ab initio rerum talem , qualis nuac exílit ; conditum fuiffe, cafteque a Na- tura Ííeruari, et aífinitates. earundem in Creationis Íchemate ílabilitas füiffo, vt totius harmonica efft pulcritudo , quam in fingularum fpecierum forma et ornatü , immo in partibus indiuiduorum fingulis miramur. E Luculenta interim afünitatis huius naturalis exempla Zoologia praefertim hodierna iam nunc de- texit; innumera vero, haud minus admiranda , ne— potes maneut. Non inter poftrema huius naturae inuenta collocari merebitur Repze, im quo aliquam- diu dubius baefi , an ad Serpentes vel Lacertas. e[jes referendum. | Primo adfpectu quilibet Anguem appel- lauerit ; íed praeter gracilem corporis longitudinem, pedumque organicorum defectum , nihil admodum habet quod Angui, vel quod non Lacertae conueni- re poíüt. Capitis proportio et forma , deser in ore obtuíi, //mgua perfecte lacertina , ocu vt in Lacertis palpbrarum ope claufiles, aurium externi meatus valde confpicui ; /guamarum dein compofitio annula- ris, nulla abdominalium ,. quac in anguibus nume- liig | Santr, 438 LACERTA APODA rantur, diftindione, zre/us per latera longitudinalis ; mollior, ia antico initio quafi cicatrice pedis nota- tus, fedunculus wtriaque ad anum exíertus , fubdi- daétylus, caudae fragilitas , Jongitudo , circumcaefura prismatica , verticilli; Zm/erma denique ante omnia Jiruciura , rüdimenta fermi ofüiumque pelur, Angui- bus plane deuegata , coffae robuftae, non in caudam, imo vix víque ad anum produc&ie , quum Serpenti- bus étiam per caudam continuentur, erzebrarum caudae conformatio hinc dependens , totiusque /eeleti confiflentia magis offea ; pulmo itidem , vt Lacertam decet , duplex, im;eflimwrum fitus atque conuclutio , ab omni parte Lacertam efle pronunciant , nullum- que inter Serpentes exemplum analogiae .agnofcunt. Quandoquidem etiam Anguis bipes Limmé, qui ad noftrum Reptile affinitatis. gradu proximo accedit , licct pedibus fit magis confpicuus, tamen defectu aurium et conítructione reliqua a Lacertis longius abhorret. . Liceat itaque LACERTAM afodam quam- vis paradoxo nomine appellare miram fpeciem , cuius formam et fabricam hic minutius perlu(trabimus , nou multo minus ambiguam , quam eft Sirenis dictae Lacertinae , per GARDENIVM detectae, de qua mihi tamen nondum fíatis liquere videtur , quum Lacerta- rum Americae copiofiffimarum cuiusdam Laruam effe potius haereat fufpicio (X), quam pedum pofleriorum defectus folus non diluit. In (Q^) AG. angl. vof. LIV. pag. 9r. LACERTA APODA. 459 In Reptili noftro: Caput lacertinum , magnum, Ts. 1X corpore craífius , tetra&drum , ro(liro conico, decliui, Pigs obtufo. Oris margines loricati , acie arguta conni- ventes ; dentes in marginibus maxillarum (Tab. IX. Hg. 2.) obtufi, inferiores crafliores , in vtraque ma- xilla anterius, retrorfumque fenfim minores; mini- mi ia antica parte maxillae fuperioris, vbi deficiunt juferiori ; praeterea pa/aium tuberculis trium parium longitudinalibus , tuberculofis , oili innatis exafpera- tum. —Linguz (Tab. X. fig. x. a.) omnino lacerti- ni, carnoía, plana, bifida, laciniis fuícis mollibus. — Nares (implices, patulae, — Oculi in area de- preffa laterali. capitis ,— pa/pebrir claufiles, quarum inferior lata , ruga calyculata , fuperior ad füperci- lium | obtufe prominulum delitefcens, anguftiffima, — Aurium aperturae pone ricum longiffimum patu- ]ae, iafignes, tympano , vti Lacertis, refpondentes. Loricae capitis offeae , duriffimae , crantio adnatae, fi- gura et difpofitione ea , quae Lacertis efle folet. Corpus a capite ad anum aequali craffitie teres, fupra conuexum , ventre planiufculo ; totum cata- phractum eft fgua2mis magnis , planis, obfolete reni- formibus, offeis et fupra offeam laminam epidermi- de corneola incruftatis , quae per ordines annulares , " feriesque longitudinales refpondent. n regione pe- dum anticorum incipit fofa longitudinalis mollior ; minutis fquamis obíita , quae dilarationi corporis , cui loricae iftae plane repugnant, fauet inque ipío ivitio quafi cicatricem fiftit, vbi pedes aut'cos ccl- locaudos fuiffe, quafi nutu indicauit Natura ^ [n flatu 'Yab. IX. 440 LACERTA APOD A. flatu naturali, quum .aluus neque efca., «nec «ouario repletus e(t, foffa.illa in rugae veluti fpeciem ,col- lapía apparet, lorica doríali ventralem .margine pae- ne contingente. Eandem foflàm. poftice .ad incifuram ani termioat vtrinque ;fedumculus minimus, planus, fquamulis quatuor imbricatus, apice obfolete .bifidus: digitis fubacutis.; quem pedum pofíticorum .rudimen- tum effe nemo dubitaucrit., Squamae 'corporis fubtus paulo: maiores in .de- €em 'feries "digeftae funt, annulosque :paulo vltra centum , 'non numeratis pluribus gulam protegenti- bus ,^quarum 'ordo minus (lricus effe folet, —Dorfa- Jiun 'íquamarum feries 'longitudinales r5. quorum foffae laterali "proximae minores, ^ Verfus caudam hae fquamae (tria longitudinali , fevfirn argutiore , angulis caudae refpondente -porcatae funt, quae in ventralibus plane non apparent. Séiffitra ani tota abdominis latitudine femicircularis ,' rugis 'füb 'fqua- marum margine labiata , intra quas medius -4mus , ét^vtrinque /7/5; coecus febaceus apparet. Cauda corpore. multo longior , ^ proportione ab omni-inter-Serpentes exemplo aliena ,. ab. ano fenfim adtenuata , tota imbricata /guarmis reniformibus, aequa- liter decre(centibus , . media. ftria argute carinatis , perque | Yerticillos .et . feries longitucinales ita téfpQus dentibus, vt cauda tcta euadat prismatico-angulata, Numerus. angulorum hinc quoque. idem eft, qui fe- rierum in. quas longitudinaliter. ordinantur fquamae 5 adeoque. in. maiori parte caudae 18, in extremitate. (alter- Á IARE AUATPODSA 441 (alternis .órdinibus .elifis) 12 .anguli numerantar. Propter! duritiem: fquamarum .cauda quoque tota du- rifüma, argutis adeo.acicbus, maxime verfus api- .cemr, porcata, vt. cultri inflar. vulnerent, Longitudo: Lacestaé huius -apodae,. quae toto cor- pote cobre üniformi .pallide /flanefeente ,' interduai fuübvirefcente. infignis.eft, .tripedali maior effe folet. Proportione$ e fpecimine | maiori apponere vifum: eft; itaque Longitudo a fümmo offro ad anum - 1. 6l. gliF -——- caudae - by fpc deo cp ges D 4s Oe —-— «capitis ad poros vsque auditiuos - o. 1. 8. ——- ricus oris .- - - cri nO Ed i E. Circumfcrentia capitis ad baün ^ - ^ - 0.5 19. Corporis ante anum | - ^ .- .-..9.93. 5. —— «audae ad anum - .- - - 909.3. 24. Diftantia narium ab apice roftri - — 0.0. 25. —— —— intr (e. - - .- - 0o0. 934 ——- oculorum a maribus. —- | - - O.o. 5. - —— aurium .3 ;poftíco .cantho oculorum o, o. 9 Fiflürse palpebrarum ^- - - - o0. 4 Capitis altitudo folida —— —- - - o.o.rztri —— latitudo ad aures — - - z O,dll «(2 Longitudo pedunculorum ad anum .- - o,o. zr. Latitudo ani inter pedunculos —- — - o. rz. 8. "Tab. IX. Venio iam ad e$, quae cultri auxilio «obfer- Tab. X. vari poffunt et. omnia ex eodem., cuius meníuras praemift , fpecimine exponam. — Linguae formam., quatenus externe. apparet, fupra defícripfi. —4pex eius. - Tom. X1X. Nou. Comm. Kkk Uss- Fig. 1. Fig. $5. Fig. 4. Yig. x. 442 LACERTA APODA. - (ig. 1. e) leuis eft, bypoghffis vero (a.) tota cras- fior, tenniffimis conf&rtisque villis quafi molliter to- phofa; eaque poftice .circumfcriptione fubbiloba ter. minatur , íÍiau fouens aperturam g/íoriidis (b.) papile lari forma prominentem et iüflar rimae conniuen- tem. Faux pone linguam tota (b — c.) rugis exili- bus paraliclis, ia eefopbagum (c) continuatis , longi- tudinaliter (lriata et; apertura oefophagi 1". 4", di- flat a glottide , vltra quam hypoglofüis 5". et pro- gloffis bifida tantundem fere prolongantur. — Os byoidewn (fig. s.) fubcartilagineum , pofticis cornibus mufculis circa bain maxillae tumentibus circumfle- xüm , antroríum verfus hypoglofüdem tricorne, tra- cheae fuccubum ; totum ceteroquin mufculis, etiam ab ipía lingua continuis aduexum uzo ofíeo (//ig. 4.), quod , fterni fuccedaneum , primas coftas, cor in- cludentes, amplectitur , et bafin cordis protegit ; ipfum compofitum € lamina Iunata, arcuata, fub- cartilaginea (7.); officulis duobus teretiufculis, cía- - viculas refzrentibus (b 5), extremo continuatis carti- lagini quafi fcapulam exprimenti (B (S); interiectis- que lamellis duobus ouali - fublunatis , fcmicartila- gineis (cc) interftitia explentibus. Cor (fig. x.) inter primas coftas omrme ci- vuni explet, fericardio tendinofae naturae inclufum , ouatumi , fupra depreílum, vbi loneitudic-liter eidem incumbunt finillerior oefophagus (e), dexterior tra- chea (L.), mediaque iftis iuflrata , perque coftales ra- mos fpinae vertebrirum adflrida Zrrevig magna (t. , quae vsque ad caudam defcendit ; praeterque ramas iítos LACERTA APODA, 443) iflos pinmatim exeuntes, extremo ad mefenterium (& 1), tefles , renes atque: caudam diftribuitur. Cor- dis wemtriculur vwnicus, qui carnoía fubftantia. per- Tab. X. Fig. i, quam craffi conftat , et anguftum quidem | cauum , fed per ambitum cauernis, quas lacertorum interual- la relinquunt, auctum exhibet. | 4urivula ipfo cor- de. maior , deprefío - oblonga , aortae cuculli adinflar circum pofita , intus fepto femibipartita. i Puluoues (|11) a. corde jacipiunt ct vtrinque ocfophago , ventriculique anteriori parti longitudina- liter accumbunt: Simffer maior (5". 6". longus), laxiore membrana veríus fpinam aduexus; dexter minor, breuiorque (4", 5.) propter fpatium hepa- íl,.cui adcubat , neceffarium , membrana etiam ftri- £tiore longitudinaliter adnatus. ^Vterque pulmo non witra.5/. ab aüteriore extremitate , qua fubacuti funt, :racbea? bronchos breuiífmos recipit ;. vter- que, fed praefertim finifler , poftica extremitate ve- ficularis, inflatus; at» maiori parte, parenchymate £legantiffime cauernofo infarcti íunt. Oefopbagus (e.) tripollicari longitudine ftri&us , deinde feunüm in enrriculum (f.) dilatatus , qui po- ftice capacior , nihilque , nifi iitpipudlaes ab oefo- phago diferetus , quinque circiter pollicum longitu- dinem explet. —Pylorus (g.) acutifümo angulo iufle- €titur ,; vnde jpergunt inm/ef/imz capacia, iu gyros compofita , laxiorique mefenterio ambitmofe — ad- nexa, vt in Lacertis, nunquam vero in Serpenti- bus effe folent. Totius inteftini a mefenterio ín longitudo a. pyloro ad anum 1 pedem et Kkk 2 nouem Tb. € Fig. LI 44h LACERTA APODA. nouem: pollices: aequat; .Extremum- inteftiaum femi- pedali longitudine reco: cur(ü' ad. aaum defcendit (b.— i.) ,. infigni: flrictura: (5) i3. relijuo tradu. di- flindtum ,. et lumide: 7. patens ,. quam tenuis in- teítini. amplitudo- vix. 5. — 6'/,. excedat. Hepar: (nj) a: dextris: ventriculo" longitudinaliter accumbit et fuccumbit ,. lineare ,, plano--conuexum ,- antroríuim —verfus- oefophagum' adtenuatum ,. -poftica extremitate latefcens ,. vbi a' veotrali margine hiatu cyftifero: triangulari. (0): excifum eft ,. vltta quem: apex in acumen decrefcit.. Totius hepatis longitudo: 5". Jatitudo- fumma 9!!; explet:/ Cyffis. fillea. (0) in fignis:, initio: duodeni: infünditur.. Lien (q.Y ampulliformis: mefenterio (g) -medio: inter mefaraicorum valorum trüncos:. fitu. inhaeret. P.noreas exiguum (p.) ventriculi. extremitati pofti- cae dexteríus: accübat,. inclufum duplicatura" mefen- terii, quod et ventriculum: et. inteftioalem. canalem. totum f»inae: vertebrarumr. longicudinaliter adnectit,. Glandulae lymphaticae atque* mefaraicae ,. vt in. am- plibiis: omnibus ;. plane nullaz; Teffes (r.r) ante renum initia fpinae vtrisque appofiti,. oblongi ,; ro". longitudine, pofiti extra periionaeum abdomen. obuefliens , .qnod' praefertim vere- us pofteriora. aterrimo. «olore infe&um: eft. IRenes 65:5.) itidem fpinae-dorfi-extra: peritonaeum: longitudinaliter :adiacent , :tripollicares ,. anterius. acu auinati',.pofüce prope anum obtuío' fiae: :complaaati,. toto parenchymate in: lebiilos- trausuerfima nj fubdiuifis. -. ie c ^ LACERTA APODA. 445 In Seceleto, praeter iugum , quod fupra defcri- Tab. X. pá , compofitum ,. prioribus: colis laxe circumpofi- F8 ?- 3- tum et folis muículis: inhaerens, variis: conforma- tionis: momentis fimilitudo (umma .cum Lacertis con- firmatur. Praecipua: funt. x.) quod. vertebrae .colli adfint diftinctae ,. coflis deftitutae,; 2.) quod. coftae robufítae fint ,.non ariftis piícium mias fed cras- (f1e,.offeae ,. extremo truncatae ; nulla. licet .cartila- gine auctae , vnde quafi deficere aliquid in. illis :vi- detur, dum. praeruptae iu carnibus terminantur ; 3.) quod in regione ani vertebrae aliquot -confertiores: fpeciem: quandam: offis facri .aemulantur ,. cuius pro- ce(fibus adligatae vtrinque. haerent trabeculae duae Offeae , imperfe&ae peluis rudimentumr referentes. et. pedunculos externos feu: pedum pofticorum — veftigia füftinentes ;; 4.) quod vertebrae caudae proceffuum: numicro' totaque. ftructura ,. vt et coftarum: defectu a folita Serpentumr conformatione plane abhorreant. Cranium (vt fingula adtingam) folidioris mul- to compagis eft , quam: in Serpente , formaque tota. duritie et contignatione vt in Lacertis maioribus fe Babet. — Cerebri eauerme minima intet geminos pa- rietes verticales ,, € trabecula perpendiculari (4 a.) :et afferculis' finguli duobus offeis compattos , antice tota patet, et effüudit neruos, in organa varios per hia- tus tendentes. Scutum bregmaticum fimplex ,-poftice- jn'-cornus duo: robufla: (5 £.) diuaricatum; quag:ab olla cerebri disiuncta committuotur offi vtrinque difformi, quod tympani cauum continet , et cui infra. mandi- bula. non .condylo,. fed. cauitate cotyloidea. ,adarti- Kkk g culatur.. "Tab. X. Fg.2.3. 446; L'ACERTA APODA. culatur. | Mandibula e quatuor offibus confiat, quo- rum. duo. pofteriord ramos conoftiruunt, antirisque, arcubus: dentatis. harmonia. lacera coadunantur- (c.)s Dentes nula incuncatione. firmati ,. fed" offe : folido: maxillis contiaui videntur , intus infigni poro excae vati. .— .Squatwae caput tegentes ipía cranii offa: in- cruftant , et in fronte anterioreque fcuti: bregmaticii parte. adco- fünt: inolitae , vt nullà up niü ratis ofübus , feparari queant, | Vertebrae coll difündiae tres: Harum prima fiue. Ailas. cranjo laxioribus ligamentis mobilior in- articulatur , et proceffum fpiuzlem fupra, infraque. habet nullum, fed Jaterali vtrinque crure . fequentis corpus dir — Secunda v«criebra (d.) vere com- pofita eft e duabus in vnam «oalitis et communi crifta lata, loco proceffus fpinalis, füpra inftructis, infra tamen proceffibus duobus difiinctis (licet cor- pora in folidum conpata fint) prominentibus, - Haec. vertebra proceffu odontoideo nullo atlantem fubin- trat, vnde epiftrophaeus proprie deficere videtur, — Tertia vertebra , nifi quod fimplex eft, proceffu fpinali lato , et fubtus fubulato priori fimillima eft, Hae colli vertebrae ftri&im cóarticulatae ridigifmum. efficiunt collum , quod longitudinem 5; lin. omnino aequat, Dorfi feu. trunci vertebrae 5*7. procefübus fpi- nalibus latis. vItimae colli vertebrae fimiles funt (e- f), fubtus vero. fpinam. nullam exferunt, leui tantum corporum carina fubangulatae, — Cofiarum totidem paria .- ! LACERTA APODA. 447 paria; primum enim par articulatione fua inter vl- timam colli , primamque trunci vertebram , vlti- mum (sz. 3. dd), quod omuium xcuiirpw et quafi fpurium e(t, iuter penultimam et vltimam trunci verteoras (é. f ) intercalatur. — Robuftae funt, vt dixi , omnes , valde arcuatae , extremitate doría- Ii craffüc M compreffae , altera; quae mufículis infe- ritur , quafi truncatae , nullo tamen cartilaginis ve- fligio. Anteriores ung minores funt , ceterum fi- Tab. X. Fig. 2.3. miles reliquis; poítremae. iflae duae rectiusculae , . neque apice truncatae (44.). Motu in articulo eo- dem , quo quadrupedum thoraces , gaudent. V ertebrae ,..quas ad [acram refero , .quia inter fe immobili articulatione «cohaerent ; transucrfisque proce(lbus fuis, trabeculis pelui füccedanceis firmamen- tum prdebent, duae funt numero (g.; inter fe fi- millimae , quarum prior vltimae. trunci coftüferae vertebrae committitur, Corpore ; dorfalique "proces- fu fimilimae funt vertebris tíunci , fed [laterales fcu trausuerfos proceffus labent nidenos , latos , .pla- Hos, extremo truücatos,. pofterior quidem paulo minorem , quibus vttifiqué niargine per ligameuta aduectitur zrabecula (d 4.) , quam. modo dixi. — Ea quidem rectiuscdla , altera extremitate, qua fibmatur, planiufcula medioque ftrictiore fatis refert clauiculae humanae humierálem extremitatem j altera extremitate quafi rhombiea eft, et extus infigni tübercilo notata, cui infidet apex cartilagineus (5.) minimus, pedurdculum externum vtcunque 'fuffaleiens. ^ Situs naturalis tra- becularum (2.4) ántvoríüm obliquus «eft , (eu -eoftis " ! vItimis 448 LACERTA APODA vltimis «contrarius ,. fimul extrorfüm diuergens ; fatis " mobiles: atitem: videntur. Verfebrarum caudae incertus eff numerus, prae- fertim quum , propter fragilitatem caudae fummam, multi indiuidua ea parte truncata occurrere foleant. lutegerrimis vitra CX X. numeraui, Harüm frima (b.) procefübus trausuerfis latis facri vertebtis fimil- lima et adproximata eft, fed mobilior,.et eo maxi- me diuerfa , quod (adinftar reliquarüm maiorum €audae. vertebrarum omnium) proceffu Tongiífimo , bicruri radice orto; teretiufculo inftrucia fit. — Suc- cedentibus caudae vertebris :proceffus transuerfi angu-' ftiores, gradatimque antrorfüm .obliquati, omnium vero ccarticulatio fütís rigida ; et pofiremis proces- fus omnes tTWE vulgo , penitus obfolefcunt. Pauca fünt., «quae.de vite genere ;moribusue Laceriae .apodae, .üc fatis minutiofe .defcriptae ,. .ad- deré poffum. Patris eius funt «conualles. herbidae,. arenoíae , Elaesgno' alisue fruticibus -inumibratae dee ferti Ífabulofu Narym inter Rhymnum: et Volgan fatis ardenti fub» coelo fiti- Rarius etiam ad. Sar- panr riuumy occurrit ; fed frequentior in eodem , €x quo Sarpa fluit , deferto Kumano verfus. ipfum Ku- mem fluuium: dicitur .eífe et x (tudiofo INIC. Sg- KOLOF ibi pariter, circaque Terekumv lecta fuit. Solet al» accolis. harum regionum proprie .Seltopufi. . appellari, quod tamen nomerm. etam Co/ubra petola- rio , in praeruptis ad a0 firalenv Volgam haud. infre- soon ét. in sos iB noto exüreícentà, vulgo! ape plica- ew LACERTA APODA 449 plicatur, |— Lacerta noftra apoda inter fruteta lati- tare amat, et praetereuntes faepe fubita fua fuga terrét ,; dum antris íefe condit. X Venatur potiíli- mum Lacertam agilem , aliasque Lacertas minores , quadrupedes ; quarum offa et integra capita (corpo- ribus iam in putrilaginem refolutis) in ventriculo noflrae femper inueni, Dum vero diffe&ae Lacertae apodae ventricu- lum difcinderem , in naturam praedae deglutitae in- quifitarus , inueni chymo innatantes VERMICVLOS formae admirandae et ad nullum bene genus refe. rendos, quorum fpecimen //g. Tab. X. fexta expres- fum eft. Suggeíht flatim memoria, fimiles fere ver- mes a Celberr. quondam ROEDERERO in vifceribug morbo, qui Goettingae annis 1760 et 6r, epide- micus füit, mucoío defunctorum , repertos et a dis- cipulis eius Cls. WaGLERO et WRISBERGIO de- fcriptos (7€ fuiffe. Et omnino quidem , locos ho- rum euoluens, video alteram fpeciem obferuatorum -a RoEDERERO vermiculorum , vel, vt appellauit , Tricburidum quam. WAGLERVS '*in lineam fpiralem UnLoridm , magis cineream , rigidam , ela(ticam,, dixit, plane non a vermibus intra ventriculum La- certae (*) Conf. De Morbo mucofo ; Liber fingularis , quem ediderunt T. G. RorpznER, et Caz. Gomr. Wacrrn. Gottt. 1762- 4. pag. 41. tab. 3. fig. 4, b. et Hxwn. AvG. WarssznG . obferuationum de Animalculis infuforiis Satura, Gogtt. 1765« 4. pag. 6. not. '« Tom. X1X. Nou. Comm. L11 "Tab. X. Fig. 6. Tab. X. Wig. 6. 450 LACERTA APODA certae apodae repertis diueríos fuiffe; quum contra altera, reéía WAGLERO , flaccida , albaque dicta Aícaridibus omrino proxime aífinis vidcatur et a priore, quam hic curatius perlu(trabimus , toto ge- nere certiffime differat. ! ' Re&iffime cum Cc. ROEDERERO citati au- étores hanc vermium intefliualium ípeciem pro no- va , nullique ante illos defcripta habuerunt. — Miror autem veram eorum ítructuram , quae parum con- vcxa lente facile perípicitur , adco euafiffe Cell. Vi- ris, vt etiam caudam appellauerint , vbi capu. ver- mis quaerendum effe, ftru&ura illius ;ubercu/j pro- bat, quo Trichuridum caudam terminaii Cl. WRnrs- BERGIVS quoque afferuit (T). Hoc, quod gura nottra ad a. expreffum eft, microfcopio infpectum (A.) fimil- limam roftro Taeniae conformationem exhibet. Difeus nempe , media foueoja excauatus, quam hic oris conniuentis locum defignare perfpicuum eft , per marginem radiatim diuergentes vacinuli coronant, qui- bus vermis pro lubitu ventriculi tunicis adügitur. Sed in Taenia, praefertim cucurbitina et hydatige- na (**), probofcidem fimilem radiatam quatuor pa- pillae (D. Loc. cit. p. r2. (**) Caput Taeniae hydatigenae atque cucurbitinse iu Dif. de inftfüs viuentibus intra viuentia p. 40. inque Elem- cho Zoophytorum p. 403. et in Miftell. Zoolog. p. 169. 170. vindicaui; viderunt et alii recentiores. — Solus I/f LiwwNrvs neque in canicidüs inuenit, neque videntibus etiamnum credit; facillime apparet tamen fi Ta pne- Crtgn ye IE LACERTA APODA: "T pilae circumftant , quorum. in noflris vermiculis ni- hil.apparet, fed filum a difco tenuifümum pergit. ldque , licet infigne; non tamen folum eft nec. pri- marium difcrimen , quo vermes hi noflri a Taeniis generice diflingauntur. Etenim forma externa , cu- te elaftica et paene dicam cornea , articulorum ofculo- rumque defectu et interna pariter flructura abludunt. - Filum (a — €.) varie curuatum, quod a difco vn- cinulato (A.) continuatur , elatere et craffitie eguinam fetam aemulatur, et in pollicarem circiter longitudinem aequabli tenuitate pergit, — Hinc lenptiffime craffefcit in fpiram. (c?) magis minusue explicatam; in plerisque ve- ro mortuis (non enim viuentcs deprehendi) in modum Trochi perfpectiui contortam , cuius extimus et maxi- mus anfractus craffiorem totius corporis partem confti- tuit, vnde in rectum exporrectum denique adtenuatur in caudam acumine vncinatam (2) , fubafperam, in va- rii varie rugofam vel vulneratam , plerisque vero qüos inueni , vermibus plane truncam. —Craffior pars corporis, maxime quae in fpiram contorta efl, ob- foletis rugis quafi nodofa apparct in omnibus. — Curiis, quae totum corporis tubum conftituit , tota gryíco- palleícentis , in multis fubfufci eft coloris atque ri- giditate , non minus quam celafticitate Iníe&orum molliorum corneolas cruftus, vel duriorem epiaermi- dem humanam refert. Imieranea , licet caute diffe- caucrim complures, non adeo diflincta inuenire po- L112 tui, /^ fertim cucurbitinam , in canibus frequentem , cum ea par- te muci inteflinalis , cui flum inferitur , caute abradas et mucum in aqua Iacerando íolutum abluas, Tab. X: Fig. [f 'Tab. X. Fig. 6. 452 LACERTA APODA. tui, vti a Clar. WRISBERGIO in Trichuridibus gé- neratim defcribuntur. — Crediderim lllum e reciori et molliori fpecie vermium , quos íüb Tricharidis nomine comprehenderat Praeceptor, vifcera iisdem magis perfpicua defcripfiffe, quae horum cum Afca- ridibus affinitatem confirmant. In noftra vero, quam Tricburidi fbirai ROEDERERI per omnia ceteroquin fimilem effe video, nonnifi parenchymatofüm du- &um continuum , corporis craffiorem partem op- plentem videre potui; in quo non minus, quam con-. fiftentia cutis , rigiditate corporis et defe&u annulo- rum, cum Gordii; proxime conuenit. Sed ore et cauda ab.iis quoque differt , quas tamen partes et- iam in fpeciebus variis Gordiorum inconflantes effe perfpexi. — Vnde nifi Gordiis adnumerare velis ver- mem noftrum , nouo erit opus nomine ; quandoqui- dem Trichuridis (feticaudae) appellatio, ideae falfa fu- perftructa, feruari nequit; ab Afcaridibus autem, qui- bus adnumcratus fuit in nouiffima I/. LINNEI Man- lija (f. 543.) , magis alienus effe videtur.: . Addam hic breuem indicationem, vermium in- teftinalium , qui ftructura oris analogiam cum frae- diia fpecie fummam habent. — Prior fit, quem olim primus in Diff citata de infos «iuentibus , cet. et denuo in Zoopbytorum, Flencbo (ub. nomine | Haerucae defcripfi ; 1. luINNEVS poftea nomine Fafciclae bar- batae (*) indigita(fe videtur ; nuperrime vero CeL KoELREVTERVS (1) war. M fub titulo pro- potuit, (5) Faun. fus. ] Ed. I. m. 2077. (I2. Nou. Commentar. Petrop. V ol. XV . pag. y00. tab. 26. fg. s. LACERTA APOD A. 433 pofuit. Hanc nunquam maiorem inueni illo fpeci- mine , quol naturali magnitudiae Ta5. IX. fig. o. expreffüum eít, et ex inteftinis Ranae temporariae Oblitum. — In Pifcium inteftinis (occurrunt autem copiofe in Lucio, Cernua, Perca, Gadis atque Trut- tis variis , ) raro pollicarem | magnitudinem adtin- guat. Viui molles funt, lineares , depreffi , obífo- lete rugoi , albi, punctis linearibus duplici ordine trausuerfis opacis in pareachymate transparentibus , propter quam ftructuram Taeniis eos adnumerare Haud dubitaui. In aqua pura flatim turgeícunt et moriuntur, referuntque. vermem cylindricum , 1lae- viffimum , fubdiaphanum , rigidiufculum , qualem Jizura propofita refert. — Ro//rum , quod viui retra- hunt et quo inte(tinorum tunicis , Taeniaeque pis- éium fimul habitanti lubeater affiguatur , cylindra- ceo turgidulum eít, totumque minuti(fimis aculeis reclinatis muricatum (Jig. 2. A), vnde infixum ae- grius euellitur. Aiteram nuper in inteftino tenui Suis inueni yermium ípeciem , cuius figuram in eadem Tab. IX. (iz. 3.) addo. Recens colore Afcaridis et con(iften- tia Lumbrici fuit, fei in fpirituofo liquore fatis ri- gida eít facti. Corpus a ecrafüore extremitate (a.) fenfim gracilefcit et pcr dimidium circiter longitu- dinis filiforme pergit, obtuía papilla (.) tanquam ano terminatum. — Eadem craífior pars in rugas an- nulares contrahitur, quae longitudinalibus deinde ful- cis decuffintur, et verfus tenuiorem partem feufim L1I 3 euanee "Tab. IX. Fig. 2. Fig. 5. 454 LACERTA APODA. euanefcunt. — Roffrum (a. A.) ad craffioris extremita- tis obtufüm finem pro lubitu vermis exfcri. retrahi- que potefl, breuiffimum , cylindraceum , truncatum , ordinibus duobus vscmub0rwm , in fingulo ordine cir- citer denum , coronatum , ita vt inferior corona ampliori fit circuitu. — Difeunm roftri obfident papillu- lae folidae fenae (A.), centralem circumftantes , . in qua tamen oris apertura haud apparet. Corium,quo tubus ipfius vermis conítat, cra(füm eft , intus mu- fculofis fibris denfum. —Canaür alimentarius longitu- dinalis, . glandulofus , inteftinula ab anteriore extre- mitate duo breuia , medulla fpinalis gang!iis conca- tenata , aliaque intus diftincte apparent. — De quibus hic fufior effe nolo; id tantum moniturus , nullam vermium inteftinalium fpeciem fupra defcriptis , in ventriculo Lacertae apodae repertis , magis affinem videri. — DECORA ( [o] ) e eoe 458 AC BER IN'A: PISCIS, AD PERCAE GENVS PERTINENS, DESCRIPTVS, Auctore 4. lL GVELDENSTAED T. BA , nomen proprium pifis alicuius a Prr- NIO Medico wfitatum , atque ab acutiffimis Ichthyologis , BELLONIO , GESNERO et ARTEDIO, ceu Synonimon Pereae fluutatilis minoris íea Cernuae LiNNaE: non nifi dübitanter víurpatum , pifci, Ichthyologis hucusque ignoto , Percae Cernuae ma- ximopere adfini , nunc fecundum regulas artis de- Ícribendo , imponatur. ^ Analogia inter Zcerimum et Cerauam , quoad numerüm , fitum , figuram et co- lorem partium , fumma ; fed in earum proportione, et praefertim in ea capitis ad truncum fàcile elucet . inter hofíce fratres germanos differentia. — Longitudo trunci füperat longitudinem capitis Cermuge ter, Acerinae vix bis, Longitudo ro(tri , feu ípatii inter cantum anteriorem oculi et oris apicem ; Cernuae ter, .eerinae bis fumenda , ad exprimendam inte- gram capitis cuiuslibet dimenfionem, ^ Magaitudine cerina Cernuam vix excedit. — 4dcerinae in fiuuiis occurrentes vulgo digitales, fed in mari obuiae fpi- thameae. —Caro alba, fapidiffma , officulis pluri- mis bifurcis ftipata , et diaeta! animalis , 4feerimae cum ee ACERINA; PISCIS, cum Cermua communis, — Acerina, ciuis Ponti Euxi- «wi et paludis maeoticae , ob nuptias celebrandas Borys- "£benem et. "Tanain , fluuiosque minores ad illos abeun- tes ; migratorie menfibus brumalibus petit, mihique has aquas frequentànti obuiam iuit; fed Boryflbenem vix vltra oftium fluuii Desma , Tanaim vix vltra oftium fuuii Joronefcb adícendit , ac praefertim lo- cis arenofis allicitur, — An reliquos in Pong Euxi- «um ícfe exonerantes fluuios plane refpuat, non af- firmem; attamen probabiliter putem cum nec Comes MamnsiLIvs in íuo Danubio. paumonico - myfico mo- ftrum. pifcem habeat; nec Cel ScHAEFFERVS Pen- tadi primae pifcium | bauarico - ratisbon eum , quam nofter füo iure-intrare debuiffet, inícruerit ; nec ego in Pbafi per Colebidem traunfeunte inuencerim.' Silen- tium Auctorum non femper abfentiam animalium indubitanter reddere, patet interim ex RZACZYNSKI exemplo, qui nec in fua forie natural Fojoniae , Boryflbenis piíces enumerante , noftram 4cerinam pros pofuit. .Incolis ad Tamaim circa. vrbem IPoronefcb : Birtfcbok : circa. vrbem Tfoberkask : Baütfibok ; et. in» "Tab. XI. colis ad Bory/Pbenem : Babir ruflice falutatur | cerita, Cermua autem , quae fuperius in iisdem fluuiis fre- quentior eft, in quibus inferius, quousque ab 4ce- rina vifitantur , fere deficit, incolis ruffice: lerfcb dicitur. Cermude iconem , quae antea. minus bona in operibus CGigsNERI, loNsTONI, Wirrovan- BAEI et MARSILII exítlabat, optimam dedit Ce/. SCHAEFFERVS in Penzade iam citata. — cerinae icon nunc datur, indiuiduum magnitudine naturali maxi- AD PERCAE GENVS PERTINENS. 4573 maxima fiflens , vt pateat conferenti , in quo con. veniant, iterumque in quo differant adfines hae ad Percae genus, ab ill Equ, eur. a 1.INNE et ÁR TE- DIO fíancitum , pertinentes fpecies; idemque vt co magis eluceat , additur DESCRIPTIO ACERIN AE. Staiura compreffo - oblonga , latitudive. quina quies; cra(fitie fepties a longitudine fuperata. Caput cathetoplateum ; productum , dimidiae trunci longitudini aequale ; finubus coccis ad nares, in vertice et ad baíeos latera cauernofum; roflro parum decliui et apice rotundato; inteflitio inter oculos anguílo ; occipite acute ferrato ; temporibus planis, ferie perpendiculari denticulorum defcendo increfcentium. exafperatis. Ritius anguflus , aütrorfüm fpectans, quo aper to mandibula fuperior e vagina quafi protruditur , quae, ore claufo , labio ftri&tiufculo ante mandibu- lam inferiorem prominet. Nares medium inter roflri apicem et oculum. occupantes , aperturis vt&nque duplicibus; anteriore minore, valuula femitecta et a pofteriore fat remota, Oculi magni , laterales ,. vertici. proximi, pro- minuli; iride fupra fufca , infra argentea , fed limbo interuo tenui toto argenteo ; pzfi/a circulari, nigra, . Opercula branchiarum plana , margine: arcuata, integerrima , aperturam branchiarum vtrinque fcli- "Iom. X1X. Nou. Comm. ld m m tariam 458 ACERINA; PISCIS, tariam bere obtegentia ; ttieinbrana bracioftega w vtrin- que feptem. radiata. Truncus oblongo compreffus ; dorfum rotunda- tum, canefcens 5 eius et abdomen valde planum , albicans; Ja;era . ViX conuexa, maculis rotundatis , nigris, difperfis, fupra lineam lateralem ftequentio- ribus, infra illam rariffümis picta; Jimea lateralis dorío parallela et propior quam veutri, per medium inter dorfum et. lineam Ew us interflitialem decurrens, Squamae omnem truncum, excepto pectore , obtegentes , difficillime decedentes, imbricatae , ro- tunddtae , mediocrés , in dorío et lateribus punctis fufcis irroratae , in abdomine illis carentes ; fubafpe- rie, fed minime pungentes , propter crenas tenuis- fimas et obtufiffimas earum limbum conftituentts ; 3ccedit vtrinque , pone aperturam .branchisrum ,' fu- pra: pisunam pectoralem , fquama ;magna triguetra- acuminata, apice pungens, fuperficie laeuis. |: o: Pinna doríalit vnica , feu , fi mauis,; duae con- "fluentes in vnam , omne fere. dorfum |occupans; fa- 4is.30. 31 vel 32. quorum quatuor primi. incre- fcentes , reliqui decrefcentes ; eorumque anteriores 17 vel 18. f[pinofi, fimplices et. membrana albida, fufco maculata coniuncti ; reliqui inermes , apice ramofi et membrana albida , immaculata cOpühart. Pinnae pe&lorales vtrinque folitariae , "proxime . Sd angulum inferiorem aperturae branchiarüim fitae, inter fe oppofitae , oblongo - acuminatae , albae ; ra- diis 25. tenuibus, ramofis, 354 Pinnae AD PERCAE GENVS| PERTINENS. 45 Pivnae wentrales duae , proxime pone et infra pinnas , smi fitae , inter 'fe parallelae ; trapezoi- deae j albae. ra44üs. (cx [flipatae ; quorum primus brenior , -fimplex et 1pinofus , reliqui ramofi et inermes. | Pi"na ami folitaria , fini caudali pinnae daitalis oppofite et aliquot. lineas pone anum fita, alba, figura et. magnitudine ventralibus analoga ;- radiis 7. vel 9. quorum duo primi valde craífi ; fpinofi et fimplices ; reliqui tenues , inermes- et ramofi ; omnes lione: fubaequales. | Cauda verticalis , albida, bifürca,, cruribus ae- gid bus; acuminatis j dio 17. exceptis xdi wj eio i Dinenfiones iain externarum fecundum no jun Ixineijem a nii ita-: Y oll: lin. Longitudo ab apice ro(tri ad caudae extremum| 8 | 2. ——. ——— ad foramen anterius -^— 1.; mdrium - - - moo c4 3]. —- —— —— ad foramen pofterius 2 ndriüut ^ fuent IDMSROHRUDI - anro pui. pies. —— ad cantum anterio- rem Wd - - - ius tul —— ——— —— ad aperturam: bran-.— chiarum T7. 0.95542 [4:7 —— —— —— -—- ad initium Pinnae o* rdodalis ; 19; ^5 - - E - ww |. 6. — —— —— | —— ad extremum pinnae| . "E " dorfalis...- ei Ici Q7 - 5 Xr. ELI Mmm 2 Lon- 460 ACERINA; PISCIS, pal fia Longitudo ab apice roftri ad caudae radicem | 6 | 6. —— ——— —— ——— ad radicem Piana pedorais |- .