\ ŒUVRES COMPLETES DE CHRISTIAAN HUYGENS. Imprimerie de Joh. ENSCHEDÉ & Fils, Hariem. w^ ŒUVRES COMPLETES DE CHRISTIAAN HUYGENS PUBLIÉES l'AR LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES TOME DIX-HUITIÈME L'HORLOGE À PENDULE OU A BALANCIER DE 1666 À 1595. ANECDOTA. LA HAYE MARTINUS NIJHOFF 1934 3'"- yJ.-^' ^ 113 |S6B t. 18 L'HORLOGE A PENDULE OU À BALANCIER DE 1666 À 1695. ANECDOTA. L'HORLOGE A PENDULE OU A BALANCIER DE 1666 À 1695. ■:--.^c::*f7^ .£ Averti ffement. Les Tomes qui précèdent contiennent à peu de choie près ') les travaux de Huy- gens depuis fa jeunelTe jufqu'à fon départ pour Paris en 1 666. Les principales Pièces qui y manquent (ont les Journaux de Voyage de 1 660-1661 et 1663 — d'ailleurs fouvent cités; voir p. e. les p. 6ç — 71 du T. XV — que nous inférerons dans la bio- graphie finale -). Mentionnons auffi une colleflion encore inédite dans fon enfemble de proverbes et maximes tirés par le jeune Huygens de Cicéron et de quelques autres auteurs anciens grecs et latins. Quelques-unes de ces citations, dont le choix efl: évi- demment caraélériftique pour Huygens, ont été publiées en 1 929 ^). On trouvera dans les Journaux de Voyage — voir d'ailleurs fur deux paffages du premier Journal où il eft queftion des horloges les notes 7 de la p. 1 59 +) et 2 de la p. 246 du T. XVII — ') Voir sur un sujet non encore traité jusqu'ici le premier alinéa de la p. 265 du T. XVII. Le lec- teur futur qui dispose de tous les Tomes pourra trouver dans les „Varia" quelques figures se rapportant à la période qui se termine en 1666, et aussi une Pièce de 1658 sur la voix humaine commençant par les mots: „Diversitas tonorum fitarctatione laryngismajoriminorive". Quant aux travaux de Huygens sur lescorpsoscillantsquisont traités dans le Tome XVI (p. 385 — 391 et 414 — 555), ceux qui s'intéressent spécialement à ces calculs, trouveront encore quelque chose à glaner dans les Manuscrits B et C. -) Ces journaux de Voyage — comparez la fin de la note 5 qui suit — seront d'ailleurs fort pro- bablement publiés par Mons. H. L. Brugmans en 1934 avant la fin de l'impression du présent Tome; voir à ce sujet les Additions et Corrections qui suivent. 3) Dans le T. VII du périodique „Christiaan Huygens" (éd. F. Schuh, NoordhofF, Groningen) AVERTISSEMENT. le récit des relations perlbnnelles de Huygens avec diverfes perfonnes en France et en Angleterre; et Ton y remarquera h Paris fa préfence en plufieurs réunions fcienti- liqucs qui conduidrent tout naturellement h la création d'une Académie officielle à l'inftar de la „Royal Society". En devenant membre de cette Académie — nous réCcrvons les détails fur ce fujet pour la biographie, nous bornant ici à dire qu'Ilmacl Boulliau dans une lettre inédite appelle 1 luygens „omniura caput" '') — il fut , comme on le comprend, amené à s'occuper de quelques fujets nouveaux pour lui. Toutefoi (comme cela reffbrt aufli clairement des T. XIII et XV) ce flit en premier lieu h pourfuivre fes études anciennes qu'il s'appliqua. Il y a notamment une parfaite con- tinuité entre fes recherches fur les horloges — et fur les fujets mathématiques qui s'y rattachent — antérieures à 1666 (T. XVII) et celles appartenant à la période françaife de 1 666 à 1 68 1 *) et à la deuxième période hollandaife de 1 68 1 à 1 695. Nous vouons donc le préfent Tome à ces travaux-là fans infifter fur l'influence du milieu. s dans un article intitulé „CIiri.stiaan Huygens, eenige citaten enbeschouwingen naaraanleiding van den driehonderdsten gedenkdag zijner geboorte". ^) Observons en passant que l'horloger «Martinet" s'appelait en réalité „Martinot", comme Huygens l'écrit dans son Journal. 5) Boulliau écrit à Hevelius le 18 février 1667: «Netamenprscipuanominahujuscollegiitelate- ant, nota mihi adscribam. Omnium caput est III."'"' Christian Hugenius, qui ex Batavia evoca- tus sex millium florenorum Polonicorum annua pensione fruitur ; fequuntur Robervallius etc.". Cette lettre qui se trouve à Paris à la Bibliothèque Nationale nous a été signalée par Mons. Harcourt Brown de Canada, de qui un travail sur la genèse des sociétés scientifiques en Europe au dix-septième siècle — lequel contiendra plusieurs passages inédits du Journal de Voyage de 1660 — 1661 de Huygens — paraîtra dans le cours de l'année suivante (1934); voir à ce sujet les Additions et Corrections qui suivent. *) Cette «période française" fut d'ailleurs interrompue par deux féjours prolongés en Hollande (1670 — 1671 et 1676 — 1678). L'HORLOGE À PENDULE DE 1666 À 1673. I 1 L'HORLOGE À PENDULE DE 1666 A 1673. L'ordre chronologique que nous avons obfervé dans la partie du T. XVII vouée à l'horloge à pendule de 1656 à 1666 nous amène à parler ici de l'hiftoire de cette même horloge, en tant qu'elle regarde Huygens, de 1666 à 1673. \. Horloges marines. Comme nous l'avons dit à la p. 177 du T. XVII, l'horloge marine fut patentée en France peu avant le 4 mars 1665, grâce à l'influence du père Conftantijn auprès de Louis XIV. Le 13 février Conftantijn écrivit de Paris à Chrilliaan (qui venait de préfentcr au Roi la Requête qui conllitue notre Appendice I): „C'eft une excellente preuve des Pendules, que celle de Hobnes '). Je la feray veoir au Roy et parlerai) pour avoir icij le Privilège"; et le 27 février: „J'ay leu dans ma dernière Audience au Roij, tout du long la copie de votre lettre de Mons.'' Morraij ') qu'il a entendue avec plailir, comme aujourd'huy Monlieur Frère du Roy en prefence de fa femme, m'en a fort bien fceu repeter le contenu. Pour le Roy, quand je lui ay parlé du privilège, il m'a dit qu'il le donneroit"^). Chrifliaan qui fe trouvait encore en Hollande donna le 20 mai 1665 plein pouvoir à Chapelain pour difpofer du privilège: l'horloger Ifaac Thuret (comparez la note 2 de la p. 235 du T. XVII) était venu voir Chapelain déjà en mars pour le prier d'offrir fesfervices à Huygens pour la con- ftruâion des dites horloges et pour leur vente et dirtribution ■*). Voici le texte de la Procuration. gegrolTeert ') ') Comparez la p. 223 du T. V. -) Voir à ce sujet la p. 230 du T. XVII. 3) Le 13 mars 1665 Constantijn écrivit: „Je trouve votre inftruction marino-pendule [T. XVII, p. 199 — 235] fort nette et claire". Ces fragments de lettres sont inédi'^s. Ils sont tirés d'un „lVIemorie [d'ailleurs peu importanf] raekende de verblijven van de Heer Christiaen Huygens in Engelandt", qui se trouve dans l'un des deux portefeuilles „Varia". Evidemment la famille, ou d'auTes personnes à qui elle les avait confiées, possédaient au dix-huitième siècle une col- lection de lettres échangées entre Constantijn et ses fîls qui se sont égarées plus tard. Toutefois il ne paraît pas absolument impossible que ces lettres existent encore aujourd'hui. L'auteur du „Memorie" n'est pas nommé, mais un membre de la famille qui appelle Chr. Huygens son grand-oncle dit avoir reçu cette pièce, ainsi que des pièces et lettres ayant appar- tenu au dit grand-oncle, de la veuve du professeur G. J. 's Gravesande, éditeur des Oeuvres de Huygens au dix-huitième siècle, lequel mourut en 1742. *) T. V, p 267. Voir aussi à la p. 357 du T. V la lettre de Huygens du 21 mai à Chapelain qui accompagna la Procuration à laquelle Huygens ajouta encore la Pièce No. 1409 (T.V, p. 358). 5) C. à. d. copié. Nous empruntons cette copie à la f. 206 du No. 277 des archives notariales (arch. communales) de la Haye. 8 l'horloge X PENDULE DE I 666 X 1 673. Par devant nioij Martin Becckman notaire publicq admis par la Cour Provinciale d'Hollande rclidant h la Mai je, & devant les tcsmoins foublitçncz fiift prcfent en (ti perlbnnc Monfieur Chrillian Huijjrcns de Ziilichcm, demeurant dans ce lieu de la Haye lequel a déclaré avoir fait et conllitué l'on Procureur t;encral & ipecial le Sieur Jean Cliapelain Conlciller du Roy en ies confeils demeurant à Paris, luy donnant plein pouvoir & authorifation de pour luy et en Ton nom, difpofcr du privilège que le dit S^ Conftituant a obtenu de sa Maj.t<î Très Chreilienne dans cette année 1665 de ia nouvelle Invention d'horologe à pendule ') lequel privilège ledit Sieur Chape- lain a entre ses mains, — Et le pourra vendre, et tranfportcr à telle, ou telles con- ditions que ledit S"", le trouvera a propos, foire drcffcr, et paiTcr pour ccil effeft des Contracis et Efcripts à ce neceiïhires, recevoir les deniers qui en proviendront, donner quittance Et generallcment agir et gérer comme ledit Sf. ConlVituant faire pourroit ij ellant mel'me en perfonne, promettant ledit Sieur Huijgens de ratifier, tenir fcmie et irrévocable tout ce qu'en vertu de cettes fera fait et contraftè par le dit Sieur Cliapelain, ibus obligation de renonciation comme de droit à ce requis. Ainfy fait et pallè à la Haye en Hollande le vingtiefme de May mil fix cens foixante cincq en la prefencc de Corneille van Broeck et Guillaume Bronsvelt tcfmoins dig- nes de foy a ce requis. Chr. Hugens de Zulichem C. van Broeck G. Bronsvelt 1665 A. Becckman Nots. Publ. 1665. A la fuite de cette procuration, Chapelain entra en négociations avec Thuret. Se fouvenant du projet qu'il avait envoyé à Huygens d'un remontoir à reffor's à remontage d'heure en heure -), Thuret avait quelque foupçon que l'horloge de Huygens ferait une conftruction de ce genre 3). Thuret conllruific en outre dans le cours de 1665 un remontoir à rcllorts à remontage fréquent qu'il montra à Chapelain ■*). Huygens, à qui Chapelain communiqua les propos de Thuret, répon- dit qu'il avait également fait conftruire à la Haye, indépendamment de Thuret, une montre à deux relTorts à remontage fréquent et qu'il confidérait cette invention comme une dépendance de la fienne, c. à. d. du remontoir à poids à remontage fréquent '). Il faut croire que Thuret montra fon invention à Chapelain avant d'avoir vu les remontoirs à poids moteurs à remontage fréquent de S. Oofterwijck deflinés à de Montmort et à de Carcavy, lefquels arrivèrent à Paris avant le ') Il s'agit apparemment du remontoir à poids moteurs à remontage fréquent qui était destiné à l'usage sur mer; voir la Fig. 73 de la p. 178 du T. XVII. Toutefois le privilège s'appliquait, paraît-il, aux «montres a Pendule sur mer" en général; voir la p. 177 du T. XVII. ') Voir sur les remontoirs à ressorts de ce genre la troisième ligne d'en bas de la note 3 de la p. 10 et les p. 181 — 182 du T. XVII. 3) T. V, p. 371; T. XVII, p. 181 — 182. ♦)T.V,p.5n. 5)T.V,p.525;T.XVII,p. 182. l'horloge X PENDULE DE I 666 X 1673. 20 août 1665 et qu'il eut l'occafion d'examiner"). Il eft vrai que la lettre de Chapelain dans la- quelle celui-ci dit avoir vu la nouvelle montre de Tliuret date du 23 octobre fuivant "), mais dans cette lettre il dit que Tliuret n'attendit pas „a descouvrir Ton inuention qu'il euft vu l'exécution de la voftre". Cela étant, il faut admettre que Tliuret — à moins qu'il n'ait appris par une autre voie que dans l'horloge de Fhiygens il y avait un remontage fréquent — a eu, indépendamment de Huygens, l'idée d'introduire le remontage fréquent dans fes montres ù retTorts. Ce qui efl: cer- tain c'efl que peu de temps après avoir confidéré l'horloge marine envoyée de la Haye à de Mont- mort, Thuret a exprimé des doutes fur le fuccés de ce remontoir-là. Nous rappelons que le capi- taine Holmes n'avait pas encore eu à fa difpofition ce remontoir dont la conftruction n'avait eu lieu qu'après fou départ «). L'horloger parifien dit „que les chaisnettes de [la] machine [de Huygens, c. à. d. du remontoir nommé] eftoient d'un artifice moins fimple que le fien, et plus fujet a arreft" "t). De l'autre côté Huygens émit l'opinion que les reflbrts ne doivent pas „operer touf jours de mefme force" »), En juin 1665 Huygens fut invité par Colbert à venir demeurer à Paris comme membre de l'Aca- démie des Sciences '°). Bientôt Chapelain céda par conféquent de négocier avec Thuret, difant que Huygens s'ajufterait fans doute beaucoup mieux auec lui perfonnellement que par autrui "). Tel fut évidemment le cas; nous ignorons toutefois les particularités de l'accord conclu fans doute en 1666, Ce n'ell qu'en avril 1667 '-) que Huygens parle de trois horloges faites à Paris „par mon ordre, mais au dépens du Roy, pour fervir au voyage de Madagafcar". Il ajoute: „A celles la je ne fais point adjouter l'invention de la chaifnette, parce que je vois qu'elle donne trop d'embarras" '3). Dans une lettre de décembre 1667 à fon frère Lodewijk "*) u nous apprend que les horloges nou- vellement conftruites „ne font pas avec la chainette en dedans, mais fimplement comme les pen- dules ordinaires". Il eft poflible que les Fig. i et 2 '5), lefquelles font défignées par Huygens par le mot bon repréfentent avec plus ou moins de fidélité des horloges réellement conftruites en 1667. La verge à palettes y eft verticale comme dans le modèle de 1658 '*). Cette pofition de la verge dans une horloge munie d'arcs cycloi'daux et conftruite après 1659 eft quelque peu étonnante: voir les p. 93 — ç6 du T. XVII. Il faut cependant remarquer que la conftruftion diffère de celle de 1658. Il n'eft d'ailleurs pas abfolument certain qu'il s'agit ici d'horloges marines. La verge à pa- lettes eft apparemment horizontale dans une autre figure [Fig. 3] à côté de laquelle fe trouvent les mots „de Thuret'"'). Ce qui eft certain c'eft qu'en ce temps ni la conftruction de 1664 de Huygens ni celle de 1665 de Thuret n'avait prévalu: on ne fit ul^ge ni d'un remontoir à poids ni «) T. V, p. 439, 474, 476, 511. ") T. V, p. 5 10. La lettre précédente de Chapelain est du 07 août. 8) T. xvn, p. 194,234. ») T. V, p. 525 (5 novembre 1665); T. XVII, p. 1 82. '°)T.V,p.375- ")T.V,p.5io. ") T. VI, p. 129. ■5) Comparez la p. 396 du T. VI, où l'on voit aussi que Huygens apporta à Paris les deux remon- toirs construits pour lui par S. Oostervvijck (T. XVII, p. 183, Fig. 75). ■4) T. VI, p. 167. ■S) Manuscrit C, p. 136. Cette page date de février 1667. '«) T. XVII, p. 43, Fig. 8. '7) Manuscrit C, p. 142 (février 1667). 2 lO l'horloge X pendule de 1666 À 1673. [Fig. I.] [Fig. 2.] (nm- ^^^ \ d'un remontoir à reflbrts dans l'expédition de Madagafcar; et il en fut de même dans celle de Candie de 1668 — 1669'). Les „pendules ordinaires" employés étaient à poids moteurs puifque Huygens dit que dans les horloges à chaînette „il falloit un contrepoids trois fois fi grand qu'au- trement" et que dans le cas du voyage de Candie le „cùntrepoids" eft exprefTément mentionné à la p. 50Ï du T. VI ainfi que dans l'„Horologium ofcillatorium" (voir la p. 1 1 8 qui fuit). Dans la lettre de 1667 à Lodewijk, Huygens parle de plus de deux nouveaux types d'horloges, dont le dernier eft achevé ou peu Ten faut: „run avec un pendule qui tourne en rond, et l'autre d'une façon trop longue a déduire, qui pourtant n'eft nullement embarralTée". La Fig. 4=) repréfente l'horloge à pendule conique dont nous ignorons li dans la penfée de Huygens elle eût pu fervir fur mer. Une horloge à pendule conique fut conftruite en 1668 (T. VI. p. 267). ') Danscettedernièreexpédition(voir lesp. 116— 1 19 qui suivent) leduc de Beaufort n'eut à sa disposition qu'une seule horloge (T. VI, p. 501). '') Manuscrit C, p. 112 (novembre ou décembre 1666). On y trouve encore quelques autres figures du même genre. Comparez la p. 360 qui suit d'après laquelle plusieurs horloges à pendule conique furent construites avant 1673. l'horloge X PENDULE DE I 666 X 1673. I I [Fig. 3.] [Fig.4-] kr-7Lr.-^ Le deuxième type mentionné par Huygens nous eft inconnu. Il eft poiïîble qu'il Pagifle, comme en 1664 et 1665 3), de pendules enfermées dans de lourdes boites, telles qu'elles font repréfentées dans les Fig. 5 et 6 datant de 1668 "*). Ce qui eft nouveau ici (outre peut-être la conftruction des pendules — voir la fin du préfent alinéa — invifibles dans les figures) c'eft que la folive à laquelle les pendules font attachées efl dans l'une des deux figures [Fig. 6] fufpendue à la Cardan. On lit dans la Fig. 5: „poutre du vaifTeau '). — 10 pouc. — fer large de 2 pouces et mince qui faffe un peu de reilort. — fer large de mefme. — petite folive de 3 pouces en quarrè. — double charnière afin que les horologes ne tournent point *). — les pen- 3) Voir la Fig. 75 à la p. 183 du T. XVII. "*) Manuscrit C, p. 258, datant de mai ou de juin 1668. 5) En 1665 (voir le deuxième alinéa de la p. 162 du T. XVII) il était aussi question d'attacher les horloges „a quelque poutre", mais le contexte fait voir qu'il s'agissait là de les attacher à une poutre, sans doute verticale, de telle manière qu'elles ne pouvaient balancer. *) Comparez le premier alinéa de la p. 162 du T. XVII. 12 l'horloge X PENDULE DE I 666 X 1673. dules de ces 2 horologes efhnc égales elles iront toufjours enfemble fans fe defac- COrder '). — vers la pouppe. — vers la proue". Rien n'indique que des horloges aient réel- lement été fufpendues de fFie. <;.l ^■^^'■'^ façon à bord d'un navire. L'horloge du duc de Beaufort(i668)était enfer- mée dans une lourde boîte (voirlap.i i8quifuif),mais il n'en avait qu'une. No- tonsque la longueurdu pen- dule y était de 9 pouces (voir la note 3 de la p. 1 19 qui fuit). Voir encore fur cette horloge la note 2 de l'Appendice II qui fuit. T-iV, Î..V. A. c* rv^A \wy7^J^rf'*r. [Fig.d.] C'eft de 1671 ou 167; que date l'horloge marine à relTort moteur et à pen- dule triangulaire -) avec fufpenfion à la Cardan — comparez la phrafe de l'Appendice III qui fuit fur la «hauteur" du „point de fufpenfion" — furlaquelleonpeutconfulter lesp. 120 — 123 qui fuivent. En 1673 cette horloge n'avait pas encore été mife à l'épreuve 3). Nous reproduifons ici [Fig. 7] ce pen- dule tel que le Manufcrit D le repré- fente pour la première fois'*), ainfi que quelques fufpenfions de l'horloge antéri- eures (?) à la fufpenfion nommée et dont rien ne démontre qu'elles aient été réali- fées [Fig. 7bis 5) et 7ter5)]. Huygens écrit "•): „I1 faut, pour avoir le pendule [Fig. 7] d'environ 6 pouces, que les 5 vibrations falTent 2 fécondes. Ce qui fera ainfi en donnant 15 dents a la roue de rencontre*), et la faisane tourner 5 fois dans une minute". ') Voir les p. 183— 186 du T. XVII (sympathie des horloges). ') Nous avons déjà dit au T. XVII (p. 168 et suiv.) que l'horloge à pendule triangulaire de 167 1 ne doit pas être confondue avec le „drykantig slingerwerck" de 1663. 3) Voir la note 3 de la p. 14 qui suit. Comparez lesp. 142 et 210 du T. VII. *) P. 289. La p. 287 du Manuscrit D porte la date du 29 septembre 1671. 5) Manuscrit D, p. 293. l'horloge à pendule de 1666 À 1673. 13 [Fig.7.] [Fig. /ter.] Nous reproduirons aii(Iî[Fig. 8] le deflîn plus achevé du même pendule, où le poids n'eft plus fphérique et où le fil porte deux poids curfeurs, ainfi que celui de l'horloge entière [Fig. 9] qui fe trouvent l'un et l'autre fur la feuille détachée déjà mentionnée au T. XVIF). Ces deux figures «) Nous avons dit à la p. 547 du T. XVII que le nombre des dents de la roue de rencontre doit de préférence être impair; il n'en était pas toujours ainfi, comme cela ressort aussi decequeHuy- gens dit à la p. 491 du T. VI fur la verge à palettes ou „eguille du balancier" (comparez la note 6 de la p. 9 du T. XVII). 0 T. XVII, p. 142. Il s'agit du feuillet 158—159 des „Chartœ mathematicœ". La p. 323 du Ma- nuscrit D porte un dessin au crayon du même genre. •4 l'horloge à pendule de 1666 X 1673. [F'g- 9-] [Fig. 8.] refTemblent beaucoup aux figures cor- refpondantes de r„Horologium ofcil- latorium" '). Mais ce dernier livre ne contient pas de defcription de l'inté- rieur de cet tehorloge marine [Fig. 10], lequel a été efquifTéen 1672 par Huy- gens, avec la moitié du cadran, dans le Manufcrit D -), où le trouve aulïï une figure [Fig. 11] failant voir e. a. la pofition , par rapport au pendule et aux roues qui mènent les aiguilles, de quelques boulons-^). Le fait quedans la Fig. 1 1 il n'y a pas de poids curfeurs fur le fil du pendule eft peu important. D'après la Fig. 1 1 le poids du pendule est apparemment une lentille. Dans la Fig. 10 une des parties fupérieuresdu fil du pendule efl feule repréfentée: elle porte à fon extrémité la boucle par laquelle doit palier le crochet qu'on voit dans la Fig. 1 1. On lit dans la Fig. 10: „Mon Horologe pour les Longitudes. — hîc index ho- rarum i a.atque in centro indicis caput axi'5 quadratum eminet, cui clavis accoramodatur quoties elaterem tendere opus cft. — hîc index fcrupulorum primoruni qui femel in hora circumit. — hîc in- dex fer. fecundorum qui 60 con- verfiones fkcit in horas. — 9000 vibrationes fimplices fingulis ho- risperagitpendulum,cujuslongi- tudo circiter pollices 6. — Eft autem triangulareexbiniscycloi- dibus furpenfum, ut apparet ex figura pagina prscedentis [Fig. i ij quse dimidium ejus ac totius compagisexhibet". Dans la Fig. 10 Huygensa indiqué les nombres des den ts de toutes les roues ainfi que ceux des pignons. ') Fig. 21 et 22 desp, 120 — 121 qui suivent. ') P. 320 — 321. La p. 316 porte la date du 16 août 1672. 3) On lit dans cette dernière figure auprès d'un des boulons les mots: „pour le pilier de la grande plaque". l'horloge à pendule de 1666 À 1673. ï5 t^/tvT i6 l'horloge a pendule de 1666 X 1673. [Fig. II.] On trouve, écrits au crayon , les mots tubus à droite près de „index horarum 12" et veer [reffbrt] à gauche à la hauteur du tambour à droite qui contient le reffbrt moteur. L'horloge n'a apparemment qu'un reflbrt unique, comme nous l'avons déjà dit à la p. 182 (1. 12 — 13) du T. XVII. Il eft vrai que dans 1',,! lorologium ofcillatorium" , comme ailleurs, Huygens ne dévoile pas tous fesfecrets; comparez les notes 2 et 6 des p. 246 — 247 du T. XVII; pour faire voir qu'il n'y a qu'un reffbrt il ne fuflit donc pas de citer la phrafe (p. 123 qui fuit): „ÎMotusrotarum omnium non à pondère fed à chalybea lamina, tympano inclufa, prin- cipium habet". Mais dans la ligure rien n'indique que le grand reffbrt fervirait à remonter un deuxième reffbrt plus petit. La roue (?) à ,,32" dents (V), placée en dehors de l'efpace compris entre les deux platines, et auprès de la- quelle fe trouve le mot „veer" écrit au crayon, ell fans doute affez myftérieufe. mais nous ne pcnfons pas qu'il puiffe s'agir d'un deuxième reffbrt placé en cet endroit '). Remarquons encore qu'il n'y a pas de fufée dans l'horloge de 1672=). Les arcs cycloVdaux, fruit principal des recherches théo- riques de Huygens 3), relièrent en ufage. La p. 12 du T. VII de 1670 fuffirait pour faire voir combien il était con- vaincu de leur utilité pratique''). Dans l'horloge à pen- dule triangulaire ces arcs font fort larges à caufe de l'obli- quité des fils qui doivent s'y appliquer. Il faut bien remar- quer, ce que Huygens ne fait pas dans r„Horologium ofcillatorium", qu'en vérité la démonffration de r„ifo- chronifme de la cycloïde" n'eff pas applicable au cas de fils obliques, de forte que, fi les arcs peuvent avoir eu quelque valeur ce qui eff douteux 5), ce n'eff pas parce qu'ils poffedaient une forme théoriquement corredte. Quant au fil, c'était probable- ment déjà en 1672 un fil de foie: beaucoup plus tard*) Huygens parle expreifément d'un fil de foie rouge. ') Dans la première montre à ressorts à remontage fréquent de 1665 de Huygens le deuxième ressort se trouvait „sur l'axe mesme de la roue de rencontre"; et dans la deuxième sur „raxe de la roue suivante" (T. V, p. 525). Dans la mon're de Thuret de la même année (T. V, p. 51 1) le deuxième ressort était également „engagé dans le tour intérieur de la roue qui meut celle de rencontre". On peut aussi le placer ailleurs. R. T. Gould („The Marine Chronometer" p. 140) dit: „The remontoire [c.à.d. le deuxième ressort (ou le deuxième poids) du remontoir] may be, and has been, installed at any point in the train. It will be recalled that Huygens fitted his in the crown-wheel [c.à.d. dans la roue de rencontre, comparez la fin du deuxième alinéa de la p. 15 du T. XVII; ceci est exact pour la première montre dont nous venons de parler; il est l'horloge X PENDULE DE I 666 X 1673. 17 Les remontoirs à poids moteurs de 1664 — 1665 ne furent-ils donc jamais eflayés fur mer? Nous n'oferions l'affirmer. En 1668 l'amiral hollandais van Cent parait s'être fervi d'une ou deplufieurs liorioges marines"). Ce qui ert certain c'ell que U. Suerius en eut une ou plufieurs en 16728); celles-ci peuvent avoir été des remontoirs de S. Ooftervvijck qui les vendait (à moins qu'il n'ait vendu d'autres horloges marines) avec l'Indruction de Huygens de 1665 »). II. Horloges astronomiques. En 1666 Huygens apporta à Paris, outre fes deux remontoirs (note 13 de la p. 9), fes horloges aftronomiques fur lefquelles on peut confulter la note 10 de la p. 31 du T. XVII: ce fut „une pen- vrai que l'auteur ne parle pas de cette montre, mais d'un remontoir à poids], Sully in the cen- tre wheel, etc a patent taken out hy Weber in 1 854 covers the use ofaremontoire [ressort] in the great wheel itself (in lieu of a fusée)". Voir pour l'expression „great wheel" (et aussi pour l'expression „centre wheel") les notes i et 2 de la p. 75 du T. XVII, où il s'agit d'une horloge à poids moteur unique. Dans la Fig. 10 ici considérée la „grande roue" est celle qui fait corps avec le tambour (comparez la p. 72 du T. XVII), mais, comme nous le disons aussi dans le texte, nous ne pensons pas qu'il puisse être question ici d'un deuxième ressort cuaxial avec la grande roue. =) Dans les horloges à pendule astronomiques et de chambre la fusée fut déjà supprimée en 1657 (p. 72 du T. XVII). Huygens la réintroduisit plus tard dans son horloge marine (voir la note 12 de la p. 31 du T. XVII). Remarquons dès maintenant qu'en ce temps (1686) il y est ques- tion de deux ressorts; il y avait „dubbele ontsluijtingh" (T. IX, p. 74): cette horloge était un remontoir où le remontage avait lieu deux fois par minute. Les termes de l'Instruction ne font malheureusement pas connaître la position du petit ressort. 3) Voir p.e. les p. 345 et 392—413 du T. XVI et 95—96 du T. XVII. •*) Nous saisissons cette occasion pour remarquer que dans les horloges de chambre néerlandaises du dix-huitième siècle on trouve encore parfois des arcs cycloVdaux. 5) Voir dans le livre „The Evolution of Clockwork etc." de J. Drummond Robertson (comparez sur ce livre la p, 546 du T. XVII) la critique des arcs cycloVdaux des horloges marines par R. Hooke (p. 167 — 173). Nous pouvons toutefois remarquer à ce propos qu'un des célèbres time-keepers de Harrison (1693— 1776) du dix-huitième siècle (T. XVII, p. 1 80), également destiné à la mer, a encore des arcs de ce genre. Il y a également des arcs cycloVdaux dans les horloges marines construites en France par H. Sully (1680— 1728); voir les p. 28 et suiv. de „The Marine Chronometer" par R. T. Gould. «) Manuscrit F, p. 216, datant de 1685 ou 1686. Ou trouvera ce passage plus loin dans le présent Tome; voir à ce sujet les Additions et Corrections. 0 T. VI, p. 171 , 187. Voir encore sur lui la note 3 de la p. 176 du T. VII. ') T. VII, p. 192, 195, 210. D'après ce dernier endroit le succès fut médiocre. Il est peut-être aussi question d'une horloge marine d'Oosterwijck aux p. 84 — 85 du T. VII. ») T. V, p. 491. Voir aussi la p. 129 du T. VI. En avril 1667 (T. VI, p. 125) Boulliau pria Huygens de faire venir de la Haye une horloge à pendule de son invention sonnant l'heure et fabriquée par son „ouurier". 3 i8 l'horloge X pendule de 1666 X 1673. dule de M. Hugens" (T. VI, p. 59) dont on le ler\ it dans l'obl'ervacion d'une écliple du l'uleil du 2 juillet 1666 '). L'horloge, de 1672 ■) ou de plus tôt, par la repréfentation de laquelle r„Horologiuin ofcilla- torium" débute [Fig. 17 de la p. 71 qui fuit], ert évidemment aulli une horloge aftronoinique, puifque c'ert après en avoir donné la defcription que Huygens s'apprête (p. 1 1 5) à parler de „illorum quoque qu« mari vehuntur, longitudinum invertigandaruni gratià, tbrmam". Le privilège de Huygens (note i de la p. 8) ne s'appliquait qu'aux horloges marines. Nous pouvons toutefois être allures que les horloges artronomiques le fabriquaient aufli, fans doute depuis 1666, furtout ehez Thuret : c'eft fon nom qui ligure fur la vieille horloge de l'Obfervatoire de Leiden — voir la p. 19 — prefque conforme à celle décrite dans r„IIor. ofc."et couramment appelée „horloge de Huygens". Dans fa Dédicace au Roi (p. 77) Huygens dit qu'il y avait des horloges de fa façon , „nec pauca", dans l'Obfervatoire de Paris bâti en 1667 — 1672 3). Les horloges allronomiques font mentionnées aulli par Jean Picard dans fon „Voyage d'Uranibourg": Picard partit de Paris en juillet 167 i , em- portant „deu.\ horloges à pendule, l'une à fécondes, & l'autre à demy-fecondes, toutes deux ù contrepoids" ••). À la p. 83 il donne à l'une d'elles le magnifique témoignage que voici :iL(7^/Y//7(ye' horloge à fécondes qui efloit refïée dans la Tour [artronomique de Copenliague], alloh fi régulièrement, que durant plus de deux mois elle demeura dans un mefme efîat à regard du moyen mouvement fans varier d^ une féconde". Les arcs cycloi'daux contribu- èrent fans doute à la régularité de la marche. Il eft d'ailleurs diflicile d'admettre que Picard n'exagère pas quelque peu. Il finit, s'il dit vrai, que durant ces deux mois la température dans la Tour foit reliée fenliblement conllante — à moins qu'on n'ait déplacé de temps en temps le poids curfeur, ce dont Picard ne dit rien — car, comme nous l'avons déjà remarqué 5) les horloges de Huygens n'étaient pourvues d'aucun difpofitif pour compenfer automatiquement la dilatation des métaux, qu'il ne connailiait d'ailleurs pas avant 1667 et à laquelle il ne croyait pas encore,ou tout au plus à demi, en 1690 '■), malgré l'expérience probablement faite fur ce fujet à l'Académie des Sciences fur laquelle on peut confulter l'Appen- dice IV qui fuit. Picard peut avoir pris des précautions pour afiurer cette conrtance de la tempé- rature dans le cas confidéré, puifqu'il connailfait l'intluence du temps fur la marche des horloges (même Appendice). Jean Richer à la p. 6 de fes „Obfervations agronomiques et phyliques faites en l'ifle de Caïenne"^) dit de même que déjà en 1671 avant d'entreprendre fon voyage il était eu poiléflîon de j,deux ') Du moins nous jugeons peu probable qu'on se soit servi en cette occasion d'un remontoir ou „horloge à remontage continuel d'un petit contrepoids" (horloge marine), comme le dit la p. 642 du T. VI. -) Voir à la p. 84 qui suit le Privilège du Roy du 4 novembre 1672 pour l'impression de r„Ilo- rologium oscillatorium". 2) Les horloges à pendule, mentionnées dans la même Dédicace, qui se trouvaient dans le palais de Louis XIV ont probablement aussi été fabriquées par Thuret qui était „Hor!oger ordinaire du Roy" (voir la suite du texte). Voir sur ces horloges le dernier alinéa de la p. 103 du T. XVII. ■•) P. 64 et 68 du „Voyage d'Uranibourg" dans la Première Partie du T. VII des „i\Iémoires de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu'à 1699" (Paris, C' des Libraires, MDCCXXIX). 5) T. XVII, p. 1 1 , note 5 et p. 237, note 3. «) T. XVII, p. 66, note 2. r [Fig.i=.] l'horloge à pendule de 1666 X 1673. ip Florloges à pendule, dont l'iMic marquoit les fécondes, & l'autre les demi-fecondcs", lefquelles „avoient crté faites par le lieur Thuret Horloger ordinaire du Roy, qui par fon exactitude et la délicatell'e de fes ouvrages, a furpalle jufques à prefent tous ceux qui le méfient de la fabrique des Montres & des I lorloges à pendule". En 1667 (T. VF, p. 155) I luygens dit généralement que les „pendulifices" parifiens travaillent „pour le moins auflî bien que cliez nous". Nous rcpréfcntons ici [Fig. i 2] l'horloge agronomique, que nous venons de men- tionner, de rObfervatoirc de Leiden, quoiqu'il Ibit impollîble de dire (î elle a été conrtruite avant ou après 1 673 , ce qui a d'ailleurs peu d'importance vu l'accord pres- que complet avec celle de r„Morologium oicillatorium" datant d'avant 1 6-^3. D'après F. Kaifer („Gerchichte der vSternwartc in Leiden", 1 868) cette horloge elî mention- née dans un catalogue de B. de Volder datant d'environ 1-05. Toutefois cette lifte d'inllrumcnts appartenant à rObfcrvatoireen 1706 (voir les Rélblutionsmanufcrites des Curateurs de l'Univerlitc de Leiden, ou bien P. C. Molhuyfen „Bronnen tôt de Gefchicdenisder Leidfche Univerllteit", IV, p. 108 *) ne parle que de „T\vee horo- logien wijfendc leconden", de forte qu'il n'eft pas démontré que l'horloge en queftion fe trouvait à l'Obfervatoire déjà en ce temps. Les nombres des dents des roues et des pignons font exaftcment les mêmes que ceux de la Fig. 17 de r„Hor. ofc", excepté dans le cas des roues correfpondant h H et I, Icfquelles ont, dans l'horloge de Leiden, refpeftivement 40 et 20 dents au lieu de 48 et 24. Le poids du pendule de l'horloge de Leiden a la fonne d'une lentille; le pendule pcfe 648 gr. (poids) + 45 gr. (verge)^); quant à la verge, nous croyons pouvoir admettre qu'elle date de plus tard; c'eft une bande flexible ne portant pas de poids curfeur mais pouvant être allongée ou raccour- cie au moyen d'une vis, comme on le voit plus ou moins dans la Fig. 1 2. L'horloge va toujours bien ; lorfqu'elle ell réglée auiïi bien que poillble l'erreur ne dépaiïe guère i' par jour. Sufpendue à hauteur d'homme, elle marche plus de 24 heures '), vu qu'en ce temps le poids moteur defcend de 155 cm. L'amplitude des ofcillations eft: d'environ 12'". 0 «Mémoires de l'Académie des Sciences, etc." T. VII (voir la note 4). ") D'après la p. 98 qui suit, le poids de l'horloge de la Fig. 17 pesait trois livres. La livre de ce temps ne différait pas beaucoup de la nôtre; comparez la note 4 de la p. 151 du T. XVII. ') D'après les p. 98—100 qui suivent „dans les meilleures horloges que nous avons jusqu' au- jourd'hui, le poids moteur est réduit à six livres" et «suspendue à hauteur d'homme [l'horloge] marche 30 heures". APPENDICE I À L'HORLOGE À PENDULE DE 1666 A 1673. [1665.]') Le Sieur Chreflien Huygcns de Zuijlichem, Gentilhomme Hollandois, ayant in- venté une nouvelle et très exafte manière d'Horloges à Pendule ajûilces en forte qu'elles peuvent élire portées fur mer, fans que leur mouvement s'altère par les plus rudes fecouiles de la tempelle, et en fuittc fcrvir a trouver toutes Longitudes, comme defjà la preuve très-certaine en a eflé faicte en des voyages de Long cours, IlippHe très humblement le Roy, qu'en confideration des peines et fraix qu'il a fallu fupporter en travaillant à perfectionner cette In\-ention tant importante, laquelle d'ailleurs ve- nant à eftre mal imitée pourroit caufer de grands préjudices et inconveniens h La Navigation, Il plaife à S. M. les gratifier d'un Privilège, en vertu duquel il foit or- donne, que dans les Royaumes -) de S. M. peribnne ne puiflc faire ni contrefaire foit entièrement ou-') en partie, La dite Invention, ni généralement faire des Pendules de la façon qu'il faut pour élire d'ufage fur +) la Mer, fans la pemiiflion du dit Expo- fant, fur peine de confiscation defdits ouvrages et amendes de . . . Livres Tournois, applicables au proutlit de l'inventeur llifdit, et ce pour l'efpace de vingt ans. ») Le texte de cette Requête (comparez la p. 7 qui précède) a été emprunté au Vol. 127, «Mé- langes Colberc", de la Bibliothèque Nationale àParis. Cette Pièce figure ici comme Appendice, puisque nous ne l'avons reçue qu'après le commencement de l'impression du préfent Tome. Elle nous semble être de la main de Constantijn Huygens père. Ce même texte, avec quelques variantes dans l'orthographie, a été imprimé déjà en 1867 par A. Jal à la p. 695 de son «Dictionnaire critique de Biographie et d'Histoire" (Paris, H. pion), avec la note:„Bibl. Imp. Lettres reçues par Colbert, 5 fév. 1665". La date du 5 février 1665, sans doute exacte, ne se trouve pas sur le document de la Bibliothèque Nationale. ') A. Jal écrit: „le royaume". 3) A. Jal écrit: „soit". *) A. jal écrit:„à". APPENDICE II À L'HORLOGE À PENDULE DE 1666 À 1673. [AOÛT OU SEPT. i668]'). CHOSES A CORRIGER AUX PENDULES DE MER =). Mettre des cordes de foye au lieu de chaifnes qui fe caflent, et s'accrochent en forte qu'elles arreflent le mouvement de l'horologe. Je crois qu'a\'ec les cordes le poids defccndra un peu plus dans 24 heures qu'avec les chaînes, a quoy il faudra avoir égard en faifant les boetes plus longues. Faire les boetes plus larges afin que le pendule ne puiffe y heurter. Mettre plus de poids aux horologes afin que les vibrations du pendule foient plus grandes, car eftant petites, il arrive quelque fois que les palettes donnent contre le coin des dents de la roue de rencontre. Il faudra que les cycloides l'oient un peu plus eflendues, afin que le filet pHe tous- jours contre leur courbure. Faire les boetes plus fortes et fur tout la feparation entre les poids. Et empefcher qu'ils ne balottent. Pour la fufpenfion, que l'ouverture du cylindre de cuivre 3) foit plus grande, afin que dans les grandes inclinaifons du vaiffeau l'horologe puiffe demeurer perpendicu- laire. Je crois que fi le col de la boule ^) eftoit plus long, le pendule fouifriroit moins des tranfports fubits du vaiffeau. ') L'Appendice II est emprunté à la p. 19 du Manuscrit D. La p. 17 date du mois d'août et la p. 37 de sept. 1668. ^) Cette Pièce fut écrite pendant l'expédition duducdeBeaufort(comparezlap. 1 2 qui précède) qui était parti vers la fin de mars 1668 (T. VI, p. 200) et dont Huyi^ens avait reçu des nou- velles avant le 1 1 mai 1668 (T. VI, p. 218). Il y avait eu une grande tempête. Les corrections proposées par Huygens sont peut-être une conséquence de certaines remarques (voir le der- nier alinéa de la p. i:o qui suit) faites par le duc ou plutôt par de la Voye qui l'accompagnait (voir les p. 226 et 379 du T. VI). Le rapport de 1669 de de la Voye n'existe plus à ce qu'il parait; nous ne possédons que quelques remarques de Huygens sur ce rapport (voir la note 5 de la p. 117 qui suit). 3) Voir le dernier alinéa de la p. 167 ainsi que le IVo. 12 de la p. 173 du T. XVII. L'expression 22 l'horloge X pendule de 1666 A 1673. ^^^- "• '668. Il faut que la boule ') foit bien arrondie, et il faudra Tufer dans un creux de grais, ou en y appliquant ce creux quand elle eft fur le tour. Il faut attacher le cylindre de cuivre par 3 vis au fer d'en haut , parce qu'autrement cela balotte comme fur deux pivots. Et ces efcrous doivent élire plus forts. Il faut trouver moyen que feguille des minutes et des fécondes foient fermement attachées, parce qu'autrement elles font fiijettes a demeurer derrière en montant, et avancer plus qu'il ne faut en defcendant. Il faut que le crochet au fommet du pendule foit plus profond afin qu'il ne puiffe facilement le décrocher-*). Demander les pendules qu'a M. du Seuil qu'il les embale et mette les morceaux de plomb ■') qu'il doit toutes [fie] ofter dans la petite caifTe apart comme de la Voie luy a fait entendre et qu'il décroche les pendules et les enveloppe enfemble dans du papier. Et qu'il face charger les balots fur un cheval. „!a boule" porte à croire que l'horloge n'était pas suspendue à deux boules mai? à une seule (comparez le No. 7 de la p. 26 du T. Vil). ^) Il est posçible qu'une horloge ainsi corrigée fut employée dans l'expédition „vers l'Amérique" dont il est question en avril 1669(7. VI,p.428). L'horlogeavaitétécorrigéeavantle i3mars 1669 (T. VI, p. 379). En ce temps la traduction française du „Kort Onderwijs" de i665était prête ou peu s'en faut (voir la p. 195 du T. XVII). La liste des corrections est suivie par une Pièce qui se rapporte à cette Instruction; voiries p. 371 — 372 qui suivent. La suite du texte, qui est écrite en marge, parle peut-être d'un transport de l'horloge corrigée. En mai 1670 le frère Lodewijk (T. VII, p. 26) parle de divers changements qui peuvent fort bien ne pas avoir été récents. Il dit e. a. qu'il n'y a plus de „liride" au-dessous des arcs cycloïdaux; en d'autres termes le deuxième bras de la „lettre F renversée" de IJriice avait été abolie (voir les p. 166 — 167 du T. XVII, ainsi que la p. 116 qui suit). D'après la lettre de Lodewijk l'horloge ainsi corrigée fut employée par Richer dans son voyage au Canada etc. de 1670; voir la note 6 de la p. 17, ainsi que les p. 54 — 55 du T. VII, d'après lesquelles le succès fut médiocre. ') Leçon alternative: contrepoids. I APPENDICE III À L'HORLOGE À PENDULE DE 1666 À 1673. [1668- 1670] [Fig.13.]') [Fig-i4-]0 4 pieds de haut [Fig. 14]. 1 4 pouces de large. lentille de i; livre. poids coulant de j^ de livre. 9^ pouces de pendule. poli a l'huile pour empefcher la rouille du cui\'re. 24 l'horloge X PENDULE DE 1666 X 1673. APP. lU. 1668 — ÏÔJO. faire la grande platine plus forte. arcbouter la pièce qui porte les cycloides. augmenter le poids du pendule. faire que la lufpenllon de la boete viene directement au-deH\is du pendule. jjg d'une ligne fur la longueur de ce pendule de pi pouces fait i " féconde de diffé- rence en 24 heures. boete echancree 2 portes. [Fig.15.]') faire le pendule très pefant, de 8 ou 10 livres, ou s'il ciloit de 3 pieds, le faire de 40 ou 1 00 livres puis qu'il cil d'autant plus jultc qu'il eft peiant. Les Cy- cloides fortes a proportion. Mais il faudroit, afin que la boete ne fut point cfbranlee, faire l'un desaiflieux qui cil pour le mouvement a collé, à mefme hauteur que le point de fufpcnlîon du pendule, comme dans cette figure [Fig. 15]. Il faudroit que ces pièces de fer fuflent bien fortes et grolfes pour ne pas faire reflort. ') La Fig. 13, où on lit „aclievé" date de 1668: elle est empruntée à la p. 36 du Manuscrit D, dont la page suivante porte la date du 21 sept. 1668. Sur cette p. 37 se trouve la figure que nous avons reproduite dans le T. VI entre les p. 260 et :6i , de l'iiorloge envoyée à Estienne à Chartres. En février 1668 une horloge avait été envoyée à «l'amy de M. de Combes en Canada" (T. VI, p. 190 — 192). ^) La Fig. 1 4 et le texte qui l'accompagne sont empruntés à la p. 1 8 1 du Manuscrit D (février ou mars 1669). Voir encore „une de nos bonnes horologes" vis-à-vis de la p. 491 de 1669 du T. VL 3) La Fig. 15 et le texte qui l'accompagne sont empruntés à la p. 254 du Manuscrit D qui porte la date du 15 janvier 1670. APPENDICE IV) À HORLOGE À PENDULE DE 1666 À 1673. [1^75?] [Fig. 16.] f V.\. V-»- 1 .- ^ «■ y ^ » .t,»>.— y Pour voir la force de Textenfion des corps par la chaleur. AB [Fig. 1 6] cylindre de fer verre marbre ou autre corps dur, que l'on chaufera par le milieu eftant arreftè par les bouts dans un chaflî de fer ou de bois que l'on n'échauffera point, pour voir avec quelle force les collez du chafli feront pouffez. ') Cet Appendice est emprunté à une feuille détachée qui se trouve dans le portefeuille „Pliysica Varia". C'est la feuille à laquelle nous avons déjà emprunté la Fig. 1 8 de la p. 168 du T. XVI. La date 1675 se trouve à son revers. Des expériences de ce genre peuvent avoir été faites — l'époque restant toutefois incer- taine — à l'Académie des Sciences, puisqu'en 1690 (T. IX, p. 485) Huygens parle à propos de la question de savoir „si sa longueur [c. à. d. la longueur de la verge d'un pendule] s'accroit [par la chaleur] de quelque chose de perceptible", des „experiences que nous fîmes a Paris dans l'Académie des Sciences si j'ay bonne mémoire". Les derniers mots portent à croire que les expériences, si réellement elles ont été faites, n'ont pas occupé longtemps les membres de l'Académie. Quoique l'influence de la température sur la longueur d'une verge métallique n'ait pas été étudiée par Huygens, il savait cependant déjà en 1659 que la marche d'une horloge n'est pas absolument indépendante du temps; voir p. e. la note 2 de la p. 66 du T. XVII. Picard, dont nous avons mentionné (p. 18) le voyage d'Uranibourg de 1671 , le savait également; voir les p. 9 — 10 de sa „Mesure de la Terre" de 1671 (Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, depuis 1666 jusqu'à 1699, Tome VII, Première Partie, Paris, C"^ des Libraires, 1729). Il était accoutumé à observer exactement la marche des horloges (voir la p. 440 du T. VI). Le fait que Huygens en 1669 ne croyait pas à la dilatation de la verge du pendule est nette- ment prouvé par sa remarque (T. VI, p. 379) que ses horloges ne sont pas «sujettes aux change- ments du temps" puisqu'il a „remediè a cela par les Cycloïdes". 1 HOROLOGIUM OSCILLATORIUM DE 1673. Avertiffement. Nymphes de Schévcningue habitant l'onde pure. Vous qui de ces pays protégez la ftrufture '), Délices de tous ceux qui fréquentent vos plages, Bien aimées de Phchus, cfprits gracieux et fages. Veuillez me fecourir et infpirer mes chants. Qu'en revanche ni Pan ni fes Faunes hideux Ne fe puifTent jamais approcher de ces lieux Et fouiller la blancheur de vos flots écumants '). Toi que la Gloire élève au-delTus du ciel même. Daigne prêter l'oreille, Huygens, à ce poème Ecrit en ton honneur, en l'honneur de ton père. De tes frères aufli et de ta race entière ') En latin (leçon du manuscrit): „Finitimiim tutela". Puisque la mer apporte le sable qui forme les dunes, on peut dire qu'elle protège elle-même la côte et ses habitants. On voit les dunes dans le dessin de Schéveningue par Chr. Huygens par lequel débute le T. XVII. *) Voir la noteôde la p. 3i.Lesmots„bienaiméesdePhébus"(en latin :„DilectœPhoebo") évo- quent l'image de la plage ensoleillée. AVERTISSEMENT. Dont tu es le fleuron. Tes fublimes penfées ') Dans un cadre mythique ici feront placées. Puiffe ainfi des anciens la riche fantaifie Orner de fes fplcndeurs la noble agronomie. Qu'on nous pardonne de commencer cet Avertiiïement par une traduftion , néces- fairement peu littérale, du début de la „Hadriani Vallii Daphnis Ecloga ad ChrifHa- num Hugenium Zulichemium, Conftantini F." que Huygens a fait imprimer confor- mément à l'intention de Vallius^} dans fon ouvrage de 1673 ^). Nos ancêtres du dix-feptième ficclc goûtaient plus que nous les imitations des bucoliques cladlqucs *), Suivant beaucoup de commentateurs la cinquième cglogue de Virgile célèbre Jules Céfar fous le mafque du héros Daphnis; pareillement chez Vallius ou van der Wall la figure de Daphnis prend de plus en plus les traits de Huygens. Toutefois ce n'efl: pas feulement chez Virgile ou d'autres auteurs latins que van der Wall a cherché fon infpiration: il mentionne auffi le poète Aratos, imbu de la fageffe d'Eudoxe et de Théophrafte, dont les ^xvAysvx y.v.i A'.c(7r,y.dx, fort connus audix-i'eptièmcfiècle, font voués en majeure partie à la defcription des conftellations '}. •) En latin: „praîclara reperta". L'expression „sublime" ne nous paraît pas trop forte. Dans le „SiècIe de Louis XIV", Cliap XXXI, Voltaire parle de la „géométrie sublime" de Huygens: „On doit à Huygens, sinon la première invention des horloges à pendule [comparez la note 4 de la p. 13 du T. XVII et la p. 60 qui suit], du moins les vrais principes de la régularité de leurs mouvements, principes qu'il déduisit d'une géométrie sublime". Viviani dans une lettre de juillet 1673 (T. VU, p. 286) parle à propos de l'horloge de Huygens de la „sublimità délia sua inventiva". *) Voir sa lettre de mars 1665, T. V, p. 291. Consultez sur Vallius (van der Wal, Wall, Walle) la note 8 de la p. 234 du T. IL Huygens lui envoya en 1654 son „De Circuli Magnitudine in- venta" (T. I, p. 287, note 4). 3) Nous avons déjà publié ce poème datant de 1665 dans le T. V (p. 292 — 299), où l'on trouve aussi les corrections apportées en 1673 par v.d. Wall suivant le désir de Huygens (dont la lettre fait défaut; voir la réponse de v. d. Wall de mars 1673 à la p. 257 du T. VII). Des trois vers insérés en 1673 en l'honneur de la France et de Louis XIV (voir la p. 34 qui suit) on n'en trouve qu'un et demi dans le manuscrit de v.d. Wall: il paraît par conséquent probable que ces vers soient de Huygens. Dans la traduction nous avons omis les vers 4 — 5 (il y faut lire „Pervigilem" au lieu de „Per vigilem"),où il est annoncé que le poème consistera pour la plus grande partie en un discours prononcé par le marin Ancon. Tandis que les noms Thestylis et Corydon sont empruntés à Virgile, Ancon est peut-être une paraphrase de Vallius, puisque le mot ayzo,- signifie vallée. ■♦) Voir p. e. la note i de la p. 34 qui suit. AVERTISSEMENT. 31 Ce qui nous frappe dans le poème confidcrc — et c'eft là la raifon pour laquelle nous accordons aux premiers vers ici traduits une place d'honneur — c'ell que l'auteur en chantant la louange de Huygens le range du côté de Phébus Apollon *) par oppo- fition à Pan: c'est dire qu'il le glorifie comme un héros intellectuel recherchant en premier lieu la fcience pure, la fcicnce dans le fens le plus élevé du mot. Il convient en effet, puiique r„Morolog'ium ofcillatorium" eft un des chefs-d'œuvre de Muygens, de faire reffortir, comme nous l'avons aufli fait brièvement en d'autres occafions ■-), que le but le plus élevé qu'il fe propofe c'efl: d'abord l'étude rationnelle de la géométrie — appelée fort juftement à la p. j-j qui fuit „pars multb prjecipua" de l'ouvrage de 1673 — , enfuite celui d'approfondir „expericntia ac ratione"^) la (Iruéture de l'univers. On peut dire qu'au fond ces deux études n'en font qu'une: pour Huygens et fes contemporains la conformité de la géométrie euclidienne avec l'efpace réel et les objets qu'il contient efl au-deflus de tout foupçon^). Huygens fe fent xoo-fxoQîMpoç, pour employer le mot forgé par lui vers la fin de fa vie. C'eft pour mieux connaître la ftruclure de l'univers qu'il taille des lentilles, qu'il calcule la marche des rayons dans les lunettes, qu'il s'applique à perfeftionner les horloges. Les queftions pratiques ont leur importance et l'obfervation eft indifpenfable. 11 n'en efl; pas moins vrai qu'il nous faut aufli, qu'il nous faut même avant tout '"), aulîi bien pour les dé- couvertes que pour les inventions, les yeux de l'eiprit; nous avons cité cette expres- fion fhakefpearienne dans la note 14 de la p. 343 du T. XVII; nous la rencontrons en 1686 ou 1687 chez Huygens lui-même : à la p. 259 du Manufcrit F il dit en par- lant de la forme fphéroïdale aplatie que la terre doit avoir en vertu de fa rotation : „Ad hsec mentis oculos œgrè et quasi caligantes plerique attollunt haud aliter atque ad lucis radios ii qui è diuturnis tencbris emerfere". Ceci ne rappelle pas feulement Shakefpeare, mais llirtout la fameufe caverne de Platon "). 5) Le nom d'Aratos ne se trouve pas dans le poème, mais l'auteur parle (v. 12) des «Commenta Solensia". Or, Soli était le Heu de naissance d'Aratos. ") Rappelons qu'Apollon est le dieu du soleil et que le mot sot/3oj signifie pur. 0 P. e. à la p. 353 du T. XVII. 8) L. 28 de la p. 197 du T. III. ') Comparez le premier alinéa de la p. 39 qui suit. '°) Comparez la note 17 de la p. 345 du T. XVII. ") Il est peu probable qu'il s'agisse ici d'une ressemblance fortuite: Huygens, il est vrai, ne cite nulle part ni Platon ni Shakespeare, mais l'expression to t^,- -i-j/^; ô^/ouz se trouve (Ch. 13) dans le Livre VII de la UoXiTsta de Platon, lequel débute par l'image de la caverne. 32 AVERTISSEMENT. Dans fa Dédicace à Louis XIV — dont il cft déjà queftion en février 1665 ') — Huygens iàit rciïbrtir fon amour pour la fcience pure. En infilhnc en même temps fur l'utilité générale d'horloges exadcs -} il exprime fans doute une penfée propre à faire apprécier fon ouvrage par les fondateurs de l'Académie des Sciences, mais pour cela il n'a nul beibin de forcer ion naturel: il voyait fort bien la néceiïité pratique d'aider les marins à trouver les longitudes ^). Rappelons aufli que le travail manuel, la conflrudion d'inftruments, lui plaifait depuis ion enfance*}. Il n'efl: pas poiîîble à l'homme de vivre uniquement fur les cimes de l'Olympe. En s'intéreflTant à la fois aux mathématiques pures, à l'aftronomie, hlaphyfiquc et à la technique et en ne confidérant pas ces fcienccs (ou arts) comme féparécs les unes des autres par des cloiibns étanches, Huygens devenait un des fondateurs de l'ailro- nomie théorique et de la phyfique mathématique et pratique en même temps qu'un promoteur du contaft fouvent étroit qui exifte de nos jours entre la fcience et la technique. Déjà au icizième et dix-ièptième fiècle nous trouvons dans la perfonne de Jofl: Burgi un horloger doublé d'un mathématicien. Huygens eft, lui, un mathémati- cien doublé d'un horloger. Ses invcntionsdupcndulcrégulatcurlibrcment liifpendu '), des arcs cycloïdaux''),du poids curfeur'), dont la première était une heurcule trou- vaille tandis que les deux autres avaient un caradtère nettement mathématique — quoique l'idée d'un réglage par le déplacement de certains poids fût ancienne ^) — , le rapprochèrent des artifans et le forcèrent de s'aflbcier avec eux tout en gardant à bon droit le fentiment de fa prééminence. Il n'eft certes pas étonnant que les maîtres reconnus de l'art, capables de conflruire des horloges tandis que Huygens ne con- llruiiàit que des modèles'}, et dont plulieurs étaient doués eux auifi d'un eiprit in- ventif'"}, n'étaient pas toujours difpofés à reconnaître cette lupériorité. Ce que nous 0 T. V, p. 246. -} Comparez sa lettre de février 1665 à Chapelain (note précédente). 3) T. XVII, p. 8— 9. 4) T. XVII, p. 248. 5) T. XVII, p. 9 et note 4 de la p. 13. «) T. XIV, p. =06, T. XVI, p. 345, T. XVII, p. 95-96. ") T. XVI, p. 414 — 433, T. XVII, p. 83 (premier alinéa), p. 105 — m. 8) T. XVII, p. 28, note 2. *") Voir la note 2 de la p. 52 du T. XVII, et ce que Huygens écrit en 1683 dans le Manuscrit F à propos du „pendulum cylindricum trichordon" et de l'horloger van Ceulen; consultez sur cet endroit les Additions et Corrections. AVERTISSEMENT. 33 avons dit aux p. 8 — 9 des relacions entre Huygens et Thuret fait bien voir combien il était probable que ces deux hommes de mérite ne parviendraient pas toujours à fe mettre abfolument d'accord "). Iluygcns s'ell appliqué à donner à l'ouvrage de 1673 un caraftcre monumental. Nous avons déjà parlé ") du foin extrême qu'il mit à donner de plufieurs théorèmes des démonllrations tort exaétes à la mode d'Archimcdo. Voir encore fur ce fujec le pre- mier alinéa de la p. 50 qui iliit. Ce n'efl d'ailleurs pas leulcmcnt la forme de les démon- ftrations qui cil empruntée aux mathématiciens grecs. Nous avons dit à la p. 369 du T. XVI, en parlant de la formule fondamentale des corps ofcillants Ir^ , I 1 = — =- on 1 fi l'on veut, /=^r^^^^ nb ' ' Mb ^ que dans la Pars Quarta de r„Hor. ofc." Huygens lui donne avec raifon une place éminente. Rappelons qu'il trouva la première de ces formules ''^) peu avant le 10 octobre 1664 '^^ et que ce fut également en oftohrc '*) qu'il établit enfuite le théo- rème énoncé à la p. 461 du T. XVI (Prop. XIII de la Pars Quarta de r„Hor. ofc") dont nous avons dit à la p. 373 du T. XVI qu'on en trouve de plus dans r„Hor. ofc." une généralifation (Prop. XVI de la Pars Quarta) qu'il connaiffait en 1669 '7). Ce '°) Comparez les p. 159 et 182 du T. XVII. ") Le lecteur aura compris que nous faisons allusion au différend de 1675 à propos du r«sor/ spiral régulateur du balancier des montres (comparez sur le ressort régulateur du balancier la note 7 de la p. 159 du T. XVII, déjà citée à la p. 3 qui précède), dont il est question plus loin dans ce Tome. Nous avons parlé dans le T. XVII (p. 80 — 83) de la dispute de Huygens avec le maître hollandais S. Douw. Voir aussi le passage dont il est question dans la note 9. •=)T.XVI,p.349. '3) Où /désigne la longueur du pendule isochrone, /le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe d'oscillation, M la masse du corps et b la distance de son centre de gravité à l'axe de sus- pension. Comparez la p. 364 du T. XVI. Voir la note 3 de cette page sur la formule / = - — nb '4) Sans toutefois se servir du signe i; voir la note 3 de la p. 372 du T, XVI. "5) T. XVI, p. 462 et 470 — 472. '*) Voir les 1. 4 — 5 de la note 3 de la p. 461 du T. XVI. '^) Et probablement beaucoup plus tôt, peut-être déjà en octobre 1664, vu que la possibilité de la généralisation est assez évidente. 5 34 AVERTISSEMENT. que nous n'avons pas dit dans les notes 3 de la p. 461 et 3 de la p. 462 du T. XVI c'eft que ce qui permettait à Huygens de tirer immédiatement de la formule fonda- mentale la propolîtion de la p. 461 c'était fa connaiiïiuice d'un théorème de Pappus dont il s'était occupé en 1 650; voir h ce fujet la p. 229 du T. XI. Dans r„Hor. ofc." ce théorème forme la Prop. XII de la Pars Quarta, mais Pappus n'y efi: pas mentionné. Il ell intéreiTiint de noter l'influence dircftc des recherches des géomètres grecs fur rétabliilement des Prop. Xlll et XVI. L'„Horologiumofcillatorium" débute (p.74 — 8 i)parlaDédicaceauRoi dont nous venons de parler, où Huygens en le remerciant de fa libéralité (comparez la note 5 de la p. 4 qui précède) lui adrelTe les compliments d'ufage '). En faidmt une allulion à fa nationalité en même temps qu'à la guerre de Hollande et en parlant en général de la gloire militaire du règne de Louis XIV, il trouve ians fe départir de l'extrême politefle rendue néceflaire par les circonflances , l'occafion de dire qu'à fon avis la gloire la plus haute du règne réfide ailleurs =). C'cil: la gloire de Louis XIV proteéteur des arts et des fciences qu'expriment aulTi, avec l'emphafe obligatoire, les trois vers inférés par Huygens (comparez la note 3 de la p. 30) dans le poème de Vallius 3): Inferior nullis ut item nequc Gallia deilt; Gallia magnanimi Régis fpendore iuperba, Borbonios ignés cui parturit arduus œther +). Vallius vient de dire que l'aftronomie a été cultivée par les Chaldéens , les Babyloniens, les Grecs, les Egyptiens, les Italiens, les Arabes, les Efpagnols et les Allemands — il eût pu mentionner les Polonais (Copernic) et les Danois (^Tycho Brahé), mais il ') La Dédicace fut approuvce par J. Chapelain le 4 février 1673 (T. VII, p. 250). Dans sa lettre Chapelain prodigue aussi des louanges au poème de Vallius. ^) Voir quelque remarques de Huygens sur la guerre de Hollande de 167: e. a. aux p. 144, 181 — 184 et 191 du T. VII. 3) Après l'avant-dernier alinéa de la p. 2ç6 du T. V. t) Voir la fin de Pavant-dernier alinéa de la cinquième des pages occupées par le poème de Vallius dans l'édition originale de P„Horologium oscillatorium". S) Leçon de l'édition de 1673. Vallius avait écrit (1. 7 d'en bas de la p. 296 du T. V): „suis qui sidéra terris". Cette modification n'est pas indiquée à la p. 299 du T. V. «) Voir la p. 258 du T. VII. AVERTISSEMENT. 35 eil évident qu'il n'a pas la prétention d'être complet — ; quant aux Allemands: „ . . canit . . Daphnis . . tandem quos confultos Germania mifit Aftrorum cœlique, fuîe qui fidera terra:" '}, c.à.d. „Daphnis mentionne enfin les ailronomes provenant de l'Allemagne, étoiles de leur pays". Dans ce catalogue la France manquait; c'eft pourquoi Huygcns, faifant allufion à la création de l'Oblcrvatoire de Paris (comparez la p. 78 qui fuit) qui n'exiflait pas encore lorfque le poème fut compolé, écrit: [Daphnis ajoute] que la France elle aufli, n'étant inférieure à aucune autre nation, ne fait pas défaut, La France qui fe diftingue par la magnificence et l'éclat de fon Roi, Auquel le ciel s'apprête à vouer les aftres de Bourbon. Suivant l'exemple de Galilée qui baptifa „étoiles des Medicis" les fatellites de Jupiter, Huygens propofait en effet"') de donner le nom d'„étoiles des Bourbons" aux fatellites de Saturne dont il avait découvert le premier à la Haye tandis que l'aftro- nome italien CafUni, également appelé à Paris par la libéralité du Roi, ou, fi l'on veut, par le grand Colbert, et attaché à l'Obfervatoire de Paris") en avait découvert un deuxième vers la fin de 1671 et bientôt après un troifième. Huygens avait d'ail- leurs pris part aux obfervations de Caffini "). Sans le privilège accordé par Louis XIV (p. 7) et fans l'appel de Huygens à Paris, il ne ferait fort probablement pas entré en relations perfonnelles avec I. Thuret. Attendu que la Pars Prima de r„Hor. ofc." contient la defcription des horloges aflironomiques et marines conlliruites à Paris, la Dédicace dit à bon droit qu'une partie de l'honneur de l'ouvrage revient à Louis X\V. Cependant les mots „ante omnia" de la 1. 13 de la p. 81 exagèrent évidemment l'importance de la part du Roi dans le développement des fciences en général et dans la genèfe de l'œuvre de Huygens en particulier. Le contenu des Tomes XVI et XVII fait voir que Huygens, en arrivant à Paris, était en poiïcfllon de tous les matériaux néceffaires pour compofer fon œuvre, comme le dit d'ailleurs déjà un article de P.Tan ncry imprimé en 1 9 2 4 dans r„HifloireGé- nérale du IV^ Siècleànosjours"publiéefousladirecT:iondeE.Lavi(reet A.Rambaud '). 7) Lorsque Cassini arriva à Paris au commencement de 1669, le bâtiment était élevé au premier étage. Il ne s'y installa qu'en septembre 1672. 5) Voir les notes 11 de la p. 1 15, 6 de la p. 1 17, i et 2 de la p. 118 du T. XV. ') Chez A. Colin à Paris, 1922 — 1924. 36 AVERTISSEMENT. Tannery écrit fort juftcmcnt '): „L'ouvragc capital d'Huygens cil ion Horologium ofc'tllatorium public feulement en 1673; mais fcs découvertes font bien antérieures". Le relie de la phrafe : „et avaient été en grande partie communiquées foit à l'Académie des Sciences, foit à la Royal Society" doit toutefois être pris «/w; fi['''?«c /^/'V-' les Pièces des T. XVI et XVII écrites à la Haye avant la création de l'Académie des Sciences l'ont en majeure partie reliées inédites jufqu'h nos jours et Iluygens n'avait communiqué à la „lloyal Society", ainfi qu'à quelques perfonnes en France, que quelques réfultats fans démonftration =). Huygens ne commença probablement que vers feptembre 1669 la rédaélion de fon ouvrage, avant ou après avoir envoyé à la „Royal Society" au commencement de ce mois les anagrammes du T. VI ') qui s'y rapportent en partie. Le programme de la Pars Secunda qui conllicue la partie B de notre Appendice II à la Pars Prima date du mois nommé +), et les Pièces qui conftituent l'Appendice à la Pars Secunda et les Appendices III — V à la Pars Quarta font de janvier 1670 '). Il parait donc avoir repris en 1669 le projet de 1660 (voir les p. 1 17 — 1 18 du T. XVII) qu'il difait en janvier 1665 avoir „achevè pour la plus grande partie" "). Vers la fin de janvier 1670 Huygens tomba malade. Il fut vifité par Fr. Vernon qui écrit le 25 février ■') avoir reçu de lui un paquet cacheté contenant la folution des 12 anagrammes de feptembre 1669, c.à.d. des 12 ^) propofitions fur le mouvement avec leurs démonflrations'^). Lodewijk Huygens qui vint tenir compagnie à fon frère mit G. Mouton "^) au courant en juin 1670 ou plus tôt du titre du livre et du fait qu'il paraîtrait, fuivant l'expreffion de Mouton, „dans l'Efclat & lamajcrté de fes belles demonftrations". La rédaétion d'une partie des démonftrations de r„Hor. ofc." avait apparemment eu lieu avant la maladie. Il ne peut en effet être qucllion ') À la p. 414 du T. VI; son article intitule „Les Sciences en Europe" constitue le Ch. X du Tome VI. -) Voir e. a. les p. 331 et 375 du T. XVI et 241 du T. XVII, ainsi que les notes 2 de la p. 370 du T. XVI et 2 de la p. 246 du T. XVII. 3)T. VI, p. 487— 490. *) Voir la note de la partie B de l'Appendice nommé. 5) À moins que l'Appendice III à la Pars Quarta ne date déjà de la fin de 1669 (voir la note i de la première page de cet Appendice). •5) T. V, p. 187, citée aussi dans la note 1 1 de la p. 1 19 du T. XVII. 7)T. VII,p. 10. ^) Ou plutôt 10, comme le dit la note 17 de la p. 10 du T. VII; ou bien 1 1 en comptant deux fois le N°. 5; voir la p. 487 du T. Vl'. AVERTISSEMENT. 37 dans le cas du paquet cacheté de Pièces publiées dans le T. XVI feulement ") puis- que les propofitions des anagrammes contiennent quelque chofc de plus fur le „rc(ftan- gulumdiilantiarum" (T. XVI, p. 373). C'eil fans doute à la Haye à la maifon pater- nelle où il fcjourna du 9 feptemhre 1 670 ' =) au 12 juin 1 67 1 '3) — et peut-être dans le même cabinet d'étude où il avait rédigé les parties achevées avant 1 665 de l'ouvrage tel qu'il fe le figurait en 1 660, et avant elles les longues démonftrations géométriques de la Dioptriquc qu'on trouve dans le T. XIII — que Huygens continua ou termina la rédadtion des démonftrations de r„Hor. ofc". Pendant ce travail il a pu avoir la même imprcfllon qu'en 1 663 où dans une lettre à J. de Witt (T. IV, p. 3 1 1 ) il fe dit „miratus . . . qua.^ momento pêne temporis cogitatione compleéti ac fingula perfequi potcram, tôt verbis, ut legcnti plana fièrent, opus habere". Le 9 mars 1672 '*) ileft déjà qucllion dans une lettre de lui d'„achcver nollre impreffion", quoique le permis d'imprimer (voir la p. 84 qui fuit) ne date que du 30 feptembre 1672. Ajoutons que Huygens reçut la première feuille imprimée peu avant cette date (T. VII, p. "229) et que l'impreflion fut tenninée avant mai 1 673 (T. VII, p. 269). Nous avons dit dans le T. XVII "5) qu'il efl pofTible qu'une dcmonftration auiïi exafte que poflible du tautochronifme de la cycloïdc ait exiilé dès 1 664. C'efl: ici le lieu de remarquer que, quelque peine que Huygens fe foit donné pour rendre fes démonftrations rigoureufes, celle du tautochronifme de la cycloïde, ou plutôt une de celles qui fe rapportent au mouvement d'un point pefant fuivant une courbe matérielle cycloïdale ou autre fituée dans un plan vertical, fut pourtant jugée infuffifante par Newton: voir les p. 326 — 327 du T. VII, où Newton critique la phrafe: „cum flexus ad B nihil obllare motui ponatur" de la 1. 35 de la p. 1 45 qui fuit. La raifon pour laquelle cette fuppofition n'a pas été mentionnée parmi les hypothèfes fondamentales de la Pars Secunda c'efl: fans doute que Huygens ne croyait cette ') Des 1 1 propositions 5 se rapportent à la force centrifuge, dont les démonstrations datent déjà de 1659 (voir le T. XVI), une au mouvement cycloidal, 5 au centre d'oscillation, donc à la Pars Quarta. '") Qui avait fait présent en avril à Huygens de son livre mentionné dans la Prop. XXV de la Pars Quarta de r„Hor. ose". Voir sur ce livre la p. 59 qui suit. ") Le paquet contenait sans doute le Manuscrit „De Vi Centrifuga". Il peut avoir contenu aussi des brouillons collés (plus tard?) dans le Manuscrit B (T. XVI, p. 374, note 3). '=)T. VII, p. 37, note 9. '3) T. VII, p. 78, note i. ■4) T. VII, p. 152. '5) Note 2 de la p. 139. 38 AVERTISSEMENT. ruppofition pratiquement vraie (c'efl: là aufTi l'opinion que Newton lui attribue) que dans le cas limite où la ligne brifce devient une courbe. Il eût fans doute pu faire mention de cette conviétion dans les hypothèfes fondamentales; mais dans ce cas n'aurait-il pas été obligé d'y parler aufli de rhypothcfe de la rigidité abfoluc des courbes matérielles qui ne fc déforment pas par le mouvement du mobile, et n'aurait- il pas dij diflerter fur la polfibilité d'identifier plus ou moins le mouvement réel d'un petit corps avec celui du point pefant fans aucunes dimenfions qui conftitue le mobile de tous les théorèmes de la Pars Secunda? Des difcufllons de ce genre l'eulTent en- traîné affez loin fans contribuer, nous femble-t-il, h la clarté de l'expofition. Toute- fois l'obfervation de Newton mérite certainement notre attention: elle nous fait bien voir qu'une mécanique rationnelle abfolument conforme à l'obfervation ell une chi- mère. Pour pouvoir appliquer nos théories de phyfique mathématique à ce qui nous paraît être la réalité objedtive, il eft néceflaire d'idéalifer cette dernière; comparez le premier alinéa de la p. 256 du T. XVI ainfi que la p. 241 du T. XVII. Dans la Pars Quarta on rencontre également une fentence qui donne à réfléchir; Huygens y dit (Flypoth. II) qu'un pendule matériel parcourt des arcs égaux en montant et en defcendant et il ajoute: „De pendulo fimplici hoc demonllratuni ell prop. 9 de Defcenfu gravium. Idem vero et de compofito tenendum elfe déclarât cxperientia". La propofition repofe donc fur certains principes (les hypothèfes de la Pars Secunda) pour le pendule fimple qui eil une fiftion, mais pour le pendule compofé feul exiftant elle ell indémontrable et relève directement de l'expérience. On pourrait fe demander quelle efl dans ces circonftances la raifon d'être de la dé- monflration donnée pour le pendule fimple. Gardons-nous cependant de critiquer ici l'œuvre de Huygens. Nous pouvons être affurés qu'en cet endroit il s'efl critiqué lui-même '): il eût fans doute été heureux de donner une dcmonllration, bafée fur des hypothèfes évidentes, de la réverfibilité du mouvement du pendule compofé, et il n'a dû invoquer qu'à regret le recours à l'expérience directe. D'ailleurs il n'y a ici, malgré fon défir de faire la part de la raifon pure aufll grande que pofllble -), aucune contradiction réelle: les hypothèfes de la Pars Secunda, tout auflî bien que l'hypothèfe ') Le choix des hypothèses était dvidemment pour Huygens une chose fort importante; voir sur celui des hypothèses du Traité „Dc i\Iotu Corporum ex Perciissionc" les notes 5 de la p. 94, 2 de la p. 96,7 de la p. 97,5 de la p. 124 et 5 de la p. 221 du T. XVI. AVERTISSEMENT. 39 nommée de la Fars Quarca, ont apparemment été tirées de l'expérience ou , fi l'on veut, fiigirérées par elle. Quant à la Pars Tertia, entièrement géométrique, elle n'ert précédée d'aucune hypothèfe: voir ce que nous avons dit à la p. 31 fur la confor- mité jugée certaine de la géométrie euclidienne avec l'efpace réel et les objets qui s'y trouvent. L'autre hypothèfe, la première, de la Pars Quarta, c'clHc célèbre principe — évidemment emprunté lui aulfi à l'obfervation — que par le mouvement fpontané d'un groupe de corps partant du repos leur centre commun de gravité ne peut pas s'élever à une hauteur fupérieure à celle qu'il avait au commencement. Nous nous fommes fuffifamment étendus fur ce principe dans les Tomes précédents 3); cepen- dant nous devrons y revenir plus loin dans le préient Tome à l'occalion de la „Con- troverfia" qui s'engagea plus tard (et même déjà avant 1673) fur ce fujct. À propos de cette hypothèfe de la Pars Quarta nous devons d'ailleurs remarquer que déjà dans la Prop. VI de la Pars Secunda Huygens admet que le centre de gravité d'un corpsnepeutpass'éleverfpontanément, mais fans avoir énoncé cette hypothèfe au début de la Pars Secunda. Il nous femble parfaitement inutile de donner ici, après tout ce que nous avons dit dans les T. XIV — XVII, un réfumé iyftématique du Traité de Iluygens. Nous nous bornons à attirer l'attention lur quelques quellions particulières. Questions de mathématiques pures. A. Quadrature du cercle. Les trois grands problèmes de l'Antiquité, la duplication du cube, la trifeétion de l'angle et la quadrature du cercle, ont intérelTé Huygens depuis fa jeunefTe +}. Il n'a jamais été convaincu de l'impofîibilité de la quadrature du cercle et a toujours efpéré qu'on finirait par la trouver '). On rencontre dans r„Hor. -) Comparez !a note i de la p. 278 du T. XVI, où nous avons cité l'expression évidemment exa- gérée „absque experimento" de la Prop. XXVI de la Pars Quarta. 3) Voir e. a. les p. 21 , 56 — 57 (et 597), 332 (note i) et 357 — 360 du T. XVI et 243 (note 7) du T. XVII. ••) Voir sur ce sujet les T. XI , XII et XIV. 5) Voir le premier alinéa de la p. 398 du T. VI (polémique de 1669 avec J. Gregory),et ledébut de la lettre de Huygens à Leibniz de novembre 1674 (T. VII, p. 393). Voir aussi l'opinion de Leibniz (1691) à la p. 34 du T. X, ainsi que la note i de la p. 33 de l'article de F. Schuh, 40 AVERTISSEMENT. ofc."(Trop. IX de la Pars Tertia) quelques théorèmes fur la quadrature des conoïdes et Iphéroïdcs que Huygens fut amené à établir h la fuite de fes recherches fur la qua- drature du cercle; voir la lettre de de Slufe de décembre 1 657 citée à la p. 2 1 1 qui fuit et celle de Huygens à de Slufe de février 1 658 '). Ajoutons en paffant que la démon- llration de ces théorèmes n'a été publiée par Huygens ni ici ni ailleurs; comparez le deuxième alinéa de la p. 33 qui précède. Nous avons publié les démonllrations de Huygens dans le T. XIV auquel, ici comme dans d'autres cas analogues, nous ren- voyons le lefteur dans les notes. Dans r„Hor. ose." Huygens n'exprime plus le vague cfpoir (voir les p. 536 — 539 du T. XVI) que la recherche des centres d'oicillation pourra conduire à la quadrature du cercle. Comparez la note 2 de la p. 56 qui fuit. B. Développées et développantes femblahles. À la p. 104 qui fuit Huygens pofe la queftion de favoir s'il exifte, outre la cycloïde, d'autres courbes telles qu'en choifis- fant convenablement la longueur du fil à partir d'un point donné de la première courbe, l'on obtient par le développement une courbe pareille. Vers la fin d'oétobre 1678 un certain de Vaumefle qui avait lu r„Hor. ofc." découvrit -) „que par leuo- lution de la cycloide circulaire [c.à.d. de la cardioïde, en d'autres termes de l'épicy- cloïde produite dans le cas où le cercle générateur eft égal au cercle immobile] eft décrite une autre cycloïde circulaire triple de la première". Ceci donna occafion h Huygens de démontrer avant la fin de la même année que par l'évolution d'une épi- cycloïdc quelconque on peut obtenir une épicycloïde femblable. Voir les §§ 2 et 3 de l'Appendice III à la Pars Tertia; c'cll une Pièce lue à l'Académie des Sciences le 3 décembre 1678 qui fait défaut dans les Régiflres de l'Académie. Jacques Bernoulli publia en mai 1692 3) la propofition que la fpirale logarithmique a la même propriété et peut même engendrer une fpirale égale. La qucflion fut reprife quelques dizaines d'années plus tard par lac. Hennann+) et par G. W. Krafft qui démontra dans fon cité aussi à la p. 174 du T. XII: „Sur quelques formules approximatives pour la circonférence du cercle et sur la cyclométrie de Huygens" (Archives néerl. d. sciences exactes et naturelles, Série III A, T. III, la Haye, M. Nijhoff, 1914). ') T. II, p. 134. Comparez la p. 200 du T. XIV. =) T. VIII, p. 117. 3) Voir la note 16 de la p. 1 19 du T. X. Il dit (p. 210 des „Acta eruditorum" de 1692) à propos de la propriété „sui evolutione seipsam describere" de la spirale logarithmique: „quod jam olim AVERTISSEMENT. 4,1 article de 1727 „De Lineis Curvis quœ evolutas ipfa fe générant"') que la cycloïde ce la fpirale logarithmique à angle confiant de 45° font les feules lignes qui engen- drent des lignes égales tandis que des lignes lemblables ne peuvent provenir par évolution que des autres fpirales logarithmiques et des épi- ou hypocycloïdcs'^J. 11 dit à tort que ce fut Tschirnhaus qui s'occupa pour la première fois (d'après Tarticle „In venta nova etc." des Acta Erud. de 16H2) de ces dernières lignes. Comjwrez la fin du § I de l'Appendice 111 nommée. Voir fur les relation:, de 1 luygens a\'ec Tschirn- haus la p. 38 1 du T. VII ainfi que les p. 499 et 5 1 1 du T. IX. C. R^yoïi de Courbure. On a remarqué qu'en établiiïant la théorie des dévelop- pées Iluygcns ne dit rien fur la coiu-bure. Cantor allinnc „dass 1 luygens an Kriim- mungsvcrhaltnifTe gar nicht dachte" '). Il efl vrai qu'il n'obfervc pas — non plus qu'Apollonios dans le cinquième livre de Ces „Conica" **) — que le point d'interfec- tion de deux normales inhnimenc voifines ell le centre d'un cercle de courbure, mais etiam Fratri meo obfervatiim". On trouve en effet la même chose à la p. 459 du Tomus Tertius des Opéra Omnia de Jean Bcrnoulli, mentionné dans la note 7 de la p. 43 qui suit. ••) Travail inédit, cité par G. W. KralTt. 5) Cet article occupe les p. 216— 230 des „CommentariiAc. Se. Imp. Petrop. T. II ad aninim MDCCXXVII", Petropoli Typis Acad. MDCCXXIX. ") Après lui L. Euler traita le même sujet dans son „Investigatiocurvarumqua;evolutœsuisimiles prodiicunc", p. 3—52 des „Comm. Ac. Se. Imp. Petrop. T. XII ad annum MDCCXL", Petr. Typ. Ac. MDCCL. Il généralisa la question dans un deuxième article de 1—5 intitulé „In- vestigatio curvarum quœ similcs sint suis evolutis vel primis, vel secundis, vel tertiis, vel adeo ordinis cuiuscunque", p. 75—1 16 des „Nova Acta Ac. Se. Imp. Petrop. T. I", Petr.'rvp. Ac MDCCLXXXVII. -^ ") M. Cantor, „VorIesungen iiher Geschichte der Matheniatik" III, p. 177 (2'"°' éd. Leipziç, Teubner, 1901). ^) Les livres V, VI et VII des „Conica", dont le cinquième traite des normales aux coniques, furent publiés pour la première fois en 1661 par Borelli et Abraham Ecchellensis, après que Borelli eut en 1658 retrouvé à Florence le texte arabe (T. Il, p. 226, 252). Pour des détails sur ce manuscrit on peut consulter la p. 472 du T. I de la Correspondance du P. Marin Aler- senne (note 2 de la p. 52 qui suit). Déjà longtemps avant Borelli Golius avait entrepris le même travail d'après un autre texte arabe mais sans, paraît-il, en pouvoir venir à bout; Huygens le savait au moins depuis 1651 (T. I, p. 161) et évidemment beaucoup plus tôt, puisque son père en fait mention en 1646 dans une lettre à Mersenne (T. II, p. 555) et que ce dernier en parle à la p. 274 de son „Universa.> Geometria; mixta;que Mathematica; Synopsis" de 1644; mais rien ne démontre qu'il ait vu le manuscrit ou la traduction de Golius. Il convient toutefois d'ajouter que Golius était professeur d'arabe et de mathématiques à l'Université de Leiden lors- que Huygens y étudiait, et qu'il peut fort bien avoir causé avec lui en ce temps sur ce sujet (1. 8 d'en bas de la p. 161 du T. I), d'autant plus que son père connaissait Golius depuis long- temps (voir p.e. la p. 549 du T. XVII). Rappelons que la théorie des développées de Huygens est de la lin de 1659 (T. XVII. p. 147, note 2). 6 42 AVERTISSEMENT. la notion de courbure ne lui était nullement étrangère. On peut voir aux p. i - — 1 8 du T. XVII qu'avant d'a\'oir trouvé la vraie forme des arcs du pendule (et c'elt de la conftru(fHon de ces arcs qu'elt fortie la théorie des développées '), il compofait en 1 657, du moins en théorie, ces arcs ou „platines courbes" ■') de portions de circon- férences de cercle. D'ailleurs, comme nous l'avons obfervé dans la note 2 de la p. 288 du T. XVII, déjà en 1 654 il conlidérait, en s'occupant théoriquement de la taille d'une lentille elliptique, le point où les nomiales infiniment voilînes de l'axe de rota- tion d'un ellipfoïde coupent cet axe comme un véritable centre de courbure, quoique fans fe fervir de ce terme '). Dans la partie B datant de 1670 de notre Appendice à la Pars Sccunda de r„Hor. ofc." I luygens détennine la relation qui exillc dans un cas fpécial entre deux rayons de courbure, ici aulli fans fe fervir de ce terme. En juin 1686 Leibniz publia dans les „Acta cruditorum" +) fa „IMeditatio nova de natura anguli contaftus et ofculi": il y parle du cercle ofculateur. Comme Kepler (note 3)et Huygensen 1654 — ilnecited'ailleursnil'unnil'autre — ils'infpireplusou moins de la „praxis catoptrica et dioptrica". Leibniz féjourna à Paris de 1 672 à i 6t6 et I luygens eut alors une grande influence fur lui : voir la note i a de la p. 244 du T. MI, où Leibnizdite.a.furledonqucIIuygcnsluifitder„Hor.ofc.":,,IdmihiaccuratiorisGeo- metria; initium vel occafio fuit" 5). En mars 1 6^ i dans une Pièce envoyée à Leibniz '^} ') T. XVII, p. 144, note i. Comparez ce que dit Huygens à la fin de la Prop. VIdela ParsTertia de r„Hor. ose." sur la „superficies secundum cvcloidem curvata". =)T. XVII, p. 11,1. 6. ') Huygenspeut avoir connu en 1 654 (ou plus tôt) les „Ad Vitellionem Paralipomena" de Kepler, où celui-ci (Prop. XX, Cli. III) se sert dans un cas analogue de l'expression „ratio curuitatis"; en considérant une parabole, il parle du „circulus qui continuât ratinncm curuitatis" en un point donné de la courbe. ■•)T.X,p. 156. 5) Toutefois les considérations de 1686 de Leibniz sur le cercle osculateur manquent d'exactitude et sont même positi\ement erronées: il dit généralement: „Circuli osculantes inveniuntur per quatuor radiées a;quales, seu per duos contactus in unum coïncidentes". Jacques BernouUi signala cette erreur dans son article de mars 1692 dans les Acta Eruditorum „J.B. Additamen- tum ad Solutionem Curv» Caustica; fratris Jo. Bernouili, una cum ÎNleditatione de IVatura Evolutarum, & variis osculationum generibus". Il y dit (p. 1 16): „Vidimus . . in osculoprimi gradus très tantum intersectiones coincidere, non duos contactus, qui quatuor intersectionibus équivalent". Leibniz reconnut son erreur dans l'article publié en septembre 1692: „G. G. L. Generaiia de Natura linearum, anguloque contactus et osculi etc.". Dans ces articles Huygens est souvent mentionné. P. e. à la p. 1 10 de l'article de BernouUi il est dit que, suivant Leibniz aussi, „Hugenium primura animadvcrtisse, quod centra osculorum curvas osculantium perpé- tue incidant in lineas istas . . quarum evolutione illse describuntur". AVKRTISSF.niENT. 43 Iluygens le Ibrc de l'expredlon „radius curvitatis'' qu'il n'emprunte, femble-r-il,à aucun autre auteur. La même expreiïion fe trouve dans (on article fur la chaînette du 5 mai 1691 public dans la livraifon de juin 1(^91 des „Acta eruditorum". Comme fon frère (note 5) Jean Bernoulli en 1691 ou 1692 témoigne en faveur de Iluygens"). Dans le traité poilhume „Mcthodus fluxionum et fericrum indnitarum", Newton parle du „radius curvatura;" ainfi que du „ccntrum curvatura;". D'après les lettres de décembre 1671 de J. Collins ii G. A. Borclli et à F. Vemon") ce traité fut prêt pour la preiïe déjà en 1671 '^), mais il a dû avoir été remanié plus tard par l'auteur puifque, comme Tobferve Cantor '"), il contient des propofitions rappelant ii forte- ment certaines parties de r„Hor. ofc." que l'on doit admettre „Newton habc diefe Stellen dcr M. fl. erfl: gcfchricben nachdcm er das Hor. ofc. gelefen batte""). D'ailleurs, dans les deux lettres nommées, Collins donne beaucoup de détails fur le contenu du traité, mais il ne dit rien fur la courbure ni fur l'évolution des courbes, li ce n'cll c]u"il a exhorté Newton à publier bientôt fon ouvrage puifque „D. Huge- nius traclatum de Dioptrica et de Cur\-arum evolutione jam molitur", ce qu'il avait «)T.X,p.59. '') Dans ses „Lectioiies ÏMatlicmatica: de IMethodo Integralium, aliisque; coiiscripta: in usum III. Rlarchionis Hospitalii, cum Auctor Parisiis ageret Annis 1691 & 1692" (Joli. Bernoulli Opéra Omnia Tomus Tcrtius, Lansann£e& Geneva;, Sumptis Marci-ÎNIichaelis Bousquet & Sociorum, iVIUCCXLII)il ne se sert pas encore de l'expression „rayon de courbure", mais il parle longue- ment des cercles osculateurs; il dit p. e. à la p. 432 (Lectio Décima (^)uinta) en parlant „de centroDcirculiosculantis":„Variabuntquoque centra D, adeo ut describant certam quandam curvam EDcf, quam D. Hugenius ostendit esse illam, ex cujus evolutione describitur curva AB,S". °) P. 81 derédition de 1856 par J. B. Biot et V. Lefort (Paris, Mallet-Ikchelier, 1856) du „Commercium epistolicum J. Collins et alioruni de Analysi promota etc." Nous avons aussi consulté l'édition de Londres (J. Tonson & J. Watts) de 172:; la première est de 171;. ') Le traité parut en 1736 en anglais („Method of fluxions and infinité séries witli application to the geometry of curved Unes", éd. J. Colson, London); nous avons consulté l'édition latine de 1744 („Is. iVewtoni equitis aurati Opuscula Mathematica, Pliilosopliica et Pliilologica", coUegit partinique Latine vertit ac recensuit Joh. Castillioneus Jurisconsultus, Lausanna: & Geneva;, apud ÎMarcum-Michaelem Bousquet & Socios, MDCCXLIV). '°) ,,Vorl. ûb. Gescli. d. IMath." II, 1899, p. 178. ") On trouve à la p. 104 du T. I des „Opuscula" (note 9) le Probl, V: „Determinare Quantita- tem Curvatur^', quam liabet data qusvis Curva in dato Puncto". À la p. 113 il est question dans le Coroll. IV de l'Exempl. IV d'un poids oscillant suspendu „in inversisTrochoïdibus"et se mouvant par conséquent „in Perimetro Trochoïdis [i. e. Cycloidis] inferioris", ce qui est évidemment emprunté à r„Hor. ose". 44 AVERTISSEMENT. appris probablement de Vcrnon lui-même (voir la p. 36 qui précède). Dans la lettre du 24 odlobre 1676 à Leibniz") Newton dit à propos de ce même traité : „Ipfe autem traftatum meuni non penitusabiblveram, ubi deltiti [il ne dit pas quand] a propofito; nequc in hune dicm mens rcdiit ad aliqua adiicienda". îl est polTiblc qu'- après l'exhortation de Collins et avant d'avoir reçu r„Ilor. oie." Newton, l'achant que Iluygcns traiterait „de Curvarum cvolutionc", ait ajouté quelque choie à fon traité déjà en 1672, puifque dans la lettre du 10 décembre 1672 à Collins') il dit que la méthode ne fert pas feulement à mener des tangentes, mais aulTi „ad refolven- dum alia abflruliora Problematum gênera de Curvitatibtts [nous ibulignons], Areis, Longitudinibus, Centris Gravitatis Curvarum, etc." (les trois derniers iujets avaient déjà été mentionnés par Collins dans les lettres de déc. i6~i) et que „hanc mctho- dum intertexui alteri ilH, qua Aequationum Exegelin inlHtuo, reduccndo eas ad Séries infinitas". Nous ignorons donc à quelle époque Newton s'eft fervi la première fois de l'exprefllon ,,radius curvatura;". 3). Comme dans notre édition du Traité fur la Force Centrifuge (T. XVI), nous nous abflenons généralement dans celle de r„Hor. ofc." de notes traduifant en formules plus modernes les théorèmes de Huygens. On trouve des notes de ce genre dans la traducdon allemande publiée en 191 3+). Toutefois nous avons indiqué dans une note à la Prop. XI de la Pars Tertia que les raifonnements géométriques de Huygens conduifent à la formule générale du rayon de courbure. Questions de mécanique théorique. A. Pefanlear et force centrifuge. Dans r„Hor. ofc." Huygens s'abflient de toute hypothèfe fur la caufe de la pcfanteur dont il a\-ait traité en 1 659 et en 1 668 '); voir ') „Commcrciuni cpistolicum J. Collins etc.", cdition de 1856, p. 137. -) Même ouvrage, p. 84. ■') Dans les „Lcctiones Optica> in Acad. Cantabrigiensi Annis 1669, 1670 & 1671 in Scholis pii- blicis habita:, & ex MSS. édita:, I.ondini; An. 1729", réimprimées par J. Castillioneiis dans le deuxième Tome des „()puscula" (note 9 de la p. préc), iVewton parle (I.emma IX, p. 164) de„.\ddatamquamvisCurvam concursum axis & vicinissimi perpendiculi determinarc", mais sans se servir du tenne ,, radius curvaturic", comme on pourrait le croire d'après la p. X de r„Editoris Praifatio" dans le T. I des „Opuscula". •*) Chr. Huygens ,,Die Pendeluhr", A Heekscheret A. v. Oettingen, Ostwalds Klassiker d. ex. Wiss. 1\"°. 192, \y. Engelmann, Leipzig, 1913. AVERTISSEMKNT. 45 l'ur les conlîdcracions de 1659 les p. 244 et 276 — 277 du T. XVII. Il fc contente de parler (Hyp. II de hi Pars Secunda) de la „gravitatis actio, undecunquc illaoriatur", le plaçant ainfi au }t()int de vue phénoménologique de Galilée. Comparez d'ailleurs la note 4 de la p. 277 du T. XVII et remarquez que le calcul de la viteflTe V^/-(note 7 et 8 de la même page) d'un mobile décrivant une circonférence concentrique avec un grand cercle de la terre eft indépendant de toute hypothèfeliir la nature de la pc- (antcur. Iluygens connaiflait dès 1659 la grandeur abfolue de la force centrifuge. l'IulicursdefesPropofitionsliu- cette force, p.e. la treizième et dernière, par laquelle fe termine r„Hor. ofc", font bien voir — et ceci mérite d'être remarqué — que félon lui *) le facteiu* /// de la formule tng efl: le même que celui de la formule "), réfultat qui, nous femblc-t-il, peut provenir tout llmplement de la coniîdération de 1 659 du mobile fufdit décrivant la circonférence concentrique *) : l'égalité des accé- lérations centripète ^rct centrifuge _ dans ce cas peut avoir amené Iluygens tout naturellement à admettre aufll l'égalité des conattis ') (ou forces) correfpondants. Le dernier alinéa de la p. 277 du T. XVII, ainfi que les p. 303 et 304 du T. XVI, 5) Y.n 1668 (comparez la note 8 de la p. i-~ du T. XVII) avait eu lieu à l'Académie des Sciences, d'après les Registres, une série de conférences sur la nature de la pesanteur; Huygens y avait défendu la théorie, ou plutôt sa théorie à lui, des tourbillons. Plusieurs autres membres n'ad- mettaient nullement des hypothèses de ce genre. Iluygens ne publia qu'en 1690 fou „I)iscours de la Caufe de la Pesanteur" de 1 66'è , publication dont nous avons aussi fait mention à la p. 328duT. XYI. '') Comparez le Traité sur la Force Centrifuge de 1659 (T. XVI) qui ne fut publié qu'en 1703; voir aussi la fin de la note 2 de la p. 246 du T. XVII. ^) Voir sur les formules mg, — ~Qt\/gr, qui expriment la pensée de Huygens sous une Ibrmc moderne, la p. 245 ainsi que la note 8 de la p. 303 (et aussi la p. 150) du T. XVI. Nous pou- vons ajouter que c'est la même „masse"' qui intervient selon lui (quoique la notion de la masse comme distincte du poids ne soit pas nettement formulée par lui avant l'apparition des „Prin- cipia" de Newton en 1687; comparez p. e. la note 5 de la p. 230 du T. XVI) dans le choc des corps; voir à la p. 1 80 du T. XVI le dernier alinéa : „Ie considère en tout cecy des corps d'une mcsme matière, ou bien j'entends que leur grandeur soit estimée par le poids" (1669). A la p. 244 de 1668 du Manuscrit E Huygens avait fait cependant une réserve sur ce point, disant: „ An vis percuticndi in corpore duro sequatur gravitatem corporis ejusdem. Videbatur succedere in parva quantitate, in magna non item". ") Il est évidemment sans importance que le mobile en question est dans la Pièce de 1659 une particule de „materia subtilis". ^) P. 276 du T. XVII, 1. 3 d'en bas. Voir aussi le dernier alinéa de la p. 245 du T. XVI. 46 AVERTISSEMENT. font voir clairement qu'en étudiant la force centrifuge il a commencé par confidérer le cas où la gravité et la force centrifuge fe balancent. Dans le début de la Pars Secunda de r„Hor. ofc." ce Ibnt des idées et des théorè- mes de Galilée que I luygens précifc. Ici comme dans la Pars Quarca et dans les thé- orèmes \' — XIII fur la force centrifuge de la Pars Quinta, c.à.d. dans tout ce qui fe rapporte au mouvement des corps fous TadHon de la pefanteur, la philofophie cor- pufculaire de Defcartes, en d'autres termes la théorie des tourbillons, ne joue aucun rôle. Voir fur un fujet non traité dans r„Hor. ofc." les p. 247, 285 et 286duT. XVII. V>. Arcs cycloïdatix et pendille compofé. Les arcs cycloïdaux n'aflurent Tifochro- nifme que pour le pendule fimple. Quelle doit être en théorie la forme des arcs pour un pendule compofé (en fuppofant toujours le poids du fil négligeable)? C'efl: une queftion dont L. Euler s'efl: occupé en i "50 '). Huygens ne Ta pas abordée. Il fe con- tente de dire (Prop. XXIV de la Pars Quarta) que les arcs cycloïdaux feraient correfts fi tous les points du corps fufpendu au fil impondérable décrivaient des cycloïdes, ce qui ferait le cas fi ce corps fe déplaçait fans aucune rotation. \"oir fur cette queftion l'Appendice IV à la Pars Quarta. C. ReEfangtiliim ofcillalionis ou recîangtilitm diftantiarum. En 1669 Huygens donna le nom de „re(ftangulum diflantiarum" au produit de la diil:ance de l'axe d'ofcil- lation au centre de gravité du corps ofcillant confidéré, par la difl:ance de ce centre au centre d'ofcillation. Comme nous l'avons dit h la p. 3-3 du T. XVI, Huygens avait établi en 1664 la conrtance de ce produit pour différents axes d'oicillation pa- rallèles cntr'cux dans deux cas: i. celui où le corps ell: une furface ofcillant perpendi- culairement à fon plan (T. XVI, p. 508}, 2. celui où le corps efi: une furface fymé- trique par rapport à un axe vertical qui ofcille dans fon plan (T. X\'I, p. 528). 11 ajoutait, mais fans le démontrer, que le produit nommé efl: conilant pour une lurface plane quelconque (T. X\'I, p. 528, note 2). Il efl: entendu que le plan qui contient les deux axes parallèles confidérés pafiTe toujours par le centre de gravité du corps. Dans r„Hor. ofc." la confiance du „rectangulum diflantiarum" pour un corps quel- ') „De Mocu Tautochrono Pendulorum Compositorum", Kovi Commentarii .\c. Scient. Imp. Petrop. T. III ad Annum MDCCL et MDCCLI, Petropoli, Typ. Ac. Scient. MDCCLIII, p. 286 — 306. AVERTISSEMENT. 47 conque olcillant fuivant un plan décenniné elt démontré (Pars Quarta, Prop. XIX) en partant des Prop. VI et XVIII de la même Pars. La Prop. VI établit la tbnnule générale nb (voir la p. 33 qui précède) et la Prop. XVIII conduit à la fomiule également applicable à un corps quelconque où r efl la diilance d'un point du corps à Taxe d ofcillation et r' celle du même point à un axe parallèle pafTant par le centre de gravité du corps =). Comme les deux for- mules peuvent s'écrire '=m " '-* = »• où M sa la malle du corps et /et / déiigncnt les moments d'inertie ') par rapport aux deux axes nommés, la deuxième formule réfulte de la première auffitôt qu'on a établi la relation 1=1+ Mb\ ce qui eft une formule moderne bien connue. Il ell évident par là que la démonitration de Huygens confirte en fomme à établir cette relation. Et celle de la Prop. XIX confifle à tirer des formules qui s'appliquent à un même corps ofcillant d'abord autour de l'axe i, enfuite autour de l'axe parallèle 2 fitué dans le plan pailant par l'axe 1 et le centre de gravité du corps, la formule qui exprime la confiance du „reftangulum diftantiarum". De cette dernière fonnule réfulte la célèbre Propofition XX qui exprime la réver- fibilité du pendule, puifque les relations ^. C^. - ^ J = -^^ (4 - ^, ) et /, = ^, + b, ne peuvent coëxiiter à moins qu'on n'ait auffi 4 = Z', + Z-, , donc A = /, . ^) /esc la longueur du pendule isochrone, b la distance du centre de gravité du corps à l'axe d'oscillation, « le nombre des particules qui composent le corps. 3) Voirlap. 378duT. XVI. 48 AVERTISSEMENT. Si l'on écrit / = Mp'- et /' = Mp'% où 0 et o' dclignein des rayons d'inertie (nous continuons à nous fervir d'accents pour délii^ier les grandeurs fe rapportant :uinaxcpairantparlecentredegravité),réquation /■ donne '-'".m i + 'V); en d autres termes &'" OU - clî identique avec le „rcctangulum dillantiarum" que I luygens défîgne toutefois dans r„Hor. ofc." par le terme „reftangulum ofcilla- tionis" ou „fpatium applicandum", c.à.d. efpace qui doit être divifc par une longueur (lavoir^}.Voirp.e.danslecalculdu„Centrumorcillationisrecl:anguli"delaProp.XXI de la i^ars Quarta l'exprefllon „lpatium applicandum livc reclangulum ofcillationis". Le calcul pratique de 0 - ou ~ — exige en général la décompolition de Ir'- lliiNant des axes reftangulaires, fitués dans le „planum ofcillationis" et palTant l'un et l'autre par le centre de gravité du corps, en ly'- + ^z' (comme on peut le \'oir dans les exemples que lluygcns propofe) et l'application des méthodes pour trouver ces der- nières fommes, déjà conlignées dans une Pièce de 1664 ou 1665 (p. 545 — 549 du T. XM} à laquelle font empruntées les Prop. IX — XI de la Pars Quarta. Les gran- deurs -^ — et font limplemcnt appelées reélantrula. Dans l'Appendice II à la Pars un Quarta nous les appelons refpeéti\-cmcnt premier et deuxième rcctangulum. En comparant p. e. le calcul de r„Hor. oie." dans le cas du rectangle oicillant dans fon plan dont nous venons de parler -) avec les calculs du T. XM (p. 456 — ') On trouve pareillement /=S- d'après la formule / = ^^. Ceci correspond à la Prop. X VI de la Pars Quarta, où le numérateur que nous appelons ici 0- constitue, tout aussi bien que le numérateur 0" du texte, un „spatium applicandum". Toutefois 1 luygens — et nous suivrons son exemple — réserve l'expression „spatium applicandum" pour le numérateur que nous dé- signons ici par a- exclusivement. -) Huygens ne donne la longueur du pendule isochrone que pour le cas oij le rectangle est suspendu en un sommet, mais l'essentiel était de trouver le „rectangulumoscillationis", d'où se déduisent avec une égale facilité les longueurs des pendules isoclirones pour des suspensions quelconques. AVERTISSEMENT. 49 méthode inconnue dite fort difficile , p. 463 — 4<^9 — méthode de rédiiélion, d'après la p. 361;, de Tolcillation latérale à rofcillation perpendiculaire au plan de la figure — et p. 520 — 523 — méthode générale, d'après la p. 370, pour les furfaces planes fymétriques ofcillant dans leur plan), on voit combien le procédé de calcul a été fucceflivement (implifié. C'eft dans le leptième alinéa de la Prop. XXI de la Pars Quarta que 1 luygens fait connaître la méthode de calcul pour une furface plane quel- conque ofcillant dans fon plan, que Ton peut comparer a\'ec celle du dernier alinéa de la p. 370 du T. XVI. D. Méthode de la Prop. XF de la Pars Quarta. Nous avons dit à la p. 371 du T. XVI que cette méthode était connue à Huygens en 1665, du moins pour le cas particulier des corps de révolution. Il lemble fort polTible qu'il l'ait conçue déjà en ce temps pour des corps quelconques polTcdant les propriétés qu'il mentionne dans la Prop. XV. Remarquons que dans fon raifonnement géométrique il y fait ufage de la règle dite de Guldin qui eft en réalité une règle de Pappus: on la trouve à la lin de la Préface du Livre VII de fa l-jvxyo^yh ^). Dans la Prop. XXII Huygens cherche le centre d'ofcillation de la Iphère en le bafanc fur la Prop. XV; comparez le dernier alinéa de la p. 472 du T. XVI. E. Recherche du centre d^ofcillatïon dans quelques cas particuliers. Dans r„Hor. ofc." Huygens confidère quelques cas particuliers qui ne fe trouvent pas dans les Manufcrits B et C ni dans les brouillons de 1 664, du moins dans ceux qu'il a confer- vés. Ce ibnt i . le polygone régulier h nombre quelconque de côtés ofcillant dans ion plan (Prop. XXI) +), 2. la pyramide '), 3. le cône "), 4. le cylindre, 5. le demi-cône (Prop. XXII de la Pars Quarta). Voir iur la parabole ofcillant dans fon plan (Prop. XXI) qu'on ne trouvera pas dans le T. XVI, l'Appendice II h la Pars Quarta qui traite auifi de l'ofcillation d'une croix'). Dans la Pièce qui conllitue le § 3 de notre i\ppendice III à lu même Pars I luygens confidère le cas d'un lecteur de Iphère. 5) Voir la note 3 de la p. 439 du T. XVI. Pappus a déjà été meiuiouné à la p. 34 qui précède. •t) Comparez le deruier alinéa de la note de la p. 496 du T. XVI. ') Dans l'Appendice III à la Pars Quarta emprunté au Manuscrit D Huygens écrit vers la fin du cinquième alinéa du § 3: „sicut cum de pyramide agerenius ostcnsum est", ce qui se rapporte à un calcul peut-être ancien que nous ne possédons plus. *) Voir sur le cône la partie D de l'Appendice II à la Pars Quarta. ') La partie C de cet Appendice traite de l'oscillation d'un demi-paraboloïde. AVERTLSSEMENT. À la fin des Prop. XXI et XXII il parle de figures fcalènes, planes ou folides, ifo- chrones avec les figures droites dont elles proviennent par luxation. Pour prouver cet ifochronifme il fe contente de remarquer que d'après une propofition antérieure les „lineœ graves" dans le premier cas, les furfaces planes graves dans le deuxième, dans lefquelles on peut découper les figures données et les figures fcalènes, font ifo- chrones deux h deux. Ce raifonnemcnt nous paraît un peu trop court pour être con- vaincant. Ne fallait-il pas plutôt dire que d'après la formule/='' ,- appliquée aux élé- ments ifochrones deux à deux, l'égalité de /et de b entraîne celle de 2/--, que par conféqucnt leir- pour la figure fcalène entière efi: égal à celui de la figure droite en- tière, et que, les ^, c.à.d. les diftances des centres de gravité à l'axe de fufpenfion, étant audi égales entre elles pour les deux figures entières, il en efi: de même de leurs /, c.à.d. des longueurs de leurs pendules fimples ifochrones '}? Et même contre cette preuve-là on pourrait encore faire l'objection qu'elle el1; trop conforme à l'ofprit de Cavalieri. Il eft vrai que la même objeélion pourrait être faite contre les démonflra- tions des Prop. VII — XI et XIII — XMII de la Pars Quarta puifque les furfaces ou les corps y font confidérés comme compofés de fort petites particules égales parfois repréfentées par des carrés ou points centraux de carrés (Prop. IX, XIII, etc.), d'autres fois p.e. par de petits prifmes ou parallélépipèdes dont il eft dit dans la Prop. VII „totum cuneum ABD componi". La rigueur de ces preuves eft apparemment inférieure à celle des Prop. II — VI, IX, X et XXIV de la Pars Secunda, III de la Pars Tertia et IV — V de la Pars Quarta, où Huygens applique la méthode antique de la réduction à l'abfurde en commençant par fuppofer que l'égalité qu'il s'agit de démon- trer n'exifte pas. En revanche, les démonftrations dans lefquelles l'objet mathématique confidéré eft fuppofé découpé en un fort grand nombre de parties font évidemment moins artificielles *). Expéditions pour déterminer les longitudes et Table de l'Equation. Nous reviendrons plus loin dans ce Tome fur les réfultats pratiques des expéditions ') Comparez la note 3 de la p. 462 du T. XVI. =) Comparez la p. 348 et la note i de la p. 378 du T. XVI. AVERTISSEMENT. 5' 1 u 3an. 31 10 VI Feb. 1 n 11 1 11 îi t u 11 31 10 w M 10 10 30 q i^ iq 8 ig î« 9 ia 1% 1 i"i t7 i 1T *i i Maa. Api: Mei 3on. Dul. Aug. 5ep. Dct. Hov. Dec. D. La courbe continue de notre figure, calculée par Mens. P. V. Druna d'après les données sur l'orbite de la terre de S. Newcomb (1835 — 1909), donne l'équation du temps pour l'année 1670. La courbe pointil- lée représente le résultat des calculs de Huygens consigné dans sa Table. Avec Huygens nous prenons ici pour l'équation l'ascension droite du vrai soleil moins celle du soleil moyen, quoique les astronomes mo- dernes aient l'habitude de considérer la différence inverse. L'équation du temps a été calculée, pour une ascension droite de 0°, 10°. :o° etc. du soleil moyen, d'après les formules du § 494 du T. II de 1892 du „Handbuch der Astronomie" par R. Wolff (Ziirich, F. Schulthess). Les données de la p. 9 du T. VI („Tables of the four inner planets") des „Astronomical Papers for the use of the American Ephemeris and Nautical Almanac" (Washington, Bureau of Equipment, Navy Department, 1898) ont conduit pour les éléments de l'orbite du soleil en 1670 aux valeurs suivantes: périgée de l'orbite du soleil 277°i6'9" excentricité de l'orbite 0,0168465 inclinaison de l'écliptique sur l'équateur 23 ° 28 ' 56 ', o. Puisque Huygens ne tient pas compte des années bissextiles nous avons également calcule une table moyenne au lieu d'attribuer à l'équation d'un jour déterminé une période quadriennale. Comme notre courbe s'accorde le mieux avec celle de Huygens (calculée avant le 15 février 1662, impossible de dire exactement pour quelle année) en admettant que le soleil atteint le point vernal le 21 mars h midi, nous avons pris la longueur du soleil égale à zéro pour cet instant-là. Dans la partie supérieure de la figure, les différences Huygens-Newcomb sont indiquées en secondes. De juillet à décembre ces différences sont positives; de janvier à juin elles sont négatives. La plus grande différence positive est de 27", la plus grande différence négative de 34". AVERTISSEMENT. mentionnées par Huygens dans la Pars Prima en parlant en même temps des expédi- tions ultérieures. Puisqu'une détermination exacte des longitudes h l'aide d'horloges n'exige pas Iculement une régularité parfaite de la marclie de celles-ci mais aulîî l'emploi d'une Table fortjulle de l'Equation du Temps, nous nous fommcs demandés fi la Table des p. I 12 — 1 1 3 ')ellabfolument correcte. LedouteelWuucantpluspcrmisqu'il eût en tout cas, pour fatisfaire à toutes les exigences, iallu calculer des tables pour quatre années confécutives dont une biiïcxtile. On a eu à l'Obfervatoire de l'Univerfité de Leiden la bonté d'exécuter les calculs nécelTaires pour l'année 1670. Dans la figure qui pré- cède on peut voir de combien la courbe corrcfpondant h la Table de Huygens s'écar- te de celle calculée h Leiden. Précurseurs et concurrents de Huygens. A. Tangentes aux courbes engendrées par les points tf une figure roulante. Com- me Huygens le remarque dans la Pièce qui conftitue la partie A de notre Appendice à la Pars Secunda, il s'ed infpiré dans la démonftration générale de la Prop. XV de cette Pars d'une propoficion de Defcartes et du commentaire de van Schooten furcefujet. On peut confulter lii-defTus la note i à l'Appendice nommé. B. Centre (Tofcillation et niefure univerfelle de la longueur. Aux conlidérations des p. 349 — 353 du T. X\T nous devons ajouter quelques mots fur Honoré Fabry, mentionné par Huygens, avec Defcartes, dans le début de la Pars Quarta. Nous avons dit h l'endroit nommé qu'avant ocliobre 1664 Huygens n'avait pas pris la peine des'enqucrir des recherches de Defcartes et de Roberval fur le centre d'agitation ; com- parez la fin de l'alinéa fuivant. Le troifième Tome des „Lettres de Defcartes" publiées parClerfelierquicontientleslettresde 1 646 de Defcartes h Merfenne et à Cavendish -) fur ce fujet , ainfi que des obfervations de Roberval, ne parut qu'en 1 667. Huygens a apprisàleconnaître vers ce temps, quoiqu'il n'en faffc mention dans fa correfpondance qu'en 168- 'J),mais il ne difcute la théorie erronée de Delcartcs nidansr„Hor. ofc." ') Identique avec celle construite avant le 15 février 1662 de la „Brèvc Instruction" de 1665 (T. XVII, p. 104, note i et p. 207). -) Dans le T. XVI, p. 569, nous avons donné à Cavendish le prénom William. D'après la p. 3-1 du T. IV de l'édition des „Oeuvres de Descartes" par Adam et Tannery, et aussi d'après la p. 654 de la «Correspondance du P. Marin Mersenne" publiée par M""^ P. Tannery, éditée et AVF.KTISSF.MF.NT. 53 ni ailleurs. Quant au „Traaatus Phyficus de Mocu locali, in quo Effcausonines,qui ;id Inipccum, Motiini natiiralcni, violcntuni, & nilNtum pertinent, cxplicantur & ex principiis Phylîcis dcmonllrantur. Audore Fctro Moufnerio Doctorc Medico: Cun(5ta excerpta ex pra^leftionibus R. P. Honorât) l^^ahry, Societatis leiii" de 16464), où Tauteur, ou plutôt Fabry, „dc pendulis ifoclironis eji^t . . fed pleraquefalfa dédit nec quicquain denionlh-avit" ''), Huygens dit en 1664 le connaître dans une lettre d'oc- tobre de cette année ^); il le connaiilait dès 1 64- comme nous le ferons voir. INIerfenne, allez longtemps, parait-il, avant 1646 où il propola la queition du centre d ofcillation ou plutôt celle du centre de percudion à Dcfcartes et à I Kiygens, s'était adreffé à Honoré Fabry, alors à Lyon, et les propofitions fur ce fujet de ce dernier qu'il appelle „un géant en fciencc" lui étaient déjà connues avant l'apparition du livre de Moufnier ''). Naturellement il défirait que Chr. Huygens fit connaiflance avec ce livre. C'efl: de lui — et du livre antérieur de Fabry fur la philolbphie •") — qu'il parle dans fa lettre à Conll. Huygens du 3 janvier 1647 (T. I, p. 48); et non pas des œuvres de Noël, comme le fuppofe la note 9 à la page citée. Le volume de Moufnier contient en effet „io Livres" et „un traité particulier des centres de per- cuffion à la fin"; Merfenne dit qu'il „brufle d'enuic que Mr. vollre fils le voye ce niinotée par C. de Waard, dont le T. I a paru en 193.S chez G. Beaudiesne à Paris il s'a.çit en réalité de Charles Cavendish. C'était, d'après l'article cité dans la note 6, un gentilhomme anglais résidant à Paris. ■^) T. VI, p. 198. Dans le début de la Pars Quarta de l'„Ilor. ose." Huygens dit connaître les lettres de Descartes sur ce sujet, publiées „haud pridem". *) Lugduni, apud loannem Champion, in foro Cambij. 5) T. V, p. 12;. f^) Mersenne nous apprend aussi que P. IMousnier était „un de ses escoliers [escoliers de Fabry], docteur en médecine à Lion". Ce renseignement et celui du texte sont empruntés à l'artide „Uue lettre inédite de Mersenne à Descartes", publiée par C. de Waard dans le Vol. XIII de 1931 de la Revue „Archeion, Archivio di Storia délia Scienza, Organe officiel du Co- mité international d'Histoire des Sciences et de la Section d'Histoire des Sciences du Centre international de Synthèse", Casa éditrice L. da Vinci, Rome, et Paris 2% 12 rue Colbert. IVous avons dit aux p. 35 1 —352 du T. \ VI que les premières expériences de ftïersenne sur le centre de percussion datent du commencement de 1646 au plus tard. C. de Waard (article cité, p. 175) observe qu'à son avis Mersenne s'occupait d'expériences de ce genre depuis le printemps de 1643. ^ la P- 435 '1^-' !^"" livre de 1646, après avoir traité du centre de percussion, Mousnier parle de „innumeris ferè experimentis, tirni ab erudito Mersenno, tiim a nostro Philosopho [Fabry]" qui prouvent „longitudinem funependuii isochroni cum cyliiidro continere i cylindri". ') «PhilosophiaUniversaperpropositionesdigestaet in brève compendium red^acta", Lugduni 1646. 54 AVERTISSEMENT. traité et qu'il l'examine, peut eftre que l'enuie luy en prendra a luy mefme de le mieux demonftrer, ou du moins il pourra le faire voir a Mr. des Cartes, qui y a défia crauail- lé". Commençons par remarquer que, vu les dates, il femble qu'il faille admettre, et la dernière phrafe citée de Merfcnnc l'indique également, que Fabry s'efl: occupé de la queftion indépendamment de Defcartes (Moufnier ne fait mention ni de lui ni de Roberval). P. Duhcm dit certainement à tort ') : „Par l'intermédiaire du livre compo- fé par l'abbé de Guaftalla [c.à.d. B. Baldi; comparez la note 2 de la p. 350 du T. XVI] certaines idées de Léonard '} feront communiquées à Defcartes et à Roberval; elles provoqueront entre ces deux grands géomètres un débat qui ne fera pas exempt d'aigreur; portés par Merfenne , par le P. Fabry , par Pierre Moufnier à la connaifTance du jeune Chr. Hiiygens, les afiirmations contradiftoires de Roberval et de Defcartes fuggéreront à ce phyficien de génie la théorie du pendule compofé; etc." Au contraire Muygens femble n'avoir appris avant i665,oudéc. 1664 3), fur les recherches de Defcartes et de Roberval (quenousjugeonsquelquepeu poftérieures à celles de Fabry, quoiqu'indépendantes des fiennes) que ce que Merfenne lui en écrivit. Il eft vrai qu'il a connu Roberval perfonnellement en 1655 (T. I, p. 3-0), et qu'en cette année et la fuivante il a été en correfpondance avec lui; mais dans ces lettres il n'eft pas quellion du centre d'agitation. D'après le Journal de Voyage il vifita Rober- val à Paris le 1 3 décembre 1 660; fa lettre à Thévenot du 29 janvier 1 665 (T. \' , p. 209} iàit voir qu'alors au(îi il n'a pas fait connaiiïance avec les recherches de Rober- val fur le fujet en queftion. Quant à Defcartes, Huygens ne fait nulle part mention d'aucun entretien avec lui; ce n'efi: que peu avant le 29 janvier 1665, paraît-il 3), qu'il reçut de Thévenot (lettre citée) des nouvelles fur les recherches de Defcartes. Après l'apparition du livre deMoufnierDefcartes ne femble plus s'être occupé de ce fujer. Dans fa lettre citée Merfenne annonce qu'il enverra le livre nommé ou en tout ') P. Duhem ,,Etudes sur Léonard da Vinci, ceux qu'il a lus et ceu.\ quironclu"I,p. 108, Paris, 1906. -) Dans son ouvrage de 1582 „In mechanica Aristotelis problemata exercitationes" Baldi cite di- vers ouvrages (e. a. la Mécanique de Guido L'baldi de 1577), mais il ne fait aucune mention des manuscrits de L. da Vinci. C'est une hypothèse de Duhem que L. da Vinci a exercé une grande influence sur Baldi. Il dit (même ouvrage, p. 155) que „Baldi . . . avait emprunté à Léonard da Vinci la notion de gravité accidentelle; et cette notion s'était présentée à l'esprit de Léonard comme une suite naturelle de la théorie de l'impetus , développée par les physiciens du XIV' siècle". Chez Mousnier, c.à.d. chez Fabry, la théorie de r„impetus'" joue un grand rôle; la conclusion de Duhem: „>."on plus que la Nature, la Science ne fait point de saut brus- que" nous semble fort bonne; mais tout pourrait s'expliquer aussi sans les manuscrits de da Vinci. AVERTISSEMENT. 55 cas „les 2 ou 3 feuillets où font les centres de percuflion +)". Or, nous avons pu établir qu'il a tenu la promeffe. En effet, comme aucune bibliothèque publique en Nécrlandc ne pofTède l'œuvre de Moufnier, nous avons demandé l'exemplaire de la Bibliothèque de l'Univcrfité de Gôttingue et il s'efl: trouvé que celui-ci porte lur la première page l'infcription : „Conilanter 1 647. don. Mar. Merfenni". L'„Appendi\ Prima phyficomathematica. De Centro percuflionis +)" a été lu par Chr. Huygens puifqu'on y trouve en marge quelques obfervations de fa main '}. Ces notes margi- nales datent l'ans doute de 1664: on y trouve e. a. (p- 437) la multiplication de b -f ^ , - par J que nous avons (îgnalce dans la note i de la p. 456 du T. XVI. 11 cil: queftion chez Moufnier (p. 436 — 437) de la „rationem egregij e.xperimenti, quod fa;pc Doclus Merfennus propofuit, fcilicet longitudinem funependuli ifochroni elfe ferè quadruplam perpcndicularis duclia; in bafim trianguli Ifofcclis, librati circa an- gulum verticis i5o.grad.";c.à.d. fi l'on fait ofciller dans fon plan un triangle ifofcèle fufpendu au Commet et dont l'angle au fommet eil de 150°, la longueur du pendule fimple ifochrone fera environ le quadruple de la hauteur du triangle. Après avoir éta- bli par la multiplication fufdite la longueur du pendule fimple ifochrone pour le cas d'un triangle ifofcèle de hauteur b et de bafe 22;, Huygens pofe donc 4^ 00 |^-f|y, d'où il tire ]X 13^^ oo 2. Cette équation conduit pour l'angle au fommet à i48^59'5o", ce qui efl: en effet à peu près 150°. À l'endroit cité Huygens n'exécute pas le calcul de l'angle. Il tire correftcment la racine carrée de 13 et écrit à côté des mots „angulum verticis 150. grad.": „[de]bebat eife [. . .] o°48' proximè". Iln'eil pas bien clair ce qu'il a écrit s). Dans le calcul de la valeur de l'angle il fcmble avoir commis une erreur, mais fa for- mule efl: correfte. Les autres notes marginales de Huygens font les fuivantes: i) À la p. 430, où 3) Il est vrai que nous ignorons la daie de la lettre de Thévenot auquel celle de Huygens sert de réponse; mais Huygens ne peut avoir reçu cette lettre avant le 27 novembre 1664 (voir la p. 1 52 du T. V). En mai 1665 (T. V, p. 355) il espérait que Thévenot lui enverrait un „traitc de Roberval des pendules Isochrones" outre ce que Thévenot lui avait déjà mandé sur les résultats de Roberval. ■*) Chez Mousnier ce sujet occupe 18 pages (p. 420 — 437). Comparez le début de la lettre de Mersenne du 12 janvier (T. I, p. 59). 5) Le livre a été relié plus tard de sorte que les mots écrits en marge sont parfois tronqués. 5 6 AVERTISSEMENT. Moufnier énonce et croit prouver Ton „Theorema 22. Si voUiatur circulus circa punc- tiim circumferentiœ in circule parallelo i'uo piano, detcnninari potelt centrum per- cuflionis, quod diilat j diametri à ccntro motus", Huygens oblcrve: „[Im]o') | diametri". Il s'agit de l'ofcillation du cercle dans fon plan fur laquelle on peut com- parer le premier alinéa de la p. 455 du T. XVf. 2) A la p. 43 1 , où ÎMouCnier dit par inad\-crtance „Thcorema 24. Potert detcnninari centrum pcrcullionis iolidi triiim tacicrum ABDE", Huygens écrit: „mirabile ibli- dum, nam tribus pla[nis] iblidam figuram conllitui nega[nt] géométrie. Sed auétor qua[rtum] planum non ani[mad]vertit, cil cnim ABDE pyrami[s]". 3) A la p. 426, où Moufnier cherche (fans pouvoir achever le calcul) le centre de percuflîon d'un fecteur de cercle fufpendu au centre du cercle et tournant perpendi- culairement à l'on plan =) et parle c.a. d'un „folidum ARFDCB, quod fcilicet confiât ex pyramide AEDCB, & fegmcnto cylindri EFDCB", Huygens annote: „ctpra;tc- rea ex cuneo fuper balî EDF qucm autor oblitus eft" 3). A la p. 421 JNIoufnier écrit à propos du centre de percullion : „Ccntrum pcrcullio- nis eft pundtimi illud corporis impadi in quo li contactus fiât, maximus ictus intiigi- tur"-*), et: „Centrum perculîîonis eft in illa linea , quîe dirimit utrimque momenta, tùm ratione impetus, tùm ratione diftantis", ce qui veut dire que, lorfqu'on tire par ce centre une droite parallèle à l'axe de rotation confidéré '), les moments des „im- petus", c.à.d. la fomme (ou intégrale) des moments de tous les „impetus" partiels ') Une partie de la lettre m a été conservée. -) Huygens chercha, toujours en 1664, le centre d'oscillation du secteur ainsi suspendu: voir les p. 487 — 489 du T. XVl. Le „Theorema 13" aux p. 425 — 426 de Mousnier est ainsi conçu: „Si voluatur sector circa axem parallelum subtensa;, dcterminari potest centrum percussionis, dato centre grauitatis sectoris, quod tantum hactenus inuentum est ex supposita circuli ijua- dratura". ^) Il n'est pas nécessaire d'admettre ici une erreur de Mousnier. Huygens entend apparemment par „segmentum cylindri" un segment d'un cylindre droit terminé par deux plans parallèles, mais il semble également permis de se servir de cette expression lorsqu'un des deux plans est oblique, auquel cas le „cuneus" dont parle Huygens fait partie du „segmentuni cylindri" de Mousnier. ■*) Lorsqu'il s'agit d'une figure oscillant dans son plan et que le centre de percussion se trouve p. e. au point X de son axe de symétrie, Alousnier observe (p. 431) que pour qu'il puisse être ques- tion d'une percussion en ce point „incidendam esse strium quandam , seu rimani , qu;v termine- tur in X". 5) On peut également considérer la percussion prcnluite par un corps se mouvant parallèlement a lui-même sans aucune rotation. AVERTISSEMENT. 57 eft égale de part et d'autre de cette droite''). Ici il eil apparemment queftion d'un corps conlHtué par une luriace plane. Ajoutons que Moufnier ne conlidère que les corps homogènes. Quant à 1' „impetus" du mouvement, il efl: proportionnel à la vi- tefle linéaire (Th. 6 de la p. 423) et à la grandeur de l'élément confidéré du corps. C'eft, peut-on dire, la quantité de mouvement w/v. Pour évaluer l'intégrale des quan- tités de mouvement de la furface en „mouvement folide" (voir iur ce terme la p. 376 du T. X\l) Moufnier repréfente les vitefles de tous les points par des normales à la furface. Il obtient ainfi un „folidum" qui n'eft autre que le „cuneus" (ou le „truncus") confidéré par Huygens dans le cas du mouvement folide. Nous avons dit dans la note 2 delap. 45 8 du T. XVI que Huygens (cherchant le centre d'ofcillation) paffe par le raifonnement confidéré en cet endroit de la „méthode de la parabole" à la „méthode de l'onglet (ou cuneus)". Nous pouvons ajouter maintenant que puis- que Huygens admettait avec Merfenne et Moufnier l'identité du centre d'ofcillation avec le centre de percuflion, ce qui refiorc des notes marginales que nous venons de citer, il avait l'avantage de favoir que ce ferait probablement la fubcentrique de l'onglet (ou du tronc, voir la note 5 de la p. 459 du T. XVI) qui lui donnerait la longueur du pendule ifochrone avec la furface en mouvement folide. Il a donc cer- tainement profité de la lefture du livre de Fabry. En fomme, dans le livre de Fabry, ou de Moufnier, la détermination du centre de percuflîon eft correéle pour les furfaces planes en mouvement folide. C'eft ce que Huygens reconnaît en difant dans la Prop. XXI de la Pars Quarta de r„Hor. ofc": „Quod unum [favoir: la pofition du centre d'ofcillation dans le cas du mouvement nommé] ab aliis an te animadverfum fuit, non tamen demonftratum". Non pas démontre: en effet, même fi le raifonnement de Moufnier, qui conduit à fixer l'endroit du centre de percuffion dans ce cas eft confidéré comme fufiîfant, celui par lequel il tâche d'établir l'identité des deux centres ne l'eft certainement pas "). *) Ceci est vrai, mais on peut douter si l'auteur p. prouvé que c'est bien ainsi que „maximus ictus infligitur". Il dit que c'est en frappant ainsi que „totus impetus corporis impacti impediatur" (p. 421). ') Nous avons dit (T. XVI, p. 351) que pour Mersenne cette identité était un fait d'expérience. Mousnier (Theor. 30, p. 435) raisonne comme suit: „Si linea rigida libretur circa alteram extremitatem imraobilera assumaturque funependulum, cuius longitude contineat |- prsdicts lineae, vibrationes utriusque erunt œquediuturns; quod denionstratur;quiacentrumpercussio- nis prsdictîe linea; distat S- ab altéra extremitate immobili per Th. 8. atqui centrum percussionis in hoc motu circulari dirigit motum aliorum punctorum ; quia defungitur munere centri graui- 8 58 AVERTISSEMENT. Il convient d'ajouter que dans r„Hor. oie." Huygens ne parle point du centre de percuflion et qu'il n'apparaît pas d'où réfulte fa conviftion, apparemment déjà géné- rale en 1664, de l'identité des deux centres '). Par l'a démonftration même des p. 457 — 460 du T. XVI l'identité du centre d'ofcillation avec le centre de percuirion tel que celui-ci avait été défini par Fabry par la confidération des moments des „im- petus" était prouvée pour les ilirtaces planes en mouvement Iblidc. Mais la note marginale à la p. 430 de Moulhier fait voir qu'il admet aulli l'identité des deu.x cen- tres pour le cas d'une furface ofcillant dans fon plan. Comme on peut le voir par cette note marginale, les confidérations de Moufnier iur le centre de percuflion dans le cas des furfaces ofcillant dans leur plan — et il en ert de même dans le cas des corps — ne conduifent pas à la connaiflance de la polition du centre d'ofcillation dans ces cas. Nous avons mentionné à la p. 375 du T. XVI le principe de Brouncker pour le cas des furfaces planes en mouvement folidc. Ce principe s'accorde parfaitement avec la méthode de confh'uction de Fabry; mais Brouncker (p. 1 44 du T. \') parle feule- ment du centre d'ofcillation et ne donne aucune preuve. Wallis en 1 67 1 ') parle dans le même cas du centre de percuifion qu'il trouve en fe fervant d'une conlidération identique avec celle de Fabry fur les moments des quantités de mouvement. Nous avons parlé de la mefure univerfelle de la longueur au moyen des pendules aux p. 353 — 356 du T. XVI et i 20 — 121 du T. XVII. Malgré le texte de la p. 1 20 nommé, il femble — voir la lettre de 1668 de Huygens à Eftienne (T. VI, p. 260) citée dans la note 8 de la p. 121 nommée — que l'idée d'établir à l'aide de pendules une mefure univerfelle ait été promulguée en Angleterre indépendamment de Huy- tatis, ut patet ex dictis; iiec enim alterum segmentoriim praualet; sed totus motus impeditur; per pos. 2 [p. 421 : Si percussio ita fiat, ut totus impetus corporis impacti impediatur maxima est] igitur perinde se habet atque si totiim pondus, vel totam vim collectam haberet;sed in hoc casu esset ad instar funependuli, in quo non habetur vlla ratio lili, sed ponderisappensi; igitur eius vibratio est xquediuturna cum vibratione praedicti funependuli quod erat demonstran- dum". 11 parle ensuite des „innumera expérimenta" de Mersenne et de Fabry déjà mentionnés plus haut. Dans d'autres cas l'auteur dit: „probatur eodem modo". ') Comparez la note 6 de la p. 353 du T. XVI. Ajoutons que dans la lettre de juillet 1690 citée en cet endroit Huygens eiit pu faire mention , non seulement de Wallis, de Mariotte et de Des- chales, mais aussi et surtout de Fabry. Le „centrum virium" de Wallis (note 2 de la p. 461 du T. IX) est défini de la même manière que le „centrum percussionis" de Fabry. AVERTISSEMENT. 59 gens et avant lui. Il cil vrai que cette idée ne pouvait fembler abroliimcnt pratique que depuis le moment où la formule qui donne la place exade du centre d'ofcillation avait été établie. Toutefois G. Mouton (comparez la p. 36 qui précède), connaiflant la marche exaéle des horloges de Huygens '), ie montre déjà en 1670 un avocat convaincu de cette idée qu'il développe dans la dernière partie (p. 42-' — 448) de fon livre. 11 y propofe un lyltème décimal de longueurs, l'unité étant empruntée à la dimcnlion du globe terreftre : il veut que le „Milliare Geometricum in uno gradu circuli terrs maxi- mi fexagies exadè continetur". I^a millième partie du „milliare" eil nommée „virg-a" et la dix-millième partie „virgula", la longueur approximative de cette dernière étant donnée par une ligne de 20,2 cm. Il conftate qu'un pendule fimple de cette longueur exécuterait 3959,2 oicillations ilmples en une demi-heure, valeur moyenne calculée d'après les nombres oblervés des oicillations de différents pendules pouvant être con- fidérés comme limples, l'un deux ayant p.e. un globe de plomb et une verge fonnée d'un fil de fer fort mince, un autre étant formé par un globe de fer fufpendu à un cheveu, etc. La longueur de chacun de ces pendules (comparez la p. 355 du T. XVI) eu pour Mouton la dillance du point de fufpenfion au centre du globe. C. Horloges à pendule oj cillant dans un plan antérieures à celles de Huygens. Le paffage bien connu de la Préface (p. 91 qui l'uit), où Huygens avance qu'il efl fort peu croyable que des horloges à pendule aient été achevées et employées avant celles conflruites à la Haye depuis 1657, nous oblige de revenir brièvement fur ce fujet, fur lequel on peut confuker aulli les p. 36—39 du T. XVII. Nous ne difcute- rons pas la queftion de l'horloge à pendule qui aurait exillé depuis 16 15 ou 1616 à Angouléme chez de Boismorand =), vu que de Carcavy, qui n'avait pas vu cette ') Il parle des liorloges de Huygens dans le Cap. III intitulé „De liorologiiv accuratissimis, et ad numerandas Perpendiculorum vibrationes aptissimis" à la p. 433 de son ouvrage :„Observatio- nes Diametrorum Solis et Lun.-c apparentium, IMeridiaiiarumqiie aliquot altitudinum Soiis & paucarum fixarum. Cum tabula declinationum Solis constructa ad singula graduum Eciiptic» scrupula prima, l'ro cuius, et alian^m tabulnrum constnictione seii perfectione, quidam nu- merorum proprietates non inutiliter deteguntur. Huic adjecta est Brevis Dissertatio de dierum naturalium insqualitate; & de temporissquatione. Unacumnovamensurariimgeometricarum idea: Novàque methodo eas communicandi, & conservandi in posterùm absque alteratione" (Lngduni, Matth. Libéral, MDCLXX). Mouton ajoute que les horloges vulgaires à balancier ..nullo modo huic negotio apta sunt,propter multiplicem illonimanomaliani,&inconstantiam vibrationum": comparez le premier alinéa de la p. 28 du T. XVII. =) Voir les lettres de P. Carcavy de septembre 1659 (T. II, p. 535) et de mars 1660 (T. III, p. 38). 6o AVERTISSEMENT. horloge lui-même et que Huygens a connu perlbnnellement à Paris, paraît ne pas être revenu fur ce fujet dont Huygens ne dit rien dans r„Hor. olc." '). Les croquis de Leonardo da Vinci =) que Huygens n'a pas connus font voir, comme nous l'avons dit, qu'il avait été queftion depuis longtemps de balanciers en forme de pendule, les- quels ne paraiflent pas cependant — et c'ell là un point d'une importance capitale — avoir dû fervir à contrôler la marche de l'horloge par un mouvement ofcillatoire plus ou moins indépendant (comparez la note 5 qui fuit). Cette remarque s'applique auffi à l'horloge à pendule d'un certain Camerini portant la date 1656 (N. B.) qui efl: re- préfentée à la p. 1 39 de „The Evolution of Clockwork , etc." de Monf. J. Drummond Robertfon 3). Un pendule de forme primitive s'y meut devant le cadran. Des horlo- ges de ce genre, dont l'hifloire efl fort peu connue +), ne pouvaient évidemment être des inilruments de préciiion. On femble être d'accord pour confidérer comme trompeur le paflage des Saggi de 1667 de l'Accademia del Cimento où l'horloge de 1649 de Vincenzio Galilei efi: mentionnée dans des termes qui portent le lecteur à croire (quoique cela ne foit pas dit expreffïs ver bis) que cette horloge a marché et a pu, telle qu'elle était, fervir de modèle pour la conftruftion d'autres horloges exaétes '). Quant à cette horloge de Vincenzio Galilei ou „horologe a pendule commencée par Galilei", pour nous fervir des termes de Boulliau *), il efl: certain qu'elle n'était point achevée, puifqueViviani dans fa lettre du 20 août 1659 au grand-duc Leopoldo à ') Nous avons parlé des horloges de Jost Burgi dans la note 4 de la p. 6 du T. XVII. 0 T. XVII, p. 38. 3) Voir sur cet ouvrage la p. 546 du T. XVII. •♦) Comparez la note 2 de la p. 47 de la „Geschichte der Râderuhren" de 1905 de E. Bassermann- Jordan. 5) „Saggi di Natvrali Esperienze fatte nelP Accademia del Cimento sotto la Protezione del Sere- nissimo Principe Leopoldo di Toscane" (Firenze, G. Cocchini, MDCLXVII), p. XXII:,,. . . fu stimato bene applicare il Pendolo ail' oriuolo, su l'andar di quelle, che prima d'ogni altro immaginô il Galileo, e che delT anno 1649 messe in pratica Vincenzio Galilei suo figliuolo. Cosi, é necessitato il Pendolo dalla forza délia molla, 0 de! peso a cadersempre dalla medesima altezza; onde con iscambieuol benefizio non solamente vengono a perfettamente vguagliarsi i tempi délie vibrazioni, ma eziandio a correggersi in certo modo i difetti degli aitri 'ngegni di esso oriuolo". Ce passage, sans être entaché , croyons-nous , d'inexactitude dans le sens strict du mot, tend, grâce à une rédaction habile, à faire attribuer à Galilée et son fils des vues théoriques qui étaient dues à Huygens: voir la p. 66 et suiv. du T. XVII („Horologium" de 1658). Huy- gens dit àbondroit(T. VII, p. 28o)que l'auteur (L. Magalotti) „nostros conatus dissimulât". AVERTISSEMENT. 6 1 de Medici '") dit e.a. que Vincenzio était occupé peu avant fa mort à „intagliar l'altra ruota dentata". La tîgure de la p. 656 du T. XIX de l'Ed. Naz. montre clairement que la moitié de la grande roue feulement eft pourvue de dents. Cette figure repré- fente fans aucun doute un inflrument réel puifqu'il en exifte une deuxième figure où il efl vu fous un autre angle"). Mais quoique l'horloge ne fïit pas achevée, l'auteur avait apparemment déjà éprouvé, en y attachant un poids moteur, le mécanilme de Téchappcment à double virgule qu'on y voit. En effet, Viviani dit: „volle il Sig.r Vincenzio che io . . vedeflï cosi per prova e più d'una volta, come pur vedde ancora il fuddctto artefice [Dom. Baleflri], la congiunta operazione del contrapefo e del pendolo". J. B. Biot qui en 1 858 prend le parti de Huygens ^) commet une étrange erreur (entièrement fans conféquence chez lui) en difant (p. 6-j7^ que Vincenzio G. a confacré„tout au plus deux mois et demi à ce travail". En effet, il vient de dire, en citant la lettre de Viviani, que Vincenzio commença fon travail en avril 1649 et qu'il mourut le 16 mai fuivant. A-t-il voulu écrire: un mois et demi ? Ce ferait encore beaucoup trop, puifque Viviani dit que Vincenzio mourut „nel giorno XXII del fuo maie". Suivant Viviani, il tomba donc malade le 25 avril. Par conféquent vingt-cinq jours au plus ont été confacrés à la conllruction de l'horloge fi le récit de \'iviani, comme nous l'admettons ici, eflabfolument conforme à la vérité i'). Monf. Drum- mond Robertfon — à qui nous avons de grandes obligations; voir les p. 38 et 546 du T. XVII — fait mention fans critique (p. <)6') des „at the mort two and a half months" de Biot. Il efl d'avis qu'en ce temps Vincenzio a pu conflruire plus d'une horloge. Mais comme tailler les roues était pour lui une „infolitafatica", il paraît peu probable qu'en vingt-cinq jours tout au plus il ait pu conftruire autre chofe que le modèle inachevé dont d'ailleurs il eil iéul queffion chez \lviani. Il efl: vrai que Viviani ajoute: „ftimava [nous foulignons] di potere in diverfa fomia e con altre invenzioni adattare il pendolo ail' oriuuolo", et que l'inventaire de fa veuve, morte en 1668, mentionne „Un Oriuolo non finito di ferro col Pendolo, prima invenzione del *) T. m, p. 8. On trouve là la figure qui fut envoyée a Boulliau. 0 T. III, p. 470 et p. 6 du Vol. XIX des „Opere di Galilée", Ed. Naz. 8) Dans son article „Deir orologio à pendolo di Galileo Galilei, dissertation de M. Eugenio Al- béri" dans le n° de novembre 1 858 du Journal des Savants (Paris, Imprimerie impériale). ') Nous ne parlons pas ici des variantes que présentent les deux exemplaires de la lettre conser\'és à Florence et à Paris; voir sur ce sujet les p. 4-0—484 du T. III et 283—284 du T. VII, ainsi que la p. 647 du T. XIX de TEd. Naz. 62 AVERTISSEMENT. Galileo". ') La queftion de lavoir 11 Vincenzio G. a conllniit un ou plufieurs oriuoli ferait importante fi l'on voulait foutenir qu'il a trouvé le temps de fabriquer, outre de grofliers modèles, une horloge à pendule exaéle et marchant bien, ce que nous ne pouvons nullement admettre '}. D'ailleurs, r„Oriuolo non finito" de l'inventaire de la veuve n'eft-elle pas préci- fément le modèle unique dont parie Viviani? Albcri le peniait '), Biot de même, et cette hypothèfe peut paraître au premier abord prefque certaine. Elle ne l'ert pour- tant pas, car, nous l'avons dit à la p. 472 du T. III, „dès 1659 un modèle, attribué à Galilei, était en polTeffion du Prince Léopold" et c'efl de ce modèle qu'il envoya la figure à Boulliau '). Or, cette figure s'accorde avec celle du T. XIX de l'Rd. Naz. comme nous l'avons dit à la p. 61 . D'autre part la figure du T. XIX s'accorde par- faitement avec la defcription détaillée qui fe trouve dans la lettre de Viviani. Quoi- qu'à Florence cette figure n'ait pas été trouvée dans la lettre *) il parait donc à peu près certain, comme on l'admet généralement, que c'efl: bien là la figure du modèle dont Viviani parle. S'il en eft ainfi, ce modèle-là était donc en 1659 en pofTeffion de ') Mentionné par .Alberi à la p. 340 du Suppl. avi T. XIV de son édition des Oeuvres de Galilée (voir la p. 38 du T. XVII et la p. 472 du T. III). =) ;\Ions. Drummond Robertson fait parler Viviani comme suit: ,,But, whiist engagedin thisun- wonted task, he [Vincenzio] was overtaken by a most acute attack of fever, and was obliged to leave it unfinished; and on tlie twenty-first day of his illness, that is, on May 16, 1649, ail the most accurate docks, together witli r/a's mat exact tiiiie-meusurcr, were by him destroyed (si guastarono) and stopped for ever; whiist he (as it pleases me to believe) passed on , to mea- sure, in the enjoyment of the Divine Essence, the moments of Eternity, that pass ail under- standing". Il ajoute: „Was it not in a moment of delirium that Vincenzio wa? drawn to this act of destruction?" On peut consulter le texte italien de Viviani aux p. 48: — 483 du T. III. Nous le traduisons comme suit: „le 12''"' jour de sa maladie, c.à.d. le 16 mai 1649, toutes les horloges plusjustes, de même que ce très exact mesureur du temps, perdirent leur valeur pour lui et s'arrêtèrent pour lui à tout jamais au moment où il passa (comme j'aime à le croire) à mesurer, dans la jouissance de Tessence divine, les moments, incompréhensibles pour nous, de l'éternité". Il n'y est donc, pensons-nous, question d'aucun délire ni d'aucune destruction d'instruments. „Ce très exact mesureur du temps" ne peut désigner grammaticalement que l'horloge inache- vée, puisqu'il vient d'être question de cette horloge-là. Nous ne croyons donc ni a la construc- tion ni à la destruction par Vincenzio G. d'une horloge à pendule achevée et véritablement exacte. 5) Voir ses lettres de mars et d'août 1659 aux p. 462 et 468 du T. III. *) Voir la p. 677 de l'article de Biot (note 8 de la p. 6 1 ) ou la p. 90 du livre de Mons. Drummond Robertson. AVERTISSEMENT. go Leopoldo. On peut trouver étrange qu'il l'attribue à Galilée père (T. III, p. 468), mais ceci pourrait s'expliquer par le fait que la lettre à BouUiau où il femble le dire ert du 2 1 août 1659, tandis que la lettre de V'iviani adrelfée à lui e(l du 20 août (T. 111, p. 4"o); en écrivant à Boulliau il venait donc de recevoir cette dernière dont les premières lignes parlent du „maraviglioro mifurator del tempo col pendolo di Galileo Galilei": il a donc pu penler en ce moment que l'inlh-ument en quellion provenait luivant Viviani de Cîaliléc père. D'ailleurs dans la lettre d'août il n'en attribue en ibmme que V invention à Galilée, et les mots „è fabricato il modello del [et non pas: dal] medefimo" ne difent pas nettement que la conpru&ion aurait eu lieu par Galilée lui même '). Il n'y a donc là aucune difficulté. Et il n'eil pas déraifonnable de liippo- 1èr qu'il ait rellitué le modèle à la veuve, de qui il doit l'avoir reçu. Quoi qu'il en ibit, ce point n'ell pas de grande importance: fi \'incenzio G. a trouvé le temps en avril 1649 de conllruire un deuxième modèle impartait, à plus forte raifon n'a-t-il pas eu celui de conftruire une horloge achevée. Viviani dit enfuite que Philippe Treffler conllruifir pour le Prince Leopoldo un compteur à roues très légères. La note 53 de la p. 483 du T. III dit que ce mécanicien s'établit à Florence en 1658, mais nous ignorons l'origine de cette date apparemment inexafte: Monf. Drummond Robertfon cite à la p. 102 de fon livre une pièce qui prouve que Treffler était déjà en 1656 horloger de fon Alteiïe. Ce compteur fut, paraît-il, conllruit en ou vers 1655, puifque Viviani ajoute qu'en ce temps, favoir 14 ans après le moment où Galilée propolh d'appliquer le pendule aux horloges, Fr. Generini conilruifit pour le Prince un modèle de fer dans lequel „era unito al pendolo il contrappefo". Il dit enfin „che Filippo foprannominato adattb la 'nvenzione ad un oriuuolo da caméra per Sua Altezza etc."; malheureufemment il ne dit pas — ce qui ell le point important dans la quellion de priorité — fi cette con- ftruftion d'horloges à pendule par Treffler ~ les premières horloges de ce genre conftruites à Florence qui aient marché — eut Heu avant ou après que le Grand-duc Ferdinando, frère de Leopoldo, eut reçu en 1657 l'horloge de Coller, dont il ell 5) En mars 1659 (T. III, p. 462) Leopoldo parlait d'„un modello tatto dal medesimo Signore Galileo", et il semble bien qu'il parle du même modèle. En ce moment il n'était nullement au courant de la marche exacte des événements puisqu'il s'imaginait que Galilée avait construit une horloge à pendule et à poids moteur pour les Etats de Hollande. C'est précisément parce qu'il ne se sentait pas au courant qu'il demanda à Viviani d'écrire une relation exacte. 64 AVERTISSEMENT. queftion dans la première note de la p. 38 du T. XVII et que Viviani femble ne pas avoir connue. D'après Leopoldo écrivant en mai 1659 (T. III, p. 464) ce fut pour Ferdinanâo que le „virtuofo" [Treffler?] conftruilit „tre anni ibno" un „oriuuolo rozzamente fatto". C'cfl: de cette horloge qu'il elî aulli queltion dans la lettre de Leopoldo de mars 1659 (T. III, p. 462); on y trouve également l'exprefllon „tre anni fono". Si cette exprelFion eft littéralement exafte, le „virtuoro" avait conftruit en 1656 pour Ferdinando une horloge à pendule „rozzamente fatto", mais qui pou- vait marcher. On nous permettra d'ajouter que lors même que cette conflruftion n'aurait eu lieu que dans la deuxième moitié de 165-, après que Ferdinando eut reçu l'horloge de Coller, elle aurait cependant été antérieure d'un an à la publication de feptembre 1658 de r„Horologium" de Muygens et aurait pu pafTer pour ceux qui la voyaient fans connaître celle de Cofter pour une invention originale faite à Florence. Obfervons encore qu'il n'y a aucune raifon pour admettre que les horloges de Treffler aient été pourvues de l'échappement à deux virgules du modèle de Vincenzio, puifque Viviani dit que le modèle de Generini dont Treffler s'infpira ') était „con diverfa e molto ingegnofa applicazione". Leopoldo dit en mai 1659 C- ^J^-> P- 464)5 après avoir vu la figure de r„Horologium" de 1658 de Huygcns, que le „virtuofo tre anni fono ne inventé un fimile [nous foulignons] ^)". Il ne faut fans doute pas attacher trop d'importance à ce mot. Mais alors, pourquoi attribuer une valeur abfolue à l'exprefllon „tre anni fono"? D'ailleurs il n'eCl: pas abfolumcnt impoffible qu'en difant „tre anni fono" Leopoldo entende parler de 1657, puifque 1657, 1658 et 1659 (ont trois années; de même que Huygens dit au début de l'Hor. ofc": „Annus agitur fcxtus decimus . . ." quoi- que l'intervalle entre la publication de r„Horologium" (fept. 1658) et celle de r„Hor. ofc." (avril 1 673) ne foit que de quatorze ans et demi. Vivi ani(voir la p. 44 1 qui fuit) écrit en 1674 que r„Hor. ofc." a paru „due anni fono". Il mérite en outre d'être remarqué que Leopoldo dans la lettre d'août 1659 (T. III, p. 468) dit qu'on a envoyé de Florence au Roi de Pologne, qui ne croyait pas que „mio Signore e iratello haveffe appreffb di fe taie invenzione" une horloge à pendule fabriquée en Hollande, fans doute de Cofter ou d'un de fes collaborateurs 3). ') L'horloge achevée de Generini fabriquée „alcuni anni sono" dont Leopoldo parle en août 1659 (T. III, p. 468) était apparemment autre chose. -) D'après Leopoldo (1. c.) le„simile" et r„Oriuuolo rozzamente fatto" étaient deux objets diffé- rents. AVERTISSEMENT. 65 Somme toute, il femble impolîible d'arriver à une conclulion certaine +). D'ailleurs, cette quellion de priorité n'eft pas énormément importante. Ce qui paraît certain, c'ell que, li ime véritable horloirc à pendule a été conftruite avant juin 1657 par un horloger travaillant pour l'un ou l'autre Grand-duc, Huygens ne lefavait point et qu'en Italie même on l'ignorait généralement '}; comparez le premier alinéa de la note 5 de la p. 37 du T. XVII "). D'autre part, il efl ublblument pollible, comme le dit Viviani, que Galilée, frappé de cécité, ait eu peu a\'ant la mort l'idée d'adapter le pendule aux horloges; l'affir- mation contraire de la note 2 de p. 28 1 du T. VII ne fait aucune impreffion fur nous. Ce qui refte évidemment douteux c'ell: — comme le dit aufli Biot — fi l'échappement à double virgule, que nous avons défigné à la p. 39 du T. XVII par l'exprelTion „échappement de Galilée", comme on en a l'habitude, a réellement été conçu par lui. Quant à la remarque pathétique de la note 3 de la p. 281 du T. \'II fur la difpa- rition du modèle de X'incenzio „qui aurait dû être d'un prix inelHmable aux yeux du Prince Léopold", nous n'y attachons aucune valeur, aufli peu qu'à la conclufion de la même note (p. 282) que „Viviani s'efl: laifle égarer lorfqu'il affinne avoir vu mar- cher la machine". Sans doute, le modèle de 1649 "^ marchait pas, mais Viviani fe contente de dire qu'il l'a vu fonftionner ,,per prova", un poids moteur y ayant été attaché. On ne peut raifonnablcment parler (T. Vit, p. 286) dc„rimpoflibilitédcla marche de l'inftrument", ce que Huygens lui-même (voir fa lettre de janvier 1660 à la p. 12 du T. III} ne lait point ■'}. Nous avons dit à la p. 39 du T. XVII que r„échappement de Galilée" peut être confidéré comme le précurfeur de l'échappement à ancre, inventé, h ce qu'il paraît, en Angleterre. En eftét, l'origine de l'échappement à ancre, comme de beaucoup 5) T. XVII, note 2 de la p. 12. "*) Comparez encore la note i de la p. 90 qui suit. 5) Suivant Leopoldo lui-même (lettre de mai 1659, T. III, p. 464) les deux instruments dont il est question dans la note 2 n'étaient pas en bon état peu de tempsavant qu'il écrivit cette lettre: l'„Oriuuolo rozzamente fatto" dut être „di nuovo esperimentato". *) Rien n'indique aussi que l'horloge à balancier en forme de pendule de Camerini portant la date 1656 que nous avons mentionnée à la p. 60 ait été généralement connue, soit en Italie soit ail- leurs. Comparez la note 4 de la p. 13 du T. XVII. ') On peut voir, tant à Florence que dans le „Science Muséum" de Londres, un modèle, con- struit d'après la figure correspondant au texte de la lettre de Viviani, mis en mouvement par un ressort spiral et marchant fort bien. 9 66 AVERTISSEMENT. d'nutres inventions, ne peut être déterminée avec une certitude abfolue. On trouvera plus loin dans le prélent Tome une courte Pièce fur ce fujet. On peut encore le demander, principalement en ayant égard à un des croquis mentionnés de L. da Vinci, s'il y a eu, avant Huygcns, des horloges publiques à pendule, ce dont il n'exille, paraît-il, aucune preuve. La queftion fe pofc même pour les Pays-Bas. On a \-u à la p. -y du T. XVII que nous n'avons pas réufli h démontrer que l'horloge de 1652 de la cathédrale d'Anihem n'avait pas de pendule. Il femble toutefois extrêmement improbable, queii des horloges publiques de ce genre avaient exillé en Néerlande avant 1658, les horlogers qui attaquèrent Huygens en cette an- née (p. 82 — 83 du T. XVII) n'en auraient rien dit. Ils parailTent aulii n'avoir connu aucune horloge publique à pendule à l'étranger. Uargumentim? ex fi/enfio a\c\hcM\- coup de force. D. Horloges à pendule conique. On a prétendu que l'horloge publique d'Ofnabrïick de la fin du feizième fiècle a probablement été une horloge à pendule conique '). Ceci eft incertain, puifque nous n'avons fur cette horloge d'autre renfeignement que celui fourni par le texte cité dans la note i . Les hiftoriens ne mentionnent , croyons-nous, aucune autre horloge conique qui aurait été conftruite avant les jours de Huygens. R. Hooke exhiba en 1666 une horloge à pendule conique dans une féance de la „Royal Society" (T. VII, p. 304). Voir encore fur ce fujet la note 13 de la p. 337 du T. VII ainfi que la lettre de Huj'gens à ion père d'août 1674 (T. VII, p. 390). Confultez aulfi l'Appendice II h la Pars Quinta qui fuit. ') Veltman à trouvé une description manuscrite de 1587 de Jost Bodelier, vicaire du dôme d'Os- nabrûck, de l'horloge construite par lui pour ce dôme; il Ta publiée en 1890 dans le T. XV des „Mitteilungen des historischen Vereins zu Osnabrijck" dans son article: „Handschriftliche Aufzeichnungen iiber einige altc, jetzt verscliwundene Ulirwerke der Stadt Osnabriick". Ce travail est cité par l'^. Bassermann-Jordan dans sa „Gescliichte der Râderuliren" de 1905 (p. 43 et suiv.). Il est question dans le manuscrit d'un „gulden Sterne oben in dem Cronament, wel- cher mit seinem umblaufFen [ailleurs: „mitseinem schnellen umblauffen"] so viel ausrichten kan, als der unrast invvendig im wercke, und ist an statt der unrast, etc.". Le balancier n'était pas absent, car Bodeker qui vante la nouveauté de son invention ajoute qu'on peut faire fonctionner à volonté ou bien le baiancier ou bien l'étoile. Veltman émet l'hypothèse qu'il s'agit d'un pendule conique et Bassermann-Jordan se déclare d'accord avec lui. AVERTISSEMENT. 6? Aucune horloge à pendule conique de ce temps, croyons-nous, n'aétéconfervée. Apparemment ces horloges n'ont jamais été en vogue. Nous indiquons en marge les pages de l'édition originale de 1 6-3 de r„llor. oie.". La Bibliothèque de l'Univerlité de Leiden pofTède l'exemplaire de Huygens (compa- rez la note 3 de la p. yi qui fuit), oîi celui-ci a corrigé plufieurs fautes d'imprellion et introduit dans le texte quelques autres modifications, 's GraveCande dans fon édition de 1724 a tenu compte de ces remarques, dont quelques-unes ie rapportent à cer- taines figures légèrement défeftueulcs. Nous reproduirons ici les figures de 's Grave- lande, qui, fauf ces correftions, s'accordent avec les figures originales; a cela près que celles qui représentent des inllruments ou plus généralement des corps ont été om- brées dans les éditions de 1724 et de 1751. é1 CHRISTIANI H V G E N I I ZVLICHEMII, CONST F HOROLOGIVM OSCILLATORIVM SI VE DE MOTV PENDVLORVM AD HOROLOGIA APTATO DEMONSTRATIONES GEOMETRICit ^im PARISIIS, Apud F. Muguet. Régis & Illurtrifllmi Archicpifcopi Typographum vu Cithara:, ad inCgne crium Regum. "^ ^ ^ ' M D C L X X 1 1 1. CrM TRIPLE CIO REGIS. [Fig. .-.] Ce livre eft divifé en cinq parties dont La première contient la defcription de l'horloge à pendule, La deuxième traite de la chute des corps pefants et de leur mouvement en une ligne cycloïde, La troiiième de l'évolution et de la dimenlion des lignes courbes, La quatrième du centre d'ofcillation ou d'agitation, tandis que La cinquième contient la figure d'une horloge autrement conltruite où le mouve- ment du pendule eft circulaire, et les théorèmes fur la force centrifuge. -y^ Dividitur liber hic in partes quinque, quarum Prima Defcriptionem Horologii Oscillatorii continct. Secunda agit de Defcenfu grayium, & motu eorum in Cycloide. Tertia de Evoliit'ione & Dhnenfione Uncarum curvarum. Quartade Centra Ofcillaùonis feu Agitaûonis. Quinta alterius Horologii conffrtiBionem ^ in quo circularis eft penduli motus, ex- hibet, & Theoremata de Fi Centrifuga. lO A LOUIS XIV LE GRAND ROI DE FRANCE ET DE NAVARRE. C'eft principalement à la France, Grand Roi, que nous devons la renaiffance et le rétabliflement en ce fiècle de la Géométrie: ici naquirent ceux qui les pre- miers renouvelèrent et rappelèrent à la vie, en y confa- crant une grande, et la meilleure, partie de leurs forces, cette fcience oubliée et pour ainfi dire enfevelie. Suivant leurs traces des hommes fort ingénieux, partout en Eu- rope, la développèrent enfuite avec un tel fuccès que peu de chofes, femble-t-il, ont été laiffées à découvrir aux générations futures, tandis que les réfultats obtenus par les anciens ont été dépalTés de beaucoup. Dans cette fcience que j'ai toujours beaucoup admirée et aimée, je me fuis propofé furtout, toutes les fois que je m'y adon- nai, la confidération de problèmes dont la folution ferait utile foit pour la commodité de la vie foit pour la con- naiffance de la nature. Mais c'eft lorfque je tombais fur des fujets où l'utilité était unie à une difficulté de les tirer au clair qui exigeait des raifonnements fubtils que LVDOVICO XIV, francitî: et navarrtE REGI INCLYTO. EN AT AM,Rex maxime, reftitutam- que hoc feculo Geometriam, Gallise praecipue debemus. Hinc enim orti, qui magna meliorique fuipartedcper- ditam, ac veluti fepultam, inftaura- runt primi, & in lucem reduxerunt. Quorum veftigiis infiftentes, ita eam deinde, per totam Europam, excoluere viri fubtiliiïimi, ut pauca jam pofterorum induftrin^ ab his relida videan- tur; veterum vero inventa longiffime pr^terveéti fmt. In hac fcientia, quam femper admiratus fum & amavi plurimum, quandocunque ad eam animum applicui, illa mihi pr^ ca^teris propofui inveftiganda, qua? vel ad vita? commoda, vel ad Naturce cognitionem, reperta prodefTe poffent. Tune verô optimè operam me collocaire exifti- mavi, cum in ea incidiflem, in quibus utilitas cuminve- -6 j'avais rimprciîion de m'y appliquer le plus avantageufe- mcnt. Et s'il eft permis de joindre au prcfent don quel- que recommandation afin qu'il ne parailTe pas tout-à-fait indigne de Ta grandeur, j'ofe dire n'avoir nulle part eu mieux l'occafion de tendre avec fuccès vers le double but dont je parlais que dans le cas de l'invention de mon Horloge. En effet, comme il s'agit d'une part d'une in- vention mécanique, mais que de l'autre, et de beaucoup la plus importante, c'eft une conftruction bafée fur des principes géométriques, il faut fa voir qu'en cette der- nière qualité elle exigeait le recours nullement aifé aux artifices les plus abfi:raits de l'art, de forte que parmi tous les fujets auxquels j'ai voué jufqu'ici une étude tant foit peu profonde, j'attribue fans héfiter la première place à cette fpéculation-ci. Quant à l'utilité de mon invention, il n'efi: pas néces- faire, Puiffant Roi, que je me ferve de beaucoup de pa- roles pour la faire voir. En effet, non feulement Tu as pu conftater par une expérience journalière, depuis que mes pendules ont mérité d'être reçues dans les apparte- ments intimes de Ton palais'), de combien elles furpas- fent les autres horloges, mais de plus Tu n'ignores pas les ufages plus fpéciaux auxquels je les defi:inais dès le commencement. Je veux parler des fervices qu'elles peuvent rendre tant dans les obfervations céleftes que dans la mefure des longitudes des différents lieux par lesnavigateurs. En effet, fuivantTes ordres nos Horloges ont été envoj'ées par mer plus d'une fois; d'autre part on en peut voir un alfez grand nombre deltinées à l'ufage 77_ nicndi dilFicultate, ac fubtilitatc aliqua, conjunéta foret. Quod fi commcndationis nonnihil acccrfcrc miincri nos- tro permittitur, ne prorflis indignum tua magnitudine apparcat; non alias felicius, qiiam in hoc Horologii in- vento, utrumqiie illud me confècutum cfTe profiteor. Etenim, cum ex parte mechanicum fit inventum; ex parte altéra, eaque multo pra,^cipua, geometricis principiis conllet; id quod ad hanc") attinet, non levi conamine, ex intimis artis receflibus petendum fuit: adeo quidem, ut inter omnia, qua^ impenfiorefiudiohaétenuspertracta- verim, haud dubie primum huic fpeculationi locum tri- buam. Qucenam vero in his fit utilitas, non eft quod multis, Rex potentiifime, oftendere tibi laborem. Non folum enim diutinâ experientid compertum habes, ex quo regice tu^e penetralibus recipi meruere Automata noitra'), quantum, a^quabili horarum demonfiratione, ca^teris hujufmodi machinationibus excellant: fed & po- tiores ufus eorum, quibufque jam inde à principio mihi deftinata fuere, non ignoras. Illos fcilicet, quos & in C^leilium obfervationibus, & in Longitudinibus loco- rum inter navigandum dimetiendis, prîefi:are apta funt. Tuo enim jufiu, non femel, per mare veéta fuere Horo- logia nofi:ra.Tuis aufpiciis eadem necpauca, Afiironomise ') L'édition originale a „ad posteriorem hanc", mais le mot „posteriorem" a été biffé par Huygens. °) Voir le dernier alinéa de la p. 103 du T. XVII. 78 des aftronomes et placées fous Tes aufpices dans ce mer- veilleux Obfervatoire que Tu as récemment fait con- ftruire avec une libéralité infigne et furpaffant celle de tout autre roi. Toutes les fois que je réfléchis à ces chofes, je me félicite hautement du bonheur qui m'efl: échu de faire cette invention dans le temps de Ton règne. Perfonne, fâchant combien cette invention Te doit, ne demandera donc, me femble-t-il, pour quelle raifon j'ai cru devoir vouer à Ton augufte nom les spéculations qui contiennent la théorie et la defcription de mon in- ftrument. Or, on trouvera encore bien plus naturel que je Te dédie ces pages lorfqu'on aura appris que c'efl: grâce à Ta magnificence que je jouis du loifir de méditer tranquillement fur ce fujet ainfi que fur d'autres. En effet, il me fallait d'une part faire voir dans une certaine meilire l'utilité de ce loifir et d'autre part témoigner quelque reconnaiffance pour Tes nombreux et continuels bien- faits. Je fais bien que. Te vouant aux grandes affaires, celles dont il con\'ient à un homme fi haut placé de s' occuper. Tu n'es nullement libre, quelle que foit la ca- pacité de Ton efprit, de fixer Ton attention furdesfpé- culationsdecegenre. Toutefois j'ofepenfer. Grand Roi, que ceci ne T'empêchera nullement d'accepter mon don avec quelque plaifir et d'approuver mes efforts, puifque nous voyons que ce qui Te plaît le mieux c'efl: ce qui a le plus d'utifité pubhque, et que Tu ne fouhaites rien davantage que de faire prendre un grand effor aux meil- leures fciences, de les voir s'enrichir par de nouvelles découvertes. Ceci en effet eft abondamment prouvé par 79 ufibiis dicata, vifuntur in prccclara illa Urania? arcc,quam infigni niipcr magnificentia, quantaque antchac regum nemo, cxaxiificandam curalli. Qua? quotics mccum repu- to, toties de fortuna hujus invcnti, quod in tua tcmpora incidcnt,nonparunimihigratulanibleo.Nccjamrcquiret quilquam, opinor, qui quantum tibiilluddebeatintclli- get, cur lucubrationes lias, quibus rationem ejus omnem dcfcriptionemquc explicui, augulto Nomini tuo infcri- bendasduxerim. Ac minus etiam id mirabitur, qui mihi, ad ha.^c atquc alia meditanda, tranquillum otium bcnigni- tate tua contigllFe didicerit. Namque & hujus, ut mihi aliquatcnus apud te ratio conftaret, adnitendum erat; & quoquo modo conandum, ut, multis continuilque à te beneficiis afFeétus, nonnulla grati animi fignificatione defungercr. Scio equidem, rébus maximis, negotiifque iis intento, qua: in illo rerum faftigio pofitum agitare convenit, haudquaquam tibi libcrum effe, ut ad hujus- modi contemplationes animum, alioqui rerum omnium capacem, advertas. Sed non ideo minus grata ha?c fore, minusve tibi probatum iri arbitror, Rex augulliffime; cui illa maxime placere videmus, qu^ plurimum publiée profijnt; neque aliud magis cur^e effe, quam ut nova incrementa fumant optim.T difciplinae,novifque illuftren- 8o cette grande et extraordinaire libéralité avec laquelle Tu protèges ces fciences et ceux qui y excellent; libéralité que les très grands frais des guerres, bien qu'ils furpaflent énormément les dépenfes ordinaires, ne diminuent en rien et que les confins de la France, Ton royaume, ne limitent point. Ce qui prouve clairement que Ton but n'elt pas leulcment d'augmenter le bonheur de ceux qui vivent fous Ta domination, mais encore de rendre le monde entier, partout où il fe montre digne de Tes bien- faits, plus lavant, plus civilifé, plus heureux. Peut-être les monuments littéraires tels que celui-ci contribueront- ils eux auiïi quelque chofe à cette gloire, qui eft Ta gloire la plus véritable et la plus haute: ils pourront fans doute, tout en démontrant à la poftérité qu'en ce temps les études et les arts fleuriffaient, lui faire voir que cette floraifon efl due avant toutes chofes à Ta fageffe et Ta grandeur d'âme. 8i tur inventis. Hoc enim fatis déclarât cximia illa tua, ac fingularis, tiiin in iprispromovcndis,tiiminhisqiiicogni- tionc earum pra:minent remunerandis, libcralitas. Quam non immcnla^, ac fblito majores, bellorum impenfce quid- quam imminuunt: non Galli^e tua.- fines circunfcribunt. Ut plane te hoc agere appareat, quo non folum fub im- pcrio tuo viventes, fed & Orbis univerfus, quacunque beneficio tuo dignus eft, te régnante, eruditior, ornatior, feliciorevadat.Cuiveriiïima^pra^clariirimaîquegloria^tu^, ita aliquid fortaiîe etiam ha^c literaria monumenta con- ducent; ut, fi viguille hoc tempore fludia ifta, artefque, pofteris teftari poiïint, fimul illos edoceant, tua^hocvir- tuti, atque animi magnitudini, ante omnia acceptum ferendum effe. Lutetia_- Parifiorum; XXV. Mart. A. CIDIOCLXXIII. 1 1 HADRIANI VALLII DAPHNIS, ECLOGA. Ad Chriftianum Hugenitim Zulichemium Conflanfmi Z'. '). FiNiTiML'M rutela, fimul jucunda voluptas, Dileftœ Phœbo, Sceverinides Oceaninje; Hune quoque Pierium mihi fortunate laborem: Pervigilem noftera quo carminé duxerit Ancon 5 Navita, dicemus: veftro fie gurgite numquam Pan lavec, aut turpes inceftent jequora Fauni. Te, qiiem Fania vehic fuper aurea fidera curru. Ne pigcac nobis aurem prœberc faventem, HuGENiDE, deciis Hugenidiim, fratrumque patrifque: lo Haud indigna cuo fcrimus donaria Icnfu, Sicelifin apcata modis à vate Batavo Mixta Pala'phatio commenta Solenfia -) vcrfu, Teqiie intertextum tuaque pr^eclara reperta. Jam caput Oceano, ftipata minoribus aftris, 1 5 Extulerat , radijs fratemis semula Phœbe 3) , 32 Fcrt radians îether, vultus formafque natantum*). LES HUIT DERNIERS VERS DU POEME ONT ÉTÉ CHANGÉS ') EN: Haec Ancon: mihi vifa tibi qua; digiia referri, 25o*)HuGENrDE, decus Hugenidum, cui fidera curae, Nec Phœbum ac Pimplœ fas efl: contemnere Divas, Queis tua tota domus, fratres, genitorque dicati. Sic neque te faciès peregrini terreat aClri, Idemve anne alius varie fulgorc comètes. A. CIODCLXV. ') Voir sur l'Eclogue de Vallius (T. V, p. 292 — 298) les p. 296! 34de l'Avertissement qui précè- de. On remarquera que les vs. 5 — 6 ont été modifiés conformément aux „mutanda" de la p. DAPHNIS ECLOGA. 83 299 du T. V, et que de plus les vs. 9 — 10 ainsi que les vs, 1 1 — 12 du texte original ont été in- tervertis. =) Voir la note 5 de la p. 31. Les. vs. 56 — 57 (1. 10 — 9 d'en bas de la p. 293 du T. V) rappellent le début des «hatvo^/.îva zai Aioffrijoista d'Aratos. 3) Nous avons déjà dit à la p. 30 que Vallius s'inspire en grande partie de Virgile. Comme celui-ci — et comme Homère — il considère, dans la longue partie mythologique de son poème, le ciel comme une voiîte d'azur recouvrant la terre plate entourée de toutes parts par l'Oceanus. C'est de l'Oceanus que sortent, en se levant, la lune et les autres astres; comparez avec les vs. 14 — 15 les vs. 589 — 591 du Livre VIII de l'Enéide. Le vs. 35 (1. 1 1 de la p. 293 du T. V) et les vs. 169 — 172 (1. 22 — 25 de la p. 296) contien- nent une allusion à la découverte de Mira Ceti par l'astronome hollandais J. F. Hohvarda; comparez sur ce sujet la p. 293 du T. IIL Dans les vs. 173 — 182 dont nous avons parlé à la p. 34 Vallius donne, sous la forme poéti- que qui dispense de toute exactitude historique, un aperçu rapide du développement de l'astro- nomie depuis des temps fort anciens jusqu'aux jours de Huygens, et les vs. 183 — 221 (se ter- minant à la 1. 9 d'en bas de la p. 297 du T. V) célèbrent ce dernier comme celui à qui était réservé, après le „primus Batavus" et Galilée, le „sollertior usus" de la lunette, partant la dé- couverte d'un satellite de Saturne et de la véritable forme de cette planète, ainsi que l'invention de l'horloge à pendule capable e.a. de diriger les „Labyrintheos cursus" des navigateurs. Enfin l'apparition d'une comète donne à Ancon, ou Vallius, l'occasion de faire allusion aux observa- tions de Huygens sur ce sujet. "*) Forme modifiée du vs. 32, non indiquée à la p. 299 du T. V. 5) Modification non indiquée dans le T. V. *) C'est le vs. 253 du poème dans l'édition de 1673. Notons encore que dans la 1. 4 d'en bas de la p. 297 du T. V „cavasque" est une faute d'im- pression pour „carasque". PRIVILEGE DV ROY LOUIS par la grave de Dieu de Roy de France & de Navarre: A nos amez & féaux Conieillers, tcnans nous Cours de Parlement, Maiftres des Requcftres ordinaires de nollre Hoftel, Baillifs, Senefchaux, Prevolls, leurs Licutenans, & tous autres Jufticicrs & Officiers qu'il appartiendra. Salut. Noflre cher & bien amé Fran- çois Muguet nolfre Imprimeur ordinaire. Nous a tres-humblcment fait remontrer qui'il luy auroit elle mis es mains un Livre intitulé, Chriftiani Hugenïï ZuUchemii Coiifî. F. Horologium OfcUlatoriiiw , feu de motu Pendnlonim ad horologm apîato âemonftraùones Geometr'ica; ^ qu'il defireroit donner au public s'il Nous plaifoit luy en accorder la permiflïon, humblement requérant icelle, À CES CAUSES voulant favorablement traiter l'Expofant, Nous luy avons permis & accordé, permettons & accordons par ces prcfents d'imprimer ou faire imprimer ledit Livre en telle forme, caraélere, volume, & autant de fois que bon luy iemblcra, durant le temps de fix années entières & confccutives, à commencer du jour qu'il fera achevé d'imprimer pour la première fois, faifant tres-expreffes dé fenfes à toutes pcrfonnes de quelque qualité & condition qu'elles foient, de l'imprimer ou faire imprimer, vendre my dé- biter durant ledit temps en aucun lieu de noilre Royaume, fans le contentement de l'Expofant, ou de ceux qui auront droit de luy, fous quelque prétexte que ce foit, à peine de quinze cens livres d'amende appHcable, un tiers à Nous, un tiers à l'Hôpital General de noflre ville de Paris, & l'autre tiers à l'Expofant, de confifcation des exemplaires contrefaits, & de tous dépens, dommages & interefls, à la charge qu'il en fera mis deux exemplaires en noflre Biblioteque ordinaire, un en celle du cabinet de noftre Louvre, & un autre en celle de noftre amé & féal Garde des Sceaux le fieur Dahgre. SI vous mandons que du contenu en ces prefentes vous faffiez jouir & ufer l'Expofant, & ceux qui auront droit de luy pleinement & paifiblemcnt, ceiïant à fàiffant celTer tous troubles & empcchcmens au contraire, voulans qu'en inférant ces prefentes ou extrait d'iccllcs en chacun des exemplaires, elles ibicnt tenues pour bien & deuëment fignifiées. Commandons au premier noftre Huilfier ou Sergent fur ce requis, faire pour l'exécution des prefentes tous exploits à ce nccefTaires. Car tel eft noflre plaifir. Donné à Verfailles le dernier jour de Septembre l'an de grâce mil fix cens foixante-douze. Et de noflre Regnele trentième. Signé , LOUIS. Par le Roy, Colbert. Regifîré fur le Livre de la Communauté des Marchands Libraires &' Impri- meurs de Paris, le 4. Novembre 1672. fuivant VArreft du Parlement du 8. Avril 1653, ^ celui du Confeil Prive du Roy du 27. Février mil fix cens foixante-cinq. Signé, D. Thierry, Syndic. Achevé d'imprimer pour la première fois le premier jour d'Avril 1 673. Les Exemplaires ont efté fournis. L'HORLOGE A PENDULE ou DÉMONSTRATIONS GÉOMÉTRIQUES SUR LE MOUVEMENTDESPENDULESADAPTÉAUXHORLOGES PAR CHRISTIAN HUYGENS DE ZUYLICHEM, 'FILS DE CONSTANTYN. Quinze années fe font écoulées ') depuis celle où nous avons fait connaître par la publication d'une brochure ') la conilruftion des horloges que nous avions récemment inventée à cette époque. Attendu que depuis ce temps nous avons trouvé plufieurs chofes qui regardent la perfefliion de cet ouvrage , nous nous fommes réfolus à les expliquer en particulier dans ce livre-ci. Ces chofes font fi intimement liées à la perfeétion de cette invention qu'elles peu- vent être confidérécs comme la principale partie et pour ainfi dire le fondement, qui y manquait auparavant , de tout ce mécanifme. En effet , le pendule fimplc ne poffédait pasdemefure du temps certaine et égale, puifqu'on obferve que les plus larges mou- vements font plus tardifs que les plus étroits; or, nous avons trouvé par le moyen de la géométrie une façon différente, inconnue jufqu'ici, de fufpendre ce pendule: nous avons découvert une ligne poffédant une courbure telle qu'elle fe prête d'une façon entièrement admirable à lui donner l'égalité déiirce. Depuis notre application de cette ligne aux horloges leur mouvement efl devenu (i conilant et fi certain qu'enfuite de plufieurs expériences faites par terre et par mer il efl: maintenant manifefte que ces horloges font très utiles et à l'aflronomie et à l'art de naviguer. C'eft cette ligne que ') Comparez le deuxième alinéa de la p. 64 qui précède. CHRISTIANI HVGENII ZVLICHEMII, CONST. F. HOROLOGIVM OSCILLATORIVM, SIVE DE MOTV PENDVLORVM AD HOROLOGIA APTATO DEMONSTRATIONES GEOMETRIC^. (A >)• ; NNUS agitur fextus decimus '} ex quo fabricam horologio- nim, tune recens à nobisinventorum, edito libello publicam fecimus -). Ab illo vero tempore cùm mulca invenerimus ad perfeftionem operis fpedantia, vifum ell ea fingula hoc ;libro exponcre. Qux quidem adeo ad perfectionem ejus invcnti pertinent, ut potiffima ejus pars cenferi poffint, ac velut fundamentum totius mechanica; hujus, quo prlusde- ' llituta erat. Menfura enim teniporis certa atque œqualis, pendule finiplici naturâ non inerat , cum latiores excurfus anguftioribus tardiores ob- ferventur; fed geometria duce diverfam ab ea, ignotamque antea penduli fufpenfionem reperimus, animadverla lineje cujusdam curvatura, quœ ad optatam sequalitatem illi conciliandam mirabili plané ratione coniparata efl. Quam portquam | horologiis adhi- (/.. 2). buimus, tam conftans certusque eorum motus evafit, ut pofl; crebra expérimenta terra manque capta, manifeftum jam fit & Aftronomia? ftudiis & arti Nanties plurimùm in ^) L'„Horologium" de 1658. 88 l'horloge À PENDULE. 