- $5 - - 2|5. mulie —— ad radicem Pinnae | ventralis - - - mo ww ENLIUOMS ——— —— —— ad anum - - -j)4[|4. — —— ——— -—— ad iaidüum Pinnae ani - - - - - 9 bLT— —— ——— —— ——— ad «xtremum Pin nae ani - T - - - 9517 Diameter oculorum « -.- - —| 6. —— inter oculos - - - — | 4e —— perpenaüicularis capitis iater oculos r | rz. —— trunci ad P. doríalis initium 8. —— ——— —— ad EF. doríalis extre- mum - - - - —| 3. ——— transueríalis capitis: ad oculos — -| — j10o. —— trunci maximus ad P. veu- maksc " - - E FS —— —— ——— adanum - - —|8.- Loogitudo fquamarum maximarum - — |i Latitudo earundem. - - - - -— | 2. exhibi-- Externarum partium deícriptioni iam tae addam quaedam de-iaternis, - Cauitas oris omnino edentula; fed in ipfis faucibus areolae quatuor, duae fuperiorcs feu. inter—- mediae et fubrotundae; duae laterales et — lincares ; dentí-- AD PERCAE GENVS PERTINENS. 46: denticulis winimis rctrorfum" fpectantibus afperae ; lingua adaata. Brancbiae wtrinque quatuor, quarum pars cou- caua tuberculis, in arcu primo fcu ant:riori acumi- . natis et elongatis, in rclijuis fubaequalibus et obtu- fis vtrinque pe&inatae. Cordit corpus wailoculare , pyramidato - trique- trum ; auricula corpore duplo amplior , íem lunata , bai corporis incumbeus ; aora bif ventricofa ; peri- eardium tenui(fimum, Diapbragma tendineum. Hepar latum , vix vltra ventriculum | defcen- dens , quadraticum , obíolete bipartitum ; lobulo 6- niftro minori, acuminato ; dextro maximo quadrato; vefia felle minuta, in medio fuüperficiei inferioris hepatis abícondita. Lien fubrotundus , atro - rubens, ad ventriculi fundum fitus, Ventricu'us oblongo iacuruatus , fundo obtu- fiufcnlo; appendices ad pylorum tres, papilliformes, v:x tres lineas in indiuiduis fpithamaeis long'tadine eXcedentes , fübaequales. — Imreffinum femel reflexum , pinguedine pauca obuolutum , longitudini trunci aequale. Veficulae fpermaticae et ouaria duplcia, linea- ria, ad totum abdomen vtrinque decurrentia ; al- Td M m m $3 Peri- 462 ACERINA ; PISCIS, AD PERCAE GEN. etc. Peritonaeum. argenteum , ad veficam itin mon alibi, pun&is fuícis irroratum. Vefica aérea fimplex ,' ampla, per totam asb- dominis longitudinem ípinae dorfali adhaerens; 'u- éíu pneumatico e gula extremitatem | anteriorem ; tente. Renes fpinae. dorfi adelutinsti , faneuinolenti , difformes , in veficulam | vrinariam | oblongam , aui anum obuiam fícíe exonerantes. Vertebrae fpinae dor(alis quadraginta et coflae vios Spiadecini —. jJ oM Vespes " Sube 465 S-EX-AVIVM DESCRIPTIONES; | ^"Auctorc 4. 1L GFELDENSTAEDT. n C«ucafo et in adfinibus ad feptentrionem | meri- AÀ diemque iugi huius alpini fitis regionibus | fub- montanis atque compeftribus, per annos aliquot. ius- fa AVGVSTISSIMAE peregrinator ad corpora na- turalia attentus dum fui, opportunitate vfüs fum, aues haud paucas Ovmitbolpgis huc vsque ignotas vi- dendi, obtinendi , denominandi, defcribendi atque depingendi, Earum aliquas viderunt etiam et orbi litterato in Commentariis noftris academicis et in iti- "sHetariüs iam commwuünicauerunt, eundem in finem maris Cafpii et fluuii Wofeae littora vifitantes Colle- .. £ae coniundiffirgi. Ex harum penu íünt: Sfer"a cafpjia , Ardea caflanea ,| Alauda mutabilis feu tatari- '€a , Charadrius gregatius ,. Pelecanus. pyamaeus ,— La- rur Debibyaetus ,| Grus. Leucogeranus et. Tetrao | are Zzariu;; de his, cum fcitu neceflaria iam dicta (int, fileo et denominationes atque deícriptiones — meas fupprimo. Ex adueríariis exhibeam nunc eás tan- tummodo aues, quarum antca; ni fallor, prorfus nulla mentio facta eft. Sex auium fpecies , ad. ge- nera ab i/. Equite aurato a& ANNE in fyfematis na- turae editione duodecima ftapilita reductas , (iftam. I. Tab. XII. 464. SEX AVIVM L LOXIA RF BICILLA. Auis, quam fub hoc nomine propono, ma- gnitudine, habitu et colore proxime ad Emnucleai0- rem , roftro ad Coccotbrauflem accedit, et inter baíce duas fpecies congeneres quafi media. ^ Colore fua- viffimo coccineo , albido et cineraícente lepide va- riegato Rubicila antecellit. Entwleatorem , colore mi- niato fufco vadulato oculos miuus afficientem. — Ro- firi craflitie Coccorbraufli cedit. Rubicilla. — Auis no- fira indigena alpium vcauczficatum | aere — frigidiufculo pariter ac Enucleator deleatur; praefertim ad al- veos glareofos torrentium in^ Caucafó occurrentium degit et baccas Hipfpopbaér Rbamnoidis , ad illos co- piofiffunüume crefceotis , gulae indulgens auidiffüime le- . git, eandemque diffeminat. ^ Familiae numerofiffi- mae Rubilarum gregatim volitare et vocem. Pyr- rbulae imitare folent, — Sexur differentia vix vlla, nifi quod rubedo feminae minus fpeciofa fit. eom ftaturam et habitum magnitudine naturali exprimit , reliqua ex dejcriptione patent, quam nunc dabo. Rofirum incraffato - conicum ; capite dimidio breuius, a fronte fcx , a rictu octo lineas longum ; baíi latihmum , diametro perpendiculari fex, ct transuerfali quinque linearum ; apice acuminatum ; mandibula (üperior fufca, apice recto vix vltra in- feriorem prominens; inferior albida , lateribus tan- tifper introrfüum flexa. ^ Limpga integra , truncata, Nares bafilares , capiftro fufco tc&ae. — Oculi. füíci. Caput DESCRIPTIONES 465 Caput füpra, .gula , collum fubtus et pectus. in- tenfe. coccinea ,. leucotticta , maculis. acutis trique- tris; abdomen et ani regio dilute rofea, albido. vndu- lata; caudae tecfrices inferiores rofeo - fufcae. ^ Co/- jum fupra: et dorfum. canefcens cum rofei tin&ura Ieétrices caudae fuperiores fufco - rofeae. ^ Da(is plu- marum» omnium , quae ia (itu naturali obte&a et, partem maximam: totius plumae confltuit, inteufe cinerea. Alae complicatae quoad pollicem. vnum: cau- dà breuiores; reugibur et teGricibus. primariis. fufcis, marginibus obíolete rofeis, tectricibus axillae dorío eoncoloribus, | | Cauda tres pollices et fex líaeas longa , inte- gra; rericibus duodecim , aeneo — nigris , | extima vtrinque exteriore margine albida , reliquis margine rofeo adumbratis, Femora ad genua vsque plumofa , cana; fibiae. et digii, quorum tres antici et vnus pofticus, ni- gri coloris ;. qnzues digitorum | incurui , acumínati, nigri, snteriorum füubaequales , poítici maximus. ; Longitudo aüiculae extenfae ab apice rofílri ad caudae extremum o&o pollicum pelis /os4inen/is duo- decimalis , qui in omnibus meis defcriptionibus pro menfura adhibetur. IL 74V 4GER A4 MELANICTER A. Auis hoc nomine imbuenda füummopere hibi- tu, coloribus et differentia fexuali accedit ad Car- "Tom, XIX. Nou. Comin. Nnn duelein 466 SEX AVIVM duelem | Americanam BRissoNn, feu ad Fringillam iriflem | xXNNAEI, cuius hiftoriam Ce/. EpwaRDs in fuis fpicilegiis hiftoriae naturalis 70mo 2. cajite 234. ct tabula 274. exhibuit. Maguitudine Taza- gra Melniclera Fringilam triflem aliquantum füperat et Emberizae Milariae aequalis eft. — Infüper |—Taua- gra Melaticiera fat euidenter differt a. Fringilla triffi fiructura et colore rofiri , pileo nigro maris multo ampliori vsque ad nucham procedente, rectricibus ac remigibus earumque tecricibus vniformiter cine- reo -fufcis, non albo terminatis. — Mas et femina Tanagrae Melanicierae omnino iisdem coloris. varie- tatibus inter íe differunt , quibus femina et mas Fringilae triflis inter fe difcrepant. — Habitat auicula nofira in fubmontanis promontorli vtriusque , et feptentrionalis et meridionalis Caucafi ; circa thermas ad fluuium T'erek obuias et in Georgia circa Tefli- Jfium a me obferuata. Vulgo in dumetis RLbammi Pa- liu/i occurrit , fub ramis fpinofiffimis Acvipitribus at- ceffum prohibentibus fecure nidificans atque prolem feminibus eiusdem arbufculi, quibus fere vnice vi- &itat, enutriens. — Solitarie volitantes vocem , eae Pari maioris analogam , edunt. lcowem maris tab. Tab.X.nI X1IÍ. et feminae tab. XIV. exhiteo , vt magnitudo Tab.XIV. nstaralis, ftatura et fexus differentiae pateant, quae in defcriptione fubfequente vcrbis ct numeris expri- mere tentabo. TI Rofirum conjicum , acuminatum , capite - bre- vius , 8 fronte fex, a ri&u oris octo lineas lon- gum , rcm , liuidum 5 szataibula fuperior ad. bafin - obío- DESCRIPTIONES 464 óbfolete trigona , ad apicem acuminata et vtrinque fübemarginata ; mndibule inferior lateribus inflexo- conar&data, vt in Emberizis effe folet, apice etiam fubemarginata, VFibrifáae ad ri&um Oris breues. Na- eg fübfrontales, rotundae. Liuzgua cylindrico - fagit- tai , apice lacera. | Ocu£. füfci. . Caput fupra a fronte vsque ad nucham et ad Jatera atrum ; col/um fupra et dor/um brunneo - ferru- gineum ; wvropygiwm | lute(centi — ferrugineum ; auis *tota fabtus woiformiter flauitflima. Alae complicatae caudae medium attingentes , füfcae , albido longitudinaliter ftriatae; remiges fufcae, "marginibus albidis ; zeZrices füperiores remigibus con- colores , inferiores autem albido - flauae. Cauda (ubforcipata, tres pollices longa ; reZri- ££5 duodecim , fufcae , marginibus albido - flauican- tibus. | Femora ad genu vsque plumofà, abdominis colore imbuta ; 4ibiae et digiti liuido - incarnati co- loris; digitorum tres antici, inter fe liberi , quar- tus pofticus , medio reliquis fubaejvalbus aliquan- tum longiore ; ezgues incurui , acuti, fubaequales, futci. t Longitudo totius auis .ab apice roftri ad cau- dae extremum feptem pollicum , quinque linearum. . Haec huc vsque. omnia de mare. Femina, quae omni figura, proportione et colore extremitatum cum are exa&e conuenit, differt coloribus capitis et trunci ; illa nimirum fupra tora a fronte ad cau- lis ^ Nnn2 dam Tab. XV. 458 S'E.X 'A'VIV.M dam ' vsque -fordide- oliuaceo - .ferruginea füfco .macu« lata-, fubtus tota. cx. albido - flaua. JH MEZ SCICAPA MELANOLEF CA. Mu'cicapa Melamileuca ncftra/ ftatura ,' magni- tudine et coloribus cum Motzcila Leucomela. in . "Fo- mo XIV.' Coiomertariorun '€xlibita mire conuenit, Dif£rentia primaria ' in «o 'poucenda, quod dortum Mu/c'capae M elimoleucae 3|um , "Motacillae - Leucome- lae autem nigrum fit, 'Alia ajhuc difcrepantia dn rectricibus..occurrit. . Auis haec migratoria , | infecti- vora habitat.per .aeftatem, in Georgia. campeftri .ad fluniorum. ripas. fruticetis obfitas , circa T«fifrum ad Cyri ripas a.me obferuata. Ex icone hic adiecta patet claire magnitudo naturalis , figura et color maris, idemque magis diftin&e ex cekriptione, quam nunc communico. - Rofirum «(übulatum , - capiti: longitudine : ! fubae* quale , a fronte fex , a ricu- nouem lincas longum, atrum ; zmandibula. Juterior bafi obtolete. trigona , api- ce tanti'lum! incurBa: et vtrinque: emarginata. |— Pi- brijae ad: rium. breues ,; patentes. — A Vares bafilarcs , oblongae , capiflro femiicctae. — Lingua fagittata ,. roe ftro: vix. breuior , nigra , apice.bifida. Oculi. fulci. "Capiffrum ,' caput fra vsque ad medium cól- Ium ecad latera ^ vsqve' ad fupeteilia ?gttüif ;' fed cz- pul füpra? ec Corpus" totum niueam , peétore seuiffidil flaucfccate ; bàfi obtecta. peanarum' omuium füfca. — Alae DESCRIPTLONES 469 dae totae fupra infraque atrae, apicis mar- gine,remigum fecundariarum | obfolete | albido ; | com- plicàtae. vltra mediam . caudam | procedentes. - Cauda integra, duos pollices «t fex lineas longa ;.vecrices duodecim ,. albae , apice nigrae, eo- Qque;màzis quo 'interiores , attamcn | nec in medio pari nigredo ad medietatem accedit. -Femora |: Xsque. ad. genu. plumofa , ,füfco ct .al- bido-annulata ; . zibige dccem — lincas |longae , atrae, laeues ; digiti pariter atri , quarum tres aütici , quar- tus pofticus ,: omnes: nigri , ; mcdio; reliquis fubaequa- Jibus«;aliquantum longiore ; «7zjues ;incurul , acuti, nigri , fübaequales. — Loneittido auis extenfae» ab. apice .roftri .ad. cau- dae -extremum.fex -pollicum.,: triunr linearum. -.]n femina ea , quae in^ mare nigra , fufca j . et quie in mare alba , fordide cinerea: funt, IV. MOTACILLA ERYTHROGASTR A. Quauta, de. Maufcicapa. Melgnoleuca .ex | Matacilla A keucomeia . affinitas depraedicata ; ; tanta, etjam -.ccprae- -dicanda de, Motacilla .Erj1broga/Ira, nottia, ct: Moracilla PPboenicuro LINNAEIL . Mares fat facile; fed. feminas *ttinsque. ípeciei , a fuis, maribus «toto, coclo. colori- bus diuerías et non ni(i abdomine «t, cauda fubana- logas ,. €iicillime, ex;.d.icriptioce,diflingues, Femi- na; Motacilae ,Erytbrogafrae coloribus ctam |.mul- stum. aemulatar ;Morcciiam. Qenantben, ct. cum. cadcm maguitudine conuenit , qua PPboenicurum. nonuibil, fu- 55-75 Nnn 3 perat, - 470 SEX AVIVM perat. Morbus et vitae genere Motacilla Erytbro- gafra aues congencres imitatur: curfitat ad fluuio- rum ripas; arbufculis infidens caudam motitat iu- quietiffilma , attamen non timida; volans pipit more Motacillae albae; mas feminae ftrenuus cuflos et comes fidelis; infectis victitat ; pullosque ; in nidis herbaccis inter Hippopbaér ramos, cuius baccas etiam appetit, tuto occultatos enutriunt,. . Migratoria auis moflra per aeftatem habitat cum Loxig Rabiille aü 4lueos $lareofos torrentium — Caucaficorum ', quosi, hyeme infectis infetto fuperueniente , fine "Otobris *deferit , "clima mitius, infectis pro cibo abundaus, Tab.XVLau(trum verfus quaefitura,— Figura tabulae. XVI. "ab.XVil-fiftit zarem et figara tabulae XVII. feminam | .Mota- cilae Frytbrogaf]rue magnitudine , figura et -colore *naturali. Ad aris de[ecripiionem. accedam, Rofirizm triquetro - fubulatum ; apice fubincur- VO; integerrimo ; colore atro ; a fronte- quinque , a .ri&u o&o linearum loneitudine. "Vibriffe ad rictum detritae, 1n cauitate oris lutea Jimgua bifida. Na- fé; bafilares , rotundae , peruiae. Oculi fufci. Veriex wsque in Tücbzm et alarum fpeculum alba , fuliginofo - fordida ; capifirum , gula , genae et dempora, colum et intevícapulium atevrima ;. pecus et totum corpus fubtus atque criffm wtrinque intenfe caflanea. Alüe complicatae: vltra medietatem. caudae vix procedentes , aterrimiae , fpeculo albo quadratico, quod remigés 3 — 10. quae medio albae funt , eff- ciunt. Maca D'ESÉERIPTIONW'!ES 47 Cauda. tres pollices et duas lineas longa , inte- gra , rediricibus duodecim vropygio concoloribus, Femora vsque ad genu plumoía, abdominis colore tinda , íed ipfo genu atro; zibiae ct. dieiti, quorum tres antici et inter fe liberi , quartus pofti- cus, nigri coloris ; vugues incurui , acuti , fübaequa- les, digitis concolores, - Longitudo totius auiculae extenfae a roflri api- ce ad caudae extremum feptem pollicum. De femina dicenda habeo fequentia: roffrum et pedes atra, vt in mare; criffum et cauda caftanea , vt in mare , fed dilutiora, apicibus rectricum et intermediis duobus rectricibus totis fufcefcentibus ; reliqua tota quanta auis cinerea; fupra intenfior , infra dilutior et in abdomine cum aliqua rufífícea- tis mixtura ; z4guiiudo cum iare eadem. —— V. $COLOPAX SFBARQV ATA. " — Subarquata ob roftrum gracile capite: multo. longius commode .Svolopacibus DXNNAEI adnumera- tur, quae ob roftrum gracile deorfum arcuatum ad lNumenios BRISSONII pertinet. — Magnitudine , habitu et colore proxime accedit ad Cismelusm —Dominicenfem , nec non ad Calidrem naeuam BRISSONH ; differt autem euidentiffime roftro longiore et arcuato. Auis huius migratoriae , per aeftatem 'circa mare. Cafpium obuiae et verfus Tamain vsque ad oflium - fluuii Cboper adícendentis ; ad ripas arenofas fiuuio- rum infeca atque vermiculos legentis €t curfitantis flatu- 49 ——— SEX AKVEIVM flaturam atque magaitudinem naturalem exprimit T.XVIIL icon appofita; color et reliqua fcitu' neceffaria enune ciantur in defcriptione ,. quae fequitur. . . Rofirum gracile , teretiusculum ,' capite fere duplo longius, vnius pollicis et octo linearum , mo- dice deorfum arcuatum , atrum ; andibula fuperior fulco e naribus procedente vltra medium exarata; apice obtufiufculo , laeuiffimo ; mandibula. inferior canaliculata , tantillum fuperiore breuior. Lingue longa, fere apicem roítri attingens, fagittata ; inte- gerrima, Mares baülares , lineares ,; peruiae. —Qeu£ fufci.- Orbita? margo albidus; J»ra fufca. Capur at- qué colum (füpra et Zmterfeapulium , cum alis mot£is. fufca , albido - ferrugineo , quo limbi pennarum ad- vmbrantur, vndulata, Dorfum' cinereum; gula , tem- pora , collum inferius, pecus et abdomen ruffo - ferru- ginea , gula albicante ; pectore ét abdomiue fuíco; duo pennae terminantur, vndulata. 47i regio , vr0- fygium et caudae tedirices fuüperiores et inferiores al- ba, maculis fufcis oblongis ; infra rarioribus picta. Alae cauda aliquantum longiores , bifurcatae , totae cinereae, fafciola transuerfa obfoleta , albicapte; FCniioes primores 1 — 1o. decrefcentes, fuíco - cines fcae , rachidibus albidis; feu défilé II — 20, ae- quales, obtufae , emarginatae , cinerede , apice albia dàe; reliquae valde elongatie , ácumiinatae', virefceu* t -cinerea6 , marginibus albicantibus ; tedfrires. remi gum quatuor primorum: fufcdé-; reliquae cinereae , apice DESCRIPTIONES 4 apice albido; tectrices axillae et difcr alarum dilu- te cinereae ; alae fubtus et Zyfocbondria niuca. Cauda breuis, duos pollices longa , rotunda; reilrices duodecim fuféd- cinereae , richidibus mar- ginibusque albicantibus. Femora ferruginea , fere vsque ad genua plu- moíà ; pars femorum nuda, Zibig et digiti nigra; diviti tres antici , quorum. intermedius longitudini tibiae aequalis et lateralibus nulla membrana adnexus; quartus poíticus , breuis; vrgues parui, acutiufculi , nigri. Longitudo totius auis exteníae a roftri apice ad caudae extremum octo pollicum et fex linearum. VI. $COLOPAX CINEREA. Nomine hoc volo auem , quae magnitudine , colore et corporis pedumque pas , €eXcepto rofiro, ad Canutum , cuius iconezm Cel. EpwaRps Tomo a. jabulaà 276. dedit, magis quam ad aliam vllam; roftro autem proxime ad auem gallice. /e Corlieu et anelice zbe Barker a Cel ALBINO dicam et Tomo 2. lalula 7 repraefentatam , quie me fentiente a Limoía griféa BRISSONII diuerfifima eft, accedit. Adnumeranda illa proprie Limofis DRISSONII, prae- fertimque Limofae grifeae propter colorem | fümmo- pere analoga eft. . Differt autem a Limofa griez Brisson feu Scolopace Totam LoNNAEI Seolpax cinerea noftra ,.quod minor fit ;. quod. pedes ia pro- portione corporis multo breuiores habeat ;. quod vro- Tom. XIX. Nou. Comm. Ooo pyai- Tab. XIX. 474 SEX SÀÓAVIVM | : pygium cinereum , non album , fit; quod re&rici-. bus cinereis vnicoloribus , non albis fufco fafciatis inftru&a fíit, — Per ae(tatem habitat. hacc. migratoria auis, quae affinitatem , inter genera Seobpacis et Recuruirofirae (trictiorem reddit , ad mare cafpium , circa oftium fluuii Terek a me obíeruata ; ibidem prolificat ; in inundatis et praeíertim ad margiaes lacuum falforum gregatim degit et infecta pro victu quaerit. Sexus differentia , quantum comperire po- fui, externa nulla. — Icon fiftit magnitudinem natu- ralem et figuram partium , defcriptio reliqua cum colore ; en ! illam. Rofirum capite duplo longius, feu vnum pol- licem et decem lineas longum , gracile, teretiufcu- lum, fuübdepreffüm , fürfum tendens; apice mandi- bulae füperioris laeui , tantillum deorfum incurua- to, acutiufculo ; colore nigro. Nares bafilares, li- neares, peruiae. Oculi fuíci. ; | Tota auis fupra cinerea , pennis in medio fü- fco picis, quae macula füfca in capite ct collo linearis ,. in interfcapulio oblonga, in. vropygio traus- vería; Jota «uis infra alba , a gula ad pectus cine- rco -flriata, a pectore ad caudse tectrices inferiores niuea. Jlae cinereae , fafcia transuerfali obfolete —al- bida ; remiges primores fufcae , rachide primae alba ; fecundariae cinereae , quarum eae, quae primoribus. proximae funt, apice albido gaudent, reliquae au-- tem carent, Cede DESCRIPTIONES 45$ Cauda alas complicatas vix excedens, duos pollices et tres lineas longà, integra; recírices duo- decim cinereae totae, íed vtrinque extima albido einereoque varia. Pedes füfco - rubentes ; femora fupra genu quo- ad tres lineas denudata; 7/biae roftro dimidio vix longiores ; d/giti tres antici , bafi fübpalmati, quo- rum medius tibiae longitudine aequalis , quartus po- fücus; v"gues in digitis omnibus obuii , fubacquiles, acutiuífculi , nigri, 000» QVA- 416. «35 E e eae | QVATVOR FVCORVM yt a s Pn DESCRIPTA E. ab I. LEPECHI |N. pus marinas, quas fücos dicunt, effüioxit Natu- ra tenaces et coriaces , non raro corneas aut membranaceis , exclufit que in omaibus huc vsque notis cauum internum cuidentius, nifi illas bullas aut folliculos velis , qui in diuerfis fucorum fpecie- bus obfíeruantur , ipforum que fructificationi infer- viunt. Aít mare Album, inter varias fücorum Ípecies ; quas mare Mediterraneum in fuo gremio fouet, aut quibus mare Kamtfchatcam alleuens abun- dat, vel denique quae Oceano feptentrionali indige- nae funt ; producit duas fpecies , quae euidenti cauo iuflruuntur , et qua medium. inter Fucos atque vluas conftituunt ; horum alterum 7ubulo'um, faccatum alterum nominare placet. FVCVS TVBVLOSVS, Fucus caule tereti ramofo; ramis oppofitis vel alternis , foliis tubulofis, t DE- QVATVOR FVCOR. SPECIES. DESCR. 47$ DESCRIPTIO. Radix eft nullà, nifi orbiculum paruum ve- lis, quo (axis alis que corporibus mariuis affigi- tur. Ex orbiculo hoc furgit caulis teres , fat fir- mus ad inftar chordae muí(icae, qui modo per ali- quot lineas eleuatur , modo flatim in ramos mox oppofitos , mox alternos, ex omnibus plagis caulis emerdentes, finditur. ^ Caulis atque rami teretem fuam figuram feruant fere ad extrema , vbi compla- nati euadunt , atque in folia bifurca abeunt. Interna ipforum fubftantia tenui perforatur canali, qui cum dilatione extremorum ipíe quoque dilatatur. Ex ipfo caule ramis que vndique protrudun- tur folia tubulofa,, aliquando oppofita, faepe alterna, non raro bina terna ve vni loco iníerta, tantifper vndulata , quae omnia fefhlia funt, tenui que princi- pio orta fenfim fenfimque dilatantur, et ad apices iterum in acumen exeunt. Folia inferiora tam cau- lis, quam ramorum minora funt, media longiffima, apicem vero terminantia mediocria. Cauitas interna foliorum inaequalis eft et viíci- do vndique illinitur. Sed. quo modo propagatio fpeciei in hoc fuco contingat, nul'us indicare valeo; an forían illa fiat per teneriora ramenta , quae in iunioribus fuperfi- ciem foliorum occupant, in adultis vero ad inítir pilorum , hinc inde fparforum vifuntur ? Color to- tius plantae pulchre rubet: magnitudo faepe octo pollicum, Cre&rit copiofe in profundis maris Albi, Ooo 3 et 478 QVATVOR FVCORVM et praecipue ad frequentes infülas finus Candalanftoy (Kamaa^akckas ry6a). Vfüm oeconomicum incolae no- runt nullum. Tab XX. fucum no(lrum magnitudi- ne naturali fiftit. litt. (4) extremitatem ramorum com- planatam oftendit , litt. (2) cauitatem - internam in foliis abruptis monftrat. Fuco defcripto proxime Natura iunxit fücum SACCATVM qui eft. Fucus caule plano, inflato,. ramofo; ramis... oppofitis , foliis ouato oblongis , tumiuis, intus cauis, DESCRIPTIO. Hic Fucus itidem adglutinatur corporibus maris nis aut lapillis: per fpeciem radicis tubcrculatae, - cuius ambitus eft rotundus, — Ex hac protuberantia furgit caulis tenuis, teres, folidus fili emporetici criffütie , duas lineas longus , qui dein complanatur 5 latior atque cauus redditur. nde per aliquot lineas. fimplex , fimplicia quoque emittit folia ex ouato ob- longa , tumida, inflata , intus caua , margine vndique collofo , petiolata, petiolis tubulofis, Sed caulis fta- tim finditur in ramos oppofitos, cauli analogos, qui gerunt folia caulinis ex amuffim fimilia, oppo- - fita, ramos per fua paria terminantia. Color totius. fuci ruber efl: longitudo V. pollieum Fructifica- tio perfici videtur vt in praecedenti. Locus Oftium - maris Albi circa tres infulas; vbi ad inflar glome- rum integros inueftit lapides, T. XX]. magnitudine na- turali SPECIES DESCRIPTAE. 479 turali fücum defcriptum reprefentat, litt. (7) caui- tatem internam foliorum monftrat. | . Sequuntur duae fpecies , quae folia plana ge- funt, carum primam proponere placet füb nomine. FVCI DICHOTOMI. Fucus acaulos frondibus dichotomis , membta- naceis , ligulatis, vndique proliferis. DESCRIPTIO. . Radix eft nulla fed frons ipía lapidibus aliis que corporibus marinis adfigitur et fuperficie fua inferiore exprimit figuram illius corporis, cui ad- haeret. llla frondis pars, quae caulem mentitur , ex latiori principio paullulum anguftatur, et quafi collum interceptum efficit; iude fenfim fenfimque latefcit , et emenfis r4 vel r5 lineis finditur im frondes, vt plurimum per dichotomiam diuifas, in- terius anguítas, medio dilatatas , extremitate iterum attenuatis; quae extremitates denuo in nouas proles vel dichotomas, vel ternas diftinguuntur. — Omnes frondes ex vtroque latere emittunt ligulas fibi fimi- les dentibus longioribus modo fimplicibus , compofi- tis modo inftructas , inter quas rudimenta nouarum ligalarum iacent. Néruus omnino nullus, fubftantia membranacea firma pellucida , color amoene rubens ; magnitudo ad fummum -pedis dimidii, In littus - maris Aloi, quod incolis Terícoy audit, copiofe nofter ad | fücus 480 .. QVATVOR FVCORVM fucus eiicitur ; et ab ouibus auide, ob teneram fuam fubftantam , confumitur. Tab. XXII. magnitudine naturali fucum dihotomum fiftit. Nota: Fucus membranaceus rubens anguftifolius, marginibus ligulis armatus. Rai Syn. 47. 33. Fucus humilis membranaceus acaulos elegantifhmus — ruber, capillis longis fimbriatus. ^ Morif. hift. 13. p. 646. Fucus frondibus membranaceis proliferis ciliatis Ill. Linn. et Hudt. angl. 472. n. 31. vt et defcriptio a . Clariff. Gmel. in h. f. p. 176. ad fucum Ciliatum data, cum noftro fuco conuenire videntur; fed lcon, per quem di&um fucum Gmelinus l. c. Tab. XXI. fip. r. exprefüt., toto coelo a noftro Fuco differt : propius vero eiusdem tabulae figurae tertia , quae fucum Ligulatum. Gelini ibid. p. 178. deícriptum reprefentat , ad noftrum. fucum Dichotomum acce- dit. Interim fructificationis. modus in fuco Dicho- tomo obícruandus, ad aliam omnino fectionem ipfum relegare fuadet. Quamuis non eft inficiendum iunio- res fucos in. modo fíui propagandi imponere pos- fe; videtur .enim illa. perfici per proles frondium deciduas , quae omnino teneriores funt, et colore magis diluto gaudent: fed iidem adultiores facti, fru- &ificationis organa oflendunt in globulis nigricantibus, feffilibus, magnitudine feminis milii, inter dentes per vtrumque latus ligularum difpofitis: — Hinc iure vindicat fibi locum in familia fücorum globulife- rorum, et exinde concluditur fucum Dichotomum nobis di&um vel prorfus effe nouum, vel iníuff- cienter ab Auctoribus defcriptum. x | FVCVS SPECIES DESCRIPTAE, 481 FVCVS. GRAMINIFOLIVS. Fucus caule tereti , Subdiuifo , tubulofo, fo. liis linearibus duplici ferie pofitis, planis membra- naceis, - DESCRIPTIO. Radix nulla eft, fed caulis teres tenui oritur principio et fenfim fenfimque robora fumit ita , vt extremum ipfius multo fit validius. — Breui ab ex- ortu füo non raro diuiditur in ramos fibi fimiles, faepe et: fimplex feparatam efficit frondem, — Ab ini- tio fit folidus, íed quo vlterius pergit , eo magis pulpofus euadit et intus perforatur canali. ^ Caulis et rami vefliuntur foliis planis , tenerioribus , linea- ribus oppofitis deníis , duplici ferie fitis, quae .ad apicem in faficulum colliguntur et caulem atque ramos terminant. —Propagationem huius füci eodem modo contingere , quo in omnibus fücis membrana- ceis fieri affolet , probabile videtur. — Nulla enim tubercula , neque alia corpufcula globulifera dete- gere potui, licet diuerfae aetatis fü-os examinaudi poteftas füerit. Color totius füci cinnabarinus , ma- gnitudo non raro pedis x. Locus mare Album. Tab. XXIII. füci deferipti frondem fimplicem ma- gnitudine naturali fiftit, ! | idibos Tom. XIX. Nou, Comm. Ppp MINE- 4825 wet32 Oo ) eite ; MINERA ARGENTI CORNEA CHEMICE EXAMINATA ET DESCRLPTA. Auctore | E LAX MAN N. peus equidem iam Ela tempora funt, im quibus fperma Ceti Campüoramque (2) ad inflam- mabilia fofflia retulerunt , et Bezoar in terra creífce- rc, vti Boracem in animalibus (2), crediderunt mi- neralogi: ceffarunt illi quoque dies, in quibus Naph- ta cum Succino lapidibus annumerabaatur ,. ct Cin- nabaris a Mercurio genere feparabatur (c). Certe uo- ftrum: Seculum ,. etiam ratione ad Regnum minera- le habita , (elici nominare poffumus. Multo- runr quippe corporum) fübterraneorume genuioa co-. gnitio nobis innotuit ,, de quibus veteres, vel plane nullam , vel erroneam et fuperficialem folummodo: notitiam. habebant. Omnino recentioribus nofiri ae- vi (a) Libauii Singularii Lib. lIL. Aluari. Alfonfi Batbae; El arte de los Metales.. (b) Sigfrid Aron Forfii Minerographia: (c) Encelius de re Metallica. Schwenckfeldii Catalogus: foffil. Silefiae. Dezalier d'Argentwille. Hilloire' naturelee * MINERA ARGENTI CORNEA. 483 vi Mineralogis confümmatiffimis , wt illuftris de Linné xerbis wtar, íempiterna ab omnibus aequis Cenforibus debetur gloria, «quod iufinito labore et fudore montium ct naturae abyffum penetrarunt (d). Hi Malachitem a Iaípide et Lapide nephritico fepa- rant, minerisque cupri annumerant; Lapidem La- zuli vero e medio minerarum huius metalli remo- went, et inter lapides Zeoliti generis collocant. Hi Lapidem calaminarem .et Gaienam fterilem fic di- €tam, non terras inanes, íed veras Zinci mineras €(fe oflendunt , et fexcenta alia. Jlaterea tamen non omnem adhuc ex vatliffimo Regni mineralis campo fu(tulerunt lapidem; varii nempe adhuc naeui in de- fcriptionibus praefertim illorum foffilium occurrunt , quae vel ob pretium raritatemque ipforum examini pyrofophico fubiicere noa potuerunt vel hypothefi aliqua feducti , ab anteceífforibus mutuo acceperunt , minerilogi. Horum. e numero noftra quoque eft Minera argenti cornea , cuius poft Kentmannum (f) fere omues mentionem faciunt , licet. pauciflimis vi- dere licuit 'Operae-pretium ergo effe putaui, ra- riffimis eius fruflis mufíaeum orbare, ipfaque iufíto examini metallurgico fubiicere , et quicquid per ana- iyfia chemicam nec non multorum aanorum expe- Tientiam mineralogicam didici , rerum naturalium Ppp2 fcruta- (4) Linn. Syft. Nat. "Tom. III, Praefat. (e) Ge/nerur de omni rerum foffilium genere eum Nomen- clatura Kentmanni, ss. MINERA j| fcrutatoribus ,' quos hucusque principia argenti cof- nei naturalis latuerunt , communicare, Nomen minerae nofítrae quod attinet , ideo cornea appellata eft, quoniam cultro raía , colorem glabri apicis cornu bouini füfti vel cinerei oftendit. Antiquis mineralium defcriptoribus , quantum. ego quidem fcio, incognita fuiffe videtur , quippe ante , nominatum Kentmannum , neque nomen neque vlla eius mentio , niü cineream argeati mineram Plinii velis (f), in fcriptis illorum occurrit. Patriam hucusque agnoícit folam Saxoniam et in Sibiria tratum Kolywanenfem, Prima eius fru(ta Mariebergae inuenta fünt , poftea cadem minera Ioban Georgenfladii , et nuperrime , narrante Brainicbio , Ober- Jéboenae detecta eft... Nunquam | vero magna copia, fed rariffime femper iu conípecum venit. In Sibiria ve- ro e fuperiori parte argentifodinae illae. incompara - bilis , cui a ferpentibus nomen (Smeinogorskoi- rud- nik) ab anno :r745 vsque ad annum 1768 adeo maxima copia haec minera , auro argentifero nati- vO vberrime comitata, obuenit ;, vt totam iftam fu- periorem partem (g) nominati montis, venam cumula- tam magnam complecentis , íola hac minera , in- ; terrex- " z k n P IITIXURT DETOTUILET L9 J j [ (f) Pünii Hift. nat. Lib. XXXIII. Cap. 6. (g) In. Faucibus puta a Commifífione Imperiali Praefide Ge« nerale Bejero anno 1745. habita, Denominatis (Com- miskoi rosnos KOMMMHCKOIÉ pa3nocb) vt et anno 1748. in puieir primo et fccundo numero notatis, qui nunc fautes illas. magnas (bolfchoi rosnos 6oXsuroit pasmotb) conftituunt, praecipue eruebatur. ARGENTI CORNEA. 455 tertexti$ paucis aliis ,' conflare diceres: quam metal- licultores ibidem , pro plumbo natiuo corrupto, ar-. gento largiter p.rmixto , vel fpecie quadam Minerae argenti vitreae , habuerunt, et vulcano pro exco- quendo argento tradiderunt, | Nunc vero omnibus fere fuperioribus locis fodinae ditifümae iam exhau- ftis, argentum quoque corneum rarius effe incepit , nec nifi ia fiffuris fibrisque Spati pendentis et Cornei jacentis in confpectum venire folet. | Si datas ab antiquioribus autoribus huius mi- nerae defcriptiones examinemus , primo. intuitu vife- rimus, illos ferme omnes folummodo femipellucidi- tatis, coloris cornei et duc&ilitatis mentionem feciffe, paucosque infuper liquabilitatem folo igne candelae Obferuaffe , et fic relictis reliquis qualitatibus laudan- - dam. ideam fuperficialem füppeditaffe, — Recentioribus ergo , antece(lorum deícriptionibus non contentis , magis de interno habitu partibusque conftitutiuis, quam de externa facie folicitis , varias vias inceden- tibus, omnes iliae ambiguitates adfcribendae , . quae in nuperrima huius minerae hiftoria occurrunt. Ex his namque Lsnaeus , Cramerus , Wallerius, Cartbeu- ferus alique varii iuniores argentum hic pauco ful- phure ar(íenicoque mineralifatum vel laruatum efle contendunt. . Cronfledius ,, chemicam viam nimis firi&e incedens , occafione experimentandi deftitutus , hypothefi veritati fimillima fius, ab effe&u in la- boratoriis metallurgicis vfitatiffimo ad effe&tum offi- cinae naturae concludens , vnicum acidum filis com- munis hanc mineram conftituere dixit, Lebmannus EBBu2 5ubdaesw — de 486 | MINERA de principiis eius haefitans, audita theoria Cronfte- :diana , etiam praedictum acidum vel arfenicum .as- fumenda effe putauit. —Seopoli cum hocce acido fer- rum combinauit (b). 1u/li feruida imaginatione intfpira- tus, vti Annaebergae Auf(triae inferioris nouas argen- ti mineras alcali minerali(atas finxit , ita hic quoque praeter fnlphur et Arfenicum alcali quoddam addi- dit. | Omnium tamea amierrime de mzc;ia noflra Íomniauit Iuge/ nunc iterum ea ip(a in Geometria fua fubterranea peius dicens, quae iam ante duceu- tos ànnos mclius dixerunt rudes metallorum foffo- res, dum illam, lapidem durum, coti fimilem , in flauo et coeruleo Corneo obuium, effe ftatuit (). z Differentiis autorum praecipuorum fic breuiter expofitis, ad ipíam defctiptionem minerae no(lrae tranfeo , colorem , figuram , duritiem , odorem alias- que eius qualitates confiderans. — Color externus in variis fruflis varius, ab ip enim micante albido ,, quem grifeo perlatum nomi-. nare poffüm, per omnes variationes cinerei in fla- vefcentem , viridefcentem , violaceumque — vergentis vsque im füíco nigrefcentem faturatur. — Imrermus co- lor ra/ürae faciem cornu bouini cinerco fuíci vel fufco plumbei aemulatur ; fracurae vero plerumque medium iuter grifeum et fufcum tenet absque. vllo nitore, | | r1] Quoad: (/) Principi» Mineralogiae fyftematicae et practicae pae. T (/) Sebenn Gottfiicb Syugef Geometiia Subierranca ober tie Smost(tbeitefunft &.. 113. ARGENTI CORNEA, 483 Quoad figuram externam minera noftra amor- pha eft vocanda , fruftula enim crylítallina cubica vti fanofum illud Freibergenfe rarifüime | occurrunt et in Sibiriae fodina inter maximam: cius copiam nun- quam vifa funt. Pura interdum in Ochra plumbi mineris fcatente , cum Spato huius metalli , Coeru- leo. montano cryflallino , Cupro natiuo aliisque , ia glebis varie formatis, inuenitur: interdum fiffuras fi- brasque tam fendentir quam jacentir auro argentoque natiuis ornata replet: füepifhme vero et vulgiritet lamellis Spati particulisque. Cornei fubtiliffime et (e- re inconfpicue intertextz eruitur ,, et fub nomine minerae argenti fpataceae vel corneae liqüatur,. Ra tione. internae fizurae fiue texturae omnino metallis auro » argento aliisque excepto ferro fimilis eft. Magnitudinc vero ope Microfcopit Dolloudieni maxi- me au&a , ob ífemipelluciditatem a metallis differt , nec aliter; ac fi ex: innumeris diaphauis globulis con- flaret , qui cuüticula opaca vefliti funt ; et in lamel- la: cultro: abfciffz tenui, elegantes vudulatas figuratio- nes o(lendit , quarum» iconem: figura a Tab, X XH T. XXIII. exhibet. Superficies im fruflis puris interdum fcabriufcu- a apparet cum debili quodam: nitore , plerumque autem , quafi farinz afperíz vel tunica quadam ipía minera fragiliore induta. e(fet ,, obuenit, Fle&itur noftra minera et ducitur fub malleo todem modo ac minera argenti vitrea fle&i et duci folet , cui duritie parum: cedit, eodem fere gradu, quo 458 MINERA quo haec metalla mollia ftannum puta à plumumque, hac qualitate. fuperat, Pellaciditate varia plerumque yero valde dc bili gaudet. Tenues eius lamellac, vti laminae ce- rae flauie decuplo craífiores translucent; pellucida vero cius frufta albo coruo rariora effe folent. | Ratione qualitatis liquefcendi adhuc easdem le- ges fancdte feruat, quas iam ante ducentas annos Kentmannus in fuo fruftulo detexit: parua nempe eius frufta candelae admota liquefcunt cum odore fülphuris , maioribus vero eodem ignis gradu opus e(le videtur, quem plumbum liquefa&um poftulat. . Grauitas fpecifica ad argentum puriffimum , hoc eft ex luna cornua reductum , plerumque. fe ita habet vt 140 ad 200. Inter omnes vero illas notas, quibus haec mi- Sem ab omnibus aliis diftinguitur , nulla comftantior , quam odor eius fpecificus, non ingratus, de- mer mixturam aliquam vitriolico argillaceam vel margaceam indicans. Hanc notam, quam Autores filentio tranfierunt in omnibus tam faxonicis quam fibiricie fruftis femper praefentem inueni , ect non folum in puris, íed etiam in mineris tenuiflime infperfis (E) intertextisque certifümam. Videtur hic odor (f) In fruftulis. enim illis rariffimis Iofam Georgenftadienfibus, - ob virides cryftallifationes micaccas notatu dignis, adin- ftar fuci cinerei tenuiffime licet infperfa occurrit, odo. rem nihilominus tamen valde fenfibilem prodit, ARGENTI CORNEA. 489 odor quoque ratione ad durationem habita valde conflans effe , quippe in veterrimis Saxoniae et pri- mis Sibiricis fruftis aeque. fenfibilis occurrit ac- in illis qui nuperrime effoffa funt (/). Refpe&u copiae argenti ex hac minera, nom vnam ífouent fententiam autores , quod neque mi- randum , quoniam cum tunicis tenuiffimis nulla cer- ta experimenta inítituere potuerunt. Ego per cen- ties et plus repetita experimenta didici , mineram puram ex centum libris fere. feptuaginta libras ar- genti puri dare, eodemque modo tracandam efle, quam autores in arte docimaftica de minera argenti vitrea praefcribunt. Superet iam , vt meum qualecunque de hac minera iudicium in medium proferam, Ab communi illa rerum creatarum forte, quod nimirum generantür, ad maturitatem peruepiunt , feneícunt et iterum in prima principia refoluuntur , quo ipfo rurfus ad nouam genefin quafi recta via reuoluuatur , varias mineras fofhlia varia excipienda effe docent nonnulli Auctores. l1mprimis vero de mine- (/) Fruflulum egregium praedidis cryftallifationibus viridibus paralllopipedis micaceis ornatum, a beato Chriftiani olim Confiliario Collegiorum Barnauliae accepi, quod in- fignis ille metallugus, cui omaem auri argentique cul- turam kolyuanenfem debemus ,. adhuc iuuenis ante 4o annos Sa:onia fecum tulit, hunc odorem fpecificum fen- fibiliter adhue exhalantem, Tom, X1X. Nou. Conum. Qqq 490 MINERA mineris argenti veris vitrexm puta rubramque ma- gnus mineralogus Henmkelur afürmauit illas nun- quam: fatiícere vt lojuuntur merallurgi? vel minui et refolui pofle , fed femper immutatas permanere , acuoque edaci pertinaciter reluctari (). ^ Certe primo huic poft Agricolam mineralogiae parenti . nunquam contradicerem , nifi res ipfa loqueretur. | Mineram argeati rubram a fortiffimo hoc naturae dente rodi et in puluerem vitriolico arífenicalem verti, iam plures obíeruarunt mineralogi (7). Quod vero minera argenti vitrea, huic quoque legi fcbiecta , illud in ipfa illa ab ferpentibus inclyta fodina didici. — Inue- ni fcilicet omnes illas ab Autoribus allatas huius minerae varietates , fufcam nimirum , flauam , cine- ream et viridefcentem , nihil aliud effe , quam vnam eandemque mineram , tempore et aetate folummodo vel maturitate , vt ita dicam , differentem. Duriufcula illa frufta violaceo plumbea, quae cum Galena et. pyrite cupreo vel fubftantia quadam alia , | glan- (m) Henkefr Pyrithologia ober Stie8biflorie C. 685. Quod ta- men non de illis, quae adhuc in gremio: venarum fua- rum latent, fed tantum de illis contendit vir magnus, quae in mufaeis afferuantur vt ex fequentibus paginis 1l. c. liquet. (p) Pura illa Minerae argenti rubrae frufa, (non de paruis Pyriti intertextis granulis fed de magnis rubris homoge- neis glebis loquor), quae argento vitreo cryftallifato ob- volutae funt, vti Freibergit occurrere folent, fenfim fa- tifcere et puluere vitriolico obduci video, licet in mufaei fatis ficci arcis vitreis feruantur, - ARGENTI CORNEA. 49Y glandularum fiue macularum modo ipfis immixtis, ad- huc immutatis nitentibus, venas fuas ex affe replent, et quafi vnum corpus folidum confítituunt, pro ea varietate habui , quam natura in fua officina , ad debitam. huius «m minerae maturitatem , in mollitie nempe et colore plumbi confiftentem , perducere ad- huc non potuit. In eiusmodi venulis metallicis enim:, quae ambobus lateribus pendenti puta et ja- centi ar&iffime conglutinatae funt , aéri aquisque fubterraneis nullus acceffus conceditur, et coníequen- ter nulla faüícentia vel refolutio et mollitio locum habere potelt. | : Cum autem praedia duo elementa falibus comitantibus venas penetrant, fiue id longitudine temporis, fiue terrae motu, fiue quacunque alia cauffa fiat, variae folutiones , deftructiones, regenera- tionesque producuntur. Partes nimirum illae gale-: naceae, pyritofae , calcareae aliaeque , menftruorum vi magis fubie&ae ,. foluuntur, ct minera noftra, quae in priori varietate cum, his heterogeneis late- ribusque füis in vnum corpus folidum , durum con- glutinata erat, nunc iam cauernofa (oru(ig) purior , du&ilior et mollior faturato colore plumbi inter la: tera füa aeri aquisque expofita iacet; eftque nihil aliud, quam frequentiffimum vetuftifmumque illud, argentum rüde plumbeo colore Auctorum, quod recentiores mineram argenti vitream , licet minori iure , vocant. Hanc, quam tempori folummodo debemus varietatem , maturum argentum vitreum dicerem, . : i Qqq 2 5i 492 | MYINER.A Si poft plura fecula , vt loquuntur. Metallarii, fero venerit foflor metallicus, non amplius mine- ram íuam faturato plumbeo colore et nitore pracdi- tam inuenerit , fed vel pailidam, nitoreque ad partem orbatam , vel cineraceam in fufcum , flauum viri- demque colorem vergentem , cum aliqua debili. pel- luciditate , nec nom odore fpecifico, quem fupra de- fcripfi, vt putares naturam f(ubtilifiinam aliquam folutionem fulphuris, argentum hic minerali(antis incepiffe , quae cum pauca volatilifatione metalli et diminutione grauitatis fpecificae coniuncta eft. Hanc temporis quoque filiam , quae Autoribus emera cor- 3é4 audit et iuter omnes argenti miueras rarifhme Occurrit, pro tertia huius minerae varietate perma- tura haberem. Haec iam fenefcens argenti minera fenfim me- tallo fuo orbatur, quod in vicinitate iam nudum occurrit. Color eius pallidus vcl füfcus nigrefcit et amiífa tenacitate in fragilem , carboni fimilem ,, ma- nus inquinantem maífam permutatur. — Haec varies fas , quam autores, nunc mineram argenti nigram nunc mineram vitream fragilem , vocare folent, mi- hi vltima minerae noftrae actas effet. Pallide plumbeae illae minerae fiue argenti vi- trei mollis tenuem lamellulam , illa tamen duplo crafhorem quam Figura 4. mon(rat, magnitudine aucta exhibet Figura 5. Eft illa quoad partem pel- lucida et ex eiusmodi corpuículis globulofis compo- fita ac de minera cornea iam dixi. Figura «. la- | mellu- ARGENTI CORNEA. 493 mellalam eiusdem minerae Freibergae ortae reprae- featat. Luna cornua autem , quae arre producitur fub Microfcopio vifa; ex homogeneis partibus con- flare videtur , quafi cerae flauae fru(tulum effet. Ex hac breui hifloria fatorum argenti rudis plumbei coloris videtur mineram noftram corneam non folum eiusdem profapiae effe , iisque fere ac il- lud conítare principiis conttitutiuis , fed etiam illos autores non erra(fe qui illam fubdiaphanam fubftan- tiam fulphure potiffimum mineralifatam effe ftatuunt et mineram vitream albam (SGeiffe8 Gase) vocant, quod etiam ex inílitutis cum ipía plurimis experi- mentis vberius patebit , Mor nonnulla coronidis loco hic fequuntur. Accepi minerae noílrrae puriífimae , fübtiliffi- me rafae femiunciam , et vnciis duabus olei vitrioli concentratiffimi fuüperinfufis , ex retorta vitrea probe loricara , applicato recipiente proportionatam aquae copiam continente , omnibusque obferuandis obferua- tis, ex fortiffimo igne arenae di(tillaui. Hanc ope- rationem eum ia finem inítitui, vt aliquid acidi falis communis acciperem, fi hoc, vt nounulli vo- lunt, mineralifatum effet. Accepi autem , iuílo ad- huc ignis gradu adhibito , nihil, aucto vcro ad ve- hementem vsgue , ipfüm olcum, odore fulphurco impraeguatum tranfit. Luna cornua fa&itia autem optime edükorata ex altera eiusmodi retorta, in vno füruüo becheriano , codem igne iisdem cautclis tradita, primo dedit portionem acidi falis commu- nis, quod argentum acido nitri folutum egregie prae- Q4433 cipi- 4.94. | MINERA cipitabat et cum hocce acido lege artis permixtum aurum foluebat: poítea quoque ipfum purum oleum, relicta calce , euehebatur. Nullo fic acido falis per diftillationem inuen- to, putaui illud via fublimationis i1nucairi poffe. Accepi igitur Mercurii Viui vnciam vnam , quam cum femiuncia minerae noflrae puriíimae ja mor-. tario vitreo trituraui, Durante trituratione per to- tas duodecim horas , nulla tamen amalgamatio nul- lusque legitimus aethiops infequi voluit , fed minera. in fubtilifimas lamellulas nigricantes detrita « fuperfi-- ciem mercurii folummodo obueftiebat. " Peracta operatione aliquid cinnabarini fufci cum multo mercurio in collo vitri apparuit. . Ad. mer- curium íublimatam corrofiuum vero quod attinet , quem expe&aui, nec vllum quidem eius veftigium. adfuit , quod neceffario adeffe deberet , íi acido falis muriatici argentum mineralifatum fuiffet, . | Praefentiam. vero fülphuris , praeter. praedictam cinnabarificationem , ex hepatefcenti huius minerae qualitate, fatis cognoui , vt ex fequentibus breuiter expofitis liquet. 1, Partes nimirum anaticae minerae noftrae purae fubtilifiume rafae et falis tartari bene permixtae, crucibulo haffiaco commiffae , et in aperto igne stractatae, vt de hepate fülphuris , excepta fola agitatione , monent auctores, candefactae me-- diocriter intumeícebant , aucto vero ignis gra- du , in maffam compactam coeruleo cineream;: fuperficie glabra , fubfidebant; quae poft refri-- gene- i 5 72. ARGENTI CORNE A. 495 gerationem affufa aqua diftillata tempore duo- decim horatum folucbatur.. Solutio hac, aquae limpidiftümae fimilis, inftillato acido nitri, cum turbatione. et ef&ruefcentia fufco opalina in lu- 'teum vergens. eudfit , prodito naufeofo odore ipfius hepatis, quem nominatum alcali cum fulphure natiuo e monte fulphureo arguncti fimul paratum exhalabat. Eadem minera cornea «cum. fpato. adhaerente praedicto modo liquata , in maffam nigro cine- ream abibat, cuius aquofa folutio flauelícens ; — limpida'affüfo acido nitri cum efferuefcentia et E turbatione colore fufco opalino tingebatur, prae- fentiamque aliquam hepatis indicabat. Minera argenti vitrea pura cryftallina Freiber- genfis qualis in Spato albo occurrere folet iisdem ' enchiridiis tentata , nigro coerulea coagulata fün- m re valde fenfibili hepatico. dum crucibuli petebat : folutio vero aquofa iü -. viridem colorem. vergens. cum. nominato acido turbabatur, fufcüumque hepar absque fenfibili ebullitione largiebatur. Eadem argenti minera vitrea pura non cry- flallina , ratione coloris et mollitiei a plumbo vendibili difficillime dignofcenda eiusdem fodi- nie, eodem modo vti dicum fíufa, maffam nigram colore fuliginis pracbebat , cuius folu- tio aquofa , eleganter oliuacea , limpida , addi- to acido nitri cum efferueícentia et turbatione , fufcum lac fulphuris tunica veffitum dedit odo- 5. Mi- 496 — MINERA ARGENTI CORNEA. s. Minera Kolywanenfis vitrea fatis adhuc dura , colore violaceo , maculis rubicundis pyritofis par- vis interfperfis, cuius iam füpra pag. 490. men- tionem feci, praedictarum minerarum modo tra- Cata, in maffam fufco hepatico colore orna- tam liquabatur; quae aqua foluta folutionem cinereo viridefcentem limpidam dedit , affuto acido nitri vehementer efferuefcentem , opalino fu(cam , cuticula veftitam, hepar fulphuris re- dolentem. Inuento fic fülphure in omnibus memoratis fhinetis, quas naturam cognationis vinculo coniun- ,Xiffe videmus , etiam cum Luna cornua factitia probe edulcorata idem periculum feci: haec autem modo illarum fundum crucibuli non petebat, nec coagula- batur, fed porofa cauernofaque manebat. Alcali ve- IO, füperfufa aqua diftillata , foluto , arzentum pul- cherrimum varie ramofüum quafi dendriticum appa- rebat, ASTRO- "ASTRONOMICA. Tom, XIX. Nou, Comm, Rr: COM- eti(o)t$e 7 00 7 49g | COMMENTATIO Ai Y P OO IJMH.ETIC.A DE PERICVLO; A NIMIA COMETAE AP- E PROPINQYATIONE METVENDO. ^ Auctore L EFLERO. um haec quaeftio fine dubio maximi fit mo- menti, neque «tamen ob fummas calculi , difficultates quicquam certi adhuc definiri potuerit, laborem haud ingratum me füus- cepturum efle arbitror , fi hypothetice cafum finxe- IO , quo cometa proxime ad terram effet acceffürus; atque omncs mutationes , quos tam terra quam cCo- meta in motu forent paífuri , accuratius determina-- wero.. Quod, quo facilius exfequi liceat, cometam in ipío plano eclipticae | moueri Meme vt. faltem difficultates calculi ex diuerfitate planorum oriundas remoueam. Hunc in finem ante omnia formulas ge- - erales pro motu tam cometae quam terrae quate- nus in fe inuicem agunt perpendi conueniet. $. 1. Sit igitur S centrum folis pro fixo-ha- T. XXIV. bendum , eiusque maffa fit — A; tum. vero ad tem- F8 7 pus quodcunque — 7 réperiatur centrum terrae in T, cometa vero in Z, ac ponatur maffa terrae — B, co- metae autem —C: vbi.ex parallaxi folis nuper ac- Qc | ICPPX-€-02- T Era $00 DE PERICVLO, A COMETAE curatiffime determinata compertum eft effe prope- . modum A:B-— 36009o0o:1. lam ponantur diítan- tiae a Sole ST—«et SZ— v; at diflantiae ter- ram inter et cometam. T Z — w. Et affumta dire- &ionc fixa. SV, quae in plano eclipticae ad ini- tium arietis tendat, ad eam ex T et Z perpendi- cula demittantur T X et Z x, vocenturque coordina- tae pro terra SX — X et X T— Y; at pro co- meta Sx— x et xZ— y. Praeterea. ponantur an- gui VST—Q e VSZc—o, vt hinc obtinea- mus coordinatas SX-—X-ucof D et X T— Y — u fin. d Tum vero Sx—x-vcofuoctxZ—y-vfno, hincque duplici modo erit - TZ-—w-—VYV(x- LOLY s --(»-— Y); deinde. vero etiam ics aoo c aluinut: (o — y. $. ». His conftitutis erit vis qua: fol terram attrahit — ^, vnde oritur vis gy XS$—ix—io9q vis fecundum T X — 4Y— 4f». Deinde quia cometa ad folem vrgetur vi xin hinc Baícentur vires fecundum XS AE ^s-9 et fecundum Zx— 4 — &fn.v TUE «vg A —— Wm Porro quia terra trahitur verfus cometam in Z vi-.€- , hinc oritur vis fecundum — C(x — X). C(vcof u-—muco qq) "i SX — TE Coen , et vis fecundum NI-—IS— 2123 ed zjn- Qu . A Vicis- - APPROPINQVATIONE METVENDO. 5o2 Viciffm autem cometa ad terram vrgetur vic. , ynde nafcitur vis fecundum — B(x-—X)—- B(v:.t eem cof. " 4 gg 5-3 Bhuxscis 9 etfeundgm —B0-—n- B(ofn.t — nf D) dEaniln t "v His igitur viribus coniunctis terra follicitabitur his viribus acceleratricibus : vi fecundum X S — ^. 0 .—. € (verf. o — » cof. T) zy mel 7 Per : vi fecundum TX — */»-? — Ciro uf. cometa autem follicitabitur vi fecundum x S— A259 4 Peeckuc uer ec vi fecundum Zx — sjma qe TIN, D $. 3. Quia vero etiam fol ad terram tishitui vi fécundum S T — , quae refoluta dat fecundum dire&ionem S X vim 957? et fecundum. directionem X T vim 2/*2, pari modo etiam fol ad come- tam vrgetur vi E. quae refoluta dat pro dire&ione Sx vim €: £2. et. pro directione x Z vim €/-*, Qua- re cum folem in quiete flatuamus, has vires mutatis fiznis infuper ad vires quibus terra et cometa folli- citantur adiici oportet ,. vnde pro terra Mhabebuntur vires fequentes: — ' fecundum. X S vim U--2£9 — ctexFu ef y. Corn fecundum T X vim 62-9 NIMM E EUN nm At vero cometa Yun fequentibus "viribus - ! ; (& 2 - Cicof. eo B(vco.t»y—ucofd): , Beo. e "Kcundum x8 vi 8-779 mel cT cud Rrir3 fecuge $02 DE PERICVLO , A COMETAE fecundum Z x vi (h-- C fin 4 Bini. n£adi) TW pud quae vires iam funt icceltitferiues ita vt non opus fit eas per maffas in quas agunt diuidere. - $. 4. His igitur viribus inuentis pro motu tcr- Iae íequentes binas adipifcimur. aequationes : . Ad X .— . (A-- B)cf. eo. Oy C (v cof. t — "cof. 0) 9)... Ccof. un. day pun SE ASET, 7A EU EE ddyY:' — (à -4- B' fin. Yn. Q. y A6 (b fin. c pat u.s Cm. ur. zrdi* TF uu 7v fimili autem. modo pro motu cometae habebimus Ícquentes duas aequationes : ddz .». (A-1C)cf. o... B B(vco.o—mco.d) Beo. egdi*-- vv TUN uu ddy — . (Am-Ojfin.o | B(v/in.: t — u fin. Q) Q). Bjn.90 ap dp Tem PU EU uu. In his aequationibus | differentio - differentialibus /ele- mentum temporis dz aílümtum eft conflans, et fe- cundum regulas in Mechanica traditas g endi al- titudinem lapfus grauium vno minuto fecundo, fi quidem tempora ia minutis (ecundis exprimere veli- mus; qui computus cum hic foret nimis prolixus';- mox aliam temporum meníüram introducemus y ex motu ícilicet terrae medio ECHABR ' $. 5. Quoniam autem hic coordinatás ortho- gonales X, Y et x, y ideo in' calculum induximus , vt.principia motus in Mecbanica tradita, quae ad certas directiones fixas refpiciunt , applicare licuerit, nunc in "gratiam caleuli aftronomici eas iterum T di conueniet; quem in finem pro terra fequentibus combinationibus Vtàmur; | I. APPROPINQVATIONE METVENDO. 503 I dàX oO d d Y fin. 9 — (A4 kb coapes "—9)—u].. €. (o —0) , ;Edt v I diYa6 0-2 4x9 mrs meh: n DE MD BipL aam pro cometa, adhibeamus Du com- inationes : I. ddxcof. e -4- dd y fin.« d — -o0. Bore uedio d - Beo ——— 28d p 1 uwu- II. ddyso- dd sf —. ufi (o — p) — Bin), agdi?- dies tom .$. 6. Verum ad literas X, Y, x et y peni- tus extrudendas notemus effe Xcof. D 4- Y (ia. p—u et Y cof. (D— Xn. quo; hinc differentiando erit U dX cof. Q-ed Y in. — X4$ n D Yd bct dincque ^^ ^ - dXeot.D-i-dY 6. gu z Deinde - d Ycotp—4 X6nxXp— Y dpün.p—X4aQ cof. d. ergo $ . 4Y cot. — dX n.D—-rudQ, . Ac denuo differentiando fiet EC a6 2 3401.5) ipods, ergo - ddX cof. D--44Y (in. D —44u—uddY. Porro DOS (D—dd Xfin.D—udQ--d Y. «Gin. Q-rdxadpcof D jo 5. dd Y cof. (p — 44 X fin. Q—uddQ 2 dudQ. His igitur valoribus fubftitutis- pro motu terrae as duas obtinebimus, aequationes : I. LER — AB Cie die cq dt —— PW rine UU vv i u ud 40r :dudQ i5 pst a — (p) nd (co — Q) vov n * ——áE 77 cR ces uc $. 7. $94 — DE PERICVLO, A /COMETAE 6. 4. Simili modo pro cometa cum fit xcof.a-I-y»fia. «o zv et J'cof. &- xfin. gozo erit diff:rentiando " dxcot.a--dyfin.u—dv et dycot.o—dxfin. "ms aC denuo diffcrentiando d d xcof. à 4- d dy fin. vc ddi-edu et ddycof.o —ddxfin.o —vddo 4-2 duda vnde motus cometae his fequentibus aequationibus eX- primetur : ddv— vdw* —— . | (A--C). | B(v—Uwuco.(o— 0)... Bc. (a — $) E] AES T1 vv» . qU uu vddo-L:dvdo.— Bufin.(m—Q). | Bfin.(o—Q) zgdt? ^n qui iu Sicque omnia reducuntur ad binas diflantias y et € €t binos angulos (Q et o, quae ad quodis tcmpus determinari oportct, . . "*&. $. Quod fi vero omnia potius per ipfas coordinatas X, Y ct x, y exprimere malimus, ita vt fit j u—V XL Y*;o—Vxx43y et o-Y(x—X 4(9-Y] ; tüum vero o angulis cof.(p — € , fin. (p— £F, | cofo—*, fin. o — Z- SE] lo dduo ex principiis bem t gt dedu- €ae dabuut primo pro terra peur efr —AXNx o cocx. — E: "T2 v* — dá Y LEY " e C» 2:gdt* v — — fimilique modo pro motu me ddz zo Eu. Bx—X).. 2gdiít EN ws c id à Er. lod D . 9. e€gdis— vi Gs ier" $5 APPROPINQVATIOKE "METVEKDO. jog * 7&9. Praemiffis igitur his formulis generalibus; quibus tàm motus terrae quam.cormetae ob actionem mutuam perturbatur ,' vtrumque. motum; fcorfim. ne- gleda a&ione mutua cuolugmus,. et curfum. comez tae in plano eclipticae ita infliyimus , yt, vbi per Orbitam terrae eft tranfiturus , ibi fimul ipfam ter- ram offendat ,.et quafi contingat. Ante vcro quam hoc eueniat, cum cometa iam terráe ita &propin- quauerit, vt actio mutua iam fatis notabilis eusdat ac forta(íe actionem Solis füperct, tum, nobis | erit inueftigandum , quantam mutationem yterque motus fit fubiturus, wt inde Phaenomera dcánire liceat, quae tam an:ze quam pott hans Puig paem ap- gumee debeant. ü i ure Primo igitur cum inaequalitátes motus terrae ex excentricitate oriundae nihil ad hanc inue- fligationem conferant, ipfam terram in circulo circa folemn- motu .vniformi circninferri affumamus,. cuius circuli radius fit diftantia media terrae a folé^ — 4; tum vero tempore 7 circa folem conficiat" angulum cz 9, quem pro tempore vuins diei nouimus effe r5 9.8. (iue iu partibus radii fpatium — 0,017204 pofito. fcilicet finu toto — 3. Quamobrem reicctis termipis ab a&ione cometae. ortis habebimus primo eius diftantiam a fole. — 2, tum vero pro tempo-- 1p: rcd Q— 3; quibus valoribus fubftitutis formulae ($. 6.) datae ob 44D —449 —o, quia mg- tus e(t vniformis , erunt prima — Er im (EX altera vero o — o. "Tom. XIX, Nou. Comm. 'Sss . Hinc so6: DE PERICVLO, A COMETAE - Hinc igitur loco temporis 7 angulum feu arcum S in calculum introducere poterimus , dum ex ifltaae- quálitate obtinemus: 2g 27 — 2525, quare fi hunc valorem introducamus , et aequatiores generales: per 2»gdi multiplicemus, eae fequentes formas induent: tiw "E T. a3Cd 9? (v cof. —Q)—Au) Ier HR l. adu—ud- — — w'(A-EBE) — — wu(A-eB) j j -afdisd br] (o — 0) .. Ca: d8? fm. o — (p à—) ; 1l. uddQD 2 dud: — 405 (A -- B). ""uA--B) ; 3on Quia autem maffa c prae maffa folis: A:e(t quam. mis md nima, ponamus breuitatis gratia fractionem eR T vt habeamus has aequationes : I ddu—udq — a3 d uar. (veof (0 Q)—u)... ma?dScof. "aa T NT uu 365138 7v edudd — edP (iQ), mat dg? fim. (uud up Il. ud D4-2du4 dp — LAE See E E ARE Ti. PUN s dicn X et Y in cal- culo retinere velimus , aequationes fupra $. 8. exhi- biae, fi etiam per 2gdr multiplicentur inducnt has formas : — LLa*Xd9" o, majdS$(x— X) maxd8* 5000 daX T vue j- nicae £j wi $i 1 ^ a3Ydg9? pud ma*yd9* — UA oe PAPE y -EAT wn hae fcilicet aequationes erunt dol tidfidaed pofiqüam actio mutua térram inter et cometam fenfibilis fieri coeperit ; ante vero hunc terminum , quamdiu. moe tus terrae adhuc fuerit. vaiformis, "d usd et. p D erit X —aco9 et Y —aün:9; "ie due porro 55:5 ^ afin 9 et tis c 9 vbi ifle. formue làc 4X Qnem — denotant ccleritates, terrae fecundum directionem coor- ! dinatarum ; vnde ipfo momento , quo lini per di- - : d^ Jio 501 OCLX dmgettio- APPROPINQVATIONE:METVENDO. $07 're&ionem fixam S ^v tranfit 4^. quandoquidem; in. hoc loco actionem cometae incipere flatuemues , .erit | 36 o8; Yo — oet ERR ct, 55 c 4. 70 & rs. Nunc véro pro motu'cometae in pla- no eclipticae , quo calculus fimplicior reddatur, po- namus cometzm reca verfus í(olemi curfum fuum tendere , quoniam obliquitas curíus ad noftrum .in- fttutum nihil confert, "Hoc modo' remota actione "terrae angulus Y* S Z — 9 erit .conflans. puta — a, "vnde aequationes pro cometa ($. 7.) eruut ddv — . .A--C CE 754 — agdát vv vnde: fi. loco 2 g 24^, valorem fupra. ftabilitum füb- flituaamus habebimus —. 205d49'(A--C). ddv-— "9 v(&--B) ? quia vero maffa A prae Det C eft quafi infinita, erit Ag I, Ódeoque ddoLl-—U qua: aequatione motus comctae. per lineam rectam ZS exprimitur, Eam igitur per 2 v multiplice- mus et integremus , atque ob d 9 coníians obti- ncbimus dv zí5i9:,fue $75 cU4-C, vbi 15 denotat celeritatem , qua cometa a fole recc- deret. Verum ex theoria cometarum conftat, eos ita moueri ac fi ex diflantia infinita motum incepiffent ; .vnde patet, conflantem hanc effe — o; quare cum comitam ad. folem accedere afiumamus eius celeritas etit 35 — — Y7. | " Sup $ssa2 $ 13. Yo8 — "DE PERICVEO; A.COMETXAR: « T. XXIV en 14: 'Pró fmotu'8ütem "penitus determinando F3 2. ex hac: aediratione deducimus 4 9-zz — V j cuius integrale eft 9. — C^ — 27A. (Ad conftantem autem "déterminandam ,ponàmus initio; quo terra tranfiit per 'dire&ionem fixam 'S 'Y' in puncto B (quoniam hoc tempore actionem mutuam incipere deinceps fÍlatue- mus) cometam fuiffe in |C, exiítente diflantia S C—c, tac tempus quo. ex C. in Z vsque perueniet etit Jg ILINIILNT. Quare fi iam ponatur yc-SO—q4, habebimus tempus, quo cometa ex C vsque ad ecli- —206Yy6—20ya ce. un Le pticam in O pertingit —— 557775 ^& rs Cum ieitar angulus BOC Meu fit — &, tempus quo terra ex B ad eundem locum. (D peruenier erit 9 — a; neceffe "igitür" eft..vt- fiat )q iz ipd Oenre IW. 27 sv2à ) vnde colligimus VeYvct5aVesa--2aYac(geVae --2jaY 4 bincque nancifcimuüt ipfam diftàntiam SQ oou T. Quocirca fi dánitio ftatuamüs "terram "fuiffe in B, exiftente diftantia SB--a: fimul Vero cometam fuiffe in C, exiftente angulo BSC-a, et üiftantía S Ces (teda) ^J Jt) .tum tam terra quam cometa Ob motüm- Bep ; ' neglecta fcilicet mutua ' perturbatione , ehipfo: tempó- Ie —a fimul peruenient in idem ;pün&tum -O, 'ibi- j que APPROPINQVATIONE METVENDO. $09 que idcirco B unicum exercerent ; quem autem for- tale. ob a&ionem , rantuam. enitabunt, propterea quod xtiiusque morus ob mutuam epe non -medio- &griter immutabitur. rs. Quod fi 'igitur ^affumamus ,- actionem mutuam terrae ct cometae tum demum fieri fenfi- bilem ,. cum terra veríata füerit in pun&o D, «o- ameta autem. in unco C, quod temporis momeu- tum tanquam epocham accipiamus , .vude wtrumque motum deinceps profequamur ; binc elapfo tempore — 9 cometa peruenerit in^Z, ita wt -fit -diftantia ^SZzw,et angulus Y SZ —o. Vt (upra ergo demiffo perpendiculo Zix, pofitisque coordinatis S x7 x et ZX--y, aequationes pro motu cometae inter coordinatas x et y erunt fequentes, fiquidem -fractio- nem minimam ponamus -9— — 5 A--EB d dx ———: 2435 x E g? eii Q3 BENE OK, zin a? 1» K,et " *U) "u d dy E-— EN. CE 94d 9 *... 7] n.a* à:3*( y —À 3) rotg q9* Y vi " u3 p pro quarüm aequationum refolutione notandum - eft, "uitio, quo cometa adbuc haefit in C, exiftente di— fantia SC —*c et angulo ^ SC — a, "fore | coordi- natas y — ce cof. a et y — cfin. a. Deinde cum" fupra inuenerimus En zv Ly erunt-.celeritates /Jaterales pro iaitio à o d 1$—,5c0fa— —acof. a et; PES —a1n. aY4* fupra vero: pro eadem: ibecs Aam pro terra agimus : —wW i s "we 4X uu jd Yu d ifs $. 16. - $10 DE PERICVLO, A COMETAE $. 16. Nunc angulum « tantum accipiamus , vt tum demum actio mutua terrae et cometae eua- dat feifibilis , id. quod ob fümmam paruitatem ter^ rae et cometae refpectu Ííolis non ante contingere ftatuamus , quam duobus circiter dicbus ante coniun- &ionem ia O , quamobrem (ítatuamus angulum B SC -—umiccon (59:8 95e 155585; x3lí cuius valor in partibus radii eft 0,034408; hine igitur coliigetur ic s S E 5- qt (ot e » urs Apo na a vnle fit OC — 0,048086. a , exiftente angulo BSUCT y ri Hinc igitur pro initio huius epochae habebimus X — 1,047472.4 €t y — 0,036054. 4 dx porro $3 — — 1, 380581 4; 212.— — 0, 047520 4. d $. 13. Conftituta igitur hac epocha, vbi terra. et.cometa primum in fe inuicem agere concipiun- tur, íi ponamus hinc elapfum effe tempus — 9, primo pro motu terrae fequentes binas nacti fumus aequationes : ddX-—9Xw.Lmed9 maim ddY-—97UX39 neas o—Y)— meooB. Pro motu cometae autem iítas binas: ddx——"z19 —asi9 3X —texdm d d y — —U M Viriru-vx- ——a Has APPROPINQVATIONE METVENDO. srz Has autem aequationes non folüm nullo modo. inte- grare licct , fed etiam. folita methodus appropinquan- di inde petita, quod. perturbationes tanquam | mini- mae ípectari queant, hic. locum. habere ncquit ; quandoquidem hic euenire poteít; vt actio mutua terrae et covmetae adeo fuperet actionem folis, cum fcilicet fatis prope ad fe inuicem accefftrint. Quam- obrem alia via non (íupereft , uifi vt pcr gradus ía- tis exiguos vtrumque motum ex ipfis formulis dif- f.rentio- differentialibus profequamur ,. dum elemento temporis d 9- tucceffiue valores fatis cxiguos- tribue- mus wt hinc nullius error fit metuendus. . Praeparatio haram aequationum ad calei- um. fequentem. 6. 18. Primum hic neceffe eft omuia elemen- ta quas in has formulas ingrediuntur ad meníüras determinatas magisque co3nitas reduci. Primo 1gitur diftantiam terraé mediam —- a. per femidiametros ter- Iesres exprimamus, quon'am haec menfura maxi. me idooea videtur ad diftintiam cometae a tcrra de- finiendam. Hinc ex parallixi folis, nuper inuenta fta- tüuamus 4 — M íemidiametris terrae. Deinde «um fractio n-- og fit fatis exacte | 445555 , . tr.bua- mus cometae ena (pie dE terrae aequalem , vt fit .quoque ;7.— sss , atque hinc per logarithmos ha- bebimus 1a! — 19, "466206 t lm Quz ia 7.5843511, "Porro autem menfura temporis, quam hic introduxi- Qgur:1 - Aosidie n.us s1&; ^ DE PERICVEO;, A COMETAE ^^ mus péf angdfum 2^, qui refpondet. motui medio fétrde , nimis eft incommoda et non fatis clara g eíus ergo lóco potius conueniet. tempus ab epocha nofita elapfüm pef dies naturales exprimere , quorum tmümerum ponamus -— T. Tum igitur ob motum diurnum £—59/.8/—:0,017204. erit 9— 0,017204 idéoqué | d 9 — 0,013204 d 4. Quoi fi nunc breuitatis gratia ponamus 4AJS'-AdT e ma d9 cnadS M m 3 habebimus 44A —9,6118924 et 190 —4,0555899: j aloribus fubflituti or noflrae aéqustio- uibus valoribus fubflitutis quatu ft equat nes erunt ; à ) 32-5 Xdm $G—2Xdr* —vpxadcT* CO 4dXuz-—45X..t-Vu——R ———— ] i. 2 oan XY), $xdct d4 Y -—AXm ^" VStegeiste suere m^ X aU3 u5 AYiávr ,$(y—Y40 ease dol y x rug Um dWP Du aui "bi rmiémbra poftrema ob nimiam -paruitatem tuto "omitti poffant: media enim membra eatenus tan- "tum in:fenfüm 'weuiunt,-quatenus diflantia continno ^giminuitur. ATE €. 19. Haec etiam menfura "temporis nolis multo clariorem ideam et menfuram celeritatum " Ly : | - SEE x4 dX e fuppeditàt quam 4nte, vbi vetbi gratia f$ expri koprcud fpatium quod lion «celeritate .;pexcurri . poffet . tempo? APPROPINQVATIONE METVENDO. 513 tempore 9 — 1, fide per angulum. 9 — 53. 17. cui re(pondet, tempus. circiter. 6o. dierum., Nunc igitur easdem celeritates exprimemus per formulas (x^ dY. ds. op dy dc? up dT dc? quae formulae.expriment fpatia, quae his celeritati- bus tempore vnius diei pereurrentur , haecque fpatia ja femidiametris terrae dabuntur. ^ His igitur nouis menfuüris introductis, pro' initio noftrae epochae: nan- €ifcemur. fequentes. menfuras penitus determinatas in - femidiametris terrae expreffas *] X — 24000 Neg $5 2Y — 412,896. i» d 2X VWEER ET mad aU his igitur priemiflis fequens" problema. .priricipale per- pendamus, .- Men eei RCIObDlema, ipi 2$. ie. S1: d tewnpus v dierum ab epocba elapfum T. XXIV: co idiflantiae: X..et Y pro terra, ;d X, y pró-come- F8 3 dX das tum vero etiam celeriates. 