1673- décrit en l'air par fa circonvolution continuelle un clou attaché à une roue courante. Les géomètres de notre temps l'ont appelée cycloïde et l'ont examinée avec foin à caufe de fes divcrfes autres propriétés. Quant à nous, nous l'avons confidérée à caufe de cette faculté dont nous parlions, favoir celle de mefurer le temps, laquelle nous y avons trouvée fans en avoir le moindre foupçon , rien qu'en raifonnant fuivant les méthodes de l'art. Ayant depuis longtemps fait connaître cette propriété à quel- ques amis verfés en ces matières (car c'efl: peu de temps après la première édition de l'horloge que nous l'avons aperçue), nous la propofons maintenant à lire à tous con- firmée par la démonllration la plus exafte que nous ayons pu trouver. Ainfi ce fera en cette démonllration que confiilera la principale partie de ce livre. Pour la donner, il a été néceffaire tout d'abord de corroborer et d'amplifier la doftrine du grand Galilée touchant la chute des corps graves, doétrine dont le fruit le plus fouhaité et pour ainfi dire le fommet le plus élevé efl: précifément la propriété de la cycloïde que nous avons découverte. Au rede, afin qu'on pût rapporter cette propriété àl'ufage des pendules, il nousa fallu établir une nouvelle théorie des lignes courbes, favoir la théorie des courbes qui par leur évolution en engendrent d'autres. Ceci conduit à la comparaifon de la lon- gueur des lignes courbes et des lignes droites entre elles que j'ai pourfuivie même au-delà de ce que mon fujet demandait: je l'ai fait à caufe de la beauté et de la nou- veauté apparentes de cette théorie. Pour expliquer la nature du pendule compofé, dont je démontre l'utilité dans la conitruftion de ces automates, il a été nécefiaire d'y ajouter enfuite la théorie des centres d'ofcillation, dont plufieurs fe font occupés jufqu'ici fans beaucoup de fuccès; ou y trouvera, fi je ne me trompe, quantité de propofitions remarquables relatives à des figures linéaires, planes et folides. IMais devant toutes ces chofes je mets la conflruftion mécanique de l'horloge, et l'application du pendule, dans la forme qu'on a trouvée la plus propre aux ufages aftronomiques et à rinfl:ar de laquelle on peut facilement fabriquer toutes les autres, en y apportant les changements nécefiaires. Or, parce qu'il efl; arrivé dans le beau fuccès de cette invention ce qui arrive or- dinairement, et ce que j'avais prédit, favoir que plufieurs défireraient en être les au- teurs, ou bien qu'ils voudraient attribuer cet honneur non pas à eux-mêmes mais du moins à quelqu'un de leur nation plutôt qu'à nous, je fuis d'avis qu'à la fin il y a lieu de faire ftce l\ leurs eiforts iniques. Et véritablement, il ne fera guère nécefl^airc de HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 89 iis ciïe prx'fidii. Hœc ca cft lineaquamdcfixusincirciimferentiacurrentisrotîeclavus, continua circumvohitionc, in aëre defignac; à Gcomecris noftri a:vi cycloidisnomine donata, & ob alias militas fui proprietates dilie;cntcr cxpenfa; à nobis vcrb propter cam quani diximiis nicnfurandi tcmporis faciiltatcm, quani nihil talc fufpicantcs, ac tantùm artis velligiis infillcntcs, ineffe ip(i coniperimus. I lanc ciim jam pridcm amicishorum intelligcntibus notam fecerimus (nam non multo poft primam horologii cditioncm animadvcrfa iliit) nunc eandem, dcinonftratione quàm potuimus accuratiflima firma- tam, omnibus Icgendam proponimus. Itaque in hac tradcnda dcmonilratione potiflî- ma pars hujus libri verfabitur. Ubi primîim ncccfTc fuit novisnonnullisdemonftratio- nibus llabilirc & promovcrc ulterius viri maximi Galilci de defcenfu gravium doclri- nam, cujus fruftus defidcratiflimus, atquc apex vcluti fummus, ha.'c ipfa quam inve- nimus cycloidis ert proprietas. Quse porro ut ad pendulorum ufum aptari pofTet, nova curvarum linearum confi- deratio adhibenda fuit, earum fcilicet quœ fui evolutione alias curvas générant. Unde comparatio intcr le longitudinis curvarum cum rcctis nafcitur, quam ulterius etiara quam prœfens necedîtas poftulabat prolecutus fum, propter theoria.% ut mihi vifum efl:, elegantiam & novitatem. Cîeterîim ad explicandam Penduli Compofiti naturam, cujus utilitatem in conftruc- tione horum automatôn demonftro, adjungenda fuit Centrorum Ofcillationis con- templatio, à pluribus quidcm, fed minus féliciter, haftenus tentata; in qua theoremata complura animadvcrlione, ni fallor, digna reperientur, ad figuras lineares, planas, folidasque pertinentia. Ante ha;c omnia vero prsmittitur ipfa horologii mechanica conftrud:io,penduliqueapplicatio, ed forma quîe ad ufus allronomicos aptiffima re- perta eft, ad cujus inftar reliquse omnes, rautatis quœ opus eft, facile ordinari poffint. Quia vero contigit egregio hujus inventi fucceflu, quod fieri plerumque folet, quod- que futurum pra;dixeram, ut plures Me ejus auftores efie cupercnt, aut fi non fibi ipfis, fu£ tamcn nationis alicui potius quàm nobis eumhonoremtribuivellcnt,iniquis eorum conatibus tandem aliquando occurrendum hic I arbitrer. Nec fané aliud fere(A3> 12 90 l'horloge À PENDULE. 1673. leur oppofer autre chofe que ceci, favoir qu'il y a feize ans que j'ai trouvé la conflruc- tion des dites horloges par mes méditations particulières, et que je l'ai fait mettre à effet quand ni par les paroles ni par les écrits de peribnne il en avait été fait mention et qu'on n'en entendait pas le moindre bruit (je parle de l'uiage du pendule fimple transféré aux horloges; car pour l'addition de la cycloïde, je ne crois pas que perfon- ne veuille me la difputer); que l'année fuivante, qui était la cinquante huitième de ce fiècle, j'ai fait imprimer la figure et la dcfcription de cet automate; et que j'ai en- voyé de toutes parts des exemplaires tant de l'ouvrage lui-même que de ma brochure. Car comme ces chofes font fi connues à tout-le-monde qu'elles n'ont bcfoin d'être confirmées ici ni par les témoignages des fiwants ni par les Aftes des Etats de Hol- lande, comme elles pourraient l'être, il eil facile de voir ce qu'on doit juger de ceux qui , fept ans plus tard , on t préconifé la même conftrudnon dans leurs livres comme fi elle était due à eux ou à leurs amis '). Quant à ceux qui en font remonter l'origine à Galilée, s'ils difent qu'il s'efl: cfTayé à trouver cette machine mais fans pouvoir parvenir au but, il me femble qu'ils ôtent de fa louange plutôt que de la mienne, attendu que dans ce cas j'ai cherché la même chofe que lui avec plus de fuccès. Que s'ils ibutien- nent que la conilrucbon a été achevée foit par Galilée lui-même, foit par fon fils comme un favant l'a récemment prétendu, et que de telles horloges achevées ont été exhibées, je ne fais comment ils efpèrent qu'on leur en croira, puifqu'il efl: peu vrai- femblable qu'une invention fi utile eût pu être ignorée durant huit années entières et jufqu'à ce que je l'cuffe publiée. Mais s'ils difent que cette invention a été cachée expreiïement, ils voient aiïez que tout autre homme défireux de s'en arroger l'hon- neur, pourrait fe fervir du même raifonnement. Il leur faudrait donc dans ce cas don- ner une preuve de ce qu'ils avancent; fuppofé qu'ils la donnent en effet, la chofe ne me regardera néanmoins en aucune façon à moins qu'on ne démontre en même temps que j'étais, moi, feul à favoir ce que tout-le-monde ignorait -). Voilà ce que j'ai jugé nccefTaire de dire pour ma défenfe. Mais venons maintenant à la conftruétion de l'automate. ') Nous ignorons quels sont les livres (ou le livre unique") auquel Huygens fait ici allusion. Un livre écrit sept ans après l'invention de l'horloge réglée par un pendule librement suspendu, HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 91 opponere iis neceflTc fueric prajccrquam id unum, nempe ante annos fexdecim, cum ncc dicfto nec fcripto ciijiisqimm de horologiis hiijusmodi nicntio faifta effet, aut rumor ullus omniiio ferrctur (loqiior aiitem de pcnduli fimplicis ufii ad liorologia translaco, nain de Cycloidis additione nemcj credo controvcrfiam movcbic) conftruétionem eorum propria nieditatione me adiiivciiiffc & perficicndam curaiT'c. In fequcncianno, qui nempe hujus Ixculi quinqiiagcfimus oétavus fuit,delineacionemaiitomatidercrip- tionemque typis viilgaffe; exemplaria, cum operis ipfius, tum libelli, quaquaverfum dimififfe. Nam cum hœc ita omnibus nota fint, ut nec teflimoniis eruditorum,nec Batavia; Ordinum aftis, quibus poffent, confirmari opus habeant, facile apparet quid de illis cxillimandum fit, qui feptem poft annis eandem conftructionem, quafi à fe fuisve amicis profeétam, libris fuis venditarunt '). Qui vero Galilée primas hic déferre conantur, fi tencaffc eum, non vero perfeciffe inventum dicant, illiusmagisquam meœ laudi detrahere videntur, quippe qui rem eandem, meliore quam ille eventu, inveftigaverim. Cum aucem vel ab ipfo Galileo, vel à filio ejus, quod nuper voluit vir quidam eruditus, ad exitum perductum fuiffe contendunt, horologiaque ejusmodi re ipfà exhibita, nefcio quomodo fibi credicum iri fperent, cum vix verifimile fit adeo utile inventum ignoratum manerc potuiffe annis cotis odo, donec à me in Uicem ederetur. Quod fi deditâ operâ celatum fuiffe dicant, idem hoc intelligunt h quolibet alio poffe obtendi, qui fibi originem in vent! arrogare cupiat. Itaque probandum qui- dem id foret, neque eo magis ad me tamen quicquam pertineret,nifi unà quoque offendatur, id quod omnes latebat, mihi foli innotuiffe -). Et hîBC quidem ncceffaria; defenfionis caufa dicenda fuere. Nunc ad ipfius automati conffruftionem pergaraus. dont le premier modèle avait été construit en décembre 1656 (T. XVII, p. 13, note 4 et p. 52, note 2), devrait dater de 1663. Il semble toutefois possible que Huygens entende parler 'm. '''"n 'i'^'''^ P^""" ^" Italie en 1662, savoir les Épliémérides deCornelio Malvasia(i6o3 — i66 tamcn,iibiopiisfiicrit, converti poiïic. Ad : index imponicur, horœ (patio circuiturus '^"<^'*""^"' atquc ita fcnipiila prima, feu Cexagelinias horarum, demonlhaturus. Rota veroquam "'-"""-"'"'• diximus /3, aliam rotam, totidcm quot ipfa habetdentium,impcllit,atqucunaaffivura ei tympanuni cui dentés fex, axiculo corum communi hinc lamina A, inde frnomone d fuflulto. Hoc tandem tympano rota ? movetur, dentés habens 72, tubulumque affixum qui & ipl'e ultra laminam Y ad 0 porrigitur, paulo citraquam définit tubulus rota." /3, quem intra fe compleditur. Parte extrema 9 apponitur horarius index, brevior aliquanto illo quem fcrupula prima fignare diximus, cum intcriore gyro ferri dcbeat. Secunda vero fcrupula ut absque errore demonftrentur, imponitur axi rota? 1 1 , usque adlaminam Yproduao,orbis /,cuicirculusin fexaginta partes divifus infcribitur, incifoque in lamina Y foramine ad Z, ea.- divifioncs, cuspide in fummo foramine de- fKà, prœtereuntes notantur. Mœc vero tota indicum circulorumque horariorum difpofitio ex figura minori [Fig. 17 III] clarius pcrfpicitur, extcriorcm horologii for- mam referente. Canerum penduli longitudinem, rôtis quemadniodum diximus ordinatis, eam efle oportet ut fcrupula fecunda fingulis recurfibus metiatur, qute longitudo tripedalis eft & commode in fchemate exhiberi non potuit. Tripedalem dico, non alicujusrefpeftu pedis qui apud Europee gentem hanc illamve in ufu fit, fed certo œternoque pedis modulo ab ipfa hujus penduli longitudine defumpto, quem Pedem Horarium in pofterum appellare liceat, ad illam enim omnium aliorum pedum menfurœ referri de- bout quas incorrupcas pofieris tradere voluerimus. Neque enim, verbi gratiâ, igno- rabitur unquara venturis fa.'culis Parifini pedis modus, dum conflabit eum ad Pedem Horarium efil^ ut 864 ad 88 1 . Sed de hujus menilira: exaftifllma conftitutione pluribus agemus in iis quœ de Centro Ofcillationis '). nunc tempora convcrfionum in fingulis rôtis indicibusque obiter defignabimus, ut redè omnia ad dentium fupra defcriptorum numerum quadrare intelligantur. Ergo una quidem converfione rot£ C, decies circumire apparet rotam F, fexagies vero rotam H, & centies vicies fupremam K: cui quum dentés fintquindecim,iisque alternatim pulfentur pin|nulœ LL, una converfione rotje K numerabuntur iftus 30, (A 8). quibus reipondent totidem itus reditusque penduli VX. ideoque converfionibus 120, refpondebunt ofcillationes fimplices 3600, qui numerus eft fcrupulorum fecundorum ') Voir la Prop. XXV de la Pars Quarta qui suit (p. 151 de l'édition originale). 98 l'horloge X PENDULE. 1673. Description feqiienc la roue C fait un tour en une heure et avec elle 1 aiguille attachée en E qui DE l'horloge. ^^ indique les minutes. Et comme la roue ;3, et par elle 7, tourne dans le même efpace de temps avec fon petit pignon de fix duquel nombre celui des dents de la roue Ç ell le dodécuple, il apparaît que cette dernière ne fait un tour complet qu'en douze heu- res et qu'il en ell de même pour l'aiguille qui y ell attachée en G. Enfin comme nous avons montré que foixante tours de la roue H correlpondent à chaque converlion de la roue C, il s'enfuit que la première, avec le cercle 1 qui y eil attaché, tourne foixan- te fois par heure, c.à.d. une fois par minute; les foixantièmes parties du cercle À mon- treront donc les fécondes par leur paflage [devant l'ouverture]. Il fera donc manifelle que tout ell bien ordonné. Le poids X à l'extrémité inférieure du pendule ell de trois livres, tout de plomb, ou le contenant fous une fuperficie de cuivre. Ce n'ell d'ailleurs pas feulement par le poids du métal mais aufll par fa forme qu'il laut eifcduer (car la chofe eil de grande importance) que le pendule éprou\'e une réfillance auffi faible que poflîble de la part de Tair. Le poids ell par conféquent façonné en forme de cylindre couché, long, fort aigu des deux côtés, tel qu'on le voit en û dans la plus petite des deux figures de l'horloge [Fig. 1 7 III]. Toutefois en celles qu'on conilruit pour la navigation, la forme d'une lentille élevée a fcmblé plus propre '). Dans la même figure on a repréfenté de plus la manière de fufpendre le deuxième poids ^,ccluiquifertàentretenirlemouvemcnt dcl'horloge mous avons néceflaircment dû inventer cette fufpenlion auparavant inconnue '), afin que la marche de l'horloge ne foit en aucune façon interrompue ou empêchée pendant qu'on remonte ce poids, à quoi il fallait abfolument prendre garde. On prépare donc une corde continue qui retourne en elle-même par l'exaéle jonction de les extrémités. Cette corde paiïe dû- la première poulie, appelée D dans la plus grande figure, qui fait corps avec la roue la plus baffe; defcendant de là, pour fuivre cette direétion, elle palTe fous la poulie c à laquelle le poids b ell fufpendu. De là elle remonte jufqu'au-dciïiis de la poulie ri extérieurement attachée à l'horloge et pourvue de pointes de fer fur toute fa circon- férence; cette pouhe ell de plus munie de dents en façon de fcie de forte qu'elle tourne lorfqu'on tire la corde ad navigatioiieni pa- rantur, forma Icntis creclœ aptior vifa ell '). Porro eodcm fchemate & ponderis alterius ^, quo motus horologii continuatur, fufpcndendi ratio cxprcd^i eft, quam, incognitani prius -), invclligarc nobis nccefle fuit, ne intérim dumfurfumretrahitur pondus iftud,ceffaret velimpediretur aliquate- nus horologii curfus,quod hic omnino eavcndum erat. Paratur itaque funis continuus atque in fe rcdiens, extremitatibus apte inter fc connexis. Is primuni orbiculuni rotœ infinis conjundum, qui in fchemate niajori notatus eft D, amplcclitur; indc defccn- dens, altéra fui parte trochlcara r, cui pondus Z- appenfum eft, fubit. Hinc fuper orbi- culuni d aicendit, extrinfecus horologio afiixum, qui ferreos per circumfcrentiam aculeos habct, atque inluper ierratis dentibus ita cil: aptatus ut volvatur tra6lo finie e% nequaquam vero in partem contrariam revolvi pofllt. Ab hoc orbiculo defcendit funis ad alteram trochleam /", cui pondus cxiguuniiTappcnditur, quantum fufficitcontinen- do majori b^ ne aliter quam revoluto orbiculo defccndat. Namque à trochlea f rurfus ad ipi'um orbiculuni D, unde defcenderat, funis rcvertitur. Quibusita|fehabentibus,CA9). manifelhim eft femper pondus b dimidia fui gravitate conari ut rotas horologii cir- cumagat, nec tune quidcmcefTare cum manu funeni e trahente afcendere cogitur; adcoque horologii motum nusquam interrumpi, nec momentum teiiiporis deperdi. Gravitatis modus in pondère b definiri certo non poteft, fed quo iiiinor confervando motuifuffecerit,eonieliusaccuratiusquef:ibrefactum automaton arguet. In nollris, qus optima hadtenus habemus, ad fex libras redactum ert, pofita nimirum orbiculi D ') Voir les Fig. 8 , 9 et 11 qui précédent et : i qui suit. ») Voir les p. 64 et 65 du T. XVII. DE l'horloge. lOO l'horloge X PENDULE. 1673. Description fixé à la grandeur d'un pouce à peu près comme la figure l'indique, et le poids du pendule à crois livres, fa longueur à autant de pieds. La longue verge du pendule, pour mentionner encore ce détail, pafiera par la partie inférieure de la cage de l'hor- loge à travers un trou aflcz large pour rendre les ofcillations pofllbles. Quant à l'hor- loge elle-même, laquelle efl: iufpendue h hauteur d'homme, elle marche 30 heures. Rerte à décrire la fonnc des lames entre lefquelles nous avons dit que le pendule efl: attaché [Fig. 17 II] et dont la fonéHon fort importante ell de rendre fa période confiante. En cfi'et, fans elles les ofcillations fimplcs du pendule (quoique d'aucuns aient penfé dift'éremment ')) ne feront pas ifochrones mais les plus étroites auront une période plus courte. C'eftce qu'on découvre aiicment par l'expérience fuivante: fi l'on prend deux fils de même longueur , portant des poids égaux et fufpendus fépa- rément, qu'on écarte l'un beaucoup, l'autre peu, de la perpendiculaire et qu'on les lâche fimultanément, on ne les verra pas longtemps mouvoir enfemble dans le même fens mais celui dont les ofcillations font plus étroites prendra l'avance. D'autre part on peut aulfi trouver les rapports des temps correfpondant à des arcs quelconques; on les exprimera en nombres calculés d'après des principes bien établis et aufll proches qu'on voudra. On peut dire par exemple que le temps d'une chute le long de tout un quart de circonférence eft à celui qui correfpond à un très petit arc à peu près comme 34 eil; à 29 -}. De forte qu'on ne doit aucunement attribuer cette diverfité à la réfi- ilance de l'air, comme quelques-uns l'ont voulu 3), mais qu'elle provient de la nature même du mouvement et de celle du cercle. On pourrait encore tirer cette conclufion delà conftruétion du pendule ifochrone, vu que celui-ci s'écarte notablement dans fon mouvement de la circonférence de cercle, comme cela paraîtra bientôt. Il pourra peut-être fembler que dans nos horloges du genre ici confidérc,où l'am- plitude des ofcillations efl: toujours la même, l'inégalité dont nous parlions n'aura aucune importance et que par conféquent aucune correction du pendule ne fera né- ceflaire. Il en ferait vraiment ainfi fi l'ampHtude de toutes les ofcillations était conflam- ment et abfolument la même. Mais comme elle efl quelquefois un peu plus grande et d'autres fois un peu plus petite, une afi"ez grande diff'érence réfulte enfin de ce grand nombre de difierences fort minimes; c'eil ce que l'effet et les expériences font bien voir. Car quoique la force du poids par rapport à la prochaine roue foie toujours la même, cependant, étant tranfmife par tant d'autres, avec quelque foin qu'on les ait limées, elle ne parvient pas toujours en même intenfité au pendule. D'ailleurs le mou- vement des roues efl aufli rendu plus difficile par le froid et par la dii'parition ou la corruption de l'huile qu'on y verfe. Mais ce font furtout les ofcillations des horloges marines qui deviennent inégales à caufe du ballottement continuel du navire, de forte qu'il faut fans doute corriger le défaut d'inégalité chez toutes les horloges, mais que c'efl furtout dans le cas des horloges marines qu'il faut veiller à ce que les ofcillations de grande et de petite amplitude foient ifochrones. ') Comparez la note i de la p. 4 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673, iqi diametro pollicari fcre, uti cxhibita fuit; item perpendiculi pondère trilibri, ac totidem Dfscriptio pcduin lonj^itiidine. Qux longitude, ut hoc ctiam admoncamus, trans capfam horo- Horoloch. logii depcndet, oblongo foramine perviam, quantum ofcillationibus pcragendis necelTe eft. Ipfum vero horoiogium, ad hominis altitudincm fufpenfum, horis3omoveriper- fevcrat. Supcrcll nunc fonna iamcllarum dcCcribenda intcr quas perpendiculum affigi dixi- mus,quarumqueada.>quabilemhorologiomotum pra;ilandum vel prx-cipua eft opéra. Absque his enim Penduli (implicis ofcillationes (etfi nonnuUis aliter vifum eft ')) non erunt îeque diuturna?, fed brevioris tcmporis ea; qua: per minores arcus incedent; id- que primùm experimcnto hujusmodi ihcile deprehenditur. Si enim fila accipiantur ejusdem longitudinis duo, paribusque in parte ima ponderibus religatis,utrumque fcorfim fufpcndatur, tunique alterum eorum procul à linea pcrpendiculari, alterum parumper duntaxat cxtrahatur, fimulquc è manu dimittantur; non diu utrumquc flmul in partes easdem ferri videbitur, icd pra^vertet illud cujus exiliores erunt rccurfus. Sed & temporum per quoslibet arcus rationes numeris definiri pofTunt, certâ fcientid nixis, & vero quani libuorit propinquis, veluti quod tempus defcenfus per totum circuli quadrantem eft ad tempus per arcuni minimum fere ut 34 ad 29 "). Adco ut nequaquam refiftentite aëris ea diverfitas imputanda fit, ut quidam voluere 3), fed ex ipfa motus natura circuliquc proprietate nafcatur. Quod alto quoqueargumentocon- cludi poffit ex ipla Pcnduli ifochroni conftruclione, ubi à circulari linea haud parum receditur, uti mox patebit. Sed videatur forfan in noftris horologiis hifce, ubi eadem femper eft ofcillationum latitudo, nullius momenti futura quam diximus ina.>qualitas, adeoque nec correftione ulla perpendiculi opus tore. Quod fane ita elTet fi latitudo omnium plané eadem |con- (A 10). ftanter maneret. Sed cum pauxillum quandoque excédât vel deficiat, ex multis mini- mis difTerentiolis tandem magna fatis conflatur, idque ita cfTe reipfa atque experimen- tis cvincitur. Etfi enim eadem femper fit ponderis vis, rota; iibi proxima; refpecT:u, tamen per tôt alias transdita, quantâcunque cura limata; fuerint, non femper eadam ad perpendiculum usque pervenit. Pra;terquam quod frigore quoque difficilior motus rotarum efficitur; itemquc evanefcente aut fordefccntc quod illis additur oleo. Sed prsecipue inœquales fiunt ofcillationes horologiis qua> mari vehuntur, ob jadtationem navis continuam, adeo ut omnibus quidem in univerfum, fed his maxime omnium remedio opus fit, quo reciprocationum Penduli latiorum anguftiorumque tempora jequalia évadant. ^) 34 : 29 = 1,172 . . , tandis que la vraie valeur est 1,180 . . , comme Huygens l'a trouvé plus tard. Voir sur ce sujet l'Appendice II à la Pars Prima qui suit. 3) À la deuxième page de la „Pra;fatio generalis" de ses „Cogitata Physico-matliematica" de 1644 Mersenne attribue à la résistance de l'air l'inégalité des périodes d'oscillations d'amplitudes différentes. 102 l'horloge X PENDULE. 1673. Description DE l'horloge. Or, pour pouvoir définir la fonne des lames dans Icfquellcs le remède confifte, il faut d'abord avoir détermine la longueur du pendule, laquelle efl facilement déduite de la règle que les longueurs des pendules font entre elles comme les carres des pério- des. De forte que, la longueur du pendule qui mefure les fécondes étant d'après notre définition de trois pieds, fa quatrième partie, c.à.d. neuf pouces, conviennent au pen- dule qui marquera les demi-fecondes. De même fi l'on demande la longueur du pen- dule dont les olcillations fimples atteignent le chiffre de i oooo en une heure, le calcul fera fait comme fuit. Nous favons qu'on compte 3600 olcillations fimples par heure dans le cas du pendule de trois pieds; la période de ce pendule furpaffe donc celle du pendule cherché dans le rapport loooo : 3600 ou 25 : 9. Par conféquent comme le carré du nombre 25 eft au carré de 9, c.à.d, comme 625 cil: à 8 1 , ainfi fera la longueur de trois pieds h la longueur cherchée, qui eft donc de 4 /g^g pouces. Après que la longueur du pendule h été fixée de cette manière (p. e. à trois pieds, dans le cas de l'horloge propofée par nous), la ligne cycloïdale qui donnera la cour- bure des lames T fera décrite de la façon fuivante. Soit attachée fur une table plane la règle AB grofie d'un demi-doigt [Fig. 1 8]. Enfuite foit fait un cylindre CDE d'une hauteur égale h cette grofl^eur et ayant le diamètre de la bafe égal à la moitié de la longueur du pendule; et foit FGHE une petite bande ou plutôt une mince plaque attachée à la règle en F et h la circonférence du cylindre en quelque point E, de forte qu'elle s'applique en partie au cylindre et qu'en partie elle s'étende le long de la règle AB. Qu'une pointe de fer DI foit attachée HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 101 Ad dcfinicndam crgo lanicllarum foniiam in quibus pofitum ell rcmediumiftud,in Descriptio primis Pcndiili loni^itiidinem ikcuinc oportec, qiia.- facile ex co habecur, quod fint ""'^"'-'""■"• intcr il- longitudines pcrpcndiculorum, lient cemporiim qiue in lingulos reciirliis im- penduntur quadrata. Adeo uc cum tribus pedibus deliniverimus longitudincni pcrpcn- diculi quod fcriipula icciinda metitur, cjus quarta pars, five uncix' novcni debeantur ci quod fcmilccunda notaturum lit. Item 11 Fcnduli longitude qux'ratur, cujus rccur- llis iimplices loooo lionc fpatio peragantur, hoc modo ratio inibitur. Pcnduli nempe [Fig. 18.] tripedalis fcimus 3600 recurfus in horas fingulas numerari: ergo hujus recurfuum tempora (ingula, majora funt temporibus Penduli quœfiti, proportione loooo ad 3600, five 25 ad 9. Quare ut quadratum numeri 25 ad quadratum 9, hoc efl:,ut 625 ad 8 1 , ita erit longitude pcdum 3 ad eani quœ qua?rebatur, nempe unciarum 4 cum //g. Pofita ergo longitudine perpendiculi, puta pedum trium in horologio à nobis pro- pofito, indc Cyclois linea, qu^ curvaturam laminarum T datura ert, hoc modo de- Icribetur. Super tabula plana affigatur régula AB, femidigiti craffitudine [Fig. 18]. Deinde fiât cylindrus CDE eadcm illa altitudine, diamctrum vero bafcos, dimidia; perpendi- culi longitudini, œqualem habens; fitque FGHE fiifciola, feu potius braftea tennis, afiixa régula; in F, cylindro ver5 in circumferentia.» pundo aliquo E, ita ut partira huic circumvoluta fit , partira extendatur juxta latus régula; AB. Cylindro autem infixa I04 l'horloge X PENDULE. 1673. DE l'horloce. Description- au Cylindre laquelle ait fon extrémité un peu au-delà de la bafe inférieure et en façon qu'elle réponde exactement à fa circonférence. Les chofcs étant ainfi arrangées, la pointe I décrira fur le plan de la table placée au-delTous la ligne courbe Kl appelée cycloïde, auflltôt que le cylindre tourne en fuivant la règle AB, dont il n'efï féparé que par la groiïcur de la petite lame FG. La bafe du cylindre employé fera le cercle générateur, CDE, de la cycloïde. Or, après que nous avons appliqué à la règle AB la table ou lame KL et que la partie Kl de la cycloïde y a été tracée, nous retournerons cette lame et tracerons fur l'autre côté une ligne femblahle KM émanant du même point K. Enfuitc nous découperons la figure MKI exactement fuivant ces lignes. C'eft à cette figure-là qu'il faut adapter l'intervalle des lames entre lefquelles le pendule eft fufpendu '). A l'ufage des horloges les petites portions d'arcs KINl et Kl fuffifent; le refte de la ligne courbe ferait inutile puifque le fil du pendule ne peut l'atteindre. Mais afin qu'on entende plus pleinement la nature et l'effet de cette ligne admira- ble, il m'a femblé bon de repréfenter ici dans une autre figure [Fig. 19] les femicy- cloïdes entières KINI et Kl entre lefquelles le pendule KNP, d'une longueur égale à deux fois le diamètre du cercle générateur, eft fufpendu, lequel étant mis en mouve- ment exécutera des ofcillations ifochrones, quelle que foit leur amplitude, jufqu 'à la plus grande de toutes correfpondant à l'arc MPI: de telle manière que le centre de la fphère F attachée au fil fe trouve toujours fur la ligne MPI qui eft elle aufli une cycloïde. J'ignore fi cette propriété remarquable efl donnée à aucune autre ligne, favoir celle de fe décrire foi-même par fon évolution -). Or, ce que nous avons dit à ') Voir la fin du premier alinéa de la note 3 de la p. 99 du T. XVII. ^) Voir sur ce sujet la p. 40 de rAvcrtissement qui précède et l'Appendice 111 à la Pars Tertia. HOROLOCIUM OSCILLATORIUM. 1673. '05 fit fcrrca ciifpis DI, paiixillum ultra bafin infcriorem prominens, atque ica ut circumfe- DEscaip-no rcntix- cjus exacte rcrpondeac. Horoloch. Mis ica (c habentibus, ii cylindrus fccundum rcgulam AB volvatur, bractcols tan- {p. 1 1). tum FG cranitudiiie intercedente, edque femper quantum potcil extcnfà, dclcribct cufpis I in lubjcdo tabulx> piano lineam curvam Kf , qua; Cyclois vocatur. Circulus vcro genitor erit CDE, cylindri adhibiti balis. Quod Ii jani laminam KL ad regulara AB applicuerimus; exarata primum in ea cycloidis portionc Kl, invertcmusdeinde ipfam, & in fuperficie adverfa limilem lineam KM,ab eodcm punfto K egredientem, incidemus. Tum figuram MKI, accurate fecundum lineas illas, effonnabimus, cui figura lamellarum interftitium aptari oportet, inter quas perpendiculum fufpenditur •). Sufficiunt autem ad horologiorum ufum portiones exiguse arcuum KM, Kl; reliquo flexu inutili futuro, ad qucm perpendiculi filum accedere non potert. Verum, ut mirabilis linea; natura atque effeélus plenius intelligantur, intégras femi- cycloides KM, Kl, alio fchemate [Fig. 19] hic exprimere vifum fuit, inter quas fus- penfum agitatumque Pendulum KNP, diametri circuli genitoris duplum,cujuscunque amplitudinis ofcillationes, usque ad maximam omnium per arcum MPI, iisdem tem- poribus confefturum fit: atque ita, ut appenfe fphaîrœ P centrum,inlineaMPI,qu^ & ipfa cyclois intégra eil, femper verfetur. Quœ proprietas infignis, nefcio an alii prceter hanc linea: data fit, ut nempe ie ipfam fui evolutione defcribat ^). Hœc autem 14 I06 l'horloge  PENDULE. 1673. Description propos d'elle fera dcmoiicré en détail lorfque nous traiterons de la chute des corps °f- graves et de rc\'olution des courbes. L HORLOGE. ^ , , ,,...-. Obfervons encore qu il y a une autre manière de tracer la cycloide, lavoir par points trouvés leparément. Soit décrite une circonférence de cercle de diamètre AB éiL!;al à la moitié de la longueur du pendule [Fig. 20]. Prenons fur cette circonférence un nombre quelconque de parties égales AC, CD, DE, EF, AG, GII, III, IK et joignons leurs extrémités par les droites GC, HD, lE, KF parallèles entre elles. Prenons enfuite la ligne droite LM égale à l'arc AF, divifons-la en autant de parties égales qu'il y en a dans l'arc AF et portons des lignes CN et GO égales à une de ces parties llir la droite CG. Portons enfuite fur la droite DM les lignes DP et IIQ égales chacune à deux parties de la droite LM; fur la droite El les lignes ER et IS égales chacune à trois parties de la droite LM, et ainfi de fuite fi l'on a pris un nombre plus grand de parties. Enlln foient FT et KV fur la ligne extrême FK égales chacune à la ligne LM entière. Si l'on décrit maintenant des courbes par les points AOQSV et ANPRT, celles-ci feront de nouveau des portions de la cycloïde cherchée entre les- quelles il faut fufpendrc le pendule '). Or, la droite LM elt trouvée égale à l'arc AF lorfqu'on prend d'abord XZ égale h la fomme des deux cordes qui ibuftendent les moitiés de cet arc et, à partir du même point, XY égale à la corde de l'arc AF entier, et qu'on ajoute enlin à la ligne XZ le tiers ZA de la différence YZ. Car la ligne entière XA fera à fi peu près égale à l'arc entier AF que, quand même ce dernier ferait la fiixième partie de la circonférence (et une plus grande partie n'ell: jamais requife pour notre but), il n'y manque pas la fix-millième partie de la véritable longueur, comme cela a été démontré dans ce que nous avons écrit auparavant fur la grandeur de la circonférence de cercle -). Après avoir fait connaître ce qui fe rapporte à la conftruction de l'horloge, nous devons maintenant expliquer au(]] de quelle manière on doit l'ajufter pour qu'elle donne la vraie mefure des heures. On examinera en premier lieu, de la manière fui- vante, fi fon mouvement ert jufte. Qu'on choififfc pour l'oeil de l'obfervateur un endroit bien déterminé d'où les aftres peuvent être aperçus ainfi que des toits ou des murs d'édifices voifins ainfi pla- cés que lorfque certains d'entre les aitres, du nombre des étoiles fixes, les atteignent, ces étoiles deviennent invifibles à l'inftant même. 11 faut placer en cet endroit une ouverture de la grandeur de la pupille afin qu'on puiffe les jours fuivants remettre l'oeil au même point fans aucune erreur. On doit marquer le temps indiqué par l'hor- loge au moment où une étoile arbitrairement choifie difparaît, et la même chofe le ') Comparez la Fig. 22 à la p. 99 du T. XVII. *) Voir à ce sujet les p. 146—149 du T. XII (Probl. III. Prop. XII du Traité „De circuli magni- tudine inventa" de 1654). HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 107 YZA qua: didta funt, in fcqucntibus, ubi Descriptio de dcfccnrii graviuni, dequcevolu- Horoi.ocii. tionc cLirvarum agemus, fingiila de- monilrabuncur. Liccbit aiitcm aliter quoque,per(/'. !=)• inventa puncta, cycloidcm defigna- rc. Defcribatiir circulus diametro AB, qiia; dimidite longitudini per- pendiciili îequalis lit [Fig. 20]. In cuJLis circiimferentia fumptis parti- bus a:;qualibus quotlibet, AC, CD, DE,EF,AG,Glf, MI, IK, jun- gantur GC, HD, lE, KF, quîe eruntinterfeparallcls.Deindearcui AF fiimatiir œqualis linea recta LM, eaque in partes squales totidem di- vidatur quot funt in arcu AF,earum- que partium uni a;quales ponantur fingulte CN, GO in recla CG ; dua- bus vero partibus rects LM, squa- les fiant lingulas DP, HQ in reéta DH. Tribus vero, iinguls ER, IS in redta El; atque ita porro fi partes pluresfuerint acceptœ; ac tandem toti LM squales fiant finguls FT, KV in linea cxtrema FK. Jam fi curvs dcicribantur per punfta AOQSV, ANPRT,hsrurrusqusfits cycloidis partes erunt, inter quas perpendiculum afiigi oportet '). Recta autem LM xqualis arcui AF invenitur, fi primum duabus redtis, qusfemis- fibus arcus AF fubtenduntur, squalis ponatur XZ, totius vero arcus fubtenfie AF aequalis ab eodem temiino accipiatur XY, difFerentisque YZ triens ZA ad totam XZ adponatur. Nam tota XA toti arcui AF tam prope squalis erit, ut licet fextans flierit circumferentis, (neque major hic unquam requiritur) non una fexies millefima parte lus longitudinis dcficiat, uti in his, qus de Circuli Magnitudine antchac fi:ripfimus, demonllratum eit -). Explicitis qus ad horologii fabricani attinent, nunc quoque illud declarandum efl;, quo paéto ad veram horarum menfi.iram componi debeat. Ergo primum, an recte fe habeat motus ejus, hoc modo examinabitur. Oculoobrervatoriscertuselig?turlocus,unde fidera defpici poifint, fimulque teclaC/»- '3> parietesve vicinarum sdium , fie pofita, ut , cum e6 appulerint rtcUs qusdam è fixarum numéro, fimul videri definant. Eo loco foramen, ad pupills magnitudinem, confl:itua- tur, ut fequentibus diebus, absque errore, oculus ad idem punCtum reponi pofllt. Jam ad momentum ipfum, cum ftellaruni aliqua è confpeftu abit,notetur tempus horolo- gio indicatum. Atque idem pofiero die, vel potius aliquot diebus intemiiflls, fiât. Io8 l'horloge A PENDULE. 1673. Description jour liiivant ou plutôt quelques jours plus tard. Que s'il n'y a qu'un intervalle d'un l'horloge. *''^"' J""*" ^"^''^' '^'■'"^ obicrvations, il faut que dans la deuxième oblervation l'horloge indique la même heure que dans le cas de la première à 3 minutes et 56 fécondes près. S'il en ellainfi il fera établi que le pendule a la bonne longueur; car c'eft là la différen- ce de laquelle la durée d'une révolution quelconque des étoiles fixes furpaffe celle du jour Iblaire moyen. Je dis le jour moyen puil'que les jours folaires, de midi à midi, ne l'ont pas tous égaux entre eux, comme cela fera plus amplement expliqué un peu plus loin. Mais fi l'ohlervation n'cfl: répétée qu'après plufieurs jours, il faudra compter la même différence pour chacun d'eux. Admettons par exemple que dans la première obfervation , au moment où l'étoile difparaît , l'heure de l'horloge foit 9 h. 30 m. 1 8 f. et qu'enfuite, fept jours plus tard, elle indique, au moment de la difparition de la même étoile, 8 h. 50 m. 24 f. La différence en moins de cette dernière indication par rapport à la première ell de 39 m. 54 f.; laquelle, étant divifée par 7, donne une rc- tardation diurne de 5' 42". Mais elle devait être de 356, inférieure à l'autre de i'46'. C'efl; donc là le retard journalier de l'horloge par rapport à la mefure véritable ou moyenne des jours. On pourra d'ailleurs comparer encore d'une autre manière le mouvement de l'hor- loge avec celui du foleil. Mais ici il faudra tenir compte de l'inégalité des jours natu- rels. En effet, comme je l'ai déjà dit, tous les jours naturels n'ont pas la même lon- gueur,ctquoiqueladifférenccibit petite elle monte cependant ibuvent durant un inter- valle de plufieurs jours à un total qui n'efl: aucunement négligeable. Car fi l'on poffède un cadran folaire de confiruclion parfaite et que d'autre part le mouvement de l'hor- loge automate eft rendu abfolument confomie à la plus véritable mellire des jours et ne s'en écarte point, il adviendra cependant néceffairement qu'à certaines époques de l'année les deux inllruments montrent une différence d'un quart d'heure ou même d'une demi-heure et que derechef à d'autres époques bien détcnninées ils s'accordent d'eux-mêmes. On le comprendra en confidérant la table de l'équation du temps que nous ajoutons; mais il faut auparavant en expliquer l'ufage qui efl: celui-ci. Qu'on prenne l'équation de la table correfpondant au jour auquel nous avons au début de nos obfervations mis l'horloge d'accord avec le foleil, en d'autres termes avec le cadran folaire. Qu'on prenne auili l'équation du jour auquel on demande avec quel degré d'exaftitude l'horloge a été réglée fur la durée des jours. Si alors la pre- mière équation furpaffe la deuxième, l'heure de l'automate devra furpader celle du cadran folaire de la même différence. Mais û l'équation du jour poilérieur eil trouvée plus grande, l'excès fera du côté de l'heure du cadran, en d'autres termes de l'heure folaire. Suppofons par exemple que le 5 mars le cadran folaire et l'automate s'accor- dent. On trouve dans la table pour ce jour une équation de 3 minutes et 1 1 fécondes. Suppofons enfuite qu'on veuille favoir le 20 du même mois fi l'automate melure cor- rectement ou non les heures égales. On trouvera indiquée dans la table pour ce jour poftérieur une équation de 7 minutes et 27 fécondes. Comme cette dernière ilirpaffe la précédente de 4 minutes et 1 6 fécondes, l'heure du cadran devra furpaffer d'autant HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. I09 Quod (1 tantum uniiis diei fpatium duabiis obfcrvationibus interceflerit, oportet inDEscRiPTio pollrcma obfervaciono tcmpus horoldgii deficere ab illo, quod prima obfcrvationc "*"*"''"'"'"■ annotatiim fiicnu, fcriipiilis priinis 3, icciindis 56. Ita cnim rcétc le habcrc pcrpcndi- ciili longitiidincm coiilbbit; quiim tanto fiipcrctur qui'libct fidcrum fixorum revolu- tio à die folari nicdiocri. Mcdiocri dico, quoniam dics folarcs, de mcridic ad mcridiem, non omncs inccr le a.'qiiales fiin:, lit mox anipliiis exponctiir. Si vero port plurcs de- raum dics oblervacio repctatur, in (îngiilos tancundcm diftercntii» caiifa compiitandum erit. Sit, ex empli gratia, in prima obiervatione, ad momentum cvanefcentis ftclla?, adnotata horologii hora 9, cum fcrupiilis primis 30, fecundis 18; deindc, feptimo poil die, eàdem difparente rtelld, indicée horam 8, cum fcrupulis pr. 50, fcc. 24. HîBC hora déficit à prière fcrupulis pr. 39, fecundis 54. Quœ, in feptcm divifa, dant retardationem diurnam fcrupulorum 5'. 42". Debebat autem efTc fcrupulorum 3'. 56 ". qux illà minor oit fcrupulis i'. 46'.|Itaque tantundcm quotidic déficit horologiura àC/». 14)- vera, feu média, dierum mcnfura. Ca;terum alio quoque modo, ad folem, horologii motum examinare licebit. Sed hic jam ina;qualitatis dierum naturaHum ratio habenda crit. Sunt enim, ut jam dixi, non omnes ejusmodi dics inter fe squales; ikquanquamexiguum fit difcrimen,tamen plurium dierum intervallo fîepe eo usque excrefcit , ut haudquaquam contemni pos- fit. Etcnim fi & folarium quam pcrfcftiflime dcfcriptura habcatur, & horologii auto- mati motus ad veriflimam dierum menfuram exaiflus fit,neque ab ea recédât; eveniet tamen neccfiario ut, certis anni temporibus, fcepe hora:; quadrante, aut etiam femi- hora, inter fe difcrcpent, ac rurfus ftatis temporibus ultro concordent. Hoc enim ita effe, ex tabula tcmporis œquatoria quam fubjicimus,intelligetur;pofl:quamufumejus oitenderimus, qui efl: hujusmodi. Accipiatur jequatio tabulœ, afiignata diei qua primum cum foie, five cum fciothe- rico, horologium ut conveniret fecimus. Itemque a;quatio diei, qua qua;ntur quam bene ad dierum menfuram tempcratum fit. Quod fi jam prior œquatio major fuerit fequente, fuperare debebit hora automati horani gnomonis eo, quo inter fe œquatio- nes ito diiFerunt. At fi porterions diei a;quatio major inveniatur, erit exceffus pênes horam gnomonis, five eam quïe ex foie obfervatur. Ut fi, cxempli gratiâ, die 5 îMartii in eandem horam conveniant fciothericum horologium atque automaton, cujus diei œquatio invenitur, in tabula, fcrupulorum primorum 3, fecundorum 1 1. lubeatque fcire ejusdcm menfis die ao, an automaton horas a;qualcs rectè metiatur nccne: inve- nietur die pofteriori adfcripta jequatio fcrupulorum primorum -, fecundorum 27. quœ quia fuperat pra;cedentem fcrupuHs primis 4 , fecundis 16, debebit tanto ferior I lO l'horloge A PENDULE. 1673. Description' DE l'horloge. celle de rautomate. Si la différence efl: trouvée autre, on pourra facilement conclure de là combien l'automate avance ou retarde par jour. Dans la computation de cette table j'ai tenu compte de deux caufes, connues l'une et l'autre aux agronomes, favoir l'obliquité de l'écliptique et l'anomalie du mouve- ment du folcil. Tandis que d'une part la raifon demande [cette inégalité débours fo- laires], d'autre part l'expérience auffi, bâtie fur ces mêmes horloges et qui ne pouvait aucunement être obtenue ians elles, la révèle; attendu que les obfervations du foleil que nous avons faites fouvcnt durant plufieurs mois, notant chaque jour le moment où le foleil fc trouvait au méridien, fe font trouvées parfaitement d'accord avec l'é- quation ici propofée '). TABLE DE L'EQUATION DES JOURS. ') Voir sur la question de l'exactitude de la Tablede Huygens la p. 51 de l'Avertissement qui précède; et sur les observations de Huygens les p. loi — 102 et surtout la note 4 de la p. 112 du T. XVII, Voir aussi les notes 9 et 12 de la p. 123 du même Tome. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. m ciïc h(ira fciothcrici, qiiam qiiœ automato indicatiir. Unde, fi diverfum reperiatur,DF.scRii'-rio tlicilc indc colligctur, quantum in dics finçulos cxupcrct automaton , aut retarder. iion«i-of.ii. In computanda tabula hac duplicem caulam adhibui,utramque ARronomi.snotam, Eclipticœ nimirum obliquitatem, & folaris motus anomaliam. Quod cum ratio poflu- lac, tura cxpcrientia quoque, his ipfis horologiis fupcrftrufta, quxque fine his nequa- quam haberi poccrat, cviucit;quandoquidcm,cum -x-quatione hic propofita, obCer- vationesfolis,quaslk'pe per complurcs menies, quotidic ad momentum quo mcridia- uuui circulum fol occuparet, inftituimus, planillime confentire inventée funt '). TABULA iî^QUATIONIS DIERUM. 1 12 l'horloge X PENDULE. 1673. (A 15).' Dies. Januar. Min. Sec. Febr. Min. Sec. Mart. Min. Sec. Apr. Min. Sec. Ma}. Min. Sec. Jim. Min. Sec. 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 10 10 9 9 8 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 I I I I I o 40 10 41 '3 45 17 .58 34 10 47 24 2 41 21 o 44 27 1 1 55 39 23 7 52 38 25 51 41 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I I I I I 2 24 18 13 9 4 8 12 16 21 26 32 40 48 57 6 16 26 37 49 2 --> 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 10 15 28 42 56 1 1 26 41 56 12 29 46 4 22 40 58 16 33 51 9 27 45 3 22 41 I 21 41 I 21 40 59 1 1 18 1 1 37 II 56 12 15 12 34 12 53 13 12 13 31 13 49 14 6 14 23 14 39 14 55 15 10 15 25 15 39 15 53 16 •T 16 21 16 34 16 47 16 59 17 II 17 22 17 33 17 43 17 53 18 0 18 13 18 23 18 0- 18 39 18 46 18 53 18 59 19 4 19 9 19 14 19 18 19 22 19 25 19 28 19 29 19 29 19 29 19 28 19 26 19 24 '9 21 19 18 19 15 19 1 1 19 7 19 0 18 57 18 51 18 45 18 39 18 33 18 26 i« 10 18 I 17 51 17 41 17 30 17 19 17 8 16 57 16 46 16 35 16 24 16 13 16 I 15 49 15 37 15 24 15 1 1 14 58 14 45 14 32 14 9 14 6 13 53 13 40 13 27 13 15 13 3 12 52 12 41 12 30 18 18 HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. H3 Die^ J"^- hig. Se/1 r. Oâoù. A 01'. /Je f. Min. Sec. Min . vSec. Min. Sec. Min. Sec. Min. Sec. 1 Min. Sec. I 12 '9 10 4 16 23 26 30 3' 55 25 34 0 12 8 10 8 16 42 26 49 31 55 25 10 3 1 1 5« 10 13 17 I 27 8 31 54 24 45 4 1 1 48 10 18 17 21 27 26 31 52 24 20 5 1 1 3« 10 23 17 18 41 I 27 43 31 50 23 53 55 6 1 1 28 10 28 28 0 31 47 30 7 II 18 10 34 18 21 28 16 31 43 23 4 8 1 1 9 10 41 18 41 28 32 31 37 22 38 y 1 1 0 10 49 19 I 28 47 31 30 22 1 1 10 10 52 10 5« 19 21 29 2 31 22 21 43 II 10 47 1 1 7 19 41 29 16 31 •3 21 '4 12 10 3« 1 1 16 20 I 29 30 31 n Ô 20 44 13 10 31 II 25 20 22 29 43 30 53 20 14 14 10 25 II 36 20 43 29 56 30 43 19 44 15 10 19 II 48 21 4 30 9 30 32 19 14 16 10 13 12 I 21 25 30 22 30 20 18 44 17 10 7 12 14 21 47 30 34 30 8 18 14 18 10 2 12 28 22 9 30 45 29 55 17 44 iy 9 58 12 42 22 31 30 55 29 40 17 H 20 9 54 12 57 22 23 52 13 31 4 29 23 16 44 21 9 51 13 12 31 12 29 6 16 14 22 9 49 13 27 23 33 31 19 28 48 15 44 23 9 47 13 43 23 53 31 26 28 30 15 14 24 9 46 13 59 24 13 31 32 28 1 1 14 43 25 9 9 46 46 14 16 24 33 31 38 27 27 51 30 H 12 26 14 33 24 53 31 43 13 41 27 9 47 14 50 25 13 31 47 27 8 13 10 28 9 49 15 8 25 33 31 50 26 45 12 40 29 9 52 15 26 25 52 31 53 26 22 12 10 30 9 56 15 45 26 II 31 55 25 58 1 1 40 31 10 0 16 4 31 55 1 1 10 15 114 l'hORJLOGE X PENDULE. l6-'5. Description DE l'horloge. Or, lorfque Texamen de Thorloge a eu lieu d'après les deux méthodes que nous avons mentionnées, mais de préférence fuivant la première, dans le cas où l'on con- ftate qu'elle s'écarte beaucoup de la longueur moyenne des jours, de forte que la différence furpaffe trois ou quatre minutes, on y apportera remède en augmentant ou diminuant la longueur du pendule. Dans cette correftion on tiendra compte de la règle que le mouvement de l'horloge fera accéléré ou retardé d'une minute par jour chaque fois que les ,"g d'une ligne feront ôtés ou ajoutés à la longueur du pendule. Et lorfque de cette manière le pendule aura déjà acquis h fort peu près la bonne lon- gueur, la correétion ultime fe fera commodément par le déplacement du petit poids A qui fe trouve fur la verge V\'. Ce poids a la forme d'une lentille dont nous avons repréfenté dans la figure I [Fig. 17 I] la feftion fuivant l'axe. Et comme ce poids n'efl: que la vingtième ou trentième partie du poids X ou même encore moins '), il s'enfuit qu'en s'écartant notablement de l'endroit qu'il occupait d'abord, il ne change cepen- dant pas beaucoup le mouvement du pendule: il l'accélère chaque fois qu'on le rap- proche du point milieu de la verge et il le retarde lorfqu'à partir de ce point on le fait monter ou defcendre. Or, afin qu'on ne foit pas obHgé de chercher longtemps la fituation dans laquelle il donnera la meilleure mefure des jours, nous avons divifé d'une certaine manière, calculée d'après les lois du mouvement, la moitié inférieure de la verge dans l'hypothèfe que le poids A eft la cinquantième partie du poids X et égal en gravité à la verge VV. Ces divifions font indiquées dans la figure IV [Fig. 1 7], où la moitié inférieure du pendule efi: vue coupée en trois parties dont AB repréfenté la plus baffe. Le point A efl: le centre de gravité du poids X et les divifions, à partir du point C, centre d'ofcillation'),correfpondent chacune à une différence de quinze minutes par jour lorfque le difque A eil déplacé de cet intervalle. Quant à la démon- ftration et la méthode de trouver les divifions, ella fera donnée dans la partie du livre qui traite du centre d'ofcillation. Nous décririons en outre ici la forme des horloges que l'on porte fur mer pour re- chercher les longitudes fi nous avions exploré et déterminé auffi bien que dans le cas précèdent celle qui ell: la plus apte à cet ufiige. Il eft vrai que la chofe a déjà été con- duite fi loin qu'il femble s'en failloir peu que cette invention fi utile ne foit parachevée. Or, je ne veux pas laiffer d'expofer ici ce qui a été tenté et avec quel fuccès, et ce qui relie encore à tenter dans la fuite. Les deux premières horloges de ce genre furent portées en 1664 par un vaiffeau anglais; un gentilhomme d'Écoffe de mes amis 3) les avait fait fabriquer à l'exemple des nôtres. Celles-ci avaient au lieu du poids une lame d'acier enroulée en fpirale defi:i- née à faire tourner les roues par (a force; on connaît les rcfforts fpiraux de ce genre des petites horloges portatives. Or, pour qu'elles puffent fupporter l'agitation du navire, il avait fuipcndu les horloges à une fphère d'acier enfermée dans un cylindre ') Les mots „aut etiam minorem" ont été ajoutés par Huygens au texte imprimé. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. I15 Jam poftqiiam iitrovis modo eoriim qiios diximiis, fcd priore potius, examen infti-(/. i6). tutiim fucrit, li miiltiim aberrare à mcdia dicriim longitudinc horologium reperiacur, Descriptio adco ut diffcrcntia ultra tria quatuorvc prima fcrupula afccndat, rcmodium adhibebi- ""'**"-'^"- tur auda aut diminuta ipfius penduli longitudine. Ubi hjec tenenda eft régula, tôt fcrupulis primis, in (ingulos dics,motum horologii acceleratum aut rctardatum iri, quot -/g unius line£C aufcrentur pendule aut addcntur. Cumquc ad vcram mcnfuram hocpactojampropercduétumerit, reliqua correftio tranfpofitione exigui ponderis A, virgîe VV adhxrcntis, commode pcragetur. Id pondus lentis formamhabet,cujus feftionem iecundum axcm in figura i. [Fig. i- I] cxprellimus. Et quia tantum vice- fimam tricclimamve, aut ctiam minorcm '), partem a-quat ponderis X, hinc lit ut fat magnis fpatiis è priore loco difcedens, haud multum tamen perpendiculi motum affi- ciat, accelerando ncmpe quoties verfusmcdiam virgslongitudinemattrahitur,retar- dando cum inde furfum aut deorfum movetur. Ne vcro diu puncftum illud qua^rendum fit quo veriflîmam daturum fit dierum menfuram, diviiimus certa ratione, ex motus legibus petita, inferiorem virgîe medietatem, polito nimirum pondère A parte quin- quagefima ponderis X, parique gravitate ipfius virgte VV. Qua.» quidem divifiones figura 4 [Fig. 17 IV] exhibentur, ubi penduli portio inferior in très partes fedta cer- nitur, quarum, qiise infimo loco ponenda, ell AB. Punftum A eil centrum gravitatis ponderis X, à punfto autcm C, centro ofcillationis^), partes fingulœ, quindecim fcrupulorum fecundorum differentiam diurnam efficiunt, ubi tali intervallo motafue- rit lens A. Demonrtratio autem divifionumque inventlo, dabitur in iis quas de Centro Ofcillationis. Cffiterum illorum quoque quœ mari vehuntur, longitudinum invelligandarum gra- tiâ, formam hic defcriberemus, fi quîenam maxime ad hune ufum accommodata fit, £Eque ac in prœcedentibus, exploratumdeterminatuniquehaberemus;etfiquidemjam nunc eo res dedufta fit, ut parum deefi^e videatur ad perficiendum tanta; utilitatis in- ventum. Quidautem & qua fortuna hic tentatum flierit, quidve deinceps tentandum reflet, exponere non pigebit. Prima duo hujusmodi horologia Britannica navi vecfta fuere anno 1664, quîe vir nobilis è Scotia nobisque amicus 3) ad nollrorura excmplum fabricari curaverat. Hac ponderis loco laminam chalybeam habebant in fpiram convolutam, cujus vi rotœ cir|cumagerentur, quemadmodum in exiguis illis quœ circumferri Iblent automatisC/». 17). adhiberi folent. Ut autemjaftationemnavisperferrepoirent,èchalybeapila,cylindro -) Les mots „ceiuro oscillacionis" ont de même été ajoutés par Huygens au texte de l'édition originale. 3) Alexandre Bruce, comte de Kincardine. Voir la p. 193 du T. XVII. ii6 l'horloge X PENDULE. 1673. Description DE l'horloge. de cuivre, et il avait prolongé par en bas et doublé la manivelle qui entretient le mouvement du pendule, lequel était long d'un demi pied, de forte que cette manivelle avait Talpect d'une lettre F renverlée '); cette conllruétion avait évidemment pour but d'empêcher le mouvement de dégénérer en une rotation ce qui pourrait même caufer l'arrêt de l'horloge. Après que ce vaiffcau, avec trois autres qui l'accom- pagnaient dans fon voyage, fut de retour en Angleterre, le Commandant de cette flotte rapporta ce qui fuit '). Apres avoir quitté la côte de la Guinée et être parvenu à l'ile appelée St. Thomas lituée fous la ligne, il dit qu'ayant réglé là fes horloges fur le foleil, il tira vers l'oucil et parcourut fans arrêt environ foixantc-dix milles, après quoi, à la faveur d'un vent iud-oucft, il le dirigea de nouveau vers les cotes de l'Afri- que. Or, lorfqu'il eut parcouru, en fuivant cette direftion, quelque deux cents ou trois cents lieues, les capitaines des autres navires, craignant qu'ils ne manquaffent d'eau potable, lui donnèrent le confeil de fe détourner pour faire équade vers les îles de l'Amérique appelées Barbades. Ayant tenu confeil avec les capitaines et leur ayant ordonné de produire leurs éphémérides et leurs fupputations, il trouva que les calculs des autres étaient bien différents des fiens, l'un s'en écartant de quatre-vingt lieues, l'autre de cent, le troilîèmc encore davantage. Il ajoute que lui-même, puifqu'il avait conclu de l'indication des horloges qu l'île del Fuego n'était qu'à une diilance d'en- viron trente lieues (laquelle île eil une de celles, proches de l'Afi-iquc, qui tirent leur nom du Cap Vert) et qu'il pouvait l'atteindre le jour fuivant, ordonna, ie liant à fes pendules, de faire voile dans cette direftion, et que le jour fuivant vers midi l'île nommée apparut à l'horizon et fervit après quelques heures de ftation aux navires. Voilà ce que ce Commandant rapporta. Depuis ce temps les expériences ont étérépétées, quelquefois par les Hollandais^), d'autres fois par les Français et cela par ordre du Roi, avec un fuccès variable, mais de telle forte que là où le fuccès manquait, ceci doive plutôt être imputé h la négli- gence de ceux à qui les horloges avaient été confiées qu'aux automates eux-mcmes+). Le fuccès fut très grand dans la Mer Méditerranée, dansTexpéditiondeTiledeCrète, où Monfieur le Duc de Bcaufort avait été envoyé avec des troupes françaifes pour porter lecours à la ville de Candie afîîégée par les Turcs, et où il tomba dans le com- bat. Le duc avait dans ion navire des horloges pour faire cette expérience et les avait confiées à un habile aftronome '). Nous avons appris par les obfervations journalières de ce dernier que les longueurs des endroits où les navires abordèrent dans ce voyage ou que les voyageurs purent reconnaître en paflànt furent exactement mefurées à l'aide des horloges, de telle manière que l'on trouve dans les defcriptions géographi- ques qui font réputées les meilleures les mêmes différences des longitudes. On trouva ') Fig. 67 de la p. 166 du T. XVII. -) T. XVII, p. 230. Voir aussi la p. 7 qui précède. 3) Nous ne savons pas à quelles expériences Huygens fait allusion. Voir cependant le premier HOROLOGIUM OSCILLATORIUM, 1673. 117 œneo inclufa, horologiu rufpendcrat, claviilamqiic qux pendiili monim continuât Df^riptio (crac autcm fcmipcdalc longitudine pendiilum) deorfum producfliimgeminavcrat, ut "'^'^^'-ocii. litera.' F invcH-r loniiam rcforrcc '); ne vidclicet in gyrum cvagari poiTct pcndiili motus, unde ceflationis pcriculum. Navis hac, cum tribus aliis quas itineris focias habucrat, portquani in Britanniam rcverfa efl:, Prxfeftus clallis hsc rcculit'). Se ncmpe, cum à Guincx littorc folviflet, atquc ad inCulam, fandti Thoma;diftam,per- vcnifTct, qua.' squinoétiali circuio fubjacet, compoficis hic ad iblem horologiis, occi- dcntem verfus curfum inrtituilTe, acque ad Icptingenta circitcr milliaria continuo tramite progrciïiim, tum rurdis vento favcnte Libonoto ad Africa; littora dcclinaviiïe. Cum autcm ad duccnta trcccntave milliaria co curfum tcnuiiïct, magillrosaliarum navium, veritos ne priulquam Africam actigilTent aquà ad potum deficcrcntur, fua- fiiTc ut ad infulas Americanas, Barbatorum dictas, aquandi gratia dcflefteret. Tum fereconcilionauclcrorumhabito,juflirqueut Ephemeridas ac fupputationes finguli luas proferrent, rcperiiTe cœtcrorum calcules à fuis diverfos abire, unius quidem 80 milliaribus, alterius centenis,terciiampliusetiam. Ipfum vero, cum ex horologiorura indicio collegifTet non airplius quam triginta circiter milliaribus abefle infulam del Fuego dictam, qua- una cil carum, non procul ab Africadiftantium,qua;à Viridipro- raontorio nomen habent, eamque poftero die teneri pofTe; confifum pendulis fuis e6 curfum dirigi imperafîe, ac die infequenti fub meridiem eam ipfam in conipedhim veniiTe iniulam, paucisquc poil horis navibus llationem prîebuiile. Et hîec quidem ex Prsefeéli illius relatu. Ab eo vero tempore aliquocies tum Batavorum 3) tum Gallorum opéra, idque Régis Serenilîimiju(ru,repetitafuere expérimenta, vario eventu, fed ita ut fa."pius negligentia eorum quibus horologia commiffa erant quam iplamet automata culpari poiTent +). Optimus vero ilicceffus fuit in Méditerranée mari, expeditione in Cretam infulam, qu6 illuflriiïimus Dux Belfortius, Candis à Turcisobfeïïkauxiliumlaturus, cum Gallorum copiis miflus erat, ubi & in pralio occubuit. Is in ea qua vehcbatur navi, horologia hujufce experimenti gratiàhabebat, virumque Allronomiœ peritimi ') iis prtefecerat, è cujus obfervationibus, in fingulos dies habitis, longitudines locorum ad qua in ea profcftione aut appulcrunt na|ves, aut qua pratervccii dignofcere ocu- (A 18). lis potuerant, horologiorum operà exafte dimenlas fuifle comperimus, atque ita ut Geographicis defcriptionibus qua melioris nota habentur eademmet longitudinum alinéa de la p. 17 qui précède. En mai 1669 F. W. de Nulandt dit qu'il a l'intention de faire cet été un voyage aux îles de l'Amérique et de prendre avec lui une horloge de la façon de Huy- gens et une de la sienne (T. VI , dernier alinéa de la p. 437). 0 Voif l^s p. 54—55 du T. VII d'après lesquelles Huygens en 1671 se dit convaincu que „le mauvais succès de cette fois [il s'agit du premier voyage de Richer] procède plus de la noncha- lance des observateurs que du deffaut des Horologes". 5) Voir sur les remarques de Huygens au sujet du rapport de de la Voye (qui est sans doute l'„ha- bile astronome" du texte) les p. 501—503 du T. VI et l'Appendice I à la Pars Prima qui suit. ii8 l'horloge à pendule. 1 673. Description par exemple entre le porc de Toulon et la ville de Candie une différence d'une heure l'horloge ^^ '^^ -- "■''"u'^'^^1 <^" d'autres tennes de 20°3o' de longitude, et la même différence à fort peu près en rctoumant de Candie à Toulon: cet accord eft un indice très cer- tain de la vérité Q. Entre le même port de Toulon et une certaine île appelée Maretimo^ fituée près du promontoire occidental de Sicile qui portait autrefois le nom de Lilybée, on a trouvé une différence de temps de 25 min. 20 fec. auxquelles correfpondent 6^20' de longitude. De même depuis Toulon jufqu'à l'île appelée Sapienza, fituée près du Péloponnèfe vers l'occident, on trouva i h. 5 45", auxquelles correfpondent i6°26' de longitude '). Les horloges avaient été examinées le matin par rapport au foleil oriental, le foir par rapport au foleil occidental, l'un et l'autre moment ayant été calculé d'après la hauteur donnée du pôle. Et cette manière femble être la meilleure de toutes lorfque les navires font à l'ancre parce que ces obfervations font faites des yeux feuls fans le fecours d'inftruments -). Quant au pendule qui fe trouvait dans ces horloges, fa longueur était de 9 pouces ') et fon poids d'une demi-livre. Les roues étaient mifes en mouvement par la force de poids et renfermées avec ceux-ci dans une même boîte de la longueur de quatre pieds. Au fonds de la boîte un plomb de cent livres et davantage avait été ajouté, afin que la machine fufpendue dans le navire gardât d'autant mieux fa fituation perpendiculaire. Or, bien que durant ces expériences le mouvement de l'automate fût trouvé fort égal et uniforme +}, nous avons cependant encore entrepris de le perfeétîonner par une autre conftruétion qui était telle. Nous attachâmes avec une petite chaîne artîftement confl:ruite un petit poids à la roue qui a fes dents en façon de fcie et qui efl: la plus proche du pendule, afin que cette roue feule fiit mife en mouvement par ce poids, tout le refte de la machine ne fervant qu'à remettre ce petit plomb à fa hauteur pri- mitive toutes les demi-minutes '); prefqu'en la même façon que l'on peut voir dans la conftruclion de l'horloge expofée plus haut , où le poids efl: élevé en tirant l'une des deux cordes, tandis que par l'autre il communique fa gravité au mouvement de l'horloge. Les chofes étant arrangées de cette manière, c.à.d. l'aClion étant pour ainfi dire concentrée dans une feule roue, il en réfulta une uniformité encore plus grande qu'auparavant et il arriva ceci de remarquable que lorfque nous avions fufpendu à une même poutre foutcnue par deux appuis deux horloges conflruites de cette façon, les mouvements de l'une et de l'autre fe mirent tellement d'accord par coups oppofés que jamais elles ne s'en écartèrent tant foit peu mais que les fons de l'une et de l'autre furent toujours entendus fimultanément; et lors même que cet accord était troublé 5) Voir la note 5 de la p. 1 17 et le dernier alinéa de la p. 50 qui précède. ') Voir la note i de la p. 10 qui précède. -) Voir la note 2 de la p. 2 1 8 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. II9 diffcrentiîe deiignata; repcriancur. Namque inccr Toloni portum Candiamquc oppidum descriptio differL'iitia lior. i . fcnip. 11' reporta fuit, hoc cfl t;Taduuiii longitudinis 20. fcriip. 30'. ""'^'''-"<'"- ac rurl'us h Candia 'roloiuim rcvcrtcntibus diflcrciuia proximc cadem. qui confcnfus certiflimum vcritatis e(l indiciuni '}. Intcr eundcm 'Poloni portum & infulam quandam cuiM^rtY/'/wonomen crt,prope promontorium Sicilia- quod Occidcntem Ipciîtat, Lih'banim olini vocatum, difTcrcntia horaria oblcrvaca cil fcrup. prim. 25, fcc. 20, quibus rcfpoiidcnt gradus longitudinis 6, fcrup. 20'. Item à Tolono ad infulam Sapienza diftam, quse juxta Peloponncfum eft Occidcntem vcrfus, hora i , fcrup. prima 5', foc. 45", quibus refpondent longitu- dinis gradus 16, fcrup. 16 '). Horologia ad folem examinata fuerant , mane ad Orientem , vefpere ad Occidcntem, fupputato ex data poli altitudinc utroque temporis momcnto. Atquc hsc ratio cum naves in anchoris liant omnium optima vidctur, quod, absque inilrumentorum ope, folis oculis ea: obfcrvationes peragantiu- '). Pcndulum vero unciarum novem^) longitudine inerat horologiishifce, pondère femiflis. Rota; pondcrum aaraftu circumagebantur, eademque cumillisthecainclufœ crant quaternum pedum longitudine. In ima theca plumbum infuper ccntrum atque amplius librarum additum erat, quo mclius perpendicularum fitum fufpenfa in navi machina fervaret. Quanquam autem squabilis admodum fibique conllans automati motus per haec expérimenta comperiebatur+), tamen alia quoque rationc ulterius illud perficerc ag- greifi fumus, quœ erat hujufmodi. Rotœ illi quas ferratos dentés habet, penduloque proxima ell, pondus exiguum ex catenula afflibre conftructa appendimus, quo fola ipia moverctur, reliqua orani machina nihil aliud agente quam ut fingulis femifcrupu- lis horariis plumbum illud exiguum ad priorem altitudinem reftitueret '); eadem fera ratione atque in conftruftione horologiifuperiusexpolitavidereert,ubi pondus altère funeattollitur,dumaltcrogravitatemfuamhorologii motui impertit. Quibus ita con- ftruftis, cum veluti ad unicam rotam omnia eiïent redafta, major adhuc quam antea apparuit horologiorum îequalitas, illudquc accidit memoratu dignum, quod cum duo ad hanc formam conllruda ex codcm tigno fufpcndiiïemus, tlgnum vero fulcris duo- bus impoiîtum eflet; motus pendulijutriulque ita idtibus adverlîs inter fe confenferc,(A 'P)- utnunquaminde vel minimum recédèrent, fed utriufque fonus unafemper exaudiretur: 3) La longueur du pendule dépassait donc de deux pouces celle des pendules des remontoirs fabri- quées par S. Oosterwijck en 1664 et 1665 (voir les p. 183 — 184 du T. XVII) qui étaient éga- lement enfermés dans de lourdes boites. L'horloge du duc de Beaufort n'était pas un remontoir; comparez la p. 9 qui précède. D'ailleurs dans le texte Huygens ne mentionne les remontoirs à poids qu'après avoir parlé de l'expédition de Candie quoiqu'ils soient plus anciens. ■*) Voir cependant l'alinéa suivant et l'Appendice II à la p. 21 qui précède. 5) Voir sur le remontoir à poids moteurs les p. 171 — 18: du T. XVII. I20 l'horloge X PENDULE. 1673. DE l'horloge. Description par rintervention de robfervateur, il fe rétabliiïait en peu de temps. Je demeurai quel- que temps émerveillé d'une choie fi extraordinaire; mais après un diligent examen je trouvai enfin que la caule devait être cherchée dans le mouvement, inlenfible il ell vrai, de la poutre. L'explication confiftait donc en ce que les ofcillations des pendules communiquaient quelque mouvement aux horloges chargées de quelque poids que ce tut, et que ce mouvement imprimé enfuite à la poutre avait néceiïairement pour effet que fi les deux pendules ofcillaicnt autrement que par des coups partaitemcnt [Fig.=i.] contraires, ïls devaient cependant néceflairement en venir là, et qu'alors feulement le mouvement de la poutre pouvait ceiïer entièrement '). Toutefois cette caufe n'au- rait pas une efficacité fuftiiante fi les mouvements des horloges n'étaient pas par ail- leurs très égaux et unifonnes. Du refle par les expériences faites dans la traverfée de l'Océan , furtout dans les cas où une tempête aflez forte agitait les flots, il fut établi qu'il faut en premier lieu avoir foin de conferver le mouvement fans interruption des horloges: on remarqua qu'elles fupportaient difficilement une fi grande agitation du navire. C'eft pourquoi nous avons enfin changé d'après un nouveau deffTein la forme du pendule et en même temps la fufpenfion des horloges. Le nouveau pendule a la forme d'un triangle, au fommet duquel, qui eil tourné vers le bas, efl; attaché une lentille de plomb. Les deux autres angles font fufpendus entre des lames cycloïdales. La bafe eft embraflce en fon ■) Voir la note 1 de la p. i85duT. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673, 121 imo fi data opéra perciirbarctur concordia illa, fcmetipfam brevi tcmpore rcduceret. Descwptio Miratus aliquaiidiii rem adeo iniblitam, invcni denique, inllitiito diligenti examine, "•"*o'-o«"- à motu tigni ipliiis, licec haudqiiaquam fcnfibili, caulani peccndam cfTc. Ncmpc pcn- duloriim reciprocationes horologiis, quantolibet pondère gravacis, motum aliquem communicare; hune vero motum, tigno ipfi impreiïlim, neceffario effieere ut (i aliter [Fig. 22.] quam contrariis ad unguem iftibus pendulum utrumquc moveatur , eo tamen necefTario tandem deveniant, ac tum demum tigni motum penitusinterquiefcere '). Qus tamen caufa non fatis efficacité haberet, nifi & horologiorum motus aliunde îequabiliflîmus foret atque inter fe confenticns. Ca;terum experimentis in Oceani navigatione habitis, ac pra^fertim procella vehe- mentiore aquas agitante, compertum fuit primam ac prscipuam curam de motu ho- rologiorum abfque interruptione conrervandohabendameire,quodja(5tationemnavis tantam œgrè tune perferre illa animadverfum fit. Quamobrem nova denique ratione & penduli formam immutavimus, & aliter horologia ipfa fufpendimus. Pendulum trianguliformamhabet,in cujus verticedeorfum fpeclante plumbea lens aflixa efl:. Anguli utrique reliqui filis inter laminas cycloidales iiifpenfi funt. Bafis clavulam bifur- 16 I 22 l'horloge à pendule. 1673. Description point milieu par une baguette fourchée en deux et ell mue par elle; quant h la baguet- l'horloce. ^'^ '■"^''^ '■''-'"^ ''*^" mouvement de la roue foite en façon de fcie qui efi: horizontale. Le mou\'ement de toutes les roues tire fon origine non pas d'un poids mais d'une lame d'acier renfermée dans un barillet '). Dans la figure ci-jointe [Fig. 21] -) le pendule triangulaire ell ABC; B cil la lentille de plomb; ED et FG font les lames cycloïdales. La baguette bifurquée ell I IK ce N la roue dentée en façon de fcie, qui cû la plus baffe des roues de l'horloge. LL font de petites lentilles fervant à régler la marche du pendule. La deuxième figure [Fig. 22] "*) fait voir le mode de fufpenfion: d'abord la boîte AB efl: fixée par deux axes, dont l'un C feulement appurait, au redtangle de fer DE, lequel ell foutenu à fon tour au moyen de fesaxes FG par le gnomon de fer FHKG fennement attaché à l'entablement du navire. Au fond de la boîte on a fufpendu à l'horloge un poids de 50 li\TCs. Par cet arrangement l'horloge garde la pofition ver- ticale quelle que foit la pente du vaiffeau. Or, l'axe C ainfi que l'axe oppofé font pla- cés de telle manière que les points de fufpenfion du pendule décrit font fitués fur la ligne droite déterminée par ces axes, d'où réfulte que le mouvement ofcillatoire du pendule ne peut aucunement mettre l'horloge en branle: rien n'eft plus funellie en général au mouvement d'un pendule que cet entraînement de l'horloge. D'ailleurs l'épaifiTeur des axes CC et FG, qui efl: d'un pouce, et la lourdeur du plomb fufpendu en bas ôtent à l'horloge la trop grande liberté du mouvement et font en forte que fi par hafard elle a été ébranlée par quelque rude fecouffe du navire elle retourne cepen- dant auffitôt au repos et h la pcrpendicularité. Relie à porter la machine ainfi perfeftionnéc en mer et à en flaire l'épreuve -t). Elle nous donne une efpérance prefque certaine de fuccès, parce qu'on a trouvé dans les expériences qu'on a pu faire jufqu'à préfent qu'elle fupporte beaucoup mieux que celles décrites plus haut toutes les diverfités du mouvement. ') Compnrez la p. 16 qui prccède. =) Auprès de cette figure Huygens a annoté en marge: „rune jambe de la fourchette K de- voir passer en deçà de la verge AC". Ce défaut de la figure a été corrigé dans l'édition de 1724 de 's Gravesande. On trouve en marge de l'exemplaire de l'édition originale mentionné dans la note 3 de la p. 92 qui précède plusieurs autres remarques manuscrites de Huygens sur de petites corrections à apporter aux figures. Nous les omettons puisque nous reproduisons ici les figures de 's Gravesande qui a tenu compte de ces remarques. 3) Dans cette figure la vis à gauche et au-dessous du point E est de l'invention de 's Gravesande: dans la figure originale on ne voit en cet endroit qu'une petite circonférence de cercle qui ne peut guère représenter une vis. ^) L'horloge marine à pendule triangulaire n'a peut-être pas été mise à l'épreuve avant 1686 (voir le troisième alinéa de la p. 57 du T. IX) mais alors sa construction ne fut plus exactement la même qu'en 1672; comparez la note 2 de la p. 17 qui précède. Consultez aussi la suite du présent Tome sur les voyages de 1686 et des années suivantes. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 123 ( catani piinfto fui mcdio rccipit ab eaque movetur, illa vero ab rota fcrrata horizonti Descriptio parallela niotiim accipit. Motus rotaruni omnium non à pondère fcd h chalybea lami- ""^"'-ocii. na, tympano inclufa, principium habct '). In ligura adjecla [Fig. 2 1] =)'pcndulum triangularc efl ABC; IcnsplumbeaB; lamina; cydoidalcsED,FG.Clavula|bifurcata (A 20). I IK; rota fcrratis dcntibus N, quae cseteris horologii rôtis inferior cft. Lenticulœ ad tcniperanduni pcnduli motum LL. Sufpenfionis modum altéra hœc figura [Fig. 22] ^) exhibct; ubi theca AB axibus primum duobus, quorum alter C tantum apparet, rcclangulo fcrreo DE inferta eft; quod dcindc reftangulum rurfus axibus fuis FG ierreo gnomonc FIIKG fuftinetur' qui contignationi navis immobilitcr aflixus eft. in ima theca pondus 50 librarum ap- penfum eft. Quibus ita le habentibus, quacunque navis inclinatione perpendicularem pofitum fervat horologium. Axis autem C, cum fibi oppofito, itacollocatifunt,utad reftam lineam refpondeant pundis fufpenfujnum penduli ejus quod diximus: quo fit ut motus ipfius ofcillatorius machinam ncquaquam commovcre pofiit, quo nihil eft alioqui quod magis penduli motum deftruat. Porro axium CC, & FG cra(îitudo,qu£E pollicem tequat, gravitafqjc plumbi inferius appenfi, nimiam movendilibertatcmho- rologio adimunt, taciuntquc ut fi forte fuccuflTu navis graviore commotum flierit, continua ad quietem perpcndiculumque fuum rcvertatur. P> ba^c quidem ita adaptata machina ut in mare deducatur expericntijeque commit- tatur fupereft +), quœ & certam pêne fuccelïïis fpem pra^bet, quod iis qua.» hadenus inftituere licuit experimentis, multo melius quam priores illœ omnera motus diverfi- tatem perferre reperta fit. ,-S^.^.5aL-flè-.SB-^^-gè_-gG- ^.^^j^^j^^ DEUXIÈME PARTIE DE L'HORLOGE À PENDULE. De la Chute des Corps pefants et de leur Mouvement cyclo'idal. HYPOTHÈSES. I. Si la gravité nexiftait pas et qu aucune réfi fiance d''air ne s''oppofait au mouve- ment des corps ^ chacun d'eux continuerait [on mouvement avec une vitejfe uniforme en fuivant une ligne droite. II. Mais maintenant il arrive par VaBion de la gravité., de quelque caufe quelle provienne., que les corps fe meuvent d'un mouvement compofé de leur mouvement uni- forme dans une direction quelconque et de celui de haut en bas qui efî du à la gravité. m. On peut confîdérer ces deux mouvements féparément et fun neftpas empêché par l'autre '). Suppofons qu'un corps pefant C, partant du repos, parcoure en un certain temps F, grâce à la force de la gravité, un el'pace CB [Fig. 23]. Suppofons de plus que le même corps pefant ait reçu d'ailleurs un mouvement par lequel, s'il n'y avait aucune gravité, il parcourrait dans le même temps F d'un mouvement uniforme la ligne droite CD. La force de la gravité s'y ajoutant le corps pefant ne parviendra donc pas de C en D dans le dit temps F mais en un certain point E fitué verticalement au-deffbus de D de telle forte que l'efpace DE eft toujours égal à l'efpace CB; en effet, de cette façon le mouvement uniforme et celui qui provient de la gravité auront chacun leur part, l'un n'empêchant pas l'autre. Quant à la ligne que le corps parcourt de ce mou- vement compofé lorfque la direétion du mouvement uniforme n'efl: pas verticale mais oblique, fa nature apparaîtra par nos confidérations ultérieures. Mais lorfque le mou- vement uniforme CD a lieu de haut en bas fuivant une verticale, il cfl: clair que la ') Voir la note i de la p. 126 du T. XVII, où nous avons remarqué que dans les trois Hypothèses de la Pars Secunda le „principe de la relativité" (pour employer cette expression moderne) n'est pas mentionné aussi expressément que dans les considérations analogues de 1659. HOROLOGII OSCILLATORII (a^O- Pars Secunda. De defcenfu Grav'mm & mottt eorum in Cydoide. HYPOTHESES. I. Si gravitas non effet ^ neque aër motui corporiim offîceret^ unumquodque eorum , acceptum femel motum contimtaturum velocitate aquabili ^fectindum lineam re&am. II. Nunc yero fîeri gravitatis aStione^ undecunque illa oriatur^ iit moveantur motu compofito, ex ceqtiabili qiiem habent in hanc velillam [Fig. 23.] partem^ iii ex motu deorfuin à gravitate profe&o. D D III. Et horum utr unique feorfim conftderari poffe^ neque alterum ab altero impediri '). Ponatiir grave C è quiète dimifTiim, certo terapo- re, quod dicatur F, vi gravitatis traniîre Ipatium CB [Fig. 23]. Ac rurfus intelligatur idem grave accepifle alicimde motum quo, fi iiuUa effet gravitas, tranfiret pari tempore F motu œquabili lineam reftam CD. Accedente ergo vi gravitatis non perveniet grave ex C in D, dicte tempore F, fed ad punftum aliquod E, recta liib D fitum, ita ut fpatium DE femper œquetur fpario CB, ita enim, & motus îequabilis, & is qui à gravitate oritur fuas partes peragent, altero alterum non impediente. Quamnam vero lineam, compofito iUo motu, grave percurrat,cum motus requabilis non recta lurfum aut deorllim fed in obliquum tendit, è fequentibus definiri poterit. Cum vero deorfum in perpendiculari contingit motus squabilis CD, | ap-C/»- paret lineam CD, accedente motu ex gravitate, augeri 126 l'horloge X PENDULE. 1673. DES CORPS GRAVES, De la chute ligne CD eft augmentée d'une droite DE par l'effet de la gravité. De même, lorfque le mouvement unifomic CD efl dirigé de bas en haut, il eft évident que la môme lon- gueur CD ell diminuée de la longueur DE de forte qu'après le temps F le corps fe trouve toujours au point E. Que fi, dans l'un et l'autre cas, nous confidérons féparé- ment les deux mouvements en admettant, comme nous l'avons dit, que l'un n'eil nullement empêché par l'autre, il nous léra poiïible d'en déduire la caufeetlesloisde l'accélération descorps pcfants.Premièrementnousferonsvoirlesdeuxchofesfuivantes. PROPOSITION P). Dans des temps égaux les accroijjements de la vitejj'e d^im corps tombant font tou- jours égaux et les efpaces parcourus durant des temps égaux depuis le commencement de la chute forment une férié dont les diff'érences fuccejjtves font confiantes. [Fig. 24.] Suppofons que quelque corps, partant du repos en A, foit tombé dans le premier temps par l'elpace AB [Fig. 24] et ait acquis lorfqu'il eft parvenu en B, une vitcfle avec laquelle il pourrait enfuite pendant le deuxième temps par- courir d'un mouvement uniforme un certain efpace BD. Nous favons donc que l'efpacc qui fera parcouru pendant le fécond temps fera plus grand que l'efpace BD puifque, même fi toute adion de la pefanteur ceiïait en B, l'efpace BD fe- rait parcouru. Actuellement le corps fera animé d'un mouvement compofé du mouvement uniforme par lequel il pourrait parcourir l'efpace BD et du mouve- ment des coi-ps tombants par lequel il doit nécefiairement defcendre d'une lon- gueur égale à l'efpace AB mentionné plus haut. Nous favons donc que le corps parviendra dans le deuxième temps jufqu 'au point E, obtenu en ajoutant à BD une longueur DE égale à AB. Or, fi nous demandons quelle viteiTe le corps pofiede en E au bout du deu- xième temps, nous trouverons qu'elle devra être double de la viteffc qu'il avait en B au bout du premier temps. En effet, nous avons dit que le corps fe meut d'un mouvement compofé d'un mouvement unifonne avec la viteïïe acquife en B et du mouvement produit par la pefanteur; et ce dernier, étant évidemment le même dans le deuxième temps que dans le premier, doit avoir donné dans le cours du deuxième temps au corps pefant une viteffe égale à celle qu'il avait reçue à la fin du premier. Or, comme il a confervé intégralement la viteffe qu'il poffédait à la fin du premier temps, il apparaît qu'à la fin du deuxième il poffé- dera deux fois la viteffe acquife au bout du premier, en d'autres termes il aura une viteffe double. Que fi, étant parvenu en E, le corps ne faifait autre chofe que continuer fon mouvement avec une viteffe uniforme, telle qu'il l'avait acquife en ce point, il apparaît que dans le troifième temps égal aux précédents, il parcourrait l'efpace EF double de BD, puifque nous avons dit que ce dernier eff parcouru avec une viteffe deux fois plus petite d'un mouvement uniforme et dans un temps égal. Mais lorfque D 71 H K HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. I 27 rcfta DE. Item, cum furfum tendit motus jequabilis CD, ipfam CD diminui reda DE, De descensu ut ncmpc, pcrarto tcmpore F\ grave inveniatur fcmper in punéto E. Quod fi, utro- '^'^*^"^*'" que hoc cal'u, fcorfim, uti diximus, duos motus conlidcrcmus, altcrumquc ab altero nuUo modo impcdiri cogiccmus, hinc jam accelcrutionis gravium cadcntium caufam legesque reperire licebit. Et primum quidem duo ifta fimul oftcndcmus. PROPOSITIO !■). Mqualihus temporibus aquales celeritatis partes gravi cadenti accrefcere ,& fpa- tia cequalibus temporibiis ab initio defcenfus emenfa^ aiigeri continue œquali excejfu. Ponatur grave aliquod, ex quiète in A, primo temporelapfumefleperrpatium AB [Fig. 24], atque ubi pervenit in B, acquifiviiïc celeritatem qua deinceps, tempore fecundo, motu a^quabili, percurrcrc pofTct fpacium quoddam BD. Scimus ergo fpati- um fecundo tempore peragendum majus fore fpatio iîD, quia vcl cédante in B omni gravitatis aftione fpatium BD percurreretur. Feretur vero motu compofito ex squa- bili quo percurfurum effet ipatium BD, & ex motu gravium cadentium,quodeprimi neceffe eft per lpa|tium ipfi AB a.'quale. Quare ad BD addita DE, squali AB,fcimus(/>- 23). tempore fecundo grave pervcnturum ad E. Quod fi vero inquiramus quam velocitatem habeat in E, in fine fecundi temporis, eam inveniemus duplam ePc debere velocitatis quam habebat in B fine temporis primi. Diximus enim moveri compofito motu ex œquabili cum celeritate acquifita in B, & ex motu à gravitate producto, qui cum tempore fecundo idem plane fit ac pri- mo, ideo decurfu temporis fecundi œquulem celeritatem grax'i contulifie débet atque in fine primi. Quare cum acquifitam in fine primi temporis celeritatem confervaverit integram, apparet in'fine fecundi temporis bis eam celeritatem ineiïe quam acquifive- rat in fine temporis primi, five duplam. Quod fi jam, poftquam pervenit in E, pergeret deinceps tantum moveri celeritate sequabili, quantam illic acquifivit, apparet tempore tertio, prioribus îequali, percur- furum fpatium EF, quod duplum futurum fit fpatii BD; quia hoc percurri diximus dimidia hujus celeritatis, motu îequabili, & temporis parte squali. Accedente autem ') Comparez le § i à la p. 125 du T. XVII. La Fig. 24 correspond à la Fig. 31 de la p. 127 (voir aussi la note 3) du T. XVII. 128 l'horloge À PENDULE. 1 673- DES CORPS GRAVES. De la chute l'aftion de la gravité s'y ajoute, il parcourra dans le troifième temps outre refpace EF encore un efpace FG égal à AB ou DE. Au bout du troifième temps le corps fe trouvera donc en G. En ce point il aura une vitcdc triple de celle qu'il avait en 13 au bout du premier temps, puifque outre la viteflTe acquife en E dont nous avons dit qu'elle était le double de la vitelFe acquife en B, la force de la gravité y a ajouté de nouveau dans la cours du troifième temps une vitcffe égale à celle qu'elle lui avait donnée à le fin du premier temps. C'efi: pourquoi l'une et l'autre viteffc, au bout du troifième temps, conftitueront enfemble une viteïïe triple de celle qui exiftait à la fin du premier temps. On démontrera de la même manière que pendant le quatrième temps un efpace GH triple de l'efpace BD doit être parcouru, et fimultanément un efpace HK égal à AB; et que la vitefTe en K au bout du quatrième temps fera quadruple de celle qui exiilait en B à la fin du premier. Ainfi il ell manifefte que les efpaces quelconques que nous pourrions confidérer enfuite, nous voulons dire les efpaces parcourus chacun dans un temps égal, croîtront d'une même différence égale à BD; et qu'en même temps les vitefles augmenteront uniformément chaque fois que le temps augmentera d'une même quantité. PROPOSITION II'). U efpace par-couru pendant 1112 certain temps par un corps qui commence fa chute en partant du repos efl la moitié de r efpace que ce corps pourrait parcourir d'un mouvement uniforme avec la vitefe acquife par la chute au bout du temps conftdéré. Faiibns les mêmes hypothèfes que dans le cas de la propofition précédente, où AB [Fig. 24] était l'efpace parcouru pendant un certain temps parlin corps tombant du point A, et BD l'efpace qu'il était cenfé parcourir dans un temps égal avec une vitcfle uniforme, favoir la vitefie acquife à la fin du premier temps, en d'autres termes au bout de l'efpace AB. Je dis que l'efpace BD eil le double de AB. En effet, comme les efpaces parcourus par le corps tombant pendant les quatre premiers temps égaux font AB, BE, EG et GH, lefquels ont être eux une certaine proportion , fi nous prenons le double de chacun de ces temps, de forte que nous con- fidérons comme le premier temps les deux pendant lefquels les efpaces AB, BE ont été parcourus, et comme le fécond les deux autres pendant lefquels furent parcourus les efpaces EG, GK, il faut que les efpaces AE et EK parcourus dans des temps égaux par un corps parti du repos, foient entre eux comme les efpaces AB et BE également parcourus dans des temps égaux par un corps parti du repos. Comme on a donc AB : BE = AE : EK et, par converfion, KE : EA = EB (ou DA) : AB, on aura aufil par divifion: DB eft à BA comme la différence de KE et de EA efl: à EA. Or comme, d'après ce qui a été démontré dans la propofition précé- dente, KE efl égal au double de AB augmenté du quintuple de BD, et que EA efl: égal tant au double de AB qu'à BD, il apparaît que la dite différence KE — EA efl HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 129 rurriis gravicatis adione, pcrcurrct rcmporc tertio, prêter Ipatium ICF, ctiam fpatiiiin Ue uesce.vsu FG, iplî AB vol DK a.-quulc. Itaquc in linc tcrtii tcmporis j;ravc invcnictiir in G. '''^•^^"^•'^'• Vclocitatem vcro hic hahcbit triplam jam cjiis qiiani habcbat in H, in (inc primi tcm- poris: quia pratcr cclcritatcm acquiiitani in E, qwam diximus diiplam elle acquifitte in H, vis gravitacis, tcmporis tcrtii dccurlli, ccqualcm rurfus atqiie in fine primi ccle- ritatcm contiilit. Quamohrcm utraquc cclcritas, in linc teniporis tcrtii, triplam cclc- ritatem conil;itiicc cjus qiiœ fucrat in fine tcmporis primi. l'.odcm modo ofkndctiir temporc quarto pcragi dcbcrc & fpatium GH triplum Ipatii BD, & fpatium IIK ipli AB a-qualc: velocitatemquc in K, in fine quarti tcm- poris, fore quadruplam cjus qute fuerat in B, in fine tcmporis primi. Atque ita fpatia quotlibct deinccps confiderata, qutc œqualibus temporibus pcracta fuerint, a;quali cxcclîu, qui ipfi BD a^qualis fit, crcfccrc manifcihmi cfi:, fimulquc ctiam vclocitates per a.'qualia tcmpora a.'qualiter augcri. PROPOSITIO II')- Ca=4> Spathtm perû&itm certc tempore à gravi ^ è quiète caftim inchoante^ diwidiimi eft ejtis fpatii quod pari tempore tranfiret motu cequabili^ ciim velocitate quant acquifi- vit ultimo cafus momento. Ponantur qua.' in propofitione pra;cedenti, ubi quidem AB [Fig. 24] erat ipatium ccrto temporc, à gravi cadence ex A, pera(5lum. BD vero fpatium quod pari tempore tranfiri intelligcbatur celcritate îequabili, quanta acquifita erat in fine primi temporis, feu in fine fpatii AB. Dico itaque fpatium BD duplum edc ad AB. Quum cnim fpatia primis quatuor îequalibus temporibus à cadence cransmifTa fine AB, BE, EG, GH, quorum incer le certa qusedam eft proportio : fi eorum temporum dupla tempera fumamus, ut nempe pro primo tempore jam accipiancur duo illa quibus fpacia AB, BE, perafta fuerc; pro fccundo vero tempore duo rcliqua quibus perafta fuere Ipacia EG, GK, oportec jam fpatia AE, EK, qu£ funt squalibus temporibus à quiece perafta, inter fc elfe ficuc fpacia AB, BE, quœ squalibusicem cemporibus à quiecc percurrcbantur. Quum igitur fit uc AB ad BE, ica AE ad EK; & convercendo, ut EB five DA ad AB ita KE ad EvV: erit quoque, dividende, DB ad BA ut excelTus KE fupra EA ad EA. Quum fie autem, ex oftenfis propofitione pracedenti, KE sequalis tum dupla; AB, cum quincuplœ BD: EA vero squalis cum duplœ AB, cum fimplici BD;apparec diftum exceflum KE fupra EA îequari quadrupla BD. Sicuc igicur DB ad BA ica cric ') Comparez la fin du § i (p. i 28, avec la note 1} et le §2 (p. 128— 130) du T. XVII. 17 l'horloge X PENDULE. 1673. DES CORPS GRAVES B Z De la chute égale à quatre fois RD. Donc DB : BA = 4DB : EA. Par conféquent on aura EA = 4BA. Mais le mcnie el'pacc EA cil égal, comme nous l'avons dit, au double de AB augmenté de BD. BD cil donc égal au double de AB. C. Q. F. D. PROPOSITIONIII. Deux efpaces parcourus par un corps tombant dans des temps quelconques^ dont chacun e fi pris depuis le commencement de la chute ^ font entre eux comme les carrés de ces temps ^ ou bien comme les carrés des vitejjes acquifes. [Fig. 24.] En effet, comme il a été démontré dans la propofition précédente que les A-T efpaces AB, BE, EG et GK [Fig. 24] en nombre quelconque, parcourus dans des temps égaux par un corps tombant, croifTent par un excès égal, lequel a la valeur BD; il apparaît maintenant, puifque BD = 2AB, qu'on aura BE = 3 AB, EG = 5 AB, GK = 7AB, et qu'en général les efpaces parcourus augmen- teront fuivant la férié des nombres impairs à partir de l'unité i, 3, 5, 7, 9, etc.; et comme un nombre quelconque de ces valeurs prifes confécutivement font un carré dont le côté ell: égal à ce nombre quelconque lui-même (p.e. la fomme des trois premières efl neuf, celle des quatre premières feize, etc.), il s'enfuit que les efpaces parcourus par un corps tombant ec pris chacun à partir du com- mencement de la chute, font entre eux en raifon double des temps de chute, bien entendu fi l'on prend des temps commcnfurables. Or, la démondration peut aifément être étendue aux temps incommenfura- bles eux audî. En effet, conlidérons des temps de ce genre ayant entre eux un rapport égal à celui des longueurs AB et CD [Fig. 25] et foient E et F les es- paces parcourus dans ces temps pris l'un et l'autre depuis le commencement de la chute. Je dis que l'efpace E fera à l'efpace F comme le carré de AB efl: à celui de CD. Car fi cela efl: nié : que l'efpace E ait d'abord à l'efpace F un rapport fupérieur à celui de AB- à CD% favoir celui de AB' à CG-, CG étant pris inférieur à CD. Qu'on ôte de CD la partie DH moindre que DG — CG et telle que le refle HC foit commenfurablc avec AB; car il efl: certain que ceci efl: pofllble. On aura donc CH > CG. Mais comme le carré du temps AB efl à celui du temps CH, ainfi efl l'efpace E parcouru pendant le temps AB à l'efpace par- couru pendant le temps CH, d'après ce qui a été démontré plus haut. Mais l'efpace F, parcouru pendant le temps CD, efl plus grand que celui parcouru pendant le temps CH. Or, E : F = AB' : CG- par hypothèfe; par conféquent le rapport AB- : CG' fera auffi inférieur au rapport AB' : CH'; il en réfulte que le carré de CG H K HOROLOGIL'M OSCILl-ATORIL'M. 1673. 13' quadrupla DB ad EA: iindc EA quadrupla crit ipfius BA: cadem vcro EA squatur,DE dp,scp.nsc uti dixinuis, & dupla- AB & fimplici 151). cri^o B]) duplje AB œqualis erit; quod crat'''^'^ "'"*'• dcmonflrandum. PROPOSITIO m. (;>. 25). Spatiadm^ à gravi cadente quibuflUhet tcmporibm transmijfa^ quorum utrumque ab initio defcenfus accipiatur Jiint intcr je in ratione duplicata eorundem temporum^ five ut temporum quadrata^five etiam ut quadrata celer itatum in fine [Fig. 25.] cujusque temporis acquifitarum. B^ £ Ct H K Quum cnim oftenfum fit propofitioncantecedenti fpatia A13, BE, EG, GK [Fig. 24], quotcunque flicrint, jequalibus tempnrihus à ca- dence, perada, crcfcerc xquali excefl'u, qui excelTus fit ipfi liD Ecqualis: Patet nunc, quoniam BD o(l dupla AB, Ipatium BE fore triplum AB; EG quintuplum cjufdem AB; GK ieptuplum;aliaquedeii]cepsau<5lum iri fecundum progrefilonem numerorum imparium ab unitate, 1,3,5, 7, 9, &c. cumque quotlihet horum numerorum, fclc confequentium, f'umma faciat quadratum, cujus latus efi ipfa adfumptorum numerorum multitude (velut fi très primi addantur, facient novem, fi quatuor fex- decim) fequiturhinc fpatia, à gravi cadentetranfmiiïa, quorum utrum- que à principio cafus inchoetur, eiïc inter fe in ratione duplicata tem- porum quibus cafus duravit, fi nempe tempora commcnfurabilia fuman- tur. Facile autem & ad tempora incommenfurabilia demonftratio exten- dctur. Sint enim tempora hujufmodi, quorum inter fe ratio ea quse linearum AB, CD [Fig. 25]. Ipatiaque temporibus his transmiffa fint E, & F, utraque nimirum ab initio defcenfus adfumpta. Dico efle, ut quadratum AB ad quadratum CD, ita fpatium E ad F. Si enim negetur; habeat primo, fi potefl, fpatium E ad F majorem rationem quam quadratum AB ad quadratum CD, nempe eam quam quadratum AB ad quadratum CG, fumta CG minore quam CD, & à CD auferatur pars DH, minor quam DG excelTus CD fupra CG, at- que ita ut reliqua HC commenfurabilis fit ipfi AB; hoc enim fieri polTe confiât. Erit ergo CH major quam CG. Atqui ut quadratum temporis AB ad quadratum temporis CH, ita fpatium E, quod tempore AB peraétum efl, ad fpatium pcraftum tempore CH, per fuperius oftenfa. Hoc vero fpatio majus efi; illud quod tempore CD percurritur, nempe fpatium F. ergo fpatii E ad fpatium F minor elt ratio quam quadratri AB ad quadratum CH. Sicut autem fpatium E adF,itaponebaturefre quadratum AB ad quadratum CG, ergo minor quoque erit ra|tio qua-(A :<5). draciAB ad quadratum CG, quam quadrati AB ad quadratum CH, 132 l'horloge X PENDULE. 1673. DES CORPS GRAVES. De la chute eft plus grand qu le carré de CM, ce qui eft abfurdc puifque nous avons pofé CH > CG. Ainfi le rapport E : F n'eft pas fupérieur à AB" : CD". Qu'il lui foit donc inférieur, fi cela le peut; et foit le rapport de refpace E à Tefpa- ce F le même que celui du carré AB au carré CL , CL étant pris plus grand que CD. Otons de CL LK, plus petit que LD, c.à.d. que CL — CD, de telle manière que le refte KC foit commenfurablc avec AB. Comme l'efpace E, parcouru dans le temps AB, eft à Teipace parcouru dans le temps CK comme le carré du temps AB eft au carré du temps CK, mais que l'efpace F parcouru dans le temps CD eft inférieur à l'efpace parcouru dans le temps CK, le rapport de l'efpace E à l'efpace F fera fupé- rieur à AB= : CK^ Mais E : F = AB= : CL= parhypothcfe. Donc AB= : CL= > AB' : CK% et par conféquent CL= > CK. Par conféquent il eft également faux de dire que E : F < AB' : CD'. Il eft donc néces- faire que ces deux rapports foient égaux. Enfin, attendu que les vitefl'es acquifes au bout des temps AB et CD font entre elles cormtie ces temps, il apparaît que le rapport des efpaces E et F eft aufii le même que celui des carrés des temps AB et CD pendant lefquels ils ont été parcourus. La propofition eft donc démontrée. [Fig. 24.] PROPOSITION IV). Lorfquun corps pefant aura commencé à tendre vers le haut avec la vitejje ûcquife à la fin de fa chute ^ il arrivera qiiil parcourra dans des temps égaux en remontant les efpaces parcourus d"" abord en defcendant et quil s"" élèvera de cette façon jufqu à la hauteur dont il était tombé. Déplus il arrivera quen des parties égales de temps il perdra des quantités égales de viteffe. En effet, que l'on confidère, comme dans le cas de la Prop. II, des efpaces en nombre quelconque parcourus en tombant depuis le repos dans d'égales du- rées de temps, dont l'efpace AB [Fig. 24] foit le premier, et dont le deuxième foit la fomme de BD , qui pourrait être parcouru uniformément avec la vitelTe acquife paf la chute AB, et de DE égal à AB, tandis que le troifième eft la fom- me de EF, double de BD, et de FG, égal à AB; le quatrième la fomme de GH = 3BD et de HK de nouveau égal à AB, et ainfi de fuite s'il y en a encore davantage. Je dis que lorfque le corps remonte, il devra parcourir de nouveau les efpaces KG, GE, EB, BA dans des temps égaux aux temps refpeftifs de la defcente, en commençant fon afcenfion avec la vitefle qu'il avait acquife à la fin de la chute au point K. Pour être plus court, je défignerai de nouveau chaque vitefle par la longueur de l'efpace que le corps pourrait parcourir avec cette vitefl'e dans un élément de temps pareil à ceux confidérés dans le cas de la defcente. D'après ce qui a été démontré dans la propofition précédente, le corps, lorfqu'il eft parvenu en K, poflede une vitefl"e GH -f BD ou KF, puifque KF = HG -|- BD; en effet, les parties HK et FG font l'une et l'autre égales à AB et HOROLOGIL'M OSCJLLATORIUM. 1673. 133 ac proindc quadnuiim CG majus qiiadrati)CM;quodellabfurdiim,quum CH major De descensu dirta (le quam CG. Non habet igitur Ipatiiim K ad F majorcm rationem quara qua-'^'^-^^"-''^- dracum AB ad qiiadratiini CD. Habeat jam, fi potcft, minorem; fitque ratio (pacii E ad F eadem quœ quadrati AIÎ ad quadraciim CL, fumptà CL majore quam CD, & à CL aiifcratur LK minor cx- ccilii LD, quo CJ) llipcratur à CL, atquc ira ut rcliqua KC fit commcnfurabilis AB. Quia crgo ut quadratum temporis AJi ad quadratiim temporis CK, ita cfl fpatium E, peraftum tempore AB, ad fpatium pcractum tcmporc CK. IIoc veroipatio minus eft fpatium peraétum tcmporc CD, ncmpc fpatium F. crit proindc fpatii E ad F major ratio quam quadrati AB ad quadratum CK. Sicut autcm fjjatium E ad F, ita poncba- tur efie quadratum AB ad quadratum CL. Ergo major erit ratio quadrati AB ad qua- dratum CL quam cjufdem quadratri AB ad quadratum CK, idcoquc quadratum CL minus crit quam qu. CK. quod ert abfurdum, quum CL major fit quam CK. Ergo neque minorem rationem habet fpatium E ad F quam quadratum AB ad quadratum CD. quare nccciïc eft ut candem habeat. Porro cum cclcritatcs in fine tcmporum AB, CD acquifitte fint intcr fc ficut ipfamct tcmpora; apparet rationem fpatiorum E ad F candem quoquc cile qute quadratorum temporum AB, CD, quibus transmida funt. Itaque conftat propofitum. PROPOSITIO IV). Si grave celeritate ea quam in fine defccnfm acqtiifivit furfum tendere caperit^ pet ntparibus temporis partihus ^fpatia qiiapriiis furfum, eadem deorfum tranfeat, adeoque ad eandcm un de defcenderat altitudinem afcendat. Item ut œqualihus tempo- ris par tibus aqualia amittat cekritatis moment a. Sunto cnim ut in propofitione 2, fpatia quotlibct, cequalibus | temporis partibusC/"- 27). cadendo c quietc peratta, quorum primum AB [Fig. 24]; fecundum compolitum ex BD, quod celeritate œquabili acquifita per AB tranleundum crat, & ex DE ipfi AB asquali; tertium compofitum, ex EF, duplo ipfius BD, & ex FG, eidem AB aquali; quartum compofitum ex GM, triplo ipfius BD,&exHKipfiitidem ABsquali,atque eadem ratione porro crefcentia, fi plura fuerint. Dico totidem a^qualibus ccmporibus eadem fpatia KG, GE, EB, BA, fingula fingulis peragenda efte à gravi furfum ten- dente , atquc incipiente cum celeritate in fine defcenfus K acquifita. Brevitatis autem gratia celeritas quœque defignetur deinceps longitudine Ipatii quod grave motu œquabili, cum celeritate illa, atque temporis parte una, quales in defcen- fu confideravimus, tranfmiflurum effet. Itaque ex oftenfis diéta propofitione, cum in K grave pervenerit, habet celeritatem GH auftam celeritate BD, hoc eft celeritatem KF, quia KF squatur ipfis HG, BD, ilint enim partes fingulœ HK, FG, squales ipfi AB, ac proinde utraque fimul ipfi BD, •) Comparez le § 4 à !a p. 130 du T. XVII. I 34 l'horloge X PENDULE. 1673. ■ ^ '■ . — - ■■■ . y...— , Il . . De la chute par confcquent leur fonime eft égale à BD, que nous avons démontré dans la Prop. II CR u-Es""* être le double de AB. Par conlequcnt il au bouc de la chute le corps, invertiflant la vitelTe verticale acquife en K, s'élevait d'un mouvement unifonne, il parcourrait Pelpace KF en un élément de temps. Mais, puifque l'aftion de la gravité s'en mêle, fon afcenfion KF fera diminuée d'un efpace FG égal à AB, comme cela refibrt de l'énoncé d'une de nos hypothèfes initiales. Pendant le premier élément de temps le corps ne montera donc qu'à la hauteur KG dont il était defcendu dans l'élément de temps précédent. Mais il efl néceflaire qu'en même temps la viteffe ait diminué de BD, qui eft la viteffe acquife par une chute d'un élément de temps. Lorfque le corps fera remonté jufqu'en G, il lui relie donc une vitefîe HG, puifqu'au début de l'afcen- fion il polTédait une vitelTe HG + BD. Or GD = HG, puifque HG = FE + DB = FE + 2AB = FE + FG + ED. Par conféquent, fi le corps montait de G d'un mouvement uniforme avec la viteffe qu'il poffède en ce point . il parcourrait l'efpace GD en un élément de temps. Mais grâce à l'aftion de la pefanteur cette hauteur fera diminuée de l'efpace DE égal à AB. Pendant le deuxième élément de temps le corps s'élèvera donc d'un efpace GE, le même qu'il avait parcouru en tombant dans un élément égal de temps. En même temps il faut qu'il ait perdu de nouveau une partie de la viteffe égale à celle qui corrcfpond h une chute d'un élément de temps, fa voir la viteffe BD. Lorfqu'il fe fera élevé julqu'en E, il a donc la viteffe FE qui efi: égale à la différence GD — BD. Car BD, comme nous l'avons déjà dit, cfl égale a la fomme DE + FG. Or, on a FE = EA, puifque FE = 2BD, en d'autres termes FE = BD + 2AB = BD + AB + DE. Par conféquent fi le corps continuait à monter à partir de E d'un mouvement unifonne avec la viteffe qu'il a en ce point, il parcourrait l'efpace EA en un élément de temps. IMais puifque la gra\'ité exerce fon aétion, cette hauteur fera diminuée de l'efpace AB. Par conféquent pendant cet élément de temps il ne montera que d'une hauteur EB, efpace qu'il avait aufil parcouru en dcfccndant dans un élé- ment égal de temps. En ce moment il doit néceffaircment avoir perdu de nouveau ime viteffe telle qu'il pourrait l'acquérir en tombant durant un élément de temps, c.à.d. la viteflè BD. Par conféquent le corps arrivé en B a pour relie de viteffe la vi- teffe BD, tandis qu'en E il avait la viteffe FE double de BD. S'il continuait donc à monter à partir de B avec une viteffe confiante telle qu'il la poffède en ce point, il parcourrait en un élément de temps un efpace égal à DB ou 2AB. Mais par l'effet de la gravité cette hauteur efi diminuée d'un efpace égal à AB. Pendant cet élément de temps le corps ne montera donc que de BA qu'il avait auffi parcouru en defcendant pendant le premier élément de temps. Et à la fin du dernier élément de temps confi- déré ici le corps fe trouvera néceflairement au point A. IMais quelqu'un dira peut-être qu'il s'eft élevé plus haut que le point A et eft retombé à partir de là. Ceci toutefois ferait abfurde puifqu'il ne peut, par un mouvement dû à la gravité, monter à une plus grande hauteur que celle dont il était defcendu. D'ailleurs comme de la viteffe qu'il avait en B la portion BD a été anéantie, il ell évident que lorfque le corps atteigmait IIOROLOGIUM OSCILLATORIUM, 1673, i or qiiam cOc duplum AB oRcndimus propontionc 2. Itaquc ccleritatemin finedcfcenfus De descf.nsu K acqiiifitam furhim convcrtciido, (i ti;ravc a-quabili motii fcrrcciir, conflccret una ''"'''"''•"• tcmporis parte Ipatium Kl\ Atqiii, t;ravitatis acti.jiic acccdcntc,dimimicciirafccnfus KF fpatio FG ipfi A13 a.-quali, ut patet ex diftis ad hypothdin initio fiimptam. Ergo parte prima tcmporis afccndct grave tantum pcr !<(}, quo eodem fpatio parte tem- poris noviflima defcenderat. Simul vero & celeritati tantum dcceiiinb ncccirc eft, quantum acquiritur temporis parte una dcorfimi cadendo, hoc elU-elcritatem Bd! Itaquc grave, ubi ad G afecndcnt, habet celcritatem rcliquam HG,cum initio afcen- (us iiabucrit celcritatem 1 IG una cum celeritatc BI). VA autcm ipii I IG a.'qualisGD; quiun îcquctur ipfi FE una cum 1)B, hoc cltuna cum dupla AB, hoc cil una cuni duabus FG & ED; Ergo fi ex G, cum celeritate œquabili, quantam illic habct, airfum pergcret, conficcret una parte temporis fpatium GD. Accedencc autem gravitatis aftionc, dimiiuietur afcenilis ifie Ipatio DE, ipfi An a^quali. Ergo, hac fecunda parte tcmporis, alcendet per fpatium GE, quod fimili tcmporis parte ctiamcadcndo tranfi- crat. Simul autem celeritatc tantum deceflifib denuo débet quantum tcmporis parte una ex caiu acquiritur; ncnpc ccleritas Bl). Itaquc ubi ufquc ad|E afecndcnt, habet (A 28). duntaxat celcritatem FE,qu£enimirumrclinquitur quum à celeritatc GD aufertur ccleritas BD. Nam BD, ut jam diximus, sequalis eft duabus DE, FG. Eli autem ipfi FE a^qualis EA, quum FE a^quetur ipfi BD bis fumptae, hoc cdipfi BD una cum dupla AB, hoc cil una cum duabus AB, DE. Ergo fi ex E cum celeritate squabili,quantam illic habet, furfum pergcret, confeéiurum cfict una temporis parte fpatium EA. Sed accedente a(flionegravitans,diminueturafcenfusifi:eipfo fpatio AB. Proinde hac parte temporis per fpatium EB tantum afcendet, quod fimili parte tcm- poris defccndendo quoque tranfierat. Hic vero rurfus celeritati tantum deccflifi'c ne- cefTe ell quantum una temporis parte cadendodeorlum acquiritur, hoc eft celcritatem BD. Itaquc grave, ubi ufquc ad B afcendcrit, habet celcritatem ipfam BD rcliquam, cum in E habuerit celeritatem FE ipfius BD duplam. Si ergo ex B cum celeritate se- quabili, quantam illic habet, furfum pergcret, confcclurum elTet parte una temporis fpatium squale ipfi DB, hoc eft duplum AB. Sed accedente gravitatis aétione, dimi- nuitur afcenfus iilc fpatio quod ipfi AB tequale fit. Igitur hac parte temporis afcendet tantummodo per ipatium BA, quod etiam primo defcenfustemporetransicrat. Atque in fine quidem extremi tcmporis hujus neceiTario grave in A punélo reperietur. Sed dicetur forfan altius afcendilTe quam ad A, atque inde eo rckpfum efTe. At hoc ab- furdumefi:et,cumnonpoirit,motuà gravitate profeéto, aldus quam unde decidit aicendere. Porro quum celeritati quam in B habebat rurfus deceficrit ccleritas BD, 136 l'hORXOGE X PENDULE. 1673- De la chute A il ne lui reftait aucune viteiTe et que par conféquent il n'a pu s'élever plus haut. Il DES CORPS ^,j^ ^^j^^ démontré qu'il cil parvenu h la hauteur même dont il était tombé et qu'il a GRAVES. T t ^ T de nouveau parcouru chacun des divers elpaces (qu'il avait travcrl'és en defcendant en des éléments de temps égaux entre eux) dans des temps d'alccnfion de même du- rée; et il s'eft montré de plus que dans des éléments égaux de temps il a perdu des quantités ég-ales de viteffc. La propoiition ell donc prouvée. Or, comme il a été admis dans la démonllration de la Prop. II, dont la propofition précédente dépend, qu'il exifte un rapport déterminé entre les efpaccs parcourus par un corps tombant dans des temps confécutifs égaux, et que ce rapport cil le même quels que foient les temps égaux confidérés — ce qui doit être ainfi d'après la nature du phénomène et, fi on voulait le nier, il faudrait avouer que la recherche du rapport de ces elpaces eil vaine ') — cependant, comme la propofition peut aulfi être démon- trée fans ce prémicc, en l'uivant la méthode de Galilée, il fera utile de fonnuler ici plus correctement la démonllration qu'il a donnée dans une forme moins parfaite ^). Nous démontrerons donc de nouveau la PROPOSITION V. Uefpace parcouru pendant un certain temps par un corps qui commence fa chute en partant du repos ejl la moitié de Vefpace que ce corps pourrait parcourir d'tin mouvement uniforme avec la viteffe acquife par la chute au bout du temps confdéré. Soit AH [Fig. 26] le temps de la chute entière; puifie le mobile avoir parcouru en ce temps une dillance dont le plan P indique la grandeur. De plus, en tirant HL, de longueur quelconque, perpendiculairement à AH 3), nous admettons que cette lon- ') Comparez la p. 128 (avec la note i) du T. XVII, déjà citée dans la note i de la p. 129 qui précède. ^) „Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Giornata Terza",Th. II, Prop. II avec le Cor. I (Ed. Naz. VIII, p. 209 — 210); cette proposition de Galilée a aussi été citée à la p. 127 (note 5) du T. XVII. Comparez avec la Fig. 26 la Fi;;. 34, probablement in- tercalée plus tard, de la p. 130 du T. XVII. 3) Huygens annote en marge au crayon (les mots sont à peine lisibles): ,,spatium designatum piano P potius post spatium rectanguli post designatum [il s'agit évidemment du rec- tangle MIL] poni debuerat, quum HL longitudinis cujuslibet ducatur". UOROLOGIUM OSClLLATOlllUM. 167^ «37 pacet juin gruvi in A conftituto niillam celcritatem fiipcrcde, ac proinde non altius De descensu cxciiriiinnn. Icaqiic ortenliim cil ad candcni iindc dccidit altitiidincni pcrvcniflc, &''"'^^'"^"- fingula fpatiu, qiia; a.'qiialibus dcfc-ciirus ccniporibus tranCmil'crat, cadcm tcnidcm afcenfus tcmporibiis rcmcnium efle : Icd & œqualibiis tempo ribus cequalia ipli dL'ccflïnc cclcritatis momenta apparuic. Ergo conllac propolitum. Quia vero in demondratione propofitionis fecunda.', ex qua pcndec prscedens,ad- fumptum fuit certam quandamelTe proportioncm fpatiorum qua; continuis a^qualibus temporibus à gravi cadente transeuntur, qua^que eadem fit, quscunque squalia tem- pera accipiantur; quod quidem & ex rei natura ita fe habere necefTc efi, & fi negetur, fatendum frufira proportioncm illorum Ipatiorum invefiigari '). Tamen, quiapropo- fitum etiam absquc hoc demonllrari potefi, Galilci mcthodum fequendo, | opcra^ pre- (/"• 29). tium erit deraonftrationem, ab illo minus perfede traditam^), hic accuratius con- fi:ribere. itaque rurfiim hic demonlh-abimus. PROPOSITIO V. Spatiiim pera&um certo temporc^ à gravi è quiète caftmi inchoante^ dimidium ejfe ejiis fpûtii quod pari tempore tranjiret motu cequabili^ cum celeritate quant acqui- Jivit ultimo cafus momento. Sit tempus delcenlus totius AH [Fig. 26], quo tempore mobile peregerit ipatium quoddam cujus quantitas defignetur piano P. duèlaque HL perpendiculari ad AH 3), 18 I 38 l'horloge à PENDILE. I 673. De la chute giieur-Hi repréfcnte la vitciTe acquife au bout de la chute. Complétant enfuite le graves''* rectangle AHLINI, nous entendons reprcfenter par lui la grandeur de Teipace qui fe- rait parcouru dans le temps Al 1 avec la viteile 1 IL. Il faut donc démontrer que le plan P clt la moitié du rcdanglc Ml 1, en d'autres tennes, lori'qu'on tire la diagonale AL, qu'il cil égal au triangle AllL. Si le plan P n'eft pas égal au triangle AHL, il fera donc ou plus petit ou plus grand. Suppofons d'abord, fi la chofe cû poflible, le plan P inférieur au triangle AHL. Divi- fons AI I en autant de parties égales AC, CE, EG etc. que — lorfque nous circon- icrivons au triangle AHL une ligure compofée de reftanglcs dont la hauteur foit égale à la longueur de chacune de ces parties de AH, tels que les rectangles BC, DE et FG, et que nous infcrivons dans le même triangle une deuxième figure compofée de rectangles de la même hauteur tels que KE, OG, etc. — l'excès de la première figure iur la deuxième foit moin.dre que celui du triangle AHL fur le plan P. En effet, il efl: évident que ceci efl: poflible, puifque l'excès total de la figure circonfcrite fur la figure infcrite eil égal à un très petit reftangle ayant HL pour bafe. Conféquemment l'excès du triangle AHL fur la figure infcrite fera certainement moindre que fon ex- cès fur le plan P; la figure infcrite au triangle fera donc plus grande que le plan P. D'autre part, comme la droite AH repréfente le temps de la chute totale, fes parties égales AC, CE, EG rcpréfenteront des parties égales de ce temps. Or, puifque les * Prop. I. vitefies du mobile tombant croiflent dans le même rapport que les temps de chute,* de cette Pâme, gj q^g \^ viteffc acquife à la fin du temps entier efl: HL, la viteflc acquile au bout de la première partie AC du temps fera CK, parce que AH : AC = HL : CK. Pareille- ment la viteflc acquife au bout de la deuxième partie CE du temps, lera ED et ainfi de fuite. Il efl: évident que pendant le premier temps AC un certain efpace fupérieur à zéro a été traverfé par le mobile, et que pendant le deuxième temps CE un efpace fupérieur à KE a été parcouru, puifque l'efpace KE eût été parcouru dans le temps CE d'un mouvement uniforme avec la vitefl'e CK. En effet, les efpaces parcourus imifonnément ont entre eux un rapport compofé du rapport des temps et de celui des vitefles; par conféqucnt, puifque nous avons admis que l'efpace MH efl: parcouru dans le temps AH avec la viteile confiante HL, il s'enfuit que l'efpace KE efl: par- couru dans le temps CE avec la viteflTe CK, attendu que le rapport du rectangle MH au reftangle KE efl: compofé des rapports AH : CE et HL : EO '). Comme l'efpace KE, ainli que je l'ai dit, efl donc celui qui ferait parcouru dans le temps CE avec la vitefl^e uniforme CK, et que le mobile efl: tranfporté durant le temps CE d'un mouvement accéléré qui avait déjà au début de ce temps la vitefl'e CK, il eft manifefl:e que par ce mouvement accéléré le mobile parcourra dans le temps CE un efpace fupérieur à KE. Pour la même raifon il traverlèra pendant le troifième temps EG une diitance fupérieure à OG : car c'efl: OG qu'il parcourrait dans ce même temps EG avec la viteflc unifonne EO. Et ainfi de fuite, dans chacune des parties du temps AH, le mobile parcourra un efpace fupérieur au redangle correfpondant de la figure infcrite. C'ell pourquoi l'efpace entier parcouru d'un mouvement accéléré fera plus HOROLOGIUM OSCILLATORILM. 1673. I39 longitudinis cujiiflibct, referai illa celeritatem in fine caiiis acquifitam. Dcinde com-DE dmce.nsu pleto rectanf;;iilo AHLM, incclligatiir eo notari qiiantitas fpatii qiiod percurrcretur'^'''^*^'""'-"*'' temporc Ail, cum celcritate IIL. Ollcndcndum cfl: igitiir planiim P dimidium cffe rccflanguli Ml I, hoc cft, duéla diagonali AL, îequale triangulo AHL. Si plamim P non cft aqualc triangulo AHL, ergo aut minus eo eric, aiit majus. Sit primo, il ficri potcfl, planmn P minus triangulo AHL. dividatur autcm AH in tôt partes a;quales AC, CEI, EG &c. ut, circumfcriptd triangulo AI IL figura è rectangu- lis quorum altitudo fingulis divifionum ipfius AH partibus îequetur, ut funt redangula BC, DE, FG, altcràque cidem triangulo infcriptâ, ex redtangulis ejufdem altitudinis, ut ilint KE, OG &c. ut, inquam, cxcediis illius (igurs fupra hanc, minor lit cxccs- fu I trianguli AHL fupra planum P. hoc enim fieri poiïe perfpicuum eft, cum totusC/»- 3°)' cxceflus figura; circumfcripta: luper infcriptam x^quetur reclangulo infimo, bafin ha- benti HL. Erit itaque omnino cxceflus ipfius trianguli AHL fupra figuram infcriptam minor quam fupra planum P, ac proinde figura triangulo infcriptâ major piano P. Porro autem, quum reéta AH tempus totius defcenfus référât, ejus partes squales AC, CE, EG, squale? temporis illius partes réfèrent. Cumque celeritates mobilis cadentis crefcant eadem proportione qua tempora defcenfus *; iitque celeritas in fine * Prop. i. huj. totius temporis acquifita HL; erit ea, qus in fine primce partis temporis ACacquirc- tur, CK; quia ut AH ad AC, ita HL ad CK. Similiter qua? in fine partis temporis fe- cunds CE acquiritur, erit EO, atque ita deinceps. Patet autem, tempore primo AC, fpatium aliquod à mobili transmiffum efTe, quod majus fit nihilo; tempore vcro fecun- do CE transmiffum edc fpatium quod majus fit quam KE, quia fpatium KE trans- miffum fuidet tempore CE, motu îequabili, cum celeritate CK. habent enim fpatia, motu squabili transacta, rationem compofitam ex ratione temporum, & rationc velo- citatum, ideoque cum temporc AH, celeritate tequabili HL percurri pofuerimus fpa- tium MH, fequitur tempore CE, cum celeritate CK, percurri fpatium KE, quum ratio reftanguli MH ad rectangulum KE componatur ex rationibus AH ad CE, & HLadEO'). Quum ergo, ut dixi, fpatium KE fit illud quod transmitteretur tempore CE, cum celeritate squabili CK, mobile autem feratur tempore CE motu accelerato, qui jam principio hujus temporis habet celeritatem CK; manifeflum efl: illo accelerato motu, tempore CE, majus fpatium quam KE confecturum. Eadem ratione, tempore tertio EG, majus fjiatium conficiet quam OG, quia nempe hoc confecturum effet tempore eodcm EG, cum celeritate œquabili EO. Atque ita deinceps, fingulis temporis AH partibus, à mobili majora fpatia quam funt reftangula figurs infcripts, ipfis partibus ') Lisez: CK (correction de 's Gravesande). DES CORPS GRAVES, 140 l'horloge X PENDULE. 1 673. De la chute grand que la figure infcrite. Or, cet efpace fut pofc égal au plan P. Par confcquentla figure infcrite fera plus petite que Telpace P, ce qui eft abfurdc, car il a été démontré qu'elle lui ell lupérieure. Le plan P n'eil donc pas inférieur au triangle AllL. Nous ferons voir qu'il ne lui ell: pas non plus fupérieur. En effet, qu'il le foit, fi cela eft pofïible. Divifons Al I en parties égales et fuppo- fons de nouveau, comme précédemment, qu'au triangle AHL foit infcrit et circon- fcrit une figure compofée de rectangles, de telle manière que l'une furpaffe l'autre d'un excès inférieur à celui du plan P fur le triangle AHL. La figure circonfcrite fera donc néceflairement inférieur au plan P. Il cil évident d'abord que pendant la première partie AC du temps un eipace inférieur à 13C ell traverfé par le mobile, puifque ce dernier ferait parcouru dans le même temps AC avec une viteffc uniforme CK, viteffe que le mobile ne polVède qu'à la fin du temps AC. De la même manière dans la deux- ième partie CE du temps un efpace inférieur à DE iera parcouru du mouvement ac- céléré, puifque DE ferait parcouru dans le même temps CE avec la vitefle conllante EO que le mobile n'atteint qu'à la fin du temps CE. Et ainfi de fuite dans chacune des parties du temps AH il fera parcouru par le mobile un efpace inférieur au reélangle correipondant de la figure circonfcrite. C'ell pourquoi l'eipace total parcouru d'un mouvement accéléré fera moindre que la figure circonfcrite entière. Or, cet efpace fut pofé égal au plan P; par conféquent le plan P fera auffi inférieur à la figure circon- fcrite. Ce qui ell abfurdc, attendu qifil a été démontré que cette figure cil plus petite que le plan P. Par conféquent le plan P n'cll pas plus grand que le triangle AHL. Mais il a aufli été démontré qu'il n'efl: pas plus petit. Il lui efl: donc nécelTairement égal. C. Q. F. D. Il faut favoir en outre que tout ce qui a été démontré jufqu'à préi'ent, s'applique aux corps graves defcendant ou montant le long de plans inclinés tout aufilbien qu'à ceux qui ie meuvent lliivant la verticale, puifque ce que nous avons polé touchant l'effet de la pefanteur doit être admis par même railbn dans les deux cas '). Or de là il ne fera pas difficile de prouver la propofition fuivante laquelle Galilée demandait qu'on lui accordât comme en quelque force évidente par elle-même. Car la démonllracion qu'il a taché d'en donner plus tard et qui le trouve dans l'édition poflérieure ') de fes ouvrages efl: peu folide, du moins à mon avis. Cette propofition ell la fuivante. PROPOSITION VI. Les vitejfes des corps pefants ^ acquifes en defcendant par des plans diverfement inclinés^ font égales lorfque les élévations des plans le font. Nous appelons élévation d'un plan fa hauteur verticale. ') Comparez la note 3 de la p. 131 , ainsi que la note 7 de la p. 284 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATOIUUM. 1673. I4I adjaccntia, pcmgcntiir. Quarc totum Ipanum motu accelcrato pcractum majus erit De descexsu iplii figura inlcripta. Spatiiim vcro illiid a.'qualc pofitum fuit piano P. Icaque figura in- ''■'^*^'"'^'* fcripta minor crit fpatio P. quod cil abllirduni; Cfjdcm cnim fpatio major ollcnfa fuit. Non c(l igitur planum P minus triangulo AIIF^. Ac ncquc majus ciïe oftcndetur. Sit enim, li potcll; & dividatur Al 1 in partes a.'qualcs,atque ad carumaltitudincm, inlcripta circumfcriptaquc rurfus,| ut antc, lit triangulo AlIL figura ex rcctangiilis,C/>. 3i> ita ut altéra alteram excédât minori cxcclTu quam quo planum P fupcrat triangulum AHL, erit igitur ncccfrario figura circumfcripta minor piano P. Confiât jam, prima temporis parte AC, minus fpatium à mobili tranimitti quam fit BC, quia hoc pcrcur- reretur codem tcmpore AC cum celeritate a^quabili CK, quam demum in fine tem- poris AC mobile adeptum eft. Similiter fecunda parte temporis CE, minus fpatium motu accelcrato transmittctur quam fit DE, quia hoc percurrcretur eodcm tcmpore CE, cum celeritate a.x]uabili EO, quam demum in fine temporis CE mobile affcqui- tur. Atque ita deinceps, fingulis partibus temporis AH, minora fpatia à mobili traji- cientur quam funt rectangula figura: circumfcripta", ipfis partibus adjaccntia. Quare totum Ipatium motu accelcrato perattum, minus erit ipfa figura circumfcripta. Spa- tiuni vero illud a;quale pofitum fuit piano P; crgo planum P minus quoque erit figura circumfcripta. quod ell: abfurdum, cum figura hîec piano P minor ollenfafucrit. Ergo planum P non majus c(l triangulo AHL, fcd nec minus cfTe jam ollcnfum fuit. Ergo îequale fit neceflc cil; quod erat demonllrandimi. Et ha?c quidcm omnia qux haftenus demonllrata funt, gravibusper plana inclinata dcfcendcntibus atque afcendcntibusa.'que ac perpendiculariter moris convenire fcien- dum cil: cum, qua; de effeCtu gravitatis pofita fuerunt, eadem ratione utrobique fint admittenda '). Mine vcro non difficile jam erit dcmonfirrare propofitioncm fequentem quam con- cedi fibi, ut quodanmiodo per le manifeltam, Galileus pollulavit. nam dcmonllratio illa quam poftca adferrc conatus eft, qua^que in polleriori operum ejus editione ') extat, parum firma meo quidem judicio videtur. Efl autem propofitio hujusmodi. PROPOSITIO VI. Celeritates gravium^ftiper diverfis planorum inclinationibus defcendendo acqtii- fita;^ aquales [tint, fi planorum elevationes fuerint aquales. Elevationem plani vocamus altitudinem ejus fecundum perpendiculum. *) On peut considérer comme une première édition des „Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" les „Meclianiques de Galilée" de 1634 par Mersenne (T. XVII, p. 336, note 5). L'édition italienne de 1638 de Leiden des „Discorsi" ne contient pas non plus de démonstration en règle (voir les p. 205 et suiv. du T. VIII de 1898 de l'Ed. Naz.). Com- parez les p. 346 du T. XVI et 131 — 132 (§5) du T. XVII. 142 l'horloge à pendule. 167; De la chute des corps GRAVES. * Prop. 4 de cette Partie, Confidérons donc des plans inclinés dont AB et CB [Fig. 27] foient les ferions faites par un plan vertical et dont les élévations AE et CD foient égales. Suppoibns que le corps defcende en [Kig. 27.] tombant de A le long du c plan AB et une autre fois de C le long du plan CB. Je dis que dans Tun et l'au- tre cas ce corps acquerra le même degré de vitcffe au point B. En effet fi Ton dit que le corps tombant le long de CB acquiert une vitefle moindre qu'en tombant le long de AB , qu'il ait donc, après être tombé fuivant CB, la viteffe qu'il pour- rait acquérir aulfi par une chute fuivant FB, par hypothèfe inférieure à AB. Mais en tombant fuivant CB il acquerra une viteffe par laquelle il pourrait de nouveau remonter tout le long de BC *. Par conféquent il acquerra auffi en tombant félon FB la viteffe qui lui pennet- trait de remonter tout le long de BC. Si après être tombé de F en B il continue fon mouvement par BC, ce qui peut être obtenu par réflexion fur une furface oblique, il s'élèveradoncjufqu'enC,c.à.d.àunehauteurfupéricure à celle dont il était defccn- du, ce qui efl: abfurde. On démontrera de la même manière qu'en tombant le long du plan AB il ne peut pas non plus acquérir une viteffe moindre que celle provenant de la chute le long de CB. Par conféquent la vitcflc acquife par la chute fuivant l'un ou l'autre plan efl la même. C. Q. F. D. Que fi, au lieu de l'un ou de l'autre plan, on prend la verticale elle-même quicor- refpond à l'élévation des plans et qu'on fait tomber le mobile fuivant cette verticale, il efl certain que de cette fiiçon auiTi la même vitefl^e eil obtenue que par la chute fuivant les plans inclinés; en effet, la démonilration efl la même. En nous bafant là-deffus, nous pourrons maintenant donner auffi une bonne dé- monilration d'un deuxième théorème de Galilée fur lequel efl bâtie toute la théorie qu'il a enfeignée fur les plans inclinés. Savoir la PROPOSITION VII. Les temps de chute le long de plans diverfetnent inclinés^ mais dont l'élévation efl la même ^ font entre eux comme les longueurs de ces plans '), HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. I43 Sunto itaquc plana inclinata, quorum feétiones fafta; piano ad horizontem erefto, AB, en [iMg. 27], quorumquc clcvationcs AE, CD | fint cequalcs;&cadat grave ex (/>• 32)' A pcr planuin AI5, & rurfus ex C per planum CB. dico utroque cafu eundem gradum De descensu velocitatis in pundo ii acquilicurum. cravium. Si enim per CB cadens minorem velocitatcra acquirere dicatur quara cadens per AB, hubcat crgo, pcr CB cadens, cam duntaxat quam pcr FB acquireret, pofita ni- mirum Fii minore quam Ai5. Acquircc autem pcr CB cadens cam velucitatem qua rurfus per cotam BC pofTit afcendere *. Ergo & per FB acquiret eam velocitatem qua • Prop. 4 huj. pofllt aiccndere per toram BC. Idcoque cadens ex F in Jî, Il continuée porro motum per BC; quod rcpercuiru ad iiipcrficiem obliquam fieri potell; afccndet ufque in C, hoc ell, altius quam unde decidit, quod cil ablurdum. Eodem modo oftendctur neque per planum AB decidenti minorem velocitatem acquiri quam pcr CB. Ergo pcr utraque plana eadcm velocitas acquiritur, quod erac demonllrandum. Quod (i vero, pro piano alterutro, fumatur perpendiculum ipfumplanorum eleva- tioni a.'quale, per quod dccidcre mobile ponatur, lie quoque candem quam pcr plana inclinata velocitatem ci acquiri confiât; cadem namque ell demonllratio. Porro hinc jam refte quoque procedet demonftratio alterius theorematis Galileani, cui reliqua omnia, qua; de delccnfu luper planis inclinatis tradidit, fupcrilruuntur. Nempe PROPOSITIO VII. Tempora de fcenjimm fnpcr plants diverjmode inclinads ^ fed quorum eadem efî elevatio^ eJJ'e inter fe ut planoriim longitudines '). ■) Comparez la § 6 à la p. 132 du T. XVII. 144 l'horloge À PENDULE. 1673. De la chute des corps GRAVES. * Prop. 2 de cette Partie, • Prop. prc'ctîd, [Fig. 28.] Soient AC et AD les plans inclinés de même élévation AB [Fig. 28]. Je dis que le temps de la defccnte le lonij; du plan AC eft à celui correipondant à Ai) comme la lon- gueur AC el1: à AD. En effet , le temps d'une chute par AC ell égal au temps d'un mou- vement uniforme le long de AC avec la moi- tié de la vitefle acquife par la chute fuivant AC *. De la même manière le temps corres- pondant à AD eft égal à celui d'un mouve- ment unifonne fuivant AD avec la moitié de la vitefte acquife par la chute fuivant AD. Or, cette demi-viteffe eft égale à l'autre*: par conféquent le temps rapporté du mouve- ment uniforme fuivant AC fera au temps du mouvement unifomie fuivant AD comme AC eft à AD. Par conféquent les temps refpeétivemcnt égaux à ceux-là, lavoir le temps de chute le long de AC et celui le long de AD, auront entre eux le même rapport AC : AD. C. Q. F. D. On démontrera de la même manière que le temps de la defcentc fuivant AC eft au temps de la chute verticale le long de AB, comme font entre elles les longueurs AC et AB. PROPOSITION VIII. Lorfqutin mobile defcend d'un mouvement continu d'une hauteur déterminée pat- un nombre quelconque de plans contigus d' inclinai fon quelconque^ il finira toujours par acquérir la même vitej/e, laquelle fera égale à celle qiiil acquerrait par une chute verticale de même hauteur '). Soient AB, BC, et CD [Fig. 29] les plans contigus, dont l'extrémité A ait au- deflus de la ligne horizontale DF, tracée par l'extrémité inférieure D, une hauteur égale à la perpendiculaire EF. Puiife le mobile deicendre le long de ces plans de A jufqu'en D. Je dis qu'il aura en D la viteiTe qu'il aurait en F s'il était tombé de E. En effet, fuppofons que le prolongement de CB coupe la droite AE en G, et celui de DC la même AE en E. Puifque le mobile en dcfccndant fuivant AB acquiert la • Prop. 6 même vitcfTe à l'extrémité B que lorfqu'il delccnd fuivant GB *, il eft manifelte, vu de cette Partie, qug p^^ hypothèfe le changement de direftion au point B ne modifie nullement le mouvement, qu'il aura en parvenant au point C la môme vitefTe que s'il était defcen- dulelong du plan GC, en d'autres termes que s'il était defcendu iuivant EC. Il par- courra donc aufli le dernier plan CD de la même manière que s'il était venu iuivant EC, et il aura par conféquent au point extrême D une même vitefTe que s'il était ») Comparez le § 7 à la p. 133 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 145 Sint plana inclinata AC, AD quorum eadem elcvatio AIJ [Fig. 28]. dico | teinpus (A 33> dcfccnfus pcr planuin AC ad tcmpus dcCccnrus pcr AD ciïc ut longitudo ACad AD. Ue descensu Elt cnini tcmpus pcr AC ivqualc tcmpori motus luquabilis pcr candcm AC, cum cclc- ''■'^■'^^''l'"- ritate dimidia cjus qua; acquiritur cafu pcr AC*. Similitcr tcmpus pcr AD c(la.'qualc * Prop. 2. huj. tcmpori motus x-quabilis pcr iplam AD, cum dimidia cclcritate cjus qua; acquiritur caCu pcr AD. Eli autcm h;vc dimidia cdcritas illi dimidia.- cclcritati x>qualis *, idcoque 'Prop-praccd. di(i1um tcmpus motus a.'quabilis pcr AC, ad tcmpus motus a.'quabilis pcr AD, crit ut ACad AD. Ergo & tcmpora fingulis iftis xqualia, nimirum tcmpus dcfccnfus per AC,ad tcmpus dcfccnfus pcr AD, candem rationcm habebunt, ncmpc quam AC ad AD. quod crat dcmonllrandum. Eodem modo odcndctur & tempus dcfccnfus per AC, ad tcmpus cafus per AB perpendicularcm, ciTe ut AC ad AB longitudine. PROPosiTio vm. Si ex ûltitiidine eadem defcendat mobile continuato motu per quotlibet ac qucelihet plana contigua^ ittciinque inclinata; femper candem in fine velocitatem acquiret^ qua nimirum icqualis crit ci quam acquircrct cadendo perpcndicularitcr ex pari altitu- dine '). Cf"'S-29-] Sint plana contigua AB, BC, CD [Fig. 29], quorum terminus A, fuprahorizonta- lem lincam DF per infimum terminum D ductam,altitudi- nem habeat quanta ellperpen- dicularis EF. dcfccndatque mobile pcr plana illa ab A ufque in D. Dico in D eam velocitatem habiturumquam, ex E cadens, haberet in F. Produfta enim CB occurrat redise AE in G. Itemque DC produftajoccurrat eidcm AECa 34)- in E. Quoniam itaquc per AB defcendens candem acquirit velocitatem in termino B, atque defcendens per GB*; manifeftum ert, cum flexus ad * p^p- 6- '"'J- B nihil obihre motui ponatur, tantam velocitatem habiturum ubi in C pervencrit, quantam fi pcr GC planum dcfcendilTct; hoc cil, quantam haberet ex defcenfu per EC. Quare & reliquum planum CD eodem modo tranfibit ac iî pcr EC advenilTet, ac proinde in D denique parem velocitatem habebit, ac li defcendilfet per planum ED, 19 DES CORPS GRAVES, 146 l'horloge À PENDULE. 1673. De la chute defcendu fuivant le plan ED, c.à.d. celle qui proviendrait aulTi de la chute verticale félon EF. C. Q. F. D. Par là il appert aufli que fi le mobile defcend le lonj^ d'une circonférence de cercle ou bien d'une ligne courbe quelconque (car il eft ici permis de coniidcrer les courbes comme compofées d'une infinité de lignes droites) il acquiert toujours la même viteiTe en defcendantd'unemême hauteur, fa voirlavitedequiréfulterait d'une chute verticale. PROPOSITION IX. Lorfqiiiin corps grave ^ après être tovibé, tourne [on mouvement vers le haiit^ H atteindra la hauteur même dont il efl venu^ quel que foit le nombre des furf aces pla- nes contigues et quelles que [oient leurs inclinai fons '). PuilTe le corps tomber de la hauteur AB [Fig. 30]. Soient DC, CD et DF2 les plans inclinés. B repréfente le point le plus bas, l'autre extrémité E efl fituée à la même hauteur que le point A. Je dis que fi le mobile, après la chute le long de AB, change la direiftion de fou mouvement de forte qu'il le continue fuivant les dits plans inclinés, il parviendra jufqu'en E. Qu'on dife en effet, fi la chofe efl poffible, qu'il n'arrive qu'en G. Prolongeons BC et CDjufqu'àleur rencontre en F et en H avec l'horizontale GF. Comme le mobile, après avoir parcouru les plans BC et CD, pofiède feulement la vitciTe néceiïaire pour cfcalader DG ou DH (car il efl; établi par la Prop. VI qu'il lui faut la même vitefTe dans les deux cas), il avait donc, après avoir parcouru le plan BC, la viteffe néceffaire pour monter fuivant CH ou CF. Il avait par conféquent en B la vitefl^e néceffaire pour monter le long de BF, c.à.d. celle qu'il pourrait acquérir en defcendant le long de FB. Mais il poiTède en B une vitefTe fuffîfante pour remonter jufqu'en A. Le corps pourrait donc avec la vitefTe qu'il acquiert en defcendant le long deFB remonter par BA, c.à.d. plus haut que fon point de départ, ce qui efl: impolTible. La démonflration efl abfolument la même quel que foit le nombre des plans fuivant lefquels le mobile doive monter. Partant, lors même que le nombre des plans efl in- fini, c.à.d. lorfqu'on a affaire à une courbe, le mobile s'élèvera par celle-ci aufli jufqu'à la hauteur dont il était defcendu. ') Comparez le § 8 à la p. 1 34 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 147 hoc efl:, eandcm qiiam ex cafii pcrpcndicukri pcr EF. quod crat dcmonflrandum. De oEiCENsu Ilinc liqiict ctiam pcr circuli circiinifcrcntiam, vcl pcr curvam qiianilibct lincam '"'*^'^^"^''"' dcl'ccndcntciiiobili(n:un curvas tanquam ex infinicis réélis compofita; cdent hic con- fiderare licet) femper candem illi velocitatem acqiiiri fi abjeqiialialticudincdcfcendc- rit : tamanique eam effe velocitatem, quantam cafu perpendiculari ex eadem altitudine adipifcerecur. PROPOSITIO IX. Si grave ^ à defcenftt^fitrfum convertat mottmi fiiiim^ afcendet ad eandem unde venit altititdinem^ per quascunque planas fiipcrjicks contigiias^ & quomodocunque inclinatas, wceffèrit'). [Fig. 30.] Cadat grave ex altitudine AB [Fig. 30], & ex punfto B inclinatafintfurfumplanaBC, CD, DE, quorum extremitas E fit eadem altitudine cum puncto A. Dico fi mobile,po(l cafum per AB , convertat mo- tumutpergatmoveriper difta plana inclinata, perventurum ufquc in E. Dicatur enim, fi fieripoteft, (A 35)- tantum ad G perventurum. Producantur BC & CD, do- nec occurrant horizontali GF in F & H. Cum igitur mobile, fuperatis planis BC, CD, ha- beat tantum eam velocitatem quâ poflit afcendere per DG, vel per DH; nam ad hîec utraque eadem velocitate opus efie confiât ex propofitione 6; Ergo, fijperato piano BC, eam duntaxat habebat qua potuiflet afcendere per CH , vel per CF. Ergo in B duntaxat eam qua potuifiet afcen- dere per BF, hoc eft, eandem quam acquireret defcendendo per FB. Atqui in B habet velocitatem qua potefl: afcendere ufque in A. Ergo illa velocitate quam acquirit grave defcendendo per FB, pofTet afcendere per BA, hoc eft, altius quam unde difcefterat, quod fieri non poteft. Eft autem eadem prorfus demonftratio quotcunque plana fuerint per quîe mobile afcendat. Unde & fi infinita fuerit planorum multitudo, hoc eft, fi fuperficies aliqua curva ponatur, per hanc quoque ad eam ex qua venit altitudinem mobile ailurget. I4S l'horloge à pendule. 1673. delachlte proposition X. DES CORPS GRAVE*. Lorfquun mobile tombe perpendiculairement ou fuivant une fur face quelconque et qu'à eft de nouveau porté en haut par la vlteffe acqulfe fukant une autre fur face quelconque ^11 aura toujours en montant et en de fcendant la même vltejje en des points fitués à la même hauteur '). [Fijî' 3'-] Confidcrons par exemple le cas où un mobile qui tombe de la hauteur AB [Fig. 31] continue cnfuitc fon mouve- ment par la furfacc 13CD dont le point C foit à la même hauteur que le point E fitué fur la droite AB. Je dis que le mobile a en C la même viteffe qu'aupa- ravant en E. En effet, comme il lui refle en C la vitefTenéccirairepours'êleverjufqu'au point D litué à la même hauteur que *Prop.pr<îccd. ^^ A*, et comme il acquiert en tombant le long de AE la vitefTe qui lui permet- trait de s'élever, après invertiflement * Prop.préccd. du mouvement , iuivant CD *, il appa- raît que lorfqu'en montant il a attteint C il poflede la même vitelTe qu'il avait en E en dcicendant. C. Q. F. D. PROPOSITION XI. Lorfquun mobile tend à defcendre par quelque furf ace et qu après Vinvertlffement du mouvement il eft porté en haut par la même fur face ou par une autre femhlable et femblabkment pofée ^ il montera et defccndra par le même efpace en des temps égaux =). Confidérons par exemple le cas où le mobile defcend par la furface AB [Fig. 32] et remonte, après être parvenu en B (le mouvement étant interverti) le long de la même furface AB ou bien le long de la furface BC femhlable et femblablement placée par rapport au plan de l'horizon; il apparaît par les démonllrations antérieures qu'il atteindra de nouveau la hauteur dont il efl: defcendu. Or, comme il a partout aux •Prop.précéd. points de même hauteur la même vitede tant en montant qu'en defcendant*, il efl clair que la même ligne efl parcourue deux fois avec des vitcfTes partout égales dans les deux cas, d'où réfulte auffi que les temps des deux mouvements doivent être égaux. C. Q. F. D. ') Comparez le § 9 à la p. 135 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 149 PROPOSITIOX. Ded«c.nsu Cit mobile cadat perpendiciilanter ^ vel per quamlihet fuperficiem defcendat^ cic riirfus inipetu conccpto per quamlibet aliam ferattir furfitm^ hahebit afcendendo ac dcfcendctido in pu ne fis (eqtic altis candan feiiiper velocitatem '). \3t fi mobile ex akitudinc AB [Fig. 31] decidens, motum deindc cominuct per fuperficiem HCD, in qiia punftiim C fit pari altitiidine atque in Ali cil piinftum E. Dico in C eandcm velocitatcm incfic mobili atquc in E fuerat. Qiuim cnim in C ca velocitas llipcrlit mobili qiia porro afcendat nsquc ad D pun-C/-. 36). etum, xque alcum ac A *: cumque & ex delccnlli per AE velocitatcm eam acquirat *Prop.pra:ccd. qua, converCo motii, afccnfurum fit per CD *; Patet cum pervenit ad C afcendendo, «Prop.prïccd. candem ipfimi habere velocitatcm, quam habebat in E defcendendo; quod crat de- monrtrandiim. PROPOSITIO XI. Si mohik per fuperflaem aliquam deorfum tendat^ ac deinde converfo motti ftir- f uni per candem fuperficiem vel aliam fimilem fimiliterque pofttam feratur^ aquali- bus temporibus per idem fpatium defcendet atque afcendet =). [Fis- 3=0 Velut fi per fuperficiem AB defcendat mobile [Fig. 32],atqueubiadBpervenerit, converfo motu furfum per eandem AB, vel ei fimilem & refpeftu plani horizontalis fimiliter pofitam BC, afcendat, confiât ex ante demonftratis, per\'enturum ad candem ex qua venit altitudinem. Cum autem perpetuo, in pundtis quorum eadem altitude, eandem velocitatcm habeat afcendendo ac defcendendo*; apparet eandem lineam bis * Prop.ptEced. eadem velocitate fingulis fui partibus percurri: unde & tempora utriusquc motus £- qualia efie necefle cil; quod erat demonfirandum. =) Comparez le § 10 à la p. 135 du T. XVII. 15° l'horloge X PENDULE. I 673. De la chute des corps GRAVES. PROPOSITION XII'). Confidérons un cercle ABC [Fig. 33] de diamètre AC, auquel la droite FG eft perpendiculaire. Suppofons que cette dernière [oit coupée en dehors du cercle par AF émanant de r extrémité A. du diamètre et coupant néccjjairement la circonférence., par exemple en B. Je dis que tare BD, intercepté par les lignes GF et AF, ejl infé- rieur à la droite DF. [Fig- 33'] Joignons en effet les points B et C par une droite et tirons du point B une tangente BE à la circonférence, laquelle rencontrera né- cefTaircment la droite FG entre F et D. L'angle BAC intérieur au cercle eft donc égal à l'angle EBC '). Par conl'équent auffi l'angle FBE qui fonne avec EBC l'angle droit FBC fera égal à BCA. Or, comme les triangles ABC et AGF font fcmblablcs, l'angle F lui aufli fera égal à l'angle ACB. Le même angle F eft donc égal à l'angle FBE. Par conféquent le triangle FEB eft ifofcèle, ayant les côtés égaux FE et EB. En ajoutant à chacun d'eux la droite ED, on aura donc l'égalité FD = BE + ED. Or, il eft certain que l'enfemble de ces deux dernières droites eft plus grand que l'arc BD ayant les mêmes extrémités et concave dans le même fens. Par conféquent FD iera auffi plus grand que le même arc BD. La propo- fition eft donc démontrée. PROPOSITION XIII'). 5/, dans les mêmes hypothèfes., la droite AB coupe DG à f intérieur du cercle [Fig. 34],ye dis que Varc BD, intercepté entre les droites GD et MS., ejl plus grand que la droite DF. En effet, joignons par une droite les points D et C et traçons la corde correfpon- dant à l'arc DB. Comme l'angle ABD eft alors égal à ACD, c.à.d. à l'angle ADG, et que l'angle I3FB eft plus grand que l'angle ADF ou ADG, le même angle DFB fera plus grand que DBF. Par conféquent dans le triangle DFB le côté DB eft plus grand que le côté DF. A-fortiori l'arc DB fera plus grand que la même droite DF. La propofition eft donc démontrée. ') Comparez sur les Prop. XII, XIII et XV la note 13 de la p. m du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. I 673. 151 PROPOSITIO Xlf). (A 37> Prop. 32. b. 3. Eiicl.] Efto circtiliis ABC [Fig. 33], diametro AC, an ad angiilos re&os fît FG; huk oIavkm."^ vero occurrat à termiiw diametri A edii&a AF extra àrculum^ qiid' quidem neceffhrio fecûhit clrcumferentiam^ pitta in 15. Dico arcmn 1513, lineis GF, AF intcrcêptum^ minorent e(]e re&a DF. Jungatur ciiim liC, & ducatur ex \\ punclo tangens circumferentiam refta BE, quas neceïïario occurret rcdtîe FG intcr F & D. Eft igitur anguliis lîAC in circule aîqualis angiilo ERC *. qiiare & angiiliis FBE, qui una cum EBC condituit angulum [• i-cchnn FBC, erit aîqualis BCA. Quia autcm limilia iuiit triangula ABC, AGF, crit '-' & angulus F jequalis angulo ACB. Ergo idem angulus F x-qualisangulo FBE. Itaque irofccles efl: criangulus FEB, habens crura a-qualia FE, EB. Addita ergo utriquc eo- rum retla ED, fie: FD, aequalis duabus Bl-:, ED. 1 lascc vcro duas majores efle con- (lac arcu BD, iisdem cerminis intercepte, & in eandem partem cavo. Ergo & P'D eodem arcu BD major erit : quare confiât propofitum. PROPOSITIO XIII'). Iisdem pofîtis , ft re£fa AB occurrat ipfi DG intra circulum [Fig. 3 4] ,• Dico arcmn BD, reBis GD, AB interceptmn, majorem ejj'e re&a DF. Jungatur enim DC & ducatur arcui DB fubtenfa DB. Quoniam ergo angulus ABD œqualis ACD, hoc ell, angulo ADG; angulus autem DFB major angulo ADF,iiveADG; erit [idem DFB etiam(A38). major DBF. Ergo in triangulo DFB latus DB majus latere DF; unde multo magis arcus DB fuperabit eandem DF. Quare conilat propofitum. =) 's Gravesande annote en marge que c'est là la „Prop. 32 du livre 3 d'Euclide", ce qui était sans doute l'intention de Huygens, puisque l'astérisque de renvoi se trouve dans le texte de l'édition originale. 152 l'horloge à pendule. 1673. De la chute des cor.fs GRAVES. PROPOSITION XIV. Soit ABC une cycloïde [Fig. 35], AC fa bafe^ BD [on axe. Je penfe qtion voit avec évidence comment cette ligne eft engendrée ftiivant ce qui a été expo fé plus haut fur fa définition et fa defcription mécanique '). Suit de plus BGD un cercle fymétri- que par rapport à l'axe BÔ. Traçons Y.V parallèlement à la hafe AC par un point E arbitrairement choifi fur la cycloïde., laquelle parallèle coupe l'axe BD en F et la circotjférence BGD en G. Je dis que la droite GE efî égale à l'arc GB "). [Fig. 35-] En effet, foit décrite par le point E une circonférence de cercle LEK égale à BGD et touchant la bafe de la cycloïde en K. Menons audî le diamètre KL. La droite AK ell donc égale à l'arc EK. IVIais la longueur entière AD cil égale à la demi-circonfé- rence KEL; par conféquent KD eft égale à l'arc EL ou GB. Or, KD ou NF efl: égale à EG , puifque EN = GF et que la partie NG leur efl: commune. Il eft donc prouvé qu'on a auflî : GE = arc GB. PROPOSITION XV. Un point fur une cycloïde étant donné., mener par lui une tangente à la cycloïde '). Soit ABC [Fig. 36] la cycloïde et B le point donné fur lui par lequel il faut mener la tangente. Conftruifons autour de l'axe AD de la cycloïde le cercle générateur AED et menons BE parallèlement à la bafe de la cycloïde, laquelle parallèle coupe la circonférence du cercle nommé en E. Joignons les points A et E par une droite et tirons enfin par B une parallèle HBN à cette dernière. Je dis que cette parallèle touche la cycloïde en B. En effet, prenons fur la parallèle un point H quelconque différent de B, d'abord ') Voir les p. 102 — 105 qui prifccdeiu. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. '53 PROPOSITIO XIV. Sitcyclois ABC [Fig. 35] a/jus baps AC axh BD. Qtiomodo aittem generetur ex (kfimtione & ilcfcriptione niechan'iai ftipentn traâiùs fatis mantfepum arbitrer ^~). Et circa axcui BD, circiilns rk-fcriptiis Jit BGI), i^jf à quolibet ptinBo E in c\cloide fmnpto agatur EF ba/i \CparaUela, qtia occiirrat axi BD in Y^fecetqiie circtim- ferentiam BGD in G, Dico re&am GE arcui GB aqualem ejjfe "). Defcribatiir enim pcr M punclum circiilus LEK ipfi BGD œqualis, quiqiie tangat balïn cycloidis in K, & ducatur dianictcr KL. Eli igitur rctla AK arcui EK a.>qiiaïis; fcd cota AD luqiialis rcniicircumferentii' KEL; crgo KD ^qiialis arcui EE (ivc GB. Eli autem KD lîve NF squalis EG, quoniam EiN squalis GF, & communis utrique NG. Ergo confiât & GE Eequalem cïïc arcui GB. PROPOSITIO XV. Data in Cycloide pun&o^ re&am per illiid dticere qua Cycloidem tangat 'i^. [Fig- 3<5.] De descensu CRAVIUM. (a 39). Sit cyclois ABC [Fig. 36], & punchmi in eadatumB,perquodtangenteinducere oporteat. Circa axem cycloidis AD detcribatur circulus genitor AED, & ducatur BE paral- lela bail cycloidis, qua- dido circulo occurrat in E, & jungatur AE, cui denique paral- lela pcr B agatur 1 IBN. Dico hanc cycloidem in B contingere. Sumatur enim in ea punftum quodlibec, h B diverlum, ac primo verfus fuperiora =) Huygens avait trouvé cette Proposition en 1658; voir la p. 347 du T. XIV. 3) Comparez le Théorème de la p. 375 du T. XIV. Voir aussi la note i de la p. 150 qui précède. 20 154 l'horloge À PENDULE. 1 673- De la chute vers le haut, et menons par H une droite parallèle à la bafe de la cycloïdc, coupant graves''* celle-ci en L, la circonférence i\ED en K et la droite AE en M. Comme KL ell alors égale à l'arc KA et que la droite KM eil plus petite que l'arc KE, la droite INIL fera inférieure h l'arc AE, c.à.d. à la droite EB ou MH; d'où il apparaît que le point H ell litué en dehors de la cycloïdc. Prenons en fécond lieu iur la droite HN un point N fitué au-de(lbus de B et menons, comme plus haut, par N une droite parallèle à la bafe, coupant la cycloïde en Q, la circonférence AED en O, et le prolongement de la droite AE en P. Comme OQ ell alors égale h l'arc OA et que OP efl plus grande que l'arc OE, PQ iera inférieure à l'arc EA, c.à.d. à la droite EB ou PN. D'où il apparaît de nouveau que le point N fe trouve en dehors de la cycloïde. Puifque tous les points pris fur la droite HBN, ex- cepté B, font donc fitués en dehors de la cycloïde, ilefl établi que cette droite touche la cycloïde en B. C. Q. F. D. J 'ai douté fi je laillerais cette place à cette démonftration , puifque je trouve qu'une preuve prelque femhlable de Mons. Wren a été publiée dans le livre de Wallis fur la Cycloïde '). Mais on peut également appliquer à cette propoiition une méthode gé- nérale qui ne con\-ient pas feulement cycloïde mais auffi aux autre lignes courbes en- gendrées par la rotation d'une figure quelconque, pourvu que ce foit une figure ayant f-i concavité d'un même côté et qui appartienne au genre des courbes dites géomé- triques. En effet, confidérons une courbe NAB [Fig. 37] -) provenant de la rotation de la figure OL fur la règle LD, c.à.d. une courbe décrite par le point N pris fur le con- tour de la figure OL, et qu'il s'agifle de mener une tangente en A qui eft un point de la courbe. Menons une droite CA du point C où la figure touchait la règle lorfque le point qui décrit la figure était en A. Ce point de contaél: peut toujours être trouvé, puifque le problème fe réduit à tirer deux lignes parallèles entre elles dont l'une païï'e par le point donné du contour qui décrit la figure tandis que l'autre touche la figure, la diflance des deux parallèles étant égale h celle du point donné A à la règle LD. Je dis que CA rencontre la courbe à angles droits, en d'autres termes que la circonfé- rence de cercle MAF décrite du centre C avec le rayon CA touche la courbe au point A, de Ibrte qu'une droite perpendiculaire à AC et paffant par le point A touchera la courbe en ce point. ') P. 71 („De rectà Tangente Cycloidem primariam") de Joh. Wallisii „Traccatus Duo, Priorde Cycloïde et corporibus inde genitis. Posterior, Epistolaris, In qua agitur de CissoideetCorpo- ribus inde genitis, et de Ciirvanim tiim Linearum i:j6jv(7=-i . tiim Supcrficiei-uin u/arjo-uw", Oxo- niiB, Typ. Ac. Lichfieldianis, MDCLIX. -) Comparez la note 2 de la p. 389 qui suit (Appendice à la Pars Secunda). Nous avons déjà dit dans l'Avertissement (p. 52) que Iluygens développe ici une idée qu'il emprunte à Descartes et van Scliooten. HOROLOGIL'M OSCILLATORIUM. 1673. 155 veliit 1 1, & pcr 1 1 diicatiir recla bail cycloidis parallcla, quœ occurrac cycloidi in L, De descexsu circiilo AEI) in K, rcctx AE in INI. Quia crgo KL c(l a;qiialis arcui KA,rcctaaiiteiTi''''^'^^"-'*'- KiM minorarcu Kl'l, crit retta ML minor arcii AE, hoc cil, rectà Eli, (Ivc Mil ; undc apparct punftum 11 cflTc extra cycloideni. Dciiidc in rcéla 1 IN fiimaciir punctiim N intcrius B, & per N agatur, uc ancc,bafi parallcla, qiia: occurrat cycloidi in Q, circulo AEI) in O, reéte AE productae in P. Quia ergo OQ, squalis cil arcui OA; OP autcm major arcu OE; eric PQ minorarcu [Fig- 37-] EA, hoc eit, refta EB, five PN. Unde apparet rurius punctum N effe excra cycloi- dem. Cum igitur quodiibet pun6tum prêter B, in refta HBN fumptum, fit extra cy- cloidem, conftat ilkm in pundo B cycloidem contingere; quod erat demonilrandum. Huic demonllracioni an locuni fuum hic relinquercm dubitavi, quod non multum ci abfimilem à clarillimo Wrcnnio editam inveniam in libro Wallifii de Cycloide. Po- teflautem&univerfaliconllruclionepropofitumabiblvi '),qujB non cycloide tantum fed & aliis curvis, ex cujuflibec figurée circumvolutionegenitis,conveniat;dummodo fit figura in candem partem cava, & ex iis qua? geometricae vocantur. Sit enim curva NAB [Fig. 37] =),orta ex circumvolutione figurée OLfuper régula (A 4o> LD; defcribente nempe punfto N, in circumferentia figurée OL fumpto. Et oporteat ad pundum curvœ A tangentem ducerc. Ducatur recta CA à pundo C, ubi figura regulam tangebat cum pundum deicribens effet in A: quod punctum contadus fem- per inveniri poteft, fiquidem eo reducitur problema ut duœ redse inter le parallelje ducendœfint, quarum altéra tranfeat per pundum defcribens in figurs ambitu datum, altéra figuram tangat, quasque inter fe diftent quantum diilat pundum datum A ab régula LD: dico ipfam CA occurrere curvîe ad angulos redos, five circumferentiam MAF defcriptam centro C radio CA, tangere curvam in puncto A, unde perpendi- cularis ad AC, per pundum A, ducta curvam ibidem continget. DES CORPS GRAVES 156 l'horloge X PENDULE. 1673. De la chute En effet, tirons d'abord CB à un point B de la courbe plus diftant de la règle LD que le point A, et conlidcrons la polition BED de la figure au moment où le point décrivant elt en B, J) étant alors le point de contact de la ligure avec la règle. Suppo- fbns maintenant élevé julqu'en E le point de la courbe qui était en C au moment où le point décrivant était en A. INIenons les droites EC et EB et Toit KM, coupant la règle en II, une tangente à la figure donnée en E. Comme la droite CD efl alors égale h la courbe El) et que la Ibmme des longueurs EH et HD ell plus grande que cette courbe, EH fera plus grande que CH. D'où z:ECII> zlCEHet'parconféqucnt ZECL> zlCEK. Mais en ajoutant zlKEB égala ^LCAà ^KEC, on obtient ^CEB;et en Ibullrayant de Z.ECL l'angle LCB, on obtient zlECB. L'angle CEB ell donc certainement iupérieur à l'angle ECB. Par conléquent dans le triangle CEB le côté CB icra plus grand que KB. Mais il efl: clair que E13 = CA, puilque c'ell: la même longueur tranlportée avec la figure. Donc CB lèra aulîi plus grande que CA, c.à.d. que CF. D'où il appert que le point B ell en dehors de la circonférence de cercle IN'IAF. Conlîdérons d'autre part un point N pris fur la courbe entre la règle LD et le point A, et iuppolbns que lorlque le point décrivant la courbe était en N, la lituation de la figiire était en VL et le point de contact en L. Suppoibns en outre élevé julqu'en V le point qui touchait d'abord la règle en C, et tirons les droites CN, N\", VC et VL. On aura dune \'N = CA, car CA a été tranfportée en VN. Or, comme la droite LC ell: égale h la courbe LV et par conléquent plus grande que la droite LV, dans le triangle CL\'^ l'angle LVC fera plus grand que l'angle LCV. C'eft pourquoi, fi l'on ajoute encore /LVNà ^LVC,rangletotalNVC fera ccrtainementplus grand que ZLCV et a-fortiori que /.IVCV, qui ell une partie de ^LCV. Par conléquent dans le triangle CVN le côté CN fera plus grand que le côté VN égal à CA; partant CN fera aulIi plus grand que CA, c.à.d. que CM. D'où il reffbrt que le point N tombe en dehors du cercle MAI', lequel touchera donc la courbe au point A. C. Q. F. D. Or, la conllrucrion comme la démonltration font les mêmes fi la courbe efl: engen- drée par un point décrivant fe trouvant foit à l'intérieur foit à l'extérieur du contour de la figure roulante. Excepté que dans ce dernier cas une partie de la courbe defcend fous la règle, d'oîi réfulte une modillcation de la démonfiration. En effet, foit donné le point A,par lequel la tangente doit être menée, fur une partie NAB de la courbe lituée au-deflbus de la règle CL [Fig. 38] ') laquelle courbe eft décrite par le point N pris en dehors de la figure roulante mais occupant une po- fition bien détenninée dans Ion plan. Après avoir trouvé le point C où la figure rou- lante touche la règle CD lorfque le point décrivant ell en A, menons la droite CA. Je dis que celle-ci rencontre la courbe NAB à angles droits, en d'autres termes que la circonférence décrite du centre C avec le rayon CA ti)uche la courbe NAB au point A. Or, nous démontrerons qu'elle la touche extérieurement tandis que dans la partie de la courbe fituée au-delTus de la règle CD elle la touche intérieurement. En effet, toutes choies étant pofées et décrites comme plus haut, nous démontrons HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 157 Ducatur enim CB primum ad punchim ciirvœ 13, quod diftec ultra pun(ftum A ab De descexsu régula LD, intclligatuniue figura; pofitus in BED, cum punctum dcfcribcns effet in f^'^'^^'"-'*'- 13, contactus régula.^ in I). & punctum curva.'qu()dcrat in C,cuiiipunchimdercribens effet in A, hic jam iublatum fit in E; & jungantur EC, EB, tangacque figuram in E recta KM, occurrcns régula* in 1 1. Quia crgo reda CI) a.-qualis ell cur\'x> ED; eâdem vcro curva major eft utraque limul El 1 , 1 11); crit l'.l I major quam Cl 1. Undc angulus ECl 1 major quam CEU, & proindeECL minor quam CEK. Atqui addendo angulum KEB, qui œqualis eft ECA, ad KEC, fit angulus CEB: & aufcrcndo ab PXE angulum LCB, fit PXB. lù-goangulus Cl*>i} major omninoangulo ECB. Itaquc in triangulo CEB, latus CB majus erit quam EB. fed EB a:quale patct efic CA, cum fit idcmmet ipfum unà cum figura tranfpofi|tum. Ergo CB etiam major quam CA, hoc eft, quam CF. unde con- (A 40- liât punétum B efie extra circumfcrentiam IMAF. Sit rurfus punCtum N in curva lumptum intcr regulam LD & punctum A. Cumque punChmi defcribens eflct in N, ponatur iitus figura: fuiiïe in VL, punftumque con- tactus L, punctum verb quod tangcbat prius regulam in C, fit jam Aiblatum in \^: & jungantur CN, NV, \'C, VL. Erit crgo VN a;qualis CA; imo erit ipla CA tranflata in VN. Jam quia refta LC œquatur curva; LV, ac proindc major eil redta LV, erit in triangulo CLV angulus L\X major quam LCV. Quarc addito inluper angulo LVN ad lA'C, fiet totus NVC major utique quam LCV, ac proinde omnino major angulo NCV, qui pars eft LCV. Ergo in triangulo CVN latus CN majus erit latere VX,cui lequatur CA, ideoque CN major quoque quam CA, hoc eft quam CM. Unde apparec punClum N cadere extra circulum IMAF, qui proinde tanget curvam in pundo A. quod erat demonftrandum. Eft autem eadem quoque tum conilruClio tum demonftratio, fi curva genita fit à puncto defcribente, velintra vel extra ambitum figura: circumvolutce iumpto. Nifi quod, hoc poftcriori caiu, pars quidam curvaMufra regulam delcendit, unde non- nulla in démon ftratione oritur diverfitas. Sit enim punctum A, per quod tangens ducenda eft, datum in parte curvje NAB, quîc infra regulam CL defcendit [Fig. 38 J '), delcripta nimirum à puncto N extra figu- ram revolutam iumpto , led certam | pofitionem in eodem ipfius piano habente. Invento (/>• 42)- igitur puncto C, ubi figura revoluta tangit regulam CD quum punc'tum defcribens effet in A, ducatur recta CA. Dico banc curvs NAB occurrere ad rectos angulos, five circumferentiam radio CA centro C delcriptam tangere curvam NAB in puncto A. Oftendetur autem exterius ipfam contingere, cum in curvce parte fupra regulam CD pofita interius contingat. Pofitis enim & deicriptisiisdem omnibus quje prius, oftenditur rurfus angulus ECH ') Voir la note 2 de la p. 154. is8 l'horloge a pendlle. 1673. De la chute des cor.ps GRAVE5. [Fig. 38.] de nouveau que /_ ECU > ZCEH.Maisfià^ECHon ajoute l_ HCB on obtient /_ ECB, et en retranchant /_ HEB égal à L DCA de z^CEH, on obtient ^CEB. Par conféquent /_ ECB ell certainement lupcrieur à /_CEB. Par conféquent dans le triangle ECB le coté EB en plus grand que CB. Mais CA ou CF efl: égale à EB. Par conféquent onaauffiCF,CB; le point F de la circonférence de cercle efl: donc àrextérieur de la courbe NAB par rapport au centre. On montre de nouveau comme précédemment que ^LVC> Z_LCV. Par con- féquent /_CVP, fupplément de Z_LVC, fera inférieur à Z_VCD. Mais fi l'on ajoute à Z_VCD Z-DCN, on obtient ^VCN; et fi l'on re- tranche de Z_CVP Z_PVN, on obtient Z_CVi\. Par conféquent l'angle VCi\ eft certainement plus grand que l'angle CVN. Dans le triangle CVN le côté VN fera donc plus grand que CN. Or, CA ou CM eft égale à VN. Partant , CM aulTi fera plus grande que CN; le point M de la circonférence de cercle fera donc à une telle didan- ce du centre C qu'il fe trouvera à l'extérieur de la courbe NAB. Il eil: donc établi que la circonférence MAF touche la courbe au point A. C. Q. F. D. Qui fi le point de la courbe par lequel il faut mener la tangente efl; précifément celui où la règle coupe la courbe, la tangente cherchée fera toujours perpendiculaire à la règle, comme il ferait facile de le démontrer. PROPOSITION XVI. Du MOUVEMENT CVCLOÏDAI,. Si deux droites parallèles \Y et BG, dont Tune et Vautre efl fittiée du même côté du centre ou dont l'une A¥ pajje par le centre lui-tnéme, coupent une circonférence de cercle [Fig. 39], et quon mène en A, oii la parallèle la plus proche du centre la coupe ^ une droite qui touche la circonférence ^je dis que la partie AB de cette tangente qui efl interceptée par les deux parallèles efl inférieure à F arc AC compris entre ces mêmes parallèles. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 159 major quam CEI I. atqiii ad ECU addito I ICB fit angulus ECB; & à CEli auferendo De descensu HEB,qui œqiuilis d\ DCA, lit angiilus CEli. Ergo ECB major omnino quam CEB. «^'^avilm. inide in triangulo I:^CB latus EB majus quam CB. icd ipii EB x^qualis cil CA, livc CF. Ergo & CF major quam CB: ideoquc pundum circumfcrcntia; F dt ultra cur- \'am NAB à centre rcmotum. Item rurfus oilenditur angulus LVC major LCV. Quare C\'P, qui cum L\'C duos reétos£equat,minorcrit quam VCD. Atqui addendo ad VCD angulum DCN, fit VCN; & auferendo ab CVP angulum PVN, fit CVN. Ergo angulus VCN omnino major quam CVN. In triangulo itaque C\^N, latus \'N majus crit quam CN. Eflau- tem ipli \'N a.'qualis CA livc CM. Ergo & CM major quam CN, ideoquc punctum circumferentiœ M erit ultra curvam NAB à centre C rcmotum. Itaque conilat circum- icrcntiam I\IAF tangere cnrvam in punéto A. quod crat démon ftrandum. Quod ii punàtum curvce per quod tangens ducenda ed , fit illud ipfum ubi régula cur- vam recat,erit tangens qua.Mîta lemper régulas perpendicularis; ut facile efiTet ortendere. PROPOSITIO XVI. Si circuU circiiniferemiam, cujus centrum E, de motu i.v fecent re£tœ ducc par aile la AF, BG, qiiarum^^''^°^^^- utraque ad eanâem partent centri tratifeat, vel altéra AF per centrum ipfum [Fig. 39]; ^ à pim&o A, quo centra propior circumferentiam fecat^ ducatiir reâa ipfam contingens: dico par- tem hujtis AB, à parallela utraque interceptant^ minorem ejfe arcu AC, ab utraque eademparal- kla intercepta. i6o l'horxoge à pendule. 1 673. Du mouvement Cyci.oïdal. En effet, tirons la corde corrcfpondant à l'arc AC. Comme l'angle BAF eft alors égal à celui que comprend la portion du cercle AHF, laquelle cil plus grande que le demi-cercle, à moins que ce ne l'oit le demi-cercle lui-même, l'angle 15AF lera inle- rieur ou égal à un angle droit; par conléquent l'angle ABC efl fupérieur ou égal ii un angle droit. Par conléquent dans le triangle ABC le côté AC oppofé h l'angle B fera plus grand que le côté AB. Mais le même côté AC ell inférieur à l'arc AC. Le côté AB lui auflî fera donc, a-fortiori, plus petit que l'arc AC. PROPOSITION XVII. [Fig. 40.] Les mêmes chofes étant fiippofées^ fî une troi- fièiiie droite DK [Fig. \6\parnllèle aux précéden- tes coupe le cercle ^parallèle dont la diftance à AF (]tti eft la plus proche du centre eft égale à celle de AF à r autre parallèle BG, ^V dis que la partie de la tangente en A interceptée par la troifiènie parallèle et la moyenne^ (avoir AD , ejî plus petite que farc AC compris entre les deux premières parallèles. Ceci eil évident puil'que AD = AB, et que nous venons de démontrer que AB eft plus petite que l'arc AC. PROPOSITION XVIII. Lorfque deux droites parallèles AF et BG [Fig. 4 1 ] coupent un cercle à centre E et que l'on mène du point B oii celle qui eft la plus éloignée du centre (ou bien éga- lement éloignée du centre que l'autre) coupe la circonférence ^ une droite qui touche cette dernière., la partie BA de cette tangente^ interceptée par les parallèles., fera plus grande que farc BC compris entre ces mêmes parallèles. En effet, menons au point C la tangente MCL h la circonférence, et puiiTe-t-elle couper la tangente BA en L. Dans le triangle ACL, l'angle C elT: égal à l'angle MCF, c.à.d. h l'angle compris dans la portion de cercle CBF. D'autre part l'angle A eil égal à celui qui comprend la portion BCG du cercle, et comme cette dernière eil: plus grande que la portion CBF ou bien fon égale, attendu que BG eft fitué à plus grande, ou bien h égale, dillance du centre que CF, l'angle A du triangle ACL fera plus petit que l'angle C ou bien égal à lui, et par conféquent le côté CL plus petit que l'angle AL ou bien fon égal. Mais la fomme de CL et de LB eft plus grande que l'arc CB. Par conféquent la fomme de AL et de LB, c.à.d. la tangente AB, fera auffi plus gran- de que le même arc CB. C. Q. F. D. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. l 673. 161 Ducacur cnim arciii AC fubtenfa rcfta AC. Quia ergo angiilus BAF cft œqiialis ei De motu in quem capit portio circiili AI IF, qux- vcl major eft remicirculo vcl rcniicirciiliis, crit ^^^cloide. pruindc ;uiji;ulus BAF, | vcl minor recto vd reaiis; ideoquc angulus ABC vcl major (^ 43). refto vcl rcftus, Quarc in triangiilo ABC latus AC, angiilo B i'ubtenfiim, majii.; crit latere AB. fcd idem lacus AC minus eft arcu AC. P>go omnino & AB arcu AC miner cric. PROPOSITIO XVII. lisdevi pofitis , /t tenta recta priorihm parallela DK [Fig. ^o],circitliim fecuet% qiiœ ah ca quic centro propiur e(î AF, tantundem dïjht quantum hac à reliqua BG: dico partent tangentis in A , à parallela ult'nno adjecfa^ ^ média interceptam ^ncmpe AD, arcu AC à primis duabus parallelis intercepta minorent ejj'e. Hoc enim patet quum AD ipfi AB œqualis lit, quam antea oftendimus arcu AC minorem elTe. PROPOSITIO XVIII. [f"'S- 4'-] Si circulum^ cujus centrum E, diue recta; paral- lela fecuerint AF, BG [Fig. 41]; 6^ àpimclo B.ubi quci' à centro remotior ejl^ vel taittundem atque altéra diflat, circumferentice oc\currit, ducatur recta cir-ip- 44)- cuiufereittiam tan gens: eritpars hujtis BA , à paral- lelis intercepta, major arcu ab iisdem parallelis intercepta BC. Ducacur cnim in puncto C, recta MCL circumfc- rentiam tangens, qua^ occurrac tangenti BA in L. In triangulo igitur ACL, angulus C squalis ell angulo MCF, hoc ell:, ei quem capit portio circuli CBF". an- gulus autem A aequacur angulo quem capit portio circuli BCG, quœ portio quum fit major vel squalis portioni CBF, quippe quum BG vel ultcrius diftet à centro quam CF, vel tantundem: erit proinde trianguli ACL angulus A minor vel œqualis angulo C: & confequcnter latus CL vel minus vel squale lateri AL. Atqui CL una cum LB majores funt arcu CB. Ergo & AL una cum LB, hoc eft, tangens AB, eodem arcu CB major erit. quod erat demonllrandum. 21 l62 l'horloge X PENDULE. 1673. SoUVEMENT PROPOSITION XIX. Cycloïdal. „ , .„ [Fig. 42.] Les mêmes chofes étant po fées, ft une troijième droite DK [Fig. \'i\parallèle aux précédentes coupe la circonférence , parallèle dont la diftance à celle qui eft la plus éloignée du centre efî égale à celle de cette dernière à celle qui rejle, [avoir AF, la partie de la tangente en B interceptée entre la parallèle moyenne et la troifième DK, c.à.d. BD, fera plus grande que l'arc BC. Ceci efl: évident puifque BD ell: égale h BA, dont nous avons démontré qu'elle elt plus grande que l'arc BC. PROPOSITION XX. Lorfqtiun arc de cercle AB [Fig.43] inférieur à une demi-circonférence efî coupé en un nombre quelconque de parties par des lignes droites parallèles, équidi fiantes tant entre elles quaux parallèles tirées par les extrémités de F arc, telles que CD, EF, GH, KL etc. et quon mène à la première extrémité A de Varc, alnft quaux autres points de divi/ion, des tangentes à la circonférence, toutes vers le même côté, chacune jufqu au point de rencontre avec la parallèle fuivante, comme les tangentes AC, DE, FG, HK, etc., je dis que la fomme de ces tangentes, diminuée de la pre- mière AC, efî moindre que Varc donné AB. Mais que ces tangentes , fi f on conferve KC,font enfemble plus grandes que Varc AB diminué de la partie extrême NB, ^« d'autres termes que Varc AN. En effet, fuppofons d'abord qu'il y ait des parallèles de part et d'autre du centre Z, et foit GH, parmi celles qui fe trouvent du coté B, la plus proche du centre par * P 16 lequel elle peut même pafT'cr. Par conlequent chacune des tangentes compriles entre de cette Panie.GH et BO, telles que HK, LM et NO, eft moindre que l'arc correfpondant *. Mais • Prop. 17 de plus la tangente GF efl: inférieure à l'arc fuivant FD* et pareillement la tangente de cette Panie.j7j-) '^ j'^,.^ X^K. La fomme des tangentes comprifes entre BO et CD efl: donc plus petite que celle des arcs BH et FA et a-fortiori que celle des arcs BH et HA, c. à. d. que l'arc BA. C. Q. F. D. Nous démontrerons maintenant que la fomme des tangentes comprifes entre BO et A efl plus grande que l'arc AN. Car la parallèle GH paffera plus près du centre Z que la parallèle EF que je fuppofe être la plus proche de celles qui fe trouvent du côté A , ou bien elle en fera éloignée à plus grande diftance , ou bien à la même diflance. Que fi EF efl à plus grande, ou à égale, diflance du centre que (jH, la tangente HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. .63 PROPOSITIO XIX. Du MOTU IN CVCLOIDE. lisdem pofttis^ fi tertia re&a pr'torihus parallela DK [Fig. 42] circuhim fecet, qii.huj. *Prop. îp.huj. •Prop. iS.huj. AMO r M P [Fig, 44.] Sintferiesdua; plano- rum inter eal'dem paral- lelas horizontales com prehenlk ABCDE, FGHKE [Fig. 44], atqueitautbina quœque fibi correfpondentia plana utriusque feriei iisdem parallelis hori- zontalibus includantur; unumquodque vero fe- riei FGHKE') magis inclinatum fit ad horizontem quam planum fibi altitudine refpondens feriei ABCDE. Dico breviori tcmpore abfolvi defcenfum per ABCDE, quam per FGHKE. Nam primo quidem tempus defcenfus per AB, brevius efte conftat tempore defcen- (^ 47). fus per FG, quum fit eadem ratio horum temporum qua; reftarum AB ad FG *, fitque • Prop. -. huj. AB minor quam FG, propter minorem inclinationem. Producantur jam furfum réels l66 l'horloge X PENDULE. 