75 eb Y pro lerra, at- que o et € pro comeid', inuenire M Ienpore T 4- dc derum ab afdcba xA valores ea undem, luteraruu qui fin X! Y! x! y!, vna cua celeritatibus '^ooex* Cavi du dT? dT? d T T) m. * WuInfio Cum Z7 fit, elementum quod. pro minimo DÉa- beri queat, erit €x natura differensizliumi » Tem, XIX, Nou. Comm. dtt MES $14. ' DE PERICVLO, A COMETAE X —Xt4X:d4X 5; Y'—Y--4Y &iddY i —xdpdxaiddx; )-—y-dytiddy- deinde vero pro celeritatibus vbi valores differentiales | fecuadi gradus ex noftris aequationibus fupra datis elici debent. Primo i ae vi elementis datis quaeri debent diftantiae S T et SZ-— v, quod commodiífime fiet per a it" BST—(O et BSZc-o, quos quidem per Eu fe iuuabit: hic autem Rgcentur ex his formulis tang. Quem et tàng. a — H » quibus. inuentis erit: uas NE Au i — d: mee 3. it — aja. fw Deinde pro: diftantia. T Z — ww: inuenienda: dediti axi parallela. T V ,. quae. erit x — X,,et VZ—y — Y g tum. vero. ponatur. angulus. V T Z— xp ,, qui. defi- - gnabit longitudinem: cometae ex: terra viü- eritque: tang. vv — 2—41; atque hinc obtinebitur: ip diftantia. x—X. y—Y. T das tU CE eu Apc His autem valcribus definitis ex. fupcrioribus aequae tionibus habebimus ddX-—-— Ax Vs DAT za —Arim s asd ddY-- ELEM EX Ls VPE xY. $(xr—X)dt* ddyc-oi—-ToT. $ 25. APPROPINQVATIONE METVENDO. $:5 6. er. Hic autem non amplius elementum T - pro infioite paruo habemus, fed potius ei. valorem fatis exiguum dabimus , quem tam paruum fufficit affümi , vt interea membra noftrarum aequationum nullam mutationem fenfiblem fubeant, ^Atque hic facile intelligitur, flatim ab initio pro d T integri ^xnius diei interuallum tuto affumi poffe, ita wt fit dT — 1; deinceps vero, cum cometa multo propius "ad terram accefforit, interualla d 7 paullatim | dimi- mui conueniet, prouti ex circumí(lantiis facile erit diiüdicare, .$. 22. Hoc igitur modo xb ipía noftra épdctia ' Wucceffiue per gradus progrediamur , atque pro .pri- - mo quidem ípatium vnius diei affümere licebit, At- que hac ratione ad quoduis tempus ab 'epocha no- . ftra elapfum poterimus tam fitum terrae et come. tae quàm vtriusque motum xffgnare; quam ob : pem «calculum pro iftis temporis interuallis hic ap- , ponamus, - Calculus pro ipfa epocha, vbi 7 —o .&. 23. Lblementa igitur pro hoc calculo emunt: — : X -—24000,000 Y— 0,000 »$.i-95:49,398 ' y -:'965. 296 x-X-1139, 528 | $— Y 2 865, 296 d. X.—o0.d 4, d Y — 412,896.d T 43-2 — 570,036. dT; d y. —-— 19,621. d T Ttt2 vnde $16 DE PERICVLO, A COMETAE - vnde ftatim habemus 4D—0 et 4—4:7— 24000; tum vero & — 15,58. 17! etu — 6 — 25154,08. Primo igitur tantum. quaeratur angulus vp cum diftantja w hoc modo : al(y—-Y)-—2,9571647 ad /(x-X)— 3,0566489 mph eX Dan odii Zoo oz nct NE jung. Vp —9,8805158| — I«-— 3,15554]5 ideoque «p — 37. 13;l ideoque «/— 1439,697 Nuncm embra noftrarum acquationum ita computentur ] ^ —9,6118924| ] A 9,6118924 10 —4,0555899 | X —44,3802112 HWEHMIPEUEEP oo badge or —35,9921036 4,012246 1 |13,1122388 lu' —314063356|. 4v —3,2018252| 1w' — 9,4666425 j&X—0,8514700. ! 47 —0,8104209|95—3X) — 5455963 Jane. 9— 8,5368175/tang. V/— 98805158 hinc ^X 3/163 i PA! 9/4242 2384/30 X.— 3, 5261121 et At m Ergo A: — 6, 463 er2o P0 8 480804. | et 9-3 — 0,008 .et 22:-0,222 . hinc igitur colligitur ddX ——*3,099 dT ddY —-- 0,003 d7' quocirca habebimus X!— 24000-Fo.dT —3,549.d 1^ Ne — 0 4-412,896.d T4 0, co1. d i^ — 25139,3828 — 570,030. d t —3,283d ^ »- — 865,296 — 19,621.44 — o,adosd v : deinde ddx ——6,467. d ddy ——0,225.dt' APPROPINQVATIONE METVENDO. $17 : deinde : d X'-0,00.dvT — 3,099.d *' 4 Y! — 412.896.d * -- 9,003. d ^ dx — — $70,036. d T — 6, 467. d t^ dy —-— 1gy621.dT — 0,225. d v. Calculus pro tempore «— : 4 poft epocham. $-. 24. Sumto igitur d — x elementa huius calculi .erünt X — 23956, 435r |] Y-— 412,897 X — 24566,059 y-—. 845,563 | J4—YXz432,666 d Y--412,8990d T dy-—-—19,846 dT t &€4—-X-—. 569,608 | dX-——7,099d*7 dx—-57376,503 dt^ fuper his igitur elementis calculus ita inftituatur aliY, —2,61584172 1y | —2,927146080/( y-Y)2:2,6561527 fubtr/X —4,3801469l(.]1x —4,58903354(./7(x-X)22 2,7555 161 1tang— 8,2556948|/tang. o — 8. $368106/tang. quse 108 erzo (D— 59!. 8^ ergo à — 1. 58.17 |ereo Np — 37. 13: ad / X —4,5801409|d4/ X .—4,390335490/(x-X)—2,7555761 -4 (ec. (D — 10,0000642|/ fec.9 — 10,0002571/f&c. Np — 10,0989130 — — — l u —4,88o2111/ v L453905995 ergo 4 — 24000 Iw —2,854489z rg20 y —24580,600|er£O0 £v — 715, 502 Ttt 5 ^ — ad/A $518 ' DE PERICVLO,, A COMETAE ad / ^4 —9,6118924ad/ A —9,6118924hd/]0 —4,0555899 4X EAE "£x 443903354 (x—X)-2,7555761 3:99290393 4400222*8 6,8111660 5 Ej EJ fiu -—3,1406533[274w9.;5z58,171 3279 5l daz. —— 85634673 c——— TUO BETADSON S € —0,8304505] 36 — 3! — 852476987 Jtang. (D — bssrépepjng (— 85936 81067 rang. V — 958893766 AX ] ^y ] ^* BENE A y P an 6 seqni UIN eun ^y uu 0 —9,0871008/ 7 yup Opi 12 2753 ergo RB — "T, 102 rBo es -— 6,768 rgo d 0,018 e Ar owes] Dee et $0—X9 — 0,013. Annotati. Membra poftrema litera à. afíe&a conti- nent perturbationem «ex actione mutua ortam , qua- tenus ícilicet nafcitur ex 4iflantia «cometae 4a terra tempore z — 1 diei. Quod fi ereo hinc. progredia- mur per tempus ;4, ftatuendo 44 7 — i5 in fine bu- jus temporis. diflantia illa ad d4emillem . reducetur ; vnde quadruplo maior perturbatio nafceretur. Quam- Obrem. c&m labente. hoc "interuallo zT —;d- per- turbatio continuo fiát maior, conuenit medium fu- mere , quod quadruplo maius erit gm inuentum , ue d flatuamus | eA 0,056 et ies - eL 0» quocirca habebimus 050,01 ddX-—3,066.dY ddx—-—6,8o4.dc dd Y-—-—20,o96.dT d d y — — 0 259. dc hincque oriuntur fequentes valores: X!—23996,451—7, 099.41—53, 5833. dT vie $97--412,899.d4T —0,048. d T- L—24566,059-—53736,503.dT—39,402. dT i $45,563—19, 046. d T —O, 129. dT porro APPROPINQVATIONE METVENDO. 519 | porro — —dX'-— —7,099.d T — 3,066. d 1^. d Y! — 4 41 2, $99. dT — 0,096. d T. —4d a3! —-— 536,503.40 *—6,804: d ^ dy! z— 19,846.41 —0,259.d t " binc autem. fumi debet d v —i, vnde. producitur. Cülculus pro tempore « — 1:4 poft epocham. 6.25. Sumto igitur dT — i et dT —,, Íe- quentia habebuntur elementa : .X-—28992,019 | |. Y — 619,354 2X er 24276, 6:95 E quen 835. 608 X—X-— 284, 938 Imo 274. dX——10,032. dT | d Y — -- 412,850. dt NS LE dc. | dyczc-—1i9,936.d T et hinc calculus vti: füpra: fequenti: modo: inftituitut: &lY —2,7919249a0] y. | —2,922002621( y: Yy— 2,3535004$ IX | —4.3800669[ubtr. x —4, 3851942|. Z(x-X)— 2 4547504. —— —À o — M HÓ ftang. Q— 8,41 18580/tang: — 8,5368084/ tang: Np — 9; EM erzo- D— 1. 28* 45. ereo u — 1758/13" ergo. Np. — 33". 12h ad/X .—4,380066931d/X —4,3851r9424d/(x- OL . 4fec. zc dotobiotaé g/ fée: 4'— 10,0002569]/ (ec. Np — 10,0987979 — ]u —4,3802098 eteo y —24000 . 19 —4.5854511| ]1«—2,5535483 ergo v— 24291, 320 [ideoque 3$ — 357, 724 adlA 3520 — DE PERICVLO, A.COMETAE ' ad /^4 ——9,6118924ad/ A — 9,611892 ad]à — —4,055$3899 ]X — z24,9800969/ $.. z24,89854521/ (x—X) — 2,4544700 — — Jus 6,5100599 . bu poi enhn Rad 39919593; ^. 8,9978435 ^ Muy ou qos, 9/*563580 — ] ^x ES " x — 9,9777986/. lieb c m IOI ergo AT — 6,934 et oM "85 [| et e, 0,2897 |] et Sg 0054 - ifta ergo perturbatio: jefgondet tempori rud: at vero tempori' T — r; ; d |fumendo (icai per- turbatio fict quadruplo maior , vüde medium fümen- do iílos; valores -duplicemus. (t;tuendo -c $£&—3X — 6 r5 et 3427 Y 95108 qU* -. vnde colligimus ds "ddX-5—6,9593.d4^ ddx-——*4,0936.dv ^ ddY —c—0,035. dv. 2d acc bag dT UNS quocirca oriuntur X . X—23992,019— 10,632. dT —3,478. d 1 za " np de 619,384-412, 850. d*T—0,037. dT. "i e & c eE1É 9577 579; 907.01 —3,538. d * pw J'— /835,608— 19,976. d1—0, 173, d" e deinde gx — — — 10, 635. d'T — 6,9597. à ie d'Y! —:t4r3:856. HEX dT, utm y m a dT —7,076.d T K£3! — — 19,976. d t — 0, 341. d vbi APPROPINQVATIONE METVENDO. 553£. vbi iam fumi debet dT -—i, vnde oritur Calculus pro tempore 7 — 114 poft epocham. €. 26. Sumto igitur Zr —i et dT'— & fe- quentia habebuntur elementa : X — 23989; 144. Y — 725, $44. — 24151,5760 y —$80.603 &—X—142,616 J—Y —108,059 4X—-— 12,521.41 | d Y — 4- 412, 831. d.t dx--—581,623 dv | dy —— 20,063.47 hincque fequens calculus ; | aly -2,85886452]y | —2,91939835|1/( y- Y)—2,0336609 4X — —4.5$00147|/ x —4,53825899/(x— X)—2,1541683 Itang.(D— 8,4788496|/tang. o 28,5368045/ tang. Np —9,8794926 ergo (D — 17. 45 31" ergo o — 17.58. 15^ lergo Np — 5*7. 9! ad/ X —4,58001470d/x —4,58258908d/(x-X)— 2, 1541683 d (ec. Q— 10,0001976|/ fec. 0 — 10,0002569// fec. Np —10,0985105 1v —4,3828459 Is) — 2,2526788 hinc v — 24.146,00 |hinc t» — 178, 928 1u —4,5802123 binc 4 — 24000 ad / A —9,61159248d/4^ —9,6118924nd/ó —4,0555899 ]1X —488001455/ x —4.,3825890|/ (x X)— 2,1541683 39919071 339944814 6,20c97582 flu — 3, 140636 9f. ] v —3,14855373f / w' —6,7580364 4A* -—o,s551-70]| 4, |. —o 8459435] 1&5:3.— 9,45 4517218 làng. o— 84788456] tang. € — 8,5368045/ tang. p —9,8794926 ur —9,3301198/ ^7 — —9,382749:/3()-Y)— 9,3312144 Tom, XIX. Nou. uu. Vvvy ergo ($22. DE PERICVLO , A COMETAE ergo AX — 4, 100 Er et w o -——0)»2I4 ergo 4$ — 7, or4lergo $52— 05283 ] 3 et 42 — 0, 241| et ROT Y) — 0,214. Nunc iterum valores tertiae columnae 9573 et HE duplicentur , fiquidem ponatur 2 — ;, hinc- que habebimus . | ddX-—-—6,594.dv | ddx-—47,666.dc ddY —-oysrg.dT ddy ——0,669.dc* hincque :nancifcimur : X! — 23989, 144 — 12,571. d 7 — 3, 267. dc Y'— 722,544 —412, 8831. d t 4- O, 106. dc 4! — 241831,760 —581,673.4 1 — 3, 833- dc jJ! — 830,603 — 20,063.d T —0, 884. d deinde dX — 12,935.47 —6,534.d dY —-4412,831.d4 T —0,215.d 1^ da! — —581,673.d 1 — 7,666, d 1* dy! —— 20,063.d T —0, 669. d vnde iam aggrediamur fequentem calculum. . Calculus pro tempore * — 1:4 poft epocham. 6$. 27. Sumto igitur dr —: et dv — 4 fe- quentia elementa prodibunt : X—23937, 546 Y — 7714, 146 X —24058,992 4 — 828,090, X—X-—'1,446 J—Y-:53, 944 4X-—— 19;188.dv | d Y — X 412, $04. d T. dxc—582,631.d4v | d y —— — 20,14747 - calcs- APPROPINQVATIONE METVENDO. 525 - calculus igitur ad modum praecedentis ita procedit alY —2,8888229a]y .—22,9180775l21(.y-Y)— 1, 7319481 1X —4,3799857] x || 224438127741 (x-X) — 1,8539799 ítang. $—58,sc jo M Q9— 8, 5368001//tang. i» —9,8779632 ideoque (— 1.590 s4!lideoque Q-—1..58.1 17'ergo Np — 37^. 3". 9". 2d/ X —453799857ad/x | —4,3812774ad/(x-X)— 1,8539799 Pl"Ecd—1o, 0002260/ fec. (— 10,0002569|/ fec. Np —10,0979467 1u—4,5802119- 1v —4,53815343 ]20—1,9519266 hincz z- 24000, 03 |hinc v — 24073, 23 hinc c — 89, 52x ad /4 956 11892410 7A —9,6118924ad/à ———4,0555899 add./ X — 4,399857] X — —459812774/(x—X)— 1,8539799 ! 999r 361-7. 1: 950582693 539095698 fu —8,1406351(. 1v' —83,1446029Íí, [| —5,8557798 152: —0,8512430/ Az —0,8485669 P6 — XI o. o: ,0537990 /tang. (D— 8,508837: jus u—58,5368o01/tang. p — 9,877963 43 — 9, 3600802 A? —9,3853670/ 30 —9— 9,9517532 ergo &&* — 7,100. ergo, &*— 3,056 - lergo 35-9 — r, 132 et. 283,— 0; 229 et à 2 — o, 243 | et BY) o ,954 u$ mue adhuc duplicentur valores vt. fit dd X-- 4,8936. dv ec MCA ddY —--1,479.dv' | ddy z— 3,9514 hincque colligimus X/—23987,546 — 13,188. dT-2,418.dc Y!— 774,146 4 412, 804. dT 0,759. d * X! —24058,992--582,651.dT— 4,660.d ^ « 9! — 828,090— 20,147. d — 0,975. dc Vvv 2 | deinde B sce X) et iom 1$ £534 — DE PERICVLO, A COMETAE deinde : d X! — — 13,188. Visions d? d Y! — --412,804.d T 4- 1, 479.d ^ dà 3 —-—582,631.d0 T — 9,320. d t* dj ——20,147.d T — 1,951.d 1* vbi pro calculo fequente fumi debet d T — i. "Calculus pro tempore 7— 1: 4 poft epocham. $..28. Elementa igitur huius calculi iua' fe hàbebunt X — 23986, 713 Y — *399,943 X — 24032,560 3-— 826,937 4—2X—35,847 - | y—Y—26, 884. dX -—-— 13,490.dT | dY — 4-412, 996. dt 4x ——583,218.dT | dy —— 20,269.dT quibus inuentis calculum fequenti modo profequamur alY oia 90305904 1 y 22:25,9174147 dübtr. 7 X — 4, 3796 70" (übtr. / x — 4, 3806092 l1tang. — 8,5230$83/tang. à — 8, 5568055 ideoque (D — x^ 54^. 56" ideoque & — 1^. $8.13! lec. (D —10,0002418/1c. 9 — 10,0002569 adi X Gb 37 3799707ad |x | —4,3806092 lu — 4, 3802120 lv — 4,580866t hinc y — 24000, 04 |hinc v — 24036,22 , APPROPINQVATIONE METVENDO. 52$ nad Aue 9,61 18924ad 7^ —9,6118924 -add. 4 X — 4, 3799707add. / X — 4, 3806092. ove aum—— MÀ — HÀ 9 — i $8, 9918631 8; 9925016 flu —-8351406360£[ ]9 — 8,1425983 ]^* —0,8512271] 4* — — 0,8499033 ] tang. — 8, 5230853/ tang. 0 — 8, 5368055 4^7 29,8743154] ^? — 9,3867088 ergo ^7 — 7, 078 v et 42 — 0, 243. &jo &* —7,099 et &* — 0, 237 Si hinc vlterius progredientes fumeremus d 7 — 4, termini litera à affecti fier.nt quadruplo maiores 5 - st fi füumeremus dT — i; hi termini adeo in im- menfüm excrefcerent, — Verum íi minimum d vlterius augeamus, hi termini adeo euaderent nega- tiui, et effa&us in contrarium vergeret ; vnde fi fü- mamus dT —;, vt fit T--ZT—2j/, ifi ter- .mini modo inuentis aequales prodibunt, fed figno contrario affe&i. Quamobrem pofito Z7 — 3 totus effe&us acionis mutuae ad nihilum redigetur , vnde pro fequente calculo hos terminos penitus negligere opportebit, quam ob cau(am in hoc calculo tertiam «columnamne quidem adiecimus ; erit autem 4ddX-—-—,7,0999 dv | ddx— —7,078.dv ddY--—0,2373.dv | ddy —— 0,243. d ex quibus valoribus eliciuntur fequentes : X!/— 23986,713— 13, 490. dT —3, 549. d ^ Y'— 399;943--412,896.d * — 0,118.4 * Vvvs 26M 26 |. DE PERICVLO, A. COMETAE .X! — 94022,560:— 5835213. d 1 —3, 559. d t" dco . 826, 823 — 20,269.dT —o,12r.d T dX'—-— 18,490.d*— 7,099. d | dY!'—4 412,896.40 7— 0,257. d 1^ dx-—-—5858,219.0T —3,078.d t* dy —-— 20,269.d* —0,2493.d T. Calculus pro tempore v *—214 poft epocham. E 29. Nunc igitur in praeccdenitibus valoribus .flatui debet d v — 4 et prodibünt fequentia elementa: X — 23984,972 VY: 8315552 X 28949; 603 3y* —— 82415 8l fH X—X——35,369 y—Y-—-—24, S 6X dX--—14, 877.0 t: |, d Y — 5:412, 8612 dx— —584, og8,dT |dy-—-— 20,298.dT hinc fequens calculus . «1y -—?,9502112hd/y —2,9160805|//( y-Y)2-(-)1,4355418$ [IX -—8,39999391), 7 X — 4,8792983/(./(x- XI Idas —— : —— — — ltang. —8,5502721//tang. 9 — 8, 5367822 /tang. A) — - (995869150 ergo (D — 2". »/.o/: ergo. — 1.58. 17 |jergo y— 537-37. 23" ad/ X —4,879939180d / X- —44,37929832d/(x-X)2(-) 1,5486229 ] fec (Q— 10;0002755)| fec. à— 10,0002569/(ec. Ny —(4-)10,1012458 ——— —— M c p————— 3 14 —4,8802126|, 17 —4,8795552| iw -—(—)1,0498686 hiüc 4; — 24000,07 jhinc v2 25963,'77 |hinc vv — 445 654» adTA APPROPINQVATIONE METVENDO. 5:7 ad]^ -9,6118924[d 7^ —9,6118924ad 13 — (--) 4,0555899 ]X | —4,837995391| x — 4,8792983/(x-X)ez(—) 1,5486228 ——— ———— — ——— "Poo! c MH T estie x CR 3,9911907 (— 5,6042127 £14 -—3,1406578|.7 v —9:13866566 Jw — (42 4,9496058 p——— n ma ee e a. ETÀ ] 8E 2. S -0,8525251/ E53) (— 0.6546069 naim $,5502771/tang. Q— 8, 5367822 ]tang. N/ — 9,88691r9o ]^X. ED EA — 9, 3893073! 9—:3—(—)0,5415259 ergo AT 7,999 jergo ar c. 154 ergo 3e-:39 — ——4,514 et AY —o,252 | et A2 — 0,245. | et Bo — — , 479. Vti hic effedus in tertia columna inuenti labente tempore continuo fiunt minores , et fumto interual- lo ZT — 4 adeo fiunt quadruplo minores , pro hoc interuallo hos effe&us ad dimidium reduci conueniet, ita vt fiat | Pe — 2,957 et $0 e 1, 739 vnde nancifcimur : ddX—-—9,856 dv ddx—-—4,864.dv ddY ——31,991dv/ ddy—--1,494. dv vnde deducuntur fequentes - X/— 253984,972 — 14, 977 d 1 — 4,678 dc Y!— $851,552--412,867.d4 T — 0, 996. dt^ ' 3!—25949,603 — 584,098.44 T— 2,425. d t^ 34! $24,291— 20,298. TF 0,747.d v d x! $28 — DE PERICVLO, A COMETAE dX'——14,377 dT—9,356.d t d Y! —-E412.8673.d T -- 1, 991. d ^ di —-—584,089.dT —4,864.d T |dy —- 250,298.dT — 1,494. d t. Calculus pro tempore v — »;4 poft epocham., $. 30. In vltimis igitur formulis inuentis fu mamus dT — & et obtinebimus X — 239845,055 Y —..877,852 X —253913:088 qyi30:823, 026 RA reU, DO | ;- YZ—5 4, 326 dX--— 14,961dvT | dY —-- 412, 743 2 T d x-—584,402dT | dy—— 20,205 dT hinc fequens calculus elY -—2,943178390]y | —2,915413501( 7-Y)— 1,734097 fübir./X — 453799226 1x — 443786356.1(x-X)— 1, $510564. ltang. (0— 58,563 5632515|/tang. o — 8. 85367779 tang. V/— 9,8829513 ergo (D — 2". 5!. 42" lereo & — 1*. 58. 13 rgo i32. 16! ad | X —4,57992268d/x —4,57863568d/(x- X)2:1,8510564. l (ec. (D— 10,0002904// fec. à — 10,0002569/ fec. py — 10,0997838 — — —— )lu —4,93802150/ « — 4,3788925 lw —1,950840£ hinc & — 24000, 10 |hinc. € —32957,24 hinc w — 89,298 ad 7A APPROPINQVATiONE METVENDO. $259 ad / ^ —9,611892480d/ A —9,6118924hd/ó0 | —4,0555899 add, / X —4,37992264dd. / x (55-2 tii 10564. $3:9918150| ^ ^ 8:9905280 5,9066463 flu -3,1406390k 49 -—3,1566735| lw —5,8525206 ] ^T —0,8511760/ 97 —0,8538505/ 3*3 —0,0541257 v$ tang. (D.— sar Cosma —9,8829513 ] OX —9,4144273/ $3 —9,9906284/30 9 —9,9370770 ergo 47 — 7,099 krgo &* — 7, 142 ergo PeX—— rr, 133 et &Y — o, 260 et 4. — o, 246 et. 507) —— 0,865 quod fi iam fümamus interuallum zT —:, effectus tertiae columnae ad íemiffem redigi opportet, vnde BEC; ddX-——57,665.dvY ddx-——6,546.dcv ddY--—0,692.d1' ddy--ro,1i186.dv vnde colliguntur fequentes valores ; X/—23984,055—14, 961,21—3,832. dT .Y/— 877, 352--412,743.d T—0, 346. d ^ 4/— 23913,088—584,402. dT—3,288. dT" 3!—823,026—20, 205. dT 0,093, d dX!——14,961.T— 7,665. d 1^ d Y! — -- 412, 743. dT —0,692.d t* d X! — — 584, 402. rore SNR da dj!—-—20,205.d T 0, 186. d Calculus pro tempore 7 — 2; 4 poft epocham. $. 31. Pofito igitur 7 — s fequentia elemen- (a prodibunt : Tom. XIX, Nou, Comm. Xxx aM €————— 53e . DE PERICVLO, A COMETAE X -—55985,125. ^ -||-Y —— 928,940 o* zx 9558505385 | J — 820,50r X—X-——142;1g8 | /—Y — 3108; 439 ; 4X-——— 15,919. dT ld x — -- 585,224 dT dY ——-L412,656.dT | dy — — 20, 182. d t quibus inuentis fequens calculus inftituatur &ü PX 0—2,9629879a ly — 29140791 al(y-Y)z 2,0351856 (1X. —4,379887Ó(übtr./x—4,53773059. 7 (x-X)— 2,1527102 Jtang. D — 8, 5881001/tang. u — 8,5367732/ tang. y — 9,882454 erzo (2c 27.13/.6! ergo o — 1.58. 15" ergo Ap — 37 . 29. 25" ad/X —4,37988760d/x | —453773059g8d/(x.X)— 2;1527102 ] fec. (Q — 10,0003256/fec. & — 10,0002 569/ fag, Xp 10,0996069 lu --4,3802139| ", 719294457975 698 11 — 2,252517I hinc 4 — 24090, r1 |hinc v—253854,04 J|hinc y — 178,780 ad/íA4 -——g,6118924[|d/ A z9,6118924hd [0 —— 4,0555899 1X .—4,3798826]/2x7 — -—— 4;0778959/ 4X 0) — 24 1292 1102 ——— — 3,991780C 3,98919$53 6,20853001I fübtr.]u.—3,14c6396( 1 9* —53,1326884K. Iw! —6,7569513 ——— RAE -—oQ8900404 DE —:0,8565099// $29 — 9,45 13488 13 Itang. (D — 8, 5881001/t2ng. 9 — 8,5367732/ tang. p — 9,8824-754- PY Y m3 ^ 2 Sy SY) ] ^* -c:9,4392405] 5 — 9,303296 1/ 20 *19—9 RAE S au X Uere eron 9Uu-X) 71 ; ergo ^* — 5,098 |ergo 27 — 7,186 ' "ergo v -0,285 Nau ^ ENTM Dol uvm et ^; —4107975 | et Ei opo det LOI --0,215, Effectus APPROPINQVATIONE METVENDO. 55: Effe&us tertiae columnae iam iterum ad femiffem ^- . reducantur, fiquidem deinceps ponere velimus d T— ;, ,. ..- ficque obtinebimus ; . 5.«2d4dX——3,289. dT . ddx——7,045.d* " ddY- —-—0,382,'d* ddy-—0,140.dT* vnde obtinebimus fequentes valores: X'—23982,125— 15,919. dT—3,619. 2 Y'— |. 928,9404-412,656. dt —0,191. dt^ ——494.2:-.23839, 987—585,224.d4T—3,522. d T- trso02g-t 820, 501— 20,182.dt—0, O70. dc 4X'—— 15,919.27 — 5,239. d t dY'— 412,056. d 7 — 0,382. d T. dax -——585,224.dT — 3,043. d & s * U dy — — 20,182a.d T — 0, 140. d t". - Calculus pro tempore :—::4 poft epocham. $. 32. Ponendo in formulis modo inuentis d7 —. hofce obtinebimus valores : X — 23977, 919 Y 1932,092 X — 2:693, 461 y 815,452 *(3—X)— — 284,458 y—Y-—-—216,640 adUes.- 12,792.40, Y L4 4x2,s6r. dm 596,695. dT.| dy. — — 20,21G.dt füper his: igitur- elementis calculus ita inflituatur 41Y —3,0137589a/y —2,9113985|/(y- Y)—(-)2,33537386 [1X —24,5798119í.]7 X. —4,3746285 (4(x- X)2:(7)2 4540151 — — tang. o-— 8,63892'70/tang. o — 8,5563 700/ tang V —9,8817205 ergo (D— 2.27. 52" krgo o — 1". 58! 17! ergo VJ 37 . 17. 10" 005 05,- 2 DEEBERUMLRU Torno o LT SOS Mete epe d ni qv Co ESQ ARR D EL DOR RID NR 28 ARACPOCM RE X REX ad/X $525 DE PERICVLO, A COMETAE ad7 X ——45879811553d / x ——45 87462857 (x- X)--22,4546181 ífec. (D 10,000 4025] fec. is 10,0002569/f:c. vj 210,0989420 ETE 4 ])u 5 4,5802138 19 —4,8748854| 1w--25,5529601 et£O 4 — 24000, 14. ergO 'U — 23707,511 ereo qj—— 357.240 ad/.À —9,6118924]2d / & —9,6115974 adíÓó 224,0554899 1X. . 5224,5798145 ] X — 4,5746285 l(x- X)— 2, 45409181 2... 959911037 , 859865209 6,50905080 flu — 8, 1406414 lo — 8,1246562 lw! —3,6588803 pex —0,8510625 ] ^? —o, 8618647 [1524 — 8 8506271 )tang. (5—8, 0389570 lang. u 2- 8, 5367700 lane. Vj— 9, 8817205 j 4t —9, 4849893 [ES 3986347/3 0-3 — 8,7323482 rece ergo 27 — 7,097 ergo Ag —4,236 |ergo $67-9 — 0,071 et 51 — 6, 505 et 4? — 0, 250 et BO Y — o, o$4 hinc fumto dimidio valorum 9€—39 et 301—-Y) gb- tincbimus | ddX-—-—*3,155,dv | ddx — 1, 241.d n ddY --—0,8525.dY | ddy——0,228.d' vnde etiam fequentes deducuntur X! — 25977, 919 — 17, 792. d t — 8, 566. d v^ Y!- 1032,092--412, 561. Z2 T — 0, 166. d t x! — 25693, 461 — 586,685. dv —3,620.d J!'— 815,452 — 50,216. 4 T — O, TIT. dc dXl—- 175,495. d?—*7,152.d d YI ATRIIS I d — o, Saad da!l— -— 586,685.dT — 7,241. dc dj — — 20,216.d t — 0, 229. dT. 2 Calcu« APPROPINQVATIONE. METVENDO. 533 Calculus pro tempore 7 — 3 à poft epocham, $. 55. Pofito 2 T — i huius calculi elementa ita fe habebunt X — 23968, 132 Y —12538, 55r X — 23399, 214 JU. 0505,316 X-Xl-568,918 J—Yx—4893,915 dX—-—21,558.dvT | d Y — 4- 412,395.d T 4x-—590,505.dv*| dy — — 50,572. d quibus inuentis calculum ita profequamur alY -30928368la]y -2,9059663/(5-Y)— C)2,6565020 f(i1X -—4,597963416 2x | — 4.3692012[./(x-X)—(-)2,7550497 — —M — — a A lang. Q— 8, 7182027 /tang. à —8,5367651 ] tang. Ny — 9,8814523 "ergo (D — 2". 53!. esllergo t — 17.58. 16" ergo Np — 37. 16. 52 ad] X —4,3796341ad/X I44,3692012ad/(x—X)— 2,7550497 ]fec — 10,0005790// fec. à— 10,0002569] fec. Xy — 10,0992300 — —— — — A — RÀ o 1u—4,53802131| | 190 —4,3694581 lw —2,8542797 ergo 4 — ?4000,11 [rgo v— ?3413,95 frgo w-— — 714, 957 ad/A -—9,6118924[id/^A —9,6118924aüd ]Ó — — 450555899 ]X — —4,8796341|x ^ ——4,3692012/ (xy— X) —2,75504917 pon Lenses u—— —— — m ———— : 3,9915265 E 3,9810936 6,8106396 f.lu — 31406511 79 — 35108574-5|(ubtr. «4» —8,562859r —— — —— — a — e —M — —— a —— À——À j 5E T6: 8508754l/ E —0,8727193|// €—29 — 8,2478005 Jtang. D— 8,715202*7/tang 9— 8, 5367651 tang. Np — 9,8814528 u— —MÓÓi tr à j^ -—9,5640781/ 27 —9,4094844/ 9-—Y) —8,1292533 ergo 4€ — 2,094 — [ergo ^? — 7, 460 rgo$im — 250) 04q a 23—0,866 | e 22 —0,257. [e 12,9 — — o; og X X.3 vbi 334 — DE PERICVLO, A COMETAE vbi: iterurp effectus actionis mutuae ad femiffem. re. ducuntur , quo obíeruato fit ddX—-—7,102dv' ddx——43,452.dc* d4Y--—0,43792 dT ddy—-o0,251.dc" vnde fíequentes nancif(cimur valores X! — 23968, 132 —,..21, 358. d? — $, 59 x dc Y'— 1238,331-- 412,395. d T — 0, 186. d t^ NE — 2338948347 590, 305.d T — 3, 726. d T |" Aces MENO 20,9592. d T — O, 125. dT. dX'——21:,358.d t — 7, 10s. d T^ - Vi gdiison aieote di dT — 0,872. dc d x! — — $90, 305. dv —1, 4ss.d c d)! — —— 20,572. d — 0,251. dT. Calculus pro tempore 7 — 4.4 poft epocham. $.. 34. Calculi. huius elementà pofito dvi it erunt comparata X — 23948,223 Y — 1650, 546 X —02805b. 1952 £2 784, 819 X—X-——1158,040 y—Y-—-—865,9721 . 4Xz—28,4500.dT | 4Y zz-p 412,025. 4 dX,—- 5g. 7 sn dT dy ---— 20,623.d T hincque calculum fequenti modo profequamur. Et quia actio. mutua penitus ceffare eft cenfeada, tantum fupere(t, vt valores (D, u, e, v, Np, sv definiamus aiX APPROPINQVATIONE METVENDO. s3; «lY —3,2176260a [y —2,8947692a/( y-Y) —2,9575480 fübtr/X —4,3791820(./x | —4,3589355 .Z(x-X)223,0561526 ——— tang. (5 — 5,8384434/tang. à —8.5367359/tang. V/-—9, 8812204. ergo (D— 3*. 56.37" ergo 9 — 1. 58. 16 ereo Xp — 35". 131, 4.9! ad 7X —4,5791826hd / x —4435803354d/(x-X)— 3,0561576 4 fec. (D — 10,0010287// fec. 9 — 10,0602581/fec Np — 10,0991489 |o. 7 u —4,8802113| 7 9v —4,3582916 Iw —3,1553065 hinc 4 — 24000,01 [hinc v —22818,74 [hinc QW —— 1429, 902. . 6. 85. Quo haec quae his calculis inuenimus clarius ob oculos ponamus , omnia in fequenti tabel. la referamus in feptem di(lributa columnas. - I^, Co- - lumoa continet tempora ab epocha elap(a: in" diebus * -et horis expreffa, (cilicet valores literae v. I1^.. Lon- ^ gitudinem terrae ex^ fole vifam', feu sngulum d, |^ 1H. Diftantiam terrae a fole in femidiametris terrae expreffam , feu literam z, 1V. Longitudinem .come- tae heliocentricam , feu angulam «.. V. Diftantiam cometae a fole, feu literam 9. VI. longitudinem co- metae geocentricam , feu angulum xp. VIL Difün- tiam cometae a terra itidem in femidiametris" terrae fcu literam v. "Tabula 556 DE PERICVLO, A COMETAE Tabula motum tam terrae quam cometae exhibens xd um. bu s nk üicuhii de [dm D.h.g. m. s. ied Is qo 8. T" S «gom 1f. O. o0 OG. O. 024000,00|1. 58.17,25154 Oo8jr. 7.12.5711430,697 I. O |0.59- 8,124090,01|1. 58. 1724580; 60/1. ;.'02. 123,131] 2231 553021 ;.12 |1. 28.43|24000,02/|1. 58. 17242915 3?|'* 9-11.-591 35 7,724 1.18 |1.43* 31|24.000,03 1.58.17|24146, oolI- 7. 9. 3| 178,928 I.21|1.50.54|24000,04/11. 58. 17124073» ?5|E- 3.87 9" "89; 5*1] 1. 2252I. 54. 56124000,04|1.58.17|24036, 22/1. 7. O. 3 44,808 2. ilo. 2. 0O|24000,CÓ|1.58.17,23963, 777. 7.37.28 445657 2. 5.42|24000,10/1. 58. 17/23927, 24/7.17.22.16| 89,298 2.13. 6|24000,12/.| 58.17)23854» O4[7 T7.9*0.25| 178,780 2. 23. 52]124000, 141. 58. 17/2370 7, 51|7- 7. 17. IO 357,240 2.57. 25|240005 101, 58. 1623413, O57. 7.16.32, 7145953 3. 56. 37|24000,01/1, 58. 16122818, 74[7« 7.15.49/1429,903 $. 56. Non obfantibus leuiufculis erroribus, quos in talibus calculis euitare non licet , conclufio- nes maximi momenti hinc tuto deducere poffumus. Primo enim motus cometae refpe&u terrae manife- fto diflingui debet in acceffum et receffüm. — Acces- fus durat vsque ad dies 2 quo cometa continuo pro- pius ad terram accedit, ac fortaffe vsque ad conta- ctum appropinquaret , quo cafu vtique collifio con- tingeret effectum maxime funcftum producens, Ve- rum affümamus cometam nonu prorfus ad contactum vsque appropinquaffe, id quod quam minima facta mutatione in noftra hypothefi eueniffet. ^ Semota igitur collifione intelligimus, cometam fere pari mo- tu APPROPINQVATIONE METVENDO. $57 tu iterum 4 terra recedere quo "accefferat ,' néquo adeo in curfü fuo multum turbari. Vnde ftatim eo- rum opinio manifeflo rcuellitur, qui putarunt, talem cometam ad terram proxime accedenrem | in. fatelli- tem vel lunam abire poffe. Quin potius euidens eft, neque terram neque cometam in motu fuo hinc enormem pertürbationem perpeti, fed potius vtrum- que curfüm fuum fine admodum notabili mutatione ' effa profecuturum. Interim tamen nullum eft du- bium, quin ob maximam vicinitatem phaenomena fa- tis notabilia tam in aeftu maris quam in flatu | At- mofphaerae fe fint oblatura. Sed quoniam ifta. vicini- tas quafi tantum per momentum durat, vix vllum inde periculum metuendum videtur. N $. 37. Deinde etiam ;ex hoc iul inia omnem eff:ctum- qui-in acceffü cometae ad terram fuerit productus in receffü fere maximam partem iterum deftrui; quandoquidem tam fitus quam mo- tus terrae et cómetae poftquam actio mutua ceffa- vit non multum difcrepat ab eo qui remota actio- ne mutua locum habuiffet. Quo autem hanc ipfam mutationem — accuratius determinemus , comparemus vtriusque flatum, quo tam terra quam cometa quarto die vbi a&io mutua ceffaffe eft cenfenda verfabantur cum eo flatu in quo remota actione mutua fuiffent reperti ; vt hinc deinceps motum vtriusque futurum determinare queamus, $. 38. Primo igitur fi terra motum füum fine vlla alteratione continuaffet, etiamnunc foret u— .24000, Tom. XIX. Nou. Conub) MUN any et 55$ — DE PERICVLO , A COMETAE et elapfo tempore T — 4. foret angulos (D — 5:.56/. 35! vnie prodit X-—24000cof(p et Y —24000fia.(D h.e. X —28943, 733 ct Y —1650,299. Pro celeritatibus vero habebimus (X ——240004 Gn. et 2Y—E 24500 4 cof $. Supra autem vidimus effe 4(D— 0,017204 dz, fic- que erit d —— 0,017204. 24000 fin. e — 28, 391 d d. 0/017204. 24000 cof, D — 4-411, 928 qui Yalores quo facilius cum iis quos . vltimus cal- culus fuppeditauit conferri queant hic coniunctim re- praeíentemus /?^Reétmota igttone iatis AGéberie actione mutua —ÁÀ—— — À— — ————À NETTES vat f ruit 7X 2 28913, JO X Z 23943, 223 Wu. UI6U5 259 | Se 22 1650, 540 onte icol 28,991 | 29 — — 48 fu do 4:—01411,928 , dr 4 412,02$- 6. 49. Pro motu aütem tomietae fupra 'inwe- bic haüc aequationem ; pi eee et 9 —:c4c— vo yv dene 'aYz& wbi inuenimus effe e Y c zt Y34y di ^ 2 Quarc cum fumfíerimus * — 24900 ct:q — i*, 58. YXxgpke 034408 LWuMc APPROPINQVATIONE METVENDO. 339 nunc vero fit 2g V v (3 a Ya. T2)09Ya— 39 Y 24 hic capiamus pro quatucr. diebus 9—2a ert 2vYvo-—2zaVa-—o id vnde in nümeris fiu v Y $ — 3446680, hincque porro ]1V«y-— 25,1791557 €t /0—4,93582674. hincque y --298:7,4370 vnde colligitur "*-—vcola- 22803,9635 et y vfin. 4 —: 784,925. "n vero pro celeritatibus ob ;— Y -84809,532 crit /72— 2,7778275 Mme fietque, dim od C a — dE cz $2 cofal- 598,512, $c À" Gogps 20, 6O I. «TW ; Quod fi igitur iftos valores comparemus cum iis quos cometa habuiffet/ eodem tempore fublata actione mu- tii, comparatio ita fe habebit, Sublata actione mutua/Accedente a&ione mutua " T — 22805, 965" )5, 18 X 2-225805, 150 Ei 0025 — 984,819 $5 --— 598,512 || oe ex $m 7 550 ; vu LoUS o eoru dz eS 2-6, 68i $. 4o. Nunc igitur quaeftio huc redit, quanam lege tam terra quam cometa motum füum deinceps fiot proftcuturi, pofiquam actio mutua ceffauit; Quae quacfiio eum -Jatifüme pateat , eam gsneyosim in fes Lo problemate com pleétamur, *á, X -—E Pro- 549 DE PERICVLO, A COMETAE . Problema. | Si ad datum tempus cosnitus fuerit tam — locus quam wiolus fiue plawztae fiue cometae, determinare eius orba ct WOIMwA quo deinceps. circa fülen reubluetur. | Solutio. T. XXIV. €. 41. Elapfo tempore 7 dierum planeta fiue Fig 4. cometa verfatur ia. Y , vnde ad rectam S w' ex fo- le.ad initium arietis ductam demittatur perpenzicu- lum Y X et vocentur coordinatae Sub ccu ue UN LY o Praeterea vero ponatur diftantía a Sole S Y — 4 ct angulus 6 S Y — D, ita; vt fit uu— x x 4-y y. et tang. (D —2?. ; tum vero viciflim x— cot, ya fin. Q. Quibüs pofitis principia motus fequéntes.-fuppeditant aequationes : L is—-—6áfeal]ni—-Ar | — —— A qao u* vbi fi omnes di(tantiae in ielrdiamicinid terrae expri mautur inuenitur litera A ita vt fit /A — 9,6118924. fiquidem diflantia media terrae a fole. affumatur 24000 femidiametris terrae, $. 42. lam pro flatu planetae initiali qui ad datum tempüs vt cognitus (pef fuerit X — a, x Bs eius : En J — b; tum vcro pro motu "EL "x4 —gi; vnde pro eodem initio erat uus et tang. Oz b^ Statuamius autem breuitatis gratia a pro initio £—f et D — 92, ita. vt fit f — Yaa--bb et ting. 9 — À, Hinc porro fiat ^^ &. i24 T qaa- Q8 Z7 Dcin- APPROPINQVATIONE METVENDO. 54r Deinde cum fit. ota | udu—xdxA-ydy erit. 35 —aa-4- 58 —9 'dT vbi notetur effe dx --4dy —dw-ruudQ. $. 43. Nunc aggrediamur qequationes noftras diff:rentiales. fecundi gradus et haec combinatio I. 24 -- IH. 2 d y dat 2dxddx--:àvddy — LL :A(zdz-evdy — ..:Adu dT? HRS u* M uu cuius integrale eft d x!3-d49y? — 2 d£ IU C Pro quae conítante determinanda quia in ftatu ini- tili fit. : dx? ded» LL — 3 i iar A ig dy —P/2 et uz f erit C—44—*A a T* ita vt habeamus ei dxt-L4y3.— $3 Lu | 24A tur I64- E . 6. 44. Confideretur nunc ifti combinatio : l. x -— 1L. y , quae dat zddx--yddy — LL A(xx--»» — A E v3 ü : cui addatur aequatio modo inventa integrals, eritque zdix.Ldx!-a-ydiv-4y! — —-24 A^ VE Ve. UT 6 5 " nen . Cum autem fit A. xddx--dx —4. xdx et yddy-i-dy —d.ydy ur cs oW -8 000 quae 545 DE. PERICVLO, A COMETAE quae multiplicata per 2 4 d 4 ct integrata "— . i Cx rag-tARBa-fiuwu vbi cum initio fuerit & — f et *^* — g, conftans ita definitur vt fit C.—2g- 44/f, vnde obtinebimus ec Raum ZUff-:4u- V ar 4s6uu quae eft altera. aequatio iutegralis duas tantum Com» tinens variabiles. $. 45. In hac formulr notetur fore £L ÓIf--—iep Aen vnd2 à (:uamus ag — b a cc b, aequatio inuenta , pofio adhuc breuitatis ergo *2^ — GG -—F , hang induet formam: uii —-—hb- ay AC M d 7* vnde radice extracta reperitur dq Xo et Lael y -—bbo-Au-—Fuu Vbi notari oportet, fignorum- ambiguorum valere fü- perius fi planeta a fole remoueatur ,. fiue fi motus a perihelio cozputetur: fio autem ad folem accedat, fiue fi motus. ab aphelio computetur vti moris eft pro Plagetis, inf£rius fignum capi debebit. Notum autem eft huius formulae integrale partim — algebraice par- tem per arcum circuli exprimi poffe, ita vt hinc ad quoduis tempus 7 óiflantia w per notas rigulas aftro- nomícas affgnari poffit. Li d $. 46, Quoniam ex hac acequatione ratio. 27 conflat ex aequatione integrali primum inuenta, ob &x -—-dy —duy-puuddy ctiam APPROPINQVATIONE METVENDO. 543 etiam ratio 22 colligi poffet ^ Verum hoc facilius ex ifta 'combinatione: 1;,y — lI x fieri poteft, ex qua fit ? jap Rie cuius integrale eí.24*7-*45—C ex (tatu autem initiali concluditur — 5a—a( —— ita vt fip 52-7277 — 5, Cum vero fit: x-—ucof.( et y —u (n. (D hincque «dx —dacot. Q—udo n. et dy—dufin. 4. TR o erit x d y y d x — uud ficque aequatio noftra erit m2 5 fiue d D — 727 quare loco 4 7 valore fübftituto . habebimus do 2 detieu Cage ERI OHWODWruITN ) $..47. Ad hanc formulam fimpliciorem red- dendam ponamus du vt fiat $*—— 7^ ac res o p a v—bbzz--:iAÀmt—F Nunc / pott fignum radicale VS ni membrum £44 pues: , ponendo g— £4 ac prodibit vbi ponatur &2—F-anbb iat -— AVUSUTUTHME. S r6 uy akRi1»Y* Eb my as LAMP P e $44 . DE PERICVLO, A COMETAE et impetremus d.t cuius integrale manife(to eft DU On Ba) vel etiam (p — C -t- A cof. 4 vbi iterum conítans ex flatu initiali determinari de- bet, pro quo fit (—9. Deinde ob u—f erit z—* et &—j — &, vnde - initio fit S.—C-tF- Acof, ?7— ^1. ideoque C—-9 4-7 Acot 77547. uare fi ifte arcus cdd cofinus ^^— Dread onatür — 4 S odbP Rd erit C — 9 X. «4, ideoque (D — 9 -- « -t- A cof. 3. X Quare Cum. cuz ÉL 1. CE Qz3 -L7«--Acof ?5-2* g. 48. Sumamus hic figmum fuperius valere , quia cafü contrario mutatio facile inftituitur, et cum fit | : * Ó-—959-r-3 — A cof. rat bb ponamus breuitatis gratia "Qo — S9 -I-«4-— v eritque cof. o9 — 77^ -E bb bibis vnde colligitur 4 — bid. BOE Fiat nunc 7? ze vt prodeat y — ——5-.—- ; fiat porro n c — — e, vt L0! M-nec0j 0 fit e——A YA -—| —Fbb, ficque habebitur 4s — —25— T ec. o» ex qua formula intell igitur orbitam effe ellipfin cu- ius femiparameter — c et excentricitas — e, angulus vero g anomalia vera. : $. 