1673. Du geons maintenant vers le haut les droites CB et HG et puiffent-elles couper l'hori- CYCL(yD\L^ zontale AF en M et N. Par confcqucnt le temps ncceflairc pour parcourir BC après AB cil égal h celui du temps néceflairc pour parcourir la même longueur BC après MB, puifqu'au point B le corps a une môme viteïïe, qu'il foit defcendu par AB ou * Prop. 6. par MB *. De la même manière le temps par G H après FG fera égal au temps cor- decette Partie. rçfpQ^jgj^f h la même longueur GII après NG. Or, le temps par BCaprèsMBeftau temps par GH après NG, comme font entre elles les longueurs BC et GH ou CM et HN, vu que c'ell: là la valeur du rapport des temps correfpondant tant aux lon- * Prop. r. gueurs totales MC et NI 1 qu'aux parties INIB et NG *, donc auffi celui des différences de cette Partie, (jcs temps. Or, BC clt plus petite que GH à caufe de Ion inclinaiibn moindre. Il eft donc évident que le temps par BC après MB ou après AB efl: plus court que le temps par GI I après NG ou après FG. On démontrera de la même manière, en prolongeant DC et KH vers le haut, juiqu'à ce qu'elles rencontrent l'horizontale AF en O et en P, que le temps par CD après ABC ou après OC eft plus court que le temps par HK après FGH ou après PH. Et enfin que le temps par DE après ABCD eft plus court que le temps par KL après FGI IK. C'eft pourquoi le temps de la defcente totale par ABCDE fera plus court que le temps par FGHKL. C. Q. F. D. Or, il eft manifefte par là, fi l'on confidère les lignes courbes comme compofées d'une infinité de lignes droites, que lorfqu'on a affaire à deux furfaccs inclinées fui- vant des lignes courbées de la même hauteur et dont l'inclinaifon de l'une furpaffé toujours celle de l'autre en des points quelconques de même hauteur, le corps defcen- dra alors auiïi en un temps plus court le long de la furface moins inclinée que le long de la plus inclinée. Suppofons par exemple que les deux furfaces [Fig. 45] foient inclinées fuivant les courbes AB et CD de même hauteur et pour lefiquellcs, lorfqu'on prend des points quelconques E, F de même hauteur, l'inclinaifon de CD furpaffé celle de AB, en d'autres termes que la tangente à la courbe CD en F foit plus inclinée par rappart à l'horizon que la tangente en E à la courbe AB: le temps de la chute par AB fera plus court que celui de la chute par CD. Et la même chofe aura lieu lorfque l'une des lignes eft droite, pourvu que l'incli- naifon partout égale de la droite foit plus grande ou plus petite que celle de la courbe en chacun de fes points. PROPOSITION XXII. Si fon confidère dans une cycloYde à axe vertical^ ayant [on fommet en bas ^ deux parties de même hauteur de la courbe^ mais dont Vune eft plus proche du Commet^ le temps de defcente par la partie fupérieure fera plus petite que celui de la defcente par la partie inférieure. Soit AB [Fig. 46] la cycloïde à axe vertical AC dont le fommet A fe trouve en bas. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. '67 [Fig. 45-] CB, HG, occurrantquc horizontali AF in M & N. Itaque tcmpus pcr BC poft AB, De motu in squale e(l rcmpori pcr oandcm BC pod MB, cum in piincto B cadcm ccicritas con- ^^<='-^"'^- tin}!;ac, li\'c pcr AB, livc pcr MB dclccndcnci *. limiliterque tcmpiis pcr Cil I poil FG, • Prop. 6. huj x-qiiale erit tempori pcr eandcm GI 1 poil NG. Eli autcm tcmpus pcr BC poil xMB ad tcmpus pcr ÇA I poil NG, ut BC ad GM longitudinc, live ut CM ad UN, cum hanc rationcm habcant & tcmpora pcr totas MC, NI f , & pcr partes MB, NG*,'ideo- • Prop. 7. huj. que ctiam tcmpora rcliqua. lillque BC, minor quam GH proptcr minorcm inclinatio- nem. Patct igitur tcmpus pcr BC poil MB five poil AB, brevius elTc tcmnorc pcr GI I poil NG livc poil l' G. Similiter ollcndctur, produftis DC, KH furlum, donec occurrant horizontali AF in O & P, tcmpus pcr CD poil ABC, livc poil OC, brevius elTc tcmporc per MK poil FGII livc poil PII. Ac dcnique tcmpus pcr DE poil ABCJD, brevius clTc tcmporc per KL poil FGHK. Quare totum tcmpus dclcenliis pcr ABCDE, brevius erit tcm- porc per FGHKL. quod erat demonllrandum. Hinc vero manifellum ell, confidcrando curvas lincas tanquam ex innumeris reélis compolitas, li fuerint duœ fuperlicies,fe- cundum lincas curvas ejusdcmaltitudinis inclinata.% quarum in punétis quibuflibet a;quealtismajorfemperfit inclinatio unius quam reliquat, etiam tcmpore breviori per minus inclinatam grave dclccnfurum quam per magis inclinatam. Velut fi fine dua; fuperficies [Fig. 45] inclinata; fccundum curvas AB, CD, £e- qualis altitudinis, quarumque in punclis «que altis quibufiibet E, F, major fit in- clinatio ipfius CD quam AB, hoc ell, ut I reda tangens curvam CD in F, magis CA 4fi> mclmata fit ad horizontem, quam quœ curvam AB tangit in punfto E. erit tempus defccnfus per AB brevius quam per CD. Wemque continget fi altéra linearum reéla fuerit: dummodo inclinatio redla?, quœ ubique ell eadem, major minerve fuerit inclinatione curvse in quolibet fui punéto. PROPOSITIO XXII. Si in Cycloide ctijtts axis ad perpendimlum ere&iis fîat^ vertice dcorftiiii fpe&ante, dtia portiones curv partant de r extrémité A du diamètre couper la circonférence en B et DE en F. Je dis que les trois grandeurs AB, AD et K!^ font proportionnelles entre elles. Suppofons d'abord que le point d'interfeélion F foit fitué au dedans du cercle, et HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 169 fum fpedet; & accipiantiir in ea portioncs BD & EF, œqiialisaltitudinis,hoc e(l,DE motu in ejiifmodi ut purallolx' h()riz( )inalcs BC, DI I , qux' rupcriorcm portioncm BDindiidunt, <^-^'^'-°"'^- a^quc intcr | fc dillciu ac EG, FK, inicriorcm portioncm E¥ inckidcntes. Dico tcm-C/>- 49)- pus dclccnfus pcr curvan Bl) brevius fore tcmpore per EF. Sumatur cnim in BD punftum quodlibet L, & in EF punctum M, ita ut cadcmfit altitudo E i'upra M qua: B fupra L. Et dcicripto (iipcr axe AC fcmicirculo, occurrant ci recta.' liorizontalcs LN , MO , in N & O , & jungantur NA , OA. Itaque quum pun- [Fig. 46.] dtum N fit altius punfto O, manifeftum efl: reftam NA minus ad horizonteminclinari quamOA. Eftautemipli NA parallela tangcns curvje in L punfto*, & ipfi OA parai- *Prop. 15. huj. lela tangens curva; in M. Ergo curva BD in puntto L minus inclinata ell quam curva EF in punfto M. Quod lî igitur portio EF, invariata inclinatione, altius cxtolli intel- ligatur valut in ef, ita ut inter eafdem parallelas cum portione BD comprehendatur, invenieturpun(ftumMin?//,£equali altitudine cum punfto L. eritquc etiam inclinatio curvEe efin pundo //;, qua; eadem efl: inclinationi curva; EFin INI, major inclinatione curvîe BD in L. Sirailiter vero, & in quolibet alio pundto curvse ef, major oftendetur inclinatio quam curvje BD in punfto £eque alto. Itaque tempus defcenfus per BD brevius erit tempore per f/*,five, quod idem ell, per EF. quod erat demonflrandum. • Prop.prseced. LEMMA. E/fo circulas diatnetro AC [Fig. 47], quem fecet ad angulos reBos DE, &'àter- wino diametrï A eduBa rcBa AB occuvrat circumferentite in B, ipfi vero DE /'/; F. Dico très hûfce, AB, AD, AY^proportioiiûIes cffè. Sit enim primo interieftio F intra circulum; & arcui BD reéta fubtenla ducatur. 170 l'horloge X PENDULE. 1673. Du MOUVEMENT Ci'CLOÏDAL. [Fig-47'] tirons la corde correfpondant à l'arc BD. Comme les arcs AE et AD font ég-aux, les angles infcrits EDA et ABD qui correfpon- dent à ces arcs feront alors également égaux entre eux. Par conféquent dans les triangles ABD et ADF les angles ABD et ADF font égaux. D'autre part l'angle A ell commun aux deux triangles. Les dits triangles feront donc femblables, partant BA : AD = AD : AF. Soit en fécond lieu le point d'interfeftion /en dehors du cercle et tirons bH parallèle à DE, laquelle rencontre la droite AD en H. Suivant ce qui a déjà été démontré on aura alors DA : Ab = Ab : AH, en d'autres tenues = Af: AD. Par conféquent A/, AD et Ab formeront dans ce cas aufli une proportion. Ainfi la propofition efl: établie. PROPOSITION XXIII. Soit la cyclotde ABC [Fig. 48] ayant [on fommet -vers le bas et [on axe AD verti- cal. Prenons fur elle un point quelconque B et tirons de là vers le bas la droite BI qui touche la cyclotde et fe termine à la droite horizontale AI. Tirons la droite BF per- pendiculairement à Vaxe et décrivons fur FA, après F avoir divifée en deux parties égales par le point X, la demi-circonférence FHA. La droite IG ayant été en fui te menée parallèlement à BF par un point quelconque G pris fur la courbe BA , laquel- le 2G coupe la circonférence FHA en H et Vaxe AD en 2, conftdérons les tangentes aux deux courbes aux points G et}Aet les parties de ces tangentes interceptées par les mêmes deux horizontales MS et NT, favoir MN et ST. Et puiffènt les mêmes droites MS et NT intercepter fur la tangente BI la partie OP et fur l'axe DA la partie QR. Cela étant ainfi^ je dis que le temps dans lequel un corps parcourra la droiteM^ avec une vitejjè confiante telle qu" il peut l'acquérir en defcendant par Parc BG de la HOROLOGIUM OSCU^LATORIUM. 1673. >7ï /"«••• 1 c A 1-" A r-» ,. , . r- '^E MOTU IN (^uia igitur arciis xqiiales liint AL, AU, erunt anguli ad circumfcrcntiam ipfis infi- Cycloide. ftences, EDA, ABI) x-qualles. Itaqiic in rriangulis AliD, ADF,aequalesanguli ABD, (j- 5o> ADF. Comiminis aiiccin utriqucelt angiilus ad A. Ergo dicti criangiili fiinilcs erunc, ideoque BA ad AD ut AD ad AF. Sic jam puncftiim intorfectionis /"extra circiilum, & ducatiir ^H parallcla DE, quse occurrat rcéte AD in H. Itaquc fcciindum jam dcmonllrata crit ut DA ad AZ',ita Ab ad AH, hoc efl:, ita A/ad AD : Ideoque rurfus proportionales erunt A/, AD, A^, Quare confiât propofitum. PROPOSITIO XXIII. [Fig. 48.] Sit Cyclois ABC [Fig. 48], cujus vertex A deorfiim converfus fît^axe KY) ad perpendlciilum erecîo ; fumptoqtie in ea quolibet pun&o B , ducatiir inde deorftim re&a BI qucs Cycloidcni tangat^ teruùnetiirque re&a horizontali AI. reita vero BF ad axeni perpendïcularis agatiir^ ^ divifa bifariam FA in Y^^fuper ea defcribatur femicircuhis FHA. Dti&â deinde per pun&tim quodlibet G in cufva ^A.ftiniptum^ re£fâ IG parallelâ BF, qiuc circiimferentiie FHA occurrat in H, axi AD //; 2, in- teUigantur per punfîa G &'\\ re£f<£ tangentes utriusque curva^ ear unique tangen- tium partes iisdem duahus horizontalihus MS, NT intercepta fint^Y^^ ST. lisdem- que re&is MS, NT includantur tangentis Y>\pars OP, (£? axis TiApars QR. Quitus ita fe habentibus ^ dico tenipus quo gra^ce percurret re&am^Y^ ^celeritate aquabili quanta, acquiritur defcendendo per arcum Cycloidis BG , fore ad tempus 172 l'horloge X PENDULE. 1 673- Du cycloïde^ fera au temps dans lequel la droite OV fera parcourue avec une vitejje con- mouvement Cycloïdal. MOUVEMENT ^^,;/^ ^/g^/^ ^ /^ w/rt/V/V dc ccllc qu'i ef acquife par la defcente le long de la tangente BI, comme la tangente ST efî à la partie QR de raxe. En effet , décrivons fur Taxe AD la demi-circontercncc D V A coupant la droite BF en V et 1G en <1>, et tirons la droite AV qui coupe les droites OQ, FR et Gl en E, K et A. Tirons encore I IF, HA, I IX et A*, dont la dernière coupe les droites OQ et PR aux points A et II. Le temps par UN dont nous avons parlé a donc au temps par OP une raifon com- pofée du rapport des lignes MN et OP elles-mêmes et de rinvcrlc du rapport des *Prop.5.Galil.vite(res avec lefquelles elles font parcourues*, le dernier rapport étant celui de la du mouv. jjjç,jjj^ jj, jg viteffc provenant d'une chute félon BI ou FA à la viteffe provenant d'une • Prop. 8. chute fuivant BG ou Fl *. IVIais la vitcire totale provenant de la chute FA eft h la de cette Partie, viteffc corrcfpondant à la chute ¥1 dans un rapport égal à celui des racines carrées • Prop. 3. des longueurs FA et F2 * et par conféquent la même que celui de FA à FH. La moi- de cette Panic. ^\(, ^q j^ vitcffc provenant de la chute FA eff donc à la viteffe provenant de la chute Yl comme FX eil à FH. Le temps fufdit par MN aura donc au temps par OP une raifon compofée des rapports MN : OP et FX : FH. Or, nous démontrerons que le premier de ces rapports, favoir MN : OP, efl: égal à FH : Wl. En effet, la tangente BI à la cycloïde efl: parallèle à la droite VA et de même la tan- gente MGN a la droite «l'A; par conféquent la droite MN efl égale à Ail et OP à EK. Le dit rapport de la droite MN à OP eft donc égal à celui de Ail à EK, en d'autres • Lcmme termes à celui de A A à EA, c.à.d. de *A à AA, c.à.d. de VA à <^\ *. Mais VA : *A = prccéd. Y A. : AH; car, attendu que le carré de VA efl: égal au reétangle DAF, et le carré de A«I> au reélangle DA2l, Icfquels reétangles font entre eux dans le rapport FA : 2A, ou FA= : AH% il s'enfuit que VA- : A' = FA^ : AH^ ou, en confidérant les lon- gueurs, VA : A* = FA : AI I. Le rapport MN : OP efl: donc égal à FA : AH, c.à.d., à caufe de la fimilitude des triangles FAH et FH2, à FH : H2i, comme il a été dit. Par conféquent la dite raifon du temps par MN au temps par OP eft compofée des rapports FX : FH et FH : Hi; elle fera donc la même que celle de FX ou XH à Wl. Mais comme le rayon XH eft à H2i, ainfi eft la tangente ST à la droite QR;c'cft une chofe qu'on voit facilement. Partant il eft établi que le temps du mouvement confi- déré par MN eft au temps du mouvement par OP comme ST eft à QR. C. Q. F. D. PROPOSITION XXIV. Confidérnns de nouveau^ connue dans la Propofition précédente ^ la cycloïde ABC [Fig. 49] dont le fommct fe trou-ce en bas et dont faxe AD e/? vertical. Prenons fur elle un point quelconque B et tirons à partir de lui de haut en bas la tangente à la cycloïdeB(') qui rencontre la droite horizontale AÇ) en 0. Tirons encore la droite BF perpendiculaire à Vaxe et décrivons fur FA la demi-circonférence FHA. Puijfe en- HOROLOGIL'M OSCILLATORIUM. 1673. 173 qm percurretur re&a OP, celer itate aquabili dimidia ejtis qttte acquiritur defcen- De motl- in dendoper totam tangentem V>\^ fiait efl tangem ST ad partent axis QR. cvci.oide. Dcfcribatiir cnim fupcr axe AD fcmicirculus DVA fccans rcétam BF in V, & 1G in *, & jungaciir AV fecans rodas OQ, FR, Gl m EK & A. Jungantur item HF, HA, MX & A*; qiia; poilrcma fccct rcttas OQ, PR in piinétis A & H. I labet crgo didiim tcnipus pcr IVIN ad tcmpiis per OP, rationcm cani quae com- . „ ^^ - r 1 1 ponitur ex ratione ipfariim lincarum MN ad OP, & ex ratione celeritatumquibusip-de motu fe pcrcurruntur, contrarie fumpta*, hoc cil, & ex ratione dimidite celeritatis ex Bli'quab. «) (ivc ex FA, ad ccleritatcm ex 15G, live ex Vl*. Atqui tota ccleritas ex | FA ad cele-i^* -^'y u ■ ritatcm ex FIS, efl: in fubdiiplicata ratione longitudinum FA ad Fi *, ac proinde eadem • prop! 3! huj! qua; FA ad FH. Ergo dimidia ccleritas ex FA ad ccleritatcm ex ¥l erit ut FX ad FH. Itaque tcmpus didtiim pcr MN ad tcmpus per OP habcbit rationcm compofitam ex rationibus MiN ad OP, & FX ad FH. Hariim vero prior ratio, nempe MN ad OP, eadem oftendetur quœ FI I ad \M. Efl: cnim tangens Cyclcidis BI parallela recta; VA, (îmiliterque tangens MGN pa- rallela refta; <1>A; ac proinde refta MN a;qiialis Ail, & OP aequalis EK. Ergo didta ratio redœ MN ad OP eadem eft quse AH ad EK; hoc eft, A A ad EA; hoc efl, ft>A ad AA; hoc eft VA ad «l'A *. Efl autem ut VA ad Aff> ita V\ ad AH; nam quia qua- ' Lemma dratum VA œqualc eit redangulo DAF, & quadratum A(J> squale rcftangulo DAi,!"""" • quï! redlangula (unt inter ie ut FA ad 3A, hoc cil ut quadratum FA ad quadratum AH, erit proinde & quadratum VA ad quadratum A ut quadratum FA ad quadra- tum AH; atque etiam VA ad A longitudine, ut FA ad AH. Ratio itaque MN ad OP, eadem erit quîe FA ad AH, hoc cil, proptertriangulafîmiliaFAH,FH2L, eadem qu£e FH ad H2, ut diftum fuit. Itaque difta ratio temporis per MN ad tempus per OP, componitur ex rationibus FX ad FH & FH ad H2l, idcoque eadem erit quje FX fivc XH ad H2. Sicut autem radius XH ad Wl^ ita eil tangens ST ad reftam QR; hoc enim facile pcrfpicitur. Igitur tempus motus qualem diximus per MN, ad tempus per OP confiât efTe ficut ST ad QR. quod erat demonftrandum. PROPOSITIO XXIV. (A5=> Sit r tir fus ut in prcecedenti propofitioiie Cyclois ABC [Fig. 49], citjus vertex A deorftim fpe&et^ axis AD ad horizontem erettus fit; & fumpto in ea quo-cis punSto B, ducatur inde deorftim re£ta B0 qucc Cycloidem tangat^ occiirr atque recta horizon- tali A© in 0: reffa vero BF axem perpendicularis agatur, &' ftiperY A. defcribatur feniicirculiis FHA. Deinde alia re&a GE, parallela FB, fecet Cycloidem in E, 0 Ed. Naz. T. VIII, p. 195. 174 l'horloge X PENDULE. 1673- Du fuite une autr droite GY.^ parallèle à FB, couper la cycloide efiE,la droite B0 en C^cSr ï' ^^ circonférence FHA en H et enfin l'axe DA en G." Je dis que le temps de la defcente fuivant Parc de cycloïde BE ejî à celui fuivant la tangente BI avec la moitié de la vitefe qui peut être acquife par une chute fuivant B0 comme l'arc FH e/ï à la droite FG. En effet, ii cela ti'eft pas vrai, le temps de la chute fuivant l'arc BE aura au temps fufdit correfpondant à BI, un rapport fupérieur ou inférieur à celui de l'arc FH à la droite FG. Que le premier temps ait d'abord à l'autre, fi cela eu polTible, un rapport plus grand. Dans ce cas un certain temps plus court que celui de la chute félon BE (que ce foit le temps Z) aura au temps confidcré correfpondant h BI le rapport de l'arc FH à la droite FG. Que fi maintenant on prend llir la cycloïde au-defliis du point B un autre point N, le temps néccfiaire pour parcourir BE après NB fera plus court que le temps fuivant BE. Or, il eit manifefiie qu'on peut prendre le point N fi près de B, que la différence de ces temps devient auffi petite qu'on veut et qu'elle eil parconfé- quent plus petite que celle dont le temps Z eft iurpaffé par le temps de la chute fui- vant BE. Suppofons donc le point N ainfi choifi. 11 s'enfuit que le temps de la chute fuivant BE après NB fera plus grand que le temps Z et aura par conféquent au temps de la chute fuivant BI avec la moitié de la viteffe qui peut être acquife par une chute lui vaut B0, un rapport fupérieur à celui de l'arc FH à la droite FG. Que le premier temps ait donc au deuxième un rapport égal à celui de l'arc FHO à la droite FG. Divifons FG en parties égales FB, PQ, etc. dont chacune correfpond à une hau- teur moindre que celle de la ligne NB, moindre aufli que celle de l'arc HO; en effet, il efl: évident que cela efl: poffible. Tirons à partir des points de divifion des droites PA, QZ, etc. parallèles à la baie DC et fe terminant à la tangente B0. Et foient me- nées vers le haut, à partir des points où ces parallèles coupent la circonférence FH, et de même à partir du point H , des tangentes chacune jufqu 'à la parallèle prochaine, telles que AX, T1, etc. Soient également menées vers le haut à partir des points où HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 175 [F'g- 49-] De motu in Cycloide. reêfam BC-) /// 1, cïrcumferentiam FHA ïn H, ^ denique axem DA in G. Z)/6-o tempiis defcenfus per arciini Cycloidis BE, £•//(? ad tempm per tangent ern BI c«ff2 cekritate dimidia ex ^%^ftcut arcus FH ^^ reSfam FG. Si enim hoc verum non ert, habebit tempus per arcuin BE ad diétiim tcmpus per BI, vel majorera rationem quam arcus FH ad reftam FG velminorem. Habeat primo, (1 iieri potelt, majorera. Itaque tcmpus aliquod brevius cempore per BE (lit hoc tempus Z) erit ad diftum tcmpus per BI ut arcus FH ad rectara FG. Quod ii jam in Cycloide fupra punctum B furaatur punftum aliud N, erit terapus per BE poil NB, brevius tempore per BE. Manifeftum efi: autera punétura N tara propinquum furai pofTe ipfi B, ut differentia eorura teraporura lit quamlibet exigua, ac proindc ut minor lit ca qua tempus Z fupe- ratur à tempore per BE, Sit itaque | pun^ura N ita iumptura. unde quidem tempus (A 53)- per BE poft NB majus erit tempore Z, majorcmque proinde rationem habebit ad tempus diftum per BI cura dimidia celeritate ex B0, quara arcus FH ad reflara FG. Habeat itaque eam quara arcus FHO ad reCtam FG. Dividatur FG in partes œquales FP, PQ, &c. quarum unaquœque minor lit altitu- dine lincîe NB, atque item altitudine arcus HO; hoc enim fieri polTe manifeftura eft; & à punftis divifionum agantur recte, bali DC parallelse, & ad tangentem B(-) ter- minât^ PA , QE, &c. Quibusque in puncfHs hœ fecant circumfcrentiam FH, ab lis, itemquc à punfto H, tangentes furfum ducantur ufquc ad proxiraam quceque paralle- lara, velut aX, VI &c. Similiter vero &à pun6i:is,inquibusdia:a;parallela;Cycloidi 176 l'horloge X PENDULE. 1673- Du les dites parallèles coupent la cycloïde, des tangentes telles que SV, TM, etc. Or, fi CycLcriD \L^ Ton ajoute à la droite FG une partie GR égale à celles qui réfukent de la divifion, et qu'on mcme R parallèle, comme les autres, h DC, il apparaît que celle-ci coupe la circonférence FI lA entre H et O, puifque GR cil plus petite que la liauteur du point H au-deiïus de O. Et maintenant nous raifonnerons comme fuit. Le temps d'une cliute fuivant la tangente VS avec la viteffe confiante qui pourrait être acquife par une cluicc iui\'ant BS ell plus grand que le temps d'un mouvement uniformément accéléré fuivant l'arc BS après NB. Car la vitcfTc réfultant delà chute BS eil moindre que la viteffe réfultant de la chute NB parce que la hauteur de BSefl: inférieure à celle de NB. INlais la NitefTe provenant de la chute BS ell fuppofée ici refter la même durant le trajet de la tangente \\S, tandis que la viteffe acquife par la chute félon NB s'accélère continuellement durant le trajet de l'arc BS; de plus ce dernier efl: plus petit que la tangente VS et partout moins incliné qu'aucune partie de cette tangente. De Ibrte que pour toutes ces raifons le temps néceffaire pour par- courir la tangente VS avec la viteffe qui correfpond à une chute fuivant BS eft plus grand que le temps néceffaire pour parcourir l'arc BS après une chute fuivant NB. Pareillement le temps d'une chute fuivant la tangente MT avec une viteffe égale à celle qui réfulte d'une chute fuivant BT iera plus grand que le temps néceffaire pour parcourir l'arc ST après NS, et le temps employé pour parcourir la tangente IlY avec une viteffe telle qu'elle provient d'une chute félon BY fera plus grand que le temps néceffaire pour parcourir l'arc TV après NT. Et ainll la fomme des temps des mou- vements uniformes fuivant toutes les tangentes jufqu'à la plus baffe qui touche la cy- cloïde en E, chacune d'elles étant parcourue avec la viteffe qui peut être acquiic par une chute à partir du point B jufqu'à leur point de contaét, fera plus grande que le temps néceflaire pour parcourir l'arc BE après NB. Mais cette même ibmme de temps ferait auffi plus petite, comme nous le montrerons maintenant. En effet, confidérons de nouveau les mêmes temps des mouvements uniformes fuivant les tangentes à la cycloïde. Or, le temps d'une chute fuivant la tangente VS avec la viteffe provenant d'une chute fuivant BS efl au temps néceffaire pour parcou- rir la droite B.\ avec la moitié de la viteffe telle qu'elle ferait acquife par une chute •Prop.précéd. fuivant FA, comme la tangente AX à la circonférence efl à la partie FP de l'axe*. Pareillement le temps néceflaire pour parcourir la tangente MT avec une viteiTe telle qu'elle provient d'une chute fuivant BT eil au temps néceffaire pour parcourir la droite AZ avec cette même moitié de la viteffe correfpondant à la chute fuivant FA, comme la tangente F ^ efl à la droite PQ. Et ainii de fuite: chacun des temps néces- faires pour parcourir une des tangentes à la cycloïde, lefquels ibnt les mêmes que ceux confidérés plus haut, fera au temps du mouvement unifonnc félon la partie de la droite BI qui lui corefpond avec la moitié de la viteffe provenant d'une chute BQ, comme la tangente à la circonférence FH comprife entre les mêmes parallèles ell à la partie correfpondante de la droite FG. n y a donc certaines longueurs FP, PQ, etc. et un même nombre d'autres quantités. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 177 occurrunt, tangentes furfum ducantur velut SV, TM &c. additâ vero ad reftam FG De motu in parce una GR a;quali iis qiia; ex divifione, dudàquc R parallclà fimilitcr ipii [)C\ Cycloide. pacct cani occurrcrc circiinilcrcntia; Fil A intcr 11 &0,quiaGRniinorefl:altitudinc punéti II liipra O. Jam vero lie porro argunicntabimur. Tempus per tangentem VS cuni celericace a-quabili qiia;acquirereturcxBS,majus eft tempore motus continue accelerati per arcum BS pofl: N15. Nam celericas ex liS minor eft celcritate ex NB, propterca quod miner akinido BS quamNB. At ccleritas ex BS a;qiiabiliter continuari ponitur per tangentem VS, cum celcritas acquifita ex NB continue porro accclcretur per arcum BS, qui arcus minor inflipcr eft tangente VS, omnihusque partibus fuis magis ereftus quam uUa pars tangentis VS. Adeo ut omnino majus lit futurum tempus per tangentem VS cum celcritate ex BS, tempore per arcum BS poil NB. Similiter tempus per tangentem MT, cum celeritate ex BT, majus erit tempore per arcum ST poft NS, & tempus per tangentem IlY cum celcri- tate ex BY, majus tempore per arcum TY poft NT. Atque ita tempora motuum a;- quabilium per tangentes omnes usque ad infimam qux' tangit cycloidcm in E, cum celeritatibus per lîngiilas quanta.» acquiruntur cadendo ex B adusque punétum ipfarum contaftus, majora limul erunt tempore per arcum BE poft NB. Eadera vero & minora eflent, ut nunc oftcndcnius. Conlidercntur enim denuo tempora eadem motuum jequabiliura per tangentes cy- cloidis. Et eft quidem tempus per tangentem VS cum celeritate ex BS, ad tempus per rcftam B A cum celeritate dimidia ex FA, ut tangcns circumferentiîe AX adpartcmjaxis (/>• 54)' FP*. Similitcrque tempus per tangentem MT, cum celeritate ex BT, ad tempus per • Prop.praced. reftam AS cum eadem dimidia celeritate ex FA, ut tangens riaà reftam PQ. Atque ita deinceps lingula tempora per tangentes cycloidis, qua; funt eadem ftipradictis, erunt ad tempora motus a.»quabilis per partes fibi refpondentes recta; BI cum celeritate dimidia ex B0, Ikut tangentes circumferentiîe Fil, iisdem parallelis comprehenlcc, ad partes reftse FG ipfis refpondentes. Sunt igitur quantitates qujedara refta; FP, PQ, &c. & totidem alias, tempora fcili- 23 1/8 l'horloge A PENDULE. 1673- Du favoir les temps dans lefquels font parcourues les droites BA, \Z, etc. d'un mouve- Cycu^dal.^ '"^"^ uniforme avec la moitié de la vitefTe provenant d'une chute fui vaut B(-); et chaque quantité de la première férié a le même rapport à la quantité fuivante que chaque quantité de la deuxième férié à celle qui la fuit: en effet, les quantités de cha- cune des fériés font égales entre elles. Or, les rapports des quantités de la première férié à certaines autres, favoir aux tangentes AX, r2£, etc. à la circonférence, font les mêmes et obfervent le même ordre que les rapports des quantités de la deuxième férié à certaines autres, favoir aux temps du mouvement fufdit le long des tangentes VS, MT, etc. à la cycloïde. Par conféquent, comme fe rapporte la fomme de toutes les premières à celle des grandeurs correfpondantes, c.à.d. comme la ligne FG entière ell à la fomme de toutes les tangentes XA, FZ, etc., ainfi efi: le temps dans lequel la tangente entière BI efl parcourue avec la moitié de la vitefTe acquife par une chute fuivant B0, à la fomme de tous les temps correfpondants aux mouvements fufdits • Prop. 2. fuivant les tangentes VS, MT, etc. à la cycloïde*. Ainfi donc, par inverfion, les ^"^P''*-™'^" temps des mouvements fufdits fuivant les tangentes à la cycloïde auront au temps et Conoïucs o «^ 1 d'Archimède'; néceffaire pour parcourir la droite BI avec la moitié de la vitelTe qui réfulterait d'une chute fuivant B(-),la même raifon que toutes les tangentes à la circonférence FH à la droite FG, et par conféquent une raifon moindre que celle de l'arc FO à la même droite FG, puifque l'arc F(I>, et par conféquent a-fortiori l'arc FO, efl: plus grand * Prop. 20. que l'enfemble des tangentes à l'arc FH *. Mais nous avons pofé que le temps néces- de cette Partie, f^jj-g pQ^^ parcourir BE après NB eil: au temps néceffaire pour parcourir BI avec la moitié de la vitefTe qui réfulterait d'une chute félon B8 , comme l'arc FO efl à la droite FG. Par conféquent la fomme des temps nécefTaires pour parcourir chacune des tangentes à la cycloïde fera plus petite que le temps néceffaire pour parcourir BE après NB, tandis qu'auparavant nous avons démontré que cette fonmie efl plus gran- de; ce qui efl: abfurde. Il en réful te que le temps néceffaire pour parcourir l'arc de cycloïde BE n'a pas au temps de parcourir la tangente BI avec la moitié de la vitefTe provenant d'une chute félon B0 ou FA, un rapport fupérieur à celui de l'arc FH de la circonférence à la droite FG. Suppofons maintenant, fi cela efl poffible, que le premier temps ait au deuxième un rapport inférieur au dernier rapport nommé. Par conféquent un certain temps fupérieur au temps néceffaire pour parcourir l'arc BE (que ce foit le temps Z) fera au temps confidéré correfpondant à BI comme l'arc FH efl à la droite FG. Or, fî l'on prend [Fig. 50] un arc NM égal en hauteur h l'arc BE, mais dont l'ex- trémité fupérieure N foit fituée au-deffous du point B, le temps de chute le long de ♦ Prop. 22. l'^rc NM fera plus grand que le temps correfpondant pour l'arc BE *. Il efl évident de cette Partie, que le point N peut être pris fi près du point B que la différence des dits temps de- vient aufli petite qu'on veut, et par conféquent inférieure à celle dont le temps Z furpaffe le temps néceffaire pour parcourir l'arc BE. Suppofons donc le point N choifi de cette manière. Dans cette hypothèfe le temps de la chute fuivant NM fera inférieur au temps Z, et aura par conféquent au dit temps correfpondant à BI, fup- HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 179 cet quihus pcrcurrunrur rcfta: B A , AZ &c, motu sequabili cum celeritatc dimidia ex De motu in BW; Et iinaqiuvquc quaiititas in prioribus ad requcntcm cadcin proportionc rcfcrtiir/ ^'•''-"">e- qua unaquœque poltcriorum ad fiiam fequentem; funt enim utrobiquc intcr fe squa- les. Quibiis autcm proportionibiis priorcs quanntatcs ad alias qiiasdam, nempc ad tangentes circuli aX, l'i, &c, referuntiir, iisdem proporcionibiis & eodem ordine porteriores quoqiie referuntur ad alias quasdam, nempe ad tempora motus qualem diximus per tangentes cycloidis VS, MT &c. Ergo, (icut le habent omnes fimul pri- ores ad omnes eas ad quas ipfa.» referuntur, hoc efl, ficut tota VC ad tangentes omnes XA, VI, &c. ita tempus quo percurritur tota BI cum celeritate dimidia ex B(-), ad tempora omnia motuum quales diximus per tangentes cycloidis VS, MT, &c*. Et* Prop. 2. invertendo itaque, tempora motuum diftorum per tangentes cycloidis, ad tempus '^'■'^'^""^'^'* "^"^ per rectam BI cum celeritate dimidia ex B(-), eandem rationem habebunt quam àicts; Qf^„Q^^,\ tangentes omnes circumfcrentiœ FH ad reftam FG; ac minorem proindequamarcus FO ad reCtam eandem FG; quia arcus F, ideoque oranino & arcus FO major eft didlis omnibus arcus FH tangentibus*. Atqui tempus per BE poil NB, ad tempus •Prop. 20. huj. per BI cum celeritate dinùdia ex B(-), pofuimus effe ut arcus FO ad rectam FG. Ergo dida tempora omnia per tangentes cycloidis minora fimul erunt tempore per BE poil: NB, cum antea majora eife ollenrumrit;quodefi:ab(urdum. Itaque tempus per arcum cycloidis BE, ad tempus per tangentem BI, cum celeritate dimidia ex B0 velcxFA, non habet majorem rationem quam arcus circumferentiîe FH ad reftam FG. Habeat jam, fi potelT:, minorem. Ergo tempus aliquod majus tempore per arcum BE, (fit hoc tempus Z) erit ad tempus diftum per BI, ut arcus FH ad reclam FG. Quod fi jam fumatur [Fig. 50] arcus NM a;qualis altitudine cum arcu B|E, fed(A 55)- cujus terminus (uperior N fit humilior punéto B, erit tempus per arcum NM majus tempore per arcum BE *. Manifeftum autem quod punftum N tara propinquum fumi * Prop. 22. huj. poteH: punfto B, ut difterentia diclorura temporum fit quamlibet exigua, ac proinde minor ea qua tempus Z fuperat tempus per arcum BE. Sit itaque punclum N ita fumptum. Undc quidera tempus per NM minus erit tempore Z, habebitque proinde ad diftum tempus per BI, cum dimidia celeritate ex B0, minorem rationem quam ') Voir sur cette Proposition la note 5 de la p. 251 du T. XIV. l8o l'horloge X PENDULE. 1673. Du pofé parcourue avec la moitié de la vitcïïe qui réfukerait d'un chute fuivant B0, CYcuytoAL^ un rapport inférieur à celui de l'arc FH à la droite FG. Que le premier temps ait donc au deuxième un rapport égal h celui de l'arc LH à la droite FG. Divilbns maintenant FG en des parties égales FP, PQ, etc. dont chacune foit in- férieure à la hauteur de l'arc de cycloïde BN et en même temps à celle de l'arc de circonférence FL; et tirons, après avoir ajouté à FG une de ces parties G?, à partir des points de divifion des droites parallèles à la bafc DC et le tenninant à la tangente B(-), lavoir PO, QK, etc. et de même à partir du point ^ la droite 'C,iî coupant la cy- cloïde en V et la circonférence en r,. Menons enfuite vers le bas à partir des points où les dites parallèles coupent la circonférence FH, des tangentes chacune jufqu'à la parallèle prochaine, telles que Oa et Yl, dont la plus bafle partant du point H ren- contre la droite ÇD. en X. Menons de plus également vers le bas, à partir des points où les dites parallèles coupent la cycloïde, un nombre égal de tangentes, telles que Sa, TZ, etc. dont la plus baflc, lavoir la tangente au point E, rencontre la droite m en R. Comme P? eft égale à FG, hauteur de l'arc BE, à laquelle eit égale d'après la con- ftniftion celle de l'arc NM, Pç fera auffi égale à la hauteur de l'arc NINI. Or, la droite PO ell, d'après la conllruftion, fituée plus haut que l'extrémité N. Par conféquent Çû, et fon point V, feront lîtués plus haut que l'extrémité M. C'eft pourquoi, l'arc SV étant égal en hauteur à l'arc NINI, mais ayant fon extrémité S fituée au-dcdus de * Prop. 22. N, le temps d'une chute fuivant S V fera plus court que celui d'une chute fuivant NM*. de cette Partie. Mais le temps néceflaire pour parcourir la tangente SA avec la vitcffe conllante confidérée, favoir celle qui provient d'une chute fuivant BS, eft plus court que le temps d'une chute accélérée le long de l'arc ST commençant en S. Car la vitefTc provenant d'une chute fuivant BS, avec laquelle toute la droite SA eil parcourue par hypothèfe, eft égale à la vitefîe provenant d'une chute fuivant ST*, c.à.d. à la • Prop. 8. viteiïe acquife à la fin par le mouvement fuivant cet arc ST, et SA eft plus petite de cette Partie, que ST. Pareillement le temps néceifaire pour parcourir la tangente TZ avec une vitefte conftante, favoir celle qui provient de la chute fuivant BT, eft plus court que le temps d'une chute accélérée fuivant l'arc TY après ST, vu que la vitefTe provenant de la chute fuivant BT, avec laquelle toute la droite TZ eft parcourue par hypothèfe, eft égale à la viteiTe provenant d'une chute fuivant SY, c.à.d. à la HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 181 [Fig- 5°-] De motu in cvcloide. arcus FH ad reftani FG. Habeat ergo eam qiiam arcus LH ad rectam FG. Dividatur jam FG in partes squales FP, PQ, &c. quariim unaqiiœqiie rainor fit arcus cycloidis BN akitudine, itcmque minor altitudinc arcus circumfercntiîe FL; & additd ad FG unâ earum partiura Gç, ducaritur à punétis divifionum rectse bafi DC parallela;, & ad cangentcm B0 tenninatœ, PO, QK, &c; itcmque à punfto Ç recta 'ÇQ. quai fecet cycloidem in V, circumferentiam in •/;; quibusque in pundtis duftîe paral- lela; iecant circumferentiam FH, ab iis tangentes deorfum ducantur usque ad proxi- mam qujeque parallelam, velut ÔA, r2: Quarum infima à pundto II dufta occurrat reftœ i;ii in X. Similiter vero & à punftis, in quibus difts; parallela? occurrunt cycloi- di, ducantur totidem tangentes deorfum, velut SA, TE, &c. quaruminfima,tangcns nempe à punfto E ducta, occurrat tc6.x Ç• 5<5). M. Quare, cum arcus SV sequalis fit altitudinis cum arcu NM, fed termine S fubli- miore quam N, erit tempus per SV brevius tempore per NM*. *Prop.2;.huj. AtquitempuspertangentemSA,cum celeritate œquabili ex BS, brevius ell tempore defcenfus accelerati per arcum ST, incipientis in S. Nam celeritas ex BS, qua tota SA transmiffa ponitur, œqualis efl: celeritati ex ST*, qua; motui per arcum ST in fine * Prop. 8. huj. denium acquiritur; iplaque SA minor ell quam ST. Similiter tempus per tangentem TE , cum celeritate a^quabili ex BT, brevius eft tempore defcenfus accelerati per arcum TY pofl: ST; quum celeritas ex BT, qua tota TZ transmifiTa ponitur, fit îequalis celé- iSa l'horloge X PENDULE. 1673. Du viteffe acquife à la fin par le dit mouvement fuivant l'arc TY après ST, et que la mouvement Cycloïdal. MOUVEMENT i^j.q\iq "y^ q{\ infcricurc en longueur à Tare TY. Par conféquent la fomme de tous les temps qui correipondent aux mouvements uniformes le long des tangentes h la cycloïde avec les viteiïes qui ("ont obtenues, dans le cas de chacune d'elles, par une chute à partir du point B julqu'à fon point decontaft, fera inférieure au temps d'une chute accélérée le long de l'arc SV. Mais cette même fomme ferait aufTi plus grande que ce dernier temps, comme nous le démontrerons maintenant. En effet, le temps confidéré néceffaire pour parcourir la tangente SA, avec une viteffe confiante, favoir celle qui provient d'une chute fuivant BS, ell: au temps néces- faire pour parcourir la droite OK avec la moitié de la viteffe provenant d'une chute fuivant B0, comme la tangente à la demi-circonférence G a efl à la droite PQ *. De •Prop.précéd. même le temps de parcourir la tangente TZ avec la viteffe uniforme confidérée, favoir celle qui provient d'une chute fuivant BT, efl au temps néceffaire pour parcourir unifonnément la droite Kf ' avec la moitié de la viteffe provenant de la chute fuivant B0, comme la tangente TI efl à la droite Qn. Et ainfi de fuite: les temps néceffaires pour parcourir les tangentes à la cycloïde, qui font les mêmes que précédemment, feront chacun au temps d'un mouvement uniforme fuivant la partie correfpondante de la droite Oli, avec la moitié de la viteffe provenant de la chute fuivant B0, comme la tangente à la circonférence 6/; comprife entre les mêmes parallèles eft à la partie correfpondante de la droite Pi. D'où l'on conclura, comme dans la première partie de la démonflration, que la fomme de toutes les droites PQ, Qfl, etc. c.à.d. la ligne entière Pç, eft à la fomme des tangentes 9A, r2, etc. comme le temps dans lequel eft parcourue toute la tangente OQ, avec la moitié de la viteffe provenant d'une chute fuivant B0, à la fomme totale des mouvements fufdits fuivant les tangentes à la cycloïde SA, TZ, etc. Par converfîon, on aura donc aufll que la fomme des temps fuivant les tangentes à la cycloïde aura au temps fufdit du mouvement uniforme fui- vant la droite 00, ou bien fuivant BI, le même rapport que la fomme des dites tan- gentes à l'arc 6/; à la droite P^ ou FG; ce rapport des temps fera donc fupérieur à celui de l'arc LH à la droite FG; en effet, l'arc ôH, et à plus forte raifon l'arc LH, fera plus petit que la dite fomme des tangentes à l'arc Br, *. Mais nous avons fuppofé • Prop. 20. dès le commencement que le temps néceffaire pour parcourir NM fc rapporte à celui decette Partie. Je BI comme l'arc LH eft à la droite FG. Par conféquent le temps de parcourir NM et à plus forte raifon celui de parcourir SV fera inférieur au temps de parcourir l'en- femble des tangentes à la cycloïde. Ce qui eft abfurde puifqu'il a été démontré plus haut que ce temps eft inférieur à celui correfpondant à une chute fuivant l'arc SV. Il eft donc évident que le temps d'une chute fuivant l'arc de cycloïde BE eft au temps néceffaire pour parcourir unifonnément la tangente BI avec la moitié de la viteffe provenant d'une chute fui\ant li0, dans un rapport qui n'eft pas inférieur à celui de l'arc FH à la droite FG. Mais il a également été démontré que le rapport des temps n'eft pas plus grand que ce dernier. Il eft donc néceffaire qu'il ait la même valeur. C. Q. F. D. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673, 183 ricati ex SY, qux in fine ck-niiim acqiiiricur motui di<5lo pcr arcum TY port ST; ipfa- De motu in que TZ minor fit arcii TY. Atqiie ita tenipora omnia niotmim a.'quabiliiim per tan- ^^''^'-''"'^• genres cycloidis, ciim celeritatibus per fingulas quantœ acquiruntiir dcfcendendo ex B iisqiie ad piinctuni ipfariini concaftiis, brcviora lïmul erunc tempore defcenfus ac- cclerati pcr arcuni S\^ Eadcm vcro & longiora elTent, ut nunc oftcndemus. E(t enim tcmpus dictum per tangentcni SA, cum ccleritate x'quabili ex BS, ad tcmpus per rectam OK cum celeritate œquabili dimidia ex B(-), ficuc tangens femicir- culi OA ad rcclam PQ*. fimiliterque tcmpus per tangcntcm TZ, cum ccleritate œqua-'Prop.praced. bili ex BT, cil ad tcmpus pcr rectam R4' cum celeritate a:quabili dimidia ex BW, ut tangens rz ad reftam Qn. Àtque ita deinceps fingula tempora per tangentes cycloi- dis, qua.' funt eadem fupra diiftis, erunt ad tempora motus œquabilis per partes fibi refpondcntes recta.^ 00, cum celeritate dimidia ex DW, ut tangentes circumfcrenti^ 9n, iisdem parallelis inclufc, ad partes reda; Pî: ipfis refpondentes. Unde, ut in priori parte demonrtrationis, concludetur omncs (imul reâas PQ, Qll &c. hoc eft, totam Pi: elle ad omncs fimul tangentes 9A, Pi, &c. ficut tcmpus quo percurritur tota 00, cum ccleritate dimidia ex ii(-), ad tempora omnia motuum quales diximus per tangen- tes cycloidis SA, TZ, &c. Quare & convertendo, tempora omnia per tangentes cy- cloidis, eam rationem habebunt ad tempus diftum motus œquabilis pcr reclam OU, five pcr BI, quam diftœ tangentes omncs arcus Br, ad rectam Pi: vel FG, ac proinde majorem quam arcus LH ad reélam FG; eft enim arcus eH, adeoque etiam omnino arcus LH , minor diftis tangentibus arcus Qr, *. Sed tempus per NM pofui|mus ab initio (p- 57). ad idem tempus per BI fe habere ut arcus LH ad reftam FG. Ergo tempus per i\M,'P™P--°-^"i- multoque magis tempus per SV, minus erit tempore per tangentes cycloidis. Quod eft abfurdum, cum hoc tempus, illo per arcum SV, antea minus oftenfum fuerit. Pater igitur tempus per arcum cycloidis BE ad tempus per tangcntcm BI cum celeritate x- quabili dimidia ex Bt), non minorem rationem habere quam arcus FH ad rectam FG. Sed nec majorem habere oftenfum fuit. Ergo eandem habcat necefle eft. quoderar demonftrandum. 184 l'horloge X PENDULE. 16-3. SoL•^•EMENT P R O P O S I T I O iN XXV. Cycloïdal. Dans une cychnâe à axe vertical et dont le fominct fe trouve en has^ les temps de defcente dans lefquek un mobile , partant du repos d'un point quelconque de la courbe^ atteint le point le plus bas , font égaux entre eux , et ont au temps de la chute verticale le long de l'axe entier de la cyclotde une rai fan égale à celle de la demi-circonférence d'un cercle à fan diamètre. Confidérons une cycloïde ABC à axe vertical dont le Ibmmet efl: tourné vers le bas [Fig. 51], et un mobile defccndant librement à partir d'un point, tel que B, arbitrairement choili liir cette courbe, luivant l'arc BA ou fuivant une furface pos- fédant la même courbure. Je dis que le temps de la defcente de ce mobile efl: au temps d'une chute le long de l'axe DA, comme la demi-circonférence d'un cercle ell à fon diamètre. Ceci étant démontré, il fera établi en même temps que les temps de chute le long d'arcs de la cycloïde fe terminant en A mais d'ailleurs arbitrairement choifis font égaux entre eux. Décrivons fur l'axe DA un demi-cercle dont la circonférence foit coupée en E parla droite BF parallèle à la bafe DC, et après avoir joint les points E et A par une droite, traçons BG parallèle à cette dernière et touchant donc la cycloïde au point B. Suppofons que la môme droite rencontre en G la droite horizontale tirée par A. Décrivons encore un demi-cercle FHA fur FA. D'après la propolition précédente, le temps de la defcente fuivant l'arc de cycloïde BA eft alors au temps d'un mouvement uniforme le long de la droite BG avec la moitié de la vitefTe qui ferait acquife par une chute fuivant BG, comme le contour FHA du demi-cercle cil à la droite FA. Mais le temps du dit mouvement uniforme • p 6 à P^'" ^^ ^^ ''S^' ^'^' '■'^'^P^ ^'^ '^ chute libre accélérée fuivant la même droite BG, ou Galilée sur le ^ ^elle fuivant EA qui lui efl: égale et parallèle, c.àd. au temps de la chute accélérée mouv.accél.») fuivant l'axe DA *. Par conféquent le temps du mouvement le long de l'arc BA fera i)Ed.Naz.T.VIII,p. 221. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 185 PROPOSITIO XXV. De moto in Cycloide. In Cycloide cujus axis ad perpendiculuni erecttts e/?, vertice deorfum fpectante, tempora defceiijïis qtiibiis mobile, à qummque in ea piinclo dimijjhm , ad punctum imwn irrticispervemtjmt inter fc aqmiUa; habcntqiie ad tempus cajtis perpendi- cularisper totum axem cycloidis eamrationem.quamfemicircumferentta circuit ad diametrum. [Fig-5i.] Efto cyclois ABC [Fig. 5 1 ] cujus vertex A deorfum fpeaet, axis vero AD ad per- pendiculuni ercaus fit, & à puncto quovis in cycloide fumpto, velut B; defcendat mobile impetunaturalipcr arcum BA, five per fupcrficiem ita inflcxam. Dico tempus defcenfushujuselTc ad tempus caiusper axem DA, ficut femicircuraferentia circuli ad diametrum. Quo demonrtrato, etiam tempera defcenfus, per quodibet cycloidis arcus ad A terminâtes, inter fe œqualia efle conlhbit. Defcribatur luper axe DA femicirculus, cujus circumferentiam fecet recla Bb , bail DC parallela, in E; jnndaque EA, ducatur ei parallela BG, quœ quidem cycloidem tanget in B. Eadem vero occurrat refta; horizontali per A duftœ in G: litque etiam fuper FA defcriptus femicirculus FHA. Elt igitur, per pra^ccdentem, tempus defcenfus per arcum cycloidis BA, ad tempus motus squabilis per reftam BG cum celeritatc dimidia ex BG, ficut arcus femicirculi FHA ad rcftam FA. Tempus vero difti motus tequabilis per BG, squatur tcmpon. ^^^^^ ^ defcenfus naturaliter accelerati per eandem BG, five per EA, quœ ipli parallela eft ôc oaiii. de mom squalis, hoc eft, tempori defcenfus accelerati per axem D A Mtaque tempus per Accd..)- 24 l86 l'horloge X PENDULE. 1673. Du aiidî au temps de chute fui vaut l'axe DA, comme la circonférence FI lA d'un demi- CvSal.'' '^^'•'-•1'= <^'^ ^ <«" diamètre FA. C. Q. F. D. Que fi Ton luppole la cavité de la cycloïdc conllruitc entièrement, il efl certain • Prop. 9. I*-'^' '^' "^t)bilc, après être dclccndu le long de Tare BA, montera, en continuant Ion de cette Partie, mouvement à partir de là, le long du deuxième arc fymétrique avec le premier* et y • Prop. II. employera autant de temps que pour la defcentc*; et qu'après cela il reviendra de deeette Partie, nouveau h li en palTant par A et que les temps de ces ofcillationscycloïdalcs d'ampli- tudes quelconques feront chacun au temps de la chute verticale fuivant l'axe DA, comme la circonférence totale du cercle eft à fon diamètre. PROPOSITION XXVI. Les mêmes chofes étant fuppofées, et une horizontale HI étant en outre tirée [Fig. 51] qui coupe rare BA en I et la circonférence FI! A en H, je dis que le temps nécejjaire pour parcourir V arc^X efl à celui dans lequel efl parcouru Varc lA après BI, comme Varc FH de la circonférence efl à HA. En effet, fuppofons que la droite HI coupe la tangente BG en K et l'axe DA en L. Le temps de la chute fuivant l'arc BA efl: alors à celui du mouvement uniforme fuivant BG avec la moitié de la viteffe qui proviendrait d'une chute fuivant BG, • Prop. 24. comme l'arc FHA efl à la droite FA *. Or, le temps du dit mouvement unifonne fui- '^'^""'^^^"'*" vaut BG efl au temps d'un mouvement imifonne luivant BK avec la même demi- vitelTe, comme la longueur BG efi: à BK ou comme FA efl; à FL. D'autre part le temps d'un mouvement uniforme avec la viteïïe mentionnée fuivant BK eil au temps d'une • Prop. 24. chute fuivant BI, comme FL efl: à l'arc FH *. On aura donc „ex a^quo" '): le temps '^^""^^^""^•d'ime chute fuivant BA efl h celui d'une chute fuivant BI comme l'arc HIA efl à l'arc FH. Et, par divifion et converiion : le temps d'une chute le long de BI efl: à celui d'une chute le long de lA après BI, comme l'arc FH efl h l'arc HA. C. Q. F. D. ') Comparez sur cette expression d'Euclide la p. 396 du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. I 673. .87 arcum BA, crit quoque ad tcuipus dcfccnfiis pcr axcm DA, iit fcmicirculi circurafe- De motu in rcntia FHA ad diamctriim FA. quod crat dcmonllrandum. Cycloide. Quod (i tota cycloidis cavicas pcrfefta ponatur, conlbc mobile, poftquam per arcum (a S^)- BA defccndcrit, indc continuato motu pcr altcrum ipfi a;qualcm arcum afccnfurum*,* Prop. 9. huj. atquc in co tantundcm tcmporis arque dcfcendcndo coniumpturum*. Deindc rurfus «Prop. ii.huj. per A ad B pcrvcnturum, ac lingularum cjusmodi rcciprocationum, in magnis parvisvc cycloidis arcubus peraftarum , tempora fore ad tempus cafus perpendicularis per axem DA, (icut circumferentia circuli tota ad diametrura fuam. [Fig.51-] PROPOSITIO XXVI. Usdempofttîs ^fî ducatur infuper re£fa horizontalis HI [Fig. 5 1 ] qua arcum V>A.fe- cet'in I, circnmferent'iaiu vcro FHA hi H: d'ico tempus pcr arcum BI, adtempusper ar- cum Wpoft BI , cam rationcm habere quam arcus circumferentuc FM ad HA. Occurrat cnim refta HI tangenti BG in K, axi DA in L. Ei1: itaque tempus per arcum BA, ad tempus motus squabilis per BG cum celeritate dimidia ex BG, Ikut arcus FHA ad reftam FA*. Tempus autem didli motus tEquabilisperBG,eftadtem-*Prop.24.huj. pus motus £equabilis per BK, cum eadera celeritate dimidia ex BG, ficut BG ad BK longitudine, hoc eil, licut FA ad FL. Et rurfus tempus motus a^quabilis, cum dicta celeritate, per BK, ad tempus per arcum BI, ficut FL ad arcum FH *. Igitur ex sequo ') * Prop. 24. huj. erit tempus per arcum BA ad tempus per BI, ut arcus FHA ad FH. Et dividendo,& convertendo, tempus per BI, ad tempus pcr lA pofl: BI, ut arcus FH ad HA. quod erat demonllrandum. TROISIÈME PARTIE DE L'HORLOGE À PENDULE. De V Evolution et de la Dimenfion des Lignes courbes. DEFINITIONS. I. Appelons ligne courbée vers un feul côté une ligne que toutes [es tangentes touchent du même côté. Que fï la ligne a quelques parties droites ., les prolongements de celles-ci feront confidérés comme des tangentes. II. Lorfque deux lignes de cette efpèce émanent d'un même point et que la convexité de Vune efl tournée vers la concavité de Vautre., comme font placées dans la figure ci-jointe [Fig. 52] les courbes ABC et ADE, elles feront dites concaves Vune et Vautre vers le même côté. III. Si Von confidère un fil., ou une ligne flexible., enroulé fur une ligne courbée vers un feul côté., et que., une extrémité du fil demeurant attachée à la courbe.. Vautre en efi écartée de telle manière que la partie libre du fil re fie toujours tendue .,il efi manife fie quiine certaine autre courbe efi décrite par cette extrémité du fil. Donnons-lui le nom de Développante. IV. Et que celle fur laquelle le fil efi enroulé porte le nom de Développée. Dans la figure qui précède [Fig. 52] ABC efi la développée et ADE la développante corres- pondante de forte que., lorfque V extrémité du fil pafie de Ken Y)., la partie tendue du fil efi la droite DB, le refie BC étant encore enroulé fur la courbe ABC. // efi manife fie que DB touche la développée en B. HOROLOGII OSCILLATORII Pars Tertia. De Unearum curvarum evolutione & dimenfione. DEFINITIONES. [F'g-52-] I. Lînea tnunam partent înflexa voce- tur quam recU omnes tangentes ah eadem parte contingunt. Siautempor- tiones quasdam re&as lineas habuerit, h FC, parce que l'angle C du triangle FCE efl droit. FE efi: donc a fortiori plus grande que FH. D'où il reflbrt que du moins de ce côté-là du point C l'extrémité du fil n'arrive pas jusqu'à la droite CE. Suppofons maintenant le point H plus près de l'origine de la développante que le point C [Fig. 54] et foit HG la pofition du fil au moment où fon extrémité efl en H. Tirons les droites DG et DH dont la dernière rencontre la droite CE en E. Il efl: clair que la droite DG ne peut fe trouver fur le prolongement de HG et que HGD fera par conféquent un triangle. Or, comme la droite DG efl: ou bien plus petite que DKG ou bien fon égale, fa voir dans le cas ou la partie DG de la développée efl droite, on trouvera, en ajoutant GH de part et d'autre, que la fomme des droites DG et ') Comparez sur cette Proposition et les trois suivantes les Théorèmes de 1 659 des p. 398 et suiv. du T. XIV. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 191 PROPOSITIO I'). Re&a omn'ts^ qiia evolittam tangit^ occurret linea ex evolutiune defcr'tptte ad an- De linxarum curvarum evolutione. gitlos reëtos. [l'-ig. 53.] Sit AB [F^ig. 53] cvoluta, AH vero qiia; ex cvolucionc illius dc- icripta cil. Refta autem FDC, tan- gens curvam AD in D, occurratin C ciirva.* ACll. Dico ei occurrere adangulosreétos: hoc eil, fi ducatur CE recta perpendicularis CD, dico eara in C tangere curvam ACH. Quia cnim DC tangit cvolutam in D ,apparet ipfam refcrre pofitionem lili tune cum ejuscxtremitaspcrve- nic in C. Quodlngituroftenderimus filum, in tota reliqua defcriptione curva; ACH, nusquam percingere ad reétam CE prœterquam in C punCl:o,ma|nifefl:um erit reclara CE (/>• <>i). ibidem curvam ACH contingere. Sumatur punélum aliquod in AC pra^ter C, quod fit H, iitque primo remotius à principio evolutionis A quam pundlum C, & intelligatur pars libéra elle HG, cum extremitate fua ad H per- venit. Tangit ergo HG lineam AB in G. Cumque intereadumdefcribiturparscurvîe CH, evolutus fit arcus DG, occurret CD à parte D produda ipfi HG, ut in F. Pona- tur autem GH occurrere reftîe CE in E. Quia igitur duse fimul DF, FG, majores funt quara DG, five curva ea fiierit five reCta: fiet addendo utrinque reftam DC, ut refta: CF, FG fimul majores fint refta CD & ipla DG. Sed propter evolutionem, apparet utrisque fimul, reftîe CD, & linese DG, squari reclam HG. Ergo du£e fimul CF, FG majores quoque erunt refta HG; & ablata communi FG, erit CF major quam HF. Sed FE major efi: quam FC, quia angulus C trianguli FCE ell: reftus. Ergo FE omnino major quam FH. Unde apparet, ab hac quidem parte puncH C, fili extremitatem non pertingere ad reftam CE. Sit jam punftirai H propinquius principio evolutionis A quam punctum C [Fig. 54], fitque fili pofitio HG, tune cum ejus extremitas effet in H, & ducantur redœ DG, DH, quarum hîec occurrat redise CE in E: apparet autem DG reftam non pofle elTe in direftum ipfi HG, adeoque HGD fore triangulum. Jam quia recta DG vel minor efl: quam DKG, vel eadem, fi nempc evoluts pars DG recta fit; additd utrique GH, 192 l'horloge X PENDULE. 1673. De l'évolution des courbes. [Fig. 54.] GH ert inférieure OU ce;ale à DKG + GI I ou bien h la droite DC qui cÛ égale à cette dernière fommc. Mais la droite DH eil plus petite que la fomme des droites DG et GI 1. Dl 1 ert donc à plus forte raifon inférieure à la droite DC. Or, DE > DC, puisque dans le triangle DCE l'an- gle C eil droit. Parconféquent DH eft beaucoup plus petite que DE. Le point H. c.à.d. l'extrémité du fil GII, efl: donc fitué à l'intérieur de l'angle DCE. D'où il appert qu'entre A et C auiïi l'extrémité du fil n'arrive nulle part jufqu'h la droi- te CE. Partant CE touche la courbe AC en C; c'eft pourquoi DC, à la- quelle CE efl: perpendiculaire par conrtruélion, coupe la courbe à an- gles droits. C. Q. F. D. Par là il efl: encore manifefte que AHC efl: courbée vers un feul côté et qu'elle efl concave vers le même côté que AGB, par l'évolution de laquelle elle a été décrite. Car toutes les tangentes à la ligne AHC tombent en dehors de l'efpace DGAI IC; mais toutes les tangentes à la ligne AGD tombent dans lui. D'où il efl: évident que la concavité AHC regarde la convexité AGD. PROPOSITION II. Toufe ligne courbe terminée^ courbée vers un feul côté^ telle que ABD [Fig. 55] peut être divifée en un fs grand nombre départies qui fi Ton tire les cordes quifouflen- dent chacun des arcs^ telles que AB, BC et CD, et en fuite depuis chacun des points de divifon et aujfi depuis V extrémité de la courbe les tangentes AN, BO, CP, cha- cune jufqu à la normale à la courbe au point de divifion fuivant Ç^N ^CO ^ DP font des normales^, que chaque corde ^ (li^-je^ aura à la tîormale correfpondante (AB à BN,BC à CO, CD à DP} un rapport fttpérieur à tout rapport arbitrairement donné. En effet, foit donné le rapport EF : FG [Fig. 55] de deux droites fonnant les côtés d'un angle droit F et tirons la droite GEH. Suppofons d'abord la courbe ABD divifée par les points B, C en des parties fi petites que les tangentes à la courbe en deux de ces points qui fe fuivent fe coupent l'une l'autre fuivant des angles dont chacun efl fupérieur à l'angle FEH, tels que l_ AKB, L BLC et L CMD. La poffibilité d'une pareille divifion efl trop évidente HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 193 erunt reftse DG, GH fimul minores vel | squales diiabus iftis, fcilicet DKG & GH,(/'- l_ HEF, L NKB, lupplément du premier, fera plus petit que L GEF. Or, l'angle B du triangle KBN eft droit, comme F du triangle EFG. Par conléquent KB : BN > EF : FG. Mais AB > KB, puifque l'angle K du triangle AKB eft obtus; en effet, il efl: plus grand que l'angle HEF lequel efl: obtus par con- ftniftion. Le rapport AB : BN fera donc plus grand que le rapport KB : BN et à plus forte raifon que le rapport EF : FG. On démontrera de la même manière que les rap- ports BC : CO et CD : DP font l'un et l'autre plus grands que le rapport EF : FG. La propofition eft donc démontrée. PROPOSITION m. Deux lignes courbées Vune et Vautre vers un feul côté et concaves vers le même côté ne peuvent émaner d''un feul point dans une telle pofition Vune par rapport à Vautre que toute droite normale à Vune [oit aufjt normale à Vautre. I En effet, foient ACE et AGK poffédant l'extrémité commune A, fi cela eft pos- fible, des lignes courbes de cette elpcce [Fig. 56] et foit KE une nomiale en un point quelconque K de la courbe extérieure à cette dernière: étant normale à cette courbe KE le fera donc auffi à la courbe ACE. Nous pouvons prendre maintenant quelque droite Q plus grande que la courbe KGA. Suppofons KG A divifée par les points H, G, F, comme il a été dit dans la propofition précédente, en un fi grand nombre de parties que chacune des cordes KH, HG, GF, FA ait à la noraiale adjacente HM, GN, FO ou AP un rapport m fupérieur à celui de la ligne Q à la droite KE. L'enfemble des cordes nommées aura donc aufti à la fomme de toutes les normales un rapport fupérieur à Q : KE. Prolon- geons maintenant ces mêmes noniiales et puift'ent-elles couper la courbe ACE en D, | HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. I95 indigeac. Ducftis jam fubtenfis AB, BC, CD, & ereftis curvœ perpendicularibus BN, De li.vearum . CURVARUM ' EVOLUTIONE. CO, DP, qiiœ occurrant producftis AK, BL, CM, in N, O, P: dico rationes fingulas ^^^varum rcetariim, AB ad 15N, liC ad CO, CD ad DP, majores cfTc rationc EF ad FG. Quia cnim angiilus AKI5 major cit angiilo IlEF, crit rclidiius illiiis ad duosreétos,(/). 63). nimirmn anguliis NKB, miner angulo GEF. Anguliis autcm B trianguli KBX eft reétus, (icut & angulus F in triangulo EFG. Ergo major crit ratio KB ad BN quam EFad FG. Scd AB major cil quam KB, quoniam angulus K in triangulo AKIÎ cft obtufus, cil cnim major angulo HEI' qui cil obtuius ex conllruàtionc. Ergo ratio AB ad BN major erit rationc KB ad BN, ac proinde omnino major rationc EF' ad FG. Eodem modo & ratio BC ad CO, & CD ad DP, major ollendetur rationc EF ad FG. Itaquc conllat propolitum. PROPOSITIO III. Dttte citrvte in unam partent inflexa & in easdem partes cava ex eodem piin&o egredi neqneunt^ ita ad fe invicem comparata^ ttt re&a oninis qtiis alteri earum ad angulos reSîos occtirrit^Jimiliter occtirrat & reliqua. Sint enim, ii fieri potell, hujufmodi linea; curvte ACE, AGK, communem termi- num habcntcs A [Fig. 56], & fumpto in extcriorc illarum punéto quolibet K,fitinde cdufta KE refta, curvEC AGK occurrcns ad angulos rcélos, ac proinde etiam curvse ACE. Poteil jam refta qusedam lumi major curva KG A, qus fit Q. Divifa autem intelli- (A ^\)' gatur ipfa KGA, ut in propofitionc antecedenti diftura fuit, in tôt partes punélis HGF, ut fubtenfe fingulœ KH, HG, GF, FA, ad perpendiculares curvse fibi conti- guas HM, GN, FO, AP majorera rationem habeant quam linea Q ad reélam KE. Itaque & omnes fimul dictœ fubtcnfe ad omnes diétas perpendiculares majorera habe- bunt rationem quam Q ad KE. Producantur autem perpendiculares eîedera & occur- L EVOLUTION DES COURBES. 196 l'horloge X PENDULE. 1673. De C, et B, normalement par hypothèfe. On aura maintenant: KE << MD. En effet, EL, perpendiculaire à KE, fera tangente à la courbe ACE, puifquc KE lui ert: nor- male; EL coupera donc néceffairement la droite MD entre D et M. Par conlequent KE, qui ell la plus courte de toutes les lignes compriies entre les parallèles EL et KM, fera plus petite que ML et à plus forte raifon que MD. On démontrera de la même manière que \ ID < NC, GC < OB, et FH < PA. Comme on a donc PA > FB, la fomme PA + OF fera fupéricurc à OB. Pareillement , puifque OB > GC, la fomme OB + NG fera plus grande que NC. Mais la fomme PA + OF était fupcrieure à OB. Par conféquent la fomme des trois termes PA, OF' et NG fera containement plus grande que NC. Derechef, puifque NC > HD, la fomme NC + Mil fera plus grande que MD. Partant, fi Ton prend au lieu de NC la ibmme des trois termes PA, OF, NG qui lui ell: fupérieure, la Ibmme des quatre grandeurs PA, OF, NG etMH fera a-fortiori plus grande que IMD: et par conféquent cette même fomme fera audi certainement plus grande que la droite KE, puifque INID furpaffait KE en longueur. Or, nous avons dit que la fomme des fouftangentes AF + FG + GH + HK a à celle de toutes les normales PA, OF, NG et INIII un rapport fupérieur h celui de la ligne Q à KE. Par conféquent la fomme de toutes les cordes fera plus grande que la droite Q. Mais cette dernière avait été prilc plus grande que la courbe AGK. La fomme des cordes AF + FG + CK + HK lera donc plus grande que la courbe AGK aux arcs de laquelle ces cordes correfpondent; ce qui efi: abfurde puifque chacune des cordes efi: plus petite que l'arc correfpondant. PROPOSITION IV. Si d'un même point partent deux lignes courbées Vune et Vautre vers un feul coté et concaves vers le même côté^ et ainfi fttuées Vune par rapport à Vautre que toutes les tangentes à Vune d'elles coupent Vautre à angles droits, cette deuxième fera la développante de la première à partir du point commun. Soient données les lignes ABC et ADE [Fig. 57] courbées Tune et l'autre vers un feul côté et concaves vers le même côté, poffédant l'extrémité commune A. PuifTent toutes les tangentes à la ligne ABC, telles que BD et CE, couper la ligne ADE normalement. Je dis que ADE cfl: décrite par l'évolution de ABC à partir de l'extrémité A. En effet, fuppofons, fi cela ell poffible, que par la dite évolution foit décrite une certaine autre courbe AFG. Par conlequent des lignes droites quelconques, tangentes à la développée ABC, telles que BD et CE, couperont cette courbe AFG à angles * Prop. I. droits *, p. e. en F et G. INIais par hypothèfe ces mêmes tangentes font aulli normales de cette Panie. \ la ijgng ADE. Or, nous avons affaire à des courbes ADE et AFG, fe terminant au même point A, courbées l'une et l'autre vers un feul côté et concaves vers le même HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 197 rant curva; ACE in D, C, B, nimirum ad angulos redos ex hypothefi. Erit jam KE Dk mnearum CURVARUM EVOLUTIO.NE. minor quam MD. Etenim, dufta EL ipfi KE pcrpcndiculari, quoniam KE occurrit*^'^'^^'*''^*'*' lincx' curva; ECA ad angulos rcétos, tanget EL curvam ACE, occiirrctquc nccciïario Tcdx MU interD & M. Undc ciim KE lit brcvillima omnium qua; cadunc intcr paral- Iclas EL , KM , crit ca minor quam ML , ac proindc minor quoquc omnino quam MD. Eodem modo & HD minor oilcndctur quam NC, & GC minor quam OB, & FB minor quam PA. Cum fit ergo PA major quam FB, crunt dua; fimul PA,OF majores quam OB. Item quum OB iit major quam GC, erunt dua- limul OB, NG, majores quam NC. Sed duœ PA, OF majores erant quam OB. Itaque tresfimulPA,OF,NG omnino majores erunt quam NC. Rurfus, quia NC major quam HD, erunt dua: fimul NC, MH majores quam MD. Unde, fi loco NC lumantur très ha.' ipla majores PA, OF, NG, erunt omnino hœ quatuor PA, OF, NG, MI! majores quam MD. ac proinde ea;dem quoque omnino majores refta KE, quia ipfa MD major erat quam KE. Dixiraus autera lubtenias omnes AF, FG, GH, HK majorera rationem habere ad omnes pcrpendiculares PA, OF, NG, MH, quam linea QadKE. Ergo cum dictis perpendicularibus mino*- etiam fit KE, habebunt diftîe fubtenfe ad KE omnino ma- jorem rationem quam Q ad KE. Ergo fubtenfa.' fimul fumpta; majores erunt rectà Q. Ha;c autem ipfa curvd AGK major fumpta fuit. Ergo fubtenfîe AF, FG, GH, HK fimul majores erunt curva AGK cujus partibus fubtenduntur; quod efliabfurdura, cum finguls fuis arcubus fint minores. Non igitur poterunt effe duîe curvîe lineas quae quemadmodura didum fuit iefe habeant. quod erat demonflrandum. PROPOSITIO IV. Si ab eodem punSto dua linea exeant in partent unam inflexa^ &'in eandem par- tent cava^ ita vero mutuo com\paratce ut re&ce omnes ^ qua altérant earum contin-(^p- 65). giint^ alteri occurrant ad angulos reâos;pojlerior luec prioris evolutione^ à puncîo communi cœpta^ defcribetur. vSunto linea? ABC, ADE [Fig. 57], in partem unam inflexs, & quarum utraque in eafdem partes cava exiilat, habeantque communcm terminum A punftuin. Omnes autem refta; tangentes lineam ABC, velut BD, CE, occurrant linese ADE ad angulos reftos. Dico evolutione ipfius ABC, à termino A incepta, defcribi ADE. Si enim fieri potell, defcribatur difta evolutione alia qujedam curva AFG. Ergo linese reda; quselibct, evolutam ABC tangentes, ut BD, CE, occurrent ipfi AFG ad angulos reftos *, puta in F & G. Sed e^edem tangentes etiam ad reftos angulos occur- ♦ Prop. i. huj. rere ponuntur lines ADE. Sunt igitur lineœ curvce ADE, AFG, eodem punfto A teniiinatte, inquc partem unam flexa;, & amba; in eandem partem cavse, quippe utra- 198 l'horloge X PENDULE. 1673. De l'évolution des courbes. [Fig. 57.] * Prop. 3. de cette Partie. côté, puifqu'elles font concaves vers le même côté que ABC; car ceci ell vrai de la ligne ADE par hypothèfe et de la ligne AFG d'après la première propoiition de cette Partie. De plus toutes les normales à Tune d'elles l'ont aufli normales à l'autre. Mais il a été démontré plus haut que ceci efl; im- podible*. Il ell donc établi que ADE elle- même fera décrite par l'évolution de la ligne ABC. C.Q.F.D. PROPOSITION V. Lorfqitune droite touche une cycloide en fon fommet et qu on conjlruit fur cette droite prife pour hafe une autre cycloïde ^ femblable et égale à la première ^à partir du point coïncidant avec le fommet nommée une tangente quelconque à la cycloïde in- férieure fera normale à Varc cyclo'i'dal fupérieur '). Suppofons que la droite AG [Fig. 58] touche la cycloïde en fon fommet A et que fur cette droite prife pour bafe une autre cycloïde AEF à ibmmet F l'oit conflruite. Soit BK une tangente à la cycloïde ABC.Je dis que cette tangente, prolongée jufqu 'à la cycloïde AEF, la rencontrera à angles droits. En effet, décrivons autour de AD, axe de la cycloïde ABC, le cercle générateur ,p , j AHD qui coupe BH, parallèle à la bafe, en H, et tirons la droite HA. Il s'enfuit, laîièmePanie. puifque BK touche la cycloïde en B, qu'elle efl: parallèle à la droite HA*. Par con- *Propos.i4. défèquent AHBK efl: un parallélogramme et AK efl égale à HB, c.à.d. à l'arc AH*. laaiemePame. j-)^j,j.j^,Qj^5 maintenant le cercle KM égal au cercle générateur AHD, touchant la bafe AG en K et coupant la droite BK prolongée en Ë. Comme BKE ell parallèle à ') Comparez sur cette Proposition et la suivante les p. 404^405 du T. XIV et 142 — 145 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 199 que in candem atqiie ipfa ABC; nam delinea ADEconftat exhypothefi,de AFGdelinearum vcro ex pn)pi)(itioiic prima hiijiis; & omnes qux' uni earum occurrunt ad angulos^" redos, ctiam alteri limiliter occurrunt. quod quidcm fieri non poiTc antea oflenfum cfl:*. Quare conftat ipfani ADE dcfcrïptum iri evolutionc linca: AiîC. quod erat de-' Prop. 3. huj. monitrandum. . CUaVARUM ' EVOLUTiONX. PROPOSITIOV. ip.66). Si Cycloïdem re&a linea in vertice contingat^ fiipcr qua^ tanqiiam baft^ alia cy- clois priori lîmilis &' cequalis conflitiiatur ^ initiwn fumein à piincto diciiverticis; re&û quceUhetinferiorem cycloidem tan gens, occurret fuperioris portioni^fihi fuper- pofita, ad angiilos re&os '). Tangat cycloidem ABC in vertice A refla AG [Fig. 58], fuper qua, tanquam bafi, fimilis aliqua cyclois conftituta fit AEF, cujus vertex F. Cycloidem autem ABC tan- gat refta 15K in B. Dico eam produftam occurrere cycloidi AEF ad angulos reclos. Defcribatur enimcircu AD, axem cycloidis ABC, circulus genitor AHD, cui oc- currat BH, bafi parallela, in H, & jungatur HA. Quia ergo BK tangit cycloidem in, p,.„|,„5 ,. B, conftat eam parallelam eiTe refta? HA *. Itaque AHBK parallelogrammum eil, ac partis 2. proinde AK aequalis HB, hoc eft, arcui AH *. Sit porro jam delcriptus circulus KM, * Propos. 14. genitori circulo, hoc eft ipfi AHD, squalis, qui tangat bafin AG in K, reftam veroP^"'* *• 200 l'horloge X PENDULE. 1673. De ah ce par conféquent EKA = KAH, il ell manifefte que le prolongement de BK D^TouRBEs" <^*^"P'^ ^^ ^''^ circonférence Ki\I un arc égal à celui que la droite AH coupe de la cir- conférence AllD. Par conféquent Tare KE cil: égal à l'arc AH, c.à.d. à la droite HB et à la droite KA. Mais de cette égalité il réllilte, d'après une propriété de la cycloïde, puisque le cercle générateur MK a touché la règle en K, que le point décrivant la *Propos.i5.de cvcloïde à paffe par E. La droite KE rencontre donc la cycloïde en E à angles droits *. laaièmePartie.Qj.^ K£ n'ell autre chofe que le prolongement de BK. Il cil donc évident que BK prolongée jufqu'à la cycloïde lui cil: nomiale. C. Q. F. D. PROPOSITION VI. Pur révolution^ à partir du fominet ^d^ une dewi-cycloïtie^une autre demi-cyclo'fde efî décrite, égale et feniblable à la première , dont la bafe coïncide avec la droite qui touche la cycloide développée en fan fommet. Soit donnée une demi-cycloïde ABC [Fig. 58] à laquelle foit impofée une autre demi-cycloïde femblable AEF, comme dans la propofition précédente. Je dis que lorique la ligne flexible appliquée à la demi-cycloïde ABC eft développée à partir du point A, elle décrit de fon extrémité la demi-cycloïde AEP". En effet, puifque les demi-cycloïdes ABC et AEF, courbées l'une et l'autre vers un feul côté et concaves vers le même côté, de plus fituées de forte que toutes les tangentes de la demi-cycloïde ABC coupent la demi-cycloïde AEF à angles droits, il s'enfuit que cette dernière efl • Prop. 4. décrite par l'évolution de la première à partir du point A *. C. Q. F. D. de cette Partie. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 201 13K produétam fccct in puniflo E. Quia crgo ipfi AU parallela cR BKE, ac proindc De linearum anp-ukis EKA a.'qualis KAII, manifclliim cil: BK productam abrcindere à circulo KM'^'''*'^'^'*^^'" arcum xqualcm ci qucm à circulo AHD abfcindit rcéta Ail. Itaquc arcus KEa.'qualis cil arcui AH, hoc cil rcda; I IIÎ, hoc cit recta.' KA. Mine | vcro fcquitur, ex cycloidisC/»- 67.) propriccate, cum circulus genitor MK tangebat regulam in K, punftumdefcribcns fiiide in E. Itaquc rcfta KE occurrit cycloidi in E ad angulos reftos*. Eli autcm KE' Propos 15. ipl'a BK produéta. lù-go patec produCtani BK occurrere cycloidi ad angulos rectos. P*"'* ^• quod erat denionllrandum. PROPOSITIO VI. Seniicycloidis evoliitione^ à vertice cœpta^ alia femicyclois defcribitur evoluta cedenti [Fig. 58]. Dico fi linea flexilis, circa femicycloidcm ABC appli- cata, evolvatur, incipiendo ab A, cam defcribere extremitate fua iplam femicycloidcm AEF. Quia cnim ex puncto A egrediuntur femicycloidcs ABC, AEF, in unam par- tem infiexa;, & amba; in eandem cavœ, ac pr^etcrea ita comparatîe, ut onines tangentes femicycloidis ABC occurrant femicycloidi AEF ad angulos reftos, fequitur hanc evolutionc illius, h tennino A incepta, defcribi *. quod erat denionllrandum. • Prop. 4. huj. M [Fig- 58.] F yK a \ \h \r ^ N 26 202 l'horloge X PENDULE. 16-3. De Et il apparaît que fi nous conftruifons une demi-cycloïdc CN fymétrique avec ABC deTcourbes' P^"" '■•iPP'^rt à la droite CG, une autre demi-cycloïde FN fera déeritc par l'extrémité du fil, ibit par l'évolution de la courbe CN Ibit lorfque le fil, déjà tendu luivant CF, ell enroulé fur elle; et que cette demi-cycloïde formera avec la précédente, AEF, une cycloïde entière. Par ces confidérations, et par la Prop. XXV de la Chute des Corps pefants, la vérité de ce que nous avons dit plus haut dans la Conftruction de l'Horloge fur le mouvement unifonne du pendule efl: préfentement manifefle. En effet, il efl: clair que le pendule, fufpendu et mis en mouvement entre une paire de lames courbées en for- me de demi-cycloïde, décrit par (on mouvement un arc de cycloïde et qucparconfé- quent fes ofcillations, quelle que foit leur amplitude, font exécutées dans des temps égaux. Car il n'eil d'aucune importance que le mobile parcoure une furface courbée en cycloïde ou bien qu'étant attaché à un fil il décrive cette même ligne en l'air, at- tendu que dans l'un et l'autre cas il eft; également libre et a la même inclinaifon au mouvement dans tous les points de la courbe. PROPOSITION VIL La cycloïde efl quadruple de [on axe^ en d'autres termes du diamètre du cercle générateur. En effet d'après la figure précédente reproduite ici [Fig. 5 8] il apparaît que la demi- cycloïde ABC, égale au fil enroulé fur elle, eft double de fon axe AD et queparcon- féquent la cycloïde entière eft quadruple de fon axe, puifqu'après l'évolution de toute la demi-cycloïde ABC, le fil coïncide avec la droite CF qui eft double de AD, attendu que les axes des cycloïdes ABC et AEF font égaux. 11 apparaît auffi que la tangente BE qui n'eft autre que la partie tendue du fil d'abord appliquée à l'arc BA, eft égale en longueur à ce dernier. Or, BE eft le double de BK, ou de AH, puifqu'il a été démontré dans la Propofition V que KE = AH. L'arc cy- cloïdal AB fera donc le double de la droite AH ou BK, BH étant parallèle à la bafe de la cycloïde, et cela quel que foit le point B choifi fur elle. Le grand géomètre anglais Chriftophe Wren a le premier trouvé cette mefure de la cycloïde '), mais d'une tout autre manière, et il a enfuite confirmé fa propofition par une démonftration élégante qui a été publiée dans le livre fur la cycloïde de Mon- fieur John Wallis -). D exifte en outre fur cette ligne beaucoup de fort belles inven- tions des mathématiciens de nos jours, auxquelles ont furtout donné occafion certains problèmes propofés par Blaife Pafcal, Français qui excellait dans ces études. Celui-ci, faifant le dénombrement tant de fes inventions à lui que de celles des autres j) dit que Merfenne a le premier remarqué l'exiftence de cette ligne dans la nature-*); que '} Comparez la p. 203 du T. XIV et la note 3 de la p. 145 du T. XV'^II. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 203 Et apparct, fi climidiam cycluidcm, ipfi ABC frcmcllam, contrario fitii ah altéra De linearum parte linca; CG diiponaimis, vclut CN, cjiis evoliitione, vcl ctiam dum (iium, jam^"^\'^^^*! cxtenfum in CF, circa eam replicatur, alteram femicycloidcm FN fili extrcmitatc de- icriptiim iri, qux limul cum priorc AEF intcgram conilituat. Atquc ex his, & propodtionc 25 de defccnlu gravium, manitelhim jam e(l quod fiipra in Conitriiftione Horologii de a;quabili penduli motu diétiim fuit. Patet cnim perpendiculum, inter laminas binas, fecundum femicycloidcm inflexas, fufpenfum agitatumque, motu fuo cycloidis arcum defcriberc, ac proindc ajqualihustemporibus quallibet ejus reciprocationes abiblvi. Non refert enim utrum in fuperficie, fecundum cycloidem curvata, mobile feratur, an filo alligatum lineam ipfam in aëre percurrrat, cum utrobiquc eandem libertatem, eandcmque in omnibus curvœ punftis inclinatio- nem ad motum habeat. PROPOSITIO VIL Cyclois linea fui axis^Jive diametri circuli genttorïs ^ quadrupla efl. Repetita enim figura prîecedenti [Fig. 58]: cum poft totam femicycloidem ABCC/»- 68), evolutam,filumoccupet rcdam CF; qute dupla ed: AD, propterea quod axes cycloi- dum ABC, AEF funt cequales;apparet femicycloidcm iplam ABC, filo (Ibi circum applicito œqualem, duplani efTe fui axis AD, ac totam proinde cycloidem axis fui quadruplam. Apparct ctiam tangentem BE, quœ refert parteni fili extcnfam, antea curvte parti BAapplicatani,huicipfilongitudinca?quari. Efl autem BE dupla ipfius BK,fivc AH, quoniam in propofitione quinta ollenfum efl KE ipfi AH œqualem efTe. Itaque pars cycloidis AB rcft£e AH, five BK, dupla erit: exifliente nimirum BH parallela bafi cy- cloidis: idque ubicunquc in ea punftum B fumptum fuerit. Hanc cycloidis dimcnlioncm primus invenit, via tamen longe alia,eximius geome- tra Chriflophorus Wrcn Anglus"), eamque deindc eleganti demonflratione confir- mavit , quîe édita cil in libro de cycloidc viri clarifluni loannis Wallifij '). De eadem vero linea, alia quoque multa extant pulcherrima inventa nollri temporis mathematicorum, quibus prœcipuè occafionem prsebuere problemata qusdam à Blafio Pafchalio Gallo propofita, qui in his fiudiis prfecellebat. Is cum fua, tum aliorum inventa recenfens '), primum omnium Merlennum lineam hanc in rerum natura advertifl^e ait**). Primum ') Voir sur cet ouvrage la note 3 de la p. 5 1 8 du T. II. 3) Dans son „Histoire de la Roulette" de 1658 (note 4 de la p. 350 du T. XIV). Voir aussi sa „Lettre de A. Dettonville a Monsieur Hugguens de Zulichem" de février 1659 (p. 196 du T. XIV). '*) C. de VVaard, éditeur de la „Correspondance du P. Marin Mersenne" (voir la note 8 de la 41 204 l'horloge X PENDULE. 1673- De Roberval a le premier défini fes tangentes et mefuré fes lieux plans et folides; que le L'ÉVOLUTION jn^j^Q a trouvé les centres de gravité et du plan et de les parties; que Wren a le pre- mier donné une droite égale à la courbe cycloïdale; que j'ai trouvé, moi le premier, la grandeur abfolue de la portion de la cycloïde qui en elT: coupée par une parallèle à la baie paflant par un point de l'axe dittant du ibmmct d'un quart de fa longueur, portion égale à la moitié de l'hexagone équilatère infcrit au cercle générateur '); en- fin qu'il à détemiiné lui-même les centres de gravité des folides et des demi-folides, tant de ceux obtenus par rotation autour de la bafe qu'autour de l'axe, et de même de leurs parties. Il dit en outre avoir trouvé (mais après avoir reçu de Wren la dimen- fion de la cycloïde) le centre de gravité de la courbe et les dimenfions des furfaces convexes dans lefquelles font comprifes les folides mentionnés plus haut et leurs par- ties, ainfi que les centres de gravité de ces furfaces : et enfin les longueurs des courbes cycloïdales quelconques, tant allongées que raccourcies, c.à.d. de celles qui font dé- crites par un point pris à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle générateur. Les démon- llrations de ces chofes ont été publiées par Pafcal. Après quoi Monfieur Wallis a auflî expofé fes propres méditations fort fubtiles fur la même ligne: il affirme avoir trouvé indépendamment toutes ces mêmes propriétés et avoir rcfolu les problèmes propofés par Pafcal. Le très favant Lovera s'attribue la mcmechofe '). Que les lavants jugent, d'après leurs écrits, combien cft dû à chacun d'eux. Pour nous, nous avons rapporté ce qui précède puifqu'il nous femblait que nous ne devions pas pafler fous filence des inventions fi belles par lefquelles il efl arrivé que de toutes les lignes aucune n'ell: maintenant connue mieux et plus à fond que la cycloïde. Quant à notre méthode de qui prdcède) écrit à la p. X.XV de sa „Note sur la Vie de Mersenne", par laquelle le T. I de la «Correspondance" débute: „C'est pendant ce séjour [au couvent de la Place Royale à Paris], selon Pascal et certains autres savants que Mersenne avait trouvé, en 1615, la forme de la cycloïde, mais il ne fut question sans doute, à ce moment, que d'une étude sur la roue d'Aristote, pro- blème alors très débattu". Toutefois de Waard est, lui aussi, d'avis que ce fut Mersenne qui proposa le premier le problème de la cycloïde: „pour croire que ce fût par l'étude de la roue d'Aristote que Mersenne, vers l'année 1615, fut amené à étudier le problème de la cycloïde, nous avons des raisons au moins aussi fortes que pour ajouter foi au récit un peu colorié de Pascal" („Une lettre inédite de Roberval du 6 janvier 1637 contenant le premier énoncé de la cycloïde" par C. de Waard, Bulletin des Sciences Math., réd. par E. Picard et P. Appell, Série II, T. XLV, Paris, Gauthier-Villars, 1921). 0 T. XIV, p. 350-35 1(1658). *) Voir sur les solutions de A. de la Loubère la note 6 de la p. 346 du T. II. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 205 Robcrvallium tangentes cjiis dcfinilviïïe, ac plana & folida dimcnfum cfTe. Item centra gravitatis tumplani,tum partium cjus invcnillc. l'rimum VVrcnnium ciirva; cycloidis œqualem rcélam dedidc. Me quoquc primum rcperiffc dimenfionem abfolutam portio- nis cycloidis, qiia.- rcéH , bafi parallclâ , abfcinditur pcr pun(5tum axis, quod quarta parte cjus à vcrtice abeih qux' nimirum portio a.'quatur dimidio hexagonoa2qiiilatero,intra circulum gcnitoreni dcfcripto '). Seipfum dcnique folidorura ac rcmifolidorum, tam circa bailn qiiàm circa axem, centra gravitatis dcfiniviiïc, itemquc partium eorum. Linex' etiam ipiîiis (vScd ha:c poil acccptam à Wrennio dimenfionem) ccntrum gravi- tatis invenide, & dimcnlionem (liperlicierum convexarum, quibus Iblida illa eoriim- que partes comprehenduntur; earumque luperficierum centra gravitatis. Ac denique dimcnfionemciirvarumcujufvis cycloidis, tamprotraftxquamcontraéta;: hoc eft earum qua; defcribuntur à punCto intra vcl extra circumferentiam circuli gcnitoris fumpto. Et horum quidem démon (Irationes à Paichalio fiint editîe. A quibus fuas quoquc, de eadcm linea, iubtilillimas mcditationes expofuit Cl. Walliiîus, atque eadem illa omnia fuo Marte fe repcrifle, ac problemata à Pafchalio propoiita IblvifTe contcndit. Quod idem & doctillimus Lovera fibi vindicat ^). Quantum vero unicuique dcbeatur, ex fcriptis eorum eruditi dijudicent. Nos propterea tantum prîecedentia retulimus, quod filcntio prœtercunda non vidcbantur egregia adeo inventa, quibus faftum eft, ut, ex lincis omnibus, nulla nunc mclius aut penitius quara cyclois cognita fit. Methodum (A 69). De LINEAR.UM CURVAR.U.M EVOLL-TIONE. 2o6 l'horloge X PENDULE. 1673. De la mefiirer, il nous a femblé devoir l'appliquer aulTi à d'autres lignes: c'eft de quoi nous traiterons maintenant. L EVOLUTION DES COL'R.BES. PROPOSITION VIII. Montrer quelle efî la ligne par V évolution de laquelle la parabole eft décrite '). Soit une paraboloïde AB à axe AD et fommct A [Fig. 59] ayant cette propriété que, BD étant noraiale à l'axe, le cube de DA,ablcillc corrcfpondant au foniract, eft égal au folide qui a pour bafe le carré de DB et pour hauteur une droite donnée I\l. Cette courbe efl: connue depuis longtemps aux géomètres. Prolongeons l'axe DE d'une longueur AE = ^^ INI. Si l'on applique maintenant un iil continu à EAB et que celui-ci efl développé à partir du point E, je dis que la développante efl: la parabole EF à axe EAG et fommet E et dont le latus rettum ell: égal au double de EA. En effet, après avoir pris (ur la courbe AB un point quelconque B, menons-y la tangente BG coupant l'axe EA en G. Tirons enfuite à partir de ce point G la droite GF normale à la parabole EF en F. Soit FH une perpendiculaire à GF, donc une tangente à la parabole en F, et enfin FK une nomiale à l'axe. KG efl: donc égale à la moitié du latus rectum, c.à.d. à EA, parconféquent, en ajoutant ou retranchant AK de part et d'autre, on trouve que EK = AG. Or, AG eft le tiers de AD puifquc BG touche la paraboloïde en B: c'eft ce qu'on peut aifé- ment démontrer d'après la nature de cette courbe. Il s'enftiit que EK elle auffi eft égale au tiers de AD; et KM qui d'après la nature de la parabole eft le double de KE fera égale aux deux tiers de AD. Par conféquent le cube de KH eft égal à /^^ fois le cube de AD, c.à.d. au folide ayant pour bafe le carré de DB et pour hauteur ^= INI, c.à.d. AE. C'eft pourquoi, comme DB' eft à KM-, ainfi fera Kl I à AE, c.à.d. à KG. Mais nous avions: KH = i AD = GD. Comme BD- eft à DG-, ainfi eft donc HK à KG. D'autre part , comme HK eft à KG, ainfi eft FK= à KG'. Par conféquent, comme ') Voir sur la méthode générale pour trouver la forme des développées la Prop. XI qui suit. La développée de la parabole ordinaire, ainsi que celles des paraboles et hyperboles de degrés su- périeurs, étaient connues à Huygens dès décembre 1659; voir les notes 2 et 3 de la p. 147 du T. XVII. i HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 207 vero iioflram , qiia in hac mcticnda ufi fumus, in aliis quoque experiri libuit , de quibus De lv porro nunc agcmus. NEAROM CURVARUM EVOLUTIONE. PROPOSITIO VIII. Ctijus linea evolutione parabola defcrihatur oflendere '). [F'g- 59-] Sit paraboloides AB,cii- jus axis AD; vcrtcx A [Fig. 59]; proprietas au- tem irta, ut ordinatim ad axem applicatâ BD,ciibus abiciirx ad verticcm DA eequctur folido, bafin ha- benti quadracumDB, alti- tudinem vero îequalem li- nes cuidam data; M; qiœ quidem curva pridem geo- raetris notafuic ; & ponatur axi DE junfta in direftum AE, qu£e habeat ^j ipfius M. Jam fi filum continuum circa EAB applicetur, id- que ab E evolvi incipiat, dico defcri|ptara ex evolu-C/"» "o)- tionc elTe parabolam EF, cujus axis EAG, vertex E, latiis rectum a^qualc dupla: EA. Sumpto enim in curva AB punfto quolibet B, ducatur quje in ipfo tangat curvam refta BG, occurrens axi EA in G. & ex G ducatur porro GF, qus ad rcétos angulos occurrat parabolœ EF in F; & fit ipfi GF perpendicularis FH, qu£e parabolam in F continget; & denique FK ordinatim ad axem EG applicetur. Eli igitur KG squalis dimidio lateri rcfto, hoc eil, ipfi EA; ac proinde, addità vel ablatâ utrimque AK, erit EK îequalis AG. Eft autem AG triens ipfius AD, quo- niam BG tangit paraboloidem in B: illud enim ex natura curvx hujus facile demon- Ih-ari potefi:. Ergo & EK squalis efi: trienti AD: & KH, qua; ex natura parabole dupla efi: KE, squabitur duabus tertiis AD. Itaque cubus ex KH îequalis eft ^^ cubi ex AD, hoc eft, folido bafin habentiquadratumDB, altitudinem vero a;qualem ^^^INI, hoc eft, ipfi AE. Quamobrem ut quadratum DB ad quadratum KH, ita erit KH lon- gitudine ad AE, hoc eft ad KG. Erat autem KH a;qualis | AD, hoc eft ipfi GD. Ergo ut quadratum BD ad quadratum DG ita eft HK ad KG. Ut autem HK ad KG, ita eft quadratum FK ad quadratum KG. Ergo ficut quadratum BD ad quadratum 2o8 l'horloge X PENDULE. 1673. De BD' eft à DG=, ainfi eft FK= à KG'. Donc BD : DG = FK : KG. Il s'enfuit que BGF L'ivOLUTlOX DES COURBES eft une ligne droite. INlais GF eft noraiale à la parabole RF. Il parait donc que BG, tangente à la paraboloïde, rencontre, lorfqu'on la prolonge, la parabole à angles droits. Et ceci iera démontré de la même manière de n'importe quelle tangente à la même courbe. Il eft donc établi que la parabole EF eft décrite par l'évolution de la * Prop. 4. ligne EAB depuis fon extrémité E *. C. Q. F. D. de cette Partie. PROPOSITION IX. Trouver une ligne droite égale à un arc donné d''une paraboloïde, [avoir de celle pour laquelle les carrés des ordonnées font entre eux comme les cubes des abfcijjes. Il eft évident par la propofition précédente comment ceci doit être fait. Toutefois point n'eft bcfoin de la parabole EF [Fig. 59] pour cette conftruction qui fera exé- cutée comme fuit. Etant donnée une partie quelconque AB [Fig. 6o'\ de cette para- boloïde, à laquelle il s'agit d'égaler une droite, foit tirée BG tangente au point B et ren- contrant l'axe AG en G. Or, BG fera en effet une tangente lorfque AG eft le tiers de AD laquelle eft comprife entre le fommet et l'ordonnée BD. Apres avoir pris enfuite AE = -i^ M, M étant le latus reétum de la paraboloïde AB, tirons EF // BG et puiffe-t-elle couper la ligne AF, parallèle à BD, en F. Si l'on ajoute maintenant à la droite BG la différence NF dont la droite EF furpaffc EA, on aura une droite égale à la courbe AB. De quoi la démonftration fe voit aifément par les chofes auparavant dites. La courbe AB furpaffe donc toujours la tangente BG d'une longueur égale à celle donc la droite EF iurpafTe la droite EA. Or, ici nous fommes tombés de nouveau fur une ligne dont d'autres ont mefuréla longueur avant nous. C'eft la ligne que Jean van Heuraet de Harlem a en 1 659 mon- tré être égale à une droite; fa démonftration a été ajoutée aux commentaires de Jean van Schooten fur la Géométrie de Defcartes publiés la même année. Van Heuraet a donc, le premier de tous, reftifié une courbe du nombre de celles dont des points quelconques font définis géométriqument, après que peu auparavant Wren avait reéfifié la cycloïde par un épichérème non moins ingénieux. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 209 DG, ita quadratum FK ad quadratiim KG. Et proindc ficut BD ad DG longitiidine, De linearum ita FK ad KG. Undo Icquitur DGF clic lincam rcctam. Scd GF occurrit P^rabola; ^JJ^^^^^j^^^ EF ad angulos reftos. Ergo apparct CG, cangcntcm paraboloidis, productam occur- rcrc cidem paraholxad | angulos rccftos. Idquc lîmilitcr de quavis illiiis tangente dc-C/"- ZO- nionllrabitur. Ergo confiât ex cvolutione linca^ EAB, à termino E inccpta, defcribi parabolam EF *. quod erat demonilandum. • l'rop. 4. huj. PROPOSITIO IX. Re&ûni l'tneûm in-venire aqunlem data: portion} ciirvte paraholoidh^ ejtis nempe in qiiti qiiadrata ordinatim applicatarum ad ûxcm , [tint inter Je fient cubi ahfcitj'a- rum ad verticem. [Fig. 60.] Quoraodo hoc fiât ex prop. prEeccdenti mani- fedum cft. Parabola vc- ro EF [Fig. 59] ad con- flruftionem non requi- ritur, quœficpcragetur. Data quavis parte para- boloidis huj us AB [Fig. 60] cui reàtain ^qualcni invenire oporteat, du- catur BG tangcns in punfto B, quœ occurrat axi AG in G. Tanget autcm fi AG ftierit ter- tia pars AD, inter ver- ticem & ordinatim applicatam BD interceptie. Porro fi.niipta AE ajquali ^V linesM, quîelatus reftumefi: paraboloidis AB, ducaturEF parallela BG, occurratque lineaî AF, qus parallela ell BD, in F. Jam fi ad redam BG addatur XF, exccflus rcct^e EF ilipra EA, habebitur refta œqualis curvae AB. Cujus demonrtratio ex ante dittis facile perfpicitur. Semper ergo curva AB tantum fiiperat tangentem BG, quantum recla EF recftem EA. Rurfi.is autem hic in lineam incidimus, cujus longitudinem afii jam ante dimenfi fi.mt. lUam nempe quam anno 1 659 Joh. Heuratius Harlemenfis reclœ œqualem ofien- dit, cujus demonrtratio poil commentarios Joh. Schotenii in Cartefii Geometriam, eodem anno editam,adje(fl:a efl:. Et ille quidam omnium primus curvam lineam, ex earum numéro quarum puncta qu£elibetgeo|metricèdefiniuntur,adhancmenfiirara(A 72)- rcduxit, cum lub idem tempus Cycloidis longitudinem dediffet Wrennius, non minus ingenio focpicheremate. 27 L EVOLUTION DES COURBES. 2 I O l'horloge X PENDULE. I 673. De Je fais il eft vrai qu'après la publication de la découverte de van Heuraet, le très favant Wallis, dans Ion livre de la cifToïde, a voulu r-actribuer auill à Guillaume Neile, gentilhomme de fon pays. Mais à mon avis, quand je confidèrc ce qu'il avance dans ce livre, Neile n'a pas à vrai dire été beaucoup éloigné de cette trouvaille (ims toute- fois y parvenir touc-à-faic. Car d'après la démonllration même rapportée par Wallis il apparaît qu'il ne comprenait pas clairement quelle ferait cette courbe dont il voyait que, fi elle était coniiruite, la mefure ferait donnée. Et il efl: croyable que s'il avait fu qu'il s'agit d'une courbe du nombre de celles qui étaient connues depuis longtemps aux géomètres, lui-même, ou d'autres en fon nom, leur auraient communiqué un efi noble invention fous une forme plus achevée; invention qui méritait autant ou plus que toute autre qu'ils s'écriafTent tjorr/.x comme jadis Archimède. Sans doute Fermât, confeiller de Touloufe et très habile géomètre , a rédigé de la même invention des preu- ves qui ont été imprimées en 1 660, mais celles-ci datent apparemment de plus tard '). Or, puifque nous fommes engagés dans ce fujet, qu'il nous foit permis de dire aufli ce que nous avons contribué à l'avancement d'une fi excellente découverte: nous avons donné à van Heuraet l'occafion d'y parvenir et nous avons trouvé avant lui et les premiers de tous la dimenfion de la courbe parabolique d'après la quadrature, fuppofée donnée, de l'hyperbole, ce qui fait partie de la trouvaille de van Heuraet. En effet, vers la fin de l'année 1 657 nous fommes tombés fimultanément fur ces deux chofes, la dimenfion mentionnée de la courbe parabolique et la rédudlion de la furface du conoïde parabolique au cercle. Et comme nous avions fait favoir par une lettre à van Schooten, et à d'autres de nos amis, que deux découvertes extraordinaires au au fujet de la parabole nous étaient venues dans l'efprit et que l'une d'elles était la réduétion de la furface du conoïde parabolique à un cercle, v.~^ Schooten communiqua cette lettre à van Heuraet qui était alors fon ami intime. Il ne fut pas difficile à cet homme, doué d'un efprit fort pénétrant, de comprendre que la dimenfion de la courbe parabohque elle-même était dans un étroit rapport avec celle de la furface du conoïde. Ayant trouvé l'une et l'autre et pondant fes recherches encore plus loin il tomba fur ces autres courbes paraboloïdales, auxquelles on trouve des droites ablblument égales -). Et afin que nul ne défire, comme cela pourrait avoir Heu, de témoignage fur la réduftion de la furface du conoïde h une lurface plane, il me femble bon de citer ici une lettre de Monfieur François Slufius qu'il faut confidérer comme un des principaux géomètres d'aujourd'hui: dans cette lettre, datant de la même année, il me félicitait de cette découverte, peut-être plus expreifément que je ne méritais. Voici une cita- tion de fa lettre du 24 décembre de l'année 1657 3): „J' ajoute feulement deux cho- fes ^V une etc. Vautre que je ne compte prefque pour rien toutes ces courbes et même ') Voir sur la question v. Heuraet-Neile la note 2 de la p. 123 du T. XVII: Ihiygens avait appa- remment l'intention d'en parler déjà en 1660 alors qu'elle était actuelle. L'apparition de 1' HOROLOGIUM OSCILLATORIIM. 1673. 211 Scio equidcm, ab cdito Hciiratii invcnto, Doctillnmim Wallifiiim VVilhelmo Nelio, De unkarum nobili apud fuos juveni, idem attribuere voluiïïe, in libro de Ciiïbidc. Scd mihi, quae^^'*^'^'^^*' ^ EVOLUTIONE. illic adfcrc perpcndcnti, vidctiir non multum quidem ab invcnto illoNeliumabfuiirc, ncque tamen plane id adfecutiim elTe. Nam neqiic ex demonllratione ejus, quam Wallifius afFcrt, apparet illiim fiitis perCpexifTe qua.'nam foret ciirva illa, ciijiis, fi con- llrueretur, mcnfuram datam fore videbat. Et credibile elt , li fcividct ex earum numéro efTe qu£e jampridem Geometris cognita; fuerant, vel ipfum, vel alios cjus nomine, tam nobilc inventum Geometris maturius impertituros fliilTe, quod, fi quod aliud, merebatiirut Archimcdeumilludcjwy.a exclamarent. Sane ejusdcm inventi, tanquam à fe profedi, etiam Ferraatius, Tholofanus fenator acGeometraperitimmus,demon- il^ationes confcripfit, quas anno 1660 excufîB funt, fed illîe fero utique '). Cum vero in bis (Imus, etiam de nobis dicere liccat, quid ad promovendum tam eximiiim inventum contulerimus: fiquidem & 1 leuratio ut eo perveniret occalionem prœbuimus, & dimenfionem curvœ parabolicje ex hyperbola? data quadratura, quœ Heuratiani inventi pars efl:,ante ipfum atque omnium primi rcperimus. Etenim fub finem anni 1657 in ha."C duo fimul incidimus, curvœ parabolicx quam dixi dimenfio- nem, & lliperficiei conoidis parabolici in circulum reduftionem. Cumque Schotenio, aliisque item amicorum, per literas indicafTemus, duo qusedam non vulgaria circa parabolam inventa nobis fefe obtulifi^e, eorumque alterum efie conoidicse fuperficiei extenfionemin circulum, ille literas eas cum Heuratio, quo tum familiariter utebatur, communicavit. Huic vero, acutiflimi ingcnii viro, non difficile fuit in telligere, conoidis ifliius iuperficiei ailinem eïïe dimenfionem ipfius curvœ parabolicse. Qua utraque in- venta, ulterius inde invertigans, in alias ill:ascurvasparaboloidesincidit,quibusred:œ îequales abfolute inveniuntur -). Ac de Conoidis quidem fuperficie in planum redafta, ne quis forte teflimoniumde- fideret, pauca hcec adicribere vifum cfl: ex literis viri clariflimi, atque inter prœcipuos hodie Geometras cenlendi. Franc. Slufii, quibus eo ipfo anno mihi inventum illud, ac prolixius forte quam pro merito, gratulatus eft. In quibus literis | 24. Decemb. anni CA 73)- 1657. 3) datis, ifla habencur. Duo tantum addo, unum &c. Alterum eft^mehasom- „Hor. ose." donna lieu à une discussion sur ce sujet (e.a. avec J. Wallis), sur laquelle on peut consulter le T. VII. Dans une lettre à Leibniz du i décembre 1696 Wallis (p. 65 3 duT.III deses„Operamathe- matica", publiés à Oxford en 1699) écrit: „De invente Nelii qui (traditisàmeadProp. 38 Ar. Infinitorum insistens) primus omnium exhibuit œqualem Curvœrectara: Quod dixerac Huge- rius, (eum non procul abfuisse, non tamen omnino assecutum) id post retraxit Ilugenius (in suis ad me literis) jussitque ut id iterum Nelio assererem. IVum Nelius statim sciverit, per om- nia, qualis fuerit illa Curva, ego non certus scio: Sed Brounkerus & Ego protinus deteximus Paraboloidem esse; cul ego nomen feci Semi-cubicalem". Nous ne connaissons pas de lettre de Huygens à Wallis où il rétracte l'opinion exprimée dans r„Horologium oscillatorium". ») Voir les p. 189—190 et 196 du T. XIV. 3) T. II, p. 107. 212 l'horloge A PENDULE. 1673. De l'évolution DES COl'RBES. le lieu linéaire entier en comparaifon avec votre découverte d^une démon(îration de rexiflence d'un rapport déterminé entre la fur face du conoide parabolique et le cercle qui en efî la bafe. Je donne volontiers la préférence à cette belle indu&ion pour la quadrature du cercle à toutes les diverfes chofes que fai tirées autrefois du lieu linéaire et que je vous communiquerai à Voccafion fi vous le défirez\ L'année fuivante je trouvai aufll les furfaces des conoïdes hyperboliques et fphéro- ïdaux, c.à.d. leur rcduftion à des cercles, et je fis connaître les conftruftions de ces problèmes, fans toutefois y ajouter de démonftration, aux géomètres avec qui j'étais alors en commerce de lettres, favoir Pafcal et autres en France et Wallis en Angle- terre. Ce dernier publia peu après fcs idées à lui fur ces fujets cnfemble avec beaucoup d'autres inventions fubtiles, ce qui fut caufc que je ne travaillai pas tout de fuite à l'achèvement de mes démonllrations '). Mais puilquc mes conftrudîions ne me parais- fent pas manquer d'élégance et qu'elles font encore inédites, je veux les inférer ici. Trouver un cercle égal à la fur face courbe d'un conoide parabolique -). Soit donné un conoïde [Fig. 61] dont la parabole ABC foit la feftion par l'axe; que BD foit l'axe du conoïde, B fon fommet, AC le diamètre de fa bafe, lequel e(l perpendiculaire à l'axe, lit Ibit demande de trouver un cercle égal à la furface courbe du conoïde. Qu'on prenne, après avoir prolongé l'axe du côté du fommet, BE = BD et qu'on tire E A, tangente en A a la parabole ABC. Que l'on coupe enfuite AD en G de telle manière que AG : GD = EA : AD. Soit H une droite égale à AE + DG et L une droite égale au tiers de la bafe AC. Soit K la moyenne proportionnelle que l'on peut conftruire entre 1 1 et L. Décrivons un cercle de rayon K. Celui-ci fera éeal en furface à la furface courbe ABC du conoïde. Il s'enfuit que fi AE = aAD la furface courbe du conoïde fera au cercle qui en forme la bafe comme 14 efi: à 9; fi AE = 3AD, comme 1 3 efl; à 6; fi AE = 4 AD, comme 1 4 efl: à 5. Et qu'ainfi ce rapport fera tou- jours exprimé par celui de deux nombres entiers, lorfqu'il en efi: de même pour celui de AE à AD. Trouver tin cercle égal à la furface d'un fphéroide allongé^'). Confidérons un fphéroïde oblong [Fig. 62] d'axe AB et de centre C. Soit ABDE une ellipfe obtenue par la feclion du fphéroïde par l'axe, et DE fon petit diamètre. ') Comparez la p. 192 du T. XIV. =3 Voir les p. 267—268 du T. XIV. 3) Voir les p. 190 et 320 — 324 du T. XIV. HOaOLOGlUM OSCILLATORIUM. 1673. 213 EVOLUTIONE. nescurvas.ipfitmqiie adeo locttm l'wcantm ïntegrum^ nihilï pêne facere pr• 74> BE squalis BD, & jungatur EA, qua parabolani ABC in A contingct. Porro fecetur AD in G, ut fit AG ad GD ficut EA ad AD. Et utrisque fimul AE, DG œqualisiktuaturreftaH. Item trienti bafis AC œqualis fit refta L, & inter H & L média proportionalis inveniatur K. qua tanquam radio circulus defcribatur. Is £- qualis erit fuperficiei curvje conoidis ABC. Hinc fequitur, fi fuerit AE duplaAD, fuperficiem conoidis curvam ad circulum bafeos fore ut 14 ad 9. Si AE tripla AD, ut 1 3 ad 6. fi AE quadrupla AD, ut 1 4 ad 5. Atque ita femper fore ut numerus ad nu- merum, fi AE ad AD ejusmodi rationem habuerit. Sphcsroidis ohlongi fuperficiei circulum aqualem invenire'^'). Efto fphjeroides oblongum [Fig. 62] cujus axis AB, centrum C, feftio per axem ellipfis ADBE, cujus minor diameter DE. 214 l'horloge X PENDULE. 1673. De l'évolution des courbes. Pofons DF = CB, en d'autres termes foit Fundesdeuxfoyersde rellipfc ADBE;ct tirons la droite BG parallèle à FD, laquelle rencontre le prolongement de El^ en G. Décrivons main- tenant iur l'axe AB du centre G, avec le rayon GB, l'arc de circonférence BHA. Et foit la droite K moyenne proportionnelle entre le demi-diamètre CD et une droite égale à la ibmme de l'arc AHB et du diamètre DE. Cette droite K fera le rayon d'un cercle égal à la fur- face du iphcroïde ADBE. Trouver un cercle égal à la fur face du fphé- roïde large ou aplati '). Confidérons un fphéroïde aplati d'axe AB et de centre C [Fig. 63]. Soit ADBE une el- lipfe obtenue par la fettion du fphcroïdeparl'axe. Soit de nouveau F l'un des deux foyers et, aprèsavoirdivifcFC en G,fuppofons conftruite une parabole AGB ayant AB pour bafe et le point G pour fomraet. Et foit H une moyenne proportionnelle entre le diamètre DE et une droite égale à la courbe parabolique AGB. Cette droite H fera le rayon d'un cercle égal à la furface du fphéroïde confidéré. Trouver un cercle égal à la furface courbe d''iin cono'tde hyperbolique '). Soit donné un conoïde hyperbolique à axe AB [Fig. 64] et dont la feftion par l'axe foit l'hyperbole CAD à latus tranfverfum EA, à centre F et à latus reclum AG. Prenons fur l'axe la droite AH égale à la motié du latus reélum AG. Et comme •) Voirlesp. 317— sipduT. XIV. *) Voirlesp. 315— 3i(5duT. XIV. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 215 Ponatur DF squalis CB, feu ponatur F alter focorum ellipfcos ADBE rc(f^a;que De linearom FD parallcla diicatur BG, occurrcns produfta.^ ED in C, ccntroquc G, radio Gfî «-'R-varum dclcribatur l'upcr axe AB arciis circumfcrciuia; BHA. Intcrqiic icmidiamecrum CD & reftam utrisque œqualcm, arcui AHB & diamctro DE, mcdia proportionalisfit rcéta K. Erit hœc radius circuli qui fupcrficiei fphœroidis ADBE œqualis fit. Spheeroidis lati [tve comprejjî ftiperficiei circulum tequakm invenir e '). (/•• zs)- Sic (pha;roidcs lacum cujus axis AB, centrum C [Fig. 63], fcdio pcr axcm cUipfis ADBE. Sic rurfi.is focorum alteruter F, divifàque bifariam FC in G, intelligatur parabola AGB qua? bafin habeat axcin AB, verticem vero punétum G. Sitque inter diamctrum DE, & rcdam curva; parabolicœ AGB aiqualem, mcdia proportionalis linca 1 1. Eric hsec radius circuli qui llipcrficiei fpha.Toidis propofici cequalis fie. Conoidis hyper bolici ftiperficiei ctirva circulum cequalem invenir e '). Efl:o conoides hyperbolicum [Fig. 64] cujus axis AB, feftio per axem hyperbola CAD, cujus lacus cranfvcrfum EA, centrum F, latus reiftum AG. Sumacur in axe reda AH, îequalis dimidio lateri recT:o AG, & uc HFad AFlongi- 20. c 2 1 6 l'horloge à pendule. 1 673. De HF cft h AF en longueur, ainfi foit AF à FK en puiiïiince. Suppofonsconftruiteune l'évolution des courbes autre hyperbole KLiM à Commet K, qui polTëde le même axe et le même centre F et qui ait fon latus rectum et fon latus tranfverfum invcrfcment proportionnels aux grandeurs correfpondantes de la première. Que BC prolongée la coupe en M et que AL foit parallèle à BC. La iurfîicc courbe du conoïde fera maintenant au cercle de diamètre CD qui conilitue fa bafe, comme Tefpace ALMB, compris entre trois droi- tes et la courbe hyperbolique, ell à la moitié du carré de BC. On achèvera doncaifé- ment la conftniftion, pofée la quadrature de l'hyperbole. Tandis que d'après notre démonftration la furfîice du conoïde parabolique fe réduit, tout auflî bien que celle de la fphère, h la furfacc d'un cercle fuivant les règles connues de la géométrie, il tuut admettre, pour que cette réduction ait lieu pour la furflicc du fphéroïde allongé, que la longueur d'un arc de circonférence puiffe être égalée h une droite. Mais la quadrature de l'hyperbole efl: requife pour la complanation correfpon- dante de la furface du fphéroïde aplati, ainfi que pour celle de la furfacc du conoïde hyperbolique. Car la longueur de la ligne parabolique, que nous avons employée dans le cas de ce fphéroïde, dépend de la quadrature de l'hyperbole, comme nous le mon- trerons tout-à-l'heure. Cependant nous avons trouvé, ce qui ne femble pas indigne d'être remarqué, qu'on peut conilruire, fans fuppofer aucunement la quadrature de l'hyperbole, un cercle égal à la fomme des furfaces d'un fphéroïde aplati et d'un conoïde hyperbolique. En effet, nous avons réufli à prouver qu'étant donné un fphéroïde aplati quelcon- que, on peut trouver un conoïde hyperbolique, ou au contraire qu'étant donné un conoïde hyperbolique, on peut trouver un fphéroïde aplati tel qu'il efl: poflîble d'ob- tenir un cercle égal à la fomme des furfaces des deux corps '). Il fuflira d'en avoir donné un feul exemple dans un cas plus fimple que les autres. Soit donné un fphéroïde aplati à axe SI [Fig. 65] et que STIK foit une ellipfe ob- tenue par une feftion du fphéroïde par l'axe. Soit O le centre de cette ellipfe et TK fon grand axe. Que la fomic de l'ellipfe foit telle que fon latus tranfverfum TK ait à fon latus rcétum un rapport égal à celui d'une ligne divifée en extrême et moyenne raifon à fa plus grande partie. Prenons BC double en puiiïance à SO et de même BA double en puifTance par rapport à OK. QueBC, BA, BF et BE foient en proportion continue et queEP foit prife égale à EA. Suppofons maintenant confîruit un conoïde hyperbolique QFN à •) T. XIV, p. 192— 195, 324— 326, 329—334- HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 217 tudinc, ita fit AF ad FK potenciâ. Et intclligatiir vcrtice K alia hyperbola dcfcripta De linearum KI.M, cndcin axe & ccntro F ciim priorc, qua^cuic latcra rectum & transs-crllnn jUj cl'rvauum . ' ^ EVOLUTIONE. rcciprocc proportionaha habeat. Occurrat autera ipfi prodiicta BC in M, (icque AL parallcla BC. Erit jam lient fpatiiim ALMB, tribus rectis lineis & curva hyperbolica eomprehenruni, ad dimidiuui quadratuin ex BC, ita lupcrfieie eonoidis curva ad cir- cukim bafeos fua;, cujus diamcter CD. Unde eonih-uétio reliqua facile abfolvetur, poiitd hyperbola; quadracurâ. Quum igitur eonoidis parabolici fuperficics ad circulum redigatur, sque ae (uper- ficies ipha.'riv, ex notisgeometriiv regulis; in fuperlieie Iplnx-roidis oblongi, ut idem fiât, ponendum eft arcus | circumfcrentiîe longitudinem a:quari pofle linea; refta;. Ad (A 7^y fphxroidis vcro lati, itemquc ad eonoidis hyperboliei luperfieicm eadem rationc com- planandam, liyperbola; quadratura requiritur. Nam paraboliea; linca.' longitudo, quam in fpha'roide hoc adhibuimus, pendet à quadratura hyperbola', ut mox ollendcmus. Vcrum, quod non indignum animadveriionc videtur, invenimus absque ulla hyper- bolica} quadratura; llippoiitione, circulum sequalem conltrui fuperficiei utriquc iimuL, fpha;roidis lati & eonoidis hyperboliei. Datoenim iphsroide quovis lato, pofTe inveniri conoides hyperbolicum, vel contra, dato conoide hyperbolico, pofie inveniri fphîeroides latuni ejusmodi, ut utriusquefiniul luperfieieiexhibeaturcireulusaïqualis ').cujusexcmplumincaru uno cœteris fimpliciore futficiet attuliire. Sit ipha.Toides latum cujus axis SI [Fig. 65], fedio per axera ellipfis STIK, cujus elliplis centrum O, axis major TK. ponatur autcm ellipiis hîec ejusmodi, ut latus transverfum TK ha- beat ad latus redum eara rationem, quam linea feeundum ex- tremam & mediam rationem fefta, ad partem lui majorera. ■Suraatur BC po- tentia dupla ad SO, itemBApotcntiadu- pla adOK. &finthse quatuor continue proportionales BC, BA, BF, I BE, &iip.77y ponatur EP œqualis EA. Intelligatur jam conoides hyperboli- cum QFN, cujus ïî axis FP; axi adjeda, 28 L EVOLUTION DES COURBES 21 8 l'horloge X PENDULE. 1673. De axe FP, et dont la longueur ajoutée à l'axe, c.à.d. le demi latus tranfverfum, foit FB, tandis que BC repréfente fon lacus redum. La furface courbe de ce conoïde, jointe à celle du fphcroïde SI, fera égale à un cercle de rayon IN'IL, le carré de ML étant égal à la fonime du carré TK et de deux fois le carré SI '). Trouver une ligne droite égale à une courhe parabolique '). ABC [Fig. 66'] repréfente une portion d'une parabole à axe BK, auquel la bafe AC eil perpendiculaire. On demande de trouver une droite égale à la courbe ABC. Prenons une droite lE [Fig. 67] égale h la demi-baie AK et prolongeons-la jufqu'au point H de telle manière que IH foit égale à AG, laquelle, touchant la parabole au point A de la bafe, coupe l'axe prolongé en G. Soit en autre DEF une portion d'hy- perbole décrite avec le fommet E et le centre I, et dont EH reprélente le diamètre, la bafe DHF lui étant nonnale. Le latus redlura efl: arbitraire. Si l'on fuppofe main- tenant un parallélogramme DPQF conibuit liir la bafe DF, lequel foit égal à l'aire DEF, fon côté PQ coupera le diamètre de l'hyperbole en R de telle manière que RI fera égale à la courbe parabolique AB, dont ABC ell: le double. Il apparait par là comment la mefure de la courbe parabolique dépend de la qua- drature de l'hyperbole et réciproquement. Or, un problème quelconque qui fe réduit à l'une des deux quefHons nommées efl: capable d'une folution numérique auifi approchée qu'on veut par l'admirable in- vention des logarithmes. En effet, nous avons trouvé jadis que par eux la quadrature de l'hyperbole ell: réfolue numériquement avec une approximation auffi grande qu'on le délire '}. Voici notre règle. ') C'est le cas spécial dont il est question aux p. 194—195 et 333 — 334 du T. XIV. =) Voir les p. 234—236 du T. XIV. 3) Voir les p. 434 — 435 et 474 et suiv. (1662) du T. XIV. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 219 five i Incus transvcrfum FB; dimidium la tus rc<5hjm îEquale BC. Hujus conoidis llipcrdcics ciirva, iinà cum iliperficic ipha-Toidis SI, a.'quabitur cir- ciilo cujus datus erit radius ML, qui nerapc podît quadratum TK cum duplo quadrato SI '). De i.inearum curvarum evoi.utione. Ctirt'a parabolica tsqualem recfatn lineam invenire '). [Fig. 66.-] [Fig. 67.-] Tl Sit parabolîB portio ABC [Fig. 66]^ cujus axis BK, bafis ACaxiadangulosreélos; & oporteac curvœ ABC reftam îequalera invenire. Accipiatur bafi dimidis AK a;qualis recla lE [Fig. 67'\^ qus producatur ad H, ut lit IH ffiqualis AG, quœ parabolam in punfto bafis A contingens, cum axe producto convenit in G. Sit jam portio hyperbola; DEF, vertice E, centre I defcriptte, cujus- que diametcr fit EH; bafis vero DHF ordinatiraad diametrumapplicata. Latus rechim pro lubitu fumi potert. Quod fi jam fuper bafi DF intelligatur parallelogrammum conlHtutum DPQF, quod portioni DEF œquale fit; ejus latus PQ ita fecabit diame- trum hyperbole in R, ut RI fit œqualis curvse paraboIicîB AB, cujus dupla ell ABC. Apparet igitur hinc quomodo à quadratura hyperbolce pendeat curv^ parabolics menfi.u-a, & illa ab hac viciflim. Quœcunque vero problemata ad alterum è duobus hifce reducuntur, quamlibet (/>• 78). verte proximam folutionem per numéros accipiunt , logarithmorum admirabili invento. Cum per hos hyperbolse quadratura, ut olim invenimus, numeris quam proxime ex- plicetur 3). Eft autem régula hujusmodi. L EVOLUTION DES COL'RBES, 220 l'horloge X PENDULE. 1673. De Soit DAB [Fig. 68] une portion d'hyperbole à afymptotes CS et CV, DE et BV étant des parallèles à rafymptote SC. Qu'on prenne la différence des logarithmes correfpondant à des nombres ayant entre eux les mcmcs rapports que les droites DE et BV, et cnluite le logarithme de cettedifférence. Ajoutons-y Iclogarithme, qui efttoujourslemcme, 0,3622 1,56887'}. La fomme fera le logarithme du nombre qui repréfentcra l'efpace DEVBAD, com- pris entre trois droites et la courbe DAB, exprimé en parties telles que le parallélo- gramme DC en a 100000,00000. D'où l'on conclura auffi facilement à l'aire de la portion DAB. Soit p.e. la proportion DE : BV égale à 36 : 5. Du logarithme de 36 1,55630,25008 retranchons 0,69897,00043 La différence des logarithmes fera 0,85733,24965 '), et 9^933 1 4'>9-'^5<5 le logarithme de cette différence. En y ajoutant 0,3622 1 ,56887, le logarithme qu'il faut toujours ajouter, on obtient 10,29536,49713 pour le logarithme de l'efpace DEVBAD. Le nombre correfpondant à ce logarithme a 1 1 chiffres, puifque la caraftériftique eft 10. Il faut donc d'abord chercher le nombre inférieur, auffi approché que pofllble, qui correfpond au logarithme trouvé: c'eil: le nombre 19740. Enfuite il faut calculer d'après la différence de ce même logarithme et de celui qui le fuit dans la table, les chiffres fuivants 81026 que l'on doit écrire h la fuite des premiers pour obtenir le nombre total, favoir 197408, 10260, où le zéroeil: ajouté à la fin pour que le nombre des chiffres foit en effet de onze. L'aire de l'efpace DEVBAD eft donc à fort peu près de 197408,10260 parties, telles que le parallélogramme DC en a 100000,00000. PROPOSITION X. Montrer des lignes courbes telles que par leur évolution [oient décrites des elUpfes et des hyperboles^ et trouver des lignes droites égales à ces courbes 3). Soit AB [Fig. 69] une ellipfe ou hyperbole quelconque à axe tranlverfal AC, à centre D, et dont le latus reéhim foit le double de AE. Menons à partir d'un point '} Voir sur ce nombre remarquablement exact la note 2 de la p. 476 du T. XIV. *) Dans l'édition originale une faute d'impression, déjà corrigée dans l'édition de 's Gravesande, avait changé le chiffre 2 en i. On trouve ailleurs chez Huygens le nombre correct: voir la 1. 5 de la p. 477 du T. XIV ainsi que la p. 23 du Manuscrit 13, dont il est question dans une note de cette même p. 477. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 22 I [Fig.dS.] Sit DAB [Fig. 68] portio hyperbolje,DF. mnearum cujusafympcoti CS, CV, diictis DE, BV ^;;^;;^;,^»^ parallelis afymptoto SC. Accipiatiir diffcrcntia logarithmonim qui convcniunc numeris, eandem inccr fe rationem habentibus quam reétae DE, BV; ejusque diftcrentiœ qiia."ratur loga- richmus. Cui addatur logarith|mus hic(/>>79)' (qui fempcreft idem) 0,3622 1,56887'). Summa erit logarithmus numcri qui fpa- cium DEVBAD dcfignabit, tribus rectis & curva DAB comprchenfi, in partibus qualium parallelogrammum DC efl: 100000,00000. Undc porro facile quo- que habcbicur area portionis DAB. Sit ex. gr. proportio DE ad BV ea quse 36 ad 5. Ab 1,55630,25008, logaritlimo 36. aufcratur 0,69897,00043. logarithmus 5. 0,85733,24965. differentia logarithmorum "). 9,93314,92856. logarithmus differentia:. Erit Et Cui addatur 0,36221,56887. logarithmus icmpcr addendus. Fit 10,29536,49743. logarithmus fpatii DEVBAD. Habebit hujus logarithmi numerus 11 charaderes , quum charafteriftica (it 10. Quœratur itaquc primo numerus proxime rainor, conveniens invento logarithme, qui numerus efl: 19740. Deindeex differentia logarithmi cjusdem, & proxime eum in tabula iequcntis, reHqui charafteres ehciantur 81026, fcrihendi polf priores, ut fiât 197408,10260, addito ad tinem zéro, ut efficiatur numerus charatterum i i.Ellergo arca fpatii DEVBAD proxime partium 197408,10260, qualium partium parallelo- grammum DC efl: 1 00000,00000. PROPOSITIO X. Limas curi'ûs exhiber e quariim evolutione ellipfes S? hyperbolte defcribantur ^ restas que invenir e iisdem curvis aquales 3). Sit ellipfis vel hyperbole quîelibet AB [Fig. 69] cujus axis transverfus AC; centrum figurée D; latus reftum duplum ipfius AE. Et fumpto in feftione quovis punfto, ut 3) Voir les notes 5 — 7 de la p. 1:2 du T. XVII. 222 l'horloge X PENDULE. 1673. De l'évolution des courbes. [Fig. 69.] B quelconque de la feftion l'ordonnée BK et au dit point B une tangente qui coupe l'axe en F. Soit BG perpendicu- laire à FB et puilTe-t-cllc couper l'axe en G. Prolongeons BG jufqu'au point H de telle manière que le rapport BI I : HG ibit compofé des rapports GF : FK et AD : DE. Je dis que la courbe EHM dont tous les points font trouves de la même manière que le point H e(l celle par l'évolution de laquelle, jointe à la droi- te EA, eft décrite la fection AB. En d'autrestermesqueBH touche la cour- be en H et efl: égale à la ligne entière HEA. C'efl: pourquoi, lorfqu'on re- tranche EA de HB, la droite quirefte fera égale à l'arc HE. Et il parait, puis- que tous les points de la courbe indiifé- remment font trouvés fuivant la même méthode bien déterminée, qu'elle efl partout du genre de celles qui font eftimées purement géométriques. Il s'enfuit que la relation de tous fes points à ceux de l'axe AC pourra être exprimée par une certaine équation que je trouve monter à la fixième dimenfion et polTéder un minimum de termes lorfque AB efl une hyperbole dont le latus tranfver- fum et le latus rectum font égaux; en effet, dans ce dernier cas, fi Ton tire d'un point quelconque de la courbe tel que H une perpendiculaire HN à l'axe CAN, et qu'on appelle AC ^, CN ') x, et NH v, le cube de x- — y"" — a"" fera toujours égal à •xjx-y-a^. Mais dans ce cas particulier les points de la courbe EHM pourront être trouvés beaucoup plus rapidement, comme cela fera démontre dans la fuite. Au refte il faut remarquer que dans le cas de l'ellipfe chaque quadrant efl: décrit par l'évolution d'une ligne corre (pondante; le quadrant ABL p.e. par l'évolution de la ligne AEHM, le quadrant CL par celle de la ligne COM fymétrique avec la précé- dente. Il y a en effet cette différence entre les deux ferions que — tandis que l'origine de la courbe EHM efl: tant pour l'ellipfe que pour l'hyperbole le point E, la droite AE ayant été priic égale à la moitié du latus rectum — dans le cas de l'hyperbole la courbe nommée s'étend à partir du point E juiqu'à l'infini, mais que dans le cas de ellipfe elle fe termine au point M du petit axe, LM étant prife égale à la moitié du latus reétum, qui fe rapporte aux ordonnées perpendiculaires au dit petit axe. Car il HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 223 B, applicctur ordinacim ad axcm refta De mnearum BK, & ad diiftum punctum B tanircns '^"'^^'*'*^^*' ' » f» EVOLUTIONE. ducatur qute conveniat cum axe in F; fitque BG ipfi FB perpcndicularis,axi- quc occunat in G; & producatur BG usque ad H, ut BII ad IIG habeat ra- tionem eam quîe componitur ex ratio- nibus GF ad FK, & AD ad DE. Dico curvam EHM, cujus puncta omnia inveniuncur codem modo que punftvim H, efTc cani cujus evolutione, unà cum recta EA, dclcribetur Icctio AB. Ipfàm autcm BH tangeic curvam in|H, & elTe toti HEA îequalcm. (/>• 80). Quamobrem, fi ab HB auferacur EA, reliqua refta portioni curva> HE a.>qua- bitur. Apparet autem, cum curvaî punfta qua'vis indifferentcr, ccrtaque rationeinveniantur,c{rceamutrobique ex earum génère, quœ merè geometri- cse cenfentur. Unde & relatio horura omnium punftorum ad punftaaxis AC, ajquationealiquacxprimipoterit,quara asquationem ad fextam dimenfionera afcendere invenio; minimumquehabere terminorum, fi fuerit AB hyperbola cujus latera transvcrlum rcftumque xqualia. Tune enim dufta ex quovis curva:; punfto, ut H, ad axem CAN perpendiculari HN; vocatâque AC, a; CN '), x; & NH, v,' erit femper cubus ab xx — yy — aa œqualis 27 xxyyaa. Sed hoc cafu brevius quoque multo, quam prsedifta conftruftione, curvœ EHM punfta reperiri pofiunt, ut in fe- quentibus ol1:endctur. Csterum notandum efl:, in ellipfi fingulos quadrantes fingularum linearum evolu- tione defcribi; ficut quadrans ABL evolutione lineœ AEHM, quadrans CL evolutione fimilis huic oppofita" COM. Efl: enimhscin feftione utraque diverfitas, quod cum principium quidem curvœ EHM, tam in ellipfi quam in hyperbola, fit punftum E, fumpta AE ïequaH 4- lateris refti; in hyperbola in infinitum inde difta linea extenditur, at in ellipfi finiturj in punfto axis minoris M, fi^mapta LM aquali i lateris reCli, fecun-(/'- 81). dum quod pofiunt ordinatim applicatœ ad diéhim minorem axem. Namque hos ter- ') Lisez: DN. L EVOLUTION DES COUR.BES 224 l'horloge X PENDULE. 1673. De apparaîtra facilement h celui qui confidèrc la genèfc de cette courbe, que ce font là fcs extrémités, en tenant compte de la proportion AD : DE = LM : MD propre à rellipfc. Or, nous ne nous arrêterons pas à la dcmonftration de ces chofcs, mais nous pour- fuivrons en enlcignant la méthode par laquelle on trouve tant les courbes qui corres- pondent aux feftions coniques que d'autres courbes en nombre infini provenant de courbes données quelconques. PROPOSITION XI. Étant donnée une ligne courbe^ en trouver une autre par V évolution de laquelle elle peut être décrite; et montrer que de toute courbe géométrique provient une autre courbe également géométrique ^ et qui efî recfifiable '). Soit [Fig. 70] une courbe ou une partie d'elle ABF courbée vers un feul côté, et une droite KL à laquelle tous les points ibicnt rapportés; et qu'il faille trouver une autre courbe telle que DE par l'évolution de laquelle ABF puifle être décrite. Suppofons cette courbe déjà trouvée. Puiique toutes les tangentes à la courbe DE doivent être nonnales à la développante ABF, il eft évident que réciproquement toutes les nonnales à ABF, telles que BD et FE, feront tangentes à la développée CDE. Confidérons les points B et F fort proches l'un de l'autre, et puifque l'évolution commence par hypothcfe à partir du point A et que F en ell plus éloigné que B, le point de contaét E fera également plus éloigné du point A que le point D; et l'inter- fection des droites BD et FE, qui efi: G , tombera au-delà du point D fur la droite BD. Car il ell néced'aire que BD et FE fe coupent, puifqu'elles font nonnales à la courbe BF du côté où elle ell concave. ') Comparez les p. 206 et 387 (note 2) du T. XIV, ainsi que le § i à la p. 142 et le § 5 à la p. 146 du T. XVII, notamment la note 3 de la p. 143 de ce dernier Tome, où nous avons reproduit la première Fig.70 du tex te.Nous y avons remarqué que la lettre C du § i manque dans cette figure ; toutefois dans son exemplaire â lui de r„Hor. ose." Huygcns y a ajouté la lettre C de sa main, de sorte que Taccord avec le texte du § i nommé est dès lors complet. HOaOLOGIUM OSCII.LATORIUM. 1(^73. CURVARU.M KVlll.L'ilONE. niinos e(Tc hujus ciirva;, facile apparcbit ortum cjiis confidcranti, qiiodqiic in clli|>li Ui. i.inkauu.m cil lient Al) ad Dl-:, ica LM ad IMI). I loruiii aiitcm dcnionlh-acioni non inimorabiniur, Icd ad iplimi mcciiodiini tradcn- d;ini pcri^cnuis, qua & hx curviv ex lec'tionibus conieis, & alix- innunierx'cxaliisqui- buleunqiie datis inveniinitur. PROI'OSITK) XI. JJt//il liiuul ciirvâ^ itiveiiire aliarii ctijiis c-volitticiie illa defcribûtur; & vpemkve quod L'x unaquaque curva gconiclricd ^alia ciir-i'ii itidcmgeomctrka exiflût, ciii reâa riiicu! iCqunUs (hiri ptiljît '). [l'"ig. ro-] ^=^ Sic curva qufepiam, vcl pars ejiis, in partcm unani inflcxa ABF [Fig. 70], & recta KL, ad quam puntta orania rctcrantur; & oporteat invcnire curvam aliam, ut DE, cujus evolutionc ipia ABF dcfcribatur. Ponatur jam inventa; & quoniani tangentes omnes curvœ DE, necelfc ell occurrcre linea; Ai5F, ex evolutionc deleripta', ad angulos reftos; patct quoque vicillim cas qua." ipll ABF ad rectos angulos inlilhint, ut BD, FE, taciuras cvolutam CDE. [ntelligantur autcm punda B, F, intcr fc proxima; & liquidera à parte A cvolutioCA 82). incipere ponatur, ulteriufque indc dilk't F quam B, etiani contaclus E ultcrius quani D dilbbit ab A; interfeftio vero rcc'tarum BD, FE, qua.> ell G, cadet ultra punctum D in rcfta BD. Nani concurrere iplas BD, FE neccHe ell, cum curva; BF ad partcm cavam inlillant recuis angulis. 29 226 l'horloge X PENDULE. 1673. DKS COURBES. De Or, d'autant que le point F fera plus proche du point B, d'autant plus rapprochés n^]=^.[. + (^>], donc lim. BO = f i -f (^y 1 dx; MN = KL + LN — KM = Jx + J (sous-normale). d 7 La sous-normale étant y-r^, on a d.v donc lim. MN = [ 1 -}- Q^y ] d.v +y^ dx. Comme BG : MG = BO : MN, on a donc HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 227 Quanto autem puncTtum F ipfi B propinquius fûerit, tanto propius quoque punfta De linearum D, G & E convcnire apparec; ideoqiie, fi incerftitium BF infinité parvum intelligatur, p^^oli-tione. cria dida punc'ta pro uno eodemque crunt habcnda;ac pr^etcrca, diictâ redâ BU , quje curvani in B tanf!;at, cadcm quoque pro tangente in F ccnlcbitur. Sit BO parallcla KL, & in banc perpendicularcs cadant BK, FL: Iccctque FL rcftam BO in P, & fint pun- da nocata M, N, in quibus reds, BD, FE, occurrant ipfi KL. Quia igicur ratio BG ad GM cft eadcni quas BO ad MN, data bac dabicur & illa; & quia reda BM datur magmitudincac poficione,dabitur &pundum G in produda BM, five D in curva CDE, quia G & D in unum convenire diximus '). l^atur autem ratio BO ad MN, fira- pliciter quidem in Cycloide, ubiprimùm omnium illaminven:igavimus,invenimulque duplam ') ; in aliis vero curvis , quas badenus examinavimus , per duarum datarum ratio- nura compofitionem. Nam quia ratio BO ad MN componitur ex rationibus BO ad BP, five NI I ad LH, & ex BP five KL ad MN; patec, fi rationes hœ utrjeque dentur etiam ex iis compontam racioneni BO ad MN datum iri. Illas \-ero dari in omnibus curvisgeometricis, in fequentibus patebit; ac proindc iis femper curvas adfignari pofTc, quarum évolution'; defcribantur, quaque idco ad redas lineas fint reducibiles. ,. BG hm. r-;-;- MG > + Œ)' , /dA, , d'y' d'où Ton tire lim. BG omi^.BG_ Wv La normale BM étant BG — MG BIM _ d^ji •^dji-=' X \/ I + (t^)S ■'- en résulte [■+Gi>]''' d-J àx- RG = rrr , rayon de courbure. dj3 Vers 1694 Jacques Bernoulli réussit à trouver pour ce rayon l'expression équivalente („Jac. B. Curvatura Lamina elastica-. Ejusidentitas cum Curvatura Lintei a pondère inclusi Àuidi expansi. Radii Circulorum osculantium in terminis simplicissimis exhibiti etc.", p. 264 des Acta Eruditorum de Leipzig de 1694). 3) Voir le § 3 à la p. 145 du T. XVII; voir aussi la note 0 de la p. 142 du même Tome et la note I de la p. 404 du T. XIV. L EVOl.l'TION DES COURBES, 228 l'horloge X PENDULE. 1673. De Suppofons d'abord [Fig. -i] que A13F Ibit une parabole de Ibniinct A et d'axe AQ. Piiifque les lignes BINI et FN font noniiales à la parabole et VA\ et l^'L à l'axe AQ, d'après une propriété de la parabole, ]\IK et NL feront chacune égale à la moitié du latus rectum; et en retranchant la partie commune LiM on aura KL = MN. l'ar conféquent, attendu que le rapport BG : GM cft: compol'c des rapports Nil : 1 IL et KL : MN, comme il a été dit, et que le dernier des deux cl1: de i : i , il cil évident que BG : GM = NI I : IIL; et, pardivillon, r>M : IMG = NL : Ll I, ou I\IK : Kl I; car LU et Kl I font conlldérées comme identiques à caufe de la proximité des points B et F. Or, le rapport Î\IK : Kl I efl: donné, lorfquc le point B l'efl: puifque IVIK et KH font données chacune en grandeur: INIK efl égale h la moitié du latus reclum, et KM = 2KA. La droite BI\J eftaulTi donnée en politionet en grandeur. Par conféquent INIG fera aulfi donnée et le point G ou D de la courbe RDE également: ce point cfl: trouvé en prolongeant liiNl jul'qu'en G de telle manière qu'on ait: BlNl : INIG = i latus reclinn: 2KA. De cette manière, un nombre quelconque de points, outre B, ayant été pris i'ur la parabole ABF, autant de points de la ligne RDE feront trouvés de la même manière; par la même il efl évident que la ligne RDE cil géf>métrique et l'on connaît une de fcs propriétés d'où les autres peuvent être déduites. Par exemple, fi nous voulons demander enfuite, par quelle équation s'exprime la relation de tous les points de la courbe CDE ') à la droite AQ, DQ étant une perpendiculaire liir AQ, le latus rectum de la parabole ABF étant appelé a, AK b, AQ x et QD y, voici ce que nous aurons. Puifque BAI : MD, c. h. d. KM : MQ, = ia : 2b, et que KM = iû, MQ lera au(Tî égale à 2b. Or, MA = ^a + b. Par conféquent AQ ou .v = ^^ + Ui. D'où b — Ix — ^a. Enfuite, comme MK- ou ^a- : KB' ou ab = MQ- ou ^b- : QD% on aura QD= ou y- = . Et, en fubllituant à b l'exprefllon Ix — 5^ qui a été trouvée égaleàlui, on obtiendra: 3'-= i6(4-a' — 6ay :<î. Par conféquent f g ûy- = (x — i^y. Prenons fur l'axe de la parabole AR = i^; on aura alors RQ = .v — la. II apparaît donc que la courbe CD ') ell d'une telle nature que le cube de la ligne RQ efl tou- jours égal à un parallélépipède dont la bafe efl: le carré de QD et la hauteur f | ^,- et •) Lisez RDE [Fig. 71]. HOROLOGIUM OSCILLATORR'M. 1673. 229 [Fig. -1.] Ponatur primo parabola clTc De I.INF.ARLIM ABF [Fig. 71], ciijus vertcx'''^^"'^"" A , axis AQ. C uni igitur lincœ BM, Fi\, lint parabola: ad angulos reétos; diiéta^quc (iin ad axcm AQ pcrpciidiculnrcs BK, FL; criint, ex propric- tatc parabola?, (ingiils 1\1K, NL diinidio lateri refto squa- les; & ablata conimuni 1,1\I, a."qualcs intcr le Kl., ÏNIN. I linc, quuin ratio BG ad GM Cl iinponaturex rationibus NI 1 ad 111., & KL ad MN, uti dirtum iuic, litquc earutn poflerior ratio a:;qualitatis, li- quct rationem BCî ad GiM fore candcm qux^ NI 1 ad I IF; & dividcndo, BM ad MG, eandeni quas NL ad LU, fivc INIK ad Kl I; nam LH, Kll pro eademhabentur, prnp- tcr propiiiquitatcm pundoruni B, F. Data autem ell ratio Î\IK ad Kll, dato puncto B; quoniam tam IVIK, quam Kl I dantur magnitudine; nam INIK aiquatur dimidio la- teri recto, Kll vero dupla: KA. Dataque etiam cft podtione &magni|tudine reclaCA 83)- BI\I. Ergo & 1\IG data erit, adeoque & punchim G, lîvc I), in curva RDE; quod ncnipe invenitur productà BI\1 ufque in G, ut fit BINI ad MG ficut i lateris recti ad duplam KA. Et fie quidem, adfumptis in parabola ABFaliisquotlibet punctispra;terB, totidem quoque puncta linea: RDE, fimili ratione, invenicntur; atque hoc ipfo lineani RDE gcometricam cfTe confiât, unâque proprietas ejus innoteicit, ex qua caetera; dcduci poirunt. Ut fi inquirere dcindc veliraus, quanam œquatione exprimatur relatio pun- ctorum omnium curva.' CDI'L ') ad rcctani AQ: dufta in hanc perpendiculari DQ, voca- toque latere rcc%) parabola; ABF, //,• AK, b; AQ, .r,' QD,3'. Quoniam ratio BM ad IVID, hoc cil, KM ad MQ, eit ea quœ ia ad 2^, eftque ipfa KM 00 ia, erit & MQ Kqualis 2b. Efl autem 1\L\ oo ia + ù. ergo AQ five x a.'qualis 3^» -f- ia. Unde b x) ix — 5^/. Porro quoniam, ficut quadratum MK, hoc eil, ^{■ut ad quadratum KB, I ^b^ hoc efl:, ûb^ itaqu. MQ, hocell:, 4^Z'ad qu. QD; erit qu. QD, five v^' oo — — . Ubi, fi in locum b fubfiiituatur ix — ^a, quod illi ^equale inventum eli, fiet yy do i 6. cub. ^x — ^a divilis per a. Ac proinde fj^/vj oo cubo ab x — iû. Accipiatur ARinaxe pambolœ oo la; eritque RQ oo x — ia. Curvam igitur CD ejus naturs eïïeliquet, ut femper cubus lineœ RQ œquetur parallelepipedo, cujus bafis qu. QD, altitude xl^i i/hORLOGE A PENDULE, 1673. De que par conféquent cette courbe eft la paraboloïde dont nous avons fait voir plus haut DK couRBF^' l^*^ ^^ parabole AI3 cfl: la développante, paraboloïde dont le latus rectum efl égal à ?-^ fois celui de lu parabole AB. Kn cllct, s'il en cfl ainfi fon latus rccluni devient égal à 4-7 fois celui de la paraboloïde, comme il a été trouvé en cet endroit. Or, il eft maniiefte de quelle manière on peut trouver le rapport OB : BP ou NH : IIL, non feulement lorsque ABF cfl: une parabole, mais enctire lorsque c'efl une autre courbe géométrique quelconque. Car il fuffira de mener une tangente à la courbe au point confidéré F [Fig. ~o] et de prendre FN perpendiculaire à Fil, par quoi NI I et HL feront données et par conféquent auffi leur rapport. Mais il n'efl: pas aufii évident comment le rapport KL : Mi\ peut être trouvé; toutefois nous montrerons comme fuit que cela efl toujours pofllble. Soient les droites KT et LV perpendiculaires à KL, foit KT = KM, LV = LN, et tirons VX parallèle h LN et rencontrant KT en X. Vu que la différence de LK et de NlNl efl toujours la même que celle de LN et de KM, c. à. d. que celle de L\' et de KT, et que la différence de LV et de KT ell égale à XT, et que XV = LK, il en réfulte que NM cfl: égale ou bien à VX + XT ou bien à VX — XT. Par conféquent, fi le rapport VX : XT eft donné, le rapport VX : VX + XT ou VX : VX — XT, en d'autres ternies celui de VX ou LK à ININ fera également donné. HOROLOGIL'M OSCILLATORIUM. 1673. 231 ac proindeipfam paraboloidem eiïe, cujus evolutione defcribi parabolam AB fupra De i.inearum ollcndiinus: cujiis nimirum paraboloidis latus rectum a;qiietiir ; î latcris rccti parab(jlx' ^livarum , -A EVOIXTIONE. AB. tune enim hujus latus rectum xquale fit ^J lateris rccti paraboloidis, qucmad- modum ibi fuit deiinitum. Quomodo porro ratio C)B ad BP, five NH ad i IL, non tantum cum ABF parabola (/<■ 84). clt, fed etiam alla qua;libct curva geometrica, femper invcniri polTit manifclhim cit. Quoniam tantum reda Fil ducenda cil, qure curvum in adlumpto puncto F tangat [Fig.70.] Si K X T _Vx^ r. / Y U V [Fig. 70], & FN ipfi FH perpendicularis : unde NH & HL datœ erunt, ac proinde ratio quoque carum data. At non œque liquet quo pado ratio KL ad MN innotefcat, quam tamen femper quoque reperiri pofle lie oftendemus. Sint redte KT, LV, perpendiculares fuper KL, fitque KT œqualis KM, & L\' œqualis LN, & ducatur VX parallela LN, qute occurrat ipfi KT in X. Quoniam ergo femper eadem ell difterentia duarum LK, NM, qus duarum LN, KM,hocell;, quœ duarum LV, KT; ell autem difterentise ipfarum LV, KT iEqualis XT, & XV ipli LK; erit proinde NM œqualis duabus limul VX, XT, vel ei quo VX ipfam XT fu- perat. Atque adeo, li data fuerit ratio \'X ad XT, data quoque erit ratio VX ad utram- que limul VX, XT, vel ad excellum \'X fupra XT, hoc eft, data erit ratio VX live LK ad NM. . 232 l'horloge X PENDULE. 1 673- De Or, il faut lavoir que puilquc nous avons pris KT = KIM et LV = LN, le lieu i.'ÈvoLLTioN ^ points T, V fera une certaine liirne droite ou courbe donnée. Et 11 c'eit une ligne DES COURBES. r ' o ^ ■■^ droite, comme c'eil: le cas lorfque ABF ell une feclion conique, ce KL (on axe, il ell: clair que le rapport \^\ : X'I' lera donné, étant donnée la poiition de la ligne \'"r qui elt le lieu des points \\ T, et qu'alors le dit rapport a toujours la même xalenr quel que Ibit l'intervalle KL. INIais lorfque le lieu ell une autre ligne courbe, le rapport VX : XT fera différent félon que l'intervalle KL fera plus grand ou plus petit. Or, il fout examiner la valeur de ce rapport, lorfque nous nous figurons KL infiniment petite, puis que nous avons aufll fuppofé les points B et F fort proches l'un de l'autre. Pareillement il fuit fonger que les points Y et T interceptent une partie abfolunient minime de la ligne courbe; d'où il s'enfuit que la droite VT coïncidera avec celle qui touche la courbe en T. Soit donc TY cette tangente: elle peut être conllruite puifque la courbe fur laquelle fe trouvent les points T et V ell géométrique '). Le rapport YK : KT cil donc donné, et par conléquent aufli VX : XT, d'où nous avons montré qu'on peut tirer le rapport LK : NM. On trou\-e la nature de la ligne palTluu par les points T et V en prenant un certain point S fur la droite KL et en appelant SK x et KT 3'. Car puifque la coLu-be ABF ell donnée et que \]M ell la nonnale, on trouvera ainfi par la méthode des tangentes enfeignée par Descartes =) la grandeur de la figue KM que l'on égalera h KT ou y: par cette équation la nature de la courbe TV, à laquelle il fiuu cnfuite mener une tangente, apparaîtra. INIais tout deviendra plus clair par l'exemple fuivant. Soit ABF [Fig. 72] la paraboloïde reélifiée plus haut, favoir celle dont les cubes des perpendiculaires fur la droite SK font entre eux comme les carrés des abfcilfes lituées fur elle, et qu'on demande de trouver la courbe CDE par l'évolution de la- quelle la paraboloïde SBF ell décrite. Premièrement on trouve aifément le rapport BO : BP parce que nous lavons que la tangente en ]) à la paraboloïde peut être conllruite en prenant SI I = ^SK. Comme BiM ell normale h cette tangente, les lignes Mil et 1 IK font données, et par conlé- quent aulli leur rapport qui ell égal à OB : BP. ') Voir sur la construction des tangentes aux courbes géométriques les p. 442 — 448 du T. XIV, nûtainmentlanotc6delap.446surralgoritliniede Hudde,et la notes de la p. 442, où le lec- teur est renvoyé à la „Regula" de la p. 315 du T. IV contenue dans la lettre de Iluygcns à J. de Witt du 25 février 1663. -} Dans le second livre de la „Géométrie" (éd. Adam et Tannei y, T. VI, p. 413 — 424); voir la p. 1- du T. XI et la note 10 de la p. 65 du T. XII. IIOROLOGIUM OSCILLATOllIL'M. 1673. ^33 Scicndiini cfl aiiteni, qiioniam KT ipli KM, & LV ipfi LN, sequalcs fiimpta fiint, De i-iNtAnuM Idcuin puiiiitorum T, \', lorc lincam uiiandam vd rcftam vcl curvain datani. ut mov '^'''•^^'*'^'^*' , , ,^ . . , . ,. ■ • - . l.r^ • i:V4(I,UTIO.\F.. olteiuictiir. I.t lu]uidcni lit Imca rcL'ta; ut a^ntingit li Alir coni Icttio fucrit, &. Kl. axis cjus; conllat rationcin VX ad X'I' datani t'orc, data poiitioiic iplius linca; \"r, qua.' locus cil punttorum V, T; fcmpcrquc canjdein tune habcri didani rati(>ncm,(A 85). qualccunquc fucrit intcrvallum KL. At li locus alia linca curva liierit, divcrfa crit ratio \'X ad XT, prout niajusniinus- ve fucrit intcrvallum KL. Inquircnduni cil autcm qua;nani l'utura lit illa ratio, cum KL inlinitc parvuni imaginamur, quoniam & punéta B, F, proxima invicem pofui- nuis. Similitcr itaqiic & puntta V, '1\ linca* curva.Mninimam particulani intcrcipcrc intclligcndum cil; undc rcCta V'T, cum ca qua.* in T curvam contingit, coincidct. Sit ertro tangcns illa TY; potcll enim duci quoniam cur\u, ad quam funt punèta '1', \', gcomctrica cil '). Ratio igitur VK ad KTdata crit,adcoquc & VX ad X'I". ex qua ctiam rationcm LK ad NiM dari ollcndimus. Qua;nam vcro lit linca ad quam funt punfta T, V, invcniturponcndoccrtiuTipun- thnn S in redta KL, & vocando SK, x; KT, y. Nam quia data cil curva AliP\eiquc BM ad angulos rcctosducta,in vc- nictiu" indc quantitas linca; KM, permcthodum tangcn tiuni àCar- tcfio traditam-), qua." ipfi KT, livc y îequabitur, & ex ca arqua- tionc, natura curva TVMnnotc- fcct, ad quam dcindc tangcns ducenda cil. Scd clariora omnia lient Icqucnti exemplo. Sit ABF[Fig.- 2]paraboloides illa , cui lupcrius rcclam aqualcm invcnimus; in qua ncnipc cubi pcrpcndicularium in rcclam wSK, lint intcr le licut quadrata ex ipfa SK ablcllfarum. Et oporteat in- venirc curvam CDE cujus evo- lutione paraboloides SlîFdcfcri- batur. Hic primum ratio BO ad BP facile invenitur, quia tangentem paraboloidis in puntlo B duci fcimus, fumpta SU aquali i SK. Cuitangenticum BM ad angulos reélos inlîflat, dantur jam lineae MH, HK, ac proinde earum inter ic ratio, quœ ell eadem qus OB ad BP. 30 234 l'horloge X PENDULE. 1673. L'ivOLL'TlON DES COURBES, De Pour calculer enfuite le rapport de BP ou KL à MN tirons normalement à KL les droites KT et LV égales refpeftivcmcnt à KM et LN dont la dernière fera la plus grande des deux; et foit \'X parallèle h LK. Puifqu 'alors KL + LN — KM ') = ININ — où Ton peut aulli de XY + VL ou XV + XK retrancher KT, ce qui donne le refte VX + XT — on aura VX + XT = MN; partant le rapport KL : MN fera égal à VX : \'X + XT. Et pour trouver la \'alcur de ce rapport lorfque rinter\'alle KL eft extrêmement petit, il fout fuivant ce qui a été dit plus haut chercher quel eil le lieu ou la ligne des points T, V. Appelons à cet effet a le latus reftum de la para- boloïde et foit SK = .r, KT = v. Comme KH, KB et KM font alors proportionnelles et que HK = | .r, tandis que 3 , d'après la nature de la paraboloïde KB = ]./ ax- ^ KM ou KT deviendra égale à | 3 3 \/ a^'x. Donc | |/ crx = t, partant ^^ n'x = v^ D'où il apparaît que le lieu des points T, V eft cette paraboloïde que les géomètres appellent cubique. On y mènera une tangente au point T en prenant SY = aSK, et enjoignant Y et T par une droite. Le rapport VX : VX + XT, que nous avons dit être égal à KL : MN, fera mainte- nant celui de YK à YK + KT. Or, ce dernier rapport eft donné, par conféquent aufll le rapport KL : MN. INIais il a été démontré que le rapport OB : PB eft égale- ment connu. Comme le rapport BD : DM eft compofé des deux rapports en queftion, ainfi que cela eft apparu plus haut, le rapport BD : DM fera lui aulTi connu; et, par divifion, on connaîtra le rapport BM : MD et par conféquent auffi le point D de la courbe DE. Or, c'eft ainfi qu'on parviendra à la conftruftion la plus courte. KT ou KM a été appelée _v. On aura donc MH = y + |.v. Et MH : HK, ou OB : BP, = y + |.r : |.r, ou en doublant les termes = ay + 3.r : 3^. Eniuite, parce que YK = 3.T, on aura YK : YK -f KT, ou YK : KL + ININ d'après ce qui a été dit plus haut, = 3.r : ^x+y. Mais nous avons dit que le rapport BD : DÎNI eft compofé des rapports OB : BP et KL : MN. Le rapport BD : DÂI fera donc compofé des rapports 23' + 3.r : 30; et 2x i^x + y, et fera par conféquent égal a 2y -\- 2^ : ^x + y, et, par divifion, on aura BM : MD = y : 3.r -f y. Soit SZ perpendiculaire à SK et que I\1B prolongée la coupe en Z. Comme le rap- port BM : MD a été trouvé égal à y : y + 3.r, c. à. d. à MK : MK -|- 3 KS, et qu'à ce dernier rapport eft égal le rapport MB : MB + 3BZ. on aura par conféquent ÎMB:MD = MB:MB+ 3BZ. D'oùilappertqueMDdoitêtreprifeégaleàMB + 3BZ. Et de la même manière on pourra trouver un nombre quelconque de points de la courbe CDE. Un arc quelconque de cette courbe tel que DS fera égal à la droite DB qui eft normale à la paraboloïde SAB. Il eft certain que la courbe trouvée eft géométrique et, fi nous le voulons, nous pouvons exprimer par une équation la relation de tous fes points à ceux de l'axe SK. De la même manière, fi nous faifons cette recherche pour la paraboloïde ou para- bole cubique [Fig. -3] dont les cubes des ordonnées perpendiculaires à l'arc font HOROLOOIUMOSCILLATORIUM. l673- 2.35 Uc autem ratio BP, five KL ad MN innotefcat, ponantur ad KL perpendiculares De linearum reclœ KT, LV, œqiiales lingulis KM, LN, fitque VX parallela LK. Jam quia ex dua- ^^ol,^,oÎÎe bus linuil KL, LN, auferondo K^L rclinquitur MN ');hoccil,autlTcndoexduabus XV^, VL, five XV, XK, iplhin KT; hinc autcm rclinqui apparat VX & XT: crunt igitur ha; duse VX, XT ipfi MN sequales, ac proinde ratio KL ad MN eadem quœ VX ad duas fimul VX, XT. Ut autem hîec ratio innotefcat cum intervallum KL efb minimum; oportct fccundum pra;dicta inquircrc quisfitlocus, fivelineaadquam lunt puncta T, \^ Quod ut liât fit latus reCtum paraboloidis ABF zo a; SK O) .r,- K'I" co r. Quia igitur proportionales lunt KH, KB, KM, efique HK oo | ^x: KB ex natura (/>• 86). paraboloidis œqualis R. cub. axx: fiet KIVL hoc efi: KT co |- R. cub. aax oo y, ac proinde /^ aax xi y^. Unde patet locum punctorum T, V, eiïc paraboloidem illam, quam cubicam vocant geometrîe. Cui proinde ad T tangcns ducctur, fumptà SY duplà ipfius SK, junftâque YT. Et jam quidcm ratio VX ad duas limul \''X, XT, quam diximus eandem elle ac KL ad MN, erit ea quse YK ad utramque fimul YK, KT. Hcec autem ratio data ell:, crgo & ratio KL ad MN. Sed & rationem OB ad PB datam elle oflenfum ei>. Ergo, cum ex duabus hifce componatur ratio BD ad DM, ut lupra patuit, dabitur & hjec; & dividende, ratio BM adMD;adeoque&punâ:um D in curva DE. Ad conftruftionem autem brcviffimam hoc pafto hic perveniemus. KT five KM diaa fuit .y. Itaque MH erit y + ix. Et MH ad HK, five OB ad BP, uc v + ix ad |x. five, fumptis omnium duplis, ut 2V + 3X ad 3A-. Deinde quia YK X) 3.r, erit YK ad YK + KT, five per prsdicta, KL ad INLV, ut 3.r ad 3.V + v- Atqui ex ratio- nibus OB ad BP, & KL ad MN, componi diximus rationem BD ad DINI. Ergo ratio BD ad DM erit compofita ex rationibus 2V + S-'*' ^d 3a-, & 3.V ad 3.V + v," ideoque erit ea qua: 23' + 3^- ad 3~v +_y. & dividende, ratio BM ad MD, eadem quxyaà 3A'+ v. Sit SZ perpendicularis ad SK, eique occurrat MB produfta in Z. | Quia ergo ratio (/•• 87). BM ad MD inventa ell ea quîe y ad v + 3.r, hoc efl quœ INIK ad MK + 3KS. Sicut autem MK ad MK + 3 KS, ita MB ad MB + 3 BZ; erit proinde INIB ad MD ut ÎNIB ad MB + 3 BZ. Unde liquet MD œqualem fumendam ipfi INIB + 3 BZ. Atque ita quotlibec pundta curvfe CDE invenire licebit, Cujus curvse portio quœlibet ut DS, reclffi DB, quœ paraboloidi SAB ad angulos reftos occurrit, sequalis erit. Confiât au- tem geometricani efiTe, & fi velimus, polTumus a?quatione aliqua relationem exprimere punétorum omnium ipfius ad pundla axis SK. Simili modo autem, fi inquiramus in paraboloide illa five parabola cubica [Fig. 73], in qua cubi ordinatim applicatarum ad axem, funt inter le ficut portiones axis abfciiTEe, ') Note manuscrite de Huygens: „Supponitur hic rectam LN majorera esse quam KM. quod melius fuerat antea probari, etsi verum est", 's Gravesande donne cette preuve dans son édition de 1724. Le lecteur vtrifiera aisément que dans la courbe considérée la sous- normale est d'autant plus grande que le point considéré de la courbe est plus éloigné du sommet. 236 l'horloge X PENDULE. 1673- De entre eux comme les abiciffes qui font ficuées fur lui, nous trouverons que la courbe . EVOLUTION DES COl'RBES. par l'évolution de laquelle elle efl: décrite et qui e(l par coniéquent redifiablc, efl déterminée par points par une conllruction nullement plus difficile, lui elTet, Ibit SA\) cette parabole cubique, SIM ion axe (or, c'ell improprement qu'on parle d'un axe dans le cas de cette courbe, puifque fa fomie efl telle que, lorfqu'on tire SZ perpen- diculairement il SM, SZ a des parties lemblables de la courbe fituées de part et d'autre). Tirons par un point 13 quelconque pris fur la paraboloïde la droite liD qui lui foit normale et coupe l'axe en M, la droite SZ en Z. Prenons enfuite BD =4^BM -f î WZ. D fera alors un des points de la courbe chercbce RD nu RI par l'éNolution de laquelle, après qu'on y a encore ajouté une certaine droite R A, la paraboloïde SAB léra décrite. Or, il y a ici, ce qui mérite d'être remarqué, et ce qui arrive aulli dans le cas de certaines autres paraboloïdes de ce genre, deux évolutions de fens oppoics, dont l'une et l'autre fe fait ii partir du point détenniné A; de forte que par l'évolution de ARD prolongée jufqu'à l'infini la branche infinie ABF de la parabo- loïde efl décrite, mais par l'évolution de ARI qui s'étend également jufqu'à l'infini, feulement l'arc AS. Quant au point A, on le détermine en prenant SP de telle gran- deur que fon rapport au latus rcftum de la paraboloïde foit égal à celui de l'unité ii ]/ 91 1 25 (lequel nombre eil le cube de 45) et en tirant l'ordonnée correfpondante PA. En partant de là, on trouvera enfuite le point R, extrémité commune des deux courbes RD et RI, comme tous les autres points de ces courbes, c.à.d. comme le point D a été trouvé tout-h-l'hcure. Enfin, quelle que foit dans la famille des paraboloïdes la courbe SAB, nous avons trouvé qu'on peut toujours avec la même Eicilité trouver par points une autre courbe par l'évolution de laquelle elle peut être décrite et qui ell par conféquent reélifiable. Nous rcpréfcntons donc dans la table qui fuit, et qui peut s'étendre jufqu'où l'on voudra, la conflruction univerfelle. ax =y' ' Bi\l + 2BZ \a\v = f UbM + IBZI Si J ax'' = f , 011 aura ■ 2BM + 3BZ ' = BD. ax^=y* i3BM-f4Bz' aH' = y^ \ IBM + f BZ Soit SB [Fig. "4] une parabole ou paraboloïde à fommet S, et SK l'axe (ou bien une perpendiculaire ii l'axe) auquel Ibient rapportés paruneéquation les pointsdela parabo- loïde. Nous fuppofons toujours SK tiré du côté concave, et SZ perpendiculaire à lui. Etant pofée maintenant SK = .r, BK = a', laquelle ell la perpendiculaire à SK h partir d'un point quelconque, et le latus rcélum de la courbe = û, la première co- lonne de la table, celle de gauche, explique la nature de chaque paraboloïde par fon HOROLOGIUM OSCILLATORILM. 1673. 237 F'^iK- :>] inveniemus curvam ciijus evolutione defcribitur, quaîque proindc reftEC Unes aequari Dk i [nrarim poterie, nihilo dilliciliori cnnllrudione pcr puncta dcterininari. Nani (1 ilicrit illa SAB;'""^'|'^'*'*"'^! axis SM; (dicitiir auccni iinproprie axis in hac ciirva, ciiin ibrnia ejus fit ejiismodi,ut duftâ SZ, quîc (ccct SM ad angiilos rettos, ea portioncs fimilcs curva? habcat ad partes oppofitas;) agatiir pcr piinctuni qiiodlibet ii, in paraboloidc lliniptimi, recta iil^, qiia: curvam ad anjc;iilos redos fecet, axiqiic ejus occiuTat in I\I, recta; vero SZ in Z. Deinde lumatur BD a.'qiialis diniidia: BM, unà ciiin (csquialtera BZ. Rritque D unum è puncHs curva: qua;lita: RI) vel RI, ciijus evolutione, junrta tamen recla quadani RA, delcribetur paraboloidcs SAB. Sunt autem hic, quod notatu dignum cil, quodque in aliis etiam nonnullis harum paraboloiduni contingit, duce evolutiones in partcscontrarias,quarum utraque à punéto certo A initium capit; ita utevolutioneipfius ARD,in indnitum porro continuata.', dcfcribatur paraboloidis pars infinita ABF; evolutione autem tcnius ARI, fimiliter in infinitum cxtenfa;, tantum parti- cula AS.Punchim autem A dellnitur, fumptà SP qus iit ad | latus redum paraboloidis, ficut unitasad radiccm quadrato-quadraticam (/>. 88). numeri 91125, (is cubus eft ex 45) applicatâquc ordinatim PA. Undc porro punélum R, confinium duarum curvarum RD, RI, invenitur licut cœtera omnia hanim cur- varum, hoc cil, (icut punctum 1) modo inventum fuit. Deniquc, qua-cunque fiicrit ex paraboloidum génère curva SAB, femper îeque facile curvam aliam, cujus evolutione ipfa delcribatur, quîeque propterca redîe ad:c- quari poflît, pcr punftainveniricompcrimus. Atqucadeoconllrudionemuniverfalem Icquenti tabella exiiibemus, qua; quousque libuerit extendi poterit. Ia X :x> y- 01 ax'' zc y'^ i ax^ 00 y^ \ a^x DO Y+ Erit \ 3 BM+2BZ', iBM+*BZi 2BIM+ sBZ'oo BD. 3BM + 4BZi iBM + iBZ ' Sit SB [Fig. 74] parabola, vel paraboloidum aliqua, cujus vertex S; reda SK vel axis, vel axi perpendicularis, ad quam referuntur a:quatione punda paraboloidis; &. ipfa quidem SK fcmper ad partcm cavam duda intclligitur; cui perpendicularis SZ. Ponendo jam SK oo .v,- BK xi v, quœ à pundo qiiovis curv^ perpendicularis eft ipfi SK; & latere redo curvs oo a; prior pars tabellœ, qus ad finiftram efl:, naturam 238 l'horloge X PENDULE. 1673. De l'évolution des courbes. équation. A ces équations correfpondent dans la colonne droite les longueurs de la ligne BD laquelle placée normalement fur la courbe SB fouiTiira le point D de la courbe cherchée CD. Par exemple, fi SB efl la parabole qui provient de la fertion du cône, nous favons que fon équation eft la première de la table, favoir ax = 3'-, à laquelle correfpond dans l'autre colonne BINI + 2 BZ = BD. D'où efl: connue la longueur de la ligne BD, et par conféquent auffi la méthode de trouver un nombre quelconque de points de la courbe CD. Il a été démontré plus haut que dans ce cas-ci cette développée eft une paraboloïde, favoir celle dont l'équation eil la troifième de cette table. Or, la table eft conftruite de cette manière qu'on donne à BM pour coefficient l'expofant de x dans l'équation, et à BZ celui de v, et qu'on divife enfuite la fomme des deux termes par l'expofant de a '). Outre ces lignes paraboloïdiques nous en avons trouvé d'autres d'où l'on déduit des courbes rectifiables par une conftrucHon à peu près femblable. Elles relTemblent à des hyperboles en ceci qu'elles ont des afymptotes qui toutefois font toujours entre elles un angle droit. Nous confidérons comme la première d'entre elles l'hyperbole ordinaire qui provient de la fection du cône. Pour expliquer la nature des autres, foient PS et KS [Fig. 75] les afymptotes de la courbe AB, comprenant entre elles un angle droit, et tirons à partir d'un point HOROLOGIUM OSCILLATORICM. I Gj^^ 239 fingularum paraboloidiim fingulis jEquationibus cxplicat. Quibus refpondent in parte ^^ unearum dextra quantitatcs liiiciu BD, quœ fi ciirva? SB infiftat adangulos reftos, cxhibicurapvoLUTioNE. (it puiKiiim D I in ciirva qua^fita CD. FAcmpli i^ncia, (i SB cil parabola qua.- ex coni (/>• 89). l'ecUonc lie, ei l'cimus convenire a-quationcm tabcllxpnniam,c/.v ao y';cuircrpondet ab altéra parte BM + 2BZ co BI). Undc longitudo linea: BD cognofcitur, adeoquc in ventio qiiotlibct punctorum curvse CD. Quani qiiidem , hoc cafu , paraboloidem clTe i'upra dcmonilratum fuit, cam ncmpe, cujus xquatio tcrtia cil: hujus tabella;. Conllruicur uutcm tabella hoc paiîto, lit BM luniatur multiplex lecundmn numcrum qui ell exponens poteltatis x in squatione; BZ vero, multiplex fecundum exponen- tem potefbtis y," ex his autem utrisque compofitîe accipiatur pars denorainata ab ex- poncnte poteftatis a '). Prîeter hafce autem paraboloides lineas, alias item invenimus, à quibus, non abfi- mili conflructione, deducuntur curx'a? reclis comparabiles. Alfimilantur autem hyper- bolis, co quod alymptotos llias hiibent, icd tantum angulum rccium conftituentes. Et harum primam quidem Hatuimus hyperbolam ipfam, qufe eft è coni feclione. Reliquarum vero naturam ut explicemus; funto PS, SK [Fig. 75], afymptoti cur- vœ AB, reftum angulum comprehendentes, & h curva." puncto quolibet B ducatur [Fig. -5.] ') L'équation de la „paraboIoVde" ou parabole de degré supérieur étant y« = kx^, où k est une droite à la puissance a—b, — c'est la notation dont nous nous sommes servis dans les Tomes ^BM+g.BZ précédents; voir la note 2 delà p. 147 du T. XVII — , on trouve en effet BD = '- ,éBM + iBZ Ubm + iBZ oiKUira iBM + fBZ i|BM + iBZ ' iBM + |BZ 240 l'horloge X PENDULE. 1673. De quelconque B de la courbe la droite iîK parallèle à PS. Soit SK = .v et KB = y. Dans otcovRml le cas où AB elt une hyperbole nous lavons que le rectangle des lignes SK et KB, c.à.d. le reftangle .rv, cil toujours égal au nicnic carré que nous pouvons appeler^-. L'hyperboloïde qui la luit i'cra celle pour laquelle le l'olide exprimé par la multi- plication de la ligne SK par la hauteur KB, c. à. d. le fblide x'v, eft égal à un certain cube que nous pouvons délîgner par a'. Il exiile encore d'autres hyperboloïdcs en nombre infini du même genre; la table luivante exprime la propriété de chacune d'elles par Ton équation, et en même temps la méthode de conllruCtion de la courbe l)C par l'évolution de laquelle elle cil produite. Si \vf-=^ a^ ' , on aura ' iBM + f BZ ' = BD. ■.v3'y=^+l i|BM+iBZi .rT3=«+' 'iBlVl + |Bz' La droite DBMZ ell nonnale, comme auparavant, à la courbe AB et coupe les afymptotes SK et SP en M et Z. Si par exemple la courbe propolée ell l'hyperbole AB dont l'équation cil xy •=: a\ il faut prendre BD = 4^BM + ^W'/.^ comme la table l'indique; le point D le trouvera alors fur la courbe cherchée l)C,donton pourra trouver d'autres points en nombre quelconque de la même manière et dont chaque partie peut être égalée h une ligne droite. Et cette courbe 1)C ell la môme que celle dont nous a\'ons exprimé plus haut par une équation la relation à l'axe de l'hyperbole. Or, la conllruétion de cette table cil entièrement la même que celle de la table précédente '). Au relie, puifqu'il faut, tant pour la conflruàtion de ces courbes que pour celles qui proviennent des paraboloïdes, tirer les lignes DBZ coupant au point donné B les courbes AB ou leurs tangentes h angles droits, nous dirons en général comment on trouve ces tangentes. À cet effet il faut confidércr dans l'équation qui exprime la nature de chaque courbe — ces équations ibnt données dans les deux tables précé- dentes — quels font les expofants de .v et de y et prendre SK : KM = expoiant de.r : cxpolant de y. Une droite qui joint les points H et B touchera alors la courbe au point B. Dans le cas de la troilième hyperboloïde par exemple, dont l'équation ell xy'^ = a'^^ comme l'expolant de x ell i et celui de y 2, il faut que SK : Kl 1 = i : 2^). Ceux qui fe font appliqués à l'art analytique connaiiïcnt la démonllration de cette propolition : ils ont commencé depuis longtemps à confidércr ces lignes et ont mefuré les lieux plans et folides non feulement de ces paraboloïdes, mais aullî de quelques efpaces s'étendant jufqu'à l'infini compris entre les hyperboloïdcs et leurs afymptotes. C'eil ce que nous pourrions exécuter nous aufll d'après une méthode facile et univer- felle, la démonllration étant dérivée de la feule propriété des tangentes '). Mais ces choies ne font pas de ce lieu. ') L'équation de l'hyperbole de degré supérieur étant a-'^" = /!-,où ^ est une droite à la puissance HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. I 673- -4' BK parallela PS,fitqueSK oo .r,-KB 007. Siif^iturhyperbolafit AB,fcimusreftangii-DE linearlm lum lincaruni SK, Kl), hoc clL rcctuniriiliini .vv Icnincr cidcni quadraco a.'ULialc (_.i|c 'LitvARu.M qiiod vocetur na. Proxiina vcro hypcrboloidum erit, in qua folidiim ex quadrato | linca.* SK, in alti-C;-. 90)- tudincni Kli duotum, hoc cil, lliiiduni .v.vy, ciibo ccrto a;quabitiir, qui vocetur <-,'^. Atquc ita innumera; alite hujus generis hyperboloides exilUinc, quarum proprietatem lequcns cabella (ingiilis x'quacionibus exhiber, iiiiiulqLicracionemconilmendicurvam DC\ cujus evolutione qua:que generetur. X Y 00 a' i-BM + ^BZ \x'-yzca^ UbM + IbzJ Si ^7= 00^/3 Erit UbM + fBZ ' :o BD. ix^yzoa* ijBM + iBZi U.y3a)^/+ liBM + |BZ' Rc(fi:a DBMZ curvam AB, ut ancea quoquc, fecat ad angulos reclos, occurritquc aiymptotis SK, SP, in iM & Z. Si igitur exempli gracia hypcrbola tuent AB, cujus œquacio elt .ry do i'/%lr.metur BD do ^BiM + 4^BZ,quemadniodumtabellaprcecipit. Eritquc punétum 13 in curva DC qua;iita, cujus alia quotlibet puncta lie inveniri \w- terunc, & portio ejus qua^libct recta; linea? adxquari. Et ha;c quidem eadeni illa ell curva, cujus relationeni ad axeni hyperbola' llipcrius squatione exprellimus. C\jn- ilruétio au:eni tabells hujus plane eadem eft qua luperioris '). Canerum, quoniam tum ad harum curvarum, tum ad earuni qua; ex paraboloidibus nafcuntur conllruCtionem, ducenda; Huit linea; DBZ, qua; ad datum punctum B lecenc curvas AB, live iplarum tangentes BH , ad angulos reétos; dicemus in univerliim quo- modo hs tangentes inveniantur. In œquacione icaque, qua; cujusque curva; naturaui explicac, quales a;quaciones duabus tabellis pra;cedentibus exponuncur, conliderare oportec qua> lint exponentes pocellatuni .v & v, & tacere ut, licut exponens pocelhtis a-adexponentempoteltatisy,italitSKadKH').Jun(l:l:aenimHBcurvaminBcontinget. Velue in tercia hyperboloide, cujus lequacio ell xy- oo a': quia exponens poccltatis.v eil I , potcilatis autem y exponens 2 ; oporcet effe ut i ad 2 ita SK ad KII. Morum au- tem demontlrationem noverunt analytica; artis periti, qui jam pridem omnes has lineas contemplaric(eperunt;&non iblum paraboloidum illarum, fed & ipatiorum quorun- dani infinitorum, inter hyperboloides & alymptotos inccrjeCtorum, plana l<)lidaque dinienli iunc. Quod quidem ëc nos, tacili atque univerlali niechodo, expedirepoilemus, ex Ibla tangentium proprietate Himpca demonllratione 3). Sed illa non l'unt hujus loci. 11 + b, 011 trouve en efFet BD = — , . a -\- b -) Comparez la note 1 de la p. 232 qui précède. D'après la „Regula" citée dans cette note, la soustangente de la courbe xh" — /■ = o (KII dans la Fig. 74 du texte) devient ;v (où x est la droite SK). Donc SK : Kl l — b: a. ^) Voir les p. 197 — 198 et 288 — 293 (datant de 1657) du T. XIV. QUATRIÈME PARTIE DE L'HORLOGE À PENDULE. Du centre à^ofclllation. Le très favant Merfenne m'a jadis propofé, comme à beaucoup d'autres, lorfque j'étais encore prefqu'enfi^nt, la recherche des centres d'ofcillation ou d'agitation '). C'était alors un problème célèbre entre les géomètres de ce temps ainfi que je le conclus des lettres qu'il m'écrivait et aufll des écrits de Deicartcs publiés depuis peu, lefquels contiennent la réponfe aux lettres de Merlenne fur ce lujet. Il demandait que je trouvade ces centres dans les fecteurs de cercle, lufpendus tant de l'angle que du milieu de l'arc, et ofcillant latéralement, ainfi que dans lesiegmentsdecercleet dans les triangles, fufpendus tantôt du ibmmet, tantôt du milieu de la bafe. Ce problème re- vient à trouver un pendule limple — confiant en un poids attaché à un fil — de longueur telle qu'il exécute fes ofcillations dans le même temps qu'une des figures fufpendues dont nous avons parlé. Il me promettait en même temps une grande et enviable ré- compenfe de mon ouvrage fi par haiard j'arrivais à fatiiTaire à la demande. Mais il n'obtint alors de perfonne ce qu'il défirait. Car quant à moi, comme je ne trouvai rien qui m'ouvrît le premier chemin à cette contemplation, repoulTé pour ainfi dire à l'entrée même, je m'abftins alors d'une plus longue inveftigation; et ceux qui efpé- raient avoir réulfi, hommes illuftres comme Defcartes'), Honoré Fabry^) et d'autres*), n'atteignirent point le but, excepté dans quelques cas des plus faciles où cependant ils n'ont donné, h mon avis, aucune démonlbation valable. J'efpère que cela deviendra manifelle par comparaifon avec ce que nous enfeignerons ici, fi par hafard quelqu'un compare ce qui a été publié par eux avec notre prélente théorie, que j'eftime repoier d'une part fur des principes plus certains et que j'ai d'autre part trouvée entièrement conforme aux expériences. L'occafion de reprendre ces recher- ches nous fut offerte par la manière de mettre au point les pendules de notre auto- mate en leur appliquant, outre le poids inférieur, un autre poids mobile comme cela a été expliqué dans la deicription de l'horloge. Reprenant ainfi la quellion fous de meilleurs aufpices et depuis le commencement, j'ai enfin triomphé de toutes les diffi- cultés et réfolu non feulement les problèmes de IVIerfenne, mais auffi d'autres plus ') Voir les p. 349 et suiv. du T. XVI. -) Voir sur la régie erronée de 1646 de Descartes pour trouver le centre d'agitation la p. 352 du T. XVI. HOROLOGII OSCILLATORII (/--pO- Pars Quarta. De centro Ofcillationis. Centrorum Ofcillationis, feu Agitationis, inveftigationem olim mihi, fere adhuc pucro,aliifqucmultis,doa:iiT!musI\Tcrrcninis propofuit '), cclebrc admodum inccr illius tcmporis (îcometras problcnia, proue ex lictcris cjus ad me datis colligo, ncc non ex Cartefii haud pridem editis, quibus ad Merfennianas fuper his rébus refponfum con- tinetur. Poftulabat autem centra illa ut invenirem in circuli fcctoribus,tamabangulo quam à medio arcu fufpcnfis, atque in latus agitatis, item in circuli fegmentis, & in triangulis, nunc ex venice, nunc ex média bali pendentibus. Quod eo redit, ut pen- dulum fmiplex, hoc eft, pondus filo appenfum reperiatur ea longitudine, ut ofcillati- ones faciat temporum eorundem ac figurœ iflœ, uti diftum eft, fufpenfs. Simul vero pretium operje, fi forte quxfitis fatisfeclifem, magnum fane & invidiofum poUiceba- tur. Scd a nemine id quod defiderabat tune obtinuit. Nam mequodattinet,cumnihil reperirem quo vel primus aditus ad contemplationem eam patefceret:, velut à limine repulfus,longiori invefligatione tune quidem abftinui. Qui vero rem fefeconfecifle fpe- rabant viri infignes, Cartefius^), HonoratusFabrius3),aliiqueO,"equaquam fcopum attigerunt,nifiinpaucis quibufdam facilioribus, fed quorum tamen demonllrationem nuliam idoncam, ut mihi videtur, attulerunt. Idque comparatione corum qus hic trademus manifellum fore fpero, li quis forte quîe ab illis tradita funt, cum noftris hifce contuJerit; qu£e quidem & certioribus principiis demonflrata arbitrer, & experi- mentis prorfus convenientia reperi. Occafio vero ad hœc denuo tentanda, ex pendu- lorum automati noftri temperandorum ratione oblata en:,dum pondus mobile, prœter idquodinimoeft,illisapplico, ut in defcriptione horologii fliit explicatum. Hinc melioribus aulpiciis atque à prima origine rem exorfus, tandem ditîicultates omnes fuperavi, nec tantum problematum IMerfennianorum folutionem, fed alla quoque 3) Voir les p. 52 et suiv. de l'Avertissement qui précède. ■») Voir sur de Roberval les p. 352 et 490 du T. XVI, sur lord Brouncker la p. 375 du T. XVI et la p. 306 (note i) qui suit. C. de Waard écrit (p. XLVIII de sa „Note sur la Vie de Mersenne"): „c'esc avec Mersenne que Roberval et Cavendish s'appliquent peu après [1642] à la recherche du centre de per- cussion des différents corps". 2 44 l'horloge X PENDULE. 1 6"^^ D OSCIL- LATION DicF.NTRF difficiles que ceux-là; j'ai même enfin trouvé une méthode générale pour chercher la place de ce centre dans les lignes, les Uirfaces et les corps Iblidcs '}. D'où j'ai retiré — outre le plailîr de trouver ce qui avait été longuement rcclierché par autrui et d'apprendre à connaître dans ces matières les lois et décrets de la nature — l'a- vantage de lavoir déformais mettre au point l'horloge d'après une méthode iacile et si!ire. Un deuxième réfultat qui me iémhle plus important c'eft que je puis, en me badmt fur cette théorie, donner une définition très exaéle d'une longueur déterminée et reliant invariable dans le cours des lièclcs; on la trouvera à la fin de cette partie. D P: F I N I T I O N S . I. Appelons pendule une figure quelconque douée de pefanteur ^ que ce foit une ligne, une fur face ou un corps f'olide, fufpendue de telle manière qu elle peut par la force de fa gravité continuer fon mouvement réciproque autour d'un point ou plutôt autour d'un axe ftippofé parallèle à f horizon. II. Donnons à cet axe horizontal autour duquel fe fait par hypothèfe le mouvement du pendule, le nom d\ixe d'ofcillation. III. . Ippelons pendule fimple celui qui efî cenfé confifter en un fil, ou ligne inflexible, dépourvu de pefanteur, et portant en bas un poids qui y efl attaché; poids dont la gravité doit être conftdérée comme recueillie pour ainji dire en un feul point. IV. Appelons pendule compofé celui qui conjifîe en plufîeurs poids gardant des di fian- ces invariables tant entre elles que de l'axe dofcillation. Toute figure fufpendue pe fiante de fiorme quelconque peut donc être appelée un pendule compofé, puifqu elle eft divifible par la penfiée en un nombre quelconque de parties. Appelons pendules ifiochrones ceux dont les oficillations , par des arcs fiemblables , fiont exécutés dans des temps égaux. VI. Appelons plan d' oficillation le plan perpendiculaire à Vaxe d'ofcillation qui efi cenfiépaffier par le centre de gravité de la figure fufpendue. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 245 OSClr.LATIONlS illis dinicilif)!-;) rcpcri, & | vinni deni()uc, qua in lincis, fupcrficicbiis, folidifqiic corpo- ( A- 9=> rihusccrciinuioncccntruiiiilludinvclligarcliccrct ').Undcquidcm,prï'tcrvoUiptatcin Hf. textro invenicndi qiijc miiltum ab aliis qiircfita fucrant, cojrnofccndiqiic in his rébus natiira;' lcu;cs dccrctaqiic, utilitatcni qiioqiic cam cepi, cujiis gracia primo animum ad ha;c nppliciicram, rcpcrta illa liorologii tcnipcrandi rationc fîicili & cxpcdita. Acccffit aii- tcm hoc qiioquc, quod pluris facicndum arbitrer, ut certa;, Ik-culirquc omnibus dura- tura% mcniurK definitionem abfolutillimam per lise tradere poflTem; qualis cil ea qui* ad fincm horum adjcéta reperietur. DEFINITION ES. Pendnlum dicatur figura queelibel gravitate pradila ^five linea fuerit ^five fuper- ftcies ^ ftve folidiun ^ita fiifpenfa lit circa pnn&tuii aliqitod ^-vel axem potiiis ^ qui piano horiz(mtisparalleltisintedigiiin-^iiiotumreciprocumzigrai-itati!:fitcccontiiuiarepofftt. II. Jxis ille horizoniis piano par nlldm^ circa qnan pcndiiU motm fieri intelligitiir, dicatur axis Ofcillationis. III. Pendnlum fmiplex dicatur quodjîlo velUnea inflexili^ gravitatis experte^ conflare intelUgitur^ ima [ni parte pondus affixum gerente; cujus ponderis gravitas^ -ceint in nnum puncium colle&a^ cenfenda eft. IV. Pendnlum ver à compojitum , qundplnribus ponderihus confiai , immntahiles diflan- tiasfcrvantibus^ tum intcrfe^ tum ab axe Ofcillationis. Hinc figura qiudibel fufpen- fa., ac gravitale pr^edita^ pendnlum compojitum dicipotefl., qua tenus cogita tu in par- tes quotlibet efi divifibilis. V. Pendilla ifochrona vocenttir., quorum Ofcillationes ., per arciis fimiles ^ aqualibus temporibus peraguntur. VI. ip. 93). Planum Ofcillationis dicatur illud^ quod per centrum gravitatis figurte fufpenfte diici intelHgitin\ ad axem ofcillationis rectum. ') Voir sur les méthodes successivement employées par Huygens les p. 361—373 du T. XVI. 246 l'horloge X PENDULE. 