49. APPROPINQVATIONE METVENDO. 545 6. 49. Quodá crgo fümamus & — o , reperie- tur diflantia aphelii a fole — -€—: at fumto uz 180* fit diflantia perihelii a fole — —5—, vnde axis traus- verfus orbitae colligitur — ——-, et femiaxis trans- verfus — ———— A. Tum vero erit — 9 --4—a, vbi et cof 9 — *—*; vnde cum initio vbi u — f fiebat e — «X, bic angulus * commodius ita definie- tur, vt fit - «of. —£75, cxiftente c et ez- AY(A— FEE). €. 50. Supereft autem. adhuc wt pofitionem Jineae adfidum refpe&u axis S V determinemus. Hunc in finem ftatuamus planetam in fuo aphelio, vbi vt vidimus fit y — .2—, et angulus (D ipfam dabit iu- clinationem lineae abfidum ad rectam S Ww. Pofito gutem 4 — — fiet cof. 9 — 1, ideoque o— o, vns de fit D—9- & 51. Colligamus nunc breuiter omnia quae ad determinationem orbitae funt inuenta, «ct eX da- tis quantitatibus principalibus a, b et a, Q, quaera- mus primo angulum 9, vtfit tang. 2 — 7, hincque porro diftantia fzVaa-- bb — a fec. S. Praeterea. capiatur b—ag-—bact á—aa-r- e wnde definiatur F — zz — £ à. Quibus elementis con- flitutis erit orbitae ellipticae femi - axis transucríus — 4., femiparameter e — *v. et cxcentricitas e—-A&Va'-Ebb, | Tom, X1X. Nou. Comm. Z1 Dcinde 546 | DE PERICVLO, A COMETAE Deinde quaeratur angulus «, vt fit cof. —/—75, hinc- que erit longitudo. lineae abüidum fiue eugait füb quo ea ad re&am fixam 'w'S inclinatur — 9 — 4; ficque omnia. innotefcunt .quae ad nouam. orbitam determinandam requiruntur. "Determinatzo orbitae terrae poft cometae actionem |.$..52./ Ex $. 38. porque adio comctae cef- fanit habebimus | | u—25049, 29 hri bc urna b —. 1650, 540 g—-c 412,029 vnde füpra iam inuénimus 9 —"8 € 56.372! et; f Eed000,.0z Hinc erit b—aQ-—ba-99r2154, 57 ideoque 1b — 6,996162 ct 1 b b — 13, 9923844. Porro quaeratur £6-ac-r88- 170572, 97 denique S. — — 170483,04. vüde colligitur e 665--179393, x1 et | 1E 5,2314519. Praeterea | e—— 55 —24012,76 ct ex Y 3H Lag, 0044 fiue exceütricitas tam eít parua, vt ob errores calcu- li ineuitabiles ne definiri quidem queat; ita vt ter- I3 etiamnunc in circulo moueri fit ceníenda, vade etiam APPROPINQVATIONE METVENDO. 543 etiam nulla datur linea abfidum, :cuius pofitionem inueftigari oportet. — Poftremo autem erit femiaxis transuerfüs A — 24012, 70. n 6. 53. Poflquam igitur adio mutua ceffauit, terra adhuc in circulo reuoluetur, cuius radius m — 24012, 70, cum ante affümferimus circulum cu- jus radius — 24000 femidiametris :terrae. ^ Nunc jgitür "tempus periodicum 'aliquantillum augebitur in ratione. fesquiplicata. axium | tzansuerforum : hoc eft in rauone r:2£22 feu vt r1: T tisse Augebitur igitur tempus periodicum (ui parte ;;;; , quod eft augmentum cirdter 7 horam, quod diférimen profecto fatis eft exiguum , dum ex tali occurfu fubuerfio totalis me- tuenda videretur, "Determinatio orbitae cometae poft actio- nem mutuam. $. 54. Applicemus nunc etiam noftrum pro- blema generale ad. determinationem, motus |cometae, quo ceffante actione mutua deinceps feretur, atque ex $. 39. habebimus pro hoc caíu à — 22805, 180 : 5 — 784, 819 — —597,7517 : 8 —— 20, 623 nk jam in poftremo calculo deduximus f— 22818 JA et angulum 9 — z^. 58^. 16", Porro vero reperimus |» b—a—ba—-— 1180, 33, ideoque 157(—)3,0720034. et /bb—6,1440068. Porro $604 B—351738; 64. et h/ edem vnde fit Ele $78,26 Zn s hinc- 548 DE PERIC. A COM. APPROP. METVENDO. hincque fit 4 — 4658750, 0o. Praeterea. vero vd LLa bib LLL — —rbb— € — 2 0,0003405 et e— Y (1 e) m tam parum enim ab vnitate difcrepat, vterror vltra decimam figuram fractionis decimalis demum occut- rat. Denique fiet cof. I6 1 ideoque € — o. 6. 55. Hinc igitur patet , poft actionem mu- tuam orbitae cometae femiaxem transuerfum fore 4 — 4658750 cum ante fuiffet infinitus, Sicque cometa nunc habe- bit tempus periodicum, quod reperietur diuidendo iftum femiaxem transuerfüum per 24000 vnde prodit 194.5 quocirca periodus cometae erit — 194. Y 194 annis —2316. Deinde cum fit femiparameter e—0,0003405 patet, hanc orbitam a linea recta vix difcrepare , id quod etiam inde intelligitur quod fit excentricitas € — 1r. Denique cum prodierit »—0 linea abíidum cometae inclinabitur ad directionem fixam S'v fub angulo € — 17.58. 17" prorfüs vt ante acionem mutuam. Secundum hypothefin autem quam feci. mus hic cometa recta in Solem fe effet immerfurus rediturus igitur nunquam inde.foret. Hoc igitur mo- do omnia funt expedita quae füper cafu propofito defiderarii poffünt. Hinc igitur manifeflum eft. :d quod iam (apra innuimus , ambos effe&us actiouis mutuae cum in acceffu tum in receífü ortos fc mu- tuo fcre. peuitus. deflruere, DE ej$(o)ssi- 549 DE DIFFERENTIA INTER PARALLELVM LVNAE VERVM ET APPARENTEM. Auctore AND. IOH. LEXELL. Bu E. d determinandam differentiam afcenfionum re- &arum pro duobus aflris extra meridianum , Aftronomi ita procedere confueuerunt , vt duorum filorum micrometri vel reticuli Tubo cuidam appli- cati, normaliter fe decuífantium , vnum verfus Po« lum aequatoris dirigant, alterum vero ita confti- - tuant, vtàb aflro praecedente defcribi videatur; tum enim íi ad pendulum notentur momenta, quibus haec aítra ad filum quod Polum refpicit, adpellunt, et interuallum temporis quod haec momenta inter- cedit, in angulum horarium debite conuertatur, in- venietur differentia aícenfionum rectarum pro binis aftriss— Verum enimuero in hac procedendi Me- thodo füppouitür , quod aflrum praecedens , motu füo circulum parallelum circa Polum aequatoris de- Ícribere videatur, quod qvijem perfe locum ha- bere nequit, niü hu:us aflfri eadem maneat declina- 9 tumque hoc aflrum Parallaxi et refractione pla- ZZZS : ne 550 DE PARALLELO LVNAE ne nihil adficiatur, Dum igitur comparatio infli- tuitur Lunae cum aliqua flella fixa- et Luna ftellam. praecedit , fi filum micrometri ita difponatur, wt Luna alterutro fuo limbo hoc filum radere videa- tur; tenendum eít directionem hanc fili refpici de- bere vt tangentem lineae quam Luna motu fuo diurno defcribere videtur, neque tamen hanc lineam effe parallelam illi quae circulum parallelum a ftel- la defcriptum tangit.. Hinc autem ctiam fit, vt fi- lum parallelo apparenti Lunae normale non ad ipfum Polum dirigatur , feu quod idem eft non tangat cir- culum declinationis per punctum quo bina fila Mi- crometri fe^ decuffaot , ducum ;. quam ob cauffam appulfui flellae ad filum hoc verticale aliqua adpli- canda eít correctio , vt «habeatur momeatüm quo ftella in eodem circulo horario erat ac centrum Lu- nie pro certo momento adnotato — Quum autem. motus. appárens Lunae ob tres diuerfus adficiatur cauffas, variabilitttem nimirum Parallaxis, declina- tionis et. refra&ionis, de fingulis feorfim agamus, vbi quidem a.Parallaxi initium ducendum effe videtur , tum quia eius effectus maxime notabilis efle folet , cum quod fatis concinné et eleganter exprimi poffit. 2. Ad differentiam. inter. parallelum Lunae ve- - rum ct adparentem ,' iuter A(lronomos primus ani- mum aduertit Celcb. Mayerus , qui in fuis Differta- tionibus Cofmographicis formulam. tradidit, pro an- golo, quem linea motu apparenti diurno Lunae deícripta facit cum circulo minori, cuius diflantia a Polo aequatoris aequalis eft declinationi Lunae ap- paren- - VERO ET APPARENTL $51 parenti pro tempore .obferuationis. — Quum vero Mayerus. in fatis: perplexam et diffüfam huius for- mulae demonftrationem — incidiffet , eandem — penitus füupprimendam effe ratus. eft ; hinc autem factum eft wt Cel. de /« Lande, dum in fua Aftronomia Tom; IH. $. 2539. huius formulae mentionem facit, ean- dem vitii. ct erroris cuiusdam fufpicetur ct in eius locum aliam fubflituat , quae ipfi exa&a — videbatur. Atqui re bene penfitata facile perípicitur , formulam Mayeri fi non rigore Geometrico veram | effe , fal- tem quam proxime ad veritatem. accedere , , cum contra formula Cel. de /s Lande toto cotlo a. veri- tate aberret. . Licet autem iam alii: qnoque vindi- cias formulae AMayerianae fuüfceperint, tamen et quae mihi hac de re fe obtulerunt meditationes , com- municare conílitui ; imprimis quum explicationem huius quaeítionis ita perficiam , vt nihil omnino quod ad fummum pertinet rigorem , defideretur. - 3. Dum motum Lunae apparentem ob muta- bilitatem Parallaxeos contemplaturi erimus, conuenit vt animum primo abftrahamus a varabilitate declina- tionis et effe&u , quem refractio in Lunam exferit , fupponamus nimirum Lunam declinatione vera quam , certo tempore habet ; circulum paralielum defcribere circa Polum aequatoris et inueftigabimus ,, quamnam directionem Luna ob parallaxin qua afficitur , motu fuo apparente fequi videatur , declinatione vera Lu- nae pro inuariabili fpe&ata et efféu refractionis plane neglecto. Sit igitur P Z meridianus loci in T. XXIV. quo obferuatio inflituta eít , P polus aequatoris, Z ' 5 | | punctum 53* . DE PARALLELO LVNAE pun&um meridiani, quod cum centro telluris et loco obferuatoris in directum iacet, certo autem momento obfíeruato , fic L locus centri Lunae - ve- rus et M locus eius apparens ob parallaxin , xbi pun&a M,L inuenientur fita füper circulo maximo per Z tranfeunte ; tum vero minimo temporis in- teruallo elapfo, fit / locus Lunae verus et zz locus apparens, ductis igitur arcubus circulorum maxi- morum PL, P. M, P/, Pm et M m, liquet id. no- bis propofitum effe , vt quantitas soc ul PM:zm in- veftigetur; facile enim patet filum Micrometri , quod a limbo Lunae raderetur , fi Lunae declinatio inuariabilis foret et effectus refractionis in cenfum non veniret , effe tangentem arcus M z, ideoque hoc filum cum circulo declinationis apparente P M conftituere angulum. — P M m. 4. In genere autem fi in triangulo Sphaerico M P », data fupponuntur latera P M, P 5 cum an- gulo intercepto M P m, conftat effe d cof. P m fin. PM — fin.P — fin.P m cof. P M cof. M P cot. P M m — jJin.Pmfin.MPm quare fi angulus M. P s fupponatur. euanefcens , ita vt eius Cofinus fiat — 1 et pro finu fcribere liceat ipfum hunc angulum, fpraetereaque diffrentia ar- «cuum PM. .et P fit euanefcens, transmutabitur noftra formula pro cot. PM s in hanc fequentem ; — jJin.(PM-—Pm) ini cot. PM — EL e UM fiue in iflam — PM-—Pm tenendum autem ih 1 e formulam effe exacte ve- ram, VERO ET APPARENTI. 553 ram, eamque ex principiis calculi differentialis omni-. no rigorofe demonftrari poffe, quod tamen a noftro aefenti inftituto alienum eft. ^ Facilitatis autem gratia iu triangulis Z P L, Z PM defigoemus P Z, PL,PM,ZL,ZM refpe&iue per litteras b; a, a; £,c, umque angulos ZPL, ZPM, ZLP,ZMP exprimamus litteris A, A', C, C/, quo notato fiet ...da' - eot. PM m — qu LM 5. Vt formulae pro cot.PM 4 propofitae euo- lutio rite inftitui queat , ex doctrina parallaxium quaedam ad hoc negotium fpectantia praemittenda erunt. Parallaxi igitur Lunae horizontali aequatorea per c expreíffa, denotet e rationem diametri | tellu- ris pro loco. fpectatoris ad diametrum aequatoris; eritque vt conflat fin, ML— cn. müin. MZ. "Quare É habeatur Vat - fia. M L — fi L4 ECT ; fiet efin. min. MZ (in, P M Z— fin. PL fia. M PL, et quia eft fin. MZ fin.P MZ-— n. PZ fin. ZP M, confequemur e (in. r fin. PZfin ZP M — fin. PL (in. MPL, feu in- troductis fymbolis (Le fin. (in. P fin. A! — fin. a fin. E A), hinc ob A'—A'—A--A | e fin. m fin. b (fin. (A! — A) cof. A-1- cof (A! — A) (in. A) — fin. a fin, (A! — A) vhde deducitur (1L) Tang. (A! i À) — — t fm. qt fin, b fin. A Jin.a — £Jin. m fiu. b cof. jx .. Tom. XIX, Nou. Comm. Aa2aa Porro $54 DE PARALLELO LVNAE Porro ex triangulis ZP L, ZPM habemus : — fin. P Z cof. PL-c.PZ/ji.PLof.2»^L cot. P Z L — jin. ? L jin. Za. Ln. fzc P Z coJ. PM — cof. P Z jin, P M cof. Z P 1& jnusP Aj zZPM - [ quibus valoribus aequatis fiet : cot. P Zn. (ZP M — Z Pd P- MN ime LcotLPLíün.ZPM, cot. b (in. ( A! — A) — cot. afin, A'— cot.al^(in. A , iem cot. &! — cot. a "^^ — cor D fan — : jin. A fins A eft vero per formul. (I.) [| -— fi » b fin, A* fin (A! — A) — e in. v e A : quare fa&a fubflitutione prodit cot, a! — ^ (cot, a — tmo , (ue — Í ees fin. A* EE ET [ j 6. Si pro formula hac om differentialia vtrin- que fumaüutur confequemur ; dijon irr tm. m cof. b d A' cof, A^ d À fin. A' cof. I jin. aa — Cot. TIC ^ cef.a s) err x 2 fu. A. T mv m! tumque ob 8 fin. TT cof. b fín.a* .... cof. a' cot, a (1 BORA x ) docs fiet — jos cm cof. a! (E4758 — $095) 5 vnde prodit d a* MEET l Lido | djs — Coa Gu cot, À — cot. A! Atqui per formul. (!.) habemus : d A'— 4 A)cof.(A'— A) — d A!. b fe ; hineque d A^ — d A — d A! Tang. (A! — A) cor. A!, et ES — 1 — Tang. (A! — A) cot. A', nec non | Lj E VERO ET APPARENTI 555 ict. A-cot.A'—cot A-Tang.(A'- A)cot. Acot. A'-cor. A! quae expreffio manifefto Tb eft ipfi Tang. (A!- A), tít enim Tasg. (A'— t iom A cot. A!) —cot. A — cot. A!. Confecuemur itaque .LLdo* / i ES N A m.a* — Tang. (A' — A) cof. o' , ideoque. —tot. P Mz — Tang. (A! — A) cof. 4l, quae formula hanc regulam "valde concinnam füp- peditat , juod fit Cotangens anguli quaefiti , aequa- lis Tangenti parallaxeos afceufionis rectae pro Lu- pa, cuctae in Sinüm declinationis apparentis ; eft au- tem bacc expreffio rigore eiiam || Geometr'co. vera, Si. pro Tanz. (A! — A) introducatur. eius. valor for- mula (11.) alla tus habebimus , ccfignato - breuitatis gratia angulo. go* — P M m rper wp Tang. 30 — Cg » TT lin, b. fim. A col, a* "n. d — & jin. T fin, D. cof. A* Io qua. formula , quum denominatoris poflerius meme brum prac priori effe. foleat valde paruum , fi illud plane neglgatur , adproximando fiet * —— 14 fin. " jin, 5. fin. A cof. o* jin. a fiue etiam fi placet Tang. vp — e in. m fin. J. fin. A cot. ah ,. vel etiam ob angulum «p valde parnum Np —emfin. b. (in. A cot. a , quae formula eft illa: ipfa quam pro hoc infüituto Ccleb. Mayerus exhibuit. Si tamen fcrupulefius ad- e Aaaaa proxi- 556 DE PARALLELO LVNAE proximationem *quis inflitutere velit, quod quidetü in praxi valde füperfüluum effet , (tatuere debebit Tang. Vp —«fin. m (inb. (in, A PP (x 4. Mn e he 8) jin, 8 et quum proxime fit cof.4! — cof.a—t (in.m fin.a (cof. fin.g—cof.a fin.D.cof. A) prodibit : | Tang. Vp — cfin. m fin. 2. fin. A cot.a (x -c fin. m(cof. b Bie s | — (fin. a (in. & -4- 72:7) cof. AJ) eft tamen haec formula magis perplexa , quam vt commode eius vfüs adhiberi queat. ^ Interim tamen eadem aliqua attentione digna eft, quia valorem Tang xL exhibet pro caíü quo declinatio Lunae füp- ponitur — o, feu 2 — 90 , tum enim fiet ex for- mula hac "Tang. Np-- e fin. fin.J.cof.D.(in.A—- 7-7 Gn. 2 P (in. A, 7. Quoniam angulus A'— A pro Luna vix vnquam 6Ó0o minuta prima fuperare poterit , ideo- que tanto magis angulus «Xp infra 60 minuta fübfiftat , arcus angulo wp refpondens ipfius Sinui vel taagenti poni poteft aequalis; facile patet fi in triangulis ZP L, ZPM praeter P Z cognitus fup- ponatur , alteruter arcuum PL et P M, cum alte- rutro angulorum Z P.L, Z P M; pro angulo wp fe- quentem formulam femper proxime veram effe WV — erdum 5. fiu. A cot; z, : wbi quidem pro A fcribere licebit A' et pro a, o. Porro quia eft ; Tang. VERO ET APPARENTL 554 - Tang. Xp — Tang. (A'— A)cof a/—Tang. MPLcof. PM, fi pro Tang. M P L adhibeatur fin. MPL, tumque perpeudatur effe fi. MPL:fin. ML::fin.PLZ:fin.PM, fiet proxime | V/—ML ün.PLZcot.PM, eft vero ML—emfin.ZM, quare obtinebimus V — e c (in. M Z fin. P L Z cot. PM, fiue introdu&is fymbolis — e m fin. c! fin. C cot. 4! , in qua formula etiam fine vllo errore fenfibili loco C adhiberi poterit C^, quin etiam loco ipforum «/ al, in víum vocari poffü;it c et g. — Vlima haec for- mula inferuit determipando angulo Xp, quando alti- tudo Lunae vel apparens vel vera, et angulus eius paralla&icus fiue apparens, feu verus pro cognitis habentur. 8. Si productus concipiatur arcus PL vsque T. XXIV. "dum arcui circuli maximi, qui parallelum Lunae Fig. 6 apparentem in M tangit, occurrat in zz. liquet ex praecedentibus effe cot. P Mz cot. MP —co. PM; quam ob cauffm erit omnino angulus Pg M— 9o', fiue arcas P z; ad M z erit iur Quum ita- que fit fin. p — cof. P M m — (in. M P m cof. P m, fiet fin. v — £n, (A! — A) cof. al Aaaa $3 proxi- $58 i. DE PARALLELO LVNAE proxime, quum P/»a PM vix fenfibiliter diffe« fat; interim fi valorem ipfius fin. Xp adhuc accurae tius expreffum quis defideret , perpendet eíle | cof. P m — ED Lco. PLM (a op) t6J; Mm E proxime , eft vero um fin. M m' — fin. P M' fin. MP m , ideoque prodibit : fin. p — fin. (A — A)cof. a! (x 4- 1n. a^ (in. (4 — AJ) quae formula ^ne in decimis quidem partibus fcru- puli fecundi a vero aberráré poterit. ^ Denique | ex confideratione trianguli Sphaerici rc&angu i LmwM, elicitur / —— eM MLm MUT .dang.L Mm — 7 , quum itaque. fit miu Va Tang. M L5) 1 4-1 Tanz. ML' ; quando M L eft arcus. valde DER fiet Tang. L M z — cot. P L Z (1 | Tang. ML) - proxime , ex quo fequens ran eie : Tang, L M z — cot. C (x - i & fin. v. fio. c) cuius ope ex data diflantia vera Lunae a puncto Z, cum angulo prarallético C. facile elicitur angulus LM 5, cuius oye porro inuenietur angulus p , at £ommodius tamen idem negotium perfici 'viditur , per formulam in $. fuperiori traditam, 9. Formulae in fuperioribus allatae abunde quidem fuüfficiunt pro vfu Aflronomico ad exhiben- dum valorem anguli Xp, at tamcn operae pretium - erit, paulo altius hanc inuefigationem repetere ; ita vt in indolem lineae curuae,, quam Luna parallaxi adíecta, 2 VERO ET APPARENTL sss adféta , moru diurno defcribere videtur ,. ioquitamus, wbi tamen fuppofituri erimus dec'inotionem | veram Lunae conílantem. (ta autem. inueftigatio eo... (a- gis curiofa videtur , quod noa folum. haec linea cur- va admodum facile confirui queat, fed etiam vix. "tantillum. difcrepet a circulo. quodam | minori, qui certo quodam puicto mcridiani | pro. Polo affümto. defcribitur. ^ Ante omnia igitur in id. erimus inten- t!i, Vt aequationem qua;dam pro hac curua exhi- besmus , quae aequatio commodifüme adornari pot- eft, fi adhibiatur ad exprimencam relationem inter quantitates variabiks angulum. Z P M. et arcum P M, tumque qoantitates cooflantes, arcus Z P, P L et e fin. Tm. Lx formula autem (i) .$ 5. fequitur. effe ' fin. A! cof. A — 5277 C 5 m-Y p fin. A cof. A!, «vnde f breuitatis gratia ftaruatur ML — A, fiet fin. A^ cof. A' — ' fin, "C -1- 2A (in. A fia. A' cof. A'-1- fin. A' co A^, hincque. fin. APA fin. A^ 4 2A fin. A fin. A'cof. A" 4- fin. A^, nec non 4s j fin. A / fin. A? ELA Me a A f^ cof. A! 4- e jinsA*? 9 Deinde quum fit per. formol, (111.) 6. 5. (m fim. t7 cof. , pofito Sp tmt Eu cot. a! — ^ fin GÀ. Jin. a fi». A c rS Jin. & erit 7^, — p. Tang. a introducto on pro T hoc iiesla : y; Fac ai &IÀ SHd-£Xg cof A! Tang. o' T Kis. g *Y ^ : qua $60 DE PARALLELO LVNAE qua aequatione relatio inter quantitates noftras va-- riabiles angulum A! et arcum a' definitur, vnde haec aequatio naturam curuae a Luna deícribendae expri- mere cenfenda eft. Cacterum loco anguli ZP M et arcus P M, quaeri poffet relatio inter alias partes trianguli ZPM, vti angulum PZL et arcum ZM, vel binos arcus Z M, P M, cuiusmodi tamen. aequationibus recenfendis , nihil eft vc heic immo- remur. » IO. Si ex aequatione pro curua noflra, eius conftructionem | quisquam deducere vellet , eadem T. XXIV. omnino parum elegans emergeret, quae tamen aliun- Fi&- 7- de admodum concinna deducitur. Quum enim fit fin. L M — e fin, T fis. Z M , erit fia. ZM - fin.L M :fin. ZM 4- fin. L M :: x - efin. 7r: 1e in. , feu Tangi(ZM —L M): Tang. (ZM--LM):: 1—e(in.m : 1--efinzr. Concipiamus nunc productum effe arcum Z M in 7, vt fit M/— ML, et Polo P interuallo P L defcri- bi circulum. minorem A L B, fiet omnino ZM-LM-—ZL et ZME-LM—ZM-FMI-ZI, ex quo erit | Tang.iZL : Tang.1Z/— x —efin.m : 1 -efin. m feu in ratione conítanti. Similiter fi arcus L Z ad alteram partem meridiani productus concipiatur vs- qué dum circulo minori AL B io A occurrit fit- - que A j. effe&us parallaxeos , eiusque duplum A3; demonftrabitur effe Tang.i Z A ; Tang.1ZA: : 1—efin.m : x -efin. m, quare VERO ET APPARENTI, 56x quare erit quoque | Tang. i Z L. Tang.1Z A : Tang.iZ, Tang.1ZÀ in ratione con(lanti. Atqui eft produ&um Tang.:iZL Tang.iZ A conftans , quippe quod aequatur Tang. ; A Z. Tang. , BZ , cuius propofitionis veritatem. tamquam aliunde coz gnitam heic praefupponcere licebit; erit igitur quo- que producum Tang. Z7 Tang. 1ZA conflans, ex quo omnino inferri poteft omnia pun- €ta / reperiri in circulo minori a5, cuius polus incidit in meridianum A Z P. — Ipíe autem hic cir- culus minor facile defcribetur , dum in ipfo merí- diano definiuntur parallaxes Aa, B (9, earumque duplis A 2, B 5 fumtis, bifecetur arcus a P b in. f, polo enim p ct interuallo p a — p 5» deícribendus | eft ille circulus 275. — Caeterum infra quoque oftende- mus, quo modo per calculum exhiberi queant tan- gentes arcuum P et 52, quibus cognitis defcriptio circuli 275 eft in poteítate. Defcriptis vero circu- lis minoribus A L B, 2/5 , quodcunque pun&um M curuae à M (3 facile determinatur , duco enim cir- culo Z L 7 fi arcus interceptus LZ bifecetur in. M, erit hoc punctum M ad curuam quaefitam a M Q. In noftra figura arcum Z A A. non quidem expres- fimus, quum tamen ipía res conceptu fit. facillima , vnusquísque hunc arcum nullo negotio , imaginatio- ne fibi repraefentare poterit. — Tom, XIX. Nou. Comm. Bbbb KT, LA h 362 DE PARALLELO LVNAE 1r. Quamuis füpra quidem fatis fufe oflende- rimus, quomodo duceüda fit tangens lineae noftrae curuae & M Q, quippe quum haec imprimis res ad quaeftionem noftram A(ítronomicam pertinebat ; haud tamen praeter rem erit exponere, quomodo haec tangentis inuentio eX ipíà aequatione fundamentali pro linea noftra curua, deducatur. Pro tangente igi- tur curuae o. M ( ad punctum M inueftigando, quae- d ri debet huius exprefflionis D -, Valor, quippe quum haec quantitas aequalis fit cotangeati anguli , quem Tangens curuae ad punctum M cum arcu PM'facit, vel etiam fi per M du&us concipiatue T. XXIV.arcus circuli maximi M N normalis ipti. PM in Fi M et arcus Mz, qui curuam tangit erit Tangens N M z Z Tang, v — —2— d A' Jin. a^ ^ Ex aequatione autem. noftra 1— AX E22 Tang. alcof. A!-1- y Tang. a/* elicitue Di4ah. LL CUM fi. A^coiat d A! fin. a^ — y Tang. a^ 4- A cof. A^ * de qua expreffione iam facile oftendi poteft , eam cum formula noftra in fuperioribus tradita plane con- yenire ; fcilicet id agitur vt demonítremus effe Tang. (AA) car 53 quum. vero. fit: MM A m T in. A4 erit fm. A" diss LL AMin. A' EE INTE - BTgh ga A eof A T—— fin.A-- Jin: A Tu — fin-A( A (t 4-601: /3])-4-À cot, A* ** Atqii eft (— mA : | — ef. A — A. Waus. A! — — TA hinc cot, A! — "iac €t i -p- cot. A^ — 1: AX, vnde: [in« A* VERO ET APPARENTL 565 vnde obtinetur 20 Mm. A4. : — ^AfiAÀ | Tang. a* -4- A €oj. A*— 1-3 cof. À ell vero vti (upra demonftrauimus 6. s. Tang. (A! — A) — M^ 1—2 c9. A ? vnde liquet propofitum , feu quod fit 4v. — Tang. Xp — Tang. (A! — A) cof. a'. d A' jin. a* Si euaneícat angulus Z PL, quo cafu etiam eua- nefcit angulus Z P M feu fit fin. A^ — 0, expreffio ^f d a' - 1 Bo(tra 775 — quoque euaneícet, fet eura a M. Q in puucis:a, (9 ad Meridianum erit. normalis. 12. Si quaeratur valor anguli Z P L, pro quo angulus [NN M zz euadat. maximus , ad hanc quaecftio- nem íoluendam , fequenti modo procédere licet. Quum efle debeat Tang. (A! — A)cof. a! maximum , dif rentiando elicietur ; SX—44 — d a! Taug. al fin, (N — A), (CAT — MN) at fupra & .6. vidimus effe | d à! — d A! fin. 4! cof, s! Tang. (A! — À), ficta itaque fübflitutione fiet e rage d A — d A! fin. à fin. (A! — A7 , hinc 1—^4* — fin. a" fin. (A'—A)— Tang. (A'—A) cot. A!, , dc itidem per $..6. Hinc deducimus 1 4-cot. 2" — Tang. A! fin. Af A)cof. (A! — A) et ob 1.4 -PR fin. A? fins (A'— A) cof. [osi i3 elk EI ? m ano eas I2, 1 Jm. A^ cof. A! Tie — fin. (A^ — A) cof. (A! — A) X UE cot. A" cz Jin. A2 — SGHEF FU ITA SA Ga AUS S . Bbbb 2 Quum $64 .. DE PARALLELO LVNAE Quum igitur fit io s cof. (A! — A) — fin. (A! — A) x99 ; cof. A! — fin, A! &£5—9 et. fin. (A/— A)Z—A fin. A^; fiet per debitam reductionem 1 -4- À3 -- p3 — 2 A cof. A — X (1 — A cof. A). ————À —— — jin» A? e Xx-x SUR qua aequatione euoluta peruenitur ad aequationem tertii gradus fequentem : 3 1 3 à? 1 P 20 cof. A -- cof. A — eux EE)co A IENER 9, cuius aequationis faltem vnam radicem realem effe oportet ;: valde autem probabile videtur non nifi vnicam radicem realem fore; verum vlterius exa- men huius aequationis calculos omnino requireret operofiores , quam vt hic adferri mereantur. Inte- rim tamen haud obícure liquet angulum A proxi- me ad go' accedere, feu cffe valorem cof. A quam minimum. 13. Si per puncta a, (3 defcriptus concipiatur circulus minor, is quidem cum linea noftra curua e M proxime coincidet , nihilo tamen minus ex ipfa aequatione pro linea a M (à. intelligitur eandem a circulo minori differre , quod luculentius patebit , fi quaeratur circulus minor qui cum curua noftra, ad datum punctum M eandem habet curuaturam. Nam íi arcus circuli maximi inter hunc circulum minorem et eius polum dicatur radius curuedinis pro nofira curua, et in expre(hone huius arcus feu radii curuaturae ex indole noftrae curuae deducenda; quantitates tantum tes reperiantur , id indicio erit, rS VERO ET APPARENTL 565 erit, curuam noftram reapfe effe circulum mino- rem ; quod fi vero valor huius radii curuaturae quantitates Variabiles inuoluat, inde cognofcetur cur- am propofitam cum circulo minori non proríus conuenire, — Heic autem tamquam ex doctrina cal- culi differentialis cognitam affumere licebit expreffio- nem pro radio curuaturae curuae in fuperficie fphae- rica defcriptae ; fi fcilicet hic radius curuaturae dicá- tur r, angulus vero 90^ — P M a. indicetur per «p, erit retentis reliquis. denominationibus fupra ad-. hibitis : ' "Tn. T — Feb vel cot. r — cof. vj (cot. a! — 2! Tang. qj) vbi ex 6. rr. notare iuuat effe uide A Fin. A* cof, a* eid: 101 Tang. V XU Tunéog! p À cof. A 3 wd A* fin. a^ Hinc itaque elicitur : — p^ Tanga? 4 zy Tang.a^cof. A! 4 A?cof. A" Afin. A^1cofe? so. dy! Tang. v ^. — (m Tang. a^ -4- X Co. A^)! et quum fit per aequationem noftrae curuae 1 — p. Taug. a^ -1- 2 ^ v. Tang. e! cof. A! -- 2^ expreffio ifla in hanc abit | Dx 0 LÀ p—MX [fm.A"7 EX? fin. A? cof. a'?. L— 3 «— X? fin. A2 [in. o? ef. y? 77 1 — X jit. A'? b 1 — X. fin- A"? v ex quo colligitur 2 Lcof. Jj — L(x—A'fin. A") CL (12A (in. A" fin.a^), hincque fümtis differentialibus prodibit : —A*dA'fin A^cof. A" — A? d A' fin- ^^ cof. A^ fin-a*? . À* da* fina? eof.a? fin. A^à dN/ Tang. Vj — UC En Acc. ucc a fidiMguedP s »2-X fm. A" jin, o^* Bbbb 5 | fiue $66 DE PARALLELO LVNAE fiue «d Y. HL.: cgXMdatflA^UB. ar so Ll ABfíin: af erf at fins M d a^i Tang. p ac (1 —A* fin. A?) (i2X? fin A7 fin.af2) — à 3 —X fin. '*finsa*t (LÀ eof. A (of. a* OM fin. ot o cof.a fm, NP — fina! fina! (1 X3 fin .A** fin. 7 fn-a 2 4 Tang dz ORAT) — C —ÀX Jin. à: jin-a/t* "Tum vero fiet ) 3 : ER LANE 4 A fin. at? a" fín. A" AES Cot, G |! Tang. Xp — cot. a^ (x -4- 7 Án cert el À cof. i Vit po EONBT UT G2» Jin. 32 fina! 2. Lange 4-A cof. Any — (EX fii pner: Xt Tangeo*--À cojsA* J. » . denuoque cot. p — cof. vy (cot. a! — 2 / Tang. Xp) T 1 LA cof At ux E — ob coap 2 T. Co IRR E BR (x —2* ünsA^ ineat)" Y(1-À "fia. A fin.g^) !) Fuidens itaque eft radium curuaturae pro nofira cur- va non eíle conítantem ,. quippe e fit : '— X. fin. A" (in. d^ Tang. Pu MN At in d at cafibus quo À eít quantitas valde parua, affumi poteft Tang. r — à Y vel etiam exactius fi - placet Tang. r — 1 (1 — i X^ fin. A^ fin. a^). Pro. punctis vero a, (9. vbi curua meridianum fecat , 'ob fin. A — o fiet -—1-— fina — & fimt cofib Tang.r— ,— 775.5, £0 Cot. — cot.a(1— E pro vtroque igitur pun&o a, (3 radius curuaturae eiusdem habetur magnitudinis, neque tamen ideo arcus z, dimidio ipfius a P (3. aequalis habetur , vti infra videbimus. I4. "VERO ET APPARENTI s65 . Quoniam. confiru&io curuae & M Q ita T. XXIV. Nc vt du&o per Z quocunque arcu circuli P: 7: maximi, qui circulos minores A L B, 275 in L ct ] interfecat , arcus interceptus L 7 bifecetur im pun- &o M, quod continuo reperietur in. curuaa « M; iam ornnino operae pretium: erit inue(ligare ;. tum "polum f circuli minoris a 75 fiue quantitatem arcus P$,cum etiam arcum $2 feu diftantiiam poli p a circulo minori «4/5. Eft vero ex proprietatibus parallaxeos : | : —— € fin. vt fin. Z, A — tfin.T fln. Z E Tang. Rat em cof. ZA. et Tang. bg- 1-£fin.TcofJ.ZB ? vbi breuitatis gratia pro «efíin.7 fcribamus y, et quum. fit ja—PA--Pp-4-Az tumque pb— PA-PPrBb obtinebimus fa—PA-- (Ka BD—PA- Aat Bf, nec nom Pp—iBb-— Aay- -BG-—Aza. Confequemur: proinde Tang.(BG.-- A 2) — RUE uEEMEEIDE RUE fiuc. ; - SAY » ty.fin. .P A (cof: P Z. — *y ecf: P Ay Tang. (B Ge 4- A a|— — Q3: yoj.P A cf. P Z —- Y? (oj. P A! — fin. P AT) tumque: T LLL Gr y) fin. P & Tang. ? ?— Tang. (PA--BQ--Ad)— (vam Yo PA —2 y cx. Z cd fiet | ng. Po— Tang. (BG- N a'— y fin ZB (3 —"yeof-Z Ay — *y fin. ZA — ez m Y y cof ZA pecof- ZB.) 4—y? (cof ZAcof-Z B-1- fin-Z.f in Z B) — 0 2 yin. PZ(cfPA-—'ycfPZ — or—a Yo. Zo. miceye y! (cf.PZ?-—jim.PZ?) Vel 568 DE PARALLELO LVNAE Vil etiam hoc modo idem negotium abfolui pot- eft; ob Tang.;Z 4: Tang. SZ A :: x -i- y : 1 — vy et Tang.iZ b: Tang.;Z B::r-p-y:1— y habebimus -zy (Tang.7 Z B-- Tang. 1 Z A) -(: Es Tang; Z B Tang. i AC (1— y) (ün.; LZBcof 1Z A4 cof.i Z98.:2A) (ry Xe Xcof.;ZBcot.;ZA- fin.zZ Bfin. IZA)-a 2"y(cof.: ZBcof;ZA4-ün.ZBün ZA) CX (lw A — (t 47 y?) eg. P À — 1 y coJ. j.PZ* Porro vero fiet Tang.$Z — Tang.i(Z b — Za) — —ÓÉ—YMiPZ a A- Yo. PZ-—-zWyco.PA' Ex quo pro Tang. P$ — Tang.(pZ — P Z) proríüus idem deducitur valor quem füpra inuenimus, 15. Practerea vtile forí(an quoque erit valores arcuum P 2, P2, vel P a, P Q. cognofcere, fiet vero Tang. P « — Tang. (P A -- A a) — ff^ PA — vfi. PZ — cf. PA —"ycfPZ Tang. PD — : Tang. (P B-- Bj) —Je»A- yum p z cof. P A —'yco.PZ. xoua — jin.P A — 2 'y fm. P Z 2 y? fin.(3P Z — PA) Tang.Pa — Tang. (Pa4- Aa)— CORE T UA EU E EA Tang. P2— Tang.(P 8 TEE Yyjm. P Z — y* jm.(» P Z — P A) Gj.PÀ-—: Yo PZ-ry'a.G PZ-PAY Tang. $a — Denique iam liquet radium curuaturae pro puncto & vel (8. non effe aequalem ipfi ; (Pa -1- B() , nam- fi hoc ponatur, effet quoque i Tang. (P « -1- P 8j — Tang. 2 r , atqui eft Tang. VERO ET APPARENTI. 566 » | s LLL fins P A (cof. PA—'Yyof.PZ) —— Tang. (Pa4- P( — — EPA? Jm. PAÀ:—zyc.PAGIPZAGSy* 40 2 fin. P A (cof. P A — 'y cof. P Z) cof. P A* — fin. P A* — z "y cof. P A cof. P Z -- y! cof. P Z? ? hincque colligitur cot, (Pa.-- P8) — cot. 2 r-4- —— 7 PZ^ 2jim.P A (c0. P.À — y coj- PZ) 9 vbi cot. (Pa -4- P) erit maior vel minor quam cot. 27, prouti fuer.t cof. P A — *y cof. P Z quanti- tas pcfitiua vel negatiua. Cafu, quo cof. PA — y cof. PZ euanefcit , euanefcet quoque tam Tang. (Pa -1- P ()) quam Tang. 27, fcu erit ; (Pa -- Pg) — r — 9o. Zago 2» f — 16. Miffis vero iam his contemplationibus , quae ad Geometriam quidem fpectapt , in A(irono- micis autem exigui funt víus; examinemus nunc formulam a Celeb. de /7 Lande allatam , de qua fu- pra diximus, quod cum veritate confiflere nequeat. Formula autem haec per cenominationes a nobis ad- hibitas ita habetur expreffa «p — vcof.c' fin. C'cof. C^ , de qua quidem ftatim liquet eam nequaquam con- venire cum formula noftra $. 7. exhibita, xp — qr n.c!fin.C'cot. 2^; quippe quum effe nequeat cot. o' — cot.«! cof. C^, nifi pro caíu fpeciali quo flatuitur angulus PZL— go'. Ratiocinium vero quo Celcb. de la Lande fuam formulam ftabilre voluit , hunc T. xxiv, fere in modum procedit: Si ZL M fuerit circulus Fig. &. verticalis , defignante L locum Lunae verum et M | apparentem ; tumque ducantur arcus M jg, Mz de- fignantes parallelos Lunae apparentem ct verum, vbi puncta ji, 7 fita fupponuntur in circulo verti- "cali Z p. m priori ZL M proximo; id hic prepo- Tom. X1X. Nou. Comm. Ccee fitum $30 DE PARALLELO LVNAE fitum eft vt inuefligetur angulos. p, M w, — At - in triangulo jy. M. m ett ang. k M m: V m::fia. M qj. 5m: M. m ideoque ob fin. M ju; — co Z M P. quam proxime , pMm-tTTcoZMP, hinc vero fi Polo Z ioteruallo Z M defcribatur ar- cus circuli paralleli M v. ob M m:mv:i:rx:fin. Z M P colligitur p Mm — 57 (in. Z M P cof. Z M P. Porro cxiftimat Ccleb. Vir eff; ^ — cot Z M , contendit enim 4.77 aequari variationi. parallaxeos. in altitudioem , quod etiamfi falfum. eít, haud for- fan inutile erit. perípexiffe , quomodo quis. in huius- modi paralogismum incidere queat. — Deícriptis igi- tur Polo P et interuallo P L arcu circuli minoris L/!, nec non Polo Z et interuallo Z L, arcu LA, et ductis arcubus PL, P M, liquet effe differentiale parallaxeos —a4ZzM-— Mr emet f at ob LAM ic ee ZM proxime , fiet 4.LM — y. y. cof. Z M, hinc jy. scol 2M 7A, quod fi nunc quis fibi perfuadeat effe /X — m y, inde quoque. concludet fore MY—IAc.m-— yymcof. Z M, hincque angulum p M m— T in. Z MPcof, Z M P— mcof. ZM fia.Z MP. cof. ZMP, Praeci- VERO ET APPARENTI sr Praecipuum igitur vitium huius . demonfirationis | in. eo latet, quod íuppofitum fuerit &. 7 acqualem , effe variationi parallaxcos altitudinis , quod nequaquam verum eífe poteft nifi ftatuatur /A — m» , qui ta- men arcus haud parum. inter fe differunt, eft enim ud: my:iscot. Z P M:cot. ZP L, quod hunc in modum demonftratur : ob cof. Z L — cof, Z P. cof. P L 4- fin. Z P.fin. PL. cof. ZPL flet i Afin, Z L—4d. ZPL.fin. PZ.-fin.P Lifit, ZPL, ideoque. | (2A 99) 2 PAEUBICP.E-Gn; PEZ, fimili vero modo fi habeatur arcus P.M pro inuariabili iet my d. ZPM.Gn.PM.fin.PMZ, hincque à — 2*1, at per formulam noftram (lll.) 6. 5. conftat. effe. fin ZPL— ófi.ZP M, wbi à quantitatem prorfus inuariabilem defignabit ,. modo P M fuerit conftans , hinc itaque deducetur WP L:icotZ PL-—4 ZPM.cotZPM, ex Quo fiet 1 sl "tot P PC TRE. BT. Praeterea ncc. id omnino cum veritate conciliari: poteft , quod fupponatur in d«monfliratione Celcb.. Ze la. Lande Mm:pmi:ico. ZM P: Mm, à: Cccca nam $42 DE PARALLELO LVNAE nam exactius habetur . pK Ma: mi:scotC ZMP:M gy. 17. Nunc vero videamus quomodo ratiociniis rite fubductís, ad formulam noftram fupra comme- moratam pertingere liceat. Ob d LM—yv—/^, tumque (in.L M—efin. riu. ZM fit d. L M.cot. LM — 4. Z M. co. Z M , vnde |» —1XA— pk» cot. Z M Tang. L M. nec non 1A —ay D zL .- Porro fiet fin. (in.Z Mcof.L M* —Hhi—Hhv Ik LÀ — —in. « ZM cof.L M.Tang.ZLP fin- ZL Tang. Kk My—— IX'LiXx Né ^" — fin.ZL]n.ZjM) — Tang. Z L P. cof. L M , hincque deducitur e M e E s es qu Mis ZMP cuius rcs teboiedoduae c - cof LP M, nume- rator vero —cot. P M. fin. LM. fin.PLM—fin.LPM.cot PM, ideoque confequimur vt antea | Tang. y. M m — Tang. Vp — Tang. LP M. cof. P M. 18. Vt conílet quantum formula a Celeb. de ja Lande allata, a veritate aberrare poffit , adhibea- mus exentplum, ab ipfo ad illuflrationem fuae for- mulae addu&um, quo ftatuebatur parallaxis Lunae 5 4.. 2'', eius diftantia a meridiano feu angulus ho- rarius — 75?, et declinatio borealis — 5^. 36/, Cal» lulo igitur fa&o pro Parifiis inueni Parallaxin aícen- finis re&ae pro Luna 34^ 37" et parallaxin decli- nationis VERO ET APPARENTLI. 573 nationis 59^ 45", feu declinationem Lunae foste tem 4.56! 15", vnde obtinetur augulus xp — 2/. 5 9", quem Celeb de /a Laude per füam formulam inue-: nerat 6/. 28" adeoque plus quam duplo maiorem vera, ni(i íi forfan in ipfum calculum Celeb. Viri aliquis irrepferit error. Hinc vero facile quoque in- telligitur Tabellam a Celeb. hoc Aftronomo allatam pro valoribus an;uli xp nequaquam coufiílere poffe, dum pro diftantia Lunae a. meridiano 9o' , angulum xp exhibeat euanefcentem , quum tameu certum fit y eius valorem hoc cafü ad maximum proxime ac- cedere. 19. Examinemus nunc quoque quaenam di- verfitas oriatur inter parallelum Lunae verum et apparentem propter variabilitatem | in declinatione Lunae. Et quidem fi füpponamus Lunam parallaxi omuino non adfici , facillimum erit angulum quem parallelus verus cum apparente conflituit afífignare , nam; fi ratio inter variationem horariam Lunae in declinationem et angulum Mhorarium Lunae expri- matur littera Ó, ita vt fit PIE, fiet hic angulus ME da Lak SM — PAG — jy Si igitur (ONU velimus effe p d a* y quoque 4 — $210. fief fimiliter - Ux Ee gp uytet te men rigdrife non flatui poteft d 2'— 44, neque dA^-—d4ds^, quam ob rem, haud abs re erit vt,in- quiramus in valorem duguli iV, pro cafü quo non foum anzulus ZPL--A, fed etiam declinatio — go — PL fupponitur variabilis. — Quia igitur ha- bemus : Cccc 3 e fin. 574^. . DE PARALLELO LVNAE ^ s fin. 7 fin. b. (in. A! — fia..a. (in, (A! — A) erit L.(in. A! - L.efin.m n. 6 — L in. 2 -- L. in. (A! A), hincque differentiando d A'. cot. A!—4a cot. a-1- (4 A — d A)cot. (A! — A) : vnde pofito Za — à. 4 A confequitur fore dA o fin. A M d d A! — jin. &* (cof. (A^ — A) — $ cot. ain. (A — A)" Tum autem quum fit cot. a/ — fin. (A/— A) Ge — efi mof B) — Ger € Jin» Tr Ji. D. fin. A. Lcot 4&'—L fin.(A/—A) — L fin. A4-L(cof.a—e fin.7 cof.b) —Lzrfín».m fin.b et fümtis differentialibus — (d A! — d A) cot. (A! — A) — 2 A. cot. A fin. a^ cof. à^ — dafm. a €of. a — s fin. m cof. b ex quo colligitur | | ap HEC MGOR. a Cet NA LP MY ec Hl ( fin. A' "AM A' Jin, a* d A' Min. A. fin. (a^ — A) ERAISNMME T dt s; C0Jj. 0 — E JI. T co» D Tw l l LA a fin. A 8 [n.a - Tanga Y. etti sputo di Y Qro erm Ee Subfituto igitur pro 7^, valore ipfius, prodibit ; TE, 2 . Up i 3475. COÍ. a! (cot. (A! — A)— — "zi 3 Tang, o^ rins (A* - d eerie quae ad hanc concinniorem reducitur formam — ^. se cof, a! (n: ( — M) 8 (cot. « cof. (A^ — 2)-,- Tang. «5j a d A'fi.a^ — C0. (A^ — A) — à coi. a jm. (A^ — 4) ybi quidem fponte liquet pofito ó— o, fore Pags — Tang. (A! — A) cof, al VERO ET APPARENTI .575 ^-Si vero. ab.angulo wp füpra.inuento, eam. fübtraha- mus partem, quae a variabilitate. parallaxeos, refultat , inuenietur pars ex variabilitate declinationis oriunóa, pro cuius tangente omnino fine fenfibili errore e . «beri poterit ;, faltem pro vfu Atítronomico hic valor fatis exactus haberi debet. ^ 20. D:nique fi ratio habenda fit mutationis quam refractio. aftri fubit, ob quam parallelus eius apparens a vero aliquantum . differre . poteft ;. angu- lum quem parallelus apparens cum. vero conftituit , fequentem in modum definire licebit. — Ante omnia vero monendum eft, nos heic per parallelum aftri ve- rum , non cum. intelligere ,, quem defcriberet fi nul- la plane adficeretur refractione ,; fed iftum , quem defcripturum eflet ab aliquo puncto ,' fi effe&us re- fra&ionis effet conflans; praeterea vero iam mentem omuino abftrahimus a mutationibus ex Parallaxi et declinatione oriundis , ita vt. füpponamus a(trum nullam plane agnofcere Parallaxin et eandem con- flanter retinere declinationem. His. , füppofitis TUBE n. XXIY- gnet P Z meridianum alicuius loi, Z M L, mA 9^ circulos verticales fibi proximos , in quibus E?) ; ex- hibent loca quaecuuqu2 aftri vera et M, zz adpareu- tia ob effé&um fcilicet refractionis, tum autem polo Z interuallis Z M, ZL defcribantur arcus circulo- rum minorum M a, L A, fumatur age: et du- cantur arcus circulorum imraximorum M, jp M, JE; nec-nou P M, P L;.quo fado omnino. liquet angu- lum. paralleli weri,* cum apparente. eum effe, quem arus p. M cüm 7:4 M conftituit, fi nimirum. idita- bou Gio 576 DE PARALLELO LVNAE &tio fuiflet conflans, locus aflri in verticali Z t3 fuiffet |., quum iam ob mutatam refractionem aftrum reperiatur in zz. 21, Ob cof ZL— cof. ZP cof. PL 24- in. Z P. fin, PL.cof.ZPL, fiet retentis denominationibus antea adhibitis 1^ fin. c — d A. fin. b fin. a (in. A hincque ] ^-—d A. fin. a. fin. C. Porro fiet àng/ 1, Z X — JA Mieuepe E ita vt fit | LA—ang.L ZX.fin.c—4A.fin.a.cof.C et | 9— Tang.C, hinc vero obtinetur paga 1A LÀ uc Man LA Mn LX Mz ob jg 8 — 7A, ideoque fiet sis pn —— Tang. C, fin. c im LA fin.ZL kz-— lang. Mc mE Un ; eft enim Ku fnczN- At vero fi variabilitas refractionis — (X9 exprima- tur pir dr, fiet "nl yn— ym IN ym— dA fin.a fia. C-dr, hincque Jn .— —— (d A fin. a [in. C — d v) fin;e Mu Tang. m Mn- à A. Jii. u vj. C. Je Ch eX quo prodit cot, y Mm — cot. (y. Mn —sMm)—. Et E fin. a fm. c' c' eof. C Tang. C? fin. c? fin. c, Tang. c — p TTA E e rus 7 fin. c^? )- 7 fits et TUO E (fin. «^ 4- Tang. C' fin, &') £7 "— d v fin. c, ftm. c' Quod VERO ET APPARENTI sy Quod fi .in hac aequatione loco fin. c! fubftituatur fin. c — r cof. e, defignante r refra&ionem , ita. vt fit an c.— Ei c —orfin.ccof.c proxime , fiet T [ina ftn.c fin. a cof. C. cof. c Jin« c 'Taug. Cot. M Mm— 1 ns c eof. C e "uf jm. ct )- LEG TUR eel et fi in mee loco fin. c! fubftituatur fin. c — rcof c, vel fi expreffio multiplicetur per ETT : m.c negligendo i poteflates ipfius r confequemur : — fin. a fim. a cot. c cot. p. M m— 25 (Dez p p 0-5 — 2r fin. acot.ccof. C) — Tang. C (1 4- r cot. e) dA (jin. & — y fin ac — MEE) — Tang. C (1 - r cot. &), quae expreffio fine dubio proxime ad veritatem ac- cedit. Interim tamen fi in hac formula quoque ter- minum per r affe&um negligere veilemus , prodiret drco.C. Tang. d M m — — d&jin.a —drfis.C Ex his autem formulis intelligitur , eam quam pro hoc inftituto propofüit Celeb. de /z Lasse in füa Aftronomia $. 254*. nequaquam cum veritate con- fiftcre poffc. 22. Pro computo formularum modo allatarum füfücit quidem , fi ratio ipüus dr ad 4 A ex Ta- bulis ref(racionum aflgnari queat, quaerendo cnim rationem ipfius Ze ad Z A , Tabulae hae exhibebunt rationem ipfius d r ad dc, vti notum eít; interim tamen pro inuenienda ratione d r:4 A in vfum vo- cari poterit bypothefis a Drad/eyo adoptata , qua fup- Tom, XIX. Nou. Comm. Dpddd poni- $;$ | 'DE PARALLELO LYNAE . ponitur r —gq Tang (c— Q r) , defignantibus q&, & numeros couítantes et c dqi(lantiam | veram aítri a Zenith. Quia autem arcus r eft valde paruus et- iam (latuere licebit Tang. r — v Tang. (c — 87), hinc vcro colligitur fumtis differentialibus dr .. dc—(Qdr. flr erel-grj» Vade confit fin. zie 358 rrt D Tdr—dec, et vero e —À—— ——À—— c ? Jin. 2 r Jin» 2 (c — Qr) dc — d A. fin. a fin, C ex quo fiet d k — fin.z(c— Q r) -- BG fin.2 dr fin«a.jfi. C. fin.2r fin.2 (c — 8 T) qui. valor iam im formulis pro cot xk M » exhibitis fubftitui poteft. lnterim quum fic in formulas val- de intricatas incideremus: praeflabit omnino pro vfir Aítronomico , rationem ipfius d r ad d A immedia- tc ex Tabulis eruere. 3. Cognito angulo «x» quem parallejus aftri verus, cum: adparente conflituit , facillime a(lignari poteft correcio , qua vera diffrentia aícenfionum Eun rectarum pro atris $E obferuata deducitur. — Sit | enim PM circulus bhorarius verus, tempore quo praecedens aftrum. obferuatum | fuit in filo horario tangente circulum maximum MOS, qui cum PLM fait angulum — X»; podamus vero aítrum. fequens tranfire hoc filum in Q et polo b. INCRNU- lo P Q defcribatur arcus Q R, erit igitur —* rd cor^ rectio differentiae afcenfionum re&arum | pro. aflris , atqui et R Q — M Q fin. vp ex quo colligitur an- gulus RPQ— P. Hinc fi differentia. declina- tionum: DE PARALL. LVN. VERO ET APPARENTI, 579 tionum pro aftris obferuata , id eft arcus M Q dica- tur D et declinatio a(tri fequentis — «, fiet RPQ c D$, ex circumftantiis autem facile colligitur vtrum haec correctio pro differentia afcenfionum re- €tarum adfrmatiue an negatiue adhiberi debeat. —.At vero differentia declinationum vera habebitur — R M — QM cof. «p — D cof. p , ideoque ob angulum qv femp r quam minimum, differentia declinationum wera ab obíeruata vix fenfibiliter difcrepabit. Dddda NON- T E NONNVLLA LOCA LVNAE EX OB3ERVATIONIBVS CIRCA OCCVLTA- TIONES FIXARVM A LVNA, ANNO 1774. PETROPOLI ET. ALIBI INSTITVTIS , DETERMINATA. Auctore A4ND. IOH. LEXELL. Qus coniuncionem Lunae cum flellis fixis, quae Hyades appellantur, anno 1'774. heic Pe- tropoli et alibi , faepius accurite obfcruare. licuerit ; operae pretium duxi , harum obíeruationum calcu- lum 'infituere , vt inde vera momenta coniuncio- num Lunae cum fixis occultatis eruerem , ficque loca Lunae quantum ficri potcft, exacte determina- rem. um igitur conclufiones ex his calculis de- duc&as heic expofiturus fum , primum breuem ex- pofitionem ipfarum obferuationum praemittam , vbi quidem pro Petropoli omnes obferuationes circa oc- cultationes fixarum hoc anno a me factas recenfebo, licet nonnullae earum computo fubiectae non fue- rint, quem tàmen laborem füufcipere non detractabo, dum his obferuationibus correfpondentes alibi fa&ae mihi innotuerint. Obferua- OCCVLTATIONES FIXARVM A LVNA. 581 Obferuatiomer circa occultationes fixarum a Luaua, Juno 7774. Petropoli fadae,. — St. Nou. Temp. ver. obf. Die 22. Ian. Immerfio a Tauri circa |. partem Lunae obfcuram, — - 4 Obferuatio haec videtur certiífi-| ma, Stella interuallo circiter 5" lim- bo Lunae adhaerere vifa eft. Emer(íio eiusdem Stellue ad lim- bum Lünae lucidum. .- - - Haec quoque obíeruatio mihi fati certa videbatur , faltem plusquam| . trium fecundorum errorem ipfi incffe| non fufpicor. | Die 14. Apr. Imiüerfio Stellae & Tau-| ri in regione Lunae obfcura, - - Obferuatio certiffima, ftella quin-| que fecundis limbo Lunae adhaerebat. Emeríio ftella ad limbum Luna lcridum - - - - - &4 Pro emerfione heic illud momen- tum exhibeo, quo ftella primum mihi fe confpicienda praebuit, lice limbo Lunae adhuc erat coniuncta a4 quo momento ad plenam emerfio- nem , tria efflluxere fcrupula fe cunda. . Die 15. Apr. Occultatio ftellae zi fallor irs Flamftedii in Tauro ad imum Lunaé obkurum. - - - -49.5325.0 Dddd 3 St, Nou. Z^. 2 52! 8. 20. 44 9. 8. 20 $824. OCCVLTATIONES St, Nou. | Temp. ver. ob£. Ad femiffem fecundi certa. Stella circa immerfionem faltem x2 aut 1s Ícrupulis fecundis limbo | inhae- fit, ct quafi per ipfum limbum conípiciebatur. Emerfio obferuata eft. - — - -19" 25. gl Erat autem ftella a limbo. Lunae iam aliquaotum remota, ita vt ve- ram emerfionem 1emiminuto pri- mo citius contigiffe fufpicer. Die 16. Apr. Occultatio flellae 3 ma- gnitudinis ia II a Luna. Immerfio ftcllae contizit. ^- | -|ro. 21. 33 Stella antequam penitus difpare- ret, in ipfum limbum quafi intra re, ct quafi per ipfum limbum perlucere vidibatur, A | (momento quo limbo Lunae iungcbatur ad totalem immerfionem. femiminutum primum fere effluxit. Circa emerfionem ftellam iE non potui; antt. - /- .- -IoP 55.. ee Tum autem ab ipío limbo Lunae tantum diflabat , vt veram emerfio- nem fere minuto primo ante con- tigiffe aeftimauerim. Maii d. 22. Stellam z; Virginis in lim- bum Lunae obícurum immergentem| vidi. "ole tueymo- t unm cutibiko Deui - St. Nou. FIXARVM A LVNA. 585 St. Nou. . | Emerfio contigit -ad limbum luci- düm, et Luna horizonti valde pro. pinqua, ideoque ei non inuigilaui, Dic 28. Aug. Stella 2 0 Tauri circa lim-| bum Lunae lucidum immergebat. Licet haec imrmerfio ad limbum lucidum fieret, tamem valde certa mi- hi videtur, nec ad fummum plus- quam trium fcrupulorum fecundo- rum errorem iili ineffe poffe exiftimo. Emeríio contigit ad limbum ob- furum - - - - - - - Obferuatio inftantanea. Stella 1 0. Tauri a Luna non oc-| cultata füit, minima tameu eius di flantia a limbo. Lunae vix minu- tum primum cum dimidio füpera- vit. Coelum circ: hanc obferua- tionem: valde ferenum et defaeca- tum. erat. Die 24, Sept. Immerfionem flellae "y Tauri poft limbum Lunae lucidum| ebferuauit Cel. Rumovski. - - -16^ 59! 49! Eadem immeríio ex meo iudicio. r6. 59. 53 Ex momento Penduli 3 mé de- fcripto, fequitur quidem momentum verum obferuationis 17^. o, 55^ verum tam ex obferuatione Cel. - Rumovski, quam calculo patet erro-| Temp. ver. obf. 11^. 48, 45!lc 12. 32-29 St, Nou. 5$4. OCCVLTATIONES St. Nou. Temp. ver. obf. re computatoris fecundorum , mo mentum. Penduli male fuiffe affigna tum, Differentias afcenfionum re- &arum inter limbum Lunae íequen- . tem et ftellam multoties quidem ob- feruaui , verum bas obf(truatione heic adferre nihil attinet. Die 18. Nou. Immerfio ftel!ae *y Tau- ri poft limbum Lunae lucidum a Cl Inf. - - - ^. -s s43! a Celb. MNMP aidi.. NLADS $. 34. Eandem immerfionem ego feri exiftimaui. - - INTE - $. 57 Vndecim quidem fcrupulis fecun- dis tardius, aliquod indicium fiella videre exiftimaui , verum illufio- ( nem opticam fuiffe perfuafus fum. E mcrfionem ad limbum Lunae ob- fcurum vidit Cl, Ismief. - -|9. 14. S Cel Rumovski. - - - - - 14. 20 Quum emerfionis momentum a me obferua- tum, momento Cc Ruzovski adhuc poflterius fit valde erroneum effe oportet. — Durante hac obf:rua- tione frigus erat intenfiffivum qua de cauffa meae obferuationes ob hebctudinem oculorum fíacae funt &ubiae. A S t. Nou. FIXARVM A LVNA. :$85 St. Nou. Temp. vet. obf. Die 18. Nou. Immerfio a; Tauri ad lim- bum Lunae lucidum; | - — - | -r3*. 4a. 3o" Haec obferuatio aliquantum dubia, quia: Luna nubibus per interualla te- gebatur , nec. tamen plus: quam 10 fcrupulorum fecundorum errorem ili. ineffé poffe exiftimo. Circa emerfionem Luna nubibus Obtegebatür , flellam-igitur non vi- di, nifi tempore. 185, 2 8!. sc! quo 3 limbo Lunae aliquantum diftabat , per calcu- lum atütem concludere potui , veram emerfionem fe» I6 VnO minuto primo antéa contingere debuiffe. His obferuationibus nunc. quoque' fuübiungere placet illas, quae circa tranfitus Lunae per Hyades hoc anno alibi inftitutae fuerunt. et ab Auctoribus Celeberrimis benigne mecum commxunicatae fünt. St. Nou, Temp. ver. obf. Die 2»: lan. Immerf£o o Tauri. Stock-| holmiae obíeruata fuit a Celeb, J7ar- Beuio 03-0 00- c -2- 2009265 ol sit . -Emerfio: eiusdem fikllae; | — - -| 3.15.51 Die 18. Febr. la mer(io «y Tauri Stock- ü holmiae a Celeb. JPargentin, - - -| 6: 39. 51 Emerfio eiusdem tlelàe, —- — -| 7. 19. 53 Die 14. Apr. Imneerfio a Tauri Parifiis | a.Celeb.-Meffer. | - — .-. -|6..26. 0 Emerfio. - - -. - -[37. 85. 59 ' T om. X1X, Nou. Comm, Eccc St. $56 OCCVLTATIONES: St. Nou. Temp. ver. obf. Immerfio a Tauri item Parifiis in| . Obferuatorio Scholae Militaris a Cel. Mb. - - apis. -| 65. 25! 5 4! 4. Emerfio. eir. «i - 7. 35. 53 Immerfio eiusdem flellae - Verfa- lis a Cel. Mecbain. - - - -|[6.25. ax Emeríio - .- - - -:[7 35. XO; Immerfíio a Tauri Geneuae a Cel. Malt, - —-. - - - -|6.47 56 Emerfii - - - - -L7 56. 86i Immeríio eiusdem ftellae Medio-| lani a Cel. de Jz Grange. - - -|7T. 8. 6i ARmerfio ibidem. - - ^- -|8 ro. 41i Die 24. Sept. Immerfio *y Tauri Pari- fisa Cel. Mafer. - - - -r14 22. 31; Emerfo; - - - - - - Nou. d. 18. Immerfio ^ Tauri Parifiis a Cel. Meffier. - - - Emerfio ibidem , dubia ob Lunam nubibus tectam. | - /.- - 6. 52. 4"; Immerfio x $6 Hyadum ab eodem Cel. A(fronomo. -. - - - -rr. S. e$ Emerfio eiusdem flellae. —- — -|rr. 9o. 43i Immerfio « Tauri a Cel. Meffier obferuata.. - —- - - -[5. 35. II Emerfionem obferuare non licuit Ob coelum nubibus tectum. Antequam ad conclufiones ex diesititinius nupc allatis: NPUÜE Ls progredior, haud praeter rem erit, FIXARVM A LVNA. $97 erit, vt Elementa tam pro locis ftellarum , quam Lunae ob oculos ponam. Priora autem ex Catalogo ftellarum fixarum .Pradleyano , habita ratione prae- ceffionis,, 'aberrationis €t nutationis, fequentem in modum deduxi : Loia Stellarum pro. Anno 1774. Die 22. laj. Nom. Stellae Afcenf. re&. | Declin. Bor. E Stellae | Latit. Auftr. e Tauri. CEST WEATTSA $16*. M V "n dm pt so^ t 14. , Apr. - M o- 65. 44. 36, 216. D. 6, s y bi 5I, Os. 28. 49, 2 18.Nou- - - 65. 45. 58, 416. "2. 18, 42. 6. 38. $2, 45. Rn 46, 9 24.9ept'y Tauri —|6r. 45. 3, lt s: 9. $4, 9|2. 2. 39. I6, 8|s. 45. 15, X :89 9800 - 4. - | lor. 45. 20, 215. 3. $6; 7|. 2. 39. 33» 3|. 45. 16. 3 28. Aug.» Ü Taüti |63. 57. X5, 91s. 2I. ' $, 12. 4. 48. 29, C|s. 5I. 39. 7 18. Nou.1 Tauri 63.56. 17, 915. 26. 38, 2|2. 4. 48. 35, 3|9- 46. 2, 2 Elementa pro locis Lunae ex. Tabulis Lunaribus Cel. Mayeri. deducta. "Temp. med. Afcenf re&.| Longit jy |Latit.2 Aus. As (o) lan. 22; $^ 52' 305*. 9'.50"|2 -6?.27'.42"^,24?.5'. 6'*7 6. 32 305. I2. 28:42..6: 57.:10, 1144.53. 535. O Febr.18. 6 s 332.18. 59 |». 2. 48... 2, 84. 56. 42, O 4 77 332.21. 3 2.3. 17.45, 14- 57. 36, 5 poc 10 B3 55 '5o B8B D. (Qo, S5, F.. 75 O 3. 493u 237. 2. 16,12, 7. 30. 445. À I. 47, 7 Aug.28. 10 — i157. 31..24. 5. 4, 30. $9, 15. 13,15, 8 Zl [^ 57.23.4092. 4.51. | 3928.0 34,395 .9 Sept. 24- r4 .[— X81. $1.29. 2.92. 8.97.05. 9.36, 2 IU pSL CI IBI. 5 449 8, 5,50, 10; 85. IQ. 6, O0 Nou 18. 6 —-234.13.II 2.2. 6.29, sa 4. 871995:0 (03 77234. 15. 48 p. 2. 37. 11, 64. 57.53» 3 II — 2234.26.13 .4.39.57. 74. 59. I, 3 TO 254. 28-49 |2. 5. 1O. 335 94. $9. I5, O 159 — |234. 39. 38 2. 6. 42. 22, 3144- 59. 45, 6 16. — 234- b: 15 12. 7. 12. 55» 9|4- 59. 54» I pj [1] €» € Ly] d e 5 "3 588 OCCYLTATIONES Temp. med. | Parall. | Diamet.. | mot. hor. [mot.hor. aequat. Parif. I3 asgquat. D in L ngit.in wr tempor, Ian." 22, 5? 3275 4^ 14/7, 8/25" 3375929" 38',2| 46", o |4- 12'. 15" 6.32 - - - 4 - - 4 - SES 16 Fébr.18. 6 — 94..23. 9|29. 38, v7 "T ^d 545 3 lt I4. 13.14 iym. deo DUM - - --—- - --—- d Apr. 14. 6. 33 san, Ba. 38, 329'. 5s'^d 4I, O -- 3 7, 53 54- 2I, Hg €T n oe - 40, [9] um 6 Aug.28.10 —454 45» leac» nigO. o4 265 P 1T et IÍ — - jd 24 m L- - -- ^ mid - ELI 46 Sept 24. 14. -s » qo I, 2|3O. 3I, 9 3fí- O 8. 19 15 — q - - -- - - 19 - C Res 8. 20 iNou.18. 6 — $4« 59» "E 58, Ol|3O. 43, Q 21, 5 |-14- 24. Jit oordi i$ eue ddML E 2L MN I! — 54. 545 £e? $5 780. 37^ 9,13, 6 C- 14- Et 12 —- 2 - 5k icono TE M CE md 15. —|54-. 51, 429. $3. 739. 33» 9 8. O |—I4.19 4e X-sUdoeT UN (wk vu gb ERR De occultatione à Tauri d. 22. lanuarii, Pro immerfionibus et emer(ionibus huius ftel- lae Stockholmiae et Petropoli obíeruatis calculus fe- quentia praebuit elementa Paral.Longit| ^ Leti. —|Semidiam. i appar. 3 appar. | Pro Ymmerfione Stockholmiae| 7^. 31^, s ; 32.37", 714". 56", 5| Emerfione ibidem - - Sii e eX Hn sU S 2 14. e I Immerfione Petropoli * - 35, 8 5- 31:13. d£ 57, O|f4- 49, 5 Emeríione ibidem - - | 8. 9, 3 |5. 30.29, oli4. 57, 2/14 55, 9 Hinc íequentes deducuntur expre(loncs pro tempore vero coniunctionis Lunae cum Palilicio z Pro meridiano Stockhalmienfi ex immerfione : 6? 45! 4" --2, 100 —0,$5.y —o, 117 emeríione: 6. 45. 2 — 2,060 -0,33.) r0,20 t — Pro FIXARVM A LVNA. 589 ;;. Pro. meridiano. Petropolitano ex immerfione 7^. 34^. 1^-- 2,06.0 —0,55. y —0,20 tt emerfione 7. 34. O —2,04.0 4-0,22. y —0,15.7t vbi 9 fignificat corre&ionem ífemidiametri Lunae , y €corr.&ionem Latritudinis Lunae auttralis , et 7r cor- rcCtionem Parallaxeos aequatoreae, | Ex binis conclu- fionibus pro Stockholmia colligimus medium fumen- do Tempus couiuncionis 6". 45^ 5! — o, ro y fuübtrahendo autem vnam conclufionem ab altera ; hanc obtiaebimus aequationem : 2!-1- 4, 16.6 —0,86. y — 0, 31." — O. Similiter pro Petropoli fiet medium fumendo tem- pus coniunctionis 3". 34. 1 — 0, 06. y —0, x T. et fübtrahendo poflteriorem conclufionem 2 priori fiet X -]- 4, I0. Ó — 0,55. — 0,05. 7 — o. Ex his aequationibus inuentis vix quidquam de ve- yo valore ipüus y ftatui potefl , nifi valor relLhqua- yum correctionum óÓ et 7r íüerit definitus. — Interim quum ex occultatione « Tauri die r4. Aprilis pro- babiliter colligi poffe videatur , effe à — — 5, ftatua- mus faltem pro praefenti obleruatione à — — 2 ; de valore autem ipfius "v quum: nihil certi definire va- leam. flatuam eum — o, hinc prodibit ex aequatios ne Stockholmienfi — 86. — 632 ideoque y —— 7", 35 ex aequatione vero Petropolitina — $55, y — 720 ideoque y—-— 13", r. Ponamus igitur effe y — — 9". Quo ía&o eX conclufionibus. pto: immerfione. deduce- i Eecce5 tur $90 OCCVLTATIONES tur differentia meridiadorum inter Stockholmiam et Petropolin 48/55"; ex conclufionibus. vero pro emerfione colligetur 48^. 59" et ex momentis me- diis 48^ 58". Hinc fi Longitudo pro Stockbolmia pouatur a Parifiis 1^. 2'. 55! prodirent fequentes va- lores pro Longitudiae —Petropolis 1?. $1!, 48", 1^, 51^, 51" et 19. 514, 52! Coatra vero fi Lougi-: tudo Petropolis flatuatur 17. $1! 5*5" fieret. Longitu- do Stockholmiae 1. 3!. 2!, vel 1^. 2! 5 8!, vel 1^. 24,5 gll, Licet ipfa momenta obfítruationum f(ültem pro im- merfione exactiffime videntur affignata , fieri tamen vtique poteft, vt conclufiones de 'diffcrentia meri- dianorum-pro minus tutis fnt habendae , ob. non- nullam incertitudinem circa reductionem - momento- rum obícruatorum ad tempus verum. ^ Saltem hoc de obferuationibus meis agnoícere debeo. Nam cum. die 21. lan. per altitudines Solis correfpondentes verum momentum meridiei determinaíffem ;' decem effüluxere dies , priusquam aliquam obíeruationem pto determinando tempore vero inflituere licuit, ex quo vtique fieri poteft vt hoc interuallo decem dierum motus Penduli non praecife talis fuit, qualem ego fuppofui. His perpeníis, retentis Longitudinibus pro Stockholmia et Petropoli, quae hucusque ftabilitae - fuerunt , fiet tempus coniunctionis verum pro Pari- fiis ex obferuatione Stockholmienfi 5^. 42! 11" et ex obferuatione Petropolitana 5". 42!, 5", fine fenfi- bili igitur errore flatui poterit 5^. 42^. 9" fiue tem- pore medio 5^. 24'. 24^ , quo tempore erat Longi- tudo Lunae 256". 38^. 7", 0, cum ex Tab. Mayeria- nis RLXARVM-A LVNAÀ. $9r nis fit 2.6". 58... 56/, o, vnde corre&io "Tabularum quoad Longitudinem — 29^". Latitudinis corre&io- - nem inuenimus — 9", vbi quidem praecife definiri mon potefi vtrum haec corrccio vnice Latitudini Lunae fit tribuenda, nam fieri vtique poffet, vt Latitudo ipfius o. Tauri haud prorfus exacte fit de- terminata. De occultatione vy Tauri d. x8. Febr. | Pro immerfione huius ftellae Stockholmiae ob- feruata, habetur Parall. Longitud. 15! r7", 3; Latit. Lunse apparens 5*. 32^ 33", 9, Semidiam. Lunae ap- parens 14! 59", 6 et dif&rentia apparens in Longit. flellae et Lunae *7'. 55/!, 9. Similiter pro emer(ione inuenitur : Parall. Longit. 16'. 45^, &, Latit. 2) ap- parens 5^. 32! 37", 9; Semidiameter C) apparens 14! 59", 35 ct differentia apparens inter Longitudines flellae et Lunae 8 1", 8. Hinc autem colliguntur pro tempore coniunctionis fequentes expreffiones ad meridianum Stockholmienfem ex immerfione 6". 31. 5/-- 3,909 4- 5,55. 7 -F 1, 74. 'K " st emerfione 6. 280.277 —3,830—93,25.9 —2,74.t hinc medium 6.30.15 4-0,039 -- 004.7 — 0. 50.7. Deinde fübtrahendo poíteriorem- conclufionem a prio- dp ET : 5.96 24- 7,789 2-6, 58. 9 -- 4,48. T—0,. wbi. fi. ponatur. T —0 età ——2, fit 65 8.yzz— $056 ideoque y — — 12",2, qui valor non multum a ve- ro recedere poteít, nifi fi foríau ipíüm ^ correctio- $2 nem EPI OCCVLTATIONES nem admittat fenfibilem, Fx tempore coniunctionis Stockholmienfi 65. 30!, 15" elicitur tempus coniun- Cionis verum ad meridianum Pariünum 5^. 27*/ 22 et medum s^. 41*/ 59 exiflente Longitudine Lunae 25. 2^. 38. 40, 4 quae ex Tabulis AMayeri habetur 25; 2^; 58/. 5 8! 1 , vnde fit correctio Tabulorum Mayeri — — 18*. — De correctione Latitudinis idem monitum valet, ac pro priori obíeruatioue, De . orcultatione : a. Tauri, d. 4. Aprilis, Pro obferuationibus huius'occultationis per cal- culum fequentia elicuimus elementa Latitud. 3 |Semidiam. IDiffer. Longit, apparens 2 apparens ^ appar. : iR 29*. gettig 14*, 52^, 4 15*. Misa. Paral. Longit Pro immerfione Parifis - 34*. 170 cmeríione ibidem 39- 27, 7 |5- 31. 42, Oj14. 55, 0|.14. 42, X Fro imm-ríone Verfili | 34. 12, 1|5. 28. 50, 3/14. $2, 4| 156i. 9 emerfione - ,- ^4 39. 26, «15. 31.38, 9|t4- $5. O| 14-.42; Pro inmerfione Mediolani 39. 10, 6 |5. 27. 18, O|14- 56, 2| 14.55, 6 emeríone ibidem | | &2. 59, 2 |5- 39.26, 2/4. 53, 7| 14. 52, 6 Pro immerfione Genenae, 37. 32, 1 |5.27. 27, 4 14- $6, 8| 144. 57, 2 emerfione ibidem 41. 59, 9$ 5. 30. 27, 1|14. 54, 2| 14. 52, 9 Pro immerf(ione Petropoli' 34. 17, 2 |5. 40.21, 6|14. $3, 2|. 9. 26; 9 emerfione. ibidem 34. 28, 8 ]5- 41-52, .814-,52» 2| 8$, 7 Hinc pro tempore vero coniunctionis Lunae cum & jauri , fequentes deducuntur .conclufiones, Pro cbferuatorio Cel. Meffer — ex immerfione 5^. 45^. 20/.- 2,020 — 0,03.) — 1, 30.t €x emerfione | 5. 43. 13 —2,050-- 0,39.) — 1,24. ILedium 5. 47. 16 0,18.) — 1,27. et FIXARVM A LVNA $93 et fübtrahendo pofteriorem conclufionem 3 ptiori » fequeus obtinetur aequatio 9 -41- 4407.0 — 0, 42.9 — 0, 06. * — 0. " Pro Verf(aliis ( ex immerfione 55. 46!. doi A eu eras. y — 3, 80.7t ex emerfione 5. 46. 27 —2,050--0. 40.7 — 1,24.t medium 5. 46.58 T 0,18.)— 1,27.7T et fequens aequatio ' $ 44,070 —0,43.7—0,06. 1—O Pro Mediolano ex immer(ione 6^. 14/.25//.-2,05 9 --0, 2 1.,— 1,55. emerfione 6. 14. 381 —2,030 -0,22./ —1,47.m medium 6. 14.28 4-0,22.y— rx, 4 1.Tt aequatio autem prodit — 6 4-4,060—0,01.)--0, 12.1 —0 Pro Geneua ex immcrfione 6.2.35 -F2,039 -O,19./ — 1,31. emerfione 6. 2. 24. —2,030 0,22. 9 —1,44. 7 medium 6.2.30 . T9,20.)—1,38.7T aequatio hinc habetur iffa 11 4,060 —0,03J 0, 13.7—0 Pro Pctropoli eximmerfione 7. 38. 42. --3,190 —2,47. 5—3,05.t emerfione 7. 59. 45 —45209 4- 3,69.) -- 1,45. medium — ". 39. 14 — 0,500 4-0,61.7 — 0,807 et acquatio hinc colligitur 63 —7,399 6, 16.5 --4,50.1—0. Dum aequationes inuentae inter fe comparan- tur facillimum eft perfpicere ; eas minimc inter fe Tom, XIX, Nou. Comum. F fff cons $94 OCCVLTATIONES' confentire ; fcilicet aequationem ex obferuatione Vera falieafi deductam minime confentientem — reddi: poffe cum Parifiaa ," aequationem . autem pro Mediolano inuentam adhuc magis difcrepare a Gencuenfi. —. Se- pofitis igitur conclufionibus ;, quae ex obíeruationibus Mediolanenfibus et Verfalienfibus deductae, funt, ex Parifinis , Geneuenfibus et Petropolitanis fequenti niodo dedücuntur valores corre&ionum 9 et y, nam de - ex his obíeruationibus nihil definire licct. Ex aequatione pro Gencua fepofitis corre&ionibus y et 7, quie. viX quicquam in illa aequatione mutant , col- ligitur 406 à. — r100 ideoque. 9 — — 2,7, deinde fi in -aequatione- pro Hetropot negligantur correctiones à et m, fiet y — — 10", qui valor faltem . proxime ad veritatem accedit , fübftitüto igitur hoc valore in aequatione Parifina et mnegleda correctione 7, prodit.4o7.0 — 1i20 ideoque à — — »/!,8 Hoc igitur valore in aequatione pro Petropoli fübftituto , colligitur. neglecta correctione T; 616 y — — 83692 vnde fit y — — 15^", 5. — Sin autem iam hic, valor in. aequatione Parifina adhibeatur fiet à — — 3! , fupponamus igitur effe à — — 3" fietque ex aequa- tione Petropolitana '616.y — —8517,.í(eu y — — 13/8. Si nunc.hae:corre&tioaes in .eXpreífiones. füpra iu- "ventas pro temporibus coniun&ionum introducantur, ilae in fequentes numeris abíolutis. expreffas abibunt; FIXARVM/A LVNA. $95 /pro obféruatorio: Cel. Meffer 5. 4*1. 14 ee y'vilduo! obferuatione «^ '::/ di it Verfaliis ex immerfione:.5 iot imn-o8 rex emerfione 5 pro Mediolano ex immierfione 6. 14. 16 ex emerfione ' 6. 14. 354 m "Geneua. ex immerfione 6 m .:.ex emerfione:. .6. | 2.27 n (pro étsogl ex^ immertione :.* n " "ex emerfione ^ 7.39. 77. Hinc . pro diffcrentiis meridianorum fequentes pro- deunt conclufiones: inter DOLAR Parifüenfe et Lies )Verfalios |o". o, 49". vcl 44! ^... Mediolan. o., Md uel 227 Geneuam Oo. r5. 14. vel 15. obf. Petropolit, 1, 51.55. Similiter inter PESOpoITE et Geneuam habebitur dif- ferentia meridianorum 17, 56!, 41", ideoque fi flatua- mr Longitudo Petropolis ab obíerüatorio Parifino P 51. 57! fieret Longitudo Geneuae ab obferuato- rio Parifino 15^ 16" quae vix à fupra inuentis dis- *repat. $i obíeruatio Petropolirana feponatur , ex Teliquis inter fe comparstis differentiae meridiano- Tum fatis accurate "determinari: poterant. -etiamfi *cot- "rectiones Ó'et y "plane effent ienotàe j fic nullum éft "dubium , quin ex conclufionibus Parifinis et Vería- lienfibus colligantur differentiae meridiznorum 51" et 46! ,' inter ^ Obferuatotid ^ Cel. rue et Cel. de ia Grange habebitur ex imierfione 27/5" et ex emer- NUff . fione $96 OCCVLTATIONES fione 27^. 18/, negleóta plane corre&ione y. Patet igitur obferuationes Veríaliis et Mediolani inftitutas cum Parifina et Geneuenfi non bene conciliari pof- fe, quod autem praefertim obferuationem Mediola- nenfem attinet , haud verifimilicudine deftitui. vide- tur, quod momentum pro immeríione mihi com- municatum viginti fcrupulorum íecundorum corre- (tionem admittat, ita vt loco 7^. 5. 6": legendum fit 7". 5. 26"; , fic enim fiet ex immerfione teme pus coniunctionis 6^. 14/. 356/, cum «ex emeríione erat 6". 14/. 54^, — Difcrepantia inter obferuationce €cl. Meffier et Mecbain , fi alias Longitudo Verfalii in Ephemeridibus Aftronomicis (Connoiffance des temps) bene fit determinata, ex aliquali incertitudi- ne circa determinationem temporis veri, prouenire neceffe cít, nam de momento immerfionis in obfer- vatione Cel. Me//er dubium vix duo fcrupula fecun- da excedere poteft. | Nec ad faluam reddendam | ob- feruationem D. Mecbain multum valet , fi dicatur £cl. Meier immerfionem ipüus Palilicii nonnullis fecundis citius obíeruare debuiffe , quam ex momen- to aíhgaato fequitur. — De obíeruationibus in obfer- watorio Scholae Militaris inflitutis tenendum eft, quod hae obferuationes bene coníentiant , cum illis quas Cel. Maeffier inftituit , refpectu temporis, quo Aldebaran a Luna fuit occultata , atqui ex momentis immerfionum et emeríionum inter íc comparatis, nou fequitur differentia meridianorum nifi 6 fcru- pulorum fecundorum , quae tamen effe deberet 9! Quicquid autem fit iude pro determinanda vera Lon- gitudine FIXARVM A LVNA 5$9j gitudine Lunae nullus error fenfibilis producetur, fup- ponam igitur ceu ex obíeruatione Cel. Meffier fcqui- tur, coniunctionem Lunae cum Kaliliio contigiffe Temp. vero obferuatorii Parifini 5^. 49^. 12" ideo- que Tempore medio 5. AT 19/, quo tempore erat Longitudo Lunae $*.6*. 57'. 51", ex Tabulis autem Mayeri habetur 2*. 6". 3$'. 5", 4 vnde colligitur cor- re&io harum Tabularum — r5". Latitudinis autem correctionem füpra inuenimus — 1r5^, 8, id eft Lati- tudinem Lunae auftralem hac quantitate effe minuen- dam , modo alias Latitudo Stellae exacte habeatur determinata. De dif&rentia meridianorum intcr ob- feruatoria Petropolitanum et Parifinum tenendum, quod etiamfi conclufio heic inuenta vnius vel alte- fius fecundi correctionem admitteret , tamen hinc probabile reddi obferuatorium ;Petropolitanum a Pa- rifino minus diftare, quam 1*5. 52^ — Longitudo au- tem pro obferuatorio Petropolitano heic intenta $^ corre&ionem vix admittere poterit , nifi valor Pa- rallaxeos aequatoreae heic adhibitus decem fcrupulis fecundis fit augendus, quod minime verifimmile vj- detur. De occultatione 9 8 Tauri d..28. Augufti. Pro immerfione huius SU Petropoli ex cal- culo deduxi Parallaxin Longit. 19! o!, 7, Latit $j apparentem 6^. 25 45!, 7; femidiametrum 2 appa- rentem 14/. 58", 5 et differentiam appar. Longit. Stellae et Lunae 10^.6',5. Pro emerfione vero Eee Parall. Longit. r$/. 59", 15 Latit. 2 ap- " Fíff 3 par. $98 OCCVLTATIONES par. uy agii: femidiamet. OQ apparens r4/.59,8- et" diffzrentia Lohgit:^ apparéas. ^11'.,18/,0. Hiuc vero "habentur fequentes ph eneen e oia coniunctionis Petropolitano à; ex immerfione 12", 47... 8/1-2,98.0—2,20 y—1,29 c ex emerfione . 12. 47. 48 —2467. 31,77. di3l-9a 2440 medium 12. 47. A c o,t5. ó—o Q2LJd O47. et fübtrahendo priorem conclufionem a aq tnt fe- quens elicitur aequatio 40 — 5, 65. ó 13,97. y * 3,53- T — o. In hac aequatione, fi. ponatur — 0; d m. fiet 397.) — — 5180 ideoque y — — *RÍA 9, uum vero fiet tempus coniun&ionis pro Petropoli 125,47". 30, hinc tea pus verum coniunctionis É» obíeruatorio Parifino 10^. 55, 55" et medium 1o. 56. 1 o quq tempore effe debuit Longitudo Lunae 2*. 4. 48. 2 9! !, 0 at ex Tabulis Cel Mayeri. e(t ^ 2. 4^. 