1 673- Du CENTRE D OSCIL- LATION. VII. appelons ligne du centre une droite perpendiculaire à Vaxe d' ofcillation etpajjant par le centre de gravité de la figure. VIII. Appelons ligne verticale une droite tirée de Vaxe cC ofcillation., dans le plan d' ofcillation., perpendiculairement au plan de lliorizon. IX. Appelons centre d\fcillation ou d^ agitation d'une figure quelconque un point fitué fur la ligne du centre et difîant de Vaxe d'' ofcillation d'une longueur égale à celle du pendule fimple ifochrone avec la figure. Appelons axe de gravité une droite quelconque paffant par le centre de gravité de la figure. XL Qti une figure plane ou une ligne fttuée dans un plan foit dite ofciller .,.,in planum" (exécuter une ofcillation plane) lorfque Vaxe d' ofcillation efi fltuédans le même plan que la figure ou la ligne. XII. Que la figure ou la ligne plane foit dite 0 [ciller .,.,111 latus"" (exécuter une ofcilla- tion latérale) lorfque Vaxe S ofcillation ep perpendiculaire à fon plan. XIII. Lorfque nous dirons que des poids font multipliés par des lignes droites^ ceci doit être entendu comme fuit: ce font les nombres ou les lignes qui expriment les quantités des poids et leurs rapports mutuels qui font ainft multipliés '). HYPOTHÈSES. I. Nous fuppofons que lorfquun nombre quelconque de poids commencent à fe mou- voir par leur propre gravité., le centre commun de gravité ne peut s'élever à une hauteur fupérieure à celle oii il fe trouvait au début du mouvement '). ') Comparez la p. 342 du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1 673. 247 i^jT De centro Linea centri, re&a qua per centrum gravita tis figura ducitur^ ad axem ofcilla- tionis perpendicularis . VIII. Linea perpendiculi^ re&a in piano ofcillationis^ ducta ah axe ofcillationis , ad horizon tis planum perpendicularis. IX. Centrum ofcillationis vel agitationis figura cujuflibet., dicatur punctum in linea centri, tantum ah axe ofcillationis di flans., quanta eft longitudo penduli fitnplicis quod figura ifochronwn fit. X. Âxis graùtatis., linea qua-cis recta .,per centrum gravitatis figura tranfiens. XI. Figura plana., vel linea in plana fita ., in planum agitari dicatur., cuvi axis ofcil- lationis in eodem cunt figura Unea-ve e fi piano. XII. Eadcm vero in la tus agitari dicantur., cum axis ofcillationis ad figura lineave planum reclus efi. XIII. Quando pondéra in re&as lineas duci dicentur., id ita efi intelligendum, ac fi nu- mer i lineave., quantitates ponderum rationemque inter fe mutuam exprimentes ., ita ducantur '}. HYPOTHESES. 1. Si pondéra quotUbet., vi gravitatis fu a., moveri incipiant; non pojfe centrum gra- vitatis ex ipfis compofita altius., quam ubi incipiente motu reperiebatur., afcendere '}. -) Comparez sur les Hyp. I et II la p. 357 du T. XVI et les p. 38 — 39 de l'Avertissement qui précède. 248 l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE II faut dans ces chofes confidérer la hauteur fuivant la diftance d'un plan horizon- D'osciL- jj^j j,j admettre que les corps pelants tâchent de defcendre fur ce plan en fuivant des droites verticales, c.à.d. perpendiculaires à lui. Ce qui ell ou expreircmcnt fuppofé par tous ceux qui ont traité du centre de gravite ou bien doit être fuppléé par les lecteurs, puiique lans cela la conlidération d'un centre de pclinueur n'a pas de fens. Or, pour que notre hypothèfe ne falTe fcrupule à pcribnne, nous montrerons qu'elle ne lignifie que ce que nul n'a jamais nié, fa\'oir que les corps graves ne montent pas d'eux-mêmes. Car premièrement, li nous nous propoibns un feul corps grave, il cit hors de doute que celui-ci ne peut s'élever par la feule force de fa gra\'i- té: nous entendons qu'il s'élève lorfque Ion centre de gravité monte. Mais la même chofe doit néccITaircment être admife pour un nombre quelconque de poids attachés l'un à l'autre par des lignes intlexibles,puifque rien n'empêche de les conlidérer comme un feul poids. Par conféquent le centre commun de gravité de ceux-ci aufli ne pourra monter de lui-même. Que fi nous conlidérons un nombre quelconque de poids non attachés les uns aux autres, nous lavons que ceux-là aulll poUedent un centre commun de gravité. Je dis que c'ell la hauteur de ce centre qui doit être conlidérée comme celle de la gravité compoféc, puifque tous les poids peuvent être amenés a fe trouver à cette hauteur- là fans qu'il faille appeler à l'aide aucune autre puiflance que celle qui le trouve dans les poids eux-mêmes: il fufiit de les joindre arbitrairement par des lignes inflexibles et de les mou\'oir autour du centre de gravité, ce à quoi il n'ell bcfoin d'aucune for- ce ou puilTance détenninée. C'ell: pourquoi, de même qu'il ne peut pas arris'er que des poids placés dans le même plan horizontal s'élèvent tous également, par la force de la gravité, au-deffus de ce plan, de même audi le centre de gravité d'un nombre quelconque de poids, difpofés de quelque façon que ce foit, ne peut atteindre une plus grande hauteur que celle qu'il a. Or, c'ell de la manière fuivantc qu'on peut démontrer que des poids quelconques peuvent être amenés fans l'application d'au- cune force dans le plan horizontal palTant par leur centre commun de gravité. Soient [Fig. 76] les poids A, B et C, de polition donnée; et foit D leur centre commim de gravité. Suppofons mené par lui le plan horizontal dont EF foit une fec- tion droite. Que DA, DB, DC foient des lignes inflexibles joignant les poids entre eux d'une manière invariable. iNIettons maintenant les poids en mouvement jufqu'à ce que A fe trou\'e en E dans le plan EF. Toutes les verges ayant toLirné du même angle, B fera maintenant en G et C en H. Suppofons enfuite B en C joints par la verge HG coupant le plan EF en F, où fe HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 249 OSCILLATIONIS Alticiido aiitcm in his rccimdiini diflantiam à p]ano horizontal! confidcratiir, gravia- (A 94> que ponuntiir ad hoc planiini, Icciinduiii reétas ipli perpcndicularcs, deiccndcrc co- Ue cextro nari. Qiiod idem ab omnibus, qui de centre gravitatis cgcrunt, vcl ponitur cxprcfTc/ vel à Icgcntibus iiipplendum ell, cum absque eo ccntri gravitatis confideratio locum non habcat. Ipfà vcro hypotheiîs noftra quominus fcrupulum moveat, nihil aliud fibi vellc eam oftcndcnuis, quam quod ncmo unquam negavit, gravia nempe furfum non ferri. Nam primo, fï unum quodpiam corpus grave proponamus, illud vi gravitatis lux- altius afcendcre non poflc extra dubimn cfl. alcenderc autem tune intclHgitur rcihcet,cum ejus centrum gravitatis afcendit. Scd & idem de quotlibct pondcribus, intcr fe per lineas inflexiles conjunétis, concedi neceiïc eft, quoniam nihil vetat ipfa tanquam unum aliquod conliderari. Itaque neque horum commune gravitatis centrum ultro afcen- dcre poterit. Quod (i jam pondéra quotlibet non inter fe connexa ponantnr, illorum quoque aHquod commune centrum gravitatis effe fcimus. Cujus quidem ccntri quanta erit altitudo, tantam ajo & gravitatis ex omnibus corapolita.' altitudinem cenfcri deberc; (îquidem omnia ad eandem illam centri gravitatis altitudinem deduci pofTunt, nullà aliâ accerfîtà potentiâ quam qux ip(is pondcribus incft, fed tantum lineis indcxilibus ea pro lubitu conjungendo, ac circa gravitatis centrum movendo; ad quod nulla vi neque potentiâ detenninata opus e(l. Quare, ficut fieri non potell ut pondéra qux^- dam, in piano eodem horizontali polîta, fupra illud planum, vi gravitatis fua;, omnia a;qualiter attollantur; ita nec quorumlibet ponderum,quomodocunquedifpofitorum, centrum gravitatis ad majorera quam habet altitudinem pervenire poterit. Quod au- tem diximus pondéra quolibet, nulla [Fig. 76.] adhibita vi, ad planum horizontale, per centrum commune gravitatis corum tranlicns, perduci poïïe, fie ollendetur. Sint pondéra A, B, C [Fig. 76], pofitione data, quorum commune gravitatis centrum fit D. per quod planum horizontale duftum pona- tur, cujus ietftio refta EF. Sint jam lineœ inflexiles DA, DB, DC, quce pondéra fibi invariabiliter connec- tant; qu« porro moveantur,donec A fit in piano EF adE. Virgis vero omnibuspersequalesangulosdelatis, erunt jam B in G, & C in H. Rurfus jam B & C conneCli intel- liganturvirgàHG,qu£efecctplanum 32 D OSCIL LATtON 250 l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE trouvera auflî néccflairement le centre de gravité de renfemble de ces deux poids, puifque D eft celui des trois corps placés en E, G et H et que celui du corps E fe trouve auflî dans le plan EDF. Les poids H et G font maintenant de nouveau mis en mouvement autour du point F comme autour d'un axe et amenés fans aucune force à fe trouver lîmultanémcnt dans le plan EF, de forte qu'il apparait que les trois poids, qui étaient d'abord en A, B et C ont été tranfportés précifémcnt à la hauteur de leur centre de gravité D par leur propre équilibre. C.Q.F.D. La démon- ftration eft la même pour un nombre quelconque d'autres poids. Or, l'hypothèfe que nous avons faite s'applique auflî aux corps liquides. Par elle non feulement tout ce qu'Archimcde a des corps flottants peut être démontré, mais auflî beaucoup d'autres théorèmes de mécanique. Et véritablement, fi les in\cnteurs de nouvelles machines qui s'eff'orcent vainement d'obtenir le mouvement perpétuel, favaient faire ufage de cette hypothèfe, ils découvriraient aifément eux-mêmes leurs erreurs et comprendraient que ce mouvement ne peut aucunement être obtenu par des moyens mécaniques '). II. Nous fiippofons qiie^ la réf] fiance de f air et tout autre empêchement manifefîc étant abfents^ comme nous ■douions que cela f oit entendu dans les démonfîrations qui fuivent^ le centre de gravité du pendule 0 [cillant parcoure des arcs égaux en des- cendant et en montant ^). Ceci a été démontré pour le pendule fimple dans la Prop. IX de la Chute des Corps pefants. Mais l'expérience fait voir que la même choie efl: vraie pour le pendule com- pofé, de forte que, quelle que foit la forme du pendule, il efl: trouvé également ca- pable de reftcr en mouvement flnon en tant qu'il eft plus ou moins empêché par la rencontre de l'air. PROPOSITION L Lorfquun nombre quelconque de poids fe trouvent du même côté ff un plan et quon mène à partir du centre de gravité de chacun d''eux une perpendiculaire à lui, la fomme des produits de chaque perpendiculaire par le poids correfpondant fera égale à celui de la perpendiculaire menée du centre de gravité de tous les poids au plan conftdéré^par la fomme de ceux-ci. Confidérons [Fig. 77] les poids A, B, C fitués du même côté d'un plan dont DF eft une feétion droite et menons à ce plan à partir des diff'érents poids les perpendicu- laires AD, BE et CF. Que le point G foit le centre de gravité de tous les poids A, B, C; tirons à partir de lui la nonnale GH au même plan. Je dis que la fomme des produits obtenus en multipliant chaque poids par fa perpendiculaire eft égale au produit de la droite GH par la fomme des poids A, B, C. \ HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 25 I EF in F; ubi necefTarin quoque eric centnim gravicatis binolnim iftonini pnndenim (A 95). conncxoriim, cum triuin, in E, G, H, politorum, ccntrum gravitatis fit D, & cjus'Je centro quod eft in E, centrum gravitatis fit quoque in piano EDF. Moventur igitur rurfus °*'^"'''*^'*"*" pondéra H, G, fi.iper punCto F, velut axe, absque vi ulla,ac fimul utraquead planura EF adducuntur, adeo ut jani tria, qua^ prius erant in A, 15, C, ad ipCam ilii centri gravitatis D altitudinem, (lio ipforum a;quilibrio, tranllata appareat. quod crat often- dendum. Eademque de quotcunque aliis eil dcmonftratio. Ma!C autcm hypothefis noilra ad liquida etiam corpora valet, ac per eam non folum omnia illa, qujB de innatantibus habec Archimedes, detiionltrari pofTunt, ied & alia pleraque Mechanicîe theoremata. Et fané, fi hac eadem uti fcirent novorum operum machinatorcs, qui motum perpetuum irrito conatu moliuntur, facile fuos ipii crrores deprehenderent ,intelligerentque rem eam nicchanica ratione haudquaquam poffibilera elle '). IL Remoto aëris^ alioqut omnimpedïmento manifefîo ^quemadmodumin fequentibus demonfirationihiis id ititelligi volumus^ centrum gravitatis penduU agitati^ aquales arcus defcendendo ac afcendendo percurrere ^). De pendulo fimplici hoc demonftratum efl: propofitione 9 de Defcenfu gravium. Idem vero & de compofito tencndum elle déclarât experientia;fiquidem,qu£ecunque fuerit penduli figura, | a:que apta concinuando motui rcperitur, nifi in quantum plus (A 9'î)- minusve aëris objeftu impeditur. PROPOSITIO I. Pofideribiis qiiotlïhct ad e an de 111 partem pi a ni exiffentibns^ fia (ingtdortim centris gravitatis agantuv in planiim illiid perpendiciilares; ha fingula in fua pondéra dti&a, tantundem fimul efficient^ ac perpendicularis ^ à centro gravitatis ponderum omnium inplanum idem cadens^ ducta in pondéra omnia. Sint pondéra A, B, C [Fig. ■j-j~\^ fita ad eandem partem plani, cujus feéHo refta DF, inque ipllim à fingulis ponderibus ducantur perpendiculares AD, BE, CF. Sit autem G puncïum centrum gravitatis ponderum omnium A, B, C, à quo ducatur perpendicularis in idem planum GH. Dico fummam produftorum, qux fiunt à fingulis ponderibus in fuas perpendiculares, œquari produfto ab refta GH in omnia pondéra A,B,C. ') Comparez la p. 243 (et notamment la note 7 de cette page) du T. XVII. Voir aussi plus loin dans le présent Tome la partie intitulée „La Conservation des Forces". ^) Voir la note a de la p. 247 qui précède. D OSCIL- LATION, 25a l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE En eflFer, fuppofons toutes les perpendiculaires provenant des différents points prolongées de l'autre côté du plan DF et foient DK, EL et FM chacune égale à HG; que chacune de ces lignes repréfente une verge inllcxible parallèle à Thorizon, et fuppofons placés en K, L, M des corps graves tels que chacun d'eux fade équili- bre, par rapport h l'intcrfcclion avec le plan DEF, avec le corps grave oppofé A, B ou C. L'enfemble des corps K, L, M fera donc en équilibre avec celui des corps A, B, C. Mais on aura: AD : DK = poids K: poids A, et par conféquent DA multi- pliée par la grandeur A fera égale h DK ou GH multipliée par K. Pareillement EB multipliée par B fera égale à EL ou GH multipliée par L; et FC multipliée par C fera égale à FM ou GH multipliée par M. Par conféquent la farame des produits AD X A,BE X B,CF x F fera égale à celle de GH par chacun des poids K, L, M. Mais comme K, L, M font en équilibre avec A, B, C féparémcnt, ils feront aufii en équilibre avec les mêmes poids A, B, C fufpendus en leur centre de gravité. 11 s'en- fuit, puifque la diftance GH efl: égale à chacune des dillances DK, EL, FH, que la fournie des grandeurs A, B, C efl: néceffairement égale à celle de K, L, M. Par con- féquent la fomme des produits de GH par chacun des poids A, B, C fera aufli égale aux produits DA x A + EB x B -F FC x C. C.Q.F.D. Et quoique dans la démonftration les droites AK, BL, CM aient été confidérées comme horizontales et le plan comme vertical, il eil: clair que fi tous les éléments font placés dans une autre pofition quelconque l'égalité des produits fubfifte, toutes les droites étant les mêmes qu'auparavant. La propofition cil donc établie. PROPOSITION IL Les mêmes chofes qu auparavant étant po fées et tous les poids A, B, C \_Fig. 77] étant égaux ^ je dis que la fomme de toutes les perpendiculaires AD, BE, CF efl égale à la perpendiculaire GH, émanant du centre de gravité ^multipliée par le nombre des poids. En effet, comme la fomme des produits de chaque poids par la perpendiculaire correfpondante efl: égale au produit de GH par l'enfemble des poids, et qu'ici, à caufe de l'égalité des poids, cette fomme de produits ert égale au produit d'un feul poids par la fomme de toutes les perpendiculaires, et que de plus le produit de GH par l'enfemble des poids efl égal à celui d'un feul poids par la droite GH prife autant de fois qu'il y a de poids, il apparaît que la fomme des perpendiculaires efl néceffaire- ment égale à GH multipliée par le nombre des poids. C.Q.F.D. HOROLOGIUM OSCILLATORILM. 1673. 253 [Fig. 77.] Intclligantiir cnim pcrpendiciilares,hfin-DE centro gulis p()ndcribuscducta.',contimiari in alcc-"*"'''''^^'"''^'" ram partcm plani I)F, fintque fingiila: DK, EL,FM,ipn I IG a;quales;omiiesquciinca.', inllexiles virgas référant, ad horizon tcmpa- rallelas; & ponantur in K, L, M, gravitâtes ejusmodi, qux (ingula; cum fibi oppofitis A, B, C, xquilibrium faciant adinterfeftionem plani DEF. Omncs igitur K, L,M,a;qui- ponderabunt omnibus A, B, C. Eritautcm, ilcut longitudo AD ad DK, ita pondus K ad pondus A, ac proindc DA ducta in magnitu- dinem A, aîquabitur DK, five GH, ductœ in K. Simili|ter EB in B a;quabitur EL,five(/'- 97^ GH, in L; & FC in C sequabitur FIVI, (ïvc GH, in INI. Ergo iiimma produélorum ex AD in A , BE in B , CF in F , squabitur fum- mx produftorum'ex GH in omnes K, L, M. Quum autem K,L,M,a;quiponderent ipfis A, B, C, etiam iisdcm A,B, C, ex centro iplbrum gravitatis G iuipenfis,a;qui- ponderabunt. Undc, cum diftantia GH œqualis fit fingulis DK, EL, FM, neceffeefl magnitudines A, B, C, fimul fumptas, œquari ipfis K, L, M. Itaque & lumma pro- duftorum ex GH in omnes A, B, C, squabitur productis ex DA in A, EB in B, & FC in C. quod erat demonilrandum. Etfi vero in demonllratione pofitœ flierint refta: AK, BL, CM, horizonti parallelte, & planum ad horizontem ereftura; patet, fi omnia fimul in alium quemlibet fitum transponantur, eandem manere produttorum a.'qualitatem, cum reftîe omnes finte^- dem qu£e prius. Quarc confiât propofitum. PROPOSITIO II. Po/itis qiite prius ^ft pondéra omnia A, B, C [Fig. -j-j^ fint (cqualia; dico fum- mam owiiitim perpendiciilaritim AD, BE, CF, (squari perpendiculari^ à centro gravitatis ducia^ GH, niultiplici [ecundum pondertim mimer um. Quum enim fijmma produftorum, à ponderibus fingulis in fiias perpendiculares, îequetur produfto ex GH in pondéra omnia; fitque hic, propter ponderum cequalita- tem, fi.nnma illa produftorum «qualis produclo ex uno pondère in fiarmnam omnium perpendicularium; itemque produélum ex GH in pondéra omnia, idem quod produ- (ftum ex pondère uno in GH, multiplicem fecundum ponderum numerum: patet fijm- mam perpendicularium necelTario jam œquari ipfi GH , multiplici fecundum ponderum numerum. quod erat demonftrandum. 254 l'horloge X PENDULE. 1 673- DucENTRE PROPOSITION m. d'oscil- LATIO.V. Si un certain nombre de grandeurs defcendent toutes^ ou montent toutes^ quoique fuivant des diftances verticales différentes^ leurs changements de niveau multipliés chacun par la grandeur correfpondante, donneront une fomme de produits égale au changement de niveau du centre commun de gravité de ces grandeurs multiplié par leur fomme. Soient données [Fig. 78] les grandeurs A, B, C qui defcendent de A, B,C en D, E, F, ou montent de D, E, F en A, B, C. Et que leur centre commun de gra- vité, au moment où elles font en A, B, C, foit à la même hauteur que le point G; mais que ce centre foit à la hauteur du point H lorqu'elles font en D, E, F. Je dis que la fomme des produits de la hauteur AD par A, BE par B, CF par C, efl égale au produit de GH par l'enfemble de A, B, C. En effet, confidérons un plan horizontal à feétion droite MP. Puiffent AD, BE, CF et GH prolongées le couper en M, N, O, P. * Prop. I. Puifqu'alors AM X A + BN X B + CO X C = GP (A + B + C) *), et que de cette Partie. ^^ ^^^^^ DM X A + EN X B + FO X C = HP (A + B + C), il s'enfuit que la différence des premiers produits d'avec les deuxièmes efl: égale à GH (A + B + C). Or, il eflmanifefie que la dite différence efl égale h AD X A + BE x B + CF x C, Cette dernière fomme fera donc auffi égale à GH (A + B + C). C.Q.F.D. PROPOSITION IV. Si un pendule compofé de plufieurs poids et commençant fon mouvement confidéré à partir du repos., a exécuté une partie quelconque de fon ofcillation entière et qu on fe figure qti à partir de ce moment., le lien commun étant rompu., chacun de fcs poids tourne fa vitejfe acquife vers le haut et s'élève à la plus grande hauteur pnfPîble.,par ce fait le centre commun de gravité remontera à la hauteur quil avait avant le commencement de V ofcillation. Que le pendule [Fig. ■j^'\ foit compofé de poids en nombre quelconque A, B, C, attachés à une verge ou furface impondérable, et qu'il foit fufpendu à un axe pafTant par le point D perpendiculairement au plan qui efl: vu ici. Que le centre de gravité des poids A, B, C, foit aufîî fitué dans ce même plan, et que la ligne du centre DE faffe un angle EDF avec la ligne perpendiculaire DF, bien entendu lorfque le pen- I HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. ^55 PROPOSITIO III. Si magnitudines qiiadam defcendant omnes , vel afcendant^ licet inaqualibus inter- vallis; altittidines defcenfus vel afcenfus cujusque^ in ipfam magnitudinem ducta^ escient funvftam prodiicîonim ccqtutkm ei^ qiuc fît ex alntiidiut de fccn fus vel afcen- fus ci'utvi gravitatis omniuui magnitudimtm^ duâa in omnes magnitudines. De centro OSCILLATIONtS [Fig. 78.] 0 o H Prop. I. huj. Siinto magnitudines A, B,C[Fig. 78],quje(/'. 98). ex A, B, C, defcendant in D, E, F; vel ex D, F, F, afcendant in A, B, C. Sitque earuni cen- trum gravitatis omnium, dum funt in A,B,C, cadem altitudinc cum puncto G; cum vero funt in I), E, F, eadcm altitudine cum pundto II. Dico iummam produétorum ex altitudine AD in A, BE in B, CF in C, squari produfto ex GH in omnes A, B, C. Intelligatur cnim planum horizontale cujus ledio refta MP, atque in ipfum incidant pro- dute AD, BE, CF & GH, in M, N, O, P. Quia igitur funima produftonim ex AM in A, BN in B, CO in C, îequalis eft faclo ex GP in omnes A, B, C*. Similiterquc fumma pro dutlonim ex DM in A, EN in B, FO in C, • a;qualis faéto ex HP in omnes A, B, C; fcquitur & excelTum prionim producftonim fupra pofte- riora, tequari faélio ex GH in omnes magnitudines A, B, C. Diftum vero excefliim £equari manifellum ell produdis ex AD in A, BE in B, CF in C. Ergo hiec fimul etiam œqualia erunt produélo ex GH in omnes A, B, C. quod erat demonftrandum. PROPOSITIO IV. Si pendulum è plurihus ponderihus compofttum^ atque è quiète dimifttm, partent quamcunque ofcillationis integrce confecerit^ atque indeporro intelUgantur pondéra ejus fingula^reli&o commuai vinculo, celer itates acquifitas furfutn conyertere, ac quousque poffunt afcendere; hoc fa&o^ centrum gravitatis ex omnibus compofita^ ad eandem altitudinem rêver fum erit, quant ante inceptam ofcillationem ohtinehat. Sit pendulum [Fig. jff^ compofitum ex ponderibus quotlibet A, B, C, virgîe, vel (A 99)' fuperficiei pondère carenti,inhîerentibus. Sitque fufpenfumab axe per D punftum dudo, qui ad planum, quod hic confpicitur, perpendicularis intelligatur. In quo eo- dem piano etiam centrum gravitatis E, ponderum A, B, C, pofitum iit; lineaque centri DE, inclinetur ad lineam perpendiculi DF, angulo EDF: attracto, nimirum. i 256 l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE d'oscil- lation. * Prop. 4 de la aième Partie. * Hypoth. I de cette Partie dule a été écarté de fa pofition d'équilibre jufque là. Suppofons maintenant qu'on lui permette de iuivre fon mouvement à partir de cette pofition et qu'il exécute une partie quelconque de fon ofcillation, de forte que les poids A, B, C arrivent en G, H, K. Qu'on fe figure que chacun des poids, le lien commun étant rompu, tourne alors fa vitefle vers le haut (ce qui peut arriver par la rencontre de certains plans inclinés) et s'élève à la plus grande hauteur pofiible, jufqu'en L, M ou N. Soit le point P le centre de gravité de tous les poids loriqu'ils auront atteint ces pofitions. Je dis que ce point eft à la même hauteur que le point E. Car il eft d'abord certain que P n'eft pas plus haut que E, d'après la première de nos hypothèfes. Mais nous montrerons comme fuit qu'il n'eft pas non plus fitué à une moindre hauteur. En effet, foit d'abord, fi cela eft poffible, P fitué plus bas que E et luppofons que les poids redefcendent en tombant des mêmes hauteurs aux- quelles ils font parvenus en montant, favoir LG, MH, NK. D'où il eft clair qu'ils atteindront les mêmes vitcffes qu'ils avaient en commençant leur afcenfion*),c.à.d. celles qu'ils avaient acquifes par le mouvement du pendule de CBAD en KHGD. Par conféquenc, fi on les rapporte maintenant avec les dites viteffes à la verge ou furface qui les foutenait, qu'ils s'y attachent fimultancment et continuent le mouve- ment fuivant les arcs commencés — ce qui arrivera fi, avant d'atteindre la verge, ils rebondilTent, comme on peut fe le figurer, des plans inclinés QQ — , le pendule ainli reftitué abfoudra la partie reftante de fon ofcillation de la même manière que s'il ei!it continué fon mouvement fans aucune interruption. De forte que le centre de gravité E du pendule parcourt en defcendant et en montant des arcs égaux EF, FR et fe trouve donc en R à la même hauteur qu'en E. Mais nous avons pofé que E ferait plus élevé que F, centre de gravité des poids fitués en L, M, N. Par confé- quent R fera aufll plus élevé que P: le centre de gravité des poids qui font tombés de L, M, N fe ferait donc élevé à une hauteur fupérieure à celle dont il était des- cendu, ce qui eft abfurde *). Le centre de gravité P n'eft donc pas fitué plus bas que HOROLOGIUM OSCILLATORILM. 1673. 257 [Fig. 79-'] De centr.0 oscillationu eo ufque pendulo. Hinc vcro dimitti jam ponatur, ac partem quamlibet ofcillationis conficerc, ita ut pondéra A, B, C, perveniant in G, H, K. Unde, relicto deinceps communi vinculo, iingiila intelligantur acquifitas celericates furfum convertcrc, (quod impingendo in plana qujedam inclinata, fieri poterie,) & quoufquc poffunt afcendere, nempein L,M, N. Que ubi pervenerint, fit centrura gravitatis omnium punchim P. Dico hoc pari altitudinc elTe cum punéto E. Nam primura quidem, conftat P non altius effe quam E , ex prima fijmptanim hypothefium. Sed nec humilius fore fie oftendemus. Sit enim, fi potefl:, P humilius quam E, & intelligantur pondéra ex iifdem, ad qua afcenderunt, altitudinibus rcci- dere, quœ funt LG, MH, NK. Unde quidem eafdem céleri tates ipfis acquiri conftat, quas habebant ad afcendendum ad iftas altitudines * , hoc efl: , eas ipfas quas acquifierant ♦ Propof. 4. motu penduli ex CBAD in KHGD. Quare, fi cum dicHs celeritatibus ad virgam fu-P^"- -■ perficiemve, cui innexa fuere, nunc rcferantur, eique fimul adhœrefcant , motumque fecundum inceptos arcus continuent; quod fiet, fi priufquam virgam attingant, à planis inclinatis QQ repercufia intelli|gantur; abfolvet, hoc modo reflitutum pendu- (/>• loo). lum, ofcillationis partem reliquam, sequè ac fi abfque ulla intcrruptione motumcon- tinuafl'et. Ita ut centrum gravitatis penduli, E, arcus squales EF, FR, defcendendo ac afcendendo percurrat, ac proinde in R eadem ac in E altitudine reperiatur. Pone- batur autem E efTe altius quam P centrum gravitatis ponderum in L, M, N, pofito- rum. Ergo & R altius erit quam P: adeoque ponderum ex L, M, N, delapforum. Hypoth. i. centrum gravitatis, altius, quam unde defcenderat, afcendiflet. quod eft abfurdum *. huj. 258 l'horloge X PENDULE. I 673- Du CENTRE E. Mais il n'était pas non plus fitué à une plus grande hauteur. Il fout donc qu'il foit fitué à la même hauteur. C.Q.F.D. DOSCIL- LATION, PROPOSITION V. Etant donné un pendule compofé d''un nombre quelconque de poids ^ fi chacun des poids eft viulripUé par le carré de fa diftance à Vaxe d''ofcillation et que la fomme des produits ejî dii'ifée par le produit de la fomme des poids par la diftance du cen- tre commun de gravité de tous les poids au même axe d'ofcillation^ il en réfultera la longueur du pendule ftmple ifochrone avec le pendule compofé^ en d'autres termes la diftance entre Vaxe et le centre d' ofcillation du pendule compofé '). Soient [Fig. 80] les poids A, B, C qui compofent le pendule (et dont on ne con- fidère ni la figure ni la grandeur mais feulement la gravité) fufpendus à l'axe pafTant par le point D et iuppoie perpendiculaire au plan qui cil vu ici. Que leur centre com- mun de gravité E fe trouve aullî dans ce plan; car peu importe que les poids foicnt en des plans divers. Appelons d la diftance du point E de l'axe, favoir la droite ED. Soit de môme e la dilbnce AD du poids A, /celle de BD et g celle de CD. Or, on trouve, en multipliant chaque point par le carré de fa diftance, la fomme des pro- duits ae- + hf- + cg-. D'autre part, lorfqu'on multiplie la fomme des poids par la • Prop. I. diftance du centre de gravité commun , le produit fera ad -\-hd-\- cd *). D'où réfuke, de cette Parue, g^ diviiant le premier produit par le deuxième, ae^ -f bf^ + cg^ ad -\- bd -\- cd ' Si l'on égale à cette longueur celle du pendule lîmple FG, qui fera défignéepar^, je dis qu'il fera ifochrone avec le pendule compofé donné. Suppofons en effet le pendule FG et la hgne du centre DE écartés du même angle de la ligne perpendiculaire, le premier de FH et le deuxième de DK, et qu'étant ') Comparez sur la formule fondamentaledes Prop. V et VI la p. 33 de l'Avertissement qui précède, et le quatrième alinéa de la p. 47 1 du T. XVI. HOROLOCIUM OSCILLATORIUM. 1673. 259 OSCILLATIONIS Non igitur centrum gravitatis P humilius efl quam E. Sed nec alcius erat. Ergo aeque De centro alcum fit neccffc cil. quod erac demonftrandum. PROPOSITIO V. Dato pendilla ex ponderihus qtiotUbet compoftto^ ft ftngtila diicantur in quadrata di^annaritm ftiarum ah axe ofcillationis ^ & ftimtna prodti&ormn dhidattir per id quod fît ducendo poiideriuii ftimmani^ in difiantiam centri gravitatis communis om- nium ah eodem axe ofcillationis; orietur longitudo penduli fimplicis compojito ifo- chroni^five dijîantia inter axem & centrum ofcillationis ipfîus penduli compofiti '). [Fig. 80.] •^ * J v/^ S > B*.,^^ p Sint [Fig. 80] pondéra pendulum componentia", (quorum nec figura nec magni- tude, fed gravitas tantum confideretur), A, B, C, fi.irpcnra ab axe, qui perpunftum D, ad planum quod confpicitur, reétus intelligitur. In quo piano fit quoque eonim centrum commune gravitatis E; nam pondéra in diverfis efiTe nihil rcfert. Diilantia punfti E ab axe, ncmpe refta ED, vocetur d. Item ponderis A diftantia AD, fit e; BD, /,• CD, g. Ducendo itaque fingula pondéra in quajdrata fuarum dinantiarum,(iO- loi). erit produftorum fumma aee ■\- hff-\- cgg. Et rurfijs, ducendo fi.immam ponderum in dillantiam centri gravitatis omnium, produftum sequale erit ad-\- hd-\-cd*. Unde, * Prop. i. huj. produftura prius per hoc dividende, habebitur aee + Z'//+ cgg_ ad -\- hd + cd Cui longitudini fi œqualis ftatuatur longitudo penduli fimplicis FG, quœ etiamAT vocabitur; dico hoc illi compofito ifijchronum effe. Ponantur enim tum pendulum FG , tum linea centri DE , a:qualibus angulis à linea perpendiculi remota, illud ab FH, hsc ab DK, atque inde diinilla librari, & in recta a.6o l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE abandonnés à eux-mêmes ils commencent leur ofcillation à partir de là, et que fur la D'osciL- jjg,^^, Q£ Y)L foit prifc égale à FG. Par conféqucnt le poids G du pendule FG par- courra en une ofcillation entière l'arc GM que la ligne perpendiculaire FH coupera en deux parties égales; et le point L parcourra l'arc LN, fcmblablc et égal à l'autre, que DK divifcra par le milieu. De même le centre de gravité E parcourra l'arc fcmblable El. Que fi nous démontrons, après avoir pris fur les arcs GM, NL des points quel- conques qui les divifent de la même manière, tels que O et P, que la vitelTe du poids G en O efl: la même que celle du point L en P, il en réfultera que les deux arcs font parcourus en des temps égaux et que par conféquent le pendule FG ell ifochrone avec le pendule composé de A, B, C. Or, cela fera démontré comme fuit. Soit d'abord, fi cela efl: pofllble, la vitefie du point L, lorfqu'il efl: parvenu jufqu'en P, plus grande que celle du poids G en O. Or, il efl conflant que quand le point L parcourt l'arc LP, le centre de gravité E parcourt en même temps l'arc femblable EQ. Soient tirées vers le haut à partir des points Q, P, O des perpendiculaires qui rencontrent les cordes des arcs El, LN, GM en R, S, Y. Défignons SP parj. Par- tant, vu que LD ou x efl à ED ou i comme SP ou y efl à RQ, RQ fera égale à --. Or, puiique le poids G a en O la vitcfle nécelTaire pour remonter à la hauteur d'où il efl: defcendu, fa voir par l'arc OM ou par la perpendiculaire OY égale à PS, le point L aura, en parvenant à P, une plus grande vitefle qu'il ne lui faut pour monter de PS. Mais tandis que L fe déplace jufqu'en P, le poids A, B, C parcour- ront en même temps des arcs femblables à LP, favoir AT, BV, CX. Et la vitciTe du point L en P efl à celle du poids A en T, lorfqu'ils font retenus par le même lien, comme la difl:ance DL efl à DA. Mais comme le carré de la vitefle du point L en P efl au carré de la vitefl~e du point A en T, ainfi efl la hauteur à laquelle il efl poflible * Prop. 3 & 4 de monter avec cette vitefl!e-là à celle oià il eflpofllble de monter avec cette vitefle-ci*). de la 2ième p^^^ conféqucnt aufll, comme le carré de la diflancc DL, c.à.d. x-. efl au carré de la Partie t ' ^ ^ diftance DA, favoir e% ainfi efl la hauteur où il efl: poflible de monter avec la vitefTe du point L parvenu en P (hauteur dont nous avons dit qu'elle efl fupérieure à PS ou y) à la hauteur qui peut être atteinte avec la vitefl'e que le poids A poflede en T, bien entendu fi ce poids, après être parvenu jufqu'en T, pouvait quitter le pendule et diriger féparément fon mouvement vers le haut. Cette hauteur fera donc supé- neure a -^. x^ Pour la même raifon la hauteur à laquelle s'élèverait le poids B avec la vitefle acquife par le trajet de l'arc BV ferait plus grande que-^^. Et la hauteur à laquelle s'élèverait le poids C avec la vitefle acquife en parcourant l'arc CX ferait plus grande que ^^. Par conféquent, chacune de ces hauteurs étant multipliée par le poids cor- HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 261 DE fumatur DL a:qualis FG. Itaque pondus G pcnduli FG, intégra ofcillatione ar-DE centro cum GM percurrct, qiicm linca pcrpcndiculi FH mcdiiini fecabit. punftum vcro L °*^"-'-*'r'°'^" arcum illi limilcm & xqiialcm LN, qucm médium dividet DK. Icemque centrum gravitatis E, percurret limilcm arcum El. Quod fi in arcubus GM, NE, fumptis pun- aisquibuflibet,fimiliteripfbsdividcntibus,ut O & P, eadem celericas efie oflendatur ponderis G in O, & pundi E in P; conftabic inde a;qualibus temporibus utrosquc arcuspercurri,acproindepcndulumFG,pendulocompofitoexA,B,C,ifochronum eHe. Oflendetur autcm hoc modo. Sic primo, fi potcfi:, major celeritas punfti E, ubi in P pcrvenit, quam ponderis G in O. Confiât autem, dum punftum E pcrcurrit arcum EP, (imul centrum gravitatis E perciirrere arcum fimilem EQ. Ducantur à punétis Q, P, O, perpendiculares fi.ir- fum, qux occurrant iubtenfis arcuum El, EN, GM, in R, S, Y. & SP vocetur y. Unde, cum fit ut EU, .r, ad ED, d, ita SP, y, ad RQ; crit RQ œqualis ^'.Jamquia pondus G cam celcritatcm habct in O, qua valet ad candem unde defcendit altitudi- nem nicendcrc, nempe per arcum OM, vel perpendicularem OY ipfi PS xqualcm; punctum igiturE, ubi in Ppcrvencrit, majorera ibi ccleritatem habebit, quam qua afcendituradaltitudinem PS. Dum vero E tranfit in P, fimul pondéra A, B, C, fimi- Ics arcus percurrunt ipfi EP, nimirum AT, BV, CX. Eflque punfti E celeritas in P, ad ccleritatem ponderis A in T, quum vinculo eodem contineantur, ficuc diftantia DE ad DA. Sed ut quadratum celeritatis punfti E, quam habet in P, ad quadratum celeritatis punéti A in T, ita efi: altitudo ad quam illa ccleritatc afcendi potell, ad al- titudinem qu6 hac cclcritate afcendi potell*. Ergo etiam, ut quadratum diflantis* Prop. 3 & 4. DE, quod eft xx, ad quadratum diikntice DA, quod ell ee, ita cfl altitudo quo afcen- P"' -■ ditur celcritate pundi E, quum eft in P, (qus altitudo major dida efl quam PS five V,) ad altitudinem quo afcenditur celeritate ponderis A in T; fi nempe pofi:quam in T pervenit , relido pendulo, | lèorfim motum fuum llirfum converteret. Quœ proinde Cp- i°2). altitudo major erit quam -^. Eadem ratione, erit altitudo ad quam afcenderet pondus B, celeritate acquifita per arcum BV, major quam -ffi^. Et altitudo ad quam afcenderet pondus C, celeritate acquifita per arcum CX, major quam ^^A Unde, dudis fingulis altitudinibus iflis in 26a l'hORLOGBX PENDULE. 1673. r.'L",V^^ refpondant, la (omme des produits fera fupérieureà — ^ J-f *'-^. Nous conclurons que cette fomme efl: aufll plus grande que — ~ ^. Car pulfq' LATIOX. ue X la longueur x a été pofée égale à "7^/ j T^ j •> O" ^"^^ '^^^ + ^^^ + '^^^ — ^^* + ^/^ + cg^. En tout étant multiplié par 3; et divifé par x% on aura — ^ f- ^ = — j^ J y*' ë y^ D'où refaite ce que nous avons dit. Or, cette fomme de produits eft: égale à celle qui s'obtient en multipliant la hauteur à laquelle monte le centre commun de gravité des poids A, B, C par la ibmme <;/ + Z» + ^ de ces poids, bien entendu dans le cas où, comme nous l'avons dit, chacun de ces poids s'élève féparé- ment à la plus grande hauteur poffible. Mais le quantité —^ ■^- ^ s'obtient auffi comme produit de la defcente du centre de gravité des mêmes poids (laquelle defcente eil: RQ ou -, comme il a été trouvé plus haut) par la même fomme des poids û + b + c. Par conféqucnt, comme il a été démontré que le produit obtenu d'abord eft plus grand que ce deuxième, il s'enfuit que l'afcenfion du centre de gra- vité des poids A, B, C, lorfque, parvenus en T, V, X, après avoir quitté le pendule, ils dirigent chacun à part les vitefl'cs acquifes vers le haut, fera plus grande que la defcente du même centre de gravite pendant le mouvement qui les amène de A, B, C en T, V, X. Ce qui eft abfurde, puifque la dite afcenfion doit être égale à la defcente, d'après la propofition précédente. Si l'on dit que la viteffe du point L, quand il fera parvenu en P, eft plus petite que celle du poids G parvenu jufqu'en O, nous démontrerons de la même manière que l'afcenfion poftiblc du centre de gravité des poids A, B, C eft plus petite que la defcente, ce qui encore une fois ne s'accorde pas avec la propofition précédente. Refte donc que la vitefle du point L tranfporté julqu'en P eft la même que celle du poids G en O. D'où il réfulte , comme nous l'avons dit plus haut , que le pendule (impie FG eft ifochrone avec le pendule compofé de A, B, C. PROPOSITION VI. Etant donné un pendule compofé d'un nombre quelconque de poids égaux, fi la fomme des carrés des dipances des poids à F axe d'ofcillation efl divifée par la dis- tance du centre de gravité commun du même axe d'ofcillation , cette dernière di fiance étant multipliée par le nombre des poids, il en réfultera la longueur du pendule fimple ifochrone avec le pendule compofé '). Soient pofées les mêmes chofes qu'auparavant , mais qu'on fe figure tous les poids HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 263 fua pondéra, erit fumma produdtorum major quam — '^~^ -- -^-. quaproin-osciuAT^oNis de major quoque probatur quam ^-<— t — -LX-J. Nam quia pofita eft longitudoo: œqualis - — , - -jj, ^*' ; erit adx + bdx + c^/x-œquale aee + bff-\- cgg. Et duftis omnibus in v, & dividcndo pera'x, erit — ^-^ — ^-^ — - îequale •^ Jjy~^ ^j ^ ^ X ^ XX Undc quod dic'hini c\\ confcquitur. Efl: autcm fumma ifta produclorum a;qualis ci, quod lit duccndo altitudinem, ad quam afccndit ccntrum gravitatis commune pondc- rum A , 13, C, in fuimnam ip forum ponderum, ^ -\-h -{•c;^\ ncmpe lingula, uti diftiim, feorfim quousque pofTunt movcantur. Quantitas vcro — ^—^ — ^—^ — - produci citur X ex dcfccnfu centri gravitatis eorundera pondcrum, (qui defcenfus cil RQ, five - -, ut fupra invcntum fuit,) in candcm quoque pondcrum fuminam a -\- b -\- c. Ergo quum prius produélum altero hoc niajus oftenfum fuerit, fequiturafcenfum centri gravitatis pondenim A, B, C, fi, reliflio pendulo ubi pervenere in T, V, X, fingula ccleritates acquiiitas iurfum convertant, majorem fore ejusdem centri gravitatis de- fcenfu, dum ex A, B, C, movcntur in T, V,X. quodei1:abfurdum,cumdicl:usafcen- fus dcfcenfui aqualis effe debeat, per antecedentem. Eodem modo, fi dicatur celeritatem punfti L, ubi pervenerit in P, minorera effe celeritate ponderis G quiun in O pervenerit; ofliendemus afcenfum poffibilem centri gravitatis pondcrum A, B, C, minorera elfe quara defcenfum, quod eidera propofiti- oni antccedenti répugnât. Quare relinquitur ut eadera fit celeritas punéH L, ad P tranflati, quce ponderis G in O. Unde,ut fuperiusdiélum,fequiturpendulurafimplex FG compofito ex A, B, C, ifochronum effe. PROPOSITIO VI. Dato pendulo ex quotcunque pondenbtis cequalïbus compofito; fi fumma qtiadra- torum faStorum à difant'm^ quibus unumquodque pondus abef ab axe ofcillationis^ ap\plketur ad difanûam centri gra-vttatis communis ab eodem ofcillationh axe^Qp. 103). multiplicem fecundum ip forum ponderum numerum^ orietur longitudo penduli ftm- plicis compofto ifochroni '). Sint pofita eadera quœ prius, fed pondéra omnia inter fe jequalia intelligantur, & ') Voir la note i de la p. 258 qui précède. 264 l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE égaux et que chacun d'eux foit appelé a. Qu'ici auffi il ne leur foit attribué aucune gran- Lvrmx dcur, mais qu'ils Ibient conlîdérés quant à la dimenlîon comme extrêmement petits. La longueur du pendule limple ifochrone fera donc d'après la propofition précé- dente — ^.T— -,-'?--'5 . Ou bien, puifque le numérateur et le dénominateur ont le ad -\- ad -\- ad •> v -^ facteur commun ^ , la même longueur fera exprimée par -^-3 — ^. Cette fonnule repréfente la fomme des c-arrés des diftances des poids à l'axe d'ofcillation , divifée par la diflance du centre de gravite de tous ces poids au même axe d'ofcillation, cette dernière diftance étant multipliée par le nombre des poids qui efl: ici de trois. En effet, on voit aifément que ce nombre, par lequel il faut multiplier la diftance ^, correfpond néceffaircment au nombre des poids. La propofition ert donc prouvée. Que fi les poids égaux font attachés l'im à l'autre par une feule ligne droite fus- pendue h fon extrémité fupérieure, il efl établi que la diftance à l'axe d'ofcillation de leur centre commun de gravité, multipliée par le nombre des poids, efl: égale à la • Prop. 2. fomme des diflances de tous les poids du même axe d'oicillation *}; par conicquent, de cette Partie, jjj^j; ^.j, ^^^^ (^,^ gy^^ auffi la longueur du pendule fimple ifochrone avec le pendule compofé, en divifant la fomme des carrés des difl:ances de tous les poids à l'axe d'os- cillation par la fomme de ces mêmes dift:ances. DÉFINITION XIV. S'il y a dans le même plan une figure et une ligne droite qui la touche extérieure- ment^ quon aftreint une autre droite perpendiculaire à ce plan à fe mouvoir de ma- nière à couper toujours le contour de la figure^ de forte que cette droite décrit une certaine fur f ace ^ et quon coupe en fuite cette dernière par un plan paf]hnt par la dite tangente et incliné par rapport au plan de la figure donnée; nous défignerons le folide compris entre les deux plans et la partie de la fur face décrite interceptée par ces plans, par rexprejjion Onglet ') coupé fur cette figure comme bafe. Soit, dans la figure ci-ajoutée [Fig. 81], A BEC la figure plane donnée, MD la tangente, EF la génératrice pafTant par fon contour; et l'onglet le corps compris entre les plans ABEC et MFG et la partie de la furfacc décrite par la droite EF. ') Voir la note 3 de la p. 499 du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 265 fing-iila dicantur^. Rurfus vcro niilla eorum magnitudo confideretur, fed prominimis De œntro habeantur, quantum ad extcnlioiicm. oscillations Itaque penduli fimplicis ifochroni longitude, per propofitionem antecedentem, erit aee + aff -\- as^sr ,, , . . , ad + ad + ad ' ' '^"''^ quantitas divifa ac dividcns utraquc per a dividitur, fiet nunceadcm longitude, ^i+i^&'. Qi.o fignificatur fumma quadratorum à diftan- tiis pondcruni ab axe ofcillationis, applicataaddilhncium ccntri gravitatis omnium ab eodcm ofcillationis axe, multipjiccm Iccundum nimicrum ipronimponderum,quihic eft3. facile enim peripiciciir numcrum hune, in quem ducitur dilhunia d, refponderc neccffiirio ip(î ponderum numéro. Quarc confiât propofitum. Qiiod li pondéra a;qualia in unam lineam reftam conjunfta fint, atque ex termine ejus fuperiorc fiilpenfa; conilat dillantiam centri gravitatis, ex omnibus compofita«, ab axe ofcillationis, multiplicem fccundum ponderum numerum, squari fumms dillantiarum omnium ponderum ab eodem ofcillationis axe*; ac proindc, hoc calii,* Prop. 2. huj. habebitur quoque longitude penduli fimplicis, compolite ifochroni, fi fumma quadra- torum à diftantiis ponderum fingulorumab axe ofcillationis, dividatur per fummam earundem omnium diftantiarura. DEFINITIO XIV. [Fig.81.] Si fucrlnt in eodem piano ^jîgiir a cjua- dam^ ^ linea re£ta qiue ipfam extrinfe- cus tangat; & per ambitum figura alia reùa ^plano ejitsperpendicularis, circum- feratur^fuperfîcicmqm quandam defcri- bat^ quel' deinde fecctur piano per dictam tangentem dti&o & ad dicta: figura pla- num inclinato;foHdum comprthenfum à duubus planis iflis^ & parte fuperficiei defcriptœ^ inter utrumqueplanum inter- cepta^ vocetur Cuneus ') fuper figura illa^ tan quant bafi^ abfcijjus. In fchemate adjedo [Fig. 81], efl ABEC figura data; reé^a ea tangens | MD; (A qus vero per ambitum ejus circumfer- tur,EF; cuneus autem figura felida planis 104). ABEC, MFG, & parte fuperficiei, à refta EF defcript^, comprehenfa. 34 206 l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE d'oscil- lation. DEFINITION XV. appelons Stibcentrique de l" onglet la diftance entre la droite par laquelle pafe le plan qui limite F onglet et le pied fur la bafe de l'onglet du perpendiculaire prove- nant de [on centre de gravité. Dans la nicme figure [Fig. 8 1], K étant le centre de gravité de l'onglet, la droite Kl la perpendiculaire fur fa baie ABEC, et IM une perpendiculaire fur MD, IM fera la droite que nous appelons fubcentrique. PROPOSITION VII. V onglet coupé fur une figure plane quelconque par un plan incliné d'' un angle demi-droit efi égal au folide qui s'obtient par la multiplication de cette figure par une hauteur égale à la di fiance qui fépare le centre de gravité de la figure plane de la droite par laquelle p a ffe le plan qui limite l'onglet '). Soit [Fig. 8a] un onglet ABD coupé fur la figure plane ACB par un plan incliné d'un angle demi-droit et partant par EE, tangente à la figure ACB fituée dans fon plan. Soit F le centre de gravité de la figure et FA une perpendiculaire abaiffée de ce centre fur la droite EE. Je dis que l'onglet ACB efi: égal au folide obtenu par la multiplication de la fig-ure ACB par une hauteur égale à FA. En effet, fuppofons la figure ACB divil'ée en particules égales extrêmement petites et foit G une d'elles. Il efi: certain que fi chacune d'elles efi: multipliée par fa difi:ance à la droite EE, la forame des produits fera égale à celle qui efi obtenue par la multi- • Prop. I. plication de la droite AF par l'enfemble des particules *), c.à.d. à celle qui réfulte de de cette Partie, la multipHcation de la figure ACB par une hauteur égale h AF. Mais chacune des particules telles que G, multipliée par fa difl:ance GI I, efi: égale à un très petit paral- lélépipède ou prifme tel que GK élevé fur elle et fe tenninant à la furface obHque AD; car leurs hauteurs font égales aux difiances GH à caufe de l'inclinaifon d'un angle demi-droit des plans AD et ACB l'un par rapport à l'autre. Et il efi: clair que l'onglet ABD entier efi: foraié par ces parallélépipèdes. L'onglet lui-même iera donc égal au folide confl:ruit fur la bafe ACB et ayant une hauteur égale à la droite FA. C.Q.F.D. PROPOSITION VIII. Si une ligne droite touche une figure plane ., que la figure efi fuppo fée divi fée en ') Comparez la proposition un peu plus générale (l'angle d'inclinaison qui est ici de 45° étant quelconque) de la p. 499 (dernier alinéa) du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORILM. 1673. 267 De CENTR.O OSCILLATIONU DEFINITIO XV. Dipantia in ter reStam^per quant cuneus abfcijfus e/7, & piin&tnn bafeos ,in quod perpendicular'n cadit à ctwei centra gravitâtes, dicatur cunei Stibcentrica. Nempe in figura eadem [Fig. 8 1], fi K fit cenrnim gravitatis cunei, refta vero Kl ad bafin ejus ABEC perpendicularis diifta fit, & rurfus IINI perpendicularis ad MD; erit IM, quam fubcentricam dicimus. PROPOSITIO VIL Ciinciis fttpcr plana figura qualibet abfcijfus, piano inclina to ad angulum femi- re&um, cequalis efî folido, quod fit ducendo figurant eandemfin altitudinem aqualem difiantice centri gravitatis figura, ab re&a per quam abfcifjus efi cuneus '). [Fig. 82.] Sit,fuperfigurapknaACB[Fig. 82], cuneus ABD abfciffiis piano ad angulum femireftum )d inclinato,actranseunte perEE,reftam tangen- tem figuram ACB, inque ejus piano fitam. Cen- trum vero gravitatis figura; fit F, unde in redam EE ducfta fit perpendicularis FA. Dico cuneuin ACB jequalem efi"e folido, quod fit ducendo figuram ACB in altitudinem ipfi FA aqualem. Intelligatur enim figura ACB divifa in parti- culas minimas œquajles quarum una G. Itaque (a '°5)- conllat , fi harum fingulîe ducantur in difi:antiam fuam ab redla EE , linnmam produiftorum fore œqualem ei quod fit ducendo reftam AF in particulas omnes *, hoc efi:, ei quod fit ducendo * Prop. i. huj. figuram ipfam ACB , in altitudinem œqualem AF. Atqui particule fingulse ut G, in diftantias fi.ias GH duftîe, îequales fi.mt parallelepipedis, vel prisraatibus minimis, fiaper ipfas ereftis, atque ad luperficiem obliquam AD terminatis, quale efi: GK; quia horum akitudines ipfis difi:antiis GH œquantur, propter angulum femireftum inclinationis planorum AD & ACB. Patetque ex bis parallelepipedis totum cuneum ABD componi. Ergo & cuneus iple squabitur folido fuper bafi ACB, altitudinem habenti redîe FA aqualem. quod erat demonfirandura. PROPOSITIO VIII. Si figuram planam linea re£ia tangat, divifaque intelligatur figura in particulas 268 l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE des particules très petites égales entre elles et que de chaque particule une perpendi- D'osciL- culaire efî abaifée fur cette droite, la fomme des carrés de toutes ces perpendicu- laires fera égale à un certain rectangle multiplié par le nombre des particules; le- quel re&angle a pour côtés la difîance du centre de gravité de la figure à la ligne droite et la fubcentrique de l'onglet qui efî coupé fur la figure dotmée par un plan pajfant par cette droite '). En efFet, toutes les autres chofes étant pofées comme dans la conftruftion précé- dente, foit LA [Fig. 82] la fubcentrique de l'onglet ABD par rapport à la droite EE. Il s'agit donc de démontrer que la fomme des carrés des diftances de toutes les particules de la figure ACB eft égale au rectangle fonnc par FA et LA, multiplié par le nombre des particules. Or, il apparaît par la démonftration précédente que les hauteurs des différents parallélépipèdes telles que GK Ibnt égales aux diftances des particules qui confti- tuent leurs bafes, telles que G, de la droite AE. C'ell pourquoi, fi l'on multiplie le parallélépipède GK par la diftance GH, c'efl: comme fi l'on multipliait la particule G par le carré de la diftance GH. Et la même chofe efl vraie pour tous les autres parallélépipèdes. INIais la fomme des produits de tous les parallélépipèdes chacun par • Prop. I fa diftance de la droite AE eft égale au produit de l'onglet ABD par la diftance LA *), de cette Partie, pujfque Tonglet a fon centre de gravité au-defTus du point L. Par confcquent la fomme des produits de chacune des particules G par le carré de fa diftance à la droite AE fera égale au produit de l'onglet ABD par la droite LA, en d'autres termes au produit de la figure ACB par le reétangle de côtés FA et LA. Car l'onglet ABD eft • Prop. précéd. égal au produit de la figure ACB par la droite FA *). Derechef, comme la figure ACB eft égale au produit d'une particule G par le nombre des particules, il s'enfuit que le dit produit de la figure ACB par le recftangle conftruit ilir FA et LA eft égal à celui de la particule G par le recîangle conftruit fur FA et LA, multiplié par le nombre des particules G. À ce produit fera donc aufll égal la dite fomme des produits de chaque particule G par le carré de ia diftance à la droite AE, ou bien le produit d'une feule particule G par la fomme de tous ces carrés. Partant , lorfqu'on omet d'un côté et de l'autre la multiplication par la particifte G, il eft néccffaire que la dite fomme des carrés foit égale au rectangle à côtés FA et LA multiplié par le nombre des particules dans lefquclles la figure ACB eft divifée par hypothèfe. C.Q.F.D. ') La démonstration qui suit fait voir que Huygens entend parler, comme dans la Prop. VII, d'un onglet limité par un plan incliné à 45°, quoique la suhcentrique d'un onglet (ou d'un tronc) soit indépendante de la grandeur de l'inclinaison du plan limitant; comparez l'avant- dernier alinéa de la note 2 de la p. 458 du T. XVI. La Prop. VIII est un cas particulier du HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 169 tninimûs tequales^ atque à ftnguUs ad re&ain ilhnn perpcndkttlares ducta: erunt\ir.c?.^TKo omiihiin harmn quadrata., [iuiul j'nmpta., tequalia recta ngulo ctiidain^uitiltipUci^^^^^'''^^^'^^^ fecundum ipfarum partkulariim mimer um; quodnempe rectangulum fit à dijlantia centri gravitat'ts figurie ab eadem re£ia^ & à ftihcentrica cunet, quiperillamfuper pgttra abfcinditiir '). [Fig. 82.] Pofitis enim cîeteris omnibus quje in con- ftruftionc prœccdcnti, (it LA [Fig. H 2] cu- nci ABU liibccntrica in reftam EE. Oportct igitur ollcndere, fummam quadracorum om- nium h dirtantiis parcicularum | ligiira; ACH (/>• io6). a'quari rcétangulo ab FA, LA, mukiplici l'ccundum parcicularum numcrum. Etconllatquidem ex démon (Irat ion e pra;- ccdenti, altitudincs parallclepipedorum fin- gulorum, ut GK, squales ede dillanciis par- cicularum, quœ ipforumbafes funt,ut G,ab rcfta AE. Quare, li jam parallelcpipcdum GK ducamus in didantiam GH, pcrinde cfl ac fi particula G ducatur in quadratum di- rtantis GH. Eodemque modo fe res habet in reliquis omnibus. Atqui produfta omnia parallclepipedorum in dillantias (lias ab récita AE, asquantur fimul produfto ex cuneo ABD in diftantiam LA *, quia cuneus gravi- • Prop. i. huj. tat iuper punéto L. Ergo etiam fumma produftorum à particulis fingulis G, in qua- drata (uarum diilantiarum ab refta AE, œquabitur producto ex cuneo ABD in reftam LA, hoc eit, produclio ex figura ACB in reftangulum ab FA, LA. Nam cuneus ABD, œqualis efl: produdto ex figura ACB in reftam FA *. Rurfus quia figura ACB œqualis * Prop.prsced. efi: produfto ex particula una G, in numerum ipfarum particularum;requitur,dicl:um produCtum ex figura ACB in rcftangulum FA, LA, a.'quari produfto ex particula G in reétangulum ab FA, LA, mukiplici fecundum numerum particularum G. Cul proinde etiam œqualis erit ditta fumma produétorum, à particulis fingulis G in qua- drata fuarum dillantiarum ab recta AE, five à particula una G in fummam omnium horum quadratorum. Quare, omifili utrinque multiplicatione in particulam G, ne- ceffe efi: fuimnam eandem quadracorum eequari reftangulo ab FA, LA, mukiplici fecundum numerum parcicularum in quas figura ACB divifa incelligicur. quod erac demonfi:randum. Lemme de la p. 503 du T. XVI, savoir celui où la droite DEK de la Fig. 65 de cette page touche la courbe ABC, de sorte que le tronc se réduit à un onglet. 270 l'hORLOGK À PENDULE. 1673. DUCENTRE PROPOSITION IX. d'oscil- LATiox. Etant donnée une figure plane et dans le même plan une droite coupant la figure ou ne la coupant pas, fur laquelle font ahaifj'écs des perpendiculaires de toutes les très petites particules égales dans lesquelles la figure efi diviféepar hypothèfe, trouver la fomme des carrés de toutes ces perpendiculaires, ou bien un plan qui, multiplié par le nombre des particules , foit égal à la dite fomme des carrés '). Soit donnée [Fig. 83] la figure plane ABC et dans le même plan la droite ED, et la figure ayant été diviféc par la penfée en de très petites particules égales, fuppofons abaifl'écs iur la droite ED des perpendiculaires de toutes ces particules, comme Tefl: FK de la particule F. Qu'il faille trouver la fomme des carrés de toutes ces perpen- diculaires. Soit AL une tangente à la figure, parallèle à la droite donné ED et toute hors de la figure. Elle peut toucher la figure foit du même côté oîi ell ED foit du côté oppofé. Soit la droite GA, coupant ED en E, la diftance du centre de gravité de la figure à la droite AL, et HA la fubcentrique de l'onglet coupé fur la figure par un plan pas- sant par la droite AL. Je dis que la fomme cherchée des carrés efl égale à la fomme du rectangle AGH et du carré EG, multipliés par le nombre des particules dans les- quelles la figure ell fuppofée divifée. En effet, puifle FK, prolongée s'il en ell befoin, couper la tangente AL au point L. On peut alors en premier lieu, dans le cas où la droite ED ell dirtante de la figure et que la tangente AL a été menée du même côté de la figure, démontrer la propo- fition comme fuit. La fomme de tous les FK' efl égale h un nombre égal de KL" plus un nombre double de rectangles KLF plus autant de LF'. ÏMais la fomme des KL- eft égale à celle des EA\ Et il eft certain que l'enfemble des rectangles KLF efl: égal • Prop. 2 à autant de fois le redangle EAG, puifque la fomme des FL efl égale à autant de de cette Partie, f^jj \^ ^xoxiQ GA *). Enfin les LF ' font éraux à un nombre égal de rectandes H AG f), t Prop.précéd. ^ ^ b s iv ') Voir la note i de la p. 546 du T. XVI. HOROLOGRM OSCILLATORILM. 1673. 271 PROPOSITIO IX. Data figura pUinâ & in codent piano lineâ reSfâ^ quoe vel fecet figurant vel tton, ad quant perpettdkulares cadant à particulis fingulis minimis & aqualibus , in quas figura divifa intelligitur; ini'etiire funiniam quadratorum ab omnibus ifiis perpen- dicularibus ; fivc pliinutn , cujus multiplex , fccundum particularunt numenmi , dicta: quadratorum fummae œquale fit '). [Fig. 83.] De CBNTR.O OSCILLATIONIS ^ N a A / \ N X V \, T l_ \ ' — n, G \ \ \ 1 T1 \ \ y V Vj A \y Sic data figura plana ABC [Fig. 83], & in eodem piano refta ED; divisâque figura cogitatu in particulas minimas îequales, intelligancur ab unaquaque earum perpendi- culares duftœ in reftam ED, ficut à particula F dutfta efl FK. Oporteatquc invenire [(A 107 )• fummam quadratorum ab omnibus iftis perpendicularibus. Sit datœ ED parallela refta AL, qus figuram tangat, ac tota extra eam pofita fit. Poteft autcm figuram vel ab eadem parte ex qua efi: ED, vel à parte oppofita contin- gere. Diftantia vero centri gravitatis figurse ab refta AL fit reéta GA, lecans ED in E; & fiabcentrica cunei, fijper figura abfciflî piano per redtam AL, fit MA. Dico fum- mam quadratorum quîefitam œquari reélangulo AGH una cum quadrato EG, niulti- plicibus fecundum particularum numerum, in quas figura divifa intelligitur. Occurrat enim FK, fi opus eft produfta, tangentiALinLpunfto. Itaqueprimum, eo cafu quo refta ED à figura diflat, & tangens AL ad eandem figura; partem duéla ell, lie propofitum oflendctur. Summa omnium quadratorum FK ^quatur totidem quadratis KL, una cumbis totidem redtangulis KLF, & totidem infuper quadratis LF. Sed quadrata KL aquantur totidem quadratis EA. Et reftangula KLF œqualia effe conftat totidem reclangulis EAG, quia omnes FL sequales totidem GA *. Et • Prop. 2. huj. denique quadrata LF cequantur totidem reélangulis HAG *, hoc eft, totidem quadratis * Prop.praced. DOSCIL LATION 272 l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE en d'autres termes à autant de AG' plus autant de reftanglcs AGH. Par conféquent l'enlcmble des FK' fera égal à un nombre égal de EA' plus autant de fois le double du reftanglc EAG plus autant de AG' et de rectangles AGH. INIais trois de ces gran- deurs, lavoir EA- + 2 EAG + AG% conllituent le carré EG*. Il appert donc que Tenfemble des KF'' eft égal à un nombre égal de EG- plus autant de fois le rectangle AGH. C.Q.F.D. Dans tous les autres cas, l'enfcinble des carrés FK' [Fig. f^4] efl: égal à celui des KL"" moins deux fois le même nombre de rectangles KLF plus autant de fois LF-, en d'autres termes à un même nombre de EA* moins autant de fois le double du reftangle EAG plus autant de AG- et de redangles AGH. Mais rexprelllon EA'' + AG' — 2 EAG eil toujours égale à EG'. Par conféquent dans cescasaullilaforame desFK' fera égale à celle des EG- plus un nombre égal de rettanglcs AGH. La pro- pofition eft donc établie. Il s'enfuit que le reftanglc AGH a la même grandeur, que AH foit la fubcentrique de l'onglet limité par un plan padant par la première tangente parallèle à AL ou bien celle d'un onglet limité par un plan paiïant par la deuxième tangente. Par con- féquent la longueur AG du premier cas eft à AG du fécond cas, comme HG du fé- cond à HG du premier. Mais le rapport des droites AG entre elles efl: égal à celui des onglets limités dans l'un et l'autre cas par un plan pafRmt par une des tangentes AL, comme cela réfulte de la Prop. VII de la préfente Partie. GH a donc auffi à GH un rapport inverfe à celui des onglets correfpondants. Il apparaît aulTi que, le centre de gravité G de la figure plane étant donné ainfi que la fubcentrique de l'onglet limité par un plan paflant par l'une des deux tangentes parallèles AL, la fubcentrique de l'onglet limité par un plan paflant par l'autre tan- gente AL eft également connue. PROPOSITION X. Etant pofées les mêmes chofes que dans le cas delà propofition précédente^ fila droite ED \_Fïg. 85] paffe par G , centre de gravité de la figure ABC, la fomme des I 1 IIOROI.OGIL'M OSCII-LATÛRIUM. lôyi. 273 AG ciim totidcm rcdaiij:;ulis .VCîI [. Ergo quadrata omnia FK x'qiialia crum totidcm De ce.vtho quadracis lv\ , cum totidcm diiplis rcctangiilis EA(î , atquc iniupcr totidcm quadratis 'Js^illatioxis A(î cum totidcm rcClangulis AGII. Atqui tria illa;ncmpcquadratum l],Acumdiiplo redangulo EAG & quadrato AG; taciunt quadratum EG. Ergo apparct quadrata omnia FK a;quari totidcm quadracis EG, una cum totidcm reclangulis AGH. Quod erat oltcndendum. [Fig. 84.] s ^ ^ fN /] / \ K î F X \ f \ \ i \ \ K G A T, \ K P \ / \| \, y V ■ N S — B ^ \y Porro in reliquis omnibus cafibus, quadrata omnia FK [Fig. 84] œquancur tocidem quadratis KL, minus bis totidcm rcflangulis KEF, plus totidem quadratis LF; hoc eft, totidem quadratis EA, minus totidem duplis rcftangulis EAG, plus totidem qua- dratis AG, cum coti|dem reftangulis AGII. Atqui, omnibus hifce cafibus, iitquadra-(/'- '08). tum EA, plus quadrato AG, minus duplo rect:angulo EAG, îequale quadrato EG. Ergo rurfus quadrato omnia FK squalia erunt totidcm quadratis EG, una cum toti- dem reélangulis AGII. Quare conftat propolîtum. Hinc fequitur, reétangulum AGH cadem magnitudine effe, utriusvis cunei fub- centrica fuerit AH;hoc eft, lîve per hanc, five par illam tangentium parallelarura AL abiciflî. Itaquc AG unius cafus ad AG alterius, ut HG hujus ad HG illius. Sicut autcm reCtae AG intcr le, ita in utroque caiu cunei per AL ablcillî, ut coUigitur ex prop. 7. huj. Ergo ita quoque reciproce GH ad GH. Apparet etiam, dato ligunt plans centrogravitatis G, & iubcentrica cunei, per altcrutram tangentium parallelarum AL ablcilli, dari quoque cunei, per tangentem alteram AL abfcilli, fubcentricam. PROPOSITIOX. Pofitis qtia in propofitioue pracedeiiti; fi data re£ta ED [Fig. 85] tranfeatper G, 35 174 l'horloge X PENDULE. 1673- Di- CENTRE carrés âes ili (lances à la droiteY!ù des particules dam hfquelles la figure ejl fup- D'osciL- p^ç^^ dkifée fera égale au feul rectangle A.G\\^ multiplié par le nombre des par- ticules 'J. Ceci eft évident, puifque dans ce cas le carré EG' eft nul. PROPOSITION XI. Les mêmes chofes étant derechef po fées que dans le cas de f avant-dernière pro- pofition, DE \_Fig. 86] étant un axe de fymétrie de la figure plane MSC^VG la di fiance du centre de gravité de la demi- figure DAD à la droite ED, et GX la fub- centrique de f onglet coupé fur cette demi-figure par un plan paffaut parYXi.Je re&angle XGV fera égal au rectangle AGH ■'). En effet, le rectangle XG\', multiplié par le nombre des particules de la figure DAD, eft égal à la fomme des carrés des perpendiculaires abaiïïees fur la droite ED * Prop. 8 des particules de cette demi-figure *). Par conféquent le même reftangle XG\^, mul- de cette Partie, [jpij^ par le nombre des particules de la figure entière ABC, lera égal à la Ibmme des carrés des perpendiculaires abaifl^ées fur la droite ED de toutes les particules de cette figure, c.à.d. au rectangle AGH multiplié par le même nombre de particules, comme cela réfijlte de la propofition précédente. D'où s'enfuit que les redangles XGV et AGH font égaux entre eux. C.Q.F.D. PROPOSITION XII. Etant donnés dans un plan un nombre quelconque de points ^ fi de leur centre de gravité on décrit un cercle de grandeur quelconque et quon tire à partir de tous les ') Voir les notes 5 et 6 de la p. 54- du T. XVI. ') Voir la note 2 de la p. 549 du T. XVI. HOROLOGIUM OSClLLATORiUM. 1673. 275 centrum gravitatis figura AV>C-^erit fuinvia quadratorum à difiantiisparticularum^ osollatioms /■« (] lias figura | divifa intelligitur^ ab recta ED, icqualis rectaugulo foU AGH^mul-ip- 109). tiplici fccuiiduui ipf'arujn particularum numeru7n '). Hoc enim manifeftum eft, quuin nullum tune lit quadratum EG. [Fig. 85.] [Fig. 86.] PROPOSITIO XI. PofiUs: rurfus cateris ut in preecedentiuni pemdtinia; fiYiY, [Fig. ^6] fit axis figu- ra plana ABC, in duas aquales ftmilesque portiones eani di-cidens^fitque infuper VG difïantia centri gravitatis dimidia figura DAD ab re&a ED , cunei vero , fiiper ipfam abfcijjl per ipfam ED, ftibcentrica GX; erit recîanguliim XGV aquale rectangulo AGH -). Efl: enim reftangulum XGV, multiplex lecundum nuracrum particularum figurae DAD, squale quadratis omnibus perpendicularium à particulis ejusdem figura dimi- diïe in redtam ED cadentium *. Ac proinde idem reftangulum XGV, multiplex fecun- • Prop. 8. huj. dum numerum particularum totius figurée ABC, squale erit quadratis perpendicula- rium,aboranibus particulis figura; hujus in rectam ED demilTarum; hoc eft, rectangulo AGH multiplie! fecundum eundem particularum numerum, ut conftat ex propof. prœcedenti. Unde fequitur reftangula XGV, AGH inter fe jequalia effe. quod erat demonitrandum. PROPOSITIO XII. Datis in piano puncîis quotlibet; fi ex centro gravitatis eorum circulus quilibet defcribatur; ducantur aiitem ab omnibus datis pun&is ^ad punSium aliquod in circuli 276 l'horloge À PENDULE. 1673 • Du CENTRE points donnés à im point quelconque fittié fur la circonférence de ce cercle des lignes droites^ lafovime des carrés de toutes ces droites fera toujours égale à un même plan '). D OSCIL LATION Soient A B C D [Fig. 87] les points donnés, et E leur centre de gravité ou bien celui de grandeurs égales fufpendues à eux. Qu'un cercle de grandeur quelconque F/ foie décrit du centre E, et un point quelconque tel que F étant pris fur fa circonfé- rence, qu'on le relie par les droites AF, BF, CF, DF aux points donnés. Je dis que l'enfemble des carres de toutes ces droites elt égal à un certain plan, toujours le même, où que le point F ibit placé fur la circontérence. En effet, foient tirées les droites GH, GK formant un angle droit et pour chacune defquelles les points donnés ibicnt fitués d'un même coté. Abaiffons fur ces deux droites de chacun des points donnés les perpendiculaires AL, AK; BIM, BO; CN, CP; DH, DQ; et fur l'une quelconque d'elles GH ou GK, les perpendiculaires ER, FS provenant du centre de gravité E et du point F. Enfuite auflî les perpendiculaires AV, BX, CY, DZ des points donnés fur FS; et ibit FT une perpendiculaire fur ER. Soit maintenant AL = ^ AK = ^ le ravon EF = 2 BM^Z' BO ^f GS = .V CN = c CP =g T)W = d DQ = h Or, comme E eft le centre de gravité des points A, B, C, D, fi l'on prend la fomme des perpendiculaires AL, BM, CN, DH et qu'on la divife en autant de * Prop. 2 parties qu'il y a de points donnés, ER fera égale à une de ces parties *). De même, de cène Partie. Îjj fomme des perpendiculaires AK, BO, CP, DQ ayant été divifée en autant de parties, la perpendiculaire tirée de E lur la droite GK, ou bien la droite RG, fera * Prop. ; égale à l'une d'elles*). Par conféquent, fi la fomme de toutes les perpendiculaires decette Partie. ^L^ BINI, CX, DH OU ^ + Z' + ^ + ^ eft appelée /, VI celle de AK, BO, CP, DQ ou (? + / -f g + /? et 0 le nombre des points donnés, on aura ER = - et RG = ,-. ') Voir sur cette Proposition qu'on trouve chez Pappus la p. 34 de l'Avertissement qui précède. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 277 ilHus\circumferentia linea recta; erit ftimma quadratorum ah omnibus femperip- no). c'idem piano eequalis '). De centro OSCILLATIOMS [Fig. 87.J Sint data puncla ARCD [Fig. 87] : cencnimque gravi- tatiseorum, five magnitudi- num a;qualiumab ipiis fiifpen- fariim, (it E; & centro E defcribatur circulus quilibet F/, in ciijiis circumferencia llimpto puncto aliqiio, ut F, ducanturadid,à datis punctis, rctoAF,BF,CF,DF.Dico earum omnium quadrata, li- mul I umpta, cequalia cfTe piano cuidam dato, lempcrque ei- dem, ubicunque in circutn- ferentia pundum F fumptum fuerit. Ducantur enim réels GH, GK, angailum rectum confti- tuentes, & quarum unicuique omnia data puncla fint pofita ad eandem partem. Et à fingulis in utramque harum perpendiculares agantur AL, AK; BM, BO; Ci\, CP; DH, DQ. A centro autem gravitatis E, & h puncto F,inaltcrutram duarum, GH velGK, perpendiculares ER, FS. Et item, à datis punctis, in ipiàm FS perpendiculares AV, BX, CY, DZ. Et FT perpendicularis in ipiam ER. Porro fit jam AL 00 a BMoo^ CNDor DH 30// AK 00 e BO 00 /■ CP 00 "ij DO 00/2 radius EF oo ^ GS 00 X Quia autem E eft centrura gravitatis punftorum A, B, C, D; fi addantur in unum perpendiculares AL, BIM, CN, DH, compofitaque ex omnibus dividatur in tôt par- tes, quot iunt data puufta; earum partium uni œqualis erit ER *. Similiterque, divisa • Prop. 2. huj. in toti|dem partes fummâ perpendicularium AK, BO, CP, DQ, earum uni a:qualisCA m)- erit perpendicularis, ducta ex E in reftam GK, five ipfa RG *. Itaque, fi fumma ora- * Prop. z. hui. nium AL, BM, CN, DH, five a -{- h -\- c ■\- d vocetur /.- fumma vero omnium, AK, BO, CP, DQ, five e +/+ g + //, vocetur m: & numerus, datonim punclorum multitudinem exprimens, dicatur 9, erit ER oo ,^; & RG O) 'g'. Cumque GS fit .r. 278 L HORLOGE À PENDLLE. 1673 D"osaL- E^t comme GS = a-, on aura RS ou FT = x — ,,- ou bien -g- — .r fi GR > GS; LATION. xrn , iir dans l'un et l'autre cas FT = .t= — 2-g- + g-^ . Cette quantité étant fouftraite de FE^ ou 2% il reliera le carré de TE = z- — x- + 2-^ -., . Et par conféquent TE = 1/ z- — X- + 2— g g^. Or, nous avions ER = -g-. Par coniequent TR = -r ± 1/ ~' — •■^■' + -'-E -qt • Appelons cette longueur TRy pour être courts. Formons maintenant la fomme de tous les carrés de FA, FB, FC, FD. AF- = AV- + VF\ Or, AV eft la différence de VK et de AK ou de SG et de AK; par confé- quent AV = X — e ou e — .r et A\ - = x^ — 2 ex + é'. Mais \F ell égale à la différence de FS et de VS ou de FS et de AL; par conféquent VF = 3' — ^ou^ — y. et VF- = y- — 2 ay + a": Prenant la fomme de AV= et de VF- on obtient FA'' == x^ — 2 ex + e* + y- — '2- ay -\- a'-. On trouvera de la même manière les carrés des autres droites FB, FC, FD. Tout étant difpofé par ordre on aura ceci : FA^ = X- — 2 ex + e'- -]- y"' — 2 ay + a'. FB- = X- — 2fx + /- ■\- y- — 2 hy + h-, FC" = .v' — 2 gx -k- g" -\- y"' — 2 cy -f c-. FD= = x- — 2 hx + h- + 'y- — 2 iy + d\ La fomme de ces carrés, fi nous pofons é" + /^ + g' -f h- = n- et a- -\- h- -\- c' -\- d- = ^% fera 9.v= — 2 ;;;.v + ;/- + 9y- — 2 ly + A-, puifque ô était le nombre des points donnés, donc aulfi le nombre des carrés, et que nous avions pofé e + /+ g ■\- h = m Qi a -\- b -\- c -\- d = l. Or, fi dans cette fomme, favoir dans les termes 2 6_y et 2 /j, on fubfi:itue à y l'ex- preffion qui fut défignée par cette lettre, c.à.d. / , 1 /^ , -, xm m- t . j - ± î/ z- — .%•- + 2 -Q -5; , on obtiendra ^3'' = p + 2 ^ |/ Z- — X- + 2-Q g^ + Bz- — 9x- + 2 xm — -g- et — 2 /3» = — 2 g — 2 / J/ s- — X- + 2 -g -g^; ou bien 63,= = ^J _ 2 / \/z'- _ .r= + 2 ^ - ^ + &2= - ^x'- + 2 ^«^ - Ç 7 ^"1 7 1 /" , -, xm m- et _2 /v = _2 _ + 2 / |/ 2' — .r= + 2-g g-. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 16^3. 270 erit RS five FT co x - ^'; vel ^ -A-,nGRmajorquamGS; &remperquadratumS,"l'^oMs t 1 zo XX — ^-j- +^^.quoablacoabquadracoFE co ;:^,relinqueturquadratum TE 00 22 - XX + 2 ^" -"e';". Et proinde TE a. \/^^^+^^?^^. Erat autcm ER oo ^. Itaque TR do ^ + vel — 1/^ zz — xx + 2 ^'" _ ^'". quœTR,brevi:acisgratia,dicatur_y. Colligamus jam porro fumniam quadratorum omnium FA, FB, FC, FD. Quadracum AF squatur quadratis AV^ VF. Elt autem AV asqualis dilferentiîe duarum VK, AK, five duariim SG, AK; ac proinde AV oo X — e vel e — .r,- & qu. AV co xx — 2 ex + ce. VF vero squalis eft différencia duarum FS, VS five duarum FS, AL; ac proinde VF oo 3» — ^ vel « — y; & qu. \'F :o Yj — 2 ay + aa. Additisque quadratis AV, VF, fit quadratum FA 30 .r.r — 2fA.-+ ee A- ;'_)- — lay + aa. Eodemque modo inveniencur quadrata reliquarum FB, FC, FD; atque omnia ordine difpofita erunt hœc; qu. FA co XX — 1 ex + ee + yy — 1 ay + aa. qu. FB co XX — ifx-\-ff-\- 3'"v —ihy-\- bh. qu. FC co XX — 2 gx + gg + 3'v — icy + ce. qu. FD 30 XX — ihx -\- hh + yy — = «[v + dd. Horum vero fumma, fi ponamus quadrata ee -^ ffA^ gg^ hh 00 nn; & quadrata aa -\- hh ■\- ce ^ dd -Xi kk; erit ifta , 9.r.r — imx + fjn + Byy — 2/)- + kk. Siquidem 9 erat numerus datorum pundlorum ideoque & quadratorum, pofitumque fuerat e+f+g + h:o m, &.a + h + c + dy:)/. In illa vero fumma, fi in terminis Byy & 2/3^, proy, ponaïur id cujus loco pofitum erat, nempe i + vel - \/ zz - xx + 2 ^^ -î^ fiet + 9^^:x,^^+ .l]y^zz-xx + .^^-^'^ + 62._0.r.r+ =.r.; -^' &- =6- ^ - 2 f-2/j/;^xx + .^-^. vel + Byy X t-=/}X^.-xx + 2-^'"-"^ï + G.. - 9.r.r + 2.-«; - & — 2(y 00 — 2 g + 2/j|/ C2 — -v.r + mm 28o l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE Par conféquent dans l'un et l'autre cas on aura pour d'oscil- lation. „ , /' A r . , W2' By' — 2 ly : — -^ + 5^"- — 6a-"- + 2 xm 0 En y ajoutant les autres quantités comprifes dans la fomme lufdite, Ô.r' — 2 xm + ;r + /^% la Ibmme totale, qui eft celle des carrés de FA, FB, FC, FD, deviendra égale à 62' + ir + jt' 0 • Ce qui efl: apparemment un plan déterminé puifque toutes ces quantités font connues; il eft donc manifefte qu'on trouve toujours la même valeur où que le point F foit pris fur la circonférence. C.Q.F.D. Que fi les points donnés ont par hypothèic des poids di\'ers, commeniurables entre eux, comme lorfque le point A pèfe 2, B 3, C 4 et D 7; qu'après avoir trouvé leur centre de gravité on décrit de nouveau un cercle, à un point de la circonférence duquel on relie les points donnés par des lignes droites; et qu'on multiplie le carré de chacune de ces droites par le nombre qui exprime le poids du point correfpondant, de forte qu'on prend deux fois le carré de AF, trois fois celui de BF, quatre fois celui de CF et fept fois celui de DF; je dis qu'alors aufTi la Ibmmc totale fera égale à un efpace donné, toujours le même, où que le point ait été pris fur la circonférence. Ceci reffbrt de la démonftration précédente, fi nous nous figurons les points comme multiples félon les nombres de la pefanteur attribuée à chacun d'eux, comme s'il y avait en A deux points réunis, en B trois, en C quatre, en D fept tous également pefants. PROPOSITION XIII. Lorfuune figure plane ou une ligne qui efl âam unplan efi fufpenâue d'iverfe- ment de points pris dans ce plan et également diflants de [on centre de gravité, cette figure ou ligne eflifochrone à elle-même dans le cas oit [on ofcillation eft latérale '). Soit [Fig. 88] ime figure plane, ou une ligne fituée dans le plan ABC, dont D défigne le centre de gravité. Décrivons de ce centre dans le même plan ime circon- férence de cercle ECF. Je dis que fi une figure fufpendue en im point quelconque de cette circonférence tel que E, C ou G, ofcille latéralement, elle efi iibchrone avec elle-même ou avec un même pendule fimple. Soit en premier lieu la figure fufpendue au point E. Lorfque celui-ci eft fitué en dehors de la figure, comme ici, il faut fe figurer la ligne EH à laquelle la figure eft fufpendue rigide et attachée à elle immuablement. Suppofons la figure ABC divifée en de très petites particules égales, des centres de gravité de toutes lefquelles il faut tirer des droites au point E; il eft manifefte que ') Voir le troisième alinéa de la p. 373 du T. XVI et la note i de la p. 276 qui précède. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 281 Ac proinde, ucroque cafu, pro Qyy 2/y habebitur — -„ + ^zz— ^xx + 2xm — ,- . oscillationis Qubappofitisreliquisquanticatibus,rummapr£edi|(ftacontentis,0.r.T — 2xm +f3n+kk,Cp- 112). fiettotarumma,nempequadratorum FA, FB,FC, FD, zo^zz + fin+ kk ïï~—' Quod apparet elTe planum datum, cum hx quantitates omnes data fint; femperque idem reperiri, ubicunque in circumferentia fumptum fiierit punftum F. quod erat demonftrandum. Quod fi punfta data diverfas gravitâtes habereponancur, in vicemcommenfurabiles, ut fi pundtum A pondérât ut 2, B ut 3, C ut 4, D ut 7, eorumque reperto gravitatis centro, circulus rurfijs defcribatur, ad cujus circumferentije punftum, à datis punftis redîe ducantur, ac fingularum quadrata multiplicia fumantur fecundum numerum ponderis punfti fui; ut quadratum AF duplum, BF triplum, CFquadruplum, DF leptuplum; dico rurfus fummam omnium œqualem fore fpatio dato, femperque eidem, ubicunque in circumferentia punftum fucrit. Patet enim hoc ex prscedenti demon- llratione, (i imaginemur punfta ipfa multiplicia fecundum numéros attributs cuique gravitatis; quafi nempe in A duo pun(5hi conjunfta fint, in B tria, in C quatuor, inD ieptem , atque illa omnia ïequaliter gravia. PROPOSITIO XIII. Si figura plana, vel linea in piano exifîens, aliter atque aliter fufpendatur à puvMs, quee, in eodem piano accepta, aqualiter à centro gravitatis fua diflent; agitata motii in laïus, phi ipji ifochrona £■/?'). Sit [Fig. 88] figura plana, vel linea in [Fig. 88] piano exiilens ABC, cujus centrum gra- j. vitatis D. quo eodem centro, circumfe- rentia ciixuli in eodem piano defcribatur, ECF. Dico, fi à quovis in illa punfto, ut E, C, vel G, fufpenfa figura agitetur in latus;fibiipfi ,five eidem pendulo fimplici, ifochronam elTe. Sit prima fufpenfio ex E punfto, quan- do autem efl: extra figuram , ut hic , putan- dum eft lineam EH , ex qua figura pendet, rigidam efl"e , atque immobiliter ipfi affi- xam. Intelligatur figura ABC divifa in parti- culasminimas squales, à quarum omnium centris gravitatis, ad puntbam E, reds duftîe fint; quas quidem manifeilum eft, 36 a \ . . . ■ ■,/ ■. . . ,/ y • / ■/ 7 . ■ £.■ / •/•/ yr // 7 Y 282 l'horloge À PENDULE. l673. Dl- centre lorfque la figure ofcille latéralement toutes ces droites font perpendiculaires à l'axe D'osciL- d'oicillation. Par conlequcnt la Ibmme des carrés de toutes ces perpendiculaires, di- vilee par la droite ED multipliée par le nombre des particules dans lelquclles la figure • Prop. 6 cil diviiee, conflitue la longueur KL du pendule (Impie ilbchrone avec la figure*}. a« cette Panie.r\jaJ5 lorfque la figure efl fufpendue au point G, la longueur du pendule fimple ifo- chrone elt de nouveau trouvée en divifant la fomme des carrés des lignes qui relient les particules de la figure au point G par la droite GT) multipliée par le nombre des • Prop. 6 particules *). Or, comme les points G et E fe trouvent lur une circonférence décrite de cette Partie. ^^ centre D, c.à.d. du centre de gravité de la figure ABC ou, fi l'on veut, de celui de tous les centres des particules égales de la figure, la fomme des carrés des lignes qui relient les dites particules au point G , lera égale à la fomme des carrés des lignes ' Prop. préced. tirées des mêmes particules au point E *). Mais ces ibmmes de carrés font, dans l'une et l'autre iufpcnfion, appliquées à des grandeurs égales, favoir, dans le cas de la fus- penfion au point E, à la droite ED multipliée par le nombre de toutes les particules, et dans celui de la fufpenlion du point G, à la droite DG multipliée par le même nombre de particules. Il elt donc évident que par cette dernière divilion, lavoir lors- que la fufpenfion efl: en G, la longueur du pendule ifochrone devient la même que dans le cas de la première fufpenfion , c.à.d. KL. On démontrera de la même manière Fiiochronilme avec le pendule KL lorlque la figure efl: fufpendue en C ou en un autre point quelconque de la circonférence ECF. La propofition efl donc établie. PROPOSITION XIV. Etant donnée une figure folicic et une ligne droite de longueur indéterminée qui tombe en dehors de In figure ou bien qui la coupe ^ et la figure ayant été di-Sifée par la penfée en de très petites particules égales^ à partir de chacune defquelles on fup- pofe des perpendiculaires abaijjées j'ur la dite droite^ trouver la fomme de tous leurs carrés^ en d'autres termes trouver un plan dont la multiplication par le nombre des particules donne un produit égal à la dite fomme des carrés '). Soit donnée [Fig. 89] la figure folide ABCD et une ligne droite pafTant par le point E et fuppofée perpendiculaire au plan de cette page; cette ligne peut couper la figure ou tomber en entier hors d'elle. Etant fuppofé qu'à partir de chacune des très petites particules égales qui conflituent le folide ABCD, telles que F, foit tirée une perpendiculaire fur la droite donnée E, telle que FE, il faut maintenant trouver la fomme de tous les FE'. Coupons la figure par le plan E AC paflTant par la dite ligne donnée et par le centre de gravité de la figure. Figurons-nous auffi un deuxième plan paffant par la même ligne donnée et par EG qui lui efi perpendiculaire. On fait que le carré de chaque perpendiculaire abaiflee d'une des dites particules fur la ligne donnée pafiant par E, telle que FE, elt égal à la fomme des carrés des HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 283 quum moveatur figura motu in latus, efl'e ad axem agitationis perpendicularcs. Ha- De cextro mm igitiir omnium perpcndicularium quadrata, diviia pcr rcdam ED, multiplicem °'"""''"*'''"""* (ecunduni nunicruni particiilaruni in qiias figura diviia cil, cfficiunt Inngitudinem penduli (iniplicis, figura; iloclironi *, | qua' lit KL. Sulpcnià autcm figura ex puncto (/■• 113). G, ruriiis longitudo penduli limplicis iibchroni invcnitur, dividendo quadrata omnia ' P™P- "• hui. linearum, quœ à particulis figura? ducuntur ad punttum G, pcr rettam GD, muiti- pHceni lecundum earundem particularum numeruni *. Quum igitur punda C"i & E • l'inp. rt. hm. fint in circumlerentia delcripta centro I), quod cil centruni gravitatis figura; AI5C, five ccntrum gravitatis punftorum omniimi, quœ centra funt particularum figura squalium; erit proinde lunima quadratorum h lineis, qu» a dictis particulis ad pun- chini (i ducuntur, a;qualis luninia; quadratorum à lineis qua; ab iildem particulis du- cuntur ad pundum E*. Hx vcro quadratorum ilimma;, utraque lufpenfione, appli- ■ Prop.praced. cantur ad magnitudincs a;quales: quippc, in lulpcnfione ex E, ad reftam El), multi- plicem (ccundum numcrum omnium particularum; in rufpenfione autem ex G, ad rectam IDG, multiplicem lecundum earundem particularimi numerum. Ergo patet, ex applicatione hac porteriori , quum nempe fuCpenfio ell ex G, fieri longitudinem penduli ifochroni eandem atque ex applicatione priori, hoc cil, eandem ipfi KL. Eodem modo, fi ex C, vel alio quo\-is puncto circumferentiœ ECF, figura lulpen- datur, eidem pendulo KL ifochrona efle probabitur. Itaque confiât propofitum. PROPOSITIO XIV. Data figura foHdâ, &' lineâ recta intcrmuiatâ^ qua vel extra fîguram cadat, vel per eam tranfeat; dkifâqtie [figura cogitatu in partkulas minimas aquales^ àiP- "4)' qtiihus omnibus ad datam reBam perpendiculares duBa intelligantur ; inventre fum- mam omnium qune ab ipfis fiunt quadratorum ^ ftve planuni ^ cujus multiplex fecun- dum particularum numerum^ diBce quadratorum fumma P \_Fig. 90] du centre de gravité de la demi-figure OPV à Vaxe OP e fi donnée; il fera pofiïble en partant de là de trouver la fomme des carrés des di fiances des particules du folide ABCD au ' plan EC. Mais il faut que toutes les fecîions NN, INIM foient des plans femblables et que le plan EC paffepar les centres de gravité d'eux tous; il en efi ainfi dans le cas du priftne^ de la pyratnide^ du cône, des conoïdes et de beaucoup d'autres figures. Il efi encore nécejfaire que Pon connaiffe les di fiances du centre de gravité de ces plans à des tangentes parallèles à F axe d'ofcillation ainfi que les fubcentriques des onglets coupés fur eux par des plans paffant par les mêmes tangentes '_). ') En 1665 Huygens, dans le calcul de la longueur du pendule isochrone avec un segment d'hyperboloïde de révolution se servit déjà de cette Proposition, ou plutôt de la forme spéciale qu'elle prend lorsque le corps considéré est de révolution. Voir les p. 371 — 3-3 et 554 — 555 du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 2«9 EAC.Inveninn.saucem&lUmmamquadratorum, à perpendicularibus omnibus in up cEvrao planum per bO dudtis. Lrgo& aggrcgacum ucriuiquc rumma.>habcbitiir,hocctl pcr '«'"-'-^tioxi, '"P;:"f„"'!f ^'^ '"'""'' Miiadratorum pcrpendicularium qus, à particulis omnibus loiidi ABCD, cadunt in rcCtam datam per E tranlcuncem, & ad pagina huius planum ereftam. quod erac faciendum. PROPOSITIO XV. Ihdempolith^jifolidim ABCD [Fig. 89] /;> ejusmodi, ut figura plana SYTZ ip/iproporrionalh, mm habeat notant diftajjtiam centri graùtatis àtaitgcntihtisvA vc'l DZ, vel, ut fuhcentrka cunei fuper ipfa ab [ci fjî, piano per eafdem BY vd DZ ignoretur; in figura tanicn proportionali, quce à la ter e efi, OQP, detur difîantia *P [Fig. 90J, (lua centrum gra-vitatis figura dimidiœ OPV abeJlabaxeO^-Jicebit hmc invenire fummani quadratorum à dipantiisparticularum f'olidi AliCD à piano EC. Oportet autem ut fccîioncs omnes, NN, MM, fint plana jiniilia; utque per omnium centra gravltatïs tr an feat planum EC; quemadmodum in prismate, pyra- mide, cono, com.idibns, multisquc aliis figuris contingit. Atque eorum planorum dijîantias centvi gra-citatis, fuper tangentibm axi ofcillationîs parallelis, datas ejje necejje efî; uti & fubcentricai cuneorum, qui fuper ipjis abfcinduntur, ductis planis per easdem tangentes '). [Fig. 90.] apo l'horloge X PENDULE. 1673. DOSCIL- LATIOX. Du CENTRE Par exemple, fi BD [Fig. 90] eft la plus grande des dites feftions, et qu'on con- fidère en B une droite parallèle à l'axe E, c.à.d. perpendiculaire au plan qu'on voit ici, il faut que l'on connaifTe la diftance BD du centre de gravité de la fe(ftion à la dite ligne en B, laquelle ibit BC;"et de même la iubcentrique de l'onglet coupé fur la fection BD par le plan paiTant par la même ligne en B, laquelle fubcentrique foit BK. Car, ces chofes étant données et PV étant divifée en deux parties égales en A, fi l'on fait que comme A P cfl à P , ainfi foit le reftangle BCK à un certain efpace Z; je dis que celui-ci, multiplié par le nombre des particules du folide ABCD, efl: égal à la fomme cherchée des carrés des diflances des mêmes particules au plan EC. En effet, il eft certain que la ibmme des carrés des diftances des particules de la feéHon plane BD au plan EC paffant par Ton centre de gravité, ou bien celle des carrés des diftances au même plan des particules folides du fegment BNND, eft égale • Prop. 10 au recningle BCK multiplié par le nombre des dites particules*). Pareillement, fi de cette Partie. -^-^ ^j^ j^ diftance du centre de gravité de la fedHon plane NN à la droite que nous luppofons païïer par N parallèlement à l'axe E, et que NF repréfentela ftibcentrique de l'onglet coupé fur cette fedtion par un plan paftant par la même droite; les carrés des diftances au plan EC des particules planes de la feifHon NN, ou bien les carrés des diftances au même plan des particules folides du fegment NMMN, feront égaux au recftangle NXF multiplié par le nombre des particules de la feclion NN ou du fegment NIVIMN. Or, BD eft divifée en C et K, de la même manière que NN l'eft en X et F. Par conféquent le reftangle BCK eft au reélangle NXF comme BD- eft à NN\ Nous favons que le nombre des particules de la feftion BD eft à celui des particu- les de la feélion NN comme ces fedtions font entre elles, c.à.d. comme BD' eft à IVN\ Par conféquent le redtangle BCK, multiplié par le nombre des particules de la feétion BD, eft au reétangle NXF multiplié par le nombre des particules de la feftion NN, comme BD+ eft à NN+, en d'autres termes, comme VV=' eft à RR- dans la figure proportionnelle. Par conféquent la première fomme des carrés des diftances des particules du fegment BNND au plan EC eft à la deuxième (bmme des carrés des diftances des particules du fegment NMMN comme VV* eft à RR^ Et l'on démontrera de la même manière que les fommes des carrés des diftances des particu- les dans les autres fegments du folide ABCD font entre elles dans le rapport des carrés des droites de la figure OVV qui correfpondent à la baie de chaque fegment. C'eft pourquoi la fomme des carrés des diftances au plan EC des particules de tous les fegments du folide ABCD fera à la fomme des carrés des diftances des particules d'un nombre égal de fegments égaux au plus grand fegment, c.à.d. des fegments du cylindre ou prifme BDSS, ayant la même bafe et la même hauteur que le folide ABCD, comme la fomme des carrés des droites VV, RR, QQ, etc. eft à un nombre égal de carrés de droites toutes égales à la plus grande VV, c.à.d. comme le folide OVV de révolution autour de l'axe OP eft au cylindre VVûû ayant la même bafe et la même hauteur. Or, il eft clair que ce rapport du folide OVV au cylindre VVûû fe compofe HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. ^QI F là "^«^™^ diftarum feftionum Ik BD, & in B intelligatur refta parallela axi n. chvtko E,hoceft ereéta ad planum quod hic conlpicicur, oportet datam efTe diftantiam -'""^^^^^^ centn gr. fea.on.s BD à diéta linea in B, qu^ fit BC, itcmque fubcentricam 00^ luper fed>one BD abic.fl., piano dufto per candcm lineam in B, qu^ fubcentrica fit um BCK ad ipat.um quoddam Z; dico hoc ipfum, multiplex per ium^rnm paX '' larum folid. ABCD a;quari lumm^e qusfita; qiiadratorum, à diftantiis earundem particularum à piano EC. Quadrata enini à diilantiis particularum planai feftionis BD, à piano EC quod per '^en^'-"™ gr^itatis fua. tranfit; five quadrata à diftantiis particularum folidarum legmenti BNND a piano eodem, squari confiât redangulo BCK, multiplici per numerumdiftarum particularum *.Similiter, fi plans feftionis NN diftantia centri-Prop ,0 hai gravitatis, ab re.ta qux. in N intelligitur axi E parallela, fit NX; fubcentrica vero ' cunei fi^iper ipia abfcifii, piano per eandem reftam, fit NF; erunt quadrata à dilhntiis particularum planarum feclionis NN à piano EC, five quadrata à diftantiis particula- rum lohdarum fegmenti NMMN, à piano eodem, squalia reftangulo NXF, multi- plici per numerum particularum ipfarum feftionis NN, vel fegmenti NMMN Eft auteni BD divifa fimOiter in C & K, atque NN in X & F. Ergo redangulum BCK ad reftangulum NXF, ficut quadratum BD ad quadratum NN ^i^^'T ^ "T '™' Pa>-"'^"la'-"m feftionis BD, ad numerum particularum fefti- onis NN ficut feftiones ipfs ; hoc eil, ficut quadratum BD ad quadratum NN. Itaque reetangulum BCK, multiplex per numerum particulanim feftionis BD, ad reftangu- lum NXh , multiplex per numerum particularum fedionis NN, dupli|catam habebitC?. 118). rationeni quadrat. BD ad quadratum NN; hoc e(l, eam quam quadratum VV ad qua- ' dratum RR, m figura proportionali. Erit igitur & difta prior fumma quadratorum,à diftantiis particularum fegmenti BNND à piano EC, ad fummam alteram quadrato- rum, a diftantus particularum fegmenti NMMN, ut qu. VV ad qu. RR Eademque ranone oilendetur, Jummas quadratorum à diftantiis particularum in reliquis fegmen- ns iolid. ABCD, efi-e inter fe in ratione quadratorum qus fiunt à redis in figura OV V, quae bafi cujusque fegmenti refpondent. Quare fumma quadratorum, à dilin- tns particularum omnium fegmentorum folidi ABCD à piano EC, erit ad fummam quadratorum, à diflantiis particularum fegmentorum totidem, maximo fegmento x- qualmm, hoc eft, cylindri vel prismatis BDSS, eandem cum folido ABCD bafin alti- tudinemque habentis, ficut quadrata omnia reftarum VV, RR,QQ,&c. ad quadrata totidem maximo VV squalia, hoc efl, ficut folidum rotundum OVVcircaaxem OP r i-.'^nvry^"' '^''' ^'^" ^ altitudinem habeat eandem. Hanc vero rationem' fohdi OVV ad cylindrum VViJû, componi confiât ex ratione planorum quorum DOSCIL- LATION. 292 l'horloge À PENDULE. 1673. Df CENTRE de la raifon des plans par la rotation deiquels ils l'ont engendrés, c.à.d. celle du plan OPV au redangle Pu, et de la raifon des diftances à Taxe OP des centres de gravité de ces plans, c.à.d. de celle de P * à P A. Et la première de ces raifons, favoir celle du plan OPV au reftangle Pii, eft la même que celle du iblide ABCD au cylindre ou prifrae BDSS, c.à.d. la même que celle du nombre des particules du folide ABCD à celui des particules du cylindre ou prifme BDSS. Et l'autre raifon, celle de P4> à P A eft la même, par conflruftion, que celle de l'efpace Z au recftangle BCK. La dite forame des carrés des diftances de toutes les particules du folide ABCD au plan EC a donc à la fomme des carrés des diflances de toutes les particules du cylindre ou prifme BDSS à ce même plan un rapport compofé de la raifon du nombre des parti- cules du folide ABCD à celui des particules du cylindre ou prifme BDSS et de la raifon de l'efpace Z au rectangle BCK, en d'autres termes un rapport égal à celui du rectangle Z multiplié par le nombre des particules du folide ABCD au redangle BCK multiplié par le nombre des particules du cylindre ou prifme BDSS. Mais la quatrième de ces grandeurs elt égale à la deuxième, c.à.d. le rectangle BCK multiplié par le nombre des particules du cylindre ou prifme BDSS eft égal à la fomme des carrés des diflances des particules de ce même prifme ou cylindre BDSS au plan EC, puifque ce rectangle BCK, multiplié par le nombre des particules du fegment BNND, efl • Prop. 10 égal à la fomme des carrés des diflances des particules de ce fegment au plan EC *). de cette Panie. Par conféquent le troifième terme de la proportion fera aufTi égal au premier; c.à.d. le plan Z, multiplié par le nombre des particules du folide ABCD , fera égal à la • Prop. 14 du fomme des carrés des diftances des particules du même folide ABCD au plan EC*). livre 5 d'Eucl. C.Q.F.D. HOROLOGIUM OSCILI-ATORIUM. 1673. ^93 [Fig.90.] De CEXTR.O OSCILLATIONIS converfionegcnerancur, hoc ell:, ex ratione plani OPV', ad reftangulum Pû, & ex ratio- ne diftantiarum quibus horum planorurn centra gravitatis abfunt ab axe OP; hoc efl:, & ex ratione P* ad PA. Et prier quidem harum rationum, nempe plani OPV ad reftangulum Pù, eadem efl: quœ folidi ABCD ad cylindrum vel prisma BDSS, hoc eft, eadem qiia? numeri particularum iblidi ABCD, ad numerum particularum cylindri vel prismatis BDSS. Altéra vero ratio, nempe P ad PA, efl: eadem, ex confl:ru(5Hone, quîe fpatii Z ad reftangulum BCK. Habebit itaque difta fiimma quadratoriim, à difl:an- tiis omnium particularum Iblidi ABCD à piano EC, ad fummam quadratorum, à difl:antiis omnium particularum cylindri vel prismatis BDSS ab eodem piano, rationem eam quœ componitur ex ratione numeri particularum folidi ABCD, ad nnmerum particularum cylindri vel prismatis BDSS , & ex ratione fpatii Z ad reftangulum BCK : hoc efl:, rationem quam habet reftangulum Z, multiplex per numerum particularum folidi ABCD, ad reftangulum BCK, multiplex per numerum particularum cylindri vel prismatis BDSS. Atqui quarta harum magnitudinum squalis eft: fecunds; nempe reftangulum BCK, multiplex per numerum particularum cylindri vel prismatis BDSS, squale fummœ quadratorum , à diftantiis particularum ejusdem prismatis vel cylindri BDSS à piano EC; fiquidem reftangulum idem BCK, multiplex | per numenim par-(/>. 1 19). ticularum fegmenti BNND, jequatur quadratis diflantiarum particularum ejusdem fegmenti à piano EC *. Ergo & tertia primée œquabitur, nempe planum Z, multiplex « prop. lo.huj. per numerum particularum folidi ABCD, fummse quadratorum, à diftantiis particu- . p^^ ^^^ larum folidi ejusdem ABCD à piano EC *. quod erat demonftrandum. 5. eucI. 2^4 l'hORXOGE X PENDULE. 1673 • Du CENTRE II faut encore remarquer que lorfque le folide ABD efl: de révolution autour de DOSCIL- LATION. Taxe AC, le redangle BCK devient toujours égal au quart de BC% puilque la fub- centrique BK de l'onglet coupé fur le cercle BD par un plan palTant par la tangente en B eft égale à | fois le rayon BC '). Par conféquent , (1 P\^ eft prife égale à BC, il s'enfuit, fi l'on veut que P A foit à Pft> comme le reftangle BCK, c.à.d. le quart du carré de BC ou bien PA% eft à un autre plan Z, que ce dernier fera égal au rec- tangle AP . Il s'enfuit donc aufli que ce reClangle AP (Jj, multiplié par le nombre des particules du folide ABD, fera égal à la fomme cherchée des carrés de toutes les per- pendiculaires abailTées de ces particules fur le plan EC. PROPOSITION XVI. Lorfquune figure quelconque^ ligne ^ fur face ou folide^ efl diver fement fufpendue et ofcille autour d'axes parallèles les uns aux autres et également di fiants du centre de gravité de la figure, celle-ci efl ifochrone avec elle-même *_). Confidérons une grandeur quelconque [Fig. 91] dont E foit le centre de gravité; qu'elle foit d'abord fufpendue à un axe paflant par le point F et perpendiculaire au plan de cette page. Ce dernier fera donc le plan d'ofcillation. Si l'on décrit dans ce plan du centre E, avec le rayon EF, la circonférence FHG et qu'ayant pris fur elle un point quelconque tel que H, on fuppofe en fécond lieu que la grandeur foit fus- pendue à un axe paflant par ce point et ofcille autour de lui, le plan d'ofcillation de- meurant le même, je dis qu'elle fera ifochrone avec elle-même ofcillant autour de l'axe F. En effet, fuppofons la grandeur confidérée divifée en particules égales et fort peti- tes. Il eft donc manifefle que, comme le plan d'ofcillation demeure le même dans les deux fufpenfions à l'égard des parties de la grandeur, les perpendiculaires qu'on peut abailTer de toutes les particules de la grandeur fur le dit plan d'ofcillation auront leurs pieds aux mêmes endroits dans l'une et l'autre fufpenfion. Soient ces endroits les points marqués dans l'efpace ABCD. Comme donc E efl le centre de gravité de la grandeur propofée et que celle-ci garde par conféquent dans n'importe quelle pofition l'équilibre autour de l'axe qui efl érigé à travers le point E perpendiculairement au plan ABCD, on voit aifément que fi une gravité égale eft attribuée à tous les points marqués dans l'efpace ABCD dont nous venons de parler, le point E fera aufïï le centre de gravité de tous ces points-là. Mais fi, comme il peut arriver, plufieurs perpendiculaires coïncident en certains points, ceux-ci doivent être confidérés comme doublés autant de fois et leurs gravités comme autant de fois multiples. Lorfqu 'on les envifage de cette façon, il paraît que le point E efl de nouveau leur centre de gravité. ') Voirlesp. 510— sisduT. XVI. *) Comparez la p. 461 du T. XVI ainsi que la p. 34 de l'Avertissement qui précède. HOROLOGIUM OSCILLATORIUIW. 1673. 295 Notandum vero, quando folidum ABD rotundum eft circa axem AC, fieri femper De centro reftangulum BCK squale quarts parti quadrati BC; quoniam fubcentrica cunei, ab- °"^"-'-*'^"'^'" fciffi fuper circulo BD, piano per tangentem in B, nempe refta BK, a°quatur f radii BC. Unde, fi PV sequalis pofita fit BC, lequitur, faciendo ut P\ ad P* ita rectangu- lum BCK, hoc eft, I quadrati BC, hoc efl, qu ?1 ad planum aliud Z, fore hoc reclan- gulo AP* aequale. Ac proinde tune ipfum reftangulum AP ab omnibus punctis, in Ipatio AIK'I) lignatis, ducuncur ad punttum 11, candcm elle cum funmia quadratorum, ab iis qua-, à parci- culis omnibus magnitudinis propolica?, ducuntur pcrpcndiculares in axem ofcillationis per H tranfcuntcm. l'irgo utroquc cafu, (i ilimma quadratorum ab rectis qua?, à pun- dis omnibus pra-dictis, ducuntur ad punéta F vcl H,xlividatur pcr rcétas EF vcl EH, multipliées Iccundum numerum particularum in quas magnitudo propolîta divifa in- telligitur, orietur ex applicatione hac longitude pcnduli (implicis, quod magnitudini lufpenla; ex F vei II ilbchronura fit. Efl autem fumma quadratorum utroque calli a;- qualis*; & retta.' quoque EF, EH, inter le squales; & particularum idem numcrus. Ergo, quum & applicatœ quantitates, & quibus ills applicantur, utrobique squales • Prop. i2.huj fint, etiam longitudincj ex applicatione orts squales erimt, hoc elt, longitudines pendulornm ilbchronorum magnitudini propolits fufpenlk ex F vel ex H. Quare conftat propofitum. PROPOSITIO XVII. CA120- Dato piano ^ Cl! jus multiplex per numerum particularum ^ in quas fufpenfa figura divifa inîelligitur ^ œquetur quadratis omnium diftan- tiarum ab axe ofcillationis; Il illud applicetur ad recîam aqualem dijlantia inter axem ofcil- lationis ^centrum gravita tis fufpenfa magni- tudinis, orietur longitudo penduli fimplicis ipfi ifochroni. Sit figura ABC [Fig. 92], cujus centrum gravitatis E, fufpenfa abaxe qui, per F pun- étum ad planimi quod confpicitur, erectus fit. Ponendoque divifam figuram in particulas mi- nimas squales, à quibus omnibus, in diftum axem, perpendiculares cadere intelligantur: ello, per fuperius oflenfa, inventum planum H, cujus multiplex per numerum diclarum particu- larum, squetur quadratis omnibus didtarum perpendicularium. Applicatoque piano H ad reftam FE, fiât longitudo FG. Dico hanc efiTe longitudinem penduli fimplicis, ifo- chronas ofcillationes habentis magnitudini ABC, agitats circa axem per F. 38 298 l'horloge X PENDULE. 167 3> Du CENTRE En effet, comme la fomme des carrés des diltances de l'axe F, divifée par la dis- L\TioN tance FE multipliée par le nombre des particules, conllitue la longueur du pendule •Prop. 6 fimple ifochronc*, et qu'à cette Ibmme de carrés multipliée par le même nombre, Uecette Partie. ^5]^] ^^^ particules, cll égale par hypothcle le plan H; il s'eniuit que fi l'on divife le plan 1 1 multiplié par le nombre des particules, par la diltance FE multipliée par le nombre des particules, ou bien, en omettant le fafteur commun, fi Ton divife le plan H par la diltance FE, il en rélultcra auffi la longueur du pendule iimple iibchronc. 11 apparait donc que cette longueur ell FC, comme nous l'avions dit. C.Q.F.D. PROPOSITION XVIII. Si fe/paceplûu qui, intiîtiplié par le nombre des particules de la grandeur fufpen- due, eft égal à la fomme des carrés des diftances à l'axe de gravité (parallèle à Vaxe cTofcillation), eft dii'ifépar une droite égale à la di fiance des deux axes nom- més, il en réfultera une droite égale à llntervalle, duquel le centre (rofcillation eft inférieur au centre de gravité de la même grandeur 'J. Soit ABCD [Fig. 93] une grandeur à centre de gravité E, qui ait le centre d'os- cillation G lorsqu'elle ell lufpendue à un axe paiTant par le point F perpendiculaire- ment au plan de cette page. Figurons-nous de plus un autre axe parallèle à celui pas- lant par F et traverfant le centre de gravité E. Et la grandeur ayant été divifée par la pcnfée en de très petites particules égales, foit le plan I multiplié par le nombre de ces particules égal à la ibmme des carrés des dillances au dit axe paflant par E. La div'ifion du plan I par la dirtance FE nous donne une certaine droite. Je dis qu'elle eil: égale à l'intervalle EG duquel le centre d'ofcillation efl: inférieur au centre de gravité de la grandeur ABCD. En effet, qu'on fe figure pour que notre démonllration de cette propofition foit ') Cette Proposition ne se trouve pas encore dans les travaux de 1664 — 1665 (T. XVI) ni dans les anagrammes envoyés à Londres en 1669 (T. VI, p. 487 — 489). La distance du centre de gravitéaucencred'oscillation joue cependant un rôle important dans les calculsde 1664 — 1665; voir les p. 472, 474, 477, 508 et 551 du T. X\'I, où nous avons désigné cette distance par l'expression „"a trunci" ou „>, cunei". Nous ignorons si Huygens eût pu formuler cette Pro- position déjà en 1664; il ne connaissait peut-être la Prop. XIX qui suit que dans des cas par- ticuliers (voir la note i de la p. 302). HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 299 Quia enim liimma qiiadratonim, à diihntiis ab axe F, applicata ad diftantiam FE, Ue centro imiltipliceni fecundum partium niimcriim, facit longiiudincm pendiili fimplicis ifo- "*"''''*''"""'" chroni*. I(H vcro quiidratnruin fumnia' a-quale ponitiir planum H, multiplex pcr • Prop. 6. huj. cundcm particularum numeruni. Frgo & plaïuim 1 1, multiplex per eundcm particu- larum numeriim, li applicetur addilhntiain FF>,multiplicem|iccundumparticulariim(A 12=). lunnerum; (ivc, omiffii communi multiplicitate, li plainim M applicetur ad difhntiam i'"K; orietur quoque lonj2;itudo peiiduli iimplicis ilochroni. Quam proinde ipfam lon- gitudinem FG effc conihit. quod erat demonftrandum. PROPOSITIO XVIII. Si fpûtiuni phnmm., ciijits Jiiiiltiplex fecitudinu mimer inn partïctilarum fiifpeiif• 126). ofcillationis B. Hoc enira ex ipfa propofitione prœcedenti manifeftum cit. PROPOSITIO XXI. Quomodo m figuris planis centra ofcillationis inveniantur '). Intellcdis quœ haftenus demonftrata funt, facile jam erit in plerisque figuris, quœ in Geometria confiderari confueverunt, dcfinire ofcillationis centra. Atque ut de pla- nis figuris primum dicamus; duplicera in iis ofcillationis motum fupra definivimus; nempe, vel circa axem in eodem cum figura piano jacentem, vel circa eum qui ad figura; planum ereétus fit. Quorum priorem vocavimus agitationem in planum, alte- rum agitationem in latus. Quod fi priore modo agitetur, nempe circa axem in eodem piano jacentem, ficut °) Même si nous ne possédions pas les travaux antérieurs à 1666, on se figurerait aisément que la recherche des centres d'oscillation dans des cas particuliers a dû précéder l'établissement de la théorie générale. 39 3o6 l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE axe fitué dans Ion plan, par exemple la figure BCI) autour de l'axe EF [Fig. 95], î^°iî!î''. on obtiendra le centre d'olcillation K de cette figure de la manière fuivante. Conli- dérons l'onglet coupé fur la (igure par un plan qui travcrlc celui de la figure de telle manière que l'interlèction Dl) cil parallèle h l'axe d'olcillation. Soit donnée la diilancc AD du centre de gra\'ité de la figiu'c à cette interfettion, ainfi que la fub- cencrique DH du dit onglet par rapport h la même interfeétion. C'eft en diviiant le re(ftangle DAH par la diilance FA qu'on trouve le centre d'ofcillation K delà figure BDC, puiliquc cette divifion donne la dilhmce AK de laquelle le centre d'olcillation eil inférieur au centre de gravité. En effet, le reélangle DAH, multiplié par le nombre des particules de la figure BCI), ell égal aux carrés des dilhnces à la droite BAC • Prop. 10 parallèle à l'axe d'olcillation EF et pafTant par le centre de gravité A*. Par conlé- decetteHartie. qm.,i[ ]j, divilion du même rectangle par la difiance FA nous donnera la dillance AK • Prop. 18 de laquelle le centre d'olcillation cil inférieur au centre de gravité A*. de cette Partie, j] ^(^ Jq^(. manifellc que li l)D cil l'axe d'olcillation, le centre d'olcillation tombe en H et que conféquemment la longueur DH du pendule fimple ilbchrone avec la figure BCD ert alors précifément la llibcentrique par rapport à DD de l'onglet limité par un plan paflant par la même droite DD. Ceci Icul avait été remarqué avant moi par d'autres, fans toutefois qu'ils l'eulTent démontré '). Il n'entre pas dans notre plan d'expofer comment on trouve les centres de gravité des onglets coupés fur des figures planes, et déjà ils font connus dans beaucoup de cas. Par exemple fi la figure BCD ell un cercle, Dl 1 fera égale à | fois le diamètre. Si c'ell un rectangle, on aura DH = | du diamètre. D'où parait la railbn pour la- quelle une verge, ou ligne pelante, fufpendue par un de fes bouts efi: ifochrone avec un pendule d'une longueur de | de la fienne; lavoir en confidérant cette ligne comme fi c'était un rectangle de largeur extrêmement petite. ') Voir sur ce sujet les p. 57 — 58 de l'Avenissement qui précède. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 307 [Fig.95-] B JE r / V A po \ /* > . . . . J Dp. CENTR.O OSCILLATIONIS » b C B (ïgura BCO circa axcm EF [Fig. 95]; hic, fi cuneus iuper figura intelligatur ahfcifrus, piano quod ita fecec planum iigurîe, ut intciieétio, qua: hic cfl: DD, fit parallela ofcil- lacionis axi; decurque dillanna centri gravitatis figura ab hac interfeCtione, ut hic AD; itcmque fubccntrica cunei diéti fuper cadem interfeclione, quîe hic fit DH. Ilabebitur ccntrum ofcillationis K, figura BDC, applicaudo reftangulum DAH ad diftantiamFA;quoniamexapplicatione hac orietur diftantia AK, qua centrum ofcil- lationis inferius eft centre gravitatis. Efl: enim rcclanguluni DAH, multiplex fecun- dum numerum particularum figurai BCD, squale quadratis diilantiarum ab recla BAC, quîe per centrum gravi|tatis A parallela ducitur axi ofcillationis EF *. Quare,(A 127)- applicando idem redangulum ad diftantiam FA, orietur dilkntia AK, qua centrum •Prop. 10. huj. ofcillationis inferius elt centro gravitatis A *. • Piop. iR.huj. 1 linc manifellum ell:, fi axis ofcillationis fit DD, fieri centrum ofcillationis H pun- dtum, adeoque longitudinem DH, penduli fimplicis ifochroni figurs BCD, efTe tune ipfam fubcentricam cunei, abfciffi piano per DD, fuper ipfam DD. Quod unum ab aliis ante animadverfum fuit, non tamen demonflratum '). Quomodo autem centra gravitatis cuneorum Iuper figuris planis inveniantur,per- fequi non efl: inffituti noflri, & jam in multis nota funt. Velut, quod fi figura BCD fit circulus,erit DH a^qualis | diamctri. Si redangulum , erit DH 00 ^ diametri. Unde & ratio apparct cur virga,feu linea gravitate pra;dita, altero capite fufpenfa, ifochrona fit pendulo longitudinis fubfesquialterœ. Confiderando nempe lineam ejus- modi, ac fi edet redtangulum mininiîe latitudinis. 3o8 l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE Que fi la figure eft un triangle dont le fommet eil tourné vers le haut , on trouve LATWN ^^' = I du diamètre; s'il efi tourné vers le bas, DH = la moitié du diamètre. 11 faut iavoir en outre que ce qui a été démontre dans la Prop. XVl s'applique de la façon fuivante au mouvement confidéré de la figure plane: li nous donnons à la figure BCD toutes fortes de pofitions diff'érentes, la taifant tourner autour de l'axe BAC du manière à lui donner une pofition horizontale ou oblique, tandis que l'axe d'ofcillation FE demeure le même, la longueur FK du pendule ifochrone fera égale- ment invariable. Voilà ce que cette propofition nous enlèigne. Confidérons en fécond lieu le mouvement ofcillatoire d'une figure plane autour d'un axe perpendiculaire au plan de la figure, ce que nous avons appelé ofcillation latérale; par exemple celle de la figure BCD [Fig. 96] autour d'un axe paflant par le point F normalement au plan DBC. Dans ce cas il faut prendre en confidération, outre l'onglet coupé fur la figure par un plan pafiant par DD, tangente a la figure en fon plus haut point, un deuxième onglet coupé par un plan paflant par BD, tan- gente latérale à la figure et perpendiculaire à la tangente DD '). Et il faut qu'outre le centre de gravité A de la figure et la fiibcentrique MD du premier onglet, la fub- centrique LB du deuxième onglet foit également connue. En effet, de cette façon on connaitra les rectangles DAH et BAL dont la fomme, que dans la fuite nous appellerons auifi le Rectangle d'ofcillation, conftitue l'efpace qui, divi le par la dis- tance FA, donnera la diftance AK de laquelle le centre d'ofcillation K eft inférieur au centre de gravité A. ') Dans son exemplaire de l'„Horo!. ose." Huygens a substitué à cette phrase une explication plus ample de sa méthode de calcul; voir le texte latin qui suit. On peut en outre consulter le T. XVI sur des calculs de ce genre. Voici le nouveau texte latin, destiné à remplacer la partie „hic jam prater cuneum Oportetque dari": „hic jam habenda eft fiimma quadratorum à diftantijs particiilanim omnium ab refta qus per centrumgravitatis A intelligituraxi ofcillationis parallela; fecundimi ea quîB propof. 1 8 expofita fuere. Hoc eft fumma quadratonim à diftantijs abipfo A centro gravitatis, quoniam figura plana eft. Sive etiam lumma quadratorum à diftantijs tam ab refta BAC, quam ab refta DA. Conftat cnim quadratum reclîe OA, quam pono cfTc diftantiam unius cujusdam particula' à centro A, squari •per 47. lib. r quadratis diftantiarum ON, OV,quibuseademparticulaabcftare(ft:isBAC,DA*. '^-'^'"- Atqui fumma quadratorum à diftantijs ab recta BAC, a^quatur reftangulo DAH, fi DH fit fubcentrica cunei, fuper figura abfcifll per tangentem DD, parallelam * Prop. io.hui. BA *. Item fumma quadratorum a diftantijs ab recta DA aquatur rccTiangulo BAL, fi BL fit fubcentrica cunei, abfcifll per tangentem BD, parallelam AD. Oportet itaque dari. . . ." Dans son édition de 1724 's Gravesande a incorporé ce passage dans le texte conformément à l'intention de Huygens exprimée par lui („interferantur ad marginem annotata". HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 309 Quod fi figura criangiilum fuerit, vertice furfiim converlb, fit DH | diametri. Si De centro dcorHim, ^ diamccri. oscllat.on,. Quod autcm propontione i6 démon flrat uni fuit, id ad hujusmodi figura; planse motum ita pcrtincrc Icicndum. iNenipe, fi aliani atque aliam pofitioncm demus figura; BCD, invertendo eam circa axem BAC, ut vel horizonti parallela jaceat , vel oblique inclinetur, mancnte codcm agitationis axe FE, etiam longitudo penduli ifochroni FK cadcm munehit. Hoc enim ex propofitione illa manifelhim eft. [Fig.96.] Porro quando figura plana, circa axem ad planum figura: erectum. agitatur; quam vocavimus agitationem in latus; velut fi figura BCD [Fig. 96] moveatur circa axem, qui per punftum F intelligitur ad planum DHC erertus; hic jam ') prêter cuneum luper figura, qui abfcinditur piano ducfto per DD, cangentem figuram in puncto fum- mo, alter quoque confiderandus cuneus qui abicinditur piano per BD tangentem fi- guram in latcre, qusque tangenti DD fit ad rectos angulos. Oportetque dari '), prêter figurîecentrumgravitatis A, iubcentricamque HD cunei prioris, etiam fubcentricam LB cunei pofterioris. Ita enim nota erunt reftangula DAH, BAL, quîe fimul lumpta taciunc hic ipatium applicandum, quod deinceps etiam redanguhim ofcillationis voca- bitur. Quodnempe,applicatumad diftantiamFA, dabit difiiantiam AK, qua centrum ofcillationis K interius efl: centro gravitatis A. etc.) dans une note manuscrite ajoutée aux ,,Corrigenda" de la dernière page de l'édition originale (comparez la note 3 de la p. 9: qui précède). Voulant conserver aussi le texte ancien nous ne suivons pas en cet endroit l'exemple de 's Gravesande. 3IO l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE Mais fi FA eft un axe de la ligure BCD [Fig. 96, 1] on pourra, au lieu de 1 onglet d'oscil- lation. DosciL- coupé par BD fur la (igurc entière, le fcrvir d'un onglet coupé fur la demi-figure de cette Panie. DBIVI par un plan paffant par DiNI. Car fi OA e(l la lubccntriquc par rapport à DINÎ de cet onglet et NA la dillancc à la même droite DM du centre de gravité de la figure • Prop. II plane DBM, il appert que le rectangle OAN efi: égal au rectangle BAL*. De cette de cette Partie, façon la fomme des rectangles OAN et DAl I fera aufli le plan qu'il faut divifer par la dillancc FA pour obtenir la dilknce AK. La démonllration de ces dernières chofes cil manifefte par les précédentes, puifque les reftangles DAM et BAL ou DAl I et OAN, multiplies par le nombre des parti- cules de la figure, font égaux aux carrés des diltances au centre de gravité A, ou bien, ce qui efi ici la nicmc choie, aux carrés des dillanccs h un axe de gravité paral- lèle à l'axe d'ofcillation, et que par conféquent le quotient des rectangles fufdits par * Prop. if? la diflance FA nous donne la longueur de l'intervalle AK*. Centre d'' ofcillation du cercle. Or, dans le cas du cercle [Fig. 96] il ell évident que les redanglcs DAH et BAL font égaux entre eux et que leur fomme conlHtue la moitié du carré du rayon. Par conféquent fi, comme FA ell au rayon AB, ainfi ce dernier cil dit fe rapporter à une autre longueur, la moitié de cette longueur-là fera la dilknce AK du centre de gravité au centre d'ofcillation. Lorfque le cercle ofcille autour de l'axe D pris fur la circon- férence, DK fera donc égale aux trois quarts du diamètre DM. Suivant la même méthode ') nous avons aufll trouvé les centres d'ofcillation dans le cas des figures planes fuivantes; qu'il fuffife de publier les réfultats du calcul. Centre d'ofcillation du rectangle. Dans tout rectangle tel que CB [Fig. 97] l'efpace qui doit être divifé par une longueur, en d'autres termes le rectangle d'ofcillation, elt trouvé égal au tiers du carré de la demi-diagonale AC. Il s'enfuit que lorfque le rectangle cil fufpendu à un de fes angles et agité latéralement, le pendule qui lui ell ifochrone efl: égal à | de la diagonale entière '). Centre d"" ofcillation du triangle ifofcèle. Dans le cas du triangle ifofcèle, tel que CBD [Fig. 98], l'efpace qui doit être divifé par une longueur ell égal à la iS'^'nie partie du carré du diamètre BE aug- mentée de la 24ieme partie du carré de la bafe CD. ') En réalité la longueur du pendule isochrone avec le cercle suspendu en un point de sa circon férence et oscillant dans son plan avait été trouvée tout autrement; voir la p. 455 du T. XVI. Comparez le troisième alinéa de la p. 322 qui suit. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 3II Si vero FA lit axis figura BCD [Fig. 96, 1], potell, pro cuneo abfciflb per| BDCa 128). fuper fieiira tota, adliibcri cuncus liipcr litrura dimiciia IDBiM abfcilïïis piano per DM. ^f- centro OSCiLLATlONIS Nain, ii cuiiei huius fubcencrica liipcr DM fit C)A, dillaïuia vcro cencri gr. ligurae plana; DBM ab cadcm DM lit NA , a^qualc clic conlhu rcctangulum OAX rcctangulo BAL*. Icaqiie reclangukim OAN, additimi reétangulo DAM, coniHtuec quoqucProp. ii.imj. planum applicandum ad dilhntiam FA, ut liât dilbntia AK. Et horum quidcni manifclla ell dcmonllratio ex prsccdcntibus, quippc cum rc- dangulaDAlI, BAL, vcl DAII, OAN, multiplicia fecundum numerum particularum figura?, squalia iînt quadratis dilhntiarum à centrogravitatis A; livc, quod idem hic eit, ab axe gravitatis axi olcillationis parallclo; ac proinde rcétangula dicta, ad dilhn- tiam FA applicata, etliciant longitudincm intcrvalli AK *. 'Prop. iB.huj. Centrum ofcillationis Circu/i. Et in circulo quidcm rcdangula DAH, BAL,intcrre£equaliaelTeliquet,fimulque efficcrelcmillcmquadrati à Icmidiametni. Unde, Ii fiât ut FA ad femidiamctrum AB, ita ha.'c ad aliam, cjus dimidium crit dillantia AK, à ccntro gravitatis ad centrum o- Icillationis. Si igitur circulus ab axe D, in circumferentia fumpto, agitetur, erit DK itquali.s tribus quartis diamctri DM. Ad hune modum ') & in Icqucntibus figurisplanis centra ofcillationis qusfivimus, qu;K llmpliciter adfcripfille iufficiet. Ncmpe, Ccvînim ofcillationis RcclaiiguU. (/>• 129). [Fig. 9-.] In redangulo omni, ut CB [Fig. 97], fpatium ap- plicandum, five reiftangulum olcillationis, invenitur œqualetertia; parti quadrati à IcmidiagonioAC.Unde fequitur, Ii reftangulum ab aliquo angulorum lufpen- datur, motuque hoc laterali agitetur, pendulum illi ifochronum effe | diagonii totius '). Centrum ofcillationis Triangnli ifofcelis. In triangulo ifofcele, cujulmodi CBD [Fig. 98], Ipatium applicandum sequatur parti décima; odav^e quadrati à diametro BE, & vigefims quarts quadrati bafeos CD. ^) Voir sur le rectangle oscillant latéralement les p. 456, 463 — 469 et 521 — 523 du T. XVI. Dans sa lettre du 10 octobre 1664 à Moray (T. V, p. 120) Huygens parle de «rectangles sus- pendus par un des angles [comme dans le présent texte] ou par le milieu des costez". Nous ne connaissons pas de calcul antérieur à 1666 sur le rectangle suspendu par un de ses angles. 312 l'horloge À PENDULE. 1673. Du CENTRE d'oscil- lation. [Fig.980 Par conféquent, fi à partir d'un angle de la bafe l'on tire DG perpendiculaire au côté DB et coupant en G le prolongement du diamètre BE, et que A eil le centre de gravité du triangle, et fi, après avoir divifé l'intervalle G A en quatre parties éga- les, on en ajoute une, favoir KA, à BA; BK fera la longueur du pendule ilbchrone, le triangle étant fi.irpendu en Ion fommet B. Mais lorfqu'il efi: fuipendu au point milieu E de la bafe, la longueur EK du pendule ilbchrone fera égale à la moitié de BG. Il en réfulte que lorCqu'un triangle ifofcèle reftangle eft fufpendu au point milieu de la baie, il ell: ilbchrone avec un pendule ayant une longueur égale à Ton diamètre. Et que pareillement, lorfqu'il cil ililpendu à Ton angle droit, il efl: ifochrone avec le même pendule '). Centre d'ofcillation âe la parabole. Dans le cas d'un fegment de parabole limité par une droite perpendiculaire à l'axe, l'efpace qu'il faut diviler par une droite eft égal à ^fj fois le carré de l'axe plus la cinquième partie du carré de la demi-bafe. Lorfque la parabole efl fufpendue à Ibn fbmmet, on trouve pour la longueur du pendule ilbchrone une longueur de % fois l'axe + le tiers du latus recftum. Mais lorfqu'elle ell: fufpendue au point milieu de la bafe, cette longueur fera de * fois l'axe plus la moitié du latus reftimi ^}. Centre d' ofcillation du fe&etir de cercle. Si dans le fefteur de cercle BCD [Fig. 99] le rayon BC eft appelé r, le demi-arc CF/> et la demi-corde CE b, l'efpace qui doit être divifé par une droite devient égal .^b-r , c.à.d. à ^ BC' — BA% A étant par hypothèfe le centre de gravité du fefteur, car on a alors BA ibr Le feéteur étant fufpendu en B, centre du cercle dont il fait partie, le pendule ifochrone avec lui devient -, •, c.à.d. les trois quarts de la droite dont le rapport au rayon BF eu égal h celui de l'arc CFD à la corde CD. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 3': Unde, ii ab angulo baCeos ducacLir I3C , perpendicularis fuper latus DB, quae occur- De centho rac prodiic'tae diamecro BE in G; litque A centrum gravitatis triangiili; divifoque jn- "scillatioxi» tervallo G A in quatuor partes a^qualcs, una cariim AK apponatiir ipii BA; erit BK longitude pcnduli ifochroni, li triangulum fulpcndatur ex vertice B. Cum autcm ex punàto mcdije balis E (ufpenditur, longitudo penduli ifochroni l'IK aequabitur dimi- disB(î. Atque hinc liquct, triangulum iioCcclcs rettangulum, li ex punéto medije balis fiis- pendatur, ifochronuni elle pendulo longitudinem diametro lus aequalem habenti. Similiterque, li fulpcndatur ab angulo lue refto, eidem pendulo ilbchronum eiïe '). Ccntrtui! olcillationis Paraholce. In parabolœ portione redla, fpatium applicandura sequatur ,V-j quadrati axis, una cum quinta parte quadrati dimidise balis. Cum|que parabola ex verticis puncto fufpen- Ca ^1°)- fa ell:, invenitur penduli ifochroni longitudo i axis, atque infuper 4- lateris recti. Cum vero ex puncto medije balis fufpenditur, erit ea longitudo i axis, & infuper i- lateris redti ^-)- Centrmn ojcilkitîonis Se&oris circtiH. [fig- 99-] h In circuli feétore BCD [Fig. 99], li radius BC vocetur v: femiarcus CF, p: femifubtenfa CE, b: fit fpatium ap- plicandum sequale i/v xbhrr , - -, hoc 9PP elt, dimidio quadrati BC, minus qua- drato BA; ponendo A elfe centrum gravitatis feéloris. 'l'une enim BA 30 '^ br ' — . Si autem lufpendatur l'eftor ex B, centre circuli fui, fit pendulum ipli ifochronum ^^^ hoc ell, trium quar- tarum reftse, quae lit ad radium BF ut arcusCFDad fubtenfam CD. Hsec autem inveniuntur cognitis fubcentricis cuneorum; ') Ce résultat fut déjà obtenu en 1664; voir la p. 456 du T. XVI. Consultez aussi sur le triangle les p. 452—454, 462 et 522—525 du T. XVI. -) Voir sur le centre d'oscillation d'un segment de parabole l'Appendice II à la Pars Quarta qui suit. 40 ; 1 4 l'horloge \ PENDLLE. I 673. Di- CENTRE On obtient ces réiultats lorfqu'on connaît les fubcentriques des onglets, tant de celui Lvnôx '■1"^ ^'^ coupé llir le feôteur total par un plan pallant par liK parallèle à la corde CD (nous trouvons que la fubccntriquc par rapport à BK de cet onglet cil "^ — "^ + •'^ , en appelant a le finus verfus EF}, que de celui qui elt coupé fur le dcmi-fetteur BFC par un plan palFant par BF (nous trouvons que la fubcentrique de cet onglet-là par rapport à BF eft ^^ ~^+ f J) ")• Mais on trouve aufli le centre d'oicillation du fedeur d'après une autre méthode plus facile qui eft la fuivante. Soit le fedeur BCP [Fig. loo], qui peut êtreconlidéré comme un triangle, une tort petite partie du fedeur BCD. Or, les carrés des diftan- ces de Tes particules au point B ion: égaux aux carrés des dillances à la droite BR qui divife le fefteur en deux parties égales plus les carrés des diftances à la droite BQ perpendiculaire à BR. Mais le rapport de ces derniers carrés aux premiers eft ftipé- rieur à tout rapport donné, puiique l'angle CBP eft extrêmement petit; par confé- quent les premiers peuvent être confidérés comme nuls. Prenons BO égale aux deux tiers de BR, ce qui revient à prendre O comme centre de gravité du triangle BCP, et BN égale aux trois quarts de BR, de forte que N eft le centre de gravité de l'onglet coupé fur le triangle BCP par un plan palfant par BQ. Ceci étant polé, il apparaît que les carrés des diftances des particules du triangle BCP à la droite BQ font égaux au rectangle NBO multiplié par le nombre des particules du même triangle. Par con- féquent le rectangle NBO multiplié par ce nombre doit être eftimé égal aux carrés des diilances au point B des particules du triangle BCP. Or, les carrés de ces diftan- ces font aux carrés des diftances du l'eéteur entier BCD, comme le lecteur BCP eft au fecteur BCD, en d'autres termes, comme le nombre des particules du ledteur BCP eft à celui des particules du i'eCteur BCD: c'eft ce qu'on comprend facilement en longeant que le iefteur BCD peut être divifé en fetteurs tels que BCP. Par con- féquent le rectangle NBO, multiplié par le nombre des particules du fecteur BCD, fera égal aux carrés des diftances au point B de ces particules. Le rectangle NBO, divil'é par BA qui eft la diftance du point de lufpeniîon au centre de gravité du fec- teur, donnera donc la longueur du pendule ifoctirone lorl'que le fedeur eft fufpendu • Prop. i: en B*. Or, le reftangle NBO eft égal à ~r- et la diftance BA, comme nous l'avons de cette Partie. o^/- o/)/- déjà dit auparavant, à ■" . Par la dividon on obtient donc -j- pour la longueur du pendule ifochrone, comme nous l'avions aulli trouvé plus haut. ') Comparez le calcul des p. 487 — 489 et 524 — 529 du T. XVI. On trouve un autre calcul sur le secteur de cercle aux p. 489—490 du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 315 t>im illius qui fiiner feclnre toto abfcinditur, piano dudo per BK parallelam fubtcnfae De cxntro -j^ OSCILLATION IS CD, cujiis cunci fuhccntricam fuper HK invcnimus elTe Ir — ^a -\- ^^j , vocando a (înum vcrfum EF; tum illius qui fupcr dimidio lecftore BFC abl'cinditur piano pcr BF, cujus ncmpe cunci fubccncricam Tupcr BF invenimus ^ù - -g^ + -J^-- '). [Fig. 100.] Sed & alia via, fectoris ccncrum o- Icillationis, facilius invenitur, qua: eft hujusmodi. Incelligatur ledtoris BCD [Fig. 100] pars minima fcclor BCP, qui trianguli loco haberi poteft. Qua- drata autcm, à dilkntiis particularum ejus à puntto B, cequalia iunt quadra- tis diflantiarum ab recta BR, bifariam leftorem dividente, una cum quadratis diftantiarum ab reda BQ, quse ipfi BR efl ad angulos rectos. Sed,horum qua- dratorum ad illa, ratio quavis data eft major, quoniamangulusCBPminimus; ideoque illa pro nullis habenda funt. Pofitâ vero BO duarum tertiarumCA 'sO- BR , hoc elt , pofuo O centro gravitatis trianguli BCP; & BN trium quartarum BR: ut nempeN lit centrum gravitatis cunei, Tuper trianguli BCP abfciiTi piano per BQ. His politis, conilat quadrata, à diflantiis particularum trianguli BCP ab recta BQ, jequari redangulo XBO multiplici lecun- dum particularum ejul'dem trianguli numerum. Itaque reftangulum i\BO, ita multi- plex, aequale cenlendum quadratis dillantiarum à pundo B particularum trianguli BCP. Sunt autem quadrata dillantiarum harum . ad quadrata dillantiarum totius feifto- ris BCD, ilcut fector BCP ad feftorem BCD, hoc ell, lîcut numerus particularum feftoris BCP, ad numerum particularum leftoris BCD; hoc enim facile intelligitur, eo quod feftor BCD dividatur in ieétores qualis BCP. Ergo reélangulum NBO, mul- tiplex fecundum numerum particularum lectoris BCD, sequale erit quadratis dillan- tiarum particularum ejus à punCto B. Ideoque reClangulum NBO, applicatum ad BA, diflantiam inter fufpenfionem & centrum gravitatis fectoris, dabitlongitudinempen- duli ifochroni, cum ieCtor ex B fufpenditur *. Eft autem reclangulum NBO oo i rr: *Prop. ir.hui. diftantia autem BA, ut jam antediximus, xi . Unde, facla applicatione, oritur 2^, longitudo penduli ifochroni, ut ante quoque inventa fuit. 3l6 l'horloge X PENDULE. 1673. p'osciL-^'^'^^ /,<' Centre d''fifcillatioi] du cercle, autr émeut que ci-dejjus. De la même manière on peut auiïi trouver fort fimplcmcnt le centre d'ofcillation du cercle. Conlîdérons en effet le cercle (tCF à centre B [Fig. i o 1 ], et dans ce cercle le lecteur extrêmement petit BCP, comme nous l'avons tait plus haut dans le cas du fedeur BCD. Comme alors, luivant ce que nous venons d'cxpofer, les carrés des diftances des particules du lecteur BCP au centre B font égaux au rectangle NBO, c.à.d. à la moitié du carré du rayon multiplié par le nombre des particules du lecteur, et que le cercle eft entièrement compofé de fefteurs de ce genre, il en réfulte que les carrés des diflances des particules du cercle entier au centre B feront égaux h la moitié du carré du rayon multiplié par le même nombre, celui des particules du cercle. Or, B eft le centre de gravité du cercle. Par conféquent la dite moitié du carré du rayon léra ici l'efpace qui doit être divifé par la dillance du point de fufpenlion au centre B pour obtenir l'intervalle dont le centre d'ofcillation efl inférieur au centre - Prop. le B*, ce qui s'accorde avec le réfultat trouvé plus haut. de cette Partie. Le Centre d'ofcillûtion de la circonférence du cercle. Le centre d'ofcillation de la circonférence de cercle ell trouvé encore plus facile- ment par cette méthode. Conlidérons une circonférence décrite du centre B avec le rayon BR [Fig. 102]. Le carré de BR, multiplié par le nombre des particules dans lefquelles la circonférence peut être divifée par la penfée, elt donc égal aux carrés des diflances de toutes ces particules au centre B. BR- fera par conféquent ici l'es- * Prop. 18 pace qu'il faut divifer par une droite *. Et il reiïbrt de là que lorfque la circonférence de cette Partie, çfj- fufpendue au point G fitué fur elle la longueur du pendule ifochrone el1: égale au diamètre GF '). Le Centre d'ofcillation des polygones réguliers. On trouve femblablement le pendule ifochrone correfpondant à un polygone ré- ') Voir sur In méthode de calcul qui avait fait connaître en 166413 ionguei'r du pendule isochrone avec la circonférence de cercle suspendue en un de ses points et oscillant dans son plan les p. 455 du T. XVI et 152 du T. XVII. Cette méthode est d'ailleurs mentionnée dans le dernier alinéa de p. 318. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. V7 Ceiitnon ofcilUttiriuis Circiili, aliter quam fiipra. [Fig. loi.] [Fig. 102.] De centro oscillation15 Eodem modo etiam fimpliciflime, in circule, centrum ofcillationis in venire licet. Sic enim circulus GCF, cujus centrum'B [Fig;. loi]; fecT:orque in eominimusintelli- gatiir BCT, lIcuc ante in lectore BCD. Cum ii^itur, Iccundum modo expofita, quadrata, à diilantiis particularum iectoris (/». 132). BCP ad centrum B, œquentur reftangulo NBO, hoc efl:, dimidio quadraco radii, multiplici iecundiim l'eàtoris ipfiiis particularum numerum; circulus autem ex cjus- modi leétoribus componatur; erunt proinde quadrata, à diltantiis particularum circuli totius ad centrum B, a.'qualia dimidio quadrato radii, multiplici lecundum numerum earimdem circuli particularum. Efl: autem B centrum gravitatis circuli. Ergo diftum dimidium quadratum radii, hic erit ipatium applicandum dilbutis inter iufpenfionem & centrum B, ut habeatur intervallum, quo centrum ofcillationis inferius q\\ ipfo centre B*. quod & lupra ita*Prop. is.huj. fe habere oilendimus. Centrum ofcillationts Peripherie circuli. Facilius etiam, centrum olcillationis circumfercntis circuli, hoc | pafto reperitur. (/•• 133)' Efto enim circumferentia dcfcripta centre B, radio BR [Fig. 102]. Quadratumigitur BR, multiplex lecundum numerum particularum in quas circumferentia divila intelli- gitur , aequatur quadratis à diftantiis omnium earum particularum ad centrum B. Quare quadratum BR erit hic ipatium applicandum*. Patetque hinc, (î rulpenfio fit ex G, Trop, is.huj. punclo circumferentia?, penduli ifochroni longitudinem asquari diamètre GF '). Centrum ofcillûtionis Polygononiin ordinatoruni. Haud abfimiliter & polygone cuivis ordinato, ut ABC [Fig. 103], pendulum ifo- D OSCIL- LA riox 318 l'hORI.OGE A PENDULE. 1673. Du CENTRE gulier quelconque tel que ABC [Fig. 103]. En effet, refpacc qu'il faut divifer par une droite devient égal à la moitié du carré de la perpendiculaire ahaiffée du centre fur le côté du polygone plus la vingt-quatrième partie du carre du côté. i\Iais (1 Ton cherche le pendule ifochrone avec le périmètre du polygone. Tcfpace qu'il faut di- vifer par une droite devient égal au carré de la perpendiculaire du centre fur le côté augmenté de la douzième partie du carré du côté '). Ufagc du liai plan et du lieu folide dans cette théorie. Outre cela la contemplation des lieux n'efl pas défagréable en ces chofes. Qu'on demande par exemple, étant donné le point de fufpenlîon A et la longueur AB [Fig. 1 04], de trouver le lieu de deux poids égaux C, D, également diftants de A et de la perpendiculaire AB, qui foient ifochrones, en ofcillant autour de Taxe A per- pendiculaire au plan paffant par ACD, avec le pendule fimple de longueur AB. Pofons AB = ^, et après que nous avons tiré CD coupant AB en E à angles droits, foit AE, grandeur indéterminée, = x et EC ou ED = y. Par conféquent AC = .r" -f v'. Or, cette expreffîon, multipliée par le nombre des particules des poids C et D, qui font confidérés ici comme extrêmement petits, eft égale aux carrés des diflances de ces mêmes particules de l'axe de fufpenfion A. La divifion de AC- ou X' + j' par la diftance AE de Taxe de fufpenfion au centre de gravité des poids V' 4- y* • Prop. 17 C, D, donnera donc la longueur " ~ du pendule ifochrone *, qui par hypothèfe de cette Partie. •*'' V^ + V" doit être égale a AB ou a. Donc " — - = ^, et y- = ax — x'. D'où il apparaît que le lieu des points C et D efl: une circonférence de cercle dont le centre F efl: ficué au milieu de AB et dont le rayon c(\: ~a ou FA. Par conféquent, en quelques points de la circonférence ACBD que deux poids égaux également diflants de A foient placés, ils feront ifochrones, en ofcillant autour de A, avec vm pendule ayant une longueur égale au diamètre AB '}. Il eft encore manifcfle par là que la circonférence ACBD, fuppofée pefante, et ') Voir sur la méthode bien plus laborieu.se qui .servit en 1664 à calculer la longueur du pendule isochrone avec un hexagone régulier oscillant dans son plan les p. 495—496 du T. XV'I. Nous y avons déjà remarqué que le 12'""= anagramme de 1669 donne la formule correspondante pour un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés. ') Comparez les p. 447 du T. XVI et 152 du T. XVII. HOROLOGIUM OSCIF-LATORIUM. 1673. 3»9 [t'ig. 103.] De centro oscillaiio.nij chronum invcnitur. Fit enim, fpatium applicnnduin, cequale lemilli quadrati perpen- dicularis ex centro in latiis polygoni, una cum vigefima quarta parte quadrati luceris. At, li pcrimetru polygoni pendulum ilbchronum qua;ratur, fit fpatium applicanduina;- quale quadrato perpendicularisà centro in latus ,cum duodecima parte quadrati lateris '). Lociplani & j'olidi ufus in hac Theoria. Eli praiterea & Locorum contemplatio in his non injucunda. Ut lî propofitura fit, dato punfto fufpenfionis A, & longitudine AB [Fig. 104], invenire locuni duorum ponderum a;qualium C, D, a;qualiter ab A & h perpendiculari AB diihntium, quse agitata circa axem in A, perpendicularem piano per ACD, ifochrona fint pendulo limplici longicudinis AB. Fonatur AB oo ^/, ductàque CD, qus fecet AB ad angulos reftos in E, lit AEin- decerminata co .r : EC vel ED co y. Ergo quadratum AC oo .y.t + yy. Hoc vero multiplex lecundum numerum particularum ponderum C, D, quîehicminimaintelli- guntur, a;quatur quadratis dilkntiarum earundem particularum ab axe | fulpenfionisC/». 134)» A. Ergo quadratum AC, llve .v.v + vv, applicatum ad diihntiam AE, quae nempe ». 'V'V ■ I 'VV eil inter axcm luipenfionis & centri:m gravitatis ponderum C, D, efficiet • - , longitudinem penduli ilbchroni*; quam propterea oportet a^qualem elle AB five /?.* Prup.17.hu . Itaque ^-^ — ;-^^ oo a. Et yy oo ax — xx. Unde patet, locum punctorum C & D, efle circumferentiam circuli, cujus centruni F, ubi AB bifariam dividitur, radius autem oo 4^/, live FA. Ergo, ubicunquc in circumferentia ACBD duo pondéra ■£- qualia, cequaliter ab A dillantia, ponentur, ea, ex A agitata, ifochrona erunt pendulo longitudinem habenti jequalem diametro AB '). x^tquc hinc manifclhim quoque, & circumferentiam ACBD, li gravitas ei tribuatur, !20 l'horloge À PENDULE. 1673. Dl centre d'oscil- lation. une portion quelconque d'elle divi- fée en deux parties égales par le point A ou B,cll: ifochrone avec le mcine pendule A13 lorfqu'ellc ell lufpcndue à l'axe pall'ant par A '). Donnons maintenant un exem- ple d'un lieu lolide. Soit AN [Fig. 105] une ligne inflexible et impon- dérable et qu'on demande d'attacher à elle à angles droits en un point pris fur elle tel que M une ligne ou \crge pondérable OIML divifée en deux parties égales par le point M, dont les ofcillations latérales, A étant le point de fulpcniion, loient ifochrones ax'ec un pendule iîmple de longueur AN. 'i'irons OH pai-allèlement à AN, et AM parallèlement à OM; et Ibit OR = | OL. OR fera par coni'équent la fubcentriquc de l'onglet coupé fur la droite OL par un plan paflant par OU. Mais la fuhccntrique du iecond onglet coupé fur la même droite OL par un plan pallant par la droite AI! (onglet qui n'ed autre chofe qu'un rectangle) fera la droite AN. Par coniéquent le rectangle que nous avons appelé plus haut reftangle d'ofcillation, fera feulement le rectangle OMR. Celui-ci, divii'é par la longueur AM, donnera la dillance de laquelle le centre d'ofcillation de la ligne OL fufpendue en A ell inférieur au point I\L Soit maintenant AN = a, AM = .r, MO ou ML = y. Le reftangle OMR eil donc égal à i y'. La divilion de cette expreflion par AM donne \ —. Cette longueur devra donc être égale à MN, puifque nous voulons que le centre d'ofcillation de la Y" verge OL foit en N. L'équation devient donc égale à i - + x = a. D'où l'on tire y = |/3<3x — 3.V'. Ce qui lignifie que les points O et L fe trouvent fur une ellipiè dont AN ell le petit axe, tandis que le latus reélum par rapport aux ordonnées per- pendiculaires à l'axe ell le triple de AN. 11 en rél'ulte manifellement, puifque toute verge parallèle à OL et ayant les ex- trémités fur cette ellipfe exécute des ofcillations ifochrones avec le pendule iimple AN, que le plan entier de l'elliple fufpendu en A et ofcillant latéralement fera égale- ment ifochrone avec le jtendule A.\. lit il en fera de même pour une partie de l'elliple limitée par une ou deux perpendiculaires a AN '). Nous ajouterons encore un deuxième exemple d'un lieu plan dans lequel fe ren- contrent quelques choies dignes d'être remarquées. ') Voir la note i de la p. 316. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 321 & quamlibcc ejus portionem, œqualiter in A vel B diviiam, & ab axe per A fufpenfam. De centro eidem pendulo AB iibchronam effe '). oîcillatioms Loci vero folidi exemplum ello hujusmodi. Sit AN [Fig. 105] linca inflexilis lîne pondère. Propolitinnque lit, ad punttum in ca acccptum, ut M, aftigere ipfiadangu- los reftos lineam, feu virgam, pondère prxditamOML, ad INI bifàriam diviiam, cuju^ inlatusagitatceorcillationes,cx rulpenlione A, ifochronœ lint pendulo limplici longi- tudinis AN. Ducatur OH parallcla AN, & AI I parallela OM, & fit OR œqualis l OL. Itaque cunei liiper reôta OL, ablcifli piano per 01 1 dufto, fubcentrica erit OR. Sed cunei altcruis luper eadem OL, abfcilTî piano per rertam Ali, (ell auteni cuneus hic nihil aliud quam rectangulum) lubcentrica erit ipfa AINL Quare redangulum illud, quod lupra Ofcillationis vocavimus, erit Iblum redangulum OMR. quod nempc, applica- tuni ad longitudinem AM, dabit dilhntiani ccntri ofcillationis line^e OL, ex A fus- penlie, infra pundum M. Sit jam AN 30 a: AM 30 x: MO vel ML 3o y. Eft ergo reftangulum OMR 00 (/>. 135). I w \yy. quo applicato ad AM, fit -=^. quae longitude itaque ipfi MN cequalis effe de- 3.T bebit, cura velimus centrum ofcillationis virgœ OL effe in N. Fit ergo a:quatio -^ 3^ + .V co a. Unde-v od y ^ax — "^xx. Quod fignificat puncta O & L effe ad Ellip- lin, cujus axis minor AN; latus redlum vero, fecundum quod poffiint ordinatiraad axem hune applicata;, ipfius AN triplum. Mine vero manifertum fit, cum omnis virga ipli OL parallela, & ad Ellipiin hanc [Fig. 106.] terminata, ofcillationes ifochronas habeat pendulo limplici AN, etiara totum EUipfeos planum, ex A fufpcnfum & in latus agita- tum, ipli AN pendulo ifochronum fore. Sed & partem EUipfeos quamlibet, quœ lineis una vel duabus, ad AN pei-pendicularibus, abfcindetur '). Cteterum adfcribemus & aliud loci plani exemplum, in quo nonnulla notatu digna occurrunt. -) Comparez les p. 444 — 446 et 540 — 541 du T. XVl. 41 322 l'horloge à pendule. 1673. Du CENTRE d'osol- LATIOX. Soit fufpenduccn A la verge impondérable AB [F^ig. 106] et qu'on demande d'at- tacher à un point B donné fur elle deux triangles égaux et écartés d'un même angle de l'axe AB, tels que leurs angles auprès de B étant confidérés comme extrêmement ou plutôt infiniment petits ils exécutent des olcillutions ilbchrones avec un pendule limple de longueur donnée AL '). On trouve dans ce cas, après avoir tiré CG perpendiculairement à BG et pofé AB = «, AL = Z», BG = X, CG = y, l'équation X' y = ]/■ 2ab — 2«' — ^ ax + ^ bx d'où il redbrt que les bafcs C et D des triangles conlîdérées ici comme punftifonTies fe trouvent llir une circonférence de cercle [Fig. lo"], puifque la formule contient le terme fans fadeur — .r.v. Or, on peut obferver dans ce cas que fi • 136). ca pundtum B, affigcrc triangula duo paria, & paribus angiilis ab axe AB recedentia. De centro quorum anguli ad 15 minimi, (ive infinité parvi exiftimandi, quaque, ita fufpenfa ab "'"^"-' -^■^'°''''* A, olcillationcs ifochronas facianc pcndulo fimplici dacœ longitudinis AL '). [Fig- '°7-] [Fig. 108.] Hic, ducla CG pcrpendiculari in BG, & ponendo AB oo a; AL xi h; BG 05 .r,- CG 00 y: invenitur squatioi' do ]/' lah — laa — lax + ibx — xx. ex qua pa- tet, bafes triangulorum C, & D, qua; bafcs hic ut pun'fta confiderantur, efTe ad cir- culi circumferentiam [Fig. 10^]; quia nempe habetur terminus fimplex — xx. Licec autem hic animadvertere, quod fi a fit nihilo a^qualis, hoc efl, fi punclura, ubiaffigunturtrianguH BC,BD,fit idem cum punclo A; tura futura fit œquatio v O) l/fZ'A- — XX. Ac proinde, hoc cafu, fi fumatur AO oo \h, hoc ell, o) | AL, cen- troque O per A circukis defcrihatur ADN; erunt bafes triangulorum AC, AD, ad illius circumferentiam. Cum igitur quœlibet duo triangula acutiflîma, qus ex A ad circumferentiam ACND conllituuntur, magnitudine & fitu fibi relpondentia, cen- trum olcillationis habeant punftimi L,pofitâ AL do fdiametri AN;cumquecirculus totus ex cujusmodi triangulorum paribus componatur; uti & portio eiusquslibet,ut ACND, latera AC, AD squalia habens; manifellum efl, tum circuli totius, tum portionis qualem diximus, centrum olcillationis eiïe in L. Rurfus, fi in a;quatione inventa ponatur la do ih, feu 2^z do Z'; hoc eft, fi trian- gula affigi intelligantur in B, quod longitudinem AL fecet bifariam [Fig. 108], erit .■V 00 )/ laa — XX. quse œquatio docet, quod fi centro B, radio qui polîit duplum BA, circumferentia delcrihatur, ea erit locus bafium triangulorum acutilîimorum BC, BD,| quorum nempe, ex A fufpenforum, centrum ofcillationis erit L punclum.CA i37> Cumque & circulus totus, & feftor ejus quilibet , axem habens in recla AL, ex hujus- modi triangulorum paribus coraponatur,manifertumeft&horum, ex A fufpenforum, centrum ofcillationis effe pundtum L. 324 l'horloge X PENDULE. 1 673- Dv CENTRE Conféquemment un fecteur de cercle quelconque, lufpendu en un point diftant du centre de fon cercle d'une longueur égale à la moitié du côté du carré infcrit à ce cercle, aura un pendule ilbchrone égal en longueur h ce côté entier. Et ainfi, dans ce feul cas, en trouve un pendule ilbchrone avec le ledeur indépendamment de la dimenfion de ion arc. Enfin, lorfqu'il s'agit de la conilruclion univerlelle de la première équation DOSCIL- LATIOX. y = \/2ab — ia"" — ^ax + ^bx — x'; il faut divifer AL [Fig. 109] en deux parties égales en E, et ajouter à BE fa tierce partie EF; alors F fera le centre du cercle que l'on doit décrire en prenant un rayon FO, dont le carré efl égal à 2CAE= — EF^. Si l'on prend alors une paire de triangles infiniment aigus, tels que BC et BD, ayant leur fommet commun en B, leur centre d ofcillation, lorlqu'ils font fufpendus en A, fera L. Et il ell manifefte que L fera également centre d'ofcillation d'une portion quelconque du cercle décrit ayant fon Ibmmet en B et fon axe fur la droite AL, telle que l'enfemble des deux figures CBD, la fufpenfion étant toujours en A. Ceci s'applique aullî aux ieçments de cercle KON et KMN limités par la droite KBN perpendiculaire à AB. Qu'il fuffife d'avoir remarqué ces chofes du mouvement latéral des plans et des lignes. Nous y ajoutons feulement encore ceci que lorfqu'nn a trouvé les centres d'ofcillation des figures droites, c.à.d. fymétriques par rapport à l'axe , comme du triangle ifofcèle ou du fegment droit de parabole, on connaît également ceux des figures obliques pro\'cnant des figures droites pour ainli dire par luxation, comme il en efl du triangle icalcne et du fegment oblique de la parabole. Comme par exemple, lorfqu'on luppofe le triangle ifofcèle BAC à axe AD fufpendu au point E [Fig. 1 1 o], et qu'on confidcre en outre le triangle fcalène FAG ayant le même axe AD et une bafe FG égale à la bafe BC, je dis que ce triangle-là, fufpendu en E, eft ifochrone avec le premier BAC. En effet, comme une verge ou ligne pefante FG, attachée en D à une verge im- HOROLOGIUM OSCILLATORICM. 1673. 325 [Fig.109.] De centro oscillatioms Adeoque quilibet circnli feétor, fufpenfus à punfto quod diftec, à centro circuli fui, femide laceris quadrati circulo inlcripti,pendulumirochronumhabebictotieidem lateri asquale. Atque ita, hoc uno caru,abfque pofita dimenfione arcus, pendulum fedlori ifochronum invenitur. Porro, ad univerfalem conilructionem asquationis primse, ■v 00 \/ lab — laa — \ax + \hx — .t.v, dividatur AL [Fig. 109] bifariam in E, & adponatur ad BE pars fui tertia EF; erit- que F centrum defcribendi circuli; radius autem FO œqualisiumendusei,qu$potefl: duplum difleremiîe quadracorum AE, EF. Si itaque, ex puntto B, ad defcriptani circumferentiam triangula duo paria acutifli- ma conftituantur, ut BC, BD; illoruni, ex A | fufpenforum, centrum ofcillationls erit L. Quarc & portionis cujuflibet defcripti circuli, cujus portionis vertex fit in B,(/'. 138). axis vero in refta AL, quales funt utraque CBD; pofita fufpenfione ex A; centrum ofcillationis idem punc1:um L elTe conftat. Atque adeo etiam circuli fegmentorum KON, KMN, qu£e facit recta KBN perpendicularis ad AB. Et hîecquidemdemotu lateraliplanorum, ac linearum, animadvertifle lufficiat. Quibus hoc tantum addimus; inventis centris ofcillationis figuram rectarum , feu quse îequaliter ad axem utrinque conilitutîe funt; ut trianguli ifofcelis, vel parabolicse feftionis redtaî; etiam obliquarum, qus velut luxatione illarum efficiuntur, ut trianguli fcaleni, & parabole non rectœ, centra ofcillationis haberi. Ut fi, exempli gratia, triangulum BAC ifofceles [Fig. 110], cujus axis x\D, à punClo E fufpenfum intelli- gatur; fit vero & aliud triangulum fcalenum FAG, axem eundemhabens AD, & bafin FG sequalem bafi BC; etiam hoc triangulum, ex E fufpenfum, priori BAC ifo- chronum elfe dico. Quia enim virga, feu linea gravis, FG,affixa virgs fine pondère ED in D, fitu 326 l'horloge X PENDULE. I 673- Du CENTRE pondérable ED et fufpendue obliquement au point E, eft ilbchrone avec la verge D'osciL- BC attachée de la même manière en D*, et que la même choie efl: vraie pour les lation. . •Prop."i6 autres verges de chaque triangle qui coupent Taxe AD aux mêmes points et font de cette Panie. égales entre elles, il ell néceflaire que les triangles entiers, lefquels peuvent être con- lîdérés comme compofés de ces lignes ou verges, foient ifochrones '). Pour les autres figures la démonftration efl; femblable. PROPOSITIONXXII. Comment on trouve les centres d" ofcillation dans les figures folides. Daus les corps folides au(lî on trouvera facilement le centre d'ofcillation à l'aide des théorèmes démontrés plus haut. En effet, fi un corps ABC [Fig. 1 1 1] efl: fus- pendu h l'axe paflant par le point E perpendiculairement à cette page et que le centre de gravité efl: F, qu'on mène par F les plans EFD, GFH dont le dernier efl parallèle à l'horizon et dont l'autre paflè par l'axe E et qu'on cherche d'après la Prop. XIV les fommes des carrés des diftances des particules du corps ABC au plan GFIl,et de même au plan EFD, c.à.d. deux reftangles qui, multipliés par le nombre des dites particules, font égaux aux dites fommes. Ces reètangles divifés par la diflancc EF entre l'axe de fufpenfion et le centre de gravité donneront l'intervalle FK duquel le centre d'agitation K efl inférieur au centre de gravité F. Ceci cft clair d'après la Prop. XVIII. Nous en donnerons auiïi quelques exemples. T^e centre d'ofcillation de la pyramide. Soit d'abord [Fig. 1 1 2] une pyramide ABC k fommet A et axe AD, dont la baie foit un carré de côté BC. Et iuppofons que ce corps ofcille autour d'un axe paflant par le fommet A perpendiculairement au plan de cette page. ') Ce raisonnement est fort plausible; toutefois ce n'est pas une véritable démonstration. On peut prouver rigoureusement que, puisque d'après la Prop. XVI citée la ligne basale du triangle ,\FG oscille avec la même période que celle du triangle ABC, les deux triangles eux-mêmes seront isochrones: d'après la „méthode des trois quarts" (T. XVI, p. 362 — 367) le pendule isochrone avec l'un et l'autre sera égal au produit de J par la longueur du pendule isochrone avec l'une ou l'autre ligne basale. Toutefois cette démonstration ne s'applique pas au cas du segment droit de parabole. Voir aussi sur ce sujet la p. 50 de l'Avertissement. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 327 De centr.0 oscillationis obliquo, lurpenfaqiie ex E, ifochrona crt virgae BC, fimilicer in D aflixE*; idemque'Prop.iô.huj. evenic in virgis cseceris trianguli utriusquc, qua; axeni AD fecant in iisdem punctis, atqiic inter le a.'quales funt: neceiïc cil cota triangula, quœ ex lincis, feu virgis iisdem compolka intelligi poflunt, ilbchrona eiTe '). In aliis fîguris iimilis ert denionilratio. PROPOSITIO XXII. (A 139). Qtiomodo^ in fulidis figuris^ ofcillationis centra inveniantur. In folidis porro figuris facile quoquc, per ante demonltrata, cencmm ofcillationis invenire licebit. Si enini lit folidum ABC [Fig. m], fufpenfum ab axe, qui, per punétura E, intelligitur hujus pagina piano ad rcétos angulos; centrum aucemgravi- tatis fit F: ductis jam per F planis EFD, GFH, quorum pollerius fit horizonti'paral- lelum, alteruni vero per axem E tranfeat; inventisque, per propofitionem 14, liim- mis quadratorum à diilantiis particularum folidi ABC à piano GFM, itemque à piano EFD; hoc eil, inventis reftangulis utrisque, qu£e,mukiplicia fecundum numcrum diftarum particularum, squaliafint diftis quadratorum fummis; reclangula hsec ap- plicata ad diilantiam EF , qua nempe axis fufpenfionis diilat à centro gravitacis, dabunt intervallum FK, quo centrum agitacionis K inferius eft centro gravitatis F. Hoc enim patet ex propofitione 1 8. Dabimus autem & horum exempla aliquot. Centrum ofcillationis in Pyramide. Sit primum ABC [Fig. 1 1 2] pyramis, verticem habens A, axem AD, bafin vero quadratum, cujus latus BC. ponaturque agicari circa axem qui, per verticem A, fit hujus pagina piano ad angulos reftos. 328 l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE Ici la figure plane proportionnelle OVV qu'il faut placer à côté du corps d'après la l'*tion Prop. XIV conlîltera en des réddus paraboliques OPV, c.à.d. en ce qui refte des rectan- gles nP loriqu'on en ôcc les demiparaboles 0\'f2 ayant leur fonimct commun en O. En effet, comme font entre elles les feétions BC, NX de la pyramide, ainli ibnt aulïi entre elles les droites \'V, RR qui leur correfpondent dans la figure plane; et attendu que le centre de gra\'ité E cft litué du ibmmet de la pyramide à la dilhmce de J AD, le centre de gravite F de la ligure OX'N^ fera donc également diltant du tbmmet O de trois quarts du diamètre OP. Confidérons enfuite le plan horizontal NE paflant par le centre de gravité de la pyramide -ABC et coupant la figure 0\'\' luivant RF, et cherchons la fubcentrique OG de l'onglet coupé fur la figure OV\'^ par un plan paiT'ant par Oi> (on trouve OG = 4 du diamètre OP); le rectangle OFG, multiplié par le nombre des particu- • Prop. 10 les de la figure OVV, fera égal aux carrés des diftances à la droite RF* et par con- Uecetie Partie. féqyer,f ayfj] ^^^ carrés des diftances au plan IVE, des particules du corps ABC. Or, le rectangle OFG devient égal à ^g ibis le carré OP ou AD. Enfuite, pour trouver la somme des diflances au plan AD, il faut connaître d'abord la fubcentrique de l'onglet coupé fur la bafe carrée de la pyramide BC par un plan pafTant par la droite en B parallèle à l'a.xe A. Soit BK cette fubcentrique laquelle ell égale à |BC. Il faut connaître de même la diflance à OP du centre de gravité de la demi-figure OPV; soit cette difîance (pP laquelle efl égale à j-%PV. Après cela, ii l'on divife PV en deux parties égales en A et que, comme j^P elt à P, c.à.d. comme 5 ell à 3, on prend le rectangle BDK, qui vaut y'^BC, à un autre efpace Z, ce der- nier, multiplié par le nombre des particules du corps ABC, fera égal aux carrés des • Prop. 15 diflances au plan AD *. Or, iFapparaît que l'efpace Z devient égal à ^'^BC". Je cette Partie, fj s'enfuit que l'efpacc entier qu'il faut divifer par une droite eil égal ici à ^^g ^D' -f ^'ôBC'. Par conféquent, fi la fufpenfion eft en A, fommet de la pyramide, comme nous l'avons fuppofé, et que la droite dont nous parlions efl donc AE ou |AD, il en réfultera que ES, intervalle dont le centre d'agitation eil fitué au-deffous du centre de gravité, ell égal à j'gAD augmenté de y 5 de la trotième proportionnelle a AD et BC. En d'autres termes la longueur AS entière fera égale à f AD plus la dite quinzième partie de la troifième proportionnelle. i HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 329 [Fig. 112.] il 0 n. A. / \\. ' \ / • \ De centro OSCILLATIONIi V » K 140). Hic figura plana proportionalis OV V, à latere adponcnda , lecundum propofitionem 14, conllabit ex refiduis parabolicis OPV, quae nerape iuperfuiu, cimi, à rectangulis il[\ autcruntur Iciniparabola^ OVû, vcrcicem habcntes O. Siciu enim intcr le fediones pyrumidis BC, NN, ita quoque recta; \'V, RR, iplîs(A in figura plana relpondenccs. & lient centrum gravitacis E diilat, à vercice pyramidis, tribus quartis axis AD, ita quoque centrum gravitatis F, figurée 0\^V,diftabit tribus qnartis diametri OP à vertice O. Intellecto porro horizontali piano NE, per centrum gravitatis pyramidis ABC, quod idem figuram OVV lecet fecundum RF; inventâque fubcentricâ cunei, iuper figura OVV abfcilli piano per Oii, qua; fubcentricâ fit OG (efl autem 4 diametri OP) erit reclangulum OFG, multiplex per numerum particularum figura; 0V\', tequale quadratisdiflantiarumab recta RF *, ac proinde quoque quadratis diflantiarum à piano ' i^rop. lo.huj. NE, particularum fblidi ABC. Fit autera recftangulum OFG a;quale /g quadrati OP, vel quadrati AD. Deinde, ad inveniendam lummam quadratorum à diflantiis à piano AD, nofcenda primo fubcentricâ cunei, fuper quadratà bail pyramidis BC abfciflî, piano per reétam qux in B intelligitur axi A parallela; quïe fubcentricâ fit BK; clique f BC. Nofcenda item dilhntia centr. gr. dimidije figura OPV ab OP; qus fit *P; clique ^^PV. Inde, diviiâ bifariam PV in A, fi fiât ut aP ad P*, hoc eft, ut 5 ad 3, ita reftangulum BDK, quod efl: yV quadrati BC, ad aliud fpatium Z; erit hoc, multiplex lecundum numerum particularum fblidi ABC, ajquale quadratis diflantiariuii à piano AD*. Apparet autem 'Prop. 15. huj. tieri fpatium Z squale ^-'g quadrati BC. Itaque, totum fpatium applicandum, squatur hic -/(, quadrati AD, cum ^5 qua- drati BC. Unde, fi fufpenfio, ut hic, pofita flierit in A, vertice pyramidis, idcoque dilhntia, ad quam applicatio facienda, | AE œqualis ^ AD; fiet hinc ES,intervaUumCA H')- quo centrum agitationis inferius eft centro gravitatis, squale ,'gAD,atque in fuper y'j tertis proportionalis duabus AD, liC. live tota AS a^qualis 4 AD, prêter dictam jj tertio; proportionalis. 42 330 l'horloge X PENDULE. 1673- Uu CENTRE Le centre d''ûfcUlation du cône. d'oscil- lation. Que fi ABC [Fig. 1 1 2] ert un cône, toutes choies feront les mêmes à cela près • Prop. 15 qu'ici Telpace Z devient égal au rectangle AP'1'*, c.k.d. à ^^5^^^'^' ou^^g-BD^ou decettePanie. ^3_]3C5_ Q-q^ pourquoi l'efpace entier qu'il faut divifer par une droite fera dans le cas du cône g'oAD' + g^l^t"-. Par conféquent, le fommet A étant par hypothèfe le point de fufpcnfion, la longueur ES de laquelle le centre d'agitation eil inférieur au centre de gravité, deviendra égale h ^ôAI) plus Vo de la troilicme proportionnelle aux deu.\ grandeurs AD et BC. En d'autres ternies, la longueur AS entière deviendra égale à iAD plus i de la troifième proportionnelle aux deux grandeurs AD et DB '). Far là il clt manifelle que li AD et DB l'ont égales, c.à.d. fi le cône ABC eft reélangle, i\S devient égale h l'axe AD. 11 réfulte auHi de la Prop. XX que ce cône reétangle, 11 on le fufpend au point D, centre de fa bafe, fera ifochronc avec lui-même fufpendu au fommet A, propriété analogue à celle du triangle reiitangle, dont nous avons donné la déraonitration ci- delfus. Le centre d^ ofcillation de la fphèrc. Si ABC [Fig. 1 1 3] ell une fphère, la figure plane proportionnelle OVH qu'il faut placer à côté d'elle fera compoféc de paraboles dont la bafe commune OH eil: égale au diamètre AD de la fphèrc. La fphère étant coupée par des plans pafTant par le centre E, dont BC eil un plan horizontal et AD un plan vertical, il faut connaître, pour qu'on puiffe trouver la fomme des carrés des diltances au plan AD, la diltance à OH du centre de gravité de la parabole OVH, laquelle foit <î>P. Sa longueur eil de |VP. Enfuite, P\' étant divifée en deux parties égales en A, on fait que le reétangle AP, multiplié par le nombre des particules de la fphère ABC, devient égal aux car- * Prop. 15 rés des diftances du plan AD *. Or, le reélangle AP* éil égal à iPV" ou }BE'. de cette Partie. ') Comparez sur ce résultat la p. 368 du T. XVI. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 331 [Fig. 1 1 3-] De centro oscillation» Centrum ofcillatiovis Coni. QuodflABC[Fig. i i2]conusfuerit,omniaeodemmodofehabebiint,nifiquodfpatium Z hic fit îEqimle reftangulo ^V *, hoc d\^o qiiadrati PV vel BD, five ^^ quadraci BC. * Prop. is.huj. Quare, totum fpatium applicandum, in cono erit ^^ qiiadrati ;\D, una cum ^5^^ qua- draci BC. Ac proinde, poiita fufpenfioiic ex verticc A, fietE,S,qua centrum agicatio- nis interius eft: centro gravitatis, jequalis ï'gAD, & ^g tertis proportionalis diiabus AD, BC. lîvc tota AS aqualis 4AD, una cum i tcrtije proportionalis duabus AD, DB '). Atque hinc manifcllum eil, ii AD, DB a^quales fint, hoc eil,fi conus ABC fit reiftangiilus, (ieri AS œqualom axi AD. Sequitur quoque porro, ex propofitione 20, conum hune reclangulum, fi ex D centro bafeos fi.irpendatur, ifochronum fore fibi ipfi ex vertice A fi.irpenfo, quemad- modum & de triangulo redangulo fi.ipra olknfi.un luit. Centrum ofcillûtiojiis Spharte. Sit ABC [Fig. 1 1 3] fit fphîera, erit figura plana proportionalis, à latere adponenda, OVH , ex parabolis compoiita, quarum bafis communis OU , jequalis fphœrje diametro AD. Sedâ vero fphïerà planis per centrum E, quorum BC fit horizonti parallelum, AD vero verticale : ut inveniatur fiamma quadratorum à dillantiis à piano AD, nofcen- da efi: diltantia centri gr. parabolse 0\'l 1 ab OU, qua? fit ^P, clique |VP. Deinde, divifa PV bitariam in A, confiât rettangulum AP1>, multiplex per numerum particu- larum fphasrse ABC, îequari quadratis difiantiarum h piano AD *. Efi: autem reétangii- * Prop. 15.hu). lum APt? squale 4 quadrati P\', vel quadrati BE. 332 l'horloge À PENDULE. 1673- Du CENTRE Or, il apparaît que les carrés des dillances au plan BC font égaux aux carrés des "Ttion distances au plan AD, partant au même reftanglc AP4> multiplié par le dit nombre de particules. I/cipacc qu'il faut diviler par une droite fora donc, dans le cas de la l'phèrc ABC, le double du rectangle AP; ideoquc a;qualc | qimdnui ii radio \\\\. Itaque, n iphjera fulpenfà fit ex puncto in lliperHcic iiia A, erit | ES, à centro fphaerjE (/>■ 1 42). E ad ccntrum agitationis S, xqualis î lemidiamctri AE. Totaquc AS xqualis -/^ dia- metri AD. Si vcro ex puncto alio, ut L, Iphxra rufpcnra lit; crit ES a::qualis l tertia; proportionalis duabus LE, E13 '). Centruni ofcillationis Cylhulri. In cylindro, invenimus Ipatium applicanduni œquari ~ quadrati altitudinis, una cum ;J- quadrati à fcmidiamctro balis. Undc, fi cylindrus à centro bafis fi.iperioris luCpendatur, fit longitudo penduli ilbchroni a.'qualis -: altitudinis, una cum femiffc cjus, qua; fit ad icmidiamctrum balis ut ha;c ad altitudincm. Ci'utruni iijcillatiinns Conoidis ParaboUci. In Gonoidc parabolico, rcdtangulum ofcillationis cil -^\ quadrati altitudinis, cum ^ quadrati à feniidiamctro balis. Undc, fi à puncto verticisfi.ierit lulpenlum, fitlongi- gitudo penduli ilbchroni | axis, cum i cjus qua.^ fit ad lemidianictrum bafis, ficut haîc ad axem, id ell, una cum j lateris rcéti parabolœ genitricis '). Centrum ujcîllationis Conoidis Hyperbolici. In conoidc quoquc hypcrbolico centruni ofcillationis inveniri potell. Si enim. exempli gratia, fit conoidcs [Fig. i 14] cujus fectio pcr axem, hypcrbola RAB;axem habens AD, latus tranfverfum AF: erit figura plana ipfi proportionalis BKAKB. contenta bafi BB, | & parabolicœ lineîe portionibus fimilibus AKB, qu£e parabols per (/>. 14.3). verticem A tranfcunt, axemquc habent TiE, dividentcm bitariam latus tranlVcrfum AF, ac parallelum bali BB. Et hujus quideiii figura.- BKAKB, ccntrum gravitatis L, tantum dilbt à vertice A, quantum centruni gravitatis conoidis ABB; clique axis AD ad AL, ficut tripla FA cum dupla AD, ad duplam FA cum Icsquialtcra AD. Deinde & dillantia centri gr. figura; diniidia; ADBK, ab AD, inveniri potell, atque ctiani lubccntrica cunei luper figura BKAKB, ablcifii piano per AP, parallelam BB; hujus inquam cunei fubcentrica, fuper ipfa AP, inveniri quoque potcft; atque ex his con- fequenter centrum agitationis conoidis, in quavis fufpenfione; dummodo axis, circa ') Comparez les p. 483— 486 du T. XVI. 334 l'horloge X PENDULE. 1673. dv centre d'osql- LATION. lèle à fa bafe. Je trouve que fi l'on prend l'axe AD égal au latus transverfum AF, l'efpace qu'il faut divifer par une droite devient égal à ^'^ AD- + „Vô ^^ '■, et on a alors AL = /q AD. Par conféquent, lorfque le conoïde confidcré eft fufpendu au foinmet A, la lon- gueur AS du pendule ifochrone ell trouvée égale à |4 AD, plus -j-Yg de la troifième proportionnelle aux deux grandeurs AD et DB '). Le centre d'' ofcillation du demi-côtie. On pourra enfin trouver le centre d'ofcillation au(fi dans certaines moitiés de foli- des divilés par une feétion jtar l'axe. Par exemple dans le cas du demi-cône ABC [Fig. 1 15] ayant Ton fommet en A et BC pour rayon de la baie. Le centre de gravité de ce corps efl: connu puifquc AD = | AE, où AE divife BC en E de telle manière que le rapport | CB : BE efi: égal à celui d'un quart de circonférence de cercle à fon rayon. En effet, E efl: alors le centre de gravité du demi-cercle qui conftitue la bafe et fur AE fe trouvent donc les centres de gravité de tous les fegments parallèles à la bafe du demi-cône ABD. Or, la figure proportionnelle OVV qu'il faut placer h côté de la figure efl: la même que celle décrite dans le cas du cône entier: cette figure fert, comme l'on fait, à trou- ver la fomme des carrés des diftances des particules du demi-cône au plan horizontal HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 335 quem movetur, lit baii conoidis parallckis. Atque invenio quidem, (i axis AD lateri De centro tranfvorfo AK i.vqiialis ponacur, fpatiiiin applicandum sqiiari ,'0 quadrati AB, cura '^'"'''''^''^"'•"*'* j^o'o quadrati DB. 