49l. 12^, 4 eílet igitur corre&io Tabularum Majeri — 43! mo- do de Longitudine flellae omnimoda adeffct certitu- do, quod quidem vix fupponere licet , nam pro hac ftella numeri Bradleyani circa scio edi rcétam , ab illis quos afhguauit Cel. /e -Caille . fere. integro miruto primo. difcrepant. . Tutifmum igitur erit irr cionem —Longitudinis deve pro hac obíerua- tione flatuere tantum — 20^, potiori errore in Lon- gitudinem flellae dcriuato. FIXARVM'"A LYXNA. gg» "os De occuliationo. y "Tauri d. 24. Sept. T - Pro ob(eruationibus huius occultationis calculus fequenti praebuit elementa . Paral. Longit| Latit. 9 |Semidiam. S» Differ. Longit, ; X ad appar. appar. Pro immerfione Parifis $9507 2:1502434-. 1/ 2r. 12/5 0|. xs^ 35,6 Pro emeríione ibidem |.3:-.6,. 5: [5- 40. 36, 6| 35. 12, 8| 14» 33. 6 Pro immeríione Petropoli| 14. 40, 8 |5. 46. 50, 5 120 5907 9 Ps. 10, 8 Hioc emergent exprefhones pro tempore coniunctiouis Parifiis ex immerfione 15^ 9. 9/-4-2,00.9-F0,28.7--0, 47. T emerfione I5. 8.54 —2,07.0—0,64.y—0,46. v ds medium | 15.9. I —0,18.y . «fübtrahendo predit aequatio — 15. --4,07.90-0,92.)--0,95. ?t ' Petropoli ex immerfione 175, o^. 51! -- 1,99.0—0,2 1,y—0,66.7 Si ftatuatur m — o et à — — 2, fiet ex aequatione pro Parifiis. 92 y — — 686 hincque y — — 2!, 4, . quae tameu determinatio pro omnimode exacta ha- beri :nequit ob exiguum coefficientem ipfius y; inte- rim tamen non multum .a vero nos aberraturos con- - —fido, fi. fiatuamus y» — — 1o , tum autem cx conclu- fionibus pro immerfione habebitur differentia meri- "dianorum inter obferuatorium Cel. Me/ÁÉer et Petro- rpolitanum 1^. 51/.42/— 0,49. y—x,13. 1 2 1". 51^ 475, "ideoque differentia Deridtapar, ttes obferuatoria . Pa- "rifinum. et Petropolitanum 1". 51^ 49! , quae. tamen »nimis parua viderur. | Pro [etropoli momentum à -me obferuatum adhibui , quodfi. autem | momentum . .Cel Ruwovrki in vfum vocetur, Longitudo obferua- . torii Petropolitani adhuc, quatuor fecundis minor eua- deret, Quicquid fit, hinc faltem. confirmatur Longi- tudinem 605 OCCVLTATIONES tudinem obferuatorii Petropolitani aliquanto mino- rem effe quam 1*.52', Tempus coniunctionis ve- rum pro Parifiis fiet. 15^. o'. 1, medium 15^. o, 41, exiftente Longitudine Lunae 2*. 2*. 3 9'. 16, 8 quae ex Tabulis Cel. Mayeri habetur 2*. 2^. 39'. 30", 6; ita Yt hinc eliciatur correctio Tabularum pro Longitue dine — r4", Latitudinis correctione fuppofita — 1o". De occultatiotibus y, x € et à Tauri die x8. Nou. Pro obfíeruationibus harum occultationum — fe- quentes inuenti funt valores | Paral.Longit| Latit 3 |Semidiam]Differ. Longit, 3 appar. Jappar.| apparens 2421605" | 54. 0^, 2 otn us aM. ar 6 i Pro ftella y Imtaerfio Parifiis | 27^. 29'^ 1 vn . Emerfio ibidem | 28. 17, 6 |5- 42. 38, $15. 3, O| 14- 53, mmeríio Petropoli] 16. 52, 1 |5. 44. 13, 815. 5, 2| 15. 7, 6 . Emeríio ibidem 12.54, 8)]5-242..—3, 8|15. 7. O| "4e 50, 7 Pre ftella IÜ!mmer(o Pariüis! 8. 35, 5$ 5. 31. 32, 3|15. 9, 3| 4» 26, 0 Emerfio ibidem | 6. 28, 9 |5. 30. 57, 1|15$. 9, 5| 1. 29, 8 Pro ftella a Immerfio Parifiis| 29. 45, 1 |5. 27. 23, 5|15. 6, 6| 15. 6, 9 - « petropoh| 33. 36, X |5. 38* 144, 3|15. 2, 2| 11- 44, 9 Hinc pro ftella ^y íequentes oriuntur exprefliones pro tempore coniunctionis Parifiis ex immerfione 7".18/55/.- 1,995.09 -F 0,09. 9 1,05. ex emerfione 7. 18.58 —2,00.0—0,85.5-F0,78.*.- hinc colligitur aequatio $5 —3,97.0 —0;44.7— 0,82. Petrop. ex immerfione 9. 10. 28 -4- 1,98.0 -- 0,14. 7--0,69.7t emerfione 9. 10. 3 9 —2,00.0 —0,42.7-1-0, 12. et aequatio hinc refultat 9 --5,98.8 -- 0,56. -- 0, 5 7.7. Tam facile quidem liquet aequationes ex obferuatio- pibus Parifinis et Petropolitanis deductas nullo modo inter FIXARVM' À LVNA. 6o inter fe conciliari poffe, et aequatio quidem ex ob- feruationibus Parifinis deducta nullo modo locum ha- bere .poteít, nifi ipG.y valor enormis tribuatur; nam fi flataatnr ó — — » fieret y — 4- 75! , qualis cor- recio Latitudinis omni deftituitur probabilitate, Ne- ceffüum igitur eft vt obferuatio emerfionis ^/ quae Parifiis ob nubes impedita fuit, aliquantum fit er- ronea; quamuis enim Cel Meffer huuc errorem non nifi duorum fcrupulorum fecundorum aeflima- verit, tamen calculus euidenter commonftrat, plus- quam viginti ícrupulis fecundis antea emerfionem contingere debuiffe. ^ Ex aequatione Petropolitana pofito * — o et Ó— — 3 deducitur y —--5, de quo tamen valore nihil certi: ftatui poteft, nam fi pouatur à — — 2, fieret y — — 2", igitur fine erro- re ponere liceret y — o. Comparatis inter fe obfer- vationibus pro immerfione colligitur MR. me- ridianorum inter Perifios et Petropolin 1^ s1'. 57^. Fit autem ex vtraque obferuatione tempus verum coniunctionis pro obferuatorio Parifino 7^. 18/. 26! et medium 5^. 4^. 3", exiftente Longitudine Lunae 2*, 2^. 59. 33, 35 quae quum ex Tabulis Mayeri fit .9*. 2*. 59l. 16! 0, erit corre&io Tabularum -- 17^. Ex occultatione 1 0, pro obferuatorio Cel. Meffer, (e- quenti modo exprimetur tcmpus coniunctionis Lu- nae cum hac Age ex immerfione 11^. 50.58... 6,76.0-- 6,47. 7 AST ex emerfione I1. 30. 29 — M osg.d xd 93.) —11,35.7 hinc collieitur aequatio 29 4-26, 79.0 -- 26,40 y -- 15,49.7—9 fumatur huius aequationis quarta pars, vt habeatur 7-- 6,67.ó-- 6,60. 9-4- 3,57. 1-0 Tom. X1X. Nou. Comm. Gezegg fub- 6» ^ OCCVLTATIONES fubtrahatur haec expreffio a primo valore pro tem- pore coniunctionis et prodibit tempus coniunctionis 11". 350/. 51//-- 0,09. 8 — 0, x3.y 4- 0, 23. Tt, wbi coefficientes correctionum 9, y, c iam tam funt exigui, vt tuto negligi queant. Caeterum fi in ae- quatione fuperiori ponatur à — — 3^, (iet y — 4- 2" circiter, ideoque et heic fine errore poni poteft cor- rectio Latitudinis Lunae — o. . Fit autem tempus: medium coniun&ionis Lunae cum ftella r 0 ad me- ridianum obferuatorii Parifini z1^ 16/, 27" Temp. inedio, exiftente Longitudine Luna 2*. 4?, 48'. 35, 5, at ex Tabulis Mayeri e(t s. 4". 48'. 21", 6, hinc correctio Tabularum -F r4" Denique ex occulta- tione ipfius « Tauri, habetur Tempus coniunctionis pro Parifiis 155 6.27'--1,98.9-F 0,19.» — 1,00. 7r pro Petropoli 16. 58. 48 --2,53.0 —1,59.y--0,09. TT hae igitur exprefüiones dant differentiam | meridiano-. rum inl 1*, $2! o1/1-1-0, 35. 0 — 1, 78. y «- 1,09. 7T, ex quo fequeretür fi haec differentia meridianorum. reapífe fit 1^. $1!. 55", corre&ionem ipfius y effe fal- tem 15/", quüm vero cx binis prioribus obferuatio- nibus conflet correctionem pro Latitudine Lunae effe. multo minorem , probabile videtur hanc Latitudinis correctionem ipfi Latitudini ftellae effe tribuendam. - Interim. tamen íi ftatuamus correctionem Latitudinis pro Luna effe -- 5", id cft Latitudinem Lunae Au- flralem tot fecundis effe augendam ; diminui debebit Latitudo ipfius & Tauri $^ Tempus coniun&ionis pro Parifiis FIXARVM A LVN A. 65$ Parifiis autem inuenietur 15^. 64.25»! et medium 14^. 52,4! exiftente Longitudine Lunae 2*.6*. 58/. 52", 4., quae ex Tabulis Mayeri habetur 2*.6'.38/. 19, 8 , vnde. colligitur correctio Tabularum 4- 352", 6. Ex 'occultatione «y Tauri haec correctio deducebatur -- 1 7", €x occultationé vero 14 Tauri -|- 14", medio igitur in- ter has tres determinationes fumto , erit correctio Lon- gitudinis 4- 21", quam correctionem ita diftribuere lice- bit per tres obferuationes , vt flatuamus pro tempore coniunctionis Lunae cum «y fuiffe correctionem 4- 18^, pro tempore coniun&ionis cum zx 9 -r 21", et pro tempore coniunctionis cum a Tauri 4- 24". " Nam quod ílella « Tauri primae magnitudinis pro- prium motum haud parum fenfibilem habeat; id non folum valde probabile eft, fed etiam aliis atque alis obferuationibus, Aflronomis confirmari vifum eft. Conclufiones in füperioribus inuentae , comma- de fequentem in modum vno obtutu repraefentari poterunt Coniun&io Lunae "Tempore medio | Longitudo |Corr. abb. Latit. 3 [Corr. Tsbb. Parifino A, 1774. —— Lunae Mayeri | Auftr. Mayeri cum e Tauri d 22. Ian. 55-544. 24'*256*. 38/. 7" ,0| — 29" 4*. 5'.15"| — 7 yiEaurid.3g. Frbr. 5. 41. 39.2. 2.38. 405-4 .—- 18. 4. 56.13 | — 12 e laurid.14. Ápr. 5. 47. 19 D. 6. 37-51, O| — 1$ 2M. 22 | — r4 2f'lauri d. 28. Aug. 16. 56. 19 p. 4. 48.52, 0| — »0 $535. 3$ | — 13 *'Paurid.s4.Sept.15. 0.41 [2 2. 39.16, g| — 14. |s. 9. 56 | — 10 q'Puurid.18.2Nou. 7:; 4. 3 |2,/2-:39,84».3| 3- 18 14-58. .O0 | -- 5 1f Tauri - - - - 11. 16.27 a. 2. 48. 42, 6| 3-21 . 4. 59.10 | -- s & Tauri - -- - 14. 52, 4 p. 6. 38.44. 0| -—- 24. |4. 59.49 | o. 5 Etfi hae correctiones maiores non funt; quam vt fidem facile inuenire queant, t»smen illis omnimo- dam certitudinem vindicare nolo; fiquidem in locis | "Ggggp. ficila- 664 OCCYVLTATIONES ftellarum- determinandis aliquanta aberratio admitti polit, vt taceam Longitudines et Latitudines ftella- rüm ex afcenfionibus rectis et declinationibus exacte determiaari non poffe , nifi obliquitas eclipticae . per- fe&e habeatur cognita, de quo tamen elemento in- ter Aflronomos noa omnimodus eft confenfus, — Ia his autem calculis obliquitatem eclipticae a Cel. de la Lande adoptatam adhibui; quae fi minus exacta fit, inde Latitudines praecipue ftellarum aliqua ad* ficientur correctione , quae tamen vix decem fcrupu- la fecunda excedere poterit. Autequam finem huic disquifitioni imponam ,, nonnulla confe&aria ex calculis allatis deducenda heic adiungam , quae Aftronomis haud ingrata fore exi(limo. J. Couclufiones quae ex obferuationibus ecli- pfium Solis, et occultationibus fixarum deriuantur , omnimodam certitudinem fibi non vindicant, nifi quatenus de veris valoribus parallaxeos Lunae, dia- metrorum Lunae et Solis , nec non Latitudinis Lu- nae plena adíit certitudo. | Quod autem valorem íe- midiametrorum attinet , fieri poteít vt correctio illis tribuenda tantum fit apparens, id eff ob. inflexio- nem radiorum luminis fieri poteft, vé in calculo minor fit adhibenda quantitas diametrorum , quam quae ipfis reuera competit. — Haec autem correctio ob inflexionem nequaquam accurate determinari pot- €(L, antequam aliunde verae quantitates diametrorum exacte conflent , quo in negctio aliquanta adhuc in- ter Aílronomos eft fententiarum diuerífitas; — Caere- rum FIXARVM A LVNA. 695 rüm raros valde oportet effe cafüs , quibus eiusmodi füppetunt obferuationes circa occultationes fixarum , vt ex iis terpae illae corre&iones diametri Lunae, Latitudinis et Parallaxeos determinari poffent. Pro hoc enim inítituto primum adeffe oportet obferua- tiones immerfionis et emerfionis ex quibus elicitur 'aequatio, quae praecipue correctione femidiametri Lunae adficitur, dum corre&iones Latitudinis et parallaxeos valde exiguis cocfücientibus iffam aequationem ins grediuntur ; qualis eft illa aequatio pro r4. À prilis, Geneuae ex occultatione & Tauri II -|l-4,06.0 — 0,08.) -I- 0, 15. T —0 ex hac enim aequatione, 9, negle&is plane correctio- nibus y et 'r, faltem proxime determinari poteft, Deinde adeffe oportet aequationem, in qua y coeffi- ciente pofitiuo fatis magno adficitur, qualis eft illa pro Petropoli die r4. Aprilis 63 — 7,89. 9 4- 6, 16.7 -1- 4, 50. T — O. Porro fi fieri poffit requireretur aequatio , in qua y coefficiente negatiuo fenfibili adficeretur, Ó et «r . lisdem fignis adfectis ,, ac im aequatione priori; fic enim: ope harunr triumr aequationunr, modo alio- quin obferuationcs. exacte. fuerint inftitutae ,. correctio» mes à, 5, * certiffime definire licebit. 1I. Quáruis hoc per obferuationes die 14. Apri- lis praeftare non licuit, tamen id lucrati fumus, vt corre&ionem ó faltem: cum praecifione femiffis fecun- di determinare En bep enim hanc corre&ionem flatuerimus — 5", fieri vtique poteft fi Ggg E 3 im 606 OCCVLTATIONES HESS Pu in obferuatione Cel. AMeffer pro — n adfit error 2 fcrupulorum fecundorum , et in obféruatio- ne Cel. Ma/fkt error vnius fecundi, vt haec corre- &io flatui debeat — 2", 5. — Quodfi igitur. valor dia- metri Lunae quem ex Tabulis Mayeri deduxi, fit prorfus exactus, flatuere liceret effe&um inflexionis radiorum , vcl fi placet refractionis in atmofphaera Lunae, cfle 3 ícruüupulorum íecundorum , vel faltem 2/ s. Sin autem haec diameter: aliquantam dimi-- nutionem patiatur, vnius ex cauffa minuti fecundi vti Cel. de |a Lande ftatuit , hic effectus inflexionis erit tantum. 2; vcl 2 fcrupulorum fecundorum.. In- terim tamen integram hanc corre&ionem óÓ in illis cafibus adhiberi nom pofle exiftimo, vbi minor aliqua ftella ad limbum Lunae lucidum immergit, multo- que minus quando circa limbum lucidum emergit ; in priori enim caíü fieri. poteft, vt lumen ftellae iufto citius exfünguatur , in pofleriori vero vt nimis tarde flella in confpe&um prodeat. Immo vix qui- dem definire audeo , an obferuationibus etiam exactis- fime infitutis, valor ipfius 9S pro occultationibus emnium ftellarum prodire debeat idem ; certe fi ex- périentiam confulamus , ftellae quo minores funt et debilioris luminis, eo diutius limbo Lunae obícuro inhaerere videntur, ita vt pro flellis minoribus ef- fectus inflexionis radiorum videatur effe aed cus pro flellis. maioribus. MI. Quaecunque «etiam adfit incertudo circa reliqua Elementa. Lunae , «tamen fi adfint obferua- tiones immerfionis et emerfionis pro aliqua occulta- tione FIXARVM A LVNA. 467 tione fixae, ope illarum verum tempus coniuncio- nis Lunae cum fixa, íaltem proxime hoc eít fne aberratione quinque miautorum fecundorum deter- minari poteíl. Nam fi in expreflohibus pro tem- pore coniunctionis, d, y, 7 cocíücientibus adfician- tur exiguis, medium capere licebit ex conclufioni- bus. pro immeríioue et emerfione. Sic pro die 14. Aprilis medium fumendo , colligitur tempus coniun- étionis- Lunae cum .a Tauri Parifiis 55. 45^. 16! , neglectis corrcectionibus y et 7; quae determinatio wix magis quam quinque fcrupulis fecundis effe pot- eft dubia. Si autem Ó, y, 7 coefficientibus adfician- tur magois, eo modo procedendum eít, ac fupra tempus coniun&ionis Parifinum Lunae cum 1 6 Tauri, pro die 18. Nou, quaefiuimus, Quum igitur Longi- tudo Lunae fit elementum de quo imprimis. quae- ritur. praecipueque in eo elaborandum fit, vt Ta- bulae Lunares quoad Longitudinem euadant exacae ;. facile hinc perfpicitur , quanti fint vfus pro hoc in- fütuto occultationcs. fixarum. a Luna. |o YN. Quoniam correctio Latitudinis Lunae ple- rumque multo maior effe folet , quam corre&tiones: femidiametri Lunae et Parallaxeos, imprimis ope- rae pretium eft, vt iíla correctio determinetur ;. quod fieri poteft fi in aequatione quam corre&iones à, y, 7 ingrediuntur, à: et ^ plane negligantur, fic enim valor ipfius y faltem proxime verus .inueniee: tur Hunc autem in vfum adhiberi debet aequatio , qua y, coefficieate fitis. magno: adficitur , nam. erro- ies Certe enormes committeret ,, qui valorem ipfius y quae- 608 OCCVLTATIONES quaerere vellet ope aequationum, in quibus y valde exiguum Labet coefficientem. Vti fi quis ex ae- quatione pro occultatione & — Tauri d. r4. Aprilis Geneuae obferuata , quaerere vellet valorem ipfíius y, non poffet non valde dubium huius correctionis in- venire valorem. Contra vero ex aequatione Petro- politana neglectis etiam corre&ionibus Ó et v inue- nitur y — — 10^, quae a vera non multum recede- re poterit. V. Negari quidem nequit, quin eiusmodi ad- fint cafus, wbi ex obferuationibus circa occultationes fixarum inter fe comparatis vix quicquam certi de differentiis meridianorum definiri poteft , fcilicet dum in expreffionibus pro tempore coniunctionis , à, y et 7 pro binis locis, valde diuerfos |habent coeffi- cientes, nec aliunde has correctiones definire licet. Huiusmodi autem incommodum certitudini Methodi, qua per huiusmodi obíeruationes differentiae meri- dianorum determinandae funt , prorfus nihil deroga- re cenfendum eft. Dantur vero et plurimi alii ca- fus, vbi ex talibus obferuationibus minus tutae de- ducuntur conclufiones, etiamfi.ob incertitudinem cir- ca correctiones modo dictas , nullum | dubium | oriri queat; neceffum igitur eft vt pro his cafibus incer- titudo ipfis obferuationibus vnice fit tribuenda. ^ Sic fi inter fe comparentur conclufiones pro coniunctio- ne & Tauri cum Luna die 14. Aprilis ad. meridia- nos Parifinum et Mediolanenfem ex immerfione re- pertae , habebitur differentia meridianorum 23. 5! -- 0, 24. J , quae FIXARVM A LVNA. €6g quae cum vefa 25'. 2o" omuino conciliari nequit, nifi y. flatueretur. 65", quod omni probibilitate defti- tuituf£. .Id igitur tantum remanet , vt credamus momentum pro immerfione. Mediolarenfi a me ad- hibitum viginti fcrupulis fecundis effe augendum. V]. In praecedenti Tomo noftrorum Com- mentariorum dum de coniuncione Palilicii cum Luna die r. Nouemb. 1773. agebam , adfirmaui in comparatione loci Lunae cum ftcllis fixis , rationem etiam effe habendam prturbitionum , quibus Lema 2 reliquis Planctis praeter tellurem adficitur ; 've- rum re mclius penfiteta in eam deueni fententiam , quod hae perturbationes. omnino negligi debeant , dum locus Lunae cum fiella fixa comparatur. . Sci- licet dum de loco Lunae quaeftio eít, intelligitur eius locus Geocentricus , patet autem locum Lunae refpectu fixarum e tellure vifüm non mutari, fi telluri et Lunae fimul eaedem ad fenfum perturba- tiones ex actionibus Planetarum oriundae tribuantur, Secus autem res fe habet in Eclipfibus Solaribus, tum enim loco Lunae esedem perturbationes funt tribuendae , quae loco Solis adplicantur , . fiquidem alias locus Lunae promoueretur vel retrocederet , ea quantitate qua locus telluris ob actiones planetarum mutatur. | Éon.XixNonConmu. Hhhh EXPE- 610 ; e$35 (0 ) $29 EXPERIMENTA E ACV MAGNETICA PETROPOLI INSTITVTA. Auctore W. LosKuRUM BOECPL A A magneticae inclinatio ex Clar. Za ob- (cruatione , praeftantibus inftrumentis inftituta , initio anni 1769. Pctropoli 73'. 45! eft inuenta. Interic&o fex annorum interuallo fufpicari merito licuit, fi qua fenfibilis variatio annua , qualem in acu declioatoria dudum prodidit experientia; magne- tis quoque inclinationem adficiat, fore, vt ea, ca- ptis de nouo experimentis, iudicio iam non ambi- guo fefe fit manifeftatura. ^ Antiquioribus obferuatio- nibus , quae in Cel de JIs/j diario recenfeatur , adeo vaga ineft incertitudo , vt quis fruftra in iis aunuae variationis veftigia quaereret: obftitit. fine du- bio feliciori in inclinationis theoria fucceffüi inflru— mentorum imperfectio; hoc autem obfliculo Cel: mathematicorum , Euri et Bernoulli, ftudiis felicifü- me remoto, ad penitiorem virium magneticarum cognitionem experimentis perficiendam vix quid- quam e(t optabilius, quam vt plura capiantur in diuerfis terrae regionibus, et frequentiora in iisdcm acus inclinatoriae experimenta. Acuum diuerfitas ne quid difcriminis obíeruationi Cl. Ma//ezi et meae in- | tuliffe EXPERIMENTA ACVS MAGNETICAE, ó:1 tuliffe videatur; acu fum, quam ille adhibuerat , eadem vfus; etíi detrimentum in itinere , quo CI. Mallet id inftrumentum in Laponiam transportauit , captum dum refarciretur ; centrum gtauitatis "huius $cus diuerfam a priori pofitionem eft adeptum. Re- liqua inítrumenti indoles in Comment. Tomo XIV. legitur relata. Ipfam autem methodum , qua ope eiusmodi acus vera inclinatio magnetica. determina- tur, quaeque ia Actis Berolin. ad annum 1755. vberius defcripta eft, breuiter et diftince ex ipfis principiis repetitam, quo fequentia clarius perfpician- tur, hic ante oculos ponere conuenict. Acus defcripto modo conftructa iribus wiribus 8d motum foilicitatur, I. Priua vis waícitur a proprio acus pondere, fi qui- dem centrum grauitatis G cum centro ofcillationis O non perfe&e coincidat. Conf. in Comm. Tom. XIV. Tab. I. fig. 3. Sit hoc pondus, cui etiam ,' demto indice, pondus anouli accenfetur , — A; diftantia inter centra grauitatis et ofcillationis — OG — 7; angulus AO0G-y et inclinatio obferuita EOP—9; quibus pofitis vis huius cufpidem P «leuantis mo- mentum habebitur — A g. fin. (S -- y). lI. Secunda wir oritur a pondujculo indicis an- séXi L, quod fi ponatur — M ; interuallum OI—4 . et pofitio indicis feu angulus A OI-—«w; ditur hinc momentum, vis cufpidem P. deprimentis — M4. fin, (w — 9). eui UT RR ES IIL T. XXIV. Fig. 2. 612 EXPERIMENTA IIL. Tertia denique vis eft wis magnetica. Hue jus vt eruatur momentum , repraefentet tabula pla- num meridiani magnetici M ER, a quo circulus verticalls M U R, in quo acus eft mobilis ,. declinet. angulo E RU — e. Exprimat, ductis ad centrum .Q horizontalibus E O et U O, angulus E OS. veram inclinitionem magneticam — a in ipío meridiang. magnetico; angulus vero. UOP inclinationem in. cir- culo verticali MUR obferuatam. — 9 ; fit porro cir- culi maximi per S et P ducti arcus SP— D et. quan- titas vis magneticae , qua acus eft imbuta, — V. Acus itaque in verticali M PR conftituta. follicitabi- tut ia dire&ione obliqua plani P O S vi — V. fin. (D; fiquidem effe&us obliquitatis incidentiae eft in ratio- ne fimplici et directa finus incidentiaé ; quam pri- mariam magnetismi legem elegantibus et ingeniofis experimentis extra omne dubium pofüit Cel. Laz- bertus , in differtatione Actorum Berolin. Tomo XXII. ad annum 1766. inferta. Analyte de. quel- ques experiences faites fur l'aiman. Iffa ergo vis obliqua in. korizontalem et verticalem , id eft com- veriricem et inclnatricem ve(oluta praebet momentum vis inclinatricis , cufpidem P deprimentis —— Mn. (D e. S. PR. In triangulo autem fphaerico S P R. habetur —— cof. a. fin. « fin SPRESTTAC et Q EIS Oe. m. f. mu. PR jm. &. co). & — fin S. cof. a. c6. à vnde ftatim habetur fin. D. cof. S PR — fin. a. cof. 9 — cof, a. (in. 9. cof. o itf, ACVS MAGNETICAE. 6 ita, vt vis magneticae. inclinatricis ,, qux acus. folli- tatür , momentum fit EV (ia. &. cof. 9 — cof. a. fin. 9. cof. «) quorum momentorim eX: vtraque parte aequalitas pro ftatu aequilibrii liga ito f5-—my etj—m praebet mn.(9-4-)-fin.(»-9)--0(n.a.cof.S--cofa. fin.S.cof.)) atque hinc [: tang. S -— fin. Y -c n. fin. e n. finsty de COf. Y) -- nt» C9] » Qt cof. q de "ET c9j. y Hifce iam explicatis ad. ipfa experimenta progredior. Acum defcriptam fub initio anni 1775. vali- da, quantum potui, vi maguetica imbui et fequeu-- tia tria. experimenta. iuftitui;. I.. In kd meridiano: wagnetico, vbi az Inclin. obferu. — J o: -- 327. 409^. go p -«- 8r. 8o 180 d 1i3r- I$ zjQ ho -— 2m i$l ; Erit ergo ob o» — c, — fin. wA n. fin. g'— m.fin. y tang. *- €0j. 7] —X4—-- n. Coje ( —L— ne cj. "y quae formula: ad. has: obferuationes adplicata praebet: adproximando , vt (fcilicec difcrepantia calculi ab. ob-- feruationibus vbique. euadat. minima , fn. io, e — m: fia yr — 0; $508: fi; COL, a4 Tl; COL. "y, — 0, 2820.. 614 EXPERIMENTA II. In ipfo meridiano magnetico , fed. acu. ita eonuerfa , vt eufpis borealüs mweríus auflrum. dirigeretur, adeoque « —— 180. "| 9 o | -F 46.45! 9o A97 ES 180 c«1i46. o 270 d- 2192. 42 Pro hoc itaque experimento erit tang, 9. — finen--n.fin.m— m.fin.y €oj. X — n. coj, a A- m, cof. y et fimili adproximatione ex his obíeruationibus col- liguntur fequentes valores ; f. fia. & — 1. fin. y — 0, 8400 — f). Cof. à, 4 !/I. cof. "y — — 0; 2500. III. In plau ad meridianum magneticum | mor- mal , vt fit o0 —90 Wd us AE o | 4. 58*. 59! 9o 4 88. 40 180 c«- 138. 49 270 | p 278. 52 cum hoc cafu fit tang. 9 — ff» -r m fi. e — m fim, y. TE C, 7 -- m. cf, y — — elicitur hinc Qt. fin. à, — m. fin, ^y — 0, 8510 11. COÍ. "y — 0, 0249. Prodiit 4 ACVS MAGNETICAE. 615 Prodiit autem €x experimento — Q5. ^m. cof a -4- m. cof. €, -— 0,2800 I1" — 7. a cof. -- $7. cof. "y — — 0; 2500 vnde fit fl. cof. & — 0,2550; et tii. cof. 'y — 0, 0256; qui vltimus valor vix diftrepat ab eo , quem modo inuenimus. His ergo inucntis pro omnibus allatis Obíeruationibus generatim habebitur | — fin. €-- 0; $500 tang. 3- C0J. Y A- osi so -4- 05 255c« CO. quae formula quantum coníentiat cum ipfis obfcrua» tionibus , ex fequenti tabula perfpicitur : : Ex calculo L «e—o;w— 0;9-—-4 33.56! CEPI YSIENBC 7 IN BRNE AINEEONS —180; 9—--130. 16 | —270; 9—-— 27. 15. Muizgo;mzi 0; 9L 839.4e | Mesr gegi S1 3:0 I4 4— 180, 9—--138. 55 «4-270; 9—--279. 28 IIIl.6—180; w— 0; 9—-4 47.50 "N-- 00; J— pb e (4-180; 9—-4r- 145. 20 1—2704 9-—"-213...7 vnde perfpicitur, calculi ab obferuationibus difcrepan- tiam vix vnum gradum íuperare, quamobrem va- loribus 616 EXPERIMENTA loribus inuentis ad determinationem inclinationis m&- gneticae fatis tuto vti licebit. Cum itaque fit 2,c0f.4 — 0,2550; et ft.cof. y — 0,0250; erit —— 9,2550 — 9,025€ 5g -—2—— et m -—-o-—- cof. a. €0j, "y quibus valoribus in aequatione fi. fin. a — m. (in. y — 0, 8500 fubftitutis colligitur O, 2550. tang. 4 — 0,0250. tang. ^» — 0, $560. Ex qua igitur aequatione inclinatio magnetica fla- tim innotefceret , modo quantigas anguli *y fuerit co- £nit, — Ad huac vero angulum qui quidem in in- ftrumento exactifime claborato deberct cffe nullus : definiendum nulla alia adhuc patet via, nifi vt acus inclinatoriae poli inuertantur, contrarium fcili- cet magnetismum ipfis inducendo; et eaedem pror- fus obferuationes repetantur ; hinc enim analoga priori pro inclinatione magnetica obtinetur aequatio, quam quidem quantitas ^^ adhuc ingreditur , íed ob 5 quantitatem iam mnegatiuam figno contrario, ac ante, adfecta , ita, vt duarum acquationum hoc mo- €o inuentaruüm combinatione quantitas illa incognita *y prorfus ex calculo eliminetur Polis igitur inuerfis fequentes inflitui obferuationes , quas iam breuiter recenfuiffe fu(ficiet. l. e —o ; "|- *— o!— 54.58! hinc colligimus 90|— 15r. 15. f.fin.a —m.fin.y —— 1, 1163 180/— 137. 50 f".cof.&-d- ti.cof. y —-— 0, 2011 $70] 264. 30 TR AGNVS MAGNETAILAE. :6; l.so.— 280. ^l 9 6| 180 .--139.. 30! hine habetur 90,189. 4-163. 20 —"cof.a 4- m. fin. y-—4-0,2 550 iSo|i80.-- 55.930 thLíin.a—1m.ün.y-—-—1:,080r 270|— 83. 30! adeoque 57.cof.o— —0,225*5; tt. cof. y —4- 0,0275 cum vero vltimus hic valor nullam fübire variatige nem debuiffet ; ftatuatur fumto medio f. Cof. *y — 0,0262 5 vnde fimili modo fequens colligitur aequatio 0, 2275. tang. & - 0, 0262. tang. y — 1, 0952 quae cum priori combinata praebet 0, 4825. tàng. a4 — I1, 9452 adeoque a — 76^. 4/. Quo autem inftituto meo, quantum fieri licet ; exàcte íatisfacerem ; acum plane nouam omni, qua potui, circumípectione conítrui curaui. . wepRtELed acu recens conftru&a inítituta, I. In ipfo meridiauo wagnetico , vbi à — o» AER inclinat. obfern, — 9 ————— CU GEL T 16". 43! 8 | 90| ; 86.t4 II. [180| -- 160. 10 IV. |270| 4-277. 49- 'Tom. XIX. Nou. Comm, CETT Hinc 618 EXPERIMENTA Hinc colligitur ex ex aequatione ecc n.fin.a — t2 fin *y E m. cof. Y 3 ncofa. an o, 32833 0,09094 I---et/lH O, 32640 O0, 09026 E: 6c 0LIN. | O, 32702 | o, o866r Il. . ec HI 0, 32789 O, OgOgI I. et IV | 0, 33060 0; OgIIO ITL ;G6E iV 0,532768 | O0, 0gI50 ex quibus habentur valores medii | n fin. a — tz. fin. y — 4-0, 32799 14, COÍ. ^y 4- f1..cof. « — 4- 0, 09022. II. In ipfo meridiano mognerico , [éd acu con- vería, vt fit a — 180. 3 3 id pu EC 99 do 03. T5 180 4-163. oO 270| 4 263. 45. Hinc prodit €x aequatione| 2. (in. a — sz. (in.*y | m.cof. ty —7.cof a "4 et II? | | o, 32591 — 0,07529 I. "et 1I1 Oo, 32745 — 0,071083 I. 'et IV o0, 52648 | — 0,075376 II. et III 0, 32880 — 0, 07545 FL E IV ll a 31709 — 0, 074.79 IH. et. IV |. 0,532822 | —0,07$57 fiuefümto medio] 0, 32566 — 0,075398 et ACVS MAGNETICAE. $19 et cum valor 7. fin. & — sm. fin. y hic inuentus a prio- ri tantillum , "quantitate fcilicet 0, 02233 , diícre- pet; fumamus medium inter vtrumque wi fit n. fin. & — fi. fin. y — 0, 32682 porro ex praemiífis colligitur tm. cof. y — 0, 00812; et 7. cof. à — 0, 08210 ita, vt pro hoc infirumento et ad tempus inftitu- tae obferuationis in genere fit —Jjm. (Y 2-9, 32612 ZUR WSEPER "EVER tang. v ss cof. »-c-29; 990312 -]- 6; O8210. cof. Ww III. In píauo ad meridianum wagnelicum — for- Mali, vbi 9 — 90 Y 9 :| GETRETEN 90| -- 89. 45 180| -4- 161. 4O 230| 4 270. 45 quibus obferuationibus quam exacte fatifciant valo- res modo inuenti ; ex fequenti tabula perfpicitur : Inclinationes computatae * uio -— 9o |«9-— 1$0 gv|- aQebl - aer, | 19. 26! 9o 86,5 89. 39 93. 12 180 I60. IO 161. 46 |165. 4 210 | 2777 45 270. 42 |263. 44 Valores autem ifti, de quorüm praecifione dubitare iam non licet , pro de&nienda vera inclinatione ma- o hanc fuppeditant aequationem : liii a 0,08210. 620 EXPERIMENTA 0,08210.tang. 4 —0,00812.tang. y — 0, 32682. Inuerfis autem polis, fíequentes obferuatae fünt ime clinatioaes : J. In meridiano magnetico , o — 0 ^| i E PUES 1 5! 90| 4 96.45 180| 4-196. 25 2530| d 266. 50 hinc cadem , ac ante , methodo. inuenimus 7. fin. & — tft. fin. y — —0, 51991 et n.cof, a -- t. cof. y — — 0, 08131. II. In ipfo meridiano tuagnetico , fed acu conuer-- Ja , vi fit o — 180 *) 9 WO RAO HR 90; 4- 8r. 50 " d- 199. 25 270| —. 85. 48 quae obferuationes praebent 9. fin. & — m. fin, y — — 0, 52000 $1. COÍ. "y — t. cof. à — 4- 0, 09700 vnde ex praemifífis colligitur 7. CO. 'y — 0, 00784. €t f. cof. & — — 0,08915 Propius vero ad veritatem accedemus , fi quia for- mula z4cof.*y; quae polorum acus magnacticae in- vcrfione ACVS MAGNETICAE. 621 verfione inuariata manere debuiffet, quantitate 0,00028 iam fuerit imminuta , fümto medio flatuamus $t cof. y — 0,00798; f. cof. & 2. — 0, 08915 qui valores obferuationibus optime fatisaciunt ; ha- bebitur enim in genere tang. 9 —— fin. —0,::05 4 —7 €0f.Y*] 4- 05 007 9$ — 05, 01915. CJ. () vnde iftiae inclinationes iam ex calculo ita fe ha- bebunt : io Ge--o - Ecsa9 bi gk —719* 5 15 S-—- 9. 16! p c 96. 49 T E 52 180 4 196. 32 4-199. 3I 270 -- 266. 28 — 85. 48. Ex his ergo valoribus iam fequens refultat aequatio fixalis o, 08915. tang. & - 6, 00798, tang. ey — 0,831995 et cum antea fuerit 0,08210 tang. « — o, 00798. tang. ocn t ibid concluditur hinc 0, 17125. tang. 4 — 0,646737 adeoque a — 75. 1 ; Quodfi igitur inter E duas determinationes, dua- bus acubus plane diuerfis obtentas ; Íumamus me- dium : collizitur Ad finem anni 1774. Petropoà acus magteticae 16 foll 7. lin. decim. pedis Londim. longae inclinatio 35. 37- lili: Haec 612 ^ EXPERIM. ACVS MACNETICAE. Haec inclinatio füperat i". 52! eam , quae fex abhinc annis hic a Cel. Maileto eft obíeruata ; quod . incrementum fi fingulis annis flatuamus fuiffe vni- forme; prodiret hinc variatio inclinationis magneti- cae annua Petropoli -- 18$ minut. primor. " Declinatio acus magneticae Menfe Decembri 1774. ope acus quatuor pol- lices longae inuenta eft 4". so! a feptentrione verfus Occidentem ; vnde hic loci declinatio iam crefcere Videtur; erat euim teftante diario Cel. Des Plsiü anno 1726. - --3'. 15! ex obf. Cel. Mayeri 1727 - - 2^. 55! ex obf. Cel 4e /Isi 1730 - - 4.40! 1741 - - 8.56! Cel. Braunius in Nou. Comm. Tom. IX. pag.: 45. ait fe anno. 1758. teperiffe declinationem | magnetis , vt fere fomper, 4". 30! N. W. quae omnia haud obícura praebent periodicae alicuius variationis, tem» poris fucecffü probandae , indicia. DVARVM et22 ( o ) 8:$ «628 DVARVM ECLIPSIVM SOLIS DIE :£. OCTOBRIS 1772 ET D. 4. MARTII 1774. OBSERVATIONES FACTAE IN VKBE DMITRIEWSK. a PETRO INOCHODZOT. Mm penduli diebus obferuationes has praece- dentibus et proxime infequentibus ope altitu- dinum Solis correfpondentium — exploraui , quarum -«onclufiones hic exhibere neceffuüm eft. Die i1, O&obr. 1772. Merid.ex alt.correfp. 05,0. 11! s correct. inérid. -4- 17,5 Meridies verus o. o. 28,8 Die 3i. OGobr. merid. ex alt. correfp. OX or 49? correct. 4 17,2 Merid. ver. ^ 0. 0. 59,2 Die i; Oobr, merid. ex alt. correfp. O. I. 19,5 correct. — -- 18,3 Merid. vet.. 0. 1. 57,8 E quibus acceleratio diurna 7",6 Die 5 O&obr. lniàium Hclipfeos ob nubes aliquan- tum fero obferuaui , finis tamen licet per nu- beculas obfetuatas eft. 15,23'.5$^, feu in temp. vero 1^ 22!. 58^, 5. Die 624 DVAE ECLYPSES SOLIS. Die 5. Mart. 1773. mer. ex alt. Solis corr, oP.1.10!, s correctio — 19,64 merid. verus — o. o. 50,66 Die 5. merid. ex altitud. correfp. 0.0.58, 5 correctio — 19,54 merid. correctus . o. 0. 18,96 Die 5. Mart. Ante ortum Solis ccelum circa hori- zontem erat maxime nubilum , ita vt omnem abiiciebam fpem obferuandi ingreffus difci lu- naris in folem ; caíu tamen felici nubes erant remotae , initium Eclypícos bene obferuare potui 18^ 4.5. 41", feu in tempore vero 185.4 5!.39". Erant vero in margine Solis , vbi ingrediebas tur Luna, duae paruae maculae, quarum fíequen- tem Luna texit 18". 46', 52/, aut in tempore wer 1 8^. 46!. 5o". | | Ambae hae Eclypíes obferuatae tubo Dollon- diano r2 pedum. : Mox deinde fit nubilum et nix parca, deni- qué circa medium Eclypfeos fole trans nubes vifo fequentes obferuationes quadrantis ope inftitui, I. Obferuatio tubus in altitudine 17*.36. 40" | Temp. hor. l'emp.verum LimbusSclis apparenter inferior h. m. s. |h. m. s. ad filum horizont. ^- -[19.44.17 |19. 44. 14,7 Cornu inferius ad filum vertic| — 44.51 44.28,7 —— fuperius. - .-. - -| 46. 4 46. "199 Limbus Lunae ad fil. vert. 46.24 46.21,7 Limb. Olis ad fil. vert. -- -| 47. o 46. 57,7 : 1I. DVAE ECLYPSES SOLIS. 625 IL Obferu. alt, tub. 18". 16'. 40" Temp.hor.|l emp.verum Ho gnus dPh.an.. S. Limbus O infer. ad fil. horiz.x 9.49.51 |19.49. 48,6 Cornu inferius ad fil. horiz. 50. 9. 50. 6,6 Limbus Ó) ad fil..b. .- .-| 59.55 50.32,6 Cornu fuperius ad fil. vert. Eco ds 52.12,6 Eunb.05 adi£ YS! —- |-0- $2.23 52.20,6 Cornu inferius ad f. v. - - 52.45 52.42,6 BENbso adf wv'-5-.- $53. 1 $2.58,6 III. Obferu. alt. tub. 18. 56. 40" Limb. O ad fil. horiz. - -119.55. 26 |19.55.25.6 Cornu inferius ad f. V. - - 5$5.40| 55.5756 Limbus 9 adf h. - d4- 5617 56.14,6 Cornu inferius ad f h. - -| 57.334 57.831 fuperius ad f v. — - 58. 8 58. 5,6 iiem adf h. - - - - 58.13 58.10.6 Limb. O ad fil. vert. - - 58.20 58.17,6 IV. Obferu. alt. tub. 19*. 56. 40" Limb. O inf ad f h,. - -19.59.57 19-59.54.5 Cornu infer ad f v. - -20. 0.1520. O.12,5 ESD O ad th -.-.- Q. 50 0.47,5 Cornu füpcrius fit nunc in: ferius. Cornu nunc infer. ad f. h. - 2.19 2.16,5 -—— ——— [uper ad icem - 2.35 2.3555- 'Tom. XIX. Nou. Comm. Kkkk NS 626 DVAE ECLYPSES SOLIS. V. Obferu. alt. tub. 21.56. 40" Temp. hor Temp.verum hi ns |h. m.*& . Limb. O inf ad f. h. - -[20.153.39/20. 13. 36, 4. —— praeced. ad É£. V. - - I$j457 13.5444 Corou nunc fuper. ad f. v. 14.23 I4.20,4. Limbus QD ad f£ h. - . 14.45 I4.40,4 Cornu nunc infer. ad f£ h. 16. 7 IÓ. 4,4 ideni ad f tw.» -Miew 16,18 16, 15,4. Corn. nunc fuper. ad £ h.- I7.lI I7. 8,4 VI. Obferu. alt. tub. 22". 36. 40" Limb. (C) praeced. ad f v. -|20.20.53 |20. 20. 30,3 infer. ad £ h. -! — - 20.38| 20.535,3 Lirnb JO adf v. - - -| 2r.x5 21.12,$ Cornu nunc fuper. ad f. v. 21.29 | 2- eOE Ruríüs nubes tegunt coelum et ningic; finem Ecly- pís ob eandem cauffam. obferuare non licuit. Has obferuationes Cel. Lexe/] methodo fua in Commentariis expofita computare voluit, ^ Ex fine Eclypfis Solis die 3. Octobr. 1772, obferuato dedu- citur tempus coniunctionis verum Solis et Lunae pro vrbe Dmitriewsk o. 50. 32//— s, 280 —- 1, $53 y — 1,23 t fignificantibus à, y, 7 correctionibus fummae femi- diametrorum Solis et Lunae, latitudinis Lunae et parallaxis eius aequatoreae, ^ At pro "Tyrnauia ha- bentur ex obferuato initio et fine fequentes expres- fioncs pro tempore coniunctionis ; 225. DVAE ECLYPSES SOLIS 623 225. 59. 34^, 8 - 4, 420 — 4,09.) 4- 3, 78 m 22. 59. 17, 3— 35 890 4- 3 49.9 — 1, 59 Tr. Vnde.íequens colligitur aequatio 17^ 5-1- 8,810 — 7,58.» -1- 5,87 T — fümta iam quinta parte huius aequationis , a eft 3, 4 -31- 1,66 9 — 1,52. y H- 1,07 1 — 6, eaque addita ad pofteriorem expreffionem pro tem- pore coniunctionis ; hanc nouam colligimus ' 225 59'. 21! —2,250 -- 1,97. —0, 52 7; quae fubtracta ab illa pro Dmitriewsk dat differen- tiam meéridianorum '- | 15 51/, 111 — 0,44. 9 — 0, 70 75 hincque fi correciones y et 7 plane negligantur i^. s1/. 117, Eft vero longitudo T yrnauiae a Pari- fiis. 15 0. 55", Quare erit illa pro Dmitriewsk 25. 5l, 6I, Interim tamen vt appareat quanta probabilita- te hacc determinatio praedita fit, pro aequatione Tyrnauienfi filatuantur tres hypothefes, I^: d'mTopq ok Quo ent yr QM. óz—5,m—-5 vnde J-——5 BL d ua bis — Ja. Pro prima hypothefi eft diffrentia meridianorum inter Dmitriewsk et Tyrnauiam 1^. 51' xc", pro fe- cunda ^. 51/16", pro. tertia 1^. 51^. 7", Quum igitur inter has conclufioncs fit difcrepantia 9", fta- tuamus vbi fupra inuenimus effe diff 5rentinm meri- dianorum inter Parifios et Dmitricwsk 2^. 52. 6". Kkkk 2 Vbi 628 DVAE ECLYPSES SOLIS Vbi quidem , quia obferuatio ín Dmnitriewsk per nubes capta eft, ficri poteft vc haec. longitudo inuen- ta 5 vel adeo ro fícrupulorum fccundorum augmens tum adimittat., Ex initio Fclypfis die i. Martii »773. iu Dmitriewsk -obferuato colligitur tempus. verum con- iunctionis Selis et Lunae 20^, 22!. 40 -- 2, 19 8 0, 35. 7 -- 0, 26 m. - At ex obícruato. initio Exlypüs in Pckia colligitur tempus coniund&ionis. 255.6, 325 -- 2,54 0 — 1,52. y — o,31 m. Hinc prodit differentia meridianorum 4^. 43. 52 4- 0,55 8 -- 1,67. y —0, 57 7, vbi íi corre&iones 3, y, v plane negligantur et lone gitudo. domus Iefuitarum. Pekini füpponatur effe 75; 36!. 20" a Pari(is, prodibic differentia meridianorum inter Parifios et vrbem Dmitriew:k ' 25, 52/, o5 Caeterum ex aequatione. pro. Pekin. inuenta, quae eft rYf--5,2:10—2,88.y -I- 2,00 T — Oy conítat fi ponatur effe à — — 3. fore y — — 2 , po- fito T—0;hi igitur valores adhibiti in expres- fione pro differentiz meridianorum;, dabunt 45 45^ 5 4! adeoque inter Parifios et Dmitriewsk 25 52! 269 Caeterum. fieri quidem: poteft. vt longitudo do- mus fefüitarum a nobis nimis msgna fit affumta , licet vix plus. quam quinque fcrupulorum fecundo- rum diminutionem pati poffe videatur. Quod au- tem DVAE ECLYPSE3 SOLIS. 629 tem conclufio pro. longitudine vrbis Dmiüttiewsk nuüc inueara cum. priori noa prorfus confentiat, ex- inde oriri poteft, quod circa initium Eclypfeos ob- feruandum tanta exactitudo locum habere noa foleat, 3C circa obíeruitum. fiaem. Quare fi harum €oa- clafionum probabilitates. ita aeftimentur vt prior tri- plo probabilior fit poíteriori, fict medio iuxta hanc ae(limationem: capto, longitudo Dmitriewsk ab obfer- vatorio Parifino 25. 52* r1'; ita vt circiter 5" er- ror deriuatur in priorem: determinationem et quin- decim ia poíteriorem, — Quicquid autem (it, probabile videtur hanc determinationem vix magis quam quin- que fcrupulis fecundis eff dubiam. Varias etiam obferuationes Fclypfium. Satelli- tunr louis inílitui; verum ia prae(enti paucae mihi funt ad manus ipfis correfpondentes alibi locorum habitae, cum quibus immediate comparare poffim 5 ideoque ad. ptoximum Commentariorum volumen deferendum eft. Vt autem. interea de latitudine vr- bis Dmitriewsk conflet , eam: ex multis altitudinibus tam Solis quam fixarum. meridianis reperi 50". 5! 6! Kkkkg — AD 630 eH5(o)tHde ^| AD ILLVSTRES ACADEMICOS : PETROPOLITANOS DE DIFFERENTIA MERIDIANORVM PETROPOLITAN] ET PEKINENSIS. Aucore | d P HALLERSTEIN. (a Ib cu. meridianorum Petropolitani. et. Peki- neufis tuto et accurate conftitui veftra potiffi- mum ct noftra intere(t Claríffüimi Viri, et quod ego in hac re tcntaui , vobis debeo, vobis defer cenfen- dum , corrigendum , definiendum. | Anno 1754. cum obfíeruationes Aflronomicas , quas anteceflor meos Pater lgmaius Koegier fecerat, et Ííparfim notatas reliquerat (obiit is anno. 1746. Martii 30, cui fequente menfe Aprili fuccefli) colli- £crem , ordinarem , confcriberem , optimo fato ad- venit eodem anno Pekinum Carauana Ruffica , quae nobis dono, et munificentia llluftris Academiae com- plures tomos attulit, in quibus praeter alia monu- menta literaria et docifmas lucubrationes , etiam Immerfiones et Emerfiones Satcllitum louis obferua- tàc a Cl. Viro D. de PIs/e in obfcruatorio 1mperia- li Petropolitano magno numero. A peiidlx Habe- DE DIFFERENTIA MERIDIANORVM. 65: Habebam ego Immerfiones et Emerfiones Sa- tellitum- Iouis obíervatas in hoc Collegio Pekini a P. Koegler inde.ab anno 17153 ad 1745. non mi- nore numero, harum cum aliquas vtrinque obferua- tis inter fe comparare tentaffem ,'" et viderem diffe- rentias inde exiftentes admodum. variare , facile in- tellexi , cum non poffem habere obferuationes quam optimas , curandum habere combinationes quam plu- rimas, cx quibus fi non poflem elicere veram dif- ferentiam no(lrorum meridianorum , elicerem faltem aliquid prope verum. Ergo obferuationes vtrinque factas ab anno 1726. vsque ad annum 1742. combinaui inter íe, quotquot aliquo modo potui, combinaui autem tri- bus diuerfis modis immediate, vt vocant, et me- diate et exiuerunt pro differentia noftrorum meridia- norum Petropolitani et huius: Collegii Pekineníis humeri medii tres; 55.444 15! et 55, 44^. 16" et 5^. 44!, 17! atque hi numeri funt, qui poftliminio impreffü funt in libro. obíeruationum Pekinenfium Viennae in^ lucem edito, Nec mihi difplicebant , quod fatis arcte inter fe haererent, et adeo, videren- tur non admodum longe a vero abeffe , nihil tamen certi definire aufüs fum , nifi inter 4 aut 5 fecunda. Nam cum obferuationes , quae hos. numeros dederunt , facae fuiflent telefcopiis vtrinque. admo- dum diuerfi$; Petropoli magnis, Pekini paruis-, ne- «eííe erat differentiis inde. ortis. correctionem is 3 : adhi- 632 . DE DIFFERENTIA adhibere , quae cum legem certam nullam haberet , fieri noun poterat, quin etiam diffrentiae correctae aliquid incertitudinis: fecum traherent. Poft aliquot annos audieram ac deinde ipfe le- fi in A(ronomia Cl. Dni de /a Lasmáe confilium Patris Maximiliani Hell Societatis noftrae Aftronomi Caefürei Viennae ; ommifíüis correctionibus huiusmo- di , et nulla habita ratione diuerfitatis. teleícopiorum qualiumcunqué , .dum iidem vtrinque obíeruatores iisdem confílanter vtantur telefcopiis; differentias or- tas ex comparatione Immerfionum vtrinque obferua- tarum combinandas cum diffr:ntiis ortis. eX. com- paáratione Emerfionum , et duorum mediorum nu. metrorum vtrinque erutorum differentiam pro ratio- ne multitudinis Immerfionum et Hbmerfionum ex aequo diflribuendam atque ita conflituendam vltimain ét veram. differentiam | Meridianorum , quod fcilicet , qui tardius videt Immerfionem , citius Emerfionem viieret, et contra. IMiratus aliquantum confilium hoc tam obuium tam fero prodiuiffe , refumptis calculis numeros illos, ex quibus fuüperiores tres differentias erueram , eosdem omnes, omiflis correctionibus , ta- les quales ex obíeruationibus vtrinque factis prodi- veruüt, iu duas feries defcripfi , quarum vna con- tinebat 37 differentias ortas ex comparationibus Im- merfionum vtrinque obferuatarum , altra 55 alias ortas eX. comparationibus Em: Monum medius nu- merus, quem dabant lmmtr(üones pro GESEPe rm Meridianorum Petropolitani et Pekinenfis exiit 5 - | 44. 14. MERIDIANORVM.' 63$: 44. 14". $8! ct medius ; quem dabant Emtrfiones;, extitit 5, 444 25". 24"! horum differentiam: :8'. .96// inter vtrumque diftribüi- fic : ^90: 8"2 26V ;-57: 5. 28! haec 3^. 28'! .(übtraxi ex. numero * maiore 5^. 44. 25, 24! et remanfit . pro - differentia. .Meri- dianorum numerus 5^, 44/ r9! $6! iterum .autem feci : - 90 : 8; 26! 1:155» 4I, 58 et. ifta ? 4I; gslll, addidi ad nümerum' minorem 52.44. 14". $8. x et extitit numerüs idem 37" 44. 19. $6! hoc : eft« 5^. 44/!. 20! pro diffrentia vera Meridianorum * noftro- rum Oobleruatorii Petropolitani , et huius Collegii Pckinenfis. Ile numerus , licet nihil -haberet, quo fe .tue- ri poffet, práeter m'ultitudinemi obferuationum ,. ex quibus exiuit; multo mihi támen potior vifüs ct tutior, quam tres illi fuperiores ; qui propter. com- parationem telefcopiorunt- parum. certam. et. nonnihil arbitrariam neceffario continerent aliguid plus.mi- nus: ifié contra velut fponte fua , fine vllo.artifi- cio íe obtnliffet ; vt aüco fperarem eum propius quam tres illos fuperiores, et fatis prope verum confliturum , haec mea" ifaterim eft conie&atio, quam vobis , hri 'do&tiffimi 7 difcutiendam | et. emendan- dam colt métito', quem" in finem addidi hic tabcl- lam numerorüm ; Tom. XIX. Nou. Comm. Liil Imm, 634. DE DIFFERENTIA imm. 37. Imm. . Em. 53. Em. 5^.41.48! — 44,25. 5*4alti! — 44.93 42. O Sh44..30'. 5 42/40. 44.83 42.29 — 44.94 42.49. 44.33 42.45. 4495. 42.54 544.35! 43. 6 44.36 45. 6 44 36 43. $5. 44. 86 48.18 44. 41- 49:10 — 44. 40 49.31 . 4448 43.15 44. 40 45.34 44. 46 4.3.32 44. 44 43.34 44. 47 43. 47 44. 48 43.39 44. 4T 5.43.55 44.49 5.48 40 — 44.55 3.50 5.45. I 48.42. 44.51 44. 2 45. 2 43:45 44.58 44. 4 45.32 43.48 5.45. 2 44. 4 45.33 43.56 45. 5 44. 7 45.43 44. O 45. 6 4-4.. 16 46,10 44. 6 P RIO AM 44.23 47. 1 44 7 45.13 44.25 44. 10 45.16 44. 10 45.18 5. 44. II 45.22 4.4.12 4.5.28 44.12 45.45 44.13. 5.45.50 44.17 45.56 44.25 46.17 Iqsumer- MERIDIANOR V M. 655 Immerfionum 37 numerus medius 5". 44/. 1 4/.. 5 8!/ Eimerfionum 55 numerus medius 5. 44. 23. 24. TNumerorum mediorum differentia - 8. 26 igitur 60: 84. 267,277 - "2 -—"78. 98 Medium numerorum mediorum — 5. 44. 19. 56 itm 90::$.26::533: —c4.7 7 4 04 58$ Medium numerorum mediorum 5. 55. 19. 56 hoc cft - - - : 5. 44. 20. L111 EGLI- 636 ET 13 ECLIPSES SATEELLITVM IOVIS ANNO 1734. PETROPOLI IN SPECVLA ASTRONOMICA OBSERVATAS, RECENSVIT. AND. IOH. LEXELL. Iy his: obferuatioáibus eadem "momenda habeo , quae in Tomo praecedenti, de obíeruationionibus pro Anno ri775. fuere monita. Ne autem pro fingulis obferuationibus nomen Auctoris repetere opus fit, obíeruationes a Cel. D. Rwmovski factas litterá R; quas inflituit .Cl. Ismiff littera. I, measque littera L indicabo. Temp. ver. Petrop. Styl. Nou. Emerfio III. Satellitis Iouis. Obfer- vatio aliquantum dubia. L. - — Ian. 6 GP, 4". 30! 4" Emeríüo I. Satellitis. Obferuatio du- ba, L- - - ^-um..- E 3.39 3 Pp Immerfio I. Satell. Obferuatio non prorfus bona, L. - - lulii 12. r2. t5. rx Immerfio. I. Obferuatio dubia. L. - 28. rr. 27. 58 Immerfio I. Obferuatio bona, L Aug. 4. 13. 23. 17 Emerfio ll. R^. - —-. - "Tx. Y3:22832759 is Pa Mbekig - — - - 11.11.35. 98 Immeríio Il. Obferuatio dubia. L - 250. 11.41. 38 1 ! T Ur. a 09 & lily ECLIPSES SATELLITVM IOVIS. 637 | Temp. ver. Petrop. | Styl. Nou. IIL Satellitis Immerfo R./— Aug. 23. 115.25! r5! íoeowKv7I] we 025141. 558508 ---L -.-—.- xz.225 9 Emeríio R.- - - 125.553. 19 P mrs m eK Ss Qu L - - - 125.506,50 Immer(üo Y. Satellitis. Obferuatio — | bona. L. - atr0gc nep; S. X5. e. no Immerüo ]. Obíeruatio bona L. — 12. rr. 58. 56 Immerfio I. Obferuatio bona. L. Sept. 21. 8.25.43 lmmerfio lll. R - - Odob.s. 1r. 40. 44 Ege XiUces We 11. 40. 6 YImmerfio I R e$ 09 07 2.17045 BE UM € uec up crY6. cg Immerfio I. Satellit. L * Octob. 28. 12. 30. 49 Immerio IL. —- - L - - - - 14.29.31 Emerfio I. R - - - Nou 15. 7.23.93E Emerfio II. R. Ioue e nube emergen- te, Satelles videtur multo debiliori lu- . mine quam reliqui - —- - II. 21.283 Emeráüo lII. L. obferuatio dubia - 17. 13. 20. 26 Emerfio llIL. R. - - - 24, 17.22, 2 Emeafáo L R. $9» - - 27. 16.41. 46. Lilbs ov De N 638 ECLIPSES SATELLITVM IOVIS. De obferuatione Cel. Ramovski die s. Octobr. ali- quod dubium eft, quia ipfi non licuit poft peractam: obferuationem. in motum — Penduli inquirere ,. quod Pendulum deinceps die 16. Octob. plane fubftitit. - Igitur motum Penduli talem íuppofuit , qualis die- bus obferuationem praecedentibus inuentus fuit. Pro immerfione quidem ]. Satcllitis inter meam et. Cel, Rumovski obferuationem valde magnus eft diffenfus., interim vix mihi perfuadere poffüm , vt meae ob- feruationi error infit fere. duorum minutorum pri- morum. XkKPITO- e$ (0 ) $8 EPITOME OBSSRVATIONVM METEOROLOGICARVM PETROPOLI ANNO MDCCLXX!V. SECVNDVM CALENDARIVM CORRECTVM INSTITVTARVM. Auctore IOANNE ALBERTO EVFLER. te T. Barometrum. i. Darometri altitudincs maximae , minimae et me- -1diae , 639 vna cum variatione maxima et ílatu me- dio, pro fingulis menfibus auni 1774. Altitudo. maxima Altitudo minima Variatio | Medium |Altitudo Menfe — Dig. P.e- die hora . Dig. Dig. p. c. die hora pis. p. c. Dig. p. cDig. p.c. nua 28. 24 31. ante Homer 26. 26. 98 "ig. VII, ai m. a. m.| 1. 26 Februar. - (98.45 | 4- meridie - 27.30 6. X1 pom. p.m. "us n 97. Mart, - .28.78 n3. IX. a. m. ACE 2. V. a. m. 3 Eg Apr: 28.69 | 9g. III. p. m. 27. 7.76 95 . VI.a. m. a.m. o 93 Maii ZR. TO- E Pe l4. m. 29:70. I4 Vi a m. 1. OO unii 88.39 2. VI p.m. m. 27. 68 | |12. X. a. m. "ero fulii 28.54 27. II. Lp. m. 27.82 | E. 18. IX a m o. 72 ——|—————— | —— ————— PEIYLI 0.82. 28.14 28. 16 (28. 2g O&obr 28. 58 |225. T Ie mei. TA 13. VI. a. m.| 1. 55 Nouembr. 28. 78 |37- III. p. m| 27. 67. Gj |16. V. a, m.| r. ya. Decembr.| 29.2: | & 8. poft merid. 27. so. 23. Vl a.m] zx- 7x. | 29. 35 |28. 3 BELnod oM SV NEL oO urusboMmlRI LIII rw - 1774. ?9.?! Decembris 26. 98 Ianuarii e TO à : íooRuuQo 0 DRE. M EOM UA E TII MEMINI CIIM CCCII CN TIT IC di 640 — EPITOMÉ OBSERVATIONVM - 2. Numerus dierum quibus altitudo Baromctri fu- perabat términos quosdam circa altitudinem 28. poll. | : i fapia fupra fupra fupra fupra per dimidium| —- 28g. 10. | 28. o5. 128. o 27. 95 |27. go |menfis fupra Menfe|Dies, horae Dies, horac Dies, horaeDies, horac]Dies,horae| Dig. p. c. —2———— Ian. 2. 18 Bos 3. 12 6. 21 IG 6 27. 83 Febr.] 5. x5 dpa $8. x5 9. 18 iE. 0 27. 82 Mart.| 19. o0 |20. 15 |21x. 6 |22. 38. | 24. 8 28. 0 April] 23. 3 .] 23-.9 | 2s. p | 26.309 | 28: va 28. 28 Mai | 25. 15 | 23. 9 |28. o | 28-12 28. 2I 28. 29 loni | $44 5 |.1R a5 [2€ 18 | 73. um. ho uA 28. o8. Iul. 9. € j[:13. 18. | 245! Bd, 1593 j. Bu. x2 28. 04 Aug. | 17.. 3 LO ab. LI x 24. Ab 96-19 28. 5 Sept. | 25....3 26. 19 cr ba OEUTE 159 3g 28. 9! Da. d pvTES 18,719 ^] 23. 38-1 59, 5 | 23: 5 28. 15 Nou. | 14. 15 IS. 15 mpg (ap aonis24. o 28. o8 Dee. ! 20. 18 23 T$ 22. 18 | 23- 18 25, —5 28. 28 ms D94..3) 212.240. 19M I. 3 |axo 15 OS Ter, | 28. R3 Duae priores figurae altitudinum | barometricarum pollices integros defignant, quorum duodecim pe- dem regium parifinum conflituunt , polleriores vero partes centefimas vnius pollicis Tum vero monen- dum eft a. m. fignificare amie meridiem, p. m. vero py meridiem. Colligitur ex his binis tabulis, pro toto anno. I. Altitudo maxima barometri 29.21: menfe Decembris die 8. per horas pomeridianas, a me- ridie vsque ad mediam noctem. Thermom, Delisl. 161r. Coelum obductum. Vent. N—O., 2, Al- METEOROLOGICARVM, 64r e. Altitudo minima barometri 26. 9$: menfe Ia- nuatii die 19. hora 6 mane. Thermom. Dclisl. 149. Coelum obducum, «et ventus vehemen- tiffimus ex regione S. 3. Variatio maxima 2,25 vel 225 pollicum. ^4. Medium inter maximam altitudinem et mini- mam 28. 1o. $. Altitudo Barometri media inter omnes obfer- vatas, fiue fumma omnium altitudinum per numerum earum diuifa 28. r5 prorfus vti an- no praecedente 1773. inuenta fuit. ^6. Ex fecunda tabula patet, mercurium in tubo barometri fe fuftentafle fupra 10 28;5 poll. per dies 194; 28,5, poll. per dies 217 28 poll per dies 241; 2715, poll. per dies 259; ct fupra 27i poll per dies 281:;. ' M Vnde concluditur mercurium fe füftentaffe per in- teruallum vei gus anni vel 182; dicrum fupra alti- tudinem 2875, poll quae altitado ergo prorfus con- venit cum media. X Comparatione autem inftituta cum conclufionibus , quae ex obíeruationibus praete- ritis duobus annis 1772 et 1775. factis erutae fue- runt , deprehendimus ftatum barometri hoc. 1774. anno multo quidem altiorem fuiffe illo 1772 anni, paulo vero inferiorem proxime. praecedenti 1773 anni. | Tom. XIX. Nou. Comm. M mmm Cse- 642 EPITOME OBSERVATION VM Caeterum animaduertere hic libet , altitudinem DBarometri maximam pro hoc 1774 anno, proftíus et. omnium maximam fuiffe ;, quae hucusque Petro- poli obferuatae fuerunt. Sequuntur iam obíeruationes nonnullae defcen- fuum et afcenfuum DBarometri fubitaneorum. Menfe Ianuario. d. 15. hora 9g. p. m. 28. 14 d. 17. hora 4. a. m. 237.55. Ergo interuallo temporis 3r horarum, defcendit ba- rometrum 455 poll. Coelum nubibus obdu&um , nix copiofa et ventus ex oriente, d. r7. bora 9. p. m. 237. 74. d. 19. hora 6. a. m. 26. 98. Hinc per tempus 33 horarum, infüper barometrum defcendit 5 poll. Coelum obdu&um , nix copiofa et procella e regione N—O, tum vero e S—O .d. 19. hora 6. a, m. 26. 98 d. 20. hora 6. a. m. 27. 64. Coníequenter tempore. 24. horarum barometrum ite- Tum aícendit i5 poll. Coelum nubilofum et' procel- la primo e meridie tum vero cx occidente. " Menfe Februario. d. 4. meridie 28. 45 d. 5. hora go. p. m. 27. 58. Deíceudit igitur mercurius in tubo barometri inter- vallo METEOROLOGICARVM. 648 vallo 53 horarum, per fpatium r;5. poll. Coelum ebductum , nix- et. procella e S—W. d.'14 hora 3. p. m. 2$. 32 d. 15. hora 7. p. m. 27. 65. Interuallo ergo 28 horirum defcendit mercurius in barometro per $5 poll. Coelum plane obduétum, nix €opiofa et ventus e regione S— W. d. BS bora j3.-p- m.)28..17 d. 25. hora 9. a. m. 27. 46. Hinc tempore 42 horarum defcenfus fuit Z5 poll. Coelum obdu&um , nix et procella ex occidentz. Menfe Aprili. d. 5. herá 6.*3,"m.*2 € o6 d. 8. hora 6, a. m. 28. 55. Per interuallum temporis 24 horarum afcendit ba- rometrum per ij; poll Coelum ferenum et ventus lenis ex N—O. ^ Tum porro afcendit mercurius ct die 9 hora 3. p. m. attigit altitudinem 28. 69 d. 16. hora », p. m. 28.60 d. 18. hora 4. p. m. 27. 89. Tempore igitur so horarum defcendit mercurius in barometro per fpatium. Z5; poll Coelum plane ob- ducum. Pluuia et procella e regione S—O. Menfe Iulio. 4. 25. hota 6. a. m. 27. 85 d. 29. hora 2. p. m. 28. 54- Mmmm a Coníe- 64 EPITOME OBSERVATIONVM Confequenter. interuallo. 56. horarum afcenfus fuit 15, poll. Coelo exiftente fereno et vento leniter flan» te ex occidente. Menfe O&obri. d. r. hora o.a. m. vel media nocte 28. 24. d. 5. hora, 6. 3. B 27.62. d. 3. meridie 23. 492. Ergo per interudlum 30. horarum defcenfus fuit i» poll tum porro leniori gradu defcendit amplius per fpatium 75, poll. tempore 350 horarum. Coelum obducum , pluuia et procella € regione S — W d. 3. meridie 27. 42 d,.5. hora 9g. p. m. 28. 40. Interuallo igitur 5*5 horarum afcendit barometru S m per 5 poll Coelum obductum , pluuia, nix, boreas d. o. hora e. a. m. 28. 20 d. 11. meridie 27. 58. Tempore ergo 51 horarum defcendit per i5 poll. Coslum obductum et ventus ex occidente d. x3. hora 6. a. m. 27. 43 d. r4. hora 9. p. m. 28.05. Confequenter tempore 39 horarum afcendit iterum per 4, poll. Pluuia copiofa et eurus d. 22. hora o. a. m. vel media noce 28. 43 d. 24. hora 6. a. m. LU Lomo Hinc METEOROLOGICARV M. 645 Hinc per internallum temporis 54 horarum defcen- fus fuit 5, poll. Plauia cadente et procella fpirante ab occideate. Meníe Nouembrk d. 47, hora. 5. p. m, 928. 78 d. 39. hora. 6. .p.'n& 27.37. Ergo interuallo temporis 75 horarum , defcenfus baromietri fuit ;95 poll. Coelum obdu&um , nix co- piofa, "vento leniter fpirante primum ab criente , tum €x regione S—O, denique e feptentrione. Menfe Decembri. Plares obferuati füerunt defcenfus et afcenfus motabiliores , quocirca malui omnes .variatignes baro- metricas hoc meníe anuotatas in figura hic adiecta repraefentare et ante oculos ponere: vbi etiam pro quauis die altitudinem Thermometri maximam et minimam , id efi flatum caloris et frigoris, nec non dire&ionem venti et conftitutionem coeli adiunxi. Mmmm 3 IT. 646 — EPITOME OBSERVATIONVM II.- 'hermometrum. x. Thermometri alütudines minimae et maximae pro fingulis menfibus anni 1774. fecundum Ca- lendarium Gregorianuin. Alutudo | minima | Altitudo maxima Ditfereutia Menfe — Gradus] die die — hora Graaus die hora . | "Gradus lanuar. (199. I3. VIII. à.i« 149 |19. V1;à. fn] Eua Feorauti ug 191 |1o. o. VII. a. m| r44. |26. 1l. p. 1. SP —— — — ——— 182 |L8. V Vl. a. m. 142 go. I 1l. p.m. 4o PAN |.3. Vl. a. m. 124. 28. 28. I]. p. m. MP i d 1r ; VLoaom] x08 26. 36. ll, l. p. p. m. 1:89 —— ———— ——Ó———— d — 6 : 138 |13. VI. a. m. ro8 v lIl.p.mi 3o " NET. ZRE Mr MB ME 130 |20. Vl a; mj 106 | S. Il. p. m. 24. LLL — ————— Augufl. | r39 |r. Vl. a. m. Septembr.| 149 |26. n6. Vl. a. a. m. &obr. 162 sr. Vll. a. m. 154. ro. lH.p.m| 98 —— — Je— MÀ e Nouembr. 185 neu V]111. a. m. |[T—— — —— — Decembr. 183 8o. VM. a. m. 149 |21. 1X. p. m. 458 I9I "Menfe Febr. De Thermometri confiructione et expofitione , plura in Tomo praecedente horum Commentariorum le- guntur; quare hic eadem repetere fuperfluum foret. 2. Sta- METEOROLOGICARV M. 64'T 2. Status frigoris " caloris. | Dies frigidiores gradibus| 3Jies. calidiores gradibu: Mente 19o|r80|179o 160150149 1101201391491 5o|16c — m) i —— [anuar. 1j 1ig| 21 | go ^ 31| 81 WUÉ..7 Februar. | r 6| .9| 15! 20, 28 IS| 20 Mart. 2l: 4| r8| 30]. 31 15, 28 April. Y 731I8 292 5|. I4 25| 3c |Mair XS 4$ 5x3r99|5545.951| 53 Imm ^|- — || 5-| 19| 28| 30| 30| 30 Iulii i Mug p e7731 31| 31| 31 t vites 10).91|539J- 94, $1 Septembr. | 20 J| xi| 24| 30| 3o Octobr. 2. 15| 29 I2| 28| 31 Nouembr. 5|. 16| 26| 50| 30| - 1 Decembr. ir9$|'gi| 31 I I$ conc Cr M Ho be ek P NR 27 621191173541 I5| 76 129 79299 292 Ex tabula priori intelligitur , per totum annum fuiffe : ; : Altitudinaem "Thermometri minimam, feu gra- dum frigoris maximi r9r grad. Deslish menfe Fe- bruarii die io, hora matutina VII? Barometro tunc temporis momento 27755; Coelo nebulofo exiften- te et vento leniter flante ex plage N— W. Hic er- £o gradus frigoris maximi multo minor fujt prae- cedentibus aunis; quibus fcilicet femper gradum s 200"* fupetauit. Alütu- 64$ | EPITOME OBSERVATIONVM Altitudinem Thermometri maximam , feu gra- dum caloris maximi ro6 grad. Deslisl. die s menfe Iulii et quidem hora 11^ poft meridiem. Parometrum 28,5,; coelum ferenum ; malacia. Dinis praeteritis annis calor maximus deprehenfus fuit 104 graduum, ideoque paulo maior hoc anno. Vnde:variatio Thermometri maxima per to- tum annum füit tantum 85 graduum fecundum Therm. De:slisl. ideoque 14 grad. minor anno prae- cedente 1773, et rg grad. minor anno 1772, vbi obferuata fuit haec variatio maxima 104. grad. Per tabulam pofteriorem deprehendimus , hoc anno 1774 , fuiffe dies 173 quibus frigus fuüperabat gradum 150, vel congelationis aquae naturalis; in- ter quos 119 reperiuntur dies frigidiores gradu 160. et 62 frigidiores gradu 170. Vnde patet hyemem hoc anno quoad durationem multo rigidiorem fuis- fe annis praecedentibus , vbi tantum 148 et 144 dies frigidiores gradu 150 cenumerabantur, quam- quam frigus maximum decem gradibus minus fuit iftis annis. Deinde intelligitur ex hac fecunda Tabula hoc i774 anno 239 dies fuiffe calidiores gradu 150, porro 173 dies calidiores gradu 340, inter quos 128 dies füerunt quibus calor füperabat gradum 150 et 76 dies quibus fuperabat gradum 120. Vnde intelligitur fummam caloris et hoc anno mi- norem fuiffe binis annis praeterlipfis, vbi dies nu- merabantur 256 «€t 267, quibus caloris gradus fu- perabat METEOROLOGICARVM. 649 perabat 150. Haec omnia luculenter patent ex com- paratione noftrae fecundae tabulae hic traditae , cum illis fimilibus dimus Speciatim '190 €t 200 180 et 190 179 ct 180 , quas in Tom. XVIII ct XVII. de- frigus obferuatum fuit intra gradus. dies die r5. Ian. et die ro Februarii | 2 die 5. 6. 11-13. 16. 21-25. lan die, 1. 2..8. 9. 11.,Febr. die 15. 14.- Mart.. die. 18. ,19. 95. 27. 28. Nou. et die 5. 13. 27. 90. Decembr. - — 2 -28 die 3. 4; 9—10..14. T9. 20. 24. vc T.r pnecduasus huvB,ES d... 19. i6Go et 170 23. Mart. d. 8. Apr. d. 8. 12-17. 20. 22. 24, 26. Nou. et die. Io. 1I. 12. I7. 24. 26. 29. Dec. -55 die'1: 2. -1' 4 18. 25.,27- 30. Jan. d. 5. 712. Lj. 14. Febr d.c6—9. EE,112-'18.719.'90. 094 94. 2/5. 2" [28.I- Malt. d. 512.16, 1.9. 10, Apr. d, :50. (8T. QGt. d.: 4-7. "og. roO. XI. 21.,295. o9; Nou. et die 4. 6-09. 14..10, 18. 20. 23. 25. 28. Dec. cy - vm "A r57 Calor autem deprehenfüs fuit intra gradus. IIO Ct IOO die 26, Maii d: 6. 7. 22: 25. 24.| dies ]un. d 7-10. 12. 15. 16. 17. 28. Iulii — - - - - -I5 Tom. XIX. Nou. Comm. Nnnn i20 éso EPITOME OBSERVATIONVM T |. |dies I20 €t IIO die 4-8. 23. 54. 25.27-30. Maii d; 2-5. 8.9. 19.,20..21.. 25.| :., 2:77-50. [un. d. 1. 4. 5.6. 1 I, 13. 12.18, 9I-82. B6. 30. 531. lub d. 1r. 9. fO. Ti» 19. 34. 29— 90. Aug. et die I—7. Sept. . —- -Ó6tf 130 et 120 die 20. 21.27. 28. 830. Aptil, d. 1. 2. 3. 153—116, 22. 531r. Maii|- d. r. ro. 13— 18. 26. Iun. d. 2. 3. 19. 20, lul. d. 2— 7. 9. 15—23. 5is 25061 70,32. Alu d S o. ro. z9ji Dept... MET A m se T TN II. Ventus et Ventorum Directiones;. IVent |Procel-] des edle HE Varia-! Mala [V ent |V ent: Procel Nord N.OlOR S-O jud S-W, Weeft N-W/V aria cia. |leois [ortis Ilafis bilis Menfe dies | dies |dies dies dies | dies |.dies | dies | dies. | dies |dies dies |dies Ian 5 UR? 6 3 8 8&2 m4 T 4 X 4 2 Febr L LhE-pm 4 5 TR WE 02115 5n» 2 Mart I 18 9 $ P 9i; em z|2 2] 9| 2 Apr 6 [hs eb 4 I BIS X525 5.1: .:8 1 Mait zm uu II 4. 2 I|2 24 :5.|* x 9 3 4 Imnii | ro 6 | 1x 3 I ui^ B prr axle 4 | 10 4 I1l. p 8 4. a 2.110 F: 2:13 e s! 6 3 Aug. 9* Jm 2) a ax 1,5 46 4 5 | 4 2 Sept. 2: | 16 | xo 2 5 913 I|95]-3 i 2 id O&, 53 824 5 5 7| 9-p- M] 67 - Nou. 3: 4: x5 9 2 7 9|4 NI ases T 2 4. 2 Dec 2- uo: | X | 9 pom, r9 eEIEST| T irgu aS M Auno : " : pa ;6 los 112 | 43. || 5r | 60 pP9.|-1732 |39 47|174 | 25 METEOROLOGICARVM. 651 Vnde patet hunc annum non waitol desk fuiffe an- no practerlapfo 1772: minus ventofum vero an- no proxime praecedente 1775: quamquam differentia non fit fenfibilis ; malaciae obferuatae fuerunt fre- quentius menfibus Iunii et Augufti, ac procellae frequentius deprehenfae fuerunt menfibus Decembris et Octobris. . Porro perfpicitur hoc anno vti ct praecedente; maxime regnaffe ventum e regione N—W , et qui- dem meníbus Decembris et Iunii; tum vero ven- tum e plaga N—O, deinde boream et zephyrum. In fpecie autem hoc anno procellae flabant . € regione, j dies Nord die 21 Martii; die 13 Decembris - -|2 N-O die rg Iulii et die 6 Decembris. —- . 2 S—O die 18 Apr. die 12 lulii; die 12 Aug. | 3 " Sud die 2 Ian. die 18 Febr. die 27 Apr. die 25 Maii die x et 7 Sept. - - - 6 S—W die 2r ct 24 SE " 13 did d. 22 Hoe. cembris. — - E THE dA AWcít die x et 19 Ian. d 5 Febr. d. 17 ct 19 ] Maii; d. 30 Iunii d. 25 Iulii; die 4 Aug. d. I. 113. 12 et 25 Odtobr. d. 8 et 9 Nou. de 19 Decembr. - - - -:5 N-W die 6 et 24 Febr. die zx et 14 Mart. Lowe die 2o Maii; die 12 et 17 Iunii; die 3 Iulii; die 24 Octobr. die 50 ct 31 Dec.i1z Nnnn2 IV, 652 EPITOME OBSERVATIONVM IV. Conftitutio coeli. d terii Nebulofum PluuialNix Menfe dies | sies dies — | dies dics. lanuar, | 10 |. 16 ó 13 Februar. 4 16 5 I2 Mart. I2 I2 6 A pril. 15 5 3 Maii I6 2 2 [unii II 2 3 jets 9 E , Auguft. 9 6 2 Septembr. 6 9 3 O&obr. | moo UTI 5 |Nouembr. 5 9 3 | Decembr. | Lo * Suri | Anno | ; ETIN ij i j Numerus dierum ferenorum ergo hoc anno multo miaor fuit quam annis binis praeterlapfis , vbi eo- iüm i27 €t ro2 numerabantur — Deinde cum an- no praecedente 17753 pluuia per dies 96 et nix per dies tantum 57 cecidit: patet hoc anno nume- rum dierum quibus pluit paulo minorem ct eorum qubus ninxit notabiliter maiorem fuiffe. V. Reliqua phaenomena. Grando decidit diebus 3: die fcilicet 25 et 28 Sep- tembris, vt et die 28 Decembris. Toni- METEOROLOGICARVM. 633 Tonuit 177; die 8, 24. et 27, Maii, die 5, 6, 8, 1u 199826. Iuui; porro.die 7, 9, 10,12, 15, 16, 17 lulii , deinde die 12: Auguíli ac de- nique die 9g Septembris. Aurorae boreales obíeruatae fuerunt 48 ; et quidem 21 perlueidae , d. 1i lan. d. 8 Febr. d. 2o, 31:30 Maàrtii, d; 2; 4, 23 April. die 7 Maii , porro d. 21, 29 Augu(ti, d. 1o, 18, Basses go Sp d x8,9298.Od. d. 3.7 Nouembr. denique d. 28 Decembris. At 27 aurorae boreales debiliores annotabantur d. 1o lam) d. 9, 14) 16,:27; 9i Marti; d. x, 3i 5, g.ur5 Aptrils;.d. r, 29, Malis; dA ET, i95 Aup" do Bi. 13, 27 Sept. d. 2,,84£4, 20 Odobr. d; 5, 24, 26 Nou. et d. x,26 Decembris. Parhelia obferuata fuerunt 5; fcilicet d. r4 Ian. d. I Febr. et d. 4, 25, 27 Decembris. Flümen Neua a glacie liberabatur die 2r Aprilis et die 7 Nouembris vbique glacie obducebatur. To UN id | UM s P S uu x Hn Ff dde m nb. "gi j d HM d mue E hh 4 3 CET ens Mah cse BinuE 3 T Bra p Red Lo T 4 f UUCXE RON UV Abs] E An X "arco NU TM i04, T. RU 1 Aes eat E dau iu A à USA C ^ Aud RAPI Ef -b NA NIA. ENIM E AN amici &c b upins "wo els CMM au3gad 10s eyioididsb ^ t oT 7 LX * phovupaM tene TE Le oo Prat. NE b sapie VEM: ELS tip ad 4 SR "eU yos hn siop dim yum rt Er hi 1 ( Db à E i JS Ag scie (531 it S n Pur [uM 1 UELYN NOIPI, AE D ; 1 mé. : EAS D. T4 » . NN * id j * m M. [E y : r : HL m V P. ER /3 ie : zi N J Ver. Comment . "aad dde. PbIrop. Von XIX as.2 . Nov. omment: Acad. Sc. Petrrop. Tom. XIX, Tab. II. p? a a 2o 2727 92 zi ó c D : J 4 fos TL mega tt JVoe Cozezenk deux ou trop. . Zoom... ZU E A cs 4d nme -— 7 3 TO SUCCES JVoe Corment. dut. Sv. Juropot. For. XI. Ta. Z7. | CQommert . A cod. dc. Petrop. Tom. XIX., Tab uU ] Vor. Comment . Acad. de. Petrop. Torn. XIX. . Tab. 1V.. AaoM. Imp. Ev J'etropot Jon. znt Acad. ? A AVon. Comment. Acad. Jp. $c. JetropoL Jor. XIX.Tao.V. - Aov.Commernt- ead. Prnp - óc —Petropoé. lon XIX. T'aó. VI 3 (|. mt - Nov. Comment- Jdcad Amp. Sc.Petropot. Fam. Oremem . Acad. Ip. de. Zetrapol Jom XIX Mo YE Lo ETE y Ea E c : ——— m — "Nou . Commen . Acad. Imp. Je. Zetrapol omn . AUXCEARD. IE IEQUUS — Meruonus Mop. Comment. dead. 4p. c. Zfropot. Jor; MEX. Za6. ZB sl aL "dead. Hngo. c. Petropot. für AI. Tab. VEZ ornemenc. Nan. € detrato. dhrenarect IX. Taó. IX. óc. Petrop. Jom. X Nov. Comment: Acad, IX. ad, yc. Petrap. Jom. XIX. Taó c £d Conumnen AVov. —«E- -— cor. Ré idw: emp. «fe. JPefropot. Tos. XIX. i X CUT8y-— Cornimeont Head. np. e. Petropol. Tom. XIX. Tad X. —7089R LÜOTIHTROIHÉ-. . dead M. óc. Fotropod. 4 XIX.J25. X7 Aoc. Comment dead Venp. So fotrapol. J- XIX. Za5. XT. ov. Comment. Acad. oc Jetrop. Tóm. XIX. Tab, XII IIUMSEEM SSORASST -— Im st LL . -— Mov. Comment. Acad. ov. Zetrop. Tom. XIX, Tab. XIL ^ , Joz. Comment. Acad. Sc. Petrop. Tom. XIX. Taó. XIII. ESSEN SXMNNNGNS 4 wee Nov. Comment. Acad. Sc. Petrop. Tom. XIX. Ta&. XIII. Von. ^ Comznent: dead. e. Petrap. Jom. XIX. Taj XIV. 2, UL z m A / zr lig n S D 3318. AVES pp f. RINT pIX$SUERLZS : s zi E c TN JV. Comment: «dead. o. Petap. Tom. XIX. fab. XIr- E Vos. Comment du. Jn. 3» Jttropot. Zoze YN. 72647 JVov. Gommerit. Aecut. Ip, e, Fetranot, Jon, IX. Jab 77 Jor. Conunent Acad. Sc. Jetrop. ZonmWXIX.Za5 Di7 N AN SN JAVor. Comment cac c "o 7L Zub XVZ 7 xd. 8 ZA ; £6 op. Ti 71XIX.. Zu JI / MI lov. Comzuentdcoxd s cPetrop.ramXIX..Ta6. XVI Jv. (omznenc Acad. SCPetrom d07n-X1X- Jb. XVI ivan "uU aai No NO —NÓad "Lcad.. Sc. JF otrap. J XIX. Zab XIX. —à NSSSSNNS 3 - SVov. Comment: Acad. Sc. Vetrap. 4. XIX. Jab XIX. ; Joa Comment. dead. e. AFotrap. Torn XIX Tab XX. Joc Cozment dead. sv. "Vetrop. Torn XIX. Tab XX. pzument. "Acad, Sc. Petrop. Jom. ALX. Lao. AA et AA - Aou. Comment: Acad. Se. Jetrop. Tori. XIX. Tab. XXI et XXII. Hecho UU. c. L0LTODOL. Morro XIX. Tab .XXHE Av - Genre Acid. Trip, Je Terogol. Tor SR BERE p x i y s -— L4 | Comment. ead. c. P'etropot «Jom. XIX. JTa5. XXW. [67] Avon. Comment. Acad. Ko. Tetropol. Tom XIX Tab. XXIV. Z 7u.ent. 4o. Petropod (| Jor, XIX Tab. XXY. "enmL Deemiri 4 dU eóvervatarum. v LA CUM E Mov. Comznent. dead. io. -Petrapot. Tom. XIX. Tab. XXV. Tabida. Variutonua ABarometri Fetropott, per 7nenserm. Decembris 4 lUi observatarum . 2 £* 9» 22 LTTI L 9 [ 223.00 £8.50 P OMOn 28.00 £7.50 27.50 27 o0. £7.00 i : S E Matan. die. 6.12. Yenuss lent di. T5,181£51516.222225.2,6.27. Venaus. fortis die 12.2101112.18.20.28.2,8.23. Proclosus dte. 6.15.19.22.50.04. Coelum ple serzuurm. de 5 et plane obductum die 8.919.241516111849 9122.25.28. 82 . AVebutosum. dze- e.1242.21.28. AViv die 5p LU I212182220.25.26.00.NZC eQptosd. déc. 10.45.16 42. - GLA cuneo x. zl ys Vat y A Zh De » x n X! THREE non eiTe Deeper mou aeree - eds d i10 90 Fu Q9 89 4» 09 0* V 19 qu odd o om 10 om m