'l'une autcm AL cil Voi^'^- Undc, (i conoidcs hujufmodi ex x'crticc A lufpcndatur, invenicur longitudo pen- duli ifochroni, AS, x'qualis |4.AD,cura -^-^ô tercis propcjrtionalis duabus AU, DB '). Centrum ofcillationis dimidii Coni. [Fig- 115.] Denique & in Iblidis dimidiacis quibufdara, quse fiunt leélione per axem, centruin agitationis invenire licebic. Ut li fit conus diuiidiatus ABC [Fig. 1 15], verticem ha- bens A, diametrum feinicirculi balfeos BC: ejus quidem cencrum gravicatis D notumC/'- 144)' eft, quoniam AD efl: | refls AE, ira dividentis BC in E, ut, (icut quadrans circum- ferentiîe circuli ad radium, ita fint îCB ad BE. Tune enim E eft centrum aravitatis femicirculi bafeos, ideoque in AE centra gravi tatis omnium fegmentorum femiconi ABD, bail parallelorum. Et figura quidem porro proportionalis à latere ponenda, 0V\^, eadem eft quse in cono toto fupra defcripta tùit: per quam ncmpe invenietur fumma quadratorum,à diftantiis particularum femiconi à piano horizontali ND , per centrum gravitatis ducto. ') Comparez les p. 550 — 555 du T. XVI. 336 l'horloge X PENDULE. 167 3- D OSCIL- LATION. Du CENTRE ND mené par le centre de gravité. Mais pour apprendre à connaître les carrés des diilances au plan vertical MDO il ftiut encore feire ufage d'une autre ligure propor- tionnelle SYZ, telle qu'elle cil mentionnée dans la Prop. XIV, lavoir une figure donc les téctions verticales prélcntcnt des lignes proportionnelles aux leftions correlpon- dantes du demi-cône ABC; et de cette figure il faut connaître la diifance h SV du centre de gravité F, dillance apparemment égale à celle, DN, du centre de gravité du demi-cône au plan du triangle AB. Si nous appelons I IC la fubccntrique de l'on- glet coupé fur la ligure SZ\ par un plan paiTanc par SV, il tant connaître le rectangle GFH qui, multiplié par le nombre des particules du demi-cône ABC, fera égal aux carrés des diftances du demi-cône au plan MDO. Or, il fera poUlble d'apprendre h connaître de la manière fuivante ce reftangle GFll, même lorlqu'on ignore la lon- gueur de la fubcen trique 1 IG. Nous avons dit plus haut, en parlant du cône, que les carrés des dilknces à un plan paiïant par fon axe l'ont égaux à /'g fois le carré du diamètre de fa bafe ou bien à ^'q du carré de li)!i rayon multiplié par le nombre des particules du cône entier. 11 s'enfuit qu'ici aulll , dans le demi-cône ABC, les carrés des diltances au plan AB feront égaux au produit de /'o BC' par le nombre des particules du demi-cône. Mais le rec- tangle MGF, multiplié par le nombre des particules du demi-cône ABC,ellauiliégal aux carrés des diflances au plan AB, comme cela réfulte de la Prop. IX. Par confé- quent le rectangle 1 IGF ell égal à ^3_ BC'. Or, li l'on pofe AB == ^, BC = Z- et le 2/y- quart de la circonférence décrite a\-ec le ravon BC = ç, on aura EB = -- • Et com- me ND ell égale aux trois quarts de cette dernière longueur, il en réfultera que ND ou GF eft égale à 4- — • En retranchant le carré de cette expreflion du reétangle HGF qui était égal à ^'^ BC-, on en conclura que le rectangle GFH eil égal k ^^^^ — i— . Et ce rectangle, multiplié par le nombre des particules du demi-cône ABC, eil égal aux carrés des dillances au plan MDO. Mais aux carrés des diftances au plan ND eil égal, comme dans le cas du cône, le produit de jf'o ^B- ou /g^^ par le nombre des particules du demi-cône .ABC. Par conféquent l'clpacc total qu'il faut diviler par une droite fera égal ici à 75^5 <3' + ^0 ^~ — t'~- Ce réfultat permet de trouver le centre d'agitation pour toute fufpenfion du demi- cône, du moins s'il eil fufpendu à un axe parallèle à la baie du triangle AB réfultant de la feétion du cône. On peut encore remarquer que, malgré le fait que la figure SZY eft d'une nature abfolument inconnue, la fubcentrique GH correfpondant à un onglet coupé fur elle par un plan paffanc par SY, eil trouvée par les confidérations qui précèdent. Car, comme le rcclangle HGF s'eit montré égal à 5^5 b- ou 2^5 BC". et GF = i , il en réfulte que GH = j^^ç. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 337 Verura quadrata diftainiariim, à piano verticali MDO, ut colligantiir, altcra quoque De centro ligiira proportionalis SYZ, (icuc fiipra prop. 14, adhibcndacll,cujusncmpe lectiones '""^"■'-*'''°-"*"' verticales, exhilicant lineas proportif)nales (cftioniLxis llbi rerpondcntibiis in icmicono ABC. & hujus liguict cognoiccnda cil dillantia ccntri gr. F ah SV, qiiam a;qaalcra elTe conftat diltantia? DN, centri gr. Icniiconi à piano triangiili AB. pofitàque HG ilibccntricà ciinci abfciili ilipcr figura SZ V,du(::to piano pcrSV,norccndum clîrcctan- gulum GFll, cujus ncmpc multiplex, lecundum numcrum particularum Icmiconi ABC,a;quabiturquadratisdilhntiaruni lemiconiin planuni MDO. Licebit vero cogno- Icerc rcétanguluni illud (ÎFIl , ctiamli lubcentricx* 1 IG lonçitudo ignoretur,hocraodo. Diximus iiipra, cuni de cono agcremus, quadrata diibntiarum | a piano per axemC/-- i45). ejus, sequari ^'^ quadrati a diametro bans,live53_ quadrati à lemidiametro, multiplias per numcrimi particularum coni totius. Unde & hic, in femicono ABC, quadrata diilantiarum à piano AB squalia erunt ^^^^ quadrati BC, multiplicis per numcrum particularum iplius (emiconi. Sed & redangulum IIGF, muliiplcx per numerum par- ticularum Icmiconi ABC, sequatur quadratis dilhntiarum à piano AB, ut patet ex propofitione 9. Ergo redangulum HGF œquale j% quadrati BC. Ponendo autem AB X) a; BC X) b; & quadrantem circumferentia;, radio BC defcriptaî, oo ^,- fit KB ao ^. Cujus cum ND tribus quartis sequetur, (iet proinde ND,five GF do ^ — . Cujus quadratum auferendo à reftangiilo HGF, quod erat ^^g quadrati BC, fiet re- ib* ékngulum GFH 30 v'g BB . Hoc autem reétangulum, multiplex per numerum particularum icmiconi ABC, «quatur quadratis diftantiarimi à piano MDO. At qua- dratis diilantiarimi à piano ND œquantur, ut in cono, ^% quadrati AB, live ^% ûû, multipliées per numerum particularum femiconi ABC. Itaque, totum fpatium appli- candum, aquabitur hic /g'^'^ + A^^ • Unde quidem centrum agitationis invenitur in omni fulpenlione femiconi, dum- modo ab axe qui fit parallelus bafi trianguli à feClione AB. Notandura vero, cum figura SZY fit ignotse prorllis naturœ, fubcentricam tamen GH,cunei lliper ipia abfcifli piano per SY, hinc inveniri. Nam, quia reétangulum HGF squale erat -\bb, five quadrati BC, & GF a;qualis -~, fit inde GH îequalis /_^. 43 D OSCIL- LATION". 338 l'hORLOGF. A PENDULE. 1673. Du CENTRE On pourra trouver en outre les centres d'agitation du demi-cylindre, du demi- conoïde parabolique '), et encore d'autres moitiés de iblidcs, ce dont nous laillonsla recherche à d'autres. Ce que nous avons dit du centre d'agitation dans le cas de figures planes obliques, qui s'obtiennent pour ainfi dire par une luxation des figures droites, s'applique aufll au cas des figures folides: les centres d'ofcillation des figures obliques ne différent pas de ceux des figures droites. Par exemple, fi ABC et AFG [Fig. 1 1 o] ibnt deux cônes, l'un droit, l'autre fcalène, ayant le même diamètre et des baies égales, et fi l'un et l'autre fiant llilpendus au fommet ou à des axes quelconques également dillants de leurs centres de gravité, ils feront ifiachrones, pourvu que l'axe d'ofcillation du cône fcalène foit perpendiculaire au plan du triangle diamétral qui ell normal au plan delabafe '). PROPOSITION XXIII. Régler le mouvement des horloges par V addition d^ un petit poids fitpplémentaire poiivatit être mu vers le haut ou 'jers le bas fur la verge d'un pendule divifée en cer- taine manière '). Pour arriver à ce réfultat, il faut d'abord trouver le centre d'ofcillation du pendule lui-même compofé de ft \'erge pondérable et du poids qui y eil fufpendu à l'extrémité inférieure. Soit AC ou a la longueur de la verge portant le poids [Fig. 1 1 6]. Repréfentons- nous la verge et le poids C qui y ell fufpendu divifés en particules égales extrêmement petites; que la verge ait h et le poids C c de ces particules, le rapport b : c étant évi- demment celui de la gravité de la verge à celle du poids qui y efl: attaché. La longueur d'un pendule fimple ifochrone avec le pendule donné s'obtiendra donc en divifant la fomme des carrés des dillances de toutes les particules au point de fufpenfion A par ') Voir la partie C de l'Appendice II à la Pars Quarto. -) Comparez la note i de la p. 326 qui précède et les p. 367 — 368 („méthode des quatre cin- quièmes") du T. XVI. ^) Voir les p. 353 — 354 et 425 — 433 du T. XVI, ainsi que les p. :8 (note i), 105 — 1 1 1 et 150— 151 du T. .XVII. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 339 [Fig. 116.] I> A D De centro oscillationis M Porro, etiam femicylindri, & femiconoidis parabolici '), centra agitationisinveniri poiïiint, atque alioruni iniupcr remilblidorum; qua; aliis inveftiganda rclinquimus. Quemadmodum autem in tiguris planis, ita & hic in folidis figuris locum habet , quod de obliquarum ccntris agitationis illic diximus, quse veluci luxatione reftarum conllitiiuncur, quarum centra ofcillationis non différant à centris ofcillationis refta- rum. Sic, li coni duo fuerunc ABC, AFG [Fig. i io],alter reclus, alter Icalenus; quorum & diametri & baies squales; hi ex vertice rufpenfi, vel à quibuicunque axi- bus, œqualitcr à centris eorum gravitatis difl;antibus,iiochronierunt;dummodoaxis, unde conus fcalenus lulpenilis ell, réélus fit ad planum trianguli per diametrum, quod planum bafi ell ad angulos reclos '). PROPOSITIO XXIIl. if- h6). Horolog'wrum fnotiini temperare ^ addito pondère exigno fecundarin^ qnod fuper virga p enduit^ certa ratïone dkifa^ftirfum deor [unique moveri pojjtt''). Ut hoc expediamus, primo penduli ipfius, ex virga gravitate prœdita, & appenfo parte ima pondère, compofiti, centrum ofcillationis inveniendum eft. Sit virga, cum appenfo pondère, AC, cujus longitudo dicatur a [Fig. 1 16]. Intel- liganrur autem, tum virga ipia, tum pondus appcnfum C, in particulas minimas £e- qualesdivifa,earumqucparticularum virga habeatnumerum b^ pondus veroC nume- rum c, ponendo nempe b ad c, ficut gravitas virgse ad gravitatem appenfi ponderis. Longitudo igitur penduli innplicis, dato iibchroni, habebitur, fi lumma quadratorum à didantiis particularum omnium à punfto iulpenfionis A , dividatur per fummam 340 l'horloge X PENDULE. 1673- • Prop. 6 la fomme de ces diftances*. Soit AC divifée en deux parties égales au point M et de cette Partie j^f]] g,-, j Je forte quc AT = 2 TC. Puifque M eft alors le centre de gravité de la ligne nu ŒNTR.F. ■'■^C et AT la fubcentrique de l'onglet coupé fur clic par un plan paiTant par AD per- D'osciL- pendiculairc h AC, lequel onglet eft ici en réalité un triangle, la l'ommc des carrés LATioN. j^^ diiVances au point A des particules de la verge fera égale à celle du reélangle AMT et du carré de AM, c.à.d. au rectangle TA^I multiplié par le nombre b des particules, c.à.d. à la'b, parce que MA = ia et TA = ia et que le rectangle TAM ell par conféqucnt égal à ^û-. Mais la fommc des carrés au même point A des diftances des particules du poids C fera égale à AC" multiplié par le nombre des parti- cules du poids, c.à.d. à a-c. Par conféqucnt la fomme de tous les carrés, tant ceux des diftances des particules de la verge que ceux du poids C, fera ^a-b + a'-c. Or, la fomme des diftances des particules de la verge AC au point A eft égale à iba, c.à.d. au produit de la longueur a de la verge par la moitié du nombre de fes particules. Et la fomme des diftances de toutes les particules du poids C au même point A eft ac. De forte que la fomme des deux groupes de diftances ed iab + oc. En divifant par cette expreftion la fomme des carrés trouvée plus haut, \a'-b + a'c^ on obtient pour la longueur du pendule ifochrone: ^a-h + a-c \ab ■\- ac \ab + ac ib + c Cette longueur peut donc être conftruite en faifant que comme la demi-gravité de la verge augmentée de la gravité du poids qui y eft: attaché eft au tiers de la gravité de la verge auginenté de celle du poids, ainfi la longueur AC fe rapporte à une autre. Il faut prendre ici la longueur AC depuis le point de fufpcnfion A jufqu'au centre de gravité du poids C, puifque nous ne tenons pas compte dans ce calcul de la grandeur du poids: nous le confidérons comme occupant un efpace extrêmement petit. Suppoibns maintenant qu'outre le poids C, un deuxième D foit attaché à la verge [Fig. 1 17] et que la gravité de D ou le nombre de fes particules foit ^, tandis que la diftance AD = f. Pour trouver le pendule Omplc ifochrone avec notre pendule ainfi compofé, il faut ajouter à la fomme des carrés confidérée plus haut les carrés des dis- tances au point A des particules du poids D, c.à.d. tiff. De ibrte que la fomme de tous les carrés devient maintenant l^L'-b + a-c + f'd. Pareillement il faut ajouter à la fomme des diftances celles des particules du poids D, favoir df. La fomme de toutes les diftances fera donc ^ba ■{- en + df. C'eft par cette expreftion qu'il faut divifer la fomme des carrés dont il eft quefHon plus haut. On obtient ainfi pour la longueur du pendule ifochrone la-b + a'-c-iff'-d \ab + ac -\- fd Que fi l'on exige que cette longueur du pendule ifochrone foit égale à une longueur donnée/», tout le refte étant donné comme auparavant à l'exception de la diftance/ HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 34' A earundem diftantiarum *. Secetur AC bifariam in M; tum vero in T, iic AT fit dupla ♦ Prop. 6. huj. TC. Quia crpo IM cil ccinrum gravitatis linca: AC, & AT fiibcentrica cimci fuper,'" ''"*• iplaabicilll piano pcr AI), pcrpcndicularem ad AC; qui cuncus hic rêvera triangulum ô!.c"LvnoNis e(l; eric fumnia quadrutorum, à diltantiis particularum virga? a punéto A, | £equalis(A '47)- rettangulo AM')\ una cuni quadraco AM; hoc cil, reCtangulo TAM, niultiplici fe- cundum numcrum particularum h; hoc cfl, i^'/c/Z',- quia MA cfl l-^', & TA î^, ac proindc rcctanguluni TAiM 30 jc/c/. Sunima vero quadratorum, à diftantiis particu- larum ponderis C ab eodem punélo A, aequabitur quadrato AC,multiplici lecundum numcrum particularum iplius ponderis; hoc el1:, aac. Adeoquc llimma quadratorum omnium, tam ii dilkntiis particularum virga.% quam ponderis C, erit ^aah + ûac. Porro, diflantiîe omnes particularum virgs AC à pundto A,a;quanturiZ'(7,-longi- tudini fcilicet virgje ipiius, quse ell « , niultiplici fecundum femifTem numeri particu- larum quas continct. Et dillantia? omnes particularum ponderis C, ab eodem puncto A, iiint ûc. Ita ut fumma utrarumquc dillantiarum lit '^ah + ac. Pcr quam dividende pp. ,, -, fummam quadratorum prius inventam, irûûb + cuic. fit ^. , [Fig. ii-.J ^ ^ -, ., -r -, ^ab + ac five -^ j , _— - , longitudo penduli ifochroni. Quje itaque habebitur, fi fiât, ut dimidia gravitas virgœ, una cum gravitate appenfi ponderis, ad trien- tem gravitatis virgœ, una cum gravitate ejufdem appenfi ponderis, ita longitudo AC ad aliam. Oportet autem fumere longitudinem AC,iipun- fto fufpenfionis A ad centrum gravitatis ponderis C; cum magnitudinis ejus ratio hic non habeatur, ac vcluti minimum confideretur. Quod fi jam, pra;ter pondus C, alterum infuper D virgîe inhsrere in- tclligatur [Fig. 117], cujus gravitas, feu particularum numerus fit /i: dilhntia vero AD fit/. Ut pendulum fiimplex huicitacompofitoifochro- num inveniatur, addenda l'un t ad fi.nnmamfuperiorem quadratorum, qua- drata dillantiarum particularum ponderis D à punCto A, qus quadrata ap- paret efl'e dff. Adeo ut fijmma omnium jam fit flitura ^aab + aac +ffd. ^^ Ttem, ad fummam dillantiarum, addendîe dillantiœ particularum ponderis ^QP D, qua: faciunt df. Ac fumma proinde dillantiaruni omnium erit {ba + -\- ca -{- df; per quam di\idenda eil illa quadratorum fumma, & fit \aab + aac -\- ffd . . , , ,. .,, , ~ — 5 — j T—r-^^--, longitudo penduh nochroni. ^ab -\- ac -\- fd ' ^^ ^ Quod fi vero, hîec longitudo penduli ifochroni, data; aîqualis polluletur, quœ fit /),& reliqua omnia quîe prius data fint, prêter Idiflantiam AD feu/, quas déterminât (/>• 148). 342 l'horloge À PENDULE. 1673- Di- CENTRE qui détermine la place du poids D, et qu'il faille trouver cette diftance, le calcul fera f'.^î^^t' le fuivant: on demande que LATION. T ^a'-b + a-c 4- yd de cette équation rél'ulteront les fuivantes: Où il faut remarquer qu'il y a deux racines vraies lorique ^abp + c-/7/)eft inférieur i-zih '\ cîC à \a'h + a-c^ c.à.d. lorfque la longueur/; efl: inférieure à Ht^x — ,cequiefHa lon- gueur auparavant trouvée du pendule ifochrone, ou la diftance du centre d'ofcilktion au point de fufpenfion, dans le pendule compofé de la verge AC et du poids C. D'où il appert que fi nous voulons faire en forte que par l'application du poids D le mouvement du pendule foit accéléré, ce poids peut être placé en deux endroits, tels que D ou E, entre A et C; dans l'un et l'autre cas la même vitefle du pendule en réfultera. Ces endroits feront fitués à égale diitance du point N qui fe trouve a la diilancc \p du point A, c.à.d. à une dillance égale à la moitié du pendule finiplc avec lequel on exigeait que notre pendule compoié ferait ifochrone. Or, il cil clair que lorfque cette longueur/» eil: confidérée comme fort peu inférieure à AC, le point N lui aufli ne fera fitué que fort peu au-deffus du point milieu de la verge AC '). De 1 équation précédente f = ip ± 1/ ^p + - — ^^ on tire la détermination de la longueur/». En effet, il apparaît que l'expreflion ^p- + ^ — ^ ^ doit ne pas être inférieure à ^ ^ — . Par conféquent/» ne devra pas être plus petite que ^ y §bd + ^cd + ^- + 4^c + 4c- ^ — • Que fi/» eft: égale à cette quantité, c.à.d. fi , , i,abp + acp _ ^a-b-\--^a-c ^P- + " -^ - ^ — ' on aura dans l'équation précédente /= 5/), c.à.d. /= ^^y^bd + ^cd + b^- + ^bc + 4c' — et±i>L^, HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 343 locum ponderis D: (icquc invenienda hsc diftancia, id fiet hoc modo. Nenipc, cuinDe centro ,, , iraab + aac + ffd , . , . oscillatioms poltulecur ''—j—i^^ Z~/// sequale /*, orictur ex hac îequatione rr ^r , \(tl>P + '■'cip — \aah — aac ff^Pf+ ^—^— -d^ • f/"™!^. 1 \ / 1 ^^ . labp-\-cap — laab — aac Et / X i/) + vcl — |/ IPP+ d ' Ubi aniraadvorccndum, duas ciïe veras radiées, fi \abp + cap minus fit quara \(wb + aac; hoc eft, fi longitude/) minor fit quam ^, . J^ , quse antea inventa ftiit longicudo pcnduli ifochroni , five difliantia centri ofcillationis à fijfpenfione , in pendulo compofito ex virga AC & pondère C. Undc patct, fi vclimus efficerc, ut, applicato pondère D, accelerecur pcnduli mo- tus, pofifc duobus locis, inter A & C, illud difponi, quorum utrolibet eadcm ccleritas pendulo concilietur: velut in D vel E. Quae loca cequaliter difi:abunt à puntîlo N, quod abcfl: ab A, fcmifTe longitudinis/», hoc efl, femifie penduli fimplicis, cul com- pofitum hoc ilbchronum polhilabatur. Apparet autem, quando hœc longitudo/» tan- tum exiguo minor ponitur quam AC, etiam punctum N exiguo iuperius elTe punfto medio virgîe AC '}. Porro, ex asquatione fi.iperiori. /oo ip + vel -\/^^pp + i^bp + acp^^^aab-aac habetur determinatio longitudinis/». Patet enim, ^pp -f - — ^-~ — ^ non minus efle debere quam ^ j-^ . Unde non debebit effe minor quam J y^^bd +4 cd+bh + ^bc + 4a- - '?^^=.^. Quod fi /> asquetur huic quantitati, hoc eft, fi ^pp -f â^ p + acp ^^^^.^ squale \aab-\--')aac . . . . ^ . . ^ -T-^ , erit jam, m eadem lupenon jequatione, /■ 00 kp, hoc eft, ^iXf ^^ + ¥à +hb^ ^bc + ^cc - "^'^P/^^. ') Comparez la note 9 de la p. 109 du T. XVII. ") L'édition origintile et celle de 'sGravesande ont par erreur le signe ■ 344 l'horloge X PENDULE. 1673- Du CENTRE Cette formvile détcnnine une dillance du poids D au poids A telle que le poids D L\Tiox accélère le mouvement du pendule autant que pollîble. Pour le réglage des horloges on fait ufage comme fuit des réfultats obtenus. Con- lidérons par exemple un pendule d'horloge qui marque les fécondes par chacune de fes ofcillations (impies. Que la gravité de la verge foit J^ de celle du poids fuipendu au bas du pendule; qu'il y ait outre ce poids-là un autre petit poids mobile le long de la verge et dont nous fuppofons la gravité précilément égale à celle de la verge. On demande où il tiuit placer ce poids fur la verge pour que le mouvement de l'horloge foit accéléré d'une minute dans un efpace de 24 heures. De même où il faut le placer pour obtenir une accélération de deux , de trois, de quatre ou d'un plus grand nombre de minutes. En multipliant le nombre vingt-quatre des heures par foixante, on obtient 1440, nombre des minutes compril'es en un jour. Retranchez-en une, lorfqu'il s'agit d'une accélération d'une miuute: il en refle 1439. Or, le rapport des carrés de 1440 et de 1439 eft à peu près le même que celui des nombres 1440 et 1438. Par conféquent, fi la longueur du pendule Ilmple qui marque les fécondes elt divifée par la penfée en 1440 parties égales et qu'on attribue 1438 de ces parties à un autre pendule, ce der- nier avancera par rapport au premier d'une minute en 24 heures. De forte que p eil ici de 1438 parties. Puifque le pendule de l'horloge, compofé de la verge métallique et du poids qui y eft iuipendu, efl iuppofé ilbchrone avec un pendule iimple de 1 440 parties '), il faut d'abord trouver la longueur de cette verge d'après l'équation fus-énoncée. C'ell — ûh -\- ûc l'expreillon ^ , . - — ^ qui à été trouvée égale à la longueur du pendule fimple ifo- chrone avec celui compofé d'une verge de longueur û et de gravité b et d'un poids y attaché de gravité c. Par conféquent, fi la longueur du pendule Iimple ifochrone eil ~bs -\- es appelée s, on aura ^rr~_r — — ^/,' ei:c"polant,danslecasconfidéré,f = 50,/»= i. i^b + c f— 1440, on aura pour la longueur de la verge a = 1444 4 Lnluite, puilque nous avions/ = ij) ± I / ^p- -\- = — *- j ' ' on aura /= ^p ± 1/ i/)' -f 72962/) — 105061 2 10; et, /> étant de 1438 par- ties comme nous l'avons dit, on trouvera/= 1331^. Il ell queftion de parties telles que ^, longueur du pendule fimple qui marque les fécondes par fes ofcillations, en contient 1440. Si nous délignons cette demièrc longueur per trois pieds horaires, comme nous l'avons déjà fait, /'aura 33 pouces et 3 douzièmes de pouce, qu'on ap- pelle lignes. En d'autres termes, pour connaître le lieu du poids D qui donne une accélération d'une minute en 24 heures, il faut retrancher cette dernière longueur /de HOROLOGIUM OSCILLATORILM. 1673. 345 Quo determinatur diltantia ponderis D à pun(fto A , ex qua maxime omnium accélérée De centro motum penduli. oscillationi» Atque hœc ad iiorolojriorum ul'iim lie porro adhibciuur. Sit, exempli gracia, pen- dulum horologii, qiiod iingiilis ofcillacionibus Icnipula lecmida noter. Virga; aucem gravitas iîc ^g gravitatis appenfi ponderis in imo pendulo: &, prater hoc, fit aliud exigiium pondus mobile fecundum virga; longitudinem, cujus gravitas cajdem pona- (A- '49)- tur quiv ipfuis virga.'. Qua;ritur jam, quo loco hoc virga? imponendum, ut uno fcru- pulo primo acceleretur horologii motus, fpatio 24 horarum. Item, ubi collocandum, ut duorum icrupulorum primorum lit acceleracio; item, ut trium, quatuor, atque ita porro. Duftis viginti quatuor horis fexagies, fiunt 1 440, quot nempc fcrupula prima una die continentur. Ex his unum aufer, quando unius fcrupuli acceleratio quîeritur: iuperfunt 1439. Ratio autcm 1440 ad 1439 duplicata, proxime cil ea qua; 1440 ad 1438. Ergo, fi penduli limplicis, iccunda fcrupula notancis, longitudo diviCa intelli- gatur in partes sequales 1440, earumquc 1438 alii pendulo tribuantur,hocprjecedet alterum illud, in 24 horis, uno icrupulo primo. Adeo ut hic/; valcat partes 1438. Quia autcm pcndulum horologii, ex virga metallica & pondère appenfo compofi- tum, iibchronum ponirur pendulo limplici partium 1440 '); invenicnda primum eft virgïe illius longitudo, ex œquatione fuperius pofita. Erat nempe ^-^, — ~ squa- le longicudini penduli fimplicis, quod ifochronum compofito ex virga habente longi- tudinem ^,gravitatem b, & pondère affixo cujus gravitas r. Ergo fi longitudo penduli fimplicis ilbchroni dicatur f. Erit -i]~r - 30 ^, pofitoque,uthic,6- x> 50; b y:» i\ / 00 1440; fiet, divifa elt, quœ liiperiiis in defcriptione horolofrii iiiit exhibita. Procedunt autcmacce- lerationes diiirnœ, ut jam illic advertimiis, per 15 Icrupula fccunda, l'eu primorum icrupulorum quadrantcs. Ex. ^r. fi, pondère mobili 1) hœrentc in parce 73,4, inve- niatur horologium tardius jiillo incedcrc,in 24horis,difïerentià 15 fecundorum fcru- pulorum;oporccbit furfumadducere pondus D, usque ad numerum 85,6 ut corrigatur. Àcceleratio horologii [patio 24 horanun. Partes^ à centro ofc. fiirfum accipiendce. Scrup. pr. Sec. Lineas & décima linearum pedis horarii. 0,15 7,0 0,30 15,2 0,45 23,7 1,0 32,6 1,15 4i,y 1,30 5^7 1,45 <52,2 2,0 73,4 2,15 85,6 2,30 — 99,0 2,45 114,1 3,0 131,8 3.15 '54,3 3,30 192,6 Centrum ofcillacionis altius ell centro gravitatis C partibus 1,4. PROPOSITIO XXIV. Centri ofcillationis rûtionem hûberl rwji poj]e^ iii pendidis inter Cycloides fttfpen- fts '),• & qiiomciâo hiric orta diffîciiltas toUatuv. Si quis, lubtili examine, contuleric ea quœin luperioribus, de pendulo inter cycloi- des iulpenfo, demonftravimus, cum bis quœ ad centrum ofcillationis pertinent ;vide- bitur ei deeffe aliquid ad perfcftam illam, quam prîeferimus, ofcillationum îequalita- tem. Ac primo dubitahit, an, ad inveniendum circulum cycIoidisgenitorem,penduli longitude accipienda fit a punclo luipeniionis ad | centrum gravitatis appenfi plumbi, (/"• 15 0- ') Comparez le deuxième alinéa de la note 2 de la p. ici du T. XVII. 348 l'horloge X PENDULE. 1 673- Du CENTRE furpcnilon julqu'au centre de gravité du poids qui y cil attaché, ou bien jufqu'au d'oscil- centre d'ofcillation qui didere Ibuvent de l'autre d'un intervalle fenilble et d'autant plus jrrand que la (phèrc ou la lentille de plomb e(l plus volumincufe. Comment en lera-t-il par exemple lorl'que le diamètre de la l'phcre ell égal au quart ou au tiers de la longueur du pendule? Et lî nous difons que cette longueur doit être comptée julqu'au centre d'olcillation, il ne fera pourtant pas clair comment ce que nous avons démontré au fujet du centre d'olcillation s'applique h un pendule qui change conti- nuellement de longueur, comme le fait celui qui le meut entre des cycloïdes. Car il pourrait fembler que le centre d'olcillation change aulli de place lorl'que la longueur prend une valeur après une autre, ce qu'il ne faut pourtant pas entendre de cette façon. La choie ell certes fort difficile a expliquer li nous recherchons uneexaditude parfaite; en effet, dans la démonflration de l'égalité des temps dans la cycloïde nous avons conlidéré le mobile qui le mouvait fuivant elle comme fi c'était un point pefant. Mais fi nous nous en tenons à la pratique, cette difficulté ne doit pas être confidérce comme fort importante, puifque dans les horloges il ne faut pas que le poids qui con- llitue le corps ofcillant foit fi grand (toutefois, plus ce poids ell grand, mieux cela vaut) que la différence des centres de gravité et d'olcillation puifie caufer des trou- bles. vSi cependant nous délirons abiblument éviter cette difficulté, nous y arriverons en rendant la fphère ou lentille du pendule mobile autour de fon axe horizontal: il faudra inférer les extrémités de ces axes de part et d'autre au bas de la \'erge du pen- dule, laquelle doit donc à cet effet être fendue en deux de ce côté. En effet, de cette manière il arrive, d'après la nature du mouvement, que la fphère du pendule garde perpétuellement la même pofition par rapport à un plan horizontal et qu'ainfi tous fes points parcourent les mêmes cycloïdes, tout aulTi bien que le centre. Par confé- quent la confidération des centres d'ofcillation ne s'applique plus à ce mouvement, et un pendule de ce genre préfente un ifochronisme aulTi parfait que fi toute fa gravité était réunie en un feul point. PROPOSITION XXV. De la manière d^éuihlir une mefitre univerfelk et perpétuelle '). Une mefure certaine et permanente des grandeurs que ne foit fujette à aucunes rencontres et ne puifTe être abolie ou corrumpue par l'injure ou la longueur des temps, efl une chofe fort utile et recherchée depuis longtemps par beaucoup de gens. Si l'on en avait trouvé une aux temps anciens, les difputes actuelles fur la mefure du pied antique romain, grec ou hébraïque ne feraient pas pleines de tant de perplexités. Or, cette mefure efl aifément établie au moyen de notre horloge, tandis que fans celle-ci elle ne peut pas ou fort difficilement être obtenue. Il efl vrai que ceci a été tenté par quelques perfonnes par la fimple ofcillation de pendules, lavoir en comptant le nom- bre d'ofcillations correfpondant à une révolution entière du ciel, ou à celle d'ime partie du ciel connue par les diflances de certaines étoiles fixes entre elles fuivant leur HOROLOGIUM OSCIU.ATORILM. 1673. 349 an vero ad ccntrum olcillationis; quod, ab altero illo, iœpe fcnfibili intervallo di(lat,DE centro atque co majore, quo major fucrit Iplix-ra aiit leiis plumbca. Quid cnim, (i Iphaera'"'^"-'"^'^'*"^"" diameter qiiartam, aut ccrtiam partcni, pcndiili longitiidinis acquêt? Quod li ad cen- trum olcillationis illam lont;itiidincm accipiendani dicamus, non tamen cxpediet quo paéto ea, quœ de centro olcillationis olknia iiint, conveniant pendvilo continue lon- gitudincm l'uani immutanti, quale illud quod intcr cycloides movetur. Poiïct cnim videri, etiani centrum olcillationis nnitari, ad lingulas diverlhs longitudines; quod tamen hoc modo intelligendum non c\\. Reslàneexplicatudifficillima,riomnimodam «z6i/3£tav icCtemur. Nam in dcmonllratione tcmporum a-qualiuni in cycloidc, mobile, per eam dclatum, veluti punctum gra\'itatc pra;ditum conlidcravimus. Sed, li ad ef- leétum Ipcttemus, non magni facicnda cil difficultas hîec; cum ponderis, quo pendu- lum conftat,magnitudo in horologiis tanta non requiracur(ctliquomajuseomclius) uc diffcrcntia ccntrorum gravitatis, & olcillationis, aliquid hic turbare pofllt. Quod li tamen cffugere prorfus has tricas velimus,iditaconrequemur,fi rpha;ramlentemvc penduli, circa axem iiium horizontalem, mobilem efficiamus : axisextremautrinque, virga." penduli ima?, interendo: qua* idcirco ut bitida hac parte fit nccefleelh Fitenim hoc modo, ex motus natura, ut eandcm pei-petuo poiitionem, relpechi horizontalis plani, fphsra penduli fervet, atque ita puntta ejus quœvis, sque ac centrum ipfum, cycloides eafdem percurrant. Unde ceffat hic jam ccntrorum olcillationis confideratio; nec minus perfectam temporum xqualitatem taie pcndulum confequitur, quam fi pundo unico omnis ejus gravitas contineretur. PROPOSITIOXXV. De menfiircc nnker/alis, & perpetniv, coiiftiwendte ratirmc '). Certa, ac permanens magnitudinum menlura, quœ nullis cafibus obnoxia fit, nec temporum injuriis, aut longinquitate aboleri aut corrumpi poflit, res efl: & utilifiîma, & à multis pridem quœfita. Qua li prifcis temporibus reperta fuiffet, non tam per- plexe nunc forent, de pedis Romani, Hebrsique veteris modulo, diiceptationes. Hîec vero menfiira, Morologii noilri opéra, facile conftituitur; cum fine illo nequa- quam, aut îegre admodum, hajberi poUit. F^tli enim, fimplici pendulorum ofcillatione, (A 15:)- hoc à quibul'dam tentatum flierit, numerando recurfus qui tota csli converfione con- tinentur, vel parte ejus cognita, per fixanim ftellarum diftantias, fecundum afcenfio- ') Voir sur ce sujet les p. 120 et 121 (note 8) du T. XVII. Remarquons que dans la première ligne de la p. 121 nommc^e il faut lire „demonftraturi" au lieu de ,.demonstrari". 35° l'horloge X PENDULE. 1673. Du CENTRE afcenfion droite; mais d'une part on n'arrive pas de cette manière à une certitude D OSCIL- LATION. égale h celle qu'on atteint par l'emploi des horloges, et d'autre part ce labeur ell ex- trêmement pénible et ennuyeux h caulc de l'cxaclitude avec laquelle il faut compter les ofcillations '). Or, parce qu'il n'y faut pas feulement les horloges, mais que la théorie des centres d'ofcillation contribue auiïi quelque chofe à la recherche fort exacte de cette mefure, nous ne traitons de ce fujet qu'ici à la fin, après avoir établi cette théorie. Les horloges les plus propres à cela font celles dont les ofcillations marquent les fécondes ou demi-fecondes et qui font audî pourvues d'indices ou d'aiguilles pour les indiquer. En effet, après qu'une horloge de ce genre a été réglée par l'obfervation d'étoiles fixes fur la durée moyenne des jours, iuivant la méthode que nous avons enfeignée dans la Defcription de l'Horloge, il faut liii'pendre à côté d'elle un autre pendule fimple, c'à.d. une fphère de plomb ou d'une autre matière pefante attachée à un fil mince, et mettre ce pendule en mouvement par une légère impullion; il faut enfuite allonger ou raccourcir le fil jufqu'à ce que fes ofcillations s'accordent parfaite- ment durant un quart d'heure ou une demi-heure avec celles du pendule qui fait partie de l'horloge. J'ai dit qu'il faut mettre le pendule en mouvement par une légère impulfion, parce que de petites ofcillations, p. e. de 5 ou 6 degrés, ont des périodes paiTablement égales, mais qu'il n'en efl: plus ainfi des grandes. Si l'on prend alors la meilire de la dii^ance du point de lufpenfion au centre d'ofcillation du pendule fimple et qu'on divife cette dillance, dans le cas où les ofcillations fimples corrcfpondent à des fécondes, en trois parties égales, chacune de celles-ci donnera la longueur du pied que nous avons appelé ci-defl"us Pied Horaire '), et qui peut de forte non feulement être dctenniné par toutes les nations, mais aulli être reconftitué dans les fiècles à venir. D'où il fuit que les longueurs de tous les autres pieds étant une fois exprimées par leurs rapports à ce pied-ci, elles pourront déformais être connues elles aufli avec cer- titude. Nous avons déjà dit plus haut que le pied parifien d\ au pied horaire tel que nous l'avons défini ici comme H64 ell à 88 1 , ce qui revient à dire que, le pied parifien étant donné, le pendule fimple dont les ofcillations correfpondent aux fécondes a une longueur de trois de ces pieds augmentés de huit lignes et demie. Et le pied parifien eu au pied rhénan dont on fe fcrt dans notre patrie comme 1 44 cil à 1 39, c. à. d. le premier furpafi'e le fécond de 5 lignes parifiennes. Le pied rhénan lui aufll, et d'autres pieds quelconques, acquièrent ainfi une longueur fixée pour toujours. Nous avons fait voir plus haut comment le centre d'ofcillation ell trouvé pour une fphère fuipendue à un fil de longueur quelconque; favoir que fi, comme la dillan- ce du point de fufpenfion au centre de la fphère ell à fon rayon, ainfi ce dernier ell à une autre longueur, les deux cinquièmes de cette longueur-là portées vers le bas à partir du centre aboutiflfent au centre d'ofcillation cherché. Or, il apparait facilement pourquoi la confidération de ce centre eil néceiïaire à la détermination exacle du pied horaire. Car fi la diftance ell prife depuis le point de fufpenfion jufqu'au centre de la fphère, mais qu'on ne définit pas la grandeur de la fphère par rapport à la longueur HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 35 1 nem reâani; ncc ccrcicudo eadem hoc modo, qua; adhibicis horologiis, contingit, & De centho laborlongceihnolelHfllmiis ac tjedioiiiTimus, proptcr numcrandi Iblicicudincm ').Quia "scillationis autem, prieccr horologia, aliquid, ad exactiilimam hiijus nienllira.' iiK]uilitioiicm, etiam centronim oldllationis notitia confère; ideo hic dcnuim, pollcoriim cractationcm, hanc dctcrminacioncm lubjicimiis. Apcillhna huic rci l'une horoiogia, quorum ofcillationcs fingula; fccunda fcrupula, vcl coruni Icmidcs, notant, quœquc indicibus ctiam, ad ca dcmonltranda, inllructa llint. Pollquam cnim, ad mediocrem dierum longntudinem, ejuimodi horologium, iixaium llcllaruni obicrvationibus, compofitum fuerit , mcthodo illa quam in horologii dcicriptionc oilcndimus: aliud penduluni iimplex, hoc cil, fphx'ra pkimbca, aut alia matcria gravi conilans, ex tenui filo religata, juxta luCpendenda cil:, niotuquc exiguo impellenda; ac tantiiper producenda, aut contrahenda fili longitude, donec recurfus ejus, pcr quadrantem hora.>, aut Icmidcm, una ferantur cum reciprocationibus penduli horologio aptati. Dixi autem exiguo motu impe]lendumpendukmi,quiaoicillationcs exigus, puta 5 vel 6 partium, iatis aqualia tempora habent, magnœ vcro non item. Tune, accepta menfurà dillantis, à pundo fufpenlionis ad centrumofcillationis pen- duli (implicis; eàque, lî recurllis finguli (crupula lecunda valeant, in très partes diviia; facient ha; fingula; longitudinempedis,quem HoRARiuiviin fuperioribusvocavimus"): quiquc, hoc patto, non Iblum ubiquc gentium conflitui poffit, led & venturo «vo redintegrari. Adeo ut & moduli pedum omnium aliorum, femel ad hune proportio- nibus fuis exprelîi, cert6 quoque in pollerum cognolci polTlnt. Sicut jam lupra, pedem Farifienfem ad hune horarium effe diximus, ut 864 ad88i;quodidemeflaciî,pofito prius pede Parifienfi, dicamus tribus hujufmodi pedibus, cum oélo lineis & dimidia, conllitui pendulum fimplex, cujus ofcillationcs fcrupulis fecundis horariis refponfura fine. Pes autem Parifienfis ad Rhenanum, quo in Patria nollra utuntur, fe habet ut 144 ad 139; hoc ell:, quinque Hneis fuis diminutus, alterum ilium relinquit. Atque ita & hic pes, & alii quilibet, perpétue duraturas menfuras accipiunt. Quomodo autem centrum oicillationis in iphîera, ex qualibet |longitudine fufpenfa, (/>• 153)- inveniatur, in fuperioribus demonftratum ell. Nempe, (i fiât ut dillantia incer punftum fufpenfionis & fphsrs centrum, ad femidiametrum ejus, ita hsc ad aliam; ejus duas quintas, à centro deorfum acceptas, temiinari in qusfito ofcillacionis centro. Facile autem apparet car neceiTaria fit hujus centri confideratio, adaccuratam pedis Horarii conllitutionem. Nam, W à puncto fufpenfionis ad fphsrîe centrum dillantia accipiatur, fphaïrîe autem raagnitudo non definiatur proportione ad fili longitudinem, non erit ') Comparez les p. 4 et 54 — 55 du T. XVII. -) Voir In p. 96 qui précède. 352 l'horloge X PENDLLE. 16/3 • DOSCIL- LATION Df CENTRE du fil, la mefure du pendule dont les ofcillations correfpondent aux fécondes ne fera pas abfolument certaine: plus la fphère ell grande, plus la diftance du centre de la fphèreau point de lufpcnfion fera trouvée petite. En cflet, dans les pendules ifochrones les dilhnces des centres d'ofcillation aux points de liilpenlion Ibnt toujours les mêmes, mais dans le cas d'une plus grande iphcre le centre d'ofcillation defcend plus bas au- deflous du centre que dans celui d'une fphère plus petite. C'elt pourquoi ceux qui avant cette détemiination du centre d'oicillation ont en- trepris de nous donner une méthode pour trouver la melbre univerielle — ce que la noble Société Royale anglaife s'eft propofé depuis le moment oîi fut inventée notre horloge'}, et après elle le très favant agronome de Lyon, Gabriel Mouton ') — ceux-ci, dis-je, ont été obligés de définir le diamètre du globule fuipendu loit par rapport à la longueur du iil, difant qu'il en aurait par exemple la trentième partie, Ibit d'après une mefure connue, tel que le doigt ou le pouce. Mais de cette dernière façon on prend déjà comme connu ce qu'il fallait chercher;je n'ignore pas cependant que l'erreur fera à peine fenfibic pourvu que les dimenfions des iphèrcs ne iurpaflcnt pas beaucoup celle dont j'ai parlé. De la première façon la chofe réuffirait alfez bien, mais dans ce cas il faudrait prendre la peine de compter les ofcillations et fc fervirdu calcul. Il ell donc préférable de faire ufage des centres d'ofcillation et de fuivre ainfi une voie certaine en ne tenant compte que des lois qui s'y appliquent. En agiflant ainfi il vaut mieux employer de grandes que de petites fphères parce que les premiè- res lont moins influencées par la réfillance de l'air. D'ailleurs ce ne Ibnt pas feulement les fphères fulpendues à un fil, mais audl les cônes, les cylindres et tous les autres corps, y compris les plans, dont nous avons fait connaître plus haut les centres d'ofcillation, qui font propres à la recherche de cette mefure, puifque pour tous les pendules ifochrones il y a un intervalle déterminé et égal entre le point de fufpenfion et le centre d'ofcillation. Et nous ne fommes pas obligés de nous fervir des horloges qui indiquent par les ofcillations fimples de leurs pendules les fécondes ou demi-fecondes: nous pouvons encore atteindre notre but à l'aide d'horloges munies de pendules d'autres longueurs quelconques, pourvu qu'on connaifle par les proportions des roues, en d'autres termes par les nombres de leurs dents, le nombre des ofcillations qui font exécutées en un certain temps. En effet, le pendule fimple ayant été trouvé dont les ofcillations correfpondent chacune à une, deux ou trois ofcillations du pendule de l'horloge, on en conclura le nombre des ofcillations que le pendule fimple exécute en une heure. Et en portant ce nombre au carré, on aura ceci: le carré de 3600, nombre des fécondes qui font l'heure, fera au carré prénommé comme la longueur du pendule fimple trouvé (longueur qu'il faut toujours compter depuis le point de fufpenfion jufqu'au centre d'ofcillation) eft à la longueur du pendule horaire de trois pieds dont nous avons parlé. Ceci réfulte en ef- fet du fait que les longueurs de deux pendules quelconques font entre elles comme les carrés des temps dans lefquels fe font leurs ofcillations; par confcquent ces lon- gueurs font inverfement proportionnelles aux carrés des nombres des ofcillations HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 353 certa menlura penduli cujus recurfus fecunda fcrupula metiantur; fed quo major erit De centr.o cjus fpha^ra, hoc minor invenietur menfiira illa, inccr cencriini fphîcrx & putictum"*'^"''''^''^"'""*"' iulpenfionis incercepca. Quia in ilbchronis pcndiilis, centra quidem ofcillationis à puniitis fiil'penlioniim a^qualicer dillanc ; amplius aiicem delcendic ccntrum olcillacionis infra centrum Iphjerte inajoris, quam minons. Hinc necelFe fuie illis, qui, an te hanc centri ofcillatorii determinationem, menlu- ra; univerfalis coni^ituenda; rationem inierunt; quod, jam indc à prima I lorologii no- llriinventione,nobilisilla Societas Regia Anglicana libi negotium lumpfit '),& recen- tius doftidlmus AftronomusLugdunenfis, Gabriel Moutonus ');his,inquam,necefle fuit delignare globuli fufpenil diametrum, vel proportione certa ad fili longitudinem, cujus nempe tricefimam vel aliam partem îequaret; vel menfura quadam cognita, ut digiti vel poUicis. Sed hoc pofteriore modo, ponitur jam certi aliquid, quod id ipfum ell quod quaerendum elh etfi fcio vix feniibilem errorem fore , dummodo fphsera: iitam, quam jam dixi, magnitudinem non multum excédant. Priore autem poffet qui- dem aliquo pacto res explicari; fed ita, ut numerandarum ofcillationum labor fubeun- dus fit, calculoque etiam utendum. QuamobremprEelkt, centra ofcillationis adhiben- do, certam rationem fequi, nuUifque prêter necellitatem legibus obligari. atque hic jam majoribus fphîeris quam exiguis potius utendum, quod \\\x occurfu aëris minus impedianrur. Cseterum, non fpharœ tantum ex filo fufpenf^, fed & coni, cylindri, aliaque omnia folida, planaque, quorum centra ofcillationis fuperius exhibuimus, ad hanc menfuram invefHgandam,apta funt;quoniam,à punfto fufpenfionis ad centrum ofcillationis, certuni idemque omnibus ifochronis pendulis ell intcrvallum. Neque etiam illa dun- taxat horologia, qus fecunda fcrupula aut eorum femifTes ilngulis penduli recurlibus indicant,adhœc ufurjpare poffumus; fed & alià quàcunque penduli longitudine 'm-(p- '54)- ftruftis propofitum obtinebitur, dummodo ex rotarum proportionibus, feu dentium numéro, cognofcatur numerus ofcillationum certo tempore peragendarum. Invento enim pendulo firaplici, cujus librationes fingulîe conveniant vel fingulis, velbinis ternifve recurfibus horologii, conftabit jam hinc, quot penduli illius vices horas fpatio tranfigantur. Quarum numerus fi quadretur, erit ut quadratura è 3600, numéro fcru- pulorum fecundorum horam unam efficientium, ad quadratum illius numeri, ita longi- tude penduli fimplicis inventi, (quœ longitudo femper à punfto fufpenfionis ad cen- trum ofcillationis accipienda eft) ad longitudinem penduli illius horarii tripedalis, quod diximus. Hoc enim inde conlkt, quod duorum quorumvis pendulorum longi- tudines funt inter fe, ficut quadrata temporum quibus fingulse ofcillationes tranfeunt; ideoque contrariam rationem habentquadratorumànumeris,quosefficiuntofcillatio- ') Voir sur ce sujet les p. 354 — 356 du T. XVI et 120 — 121 du T. XVII. -} Dans son ouvrage de 1670 „Observationes diametrorum Solis et Lunae apparentium, etc.' que nous avons aussi mentionné à la p. 59 de l'Avertissement qui précède. 45 354 l'horloge A PENDULE. 1673 • DOSCIL- LATIOX. Du CENTRE exécutées en des temps égaux. Obfervons que tandis que jul'qu'ici ce théorème fur les longueurs des pendules, lavoir le théorème de la proportionnalité des longueurs aux carres des périodes, n'avait été prouvé que par rexpéricncc, la démonltration clt maintenant manifelle d'après ce que nous avons expoi'é plus haut. En eilèt, com- me nous avons prouvé que le temps d'une ofcillation d'un pendule l'iilpendu entre des cycloïdcs a un rapport déterminé à celui d'une chute vci'ticalc d'une hauteur égale à la moitié de la longueur du pendule, l'avoir celui de la circonférence du cercle à l'on diamètre, on en conclut aifément que les périodes de deuv pendules font entre elles comme les temps des chutes verticales de hauteurs égales h leurs demi-longueurs. Mais comme ces demi-hauteurs, ou les hauteurs entières, ont entre elles un rapport égal h celui des carrés des temps dans lefquels elles l'ont parcourues dans une chute Prop. 3 de la verticale * , elles auront aufli entre elles un rapport égal à celui des carrés des périodes, ième Partie. Or, les ofciUations extrêmement petites d'un pendule fimple ne diffèrent pas Icnfible- ment de celles d'un pendule lulpendu entre des cycloïdes, les longueurs étant les mêmes. Far conléquent les longueurs des pendules llmples feront aulii entre elles comme les carrés des périodes d'ofcillations fort petites '). Que li quelqu'un ne fuit pas le travail de mefurer les ofciUations qui font exécutées en une heure ou en une demi-heure, et qu'il a à fa difpolition une horloge dont un indice ou une aiguille fait voir les fécondes, il connaîtra de cette manière le nombre d'ofcillations correfpondant à une heure quelle qucfoit la longueur du pendule lîmple conlidéré; et de là il tirera par le calcul, comme auparavant, la longueur du pendule de trois pieds qui correfpond aux fécondes. PROPOSITION XXVP). Détenn'wer Vefpace que les corps graves parcourent en tombant durant un cer- tain temps. Tous ceux qui ont cherché jul'qu'ici à mefurer cet el'pace ont jugé nécelTaire d'en venir aux expériences, par lefquelles, de la manière qu'elles ont étéinllituéesjufqu'à ce jour, on n'arrive pas aifément, à caufe de la grande viteflTe finale des corps tom- bants, à une détennination exafte. Mais d'après notre Prop. XXV de la Defcente des Corps graves, nous pouvons, lorfque la longueur du pendule correfpondant aux fécondes eft connue atteindre le but propofé fans expérience par une conféquence certaine. Nous rechercherons premièrement l'efpace qu'un corps gra\'e parcourt en une féconde, duquel on pourra enfuite tirer tous les autres. Comme la longueur du pendule à fécondes ell, coimne nous l'avons dit, de trois pieds horaires et que le temps d'une fort petite ofcillation eft au temps d'une chute verticale d'une hauteur égale à la moitié du pendule comme la circonférence du cercle eft à fon diamètre, c.à.d. comme 355 eft à 113; li l'on tait que comme le premier de ces nombres eft au fécond, ainli le temps d'une féconde ou de foixante tierces eft à un autre temps, ce dernier fera de ipr© : c'eft là le temps d'une chute de la hauteur du demi-pendule HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 355 OSCILLATIOMJ nés œqualibiis tcmporum intervallis pera6tre. Nain, cum hactcnuscxperientiâ tantum Df. centro comprobatuni fucrit Thcorema illiid, de penduloriim longitiidinibus; cas nempc diipli- catam habere rationem tcmporum , quibiis ofcillacioncs (ingula; pcragiinciir; nunc ejus demonltratio ex (liperius traditis manifclla ell. Cum enim oilcndcrimus, (ingulos re- curllis penduli, inter cycloides llilpenli, ad callim perpendicularcm, è dimidia penduli longitudine, ccrtam rationem habere; cam fcilicct quam circunifcrentia circuli ad diametrum liiam; facile hinc colligitur, temporaolcillationum in duobus pendulisefîc inter fe, ficut tempora delcenilis perpendicularis ex dimidiis eonim altitudinibus. Quîc altitudines dimidiœ, livc ctiam totîe, cum habeant rationem duplicatam tcmporum, quibus iplœ delceniu perpendiculari percurruntur*;ea:dcmquoque duplicatam ratio-* Prop. 3. nem habebunt tcmporum, quas ofcillationcs iingulasmctiuntur. Ab olcillationibusP^rt. :. autem minimis penduli , inter cycloides iulpenll , non differunt Icnlibiliter ofcillationcs minims penduli limplicis, cujus eadem lit longitudo. Itaque & pcndulorum (Impli- cium longitudines, duplicatam rationem habebunt tcmporum, quibus oll;illationes minimre traniiguntur '). Quod li quis olcillationum numerandarum, quœ honç aut femihorœ tempore tran- feunt, laborem non defugiat; horologiumque adfit, cujus index lecunda Icrupula de- monftret; quscunque accipiatur penduli lîmplicis longitudo, ejus numéros ofcillatio- num, quîe hora una continentur, hoc modo cognoi(:etur; atque inde longitudo pen- duli tripedalis, ad fecunda Icrupula, ut antea, calculo prodibit. PROPOSITIO XXVI=). (A 155). Spatïumdefinh-e ^qiiod gravia^perpendiculariter cadentia ^dato tempnre percurrunt. Hanc menfuram quiconque haélenus inveftigarunt, expérimenta conliilereneceïïe habuerunt; quibus, prout hadenus inltituta fuere, non facile ad exaftam detennina- tionem pervenitur, propter velocitatem cadentium, fub finem motus acquifitam. Ex noftra autem prop. 25, de Defcenfu gravium, cognitaque longitudine penduli ad fe- cunda fcrupula, abfque experimento, par certam confequentiam, rem expedire polTu- mus. Ac primo quidem fpatium illud inquiremus, quod unius fcrupuli lecundi tempore grave prjeterlabitur; ex quo quîelibet alia deinde coUigere licebit. Quia igitur penduli, ad fecunda fcrupula, longitudinera diximus eïïe pedum Horariorum 3 : tempus autem unius ofcillationis minima? , eft ad tempus defcenfus perpendicularis ex dimidia penduli altitudine, ut circumferentia circuli ad diametnim, hoc eft, ut 355 ad 1 13: (1 fiât, ut numerus horum prior ad alterum, ita tempus unius fecundi furupuli, five iexaginta tertiorum, ad aliud;fient i9"t5, tempus defcenfus perdimidiam penduli altitudinem, ') La proportionnalité des longueurs aux carré? des périodes, lorsque les amplitudes sont les mêmes (condition superflue dans le seul cas d'oscillations entre des arcs cycloîdaux) peut d'ailleurs être démontrée plus généralement; voir la note 5 de la p. 1 8 du T. XVII. -") L'édition originale a par erreur Prop. XXV. 35^ l'hORLOGF, X PENDULE. 1673 • D OSCII, I.ATION Du CENTRE laquelle eft de 18 pouces du pied. Mais comme les carrés des temps font entre eux, ainiî le font auffi les efpaces parcourus en ces temps, comme cela a été démontré dans la propofition précédente. Prenons donc une longueur telle que le carré de i9y'o' foit au carré de 60 , c.à.d. que 36481 ibit à 360000, comme 18 pouces font à elle: on trouvera ainfi la longueur de 14 pieds, 9 pouces, 6 lignes pour l'efpace parcouru en tombant en une féconde. Mais attendu que le pied horaire eft au pied parilien comme 881 eft à 864, la même hauteur, réduite à cette mefure, fera à peu près de 1 5 pieds et un pouce '). Et ceci s'accorde fort bien avec nos expériences très cxacl:es, dans lefquelles le moment final de la chute n'eft pas difcemé par le jugement des oreilles ou des yeux, dont ni Tun ni l'autre efl: ici affez fur, mais où l'efpace parcouru pendant la chute cfi: trouvé fans erreur iliivant une autre méthode que nous tâcherons d'expoier ici. La demi-ofcillation d'un pendule fufpendu à une paroi ou à une table drelTée indi- que le temps de la chute. Pour que fon globule foit lâché au même inftant où on lâche le plomb qui doit exécuter la chute, les deux corps font tenus reliés par un mince fil qui efl: rompu à l'aide d'une flamme. Mais avant cela on attache au plomb qui doit tomber un autre fil de longueur telle que lorfqu'il eft tendu par la force du plomb tombant le pendule n'a pas encore atteint la paroi. L'autre extrémité de ce fil eft at- tachée à une règle de papier, ou une mince membrane, glifTant fur la paroi ou la table de telle manière qu'elle peut facilement fuivre le poids tirant et defcendre en ligne droite fuivant fa longueur, en paffant par l'endroit où le globe du pendule doit cho- quer la table. Toute la petite corde étant tendue, une partie de la règle eft donc tirée en bas elle aufti par le plomb tombant, avant que le pendule a atteint la table. La grandeur de cette partie eft indiquée par le globe qui eft induit d'une légère couche de fuie et met donc une marque fur la règle qui pafte. En y ajoutant la longueur de la petite corde on a une mefure certaine de l'efpace parcouru par le corps tombant. Dans ces confidérations nous négligeons la réfiftance de l'air pour que la mefure qui convient aux corps tombants s'accorde entièrement avec les expériences. Et, certes, cette réfiftance n'eft pas aft'ez grande pour qu'elle puiffe altérer fenfiblement les réfultats dans les hauteurs où l'on peut monter, pourvu que les corps foient fup- pofés de métal ou bien de grandes dimenfions s'ils confiftent en une matière plus lé- gère. En effet, la légèreté de la matière dans les corps qui traverfent l'air en tombant eft compenfée de telle manière par la grandeur des corps qu'une fphère en bois ou ') 15 pieds et un pouce, mesure de Paris, correspondent à 15 piedset/i pouces rhénans. Comme nous l'avons dit ailleurs (T. XVII, p. 100, note i et p. 246) Huygens connaissait cette valeur depuis la fin de 1659. Citons encore le passage suivant de la p. 88 du Manuscrit C écrit en 1666 peu avant le départ pour Paris: „AC [longueur du pendule supposé simple] eft 38 HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 357 quffi nempe eft pedis unciarum i8. Sicut aiitem quadraca temporum, ita funt fpatia De centro illis tcmporihiis pcracta, qiicmadniodiim llipcriori propofitionc fuit oftenrum. Erpo,"*'^"-'-*''''*'^''* lî fiât ut quadratum ex 19 t'o ^^ quadratum ex 60 , hoc ell, ut 36481 ad 360000, ita 18 unciîe ad aliud, lient ped. 14. une. 9. lin.6,altitudodercenruspcrpendicularis, tempore unius fecundi. Cum autcni pes i lorarius fit ad Parifienfem, ut 881 ad 864; crit cadem altitudo, ad hanc menfuram reducta, proxime pedum 1 5 & uncia.' unius '). Atquc h^c cum accuratilîiniis experimcntis noilris prorfus convcniunt. in quibus pun- ctum illud temporis, quo caius finitur, non aurium aut oculijudiciodifcernitur; quo- rum neutrum hic fatis tutum eil; led Ipatium dclcendendo pera(ftum,alio modo, quem hic exponerc tentabinuis, ablque ullo crrore cognolcitur. Pcnduli, ad parietem tabulamve creclam, lufpenlidimidiaolcillatiomoram tempo- ris, cadendo adlumpti, indicat. Cujus fphîerula, ut codem momento ac phimbum ca- fui dcllinatum dimittatur, utraque filo tcnui connexa tenentur, quod admoto igné inciditur. Scd prius, caluro plumbo, funiculus alius adnectitur, ejus longitudinis, ut, cum totus exierit à plumbo tradtus, nondum ad pajrietem illidatur pendulum. Funi-C/». 156). culi ejus caput alterum, regulîe chartaccîe, aut ex tenui membrana parataî, cohaeret; ita ad parietem tabulamve applicata;, ut trahentem tiinem facile fequi poflit, rectâque fecundum longitudinem fuam defcendere; eo loci tranfiens, quo penduli fphîera ad tabulamaccidet. Abfumptoigiturfuniculo toto,parsinfuper regulse deorfum trahitur à cadente plumbo, priufquam pendulum ad tabulam pertingat. Qux quanta fit pars, fphîera fuligine leviter infcda, regulamque prœterlabentem fignans, indicat. I luic autemaddita funiculi longitudine, fpatium cadendo emenfum certo definitum habetur. Aëris autem occurfum, quafi nullus efi^et in his intelligimus, ut menfura cadentibus corporibus prœfixa cum experimcntis cxafte confentiat. Nec fane tantus efl ille,ut in altitudinibus his, qu6 afcendere datur, fenfibile difcrimen mducere poffit; dummodo folida corpora è métallo, aut,filevioremateria confient, mole grandiulcula accipian- tur. Levitasenimmateri£e,in iisquce cadendo aërem fecant, ita magnitudine corporis penfatur, ut fphsera lignea, vel etiam c fubere formata, paria faciat cum plumbea: poil. Rhenolandise. Descensus DC seu semivibratio penduli AC fit 30 sive semi- secundo, tempus autem hujus semivibrationis est ad tempus casus perpendicularis per BC sive iAC ut semicircumferentia BCE ad diam. BC. Hinc fit spatium descensus pei-pendicularis tempore unius secundi pedum 15 poil. 7i'\ A la p. 160 du Manuscrit D (février ou mars 1669) Huygens trouve 15 pd. i poil, en se ser- vant directement du pied français: la longueur du pendule à secondes est évaluée à 36 pouces 8 lignes. À la p. 369 du même Manuscrit cette dernière longueur est corrigée en 36 pouces 8| lignes, et le „spatium descensus" correspondant devient I5pd. i poil, i lin.; pour la valeur en pieds rhénans Huygens trouve ensuite de nouveau 15 pd. 7^ poil. 35^ l'horloge X PENDULE. 1673 • Doscn. I.ATIO\. Du CENTRE même en liège va aufli vice qu'une Iphère de plomb, lorfque les diamètres de ces Iphères ont à ceux de la fphcre de plomb le même rapport que la gravite ipccifique du plomb à celle du bois ou du liège. En eflet alors les gi-avitès des fphèrcs Icront entre elles comme leurs (urtaces '). Toutefois, pour que les corps qui différent beau- coup l'un de l'autre en gravité fpecifique tombent Icnfîblcment avec une même vi- teffe, il n'ell nullement nèceflaire que cette proportion des diamètres (bit oblcrvèc: les corps peuvent être égaux entre eux pourvu qu'ils Ibient l'un et l'autre afiez grands ou qu'ils tombent d'une hauteur aiVez faible. Cependant il faut encore remarquer h ce propos que la hauteur peut être lî grande ou bien (la hauteur étant faible) que la légèreté du corps projeté peut être telle qu'à caufe de la réiillance de l'air raccéléra- tion du mouvement diffère énonnément de celle que nous avons calculée plus haut. Car en général à chaque corps qui tombe à travers l'air ou un autre liquide correfpond une viteffc déterminée, dépendant de fon poids et de ia furface, qu'il ne peut jamais dépafTer ou plutôt qu'il n'atteint jamais. C'ell la viteiTe que l'air, ou le liquide, de- vrait avoir vers le haut pour pouvoir Ibutenir le corps nageant dans lui. Mais nous aurons peut-être l'occafion de traiter ce fujet plus amplement en un autre endroit =). ') Voir les p. 384—385 du T. XVI. ') Il existe des calculs de Huygens sur l'influence de la résistance des fluides sur le mcjuvement, qu'il n'a pas publiés. Nous réservons ces calculs pour un des Tomes suivants. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. l673- 359 quando nimiriimdiamecerharumadplumbeîediaiTietrumeam rationem habuerit , quam De cl.ntro gravitas pkimbi propria ad ligni lliberisve gravicacein. Tune eniin gravitâtes fphîera- ''**-"''''^ '''"'•'*'* nim erunt intcr (b lient eariim llipcrficies ' ). Venintamen , ut aquali eelcritate , quan- tum l'enlu pcreipi potell, dceidant corpora , quse multuni intrinfeca gravitatc diflTerunt, nequaquam opus ell ut proportio illa dimctrorum lervetur. PolFunt enim inter fe a;- qualia cilc, dummodo utraque l'atis magna (inc; aut ex non nimiaaltitudinedeeidant. Ktenim illud quoque hie animadvcrtendum elt, tantam vel altitudincm elle poiTe; vel, in mediocri etiam altitudine, tantani projecti eorporis levitatcm; ut ob aëris reni- tentiam, acccleratio motus tandem ab illa, quam in luperioribus demonftravimus, proportione plurimum rceciFura iit. Namque in univerlum, eorpori euilibet, per aërem aliudve liquidum labcnti, eertus eeleritatis modus, pro ratione ponderis ae iliperiiciei iua;, eoniHtutus ell; quem exeedere, aut potius ad quem pervcnire nun- quam podit. Qua? nempe celeritas ea ell, quam (i acr, aut liquor ille furfum tendens, haberct, lulpenfum eorpus idem libi innatans lullinere poflct. Vcrum de his, alias fortalFe, pluribus agendi occalîo erit '). -y^i. CINQUIÈME PARTIE DE L'HORLOGE À PENDULE. Contenant une autre conjîruStion ba fée fur le mouvement circulaire des pendules , et des théorèmes fur la force centrifuge. Il y a encore un autre genre de mouvement oicillatoire outre celui que nous avons traité jufqu'ici: c'eft le mouvement d'un poids fufpendu qui tourne en rond fuivant une circonférence de cercle. Nous en avons déduit une autre conllrucliion d'horloge prclquc lîmultanénient avec celle traitée ci-defTus: elle cil balcc de même que la pre- mière fur un principe d'ifochronifmc bien établi; mais l'ulage de cette horloge ne s'eft pas fort répandu à caufe de la plus grande fimplicitéet commodité delà conllruc- tion de l'autre '). Toutefois plufieurs horloges de ce genre ont auifi été fabriquées, non fans fuccès '), et il y a en elles ceci de remarquable que l'on y voit tourner la dernière aiguille, celle des fécondes, d'un mouvement continu et uniforme, tandis que dans notre première horloge et dans toutes les autres elle avance par bonds. Il faut encore noter cette autre particularité que les automates ainli conllruits fe meu- vent fans aucun bruit. Il eft vrai que pour les ufages aflronomiques le fon qui fe ré- pète toutes les fécondes n'efl pas fans utilité. Et j'avais d'abord l'intention de publier la defcription de ces horloges avec la théorie du mouvement circulaire et de la Force Centrifuge — c'eil ainfi que je veux l'appeler — fujet dont j'ai à dire plus que je n'en ai en ce moment le temps; mais pour que ceux qui s'intéreffent à ces chofes jouiflent déjà plus tôt de cette fpcculation nouvelle et nullement inutile et que la publication ne foit pas empêchée par quelqu'accident, j'ai ajouté encore, contre mon deflein, aux autres parties celle-ci par laquelle l'arrangement de l'appareil ell brièvement ex- pofé et oùj'énonce en même temps les théorèmes relatifs h la Force Centrifuge en réfervant leur démonllration pour plus tard 3). ConflruStion de la deuxième horloge. Je n'ai pas jugé néceffaire d'exhiber ici la difpofition des roues qui compofent la partie intérieure de l'horloge, puiique celles-ci peuvent aifément être arrangées com- ') Voir les p. 242—243 du T. XVI, ainsi que les p. 88— 91 , 153 et 353 (note 2) du T. XVII. m^^'^'^%'^"^S&^'^S^ UvJ'-?J" V- J»^ 1> * vi4lAjt!W '.?J or-' ',%.) ■•■^J ~ jf- h^ ip- li^ Ji<- HOROLOGIl OSCILLATORIl Pars Quinta. ConftruStivneiij aliûw, è c'irailari pendulorum motu ilechicfatii ^ cont'mens; & Theoremata de Fi Centnfuga. (/>■ i57> Eft & aliud Ofcillacorii motus geniis, prêter id quod haclcnus pertrachivimus. Ejufmodi ncmpc, quo, psr circuli anibitum, pendiilum pondus circumfertur. Unde aliud quoque horologii comnientum dcduximus, eodeni tcre tempore quopriusillud; certoque itidem œquabilitatis principio nixum; fed cujus ufus minus pcrcrebuit, pro- pter alterius illius coni1:ru6tionem, quodammodo limpliciorem faciliorcmque '). Plu- ra tamcn hujus quoque generis de quo nunc loquimur, nec fine l'ucceiFu, conltructa fuere '): clique in bis lingulare illud, quod continuo acqueaequabilimotucircumferri cernitur index poilremus, qui fecunda fcrupula defignac; cum in priore noftro horo- logio, omnibufquc aliis, lubCukim qualî feratur. Item hoc quoque, quod abCque ftre- pitu, fonoquc omni, moveantur bac racione conilrucla automata. quanquam, ad ob- ier vationes allronomicas, Ibnus ad lîngula fecunda fcrupula repecicus, utilicate non careat. Et conllitucram quidem, defcriptionem horum cum iis demum edere,qu£ead motum circularem iSc \'im Centrifugam, ita enim eam vocare libet, attinent; de quo argumento pku-a dicenda habeo, quam quîe hoc tempore exequi vacet. Sed, ut nova necinutili fpeculatione maturius fruantur harum rerum lludiofi , neve cafu aliquo inter- cidat, hanc quoque partem, prêter deflinatum, cœteris adjunxi, qua machina; hujus fabrica breviter exponitur, limulque Theoremata traduntur, ad Vim Centrifugam pertincntia; demonllratione ipforum in aliud tempus dilata*. Hornlogù fectindi conftn/Bio. Non neceffarium duxi, ut rotarum, quibus interiora horologii conllant,difpoiitio- nem hic exhiberem, cum ea ab artificibus fa|cile ordinari, variifque modis mutari ( A 158) •X'ideAuAoris Opéra pofthu- ma p. 401. &feq.'). -) Comparez l'Appendice II à la Pars Qiiiiua qui suit. 3) Voir outre la note 2 de la p. 353 du T. XVII, les p. 237—328 du T. XVI. La note marginale (comparez les p. 238 — 239 du T. XVI) a été ajoutée au texte latin par 'sGravesande. 46 3^2 l'horloge X PENDULE. 1673. Description me il convient par les artifans et que la dilpolition peiic être modifiée en diverfesma- DEL^rà.ME nières: il luffit d'expliquer la partie qui règle le mouvement d'une façon bien déter- HORLocE. minée. On trouve ici une figure [Fig. i 18] qui repréfente cette partie '). L'axe DH doit être luppolé vertical et mobile l'ur deux ptMes. lùi A une lame courbée afTez large y efl attachée; elle eft courbée luivant la ligne AB qui efl la para- boloïde de laquelle nous avons démontré dans la Prop. \'III de la 3icmc Partie que par fbn évolution, après qu'une certaine droite y a été ajoutée, une parabole ell dé- crite. Cette droite efl ici AE; et la ligne EF repréfente la parabole décrite par l'évo- lution de la ligne entière 15 AE. Le fil appliqué à la courbe BA par l'extrémité duquel la parabole cil décrite ell BCF. Le poids attaché au fil e(l F. Or, candis que l'axe l)H tourne fur lui-mcmc, le fil tendu BGFfait mouvoir le globule F avec lui de manière à lui faire parcourir des circonférences de cercle horizontales qui feront plus grandes ou plus petites félon que l'axe 01 1 fera mu avec plus ou moins de force parles roues del'horloge qui agillént furie petit tympan K; mais toutes ces circonférences feront lituées fur la furtace d'un conoïde parabolique. Et par ce moyen les temps des révo- lutions feront toujours égaux comme il paraîtra par ce que nous dirons plus loin de ce mouvement. Que fi nous voulons que l'horloge indique les demi-fecondes, il faut que le latus reéhim de la parabole EF foit de 44- pouces de notre pied horaire, c.à.d. qu'il foit égal h la moitié de la longueur du pendule dont les olcillations limples le feraient en une demi-feconde. Or, la grandeur du latus redum de la paraboloïde AB dépend de celui de la parabole: le premier ell égal ii f ^ fois le fécond; il en ell de même de la longueur AE qui cil: la moitié du latus reélum de la parabole. Mais fi nous voulons que chaque révolution le faflc en une féconde, les latera reéta ainli que la ligne AE devront être quatre fois plus grands que précédemment. ') Comparez les figures de la p. 153 du T. XVIL HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 363 pollic; Icd eam parteni cx-Sf.clndi plicari fatis cfTc, aux mo- "o"*"'-""" ' . ' ^ I)F.SCRIPTIO. tiiiii cjiis ccrca rationc mo- dcratiir. Cujus partis hic ligura [Fig. 1 18] cxprcda clt '). Axis 1)1 1 adhorizontem ercftus intclligcndus cil, ac ilipcr polis duobiis mo- bilis. I luic ad A aHixa cit lamina, lacitudinc aliqua pr£edita,curvataque ieciin- diim lincam AB; quje eft paraboloidcs il la de qua oftendiimis,Propor. 8. par- tis 3 , evohitione ejiis, poft- quam ipfi recta qua^dam juncta f uerit, defcribi para- bolam. Ea recta hic ei\ AE; parabolam vero, ex evolu- tionc totius BAE defcrip- tam,refertlineaEF. Filum curv£ B A applicatum , cu- jus extrcnio puncto para- bola delcribitur, cil BGF. Pondus illi affixum F. Dum autem axis 13H in fêle ver- titur,tilumBGF, in rectam lineain extenfuni, fphsru- lam F una circumducit, ita ut circules horizonti parallèles percurrat; qui majores minorefve erunt, prout majori aut minori vi axis DH, ab rôtis horologii in tympani- dium K agentibus, incitabitur: led ita, ut omnes in luperlicie conoidis parabolici con- tineantur. Atque hoc ipio œqualia iemper circuitus tempo|ra évadent, ut ex iis,qus(A i59> de hoc motu poflca dicemus, apparebit. Quod ii circuitus iingulos, lecundorum fcrupulorum femiiïes notare velimus, oporcet latus reclum parabole EF efTe 44^ unciarum pedis Florarii noftri, hoc efl di- midium longitudinis penduli, cujus llngulîe ofcillationes Icmiicrupulimi (ecundum impenderent. Ex parabola: autem latere recto, pendet magnitudo lateris recli parabo- loidis AB; quippe quod illius f ^ continet : atque item longitudo AE, quse lateris recli parabolîe dimidium efl. Si vero fecunda icrupula unoquoque circuitu expleri defîde- remus, quadrupla priorum accipienda funt, tum latera reda, tum linea AE. 364 l'horloge À PENDULE. 1673- DE5CRIPTI0N II fiiut lavoir en outre que, quoique nous ayons coniidéré jufqu'icile fil BGF ^^'^^, comme unique et firaple, il vaut cependant beaucoup mieux qu'il foie double à ih HORLOGE. partie liipcrieure et du côté de F fes deux parties fc joignent l(ius un angle de 20 ou 30 degrés. A cet effet la largeur de la lame AB doit être telle du coté B qu'elle eil néccflaire pour cet écartement des fils, ou bien elle doit, elle aufîi, être fourchue. Car de cette manière le mouvement circulaire du poids F continue fans aucune autre aide et tend les deux fils attachés à lui, ce qu'il ne ferait pas s'il n'était retenu que par un icul fil. 11 faut pourtant lavoir que la force rcquilé pour la continuation de ce mouvement circulaire provient des roues de l'horloge miles en mouvement par un poids ou une autre puiffimcc: cette force parvient à l'axe KH par le moyen du petit pignon K et entretient par une très légère prefiion le mouvement une fois commencé du globe F. Or, pour qu'elle puilTc le faire d'autant plus facilement, il faut que la révolution de l'axe KH Ibit fort libre. L'expérience a montré que la meilleure façon d'obtenir cette liberté elt de conllruire en acier durci la partie inférieure de l'axe et de placer fous elle une furface plane de diamant, dont une très petite particule elHci fufHfante, laquelle il faut mettre fous une lame perforée. On pourra d'ailleurs employer au lieu du fil BGF, là où celui-ci doit s'appliquer fur la courbe AB, une fine chainette d'or ou d'un autre métal, pour que la longueur refte d'autant mieux conllante. C'efl ce que nous avons eflayé aulTi dans la première horloge où le fil ell fufpendu entre les cycloïdes. Mais dans ce cas l'inflexion conti- nuelle de la chaînette nuit beaucoup à la libre agitation du pendule par la friélion des mailles quelque petite qu'elle Ibit. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. 1673. 365 Porro, etfi filum BGP' \ cliui iinicuui ac limplex hadenus defignavimus, Iciendum Seclxdi tamcn lonp;c pra;lhre ut parte lupcriori duplex lit, ac F verfîis in angiilum cocat, 20 "'"«^"'•'"•" vcl 30 partiuiii. In qiieni linem & lamina; Alî latitiido ad li tanta efTc débet, quanta iili lilorum divaricationi fiitlicit, vel & iplii bilida taeienda. Iloc pacto cnini motus circularis ponderis F,abrque alio ullo adminiculo, continuatur, ac filum utrumque fibi annexum in reclum extendit; quod non tacerct, fi unico tantum filo teneretur. Ubi tanien viin illam ab horologii rôtis, vel pondère vel alia potentia motis, ad continuationem hujus motus circularis requiri Icriendum. Quîe nempe vis pcr tympa- nidium K ad axem KH pervenit, ac minime nilli, motum iphœrje F femel inditum, conicrvat. Hoc autem quo faciiius poliit, liberrimam axis KH revolutionem eflc oportct. Quod nulla ratione melius perfici compcrtum, quam fi, parte lui ima,duratochalybe confk't, llippolitamque habeat adamantis fuperficiem planam; cujus minima quaevis particula hic iuHicit, llibter laminam perforatam coUocanda. Cseterum in locum fili BGF, qua parte curvœ AB applicari débet, catcnulam tc- nuera ex auro, aliovc métallo, adhibcre licebit, quo melius invariata fervetur longi- tudo. Atque hoc in priore quoquc horologio, ubi pendulum intcr cycloides fulpen- fum eft, experti fumus. Sed ibi flexuscatenula:continuus,attrituannulorum, perexi- guo licet, non parum impedit liberam penduli agitationem. 366 l'horloge à pendule. 1673. THÉORÈMES SUR LA FORCE CENTRIFUGE RÉSULTANT DU MOUVEMENT CIRCULAIRE ■)■ T. Lorfquc deux mobiles égaux parcourent en des temps égaux des circonférences inégales, la force centrifuge corrcfpondant à la plus grande circonférence fera à celle qui correfpond à la plus petite dans un rapport égal à celui des circonférences elles- mêmes ou de leurs diamètres. 11. Lorfque deux mobiles égaux fe meuvent avec la même viteffe dans des circonfé- rences inégales, leurs forces centrifuges feront inverfement proportionnelles aux diamètres. III. Lorfque deux mobiles égaux le meuvent dans des circonférences égales avec des vitefles inégales, mais conrtantes pour chacun deux comme nous voulons que cela foit entendu dans toutes ces propofitions, la force centrifuge du plus rapide fera à celle du plus lent dans un rapport égal à celui des carrés des vitefles. IV. Lorfque deux mobiles égaux, parcourant des circonférences inégales, ont une force centrifuge égale , le temps d'une révolution fuivant la plus grande circonférence fera à celui d'une révolution fuivant la plus petite circonférence dans un rapport égal à celui des racines carrées des diamètres. V. Lorfqu'un mobile fe meut fuivant une circonférence de cercle avec la vitelTe qu'il acquiert en tombant d'une hauteur égale au quart du diamètre, il aura une force cen- trifuge égale h fa gravité; en d'autres termes, il tendra la corde, par laquelle il efl at- taché au centre, avec la même force que lorfqu'il y cil ful'pendu. VI. Dans la furface concave d'un conoïde parabolique à axe vertical toutes les révolu- ') Nous ne publions ici que la traduction française des treize théorèmes, vu que le texte latin a déjà été publié au.x p. 315 — 318 du T. XVI. l'horloge X PENDULE. 1673- 367 . LA Foa.cc tiens d'un mobile parcourant des circonférences horizontales petites ou grandes font De l accomplies dans des temps égaux : chacun de ces temps eft égal à celui d'une ofcilla- centrif lcc. tion double d'un pendule ayant pour longueur la moitié du latus rectum de la para- bole engendrante. Vil. Lori'que deux mobiles lulpendus à des tils inégaux parcourent en tournant des circonférences horizontales, l'un des bouts du fil demeurant immobile, et que les hauteurs des cônes dont les fils décrivent la llirface par ce mouvement font égales, les temps des révolutions feront aulli égaux entre eux. \'lll. Lorfque deux mobiles, fufpendus à des fils égaux ou inégaux, tournent comme précédemment d'un mouvement conique et que les hauteurs des cônes font inégales, les temps de révolution feront dans un rapport égal à celui des racines carrées de ces hauteurs. IX. Lorfqu'un pendule pofTédant un mouvement conique décrit des circonférences extrêmement petites, leur période aura au temps d'une chute verticale d'une hauteur égale au double de la longueur du pendule un rapport égal à celui de la circonférence d'un cercle à fon diamètre; par conféquent cette période elt égale au temps de deux ofcillations latérales fort petites du même pendule. X. Lorfqu'un mobile parcourt une circonférence et que la période de ce mou\'ement eil égal au temps dans lequel un pendule ayant pour longueur le rayon de cette cir- conférence peut décrire d'un mouxement conique une circonférence extrêmement petite ou exécuter une fort petite ofcillation latérale double, il aura une force centri- fuge égale à fa gravité. XI. La période de révolution d'un pendule quelconque poffedant un mouvement co- nique fera égale au temps de la chute verticale d'une hauteur égale au fil du pendule, lorfque l'angle d'inclinaifon du fil par rapport au plan horizontal elt à peu près de 2°54'. Il en fera exaétement ainfi, lorfque le finus du dit angle ell au rayon comme le carré infcrit h un cercle efl au carré de ia circonférence. XII. Lorfque deux pendules de même poids, mais dont les fils font inégalement longs, décrivent en tournant des furtaces coniques et que les hauteurs des cônes font égales. 368 l'horloge X PENDULE. 1673- De la toRCE les forces avec lefqucllcs ils tendent leurs fils feront entre elles dans un rapport égal CENTRIFUGE. -^ j,g|^,j ^^^ longucurs des fils. XIII. Lorfqu'un pendule (impie exécute un mouvement latéral maximum, c.ù.d. lorfqu'il defcend par un quart entier de circonférence de cercle, il tendra fon fil, au moment où il fera parvenu au point le plus bas de la circonférence, avec une force trois fois plus grande que s'il y était limplement fufpendu '}. FIN. ') Comparez la p. 45 de l'Avertissement qui précède. APPENDICE! À LA PARS PRIMA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1668- 1669.] A. Ad invcnicndas longitudines in mari, ex duabus œqualibus folis altitudinlbus et hora pendulorimi '). PLQmcridianus.Ppolus. Z.zcnic,EQœ- quator. A i parallela horizoncis. LD ecliptica. I locus folis in ecliptica cum ante raeri- diem obfervaretur cjus diftantia a vertice zi 0- 1 locus folis in ecliptica cum poft meri- diem obfervatus fuit in cadem diftantia a vertice atque ante meridiem. tranflato nempe puncto ecliptics 2 in A, et i in B. Interceffere autem inter obfervationem utramque horse horologij i o. daturque pun- ctum eclipticje i puta 10 gr. V. Et altitude poli, et diftantia a vertice Zi vel ZA. Quîe- ritur quot horis poil: primam obfervationem fol fuerit in nieridiano. Ex ephemeride datur arcus eclipticœ B A, et ex tabula afcenfionum redtarum dabitur proinde arcus sequatoris GH 3) arcui BA ■) La Pièce //est empruntée aux p. 241—242 du Manuscrit C écrites entre février et mai 1668. Comparez sur des calculs de ce genre, où toutefois il n'est pas encore tenu compte du déplace- ment du soleil dans l'écliptique, l'avant-dernier alinéa de la p. 222 et le premier alinéa de la p. 226 du T. XVII. -) Le point i (Fig. 1 19) ne désigne pas l'endroit où se trouvait le soleil au moment de l'observa- tion matinale: dans la figure cet endroit a été transféré de l'Orient à l'Occident , à égale distance du méridien. Comparez le cinqiéme alinéa là où il est question du „duplus arcus QN". 3) C'est par hasard que dans la Fig. 1 19 le point H coïncide (ou peu s'en faut) avec l'intersection de l'équateur et de l'écliptique. 4? 370 PARS PRIMA DE l'„horologium oscillatorium". APP. I. [l 668 — 1 669]. conveniens, unde itaque nofcicur angulus BPA. Porro ex 3 lateribus trianguli PAZ '), invenietur angulus APZ et ex 3 lateribus trianguli PiZ ') invenietur angulus iPZ, qui ublatus ab APZ relinquit angulum APi. cui addito BPA, cognolcitur angulus BPi. Ilic vero angulus BPi menlurat tcmpus quod elapliim ell dum punctum cclip- ticas I -*) pervcnit in B. Ponitur autem i effe in B cum loi elt in A. Itaque 10 horis tranlierunt mcridianum duplus arcus QN et infuper arcus NG. Ergo à i o horis aufe- rendo tempus quo tranlijt arcus i\G, relinquitur tcmpus quo tranfijt duplus arcus QN. cujus itaque temporis dimidiuni addituni honv prima' obfervationisdabit horam qua punftum eclipticse i fuit in meridiano. Tune autem fol nondum ell in meridiano, fed adhuc tranllre débet dimidiuni afcenfionis refta; NM. Ergo addcndo tempus hujus dimidij arcus NM ad horam inventam qua puni-'tum i erat in meridiano, habebitur hora qua fol erat in meridiano. Brevius vero fie idem invenitur. Tempus quo punttum ecliptica; a elHn Aexcedit tempus quo idem punCtum 2 erat in circule PiN '*) tempore arcus UN. Itaque li a 10 horis, hoc elt, a tempore inter duas obfervationes squalium folis alcitudinum, auferatur tempus arcus HN, relinquetur tempus quo fol squales angulos horarios confecit ab utraque parte meridiani PQ, utrumque fcilicet a^qualem ipfi QPN. Cujus temporis femiirc itaque à prima obfervatione fol pervenit ad meridianum (quando- quidem mutatio afcenlionis reéts, dum percurrit exiguum arcum 1,2, pro motu œ- quabili haberi potell) adeoque difti temporis femiflis additus hora; prima obfervatio- nis dabit horam qua fol erat in meridiano. Itaque tantum invcnirc opus ell angulum APi quem metitur arcus I IN. N. B. datur complementum declinationis primœ Pi ; deinde ex tempore dato 10 horarum cogmofcitur locus Iblis 2, et proindc et complementum declinationis P2 five PA. Mis cafibus omnibus quibus P2 arcus major quam Pi ^)addendum ell tempus arcus HN ad horas elapfas inter obfervationes. tum ut prius fumma diniidium additum hone prima obler\'ationis dabit horam qua fol erat in meridiano. B. Pour mettre dans l'inllrudion 3). -*) Voir la note 1 de la p. 369 qui précède. ') Les arcs PA et Pi, compléments de déclinaisons, sont connus: comparez le troisième alinéa. -") Les „casus omnes" où P2 > Pi se rapportent à queUiues autres ligures dans le genre de la Fig. 119. 3) La Pièce B est empruntée aux p. 20 — 21 , datant de septembre 1668, du Manuscrit D. Com- parez la p. 195 du T. XVII sur l'intention de Huygens de publier une traduction française re- touchée de son „Kori Onderwijs aengaende het gebruyck der Horologien etc." de 1665 (T. XVII). PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUm", APP. I. [ 1 668 — 1 669]. 37 1 Il faut dans le vaifl'cau lUrpcndre les horologes dans la chambre du Capitaine ou autre lieu commode qui (bit bien fec et les défendre autant qu'on peut de la poufllerc fans avoir égard que ce foit près du grand mail ou non puifqu'on a veu par expérien- ce que la différence pour le mouvement n'cll pas conlidcrable. Puis que Tanneau gradué ne peut pas fcrvir, ni rarbalctle ordinaire avec aiïez d'exaétitude, il faudra faire un quartier Anglois*) Iclon les avis qu'en donneront de Combe ^) et la Voye '^). Mais il faudra Ce fervir le plus qu'on peut du coucher et lever du ibleil, parce que ces obiervations Ibnt incompa- rablement plus certaines que toutes celles qu'on Icauroit faire avec les inllruments ■'). Si on peut avoir le lever et le coucher en un jour l'on s'en peut fcrvir fans aucun calcul d'heure par les triangles. Mais (i l'on n'a que l'un ou l'autre, l'on fupputera l'heure 1 . ^ -y . . . du coucher ou lever par la declinaiibn du foleil con- pf K. \ \ \ y I nue et par la hauteur meridiene qu'on ne doibt pas manquer d'oblerver et qui fe prend affez precifement. Ce calcul fe fiiit par le triangle rectangle BCA [Fig. 120], dont l'angle C que tait le méridien **) PB (palTant par B lieu du ibleil) fait [fie] avec l'Equa- teur EQ. Et l'angle BAC ert la hauteur meridiene du ••) D'après une note à la p. 334 de l'édition de 1 880 des „Voyages and works of John Davis the Navigator" (London, Hakhiyt Society"): „The back stafT, invented hy Davis, was the fore- runner of Davis's quadrant, called by the French „Quartier Anglais". Ces instruments servent à mesurer la hauteur du soleil en lui tournant le dos. L'ouvrage „The Seamans Secrets" par John Davis parut en 1594: il n'existe aujourd'hui, paraît-il, que des exemplaires de la deuxième édition de 1607 (London , Th. Dawson). A la p. 334 nommée (les „Seamans Secrets" occupent les p. 229 — 337) on trouve une figure représentant l'instrument primitif. Le «quartier anglais" est représenté à la p. 356 du Vol. I de l'ouvrage „Early Science in Oxford" par R. T. Gunther (Oxford, printed for the subscribers, 1923). On peut le voir à Leiden dans le „Ned. hist. na- tuurw. Muséum". Il est représenté aussi, sous une forme légèrement différente, à la p. 14 de l'ouvrage de W. J. Blaeu „Degroote Zeespiegel, inhoudende een korte Onderwijsinge in de Konstder Zeevaert etc." (Amsterdam, J. Blaeu, MDCLV). Blaeu l'appelle „omgekeerden Graedboogh ofte dubbelden dryhoeck daer van den eenen 60 en den anderen 30 graden begrypt". Dans son „Kort Onderwijs" de 1665 Huygens ne fait pas encore mention decetinstriunent: comparez le deuxième alinéa de la p. 197 du T. XVIL Voir les Additions et Corrections à la fin du présent Tome sur quelques figures de Huygens relatives à ce sujet qu'on trouve plus loin. 5) Il s'agit sans doute de „de Combes" mentionné aussi par Huygens en février 1668 (voir la note I de la p. 24 qui précède). À la p. 223 du Manuscrit F, datant de 1685 ou 1686, on trouve quatre noms parmi lesquels figure celui de „Francois de Combe". Il parait probable que le pré- nom était en effet François et non pas Francesco (p. 614 du T. VI). *) Voir la Pièce C qui suit. ") Comparez la note 2 de la p. 218 du T. XVII. ') Lisez: „cercle de déclinaison". Il faut pourtant remarquer que, du moins en anglais, le mot 3.72 PARS PRIMA DR l\,HOROLOG1UM OSCILLATORIUm". APP. I. [1668 — 1669]. foleil ') ou le complément de la hauteur du Pôle. Et le coilc CB la declinaifon du fo- leil '). d'où l'on calcule le coftè AC, arc de l'equateur. lequel on adjoute à 90 degr. quand les jours font plus longs que de 12 heures, ou on l'olte des mesmes 90 deg. quand les jours Ibnt plus courts que de 1 2 heures. Et on convertit cette fomme ou différence en heures, dilant '). On pourroit avoir des tables pour les heures du lever et du coucher du foleil dans toute l'année et pour toutes élévations de pôle de degré en degré. Pour ajuller les horologes quand le vaifTeau cft a la rade ou au port, il ne faut pas porter les horologes a terre, parce qu'en les remettant dans leur boetes pour les ra- porter au vaiffeau on doit appréhender que tous ces remuemens ne les altèrent et que les fufpendant dans le vaiffeau elles -■) ne confervent precifement la mcfme mefure qu'ils 3) avoient fur tetre. Il vaut donc mieux de les laiffer fufpendues ^) dans le vais- seau, et d'aller ohferver feulement a terre quelque azimut d'effoile fixe par des filets, ou quelque coin de maifon, avec un point fixe d'où l'on regarde +), et a l'inftantque l'eftoile y joint faire ligne ') avec du feu ou par un coup de piffolet ou de moufquet a celuy qui regarde l'horologe dans le vaiffeau afin qu'il marque l'heure qu'elle mon- tre, et le lendemain ou quelques jours après ayant fait la mefnie obfervation avec la mefme effoile l'on connoillra la différence journalière de l'horologe, comme il efl: dit dans l'inftruifHon "). Quand on ne Icauroit pas precifement la différence journalière des horologes, il ne faut pas laiffer de taire les obfervations des Longitudes parce qu'on pourra par après rechercher cette différence journalière et redreffant par la les obfervations précéden- tes voir l'effet des horologes et mefme les véritables différences de Longitude des ter- res qu'on aura rencontrées. „meridian" a parfois un sens plus général. Davis p.e. à la p. 293 de l'ouvrage cité dans la note 4, appelle „Ec!ipticall >Ieridian" un grand cercle quelconque passant par les pôles de l'écliptique. ') Z.BAC, complément de la hauteur du pôle, représente la hauteur méridienne du soleil non pas dans le cas considéré dans la Fig. 1 20 , mais dans celui où le soleil se trouve dans l'equateur. Il est évident qu'il ne s'agit pas ici d'une erreur, mais seulement d'une expression peu heureuse. CB est la déclinaison du soleil de la figure. -) Phrase inachevée. On obtient ainsi l'heure de l'horloge correspondant au temps où le soleil se trouvait dans le méridien. 3) Chez Huygens le mot „horologe" est généralement féminin : mais il n'en est pas toujours ainsi de son temps; voir p.e. les p. 420 du T. II, 399 du T. III (lettres de P. Petit) et 193 du T. XVII. "•) Comparez les p. 106 — 109 qui précédent. 5) Comparez, à la p. 501 du T. VI, le huitième alinéa de la Pièce C'qui suit. *) Voir la p. 208 du T. XVII, où il est toutefois question d'une détermination de la différence journalière d'une horloge par l'observation du soleil et non pas par celle d'une étoile fixe. PARS PRIMA DE l'„HOROLOG1UM OSCILLATORIUm". AFP. I. [1668 — 1669]. 373 C. Sur l'Effay des l lorologcs liir mer par la Voyc dans le valffcau de M. de Beaufort au voiage de Candie en 1 669 '). [Voir les p. 501 — 503 du T. VI]. D. Om te vvccen hoevcel de damphcffing den opgangh der fonne verhaefl of den ondergang verachcert "). Den fehrijvcr van 't Journael heeft de Ions center fien opgaen den 9 Julij 1669 als hec horologe wees op 2 uren 56'. 6". Rn op den i y Julij daer nac vveder het Ions centcr lien opgaen cen 2 uren 52'. 28". I lec uren gccal der horologien is dan 3 .3H min als 1 o dagen , dac is 9 daghen 23 uren 56'.22 ". waer afgetrocken het vereffeningh getal van den 9 Jul. dat is 1 1 '.o" en weder bij gcdaen dat van den 19. Jul. te vveten 9.58,100 vindmen 9 dagen. 23 uren 55'. 20". Dit moet nugelyck wefen (indien 't horologie vvel gellelt was) aen het uren of tijdt- getal der fonne tuflehen de tvvee obfervatien verloopen. 't Welck aldus gevonden werdt. De bcreeckende uie der fons middelpunts opgang den 9 Julij was ten 4 uren 50' 38". waer af treckende 2^54 " die de damphcffing den opgangh doet verhaeften, foo was de fightbare opgangh des centers cen 4 ur. 47'44" '^). Wederom den 19 Jul. was des fons middelpunts berekende opgangh ten 4 ur. ^6'i" . waer af treckende 2. 54" voor de verhaeiling der opgangh door de damphcf- fing komt de flchtbacre opgangh des centers ten 4 ur. 53. 8". I lier af nu getrocken de voorgaende 4 ur. 47'.44", foo komt voor het tijdtgetal der fonne tufTchcn de twee obfervatien boven de 10 dagen, noch 5 '. 24. Maer het tijdtgetal van 't horologie was gevonden 9 dag. 23 ur. 55.20' foo is dit minder als der fonne tijdtgetal om i o'.4". dat is de daghelijckfe verachteringh der horologie 1 '-*^. men konde de 2'54 " van de verhaefting der fonnen opgangh beijde de dagen achter laten. maer niet indien men den tijdt genomen hadt van cen opgangh der fonne tôt een ondergangh. De getallen onder malkander te ftellen '"). ") La Pièce Ca été tirée du Manuscrit D (p. 226 — 227, datant de septembre 1669). ^) Traduction: „Pour savoir combien rélcvation apparente due aux vapeurs avance le lever ou retarde le coucher du soleil". La Pièce D, comme la Pièce C, contient des remarques de Huygens sur le rapport de de la Voye que nous ne possédons plus. Elle est empruntée à la p. 215 du IManuscrit F. I^a p. 209 date du 20 octobre 1685 et la p. 227 du 5 mai [1686]; comparez la note 10. ') En marge: men kan seggen, de berekende en door de damphcffing gecorrigeerde urc des opganghs was &c. '°) Voir la p. 61 du T. IX. En 1686 — comparez la note 8 — Huygens se fervit, comme on voit, de quelques données du rapport de delà Voye dans la composition de la nouvelle Instruction de cette année (T. IX, p. 55 — 76). On trouve plus loin dans le présent Tome la traduction d'une partie de cette Instruction ; voir les Additions et Corrections. APPENDICE II À LA PARS PRIMA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1659-1(593011 1694] [Fig. 121.] .-/.') Quaeritur tempus per quadrantem CircumferentiEe cir- culi, quod dubito an inveniri poflit. Ut AT ad GF [Fig. 121] ita faciendum YZ ad aliam qu£ erit tempus per KH, fed ut AT ad GF ita IN ad NL -)• Ratio temporis per KH ex EG ad tempus per QRcummotu jequabili dimidio ex DA 5) com- ponitur ex rationibus KH ad QR et iAP ad I\Ii\+), hoc cil ex DG' five LN ad NG et iAP ad ININ, hoc efl: eam quam iqu. AP ad n MNG. NG ]/ aa — xx MNj/^ I — I MNG 1/^3^ ax' tempus per QR [Xa^x — ûx^ - tempus per KH - iaa a/y \a^ 1/ , -30 50- ]/ a^x — ax= -^ ^ ARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATORIUM". APP. II. [ 1 659 — I 693 OU I 694]. 375 ') Chanse Mechanica; f. 73 verso, datant de décembre 1659. Consultez sur la f. -3 rectoet verso les notes i et 4 des p. 39=— .■^93 du T. XVI. Nous n'avons pas reproduit en cet endroit le cal- cul de la p. -3 V. disant que Muygens ne trouva que plus tard une solution approchée pour le „tempus per quadrantem circumferentis". Ce n'est en eftet que dans l'„Hor. ose." qu'on trouve la valeur numérique approchée 34 : 29 (inférieure à la vraie valeur) du rapport de la période d'une oscillation de 1 80° du pendule simple à la période de l'oscillation extrêmement petite du même pendule (voir la note 2 de la p. ici qui précède). Evidemment ce rapport ne pouvait être déterminé avant que, dans ce même mois de décembre, la régie qui donne la formule de la pé- riode de l'oscillation extrêmement petite avait été trouvée (T. XVI, p. 410). Pour trouver ensuite le rapport 34 : 29 II uygens peut s'être servi (voir la note 2 de la p. 378) de l'équation y = ifl3 7^=^=^=-^ de la f. 73 v. Il est intéressant de savoir que cette formule qu'on retrouve dans la Pièce C de 1669 qui suit, a déjà été trouvée par lui en 1659 au début de ses recherches sur ce sujet. -) Nous conservons ce début quoique Huygens n'ait pas poursuivi ce calcul. Dans la proportion AT : GF = YZ : tempus per Kl I, il est évident que par „VZ" il faut entendre „tempus per VZ". La très petite droite KH est sans doute supposée parcourue avec la vitesse provenant d'une chute de E en G. Or, de quelle hauteur au-dessus de T Huygens suppose-t-il tombé le point pesant qui parcourt la petite droite YZ? En partant de la proportion du texte on constate, en faisant le calcul, que, pour toute position de T, le point de départ est situé à une hauteur iAD ou ia au-dessus do lui. En d'autres termes: la demi-circonférence DTA est parcourue avec la vitesse constante ^«^(où if est l'accélération de la pesanteur), c.à.d. avec la moitié de la vitesse qui proviendrait d'une chute suivant DA. La proportion AT : GF = IN : NL sert à introduire ensuite la grandeur constante NL ou (7 au lieu de la variable AT pour toute position du point G. La considération de la figure con- duit à la relation AT : GF = ], ^Çà + x) : VV ad lingulas PP longitudine, hoc c\\ ut lingul^e rcrpon- dentes vSP ad VP ut facile ollcnditur; hoc ell ut fingula' refpondentcs VP ad TP. Hinc per propof. a. Archimedis de Conoidibus et Sphjeroidibus +) crunt omnia limul tem- pora pei' lineas PP, hoc ell: tempus motus accelcrati per AD nd tempora omnia per arcus VY, hoc ell ad tempus per arcum BD ut omnes TP ad omnes \'P. hoc ell ^) ut rpatiuminfinitumAVVDAadrpatiuminfmitumATTCDA,reu2quadratumABCD''). PR PS PS PT ' ' / I / ax PY PS \/ aa — XX — a PY PS PT PV aa ]/ ax yy.zo «3 \/ax a^ J'OO /" a^ aax — a-î ■•) Voir la note i de la p. 1-9 qui précède. ') Hiiygens considère ici le rapport inverse, savoir cehii du „tempus per arcum BD" à celui du „tempus motus aceelerati per AD". j. 3. '') LacourbeCTTTest une hyperboloïde. Son équation ^''.r" =«- permet de déterminer, d'après la méthode de Huygens de 1657 (note 8 de la p. 289 du T. XIV) le rapport de l'aire ABCD à l'aire BTTC. Puisque/) (note nommée) a ici la valeur i et i; la valeur 4-,ona/> — ii:q=i:\, c.à.d. les deux aires sont égales, en d'autres termes: le „spatium infinitum [c.à.d. l'espace s'é- tendant jusqu'à l'infini] ATTCDA" est égal au double du carré ABCD. 48 37^ PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATOR1UM".APP. II. [1659 — I 693 OU 1694]. Oporteret hujus curvœ quadraturam dari '). Stanni folium fpecularis incidacur et pondus comparetur -). D. 3^ Ad computanda tcmpora defcenfus per arcus circuinferentis ••}. [Fig. 123.] j ') Le résultat du calcul est donc (lorsqu'on introduit le sj-mbole de Leibniz (): tempus per arcum BD [Fig. 122J: tempus motus accelerati per AD = •' y aax — X'' En 1659 (Pièce A^ Huygens avait trouvé (sans toutefois se servir du symbole 2 d'Euler): tempus per arcum BD = 2 — ^ ou 2 i 1/ - • \^ a'^x — ax^ ' v aax — x'^ Comme le temps nécessaire pour parcourir du mouvement uniforme considéré l'élément QR de la Fig. 121 était réprésenté par <7 (p. 375, note 5), le temps nécessaire pour parcourir la droite a^ entière DA était ^r^. Ce temps est égal, d'après l'hypothèse faite pour la grandeur de la vitesse constante, à celui de la chute accélérée suivant DA. On a donc: tempus per arcum BD: tempus motus accelerati per AD = ^ V aax — «3 ■ QP : za'- = 2QR.lX "' QR ^ V aax—x^ ce qui s'accorde avec le résultat du calcul de 1691 (début de la présente note). =) Est-ce pas un pesage de ce genre que Huygens avait trouvé entre 1659 et 1673 la valeur ap- prochée 34 : 29 (note 2 de la p. i o i ) du rapport en question ? Nous ne le pensons pas, puisqu'il PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUIVI OSCILLATORIUm". APP. II. [ 1 659 — 1 693 OU I 694]. 379 § I. AF 30 c[F\g. 123]. AD zc a zo latus reétum parabola; ABC. FB, FG, FX proportionales. FG FG FBa)|/^--^ ^|™FX0 cujus igicur logarichmus eil 2 log. « — è log- '^ — 7 '^g. c five J log. û — ~ log. c. 1 1. ^ — i- 1. c DO 1. cemporis per EG '^), celeritatc ex AF; five reftîe FX. Ç/3 eft 00 ^ arcus EH '). Z^. Z,3. ZV proportionales ^). Erit ZV pauxillo brevior ccmpore per EH quia eflet asqualis tempori per reftam perpendicularem îequalem EH arcui feu per quadruplam E,5. fed poteft fumi tanquam îequalis *). propose ici une méthode pratique qui ne pouvait pas servir pour obtenir, comme il le dit dans r„Hor. ose", une valeur du rapport „aussi proche qu'on voudra". Il s'agissait donc probable- ment avant 1673 d'un calcul approché de la surface représentée par l'intégrale de la note i , à moins que Huygens n'ait suivi déjà en ce temps la méthode de la Pièce E qui suit ou une autre méthode que nous ne connaissons pas. Voir encore la note 2 de la p. 384 qui suit. 3) Manuscrit I, p. 100 et suiv. De ces deux pages la première date de 1693 ou 1694 suivant la place qu'elle occupe dans le Manuscrit. L'autre est le reCio d'un feuillet collé dans le livre. La division en §§ est de nous. *) En marge: „Vide lib. G. pag. 34. i". C'est la page, numérotée par Huygens, que nous avons désignée par 68 verso (p. 376, note 2). S) FX correspond donc à PT (ou MT) de la Fig. 122 de la Pièce C; x de la Fig. 122 s'appelle maintenant c, *) En disant que la droite FX représente le „tempus per EG" Huygens considère cette droite comme une partie d'une surface. C'est en effet la bande découpée par deux horizontales de la surface XCDAX (Fig. 123, laquelle s'étend jusqu'à l'infini vers le coté droit), qui représente le temps d'une chute verticale suivant la largeur de cette bande. À droite la bande est limitée par une partie de la courbe CX et dans le cas du „tempus per EG", où EG est le premier élé- ment de la verticale, la bande s'étend jusqu'à l'infini. Dans la Pièce C Huygens disait que la surface considérée est proportionne/le au temps. Ici il l'égale au temps. Un peu plus loin, il dit de même que le temps du mouvement accéléré suivant AD est égal au double du carré AC. Il est évidemment plus correct de dire que Is droite FX représente non pas un temps mais l'in- verse d'une vitesse. 7) L'élément Ç5 (où le point ? est identique avec le point E) est un élément de la verticale dont la longueur est égale par hypothèse à | de Parc EH. *) Dans la Fig. 123 V est donc situé sur la courbe CX. ') Huygens se propose apparemment de chercher une valeur approchée du temps nécessaire pour parcourir le quart de circonférence ED du mouvement accéléré tel qu'il a lieu en réalité; à cet effet il divise le quart de circonférence en 1 2 arcs égaux et suppose chacun d'eux parcouru 380 PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIL'MOSCILLATORJUM". APP. II. [ 1 659 — I 693 OU I 694]. Porro incipiendo ab FX et finiendo in DC, lumma applicacarum eft minor tempore per quadrancem ED. il nempc ducatur in EU arcum '). Sed incipiendo ab Z\ et (iniendo in /Y lumma applicatarum crit major tempore per eundem quadrantem ED. dufta nempe in arcum EH =). AF, Ay, AO &c. funt fmus angulorum EAI I, EAK &c. Tempus motus accelerati per AD erit x» i quad. AC. Ratit) Inorum eft, quia fi arcus El I ponatur peraftus a'quabili celeritatc quanta ex altitudine EG, vel per EH, acquirit, quam rctcrt FB applicata in parabola AC, fu- metur tempus vero brevius. Item fi pro tempore defcenfus continuati per 1 IK fuma- tur illud quo IIK percurrcretur celeritate jequabili quanta ex EK, quam refert y/., rurfus fumitur tempus vero brevius. quia autem arcus jequales ponuntur, erunt tempora quibus pcrcurri ponuntur in ratione contraria celeritatum, hoc eft ut applicatîe in curva CX, ad reftam AD. § 2. Ponatur primo quadrantis arcus ED divifus in lo partes squales 5). Ergo AF 30 fin 9. gr. AF X 1564345 cujuslog. 9.1943324 4.5971662 ^log.c. avec une vitesse constante. La droite verticale égale à l'arc EH dont il est question dans la note 7 est parcourue dans un même temps , soit qu'on considère le mouvement accéléré naturel , soit qu'on suppose cette droite verticale parcourue avec la vitesse constante qui résulte de la chute verticale le long de ES = \YA\. C'est ce temps-là que Huygens désigne par „ZV" quoiqu'en réalité (comparez la note 6) il soit égal à l'aire de la bande limitée par les horizontales AE (de longueur infinie) et ZV. Le„tempus per EH",c.à.d. le temps dans lequel l'arc EH est parcou- ru dans le mouvement réel, est évidemment, comme le dit le texte, tant soit peu plus long que le temps nécessaire pour parcourir la verticale égale à EJl. ') On obtient une limite inférieure pour le temps de la chute le long de HD en supposant chacun des 12 arcs égaux, dans lesquels HD est divisé, parcouru avec la vitesse finale telle qu'elle est en réalité pour cet arc. Pour chaque arc le temps est alors égal au produit de EH par l'„applicata", c.à.d. par l'horizontale se terminant à la courbe CX qui passe par le point le plus bas de l'arc considéré. La limite inférieure totale est donc égale au produit de EH par la somme des hori- zontales de FX à DC. -) On obtient une limite supérieure pour le temps correspondant aux 1 1 derniers arcs en les sup- posant parcourus avec la vitesse initiale. 11 faut encore y ajouter le temps du premier arc, La suite du texte donne d'ailleurs l'explication exposée dans les notes i et 2. Il est vrai que pour le premier arc la valeur trouvée était inférieure au vrai temps, de sorte que, lorsqu'on ajoute cette valeur à la limite supérieure obtenue pour les 1 1 arcs suivants, il n'est pas rigoureusement démontré qu'on obtient encore une limite supérieure du temps néces- saire pour parcourir le quart de circonférence. IMais Huygens avait dit que la valeur trouvée pour le premier arc diffère sans doute très peu de la vraie valeur. 3) Le § 2 a peu d'importance puisque Huygens retourne au §3 à la division du quart de circonfé- rence en 12 parties, conformément à la Fig. 123. PARS PRIMA DE l'„HOK.OLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. II. [ I 659 — I 6l,»3 OU I 694]. 38 I I 0.0000000 5.0000000 15.0000000 X» i log. a 4.597166a 10.4028338 1. 25280000000 XI FX^). 252800 FX, cum AD looooo^). § 3. Sit arciis quadrantis ED divilus in 1 2 partes aequalcs. Ergo AF X fin -'^30'. cujiis log. 9-1156977 "Ï5578488 15.0000000 *"') AG X fin 15° log. 9.4129962 30° 45° 4.7064981 1 5.0000000 10.4421512 1. 276800 (i). A9 30 fin. 22.30' 9.5828397 4.7914198 15-0 10.2935019 1. 196600 (2) 10.2085802 1. 161600 (3) 9.6989700 37°3o'- 97844471 4.8494850 15 4.8922235 15 10.1505140') 1. (41300 (4) 10.1077765 1. 128200 (5) 9.8494850 5^°?>o'- 9-8994667 4.9247425 '5 10.07525-5 1. 118900 (6) 4,949.7334 15 10.0502666 1. 112300 (7) ■•) D'après la fonnule î log. a — 1 log. c = log. temporis .... du § i. S) Quoique le rayon ait la longueur 10', le calcul de FX (note 4) a eu lieu comme si la longueur du rayon ûtait io'°. '') La remarque de la note précédente s'applique aussi au calcul de AF et des horizontales suivan- tes. Mais dans la valeur finale obtenue pour chacune de ces lignes Huygens omet à bon droit les 5 zéros qu'il avait écrie dans la valeur de FX du § 2. ") Le nombre est plus près de 10.1505150 que de lo.i 5051 40, mais Huygens prend cette der- nière valeur puisqu'il s'agit de trouver une „summa miner". Une remarque analogue s'applique à plusieurs autres nombres. Une somme plus exacte ne peut évidemment être obtenue que lorsqu'on tire de la table des logarithmes une valeur plus exacte pour chaque nombre séparément. 382 PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATORIUM". APP. U. [ I 659— I 693 OU I 694]. 60°. 9-9375306 67.30'. 9.9656153 75° 4.9687653 15 4.9828076 15 •• 10.0312347. 107400 (8) 10.0171924. 104000 (9) 9.9849438 82.30'. 9.9962686 4.9924719 15 10.0075281. 101800 (10) 13052 '") per 4 -^-4- -^ ^ 3263. fit 3263. 1. 8.5136171 4-9981343 '5 1 0.00 1 8657. ' 00400 /.Y ( 1 1 ) 4.2668085 15 10. 733 '915 1-54 1400 ZV / / / 0/ '^-.i 276800 FX / 13095 00 yV quadrantis 196600 I6I600 1649300 13095 I4I300 128200 I I 8900 21 597583500=) II 2300 107400 104000 IOI800 1 8 I 3900 100400 I 00000 DC 13095 1649300 fumraa miner 276800 FX ; s. 3) 137=500^ 23753020500 20000000000 DC 1 00000 ( s. 1272500 ) ^ 541400 ZV) 1 8 1 3900 funima major +) PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATORIUM". APP. U. [ 1 659 — I 693 OU I 694]. 383 iS. 5) 2768 13095 553<5 ^ 20031 2290 1770 262305945 — — j 200000000 ratio pauxillo 15 10 minor quam tcmporis per quadrantem circum- 1 345 fercncis ad tempus defcenfus perpendicularis per 1230 radium. 1145 1095 1055 1032 1018 1005 20031 ratio temporis per radium ad tempus ofcillationisminiiii£e,eademqu£Elaterisquadrati in circule ad arcum quadrantis. 1 1 3 I -j-j^ 1 0000 / 1 5708 1 4 1 420 — ^ — 15708 200000000 / ?.iiïi\ 2623 1 2222 rario minor quam temporis per quadrantem circumferentiœ ad tempus ofcillationis minimal. Sed antehac experienti videbatur mihi efle proxime qu£e 1 2 ad 1 1 , non 1 3 ad 1 1 ut hic. 34 29 2623 2222 29 34 76067 75548 loooo 14142 20000 2 28284 2623 2828 13 — 14 ratio prox. temporum per arcum quadrantis et per arcus fubtenlam. 2623 — 222 1 /" I 2&23 ') D'après ce qui a été di: à la p. 379 (note 7) il faut, pour calculer ZV (inverse d'une vitesse). 384 PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATORIUM". APP. II. [ I 659 — I 693 OU I 694]. prendre la longueur c cgale à \ de l'arc EH lui-même. 11 n'est donc pas cvident pourquoi Huj-gens prend le nombre 13052 au lieu de 1.3095. Apparemment il prend \ de la projection de l'arc EH sur la verticale, c.à.d. du sinus de 7°3o', ce qui fait d'ailleurs bien peu de difFé- rence. Les mots „sic 3263" indiquent qu'il ne s'agit pas d'une erreur, mais qu'il croyait pou- voir se contenter de cette \aleur de ZV. Comme on voit, il n'a calculé qu'ensuite (en prenant - = %") la longueur 13095 de l'arc EH. =) C'est le produit de la „summa minor" par la longueur de „j-^ quadrantis". C'est donc (note i de la p. 380) la limite inférieure cherchée du temps d'une chute le long du quart de circonfé- rence, le temps de la chute le long de la verticale étant représenté (note 6 de la p. 3-9) par 2.io'°.Maiscederniertempsest àceluid'unedemi-oscillation simple le long d'un très petit arc dans le rapport 1/2 : {t. (comme Huygens le dit dans la Pièce £). Le rapport cherché est donc 21597583500:2.10'° X 2:2.22145 ou 2.15976:2.22145 = 0.97. En d'autres termes: cette limite inférieure n'est d'aucun usage puisqu'elle est même inférieure à l'unité. Avant 1673 Huygens avait trouvé la limite inférieure 34:29 ou 1.1724 beaucoup plus approchée (note 2 de la p. 37S). 3) s. = subtrahendo. '*) Pour passer de la „summa minor" à la „summa major" (note 2 de la p. 380) il faut retrancher de la première la droite CD et y ajouter la droite ZV. C'est par erreur que Huygens retranche aussi la droite FX qui dans la „summa major" correspond au temps du deuxième arc d'en haut. Il aurait donc dû trouver pour la „summa major" 2090700, et par conséquent (note 2) pour la limite supérieure du rapport cherché 2.0907 x 1.3095 : 2.22145 = 2.73777 '• ----^Ai = 1.232. (Le nombre erroné de Huygens donne pour cette limite du rapport la valeur -•-3753 '■ 2.22145 = 1.007 iiifcrieiire à la vraie valeur). 5) La Pièce E fait suite à la Pièce D. Elle occupe le verso du feuillet mentionné dans la note 3 de la p. 379. Le calcul de la Pièce D ne pouvant apparemment conduire à des limites convenables à moins que la subdivision du quart de circonférence ne fût poussée beaucoup plus loin — nous trou- vons en effet, que pour atteindre la limite inférieure 1.1724 d'avant 1673 (note 2) il ne suffit même pas de diviser le quart de circonférence en mille arcs égaux — Huygens chercha une autre méthode, tout en conservant la division du quart de circonférence en douze parties seulement. Il n'explique point cette méthode. La colonne des nombres qu'il additionne donne une „summa minor" (20031) beaucoup plus grande que la „summa minor" (16493) de la Pièce D, et la valeur 2623 : 2222 ou 1.18047 qui en résulte pour la limite inférieure du rap- port cherché ne s'écarte pas notablement de la vraie valeur. La méthode fait donc l'effet d'être bonne. Le premier nombre de la colonne, 2768, correspondant à 276800 (FX) de la Pièce I) — on trouve son logarithme au début du § 3 — peut évidemment être déterminé plus exacte- ment — il deviendra un peu plus petit — et il serait sans doute également possible de déter- miner exactement les autres nombres de la colonne si noussavionscomment, d'après Huygens, il faut les calculer. Le nombre 13095 doit être remplacé par 13090 puisque Huygens l'a cal- culé en prenant r = v- On trouvera donc par cette méthode une valeur qui s'écarte quelque peu de 1. 18047 et peut constituer une limite inférieure se rapprochant beaucoup de la vraie valeur 1. 18033 (^'oir la fin de la présente note). En laissant aux nombres de la colonne leurs valeurs, mais en remplaçant 13095 par 13090 et 2222 par 2221, 45 on trouve (par hasard?) pour la limite du rapport précisément 1.18033. Quelle peut avoir été la méthode suivie? ( )n peut représenter graphiquement par des aires PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATORIUM". APP. II. [ I 659 — I 693 OU 1 694]. 385 les 12 quantités qu'il s'agit de sommer en écartant la première horizontale ainsi que les hori- zontales FX. ...DC delà Fig, 123 l'une de l'autre à des distances égales entre elles ("savoir des distances de ,5 qviadrantis). Pour trouver une forme de plus en plus exacte de la courbe dé- formée XC il faudrait pousser la subdivision plus loin et prendre toujours des distances égales entre cliaquc paire d'horizontales correspondant aux extrémités d'arcs égaux dans la Fig. 123. La courbe XC restera partout concave, puisque plus la partie considérée de la courbe est peti- te, plus aussi la déformation est uniforme. Dès lors il est facile de trouver une limite supérieure pour les 1 1 dernières quantités: il suffit de remplacer la courbe XC déformée par une droite brisée, de sorte que toutes les horizontales conservent leurs longueurs et que chacune des 1 1 quantités est représentée par un trapèze. On trouve ainsi, en partant des valeurs de la Pièce D, les 1 1 quantités 2367 presque toutes supérieures aux quantités correspondantes de Huygens (les trois der- 1791 nièrcs seulement sont inférieures) et dont la somme 14609 n'est pas beaucoup plus 1514I grande que la somme correspondante, 14495, de ses quantités à lui. Pour obtenir la 1347^ somme 14609 il suffit d'ailleurs de prendre le nombre 12725 de la colonne de la 1235* Pièce Z) et d'y ajouter i (2768 -f- 1000) ou 1884. 1156 Pour trouver une limite inférieure pour les 11 dernières quantités on pourrait 1098^ limiter chaque trapèze non pas par une corde de la courbe FX déformée, mais par 1057 une tangente à cette courbe, de sorte que l'une des horizontales qui limitent le 1029 „trapèze" est quelque peu raccourcie (ou bien que les deux horizontales soient rac- loii courcies, si le point de contact choisi ne se trouve pas sur une d'elles, mais entre 1002 elles). Ce n'est pas là cependant la voie suivie par Huygens puisque de cette façon les rrois dernières quantités trouvées par lui devraient, comme les autres, être inférieures à celles que nous venons de calculer. Quant à la première quantité Huygens prend apparemment pour une limite du temps cher- ché le double du produit de FX par y'^ quadrantis (ce qui explique peut-être l'erreur signalée dans la note 4; il est possible qu'en ce moment il était déjà d'avis qu'on peut prendre le double de FX dans la „summa minor"; or, s'il avait réellement pris le double, il eût fallu retrancher FX, comme il le fait, dans le calcul de la „summa major"). En effet, la bande supérieure de la figure déformée dont il est question un peu plus haut s'étend jusqu'à l'infini (comme celle de la figure non déformée) et a donc une aire beaucoup supérieure à celle du rectangle formé par FX et la droite verticale égale à y'^ quadrantis. Pour démontrer que la valeur prise par Huygens est bonne, il laudrait faire voir (comparez la Fig. 121 de la Pièce /f): > J V^ax \^ a- — ■ x'^ \i\^ a.b 0 où b-=a%m 7°3o' est la projection du premier -^-^ quadrantis sur la verticale. Ou plus brièvement i^ àx ^ T. i J l^x («= — a-=) I 2 1/é o Le développement en série de l'intégrale donne > TTTTi' °" ^ = k<7 = o.i3o53<7. 49 386 PARS PRIMA DE L'„HOROLOGlt'M OSCILLATORIUm". AI'P. II. [i 659 — 1 693 OU 1 694]. / i I I , ' § , 3 I , 5 V ) , } a xi 2«3 ^ Sa' ^ i6a^ \ Il faudrait donc faire voir que ou =k + ik3 + _'-k5 + _§^k7 ... >^ OU 0.26106 + 0.00045 . . . . > 0.26180, ce qui pourtant n'est pas vrai. Mais on voit que la valeur prise par Huygens, tout en étant quelque peu supérieure à la vraie valeur, en est très rapprochée. Il est donc/)M5/^/^, quoique sa méthode nous soit inconnue, que l'ensemble de toutes les quantités qu'il considère constitue en effet une limite inférieure. Ajoutons qu'en prenant le double du produit FX par j^ quadrantis comme premier nombre de la „summa major", telle que nous l'avons considérée, celle-ci devient 5536 + 14609 = 20145, ce qui donne pour la limite supérieure du rapport cherché -^ — ~ ii_z_ = 1.1871. Quant à la vraie valeur de ce rapport, elle est, d'après la note i de la p. 378, I I /""l X "* . \^ la {" • — il 1/ —i ôda-ou / ia^ J y a^x — x^ - J V^x («= — :c») o ou, en posant .v ^ a (i — 3'^}: TT J ày l/(, _^>) (, _|j») ou if r-t= r, . l.i,..+ bl.L.yA+l±l.l.f ... Y TT J Vi — r ^ ^ 2 S-* ^3.42=-'^ ^2.4.6 23-' •••> o f' ày „ [^ ydy " /"' v'-'dj Or, on a | . ^ - = - et | .- ," ' - = — — - I . " ______ ' d;y l^iT^ = i" ^W V^T^^ ^ n + I ) 'PT- o Le rapport cherché s'écrit donc -t-jj 2^2^4= 4^2=.4-.6= 8^ Il est quelque peu inférieur à 1.18033*). PARS PRIMA DE l'„HOROLOGIUMOSCILLATOR1UM". APP. 11. [ I 659— I 693OU I 694]. 387 ') Ou, si l'on veut, ■a J 1/ COS y =) On peut consulter sur ce calcul L. Euler „De Motu oscillatorio penduli cuiuscunque, dum arcus datae amplitudinis absolvit", Act. Ac. Scient. Imp. Petrop. pro Anno MDCCLXXVII, Pars Posterior, Petropoli, Typ. Ac. Scient. MDCCLXXX, p. 159—182. Euler considère plus généralement le cas où l'amplitude d'une vibration simple est 2 ï; le rapport de la période d'une oscillation à celle d'une oscillation fort petite s'écrit alors Cette série a d'ailleurs déjà été trouvée sous une forme peu différente de celle d'Euler par P. P. Elvius — qui s'inspire de la méthode de Newton, exposée dans le „Tractatus de Qua- dratura Curvarum" de 1704, pour développer l'intégrale trouvée par lui-même indépendam- ment de Huygens dont il ne connaît que les ouvrages imprimés — et publiée par lui dans son travail „Theorema de oscillationibus pendulorum in arcubus circularibus" (Aéta Literaria et Scientiarum Suecia;, Anni MDCCXXXIV, Upsalise, Sumtibus Reg. Soc. Lit. & Scient.), après que G. Vallerius eut publié dans les Afta de 1731 son article „Observatio & Experiraentum de Funependulorum Vibrationibus". Vallerius trouve e. a. pour le rapport de la période d'une oscillation de 180° à une oscillation de 20°, 225: 189 ou 1,191.., donc une valeur trop grande mais fort proche de la valeur véritable. APPENDICE À LA PARS SECUNDA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". 1670. A. ') Demonftrûtio propofitioms Cartefij^ âe qua Schotenius in commefitarijs in geometriam illitts. [Fig. 124.] ') La partie À de cette Pièce est empruntée aux p. 250 — 252 du Manuscrit D. Le texte et les figures correspondent presqu'exactement aux p. 155 — 157 qui précèdent, ce qui prouve, comme nous l'avons dit dans l'Avertissement (p. 36), que ces pages ont été rédigées au com- mencement de 1670 peu avant la maladie de Huygens. Dans ces Commentaires sur la „Géo- métrie" de Descartes (voir les p. 374 et 41 1 du T. XIV) van Schooten parle (p. 264 de l'édi- tion de 1659) de la lettre de Descartes à Mersenne (publiée en partie en 1667 aux p. 350 et 404 du Tome III de l'édition des lettres de Descartes par Clerselier), où il est dit que la droite qui joint ce que nous appelons le centre instantané de rotation à un point de la cycloïde, ou autre courbe C, décrite par le roulement d'une figure sur une ligne droite, est normale à la courbe C, d'où résulte e. a. une construction de cette normale dans le cas de la cycloïde. Des- cartes démontre ce théorème en considérant la courbe roulante comme la limite d'un poly- gone. Comparez la note 4 de la p. 401 qui suit. Huygens donne ici une démonstration plus exacte. Quant à la lettre de Descartes à Mersenne, qui est du 23 août 1638, elle a été publiée intégralement en 1898 dansles„Oeuvres de Descartes", éd. Adam et Tannery, T. II, p. 307. AI'P. 1670. 389 1670. 9 Jan. AB [Fig. 1 24] ') curva genica circumviilutionc figura; AOC fuper redla CD, de- Icribemc nempe piintto A in circumfcrcntia figurœ AOC fiimto. Dico, fi ducatur CA, a piincto contadtus figurie et linea; CD, ad punéhim ciirvae A ubi tune invenitur pundura dcfcribens, ipfam CA oceurrere eurvas ad angulos reftos, fivc cireumfcrcntiam MA 11 ^) dcfcriptam centre C radio CA tangcrc curvam in punCto A. Dueatur enim CB primum ad punftum curvje altlus quam A. Et fuerit pofitus figura; in BED cum punctum defcribcns effet in B. contattus in D. Et punclum cur- vje quod antea erat in C, hic jam fublatum lit in E, et jungantur EB, EC. tangatque figuram in E reéta KH. Quia ergo refta CD œqualis efi: curvje ED, eddem vero curvâ major utraque fimul EU, 11 D, Erit EH major quam CM; unde angulus ECH major quam CEH. Et proinde ECL minor quam CEK, atqui addendo angulo KEB, qui îequalis LCA ad KEC fit angulus CEB. Et auferendo ab ECL angulum LCB, fit ECB. Ergo angulus CEB major angulo ECB. Itaque in A° CEB latus CB majus erit quam EB. Atqui EB squale patet eff'e CA , cum fit hoc ipfum una cum figura tranfpofitum. Ergo CB etiam major quam CA, hoc efl: quam CF. Unde punftum B erit extra cir- cumferentiam MAF. Sit rurfus punclum N in curva inferius fumtum punfto A. cumque punclum dcfcri- bens effet in N ponatur fitus figurse fliiffe in VLN, punCtumque contaftus L, pun- étum vero quod tangebat primam in C, fit jam lublatum in V, et jungantur CN, NV, VC, VL. Eritque VN œqualis CA, imo ipfa erit CA in VN tranflata. Jam quia re<5ta LC îequatur curvse LV, ac proinde major eff: refta LV, erit in A° CLV angulus LVC major quam LCV. Unde addito infuper angulo LVNad LVC, fiet fimul totusNVC major utique quam LCV ac proinde omnino major angulo NCV qui pars eft LCV. Ergo in A° CVN latus CN majus erit latere VN, cui îequalis CA. Quare et CN ma- jor quam CA, hoc eff: quam CM. unde apparet punctum N cadere extra circulum MAF qui proinde tanget curvam in pundo A. Hjçc demonff:ratio convenit partibus curvarum infraregulamdefcendentibus,quae curvîE generantur a punclo extra figuram revolutam fumto. EH [Fig. 1 25] +) tangens in E. DH -f- HE majores quam curva DE, hoc efl: quam refta DC. Ergo HE major quam HC. Ergo angulus HCE major quam HEC. Atqui ^") Notre Fig. 124 n'est autre que la Fig. 37 de la p. 155 qui précède. La figure de Huygens, tracée à la main , y correspond exactement. 3) Lisez MAF. "•) Notre Fig. 125 n'est autre que la Fig. 38 de la p. 158 qui précède: comparez la note 2. 39° PARS SECUNDA DE l'„H0R0LOGIUM OSCILLATORIUM". APP. I 670. [Fig. 125.] [Fig. 126.] ad HCE addito HCB fit an- gulus ECB. Et ab I lEC au- ferendo HEB, qui îequalis DCA, fie angulus CEB. Ergo ECBmajorquam CEB. Unde in Alo ECB latus EB majus quam CB. Sed ipli EB sequalis eft CA five CF. Ergo et CF major quam CB. Ergo pun- ctum circumferentise F ell ex- tra curvam AB. Sit jam revoluta figura [Fig. 1 26] in partem L ita ut refta CA tranflaca in \'N jam magis inclinetur ad regulam CQ. Sitque contaéhis in L, et punétum quod erat in C fublatum in V. et jungantur LV, VC, CN. Ergo quia CL îequalis cur- vje VL, erit eadem CL major refta VL, Unde inACVL, angulus LVC major LCV. ac proinde C\T minor VCQ. Sed addendo ad VCQ angu- lum QCN, fit angulus VCN. Et auferendo ab CVP angu- lum PVN, fit angulus CVN. Ergo in A° CVN, latus VN majus erit quam CN. Efl: au- tem ipfi VN a;qualis C A , five CM. Ergo et CM major quam CN. Ideoque punftura cir- cumferentiœ M radio CAde- fcriptîe eil extra curvam AN. ') La partie B que nous divisons en trois §§ est empruntée aux p. 253 (§ i et § 2) et 257 (§ 3) du Manuscrit D. La p. 254 porte la date du 1 5 janvier 1670. PARS SECUNDA DE l'„HOROLOG1UM 0SCU.LAT0R1LM". APP. 167O. 39 1 [Fig. 127.] if. 0 § 1 0- ]/xx + -v^' AF [Fig. 127]. CScoC SGoo AF AF + AC a + l XX + yy b — 2 30 X. 2 ininima 3). '') Huygens considère ici, comme dans les §§ 2 et 3 , un poids punfliforme A attaclié à un plan rigide qui roule sur une droite horizontale. Dans la Fig. 127, comme dans les Fig. 129 et 130, la courbe qui limite ce plan vers le bas a par hypothèse une forme telle que le point A décrit une cycloïde. Huygens se propose de trouver le rayon de courbure — voir sur cette expression les p. 41 et suiv. de l'Avertissement qui précède — de la courbe mentionnée en son sommet E. L'arc infiniment petit AS de la cycloïde peut être considéré eomme faisant partie d'une circonférence de cercle à centre C et rayon CA = a. es est donc la normale a la cycloïde au point S et, d'après les considérations de la partie .'/qui précède, son prolongement coupe la droite horizontale sur laquelle le plan rigide roule au point G, centre instantané de rotation au moment où le poids se trouve en S. Lorsqu'on prend l'arc EF = EG, AF est donc la droite du plan roulant qui va prendre la position SG. Comme l'arc EF est infiniment petit, FG est perpendiculaire à EG et DF = EG (= y). AE ou ^ est donnée, Huygens prend en outre AD = .r et DE = 2. FN est une normale à la courbe roulante; c'est donc NF ou NE (. -t-ZZ- i-SM -4- •J'BZ. -?û B» ^'PAA t^ arv 30 aa x^j» DO a^ xf 00 «3 x^y 00 a* xy^ 00 a* |BM + ÎBZ IBM + |BZ 00 BD [Fig. 134]. JBIM + iBZ ^BM + |BZ APPENDICE II À LA PARS TERTIA DE I/„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM" [•?]■) [Fig. 136.] Siiperficiei fphîeroidis a:qualem circiilum invenire. AECB [Fig. 135] ell Iphîeroides oblongum. AC axis. I' alter focorum ellipfis AECB. AG parallela FB. arcus ADC delcriptus cencro G. Recta K cft média pro- portionalis inter femidiametnim MB et a:qualem utrisque flmul, diamcrro EB et arcui ADC. Jam erit circulas, delcriptus radio K, îequalis luperticiei Ipha^roidis AECB. AECB [Fig. 136] eft fphîeroides compreflum axis AC. F alter foconim ellipfis AECB. punftum D dividit bifariam iplani FM quce inter focum et centrum. ADC efl: parabola vertice D. ReCta K cft média proportionalis inter diametrum EB et rectam asqualem curvse parabolicje ADC. Erit jam circulas defcriptus radio K œqualis fuper- ficiei fphEeroidis AECB. ■) Les Fig. 135 — 138 et le texte correspondant sont empruntés aux p. 39 — 40 du Manuscrit 13. Comparez la note i de la p. 395. Le contenu de la Pièce correspond à la plus grande partie de la Prop. IX de la Pars Tertia de r„Hor. ose". 398 PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". Al'P. U. [?]. Curvaî Parabolics jequalem reétam invenire. ABC [Fig. 1 37] eft paraholïc portio recta, triangulum AGC ifofceles in eadem bafi, duplum altitudine. lE squalis AC. IH œqualis duabus fimiil AG, GC. DEF efl: hyperbole, vertice E. centro I. reclangulum PF a^qualc portioni hyperboles DEF. PQ fecac IH in R. Jam eric IR squalis curvs parabolicîe ABC. [Fig, 137,] [Fig- 13?.] H L Superficiel conoldis parabolici dati circulum ffiqualem invenire, perfeftè. Sit Conoides [Fig. 1 38] cujus feftio per axem parabola ABC. axis BD; vertex B. Sic AE tangens parabole qu£ occurrac axi producto in E. Et dividatur bifariam an- gulus EAD, reftà AF. et fit FG parallela AE. Deinde fit H sequalis utrique fimul AE et DG. Lautem ^qualis trienti AC. Et inter H et Linveniatur média proportionalis K. Jamque eric circulus defcriptus radio K sequalis fuperficiei conoldis ABC prêter bafin. Si flierit AE dupla AD erit fuperficies conoldis ad circulum bafeos ut 14 ad 9. Si AE tripla AD, ut 1 3 ad 6. Si AE quadrupla AD, ut 14 ad 5. Quum fit in univerfum, ficut AE una cum GD (eft autem GD ad DA ut hsec ad DAE) ad |AC. APPENDICE III À LA PARS TERTIA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". 1678. §1'). Oranis Epicyclicae evolutio- ne fimilis Epicyclica defcribitur. Ut radius circuli fupcr quo rcvolu- tio ad diametrum circuli revoluti ita utriusque fumma ad aliara; Ha:c juncta diametro circuli revoluti efficiet dimi- diam longicudincm Epicyclicœ ex re- volutione defcriptîe. Vel curva Epicy- clica; eft ad diametrum circuli genitoris ut dupla diameter circuli manentis cum dupla diametro revoluti ad femidiame- trum manentis. DA X AG [Fig. 139]. arcus BC 05 BA. punftum C in cycloide. DBE linearefta. ECH refta. EL parall. CD. Dico EL elTe 30 EH.Et EC 00 |EH. Ducatur BC. et DK perp. EH. /_ ECB eft reftus. Ergo ut DE ad EB ita KE ad EC. Ergo EC oo iEK five oo |EH. Ducatur FC. quia jam radius FB oo i rad. AD et arcus BC do BA, erit ang. BFC dupl. BDA. Ergo L BEC oo BDA x DEL. Ergo EH 30 EL. Hinc video MNCA curvam quEe terminât fpatium radiofum in fpeculo cavo MGH, a radijs axi DG parallelis, efTe cycloidem a circulo EB, fuper duplo majoris diametri circule AB revoluto '). ') Le § I — la division en §§ est de nous — de cet Appendice provient de la p, 164 du Manu- scrit E. Voir sur la date le dc^but du § 2. On trouve à la p. 164 quelques autres figures dans le genre des Fig. 139 et 140 que nous ne reproduisons pas. Les deu.x premières propositions du § I sont démontrées au § 2. ^) LE, rayon incident sur un miroir cylindrique, étant réfléclii suivant EH qui touche l'épi- 400 PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. III. 1678. §2')- 26N0V. 1678. lu a l'afTemblée le 3 dec. 1 678. La mefure des lignes Epicycloides. Monf. de \'aumefle Religieux de Normandie m'ayant mandé qu'il avoit trouvé la mefure de la ligne Epicycloidc, lors que le cercle générateur et le cercle immobile font égaux, cela m'a donné occafion de chercher cette demonftration générale ^). Propof. I. Par l'évolution de la moitié d'une Epicycloide, en commençant par le fommet, il s'engendre la moitié d'une autre Epicycloide femblable à la première '). cycloïde au point C, on peut en conclure que tous les rayons provenant de rayons incidents parallèles à LE la toucheront également. Comparez la p. 41 de l'Avertissement qui précède: dans son article de 1-27 KrafFt dit à tort: „Cum vero dubitaretur pluresne una possibiles sint hujus indolis nec ne [c.à.d. s'il existe d'autres courbes que la cycloVde où la développée et la développante sont pareilles]: non longe post Tschirnhusius Causticis fortasse suis probe inten- tussecundam invenit, Causticam nempe Semicirculi quae Epicyclois est, quam protulit deinde in Actis Lips. 1682, M. Novembri". Voir encore sur l'évolution et la courbure d'après Huygens la p. 183 du T. X. L'hypocycloVde et sa développée semblable à elle-même furent considérées par Newton dans son ouvrage de 1687; voir les notes 5 de la p. 168 et 19 de la p. 514 du T. IX, ainsi que la note 000 de la p. 000 qui suit. ') Les §§ 2 et 3 sont empruntés à deux feuilles détachées (f. 175 et 176) se trouvant dans le por- tefeuille „ChartK mathematica;". Toutefois, sauf la première et la dernière phrase, et sauf quelques différences insignifiantes dans le texte, le § 2 se lit également à la p. 165 du Manu- scrit E. Comme nous l'avons indiqué dans la note 6 de la p. 1 17 du T. VIII, les §§ i — 3 ont déjà été publiés en 1833 (dans un ordre différent) par P. J. Uylenbroek dans les „Chr. Hugenii aliorumque seculi XVII virorum celebrium Exercitationes Mathematicse et Philosophie», Haga;Comitum, Ex Typographia Regia". Uylenbroek s'est servi, pour le § 2, du texte du Manuscrit E. -) On trouve aux p. 1 15 et 125 du T. VIII les deux lettres de i678(resp. du29oft. etdu lynov.) de de Vaumesle à Huygens. Elles furent suivies en juillet 1679 par une troisième lettre non moins intéressante (T. VIII, p. 189). Huygens connaissait déjà l'épicycloïde, quoiqu'il n'en eût apparemment pas encore considéré les propriétés; voir la note 6 de la p. 127 du T. VIII ainsi que les remarques publiées plus loin dans le présent Tome sur la forme des dents d'un engrenage. Mons. A. Lcgoy, archiviste départemental à Saint-Lo, nous a fait savoir que d'après diffé- rentes liasses du fonds de l'abbaye d'Hambye „dom Pierre de Vaumesle" fut prieur en 1698, 1704, 1705, 1707 et probablement jusqu'à 171 1, lorsqu'un successeur fut élu. En 1690 Huygens lui donne déjà le titre de Presbyter (T. IX, p. 515). Il est mentionné comme reli- gieux en différentes années, depuis 1676 jusqu'à 1691. 3) Dans sa première lettre de Vaumesle dit déjà „que par leuolution de la cycloVde circulaire est décrite une autre cycloide circulaire triple de la première". Il ne considère que le cas où les rayons des cercles immobile et mobile sont égaux: sa „cycloïde circulaire" est la cardioïde. l'ARS TERTIA Di: l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. 111. 1 678. 40 1 [Fig. 140.] Soit BEK [Fit^r. 140] la moitié d'une Epicycloide, dcfcrite par le roulement du cercle BC fur le cer- cle immobile BL. Et le cercle KM clhnt luppole élire au cercle KC comme le cercle CB au cercle BL, Ibit, par le roulement du cercle KM llir le cercle KC immobile, defcrit la demie Epicycloide K1'"N, qui iera terminée à la droite AB prolon- gée; et fera Icmblable a la demie Epicycloide BEK, a caule de la /A proportionalitc des cercles. Je dis que la raefme courbe KFN Iera defcrite par l'Evolution de la courbe BEK, commencée par K. Car ayant pris dans BEK quelque point E, pofons que le cercle gé- niteur de cette courbe, lors que le point qui la trace eltoit en E, ait eu la pofition CED, touchant le cercle BL en D. Et ayant joint ED, foit EG perpendiculaire à elle, qui touchera l'Epicycloide BEK au point E, par notre propos. ... du traité de l'Evolution des lignes courbes, car û eft aile de la rendre générale +). Il faut donc feulement dcmonftrer que EG allant prolongée rencontre 1 Epicycloi- de KFN à angles droits, car il s'en fuit de la que cette courbe fe defcrit par l'évolution de la courbe BEK, par notre prop. ... de l'Evolution des courbes ')• H cft certain que EG rencontre la circonférence KC au point de contact du cercle ED, parce que DEG eft un demicercle à caufe de l'angle droit DEG. 4) Voir la Prop. XV de la Pars Secunda de r„Hor. ose." ou bien la partie ./ de notre Appendice a la Pars Secunda. La proposition doit en effet être généralisée, car dans la lettre de Descartes a Mersenne citée dans la note i de la p. 388, ainsi que dans le Commentaire de van Scliooten (même endroit) et dans la Pron. XV de Huygens il n'est question que d'une courbe roulant sur une droite. Ici Huygens admet que la droite qui relie le point considéré de la figure roulante au centre instantané de rotation est également normale à la courbe décrite par ce point, lors- que la figure roule sur une courbe. Descartes (quoiqu'il dise pouvoir démontrer la proposition dans le cas considéré par lui „d'une autre façon, plus belle a mon gré & plus Géométrique ; se contente d'en faire voir la vérité en assimilant la courbe roulante à „un polygone qui a une infinité de costez". Or, cette même considération peut servir à établir le théorème lorsque la 51 402 PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. III. 1678. Soit VG le cercle générateur de l'Epicycloide KFN, et qu'il touche auffi le cercle KC en G: Et que EG prolongée couppe la circonférence GV en H. Puis donc que Tare BDL eft égal à la demie circonférence DEG; et que l'arc DB eft égal à l'arc DE, par la nature de la courbe BEK; l'arc DL fera aufli égal a l'arc EG. Mais l'arc EG efl: a l'arc GH comme le diamètre DG a GV, c'eft à dire comme AD a AG, (parce que AD, AG, AV font proportionelles) ou comme l'arc DL à l'arc GK. Donc les arcs EG, DL eftant égaux, les arcs GH, GK feront égaux de mefme. d'où s'enfuit que le point H efl le point traçant de l'Epicycloide KFN, lors que fon cercle généra- teur efl: en GV. Et par la propos, fusdite du Traité de l'Evolution *), il paroit que GH, qui efl: la continuation de la droite EG, rencontre la courbe KFN en ce point H à angles droits, ce qui reftoit à demonftrer. Propof. 2. La courbe d'une Epicycloide efl au diamètre de fon cercle générateur comme deux fois la fomme des diamètres du cercle générateur et du cercle immobile qui fert de bafe, au rayon du mefme cercle immobile. Il eft évident que l'évolution de la demie Epicycloide BEK fe tenninant en N, comme il a ertè dit, la droite BN eft égale a la courbe BEK. et parce que AN, AC, AB font proportionelles il s'en iuit que NC eft a CB, comme CA à AB ou AO •'). Et en compofant, NB à BC, c'eft a dire la demie Epicycloide au diamètre de fon cercle générateur comme CO a OA, Et l'Epicycloide entière BKP à BC, comme deux fois CO à OA; ce qu'il fallait demonftrer. figure roule sur une courbe: il suffit d'assimiler cette dernière à un polygone, dont les côtés rp. -, correspondent exaflement à ceux de la figure roulante qui viennent s'y L °' ■* •-! appliquer. C'est la probablement la voie suivie par de Vaumesle qui dit (T. VIII, p. 117) avoir „trouvé la tangente de la cijcloïde circulaire par la méthode de mr, des Cartes", puisqu'il ajoute „Jay reconnu que les tangentes de Ivne et de lautre cycloïde se trouvent de mesme manière": il connaissait (T. VIII, p. 1 27) „la géométrie de mr. des cartes commentée par Scoothen" et con- sidère (même endroit) fort ingénieusement des polygones réguliers roulant l'un sur l'autre. C'est à ce sujet que se rapporte la petite figure de Huygens de la p. 108 du Manuscrit E que nous insérons ici [Fig. 141]. Il ne parait pas que Huygens se soit appliqué à généraliser la démonstration plus rigou- reuse de la Prop. XV de la Pars Secunda. Comparez la note 9 de la p. 403 qui suit. 5) Il s'agit de la Prop. IV de la Pars Tcrtia de r„Hor, ose." ") C.à.d. par la Pjop. XV de la Pars Secunda, supposée généralisée (note 4). ") Cette dernière équation esc d'ailleurs équivalente à l'hypothèse initiale: „le cercle KM estant supposé estre au cercle KC comme le cercle CB au cercle BL". PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUiM". APP. III. 1678. 403 Il eft à noter que ces Epicycloides font des lignes géométriques quand les diamè- tres des cercles générateur et immobile font commcnfurables "). § 3. Spatium cpicycloide et bafi (lia comprehenfum, ell ad circulum genitorem Epicycloidis, ut tripla Icmidiametrus circuli baleos cum diametro circuligenitorisad radium circuli bafeos '). ') Dans !e Livre Second de sa Géométrie Descartes parle comme suit :„Pour comprendre ensemble toutes celles [c.à.d. tomes les courbes planes] qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer géométriques, c'est a dire qui tombent sous quelque mesure précise et exafte, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même". Or, l'épicycloide extérieure s'exprime en coordonnées rectangulaires par les équations - cos ny — cos(n-f 1J5P X r n n+i n sin ny — sin (n + 1)5» où ^ et r désignent les rayons du cercle immobile et mobile; lorsque « est commensurable, le paramétre y peut être éliminé. La cycloi'de au contraire n'est pas „géomttrique". ^) De Vaumesle avait trouvé, par [Fig. 141 bis.] l3 considération de polygones ré- ^ guliers et égaux roulant l'un sur l'autre, que la surface de la car- dioïde, y compris le cercle géné- rateur, est le double de celle de la cycloi'de ordinaire engendrée par un cercle de même grandeur (T. VIII , p. 1 17); en d'autres termes que la surface de la cardioïde sans le cercle générateur, est le quin- tuple de ce dernier (même endroit et p. 127). C'est ce résultat — c'est à la méthode de de Vaumesle que se rapportent les figures (Fîg. 141 bis) de Huygens de la p. 174 du Manuscrit E — que Huygens généralise en suivant une méthode diiférente. 404 PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. III. I 678. [Fig. 142.] Dans la mefme figure [Fig. 142] ibit pris un autre point Q dans l'Epicycloide BQK, près du point E, et ibit QP fa tangen- te, qui rencontrera donc l'Epi- cycloidc KHN à angles droits, comme en P; Et coupera ncces- fairement la circonférence CK; prenons que ce foit en R. Or les points de contaft E Q peuvent élire infiniment près l'un de l'au- tre et auffi les points d'interfec- tion G R; la raifon de HE a GE et de PQ a QR demeurant tous- jours les mefmes que de VD a DG. Partant HQP, GQR peu- vent eflre confiderez comme des triangles des quels la proportion eft la mefme que du qu. HE au I qu. EG, ou du qu. \T) au qu. DG ')• Donc tout l'efpace BEKN à l'efpace BEKC aura la raifon du qu. VD au qu. DG, parce qu'en concevant de tangentes infinies -) le long de la courbe BQK, elles diviferont tout l'efpace KPNBQK en une infinité de triangles tels que PQH, qui auront chacun h leur partie RQG la mefme raifon que le qu. HE au qu. EG, ou que le qu. VD au qu. DG. Donc aufTi dividcndo, l'efpace KHNC lèra à BEKC comme l'excès du qu. \'D llir le qu. DG el\ au qu. DG. Mais l'efpace BEKL eft à KHNC comme le qu. DG au qu. GV. donc ex squo ') in pro- pofitione perturbata, l'efpace BEKL fera à BEKC, comme le qu. VD — qu. DG au qu. GV, c'cft a dire comme le rectangle de \'G + 2GD et VG, au qu. VG, ou comme VG -f 2DG à VG. Et l'efpace BEKL à BLKC comme VG + 2DG a 2 VG -f 2DG. ou comme AK -f 2AL à 2AK + 2AL. Sed BLKC eft ad femicirc. BRC comme 2BL -f 2CK à BL: Parce que BLCK eft égal au CD ^BL + iCK er BC. Et le demicercle BRC égal au □ IBL et BC. Et partant en oftant'la commune hauteur BC et quadmplant, fera BLKC au demicercle BRC comme 2BL + 2CK à ') Ou plutôt: „Partant HQP, GQR, lesquels peuvent être considérés comine des triangles dont la proportion est égale à HE= : EG=, sont aussi entre eux comme VD= : DG'." °) C.à.d. une infinité de tangentes. 3) Comparez la p. 396 du T. XVI. APP. 111. I 678. 405 BL, ou comme 2 AK + 2AL à AL. Mais l'efpace BEKL eftoit à BLKC comme AK + 2AL à 2AK + 2AL, donc ex jequo BEKL au demicercle BRC comme AK + 2AL h AL. C eil a dire comme 3AL + LK a AL. § 4. [Voir la p. 406 du T. XIV (p. 166 du Manufcric E). Le calcul fe rapportant à la cycloïdc, découpée de la même manière que l'épicycloide, efl une fuite du calcul des §§ précédents. La page 166 du IManufcrit date fans doute également de 1678, non pas de 1 6j^ , puifque les pages lliivantes fe rapportent encore en partie au même fujet: voir la Fig. 141 bis et auffi la Fig. 141 aux p.402 — 403 qui précèdent]. APPENDICE IV À LA PARS TERTIA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1691.]') [Fig. 145.] Parte tertia Horologij ofcillatorij , ubi de cur- varura evolutione agitur, Propof. 1 1 =), dixi data quavis curva geometrica, aliam inde repe- riricurvamgeometricam, cujiis longitude linea reélje adjequetur. Qua in re difficultas quidam occurrit quœ tamen tolli potefl: 3). Sit curva data AB [Fig. 145]. AC 30 x, applicata CB x V- Sit etiam BD curvje perpen- dicularis in B, et reftam AC fecans in D. Jam ad inveniendam curvam alteram cujus dimenfio detur, neceffe efl: prius curvam effingere AFE, in qua applicatœ CE fmt femper squales reftis CD +). ac necefTe efl: ut CD exprima- tur in terminis qui tantum incognitam .y contineant non autem r. Quod Methodo Tangentium Carrefiana plerumque efficere licet. at non femper tamen nifi AC fit axis curva; AB, ita ut ex pundo D, ducla ad curvam perpendiculari DB una tantum poflît efle longitudo intercepta DC. Velut fi ABEb [Fig. 146] fit curva illa Huddenij '), quse ad reftam AD ita refera- ') La Pièce est empruntée à la p. 70 du Manuscrit G. La date du i janvier i6çi se trouve à la p. 57 et la p. 74 est datée: „ï6ç)i. Maj". -) Voir la p. 225 qui précède. 5) Comme il esc dit dans la suite, la difficulté consiste dans le fait qu'on peut en général mener d'un point donné D plusieurs normales à la courbe, d'où résultent des complications mathé- matiques. La droite AD, axe des .v, peut avoir par rapport à la courbe une position quelconque. Huygens fait voir comment on peut, dans un cas spécial, lever la difficulté par un changement d'axes. *) D'après la construâion de la Prop. XI nommée. Voir la Fig. 70 à la p. 231. 5) Il s'agit du „folium Cartesii". Comparez la p. 351 du T. X, où Huygens désigne cette courbe comme celle que „Mr. des Cartes . . et nostre Mr. Hudde ont considérée". Plus tard Huygens écrivit en marge: Hujus curvœ quadraturam inveni in libro H. Folium PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. IV. [ 1 69 1]. 407 [Fig. 146.] tur, ut fi AC vocetur x, CB y. AF linea data fit a, fiât A-' + 3'5 — xya co o. In hac fi ex puncto D rcfta; AD, ducenda fit curva; pcrpcndicula- ris DB, non invenietur ex Canefij methodo "), ncque ea quam inde de- diixitFlor. de Beaune"), ut intercepta DC inter D et perpendicularem BC, cxprimi poflît Iblis quant itatibus .t et a. Sed ad cubicas œquatio- nes pervenietur valde implicitas in quibus quaefita AC tertiam di- menfionem attingat. Quod hanc caulam habet, quod perpendicularis ex punfto Dad curvain hanc, aliquando tripliciter vel quadrupliciter duci poteft, ut in hac figura conlpicitur,adeout AClongitudotrifariainaccipipoflk, praeterquam quod et ipfa DA curvœ occurrit ad anguios reftos in A. Hoc autem non fiet fi curva; hujus punfta ad axera ejus referantur qui efi: reda EAH, angulo lemirefto ad AD inclinata, ut ex œquatione luperiori non ditficulter intelligitur. Ut autem ex œquatione illa inveniatur alia,quaadaxeraEAcurvareferatur,confideretur [Fig. 147], quod pofita AC x x. iiempe ABEb, esse i quadrati ab axe AE. Spatium vero utrimque infinicum KAGIHL, esse folio squale. AH est | AE. CM applicata semper squalis duabusCN,Cb,radix falsa nimi- rum duabus veris [c.à.d. à chaque valeur de y correspondent trois valeurs de .v dont la somme algébrique est nulle]. Cette quadrature, dont nous n'avons pas à nous occuper ici, se trouve à la p. 141 et suiv. du manuscrit H qui porte la date du 2 1 novembre 1692. Nous l'avons déjà publiée à la p. 374 et suiv. du T. X. *) Exposée dans le deuxième livre de la „Géométrie". ') Voir „Florimondi de Beaune in Geometriam Renati des Cartes Net» brèves", p. e. dans l'édi- tion de 1683 (ex typ. Blaviana, Amsterdam) de F. van Scliooten („Geometria à R. des Cartes anno 1637 Gallicé édita; postea autem cum Notis FI. de Beaune, opcrà atque studio F. v. Scliooten"); les remarques „de modo inveniendi contingentes linearum curvarum" s'y trou- vent aux p. 130 — ^133. 4o8 PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUm". APP. IV. [ I 69 1 ]. [Fig. 147.] et CB 30 y, li ducatur BM, axem norraalitcr fecans in N, fitque MO pcrpendicularis in AC, ML pcrpendicularis in AL qus angulo reéto infiftit in AC, confiderecur inquam ML efTe îequalcm BC, ideo- que et AO aequalem BC five y. Item dcmiiïa perpendicula- "n NP in AC,e(reOP x |0C, five ^x — ^y: Idcoque A? 00 i A- + 4- V. Sicut autem AP ad PC ita AN ad NB. Itaque Il AN vocetur 9, et NB v; erit ut AC ad AO, five CB ita 9 + t- ad 6 — t*. Sit AE oo b, et EK pcrpendicularis HXt AK: Eritque AK X) i^. Itaque Q + v,Q - fit x^ + 3'3 — ^.ry oo o, Erit cubus ex 9 + c + cubo ex 9 in G — t; in 2^ 00 o, hoc efl: his tribus additis et 2I? intcr ie ficut .r, y et a. Cumque folido ex 9 -f 6 + V AN + NB 0 — V AN — NB 93 + 369u + 39t"y + t.'^ 93 — 3991^ + 39t)t' — c'5 — 2^69 4- sèî^f Sumiua 293 + 6Qvv — 2^99 + 2bvv oo o 2^09 m 2b 2AE ibvv five 93 + 391.'^ — bbb + bvv xi o X ^99 — 63 39 + ^ XI Hinc facile invenitur ubi latitudo MNB fit maxima in fpatio AMEB per regulara de max. et min. nam ^^b'^ + 2^^99 — 69+ 3Z'93 X o bb X 399 \/\bb X 9 ut ab Huddenio fuit inventum '). ') Cette détermination de la plus grande largeur de la boucle est ici un -rzia-p'/m. Celle de Hudde se trouve aux p. 493 et 497 — 499 des „Exercitationes Mathematicse" de F. van Schooten de 1656 (voir le titre complet à la p. 184 du T. I). PARS TERTIA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. IV. [1691]. 409 Hic fi pro 6 fit — 0, hoc elt fi AN verfias H accipiatur fiet ~KTri ^ ^^• unde erit v infinita fi 3O xi Z',hoccfipofita AH oo ^AE,erit HIafymptotos,quod aliter quoque oitcnditur infra "). Porroettangenscurvîeinpuncto B invcnitur ex sequatione 6' — b% + '^bvv-\-bvj co o. Si cnim tangens fit liO, invenitur NO x) —r^ ;, . ° ^' ^ 2^9 — 3OÔ — 3TO Unde, fi fiât BR perpend. in AE 3), erit NR co ~<^T — j^ — ,fivequiat-Teft ■ , , ,fietNRx--y-.— i — 1 i — X, I ,, live tandem . ? ,- 39 + «> ' 6Q -\- ib iqu. 69 + ib qu. 39 + ^ ubi iina tantum incognita quantitas 0 rcperitur, ideoque fcciindum propofitionem noilram undecimam de Evolutionc Curvanini, potcrit invcniri curva rectifianda, cujus nempe Evolutione curva EBA delcribitur. Incipict autcma piniâ;o\'[Fig. 147], pofita EV DO à ^ "^). Cura enim inventa fit NR oo r~T^'j ■> ^ ponatur 9 hoc eft AN 30 Z», fit NR 00 — ^Z», hoc ell ab E verfiis A accipienda. Porro fi ponatur b — 9, hoc cfl: NE 30 ;;, five b — 2; x> 6, fit pro œquationc fi.i- periori {^, ha;c altéra ibzz — z'^ — bbz — 31'C'C; -f ^b-iv do o, ^ ibzz — z^ — bbz Et j DO vv. 32 — 4^ Unde apparet v infinitam fieri fi 32 do ^b^ five z za ib^ unde III curvîeafympto- tus,fiEH DO fZ»^). -) On peut faire sur cette détermination de la position de l'asymptote une remarque analogue à celle du début de la note i. 2) BR est une perpendiculaire à la tangente BQ, en d'autres termes une normale à la courbe, coupant l'axe AE en R, *) Le point V est donc le centre de courbure de la boucle au point E. 52 APPENDICE V À LA PARS TERTIA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1692] Calcul du rayon de courbure minimal de la courbe logarithmique: voir le K° 2770, p. 333 — 335 du T. X. APPENDICE I À LA PARS QUARTA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1666.]') [Fig. 146.] § I "-). Datis duohus gravibus œqualibus, ratio squilibrij patitur ut delcenfu unius ex certa altitudine, alterum attollatur ad altitudinem îequalern ^). Nullum grave afcenderc poteft nifi aliud grave defcendat ■"). Si non squiponderent, prœvaleat B [Fig. 146] +). Ergo addenda gravitas aliqua ') La Pièce, que nous divisons en deux §§, est empruntée à la p. 105 du Manuscrit C. La p. 102 est datée sept. 1666 et la p. 107 porte la date du 2 nov. 1666. ^) Dans la Pars Quarta de r,,Hor. ose." Huygens consacre quelques pages à l'élucidation de son Hypothèse I d'après laquelle le centre de gravité d'un systéine de corps ne peut pas s'élever spontanément. Les considérations du présent Appendice, écrites à Paris quelques mois après son arrivée, se rapportent à ce sujet. Remarquons en passant que Huygens ne définit nulle part le centre de gravité d'un corps unique, ce qui d'ailleurs n'est pas facile (voir les notes i et 2 de la p, 340 du T. XVI). ') C'est évidemment l'expérience, indépendante de toute théorie sur la nature de la pesanteur, qui est invoquée ici, comme dans les élucidations mentionnées dans la note 2 où il est dit que deux corps égaux, pouvant tourner autour de leur centre de symétrie ou de gravité, „moven- tur . . . absque vi ulla". '') Les chiffres écrits dans la Fig. 146 font voir que les poids sont supposés inversement propor- tionnels aux bras de levier. 4 I 2 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUm". APP. 1. [ I 666]. ad A ut fiât aequilibrium, fit ea C. et fit D gravitas rainor quam C. Ergo D appofità ad A non fiet aequilibrium fed utraque rurfi.im tolletur puta in E, dum B perveniet in F. Atqui A ibla oilcnditur 3) dcfcendendo ad priflinum locum reducere pofi!e etiam B unde digreiïh erat. Ergo jam gravitas I^ inErcmanensmotufpontaneogravitatum A et B eo iublata cil, illis in priftinum locum rcilitutis unde rurius quoties libuerit pondus ipfi D squale eodem modo in E attoUenc quod eft abfurdum '). § 2. Primura ollcndcndum ''') cum minus pondus mctitur majus ■"). Aufercndo minorcm alcicudincm à majori, et minus pondus a majori pondère fem- per reliqua nltitudo ad minorem akitudinem, ut rcliquura pondus ad minus pondus ^). Ideoque pondéra duo quibus dcCcendendum reliât iemperconverfamrationemhabent fpatiorum per qua; defcendere debent. 2) Voir la note 3 de la p. 41 1 qui précède. =) Comparez le „qiiod esc absiirdiim" du troisième alinéa de la Prop. VI de la Pars Secunda de r„Hor. ose". Huygens considère comme absurde l'idée qu'on pourrait construire un système mécanique accomplissant continuellement et spontanément un travail utile (voir à ce sujet la note 7 de la p. 243 du T. XVI). ") Apparemment Huygens se propose de démontrer rigoureusement plus tard (en effet, le § i ne contient pas de démonstration rigoureuse; on ne distingue pas nettement les hypothèses sug- gérées par l'expérience et les conséquences logiques qui en découlent) que lorsque deux poids attachés au fléau d'une balance impondérable sont en équilibre, le rapport de leurs distances au point fixe est l'inverse de celui des poids. C'est là le sujet de son mémoire «Démonstration de l'Equilibre de la Balance" publié en 1693 aux p. 313 et suiv. des „Divers Ouvrages de Ma- thématique et de Physique, par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences", Paris, Impr. Royale, où il part des données suivantes: „I. L'on demande avec Archimede que deux poids égaux attachez chacun au bout des bras égaux d'une balance fassent équilibre. II. Et que les poids estant égaux, & les bras de la balance ovi ils sont attachez, inégaux, elle incline ducosté du bras qui est le plus long. III. L'on demande aussi qu'on puisse concevoir que les lignes & les plans dont il sera parlé dans cette démonstration soient inflexibles & sans pesanteur". Dans ce mémoire — les considérations qu'on y trouve, postérieures à celles du présent Appendice, datent d'ailleurs de longtemps avant 1693; nous y reviendrons dans un des Tomes suivants — Huygens ne part donc pas de l'hypothèse de la non-existence d'un mécanisme accomplissant continuellement et spontanément un certain travail, tandis qu'ici, d'après la fin du § i , il se propose de fonder sa démonstration e. a. sur cette dernière hypothèse. 7) En 1693, comme en 1666, Huygens suppose les poids commensurables entre eux. 8) La dernière phrase du texte fait voir que Huygens suppose la proposition rigoureusement établie pour des poids commensurables entre eux. Il indique comment il faut ensuite étendre cette démonstration aux poids incommensurables. APPENDICE II A LA PARS QUARTA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". Â. Dans la Prop. XXI Huygens indique e.a. la longueur du pendule ifochrone avec un fegment droit de parabole olcillant latéralement foit autour de fon fommet foit autour du milieu de fa bafe. Son calcul repofe e.a. fur quelques données qu'on trouve à la p. 60 (numération nouvelle) du Manufcrit B. Nous avons public' à la p. 4-5 du T. XVI la plus grande partie de ces données qui fervaient en cet endroit à expliquer le calcul des p. 473—474 de la longueur du pendule ifochrone avec un ellipfoïde de révolution fufpendu en un point de fon axe. Ici nous reproduifons de nou- veau les deux figures de la page nommée, mais pour le texte de Huygens nous renvoyons le ledeur au T. XVI. [Fig- '47-] [Fig. 148.] La Fig. 1 48 repréfente le fegment entier. D'après la Fig. 1 47 et le texte correfpondant on a DN = à DP, où DP ert l'axe du fegment de parabole dont la Fig. 147 ne repréfente que la moitié gauche, t^andis que DN , fubcen trique d'un onglet , efl la longueur du pendule ifochrone, lorfque la parabole, fufpendue en D, exécute une ofcillation folide, c.à.d. une ofcillation autour de la tangente au fommet D. Comme le centre de gravité Z le trouve à une dittance i DP du fommet, le «premier redangulum" — voir la p. 48 de l'Avertillement qui précède — correfpondant à cette ofcillation folide eft DZ x ZN ou 4 DP x (f — f) DP ou ^^^ DP=. La fraction ~ aéténotée en mar- ge par Huygens fur la page en queftion. Pourcalculerlalongueurdupenduleifochronedanslecasd'uneofcillation latérale du fegmentau- tour du sommet D, il faut en confidérer le „deuxièmerectangulum",celui, peu t-on dire,qui fe rapporte à l'ofcillation folide de la demi-parabole autour de DP. Comme la dittance de DP au centredegravité de la demi-parabole eft % PQ (p. 47 4 du T. XVI) et la diftance de DP au centre de l'ofcillation folide confidérée vaut ^j PQ , le «deuxième redangulum" s'exprime par § PQ. /j PQ ou i PQ=. La fomme des deux „reaangula" que nous venons de calculer conftitue le „fpatium applican- dum" qui eft donc y'---. DP- + i PQ=. En le divifant par | DP, diftance du fommet au centre de gravité, et en ajoutant 4 DP au quotient, on trouve f DP + 4^ ,cequi eft la valeur donnée par Huygens dans r„Hor. ofc". 414 PARS Ql'ARTA DE L „HOROLOGIUM OSCILLATORILM . APP. II. On pourrait aiiïïi commencer par ajouter DN" ou (|. DP)^ au «premier reftangulum". On trouve ainfi pour les deux grandeurs refpeâivement ^ DP= et |- PQ=. La fomme | DP= + j PQ- conflitue alors ce que nous avons appelé »- dans la note i de la p. 48 de rAvertilTement. En le divifant par 4 DP, diflance du fommet au centre de gravite de la parabole, on trouve de pO= nouveau pour la longueur du pendule ifochrone 5 DP + i ^r-^ • Lorfque l'ofcillation latérale du fegment a lieu autour du point P, il faut, pour trouver p', ajouter (| DP)= au „premier redangulum" j'f^ DP= et (| PQ)= au «deuxième reftang- ulum" (|- — çSî..-) PQ2 I 3 fomme totale eft donc dans ce cas ^j DP= + i PQ% ce qui donne en divifant cette expredîon par | DP, la longueur du pendule ifochrone 4 DP + 1 j^ , comme le dit Huygens. Ajoutons que l'expreffion „fpatium applicandutn" eff employée déjà, dans un autre calcul, à la p. 60 du iManufcrit B. Voir la partie Cdu préfent Appendice. D'ailleurs on peut fort bien ne pas fe fervir d'une terminologie correfpondant au texte de r„Hor. ofc." et faire ufage de la formule de la note 3 de la p. 482 ou de la note delap. 492du T. XV[. B. La Pièce B, écrite au crayon (Hui'gens était alité en ce temps, voir lap. sôderAvertiflTement), efl empruntée à la p. 262 du Manufcrit D (les p. 254 et 264 portent les dates du 1 5 janvier et du 27 mai 1670 refpeftivement). Huygens y confidère l'ofcillation latérale d'une croix, compofée de deux lignes pefantes égales, au- tour d'un de fes fommets. Il s'agit de trouver la longueur du pendule ifochrone. ACvelED 30^[Fig. 149]. EH 30 I AC. BH 00 I ED vel AC. Cunei iuper cruce AECD ablcifTi piano per EE, centrum gravitatis bifariam dividet BH. BG 30 t'^ ED. La fubcentrique BG de l'onglet confidéré eft le centre d'une ofcillation folide de la croix autour de l'axe EE. L'onglet fe compofe de deux plans égaux, l'un triangulaire, l'autre reftangulaire, dont les centres de gravité fe projettent en H et B refpeftivement. ABoo 1 2 AV 00 /ç a n BAV -- + ïV HH EBG 48 I S FARS QUARTA DE L „HOROLOGIUM OSCILLAÏORIUM . Al'P. n. 415 f 00 I « 00 AO. Le poiiu de riifpeiilîon dans le cas de rofeillation latérale de la croix ell A (rofcillation foiide conlidcrce plus haut avait lieu autour d'un axe padant par E, mais il eft évident que les points A et E font équivalents). V eft le centre de l'ofcillation foiide de la croix autour d'un axe horizontal paflTant par A. Le «premier reftangulum" eft donc le | | ABV ou -^ n-. En y ajoutant, comme dans l'application de la deuxième méthode au cas du ferment de parabole, le carré AB=, c.à.d. |.«%on obtient 2'^ «= -\. ^a- = /^-^ «=, ce qui fe calcule directement en prenant le [^ 15AV. Le „deu.\ième reetangulum" [^ EBG ou ^^ a- doit relk-r tel qu'il eft, puifqu'il fe rapporte à un centre de gravité IJ fitué fur l'axe de fymétrie du corps ofcillant. La fomme -^^-^ a- ou ^ a- eft la grandeur totale — nous ne difons pas le „fpatium applicandum"; comparez la note i de la p. 48 de l'Avertillement — correfpondant à l'ofcillation plane autour de A; en ledivifant par 4- a,di(lan- ce du Commet au centre de gravité, on obtient | /», longueur du pendule ifochrone cherché. AB 00 i ^ BV 00 ^^ a in aa □ ABV ^V aa □ EBG ~ aa fumma div. p. i tf 00 AB ^«ooBO I « 00 AO. Dans ce deuxième calcul, conduifant au même réfultat, et analogue au premier calcul dans le cas du fegment de parabole, la fomme -^^ a- du „premierreaangulum",et du «deuxièmeredangu- lum",fe rapportant par définition l'un etl'autre au centre B de la figure, conftitue le „redangulum ofcillationis", „iotum fpatium applicandum" ou „fpatium applicandum". Après l'avoir divifée par irf, il faut ajouter! «au quotient, d'après la formule / = 2^ +iou/= ^ + * de la p. 48 de l'Avertiflement. C. Le calcul qui fuit eft emprunté à la p. 60 du Manufcrit B, confidéréeaufli plus haut (partie A). Comme il s'agit d'une feuille collée dans le Manufcrit, la date eft incertaine. Huygens y cal- cule le „lpatium applicandum" d'un demi-paraboloïde de révolution. Ailleurs (Manufcrit B, p. 1-4 ou T. XVI, p. 483 , p. 333 du préfent Tome) il confidère le paraboloïde (ou conoïde) entier. Il' parait extrêmement probaîsle que le calcul de la p. 483 du T. XVI, quoiqu'il fe trouve plus loin dans le Manufcrit B, foit antérieur à celui de la p. 60, d'autant plus qu'on trouve à la p. 60 la Fig. 150, dont la figure a latere où fe trouvent les lettres P, et A correfpond à la Fig. 90 de la p. 289 du préfent Tome et fe rapporte à la nouvelle méthode de calcul pour les corps de révolution (voir la note 4 de la p. 554 du T. XVI), dont nous avons dit dans le deuxième alinéa de la p. 372 du T. XVI qu'elle correfpond plus ou moins à la détermination de ï2= de la note 4 de la p. 483 du T. 4i6 PARS QUARTA DE L „HOROLOGIUM OSCILLATORIUM . APP. II. [Fig. 150.] XVI, c.à.d. à une méthode dont Huygens fait ufage (note 5 de la p. 483 nommée) dans le cas du conoïde entier. Vers la fin de la Prop. XXII de la Pars Quarta Huygens parle généralement de la détermination du centre d'ofcillation de la moitié d'un corps de révolution, évidemment toujours coupé en deux (comme le conoïde) par un plan pailant par l'axe. Il ne développe le cal- cul que pour le demi-cône (nous ne poflTédons pas de brouillon de ce calcul) en ajoutant qu'il laillé à d'autres le foin d'exécuter un calcul ana- logue pour le demi-cylindre et le demi-conoïde. Or, voici ce qu'on trouve fur le demi-conoïde à la p. 60 du Manufcrit B outre le texte de la p. 475 du T. XVI le terminant par les mots NE [Fig. 1 47] yj- brachium cunci fuper PDQabfciffiperDP: ;• radius c arcus quadrantis _8_ / _8_ 15/15 rr c aj3 [Fig. 1 50] brachium feraiconoidis parabolici vcl figuras proportionalis 11$. 6 '■'■ rr fs^ — rr 1 5 7^y •— brachium cunei per !;>. fuper figura proportionaH 11') 16 i — i 30 - - i m. Tïï ^^• c '^ la ^rr — -^^j h tV'^''^ ipatium applicandum in lemiconoide paraboHco. Voici l'explication de ce calcul. -^^ r, où ;• eft le rayon de la bafe du demi-conoïde, eft la diftance à l'axe vertical de la Fig. 150 du centre de gravité d'une partie du demi-conoïde limité par deux planspaliant par l'axe et faifant l'un avec l'autre un angle infiniment petit. Le lieu de tous ces centres de gravité eft la demi-circonférence de cercle horizontale qu'on voit dans la figure. PARS QLARTA DE L „HOROLOGILM OSCILLAÏORIUM . AIT. 11. 417 ■j-'j-— OU a|5 eft la diftance de l'axe vertical au centre de gravité de cette demi-circonférence, donc auilî la diftance de l'axe au centre de gravité du demi-conoïde. Les deux ligures proportionnelles, à gauche et au-dciïbus de la figure principale, font conrtruites comme l'enfeigne la Prop, XIV de la Pars Quarta. D'après la lin de la Prop. XV de la Pars Quarta le «deuxième reftangulum" du co- noïde entier s'exprime, piiifquc le corps confidéré ell de révolution , par le produit P-i'. P^, où Pi = ' r et Po» = j r, ^\> étant la projection fur la bafe du centre de gravité de la figure a latere qui, pour le conoïde, eft un triangle. Ce «deuxième reclangulum" eft donc ^ rr. Or, il s'exprime auffi par le produit «p. a-/, où ay eft le „brachium cunei per ^X luper figura proportionali ï>.ô". On obtient donc par divifion ay = ^. Le produit de Sy par aS donne enfuite le «deuxième rectangulum" fe rapportant au demi-conoVde. Pour obtenir le „fpatium applicandum" du demi-conoïde il faut en- core y ajouter le «premier rectangulum" qui a la valeur jg aa, où a défigne la hauteur du triangle a latere égale à celle du conoïde; en effet, il s'obtient, tant pour le demi-conoïde que pour le co- noïde entier, en multipliant dans le triangle la diftance jV a de l'on centre de gravité au centre de l'ofcillation folide du triangle autour d'un axe patfant par l'on fommet — on prend donc la diffé- rence de |- « (fubcentrique d'un onglet) et de 5^ a — par la dillance ^ a du centre de gravité au fommet. Comme Huygens le dit dans le paragraphe fur le demi-cône, le «fpatiiim applicandum" calculé permet de trouver le «centrum agitationis in omni fufpenfione, . . . dummodo ab axe qui fit parallelus" au diamètre qui limite la bafe du demi corps de révolution. On obtient, comme tou- jours — comparez la partie D qui fuit — la longueur du pendule ifochrone en divifant le«fpatium applicandum" par la dillance du fommet au centre de gravité du corps, et en ajoutant enfuite cette même diftance au quotient. [Fiff- 151-] D. La même p. 60 verfo contient encore le calcul fuivant: a 30 x, b 30 iy. 7-^° +|^3o/)[Fig. 151] 4" iô^a + iôbb^^%aazolap y y 30 spx — 4^^" 30 41 8 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP, II. Huygens fe propofe de trouver le lieu des bafes d'un groupe de cônes droits fufpendus à un fommet commun et correfpondant tous au même pendule ifochrone de longueur/». La hauteur du cône confidéré efl d'abord appelé a, puis r , et le diamètre de la bafe d'abord h, enfuite 2v. Le „fpatium applicandum" ^^ aa -\- -^^ bb du cône de révolution eft donné par Huygens — qui laifle au lecteur le foin d'exécuter le calcul de ce „fpatium" ce que nous faifons comme lui — dans le paragraphe „centrum ofcillationis coni" de la Prop. XXII de la Pars Quarta. 11 en tire ici la longueur du pendule ifochrone comme il a été dit à la tin de la partie B qui précède. Le lieu cherché eft l'ellipfoïde de révolution aplati engendré par la rotation de l'ellipfe à axes |-/< et f p. C'eft ce qui réfulte aufli du calcul de Huygens de la p. 481 du T. XV'^I, où l'on trouve [Fig. 50] une ellipfe de la même forme; ceci en vertu de la remarque que nous avons faite à la p. 368 (troi- fiéme alinéa) du T. XVI, APPENDICE III À LA PARS QUARTA DE L'HOROLOGIUM OSCILLATORIUM' [ 1669-1 670.] ■) [Fig- '52-] § i.Sicirculusvelcirculifeclorin particu- las minimas squales divifiis intclligatura quibus (ingulis recta.' ad centnim ducta; (Int. Eriint harum omnium quadratalîmul iumta îequalia dimidio quadrato radij, multiplici fecundum particularum ipfa- rum numerum. Sic Circulas [Fig. 152] in annules œ- qualis ladtudinis divifus. Et annuli omnes in particulas squales, adeo ut in unoquoque fit numerus particularinn pro ratione raagnitudinis annuli '). Triangulum EGG [Fig. 153] lineis bafi parallelis dividatur in (egmcnta annulis proportionalia. Et fegmenta omnia divifa in particulas squales inter le, non opus autem ut et particulis circuli squales fint. Sit vero numerus parti- cularum in fegmento GG idem qui in annulo DD. Unde necelTario et in reliquis deinceps fegmentis erant numeri ijdem qui in annulis ipfis relpondentibus, et in toto proinde A'» EGG idem numerus particularum qui in circule AB. E¥ [Fig. 153] X) AB [Fig. 152]. GG ad arbicrium, KE parallela GG. GG fefta in tôt particulas inter le squales quot funt in annulo DD. Ergo quadrata omnia LM squalia quadratis omnibus ex annulo D in A duétarum. Et quadrata a diflantijs particularum fegmenti HH ab KE [Fig. 153], squalia omnibus quadratis EA [Fig. 152] &c. Atqui lumma quadratorum a diftantijs particularum trianguli EGG squatur reftangulo OEN^), multiplici fecundum particulanim numenim. ') Cet Appendice est emprunté aux p. 145 — 249 du Manuscrit D. La p. 135 porte la date du 21 nov, 1669 et la p. 250 (comparez la note i de la p.388 du présent Tome) celle du 9 janvier 1670. Nous divisons cette Pièce en §§. -) Comparez le troisième alinéa de la p. 443 du T. XVI. 3) N est le centre de gravité du triangle, EO la subcentrique de l'onglet obtenu en coupant le prisme élevé sur le triangle par un plan oblique passant par KK. EN X NO est le „rectangu- 420 PARS QUARTA DE l'„HOROLOG1LM OSCILLATORIUm". APP. III. [1669 OU 1670]. pofîta EN I EF, et EO | EF, unde [^ OEN oo i qu. EF. Ergo et fumma qua- dratorum a diftantijs particularum circuli AB a centre A a;quabitiir ^ qu. EF five i qu. AB multiplici iccundum particularum numcrum qui (unt in triangulo vcl in circulo' ). [F'g- '54-] Si circulus in particulas minimas squales divifus in- telligatur, et a lingulis in diametrum circuli perpendi- culares duci. Erunt harum omnium quadrata fimul fumta squalia quarts parti quadrati radij , multiplici fecundum numerum particularum. Sit circulus [Fig. 154] centro A diametro BC, et divilb cogitatione piano ejus in particulas minimas s- qualcs. fint ab ijs (ingulis duftje in diametrum BC per- pendiculares ficut a particula F dufta eft FG. dico harum omnium perpendicularium quadrata jequari i qu. AB mult. s.n.p. Sit enim dufta altéra circuli diametrus ipiî BC ad angulos reftos DE et in eam cadat perpendicularis FH et jungatur FA. vSunt igitur quadrata FG et FH ilmul îe- qualia quadrato FA. Eademque ratione quadrata hina perpendicularium qujeabuna- quaque particula ducuntur ad diametros BC, DE, squalia elTe confiât quadratodiftan- tiîE ejus particule a centro A. Et quadrata omnia a diilantijs particularum a diametris BC, DE îequalia omnibus quadratis diilantiarum a centro A. Atqui quadrata perpen- dicularium omnium ad diametriun BC œquari liquet quadratis omnibus perpendicu- larium ad diametrum DE. Ergo quadrata perpendicularium omnium ad diametrum unamquamque BC vel DE squantur lemifli quadratorum a diftantijs particularum a centro A. hoc eft per prfec. | qu. radij AB multiplici s.n.p. quod erat demonrtrandum. § 2. Si fphjera [Fig. 1 55] vel fector fphsrs in particulas minimas squales dividi intelligatur, a quibus fingulis ad centrum fphsrs refts ducantur. Erunt harum lum distantiarum" par rapport au centre de gravité qui doit être augmenté de EN- (de sorte qu'on obtient EN x OE) lorsque le point de suspension est en E. Voir p. e. la partie 5 de l'Appendice précédent. ') Ceci peut s'écrire en notations plus modernes ::/ r^àr T:r'.\r- ou |:r;-^; donc /' 4 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". AI'P. 111. [1669 OU 1670J. 42 1 [F"'g- I55-] omnium quadrata fimul fumta aequalia ^ quadrati radij multiplicibus (ce. p. n. Sic l'ph^ra prinuiin divila in involucra rpha}rica minimal ce œqualis craiîitudinis om- niacircaidemccntrum()rdinata,etha;cdeinde lefta in particulas xquales, quanim in uno- quoque involucro multitude erit pro ratione magnitudinis, deinde accepta EF œquali radio AB, conftituantur ad eam bina com- plementa | parabolarum verticem liaben- tium E punétum axem vero EK quîe ip(i FE perpendicularis ducatur. figura autem ex iftis compofita EGG fccctur totidcm lincis bafi GG parallelis et squalibus inter- ftitijs a le inviccm remotis quot iiint fuperficies fphsram in involucra dirimentes. Sitque fegnncntum GG diviiiim in partes a^quales totidcm quot funt in involucro Iphîerico 1)1), itcmque reliqua fcgincnta figura EGG feda iînt in ejufdera magnitu- dinis particulas ijs qus in legmcnto GG. Ergo cum involucra fphsrica fint ficut quadrata liiorum radioruni, et Icgmenta quoque figurx EGG fint ut quadrata didan- tiarum fuarumad reda EK. patet fegmenta involucris proportionalia eiïe li codem in ordine fumantur. Unde unicuiquc etiam legmentoruni idem incrit numerus partium qui involucro ip(i refpondenti. Et fi a fingulis proinde particulis leginentorum ad reftam EK perpendiculares cadant, erunt quadrata a particulis cujulque fegmenti co- dem numéro ac magnitudine cum quadratis a reélis quas a particulis involucrirefpon- dentis ducuntur ad centrum A. &c. '). ') En marge: „potest EGG conus poni de quo antea sit demonstratiim". Suivant la Prop. XXII de la Pars Quarta (Fig. 1 12 de la p. 329 qui précède) les sections d'une pyramide ou d'un cône de même hauteur /■ sont proportionnelles à celles de la figure plane EGG ici considérée. La somme cherchée est donc égale à celle des carrés des distances de toutes les particules du cône au plan de la base GG, évidemment en supposant que le cône contient le même nombre de particules que la sphère. Son „premier reftangulum" — voir sur ce terme la p. 48 de l'Avertissement — est alors ^3_ r' d'après le paragraphe „Centrum osciliationis coni" de la Prop. XXII de la Pars Quarta. Pour obtenir la grandeur cherchée il faut y ajouter le carré de la distance du sommet au centre de gravité, c.à.d. ^^^ r^. Comparez les calculs de l'Appendice précédent. On obtient alors la somme 4 r^. L'on pourrait dire (comparez la note 1) que Huygensaainsi démontré la formule /' fMr ,ouencorequ'ilatrouvéquelemoment d'inertie d'unesphère homogène par rap- port à son centre est iil/r', où j1/ désigne la masse. 422 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUIVI OSCILLATORIUM". APP. 111. [1669 OlI 1670]. Propositio. Si Iphsra in particulas niininvas squales divila intelligacur, et a (ingulis in planum per cencriim Ipha^rœ diiiftiim perpendicularcs ada;, erunt harum omnium quadrata ilmul fumca œqualia j quadratorum a dilkntijs omnium particularuni a Tphi^ra; cen- tre, hoc ell i quadrati radij multiplici fec. p. num. Sit fphœra [Fig. 156J cujus centrum A, feftio per centrum circulus BGCF, cujus dia- metcr BÇ. et intelligantur a fingulis Iphx^rîe particulis perpendiculares duifts ad planum BGCF. (Icut a particulis H dufta eft MK. dico &c. Secetur cnim fphîera alio piano per diame- trum BC, quod fit priori BGCF ad angulos reftos. Itemque tertio piano DGEF quod fit retlum ad utrumque jam ditlorum faciens in circulo BGCF (eftionem GF, et in circulo DBEC feétionem DE. Et a punCto K ducantur adBC,FGperpendicularesKN,KL,etjungan- tur KA, HA. Efi: igitur quadratum HA a^quale quadratis HK et KA. Sed quadratum KA £e- quale quadratis KN, NA , five quadratis KN, KL. Ergo quadratum HA squale qua- dratis tribus HK, KN, KL. Efl autem KN squalis perpendiculari quœ a punclo H duceretur in planum DBEC, et KL squalis perpendiculari qus duccretur ab eodem puncio H in planum DGEF. Ergo quadrata tria HK, KN, KL feu quadratum HA squale quadratis diftantiarum particule H a tribus planis quibus fphsram per centrum fecuimus. Eademquc ratione erit quadratum dillantis uniuscujufque particulsàcen- tro A squale quadratis diftantiarum ejus particuls a tribus diftis planis, et proinde quadrata omnium diflantiarum a centro A squalia quadratis omnibus perpendicula- rium a particulis in tria plana per centrum fphsrs dufta. Atqui manifeftum eft qua- drata omnium perpendicularium in quodlibet trium planorum fimul fumta eandem efficere quadratorum fummam. Ergo fi.imma perpendicularium in unum horum pla- norum valut BGCF squatur i quadratorum a diftantijs omnium particularum a centro A. hoc eft, per prsc. i quadrati radij multiplici l'ec. num. part, in quas fphsra divila intelligitur. quod erat demonftrandum. Propositio. Pofita fit prius fphsra in particulas divifa. fi ab omnibus ducantur perpendiculares in axem ejus, erunt harum omnium quadrata squalia | quadratorum a difiantijs par- ticulaiiim a centro fphsrs, hoc eft f quadrati radij multiplicibus fec. num. part. PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP, 111. [1669 OU iô^oj. 423 In cadem figura fit HM pcrpendicularis a particula H in axem DE, eodcraque raodo a fingulis particulis in cundcni axcm pcrpundiculares ductse intelligantur, csetcra vert) CDnllruc'ta iint iiu prius. Kll crgo HM xqualis KA, cujus quadratura jequalc quadratis KN, KL, quarc et quadratum HM œquale quadratis KN, KL, hoc eft quadratispcrpcndiculariumapunttoFlductanim in planum DBEC, DGEF. Eadem- que rationc quadratum pcrpendicularis ab unaquaquc particula in axem DE, squale oitendetur quadratis pcrpendicularium ejus particule a planis ijldem duobus. Unde patet quadrata omnia perpcndicularium a fingulis IphEera; particulis in axem DE dudarmn œquari quadratis omnibus perpcndicularium ab ijldem particulis dudtarum in plana DBEC, DGEF. Suntautem quadrata perpcndicularium a particulis omnibus in alterutrum horuni planorumductisœqualia quadratis perpcndicularium ab omnibus ijfdem particulis ductarum in reliquum planum. Ergo quum, ex prœc. fit lumma irta quadratorum in unum planum a'quale parti quinta; quadrati radij AB multiplici s.n.p. Ei-untdux^rummœquadratorumaperpendicularibusparticularum in duo plana DBEC, DGEF , hoc elt , fumma quadratorum a perpendicularibus quœ in axem DE ducuntur ab omnibus particulis îequplis f quadrati AB multiplicibus s.n.p. quod erat demon- llrandum. [Fig- I57-] culiari res conficietur hoc modo. § 3. In iphsera; (eétore quo- que centrum ofcillationis in- veniri poteil conllituta ad la- tus figura plana proportionali qu£B ex complcmento parabo- le ad circumlcriptum reétan- gulumet iegmento item para- bols conflata erit '). in qua figura invenire licet omnia quibus ad iblutionem proble- matisopuselh Sedalia ratione multo breviori atque hic pe- Sit [Fig. 1 57] feftor ABCD, ex fphEcra cujus centrum A. axis vero fedtoris fit AC ') La partie supérieure de cette figure a latere, composée, comme celle de la Fig. 155, de deux „coniplementa parabola;", correspondrai: évidemment à la partie conique du sedeur de sphère, tandis que la partie parabolique inférieure correspondrait au segment de la sphère qui termine le secteur (comparez la p. 470 du T. XVI ou plutôt la p. 331 qui précède). 424 PARS QUARTA DE L „HOROLOGIUM OSCILLATORIUm". APP. III. [1669 OU 1670]. iufpendiquc intelligatur ab axe horizontali per A punélum diifto. Itaqiie invenienda eil: fumina quadratorum a dilhntijs parciculanim linguli iccloris ab axe illo. lîve fura- ma? dua; dilhntiaruin a piano horizontali AH , ce a piano per axein iectoris AC ducto. Ha.'enimdivilk' ')pcrdilhntiainqiia;elH lulpcnlionc A adcentruragravitatisfettoris multip. s.n.p. dabit diftantiam centri ofcillationis ab eadem luipenlîone A. Ut crgo prinium inveniatur fumma quadratorum a piano horizontali AH. intelli- gatur ledor divilus lliperliciebus ("pha^ricis Kquali intervallo diftantibus et quarum omnium centrum idem A, fietque ut involucra Iphîerica hoc modo formata eandem habeant inter le rationcm quam quadrata radiorum luaruni iphœrarum utque in lînçulis involucris pro ratione magnitudinis numerus particularum minimarum contineatur. Quod il vero involucrum ejulinodi, puta extremuni BCF i'ecetur planis horizon- talibus a^qualiter inter ie dillantibus, Icindetur ijs involucrum in partes squales œque ac Ipha^rica iuperficies, de qua ex Archimede facile hoc ita le habere oflendetur -). Itaque figura uni il^i involucro proportionalis a latere ponenda erit rectangulum F"G, parem involucro altitudinem habens adeo ut fi | | hoc in totidera particulas squales l'eftum intelligatur ac involucrum BCD quadrata a diilantijs earum ab refta LL quse eadem fit altitudine cum piano HH, squalia futura lint quadratis diltantiarum parti- cularum inx'olucri BCD a piano HH. Sunt autem quadrata diilantiarum particularum I I' FG ab KL squalia yV quadrati altitudinis FG 3) una cum quadrato MK (pofito icilicetlNTcentrogravitatis | [■ FG) multiplicibus per numerum particularum ipfius reétanguli. crgo et quadrata a dillantijs particularum involucri BCF îequantur j^ quadrati FG et quadrato MK, multiplicibus fec. num. part, d]' FG five fec. num. part, ipfius involucri BCD. Sit redta NO qua; poifit ^) quadratum MK cum — qua- drati ab FG. Et conllituantur ad ipiam NO complementa femiparabolarum ONP quarimi vertices ad O, figuraque ab his compofita fecetur redtis bafi NP parallelis, qu£e dividant axem NO in partes totidera ajquales quot funt in axe AC faétîe a fuper- ficiebus fphîericis. unde quidem fegmenta figurée OPPproportionaliaerunt involucris fphsricis lectoris ABCD. Et fi figura OPP in totidem particulas minimas sequales quot fedor divifa intelligatur, erunt earum particularum totidem comprehenik feg- mento imo PP quot iunt in involucro imo BCD. et in reliquis item legmentis fingulis idem numerus particularum qui in involucris ordine ipfis refpondentibus. ') Il s'agit de la somme des „summfB dute". C'est pourquoi Huygens met le verbe au singulier. -) La proportionnalité de deu.x calottes spliériques, faisant partie de la même surface sphérique, avec leurs hauteurs découle aisément de la Prop. XLH du Livre I „De Sphœra et Cylindro" d'Archiméde, suivant laquelle chaque calotte est égale au cercle dont le rayon est la distance du point central de la calotte à un point de son contour. 3) y'- FG-, produit de i FG par ^ FG, est le „premier reclangulura" du rectangle; il faut y ajou- ter MK- pour obtenir la grandeur cherchée. Comparez la note 2 de la p. 421. *) C.à.d. dont le carré est égal à . . . PARS (^UARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. III. [1669 OU 1670]. 425 Quia autcm quadrata omnia diftanciarum particularum involucri liCD à piano HH aequalia oikndinnis quadrato Î\1K + j^ quadrati l'i] inulciplicibus lec. n. partie, in- volucri iplius. Kri;() et quadrata cadcm diilantiaruni xqualia quoquc crunt quadrato NO multiplici iccundum num. part, fegmcnti PP. hoc eft quadratis omnibus a dilkn- tijs particularum Ibgmcnti i'F ab recta OQ bali ilfrura* parallela. Madcmquc rationc quadrata à dilVantijs particularum qua; in iinj^ulis involucrisà piano ! Il I a.'qualia crunt quadratis a dillantijs particularum Icgincnti relpondentis figura; (JPF ab recta OQ. Quamobrem cum lumma quadratorum a diftantijs omnium particularum figurse OPP ab refta OQ a?quetur 4 quadrati ON, iicut cum de pyramide agcrcmus oiknlum efl: 5), etiam lumma quadratorum a diftantijs omnium particulamm lectoris ABC'D a piano HH œquabitur 4 quadrati ON. Dicatur radius AC a; EC vel FG b, altitudo nempe fuperficiei ipha.'rica; BCD. Quia ergo qu. ON îequale fecimus qu. KM qua; crt û — 4^ et ~ qu. FG five b. Erit qu. ON squale ûa — ûb + \bb, cujus très quints funt iaa — inb + jbb. quibus proindc multiplicibus per num. part, feétoris IphEerici ABCD œqualia erit didtarummaquadratorumadirtantijsomniumparticularumieftorisejufdemaplano AH. Jam porro quadrata dillantiarum a piano per axcm ieétoris AC invcnienda elTent. Sed eorum fumma facile inveftigabiturex fumma jam inventa quadratorum a dillantijs a piano AH et ex fumma cognita quadratorum a dilhntijs a centro i\, qaie aequalia funt 4 qu.' AC multiplicibus fec. num. p. feftoris'^). Nam ii a iingulis his quadratis à dirtantia alicujus particule a centro A auferantur fingula illonim quœfiuntadilhntia ejuldem particule a piano AH, manifeftimi ell relinqui fingula quadrata diilantiïe ejufdem particule ab axe AC. ac proinde fi a fumma quadratorum diilantiarum a centro A, hoc a iûû, auferatur fumma quadratorum a dillantijs à piano AH, hoc ell ^aa — fab + i^^, relinquetur fumma quadratorum a diftantijs omnibus ab axe AC, quje erit i//b — Ibb. Hujus vero fumma; quadratoriun à diftantijs ab axe, femillis ell fumma quadratonmi a diftantijs a piano per axem AC, ut facile intelligitur ex ijs qua; de circulo oftendimus prop. . . ") fi nempe feCtor totus in fegmenta circularia dividi inteîligatur. Ergo fumma quadratorum a diftantijs a piano per axera erit y^g ab — j^ bb. quibus additis ad fummam fupra inventam quadratorum a diftantijs a piano AH, nempe ^ûa — lab + Ibb, fit fumma quadratorum a diftantijs ab axe ofcillationis per A pun(5timi dufto, îaû — y^o'^^ + tô^^- l^œ nempe multiplicia intelliguntur s. n. part, fedoris. Applicando itaque planum a?quale his iria — jo^b -\- j^bb ad intervallum inter 5) Comparez la note 2 de la p. 4:1. *) D'après la première partie du § i. ''} Il s'agit de la proposition qui constitue la deuxième partie du § 1 [Fig. 154]. 54 426 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. III, [1669 OU 1670]. centrum A et centrum gravitatis leftoris, qiiod ell |^7 — -^ h '), tict dilhntia ccntri «.ilcillationis ab eodcm ccntro A, -iû + ;;;— ^ T,hoc efl quatuor quinti' radij, cum quatuor decimisquintis reiftîe cujuldam, qiia; lit ad linuni vcrlum feétorisEC '), ficut hic ad reliquam partcm diametri fpharœ. Unde fi pro feétorc hcmilphœra fucrit, erit li^c diilantia j iû. Ut aiitem in alia quavis (ufpenlionc feftoris, dummodo ab axe qui lit x'quidiilans piano circuli liD, habeatur longitude) pcnduli ilbchroni, oportet a piano invento laû — -^g ab + ^5 bb, auferre qundratum didta.^ dilhntiœ |rt — | ^, unde rclinquitur ^^^'^ + lé'''^ — s'A^^ redanguluni dilhntiarum '). quodnerape applicatum ad diilantiam ccntri gravitatis ab axe olcillationis quolibet ') dabit inter- vallum quo centrum olcillationis intcrius elt centro gravitatis. Quod autem diximus centrum gravitatis feétoris dilbire a centro A ^^ — ^b facile ortenditur divilb feftore ut fecimus in involucra concentrica, quorum fingulonim centrum gi-a\iratis altitudinem iplbrum biferiam dividit ■*). ') C.à.d. en divisant la première grandeur par la deuxième. ') La flèche EC ou b constitue le „sinus versus" de l'arc BCD, donc aussi celui du secteur. ^) Comparez p, e. la note 3 de la p. 419 ou la note 2 de la p. 421. +) Il résulte en effet de ce théorème sur le centre de gravité d'une calotte sphérique que le centre de gravité d'un secteur sphérique coïncide avec celui d'uu cône de hauteur a — \b dont le centre de la sphère constitue le sommet. APPENDICE IV À LA PARS QUARTA DE L\,HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". 1670'). [Fig. 158.] Poteft fphjera feu pondus quodcumque BC [Fig. 158] imo pendulo ita affigi uc fit mobile circa axem À , quo fiet ut fîngula punda ponderis feu particule defcribant cycloides easdem. Nam fi immobiliter affixum fit virgte EA , videtur ex ratione centro- rum agitationis qus continué mutabuntur, aliqua ina^qualitas timenda. quam tamen inlenfibilem puto. Nam licet linea illa centrorum agitationis lit verbi gratia SSS,non idée putandum iphîeram BC ea lege moveri ac ii incederet '-') per curvam SSS. quje in infinitum extenditur juxta alymptoton FG. Nunquam enim rediret 3). ') La Pièce est empruntée à la p. 254 du Manuscrit D, qui porte la date du 15 janvier 1670. Comparez la Prop. XXIV de la Pars Quarta, ainsi que le paragraphe B. à la p. 46 de l'Aver- tissement. 428 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP, IV. 1 670. -) Le sujet de ce verbe n'est évidemment pas la „sphaera BC" mais le „centrnm oscillationis". En effet, puisque le centre d'oscillation de la sphère, suspendue à un fi! impondérable, est situé au-dessous du centre de gravité de la sphère d'une longueur 5- -r — voir les p. 470—4-2 du T. XVI ou 330 — 333 du présent Tome — , où ;■ est le rayon de la sphère et b la distance de son centre de gravité au point de suspension, il en résulte que théoriquement le centre d'oscilla- tion s'éloigne à une distance infinie lorsque b s'annule. On peut supposer que le fil est attaché précisément au centre de la sphère et que, grâce a une fente infiniment étroite pratiquée dans la sphère, celle-ci peut venir s'appliquer sur la lame courbée de telle manière que le centre touche la lame exactement de sorte que la distance du point de suspension au centre de la sphère devient nulle. Lorsque dans ce cas la longueur du fil est égale à celle de l'arc entier de la cycloïde lequel possède à son extrémité F une tangente horizontale, le centre d'oscillation s'éloigne à l'infini dans une direelion horizontale comme l'indique la figure. 5) Il n'est certes nullement permis d'admettre que dans le cas considéré le temps d'une oscillation deviendrait infini, ce qui impliquerait, du moins si l'on admet la réversibilité du mouvement, que la sphère, placée par un expérimentateur dans la position extrême dont nous avons parlé dans la note 0, ne parviendrait pas, théoriquement, à se détacher de la lame, ce qui est fran- chement absurde. Quelle que soit la valeur du raisonnement de Huygens, celui-ci ne peut en tout cas pas ser- vir pour évaluer la grandeur de la „inœqualitas timenda". Il serait intéressant de connaître la forme des lames courbées correspondant aux oscillations tautochrones d'un corps de grandeur finie suspendu à un fil impondérable. L. Euler, dans son travail de 1753 „De Motu tautochrono Pendulorum compositorum" déjà cité dans la note 1 de la p. 46 de l'Avertissement, trouve de la courbe en question une équation différentielle qu'il ne réussit à intégrer approximativement que dans le cas où le corps est „valde pondero- sum simulque minimum, ac prseterea oscillationes ampliores excludantur". APPENDICE V A LA PARS QUARTA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". 1670'). aojan. 1670. ? , ■ ^ — 30 J -) 30 720 debehat poni 1 440 ''). ^b + c. 720 ax>^ 3 b + c a 00 722I vel 722,4 ^ 00 I 2 ^ 30 I 144418 C 30 50 ,f 30 1440. très pedeshorarij. fl 30 1 r 30 50 /"do I/) + 1/ ï/'/'+ 72962/) — 105061210+) ') La Pièce est empruntée aux p. 258—260 du Manuscrit D. Elle se rapporte au réglage de la marche de l'iiorloge à pendule par le déplacement du petit poids curseur dont il est question aux p. 338 — 34" qui précèdent. Comparez sur ce sujet les p. 424 — 433 du T. XVI et 105 — 1 1 1 du T. XVII. -) Comparez l'équation x = Etc. de la p. 424 du T. XVI, ainsi que la p. 340 du présent Tome, où les notations sont les mêmes qu'ici. 5) Dans la suite Huygens prend en effet 1440 pour la longueur du pendule isochrone avec le pendule ne portant pas encore le poids curseur, comme il le fait aussi à la p. 345 de l'„Hor. ose." Comparez la note i de la p. 432. ••) Ces formules (où /désigne la distance du poids curseur au point de suspension et /> la longueur du pendule isochrone lorsque le poids curseur se trouve quelque part sur la verge du pendule considéré) et la table qui suit s'accordent avec celles des p. 344 — 347 qui précèdent. 43° PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSaLLATORILTVl". APP. V. I 670. 1440 / ^ H39,75 ratio 1440 ad 1439,75 duplicata fàcit 1440 ad 1439,50. p X) i4'^9,5o ut 15' acceleretur. ..:...'... /. . . .') 7,0 lines pedis horarij. p 00 1439, ut 30 acceleretur. 15,2 Imes pedis horarij. et fie ubique. /.co 1438,50 ut 45" ace pzo 1438 ut r aeeel pzo 1437,50 ut 1,15 ace pzo 1437 "t 1 ,30 ace pzo 1436,50 ut r,45 aecel /30 1436 acc.'^ 2' /.oo 1435.50 ace. 2,15 poo 1435 acc.° 2',3o" p 30 1434,50 ace. 2,45 pzo 1434 acc.°3' . />oo ï433v5oacc.°3',i5" /)0O •433 ace. 3,30 p:o 1432,50 . . . . partes à centro ofcillationis ") furlum accipiendce , in decimis linearum pedis horarij 3). aceeleratio horologij fpatio 24 23,70 32,55 41,91 51,75 62,21 73,44 85,605 horarum. 99,03 114,105 131,85 '54,35 192,612 non potefl. ') Nous omettons les calculs. ') C.à.d. à partir du centre d'oscillation du pendule dépourvu du pnids curseur. ') Ou plutôt: in lineis pedis horarii. ♦) La Fig. 159 est la reproduction, à une échelle de 0,6, de la figure de Huygens qui se trouve sur une feuille détachée du Manuscrit D. La courbe et les chiffres de la ligne horizontale cor- respondent à la table qui précède. Les chiffres écrits près de la courbe, qui donnent les ordon- nées, représentent en lignes du pied horaire les distances du poids curseur au centre d'oscilla- tion fixe indiqué sur le pendule, lorsque la marche de l'horloge doit être accélérée de i 5", 30" etc. par 24 heures. Les deux colonnes verticales à gauche représentent ces mêmes distances à plus grande échelle, c.à.d., dans la figure de Huygens, en grandeur absolue: il faut supposer la colonne à gauche placée au-dessus de l'autre. Ces colonnes correspondent à deux des trois colonnes (ou parties du pendule) de la Fig. 17, IV de la p. -i. On lit dans la Fig. 156: ad exaniinandum calculum — divisio dimidiîe virgée, posito pondère appenso partium 50, pondère mobih i , itemque gravitate virgs I. — centnim oscillationis — centrum gravitatis appensi plumbi. PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. V. I 670, 43 I 9« - [Fig. 159-]^) - If j«" *"^ '.'1* v^;*-* Le pied de Paris moins 5 lignes fait le pied de Rijnland. d'où il s'enfuit que celuy de Paris eft a celuy de Rhijnl. comme 144 ad 139. Le pendule de fécondes e(l de 3 pieds 8^ lignes de Paris, que je pofe égal a 3 pedes horarij, d'où s'en fuit que 3 pd. 2 pou. -^g de lign. de Rijnl. font les mefmes 3 pieds horaires. 432 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. V. I 670. pd. lig. po / 139 144 3. o. 8i 01136,708/38,029 pollices Rijnl. longitudo penduli fecundorum feu 3 peduni horarionim/ 3 ped. chron. / 1440 — 1444,8 ') 432 /433.44 1,44 % dillantia ccntri f ofcillationis a centro gravitatis penduli ' compofiti -). ') C'est le rapport de la longueur du pendule isochrone (note 3, p. 429) à celle du pendule réel ou plutôt à celle du pendule idéalisé (considéré comme identique avec le pendule réel) composé d'une verge pondérable et d'un poids punctiforme à son extrémité inférieure, la longueurs de ce pendule idéalisé étant la distance du point de suspension au poids punftiforme. La longueur du pendule isochrone est égale par hypothèse à trois „pedes horarii" ou „pedes chronici", comme Iluygens écrit ici, c.à.d. 33 x 144 ou 432 linea: pedis horarii. -) Cette distance de 1,44 linea pedis horarii du centre d'oscillation au centre de gravité du pen- dule idéalisé (évidemment dépourvu du poids curseur) est la distance CA dans la Kig. 17, IV de la p.71. Comme la note précédente l'indique il faut prendre ici f««/^/'<7H0S(7//s l'expression „centrum gravitatis penduli compositi". A la p. 115 qui précède Huygens parle à propos de la Fig. I-, IV du „centnim gravitatis ponderis X". APPENDICE VI À LA PARS QUARTA DE L\,I lOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1692 OU i^93]'X Pendiilum pondus cujiis centrum gravitatis A [Fig. 1 60] per Cycloidcm dclatum AB, acquirit in puncto IJ in- fimo celeritaccm qua pcr ar- cuni BD œqualem BA al'cen- dat. Si vcro annulus gravicate praïditiis, et tamen ut peri- pheria limplex confideratus volvatur in paracycloide *} EF, ita uc ccntrura cjus de- icribat cycloidis portioncm AB, is quoque vim collegit, ubi in B pcr\'cnit, qua aiccndat revolvendo ufque in D. Sed quia in B tranfiens a;qualis motus quantitas efl: circa centrum in partibus ipfuni conlHtuentibus,ac in ijfdom motuhorizontalipergentibusper prcecedentem '_), necefle ert dimidium virium acquilitarum revolutionc pcr EF, ceflliTc in motum circulationis circa centrum annuli, dimidium vero reliquum inmotumhorizontalemannulitotius ^). ') La Pic^ce est empruntée à la p. 171 (inimératioii de Huygeiis) du Manuscrit H. Les dates du 18 déc. 1692 et du 31 janvier 1693 se trouvent respectivement aux p. 155 et 1-2. La feuille 169 — I -o a été enlevée par Huygens qui a noté sur la p. i-i :„j'ay dechirc icy une feuille". Celle-ci contenait sans doute des considérations ou des calculs relatifs à la présente Pièce puis- que les mots „per prsecedentem" du troisième alinéa s'y rapportent évidemment. -) La paracycloïde est donc une courbe parallèle à la cycloVde, c.a.d. un lieu de points à égaler distances d'elle. 3) Apparemment Huygens admet ici que pour un corps donné une chute d'une hauteur déter- minée de son centre de gravité produit, lorsque tout frottement ou résistance du milieu fait défaut, une quantité déterminée de „vires" quelle que soit le mouvement du corps. La suite fait voir que les „vires" considérées sont pour toute particule du corps proportionnelles au 55 434 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. VI. [1692 OU 1693]. Ergo annulus ad B delatus habec in raotu horizontali dimidium virium quas haberet il abfque ulla re\-oliuione ex filo pendens venifTet: hoc cil, habet vires qiiibus al'cen- dere poflît per dimidiam altitudincni arcus AB. Quam ob rem céleri taccmhorizontalem habebic quœ fit ad celeritatem horizontalcm defccndentis ut penduliim, llcuc i ad (/î , ut notuin ex legibus afcenius. Sed ijidem racionibus in quovis loco portionis ABD oftenditur eandcm effe rationem lationis ccntri ex revolutione acquifit£e,ad lationcm quem penduli forma delcendens vcl alcendens haberet. Ergo tempustotius revolutionis annuli per curvam EG, erit ad tempus vibrationis penduli per arcum AD, quse y/i ad i , feu proxime qu£ 7 ad 5. Propenduloannulomeliusaccipietur,pondusvelut punftuminAcentrofiloaffixum. Nam ipfe annulus paulo lentiorcs \'ihrationes habebit quam pondus in puncto A col- leéhim, quoniam aliqua particula \'irium abfumpta eft in conferendo motu exiguo circa centrum quo radius ex pofitu AE venit in BF. qui motus juvat rurfusinafcenfu, quod continuatus conatur difponcre radium ex litu BF in DG '). carré de la vitesse. Comparez le passage de 1690 que nous avons cité dans le troisième alinta de la note 6 de la p. 359 du T. XVI. D'ailleurs Huygens parlait déjà en 1661 de la„vismotus" proportionnelle au carré de la vitesse: voir le troisième alinéa de la p. 3-6 du T. XVI. Le principe admis ici n'est qu'une forme différente de celui de i659(T.XVI,p.357et385 — 391). La „force ascensionelle" totale du corps doit être telle que lorsque chacune de ses particules s'élève à la plus grande hauteur possible, le centre de gravité de toutes les particules se trouve à la hauteur d'où est descendu le centre de gravité du corps partant du repos. Huygens commence prudemment par considérer un cas particulier, le plus facile de tous, celui où le corps qui descend en roulant est un cylindre ou plutôt un simple anneau infiniment mince („peripheria simplex"). En effet, il n'est pas de toute évidence que la Z ?wi'% où v re- présente la vitesse totale par rapport à la terre (considérée comme immobile) d'une particule de masse m , peut être décomposée en une somme de deux termes dont l'un représente la «force vive", pour nous servir de l'expression de Leibniz (T. XVI, p. 359, note 6) du mouvement progressif et l'autre celle du mouvement de rotation. Voir la note suivante. Huygens commence par établir qu'au point le plus bas la „motus quantitas" de l'anneau est composée de deux parties égales, correspondant aux deux mouvements nommés. Apparemment il désigne ici par „motus quantitas", contrairement à l'usage ancien (T. XVI, p. 359), la somme Z mv- et non pas Z >m-. pour cette dernière la somme des deux Z partielles (elles aussi égales l'une à l'autre) ne donne pas la Z totale. La décomposition de la „force vive" en deux parties égales s'étant montrée possible pour le cas de l'anneau roulant, et cela non seulement au point le plus bas mais aussi partout ailleurs, Huygens en tire la conclusion que le mouvement est 1/2 fois plus lent que lorsqu'il n'est que progressif, ce qui est approximativement le cas lorsque l'anneau est suspendu à un long fîl. ') La décomposition de Z. mv^ en deux parties égales s'applique, dans le cas de l'anneau, à un mouvement progressif ou de translation le long d'une partie infiniment petite de la courbe cycloidale, et à un mouvement de rotation autour du centre de l'anneau. PARS QUARTA DE L „HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. VI. [1692 OU 1693]. 435 [Fip. 161.] ^ v/^ Ut s [Fig. 161 j ad ■ , hoc e(l ut ^ ad ^ ita celeritas motus horizontalis imprelTus toti (îmul annuli circumferen- tiœ, ad celeritatem cidcin impreilam niotu circa ccntrum. ad quos motus imprimendos oportet vires inliimi qu£e fint ut aa ad l;b. ac proinde C] totje vires delcenfu arcus acqui- fitje fint aa + bh erunt infumta; vires in motum iiorizon- talem aa. à quibus et afcenfus producitur <7^/, (1 totus afcen- fusad altitudincm arcus fit aa + bb. ] linc celeritas horizon- talis^nnuH in B ad celeritatem penduli finiplicis DR ut a ad [/ aa + bb. Et rurfus longitudo penduli quod fit annule iibchronum erit ad DB X) « ut aa + bb ad aa. hoc eu ut a-\ ad «.Eoqueifla longitudo erit (7 -\ .Quodconve- nit cum noftris de centro ofcillationis. Idque hic obiter oxaminarc volui. Hincnova demonflratio centrorum ofcillationis inveniri poteft '). Voir encore au sujet de cet Appendice la fin de notre aperçu de la „Controversia" à la p. 466 qui suit. On a généralement, en désignant par v la projeftion de v sur un axe X : v^ est la projection sur le même axe de la vitesse v du centre de gravité du corps considéré. En ajoutant les équations de ce genre correspondant à trois axes redangulaires entre eux, il en résulte Z.mv' = Hni.v - 4- Z« [ev-o^^Cv-\)=+e^--0']' c.à.d. la force vive totale — nous pouvons, suivant la pensée de Huygens, considérer comme «force vive" le produit de Z mv' par un faéleur ), indéterminé, comme nous l'avons fait aux p. 22 et suiv. du T. XVI — est égale à celle du corps considéré comme se mouvant en entier 436 PARS QUARTA DE l'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". APP. VI. [1692 OU 1693]. avec la vitesse du centre de gravité -f la force vive résultant du mouvement par rapport au centre de gravité. Huygens avait peut-être établi ce théorème général, sans que la forme de sa démonstration lui pliit. Peut-être aussi s'était-il borné au cas où tous les points du corps se meuvent parallèlement à un même plan. Le théorème implique, comme Huygens le dit, que le mouvement roulant de l'anneau est V^2 fois plus lent que celui (c'est le cas considéré dans l'Appendice IV qui précède) d'une translation parallèle le long de la courbe cycloïdale. Mais dans le cas de la translation parallèle la Jimv- totale reste la même lorsqu'on suppose la masse de l'anneau concentrée en son centre, puisque cette somme ne dépend que de la masse et de la descente du centre de gravité. Or, lorsque le corps est punftiforme on peut tout aussi bien le supposer attaché au fil impondérable de manière à accomplir une oscillation ordinaire, puisque la force vive de la rotation d'un point (comparez la note 2 de la p. 421 qui précède) est négligeable. ') En effet, Huygens eût pu démontrer de cette façon la formule générale de la Pars Quarta, non seulement pour l'anneau mais pour un corps quelconque. Dans le cas de l'oscillation ordinaire sans roulement considérée dans r„Hor. ose." la formule de la note précédente se réduit, après une division par le carré de la vitesse angulaire, à relation déjà considérée à la p. 47 de l'Avertissement. Remarquons que /; désigne ici la distance du point de suspension au centre de gravité, laquelle est appelée a dans la Fig. 161. La force vive totale est proportionnelle à /. Elle se compose de la force vive, proportionnelle à Mb- , de la translation du corps concentré en son centre de gravité et de la force vive, proportionnel- le à /', de la rotation du corps autour de ce centre. La force vive totale du mouvement est par conséquent à la force vive de la translation dans le rapport /: MP ou 1 + -jrfTi • !• Comme dans le cas de l'anneau, le pendule quelconque considéré se meut donc plus lentement que si son poids était concentré en son centre de gravité, auquel cas la force vive totale — comparez la fin de la note i — serait une force de translation. Le carré de la période du pendule réel est à celui de la période du pendule simple fictif de longueur b comme 1 4- 71/7x2 '• i- 1' ^n résulte que la longueur /du pendule simple isochrone avec le pendule réel est à b dans ce même rapport. Lorsqu'on prend /' = Mp' , la proportion /: b= i -\- j^p. : i se réduit i l=b -\- ^j-, con- formément à la formule de la p. 48 de l'Avertissement. APPENDICE I À LA PARS QUINTA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". [1667-1668.]') [Fig. i6;.] X F / fgg poUicis, latus rechim para- boloidis. AB[Fig. 16;] DO /, lateris recli paraboloidisACoOjlatusrechim parabola: BE. AD i latus reéhnn paraholoidis AC. divifum in 50 partes. AB X) 2,38 pollicis Rhenolan- dici. AD DO 4 poil. =) do 4 1- r- paraholoidis. ') La Pièce est empruntée à la p. 215 du Manuscrit C. Les p. 203 et 231 portent respeftivement la date du 5 septembre 1667 et du 25 février 1668. Nous ne reproduisons pas les calculs numériques. Les chiffres écrits auprès de la „parabo- loïde" font bien voir que celle-ci a été construite par points. La figure semble indiquer que les horloges à pendule conique étaient elles aussi pourvues d'un poids curseur (ou „poids cou- lant" suivant l'expression de Huygens; voir p. e. la p. 155 du Manuscrit C). ') Dans la Fig. 162 originale AD a une longueur d'environ 10,45 cm. Il en résulte pour le pied rhénan une longueur d'environ 31,35 cm, ce qui correspond à la valeur 31,39 adoptée à la p. 28oduT. XVL APPENDICE II À LA PARS QUINTA DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM". m Horologij Ofcillatorij Pars V. Conftruétionem aliam, ex circiiLiri penduloruin motu dediiftam, continens; Et Theoremata de Vi Centrifuga. [Le texte de ce manufcrit difR^re en quelques endroits du texte imprimé (p. 360 — 365). Par exemple, au lieu du mot „pertracT:avimus" de la 1. 1 de la p. 361 le manufcrit a: „exfecuti fumus". Les autres variantes, affez rares d'ailleurs, font prefque toutes également infignifiantes '-). Après les mots „conftruéta automata" de la 1. 10 de la p. 361 le manufcrit inter- cale: „cuius rei gratia [c.à.d. à caufe de Tabfence de tout bruit] ab aliquibus expetita fuiiïe memini". Au lieu des mots jjconfiruda fiiere" des 1. 6 — - de la page nommée le manufcrit qui donne la même leçon avait primitivement Texpreffion „confl;ruci:a vidimus" '), ce qui porte à croire que les horloges à pendule conique ne furent pas toutes conftruites comme celle de 1 668 (voir la p. 267 du T. VI citée à la p. 10 qui précède) fous la direction perfonnelle de Huygens. Toutefois cette expreffion n'im- plique pas qu'un autre inventeur aurait trouvé la même chofe indépendamment de lui: comparez le mot „vidimus" de la 1. 17 de la p. 63 du T. XVII +).] ') Cet Appendice est emprunté aux f. 134 et suiv. des Chartie mechanica;. ') Notons que le dernier alinéa de la p. 365 qui précède fait défaut dans le manuscrit et que dans laProp. XII sur la force centrifuge (T. XVI, p. 318) le manuscrit omet à tort les mots „pondere iequalia". 3) Toutes les corrections sont, comme le texte primitif, de la main de Huygens. ■♦) Le mot „vidimus" se trouve également dans la 1. 2 de la p. 73 du T. XVII; en cet endroit-là il s'agit d'une construftion dont le mérite ne revient pas à Huygens mais à S. Coster. OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DÉMONSTRATIONS DE L'AUTEUR DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM" ET RÉPONSES DE HUYGENS. I Avertiffement. Les principes dont Huygens part dans fon „Horologium ofcillatorium" donnèrent lieu à de célèbres controverfes. Parmi les ledteurs compétents beaucoup fans doute fe contentèrent d'admirer l'œuvre; témoin les paroles de Viviani citées par Huygens à la p. 5 1 du Manufcrit E : <^ \'inc. Viviani nel ragguaglio délie ultime opère del Galileo. 1 6-4 '). „La medelima pafllone voile ancora con fottililiimo progreflb autcnticare quel l'u- blime ingenio di Chrilliano Ugenio nella opéra fua due anni fono ^) publicata e con ilupor de' Matematici applaudita, trattante del moto de' Pendoli". C'eiloit de démontrer que les viteiTes acquifes par des plans diverfement inclinez, mais d'égale hauteur perpendiculaire, font égales 3) -^ . ') Il s'agit de l'ouvrage de Viviani, intitulé „Quinto libro degli Elementi d'Euclide, ovvero Scienza Universale délie Proporzioni spiegata colla dottrina del Galileo, con nuov'ordine distesa, e per la prima volta pubblicata daVincenzio Viviani ultimo suc Discepolo.Aggiuntevi cose varie, e del Galileo, e del Torricelli; I Ragguagli delP ultime Opère loro, con altro, che dair Indice si manifesta. AU' Altezza Sereniss."" elleverendiss."'» del Signer Principe Cardinale de' Medici". In Firenze; alla Condotta, MDCLXXIV. Les paroles citées (Viviani écrit: „in- gegno" et „pubblicata") s'y trouvent à la p. 100. Huygens reçut le livre de \'iviani en 1676; voir les p. 9 du T. VIII, 4-1 du T. IX et 292 du T. X. -) Comparez sur l'expression due anni fono le deuxième alinéa de la p. 64 qui précède. 5) Huygens démontre cette égalité pour un point pesant , dans la Prop. VI de la Pars Secunda (voir 56 442 AVERTISSEMENT. Toutefois la critique elle aufll — comment en eût-il pu être autrement? — ne tarda pas à fe faire jour. Ce qui paraît être relié inconnu à tous ceux qui s'y font in- téreffés, p. e. h J. !.. Lagrange '), ainli qu'à nous-mêmes -), c'ell; que les premières objections furent faites par Roberval. Ces objeftions, datant déjà de 1670, furent infcrites par Huygens, avec fes réponfes, dans le IManufcrit D. Comme nous l'avons dit à la p. 36 qui précède, une partie des théorèmes avaient été rédigés en i6~o. Huygens, rétabli de fa maladie (p. 36) et n'ayant pas encore quitté Paris, paraît les avoir communiqués à Roberval ainfi que, peut-être, à quelques autres membres de l'Académie. La réponfe à la -ième objeftion fait voir qu'il a apporté enfuite un chan- gement au début de la Pars Quarta; il a fupprimé la deuxième des trois hypothèfes qui s'y trouvaient primitivement 5). Ces objections amènent le IcCleur à le demander quelles étaient en général les opinions de Roberval mécanicien. Malheureufement nous n'en fommes pas très bien informés, l'ouvrage principal de Roberval fur la mécanique, qui comme beaucoup d'autres de fes écrits n'avait pas été imprimé durant fa vie, étant perdu +). Nous la p. 141 qui précède). Nous avons remarqué (troisième alinéa de la p. 39) que Huygens y fait déjà usage de l'Hyp. I de la Pars Quarta, comme il le fait d'ailleurs aussi dans la Prop. IV de la Pars Secunda (dernières lignes de la p. 135). Aux p. g^ et 100 Viviani raconte qu'en étudiant la „scienza de' moti naturali nuovamente promossa da! Galileo, e che allora appunto era uscita in luce" il s'était demandé s'il n'était pas possible de donner une démonstration du „supposto, che le velocita de' mobili naturalmente descendenti per piani d'una medesima elevazione sieno uguali tra loro". Son instituteur, le P. Clémente di S. Carlo, l'introduisit chez Galilée qui s'appliqua à donner cette démonstration. Galilée la lui difta et des copies en furent envoyées à plusieurs personnes, e. a. à Benedetto Castelli; voir la lettre du 3 décembre 1639 de Galiléeàcedernier(Ed. Naz.T. XVIII, p. 125). C'est la Pièce, dit Viviani, „che io . . . somministrai ail' ultima impressione di tuttc l'opère di lui fatta in Bologna nel 1656, come quivi si vede a facce 132 del TerzoDialogo". Il dit ensuite que E. ïorricelli „conferm6 dipoi" cette proposition dans son Trattato de' Moti, quando non aveva avuto notizia ancora di quella di esso Galileo". Après avoir parlé de Huygens, Viviani ajoute finalement qu'unedémonftration fut également donnée par Alessandro Marchetti de Pise. Comparez sur la démonstration de Galilée la remarque de Huygens et la note 2 à la p. 141 qui précède. ") Voir la Seftion I de la Seconde Partie de sa „Mécanique analytique" de 1788, citée aussi in ex- tenso dans le travail suivant (note 2). -) „Christiaan Huygens et Jean le Rond d'Alembert" dans le périodique „Janus, Archives inter- nationales pour l'Histoire de la Médecine etc." (Leyde, E. J. Brill) de 1915. 5) Comparez la note i de la p. 38 qui précède. *•) En 1650, Roberval écrit à Hevelius (lettre imprimée dans„Huygenset Roberval, documents AVERTISSEMENT. 443 ignorons auOi, ce qui cil particulièrement regrettable, fi Huygens avait reçu en 1665 ou plus tard un „traitè de Roberval des pendules ifochrones" (voir la note 3 de la p. 54 qui précède) et en quelle manière Roberval a parlé en ou vers 1671 à l'Aca- démie des Sciences Cur les centres de percullion '). Cependant la remarque de Huy- gens de 1 693 (Ceptième alinéa de la p. 402 du T. X) fait voir que fort probable- ment Roberval n'a rien dit de bien important. Selon P. Tannery en 1666 il était „déjà éteint"'^). Il eil vrai que F. Vcrnon dit de lui en 1670") qu'il ne publie rien mais qu'à l'Académie il „difcourfeth much & is a very plaufible fpeaker and of acute reafoning". Roberval, nous l'avons dit a la p. 352 du T. XVi, avait trouvé dès 1 646 la place du „centre de percullion ou d'agitation" dans le cas d'un fefteur de cercle tournant dans foii j-ilan autour d'un axe pafTant par le centre du cercle. Il n'était pourtant pas convaincu, ne voyant apparemment aucune raifon théorique pour l'admettre, que le centre de percufTion ffit identique avec le centre d'ofcillation. Il inclinait plutôt à croire — ce que fon ami Mcriènne jugeait aulli pofîïble (T. X VI , p. 35 1 ) — que cette identité n'exifle qu'à peu près. Or, qu'eft-ce en fomme que le centre de percullion ? Nous avons vu (p. 57, note 6) que Fabry dit que lorfqu'un obflacle arrête le corps au centre de perculTion, il perd tout fon mouvement et que ce centre (p. 56) eft fitué fur une droite D telle que les moments de tous les „impetus" ou quantités de mouvement de part et d'autre de cette droite font égaux. Cette dernière fonnulc ell claire dans le cas d'une furface plane fymétrique tournant autour d'une droite (îtuée dans Ion plan et perpendiculaire à fon axe de fymétrie; d'après les exemples que Fabry (ou Moufnier) en donne la droite D efl: alors une parallèle à l'axe de rotation et le centre de percuflîon occupe nouveaux" par C.Henry, Leyde,E. J. Brill, 18-9; Henry ajoute, p. 35, note 2, que rorigi- nal de la lettre a disparu) avoir achevé un traité de mécanique en huit livres; le dernier traitait „de centro percussionis potentiarum mobilium". ') »Regi« Scientiarum Academia; Historia" Sec. éd. Autore J. B. du Hamei, Parisiis, J. B. Dele- spine, 1701 , p. 98 (Cap. II de la Seftio Septima „De his qus afta sunt annis 1670, 1671 , & 1672. quajque ad Mathesim spectant): „Ac primum quidem de centro percussionis quod inter prscipuahujusscientia; fundamenta numeratur, D. de Roberval fusé & subtiliter disseruit." «) „Les Sciences en Europe 1648— 1715", Ch. X (p. :^ç)6^ du T. VI de r„Histoire générale du IV' siècle à nos jours" de Lavisse et Rambaud. ONotreT. VII,p. 8. 444 AVERTISSEMENT. [Fig. I.] évidemment fur elle une fituation centrale. Cependant Fabry femble vouloir donner une définition générale. Fonnulcc corretlement, celle-ci devrait être la fuivante '): „Lorfqu'un corps fufpendu en un point tourne autour d'un axe paiïant par ce point, le centre de percuflion fe trouve fur une parallèle à cet axe telle que la fommc ali^é- brique des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps autour de la parallèle eft nulle; on llippole le corps arrêté par Tobllacle à finlVant oii fon centre de gravité eft aulli bas que podible; le point de fufpenfion , le centre de gravité et le centre de percudion ibnt alors par hypothèfe fitués fur une même ligne droite." Suppofons l'axe de rotation, paflant par le point de fulpenfion A , perpendiculaire au plan du papier [Fig. i ]. Soit /> la plus courte dillance de la parallèle à l'axe A pafTant par le centre de percuflion P et du vedeur rc- préfentant la vitefTe v d'un point quelconque fitué à la diflancc /• de l'axe A. Soit AP, fitué dans le plan du pa- pier = L. Il faut fuivant notre définition que Hwvp = o, m étant la mafle d'un point; ou bien Hmrp = o, puifque la vitefTe angulaire eft, à un infiant quelconque, la même pour tous les points. Le bras de levier/) efl pofitif pour les moments agiffant dans un fens, négatif pour ceux qui agiffent dans l'autre. Or, on a pour tous les points du corps p = L C0S3! — /■. En fubftituant cette valeur de/ dans la formule précédente, on obtient , _ Y.mr' "Lmr. cos« ou L = j^jj^ , M étant la mafTe totale et b la diflance du centre de gravité du corps au point A en vertu de l'hypothèfe faite fur l'inflant et la place de l'arrêt =). Ainfi ') On peut supposer avec Fabry (p. 56, note 4) que pour pouvoir arrêter le corps précisément au centre de percussion, on y ait pratiqué une fente ou un canal fort étroit. 0 Généralement, si l'on oppose l'obstacle au corps oscillant en un point choisi de telle manière que l'équation Hmrp = o est vérifiée, Y.mr cos a sera le produit de J/ par la projeaion du AVERTISSEMENT. 445 défini, le centre de pcrcullion coïncide donc avec le centre d'ofcillation. Nous avons remarque (p. 58) qu'en 1^164 tout auHi bien qu'en 1690, p. 462 du T. IX — Huygens lemble admettre généralement cette identité des deux centres') puifqu'il dit que Fabry, cherchant le centre de percullinn pour un cercle olcillant dans fou f)lan^ aurait dû trouver ce centre à une diilance de | du diamètre du point de iufpen- fion,c.à.d. à Fendroit qu'occupe, fuivantlecalculdelluygens, le centre d'olcillation-*). 11 eft vrai qu'on peut également fuppofer qu'en 1664, partant d'une définition telle que celle donnée ici, Huygens n'ait calculé la fituation du centre de percullion que pour le cas du cercle (et peut-être pour quelques autres furfàces ofcillant dans leur plan); mais cela parait plus difficile que d'établir la fonmile générale et on n'en trouve rien dans les manufcrits. Nous ignorons fi Roberval eft parvenu, loit avant (bit après avoir vu la fonnule générale de Iluygens pour le centre d'oicillation, h une formule identique pour le „centre de pcrcuffion ou d'agitation"'). La i3ièmeet i4ième objeétion font voir qu'il admet que les propofitions de Huygens de la Pars Quarta, nommément la Prop. IV, c.à.d. celle qui donne la formule générale pour le centre d'ofcillation , font „forfan vera?", mais qu'il les llippofe découvertes par l'expérience et pourvues enfuite de jjdemonllrationes qualescunque". Nous croyons pouvoir en conclure que Roberval, centre de gravité sur le plan passant par l'axe de rotation et le point considéré. lien résulteque le lieu de tous ces points (on peut dire: de tous ces centres de percussion) dans le corps est un plan passant par le centre principal de percussion (siinplement appelé centre de percussion dans le texte) et perpendiculaire à la droite qui joint le point de suspension à ce dernier centre. Remarquons en passant qu'en se heurtant à l'obstacle le corps ne perdrait pas en général tout son mouvement. 3) On voit que le calcul du texte est exaélement le même soit qu'il s'agisse d'un corps oscillant ou d'une surface oscillant dans son plan. ^) Le calcul de Fabry (ou de Mousnier) dans le cas du cercle oscillant ainsi que dans celui des corps n'est pas bien clair. Comparez la remarque de Mersenne à la p. 446 qui suit. 11 est évident que s'il était parti de la définition générale donnée dans le texte et s'il avait réussi à faire un calcul correél, il aurait dû trouver dans tous les cas un centre de percussion identique avec le centre d'oscillation de Huygens. ■'^) J. L. Lagrangedans le passage cité dans la note i de la p. 44: dit: „les géomètres continuèrent a supposer tacitement que le centre de percussion était le même que celui d'oscillation et Huy- ghens fut le premier qui envisagea ce dernier centre sous son vrai point de vue; aussi crut-il devoir regarder ce problème comme entièrement neuf, etc.". On a vu que, du moins jusqu' à 1670, Roberval n'était pas convaincu de l'identité des deux centres; compare? la note 2 de la p. 35; du T. XVL 44^ AVERTISSEMENT. s'il n'était pas tombé lui-même — rien ne l'indique — fur la formule générale pour le centre de percuffion, croyait du moins — après avoir vu la formule de Huygens pour le centre d'oicillation — à la pollibilité de trouver pour le centre de percuffion une formule identique, de forte qu'il Ibupçonnaic que Huygens avait en réalité établi fa formule pour le centre de percuffion et que , conllatant expérimentalement , comme Merfenne et d'autres, que dans quelques cas ce centre coïncide, abfolument ou à peu près, avec le centre d'ofcillation, il avait enfuite adroitement choifi certaines hypothèfes douteulés afin d'arriver ainfi à une formule du centre d'ofcillation identi- que avec celle du centre de percuffion. Dans les calculs de 1 664 (T. XVI) il n'y a abiblument rien qui pourrait faire naître l'hypothcfc que Huygens aurait trouvé une formule générale pour le centre de per- cuffion avant de trouver une fonnule identique pour le centre d'ofcillation. C'eft exclufivement fa remarque dans le livre de Fabry qui fait voir que dès 1664 il a eu, paraît-il, la conviélion bien arrêtée de l'identité des deux centres. 11 ell impoflible de favoir fi cette remarque, qui iemble impliquer la connaiflance précife de la fituation du centre de percuffion, date d'avant ou d'après le jour (proche du 10 oftobre 1664, voir la p. 462 du T. XVI) où il trouva la formule générale du centre d'ofcillation. A propos de cette remarque de Huygens nous ajoutons encore l'obfervationhiilo- rique que dès 1647 Merfenne (Nov. Obs. phys. math. T. III, p. 1 19) dit „autorem appendicis Phyficomathicje [fie] de centro percuffionis [c.à.d. Fabry, ou Moufnier], in ifto centro reperiendo à prop. 17 & deinceps [c.à.d. à partir de la propofition où ils commencent à confidérer les furfaces ofcillant dam leur plan'] aberrafix; hoc efl: cùm ad lîBuam & dextram corpora vibrantur, eo tefle qui folus ratione vibrationes iflas definiuit"; à la p. 1 18 il a nommé Roberval, cependant nous n'oferions dire s'il parle ici de lui ou, ce qui femble plus probable, de Defcartes: comparez les p. 352—353 du T. XVI ■). ') En janvier 1647 Mersenne écrivait au père Constantijn à propos du livre de Fabry et de Mous- iiier (T. I, p. 59) que celui-ci pourrait „servir d'exercice a vostre braue géomètre pour long temps". Nous avons dit (T. XVI, p. 178, note 9) à propos de ce même livre que „Fabry a bien les mêmes droits que Descartes à être cité parmi les précurseurs de Huygens dans la science si difficile de la percussion des corps". Nous saisissons cette occasion pour remarquer que c'est encore ce même livre, et non pas les „Dialogi physici" de 1669 de Fabry, qui aurait dû être cité dans la note 6 de la p. 143 du T. III; et nous pouvons ajouter qu'il est quelque peu étrange qu'en 1660 (T. XV, p. 467)dans sa „Brevis Assertio Systematis Saturnii" Huygens parle de AVERTISSEMENT. 447 Dans l'objeftion de Roberval on peut donc dillinguer deux éléments de valeur différente. Il Ce trompe en confidérant les fondements du calcul de la Fars Quarta comme douteux aux yeux de Iluygcns lui-même. Mais il ne dit point d'abfurdité en émettant rhypothcfe que I luygcns a trouvé la formule générale pour le centre de percullion d'abord. Nous ne pouvons même atlirmcr certaineniL-nt quelqu'impro- bable que la choie nous paraiife - qu'il n'en a pas été ainli ^). Les autres objeftions de Roberval ont peu de valeur et portent à croire — voir notamment la i lième objeélion, où il compare entre elles des grandeurs incompara- bles — que la perte de Ton Traité de Mécanique n'a pas eu de conféquences fort fâcheufes pour le développement de cette fcience. Nous renvoyons pour cesobjeétions aux notes des p. 451 — 456 qui liiivcnt. Il cil jufk' d'ajouter que très probablement les objeftions n'ont pas été faites en latin: nous ne les pofTédons, paraît-il, que dans la forme que Muygens leur a donnée. Fabry comme d'im auteur à peu prés inconnu de lui „quem ferunt alicujus nominis esse". Il est vrai que dans le livre de Mousnieril n'y a des notes marginales de Huygensque dans r„Ap- pendix phys. math, de centro percussionis" exclusivement et que celles-ci datent d'après 1660, mais ceci ne justifie pas l'expression de Huygens, puisque la composition du Traité „De Motu Corporum ex Percussione" a eu lieu avant ce temps. °) Les manuscrits de Huygens, nous l'avons dit, ne contiennent rien du tout sur le centre de percussion. On peut voir dans le T. XVI comment le calcul du centre d'oscillation dans un grand nombre de cas particuliers, l'a conduit ensuite à l'établissement de la formule générale. OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DÉMONSTRATIONS DE L'AUTEUR DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM" ET RÉPONSES DE HUYGENS. 57 RESPONSA Al) 0B)liCTIONRS ROBERVAI.LII CONTRA DEMONSTRATIONES NOSTRAS DE MOTU PENDULORUM '). §1.1. Ad primum poftulatum -). Multa hic œquivoca; et hoc ex prscipuis. Soltitane fint ah invicem pondéra^ an invicem allegata. R. Cum gcncraliccr proponaturpolhilatumîequedefolutisacalligatisaccipiendum eft, nec proindc asquivocum dici potcl!:. 2. An foluta agant per re&as parallelas^ an per convergentes an per divergentes^ an convergant vel divergent ah codeni piiiictn an a diverfis. Pondéra qiiKvis dcfcendere coiiari ponimus per reclas parallelas ad horizontis planum perpendicularcs, quia alias centri gravitatis conlideratio nullaelPj. acfingu- lonim centra gravitatis tantum afcendiffe vel deicendifle quantum a piano quodam horizontali dillantiam mutarint. 3. Ohj. An motus fiât in aère an in quodam alio corpore liquida. R. Cum abfque hac diltinclione proponatur Poftulatum, apparet univerfaliter accipiendum nec referre in quo medio fiât motus. 4. Obj. An remota intelligantiu" omnia corporum impedimenta, tanquam fi motus in vacuo fieret, ut in tertio poilulato poftea fieri vult. R. Hoc etiam perinde eft quantum ad lioc poftulatum an remota intelligantur impedimenta an non. quod fi non remota intelligantur, tune eo facilius quoque poftulatum concedi débet. ■) P. 266 — 274 du Manuscrit D. I,a p. 264 porte la date du 27 mai 167 1 et la p. ^77 celle du 18 juillet 1671. Nous avons numéroté les Ohiections et divisé la Pièce en trois §§. -) Il s'agit de l'Hypothèse I de la Pars Quarta (voir la p. 247 qui précède). '^) Roberval ne l'ignorait nullement: dans la lettre du 16 août 1636 d'Etienne Pascal et Roberval à Fermât („Oeuvres de Fermât, puhl. p. 1. soins de P. Tannery et Ch. Henry". T. II Corres- pondance p. 35) on lit: „Ce centre [de la pesanteur] n'a été démontré que quand la descente des poids se fait par des lignes parallèles". On peut consulter aussi les Manuscrits conservés à la Bibl. Nationale à Paris et intitulés „Proposition de Monsr de Roberval qui sert à trouver le centre de gravité" et „Theorema lemmaticum ad invenienda centra gravitatis mire inserviens a D. D. Roberval anno 1645". 452 OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DEMONSTRATIONS DE L AUTEIH ETC. 5. Si defcenderint qua vi rurfus afcendant et quousque, prœcipuè in vacuo, in quo cur motus defineret. R. Qua vi afcendant corpora ') non ert hujus loci quœrere. Quod autem dubi- tare Wdetur an non in vacuo altius afcenfura (int corpora et cum ipfis centrum gravi- tatis commune, quam unde delcenderat, ad hoc dico vacuum ita poni ut maneat tamen gravitatis aftio, ac tantum tollatur refiftentia illa aeris manifefta quam fentimus. Videmus jam nunc reiîilentiam aeris gravitate corporum ita vinci, ut vix quicquam officiât corum motibus. Videmus etiam arte aerem iftum ita eliminari poffe antlia pneu- matica, ut plunije niliilo tardius quam plumbum décidant, manentc ut apparet gravi- tatis aftione. Itaquc et ipatium ejufmodi inane concipere licet et motus qui illic fient quam proxime eodem modo fe fiabebunt atque ij qui in aère nollro. Manente autem gravitatis attione corporum afcenlum definitum eiTe ex traftatu fuperiore de defcenfu gra\àum *) liquet. 6. Obj. Hcec et plura cum compleftatur portulatum nimis diftinguendum effet prius- quam illi quis affentiatur. R. Nifiil dillinguendum ied generaliter accipiendum poftulatum. Si vero cafus adferantur quibus concefTu difficile vidcatur, ijs rcfponderi facile pofTe exilfimo, ficut jam faftum efl 3). 7. Ad fecundum. Cum materialiter verum fit pollulatum non tamen apparet illud ex primo fequi. Quod fi inde fequeretur non jam effet poflulatum, certè legitimum, fed propofitio demonftranda. rVon ell hoc fecundum polhilatum fed confequentia c primo dedufta ex quo cum clariffime pateat,non opus eil ulteriore demonftratione. Credo tamen pofle omitti hanc confequentiam vel fi retinenda, oportet fcribere. Pendulum quiefcens non cœp- tumm moveri fi linea centri et linea perpendiculi in unum conveniant *). 8. Adtertium '). Videndus prmum Galileus qiiem citât pro pendulo fîmpUci. Hic enim atithor a multis non recipitw nec nos aitthorem fed rationes: aiithomperpendimm. Non cito Galileum fed propofitionem meam ex traétatu pra^cedente de defcenfu ') Voir sur la „vis motus" de Huygens le troisième alinéa de la p. i-j6 du T. XVI. ") Huygens avait donc montré à Roherval, et peut-être à d'autres académiciens, outre les hypo- thèses et quelques (?) propositions de la Pars Quarta, le début de la Pars Secunda. 5) Il y avait donc probablement eu une discussion orale sur ce sujet. *) Nous ignorons la forme primitive de la deuxième hypothèse; elle fut d'ailleurs entièrement supprimée. Comparez la fin du § 3 qui suit. 5) II s'agit de l'Hypoch. II de la Pars Quarta. OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DÉMONSTRATIONS DE l'aUTEUR ETC. 453 gravium *). Quod fi principium aliquod in hac de motu traClatione quod mihi cum Galilée commune e(l, velu t quod corpora femcl moca moveri perganc eadem per- pétue celericatc fi nihil aliunde ijs occurrac quod mocum defiruat"), Il hoc inquani non admittat jam non habco quod dicam contra negantcm principia ni(i hoc idem à Torriccllo Cartcfio ") multilque alijs ilatui, vulgoque ab omnibus concedi. Princi- piorum vcro ratio dari non Iblct, fcd in gcometria evidentia ciïe oportct in phvficis experientiîe con vcnientia. Toile mihi omnia impendimenta et videbis an non duraturus fit corporis motus '*). 9. Obj. Pro pcndulo compofito frullra experientiam libi favere contendit, quœ con- tra ipfi ubique refragatur. R. Non magis in pcndulo compolîto quam in fimplici experientia refragatur. De fimplici autem demonflratum cil ut dixi, remotis impedimentis, femiofcillationes ejus squales edc, itaque merito idem in compofito cventurum fl:atuimus'}. 10. Obj. Fruftra etiam aercm (blum aut talc aliquod corpus accufat, quandoquidem ipfis remotis, pendulum, naturà ipia, motum fuum fenllm amittere potelL R. Cum in aère ipfo agitatum pendulum diutifllme motum rèciprocum continuet, poiïet vel hic fi.ipponi cujufquc olcillationis femiarcus sequales e(re,cuminfenfibiliter différant. Minus autem diffcrunt remoto aère ut in vacuo Torricelli feu Boiliano. unde tanto mclius tune ponitur eorundem arcuura aequalitas. Nec tamen negare opus fuerit efle aliquid aliud prêter aerem quod lènfim penduli motum extinfturum fit '°), cum fiifficiatiditainlenfilibusdecrementis eumconfi.imere ut in cujufque vibrationis femi- arcubus fenlibilis non fit difFerentia. I I. Obj. Si cnim non amitteret, fed motus ille ex fe non periret quîero cur ultra non progrederetur pendulum, cujus inipetus in ima partcluimotusmultomajorfueritquam ejufdem penduli pondus "), quodque fi ibi in globum libère jacentem in horizonte perfefte levigato incurriflet, motum diu et longe duraturum ipfi communicaffet , atque ex eorum fententia ^) perpetuum. *) Huygens parle en effet, comme on le voit à la p. 25 1 , de sa Prop. IX de la Pars Secunda. '') Comparez le dernier alinéa de la p. 105 du T. XVI. ') Nous ignorons si Roberval a jamais écrit ailleurs qu'il n'admettait pas le «principe de Galilée". Maissi pour toute vitesse il faut une force (note 1 1) il est sans doute logique de ne pas admettre ce principe. ') Comparez le deuxième alinéa de la p. 38 qui précède. '°) Voir l'observation 6 à la p. 314 du T. XVII. Huygens songe évidemment à la résistance d'une matière autre que l'air, non pas à une extinction naturelle du mouvement. "') Ceci est évidemment une erreur capitale. Dans les «Observations sur la Composition des Mouvemens, et sur le Moyen de trouver les 454 OBJFXTIONS DE ROBERVAL CONTRE LE5 DÉMONSTRATIONS DE L AUTEUR ETC. R. Cum cain projerta in altum ad perpendiciilum , quam alcendentia per planum inclinatum, aiit per arciim circuli ut pendilla, non ultra certum tcrminumafcendant, ex tradatu (iiperiorc de deicenlli gravium nianifclhim ell. Quid libi velit vero objccHo- num author cum inipetum corporis, vel celeritatcm ut poilea '), gravitate majorem dicic et quam bene hœc inter le comparentur in fequentibus difcutiemus -). 12. Obj. Sedct quod nuilti non animadvcrtunt axis penduli, dum ipliim fullinet, gradus velocitatis illius fenfim et continué fuffuratur, quod impedimentum quia per le fenipcr pendulum concomitatur, tolli aut removeri non poteil, unde fit ut ipfius penduli curfus et recurlus numquam fint tequalcs, contra poftulatum. quod proinde fit invalidum ctiam reraoto aeris aut alio quovis manifedo impedimento. Axis enim femper aderit fine quo pendulum non datur. R. Impedimentum ab axe proveniens cogitatione tollitur ^que ac in libra. Nam in hac quoque ii non amoveatur impedimentum axis, fiet ut brachijs œqualibus ins- qualia pondéra fuftinentibus tamen fiât squilibriima. Sed et reipfa feu materialiter ita tollitur impedimentum illud tam in pendulo quam in libra, ut femiarcus unius ofcilla- tionis quantum ad (enllim -cvquales inveniantur. Itaque omnino jufhim eCi: poftulatum ac nequaquam invalidum. Nam fi pendulum non datur fine axe, etiam libra fine axe non datur, fed utrilque mathematicè, feu, ut vocant, in abllratto confideratis, axis ille nullum adfcrt impedimentum. 1 3. Obj. Hoc autem corruente poflulato corruunt authoris demonilrationes, etiamfi propofitiones forfan vers fint, fed alijs phyficis innixœ fundamentis ■>). Touchantes des Lignes courbes" (ouvrage de Roberval, publié en 1693 à Paris dans les ,,Di- vers Ouvrages de Math, et de Phys. par MM. de l'Ac. R. des Sciences") nous lisons (p. 6ç'): j.Puissance est une force mouvante. Impression est l'aftion de cette puissance. . . , Nous avons défini la puissance en tant qu'elle nous peut servir considérant les diversitez des mouvemens, ce qui n'empesche que dans d'autres spéculations, nous n'entendions par le mot de puissance une force capable de soustenir un poids ou de quelque autre elTet". Iciil ne songe pas, croyons- nous, à assimiler un „impetus" à un poids, comme il le fait dans la i lième objection. Rappelons que Roberval est péripatéticien en ce sens qu'il admet que là où il y a une vitesse (constante p.e.) il y a une force (ou «puissance") dans le sens de cette vitesse. À la même p. 69 de l'édition citée il écrit: „La direelion d'une puissance mouvant un mobile, lequel par snn mouvement décrit une circonférence de cercle, est la ligne perpendiculaire à l'extrémité du diamètre, au bout duquel le mobile se trouve". ') Nous ne trouvons pas d'objeftion faite plus tard, où Roberval ait parlé d'une t'//«j?supérieure à un pofiis. ') Nous ne trouvons pas de traces de la discussion générale annoncée ici , si ce n'est dans le § 3 qui suit. OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DÉMONSTRATIONS DE LAUTEUR ETC. 455 II. Sed Ihnce hoc pulhila:o, iicuc jam ollenlum cil, Ihinc quoqiic authoris demonllrationcs; nam contra illas iiihil adfcrtur niCi Icvia qua^dani qiiibiis facile polka rerpondebicur. Nel'cio aiiccni qui piitcc propolitiomim noilruriim dcmonilrationes légitimas ex alijs tbrihn phylicis priiicipijs dcdiici polie, cuiii impedimentuiii axis ne- ceirarioconliderandiimputet,quodinipedimentummajus vel minus elt prout axis alFaher lubtiliterquc au: lecus elaboratus ell, oleo inunftus vel recus-t). 14. Obj. Itaqiie apparet propolkiones ilias, liqu« verœ lint, non videmonllrationum inventas elle ac Habilitas; led illis experientia detcftis, demonllrationes bas quales- cunqiie elle affeftas. Flura dicemus ad prop. 4 '). R. Qua; hic dicit author objettionum non videtur refte perpendille. i\am primo cum dicat propolitiones nollras non elle vi demonllrationum inventas, voluit dicere \i principiorum vel hypotheliuni. Cum vero non neget ex polltis principijs eas rectè demonilratas, cur non horum \'i led experientia ') potius détectas \ult. Nempe ille ita argumentatur. Cum principia talfa llnt, non potuerunt propolkiones vera;eoruni opéra reperiri. Ergo aliunde. At melius lie coUegiffet. Propolkiones ver« funt,ecper conlequentiasnecellariasex polkis principijs demonllrata;, ergo et principia illa vera llmt "). § 2. Cum in iplb hoc acre videamus pendulorum arcus quos defcendendo ac afcen- dendoin unuolcillatione conficiunt inlenlibiliter dill'erre neque etiam impedimentum axis vel aliud quodquam, fi quid elt, impedire quo minus id ita fiât; Liceret, etiam non remoto aère, vel axis retardatione, hypothefi illa uti quœ dietos arcus sequales llatuit , quoniam in rébus phyficis hypotheles experientise convenientes lumere l'ulficit. 3) Voir sur les objections 13 et 14 l'Avertissement qui précède. Les mots „plura dicemus", de l'Obj. 14 peuvent se rapporter au discours de 1671 (?) de Roberval à l'Académie des Sciences que nous avons mentionné à la p. 443. ••) Il eût sans doute mieux valu supprimer la dernière partie („quod impedimentum vel secus") de cette phrase; la remarque est déplacée en cet endroit et fait plutôt partie de la ré- ponse à la isième Objedion où il est dit que r„impedimentum ab axe . . materialitertollitur", du moins à fort peu prés. 5) C.à.d. par l'expérience direde à la manière de Mersenne (voir aussi la note 3), car il est évident que les „posita principia" ont dii être empruntés à l'expérience. Huygensledit d'ailleurs claire- ment dans la réponse à la Bième Objeaion : dans la physique il faut „experientisconvenientia". Le § 2 qui suit fait bien \oir qu'il ne fait pas de distinction sous ce rapport entre la mécanique et la physique. «) Il faut pourtant observer qu'il est possible de choisir des hypothèses manifestement fausses telles que des conséquences véritables en découlent logiquement. Mais ce sont là des jeux d'esprit sur lesquels nous n'insisterons pas. 456 OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DÉMONSTRATIONS DE l'aUTEUR ETC. Remotis vero cogitatione impedimentis illis (quas etiam re ipfa fere penitus auferri pofTunt, nam aer quidem penitus ex daco vafe exhauricur manente eadem quœ fiierat gravitatis adione) canto tacilius jam eadem hypotheiis admittenda ert. Sedjamucdixi non nili ad pendulum conipofitum ipia opus eil, cum arcuum requalitas in pcndulo limplici demonllrata fît, in his quœ de defcenfu graviiim antea tradidimus.'). § 3. Il ell vray que peutcllre Tautheur des objeétions ne voudra pas admettre les demonilrations de cet autre traité, parce que je m'y l'ers de ce principe de Galilée (lequel pourtant Mr. des Cartes et bien d'autres ont fuivi depuis), fcavoir qu'un coi-pscontinueroit avec égale vitefTe le mouvement qu'il a conceu une fois eilant ollè tous obilacles de dehors. A quoy je n'ay rien a dire linon que ce principe me lemble, auiïi bien qu'a tous les autres qui l'ont fuivi, fort convenable a la nature et que l'ex- périence mefme, en tant qu'on a moyen de la faire, le confirme. Ne pouvant em- pefcher au refte que l'autheur des objeftions n'aye des opinions toutes différentes en ee qui regarde le mouuement, comme par ex. quand il compare la viteïïe des corps avec leur poids, et veut que cette viteffe puiffe eftre ou égale ou moindre ou plus grande que la pefanteur du corps, ce qui a mon avis ne fignifie rien, parce que ces deux chofes ne font pas homogènes pour élire comparées entre elles par la quantité '). Ainfi n'eflants pas d'accord entre nous des principes il feroit inutile de refpondre aux objeclions qui naiiïent de cette diverlîté, et tout ce que j'ay cru pouuoir faire c'efl de confirmer mes hypothefes par reclaircifTement que j'y ay adjouté dans lequel la refponfe aux autres objeftions qu'on y a faites efl: contenue. Ce que leur autheur nomme le fécond poilulat, eftoit feulement une confequence de la première hypo- thefe, laquelle confequence n'eflant pas neceïïaire au refte du traité on la peut omet- tre. Et par là ce qu'il appelle le 3« poilulat, c'eft la 2^ hypothefe 3). On n'a rien trouuè dans les deraonftrations qui ne foit légitimement déduit des [hypothefes]. ■) Comparez la note 9 de la p. 453. °) Comparez la note 1 1 de la p. 453. ^) Comparez la réponse à la 7ième Objeftion du § DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTRUVERSIA ULTERIOR. La „De Hiigeniana Ccntri Ofcillationis Determinatione Controverfia", telle qu'on la trouve dans les éditions de 's Gravefande de 1724 et 1751 — nous y ajoutons le mot „ultcrior", puiCqu'il s'agit en fomme d'une continuation de la difcuffion entamée par Roberval (objections 13 et 14) — Ce compole de douze Pièces qui ont toutes été publiées dans nos Tomes VIII et IX, favoir fix de Catelan, deux de Jacques Ber- noulli, mie du marquis du l'Hôpital et trois de Huygens'). Ces dernières Pièces, ') Ces Pièces sont les suivantes. Ce sont toutes des tradu(5tions, excepté la dixième, déjà écrite en latin. I. „Observationes Abbatis Catelani in propositionem,qusfundamentum est 4» partis traclatus de Pendulis Hugenii" (T. VIII, N° 2260, p. 353). 1681/16Ù2. II. Domini Abbatis Catelani Examen Mathematicum Centri Oscillationis (T. VIII, N°22(5i, p. 356)1681/1682. III. Excerpta ex litteris Domini Hugenii, quibus respondet observationi Abbatis Catelani in 4»" propositionem Traelatus de Centris Oscillationis (T. VIII, N° 2267, p. 368 J. 1682, IV. Exceptio Abbatis Catelani ad responsionem Hugenii (T. VIII, N° 2270, p. 372). 1682. V. Objectio Abbatis Catelani contra motum Pendulorum in Cycloidibus (T. VIII, N° 2280, p. 395). 1682/1683. VI. Responsio ad Objeftiones Hugenii adversus methodum Abbatis Catelani dedeterminando Centro Oscillationis (T. VIII, N° 2281 , p. 397). 1682/1683. VII. Excerpta ex litteris D. Bernoulli datis Basilea; ad Autorem Diarii Parisiensis, de Contro- versia, inter Abbatem Catelanum & Hugenium, de Centro Oscillationis (T. VIII, N" 2332, p. 485). 1684. VIII. Excerpta ex litteris D."' Hugenii ad Auclores Diarii Parisiensis, datis Hagse 8. Junii 1684. quse continent ejus responsionem ad exceptionem D."' Abbatis Catelani, de Centro Oscillatio- nis (T. VIII, N° 2341 , p. 497). 1684. IX. Responsio D."' Abbatis Catelani ad litteras D."' Bernoulli de Controversia sua cum D."" Hugenio de Centro Oscillationis (T. VIII, N° 2365, p. 537). 1684. X. Dn. Bernoulli Narratio Controversia; inter Dn. Hugenium & Abbatem Catelanum agitata? de Centro Oscillationis, qua; loco Animadversionis esse poterit in Responsionem Dn. Catelani (T. IX, N° 2426, p. 80). 1686. 58 458 DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONÏROVERSIA ULTERIOR. quoiqu'elles affcdenc la forme de lettres adreffees à un éditeur, ou de remarques l'ur une lettre de ce genre, font évidemment partie des Oeuvres proprement dites de I luygens. Nous pourrions donc, comme nous Tavons fait au T. XVI (p. 1 69 — i S6') pour r,,Extrait d'une lettre fur les règles du mouvement dans la rencontre des corps", réimprimer ici les trois pièces de 1 luygens, auxquelles il faudrait bien joindre les neuf autres ')etles pourvoir d'un averti(remcnt,de notes et d'appendices. Une treizième Pièce qu'il conviendrait d'y ajouter (pour ne rien dire des N°s 2259 et 2166 du T. VIII et 2580, 2581 , 2587, 2594, 259-, 2598, 2600, 2603 et 2604 du T. IX) eil le N° 2690 (T. X, p. I 1 4, J. B. „Demonflratio Centri Ofcillationis ex Natura Veclis, etc."), travail de Jacques Bernoulli publié dans les Aéta Eruditorum de juillet 1691. Une quatorzième et une quinzième, datant de 8 et 9 ans après la mort de Huygens, viendraient s'y joindre tout naturellement, favoir la „Démonlh"ation générale du centre de balancement ou d'ofcillation, tirée de la nature du levier" que Jacques Bernoulli publia en 1703 dans 1',,! liftoire de l'Académie des Sciences de Paris" et la „Démonftration du Principe de Mr. Huygens touchant le centre de balancement", de 1704 (Ilifl. de l'Ac. d. Se. de Paris) du même auteur. L'addition d'une feizième, favoir un chapitre du „Dilcours fur les Loixdela Communication du Mouvement" de 1727 de Jean Bernoulli — comparez la p. 466 qui fuit — "), ne l'erait nullement déplacée. Nous avons déjà parlé (p. 442) d'une fection de la „Mécanique analytique" de 1788 de Lagrange qui fe rattache à ces difputes. Au lieu de réimprimer les douze Pièces et celles que nous pourrions y ajouter, nous I XI. Litterœ D."' Marchionis de l'Hôpital ad D.""' Hugenium, in quibus contendit, se regulam hujus Aiuoris de Centro Oscillationis pendiili compositi demonstrare percausam physicam,& respondere simul D."" Bernoulli (T. IX, N° 2605, p. 457). 1690. XII. Observationes D."' Hugenii in litteras pra;cedentes & in relationem D."' Bernoulli, cujus in ils lit mentio (T. IX, N° 2606, p. 461). 1690. ') A l'exception peut-être du N° V, dont nous ne dirons rien ici. Cette Pièce se rapporte à la Prop. XXIV de la Pars Quarta de r„Hor. ose", mentionnée aussi dans la note i de notre Ap- pendice IV à cette Pars (p. 427 du présent Tome). Huygens y répond brièvement, et sans ap- profondir la question, à la p. 500 (dernier alinéa) du T. VIII. -) Publié à Paris, chez Cl. Jombert, d'après un manuscrit contenant la solution de la première question proposée par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences, pour l'année 1724, La question était: „Quelles sont les loix suivant lesquelles un corps parfaitement dur, mis en mou- vement, en meut un autre de même nature, soit en repos, soit en mouvement, qu'il rencontre, soit dans le vuide, soit dans le plein". L'auteur (p. i — 2) y entreprend de prouver „une vérité que M. de Leibnitz lui-même n'a jamais prouvée qu'indireftement;sçavoir, que la force vive d'un corps n'est pas proportionelle à sa simple vitesse, comme on l'a cri^ communément, mais au quarré de sa vitesse Cette théorie ouvre un chemin facile à plusieurs veritez impor- tantes. Elle a fourni à l'Auteur [e.a.] un moyen aisé de trouver le centre d'oscillation dans les Pendules composées". DR HUGRNIANA CRNTRI OSCII.LATIONIS DETERMINATIONF, CONTROVRRSIA ULTERIOR. 459 nous contenterons toutefois d'y renvoyer le Icfteur et de ne donner qu'un aperçu de la controverfe. Les mauvaifes objections de Catelan, auteur de peu de mérite 3\ ont conduit des Pavants de plus de valeur, et Huygens lui-même, à confidérer dans le cas des pendules linéaires le gain ou lu perte de vitcfTe des différents points pcfants qui réfultc de leur réunion en un tout, lorlqu'on les attache à une barre, ou à un fil, linéaire et impon- dérable. De cet aflemblagc chaque point pefant ntuéau-defTus du centre d'ofcillation (c mouvrait plus vite, et chaque point fitué au-delîbus de lui plus lentement, s'il était ll'ul attaché au point de lufpenfion. lin d'autres termes: la partie inférieure du pen- dule retarde le mouvement de la partie ilipérieurc, cette dernière avance celui de la partie inférieure. I\e ferait-il pas poffible de calculer la place du centre d'ofcillation en partant de la confidération de ces gains ou pertes de viteffe? Ne pourrait-on donc pas fe pafl'er de l'Hypothèie I de la Pars Quarta appliquée anx points pefants fe dé- tachant les uns des autres à un moment donné? Durant la vie de Huygens les chercheurs engagés dans cette voie • — c.à.d. Catelan, Jacques Bemoulli, de l'Hoipital et Huygens — fe font bornés à la confidération de pendules linéaires. Ce n'eft que vers I703''-) que Jacques Bemoulli réuflit à s'élever 3) Après Roberval, mort en 1675, il paraît — c'est Huygens lui-même qui nous l'apprend (T. VIII, p. 350) — que la métliode de la Pars Quarta n'a plus été critiquée avant l'entrée en scène de Catelan. Comme nous ignorons l'histoire antérieure de cet auteur, il nous est impossible de dire si Roberval a pu avoir sur lui quelqu'influence direrte ou indirecte. II est sans doute possible, vu la nature d'une partie des autres écrits de l'abbé — voir la note 3 de la p. 349 du T. VIII — que le désir d'attaquer Huygens provenait surtout de lui-même. Toutefois il parait plus probable que, ne connaissant pas Huygens personnellement, il ait été influencé par „quelque malintentionné envers Huygens", comme le dit la note 4 de la p. 350 du T. VIII. On eût pu tout aussi bien se servir du pluriel. Il nous semble du moins que notre ignorance des motifs de Catelan est trop profonde pour accuser uniquement, ou même peut- être pour accuser, N. Hartsoeker (voir, outre la note 4 nommée, la lettre N° 2265), d'autant plus que la mauvaise pratique des éditeurs d'Amsterdam se renouvela (note i de la p. 397 du T. VIII) et qu'il est dcinc incertain si Catelan dit vrai (T. VIII, p. 364) en alléguant de n'avoir pas su qu'on insérerait son premier article dans la contrefaçon d'Amsterdam du Journal des Sçavans. Ces questions personnelles seraient oiseuses si les objeftions de Catelan étaient moins insignifiantes et que par conséquent le désir d'attaquer Huygens s'y manifestait moins nettement. Outre les écrits de l'abbé nommés dans le T. VIII , le catalogue de la Bibliothèque Nationale à Paris mentionne encore le „Témoignage que rendent les mathématiques à la gloire du roi" (par l'abbé Catelan), Paris, F. Muguet, in 8°, 1681 ; les „Inscriptions en vers latins et françois pourlesbasreliefsdela statue du Roy (par l'abbé Catelan et par M'"' Catelan la cadette), in 4°, 1686; et l'ouvrage «Principe de la science générale des lignes courbes ou principaux élémens de la géométrie universelle" (par l'abbé Catelan), Paris, L. Roulland, in 12°, 1691. ^) Dans l'article mentionné à la p. 458. 460 DE HUGRNIANA CKNTRI OSCILLATIONIS DF.TERMINATIONK CONTROVERSIA ULTERIOR. à celle des corps ofcillants de forme quelconque. Durant la vie de Huygens THypo- thèfe I de la Pars Quarta cil donc reftce la feule qui permît de trouver la formule géné- rale pour le centre d'ofcillation. [F'g- =•] Dans fon article de 1 68 1 , Pièce I de la note i de la p. 457, Catclan confidèrc deux points pefants égaux ( ;;/, et ;«„ ) formant deux pendules (impies ayant O [Fig. 2] pour axe d'ofcillation. Ces points, réfléchis fans perte de vitellc par le plan OV, re- montent à la hauteur d'où ils font tombés; il en fera donc de même de leur centre de gravité com- mun. Mais il n'en fera plus de même, pen(e-t-il, lorfqu'on forme un pendule compofé en réuniffant les deux points pelants par un lien rigide et impondérable. Les vitciTes des deux points, arrivés dans la polition ;;/', m . feront alors proportionnelles à leurs diilances du point O; de plus, penfe-t-il, la viteffe moyenne fera la même que dans le cas précédent. On a donc deux équations permettant de calculer les vitefljes. Et fi l'on fuppofe qu'à l'inllant où le pendule compofé atteint le plan OV^, le lien fe rompt, et que les points réfléchis s'élèvent jufqu'à ce que leurs vitefl'es foient cpuifées, on peut calculer que le centre de gravité atteint une hauteur fupérieure à celle dont il était tombé. L'hypothèfe gratuite d'après laquelle la vitefl^e moyenne des deux poids, lorfqu'ils atteignent le plan OV, efl la même dans les deux cas confidérés, provient peut-être de ce que l'auteur fongeait à la confiance que le produit Zw v (donc aufli Hv pour des quantités de matières égales) pofl^'ède d'après Defcartes dans le cas de collifions de différents corps. Il eil vrai que iuivant Defcartes lui-même ce principe n'ell: nullement applicable dans le cas confidéré. Mais nous pouvons avec de l'Hofpital confidérer Catelan comme „abufant de la penfée de Mr. Des Cartes, que la niefme quantité de mouvement fe conferve toujours dans la nature". (T. IX, p. 402). Dans fa première réponfe de 1682 (Pièce III) Huygens fe borne à faire remarquer que l'expérience ne confirme pas tous les réfultats qu'on peut tirer de la théorie de l'abbé de Catelan. C'ell dans fa deuxième réponfe de 1684 léulement (Pièce VIII) qu'il obferve que le réfultat du calcul de Catelan efl: „contre le grand Principe des mechaniques", et il ajoute: „& fi Mr. l'Abbé peut faire en forte que [fon Principe] foit vray, il aura trouvé le mouvement perpétuel. Son Principe eilant donc faux puifqu'il meine à une faufl^e conclufion , il n'en peut rien inférer contre ma propofition qui ne foit faux auflî". Jacques Bernoulli, qui était déjà intervenu en 1684 dans le débat (Pièce VII) tâcha, fans beaucoup de fuccès, de précifer la quefl:ion des gains et pertes de vitefle (Pièce X de 1686). Il remarque que dans le cas de la Fig. 2 le pendule (danslapofi- DE HUOENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA ULTERIOR. 46 1 cion horizontale p.c.) peut être confidéré comme une balance qui n'eft pas en équi- libre et que les poids attachés au fléau impondérable doivent confumer une partie de leur vitefle „in prcmcndo axe". Les excès de vitedé, penfe-t-il, pourraient le diftri- buer iui\'ant une loi analogue à celle du levier. Il exhorte donc les l'avans „ut exami- nent, qualem legem communicationis celeritatum obfervent corpora mota, quœ ex una parte innituntur lîrmo fulcimcnto, ex altéra alio corpore itidem fed tardius moto". Penl^-t-il vraiment qu'il n'elt pas certain que le centre de gravité, dans les conditions du problème [Fig. 2], doit monter à une hauteur aufll grande que celle dont il eft defcendu? Il iemble bien qu'oui, car il propofe, provilbircmcnt il eft vrai, une Iblu- tion différant de celle de Catelan mais conduilant également, comme il le fait voir, pour les poids réfléchis à une hauteur du centre de gravité non égale à la hauteur primitive. Pour pouvoir Ibutenir la pofllbilité de folutions différant de celle de Huygenstout en niant celle du mouvement perpétuel , il a recours à l'argument fui vant : „ Antequam finiam, in favorem Dn. Crtelani hoc monebo, quod ctiamfi commune gravitatiscen- trum juxta illum altius aicendere debcret, quam delcendit, nondum tamen fequatur repcrtum fore motum perpetuum, ut fibi perfuadet 111. Hugenius, quoniam in iftis abffrahi (blet ab aëris rcfiftentia, a diminutionc celeritatis, qute neceffario fequitur difruptionem vinculi, quo conneftebantur partes pendulialiorumqueoblhculorum". Objeftion à laquelle Huygens répond avec beaucoup de fens (Pièce XII): „l\lr. Ber- noulli ne demeure pas d'accord de cette confequence, à caufe de l'obibcle de l'air et quelques autres, qui en empccheroicnt l'effet. Mais il devroit avoir confidéré, que la hauteur qu'acquiert le centre de gravité par deffus celle qu'il avoit, ellant toujours une quantité déterminée, & Tcffet des obftacles n'eftant pas déterminé, & (e pouvant diminuer de plus en plus, on pourroit facilement faire une machine, où l'avantage du rchauffement du centre de gravité furpafferoit l'empêchement des oblhcles. Mais c'eil de quoy alTurément on ne icra jamais obligé de venir à l'épreuve". Confultezauffi, à propos de la queffion du mouvement perpétuel, le Pièce de Huygens qui fuit fur la confervation des forces (p. 477), ainli que notre Avertiffe- ment fur ce fujet. Le marquis G. F. de l'Hofpital répondit en 1690 à l'appel de Jacques Ikrnoulli par une lettre (Pièce XI) où il approuve Ibn idée fondamentale et montre qu'il ne ferait pas, dans fa confidération d'une „balance" chargée de deux points pefants, arrivé à un réfultat erroné — car de l'Hofpital confidéré la fomuile de Huygens pour la longueur du pendule ifochrone comme certainement correcte — s'il avait parlé des accroifements infiniment petits des viteflTes, et non pas des vitefles acquifes après im temps fini. De l'Hofpital le fait voir en confidérant deux poids égaux. Il ajoute toutefois que le même raifonnement ell applicable au cas de deux poids inégaux; il 462 UF, HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA ULTERIOR. [F'g- 3-] faut confidérer alors des excès d'accroifTe- Tj ■p Al \ ^ Incntsdequantitésdemouvement.De^Hos- >4— ^i— — « jL-dJ . — . nital n raifon. comme le mnnrrp In mlrnl r--~ >— y pital a raifon, comme le montre le calcul M, V-'' fuivant. L^ Les points pelants A et B [Fig. 3] acquiè- rent pendant un temps infiniment petit de durée déterminée les quantités de mouvement infiniment petites /// ^t- et ;//^,i' refpec- tivement, lorfqu'ils ne font pas réunis Fun à l'autre. Lorfqu'ils le font, le poids A n'acquiert que la quantité de mouvement w^u^, où t.'^ cil inconnue. L'excès qui doit être diftribué fur le poids B et fur l'axe O, eft donc ;// . (v — ■:• ). /, B en obtiendra la part j- m^ (y — -:• ) s'il eft vrai que les excès fe diaribuent fuivant la loi du levier. B aura donc la quantité de mouvement / Or, en vertu de la liaifon f. : t,- = /. : L. A b Ad t'afnl ^ ml On a donc z\ = L-c ^ et z- = Lv ^^ ab'"^- ab'"^^ Le centre d'ofcillation P, fituéàunediftancc L,^^Ac l'axe O, doit être tel qu'en ce point la barre impondérable acquiert précifément la vitelTe v. II faut donc qu'on aitt;^:.- = /^:/.^3. Donc Z, ^ p = '^ ou ' ; M y rcpréfente la fomme des quantités de ma- tière w^ et 7;;^, et l^ la difliance à l'axe de leur centre de gravité. S'il y a trois points pelants A, B et C, il faut, dit de l'Hofpital, confidérer deux d'entre eux comme réunis dans leur centre d'ofcillation. L'exemple numérique qu'il propofe fait voir que cette règle doit être entendue comme fuit. Le poids C donne un excès de quantité de mouvement w^ (y — v^. Il faut, pour calculer c^., dillribuer cet excès fur l'axe O et fur le point P, centre d'ofcillation des points A et B. Le centre P reçoit donc la quantité j^^- m^, (y — tO et lorfqu'on ^ab DE HUGENIANA CENÏRl OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA UI.TERIOR. 463 ajoute cette quantité à celle que les points A et li pofTédaicnt déjà d'après le calcul V précédent (c.à.d. 7//^^'j^ + 1n^^J^^ ou j^ Z w//), on obtient la quantité totale V 'Ali Ali ^C 7 Z 7)il + , ' w; (y — D,.) Ali /,, ^C et Les points A et B ont maintenant, grâce à la liaifon, les viteffes t;^ = y-f., refpeétivcmenc. On a donc l'équation m ^^ A>v^ + ni^ fv^, = -^ x ml+~ w (t; — v J) ou fj. ""'a^a + "'b^b ^ 'Vc" ^c On en peut tirer u^, = /„î; 'AB_ Z ABC Vc _^ AB ml 'AB Z AB ABC ml AB /«/ ABC ;/;/- , d'où réfultent aufli les viteffes c. etc' . A Ji On en conclut , en raifonnant comme dans le cas de la Fig. 2, que -^i nr ~ ^ ABC ml- ml ABC Et l'on obtient une formule analogue — c'efl: toujours la fomiule générale de Huygens pour le cas des pendules linéaires — en ajoutant encore un quatrième poids, etc. De l'Hofpital dit donc à bon droit „que cette méthode eftgenerale, quel que Ibit le nombre des poids, & quelque inégalité qu'ils ayent entre eux". Mais quel leéteur, de nos jours, confidérera ce raifonnement comme convaincant? Quelle raifon de THofpital peut-il avoir eue de croire à la juikffe du réfultat ob- tenu, fi ce n'efl: que ce réfultat s'accorde avec celui trouvé fuivant la méthode de Huygens? C'efi: cette concordance feule qui lui permet de dire: „I1 eft aiié de con- clurre de tout cecy, que le principe de Mr. Bemoulli eft \-eritable". Conlldéré en lui-môme ce principe, tel que de l'Hofpital le formule, ell fi peu évident qu'avant d'avoir fait le calcul on le jugerait plutôt erroné. Huygens dans fes „remarques fur la lettre précédente & lur le récit de iMr. Uer- noulli dont on y fait mention" (Pièce XII, de 1 690) a la politeffe de ne point attirer l'attention lur la plus grande généralité de fa propre iblution. Quoi que la démon- (Iration du marquis, dit-il, „ne laiffe pas de comprendre plufieurschofes qui peuvent 464 DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROYERSIA ULTERIOR. d'abord faire de la peine aux Lecteurs", il l'appelle „bonne & bien fondée". Il rap- pelle cependant Ton principe et fe contente de dire: „Je croy que c'eilatitafUcn cela que coniille la caule phyliquc, de ce que dans le pendule compofé les poids A & B eftant defcendus conjointement au bas de leur vibration, n'acquièrent pas enlemble autant de viteïïe, que s'ils eftoient tombez feparément des mêmes hauteurs; qu'en ce que le poids A confume une partie de fon mouvement en agiffant fur le point fixe, iuivant la demonllration de Mr. iiernoulli & de Mr. le Marquis de l'Ilolpital". „Cette analyfe", dit Lagrange'), „fit revenir Jacques Bernoulli fur la fienne,et donna enfin lieu h la première iblution directe et rigoureufe du problème des centres d'ofcillation". La folution de Huygens n'était-elle donc pas directe et rigoureufe? Bcrnoulli d'ailleurs, lorfqu'il recommença fes efforts, fuivit d'abord une méthode fort inférieure à celle de I luygens, et nullement plus parfaite que celle de l'I lofpital. C'efl: fans doute pour cette raifon que Huygens n'a plus jugé nécelTaire de prendre part à la difcuffion. Dans les Afta Eruditorum de 1691 (notre T. X, p. 214) Bernoulli propofe de diflribuer, lorfqu'il y a plus de deux points pefants, l'excès de l'accroifTement de la quantité de mouvement de chaque point entre l'axe et le poids extrême! -). Ce fin- gulier principe conduit encore une fois au réfultat exaft — pour une férié de points fitucs en ligne droite bien entendu — mais c'elt uniquement le fuccès, nous femble- t-il, qui le julHfie dans une certaine mefure. Confidérons un pendule [Fig. 4] chargé de [t'ig- 4-] quatre poids w .^, Wg, w/^, w/j-,. 7) C 3 A{mA) O ^^^^ s l'accélération de la pefanteur,; ^,yjj, ' ■ ' i--û--'-' Jc-^D ^^^ accélérations que les quatre poids ont A réellement en partant du repos dans la fituation indiquée. Par unité de temps le point A doit céder l'excès ?;7^(g — 7'^). Suivant l'hypothèfe T le poids extrême D en reçoit la quantité w^ -.- (g — j^). *'T\ g l . Ce poids reçoit donc en tout la quantité f Z ml — y Z mlj\ et cet accrois- ^D ABC 'd abc ') Dans la section de la «Mécanique analytique" de 1788 , citée à la p. 458 qui précède. =)„... malo rem invertere, & pondus duntaxat extimum habere loco fulcri, quod ferat reliqiia pondéra omnia suis qusque locis vedem urgentia". DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA ULTERIOR. 465 iemenc de quantité de mouvement par unité de temps doit être égal à l'accroificment Wjj (y^ — g). Egalant ces deux exprcflions , on trouve ^ ml (g — j") = o. Cette équation exprime que la fommc des moments des excès des accroiflements des quantités de mouvement (dilbns plus brièvement: la fommc des moments des excès des forces) autour du point O cil nulle; mais une équation ou un énoncé de ce genre ne fe trouve pas encore dans l'article de IkrnouUi. En vertu de la liaifon,/ doit être proportionnelle à /. Donc/ = Cl, où C eft une confiante. L'équation trouvée devient HvmlÇg — C7) = o, donc C = g y-yi- Mais la diftance L du centre d'ofcillation à Taxe doit être telle qu'on ait g = Cl. 11 en réfulcc encore une fois L = ^ , . L'auteur a abfolument tort , nous femble-t-il, en ajoutant : „I Ia;c vero ccntri ofcil- lationis demonlb-atio lie rcfomiata, uti generalis ell et tacilis, inque Geomecrica exaCtitudine Hugcnianœ neuciquam cedit, lie eidem in et) pra^ferenda videtur, qu(jd principium vectis, quo nititur, indubitatum eil ac evidens, cum Hugeniana hypothefis obfcura fere (it, nec aliam ob caufam pro vera habeatur, quam quod nihil in contra- rium aflerri potert, intellige in folidis corporibus" 5). Leibniz en janvier 1692 (T. X, p. 229) dit à bon droit que „Mr. BernouUi a des penfées un peu embaradees fur le centre d'ofcillation". |-pig, 5.-] ^,^ Ce n'ell que dans Ion article de 1703, déjà cité à la p. 458 qui précède, que Jacques Bernoulli parvint à fonnuler gé- néralement le principe qui ramène, en un certain fens, le problème confidéré à un problème de ftatique, préparant ainfi la voie à d'Alembert. Suivant ce principe I ;/;/ (g cos ^ — y) = o [Fig. 5], oii la fomme ou intégrale des moments ell étendueàtousles points du pendule. Nous délignons par j l'accélération réelle dans le fens du mouvement. Quoique Bernoulli n'applique ce principe qu'au cas d'un pendule de forme fymétrique, on doit dire 3) L'auteur exprime ensuite son doute sur la vérité du principe dans le cas des corps liquides. Il pense — comme son frère Jean — qu'à l'aide de corps liquides on peut construire un „per- petuum mobile". 59 466 DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTRO VERSIA ULTERIOR. qu'il a trouvé cette fois une méthode menant ù la iblution complète et qu'on peut juger équivalente à celle de Huygens. INIais en nous étendant fur cette matière, nous franchirions les limites qui conviennent à cette publication. Le ledeur a déjà fait connaifTance avec les réflexions de Huygens de 1 692 ou 1 693 qui conlHtuent notre Appendice VI à la Pars Quarta de r„Hor. ofc." (p. 433 qui précède). Dans cette Pièce qui n'a pas vu le jour, les „vires acquiiitîe", proportion- nelles au carré de la vitelle, jouent un plus grand rôle que dans la Pars Quarta. Dans le Chap. XIV de fon travail de 1727 (voir la note 2 de la p. 458 qui précède) — ce n'était d'ailleurs pas la première fois qu'il s'occupait de ce lujet — Jean Ber- noulli trouve la place du centre d'ofcillation — en fe bomant an cas du pendule liné- aire, ce qui n'était nullement néceflaire — en partant du principe que „la pefanteur produit dans la fomme des poids une quantité déterminée de force vive, de quelque manière qu'ils defcendent", en d'autres termes „que la fomme des forces vives des poids ert le même après que les poids font defcendus aufll bas qu'ils le peuvent, foit que ces poids defcendent conjointement attachés à une même ligne inflexible [difons plus généralement: foit que ces poids, ou points pefants, foient réunis en un aflem- blage rigide], Ibit que chacun de ces poids defcende librement, comme un pendule fimple". Ceci peut aifément être déduit du principe de Huygens et n'efl: en fomme qu'une autre manière d'exprimer ce principe. Jean BernouUi nous paraît avoir tort en difant „quc le principe qu'employé M. Huygens, & qu'il propofe comme un axiome, étoit un peu trop hardi", mais qu'on ne fe fert nullement de „principes qui ne paraiflent pas toujours aiï'ez naturels" lorlqu'on „déduit de la feule confervation des forces vives, la détermination du centre d'ofcillation". LA CONSERVATION DES FORCES. I. Le „perpetuum mobile" du Marquis de Worcester. II. La non-existence du mouvement perpétuel suivant Stevin. III. La conservation des forces suivant Huygens. Avcrtiffement. Huygens formule clairement la théorie de la confervation des forces dans la Pièce III (p. 477) datant de février 1693. D'ailleurs il avait déjà dit en 1690 (T. IX, p. 456): „Ia loy efl: que les corps gardent la force qui faffe monter leur centre commun de gravité à la hauteur d'où il efl: defcendu". Dans ce dernier énoncé il eft apparem- ment quertion de la „vis motus" ou „force vive", lur laquelle on peut confulter les p. 341 , 359, 376 et 41- du T. XVI. Dans la Pièce III le iens de rexprcffion „vis" ou „vires" efl: un peu plus général: elle défigne la „potentia", quelle qu'elle foit, capable d'élever un poids donné à une hauteur déterminée. Chez Defcartes (T. XVI, p. 342) on trouve le mot „force" dans le même fens. Il faut donc une force déterminée pour élever un poids donné à une hauteur déter- minée. Comparez le § 7 (datant de 1 673 , ou 1 674) de la p. 493 qui fuit. L'élévation du poids el^ r„efre(ftus" de la force. Huygens ne donne pas le nom de force à r„alti- tudo duéta in gravitatem", c.à.d. au produit de la hauteur par le poids (T. XVI, p. 358, note 5 et p. 417) lequel mefure la force qui a produit l'élévation. Cependant, on peut dire que chez lui, quoiqu'il n'emploie pas cette expreiTion (T. XVI, p. 341, notes 4 et 5), la force, lorfqu'elle élève le poids, fc conferve potentiellement. En effet, le verbe „gardent" (1. 3 qui précède) indique que la force qu'un corps acquerra en defcendant peut plus ou moins être conlidérée comme déjà exiilante. Dans la lettre de juillet 1690 (T. X, p. 439) Huygens n'accorde pas à de l'Hos- pital que Ton hypothèfe fur le centre de gravité „ne foit pas affez fimple ni affez evi- 47° AVERTISSEMENT. dente pour être fuppofée fans preuve '). Je n'en fcay pas (dit-il) de plus certaine en mécanique". La raifon de cette certitude, c'eft que, fi cette hypothèfe était faufie, le mouvement perpétuel ferait podible "). Ceci conduit naturellement à pofer la quefton de favoir jufqu'à quel point la non- exillence du mouvement perpétuel — ■ on peut aufli parler avec P. Duhem ^) de la non-exiilence des moteurs perpétuels, car il ne s'agit pas ici d'un mouvement pério- dique qui fubfillerait grâce à l'abfence abfolue de tout frottement, mais bien plutôt d'un mouvement périodique produifant un certain travail — était pour Huygens une certitude. Il paraît poflible que, s'il dit, môme après la controverfe avec Jacques BernouUi et de l'Hofpital (plus précifément : en janvier 1 693, dans une lettre à Leibniz) — com- parez la note 7 de la p. 243 du T. XVII — , qu'il y a „touf jours quelque efperance" de réalifer le mouvement perpétuel „phyfico-mechanice . . . comme en emploiant la pierre d'aimant", c'efl: qu'il penfe qu'on pourrait peut-être fe fervir utilement des courants de matière magnétique*) qui circulent partout. Le fyftcme confidéré ne ferait donc pas im fyftemc fermé. IMais n'infiftons pas trop fur cette idée: on pourrait objecter que dans ce cas il aurait dû enviiager également la podlbilitc d'utilifer dans le même but les courants de matière fubtile (cartéfienne) qui, félon lui, produifent îa pefanteur '). Quoi qu'il en foit, dans le cas de la pefanteur Huygens n'admet aucunement la pofllbilité d'un moteur perpétuel: comparez ce qu'il dit à la p. 25 1 qui précède fur les „novoriim operum machinatores, qui motum perpetuum irrito conatu moliuntur". Comme nous l'avons dit à la p. 45, en compofant r„Horologium ofcillatorium", il parlait et fentait apparemment en phénoménologue bien plus qu'en partiian des théories corpufculaires. ') Lagrange, à l'endroit cité plus haut (p. 443, note i), parle au contraire d'un „principe pré- caire" qu'„il restait toujours à démontrer pour le mettre hors de toute atteinte". -) Comparez la p. 46 1 qui précède. 5) P. Duhem„Les Origines de la Statique" (Paris, A. Hermann, 1905), I,p. 52: „La recherche du mouvement perpétuel est le nom générique par lequel on désigne deux utopies distinctes, la recherche du perpétuel moteur et la recherche du perpétuel mobile". •t) T. XVII, p. 270. 5) Voir la note 5 de la p. 45. AVERTISSEMENT. 4-7 1 Notre Pièce II, de 1676, reproduit la célèbre dèmonftration de 1586 de Scevin quipartderhypothèredelanon-exiilencc du mouvement perpétuel pour déterminer la condition de l'équilibre de deux poids liés à une même corde et placés fur deux plans inclinés. Il eft remarquable que Muygens dit que cette démonllration eft la meilleure qu'on poffede quoiqu'il en eût trouvé lui-même en 1 659 une autre (T. XVI, p. 380) que nous avons cru pouvoir appeler (T. XVI, p. 333) „plus direéle". Il eft vrai que la démonftration de Stevin efl: beaucoup plus (impie et que celle de 1 luygens prouve au fonds la même chofe, favoir que par un mouvement compatible avec la liaifon le centre de gravité du fyftème relie h la même hauteur. Cette Pièce fuffirait à elle feule pour faire voir que, fuivant Huygens, partir de la non-exiftence du mouvement perpétuel - ou, fi l'on veut, du principe delaconfer- vation des forces — ell parfois, du moins jufqu'à nou\'el ordre — remarquez dans la Pièce II les mots „nondum" et „hucusque" —, la meilleure méthode pour faire voir la raifon d'être d'un phénomène connu, ou même pour trouver des vérités nouvelles. Nous avons dit (p. 460) que de fon vivant l'Hypothèfe I de la Pars Quarta e(l reliée la feule qui permît de trouver généralement la place du centre d'ofcillation. Il en fut autrement dans la fuite. Suivant la mécanique clailîque, ce monument merveilleux du dix-huitième fiècle, la loi de la confervation des forces eft plutôt un corollaire qu'un principe"). C'eft en nous plaçant au point de vue de la mécanique cladîque que nous avons pu dire (T. XVI, p. 21 , note 7), que „le Principe de la confervation de l'énergie" a pris h un moment donné „fa forme définitive". Comme on peut le voir h la p. 477 qui fuit, Huygens en février 1693 défigne fa thèfe de la confervation des forces par „axioma nofl:rum". En ce moment il lui donne donc une place éminente, comme il avait fongé parfois (voir la note 5 de la p. 221 du T. XVI) à le faire pour la thèfe de la confervation de la quantité de mouvement dans une direction donnée, dont il dit en 1669 (T. XVI, p. 181) ne pouvoir donner la démonfiration que dans un cas particulier bien que cette loi „femble efi:re générale". Cette défignation de la thèfe de la confervation des forces par le mot „axioma" Q'ik peut-être due en partie à l'influence de Leibniz: voyez la note 6 de la p. 359 du T. XVI, et confultezaufii la lettre de décembre 1692 de Leibniz — T. X, p. 382 — , *) Voir la note 1 de la p. 4-0. 4" 2 AVERTISSEMENT. à laquelle celle de Huygens de janvier 1693, citée à la p. 470 qui précède, fert de réponfe. Obicrvons qu'en général la philulbphie de Leibniz, là où elle prend un ca- ractère métaphylique, ell reftée fans influence liir Ihiygens. Nous avons déjà iliic (T. XVII, p. 353) une remarque analogue pour la métaphylique de Dclcartes. La Pièce I ne confilk que dans une figure de 1 667, qui illuilre les „irntos conatus" des „machinatores" dont nous venons de parler. Elle nous paraît remarquable puis- qu'elle repréfente un „conatum" du Marquis de Worceller '), que Huygens ne femble pas avoir connu, mais dont le nom ié troux'c dans ion Journal de Voyage de 1663, comme on peut le voir à la p. 474 qui luit. '} A moins que d'aiures inventeurs n'aient eu la même idée indépendamment de lui, ce qui est fort possible. I. LE PERPETUUM MOBILE DU MARQUIS DE WORCESTER. [1667.]') [Fig.6.]0 ') La figure 6 a été empruntée à la p. 147 du Manuscrite. Elle n'est accompagnée d'aucun texte. Cette page date de 1667, puisqu'on trouve les dates de février 1667 et de mars 1667 respeéli- vement sur les pages 143 et 149. ^) Le N°. 56 de „A Century of the Names and Scantlings of sucli Inventions as at présent I can call tomind to hâve tried and perfeded etc." par E Somerset, Marquis of Worcester (London, J. Grismond, 1663) décrit le perpetuiim mobile suivant, qui part du même principe que celui figuré ici; il est vrai que chez Worcester le nombre des poids est beaucoup plus grand. Inutile de dire, que le marquis se vante à tort d'avoir inventé un véritable mouvement perpétuel. Si la machine a marché, il doit y avoir eu, nous semble-t-il, de la part de ceux qui la construisi- rent, quelque supercherie. „To provide and make that ail the Weights of the descending side of a Wheel shall be per- petually further from the Centre, then those of the mounting side, and yet equal in number and heft to the one side as the other. A most incredible thing, if not seen, but tried before the 60 474 LE PERPETUUM MOBILE DU MARQL'IS DE WORCESTER. late king (of blessed memory) in the Tower, by my directions. The Wheel was 14 Foot over, and4o Weightsof5opounds apiece. . . They ail saw, that no sooner thèse greatWeightspassed the Diamcter-line of the upper-side, but they hung a foot further frotn the Centre, norso sooner passed the Diameter-line of the lower side, but they hung a foot nearer. Be pleased to judge the conséquence". Suivant H. Dircks „The Life, Times and Scientific labours of the second Marquis of Wor- cester, to which is added a rcprint of his Century of Inventions, 1663, \viih a Commentary thereon"(London, B.Quaritch, 1865) la liste des personnes présentes fait voir que la machine aété montrée au Roi Charles I en 1641 environ. Ajoutons que Dircks a interverti sans aucune raison les mots „upper" et „lo\ver"; il n'a apparemment pas compris l'auteur dont les expli- cations sont d'ailleurs en général fort obscures. Rien indique que Iluygens ait lu le „Century of Inventions", mais il connaissait — consul- tez notre T. XVII — Caspar Calthoff (Kaltoff) appelé par Worcester dans la „Dedication to the Century": „the unparallcrd Workman both for trust and skill ...who hath been thèse five-and-thirty years as in a school under me imployed, and still at my disposai". Nous avons fait voir dans l'article de 193: „l)e roi van den Nederlander Caspar Calthoff bij deuitvinding van het moderne stoomwerktuig", cité à la p. 550 du T. XVII, que ce fut ce même Calthoff qui résida à Dordrecht de i 1645 à i 1660. Dans son Journal de Voyage de 1663 Huygens, se trouvant alors à Londres, écrit : „Calthoff besocht, daer d'inventie stont van Mil. of Woodster die misluckte", c.à.d. „Visité Calthoff, où se trouvait l'invention de Mil. Woodster [lisez Worcester], qui n'avait pas réussi". Comme il continue: „Op den houten toorn van het waterwerck geweest, etc." — c.à.d.: „monté sur la tour de bois de l'ouvrage-à-eau" — , il parle peut-être, probablement même, d'une inven- tion différente. Mais Calthoff — qu'il connaissait au moins depuis 1655 — doit avoir causé avec lui sur d'autres sujets aussi. Le marquis de Worcester est sans doute une des personnes, évidemment nombreuses, visées par Huygens à la p. 25 1 qui précède dans le passage sur les inventeurs que nous venons de citer (p. 470). II. LA NON-EXISTENCE DU MOUVEMENT PERPETUEL SUIVANT STEVIN. 1676.') [Fig-7-] À la p. 62 du Manuscrit E Huygens dit à propos du plan incliné: HuJLis vero nondiim ') aque evidens demonrtracio reperta ell ac nollra illa lihra?, quam explicuimus academicis Parifinis 3). Optima hucusque ^) videtur illa Stevini *) qua catenam criangulo circundat; velue hic criangulo ABC [Fig. r], cujus bafis AC horizonti parallela, injecta ell: catena ABCD. Hanc enim facis apparcc ultro in neutram partem commovendani, eo quod, etiamfi moveatur, eodeni loco maneat catena, neque hilum defcendat, quatenusex infinitamultitudineparticularumœqualiumcon- flata intelligitur. Atqui pars cacenje ADC non magis attrahit partem BA quam BC. ') La Pièce a été écrite (p. 61 du iVIanuscrit) Hagse 1676 Oct. ') Comparez sur ces mots l'Avertissement qui précède (p. 471). ■^) II s'agit de la démonstration contenue dans le mémoire dont nous avons parlé dans la note 6 4/6 LA NON-EXISTENCE DU MOUVEMENT PERPÉTUEL SUIVANT STEVIN. Ergo cum catena immotamaneat, fequitur partiiim quoque BA et BC squale efTe momcntum '); qiiamohrem et ahlata parte ADC, partes AB, BC a?quiponderabiint. Haruin vero gravitâtes abfolutK ita fiint intcr fe ut ipfe longitudines AB, BC. Ergo quando gravitâtes ponderum per plana AB, BC le mutuo trahentium funt inter fe ficut ipforum planorum longitudines, apparet fieri squilibrium. Nihil autem intereft an pondus lateris AB per totam ejus longitudinem di\-ifum fit, an totum colleclum in E; llmiliterque pondus catenœ BC in F *). de PAppendice I à la Pars Quarta de r„Hor. ose." Cet Appendice fait voir que Huygens avait d'abord l'intention, à laquelle il renonça, de fonder la démonstration de l'équilibre de la ba- lance sur l'hypothèse de la non-existence du mouvement perpétuel. ■•) Comparez la p. 333 du T. XVI. ') Quoiqu'on puisse prendre ce mot dans le sens précis que nous lui donnons aujourd'hui — com- parez la p. 341 du T. XVI — , il semble bien plus probable qu'il ait ici son sens général d'incli- naison au mouvement. *) On sait que Stevin orne ses ,,Beghinselen der Weeghconst" de l'adage „\Vonder en is geen wonder", ce qu'on peut traduire, nous semble-t-il, par: „Merveille n'est pas miracle" („en... geen" = „ne . . . pas"). Dans la note 3 de la p. 79 du T. III nous avons généralement parlé de „la devise de Simon Stevin". En effet, son fils H. Stevin, en parlant en cet endroit du „spreeck- woort mijns Vaders", semble considérer cet adage comme l'énoncé d'une conviction bien arrê- tée. Aux yeux de S. Stevin, pensons-nous, l'existence d'un vrai eeutvig roenel ou perpetuum mobile, quel qu'il fût, n'aurait été rien moins qu'un miracle. Son fils(T.in, p. 77) entreprend de prouver généralement la non-existence du mouvement perpétuel. Voici la traduftion de la réponse de Huygens à sa lettre datant de 1660: „C'est une chofe de grande impor- tance que votre entreprise de démontrer, dans cette brochure, l'impossibilité du perpetuum mobile. Je suis, moi aussi, fennement persuadé que le perpetuum mo- bile ne peut être trouvé ratione mechanica; de plus cela est en contradiction avec les principes que j'ai toujours suivis dans cet art. Mais il ne semble pas pos- sible d'en donner une démonstration assez claire pour qu'il ne se trouve toujours despersonnes recherchant cette chose impossible et tâchant de tromper la Nature". m. LA CONSERVATION DES FORCES SUIVANT HUYGENS. [1^93]'). In c o r p () r u m m o t i h ii s q ii i b u s c u n q ii e , n i h i 1 v i r i u m p e r d i t u r a u t i n t c r i t n i fi c f f e ctu edito et cxstante ad que m producen- diim tantundem virium requiritur quantum est id quod deces- sit. Vires voco potentiam extollendi ponderis. Ita dupla vis est qujE idem pondus duplo altius extollere poteft. ') Cette Pièce est empruntée à la p. 175 (numération de Huygens) du Manuscrit H. La p. 172 porte la date du 31 janvier 1693 et la p. 176 celle du 12 février suivant. À la p. 182 il parle de son ^.r/ftw/é' de la p. 1 75 („Ex a X i O m a t e nostro pag. 175 in margine vires corporum non interire ni fi edito effectu &c."). Ces pages du Manuscrit H traitent d'une horloge marine. On les trouve plus loin dans le présent Tome. PRINCIPE DE L'INCITATION DONNEE AUX CORPS PAR UN AGENT EXTÉRIEUR OU PAR UNE CAUSE INCONNUE, ET DÉCOUVERTE DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ISOCHRONISME DES VIBRATIONS. ï?^5C^^^ _ ^^;?^^f:?^î.-:^'^^^ :^ Avertiffement. Dans un programme, datant d'avant 1673, que nous avons déjà mentionné dans la note 6 de la p. 247 du T. XVII (il eft intitulé: „Ordre qu'on pourra tenir a traiter des Mechaniques") Huygens parle comme fuit de la Statique et de la Dynamique '): „Je voudrois traiter en fuite de la Statique des corps iurnageans à l'eau, et de leur politions fuivant les diverfcs figures, de quoy a efcrit Archimede, l'on pourroit exa- miner fon traité, et auffi celuy que j'en ay fait -). Je mettrois icy la ftatique des poids fuipendus par plufieurs cordes diverfement tirées, mais nous en avons traité fuffifamment cy devant en nortrc Aflemblee 3). Il relie les matières qui regardent particulièrement le mouvement qui iont d'une contemplation plus difficile que toutes les autres et comme elles participent de la Phyiique, aulli lervent elles autant a cette partie de la Philofophie qu'aux ufages de la Mechanique. Il y a en premier lieu a eftablir la théorie du mouvement des corps qui tombent, dans laquelle je crois qu'il faut fe fervir des hypothefes qui mènent aux propofitions '} Ce programme date probablement de 1668, puisqu'on trouve à la p. 218 du Manuscrit C une liste du même genre des „Parties des Mechaniques". Nous reviendrons sur ces programmes, lorsque nous traiterons, avec liuygens, de quelques questions techniques. -) T. XI, Traité „De lis qua." liquide supernatant". 5) Voir les p. 332 — 333 et 379 du T. XVI. Nous reviendrons sur cette question, à laquelle sont encore vouées plusieurs pages des Manuscrits. 6ï 482 AVERTISSEMENT. qui s'accordent le mieux avec rExperience '). D'icy dépendent aufli les mouvements des corps jettez et des boulets de canon flefches &c. De la niefmc théorie dépend le mouvement des pendules et la manière de le rendre parfaitement égal, dont je donncray la demonilration °). La meline fert encore a demonitrer les centres d'agitation ') que je pourray don- ner enluite et par les quelles on peut detenniner exadement une raellire uni\erlelle et inaltérable a jamais*). 11 y a en fin a examiner les effedts du mouvement circulaire et fa force a rejetter du centre, dont j'ay a propofer une Théorie qui s'accorde parfaitement a\'ec les ex- périences '). Et duquel dépend aufli ime belle expérience qu'il y a a faire pour prou- ver que la terre tourne'^)". Les Pièces I et II qui fui vent ie rapportent à la „contemplation" des „matieres qui regardent particulièrement le mouvement" et „participent de la Phyfique, partie de la Philofophie", en fervant en même temps „aux ufages de la Mechanique". Comparez fur ce „double but" les p. 32 et ~6 qui précédent. La Pièce II de 1675 contient des réflexions iur le mouvement d'un corps fous 0 T. XVII, p. 125-137, T. XVIII, p. 124-149. =) T. XVI, p. 344—349 et p. 392—413, T. XVII, p. 95—96 et p. 139— H' . T- XVIII, p. 150—203. 3) Au début de la Pars Ouarta de l',,Hor. ose." Huyi^eiis parle des „centra oscillationis seu agita- tionis". Le sens précis de l'expression „centrum agitationis" pourrait être celui d'un point tel que la somme totale des moments des quantités de mouvement autour de ce point est nulle. C'est là p. e. le sens du mot „centre d'agitation" chez Mariette lorsqu'il dit (Prop. XIX de la deuxième Partie du ,,Traittéde la Percussion ou Choc des Corps" — p. 93 des Oeuvres delMr. JMariotte, T. I, Leide, P. van der Aa, 1717): „Les Centres de vibration [ou oscillation], agi- tation, & percussion sont un même point dans un triangle qui se meut sur sa base". Cependant nous n'oserions affirmer, puisque Huygens ne parle plus nulle part de cette question dans son livre, s'il a voulu indiquer que le centre d'oscillation jouit de la propriété dont nous venons de parler et sur laquelle on peut consulter les p. 443 — 445 qui précèdent. On peut voir à la p. 454 du T. IX ce que Huygens dit en 1690 du Traité de Mariette, sur lequel on peut aussi consulter les p. 20- — 209 du T. XVI. ") T. XVI, p. 354-356, T. XVII, p. 120, T. XVIII, p. 58—59 et 34«— 355- 5) T. XVI, p. 235— 328,7. XVII, p. 91, note 4, p. 153, 244 et 277, T. XVIII, p. 44—46 et 366—368. «) T. XVI, p. 376— 377, T. XVII, p. 247 et 285—286, T. XVIII, p. 46, troisième alinéa. Voir aussi ce qui est dit plus loin dans le présent Tome sur l'expédition de 1686 — 1687 au Cap de Bonne Espérance. L'avant-dernier alinéa de la p. 224 du T. XVI se rapporte au même sujet. AVERTISSEMENT. 483 rinflucnce d'un agent matériel extérieur ou d'une caufe inconnue. C'eft d'une force qu'on peut appeler „newtonienne" — quoique Newton n'ait rien à y voir — qu'il s'agit ici, non pas de la force carcélicnne conlidéréc à la p. 469 qui précède. Le corps confidéré cft, peut-on dire, un point pcfant. Suivant Iluygens — ce qui n'était pas l'opinion de tout-lc-monde; voir le troilième alinéa de la note 1 1 de la p. 453 qui pré- cède - il ne faut pas de force pour qu'un mobile continue fon mouvement uniforme. Il cil apparemment quelHon d'un mouvement uniforme en ligne droite. Lorfqu'une force agit fur un corps, elle lui donnera „continucllemcnt de l'accélération". Lorfque la force agiffiint fur le mobile provient d'un moteur, elle n'eil pas toujours — mcmc loriqu'elle agit dans le fens du mouvement , ce qui a lieu ici par hypothèfe — la force totale de ce moteur, c.à.d. la force qu'il exercerait 11 le corps était en repos dans la lituation conlidéréc; c'ell pourquoi il convient de diilinguer la force exercée de la force totale en l'appelant „incitation". Le mot „incitatio" fe trouve d'ailleurs déjà dans la Pièce I de 1673 "), dans la- quelle il n'y a pas lieu de dillingucr à caufe du mouvement que le point pefant poflede déjà, la force exercée de la force totale. //;«Vcibniz à Paris, c.à.d. bientôt après fa découverte '), que Huygens en a fait part au philofophe allemand; mais (ans entrer dans les détails. Dans la réponfe du 26 mars 1 69 1 Huygens le contente d'écrire : „J'ay une demonftration de ITochronifine des vibrations du relTort, eflant fuppolc qu'il cède dans la mefme proportion de la force qui le prefle, comme l'expérience l'enfeigne conltamment -)". En 1691 Huygens n'eîit cependant trahi aucun fecret en difant de quelle façon il avait palfé de la confidcration de la vibration cycldidale à celle de la vibration har- monique quelconque, puifqu'on trouve la même choie dans les „Philoibphiœ na- turalis Principia mathematica" de 1 687 de Newton : iliivant le Corollaire à la Prop. II, Theor. XMII du Liber Primus de ce dernier, dans le cas du mouvement cycloïdal la compolante de la force agiffant dans le fens du mouvement efl proportionnelle à l'arc que le point pefant doit parcourir pour atteindre le point le plus bas; d'où ré- fulte, comme le dit déjà l'énoncé du théorème, que „ofcillationum utcunqueina?qua- lium îEqualia erunt tempora" j). La différence eflenticlle c'ell que I lujgens, dans fon „Hor. ofcill.", avait prouvé d'une autre façon le tautochronifme de la cycloïde, et que, conftatant enfuite que la force agilfante elt proportionnelle h l'écart, il en avait conclu à l'ifochronifme des vibrations haraioniques quelconques; tandis que Newton, après avoir remarqué la proportionnalité de la force à l'écart dans le même cas fpécial, en déduilît par un raifonnement lur les accélérations et les viteflTes, le tautochronifme de la cycloïde ainfi que la propriété analogue des vibrations quelconques oi^i la force efl proportionnelle à l'écart +). Il efl: de toute évidence que c'efl: la leéfure de r„Hor. ofc." qui a amené Newton à confidérer l'ofcillation cycloïdale, mais fon idée de ') Comparez la note 9 de la p. 1 95 du T. XVI. ^} T. X, p. 58. Dans la lettre il ne fait pas mention, comme dans la minute (p. 55), de Robert Hooke. 3) Newton considère une oscillation cycloïdale — nous dirions liypocycloVdale — dont celle de Huygens est un cas particulier. Comparez la fin de la note 2 de la p. 399 qui précède. ■♦) Attendu que l'hypocycloïde, comme Newton le remarque, peut dégénérer en une ligne droite, risochronisme des vibrations harmoniques suivant une droite résulte immédiatement de celui des oscillations hypocycloïdales. AVERTISSEMENT. 485 prouver de cette façon le tautochronifme peut tort bien avoir été originale '): rien n'indique — quoique cela foit évidemment podlblc — que la pcnfée de Iluygens ait été divulguée, ni avant, ni après 1687. Il eil vrai que 's Gravciande écrit dans Tes „Phy(îces Elementa mathematica Ex- perimentis confirmata, livc Introdudioad Philolbphiam Ne\vtonianam"dc 1742 que dans le cas de la cycloïde la force agiflante cil proportionnelle à Parc*) et que les vibrations d'une lame élallique font ifochrones puifqu'on peut dire „laminam agitari juxta Leges Penduli in Cycloide ofcillati""), à quoi il ajoute: „1 lugenius detexit laminœ elafticîe vibrationes efle îequc diuturnas" "), mais ces remarques éparfes ne font nullement voir qu'il s'agit ici d'une théorie dont Huygcns fut l'auteur. Nous ne croyons donc pas que 's Gravefande aie remarqué la „Picce I" dans Icsmanufcritsdc I luygens; de fait, comme nous l'avons déjà obfervé à la p. II du T. I, il s'eil borné, en fa qualité d'éditeur de Iluygens, à reproduire les ouvrages déjà imprimés, fans tenir compte en aucune taçon des manuicrits, dont le contenu femble lui être refté abfolument inconnu. Il efl: donc à peu près fuperflu de dire que ni 's Gravefande ni, fauf erreur, aucun autre auteur, n'indique que Huygens efl: le premier favant qui ait entrepris de donner une théorie mathématique des cordes vibrantes'). Cette théorie, il efl vrai, n'efl; qu'une ébauche, mais c'eft une ébauche méritoire '°). 5) D'aileurs, dans la Prop. XXXVIII, Theor. XII du Liber Primus, Newton avait déjà démontré d'une autre façon l'isochronisme des vibrations harmoniques suivant une droite. Il y considère la droite comme la limite d'une ellipse; or, suivant la Prop. X, Probl. V du même livre les périodes de toutes les ellipses qu'un mobile peut décrire sous l'influence d'une force émanant d'un centre et proportionnelle à la distance du mobile à ce centre (lequel est en même temps celui des ellipses), sont les mêmes. «) N°. 414, Lib. I, Cap. XX, p. 1 1 1. -) N°. 1335, Lib. II, Cap. XIII, p. 3H4. ') Nous citons d'après la troisième édition, celle de 1-42 (Leid£E,apudJoh. Arn.Langerak,Joh. et Herm. Verheek). La dernière phrase citée est empruntée à la p. XXVIII de la Pra;fatio de cette édition. Elle ne se trouve pas dans les préfaces des deux éditions antérieures, lesquelles sont reproduites dans la troisième. Il semble bien que s'Gravesande, en mentionnant „Hui!;enius" et la „lamina elastica", ne parle que de résultats expérimentaux. ') Voir cependant ce que nous disons plus loin du Père I. G. Pardies. '°) On trouve dans les Philos. Transart. de 1713 („The Philosophical Transaftions from the Year MDCC to the Year MDCCXX, Abrig'd etc. by Benj. Motte", London, R. Wilkin etc. 1721, 486 AVERTISSEMENT. Dans le § 6 de la Pièce I, Huygens parle aulli de fcs expériences fur ce fujet. Il ne dit pas fi c'était chez lui ou bien à TAcadémie qu'il les avait priies. Avant lui, Merfenne en avait pris un grand nombre, comme on peut le voir dans fes „Harmonicorum libri, in quibus agitur de fonorum natura, caulis, & effeâiibus: de Conlbnantiis, Diilonantiis, Rationibus, Generibus, Modis, Cantibus, Compoii- tione,orbisque totius Hannonicis Inllrumentis" '). 11 avait établi expérimentalement un grand nombre de théorèmes. La Prop. XXIX de la p. 24 p.e. dit que les vibrations de différentes amplitudes d'une même corde, ayant une tenfion donnée, font ifochro- nes. En effet, la hauteur des (bns forts et faibles eil la même: il fufliiait donc de com- prendre que ce qui fait la hauteur du fon, c'efl le nombre des vibrations. La Prop. IX de la p. 12 dit que les vibrations de deux cordes du même genre de longueurs inégales font ifochrones lorfque les tentions font entre elles comme les carrés des longueurs. Etc. C'eft de la confidération des cordes vibrantes — qui foraiaient déjà dans l'antiquité le fujet des recherches de Pythagore -) et de Ptolémée — que l'auteur de r„Harmonie L^niverfelle" 3) palfa à celle d'autres mouvements ofcillatoires +). C'efl lui qui avait dirigé (T. XVI, p. 349, T. XVIII, p. 243) les regards du jeune Huygens fur le mou- vement périodique des pendules. Grâce à Huygens nous voyons ici, par un juile re- tour, la théorie des cordes vibrantes profiter des réfultats obtenus dans le domaine des pendules. Vol. I, p. 53) l'article théorique de Brook Taylor „Ofthe Motion of a stretcht String", nù rauteur établit, en «'inspirant de l'ouvrage de Newton, que „vibrationes omnes, tam maxima; quam minimîE, peragentur in eodem tempore periodico, & puncti cujusvis motus similis erit oscillationi corporis Funependuli in Cycloide". C'est croyons-nous, la première théorie mathé- matique sur la corde vibrante après celle, restée inconnue, de Huygens de 1673. Voir encore, dans les Additions et Corrections, un passage de Leibniz qui se rapporte à ce sujet. Le résultat du calcul est que la corde est isochrone avec un pendule de longueur ^ . -p . L, oùj = -, tandis que /■ est la tension. jV le poids et /, la longueur de la corde. Il en résulte pour le temps d'une vibration simple t ^ \/!5-,;;/étantlamassedelacorde,conformément à la dernière formule de la note 3 de la p. 494 qui suit. ') Lutetiae Parisiorum, G. Baudry, 1648. C'est la deuxième édition latine amplifiée, la première étant de 1636. ^) Ou des Pythagoriciens. ^) De 1627. Le titre de cet ouvrage exprime la connexion avec l'ouvrage („Harmonika") de Ptolémée. AVERTISSEMENT. 487 Cependant il y a une réferve à faire fur la priorité deHuygens. 11 elljulle d'ajouter qu'il connaidait dès 16-3 l'ouvrage de I. G. Fardies, apparu limultanémenc avec r„I lorologiuni olcillatoriiini" et dont l'auteur, profcireur à Paris au „Collège de Cler- niont", décéda immédiatement après cette publication. Nous parlons de „La Statique ou Science des Forces mouvantes" (citée e.a. dans la note 4 de la p. 304 du T. VU). Dans la Prétace Hardies lé dit „rélblu de taire tout un corps de Mécanique". Il parle de lix jjdifcours", dont „La Statique" elT: le deuxième. „Le cinquième difcours", dit-il, „elKUi mouvement de Vibration, c'ert à dire, de tous les corps qui font un mouvement réciproque allant & venant, comme font les pendules, les cordes tendues, les reflbrts, & plulîeurs autres corps. L'on y décrit une pendule, dont toutes les vibrations font d'une égale durée; l'on démontre aufTî que toutes les vibrations d'une corde tendue durent également; que les vibrations de deux cordes d'égale groiTeur, & également tendues, font en raifon réciproque des longueurs des cordes, au lieu que dans les pendules elles font feulement en raifon fous-doublée; que dans les cordes égalés, les vibrations font en raiibn Ibus-doublée des forces ou des poids qui les ten- dent; que les vibrations font encore en raifon ibus-doublée des groiïeurs des cordes d'égale longueur, & également tendues. Deforte que l'on démontre par les caufes tout ce que l'expérience nous fait remarquer dans les ions & dans l'hamionie des cordes tendues". On ne lait ce que font devenus les manufcrits de l'auteur, ni s'il avait déjà rédigé ce cinquième difcours en tout ou en partie. Son programme fait voir que probablement, comme Huygens, il paiïii, d'une façon ou d'une autre, de la confidération des pen- dules à celle des vibrations harmoniques; ce qui efl: d'autant plus croyable qu'il avait trouvé, et publié à la tin de „La Statique", une ingénieule démonllration du tauto- chronifme de la cycloïde. Il n'efl: pas impofllble — quoiqu'on n'en trouve rien chez lui — qu'il ait remarqué, en réfléchlifant fur cette démonftration, que la compofante de la pefanteur qui agit dans le l'ens du mouvement eil: proportionnelle à l'arc, ce que nous avons appelé plus liant (p. 483) la trouvaille de Huygens '). Vers la fin du premier chapitre du „Traité de la Lumière" de 1 690 Huygens parle, 4) Nous ne parlons pas ici de l'influence de Galilée qui — soit dit en passant — était le fils d'un musicien distingué. 5) En 16-3 Huygens écrit à Oldenburg à propos de cette démonstration (T. VII, p. 314) que 488 AVERTISSEMENT. à propos du lixième difcours de Pardies qui eft du mouvement d'Ondulation etc., de fon Traité „dont il me fit voir une partie et qu'il ne put achever, étant mort peu de temps après". (Il ignore „(î fon écrit s'eil confervé"). Il clt donc poflible que Pardies ait auHi caufé avec lluygens liir les fujets du cinquième difcours, ou même qu'il lui en ait tait voir une partie déjà rédigée. [Fig. 8.] „ce n'est pas grande chose d'avoir fait la démonstra- tion d'une proposition desia trouvée". Cependant la dé- monstration de Pardies nous paraît assez remarquable. Il suppose (en observant aussi qu'on peut perfectionner le raisonnement en enfermant le temps total dont il s'agit entre deux limites) que le point pesant parcourt succes- sivement [Fig. 8] les droites ab^ cd, ef\ etc. — tangentes à la courbe — égales et parallèles à AB, CD, EF, etc., où AB = - AG, CD = CG, EF == EG, le nombre n n n arbitraire «pouvant être pris fort grand. Un mobile Mj partant de a parcourra l'élément ah dans le même temps qu'un mobile iNT,, partant de f , par- courra cd^ ou un mobile M^, partant de rationem fubduplicatam ponderis AT ad G '). Ergo etiam fi viciffim velimus ut manente eodeni pondère K vibrationes duplo ccleriores fiant, oportet in G unam quartam prioris ponderis rclinqui. § 4. Quseritur proportio temporis ambitus circularis per circumferentiam cujus n'est besoin de tenir compte que de la force centrifuge (et centripète). Si cette force était absolument proportionelle à l'écart, il y aurait isoclironisme des vibrations de différentes am- plitudes d'après les Prop. I et III sur la force centrifuge (voir la p. 366 qui précède). ') La corde tendue SGH esc supposée impondérable; ou , si l'on veut , c'est une corde dont le poids, fort considérable, est supposé concentré en son point milieu. La corde étant verticale, la ten- sion de la partie SG est supérieure à celle de la partie GH. Dans le § i Huygens ne tient pas compte de cette circonstance; il suppose la force agissant sur le poids G dirigée vers le centre du mouvement F. Mais dans le § 6 il revient sur ce sujet pour apporter la correaion nécessaire. Le poids se meut ici, par hypothèse, suivant la droite GFL. -') La corde (Fig. 12). 3) C.à.d. la composante, dans le sens du mouvement, de la force agissant sur le poids G. Com- parez l'Avertissement qui précède. ••) Il s'agit de la moitié d'une oscillation simple. S) Il résulte de ce calcul que dans le cas considéré — lorsqu'on ne tient pas encore compte de la correaion nécessaire; voir les notes i de la p. 491 et 5 de la p. 493 — le temps de la vibration simple, de G à L, est -\/ - \/ -' °" S est l'accélération de la pesanteur ci l = 2a la longueur de la corde. A' est la tension de la corde, et G En appelant — ce que Huygens ne fait point; compar ;;; la masse du poids G, on peut écrire / = -\/ -tf- longueur de la corde. A' est la tension de la corde, et G son poids concentré en son point milieu. En appelant — ce que Huygens ne fait point; comparez la note 5 de la p. 230 du T. XVI — 492 DÉCOUVERTE DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DE l'iSOCHRONISME DES VIBRATIONS. diameter minima CîL, ad tempiis cafus per FH. vel potius ad tcmpus femiofcillationis penduli SH. .Si incicatio pondcris in G cflet tequalis gravitati ipfius G vel K, debcret tempiis circuitiis in circulo GL effie œquale duabiis ofcillationibiis penduli longicudinis FG. per thcofcma . . . ') noilrum de vi centrifuga. Nunc autem incicatio in G cflad pon- dus ablblutuin G utFGad iGH,h()ccllucZ'ad ii'/. (namCîlIccnrccura'qualis Fil). Ut igitur fiac vis centrifuga oîqualis incicationi feu preffioni chords fiexas fupcr pon- dus G. débet fieri (icut b ad mediam proportionalem inter b et ^a, hoc efl, fient b^A V ^ab ita tempus duarum olcillationum penduli FG ad tempus circuicus per circnluni GL. Sit tempus olcillacionis unius penduli FG, 30 n. Ergo ' '^ — 00 tempus circuitus per circulum GL. Verum ut b ad |, lab ita tempus oCcillationis penduli FG ad tempus oicillationis penduli SH. Ergo hoc tempus erit J^l^ Erat autem tempus circuitus per circulum GL oo ^" ' ^^ (eu "' "^ . b b Ergo hoc tempus circuitus œquale tempori ofcillationis penduli SH. ac proinde per ea quae pag. prjeced. °) duplum temporis vibrationis GL '). § 5. Poteram pagina prîeced. =) brevius fie rationem coUigere. Efl: autem tempus per EA a?quale tempori femiofcillationis penduli duplam longi- tudinem BA habenti[s], hoc eil longitudinem ^a^ nam BA efl ^a. Ergo et tempus per GF a^quale eidem fcmiofcillationi penduli 2BA five ^a. Sed hïec femiofcillatio efl: ad femiofcillationem penduli SH ut i ad 2. Ergo tempus per GF squale dimidio femiofcillationis penduli SH. Ergo tempus totius \'ibrationis GL squale fcmiofcillationi penduli SH. vel ofcillationi penduli dimidiîe longitudinis FH. ') Voir le théorème X à la p. 367 qui précède, ou bien la Proposition identique du Traité „De Vi Centrifuga" à la p. 291 du T. XVI. -) C.à.d. par le § 3. ■'') Huygens ne calcule ici la période d'une \'ibration circulaire que pour le cas où la tension A' et le poids G sont égaux. Il est évident qu'il eût pu tout aussi bien considérer le cas où cette éga- lité n'existe pas et qu'alors aussi il serait arrivé à la conclusion que le temps d'une vibration circulaire — c'est le cas déjà considéré dans le § 2 — est le double de celui de la \ibration sim- ple dans le cas du § 3. Cette période est donc, d'après ce théorème et la nute 5 de la p. 491 , DFXOUVERTE DE LA THEORIE GENERALE DE L ISOCHRONISME DES VIBRATIONS. 493 § 6 *). Si cxpcrimonciim capiutur hujiis rei, non fuccedet fi filum .SH perpcndiculari fitu tcndiuur, quia pondus Cf pra-ccr incitationcm à tcnfionc qiiam facit A', incitacur ctiam vcliit pcndulum a perpcndiculari SI' cxcrattum, hoc cit velu: li in piano incli- nato, ad SG perpcndiculari, jaceret. Ad inlHtucnduni crgo cxperimcntum dchcrct SII horizontal! poficujaccre, et pon- dus G alio pnvtcrca lik) perpcndiculari longinimorupcmcdiilincri,ut neinfrareciam SHdcfccndcrc police, pondus autcm A' ipli (l a>quale fuper trochleam appcndcnduni. Si tanicn manentc SU perpcndiculari fcirc libcat tempus vibrationis GL, addenda cfl: incitatio qux pondcri (r ex rarionc pcnduli SG advenir ad incitationcin a flexu SGH ac pondère yv'cffectam, et licut fumnia ha.'c ad mcdiam proportionalem intcr hanc l'ummam et incitationcm a pondère A'ita crit tempus vibrationis (îL fupra de- linitum ad tempus verum vibrationis GI,. Incitationum rationcs intcr le liccolliguntur. Sit GPperpcndicularisGS[Fig. 1 1]. Ergo incitatio pondcris (; quatcnus SG pcnduli vicem obtinet, efl: ad pondus abfolu- tam G ut PF ad FG, feu ut FG ad GS fivc FS, nam ha; a^quales cenfentur. Sed inci- tatio ex pondère K erar ad pondus abfolucum G ut FG ad iFlI vel|FS. Ergo incitatio ex rationc pcnduli diniidia cil incitationis ex pondère A'. Ergo fumma duarum incitationum ad incitationcm ex pondère A' ut 3 at 2. Eftque inter 3 et 2 média proportionalis ]/ 6. Ergo ut \/ 6 ad 2, ita tempus vibrationis GL ante invcntura ad tempus verum vibrationis GL. Sed tempus vibrationis GL ante inventum asquale erat ofcillationi penduli dimidiîe longitudinis FH. Cujus penduli ofcillatio efl: ad ofcillationem penduli quod | habeat fu£e longitudinis, feu |FH, ficut \/6 ad 2. Ergo pendulum cujus longitudo jFH ifochronas ofcilla- tiones habebit vibrationibus GL veris '). Quod cum experimentis prorfus confentit. 7"). Sit celeritas punfti gravis A [Fig. 14], cum ex A in B venerit .y. celeritas ■*) Voir la fin de la note 1 de la p. 491. Nous ne possédons pas la relation des expériences donc il est question dans ce §. Comparez, sur des expériences de ce genre, le premier alinéa de la p. 265 du T. XVII. 5) Le temps d'une vibration simple dans le cas de la Fig. 1 1 , les poids G et A' étant égaux, n'est donc pas — \ /- — comparez la note 5 de la p. 491 — , mais — ^\ / _. - V g VoV g *) Apparemment, Huygens considère ici une corde vibrante: ce n'est pas seulement le point ou élément A dont la „gravitas" est 9, mais tous les autres éléments ont le même poids, ou, si l'on veut , la même masse; c'est ce qu'indique le mot „catena". Comme dans le § 3 (p. 490), Huygens commence par considérer le cas où «©(poids de la corde divisée en /; éléments) est égal au poids p qui tend la corde. 494 DECOUVERTE DE LA THEORIE GENERALE DE L ISOCHRONISME DES VIBRATIONS. [Fig. 14.] autem qii£e acquireretur cafu ex alcitudine AB, fit c. Et linca AB fit h. AC oo c/. pondus E do p. p;ravitaspuncli A fit 6. Et divila intclligatur catena SAC in tôt partes ut una fit ad omnes ficut pondus 9 ad pondus/). Jam ut qu. ce ad qu. xx ita crit AB 30 ^ ad altitu- A Y* V dinem ad quam afccnditur cclcritate .v. Sit illa — jequalis BF ')• Jam fi curva SFC fit ejus naturs ut applicatje FB, NO fint inter fe ut quadrata applicatarum AB, QO -), (ponitur autem SAQC parabola a qua infcnfibiliter differt ")) refe- rentomnesNOaltitudinesadquasafcenditurperccleritates acquifitas punctis fingulis catena? SAC cum crit in recta SC. Itaque fingulîE NO in fingulas gravitâtes 9 duftîe, fumma produftorum omnium debehit îequari produclo ex pondère p in deicenium ponderis E, qui defcenfus zequatur ^BD bis hoc efl: S^BD. quia parabolam SAC eodem modo hic metimur ac fi arcus circuli foret 3). ') Puisque c = •j^ étant l'acccldration de la pesanteur on a BF = — .DemêmeON = -^, SI nous appelons x la vitesse avec laquelle l'élément Q atteint le point O. -) Huygens fait apparemment, outre Tliypothése que la forme de la corde vibrante, dans sa posi- tion extrême, est à peu prés une parabole, celle que tous les éléments de la corde exécutent des vibrations harmoniques: les vitesses .v, x' etc. avec lesquelles ils atteignent les points B, O, O, sont alors entre elles comme AB, OO, 00. D'après la note i BF : ON = x^ : .v'-; donc aussi BF : ON = AB= : Q0=. Comme Huygens ne rend pas compte de ces hypotlièses, nous ne tâcherons pas non plus de le faire. Il est possible qu'il ait songé à une forme sinusoïdale de la corde: voir la p. 528 qui suit, où il dit que la „linea sinuum" dilfére peu de la parabole. 3) C'est, peut-on dire, une application de la loi de la conservation des forces (comparez le deu- DÉCOUVERTE DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DE l'iSOCHRONISME DtJi VIBRATIONS. 495 xième alinéa de la p. 4- 1 qui précède), le produit du „poids" p par le carré de sa vitesse étant supposé trop petit pour être pris en considération. Il est dommage que Huygens n'ait pas exé- cuté le calcul qui suppose évidemment les longueurs NO non seulement proporriomielles, mais égales aux plus grandes hauteurs que les différents éléments de la corde pourraient atteindre en s'élevant séparément avec les vitesses x, x', etc. S'il avait entrepris d'exécuter le calcul, il aurait peut-être été amené à considérer nettement la question des unités; il aurait pu dire qu'en formant le produit des „singula.' NO [proportion- nelles aux carrés des vitesses, d'après la note 2] in singulas gravitâtes (j ducte", il faut prendre \'Lmv- — voir le deuxième alinéa de la note 6 de la p. 359 du T. XVI — , où ;// est le poids divisé par l'accélération ^de la pesanteur. En appelant / le temps d'une vibration simple, / la longueur et M la masse de la corde, et en représentant par ;/ le plus grand écart d'un élément de la corde de sa position d'équilibre — écart qui est égal à b pour le milieu de la corde — , on a i' = ^^ et sS'"'^" = -'2 j ■^ "T" "3' = , ; I "'dy. Or, la valeur de cette intégrale est, pour une o o forme parabolique de la corde, ^^-/. La „vis motus" est donc — 5-. En l'égalant à r„al- titudo dufta in gravitatem", c.à.d. au produit du poids /i qui est il/^ — puisque le poids tendeur est ici supposé égal à celui de la corde — ,on a^ ^ = iifg^, h étant la différence entre la longueur de la corde vibrante considérée dans sa position extrême et celle de la corde géomé- trique qui la soustend. Cette différence est d'après Huygens ± [Vl' + 4*" — /] — comparez la p. 107 qui précède — ou- -^^ puisqu'elle est supposée fort petite. Substituant h = - -r dans l'équation précédente, on en peut tirer /= — i= \ / -. Vio V g En supposant le poids tendeur (ou la tension) K — nous écrivons K au lieu de /> pour nous conformer aux formules de la note 5 de la p. 491 et de la note 3 de la p. 492 — quelconque, nous aurions obtenu t = — = \ / ''- — , ce qui s'accorde fort bien avecla valeur aduellement V 10 V A considérée comme correfte t = \/ ^- Comparez la fin de la note 10 de la p. 485. Le calcul de la „vis motus" du poids tendeur fait voir que celle-ci est en effet négligeable lorsque l'écart b est fort petit en comparaison de la longueur /, II. PRINCIPE DE L'INCITATIOiN DONNEE AUX CORPS PAR UN AGENT EXTÉRIEUR OU PAR UNE CAUSE INCONNUE. [1675 OU 1676]") Un corps qui a acquis une certaine viteiïe de mouvement, continue d'aller avec cette mefme viteiïe, s'il n'y a rien qui agiiïe a diminuer fon mouvement, ni rien qui l'incite de nouveau. Si quelque chofe agit continuellement a diminuer le mouvement d'un corps, qui efl: en mouvement, il perdra peu a peu de fa viteiïe. Et au contraire fi quelque chofe agit continuellement fur un corps en le pouiï'ant du coiïè vers le quel il ic meut défia, ion mouvement recevra continuellement de l'accélération. La force qui agit l'ur un corps pour le mouvoir quand il efi en repos ou pour aug- menter ou diminuer fa viteife quand il eft en mouvement, je l'appelleray incitation. Quand on confidere la viteflTe du moteur qui caufe l'incitation, comme infiniment grande en comparaifon de la vitefie qui efl: dans le corps meu ou a mouvoir, alors la quantité de l'incitation a chaiquc inllant de fon mouvement le mefure par la force qu'il faudroit emploier pour empefcher le corps de commen- cer a fe mouvoir, a l'endroit ou il fe trouve, et dans la direftion qu'il a. Soit par ex. une boule [Fig. 15] qui defcende par une iurface courbe AB, moins inclinée à l'endroit A qu'en B. L'incitation de cette boule en A fera égale a la force qu'il faut pour la retenir a cet endroit par la corde CD parallèle a la tangente de la furface x\ qui eil: dans le plan vertical. Et l'in- citation de la mefme boule en B, fera égale a la force qu'il faut [Fig-i5-] '} La Pièce est empruntée aux p. 41 — 42 du Manuscrit E. Les p. 36 à 39 portent toutes des dates de février 1675, et la p. 58 celle de décembre 1675; mais la p. 40 contient la phrase: „En quitant Paris le prem. [ul. 1676, pour aller en Hollande . . ." (déjà imprimée à la p. 416 du T. VU). Les trois premiers alinéas ont été biffés par Huygens, sans raison apparente. PRINCIPE DE l'incitation ETC. [1675 ou 1676]. 497 pour la retenir a cet endroit par la corde \iV parallèle a la tangente en li. Et ces in- citations font les meihies foit que la boule commence a fe mouvoir ou qu'elle (bit délia en mouvement, parce que la gravité agit comme par une vitelTe inlinimcnt grande en comparailon du mouvement que l'on liippofe dans la boule. J'appelleray incitation parfaite celle qui efl: ainfi caulëe par un principe d'intinie vitelTe. Ce qui caule la relHtution des relTbrts, agit ûiiffî par une -jitejjc cxtrcineuieiil gniiuk' •), comme il paroit par le mouvement (budain des reObrts qui le débandent [Fig. 16], et par la vitelTe de leur vi- [Fig. 16.] brations qui fcroit comme infinie fi ce n'elloit le poids des reilbrts niefnies qui la diminue. C'ert pour cela que le reilbrtderaircomprimèeltplusprompt qu'aucun autre, parce que le poids de l'air eft tout a t'ait petit. ^^£ >-. i Lors donc qu'un corps et ^^ poudê '^]^[^^7^'5][^4^^JTÏT]|W ou tiré par un reiTort pour le mettre en mouvement, ou pour accélérer celuy qu'il a défia acquis, fon incitation a chaque point de fon chemin fe mefure audî par la force qu'il faudroit a cet endroit pour Fempefcher de commencer à fe mouvoir dans la direction que luy imprime le rellbrt. Soit [Fig. i6] le retTort AB attaché en A, et forcé hors de l'a pofition natu- relle, et qu'il poufiTe ou tire le corps C. L'incitation de ce corps en li fera égale a la force qu'il faudroit pour l'arrcfter a cet endroit directement contre l'effort dureirorf»). Et cette incitation eit la mefmc foit que le corps C cominence a élire mis en mouve- ment ou qu'il en ait défia acquis; pourveu toutefois que l'on conte ') pour rien le poids du reffort comparé au poids du corps, car autrement il faut confiderer que c'ell l'incitation du compolè du corps et du relTort enfemble. Il eft manifelte par ce qui elt dit jufqu'icy que les incitations d'un corps quoyque caufees par différentes caufes, comme pefanteur relTort vent attraction d'aimant ou autre, peuvent eftre égales l'une a l'autre. L'incitation parfaite d'un corps qui demeure conilamment égale comme celle de la pefanteur fur un corps qui defcend perpendiculairement ou par un plan incliné je l'appelleray incitation uniforme. -) Leçon alternative: „est de cette mesme nature". 3) Lisez: „est". 4) Expression équivoque: ce n'est pas pour iivrcter le corps contre l'efîorc du ressort qu'il faut une force déterminée; mais c'est pour le maintenir, dam la situation considérée, dans f état de repos. Comparez la Fig. 15 où une force égale à l'incitation retient la boule déjà immobile. 5) Lisez: „compte". 63 49^ PRINCIPE DE l'incitation ETC. [ 1 675 OU I ôjâ]. L'incitation parfaite, mais qui s'augmente continuellement je l'appellcray incitation croilTante, Et celle qui diminue continuellement decroiflante. incitations différentes uniformes et corps égaux, quel temps par des efpaces égaux, incitations égales fur des corps inégaux '). H y p o t h è f e . Deux corps ellant pofez égaux , et parcourant des lignes égales avec des incitations qui foicnt égales entre elles a chaque deux points également avancez dans les deux lignes, quoyque les incitations des corps vienent de caufesdiflerentes, les deux lignes feront parcourues en des temps égaux. ') Si Huygens avait pris la peine de développer le programme contenu en ces trois lignes, il aurait pu parvenir à distinguer nettement l'un de l'autre le poids et la masse d'un même corps, et plus généralement à dire que les incitations agissant sur des mobiles libres sont entre elles comme les produits des quantités de matière par les accélérations. Comparez les 7 dernières lignes de la p. 45 qui précède. APPLICATION PRATIQUE AUX HORLOGES DE DIFFÉRENTS MOUVEMENTS VIBRATOIRES PLUS OU MOINS ISOCHRONES. î. L'application de janvier i 675 du ressort spiral régulateur aux balan- ciers DES montres. II. L'application de décembre i 683 des vibrations de torsion aux horloges marines (pendulum cvlindricum trichordon). III. Premier projet, de i 683 ou 1 684, du „balancier marin parfait" de i 693. IV. L'application du pendule triangulaire, datant déjà de 1671, X une HORLOGE marine, CONSTRUITE VERS l 685, CETTE DERNIÈRE ÉTANT UN REMON- TOIR À RESSORTS. V. Le „balancier marin parfait" de janvier-février i 693. VI. La „libratio isochrona melior précédente" de mars 1693. VII. La „libra isochronis recursibus" de mars i 694. VIII. La dernière horloge marine de 1694. Avertiffement. Nous avons vu (p. 483 et iui\'.) que bien peu de temps après la publication de r„Horologium ofcillatorium" Huygens comprit que, fi la cycloïde a le pouvoir de rendre ifochrones les ofcillations du pendule fimple, elle ne podede pas cependant le monopole du tautochronifme. Le pofTède-t-elle pour le cas du point matériel ofcillant (bus l'inHuence de la peiantcur confiante et agifiTant fuivant des droites parallèles"? C'efi une queftion que Huygens ne s'efi pas pofée, paraît-il, en ce temps '). Ce qu'il aperçut clairement en 1673 c'efi que dans /^«« les cas où , comme dans celui de la cycloïde, Tincitation (comparez la p. 483) qui tend à ramener le mobile vibrant vers ia pofition d'équilibre, eft proportionnelle à l'écart, la période fera également indé- pendante de l'amplitude. Témoin les cordes vibrantes des inftrumen ts muficaux (p. 490) ') En juillet 169 1 les frères Bernoiilli parlent (T. X , p. 1 1 9) d'une infinitéde courbes, autres que la cycloïde, „per quas descendens grave oscillationes peragat isochronas", et Huygens écrit en no- vembre 1691 (T. X, p. 191) qu'il n'y voit „pas d'impossibilité". Quoiqu'il ne soit pas absolu- ment certain que les Bernoulli et Huygens entendent parler ici du cas de la pesanteur constante et agissant suivant des lignes parallèles — puisqu' à la p. 1 19 nommée Jacques Bernoulli cite Newton; comparez la note 5 de la p. 168 du T. IX — il est fort possible que Huygens ait cru devoir admettre la possibilité d'oscillations isochrones aussi dans des cas, inconnus à-lui-mème, où la force ramenant le mobile vers la position d'équilibre ne serait pu! proportionnelle à l'écart. Voir cependant à la p. 584 qui suit, le passage de 1693 où il dit que pour que les oscillations soient „exa(îté isochrons", elles doivent être comme il résulte des considérations sur le „motus in cvcloide". 502 AVERTISSEMENT. dont le tautochroniime s'expliquait défonnais par l'analogie de leur mouvement avec celui du pendule cycloïdal. Or, des cordes vibrantes aux reiïbrts (p. 497), il n'y a qu'un pas (p. 487). Les reiïbrts étaient fort connus comme moteurs des horloges. L'idée de s'en ier- vir aufll pour régler leur mouvement fe préfcnta tout naturellement à l'efprit de Huygens lorfqu'il eut découvert la raifon d'être du tautochronifme de plufieurs genres de vibrations — évidemment en admettant, pour les vibrations élaftiques, la loi for- mulée par R. Mooke dans un écrit de 1678 par les mots „ut tenfio fie vis" ') — , et qu'il put donc abandonner la cycloïde fans en abandonner le principe. C'cfl: apparem- ment à la découverte théorique qu'il fait allufion, fans fe trahir, en difant dans fon article de février 1675 dans le Journal des Sçavans (T. VU, p. 424)quele„m<)uvc- ment [des montres à reflbrt fpiral régulateur] efl; réglé par un principe d'égalité, de même qu'eft celui des pendules corrigé par la Cycloïde". On pourrait objeéler qu'il n'efl: pas abfolument évident ce qu'il faut entendre par l'incitation ccnfée proportion- nelle à l'écart, lorsqu'il s'agit du mouvement rotatoire d'un balancier dû à un reiïort fpiral (figure de la p. 425 du T. MI): dans le cas de la cycloïde il n'eiï queltion que d'un point matériel fe mouvant fuivant une ligne. Il était pourtant fort naturel de fuppofer que l'expérience ferait voir généralement, entre certaines limites, le tauto- chronifme non feulement des reiïbrts droits, c.à.d. hélicoïdaux (p. 497), mais auiïi des reiïorts fpiraux, et que ce tautochronifme admettrait une explication théorique analogue à celle donnée pour les vibrations harmoniques linéaires du point matériel. Voir à ce (ujet la p. 5 1 2 qui fuit. Il y avait une autre confidération également forte qui induifit Huygens à tourner en janvier 1 675 fes regards vers le reiïort régulateur des balanciers : c'eft que l'idée de régler leur mouvement par des reiïorts n'était nullement nouvelle. Nous l'avons déjà dit à la première page du préfent Tome (p. 3), en renvoyant le lefteur à la note 7 de la p. 159 du T. XVII, où il eiï quertion d'une invention françaife. Dans fon mémoire de juillet 1 674 adreiïé à l'Académie des Sciences J. de Hautefeuille parle auiïi, en faifant mention de Pardies (ligne 5 d'en bas de la p. 459 du T. VII; comparez la p. 487 qui précède), de l'application d'un reiïort au balancier des mon- ') Voir la note 24 de la p. 525 du T. VII , le troisième alinéa de la p. 94 du T. IX et la note 2 de la p. 484 du présent Tome. ^) T. VIT, p. 51-. En 1675, après la publication de Huygens, il parle (p. 518) de son idée „of AVERTISSEMENT. 503 très. En Anglcccnc R. I lucjkc dit en 1675 avoir eu depuis longtemps cette idée qu'il confidéra toujours comme tienne par excellence "). En parlant d'une „conlidé"ration également forte", nous difons d'ailleurs plus que nous ne lavons, plus même que Iluygens n'a pu lavoir: qu'il s'agillé d'autrui ou de nous-mêmes, ni la force des motifs qui déterminent à l'aétion, ni celle des idées qui en engendrent d'autres, ne peuvent être mefurées par nous, quel que foit notre défir d'être objeftifs. La découverte théorique de Huygcns ne vint peut-être quiTf,uvtiv la pcniee Trapc; f/.E^auiav ^): il ell polllblc que déjà avant 1 673 il ait fongé à s'occuper lui-même de la queftion du relTort régulateur, puifqu'il dit en feptcmbre 16--5 (T. V, p. 4H6) que dès 1660 — voir la note fuivante -- il ne trouvait pas bonne la manière d'appliquer le relfort qu'il avait vue en France et qu'il en favait déjà en ce temps „de beaucoup meilleures". Ce que nous croyons comprendre, c'eft qu'après fa découverte théorique — reliée, paraît-il, inconnue en ce moment à tout-lc-monde; comparez les dernières lignes de la p. 483 — il était enclin à coniidércr le reffortfpiral régulateur du balancier comme une invention due entièrement à lui-même. D'ailleurs, il femble ■ — quoique nous ne lâchions pas au jufte de quoy s'occupait en 1 660 l'horloger Martinot infpiré par le duc de Roanais et Bl. Pafcal+), ni ce que d'autres horlogers français'), ou R. Hooke, ont pu concevoir — que jufque là on n'avait guère fongé à régler le mouve- ment du balancier des montres qu'à l'aide de reflbrts hélicoïdaux, ce qui efl: autre chofe: Il de Hautcfeuille ^) avait eu connaiflance de l'application d'un reil'ort fpiral applying Springs to the arbor [comme Huygens: nous soulignons] of the Ballance of a Watch". Voir sur la priorité de Huygens les remarques de Leibniz citées dans la note de la p. 454 du T.VII.Ces„Remarquessurlediscours de Mr. H[enry] S[ully] toucliant la manière de gouver- ner les Horloges à Pendule et les montres à spirale" se trouvent dans le livre de Sully „Ilegle artificielle du Temps, ou Traité de la division naturelle & artificielle du Temps:Des Horloges & des Montres de différentes Construftions: De la manière de les connoître & de les régler", Paris, 1717. Comme Sully le dit dans cet ouvrage, il Pavait montré à Leibniz, à Vienne, avant l'impression (Leibniz mourut en 17 16). Voir sur Huygens et Sully la p. 520 qui suit. 3) Homère, ITliade, Livre XXII, v. 186. Comparez la note i de la p. 516 qui suit. •») Voyez la note 7, déjà mentionnée dans le texte, de la p. 159 du T. XVII. Dans son Journal de Voyage, dont il est aussi question dans cette note, Huygens écrit: „i i [Nov. 1660]. Martinot l'horloger me vint veoir, parla de l'invention du ressort au lieu de pendule". Martinot faisait grand cas de sa construdion (T. IV, p. 264 — 265). 5) Voir la fin de ravant-dernier alinéa de la p. 442 du T. VII. «S) J. de Hautetéuille se servait de ressorts hélicoïdaux (voir la figure de la p. 449 du T. VII). Comparez la p. 41 3 du T. VII (horloge de d'Alesme). L'histoire du „ressort en spirale appliqué par un bout à la pendule" (T. VII, p. 412) n'est pas claire. 504 AVERTISSEMENT. aux balanciers avant 1675, il aurait dià le dire dans le „Fa(5tum" des p. 439 et liii\'. du T. VU. Le 30 janvier (T. VII, p. 400) Huygcns envoya Tanagrammc de fon in- vention à Oldenburg. Nous pouvons nous figurer fon indignation lorfque Thuret, à qui était due la rcalilation pratique de réchappement (p. 407 et 410 du T. VII) — Iluygens n'avait pas conitruit de modèle, comme il le fallait en d'autres occafions ') — eut la prétention d'y avoir eu quelque part '). Dans fa lettre du 20 février 1675 à Oldenburg (T. VII, p. 422) Huygens lui donne l'explication de l'anagramme, puifque, dit-il , par „la mauvaile foy" de Thuret „le fecret ne s'en eft pas bien gardé". Huygens obtint le 15 février 1675 (T. VII, p. 419) pour la France un privilège pour les horloges portatives tant fur terre que fur mer, qu'il avait demandé dix jours auparavant (T. VII, p. 401), mais il dut renoncer à le faire enregiltrer (T. VII, p. 416). Les Etats de Hollande et de Weft-frife lui accordèrent le 25 feptembre 1675 pour 1 5 ans un oétroi pour les horloges marines nouvellement inventées, mais pas encore conftruites; voir la p. 523 qui fuit. Fort probablement (voir les premières lignes de la p. 4 1 1 du T. VII, et comparez les p. 7 et 20 du préfent Tome) fon père a fait valoir fon influence auprès des Etats. Les mômes Etats lui accordèrent le 27 fep- tembre (p. 524) un octroi, également pour 1 5 ans, pour les horloges de poche. Les ter- mes de cet „appoin cément " redemblent beaucoup à celui du 4 octobre fui van t des Etat s- Généraux fur le même fujet, que nous avons déjà publié à la p. 507 du T. VII 3). Le défir de conftruire des horloges exaétes — principalement en vue de la déter- mination des longitudes — était fi vif que les concurrents fe paflionnaient tout natu- rellement +). D'autre parc nous comprenons que le père Conftantijn , toujours maître ') Comparez la note 9 de la p. 32 qui précède. -) Nous regrettons pourtant de ne pouvoir appliquer ici le fameux précepte: „Audi et alteram partem"; car, quant à la lettre de Thuret de septembre 1675 (T. VII, p. 498), où il dit n'avoir eu aucune part à l'invention, il est assez évident qu'il n'avait pas la liberté de ne pas l'écrire. Voir sur les prétentions de Thuret le deuxième alinéa de la p. 408, le quatrième alinéa de la p. 412, le deuxième alinéa de la p. 415, le deuxième alinéa de la p. 421, ain août 1673 à 11. Hooke („l)e briefwisseling van Const. Iluygens", éd. J. A. Worp, T. VI, la Haye, 1917, p. 330). Comparez la p. 432 du T. VII (lettre de mars 1657 de Const. H. à H. Oldenburg). ") Virgile, TEnéide, Livre VI, v. 544: „Ne sa;vi, magna sacerdos". S) Voir la p. 542 du T. VII. ^) Isaac Thuret est mentionné plusieurs fois dans les „Comptes des Bâtiments du Roi, sons le règne de Louis XIV (1664 — 1687)", Paris, Imprimerie nationale, 1881 (2 vol.), publiés par J. GuifFrey. Son nom apparaît pour la première fois en 1669, où il est question des „ouvrages qu'il a fait à l'Académie des Sciences". En 1672 et dans les quinze années suivantes il est „retenu pour entretenir toutes les pendules de l'Académie des Sciences, tant celles qui sont à l'Observatoire que dans ladite Académie". En 1687 nous apprenons qu'il occupe une partie des galeries du Louvre, lui décembre 1680 il est payé de la somme la plus forte qu'on trouve à son compte, soit 8000 livres, „piiur une machine du mouvement des planettes". En mai 1682 il est question d'une machine „qu'il a faite pour les éclipses" et en août 1687 d'„une machine paralactique servant aux observations". La machine planétaire est celle de Roemer, mentionnée à la date du 27 août 1680 par J. B. du Ilamel à la p. 192 de sa „Regia.' Scientiarum Academia; Historia" de 1701 : du Hamel dit que cette machine avait été construite par Thuret. Il en fut de même de la „machina Lunœ motibus dimetiendis" dont Roemer présenta le projet le 30 août suivant: elle fut achevée ,,brevi post tempore ab eodem artifice"; c'est évidemment la machine „pour les éclipses" de 1682. Nous ajoutons que P. Ilorrebow, dans sa ,,Basis astronomia;" de 1735 — citée aussi à la p. 600 qui suit — dit que la machine planétaire de Roemer était mue à la main, et qu'elle re- présentait le mouvement du soleil et des planètes suivant le système géocentrique de Tycho Brahé(p. 132 et PI. XI). 64 5o6 AVERTISSEMENT. de rencontre, direftement à Taxe du balancier, auquel eft également attaché — com- parez la note 2 de la p. 502 — une des extrémités du rellbrt fpiral; c'efl: le difpolitit de la deuxième figure de la p. 408, de la première de la p. 409 et de la deuxième de la p. 414 (toutes empruntées au manuicrit E) du T. VII. On peut aufll, comme l'in- dique la troiilèmc figure — datant du 23 janvier, c.à.d. du lendemain de la conllruc- tion du premier modèle par Thuret — de la p. 409 du T. VII, monter fur l'axe de la verge à palettes, auquel efl: attaché ici aufil une des extrémités du reffbrt fpiral, une roue qui engrène dans une autre montée fur l'axe du balancier. Plus cette dernière [Fig. I-.] roue efl: petite (dans la figure de Huygens elle n'efl: pas plus petite que l'autre), plus le balancier fera de larges ofcillations. On peut en troifième lieu confl:ruire l'échappe- ment comme l'indiquent la figure, publiée en février 1675 par Huygens, de la p. 425 du T. VII, et la Fig. 17, empruntée à la PI. XIV de r„Hilloire de la Melure du Temps par les Horloges" de 1802 de F. Berthoud (voir la p. 31 du T XVII), où ce efl: le balancier et aa le reflbrt fpiral. Ici furtout le balancier fait de larges ofcil- lations, d'où le nom à'' échappement à pirouette. Berthoud écrit (T. I, p. 143): „0n voit que les palettes, et l'axe qui les porte, parcourant un petit arc, la rouede champ DD fait décrire au pignon \_d'\ une grande partie de fa révolution et par conféquent aufll au balancier; et on peut varier, à volonté, l'étendue des arcs du régulateur, félon que la roue de champ D porte un plus grand ou plus petit nombre de dents, et que le pignon a plus ou moins de diamètre et par conféquent de dents." C'efl: à bon droit, puifque les deux figures s'accordent, que Berthoud parle de „la montre à pi- rouette d'Huygcns", de „la difpofition que Huygens a donnée à l'échappement en AVERTISSEMENT. 507 appliquant le i'piral au balancier". Il femblc toutefois poffiblc que ce foit Thiiret qui ait donné à réchappement cette forme-là, puifque nous favons (T. VII, p. 406) que Thurct montra le 23 janvier à I luv^^^ens „un autre modelle du mefme balancier"', et que 1 kiy^rens crut plus tard que „des lors il avoit le deflein de s'attribuer cette invention". Ce deuxième modèle n'était donc évidemment pas identique avec le pre- mier. A la p. 407 du T. VII Huygens l'appelle „un pareil modelle ou un peu de- guifè" '), et il avoue (p. 410) que Thurct a „contribuè beaucoup de fon induflrie a l'exécution". En quatrième lieu, on pourrait appliquer le reiïbrt Ipiral régulateur à deux balan- ciers égaux ') dont les pignons s'engrènent, ou qui s'engrènent eux-mêmes, comme Huygens le propofe (deuxième figure de la p. 409 du T. VII). Nous renvoyons le lefteur, pour cette conllruftion comme pour quelques détails hifloriques, à la Pièce I qui luit (note 2 de la p. 522) ~'}. En admettant — voir ce que nous difons plus loin fur les horloges de juillet 1683 — qu'il ait été poffible dès les jours de Huygens de conflruire, en fe fervant du refïbrt fpiral régulateur, des horloges marines marchant bien, comme Huygens le dit dans fa requête du 5 février 1675 (T. VII, p. 401), — nous voulons dire .-marchant bien dans la chambre d'un obfervateur — on ne peut pas cependant avoir été dès lors en polTeffion d'inllruments de précifion permettant de déterminer exactement les longi- tudes : l'influence de la température fur les refforts doit y avoir mis un obllacle regardé fans doute en ce moment comme infunnontable. En 1666 Huygens avait parlé lui- même de cette difficulté dans le cas des reflbrts moteurs (premier alinéa de la p. 9 qui précède). En i675,lorfque d'autres firent la même obfervation à propos des reflbrts régulateurs +) , il fe montra d'abord plus fanguin '). Mais plus tard (1683) ') Comparez la note a de Huygens à la p. 499 du T. VII. ^) Plus tard (voir la p. 525) Huygens remarque expressément que dans ce cas il vaut probable- ment mieux se servir d'un seul ressort que d'en appliquer un à chaque balancier. 3) II est d'ailleurs évident que, pour être mieux renseigné sur les différentes applications qu'on peut faire du ressort spiral régulateur, le lefteur devrait consulter des ouvrages d'horlogers ou s'adresser à des spécialistes compétents. 4) T. VII, p. 427, 433. 5) T. VII, p. 457. 5o8 AVERTISSKMF.NT. il dut reconnaître que Finfluencc de la température eft indéniable '). Rien n'indique que, par fuite de la décifion des Etats de Hollande et de Wcllfrife du 25 feptemhre 1 6;-5 (p. 523), les „Gecommitteerde Raden" et les „Collegien ter Admiraliteyt" aient fait faire des expériences menant à cette conclulîon. De telles expériences ne pour- raient d'ailleurs dater que de 1681, 1682 ou 1683: voir la note i. Rappelons au(Ti qu'en aoi!it 1679 =) lluygens écrit qu'„il y a plus d'cfperance de reuffir avec des balan- ciers avec un relTort fpiralc, mais conftruits en grand volume" et qu' „il vaudroit la peine de faire cette efpreuve". Ce qui femble le plus probable c'eft qu'il ait conftaté lui-même l'influence de la température s). Forcé de chercher autre chofe il conilruifit le modèle d'un „pendulum cylindricum trichordon" fans refrort+) (Pièce II, p. 527), où les vibrations provenant d'une efpèce t^Ve^/fitiU^rV Ih ') Voir à la p. 527 qui suit le début du § i, datant de décembre 1683. Vers le i janvier 1681 Huygens écrit (Manuscrit F. p. 46; la p. 45 porte la date du 27 décembre 1680): Sus- pendre le balancier [Fig. 1 8] par un fil de foye, mais en forte que les deux pivots ne puiffent fortir de leur trous lors qu'on voudra coucher la machine [il s'agit ici de l'iiorloge destinée à mouvoir le planétaire], le fil 3 OU 4 fois plus long - qu'il n'efl repreicntc icy. un petit con- trepoids B qui foit égal a la pcfanteur du balancier. En faifant ce balancier grand, j'auray un elTay de lajufl:efre de ces horologes a refl^ort fpirale". En ce moment la question de la justesse de ces J horloges était donc encore indécise. Le ressort spiral de l'horloge du plané- taire, exécuté par van Ceulen en 1682, est représenté avec son balancier à la p. 525 [Fig.2l]. =)T. VIII, p. 19-. ') Toutefois nous ne pensons pas qu'il ait fait sur ce sujet un grand nombre d'expériences précises. Dans ses „Remarques" citées dans la note 2 de la p. 502 Leibniz écrit: ,,Par rapport aux Res- sorts à spirale, dont on se sert dans les montres de poche, il seroit important d'examiner, com- bien l'Air a de l'influence sur les Vibrations d'uii tel Ressort, et particulièrement, combien le froid et le chaud en changent l'égalité". *) C.à.d. sans ressort régulateur. Il y avait encore dans l'horloge des ressorts moteurs: voir les notes 8 et II de la p. 533. AVERTISSEMENT. 509 de corfion font h fort peu près ifochrones, puifque le moment qui agit fur le pendule efl à peu de chofe près proportionnel à l'angle de torfion (note i de la p. 528). Il peut donc dire qu'il y a iei l'effet d'un rclTort, fans reffbrt, de même qu'il eût pu dire en introduifmt le refTbrt l'piral dans les montres qu'il y a ici, fans cycloïde , l'effet d'une cycloïde (ce qu'il dit en effet — deuxième alinéa de la p. 502 — en termes quelque peu différents). C'eil toujours le même principe qui fubfîitc. Et en fuppofant la lon- gueur des fils invariable (voir la p. 544 du T. XVII), le défaut des horloges à reffort régulateur fc trouvait ainfi corrigé. Les horloges conltruites d'après ce modèle à la Haye par l'horloger J. van Ceulen (§ 4 à la p. 532) ') paraiilènt être celles qui furent cffayées en 1685 par Iluvgens fur le Zuyderzee. En effet, comme cela reffort d'une lettre de J. Gallois à 1 luygens (T. VIII, p. 405), ce dernier avait écrit vers la fin de 1682 qu'il fe propofait de faire de nouveau l'épreuve du „fecret des longitudes"; en juillet 1683 (T. VIII, p. 429) il fe dit „requis par la C'^ des Indes Orientales" — les „Refolutiën vande lîewind- hebbers vande O.I. C'c ter Camer tôt Amfferdam" (Archives de l'Etat à la I lave) ') D'après un registre que nous avons consulté aux Archives comminiales de la Haye, Johannes van Ceulen, le célèbre horloger bien connu des collectionneurs, acheta en janvier 1677 une maison „aen 't Pleijn", donnant sur la Heerestraat, donc vis-à-vis de la maison de Constantijn Huygens père, où Christiaan H. demeurait en 1677 (note 6 de la p. 4) et ensuite de 168 1 à 1687. Il est fort naturel que Huygens s'adressa à cet horloger-là, et qu'une collaboration active s'ensuivit. Huygens parle de lui pour la dernière fois en octobre 1684 et Hudde en septembre 1685 (voir le texte). Van Ceulen devint membre de la Corporation des Horlogers de la Haye en 1688 et fut plu- sieurs fois „hooftman" ou „deken" dans les années suivantes. Les n"' 1270 et 1279 des Archives notariales de la Haye contiennent son testament et toutes les pièces du notaire qui se rapportent à la succession. Il mourut le 7 décembre 1715 dans la maison du Plein, laissant e. a. à son fils homonyme, également maître-horloger, son „groot staende Horologie genaemdt 't Corredorium". Ce „Correctorium" peut avoir été une horloge à pendule de 12 pieds: dans un passage biffé de la p. 21 8 du Manuscrit F Huygens dit que van Ceulen a construit plusieurs horloges de cette espèce: en dan noch sal moeten op landt 2 draeden in de meridiaen ipannen en een teycken doen doen [il s'agit d'un coup de mousquet ou de canon; voir la I. 24 de la p. 58 et les p. 579 et 580 du T. IX]. dit fal in t toekomendc konnen beter verricht werden als m.en een horologie met een langh pendulum van 1 2 voet gelijck van Ceulen er [?] verlcheyden gemaeckt heeft aen land fal hebben verordineert outrent de plaets daer de fchepen leggen die op reijs gaen, want dit horologie geflelt fijnde fal men het daghelyx verfchil der zee pendula daer aen konnen bekennen". Comparez la p. 288 du T. IX. 5IO AVERTISSEMENT. difent en effet (p. 526 qui fuit) que Huygens fut invité le 3 1 décembre 1 682 à s'occu- per de la quellion des longitudes — et fa lettre du 12 décembre 1683 à Fullenius (T. VIII, p. 475) fait voir que c'ell à la fuite de cette infligation que fut inventé le „pend. cyl. trichordon". Les deux horloges conllruites par J. van Ceulen, dont Huygens parle en juillet, août et feptembrc 1683 (T. VIII, p. 429, 439, 453) — nous les mentionnons de nouveau dans le premier alinéa de la p. 513 qui fuit — furent changées par lui „de cette façon" vers la fin de décembre 1 683 (§ 4 à la p. 532). D'après les „Refolutiën" déjà mentionnées une lettre de Huygens que nous ne pofTé- dons pas et dont il n'a pas été fait mention danslaCorrefpondance, fut lue (p. 526) dans l'affemblée des Direfteurs de la O^ le 28 février 1684: il y déclare être parvenu à faire accorder les deux horloges fi bien entre elles que la différence joumalière n'efl: que de 1 ou 2 fécondes, à quoi il croit encore pouvoir remédier. Voir cependant, à '^ P- 533 § "^i ^^ 'î'-''^ écrit, également en 1684, fur Timpoffibilité d'obtenir la „demiere égalité". Le 30 août 1685 il fut décidé, d'aprèsles„Refolutiën"(p.534), de mettre un galliot à la difpofition de Huygens qui avait propofé de faire lui-même l'effai des horloges fur mer. \'oir la lettre du 3 feptembre 1685 de J. Hudde à Huy- gens (T. IX, p. 24), où il faut lire „van Ceulen" au lieu de „van Teilen". Voir en- core fur cette expédition les p. 25 — 32 du T. IX. D'après les „Refolutiën" Hudde fit le 17 feptembre fur ce fujet un rapport oral, où il dit que les expériences étaient à refaire (p. 539). Quoique Huygens (T. IX, p. 31) écrive encore le 3 oftobre être „a(reurè que [les horloges] fouffriront facilement le mouvement des grands vaiffeaux, dans quelque temps qu'il faffc", le rapport de Hudde a apparemment amené les in- téreffés à ne plus faire ufage du „pend. cyl. trichordon" dans les expériences fuivantes. Les minutes de la p. 37 du T. IX font voir qu'en oftobre Huygens refla en corres- pondance avec Hudde. P. van Dam — mentionné aux p. 37, 579 et 580 du T. IX et 80 du T. X — , dans fa „Befchrijvinge van de Oofl-Indifche Compagnie" préfentée aux Direfteurs en 1701 et publiée en 1927 — 1929 par F. W. Stapel '), écrit dans le chapitre des „Nieu\ve Inventicn" -) que Huygens fe fervit dans l'expédition de 1685 de deux horloges non fufpendues: „twee leggende horologies" (exprcllîon qui conviendrait à des horloges à reffort fpiral régulateur, mais qui s'applique aufll fort ') Rijks Geschiedkundige Publicatiën, la Haye, M. Nijhoff. ') Ch. 49, p. 679. AVERTISSEMENT. 5 1 1 bien à des „peiKi. c\ 1. trichorda", en fiippoiant les fils alTez courts) qui ne le mon- trèrent pas afTez exactes („maar die nien heeft bevonden niet te kunnen wefen van fodanigc accuratede en onverandcrlijckheyt, als tôt die uytvindinge nootfaeckelijk Ibude werdcn vereyfcht") de Ibrtc qu'un renonça à s'en fervir („dat daarvan allniede niet is geworden"). Nous ignorons les détails de la conltruétion de l'habile ') van Ceulen. Voir cependant le § 6 à la p. 533 qui fuit. Les pages fur le „pcnd. cyl. trichordon" (p. 527 — 533) font intérelTantes à un point de vue icientilique. D'abord puilqu'il y eitqueition de la „lineafinuum" (ou „(inusoïde", pour employer un terme plus moderne), obtenue par le développement fur un plan de Tinterfeétion d'un cylindre avec une fphère, dont le centre fe trouve fur le cylindre et dont le rayon efi: égal à fon diamètre; autrement dit, par le développement fur un plan d'une ligne cyclocylindriquc, comme s'exprime A. Lalovera, ou cycloï-cylindrique, fuivant la terminologie de Bl. Pafcal +). On obtient la même ligne par le développement fur un plan de la feftion elliptique obtenue en coupant un cylindre par un plan incliné à 45°, développement dont Huygens s'était fervi en 1658 (note 4 de la p. 529)'). Lalovera apprit de Pafcal que fa ligne cyclocylindrique fpéciale étendue fur un plan, n'efi: autre que la „petite cycloïde" ou „compagne de la roulette" confidérée déjà auparavant par Roberval +). 3) T. VIII, p. 342. En octobre 1682 Huygens écrit qu'il n'aurait pas pu trouver à Paris „un ouvrier aussi habile" (T. VIII, p. 393). Il est intéressant de comparer cette opinion à celle exprimée par Huygens en 1667 (T. XVIII, p. 19, deuxième alinéa). ■*) Voir à ce sujet les „Oeuvres de Bl. Pascal", éd. L. Brunschvicg, P. Boutroux et F. Gazier, T. VIII, 1914, p. 24, 121 et suiv., 203 et suiv., et l'article „Pascal et Lalouvère" par P. Tannery dans les „Mém. de la Soc. d. Sciences phys. et nat. de Bordeaux", 3e Série, T. V. Paris, Gauthier- Villars, 1 890. Lalovera parle de la ligne cyclocylindrique — Fermât avait attiré son attention sur cette courbe; comparez les p. 209 — 210 du T. I de 1891 des Oeuvres de Fermât, édition de P. Tannery et Cli. Henry, Paris, Gautliier-Villars — dont celle considérée dans le texte est un cas particulier, la „cyclocylindrique primaire de premier ordre" de Lalovera, le rayon et le centre de la sphère qui coupe le cylindre pouvant en général être quelconques. Ce n'est d'ailleurs que dans le cas considéré dans le texte que Lalovera trouva la quadrature de la courbe d'après son ouvrage „Veterum Geometria promota in septem de Cycloide libris", de 1660. Voir encore sur Lalovera la note 6 de la p. 246 du T. II, déjà citée à la p. 204 qui pré- cède (note 2). 5) Comparez la note 9 de la p. 337 du T. X, se rapportant à une Pièce de 1692. En rédigeant cette note, nous n'avions pas encore remarqué que Huygens s'était servi de la courbe en ques- tion en 1658 et en 1683. 5 î 2 AVERTISSEMENT. Ce qui eft plus important, c'efl: qu'il s'agit ici des lois du mouvement d'un iyftèmc qui tourne, comme le pendule conlidcré dans r„Horologium ofcillatorium", autour d'un axe fixe — vertical cette fois — Tous l'influence de forces déterminées, le mo- ment des forces autour de l'axe étant proportionnel à l'écart angulaire, vu que l'am- plitude des ofcillations dans l'un et l'autre cas ell petite par hypothèle. La propor- tionnalité inverie de la période d'oicillation avec la racine carrée du moment de ces forces autour de l'axe (T. XVI, p. 341; T. XVII, p. 188, note 2), cil admife par Iluygens comme une chofe évidente"), le coefficient de proportionnalité n'étant autre, à un fafteur numérique près, que la racine carrée de ce que nous appelons le moment d'inertie (T. XVI, p. 3"8). L'équation, pour employer ce terme, reconnue vraie par Huygens dans le cas du pendule compofé ^), peut apparemment lerviraufli félon lui dans des cas analogues. Il y a ici une généralilàtion remarquable. D'ailleurs nous avons vu (deuxième alinéa de la p. 502) que déjà en 1 675 il confidérait comme évident que l'indépendance de la période de l'amplitude de la vibration, démontrée pour le cas de mouvements linéaires accomplis fous l'influence d'une force propor- tionnelle à l'écart linéaire, fubfifle lorfqu'il s'agit d'une vibration due à des forces dont le moment autour de l'axe de rotation ell proportionnel à l'écart angulaire. Les affirmations du § 3 de la p. 530 dont nous parlons, réfultent, peut-on dire, des formules T = t. \/ L (T. XVI, p. 410) et /= -' (p. 33 qui précède). y g Mb En effet, on peut en tirer, pour des ofcillations du pendule phyfique aflTez petites et pouvant donc être confidérées comme ifochrones, la formule 7" = - 1 / _£_; y Mgb et l'on peut admettre par analogie que dansle cas du„pendulum cylindricum trichordon" r == c ]X- " ^ y Moment des forces pour un écart angulaire déterminé' C étant une confiante. I ') Comparez les notes 4 et suiv. de la p. 53 1 qui suit, et aussi les notes 6 de la p. 565 et 4 de la p. 567. =) C. à. d. l'équation T = t:\/ — — — qui suit. V Aleb AVERTISSEMENT. 513 Huygcns a certain(.'mcnt éprouve de la ihtisfaétion en confhtant dans le cas confi- déréraccord de la théorie avec roblcrvation. Mais pratiquement , comme nous l'avons dit, la nouvelle horloge n'eut pas de liiccès. Vers la fin de 1685 liuvgens et van Cculen revinrent donc *) au remontoir à rellbrcs déjà conllruit en 165 8, quoique fans remontage fréquent^ par S. Cofter (et Cl. Pafcal), ainfi que parj. Fromanteel (p. 182 du T. XVII) et plus tard par 1. Thuret, comme Huygens écrit à Chapelain l'avoir fait également (même endroit). La fufée, iuppriméc par Colkr dans les horloges de chambre à refT'ort moteur, et dont Huygens ne s'était pas i'ervi dans ion horloge ma- rine de 1672 (T. XVIII, p. 15), qui n'était pas un remontoir, fut réintroduite par iui dans l'horloge de 1685 +). Nous ignorons s'il y en avait une dans la conllruction de Thuret. Quant aux horloges marines h rcflort fpiral régulateur — on en a certai- nement fabriqué quelques-unes: les horloges de van Cculen mentionnées e. a. en juillet 1683 (T. X'^III, p. 429 — 430; nous avons déjà cité ce pafTage à la p. 510), dont Huygens parle auPl en oftobre 1682 (T. \'^III, p. 394) étaient apparemment de cette eljièce - il parait probable qu'elles avaient des fufées, comme elles en ont encore aujourd'hui, d'autant plus que les horloges de poche à fpiral régulateur (Fig. 1 9 , empruntée à la p. 43 du Manufcrit E) en avaient, tout comme les œufs de Nuremberg du feizième (îccle, et qu'il y aaufll une fufée dans l'horloge conllruite par J. van Cculen en 1682, failant partie du planétaire de Huygens, dont nous avons déjà parlé dans la note i de la p. 508. Huygens ne nous a lailTé aucune defcription de l'in- térieur des l'horlogesde 1 685.Maisdans fes remarques fur l'expédition de 1 690 — 1 692 il nous apprend (note 2 de la p. 650 qui fuit) qu'elles provenaient des horloges pré- cédentes, celles-ci ayant été „tournées fens delTus-deffbus". Voir auiïi le § 6, datant de 1684 ou i685,dclap. 533.Lesfeulsrenfeignementsquenouspo(rédionsenoutre ibnt ceux contenus dans certains paragraphes de l'Inllruction de décembre 1685 pour J. de Graaf et Th. Helder '), imprimée aux p. 55 — jô du T. IX. Ce n'efl: que grâce à cette Inflruétion — ainfi qu'au rapport de Huygens d'avril 1 888 ') fur lejoumal de [.Fig 19.] 2) Voir cependant le deuxième alinéa de la présente page. ♦) Comparez la note 12 de la p. 31 du T. XVII et la note i de la p. 541 qui suit. 5) RTanuscrit F, p. 334: In d'oude Keyfer op 't Speuy. Tom. Helder. 65 514 AVERTISSEMENT. de Graaf dont nous avons die en 1 90 1 qu'une copie a été confervée "} — que nous favons que Thorloge de 1 685 était un remontoir 3). En ce temps le remontoir à relTorts à remontage fréquent était ians doute généralement connu, puifque lluygcns parle (N°XXVIIàIap. 542quiiuit)du„doubledéclenchemcnt,commedifentleshorlogers". La Fig. 36 (p. 540) et le texte de la Pièce IV font voir que le poids du pendule triangu- laireétait globulaire, commedanslaFig. 7 de 1671 (p. 1 3 qui précède). Nous ignorons s'il y avait encore des arcs cycloïdaux (voir fur eux la note 5 de la p. 17). D'après le N" IV de la p. 541 le pendule était partiellement rigide; cependant, d'après le N'' XXXV, il était iiifpendu h des fils. Fort probablement les arcs cycloïdaux étaient donc toujours là. Il n'y avait apparemment plus de poids curfeurs comme en 1671 +). Il était évidemment poiiible de remonter l'horloge fans qu'elle s'arrêtât: voir à la p. 62 1 qui fuit la Pièce III (ur la „maniere de faire qu'en montant l'horloge elle ne dilcontinue point ion mouvement; dont les horlogers fe fervent fans en fcavoir ren- dre raiibn". Confultez auill, à la p. 604, la fin de l'AvcrtifTement correfpondant. Cette horloge-lh — ou plutôt les deux horloges de ce genre dont il efl: qucllion dans le N° I de la p. 539 — ont eu un grand fuccès dans le voyage du Cap de la Bonne Efpérance à Texel: elles ont fervi à démontrer la diminution de la pelanteur due à la rotation journalière de la Terre. Voir plus loin dans le préfent Tome le Cha- pitre fur les réfultacs des expéditions maritimes. Le fuccès partiel de l'expédition de 1686 — 1687 induifit les Direfteurs de la C'^ des Indes Orientales à faire — fur l'avis de B. de Volder '} — une nouvelle expérien- ce, celle de 1690 — 1692, dont le réfultat fut hélas bien peu (atisfaifant, comme nous l'avons déjà fait reffortir dans le dernier alinéa de la p. 1 1 du T. XVII. Cette expé- rience fut faite avec les mêmes horloges que la précédente (T. IX, p. 467), quelques légères correéHons y ayant été apportées conformément aux obfervations de Muygens et aux remarques de l'horloger van der Duflen qui avait pris part à la première expé- ') Voir le troisième alinéa de la p. 290 du T. IX. -) Voir la note 3 de la p. 266 du T. IX. 3) Comparez la note 2 de la p. 17 du présent Tome. Le ressort du petit tambour était en cuivre (T. IX, dernières lignes de la p. 289). *) Voir la note 3 de la p. 542 qui suit. 5) Voir la fin du deuxième alinéa de la p. 343 du T. IX. AVERTISSEMENT. 515 dition (T. IX,p. 288— 290, 418—419, 467, 528)*). Il c(ï vrai que Huygens, après avoir examiné le journal de J. de Graaf (qui parait ne pas avoir été con(ervé, voir la note i de la p. 341 du T. X), dit le 6 mars 1693 que les rcTultats ne font pas aulli niau\'ais qu'on l'avait cru (T. X, p. 422 — 424). Voir aulll la corrcfpondance avec de Volder dans le même Tome et fes remarques citées à la p. 5 1 3. Il avait pourtant fort bien compris qu'il fallait chercher autre chofe que l'horloge de 1685. Bien peu de temps après avoir reçu le journal (novembre 1692) il s'était mis de nouveau à l'ccuvre, et dans fa lettre déjà citée aux Directeurs de la C'c des Indes Orientales ■"} il déclare ne pas infdler fur de nouvelles expériences avec la dite horloge „puifqu'en cette occafion j'ai fait une trouvaille différente et beaucoup meil- leure dont je m'occupe en ce moment, par laquelle tout ce qui donne quelque diffi- culté dans l'application de l'invention cil abfolument écarté". Il s'agit du „balancier marin parlait" de janvier-février 1693 (Pièce V à la p. 546), — ou plutôt de la „libratio ifochrona melior précédente", portant la même date que la lettre citée, favoir le 6 mars 1 693 (Pièce VI à la p. 562). Rien n'indique que les Direétcurs de la C'= fe foient intéreiïes à cette nouvelle conftruétion ou à celles de 1 694. Huygens ne s'efl: plus adreffé à eux, quoiqu'il l'eiàt certainement fait s'il eût vécu aflez longtemps pour publier la defcription de fa dernière horloge munie du balancier à cornes de bouc hélicoïdales **). Dans l'expédition de 1686 — 1687, et plus encore dans celle de 1690 — 1692, on avait remarqué 1° que les châfîïs dans lefquels les horloges étaient (ufpenducs (p. 539, N° III) ne les empêchaient pas d'être fecouées par les coups de vague (p. 549), 2° que le mouvement du pendule donnait un petit mouvement à toute l'horloge ainfi fufpendue, ce qui était la caufe principale de l'irrégularité de la marche (p. 549 et 569), 3° que la fufpenfion du pendule à des fils de foie (p. 543, N° XXXV) était défectueufe (p. 549), 4° que les reffbrts n'opéraient pas toujours de même force (comparez la p. 9 qui précède), 5° que les horloges étaient trop compliquées. *) À la p. 132 V. du Manuscrit G Huygens écrit: Van der Dussen, Horologiemaecker tôt Dordrecht in de Wijnstraet. Suivant les archives de Dordreclu il était né à Swijndrecht et fut enterré le 4 oftobre 1689. En cette occasion il est appelé „Willem van der Dussen oor- logemakernaest het Stadthuis". 0 T. X, p. 424. ^) Voir la note i de la p. 576 qui suit, et les p. 685 et 702 du T. X. L'extérieur de riiorloge achevée de 1694 est représenté à la p. 592 (Fig. 94). s I 6 AVERTISSEMKNT. ! C'eft apparemment pour obvier à ces deux derniers inconvénients que Huygens décida que la nouvelle horloge ne devait contenir aucun reffbrt, pas de fuiee et peu de roues, et qu'elle devait être à poids moteur (p. 549). Il y a en effet un poids mo- teur dans l'horloge repréfentcc à la p. 572 (Fig. 78}. Dans la Fig. 94 de la p. 592 les cordes feules ibnt indiquées. I3e plus il le rélbhit à abandonner le pendule pour revenir au balancier. Quant aux chàllîs, ils devaient défonnais être attachés au plan- cher d^en bas et munis de poids, pour amortir les fortes fecoufles (p. 549). Il aurait probablement pris quelques précautions, s'il avait pu faire l'épreuve de l'es horloges fur mer, pour empêcher le ballottement des poids moteurs: voir à ce fujet les p. 556 et 5-7. Il n'en eft pas moins remarquable qu'après tout il ait eu plus de confiance dans les poids que dans les reffbrts; quoique dans un mémoire anonyme, qui fe trouve parmi les manufcrits de fon père '), il ibit déjà dit que les poids ne peu- vent fervir fur mer et qu'il y faut faire ufage d'horloges à reiïbrts comparables aux horloges de poche. Il efl: vrai que l'auteur de ce mémoire n'avait apparemment fait aucune expérience; il le home à donner le confcil de faire conftruirc des horloges marines par les plus grands maitres -}. Il était réfervé à Huygens de donner fuite à ce confeil ''). Nous ignorons (i en 1 693 il travaillait toujours avec j. van Cculen. Ce qui ell certain c'efl: qu'en 1694 B. van der Cloefen +) était fon .,ou\Tier" (p. 593); nous penfons qu'il en fut de même en ') Handscliriften Constancijn Huygens, Vol. 47 (Kon. Académie van Wetensclrappen, Amster- dam). Mons. W. Ploeg, dans sa dissertation — thèse de doftorat — sur „Constantijn Huygens en de Natuurwetenschappcn" (juin 1934, IVijgli & van Ditmar, Rotterdam) donne (p. 107 — 109) les titres des manuscrits de ce volume. 11 s'agit en grandepartie, parait-il, demanu- scrits ayant appartenu au père Constantijn, tiuoiqu'on y trouve aussi des écrits datant d'après sa mort. Le mémoire en question est intitulé: „Middel om Oost en West te vinden, etc." Il est sans doute ancien, puisqu'il n'y est question, semble-t-il, que d'horloges à une seule aiguille: „Den uijrwijser dient gemaeckt, dat hij gae niet met hanghende gewichten (dat te scheep niet te passe en comt) macr met veren van binnen, gelijek de cleene horologikens, die men bij sich draegt". -) „Dat se soo net ende vast-gaende gemaeckt wcrden als; mogelijck is, van de vermnerstc mees- ters dieraen weet". 3) Parmi les grands maitres qui travaillèrent pour Huygens il convient de ne pas oublier P. Visbach, aussi connu des collectionneurs que J. van Ceulen. Nous avons dit à la p. i: du T. XVII que Huygens ne fait mention de lui qu'en 169 [.Toutefois son nom se rencontre aussi en 1690 dans le manuscrit G. Dans la note i de la p.477 du T. IX nousavonsécrit:„Rekening van verbael". Huygens avait écrit: „Rekening van Vlsbach". ■•) D'après un document conservé aux archives communales de la Haye — comparez la note 5 AVERTISSEMENT. 517 1693. On trouve aux p. 593 — 596 in extenfo le protocole des obfcrvations qui eu- rent lieu du 1 9 avril au 2 1 mai 1 694 : elles font bien voir l'intimité de la collaboration du favant et de rhorloa;cr. Plus Huygens avance en ài;e, mieux il voit t]ue la perfection des horloges dépend de celle des détails. C'cll par conCéqucnt à la perfedion des détails que font vouées un grand nombre des pages qui fuivcnt. Il n'abandonne pas toutefois fon idée primordiale que la théorie a ici l'on mot à dire: rifuchronilmc des vibrations doit réfulter de la proportionnalité du moment moteur à l'écart angulaire. Il s'agiïïait donc de rendre parfaitement, ou prelque parfaitement, ifochrones les ofcillations libres de dilTércntcs amplitudes d'un balancier fe mou\'ant dans un plan vertical Q. Celui-ci devait être grand pour régler la marche de l'horloge et ne pas être gouverné par elle (p. 569). Au balancier il fallait attacher un poids puifquc les relTorts étaient exclus — produifant un moment moteur pofTédant la propriété nommée. Huygens tâcha d'abord — comme il l'avait fait anciennement pour le pen- dule; \oir les p. 17 — 20 du T. XVII — de trouver par expérience la fonne de la courbe contre laquelle le ruban auquel le poids était (ufpendu devait venir s'appliquer (p. 563), mais bientôt il en découvrit la forme théorique: il s'agiiTiiit de la courbe qu'on obtient par l'évolution d'une circonférence de cercle. Comme nous l'obfervons aufll dans les notes 6 de la p. 565 et 4 de la p. 567, cette folution aurait été exade fi le moment d'inertie du balancier par rapport à fon axe eût été abfolument confiant; mais ce moment varie par la préfence même du poids de la p. 158 du T. XVII — Bernard van der Cloesen fut élu „liooftman" lors de la constitu- tion de la Corporation des Horlogers en 1688 à la Haye. Il est souvent nommé, soit comme „hoofrman", soit comme doyen („deeken") dans les pièces suivantes. En 1 7 1 2, comme l'atteste e. a. une inscription latine sur le socle, cet „ingeniosissimus artife:\''' répara et porta au „cul- men perfedionis" le planétaire communément appelé „deLeidsclieSpliaera", qui fut construit par Steven Tracy de Rotterdam et se trouve aftuellement au „iVederlandsch hist. natuurw. Muséum" à Leiden. Van der Cloesen vivait encore en 1719, puisqu'on a trouvé aux archives communales de la Haye une requête de lui de cette année; elle concerne son fils Olivier et est adressée au bourgmestre de la Haye. 5) Ailleurs (p. 573, Fig 79) Huygens parle incidemment d'un balancier tournant dans un plan horizontal. 5 I 8 AVERTISSEMENT. régulateur. Il cfl: vrai que plus le balancier eft grand, moins cette variation eft impor- tante. Il eft podiblc qu'au début Muygens n'ait pas remarqué ce léger défaut. En 1 694 en tout cas il s'en rendit fort bien compte puifque les calculs des p. 583 — 589 fervent h évaluer la grandeur de l'erreur. On pourrait encore aujourd'hui ie propofcr — comme Eulcr le fit fans beaucoup de fuccès dans le cas de la cycloïde; voii' les p. 46 et 428 qui précèdent — de calculer la forme exafte que la courbe en queftion doit avoir pour que l'ofcillation foit rigou- reufement ifochronc, du moins en théorie et en fuppofant que le ruban refte vertical, ce qui d'ailleurs, comme Huygens lui-même l'obferve, n'eft pas abfolument vrai, quelque lentes que foient les ofcillations (p. 587). Un calcul de ce genre, fuppofé que l'exécution en foit poillble, n'aurait fans doute aucune importance pratique. Ce qui, malgré Huygens, paraît plus important — comparez la note 2 de la p. 560 — c'ell que la gravité du poids régulateur — ou des poids régulateurs, car il y en a deux ou plufieurs dans les balanciers de 1694; voir p.e. la Fig. 89 à la p. 579 — varie lorfque la partie du vaiffeau où fe trouve l'horloge monte ou defcend d'un mouvement accéléré. Beaucoup de gens parlent dans ce cas d'une augmentation (ou diminution) appa- rente du poids confidéré '). Huygens dit fimplement que le poids régulateur ^) „gra- vior fit". Ceci mérite d'être remarqué. Nous avons déjà obiervé dans le T. XVI (note 5 de la p. 1 98) que la conception relativifte — comparez le troifième alinéa de la p. 197 du T. XVI — s'impofait à fon efprit. C'eft auflî en 1 693 , en travaillant à fes horloges, qu'il a énoncé l'important axiome ') C'est ainsi que s'exprime p. e. F. Marguet à la p. 139 de son ouvrage cité à la p. 546 qui suit („les changements de la pesanteur apparente à bord"). =) Peu importe qu'il s'agit en cet endroit, non pas d'un poids régulateur suspendu à un ruban qui s'applique contre une „corne de bouc", mais d'une partie d'un «chapelet" ou chaînette régu- latrice. AVERTISSEMENT. 519 que les forces (c confervent dans la nature: voir la p. 554 qui fuit et la p. 477 qui précède 3). En fin de compte, il y a lieu de fc demander ce que font devenues les dernières horloges conllruites par Iluygens à la Haye. Outre les deux horloges nommées, il y en a eu au moins une troifièmc dont il parle dans fa dernière lettre connue, celle du 4 mars 1695 (T. X, p. 709). Il y dit que la nouvelle invention a été accommodée à une vieille horloge „a pendule de 3 pieds, qui montre aufli l'heure du folcil, fans qu'il foit befoin de l'Equation du temps". Nous fuppofons que ces paroles fignifient que le balancier à cornes de bouc hélicoïdales avait été introduit dans l'horloge au lieu du pendule de 3 pieds +). Cette dernière horloge paraît être reftée dans la famille, attendu qu'un defcendant de la famille Huygens, A. J.Royer, légua en avril 1809 à l'Univerfité de Leiden, outre le planétaire, r„cquatiehorlogie, door wijlcn mijn oud-oom Chriftiaan Huygens geïnventeerd" '). Mais cette horloge ed: aujourd'hui introuvable. Nous ajoutons que le texte de Huygens ne dit pas qu'il s'agiiliut d'une „equatiehorloge" inventée par lui. Des horloges de ce genre cxiftaient déjà; voir p. e. les p. 378—379 du T. VI (horloge de Mercator) ''). Quant aux deux — ou plus de deux — autres, nous ignorons leur hifloire. Mais la comparaifon des Fig. 39 de la p. 547 et 64 de la p. 562 — la p. 1 80 du Manufcrit H, où fe trouve cette dernière, a d'ailleurs déjà été reproduite en 1833 en fiic-fimile 3) Voir aussi la note 6 de la p. 5.-9 qui suit. 4) On peut douter que cette horloge ait été destinée à l'usage sur mer, puisqu' elle doit avoir eu un grand nombre de roues (T. VI, p. 379), ce que Huygens voulait éviter (p. 516). 5) P. C. MoUiuysen „Bronnen tôt de Geschiedenis der Leidsche Universiteit", T. VII (la Haye, M. Nijhoir, 1924), p. 354 et 368. «) Cependant les horloges de ce genre — voir sur l'horloge à équation, peut-être anglaise, qui se trouvait en 1699 dans le cabinet du roi Charles II d'Espagne, la p. 1 84 du T. I de r„Histoire de la Mesure du Temps etc." de 1 802 de F. Berthoud — étaient sans doute très rares, puisque Leibniz ne les connaissait pas. Il écrit dans ses Remarques de ± 1715 (voir la note 2 de la p. 502): ,.Je ne veux point parler icy de la Reduftion du Tems égal au Tems apparent, cepen- dant je reconnois, que si la Machine de l'Horloge ou de la Montre faisoit cette Reduaion par elle même, suivant ce que l'ingénieux Auteur [H. Sully] de ce Discours nous fait espérer, ce seroit quelque chose de très-beau et de très-commode". 520 AVERTISSEMENT. à la fin du T. II des „Chrilliaiii Ihigcnii alioruniqiic feculi XVII virorum celebriuni Exercicationesmathcmaticx et Philolbphica-" publiées à la Ilaye par P. J. Uylcnbrocli — faic voir immédiatement, ce qui toutefois n'a pas encore été remarqué, la très grande reffemblance du régulateur de Sully avec celui, prefqu' inconnu jufqu'ici, de lluygens '). Voir encore iur lluygens et Sully le texte des p. 546 — 547. Il lemble per- mis de conclure que Sully a vu Thorloge de Huygcns et van der Cloefen , d'autant plus que nous lavons qu'il vilita la Hollande lorfque ce dernier était encore en vie. Sully avait été „apprenticed to Charles Grctton" en Angleterre en 1 694 -). Suivant F. J. Britten^) „on the completion of his apprcnticeship he travelled on the Continent, viiiting Holland and Aultria. From Vienna [voir la fin de la note 2 de la p. 502] be went to Paris". C'eil à Leiden que, d'après J. Drumnn)nd Robertlbn -*), il publia en 171 1 Ton premier ouvrage, intitulé „Abrégé de quelques règles pour faire un bon ufage des montres, etc." Il mérite d'être remarqué que Sully dans fon ouvrage de 1726 ') ne dit pas que les courbes en queilion font de fon invention ni que ce font des développantes de cercle; ce qui fe conçoit aifément s'il ne faifait qu'imiter ce qu'il avait vu, et peut-être acquis, en Hollande, de forte que l'équation des courbes lui était inconnue. L'invention de Sully, c'eil: que chez lui, comme le montre la Fig. 39, le ballottement du poids régulateur ell: rendu impoffîble. Par l'influence indireftc exercée fur l'efprit de Sully l'œuvre de Huygens des dernières années fe rattache vifiblement à celle des grands horlogers anglais et français du dix-huitième ficelé. ') F. Marguet (ouvrage citd à la p. 546) dit (p. 139) de Sully: „Son horloge marine était l'oii- struite sur des principes entièrement originau.\". Comparez la note 6. =) Suivant le secrétaire de la „Clockmakers Company" (et suivant une liste publiée par cette Compagnie en 193: à l'occasion de son troiscentième anniversaire). 3) F. J. Britten „01d Ciocks and Watches & Their INIakers", 3"-""-- éd. 191 1, London, B. T. Bats- ford, p. 323. On trouve la même chose dans la sixième édition fort récente de Britten et dans l'„Histoire de l'Horlogerie" de P. du Bois, publiée à Paris en 1849 — 1850. ■*) „The Evolution of Ciockwork", p. 341. AVERTISSEMENT, 521 5) «Description abrégée d'une Horloge d'une nouvelle Invention, pour la plus juste mesure du Temps sur Mer, avec le jugement de l'Acad. Royale des Sciences sur cette Invention, et une Dissertation sur la Nature des Teiuatixes pour la Découverte des Longitudes dans la Naviga- tion, & sur l'usage des Horloges, pour la mesure du Tems en Mer" par Henry Sully, Horloger de S. A. S. Monseigneur le Duc d'Orléans, Paris, chez Briasson, 1726. *) R. T. Gould écrit à la p. 36 de „The marine Chronometer": „Sully attaclied great impor- tance to tlie précise from of thèse cheeks, «hich he described as a curve of his invention, pre- viously unknown to geometers, and possessing the power ofmaking the vibrations of lever and balance isochronous". Nous ne voyons pas qu'il ait parlé expressément d'une courbe de son invention, bien qu'il amène le lecteur à croire qu'il doit en être l'inventeur. Dans l'ouvrage de 1726 il écrit (p. 2 — 3): „J'ai eu pour objet dans mes Recherches, une Machine, dont le mouvement fût aussi égal et aussi constant, s'il est possible, que celui d'une Pendule à Secondes, & qui n'eilt pas les iniperlcctions ausquelles les Pendules sont sujettes en Mer & en dilTerens Climats. Je réduis ces imperfections à trois principales, qui sont: 1° Les Variations, quelques petites qu'elles soient, provenantes de la dilatation & rétrécisse- ment des Métaux, & de tous les Corps, dont la chaleur & le froid sont des causes évidentes, sans en exclurre d'autres. 2° Les Variations encore bien plus considérables, causées par l'inégalité de la Pesanteur des corps en divers endroits du Globe terrestre, laquelle n'est pas encore réduite à des Règles certaines. 3° La difficulté, ou peut-être l'impossibilité de suspendre une Pendule, de longueur à mesu- rer le tems avec la justesse requise, dans un Vaisseau sur Mer, de manière que, les divers mou- vemens du Vaisseau ne dérange[nt] pas le mouvement particulier de la Pendule. J'ai tâché d'éviter de pareils inconveniens dans la construction de mon nouvel Horloge. Vous jugerez de la manière dont je me suis pris pour y réussir. Si j'ai eu le bonheur d'y avoir ajoilté d'autres proprietez importantes à mon dessein, c'est peu qu'elles soient nouvelles, je n'y regarde que leurs utilitez. En voici deux des principales: Le première de ces proprietez se trouve par l'application d'une certaine Courbe, qui n'est pas encore connue des Géomètres, &" qui excitent peut-être leur curiosité, de conserver une par- faite isochronisme aux Arcs des vibrations de diverses grandeurs, & de quelque cause que cette diversité de grandeur des Arcs puisse provenir [N.B. \'an der Cloesen peut avoir dit à Sully que Huygens avait cet espoir. Comparez le dernier alinéa de la note i de la p. 25 qui précède]. La seconde consiste dans une méthode de réduire les frotemens de la Puissance réglante à la moindre quantité qu'on veut, ou presque à zéro [comparez la p. 546 qui suit]. Ne pouvant entrer ici dans de grands détails, je me flàte que l'explication des Figures, & les Notes suivantes vous suffiront, pour en pouvoir tirer la pliipart des preuves des propositions ci-dessus". À la p. 43, vers la fin de son livre, Sully écrit: „C'est pourquoy les Directeurs,&Principaux Intéressez des Compagnies des Indes, d'Angle" terre, d'Hollande, des Pays-Bas impériaux & de France, & les riches Negotians des autres Pays Maritimes, ne feroient peut-être pas mal de s'informer attentivement de quelle utilité pourra leur être cette Invention. Il ne leur coûtera pas grand peine de consulter là-dessus les plus scavans hommes en ces sortes de matières, ni de grands frais pour en faire des Expériences". A la p. 14, écrite le 22 mars 1724, il f;\it mention de r„Horologium oscillatorium" de Huygens, dont il connaît déjà l'édition nouvelle de cette année par 's Gravesande. 66 I. L'APPLICATION DE JANVIER 1675 DU RESSORT SPIRAL RÉGULATEUR AUX BALANCIERS DES MONTRES. [La Pièce (Mamifcrit E, p. 35 — 36), intitulée „Balancier de montre réglé par un reifort" et contenant deuxfoisle mot î-jovjza, a été publiée aux p. 408 — 409 du T. VII. Elle eft fuivie (p. 409 — 416) par le „journar' (Manuicrit E, p. 36 — 40) fe rappor- tant au même fujet, que Huygens commença le i février (p. 41 1 , 1. i) et dont font apparemment déjà partie le deuxième et le troifième alinéa de la p. 409. La fin du journal (T. MI, p. 415, note 22) date de juillet 1676 '). L'article de février 1675 du Journal des Sçavans occupe les p. 424 — 425 du T. VII. — Voir fur cette inven- tion les p. 501 — 508 de rAvertiffement qui précède.] ') Il faut y lire „boete" au lieu de „boite" (1. 16 de la p. 410 et 3 de la p. 412); „aussi et que" au lieu de „aussi que" (1. 2 d'en bas de la p. 410); „autheur"auiieude„rainheur" (1. 1 d'en bas de la p. 413); , , point" au lieu de „pas" (1. 8 de la p. 414); „j'aurois eu" au lieu de„j'aurois" (1. 7 de la p. 4163. Le premier alinéa de la p. 41 3 doit commencer comme suit: ,^e 1 7c. Dim. J'eftois prefl: d'aller trouver M. Colbcrt a S. Germain, mais M. Perrault . . . ." -) Voir les p. 48 1 et 489 du '1'. VII. Des montres à ressort spiral à balancier unique furent fabri- quées à Paris en grand nombre (voir le quatrième alinéa de la note de la p. 454 du T. VII). Le stadhouder Guillaume III en reçut une en juillet 1675 (T. VII, p. 464 et 480), leroi Louis XIV en possédait une en août 1675 (T. VII, p. 493) et le duc de York en avait une à sa dis- position en septembre 1675 (T. VII, p. 509), La précision n'était pas bien grande et les mon- tres s'arrêtaient parfois (voir p. e. les p. 477, 481 en 490 du T. VII et 28 du T. VIII). Les premières n'avaient que l'aiguille des heures, puisque Huygens dit en août 1675 (T. VII, p. 489) qu'il peut en envoyer un deuxième à Mil. Brouncker „ou il y ait des minutes". Mais il n'y avait pas encore d'aiguille à secondes (même endroit). Les horlogers, travaillant indé- pendamment de Huygens, eurent évidemment une grande part au perfectionnement delà montre (T. VII, p. 510). Celles de Thuret étaient en 1675 les meilleures (T. VII, p. 542). Les montres étaient souvent en forme de poire (T. VII, p. 483, 485). Quant à la construction de l'horloge avec deux balanciers, F. Marguet dans son ouvrage cité aussi à la p. 546 qui suit, écrit (p. 141) que l'horloge marine de 1736 de Harrison „avait l'application de janvier 1675 DU RESSORT SPIRAL RÉGULATEUR ETC. 523 Réponfe des Etats de Hollande et de IVe^frife à une requête (inconnue) de Chr. Huygens au fujet de la détermination des longitudes 3). 25 feptembre 1675. Op hct vcrfocck van Chriftiaan Iluygcns van Ziiylichcm vcrfocckcndc octroy op fccckcrc Iborcc van horologcs bij hem van niciiws t;einvcntecrc en die Ibo correct fouden gaen dat die naer het gevoelen van den liippliant in grootcr formaec gemaect lijndc ter zcc ioude connen werden gebruyct en dienen fonde connen totte langh vergeets gefochte defignatie van longitude gcmeinelijck gcnacnit Oolt en Wel1:,is aen den felven het verlbchte oftroy toegeftaen voor den tijt van vijfthien jaeren en voorts op de voorf. requelle geappollilleert. De Staten van Hollandt ende Wellvrieskindt vînden goct dat deze requelle ten aenfien van longitude gemeynlick gcnaenit het Ooll ende Weil, gellelt lai werden in handen van de Heeren Gedeputeerden der Stadt Dordrecht ende andere haere Ed. Gr. Mo. Gecommitteerd'i Radcn tôt de faecke \'an de zee, omme dTelve met ende nevens de Collégien ter Admiralitey t in deze Provincien refiderende ten dien reguar- de ende ten aenfien van het fucces van het gebruyck van dien te examineren ende te dienen van hare confideratien ende advijs. Les Archiviftes de la Haye, qui nous ont fait parvenir cette Pièce et la fuivante, nous ont en même temps fait favoir que les notes, d'ailleurs fommaires, du député de Dordrecht ?iluys van Holy des années 1675 et 1676 (et il en eft probablement de même pour les années fuivantes) fur les réunions de la commiUîon nommée — la „Befogne uit de Staten van Holland voor de Zeezaken" préfidée par Dordrecht, à laquelle furent fouvent adjoints les „Gedeputeerden uit de Admirali- teit" — ne contiennent rien fur ce fujet. deux balanciers liés: c'était une idée de Leibnitz": il y a en effet deux balanciers dans le mo- dèle — d'ailleurs fort différent de ceux de Huygens — proposé par Leibnitz dans son article de mars 1675 dans le Journal des Sçavans. Ce modèle n'a d'ailleurs pas été exécuté, puisque Leibniz écrit à ce propos: „Lorsque Mr. Huguens publia son Ressort vibrant à spirale, je publiay un peu après dans le Journal des Sçavants un autre Principe d'égalité, qui n'est pas phisique, comme est la supposition de l'égalité des vibrations des Pendules ou des Ressorts, mais purement mécanique, consistant dans une parfaite Restitution de ce qui doit vibrer, puisqu' alors les Vibrations sont égales, parce qu'elles sont justement les mêmes . . . J'ay pensé quelque- fois à faire exécuter cette Invention, qui promet des nouveaux avantages assez considérables; Mais j'ay toujours manqué de l'assistance d'un bon Maître, qui eût une bonne volonté d'y travailler. Etc." («Remarques etc." citées aussi dans la note 2 de la p. 502 qui précède). Voir sur des horloges à double balancier constrnites en Angleterre peut-être déjà avant 1675 la p. 181 de „The Evolution of Clockvvork" de J. Drummond Robertson. 3) Texte emprunté aux Résolutions des Etats de Hollande et de We«tfrise (Archives de l'Etat à la Haye). 524 l'application de janvier 1675 DU RESSORT SPIRAL RÉGULATEUR ETC. Les Etats de Hollande et de IVejlfrife à Clir. Hnygem '). 2" feptembre i('75. De Staten van Holland enz. doen ce wctcn, allbo ons vertoont is bij Chrilliacn Huygens van Zuylichem, hoc dac onlangs bij hem was geïnventeert fekere nicwe conftru(ftic van horologicn, bequaam om in dcn fack te werden gedragen, welckers bewcginge nicttemin even zoo cenparigh, exact endc ieker bleeft"als die van de flinger- wercken voor defen bij hem fuppliant geinventeert ende nu allom in groot gebruyck, ende alfoo hy fuppliant genegen was defelve inventie ten dienlle van \ gemecn aen den dagh ce brengcn verlbcht reverentelijck, wanneer delelve aen ons ofte aen hce- ren commifTarifTen \-an onlen 't wegen daer toe verfocht, fonde wefen gecommuni- ceert ende verthoont, dat het ons goede geliefte moghte zijn hem fuppHant te ver- gunnen oclroy ende privilégie by het welcke allen ende ijegelycken in defe onfe provintie verboden wierde fodanige horologien fonder lijn fuppliants pennidîe naer te maecken , hetzij in \ geheel ofte ten dele, het fij dan oock onder pretexc van eenige veranderingh ofte herfchickinge ofte anderiïînts, in wat forme ofte manière het fonde mogen wefen , ofte elders gemaeckt fijnde ende met feecker iijns fuppliants eighen merck niet geteeckent zijnde in defe onle provintie te koop te brengen ofte te \'er- thonen, op pêne van de fomme van drie duyfent gulden ten proffijte van hem lup- pliant nevens de confiscatie van fodanige verboden wercken te vcrbeuren — foo ifl: dat wij de faecke ende 't verfoeck voorf. overgemerckt hebbendc ende genegen w^e- fende ten bede van den fuppliant uyt onfe reghte w^etenfchap, fouveraine maght, ende autoriteijt, den fuppliant geconfenteert ende geoétroyeert hebben, confente- ren ende oclroijeren denfelven mits defen omme het voorf horologie geduyrende den tijt van vijfthien naeflkomende achtereenvolgende jaeren hinnen onfen lande van Hollandt ende Weflvrieflandt alleene te mogen maken ofte doen maken. verbicdende allen ende ijegelijcken het vcorl'. horologie fonder fijns fuppliants permifTie in den voorfeyden onfen lande van Mollandt ende Weftvrieflandt naer te maecken het fij int geheel ofte ten deele, hetfij dan oock onder pretext van eenige veranderinge ofte herfchickinge ofte andei-fints in wat forme ofte manière het Ibude mogen wefen ofte elders naergemaeckt fijnde ende met feecker fijn fuppliants eygen merck niet getee- ckent fijnde binnen den voorfeyden onfen lande te brengen om te \erkoopen ofte te verthoonen op verbeurte van aile de naergemaeckte ingebrachte ofte vercochte ho- rologien ende een boete van drye hondcrt gulden daer en boven te verbeuren, t' apliceeren een derde part voor den officier, die de calange doen fal, een derde part voordearmen derplaetfe, daer het cafus voorvallen fal ende 't reflerende derde part voor den fuppliant. ') Le texte qui suit est emprunté aux „Minuut Octroyen" de 1675 des Archives des Etats de [Fig. 21.] i l'application OE janvier 1675 DU RESSORT SPIRAL RÉGULATEUR ETC. 525 [Fig. 20.] La Fig. 20, empruntée à la p. 43 du Manuscrit E datant de 1675 (ou 16-6, comparez la note i de la p. 496), repréfente trois modèles de balanciers doubles (comparez le deuxième alinéa de la p. 507). Conformément à ce qu'on voit dans le premier et le troifième modèle, Huygens écrit: „Jc crois qu'il ne faudroit mettre qu'a l'un des balanciers un petit relTort [fpiral], parce que fi on en en met auffi a l'autre on aura de la peine a les faire quadrerenlemble". La conftri'ftion à deux balanciers n'a apparemment pas eu de fuccès en ce moment; mais plus tard d'autres conftructeurs y font revenus ^). La Fig. 21 repréfente le relTort fpiral et le balancier du planétaire de Huygens, conftruit par van Ceulen, qui fe trouve aauellement dans le „Nederlandfch hift. natuurw. INIufeum" à Leiden. Comparez la note i de la p. 508 qui précède. Huygens avait eu d'abord l'intention d'employer une horloge à pendule, puifqu'il écrit (Manufcrit F. p. 23, datant de 1680): „Le pendule pourra cfl:re d'environ 184 pouces, pour faire 2 fécondes en 3 vibrations". Il ajouta plus tard: „J'ay pris le balancier a reffbrt fpirale pour plus grande commodité". À la p. 4- du même Manufcrit il avait écrit en marge à côté d'un pallage biffé: „I1 vaudra mieux de faire cette horloge avec un balancier à relTort Ipirale, pour avoir moins d'embaras en l'ou- vrant.Caraufll bien il ne s'agit pas d'une grande exaftitude pour ce qui eft desheures 3). faire le temps du balancier en forte qu'on puiïïe toufjours appliquer une pendule de 1 8 pouces". Toutefois le balancier du planétaire fait une ofcillation fimple en une féconde. Hollande et de Westfrise (Archives de l'Etat à la Haye). Comme on voit la Pièce s'accorde en grande partie avec l'octroi donné en octobre par les Etats-Généraux (T. VH, p. 507 )• =) Voir la note 2 de la p. 522 qui précède. 3) Dans ses «Remarques" — voir la fin de la note 2 de la p. 52 2 — Leibniz écrit : „I1 est vray, que la 526 l'application de janvier 16-5 DU RESSORT SPIRAL REGULATEUR ETC. Refolutiën vande Bewitidhebberen vanâe Oojîhidifche CompJ' ter Camer tôt Amperdam. Donderdagh dcn 31 Decemb. 1682. ... De Heer Burgermeefler Hudde heefc ter vergaderingh voorcgebraght, en opcninge gedaen van 't gène fijn Ed.» is voorgeko- men,omtrent feeckcre nieuwe inventie van horologien van die accuraetheijt,datdc- felvein den tijdt van een etmael geen fecunde verlopen; waer door feer apparent l'ai konnen vverden uijcgevonden hec Oofi: en Wefl:; waer op fijnde gedelibereert is fijn Ed.t voor de gedane openinge bedanckt, en wijders gerefolveert fijn Ed.' te verfoe- ckcn,omhetbeffierhier van op figh te nemen, mitsgaders dit werck te dirigeren, en te vervolgen, om ware het doenlijck ten goeden effecte te brengen: ten dien eijnde te corresponderen, mitsgaders de hulpe en afilftentie te verfoecken van de Heer Huijgens, fich op die faken naeuw verftaende, neffens eenen van Ceulen , die de voor- noemde horologien is maekende, met die verdere authorifatie, om daer aen te kofte te leggen en te fpenderen tôt een Ibrame van een of twee duijfent gulden toe. Maandach den 28 Februarij 1684 '). Is ter vergaderingh geproduceert een brieff door de Heer Huijgens aan de Heer Burgermeefter Hudde gefchreven; dienende tôt notificatie, dat fijn Ed.* in het uijtvinden en maeken van accurate horologien, om daer door te vinden het Oofi: en Weft, daer toe fijn Ed.t bij refolutie vanden 3isten December 1682 is verlbcht, (00 verre is geadvanceert, dat de felve vanden anderen niet meer als een, of ten uijtterften twee recundenverfchilden,met vafi: vertrouwen, dat fijn Ed.t dat différent foude cunnen remedieren, en het werck in korten tôt een volkomen perfeftie brengen, waer op fijnde gedelibereert, is verllaen den gemelten Heer Burgemeefl:er voor fijne gedaene openingh te bedancken, en fijn Ed.t wijders te verfoecken, om daer over een brieff van danckfegginge uijt den naem van deze vergaderingh aen dcn gemelten Heer Huijgens te fchrijven, en fijn Ed.t daer bij tôt continuatie in fijnen goeden ijver te animeren. Pendule a beaucoup plus de part au gouvernement de l'Horloge, que le Ressort à spirale n'en a au gouvernement de la montre. Outre la preuve qu'on en a alléguée, en voicy une auîre tout aussi sensible: c'est que l'Horloge à Pendule ne sçauroit aller à moins qu'on ne mette la Pen- dule en vibration, mais la montre va par sa propre force, et fait vibrer le Ressort spiral". ') En publiant en cet endroit la résolution du 28 février 1684, nous admettons qu'en ce moment van Ceulen n'avait pas encore changé en „pend. cyl. trich." les deux horloges à ressort spiral régulateur: voir le § 4 de la p. 532 qui suit. C'est sans doute à ce changement que Huygens fait allusion dans sa lettre en disant que les horloges seront perfectionnées. Nous regrettons de ne pas posséder des horloges marines construites par van Ceulen des esquisses telles que celle de la p. 15 qui précède (Fig. 10). IL L'APPLICATION DE DECEIVIBRE 1683 DES VIBRATIONS DE TORSION AUX HORLOGES MARINES (PENDULUM CYLINDRICUM TRICHORDON) ')• [Fig, 22.1 iuor.y.x Hag£e, 4 Dec. 1683. § I. Pendulum cylindricum Trichordon [Fig. 22]. Inventum poftquam elaterem fpiralem frigore accelerare motum horologij repperi '). Hic effeftura elateris abfque elatere habemus ^). x^equalitas recurfuum exifterec fi punftuni moverecur in parabola cujus i lat . reftum AB [Fig. 23], cylindre circumplicaca. AB ao diam. BN [Fig. 23] +). Demonlbatio hinc. Si parabolam [Fig. 24] tangant recise FO, BQ in punctis D ec C, unde ducancur perpcndicularcs in VZ, tangentem in vercice, reft^ autem ab FO et à BQ eidcm YZ perpcndicularcs intercipiant partes cjus sequales, fintque FS, BT ipfi VZ parallèle ') erit QT ad OS ut CA ad DX, five ut ZV ad YV. Sed \'Y, VZ funt ') La Pièce, que nous divisons en cinq §§, est empruntée aux p. 179 — 180 du Manuscrit F. -) Voir sur la question de l'influence de la température sur la période de vibration des ressorts spiraux la p. 508 l'Avertissement qui précède. 3) Il y a donc ici une certaine continuité: comparez la p. 509 de l'Avertissement. •*) Voir sur la courbe décrite par le point B le § 2 qui suit, notamment les notes 4 et 7 de la p. 529. 5) On a donc FS = BT. 528 l'application de décembre 1683 ETC. dilkntis quibus a quicce excrahitur punftum B in figura cylindri [Fig. 23], quantum ad motura horizontalem. Renitentiœ vero icenique incicationes pondcris B horizon- talitcr cradi in punClis parabola? D, C [Fig. 24], func inter fe ut QTudOSquiaBT, FS a.^quales '). Igitur erunt etiam iiltt incitationes ut ZV ad VV. Undc xqualitas rocurfuum "}. AB 30 diam. BN [Fig. 23]. Si BK fit | circumfcrcntiœ, fient recurfi.is i iplius. (it punctum G inferius P, ubi eire deberet ad a-quabilis motus lincum delcribcndani, tantum jô^ôô AB, pofita nempe BPLR parabola ^) ut oportet. [Fig- 2 5-] Imo parabola bvr cujus femilatus redtum ab. 7 Dec. 1683. § 2. Circulo AQ [Fig. 23] immoto, movctur horizontaliter circulus hic BN tribus filis è lu- periore fuipenilis, unde circulus hic furfum fertur. Et pundum B dcfcribit curvam quandam BG- OQ in fuperficie cylindrica, qua.» curva 11 cum fiaperficie illa in pla- num explicetur erit linea finuum quam vocant, in qua fi ad axem bû [Fig. 25] applicetur quopiam DE normaliter, ea a^quabitur arcui bF àquadranteZTabfcifTo. ') Dans l'état de repos la tension de chacun des trois fils est i G, G étant le poids du cercle infé- rieur. Lorsqu'on tourne ce cercle de manière que les trois fils font désormais un angle a avec la verticale, et qu'on maintient le cercle dans cette position en appliquant une force horizon- tale tangentielle K („renitentia") en chacune des extrémités inférieures des fils, la tension S des fils, dont la composante verticale est toujours 1 G, sera telle que K = i G tg a. Les forces K égales et contraires qui mettent le cercle en mouvement lorsqu'on ne le retient plus („inci- tationes") sont donc proportionnelles à tg y.. Or et. est aussi l'angle entre la tangente à la courbe que l'extrémité inférieure du fil va décrire et la projection de la tangente sur un plan horizon- tal (puisque la tangente est perpendiculaire au fil). Les „renitenti«" en D et C [Fig. 24] se- OT OS raient donc proportionnelles à g^ et j^ respectivement (c.à.d. à QT et OS, puisque BT=FS), si la courbe décrite, rendue plane par le développement du cylindre de la Fig. 23, était une parabole. ") D'après les p. 483 et suiv. du présent Tome. 3) Après le développement du cylindre sur un plan. l'application de décembre 1683 ETC. 529 Si eniin qua'ratiir Inijiis curva> punctum C [Fig. 23] in recta KS, coniht jiinctâ SA angulum ASG cfll- rcL^iim. undc qiuuir. SG i-qualcditlcrcnticequadracurum AG, AS quorum AG qu. a-qualc cil AB live AQ. undc qu. SG x> qu. S(^ livc K.\. livoluto igitur arcu BK, five in altéra figura [Fig. 25] arcu at in ^/.v, li ponatur pcrpcndicularis sg ajqualis KN fivc in altcra, ak^ habcbicur in piano cvoluto punétum g. Ducatiir gii applicatu, qiuu li-'ccc arcuni bVr in /'. Ouod li jam ollcndacur tig x> arcui /«/^cric pun- (ftuni g in curva illa finuum +). Oftenditur autcm (ic. Cum sg fivc au fit zo ak ex con- Itruftionc, crit pcrpcndicularis /// œqualis hk^ quia producta ak incidit in / 5). Unde arcus hi a.'qualis crit arcui hk quia ''') ikc. fcd hk arcus a^qualis cit rcctae as (i\'c ug. Ergo ug œqualis arcui hi. quod crat demonilranduni ■'). •♦) En prenant dans la Fig. 25 aq pour axe des x et ab pour axe des y, on peut en effet démontrer qu'une courbe construite de telle manière que l'abscisse ug ou x, sur laquelle se trouve le point X i, est égale à l'arc hi du quart de circonférence bt'r, a pour équation 3 == /? cos ^, en posant tib z= k: la courbe est donc une sinusoïde. Voyez sur l'histoire de la sinusoi'de la p. 51 1 de l'Avertissement qui précède. Cette mise en équation ne correspond évidemment pas avec le raisonnement de Huygens. Il avait considéré en 1658 la courbe (1511VC de la Fig. 4 de la p. 348 du T. XIV) provenant du développement sur un plan de la surface courbe d'un onglet cylindrique: il avait constaté que l'ellipse qui limite cet onglet est changée de cette façon en une courbe — Roberval (voir à la p. 108 des „Divers Ouvrages de Math, et de Phys. par MM. de l'.\c. R. des Sciences" de 1693, ses «Observations sur la composition des mouvements etc.") l'appelle la „compagne de la cycloïde" — pour laquelle (dans la figure nommée du T. XIV) IIR = arc BK (1. 10 d'en bas de la p. 348), ce qui correspond dans la présente Fig. 25 à l'égalité de x ou ug avec l'arc bi. Dès que cette dernière égalité a été démontrée dans le cas de la Fig. 25, il apparaît que la ligne en question est la même que celle considérée en 1658 (à laquelle Huygens ne donnait pas encore en ce temps le nom de „linea sinuum"). Ceci ne veut pas dire que dans la présente Fig. 23 la ligne tracée par le point B sur le cylindre soit une ellipse. En effet dans l'équation y = ^ cos „ la longueur R est le diamètre à\i cylindre; tandis que dans le cas des Fig. 3 et 4 de la p. 348 du T. XIV on obtient la même équation y = r cos ~(le plan qui coupe le cylindre étant incliné à 45°; si l'angle d'inclinaison était |S, on trouverait y = ;-tg.5cos -) où /• représente le rayon du cylindre. Dans la présente Fig. 25 la demi-circonférence bi;ta correspond à la demi-circonférence BKN de la Fig. 23; mais la cir- conférence à rayon R est bFr et c'est sur elle que se trouve le point /. 5) Les triangles aui et akb sont congruents, puisqu'ils sont rectangles et qu'on a de plus ai = ab et au = ak. D'où résulte à la fois que le prolongement de ak passe par le point /et que iu = èk. *) L'égalité des arcs bi et bk résulte de l'égalité des angles bai et bak, et du fait que le rayon du quart de circonférence biFr est le double de celui de la demi-circonférence bka. X 7) En comparant (Fig. 25) la courbe bgq ou y = R cos -^ (note 4) avec la parabole hir à demi 67 53° l'application de décembre 1683 ETC. Spatium hgiqah efl: squale quadrato ab ah '). Curva bgiq efl: jequalis curvœ dimidi» Ellipfis ahb pofica eh potentiâ dupla ad radium ae '3- § 3. Quscunque fuerit longitude filorum AB [Fig. 23 et 26] femper motus ifo- latus rectum ab ou /{, dont il est aussi question dans la Fig. 24 et le § i, et qui a pour équation x~ T = /{ D, on voit que la différence des ordonnées pour une même valeur de .v (PG dans la Fig. 23) est R (cos | - 1) + ^, ou ^3 [^ - ^, + ^^ . . .] , ce qui est inférieur à , „3, donc aussi à ^g'gg R, pour x='g^R, valeur considérée par Huygens dans le § 1. Comment est-il arrivé à cette conclusion? Nous nous proposons de revenir sur cette ques- tion purement mathématique dans un des Tomes suivants. r\r.R •) On a en effet ] R cos ^ d.v = R-. Voir sur la démonstration de Huygens les deuN premières C /v lignes de la p. 349 du T. XIV et comparez, sur cette quadrature, le dernier alinéa de la p. 52 du T. I (lettre de Mersenne à Huygens de janvier 1647); Mersenne parle (sans le nommer) d'un résultat obtenu par Roberval; voir la p. 95 du supplément de 1922 par C. de Waard à l'édition des Oeuvres de Fermât par Tannery et Henry (Paris, Gauthier-Villars). ^) On peut vérifier de la manière suivante l'exactitude de ce résultat. La longueur de la moitié de /T. 2 i/i — e' sin' 'f dj), où o X a^ b'^ - = sin » et f^ = s — . Dans le cas considéré par Huygens a = LR ^2 et ^=| R. On a donc: S =■ R \i \/^ — sin^ y dy, ou bien 6' = R \i\/\-\- cos^ ydy, ou encore o o .5'= /? I 2 l/i + sin" -^ d-^, en prenant ■// =- — y. Quant à la longueur de l'arc considéré ._^ * de la sinusoïde y = R cos * elle est Z, = | 2 Ki -f sin° Ràx, ce qui se réduit également, o n en posant | = -^ à la valeur R | 2 Ki + sin= •;,. d;. On a donc L = S. C. Q. F. D. o Rappelons, sans tâcher pour le moment de reconstituer le raisonnement de Huygens — voir la fin de la note 7 de la p. 529 — que Pascal dans la lettre de 1659 de „A. Dettonville" à Huygens (notre T. H, p. 307, 397) réduit „la dimension des lignes de toutes sortes de roulettes ... à des lignes cliptiques". 1 l'application UK DÉCEMBUK 1683 ETC. 531 [Fig. 26.] [Fig. 27.] chronuseftperparabolamBR cylindro applicatam ciijus i latus reéhim AB 3). Pondère orbis BMN auc anniili aufto, idem tempus recurfus penTianct+). Sed ex- tenlb orbe vel circumterentia penlîli pondus continence Icncior evadit motus fecun- dum rationem diametrorum '). Ponamus duplam. 3) Cette affirmation n'est pas corroborée, comme précédemment (fin du § i et note 7 de la p. 529) — et comme Huygens aurait sans doute pu le faire ici aussi — , par une évaluation numérique de la différence des ordonnées, pour une même abscisse donnée, de la ligne décrite sur le cylindre par le point B, et de la parabole nommée, applicjuée au cylindre. Lorsqu'on développe le cy- lindre sur un plan, la lignedécritepar B devient une courbe à équation ■v=\/ /- — /î"sin^^, /étant la longueur des fils, et R, comme précédemment, lediamètreducylindre. Les axes sont choisis comme dans la note 7 nommée. L'équation de la parabole est y = / -.. Le dévelop- pement en série fait voir que la différence des ordonnées des deux courbes (la première moins la deuxième) pour une même valeur de .v a pour premier terme "— . -^^ ^ .Le terme en X- disparaît donc comme dans le cas /= /^ confidéré dans la note 7, de sorte que le mouve- ment est toujours approximativement isochrone, ainsi que Huygens le dit. ■•) À cause, peut-on-dire, de la proportionnalité de la pesanteur et de la masse: comparez la note 7 de la p. 45 qui précède, et la note 3 de la p. 578 qui suit. S) Puisque le moment d'inertie /du cercle mobile augmente dans la proportion /;+ lorsque le rayon devient « fois plus grand (l'épaisseur et le poids spécifique restant les mêmes), que le moment des forces agissant sur le cercle pour un angle de torsion donné devient en même temps, com- me le poids, ;/- fois plus grand, et que la période est proportionnelle à la racine carréeduquo- tient de / par le moment des forces pour un angle de torsion donné. Huygens, dans la démonstration du textequisuit,assimileles oscillations considéréesautour de l'axe vertical à des vibrations linéaires, comme nous l'avons déjà dit à la p. 512 de l'Aver- tissement qui précède. Voir encore à ce sujet la note 4 de la p. 567 qui suit. 53a l'application de décembre 1683 ETC. Fit itaque motus ponderum per fimiles arcus duplo major, pofita eadem altitudine afcenfus. unde tcmpora finit in cycloidihus, iibi, in eadem altitudine, arcus funtdupli [Fig. 2_-]. quod ut fiât debcnt fubtenfe LO, LN in circumterentijscirculorumgcni- torum eiïe in ratione dupla. unde diametri in quadrupla, diametri autem bis fumpta; faciunt pendula ilhrum cycloidum; quorum igitur longitude rationis quadrupl^e, facit recuduum tempera rationis dupla;. Ponderibus minoribus K, M, ponderi orbis additis [Fig. 26] '), poterimus ea verfus centrum promovendo, accelerare non nihil recurfuum tcmpora; fed fcicndum longe minus in hoc ipforum clTc momentum quam in circulis fimpliciter fufpenfis e ccntro -). Quadmplicando fila AB, fit motus duplo lentior, ut in pendulis "*). Si duplicetur diilantia filorum AB à ccntro, manente eodem annulo, crunt tempora ut in cycloidi- bus, ubi, in îequalibus arcubus, altitudincs funt quadniplœ. unde eflicitur tempora hic tore fubdupla priorum ••). [Fig. '.] § 4. Le 17 dec. 1683 j'ay porté a Van Ceulen l'horloger lemo- delle que j'avois fait de ce mouvement de Pendule Cylindrique, pour changer de cette façon les 2 horloges que je luy avois fait faire pour la Compagnie des Indes Orientales '). J'avois prié mon frère de Zeelhem de venir avec moy : parce que ledit horloger s'imaginoit d'avoir trouve la mefme chofe que moy ''), après m'en avoir ouy dire quelque choie en gros. Mais ayant vu le modelle il avoua que ce qu'il avoit modelé n'y reflembloit nullement. §5. lojun. 1684. Optima ratio horum fi filis longis utamur [Fig. 28] puta 9I vel 38 pollicum qua; extremo annuli margini illigentur, atque ita circulare pendulum fiât; axe annuli in foramen ftabile immifiTb propter navis motum. I ') Comparez la note 2 de la p. 28 du T. XVII. °) Dans les deux cas le moment d'inertie / varie par hypothèse de la même quantité. Mais le mo- ment des forces est bien plus petit lorsque le cercle n'est suspendu qu'à un seul fil tordu. Le ?i 7" -jf(,où Test la période), qui est inversement proportionnel, comme 7'elle-méme, à la racine carrée du moment des forces pour un écart angulaire donné, est d'autant plus grand que ce moment est plus petit. 5) CsBteris paribus, le moment des forces est proportionnel à tg a (note i de la p. 528), c.à.d. à fort peu prés à la longueur des fils. Et la période est inversement proportionnelle à la racine carrée du moment des forces. l'application de décembre 1 683 ETC. 533 [Fig. 29.] §60; que Ton ne doit pas demander ces mouvements [Fig. 29] dans une dernière égalité, mais a peu près. que l'invention de la détente fans manquer efl de grande importance ^ 41» pei-it être appliquée au pen- dule triangulaire '•'). que ces meiïîeurs les direfteurs de la Compagnie des Indes ne devroicnt pas regarder a quelque peu de depenfe, pour arriver a cette invention fi utile '°). Tourner les horloges iaits pour en faire des pen- dules triangulaires '0- l'uneaumoins. et laiffcr l'autre comme elle efl; pour la grande agitation du vaifleau. Refolutiën vandeBeiv'inthehberen vandeOoP'wdifche CompM ter Camer tôt Amfîerdam. Donderdag den s/sten JuUj 1684 .... Den Heer Burgemeerter Hudde heeft ter vergaderingh geproponeert, dat fijn Ed.t bij refolutiën van den 3 isten December 1 682 ■*) Le moment des forces étant doublé, la période sera diminuée dans le rapport \ 1. 5) Comparez la p. 513 de l'Avertissement qui précède. *) Comparez la note 9 de la p. 32 qui précède. ^) Le„§6" est emprunté à la p. i92duManuscrit F. Lap. 193 porte la date du 2 mai 1684. Toute- fois il parait probable que le § 6 date de fin 1685 .-comparez le 4'*"^' alinéa avec le premier alinéa de la p. 539. *) Nous ne savons pas exaftement de quelle invention il s'agit. Il semble bien que Huygens parle ici de la construction d'un remontoir (comparez l'expression „ontsluijtingh", p.e. dans la note 2 de la p. 17 qui précède). 11 est en effet presque certain que les horloges à „pendulum cylin- dricum trichordon" construites par J. van Ceulen ont été des remontoirs à ressorts, remarque qui s'applique aussi aux horloges à ressort spiral qui furent changées en elles (1. - de la p. 5 10). Comparez la note 1 1. ') Nous savons en effet que l'horloge à pendule triangulaire qui fait son apparition en 1685, était un remontoir: voir p.e. la note citée dans la note précédente, et la Pièce IV qui suit (p. 539). '°) Comparez les p. 509 — 51 1 de l'Avertissement qui précède. ") Cette remarque porte à croire (comparez la note 8) que l'agencement des roues des horloges à „pendulum cylindricum trichordon" ne différait pas énormément de celui des roues des horlo ges à pendule triangulaire qui leur succédèrent. Comparez le deuxième alinéa de la p. 513. 534 l'application de décembre 1683 etc. en 28 Februarij 1684 geaiithorifeert fijnde, om met den Heer Huijgens en eenen van Ceiilen te correspondcren o\Tr hct uijtvindcn en maeken van feer acciiratc horologicn, die van malkandercn in een etmacl geen fecunde fouden verlopen, waer- door fonde cnnnen werdcn uijtgcvonden het Ooll en Weil en daer aen te ipende- ren een à twee duijfent gnlden, (ijn Ed.t dat werck foo veel in hem is geweeft heeft voortgelet, fonder dat evenwel tôt noch toe het gewenfchte ooghwit is hereijckt; dat lijn Ed.' bell geacht heeft, alvoren vcrder te continueren, hier van kenniffc aen defe vergaderingh te geven, item voor te ftellen, of de felve fonde cunnen goetvin- den te doen uijttellen aen den voomoemden van Ceulen, een man van weijnigh vcnnogen'), twee honderd filvere diicatons, op reeckeningh van fijnen gedanen arbeijt; waarop fijnde gedeHbereert, is verllaen den Heer Burgemeeller Hudde voor fijne gedane communicatie te bedancken, (ijn Ed.t te verfoecken, om conform de refolutien hier boven geallegueert, den Heer Huygens te verfoecken en te animeren, om in fijnen goeden ijver te uillen continueren; wijders aen den voornoemden van Ceulen toe te laten komen de voorfz. twee honderc ducatons, om ware het doenlijk defe dienftige faeke tôt perfectie te brengen. Donderdagh den 30 Augiift : 1 685 . . . Den Heer Burgemeefter Hudde de vergaderingh voorgedragen hebbende, dat den Heer Huijgens prefenteert ') perfonelijk een preuve in zee te nemen van de accurate horologien bij fijn Ed.' uijtgcvonden, en met voor- kenniffe van defe vergaderingh gedaen maeken, ofdelelvedebewegingen vandezee kunnen uijtiîaen, waer door als dan gemeijnt werd, dat fonde cunnen werden uijt- gevonden het Oofl en Wefl:, foo als daer toe de refolutien van den 31 December 1682, 28 Februarij, en 2- Julij 1684 tenderen, is de voorfz. propofitie en prefen- tatie voor ganfch aengenaem opgenomen, en is dienvolgende verfi:aen dat den voor- noemden Heer Huijgens daer toe fal werden geprefenteert het galjot \'an Comp.'^ alhier, en den perfoon van Barent Fockes^), om het felve te voeren , die figh fal pofteren en ieijlen daer het fijn Ed.t goetvinden fal; werdende de Heeren van de Equippagie verfocht en geauthorifeert, om het daer toe bequaem te maeken. En den gemelten Heer Burgemeei^er Hudde om den horologie maecker van Ceulen, die het werck heeft gemaeckt, te laten toekomen voor de tweede mael twee hondert duca- tons, mitsgaders aen de Smith, die daer toe heeft geholpen feventigh gulden, met ') J. van Ceulen (voir sur lui la note 4 de la p. 509 qui précède) n'était nullement dépourvu de biens. Mais il était sans doute „een man van weijnigh vermogen" en comparaison avec les riches négotiants d'Amsterdam. ') Dans la lettre inconnue du 29 août, dont il est question dans la lettre de Hudde à Huygens du 3 septembre: voir la p. 24 du T. IX. 5) Mentionné aussi aux p. 27, 3 1 et 579 du T. IX. l'application de décembre 1683 ETC. 535 vcrdcr \'erfocck op dcn wclgcmcltcn I icer I Iiidde om hier over het opficht en direftie te blijven hoiiden, rcn ejjnde dat defTein tôt vcrlightinge van de zeevaert ten goedcn effeéle niagli werden gebraghc. Donderdagh dcn 6 September 1685 De I Icer Burgemeelk-r Hiiddc ter ver- gaderingh gecommunicccrt hebbende fecckere miflive door dcn I lecr Huygens aen Sijn Ed.t gefchrcven +), vvacr bij den felvcn Heer Huijgcns veribcht, dat dele verga- deringh hem in de aenllaende toght om preuve te nemen van de horologien bij fijn Ed.t uijtgcvondcn, waer door te vindcn ronde wcfcn het Ooil en Wcllbrcderin de refolutie van dcn 30 des voorleden maents en andere meer vervat, ibiide willen toe- voegen Mr. de Graefs) of iemant anders in die materie ervarcn, tôt lijn Ed.safljften- tic en getuijge, is verihicn den welgemcltcn I leer Burgemeefter te verfoecken en te authoriferen, om dcn voom. de Gracf of ecn ander daer toe te difponeren, fijnde wijders fijn WelEd.t voor de gedaene openingh bcdanckt. ■*) Nous ne connaissons pas cette lettre. 5) II s'agit de Johannes de Graaf: voir la Pièce IV qui suit (non pas d'Isaak de Graaf — T. IX, p, 27, note 3 — , comme nous l'avons déjà remarqué dans la note i de la p. 266 du T. IX). m. PREMIER PROJET DE 1683 OU 1684 DU „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE 1693. [Fig. 30.] A '). Aliud genus motus ilo- chroni orbis AB [Fig. 30] fuper axe horizontali mobilis affixis ponderibus C, D. Orbi filiim cir- cuinjectum cui appenduntur ca- tcnula; îequales EF, GH planum HF icinper contingentes. Indito niotu, crelcit pondus catenulse alterius fuper reliquam idque in cadem ratione qua circumferen- tia orbis verlatur. Unde incitatio pro ratione diflantise a quiète, atquc hinc recurfuum minorum majorumque œqualitas '). Idem fîet fi loco catenularum appenli fuerint cylindri tenues liquido immerfi ut argento vivo vel oleo &c. Sed motus ponderum fuper axe horizontali non œque liber efl: ac in fufpenfione. Poffet orbis gravitans efie horizontalis et ex filo pendens [Fig. 31], inferne axem foramini inlertum habens, fila vero bina axi circumvoluta, ac par orbiculos ad cylindres euntia de quibus didhim. ') La Pièce A est empruntée à la p. 181 du Manuscrit F qui suit les pages mentionnées dans la note I de la p. 527 qui précède. L'idée de faire usage de chaînes pendantes venant s'appliquer sur une table et exerçant par conséquent une force variable se trouve déjà dans le projet de PREMIER PROJET DE 1683 OU 1684 DU „BALANC1ER MATIN PARFAIT" DE 1693. 537 T^ [Fig.Si.JO l~^ £>vw«f^ [^"ig• 32-] c [Pig. 33-] FI tt /J+). AB [Fig. 32] fiirfacc du vif argent ou de l'eau. CD un corps cylindrique qui iurnagc librement avec la partie D enfoncée. Si on le fait baifferd'un pouce, (ou autre efpace), il pefe autant vers en haut qu'il peic vers le bas, quand on le hauffe d'un pouce. Et le mefme arrive foit que la liqueur foit comme une mer [Fig. 32] ou qu'elle foit enfermée dans un vaiffeau cylindrique [Fig. 33]. Et les forces de ces pe- fantcurs croiiïent en baiflant ou hauflant le dit corps, en mefme raifon que celles d'un reiïbrt comprime, c'cft a dire en raifon des enfoncements ou élévations. De forte que c'eft icy un refibrt qui n'efl: pas fujeft aux altérations du froid et du chaud, comme font tous les autres. EF [Fig. 34] ert un reftangle de fil de fer au quel la chorde efl: attachée en H et G. HN fer roide. K, T^, font des poulies. Ou au lieu de poulies ce peuvent eftre des bras d'une petite verge hori;;ontale appuiéc au milieu fur un cuneus, comme les balances. Ou feulement des poulies appuiées fur un cuneus au lieu d'axe. 1659 de Huygens d'une horloge à pendule conique (T. XVII, p. 88). On y rencontre égale- ment les „cylindri tenues liquide immersi". Voyez aussi sur ces derniers de la p. 556 qui suit. -) La proportionnalité de la puissance mouvante ou „incitatio" avec l'écart, doit entraîner Piso- clironisme des oscillations: comparez les 501 et 509 de l'Avertissement. On voit aisément que, si le balancier est en équilibre dans la position horizontale, le moment résultant qui tend à le ramener dans cette position, est en effet proportionnel à l'écart angulaire. Attendu que le bras de levier est constant, on peut d'ailleurs interpréter ici le mot „incitatio" soit comme un mo- ment soit comme une force (comme dans la Pièce II à la p. 496 qui précède). 3) On lit dans la figure: „hydrargyro". "*) La Pièce B est empruntée à la p. 5 r. du Manuscrit G, datant sans doute de 1688, puisque la p. 8 r. porte la date du 20 décembre 1688. 68 538 PREMIF.R PROJET DE 1683 OU 1684 DU „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE 1693. [Fig- 34-] [Fig- 35-] Angulus librationis cunei in centre cylindri filum evolventis [Fig. 35]. Cum IVI deprimctur [Fig. 34], cogetur dcfcendere cylindrus P et amplius mergi in hydrargyrum. Qui crgo cylindrus afcendere nitetur, et inipreflb motu in pondéra MQ ea ultra fitum horizontalem irapellet, coque ex hydrargyro attolletur ultra squi- librium cylindrus P, atque ita denuo defcendet et volvendo orbem KdeorfumcogetM. 4 IV. L'APPLICATION DU PENDULE TRIANGULAIRE, DATANT DÉJÀ DE 1671, À UNE HORLOGE MARINE CONSTRUITE VERS 1685, CETTE DERNIÈRE ETANT UN REMONTOIR À RESSORTS. Refoliitiën vande Bewiiidhebberen van de Oofîindifche Comp." ter Camer tôt ^m fier dam. Maandagh den 17 September 1685 .... Den Hecr Burgemecfler Huddc ter ver- gndcringh gccomnumicccrc hebhendc hoc en op wat wijfe is iiijtgc\'allcn de preuve bij den 1 Icor Huijgcns mec Comp.s galjoc te wacer genomen vande horologicn bij (ijn Ed.t geinvenceert '), en dat 't felve fal diencn te vverden vervat, is verftaen den welgcmelten hcer Hudde voor de gcdaene opcningh te bedanckcn, & (ijn Ed.' te verfoecken conform voorige authoriiatie in de forge over dat werk te willcn conti- nueren. La fuite de cette Pièce — comparez le dernier alinéa de la p. 513 qui précède — eft la tra- duction d'une partie de l'Inflruction de Huygens de décembre 1685 pour Johannes de Graaf ') et Thomas llelder 3). Comme le T. XVII contient une verfion du „Kort Onderwijs" de 1665, nous nous bornons ici à ce qui fe rapporte direftement à l'horloge. I. On prendra dans le navire deux des nouvelles horloges à pendule, etc. II. Pour iufpendrc les horloges dans le navire, on réfervera un petit coin du falon ou d'un autre endroit commode et fec, et on le guarantira de la pouiîlère en calfeu- trant les fentes, puifque les horloges font ouvertes en bas. Il doit y avoir là une fenêtre et une petite table où Ton puiffe mettre et démonter les horloges lorfqu'il en efl: befoin. III. On trouve ci-contre [Fig. 36] la figure de Thorloge et des châffis de fer dans ') Il s'agit de l'expédition du Zuyderzee; comparez la p. 510 de l'Avertissement, et la Pièce II qui précède. -) Comparez sur J. de Graaf la note 5 de la p. 535. 3) T. IX, p. 55 — j6. Th. Helder mourut à bord du vaisseau Alcmaer pendant l'expédition de 1686— 1687 (T. IX, p. 37). 54° l'application du PKNDULE triangulaire, datant déjà de 167 I, ETC. 4 [Fig. 36.] lefquels elle eft fufpendue. Cette figure permet d'indiquer comment il faut attacher l'horloge au vaiffcau, et ce qu'Q faut obferver à cet égard. ABCD efl: une anfe de fer, avec une croix à la partie fupérieure, puifque EF ell perpendiculaire à BC. Le plus grand des deux châffis eft GH, mobile autour des axes A et D qui traverfent les extrémités inférieures de l'anfe. Le plus petit eft IK tour- nant à l'intérieur de GH autour de deux axes oppofés R dont on n'en voit qu'un. A ce châffis IK font attachés en-deffous, dans le plan vertical pallant par les axes R, les fers LM, NS con\'ergeant vers le bas et y portant enfemble une vis verticale égale- ment dirigée vers le bas. Sur cette dernière on enfile le poids T ayant au milieu un l'application du pendule triangulaire, datant déjà de 1 67 1 , ETC. 541 large trou; et on le maintient immobile à l'aide d'une petite plaque et d'un écrou O. Ce poids efl: d'en\'iron 40 lix'res; plus il efl Icjurd, mieux cela vaut. L'horloge Pn'eil placée dans le chàflls IK qu'après que ce dernier a été attaché au plafond à l'aide de l'anle. Cela le fait a\'ec les vis E et F, de telle manière que le bras EF foit dirigé fui- vant la longueur du vaideau; d'où réfulte que le plan de la croix EFBCeft horizontal t)u à peu près lorfque le navire eil à l'ancre, et que l'horloge, lorfque le navire penche d'un côté, ne rifque guère de fe heurter contre les bras BA et CD. Il faut furtout avoir égard à ce que cette croix foit toujours et partout bien en contaft avec le pla- fond; s'il eft nécelVaire, on peut mieux le fixer en plaçant des coins ou autres petits morceaux de bois uu-defl'us des extrémités B et C Sinon, l'horloge prend par la force de fon pendule un petit mouvement ofcilhitoire, qui, bien que souvent invidble, ac- célère fa marche et la rend abfolument irrégulière. IV. Pour donner à l'horloge la pofition verticale, on déplacera et tournera le plf)mb inférieur M (ce qui peut aifément le faire à cuufe de la largeur du trou central) jufqu'à ce qu'une petite boule ou bille Q qu'on laifle tomber fur la face fupérieure ne roule pas en bas. Après avoir fait cette expérience fur terre et marqué fur le plomb T les lignes qui coïncident avec la croix MS, on affurera la pofition verticale dans le navire en viflant le plomb à l'horloge comme ces lignes l'indiquent. Le pendule ctmilruit en forme de triangle et portant un plomb en bas ne fera ac- croché qu'après que l'horloge aura été placée dans le chàllis, parce qu'autrement il rifquerair d'être courbé ou brifé. Après que l'horloge a été mife en mou\'ement , on ne déplacera ni ne tournera plus le plomb inférieur, et on n'augmentera pas fon poids. XVI. Pour faire accorder l'horloge avec l'heure du foleil. Après quoi l'on avancera ou retardera [les aiguilles de] l'horloge; fans cependant déplacer l'aiguille des fécondes, parce que celle-ci doit coïncider avec le chiffre 60 au moment où fe produit le déclenchement et le remontage du petit relTort '). retarder l'horloge (de 3o'6 ). A cet effet, retardez d'abord l'aiguille des minutes de 30', arrêtez enfuite le pendule durant 6 fé- condes que vous pourrez évaluer, foit firaplcment en comptant, foit en regardant le pendule, auquel on peut laiifer un très petit mouvement fans que l'aiguille des fécon- des avance. Lorfque les 6 lècondes feront écoulées, rendez au pendule fon mouve- ment ordinaire. ') Ces passages (N"' XVI et XXVII) font voir que l'horloge était un remontoir, comme nousl'a- vons déjà dit à la p. 5 14 qui précède. 542 l'application du pendule triangulaire, datant DÉjX de 1 671, ETC. Si l'horloge avait dû être avancée de 306", il aurait fallu avancer raiguille des minutes de 3 1 ', c.a.d. une de plus que 30, et arrêter le pendule durant 54". XXVII. Règles i'ur la conduite des horloges. L'aiguille des iecondes tourne avec une parfaite régularité. Lorfqu'elle a fait une révolution entière au bout d'une minute, la roue de rencontre, h laquelle elle eft attachée, cil animée d'une nouvelle force par un double déclenchement, comme dilent les horlogers. Le premier déclenchement a lieu lorfque l'aiguille atteint le chiffre 30, le deuxième au chiffre 60. En remontant l'horloge, on aura la précaution de ceffcr le remontage lorfque l'aiguille des fécondes s'approche du chiffre 30 et furtout lorfqu'elle va atteindre le chiffre 60. Ceci pour que le déclenchement et le remontage du petit relfort ne lé produifenc pas avec trop de véhémence, ce qui donnerait lieu à des arrêts trop brufques de forte que ce reffbrt ferait trop fecoué '). XXVIII. \''ers la fin du remontage on tournera la clef uniformément et affez len- tement, pour qu'à la fin l'arrêt de la fufée fe produife fans choc, car fmon Teftort portera liir les dents des roues, qui rifqueront d'être déformées ou brilées =). XXIX. En fufpendant l'horloge on veillera à ce que les deux plombs foient adap- tés l'un à l'autre et à la croix de fer inférieure comme ils l'étaient i'ur terre, c.a.d. fuivant les fignes ou raies qu'on y a faits. XXX. Lorfqu'on veut ôter l'horloge du chàfïïs pour y pratiquer quelque change- ment, il faut d'abord décrocher le pendule et le placer dans fa café; c'eit après la ré- introduction de l'horloge dans le chadis, qu'on doit de nouveau l'y accrocher, ce qui fe fait le plus aifément en ouvrant le volet à couhffe de l'horloge. XXXI. Les petits plombs des pendules y ont été fixés à coups de marteau , de forte que lorfqu'on veut faire avancer ou retarder le pendule, cela doit être fait ou bien par le raccourciffement ou l'allongement des fils par le moyen de la vis, ou bien en mon- tant oubaiffant le petit plomb 3) à l'aide d'un martelet. On indiquera d'abord par une raie fur l'axe la première pofition. XXXII. Lorfque l'horloge a été de nouveau fufpendue et que le pendule y a été attaché — ou bien lorfqu'on a oublié de la remonter de ibrte qu'elle s'efl: arrêtée — et qu'on veut de nouveau la mettre en train, on la remontera d'abord en tout ou en partie. Alors on mettra le pendule en branle, et pendant qu'il fe meut, on reculera doucement l'aiguille des fécondes en y appuyant le doigt près du centre. A chaque ') Voir la note i de la p. 541. ') Le N° XXVIII fait voir que l'horloge était pourvue d'une fusée (note 2 de la p. 17). Com- parez le N° XXXIV qui suit. 3) Le singulier indique qu'il s'agit du poids globulaire qu'on voit dans la Fig. 36; non pas de pe- tits poids curseurs comme il y en avait jadis (Fig. 8 et 9 de la p. 14). l'application du pendule triangulaire, datant DÉjX de 1 67 I , ETC. 543 coup du pendule on entendra alors la roue de rencontre reculer d'une dent. On con- tinuera jufqu'à ce qu'on entende le dcmi-déclenchenient ou le déclenchement total. En ce moment on doit laiiïcr l'aiguille des fécondes libre. Alors l'horloge continuera fa marche. Et lî par hafard, en appuyant trop, en fens inverfe de la marche, fur l'aiguille des (ccondcs, on l'a quelque peu tournée par rapport à fon axe, de forte que le déclen- clicment total et le remontage de la roue de rencontre ne fe produiiént pas au mo- ment où l'aiguille atteint le chiffre 60, on la tournera de nouveau fur l'axe dans le fens de la marche, en arrêtant doucement d'un doigt la roue de rencontre qu'on peut aifément atteindre par en-defibus. XXXIII. Eorfqu'on eil obligé de démonter l'horloge, il faut furtout fonger à dé- tendre d'abord le refîbrt du grand barillet; c'eft ce qu'on fait en ferrant fon axe dans un étau à main et en levant le cliquet de l'autre main. Si l'on négligeait de le faire, il cil: à peu près certain qu'il fe produirait quelque rupture. XXXIV. Dans cette détente on laifTe toutefois au grand reffbrt un peu de force afin que la chaîne ne fe déplace pas fur le barillet. Si elle venait néanmoins à fc dépla- cer, il faut veiller à ce que la chaîne vienne s'cnchàflcr, des le commencement du remontage, dans les raies de la fufée; à cet effet il faut de la main déplacer de nouveau quelque peu la chaîne fur le barillet. Une fois bien placée, elle rertera en pofition. XXX\^ On fe pourvoira non feulement de l'étau à main déjà mentionné, mais aufll d'une pince, d'une tournevis, de quelques limes, d'un marteau et d'autres uften- files d'horloger de ce genre, ainfi que de fil de foie pareil à celui par lequel font fus- pendus les pendules. Lorfqu'on a renouvelé les fils — ou un feul fil — d'un pendule, il faut fortement tirer fur eux; ce qu'il faut répéter, après l'accrochage du pendule, dans la direétion nouvelle des fils. On pré\'ient ainli les gliffements et les allongements qui pourraient autrement réfulter du mouvement continuel des pendules +). *) Les p. 207 et suiv. du Manuscrit F contiennent encore plusieurs remarques pratiques sur les horloges marines, p.e. „Voor den horologer. Als de flaghen van de flinger kreupel gaen, kan men die gelijck maccken met het armtie [la foiTchette] dat de flinger leijdt een klein weij- nigh te verbuijgen, douwende het in fijn midden wat door nae de fijde daer het niet vroegh genoegh en lofl:. men kan dit doen fonder het horologe of fiinger af te nemen, devvijlmen van onderen met de vingers daer bij kan". A propos des fils Huygens dit encore: „ Als men nieu \ve draden aen de flinger gedaen heeft , of als men het horologe van 544 l'application du pendule triangulaire, datant déjà de 167I, ETC. RefoliiHën vande Be-vohnhehberen vandc OojïhuUÇche CompJ^ ter Camer tôt Amflcrdauu Maendagh den i Sept. 1687 .... Op de propofitie ter vergaderingh gedaen, is goetgcvonden en verlbcn dat aen de hecr van Zuijlichem ') in den Haagh ziillen werden gefonden de Daghregillers ofte Join-naien gehoudcn wcgens de tvvee horolo- gien, dewelcke op een van de Conip.s Sehepcn nac de Caep iïjn gebraght gewceit, mitsgader.s 't geen verder tôt fijn E. verlightinge fonde kunnen dienen, fullende de- felve Journalen ^) derwaerts wordén gebraght door de foon van den examinateur van der Graeff^), om gemelte lijn E. dienaengaende mede te dienen van mon delingh beright +). Donderdagh den 29 April rf>88 . . . Gclefcn iijnde een brief ') vande lieer Chris- ciaen Huygens, heere van Zelem '), rakcnde de vindinge van Ooilen Weil,gelchre- ven aen de heer Biirgemceiler Hudde, hebbende tôt bijlaegen een deduftie ") en Caerte ') tôt defelve materie Ipefterende, is nae deliberatie goedtgevonden de voorfz. bricf, deduftie, en Caerte te ilellen in handen van de hecren van hct l'ackhuijs om bij haar E. te werden geëxamineert, en de vergaderingh dienaengaende te dienen van confideratien en advis ^). nieuws opgehangen heeft, foo is gocdt dat men een dagh of twee laet gaen eer men begint het daghelijks verfchil te obierveren want ick heb veelmaels hevonden dat het eenigen tijdt van noodcn heeft, het zij omhet recken ofrecht uijt fpannen der draeden, eer het op fijn eenparighe gangh komt. .... Sijden draed mede nemen. dicke roode ftrick iij [comparez les dernières lignes de la p. 16 qui précède], geen fterck gedraeijde (ijde, om dat te veel kan recken. Men fonde fulcke fiick iijde wel wat dicker konnen laten twernen. .... De iijde draeden te lacken of met hars boven aen firijcken voor het door- ichieten, voor 't gedreun van 't canon fchieten". ') Peu après la mort de Constantijn Huygens père, qui eut lieu le 26 mars 1687, Christiann H. échangea le titre de „.seigneur de Zuylichem" contre celui de «seigneur de Zeelhem". ^) Voir la note 3 de la p. 26^1 du T. IX. 3) C.à.d. par Johannes de Graaf, fils d'Abraham de Graaf. ■*) Dans sa lettre du i septembre 1687 à son frère Constantijn (T. IX, p. 208) Huygens dit déjà qu'il attend les journaux de la première expédition au Cap de Bonne Espérance. Le départ avait eu lieu de 24 mai 1686. 5) C'est la lettre du 24 avril 1688, qu'on trouve à la p. 267 du T. IX. *) Il s'agit du rapport qui occupe les p. 272 — 291 du T. IX. 7) Nous avons publié cette carte à la fin du T. IX. l'aPI'LICATION du pendule triangulaire, datant déjà de I 67 I , ETC. 545 Maendagh dcn 8 Augultij 1689 .... Gehoort fijndc hct rapport en advis van de liccrcn van hct Pakluiys hij refolutic van dcn 29 April des vcrlcden jaars 1688 ge- comniictccrt om i cxamincrcn fckcrc bricf vandcheerChrilliaen Hiiijgcnshccrc van Zclem, ncvens fckcrc bijlagcn dacr toc horendc, rakcnde de vindinge van Ooft en Wcd:, niitsgaders noch gclczcn cen bricf van de heer de V^older, Philofophiae et Mathefeos Profedbr tôt Lcydcn, houdende ccnigcconfidcraticnomtrcntdcrelvema- tcric 9), is nae dcliberatie verllaen, dat van d'horologien door de gemeltc heer Huij- gens tôt dicn eijnde gein\'cntecrt, een nader proef fal worden genomen, en defelve fodanigh als rtacn te worden vcrandert '"), ondcr oplight van cenigc pcrfoncn hun des vcrlbaende andermacl nae C'abo de bonne Efperance overgcbragt, wordende ge- meltc hccren van hct Pakhuijs bij dcfcn verfogr, en cumplenà geautorifeert, omhet giint voorz. is, en hct gccn dacr toc verdermogt worden gcrequireert, foofpoedigh als docnlijk is werkltelligh te maken. Maendagh den 1 1 Decenib. 1 690 .... Nogh is goet gevonden dat Johannes de Craefaangcnomcn voor ondcrcoopman, zijnde gedeCpicieert, en vervolgcns aenge- ilelt , om als «bfervatcur der Horloges nacr de cacp de gocdc hoop te gaen , mitsgaders van fijn vcrrightingen en obfervatien dlelwcgen , hem te koomen docn rapport, weder, bij (ijn acncomllc alhier, in voomoemde qualiteit van ondcrcoopman op de eerft ver- trekkende fcheepen lai worden gccmploycert en aengeftelt "). 8) Hudde fit part à Huygens de cette résolution dans sa lettre du 30 avril (T. IX, p. 294). ') Le rapport de B. de Volder, du 22 juillet 1689, occupe les p. 339 — 343 du T. IX. '°) Il est plusieurs fois question dans les lettres qu'on trouve dans le T. IX de quelques correftions à apporter aux horloges de 1685 , comme nous l'avons dit aussi à la p. 514 de l'Avertissement qui précède. ") Hudde avait peut-être déjà communiqué cette résolution à Huygens avant que celui-ci lui écrivit la lettre du 14 décembre (T. IX, p. 567). On peut voir dans le T. IX, que Huygens resta en correspondance avec J. de Graaf jusqu'au départ du vaisseau Brandenburg pour le Cap de Bonne Espérance, lequel eut lieu un des der- niers jours de décembre 1690. 69 V. LE «BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FEVRIER 1 693. [Fig- 37-] [Fig.38.] I / ji. Les Fig. 37 et 38, empruntées à la p. 165 du Manufcrit H '), font voir qu'en janvier 1693 (ou peut-être déjà en décembre 1692) Huygens reprit l'idée du balancier de la Pièce III. Ces pre- mières figures ne montrent pas les chaînettes pendantes servant à alibrer dans la mefure du pofïïble l'ifoclironisrae des ofcillations: on les retrouve dans la Fig. 40 qui fuit. Les Fig. 37 et 38 indiquent que Huygens fongeait à diminuer le frottement autant que poffible. F. Marguet dans fon „Hifloire générale de la Navigation du XV' au XX' fiècle" =) écrit (p. 138—140) à propos de l'horloger Henry Sully (1680 — 1728) qui ,, était anglais, mais était venu s'établir en France, vers 1714" — nous avons déjà dit à la p. 520 que Sully a fort probablement profité des idées de Huygens — : „Sully fut plus heureux en tr(ni van t le moyen de diminuer les frottements par une innovation qui de- vait faire fortune et être largement utilifée par fes fucceflTeurs. C'était une découverte importante, puifque, à l'époque de Sully, une montre ordinaire des mieux faites pouvait varier, au bout d'un certain temps, d'une demi-heure en vingt-quatre heures, par fuite de l'augmentation des frotte- ments [ceci femble exagéré]. Pour cela il appuyait l'extrémité de l'axe du balancier fur deux roues de grand diamètre, fubflituant ainfi un roulement à un gliffement. Ce n'eft pas que cette invention [Fig. 39] 3) ne lui fût conteftée. Il avait reçu les confeils de Newton ■•) et de Leibnitz et il avait été ') Les p. 155 et 172 sont respeftivement datées „i 8 Dec. 1692" et ,,31 Jan. 1693". -) Paris, Société d'Editions géograph. marit. et coloniales, 1931. 3) La Fig. 39 ^ où l'on voit que l'extrémité de l'axe du balancier IG H est appuyée sur deux «rouleaux" — est empruntée au T. IV (Paris, G. Martin etc., 1735) des «Machines et Inven- tions approuvées par l'Académie Royale des Sciences depuis son établissement jusqu'à présent; LE „B.\LANCIER MARIN PARIAIt" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. 547 [Fig. 39-] l!s-i/,-'.i.- f.'iir ni,:m/\i- le U/itp.r cii UUf r>h.-w ii'jftiLr^u (p en correfpoiidance avec J. Beinoiiilli et Graham de la Société Royale, célèbre par fes horloges et fes inftrunients de précifion. Bernuuilli lui dit qu'il avait déjà vu fes rouleaux . . . Quant à Graham il lui écrivit qu'il avait vu le même fyftème dans une vieille horloge à pendule 5). La Fig. 3K fait voir que Hiiygens a eu cette idée déjà en 1693 et rien n'indique qu'il l'ait empruntée à autrui. Il eft vrai que nous ignorons s'il eft ici vraiment original et s'il a conftruit un modèle des rouleaux. Comparez encore la Fig. 81 de la p. 575. avec leur Description , par M. Gallon". Cette ligure a été publiée aussi par Sully dans sa «Des- cription abrégée d'une Horloge d'une nouvelle construâion, pour la pins juste mesure de temps en mer", Paris, 1726, et reproduite par R. T. Gould „The marine Chronometer" de 1923 (déjà cité dans le T. XVIl). On lit dans la figure originale: „Henricus Sully Londinensisinvenit 172 1 et fecit 1724". Gould nous apprend (p. 36) que l'horloge de Sully est conservée au Mu- sée de la „Clockmakers Company at the Guildhall". *) D'après R. T. Gould, p. 35, Newton et Wren attirèrent l'attention de Sully sur les horloges marines en 1703. 5) R. T. Gould dit (p. 37) que la lettre de Graham dans laquelle ce dernier assure avoir déjà vu la construction de Sully date de 1724. F. Berthoud cite cette lettre aux p. 365 et suiv. du T. II de son «Histoire de la Mesure du Temps par les Horloges" de 1802. Suivant Berthoud Graham 548 LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. [Fig. 42.] [Fig. 40.] [Fig. 41.] écri': „Votre moyen de diminuer les frottemens sur les axes est fort bon. Je n'ai rien vu de semblable dans notre Art, qu'une seule fois, il y a plus de vingt ans: c'étoit le pivot supérieur du balancier d'une vieille horloge à balancier, qui étoit contenu et qui tournoit entre trois roi'es posées à cet effet. Il paroissoit que ces roues n'avoient pas été faites par le construfteur de l'horloge, et qu'une autre main les y avoir ajoutées". Dans sa réponse Sully écrit d'après Berthoud: „A l'égard de ma méthode pour diminuer les frottements sur les axes, j'ignorois qu'on l'eût employée dans l'exercice de notre Art; mais ayant vu une grande roue qui servoit à tourner une meule suspendue à-peu-prés de la même façon, je sentis le bon usage que l'on en pourroit faire dans l'Horlogerie; je crois m'en être servi utilement dans cette machine. Si au LE „B \LANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1 693. 549 n'y 31 Jan. 1693. Balancier marin parlait [Fig. 40, 41 et 42]. Aura les balancements lents, et égaux par demonilration '-), ne foiifriront rien du mouvement du \'ainreau. On (caura la dillerence journalière, après l'avoir embarquée, fans obfervation. Il n'y aura aucun rcflbrt. On la remontera à l'on aife, et fans qu'elle arrcOe. Pourra furpader la julleilc des pendules ordinaires de 3 pieds. La fufpenfion fera fure et invariable fans fil de foie comme aux autres. Le mouvement du balancier n'en donnera point a l'horloge comme aux autres, qui gaftoit le plus leur mouvement. Le Chalîi attaclié au plancher d'en bas [Fig. 41]. Cercle d'heures devant , balancier derrière. On peut (ufpendre l'horloge dans les chadis après qu'ils lont placez. Il aura pour cela une bande plattc qui l'entoure en haut. Ira avec contrepoids qui pendront en bas, a double poulie 3). Ainfi on pourra le remonter fans qu'il s'arrelle, et fera fans fufée +). Les poids A attachez au chaffis qui tient l'horloge, l'empefcheront d'eftrc fecouè par les coups de vague conTc le vailTeau. Tout l'ouvrage des roues doit eflre grand et fort. Peu de roues, quand il ne devroit aller qu'une heure ou deux, il en fera plus jufte. Roue de rencontre fera horizontale au dciïbus de l'axe du balancier, l'eguille des fécondes peut bien élire au haut de l'horloge. Le bas ell une caifTe quarrce dans la quelle les contrepoids trouvent fur place. Et au dcffbus de la quelle eft attaché un poids pour tenir l'horloge droite, lequel poids n'a que faire d'cllre grand comme cydevant. Le chapelet [Fig. 42] ^) en dedans de l'horloge, les axes des roues ne l'empefche- ront pas s'ils font au milieu. On réglera l'horloge a terre, edant fu fpendue dans fes chaflls. On pourra lever la plaque de delTus et puis le balancier. défaut de cette roue, appliquée à une meule, j'avois connu la vieille horloge, je m'imagine qu'elle m'auroit fourni les mêmes idées, lesquelles je n'aurois peut-être point eues, sans quel- ques rencontres semblables [nous soulignons]". ') Manuscrit H. p. 172—179. Huygens écrivit ensuite à la p. 172: „Hifce omnibus qu:e ufque ad pag. 180 multo melius inventum efl: quod ifta pagina delcribitur". Voir la Pièce VI à la p. 562 qui suit. ^') Voir la note 2 de la p. 537. 3) Voir la Fig. 8 de la p. 43 du T. XVII ou la Fig. 17 de la p. 71 du présent Tome. •*) Tandis que l'horloge construite vers 1685 (Pièce IV) était pourvue d'rne fusée. •'') La démonstration dont il est question plus haut (note 2) s'applique évidemment aussi au cas du chapelet. 55° LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1 693. Balancier de 2 pieds, fera un cercle avec une croix dedans [Fig. 43], afin de ne pouvoir plier aucunement. Le cercle fera en boudin [en marge: anneau quarrè pourra lliffire] pour avoir moins de Ibrtace qui trotte contre Tair. Le chapelet fera de plomb attache a un ruban étroit et fort ibuple. Des [Fig. 44.] morceaux quarrez [Fig. 44]. peut eflre une chaine ordinaire pourra fuflîre, car les chainons ne plient que en bas (ans foufrir de prcllion. Le cercle doit élire équilibré exaélement, en forte qu'il garde toute pofi- tion qu'on luy donne, a petits poids coulans fur les branches [Fig. 43] pour ajuiler cet équilibre, puis deux autres [Fig. 43] qui doix-ent toui'jours eftre également diilans du centre, et ferviront pour ajufler a la vitcde rcquife des heures. Eflant bien équilibre, les 1 bouts du chapelet fe mettront en mefme hau- teur. On remontera l'horloge avec une clef avec un pignon qui prenne dans les dents de la poulie, afin que cela aille à l'aife '). La corde du grand poids fera un tour fur la poulie, afin de tirer plus facilement et fans grandes pointes de fer à la circonférence ^) On peut comparer le mouvement du pendule avec celuy de la nouvelle balance et faire une balance a fécondes lors qu'on a un tel pendule. Il faut veoir lors que le pendule [Fig. 45] efl: au bout de fa vibration en C, quelle partie efl: là fon poids du poids entier; menant la tangente CG a la Cycloide, et la perpendiculaire à l'axe CD. Car fi DG efl: \ de GÇ, le pendule en C pefera | de fon poids abfolu. In cycloide defcendenti corpori vires impellentes contingunt quae fint ut fpatia curvœ percurrenda ad punftum infimum, ubi vis impellens définit 3). Hinc in initie fpatij dimidij, etiam vis impellens dimidia efl:. Dcmonflravi venb àquocunqucpundlo cycloidis defcenfus incipiat tcmpora a^qualia impendi quibus ad imum punftum per- veniatur+). ') Comparez le No 7 de la p. 173 du T. XVII. ^) Voir sur les pointes de fer la p. 64 du T. XVII ou la Fig. 17 de la p. 71 du présent Tome. 3) C'est ce que nous avons appelé, à la p. 483 qui précède, la trouvaille de Huygens. ■*) Voir les p. 152 — 187 qui précèdent. Nous avons déjà remarqué que la démonstration de LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER -FÉVRIER 1693. 55' [Fig.46.] tfi In pcndulo 5) pondus pelli incipic vcrfiis piin(5him innim, parte fcxta fui, per fpa- tium 6 pollicum, atquc ira impendit l Iccundi min. unde tota vibratio i". duplum penduli BC [Fig. 46] BE BD BE 72 poil. 6 6li poil. 3 poil. — i 6 I pondus abfolutum ad pondus in C. In lihra ifochrona pondus pelli incipit verruspun(5lumexcremum,ubi visimpcllens définie, parte fui ys, per ipatiura 9 pollicum. quœritur quantum tempus impendet. Dico I i fecundi. unde tota libratio 2^" ''). Singuli rhumbi [Fig. 47] 4 partibusconlknt,et fiIoperpendiculari,neultracertos limites aperiantur. Si libratur ex B in C, erit i libratio ex B in D, per quara efferetur E quantum deprimitur F. Unde akitudo E fupra F oo BC arcui. Palettes [Fig. 48] attachées fur le tranchant de l'axe de la roiie de rencontre. Huygens du tautochronisme de la eycloVde n'est nullement basée, comme celle de Newton, sur la proportionnalité de la force agissante à l'arc, dont il est question dans la note précédente; voir la p. 484. 5) La longueur du pendule à secondes est de 36 poi/ces ou t, pieds horû/rcs d'après h p. ç6 qw précède. D'après la Fig. 46 BD= = BE. BH ou 2 BA : arc BC = arc BC: BE,ce qui correspond à l'équation du texte. «) D'après le sixième alinéa de la p. 553 il s'agit ici d'une période déterminée expérimentalement. 552 LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER I 693. [Fig.47-]0 [Fig.49-]0 j,' C~4>-'\~ — ' Il .y f .: c >^ [Fig- 50.] p^Wj ^ Un balancier firaple a chaîne fort grand fans horloge, h part pour régler, etobfer- ver la différence en 24 heures. Ou bien un horologe d'une demie heure ou 2 minutes feulement, pour ce mefme effet et pour examiner par fois l'horloge [Fig. 49], ou pour fervir pendant que l'autre efl: remis ou réparé. LE „BALANCIEa MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. 553 [Fig. 51.] [Fig. 52.] On y pourroit adjoutcr ou oiler du contrepoids pour faire que les balan- cements aijent couf jours la mcfine lar- geur. Le balancier grand de 2 pieds, pelant et folide. Sic ponendus culter [Fig. 50] axis ne variet fimulque d.\x affixse. Poterie includi ne poflit excuti. Satis liber motus e(1 hujus catenae [Fig. 51] cum partium nullus ed con- tadus. Si diraidio minori diametro fiât roca CD [Fig. 51], debebun t catcnje rectan- gula fingula quadruplum pendere prio- rum, nihil aucta eorum altitudine [Fig. 52]. Nam œquè lata libratio requiritur; erit autem pondus movcns tantum di- midia longitudine ad GP 3), et in libram AB agit duplo propius à centro. AB baculus bipedalis. CD rota 6 poil, diametro. A et B fingula libram unam pen- debant. Catcna pendebat libram cum 2 oncijs. conftabat particulis plumbi 27 quarum ergo fingula | onciîe. Expcricbar comparando cum pendulo fimplici. Librationum tempus erat 2^ fecundi minuti circiter. Dum penduli recurfus 4 fièrent. Exiguœ librationes paululo celeriorcs erant magnis. Una ex caufis eft aer qui plus retardât majores librationes quam minores. Altéra ut puto, quodin majoribus librati- onibus, plures particula; catenam componentes motum convcrfionis circa centrum accipiunt, dum ex H in K tranfeunt; etmajoremfimulconverfionemfaciunt. Catenœ autem vis qua; in hoc impenditur dépérit prorfus-*), cum tamen decedat ex vi qua libra AB à catena moveri débet, eoque librationes fiunt lentiores. ') Autre construction \e la chaînette. En marge: samen de ketting I pondt. 2 onc. en i, et autres indications de poids que nous ne reproduisons pas. =) On lit dans la Fig. 49, outre les nombres des dents des roues: circuitus in min ... in hora. . . in fex horis . . . duodecim horis . . . indice des minutes tourne en i heure, ell con- centrique a ccluy des heures . . . cette poulie derrière la roiie A, à fin de gagner de la hauteur au contrepoids ou à la boete le plus haut qu'il fera poflible. 5) Puisque la chaînette elle-même sera plus courte, comme la Fig. 51 l'indique. *) Vu l'axiome qui suit, et que nous avons déjà imprimé à la p. 47- qui précède, il ne faut appa- 70 554 ^^- „BALANCIER MARIN PARFAIT*' DE JANVIER-FÉVRIER I 693. Experire catenam non continuam exrhumbisutfol.prœcedentiderignatur[Fig.47], quje huic incominodo non deberec effe obnoxia. In corporum motibus quibuscunque, nihil virium pcrditur aut interit ni fi e f f e ctu édite et exftante ad quem produce n- d u m t a n t u n d e m virium r e q u i r i t u r quantum est i d q u o d d e c e s - fi t. Vires voco potentiam extollendi ponderis. Ita dupla vis est quae idem pondus duplo altius extollcrc pote s t. Priori inasqualitati remedium ita adhibcndum, ut in locum librîe AB fubffituatur orbis ex tenui lamina fcrrea asneave, cui in circumferentia annulus cralllor à plumbo affigatur. Ita nufquam impingetur in aerem, nec is amplius motum remorabitur quam quatenus adhîercfcit orbi in fêle converlb, quod percxiguum eiL Neque hic locum habebit relîftentia acris in rationc duplicata celeritatum, quse fecundum Newtonum insequales fàcit penduli Cycloidalis agitationes '). Alterum incommodum tollendum, faciendo ut pondéra tsenise appendantur ea ra- tione, ut fingula feorfim ex tseniolis fuis fufpenfa lint, ut cernitur in M- [Fig. 53]. Sed fingulœ partes ex binis globulis confient, ilylo intermedio conjunftis; ne flexum naturalem catenre corrumpant. ut cernitur in LMN [Fig. 54]. Pondéra certis diflan- tijs afîigenda funt, ita ut globuli fefe tangere non poffint, nec tamen nifi exiguo diftent. Hoc modo nulla amplius fiet circa centrum converfio. Sed dubitari potell an non exigua converfio et pauciorum particularura catense, eadem proportione retardet minores librationes qua major converfio et plurium par- ticularum retardât librationes ampliores. Ergo primo remedium contra aeris occurfum tentetur. remment pas songer ici à une perte absolue de la force de la chaîne par suite des frottement?, mais seulement à une perte totale de la force utile. C'est d'une perte de la force utile que parle la suite de la phrase, où le mot „tamen"est de trop à notre avis. Comparez (1. 4 de la p. 555) la phrase: „perit ha;c motus particula, produftà quadam catens quaflatione" et la note 2 qui suit. ') C'est dans les Prop. XXIX et XXX du T. II de ses „Philofophia? naturalis Principia mathema- tica" de 1687, que Newton considère l'oscillation cycloïdale d'un point pesant dans le cas où la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. 555 [Fig. 53-] [Fig.55-] oUc Pod: adhibitum utrumque remedium perditur tamen vis, qua pars catena; GP, quafi transfertur in OE. fed hsc vis in minoribus majoribusque vibracionibus proportiona- licer decedit viribus motricibus, eoquc nullam insqualitatera gcnerat, fed efficit tan- tum ut n3n tam facile quam alias continuetur motus librîe, quia périt hsc motus particula, produélâ quadam catense qualTatione. Fiunt etiam librationes paulolentio- res ob impenfam in hanc tranllationem motus partem ^}. Hsc omnia catense incommoda vitabunrur fi fiât catena non continua, atque eâ fonnà quœ hic in margine cemicur [Fig. 55]. qua; utrinque eidem piano incumbit et affigitur. H^c non fluftuabit ex agitatione navis, et faciliorem motum facict , minusque cefiTantem. Expcrire. Quarrez d'égal poids et égales difi^ances [Fig. 55], un quarrè de fer entredeux les fera égales en les attachant, attachée en bas. Chaîne de double quarrez tenants enfem- ble par un coftè. percez quarrement, et avec deux rubans, ferrez entre deux. Epingles à cofi:è. Peu de difiance entre ces chaînons. Leur matière d'efiiain aflez mince. Cette chaine ne branflera pas comme la continue. °) Huygens ne dit oas ce que devient la „niotiis pars" perdue après que la „catena; quafTatio", qu'elle est censée produire, a pris fin; mais l'axiome général dit clairement qu'il doit y avoir, alors aussi, un „effe<;tus editus et exftans" équivalent. 556 LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. [f''ë-5f!-] Cylindracea vaia PP, QQ [Fig. 56] ^^ x,^ hydrargyriim contincntia '). Cylindri è métallo, AB, ah cum capi- tibus C, c. pendent ex taenia circa orbcm K. Cylindriis totiis CABgravioreftpaulo quamcylindrushydrargyroconllansquan- tiim occupât pars DB. Ejusdemquc pon- deris cil cylindrus totus cah. Sint ferrei hydrargyro pleni. Moveatiir jam libra LM. Erunt recur- fus ifochroni, eadcm ratione atque in ca- tena fuperiori, et in Cycloide. V'idendum an recta abfqueinclinatione fintdefcenluricylindri in hydrargyro,ciim fint paulo leviori materia. iedhoccavebi- tur il llnt hydrargyro pleni. Podunt toti cylindri latcre intra tubes ferrées, nec uUum periculum erit ut efflu- at hydrargyrus. Poflum aqua experimentura capere, et cylindris paulo quam aquagravieribus.et vas unum fufficit, etfi bina in navi prœ- ftent, eb minorem liquidi motum. Videndum an îequaliora fiant librationum tempera, quam à catena. Item an diutius durent femel motse. Puto nimis multum de motu perdi ob impulfas liqueris partes ad fingulas vibratie- nes. Proponendum tamen et hoc. Forfan melius in vas unum utraque pondéra mergentur ut eadem iemper raancat fuperficiei liquida; altitude, et minus ebftet motui hydrargyrus. Peflunt in vafe cel- locari plana qua.>dam quibus agitatio hydrargyri impediatur manente continuitate. Le 26 février effaiè ainfi avec de l'eau mais le mouvement n'eftoit pas bien libre a caufe de la rellflence de l'eau quoyque les cylindres flifTent en bas en cône. Au some balancement le mouvement cfloit défia fi petit que le 1 5ome avec la chainc de plomb appliquée au mefine balancier. Il y auroit la mefmc refiftence avec le vit argent parce qu'il refifte a proportion de fa pefanteur. ') Comparez la Pièce III qui précède (p. 536). LE „BALANC1F,K. MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. [Fig- 57-] 557 12 febr. 1693. Catena exiguis annulis conftans [Fig. 57] acervatim pluribus filisintratubosbinos fublidens ac mocu reciproco, utrinque ex tœniola pendens quœ rocEC circundatur. Latebic catena intra cubos. NB. Hoc in catenula fimplici expertus, reperi non effc mocum valdc libcrum, nefcio an fluftuacione catens, an qiiod annuli fubfidentes imi, occurcntes jacencibus, partem pondcris amittant priusquam jaccanc. brevi ceiïabat. P.S. Puto elTe ob attritum continuum annulorum ab imo furgentium. Poftea eadem catenula continua expertus, motum egregiè liberum invcni, nec ullam catena; fluftuationcm poftquam (emel ea cefTafTet. Siquid adhuc annulorum attritus mutuus nocet, poflet minui NB. jungendo alter- 558 LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. nis annulos îereos ferreosque. Poteft cacena latere. Imo ica includcnda ne navis jafta- tione fluétuec. \'el cylindrulos horizontales, è métallo, ad tîeniam ferici fili neftendo paribus intervallis cxiguis. Sed longiim efl: hujusraodi catcnam conficere. multoque facilius vitiatur. Optimè plurcs catenulœ ex ftylis bini.shorizontalibiisfufpendentur. ut in i< [Fig. 5"]. Si non fludiiat (ponte catena, nihil dépérit ex niotu. Expcriemur an prx^flct ferico filo an annulis ferreis jungere cylindros. Fiunt annuli quadrati ut ne quid obfit fi angulus qui a latere évadât fuperior cafi.i aliquo. Circa ferreum ftylum quadratum, obtufis tamen angulis, convolvatur filum îeneum. indeaccipiantur annuli quadrati fed tcrruminandi. Acuanturintusanguliquadratorum, ita vel fine attritu catena fleétitur. Facilius annulo imprimitur motus circa diametrum, quam in feipfum. Ideoponen- da catena htec ut diametri horizontales annulorum majorum fint paralleli ad axem rotje cui injefta efi: taenia. On lit dans la Fig. 57: „ferrum. œs. cylindri in medio complanati, annulis ferreis junfli. Ex annulis quadratis melior quam ex rotundis catena, tura qnod facilius imprimitur converfio circa diametrum horizontalem, tum quod œqualius diflribuatur pondus, fint tamen anguli rotundo flexu. quadratus annulus. ex ferro. ex are 3 vel 4. ex ferro". Hœc catena [Fig. 58] melior quam paginée pr^ecedentis '). Cylindri a?nei, in medio utrinque lima deprefil ac complanati, annulis ferreis el- lipticis conjunfti. Sic componatur catena, qus cylindros exiguo intervallo diftantes habeat. annuli elliptici fiunt ne opus fit ferruminatione. Oportet filum ferreum convolvere cir- ca fiylum ellipticum, tum torfice abfcin- dere annulos sequales. Cylindrorum vero ') C.à.d. meilleure que les chatnettes de la Fig. 57. LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. 559 œncorum œquale cric pondus fi œquali longitudine rciecentur ex filo craffiori, cujus ubique eadein eit craflitudo. On lit dans la Fig. 58: „foret. trous percez plus larges en haut qu'en bas. ou pluflofl: un trou en ovale, plus large en haut". An plana manebit catena? rcquiritur ut maneat, prœfertim in flexu imo. fi non manct plana an duplex ordoannulorum lerreorumfaciendusVitaafTriftumparticntur, eritque ac fi duîe fint catense fubduplo pondère, refte igitur duplex ordo annulorum ponetur. [Fig. 60.] [Fig. 59.] Ancuspidesperligulamadigends?vixtamœqualibusmterftitijsneâ:entur[Fig.59]. 27 Février. Cecy efl: la meilleure et la plus ailée chaîne [Fig. 60]. Ce font des morceaux de plomb plats, et longs de 3 pouces qu'on plie en deux, et on enferme le ruban, et puis avec le double crochet [Fig. 61] on Ty fait tenir ferme. Prenez le crochet avec des pincettes d'horloger. Coupez fes pointes de biais pour mieux faire entrer. Uncus [Fig. 61] per plumbum et tasniam figendus. Ruban de fatin lavé pour en ofter la gomme. Cela fera fans doute le mouvement plus libre que la chaîne jointe par des anneaux, et il efl: plus aifè de la faire, et court moins hafart de s'alonger. 560 LE „BALANCIF,R MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER I 693. Il faut limer ou rabotcer les 2 bord[s]en dos d'asne pour pouvoir mettre les pièces plus près. An non jaftatione navis,diim ab unda fiirfum fcrtur, pars catenœ AB (in (ig. in ima pag. prœcedenti [Fig. 57]) gravior fit, eoque accélérât motum librse? et contra cum deoribm ')? Rclp. tam lentum effe hune navis magnce afccnfum ac defcenfum, adcoque non fubito incipientem, ut non poffint quicquam nocere hi motus, qui non nifi quatcnus paulatim accclerantur aut decrefcunt, momentum aliquod habent, nam il a^quabili motu navis defcenderct vel afcenderet, idem eiTct, quantum ad catenam, ac fi immota jaccret vel in tlumine navigarctur '). Deinde quantam gravitatem catena; parti AB adjiceret afcenfus, tantundem rurfus defcenfus adimeret, qui necefTario afcenlui squa- lis e(l. atque ita tantundem faceret ad retardandam librationem quantum afcenlus ad accelerandam. Vix cuiquam in mentem venturam puto hanc objeclionem -). C'efl: un avantage de noftre balance équilibrée qu'elle ira de mefme vitefTe quoy- qu'un peu inclinée; c'cll a dire quoy que Taxe ne Ibit pas exaélement horizontal, car cela n'eil: point a la balance qui fait pendule et fes vibrations paria propre peianteur, car Taxe n'eilant pas horizontal elle en ira plus lentement. En chargeant le balancier de poids vers les bouts [Fig. 6a] — on lit dans la figure: „re(rort .... refTort", et au-deflus d'elle la remarque, évidemment ajoutée plus tard: „cette figure pourroit plier" — , il foufrira moins de la refilknce de l'air a proportion que s'il eiloit plus léger, car en mettant plufieurs légers il faudroit a chacun les branches, qui frottent contre l'air par les collez. En doublant les poids aux bouts (fuppofant que les branches ne pefent point) les balajicemens ne feront pas plus lents de la moitié mais leur temps aux premiers comme ]/ 2 à I . fort près comme i o a 7. Il faut chercher ce qui fait le plus de juftefTe, de faire le balancier fort pefant ou médiocrement. La roue de la chaine petite ou grande. Deux fois moins de diamètre demande une chaine de chaînons quadruples, mais elle lera la moitié plus courte. ') Comparez, sur cette augmentation ou diminution de la gravité de la partie de la chaînette qui produit l'oscillation, par suite de l'accélération du mouvement du navire vers le haut ou vers le bas, la p. 518 de l'Avertissement qui précède. =) R. T. Gould „The marine Chronometer" p. 36, écrit, à propos de l'horloge de Sully [notre Fig- 39]: «There was a far greater [source of error] namely the influence of theship's motion. Any movement of the machine in a vertical plane, whether caiised by pitching or rolling, caused the weight to lag behind, owing to its inertia, and so altered the pull on the cord, and hence the force acting on the balance, and consequentiy the velocity of the latter". LE „BALANCIER MARIN PARFAIT" DE JANVIER-FÉVRIER 1693. 561 u-lh;k^:^j,^^, .'t ^.v [F'e- <520 [F'g- <Î3-] La roue [Fig. 63] fera meilleure pour dire feraie et fans danger de plier ou de s'altérer. Elle ne doit avoir que 3 branches pour l'horologe [Fig. 63]. Mais il faut confidcrcr le frottement a colle dans toute cette circonférence contre Fair. les branches doivent cilre tranchentes par les codez et un peu plus epaifles par l'arreile du milieu, la roue peut eftre un anneau cylindrique pour eftre plus forte contre le plis par le coftè. le mieux fera de la faire quarrée par la circonférence, cela frottera moins contre l'air. En chargeant d'avantage le balancier, fans changer rien a la chaîne, c'eft comme fi on allongeait un pendule en augmentant en melme temps ion poids 3). Peut eftre la mefme force de l'horologe pourra l'entretenir, parce que la refillcnce de l'air dimi- nue en raifon double de la lenteur +). En diminuant le poids de la chaîne, fans changer rien au balancier, c'eft comme fi on allongcoit un pendule, fans luy augmenter fon poids 3). Il vaut donc mieux laifTer la chaîne comme elle eft, et charger d'avantage le balan- cier. Car on aura ainfi l'effet d'un long pendule, (par exemple de 48 pieds) dans un vaîiïeau, avec des battemens de 4 fécondes. ^) Comparez la note 5 de la p. 531 qui précède. +) Comparez la note i de la p. 554 qui précède. 71 1 VI. LA „LIBRATIO ISOCHRONA MELIOR PRECEDENTE" DE MARS 1693. [Fig.64.] I I Libratio ifochrona melior précédente '). Inventa 6 Mart. 1693. ') Comparez la note i de la p. 549 qui précède. La Pièce VI est empruntée aux p. 180 — 182 et 185 du Manuscrit H. Voir aussi la lettre du 6 mars 1693 de Huygens aux Directeurs de la C'. des Indes Orientales (T. X, p. 424) et celle du 24 mars à de Volder (T. X, p. 434). LA „LIBRATIO ISOCHRONA MELIOR PRiBCEDENTE" DE MARS 1693. 563 Imaginez le fil QM — »\i plutôt le fil DQM [Fig. 66]; c'eft le fil CA de la Fig. 64 — infi- niment long: la balance ira de mefiiie que quand il efl court. Mais eftantainfilong,le mouvement latéral ne foit point d'autre effet que s'il defcendoit dans la perpendicu- laire CL. de forte qu'il faut feulement confiderer s'il pefe toufjours également en defcendant ^). Quatenus pondus A, pendens ex ta^niola AC œqualiter pondérât, erit motus cir- culi DE [Fig. 67] ifochronus. Pcndet ta.>niola inter particulas binas Curvce qua: nafci- tur ex Evolutione circonferentiœ CGI 1 cujus radius CK [Fig. 66]. K centrum motus, caput ta'niola; A niovetur in parabola cujus xertex L, axis LC,latusre(5t:um 00 tertiae proportionali duarum CL, CR, qute œqualis 2CK. Nam Mj3 oo DQ, A-/ ao GP, quia ex evolutionis natura crefcunt DQ, GP ut quadrata CQ, CP. Demonftratio squalium librationum hic et in appenfa Catena inde pendet quod fi corpus impellatur vi tali in fpatij decurrendi fmgulis punftis, qua; fit ut partes fpatij quœ refiant peragendœ, fiet ut à quacunque ejus fpatij punflomoveriincipiat,eodem tempore ad finem perveniat. Hoc in defcenfu per Cycloidem ita fe habere facile per- fpicitur ubi tempora ifochrona efTe per quosvis arcus oflendimus. In vibrationibus laminœ flexilis idem principium experimentis reperitur, itemque tempora vibrationum xqualia ^). Neutoni quoque extat demonftratio fed nequaquam evidens aut exaifla*). [Fig. 65.] Oportet facere tsniolam CA [Fig, 64] quara breviflîmam '). Qucm in finem pofTet pro pondère A elfe duplex orbis axe tenui conjuntfhis [Fig. ,Y'V\^ 65],ut interutrumqueintercipiatur brachium KC. Ita longitudini CA r.lyj decederet cylindri vel fpha;r£e ponderantis femidiameter. Dum curvce CF [Fig. 64] figuram ratione ac conflrudione quadam mechanica requiro''), adverti effe eam qua: ex evolutione circuli circumferentis oritur Q. ^) En d'autres termes: il faut que le poids constant agisse toujours suivant une verticale. Voir cependant le deuxième alinda de la note 4 de la p. 567 qui suit. 3) Comparez la p. 502 qui précède. *) Voir la p. 484 qui précède. 5) A cause du ballottement du vaisseau. *) Huygens cherchait une courbe CF telle que le moment tendant à ramener le balancier vers sa position d'équilibre fût proportionnel à l'écart angulaire. Puisque le balancier est équilibré exactement autour du centre K, ce moment est dû exclusivement au poids A suspendu au fil, toujours vertical par hypothèse, qui s'applique à la courbe en question. Comparez la note 16 de la p. 514 du T. X. 7) Comparez l'anagramme „Flexilis ambitum cumlineadeferitorbem"de!ap.5i5duT.X. 564 LA „LIBRATIO ISOCHRONA MELIOR PRiECEDENTE" DE MARS 1693, Ut 2CK [Fig. 66'] adCR,(qua? DO CH) ita fit CR ad CL. Dico CL eifc co IIR. Ddcrihaturenimpara- bola verticc L, diamctro LC, qus tranfeat pcr pundhim R. Ejuspara- boln: latus recflum crit co 2CK. Idcoquc circumferentia Cil radio KC defcripta, five huic a;qualis '}, eil raaxima quœ per verticem L intra parabolam cadat, ac proinde cil hœc qua: curvitatem parabolïe in vertice référât -). Undc QD recta "') vcl curva ex e\'olutionear- cus CD defcripta œqualis cenfetur M,5. Siint autcm ciirv^e DQ, GP, ES, IIR ficiit quadrata reftarum CQ, CP, es, CR, ut ex evolutio- nis confideratione facile intelligitur, quia particule ex. gr. curva: GP defcribuntur à filis îequaliter crelcentibus quîe defe- runt arcum CG. Hinc ergo fingulœ DQ, GP, ES, MR a:quales fingulis IM|5, Ay, VtJ, R: five CL ^). Spatium CHR erit ao LRl hoc eit ^ □ Cï fi\ c i CZI ex HR in CR, vel HR in arcum CH. Sed his quidem nihil opus ad demonftrandum ilbchronismum. Dewonftfûtio motus eequalis. Si in arcu CH [Fig. 66] quœlibet partes accipiantin% CD, DG, GE &c. et a punclis D, G, E evolvantur fila circumferentia; applicata, ut delcribantur ex cvolutione linea; DQ, GP, ES, ufque in liorizontalem CR, apparet ') C.à.d. une circonfcrciice égale, mais plus basse, -) Le plus grand cercle qui touche la parabole intdrieurement en son sommet L, n'est autre que le cercle de courbure. Comparez la note 2 de la p. 393 qui précède. Ce ,,cercle osculateur" de la parabole — comparez sur le mot „osculation" la note 5 de la p. 42 — est dtjà indiqué par Huygens dans la Fig. i de la p. 302, datant de 1659, du T. X^'I: voir la fin de la note 8 de la p. 41 qui précède. y) CD étant un arc infiniment petit, on peut appeler QD une droite. Dans la suite l'arc CD est supposé de grandeur finie. ■*) Si le fil a la longueur CL, il résulte des considérations mathématiques qui précèdent que 11- poids A, supposé punctiforme, se meut suivant la parabole LU de la Fig. 66. LA „LIBRATIO ISOCHRONA MELIOR PRiECEDENTE" DE MARS 1693. 565 cum C puniftiim perveneric axis converfione in D, quia CR ad omnes defcriptasciir- vasnormaliseft, tune pondus appcnlum ''') traclunnn pcr QM pcrpendicularem. cum vero C in G, trahet per FA. Sunc autL-m momcnta tralicntis lient diftantiœ PC ad QC. atque ita quoquearcusperagcndiincirculolibratorio, ncmpc GC, DC. Ergo femper monienta impulfus crunt ut fpatia niotu eireulari pcragcnda uCquc ad punctum C ubi impuHlis ad niliilum pcrdueitur. quare tcmpora quarumlibct librationum tequalia erunt ''). [Fig. 68.] In hoc invente novo motus rota: DE [Fig. 6-] multo iiberior eilquam cumcatena injicitur, ut in praeeeden- tibus'), et a^quatio pcrfeétior ex ap- penfo inter cornua pondère A, quam illic ex momentis catenje, quia inter- rupta ferie particularum confiât, nec pcndct ad pcrpendiculum. Tum aufto pondère A potcll: cclcrior fieri rotœ agitatio, idque multo commodius quam augendo catenœ pondère. Pra-'ftat autem ro- tam femel ajquilibratam intaftam rclinquere. Minus quoque ineommodabit agitatio fi qua cÛ ponderis A ex motu na\-is, quam catenje longioris fluftuatio **). Longe etiam facilius pondus A fie aptabitur quam cate- na [Fig. 60] cflingetur ex a?quiponderantibus particulis ta;niola; afiixis. Porro artifi- cium longe majus ac (iibtilius appenfi ponderis A quam caréna:. Ces Cornes C avec le poids A [Fig. 68], corrigent tellement l'inégalité des balan- cemens de la roiie, que quoy qu'on adjoute du poids à la circonférence, fans rien changer au poids A, on les aura ilbchrones. Et de mefme fi on adjoute ou ofte du poids A, laiiïant la roiie comme elle eft. Ce qui efl: bien remarquable , et bien commode. Il faut feulement que les balancemens foient alTez lents pour que le ruban CA, pende toujours perpendiculaire parce qu'autrement le poids A ne tireroit pas eg-ale- ment. Il n'importe point que le ruban CA s'allonge. 5) Savoir le poids suspendu en C entre les „cornes de bouc" (voir la p. 160 du T. XVII) de la nouvelle forme, qu'on voit dans la Fig. 66. *) D'après le théorème général: comparez la p. 531 qui précède (deuxième alinéa de la note 5). Ici il s'agit évidemment d'un moment autour d'un axe horizontal. ■) Pièce V. ^) Ceci semble bien probable, mais en parlant de r„agitatio //(;//« i'//"' lluygens fait preuve d'un optimisme quelque peu hasardé: comparez sur son optimisme les p. 163 et 198 du T. XVII. 566 LA „LIBRAT10 ISOCHRONA MELIOR PRECEDENTE" DE MARS 1693. Si on fuppofe que la roue foit fans poids, alors le poids A fera comme un pendule fimple de la longueur KG + CA [Fig. 68]. Potefl: dilhntia KG pro arbitrio fumi, dummodo curvatura cornuum C fit ex Evo- lutione circonfcrentia; cujus fcmidiamcter KG . Inajqualitas non aliunde contingere poteil quam fi axis rot£ DE non nianeat hori- zonti parallelus. tune enim miniis gravitât pondus A. Vel fi atteratur ac diminuatur imum in axe rotœ. fie enim evaderet centrum gravita- tis annuli humilius punfto fijlpenfionis. Sed hoc aliquot menfium fpatio fieri non potcft. Eoque minus quod non atteritur axis rota? fi.iper plana fuperficiecula, fed volvitur. at in horologio pondère agitato, quod amplius 35 annis ufi.im prx'buit'), non potui animadvcrtere axem rotx infinice cui pondus movens incumbit,quicquamamifiire, etfi hic axis continué fricetur interiori fuperficie foraminis. [Fig. 70.] [Fig. ôç.'] Imus axis rotîe aa [Fig. 6^^ qua parte infidet fubjeftîe chalybi, débet exafte rotundus efie. accipiatur acus crafl"a, vel filum e chalibe ce, vel axiculus torno fonnatus,quodappliceturcultro d per extantes cuneolos transmilTum, ut acus horizontali pofitu incambat chalibis plance fiaperficieculs ee, et in ea verfetur. Ex- trcmœ autem acus ff cufpides intra repagula ferc fl:ringantur. Supemè imponatur fornix gg, ne exilire polTit axis, fed tantum fub eo libère moveri. An cuneoli in axe fatis rotundi parte inferiori fieri poflunt ut in S [Fig. 70] ? opus enim tantummodo ut non plané acuti fint. quia chalybs non facile deteritur, cum volvatur,non [Fig. 71.] fricet fubjeétum planum quod itidem chalybeum. Sic enim minus quoque hinc inde excurrct axis affixœque ipfi pinnulœ, ab rota ferrata ^) impellendte. Potefl: fufpendi circulus libramenti [Fig. 71] ex tîeniola AB forcipe CD retenta, et axis centre affixa, qui ea parte ad femicylindrum Rota senea Voorburgo adferenda 3). ') II s'agit donc d'une horloge construite en 1657 ou dans un des premiers mois de 1658. Voir les p. 30 — 31 du T. XVII, ainsi que les notes i et 2 de la p. 27 du même Tome. °) La roue de rencontre; comparez les notes 4 et 5 (et la Fig. 3 qui y est mentionnée) de la p. 1 4 du T. XVII. 3) La roue devant être apportée de Voorburg, où se trouvait — et se trouve encore aujourd'hui LA „LIBK.ATIO ISOCHRONA MELIOR PRiECEDENTE" DE MARS 1693, 567 EFG redaétus fit. movebitur enim fie circuliis fi.iper punfto illo quod axis centrum eft, ncc rcferet an ceniola cxtendatur. Ericqiie motus liberrimus abfque friftione. nec facile tœnia atteritur ut puto. Pars AB ab bac lamina abefle poteft, ubi tune fpatium rclinquetur ad coUoeandum pondus A. Poteft rota ferrata C [Fig. 72] fupemc ineumbere axi DE, unde plus fpatij efficitur in quo moveatur pondus A, adco ut rota P tune propius ad laminam accedere poffit. [Fig. 72.] [Fig. 73.3 -:^_^^H An non melius rota P in extremo axe fuo hserebit , et extra laminas horologij pau- lulum tantum exftabit pondère A intra laminas ad eundem axem aifixo, et antifaco- raatis vice fungcnte. ita melius includi poterunt rotœ omnes interiores. Oportet fatis diftent laminœ binœ, ut fpatium non défit ponderi A. Confiât quidem librationes ponderum G, E [Fig. 73] , virga? abfque gravitate affixo- rum, ifochronas fieri ob pondus C inter curvas fufpenfum. Sedan idem fit additisalijs ponderibus F, D ? Omnino *). — la maison de campagne Hofwijck liabitife en ce temps par Huygens, on peut en conclure qu'il travaillait à la réalisation pratique de la nouvelle horloge tant à Hofwijclc qu'à la Haye. Attendu que l'horloger J. van Ceulen n'est plus mentionné par lui après 1685 (note 5 de la p. 509), Huygens travaillait apparemment en ce temps avec B. van der CloesenCvoirlanote4 de la p. 5 1 6). ■*) Nous avons fait ressortir plus haut (voir la note 6 de la p. 565)que Huygens serablaitadmettre 568 LA „LmRAT10 ISOCIIRONA MELIOR I'II^CKDENTE" DK MARS 1693. Qua.Mamiis priinum, datis pondcribus E, G fingulis oo i7;ponderibusD,F,fingu- lis 00 Z»; diilantijs AE, AG do c\ dillantijs AD, AF 30 oo 3 pond. 152 poil. 30 7;. ^g| pond. 30 _v fcrc 5 pond. 2^'/.+ x'-y D0«0 ^31 2^'/> + x'y 30 a:3»« 2 /7.T — ATA* 30 3» [Fig- 79-] Si on vouloit mettre le balancier horizon- talement — [dans Thorlogc delà Fig. 78 3) __^_^^f^ il elt vertical] — , et le iii (pendre [Fig. 79] , il Ihudroit aulll iuf pendre l'axe CD avec des rubans, le balancier pourroit faire beaucoup de tours. 11 y auroit le frottement des dents en E. et un peu de liberté a ces dents, ce qui s'évite par l'autre manière de balancier vertical. D faudroit plus de poids en L a caufe des tours plus grands qui font plus empefchez par l'air. ') Ceci esc la \aleur de AF, lorsqu'on suppose le poids D ou ti placé au point E. Il s'agit donc d'un calcul approximatif, comme Iluygens le dit clairement dans l'alinéa de la p. 580 qui com- mence par les mots „Nota, EB est ..." Huygens se propose ici de calculer le poids D, les poids égaux B et C et leur distance à l'axe étant donnés ainsi que la longueur du pendule simple choisie de telle manière que le balancier exécute une oscillation simple en 2" environ. FI se sert de pieds rhénans. -) C'est la formule / = yti ^^ 'î* P- 4." o'' '' est fait usage de la valeur trouvée pour AF ou b. La verge est considérée comme impondérable. 5) On lit dans la Fig. 78, outre les chiffres qui indiquent les nombres desdents: „bandt rondom [bande tout autour] ... in I min ... in 1 2' ... i duym dick ... sic axis . . . quarta pars maneat intégra in angulo quadrati . . Onrust, een Circel van i voet diameter: weeght entrent 3 ponden" [balancier, circonférence de cercle d'un pied de diamètre; pèse environ 3 livres] ... 15 tanden, cens om in cen min . . . cens ora in 1 2 min. of 5 mael in i ure ... 1 duym . . . cens om in i ure ...~i duym neerwaert ieder 574 LA „UBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS 1 694. I I I Of van felfs recht blijft, het onderfle. men kan 't met een lintie helpen. of alledrie raecken.ofde2vanterlijdentegenwich:hebben.geenolie.perfecT:rondflijpen[Fig.8o]. Régula jequilibretur. tune pondéra apponantur extremis brachijs [Fig. 8i], eous- que demifTa donec tempora 2 fccundorum fignent. Erunt paulo ulterius demittenda quam ex calcule fimplici; propter pondus brachio- mm. Sit régula ai pedum. fieret proxime pun(5him fufpenfionis in brachijs lipollice ure. dat is bijnae 6 voet in 9 uren" [le poids moteur descend à peu près de 6 pieds en 9 heures]. Il semble s'agir ici d'une horloge réellement construite en 1693 — 1694; en effet, il est ques- tion de la construction d'une horloge dans le passage de la p. 584 du T. X où Huygens parle, le 19 mars 1694, '^^ '^ «nouvelle invention d'Horloge de Mer", dont il a „desia vu assez pour en avoir fort bonne opinion". Nous aurions évidemment pu placer cette figure tout aussi bien dans La Pièce VI, notre division des recherches de Huygens en différentes Pièces étant, comme on le conçoit, plus ou moins arbitraire. LA jjLIBRA ISOCHRONIS RECURSIBL's" DE MARS 1 694. 575 [Fig.8i.]0 t- -^:=i^ 0 m =v- infra centrum gravitatis brachiorum nudorum, ex quo libra fufpenditur, ex fimplici calculo -). Jam propter pondus régula», fict proxime 2 poil. Poteft fi velimus reduci régula ad 2 pedes. PolTunc et fine curcatione, pondéra fufpendi propiora centro librîe. Sed melius ad extrema brachia appenduntur quod minus ibi fentiunt vim horologij quo motus continuatur. loot van I pondt . . . loot van i pondt . . . fufl:inet 2 libr. [Fig. 82]. Si on pourroit fufpendre un fort grand balancier [Fig. j6'] dans le vaiffeau, avec ion horologe, d'une roiJe, attachée. ') Comparez avec la troisième figure 81 la Fig. 38 de la p. 546 qui précède. -) Pour que l'oscillation simple ait lieu en 2", il faut que la longueur du pendule isochrone soit ^^ environ de icf pieds rhénans. La formule j = x de la p. 447 du T. XVI (c'est la formule --— "-^ = « de la p. 319 du présent Tome) donne pour a = environ li pied ou 15 pouces, et X = i2| pieds = 152 pouces, b = environ i^ pouce. La verge est supposée impondérable. 576 LA „L1BRA ISOCHIIONIS RECURSlBUs" DE MARS 1694. [Fig. »3.] [Fig. 84.] ■) .tr-- - 't n k À De balans [Fig. 83] met fijn dwarfiTc fpil, en ftaefje daerfe aenhanght, moet ce famen van boven ini!;eleght wcrden in C, D. Aen de dwariïc fpil fijn oock de box- hoorns vaft mec haer gevvight. Elck van de 2 lincen mocc oncrenc cvcnveel draegen. De boxhoorns konnen rechc onder de balans komen,moeten gemackclijck acn de fpil vart gerteken werden. Men fal de ingefneden gaeten moeten toe ftoppen. ') Jusqu'ici les balanciers employés ou proposés par Huygeiis en 1694 ne différaient pas beaucoup, semble-t-il, de ceux de 1693. Ici il commence à faire usage de plus d'une paire de „cornes de bouc", toujours taillées suivant des développantes de circonférences de cercle ou „hélicoi'des". LA „LIBRA ISOCHRONIS RECllRSIBUs" DE MARS I 694. 577 [Fig. 87.] [Fig. «6.] Op de kainen fchuijns afgevijlt [Fig. 85]...2^voec de heele Icngde . . . 3 d. I let rond van 3 duyni in 't middcn is om of mon daer nac de balans aen 2 linten w'oude probcren te hangen op dat de llaef daer aen hanght bin- nen de balans konie. Eerllopeenlîonip raes,inecn!iol\viens radius | duijm. ge- hardt. het magh nu wel rollende bcwe- gen [Fig. 86]. De fcherpte van 't mes raoet refpondeeren op 't middclpunc van de balans [Fig.85].oflievereen\veijnigh laegher komen oin &C. . . .denieuweplaet[surunefeuilIecoIlceentreIes p.98 et 99 du Manufcrit I il ert querton d'un „plactje aen de hangende fpil gefoudeerc om de balans tegen te ichroe\'en"] hoogh genoegh maecken om oock met de linten te probcren .... fleuytingh voor 't fwaeijcn. lepcls van d onrull fpil polijflen. oock de rondfels . . . Raeracn van bout, om in "t fchip te hangen [Fig. 87]. (laende op de vloer. bout op fijn kant. gewichten aen de hoccken. Balans in referve die correél geftelt is. de raemen vaft fetten als men die balans gcbruijckt om te itellen. Hoe het werck te fluijten, voor 't (lof? ailes met de balans in een gefloten kas. deweicke bo\en uijt de raemen te laeten iteecken. yfere aflen en gaeten [Fig. 75], of beter gehard llael . . . de gaten boven open laeten, dat is raaer halve rondcn. om de raemen te Iconnen uyt- lichtcn ... de koocker voor het gewicht en tegenwicht xallaen don binnenften raem of planck hechten. dan fal het gewight geen noodt hebben van llingercn alhoewel 2 voet langh. Het Horologie met lljn kalTe op de planck van den binnenllen raem vafi: fetten . . . modelletje maecken van Caertpapier of bout . . . Onder in de planck daer 578 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSlBUs" DE MARS 1694. de kas van "t horlogic op lai ftacn cen gat te maecken, en dacr ondcr tegen aen de kokcr voor de gewighten. Ondcr in de gronde van dele koker Ibo veel loodt te leg- gen dat het de kas \'an 't horlogic ovcr endt houdt ftacn. Selfs als hct ecrfl: op ge- wonden is. Sullen dan gccn looden aen de raemen noodigh (ijn '}. Invcni 15 Marc. 1694. Libram ifochronis recurfibus qiiod erat fatis difilcile,etiam poil librara ilbchronam de qua ab hinc anno in lib. 11 pag. i 80 "). Sépara tim conCideranda movens grave, et moles cor po ris moti, etiam cum utrumqiie in eodem refidct^). Pro gravi ta te deorfum trahcntc potel't poni Elater fine p o n d e r e +}. Moles mot a') confiderctur qua fi horizontaliter moveatur, c 11 jus moles ut certum motum ac celeritatem accipiat, certa vi trahente''} opus eft. ') Tradiîction: „Limé en biseau... Longueur totale de 25 pieds [Fig. 85]. Trois pouces. La partie ronde de trois pouces au milieu sert à pouvoir suspendre par après, si l'on veut, le balan- cier à deux rubans: la barre à laquelle il est suspendu pourra ainsi passer par lui. D'abord sur un couteau obtus, dans un creux à rayon d'un quart de ponce. Trempé. Il peut maintenant y avoir roulement [Fig. 86]. L'arête du couteau doit correspondre au centre du balancier [Fig. 85], ou plutôt être située un peu au-dessous de lui, pour que etc. ... Faire la nouvelle plaque [voir le texte] assez haute pour faire aussi un essai avec les rubans. Em- pêcher par amortissement les oscillations trop larges. Polir les palettes du balancier. Les pig- nons de même ... Châssis de bois pour suspendre [l'horloge] dans le vaisseau. Placés sur le plancher [Fig, 87]. Le bois sur le côté. Des poids aux angles. Balancier correctement réglé en réserve. Fixer les châssis lorsqu'on se sert de ce balancier pour mettre les choses au point ['?]. Comment protéger l'ouvrage contre la poussière? Le tout, y compris le balancier, dans une boîte fermée. Laisser celle-ci dépasser les châssis en hauteur. Les axes et les trous [Fig. 75] en fer, ou plutôt en acier trempé . . . Laisser les trous ouverts par en haut, donc des demi-circon- férences seulement, pour pouvoir enlever les châssis ... Attacher fermement le cylindre pour le poids et pour le contrepoids au châssis (ou planche) intérieur [dans une petite figure en marge on voit en effet une planche en guise de châssis intérieur; dans la Fig. 87 cette planche couperait l'horloge par le milieu; celle-ci doit donc être rehaussée pour pouvoir reposer sur la planche]. De cette façon le poids, quoique long de 2 pieds, ne risquera pas de ballotter. Fixer l'horloge avec sa boîte sur la planche du châssis intérieur ... Construire un petit modèle de carton ou de bois. Percer un trou dans la planche sur laquelle sera placée l'horloge; là dessous, contre [la planche], le cylindre pour les poids. Mettre tant de plomb au fond de ce cylindre que la boîte de l'horloge soit par là maintenue dans la position verticale. Même lorsqu'on vient de la remonter. Alors il ne faudra plus de plombs aux châssis." -) Il s'agit de la „libratio isochrona" du 6 mars 1693: voir le début de la Pièce VI qui précède. 3) En séparant nettement la notion du poids d'un corps de celle de sa masse, Huygens se place à LA „LIBRA liOCHRONIS RECURSIBUS" DE MARS 1694. 579 [FiK. 89.] Duc fingula N, N, P [Fig. 88] '■) in quadrata dilbiitiarum ab C: fummara pro- duftorum divide per produdura ex fumma in N, N, P in CO diilantiamcentiigravi- tatis N, N, P. habebis CD longitudinem penduli ifochroni. Ex propofitionc 5 de Centre Ofcillationis'*). icia + ihb ib aa 4- hb 00 CD bon. Pendulum compofitum ex ponderibus aqualibus N N, in refta per punftiim i'ufpen- au point de vue de Newton. Comparez notre remarque à la p. 45 qui précède (note 7). "*) Comparez les considérations de 1675 (p. 497) sur r„incitatio". 5) Lisez plutôt „corpus motum". *) La „vis trahens" est apparemment une quantité d'„énerf;ie" (voir la note 6 de la p. 359 du T. XVI) déterminée. Comparez l'expression „vis motus" (même page). ') Le poids P est supposé égal à la somme des poids égaux N, N. 8) P. 259 du présent Tome. Comparez le calcul de la p. 573 (note 2). 580 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS 1694. fionis C, œqualiter diftanribus, et ex pondère P, duobus fimulN,N£equali,afR.\oque in virga perpendiciilari CPD in B, Erit ifoclironiim pendule compofito ex ponderibus binis Q Q ipiis X X œqualibus, affixis in brachijs BQ horizontalibus quorum longi- tude ipfis CN œqualis fit, manente rufpenfione ex C '). Pendulum fimplex utriquc ifochronum erit CD cujus pars BD tertia (it proportio- nalis duabus CB, BQ. Curva: BT, inter quas P pondus fufpenditur, atque item pondéra QQ, funt des- criptas ex evolutione circumferentiœ BS radium CB habentis. Nota, EB efl: îequalis arcui DB [Fig. 89], Et percurritur a pondère P= (quatenus movetur horizontaliter) proportionalitcr ut partes arcus DB. Ergo eadem vi, five defcenfu ponderis P opus effet ad conciliandam eandem celeritatem pendulo compo- fito ex N, N, et P in B atfixo, atque ex N N, et P inter curvas fufpenfo; confiderando tantum motura horizontalem ponderis P. Sed magis defcendit pondus P polleriore cafu quia curva DE longior reftà DH. Itaque hinc fit ut paulo celeriorem motum accipiat pendulum, ex N N et ? penàente compofitiiw^ quam ex N N et P //; B pxo. quod ita efTe confiât, ob majores ièuiper diitantias refts EP- quam DH h perpcndi- culo CB. vSicut pendulum ex M N et P appenfo inter curvas noflras helicoides efiicit pendu- lum ifochronis ofcillationibus, fufpenfum ex C. Ita quoque ex C eodem fufpenfum pendulum ex folis QQ ponderibus, inter fimiles curvas ucrinque pendentibus, ifb- chronas ofcillationes habcbit, et alterius illius pcnduli rcquales. Hoc modo carere pofTumus gravitate ponderis P. Demonilratio a-qualitatis penduli QCQ hinc petitur, confiderando in utroquc pen- dulo duos motus, quorum alter eft pondemra Q Q et N N quatenus circulariter mo- ventur. qui motus utrobique squales funt. ut intelligitur motà recla CB in CD, unde NNjaminN^-N%et QQ in Q'Q'; fed ipfa pondéra Q Q jam quafi ellcnt in G et F punétis curvai-um feu cornuum, qus funt ncceffario in recta per E ducta et œqui- diibnte Q'Q'. qux FEG itaque et recla: N-N- parallela cfi. Centrum gravitatis ponderum qq [Fig. 89] quod in P"- et per EP' agere cenfen- dum, agit vi defcenfus fui 00 \\\\ in rcdam CJ^, ad transponcndum GF in QQ, hoc eft ad convertendum GF ponderibus qq oneratum ex fitu GF in QQ et admo- vendum pondus P motu hoc quanta efl: difîantia F2B. Similiter vcro centrum gravitatis ponderis P' per eandem EP agit in redam CD, ') Puisque la formule "" "J" — = CD est identique à la formule "'"•'' = <7 de la note 2 de In p. 5-5. LA „LII5KA ISOCHRONIS RECURSlBUs" DE MARS 1694. 581 ad transponcndum N'N' in NN (nam ipfa pondéra N'N' hic nihil juvant),etfeip- l'um ab E in B. Agunt crgo in aqualia et codcm modo. Undc et eosdem motus produccrcdcbcnt. atqui penduluin NNP elt ifochronum (demonftratio lib. H pag. i8o). Ergo et pen- dulum QQ. Uolccndit autcm centrum gravitatis pondcris V- per parabolam E\'^, iit denionllravi lib. I ! pag. i Ho [Fig. 66 et note 4 de la p. 564]. Egregium hic quod pondus brachiorum ipiîus libraz non impediunt [lisez: impedit] quin rcciprocationcs fiant ifochrona; '). fociunt enim Ic-ntiores tantum. atqucitaquo- quc quodcunquc corpus adjungetur, dummodo habeat centrum gravitatis in C pun- fto fulpcnfionis librœ. [Fig. 90.] V t:. -') Voir à ce sujet la note 4 de la p. 567 qui précède. 582 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS 1 694. La balance, ou pendule compofé QCQ [Fig. 88, 89 et 90] fufpendu en C, et les poids Q Q entre les hclicoides, que je iuppofe icy [Fig. yo] continues, (fi l'on veut a l'infini), et aufii les rubans qui Ibutienent les poids QQ: ce pendule dis-jc quand au lieu de balancemens, il feroit un ou plufieurs tours entiers furie point C, il ira et viendra par des retours ifochrones, et auili vides que s'il faiibit feulement de petits balancemens '). Et le centre de gravité des poids Q Q fera toui'jours le mefmc que celuy du poids P fulpcndu entre de pareilles heiicoïdes, qui commencent en B dans la droite QQ. Et les points de contaét [Fig. 91.] du ruban du poids P où il touche fon lielicoïde, coupera rouf jours en deux également les points de contad des rubans Q Q avec leurs heiicoïdes. Ainfi I eil: entre i,'i 2 entre 2,2; 3 entre 3,3. &c. C'efl: ce que j'ay reconnu par cette figure '). Ce pendule compoic des poids Q Q ell encore ifochrone a celuy qui efl: compofè des poids NN, au bout des bras Ci\, (qui font en ligne droite) et du poids P double de chaque Q, com- me il a elle dit p. 99 [p. 579 — 580]. Pondus S [Fig. 91]"') defcendens per SL movet E per EF et fimul O furfumperfimilem quadrantem, datur- que proportio ponderum S ad E vel O, qua; s ad e. Quœritur quam celeritatem acqui- rant pondéra E et O, ubi ad lineam horizontalem FK pcr\'enerint. Deinde quam acquirant cum utrinque per ar- cum DF 00 ^ EF moventur; Et quse fit utrobique proportio celeritatum. GP efi: hclicoides ex evolutione arcus ') Comme la largeur de la page du manuscrit n'était pas suffisante, le chiffre 2 [Fig. 90] à droite est écrit un peu à gauche de l'endroit où il devrait se trouver, tandis que les chiffres i et 3 ne sont indiqués que dans les parties supérieure et inférieure de la figure, lesquelles correspondent aux parties droite et gauche. ') Comparez la Fig. 91 avec la Fig. 66 de la p.564,SL correspond à la parabole RL de la Fig. 66. S est le poids régulateur, EO le balancier. LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS 1 694. 583 ce, quam tant^it pcrpcndicularis PA. Cclcritas P vcrfus C cft cadcm ac cclcritas G verliis C. l'>g() et cclcritas pondcris A verdis M quatcinis ncmpc cft horizontalis, eadcm qiuv G veri'us C 3). (ed cclcritas pondcris A verius N cric ad cclcritatem A verfus M, vel G verfus C, ut tangcns AN ad AM vcl PC vel GC. Oportet pondéra R et C), hoc e(l 2 (', celeritatc acquilita cum pcrvcncrcin rcftam FK, furfinn convcrlli,- itemqiic pondus S celcritate quam hahcbit in L furfiim con- verfâ,ri ducantiir lîngulorum altitiidincs in ipfa pondéra, ficri funimam prodiiflorum xqualem ci qua; fit ex pondère S in alcitudinem LC, quoniani fohim pondus ^,omnia movens, talem motum tribucre ipfis et libi débet quoa-qualc fiatmomentumalcenfus ponderum+) momento dcfcendcntis S ex altitudine CL. Eli autem cclcritas quam habet E poftquam defcendit in F, et O pollquam afcen- dit ad eandem horizontalem FK, ad cclcritatem pondcris S cum vcnit in L, ilcut FK ad KC, quia pondus l'2 in arcu IIV , et punétum M in arcu HC, et contaCtus fil! et curvarmn HS, GP ita fimul fcruntur, ut illa arcus ilios, hoc reétam SC, eadem pro- portionc fecent. Sit igitur x cclcritas pondcris V. cum cil in 1". KC co r. CI! 30 (/. Et KF (ît do a. Ergo cclcritas pondcris S in L erit Filum enim unde pendet pondus S, dum inde defcendit hoc per parabolam S AL, (emper pendet perpendicuhriter. Ideoque pondus S, cum efl: in L, sequc celeriter movetur ac punrtumC radij KC. Sit /; cclcritas quam haberet S ') cadens accelerationc naturaii per CL. Eil autem '{ 00 CL altitudo delcenfus pondcris S. rx a ' nn XX qq I q-xx \ altitudo quo pcrvenirc potcrit 2/- / irnn f pondus E vel O, cum ad hori- i m. zontalem FK pervenerint. ae leq^xx produttum ex ie in altitudines quo 2rnn pofTunt afcendere poftquam vcnercin horizontalem FK. 3) Huygens admet ici, comme aiitiirieurement, et comme il le rappelle un peu plus loin, que la partie libre du ruban auquel le poids A est suspendu, reste constamment vertical. +) Le „momentum ascensus" est donc ici la quantité d'énergie potentielle, pour nous servir de cette expression moderne (comparez la note 5 de la p. 341 du T. XVI) qui correspond à l'as- cension du poids considéré. 5) Ou un autre poids quelconque. 584 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE ftlARS 1694. qu. celer. i« pond. S in L ______ rrxx qq 1 q-rrxx altitude ad quam pervenire poterit aa zr I 'xraann f pondus S in L delatum. sq'-rrxx produftum ex j.- in altitudinem quo poterit iramm afccndere poRquam \'enit ab vS in L. ,. j „ leq^'xx , sq^rrxx û's produftum ex s in altitudinem summa produaorum — \- — oo '— \ ^ ,- ,- ■ ^i zrnfj iraann ir delccnlus lui CL, cuni libère cadit. zeaaxx + srrxx ao saann saann XX 00 le a a + srr V . , saann •xeaa + j-zv Jam quœratur quam celeritatem habeat E cum pervenit in 13, iiunftuin médium quadmntis EF. ut videamus an hsc celeritas fit ad prjecedentem x ficutP\^applicata in quadrante CST ad radium CT vel CS. Sic enim eïïe debebat ut librationes fièrent exacte ifochrona\ Sunt enim celeritates acquifitîe in arcu EF ficut celeritates punCti contaéhis per lineam SC. Ideoque efle debent ut applicata PV ad CT, quod demon- ftratur ex mocu in cycloide '). Sit celeritas ponderis E in D oo 3» [Fig. 91]. /rv celeritas horizontalis ponderis S a cum pervenit m A. qus œqualis celeritati quam tune habet pun- (flum G. Parabole LA latus reftum efl oo 2KC five ir. CS efl: 00 CH five q. Et CP oo i q. ') Comparez la note i de la p. 501 qui précède, (^n voit ici que Htiygens n'admet pas d'autre mouvement osciliatoire isochrone (c.a.d. à période indépendant-e de l'amplitude) que la vibra- tion harmonique. LA „L1BRA ISOCHRONIS RECURSIBUS" DE MARS 1694. 585 l.reft. AM AM ML • 7 /^^^ DO 5? ^'V 2'- ^ ^^ c]u. AM îî'^+T^^Ç qu-AN MA AlN ^^ celeritas abfo- 2? y 4W+T,î„. -/ — ^^ _ f± cum venit in ^ ^ A. ncinpc fe- cundum tangentis diredtionem AN. m yy 2r / irnn \ altitudo quo perveniret pondus E vel O port cmcnfum arcum ED. m. 2e — ^^ produdum. irnn nn ¥ JJiJ T^ i5 ^^ ^ / srryyqq + ^syyq* l aaqq ir j o.rnnaa -) Hauteur à laquelle peut s'élever le poids S avec la „celeritas absoluca cum venit in A". 74 I 586 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS I 694. fiimma produftoriim m±liml A. 1 ^ ^ irnnaa irnn'*^^ir lihcri ex CM '). srryyqq + \ syyq^ ^eq-yy ^q-s produftum ex s in altitudinem defcenfus fui srryy + j syyq' , ^eyy ^ ^ nnaa nn ■* ^^"07 + i sq^-'S'S + '^aaeyy ao | saann ^ 3 •'-' laae + srr laae + srr + \ qqs l aanns • ■ 4 ï7 yy 00 r-*T , — — - = '^aac + srr + î qqs —r x 2^(?e + i .*•>'/' XA" -^yy=- %aae + 4.'i'/v + qqs -r d^^é" + 3.f/v A/ZZJ^B^KIZ. =4~T-q 3if^ y rrs + |- (7^^ + laae ' '^aae + 4.v;7- + qqs Facile apparet futurum exa(?lc xx ad yv ur 4 ad 3, fi tantum motum horizontalem ponderis in A confidera(rem ac tune idcireo librationes iibehronas colleduni iri ab.sqiie vcl minimo difcrimine '). Sic ;• 00 7, i/ 30 1 1 , « 30 52^, .V 30 4 pond. 2^ oo 4 pond. . . 1452 '^qqs^ 784 4rr.s', 44 1 00 %aae XX ^^yy = 4 —^ 3 — 3-V x^T—y =2-^—1,723 debebat eiïe x — i — y =1 — x — 1,732 hocefl:ut2 — 1 — IX3. Eli igitur minimus quidam defeftus, ut ncmpe reds reprsefentantes celeritates ponderis venientis ab E, in punttis D ce F, non fint exaftè ut applicaca PV ad CT, uti debebanc elfe, led ut linea deficiens cireiter 0 g^gg five , iy ^) fui parce à PV ell ad CT. Quod cum fit tam exigu um difcrimen in tantis arcubus, fatis apparet nuUius inomenti eiïe in hifce libracionibus +) ;ucmagis ab aeris occurfu forcalTe metuendum fit. ■) CM = CL — ML = ^ — 1^ = 2 C ^ lr 8r 4 ir -) Dans le cas d'une vibration harmonique le carré de la plus grande vitesse est en effet au carré de la vitesse du mobile au moment où l'écart a atteint la moitié de sa valeur maxima, comme 4 est à 3. Si Uuygens n'avait considéré que le mouvement horizontal du poids S au point A, c.à.d. la vitesse —,1a hauteur à laquelle le poids S eût pu s'élever avec cette vitesse aurait été rq- y' ,., , ■ , r 1 -^ „ . , , srû" y^ , ei?^ y' sstj- \, ., et lequation contenant la ..fumma produclorum aurait cte — V-t^ + -^"= o > d'où ■v'^ = — - , o ^ =■ X-. 4J7-- -f- ^e" 4 À LA „LI1JK.A ISOCIIRONIS RliCURSIBUs" DE MAR5 1694. 587 Qiiantillo aiitcm hinc inœqualcs fiant nondum liqiiet, et difficile ciïet inquirere, ncc operœ prctium. Patr. praïccdenti habcbanuis .v.v vv = 4 ^r- ■? — ^ 3?y _ Ereo. fi velim s efTc ao 2c '), ut (imul inquiram in libram QCO pag. 99 [Fig. 88 de la p. 579], 3W A.V y y = 4 ' ^aa + 4/r + qq vSi cxaininailcni an pondus E, ab D pcrvcnicns in F, in pendulo hoc cnmpofito acquinu cclcritatcni qua; fit ad cclcritatcni quam habuit tranfiens in Z, (pofita KZ média inter Kl), KF) ficut in quadrance MAl2habec'')Mi2adapplicatamAA,pauca tantum rautanda fuifllMit. Pofitis cnim .v et y pro celeritatibus poil DF et ZF. Erit celeritas ponderis s pofl: peradlam AL oo — . quiaccleritatesinarcuDFinceduntpro- portionalitcr ut in arcu GC vcl ctiani in rcfta PC, in M vero fit cadcm celeritas quœ in L. tantum pro q fcribcndum ~ ^, quia XZ 30 i AM. Ita tandem fiet xx -i- vv = 4 -i- 3 , ^^^ , , — hoc cft .v -7- y = 2 -t- V m Cum debuerir cfTc a- ad v ut £}M ad A A, hoc cft ut a ad )/ 3. Ita proximc quadruplo minor jani crit differcntiola in dcfeclu quadrati yy. Hœ differentiolse eo quoque minores crunt quanto brachia a longiora fient ceteris mancntibus. Sunr autem taie quid errores qui hinc nafci poflTunt, quale in pendulis, quod appenfum pondus non ell rcdadum ad pundum, ficut rcquirerctur ut cycloides recurfus perfedle ifochronos officiant •"). Quatenus pondus movens pendet ad perpendiculum, et premit œquali gravitate, eatcnus librationes funt ifochronje. Sed minimum quid deell ne perfeéte pendeat ad perpendiculum, ncve eadem gravitate premat. quod tamen nullius momenti videtur; eoque minoris erit quo librationes lentiores faciemus, et minores. Si fuerint 2' fecun- dorum, defiectct iilum ponderis moventis à perpcndiculo quantum faceret pendulum 3") C.à.d. -i»--. ••) L'amplitude des oscillations des grands balanciersverticaux, projetés ou construits, était faible. 5) Comme dans le calcul numérique qui précède. *) Ou plutôt „se liabet". ■') Comparez le deuxième alinéa de la p. 518. 588 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS I 694. 12 pedum ') cujus pondus imum eadem lacitudinc moveretur qua pondus movens. Eadem vero tempora lîgnat libra cujus pondéra movcntia funt in extremis brachijs, Quîericur quam celeritatcm habcat pondus E [Fig. yi], cum ex J) venit in F, fimulque O tantundem per (Imilcm arcum afcendit. Cum pondus E cft in I), cil pondus S in A, ita ut AP cadat in mcdiam CS. Sit AM pcrpendicularis in CL. Jam cum fit polita /; ccleritas quam habct pondus S cadcns celeritate naturali per CL, erit i« celeritas ponderis S, cadcntis naturaliter per ML. Efl; autem ML zc l CL, hoc eW ^ ^f . Sit sccleritasponderisEcum venit exDinF y' I ~ ill/i-^'^1'] altitudo quo pcrvenirc poterit pondus "^ ^ ^ r / rnn E vel O cum ad horizontalem FK per- venermt. KF KC a — i — 2 — qu.celer. p. SinL T lin — — ^ produftum ex ie in iftam altitudinem. rnn ^ — celeritas ponderis S cum erit delatum in L ex A "). . S in L rrzz , qq J%rzzqq \ altitudo ad quam pcrvcnire po- • 22 lÏL ^ r I t * aa ^ r / nnaa f terit pondus SinL delatum ex A. [m. ^ — ^^ productum eius akitudinis in pondus S. nnaa summa productorum ezzqq \srzzqq , qqs produftum altitudinis ML quo afcendere poterit pon- rnn nnaa ^ r dus S in ipfuni s. ezz , isrrzz f- ^ 30 i .y nn nnaa " aaezz + \srrzz co ^ nnaas ^ nnaas ^ . saann itaque apparet e(re:r,:; O) ^.v.vinventopag. 103 aae + ^rr Saae + ^[srr [p. 584] et z co ^x. ') Comparez la note 5 de la p. 509 qui précède. -) Le fil étant toujours supposé vertical (note 6 de la p. 563). LA jjLlBRA ISOCHRONIS RECURSIBUs" DE MARS I 6y4. 589 Sic porro ccleritas pnndcris R ciim e\ D vcnit in Z, inedium arciisDF,atqiieitcni pondcris () pcr (Iniilcm arcuni ehui. Sit iiiqiiam ilta ccleritas oo //. //•// ccleritas horizontalis pondcris S ciini pervcnit in X ex a A, quœ aqualis nempe celeritati puncti II verfus C. XZ XY abfoluta rr pondcris S ciim venit in X, ncnipc in dircCtionc tangcntis XY. t's ^ x ZY, nam MN erat oo \ ^ pag. 102 [p. 585]. I I 1 X i' I 'Z* '■" I''" \ / ^^ \ I '7* ccleritas a jiî t:: qu- ^^' -7* TV-z^+^^s^qi'-XYO quad.=> celeritacum rni-\-j\uuqq qq jqqrruu + tîj""^^ altitiidoadquamafccndere rr I iraann potcrit pondus S ccleritate aa acquifita in X. sqqrruu + ^^suuq^ iraann qn I iinqa altitudo que poteft afcendere pondus E cum venit nn un =^ / — '^ ■ - rr I irnn m ^. produaum ex .f in altitiidi- ^-^qqs ctiiiqq sqqrruu + j'^stiuq* fummapro- nem afcenfus liberi ponde- ar rnn iraann dudtorum risSexcafuliberoperMZ. 'Vsaann.o^iuaa + srruu + ^^.suuqq -f^saann quod igitur tan tillo majus quam • leaa-^-srr-^-^^sqq^ "" i.vv pag. 1 03 [p. 586]. propter ^f^sqq^ quod dcbucrat cITe \sqq. hinc divcrlîtas cil ex co quod et motum pondcris S dcorfum confidero*). 3) Huygens écrit par erreur: A Y. •t) Comparez la note 2 de la p. 586. 590 LA „LIBRA ISOCHRONIS RECURSIBUS" DE MARS 1 694. Qiiod fi eiïet licut zz oo ^xx ita uu ao ^yy^ adeoquc uc ~. O) i-.v ita u zo iy: ap- parcrct eflc pondcris E ad F euntis celeritatcm in medio D, ad celeritatem cjufdem in F, ficuc cclcricas ipliiis in medio Z, ciini venir ex D, ad celeritatem quam tune habebit in F. Et tune ciïenc in totis arciibus EF, DF, leorfim peractis, celericates ubiqiie ut ipfa fpatia pcreurrenda, nempe in ratione dupla, coque librationum tcm- pora fièrent a-qualia. at nuncproptcr celeritatem// tantillo majorcm quam oportebat, fient tempora minorum librationum tantillo breviora. \'el majorum librationum tem- pera tantillo longiora, fed illud infenfibile erit puto: alias pauxillo majori circulo defcribenda; helicoides a;quantes quam fit dilhntia ipfarum originis a diametro libra; horizontali. [Fig. 92.] Librâ DCF [Fig. (;2] ponderibus H H oneratà et undique equi[li]brium fervante, i] porro pondéra œqualia RR ei appendantur inter helicoides noftras aftixa, quarum radij genitores FG, DE ad horizontem perpendiculares fint, et brachijs CF CD œ- qualibus firmiter aftixi atquc angulis immutabilibus. Erit libra* quies hoc fitu DF. Et ab hoc utrinque excurret reciprocationibus ifochronis: qua^quecorundemerunt tem- porum ac libra; NCN, ponderibus Q Q appenfis inter helicoides prioribus pares qua- rum radij genitores perpendiculares brachijs, atque œque a centro C remotis. Vel etiam a;qualium temporum ac librœ NCN cum appenfo folo pondère P duobus Q équivalente. Ratio patet ex eo quod quavis a^quali inclinatione harum trium librarum, centrum gravitatis ponderum binorum R R vel Q Q vel folius P, idem invenitur nccefl!ario, ut facile perfpicitur; unde etiam eadem vi agit ad movenda pondéra 1 1 H, vel N N. LA ,^IBRA ISOCHRONIS RECURSIBUS" DE MARS 1 694. 591 Quod fi igicur (limanciir in pcrpcndiciilari LCO, CL, CM a;qualcs CF, CD, et r;u1ija;enitoreshclic()idum ponancur I.V, MO, et ab onjrinibiis V, O, ipfa.- helicoidcs lumcllx' defccndunt intcrquo cas pondcra appcndancur a;qiialia R, R, vcl Q Q, his agitabitiir quoqiie a.'qualitL'r libra gravata pondcribus N N. Sed optimc adhibciniir pondéra furpcnfaiitin QQ vcl il il, quia minus pcriculum cfl ne titubent motu latcrali. Solum vcro pondus dupluni P minus ctiam obnoxium erit motui laterali. Sed in li- bra pag. 99 [Fig. 88 de la p. 5-9] fola pondéra Q Q adhibui, rejectis N N et P; quod libra fie minus gravctur; minusquc fiicile ad latiorcs vcl angulliorcs rcciprocationes rcdigatur, ex ina-quali preilu horologij. Nihil cnim gravitatis afccndit cum latius moventur pondéra N N. Ex ijs qute hic oflenfa finit apparet ctiam pondcra 0, e [Fig. 93], fi-ilpcnia inter helicoidcs in y.^ y, quarum radij genitores xquales i Cy, eodem modo agitatura libram SCS pondcribus vSS gravatam, ac folum pondus Ç, binis 0, s xH]ualc et inter fimiles helicoidcs ex /5 fi.iipenfum, quarum radius genitor a[i zo i xÇi [lifcz : ay ou Cy]. Punéta X et C conx-eniunt. Sed hoc inutile ob nimiam agitationem ponderis t. [Fig- 93.] d^ VIII. LA DERXIKRE 1 lORLOGE MARINE DE 1694 ■)• [Fig- 94-] '|Vv ^U .1Û à , De kas [Fig. 94] hoogh i| voet, breedt 2 voet 10 duijm, diep 6 duijm (van binnen}. Elcke bol 224^ onc. Het conusje ['?] 15 onc. Het langwerp. ['?] i pond j# onc. ') La Pièce est empnintce aux p. 108 — 11 1 et 124 du Manuscrit I. L'iiorioge était apparemment pourvue d'un balancier tel que celui décrit dans la Pièce VII, comme l'indiquent aussi les Fig. 95 — 98 qui suivent. Voir la fin de la note 3 de la p. 573 qui précède. Le 29 mai 1694 (T. X, p. 609) Huygens écrit à Leibniz qu'il a fait „executer et mettre en perfection" sa nou- velle invention, et le 16 juin suivant à de i'Hospital (T. X, p. 626) qu'il a „fait construire l'horloge, qui succède très bien" et qu'il prétend „pouvoir porter sur mer". Le 1 octobre 1694 il n'avait pas encore proposé „ce nouveau moien de trouver les Longitudes a M" les Direc- teurs de la Compagnie des Indes" et il ne l'a certainement pas fait dans les quelques mois qui lui restaient encore à vivre. LA DERNIÈRE HORLOGE MARINE UE I 694. 593 o oi. -■'2 Met -I onc. hct tcgcnwight afgctrbckcn,ginck wat raiïcrals'cpcnduliim. Vrijdag i6 April 's avondcs ten 8^J.35'.o" gelijck gefet. 17 — _5i 54è s morgons ten 0.45.0 's av. 8.42.0 m. 8.30.0 a. 8.30.0 m. 8.44.0 Met 541 onc. ging wat langlacnier als hct pendulum. Ergo is de corrcftie door de boxhoorns in de balans wat te groot, doch volgensdcdcmonftratie Ibo mocfl: die ccrder noch te kleijn vallen. Soc is dit de refillentie van de ucht, ot'ecnighe fout in de balans, te imputeeren. of de boxhoorns onrcchte figiier. eod. — 18 — eod. — 19 — balans 18" voor i8 — 33'voori5 — 52 — 19 — 71 — 21 — 90 — 19 [Fig. 95-] De boxhoorns hcbbc bcvonden niet wel geboghen te fijn door den Ilorlogiemaecker, van der Cloefen. Heb die netter geflelt nae een plaetje van dcfe liguer [Fig. 95], dacr ick de hélix felveropgctrocken had, en af(';evijlt. Sedcrt hecft de Balans, en het Pendulum van 3 voet ieer gelijck gegaen. Son dat van den 1 9*= April s'avonts ten 8 uren tôt den 2oen s'achtermiddaghs te 2 uren , de flagen van beyde altijdt gelyck bleven. Ten 2 ur. 15', was het pendulum entrent i van een féconde gevordert fcdert s'avonts te voren. Gingh met -2 onc. dat is 4! pond, en 5i onc. tegenwight. Macndag 19 April "s avonds ten 6u''.oo' gelijck gefet. 20 eod. 21 s raorg. a. m. 9- 0.0 balans 2" voor. of niets Vivant op 2" feconden kan mon op de wijfer van 't pendulum niet vaflgaen. 9- 20.0 balans i " voor. OU! .18'. balans 0" voor. dat isbey- de weer gelyk. Een pond gewicht bij gedaen. De Balans wierd een weijnigh langfaemer. Boxhoorns overllen &c. Den 21. a. 5.48'. nae dat de boxhoorns overfien en de bollen weer aengehangen had, vond dat de Balans ietwcs langfaemer gingh als te voren. Dit komt daer van fonder twijffel, dat de fteelen van de boxhoorns ietwes verbogen fijn door het ver- buijgen vande boxhoorns. 2 1 a. 5.48' gelijck gefet, na dat de fchuyflooden verfet had. April 22 m. 10.26' Balans 9" voor. of 8". — a. 548' Balans 12 voor in 24 uren. De Balans gingh van felfs wat ruijmer. het weder wat wamier. gelijck gefet en i pondt gewight bijgedaen. Balans 6" voor. April 22 a. 2': m. o o 75 594 LA DERNifeRF, HORLOGE MARINE DE 1 694. Balans -" voor. inoft 12" geweeft lijn. Ergo niet genoegh ge- corrigeerc door de boxhooms. Men foude aen ieder arni maer een loodt kiin- nen hangcn, als hicrncvcns [Fig. 96], maer Rnidc miflchien al foo veel liicht vatten, als mec de 2 looden aen icder arm. en fouden vier boxhooms te niaccken fijn in places van 2. maer fonde mindcr flingeren konnen. Soude minder vvaggelen, maer dit is niet te vrelen. Sat. 24 Apr. 2"''. 10', ^5 — 2. G 27 m. 10. 4 27 m. 10.34 28 m. 9. 0 28 m. M. 14 gelyck gefet. 't horologie beter vafl: gefct. de box- hooms verboghen. Iîalans2i"achter. Een pond gcwighc bij gedacn.Bevond dat de 13alans i " in een uur won. Ergo al te veel gecor- rigeert door de boxhooms. Defeh'e weer nae een nieu- wc hélix verboghen. 25 6. 1 0 gelijck gefet. met ordinaris gewicht. 56 11-30 Balans 10' achtcr in ir"'*^. 20'. Een pond gewight bij gedaen.ten 1 1 ur.4o'.Vond dat de Balans in een uur meer als 2 " verloor. daer te vooren geen i " verloor. Ergo te weijnigh gecorrigeert door de box- hooms. Ick hadde wat toe gegeven in 'c open fetten der felve. ( icloof dat wcl foude fijn in dicn men fe de rechte figuer van- de hélix conde geven. IDoch hct is niet licht die juijiT: te treiïen. Men foude met een fchrocfjc dciclvegenoeglaeui op haer rechte vvijdte konnen brengen aldus Balans 64" achter. dat is bijna 2I" in een ure. gelijck gefet. een pond gewight bij 't Pendulum gedaenomte fien of het die proef kan uytitaen. Balans 68' achter in 22".26'. dat is feer nae 2i-" in een ure. Soo dat het Pendulum die proef wel uytftaec. (jelijckgefet,nae dat de boxhooms op 't netfte ver- boghen hadde, Ibo ieder apart als te faemen met het modelletie. LA DERNIÈRE HORLOGE MARINE DR 1 6fH(/«/û te doen ga;n". Deux quittances du 28 juillet 1659 signées „Jan van Call" (archives communales de Nymègue) par- lent en effet de „mxcken op de W'iemelpooert de Coud des pendelums, met de reparatie des- selfs ouden uurwercks, etc.". On voit qu'il est extrêmement improbable que l'horloge de la St. Eusebiuskerk d'Arnhem ait été une horloge à pendule déjà en 1652, tandis qu'il est fore pos- sible que van Call ait transformé aussi cette horloge-là. ') J. B. du Hamel „Regia; Scient. Acad. Hiftoria" 1701, écrit (Lib. II, Cap. III, p. 154, Ann. 1675): „D. Roemer Tractatum à se elucubratum de Mechanicis, pra;fertim de rôtis dentatis legit." -) Voir sur ce Traité les p. 71 1 et 715 de notre T. X. 5) „Virorum celeberr. G. G. Leibnitii et Johan. Bernoullii Commercium philos, et math." I (1694 — 1699), Lausann» & Geneva;, M. M. Bousquet. 1745, p. 347. AVERTISSEMENT. 603 Epicycloidum ufum ad figuras dentium fibi tribucre videtur in peciiliari de iis difTer- catione, ciim tanicn ccrtiini fit invenruni cITc Rocnieri Dani; nam eram Parifiis eo tem- porc quo is invcnit, rcmque non tancuni ab iplb Kocmcro, icd & 1 lugcnio intcllexi". La l^ircic ,-/dc la l'iccc 11 qui luic cunlinni.' raliirmation de Leibniz en ce qui con- cerne Rocmer. Il n'en réfultc pas que de la Hire ne puifTe avoir eu, également vers 1675, la même penfée indépendamment de lui +). Leibniz ajoute: „Roemerum qui in IDania agit Régi îcftimatus, miror fibi liia non vindicare". Toutefois les figures de Muygens ne démontrent pas que parmi les conllruétions propofées par Roemer il y en avait d'identiques à celles de de la 1 lire. Roemer s'eit apparemment fervi tant de l'épicycloïde ordinaire (^A. % 2) que de l'épicycloïdc raccourcie (r/. § i), tandis que de la Hire ne fe fert que de l'épicycloïde ordinaire. L'application faite dans la Fig. 107 de l'épicycloïde ordinaire ne reffemblc à aucune figure de de la Hire. Voir cepen- dant aux p. 609- — 610 les trois derniers alinéas de la note i de la p. 607 qui fuit. Nous avons déjà dit (note 2 de la p. 400) que lluygens ne s'efl; occupé des épi- cycloïdes qu'après Roemer, qui paraît donc avoir attiré fon attention fur ces lignes. 11 cil: vrai que les è-ni-/.-MloL des afl:ronomes grecs étaient connus à tout-lc-mondc (com- parez la fin de la note 4). Notons que Huygens n'a cherché — ou du moins n'a ac- compli — , comme de la Hire, que la reétification et la quadrature de l'épicycloïde ordinaire. •♦) De la Hire écrit dans la Préface de son ouvrage de 1695: „II y a environ vingt ans que j'avois commencé à travailler à cet Ouvrage, & j'avois déterminé d'une manière très-simple, que les dents des roues dévoient avoir la figure d'une Cycloïde qui a pour base un cercle, ce que l'on appelle Epicycloïde. J'en conférai pour lors avec MM, Auzout, Picard et Mariette: mais quelque tems après, ayant été admis dans l'Académie [ce qui eut lieu en 1678], je trouvai les quadratures des Epicycloi'des, tant de l'espace que de la ligne, à la manière des Anciens, comme je les donne dans cet Ouvrage & je les communiquai à l'iVcadémie. ;\Ir. Huygens fit voir aussi celles qu'il avoit trouvées par une manière fort différente de la mienne [fort différente en effet; voir sur le calcul de Huygens les p. 402—405 qui précèdent]; & dans le même tems Mr. l'Abbé de Vaumesle qui demeuroit en Normandie, m'envoya le résultat de ce qu'il avoit fait sur le même sujet, en me marquant que c'avoit été par la méthode de Mr. Descartes qui suppose des Poligoncs au-lieu de cercles [comparez les Fig. 141 de la p. 40; et 141 bis de la p. 403 qui précèdent]". De la Hire parle aussi des „épicycloi'des intérieures" (hypocycloïdes), qu'il a donc peut-être considérées dès 1675; comparez sur les hypocycloïdes les I. 4 — 6 de la p. 41 qui précède, et le dernier alinéa de la note 2 de la p. 399. D'après Gino Loria ,.Speziellc algebraische und trans- scendente ebene Kurven, Théorie und Geschichte" (nous citons la traduction allemande de F. Schlitte, Leipzig, Teubner, 1902, § 208 à la p. 49-) nous pourrions faire mention d'autres auteurs plus anciens. 6o4 AVERTISSEMENT. La Pièce III — nous ne difons rien de la Pièce IV qui ne donne qu'un détail de conftruétion — ell une explication par Huygens du „maintaining power" dans les horloges h refTort. La grande majorité des horloges n'étaient pas encore munies de ce difpofitif (dû à un conitrufteur inconnu; comparez la dernière ligne de la p. 5 et les premières lignes de la p. 6 du T. XVII), comme le font voir les paroles fuivantes de Leibniz dans les Remarques de ± ^7^5-, citées auffi dans la note i de la p. 600: „Entre les Caufes, qui changent la juftefle de l'Horloge et de la Montre vulgaire, eft aulfi le Tems, qui fe perd en les remontant, lorfqu'elles font arrêtées pendant ce temps là, comine il arrive ordinairement; car le tems de la remonte n'efi: pas toujours le même: INIais des bonnes Pendules, et d'excellentes Montres ont ou peuvent avoir une conftruclion , fuivant laquelle elles continuent d'aller, pendant qu'on les remon- te". Comparez le deuxième alinéa de la p. 5 14 qui précède, ainfi que la note i de la p. 64 du T. XVII. I. L'ECHAPPEMEiNT À ANCRE ■)• [Fig. 101.] ') La Pièce I, qui ne consiste que dans la Fig. loi, aété empruntée à la p. 35 du Manuscrit E, portant la date du 20 janvier 1675. C'est la page où il est question pour la première fois du «balancier de montre réglé par un ressort [spiral]" tel que le représentent les figures repro- duites à la p. 408 du T. VII (comparez le début de la Pièce I à la p. 52: qui précède). On lit dans la Fig. loi : „Libnitz, Romer", ce qui semble indiquer que ces deux savants ont fait con- naître à Huygens Texistence de l'échappement à ancre, qui était alors fort probablement une nouveauté. Il est dommage que Huygens n'ajoute aucune remarque à sa figure. À la p. 39 (note 3) du T. XVII nous avons dit que l'échappement de Galilée peut être considéré comme le précurseur de l'échappement à ancre. A'ous voulions dire que l'échappement de Galilée est 6o6 l'échappement X ANCRE. 1675. un échappement libre, comme l'échappement à ancre; catégorie à laquelle appartient d'ailleurs aussi celui à détente des chronomètres. On n'a cependant aucune preuve d'une dépendance à cet égard des horlogers anglais, ou autres, de constructeurs italiens, de sorte qu'on doit dire, nous semble-t-il, avec J. Drummond Robertson („The Evolution ofClockwork", Ch. VIII „The Anchor Escapement", p. 131): „The pin-wheel escapement of Galileo wasnotdivulged to the world, and the new invention proceeded upon wholly différent Unes". Observons que Huygens et les horlogers qu'il connaissait ne se sont jamais servis ds cet échappement, dont l'usage ne s'est répandu qu'au dix-huitième siècle. Roemer et Horrebow ne s'en servaient pas: voir ce que nous disons dans l'Avertissement (p. 600) à propos des Fig. 99 et 100. La première horloge connue possédant un échappement à ancre est, paraît-il, l'horloge d'église qui se trouve actuellement dans le Science Muséum à Londres et porte l'inscription „Gugliel- mus Clément Londini fecit 16-1". On attribue souvent cette invention à R. Ilooke. En 1696 W, Derham écrit à la p. 96 de son livre „The Artificial Clockmaker" — citée dans le Ch. VIII de „The Evolution ofClockwork" — : „Dr. Hook dénies Mr. Clément to hâve invented this; and says that it is his invention, and that he caused a pièce of this natu.e to be made, which he showed before the Royal Society, soon after the Pire of London [1666]". En 1675 Romer et Leibniz étaient tous les deux à Paris, le premier depuis 167 1, le second depuis 1672. En 1673 Leibniz s'était rendu à Londres. Il paraît probable que c'est là qu'il avait fait connaissance avec l'échappement à ancre. La Fig. ici a été publiée pour la première fois dans notre article „Christiaan Huygens en het ankerechappement" (Revue „Hemel en Damp- kring", Wolters, Groningen, Mors 1934). IL LA FORME DES DENTS DES ROUES. A. Forme (^u'icycloÏdalk des dents pour les roues planes, d'après Romer '). [Fig. I02.] S I. Rotîe Romeri, ccquali vi continue in fe mutuo agences [Fig. 103]. Orbis AB [Fig. 102], par circumferentiara AD circonvoliuus defcribit punfto F fibi affixo curvam FGH. Ac rurfus orbis AC revolutus fuper circumferencia AE, defcribit punéto fibi affixo \\ curvam HKF -). ') Les Fig. 102 — 106 et le texte correspondant aux trois premières ont été empruntées aux p. I — 5 du Manuscrit E, datant sans doute de 16-4, puisque le Manuscrit D ne contient encore que des dates de 1673, et que la p. 26 du Manuscrit E porte la date du 19 décembre 1674. ') Le point F, attaché au petit cercle EAB roulant de haut en bas sur le grand cercle immobile, décrit une épicycloîde raccourcie — nous nous servons de ce terme souvent employé pour 6o8 LA FORME DES DENTS DES ROUES [ 1 674]. désigner l'épicycli iVde à boucles, quoique certains autres auteurs parmi lesquels Gino Loria (ouvrage cite dans la note 4 de la p. 603) parlent au contraire dans ce cas d'une épicycloïde allongée — ; FGH est le demi-contour de la boucle, dont l'autre demi-contour, symétrique avec le premier par rapport à la droite H F serait obtenu par le roulement du petit cercle de bas en haut. Iluygens dit, sans doute d'après Roemer, que lorsque le grand cercle roule de bai en haut sur le petit cercle immobile et que le point H est attaché au grand cercle, celui-ci décrira une épicycloVde qui viendra couper la droite IIK précisément au point F. Pour voir qu'il en est ainsi, il faut remarquer que le mouvement des deux cercles l'un par rapport à l'autre est absolument le même, que ce soit le petit ou bien le grand qui roule. On peut toujours rendre le cercle roulant immobile et mettre l'autre en mouvement, par rapport à une table p. e., en donnant à l'ensemble des deux cercles un mouvement tournant approprié par rapport à cette table. Supposons, pour fixer les idées, que, dans le premier mouvement considéré le point bleu B vienne s'appliquer sur le point vert D pendant que le point bleu F décrit la ligne bleue FGU et vient donc en fin de compte coïncider avec le point vert II attaché au grand cercle immobile: il est évident que la même coïncidence doit avoir lieu lorsque, le petit cercle bleu restant im- mobile et le grand cercle vert roulant sur lui également de haut en bas, le point vert D vient s'appliquer sur le point B et que le point H décrit au-dessus de la droite IIF sa ligne verte. Or, si l'on considère au contraire, comme Huygens, un mouvement roulant de bas en haut A\\ grand cercle sur le petit, il est évident que le point vert II décrira cette fois la ligne HKF sy- métrique par rapport à la droite HF avec la ligne verte HF supérieure. La Fig. 102 fait fort bien voir que les lignes FGH et FKH ne sont pas symétriques par rap- port à la droite FH: malgré la coïncidence des points extrêmes la ligne verte supérieure HFne coïncide nullement avec la ligne bleue HGF, comme on pourrait le croire. Il est évident que les mêmes coïncidences se produiront lorsque les cercles tournent chacun autour de son centre, toujours en roulant sans glisser l'un sur l'autre, puisqu'alors aussi on peut mettre l'un d'eux en repos par un mouvement rotatoire donné à l'ensemble. Dans la Fig. 103 on reconnaît l'aire dyssymétrique HGFKH de la Fig. 102, ainsi que le point A où se touchent les deux circonférences désormais imaginaires. Supposons que la grande roue mène la petite. L'extrémité de la dent de la grande roue, correspondant au point vert H de la Fig. 102, s'appliquera constamment sur la „ligne HKF", qui constitue la partie supérieure du contour d'une des dents de la petite roue, lorsque les deux circonférences imaginaires roulent l'une sur l'autre. En d'autres termes, lorsque les dents ont la forme indiquée dans la Fig. 103, que la grande roue tourne d'un mouvement uniforme et que ses dents sont toujours en contaft avec celles de la petite roue, celle-ci aussi tournera uniformément. Quant à l'expression „(£'i7«i'///î7' continue in se mutuo agentes", il est évident que, s'il n'y a aucun frottement, et que les roues tournent uniformément, ce mouvement continuera indé- finiment, sans que les dents exercent l'une sur l'autre aucune pression. Dans la pratique, où il y a des frottements et où il s'agit aussi d'accomplir un certain travail, il faudra qu'un moment agisse sur la grande roue pour maintenir son mouvement uniforme de vitesse angulaire déter- minée; la grande roue exercera à son tour un moment sur la petite roue, et il faudra que ce moment, pour vaincre le moment résistant supposé constant, ait lui aussi une grandeur con- stante. La grande roue en mouvement uniforme ne peut donc manquer, lorsque le mouve- ment de la petite roue est également uniforme, c.à.d. lorsque les dents sont constamment en contaft, et que la petite roue accomplit constamment le même travail, d'exercer sur elle un moment constant. LA FORME DES DENTS DES ROUES [1674]. 609 [Fig. 104.] [Fig. 105,] [Fig. 106.] On voit que la forme des dents n'est pas entièrement déterminée: la dent de la grande roue, dans le cas considéré, n'agit que par son point extrême; quant à la dent sur laquelle elle agit, son contour supérieur seul doit avoir la forme indiquée dans la figure. Si l'on veut que la petite roue puisse aussi mener la grande, ce ne sera toujours que la partie inférieure du contour de la grande roue qui devra avoir la forme indiquée dans la figure. Le problème peut d'ailleurs être considéré plus généralement. Pour qu'il y ait constamment contaft, les mouvements des deux roues étant uniformes, les dents pourront aussi avoir d'au- tres formes que celles considérées jusqu'ici. Les dents d'une des roues, p. e. de la petite roue menant la grande, pourront même avoir toutes sortes de formes: il s'agit seulement de choisir convenablement les dents correspondantes de l'autre roue. Supposons p. e. que les dents de la petite roue soient de petits cercles attachés à elle, tels que le cercle t centre F de la Fig. 102 77 6io LA FORME DES DENTS DES ROUES [1678]. [Fig. lof.] § 2. Rotœ llomeri ex de- fcriptione epicyclicarum '). Dans les pignons au delTus de 4 dents qui font mus par une roïie, il faudroit oflcr les courbures epicycloides des dents, et ne laiffer que les lignesdroites tirées du centre, afinqu'ellesnelufrentpreffees que quand elles font dans la droite AB [Fig. 107]. Car ainfilefrottementleplusnuifi- ble ieroit oitè -). [Voir auffi fur ce fujet une Pièce de N. Fatio de Duillicr de 1686 que nous avons pu- bliéeauxp.i 17-1 iSduT.IX]. (qui peut, ou qui peut ne pas toucher la circonférence BAE). Il faudra alors remplacer la ligne HGF par la ligne indiquée dans la Fig. 102 dont tous les points se trouvent écartés de ceux de la ligne HGF à une distance égale au rayon du petit cercle à centre F. C'est ce qu'indiquent aussi la Fig. 104 et les lignes pointillces de la Fig. 103. L'extrémité de l'ancienne dent de la petite roue de la Fig. 103, qui correspondait au point F de la Fig. 102, étant maintenant rem- placée par un cercle, il faudra que le contour inférieur de la dent menée de la grande roue (contour correspondant à la ligne HGF de la Fig. 102) soit remplacé par la ligne pointillée supérieure de la Fig. 103. De la Hire dans son travail cité à la p. 602 fait une remarque du même genre: il parle de la transformation d'une cheville punétiforme d'une des roues en un cercle et de l'adaptation de la forme des dents de l'autre roue à ce changement. Il dit en général (Prop. VI du Chapitre „De l'Usage des Epicycloides dans les Mécaniques") que l'on peut donner aux dents d'une des roues „quelle figure on voudra: mais alors les dents de l'autre roue dont la figure était en Epicycloïde, doivent avoir une forme composée de celle de l'Epicycloïde et de celle de la dent proposée". Il est évident que cette composition est bien plus difficile dans tous les cas où la dent proposée n'a pas précisément la forme d'un cercle (ou partie de cercle). Huygens n'indique pas comment ont été obtenues les Fig. 105 et 106. Cette dernière fait voir que probablement Roemer s'est aussi occupé du cas où l'une des roues est intérieure à l'autre. Comparez le dernier alinéa de la note 4 de la p. 603 qui précède. LA FORME DES DENTS DES ROUES [1678J. ') La Fîg. 107 et le texte qui l'accompagne sont empruntés à la p. 167 du Manuscrit E, datant probablement de la fin de 1678, puisque la p. 165 porte la date du 3 décembre 1678 et que la p. 175 est datée 1675; (comparez la première ligne et la lin de la note 1 delà p. 400 qui précède). La Fig. 107 représente apparemment un pignon de trois dents (ou ailes) mené par une roue, les contours de toutes les dents étant formés par des lignes droites, des lignes épicycloïdales et des lignes quelconques. Ces dernières sont les lignes sinueuses de la figure. Quant aux épicy- cloïdes, contrairement au cas considéré dans le § i, il doit s'agir ici d'épicycloïdes fl/-(//H<-///-«. Les lignes courbes des ailes du pignon formant avec les rayons auxquels elles se rattachent des angles de 180'^, sont des fragments de l'épicycloïde ordinaire décrite par un point quelconque du „Rouleau" droit de diamètre CA (moitié du diamètre de la „Roiie" droite) lorsque ce „Roulcau" roule, de haut en bas, sur la „Roiie" gauche immobile; tandis que les lignes cour- bes des dents de la roue, faisant également des angles de 180° avec les rayons auxquels elles se rattachent, sont des fragments de l'épicycloïde ordinaire décrite par un point quelconque du „Rouleau" gauche de diamètre 15C (moitié du diamètre de la „Roiie" gauche") roulant de bas en haut sur la „Roiie" droite immobile. Huygens a tracé les deux épicycloïdes nommées décri- tes par le point C considéré comme faisant partie de l'un ou de l'autre „Rouleau". En effet, si les courbe son t ces formes-là, et qu'un rayon déterminé partant du centre A touche, en son point situé sur le„Rouleau" drjit, une des ailes du pignon, comme la figure l'indique (quoique l'on n'y distingue pas nettement la place précise du point de contaft), cette même droite restera en contaet — le point de contatt se trouvant toujours sur le „Rouleau" droit — avec la courbe de l'aile du pignon, jusqu'au moment où le rayon qui limite l'aile considérée aura pris, en se mouvant dans le sens des aiguilles d'une montre, la positiou BC. En ce moment la courbe qui fait partie du contour de la dent de la roue commencera à presser le rayon nommé en son ex- trémité; elle c. FOR.AIAIM DENÏIUM INVENIRE IN ROTIS CoRONARIJS [FiG. lo8] QUAM IN ROTIS PLANIS INVENIT RoMERUS '). § I . FORJWE ÉPICYCLOÏDALE DES DENTS d'uN PIGNON QUI ENGRÈNE DANS UNE ROUE DE CHAMP X DENTS PLATES, d'aPRÈS HuYGENS. [Fig. 110.] i6 Nov. 1680. l^arilljs. Circulus QBD [Fig. 1 10] intcUigendus cfTc fcftio fupcr- fîciei cylindricœ [F'S- i°8 et 109] temiinantis dentés rotte verticalis quoufque plani fiint. Item circulus AN intelligendus eiïe parallelus et tequalis circulo rotîe horizon- talis cujus dentés perpendiculares et reftilinei '). ') La partie J! de la Pièce II (que nous divisons, comme la partie ./, en deux §§) est empruntée aux p. 39 — 43 du Manuscrit F. ') Le cercle vertical QBD est donc une section du cylindre tournant. Ce n'est pas la section droite extrême; le point B (voir le quatrième alinéa du texte) est situé plus bas que le point A, ce que la Fig. 1 10 ne fait pas bien voir. Le cylindre à seftion circulaire (comparez la Fig. 108) est d'ailleurs imaginaire, tout comme les „roues" circulaires des Fig. 103 et 107. Le rayon AB du cylindre est par hypothèse — quatrième alinéa du texte — la distance à l'axe du pignon du point de contaft des dents, lorsque le contact a lieu en B dans le plan vertical passant par Ma. Le cercle horizontal Na à centre M est une seftion de la roue de champ a passant par le point de contaft N situé sur la dent HN. Les dents de la rouedechampsont apparemment supposées sans épaisseur. La surface cylindrique „terminat dentés . . , quousque plani sunt". Apparemment les dents LA FORME DES DENTS DES ROUES [ 1 68o]. 6 1 3 Ponatur rota: BD vcrticalis [Fij^. i io]dcnsQN[Fig. 109 et 1 1 o] impulifTc rotam Iiorizontalcm a A ad N, (itquc rota; BD dcns QN impcllens dentcni NI I rotx- AX '). Oporte: jam àuétà NP a puncto coiuacUis N ad radium rota; AB, qui ad ccntruni terra; tendit, ut ipl'a iaciat intcrvallum AP à centro rotx- niinoris, iubduplum inter- valli MP+) quod intellit^o efle lînum complenicnti arcus AN in njta majori dupla. Nam Hirpcnfo pondère II quod trahat circonterentiani rota; majoris ducto fune fuper trochlea Z, et ponderi œquali 2, quod trahat circonferentiam rotaj minoris, oftcnde- tur cas manere in equilibrio. Quia cnini linea dentis NH premit lecundum lihiperpendicularemlineam NPquœ et in radium horizontalem MA perpcndieularis eft, perinde elt ac li brachium MP premerctur perpendiculariter a baculo NP, ci vero rcfiilit brachium AP perpcndicu- lare ad horizontcm, et funt vires ponderis 17 rotam AN circumagentis dupla^ virium ponderis ^ rotam BQ circumagentis ut ip(a brachia rôtis affixa MPad AP. l'.rgo pon- déra rotas in ic mutuo agentes in Eequilibrio tenebunt '}. Cum contadus dentium efb in piano verticali pcr MA erit intervalUim intcr tadfhim et ccntrum rotœ horizontalis a;quale radio MA, intcr tactum vero et centrum rots du pignon, lorsqu'on les pnrcoiirt en s'éloignant du centre A, sont d'abord planes, comme celles de la Fig. 107; elles possèdent deux surfaces planes passant par l'axe du pignon. C'est à partir de la génératrice du cylindre passant par le point B, donc au-dessous d'elle, que la dent du pignon dont la surface plane située à gauche se termine là, acquiert une certaine courbure qu'il s'agit de déterminer. Nous avons parlé du point de contact 15: en général il n'y a qu'un seul point de contact entre une dent du pignon et une dent de la roue de champ (supposée sans épaisseur). Toutefois dans le cas où la dent de la roue de champ se trouve précisément à l'endroit ici considéré, il est évi- dent que la surface plane poussante de la dent du pignon la touche suivant une droite; nous voulions dire que B est le point le plus bas de cette droite de contact. 3) Par hypothèse (fin de la phrase suivante) le rayon Ma du cercle horizontal est le double du rayon du cylindre circulaire imaginaire. '•) MP, partie du rayon Ma, est une droite horizontale, comme la Fig. 109 le fait bien voir. 5} Soit F la force exercée dans le sens PN par une dent du pignon sur la dent HN, et dans le sens NP par la dent HN sur la dent du pignon; et supposons qu'il ne faille tenir compte que du con- taft de ce couple de dents seulement. Pour que la roue de champ soit en équilibre, il faut que les moments F.MPet ii.Ma soient égaux. De même l'équilibre du pignon exige qu'on ait F.AP AP ^ AB = 2.AB. On obtient par division j^^ = —-îf/r.- AB Par hypothèse .r^ = l (note 3). Puisque les poids i et II sont égaux par hypothèse, il en ré- sulte que l'on doit avoir, pour toute position de la dent HN, AP = 5 MP. Il s'agit de donner à la dent du pignon, qui pousse la dent HN, une forme telle que cette équation soit vérifiée. Puisque les poids n et ï sont constants, c.à.d. puisque le moment extérieur agissant sur le pig- 6i4 LA FORME DES DENTS DES ROUES [ I 68o]. [Fig. III.] [Fig. II 3-] verticalis erit squale radio AB. Cumque pofito taftu in N, fit AP oo i MP, patet pundtum N efie altius punéto taftus difto quod fit in piano verticali per MA '). BC arciis quivis [Fig. 1 1 1] bifariam lecetur in D, ducatur finusDEcujusduplafit EDF. Erit F unum è pundtis curva quîe eil Epicycloides. Nam fadto circulo DF fi.ih- non est constant et qu'il en est de même du moment exercé par la roue de champ, les moments F.JMP et F.AP resteront aussi constants durant le mouvement. La Fig. 1 12 de la p. 3H du Manuscrit F seni- [rig. 112.J ^[j, iiniiquer q^g dans le cas des roues planes (partie y^ de la présente Pièce) Roemer s'était servi, comme Huygens le fait dans la Fig. 1 10, de la considération de poids suspendus aux con- tours des „roiies". On voit aussi des poids sus- pendus de cette manière dans les figures de delà Hire. La Fig. 112 montre en outre les «rou- leaux" de la Fig. 107. =-'»ï^-— — ji •» Roemer avait sans doute donné de bonnes yN^l raisons pour se borner à la considération d'un Y seul couple de dents et à celle de poids n et 2 \ égaux. Voir à ce sujet les Prop. III et IV de l'ar- ia V^ ticle de de la Hire. Il est évident qu'il résulte de ^ . la constance du rapport des moments exercés par les deux roues l'une sur l'autre dans le cas de l'engrenage d'un seul couple de dents convenablement taillées, que la rotation uniforme d'une des roues correspond à une rotation uniforme de l'autre: cette uniformité subsiste lorsque plu- sieurs couples de dents s'engrènent simultanément. Voir aussi le cinquième alinéa de la note 2 de la p. 607. ') Voir ce que nous avons remarqué dans la note 2 de la p. 612 au sujet de la Fig. 110. È - LA FORME DES DENTS DES ROUES [1680J. 615 diiplo ad BD ipfuniqiic tangentem in D, diiétaqiic FJ) ad circonfcrcntiam in F, fit arcus Dl' (imilis DO vcl BC, idcoquc arciis DF dimidio BC, hoc eflipfi DBœqualis. Undc F in cpicycloidcc circule DF iuper BD revoluco, cujus initiiim lî. Z PAR 00 AMN [Fig. I 10 et m]')- crit arcus RB fimilis \A, qui ipfius cil duplus. Et quia AP 30 i MP, cric IIP perpcnd. Ai^ ce NRF linca rccla. ce NR o) RP. Et QR arcus zo RB. Super R punéto fit defcripcus circulas RNZ [Fig. 1 1 1 ] , tangens BQ in R ce diamctrum fubduplam habcns circuli BQ. produchi DR erit arcus RN fi- milis 1\BD, idcoquc a:qualis RB feu \\.(). Undc pun^tum N in Epicycloide QN. Rota BD habcns dentés formatos fccundum BF [Fig. ni], fed horizon tali ter longos dum ipfa verticali pofitu convcrtitur impcllitquc dentés rota; duplo niajoris D [Fig. lie] horizoncali fitu pofitœ ac proindc dcntibus pcrpcndicularitcr crcftis ac reftilineis, femper a;quabili vi rotam hanc circumagit. Et quod mirum, ha;c ipfa rota BD conveniret rotïe fibi œquali, quje in eodem cum ipfa piano cflet pofita ^). Si rota ST [Fig. 1 1 3] fubtriplam diamctrum habeat rota? coronarite quam circuni- ducere débet, erit forma dcntium ex epicycloide SV cujus circulusgcnitor'J'Vœqua- lis ipli ST. Nempe radius rota^ LT cum diametro TX jequantur radio rotse ii. idque ita femper fe habet, in quavis proportione rotae ST ad û+}. Undc fi ST ipfi 1} a^qualis fuerit, cpicyclois ad pundlum reduéta erit. undc nulli den- tés curvi, fed ipfa; extreraitates radiorum ut LS in dentés rota.' 12 agere debebunt. °) Le point R est d'après la construftion indiquée le point d'interse(îlion du rayon AR et de la circonférence de cercle QBD. Huygens démontre que ce point se trouve sur la droite NP et en occupe le centre. 11 en conclut ensuite que le point de contad N se trouve sur l'épicycloïde QN (taisant en Q un angle de 180° avec AQ) décrite par un point d'une circonférence de rayon k AH roulant sur la circonférence de diamètre AB. C'est l'épicycloïde considérée aussi à la p. 399 qui précède. La Fig. 1 1 1 fait voir que l'horizontale RN est normale à l'épicycloïde. La forme de la partie courbée de la dent du pignon qu'il s'agissait de déterminer (tin du deuxième alinéa delà note 2 de la p. 612) a donc été trouvée: la surface considérée est un cylindre dont les génératrices soYit parallèles à celles du pignon et dont l'épicycloïde est la stftion droite. 3) En effet, dans le cas de la Fig. 10- (et dans celui de la Fig. 1 12), le „rouIeau", qui produit l'épicycloïde par sa rotation sur une „roue", a un rayon égal à la moitié de celui de cette „roue" dans le cas où les deux „roues" ont même diamètre. ■♦) D'après l'équation de la note 5 (p. 61 3), on a (en prenant toujours i = n), AP = l MP, lorsque, ce que Huygens suppose ici [Fig. 1 1 1], AB = J Mi. Il en résulte que dans la Fig. i lol'arcBR est désormais le tiers de l'arc QB. Il en est de même dans la Fig. m et il faut donc, pour que le point N, interseftion de PR prolongée avec la circonférence RNZ, vienne s'appliquer au 6i6 LA FORME DES DENTS DES ROUES [1680]. I Ia:c ST con vcniret rotte dupla.^ planx\ Quod lî ST rota ad quadruplam coronariani apcata eUcc, convcnirct planx^ libi triplée. Et lie deinceps '). § 2. FORMK DES DENTS d'uNE ROUE DE CHAMP QUI ENGRÈNE DANS UN PIGNON À DENTS PLATES, d'après HuYGENS. [»•''«• 'hO 19N0V. 1680. Je conçois le grand cercle PGN [Fig. 114], qui eCl la roue de champ — GD dens -) — couché plat fur ce papier; et le cercle PTA , qui eil celuy du pignon, c'eft a dire qui en termine toutes les dents, qui font plattes, je le conçois drcflè perpendiculairement ilir ce papier. Mais en forte que la commune feftion des plans de ces 2 cercles cil dans la ligne EQ '). Quand la dent platte du pignon e(l par CD, et la dent GD preiïe, ou cil: preflee en D, la ligne de point Q par le roulement de cette circonférence, que le rayon ilii cercle roulant RNZ soit égal à celui du cercle BRQ. Lorsque ÀB = - Ma, donc aussi AP = - MP, on aura: arc BR = - arc OB, ou bien: arc ^ Il n 11 ^ QR = (" — i) arc BR. Le rayon x du cercle roulant doit être tel d'après la Fig. 1 1 que arc QR:2 arc RB = x: AB, rayon du cylindre. Il en résulte ,v=: | (« — i) AB. Par conséquent, comme le dit lluygens, le rayon du cylindre augmenté du double du rayon x, est toujours égal au rayon Md de la roue de champ. ') La roue „ST" à rayon AB (section plane du cylindre des Fig. 109 et no, menant la roue de champ à rayon w.AB) a des dents dont la surface épicycloïdale est déterminée (note 4, p. 516) par le roulement du cercle à rayon J (« — 1) AB sur le cercle à rayon AB. Or, d'après ce que nous avons dit dans la note i de la p. 61 1 , la roue plane à rayon AB qui mène une autre roue plane de rayon (« — i ) A B, possède également des dents dont la forme épicycloïdale est déter- minée par le roulement du „rouleau" — Fig. 107 et Fig. 112 — à rayon ^ (»; — i) AB sur le cercle à rayon AB. -) Dans le § 2, contrairement à ce qui a été supposé dans le § i , ce sont les dents de la roue de champ qui sont courbées de manière à être constamment en contaft avec les dents plates du pignon, les mouvements de la roue et du pignon étant l'un et l'autre uniformes. Ainsi que lluygens le dit un peu plus loin, le rayon du cercle PTA est d'abord supposé (comme dans le § i) égal à la moitié de celui du cercle PGN. 3) Il existe évidemment un nlintire qui „termine toutes les dents" du pignon. Le „cercle PTA, LA FORME DES DENTS DES ROUES [1680]. 617 predîon cfl: perpendiculaire h CD, ou parallèle h EB. Et comme le point D c(Hu dellus de Q +), la lii^nc de prellion ell dune dans le plan perpendiculaire fur QE. Que li la prellion le faifoit iuivant la ligne QE ou une a luy parallèle, la force ^) s'en me- liireroic par la diihncc entre E et A centre de la roue de champ. Mais fe faifant par une parallèle à 151 ". , elle cil moindre que elle feroit félon la railun de Ali à AE comme illedemonllredanslesmechaniques. Il faut donc que AB, et non AE, Ibit double de CD''),qui mefure abfolument la preflion de la dent CDF du pignon"). AB débet en'e dupla CD. C centre du cercle PTA. A centre du cercle PQN de double diamètre. Le point Q donne QE perpend. fur CP. QM parallèle à CP. Il faut trouver dans QM le point D, par ou eilant mené le rayon CDF, et EB perpend. à CD et rencontrant AT pa- rallèle a CD, la droite AB l()it double de CD. CV co .r. AE 00 ù. EQ oo c. CD CV EA / AB |X.r.\- + ce i X b j hx 1 / , ^ 00 2]/ XX + ce ]/ XX + ce "^ bx 00 2XX + 2ec ~bx — rc 00 XX T ^ ^ ") V Ts^^ — ecy^ X 9). Conilnidio. Centro C, radio CH oo ^AE fcribatur circonferentia quîe fecet rectam qui est celiiy du pignon" est une seftiou droite de ce cylindre, savoir le cercle qui donne avec celui de la roue de champ (d'où s'élève la courbure des dents) l'intersection E(^. "*) Huygens dit donc que le point de contact de la dent considérée avec la surface plane d'une aile du pignon se projette toujours sur le contour du cercle de la roue de champ. En d'autres termes, la dent (supposée apparemment sans épaisseur) est par hypothèse une partie de la surface cylin- drique élevée perpendiculairement sur la circonférence du cercle de la roue de champ. 5) „La force de la pression" est évidemment son moment par rapport à l'axe de rotation. *) Comparez la note 5 de la p. 613. ") C.à.d. qui est le bras de levier de la pression exercée par, ou sur, la dent du pignon. *) Le signe X. signifie ±. s*) Soit AP, rayon du cercle de la roue de champ = R. La Kig. 1 1 4 fait voir c- = R- — ù'. On a donc A- = î^ db 1/ -l b- — R^. Par conséquent b est comprise entre les limites R V/ i.|. et R.Vow\b = R 1/^ ij on a x = R 1/ _'„ etc=R 1/ _^^. On peut trouver des limites analogues dans le cas du „pignon double de la roue de champ", etc. 78 6 1 8 LA FORME DES DENTS DES ROUES [ 1 68o]. QM, parall. AP, in H et I. ponacurque HD vel ID œqualis radio CH, erit D vel D punftimi quîefitum '). CDF cric dcns planus rora.' quam pignon vocant. Siimatur ar- ciis PG a>qualis arcui PF. Kric arciis GQdilhnciapcrpcndicularisQDabinitiocurvœ CD, qus formam dentis refert. Similiter polîto arcu PO 30 P-i erit 6Q diftantia per- pendicularis QD ab initio curvs, quod inicium nunc eft in 9. ££^ -V. 11 xxr:n7^ 0 Le pignon double de la roue de champ , --^ oo ~ \/xx -4- ce l/xx + cc ^ ' bx 00 ~xx + ifc 2b X — ce ZC XX b SL \/ bb — ce 00 X. ^ , 1 /zzrnr. 0 Pignon quadruple de la roue de champ , . oo i ]/xx 4- ce ]/ xx + ce * ' ' bx 00 ^cc 4- ^xx ^bx — ec 03 XX ib 9s \/^^bb — cr 00 x. Pignon et roue de champ fuppolez égaux "). La conftruftion univerfelle eft dans •) Suivant l'équation le point D le plus bas est obtenu en prenant CV = CH + 4 HI; DD = HI donne ensuite le point supérieur D. -) Dans le cas où le rayon du pignon est double (ou quadruple) de celui de la roue de champ — ou bien égal à ce dernier — , l'égalité des moments exige que l'on ait AB = i CD(ou = iCD) — ou bien AB = CD. LA FORME DES DENTS DES ROUES [1680]. 619 la pajrc précédente 3) ec pour ce cas des roues égales l'cquation feroit ^b 9. \/ ](bb — ce 30 .V. Ec jam hic A ec C in unum punftum conveniunc. [Fig. II 6.] CB aide placte du pignon, qui efl venue de CA en CB [Fig. 1 15]. AX figure de la dent de la roue de champ. Le bout A de cette dent fera en B (a caufe de Tegalitc des roues ec de leur converfion égale), en concevant maintenant le cercle AB pour celuy de la roue de champ duquel s'eleve la courbure des dents. Je veux fcavoir un des points de la courbe AX dont le bout efl venu en B, fcavoir le point ou cette denc courbe touche a la dent platte CB du pignon cylindrique. [Soit AF perpend. fur CB, et AR fur AC. Et cherchez avec une règle parallèle à CA, ou il faut placer GR en forte que fa partie GS foie égale a DR] +). Alors la ligne DG efl celle qu'il faut élever perpendiculairement fur le plan de cette feuille, au deiTus du point D, fcavoir fuivant la furtace cylindrique fur la bafe AC ') de la roue de champ. Et le point G de cette Hgne ainfi élevée fera un des points de la courbe de la dent qui commence en B''). Cette courbe ell a peu près comme une demie cycloide du cercle CFA [Fig. 1 1 6] enveloppée autour dudit cylindre mais elle efl plus platte entre l'extrémité et le fom- niet qui convienent exaftement 7). 5) Début du § 2. +) Ln phrase que nous avons placée entre crochets, a été biffée par Huygens. En effet, cette con- struction ne s'accorde pas avecl'équation trouvée qui donne CO ou .v et par conséquent la place du point G [Fig. 1 15] lorsque b (CE) ou c (ED) est donnée. 5) Il faut sans doute lire AB, Comparez la note 4 de la p. 617. *) Pour trouver un point de la dent AX (la courbe AX se trouve en réalité sur la surface cylindri- que dont il vient d'être question), il faut décrire sur cette surface vers le côté gauche à partir du point G — situé au-dessus du point D par rapport au plan du papier — nu arc horizontal égal à l'arc AB. On trouve tous les points AX en tenant compte de tous les points G correspon- dant à des angles ACB quelconques. 0? 620 LA FORME DES DENTS DES ROUES [1680]. Pignon quadruple de In roue de champ [Fig. 1 1 7 et 11 8]. [Fig.117.] [Fig. n«.]") '}■ III.^ MANIERE Dl-: FAIRE QU'EN MONTANT L'ilORIXX;!-: ELEE NE DISCONTINUE POINT SON MOUVEMENT, DONT EES HORLOGERS SE SERVENT SANS EN SCAVOIR RENDRE RAISON. ^ ^^^":::^:::!^. [Tii;. 1 19.] ce [Fif^. 1 19 et Fig. I 20] cfl; la roue dentce lur la quelle efl: polee lafu(ee,qui s'y enfonce un peu. Le cercle pp eft de fer, et rivé a la tufée, ayant les dents d'ar- reft en dehors, que la pièce Q empcfchc de tourner a droite. Le meime cercle />/> a des dens en dedans qui engrainent dans le pignon y, attaché fur la roue CC. La roue tlti, qui ell attachée a la virole ««, engraine aulTi dans le pignon s. Et l'axe court (la- tient attaché a cette virole. Lors qu'on tourne cet axe à droite et avec luy la roïie dd-^ le pignon ,v tourne a gauche, et fait tourner de niefme le cercle denté pp , avec la fufcc qui y eil attachée, ce qui tait remonterla corde llir la fufée, le cercle CC demeurant en repos avec fon axe^^. La reliftence que trouvent les dents du pignon y à faire tourner à gauche la fufée, qui attire le tambour par la corde i/^; cet- te rellllencedisjefait quclesdentsoppofees du mcfme pignon s doivent fouffrir une pareille prellion par les dents de la roïic dd^ qui tourne a droite, la quelle prefllon fait effort fur la roïie CC (parce que le pignon s y ell attaché) pour la faire tour- ner à droite. Et ainfi la Roïie C travaille pour faire aller l'horloge pendant que la ftifee remonte le reffbrt , en tournant à gauche. Si le cercle denté interne de pp eft double de la roue dd^ l'horloge fe remontera avec la moitié de la force -') d'un remontoir ordinaire et en rccompenfe le nombre des ') Manuscrit F, p. 175. -) Ici il s'agit, peut-on dire, d'un moment. Il en est de même plus loin. 622 MANIERE DE FAIRE Qu'eN MONTANT l'hORLOGE ETC. [1683]. [Fig. 120.] [Fig. 121.] tours que fera la clef fera aufll double de l'ordinaire. Il arrivera aulîi que les dens de la roiie CC agiront avec plus de f )rce que lorfque l'horloge va, et cela dans laraifon de 3 à 2. Car û la roiie CC iàit effort, lors que l'horloge va, comme fi elle eftoit tirée au point ^ [Fig. 121] par le poids A', Et que gk ibit une balance ayant les bras égaux giii, nih\ il faudra un poids T égal a A' pour tenir la balance en équilibre. Le poids X efl l'effort du grand reffort qui tire la fufee. T la force qu'il faut aux dents de la roiie dd pour faire tourner le pignon s en forte qu'il faffe tourner le cercle/)/). Mais comme le poids i' n'agit qu'a la moitié de la diflance du centre b de ce que fait le poids A^il adjoute feulement une partie de force aux deux parties que [ca]ufe le poids A'a l'aftion de la roue CC. Ainfî cette force devient a celle du remontoir ordinaire comme 3 a 2, car en mon- tant l'horloge a l'ordinaire il ne faut au point g que la force pour attirer le poids X '). Mais la difficulté qui procède de l'engrenage des dents fait qu'elle devient quelquefois double et plus. Il paroit au reiK' par cette explication que tant que la roiie ddc{\. plus petite a raifon de la roue interne/)/), la force de la roue CC en remontant furpaffe moins fa force en allant. Et que l'on remonte d'autant plus facilement mais avec plus de temps ou de tours. I ') On lit encore en marge: „La force pour remonter est a la force ordinaire comme M a *^. la force des dents de la roiie CC en remontant est augmentée selon la raison de bg + bh à bg". IV.") FORME DE LA VIS ET DE L'ECROU SERVANT À MONTER OU BAISSER LE PLOMB DU PENDULE. Om hct loot van 'c pendulum met ccn ichroef diicr onder te konncn opwaert en neerwaert fchuijven. GHCD [Fig. 12a] is het loot vant pendulum lleeckendc op de fpil die hier vier- kant is, en van K tôt L met een fchrocf. CD is een kopere plaetje paiïcndc ondcr tegcn het loot, en hebbende in midden een gat daer de fpil door fleeckt. ÀB is een ringetie van koper, met een rondt gat in midden , 't welck wijder is nae boven als nae onder. Door dit ringetie, eer dat men 't op het plaetje CD met penne- ties vall maeckt, llccckt men het cylindcrtie EF, dat naer bovcn wat uijtgefet is en van binnen met een moer, die orade fchroef voorf. part. Als men dan dit cylindcrtie d'een of d'ander wegh om draeijt foo fal noodfaeckelijk hct loot GABH op of neerwaert gaen. Waerdoor de flinger licht op fijn maet gcllelt fal werden. [Fig. 123.] ') Manuscrit F, p. 294, datant de 1687. i INSTRUMENTS NAUTIQUES. 79 INSTRUMENTS NAUTIQUES'). [l'ig-'s.V] '^Sl^S^ Schuyfje van kopere plaec om hec glas min en nieer opening te laeten. Of drij verfcheyde ronde gaetcn in een fchuijf [Fig. 1 23]. Lignum [Fig. 1 24] oleo imbuatur ne ab aeris humiditace torqueatur. Inraagnis l'olis alcicudinibus =) pondus C [Fig. 125] affigendum quadranti que commodius fulHneatur. Lens fit ^equabiliter crafla circa margines. Lens vitrea in curlbre ieu pinnacidio mobili [Fig. 1 26]. Tabella alba. Oftans di- vifus in triadas graduum. AB perpendicularis in tabellam B. Oportec ut imago folis B bitariam dividatur a refta quœ mediam tabellam i'ecat, utque eadem ab horizonte bi- fariam dividatur. Oélans divilus in gradus et décima graduum. ') Manuscrit F, p. 2:1—225, datent de 1685 ou 16S6. =) Parmi les figures de la Fig. 124 on en voit une où les deux angles au sommet sont respectivement de 60° et de 30°: c'est le «quartier anglais" dont il est question à la p. 3- 1 qui précède. 628 INSTRUMENTS NAUTIQUES [1685 OU 1686]. [Fig. 124.] lyo.yi'T <^ 'i^ yi/.'tkV. ul I- /w ^ i)xyL INSTRUMENTS NAUTIQUES [1685 OU 1686]. 629 Cochlea ad movcndum pinnacidium D utiliter adhiberetur qualis in inftrumentis Mevelianis '). Solis imago diftinéla apparebit et femper oculo rotunda. Dummodo lens et oculus x'qualitcr dillcnt. hanc imagincm horizon bifariam dividat. Den boogh alleen in graden verdeelt [Fig. 1 27], en acn de lopcr van \ vifier een kopcrplaetjen,begrijpendcccn gracd, gedeelt in 1 2 declen ieder docnde 5 niinuten. [On lit dans la figure:] Ipiegelglas achter fwart. mofcovifch glas binnen beroockt rontom toe gemaeckt. of'het fpiegclglas beroockt. proeve om te wcten of 't fpiegel- glas vvel ftaet . door de perpendiculaire reflcxie langhs BA. het lluckje CD daer toe lacten uytiteken . en daernae 't felve toe decken. [Fig. 128.] Figure sans texte. ') La Pars Prior de 1673 de la „Machina Cœlestis" de J. Hevelius — à la p. 6 du T. XVII nous avons dit simplement: „Macliina Cœlestis" de 1673; mais la Pars Posterior est de 1679 — traite des «Instrumenta astronomiea omnia, quibus auftor haclenus sidéra rimatus ac dimensus est, etc.". Les „cochlea;" y sont souvent mentionnées et représentées dans les figures; voir àce sujet r„Index Rerum" de la Pars Prior. Le Caput XIV traite„deinstrumentorumpinnacidiis, sive dioptris"; l'auteur y explique à la p. 287 „pinnacidiis quâratione cochlea sit adhibita". RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. RESULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. A. L'EXPEDITIOiN DE 1669 DE TOULON A CANDIE ET RETOUR DU DUC DE BEAUFORT ET DE DE LA VOYE ■)• La Voye ^) mec le retardement journalier d'une minute feulement, mais fon erreur de calcul de 10" fait voir que ce retardement eil environ de 1.2. comme il clt aufli par ce calcul depuis le 1 8 Juin julqu'au 19 Jul. Il y a quelque difficulté en ce que la Longitude de Toulon a l'ifle de Maretimo en allant luy femble avoir elle de 23. 40 (c'ell a dire en corrigeant fon abus de 23", et en diminuant la longitude de 7" par jour). Et qu'en retournant de Candie la Longi- tude entre ce lieu et la mcfme ifle de Maretimo femble n'avoir eflè [que] de 532'. Partant toute la longitude entre Toulon et Candie ne feroit que de iii.i6'.42". La quelle pourtant il a trouvée en retournant, de i'i.i9'.i3", et en allant encore un peu plus grande, lî l'on regarde fon obfervation du 1 8 juin, auquel jour la longitude eft 1 .20.56, qui ellant diminuée, comme il veut, a raifon de 7" par jour depuis le 30 maj. vient iii.iS'. 43" et adjoutant i min. vers l'Eft, vient pour le lieu de mouillage et d'où il compte la Longitude en retournant, 1.19.43. 30 INIaj. ih.20'56" i8Jun. 2.13 19 1. 18.43 7 I 1331213" I-I9-43- ") De la Voye retourna seul en France; voir la p. 1 16 qui précède. Nous avons déjà dit (p. 373) que nous ne possédons plus son rapport. Nous aurions pu dire à la p. 10 que dans le voyage de Candie le poids servant à tenir l'horloge verticale était de plus de 300 livres (T. IX, p. 290). -) La Pièce est empruntée aux p. 208 et 209 du Manuscrit F. Suivant Lodewijk Huygens delà Voye avait fait d'abord, sans beaucoup de succès, un autre voyage pour éprouver les horloges (T. Vil, p. 27). Les „Comptes des bâtiments du Roi" de J. Guiffrey font mention d'un voyage aux Indes: ,,3 décembre 1669, S' de la Voye, mathéma- ticien, envoyé aux Indes Orientales pour faire expérience de l'horloge à pendule pour les longi- tudes 900/^; scavoir 6ooy? pour quatre mois de ses appointemenscommenceans au r' décembre et finissans au dernier mars 1670 et 3007? pour son voyage et port des pendules et instrumens mathématiques de Paris à la Rochelle". S'agit-il ici d'un voyage antérieur à celui de Candie? Cela parait peu probable. 80 634 RESULTATS DE QUELQUES EXPEDITIONS MARITIMES. Mais il faut conlîderer que les lieux ou il obfervoit les Longitudes près de Mareti- mo le 9 Juin et le 9 Sept, n'ertoient pas a la mefnie longitude de INIaretimo, puifque depuis l'heure de robfervation le navire taiibit du chemin, en forte qu'on peut bien poier que Maretinio elloit a l'Ell de Toulon de 24'. 40" et a l'Ouelt de Candie de 54'. 2". Ce qui fait enfemble 111.18.42". Les réfultats de ce calcul diflFèrent de ceux donnés dans r„Horo!ogium ofcillatorium" (p. 1 18 qui précède), comme l'indique le tableau fuivant: Différence des longitudes fuivant la Carte de Viflcher fuivant le Globe de Blaeu ') fuivant „la Carte du veftibule" fuivant la Carte de de Wit de 167: fuivant la Carte de Doncker fuivant r„nor. ofc." (p. 1 18) fuivant le préfent calcul fuivant les cartes modernes Toulon-Maretinio 8°io'=) 6°4o' =) 5V = ) 6"20' = = 5 min. 20 6°io' =: 24 min 40 6° 9' 3) = 24 min. 3<5' Maretimo-Candie i4°io' = 56 min. 40" i3°3o|' =54 mi"- 2" 13° 4' 3)^ 52 min. 16" Toulon-Candie 24°3o' =) o3°3o=) 22°30'=) i6°45/) 20°3o' = i''. 22 min. ip°40^' = i"". 18 min. 42" I9°i3' = i'". i6min.52" En 1685 Huygens ne calcule pas, fuivant les données du rapport, la différence des méridiennes de Toulon et de Tile Sapienza'*). Elle e(ï fuivant r„Hor. ofc." (p. i k^) de i6°26', fuivant les cartes modernes de i5°46'. ') Il s'agit du célèbre cartographe d'Amsterdam Willem Jansz. Blaeu (1571 — 1638). -) C'est à la p. 2 1 1 du Manuscrit F que Huygens donne les différences des longitudes entre les endroits nommés suivant les cartes de de Wit de 1672 („Caert van Europa"). de Doncker (,^ee-atlas Doncker drukker in 1 665"), de Visscher et „du vestibule [de la maison du Plein]" („Caerte van Europa int voorhuijs")- À propos de Doncker Huygens ajoute „foo ick fijn Caerten wel verftaen". En effet, H. Doncker — édition nommée — n'indique pas bien les degrés des longitudes de ses méridien- nes. Nous trouvons les mêmes distances que Huygens en admettant, ce qui est douteux, que les degrés des parallèles ont chez Doncker tous la même longueur, savoir celle qu'il indique sur ses cartes par une ligne droite représentant un degré. Quant à Visscher, Huygens a sans doute eu une autre carte que celle („Eurt)pa delineata et recens édita per Nicolaum Visscher") qui se trouve dans r„Atlas contratlus Orbis Terrarum praecipuas ac novissimas compleftens tabulas, Amstelodami, ex offîcina IVicolai Visscher"; car suivant celle-ci nous ne trouvons pour Toulon-Maretimo que 6°2o' (et pour Toulon-Maretimo 22°io'). La carte de l'Europe qui se trouve dans r„.\tlas" de Frederick de Wit (tôt Amsterdam, in de Calverstraet bij den Dam inde Witte Paskaert) donne pour Toulon-Maretimo 8^50', pour Toulon-Candie pas moins de 2 5°45'. Ce n'est donc pas cette carte-là que Huygens a consultée. Voir encore sur les cartes mentionnées par Huygens les Additions et Correct ionsà la fin deceTome. Notons qu'à la même p. 211 du Manuscrit F Huygens donne 6°35' et i9°45' pour RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 635 Ce tableau fait voir que Huygèns a (u tirer en 1685 des ob- fervations de de la Voye des nombres fort approcbd-s des vraies valeurs'), meilleurs que ceux publiés dans r„norologium oC- cillat orium". La différence des méridiennes de Toulon et de Maretimo (voir la note 3) est même parfaitement correcte. I.cs 53 min. 2" trouxccs par de !a Voye en retournant de Candie à Maretimo s'écartaient encore moins de la vraie valeurque le nombre donné par liuygens. Et en adoptant i''.i6'42"pour la longi- tude entre Toulon et Candie on aurait été (plus ou moins par Iiafard) bien près de la vérité. Dans fon „iIilloircde l'adronomie moderne", T. II, 1821 , p. 553 Delambre dit qu'on trouve „aujourd'luii"i(;°22'34"ou i''.ifmin.3o"pour ladifTérencedcsméridiennesdeToulonetdeCandie. B. L'EXPEDITION DE 1672— 1673 DE J. RICIIER .A CAYENNE. Seecker Fransnian wiens relatie gedruckc is '''), fuilineert gcoblerveert te hebben in Cajana, gelegcn aen de Cufl van Weftindien 4 graden 56 min. benoorden de Linic Equinoétiael de Lcnghdc van ccn lîmpel pendulum wiens ieder ilagh ecn féconde doet, aldaer minder moet wefen een linie en een vierdepatt (fijnde een linie -^ part van een duijm), als die tôt Parijs ofte oockalhierin 1 loUandt en Engelandt bevonden werdc, fijnde op aile defe plaetfen defe lenghde de felfde, te wcten van 3 voet 2 duym en i van een duijm. Doch dewijl hij geen circumllancien van lijne oblervatien bij en braglit loo heeft men fijn feggen te befvvaerlycker konnen gelooven, de faecke nochtans feer aen- merckenswaerdigh fijnde ten aenfien van onfe flingerwercken, dewelcke indien dit waer was ..."). Toulon-Marecimo et Toulon-Candie d'après les observations de de la Voye. Le calcul du texte donne, comme on voit, des valeurs plus approchées. 5) 6°ç' est la moyenne de 6°"' et 6°i i', valeurs correspondant aux points extrêmes de Maretimo. De même I3°4' est la moyenne de 13°!' et de I3°6'. ■•) On lit encore à la p. 209 du Manuscrit F à propos du même voyage: „En allant Maretimo. Alicate [Lieata] en Sicile. 16 Jun. Sapienza infula a l'ouefl: de la Morée. Cap de Matapan de la INIorée et a l'ouefl: de Tille de Serigiies [Cerigo]. l'Etandia inf. [Standia]. — St. Tropés. ifie d'Ieres [îles de Hyères]. Ifle de S. Pierre [S. Pictro]. Golfe de Pal- me, en Sardaigne. Cap de Tolafe [Teulada] en Sardaigne. Maretimo. Cap de Paftaro [Passero] en Sicile. Sapience 4 Sept. L'ifle Serigotte [Cerigotto] en revenant. 5) Supposées invariables. '') La Pièce est empruntée à la p. 225 du Manuscrit F, datant de 1685 ou 1686. '') Traduction: „Un certain français dont la relation a été imprimée, soutient avoir observé qu'à Cayenne, située près de la côte de l'Inde Occidentale, à 4°36' au nord del'équateur, la 636 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. Richer avait publié fa relation en 1679. On la trouve fous le même titre („Obfervations agro- nomiques et pliyfiques faites en l'ifle de Caienne"; par Monsieur Richer) dans le T. VII de 1729 des „Mémoires de L'Acad. Royale des Sciences, depuis 1666 jufqu'à 1699". L'article I du Chap. X qui traite „de la longueur du pendule à fécondes de temps" eft en eifet fort bref. L'auteur ne publie aucun protocole, mais fc contente de dire que „c!ette obfervation a efté réitérée pendant dix mois entiers, où il ne s'eft point palTé de femaine qu'elle n'ait efté faite plufieurs fois avec beau- coup de foin". Suivant la p. 275 du T. IX lliclier avait été envoyé à Caïenne avec une inftruction de Huygens. On voit qu'en 1685 ou 1686 Huygens doutait toujours de la vérité de l'obfervation, quoiqu'il eût calculé déjà en 1666 (T. XVII, p. 285 et 286) la période des ofcillations en tenant compte de la force centrifuge réfultant, peut-être, de la rotation de la terre. Ce doute fubfiftait encore en mai 1687 (T. XVI, p. 377). Vers la fin de 1687, après avoir écrit '): „Si terra efTet fphaerica -), tum gravitas abfo- luta ad vim centrifugam in E [point fur l'équateur] ficut 289 ad i ^y\ Huygens exécute différents calculs fur le raccourciflement du pendule. Comme il a publié fes réfultats quelques an- nées plus tard dans le ,.Difcours de la caufe de la pefanteur", nous ne nous étendrons pas ici fur cette matière. Avant d'écrire les lignes citées, Huygens avait reçu le rapport de de (îraaf, dont il eft queftion dans la Partie C qui fuit, lequel mit fin à fes doutes fur la diminution de la pefanteur réfultant de la rotation de la terre ••). Remarquons encore à ce fujet qu'en juillet 1687 Newton avait publié fes„Philofopliia:natura- lis Principia mathematica", et que Huygens fit fans doute immédiatement connaiflance avec ce livre 5). C. L'EXPEDITION DE 1 686- 1 687 DE TEXEL AU CAP DE BONNE ES- PERANCE ET RETOUR; RAPPORTS DE HELDER ET DE DE GRAAF. Le Journal de Th. Helder''), fe rapportant au voyage d'aller, a été confervé. Nous polTédons anffi une copie, de la main de Huygens, du rapport de de Graaf du voyage de retour. longueur d'un pendule simple à secondes est inférieure d'une ligne et d'un quart (la ligne étant yV du pouce) à celle qu'on trouve à Paris ou ici en Hollande ou en Angleterre, la longueur étant la même partout en ces lieux, savoir 3 pieds et 2| pouce [mesure de Rijnland; comparez la p. 571]. Comme d'autre part il ne publia pas de récit détaillé de ses observations, on n'a pas été convaincu par son affirmation. La chose serait certes fort importante et constituerait une propriété remarquable de nos pendules lesquelles, s'il en était ainsi . . .". Cassini notamment n'était pas convaincu. ') Manuscrit F, p. 300. Les p. 297 et 31 1 portent respedivement les dates du 6 novembre et du 3 décembre 1687. ^) Comparez le troisième alinéa de la note 7 de la p. 284 du T. XVII et les 1. 5 — 2 d'en bas de la p. 31 qui précède: déjà à la p. 259du Manuscrit F Huygensavaitditpositivement:„formam fphœricam tellus non liabet". 3) Comparez la fin de la note 4 de la p. 326 du T. XVI. "•) Le 3 octobre 1687 Huygens écrit qu'il est en train d'examiner le Rapport de de Graaf (T. IX, p. 222). Le I septembre il ne l'avait pas encore reçu (T. IX, p. 208). RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 637 Le d(.'biit du Journal de Ileldcr, qui compte 25 pages, fait apparemment défaut, puifqu'il va du 24 mai au 16 fcptembre 16H6, tandis que lluygens (T. IX, p. 287) cite e.a. ce que lleider avait rapporté le 20 mai. En outre lluygens dit en octobre 16H7 (T. IX, p. 222) avoir reçu un livre de Ilelder contenant des calculs („bocck van (ijnc uitrcekcningcn") en original et en copie de la main de l'autour, et un autre fur la concordance des horloges allant jufqu'au 2 octobre. Nous ignorons fi A fa demande il reçut encore d'autres pièces provenant de Ilelder; il fembic bien que non : confultcz le troifième alinéa de la p. 289 du T. IX. Nous ne poflédons ni le livre des calculs ni celui des concordances. Le Rapport de de Graaf débute par un examen (4 pages) de la marche des horloges fait fur terre, du moins pour l'une d'elles, au Cap de Bonne Efpérance. Au titre ,,T'ondcrfoecken de gaiii^h van de I Iorologic-n A en B; of liocvcel dac dcfeh'c in een F'kmael of 24 iiren te ras of ce langlaem loopen", lluygens ajoute la remarque fuivantc: „0m dclb manier vandc gangh der Horologicn te onderfoecken , te verftaen,moet men nae fien de Inftruftie [T. IX,p. 55— 76] bij mij aen de Graef en Th. Helder medegegeven. Dit onderibcck is gcfchiet aen de Caep de B. ECper.ce het horologie B aen Landt zijnde". Vingt-cinq obfcrvations de de Graaf fe rapportent à B, deux feulement à A. Voici ces deux dernières: A Febr. 3. A 12.37.38 Dito 3. 12.37.38 6. A 12.35-23 7- I2-34-47 23-57- 9 18 23-57 0 45 18 57 27 6 23-56-51 3 23.57.33 verachteringh 23.56.54 veracht. dagh. 42'4^") dag>^. 465 Les calculs pour l'horloge B ont tous la même forme. Voir fur ces calculs, où entrent des nom- bres tirés de la table de l'équation du temps, la p. 60 du T. IX (ou la p. 208 du T. XVII). L'horloge B avançait en janvier de prés de 3' par jour; de Graaf corrigea la marche en février et de nouveau en mars en déplaçant un peu le poids du pendule, de forte que le retard journalier ne fut enfuite que d'une douzaine de fécondes. Le Rapport continue: „Den 20 April. Nadat wij fijn onder Seijl gegaen, foo iiTer in ') Le 1 1 juillet il écrit à Fatio de Duillier: „Ayons le livre de Newton" (T. IX, p. 191). *) Voir sur lui la note 3 de la p. 539 qui précède. '') En marge: imo 49 ; en effet le tiers de 147 est 49; c'est la seule correction apportée par Huy- gens aux vingt-sept calculs. Du 3 au 6 février l'horloge A retardait donc de 49" par jour. 638 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. de vergadering beflocen, dat men foude feijlen Noordt Weft ten Weften, tôt op de Breedtc van S. I lelena. IMaj. 9. Op de Brccdte van S. I lelena fijnde hecft men vorders de Coers Noordwcit ten Noordcn geftelt tt)t op de Breedtc van Alcenfion. De Koers is geftelc van Afcenfion tôt op de Breedte van 't Eylandt S. lago [Sao Thiago. une des îles du Cap Vert] N. Well [comparez Pavant-dernier alinéa de la p. 283 du T. IX]". Le 6 juin on réfolut de faire voile vers \i N. N. Ouell,etc. Viennent enfuitc une dizaine de pages fur „Het daghelyx verfchil der Horologien A en B" et les „Toevallen ontrent de Horologien". Depuis le 25 mai jufqu'au 15 août la dite difFérence B — A fut notée prefque tous les matins et tous les foirs; de ip'so" elle monta àyg'sô". I-e premier jour elle augmenta de 28", le dernier de 54e". Le i juin de Graaf dit avoir conftaté „dat met 't flingeren van 't fchip B ongelyck loopt". Le 10 juin il dit: „Bevonden A mede ongelyck te gacn. VN'^ij hcbbcn evenwel geoordcclt de Rekcning op A voort te maecken, om dat de felve de flingher wel 't beile doorflingcrt. Dcfe ongelyckheijdt van gangh gefchiet door holle fee en belbnder wanneer de di jningh van vorcn komt". Le 24 juin on conftata que le reflbrt du petit barillet de B était brifé: il fut remplacé par un au- tre '). Cette partie du Rapport fe termine par les mots: ,,Den 1 5 dito [c.à.d. le 15 août] op de middagh in Texel (godt lof) behouden met 't fchip 't wapen van Alcmaer gearri\'eert A° 1687=)"- Dans les quinze dernières pages „Aengaendc de vindingh der Lengdc" de Graaf calcule la longitude d'après Tlnllruftion le 10 mai, le 27 mai, etc.; la colonne V de la table qui occupe les p. 279 — 282 du T. IX indiqi.e les jours et les réfultats du calcul. Voici p. e. le calcul du 10 mai: May 10. Geobferveert de fon bovcn den horiz. 5.50, als 't horol. wees op 8. 19'. 45" uren Tavonds. Compl. fons h. Compl. Zuyd. B Compl. decl. 84°io' Urendoor'thorol.B[comparez lap.637]. r. 73.19 0.01868 8.19.45 107.29 0.02055 5. veracliteringhin2odaghen. 264.58 8.24.45 132.29 59-10 9-93382 16.34 8. 8.1 1 25. 0 9.62594 ,19-59899 19.22 8.27.38 9.79949 komt fin. 39 .4 78.0^ 6.47.28 1 .40. 5 verfchil in Lengde ten W. et 5.12.32 uren. dit van 12 uren komt 6.47.28. ') Le ressort était en cuivre, comme nous l'avons déjà dit à la p. 514 (note 3). ^) Remarquons en passant que l'Alcmaer faisait partie d'une flotte (premier alinéa de la p. 286 du T. IX> RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 639 Comparez fur ce calcul, conforme à celui de Iiidruetion, la p. 67 du T. IX. Si l'on appelle, comme dans la note i de la p. 226 du T. XVII , // la hauteur du foleil au-delTus de l'horizon, d fa déclinaifon et « l'angle poiitif ou négatif qu'il a parcouru dans fon orbite circulaire à partir du point culminant, on a siu /; = sin ^sin ^+ cos ^ cos). Huygens difcute les réfuhats dans fon Rapport du 24 avril 1688 (T. IX, p. 272 — 291). Il ex- plique (p. 287 — 288) pourquoi les ohfervations du voyage d'aller font fans valeur: on n'avait pu déterminer avant le départ combien les horloges avançaient ou retardaient par jour; de plus les poids des pendules baillaient parfois quelque peu fpontanément par fuite du ballottement du vaifTcau. Huygens parle d'accidents de ce genre furvenus le 29 mai et le 3 août et notés par Helder tant dans fon Journal que dans les „Toevallen oiicrcnt dc horologien". Dans le Journal nous ne trouvons rien à propos de l'accident du 29 mai. A la date du 24 mai , jour du départ , Helder parle du „lootsman clic hccl hckoramert was dat het fchip moche kommen te ilooten alfoo er inaar ccn voce uaccr mecr was als hcc fchip dicp gingh"; il contimie: „Bij dc droogen komcndc gingh bij de horologien zitten en befpuerden oock groote alteraetien aen de horologien in 8 a 9 reyzen dat het fchip grondt raaktenmaarbyzonderdclaatftereys waardoor zc ook heel getroebuleert wierden en de pendulcums decd beven zondcr ducr te flaan". Le 30 juillet l'horloge A s'arrêta parce qu'une des dents de la roue de rencontre s'était déformée. On répara l'horloge détraquée. Helder dit enfuite: „Den 3 aiigufli s'avonds haakten de flingcr af en bevondt dat het lootien van't pendulem was neergezakt. ik hcb het dan zo na op de tijkcns gczet als ik kon en het weder doen gaan zo bevond ik fmorgens den 4 dat het weer zijn gewone ganck hadt. dit voorval [c.à.d.toutcequi s'était paffé depuis le 30 juillet] veroorzaakt groote confutzie [confuezie?] in deze zaak". D'après Huygens (T. IX . p. 273) de Graaf dans le voyage de retour s'eft fort bien acquitté de 3) Le cahier du rapport contient en outre, d'une main inconnue, 6 pages contenant les résultats de l'estime des pilotes de l'Alcmaer. La copie conmieuce comme suit: „Van de bekome Leng- tens en Breedtens getrocken uijt een Journaal, komende van de Caap de Bonesperance na 't patria met Alkmaar A° i<587 den 20 April. April 20 lichte ons anker voor zonsondergangh met een klyn luchje, savons t Robbe Eylant op sey etc. dito 21 pijide smorgens de Tafelberg Z. Z. Oost van ons 2 1 a 3 mijlen , voors de heele dagh in stilte gedreven [comparez la p. 283 du T. IX]. dito 22, degegisteZ. Breten 33:38 min. Lengte 36:42". Etc. jusqu'au 15 août. La latitude est estimée („gegist"), lorsqu'il y a des nuages, mesurée („bevonden") lorsque le soleil est visible. 640 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. la tâche („feer wel en forghvuldigh"}. Prefque tous (es calculs furent faits fur l'horloge A qui ie montra la meilleure (T. IX, p. 286); comparez les palTages du Rapport de de Graaf cités plus haut. [Fig. 129.] La Fig. 129, empruntée à une feuille féparée qui fe trouve dans le Rapport de lluygens, fait voir, comme la Carte à la fin du T. IX (dont il a déjà été queftion à la p. 544 qui précède), que RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 64! les loiiKitiicics calciik'es à l'aide des Iiorlofçcs fuivaiu riiirtruction ne font pas jurtcs, mais qu'elles devienneiu iiilles, ou peu s'en faut, lorlqu'on tient compte de la diminution de la pefanteur due à la rotation de la terre. Dans les colonnes Vi et fuiv. de la Tahle du T. IX (p. 279 — 282)lluygens avait fait une erreur de calcul qui fut remarquée par de Volder (T. IX, p, 341, dernier alinéa); il l'a corrigée dans les deux manufcrits de fon Rapport; la Table nommée a les valeurs corrigées '). Dans la note 1 1 de la p. 284 du T. IX nous avons remarqué qu'„il y a erreur" dans la „fomme 2 uren 59 min. 7 fec."du 5 aoiU qui conduit au cliillVe „i ure. 12 min. 43 feconden" devant trouver fa place dans la colonne VIII. C'ert vrai, mais l'erreur n'ell, ici comme ailleurs, que de 30" et a été corrigée par Iluygens dans la Table; c'cll pourquoi la colonne VIII donne 1.12. 13 et non pas i.i2.43;ceci conformément aux corrections de de Volder (T. IX, p. 342), La corrcftion a toutefois été mal faite par de Volder, nous femble-t-il, car au lieu de 2''.59'7" (5 aoilt) nous trouvons 2^59'37": il eiU donc fallu ajouter 30" à i''.2'43" au lieu d'en retrancher 30" (d'après le dernier alinéa de la p. 284 du T. IX). En prenant donc \' \j" dans la colonne VII et 1.13.13 dans la colonne VIII, nous obtenons i8°i8' pour le chiffre correfpondant de la colonne IX, qui efl i8°3' chez de Volder, On voit encore fort bien dans les manufcrits de Fluygens qu'il avait d'abord écrit i8°ir. Ileureufe- ment de Volder ne s'eft pas trompé dans le dernier chiffre -): il dit (p. 343) que la dernière diffé- rence de la colonne IX n'efl pas 14°!', comme Iluygens l'avait écrit, mais I4°8'. Ici il ajoute donc les 7' — ou plutôt 7'3o" 3) — comme il aurait dil le faire partout. Sa concliifion qu'auprès de Texel l'erreur des horloges, lorfqu'on tient compte de la rotation de la terre, ne dépaffe pas i\ mijlen (voir fur la mijl hollandaife la note 3 de la p. 23 i du T. XVII) refte valable. La Fig. 129 femble être antérieure à la Carte du Rapport de Huygens; en comparant l'allure des trois lignes, on voit que dans la Y\g. 129 elles convergent moins bien vers Texel que fur la Carte: l'une d'elles Ce termine près de Danemark. Huygens ne doit avoir fait un calcul plus exact que plus tard. Obfervons que dans la Fig. 129 il fe fert du fyftème où les rapports des longueurs des degrés des parallèles entre elles font exafls, tandis que la Carte du Rapport, empruntée en grande partie à Rembrandtfz. van Nierop (T. IX. p. 285) efl une „projeCtion de Mercator" (comparez la note i de la p. 232 du T. XVII). Aux p. 21 1 (datant de 1685) et 313 (datant de 16S7 ou 1688) du Ma- nufcrit F on trouve quelques remarques de Huygens refpectivement fur la projection de Mercator (qui n'y ert pas nommé) et fur les cartes où, „dans chaque parallèle les degrez [font] égaux et dans la vraije proportion aux degrez de l'Equateur" („proje6tion de Flamfteed"). Nous avons déjà dit à la p. 514 que la preuve expérimentale donnée de la rotation journalière de la terre et de l'exillence de la force centrifuge correfpondante a été le réfultat le plus remarquable de cette expédition. On peut toutefois fe demander fi elle a pu fervir de plus, comme celle de 1669, à corriger tant foit peu les cartes. •) Elles n'étaient évidemment pas corrigées dans le Rapport présenté aux Diredeurs de la C-'. des Indes Orientales qui tut mis par eux entre les mains de de Volder. La Carte du T. IX ne tient donc pas compte des corrections, mais l'erreur est faible (voir le texte). -) Il ne s'est trompé, semble-t-il, que dans le chiffre du 5 août, précisément le jour que Huygens prend comme exemple à la p. 284 du T. IX. 3) Dans les manuscrits du Rapport Huygens corrige en effet 14°!' en 1 4°8 ^ : l'erreur diminue ainsi encore un peu plus. 81 642 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. Dans fon Rnpport (T. IX, p. 286 — 28") Muygens dit que fuivant la ligne corrigée des horloges l'île Fiilo [Foui ifland], ainfi que l'île Fairhil [Pair ifland], les Orcades [Orkney iflands] e: la par- tie ieptentrionale de PEcofle doivent le trouver à peu près trois degrés plus vers l'Eft que dans la carte de Renibrandtfz. van Xierop. La difFérence des longitudes de Fulo et de Texel ne ferait pas de 8°, mais de 5° à peine. Il eft vrai, ajoute-t-il, que d'autres cartes donnent des chiffres plus bas; fans avoir \u celle des pilotes, il conclut qu'elle ne donne qu'environ 4° pour la dite difFérence. Or, la carte des pilotes avait apparemment raifon,puifque les cartes modernes indiquent une difFérence de 4° fi quelques minutes près. Ce que Huygens dit à propos des Orcades etc. eft égale- ment vrai. Telles qu'elles étaient, les horloges pouvaient donc rer\ir, paraît-il, lorTque la mer n'était pas fort agitée, a corriger les cartes par trop défec t ueufes. S'il était impoffible d'obtenir avec elles des r é f u 1 1 a t s brillants — voir a u f f i la note 3 de la p . 646 qui fuit — , il ferait cependant exagéré de dire que la valeur de quelques réfultats obtenus — comparez la p. 635 qui précède — f u t a b f o 1 u m c n t nulle. Remarquons encore que Huygens avait prié Helder de mefurer la longueur du pendule à fécon- des au Cap, ce dont il n'avait pas reçu de rapport (T. IX, p. 292 et 276). La note i de la p. 292 dit que peut-être, par quelqu'oubli, la pièce relative à ce lujet n'eft pas parvenue aux mains de Helder, puifqu'elle n'était pas reliée avec le refte de l'Inftruction. Il y a cependant à Leiden une copie de rinflruc^ion et de cette pièce, d'une main qui fèmble bien être du dix-feptième fiècle, où la pièce eft — où plutôt était ') — reliée avec le refte. Helder a fort bien pu avoir eu cette pièce en mains. Quoiqu'il en foit, Huygens n'a pas connu de mefure directe de la longueur du pendule à fécondes au Cap. D. L'EXPÉDITION DE 1690—1692 DE TEXEL AU CAP DE BONNE ESPÉRANCE ET RETOUR; R.-KPPORT DE DE GRAAF. Xous avons déjà obfervé (p. 515) que le Rapport de de Graaf fur cette expédition n'exifte probablement plus. Quatre pages de 1692 intitulées „Toevallen outrent de horologien", écrites et (ignées par de Graaf ('comparez la p. 307 du T. IX), fe trouvent dans le cahier du Rap- port de Helder de 1686. Du 20 au 25 mai les horloges étaient à bord du „fchip de Hoop ten ancker leggende aan de Caap". Elles furent enfuite „op het fchip Spierdijk geplaafl: om daannede naar het vaderlant te retourneren". Nous avons parlé déjà deux fois (p. 513 et 515) des remarques manufcrites de Huygens fur le Journal perdu de de Graaf de 1692. C'eft auiîî de ces remarques, que Huygens envoya à de Volder, qu'il eft queftion aux p. 424 et 434 du T. X. Nous les publions ici fans autres commentaires que I I ') La reliure étant dans un état de délabrement. RESULÏATi DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 643 quelques notes. Vers la iin on trouve dans les notes la traduction de certains palPages où Huygens parle de la rotation de la terre, et auffi de la néceflité (comparez les p. 5 15 —5 16 qui précédent) de condruire des horloges ne préléntant pas les mêmes inconvénients que celles conftruites jufqu' alors. Ferklaeringh en aenmerckingen op het J ournael van Jo. de Graefen 'tgeen ontrent de Horohgien is voorgevallen in de laetfte proeve der Lengdevindingh .'l^ 1690, 169 1 en 1692. Tôt conlirinatic \aii "c gcen ick in niijn briefaen de Ed. Gr.achtb. Hceren Bewint- hebbereii hebbe dcr\cn Nerfccckcrcii , dat hcc etlect van de Hurologien geenfinssoo- dacnighisgeweeilalsgemeent is,niaerdatlij ter contrarie seer wel précis de Lengdc- meting volbracbc hebbcn \'oor Ibo veel haer eflecl bij onvermijdelycke toevallen ot bij mis\'erllandt niec belet is gcworden, ui' door misrekeningh verkeerc iiytgeleijc. soc hebbe ick noodigh geacht hier te raporteeren ') 't geen ick Ibo uijt monde van M"", de Graef, die de conduite daervan gehouden heeft, als uijt fijn Journalen en acnteyckeningen hebbe bevonden. 1 . Het blyck dan eerflelyck uyt het begin \ an het Journael op de uijtreyic ge- houden, hoe dat ledert het ophangen der horologien in 't fchip Brandenburgh, van dcn 22 Dec. 1 690 tôt den 29 der felve maendt aile devoircn (îjn aengewcndt om den loop der horologien door de Son te examineren, en op de rechte ure te Itellen doch te vergeefs foc uyt d'oorlaeck van het contmueel doncker weer, uls van de verre diflantie van Landt. Hier door lljn de Horologien Ibnder dienst te konnen doen gebleven tôt aen 't Eylandt S. Jago ontrent Capo Verde. 2. Ondertulîchen heeft men bevonden als blijckt uyt de aengeteeckende Toevallen der Horol. pag. 151, 152. 153. dat het horologie B defeiftueux en geen goedtwerck vvas, hebbende dickmaelsilil gellaen en ongclycke bewegingh van de flinger bethoont, daer het andere A genaemt (kh altijds wel hieldt, behalven dat het den 4 Febr. nae een fvvaere ftonn be\onden wierdt accidentehjck in lijn ijfere beugels als verhangen en ver\vartterijn,endedaerouionmoghelijck niet aen degangh te hebben konnen blijven. "t Selfde def'ed: van 't horologie B is gedurigh op de verdere reijs aen de Caep en de weftreys geoblèrveert, als oock aireeds in't nenien van de Proefin t Jaer 1687. 3. Aen 't Eylandt S. Jago heeft men der horologien gangh dat is hoe veel daghe- lyx te ras of te langfaem gaen "} tegen de Son beginnen te obferveren \'olgens myne inftrudie als pag. 27 van dit Journael te fien is en de manier daervan pag. 77 en 78. En dit van den 26 Maert tôt den i April, zijnde den 2 April weder van S.Jago ver- ') Leçon alternative: hefchrijven. -) Leçon alternative: voor of achtering. 644 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. trockennaede Caep en aldaer gearrivcerc den 3 Jun. op welcke reijfe ick bethoonen ial dac de lengdc tufTchen bcijdc, door de horologien perfcft is afgemcten , gelijck iMr. de Gracf 't felvc oock fonde gevonden hebben, fonder fecekere mifrckeningh, als hier fal blijcken. 4. Defe reijfe is in \ breede belchreven in 't Journacl vm pag. 27 tôt pag. 60. En in 't korte vervat Inde Tafel van pag. 6- tôt 71. In welcke den inhoudt van ieder Colomne uijt de inlcriptie aen 't hoofdt der felve gellelt te lien is. Ick hebbe eenighe deferColomnendeopeni^aende getallen gefuppleert, en in eenighe de verkeerde gc- tallen gecorrigcert, welckers faute bij nae alleen hier uyt is ontilaen dat M'', de Graef de correctien van wegen de verfcheyde loop des pcndulums nae maeten der Breedte welcke de IX colomne maecken bij abuys geaddeert heeft bij de ure des Lcngdefchils tuffchen S. Jago en de Caep dat is by de getallen der VIII colomne als hij die moit af- trecken, en ter contrarie afgctrocken als hij die moll: adderen. Wacr van ick de reden in margine van voorfz. Tafel heb aengewcfen, ende de felve hier tcrllondt noch bree- der fal expliceren, op dat het in \ toekomende voor inftructie magh dicnen. 5. De correiftie die ick gedaen hebbe in de getallen van de IX Colomne is van weijnigh importantie, zijnde alleen van 24 feconden tijdts, die op den 18 April te vecl waeren gereekent, waerdoor tôt den 10 Maj. overal defe 24 feconden te veel fijn, en van hier tôt den 28 Maj. noodfaeckelijck vveder te weijnigh, gelyck licht kan naegerekent werden volgens den Regel hier op gegeven in mijn Raport van de Proeve des Jaers 1687. Doch dele faute kan maer y g van een graed verfchil inde Lengde maecken. 6. jNIaer het verkeert adderen en subtrahcren defer getallen van die van de Mllste colomne daer ick van gefeght hebbe is van veel grooter belang. Om dan in te lien dat hier in abuys geweefl: is, foo fegghe dat dewijl de horologien uyt reden van 't om- draeyen der aerde hoe nader de Linie, hoe langfamer gangh kryghen, volgens t ge- stelde in mijn gemelte Raport, foo is feecker dat altijdt als men nae de Linie zeylt van noordelijcker of zuydelijcker gcweil: de ure van het horologie uijt defe reden moet verachteren, en bij gevolgh doen fchijnen dat de ure der plaets daer men afgefeijlt is vroeger of minder is alffe wefen foude fonder defe vertracgingh. En dat ter contrarie als men verder van de Linie afzeijlt, het horologie moet raiïer gangh krijgen en dien- volgens de ure van de plaets des vertrecks laetcr of mecrder verthoonen als ibude doen fonder defe verhaeflingh. 7. Dewijl dan van den 2 April dagh des vertrecks van S. Jago tôt den 7 Maj. nae de Unie toe gefeylt is, en de Noorder Breedte gingh venninderende, ibo is het horo- logie gedurigh verachtert en heeft tôt defe tydt toe de ure van S. Jago vroeger doen fchyncn (foo veel defe reden kon importeren) als het andcrs foude gedaen hebben. Ende was defe verachtering op den 8 April o'.35 " van een ure als in de Tafel te lien is. Schynende dan vroeger te zijn aen S. Jago foo fcheen het defe o'.35" weflelijcker te leggen ten refpecte van de plaetse des 8 Aprils als het anders volgens het horologie leggen foude. Aengefien nu dat men oollelijck van S. Jago was, foo fcheen de ure van I RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 645 \ lengdcCchil dcic 0*35 " meerder te fijn als anders Coude gedacn hebbcn. En bij ge- volgh iiioctcn de 0.35" afgctrockcn wcrdcn van de urc des I^cn^bdefcliils fonder de Corrcctie tiillchen S. Jajro en de plaets van 't fehip den 8^" Apriisgevonden: in placts dat M. de Craef die by gcdaen heeft '), als uyt meergemelte Taf'el te lien is daer hij o'.35" vande pdt col.adderendebiJo.i2'.47 vandeS.s'ccol. kryghto. i3.2 2inde lo^c in plaets van o. 1 2. 1 2 die ick vinde. Maer waerom dat in t Joumael pag. 30. in plaets van defe o'35" geftelt werdt i'.4". weet icl< geen reden van. 8. Het Coude milCeliien klacrder rekeningh maecken als men defe vertragingh o'35' bij de ure der horologie die t wees tcn tydc van d'obCervatie addeerde, (Ijnde deCen S*-"" April geweell 5."'" 1 1 '8" (als te lien is pag. 30) om alCoo de ure van 't horo- logie te hebben die het Conder dit Coude geweCen hebhen. maer de uytkomil Coude deCelCde gevveeft lîjn, want dan de ure aen de Son te S. Jago pag. 30 Coude gekomen hebben 5.25.28. wacr van getrocken 5.37.40 komt 0.1 2. 12. gelyek iek in de X'^'^ colonine gellclt hebbe. f)eCe verkeerde additie van M"", de Graef van gemelte 8.c" April is van gelijcken voorgevallen den 4 en 5^" Maj. 9. Want alhocwel Ccdcrt den 14 Apnl van de Linie aCzuydwaert gezeijlt is, Coo werdt eerll op den 10 Maj. de geheele vcrtraeging van't horologie tulCchen S. Jago en de Linie voorgevallen en gecolligeert, overtrotfen bevondcn door de verhaelHng die gecolligeert is van de Linie aCtot op dien dagh. Van waer dan voorts die vorde- ringh aen 't horologie bevonden werdt die ick in de gecorrigeerde IX. col. geftelt hebbe. Waer door de ure van S. Jago meerder oClaeter Cchijnende als anders doen Coude, Coo Ccheen het deCe minuten en Ceconden oortelijcker te leggen. En Ccheen daer- door de ure \-an 't lenghdcCchil minder te lijn aliïe vvas, dewijl men met het Cchip ooftelijck van S. Jago Cich bevondt. Soo dat deCevorderingh hier mollgeaddeercwer- den bij de ure van 't lenghdeCchil, gelyek ick gedaen hebbe, in plaets dat iMr. de Graef die aCgetrockcn haddc. 10. P2nde Coude hier weder de lelCde uytkomil geweell fijn indien men deie vor- deringh aCgetrocken hadde van de ure aen S. Jago volgens het horologie berekent, en dan voort gewerckt volgens de Inilructie. Het abuys van M"", de Graef is foc ick geloof hier uyt ontflaen dat hij genomen heeft als een generalen regel 't geen ick in mijn Raport van d'eerfte Proeve geCecht hebbe in d'E.xplicatie der "<= Colomne van de TaCel aldaer. alhoewel het alleen paile op de voorval van doenmaels, op welcke het wel geappliceert was. 1 1 . Hebbende dan aldus de getallen vande IXA'^ en X.de Colomne gecorrigeert Ibo ') Sur une des trois feuilles séparées qui se trouvent dans cette Pièce et que nous ne reproduisons pas, Huygens écrit encore: Dit deel der Inflruttie Cal in 't toekomende klaerder geftelt werden. f)n voit qu'il songeait déjà à de nouvelles expériences. 646 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. fijn die van de XI^c oock noodlaeckclijck daerdoor verandert , devvijlie uy t de getallen vande X.de ipruijten, ncnicndc voor ieder ure cijdcs 15 graeden in lengde. Maer ledert den 1 8 Maj. heb ick de gctallen in de X. en XI. col. gesupplecrt en op den 13 Jun. oock die vande \'III en IX coloai. ailes volgens rekeningh gegrond op Obfervatien van M. de Graef. welcke rekeningh bij hem anders uytvallende en cyn- delijck op d'aenkomst aen de Caep al te veel van de waerheijdt atgaende, apparen- telijck oorfaeck geweest is dat hy de voorlz. getallen open heeft gelaeten. 1 2. In de XI col. heeft hij de getallen nae behooren geftelt ') behalven de 24 fecon- den die doorgaens te veel ofte weynigh heeft, gelyck ick hier te vooren aengemcrckt hebbe. Doch del'e getallen vind ick in fijn Joiimael geheel anders gcftelt van den 8 April tôt den 28 INIaj. en merendecls veel te kleijn ibnder dat ick eenighe rcden of ordre daer in vinde,als bij ex. dat hij van den 14*=" Maj. tôt den 28 Maj. altijdt ilelt 3 min. 4 fec. '). 13. In de VIIIt« Col. heb ick het getal Ipecterende tôt den 24 April gecorrigeert ftellende 0.18.32 in plaets van 0.22.48 t welck mifrekent was, als aengewefen heb in t Joumael pag. 3-. 1 4. Aile deze noodfaeckelijcke verbeteringen in de Tafel van "t Joumael gemaeckt en beweien hebbende, foo fiet men dat de Lenghde tuflchen \ Eyland S. Jago en de Caep de B. Efp^. door de horologien is gevonden van 48 gr. 1 4 min.^). En om dat volgens de Caert van N. VifTcher-*) hiernevensgaende St.Jago-graden weftelijcker leght als de Pico de TeneriiTe, daer het begin der Lengden geftelt werdt, foo komt de lengde van de Caep 41 gr. 14 min. t welck feer net met de voorfz. Caert over een komt. 15. MaerderStierhiiydengilfingh is leer atgedwaelt. Want nae ick bemcrckc uijt haer Breedte van den 28 Jun. anno 1 692 in t Journael vande weerreijs, pag. 1 09, foo leght in haer Caert de Caep op de lenghde van ontrent 38 gr. gelijck ick fulx mede uijt het Joumael van de Reijs van A ° 1 687 bevonden hadde. Maer nae haer rekeningh foo waeren fij den 2 Jun. op de Lengde van 44 gr. o . en den 3 Junij, doen fij den Tafelbergh 9 mylen Ooft N. Ooft van haer faghen, op de lengde van 45 gr. 42 min. ') En marge: Correclie anders in 't journael. -) En marge: 0.1.4 • • ^ •^/"■•; 0.1.22 ..11 .-//>/■.; 2.17 . . 18 Jpr.; 3.4 . . 23 .//>/•.; 3.7 . • 24 Jpr.; 2.41 . . zo .ipr.; i.45..4J/^/y.; 1.45..5 J//7/.;o.ll .. lo Maj.; 3.4.. 14 3IaJ.; vergeUii . . 18 MaJ.-^ 3.4 . . 20 .1/17/.; 3.4 . . 23 MûJ.\ 3.4 . . 24 Mai.\ 3.4 . . 28 Maj.\vergetet! [corrigé en 3.4.]. 3. Jun. Dese correàie van wegen iTongelijcke gangh na mate der breedte heeft de Graef in ''t Journael, contrarie als in sijn Tafel, sonder reden of ordre. ^) La différence des longitudes du Cap et de Sao Thiago n'étant que de 42° environ suivant les cartes modernes, on voit que le résultat déduit par Huygens des observations avec les horloges, était en réalité peu satisfaisant. ■•) Voir la p. 435 du T. X et la p. 634 qui précède. RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 647 volgcns niijn acnmerkingen in margine van pag. 57 en 58. en daer bij gedaen 40' minutcn voor de voorfz. <; mijlcn. (00 vnndcnfc de Caep op de I.enghdc van 4^ gr. 22 min. in plaets van de 38 gr. daer le leglit in haer Cacrce, Ibo dac lij 8 gr. 22 luin. over landt feylden gelijck men dat noemc zijndc alhier op dele Brcedte over de 100 diiytfclie mylen. Doch nae de Caert \'an N. N'iflcher was hacr dwaling minder en maer van 5 gr. 22 min. En daerom ilaet te bedenclcen ofdele Caert niet naeder de waerheijdc is als die vande O. Ind. Compagnie die lij gebruyckt hebben. Wanc geen van beijdc tôt noch toe op feeckere dcmonih-atie gcgrondt fijn. 16. Ick iiebbe in myn bygaende Caerte ') de tweederhande Courfen van 't Ichip Brandenburg afgeteyckent d'eene volgens de Sticrhiijden giflingh met de roode linie, d'andere volgens de metingh der Horologien met de l'warte, en dat volgens de Breed- ten inde Eerfle Colom, en Lengden inde 2'ic en i iJi^CoLdermeergemelteTafelfoo dat op ieder dagh dat de l>anghde berekent is, de plaetsc van 't (chip in beyde linien fijn aengewcien. Alleenlyck heb ick op dcn 23 April en den 4 Maj. de plaecfe daer het fchipnaer 't horologie geueeft fonde fijn daer de XX flaen, een weynigh buyten de fvvarte linie gelaetcn; fijnde nae apparentie hier iet gemill is'^) door de ions hooghte niet precijsgenochgeobferveert te hebben, dewijl het fchip niet wel Ibo fchielijck in eenen dagh door de llroom verfcheijdelijck kan gedrcvcn werden. Daerom heb ick de linie niet door de Xgetrocken, maer wel door de naelle plaetfen van den 24 April en 5 Maj. die fekerder lijn om dat beijde door 't obierxeren der Tonne in den horizont verkregen fyn als men fiet pag. 36 en 42. I -. Hier is nu aenmerckens waerdigh hoe veel defe 2 Courfen van malkander fom- tijdtsafgaen, waer van indien iemandt dencken mochte de taute van 't horologie oor- faeck te fijn, foo foude ick feggen fulx weynigh waerfchynelyckheydt te hebben. Want fijnde de Lengde tuiïchen S. Jago en de Caep, (00 net bij 't horologie afgemeten, Ibo foude het feer felfaem fijn dat nu te ras en dan weder te langhfaem gegaen ware, en evenwel de ibmmc het felfde als een eenparighe gangh foude uijtgebracht hebben. De reden dan van de verfcheyde loop der waere Cours, fal voortgekomen fijn uijt eenighe en ongevoelycke vloeden of (Iroomen. iMen weet datter een gedurighe gé- nérale llroom der zee is van Ooft nae Weikn, en het hlijckt dat het ichip eenighe ilroom tegen gehadt heeft doordien, dat vanden 19 April tôt den 9 Maj. (in welke daghen demeefte kromte in de Cours nae de Horologien voorgevallen is), de gevon- den Breedtcn volgens "t Journael doorgacns kleynder geweeil: fijn als de gegiile. Want hier uyt hebben de ilierluyden moeten befluijten dat de ilroom haer noortwaerdt aen ') Nous ne possédons plus cette Carte. ") Ce mot est de trop. 648 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. fette, macr hoe veel defelve haer weftwaerc dreef konden fij onmoghelijck niec mer- ckcn, alhoevvel fiilx abulîcvclyck bij Willcbr. Snellius ') en andere genieem vverdc. Zijnde dan wacrichynclyck de waere Cours langhs de fwarteliniegewceil,foo{iet men hier door de noodfaeckclyckheyt ') van de Inventie devvijl foo groote misreke- ningen der Stierluyden als hier voorgevallen fijn van 5. en 6. ja 8. graden in Lenghde dickwils oorfiieck fouden (ijn van \ verlies van (chip en ailes. Dus verre hct gepafleerde op de hcenreys nae de Caep onderfocht hebbendc, foo fal ick voorcs de redenen aanwijfen wacroin de Horologien op de weerreijs A° 1692 geenlinsdengewenfchtendienft hebben konnen doen. Van vvelcke redenen de voor- naemlle en alleen fuffifant om fulx te belerten is geweell: dat M^. de Graef bij misvcr- itandt de horologien niet en heeft opgehangen in "c Ichip Spierdijck gelijck in 't fchip Brandenburgh op de heenreyfe gedaen hadde volgens den 3^ artic. van mijne Inftruc- tiemaer foodanigh dar noodfaeckelijck niet alleen ieder in lich felfs mollen ongelyck gaen raaer oock malkanders gangh turberen en bederven. Volgens mijn Inlh-uctie molten de yfere beugels vande Horologien ieder apart aen 'c verdeck offolderingh onbeweeghelijck valî gefchroeft of geipijckerc werden om de redenen daer bij ge- voeght. Macr Mr. de Graef dit niet gedenckende heeft in 't Schip Spierdijck een Hockjen doen timmeren, en de Horologien daer in opgehangen op defe manier, foo hij mij "t felve mette pen in 't rouvve atgeteyckent heeft [Fig. 130]. De fyde van 't hockje, ABDC quam tegen de fijde van 't fchip. Het bovenilie ACHF was met feyl- doeck teogeleijt. De deur was KL. De ribben daer de Horologien P en Q met haer beugels aen hinghen KINI, ON. Soo dat als men de deur in quam men aen weerfijden de wijfers hadde tegen over malkander komende. Dit ophanghen hadde geenlins de vail:igheydt die de flingers der horologien ver- eijfchen, want fij de kracht hebben, gaende als hier parallel met de linie BD, van aen dit geheele geftel eenighe bewegingh te geven (alhoewel t eenemael onfienelijck), welckeick door vêle experimenten bevonden hebbe de gelycke gangh der horologien te bederven, en voornamentlijck als deze bewegingh van 't een aen 't ander als hier gecommuniceert kan werden. Dit abuijs in 't hanghen der horologien heeft M^. de Graef niet konnen ontkennen , en was hem leet. Sed errare humanum eil. AUeenlijck verwondcrt my dat hij de on- gevvoon groote uytfpoorigheydt der horologien op de reys bemerckende, niet bedacht ') La Prop. XI du Lib. II du „Tiphys Batavus" de 1624 de W. Snellius est ainsi conçue: „Siloxo- dromiamaliquam eteiiisquantitatem,œstlmationem tuamsecutus, exinde latitudinis evariatio- nem ab observata diversam depreliendas, crure mecodynamico [voir sur cette expression la Prop. XXII du Lib. I] secundum aîstimatum cursum retento latitudinem in observatum paral- lelum transfères, & hinc longitudinis ditïerentiam investigabis". ^") Leçon alternative: nuttigheydt. RÉSULTATS DE QUELQUES EXPEDITIONS MARITIMES. 645^ [Fig. 130.]^) heet't dat die ccn fonderlinghe reden mofl: hebbcn , dcvvijl Ibmcydcs (als tiiilchcn den 27 Jul. en y. Aiiff. outrent de Linie iijnde) het belle der 2 horologicn toc loniinu- ten dat is g van een ure daeghs te langfaem gegacn heeft, als men de Lengde door t (elve berekent compareert met die van de Stierliiijden in den tijdt van de l'elve da- ghen vertiert ■+). Welcke groote afvvijcking van haercn gangh in defe horologien biiijten extraordinaire oorlaeck anders gansch onmoghelijck is. Ick hebbe gedacht ot den draet van t Pendulum iets doorgefchotcn mocht ge- weefl: lijn , en daer door de bewegingh langfamer gewor- den, maer dat en kan allcen de reden niet gevveell fijn dewijl ick \inde dat het liorologie daer nae, te vvcten van den 9. Aug. tôt den 6 Sept, maer 7 min. 8 fec. daeghs verachtert is, en van den 6 Sept, tôt den 8 Oct. maer 5 min. 21 fec. daeghs. Want het pendulum kan niet weer korter worden , om 5 minuten in een dagh fijn gangh te \'erhaeflen. Soo dat defe groote ongelyckheydt, voornaementlyck uijt het qualyck hangen voortgekomen is. en ontrent de Linie grooter als elders is geweeil miflchien om dat hoe grooter hitte hoe loiïer dat dit geftel van 't hockje geworden is door 't inkrirapen van 'c hout. Hier nu bij komende de flechte conllructie van "t llorologie B en het breecken en laffen der veeren, foo kan men niet vreemdt vinden de wey- nighe correrp(jndentie tufTchen dit en 'c horologie A in de Toevallen 5) aengemerckt. fbo in dele vveerreys, als aen de Caep de Bonne Efp.e, alwaer le in een diergelijck hockje, en op gelycke wijfe waeren opgehanghen '^). Ick hebbe dan bethoont dat de Horologien of met goedt fucccs gedicnt hebben, of niet in (laet geweeft iijn om tulx te konnen doen. Voorts is te confidereren dat door de nette uijtkomiHerLengdemetingh tuffchcn S. Jago en de Caep nu voor de 2'-i« mael geconfirmeert werdt de nieuwe Correctie van den loop der Horologien uijt het omdraeyen der aerde fpruijtende, welcke ick te vooren door demonftratie beweien hadde te moeten loodanigh fijn volgens de Leges Mechaniccs '). Want in de reyfe \'an 1 68- heeft delelve fich niede feerblijcke- 5) Comparez la ligure de la p. 396 du T. X. •t) Suivant van Lennep (voir la note i de la p. 652) „vertieren" se disait anciennement dans le sens de „voortgaan [avancer]". 5) Comparez la 1. 8 d'en bas de la p. 642 qui prOccdc. <■) A bord du vaisseau de Hoop (p. 642). ') Voir la partie B qui précède. 82 650 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS iMARITIMES. lijck verthoont. Soo dat men nu wel voor vaft houden magh dat mec wat horologien die mec gewighc gedreven werden, of daer pendilla aen komen, de Lengde mecingh t'eenigher cydc l'ai gecenceerc werden, noodfaeckelijck dele Correctie moec in acht genomen en gebruyckc werden. Deu'ijl fonder die ce gebriiyckcn veele graden in lenghde konnen gemifl werden '). V-àn gelijcken is de rekoningh \-andc vercffeningh des Tijdcs \'anwegen de Sons loop, door dezc en de voorgaende \oiages genocgfeem beweien nae behooren ce fijn geftelc, waer aen minder konde gecwijfFelc werden [alinéa biffe]. Aengaende nu dele horologien die coc nocii mu geemploieerc fijn Ibo is ce wecen datfe de eerfte van defe fonn fijnde en in 'c begin anders mec ipirale veeren aen den onrufl: gemaeckc, daemae hermaeckc en "conderil-ebovengekcerc,geenfinsroogoedc iijn als menle van nieuws Ibude konnen maecken. Wanc oock vangrooceren ftercker werck Ibuden moecen wcfcn, dewijl d'Experiencic die genoegh ce kennen geeft '). En is nochtans ce noceren dac hec horologie A maer cens op de heenreys door accidenc lieefc ftil geftaen in ecn ftonn, fijnde in de buijcenbcugels verwerc: c welck lichc kan voorkomen werden: en eens in de weerreijs door een onbekende ooriaeck, maer die ick vermoed van 'c onvafle geftel daer c in hingh onrtaen ce fijn. Maer cus- ichen S. Jago en de Cacp is hec alcydc gaende gebleven. Soo goedc nu als A was, kon B mede gemaeckc werden ja becer. Een dingh is hier in nioeielyck, ce wecen dac hec Ibhijnc dac in de heece Climacen de veeren der horologien foo grooce als kleijne niec alleen \'erflappen, maer oock toc breecken meer als anders Tubjeft fijn, waerccgens niec wel andere remédie isalseeni- ghe voor prox'ifie mede te nemen, om in plaecs van de bedor\ en of gebroocken in ce voegen. c welck op defe laetfte reijfe is verfuijmt '). ') En marge (et biffe en partie): Correclie geconfimieerc de a^i*-" mael, is in aile Horolo- gien ce obferveren. Moec foo vvefen door noodfaeclvelyke reden dewijl feecker genoegh is dac de Eerdklooc om draeijt [Traduction: „Cette correction, confirmée pour la deuxième fois, doit être observée dans toutes les horloges. Il doit nécessairement en être ainsi puisqu'il est bien certain que la Terre tourne". — Dans une des feuilles mentionnées dans la note I de la p. 645 Huygens parle aussi de la certitude de la rotation de la Terre]. Rekening oock goedc van de vereffening des Tijds, die men niet kan milTen. Wercken gemaeckc en hcnnaeckc [comparez la note suivante]. A goedc ergo B kan oock foo goedc fijn. Beydebecer en van grover werck. Veeren fchijnen ce vedlappen. [Traduction: „Les horloges faites et refaites. A est bonne, donc B peut être également bonne. Construire l'une et l'autre mieux et plus solidement. Les ressorts semblent perdre leur force"]. -) Traduction: „A propos des horloges employées jusqu'ici, il faut savoir qu'étant les premières de cette forme et ayant été faites d'abord autrement, avec des ressorts spiraux au balancier, puis refaites et tournées sens dessus-dessous, elles ne sont aucunement si bonnes que les neuves qu'on pourrait construire. Elles devraient aussi être construites plus grandes et plus fortes: c'est ce que l'expérience fait bien voir". Comparez le § 6 à la p. S2?: <1>'' précède. RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES, 65 I Maer 't geen de meelle moeijte geet'r in de praétijck +) van dele Inventie is dat men de I lorologicn hacr gangh van nieiuvs moct tegens de Son obferveren nae dat men die in \ ichip opgchungeii heeft: twelck niec wel anders kan gelchieden als door ge- Ipannen dracdcn in de meridiaen aen Landt. Soo kan dit door donckerc lucbt, ver- hcydt van Landt, ofgebreck van tijdt dickwils belet werden, gelijck in "t ncmen van beydc de Proevcn gebieecken is '). Om dan defe Inventie te peifeétioncren Ibo moet men middelen uijtvinden waer door die inconvénient en oock liet voorgaendcmoghen ontgaen werden \ welck niet onmoglielyck is en ick geloof tegenwoordigh niet \'erre daer van af te fijn, als mede om den tijdt veel netter als door gemeltc horologicn aftemeten ''). Defe en anderc inconvenienten van de tôt noch toe geemploieerde horologien confidererende foo heb ick gedacht op middelen . . . "). E. QUELQUES REMARQUES SUR LA DETERMLXATION DES LONGITUDES AVEC LES HORLOGES OU PAR L'OBSER\^\TÎON DES SATELLITES DE JUPITER; ETC. Le rélultat de Texpéditiuii de 1690 — 1 692 fait bien \oir combien Huygens était optimise ^) iorii- qu'il écrivait (en ou vers 1686) à la p. 207 du Manufcrit F: „Door dit middelder uvrwercken ') Traduction: „I1 y a ici la difliculté suivante: il semble que dans les climats chauds les ressorts des horloges, grands et petits, ne perdent pas seulement leur force, mais sont aussi plus qu'ail- leurs sujets à se briser, à quoi il n'y a pas d'autre remède que d'en prendre quelques-uns avec soi pour pouvoir remplacer par eux les ressorts gâtés ou brisés. Ce qu'on a négligé de faire dans ce dernier voyage". Remarquons que dans cette expédition les ressorts étaient probablement en acier: voir les dernières lignes de la p. 289 du T. IX. ■•) Leçon alternative: in t gebruyck. 5) Traduftion : «Mais ce qui fait le plus de difficulté dans la pratique de cette invention , c'est qu'il faut de nouveau comparer la marche des horloges avec celle du soleil après qu'on les a suspen- dues à bord; comparaison qui ne peut être bien faite, avec desfils tendusdansleméridien, qu'à terre. À bord elle peut souvent être empêchée par l'obscurité de l'air, par la grande distance de la terre, ou par le manque de temps, comme cela est apparu dans les deux expéditions". *) Traduction: „Pour perfectionner cette invention, il faut donc trouver des moyens pour éviter cet inconvénient et le précédent, ce qui n'est pas impossible; je crois même n'en être pas loin. Il faut aussi tâcher de mesurer le temps beaucoup plus exaiftement qu'avec les horloges men- tionnées". ') Traduction: „Considérant ces inconvénients, et d'autres, des horloges employées jusqu'ici. j'ai songé à des moyens . . . ." *) Nous voulons dire qu'il exagérait les qualités des horloges A et B de 1685. 652 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. al waeren die geenfins Ibo perteét als ië lîjn de lengdcn te meten , is altijdt veel leecker- der als door de gewoone giffingh. uant men llet dat door defe giflïng in 2 of drij da- ghen de Iticrhiydcn Ibmtydts i o of 1 2 niijlen mis rekenen , daer een horloge als 't al 10 ieconden daeghs mille, t welck in defe wercken niet te vrefen is [!], Ibo foude het in 3 dagen ten hooghllen maer 2 mijlen faute geven. vvaer by noch komt, darde ftroomen noch het wraecken van \ fchip '), geen dwalingh en kan verooriaecken". Quant à la perfection des horloges, notons que de Volder dans les remarques de 1689 (T. IX, P- 343^ parle de la dilatation du pendule par la chaleur-) à laquelle Huygens, comme on fait, n'attachait pas beaucoup d'importance: comparez la note 2 de la p. 66 du T. XVII et la p. 25 du préfent Tome. Les cartes, comme la p. 634 le fait voir, laiflaient encore beaucoup à défirer ^). Dans l'on Rap port de 1688 (T. IX , p. ;-3 , 274, 290 , 29 1 ) Huygens préconife, après Galilée, la détermination de: longitudes fur terre par l'obfervation des fatellites de Jupiter. Les tables de Caflini de 1668 — elle: furent corrigées plus tard — n'étaient cependant pas fi bonnes qu'il le penfait (T. IX, p. 274) fuivant les cartes modernes le Cap de Bonne Efpérance n'eft pas à l'Eft de Paris de 18°, comme Guy Tachard l'avait trouvé en fe fervant de ces tables, mais feulement de i6°io'. Mais nous ne pouvons nous étendre ici fur Philtoire de la géographie ni fur celle des expéditions maritimes, dont traitent un grand nombre d'auteurs ••). ') Il est vrai, comme le dit Huygens, que les courants [stroomen] ne causent pas d'erreur lorsqu'on détermine la longitude avec les horloges (comparez la p. 230 du T. XVII). En est-il de même du „\vraecken van het schip"? Le verbe „wraecken" ici employé ne se trouve pas dans le „Middelnederlandsch Woordenboek" de E. Verwijs et J. Verdam. W. à Winschooten („See- man", Leiden, J. de Vivie, 168 1) dit que „wraacken" signifie „se mouvoir irrégulièrement" (sig ongestaadig bevveegen), p.e. „de waagen vvraeckt in het spoor" = „la voiture balance, heurte" (de wagen slingert, schokt) dans l'ornière. Il s'agirait donc d'an ballottement du vais- seau. Mais J. van Lennep dans son „Zeemans\voordenboek" (.Amsterdam , Binger, 1 856) écrit : „\vraken, afdrijven, van streek gaan. Het schip wraakt of heeft wraak". D'après cet auteur le verbe signitie donc que le vaisseau (quoiqu'il n'y ait pas de courant) n'avance pas seulement dans la direction voulue (comparez sur le mot „streek" la note i de la p. 232 du T. XVII), mais prend de plus un mouvement latéral. Il est évident que ce mouvement ne cause pas d'erreur lorsqu'on se sert des horloges. RÉSULTATS DE QUELQUES EXPÉDITIONS MARITIMES. 653 „Wraeckcn" se disait aussi de la boussole: ici il ne s'agit pas non plus d'un mouvement irré- gulier de l'aiguille mais de sa déclinaison , c.à.d. de l'angle qu'elle fait avec la direction sud-nord. „Onsvolck voeraent Lant om te sien hoe veel de naelde van 't Compas vvraeckte . . Aengacn- de de wraeckinge des Compas waerom ons volck aen 't Landt ghevaren waren om dat perfect te meten vverde bevonden dattet scheelt 16 graden" (G. de Veer à la p. 18 v. de sa „\Vaerach- tige Beschrijvinghe van 3 Seylagien ter wereld noyt soo vreemt ghehoort etc.", Amstelredam, C. Claesz. 1605; p. 53—54 du T. I de l'édition de 1917, par S. P. l'Honoré Naber, La Haye, M. Nijhoff, des „Reizen van Willem Barents, Jacob van Heemskerck, Jan Cornelisz. Rijp en anderen", publication de la „Linschoten-Vereeniging"). =) Le pendule triangulaire de 1 68 5 et des années suivantes était partiellemen t rigide (voir la p. 5 1 4). •') Mentionnons aussi que la „Geographia et Hydrographia reformata" de J. B. Riccioli (Bono- ni:e,ex typ. hsredis V. Benatij, 1661) donne (p. 407 et 4:3) pour la différence des longitudes de Candie et de Toulon 5i°32' — =8°36 = 22°56'. •t) Nous avons nommé (p. 371) la „Hakluyt Society"; qu'on nous permette de mentionner aussi les publications de la société correspondante néerlandaise, la„LinschQten-vereeniging" (com- parez la fin de la note i). 1 I i ANECDOTA. ii "~'AÏ<.i-i'V'^ Avertiffement. Nous terminons ce Tome par la publication des „Anecdota" déjà pluiieurs fois cités dans les Tomes précédents '). Il faut bien que ce petit raanufcrit foit publié quelque part intégralement et comme à peu près la moitié du texte fe rapporte aux horloges, et qu'il y efl: aufll queflion de la chute des corps et de la force centri- fuge par la confidération de laquelle fe tennine r,,Horologium ofcillatorium", c'efi: ici, nous femble-t-il, qu'il faut le placer. Les „Anecdota" ou „pièces inédites" datent d'une des dernières années de la vie de Huygens, puifqu'il y ell queflion de fes manufcrits fur la relativité du mouvement (voir les p. 195 et 2 1 3 — 23 1 du T. XVI). Le titre ne le rapporte évidemment qu'à ce qui précède le paragraphe fur Saturne, puifque les travaux fur cette planète, ainfi que r„Horologium" et r„Horologium ofcillatorium", avaient été publiés. Nous ne ferons aucune obfervation générale fur la partie confacrée aux horloges ni fur ce que Huygens dit de fes ouvrages fur les corps flottants, la dioptrique, la théorie du choc et les phénomènes de Saturne. C'eft exclufivement fur la relativité du mou\'ement et fur la force centrifuge, fujet qui s'y rattache, que nous dirons ici quelques mots. ')T. VII, XV et XVI. 83 65 8 AVERTISSEMENT. Le lefteur de ce Tome ') a vu qu'en feptembre ou oftobre 1687, lorfque Huygens eut étudié le rapport de de Graat fur le voyage de cette année du Cap de Bonne Efpérance à Texel, fes doutes fur Texiftence d'une force centrifuge provenant de la rotation de la terre s'évanouirent. La rotation journalière de la terre, avec une vitelTe angulaire déteriTiinée, devint par là pour lui une réalité inconteftable. C'efl ce qu'ex- priment p.e. ravant-dernicr alinéa de la p. 224 du T. XVI et divers partages du livre porthurae, le jjCosmotheoros" '). .\ la p. 647 du T. II des „Opera niechanica etc." (éd. 's Gravelande de 1 75 1 ) on lit (Lib. I du Cosmothcoros) : „Atque erunt quidem, qui cum Geometriam aut Matheniaticas nunquam attigerint, omnino vanum ac ridi- culum hoc inceptum noftrum cenfebunc. Incredibile enim iis \idetur, ut Siderum diftantias, aut qu£B fit magnitudo eorum, metiri polTîmus. Tum vero motum huic Terrœ aut falfo adicribi exiftimant, ûitt nequaqiiam aâhuc prohatum e\Je [nous fou- lignons]"; à la p. 65 i, après avoir dit que la diftance de l'étoile polaire au pcMe ell variable, Huygens continue: „Ut proinde cîelum totum, fi circumrotari dicatur, fuper alio atque alio axe id faciat neceiïe fit, quod eft ahfnrdijfimwn\ En écrivant: „Motum non aliuni quam relativum dari. etiam vertiginis motum relativum efle. contra Neutonum." Huygens ne veut donc pas dire qu'on pourrait raifonnablement parler d'une terre immobile. Ce qu'il loutient c'efl; que la rotation journalière doit être confidérée comme une rotation de la terre fur elle même ■''), qu'il ne faut pas l'appeler rotation />(!//• rapport à fefpace: voyez les partages cités dans la note 5 de la p. 1 98 du T. XVI. Aucun mouvement félon lui n'eft un mouvement par rapport à l'efpace; tout mouvement efl: celui d'un corps par rapport à d'autres corps ou des parties d'un corps les unes par rapport aux autres. „Ut motus circularis fit rela- tivus partium etc. An autem corpora duo inter fe relative moveri portimt quorum eadem manet dillantia? Ita fane etc.". (T. XVI, p. 232). 11 ne s'agit pas ici de difcuter la queftion de favoir fi cette opinion de Huygens eft fenfée ou non, mais feulement d'établir que telle était, dans les dernières années de fa vie, la manière de voir qu'il oppofait h celle de Newton. Nous avons déjà dit dans le T. XVI (p. 198, note 5) que, tout en niant le mouvement par rapport à l'efpace — „nullus eft mutatio loci refpeftu fpatij mundani"; ,,nK)tus inter corpora ') Voir les «Résultats de quelques expéditions maritimes". ^) Le „Cosmotheoros" fut prêt pour l'impression vers le 1 janvier 1695 (T. X, p. 703). 3) Comparez l'expression grecque „;v rw aÙTù cToÉyso-ôa!" (Platon, fciîairriro;, XVIII). AVERTISSEMENT. 659 relacivus tantiim eil" (T. XVI, p. 215 et 232) — Huygens femblc néanmoins attri- buer, li non aux directions des mouvements, du moins aux chanjtements de ces directions, un caraétère abiblu. Cette négation du uiouvemeiu par rapport à Telpace eil d'ailleurs chez Huygens antérieure à l'apparition (en 1687} des „Principia" de Newton; il ferait par confé- quent impofllble de l'attribuer fimplement au délir de contredire l'illullre anglais. En août 1669 Huygens écrivait (T. VI, p. 481): „Selon moy le repos et le mouuement ne peuvent élire conliderez que relativement, et le même corps qu'on dit eflre en repos a l'égard de quelques uns, peut élire dit ié mouuoir à l'égard d'autres corps, et mefme il ny a pas plus de réalité de niomtement dans l\in que dans Vautre [nous Ibulignons]", et probablement vers le même temps (T. VI, p. 3 27) „que le mouve- ment d'un corps peut élire en mej'me temps véritablement égal et véritablement ac- céléré félon quon raporte fon mouvement a d^ autres diferents corps'"' ^'). Il ne s'agit donc pas feulement de la relativité des mouvements unifomies, mais aufîi de la rela- tivité des mouvements accélérés. D'ailleurs cette dernière relativité fait fon apparition déjà en 1 659 : dans le Traité i"ur la Force Centrifuge le petit corps qui fe détache du bord de la roue tournant uniformément (le pefanteur étant exclue) — T. XVI, p. 260 — 16- — polfède un mouvement uniforme par rapport au milieu dans lequel la roue tourne, et un mouvement accéléré par rapport à un obfervateur attaché à la roue; la tendance à prendre ce mouvement accéléré relatif Mt que le petit corps exerce lur la main de l'obfervateur nommé qui le retient une force réelle. Comparez fur la conception relativille les 1. 3 - 1 d'en bas de la p. 5 1 8 qui précède. Nous avons déjà obfervé dans le T. XVI que l'exprellion Princip der relativen Beivegung fe trouve, pour la première fois croyons-nous, dans la préface de l'édition allemande de 1 903 du Traité fur la Force CentriRige et nous avons remarqué dans un article récent =) que les paroles citées de Huygens fur le mouvement véritablement ■•) Consultez toutefois le deuxième et le troisième alinéa de la p. 1 97 du T. XVI , où l'on voit que Huygens n'a pas toujours, nous semble-t-il, nié le mouvement par rapport au „spatium mun- danum". On remarque chez lui une certaine hésitation. Aussi écrit-il en 1694 à Leibniz (T. .XVI, p, 195) qu'il n'a trouvé le „sentiment plus véritable" que depuis deux ou trois ans. ') „De relativiteit der beweging volgens Chr. Huygens", revue „Hemel en Dampkring", mai 1 93 4. 66o AVERTISSEMENT. égal et en même temps véritablement accéléré ont une certaine reiïemblance avec la queflion pofée par Einflein : „Wenn dem Begriffe der Gefchwindigkeit nur ein rela- tiver Sinn zugefchriebcn werden kann, foll man trotzdem daran feflhalten, die Bc- fchleunigung als abfoluten Begriff tcllzuhaken ? ')". Ce parallélil'me ne manque pas d'intérêt, et mérite fans doute d'être mis en lumière, puifquc nous vivons à une époque où, en Angleterre comme ailleurs, grâce llirtout a Einftein, on n'attribue plus aux idées de Newton la valeur ablblue que bien des perfonnes leur attribuaient jadis. Si Huygens avait vécu plus longtemps, il efl; pofTible qu'il aurait fait un effort pour établir comment le principe de la non-exifl:ence du mouvement abfolu doit s'accorder avec le principe de la confervation des forces (p. 477). Pour Leibniz ') la difficulté était moins grande, puifqu'il admettait l'exiftence d'un mouvement abfolu tout en jugeant le phyficien incapable de le conftater 5). Pour faire voir que la notion du mouvement d'un corps par rapport à l'efpace immatériel n'eft pas claire, Huygens fe fert de l'argument philofophique fuivant (T. XVI, p. 225): „Cum Ideam motus nonaliundehabeamusquamexmutationepofitus corporis alicujus vel partium ejus (ut in motu circulari) ad alla corpora, nuUum id- circo motum imaginari polTumus quin iftam pofitus mutationem contingere concipia- mus, quoniam non poteft motus concipi cui non conveniat idea motus". Quoiqu'cn parlant de r„idea motus" ■♦) Huygens puiffie avoir fongé à quelqu' endroit de Platon — comparez la note 11 de la p. 31 qui précède — , il efl: fon poffible qu'il n'aurait pas fait cette réflexion, s'il n'avait pas été en poflfefllon de r„Eflay concerning the human underflanding" de 1690 de John Locke: comparez la note 4 de la p. 659. ') A. Einstein , „Mein Weltbild", 1934, Querido, Amsterdam, p. 249 (dans le Chapitre „Einiges iiber die Enstehung der allgemeinen Reiativitâts-theorie"). -) Voir sur Leibniz et le principe de la conservation des forces la note 6 de la p. 359 du T. XVI. •') C'est ce que Leibniz dit clairement dans la dispute avec Clarke dont nous avons parlé dans la note I de la p. 237 du T. XVL Voir en outre les p. 1 98 et 199 (note 8) du T. XVL ■•) Et peut-être déjà en 1688 de r„idea quietis" (T. XVI, p. 223). Nous remarquons qu'il y a un intervalle entre les deux derniers alinéas de la „pièce de 1688" et le texte précédent, et que la couleur de l'encre est différente. Il est donc possible que Huygens n'ait parlé ici de r„idea quietis" qu'après avoir lu le livre de Locke. AVERTISSEMENT. 66 1 En 1689 il avait rencontré en Angleterre non feulement Newton mais au(îï Locke; en 1 69 1 (T. X , p. 212) il écrit être fâché de n'avoir pas afTez connu ce dernier '), qui lui avait envoyé en mars 1690 ion livre qu'il dit lire „avec beaucoup de plaifir, y trouvant une grande netteté d'cCprit, avec un llyle clair et agréable" (T. IX, p. 393) ''). Or, Locke parle conllamment de la nature et de la valeur de nos „ideas'". Notons que d'après lui „our idea offpace is ... dillinct from that of body" (Livre II, Ch. XIII, § 27; comparez la p. 199 et les deux dernières lignes de la p. 231 de notre T. XVI). Toutefois Locke ne fe demande pas fi l'on peut raifonnablement parler d'une vi- teffe détemiinée d'une particule matérielle par rapport à l'eipace. Le philofophème de Huygens doit, paraît-il, être conlidéré comme plus ou moins original ''). 5) Il ne Pavait apparemment pas rencontré en Hollande où Locke avait séjourné de 1683 jusqu'en mars 1689. *) Huygens ajoute: „Je ne manqueray pas de lui écrire etc."; nous ne connaissons toutefois pas de lettre de Huygens à Locke. ') Mais voyez ce que Huygens dit sur Descartes dans la note 2 de la p. 2 1 4 et à la p. 233 du T. XVL ANECDOTA. § 1. De innatantibus. Exercitij gratia"). Archimedis demonftratio non videtur fufficere '). Meum Thcorema de appropinquationc cenrrorum gravitatis'). De Cy- lindro aliquid, de ConC*). Notavi Archimedem cum per locuni poflet brevius, maluilTe abfque eo '). Veteres hoc obfervaire ut lîmplicioribus rationibus in demonilrando uterentur, ut in 47 primi Elementorum noluerunt proporciones adhibere ''). Dioptrica '). prima fere ftudia in bis. adhuc ufque imperfecta nec pa;nitcre. diu promifTa. fruftra invertigaveramcorreftionemmutuamluperficierum Iphaericarum ^). qu£e lit optima lens convenu, 6 ad i ^). Theoremata omnia fere. forfan una demonllratio telelcopij. à nemine datam. Cartefium ignorade nec Gregorium, nec Fabrium aut quenquam Iciviiïe '"). De Pareliorum et Coronarum caudis aliquid extat in Diarijs "). radius transcylin- ') Voir sur le traité: „De lis qua; liquide supernatant" les notes i et 2 de la p. 93 du T. XI. -) Archimède, „De Corporibus (luitantibus" ou „nepi àym^-Mt". 3) Est-ce à son Jhpothesis /": „Si Corpus sponte, seu gravitate suû moveri incipiat, deorsum moveri;id est ut centrumgravitatispropius fiât piano liorizonti parallèle" que Huygens donne ici le nom de „Tlieorema" 1 ■*) Voir sur le cône Hottant les p. 1 13— 1 17, sur le cylindre flottant les p. 158— 189 du T. XI. 5) Nous ne voyons pas où Huygens a noté qu' Archimède eiU pu se servir, pour être plus court, d'un lieu géométrique. «) Le Theor. XLVII du premier livre des „Elementa" ou „Zzoi//icl" d'Euclide est le théorème de Pythagore. 7) T. XIII. 8) Voir les p. VII— VIII de l'Avertissement du T. XIII. ») Il s'agit de la lentille biconvexe d'aberration minimale; voir le dernier alinéa de la p. 290 du T. XIII. ■°) Huygens parle de la „Dioptrique" de 163; de Descartes, de r„Optica Promota" de 1663 de J. Gregory et de la «Synopfis optica" de 1667 de H. Fabry. Consultez sur ces livres le T. XIII. ") Huygens parle de sa publication de 1667 («Relation d'une Observation faite à la Bibliothèque du Roy"), sur laquelle on peut consulter la note 10 de la p. 162 du T. VI, ainsi que les notes S de la p. 498 et 2 de la p. 5 13 du T. XVII. Cette Pièce a été publiée par nous, avec quelques variantes, aux p. 498—50- du T. XVII. Mais le traité „De Coronis et Parheliis" ne fut publié (en traduction latine) que dans les „Opuscula postuma" de 1703. Le texte hollandais a été pu- blié pour la première fois en 1932 dans notre T. XVII. 664 ANECDOTA. dnim refraftus. ejus projeftio feu veftigium in bail , tanquam major proportio refrafti- onis efTet '). cylindrus glacialis a rtellula pcndens Keplero obiervatus -). Tabula aperturarum '}. Amplificatio ex fphaM'ulis et Icnticulis ■*). Quam difficile fphœrica; iuperficies perficiantur. quantum hic opers impenderim '). Mecium non elle primum invencorem "). AddidifTem libellam errori non obnoxiam. extac in Diarijs"). meretur confervari. Quid binis telelcopijs alij effecerinc ^). De animalculis in femine prscipua obfervacio. non pridem tafta, a Lewenhoekio exculta 9). De circulatione. De animalculis in aqua pipere mifta. quîe puto ex aère allabi '°). De motu ex collifione feu impulfu. dedi régulas qus exftant in Diarijs"). Quid Angli, ad quos 4 régulas priores miferam cum demonftrationibus. Wallifius non ha- bebat antea fed meam fibi ufurpat, fed obfcurè tamen. quce vis ejus demonftrationis non viderunc ' -). eam e: in moUibusadhibui. quidin venerim ' 3). Mariottusplagiator '+). ') Voir ce que nous disons nux p. 487 — 488 du T. X\'ll sur l'indice de réfraftion apparent .'V. =)T. XVII, p. 38761516. ^) Voir les p. 350 — 353 et 496 — 499 du T. XIII, ainsi que la note 5 de la p. 14 du T. XV. ■♦) Consultez sur les „iMicroscopes simples à boulettes sphériques" et les ,,Microscopes simples à lentilles"lap. 895duT. XIII. 5) Voir la p. 889 du T. XIII („Fabrication des lentilles"), la p. 601 du T. XV (idem), et les p. 248 — 258 et 287 — 304 du T. XVII, ainsi que les „Commentarii de formandis poliendisque vitris ad telescopia" publiés pour la première fois (en latin) en 1703 dans les „OpusculaPostu- ma"; le texte original hollandais (voir toutefois la note 5 de la p. 243 du T. XVII) paraîtra dans un des Tomes suivants de la présente édition. *) Voir les p. 436, 586, 588 et 591 — 593 du T. XIII. Descartes („Discours de la méthode") avait attribué l'invention du télescope à jacob Metius. 7) „Nouvelle invention d'un niveau à lunette" (Journal des Sçavans du 29 janvier 1680). „Dé- monstration de la justesse du niveau" (J. d. Se. du 26 février 1680). *) Nous ne savons pas à quelle pièce Huygens fait allusion. 9) Voir sur Leeuwenhoek la note 16 de la p. 315 du T. VII, et plusieurs passages du T. XIII. '°) Voir sur les observations microscopiques de Huygens les p. CXXXIX— CXLIl et 698 — 732 du T. XIII. ") «Extrait d'une lettre de M. Huygens sur les règles du mouvement dans la rencontre des corps" (Journal des Sçavans du 18 mars 1669). Voir les p. 169 — 181 du T. XVI. Le traité „De motu corporum ex percussione" ne fut publié qu'en 1703 dans les „OpusculaPostuma" Nous l'avons publié dans le T. XVI. '-) T. XVI, p. 172 — 178 (Avertissement). •S) Consultez sur la ,,Percussion des corps mous" la p. 592 du T. XVI. ">)T.XVI,p. 207— 209. '5) Voir sur cet alinéa, déjà cité dans la notes de la p. 198 du T. XV 1,1' Avertissement qui précède. ANECDOTA. 665 M o t 11 ni II u n a 1 i 11 m q 11 u m r e 1 a c i v u ni d a r i . c t i a m v cr t i g i n i s mot 11 ni rclativiim elfe, contra Neu t on um '') . De vi centrifuga exilant, fed non demonilrata "''). prœcipuiim theorema (forfan démon llrabo) quo vis ca exa-quatur gravituti "). Calileus deceptus "'). Libéra per vacuum «Sec. '"}. Neutonus applicuit féliciter ad motus ellipticos Fianetarum. hinc quanti fit ha;c vis centrifuga; cognitio apparet "^). Rorellus aliquid prius. fed vis cen- trifuge mcnfuram igmorabat "-'). Mirabile de turbine le fullinentc, nec adhuc perfpeéhim. § 2. De '°) pha;nomenis Saturni. et lunula. quale primum tclefcopium meum, lens ruperficierum altcram planam ex fpeculo habebat. exili apcrtura-').tantomirabilius--) annulum fuille repertum. Diligentia mira in obfervando per hyemem, tertia poil ine- diamnoctou, vigente gelii '>). Ex J\eura.M epiftola, de Gaffendo qui moriens delega- bat amicis banc de Satumo difquifitionem '■*). De lunula mca Gaflcndo dixeram "Q. Quid Cardinalis Mediccus et Itali, quorum fcripta fervo =*). Quid Eulhichius cum Fabro -■'). fed hic fententiam veriorem pollea amplexus ut in dialogis '^). quid Je ■^) "') Ces trois passages sont cités dans la note 3 de la p. 251 du T. XVI, où nous avons indiqué où Galilée s'était trompé. '') Comparez le premier alinéa de la p. 46 du présent Tome. Voir aussi le dernier alinéa de la p. 303 du T. XVI et la Prop. V à la p. 275 du même Tome. '8)T. XVI,p. 302. ■9) Comparez les p. 250 — 251 du T. XVI. -°) Tout ce qui suit se rapporte a des traités que Huygens avait publiés. -') Passage déjà cité à la p. 1 1 du T. XV, dans lequel nous avons publié la „De Saturni lunàobser- vatio nova" de 1656, ainsi que le „Systema Saturnium" de 1659. --) Leçon alternative: majus. =3) Passage cité à la p. 8 du' T. XV. -■•) C'est ce que de Neuré ou Neura;us (voir sur lui la note 1 de la p. 3-3 du T. III) dit dans la lettre à J. Cliapelain du 15 mai 1660 que nous avons publiée à la p. 375 du T. III. -5) Huygens avait rencontré Gassendi, qui mourut le 24 octobre 1655, à Paris en cette même an- née, comme il l'écrit à son père le 6 aoilt (T. I, p. 341). ^*) Huygens avait dédié son „Systema Saturnium" au prince Leopoldo de Medicis. Voir aussi les deux premiers alinéas de la p. 187 du T. XV. -^) Voir les p. 389 — 472 du T. XV. =8) T. XV, p. 401 , 402. -*) Lisez: Giuseppe. 84 666 ANECDOTA. Campanus, qui laureolam in muilaceo, quod Roms vidcndum prsebuerit '). Alij quatemi Satellites a Caflino inventi -). Correctio inclinationisanmili 3). Wallifij aftus in anagrammate-*). Wrennij hypothefis, eademque Frcniclij de qua hic deccrtat. Riccioli fere eadem. ÏNlira atfectacio vel ingenij tarditas, poil cognitam veram tali i"e venditantis 5). Hevelius ceflit *). § 3. De Horologioorcillatorio. quomodo primum invenerim ex hodometro ■'). Conatus plurium prsripere cupiencium. ut in Experinientis Florentinis ''). Poil noflrum libel- luni in Italiam dimifTiim, figuras per Bullialduni a Cardinali IMcdiceo millas quaruni Galilei alteram. Ibd difficili machinatione, ut non mirum non ilicccflUTc^). Hevelius fibi occeptum '°). Germanus quidam ciniflo ") volebat Tychonem Brahe mihi prsi- vifîe. Daniœ legatus Craghe habebat vêtus horologium Tychonis ncquaquamaftabre elaboratum cui pendulum inerat, et contendebat ira olim tabricatum tuiïïc. ied 01. Romcrus qui hue iter tune forte habebat traudem coarguit, optime le mcnilTe [lisez: meminiïïe] dicens a quo et quando penduhmi illud ipfum appenfum foret '-}. ') L'expression „laureolam in mustaceo quîerere" fie „mustaceum" est une tarte où entrent des feuilles de laurier) se trouve chez Cicéron („Epistola; ad Atticum", Lib. V, Ep. XX, § 4) et signifie: vouloir tirer gloire de choses peu importantes. Or, il nous semble que la gloire de Campant était bien méritée: voir p.e. la note 1 de la p. 1 17 du T. \^ et la p. 14 du T. XV. Sans doute Huygens veut dire simplement que Campani n'avait vu l'anneau de Saturne qu'après lui (voir la p. 96 du T. V). -) Voir sur la découverte du deuxième et du troisième satellite de Saturne la p. 35 qui précède. Cassini découvrit encore deux satellites en mars 1684 (T. VIII. p. 492 — 494). ^) Voir la note 2 de la p. 206, ainsi que la p. 208 , du T. XV. ■•) Voir sur r„astus" de Wallis la p. 458 du T. I. ') Voir sur les hypothèses de Wren, de Frenicle et de Riccioli la note 7 de la p. 381 du T. X\', où nous avons déjà cité ce passage des „Anecdota". '') Passage cité dans la note 10 de la p. i 84 du T. XV. ") Passage cité à la p. 36 du T. XV il. *") Voir le deuxième alinéa de la p. 60 du présent Tome. s*) Voir les p. 8 et 14 du T. III, la note 2 de la p. 38 du T. XVII et le troisicme alinéa de la p. 65 du présent Tome. '°) Voir la note 9 de la p. 1 1 du T. XVII. ") Ciniflo = cinerarius. Le mot, qui se trouve dans les Satires d'Horace (1, 2, 98) désigne un individu de bas étage. '-) À la p, 238 du Manuscrit F datant de 1686 Huygens écrit: „Tychonis Brahei Mechanica édita a° 1602. A° 1586 auctor erat annorum 40. \n defcriptionc quadrantis muralis magni ANFXDOTA. 667 Sed praîcipuum lonf!;c hic e(l Cycloidis invcntum. utinam vidiffct Galileus. Broun- kenis tentavit Aii();lis vel (ihi hic aliquid deccrpere, édita dcmonflratione, ablque mci incntionc, Icd liilla, cum et ancenlianiquoquc tallhniadmcmiliiret ''j. Pardics etiam, fed noftrît non coniparanda, in qua tempiis definitur '+). Qvialc horolou;ium ad lont^itudincs mcticndas paravcrim, terc ut in libro edito, fcd addituni ut lingulis honu Icrupulis lexagclimis cadeni omnia rcverterentur, una rota perenncm motum habcntc, rcliquis quicicentibus, niti cum huicnovœ vires con- ciliandœ ''). qui UicceUus. et de variationc Tecundum distantias ab a' q u a t o r e . Voldero cxaminatum ' ^'). De Evolutione nova Theoria et lucem adterens geometricis rébus ''). De centro ofcillationis, cujus particulamquandam aliter demonilrarc nonnuUi exi- ftimarunt aliquid efTe '"). meminit horologiorum quibus utitur, qua; ad (crupula fecunda indicent. In liis magnum unum fuide fcribit in quo rota una 1200 denticulorum. huic duorum cubitorumdiametcr. Omnium iftorum horologiorum compofitionem alias (e datu- rum pollicetur. Pendulorum nulla hic mentio. I lorologio D' Kragij Danici legati infcriptus eft annus 1576 fi benc memini. Quod fi illo jam tempore Penduli ufum reperiiïet Tycho, qui fieri potuit ut toto 24 annorum ipatio, quos poftea vixit (obijt enim a° 1601 menie Od.} nuUum in fcriptis luis, inventi tam egregij tam- que exoptati mentionem fecerit! Itaque exillimo Di Kragij horologio Tychonico pendulum poilea adjeftum, idque ea induftria ut videretur jam olim ita fabricatum efie. Atque hoc ita te habere teitatus ell: Cl. Romcrus cum e Dania Hagam Comi- tis venifiet ac le certo fcire quando ita immutatum fuerit". La dernière phrase a appa- remment été ajoutée plus tard (autre couleur d'encre). Riïmer visita la Hollande en i68~. '5) Voir sur la première démonstration de Brouncker, celle de 1662, la p. 349 du T. XVI; sur une deuxième datant de 1673, la p. 304 du T. VU; et sur une troisième la p. 314 du T. VII, où nous avons cité le présent texte. '■') Voir sur la démonstration de Pardies les p. 487 — 488 qui précèdent. ■') À la p. 179 du T. WII il est parlé (en 1665) d'un remontage qui aurait lieu toutes les 15 se- condes. Dans le „liber editus",c.à.d.dansr„Horologium oscillatorium", il est question ('p. 118 qui précède) d'un remontoir se remontant toutes les demi-minutes. iMais le remontoir de 1685 (déjà construit plus tôt; voir la note S de la p. 533) se remontait toutes les minutes (voir le N° XXVII à la p. 54: qui précède, et la p. 290 du T. IX). À propos du remontoir de r„Hor. ose." nous avons dit à la p. 182 du T. XVll que suivant Gould il se remontait toutes les demi-secondes. Nous avons remarqué depuis que ce ctiriosum se trouve déjà chez Berthoud («Histoire de la mesure du temps etc.", I, p. 248). "') Voir sur la „variatio" nommée provenant de la rotation de la terre, et sur les remarques de de Volder, les p. 640^641 qui précèdent. "'') Voir les p. 40 — 44, 188 — 241 et 388 — 410 qui précèdent. '") Voir les p. 33—34. 46—5°. 52— 58, 242— 359, 413—436 et 441—466 qui précédent. 668 ANECDOTA. 15 ped. cum uncia Ipatium cadendo peraCtura in fcrupulo horîe fecundo '). Penduli fecundorum longitude ante ignoca -}. Merfenni 5). Mirum nec ipfi nec qui ipfius libellum legifTet non venifle in nientem ut horologio pendulum apcaret +). Horologium portatile cum involuco elaterc. Kraus plagiarij Pariiienlis induftriiv non vulgaris. non potuit le concinere '). Omitte de Privilégie *). Vitium Elateris ex mutacione caloris. alioqui tencaflem itinere in Indiam"). Omnia horologia portatilia portea hoc invento correcla. ubi tôt mechanici continue le exercuerint dico talia mirum non fuifle animadverfa. Hookij ineptise, fuipiciones, injurise, alias fatis ingeniolî. literœ Brounkeri. iplîs Anglis molertus Hookius. Hevelio iniquus ^). Horologium ex circulari pendulo. quid incommodi '■''). •) Voir les p. 354 — 359 qui précédent. •) Voir la note 2 de la p. 354 du T. XVII et les p. 43 1 et 57 1 du présent Tome. ^) Voir sur Mersenne la note i de la p. 70 et la note 9 de la p. 279 du T. XVII. ••) Le „libellum" est peut-être celui de 1639. „Les nouvelles pensées de Galilée". 5) Il s'agit de I. Thuret; voir la p. 504 qui précède. *) Voir la p. 504. 0 Voir la p. 508. *) Voir sur Hooke les notes 2 de la p. 502 , 4 de la p. 504 et i de la p. 605 du présent Tome. Sur Hookeet Hevelius on peut consulter les p. 395, 431 et 432 du T. VII. ') Voir sur les horloges à pendule conique les p. 360 — 365 et 437 — 438 qui précédent. Nous ig- norons à quels inconvénients de ces horloges Huygens fait allusion. TABLES. I I I. PIÈCES ET MÉMOIRES. Page. L'HORLOGE À PENDULE OU A BALANCIER DE 1666 A 1695, AVERTISSE- MENT 1—4 L'HORLOGE À PENDULE DE 1666 A 1673 5—25 Texte 7 — 19 .Ippendice /. Rcquéce de Chr. Huygens à Louis XIV, pour obtenir un privilège fur les liorloges marines [1665] 20 Appendice II. Chofes à corrige- aux pendules de mer [1668J 21 — 22 Appendice lll. Autres corrections aux horloges [1668 — 1670] 23 — 24 Appendice Jl'^. Expérience fur la dilatation des corps lolides par la chaleur [1675 y] . . . 25 IIOROLOGIUM OSCILLATORIUM DE 1673 27—438 Avertissement 29 — 67 (^)ueftions de mathématiques pures. A. Quadrature du cercle. B. Développées et dé- veloppantes femblables. C. Rayon de courbure 39 — 44 Queftions de mécanique théorique. . /. Pefanteur et force centrifuge, fi. Arcs cycloi- daux et pendule compofé. C. Rectangulum ofcillationis ou rectangulum dillantiarum. D. Méthode de la Prop. XV de la Pars Quarta. /". Recherche du centre d'olcillation dans quelques cas particuliers 44 — 50 Expédition pour déterminer les longitudes et table de l'équation 50 — 52 Précurfeurs et concurrents de Huygens.^. Tangentes aux courbes engendrées par les points d'une figure roulante. B. Centre d'ofcillation et mefure univerfelle de la lon- gueur. C. Horloges à pendule ofcillant dans un plan antérieures à celles de Huygens. D. Horloges à pendule conique 52 — 67 Titre 69 Figure repréfentant l'horloge aftronomique à pendule 71 Sommaire 72 — 73 Dédicace de Huygens de fon livre à Louis XIV, Roi de France et de Navarre 74 — 8 1 Hadriani Vallii Daphnis, ecloga, ad Chr. Hugenium 82 — 83 Privilège du Roy 84 Préface de Huygens 86 — 9 1 Première Partie, contenant la defcription de l'horloge 92 — 123 Deuxième Partie, de la chute des corps pefan ts et de leur mouvement cycloïdal 1 24 — 1 87 Troifième Partie, de l'évolution et de la dimenlion des lignes courbes 188 — 241 672 1. PIÈCES ET MÉMOIRES. Page. Quatrième Partie, du centre d'ofcillation 242 359 Cinquième Partie, contenant une autre conftrurtion bafée fur le mouvement circulaire des pendules, et des théorèmes fur la force centrifuge 360 — 368 Appendice I à la Première Partie. Détails fur les obfervations à faire fur mer pour trou- ver les longitudes à l'aide d'horloges [1668 — 1669] 369 373 .ippemiice II à la Première Partie. Calcul de la période d'un pendule fimple dépourvu d'arcs cycloïdau.x et exécutant des ofcillations de 180° [1659— 1693 ou 1694] 374—387 .Ippendice à la Deuxième Partie. Figures roulantes [1670] 388—394 .//)/i«/(7'/Ve//?/«7/-9//?^7«?/'<7r//>.Re(5tificationdes„paraboloVdes"etdes„hyperboloïdes" 395 — 396 .Ippendice II à la Troiftème Partie. Quadrature de la furface des „fphéroïdes" et des „conoïdes paraboliques" 3P7 — 3^8 Appendice III à la Traifième Partie. L'épicycloide [1678] 399 — 405 .Ippendice [F à la Troiftème Partie. Développée du folium Cartefii [1691] 406 — 409 .Ippendice l' à la Troiftème Partie. Rayon de courbure minimal de la courbe logarith- mique [1692] 410 . Ippendice l à la Quatrième Partie. Premier projet d'une démonftration de la loi de l'équilibre de la balance [1666] 41 1 — 412 Appendice II à la Quatrième Partie. Centres d'ofcillation d'un fegmenc de parabole, d'une croix et d'un demi-paraboloïde de révolution. Lieu des bafes d'un groupe de cOnes droits fufpendus au même point et pofledant le même centre d'ofcillation 413 — 418 .Ippendice III à la Quatrième Partie. Centre d'ofcillation d'un ferteur de fphère[i 669 ou 1670] 41 9— 426 .Ippendice II' à la Quatrième Partie. Conlidération fur le défaut d'ifochronifme réful- tant de ce que le pendule fufpeudu entre les arcs cycloïdaux eft un pendule phyfique et non pas mathématique [1670] 42?— 428 . Ippendice Va la Quatrième Partie. Le poids curfeur du pendule. Longueur du pendule à fécondes [1670] 429 — 432 .Ippendice VI à la Quatrième Partie.NonveUe démonftration de la formule fondamen- tale du pendule phyfique, bafée fur la décompofition de la force vive totale d'un corps rigide en une force vive de tranflation et une force vive de rotation autour du centre de gravité [1692 ou 1693] 433—436 .Ippendice I à la Cinquième Partie. I,e pendule conique et fon poids curfeur [1667 ou 1668] 437 .Ippendice II à la Cinquième Partie. Remarque fur la conftrudion des horloges à pen- dule conique 43 8 OBJECTIONS DE ROBERVAL CONTRE LES DÉMONSTRATIONS DE L'AU- TEUR DE L'„HOROLOGIUM OSCILLATORIUM", ET RÉPONSES DE HUYGENS [1670] 439—456 Avertissement 441 — 44- Texte 45 , -456 1. PIÈCES ET MÉWOlRLi. 673 Page. f)E HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE COK- TROVERSIA ULTERIOR [1681 — 1690] 457—466 LA CONSERVATION DES FORCES 467—477 Avertissement 469 — 472 I. Le perpetuum mobile du marquis de Worceller [1667] 473 — 474 IL La non-CwXiftence du mouvement perpétuel fuivant Stevin [1676] 475 — 476 III. La confervatioii des forces fuivant Huygcns [1693] 477 PRINCIPE DE L'INCITATION DONNÉE AUX CORPS PAR UN AGENT EX- TÉRIEUR OU PAR UNE CAUSE INCONNUE, ET DÉCOUVERTE DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LTSOCHRONISME DES VIBRATIONS 479—498 Avertissement 479 — 488 I. Découverte de la théorie générale de rifochronifme des vibrations [1673 ou 1674J. 489 — 495 II. Principe de l'incitation donnée aux corps par un agent extérieur ou par une caufe inconnue [1675 ou 1676] 496 — 498 APPLICATION PRATIQUE AUX HORLOGES DE DIFFÉRENTS MOUVE- MENTS VIBRATOIRES PLUS OU MOINS ISOCHRONES 499—596 Avertissement 501 — 521 1. L'application de janvier 1 675 durellbrtfpiralréijuiateur aux balanciers des montres 522 — 526 11. L'application de décembre 1683 des vibrations de torlion aux horloges marines (pendulum cylindricum trichordon) 527 — 535 III. Premier projet de 1683 ou 1684 du „balancicrmarin parfait" de 1693 536 — 538 IV. L'application du pendule triangulaire, datant déjà de i67i,àunehorlogemarine conllruite vers 1685, cette dernière étant un remontoir à reflbrts 539 — 545 V. Le „balancier marin parfait" de janvier-février 1693 546 — 561 VI. La „libratio ifochrona melior pra;cedente ' de mars 1693 562 — 570 VIL La „libra ilbchronis recurfibus" de mars 1694 571 — 591 VIII. La dernière horloge marine de 1694 592 — 596 HUYGENS, ROEMER ET LEIBNIZ HORLOGERS 597—623 Avertissement 599 — 604 1. L'échappement à ancre ['675] 605 — 606 I I. La forme des dents des roues. ./. Forme épicycloïdale des dents pour les roues pla- nes, d'après Roenier. fJ. Forme épicycloVdale des dents d'un pignon qui engrène dans une roue de champ à dents plates, et forme des dents d'une roue de champ qui engrène dans un pignon à dents plates, d'après Huygens[i674] 607 — 620 UL Manière de faire qu'en montant l'horloge à relTorts elle ne difcontinue par fon mouvement 621—622 IV. Forme de la vis et de l'écrou fervant à monter ou bailler le plomb du pendule .... 623 INSTRUMENTS NAUTIQUES 625—629 RÉSULTATS DE QUELQUES EXPEDITIONS MARITIMES 631—653 ^i. L'expédition de 1669 de Toulon ù Candie,et retour, duducdeBeaufortetdede 85 674 !• l'iÈCES ET iMÉMOlRlCS. Page. laVoye. 5. L'expiîditioiide 1672 — 1673 de J. Richer à Cayenne. C. L'expédition de 1686 de Texel au Cap de Bonne Efpt'rance, et retour; rapports de 1 lelder et de Graaf. D. L'expédition de 1690 — 1692 de Texcl au Cap de Bonne El'pérance, et retour; rapport de de Graaf. E. Quelques remarques i ur la détermination des longitudes avec les horloges ou par l'obfervation des latellitcs de Jupiter; etc. ANECDOTA 655—668 Avertissement 657 — 66 1 Texte 663—668 II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. Dans cette lifte on n ran^é les noms fans avoir épard anx particules de, a, van et autres. Les chiffres gras ddfigncnt les pages où l'on trouve des renfeignements biographiques '). Abalphatus Afpahanenlis, oti Abu'l fath !bn Mohammed al-Isfahàni. 394. Académie de Cambridge. 44. Académie (françaife) des Sciences. 4, 9, 18, 19,25,32,36,40,45, 412, 442,443, 452,454, 455 , 458 , 4-5 , 48 : , 486 , 502 , 505 , 52 1 , 529, 544, 600 , 602 , 603 , 636. Académie Impériale de Petersbourg. 41 , 46. Académie Royale des Sciences d'Amrtcrdam. 516. Accademia del Cimento de Florence. 60, 666. Adam (Charles). 52, 232, 388. Albéri (Eugcnio). 61 , 62. Alembert (Jean le Rond d'). 442, 465. Alesme (A. d'). 503. ApoUonios. 41 , 393 ^ 394^ «599. Appell (P.) 204. Aratos. 30, 31, 83. Archimêde. 33 , i -8 , 2 1 o , 2 1 1 , 250 , 25 1 , 377 , 424, 48 1 , 599, 663. Archives communales de Dordrecht. 515. Archives communales de la Haye. 7,509, 516, 517. Archives communales de Leiden. 701. Archives communales de Nymègue. 602. Archives de l'Etat à la Haye. 509, 523, 525. Archives des Etats de Hollande et de la Frife occidentale. 524, 525. Archives notariales de la Haye. 7, 509. Archivifte d'Arnhem. 504. Archivifte départemental à Saint-Lo. Voyez Legoy. ') Le lefteur trouvera dans la liste des chiffres gras — voir p. e. Harrison — qui ne se rapportent pas à des rcnsciRnements biographiques proprement dits: mais ne peut-on pas dire que, pour un horloger p.e., l'histoire de ses ou\'rages constitue la partie la plus importante de sa biographie? Dans le T. XVII nous avons omis par mégarde le nom de Rijnaerts (Christiaen). 12. 676 II. PERSONNES ET INSTITUTIONS JÎENTIONNÉES. Archiviftes de la Haye. 523. Ariftote. 54, 204, 600. Aftronomes grecs (les). 603. Atticus (Titus Pomponius). 666. Auzout (Adrien). 603. Baldi (B.). 54. Baleftri (Domenico). 61. Barents (Willem). 653. Baflermann — Jordan (E.). 66. Batenburch (Jan van). Voyez van Call. Beaufort (duc de). 10, 12,21, 116, 117, 119, 3r3,<533- Beaune (Florimond de). 407. Bêcher (Johann Joachira). 702. Becker van Call (Jan). Voyez van Call. Beeckman (Martin). 8. BernouUi (Jacques). 40, 42, 43, 227, 457— 461, 463— 465, 470, 501 , 547. BernouUi (Jean). 41 , 43, 458, 465, 466, 501 , 601. Berthoud (Fernand). 506, 519, 547,548,667. Bewindhebberen. Voyez Direéleurs. Bibliothèque de i'Cniverfité de Gôttinguc. 55. Bibliothèque de TUniverfité de Leiden. 67, 609, 640, 645. Bibliothèque du Cabinet du Louvre à Paris. 84. Bibliothèque Impériale à Paris. 20. Bibliothèque Nationale à Paris. 4, 20, 459, 695. Bibliothèque Royale à Paris. 84. Biot(J.B.).43,6i,62,65. Blaeu (W. J.). 37 1 , 634, 701, 702. Bodeker (Joft). 66. Bois (P. du). 520. Boismorand (de). 59. Borelli (G. A.). 41 , 43, 393» 394' ^^5- Boulliau (Ifmaël). 4, 17, 60 — 62,,666. Bourbons (les). 35. BoutToux (Pierre). 511. Boyle (Robert). 453. Brahé (Tycho). 34, 505, 600, 666, 66j. British Mufeum à Londres. 701. Britten (F. J.). 520. Broeck (G. van). 8. Bronsvelt (G.). 8. Brook Taylor. 486. II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. 677 Brouncker (William). 58, 211 , 243, 5 2 2,667, 668. Brown (Harcourt). 4, 698. Bruce (Alexandre), comte de Kincardine. 22, 1 15. Brugmans (H. L.). 3, 695, 698. Bruna (P. P.). 51 , 695. Brunfchvicg (Léon). 511. Diirgi (Joft). 32. Call(Jan van).602. Caltholl"(Cafpar). 4S4. Camerini. 60, 65. Campani (Giufeppe). 665 , 666. Cantor (M.). 41 , 43, 226. Carcavy (Pierre de). 8 , 59. Cardan (Jérôme). 1 1 , 12. Cartes (René des). 46, 52—54, 154, 208, 209, 232, 233, 242, 243, 388, 393, 401—403, 406, 407 , 446, 453 , 456 , 4f:o, 469, 472, 483 , 603 , 66 1 , 663 , 664. Caflîni (Giovanni Domenico). 35 , 636, 652 , 666. Caftelli (Benedetto). 442. Caflillioneus ou Caftillion (J.). 43. Catelan (Abbé de). 457, 459, 460, 461. Catelan (M'"')- 459- Cavalieri (Bonaventura). 50. Cavendish (Cliarles). 52, 53, 243. Centre international de fyntliéfe. Voyez Comité international etc. Céfar (Jules) (C. Julius Cafar). 30. Ceulen(Johannes van, père). 32,508,509,510, 51 1, 513, 516, 525, 526, 532, 533, 534, 567 , 6Ç)Ç. Ceulen (Johannes van, fils). 509. Chapelain (Jean). 7—9, 32, 34, 513. Charles I, Roi dWngleterre. 474. Charles II, Roi d'Elpagne. 519. Chriftian V, Roi de Danemark. 603. Cicéron (M. Tullius Cicero). 3, 666. Clarke (S.). 660. Clément (William). 606. Clémente di San Carlo. 442. Clerfelier(Cl.). 52, 388. Clockmakers Company à Londres. 520, 547. Cloefen (Bernard van der). 516, 51Ï, 520, 521, 567, 593, 595. Cloefen (O. van der). 517. Colbert (Jean Baptifte). 9, 20, 35, 84, 522. 678 II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉILS. Collège de Clcrnimit à Paris. 487. Collins (.[.). 43,44. Comhes (F. de). 24, 371. Comitc international d'hiftoire des fciences et de la fection d'iiiftoire des fciences du centre inter- national de fynthèfe. 53. Communauté des marchands libraires et imprimeurs de Paris. 84. Compagnie des Indes (anglaife). 521. Compagnies des Indes des Pays-Bas impériaux. 521. Compagnies des Indes (françaife). 521. CompagniehollandaifedesIndesOrientales. 509,514,515,521,526,532— 534,539,544,562, 592,641,647. Confeil communal de Nymégue. 602. Confeil privé du Roi Louis XIV. 84. Copernicus. Voyez Kopernik. Corporation des horlogers à la Haye. 509, 517. Cofter (Salomon). 63,64,438, 513, 599,601. Cour provinciale de Hollande. 8. Craghe. 666. Curateurs de rUniverfité de Leiden. 19. Daligre. 84. Dam (P. van). 510. Davis (John). 371,372. Delambre (J. B. J.). 635. Derham (William). 606. Defcartes. Voyez Cartes (des). Defchales (C, F. M.). 58. Dettonville (A.). Voyez Pafcal (Blaife). Dircks (H.). 474. Direfteurs de la Compagnie hollandaifc des Indes Orientales. 509, 510, 514, 515, 526, 533, 539, 544062,592,641,643. Divinis (Euflachio de). 665. Doncker (H.). 634. Douw (Simon). 33. Drummond Robertfon (J.). lï, 60, 61, 62, 63, 505, 520, 523, 606, 695 , 699. Duhem (Pierre). 54, 470. Duillier (Nicolas Fatio de). 610, 637. Duflen (Willem van der). 514, 515, 701. Ecchellenfis (Abraham). 41 , 393, 394. Einftein (Albert). 660. Elviiis (P. P.). 387. Eftienne. 24, 58. 11. PKRSONNliS Eï INSTITUTIONS MENTIONNÉES. Ù-Jf) lùats de llolhuuii.' l-i ilc la FrilL' Dcciticiitale. 63, 90, 504, 598, 523, 524. lùats-Gcnéraux. 504, 525. lùiclide. 31,39, 151, 186,284,285,292, 293,300—303,441,663. Eudoxe. 30. liiiler (Léonard). 41, 46, 378, 387, 428, 518. Fabry (Ilonor.:-)- 5=, »3, 54, 57, 5», 242, 243, 443— 447, 663, 665. l'addcgon (J. IVl.). 695. l'atio. Voyez Diiillicr. Ferdinando de IVIedieis. 63 — 65, 6<)<). Fermât (J.). 2 1 o , 2 1 1 , 45 1 , 5 u , 530. Fhinilleed(J.). 641. Frenicle de Belly (B.). 666. Friedlein (J.). 600. Fockes (Bareiit). 534. Fromanteel (John). 513. Fullenius (Bernhard). 510. Galilei(Galileo).3a, 45,46,60— 62,63,65, «3, 88, 90, 91 , 136, 137, 140—143, 172, 173, 184, 185, 376, 441 , 442, 452, 453, 456, 487, 605, 606, 652, 665— 668. Galilei (Vincenzio). OO — 63, 65, 90, 91 , 699. Galilei (Veuve de Vincenzio). 61 — 63. Gallois (J.). 509. CîalJon. 547. Gallend ou Gafiendi (Pierre). 665. Gazier (F.). 511. Generini (Francefco). 63, 64. Gen: (Willem Joleph van). 17. Géomètres grecs (les). 33, 34, 603. Golius (Jacobus). 41 , 393, 699. Gouffier (Artlnis), duc de Roanais. â03. Gould (Rupert T.). 16, 17, 521 , d4.î, 560,667. Graal" (Abraham de). 544. Graaf(I. de). 535. GraatXJohannes de). 513— 515, 535, 539, 544, 545, "^S^— 640, 642—646, 648, 658. Graham (George). 547. 's Gravefande (Gulielmus Jacobus). 7, 67, 93, 122, 139, 220, 235, 308, 309, 457, 485, 521,658. Gregory(J.). 40,663. Gretton (Ch.). 520. Guirtrey(J.). 505,633. Guillaume III. Voyez Willem III. Guldin (P.). 49. Gunther(R. Th.). 371. 68o IL PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. Hakluyt Society. 3- 1 , 653. Halley (E.> 393. Hamel (J. B. du). 443 , 505 , 602. Harrifon (John). 17 , 588. Hartfoeker (N.). 459. Haïuefeuille (J. de). 502 — 504. Heckfcher (A.). 44, 226, 301. Heemskerk (Jacob van). 653. Helder (Thomas). 5 1 3 . 539i 636 , 637 , 642. Henriette-Anne d'Angleterre, duchelTe d'Orléans. 7. Henry (Ch.). 443, 45 1 , 5 1 1 , 530. Hermann (Jakob). 40. Heuraet (J. van). 208 — 2 1 1. Hevelius (Johannes). 4, 442 , 629, 666, 668. Hire (Philippe de la). 602, 603, 610,611 , 614. Holmes (Robert). 7,9, 116, 117. Holwarda (J. F.). 83. Homère. 83 , 503. Honoré Naber (S. P. 1'). 653. Hooke (Robert). 17 , 6«, 484, 608—505, 606, 668. Hôpital général de Paris. 84. Hôpital (G. E. A. marquis de 1'). 43, 457 — 464, 592. Horace. 666. Horlogers anglais et français du dix-huitiéme fiécle. 530. Horrebow (P.). 505, 600, 602, 606. Hudde (J.). 232, 406, 408, 509, 510, 526, 533— 535 > 539. 544. 545- Hulshof(A.).702. Huygens (Conftantyn, frère). 505, 532, 544. Huygens(Conltantyn,pére).7,2o,29,3o,4i, 53,55,66,82,84,86,87,446,504,505,509,516,544,665. Huygens (Lodewyk, frère). 9, 10,22, 633. Huygens (frères). 29, 82. Jaeger (F. iVI.). 702. Jal (A.). 20. James II, Roi d'Angleterre. Voyez York (duc d'). Jean Cafirair, Roi de Pologne. 64. Kepler (Johannes). 42, 664. Kincardine (comte de). Voyez Bruce (Alexandre). Kock (A. C. de). 699. Kopernik (Nicolas). 34. KrafFt (G. W.). 40, 41 , 400. Kragius. Voyez Craghe. II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. 68 I Laer (Pieter van). 701. Lagrange (J. L.). 442 , 445 , 458 , 464, 470. Lalovera ou de la Loubère (A.). 204, 205 ,211. Lavifle(E.> 35,443- Lefort (F.). 43. Legoy (A.). 400. Leeuwenhoek (Ainony van). 664. Leibniz (G. W.). 40, 48, 44> 21 1 , 37», 434> 458, 465. *»•— *»2' 483. 484. 486, 503. 508, 519, 523, 525, 546, 592, 597—623,659,660, 699, 700. Lennep (Jacob van). 649, 652. Leopoldo de Medicis. 60 — 65, 441,665, 666,699. Linfchotenvereeniging. 653. Locke (John). 660, 661. Loria (Gino). 603, 608. Louis, duc d'Orléans. 521. Louis XIV, Roi de France. 7—9, 18—20, 30, 32, 34, 35,69,74—81,84, 1 16, 1 17,459,505,522. Magalotti (L.). 60. Malvafia (Cornelio). 91. IVIarchetti (Alefl'aiidro). 442. Marguet (F.). 518, 520, 522, 546. Mariotte (E.). 58, 482, 603, 664. Martinot (ou iVlartinet). 4, ô03. Medicis (les). 35. Voyez auffi Ferdinando et Leopoldo de Medicis. Meerfche (P. van der). 698. Mercator (Nicolas). 519. Mercator (Nicolaus). 641. Merfenne (Marin). 41, 52— 55, 57, 58, 101 , 203, 204, 242, 243, 388, 401, 443— 446, 455, 486,530,668. Metius (Jacob). 664. Meybofch (Carel ou Gillis). 701. Molhuyfen (P. C). 19,519- Monte (Guido Ubaldi del). 54. Montmort (H. L. H. de). 8 , 9, 698. Moray(R.). 7,311- Motte (B.). 485. Mousnier (Pierre). 63, 54— 58, 443, 445—447. Mouton (Gabriel). 36, 59, 352, 353. Muguet (F.). 69,84. Mufée de la „Clockmakers Company" à Londres. 547. Muys van Holy. 523. Nederlandfch Hiftorifcli Natuurwetenfchappelijk Mufeum. 371 , 517, 525. 86 682 II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. Xelius ou Neile (W-). 210, 211. IS'euraeus ou de Ncuré ("M. A.). 665. Newcomb (S.). 51. Newton (Ilaâc). 37, 38, 43— 45, 387 > 4°°' 483—486, 501 , 546, 547, 551 , 554, 563, 579, 636,658-661,665. Nierop (Rembrantfz. van). Voyez Rembrantfz. Nix (L. M. L.). 394. Noël (Ellienne). 54. Nulandt (F. W. de). 117. Obfervatoire de Copenliague. 18, 600 — 602. Obfervatoire de l'Univerlité de Leiden. 18, 19, 52, 601. Obfervatoire de Paris. 18, 35, 78, 79, 505. Oettingen (A. von). 44, 226, 301. Oldenburg (Heinrich). 487, 504, 505. Oofterwijck (Severijn Adamlen). 8,9, 17, 1 19, dOâ. Orléans (duc ou duchelle d'). Voyez Henriette-Anne, Loiiii, et Philippe. Oawald(W.). 44,301. Pappos. 34, 49, 276. Pardies (I. G.). 485 , 48S , 488, 502 , 667. Parlement français. 84. Pafcal (Blaile). 203, 204, 212,213, *®3, 51 1,530. Pafcal (Claude). 513. Pafcal (Etienne). 451. Péripatéticiens (les). 454. Perrault (P.). 522. Petit (Pierre). 372. Philippe, duc d'Orléans. 7. Philofophes du dix-huitième fiécle. 599. Picard (£.). 204. Picard (Jean). 18, 25,603. Platon. 31,658,660. Ptolcmée. 486. Pythagore. 486, 663. Pythagoriciens (les). 486. Rambaud (A.). 35,443. Rembrantfz. van Nierop (Dirk). 641 , 642. Reverchon (Léopold). 92. Riccioli (Giovanni Baptifta). 653,666. Richer (Jean). 18,22, 117,635,636. Roanais (duc de). Voyez Gouffier. Roberval (Gilles Perfonne de). 4, 52, 54, 55, 204, 205, 243, 439, 442, 443, 445—447, 449— 457. 459> 51 1029,530- II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. 683 Rocmcr (Ole). 505, 597 — 623,666,667,700. Royal Society. 4, 36, 66, 352, 353, 547, 606. Royer(A.J.). 519,698. Rijp (Jan Coriiclif/.). 653. SclieepvaartimilL'um à Aiiiflerdain. 701, 702. Sclicvicliaven (M. I). J. van). 602. Schooten (Frans van). 52, 154, 208 — 21 1, 388, 393, 401, 402, 407. vSchiitte (F.). 603. Schuh (F.). 3, 39. Science Miifcum à Londres. 65, 606. Seuil (du). 22. Shakefpeare (William). 31. Skive (L. Th.). 600. Slufe (René François de). 40, 210, 211. Snellius (Willebrordus). 648. Société des fciences phyfiques et naturelles à Bordeaux. 511. Somerfet (E.). Voyez VVorccfter. Stapcl(F.W.). 510. Stevin (H.). 467. Stevin (Simon). 467 , 47 1 , 475 , 4?A. Suerius (D.). 17. Sully (Henry). 17,503,519,520,521,546,547,548,560,599,698,701. Swinden (J. H. van). 698 , 699, 702. Tachard (Guy). 652. Tannery (Paul). 35, 36, 52, 232, 388, 443, 451 , 511 , 530. Tannery(M"-Paul). 52. Tcilen (van). 510. Erratum pour van Ceulen. Thahit ibn Corrah. 394. Thcophrafte. 30. Thévenot (Melchifédec). 54, 55. Thierry (D.). 84. Thuret (Ifaac). î— 9, 11,16,18, 19, 33, 35, 504— 50î, 513, 522, 599, 601 , 668, 695 . 700. Torricelli (Evangelifta). 441 , 442, 453. Tracy (Steven). 517. Treffler (Marco). 699. Trcffler (Philippe). 63, 64, 699. Ubaldi (Guido). Voyez del Monte. Univerlité de Copenhague. 600. Univerfité de Gôttingue. 55. Univerfité de Leiden. 19, 41 , 52, 67, 519, 609, 640. 684 II. PERSONNES ET INSTITUTIONS MENTIONNÉES. Uylenbroeck (P. J.). 400, 520. Vallius. Voyez van der Walle. Vaumefle (Pierre de). 40, 400, 402, 403, 603. Veer (Gerrit de). 653. Veltman. 66. Verdam (J.). 652. Vernon (F.). 36,43,44,443. Verwijs(E.). 652. Vinci (Leonardo da). 54, 60, 66. Virgile. 30, 83,505. Vifbach ou Vifbagh (Pieter). 516. Viflcher (N.). 634, 646, 647. Vitellio. 42. Viviani (Vincenzio). 30, 60—65, 44' > *42, 699. Volder (B. de). 5 1 4 , 545 , 562 , 64 1 , 642 , 652 , 667. VolIgraff(J. A.). 693, 69». Voltaire. 30. Voye(dela). 21.22, nr, 371 , 373, «33, 635, 698. Waard (Cornelis de). 53, 203, a04, 243, 530. Walle (Adrianus ou Hadrianus van der). 30, 3 1 , 34, 82—84, «®*> (>99- Wallis(John). 58, 154, 155,202,203,210-213,664,666. Weber. 17. Wit (Frederik de). 634, 702. Witt (Johan de). 232, 702. Willem m, Stadhouder. 523. Winfchoten (VV. à). 652. Wolff(R.).5i. Worceller (Edward Somerfet, Marquis of). 467, 472, 473— 474. Worp (J. A.). 505. Wren (Chriftopher). 154, 155, 202—205, 208, 209, 547,666. York (duc d'). 522. m. OUVRAGES CITES. Les chiffres gras défigiient les pages où l'on trouve une defcription de l'ouvrage. Les chiffres ordinaires donnent les pages où il eft queflion de l'ouvrage, ou qui contiennent dans le cas de Huygens la reproduction de l'ouvrage. E. Albèri. Voyez J. B. Biot. „ Voyez G. Galilei. Jpollonioi, Conica (éd. G. BoretUm A. Ecche lien fis'), 1661, 41 , 393, 394. „ (éd. £. //^/M), 1710, 395. „ „ (manufcrits arabes), 41, 393, 394. „ „ Voyez L. M. L. Nix. Aratos, 4>a(vo^£va xat liioan^ia, 30^ 83. Àrchimedes, De Corporibus fluitantibus, 250, 251 , 4S1 , 663. „ De Spha-ra et Cylindre), 424. ,, De Sphajroidibus et Conoidibus, 178, 179, 377. Arifloteles, tlspi yuaixi^ç àxpoâcewç, 600. „ Mechanica, 54. B. Baldi, In mechanica Ariftotelis problemata exercitationes, 1582, 54. E. Bafermarm — Jordan, Gefchichte der Raderuhren, 1905, 66. FI, de Beaune, In geometriam Renati des Cartes notse brèves, 1683, 40?. .7. ,7. Bêcher, De nova temporis dimetiendi ratione theoria, 1680, 702. Jacques Bernoiilli, Additamentum ad folutionem curvs cauftica; fratris Jo. Bernoulli, una cum meditatione de natura evolutarum, & variis ofculantium generibus, 1692, 48. „ Curvatura lamina; elaflicîB. Ejus identitas cum curvatura lintei a pondère inclufi fluidi expand. Radii circulorum ofculantium in terminis (Impliciflîmis exhibiti, 1694, aa?. „ Démonftration du principe de Mr. Huygens touchant le centre de balancement, 1704,458. „ Démonftration générale du centre de balancement ou d'ofcillation, tirée de la nature du levier, 1703, 448, 465. „ Demonftratio centri ofcillationis ex natura vectis, 1691, 458. „ ExcerptaexlitterisdatisBafileîE ad Autorem Diarii Pariflenfis, de controverfia inter Abbatem Catelanum & Hugenium de centro ofcillationis, 1684, 457. „ Narratio Controverfiœ inter Dm. Hugenium & Abbatem Catelanum agitatae de centro ofcillationis, 1686, 457. 686 III. OUVRAGES CITÉS. Jean Benioulli, Difcours fur les luix de la comniunicntion du ininiveniciu, 1727, 4ld9, 466. „ Leftiones mathematicic de methodo integralium, 1691 & 1692, 43. „ Opéra Omnia , 1752 , 4 1 , 43. „ Voyez G. G. Leilmiz. F. Berthoud, Hirtoire de la mefiire du temps par les horloges, 1802, 506, 519, 547 — 549, 66^. .7. 5. ii/o/,DeirorologioàpendolodiGalileoGalilei,dinertationdeM. EiigcnioAlbéri,1858, 61,62. //'. .7. niaeu. De groote zecfpiegel, 1655, Sfl. „ Globe, 634, ÎOI, 702. .7. Bodeker, Mamifcrit de 1587, 6«. V. du Dois, Hiftoire de l'horlogerie, 1849—1850, 520. Tycho Brahe, Aftronomia: inflauratjc meclianica, 1602, (>66. F. .7. Britteii, Old ciocks and watches and their makers, 1911, 1933, 520. Brook Taylor, Of the motion of a llretcht ftring, 1713, 485, 48(5. //(7/-co//r/^/-fla'«,Scientificorganization.s in feventeentlicentury France (i 620- i68o),1934, 4,698. H. L. Brugmam, Le féjonr de Chr. liuygens à Paris et les relations avec les milieux fcientifiques français, fuivi de fon Journal de voyage à Paris en 1660 et 1661 et de fou journal à Londres en 1663, 1935, 3,698. M. Caiitor, Vorlefungen iiber Gefchichte der Matheniatik, 1901, 41, 43, 226. R. des Cartes, Difcours de la méthode, 1637, 664. „ La Dioptrique, 1637, 663. „ La Géométrie, 1637, 232, 388, 393, 402, 403, 406, 407. „ Lettres (éd. Clerselier'), Vol. III, 1667, 52, 388. „ Oeuvres (éd. Adam et Tannei-j), 1897 — 1913, 52, 232, 389. „ V^oyez F. de Beaune. „ Voyez F. van Schooten. G. D. (ou .7. Z).) Cajfini, Ephemerides bononienfes Mediceorum fiderum ex hypothefibuset tabulis J. D. CafTîni etc. dediids, 1668, 652. .7. CajIUlioiieus. Voyez I. Newton. Catelan. Examen matliematicum centri ofcillationis, 1681 — 1682, 457. „ Exceptio ad refponfionem Hugenii, 1682, 457. „ Objeclio contra motum pendulorum in cycloidibus, 1682 — 1683, 457. „ Ôbfervationes in propofitionem, qua: fundamentum eft 4^ partis tractatus de pendulis Hugenii, 1681— 1682,457. „ Principe de la fcience générale des lignes courbes on principaux élémens de la géométrie univerfelle, 1691, 459. „ Refponfio ad litteras D."' Bernoulli decontroverfia fuacum D."" Hugenio de centro ofcil- lationis, 1684, 457. „ Refponfio ad objectiones Hugenii adverfus methodum AbbatisCatelani dedeterminando centro ofcillationis, 1682 — 1683, 457. „ Témoignage que rendent les mathématiques à la gloire du Roi, 1681, 17, 459. Catelan et M"' Catelan la cadette, Infcriptions en vers latins et françois pour les basreliefs de la ftatue du Roy, 1686, 459. III. OUVRAGES CITÉS. 687 Clerfelier. Voyez lies Cartes. M. Ttilliiii Cicero, Epidola; ail Auicum, 666. ./. Collins et alii, Commerciiiui i|iillolicuin de analyfi promota, 1712 & 1722, 48. „ „ „ (éd. mot Cl /.../«/•/), 185C, 43. .7. Colfon. Voyez I. Newton. l'.vûii Dam, Bercliiijvinge vaii de Ooll-Iiidifche Compagnie (1701) (éd. Srafiel), 1927—1929, 510. .7. Davis, 'l'Iie leamniis lecrets, 1594 & 1607, 3»1, 372. „ Voyages and u orks (éd. Ilakliiyr Sodety~), 1880, 3S 1 , 372. .7. B. .7. Delamhre, Ililloire de l'altronomie moderne, 1821, 635. //'. Derham, The artiticial clockmaker, 1C9G, 606. R. Dcfcarh'i. Voyez Cartes, des. A. Dettonville. Voyez Blaife Pafcal. 77. Jy.rcki, The life, times and Icientific labours of the fécond marquis of Worcelkr, to which is added a reprint of liis Century of Inventions i6iJ3, etc., 1865,474. //. Doncker, Zee-atlas, 1663 et 1665, 634. ,7. /Jr;//w;«W7i«/;<7//fl«, The évolution of ciockwork,1931, 17,60—63 , 505 , 520, 523 ,606,699. I\ Dtihew, Etudes fur Léonard da Vinci, ceux qu'il a lus et ceux qui Pont lu, 1906, 54. „ Les origines de la statique, 1905, 4îO. .1. FJufteiii, Mein Weltbild, 1934, fl«0. P. P. FJvitis, Thecrema de ofcillationibus pendulorum, 1734, 3S7. Eiaiiiles, Elementa, 151, 2«4, 285, 292, 293, 300—303, 308, 663. „ Voyez V. Viviani. L. Euler, De motu tautoclirono pendulorum compodtorum. 1750, 4«, 428. „ Invertigatio cur\ arum qu;« evoluta; fui lirailes producunt, 1740, 41. „ Invertigatio cur\arum quœ fimiles fint fuis evoUuis vel primis, vel fecmulis, vcl tettiis, vel adeo ordinis cuiuscunque, 1787, 41. //. Fabry, Dialogi phyfici, 1669, 446, 665. „ Philofophiauniverfaperpropolitionesdigeftaetinbrevecompendiumredacta, 1646, 53. „ Synopfisoptica, 1667, 663. „ Voyez P. INTousnerius. iV. Fatio de Duillicr, Pièce fur les dents des roues, 1686, 610. .7. Fermât, Oeuvres (éd. Tmmery et Henry), 1891—1896, 451 , 511. „ Supplément aux Oeuvres (éd. C. de H'nard'), 1922, 530. G. Calilei, Difcorli edimollrationimatematicheintorno a duenuove Icienze, 1638, 136, 141, 442. „ Opère, 1656, 442. Opère (éd. F. Âlbèri'), 1842—1856, 62. „ Opère (Edizione Nazionale), 1890— 1909, 61 , 62, 136, 141, 172, 173, 184, 185. „ Voyez M. Merfenne. „ Voyez V. Viviani. Calloii, Machines et inventions approuvées par l'Académie Royale des Sciences, 1735, 546, 547. R. r-C^/z/W, The marine chronometer,itshiftoryanddevelopment,1923, 16, 17, 521, 547, 560,667. 688 III. OUVRAGES CITÉS. ./. di Graaf, Journal (niaïuifent), 1687, 514, 544, 636, 637 — 640, 650. „ Journal (manufcrit perdu), 1690— 1692, 515, 642— 651. G. Grûbani, Lettre à H. Sully, 1724, 547, 548. Grave fande (G. J. U), Phylices elemema mathemathica experimentis foniirmata, (3'""' édition), 1742,486. J. Gregory, Optica proraota, 1663, 663. .7. Gtiifrey, Comptes des bâtiments du Roi (1664 — 1687), 1881, 505, 633. R. Th. Gtiiitber, Early fcience in Oxford, 1923, 371. HamelÇJ. B. du), Regise fcientiarura academiœ hiftoria, 1701, 4A3, 505, 602. A. Heckfcber. Voyez Chr. Huygens. Th. Helder, Journal (manufcrit), 1686, 544, 636, 637, 639. Ch. Henry, Huygens et Roberval, documents nouveaux, 1879, 443, 443. ./. Hermann, Travail inédit fur les développées, 41. ./. van Heuraet, Epiftola de transmutatione curvarum linearum in reftas, 1659, 208, 209. ./. Hevelius, Machina coeleftis, 1673—1679, 629. /'Zi. ^00, 604, 6^% 700. C. C. Leibniz et Job. Bernoulli, Commercium philofophicum et mathematicum I (1694 — 1699), 1745, 60S, 603. .7. van Lennep, Zeemans-woordenboel;, 1856, 649, 653. .7. Locke, An eflay concerning the human underftanding, 1690, 660, 661. C. Loria, Spezielle algebraifche und tranflcendente ebene Kurven (traduction de l'italien de F. Schlitte), 1902, 603, 608. C. Malvafta, Ephemerides noviflima; motuum cceleftium, 1662, 91. F. iV/(7/-^«f^, Hilloire générale de la navigation du X Veau XXeliécle, 1931, 518,520,522,546,547. E. Mariotte, Oeuvres, 1717, 4Sa. „ Traité de la percuffion ou choc des corps, 1673, 482. M. Merfeime, Cogitata phyilco-mathematica, 1644, 10 1. „ Correfpondance I (éd. .1/'" /^ Tamieryei C.)To;, 658. „ Uohrsix. 31. ff^. Ploeg, Conftantijn Huygens en de natuurwetenfchappen, 1934, 516. Cl. Ptolem.em, Harmonika (éd. ,/. IVallis), 1682 et 1699, 486. „ „ (éd. /. Diiring), 1930 , 486. A. Rambaud. Voyez E. LavifTe. G. B. Riccioli, Gcographia; et hydrographie reformât» libri XII, 1661 , 653. .7./î/cZ'«-,Obfervationsafl:ronoiniquesetphyfiquesfaites[eni672-i673]enri(ledeCaïenne,1679,636. i70q m J, ,, >, is ), n rt « » n » w ii^i?, act, 636. G. P. de Roberval,U\(QOms (perdu) à l'Académie des Sciences fur les centres de percufïïon, 1671 (?), 443, 455- 692 m. OUVRAGES CITÉS. G. P. de Roberval, Obfervations fur la compofition du mouvement, et fur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, 1693, 453, 454. „ Propofition qui fert à trouver le centre de gravité (manufcrit), 451. „ Theorema lemmaticum ad invenienda centra gravitatis mire inferviens, 1645, (manufcrit), 451. „ Traité de mécanique (manufcrit perdu), 442 , 447. „ Traité des pendules ifochrones (manufcrit perdu), 55 , 443. „ Voyez Ch. Henry. „ Voyez C. de Waard. 0. Roemer, Difcours (perdu) fur la forme épicycloïdale des dents des roues, 1675, 602. „ Triduum obfervationum Tufculanarum, 1735, 600. H. D. .T. van Scbevichaven , De St. Stephenskerk te Nijmegen, 1900, 603. „ Penfchetfen van Nijmegens verleden , 1898, «03. F. van Schooten, In Geometriam Renati des Cartes Commentarii, 1649 et 1659, 52, 209, 389, 393, 401, 402,407. „ Exercitationesmathematic», 1656, 408. F. Scbub, Sur quelques formules approximatives pour la circonférence du cercle et fur la cyclomé- trie de Huygens, 1914, 39, 40. ff. Shakefpeare , Hamlet, prince of Denraark, 31. IV. Suellius, Tiphys Batavus, 1624, 648. E. Somerfet. Voyez \Vorcefter. S. Stevin, Beghinfelen der Weeghconfl, 1586, 476. H. Sully, Abrégé de quelques règles pour faire un bon ufage des montres, 1711, 520, 7©1. „ Defcription abrégée d'une horloge d'une nouvelle invention, 1726, 520, 522, 547. „ Lettre à G. Graham, 1724, 548, 549. „ Régie artificielle du temps etc. , 1717 , 503 , 5 1 9 , 599. /. H. van S'xinden, Verhandeling over Huygens als uitvinder der (lingeruurwerken, 1817, 702. P. Tannery, Les fciences en Europe, 1924, 36, 443. „ Pafcal et Laloubêre , 1890 , 51 1 . Tbabit ibn Corrab. Voyez L. M. L. Nix. E. Torricelli, Trattato del moto dei gravi, 1641, 442. „ Voyez Viviani. G. Ubaldi. Voyez del Monte. P. .7. Uylenbroek, Chr. Hugenii alioruraque feculi XVII virorum celebrium exercitationes mathe- matica: et philofophica;, 1833, 400, 520. C. Valkrim, Obfervatio et experimentum de funependulorum vibrationibus, 1731, 38S. Fallius, Voyez van der Walle. G. de Veer, Waerachtighe Befchrijvinghe van drie Seylagien etc., 1605, 653. feltman, Handfchriftliche Aufzeichnungen iiber einige alte jetzt verfchwundene Uhrwercke der Stadt Osnabriick, 1890, 66. E. Venvijs S? ./• Verdam, Middelnederlandfch woordenboek, 1916, 652. III. OUVRAGES CITÉS. 693 L. da yinci, Maniifcrits, 54, 60, 66. P. Firgilius Maro, Ecloga;, 30. P. yirgilius Maro, L'Enéide, 83, 505. N. njjcher, Atlas contractus orbis terrarum, 1671, 634. A', r/v/^w. Lettre au prince Leopoldo de Medicis, 1659, 60, 61, 62— 65,699. „ Quinto libro degli Elementi d'Euclide etc. Aggiuntevi cofe varie, e del Galileo, e del Torricelli, 1674, 441. .l.,1. ^o/Igraf, Chr. Huygens, eenige citaten en befchouwingen naar aanleiding van den drie- honderdften gedenkdag zijner geboorte, 1929, 4. „ Chr. Huygens en het ankerechappement, 1934, 606. „ Chr. Huygens et Jean le Rond d'Alembert, 1915, 443. „ De relativiteit der beweging volgens Chr. Huygens, 1934, 659. „ De roi van den Nederlander Cafpar CalthofFbij de uitvinding van het moderne stoomwerktuig, 1932, 474. „ Heeft prins Leopoldo gezegd dat in 1656 te Florence een Ilingeruurwerk is ge- conftrueerd? 1934, 699. „ Heeft Vincenzio Galilei op zijn fterfdag zijn uurwerken vernield? 1934, 699. Voltaire, Siècle de Louis XIV, 1751, 30. De ta yoye. Journal de 1669 (manufcri: perdu), 373 , 633—635. C. de Waard, Note fur la vie de Merfenne, 1932, 304, 243. „ Une lettre inédite de Roberval du 6 janvier 1637 contenant le premier énoncé de IacycloVde,1921,a04. A. ou H. van der Walle, Daphnis ecloga ad Chr. Hugenium Zulichemium, 1665, 30, 34. ./. K^allis, Arithmetica infinitorum, 1656, ; 1 1 . „ Lettre à Leibniz, 1696, ail. „ Mechanica five de motu, 1671, 58. „ Opéra mathematica, 1699, 211. „ Tradatus duo, prior de cycloide, pofterior de cifToide, 1659, 154, 202, 203, 210, ar i. fV. à fVinfchooten, Seeman, 1681, 653. F. de fVit, Atlas, 634. „ Caert van Europa, 1672, 634, ?03. R. H^olff, Handbuch der Aftronomie, 1892, 51. IVorcejier (^Marquis of), Century of Inventions, 1663, 4Î3, 4Î4. » Voyez H. Dircks. Afta eruditorum, 1682, 41 , 400. „ 1686, 42. „ 1691,43,458,464. „ 1692,40,42. „ 1694,227. 694 ni. OUVRAGES CITÉS. Acla literaria et fcieiuiarum Suecia:, 1731 et 1734, 387. Aftes des Etats de Hollande et de la Frife occidentale, 1657 et 1658, 90, 91. Archives néerlandaifes des fcienccs exaftes et naturelles, Série III A, T. III, 1914, 40. Aftronomical papers for tlie iife of the American ephcmeris and naiitical alnianac, 1898, si- Bulletin des fciences mathématiques, 1921, 204. Catalogue de la bibliothèque de A. van der Walle, 1684, 698. Catalogue de la Bibliothèque Nationale à Paris, 459. Chriftiaan Huygens, revue, 1929, 3. Commentarii Academia; Scientiarum Imp. Petrop. 1727 et 1740, 41. Divers ouvrages de mathématique et dephyfiquc,par Meiïieurs de l'Académie Royale des Sciences, 1593,412,454,529. Economifch-hiflorifch Jaarboek, 702. Hemel en Dampkring, revue, 1933 et 1934, 606, 659, 69c. Hiftoire de l'Académie des Sciences de Paris, 1703, 45R. Janus, archives internationales pour l'hilloire de la médecine etc., 1915, 442. Journal des Sçavans, 1654, 457. „ 1669,664. „ 1675,522,523, „ 1680,664. Journal des Savants, 1858, 61. Journal des Sçavans, contrefaçon d'Amfterdam, 1675, 502, 522, 523. „ „ 1682 et 1683, 549. L'horloger, revue générale, 1922 et 1923, 92. Manufcrits Conftantijn Huygens N° 47, 516. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jufqu'à 1699, 1729, 18, 19, 25, 636. Memorie raecliende de verblijven van de Heer Chriftiaen Huygens in Engelandt, 7. Middel om het Ooft en Wefl: te vinden (manufcrit) 516. Mitteilungen des hiftorifchen Vereins zu Osnabriiclc, 1890, 66. Nova Acta Academia; Scientiarum Imp. Petrop. 1787, 41. Novelle Fiorentine, 1774, 6^ç. Novi Commentarii Academis Scientiarum Imp. Petrop. 1750 et 1751, 46. Onze Eeuw, revue, 702. Oftvvalds Klalîiker der exaaen WiflTenfchaften N' 192, 1913, 44, 301 ; N° 138, 1903, 659. Philofophical Transaftions, 1713, 485. Regiftres de l'Académie (françaife) des Sciences, 40, 45. Refolutiên van de Bewindhehbers van de Oort-Indifche Compagnie ter Camer tôt Amfterdam, 509, 510, 526, 533—535, 539, 544- Réfolutions des Curateurs de l'Univerfité de Leiden, 19. Rijksgefchiedkundige publicatiën, 510. Saggi di naturali efperienze fatte nell' Accademia del Cimento, 1667, 60, 666. IV. MATIÈRES TRAITÉES. Comme dans le T. XVII, nous ne donnons pas de table alphabétique de toutes les matières trai- tées. Elle ferait double emploi avec la lifte des Pièces et Mémoires. Nous nous bornons à mention- ner certains fujets qu'on ne trouve pas, ou pas en détails, dans cette lifte. Nous avons de nouveau relié entre elles, autant que polTible, les notes qui traitent d'un même lujet. Parfois — p.c. dans la note 6 de la p. 17 — nous renvoyons le lecteur aux Additions et Cor- reaions. Dans quelques autres cas — p.e. dans celui de la note 1 de la p. 477 — on y trouve la page à laquelle la note fait allufion, fans que celle-ci renvoyé exprell'ément aux Additions. Il n'entre pas dans nos habitudes d'exprimer à la fin d'un Tome des remercîments aux bibliothé- caires, archiviftes et autres perlbnnes qui ont eu l'amabilité de nous aider '). Il eft vrai que nous mentionnons parfois un collaborateur dans le texte — Monf. P. P. Bruna à la p. 51 — et que nous indiquons parfois dans une note — note 5 de la p. 4, note 2 de la p. 400 — de qui nous tenons un renfeignement. De même nous aurions pu dire p.e. que la Requête de la p. 20 nous a été (ignalée par Monf. H. L. Brugmans et que nous devons les données fur 1. Thuret — note 9 de la p. 505 — à Monl". J. M. Faddegon, bibliothécaire de l'Union centrale des arts décoratifs à Paris. Les chiifres indiquent les pages de ce Volume. ARCSCYCr,OÏDAlXDLPE;\DlLE. l'î— I 8 , 2 I , 24, 25 , 32 , 42 , 46 , 88— 9 I , ICO— 107, I20— 123, 202,203,346— 349, 428, 433, 434. 501 > 502, 509. 514' 518, 587' 6oo- Auteurs sur l'histoire de l'horlogerie. Albêri, Auteur inconnu. 516, Baftermann-Jordan, Bêcher, Berthoud, Biot, Bodeker, du Bois, Britten, Derham, Drummond Rob«rtibn, Gould, Horrebow, de Kock, Leibniz, Magalotti, Malvalia, Marguet, Reverchon, van Swinden, Veltman, Viviani, Vollgraff. CARTOGRAPHIE.634, 640, 641 , 642, 646, 647, 652, 653. Centre de percussion. 53 — 58, 443 — 447, 482. ') Exceptionnellement nons avons exprimé des remercîments à Mons. J. Drummond Robertson — voir aussi la p. 61 du présent Tome -, ainsi qu'à .Mons. H. L. Brugmans et à M. le Directeur delà BibUo- thèque Nationale i Paris, dans les Additions et Corrertions du T. XVII (p. 546, 547 et 550). 696 IV. MATIÈRES TRAITÉES. Chute des corps graves. 124 — 159, 354 — 359, 657, 668. Cordes vibrantes. 486,487, 489 — 495, 501,502. Courbes. Chaînette, 43; courbe logarithmique, 410; cycloïde, 86 — 89, 102 — 107, 166 — 187, 198 — 205, 210, 211, 391 — 394, 402, 405, 66j-^ développante de cercle f»// ^hélicoïde"), 517, 520, 562 — 567, 576 — 591; ellipfe, parabole, hyperbole et leurs développées, paraboles et hyper- boles de degrés fupérieurs (ou „paraboloîdes" et „hyperboloïdes"J, 42, 206 — 21 1 , 219 — 225, 232 — 241, 362, 363, 377, 395, 396, 527, 528 ; épi- et hypocycloïdes (ou „épicyclotdes extérieures et intérieures") , 40, 4 1 , 399 , 405 , 484 , 597 , 602 , 603 , 607—6 1 6 ; tblium Cartcfii , 406 — 409 , ligne cyclocylindrique, 511,527 — 531; loxodrome, 648; paracycloïde,432; finufoïde, 494, 511, 528 — 530; fpirale logarithmique, 40, 41. Equations du mouvement pour les corps tournant autour d'un axe. 502, 512, 531 , 532, 567,568. Experientia ac ratio. 31. Histoire delà navigation. 546 , 652 , 653 . Histoire DE l'astronomie. 30, 34,35,78,79, 83,600 — 603,635,636,652,658—660. Horlogers, ou personnes s'intéressant spécialement aux horloges, avec qui Huygens a été en relation. Bruce, van Call, van Ceulen, van der Cloefen, Cofler, Douw, van der Duiïèn, Fromanteel, Gouffier (duc de Roanais), de Graaf, de Hautefeuille, Helder, Hevelius, de la Hire, Holmes, Hooke, van Laer, Leibniz, Rlarcinot, Mercator, Meybofch, Mouton, Oofterwijck , Bl. Pafcal , Cl. Pafcal , Richer , Roemer , du Seuil (?) , Thuret , Visbach , de la Voy e. Autres horlogers etc. Baleftri, Burgi, Camerini, Clément, Generini, Galilée (père et fils), Graham, Gretton, Harrifon, Horlogers anglais et français du dix-huitiéme fiècle, Rijnaerts (note I de la p. 675J, Sully, Tracy, M. Treffler, Ph. Treffler, da Vinci, Weber. Wqki.ogz% (confultez fur les horloges tranformées par l'an Call , fur les horloges de van Ceulen, de van der Cloefen etc. les pages indiquées dans la lifte des ,,Perfonnes et hiffitutions mentionnées"'). Horloge aftronomique de 1657, 17, 566; horloges à deux balanciers, 507, 522, 523,525,701; horloges à équation, 519; horloges à pendule de 12 pieds, 509; horloges aflronomiques à Copen- hague, 18,600 — 602; horloge de la cathédrale d'Arnhem, 66,602; horloges marines modernes, 5°5 1 513; importance des détails dans la conftruction d'horloges exades, 517; œufs de Nurem- berg, 513. Influence de la température sur la longueur et la période du pendule. 18, 25,652; fur la période de vibration des reflbrts, 507, 508, 515, 527, 650,651, 668; fur la période des balanciers, 521. Autres inconvénients des ressorts. 638, 649 — 651. Influence des penseurs grecs et des traducteurs arabes sur les Occidentaux. 41 , 393 , 394 (voir aujfi Archimède, Ariftote, Euclide, Eudoxe, Pappos, Platon, Ptolémée, Pytbagore et Théophrafte). Intuition. 31,568. Logique. 455,456. Machine .\ vapeur. 474. Matière subtile, matière magnétique, éther, tourbillons. 45, 46, 82, 453, 470, 488, 497. Mécanique classique du dix-huitième siècle. 471. IV, MATIERES TRAITÉES. 697 MiTAl'HVSlCjUE. 472. NÉCESSITÉ d'une force EXTÉRIEURE, SUIVANT LES PÉRIPATKTICIENS, POUR MAINTENIR UN MOU- vement uniforme dans une direction donnée. 454, 483. Physique partie de la philosophie. 481, 482. Planétaires: d'Archim(;de,599;de Huygeiis, 508, 513; de Roemer, 505, 599; deTracy, 517. Poids et masse. 45, 498, 578, 579. Principe df. la conservation de la qi'antité de .mouvement dans une direction donnée. 471. Principe que par le mouvement spontané d'un groupe de corps partant du repos leur. centre commun de gravité ne peut pas s'élever .'\ une hauteur supérieure a celle qu'il AVAIT AU COM.MENCEMENT. 39, 246 — 251,411,451,460,464,466. Principe de la non-existence du mouvement perpétuel. 250, 251,412,460,461,470 — 476. Principe de la conservation des forces. 251, 469, 471, 472, 477, 494, 495, 518, 519, 5.S4— .5.56, 568, 578, 579, 583, 660. Principe de la non-existence du mouvement absolu (ou .mouve.ment par rapport à u.n espace ABsoLi ). 657 — 660. Principe de la relativité pour les mouve.ments unifor.mes dans une direction donnée. 124,659. Extension de ce principe aux mouvements accélérés. 518, 560,659,660. Quadrature de la surface des ellipsoïdes, paraboloïdes et hyperboloïdes de révolution (ou „sphéroïdes", „(:onoïdes paraboliques" et „conoïdes hyperboliques"). 210 — 219, 397' 398. Questions de priorité (voir tiiilji la Pièce „. /iieaiofa"J. Calcul du rapport 1,80 .. . des périodes d'un pendule fimple exécutant une ofcillation de 180° et de ce même pendule exécutant une très petite olcillation, 383 — 387; courbe régulatrice, iervant à allurer rifochronifnie des ofcil- lations d'un balancier, 520; double balancier, 522, 523, 525, 701 ; échappement à ancre, 606; forme épicycioïdale des dents pour les roues planes, 602, 603; horloge à équation, 5 19; horloge à pendule, 30,59 — 66, 88 — 91,600 — 602,666 — 668, 702; horloge à pendule conique, 66, 438,699, 700; loi de Hooke, 502; mefure univerfelle, 58, 59 '); rayon de courbure, 41—44, 391 — 393; rectification d'une courbe algébrique, 208 — 211; rellbrt Ipiral régulateur du ba- lancier, 503 — 505, 668; rouleaux fervant à diminuer les frottements fur les axes, 546 — 549; théorie de i'épicycloïde, 41 , 400, 603; théorie des vibrations harmoniques et des vibrations des cordes, 479, 483— 488, 548, 586, 700. Rigueur des démonstrations. 37, 38, 42, 50, 326, 464, 563. Rotation JOURNALIÈRE de la terre. 31, 514,641,644,650,658. Théorie de la connaissance. 38, 503, 660 — 661. ') \'o\r au.^sl à ce sujet la note 1 de la p. 3.).y. 88 ADDITIONS ET CORRECTIONS. Page yiu lieu de lifez 3 note 2 Au moment de l'apparition de ce Tome (décembre 1934) la publi cation des Journaux de Voyage deHuygens par iMonf. II. L. Brug mans n'a pas encore eu lieu. Son travail (thèfe de doctorat) paraîtra à Paris au commencement de 1935. iVous en donnons le titre com- plet à la p. 686. 4 note 5 Le travail (thèfe de doctorat) de iMonf. Harcourt Brown, intitulé „Scienîific Organizations in Seventeenth Century France (1620 — 1680)" (Baltimore, tlie Williams & VV'ilkins C") a paru eu mars 1934. Le Cil. V („TheMontmor Academy and England") contient plulieurs paflag*-"* inédits du Journal de Voyage de 1660 — 1661 de Huygens. 7 note 2 D'après van Swinden (ouvrage cité à la p. 692) le „membre de la famille" eft A. J. Rover (comparez fur lui la p. 519). 12 note 3 note 3 de la p. 14 note 4 de la p. 122 17 „ 2 Voir fur la réintroduction de la fufée dans les horloges marines la p. 513, ainfi que les notes 8 et 1 1 de la p. 533. À la p. 542 (1. 6) nous avons traduit „dubbele ontlluijtingh" par ..double déclenchement". 17 note 5 Voir fur les horloges marines de Sully la p. 520 qui fuit. « „ 6 Le fil de foie rouge eft mentionné dans la première note de la p. 544. 19 ligne- et fuiv. Voir nulli fur l'horloge aftronomique de Leiden, la note 6 de la p. 601 et le premier alinéa de la p. 602. 21 note 2 Confultez encore fur le rapport de de la Voye les p. 633 — 635. 30 „ 2 Adrianus, ou Hadrianus, van der XValle fut infcrit comme étudiant en droit à Leiden en 1641. „ÎMr. Adriaan van der Wal" fut enterré à Deift dans la vieille églife réformée le 25 mars 1684. Sa bibliothè- que, que Huygens, au début de fou Journal de Voyage de 1660 — i66i, dit avoir vifitée à Delft, fut vendue publiquement à Leiden le 23 oâobre 1684 et jours fuivants chez P. vander IMeerfche. Cette vente ell mentionnée dans notre T. VIII aux p. 543, 549 et 552; la p. 604 du T. VIII parle toutefois par erreur A^.lntoiiiiis van der Wall. Le catalogue de la vente appelle Adr. v. d. Walle„juris uiriusque doctor". La bibliothèque contenait 467 libros juridicos, 950 libros ADDITIONS ET CORRFXTIONS. 6^^ Page ' lu l'eu de Hfe^ mathematicos,cosmographicos,gi;ograpliicosett()pographici)s,6R9 libros medicos , 1 284 libres thcologico.s et 3K4K libros misccllancos. Voir aiiHi fur v. d. Walie la p. 5<;i du l'. XIII. 32 mieç iliiygens parle du modèle conllruic pour van Cculeu a la p. 53i.;^4. 34 „ 2 quelque iiuelque> ^i ligne j nommée nommé „ iinfc R Voir encore fur Apollonios, Golius et 1 1 uyt;ens la note 2 de la p. 393. ^9 66 Monf. A. C. de Kock a publié en novembre et décembre 1933 dan? la revue „ilemel en Dampkring" un article intitulé „l)e uitvinding van het Ilingeruurwerk", dans lequel il traite du livre de Monf. Druinmond Robcrtlbn C'I'he Evolution of Clockwork") de no- vembre 193 1 et de la brochure (partie de notre T. XVII) de janvier 1932 „L'horloge à pendule de 1656 à 1666, rédigé par J. A. Voll- grart". Ceci nous a amenés à notre tour a écrire deux articles, publiés en janvier et lévrier 1934 dans la même revue, intitulés: „Hceft Vincenzio Calilei op zijn llert'dag zijne unruerken vernield?" et „lleet't Prins Leopold gezegd dat in 1656 te Florence een llinger- uurwerk is geconllrueerd?" Comme l'Avertiliement de r„Ilorolo- gium ofcillatorinm" était déjà imprimé en ce temps, nous en avons cité dans ces articles quelques parties, lavoir la note 2 de la p. 62, le deuxième alinéa de la p. 64 et le troiiiénie alinéa de la p. 65. M. Drummond Robertfon nous a t'ait lavoir enl'uite qu'il reconnaillait que la traduction, reproduite dans l'article de M. de Kock, d'un paflage de la lettre de Viviani, traduction citée par nous dans le pre- mier alinéa de la note 2 de la p. 62, ell erronée. Dans l'article de février, nous avons remarqué que d'après les „ÎS'o- velleF"iorentine"de 1774, citées dans la note i de la p. 470 de notre T. III, il y avait à Florence un nommé Marco Treffler, horloger du grand-duc Ferdinand II, mais qu'il nous femble probable qu'il y a ici une erreur dans le prénom, puilque les „Novelle Florentine" di- rent emprunter cette nouvelle à la lettre non encore publiée de Vi- viani qui ne parle que de Philippe Treffler, horloger du grand-duc Léopold. Van Swinden dit queTrefflers'appeiait Johannes Pbilippus, mais que d'autres l'appellent aulli Johannes Mardis ou fimplement Marcus. 66 À propos des horloges à pendule conique, nous pouvons encore ob- Terver que Leibniz ne connaiflait apparemment pas d'horloges pu- bliques de ce genre: dans Tes Remarques de i 1715 il écrit: „I1 y a des Horloges à Pendule d'une efpece toute particulière, où le Poids vibrant ne va pas en allant et retournant, mais toujours d'un même 700 ADDITIONS ET CORRECTIONS. ■Page 84 ligne 2 1 16 2'''" alinéa 2 1 8 ligne 1 1 364 « 21 « « =2 371 ;;9/s4 378 note 2 //^«e i 384 « 5 » 16 » » » » I" 386 //§■/;« 4 (/V« bas 400 ««?« //g-/if 1 1 409 ligne 9 454 455 470 471 474 482 I 6 4 9 rfV« has 12 2 rfV« i«s 486 notes ligne 6 497 %« «9 505 »o/e 6 . /il liai de lifez côté. Ces Horloges ont cela île particulier, qu'elles vont fans bruit, et ont été recherchées quelquesfois par ceux, qui manquent de fom- mcil et veulent avoir des Horloges dans leurs Chambres qui ne les empêchent pas de dormir. Mr. Huguens en a fait un difcoiirs, qui n"a pas été imprimé [?], où an lieu de Cycloide il a employé une efpece de Solide parabolique pour en rendre les vibrations égales". par la grave de Dieu de Roy par la grâce de Dieu Roy Voir fur deux autres voyages de de la Voye avec les horloges, non mentionnés ici, la p. 633. en autre en outre la fri'> HUu I3DD 113 H89 1888 1. 18 Huygens, Christiaan Oeuvres complètes P&A S--;. PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY