?^^^^^

ï^tiffî^tfâU^

!*''^;»A/> ^.**

'^^^^^^^^.-

^pr'^'^'^^;^. .™,,.,^^- .

^^A^»4^^.

'■'"^--^^^^^•^,A,»nAA

-'^^^-

^-^^^îSA«;i%^,.

"V^^

*^#^^'

lu ■''.-■'•■ "*

m

^^■■rii

^*^ ,^ftft,

->-^i;:^^i^.."^

1.1 A r

'* *^*

^%^è^'^.c^

%:^fi>-':

é^^Mlm'

^'^:^^^

y^^^ *A^Ma

*SF

1 V

<^ <

t^-^

- .^^

<«L, c<:

c-^

JkJ^ <~*

à ^^<

^ ce <
ç^« -«CSC «:«^

S-J^ CjC <X ■

^^A 1^ ^«C. <-

^c*'

'^-^

^.<.-

•r.:

^<r- 1

^SîiZÎ

c c '

<S^„*fe'

:iÇ.«

/3M^Ht^^

BOO» S10 08.F385 V.3 cl
CÇRM<r • OEUVRES 0£ FERMAT

ai

Tlllllllll

3 T153 QDlSblia 1

_£:<7k---

: «s

m

'•;^

■vîa3»

-^f -f

^ . "^

.v./^'f

iVi*- «r<v:<C"'-«3.

<~

l u

c

(

fr

< <-

< r

f (

C (.

v«. c:

v^

r< <

• c t «^

■- «T'

oc *

«K ' , •^M

.â-r.

«; <•

3-v ^^

!C t<

<s:^ <

tr <'t- «i

<:

«r

r. «-if ^

cr"

^ ''■ ^

<3:

^^^ 4

i <r

«t>

P".a-.:.:, : «a

^■C

- «Ts

^«r

Cl<

^■^ *^

.-«Li c:

-V^wB

t-^ '

:l ' > t .

r-S^zssa

r^«

r--: < <

^^

*■<■-

'- c

^Êl

*-<-«■

^

^

V-'^

c

r

ccxc c

"^c ce

Date Due

«SCTiPC-

-•^m^'

<*s:î^

! Demco 293-5

•c^> -oc

<s;c<sz

«att^ «

<; rxr'.

«L c.« ^«_ u^^^-c c <■ -«r '•^

s*:-'^^^

"%

^

i^'='^'<
f^f

<^'

^ 4

^

S."
•2

t

«i-

.•c

«1

v^

<

-^^ 5^:^ <^.

:>tsr^-2^

*^;.' «^:

^f-ms^^

.^^7.^^/

^m^

er^^^

ŒUVRES

DE FERMAT.

H-

PARIS. - IMPRIMERIK GAUTHIER-VILI.ARS ET FII.S.
Quai des Graiuls-Augustins, "l'i.

(EUVRES

DE FERMAT

t:.3

l'UBLIEES PAR I-KS SOINS I)E

MM. PAUL TANNEUY et CHARLES HENRY

sous LES AUSPICES

DU MINISTERE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME TROISIÈME.

Traductions par M. Paul TANNERY :

1° Des EcniTs et fragments latixs de Fermât; ?." he i.'/iivenliiin lun'iii,

DE Jacques de Bili.y :

3° DU Coninicrcium cpistolicuiii de Wallis.

PARIS,

GAUTIIIER-YILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE P0I>V1ECHN1QUE,

Quai des Graiids-Augiistins, 55.

M DCCC XCVI

TABLE DES MATIÈRES

DU TROISIEME VOLUME.

Avertissement ix

PREMIERE PARTIE.

TRADUCTION DES ÉCRITS LATINS DE FERMAT.
«
RestituUon de deux Livres des lieux plans d'Apollonius de Perge :

Livre 1 3

Livre II 27

Des contacts sphériques 49

Fragments géométriques :

Solution d'un problème proposé par M. de Pascal (J7

Deux porismes 71

Porismes d'Euclide : leur lliéori(f renouvelée et présentée aux géomètres mo-
dernes sous forme d'introduction 7'i

Proposition de M. de Fermât sur la parabole 79

Démonstration du lieu à trois droites 83

lulroduclion aux lieux plans et solides. 8 >

Appendice renfermant la solution des problèmes solides par les lieux gG

Introduction aux lieux en surface io>

Dissertation en trois parties : sur la solution des problèmes de Géométrie par les

courbes les plus simples et convenant en particulier à chaque genre de problèmes, loy

Maxima et minima :

I. Métliode pour la recherche du maximum cl du minimum iv. i

Des tangentes des lignes courbes 12'-

U. Centre de gravité du conoïde parabolique, d'après la même méthode 124

lU. Sur la môme méthode : Je veu.v, an inu) en de ma inclhode, ctc i2('>

IV. Méthode du maximum et du minimum 1 3 1

V. Appendice à la méthode du maximum et du minimum i3G

VI. Sur la même métliode : La théorie des tangentes, etc i4o

VII. Problème envoyé au R. P. Mersenne le 10 novembre 1G42 i48

VIII. Analyse pour les réfractions i4i)

IX. Synthèse pour les réfractions i5i

Fermât. — III. i)

M TABLE DES MATIÈRES.

PuRPS

{Méthode d'élimhiation). Nouveau traitouioul ou analytique dos inconnues secondes

et d'ordre supérieur 1)7

Apnendicc à la niélhode précédente i Sg

Sur le problème d'Adrien Romain i(i4

Héponse au\ ([uestions de Cavalieri ifii»

Propositions à Lalouvère \-->.

Dit.tertatioii géométrique : de la comparaison dos lignes courbes avec les lignes

planes 181

Appendice 204

(Mctiiodc de quadrature). Sur la Iransl'orinalion et la siniplilicatiou des équations do
lieux pour la comparaison, sous toutes les formes, des aires curvilignes, soit entre
elles, soit avec les reeliligiies; et, en même temps, sur l'emploi de la progression
géométricpie pour la ([uadraluro dos paraboles cl hyperboles à l'infini aifi

Fragment sur la cissoïde 23S

Observations sur Diopluinte 2 1 1

SECONDE PARTIE.

TRADUCTION DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATIN
DE LA CORRESPONDANCE DE FERMAT.

Lettre n° 3. Fermât à Mersenne, 3 juin i636 (fragments ) -x--

» n° S. Nouveaux théorèmes de Mécanique 'i-Vi

» n° 7. Fermât à Roberval, août i636 (fr.) 2^1

» n° 9. Fermât à Etienne Pascal et Roberval. 23 août i(i3(5 ( fr.) 28)

» n° 12. Fermât à Mersenne pour Sainte-Croix, septembre i636 2St>

» n" 13. Fermât à Roberval, 22 septembre i()36 ( fr.) 292

» n° IS. Fermât à Roberval, 4 novembre i636 (fr.) 2i)3

u n° 16. Objections de M. de Fermât contre une proposition de Mécanique de

M. de Roberval 294

» n° 17. F'ermat à Roberval, 7 décembre t636 (fr.) 29t')

» n" 18. Format à Roberval, 16 décembre i636 (fr.) 2;)('i

» n° 19. Fermât à Roberval, février 1G37 (fr.) ioci

» n° 36. Fermât à Mersenne, 26 décembre i638 ( fr. ) 3o2

1) n° 37. Fermât à Mersenne, 20 février lôSg (fr.) »

» n° 42. Format à Roberval, août 1640 (fr.) u

0 n° 62. Format à Gassendi, 1646 »

u n" 67. Formai à Auzout '? 1648 3oi)

» n° 68. Fermât à Carcavi, 20 août itijo (fr.) 3i(i

» n° 70. Pascal à Fermai, 20 juillet i654 ( fr.) »

n n" 79. Premier défi aux mathématiciens, 3 janvier iGJ; ii 1

TABLE DES MATIERES. vu

Lettre n" 81. Second défi aux mathématiciens, février 16J7 '.iiJt

« n° 84. Fermât à Digby, i5 aoi'it 1657 (Ir.) 3i S

" n° 89. Fermât à Digby, juin i()58 3f/i

)> n" 106. Fermât à Carcavi, juin 1G60 i Hi

TROISIEME PARTIE.

TRADUCTION DE L'INFENTUM NOFUM DU PÈRE JACQUES DE BILFA'.

l'rélace 3u5

Première Partie. — Des solutions en nombre indéfini dans les doubles équations.. . SaX

Seconde Partie. — De la triple équation et des solutions en nombre indéfini Htio

Troisième Partie, comprenant le procédé pour obtenir des solutions en nombre indé-
fini donnant des valeurs carrées ou cubiques à des expressions où entrent plus de
trois termes de deijrés différents j-d

QUATRIEME PARTIE.

TRADUCTION DU' COMMERCIUM EPISTOLICUM DE WALLIS.

Dédicace de Wallis à Kenelm Digby 40 1

1 . Brouncker à Wallis, 1 J mars 16)7 joj

2. Wallis à Brouncker, 17 mars 16J7 jo4

3. Brouncker à Wallis, 9 juin 1637 io J

4. Fermât à Digby, 20 avril 16 J7 .',o(i

5. Wallis à Digby, 16 juin 1637 »

G. Digby à Wallis, i"'' août i6J7 4111

7. Wallis à Digby, 1 3 septembre 1637 \\>.

8. Brauncker à Wallis, 21 septembre 16)7 '1 1('>

9. Wallis à Digby, 7 octobre 1637 (17

iO. Brouncker à Wallis, i3 octobre 1637 iH)

11. Fermai à Digby, 6 juin 1GJ7 420

12. Fermât à Digby, i3 août 1657. — P. S .- »

i;.{. Brouncker à Wallis, 16 octobre 1O57 4'-i2

14. Brouncker à Wallis, x" novembre 1637 42!

15. Wallis à Brouncker, i°'' décembre 1637 421

16. Wallis à Digby, i"'' décembre 1637 427

17. Wallis à Brounker, 17 décembre 1637 '■ 457

MU TM51.K DES MATIERES.

IS. Walli# à Digby, id déconibro 1637 480

10. \\'allis il Broiinckcr, 3o janvier 16 )8 /190

•ÎO. BrouiH'kpr à Wallis, 28 février iCi jS 5oJ

i\. Oigby il WiiUis, 0 février iG")8 5o4

i-l. Freiiicle ;i Dij^by. 3 février i(i'i8 )07

i;t . Wallis il Digby, i i mars 1(08 ; 5 1 1

•H. Broiiiu-ker ii Wallis, aS mars i658 52S

i^i. Oigby il Wallis, -xo février i658 »

m. Kreiiiele ii Digby. . . . février i658 53"

il . Broiincker ii Digby, 23 mars 16)8 53fi

:28. Wallis à Digby, x'j mars 1638 53;

i'.). Wallis il Brouncker, 29 inars. iG J8 ■)4 1

:U). Brouncker à Wallis. 16 avril i658 54O

lîl . Freniele l'i Digby, 1 1 avril i658 »

'M. Wallis il Brouncker, 23 avril i658 5ii

33. Schooten à Wiillis, 18 mars i658 554

:tt. Brouncker i'i Wallis, 1 1 mai i658 671

3.'>. Digby à Brouncker, 4 niai i658 572

3(î. Digby à Wiillis, 4 mai i658 573

37. Fermai à Digby, 7 avril 1 658 57(1

38. Frenicle il Digby, 4 fm\ i()J8 377

39. Wallis à Digby, 1 j mai i658 579

K). Wallis à Brouncker, 21 mai i658 584

il . Digby à Whilc, 8 mai 16 iS 5go

ii. Digby il Wallis, 8 mai iG58 391

ii. Frciiiclo à Digby, 2 mai iG58 59>,

•4t. Wallis à Digby, 3o juin i6")8 398

APPENDICE.

41. Wallis à Brouncker, i"> juillet i658 Goi

46. Digby à Wallis, 19 juin i6')8 602

47. Fermât à Digby, juin i658 »

Héplique anonyme au Commcrcium :

Texle laliii 6o3

Traduction ■ GoG

lirrata G 1 1

FIN DE LV TVBLE DES MVTIKRES DU TOME TliOISIEME.

AVERTISSEMENT.

I.

Comme il a été dit dans rAvertissement, en tète du Tome 1 de celle édi-
tion, page xxxiv, la Commission de pui)iication des Œuvrex de Fermai a
décidé qu'un Volume spécial serait consacré à des traductions des Écriis et
Fragments latins de Fermât, de Vlnrentum noi'iim flu P. de Billy, enfin du
Comniercium epistolicum de Wallis.

Si j'ai accepté la lâche ainsi déterminée, il ne m'en sera pas moins permis,
je l'espère, de réclamer d'autant plus l'indulgence pour mon travail, que
j'aurais désiré personnellement, pour une traduction des Écrits de Fermât, la
publication en regard du texte. .l'estimais, en effet, que, dans ces conditions,
il eût été plus aisé de faire une œuvre plus utile et moins sujette à crili(|ue.

Une traduction d'un auteur mathématique peut èli'c faite de {Uhw façons,
très différentes l'une de l'autre : ou bien elle sera rigoureusement conforme à
la lettre et aux notations du texte, en sorte qu'elle puisse, au point de vue
historique, le remplacer absolument pour ceux qui ignorent hi langue origi-
naire; ou bien elle reproduira seulement, avec toute la fidélité possible,
l'ordre des idées de l'auteur, mais en transcrivant ses notations et ses expres-
sions techniques d'après le système courant; elle servira alors plus utilement
le mathématicien qui ne s'attache (|u'au fond du raisonnement, sans se pré-
occuper de la forme des symboles.

Le premier mode est naturellement le seul auquel on puisse penser quand
il s'agit d'un auteur contemporain; il n'exige d'ailleurs, de la part du traduc-
teur, qu'une connaissance suffisante de la langue de cet auteur : il est donc de
beaucoup le plus facile à suivre. Au contraire, si l'auteur à traduire est ancien
ou déjà assez éloigné de nous pour que son système de notations soit essen-
tiellement différent du nôtre, le second mode doit, en principe, être préféré.

S'il s'agit, en effet, du point de vue historique, aucune traduction ne peut,
quoi qu'on fasse, équivaloir au texte, quand il est l'œuvre d'un génie vérita-
blement créateur, tel que ceux qui méritent d'être traduits. Car il n'y a pas à

X AVERTISSEMENT.

i-onsidéror que les iiotalinns, il faiil iciiii coinplc des concepts; of ceux-ci
soûl iiilinienuMil liés à la langue dans huiuello ils sont loiiuulés. Et ce ii'esl
pas parée qu'un inatliéuiaticieu, connue Fermai, se sera servi de deu\ lanj^ues,
qu'on aurait raison de penser (|ue la maternelle a dû, pour lui, être nalurel-
leiueul l'instrumeul de ses conceptions; à nue cpcxpie oi'i l'instruction se
faisait en latin, où la presque tolalilc des Ouvrages nialliénialiiines étaient
composés dans celle langue, c'était celle-là (|iii servait principalement à
penser en Malliématiques, et il ne nie parait pas douteux que Fermai n'ait
conservé jusqu'à la tiii de sa vie une liahitiide qui esl évidente i)endaiit la
féconde époque de sa jeunesse (')•

D'autre part, si l'on vise à avoir un texte réellemcnl iutelligible, si l'on veut
faire (inivre véritable de traducteur, il faut bien remplacer par les termes
techniques en usage ceux, qui sont lombes eu désuétude, il faut bien traduire
aussi sous la forme moderne les notations obsolètes; sans quoi la iraducliou
ne préseule, |iour ainsi dire, aucun avantage sur le texte, surtout lorsqu'il est
en lalin, puisque la connaissance de cette langue est encore assez répandue,
même parmi les mathématiciens, auxquels il suflit d'en savoir les premiers
éléments et de posséder un vocabulaire très restreint.

Mais, dans ce mode d'inler|ir('tation, la tâche du traducteur, s'il veut rester
lidèle, présente de sérieuses dil'licultés; l'emploi de nouveaux termes tech-
ni(|ues, surtout leur sultsiitution, souvent indi(piée, à des périphrases cpii
alourdissent le style, lendeiil à faire attribuer à l'auteur des concepts qui lui
sont réellement étrangers et dont il peut être nécessaire de bien niar(picr le
défaiil pour rendre compl(> de la véritable nuiicbe des idées; d'un auli-e côté,
il arrive souvent que l'emploi des notations modernes fait apparaître iiruné-
diutemenl une conclusion qui, avec les anciennes, exige encoi'e tles dévelop-
pements plus ou moins longs. On se trouve ainsi amené à des suppressions
plus ou moins graves.

Il \ a doue, et cela pour ainsi dire à chaque instant, à choisir entre deux ten-
dances, dont ni l'une ni l'autre ne peut être sacrifiée en principe : Cherchera
èlre le |)lus clair possible en tenant compte des habiludes modernes; suivre
assez fidèlement le texte poui' ne ])as eu doniiei- une simple paraphrase. J'es-
time que, dans une Iratluclion en icgai'd du texte, ces diflicultés disparaissent
(Ui grande partie; il est possible alors de prendre plus de libertés el de viser

(') Descartes, tout au conlrairc, cuniiiic iiialhémalicicn, travailla en français, sinon dés
le défjul, au moins de très bonne lioiire, lundis qu'en Mclaphysiquc, il trouve certaine-
Mienl |)lu.s commode d'écrire ses Méditatiaiit, pur exemple, en lalin, de se servir d'une
langue toute faite, plulol que d'en créci' une.

AVERTISSEMENT. xi

avant tout à la clarlé; le lecteur est immédiatement averll, parle voisinage du
texte, de l'importance des modifications apportées, et il est, pour ainsi dire,
invité, toutes les fois que la question peut l'intéresser, à comparer l'interpré-
lation avec les expressions de l'auteur.

Dans une traduction publiée séparémenl, et surtout dans un Volume sus-
ceptible d'être vendu isolément, j'ai cru devoir tenir un plus grand comple
(lu (exte de Fermai, et refondre par suite une traduction déjà complètement
faite pour mon usage personnel. Je ne me dissimule pas que, du compromis
que j'ai essayé entre les deu\ tendances indiquées plus haut, il ne pouvait
résulter une (Euvre complètement satisfaisante au point de vue de l'un et de
l'autre des deux buts cberchés. Suivant ce que chacun désirera trouver dans
cette traduction, il me reprochera nécessairement, soit d'avoir trop conservé
des formes anciennes, soit, au contraire, de ne pas les avoir assez respectées.
Je ne pourrai répondre qu'une chose, c'est que j'ai fait de mon mieux et que
je suis le premier à reconnaître les imperfections inhérentes au système suivi
ou plutôt à l'absence d'un système précis et rigoureusement observé.

Les remarques que je viens de présenter ne s'appliquent pas entièrement
aux autres traductions qui suivent dans ce Volume celles des Écrits de P^er-
mat. En particulier, pour Vliwentum novuni du P. de Billy, je ne crois guère
([ue personne attache i\n intérêt spécial à l'étude des notations (') et des
formes de langage de cet auteur. Je n'ai donc conservé que les expressions
typiques, comme celles de nombres vrais ou faux (au lieu de positifs ou né-
gatifs). Je n'ai eu, au contraire, aucun scrupule, par exemple, à traduire ter-
minus au moyen de l'expression toute moderne de forme (algébrique), qui
lui correspond assez exactement.

\^'Iin-eiiLuni novuni a, en tout cas, une importance réelle; il fait connaître,
d'une façon bien détaillée, toute cette partie des recherches arithmétiques de
Fermât, qui intéressait le plus ses contemporains, tandis qu'aujourd'hui elle
est à peu près complètement négligée. h'Imentuni est donc un complénietil
d'autant plus essentiel des OEuvres de Fermai qu'il donne la clef de nombre
des Observations sur Diophante, et présente la solution de plusieurs pro-
blèmes numériques réellement difficiles. Pour un Ouvrage secondaire de ce
genre, que sa forme rend assez malaisément abordable dans le texte original,
une réédition de ce texte eût été sans objet, une traduction peut rendre de
véritables services.

(') Ce sont celles do Format dans ses Observations sur Dioplinute, c'esl-à-dirc celles
que Bachot avait adoptées dans sa iradiKHioii latine de l'aiilcur grec.

\ii AVERTISSEMENT.

En ce qui concerne le Coinmcrcium de Wallis, il ne s'agissail ([iie tle faire
mieux connaître en France une série de lelires liés importantes au point de
vue l»istori(|ue, mais (]iii es! suffisamment répandue soit dans l'édition prin-
ceps, soit dans celle des Œinrcs de Wallis, pour qu'une réimpression fùl
sans intérêt; d'un autre côté, ces lettres sont assez faciles à lire, les notations
n"\ jouent ([unn rôle tout à fait secondaire, et d'ailleurs se rapprochent déjà
beaucoup des nôtres. Il me suffira de remarcpier que cpii voudra lécUement
lonnaître toutes celles qu'employait Wallis devra recourir aux sources; c'est
ainsi, pour ne citer qu'un exemple, qu'au symbolisme : a<^b poiu" désigner
la dilîérence, prise en valeur absolue, des deux nomjjres a et h, j'ai substitué
le snixant : \a — b\.

II.

.l'ai à remercier les mathématiciens qui ont bien voulu m'iiuliquer quelques
fautes d'impression dans les deux premiers Tomes; elles sont signalées dans
l'Errata à la lin de ce Volume. J'ai l'espoir que le même concours bénévole
ne me fera pas défaut pour le Tome III, qui sera suivi d'un Sitppléinenl d'une
vingtaine de feuilles d'impression, renfermant, avec divers extraits concernant
Fermât et tirés des écrits de Mersenne et des Lettres de Descartes et de Huy-
gens, les index annoncés dans l'Averlissemeiil du Tome I, index qu'il sera
plus commode de manier dans un fascicule séparé.

Comme pièces nouvelles et inédites, je ne puis, jusqu'à présent, en
annoncer que deux pour ce Supplément : i" la lettre à Mersenne de Cava-
lier!, contenant les questions auxquelles Fermât a répondu par la Pièce
insérée Tome I, pages igô à 198; celte lettre de Cavalieri est datée du aS no-
\embre i64i; r>.° une lettre sans date, mais postérieure à i65i, adressée à
Fermât i)ar un M. de Magnas et décrivant une aurore boréale. .le voudrais
espérer qu'avant la fin de l'année 1896 quelque découverte plus importante
permettra de combler une des nombreuses lacunes qui subsistent malheu-
reusement dans la coi-respondance du géomètre de Toulouse.

Avant de terminer, j'ai à signaler deux rectifications concernant les deux
premiers A'olumes, et qui sont assez impartantes pour être mentionnées en
dehors de l'Errata.

Tout d'abord dans le second Volume, nous avons omis, pour la lettre de
Fermât à Digby, du i5 août 1657 (n" 84 de la Correspondance), un long post-
scriptum que Wallis n'a inséré que dans la réédition de son Commerciuin.
(Jn le trouvera ci-après pages 421-422.

En second lieu, dans l'Avertissement, en tète du premier Volume (p. xix-

AVIÎHTISSEMENT. xiii

XX ), pour reproduire le billet autographe de Feriual conservé tliuis le \ d-

i83
liirne -=- de la Bil)liotlièf|ue de la Ville de Toulouse, je m'étais servi du
ht

texte déjà publié pur Libri, en prenant soin de le l'aire collalionner sur l'ori-
ginal; cette précaution, on le verra, était iiisuffeanle. D'autre part, sur la l'oi
de M. Charles Henry qui aflirniait (') l'identité des éci'itures d'après un t'ac-
simile que lui avait adressé le bibliothécaire de Toulouse et non, il est vrai,
d'après l'original, j'ai indiqué Carcavi comme ayant écrit la note au bas du
billet, comme étant par conséquent le destinataire. J'ai même, dans celte
hypothèse, essayé d'expliquer l'éloge hyperlioli(|ue dont Tei-mat a gratilié ce
destinataire, en lui offrant les Massinii Sislemi de Galilée.

Des doutes m'étant survenus à ce sujet en raison de la nature des rela-
tions entre Galilée et Carcavi (-), j'ai demandé et obtenu la communication
du \olume de Toulouse, et j'ai tout d'abord reconnu (|ue le texte de Fermai
n'avait pas été exactement re|iroduit. Kri dehors des différences orthogra-
|)hiques, il y en a une autre assez im[)ortante (parce qu'elle prouve une sin-
gulière intimité entre Fermât et celui au(|uel il s'adresse); la véritable lec-
ture est indiquée en italique dans le texte nouveau que je donne ci-après :

« Peust esire croirés nous que |iour me mettre en réputation et per purgar,
» comme on dit, la mala lama, ie prelens m'eriger en donneiM- de liiires.N ous
» en croirés ce (|u'il nous plairra, mais si c'estoit par hasard uostre pensée,
» rrsseurcs nous, mon cher, que nous n'aués pas touché au but. le ne songe
)i eu nous offrant les dialogues Italiens du système de Galilée qu'a l'aire une
» action de iustice, et a nous rendre maistre de l'ouurage d'un anllieur ({iii
» ne passeroit, s'il uiuoil, (|ue pour uostre disci|)le. Receués, donc, ce pre-
» sent, comme nous estant deu, et ne me considérés point en ce rencontre
» comme un adroit negoliateur mais comme un bon iuge, qui rejette comme
)- une tentation lidée de uostre grande et fameuse bibliothèque et ne se
» souuient que de la passion qu'il a d'estre tout à nous. »

Suit, d'inie écriture inconnue, la note :

« Ce billet est de Monsieur de l'crniat coer au |)arleuiaul (pii ma l'ail presaiit
« de ce liure. »

( ' ) Rrclierclies xitr les iiiiiimscrils de l'ievrf de Fernuil. page lo.

(-) Avant mémo de (piitler Toulouse, Carcavi avait formé le projet de donner une édi-
tion des Œuvres de (ialilée, el il a entrelcnu, dans ce but, avec ce dernier, une Corres-
pondance qu'il a poursuivie étant à Paris. 11 est dés lors presque certain qu'il a |)ossédé
de bonne heure le Dialogue des Maxximi Slitcmi et que Format ne l'ignorait pas; d'aulre
pari, l'éloge hyperbolique, adressé à un éditeur ou traducteur, aurait été une malaflresse.

l'"lill>UT. — iti. c

XIV WKUTISSKMENT.

Lo \ oliimo (jni conlient cv liilloi no |irosoiilo iuicim indice (|ui puisse l'aire
reeoiMiailie par ipii il a élé possédé après 16^2, dale de la mon de Galilée; il
porle au conlraire la marque de la bihliollièqne du célèbre érudit Peiresc,
mort eu i6i-. Celle circonslauce, et loul aussi bien la rarelé de celte édition
de rt)uvraire condamné par l'aulorité ecclésiastique, peuvent expliquer l'ex-
pression « adi'oil négociateur » dans le lexle du billet de Fermât.

Quant à l'écrilure de la noie au bas du billet, elle oITre avec celle de Car-
cavi des différences assez mar(|nées, ainsi que j'ai ])u le constater en com-
paraiil nue lellre aulogra|)lie écrite par lui à McM'senue le 17 mars i(>^8 et
HCluelleinenl conservée à la Biblolbèque nali(uiale (français nouv. acq.620'v,
p. 296). Mais, poui- identilier avec ceriitiiile celle écriture inconnue avec celle
li'uu ami inlim(> de Fermai, possédant une bibliolbèque d'une certaine im|ior-
laiice, j'ai l'ail de nombreuses lenlalives qui sont restées infructueuses; je ne
puis donc soumeltre au lecteur que des probabilités.

•Je dois en tout cas témoiguei- ma profonde reconnaissance à deux amis qui
m'ont secondé avec ardeur dans celte recherclu; et m'ont procuré des photo-
graphies de spécimens d'écritures difficiles à trouver, M. Baillaud, directeur
de l'Observatoire de Toulouse, el M. Hochart, de Bordeaux.

La circonstance que d'une pari, après la nienlion « conseiller au parle-
ment », le siège de la cour ne se trouve pas indiqué; que d'un autre côlé le
Volume offert par Fermai se retrouve actuellement dans la bibliothèque de
Toulouse, foui présumer a priori (|ue l'ami du grand géomètre habitait celle
ville. Mais dans ce cas, il fani admettre (]ue l'éloge hyperbolique est en fait
une plaisanterie adressée à un inlime pour un niolif dont nous n'avons ])as
le secret, et d'autre pari, à moins de supposer que l'écrilui'e ne soil celle
d'un secrétaire (ce (|ui rendrait le problème à peu près insoluble), on ne
peut la rai)procher que de celle d'un seul personnage, Gaspard de Fieubet,
qui fut nommé en i653 premier président du parlement de Toulouse, où il
étail auparavant procureur général.

L'écriture de Fieubet est bien, au premier aspect, du même genre (pie
celle des deux lignes au bas du billel de Fermai; toutefois, dans le détail,
pour la forme de certaines lelties, il y a des différences sensibles; Fieubet a
possédé, de fait, une bibliolhècpie imporiaule; mais il est plus que douteux
qu'il ail jamais été assez inlime avec Fermai jiour.f|iie celui-ci, s'adressant à
un procureur général, ait pu lui écrire « mon cher ». El même un rapport
secret de l'inteudanl de Toulouse, adressé à (]oiberl en i663 {Correspon-
dance adminislralivt' sous le rèif/i.e de Louis Al]', Tome II, page 853) signale
Fermât comme u'élanl pas des amis du premier |)résidenl.

WERTISSEMENT. xv

Si l'on éciirlo les moliis qui l'ont croire (jiie le donalaire devait èlre Tou-
lousain, il est un ami certainement très intime, de Fermai auquel on peut
penser. (Vesl Etienne d'Espagnet, conseiller au parlement de Bordeaux, et
fils du président Jean d'Espagnet, avec lequel on l'a parfois confondu, et qui
avait commencé à former une bibliothèque considérable. Érudit en toute
science, Etienne d'Espagnet ne s'est pas seulement occupé, entre autres
choses, comme son père, de philosophie hermétique, il réussit assez bien
dans la fabrication des verres de lunettes astronomiques, pour que, dans
une lettre inédite à Boulliau du 2 décembre 1667 (Bibl. nat. fr. 130W, f° 2^4
verso) Ïito-Livio Burattini menlionne Auzout et lui comme étant ceux qui
ont particulièrement réussi en France à obtenir des verres « esf|uisilissinii ».
Ne serait-ce pas là précisément la clef de l'éloge hyperbolique?

Les spécimens de son écriture dont M. Hochart a pu me [)rocurer une
photographie remontent à i635, c'est-à-dire à une époque sensiblement
antérieure à celle du cadeau de Fermât. Il n'y a pas de différences sensibles
dans le détail, mais l'écriture est notablement moins grosse, ce qui |)eMt
s'expliquer par la différence de l'âge.

En résumé. Je considère la question comme n'élaut pas résolue, mais j'es-
time que la probabilité penche pour l'idenlincalion avec Etienne d'Espagnet,
et je serais tenté de rapprocher la date du billet des dernières années de
Feinial (').

(' ) P.-S. — Je dois il l'obligeance de M. Favaro le renseigiiomciit siiivanl. : D'après une
icllre de Hciiisius à Léopold de Médicis, en date du 4 mars lOGi (publiée |)ar Targioni
Tozzelti dans ses Notizie degli aggrandimenti dette xcienze fîslclie accaduti in Toxcana,
Florence, 1780, page 5oi), Golius, interrogé sur les manuscrits inédits de Viète, dont la
rommunicalion avait été iiromise aux Ehevirs par Espagnel, aurait répondu que ce der-
nier, tombé en disgrâce, avait été exilé do Bordeaux, et qu'il ne savait plus oii le lrou\er.
— t^el exil dut élrc la conséquence du rôle assez important joué par Espagnol pendant la
Fronde. Se serail-il, pendant plus ou moins longtemps, retirée Toulouse? En 166Î, cepen-
dant, il était rentré à Bordeaux, et, en 1G66, son fds aine, Jean, le remplaçait dans sa
cbarge (indications ((iie je dois à un jeune érudil bordelais. M. Dast de Boisville, et qu'il
a tirées des .Arcliives départementales de la liironde ).

Paris, le -.ô février iSofi.

Paul Tan.xeiiv.

TRADUCTION

URS

ÉCRITS LATINS DE FERMAT.

KEnMAT. — III.

RESTITUTION

DES

DEUX LIA HES DES LIEUX PLANS

D'APOLLONIUS DE PERGE.

LIVRE L

O que sont les lieux plans est chose bien connue; ce sujet tut traité
on deux livres par Apollonius, au témoignage de Pappus (jui. au début
de son Livre VII, en donne les diverses propositions, mais dans un lan-
gage passablement obscur ou du moins mal compris du traducteur
( il ne m'a pas été possible d'examiner le manuscrit grec). C'est cette
théorie, la plus belle, semble-l-il, de toute la Géométrie, que nous
arrachons à l'oubli, pour opposer fièrement Apollonius traitant des
Lieux plans, aux Apollonius français, bataves et illyriens; car nous
avons la confiance assurée qu'il n'y a pas d'ouvrage où resplendissent
plus vivement les merveilles de la (îéométrie; pour le faire avouer
aussitôt, je commence immédiatement.

Les propositions du Livre 1 sont les suivantes :

PlinPOSITKlN I.

« si on mène deux lignes, soi/ d iiit jtoiiit donné, sot/ de drit.r. el soi!
en ligne droite, soit parallèles, soit sons nn angle donné , enfin ayant

i Œi'VHES m: ri: H M vt. ii, ,,|

<nlrt cUis un nipporl donne, ou co/npn'/uni/ un rcc/anii/c t/on/ir; si icx-
trcmilè df I une est sur un lieu plan ilon/u' de position, / extrémité de
/ (lutre sera également sur un lieu plan donné de position, lanlôl du
même genre, tantôt d'un <^enre différent, tantôt situé de même par rap-
port à la lig/w droite, tantôt de façon eontraire. »

On pont facilcini'iU diviser codi' proixisilimi en luiil aiitri's cl cIki-
ciiiic lie ccllos-ci (Ml cas ii()inl)r(Mix. I.o défaiil de ponctuation scrnhlc
au reste avoir cniliarrassé le traducteur, et Pappus hii-mcnie paiail
èlrc loiultc dans r(d)sciiri(é par trop de concision. Voici comnienl nous
éclaircissons le tout. |iar notre division en huit parties.

I. l'uoi'Osnio.N. — A d u/i point donné on mène en ligne droite deii.v
lignes dans un rapport donné, et que l'extrémité de l'une se trouve sur un
lieu plan donné de po.silion {c'est-à-dire une droite ou une cireonférenee
de ceivle donnée de position), l'extrémité de l'autre sera sur une droite
ou une eireonférence de eerele donnée de position.

Soit A le point donné {Jig. i ), par le(juel on mène en ligne droite
AB et AF dans un rapport donné. Soit par exemple le point B sur la

Fig

I.

H

C B

D

A

/

F/

X

E

r.

ligne ilroite HCBD donnée de position, je dis que le point F est aussi
sur une droite donnée de position.

Du point A, j'abaisse sur la droite HD la perpendiculaire A(^, le
point C sei'a donné; je prolonge (>A jusqu'en E, en prenant -'p dans le

rapport donné; AE sera donné, donc le point K. Par le point \\ je
mèiio GEF j)aialli'le ii la droite HD; elle sera donnée de position et
passera par le point F, car tontes les droites, passant par un jioinl
donné et coupant deux paralli'Ies, sont divisées dans le même rapport.

[5, fi]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

Il est donc clair que toute droite passant par le point A et terminée aux
parallèles données de position sera partagée dans le rapport donné.
Soient maintenant donnés le point B {^fig. 2) et le cercle ICN dont

Fis. 3.

le centre est A. Menez BA qui coupe la circonférence en I, et prolongez
IB suivant BE, en sorte que le rapport ^rr; soit égal au donné. Conti-
nuez le prolongement jusqu'en F en sorte que ^p = rrp;> et de F

comme centre, avec FE comme rayon, décrivez la circonférence de
cercle EDZ qui, d'après la construction, sera évidemment donnée de
position. Je dis que toutes les droites passant par le point B et termi-
nées de part et d'autre aux circonférences des cercles donnés de posi-
tion seront partagées dans le rapport donné.

Soit menée par exemple (]BI); joignez CA, DF. On a

IB Al , BA AI(:=AC)

BË = ÉF- ^'°"'^' '"•"■ ^""^'""' BF = ËÎT^FD)-

D'ailleurs les angles ABC, FBD opposés par le sommet sont égaux.
Les triangles sont donc semblables et par conséquent

CD
BD

BA
BF

c'cst-à-clire le rapport donné.

Si donc du point donné B on mène deux droites, par exemple BC,
BD, en ligne droite et dans le rapport donné, et que BC se termine ii
une circonférence donnée de position, BD se terminera aussi ;i une
autre circonférence donnée de position.

Si les droites sont prolongées jusqu'aux arcs concaves des cercles,
la proposition reste vraie.

Nous avertissons que dans nos démonstrations nous n'insistons pas

(î (EIVUKS DE KEHMAT. |f.. 7|

sur li>s (li'lails évidents; (rciix-mêmes, ot (|iu' nous ircxiiniinoiis pas les
dillV'ivnls l'as qui peuvciil se déduiro sans dilliculli' de ce (|U(" nous
avons dit.

'1. l*i',oi'(isiiioN. - Si (i ii/i point (lo/iiu' on mène dans le pro/o//m'///c///
l'une de l'autre deur droites dont le rectani^ir soit donne, et cpic l'crtrc-
rnite de l'une se troua' sur un lieu plan donne de positio/i. d en sera de
même pour l'extrémité de l'autre.

Soit A le point donne \Jig- 3), et en prciuier liiui uni- droite HC,
donnée de position; abaissez sur elle la perpendiculaire AC; le points

sera donné. Prolongez cette perpendiculaire et soit CA x AE égal au
rectangle donné. Sur AE comme diamètre, décrivez le cercle ADE. Je
dis que toutes les droites menées par le point A et terminées d'un
côté il la droite, de l'autre à la circonférence du cercle (qui est évi-
demment donné de position), seront partagées au point A en sorte que
le rectangle de leurs segments soit égal à l'aire donnée.

Soi! en cU'el, par exemple, la droite DAB; joignez DE. L'angle ADE
inscrit dans un demi-cercle est droit et les angles BA(], DAE, opposés
par le sonimet, sont égaux. Les triangles DAE, ACB seront donc sem-
blables et par conséquent BA x AD = CA x AE qui est donné.

Si donc par le poini A on mène, dans le prolongement l'une de
l'antre, les deux droites AB, AD, et (|ne l'extrémité de l'une, i» savoir

[7,8] LIETV PLANS D'APOLLONIUS. 7

AB, se trouve sur la droite BC donnée de position, l'extrémité do
l'autre se trouvera sur un lieu plan, c'est-à-dire le cercle ADE, donné
de position.

Soit maintenant donné le point V ifig- k)- avec le cercle BKiH de
centre E; joignez EV; prolongez jusqu'en B, VB sera donné; prolon-

gez de l'autre côté jusqu'en F en sorte que BV x VF soit égal au rec-
tangle donné. Soit encore GV xVX égal à ce rectangle. Sur XF comme
diamètre, décrivez le cercle XKF qui est évidemment donné de posi-
tion. Je dis que les droites, passant par le point V et terminées aux
deux cercles, sont partagées au point V en sorte que lo rectangle de
leurs segments soit égal au rectangle donné.

Soit par exemple menée AVKI, je dis que AV x VK est égal au rec-
tangle donné.

Soit pris le centre 0 du petit cercle, que nous supposerons coupé

en R par la droite AYKI; joignez RO, AE. Nous avons supposé

GV FV

GV X VX = BV X VF. Par conséquent ^jï y^- Cornponcndo. jn'e-

nant la moitié des antécédents, et converlendo.

EB(^EA_) OX(=:OR)
EV " GV

ŒUVRES DE FERMAT.

|S, !l]

Les lieux li-iaiiglos OVK, \ KA mil de plus l'auglc KVA coninum, ils

soronl donc sonihlahlcs.

, AV AE / EB\ VE ,, . EH VE ,

Par couse(iucut : j^^. = ^r^;^ (^ou ^y^- ) = ^^- Mais ^^^ =. ^- ; donc,

,.,„, KH M! ,, AV HV

pard.lTrronoo, ^x = yx" '^""•" RV "" XV '

, . GV IV . . . (JV FN

Nous prouverons de même que vF "= irr ou t^icisxim Xn = yr ■

.Mais ,r.r = :fj^ ( I OS pectandos KV x VR, FV x V.\, dans le cerele,

VR VA

elant égaux ), el nous avons prouvé (|ue y^ = ^^- Donc, d'un côté,

F\ \ \

y^ = ^- Donc KV X VA = FV x VB, rectangle donné.

D'autre part, -jy = vty' ^^ P'"' ^iiit<' IV<\'R = GVxVX, rectangle
donné.

Par conséquent, si par le point V on mène dans le prolongement
l'une de d'autre deux droites AV, VK, dont le rectangle soit donné, et
que l'extrémité de l'une, soit VA, se trouve sur un cercle donné de
position, l'extrémité de l'autre se trouvera sur un lieu plan (le cercle
XKF) donné de position.

3. PliOPOSITlo^. — Si d'un point donné on mène sous un angle donné
deux lignes dans un rapport donné, et que l'extrémité de l' une se trouve
sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'extrémité de
i autre.

Soit H le point donné (Jig- 5) et, en premier lieu, une droite AF

donnée de position. La perpendiculaire HB abaissée sur elle sera
donnée.

[9, 10]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

TÎH

Soit l'angle BHE égal à l'angle donné, et n^ dans le rapport donné.

La droite HE sera donnée de position, ainsi que le point E. De ce
point E j'élève sur la droite HE la perpendiculaire indéfinie DEG; elle

sera donnée de position. Prenant sur AF un point C quelconque, et

HP

joignant HC, je fais l'angle CHI égal au donné : je dis que -r^ est dans

le rapport donné.

En effet, les angles BHP], CHI étant égaux, si je retranche la partie
commune CHE, les angles BHC, EHI seront égaux. Ceux en B et E sont

droits; donc les triangles HBC, HEl sont semblables. Donc jrr; — -r^^^

HB

HC

et iHcissim ^ = ^ : c'est le rapport donné.

Si donc du point donné H on mène deux droites HC, HI sous un
angle donné CHI et dans un rapport donné, et si le point C de l'une HC
se trouve sur une droite donnée de position, l'extrémité de l'autre se
trouve sur un lieu plan, la droite DG, dont la position est donnée,
comme il a été prouvé.

Si la première extrémité se trouve sur un cercle, soit A le point

Fis. S.

donné {fig. 6), lE le cercle donné de position, F son centre. Joignez

lA

FA qui coupe le cercle en h soit un angle lAD égal au donné, et tt:

AU

dans le rapport donné. AD sera donnée de position ainsi que le point D
JA _ jF
Al) ^ 1)C

TA IF

Prolongez et soit -rrz ^ Yrrr De c comme centre, décrivez le cercle DB,

'-' Ail I M .

Ferm.vt. — III.

10

ŒUVRES 1)K FKUMAT

fin. 111

qui est évult'ininont doiino do posilion. Soit pris sur lo promior ("orcio
viii point E t|ii('l('onqiu'; joii;iioz EA; soit l'aiiglo EAB égal au donné,

cl II- poini 15 sur le soeond ccrcli', je dis que ^l 6st le rapport donné.

Joignant FE, HC, on prouvera, eoiunie ci-dessus, que les angles
FAE, CAB sont égaux et, en raisonnant comme dans la proposition l

Cl" tiii;ure>. nue les trianiïles FAE, ("AB sont seml)labl(>s. Donc ™^ — vit'

^ • ' ' Ail, AH

. •■ • AK , , . •• Al AK ,, , » AE , , ,

et rtcissim -r-^. c'est-a-dire -r-n = tt>- uonc le rapport -7-5 est le donne
Al- Al) Aii ' ^ A»

et le sens de la proposition est évident, aussi bien que la eonsé-
quenee.

4. Puoi'OSiTioN. — Que d' un point doiuié on mène deux lignes sous un
angle donné et telles que leur rectangle soit donné; si l'extrémité de l'une
se trome sur un lieu plan donné de position , il en sera de même pour
l'autre.

Soit G le point donné (/(g- 7) avec la droite AC donnée de position,
sur laquelle j'abaisse la perpendiculaire GB; soit BGE l'angle donné

et BG X GE l'aire donnée. Sur GE, je décris le demi-cercle GEF. Pre-
nant sur la droite donnée de position un point quelconque D, je joins
DG, et. fais l'angle DGF égal au donné; je dis que DG x GF est égal à
l'aire donnée.

Joignant FE, je prouverai, comme dans la proposition précédente,
l'égalité des angles BGl), EGF; mais ceux en B, F sont égaux comme
droits; on conclura la similitude des triangles BGD, EGF, l'égalité

111,12,13] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 11

des rectangles BG x GE, GD x GF, et la vérité de la proposition. Si
donc, etc.

Soit maintenant A (//g- 8 ) le point donné, avec le cercle HGE
donné de position. Je mène par son centre la droite AEH qui coupe la

Fis- S.

circonférence aux points E, H. Soit HAB l'angle donné, et HA x AI,
aussi bien que EA x AB, égal à l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur
IB (lequel est évidemment donné de position ) satisfera à la (]uestion.
En effet, menons par exemple GFA, et faisons l'angle GADC égal au
donné. Je dis que les rectangles GA x AD et FA x AC sont égaux à
l'aire donnée.

Car, comme HA x Al = EA x AB, on a

HA

Ali

-TTf = -TT- Mais, d'après le
raisonnement de la proposition précédente, l'égalité des angles HAG,
BAC est évidente; aussi bien, comme dans la proposition 2, on dé-

duira facilement

HA
GA

BA „ . HA
ÂC-^^^'MîA

FA
ÀE

) donc

FA

BA

AE~

AC'

'autre

part :

BA

Al)

AC ~

AI'

il'où FA X AC = BA X \E, le rectangle d oiiiié,

d'où

(iA X AD = HA X AI, le reclangle donné.

La proposition est ainsi entièrement établie; si donc. etc.

Dans ce cas, j'ai pris le point A en dehors du cercle donné de posi-

13 ŒliVHKS 1)K 1" EH M AT. lli]

lion; mais on pont le prendre an dotlans, comme dans le second cas de
la proposition '2.

Lesquatrc propositions précédentes supposent un seul point donné,
les suivantes deux.

."). PuoposniON. — Si par dcii.v poitits donnes on mené deux lignes
parallèles dans un rapport donné, et (pie rextrcnulé de l'une se trouve ^
sur un lieu plan donné de position , il en sera de même pour l'autre.

Soient A, H (///,'. 9) les deux points. C,HDK une droite donnée de po-

sition, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire AB. Soit HE paral-
lide à cette derniiM'e, et y,^ le rapport donné; le point E sera donné.

11 Ij

Menez par ce point FEG perpendiculaire à HE et parallèle à la droite
donnée de position. Je dis (|ue toutes les parallèles, menées par les
points A, H et terminées aux droites CD, F(i données de position,

seront dans le rapport donné yj^-

En effet, les angles BAD, EHG seront égaux, comme les droits en B.
E; donc les triangles BAD, EHG seront semblables. Le reste est facile.

Si donc (les deux points A, H, on mène les parallèles AD, HG dans
le rapport donné, et que AD se termine à une droite donnée de posi-
tion, HG se terminera aussi à une droite donnée de position, par con-
séquent il un lieu plan.

Dans la figure ci-contre {Jig- 10), soient donnés les points A, Z et.
de position, le cercle BC de centre E. Joignez AE coupant le cercle

en IJ; menez ii .\E la parallèle ZN et soit y^ dans le rapport donné. Pro-

[13, 14]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

13

BK

longez ZN jusqu'en I, -^ étant aussi dans le rapport donné. Le cercle
décrit de I comme centre, avec IN comme rayon, sera donné de posi-
tion et satisfera à la question.

Fi''. 10.

En effet, si l'on mène les parallèles AC, ZD, rencontrant les cercles

aux points C, D, jr^ sera dans le rapport donné; car l'égalité des

angles BAC, NZD ressort du premier cas de cette proposition; le reste
résulte du second cas de la pro|)osition 3.

6. PnoposmoN. — Si par deux points donnes on /lu'/tf r/eux parallèles
dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de Viinc soit sur un lieu
plan donné de position , il en sera de même pour l'autre.

Soient donnés les deux points A, H {/ig- n), et de position la
droite CE, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire AB. .Menez ii

Fis- 11-

cette dernière la parallèle HG, et soit AB x HG égal au rectangle
donné. La droite HG sera donnée et le demi-cercle HGF décrit sur
elle satisfera à la question.

l\

ŒUVRES DE FERMAT.

[lô. 16]

Ml) oITol, qu'on mène los parallolos quelconques AD, HF. ot qu'on
joiiïiu' (iK. (Ml roprouanl les démonstrations précédentes, ou conclura
la similitude des triangles HAD. GlIF et l'égalité de AD x 111" au rec-
tangle donné BA x HG. Si donc par deux points, etc.

Dans le second cas, soient donnés les points A, B {/li^: 12). cl de
position le cercle IFGH. Soient menées AIH par son centre et la paral-

Fis. 15-

lèlc BC; soient AI x BC et AH x BO égaux au rectangle donné; le
demi-cercle décrit sur la droite OC satisfait à la question.

En effet, si l'on mène les parallèles AFG, BED, les angles HAG, CBD
seront égaux et l'on démontrera l'égalité au rectangle donné de AGxBE
et de AF x BD, comme dans le second cas de la proposition 4.

7. Proposition. — Si par deux points donnés on mène sous un a/igle
donné deux droites dans un rapport donné, et que l'extrémité de l'une
se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'ex-
trémité de l'autre.

Soient donnés les points A, B (^g. i3), et de position la droite IGH.
Sur BA décrivez le segment de cercle ALB capable de l'angle donné.
Du point A abaissez sur la droite IH la perpendiculaire AG, que vous
prolongerez jusqu'à sa rencontre avec la circonférence en L. 3[enez

[10.17] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 15

LBE, et soit |^ dans le rapport donné. Menez FEDC perpendiculaire
à BE, et prenez sur l'arc de cercle un point quelconque K, duque"

vous m

ènerez, par A et B, les droites KAH, KBD rencontrant en H
et D les droites IH, F(l Je dis que v^^ est dans le rapport donné ^•

Fiï. 10.

Car, s'il en est ainsi, les triangles AGH, BED seront semblables :
donc les angles GAH, EBD seront égaux, ainsi que leurs opposés par
le sommet KAL, KBL. Mais cette dernière égalité a lieu, puisque ces
angles sont inscrits dans le même segment, et il est facile de remonter
de l'analyse à la synthèse.

Si donc, par deux points A, B, on mène deux droites AH, BD, sous
l'angle donné HKD < et ayant entre elles un rapport donné >, si
l'extrémité de AH est sur la droite IH donnée de position, l'extrémité
de BD sera sur la droite FC, donnée aussi de position, d'après la con-
struction.

Soient maintenant donnés les points A, B (Jig- i4). ''t de position
le cercle HF; sur AB décrivez le segment de cercle AKB capable de
l'angle donné. Soit G le centre du cercle HF; joignez AHG, prolongez-
la jusqu'à sa rencontre en K avec l'arc do cercle, menez KBE, et soit

4 ir op

TTp dans le rapport donné. Prolongez BE jusqu'en D, en sorte que .-
soit aussi dans le rapport donné. Le cercle décrit de D comme centre
sera donné de position et donnera la solution de la question.

Si en effet on mène lAF, IB(-, les angles en A et B seront égaux, et

\F

le reste de la démonstration est facile; on voit aussitôt que '^ est dans

IG ŒUVRES m: FIÎRMAT. 1 17. is |

le rapport tloniié, et qu'il en csl de mèino si Ton prolonge les droih^s
jiis(|u'aux airs concaves. Si iloiic. ele.

iMg. l'|.

S. l'iioi'osiTioN. - Si par deux points donnés on mène deux lignes
sous un angle donné et dont le rectangle soit donné, que l'extrémité de
l'une soit sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour
i e.vtrémité de l'autre.

Soient donnés les deux points A, B {Jig- i5), et de position la
droite GI. Sur AB décrivez le segment de cercle capable de l'angle

donné; menez AH perpendiculaire sur GI et prolongez-la jusqu'en F.
Joignez FB, à prolonger jusqu'en G en sorte que AH x BC soit égal à
l'aire donnée. Le cercle décrit sur la droite BC satisfera à la question.
Kn efFet, si l'on prend sur l'arc un point (juolconque E, et qu'on
joigne EAI, EBD, Al x BD sera égal au rectangle donné.

I 18. 19]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

17

La démonstration est la même que dans les cas qui précèdent.
Soient maintenant donnés les points A, B {fig- i6), et de position
le cercle IKL. Sur AB décrivez le segment de cercle capable de l'angle

Fis. 'fi.

donné. Menez par le centre la droite ANl, à prolonger jusqu'en G;
joignez GB, et prolongez en sorte que AI x BC et AN x BD soient
égaux à l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur CD satisfera à la
([uestion; c'est-à-dire que si l'on prend un point quelconque comme
H et qu'on achève la construction de la figure, comme ci -dessus,
AK X BF et AL x BE seront égaux au rectangle donné. La démon-
stration est la même que dans les cas précédents.

Ainsi la proposition est établie, et le premier théorème d'Apollonius
ou de Pappus est éclairci.

Il faut remarquer que les cas pour lesquels nous avons indiqué seu-
lement des demi-cercles donnent en fait les cercles entiers; d'ailleurs
les diverses situations des données engendrent des cas multiples qu'on
pourra, à loisir, déduire facilement des précédents par des raisonne-
ments immédiats.

Pappus ajoute que le lieu plan, sur lequel se trouve l'extrémité de
la seconde droite, est tantôt du même genre, tantôt d'un genre dif-
férent. Ce qui est clair : par exemple, dans la proposition 1, il est A\\
même genre; car, si la première droite se termine à une droite, la
seconde se termine aussi à une droite; et de même un cercle conduit

KicriMAT. — m. ■*

IS ŒUVRES DE FKRM AT. [19.201

à un coivlo. ll.uis la première parlio ilc la lU'oposilioii 2. au contraire.

et dans plusifurs anlrescas. le li(>u est d'un gonro différent.

Pappns ajoiile aussi (]ue le lieu est tantôt situé de même par rapport

à la li^ne droite, et tantôt defa{on contraire. Ces mots par rapport à la

//ij-//(w//W/r n'offrent aucun sens el je jtense qu'il faut les supi»rinier.

J'explique ainsi ce passage : (autùt le second lien est placé d'une

manière contraire au premier; par exemple, si le premier est la partie

convexe de la circonférence, le second sera la partie concave, etc.

Des exemples de cette opposition sont donnés dans les propositions

ci-dessus.

Proposition II.

« .*?/ /'()// donne une extrémité d'une ligue droite donnée de posituin.
l'aiUre sera sur une circonférence concave donnée de position. »

Avec une pareille leçon, la proposilion est fausse; il faut, par
exemple, aux mots donnée de position, substituer ceux-ci : donnée
de srandeur, et le sens sera : si ion donne le diamètre et le centre
d'un cercle, l'extrémité du diamètre sera sur un cercle donné de posi-
tion. Ce qui est évident de soi et ne mérite pas qu'on s'y arrête davan-
tage.

Proposition 111.

<( Si, de deux points donnés, on mène deux droites qui se coupent sous
un angle donné, leur point commun sera sur une circonférence concave
donnée de position. »

Cette proposition est évidonie de soi, car le segment capable de
l'angle donné el décrit sur la droite joignant les deux points est
donné, comme l'a enseigné Euclidc dans les Eléments.

Proposition IV.

« Si, d'un triangle d'aire donnée, on donne la base de grandeur et de
position, le sommet sera sur une droite donnée de position. »

Cette droite sera une parallèle à la base; sa construction et tout le
reste se tirent immédiatement du Livre I des Eléments.

1201

LIEUX PLANS D APOLLONIUS.

19

PltOPOSITION \.

« Si une droite est donnée de grandeur et parallèle à une droite donnée
de position, et qu'une de ses extrémités soit sur une droite donnée de posi-
tion, l'antre extrémité sera aussi sur une droite donnée de position, n

Soit DE {/ig. 17) une droite donnée de grandeur et parallèle à la
droite AC donnée de position. L'extrémité D est supposée sur une

Kig. 17.

droite AF donnée de position. Si par E vous menez BEG parallèle
il AF, elle résout la question.

En effet, toutes les droites, comprises entre ces deux parallèles et
parallèles elles-mêmes à la droite AC donnée de position, sont égales
entre elles; ce qui est clair d'après la construction même.

Si donc une extrémité de l'une d'elles est sur AF, l'autre sera sur
BG, comme le veut la proposition. Il est facile de l'étendre ;i des
cercles.

Soit en effet AB (fig. 18) une droite donnée de position, à laquelle

V\-s. .8.

est [)arallèle NO donnée de grandeur. Soit le point N sur la circonfé

aO ŒUVRES l)K FERMAT. [-iO.n]

rence du cerdo CNM donne de position. Jo dis (jiio le poinl 0 est sui'
un cercle donné de position.

Soit E le centre du cercle CNM; je mène le dianiètie parallèle à AH
o( je le prolonge jnsqn'en F. en sorte (jne CF = NO, la droite donné(\
La droite CF sera donnée de position ot de grandeur; je la prolonge
en faisant FH = (^D. Le cercle décrit sur FH résout la ([uestion, car le
point 0 sera sur sa circonférence.

En effet, soit le point 0 sur la circonférence du cercle FOP : les
droites CN, FO, joignant les extrémités des parallèles égales CF, NO,
seront égales et parallèles : donc les angles NCD, OFH seront égaux;
mais il en est ainsi, puisque les droites CD, FH, égales entre elles.
sont parallèles aux droites NM, OP.

La proposition de Pappus peut donc être conçue plus généralement
comme suit :

Si une droite est donnée de grandeur et parallèle à une droite donnée
de position, et qu'une de ses extrémités soit sur un lieu plan donné de
position, l'autre extrémité sera aussi sur un lieu plan donné de position.

Proposition VI.

« Si d'un point on mène, à deux droites parallèles ou concourantes
données de position, deux droites sous des angles donnés, el dans un
rapport donné ou bien dont V une, plus une droite dans un rapport donné
avec l'autre, fait une somme donnée, le poinl sera sur une droite donnée
de position. »

(]ette proposition comprend deux parties, dont voici Xa première :
Soient deux droites AE, AF {fig- 19) données de position et se cou-
pant en A. Du point C, je leur mène deux droites CB, CD sous les

angles donnés CBA, CDA. Soit donné le rapport —■ Je dis que le

point C est sur une droite donnée de position.

Joignez AC, BD; dans le quadrilatère ABCD, on a trois angles don-
nés : ABC, ADC, BAD; l'angle BCD est donc donné. Le rapport ttt' est

li\, 22

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

21

aussi donné par hypothèse, donc le triangle BDC est donné d'espèee,

donc les angles CBD, CDB, donc par différence les angles ABD, ADB.

AB

Donc le triangle ABD est donné d'espèce, donc le rapport -^^■, mais

1^ l'est aussi (puisqu'il est prouvé que le triangle BDC est donné d'es-
pèce), donc gp le sera. Mais BA est donnée de position, ainsi que le
point A; donc AC est donnée de position, et si sur cette droite un

Fig. 19-

prend un point quelconque, et qu'on mène de ce point aux droites

données des droites sous les angles donnés, on prouvera (|ue les

menées sont toujours dans le rapport donné.

Second cas, lorsque les droites données sont parallèles :

Soient les droites CA, CB (//g. 20), sous les angles donnés (L\D.

CBF, et dans le rapport donné. L'angle CNB est donné, comme égal,

Fig. 20.

A 1

D

F -n/ B

E

//

C M

à cause des parallèles, au donné CAD; donc le triangle CNB est donné

CB
CB' "' t'"" -Ji " — ' CA

CN ^ CB

d'espèce, donc le rapport 7^; mais, par hypothèse, .-rr est donné; don(

ŒUVRES DE FERMAT.

(22, 23]

32

■^ \c S(M'a, ot il ost dî's lors l'aoilo de prouver que C esl sur une droite
donnée de position.

Ci>/islnirfion : Par le point B (iiudconque, je mène la i)erpendicu-
laire IBM; IB esl donné. Soit ^^^r = jrjr;- P^"" 't' point M je mène aux
deux données une parallèle (fui satisfera à la question, comme il esl
faeiie de le démontrer.

Si donc d'un point l'on mène, à deux droites parallèles ou concou-
rantes données de position, des droites sous des angles donnés et dans
un rapport donné, le point sera sur une droite donnée de position.

Voici maintenant la seconde partie de la proposition :
Soient données les droites AC, AG {fig. 21), concourant en A,
.Menez AN faisant avec la droite AC l'angle donné ("AN, et égale à la

Fiff. 2,.

droUe donnée. Menez NG parallèle ii AC, et soit ROG l'autre angle
donné. D'aprcsia première partie de cette proposition, menez GE telle
que si, d'un point quelconque E pris sur cette droite, on mène ED,
EF parallèles ii RO, AN, elles soient dans le rapport donné; GE sera
donnée de position, d'après ce qui a été démontré. Prolongez FE jus-
qu'en B, FB sera donnée de grandeur, comme égale ;> la donnée AN, à
cause des parallèles. Quel que soit donc le point E pris sur la droite
GE, si l'on mène de ce point aux droites A(], AG les droites ED, P]B
sous les angles donnés, BE plus EF, à (|iii ED est dans le rapport
donné, fait la somme donnée, comme le veut la proposition.

Si donc d'un point on mène, ii deux droites concourantes données
lie position, deux droites sous des angles donnés et telles que l'une.

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

23

plus une droite dans un rapport donné avec l'autre, fasse une soninic
donnée, le point sera sur une droite donnée de position.

Proposition" VII.

« Soient en nombre quelconque des droites données de position, aux-
quelles on mène d'un point des lignes droites sous des angles donnes;
si le produit d'une ligne donnée et d'une des menées, a^rc le produit de
la ligne donnée et d'une autre menée, etc., est égal au produit d'une
donnée et de la dernière des menées, le point sera sur une ligne droite
donnée de position (' ). >'

Cette proposition est une extension de la précédente; ce qui a été
plus haut démontré pour doux lignes dans la première partie de la
proposition VI est proposé ici comme ayant lieu pour un nonihrc
quelconque.

Soient AB, BC, CA {fig- 22) trois droites données de position et
formant un triangle; il faut trouver une droite, EK par exemple, sur

laquelle prenant un point quelconque M, et menant de ce point les
droites MR, MO, Ml, sous les angles donnés MRA, MOB, MIA, on ait

■ — ^i^^ — dans un rapport donne.

D'après la première partie de la proposition précédente, on trou-
vera une droite sur laquelle prenant un point quelconque et nienanl

(') Li traduction est accomniocioe au sons admis par Fermât [voir t. I, p. 1^, note ii.

■1\ ŒUVRES DE FERMAT. [25,261

ilo l'o point dos droites sur AB, BC, les menées soient dans le rapport
donné. Celte droite est donnée de position, donc le point où elle ren-
fon4re AC. soitE. Si l'on mène de ce point EV, ED, parallèles à MO et

VF
.MR. d'après la construction, ^ sera dans le rapport donné. Prenant

ensuite les droites AC et AB, par le niénic procédé, on trouvera un
point K. tel que les droites KL, KZ, issues de ce point et sous les
angles donnés, c'est-à-dire parallèles à MR, MI, soient dans le rapport

donné. On aura donc aussi ^ dans le rapport donné. Si l'on jointEK,

nn point quelconque pris sur cette droite satisfera à la question.

Soit pris M par exemple, pour profiter de la construction déjà faite;
menez MF parallèle à BA, et MH parallèle à BC. Il faut prouver que

OM + MI VE , , , ,. , , ,

— jTji^ — ~ Fo' '^' ''^t''i"d""c 'c rapport donne.

Menons encore KG parallèle à BA et supposons vrai ce que nous

, ^, . . . MR MI + MO ,. ., ,

voulons prouver. iNous aurons vicissim ^^77 = — frrT — ; divitlendo :

Ji.U tv

MR-DE MI-+-MO-EV ,. . ,.„ ,, . in n*

— jjg — = py Mais mv étant parallèle a BA, on a

EF = MR - DE; MH étanl parallèle à BC, EH = EV - MO. Donc
IM - EH = MO + MI - VE.

D . , EF IM-EH . . . EF ED

Par conséquent, rrr-, = — ^^, — , vicissim : ^n^ — =rYï = ?rr> comer-
^ DE EV IM — EH EV

, , IM-EH EV , ^ ,

icndo : — =rp — ~ pï)' '^ rapport donne.

Mais par construction, si nous prenons les trois droites EH, EF, IM,

VE KE , ,, • j I . , KZ KE ,

nn a jrn •= ïtvï' et 1 on a aussi dans le même rapport ^rr = ï^niï' et
EH EM ' i MI EM

r" F KF

encore, puisque KG est parallèle à BA, r^ =^ t^^-
' ^ ^ Et EM

Par conséquent, les trois droites VE, KZ, EG sont proportionnelles

un nïT nr- I KZ — EV MI — EH .. .

aux trois HE, MI, EF; donc — ^^rj^ — = — jrr; Mais nous avons

MI -EH EV , . , , _ KZ-EV EV ,

prouve que — ^p — = p^rr) le rapport donne. Donc — p^ — ~ fd

, , , , . . . KZ-EV Efî , KZ GD

rapport donne, et vicissim : — =ry^ — = prp. ; componenao •' Fv = pn"

[20,27] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 25

Mais, à cause des parallèles KG, BA, on a KL = DG. Donc vicissim :

KZ EV '

j-— = =jT' ce qui avait déjà été donné par la construction.

Ainsi est établie la vérité d'une très belle proposition. Il est facile,
en procédant de même, d'étendre la construction et la démonstration
aux cas suivants, pour un nombre quelconque de lignes. Car, de même
que la construction pour deux lignes donne la solution du problème
pour trois, la construction pour trois lignes donne la solution pour
quatre, la construction pour quatre donne la solution pour cinq, et
l'application de la méthode se poursuit toujours de même indéfini-
ment.

PnOPOSITION VIII ET DEHMÈRE.

« Si d'un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles don-
nées de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés
sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, ou produisant
une aire donnée, ou dont la somme des carrés ou bien la différence des
carrés soit éqale à une aire donnée, le point sera sur des droites données
de position .

Si cette proposition était vraie, elle aurait quatre parties, mais nous
n'avons trouvé qu'elle fût exacte que pour le rapport donné. Écartons
donc le reste, pour l'aire produite par les deux droites, pour la somme
ou la différence de leurs carrés, et rejetons-le comme faussement
inventé ou transporté d'ailleurs.

Je propose donc comme suit le théorème corrigé :

Si d' un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données
de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés sur les
premières, des longueurs dans un rapport donné, le point sein sur une
ligne droite donnée de position.

Voici la construction :

Soient AB, GC (/ig. 23) les parallèles données. A, F les points
donnés sur ces droites, BAH l'un des angles donnés, GFH l'autre. Les
points A et F étant donnés, avec les angles à ces sommets, les droites
ferm.vt. — ni. 4

26 ŒUVRES DE FERMAT. 127.28]

AH.FH soroni données do position, p.ir suilf Icui' point de rencontre H :
done le point G oii AH coupe la parallèle (IC. Partagez G¥ en 1) en

sorte que y^ soit dans le rapport donné; 1) sera donné. Joignez i)H,

cette droite est donnée île position, .le dis (jne la droite DH satisfait

Fig. 23.

il la qnestion, c'est-à-dire que si on prend sur elle un point quel-
conque I, qu'on mène de ce point IB, lE, sous les angles donnés, le

rapport des abscisses à partir des points A et F, c'est-à-dire ^' est

égal au rapport donne, j^p-

Soit C le point de rencontre de Bl et de la parallèle GF. Par construc-
tion, IB est parallèle à AH, comme menée sous l'angle donné égal h
HAB. De même lE est parallèle à HF; de plus, à cause des parallèles.

GC (il) . . . GC EF

GC = AB; il reste à prouver que „.,

TiM 1 . -j ► 1' ^ HI GC , ,, , Ht EF

Mais cela est évident, car d une part nr: = t^', de I autre jttj = pg-

Donc ~ est égal au rapport donné.

il y a, tant pour cette proposition que pour les précédentes, de
nombreux cas, qu'il est facile de trouver et d'ajouter; pourquoi nous
y arrêter plus longtemps?

[29, 30]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

27

LIVRE II.

Proposition I.

« Si des points donnés sont joints par des lignes droites à un même
point, et que la différence des carrés de ces droites soit une aire donnée, le
point de concours sera sur une droite donnée de position. »

Soient A et B {Jîg. 24) les deux points donnés; soit une aire donnée
quelconque plus petite que AB . Partagez AB en C, en sorte que

AC' — CB° soit égal à l'aire donnée; élevez la perpendiculaire indé-
finie CE. Prenez-en un point quelconque D. Joignez DA. BD. Je dis
que AD^ — DB^ est égal à l'aire donnée.

C'est évident, puisque AD- - DB- = AC- - CB^

Si l'aire donnée était plus grande que AB-, le point G tomberait en
dehors de la droite AB.

A cette proposition on peut rattacher les deux suivantes :

Soient donnés quatre points A, B, C, D {Jîg. 23) en ligne droite, et
soit AB = CD. Prenez un autre point quelconque N; menez les quatre
droites NA, NB, NC, ND. Je dis que

AN2+ND^-(BN^+NC^) = 2AB X BD.

28 ŒUVRES DE FERMAT. |30. 3lj

Eli olTol, menons la itcipoïKliculairc NI, et supposons d'abord (lue le
point I tombe en tlehors Je la droite AD. Il est clair que, en raison de

Fig. a.V

NI- commun à tous les termes,

AN*+ ND=- (BN^-t- NC^) = AP-f- ID^- (BP-h CP).

.Mais (II, 1) (•) AI--f-DI-=2DI=+ AD-+2ADXDI, et par le
même théorème BI- + CI- = 2DP-+-BD--f-CD- + 2BDxDl + 2CDxDI.

Aux deux derniers termes de cette égalité, puisque AB = CD, on
peut substituer 2AD x DI.

Donc

AP-i-ID2-(BP-HCI)2=AD'-(Bn^+CD^) = AD2-(BD'4-AB=).

Mais(II, 4)(')AD-- (AB= + BD=) = 2AB x BD.
La proposition est donc établie.

Je n'ajoute pas les autres cas pour cette proposition, ni pour les
suivantes, car ce serait aussi fastidieux que facile.

Si l'on Joint un point à trois autres donnés en ligne droite, et que la
somme des carrés de deux droites ainsi menées surpasse le carré de la troi-
sième d'une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de
position.

Soient A, B, C {fig- 26) les trois points donnés en ligne droite. Soit
donnée une aire supérieure ii 2ABX BC. Prenez AI = BC, et soit l'aire
donnée égale à 2AB x BC -H IV'^. De I comme centre, avec IV pour

( ' ) Renvoi aux Eléments d'Euclido.

[31,32] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 29

rayon, décrivez le cercle VNO. Soit un point N quelconque sur sa cir-
conférence; joignez-le aux points donnés, par les droites NA, NB, Nd.
Je dis que AN- -+- NC^ — NB^ est égal à l'aire donnée.

En effet, joignez IN; d'après la proposition précédente :
AN^ + NC^ = IN= + BN= + 2 AB X BC.
Donc AN= + NC-- NB== IN' H- 2ABx BC et la proposition est établie.

PliOPOSITlOX II.

« Si l'on joiiil un point à deux autres donnés et que les droites ainsi
menées soient dans un rapport donné, le premier point sera, soit sur une
droite, soit sur une circonférence. »

Soient donnés les deux points A, C (Jig- 27), et supposons d'abord
le rapport d'égalité. Prenez en B le milieu de AC; élevez BD perpen-

Fig. 27.

diculaire; il est clair que, si l'on en prend un point quelcon(|ue i), on
aura AD = DC.

Supposons maintenant un rapport d'inégalité; soient A, B i/ig. 28)

R . R- AN

les deux points donnés, ^ le rapport donné. Soit ^i = v|>- Entre AN

30 ŒUVRES OK FERMAT. [32,33]

et NB preiuv. la moyoniio proportionnollc NO, et avec ce rayon décri-
ve/ le cercle OVZ. Soit un point quelconque V sur la circonférence;
joignez VA, BV. Je dis (jue ces droites sont dans le rapport ^•
En effet, joignons VN, et menons BI parallèle à VA. On a

AN NV

NO(=NV) " NB

Ce sont les côtés qui comprennent un même angle ANV dans les
deux triangles ANV, BVN; ces triangles sont donc semblables et les

Fis. 28.

angles VAB, BVI égaux. Mais AVB, VBI le sont à cause des paral-
lèles; donc les triangles AVB, VBI sont semblables et \j^ = -5^ avec

AV2 j- AV R ,

VB^- ï^«"^ VB = S ' •''

VB
BI ~

NV
~ NB

AN
~ NV

Donc

VB^

/ AN
V~ NB ~

sv

la proposi

tion es

t établie.

Proposition

III.

« si une droite est donnée de position en même temps (ju un point sur
elle, si de ce point l'on mène une droite limitée, que de l'extrémité de
celle-ci on abaisse une perpendiculaire sur la ligne donnée de position, et
que le carré de la menée soit égal au produit d'une donnée et de l'abscisse
à partir soit du point donné, soit d'un autre donné sur la ligne donnée
de position, l'extrémité de la menée sera sur une circonférence donnée de
position. »

Soit AB (fig. 29) la droite donnée de position, A le point donné sur
elle. Il faut trouver une circonférence de cercle telle que, si l'on prend

[33,34] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 31

sur elle un point quelconque E, et qu'on abaisse la perpendiculaire
El, AE- soit égal au produit d'une donnée et de AI (c'est ainsi qu'on
doit ici entendre V abscisse à partir du point donné).

Soit AB la longueur donnée ; sur AB je décris un demi-cercle ; il es!
clair d'après la construction que AB x AI = AE^.

Il y a plus de difficulté pour le second cas, à savoir quand l'abscisse
part d'un autre point que A, comme dans l'exemple suivant :

Soient donnés les deux points A, B {fig. 3o), et en outre un point E
sur la même ligne droite. Soit AB la longueur donnée. Il faut trouver

Fig. 3o.

une circonférence de cercle, soit PIO, telle que si d'un point quel-
conque I de cette circonférence l'on abaisse la perpendiculaire IR.
AP = AB X ER, AB étant la donnée.

Appliquons BA x AE sur la droite BA en excès d'un carré : soit la
largeur AP = BO (' ). Le demi-cercle décrit sur PO satisfera à la ques-
tion.

En effet, AI- = AR' + RF. Mais RF = PR x RO et, comme on le
prouvera tout à l'heure,

PR X RO = AR X RB -f- OA X AP (= BP x PA = BA x AE).

Donc AI- = AR^ -t- AR x RB + BA x AE, ou puisque

AR^ + AR X RB = BA X AR, AP = BA x AR + AB x AE.

( ' ) C'est-à-dire construisons AP d'après la condition : AB x AP + AP' = BA x AE.

3-2 . ŒUVRES DE FERMAT. [35, 36]

ïioil, roduisanl encore ces doux rotiangles en un seul, AI^ = BAx ER.
Il n-ste à prouver que PR x RO = AR x RB + PB x BO.
Kn cllVt. (Ml multipliant tMitrc elles les parties :

PRxR0=:PAxRB + PAxB0(=B0=)4-ARxRR+ARxB0( = PAxAR).

-^lais PA X AR + PA x RB = PA x AB = AB x BO. Ajoutant BO-, on
a AO X OB, c'est-à-diro PB x BO. Donc

PU X RO = AR X RB + PR X RO. c. q. f. d.

.le no poursuis pas les différents cas, désormais rendus très faciles.
Cependant je ne crois pas devoir omettre celui où le point E ne se
trouve pas au delà de A, comme ci-dessus.

Soient donnés les deux points A et E {fig. 3i), et la droite AB ; il
faut trouver une circonférence de cercle comme NOR, telle qu'en pre-

nant sur elle un point quelconque 0, et abaissant la perpendiculaire 01,
A0==BAxEI.

Appliquons BA x AE sur la droite BA, en défaut d'une tigurc
carrée ('). Nous aurons le point R; soit BN = AR. Le demi-cercle dé-
crit sur RN satisfera à la question. La démonstration sera semblable à
celle que nous avons donnée pour le premier cas.

PllOPOSITlON IV.

« Si de deux points donnés on mène des droites à un point, et que le
carré de l'une soit d'une aire donnée plus grand que dans un rapport
donné avec le carré de l'autre, le point d' intersection sera sur une circon-
férence donnée. »

2

(>) C'esl-à-dire construisons AR par la condition : AB x AR — AR = BA x AE.

[35, 36]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

33

Soient A, B {fig. Sa) les deux points, yg le rapport donné, BA x AN
l'aire donnée. Soit IZ moyenne proportionnelle entre NI etIB; avec ce
rayon décrivez le cercle ZVR, prenez-en un point quelconque V, joi-
gnez VA, VB. Je dis que AV=- |^ x VB== BA x AN (rapport et aire

donnés).

Soit en effet VA x AO = BA x AN; joignez OB, NV, VI et menez

BF parallèle à AN. Il faut prouver que

AV X VO
VB^

AI
IB'

Or

NI

_ = îr; ce sont les côtés d'un même angle dans les Irian-
gles NIV, VBI, qui sont donc semblables; donc les angles VNB, BVF

Fiï. 32.

sont égaux. Mais les angles VNB, VOB le sont comme inscrits dans le
même segment (car puisque BA x AN = VA x AO, les quatre points
N, B, V, 0 sont sur un cercle); donc les angles VOB, BVF sont égaux.
Mais les angles OVB, VBF le sont aussi à cause des parallèles. Donc les

OV VB

triangles OBV, VBF sont semblables. Donc ït» = ïTf; : multipliant de

VB

BF

AV

part et d'autre par le rapport vrn) on a

AVVB AV AIAyoy_ AVx VO

VB ^ BF °" BF °" IB ~ VB ^ VB " VB^

c. 0- f- »•

Pappus paraît avoir omis ici la proposition suivante qui est ana-
logue :

Si de deux points donnés on mène des droites à un point, et que le carrr
de l'une soit d'une aire donnée plus petit que dans un rapport donné avec

Fermât. — lU. 5

34 ŒDVRES DK IMvRMAT. |:i6.i7|

Iv ranr ilc /'(iii/rc. le point d' inlcrscclion sera sur une circonfcrc/irc
donnée.

Siiiciil (liMiiifs los ili'iix points A ol B {fig. 33), le rapport y j^. l'aire

B.\ X AT. Soil, (Mitre TN. NH, la inoveiuie proportioniieile NL; avec ce
ravim. lieerivez la circoiiréreiu'o, de cercle I.YZ ; pi'ciicz sur elle un
[toiiit (nielcoii(]ue Y. joignez YA, YB. Je dis que

VA^+BAx ATMloimé) _ AN
YB" ~ NB ■

Soil en eflet YA x AU = BA x AT; joignez TY, RB, YN; menez BV

Ki.'. 33.

parallèle à AY; comme suite de l'égalité YA X AR = BA X AT, on
[)r()uvera que les angles YTB, YRB sont égaux et on achèvera comme
ci-dessus.

Proposition V.

" .SV (le points donnés en nombre quelconque on mène des droites à
un même point et que la somme des carrés de toutes ces droites soil égalé
à une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de posi-
tion. »

Soient d'abord deux points A, V>{Jig. 34); menez la droite AB, prenez
son milieu eu K; de V, comme centre, avec un rayon quelconque El,
décrivez le cercle ION. .le dis que, (|uelque pointO que l'on prenne sur
la circonférence : AO' + OB^= 2(Ili:-+ AE-).

Va\ ellel, joignez EO, abaissez sur elle les perpendiculaires BV, AZ.
Dans le triaui/le AEO, A0^= AE=-l- K0-+ 2OEX EZ. Dans le triangle

|37. 38]

LIEUX PLANS D APOLLONIUS.

33

OEB, 0E- + EB==0B^+20ExEV(= aOExEZ), car EV = EZ.
puisque AE = EB.

Aj(Uitaut membre à membre :

A0^+0B-^+2 0ExEZ = (AE2-t-EB2)(z^2EA-^) + 2E0-^(=:2lFJ) + 20ExEZ.

l'ig. V|.

Retrancbant de part et d'autre 20ExEZ, il reste l'égalité annoncée,
cl la proposition est établie pour le premier cas.

Soient donnés en ligne droite trois points B, D, E (fig. 35) et soit
BD>DE. Prenez CD = i(BD-DE). De C comme centre avec un

FiR. .'f').

rayon quelconque CA, décrivez le demi-cercle AMF, je dis que, quelque
point M que l'on prenne sur sa circonférence, MB^-f- 1VID-+ ME^ sera
une somme constante.

En effet, joignez MB, MC, MD, ME; prenez EN = CD et joignez
.MiN. Puisque BD - DE = 3CD = 3EN, on a DN + 2CD = BD ou
CN + CD = BD. Retranchez CD de part et d'autre : CN = BC. Puisque,
(l'antre part, CD = EN, d'après la seconde proposition de ce livre,
CM- + MN' - (DM= + ME-) est constant. Mais CM- est constant. Donc
DM'+ ME- fera une somme égale ii MN* ou plus grande ou plus petite

:î6 ŒUVRES DE FERMAT. [38.39]

iriiiii' (jiKiiililc coiislaiilc. Ajoutez clo part ol d'autre MR"; (riiiic |)arl,
.AIB-H- .MD=4- MIv, (le l'autre R.M- + MN= ferout des sommes égales ou
tlitleroutes d'une quantité eoiisfanl<' soil dans nu sens soit dans l'aiilre.
.Mais, d'après la proposition |irécédcnte, RM- + ÏMN- est eonslani,
puisque HC = CN, donc i{.M'-H- i).M- + EM- est eouslant. e,. o. v. d.

Démonstration générale de la même proposition. — Soient d'ahord deux
points A, E (/ig- 36); joignez AE, prenez son milieu en G. Soit donnée
une aire Z qui ne devra pas être plus petite que AC-+ CE"; ear si (die
est égale à cette somme, il est clair que le point (] seul satisfait à la
([uestion, et qu'il n'y en aura pas d'autre tel que la somme des carrés
des droites le joignant aux points A, E soit égale à Z.

Fig. 36.

Si Z>AC--i-CE-, soit BCJ égal à la moitié de la (UIFéreuce; de C
comme centre, avec CB comme rayon, je décris un cercle qui satisfait
il la (piestion. .l'omets la démonstration qui est trop simple et a été
d(uinee par Pappus et autres. Il ne faut pas s'arrêter trop longtemps
aux clioses faciles.

Lf..mjif. p(u:i! i.a mkthode générale. — Soient {/ig- 3^) des points doniu's

Fig. 37.

2' ligure.

3" liguro.

\, B, C, E en nombre quelconque. Prenons une fraction .VI) de la
xiiMMif di's droites lerminées d'une part au point A, de l'anlre aux

A

B C

»

F.

A

B

1)

C

E

A

D

B C

E

[39,40] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 37

autres points donnés, fraction conditionnée par le nombre des points,
à savoir le quart dans l'exemple choisi. Soit donc

AD = i(AB-hAC + AE).

La position du point D varie suivant les cas. Je dis que la somme des
droites terminées par le point D et par les points donnés du côté du point A
sera égale à la somme des droites terminées par le point D et par les points
donnés du côté du point E. C'est-à-dire que l'on aura

Dans la i" figure : ED = AD -h BD -i- CD.
Dans la 2» figure : ED + CD = BD + AD.
Dans la 3'= figure : ED + CD + BD = AD.

D'abord dans la 3" ligure, par hypothèse, 4 AD = AB + AC -t- AE;
retranchez de part et d'autre 3 AD, il restera d'un côté AD; de l'autre,
retrancher 3AD de AB + AC + AE est la même chose que de retran-
cher AD de chacune des droites AB, AC, AE : il restera donc

BD + CD + ED = AD. c. q. f. i..

Si l'on avait donné cinq points, on aurait d'un côté 5AD, de rautre
4 droites terminées à A et aux points donnés, etc. ; la méthode est tou-
jours la même et s'applique indéfiniment.

Dans la 2^ figure, 4AD = AB + AC + AE; retranchez de part cl
d'autre 3AD et ajoutez BD, vous aurez AD -i- BD = ED + CD.

Dans la i"'" figure, 4AD = ABh- AC + AE; ajoutez de part et d'autre
BD -^ CD et retranchez 3 AD; vous aurez AD 4- BD -+- CD = DE.

La méthode est la même pour un nombre quelconque de points
jusqu'à l'infini, et la même conclusion sera tirée de quelque manière
(|ue l'on fasse varier les cas.

Second lejime. — Soit faite sur la i'" figure {fig- 38) la construction
précédente; je prends sur la même droite un point N quelconque. Je
dis que la somme des carrés des droites terminées par les points donnés
et par N dépasse la somme des carrés des droites terminées par les points
donnés et par le point D, du carré DN pris autant de fois qu'il y a de

38 ŒUVRES DE l<KHMAT. [41]

/xùiiis (lonni's, soil 4 dans l'('\('iii|)lr clioisi. Los 2" et 3" figures roin'c-
stMiteiil des cas différents.

Fig. 38.

Ane» E ,.

^ — K 1 — 1 I" lijfuri'

I) C E .

--I — -^ — I a" hgure.

D B C E , ,.

-H 1 1 .>" Iigiiri'.

Sur la première figure, en comparant eiiaque carré ii chaque autre,

DM a

AN*-1- BN^4- CN=- (ADM- BI)^-h CD^)

= 3DNî-+-2AD.DÎS + 2BD.DN + 2CD.DN

DU

\N^ -+- BN= + CN^ = AD^ -+- BD' + CD' -H 3 DN^

-l-2AI).DN -t-sBD.DN -KaCD.DN;

cela ressort évidemment de la formation du carré du binôme avec le

signe -^.

D'autre part :

EN* = El)' + ND' - aED . DN,

ce (]ui ressort de la formation du carré du binôme avec le signe — .
Par conséquent

AN' + BN* + CW + EN°- = Al)^ + BD' + CD- h- ED= -h 4 DN'

-h 2 AD . DN + 2 BD . DN + 2 CD . DN - 2 ED . DN.

Si donc nous prouvons que la somme des rectangles en plus est
égale à celle des rectangles en moins, la vérité de la proposition sera
établie, à savoir que :

AN' + BN' H- CN' -h EN= - ( AD- + BD- -+- CD' + ED' ) = 4 DN'.

Il faut donc prouver que 2EI).DN = 2 AD.DN + 2BD.DN + 2CD.DN,
ou. en divisant tous les termes par 2DN, que l'on a l'égalité

ED = AD + BD + CD.

Or c'est ce qui a été démontré par le lemme précédent.

141, «] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. :W

Je ne m'arrête pas aux divers cas. — Si l'on donne cinq points, la
somme des carrés des distances des points donnés au point N dé-
passe de 5DN- la somme des carrés des distances des points donnés
au point D : la démonstration est la même.

Il ressort de là que la somme des carrés des distances an point I) csl
niiiiima.

Dans cet exposé, je n'ajoute pas une trop scrupuleuse observalion
des différents cas. La conclusion du second lemme se ramènera tou-
jours à prouver que la somme des rectangles en plus est égale ii celle
des rectangles en moins, et la question sera ainsi ramenée au premier
lemme.

Première proposition générale. — Soient, sur la même figure, tou-
jours donnés quatre points A, B, C, E sur la droite AE, et

AD = i(AB + AC-hAEj,

fraction conditionnée. On propose, étant donnée une aire Z, de iroiiwi
un cercle, tel (fu en prenant sur la circonférence un point quelconque, la
somme des carrés de ses distances aux points donnés soit égale à l'aire
donnée.

Pour que le problème soil possible, il faut, d'après ce (]ni a été
démontré, que l'aire Z > AD= -i- BD= + CD'^ -)- ED^

Soit donc 4DN^ égal à l'excès de Z sur la somme des quatre carrés;
le cercle décrit de D comme centre avec DN pour rayon satisfera à la
question.

En effet, prenons d'abord le point N {fig- ^9) de l'un et de l'antre

A N B D C N E

côté. Il a été prouvé par le second lemme que

AN' + NB^ + CN* + EN'' = AD^ + BD^ + CD^ + ED^ + 4DN^ ;

iO ŒIIVKKS l)i: FERMAT. |12. 43]

mais Al)-'4-BD--+-CD=+li:D= + 4DN= = Z. Donc

AN'+ BN--h CN-+ EN-=:Z l'ano (loniu'o. c. q. f. d.

Klfvc/ maintenant la perpendiculaire DM et joignez AM, BM, CM,

KM. Je (lis que la somme de leurs carrés est égale à l'aire donnée Z.

Kn ellet

AM==rAI)= + DM-,

BM-— BD^ + DMS

CM» = CD= + mr-,

EM- = ED^ + I)M^

Donc

AMî-hBM-+CM^ + EM°- = AD--HBD= + CD=-hED^+41>M2(=4DN2).

Mais AD--+- BD=+CD= + ED= + 4DN= = Z (l'aire donnée). Donc
AM- -H BM' + CM= + EM= = l'aire donnée. c. g. f. n.

Menons maintenant le point M (Jig. 4°) quelconque, et abaissons

la perpendiculaire MO. On prouvera de même que

AM' H- BM^ 4- CM'- + EM^ = 4 OM^ -+- AO^ -t- BO' + CO^ + EO^

D'après le second lemme, la somme de ces quatre derniers carrés
est égale à la somme AD- + BD= + CD- -+- ED- + 4OD-. Donc

AM' -t- BM^ + CM' + EM' = AD' -h BD' + CD' + ED' -t- 4 OD' -+- 4 OM'.

Mais 40D= -t- 4 CM' = 4 DM' = 4DN-, les rayons DM et DN étant égaux.
Donc

AM'+BM'-i-CM' + EM'

— AD'+BD' + CD'-hED'-h4DN'=Z (l'aire donnée). c. (j. f. d.

Si l'on achève les cercles, la même démonstration s'appliquera pour

[«,43] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 11

les autres demi-cercles, et elle s'étendra à un nombre de points (|ui'l-
conqucs avec la même facilité de raisonnement; car les carrés DM-,
DN-, DO- sont toujours pris autant de fois qu'il y a de points et la con-
clusion est toujours juste.

D'où suit un corollaire qui servira pour la proposition suivante :
Soient des points donnés en nombre quelconque, par exemple trois,
A, H, E {fig. 4i); trouver un cercle NM, tel qu'en prenant nn point

A W

quelconque M sur ce cercle, et joignant AM, BM, EM, on ait par
exemple 2AM- -1- BM- -i- EM- égal ii une aire donnée.

Dans ce cas, on construira AD = î (AB -t- AE ), car le point A joue
ici le rôle de deux points et c'est comme si l'on disait : étant donnés
quatre points A, A, B, E, trouver un cercle NM, tel qu'en prenant sur
ce cercle un point quelconque ^I on ait AM- -h AM--t- BM- -t- EM'-'
égal à une aire donnée.

Il faut entendre ceci de même de tout autre point et de tout
autre rapport de multiplicité. — Soit par exemple proposé {fig- 4-)

A N

B D

AM- + 2BM--1-EM- égal à une aire donnée; on prendra

ADr= J(2AB+AE).

Il fallait faire cette remarque, mais elle n'a pas besoin d'une plus
longue explication.

KtnjiAT. — m. 6

iSL ŒUVRES DK FERMAT. [li, 45]

Seconde proposition. — Soient sur la droite AE (Jig. 43) des points
donnés (Ml nombre quelconque, (juatre par exemple, A, H, (".. K. et
un point 0 en dehors de la droite AE; on cherche un cercle, comme
.Ml. tel qu'en prenant sur ce cercle un point quelconque I, on ait
Ai--i- BI- -h CI- 4- Er--+-QI- égal à une aire donnée.

Abaissez sur la droite AE la perpendiculaire QR et prenez AD, frac-
tion conditionnée de la somme AR -f- AB -i- AC + AE (le cinquième
dans ce cas où l'on donne cinq points). Élevez la perpendiculaire DO
et abaissez sur elle la perpendiculaire QO. Prenez RF = DN, fraction
conditionnée (ici le cinquième) de la droite QR, et soit l'espace donné
égal à la somme AD- + RD" + BD- + CD- + ED- -h Z.

Faisons Z = 4DN- + ON- + jNM- (4 étant le nombre des points
donnés sur la droite AE, et 5 le nombre total des points donnés). Je
dis que le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme rayon,
satisfait ii la question.

En effet, prenez sur ce cercle un point quelconque I, joignez AI,
Bl. CI. El, QI. 3Ienez VIX parallèle à AE et lY parallèle à OD; il
est clair, d'après le corollaire do la proposition précédente, que
4DI-+ OI- = Z, car le point D joue le rôle de quatre points; et puisque
DN = iOD, il est évident que 4DP + OP = 4DN- -f- ON^ + 5NM-. Mais
''iDN--+-0N- + 5NM-=Z par construction. Donc 4DI- -f- 0I-= Z.

[.5,46] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. W

Mais 4DI- = 4DX- -+- 4X1- oi 01- = OX- + XF. Donc

Z = 4DXM= 4IY=) + X0-(= VQ2) -H 5XP.

Ajoutez de part et d'autre AD- + RD- -t- BD' + CD' -+- ED-, vous aurez,
dans le premier membre, l'espace donné, car, par hypothèse, il est
égal à la somme de ces cinq carrés et de Z; dans le second membre :
Al- -(- Bl-4- CI- + El- H- QI-, somme qui sera donc égale à l'espace
donné.

En effet, d'après le second lemme :

AD2 + RD^ + BD^ + CD^ + ED^ + 5 DY^ = A Y^ -+- RY^ h- B Y^ + CY^ + EY^ ;

donc

Air^ RD^-t- BD^-t- CD^-H ED2-H 41Y^-t- VQ-'+ 5DY^

= AY-+ RY-+ BY^-t- CY2+ EY^+ 4IY'-4- VQ^

Si, à chacun des carrés AY-, BY-, CY-, EY-, on ajoute lY-, on aura

Al' ^ BI' -H CI- + EV- = A Y» + BY- + CY' ~ E\- -h 4 lY'.
Donc

AD2+RD=+BD-+CD'-t-Er)'+4IY'+ VQ^+5DY2
= Al' + BP ^ CI' -t- lE' -+- RY- -h VQ'.

Mais RY-(==VI-) ^QV== QF. Donc

AD= -h RD' -h BD' H- CD' -h ED' + 4IY' + VQ' + 5DY'
= AP-+-BP+Cl'-4-EP+QP.

Mais on a prouvé que le premier membre est égal à l'aire donnée;

donc

AP -I- BP + CP -+- El' -t- QP = l'aire donnée. c. q. f. d.

On en déduira facilement que l'aire donnée est égale à

AN' -H BN' + CN' -H EN' + QN' -h 5NM',

ce que nous avons omis comme évident.

Bien plus le même artifice peut s'appliquer à un nombre quelconque de
points.

VV ŒIÎVHES m: FEUMAT. f 10. n |

Si par oxoiiipli' (Ui doiinc deux ptiiiUs Q, L (,//,;'• 'l 'i ) l'ii dehors de la
lijiiio. la ronsti'uclion s'achèvcM'a comme on le voit, eu preiianl

Al) = i(AR + AS + AB+AC-r AE), puis DN=^(Oll + LS),

et on faisant

laire donnée = \T)- + RI)^ + SD^ -t- BD'- + CI)^ + ED^

On (eruiiiu-ra de la même manière, le point I) jouant toujours le rôle

Fis. 4'|.

r

L

Q

/

0

\ ^

^

V

V

X

IC \

/^^

\

/

/

\

\

Ï^^^^N

^

4.

B C E

di" tous les |)oiuts donnés sur la droite AE, et les points P, 0 jouant le
rôle des points Q, L.

[.a méthode de construction et de démonstration est indéfiniment
la même.

Mais, comme des cas multiples découlent de la différente position
d(rla droite prise et passant par deux ou plusieurs points, mais pou-
vant laisser les autres dans diverses positions de chacun de ses cotés.
quoique pour chaque cas il y ait des ahréviations spéciales, Je préfère,
comme spécimen du procédé, montrer plus généralement la construc-
tion.

Soient des points donnés en nomhre (|uelconque A, H, (], 1), K, F

•}7, 48]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.

kH

( /îg. 45) sur la mémo droite ou sur dos droites différentes. Prenez
dans le même plan une droite quelconque SR, qui laisse tous les points

donnés du même côté; abaissez les perpendiculaires AG, BH, (',!, DK.
MM, FN, prenez GL fraction conditionnée (dans ce cas, ^) de

GH + GI -!- GK + GM + GN ;

élevez la perpendiculaire LO, et prenez LO fraction conditionnée (ici|)
de AG + BH + Cl h- KD -K EM + FN.
Soit l'aire donnée égale à

AO- -t- BO- -+- CO- + 1)0- ^ E0= -f F0= + 60P- ;

le carré décrit de 0 comme centre, avec OP'pour rayon, satisfera ii la
question; la démonstration est facile pour qui a étudié ce qui pré-
cède.

Ptiiipositkin \ ].

« si, de deux points donnés, on mène deux droites r/ui se coupent, et de
leur rencontre une droite interceptant une abscisse à partir d'un point
donné sur une droite donnée de position, si la somme des carrés des pre-
mières menées est égale au produit d'une donnée et de l'abscisse, le point
de rencontre sera sur une circonférence donnée de position. »

Je donne la proposition comme on la trouve dans Pappus d'après la
version de Fédéric Commandin, mais je -ne doute pas qu'il n'y ait une

46 Œ U VUES 1) !•: K E 11 M AT. [ 48, 49 |

f;uit(\ soif dans le texte grec, soit dans la fraduclion. Voiei le sens de
la |)r(i|iosilion :

Soient denx points A, B {fig. 40); il l'anl Iroiiver nne <'ii'eonférence
comme NOM, snr laquelle on prendra un point (|iiel('on(jne (); (mi joi-

gnant OA, OB et en abaissant la perpendiculaire 01, on devra avoir
l'égalité entre le produit de AI par une donnée etlaso'mme AO^ + OB-.

Supposons d'abord que AB soit la droite donnée, cas assez simple.

Prenez BN=^ AB, et décrivez sur BN un demi-cercle ; il résoudra le
probli'me, c'est-à-dire que si on y prend, par exemple, le point O, on
aura BA x AI = A0-+ 0B-.

En edét, AO'- = AI- + I0-. Si donc de BA x Al on retranche
Ar--T- I0-( = Bl.IN), il reste BI x AN ou Bl x NB à prouver égal à
OB-, ce qui est évident d'après la construction.

Second cas : la droite donnée est plus grande que AB, mais j)lus
petite que 2AB. Nous allons donner la construction :

Soient donnés les deux points A et B (fig. ^']) et la droite Al <2AB,
par hypothèse; il faut résoudre le problème proposé.

V NE

Bl

Prenez en N le milieu de AB : soit NE = — (E restera compris
entre Aet B). Appliquez sur la droite BE le rectangle IB.BN en excédent
d'une figure carrée ('); soit trouvée la largeur EV, prenez BZ = EV, et
sur VZ décrivez le demi-cercle VLZ, je dis qu'il résout le problème.

( ' » C'est-à-dire : (•oiistriiiscz EV d'iiiTi'S la conilitimi IB.BN = BE.EV -;- EV-.

[W, 50] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 'i7

En effet, joignez LA, LB et abaissez la perpendiculaire LO que nous
supposerons, comme premier cas, tomber entre E et B. Il est clair,
d'après la démonstration de la proposition III d'Apollonius [dans ce
même Livre], que EO.OB + VE.EZ(= NB.BI) = OU.

Ajoutez de part et d'autre OB^, il vient

EB.BO -4- NB.BI =: 0L2+ OB".

Doublez : 2EB.BO + 2NB.BI(= AB.BH = 2(L0=+ OB^). Ajoutez
de part et d'autre 2NE.OB, il vient

(2EB.B0-i-3NE.0B)(r:iAB.B0)H-AB.Bl
= 2(L0^-H OB') + 2NE.OB (= IB.BO),

d'après la construction.

Retranchant de part et d'autre OB-, il reste

AO . OB + AB . BI = 2 LO^ -t- OB^ -4^ IH . 00.

Retranchant de part et d'autre IB.BO, c'est-à-dire dans le premier
membre de AB.BI, il reste AO.OB + AO.BI ou en tout

IO.OA = .iLO' + OB^

Ajoutez AO- de part et d'autre :

IA.AO = A0=+0B2+ 2L0-=AL=-hLB=. .:. q. f. d.

Je passe les autres cas.

Proposition VII.

" Si, à l'intérieur d'un cercle donné de position, on a un point donné,
par lequel on mène une droite; si l'on prend sur cette droite un point ex-
térieur, et que le carré de la menée jusqu'au point donné à l'intérieur soit
égal au produit de la droite totale et de sa partie extérieure, seul nu aug-
menté du produit des deux segments intérieurs au cercle, le point pris ci
l'extérieur sera sur une droite donnée de position. »

Cette proposition comprend deux parties : la première est dans
Pappus (Livre VII, prop. 159); la seconde se déduit facilement de la

V8 ŒUVKES nE FERMAT. h-n. ôij

promiôiv on ajoutant des termes égaux. Je donnerai sonlomonl la dé-
niiinstration do Pappus.

Soit un cimtIo do diamètre AB (/iif. 4H); prolonge/ AH jus(|u'à une
droite quelconque 1)K (|ui lui soit perpendiculaire.

Kig. .',«.

Soit AF.FB = FG*. Je dis qiu-, (|uel que soit le point E, si on le
joint à ti par une droite prolongée jusqu'en H, on aura HK.EK = EG-.

Joignez AE, BL, l'angle en L est droit comme celui en F. Donc
AE.EL = AF.FB + FIv.

En effet ALB, comme droit, est égal au droit AFE; donc les quatre
points L, B, F, E sont sur une circonférence; donc FA.AB = EA.AL.
Mais AE= = AF^+FE-, et aussi AE- = AE.EL -h EA.AL; de mémo
AF* = AF.FB+FA.AB. Donc AE.EL4-EA.AL = AF.FB+FA.AB + FE-.
Mais comme EA.AL = FA.AB, il reste AE.EL = AF.FB -+-FE-. Mais
AE.EL = HE.EK et AF.FB = FG^ Donc HE.EK = EF= + FG= = EG=.

I*«OP0SIT10\ VIII ET DlîlINlklti:.

'( El si le même point csl sur une droite donnée de position, et cjue le
cercle ne soit pas dans les positions, les points des deux côtés du point
donné seront sur uiw circonférence donnée de position. »

(^etto proposition est récipro({ue de la précédente, et la démonstra-
tion peut en être facilement déduite en suivant une marche inverse.

Je n'ajoute pas la distinction des différents cas ni les conditions de
limites pour les données; tout cela ressort assez clairement de la con-
struction et de la démonstration.

DES CONTACTS SPHÉRIQUES.

La théorie des contacts d'Apollonius de Perge a été élégamment res-
tituée par l'Apollonius Gallus, masque sous lequel se cachait ce Fran-
çois Viète de Fontenay dont les admirables travaux en Mathématiques
ont fourni de si heureux suppléments à la Géométrie ancienne. Mais
cette théorie des contacts a jusqu'à présent été bornée aux plans, et
personne, que je sache, ne l'a poussée plus loin et ne s'est hasardé à
l'élever aux problèmes sphériques.

On va voir qu'on arrive dans cette voie à de brillants problèmes et
qu'on peut facilement obtenir une élégante construction pour les
questions les plus ardues.

Il s'agit en général de chercher une sphère passant par des points
donnés ou touchant des sphères et des plans donnés. Tout le sujet
sera épuisé en quinze problèmes.

Problème I.

Étant donnés quatre points, trouver une sphère passant par ces
points.

Soient donnés quatre points N, 0, M, F (Jig. 49). pai" lesquels il
faut mener une sphère. Prenant ad libitum trois de ces points N, 0, M,
au triangle NOM (qui est dans un même plan, d'après les Éléments),
je circonscris un cercle NAOM, qui sera évidemment donné de gran-
deur et de position. Il est clair que ce cercle NAOM est sur la surface
de la sphère cherchée, puisque, si une sphère est coupée par un plan,
la section est un cercle, et que, par les trois points N, M, 0, il ne passe

Fermai. — \U. ~

30

ŒUVRES DE FERMAT.

|5Î, 5'i]

(lii'iin otM-cl(\ colui qiu' j'ai construil. Los points N, M, 0 étant sur la
siirlaco tlo la sphère cherchée, U' plan du triangle NMO coupera la
sphère cherchée suivant le cercle NAOM; nous en concluons donc
(|ne ce cercle est sur la surface de la sphère.

Soit C le centre de ce cercle, j'y élève au plan du cercle la perpen-
diculaire CEB; il est clair que le centre de la sphère cherchée est sur
cette droite CB. Du point F j'abaisse sur GB la perpendiculaire FB qui
sera évidemment donnée de grandeur et de position; par C je mène,
parallèlement à FB, la droite ACD. L'angle BCA sera droit, mais, la
droite BC étant perpendiculaire au plan du cercle, ACD sera dans ce
plan et donnée de position. Donc ses points de rencontre A, D avec
le cercle sont donnés.

Supposons maintenant le problème résolu, et E le centre de la
sphère cherchée, point qui se trouve sur la droite CB, comme nous
l'avons déjà dit d'après Théodose. Je joins FE, AE, ED; ces droites
seront égales, puisque par hypothèse F et par démonstration A et D
sont sur la surface de la sphère. Mais ces trois droites FE, AE, ED
sont dans un même plan, puisque FB, ACD, parallèles, sont dans
un même plan qui comprend aussi CB et par conséquent les trois
droites FE, AE, DE. Si donc par les trois points donnés A, F, D on
fait passer un cercle, son centre E sera sur la droite CB, et on aura
(lès lors le centre de la sphère cherchée, et la sphère elle-même.

[54,55] CONTACTS SPHÉUIQUES. 51

Problème II.

Étant donnés trois points et un plan, trouver une sphère passant par
les points donnés et tangente au plan donné.

Soient donnés les trois points N, 0, M (Jig. 5o); le cercle MEON
passant par ces points sera, comme il a été démontré, sur la surface

de la sphère cherchée, et le centre de cette sphère sera sur la perpen-
diculaire IBA au plan de ce cercle. Soit A le point de rencontre de
IBA avec le plan donné; ce point A sera donné de position. Du centre
du cercle MEON, j'abaisse sur le plan donné la perpendiculaire ID; le
point D sera donné, donc la droite AD de grandeur et de position,
donc de même les droites ID, lA. Donc le plan du triangle ADl est
donné de position; mais celui du cercle MON est également donné de
position, donc l'intersection FIE de ces deux plans sera donnée de
position, donc les points E, F sur le cercle.

Supposons maintenant le problème résolu et B le centre de la
sphère cherchée; je joins BE, BF et je mène BC parallèle à ID; le
triangle ADI et la droite EIF étant dans un même plan, les droites EB,
BF, B(] y seront également. Mais ID est perpendiculaire au plan donné ;
donc BC, qui lui est parallèle, sera aussi perpendiculaire au plan donné.

S2 ŒUVRES DE FERMAT. fr,:,, ôG]

De plus, coinnu' la sphère chcM-chôe doit vive laiigenle à ce plan
doniu' AD, la perpendiculaire BC, abaissée de son centre sur ce plan,
donnera le point de contact C. Donc les droites BC, BE, BF seront
égales, et il est prouvé qu'elles sont dans un même plan donné de
position, plan qui comprend aussi la droite AD.

Le problème est donc ramené, étant donnés dans un même plan
deux points E, F et une droite AD, à trouver un cercle passant par les
deux points donnés et tangent à la droite donnée; ce problème a été
résolu par Apollonius Gallus; donc le centre de la sphère B est donné,
et tout est clair.

Problème III.

Etant donnés trois points et une sphère, tromper une sphère passant par
les points donnés et tangente à la sphère donnée.

Soient donnés les trois points M, N, 0 {fig. 5i) et la sphère IG; on
a comme donné le cercle MON de la sphère cherchée. La perpendi-

culaire FCB au plan de ce cercle contiendra encore le centre de la
sphère cherchée. De I, centre de la sphère donnée, j'abaisse sur FB
la perpendiculaire IB, qui sera donnée de position et de grandeur. Par
le centre F, je lui mène la parallèle ED ; d'après ce qui a été démontré,
elle sera dans le plan du cercle et les points E, D seront donnés.

[56,57] CONTACTS SPHÉRIQUES. 53

Supposons maintenant le problème résolu et C le centre de la sphère
cherchée. Les droites IC, CE, CD seront dans un même plan donné,
puisque I, E, D sont donnés. Le point de contact des deux sphères est
d'ailleurs sur la droite qui joint leurs centres; donc la sphère cher-
chée sera tangente à la sphère donnée au point G, et IC sera supé-
rieur du rayon IG à la droite CE ou CD. De I comme centre, avec le
rayon de la sphère donnée, je décris dans le plan donné des droites IC,
CE, CD, un cercle qui passera par le point G et sera donné de gran-
deur et de position. Mais les points E, D sont dans son plan. La ques-
tion est donc ramenée à chercher, dans Apollonius Gallus, le pro-
cédé pour, étant donné dans un même plan deux points et un cercle,
trouver un cercle passant par les deux points donnés et tangent au
cercle donné.

Problème IV.

Etant donnés quatre plans, trouver une sphère qui soit tangente à ces
quatre plans donnés.

Soient donnés les quatre plans AH, AB, BC, HG {fig- 53) que doit
toucher la sphère cherchée.

Soient deux plans AF, FD {fig- 52) tangents à la même sphère;

menons le plan BFHC qui bissecte leur angle; il est assez clair que le
centre de la sphère tangente aux deux plans AF, FD se trouve sur
le plan bissecteur, pour qu'il soit inutile de s'arrêter plus longtemps
sur une chose si simple. Si les deux plans AF, FD étaient parallèles.

5i ŒUVRES DE FERMAT. [57,58]

le centre ilo la sphère serait sur le plan parallèle coupant par moitié
leur intervalle.

Cela posé, puisque les deux plans CB, BA {fig. 53) sont donnés de
position, le centre de la sphère cherchée est sur un plan donné de posi-
tion, à savoir le bissecteur de l'angle des deux plans donnés CB, BA.

Fig. 53.

3Iais, en raison des deux plans BA, AH, le même centre de la sphère
cherchée est sur un autre plan également donné de position, et l'inter-
section des deux plans donnés de position, qui bissectcnt, l'un l'angle
des plans CB, BA, l'autre l'angle des plans BA, AH, donne une droite
donnée de position qui passe par le centre de la sphère cherchée. Soit
FE cette droite; en raison des deux plans AH, HG, le centre de la
sphère cherchée est encore sur un autre plan donné de position, dont
l'intersection avec la droite donnée de position FE, donnera un point D
qui est évidemment le centre de la sphère cherchée. Le reste est clair.

Problème V.

Étant donnés trois plans et un point, trouver une sphère tangente aux
plans donnés et passant par le point donné.

Soient donnés les trois plans AB, BC, CD {fig- 54) et le point H ; il
faut trouver une sphère tangente aux trois plans donnés et passant
par le point H. Supposons le problème résolu.

Les trois plans donnés, d'après le raisonnement de la proposition
précédente, donneront de position une droite qui passe par le centre

[5S] CONTACTS SPHERIQUES. 55

de la sphère cherchée. Soit GE cette droite. J'abaisse sur elle, du point
donné H, la perpendiculaire HI, qui sera donnée de position et de
grandeur ; je la prolonge j usqu'en F, en sorte que IF = IH ; le point F
sera donné.

Le centre de la sphère cherchée est sur la droite GE, laquelle est
perpendiculaire en I sur le milieu de la droite HF, dont l'extrémité H
est, par hypothèse, sur la surface de la sphère. L'autre extrémité F
sera donc également sur la surface de la sphère; bien plus le cercle,
décrit de I comme centre, avec IH comme rayon, dans le plan perpen-
diculaire à GE, sera sur la surface de la sphère; or ce cercle est donné
de grandeur et de position. Mais si un cercle de la sphère est donné
de grandeur et de position, en même temps qu'un certain plan comme
AB, d'après un corollaire facile de notre proposition II, la sphère pas-
sant par le cercle donné et tangente au plan donné sera donnée. La
question est en effet ramenée au problème II, et la solution est dès

lors évidente.

Problème VL

Étant donnés trois plans et une sphère, trouver une sphère tangente à
la sphère donnée et aux plans donnés .

So ient donnés les trois plans ED, DB, BC (fig- 55) et la sphère RM;
il faut construire une sphère tangente à la sphère donnée et aussi aux
trois plans donnés.

Supposons le problème résolu et la sphère ERCA satisfaisant aux
conditions, c'est-à-dire touchant la sphère en R et les plans aux points
E, A, G. Soit 0 le centre de cette sphère ERCA; joignez RO, EO, AO,
CO; ces droites seront égales. D'ailleurs OR passera par le centre M

S6

ŒUVRES DE FERMAT.

[58, 591

de la sphère donnée, et les droites EO, OA, OC seront perpendicu-
laires aux plans donnés DE, DB, BC. Prenons OY = OG = 01 = OM.
et par les points V, G, I, imaginons menés les plans VP, GH, IN pa-
rallèles aux plans donnés ED, DB, BC.

Puisque OR = OE et OM = OV, par différence, RM = VE. Mais RM,
rayon de la sphère donnée, est donnée de grandeur; donc VE est aussi
donnée de grandeur. D'ailleurs OE, perpendiculaire au plan DE, le
sera au plan VP parallèle au plan DE; donc VE sera la distance des
plans DE, PV. Mais il a été démontré que VE est donnée de grandeur,
donc l'intervalle des plans parallèles DE, PV est donné, ainsi que la
position de l'un d'eux DE, par hypothèse. Donc PV est aussi donné
de position. On prouvera de même que les plans GH, IN sont donnés
de position. Or les droites OV, OG, 01 sont perpendiculaires à ces
plans et égales à OM. Donc la sphère décrite de 0 comme centre, avec
OM pour rayon, sera tangente aux plans PV, GH, IN donnés de posi-
tion. Mais le point M est donné aussi, comme centre de la sphère
donnée. Ainsi la question est ramenée à celle-ci : Etant donnés trois
plans PV, GH, IN et un point M, trouver une sphère passant par le
point donné M et tangente aux plans donnés PV, GH, IN, c'est-à-dire
que le problème est ramené au précédent.

J'userai dans la suite du même artifice quand il n'y aura pas de
points parmi les données, mais seulement des sphères et des plans,
pour substituer un point donné à une des sphères.

LGO]

CONTACTS SPHÉRIQUES.

57

Problème VIL

Étant donnés deux points et deux plans, trouver une sphère passant
par les points donnés et tangente aux plans donnés.

Soient donnés les deux plans AB, BC {/ig. 56) et les deux points
H, M; il faut trouver une sphère passant par les points H, M et tan-
gente aux plans AB, BC.

Je joins HM, je prends son milieu en I ; par le point I, qui est donné,
je fais passer un plan normal à la droite HM. Les points H, M étant

sur la surface de la sphère, il est clair que le centre do la sphère est
sur ce plan normal à HM et passant par I, plan qui est donné de posi-
tion, puisque la droite HM et le point I le sont.

Ainsi, à cause des points H et M, le centre de la sphère est sur un
plan donné de position. Mais, à cause des plans AB, BC, par une dé-
monstration déjà faite, il est aussi sur un autre plan donné, donc
sur une droite donnée de position, soit GE. J'abaisse sur cette droite,
de l'un des points donnés M, la perpendiculaire MF; elle sera donnée
de grandeur et de position. Je la prolonge jusqu'en D en sorte que
FD = 3IF. Le point D sera donné et, d'après une démonstration déjà
faite, se trouvera sur la surface de la sphère. On a donc comme don-
nées : trois points H, M, D par lesquels passe la sphère cherchée, et
le plan AB auquel elle est tangente; la question est donc ramenée au
problème II.

Kermat. — ni. 8

38 ŒUVRES DE FERMAT. [OU, Gij

Avant d'aller plus loin, il faut établir quelques lemmes faciles.

Lk.mmk I. — Soit le corclo HCD (^fig- -)7) on dehors duquel je prends
un point (|ueleon(|ue \\\ par oe poin( et le eeiUrc je mène la droile
i-iDOH, puis une autre (|uele()n(|ue VA,X. Il est elair, d'après les Klé-
inents. que AK.EC = BE.ED.

Soit maintenant la sphère de centre 0 et de grand cercle ACDB;
si du même point E, par un point quelconque de la surface de la
sphère, je fais passer une droite EGA jusqu'à sa seconde rencontre
avec la surface sphérique, on aura encore AE.EC ^ BE.ED.

Si en effet on imagine qu'autour de la droite BDE immobile
tournent et le cercle et la droite EGA, les droites EG, EA restent inva-
riahles, puisque les points G, A décriront des cercles normaux sur
l'axe. Par conséquent, dans tous les plans on aura AE.EC = BE.ED.

Lk.mme II. — Soient dans un même plan deux cercles ADE, HLO

Fis. 58.

P il

{Jig. 58); par leur centre je fais passer la droite ACMP et je suppose

CP
MP

' ^ = ~- Par le point P je mène ad libitum une droite POLED

rayon H. M

[111,62] CONTACTS SPHÉRIQUES. 39

coupant les deux cercles, aux points 0, L, E, D. Apollonius Gallus a
démontré que l'on a

AP.PQ = (il\PII^DP.PO = EP.PL.

La vérité de cette proposition en sphérique importe pour les pro-
blèmes suivants. Mais elle est évidente; car si, autour de l'axe AP
immobile, on fait tourner en même temps les deux cercles et la droite
POLED, les droites PO, PL, PE, PD resteront invariables pour la raison
donnée dans le lemme précédent; les rectangles restent donc aussi
invariables et la proposition est vraie dans un plan quelconque.

Lemme IM. — Soient données deux sphères YN, XM {/tg. 59), par

Fig. 59.

les centres desquelles on fait passer la droite RYNXMV ; je pose

rayon YN YV „ ■ < ^r • . ^t^c. 1 i 1

— — =rTj = yv ' point » > je mené VIS dans un plan quelconque,

et je pose SV.VT = RV.VM. Si l'on décrit une sphère quelconque pas-
sant par les points T, S et touchant une des deux sphères, elle tou-
chera également l'autre.

Supposons la sphère OTS, passant par les points T, S et tangente
en 0 il la sphère MX; je dis que la sphère YN sera également touchée
par la sphère OTS.

(JO ŒUVRES DE FERMAT. [63,04]

Jo prolongo VO jusqu'à sa sccontlc rencontre en Q avec la sphère
GTS. D'après le premier lemme : QV. VO = SV.VT. Mais par construc-
tion : SV.VT = RV.V.AI. Ce (l(M'ni(M" rectangle, d'après le second Icmmc,
est égal au produit de VO et de la droite passant par V, 0 et prolongée
jusqu'à la rencontre de la sphère YN. Donc le point Q est sur la sur-
face de la sphère YN : il est donc commun aux surfaces des deux
sphères YN, OTS.

Je dis maintenant que les deux sphères se touchent en ce point Q.
Menons en effet par le point V et un point quelconque de la sphère OTS,
une droite quelconque dans un plan quelconque, soit VZ qui, prolon-
gée, coupe les trois sphères aux points Z, D, H, K, P, B. D'après les
Icninies 1 et II :

ZV.VB (sphère OTS) ==DV.VP (splières XM, YN).

Mais DV>VZ, puisque la sphère OTS touche extérieurement la
sphère XM en 0, et que la droite qui coupe la sphère OTS la rencon-
trera dès lors avant de rencontrer la sphère XM. Puis donc que
DV.VP = ZV.VB et que ZV < DV, on aura PV < BV. Donc le point B
est extérieur à la sphère YN.

On prouvera, par un raisonnement pareil, que tous les points de la
sphère enveloppante sont extérieurs, sauf le point Q. Donc la sphère
OTS y est tangente à la sphère YN. o. o. f. d.

La démonstration sera la même et aussi facile pour les contacts in-
térieurs et dans tous les cas.

Lemme IV. — Soient le plan AC {fig- 6o) et la sphère DGF, dont le
centre est 0; par le centre 0, je mène FODB perpendiculaire au plan,
puis, par le point F, une droite quelconque coupant la sphère en G et
le plan en A. Je dis que AF.FG = BF.FD.

En effet, coupons la sphère et le plan donné suivant le plan du
triangle ABF; soient, comme intersections, le cercle GFD sur la sphère,
la droite ABC dans le plan. FB, perpendiculaire au plan AC, le sera à
la droite AC. On a donc, dans un même plan, le cercle DGF et la
droite AC, avec FDB passant par le centre du cercle et perpendicu-

[04] CONTACTS SPUERIQUES. (il

laire à AC. Si l'on joint GD, les angles en G, B sont droits; donc le
quadrilatère ABDG est inscriptible.

Donc AF.FG = BF.FD, et la même démonstration peut se faire pour
toute autre section de la sphère.

Lemme V. — Soient le plan ABD {fig. 6i) et la sphère EGF de
centre 0; par ce centre 0, je tais passer la droite FOEC perpendi-

culaire au plan, et, dans un autre plan quelconque, je mène la
droite FGHI. Soit IF.FH = CF.FE. Si, par les points I, H, je décris
une sphère qui touche le plan AG, elle sera également tangente à la
sphère EGF.

Imaginons construite la sphère IHB, passant par les points I, H, et
tangente en B au plan AC; je dis que les sphères EGF, IHB sont tan-

gentes.

Je joins FB; soit CF.FE = BF.FN; d'après le lemme qui précède, le
point N sera sur la surface de la sphère EGF. Mais, par construction,

(i-2 ŒUVRES DE FERMAT. [G5|

CI M-K = IF.Fll; donc IF.FH = BF.FN. Donc le poiiil N est sur la siir-
l'aoo do la sphère IBII.

Il faut maintenant prouver que les sphères EGF, IBH sont tangentes
en N, ce qui est facile. Par le point F et un point quelconque de la
sphère EGF, je mène FR qui rencontre la sphère IBH en M et on P,
et le plan AC en K. D'après le lemme précédent,

KF.FR = Ci<".FE — IF.FH (par construction) = PF.FM.

^lais si KF.FR = PF.FM, comme KF > FP (la sphère IBH étant tan-
gente en B au plan AC), FR < F.M; donc le point R est extérieur ii la
sphère IBH. lien sera de même pour tout autre point de la sphère EGF
dans un plan quelconque des deux côtés du point N. Donc les sphères
EGF, IBH sont tangentes en N.

Ces lemmes quoique faciles sont très heaux, surtout III et V. Dans
le lemme III, en effet, on a une infinité de sphères tangentes à la sphère
XM et passant par les points T, S, mais il est prouvé que toutes ces
sphères en nombre infini sont tangentes à la sphère YN. Dans le
lemme V, on a de même une infinité de sphères passant par les points I,
H et tangentes au plan AC, et toutes ces sphères en nombre infini
touchent la sphère EGF.

(^eci posé, il est facile de résoudre les autres problèmes.

Prodlèiie VIII.

Étant donnés deux points, un plan et une sphère, trouver une sphère
passant par les points donnés et tangente au plan donné et à la sphère
donnée.

Soient donnés le plan ABC {f'g- 62), la sphère DFE, et les points H,
.^1. Par le centre 0 de la sphère donnée, j'abaisse sur le plan donné
ABC la perpendiculaire EODB; je joins HE, et je pose BE.ED = HE.EG.
Le point G sera donné.

Étant donnés trois points H, G, M et un plan, on cherchera (pro-
blème II) une sphère passant par les trois points donnés et tangente
au plan donné. Elle résoudra le problème.

|(i(i] CONTACTS SPHERIQUES. 0:5

Elle passe en effet par les deux points donnés H, M, et est tangente
au plan ABC par construction et à la sphère DFE d'après le lemmc V;

Fis. 62.

en eiret, puisque HE.EG = BE.ED, toute sphère passant par les deux
points H et G et tangente au plan ABC touchera aussi la sphère DEF.

Problème IX.

h' tant donnés deux points cl deux sphères, trouver une sphère passant
par les deux points donnés et tangente aux sphères données.

Fis. 63.

Soient données les deux sphères AB, DE {Jig. G3) et les deux

6&

ŒUVHES DE FERMAT.

[67

points H, !M. Jo mène AF par les centres des sphères données, et je pose

— = — TTF = FiîJ 'e point r sera donne; soit encore Nr.tA = Hr .K., le

point G sera donné.

Étant donnés trois points M, G, H et une sphère DN, on cherchera
(problème III) une sphère passant par les trois points donnés et tan-
gente à la sphère donnée DN; elle touchera aussi la sphère AB, d'après
le lenime III, et ainsi le problème sera résolu.

Problème X.

Etant donnes un point, deux plans et une sphère, trouver une sphère
passant par le point donné et tangente à la sphère et aux deux plans
donnés.

Soient donnés les deux plans AB, BD {fig. G/j), la sphère EGF et le
point H. Du point 0, centre de la sphère donnée, j'abaisse sur un des

Fig. (i4.

deux plans donnés la perpendiculaire CEOF, et je pose CF.FE = HF.FI.
Les deux points H, I étant donnés avec les deux plans AB, BD, je
cherche (problème VII) une sphère passant par les deux points
donnés et tangente aux deux plans donnés; elle touchera aussi la
sphère (lemme V) et le problème sera résolu.

[68] CONTACTS SPHÉRIQUES. 63

Problème XI.

Étant donnés un point, un plan, et deux sphères, trouver une sphère
passant par le point donné, et tangente au plan donné ainsi qu'aux deux
sphères données.

Un raisonnement semblable aux précédents ramènera la question
au problème VIII, où l'on donne deux points, un plan et une sphère, et
cela par le moyen du lemme V. On peut aussi se servir du lenime III
pour ramener de même la question à ce problème VIII, mais par une
autre construction.

Problème XII.

Étant donnés un point et trois sphères, trouver une sphère qui passe par
le point donné et touche les sphères données.

Je ne fais pas non plus la figure; car le lemme III ramène immédia-
tement la question au problème IX où l'on donne deux points et deux
sphères.

Problème XIII.

Etant donnés deux plans et deux sphères, trouver une sphère qui touche
les plans donnés et les sphères données.

Supposons le problème résolu. Si nous imaginons, concentrique
à la surface sphérique trouvée, une autre surface sphérique parallèle
à une distance égale au rayon de la plus petite des sphères données,
cette nouvelle surface sphérique sera tangente à des plans distants des
donnés d'un intervalle égal à ce rayon de la plus petite sphère, et
tangents également à une sphère concentrique à la plus grande et
dont le rayon différera de celui de la plus grande du rayon de la plus
petite.

Cette dernière sphère est donc donnée, de même que les plans
menés parallèlement aux donnés à une distance égale au rayon de la
moindre sphère. Enfin la nouvelle surface sphérique passe par le
centre de la moindre des sphères données, centre qui est donné.

Fermât. — 111. 9

66 ŒUVRES DE FERMAT. [CS, 69]

Ainsi, par ce niômc artifice que nous avons déjà employé dans le pro-
blème VI, la ([uostion est ramenée au problème X : Étant donnés un
point, deux plans et une sphère, trouver etc.

Problème XIV.

Etant donnés trois sphères et un plan, trouver une sphère tangente aux
sphe'res et au plan donné.

Par le même moyen que dans le problème VI et dans le précédent,
on ramènera la question au problème XI : Étant donné un point, un
plan et deux sphères, etc.

Problème XV.

Étant données quatre sphères, trouver une sphère qui leur soit tan-
gente.

Supposons le problème résolu. Par la méthode qu'a employée Apol-
lonius Gallus pour ramener le problème des trois cercles à celui d'un
point et de deux cercles, méthode que nous avons déjà employée aussi
dans les problèmes précédents, nous ramènerons ce bel et célèbre
problème au problème XII, où l'on donne trois sphères et un point.

Ainsi nous avons achevé entièrement le travail proposé, et brillam-
ment complété Apollonius Gallus; toutefois, pour ne pas allonger in-
définiment ce traité des contacts sphériques, nous avons négligé les
cas divers, les limitations et les menus détails.

70,71] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 67

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES.

SOLUTION D'UN PROBLÈME PROPOSÉ PAR M. DE PASCAL.

M. de Pascal a proposé : Dans un triangle, étant, donné l'angle au
sommet et le rapport de la hauteur à la différence des côtés, trouver l'es-
pèce du triangle.

Soit AC {ffg- 65) une droite donnée quelconque, sur laquelle on
décrit le segment de cercle AIFC, capable de l'angle donné. La qucs-

Fiff. 65.

tion est ramenée à chercher un triangle dont on donne la base AC,
l'angle au sommet AIG et le rapport de la hauteur à la différence des
côtés.

Supposons le problème résolu ; soit AIC le triangle cherché ; j'abaisse
la hauteur IB, je prends le milieu F de l'arc AFC. Je joins FA, FC et FI,
j'abaisse sur AI, IC les perpendiculaires CO, FK; de F comme centre,
avec AF pour rayon, je décris le cercle AHGEC, que les droites CI, FI

68 ŒUVRES DE FERMAT. [71,72]

prolongops roncontrcnl aux points G, H, E. Enfin je joins GA. AFC au

centre est double de AGC à la circonférence. Mais AIC = AFC dans le

même segment. Donc ÀIC = aAGC. Mais AIC = AGC + lAG. Donc

IGA = lAG. Donc lA = IG. Mais, FK étant perpendiculaire du centre F
sur GC, on a GK = KC. Donc Kl = i(CI - IG) = i(CI - lA).

Mais le rapport „. _ . est donné, donc j^, et en multipliant de

part et d'autre par AC, .„' • Mais AC.BI = AI.CO, le triangle AIC

étant la moitié de chacun de ces deux rectangles. Donc le rapport

AI.CO , ,

..^ ,,r est donne.

AL . IIV.

Mais, par hypothèse, AIC est donné, COI est droit par construction.

CO
Donc A COI est donné d'espèce. Donc le rapport -pj- est donné, donc

AI.CO M ■ •' • - AI. OC , , , , AI.IC , ,

.. ..v Mais j ai prouve que . . .., est donne; donc . , .^ est donne.

Maintenant dans le triangle isoscèle AFC, AFC est donné par hypo-
thèse, donc FAC, donc CIF son égal; mais FKI est droit, donc AFIK

. , ■ V ' 1 1^1 1 AC.IK

est donne d espèce, donc j-rr» donc . , .„ •

A T If^ A T Tr^

Mais j'ai prouvé que . > ' est donné, donc ' .„ est donné. Mais

CI . lA = CI . IG, puisque IG = lA, et CI . IG = HI . lE. Donc |^ est
donné.

ED
Soit -rp- ce rapport donné : AC étant donnée, ED le sera; portons

cette longueur sur le prolongement de HE, comme dans la figure.
HI.IE ED. ,, ,. ,, . DE DE. IF ^^ HI.IE DE. IF

ÂOF = Â^G ('''^PP«'"^d«""'^)- M«'« AC = ACTIF- °''"' ÂOF = ÂCJF •

Donc DE.IF = HI.IE.

Mais j'ai prouvé que le triangle AFC est donné d'espèce; la base AC
est donnée de grandeur; donc AF est donnée, donc son double HE.

Aux rectangles égaux DE. IF, HI.IE, ajoutons de part et d'autre

[72,73] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 69

DE . IH. On aura DE . FH = DI . IH. Mais, DE, FH étant données, DE . FH
Je sera; donc DI.IH; et ce produit appliqué sur la droite DH donnée
de grandeur est en défaut d'une figure carrée ( ' ) ; donc IH est donnée,
et par différence IF. Mais F est donné de position, donc le point I et
tout le triangle AIC. Il est facile de remonter de l'analyse à la syn-
thèse.

Pour dissiper tous les doutes, il est aisé de prouver que le triangle
cherché est semblable au trouvé AIC de la seconde figure (^fig. 66)

(ce triangle peut au reste avoir son sommet des deux côtés du point F,
à égale distance de part et d'autre du point F; il sera le même d'es-
pèce et de grandeur, la position seule sera différente). Si le triangle
cherché n'est pas semblable au trouvé, la base restant la même, son
sommet tombera entre les points F, I, ou entre les points I, A (le côté
n'importe pas, car du côté FC on peut faire la même démonstration
avec le second triangle AIC.)

Soit d'abord le sommet entre A et I, et supposons, s'il est possible,
le triangle cherché semblable au triangle AMC. Je joins FM, et j'abaisse

la perpendiculaire FP; le rapport rrjr^ sera donné par hypothèse et par

conséquent égal à ^ que nous avons prouvé être égal au rapport
donné; ce qui est absurde.

(>) C'est-à-dire que DI.IH = DII.IH - IH^.

70 ŒUVRES DE FERMAT. [73,74]

Eu efTet, dans les triangles rectangles FMP, FIK, M = I, donc ces
triangles FIK, FMP sont semblables; mais FM>FI, donc MF > IK.«

Mais MN < IB, donc ^rrr-, ne peut être égal à yï^-

Si le point M tombe entre I et F, on prouvera que la hauteur est
plus grande et la différence des côtés plus petite et cela par le même
raisonnement; donc le rapport est différent. Si M est du côté FC, on se
servira du second triangle AIC, et la démonstration sera la même. Il
est ainsi inutile de s'arrêter plus longtemps h ces cas, et il est constant
que le triangle cherché est semblable au trouvé AIC. Le problème est
donc résolu.

Je propose en revanche, s'ils le veulent bien, tant à M. de Pascal
qu'il M. de Roberval, de résoudre ce problème :

En un point donné sur une spirale de Galilée, trouver la tangente.

M. de Roberval sait ce qu'est cette spirale.

,T'ai résolu ce problème et j'en attends la solution d'hommes aussi
savants qu'ils le sont; mais, s'ils le préfèrent, je leur communiquerai
la mienne et même une méthode générale pour les tangentes des
lignes courbes.

Toutefois, pour ne pas paraître quitter les mains vides ce sujet des
triangles, je puis proposer les questions suivantes :

Étant donnés la hase, V angle au sommet et la somme de la hauteur
et de la différence des côtés, trouver le triangle. ^

Etant donnés la base, l'angle au sommet et la différence de la hau-
teur et de la différence des côtés, trouver le triangle.

Étant donnés la base, l'angle au sommet et le produit de la hauteur
par la différence des côtés, trouver le triangle.

Étant donnés la base, l'angle au sommet et la somme des carrés de la
hauteur et de la différence des côtés, trouver le triangle.

ainsi que beaucoup d'autres questions semblables que mes savants
correspondants résoudront toutefois plus facilement, je pense, que le

[74,75] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 71

problème ou théorème proposé sur la tangente à la spirale de Galilée.
Il faut observer que, dans les questions sur les triangles, toutes les
fois que le problème peut être résolu par les lieux plans, il ne faut pas
recourir aux solides, mais mes savants correspondants le savent assez,
et il était sans doute inutile de faire cette remarque.

DEUX PORISMES

(de pierre de fermât).

PoRiSME I. — Étant données de position deux droites ABE, YBC
{^g. 67), se coupant au point B, et deux points A, D sur la droite ABE,
trouver deux points, par exemple 0, N, tels que si l'on en mène, brisée
sur un point quelconque H de la droite YBC, une ligne OHN coupant aux
points l et Y la droite ABD , on ait AI X DV égal à une aire donnée,
savoir AB x BD.

Voici la construction porismatique d'Euclide qui représente la solu-
tion la plus générale du problème.

Soit pris quelconque le point 0; je joins AO qui coupe YBC en P,
et, par 0, je mène OQ parallèle à ABD et rencontrant YBC en Q. Je
mène également, parallèle à ABD, l'indéfinie PNM. Jo joins QD qui

72

ŒUVRES DE FERMAT.

Hô, 7G]

coupe PNM on N. Je dis quo los doux points 0, N satisfont à la ques-
tion, c'est-à-dire quo si l'on prcMul n'importe où sur la droite YBC un
point H, et qu'on joigne OH, NH, qui coupent la droite ABD aux
points I, V, on aura dans tous les cas AI x DV = AB x BD.

PoRiSME II. — Étant donné un cercle ABDC {Jig- G8) de diamètre AC,
de centre M, trouver deux points E, N, tels que si l'on en mène, brisée sur
un point quelconque D de la circonférence , une ligne EDN coupant le
diamètre aux points Q, H, la somme des carrés de QD, DH soit au
triangle QDH dans un rapport donné et que cette relation subsiste tou-
jours généralement, quelle que soit la ligne brisée.

Fis. 68.

J'élève du centre M perpendiculairement au diamètre la droite MB.

Je pose -^Âî- égal au rapport donné. En V, j'élève VE perpendiculaire

au diamètre et égale à VB ; je prends MO = MV, et je mène ON égale et
parallèle à VE. Je dis que les points cherchés sont les points E, N, c'est-
à-dire que si l'on prend un point quelconque D de la circonférence,
qu'on joigne ED, ND, qui coupent le diamètre aux points Q, H, on

aura dans tous les cas le rapport --. , — j^-p^ esal au donne, savoir

' '^ triangle QDH ^

4BV

VM ■

On ne propose pas seulement de trouver la démonstration de ce
porisme. Que les mathématiciens plus subtils voient s'il n'y a pas en
dehors de E et de N deux autres points qui puissent satisfaire au pro-
blème et s'il y a, comme dans le premier porisme, des solutions en

[76,77] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 73

nombre indéfini. Si je n'ai pas de réponse, je ne dédaignerai pas de
venir au secours de la Géométrie sur le point où elle se trouvera en
défaut.

PORISMES D'EUCLIDE,

LECR TIlÉOr.lE RENOUVELÉE ET PRÉSENTÉE AUX GÉOMÈTRES MODERNES
sous FORME d'introduction.

Au commencement de son Livre VII, Pappus a énuméré les Livres
des géomètres anciens qui faisaient partie de l'ensemble analytique.
Tous ces Livres sont perdus par l'effet du temps, sauf le seul Livre
d'Euclide sur les Données et les quatre premiers des Coniques d'Apol-
lonius; aussi les géomètres modernes ont-ils eu à faire de grands
efforts pour réparer tant soit peu la perte d'Ouvrages, dont l'âge des-
tructeur tendait à abolir jusqu'à la mémoire. Avant tous, François
Viète, ce génie si subtil qu'on ne louera jamais assez, a heureuse-
ment restitué les Livres d'Apollonius Sur les contacts dans un Livre
unique qu'il a intitulé 1' « Apollonius Gallus ». Son exemple a excité
Marino Ghetaldi etWillebrord Snellius à aborder des entreprises ana-
logues, dans lesquelles ils ont assez réussi pour que, grâce à eux,
nous ne regrettions plus guère les Livres d'Apollonius De la section en
rapport, De la section en produit, De la section déterminée. Des conver-
gences. Suivaient les Lieux plans, les Lieux solides et les Lieux en sur-
face. Ces matières ont été traitées à leur tour par des géomètres dont
le nom n'est pas inconnu, et, quoique manuscrits et encore inédits,
leurs travaux ne sont pas restés ignorés.

Mais il reste encore, vierge de toute tentative et comme désespé-
rante, la théorie des Porismes d'Euclide. Pappus a beau affirmer que
c'était « une œuvre pleine d'art et de la plus grande utilité pour la
solution des problèmes les plus obscurs », les géomètres de l'àge
écoulé ou du temps actuel en ont ignoré jusqu'au nom, ou n'ont pas

FERMAT.— m. 10

n ŒUVRES DE FERMAT. [77, 78|

iiuMUO soupcomic de (iiioi il s'agissail. .l'ai longtemps tâtonné dans de
profondes ténèbios, cliorchant en vain comment relever la Géométrie
de ce coté, jusqu'à ce (pfcnliii « mit' hiniirre éclatante a frappé mes
veux et a dissipé pour eux l'obscurité de la nuil ». Je ne veux pas
cacher jalousement à la postérité un spécimen de ma découverte à la
fois ancienne et nouvelle, alors que l'astre de Suède brille sur toutes
les sciences et que nous déroberions en vain comme des mystères les
secrets des Mathématiques; il n'est en elTet rien qui puisse échapper
au clairvoyant génie de cette reine incomparable, et il ne nous est pas
permis de cacher une théorie qui, nous pouvons à peine en douter,
serait découverte au premier signe venu d'elle, comme inspiration ou
comme ordre.

Pour jeter donc la lumière sur toute cette question des porismes,
j'ai choisi un certain nombre des plus remarquables propositions
porismatiques, et je les présente avec confiance à l'attention et à
l'examen des géomètres, pour bien faire connaître ce qu'est un
porisme et (jnel en est surtout l'usage.

Purisme I.

Soient deux droites ON, OC {/ig- dij) formant un angle au point 0
et données de position. Soient donnés également les points A et B.

De ces points A, B, on mène les droites BE, AF, parallèles à OC et
rencontrant NO prolongée aux points E, F. On joint AE qui rencontre
CO prolongée en D, e( on joint aussi FB qui rencontre en C cette même

[79] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 75

droite CO. Si maintenant d'un point quelconque de la droite ON, V par
exemple, on mène les droites AV, BV, soit S le point de rencontre de
AV et de OC, R celui de BV et de la même droite OC, on aura toujours
CR X DS = CO X DO, c'est-à-dire une aire donnée.

PORISÎIE II.

Soit une parabole quelconque NAB {Jig. 70) et un de ses diamt-tres
quelconque BEO. Je prends sur la courbe deux points quelconques D

Fis. 70.

et N, desquels je mène des droites concourant en un autre point quel-
conque de la courbe, soit en D. Ces droites AD, DN couperont le dia-
mètre en des points tels que E, 0 ou G, Q. Les abscisses sur un même

diamètre seront toujours dans un même rapport, c'est-à-dire qu'on

, OH QB
aura constamment ttît = rnr-
BL (iB

PoniSME III.

Soit un cercle ayant pour diamètre une droite AD {fig- "O; je mène

à celle-ci une parallèle quelconque NM, rencontrant le cercle aux
points N, M. Soient donnés ces points N, M; je mène arbitrairement do

76

ŒUVRES DE FERMAT.

[80]

ces points uiio ligne NB.M brisée sur le cercle et qui coupe le diamètre
on des points 0, V. Je dis que le rapport . y'..„ est donné; ou bien

que si l'on mène une autre ligne brisée NCM, coupant le diamètre aux

. , „ ^. . . AO.nV AR.DS

points K, S, on aura toujours .y .... = ^^ . ..•

Il est facile d'étendre cette proposition aux ellipses, aux hyperboles
et aux sections opposées.

PORISME IV.

Soit le cercle ICH (Jig- 72), son diamètre IDH donné, son centre D,
son rayon CD normal au diamètre. Soient sur le prolongement du dia-

^ 1 m/ l

\s \t R |h

/ •"

7 D \ \

z \

\

mètre deux points B, A donnés de telle sorte que AI = BH. Soit posé
jv = Tj et DR = DL; les points R et L seront donnés. Qu'on joigne
CA et qu'on prenne, égale à cette droite, AF perpendiculaire au dia-
mètre. Soit enfin BG égale et parallèle à AF, et des points F, G, menée
brisée sur le cercle une droite FEG qui coupe le diamètre aux points M
et N. Je dis que la somme RM- -h LN- est toujours égale à une même
aire donnée.

[81] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 77

En second lieu, avec les mêmes positions, si l'on joint CL, que l'on

prenne, égale à cette droite, LP perpendiculaire au diamètre, et qu'on

mène RZ parallèle et égale à LP; si des deux points Z et P on mène

brisée sur la circonférence une ligne comme PVZ, coupant le diamètre

aux points K, T, la somme AT-+ BK- sera toujours égale à une autre

aire donnée.

PoniSME V.

Soit le cercle RAC {fig. 78), son diamètre RDC donné, son centre D,
son rayon DA normal au diamètre. Soient pris arbitrairement sur le

Fig. 73.

diamètre, mais à égale distance du centre D, deux points Z, B. Joi-
gnons AZ; menons, égale à cette droite, ZM perpendiculaire au dia-
mètre et BO égale et parallèle à ZM. Qu'on mène, brisée sur la circonfé-
rence, une ligne quelconque MHO, coupant le diamètre aux points E,

N; le rapport

EH^-^HN^

triansle EHN

sera donné et égal au rapport j

AZ

iZD'

Par l'énoncé de ces propositions, dont personne ne niera l'élé-
gance et la beauté, on peut facilement reconnaître la nature même des
porismes. Il est évident en effet qu'on peut, ainsi que le dit Pappus,
les énoncer comme théorèmes ou comme problèmes. Je les ai énon-
cées comme théorèmes; mais rien n'empêche de les transformer en
problèmes. Par exemple le pnrisme V peut être conçu comme suit :

Étant donné un cercle RAC de diamètre RC, trouver aeux points M
et 0, tels que si de ces points on mène, brisée sur la circonférence, une

78 ŒUVRES DE FERMAT. [82,83]

li^fic quelconque 3IH0, on ait toujours comme donné te rapport au
triangle EHN de la somme des carrés des abscisses EH, HN.

La construction rcsulte du tliéorcmo qui précôdc : si en cllet on

pronil dans le rapport donné ^-yj^» tout le reste s'ensuit. De la même

manière, on peut, pour tous les autres porismes sans exception, trans-
former facilement les théorèmes en problèmes.

D'autre part. Pappus indique qu'au sens des géomètres postérieurs
à Euclide : « le porismc est en défaut, en ce qui concerne l'hypo-
thèse, par rapport au théorème de lieu ». Cela révèle entièrement la
nature spéciale du porisme et c'a été presque sans autre indice que
celui fourni par ces mots que nous avons pénétré les secrets de cette
matière.

Lorsque nous cherchons un lieu, nous nous proposons de trouver
une ligne droite ou une courbe qui nous est inconnue en tant seu-
lement que nous avons à déterminer le lieu qu'occupe la ligne à
trouver; mais quand nous partons d'un lieu supposé donné et connu
pour en trouver un autre, ce nouveau lieu est appelé porisme par
Euclide, et c'est pourquoi Pappus a ajouté avec grande raison que les
lieux eux-mêmes sont une espèce de porismes et qu'on leur donne ce
nom.

(^omme seul exemple, nous allons appliquer notre définition à la
figure du porisme V. La droite RC étant donnée, si l'on cherche une
courbe quelconque telle que RAB dont la propriété soit qu'en abais-
sant d'un quelconque de ses points A la perpendiculaire AD, on ait
AD- = RD X DC, nous trouverons que la courbe RAC est une circon-
férence de cercle. Mais si, ce lieu étant déjà donné, nous partons de
là pour en trouver un autre, par exemple, le problème du porisme V,
ce nouveau lieu sera appelé yDom/ne, comme tous les autres en nombre
infini (juc la sagacité d'un analyste exercé peut imaginer et déduire de
celui qui est déjà connu.

Comme nous l'avons déjà dit, les lieux eux-mêmes sont des porismes ;
il faut d'ailleurs corriger d'après le texte grec l'erreur du traducteur

[S3, 84] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 79

de Pappus à cet endroit où il dit que : « L'Ouvrage des Porismes est très
utile pour les résolutions des problèmes les plus obscurs et de leurs genres
qui ne comprennent pas cette nature qui en fournit la multitude ». Ces
derniers mots, pour ainsi dire, n'offrent aucun sens; il faut recourir
à Pappus lui-même dont le texte est le suivant, d'après les manu-
scrits :

IIopia-pLaTa è^jtI r^oXkoX:; aOpoi(T[j.a cptXoT£/_voTaTOv ûq, T-r]v àvàXuo-iv
cûv £(xj3pt8£a-T£pwv 'irpoflXY][JLà':o>v xal tcov ysvtov àiïEpO^YiTïTov Tf,; oucecoç
■!zat.^v/o\i.ivr\q uXfjOoç.

Pappus dit que les porismes servent à l'analyse des problèmes plus
obscurs et des genres, c'est-à-dire des problèmes généraux. Il résulte
en effet de ce que nous avons dit que les propositions des porismes
sont générales au plus haut degré. Puis il ajoute : « dont la nature
fournit une multitude à peine compréhensible à l'esprit », mots par les-
quels il indique ces solutions en nombre infini du même problème,
qui tiennent presque du miracle.

A notre invention de ces théorèmes ou problèmes, s'ajoute une
méthode particulière, dérivant de la pure Analyse, et grâce à laquelle,
avec les cinq porismes précédents, nous en avons trouvé, construit et
démontré beaucoup d'autres.

Si les savants accueillent avec faveur ce peu que nous donnons à
titre seulement d'introduction et de prodrome d'une œuvre plus
approfondie, nous pourrons un jour restituer la totalité des trois
Livres des porismes, et, bien plus, pousser plus loin qu'Euclido lui-
même et découvrir des porismes vraiment étonnants et qui jusqu'à
présent sont inconnus, sur les sections coniques et sur d'autres
courbes quelconques.

PROPOSITION DE M. DE FERMAT SUR LA PARABOLE.

J'ai proposé de décrire une parabole par quatre points donnés.

Il y a deux cas, pour chacun desquels il faut d'abord poser le lommt

80

ŒUVRES DE FERMAT.

[85,85]

suivant. Soit ECBAD {Jig- 74) h'H' parabole dont le cliaiiuHro AF est
donné do position; soient également donnés les points B, C de la
parabole et l'angle des ordonnées sur le diamètre AF. Je dis que la
parabole est donnée de position.

Fig. 7'(-

Menons les ordonnées EN, CN. Du point B donné, BN est menée
sous un angle donné (puisqu'on donne l'angle des ordonnées) sur
AF donnée de position; donc le point N est donné; de même M. Les
droites BN, CM sont donc données de position et de grandeur. Mais

d après la nature de la parabole, ^^ = pr-r-j si 1 on suppose que A est

le sommet de la parabole ou l'extrémité du diamètre. Le rapport ^

MN
est ainsi donné, ou, dnidendo, le rapport j^; mais MN est donnée,

avec les points M et N, donc NA, donc le point A. Si d'ailleurs on pose

^ = -y-) Z coté droit de la parabole sera donné, les autres droites

l'étant. Ainsi, on a donnés : le sommet A, le côté droitZ, le diamètre AF
de position, l'angle des ordonnées. Donc la parabole est donnée de
position (Apollonius, I, 32).

Cela posé, il est facile de construire le premier cas {fig. 75). Soient
donnés les quatre points B, C, D, F; si on les joint par les droites BC,
CF, FD, DB, ou bien aucune ne sera parallèle à l'opposée, ou bien,
comme dans ce cas, on aura par exemple BG parallèle à DF.

Prenons les milieux I, E de ces deux droites et supposons le pro-
blème résolu; si on joint JE, qui divise par moitié deux parallèles, ce
sera un diamètre de la parabole. Mais I, E sont donnés, donc lE l'est
de position, ainsi que l'angle DEI. On a donc donnés : le diamètre lE

[85,86] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 81

de position, l'angle des ordonnées et deux points B, D de la parabole;
donc la parabole DBACF est donnée de position.

Le second cas est plus difficile : c'est celui où aucune des droites
joignant deux des points donnés n'est parallèle à une autre.

Soient donnés ifig- 76) quatre points X, N, D, R, en sorte que si
l'on joint XR, RD, DN, NX, aucune ne soit parallèle à l'opposée. Sup-

Fig. 7G.

posons le problème résolu et tracée la parabole XANDBR satisfaisant
à la condition proposée. Soient V le point de rencontre de XN, RD
prolongées, M, C les milieux de XN, RD. Menez par ces milieux les
diamètres MA, CB qui rencontrent la parabole aux points A, B, et par
ces derniers lAS, SB parallèles à XV, VR et se rencontrant en S. .li»
joins AB, j'en prends le milieu en P et je joins SP.

Ferm\t. — III. I I

82 ŒUVRES DE FERMAT. [86,871

Cette construction faite, il est clair que lAS, menée par le sommet
du diamètre MA parallèlement à l'ordonnée XN, est tangente ii la para-
bole en A. On prouvera de même que SB est tangente à la parabole

XV VN AS-
en B. Donc (Apoll., 111, i-j) j..^' ., = ^rz-,- Mais les quatre points X,

N, D. R étant donnés, le rapport |.Trvi) ^'^^ donné, donc ^j,, > donc

^^- Mais ASB est donné, comme égal, h cause des parallèles, au

donné XVR. Ainsi, dans le triangle ASB, l'angle au sommet S est
donné avec le rapport des cotés ^-j^; donc ce triangle est donné d'es-

pèce, donc SAB et le rapport '^r.p donc, puisque AP — ^AB, le rap-
port '.-p est donné. Ainsi dans le triangle SAP, l'angle en A est donné

SA
avec le rapport des côtés j-./, donc le triangle est donné d'espèce,

donc PSA est donné.

Ceci posé, SP, qui passe par le milieu de la corde AB joignant les
points de contact des tangentes, sera un diamètre de la parabole
(Apoll., II, 29). Mais, dans la parabole, tous les diamètres sont paral-
lèles, donc le diamètre MA est parallèle à SP, donc lAM = ASP. Mais

ASP est prouvé donné; donc lAM, et son alterne-interne NMA. Mais
M, milieu de NX, donnée de grandeur et de position, est donné. Donc
MA, diamètre, est donné de position avec l'angle des ordonnées AMN
et les deux points N, D de la parabole. Donc, d'après le lemme, là
parabole est donnée de position, et il est facile de remonter de l'ana-
lyse à la synthèse.

Il est clair que, dans ce dernier cas, deux paraboles satisfont au
problème, car les droites DN, XR, supposées non parallèles, se ren-
contrent, et alors, par le même raisonnement, on peut tracer une
parabole qui résout également le problème.

[87, 88]

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES.

83

DEMONSTRATION DU LIEU A TROIS DROITES.

Soient données de position trois droites formant un triangle : AM,
MB, BA {fig- 77); soit un point 0 quelconque duquel on mène sur

Fis

M I :<

les droites données les droites OE, 01, OD sous les angles donnés
OEM, OIM, ODB. Soit enfin donné le rapport — ., • Je dis que le

lieu du point 0 est une section conique.

Prenez en Q le milieu de MB, joignez AQ et par 0 menez à MB, 3IA
les parallèles FOC, ON.

Les trois triangles OEF, ODC, OIN sont donnés d'espèce : car, par
hypothèse, les angles OEF, ODC, OIN sont donnés, et il en est de même
de l'angle EFO égal au donné AMB, ii cause des parallèles; de OCD,
égal au donné MBA; enfin de ONI, puisque ONB est donné comme

OF

égal à AMB à cause des parallèles. Donc le rapport -^ est donné; de

I , ^I^ I I , EO.OD ,, . 1, .u.

même le rapport tttt; donc le rapport „ ■• Mais, par hypothèse,

, , EO.OD , , , , , ,FO.OC , . -, .

le rapport .^.^ est donne; donc le rapport ., sera donne. Mais

01-

e rapport -^, est donné, puisque le triangle OIN est donné d'espèce;

I I . FO.OC FO.OC , , .„,, ,, , , , , ^.,.

lonc le rapport ou . sera donne (FM étant égal a ON).

Si on partage AQ en U de telle façon qu'en menant UR parallèle

8i ŒUVRES DE FERMAT, [88. 89)

■ MO I . UR> .. , , , . FO.OC , • . r -,

a y\v>, \c rap|>ort jj^ soit égal au donne — p.T2— (ce qui est facile,

puisque l'angle MRU est donné), et si l'on fait passer par le point U
une section conique ayant AQ pour diamètre et tangente en M, B aux
droites ^lA, AB (ce qui est très facile et donnera d'ailleurs, suivant
les différentes positions du point U, soit une parabole, soit une hyper-
bole, soit une ellipse; je n'ajoute pas ce qui serait superflu, surtout
pourvous); je dis que la section conique ainsi décrite passera par le
point 0.

Soit en effet P le point où elle passera de l'autre côté. La droite UR,
parallèle à l'ordonnée MB, sera tangente à la conique; donc, si celle-ci

I ■ , ,^ PF.FO UK^ ,. ,, ,,, ,., ,, .

passe par le point O, on aura — pvïr" = îr^p (Apoll., III, b). Mais, par

construction, ^^ = ^^^^- Donc PF.FO = FO.OC ; donc FO = PC ( ' ;.

Or il en est ainsi; car, Q étant le milieu de MB, on a FX = XC;
d'autre part, dans la conique, OX — XP; donc, par différence,
FO = PC.

Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse, par une démon-
stration conduisant à l'impossible.

( ' ) La conclusion devrait être PF = OC. ce qui revient au même en retranchant OP de
part et d'autre.

INTRODUCTION

AUX

LIEUX PLANS ET SOLIDES.

Que les anciens aient longuement traité des lieux, on ne peut
en douter; nous le savons par Pappus, qui, au commencement du
Livre VII, témoigne qu'Apollonius avait écrit sur les lieux plans, et
Aristée sur les lieux solides. Mais, si nous ne nous trompons pas, la
recherche des lieux ne leur était point suffisamment aisée. Nous le
conjecturons de ce fait que, pour nombre de lieux, ils n'ont point
donné un énoncé assez général, ainsi qu'on le verra plus loin.

Nous soumettons donc cette théorie à une analyse qui lui est propre
et particulière, et qui ouvre la voie générale pour la recherche des
lieux.

Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quan-
tités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant
une ligne droite ou courbe. La ligne droite est simple et unique dans
son genre; les espèces des courbes sont en nombre indéfini, cercle,
parabole, hyperbole, ellipse, etc.

Toutes les fois que l'extrémité de la quantité inconnue qui décrit le
lieu suit une ligne droite ou circulaire, le lieu est d\t plan; si elle
décrit une parabole, une hyperbole ou une ellipse, le lieu est dit
solide; pour d'autres courbes, on l'appelle lieu de ligne. Nous n'ajou-
terons rien sur ce dernier cas, car la connaissance du lieu de ligne se
déduit très facilement, au moyen de réductions, de l'étude des lieux
plans et solides.

86

ŒUVRES DE FERMAT.

[93, 93]

Il est oommodo, pour établir les équalions, do prendre les deux
quantités ineonnues sous un angle donné, que d'ordinaire nous sup-
poserons droit, et de se donner la position et une extrémité de l'une
d'elles; pourvu qu'aucune <les deux quantités inconnues ne dépasse
le carré, le lieu sera plan ou solide, ainsi qu'on le verra clairement
ci-après.

Soit NZM (Jig- 7H ) une droite donnée de position, dont on donne le

point N. Qu'on égale NZ à la quantité inconnue a, et la droite ZI

(menée sous l'angle donné NZI) à l'autre quantité inconnue e.

Soit

da = be.

Le point I sera une droite donnée de position.
b

En effet, on aura

Donc le rapport - est donné, ainsi que

l'angle en Z. Donc le triangle NIZ est donné d'espèce, donc l'angle INZ.
Mais le point N est donné, ainsi que la position de la droite NZ. Donc
NI sera donnée de position. La synthèse est facile.

On ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont soit
donnés, soit formés par les inconnues a et e, multipliées par des
droites données ou bien prises simplement.

z" - da = be.

Soit posé z" ~ dr. On aura -^ = ' -•

Soit pris MN = r; le point M sera doni^é et l'on aura MZ = r — a.

[93]

LIEUX PLANS ET SOLIDES.

87

MZ

Le rapport "'f sera donc donné, ainsi que l'angle en Z. Donc le
triangle IZM sera donné d'espèce, et en joignant Ml, on conclura
que cette droite est donnée de position. Ainsi le point I sera sur une
droite donnée de position, et la même conclusion se tirera sans diffi-
culté pour toute équation qui aura des termes en a ou e seulement.

C'est là la première et plus simple équation de lieu, qui servira à
trouver tous les lieux sur une ligne droite; par exemple la proposi-
tion 7 du Livre I d'Apollonius Des lieux plans, qui pourra dès lors
s'énoncer et se construire plus généralement.

Cette équation renferme aussi la très belle proposition suivante, que
nous avons découverte par son moyen :

« Soient, en nombre quelconque, des droites données déposition, aux-
quelles on mène d'un même point des droites sous des angles donnés; si la
somme des produits des droites ainsi menées par des données est égale à
une aire donnée, le point d'où on les mène sera sur une droite donnée de
position. Il

Nous omettons une infinité d'autres propositions, qui pourraient, à
bon droit, être opposées à celles d'Apollonius.

Le second degré des équations de cette sorte se présente si ae = s",
auquel cas le point I est sur une hyperbole.
Menez NR (\fig. 79) parallèle à ZI; prenez sur NZ un point quel-

Fig- 79-

conque, soit M, par lequel vous mènerez MO parallèle à ZI. Con-

88 ŒUVRES DE FERMAT. f04. 95]

struisez le rectangle NMO égal à l'aire z". Par le point (), entre les
asymptotes NR, NM, décrivez une hyperbole; elle sera donnée de posi-
tion et passera par le point I, puisqu'on suppose ae, c'est-à-dire le
rectangle NZI, équivalent au rectangle NMO.

On ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont, soit
donnés, soit en a, en e ou en ae.

Ainsi soit d" -+- ae = ra -^ se.

D'après les règles de l'art, on aura ra -h se — ae ^ d". Formez un
rectangle de deux côtés, qui donnent les termes : ra.-\-se~ae. Ces
deux côtés seront a -- s et r - e, et leur rectangle ra -h se — ae — rs.

Si maintenant de d" vous retranchez rs, le rectangle

{a--s){r — e):=d"— rs.
Prenez NO (Jig- 80) égal à s, et ND, parallèle à ZI, égale à r. Par le

Fig. So.

point D, menez DP parallèle à NM; par le point 0, OV parallèle à ND;
prolongez ZI jusqu'en P.

Puisque NO = * et NZ=a, on a a — ,y = OZ = VP. De même,
puisque ND = ZP = r et ZI = e, on a r — e = PI. Le rectangle PV x PI
est donc égal à l'aire donnée d" ^ rs; le point I est donc sur une
hyperbole ayant PV, VO pour asymptotes.

Si, en effet, prenant un point quelconque X et menant la paral-
lèle XY, on construit le rectangle YXY = d"—rs, et que par le
point Y, entre les asymptotes PV, VO, on décrive une hyperbole,
elle passera par le point I. L'analyse et la construction seront faciles
dans tous les cas.

['J5, 9G] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 89

Le degré suivant des équations de lieu se présente si l'on a «- = e"
ou si a^ est à e^ dans un rapport donné, ou encore si a^ -+- ae est' à e^
dans un rapport donné. Enfin ce cas comprend toutes les équations
dont les termes vont jusqu'au carré, et sont en a-, e- ou ae.

Dans tous ces cas, le point I est sur une ligne droite, ce qui est très
facile à démontrer.

c- I * NZ= + NZ.ZI , j '//-ON

Si le rapport rjy, est donne {fig. 8i), qu on mené une

Fig. Si.

II- 1 I /^AD I . N0-^-+- NO. OR ,

parallèle quelconque OR, le rapport -^.^^ sera le même,

comme il est très facile de le prouver. Le point 1 sera donc sur une
droite donnée de position.

Il en sera de même pour toutes les équations dont tous les termes
seront affectés des carrés des inconnues ou de leur rectangle; il est
inutile de détailler plus exactement les cas particuliers.

Si aux carrés des inconnues avec ou sans leur rectangle s'ajoutent
des termes soit donnés absolument, soit produits d'une droite donnée
par l'une des inconnues, la construction est plus difficile. Nous la
ferons brièvement dans les différents cas, avec la démonstration.

Si a° = de, le point I est sur une parabole.

Soit {fig- 82) NP parallèle à ZI; avec NP pour diamètre, décrivez la
parabole dont le paramètre est la droite donnée d et dont les ordon-
nées sont parallèles à NZ. Le point I sera sur cette parabole, qui est
donnée de position.

En effet, d'après la construction, le rectangle c?xNP = PI-, ou
autrement c? x IZ = NZ-, et par suite de ^ à- .

On ramènera facilement à cette équation toutes celles où a" se ren-

Fermat. — m. 12

90 ŒUVRES DE FERMAT. [9G, 97]

contre avec des termes protluils de e par des données, ou bien e- avec
dos ternies produits de a par des données; il en sera de même, quand

Fiff. S3.

l'équation comprendrait en outre des termes absolument donnés.
Soit

Dans la ligure précédente, avec N pour sommet, NZ pour diamètre,

décrivez la parabole dont le paramètre est d, et dont les ordonnées

sont parallèles à la droite NP. Elle satisfera à la question, comme cela

est évident.

Soit

6-— «-— rfe ou, par conséqueni, b-—de = a^.

Divisez b- par d; soit b- = dr. Ou aura donc

dr — de:=:a^ ou d{r — e) z= a'-.

On aura ainsi ramené cette équation à la précédente en substituant
/• — e à f.

Soit eu effet menée MN (Jig. 83) parallèle à ZI et égale à r, et par

n z

le point M, MO parallèle à NZ. Le point >1 est donné, ainsi que la
position de la droite MO. D'après cette construction, 01 = /• — e.
DoncrfxOI=-NZ^ = MO=.

La parabole décrite à partir du sommet M, sur le diamètre MN, avec

[97,98] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 91

d comme paramètre et des ordonnées parallèles à NZ, satisfera à la
question, comme il est clair d'après la construction.

Si h- + a- = de, on aura de — b- = a-, etc., comme ci-dessus. On
construira de même toutes les équations semblablement composées
en a^ et e.

Mais a'^ se trouve souvent avec e^ et des termes absolument donnés.

Soit b^ — a- = e-.

Le point I sera sur un cercle donné de position, si l'angle NZI est
droit.

Soit pris NM (Jig. 84) égal à b. Le cercle décrit de N comme centre,
avec NM comme rayon, satisfera à la question, c'est-à-dire que quel

Fig. 84.

que soit le point I pris sur sa circonférence, ZF(oue^) sera égal à
NM-(ou b^) — NZ^(ou a"), comme il est clair.

On ramènera à cette équation toutes celles qui ont des termes en a^,
e-, et en a ou e multipliés par des données, pourvu que l'angle NZI
soit droit, et en outre que le coelficient de a- soit égal à celui de e-.

Soit

b- — 2da — a-= e- -h 2 re.

Ajoutez de part et d'autre /'^ pour substituer e -\- rh e, vous aurez

/•- -h b- — 2da — a^ = e^ 4- /■- 4- 2 re.
A r -+- b- ajoutez d-, pour substituer d -\- aii a, et soit

On aura

p- — d- — 2da — a- ^ r- -h b- — 2 da -■ a-.

92 ŒUVRES DE FERMAT. [08,99]

car par ooiistruotioii

Si maintiMiant, au lieu do et -\-d, on prend a, et si, au lieu do e -t- /•.

on prend c, on aura

p- — o-= e-.

L'équation sera ramenée à la précédente.

On y ramènera par un raisonnement semblable toutes les équations
pareilles. Grâce à ce procédé, nous avons construit toutes les proposi-
tions du second Livre d'Apollonius Sur les lieux plans, et nous avons
démontré que les six premières ont lieu pour des points quelconques,
ce qui est assez remarquable et était peut-être ignoré d'Apollonius.

RIais soit — n — dans un rapport donné, le point I sera sur une

ellipse.

Soit pris MN = b. Avec M comme sommet, NM comme diamètre,
N comme centre, décrivez une ellipse dont les ordonnées soient paral-
lèles à la droite ZI et telle que les carrés des ordonnées soient aux rec-
tangles des segments du diamètre dans le rapport donné; le point I
sera sur cette ellipse. Car NM- — NZ- est égal au rectangle des seg-
ments du diamètre.

On ramènera à cette équation toutes celles où cr se trouve dans un
membre, opposé à e'- dans l'autre, sous un signe contraire, et avec un
coefficient différent. Car, si les coefficients sont identiques et l'angle
droit, le lieu sera un cercle, comme nous l'avons dit. D'ailleurs, quoi-
que les coefficients soient les mêmes, le lieu sera une ellipse, si
l'angle n'est pas droit.

Si les équations comprennent en outre des termes produits de a ou
e par des données, la réduction se fera néanmoins par l'artifice que
nous avons déjà employé.

SoiT — -; — dans un rapport donné, le point I est sur une hyper-
bole.

[99, 101]

LIEUX PLANS ET SOLIDES.

b'

93

Menez NO {fig. 85) parallèle à ZI ; soit j^^j^ dans le rapport donné.
Le point R sera donné. Avec R comme sommet, RO comme diamètre.

Fig. 85,

N comme centre, décrivez une hyperbole dont les ordonnées soient
parallèles à NZ, et telles que la somme de RO- et du produit par RO du
diamètre total [MR] soit à OF dans le rapport donné -^•

MOxOR

Par conséquent, componendo, en prenant jVIN = NR,

NR2

OP +- 6-
est dans le rapport donné ^
Mais MO X OR+NR- = N0= = ZI- = e^ et OP-+-^'^ = NZ= (ou «")-+-/<-.

Donc 1-^ — = -TT-' et, convertendo, — i-^ est le rapport donné.

i--t- a- b- e- ^ '

Donc le point I est sur une hyperbole donnée de position.

Le même artifice que nous avons déjà employé ramènera à cette
équation toutes celles où figurent a- et é- avec des termes donnés,
soit simplement, soit en outre avec des termes produits de a ou e par
des données, et où a- se trouve dans l'autre membre que e-', mais sous
le même signe. Car, si les signes étaient contraires, on conclurait à un
cercle ou à une ellipse.

L'équation la plus difficile est celle où «^ et é- figurent avec des
termes en ae, et en outre des termes donnés, etc.

Soit h"- — ia- =: lae -h e''.

Ajoutez de part et d'autre a" pour avoir a -\- e comme racine de l'un
des membres :

b- — a- — a^ -(- 2 ae -I- e^

9i

ŒUVUES DE FERMAT.

I 101, 102 I

\a -h e substituons e, par exemple, et, d'après ce qui précède, soil
le cercle MI (Jig. 86) satisfaisant à la question : c'est-à-dire que

Soit VI = NZ — a. On aura ZV = e.

Mais dans cette question nous cherchons seulement le point V ou
l'extrémité de la droite c. Il faut donc voir et montrer sur quelle
ligne se trouve le point V.

Fis. 86.

Soit MR parallèle k ZI et égale à MN. Joignez NR que IZ prolongée
rencontre en 0. Puisque MN = MR, NZ = ZO. Mais NZ = VI; donc,
par addition, VO = ZI. Donc MN- - NZ= = V0-. Mais le triangle NMR
est donné d'espèce; donc le rapport ^^^ est donné, donc le l'apport

j^T— ,) donc le rapport ^...^ _ j, ..^- fllais nous avons prouve que

1VR2 IVOi

OV- = MN^-NZ-; donc le rapport ^^^f est donné. Mais les

points N et R sont donnés, ainsi que l'angle NOZ. Donc le point V,
d'après ce qui a été démontré précédemment, est sur une ellipse.

Par un procédé analogue, on ramènera aux cas précédents tous les
autres dans lesquels des termes en ae se rencontrent avec des termes
les uns donnés, les autres en a'^ et e^, ou encore produits de a et de e
par des données; la discussion de ces différents cas est très facile, et

[103.103] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 95

la question se résoudra toujours par le moyen d'un triangle connu
d'espèce.

Nous avons donc embrassé dans un exposé bref et lucide tout ce
que les anciens ont laissé inexpliqué sur les lieux plans et solides ; par
suite on reconnaîtra immédiatement quels lieux donnent tous les
divers cas de la dernière proposition du Livre I d'Apollonius Des lieux
plans, et on découvrira en général, sans grande difficulté, tout ce qui
regarde cette matière.

CoiMME COURONNEMENT de cc Traité, nous y ajouterons une très belle
proposition, dont la facilité apparaîtra aussitôt.

Etant données de position des droites en nombre quelconque, si d'un
même point on mène à chacune d'elles une droite sous un angle donné, et
que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée,
le point est sur un lieu solide donné de position.

Un seul exemple suffît à indiquer le procédé général de construc-
tion.

Soient donnés deux points N et M {fig. 87), et soit à trouver le lieu
des points tels que si l'on mène les droites IN, IM, la somme de leurs
carrés soit au triangle INM dans un rapport donné.

Soit posé NM = b. Appelons e la droite ZI menée perpendiculaire-
ment, et a la distance NZ.

rw» . I < 1 j 1, , ■2a- + b-— iba-}- ie-

D après les règles de 1 art, est un rapport

donné.

00 ŒUVRES DE FERMAT. [103,1041

En résolvant les positions d'après los règles exposées, la construc-
tion se fera comme suit.

Prenez en Z le milieu de N.AF; élevez en Z la perpendiculaire ZV;

soit dans le rapport donné ^!^; sur VZ décrivez le demi-cercle VOZ,

inscrivez ZO = ZM et joignez VO. De V comme centre avec VO pour
rayon, décrivez le cercle OIR. Si d'un point quelconque R pris sur ce
cercle, on mène RN, RM, je dis que RN- + RM- est au triangle RNM
dans le rapport donné.

Si cette découverte eût précédé notre restitution déjà ancienne des
deux Livres Des lieux plans, les constructions des théorèmes de lieux
en eussent été rendues beaucoup plus élégantes; cependant nous ne
regrettons pas cette production, quoique précoce et insuffisamment
mûrie. Il y a en effet pour la Science un certain intérêt à ne pas dé-
rober à la postérité les travaux encore informes de l'esprit; l'œuvre
d'abord simple et grossière se fortifie et grandit par les nouvelles in-
ventions. 11 est même important pour l'étude de pouvoir contempler
pleinement les progrès cachés de l'esprit et le développement spon-
tané de l'art.

APPENDICE A L'INTRODUCTION AUX LIEUX

UENFER.MAXT LA SOLITIOX DES PROBLÈMES SOLIDES PAR LES LIEUX.

Après la méthode pour trouver les lignes servant de lieux, il reste
à chercher comment la solution des problèmes solides peut se déduire
de ce que nous avons dit et cela de la façon la plus élégante. Dans ce
but, il faut restreindre cette faculté des quantités inconnues de varier
en dehors de leurs limites; car dans les lieux il y a une infinité de
points qui satisfont à la question proposée.

Le plus commode est de déterminer la question au moyen de deux
équations de lieux; car deux lignes-lieux données de position se

[104, 105] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 97

coupent mufucllcment, et le point d'intersection, qui est donné de
position, ramène la question de l'indéfini aux termes proposés.

Des exemples peuvent expliquer la chose brièvement et clairement.
Soit proposé a' + /v«- = ^"/>.

11 est commode d'égaler chacun des deux membres de l'équation
au solide bae, en sorte qu'en divisant ce solide, d'un côté par a, de
l'autre par h, la question soit ramenée à des lieux.

Puisque ainsi a' -+- ha- = bae, on aura a- -\-ba^= be. Comme il est
clair d'après notre méthode, l'extrémité de e sera sur une parabole
donnée de position.

D'autre part z"b:=bae; donc s" = fle, et, d'après notre méthode,
l'extrémité de e sera sur une hyperbole donnée de position. Mais
nous avons déjà prouvé qu'elle est sur une parabole donnée de posi-
tion. Elle est donc donnée de position, et il est facile de remonter de
l'analyse à la synthèse.

La méthode sera la même pour toutes les équations cubiques; car.
en ramenant d'un côté tous les termes solides où figure a, de l'autre
le solide entièrement donné ou encore en laissant avec ce dernier des
termes solides en a ou en a^, on pourra former une équation sem-
blable à celle du cas précédent.

Soit maintenant un exemple d'équations biquadratiques :

Soit a' -\- b" a ■+- z-a- = d''', d'où a' = rf'^— b'a — z-a-.

Égalons ces deux membres kz-e'-. Puisque a' = ^-f-, en extrayant
la racine carrée, a^^=ze; l'extrémité de e sera sur une parabole
donnée de position.

D'autre part, puisque d'" — b"'a — z-a" ^ z^e-, en divisant tous les

termes par ;:-, on a - — —^ a- = p-. D'après notre méthode, l'ex-
trémité de e sera sur un cercle donné de position. Mais elle est aussi
sur une parabole donnée de position. Elle est donc donnée.

Le même procédé peut servir à résoudre toutes les équations biqua-
dratiques; car, par la méthode de Viète (Cap. I : De emend.), on peut
faire disparaître le terme affecté du cube, et en disposant d'un côté le

Ki:ilMAT. — 111. l3

98 ŒUVRES 1)K F EH M AT. [105,100]

liicarré ini'Oiiiiii, de l'aiUrc le rosto dos loriiies, on résoiulra la (|ii('s-
lion par iiiio parabole cl un corcio ou iino hypcrhole.

Soit proposé coiiiiiu' rxciiiplo de Iroiivor doux moyennes propor-
lionnollcs.

Soioul doux droitos, h la plus i;rando, r/ la plus polito, outro los-
(|uclles il t'aiil Ir'ouvor doux uiovonuos pi'opoiiiouuolles.

Soit (t la nlus liraiido de oos uu)voiiuos, ou aura a'' =: f/'d. Ksralo/ los
deux ternies à hue. On aura d'un côté a- = bc, de l'autre ae = hd.

Par suite la question se résoudra par l'intersection d'une hyporlxdo
et d'une parabole.

Soit une droite ([uolcouque OVN {Jig- 8Sj donnée do position, et lo
point 0 <lonué sur cotte droite. Soient données les droites b et rf, entre
lesquelles il faut trouver doux moyennes proportionnelles. Supposons
()V = a, (i soit (' la droite VM perpendiculaire à OV.

Kig. 8S.

D'après la protnièro é([uatioii (a'- = bc), il est clair (|u"il faut dé-
crire, avec le point 0 comme soinnioi, h comme parauu'tro iM un dia-
mètre parallèle à VM, une parabole dont les ordonnées soient paral-
lidos à OV : colle parabole passera par le point .M.

D'après la seconde équation (bd=ae), soit pris sur la droite OV
un point (juolcon(|uo .N; élevez-y la [tcrpendiculaire NZ, ol soit
ON X NZ = /v;/. Klovo/, aussi la pei'pendiculaire OR. D'apri's notre
métliodo dos lieux, il faut décrire inio by|)erbole passant |)ar le |)oirilZ
cl ayant pour asymptotes RO, OV; elle sera donnée de position ol jias-
scra [lai' le point M.

1107, 108] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 99

Mais la parabole déjà décrite est aussi donnée de position et passe
par le même point M; donc le point M est donné de position. Si on en
abaisse la perpendiculaire MV, le point V est donné, donc la droite OV
({ui est la plus grande des deux moyennes proportionnelles que nous
cherchons.

Ces deux moyennes peuvent donc être trouvées par l'intersection
d'une parabole et d'une hyperbole.

Si l'on veut élever la question à une équation biquadratique, qu'on
multiplie tous les termes para :

fl'=: b'^da.

En égalant, d'après la méthode précédente, chacun des deux membres
il b'-e'-, on aura deux équations, à savoir a-=^he, et da^e'-, qui
donneront chacune une parabole donnée de position. La construction
(les moyennes proportionnelles se fera donc ainsi par l'intersection
de deux paraboles.

Ces deux constructions se trouvent dans Eutocius sur Archimède;
elles s'expliquent immédiatement par cette méthode.

Il est donc inutile d'employer les plarapléroses climactiques de
Viète, pour ramener à des équations quadratiques les biquadratiques
au moyen de cubiques à racine de deux dimensions. Car il est clair
que les biquadratiques se résolvent avec la même élégance, la même
facilité et la même rapidité que les cubiques, et il n'est pas possible,
je crois, d'imaginer une solution plus élégante.

Pour faire ressortir l'élégance de cette méthode, voici la construc-
tion de tous les problèmes cubiques et biquadratiques au moyen, d'une
parabole et d'un cercle.

Soit a' - z'a = d'\ d'oii a' = z" a + d'\

Formez le carré de la différence de à- et de b- (^ou d'un autre carré
quelconque) : ce carré sera a" + b'' — ib'-a-.

Ajoutez, comme supplément, à chaque membre de l'équation :
/>' — ib'-a-, on aura

100 aUIVHES DE FERMAT. [108, 10U|

Soil !>//-':-= rr, ot égalons oliaquc moinhri' de l'cMpiatiDO à /l'-c'-.
On aurairuii côlé, on prônant la raoiiio carroo, «- — />- = ne ot par
suilo roxtrémité de e sera snr nno parabole, d'apri's notre méthode.

//• z'" a (/''''

Do l'autre eôfé, on aura — — a'^ -\ r- H ^ =e", et, d'après notre

niétliodo, rcxliéniKé de e sera sur un oorcle.

Ainsi la (|nos(ion est résolue par le tracé d'une parabole et d'un
cercle.

Cette méthode s'étend facilement à tous les cas, tant cubiques que
biquadratiques. Il faut seulement prendre soin d'avoir dans un membre
n\ dans l'autre le reste des termes quelconques, à condition qu'il n'y
en ait pas en «'. 3Iais par V expurgation de Viète on peut toujours,
dans une é(|ualion biquîidratique, faire disparaître le terme affecté
du cube; la méthode reste donc la même dans tous les cas.

Quant aux équations cubiques, la méthode de Viète en fait dispa-
raître le tonne affecté du carré; en sorte qu'en multipliaut tous les
termes par a, on aura une équation biquadratique, où aucun ternie
ne sera affecté du cube; elle se résoudra donc par la méthode qui pré-
cède.

Il faut seulement prendre soin que, dans la seconde équation, on
ait dans un membre a'', dans l'autre c^, sous des signes contraires, ce
qui est toujours très facile.

Pour parcourir tous les cas, soit encore

Formez le carré de a- moins un carré quelconque donné, soit b^,
vous aurez a^ + />" — 2a'-l>'K Ajoutez, comme supplément aux deux
membres de l'équation, //' — la'-b'-, on aura

a4 + 6* _ 2 «2 6^ = //• — 2 «2 z,'- + -■■ «2 _ -»V/.

Pour faciliter la division, il faut, dans le second membre, prendre
la différence entre ^b- et :;", soit par exemple n-, et égaler chacun des
deux membres à n'^e'^, en sorte que l'on ait : d'un côté, a- — b^ = ne;

do I autre, -^ — a j- = e-.

n^ n-

[109,110] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 101

Il faut remarquer ici qu'il Faut avoir 2^^> z", autrement «- n'aurait
pas le signe —, et, au lieu d'un cercle, nous trouverions une hyper-
bole. Mais le remède est facile. En effet, nous prenons b- arbitraire-
ment, par suite rien n'est plus simple que de prendre son double
supérieur à :;". D'ailleurs notre méthode des lieux établit qu'on a tou-
jours un cercle lorsque dans un des membres de l'équation se trouve
un des carrés inconnus avec le signe +, et dans l'autre membre,
l'autre carré inconnu avec le signe — .

Prenons, pour exemple de cette construction, l'invention des deux
moyennes. On a a' = h'^d, d'où a' = b'^da. Ajoutez de part et d'autre
b' — ib'^a'-, il vient

a*+ 6'— 2b-a^=i /r + b^ da— 2 a- b-.

Soit 20- = n^, et égalez chacun des deux membres à «^e*.
On aura d'un côté : a- — b- = ne; l'extrémité de e est sur une para-
bole. De l'autre : - — i — a — a- = e^; l'extrémité de e sera sur un

2 2

cercle.

Celui qui aura étudié ce qui précède n'essayera pas de ramener
aux problèmes plans, c'est-à-dire de résoudre par les droites et le
cercle les questions des moyennes proportionnelles, de la trisection
de l'angle et autres semblables.

102 ŒUVRES DE FERMAT. [1111

LMRODICTION AUX LIEUX EN SURFACE,

V MON AMI M. DE CARCAVI.

1*0111" l'Oiii'iuiiioi' V Inlroduclion aux lieux plans el solides, il reste ii
(raitcr dos lieux en surface. Los anciens n'ont fait qu'indiquer ce sujel,
mais n'ont pas enseigné de règles générales, ni même donné quelque
exemple célèbre, à moins que ce no soit enseveli depuis longtemps
dans ces monuments de raiili([uo Géométrie où tant do précieuses
découvertes ont été abandonnées sans défense aux insectes et souvent
anéanties sans laisser aucune trace.

Cette théorie est cependant susceptible d'une méthode générale,
comme le montrera cette courte dissertation; plus tard, si nous en
avons le loisir, nous éclaircirons davantage chacune des découvertes
géométriques que nous avons jusqu'ici fait brièvement connaitre.

Les caractères que nous avons cherchés et montrés dans les lignes
comme lieux peuvent être de même recherchés pour les surfaces
planes, sphériques, coniques, cylindriques ou pour celles des co-
noïdes et sphéroïdes (') quelconques, si l'on établit tout d'abord les
lemmes constitutifs de chacun de ces lieux.

Posons donc le lemme suivant pour les lieux on surface plane :

1. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel-
conques que ion voudra, et que l' intersection de cette surface et de ces

(') Rappelons qu'Archimcde avait appelé conniite.t les paraboloïdcs elliptiques de révo-
lution et les hyporboloïdcs de révolution (à deux nappes}; sphéroïdes les ellipsoïdes de
révolulion.

[112] LIEUX EN SURFACE. 103

plans en nombre indéfini soit toujours une ligne droite, la surface en
question sera un plan.

Pour les lieux eu surface sphérique :

2. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel-
conques que l'on voudra, et que l'intersection de cette surface et de ces
plans en nombre indéfini soit toujours un cercle, la surface en question
sera une sphère.

Pour les lieux eu surface de s|)héroïde :

3. Si une surj'ace quelconque est coupée par autant de plans quel-
conques que l'on coudra, et que l'intersection de cette surface et d'un
plan sécant soit tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une
autre ligne, la surface en question sera un sphéroïde.

Pour les lieux en surface de conoïde parabolique ou hyperl)oli(|iie :

4. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel-
conques que ion voudra, et que l'intersection commune soit tantôt un
cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole ou une hyperbole, mais
jamais une autre ligne, la surface en question sera un conoïde parabo-
lique ou hyperbolique.

Pour les lieux eu surface conique :

."). Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel-
conques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt une
ligne droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole
ou hyperbole, et jamais une autre ligne, la surface en question sera un
cône.

Pour les lieux en surface cylindrique :

(). Si une surface qudconque est coupée par autant de plans quel-
conques que l'on voudra, et que i intersection commune soit tantôt une
droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une autre ligne,
la surface en question sera un cylindre.

lOi ŒUVRES l)K F i: H M AT. 1113]

Mais il se itri-sonto (rôs souvciil des lieux poiu- lesquels les sections
sont lie?; droites, des paraboles e( des hyperboles et aucune autre
ligne, comme le monhera bienlôt l'analyse de la question. Il convient
donc ou pliilol il est absolument nécessaire pour cette étude de con-
stituer une nuin'elle espèce de cylindres ayant pour hases parallèles des
paraboles ou des hyperboles et pour côtés des lignes droites, parallèles
entre elles. Joignant les bases ai^nsi supposées, par analogie avec les
cylindres ordinaires. De la sorte, aucune section plane d'un tel
cvlindre ne sera un cercle ou une ellipse; ces nouveaux cylindres
jiourronl d'ailleurs, comme les ordinaires, être droits ou obliques,
suivant que le demandera l'analyse du lieu de la question proposée.

Je répète que les problèmes de lieux conduisent nécessairement à
de tels cylindres; leur invention et leur définition ne doivent donc
pas être regardées comme inutiles.

Bien plus, avant d'aller plus loin, je dirai que la construction d'Ar-
chimède pour les sphéroïdes et les conoïdes ne suffit pas pour notre
objet; les problèmes conduisent en effet à en considérer d'obliques et
non pas seulement des droits.

De ce que nous avons posé résultent tout d'abord de très beaux
lieux en surface sphérique :

S/ de points donnés en nombre quelconque et dans des plans quel-
conques, on mène des droites concourant en un même point, et que la
somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point
de concours sera sur une surface sphérique ou sur une sphère donnée de
position. Nous pouvons, en effet, dire ici une sphère, à l'imitation
d'Euclide et des anciens géomètres, qui ont appelé cercle la circon-
férence et non l'aire du cercle; en tout cas, c'est sur une surface de
cette nature que se trouvera le point en question.

Prenons en effet un plan quelconque donné de position et dans ce
plan, suivant les règles données ailleurs pour les lieux plans et solides,
cherchons le lieu des points dont la somme des carrés des distances
aux points donnés soit égale à l'aire donnée.

Cette recherche est facile : supposons le problème résolu et soit

LIEUX EN SURFACE.

103

[113, 114]

dans le plan considéré, la courbe NIP comme lieu {fig. 89). Abaissons
sur ce plan, des points A, E, C donnés par hypothèse, les normales AB,
EF, CD. Le plan étant donné de position, ces normales AB, EF, CD,
abaissées des points A, E, C donnés, seront elles-mêmes données, ainsi
que leurs points de rencontre B, F, D avec le plan. Prenons sur le
lieu NIP un point quelconque I, et joignons AI, BI, El, IF, CI, DI.

Les droites AI, El, CI joignant aux points donnés A, C, E un point I
du lieu, la somme des carrés de ces droites est égale i» l'aire donnée.
Si l'on en retranche les carrés des normales AB, EF, CD, lesquelles sont
données, comme nous l'avons prouvé, la différence sera BI- + FI--t-DF,
somme qui dès lors sera donnée. Or les points B, F, D sont donnés
dans le plan supposé, ainsi que nous l'avons vu; ainsi, on a des droites
BI, FI, DI menées de points B, F, D donnés dans un même plan,
droites concourant en un même point d'un lieu dans le même plan, et
dont la somme des carrés est égale à une aire donnée; d'après un
théorème d'Apollonius que nous avons restitué depuis longtemps, on
sait que le lieu NIP est un cercle donné de position.

Une analyse absolument semblable donnera les mêmes consé-
quences pour tout autre plan que l'on prendra; tous ces plans quel-
conques, en nombre indéfini, donneront donc toujours des cercles
comme lieux; d'après le lemme 2, la surface cherchée sera donc une
sphère.

En effet, quand nous cherchons un lieu en surface satisfaisant à une
question, rien ne nous empêche d'imaginer que la surface cherchée

Fermât. — IM. il\

IIU! ŒUVRES DE FERMAT. [ii'i, llô]

est coupée par lo plan olioisi. Mais ici la section iu> peut ctro qu'un
cercle, car nous avons prouvé qu'un cercle satisfait comme lieu à la
même condition (|ue la surface ciierchée; il faut donc que ce cercle soit
situé sur ladite surface. Il est donc clair (]ue, dans le cas proposé, le
lieu eu surface est toujours coupé par un plan suivant un cercle, et
par conséquent que c'est une sphère.

On démontre de nuMne les lieux suivants :

Si de points en nombre quelconque, donnés dans un nu plusieurs plans,
on mène des droites concourant en un même point, et que la somme des
carrés d'une partie des menées soit à la spmme des carrés des autres dans
un rapport donné ou dans une différence donnée, ou plus grande ou plus
petite d' une quantité donnée que dans un rapport donné ('), le point de
concours sera sur une sphère donnée de position.

Des artifices analogues feront reconnaître une infinité de très belles
propriétés de la surface sphérique.

Soient, en nombre quelconque, des plans donnés de position; si d'un
même point on mène à ces plans donnés, sous des angles donnés, des
droites dont la somme des carrés soit égale à une aire donnée, ce point
sera sur la surface d'un sphéroïde donné de position.

Faisons l'analyse en prenant, suivant la méthode indiquée, un plan
quelconque donné de position; cherchons-y, suivant les règles pour
les lieux plans et solides telles que nous les avons autrefois exposées
dans le plan, le lieu des points dont la somme des carrés des menées
aux plans donnés sous les angles donnés est égale à l'aire donnée.

La construction se présente immédiatement; le plan que nous avons
pris est en eiïet donné de position aussi bien que les autres plans
donnés; les intersections de ce plan choisi et des plans donnés seront
donc également données. Les droites menées aux plans donnés d'un
point quelconque du plan supposé recevront donc facilement une ex-
pression analytique. Si l'on fait la somme de leurs carrés et qu'on

(') C'est-à-dire, en général, soil une fonction linéaire.

[115,116] LIEUX EN SURFACE. 107

l'égale à l'aire donnée, l'analyse donnera comme lieu, dans le plan
supposé, un cercle ou une ellipse, et sa marche même prouvera que
dans aucun autre plan donné de position, quel qu'il soit, le lieu ne
peut être d'une autre nature. Il est donc clair, d'après le lemme 3,
que le lieu cherché, dont les sections sont seulement des cercles ou
des ellipses, est un sphéroïde.

Si la somme des carrés d'une partie déterminée des droites ainsi menées
est à la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence
donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que
dans un rapport donné, la surface cherchée sera celle d'un sphéroïde,
d'un conoïde, d'un cône ou d'un cylindre, etc., suivant ce qui sera in-
diqué par l'analyse convenablement menée.

Par exemple, si l'on donne le rapport, on aura en général une sur-
face de conoïde ; mais, si les plans donnés se coupent suivant des
droites concourant en un même point, la surface deviendra conique ;
si les intersections des plans donnés sont parallèles, la surface sera
cylindrique. On aura d'ailleurs soit un cylindre ordinaire, soit un des
nôtres.

La pratique découvrira immédiatement ce qui en est; je me borne à
donner des indications générales et sommaires, pour que la trop
grande multiplicité des exemples n'empêche pas de saisir clairement
la méthode.

J'ai réservé pour la dernière place un exemple du plan comme lieu,
qui aurait peut-être dû occuper la première :

Soient donnés de position des plans en nombre quelconque ; si à ces
plans on mène d'un même point, sous des angles donnés, des droites dont
la somme soit égale à une droite donnée, ce point sera sur un plan donné
de position.

Coupons en effet, suivant la méthode indiquée, les plans donnés
par un plan quelconque donné de position et cherchons-y le lieu sa-
tisfaisant à la question, d'après la méthode donnée pour les lieux
plans. Ce sera une ligne droite, comme le montrera l'Analyse, et il en

108 ŒUVRES DE FERMAT. [iiG, 117

sera do môme pour toutes les autres sections planes. Il est donc clair,
d'après le lemmo 1, que le lieu cherché est une surface plane.

Sf la somme il'unc partie dcterminée des droites ainsi menées est à
la somme des autres dans an rapport donné ou dans une différence
donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que
dans un rapport donné , le point sera de même sur une sur/ace plane
donnée de position .

D'ailleurs, dans les questions précédentes, si les plans donnés
avaient été parallèles entre eux, le lieu eût été également une surface
plane, ce qu'il est à peine nécessaire de remarquer.

Comme couronnement, j'ajouterai encore une notahle extension du
lieu à trois ou quatre droites d'Apollonius :

Soient trois plans donnés de position ; si d'un point donné on mène aux
plans donnés, sous des angles donnés, des droites telles que le produit de
deux d'entre elles soit au carré de la troisième dans un rapport donné, le
lieu du point sera soit un plan, soit une. sphère, soit un sphéroïde, soit un
conoide, soit une surface conique ou cylindrique ((les anciens ou nouvelle),
selon la diverse situation des plans donnés.

De même pour quatre plans, ainsi qu'il sera aisé de le voir.

Les divers cas, les conditions-limites pour les données, les pro-
blèmes ou théorèmes locaux en nombre infini qu*e nous avons omis
pour être plus bref, la démonstration des lemmes énoncés et tout ce
qui aurait peut-être besoin d'une plus longue explication, sera facile-
ment suppléé par tout géomètre soigneux et réfléchi qui aura lu cet
écrit; désormais ce sujet, qui paraissait singulièrement ardu, est
rendu aisé à comprendre.

Toulouse, G janvier iC,'i3.

[118] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 109

SUR LA SOLUTION

DES

PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE

PAR LES COURBES LES PLUS SIMPLES

ET CONVENANT EN PARTICULIER A CHAQUE GENRE DE PROBLÈMES,

DISSERTATION EN TROIS PARTIES.

PREMIERE PARTIE.

Ce peut être un paradoxe que de dire que, même en Géométrie,
Descartes n'était qu'un homme; mais, pour le reconnaître, que les
plus subtils Cartésiens examinent s'il n'y a pas une imperfection dans
la distribution faite par leur maître des lignes courbes en certaines
classes ou degrés, et si l'on ne doit pas adopter un classement plus
satisfaisant et plus conforme aux véritables lois de l'Analyse géomé-
trique. Nous pensons pouvoir soulever cette question sans diminuer
en rien la gloire d'un homme aussi illustre, car il est de l'intérêt de
Descartes et de tous les Cartésiens que la vérité, dont ils se portent à
bon droit comme les plus déclarés partisans, quoique parfois elle soit
en désaccord avec leurs opinions, devienne manifeste pour tous, ou,
si cette expression est trop générale, au moins pour les géomètres et
les analystes.

La distribution en classes déterminées des problèmes de Géométrie
a paru nécessaire, non seulement aux anciens, mais aussi aux analystes

110 ŒUVRES DE FERMAT. [118, IM]

modernes. Qu'on propose d'abord les équations

a -\- d := l> ou (7*+6fl=:5".

Dans les termes de la première, l'inconnue ne dépasse pas la racine
ou le côté, dans la seconde on trouve la seconde puissance ou le carré
du coté inconnu; et toutes doux constituent ensemble le premier
genre des problèmes, le plus simple. Ce sont là en effet les problèmes
que les géomètres ont l'habitude d'appeler /?/««,?.

Le second genre de problèmes est celui où la quantité inconnue s'é-
lève à la troisième ou à la quatrième puissance, c'est-à-dire au cube
ou au bicarré. La raison pour laquelle deux puissances consécutives
ne constituent, quoique différentes de degré, qu'un seul et même
genre de problèmes, est que les équations quadratiques se ramènent
facilement aux simples ou linéaires, par un procédé que les anciens
connaissaient aussi bien que les modernes, et se résolvent donc facile-
ment avec la règle et le compas. De même les équations du quatrième
degré ou biquadratiques se ramènent aux équations du troisième
degré ou cubiques, par la méthode qu'ont donnée Viète et Descartes.
C'est en effet l'objet de cette subtile paraplérosc climatique de Viète
que l'on peut voir dans son traité De emendalione œquationum,
Chap. VI, et l'artiticc dont use Descartes en pareil cas est tout à fait
semblable, quoiqu'il l'énonce en termes différents.

De même l'analyste à la façon de Viète ou de Descartes pourra,
quoiqu'un peu plus difficilement, ramener l'équation bicubique à la
quadratocubique ou, si l'on veut, l'équation du sixième degré à l'é-
quation du cinquième. Mais de ce que, dans les cas précités, où il n'y
a qu'une seule quantité inconnue, les équations de degré pair s'a-
baissent aux équations du degré impair immédiatement inférieur.
Descartes a affirmé avec confiance (page 323 de la Géométrie qu'il a
publiée en français) qu'il en était absolument de même pour les équa-
tions renfermant deux quantités inconnues. Car telles sont toutes les
équations constitutives de lignes courbes; or, dans ces équations, non
seulement la réduction ou abaissement en question ne réussira j)as,

[120,121] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 111

comme l'a affirmé Descartes, mais encore les analystes le reconnaî-
tront absolument impossible. Qu'on propose, par exemple, l'équation
constitutive de la parabole biquadratiquo

Par quel moyen abaissera-t-on au troisième degré cette équation du
quatrième? QueWe paraplérose climatique, pourra-t-on imaginer?

Je désigne comme Viète les quantités inconnues par des voyelles,
car je ne vois pas pourquoi Descartes a fait un changement dans une
chose sans importance et qui est de pure convention.

Cette discussion ou cette remarque n'est nullement oisive ou inutile,
comme le prouve la méthode générale par laquelle je ramène tous les
problèmes, quels qu'ils soient, à un certain degré de courbes.

Si l'on propose un problème où la quantité inconnue s'élève à la
troisième ou à la quatrième puissance, nous le résoudrons par les sec-
tions coniques qui sont du second degré. Si l'équation s'élève à la
cinquième ou à la sixième puissance, nous pouvons donner la solution
par des courbes du troisième degré; si l'équation monte à la septième
ou à la huitième puissance, nous donnerons la solution par des courbes
du quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment par un procédé
identique. Il est évident par là que la question soulevée ne porte pas
sur les mots, mais bien sur la chose elle-même.

Soit proposé, par exemple :

«"+&"« = s", ou si l'on veut n^-i- è"'ar=s^';

dans les deux cas, le problème sera résolu par les courbes du troisième
degré ou cubiques, ainsi que Descartes l'a fait au reste.
Mais si l'on propose

««-f-6"'a = 3™', ou encore a'+6"a = 3^",

nous résoudrons le problème par des courbes du quatrième degré ou
biquadratiq'ues, ce que Descartes n'a pas fait ni jugé possible, puis-
qu'il a cru que dans ce cas il fallait nécessairement recourir à des

112 ŒUVRES DE FERMAT. [I2i,i22]

courbes ihi ciiu[uiôiiu' ou sixièino dogré. Or c'est une faute en vraie
Géométrie que de prendre, [xtiir la solution d'un problème quelconque,
des courbes trop complexes ou d'un degré trop élevé, en laissant les
plus simples qui conviennent, et Pappus avant les modernes avait déjà
remarqué que c'est pécher réellement contre les règles de la Géomé-
trie que de résoudre un problème par un genre de courbes qui ne lui
convient pas. Pour éviter cette faute, il faut corriger Descartes et
ramener chaque problème à son rang particulier et naturel.

Page 322, Descartes affirme encore nettement que les courbes nais-
sant de l'intersection d'une règle et d'une autre droite ou courbe sont
toujours d'un degré ou genre plus élevé que la droite ou courbe de la
figure, page 32i, dont elles dérivent {ftg. 90).

Fig. 90.

Mais imaginons, par exemple, au lieu de la droite CNK de ladite
figure, page 32i, une parabole cubique ayant pour sommet K et pour
axe indéfini KLBA; qu'on achève la construction dans l'esprit de
Descartes, il est clair que l'équation constitutive de cette parabole
cubique sera

On reconnaîtra aussitôt que la courbe EG provenant de cette suppo-
sition n'a qu'une équation biquadratique; donc la courbe biquadra-
tique est d'un degré ou genre plus élevé que la courbe cubique, selon
la règle énoncée par Descartes lui-même, alors qu'il affirme au cou-

1123] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 113

traire expressément (p. 323) que la courbe biquadratique et la cubique
sont d'un même degré ou genre.

Quant à notre méthode qui réduit tous les problèmes à l'infini, ii
savoir ceux d'équations de la troisième et quatrième puissance, à des
courbes du second degré; ceux de la cinquième et sixième puissance,
au troisième degré; ceux de la septième et huitième puissance, au
quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment, nous no différerons
pas de la communiquer à tous ceux qui regarderont comme un tort de
dissimuler au préjudice de la vérité une erreur quelconque, fut-elle
de Descartes.

Qu'on ne s'arrête pas à ce que les problèmes qui montent à la
seconde puissance, et qui sont de la même espèce que les problèmes
du premier degré (étant appelés plans comme eux), ont besoin du
cercle, c'est-à-dire d'une courbe du second degré. Cette objection
trouvera sa réponse spéciale quand nous donnerons notre méthode
générale pour résoudre tous les problèmes absolument par les courbes
qui leur conviennent-

SECONDE PARTIE DE LA DISSERTATION.

Pour satisfaire à l'engagement que j'ai pris publiquement, je donne
ma méthode générale pour la solution des problèmes quelconques par
les courbes qui leur conviennent en propre.

J'ai déjà dit, dans la première Partie de cette Dissertation, que les
problèmes de deux degrés immédiatement consécutifs, par exemple
3 et 4. 5 et 6, 7 et 8, 9 et 10, etc., ne réclament qu'un seul degré
de courbes. Ainsi ceux des puissances 3 et 4 se résolvent par des
courbes du 2'' degré; ceux des puissances 5 et 6, par des courbes du
3" degré, etc., à l'infini.

Voici la manière d'opérer. L'équation donnée quelconque, qui ne
renferme qu'une quantité inconnue, sera d'abord ramenée au degré le
plus élevé, je veux dire le pair; puis on la débarrassera du terme où
entre l'inconnue au premier degré. Cela fait, il restera une équation

Fermât. — UI. |5

IH Œl VUES l)K KRUMAT. (IM, 1^5]

entre la qaanlilo comme <ui \c Icrmo doniu' (l'une pari, et de l'autre
un membre ineoniui dans ehaqiie terme duquel entrera le carré île la
racine inconnue. On égalera ce membre inconnu à un carré dont on
formera la racine de façon qu'en égalant ledit carré avec le membre
inconnu, on puisse éliminer autant que possible de degrés les plus
élevés de la racine inconnue. Il faut d'ailleurs avoir soin que les divers
termes de la racine du carré à former ainsi soient tous affectés de la
racine ou quantité inconnue, et que le dernier de ces termes soit, en
outre, affecté aussi d'une seconde inconnue. On aura ensuite par
une simple division d'un côté, par l'extraction d'une racine carrée de
l'autre, deux équations constitutives de courbes convenant au pro-
blème donné, et leur intersection résoudra la question par la méthode
que nous avons appliquée dès longtemps à la solution des probli'mes
par les lieux.

Soit, comme exemple : a'' -+- ha^ -h z"a'' -+- (P"a^ + m" a- = n".

Tous les problèmes qui montent à la cinquième ou sixième puis-
sance peuvent être ramenés à cette forme. Car il suffit pour cela ou
d'élever de la cinquième à la sixième puissance, ou de débarrasser
celle-ci du terme en a, toutes choses suffisamment enseignées par
Viète et Descartes.

On formera le carré de la racine : r/' + hac, et on l'égalera au pre-
mier membre de l'équation. On aura ainsi

a''+ ■iba'-e + b'-a-e^^= «"+ ba" + z" a' -\- rf"'rt^+ m" a-.

Supprimant de part et d'autre a" et divisant par a^, ce que l'on pourra
toujours faire en observant la précaution indiquée pour l'emploi de
la méthode, il reste

ba^ -H z"a--\- d"'a -+- m'^' =z iba-e -+- b-e-,

équation qui donne, comme on le voit, une courbe du troisième degré.

Mais, pour avoir la seconde équation et arriver facilement à la solu-
tion du problème, il faut égaler aussi à l'autre membre de l'équation,
//', le carré de 0"+ hae.

Donc, en extrayant la racine carrée et appelant, par exemple, «'" la

[125, i:6] DISSEKTATION EN TROIS PARTIES. 115

racine carrée de //", qui s'obtient facilement, on aura

«'"== «'-I- bae, racine du carré égalé au premier membre
de la première équation donnée.

Nous avons donc une seconde équation qui donne également une
courbe du troisième degré. Qui ne voit maintenant que l'intersection
des deux courbes trouvées donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solu-
tion du problème proposé?

Si le problème monte à la septième ou huitième puissance, on le
posera d'abord sous la forme d'une équation de la huitième puissance,
puis on débarrassera celle-ci du terme affecté de la seule racine. Cela
fait, soit après cette réduction permise et conforme à la méthode :

a* -h ^yr?" -+- rf " rt« -H «'" n» -4- w'^ rt' -t- ^^ «' -4- z-^' a- = ;'"'.

On formera le carré à égaler aux deux membres de cette équation sur
la racine

a' -H \bà^ -\- d"ae.

J'ai formé le second terme de cette racine du carré de façon que les
deux puissances les plus élevées de l'inconnue a s'éliminent dans
l'équation, ce qui est très facile. En égalant le carré de cette racine
au premier membre de l'équation proposée, supprimant les termes
communs et divisant par a", on aura d'un côté l'équation constitutive
d'une courbe du quatrième degré. Puis on extraira la racine carrée du
second membre de l'équation proposée en premier lieu ; soit p" cette
racine de :;'"", on l'égalera à a' -h ~ba^ ^ d"ae. Cette équation don-
nera une autre courbe du quatrième degré et l'intersection de ces
deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du pro-
blème proposé.

Il faut remarquer, au reste, que, dans les problèmes qui montent
aux puissances 9 et lo, on devra former la racine du carré de façon
qu'elle comprenne au moins quatre termes, de façon à éliminer les
trois degrés les plus élevés de l'inconnue.

Pour les problèmes montant aux puissances 11 et 12, la racine du
carré à former doit avoir au moins cinq termes, dont on disposera de

IKi ŒUVKKS DE FERMAT. |lîr,, iî7|

façon à éliniiiior les (lualrc (k'i,M'('S les [)lus ('lovés de rinconiuio.

Le procédé pour forinor ainsi la racine est toujours très simple; les
analystes (ronveronl à l'essai qu'il suHit absolument de la division ou
application (pour employer les termes géométriques dans un sujet
purement géométrique); les signes + et — n'apporteront au reste
aucune dilHcuIlé pour la pratique de la méthode.

Comme d'ailleurs les problèmes qui montent à la seconde puissance
sont réduits à la première par l'extraction de la racine carrée, cette
méthode donne leur solution connue au moyen de lignes du premier
degré ou de droites; on voit donc s'évanouir la vaine objection dont
nous avons parlé dans la première Partie de cette Dissertation, si l'on
suppose l'extraction de la racine carrée immédiatement connue pour
toute espèce de problèmes.

On a ainsi la résolution et construction exacte et la plus simple pos-
sible dos problèmes de Géométrie par des lieux naissant suivant les
cas do courbes d'espèces différentes et convenant à ces problèmes. Au
reste, l'analvste sera libre de faire varier ces courbes, sauf à rester
toujours dans le genre naturel aux problèmes, en résolvant ceux du
8*= et 7* degré par des courbes du l^^; ceux du lo'* et du çf, par des
courbes du S^; ceux du 12* et ii''par des courbes du G'' et ainsi de
suite indéfiniment par une méthode uniforme. Au contraire, d'après
Descartes, les problèmes des %" et 7" degré ont besoin de courbes des
5" et G*"; les problèmes du 10'' ou du 9'', de courbes du 7" ou du 8*'; les
problèmes du 12'' ou du 11", do courbes du 9* ou du 10'', et ainsi
de suite indéfiniment; les Cartésiens peuvent voir combien cela est
loin de la simplicité et de la vérité géométrique, ou bien, si cela leur
plait, ils essayeront de nous contredire.

Car nous cherchons seulement la vérité, et si elle est cachée quelque
part dans les écrits du grand homme, nous aurons la plus grande joie
à la reconnaître et à l'embrasser; car, pour employer une formule qui
n'est point de moi , j'ai une si grande admiration pour ce génie extraor-
dinaire, que j'estime plus Descartes lorsqu'il se trompe que beaucoup
d'autres quand ils ont raison.

[127, m] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 117

TROISIÈxME PARTIE DE LA DISSERTATION.

Cela peut suffire pour la théorie générale; car les problèmes que
Descartes donne comme résolubles au moyen de courbes d'un degré
trop élevé, nous les avons heureusement abaissés par une méthode
générale à des courbes d'un degré moitié moindre. Mais on doit com-
prendre ceci en ce sens qu'il faut au moins ce degré pour toutes les
questions absolument, car une infinité de cas spéciaux se prêtent à un
abaissement encore plus grand. Je veux donc aller plus loin et ramener
l'analyse cartésienne, non seulement à des termes de degré moitié
moindre, mais à des degrés 4 fois, 6 fois, loo fois, et indéfiniment
moins élevés pour certains cas. On reconnaîtra mieux ainsi l'erreur
de Descartes, et elle trouvera sa correction immédiate par l'analyse ;
au reste, je désignerai, ce qui est plus commode, dans les degrés éle-
vés, les puissances par les nombres que comportent leurs exposants.

Soit proposé de trouver six moyennes proportionnelles entre deux don-
nées. Soient /-'et d les deux données, a la première moyenne ii trouver,
on a l'équation a' — h'd. D'après Descartes, cette équation ne peut
être résolue que par des courbes du 5' ou du G*" degré. Dans la seconde
Partie de cette Dissertation, elle est, avec toutes les autres de même
nature, résolue généralement par des courbes du 4" degré. Mais rien
ne nous empêche de la résoudre par des courbes du 3" degré. Egalons
en effet chacun des membres de l'équation au terme a'e'-J. Si, dans
l'équation avec a\ on divise de part et d'autre part par a\ il vient
e'^d = a^, ce qui donne, comme on voit, une courbe du 3* degré. De
l'autre côté, a'e-d = /,»%/; divisant par d et extrayant la racine carrée,
a-e=^h'\ ce qui donne également une courbe du 3^ degré. L'inter-
section de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la so-
lution du problème proposé au moyen de courbes du 3* degré.

Soit proposé'maintenant de trouver douze moyennes proportionnelles
entre deux données; l'équation sera a'^ =:^ b'-d. Descartes a pensé
qu'elle ne peut se résoudre que par des courbes du ii" ou 12'' degré.

118 ŒUVRES DE FERMAT. [128,129]

J'ai enseigné, en général, dans la seconde Partie de cette Disserta-
tion, que toutes les équations de ce degré peuvent être résolues par
des courbes du 7'' degré. Mais une recherche plus attentive donne
immédiatement une solution élégante par des courbes du 5''; on peut
même l'obtenir par des courbes du 4". comme on le verra ensuite.

Kgalons d'abord chacun des deux membres au terme a*e'' d. Dans la
première équation, avec «'\ divisant de part et d'autre par a*, il vient
a?^ze''d, courbe du j" degré. Dans la seconde équation, avec />'-'r/,
divisant par d et extrayant la racine quatrième ou biquadratique,
on a a'-e = h\ courbe du 3*^ degré. Le problème proposé est ainsi
résolu par deux courbes, l'une tlu ")", l'autre du 3" degré.

Mais on peut résoudre ce probli^me encore plus facilement, c'est-
à-dire par des courbes du 4*" degré. Si, en effet, on égale les deux
membres à a'e^d, on aura d'un côté, en divisant par a\ a^ = e'd,
équation d'une courbe du 4*" degré; d'autre part, en divisant par d et
extrayant la racine troisième ou cubique : a^e = h\ ce qui donne
aussi une courbe du 4'' degré. Ainsi nous avons une construction facile
par deux courbes du 4" degré.

Après ces exemples, on ne peut douter que V invention de ^o moyennes
proportionnelles ne puisse s'obtenir par des courbes du 7" ou même du
6* degré. Égalons, en effet, les deux membres de l'équation a'" = /r"'d
au terme commun «- W/; le problème sera ramené à des courbes du
7" degré. Par le terme commun a-^e^d, il le sera à des courbes du G*".

De même, Vinvention de 72 moyennes proportionnelles se fera par des
courbes du if degré, et il est clair, d'après ce qui précède, que l'on
peut assigner un rapport plus grand que tout rapport donné entre le
degré du problème et celui des courbes qui le résolvent. Quand les
Cartésiens auront vu cela, je ne doute pas qu'ils ne reconnaissent la
nécessité de notre remarque et de notre correction.

11 faut observer qu'il convient souvent de changer la forme de
l'équation pour que le degré soit susceptible d'une division commode
en parties aliquotes. Il sera inutile de répéter cette remarque.

Qu'on [iropose, par exemple, Vinvention de 10 moyennes, c'est-ii-dire

[129,130] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 119

l'équation a" = b^"d, on multipliera les deux termes par une droite
donnée, - par exemple; l'équation deviendra a" z = //"dz, et l'on
arrive ainsi au nombre 12, qui permet facilement une réduction ou
abaissement par ses parties aliquotes. En égalant chacun des deux
membres à a^e\ on aura d'un côté l'équation a^z=:e'', courbe du
quatrième degré. De l'autre côté, en extrayant la racine bicarrée, soit
celle-ci n'" par le terme donné b"'dz, on a a'-e —n", courbe du troi-
sième degré. Ainsi on trouvera dix moyennes par deux courbes, l'une
du 4*. l'autre du 3^ degré, ce à quoi on est arrivé facilement par un
petit changement de l'équation primitive.

Je ne m'arrête pas aux autres abréviations que l'art fournira de lui-
même aux analystes et qui sont en nombre infini. J'ajoute toutefois
que ce que je viens de dire s'applique non seulement quand la puis-
sance inconnue se trouve sans aucun autre terme affecté d'un desrré
moins élevé, mais encore s'il y a des termes de degrés voisins du plus
élevé, comme dans l'équation a'^ ~h ria"' -\- ma" -\- ra'" = h'-d.

La solution de cette question, en prenant le même terme commun
que ci-dessus, a'-'e^a, sera aussi facile que celle de l'invention de
12 moyennes entre deux données. Le même artifice s'emploierait de
même pour les équations d'autres degrés plus élevés.

Cependant il faut remarquer que, dans les équations oîi se trouve
seulement un terme inconnu dans un des membres, il faut que l'ex-
posant de la puissance unique de l'inconnue soit un nombre premier,
pour que l'on désigne par cet exposant le degré du problème. Si, en
effet, l'exposant est composé, le problème se ramène immédiatement
au degré des diviseurs.

Si l'on demande, par exemple, 8 moyennes proportionnelles entre
deux données, on aura l'équation a' — h^d. Dans ce cas, le nombre 9
étant composé et ayant deux fois 3 comme facteur, le problème doit
être regardé comme du troisième degré, et il l'est de fait. Si, en effet,
on trouve deux moyennes proportionnelles entre les deux données,
si ensuite on intercale de nouveau deux moyennes proportionnelles
entre le premier et le second terme de la progression ainsi formée.

1-20 (ElIVRES DE l'EUMAT. fl30, i:nj

puis entre le second et le troisième, puis entre le troisième et le ((u;i-
frième, on aura 8 moyennes entre les deux lignes proposées en pre-
mier lieu.

Si l'on demande maintenant i4 moyennes entre deux données,
l'équation «"' = />"rf montre que le problème se ramène à deux autres,
run du '}'". l'autre du 5" degré.

On voit ainsi que l'exposant de la puissance unique doit être un
nombre premier pour exprimer et représenter véritablement le degré
du problème.

Comme d'ailleurs je considère comme certain que les nombres obtenus
en ajoutant l'unité aux carrés successifs que l'on forme en partant de 2
sont toujours premiers, théorème dont j'ai depuis longtemps annoncé la
vérité aux analystes, je veux dire que les nombres

3, 5, 17, 257, 65537, .!•. , à l'infini

sont premiers; il n'jf a aucune difficulté pour trouver un procédé per-
mettant de construire un problème dont le degré soit dans un rapport
plus grand que tout rapport donné avec le degré des courbes qui servent
à le résoudre.

Par exemple, soit proposé de trouver entre deux données
256 moyennes proportionnelles, on aura l'équation a-" = 6-^"r/; on
égalera les deux termes à «-'"e'V/, et la question sera résolue par des
courbes du 17" degré.

Si l'on cherchait 65536 moyennes proportionnelles, le problème
serait résolu par des courbes du 257" degré, et ainsi de suite indéfini-
ment, en abaissant le degré du plus grand nombre à celui du nombre
immédiatement inférieur. Et qui ne voit qu'en deux nombres consé-
cutifs, le rapport augmente indéfiniment?

Les Cartésiens essayeront-ils encore de dissimuler l'erreur de Des-
cartes? Quant à moi, je m'abstiens de rien prévoir : j'attends avec
intérêt, mais sans rien ajouter de plus, ce qu'il adviendra à ce sujet.

METHODE

RECHERCHE DU MAXIMUM ET DU MINIMUM.

Toulc la théorie de la recherche du maximum ol du minimum sup-
pose la position de deux inconnues et la seule règle que voici :

Soit a une inconnue quelconque de la question (qu'elle ait une.
deux on trois dimensions, suivant qu'il convient d'après l'énoncé). On
exprimera la quantité maxinia ou minima en «, au moyen de termes
qui pourront être de degrés quelconques. On substituera ensuite
a + f à l'inconnue primitive a, et on exprimera ainsi la quantité
maxima ou minima en termes où entreront a et e à des degrés quel-
conques. On adégalera, pour parler comme Diophante, les deux
expressions de la quantité maxima ou minima, et on retranchera les
termes communs de part et d'autre. Cela fait, il se trouvera que de
part et d'autre tous les termes seront affectés de e ou d'une de ses puis-
sances. On divisera tous les termes par e, ou par une puissance de c
d'un degré plus élevé, de façon que dans l'un au moins des termes de
l'un quelconque des membres e disparaisse entièrement. On suppri-
mera ensuite tous les termes où entrera encore e ou l'une de ses puis-
sances et l'on égalera les autres, ou bien, si dans l'un des membres il
ne reste rien, on égalera, ce qui revient au même, les termes en plus
aux termes en moins. La résolution de cette dernière équation don-
nera la valeur de a, qui conduira au maximum ou au minimum, en
reprenant sa première expression.

FtnJUT. — 111. l6

I-2-2 ŒUVRES l)i: FKllMAT. [134. 135|

Voii-i un l'xt'iintlo :

Soi/ à partager /(i droite Ad (/'.i,'". 91) en K, en sorte que \E X lîC xoit
/nii,ri/)iii/>i.

I''iS- '.II-

Posons AC = /^; soit a un dos segmonts, l'autre sera h — a, et le
produit dont on doit trouver le maximum : Oa — a'-. Soit maintenant
a -i- c le premier segment de b, le second sera b — a — e, et le produit
des segments : ha — a'- -h be -^ lae — é- ;

Il doit être adé gale au précédent : ha — a'- ;

Supprimant les termes communs : be 00 'lae -4- e- ;

Divisant tous les termes : /;oo2(7 + e;

Supprimez e : b^'ia.

Pour résoudre le problème il l'aiil donc prcMulre la moitié de b.

Il est impossible de donner une métbode [dus générale.

DES TANGENTES DlîS I.IONKS COURBES.

Nous ramenons à la méthode précédente l'invention des tangentes
en des points donnés à des courbes quelconques.

Soit donnée, par exemple, la parabole BDN {fig. <)2), de sommet D,

Fig. 92.

de diamètre DC; soit donné sur elle le point B, par lequel il faut mener
la droite Bli tangente à la parabole et rencontrant le diamètre en E.
Si l'on [)rend sur la droite BE un point quelconque 0, dont on mi'ne

[135,130] MAXIMA ET MINIMA. 123

l'ordonnée 01, en même temps que l'ordonnée BC du point B, on aura :

ïTT'^oT'' puisque le point 0 est extérieur à la parabole. .Mais

B(>' CE' , 11- r, 11,- I n CD . CE^

-— n = 77^' a cause de la similitude des triangles. Donc ^-r > ^r^,-
Ol- IL- ^ DI '^ Ib,^

Or le point B est donné, donc l'ordonnée BC, done le point C, donc

CD. Soit donc CD = r/, donnée. Posons CE = a et CI = p; on aura

d—e

Faisons le produit des moyens et des extrêmes :

da- -+- de- — idae > da- — ci-e.

Adégalons done, d'après la méthode précédente; on aura, en retran-
chant les termes communs :

de- — 2 dae on — a-e,

ou, ce qui revient au même :

de- + a- e t/o 2 dae.

Divisez tous les termes par e :

c?e + (7-00 2 da.

Supprimez de : \\ reste a'- = ida, donc : a = i<l.

Nous prouvons ainsi que CE est double de Cl), ce qui est conlorme
à la vérité.

Celte méthode ne trompe jamais, et peut s'étendre à nombre de
questions très belles; grâce à elle, nous avons trouvé les centres de
gravité de figures terminées par des lignes droites et courbes, aussi
bien que ceux de solides et nombre d'autres choses dont nous pour-
rons traiter ailleurs, si nous en avons le loisir.

Quant à la quadrature des aires limitées par des lignes courbes e(
droites, ainsi qu'au rapport que les solides qu'elles engendrent ont
aux cônes de même base et même hauteur, nous en avons déjà longue-
ment traité avec M. de Roberval.

l-2'i

ŒUVRES DK FKUMAT

[135. 137]

11.

CENTRK DE GRAVITÉ DU COXOIDE PARABOIJQIÎE,

D'APRÈS LA MÈ.MK M f-TUODI'.

Soit CHAV (Jig. 93) mi ('(uioïdc parabolique, ayant pour axe lA, cl
pour base uu ('('l'clo do diauii'd'o VAX. Cdicrrlions sou ceulre de gravité
par cette méthode toujours et toujours bi même, qui nous a servi pour

les inaxima, les minima et les tangentes des lignes eourbes, et prou-
vons ainsi, par de nouveaux exemples et par un nQuvcl et brillant
emploi de cette méthode, l'erreur de ceux qui croient qu'elle peut être
en défaut.

Pour pouvoir arriver à l'analyse, posons lA = h. Soit 0 le centre de
i,'ravilé; appelons n la longueur AO inconnue; coupons l'axe FA par un
plan ([uelconque BN, et posons IN = e, d'où NA = b — e.

Il est clair que, dans cette figure et les semblables (paraboles ou

paraboliques), les centres de gravité, dans les segments retranchés

par les parallèles à la base, divisent les axes dans un rapport constant

(il est évident, en effet, que la démonstration d'Archimède pour la

parabole peut s'étendre, par un raisonnement identique, à toutes les

paraboles et aux conoïdes paraboliques). Donc le centre de gravité

(lu sei^ment, dont NA est l'axe et BN le rayon de base, divisera AN en

NA lA . b h -e

T^ = 7TT' 01'» f" notes, - = . ., •
AE AO « AE

un point comme E, en sorte que ~ = f^j ou, en notes, ^ =

[UT, 139] MAXIMA ET MINIMA. 12S

La portion de l'axe sera donc AE = — > et l'intervalle des deux

centres de gravité, OE ^ , •

Soit M le centre de gravité de la partie restante (^BRV ; il doit néces-
sairement tomber entre les points N, I, à l'intérienr de la figure,
d'après le postulatum 9 d'Archimède De cequiponderantibus , puisque
CBRV est une ligure entièremiMit concave par rapport à son intérieur.

,,, . Partie CBRV EO /. . i ,1 -,• 1 1

^la's -n — r — ,. ■ ,, = rrrf puisque 0 est le centre de eravitc de la
Partie BAK 0\I ' ' »

figure totale CAV et que \\ et ^I sont ceux des parties.

,. . , ■ I ]. i 1 • • 1 Partie CAV lA^ b'-

Ordans le conoide d Archimede, ,1—.-— o-tô = x-r^ = n 5 ;-;

Partie BAR iNA^ 6- -h e-— 36e

I),-,,-lJe (]Bf{V ^.be e"-

donc, dividendo : ^ — -. — rrrfr = tv- — ; z — Mais nous avons prouvé

Partie BAR b--^e-~2be '

Opf— ?f^
Partie CBRV OE ^ . ibe — e' ^ \ " h I

Que -T-, — .. „ . ,7- <= rrrr- DOHC, CU UOtCS, yr-, :, jr = rrri ',

" Partie BAK OM b'-h e-—2be UM '

,, , ,,1, b-ne + ae^ — sbae-
a OU ()M =

2 b- a — Oe-

D'après ce qui a été établi, le point M est entre les points N et I;
donc OM<|OI; or, en notes, 01 = />> — a. La question est donc ra-
menée à notre méthode, et l'on peut poser

, b- nr -J- ric'^ — ■?. bae''

b — (7 C/O

ib'-e — be'^

Multipliant de part et d'autre par le dénominateur, et divisant

par e :

■ih' — 2 b"- a — b-e + bac iy^ b^a -h ae- — 2 bae.

Puisqu'il n'y a pas de termes communs, supprimons tous ceux où
eiilrc (' et égalons les autres :

26' — nb'a-:^b-a, d'oi'i 3«=:2è.

n . , L\ 3 ^ AO 2

Par conséquent — - = -, et y^p = -• c. 0. f. t.

' AO 2 01 I

La même méthode s'applique à tous les centres de gravité de toutes
les paraboles à l'infini, comme à ceux des conoides paraboliques. Je
n'ai pas le temps d"indiqu(M', par exemple, comment on cherchera les

126 (EUVHES l>E FKllMAT. |l3!i. lU]

centres île gravité dans notre conoïde parabolique de révolulion autour
de r ordonnée: i\\\\\ siillisc (1(> tlii'c (jue, dans ce conoïde, le centre de
gravite divise Taxe en denx segments (|tii sont dans le rapport ^-.

III.

SUR LA MÊME MÉTHODE.

Je veux, au moyen de ma méthode, partager la ligne donnée AC
(y/o-. f)'|) au [loint W, en sorte que AB' X BC soit le maximum de tous
les scdides que l'on peut former de la même fa(,'on en partageant la

ligne AC.

Fit'. u4.

A B, C

Posons, en notations algébriques, AC = è, l'inconnue AB = (7; on
aura BC = b ~ a et le solide a'-b — a" doit satisfaire à la condition
proposée.

Prenons maintenant a -H c au lieu de a, on aura pour le solide

((7 -+- e)- (b — e — fl) =: ba- -+- be'^ -h 2 bae — a' — Swe^ — ia-e — e'.

.le le compare au premier solide; a'-b — a'', comme s'ils étaient
égaux, quoiqu'en fait ils ne le soient point. C'est cette comparaison
que j'appelle adégalilé, pour parler comme Diophante, car on peut
ainsi traduire le mot grec -aptc76TY]; dont il se sert.

Je retranche ensuite de part et d'autre les termes communs, c'est-
à-dire ba'- — a'\ Cela fait, dans un membre il ne reste rien, dans
l'autre on a be'- -+- ibae — 3ae-— "ia'-e — e'. Il faut donc comparer
les termes en plus et ceux en moins; on a ainsi une seconde arie'^«-
lité entre be^ -\- ibae d'une part, 3«c- + 'ia'-e -\- e' de l'autre. Divisons
tous les termes par e, Vadégalité aura lieu entre be + iba et
'^ae -v-'^à- -\- e"^ . Aj)ri's cette division, si tous les termes peuvent
encore être divisés par e, il faut réitérer la division, jusqu'à ce qu'on

[111, 1«1 MAXniA Eï MIMMA. li-

ait un terme qui ne se prête plus à cotte division par e, ou, pour em-
ployer le langage de Viète, qui ne soit plus alTecté de e. Mais, dans
l'exemple proposé, nous trouvons que la division ne peut être réi-
térée. Il faut donc s'arrêter là.

Maintenant je supprime tous les termes affectés de e; il me reste
d'une part iha, de l'autre 3rt-, membres entre lesquels il faut établir,
non plus comme auparavant, une comparaison feinte ou une adégalilé.
mais bien une véritable équation. Je divise de part et d'autre par <?;

i'ai donc 26 = Sa ou - = -•

J ai

AC 3
Revenons à notre question, et divisons AC en B en sorte que tïï" = ~'

je dis que le solide AB^x BCestle maximum de tous ceux qui peuvent
être formés sur la ligne AC, par une autre division quelconque.

Pour établir la certitude de cette méthode, je prendrai un exemple
du Livre d'Apollonius, De la section déterminée, lequel au rapport de
Pappus (Livre Vfl, commencement) renfermait des limitations diffi-
ciles et notamment celle qui suit et que je considère comme la plus
difficile. Pappus (Livre VII) la suppose trouvée et, sans la démontrer
vraie, la regarde comme telle et en tire d'autres conséquences. En cet
endroit, Pappus appelle un rapport minimum u.ovayôv y.al èXâyitjTov
(singulier et minimum), parce que, si l'on propose une question sur
des grandeurs données, et qu'elle soit en général satisfaite par deux
points, pour les valeurs maxima ou minima, il n'y aura qu'un point
qui satisfasse. C'est pour cela que Pappus appelle minimum et singu-
lier (ce st-k- d'ire unique) le plus petit rapport de tous ceux qui peuvent
être proposés dans la question. Commandin doute en cet endroit de la
signification du terme ii.ova.y6c qu'emploie Pappus, parce qu'il ignore
la vérité que je viens d'expliquer.

Voici la proposition. — Soit une droite donnée OMID (/ig- 95) et sur
cette droite quatre points donnés 0, M, I, D. Il faut diviser le segment 311

en un point iN, en sorte que :rr^ r|j soit un rapport plus petit que celui

de deux autres rectangles semblables quelconques :r^ — ^r "

128 (JUIVRES Di: l'IilJMAT. ill', l'.il

Posons los tlonnoos CM ^ h, D.M — z. Ml == g, l'I soi( niainlciiaiU
rincoiuiiic MN := a. On anra donc on noialions

0\ X M) i^ Z;c - ba + za- a-, jMN x NI = ^-rt - a''.

Il ,. , 1 , //:■ — ba-^ zn — a^ . , , ...

Il laul donc (iiir le riiiiiiorl ; soi( le nins pclil de

Ions ('('nx ([ni ponvont cire obtenus par une division quelconque de
la droite 311.

Fi g. Ç)j.
0 Ml , î| V

Substituons maintenant a -h e i\ a, nous aurons le rapport

bz — ba — be + za -{- ze — a^ — e^ — 2ae
ga + ge — a^ — e- — 2«e

qu'il faut comparer par adégalité au premier, c'est-à-dire qu'on mul-
tipliera d'un côté le premier terme par le quatrième, de l'autre, le
second par le troisième, et que l'on comparera les deux jiroduits :

(b z — ba + za — «' ) ( ga -\- ge — «- — e^ — T.aa)

preuiicr Icruio dernier leriuc

zir. b zga — gba- -\- gza' — ga^ + bzge — bagc

+ zage — o°- ge — bza--+- ba^ — za--^ a'
-h bze^ -+- bae'^ — zafl- + a"- e^ — ibzae
-y- iba-e — iza-e -\- na^e.

D'autre part,

{ga — a-) {bz — ba — be ~h za -\- ze — a- — e- — 2ac)

second terme Iruisi^ice leriiie

:= bzga — gba"- — gbae -t- g za'^ + g zae

— ga^ — gae- — iga-e — bza- -\- ba^

-\- ba''- e ^- za' — z a'' e -\- a'' + a^ e- -h 2, a' e.

Je i()mj)are ces deux produits par adégalité; retranchant les termes
communs et divisant par e,

bzg — a- g — bze -h bae — zae — 2 bza — aca^ + 2ba'-
c/o — gae — 2ga--\- ba^ — za^.

[144,115] MAXIMA ET MINIMA.

Supprimant tous les termes où se trouve encore e, il reste

hz g — a^ i; — -ihza — nza- + "iba'^^ — 2 ga- ■+- ba- — j

129

et, en transposant.

ba- -y- za- — ga- -\- ibza ^ bzg.

En résolvant cette équation, nous trouverons la valeur de a ou de
MN, par suite le point N, et nous vérifierons la proposition de Pappus,

qui enseigne que, pour trouver le point N, il tant taire „. .^^ = -sr\^>

car la résolution de l'équation nous conduira à la même construction.

Pour appliquer aussi cette même méthode aux tangentes, je puis

procéder comme suit. Soit, par exemple, l'ellipse ZDN (fig- 96).

d'axe ZN et de centre R. Prenons sur sa circonférence un point
comme D, menons par ce point la tangente DM à l'ellipse et l'or-
donnée DO. Posons, en notations algébriques, la donnée OZ = 6 et
la donnée 0N = ^; soit l'inconnue OM = a, en comprenant par OM
la portion de l'axe comprise entre le point 0 et le point de rencontre
avec la tangente.

Puisque DM est tangente à l'ellipse, si, par un point V pris ad
libitum entre 0 et N, je mène lEV parallèle à DO, il est évident que
la ligne lEV coupe la tangente DM et l'ellipse, soit aux points E et I.
Mais, puisque DM est tangente à l'ellipse, tous ses points, sauf D, sont

en dehors de l'ellipse, donc IV > EV et prrFi > Jv^' Mais, d'après la

propriété de 1 ellipse, ^^ = zvTVN' *^* . ^"^^^ P^'"' TW = VÎP"

r, ZO.ON ^ OM^
Donc .„, ,,ivT >

ZV.VN

VM''

Fermât.

m.

•7

130 ŒUVRES l)l>: l-EiniAT.

Soit l'arbilrairo OV — c, nous aurons

7A^ . ON = bg, ZV . VN — bg ~ be -\- ,gc - e\
OM^ = a\ VM^ = «2 ^_ e' — a oe.

[I'éô, li71

Donc

>

Si (lonr on iiiiilli|ilic le |)r('-

bg — 6e -)- ffe — «- ' a- -+- e'
iniiM' liM'iiio par le (Icriiicr et le second par le (l'oisiènie, on aiiia

bga- 4- bge^ — a bgae > bg/i -

proiluit du iironiitT Icrnii' piir le dernier

/ira- -H A'e«- — a^ c'

Il taiil donc, suivant ma niclhodc, coni|)ai'(M" par adégalitô ces deux
produits, rctranclici' C(> (|iii leur est commun et diviser ce ([ui reste
par c; ou aura donc.

bge — a bga oo — bri- -\- g(t- — a-e.

Supprimant les lennes où reste e,

— 2 bga (yo — ba- + ga-,

memlires (|u'il faut égaler, d'après la méthode. Transposant comme il
cduvicut. on aura />a — ga = ibg.

On voit que cette solution est la même que c(dle d'Apollonius,
car, d'après ma construction, poni' trouver la tangente, il faut taire

b-g o.b ZO-OiN aZO , ,. ,, \ Il rv ii

2. = — OU — jT^, — = -.TTT-' tandis (ine, d après celle d Ai)ollo-

g n ON OM ' ' '

mus, il tant taire -^^ = ^rr^- il est clair que ces deux constructions

reviennenl au même.

Je pourrais ajouter nombre d'autres exemples, tant du premier (|ue
(lu second cas de ma méthode, mais ceux-ci sullîsenl, et prouvent assez
(pTidle est générale et ne lomhe jamais en défaut.

•le n'ajoute pas la démonstration de la règle, ni les nombreuses
antres applications qui pourraient en contirmer la haute valeur,
comme l'invention des centres de gravité et des asymptotes, dont
jai envoyé un exemple au savant M. de Roberval.

[147,148] MAX[MA ET MINIMA. 131

IV.

MÉTHODE DU MAXIMUM ET MINIMUM.

En étu'lianf la méthode de la syncrise et de Vanastrophe de Viète, et
en poursuivant soigneusement son application à la recherche fie la
constitution des équations corrélatives, il m'est venu à l'esprit d'en
dériver un procédé pour trouver le maximum ou le minimum et pour
résoudre ainsi aisément toutes les diUîcultés relatives aux conditions
limites, qui ont causé tant d'embarras aux géomètres anciens et mo-
dernes.

Les maxima et niinima sont en etret uniques et singuliers, comme
le dit Pappus et comme le savaient déjà les anciens, quoique Com-
mandin avoue ignorer ce que signifie dans Pappus le terme piovay^ôç
(singulier). Il suit de là que, de part et d'autre du point constitutif
de la limite, on peut prendre une équation ambiguë; que les deux
équations ambiguës ainsi prises sont dès lors corrélatives, égales et
semblables.

Soit, par exemple, proposé de partager la droite b en sorte que le
produit de ses segments soit maximum. Le point satisfaisant à cette
question est évidemment le milieu de la droite donnée, et le produit

maximum est éaal à -r; aucune auti'e division de cette droite ne don-

4

nera un produit égal a y

.Alais si l'on propose de partager la même droite b en sorte que le
produit des segments soit égal à s" (cette aire étant d'ailleurs à sup-
poser plus petite que — )> on aura deux points satisfaisant à la ques-
tion, et ils se trouveront situés de part et d'autre du point correspon-
dant au produit maximum.

Soit en elTet w un des segments de la droite /^ on aura />a — «-=;"•
équation ambiguë, puisque pour la droite a on peut prendre chacune

132 ŒUVRES l)i: FERMAT. [118, liOj

(les doux racinos. Soil doiif l'i'(|iiali(Ui ('oi'i'clalivc he — c-= r.". Com-
parons ces deux i-qualioiis (ra[)ri's la molhodo de Viète :

ba — bc = a- — e''.

Divisant do [larl ot d'autre par a — e, il viendra

■b ^ a -h e;

les longueurs a et e seront d'ailleurs inégales.

Si, au lieu de l'aire z", on en prend une autre plus grande, ([uoique

toujours inlerieui'e à —, les droites a et c dillércront moins entre elles

(|ue les préeédenles, les points de division se rapprochant davantage
du point constitutif du produit maximum. Plus le produit des seg-
ments augmentera, plus au contraire diminuera la différence entre a
et ('.jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse tout à fait pour la division cor-
respondant au produit maximum; dans ce cas, il n'y a qu'une solu-
tion unique et singulière, les deux quantités a et e devenant égales.

Or la méthode de Viète, appliquée aux deux équations corrélatives
ci-dessus, nous a conduit à l'égalité h^=a + e; donc, si e = a (ce qui
arrivera constamment pour le point constitutif du maximum ou du
minimum), on aura, dans le cas proposé, b — ia, c'est-à-dire que, si
l'on prend le milieu de la droite b, le produit des segments sera
maximum.

Prenons un autre exemple : Soit à partager la droite b de telle sorte
que le produit du carré de l'un des segments par l'autre soit maximum.

Soit a l'un des serments : on doit avoir ba^ — à^ maximum. L'é-
(juatiou corrélative égale et semblable est be- — e^. Comparons ces
rieux équation^ d'après la méthode de Viète :

ba- — be- ^ a^ — e' ;

<livisant de part et d'autre par a — e, i\ vient

ba -\- be^= a' -h ae -h e-,

ce qui donne la constitution des équations corrélatives.

[IW, 15U] MAXIMA ET MINIMA. 133

Pour trouver le maximum, faisons e = a; il vient

2ba^Za^ ou 26 = 3a;

le problème est résolu.

Toutefois, comme pratiquement les divisions par un binôme sont
généralement compliquées et trop pénibles, il est préférable, en com-
parant les équations corrélatives, de mettre en évidence les différences
des racines, pour n'avoir à opérer qu'une simple division par cette
différence.

Soit à chercher le maximum de b'-a — d\ D'après les règles de la
méthode précitée, on devrait prendre pour équation corrélative
b'-e — e'. Mais puisque e, aussi bien que a, est une inconnue, rien ne
nous empêche de la désigner par « 4- e; on aura de la sorte

b-a -h b^e — a' — e' — 3 a^ e — 3e-a = b^a — «'.

Il est clair que, si l'on supprime les termes semblables, tous ceux
qui resteront seront affectés de l'inconnue e; ceux en a seul se
trouvent en effet les mêmes de part et d'autre. On a ainsi

i^e = e'+ 3a^e H- 3e^rt,

et, en divisant tous les termes par e,

b^ = e--h3a^--h5ae,

ce qui donne la constitution des deux équations corrélatives sous cette
forme.

Pour trouver le maximum, il .s'agit d'égaler les racines des deux
équations, afin de satisfaire aux règles de la première méthode, dont
notre nouveau procédé tire sa raison et sa façon d'opérer.

Ainsi il faut égaler aha-he, d'où e = o. Mais, d'après la constitu-
tion que nous avons trouvée pour les équations corrélatives,

b' = e^-\-ia^-{-3ae;
nous devons donc supprimer, dans cette égalité, tous les termes affec-

13* ŒUVHES DE FERMAT. fl5i. iôî]

tt's ilo r, comme se rédiiisaiil ;i o; il restera {y- = 3a-, équalion qui
donnera le maximum clierehé pour le produit dont il s'agit.

l'mir montrer pins complèleineni la liéneraiilé de eelle doiihie mé-
thode, considérons de nouveaux genres d'équations eorréialives dont
Vièle n'a pas traité el (|ue nous em[)runleroMs au Livre de \;\ Scr/io/i
(/éfrmiinee d'Apollonius (dans Pappus. Livre VII, prop. (il ), dont les
conditions de limites sont expressément reconnues comme dilHciles
par Pappus.

Soi/ la droite BDEF {/ig. 97), sur laquelle on donne les points B, D,
K, F". Trouver entre les points J) et E un point N tel cpie le rapport des
produits EN X NF et DN x NE soit minimum.

•■'iS 97-
B D. . F., F

Posons DE = 6, DF = ^, BD = r/, DN = rt; il faut que le rapport
liz — da -h za — a-

t>a — (i-

soit minimum.

Le rapport corrélatif semblable et égal est -^^ — . _ '!, > d'après

notre première méthode. Egalons les produits des termes moyens et
des extrêmes, nous aurons

(tzùe — dze'- — dabe -+- dae--h zabe — zae- — a- be -+- a'-c-
=1 dzba — dza- — dcba + dea--h- zeba — zea- — c-ba + e-a-.

Supprimant les termes semblables et faisant les transpositions conve-
nables :

dzl>n — dzbe -+- dea^ — due'- — zea- -+- zae- ■+- câ l)e — e- Ixi =: dza- — dze-.

Divisant de part et d'autre parrt~^(ce qui sera très facile, si l'on
prend ensemble les termes corrélatifs; ainsi ^^ ^^ — = dzb, et de

' a — e

même = dae, etc.; il est aisé de disposer les termes corré-

[15Î, 153] MAXIMA ET MINIMA. 135

latifs pour obtenir ces divisions), on aura, après la division,

dzb -\- dae — zae -H bac ^ dza + dze,

égalité qui donne la constitution des deux équations corrélatives.

Pour passer de cette constitution au minimum, il faut, d'après la
métliode, faire e = a, d"où

dzb -i- da- — za' -^ I>a-^^ idza;

la résolution de cette équation donnera la valeur de «, pour laquelle
le rapport proposé sera minimum.

L'analyste ne sera pas arrêté par ce q\ie cette équation a deux l'a-
cines, car celle qu'il faut prendre se trahira d'elle-même, quand on ne
voudrait pas la reconnaître. Même avec des équations ayant plus de
deux racines, un analyste tant soit |)eu sagacc pourra toujours se servir
de l'une ou de l'autre de nos méthodes.

Mais il est clair, d'après l'exemple que nous venons de traiter en
dernier lieu, que la première de ces deux méthodes sera en général
d'un emploi peu commode, par suite de ces divisions répétées par un
binôme. Il faut donc recourir à la seconde qui, quoique simpicmeni
dérivée de la première, comme je l'ai dit, procurera aux habiles ana-
lystes une facilité surprenante et d'innombrables abréviations; bien
plus, elle s'appliquera, avec une aisance et une élégance bien supé-
rieures, il la recherche des tangentes, des centres de gravité, des
asymptotes et autres questions pareilles.*

("est donc avec la même confiance que jadis, que j'alFirme toujours
aujourd'hui que la recherche du maximum et du minimum se rami'ue
il cette règle unique et générale, dont l'heureux succès sera toujours
légitime et non pas dû au hasard, comme certains l'ont pensé.

Soil a une inconnue (voir page 121, ligne G à ligne dernière). . . sa
première expression .

S'il reste encore quelqu'un qui considère cette méthode comme due
il un heureux hasard, il peut bien essayer d'en rencontrer un pareil.

136

ŒUVRES DE FEllMAT.

[ I5:i. ir>i I

Quant à colui qui ne i'appr(uiv(M'ait pas. jo lui proposerai co pro-
blî'iiu' :

Étant donnés trois points, en tramer itn (jucdricntc tel ci ne la somme de
ses distances (Hi.v /rois points donnés soit minitna.

APPENDICE A LA MÉTHODE DU MAXIMUM ET MINIMUM.

Dans le cours des questions, il se présente souvent des radicaux;
l'analyste ne doit pas alors hésiter à employer une troisième inconnue,
ou, s'il le l'ant, à en poser un plus grand nombre encore; on pourra
en effet de la sorte éviter les élévations aux puissances qui, en se
répétant, compliquent d'ordinaire les calculs. L'artifice de cette mé-
thode va être expliqué par les exemples qui suivent :

Soit un demi-cercle de diamètre AB {^fig. 98), avec la perpendiculaire
DC au diamètre. On demande le maximum de la somme AC -t- CD .

Fis- 9^-

Soit h le diamètre, posons AC = a; on aura donc CD = \Jba — a-. La
question est ramenée à rendre maxima la quantité a + sjba — a-.

En appliquant les règles de la méthode, on arriverait à adégaler
des expressions dont le degré serait trop élevé; désignons donc par o
la quantité maxima; car pourquoi abandonnerions-nous l'usage adopté
par Viète de représenter par des voyelles les quantités inconnues (' )?

('; Pour conserver la nolalion de Fermai, tout en évitant la confusion avec le zéro,
nous surmontons d'un trait la voyelle o.

[154,155] MAXIMA ET MINIMA. 137

Nous aurons donc a -r- \Jha — «- = o; donc u — a = sjha — tr, et en
élevant au carré :

o 4- rt- — loa =^ba —' a".

Cela fait, il faut effectuer une transposition de façon qu'un mennbre
de l'équation soit formé par le seul terme où o figure à la plus haute
puissance; on pourra dès lors déterminer le maximum, ce qui est le
but de l'artitice. Cette transposition nous donne

ba — 2 a- + 3 o « =; o .

-2 _

Mais par hypothèse o est la quantité maxima; donc o , carré d une
quantité maxima, sera lui-même un maximum; par conséquent,

ha — 2a- — 2.oa (expression égale ko) sera un maximum. Il n'y tigurc
d'ailleurs aucun radical; traitons-la, d'après la méthode, comme si o
était une quantité connue. Nous aurons Vadégalite

ba — 2 a^ -h '2 oa iyT) ba -h be — 2 a'^ — 2 e' — liae -\- 2 ou + 2 oe.

Supprimons les termes communs, et divisons les autres par c,

b -+- 2ut^2e-hf\ri.

Supprimons 2e d'après la règle; nous aurons

b-h■2"7=l^n, d'où 4" — b=r.2o ou 2a — \b^nu.

Celte égalité étant établie par la méthode, il faut revenir à la pre-
mière, dans laquelle nous avons posé a -\- \Jba — à- ^^o.
Mais nous venons de trouver o = in — -,h\ donc

2 fl — \b =L a -{- \l ba — a-, d'où a — \b ^^ ^ ba — a-.

Élevons au carré :

«- H- I b- — ba ^^ ba — a-,

d'où entin

ba — rt° =: i 6^ ;

de cette dernière équation (ui tirera la valeur de a correspondant au
maximum cherché.

Feb«*t. — \\\. l8

138

ŒUVRES DE FERMAT.

[15G, i:,r

Nous pouvons employer le même arliHco pour trouver lerùnc de sur-
face maxima qui peut être inscrit dans une sphère donnée.

Soient AD {/ig. 99) le diamètre de cette sphère, AC la hauteur du
eone cherché, AB son côté, BC son rayon de base. Il faudra, d'après
Archimède, (|ue la somme AB x BC + BC- soit maxima.

Fis

9!)-

Soit b le diamètre; posons AC = <?. Nous aurons AB - \//w.
BC = v^^" " ^"'

AR X HC + BC- = V /''«' "- '"1' -H '>n

' ..."

Egalons cette somme à l'aire maxima, soit 0

-pi.

o -h (i-

ba --- \i b^ a- — ba'-'.

Elevons au carré, etc.; la méthode que nous avons indiquée con-

-i.i.
duira à une équation donnant o , et permettant ainsi de résoudre celle

que nous venons de poser.

Cependant, dans l'exemple choisi, on peut obtenir la solution
sans prendre une troisième inconnue; car on peut ramener le pro-
blème à chercher, en se donnant la droite AB dans le triangle CBA,

, , , . , . CR X RA -t- CAP , , ,

quel est le maximum du rapport ^-jy^ ; et, dans ce cas, la

méthode ordinaire est suffisante.

Soit h la droite donnée AB ; posons CB^^a, nous aurons

Ornons voulons

AC^ ---- b- - a-. Mais -^J

AR^ I An- '''

-.,...; donc AD-= 7^^ ;•

AU- b- — a-

que le rapport de ba -t- a- à cette dernière expression soit maximum.

Multiplions haut et bas par b'- — à- ; le rapport yr t-t--, — 1—, 1

doit être minimum. Mais b' est donné, comme puissance de la don-
née b; donc la quantité b^a -h b^a- - ba^ — a' doit être maxima.

I

[157] MAXIMA ET MIiNIMA. 139

La méthode conduira à l'équation

b'-h 2b-a = 3i«-4- 4«^
dont le degré s'abaisse immédiatement (') :

4 «■- — ba := b-;

la solution est dès lors évidente.

Nous ne nous arrêtons pas davantage sur un sujet désormais éclairci ;
on voit comment, en recourant à une troisième ou à une quatrième
inconnue, et, s'il le faut, en multipliant encore le nombre des posi-
tions auxiliaires, on peut se débarrasser des radicaux et de tous les
autres obstacles qui peuvent arrêter l'analyste.

Cependant, et quoique l'invention des tangentes découle elle-même
de la méthode générale, on peut remarquer que, dans certains cas,
les questions de maximum ou minimum peuvent se résoudre plus
élégamment et peut-être plus géométriquement, au moyen de la con-
struction d'une tangente.

Donnons-en un seul exemple, qui peut valoir pour plusieurs :

Dans un demi-cercle FBD (fig. loo), on mène la perpendiculaire BE;
on demande le maximum du produit FE X EB.

Fis. 100.

Si, d'après notre méthode, on cherche à construire le rectangle
FE X EB en s'en donnant la valeur, la question se ramène à décrire
une hyperbole ayant pour asymptotes AF, FC, et pour laquelle les
produits des abscisses FE par les ordonnées EB aient la valeur donnée;

( ' ) En tenant compte de la racine a

h.

liO ŒIIVHES 1)K FKllMAT. [l^is. 159]

les points irintcrsoclion de riiypei'b()I(> et du doini-t'cri-lo satisferont
à la question. Mais, coniinc le prodnil FK x lîB doit cMi'e maxiniiiin. il
s'agit en l'ail de constrnire nne hyperbole (|ni ail ponr asymptotes
AF. VC et (|ni. an lien de couper le denii-eerele, lui soit tangente, soit
en B; car les ])oiiits de <'onlael déterminent les (|uantifés maxima ou
minima.

Supposons le problème résolu : si l'hyperbole touche le demi-cercle
en H, la tangente en B au demi-cercle sera également tangente à l'hy-
perbole. Soit ABC cette droite. Elle est tangente à l'hyperbole en B et
rencontre les asymptotes en A et C; donc, d'après Apollonius, AB = BC;
par suite, FE = EC et AF — 2BE = 2AN. Mais, comme tangente au
cercle, BA = Aï'; donc BA = 2AN, et à cause de la similitude des
triangles, si M est le centre, MB = ?.ME. .Alais le rayon MB est donné;
donc le point Ejc sera.

On peut de même ramener en général toute recherche de maximum
ou de minimum à la construction géométrique d'une tangente; mais
cela ne diminue en rien l'importance de la méthode générale, puisque
la construction des tangentes en dépend, aussi bien que la détermi-
nation des maxima et des minima.

VI.

SUR LA MÊME MÉTHODE.

La théorie des tangentes est une suite de la méthode, dès longtemps
publiée pour l'invention du maximum et du minimum, qui permet de
résoudre très aisément toutes les questions de limitation, et notam-
ment ces fameux problèmes dont les conditions-limites sont indiquées
comme difficiles par Pappus (Livre VII, préf'.).

Les lignes courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs pro-
priétés spécifiques exprimables, soit par des lignes droites seulement.

MAXIMA ET MINIMA.

141

[159, 160]

soit encore par des courbes compliquées comme on voudra avec des
droites ou d'autres courbes.

Nous avons déjà satisfait au premier cas par notre règle, qui, trop
concise, a pu paraître difficile, mais cependant a été reconnue légi-
time.

Nous considérons en fait dans le plan d'une courbe quelconque
deux droites données de position, dont on peut appeler l'une diamètre,
l'autre ordonnée. Nous supposons la tangente déjà trouvée en un point
donné sur la courbe, et nous considérons par adégalité la propriété
spécifique de la courbe, non plus sur la courbe même, mais sur la tan-
gente à trouver. En éliminant, suivant notre théorie des maxima et mi-
nima, les termes qui doivent l'être, nous arrivons à une égalité qui
détermine le point de rencontre de la tangente avec le diamètre, par
suite la tangente elle-même.

Aux nombreux exemples que j'ai déjà donnés, j'ajouterai celui de
la tangente à la cissoïde, inventée, dit-on, par Dioclès.

Soient un cercle dont les deux diamètres AG, BI {/ig. loi) se cou-
pent normalement, et la cissoïde IHG, à laquelle, par un quelconque
de ses points, soit H, il faut mener la tangente.

Fis. loi

Supposons le problème résolu, et F l'intersection de CG et de la
tangente HF. Posons DF = a, et, en prenant un point E quelcoiu[ue
entre D et F, DE = e.

D'après la propriété spécifique de la cissoïde : v^rr = î^vï) on aura

U2 ŒUVRES DE FERMAT. |i(H), imj

NF pr
donc à l'xpriiiKM" analvliquoirtoiit Vadcs;alitc Fr;T<^Fr4> KO (Maiit la
* • ' '=' EG EO

portion ilo la droite EN interceptée entre E et la tangente.

Soient la donnée AD = z, la donnée DG — n, la donnée DH ::= r, et,
comme nous l'avons dit, l'inconnue DF = a, l'arbitraire DE — e.

On aura

ra — re

EG = «—<», E0= -> EN=v'-" ~^eH-/ie — e^

a

D'après la règle, il faut considérer la propriété spécifique, non
pas sur la courbe, mais sur la tangente, et poser donc ^, — p^» EO
étant l'ordonnée de la tangente, ou, en notations analytiques,

sfzn — ze ■+- ne —

carrant, pour se débarrasser du radical :

zn — ze -\- ne — e-

n^-{- e- — 2 ne /•- a'^ + ;•' e"- — 2 r'^ ae

IMultipliant tous les termes par a-, et adégalant, d'après la règle, le
produit des extrêmes au carré du moyen, supprimant les termes su-
perflus, conformément à la méthode, on aura enfin

D'où la construction suivante de la tangente : Prolongez le rayon CA
du cercle donné jusqu'en V et prenez AV ^^^^ AC. Divisez AD x DG
par VD, soit DF le quotient; joignez FH; vous aurez la tangente à la
cissoïde.

Indiquons aussi la façon de procéder pour la conchoide de Nicomède,
mais indiquons-la seulement pour ne pas être trop long.

Soit la conchoide de Nicomède construite sur la figure ci-contre
{fig. 102), comme elle l'est dans Pappus et dans Eutocius : I est le
pôle, KG l'asymptote à la courbe, IHE la perpendiculaire à l'asym-

[161, 162]

MAXIMA ET MINIMA.

Ii3

ptote, N un point donné sur la courbe, par lequel il faut mener une

tangente NBA rencontrant lE en A.

Supposons le problème résolu, comme ci-dessus. Menons NC paral-
lèle à KG. D'après la propriété spécifique de la courbe, LN = HE.
Prenons un point quelconque, soit D, entre C et E, et menons par ce
point, parallèlement à CN, DB qui rencontre la tangente en B. Comme
la propriété spécifique de la courbe doit être considérée sur la tan-
gente, joignons BI qui rencontre KG en M; on doit adégaler, d'après
les règles de l'art, MB et HE; on arrivera ainsi à l'équation cherchée.
Pour cela, on posera, comme ci-dessus, CA = a, CD = e, EH = z, et
on désignera de même les autres données par leurs noms. On trouvera
facilement l'expression analytique de la droite MB, on Vadégalera,
comme il a été dit, à la droite HE, et on résoudra la question.

Ce que j'ai dit paraît suffire pour le premier cas. 11 est vrai qu'il y a
une infinité d'artifices pour abréger les calculs dans la pratique; mais
on peut facilement les déduire de ce qui précède.

Pour le second cas, que jugeait difficile M. Descartes, h qui rien ne
l'est, on y satisfait par une méthode très élégante et assez subtile.

Tant que les termes sont formés seulement de lignes droites, on les
cherche et on les désigne d'après la règle précédente. D'ailleurs, pour
éviter les radicaux, il est permis de substituer aux ordonnées des
courbes, celles des tangentes trouvées d'après la méthode précédente.
Enfin, ce qui est le point important, aux arcs de courbes on peut sub-
stituer les longueurs correspondantes des tangentes déjà trouvées, et

IH

ŒUVRES l)K FERMAT.

I \t)-i. iiî.ri

arriviM' à Vndèf^alitc, l'iiniiiie iioiis l'avons iiuli(|ii(' : on satislera ainsi
faciloniiMil à la question.

Prenons conunc cxcniplo la conrhe do M. de Kol)erval [cyc/oiV/f].

Soient HBIC (/?«■. 103") la courbe, C son sommet, CK l'axe; décri-
vons le demi-cercle COMF, et prenons sur la conrhe un poini (iiu-l-
eonque, soit H, duquel il l'an! mener la tangente RB.

FiK. 10.3.

Menons par ce point H, perpendiculairement à CDF, la droite RMD,
coupant le demi-cercle en M. La propriété spécifique de la courbe est
que la droite RD est égale à la somme de l'arc de cercle CM et de l'or-
donnée DM. Menons, d'après la précédente méthode, la tangente MA
au cercle (le même procédé serait en effet applicable si la courbe COM
était d'une autre nature). Supposons la construction opérée, et soient
l'inconnue DB = a, les droites trouvées par construction : DA — b,
MA = d; les données MD — r, RD -= z-, l'arc de cercle donné CM = n,
la droite arbitraire DE = e.

Par E menons EOVIN parallèle ii la droite RMD ; on a -^

NI VUE

d'où NIVOE =

Il laut donc adégaler (à cause de la propriété spécifique de la

courbe qui est à considérer sur la tanaçente) cette droite ^ ^ ii la

somme OE + arcCO.

Mais arcCO=:arcCM -arcMO. Donc ^

'onOE + arcCM-arcMO.

Pour obtenir l'expression analytique des trois derniers termes, tout
en évitant les radicaux, on peut, d'apri's la remarque précédente, sub-

1163, 1C5] MAXIM A ET MI M M A. 145

sHtiicr, à OE, l'ordonnée EV de la tangente, et à l'arc .MU, la portion de
tangente MV qui lui est adjacente.

Pour trouver l'expression analytique de EV, on a d'ailleurs

b r ,, , „,r rb — re
-, = --, d ou h\ = — ;

I) — e k,\ b

Pour celle de MV, à cause des triaugles semblables, connue ci-des-

b e ], , ..,. de

sus, -7 = ifT^, d ou MV = -r-

a M V b

Enfin on a posé arcCM = «. On aura donc analytiquenient
sa — ze rb — re de

a b b

Multipliant, de part et d'autre, par ab :

zba — : be co rba — rae + bna — dae.

Mais, d'après la propriété de la courbe, z—r+n, donc zba -rba + bna.
Supprimant les termes communs,

: be oo rae -(- dae.

Divisons par e; comme il ne reste ici aucun terme superflu, il n'v a
pas d'autre suppression à faire :

7 j ., . r-\-d z

zO=ira-\-dn, don r= - ■

0 a

I) I . . Cl MA-t-MD RI) ... „„

Pour la construction, on fera donc jr-r = t^jz; on loindra BR

DA l)B ■■

(|iii touchera la courbe CR.

., . M.V + MD MD . . . 1 , r 1 I 1 1

3lais comme rr^. = j— r> ainsi qu il est facile de le démontrer,

ou peut faire -t-tt = Tyrr' ou, pour que la construction soit plus élé-
gante, joindre MC et lui mener RB parallèle.

La même méthode donnera les tangentes à toutes les courbes de
cette espèce. Nous avons indiqué il y a longtemps leur construction
générale.

Comme il a été proposé de trouver la tangente de la quadralaire on
miadratrice de Dinoslrale, voici comment nous la construisons d'après
la méthode précédente.

l'ERJUT. — m. 19

H6 ŒUVRES ni: FEIÎMAT. [1G5, 1G6]

Soioiif Ain (fig- lo'i) un (iiiarl de ccrclr, AMC la quadralairo, à la-
(|iii>lli' il l'aiU iiu'ucr la langonto imi um point doiiiu'' M. Je joins Ail; df
I l'oniinc conli'(\ avec IM comme rayon, je décris le qiiarl de cercle

ZMD. cf. inenani la |ier|)endiculaire MN, je fais -prr = — jy^ — Je joins

MO (|ni sera tangente à la (|iiadrataire; (jne cela sullise.

Fiir. lo/i.

C D 0 B

Cependant il arrive souvent que la courbure change, comme dans la
conchoïdc de Nicomède (i*"" cas) et dans toutes les espèces, sauf la
première, de la courbe de M. de Roberval (2" cas); pour pouvoir bien
dessiner la courbe, il convient donc de rechercher mathématiquement
les points d'inflexion, où la courbure devient concave de convexe, ou
inversement. Cette question se résout élégamment par la méthode de
maximis et minimis, grâce au lemme général suivant :

Soit la courbe AHFG {fig- ioj) dont la courbure change par exemple
au point H. Menez la tangente HB, l'ordonnée HC ; V angle HBC sera le
minimum entre tous ceux que la tangente fait avec l'axe ACD, quelle
soit au-dessous ou au-dessus du point H, comme il est facile de le démon-
trer.

Qu'on prenne en elTet, au-dessus du point H, un point M; la tan-
gente en ce point rencontrera l'axe entre A et B, soit en N; l'angle en
N sera donc plus grand que l'angle en B.

De même, si l'on prend le point F au-dessous de H, le point F), où
la tangente FD rencontre l'axe, sera au-dessous de B, et la tangente DF

[IfiG, 167] MAXIMA ET MINIMA. Ii7

rencontrera d'ailleurs la tangente BH du côté de FH; l'angle en D sera
donc plus grand que l'angle en B.

Fis. io5.

Nous ne poursuivons pas tous les cas, nous indiquons seulement
le mode de recherche, les formes des courbes variant indéfiniment.

Pour donc trouver, par exemple, le point H sur la figure, on cher-
chera d'abord, d'après la méthode précédente, la propriété de la tan-
gente en un point quelconque de la courbe. Puis, par la doctrine de
maximis et minimis. on déterminera le point H tel qu'en menant la

HC

perpendiculaire HC et la tangente HB, le rapport -^ soit niinimu

CB

m.

Car ainsi l'angle en B sera minimum. Je dis que le point H ainsi trouvé
sera celui où commence le changement de courbure.

La même méthode de maximis el minimis donne aussi, par un arti-
fice singulier, l'invention du centre de gravité, comme je l'ai indiqué
autrefois à M. de Roberval.

Mais, comme couronnement, on peut encore trouver les asymptotes
d'une courbe donnée, recherche qui conduit à de remarquables pro-
priétés pour les courbes indéfinies. Nous pourrons un jour les déve-
lopper et les démontrer plus au long.

Itô

ŒUVRES \)K FEU M AT.

[167, 1681

Vil.

PROBLÈME ENVOYÉ AU U. P. MERSENNE

le lo novoiiibre l'Vp.

Troinrr le cylindre de surface maxiina inscrit dans une sphère donnée.

Soit (loniu'o uiu' splicro Jo (liaiiiMre AD {Jig- loG), de centre V,. On
(leiiiande d'y inscrire le cylindre de surface maxima.

Fif!-. 106.

Supposons le jtroldènie résolu; soient DE le diamètre de l)as(> du
cylindre, E.\ son côté (on peut en effet donner cette position an
cylindre, l'angle inscrit dans le demi-cercle étant droit). La surface
du cylindre est proportionnelle à DE" + 2DE.EA : il faut donc cher-
cher le maximum de la somme DE^ + 2DE.EA.

Si l'on ahaisse la perpendiculaire EB, on a, d'unepart,DE- = AD.DB;
de l'autre, DE.EA = AD.BE. Nous avons donc à chercher le maximum
de la somme AD.DB -t- 2 AD.BE, ou, en divisant les deux termes par
la droite donnée AD, le maximum de la somme DB + 2BE.

Celte question est facile : qu'on fasse CB =^ IBE, ou, ce qui revient

CE
au même, BC = -^, le point E satisfera au problème. Menons en ell'el

V"'

la tangente EFqui rencontre en F le prolongement du diamètre; je dis

(juc la somme DB + 2BE est maxima.

En effet, puisque CB = i BE, BE^^BF; donc BF=2BE; donc
DF = DB + 2BE; il est clair ainsi que la somme DB + 2BE est
maxima.

Prenons en effet un point quelconque, soit [, sur le demi-cercle, et
abaissons la perpendiculaire IN; par le même point I, menons IC parai-

1108,170] MAXIMA ET MINIMA. IW

lèle à la tangente et rencontrant le diamètre en G. Ce point G tombera
entre les points F et D, autrement la parallèle GI ne rencontrerait
pas le demi-cercle. En raison du parallélisme, on n t^ = ~; mais
FB = 2BE; donc G\ = 2NI et, par suite, GD = DN4-2NI. .Mais
comme GD(= DN -l- 2NI) est inférieure à DF(>= DB + 2BE), il s'en-
suit que DB + 2BE est un niaxiinuni et que le cvlindre cherché aura
pour hase DE et pour coté EA.

On prouvera, d'après ce qui précède, que le rapport ^ est celui du

plus grand au plus petit segment d'une droite divisée en moyenne et
extrême raison.

Nous pouvons d'ailleurs par le même procédé /roMcer e/ conslruircun
cylindre de surface donnée.

On ramènera en eiïet la question à l'égalité entre la somme DN-1-2M
et une droite donnée, soit DG, qui, d'après la valeur trouvée pour le
maximum, devra être au plus égale à DF. Menez GI parallèle à FE; le
point I satisfera à la question et l'on pourra ainsi avoir tantôt deux
cylindres, tantôt un seul répondant à la condition posée.

Si, en effet, le point G lomlie entre F et A, deux cylindres différents
satisferont au problème; mais si G tombe en A ou plus près de f), la
solution sera unique.

VIII.

ANALYSE POIJK LES RtER ACTIONS.

Soit .\CBI {Jig- 108) un cercle dont le diamètre AFDB sépare deux
milieux de nature différente, le moins dense étant du côté AGB, le
plus dense du côté AIB.

Soient D le centre du cercle et CD le rayon incident tombant sur ce
centre du point C donné; on demande le rayon réfracté DI, ou autre-
ment le point I par où passera le rayon après la réfraction.

Abaissez sur le diamètre les perpendiculaires CF, IH. Le point C

130 (KUVHES DE FEUMAT. 1 170, 172]

l'iani (.Idiiiit' ainsi ([iio lo dianirlro Al{ cl le rciilrc I), le pdini V vl la
droite FD seront égaleinoiil donnés. Supposons (|ne le rapport de la
résistanee du milieu plus drusc à eelle du milieu moins dense soit
l'idui de la droite dcumee \)V ;> nue autre droite //t donnée en dehors
de la tiiiure. Ou devra avoir //; < l)K, la résistance du inilieu moins
dense devant être inférieure à celle i\u milieu plus dense, par un
axiome plus (juc naturel.

Nous avons maintenant à mesurer, au moyen des droites m et DF,
les mouvements suivant les droites CD et DI; nous pourrons ainsi
représenter comparativement l'ensemble du mouvement sur ces deux
droites par la somme de deux produits : CD. m -+- Dl.DF.

Ainsi la question est ramenée à partager le diamètre AB en un
|)oint H de telle sorte que si en ce point on élève la perpendicu-
laire Hl, puis qu'on joigne DI , l'aire CD.//2 + Dl.DF soit minima.

Nous emploierons à cet effet notre méthode, déjà répandue parmi
les géomètres et exposée depuis environ vingt ans par Hérigone dans
son Cursus mathematicus. Appelons n le rayon CD ou son égal DI, h la
droite DF, et posons DH = a. Il faut que la quantité nm -j- nh soit
minima.

Soit, pour l'inconnue c, une droite arbitraire DO; joignons CO, 01.
Kn notations analytiques : C0- = n'^-^e^—ihe, ci 0\- = n- -\- e- + lae ;
doiu'

CO . m = \'rn -n^-\- m^e^ — 2 m '^ ùc , lO.b =: \/t>^ «'■' ■+- b'' e^ + 2 6- ae .

La somme de ces deux radicaux doit être adégalée, d'après les règles
de l'art, à la somme mn -t- bn.

[172, 173] MAXIMA ET MINIMA. lot

Pour faii'o disparaître les radicaux, on élèvera au carré, on suppri-
mera les termes communs et l'on transposera de façon à ne laisser dans
un des membres que le radical qui subsistera; puis on élèvera de nou-
veau au carré; après nouveau retranchement des termes communs do
part et d'autre, division de tous les termes par e et suppression de
ceux où e entrera encore, selon les règles de notre méthode généra-
lement connue depuis longtemps, on arrivera, en ôtant les facteurs
communs, à l'équation la plus simple possible entre a et m, c'est-
à-dire qu'après avoir fait disparaître les obstacles opposés par les
radicaux, on trouvera que la droite DH de la figure est égale à la
droile m.

Par conséquent, pour trouver le point de réfraction, il faut, ayant
mené les droites (]D et CF, prendre les droites DF et DH dans le rap-
port de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins
dense, soit dans le rapport de h à m. On élèvera ensuite en H la per-
pendiculaire HI au diamètre; elle rencontrera le cercle en I, point oîi
passera le rayon réfracté; et ainsi d'ailleurs le rayon, passant d'un
milieu moins dense dans un plus dense, s'infléchira du côté de la per-
pendiculaire : ce qui concorde absolument et sans exception avec le
théorème découvert par Descartes; l'analyse ci-dessus, dérivée de
notre principe, donne donc de ce théorème une démonstration rigou-
reusement exacte.

IX.

SYNTHÈSE POUR LES RÉFRACTIONS.

Le savant Descartes a proposé pour les réfractions une loi qui est,
comme on dit, conforme à l'expérience; mais, pour la démontrer, il
a dû s'appuyer sur un postulat absolument indispensable à ses raison-
nements, à savoir que le mouvement de la lumière se ferait plus faci-
lement et plus vite dans les milieux denses que dans les rares; or ce
postulat semble contraire à la lumière" naturelle.

154 ŒLIVHES l)K KKKMAT. 1 173 17,1

Kii clicrrlKinl, pour clalilii' la V(''rilal)l(' loi des rciVaclioiis. ;i |iarlii'
(lu prinri|)o conlrairc. ^ h savoir (|ii(' le iiiotivciiuMil de la liimiôrc
se (ail plus t'acilciiiciil l'I plus vite daus les uiilii'ux rares (|U(' dans
les donses, — nous souinios relombés prciiséuKMil sur la loi (|U('
Ooscartes a (Mioucéc. I']s(-il possible d'arriver sans |)araloiiisine ii uue
même vérité par deux voies absoluuieul opposées, c'est uue (|uesli(ui
(|U0 nous laissons à examiner aux géomètres assez subtils [)our la
résoudre rigoureusement; car, sans entrer daus dévalues discussions,
la possession assurée d(^ la vérité nous siilllt et nous l'estimons pré-
férable à nue plus longue continuation de querelles inutiles et illu-
soires.

Noire démonstration s'appuie sur ce seul postulat que la nature
o[)('re par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées. Car
c'est ainsi que nous croyons (ju'il doit être énoncé et non pas comme
on le fait d'ordinaire en disant (|ue la nature opère toujours parles
lignes les plus courtes.

En effet, de même qu'en spéculant, sur les mouvements naturels
des graves, Galilée en mesure les rapports aussi bien par le temps
(|ue par l'espace, de même nous ne considérerons pas les espaces ou
les lignes les plus courtes, mais celles qui peuvent être parcourues
le plus facilement, le plus commodément et dans le temps le plus
court.

(](da supposé, soient deux milieux de nature différente {fg- 109)

l'iR.

I 01) .

'*!i

/

\

/

^^,, ^

\

yi

séparés par le diamètre ANH du cercle AHIiM, le milieu le moins dense
étant du coté de M, le plus dense du coté de 11; menons de M vers H

[174,175] MAXIMA ET MIMMA. 153

les lignes quelconques MNH, MRH, brisées sur le diamètre aux points

N et H.

La vitesse du mobile sur MN dans le milieu rare étant plus grande,

d'après l'axiome ou le postulat, que la vitesse du même mobile surNH,

et les mouvements étant supposés uniformes dans chacun des deux

milieux, le rapport du temps du mouvement sur ]\IN au temps du

mouvement sur NH sera, comme on sait, le produit du rapport de MN

à NH et du rapport inverse des vitesses sur NH et sur JMN. Soit donc

. vitesse sur MN MN lemns sur MN IN

pose -v; jr=^ = -^— , on aura — ^rrn = :irTT,-

' vitesse sur NH NI temps sur NH NH

On prouvera de même que si le rapport de la vitesse dans le milieu

„„„ . 1 -, j I i- I .MR tempssurMR PK

rare a la vitesse dans le milieu dense est htt' on aura ' rnr = rm-

HP temps sur lui KH

p.. , I , temps sur MNH IN + NH

I) ou il suil que , ^^^jû = rni ^nr-

' lemps sur MKH PR + tiH

Or, puisque c'est la nature qui dirige la lumière du point M vers le
point H, nous devons chercher un point, soitN, par lequel la lumière,
en s'infléchissant ou se réfractant, parviendra dans le temps le plus
court du point M au point H; car on doit admettre que la nature, qui
mène le plus vite possible ses opérations, visera d'elle-même ce
point-là. Si donc la somme IN 4- NH, qui mesure le temps du mouve-
ment sur la ligne brisée MNH, est une quantité minima, nous aurons
atteint notre but.

L'énoncé du théorème de Descartes donne ce minimum, comme
nous allons aussitôt le prouver par un véritable raisonnement géomé-
trique et sans aucune ambiguïté. Voici en effet cet énoncé :

Si du point M on mène le rayon MN, que du mèmepointMon abaisse

la perpendiculaire MD, puis que l'on prenne ^ .- dans le rapport de la

plus grande vitesse à la moindre, qu'enfin on élève en S la perpendi-
culaire SH et que l'on mène le rayon NH, la lumière incidente au
point N dans le milieu rare se réfractera dans le milieu dense du côté
de la perpendiculaire vers le point H.

C'est ce théorème qui est en accord avec notre Géométrie, comme
il résulte de la proposition suivante purement géométrique.

IMCIIMAT. — 111. ■ 20

15i ŒUVRES DE FERMAT. [175,176]

Soit lo ocM'clo AHBM, dont ANB ost un dianiôtro et N le centre; sur
In circonfôrenco de ce cercle je prends un point M quelconque, je

mène le ravon !MN et j'abaisse sur le diamètre la perpendiculaire MD.

1)N
Soit donné d'autre part le rapport j^. en supposant DN>NS; en S

j'élève au diamètre la perpendiculaire SH (|ui rencontre la circonfé-
rence au point H; je joins ce point au centre par le rayon HN. Posons

1)N MN • • t •

^- = T-p; je dis (|ue la somme IN + NH est minima; c'est-à-dire que

si l'on prend un autre point quelcoïKiue, H par exemple, sur le rayon

NB, que l'on joigne MR, RH et que l'on fasse jt^ — ^^^ on aura

PR-+-RH>IN 4-NH.

,- ... , „ . MN RN . DN NO ,, ...

Pour le démontrer, taisons Tprr = ^r^rr et ^r^g- == ^rrrr- Il est clair que,

DN NO NS -.NV '

par construction, puisque DN est plus petit que le rayon MN, on aura

NO < NR; de même, puisque NS < ND, on aura NV< NO.

Cela posé, on a, d'après Euclide : MR- = MN- + NR- + 2DN.NR:

MN NR
mais puisque, par construction, jr^ = ^j on a MN.NO = DN.NR;

donc 2MN.NO = 2DN.NR; donc MR- = MN- + NR- -+- 2MN.NO.
Maiâ, puisque NR > NO, NR- > NO- ; donc

MR-^>MN^-+-N0--h2MN.N0.

Mais la somme MN- + NO" 4- aMN .NO = (MN + NO)-. Donc

MR > MN + NO.

D autre part, par construction, — ^ = -j-y- = =-^; donc

DN _ MN + NO

NS "~ IN-(-NV'

AI • ■ ÏIN MR , MN-hNO MR ^ MD-^MM , Mn

Mais on a aussi p^ = ^p ; *Jo"f^ iN + NV ^ W ^ '

donc aussi RP>1N + NV.

Il reste à prouver que RH >HV; car, s'il en est ainsi, il est clair que

PR ^ RH > IN + NH.

[177, 178]

MAXIMA ET MINIMA.

135

Or dans le triangle NHR, d'après Euclide,

RH^= HN-H- NR- - aSN.NR.

MN(^NH)
DiN

NR , DN NO ,

NÔ' "^^"NS ^ NV' ^onc, ex œquo.

Mais par construction

HN NR

^^ = w- DoncHN.NV = NS.NRet2HN.NV = 2SN.NR; donc

Nb ÎS V

RH- = HN=-i-NR'-aHN.NV.

Mais on a prouvé que NR- > NV- ; donc

HR'>HN=+NV -aHN.NV.

Or HN^-t-NV^- 2HN.NV= HV-, d'après Euclide; donc HR->HV^ et
HR > HV. Ce qu'il restait à prouver.

Si l'on prend le point R sur le rayon AN, quand même les droites MR,
RH se trouveraient dans le prolongement l'une de l'autre, comme dans
la figure suivante (^g. i lo), — la démonstration étant d'ailleurs indé-

Fiur. iiu.

pendante de ce cas particulier, - le résultat sera le même, c'est-à-dire

que l'on aura toujours PR -t- RH > IN + NH.

^ . . , MN RN , DN NO ., . , •

faisons, comme ci-dessus, -rr^ ~ W\ ^ Wi ~ NV' ^ ' *'"''

RN>NOetNO>NV.

MR= = MN- -+- NR- - 2DN.NR. A 2DN.NR on peut, d'après le même
raisonnement que ci-dessus, substituer 2MN.NO; d'ailleurs NR->NO-;
donc MR- > MN- + NO- - 2MN . NO. Mais

MN- + NO'^ - 2 MN . NO r:^ M0^

Donc MR" > M0= et MR > MO.

156 ŒUVRES DE FKIUl AT. [17S, i7ii|

,,. , , , ,. I)N MN NO ,

1) autre pari, on a, par coiislriiclion, = .^=x— ^; donc,

. . . iMN M . , y j MO IV , . .
ncissirn : ^^- = ^-^^ cl (Inulcndo : -^iu = în^' et iHCissim :

MO _ ON DN _ MR

IV ~ NV ~ NS "^ UP ■

Mais on a piouvo quo MR >■ iMO; donc PR !> I\ . Il losto à prouver,
pour établir la proposition, que RH >> HN + NV; ce qui est très facile
d'apri's ce qui précède.

Kn eiïet RH-= HN-+ NR^ + 2SN.NR; à 2SN.NR on peut substi-
tuer, comme on l'a vu, 2HN.NV; d'ailleurs NR->NV-. Donc

HR^> HN'-i- NV'-h aHN.NV;

donc, comme ci-dessus, HR > HN + NV.

Il est donc certain que la somme des deux droites PR, RH, quand
même elles ne formeraient ([u'une droite uni(|ue PRH, est toujours
supérieure à la somme IN + NH. c. 0. f. d.

[181,182] MÉTHODE D'ELIMINATION. lo7

NOUVEAU TRAITEMENT EN ANALYTIQUE
mCO.^INUES SECONDES ET D'ORDRE SUPÉRIEUR.

La réduction aux premières des inconnues secondes et d'ordre supé-
rieur, opération de la plus haute importance en Algèbre, trouve son
fondement dans la seule proportion de la double équation, à réitérer
autant de fois qu'il est besoin, ainsi que le montre la marche elle-
même de la question.

Soit proposé

a' -h e^ = ;'" et ha + e- + de zzz n-.

Pour ramener la seconde inconnue à la première, voici les règles :

Faites passer dans un membre de l'équation tous les termes où
entre la seconde inconnue. Ainsi, dans l'exemple choisi,

(le «' -t-e' —:"\ lirez: z"'~a^=e^;

de ba 4- ('■- 4- (f e = n-, n- — ba=^ e"- -^- de.

De la sorte dans chaque équation les termes en e, c'est-à-dire ceux oii
entre la seconde inconnue, constituent un des membres de l'équation.
Si cette équation double est ramenée à une proportion, on aura

j'" — à^ : e^ :: n- — ba : e- -+- de.

En égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, tous les
termes seront divisibles par e, la seconde inconnue, ce qui est évi-
dent, puisque e figure dans le second et le quatrième membre de la
proportion.

158 ŒUVRES DE FERMAT. [is?, 183)

On aura

;"'eî_rtV^-t-3"'n'(' -rt-'£/f--«'t''-/;ae'.

Divisez par f jusqu'à ce qu'un ternie soit entièrement débarrassé do c :

-"■e _ rt»,. + ;■'■«' — a^d — n'-e"— hae\

Cela fait, cette nouvelle équation sera, par rapport à la seconde
inconnue, d'un degré moins élevé que la plus haute des deux pro-
posées en premier lieu. On voit en efTet que dans la plus haute des
deux premières proposées entre f\ dans cette dernière, le terme le
plus élevé par rapport à c est en e-.

Il ne faut pas s'arrêter ici, mais réitérer la proportion sur la double
équation, jusqu'à ce qu'on ait ramené la seconde inconnue au premier
degré, afin d'éviter tout radical.

Préparons donc cette dernière équation de la manière prescrite et
formons un membre de l'équation avec tous les termes en e, quels
qu'ils soient; on aura

Des deux premières équations, la moins élevée donne, comme nous

l'avons dit :

n- — &a ^= c- -t- de.

Ramenez encore cette double équation à une proportion

z"^d — a^d : n- e- — bac- — 3'" e -)- (?' e : ; n- — ha \ c- -t- de.

Égalons le produit des moyens à celui des extrêmes; tous les termes
pourront être divisés par c, comme on l'a montré. On aura

z'"de--^ z'"d-e — o'de-~a^d-e

-t- n'e- — nrbae''' — «-3"'e + /i-a'e — ban-e^-{- b-a'^e-z^ hz"'ae~ ba^'e.

Divisant tout par e, il vient entin

z'"de + z"'d'-~a^de - a^d'-

= n^e — nrhae — /i-j"'+ n-a^ — ban-c -h b-a^e + b:"'a — ba\

Cela fait, cette nouvelle équation est encore, relativement à la

[183,184] MÉTHODE D'ELIMINATION. 159

seconde inconnue, abaissée d'un degré. Si l'on fait passer dans un
membre de l'équation tous les termes où entre e, on a

= n'*e — n- bae — ban-e -i- b-a-e — z'"de -+- a^ de.

Il n'y a pas lieu d'aller plus loin, puisque la seconde inconnue ne
se trouve plus qu'au premier degré, si bien que, par une simple divi-
sion, on aura la relation de ^ à la première inconnue. Ainsi

z}''d'- -~n''d'^n"-z'''-n'-a^—bz'"a^ba'

e= — ; —. —. r-, — -, 777-1 nr"" c. q. f. t.

iv — II- ba — n- ba -\- b- a- — z d -\- a^ d

Pour ramener la recherche des deux inconnues à celle d'une seule,
il faut reprendre une quelconque des deux équations primitives; la
moins élevée est plus convenable pour que le degré de l'équation
finale ne monte pas trop haut.

Ainsi nous avons dans une des deux équations primitives :

ba -^ e- ->r de T= n- .

Au lieu de e on substituera sa valeur trouvée qui est exprimée au
moyeu soit de termes connus, soit de la première inconnue qui ici
est a. Puis on ordonnera l'équation par rapport à cette première
inconnue. Il est clair que la seconde sera éliminée, qu'on sera arrivé
à une équation libre de tout radical et que la méthode est générale.

Si en effet on proposait plus de deux inconnues, la méthode, réitérée
autant qu'il le faudra, exprimera par exemple la troisième en fonction
de la première et de la seconde, puis la seconde en fonction de la pre-
mière, toujours par le même moyen.

APPENDICE A LA METHODE PRECEDENTE.

La méthode précédente permet en Algèbre une élimination com-
plète et absolue des radicaux. L'unique procédé que l'on ait jusqu'à

160 ŒUVRES OH FEU M AT. [isi. is:,]

prosiMit possédé pmir colto ('liminalion, Ir climatisme symétrique de
Viète, ost loin d'élrc une invciilion suirisaiito cl assez elficace.
Qu'on propose par exemple

\ bn- — rt' -t- \la- -t- cf? 4- y rf' a ■-- a' + \f ga — «- := n.

Comment l'analyste à la façon de Viète pourra-t-il se débarrasser de
radicaux do cette sorte? La diiOculté ne croîtra-t-elle pas, plus il pous-
sera son travail? Knfin, fatigué et désespéré, n'implorcra-t-il pas de
l'Analyse une- lumière nouvelle?

Elle est clairement fournie par la méthode précédente. Je ne don-
nerai ([u'ini seul exemple très court; car, le principe une t'ois dévoilé,
tout le reste apparaît sans la moindre difFiculté.

Soit proposé y s a- — a^ ■+- ya ' -h b-a ^= d.

D'abord on ordonnera l'équation de façon à en constituer un membre
avec un seul radical.

Soit donc d — ya' -h O'-a — \:a- — a\

Ola fait, on désignera tous les radicaux, excepté celui qui a été
rejeté seul dans un membre de l'équation, par des inconnues secondes,
ou d'ordre supérieur, si besoin est.

Posons donc, par exemple : y/a' -+- b'^a = e.

On arrive ainsi an procédé de la méthode précédente, à la propor-
tion de la double équation. On a en effet : d — e — ''\/za- — a'.

Klevant les divers membres au cube, d^ -{-3dc'- -'5d'-e—c' = :<r — a-':
mais, par hypothèse, e' = a^ -+- b-a.

On a donc une double équation; dans chaque équation, il faut,
d'après la méthode, faire passer dans un même membre tous les termes
oii entre la seconde inconnue. On aura donc

;«■- — «' — r/' =- 3 de- — id'e ^ e^, « ■' -f- 6^ « ;= e''.

On réitérera l'opération jusqu'il c(^ qu'on arrive à exprimer la seconde
inconnue au moyen de la première, (kda fait, on substituera à e sa
nouvelle valeur, dans une quelconque des équations primitives que
l'on ordonnera; on aura résolu la question.

[186] MÉTHODE D'ÉLIMINATION. 161

Je n'ajoute rien de plus, ce serait inutile; je ne m'arrête pas aux
superfluités. Qui ne voit en effet que tous les termes irrationels
peuvent être de même représentés, si une seconde inconnue ne suHil
pas, par des troisièmes, quatrièmes inconnues, et indétiniment ?
Auquel cas on considérera d'abord comme seconde la quatrième ou
dernière, et les autres provisoirement comme première inconnue oti
comme termes connus, jusqu'il ce qu'on ait entièrement éliminé cette
dernière inconnue et ramené les équations h ne contenir que la pre-
mière, la seconde et la troisième. Puis par le même moyen on réduira
la troisième inconnue à la seconde et ii la première, et la seconde ii la
première, comme nous l'avons déjà indiqué.

Il n'y a donc aucune irrationelle qui résiste ii l'élimination par cellf
méthode, dont l'usage est surtout précieux, indispensable même, dans
la résolution numérique des équations. En etTet, aussitôt les irratio-
nelles éliminées, l'artitîce de Viète sera applicable pour la recherche
numérique des racines; si la question ne peut être résolue en nombres
exacts, on aura des solutions aussi approchées qu'on le voudra. Au
contraire, tant qu'il y a des irrafionelles, il est impossible d'arriver
aux solutions approchées.

Une rxECHKRCiiF. plus approfondie a mon(ré que l'on [)0uvait déduire
de lii une méthode 1res remarquable pour la pleine et parfaite connais-
sance des lieux en surface, comme aussi pour les problèmes oii l'on
donne au début de la question plus d'éléments que n'en réclame la
détermination de la construction du problème.

Pour expliquer ceci plus clairement, il va certains problèmes qui
ne reconnaissent qu'une position inconnue, et (|u'on peut appeler
«léierminés, pour les distinguer des problèmes de lieux. Il y en a cer-
tains autres qui ont deux positions inconnues et ne peuvent jamais
être ramenés à n'en avoir qu'une seule : ce sont les problèmes de
lieux. Dans les premiers problèmes, nous recherchons seulement un
point unique, dans les derniers, une ligne. Mais si le problème pro-
posé admet trois positions inconnues, il s'agit de trouver, pour satis-
l'tBMAT. — ni. ai

Hii (KrVIlKS Di; IKIiMAT. (IST]

fairo il la (iiit'slioii, lum plus schIciiiimiI un poiiU on une li^uo, mais
bion iino surface onlièro; de l;> naissciil los lieux en surface, etc.

!)<■ rnèuie (|ue dans les |)i'eniiers problèmes les données snllisent
pour déterminer la (|iieslion, dans les seconds il man(|ne nue donnée
pour la délerminalion : dans les (roisièmes il en man(|ue deux. Mais
il peut se l'aire (|ue, d(> même (|ue dans ces cas les données suirisenl on
son! en nombre iiisnllisanl, au contraire dans d'anlres, les données
soient surabondantes <'t en excès, lu exem[de reiidia la chose claire.

Sur la droite A(- ( //i;'. <)'|) donnée, on donne le |ii'oduit AB x Bd el
la dili'erenco des carrés AH" — BC-.

l'i^'- 9 1-
B,

11 est clair (jiie dans ce cas il y a plus de données que n'en réclament
la détermination et par conséquent la solution de la question. Cepen-
dant ci>s problèmes se présentenl Iri's fréquemment, surtont en Phv-
siqiie et dans les ai'ts manuels; tous |ieuvent se traiter, grâce il notre
méthode, par une simple division, sans recourir ii des extractions de
racine, ii (|uelque degré que puissent monter les équations.

Soit proposé, par exemple, dans une certaine question :

a' -+- U'-a s^ c-d,

et en même temps, parce (jiie nous sup[)osons la ([uestion surabon-
dante (c'est le nom que nous donnons \\ ces |)robliMnes, de même que
nous avons pour ha bi Inde d'appel(>r déficients les problèmes de lieux^ :

a — a' -

b-n".

Ramenez celte double équation \\ une proportion, en traitant, par
l'application de la méthode que nous avons enseignée, notre uni(]ue
inconnue, ici a, comme nous avons fait ci-dessus la seconde, ou bien
celles d'ordre supérieur, et réitérons l'opération jusqu'à ce que la
valeur de a puisse s'obtenii' par une simple division, et être exprimée,
non plus an moyen de rinconnue [iremii're, mais bien en termes entiè-

(issi METHODE DELIMLN ATION. 1(i:î

remeiiL coiiiuis. On aura une solution très simple du problème, et
l'analyste ne sera plus embarrassé par les équations quadratiques,
cubiques, biquadratiques, etc.

Voici, comme couronnement . la solution très simple que notre
métbode donne de ce fameux problème :

Etant donnés une ellipse et un point en dehors de son plan, couper par
un plan, de façon que la section soit un cercle, la surface conicpie avant
pour sonunet le point donné et pour hase l'ellipse donnée.

Les géomètres ramènent la question à prendre ad libitum cinq points
sur l'ellipse, à joindre ces points par des droites au sommet de la
surface cnni(|ue, et à décrire un cercle jiassant par ces cinq droites:
ils trouvent ainsi que le problème est solide. Mais, puisque sur l'el-
lipse le nombre îles points est indéfini, si au lieu de cinq, on en prend
six, le problème sera surabondant, et on arrivera à une double équa-
tion, qui donnera finaleulent l'inconnue par une simple division.

De même, si l'on donne une courbe quelconque plane, ou un lieu
en surface, quel qu'en soit le degré, on pourra trouver les diamètres
et les axes et même, dans la surface-lieu, toutes les courbes constitu-
tives du lieu en surface, etc.

Soit, par exemple, une surface coniiiue dont le sommet soit donné
et qui ait pour base une parabole ou une ellipse ciiliique ou biquadra-
tique, ou de quelque degré supérieur, en allant jusqu'à l'infini. Une
telle surface peut être coupée au moyen de notre métbode de façon à
obtenir une courbe quelconque qui puisse être tracée sur cette sur-
face d'après sa nature, et la solution du problème sera toujours très
simple.

Je n'ajoute rien sur les tangentes des courbes ni sur les autres et
nombreux usages de cette métbode, qui se présenteront d'eux-mêmes à
la réflexion attentive du chercheur analvsle.

UiV ŒUVKKS DE FERMAT. [lîsu, l'jo

SUK LE

PHOl^LËME D'ADRIEN ROMAIN.

Al' TRÈS ll.Ll'STUE CHRISTIAN HUYGENS.

Kii examinant plus attentivement, l'année deinièro, la célèbre
réponse de François Viète au problème d'Adrien Romain, et en tom-
bant sur ce passage du Chapitre VI où ce subtil mathématicien avance
ne pas savoir si Adrien lui-même a bien connu la formation et les pro-
priétés de l'équation qu'il a proposée, j'ai commencé à douter ([uc
\ ii'le de son côté eût bien donné et découvert une solution suifi-
saiument générale de cette fameuse équation.

Adrien Romain proposait en effet, suivant l'énoncé corrigé par
\'iète, de trouver la valeur-de la racine de l'équation algébrique :

45. r — 3793 j'-(- 95 634 J^' — ' ' J 85oo r' -+■ 781 1370 j:' — 345 1 2075. r"

-i- I o53o 607.5 .r'^ — 3 3267 6280 j:'» -+■ 3 8494 2375x«" — 4 8849 4 1 20 .r"

-i- 48384 iSooa:-' — 3 7865 8800 j;'-' -1- 2 36o3 o652,r-° — i 1767 9100a-'

— 4695 5700 .r-' — i494 5o4o'^"+ 376 4565 d?-'^ — 74 0259 a-'»

I I I I ."lo.r''" — I aSoo.î"'"-)- 945. r*' — 45 x'^ -h x'^^r un nombre ilonné.

Il est cei'tain que Viète a fait une très élégante et très savante réduc-
tion de ce problème, suivant son habitude, en employant les sections
angulaires et qu'il a construit, page 3i8 de l'édition eizévirienne, une
Table importante qu'il est aisé d'étendre indéfiniment à un nombre

[190,191] PROBLÈME DADHIEN ROMAIN. 165

quelcnnqiie de termes en coiitiiuiant à appliquer la méthode dont il
s'est servi; cette Table permet de reconnaître quelle équation corres-
pond à une division spéciale des angles.

Ainsi, si l'on prend d"al)ord. dans les rangs impairs, x^ — ix cl
qu'on égale cette expression à un nombre donné qui soit au plus égal
à 2, la question se ramène à la trisection de l'angle. Si ensuite on égale
x^ — 5 j-^ + Sx à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la ques-
tion se ramène à diviser un angle en cinq parties égales. Si c'est
•r' — -jx^ -\- if\x'^ — 'jx que l'on égale encore à un nombre donné au
plus égal à 2, il s'agira de prendre la septième partie d'un angle; si
l'on continue indéfiniment la Table de Viète selon la méthode qu'il a
donnée, le premier membre de l'équation proposée par Adrien sera le
4'J* terme de la Table, et la question sera ramenée à prendre la 45^ partie
d'un angle donné.

Mais il faut observer que, dans toutes ces équations, la méthode de
Viète et l'emploi des sections angulaires ne sont applicables qu'aux
cas où, comme nous l'avons dit, le nombre donné, auquel on égale
une quelconque des expressions algébriques de la Table, ne dépasse
pas 2; si au contraire ce nombre donné est supérieur ii 2, aussitôt tout
ce mystère des sections angulaires devient inutile et ne rend plus
aucun service pour la solution de la question proposée. '

Cependant Adrien avait proposé en général de résoudre l'équation
en s'en donnant le second membre; il i'aiil donc recourir à un autre
moyen qu'aux sections angulaires de Viète.

Si l'on propose tout d'abord, comme premier cas, d'égaler x^ — 3x
à un nombre donné qui soit au plus égala 2, la question, comme nous
l'avons déjà indiqué, se ramène à la trisection de l'angle; si, au con-
traire, on égale x^ — 3x h 4. ou à tout autre nombre supérieur à 2,
l'équation proposée est résolue par les analystes au moyen de la
méthode de Cardan. Mais, dans les autres cas suivants, la solution
peut-elle être obtenue indéfiniment par des extractions de racines,
voilà ce que les analystes n'ont pas encore essayé; mais pourquoi ne
pas faire progresser l'Algèbre de ce côté, surtout sous vos auspices,

1C6 ŒUVHES I)K l'KIiMAT. [191,102]

illustro HuygiMis, vous doiil (oiis les savaiils lionorciil ii juste tilro le
brillant mérite?

Soi! (loue proposé d'égaler .j-^ — j.r'-i- fi.r à \ ou à fout autre
nombre supérieur à 2. Dans ce cas, la métbode de Viète csl iiiai)pli-
cable ; mais nous pouvons allirmer hardiment, pour résoudre généra-
lement le problème d'Adrien, (|ue pour toutes les expressions de la
Table précitée, toutes les fois que le nombre donné est supérieur à 2,
la question proposée peut être Cacilement résolue par des extractions
de l'acines.

Nous avons en eiïel reiiiar(|iié, bien plus nous avons démontré que,
dans tous ces cas, la question |)eut être ramenée, de même que dans
ré(juation cubi(|ue, ii une ([uadratique par une racine cubique, selon
la méthode de Cardan et de Viète; si l'équation est du cinquième
degré, à une quadratique par une racine du cinquième degré; si l'é-
quation est du septième degré, à une quadratique par une racine du
septième degré, et ainsi de suite indéfiniment.

Soil, par exemple, x' ~ 3j7^ '\. Tous savent que la méthode précitée
donne la racine : a- = y'i -+- y/3 + y 2 — y/3.

.Mais proposons, dans rexem[)le d'Adrien ou de Viète, d'égaler
.r* — î>x^ — 5,r à f ou à tout autre nombre plus grand que 2.

Par une méthode qui est générale et qui s'appliquera indéfiniment
il tous les cas de la Table, nous supposerons que la racine cherchée

est de la forme ■ ; en opérant la substitution, nous verrons tou-

y 1

jours se détruire réciproquement les lermes(fni s'opposent ii la simple
résolution de la question par une extraction de racine; par exemple,
dans le cas proposé, la racine sera y 2 h- v'3 -f- y 2 — y/3.

Si l'on prend la septième expression dans la Table de Viète (je
veux dire celle dont l'exposant de la plus haute puissance est 7), soit

.^' ' — 7 x'' H- 1 4 *■' — -7 .r :^ .'i,-

y- -4- I
et que l'on iniaiçine, comme ci-dessus, x = -^ 1 tous les termes

y

s'opposant à la solution par extraclion.de racine se détruiront de

[192,193] PROBLÈMi: DADHIEX nOMAIN. Hw

même, et l'on troiivora pour la racine clienthée : y 2 ■+- \/3.-h y 2 — y' 3.
et ainsi de suite à l'infini.

C'est ee que vous pourrez non seulement reconnaître par re\|)é-
rience, mais aussi démontrer, aussitôt que vous le désirerez; car c'est
une propriété spécifique de toutes les équations que l'on peut former
avec la Table de Yii'le, que leurs solutions s'obtiennent toujours par
de simples extractions de racines, lorsque lelerme connu est supérieur
à 2.

Or le nombre donné, auquel peut être égalée une expression analy-
tique de la Table, peut être soil 2, soil plus petit que 2, soit plus grand
que 2.

Dans le premier cas. la racine cliercliée es! toujours 2.

Dans le second, la question se ramène, d'après Viète, aux sections
angulaires.

Dans le troisième, elle se résout facilement au moyen de notre mé-
thode, c'est-à-dire par des extractions de racines.

Ainsi, si l'on prend l'expression analytique proposée par Adrien :

45j" — 379) j;'-l- . . =; 4,

15 , = t.-,/ -__

la racine cherchée sera j- = y 2 -f- v'^ + y 2 — y/3 .

Nous n'avons pas à nous aricler plus longtenlps sur un sujet désor-
mais éclairci par des exemples sulfisants; on peut toutefois remar(|ucr
(|ue l'extraction de la racine du '( ">*' ilegré, ou l'iiiviMiliou de (juaranle-
quatre moyennes proportionnelles entre deux (|nanlités données, peut
se ramener très facilement à l'extraclion successive de deux racines
cubiques et d'une racine du "i* degré, ce que montrent suffisamment
les diviseurs .o et 9 du nombre '\j; '> en efret correspond à une racine
du 5* degré, et ç) à l'extraction de deux racines cubiques, puisque ()
est le carré de 3, exposant du cube.

Ainsi. l'invention de deux moyennes proportionnelles réitérée deux
fois et celle de quatre moyennes, opérée une seule fois, fournisseni
([uarante-quatre moyennes et résolyent notre question, de même que

1(58 (EU V H ES l)K TEUMAT. (l!M|

Vii'lf a raïuoiu' la ilivisidu de l'angle en 'i "' paiiit's égales, ee qui est le
|»rol)li'ine d'Adrien, à une é(|ualioii iiil»i(|ii(' reitérée deux fois el ;i une
ét|Uatit>n du 5^' degré, c'esl-ii-dire it nue double li'iseclion el ii une
seule division en >.

.le n'ajonle rien sur les s(dulions niulli[)les de ré(|nali(m ou (|ues-
lion jtropdsée; j'ai seuleuienl donné celle (|ui se |)résenle en |ireiiiiei-
lieu, me réservant ;i ti'ailer ii loisii' des autres dont la diseussiou
demande plus de travail.

Adieu, homme illustre, aimez-moi.

195,196] QUESTIONS DE CAVALIERI. 169

RÉPONSE AUX QUESTIONS DE CAVALIERI.

Il y a longtemps qu'à l'exemple d'Archimède pour sa parabole, j'ai
carré toutes celles en nombre indéfini dans lesquelles les abscisses sont pro-
portionnelles aux ordonnées élevées à une puissance quelconque. Cette
découverte, que j'ai été le premier à faire, a été communiquée à
M. de Beaugrand et à d'autres; cependant je dois dire qne M. de Ro-
berval, qui, sur mes indications, s'était attaqué à ces questions, en a
trouvé de lui-même la solution, et a ainsi donné une preuve de l'heu-
reuse perspicacité de son génie en Mathématique.

J'ai également trouvé les centres de gravité de ces ligures et de
celles qui en dérivent; j'ai employé ii cet effet cette méthode qui m'ap-
partient et grâce à laquelle j'ai aussi bien construit les tangentes des
courbes quelconques, ainsi que leurs asymptotes, entîn tous les pro-
blèmes qui se rapportent à la recherche du maximum et du mini-
mum.

Mais arrivons à la question : le savant Bonaventure Cavalieri de-
mande ce que l'on peut dire des quadratures précitées. J'ai établi une
régie générale qui donne la solution, non seulement quand il y a rap-
port constant entre l'abscisse et une puissance de l'ordonnée, mais
aussi quand le rapport est donné entre une puissance quelconque de
l'abscisse et une puissance quelconque de l'ordonnée; voici l'énoncé
général.

Soit une figure parabolique quelconque EAF {ftg- 1 1 1), et suppo-

CA' EC*
sons, par exemple, .7^^ = -r^- Je prends les exposants des puissances,

tant des ordonnées que des abscisses : l'exposant est 4 pour le bicarré

Kermat. — ni. 22

170

ŒUVRES DE FERMAT.

I 1913, 107 I

do l'ortloniioo; i pour le cuht' de l'abseisso. Je dis donc que le rapport
du parallélogramme KH à rair(> de la figure EAF est le même que celui
de la somme des exposants des deux puissances à rexposant de la

Fig. III.
A

•n/

B \

/

puissance des ordonnées. Ainsi, dans l'exemple proposé, le rapport
du |)arallélogramnie à la figure inscrite sera de 7 à \.

Dès lors, si, |)ar exemple, .-^ = ^, l'exposant de l'abscisse étant

simplement l'unité, le rapport du parallélogramme à la figure sera de

5 à 4-

Il en sera de même indéfiniment pour toutes les figures de ce
senre.

Donc on peut atlirmer ce que le savant Cavalieri ne proposait
qu'avec doute, à savoir que s'il y a rapport constant entre les puis-
sances des ordonnées et la simple longueur de l'abscisse (ou avec le
côté, comme disent les analystes), le rapport du parallélogramme à la
figure est de 2 à i pour le triangle, de 3 à 2 pour la parabole simple,
de 4 à 3 pour la parabole cubique, de 5 à 'i pour la biquadratique, et
ainsi de suite indéfiniment.

Si maintenant, en laissant fixe la droite f.A, on fait tourner la figure
autour d' elle de façon à engendrer un solide, le rapport du cylindre EH
à ce solide se trouvera comme suit :

Le cylindre est au solide dans le rapport de la somme du double de
l'exposant de la puissance de l'abscisse et de l'exposant de la puis-
sance de l'ordonnée à ce dernier exposant.

Soit, par exemple, tt^ — n^i' L'exposant du carré de l'abscisse
est 2, dont le double est 4; ajoutant 3, exposant de la puissance de

[197,198] QUESTIONS DE CAVALIERI. 171

l'ordonnée, on a 7; le rapport du cylindre au solide est donc de 7 à 3
(exposant de la puissance de l'ordonnée).

Par là, j'ai répondu à la seconde question.

Les centres de gravité de toutes ces figures, tant planes que solides,
divisent le diamètre dans le rapport soit du parallélogramme à la
figure plane, soit du cylindre au solide.

Si l'on fait tourner la figure autour de EF, le solide engendré n'es!
plus simple comme précédemment, mais composé. Cependant un
habile géomètre peut facilement établir une proposition simple entre
ce solide et le cylindre circonscrit. Je pourrai le montrer plus longue-
ment et avec des preuves à M. Cavalieri, s'il le désire.

Mais quand il demande si des courbes de ce genre, en dehors du
triangle et de la parabole, peuvent cire des sections coniques, il
semble ne pas penser à leurs propriétés spécifiques; il es( lout aussi
impossible qu'elles soient des sections coniques qu'il est impossible
que la section de la sphère par un plan soit une parabole une hyper-
bole, ou une ellipse.

Je lui demanderai en grâce de vouloir bien nous envoyer d'Italie
quelques problèmes.

17-2

ŒUVRES DE FERMAT.

[199, 2(10]

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

I.

Soit une parabole BAD {Jig. 1 12) doiU AC est l'axe, BC une ordon-
née, AE le paramètre. On demande le rapport de. la courbe AB à la
droite BC.

Kiff. iii.

H

ï

&

I

L

/

""

\

M

Soit l'hyperbole MLO de centre G, d'axe transverse FL égal au para-
mètre AE de la parabole. Soit LN l'axe de cette hyperbole, dont nous
supposerons le paramètre égal à l'axe transverse, en sorte que pour
toute ordonnée on ait MN- = FN.NL. En G, élevons la perpendicu-
laire GH égale à l'ordonnée BC de la parabole; menons HM et LI,
parallèles à GN et GH et par M, point de rencontre de HM et de l'hy-
perbole, menons l'ordonnée MN.

Je dis que le rapport de la courbe parabolique AB à la droite BC est
le même que celui du quadrilatère MHGL (formé par les droites MG,
HG, GL et la courbe ML) au rectangle IG.

II.

Soit donnée {fig- 1 13) la parabole BAD; soient AC son axe, BC une
ordonnée, AE le paramètre; on fait tourner la figure parabolique BAC

[200,201] PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 173

autour de l'ordonnée BC; trouver la mesure de la surface courbe du
solide engendré.

Je construis l'hyperbole MNH ayant HI pour axe, en prenant son
axe transverse HF égal au quart du paramètre de la parabole, c'est-
à-dire de la droite AE, et en faisant le paramètre de cette hyperbole

Fig. ii3.

égal à son axe transverse, en sorte que, pour une ordonnée quel-
conque, on ait IM- = FI . IH. Je prends HI égale à l'axe AC de la para-
bole et je mène l'ordonnée IM. Du produit de CA par l'arc parabo-
lique BA, je retranche l'aire hyperbolique IMH; je construis le carré
égal à la différence. La diagonale de ce carré sera le rayon d'un cercle
égal à la surface courbe du solide engendré par la rotation de l'aire
ABC autour de l'ordonnée BC.

m.

Soit une demi-parabole quelconque AC {fig- 1 1^), de sommet A el
d'axe AB; de cette courbe j'en déduis d'autres en nombre indéfini
comme AF, AE, AD, etc.

Fig. II/,.

Voici la loi de leur formation : pour la courbe AF, l'ordonnée BF est

l-i

ŒUVRES DE FERMAT.

[■201, 'MiJ

égale à l'aiv do courbo parabolique CA, et si je prends un aulre poinl
quolcoiiquc, comme N, par lequel je mène l'orddnnée M', celte ordon-
née NP est de mènie égale à l'are de parabole A(). Pour la eoui'bc EA,
l'ordonnée EB est égale à la courbe FA du second degré et toute autre
ordonnée QN est de même égale à l'arc PA de la mémo courbe du
second degré. De même, pour la courbe AD, l'ordonnée BD est égale
il la courbe EA du troisième degré, et toute autre ordonnée NR à
l'arc QA de la même courbe du troisième degré ; et ainsi de suite indé-
tiniment.

Je dis que toutes ces courbes en nombre indéfini se trouvent dans
un rapport donné avec la parabole simple primitive; voici comment
on peut énoncer le tliéorème général :

Qu'on prolonge indéfiniment la parabole primitive AC par les points
>I, L, K, par exemple, et de même son axe par les points G, H, 1, en
nombre aussi grand que l'on voudra, en prenant BG = GH = HI = AB
l'axe, et en menant les ordonnées GM, HL, IK :

Le rapport de la courbe parabolique AM à la courbe AF du second
degré est celui de l'ordonnée GM à l'ordonnée BC.

Le rapport de la courbe parabolique AL à la courbe AE du troisième
degré est celui de l'ordonnée HL à la droite BC.

Le rapport d(; la courbe parabolique AK à la courbe AD du quatrième
deffré est celui de l'ordonnée Kl à la droite BC.

Et ainsi de suite indéfiniment.

Si l'on fait tourner les figures AMG, AFB autour des ordonnées GM,
BK. le rapport de la surfiice courbe engendrée par la figure AMG tour-
nant autour de GM à la surface courbe engendrée par la figure AFB
tournant autour de BF est égal au rapport de GM^ ii BC^

De même le rapport de la surface courbe engendrée par la figure ALH
lonniaiit autour d(! HL ii la surface courbe engendrée par la figure
AEB tournant autour de BE sera égal au rapport de HL' à BC'.

filt ainsi de suite indéfiniment.

[202, Î031

PROPOSITIONS A LALOUVÈRE.

175

IV.

Soit BA {/îg. II S) une domi-cycloïde dont on déduit une aulre

courbe DA par la condition que le rapport des ordonnées ^^ ou prr

soit constamment égal à un rapport donné. Des géomètres ont dé-
montré que la demi-cycloïde BA est double de la droite AC, diamètre
du cercle générateur de la cycloïde.On demande la relation des courbes
AD à d'autres lignes soit courbes, soit droites.

Fig. ii5.

Voici notre énoncé général : Si ces nouvelles courbes se trouvent,
comme sur la figure ci-dessus, entre la cycloïde et le diamètre ilu
cercle générateur, toutes ces courbes AD et leurs parties seront égales
à des arcs de parabole; si ces nouvelles courbes sont au contraire
extérieures à la cycloïde, comme dans la figure ci-après (Jig- iiO),
toutes ces courbes AD et leurs parties auront un rapport donné à la
somme d'une droite et d'un arc de cercle.

Sur la première figure {Jig- 1 15), le théorème général peut être for-
mulé comme il suit. Construisez AM pour la condition — jTKT^^ — = -TT»-;

' (J)- AW

prenez A comme sommet d'une parabole ayant AM pour paramètre et
AC pour axe; soit G le point de rencontre de cette parabole et du pro-
longement de la droite BDC, H le point de rencontre avec le prolonge-
ment de la droite FEO. Le rapport de la courbe parabolique AG à la

courbe AD sera donné; on aura en effet )-^, = . .,_ ..^^^ et le rapport
des arcs AH et AE sera le même.

Si l'on fait tourner les figures : ACG autour de l'ordonnée (^G, AD(^
autour de la droite DC, le rapport des surfaces courbes engendrées
sera égal au rapport des courbes AG et AD. Il en sera de même pour

176

ŒUVRES DE 1 EUMAT.

(203, 201]

les parties de Hgurc AOH, AEO, si on les fait tourner autour dos
droites OH. OE.

Pour l'autre tigure {fig. 1 16), dans laquelle la courbe AD est exté-
rieure a la eycloide Ali, je lais — ^^, — — am' ^' J^ prends la lon-
gueur AM sur la même direetion que AC; sur eette droile AM, je

lécris un demi-cerele qui sera coupé aux points G et H par les droites
arcAG-i-GC\^

DBC, EFO. On aura
port donné.

arc Al)

arcAH + HOY_ BC

arcAE j ~ 1)C^- CB'^' '"^P"

y.

Soit la parabole AC {fig- 117), de sommet A, d'axe AB, d'or-
donnée CB; de la courbe parabolique CA j'en déduis d'autres en

Fig. 117.

nombre indéfini Cl), CE, CF, par la même méthode que précédem-
ment {fig. 1 14). ^f'iif que cette fois je les fais toutes passer par l'extré-
milé de la même ordonnée, au lieu de les faire toutes passer par le
sommet.

[205,206] PROPOSITIONS A LALOCVÈHE. 177

La propriété de ces nouvelles courbes sera donc que, si l'on mène
GHIOM parallèle à l'axe AB, la droite BD interceptée en D par la
courbe CID du second degré sera égale à l'arc de parabole AC, et la
droite GI égale à l'arc de parabole CH; la droite BE interceptée en E
par la courbe du troisième degré sera égale à l'arc DlC du second
degré et ainsi de'suite indéfiniment pour les courbes et leurs arcs.

Je dis que toutes ces courbes CD, EC, FC, etc. sont égales à des arcs
de paraboles primitives ou simples, qui seront toutefois différentes de
celles qui ont été précédemment égalées aux courbes dérivées. Voici
le théorème général ;

Je construis la parabole RP, ayant pour axe RQ = AB l'axe de la
première parabole, et pour paramètre RV, double du paramètre AN.
Je (lis que l'arc RP de cette parabole est égal à la courbe CID.

Si, avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre RV= 3 AN, l'arc
parabolique RP sera égal ;i la courbe COE.

Si, toujours avec RQ = AB pour axe, on prend le parami'tre
RV=4AN, l'arc parabolique RP sera égal à la courbe CMF.

VI.

Si, autour des droites AB, BD, BE, BF, on t'ait tourner les figures
ACB, DCB, ECB, FGB, etc., on peut construire un cercle équivalent à
chacune des surfaces courbes des solides ainsi engendrés, avec autant
de facilité que l'on peut construire un cercle représentant la surface
(Hturbe du conoïde parabolique engendré par la rotation de la para-
bole AB autour de l'axe AB. Je n'ajouterais pas cette dernière con-
struction que j'apprends avoir déjà été trouvée (sans avoir cependant
connaissance de ce qui a été écrit par d'autres sur ce sujet), si le pro-
cédé n'était pas général et ne s'étendait pas très aisément à tous les
conoïdes engendrés autour des axes BD, BP], BF par ces nouvelles
courbes en nombre indéfini.

Si l'on fait tourner (//g. 117) la courbe CD autour de la droite BD,
voici comment on trouvera la surface courbe du solide engendré :

Construisez, d'après la méthode ci-dessus, la courbe parabolique RP
l'ERjiAT. — ni. 23

178 ŒUVllKS 1)K FKHMAT. 1306.2071

t'iialo à la courbo (".10. cl l'ailcs loiii'iicr ccUo [)aral»()l(> UP autour ilc la

■ -, „,, ,, sMit. conoïde HPQ PQ , ■ , .

(Iroilo KQ. On aui'a ,; —, ,,,,,,1 = 7^> rapixirl dos ordonnées.

^ siirl. coiioide niCB CB ''

Si l'on conslruil de même la parabole IIP éij;alo à la courbe CDE, ou

-lui. conoïdollPQ PO , ■ • , ■,■,.,■•

r,,,,,,, = ,.,,-' 'd ;iiusi de suile ind(dinnuen(.

aura encore

surf.coiioideEOCH CM

VII.

Soil niaiiitenaiit {/if^- iiH) la parabole FBAD d'axe RA, d'or-
donnée VE. Ou demande la mesure de la surface courbe du solide
eni;-en(li'é par la ndalion de la ligure AIÎFK autour de l'axe AE.

Prenez AC égal au (|uarl du paramétre; construise/ l'ordonnée Œ:
prenez EH = A(^, et construisez l'ordonnée GH, puis le carré é(|uiva-
lent à (IBGH, ce qui est facile d'après Arcbiméde. La diagonale de ce
carré équivalent à CBGH sera le rayon du cercle équivalent à la sur-
face courbe du conoïde FAD engendré autour de l'axe AE.

vm.

Le suLdil géomètre qui a récemment démontré l'égalité de la spirale
à la parabole aurait pu concevoir le théorème plus généralement et
établir une comparaison entre un nombre indéfini de spirales e( de
paraboles d'espèces difTériuiles, grâce à la proposition suivante qui
peut être énoncée de l'açf)n à servir d'exemple général :

Soit sur la /ig. )S du Livre di^ Dcttonville {/ig- 119). une spirale
d'espèce quelcDiique, c'est-à-dire telle que le rapport d'une puissance
quelconque du rayon AB à la même puissaïuîc du rayon A(' soit égal

PROPOSITIONS A LALOUVERE.

179

[207, 208]

au rapport d'une puissance quelconque de la circonférence totale
BP]8B à la puissance semblable de l'arc E8B.

• 'S' ï'9'

Construisez la [)arabole dont la demi-base ou la dernière ordonnée
RP soit égale au rayon AB, et dont l'axe AR soit égal à une fraction de
la circonférence totale BE8B, fraction ayant pour numérateur l'expo-
sant de la puissance du rayon AB, et pour dénominateur la somme
des exposants de la puissance du rayon AB et de la puissance de la
circonférence BE8B; qu'enfin les puissances des ordonnées de la
parabole, ayant pour exposant la somme de ceux des puissances du
rayon AB et de la circonférence BE8B, soient entre elles dans le même
rapport que les puissances des abscisses dont l'exposant est celui de
la circonférence BE8B. Je dis que la spirale et la parabole ainsi con-
struites seront toujours égales entre elles dans tous les cas.

Par exemple, soit d'abord la spirale d'Archimède et la parabole

simple : ^n = Ê8B~' 'construisez la parabole AQP ayant pour

dernière ordonnée RP =AB, et pour axe AR une fraction de la cir-
conférence BE8B, ayant pour numérateur l'exposant de la puissance
du rayon AB (ici r) et pour dénominateur la somme des exposants des
puissances du rayon et de l'arc (ici 2; car dans ce cas l'exposant de la
puissance de l'arc est i). Ainsi l'axe AR devra èlre 4 de la circonfé-
rence constitutive de la spirale, et dans la parabole, une puissance de
l'ordonnée RP ayant pour exposant la somme de ceux des puissances
du rayon et de l'arc (ici 2) doit être à la puissance semblable de l'or-
donnée GQ comme une puissance de l'abscisse AR ayant pour expo-

180 ŒUVRES DE FKRMAT. [208,209]

saut celui tlo la oiri'oiil'oroiico HHSR (ici i) est à la puissance soni-

Mablo do l'abscisse AG, c'cst-à-dirc (iiic l'cm doil avoir : ( ^ttt] = -r-r-

' \ () Q / b A

La C(uirl)c paralxdiqiie VQ\ et la spirale BCDA seront égales.

^ . , , AB= cire. RESB ,, ,,

Siip|)osoiis niainteiiaiit : t-;^ = „ ^, „ • Dans ce cas I exitosant

' ' AL- aie L8I5 '

de la puissance du rayon AB est 2, celui de la puissance de la circon-
lercnco est i. La parabole se construira suivant la règle ci-dessus :
i"ord(uinee KP sera prise égale an rayon AH, l'axe AR = f cire. BK8B,

enfin ijç^) = ç-r- (-ette parabole et la spirale correspondante seront
éa;ales.

o , AB cire. BE8B ,^ , r 1 i- 1 ■ nn

boit encore : .-r = t~' 'Jans la parabole, I ordonnée lil'

'^'^ arcESB

sera prise égale au rayon AB, l'axe AU = [ cire. BE8B, et enlin

{f-Tx) = ij~î) • " > 'i'""' toujours égalité entre la paral)ole et la spi-
rale.

t; -, ,> , , . , AB^ circ.BESB' , , , ,

Soit entin dans la sjtirale : ytï = 1^; dans la parabole

^^ arcESB

correspondante et égale a cette spirale, on aura, comme toujours, l'or-
donnée RP = AB, l'axe RA = fcirc. BE8B, et enfin pour le rapport

1 I • f 1 k • " /HP\' /AR\'

(les ordonnées et des abscisses : ( y^ j = ( ttj- 1 •

La métbode sera indéfiniment la même pour comparer les spirales
et les paraboles d'espèce quelconque. Il n'y aura d'ailleurs aucune
difficulté pour égaler des arcs de spirale augmentés ou diminués avec
des arcs de la parabole correspondante. D'après ce qui précède, il y a
à l'intérieur d'un même cercle nue infinité de spirales différentes d'es-
pèce et de longueur; bien [)lus, il y en a une infinité qui surpassent
la circonférence du cercle, ce que l'on peut compter parmi les mer-
veilles de la Géométrie. Cependant il n'y en a pas qui ne soit infé-
rieure à la somme de la circonférence et du rayon, et il n'y en a pas
qui ne soit plus grande que le rayon.

[:il,2l2] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 181

DE LA COMPARAISON

DES LIGNES COURBES AVEC LES LIGNES DROITES.
DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE.

Jamais encore, que je sache, une ligne courbe purement géomé-
trique n'a été égalée par les géomètres à une droite donnée. Ce qu'en
effet un subtil mathématicien anglais a récemment découvert et dé-
montré, que la cycloïde primaire est quadruple du diamètre du cercle qui
l'engendre, parait devoir se limiter, d'après l'avis des plus savants
géomètres. Ils pensent en ell'et que c'est une loi et un ordre de la
nature qu'on ne puisse trouver une droite égale à une courbe, à moins
de supposer d'abord une autre droite égale à une autre courbe, el
prenant cet exemple de la cycloïde, ils montrent qu'il en est ainsi
dans ce cas. Je ne le nie pas; il est clair en effet que le tracé de la
cycloïde suppose l'égalité d'une autre courbe avec une droite, à savoir
celle de la circonférence du cercle générateur de la cycloïde avec la
droite qui est la base de la cycloïde. Mais on va voir ci-dessous ce
qu'il en est de cette loi de la nature qu'ils établissent, el combien il
est dangereux sur un ou deux faits d'expérience de conclure aussitôt
un axiome. Je vais en effet démontrer Végalité à une droite d'une
courbe véritablement géométrique et pour la construction de laquelle on
n'a à supposer aucune égalité semblable d'une autre courbe avec une
droite, et je traiterai toute la question aussi brièvement que pos-
sible.

Proposition I.

Soit {fig. 120) une courbe quelconque AHMG concave vers un même
<^ôté, par exemple une des paraboles en nombre infini, dont les tangentes

182 (K U V R lî S 1 1 !•: F E I{ M VP. [ 'ilî, 213 ]

rencontrent en dehors de la courbe la hase AF et l'axe FG. .le prends sur
une courbe de cette nature un /)()int (jiwlconque H par lequel je mène la
tangente XWK; sur celle-ci je prends, de côte et d'autre, les points K, I.
d'où j'abaisse IB. KD perpendiculaires sur la base AF et coupant ta
courbe aux points R, M. Je dis que le segment HI de la tangente est plus
petit que l'arc de courbe RU, qu'au contraire le segment HK de la même
tangente est plus grand que l'arc de courbe HM.

Fi;;. 120 (i).

A B C D li F

Ku L'fl'et, puisque, par hypothèse. Va tangente Kl rencontre la base
AF en dehors de la courbe, l'angle CHI que tait la perpendiculaire HC
à la base avec la tangente HI est plus petit qu'un droit, et par con-
séquent la perpendiculaire abaissée de H sur la droite BI tombera
en V au-dessus des points B, R, 1. On en conclut que HV •< HI et que
HI est plus petit que la droite qui joint les points H, R. Donc, a for-
tiori, HI est plus petit que Tare de courbe HR sous-tendu par cette
droite qui joint les points H, R. Premier point qu'il fallait démontrer.

.le dis maintenant que le segment KH est plus grand que l'arc de
courbe HM. Du point K je mène à la courbe la tangente KN, et j'abaisse
la perpendiculaire NE. I! est prouvé, par ce qui précède, que
KN<^arcNM. Mais, d'après Archiniède, la somme des tangentes
HK -I- KN > arc HN. Donc segment HK > arcHM. Second point qu'il
fallait démontrer.

Il n'y a pas à objecter que la tangente menée du point K peut tomber
au delà du point G. (lar, dans ce cas, on peut prendre un autre point
entre K et M, et employer le raisonnement précédent.

II. sriT de là que, si des points K, I on abaisse sur l'axe des perpen-

DISSEUTATION GEOMETRIQUE.

183

[213, 214]

diculaires qui coupent la courbe on 0, P. on aura, dans le cas de la
figure, HI > arc HO et HK < arc HP.

Si l'on imagine en effet la figure retournée, en sorte que l'on prenne
l'axe comme hase, et la base comme axe, la démonstration sera non
seulement semblable, mais absolument identique.

Il résulte enfin de la construction même que, si BC = CD, on a les
segments des tangentes HI = HK. Ce qu'il est important de remar-
quer.

Propositio.n II.

Pour mesurer les lignes courbes, je ne me servirai pas de lignes
inscrites et circonscrites à l'exemple d'Archiniède, mais seulement do
circonscrites formées par des segments de tangentes; je démontrerai,
en effet, qu'il y a deux séries de tangentes, l'une plus grande que la
courbe, l'autre plus petite, et les analystes verront que la démonstra-
tion par les circonscrites seules est beaucoup plus facile et plus élé-
gante.

Je dis donc qu'il est possible, suivant l'esprit de la métliode d'Archi-
niède, de circonscrire à une quelconque des courbes précitées deux figures
composées de droites, et dont l'une surpasse la courbe d'une différence
inférieure à un intervalle donné quelconque ; dont V autre soit au contraire
plus petite que la courbe d'une différence également inférieure à un inter-
valle donné quelconque.

Soit {fig. i2i) une (|uelconque des courbes précitées : je partage
la hase AG en un nombre quelconque de parties égales, AB, BC, CD,

Fig. 121 (2).

M I

DE, EF, FG; par les points B, C, D, E, F, j'élève les perpendiculaii'es
BQ, CV, DZ, ER, FM, qui rencontrent la courbe aux points P, T, Y,
N, 0. Je mène les tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01.

184

ŒUVHES 1)K l'KUMAT.

[211, 215]

D'après la preinii-re proposition : tangeiilo AQ>>arcAP; (angcnlo
PV > aiT PT; etc. ; oiitin tangente 01 > arc OH. Donc la figure formée
par tons les segments des tangentes AQ, P\ , TZ, YR, NM, 01 est pins
grande (|ne la conrbe.

•Mais soient la même conrbe {J'g- l'-îa') et la base AG divisée en
aniant de parties égales aux points H. (',, D, E, V. Kn ces points B, G,

ABC D E P G

D, E, F, j'élève encore des perpendiculaires BR, CQ, DO, EL, FI, qui
rencontrent la courbe aux points S, P, N, M, K. Au point S, je mène
la tangente ST jusqu'à la rencontre avec la perpendiculaire AT; puis
aux points P, N, M, K, H, les tangentes PR, NQ, MO, KL, HI, ren-
contrant les perpendiculaires BS, GP, DN, EM, FK aux points R, Q, 0,
L, I. D'après la première proposition : tangente ST-^ arc AS; tangente
PR<arcPS; etc.; enfin la parallèle à la base, IH<arcKH. Donc la
figure, formée par tous ces segments de tangentes ST, PR, NQ, MO,
KL, HI, sera plus petite que la conrbe.

Mais, d'après le corollaire de la proposition I, les segments pris sur
les deux côtés des tangentes en un [)oint de la courbe, et correspondant
de part et d'autre à des segments égaux de la base, sont égaux entre
eux. Par conséquent, pnisque les courbes des figures 2 et 3 sont sup-
posées égales ou plutôt comme ce n'est qu'une même courbe et que.
si nous avons tracé deux figures, ce n'a été que pour éviter la confu-
sion, on a : tangente ST (3^ figure) = tangente PV (2* figure) : le
point S (3* figure) étant identique à P (2* figure), et les segments AB,
BG de la base étant égaux de part et d'autre dans les deux figures, les
segments pris des deux côtés sur la tangente et correspondant à ces
segments égaux de la base doivent en effet être égaux, c'est-à-dire que
ST (3' figure) = PV (2"^ figure).

[215,216] DISSERTATION GÉOMÉTlîIQ UE. 183

On prouvera de même que PR (3'' figure) = TZ (2'' figure); etc.
pour les autres segments. Il n'y aura que le premier de la 2" figure et
le dernier de la 3^ qui ne seront pas égaux à quelque segment sur
l'autre figure. Donc l'excès de la figure 2 sur la figure 3 est égal à
celui de la tangente AQ (2'' figure) sur la tangente IH (3'' figure).
Mais, à cause du parallélisme, IH est égal à un segment de base, FG ou
AB, puisqu'on suppose tous ces segments égaux dans les deux figures;
donc la 2' figure, composée de tangentes et plus grande que la courbe,
surpasse la 3" figure, composée de tangentes et plus petite que la
courbe, de l'excès de la tangente AQ sur le segment AB de la base qui
lui correspond (2'' figure).

Si donc nous voulons circonscrire à la courbe deux figures, l'une
plus grande, l'autre plus petite, et dont la différence soit plus petite
qu'une quantité donnée quelconque, la construction sera très facile.
La tangente au point A (fig- 121) est donnée d'après la méthode des
tangentes déjà connue, donc l'angle QAB est donné; mais l'angle QBA
est droit; donc le triangle QAB est donné d'espèce, donc le rapport

TTT- Il f'ftut donc régler la division de la base en sorte que la différence

AQ — AB soit plus petite qu'une droite donnée quelconque ; pour cela,
il suffit de chercher deux droites dans le rapport donné et dont la dif-
férence soit plus petite que la droite donnée : problème facile. On
prendra ensuite un segment quelconque AB de la base, avec la seule
condition qu'il soit au plus égal à la plus petite des deux droites satis-
faisant audit problème.

Nous aurons ainsi trouvé deux figures circonscrites à la courbe,
l'une plus grande, l'autre plus petite que cette courbe, et telles que la
différence de ces figures soit inférieure îi un intervalle donné quel-
conque; a fortiori, l'excès de la plus grande des circonscrites sur la
courbe et celui de la courbe sur la plus petite des circonscrites seront
chacun plus petits encore.

On voit donc que notre méthode par double circonscription ouvre
un accès facile à la méthode d'Archimède, quand il s'agit de la mesure
feumat. — m. 24

186 ŒUVRES DE FERMAT. [21G, 2171

des lignes courbes. Il siilïit de l'avoir dit une fois et de l'avoir dé-
montré.

Cela posé, j'affirme hardiment qu'on peut trouver une courbe vraiment
géométrique égale à une droite donnée. Cette courbe est une des paraboles
en nombre infini, sur lesquelles nous avons spéculé il y a déjà longtemps;
c'est celle où les cubes des ordonnées sur l'axe sont proportionnels aux
carrés des abscisses de l'axe. Pour que les géomètres n'aient pas à douter
de mon affirmation, voici la démonstration en peu de mots.

Proposition III.

Soient {Jig. i23) MIVA la parabole dont je viens de parler, A son
sommet, AN son axe, I un point quelconque pris sur la courbe. Si je mène

<-^D

M R

H G

les perpendiculaires ou ordonnées sur l'axe MN, \Y , j' aurai constamment
jr^ = ^-ri,- Il faut prouver que la courbe MIA est égale à une droite

donnée.

AN^ NM
.le pose iT-rp^ = x^iY' AD étant pris perpendiculaire îj AN; il est clair

que AD sera le paramètre de la dite parabole, c'est-à-dire que
ADxAN° = NM' et que, si l'on prend un autre point I, on aura
encore pour le cube de l'ordonnée : AD x AF-=1F'. Cela n'a pas besoin

(217,2191 DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 187

de démonstration, et nous n'avons pas à nous arrêter à ce qui est trop
facile.

Je mène la tangente au point I, soit lOE, E étant son point de ren-
contre avec l'axe AN. D'après la méthode des tangentes, on aura

T?< AT- - . FE 3 , EF^ o

rA = 2 Ah, par conséquent t-f — -' donc tt-t, = j-

.le prends CD = - AD, et le milieu B du reste CA; on aura
'^ 9

DA _ 9 _ EP

ÂB ~ 4 "" AF-"

Donc AD X AF- = FE- x AB. Mais AD x AF- = IF^ ; donc

PP2 TP

AB x EF^ = IF^ . Donc yr^ = TIj ' ^' componendo (comme EF- h- IF- --- IE-) :

lE^ _ IF + AB
IF^ ^ AB

Si je mène du point I, perpendiculairement sur la base, la droite IH,

si je trace une autre perpendiculaire quelconque GQVO, rencontrant

l'ordonnée IF en Q. la courbe en V, et la tangente en 0, les triangles

, , , , , , 10 lE ,. , 10' lE*

semblables donneront ,-pn — îtf- = ,-f' ci ou ït.-, = n^-

IQ( ™ HG) W HG^ IF^

>, . lE'- IF+AH r, 10- IF+AB . . , ,

Mais i-^, — — 7-n Donc vttt, = — rn — ' relation constante que le

IF- AB HG- AB i j

me proposais de démontrer.

Il suit de là que, si sur le prolongement de MN on prend NX = AB,

on a toujours tttt; ou (pour la tangente et le segment de base de l'autre

côté, qui, à cause des parallèles, donnent toujours le même rapport)

lY- H\

jT|p = ™^ Car HX = IF -j- AB et NX = AB, ce qui est évident d'a-
près la construction, puisqu'à cause des parallèles on a HN =^ IF, et
qu'on a pris NX = AB.

Proposition IV.

Soit {fig. 124) AXE cette parabole dont la propriété, comme nous
avons dit, est que les cubes des ordonnées soient proportionnels aux
carrés des abscisses sur l'axe. Soient AI l'axe, El la base ou demi-
base; l'axe AI et l'ordonnée lE étant donnés, on trouvera, comme ci-
dessus, le paramètre AD, dont on retranchera le neuvième, CD; après

188 ŒUVRES DE FERMAT. [2in, 221]

(|iu)i on proiulra \o iniliou B du rcsto \C Je divise la base El en autant
do parties égales que l'on voudra EF, FG, GH, HI; aux points F, G, H,
j'élève les perpendiculaires FX, GY, HZ, qui rencontrent la courbe
aux points X,.Y, Z. Par les points E, X, Y, Z, je mène les tangentes
ER, XS, YT, ZV qui rencontrent le prolongement des perpendiculaires
FX, GY, HZ, lA aux points R, S, T, V. Enfin je prends, sur le prolon-
gement de El. IK^ AR.

2.'| (5).

Il résulte de la proposition précédente et de son corollaire que l'on
ZV HK , . YT^ GK XS^ FK ^ ER^ EK
■^ HP = KT' ^' "^«"^^ GIF =KÏ'¥(r^=M' ^"^'" ËF = KT-

Cela posé, en K j'élève KL perpendiculaire sur EK, et je prends
KL = Kl = AB. J'imagine maintenant qu'avec K comme sommet, KE
pour axe, on décrive la parabole simple ou parabole d'Archimède, de
paramètre KL. Soit KMQ cette parabole, j'élève jusqu'à sa rencontre
les perpendiculaires EQ, FP, GO, HN, IM qui en seront évidemment
les ordonnées, et qui seront dans le prolongement des perpendicu-
laires FX, GY, etc.

/V- HK

Comme nous l'avons déjà dit, ~ — -rrr ■ Mais, en multipliant les

HK

Hl- ~ Kl
HK.KL

deux termes par KL, on a "^ = '"'^"'Y'; or, d'après la nature de la
parabole d'Archimède, HK.KL rr- HN- ; d'ailleurs IK.KL = KL% puisque

zy

KL- "^ Hi^ """^ KL "~ Hl'

I on a pris KL = Kl. Donc îtt^ = r.^- Donc

[Ml, 2ÎÎ] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 189

Nous prouverons de même que l'on aura, entre les tangentes et les

, , , , YT GO XS FP ,, ER EQ

ordonnées, les rapports : gh = ÏÎL' FG = KL' '^"^•" EF = Kl'

ZV HN
Mais, puisque uî = îti-' ei égalant le produit des extrêmes à celui

des moyens, on a NH.HI = KL.ZV. De même, OG.GH = KL.YT, et
PF.FG = KL.XS, enfin EQ.EF = KL.ER.

Mais pourquoi s'arrêter plus longtemps sur une question aussi
facile, lorsque nous arrivons ainsi immédiatement à la méthode d'Ar-
chimède? En inscrivant et en circonscrivant les figures au segment
parabolique, la somme de tous les rectangles QE.EF, PF.FG, OG.GH,
NH.HI, représentera le segment parabolique EQMI; la somme des tan-
gentes ER, XS, YT, ZV, en redoublant la circonscription, conformé-
ment aux règles de notre méthode, représentera la courbe même
EXYZA. Donc le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL
par la courbe EXA. Or le segment parabolique EQMI est donné en
rectilignes, puisque Archimède a carré la parabole et par consé-
quent ses segments. Donc le produit KL x EXA est donné; mais KL
est donné, donc la courbe EXA, et l'on peut trouver une droite qui lui
soit égale. ■ c. o. f. d.

Si quelqu'un trouvait cependant cette démonstration trop rapide, je ne
refuse pas de donner à part le raisonnement complet, en suivant les traces
d'Archiméde; ceux qui estiment que ce qui précède ne suffit pas pourront
lire et examiner le raisonnement qui suit :

11 faut prouver que le segment parabolique EQMI = KL x EXA.
Posons, d'après Archimède, EQMI = KL x p. KL et [3 sont donnés.

Si nous prouvons que p -= EXA, notre proposition sera établie.

Je dis donc que j3 =^ EXA. Si en effet elle n'est point égale à cette

courbe, elle sera ou plus grande ou plus petite. Soit d'abord j3 > EXÀ
et soit, dans cette hypothèse, o leur différence.

D'après la proposition II, nous pouvons circonscrire à la courbe EXA
une figure composée de segments de tangentes et qui soit supérieure
à la courbe d'un intervalle moindre que o. Supposons cette circon-

li)0

ŒUVRES !)!•: l KHM.VT.

[ r^î, 223 ]

scriptioii effectuée et représentée dans une tigiire à part {^fti^\ i-iS"),
marquée cinquième en cliilTre romain, où cet ensemble de segments
de (angentes, ER + XS + YT -+- ZV, d'après ce qui a été démontré,
est plus grand que la courbe EXA. Mais on suppose également p plus
grande que cette courbe, et l'excès de la figure circonscrite sur la
courbe est inférieur à celui de p sur la courbe. Donc la figure circon-
scrite est plus petite que j3. Donc le produit de KL par la circonscrite

Kig. I2-) (V).

est inférieur à KL x p. 31ais KL x ^ est égal au segment parabo-
lique EQMI. Donc le produit de KL par la circonscrite est inférieur
à ce segment parabolique EQMI.
Or nous avons prouvé que

KL X ER - QE X EF,
KL X XS = PF X FG,
KLx YT = OGxGH,
KLxZV = NHxHL

Donc, en sommant, le produit de KL par la figure circonscrite est
égal à la somme QE x EF -f- PF.FG 4- OG.GH + NH.HI. Si mainte-
nant, sur les droites FP, GO, HN, IM qui décroissent continuellement
à mesure qu'elles se rapprochent du sommet de la parabole, on
abaisse, des points Q, P, 0, N, les perpendiculaires (parallèles à la

[223, 224J DISSERTATION GEOMETRIQUE. 19t

base) Qy, PO, 01, N9, il est clair que le rectangle QEFy^ QE.EF;
de même OF =. PF.FG; >^G = OG x GH; enfin çpH = NH.HI. Donc le
produit de KL par la circonscrite est égal à la somme des rectangles
7E, GF, XG, oH.

Mais nous avons prouvé que ce produit de KL par la circonscrite est
inférieur au segment parabolique EQML Donc

■/E -+- 5F + )>r, -f- <pH < EQMI ;

ce qui est absurde, puisque la somme forme une figure composée
de rectangles, évidemment circonscrite au segment parabolique, et
par conséquent supérieure. Donc j3 n'est pas plus grande que la
courbe EXA.

Nous allons prouver qu'elle n'est pas plus petite. Supposons en

effet j3 < EXA, et soit S l'excès de la courbe sur la droite p.

Circonscrivons à la courbe sur une figure (^g- 126) séparée (dési-
gnée comme cinquième en caractère grec) une suite de segments de

tangentes inférieure à la courbe EXA, mais en sorte que l'excès de la
courbe sur elle soit inférieur à 0. Soit cette suite de segments de tan-
gentes : XR -^ YS -H ZT + AV.

Comme l'excès de la courbe sur ^ est égal à 5, et que l'excès de la
même courbe sur la figure circonscrite est moindre que 0, la circon-
scrite sera plus grande que [3, donc son produit par KL sera plus

192 ŒUVRES PE FERMAT. [2^1. 2251

graïul qiio lo segment parabolique EQ.Mf. Mais, d'après ce qui a été
démontré, le produit de KL par la circonscrite est égal à

PF X FE -t- OG X (.F 4- NH x IIG -f- MI x III.

Kn eflet. -„!?■ = cT' •l""^' ^^^ -< XR — PF x FE, et ainsi de suite
pour les autres.

Puisque le produit de KL par la circonscrite est plus grand que le
segment parabolique EQMI, la somme des rectangles

PF . FE + OG . GF + NH . GH + MI . III

est supérieure à ce segment parabolique. Mais si on mène les perpen-
diculaires (parallèles h la base) Py. OO, N\, Mcj/, qui rencontrent les
ordonnées à l'intérieur de la parabole (car les ordonnées croissent à
mesure qu'elles s'éloignent du sommet), les rectangles ainsi construits
PE, OF, NG, MH seront respectivement égaux aux précédents. Donc
la somme PE -i- OF + NG -!- MH sera supérieure au segment parabo-
lique. Ce qui est absurde, car ces rectangles PE, OF, NG, MH compo-
sent une figure inscrite dans le segment parabolique et par conséquent
plus petite.

Donc fl n'est pas inférieure à la courbe EXA. Ne lui étant ainsi ni
supérieure, ni inférieure, elle lui est égale. C'est ce que nous avons
voulu démontrer longuement pour écarter tout scrupule.

De ce qui a été démontré, ressort que l'on peut établir avec la même
facilité l'égalité entre un segment parabolique quelconque EQPF, re-
tranché du premier, et le produit de la donnée KL par la courbe EX.
Si donc on donne sur la base un point quelconque F, comme, d'après
Archimède, le segment parabolique EQPF est donné en rectilignes, le
produit KL x EX est donné ; mais KL est donné, donc l'arc EX. Par
conséquent, si l'on donne sur la base un point quelconque F, il est
clair que l'arc de courbe correspondant est donné et qu'on peut assi-
gner une droite qui lui soit égale.

Il s'y a pas à objecter que, pour trouver une droite égale à la
courbe EXA, il semble falloir construire une parabole simple, ce qui

[225,226] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 193

rendrait le problème solide. Car le tracé de cette parabole n'est sup-
posé que pour rechercher la vérité et faire régulièrement la démon-
stration; rien n'empêche qu'on ne dissimule ce tracé imaginaire de
parabole, et qu'on ne fasse le calcul en ne laissant apparaître que des
droites et des cercles. Sauf erreur, voici ce calcul.

Soit (^^. 127) la courbe parabolique DAC, telle que les cubes des
ordonnées DB et NM soient proportionnels aux carrés des abscisses de
l'axe, BA, AM. On donne la hauteur AB, et la demi-base BD, ou la base
totale DBC. Je dis que la droite prouvée égale à, la courbe DAC est
donnée par un calcul véritablement géométrique.

Fig. .27 ((!).

Soit AU le paramètre de cette parabole, qui est donné avec l'axe et
l'ordonnée, comme il a été montré plus haut; j'en retranche la neu-
vième partie EO. Je prends égale au reste AE la droite YK, que je pro-
longe de KX égale à l'ordonnée ou demi-base DB. Sur YX comme dia-
mètre, je décris le demi-cercle YTX et, prenant en R le milieu de YK,
j'y élève la perpendiculaire RT qui rencontre le demi-cercle en T. Je
prends RV égale ii RT, et sur VX comme diamètre je décris le demi-
cercle VQX jusqu'à la rencontre duquel j'élève du point R la perpen-
diculaire RQ. Sur les droites TR, RQ, je décris les demi-cercles TPR,

RGQ, et j'y inscris les cordes TP, RG égales à RY. Je joins RP, QG et je

j. 1 , arc DAC 2QG^ , . . » j - ^ -,

dis que le rapport , = Tjfp^ P'"' conséquent est donne. Soit

Febmat.

MI.

19i

ŒUVRES DE FERMAT.

[2v!6, ^î'ni

3RP- ne

donc posé -^ctt^ = tW ■ La droite IH donnée par cette construction sera
égale h la courbe parabolique nA(-.

Si cette construction d'ailleurs ne concorde pas avec la démonstra-
tion précédeiilc, il faut la corriger d'après cette dernière.

Si ('KTTK PROPKiÉTK do uotrc courbc parabolique ne sulïit pas pour la
faire placer par les géomètres au rang des objets particulièrement
remarquables de leur Science, ce qui va suivre lui assurera peut-être
ce rang. Car qu'y a-t-il de plus singulier que de voir, de cette seule
courbe, en dériver une infinité d'autres différentes de cette première
et difTérentes entre elles, et qu'on démontrera néanmoins être égales à
des droites données? Voici la proposition générale :

Soient ( fig. 1 28 ) CMA notre courbe parabo/if/ue, AB sa hauteur, CB sa
demi-base; sur cette courbe, on en formera d'autres en nombre infini de

Fi-. i?.S (7).

cette façon. Si ion mène perpendiculairement à la base des droites quel-
conques DMNL, EKIH, coupant la courbe aux points M, K, la nouvelle
courbe CNIG à former de cette première sera de telle nature que DN soit
égale à l'arc correspondant CM de la première courbe, El à l'arc CMK de
la première courbe , et de même pour toutes les autres perpendiculaires.
Celte nouvelle courbe CNIG sei'a différente d'espèce de la première.

On formera sur cette seconde courbe une troisième CLHF, en sorte que
DL, EH soient respectivement égales aux ares CiN, CNl de la seconde
courbe. Sur la troisième, on formera de la même façon une quatrième, sur
la quatrième une cinquième, sur la cinquième une sixième, et ainsi de

[227,229] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 195

suite ù l'infini. Je dis que toutes ces courbes CNIG, CLHF, etc. à l'infini
seront, de même que la première parabolique GMKA, égales à des droites
données.

Il faut remarquer que toutes ces courbes, en nombre indéfini, sont
purement géométriques, et, cependant, on ne peut leur appliquer cette
prétendue loi de la nature, dont j'ai parlé au commencement de cette
Dissertation. Quoique, en effet, on suppose les droites DN, El égales
aux arcs CM, CMK, elles n'en sont pas moins posées comme égales à
des lignes droites, d'après la démonstration précédente. Car, soit
donné un point quelconque D, d'après ce qui précède, une droite
égale à l'arc CM est donnée; donc la droite DN posée par construction
ésale à l'arc CM doit être considérée comme une droite véritablement
donnée et non supposée égale à un arc. De même pour les autres.
Donc la courbe CNIG est véritablement géométrique, et une fois que
nous aurons démontré qu'elle est égaie à une droite donnée, il s'en-
suivra que la courbe qui en dérive, CLHF, est aussi purement géomé-
trique, et de même toutes les autres indéfiniment.

La démonstration est facile en posant d'abord une proposition (jui
soit générale pour toute cette question.

Proposition V'I.

Soient {Jig. 129) une courbe quelconque ONR, de la nature des précé-
dentes, dont 0 est le sommet, OVI l'axe (ou l'ordonnée, car la démon-
stration est la même dans les deux cas). Je forme sur elle une autre
courbe OAh], telles que ses ordonnées soient égales aux arcs correspon-
dants de la première courbe; c'est-à-dire VA = ON, lE =^ OR, et ainsi de
suite. Je mènerai comme suit la tangente en un point donné de cette
nouvelle courbe. Soit E le point donné, je mène l'ordonnée El qui coupe
la première courbe en R. Je mène en ce point R la tangente RC à la pre-
mière courbe. Cette tangente rencontre l'axe au point C. Je pose
-TTT = TT7 7 et Je Joins EB. Je dis que EB est tangente en E à la nouvelle
courbe EAO.

106

ŒUVRES DE FERMAT.

[2Î9]

En effet, si je prends sur l'axe un point quelconque V, el si je mène
l'ordonnée VNA coupant la première courbe en N, la tangente RC
en S. la seconde courbe en A, enfin ER en Y, il me suffit de prouver
([ue l'on a toujours VY>VA, pour établir que EB ne coupe pas la
nouvelle courbe du coté du sommet. Or cette preuve est facile ii
donner.

FifT. 129 (S).

Z P FD

En effet, VA = ON =^ OR - NR. Mais RS < RN, suivant le corollaire
de la première proposition. Donc OR — RS >• OR — RN. Mais
VY -= OR - RS, comme nous allons le prouver tout à l'heure. Donc
VY (ordonnée de EB) > VA (ordonnée de l'arc OAE). Donc tous les
points de EB du coté du sommet sont extérieurs h la courbe; donc ER
ne coupe pas la courbe du côté du sommet.

Mais je dis qu'elle ne la coupe pas davantage plus bas. Je prends en
effet un point quelconque H, par lequel je mène l'ordonnée HZ, qui
coupe la première courbe en D, le prolongement de RC en F, la seconde
courbe en Z, le prolongement de EB en Q. Si je prouve qu'en tous cas
HQ > HZ, j'aurai prouvé que tous les points de EB, même au-dessous
de E, sont extérieurs ii la courbe, et par suite la droite EB sera dé-
montrée toucher la seconde courbe au point E.

HZ = 6b = OR + RD, par construction. Mais RF > RD, suivant le
corollaire de la première proposition, RF étant un segment inférieur

de la tangente RC. Donc OR + RF > OR -4- ÏÎD. Mais OR + RF = HQ,

comme nous allons le prouver tout à l'heure, et OR + RD ~ HZ, par

[230,231] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 197

construction. Donc en tous cas HQ > HZ. Donc la droite EB est tan-
gente en E il la seconde courbe.

Rf.ste a prouver en premier lieu que OR — RS = VY.

Je mène EM parallèle ii l'axe et rencontrant en M le prolongement

, ,.v n ♦ »• El RC „ . El YV YM , RC RS

de VY. Par construction, j]j = ^- Mais ïë = VB = MÉ' ^^ CT "" Vi '

YM RS

donc i^ = yf- Mais, à cause des parallèles, ME ^-- VI; donc YM = RS.

Mais aussi EI = VM; donc El — MY = VY. Or, par construction,
EI = ÔR. Donc 6R-MY(=RSj.= YV. Premier point qu'il fallait
démontrer.

On raisonnera de même au-dessous de l'ordonnée El. Menant EP
parallèle à l'axe, on prouvera que QP == RF.

„ ff . El QH QP
En etret,jjjOu^^ou^

^ouj^-- Mais PE = IH; donc QP^RF.

D'ailleurs HQ=:HP + PO; HP = IE=OR; PQ = RF, comme on vient
de le démontrer. Donc OR + RF = HQ. Second point qu'il fallait
démontrer.

11 est donc prouvé que EB est tangente à la seconde courbe au
point E, ce qu'il fallait démontrer.

Soit malmenant {fig. i3o) notre courbe parabolique GKA, de hau-

U 1 G

teur AE, de demi-base GE, de paramètre AD. Soient, comme précé-
demment, CD = ^AD, et B le milieu de AC. De cette première courbe

19S

ŒUVRES ni: KKUMVT.

[231, ni]

j'en l'onuc une aiilrc à partir du point (■, soit GNS, qui rencontre en S
l'axe de la première, la propriété de cette nouvelle eourbe étant que.
si l'on prend un point quelconque F et que l'on élève la perpendicu-
laire FKN qui rencontre les deux-courbes en K et N, on ait toujours FN
égal à l'arc GK de la première courbe. Menons KM parallèle à la base
et, par ce même point K, TKH tangente à la première courbe et ren-
contrant l'axe en T. la base en H; par le point N do la seconde courbe,
menons la tangente RNXI, qui rencontre la base en 1; enfin des deux
points R, X, pris arbitrairement de part et d'autre sur cette tangente,
abaissons sur la base les perpendiculaires XY, RV.

D'après ce qui précède, on a constamment, quelle que soit la tan-

gente KT,

des parallèles; donc

KL^ _ FE

AB

AB
FE

mais

KT^

KH^

■-,,-,.. .. ,.., - ïïTTT' a cause

FE( = KM-) HH

AB

HF-

AB

D'autre part, d'après la propo-

sition précédente, t.t,j =-1777' ^^^ '^s côtés sont proportionnels,

comme le démontre cette proposition; donc les carrés le sont égale-

, „ NF' FE + AB , (NF^-i-Fru=NP^ FE-i-aAB

ment. Donc ^^ "^ — àtî — ' componendo : —

FP

AB

Fl-

AB

NI- RN" NX-

Mais p., = -p^r^, et aussi = p^; donc, si l'on prend un point quel-
conque N sur la seconde courbe, le rapport des carrés du segment de
tangente et du segment de base correspondant, soit d'un côté, soit de

'autre, sera

FE-^2AB
AB

• Si donc je prolonge la base GE de EO = a AB,

qu'en 0 j'élève la perpendiculaire OP =^ AB, on aura toujours, pour

FO

NR- NX^
notre seconde courbe : r^irrr, ou t^t=7

(. V - Fy -

Cela posé, il est clair que les autres courbes en nombre indéfini,

qu'on tracera comme nous l'avons indiqué, sont de telle nature que,

par exemple, dans la troisième, le rapport des carrés du segment de

1 , , , I é 1 I I , FE-1-3AB
la tangente et du segment de base correspondant sera — jt >

en prenant F au point où tombe la perpendiculaire abaissée du point
de contact sur la base.

[•33.23i] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 199

Dans la quatrième courbe, le même rapport des carrés des segments

1 . I 1 . . ^ 1 1 V FE + UR . ■ • 1
correspondants de la tangente et de la rjase sera j-^ — ! et ainsi de

suite indéfiniment.

La démonstration est toujours la même et s'applique évidemment
en tous cas.

Ceci établi, il est facile d'arriver au théorème général.

Proposition VII.

Soient {fig- i3i)EA notre courbe parabolique, AI son axe, lE sa
demi-base. Je forme sur elle la seconde courbe EXYZO de telle sorte,

Fif. i3i (lo).

commeje l'ai dit plus haut, qu'une ordonnée quelconque FX soit égale
à l'arc de la première courbe interceptée par cette ordonnée ou per-
pendiculaire. Je divise la base en un nombre quelconque de parties
égales EF, FG, GH, HI; aux points F, G, H, j'élève des perpendicu-
laires qui coupent la seconde courbe aux points X, Y, Z. Soient AD le
paramètre de la première courbe, CD sa neuvième partie, B le milieu
du reste AC. Soit, dans le prolongement de la base, IK = 2AB et,
élevée en K, la perpendiculaire KL — AB. Par le point K, sur l'axe KE,
j'imagine décrite la parabole simple ou d'Archimède ayant KL pour

•200 ŒUVRES DE FERMAT. [?34, 235]

paramètre; soit KMOQ cette parabole; par les points E, F, G, H, I,
j'élève des perpendiculaires h la base qui rencontrent cette parabole
aux points Q, P, 0, N, M.

D'après le corollaire de la proposition précédente, comme EXO est
la seconde courbe dérivée de la première, c'est-à-dire formée par le
|)rocédé que nous avons déjà indiqué plusieurs fois, si l'on y prend
un point quelconque Y, et que l'on mène le segment de tangente YT,

YT- KG
on a js,.^ = |,j-- Mais, en multipliant de part et d'autre par KL,

^ = ■,. , — j et, d'après la nature de la parabole simple,
(jrK X KL = LrO-. Donc rrjn = r^. et ts-tt = j^y > ou, en égalant le pro-
duit des extrêmes à celui des moyens, GO x GH = KL x YT.

Si l'on mène les autres tangentes ER, XS, ZV, rencontrant les per-
pendiculaires en R, S, V, on prouvera de même que

QExEF = KLxER, PFxFG: KLxXS;

et ainsi de suite indéfiniment.

D'où, en ramenant à la métbode d'Archimède par le même procédé
que dans la proposition IV, on conclura que le segment parabolique
EQMI est égal au produit de KL par l'arc EXO de la seconde courbe.
De même pour les autres segments paraboliques : par exemple,

segm. EQPF = KL x ÉX; segm. EQOG = KL x EXY; et ainsi de suite
indéfiniment.

Or tous ces segments paraboliques sont donnés en rectilignes par
la quadrature de la parabole qu'Archimède a démontrée; KL est éga-
lement donné. On a donc également comme données tant la seconde
courbe totale EXO que les arcs EX, EY, etc., interceptés sur elle par
les perpendiculaires élevées aux points F, G, etc.

Pour égaler à une droite donnée la troisième courbe, la construc-
tion sera la même, sauf que l'on prendra IK — 3AB; pour la quatrième
courbe, IK = 4AB; et enfin on établira, entre toutes les courbes à
dériver indéfiniment de la première, cette relation : que deux quel-

[235,236] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 201

conques seront entre elles comme les segments paraboliques de même
hauteur d'une même parabole, dont les distances au sommet de la
parabole sont d'autant de fois le paramètre qu'il y a d'unités dans les
ordres des courbes comparées entre elles.

Soient par exemple {^fig- i32) EMA notre courbe parabolique, AF
son axe, EF sa demi-base, AD son paramètre, CD le neuvième de ce

Fig. i32 (11).

dernier, B le milieu du reste AC. Je forme de cette première courbe
la seconde EOS, telle que, si l'on prend un point quelconque N sur la
base, NO, perpendiculaire à la base, et qui rencontre les courbes M, 0,
soit égale à l'arc EM de la première courbe. Je forme ensuite de la
seconde courbe la troisième EVR, où NV est égale à l'arc EO de la
seconde courbe. De la troisième EVR je forme la quatrième EXL, où
NX est égale à l'arc EV de la troisième courbe. Soit à part la parabole
simple ou d'Archimède, d'axe indéfini GKQY, de sommet G, de para-
mètre GH = AB. On demande par exemple le rapport de la quatrième
courbe EXL à la primitive EMA.

La première de ces deux courbes étant du quatrième ordre, je prends
sur l'axe l'abscisse GY = 4GH et, sur son prolongement, YO = EF
(demi-base); je mène les ordonnées YT, OX.

La seconde des deux courbes à comparer étant du premier ordre,
je prends sur l'axe l'abscisse GK égale au paramètre pris une seule

Fermât.— IM. 26

•20-2 ŒUVRES DE FERMAT. [530.237]

fois et, sur son prolongement, KQ = EF (demi-base) ; je mène les ordon-
nées Kl, QP. D'après ce qui" a été démontré et conformément à la règle

générale,

soiïm. parali. VT>.(3 _ (4" coiirljc)EXL
segm. parai). KIPQ ~ (i''=courbe)EMA'

Mais, d'après Arcliimède, le rapport des segments paraboliques est
donné, donc celui des courbes est donné ; mais la première est donnée,
comme il a été démontré; donc la quatrième est donnée, et l'on peut
assigner une droite donnée qui lui soit égale. D'ailleurs cette relation
constante peut, si l'on veut, être accommodée en langage géométrique,
en écartant la parabole et en se. servant seulement de la règle et du
compas.

Enfin qui ne voit que ce qui a été prouvé et réduit en règle pour les
courbes totales vaut pour les arcs de ces courbes à comparer entre
eux, au moyen de segments paraboliques ayant pour hauteur les seg-
ments de la demi-base qui correspondent aux arcs de courbes?

Je n'ajoute uien sur les solides engendrés par ces courbes en nombre
infini, ni sur leurs surfaces courbes, ni sur les centres de gravité de ces
lignes, de ces solides ou de ces surfaces; car les méthodes générales
données à cet égard par de célèbres géomètres ne laissent rien ignorer
là-dessus une fois connue la propriété spécifique de la courbe donnée,
quoiqu'en beaucoup de cas il ne soit pas inutile que chacun fasse
usage de sa propre industrie.

Mais, avant de terminer cet écrit, il me vient à la pensée d'examiner
la proposition suivante :

Soient {fig. i33) COA notre courbe parabolique , A son sommet, AB son
axe, CB sa demi-base. On peut en former une infinité d'autres courbes
de la manière déjà indiquée, mais non pas, comme auparavant, du côté
de la base, au contraire de celui du sommet. Soient donc formées ainsi
les courbes AIF, AGE, etc. indéfiniment , sous celte condition que, si l'on
prend sur l'axe un point quelconque D et que l'on mène à l'axe la per-
pendiculaire DOIG, qui coupe les courbes aux points 0, I, G, la droite DI

[237,238] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 203

pour la seconde courbe soit égale à l'arc AO de la première, la droite DG
pour la troisième, égale à l'arc AI de la seconde, et ainsi de suite indéfi-
niment. Toutes les courbes de cette sorte différeront d'espèce non seule-
ment entre elles et par rapport à la première AOC, mais elles différeront

Fig. i33 (12).

aussi de celles que nous avons formées du côté de la base. On demande si
les courbes AIF, AGE, etc. à l'infini sont égales à des droites données ou

bien à d'autres courbes ( ' ).

Que les géomètres le cherchent, ils verront grandir encore la mer-
veille. Il est certain que si les méthodes dont ils se servent pour
mesurer les courbes sont générales et suffisantes, comme ils l'affir-
ment, et comme je ne prétends pas dès lors le mettre en doute, ils
reconnaîtront la chose au premier coup d'œil et ils épargneront un
travail superflu à un géomi-tre déjà fatigué.

S'ils trouvent quelques points trop concis dans les démonstrations
précédentes, je les prie au reste d'y suppléer ou de m'excuser.

(•) Dans la noie de la page 237 du Tome I, il a été dit par inadvertance que les
diverses courbes en question pouvaient être superposées par simple translation. De fait,
ce sont des développées d'hyperboles, rentrant dans l'équation générait'

(nj- H- by^ — /i.x' = 6' ,

où II représente l'ordre de dérivation à partir de la développée de parabole, r^ =ax-, que
donne cette équation, si l'on fait « = o et 6 = — a.

204

ŒUVRES DE FERMAT.

[238, 239]

APPENDICE A LA DISSERTATION

SIR LA COMPARAISON DES LIGNES COURBES AVEC LES LIGNES DROITES.

Pour répondre à la doriiière question posée dans la Dissertation, il
parait convenable d'établir d'abord les propositions suivantes.

Proposition I.

Soient {fig. i34) deux courbes AIF, 3Z8 dont les axes AE, 3^ soient
égaux entre eux. Je mène des ordonnées en nombre quelconque égale-
ment distantes du sommet da/is les deux figures. SoienI, |)ar exemple,
BM, Cl, DH, EF les ordonnées de la première, 4T, 5Z, 69, 78 celles
(le la seconde; AB, distance au sommet de l'ordonnée BM, est sup-
posée égale à 43, distance au sommet de l'ordonnée 4T. De même, on
suppose CA = f)3, DA = 63, entin EA = 73, supposition déjà faite.

Si les ordonnées sont toujours aux longueurs interceptées sur l'axe par
les tangentes comme les lignes correspondantes de l'autre figure (c'est-
à-dire si, menant les tangentes d'un côté aux points F, H, I, M, de
l'autre aux points 8, 9, Z, T, on a toujours par exemple :

ordonnée FE
sous-tangente KE

ordonnée I)H

ordonnée 87
sous-tangente 72

ordonnée 6ç)

sous-tangenle pour le point H sous-tangente pour le point 9

[239,240] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 205

et ainsi pour les autres), je dis que les deux courbes AlF, 3Z8 sont
égales, ou plutôt semblables et identiques, les ordonnées d'une figure
étant égales à celles de l'autre également distantes du sommet.

Menons en effet sur la première figure, parles points H, I, M, les
segments de tangentes HO, IN, MR, rencontrant les ordonnées aux
points 0, N, R; sur la seconde figure, les segments de tangentes gV,

ZY, TX, rencontrant les ordonnées aux points V, Y, X. On suppose

FF S"7

=ri7 = — • Mais les andes en E, 7 sont droits; donc les triangles FEK,

EK 72 ° ' "

872, semblables; donc ï^ = — • Mais, si l'on prolonge les ordoii-
nées, DH jusqu en G, bg jusqu en "> ï^ = îyp' ^t ~ = ^î donc

FP 8 P

ryf =" Y~' ^^'^ DE = 67, puisque EA = 73, et DA=.63; donc
FG = 8P.

On prouvera de même pour les autres segments de tangentes que :
HO = ç)Y, IN = ZY, MR = TX.

Donc la série des tangentes de la première figure est égale à la
série des tangentes de la seconde, d'où, par la méthode d'Archimède
de réduction à l'impossible, on conclura facilement l'égalité des
courbes AIF et 3Z8, premier point à établir, ainsi que l'égalité des
arcs correspondants : FH = 89, HI = 9Z, etc.

Reste à prouver que les ordonnées de l'une des figures sont égales
à celles de l'autre.

D'après la supposition faite, les ordonnées sont, de part et d'autre,
dans le même rapport avec les sous-tangentes; donc les angles GFIi;,
P87, formés par les tangentes et les ordonnées, sont égaux. De même

OHD = V96, NIC = YZ), RMB = XT i D'ailleurs, tous les arcs de la
première courbe, FH, HI, IM, MA sont respectivement égaux aux arcs
de la seconde, 89, 9Z, ZI, T3, et l'inclinaison de ces arcs est constam-
ment la même de part et d'autre (car l'inclinaison des courbes est
mesurée par celle des tangentes qui font toujours, comme nous
l'avons prouvé, des angles égaux dans les deux figures). Donc les
courbes AMIFH, 3TZ98 sont non seulement égales entre elles, mais

•206 ŒUVRES DE FERMAT. [240,241]

encore semblables, et si on imagine qu'on les superpose, elles coïnci-
(ItMont entièrement, et auront donc, aussi bien que leurs axes, leurs
ordonnées égales ou plutôt identiques. C'est le second point qu'il fal-
lait démontrer.

PpOPOSITION II.

Soicnl {pg. i35) deux paraboles de même nature AOD, XIG,

DC' CA-
d'axes KOa, XF, de demi-hases DC, GF; soit par exemple : ^r— ; = tts-i^

et de même

FX
YX

-; nous restons ainsi sur notre parabole, quoique
la proposition soit générale. Si les axes sont proportionnels aux demi-

Fig. i35 (a).

bases, c'est-à-dire si =rp = ^j je dis que ces deux paraboles sont dans
le rapport de leurs axes ou bien de leurs demi-bases, c'est-à-dire que

courbe AOD AC ,. CD

courbe XKï XI' uv

ces deux derniers rapports étant égaux par supposition.

La démonstration est facile. Je partage chaque axe en un même
nombre quelconque de segments, soit deux seulement pour éviter la
confusion et la prolixité. Soit donc B le milieu de l'axe AC, Y celui
de l'axe FX; je mène les ordonnées BO, YI, puis en D, 0, les tan-
gentes DN, OM, dont la première rencontre en E l'ordonnée BO, la
seconde en V la parallèle AV aux ordonnées; de même sur l'autre
ligure, je mène aux points G, I les tangentes GK, IS, qui rencontrent
en H, R l'ordonnée YI et la parallèle XR.

[242,243] DISSERTATION GEOMETRIQUE. 207

Par supposition, ^r = w5 d'autre part, d'après la nature de la

, , C\ 3 . FX 2 , DC GF ,

parabole, ;^ j^ = ^, et ; srs^ — ,; donc T^irf = ï^; donc

^ sous-tang. LN 3 sous-tang. FK 3 CN FK

les triangles DNC, GKF sont semblables; donc i«fr = kr- Mais

DNDEGKGH, Î1I_GH

NC '^ ce KF ~ FY ' "'^"'^ ce ~ FY ■

r» j - OV IR

On prouvera de même que -rrr = yv'

Les segments de l'axe, AB, BC d'une part, XY, YF de l'autre, étant
égaux entre eux, en sommant les segments do tangentes, on aura

DE + OV GH + IR

AC XF

Mais la somme des segments, DE 4- OV, dont on peut multiplier le
nombre autant qu'on le voudra, représente, par la réduction à l'im-
possible, comme on l'a déjà indiqué et prouvé, la courbe totale DOA;
de même la somme GH + IR, dont on peut aussi multiplier le nombre
des termes à volonté, représente la courbe totale GIX. Donc

courbe DOA courbe GIX

r. Q. F. 1).

axe AC axe XF '

ricissim et convertendo :

axe AC base DC courbe DOA

axeXF °" base GF ~ courbe GIX '

Propositiox III.

Soit {/ig. i36) AO une courbe d'axe AC, de base GO; imaginons

formée sur elle une courbe de même axe et de même sommet, dont les

ordonnées soient proportionnelles à celles de la première courbe, c'est'-

, ,. base CO BP ordonnée de la i" DE , ■ i-r» • , c--

a-dire r ?rr = ^^ , : — ; — ; = Km' etc., indeiiniment. Si

base CV BR ordonnée de la i" DN

en un point quelconque 0 de la première courbe, on mène la tangente OH

rencontrant l'axe en H, et que l'on prolonge CO jusqu'à la rencontre

de la seconde courbe en V,ye dis que la droite qui joint \ , H est tangente

■208 ŒUVRES DE FERMAT. [:2«, 244]

à la seconde courbes et que les tangentes qui se correspondent sur les deux
courbes coupent toujours l'axe au même point.

Fig. i3f. (3).

M^

En effet, menons les ordonnées BPR, DEN, rencontrant les courbes
en P,R,E, Net les droites OH,VH ou leurs prolongements en Q, S, F, M.
Si nous prouvons que BS, menée au-dessus de CV, est toujours plus
grande que BR, et que DM, menée au-dessous, est aussi plus grande
que l'ordonnée DN, il sera clair que la droite MVSH est tangente à la
seconde courbe en V.

CO RP
Or, par construction, ^ = ^^■: et, en raison du parallélisme des

droites COV, BQS, que coupent les trois droites CH, OH, VH, issues d'un

. . CO RQ j RP RQ • • ■ RP RR
même point, ^ = gg-; donc ^j^ = ^; vicissim g?) = gg •

Mais, OQH étant tangente à la première courbe en 0, BQ>BP;
donc BS > BR. Ce qu'il fallait prouver en premier lieu.

La démonstration est la même pour l'ordonnée menée plus bas. En

effet, on suppose rw = î^; d'autre part, à cause des parallèles,

CO DF , DE DF „ . ^.^

CV = DM' 'l^"'^ DN = DM- ^^'' ^^

DF; donc DN<DM. Donc

MVSH est tangente en V à la seconde courbe.

Lemme pour ce qui suit.

Soit (fig- 137) notre parabole GIA, d'axe AE, de demi-base EFG,
de tangente GH. Construisons sur le même axe AE une autre para-
bole FNA, telle que l'on ait pour la demi-base : EF- = |EG^ et de

f2'i5,2'iG] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 209

même pour les ordonnées quelconques : NO- = ^01'. Soient AD le
paramètre de la première parabole GIA, CD sa neuvième partie, B le
milieu du reste. Je mène en F la tangente FH à la seconde parabole;
elle rencontre l'axe au même point H que la tangente à la première.

d'après la proposition précédente, ou bien d'après la nature de ces

EA

paraboles, puisque l'on a pour l'une et pour l'autre :

EH

ij- Je dis

quegg.

EG

En effet, d'après la proposition III de la Dissertation, ^01 = ^t^-

Prenant la moitié des antécédents, comme ^GEl- — EF'^ par supposi-
EF^ lAB

tion.

EH-

GE

pus J A R

Nous prouverons de même que, si FE- = |GE^ pyj-; = S^r^r ■ De

EG

même pour les rapports des carrés : \, ~, etc. à l'intini.

EF^

Puisque, pour le rapport \, nous avons prouvé que pr.,
, ( FE^ + EH= ) ( = FH'- ) I AB + GE

GE '

compon

FH'
EH^

EH^

GE

■ Si EF= =^ ^GE-, on aura

iAB + GE . ^p.. ,„p,, FH^

' • SI EF- = jGE-, on aura

-AB + EG

; et ainsi

de suite indéfiniment, cette relation ayant d'ailleurs lieu pour toute
ordonnée.

Proposition IV.

Cela posé, nous découvrons sans difficulté le théorème général.
Soient (yï'g-. i38) notre parabole AC, AB son axe, BC la demi-base;
soient formées sur elle les autres courbes en nombre infini AD, AE,

Fermât. — Hl. 27

•ilO

ŒUVRES DE FERMAT.

|24G, 2/.7]

AF. lolli>s qiio. si l'oii iiitMio uiio ordonnée quelconque UCDEF, BI)
soit toujours égale à la proniière courbe C\, BE à la seconde AD. BF

Fig. i38 (f,).

1

/

H

G

V

ï

• ^-^^^

A

^^/'

i» la troisième AE, et qu'il en soit de même pour toutes les courbes et
toutes les ordonnées. Je dis que chacune de ces courbes AD, AE,
AF, etc. à l'infini, est toujours égale à une droite donnée, de même
que cela a lieu pour les courbes que dans la Dissertation nous avons
construites du côté de la base par un procédé analogue.

Voici le théorème général : Soit construite à part (fig. i3ç)) la para-
bole 03M absolument égale et semblable k la parabole AC, ayant par

iMg. i39 (5).

conséquent son axe MN = AB, sa demi-base ON — BC; c'est seule-
ment pour éviter la confusion que nous faisons une figure à part. Soit
NP'=:2NM-, NQ'=3N^P, NR=:=4NM-, et ainsi de suite indéfini-
ment. La demi-base ON restant la même, je construis ,par les sommets
P, Q, R, des paraboles de même nature que la parabole 03M ou AC;
soient 0\P, 05Q, OGR, etc. ces paraboles.

1247,249] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 211

Je dis que la parabole 0'|P = courbe AD, que la parabole
05Q — courbe AE, que la parabole 06R ^ courbe AF; et ainsi de
suite indéfiniment.

Comme, en effet, dans nos paraboles O^P. 05Q, OGR, si l'on
mène l'ordonnée 23'i56, on a toujours, d'après la nature de ces para-
boles,

ON^ _ _NPl 0N=' NQ^ • ON^ _ NR^

il est clair, d'après ce qui a été démontré dans la Dissertation, que
chacune de ces paraboles est égale à une droite donnée; par suite,
notre théorème général une fois démontré, il s'ensuivra que chacune
des courbes AD, AE, AF est égale à une droite donnée.

Voici la démonstration du théorème général : Soient AS le para-
mètre de notre parabole, SY son neuvième, V le milieu du reste. Aux
points C, D, E, je mène aux nouvelles courbes les tangentes CI, DH,
FIG, qui rencontrent l'axe aux points I, H, G. D'après ce qui a été

BC- AV

démontré dans la Dissertation ( prop. III ) : -,t..j = i,-^; coinponcndo :

BD^ _ AV +
BH^ "" BG

GP AV + BG „. ,, , , r. , ,• , AI. ^^1' R'>-

Mais, a après la Dissertation (prop. VI )

BH étant la sous-tangente de DH; donc ^rr. = " — r.y. — ; componcndo .

DU' AV-h2li(j ,, • ,, . , . -, UH^ lit.' ,,.,

jTTjj = jTTs Mais, d après la même proposition, ug, = wr^,' ou

-, «1 . . . 1-^ I BE' AV-t-aBG

étant la sous-tansente de Eu ; donc r,;^T, = ,y-, •

Nous prouverons de même que, si l'on mène à la courbe EA l'or-
donnée ZTK, coupant en lia courbe CA, et que l'on imagine au point K

I . ,1 u Ai-n K7J AV-I-2ZT ,

la tangente a la courbe AKE : -, — j^- = „,s > et

^ (sous-tangeiiie de K)- £1

cela, quel que soit le point K.

Soit tracée (Jig- i'\o) sur une figure à part, pour éviter la confu-
sion, cette même courbe AKE, qui sera désignée dans cette figure
nouvelle par |ïi:pX. Soient donc la base Xo = EB, la tangente Xy = EG,
l'axe ô^ -- BA, la sous-tangente oy = BG, l'ordonnée vcp = ZK. De

•212

ŒUVRES DE FERMAT.

[■M9, 250]

colto courbe XçP, j'en forme une moindre Oup, telle que les carrés de
ses ordonnées soient moitié des carrés des ordonnées de la première
courbe; ainsi âO-=;iSX-, vk*=^vç*, etc. Je mène à cette nouvelle
courbe les tangentes Oy, 717, aux points 0, u.

Fig. .38 (5).

l'io (5).

D'après la proposition III ci-dessus, il est clair que les tangentes Oy,
Xy rencontrent l'axe au même point y; de même les tangentes en o, ~
rencontrent l'axe au même point 7, puisque les ordonnées des deux
courbes sont en rapport constant.

Je trace encore à part (Jig. i4i) une parabole de même nature que
OM, OP. etc., d'axe 98 = MN =: AB = po ; de demi-base 0^ = NO Vî ou
BC \!t,. Soit 71 1 9 cette parabole dont je forme une autre courbe 9i2'|/,
de même axe 98, mais dont l'ordonnée 8'| = arc)r 1 1 9; l'ordonnée
101112 = arc 119, et de même pour les autres.

Fig. .39 (5).

Fig. ,',, (5).

Il faut prouver en premier lieu que les courbes OttP et '1^129 sont
les mêmes, c'est-à-dire absolument égales et semblables. Voici corn-

[250,25?] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 213

ment. Nous avons prouve que p^^^ ou ^-j = ^ Prenant la

moitié des antécédents, comme nous avons supposé Oo^ = :^XS^,
^-^ = = — P^ Nous prouverons de même, pour une autre ordonnée

quelconque -irv, -^ = ï^tf; > etc.

Il faut maintenant examiner si la courbe (j^iag jouit de la même
propriété. Voici comment on y arrivera.

Dans la courbe '/.np. dont la demi-base 7,8 = BCv^^, et l'axe

89 = AB, d'après le lemme précédent, si l'on mène les tangentes y^p,

, -, I (8yY UV , {ypY- lAV+CB
4/(7 aux points y, •]> : ^, = ^; componendo, ^, = ^-^

De même, si l'on suppose la droite 910 = AZ, c'est-à-dire si les
points 10 et Z sont à égale distance du sommet, le rapport du carré de

la tangente en 11 au carre de la sous-tangente sera -- — == Mais

/ irr\ (yP)' (i'^)' t 1 „• tang^ll 12 10

(prop.VI) : -^=^ = rJ-T»' et de même - ^ —

sous-tang 12
Mais, sur l'autre figure (y?g. i4o), nous avons prouvé que

ea^ lAv + BC , I I j Kl fi 0 ^8 9â

-=n = ^^ — TTH ; donc, dans les deux courbes U' '20, OuK, J— z= — .

oy Ld ' ^ ' h V oy

La même relation aura lieu pour tous les autres points; on prouvera
de même, par exemple, que = — > etc.

^ r T sous-tangi2 V7

Donc (Appendice, prop. I) les courbes gi^^, Gtt^ ayant mêm'e axe
et leurs ordonnées étant aux sous-tangentes constamment dans le
même rapport que leurs correspondantes de l'une à l'autre courbe,
ces courbes seront égales entre elles ainsi que leurs demi-bases et les
ordonnées à égale distance des sommets.

Mais, par construction, la demi-base '\iS = y^iig; donc 5(^119 = 6S.

Mais 6S = §Xv'5; donc la courbe parabolique y 119 ^ SX y/^. Mais
Sx — BE et, dans la construction des courbes dérivées de la pre-
mière AC, on suppose BE = AD.

•21V ŒIVRES DE FEllMAT. f25î, 25i]

Donc pural). )r 1 r 9 = \/:^ Al). Mais on a aussi y^in) = \l!ib/iV,
car la base ^8 := ^]BC =- v^ NO, et l'axe 89 -^ AB = NM ^^ s ÏNP. Les
paraboles O/jP, X"9 étant de même nature, et l'axe et la base de
la parabole 7119 étant respectivement dans le rapport y'^ avec l'axe
et la base de la parabole 0 /j P, on aura aussi (^ Appendice, prop. Il)
parab. /. i ' 9 = \ ^^ parab. 0 f\ P. Puisque nous avons ainsi prouvé que
la parabole 7119 est dans le rapport \Jr., soit avec la parabole O4 P.
soit avec la courbe AD, 'la courbe AD et la parabole O4P seront
égales, c. 0. i'. n.

On prouvera de même que la courbe AE et la parabole 05 P sont
égales.

,, ^ , BE- AV-H2BC 1 .,- 1- . ' j .

hn etiet, .^ = ^r^^ — , comme il a ete démontre ; componendo etc.,

E(i- AV-H3BC „ . .-,. , . ,,,^ E(i^ BF2

d7^ = rrri -''ais Dissertation, prop. NI): ^rTv:, — ; ijr;;

Bli» BL '11/ B(j;2 ^sous-langJ<)"

, BF» AV-4-3BC

donc iT^ = r.,-,-- •

(sous-taiigp )- BC

Pour la suite, nous suivrons de point en point la démonstration pré-
cédente, sauf que dans la figure à part (Jig- i^o), après avoir pris
XS — BF, on prendra Sô -- y/^ BF ou s/jSX; la courbe XçjB sera égale à
la courbe FA, et Ot:^ sera de telle sorte que ses ordonnées suivent le

rapport des bases -^^■

Dans l'autre figure à part {ftg. i4iK où sont les courbes 911'/,'
9 12 .{/,on prendra comme ci-dessus 98 — NM — AB — ^S, mais ensuite la
base 87 = V^ON = v;^CB. La parabole 7 1 1 9 sera de même nature
que les paraboles CTA ou 0 3 M. On en formera la courbe "j^ 129 dont
les ordonnées 8']^, 10 12 seront, comme ci-dessus, égales aux arcs 79,
II 9, et on prouvera, comme ci-dessus, que les courbes ^uO, 9117
sont égales et semblables, c'est-à-dire identiques.

On conclura l'égalité des bases Oo, '^8; par suite la base i|/ 8 ou

la courbe 9 1 1 7 = vjoX — v^^BF -Vï courbe AE. Mais on aura dé-
montré précédemment que parab. 71 1 9 -- y 7, parab. 0 5 Q. Donc la
courbe AE et'la parabole 05 0 seront égales.

[Î5i] DISSERTATION GEOMETRIQUE. 215

On emploiera le même raisonnement pour les cas subséquents, et
l'on établira ainsi la vérité générale du théorème.

Qui aura lu attentivement la Dissertation précédente et cet Appen-
dice reconnaîtra aussitôt les principaux fondements de notre méthode
et verra qu'on en déduit très facilement la mesure des courbes.

■21G ŒUVRES 1)1-: FERMAT. [255]

SUR U TRANSFORMATION

SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS DE LIEUX,

POUK LA COMPARAISON SOUS TOUTES LES FOUMES
DES AIRES CURVILIGNES, SOIT ENTRE ELLES, SOIT AVEC LES RECTILIGNES,

ET KN MÊME TEMPS

SUR L'EMPLOI DE LA PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE

POUR I.A QIADKATL'RE DES PARABOLES ET HYPERBOLES A l'iNFINI.

Archimède n'a employé la progression géométrique que pour la
seule quadrature de la parabole; dans ses autres comparaisons entre
quantités hétérogènes, il s'est borné à la seule progression arithmé-
tique. Est-ce parce qu'il avait trouvé que la progression géométrique
se prêtait moins bien à la quadrature? Est-ce parce que l'artifice par-
ticulier dont il s'est servi pour carrer avec cette progression la pre-
mière parabole peut difficilement s'appliquer aux autres? Quoi qu'il
en soit, j'ai reconnu et éprouvé cette progression comme très féconde
en quadratures, et je communique volontiers aux géomètres modernes
mon invention qui permet de carrer, par une méthode absolument
identique, et paraboles et hyperboles.

Toute cette méthode dérive d'une seule propriété bien connue de
la progression géométrique, c'est-à-dire du théorème suivant :

Etant donnée une progression géométrique dont les termes décroissent
indéfiniment, la différence des deux termes de la raison de cette progrès-

[25r,] MÉTHODE DE QUADRATURE. 217

sion est au plus petit des deux comme le plus grand de tous les termes de
la progression est à la somme de tous les autres Jusqu'à l'infini ( ' ).

Cela posé, soit d'abord proposée la quadrature des hyperboles :
Je définis hyperboles des courbes d'espèces variant à l'infini, qui,
comme DSEF (fig- 142), ont cette propriété que, si l'on suppose, sous

Fig. 142.

un angle donné quelconque RAC, les asymptotes RA, AC que l'on
peut prolonger indéfiniment comme la courbe elle-même, et que
si l'on mène parallèlement à l'une des asymptotes et comme on le
voudra les droites GE, HI, ON, MP, RS, etc., on aura toujours le
même rapport entre une puissance déterminée de AH et la même puis-
sance de AG d'une part, et une puissance de GE (semblable ou diffé-
renli^ par rapport ii la précédente) et la même puissance de HI,
d'autre part. J'entends par puissances, non seulement les carrés,
cubes, bicarrés, etc., dont les exposants sont 2, 3, 4, etc., mais aussi
les racines simples dont l'exposant est r.

Je dis que toutes ces hyperboles à l'infini, sauf une seule, celle d' Apol-
lonius ou la première, peuvent être carrées au moyen d'une progression
géométrique par une méthode uniforme et constante.

Soit par exemple l'hyperbole dont la propriété est définie par l'éga-

(') Soil S la somme des termes d'une progression géométrique décroissant indéfini-

u

ment dont le plus grand terme est a. et la raison q — -; comme q

a

V

énonce la relation

II

-; d'où l'on tire immédiatemcnl S — «-

Feumat.

ni.

II. Fermât
V a

— u I

28

'/

•218

ŒUVRES l)K FEiniAT
11 \

[?5", -2581

CE . ()\- Hl . , ,.

litô constanto des rapports ^^ ~ ni '" \K^ ~" ON
l'espace iiulétitii qui a pour hase CE et qui est limité d'un côlé par
la courbe ES, de l'autre par l'asymptote iiulétinie GOR, est égal à une
aire reetiligne donnée.

Imaginons les termes d'une progression géomélri(|ue décroissant
indetiuiment; soient AG le premier, AH le second, AO le troi-
sième, etc. Supposons que ces termes soient assez rapprochés les
uns des autres pour que, suivant la méthode d'Archimède, on puisse
adcgaler, comme dit Diophanle, ou égaler par approximation le paral-
lélogramme reetiligne GE x GH au quadrilatère mixtiligne GHIE;
nous supposerons de pins que les jiremiers intervalles GH, HO,
OM, etc. des termes progressifs soient suffisamment égaux entre
eux, pour que l'on puisse facilement employer la méthode d'Archi-
mède de réduction à l'impossible, par circonscriptions et inscrip-
tions. Il suffit de faire cette remarque une fois pour ne pas s'obliger
k revenir et à insister constamment sur un artifice bien connu de tous
les géomètres.

,. , . . Afr AH

Cela pose, puisque rn = ttj

pour les intervalles. JMais, pour les parallélogrammes,

EG X GH _ Hl X HO
HIx HO "" NO X OM'

en effet, le rapport des parallélogrammes ^ — r^ est composé des

rapports ^ et t^; mais, comme nous l'avons indiqué, ^c = ^;

I I , E<^' X GH . . , , GE , A(i r,, .

donc le rapport pj-j rrj- est compose des rapports ^ ^^ Tû' ^ autre

GE HA^ AO -, , I

part, par construction, nj -- jr-ri ou tt^j par suite de la proportio-

nalité des termes; donc le rapport ^ — ^ est composé des rap-

. AO . AG . AO , I •

ports -rp- et ttï; fiiais T-ff ^^^ compose des mêmes rapports; on aura

AO . AG GH HO

^, on aura aussi ^^^, = ^,

donc pour le rapport des parallélogramnK

GE X GH

Hix HO

OA
AH

HA
AG'

[258,259] MÉTHODE DE QUADRATURE. 219

, . HI X HO AO

On prouvera de mémo que q^^ ^ ^^^^ = jj^-

Mais les droites AO, HA, GA qui constituent les rapports des paral-
lélogrammes, forment, par construction, une proportion géométrique;
donc les parallélogrammes en nombre indéfini GE x GH, HI x HO,

ON X NM, etc. formeront une progression géométrique continue dont

H \

la raison sera t-t- Par suite, selon le théorème constitutif de notre

A(r

méthode, GH, différence des deux termes de la raison, sera au plus
petit terme GA, comme le premier terme de la progression des paral-
lélogrammes, c'est-à-dire comme le parallélogramme EG x GH, à la
somme de tous les autres parallélogrammes en nombre indéfini, ou
autrement, suivant Vadéquation d'Archimède, à la figure limitée par
HI, par l'asymptote HR et la courbe IND prolongée indéfiniment.

Mais, si l'on multiplie les deux termes par G\\, ^ = „„ ., ;

donc GE X GH est à cette figure indéfinie dont la base est HI comme
GE X GH est à GE x GA. Donc le parallélogramme GE x GA, qui est
une aire rectiligne donnée, est adégal \\ la figure précitée; si l'on
ajoute de part et d'autre le parallélogramme GE x GH, qui, par suite
des divisions indéfiniment poursuivies, s'évanouira et se réduira à
rien, on arrive à cette vérité qu'il serait facile de confirmer par une
démonstration plus prolixe, menée à la façon d'Archimède : que dans
ce genre d'hyperbole, le parallélogramme AE est équivalent à la figure
comprise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ED indéfini-
ment prolongée.

Il est facile d'étendre cette invention à toutes les hyperboles définies
ci-dessus, sauf la seule exception que nous avons indiquée. Soit en

ce. . u I I . •'.• GE HA^i ,

eiiet une autre hyperbole ayant pour propriété que tît = 7^' etc.

pour les autres ordonnées.

Prenons, comme ci-dessus, une série indéfinie de termes en pro-
gression; on démontrera de même que les parallélogrammes EH, 10,
MN, etc. forment de même une progression indéfinie; mais, dans ce
cas, le rapport du premier parallélogramme au second, du second au

±10 ŒUVRES DE FERMAT. [îô'j, :i;(i|

troisuMiie. etc. s(M-a ,, . > co quo iiiond-cia imrncdiatomont la romposi-

lion tlos rappcn'ts. Donc lo parallélogramme EH sera à la tigure comme
()(i à GA. ou, (Ml luuliipliant les loriiK's par GK, comme OG x GE à
GE X GA : rtcissim OG x GE esl à EH ou GE x GH comme GE x GA à la

,, . (m; xdE OG 2 j- ,■ I • , Il

lii^iiii'. Mais îiT' 7^1- = T^TT 01' - Pai" adéquation; cai' les intervalles

^ H(i X <iK (iH I ^ ^

voisins de la base sont, par construction, sensiblement égaux entre
eux. Donc, dans cette hyperbole, le parallélogramme EGA, qui est
ésal à une aire rectiligne donnée, sera le double de la figure com-
prise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ESD indéfiniment
prolongée.

La démonstration sera la même dans tous les autres cas; il n'y
a que pour la première hyperbole, c'est-à-dire la simple ou celle
d'Apollonius, que la méthode est en défaut. La raison en est que
les parallélogrammes EH, 10, NM y sont toujours égaux; les termes
constitutifs de la progression, étant dès lors égaux entre eux, ne
donnent aucune différence, et c'est précisément la différence qui
fait (oui le mystère de cette affaire.

Je n'ajoute pas la démonstration que, dans l'hyperbole commune,
les parallélogrammes en question sont toujours égaux; la chose se

voit immédiatement et dérive aussitôt de cette propriété de l'espèce

,. . . GE H\

(|ue I on a toujours yjj = ^r--

l^e même moyen carre loutes les paraboles sans (pi' il y en ait cette fois
une seule qui, comme pour les hyperboles, échappe à notre méthode.

.le ne donnerai qu'un exemple, celui de la première parabole, celle
d'Apollonius; sur ce modèle, on pourra faire toutes les démonstra-
tions pour les paraboles quelconques à l'infini.

Soit AGRC une semi-paraboh^ première {Jig. r43), de diamètre CB,
de demi-base AB. Si l'on prend les ordonnées lE, ON, GM, etc., on a

iQ.-i ViC* 1172 \i i^

'""•i""'"^ ÏË^ "" CE' \m ^' (TN' ^^^- ^ •'■"*'"'' il'ap'''-^ 'a propriété
spécifique de la parabole d'Apollonius.

D'après la mélhode, imaginons les droites BC, EC, NC, MC, HC, etc..

|:60,2fi?] MÉTHODE DE QUADRATURE. 221

formant une progression indéfinie. Les parallélogrammes AE, IN, OM,
GH formeront aussi, comme on l'a prouvé ci-dessus, une progression
indéfinie.

Fis. .4:*.

Pour connaître le rapport des parallélogrammes AE, IN, il faut,

d'après la méthode, recourir à la composition des rapports.

Or le rapport des parallélogrammes AE et IN est composé des rap-

AB RE ,, . • AR' RC . , „„ , „„ ,

ports y et |p^- Mais, puisque -^^ = v^, si entre BC et CE on prend

la moyenne proportionnelle CV, de même entre EC et NC la mo'}'enne
proportionnelle YC, les droites BC, VC, EC, YC, NC formeront une pro-

., ■ ,,. RC R(? , . HC AR^

gression géométrique, eti on aura p^ = yrrr,; donc, puisque ^ = -pn-,

AR RC „ , . , , , ,,,, AE

-pp = yT7- Par conséquent, le rapport des parallélogrammes -p^ est

EC , . . RE

. , , RC VC EC , , , RE

compose du rapport ^ ou j~ ou yp et du rapport p,^ ou, comme

RC

RC

on l'a prouvé plus haut, '^-^ mais un rapport composé des deux t™

EC

RC

et T^ est égal au rapport tttt; donc le rapport des parallélogrammes
~ = y-r' et par conséquent, d'après le théorème constitutif de notre

méthode, le rapport du parallélogramme AE à la figure IRCHE est ^p
et celui du même parallélogramme AE à la figure totale AIGRCB est
jTTTJ BC étant le diamètre total. Mais, si l'on multiplie de part et

ŒUVRES DE FERMAT

[îfiî. ':r,3]

(l'aiilro par AB, tt-t =- -rr, — rrr^; or AB X BC est le parallélograniiiic BD.

obtenu en menant AD parallèle au diamètre et en la prolongeant jus-
qu'à la rencontre en 1) avec la tantçente ('D; donc le rapport du paral-
léloi!;ramme AK à la ligure semi-parabolique AUt^B est le même (|ue

celui des parallélogrammes AB x BY et BD; donc -y — ^tt— = ^ •

M A17 ► VU .' AE BE , BE ARCR

Mais AE ayant AB pour cote, ^0 — ^^y = rry; «onc ^ = — ît],-' ou

cnnverlendo, — tt-t; Mais, à cause de Vadégalité de» droites BV,

\E, EY, dillérences des termes de la progression, mais supposées sen-
siblement égales par suite de la division en un très grand nombre de

BY 3
parties très petites, tt-tt = -• Le rapport du parallélogramme BD à la

tigure est donc le rapport de 3 à 2, ce qui est d'accord avec la quadra-
ture de la parabole donnée par Archimède, quoiqu'il se soit autre-
ment servi de la progression géométrique. Si d'ailleurs j'ai trouvé
nécessaire de changer sa méthode et de prendre une autre voie que
la siCTine, c'est que je suis assuré qu'en suivant exactement les traces
de ce grand géomètre, on reconnaîtra que l'emploi de la progression
géométrique est stérile pour la quadrature des autres paraboles en
nombre indéfini, tandis que pour toutes ces paraboles sans exception
la démonstration et les règles générales sont immédiatement données
par notre procédé.

Soient, pour ne pas laisser lieu au doute, AIGC (/ig. r44) la parabole
dont j'ai parlé dans ma Dissertation sur la comparaison des lignes courbes
avec les lignes droites, AB sa base, BG son diamètre, lE, IC ses ordon-

nées telles que l'on ait

AB^
lE^

B(P

Qu'on imagine le reste de la con-

struction comme ci-dessus, c'est-à-dire la progression indéfinie des
droites BC, EC, NC, MC, etc. et celle des parallélogrammes AE, IN,
OM, etc.

Prenez entre BC et EG les deux moyennes proportionnelles VC, KG;
de même, entre EG et GN, les deux moyennes proportionnelles SG, TC.

[W4, 265]

MÉTHODE DE QUADRATURE.

223

Rr Ff
Comme, par construction, ^r^ = ^> les lignes BC, VC, RC, EC, SC,

TC, NC seront en progression.

Fig. .44.

r.. 11 AR' RC' RC ,f . , , . ,

D ailieiirs y^j = p™ = ;^- Mais, clans la progression des sept pro-
portionnelles BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC, la première, la troisième,
la cinquième et la septième forment aussi une progression continue.
Donc : : BC ; RC : SC : NC, et en prenant le premier, le second et le

. - . 7 .* Il . RC RC'

quatrième terme de cette nouvelle progression, ^ = j^; mais nous

RC AR' , AR^ RC^* „ , AR RC
^ -jprr; donc -^=^ = ttttt' d ou ^rr =

lE»

KC^

lE

KC

avons prouve que ^^7; — ttt
^ ^ j\C lE

,, . , , , ,,i AE AR RE RC RC

Mais le rapport des parallélogrammes w = TjrXpvOUT7T7Xpq^

,, .,, RE RC

puisque d ailleurs ^^^ = ^r;,-
/^ 1 EN EC,

D'autre part, dans les sept proportionnelles, en prenant la pre-

mière, la troisième, la quatrième et la sixième, on a ^ = ^i donc

^ — ^ J!i'j — ^}^ I AE RT

IN ~ KC ^ TC "" tC' "^"'^ KiCE ^ TC '

Donc, d'après ce qui a été démontré, le rapport du parallélogramme

If AE RT AR X RT u- 1 . . . . i- .

a la tigure : -r.nji = 07^ = ni ttt^' en multipliant de part et d autre

° Aie» dL ■» h v K(. i I

Ali X HC
RD

AR X BT RT . ,

= TTï^j en raison de

parAB; vicissim et cofn>erlendo . .,,,„ _ . ,. ,,„ _ ,.„
' AICR AR X RE RE

la communauté du côté AB. Mais BT comprend cinq intervalles : TS,

SE, ER, RV, VB qui, à cause de notre méthode logarithmique, sont

-)•)

ŒUVRES ni: FERMAT.

[305, îfifil

oenscs égaux ciilit' eux; BK ou compiTud trois : ER, RV, VI{; donc,
dans ce cas, le rapport du parallélogramnio lîD à la figure est de "> à 3.

On peut de là tirer facilement une règle universelle. Il est clair en
effet que le rapport du parallélogramme BD ù la figure AI(]B est toujours
égal au rapport de la somme des exposants des puissances de l'ordonnée
et de l'abscisse à l'exposant de là puissance de l'ordonnée. Ainsi, dans
cet exemple, la puissance de l'ordonnée AB est le eube, l'exposant 3;
celle de l'abscisse est le carré, exposant 2. On doit avoir, ainsi (fue
nous l'avons établi comme règle constante, le rapport de la somme
3 -f- 2 ou 5 à 3, exposant de l'ordonnée.

Pour les hyperboles, on trouve aussi facilement iine règle univer-
selle. Dans une hyperbole quelconque (//g- i4'-^) ^c rapport du parallélo-
gramme BG à la figure indéfiniment étendue RtîED sera égal au rapport
de la différence de l'exposa/it de la puissance de i ordonnée et de celui de
la puissance de l'abscisse à l'exposant de la puissance de l'ordonnée. Soit,

par exemple, p— ^ — jrn'i l^i différence des exposants du cube et du

carré, 3 — 2 = i; l'exposant de la puissance de l'ordonnée, qui est au
carré, est 2. Dans ce cas le rapport du parallélogramme à la figure
sera de i à 2.

Pour ce qui regarde les centres de gravité et les tangentes des
hyperboles et paraboles, leur invention, dérivée de ma Méthode de
maximis et miaimis. a été communiquée aux géomètres modernes,
il y a déjà environ vingt ans. Les plus célèbres mathématiciens de la
?'rance voudront bien sans doute le faire savoir aux étrangers, afin
que dans l'avenir il n'y ait point de doute à cet égard.

Il est remarouablk combien le travail des quadratures peut être
avancé par la théorie (jui précède; car elle permet de carrer facile-
ment une infinité de courbes auxquelles n'ont jamais pensé les géo-
mètres tant anciens que modernes. Nous allons condenser brièvement
ces résultats sous certaines règles.

Soit une courbe dont la propriété conduise à l'équation suivante :

b'- — a} rz e"- (on voit immédiatemeiii (lue celle courbe est un cercle).

[267, 2GS] MÉTHODE DE QUADRATURE. 225

On peut ramener la puissance de l'inconnue e^ à une racine par
une division (application ou parabolisme). Nous pouvons en effet
poser

e- = bu;

car on est libre d'égaler le produit de l'inconnue u par la connue h
au carré de l'inconnue e. On aura donc alors

b' — «'-=: bu.

Mais le terme bu peut être décomposé en autant de termes qu'il y en a
dans l'autre membre de l'équation, tout en affectant ces termes des
mêmes signes que ceux de l'autre membre. Posons donc

bu =. bi — by,

en représentant toujours, comme Viète, les inconnues par des voyelles.
Il viendra

b''-—a''=bi—bY.

Égalons chacun des termes d'un membre au correspondant do l'autre.

On aura

b^=:bi d'où i=b sera donné,

— a^^ — by ou a^=by.

Le point extrême de la droite v sera sur une parabole primaire. Ainsi,
dans ce cas, tout peut être ramené à un carré ; si donc on ordonne tous
les e" sur une ligne droite donnée, leur somme sera un solide recti-
ligne donné et connu.

Soit maintenant proposée la courbe dont l'équation est

Qu'on applique e' à une aire donnée, soit par exemple : e' = b-u.
La droite u pouvant être composée de plusieurs inconnues, soit

a^ -+- bar =z b-i-i- b'-y.

Égalons terme à terme, savoir :

«'=: b^i, on aura une parabole sous un cube et une racine.

ba-^ b^y, on aura une parabole sous un carré et une racine,
c'est-à-dire primaire.

Kebmat. — m. 29

•2-2()

ŒUVRES DE FERMAT.

[2(;S, ÎGO]

Or oos doux paraboles sont carrables; donc la somme des e* ordon-
nés sur une droile donnée formera un hi-plan qu'on pourra facile-
uKMit égaler à des quantités rectilignes du même degré.

S'il y a dans l'équation un plus grand nombre de termes, aussi
bien que s'ils sont composés avec différentes puissances de l'une ou de
l'autre inconnue, ils n'en pourront pas moins d'ordinaire être traités
par la môme méthode, au moyen de réductions légitimes.

Il est donc clair que si dans la première équation : b- — a- = c'-, au
lieu de c-, nous substituons ôh, nous pouvons considérer comme un
plan la somme de tous les a, ordonnés sur une ligne droite, et la
carrer. En effet la somme des u n'est autre chose que celle des e-,
divisée par une droite donnée b.

De même dans la seconde équation, la somme des // n'est autre
chose que celle des e% divisés par le carré donné b^.

Donc, aussi bien dans le premier que dans le second cas, la somme
des u fait une figure égale à une aire rectiligne donnée.

Ces opérations se font par synérése et s'accomplissent, comme il est
clair, au moyen de paraboles. ,

Mais on n'obtient pas moins de quadratures \)ay diérèse, au moyen
d'hyperboles, soit seules, soit unies à des paraboles.

Soit proposée, par exemple, la courbe ayant pour équation

a*

On peut de même poser e^ = Z*//, ou bien, pour avoir de part et
d'aulre trois termes dans chaque membre de l'équation

il vitMidra

bu ^ bo + bi -4- by.

= bo -t- /)<■-+- by et, également terme à terme :

i" —. = bo; multipliant par a' des deux côtés, b^ = aVw; divisant
par b; b^ — a''o, équation d'une hyperbole. On sait en effet que les

[270,271] MÉTHODE DE QUADRATURE. 227

équations constitutives des hyperboles renferment dans un membre
une quantité donnée, dans l'autre le produit de puissances des deu\

inconnues.

b^a b^
2° — ^ ou — = bi. Multipliant par a^ et divisant par b de part et

d'autre : b'' = a^i, équation d'une hyperbole différente de la précé-
dente.

3° -j ou a- = by; équation d'une parabole.

On voit donc que, dans l'équation proposée, la somme des u ordon-
nés sur une droite donnée est égale à une aire rectiligne donnée; car
la somme de deux hyperboles carrables et d'une parabole donne une
aire égale à un rectiligne ou à un carré donné.

Rien n'empêche au reste de diviser séparément, comme on l'a fait,
chacun des termes du numérateur par le dénominateur. Le résultat
est en effet le même que si l'on divisait en une fois par le dénomina-
teur le numérateur entier composé de trois termes. Cette division
séparée permet de comparer facilement chaque terme d'un des
membres de l'équation à son corrélatif dans l'autre.

Soit propose encore : -^ — = e\

Posons e' = b-u, ou bien, à cause des deux termes du membre cor-
rélatif, c^ = b^i — b^y. On aura :

b^ a 0^
1° -^ = — = b'i; multipliant par a'- et divisant par b-, /;'= a-i,

équation d'une hyperbole carrable.

2." -j = b^y; multipliant par a"' et divisant par b'-, 6* = a'^y, équa-
tion constitutive d'une hyperbole carrable.

Si donc on revient à la première équation, on aura, dans ce cas,
donnée en reclilignes la somme de tous les e\ ordonnée sur une
droite donnée.

Mais rien n'empêche d'aller plus loin dans le travail des quadratures.

Soit (Jig. i4'j) une courbe quelconque ABDN, de base HN, de dia-
mètre HA; soient CB, FD les ordonnées sur le diamètre, BG, DE les
ordonnées sur la base. Nous supposerons que les ordonnées dé-

•2-2»

ŒUVRES DE FERMAT.

[271, 272]

croissent constamment de la base an sommet, comme dans la figure :
c'est-à-dire HN>FD; FD > CB, el ainsi de suite.

Fig. 145.

l.a (igure formée par les carrés de HN, FD, CB, ordonnés sur la
droite AH, c'est-à-dire le solide CB^xCA... + FD*xFC... 4- NH-xHF,
est toujours égale à la figure formée par les rectangles BG x GH,
DE X EH doublés et ordonnés sur la base HN, c'est-à-dire au solide
2BG.GH.GH. . . -+- 2DE.EH.EG, etc., la série des termes de part et
d'autre étant supposée indéfinie. Or, pour les autres puissances des
ordonnées, la réduction des termes sur le diamètre aux termes sur la
base se fait avec la même facilité, et cette observation conduit à la
quadrature d'une infinité de courbes inconnues jusqu'ici.

En effet, la somme des cubes de HN, FD, CB, ordonnés de même
sur la droite AH, sera égale à celle des produits : BG.GH-, DE.EH^,
triplés et ordonnés de même sur la droite HN, c'est-à-dire que le bi-
plan CB'.CA. ..-f DF\FC. . .+ HN'.HF sera égal à la somme des bi-
plans 3(BG.GH-.HG...+ DE.EH-.EG).

De même la somme des bicarrés de HN, FD, CB, ordonnés sur la
droite AH, sera égale à (7fifl^/-e/ow celle des bi-plans BG.GH'. ..DE. EH',
ordonnés de même sur la droite HN.

De là dérivent, comme on va le voir, une infinité de quadratures.

Soit, par exemple, cette courbe ABDN, dont on donne la base HN et
le diamètre HA. Appelons analytiquement b le diamètre donné HA,
rfla base donnée HN, e une ordonnée quelconque FD, a une coordonnée
quelconque HF, et soit, par exemple, />- — a^ = e- l'équation consti-
lulivc de la courbe (qui sera un cercle). D'après le théorème général

[273,274] MÉTHODE DE, QUADRATURE. 229

qui précède, la somme des e'-, ordonnés sur la droite b, est égale à la
somme des produits HG.GB, doublés et ordonnés sur la droite HN
ou d; mais la somme des e-, ordonnés sur b, est égale, comme on l'a
prouvé plus haut, à un rectiligne donné; donc la somme des produits
HG.GB, doublés et ordonnés sur la base d, forme une aire rectiligne
donnée; si l'on prend la moitié, la somme des produits HG.GB, ordon-
née sur la base d, formera de même une aire rectiligne donnée.

Pour passer facilement, et sans embarras de radicaux, de la pre-
mière courbe à la nouvelle, nous devons employer un artifice qui est
toujours le même, et dans lequel consiste notre méthode.

Soit HE.ED un quelconque dos produits à ordonner sur la base;
comme nous appelons analytiquement e l'ordonnée FD ou sa paral-
lèle HE, a la coordonnée FH ou sa parallèle DE, nous appellerons ea le
produit HE.ED. Égalons ce produit ea, formé de deux droites incon-
nues et indéterminées, à bu, c'est-à-dire au produit de la donnée b
par une inconnue u, et supposons que u soit égale à EP prise sur la

même droite que DE; nous aurons — = a. Mais, d'après la propriété

spécifique de la première courbe : b- — a- = e^ ; substituant à a sa

nouvelle valeur — , il viendra b'^ e- — b- u^ ^= e* ou, en transposant,

//-e- — e' = />^«'-, équation constitutive de la nouvelle courbe HOPN,
dérivée de la première, et pour laquelle il est prouvé que la somme
des bu ordonnés sur b est donnée. Divisant par b la somme des u or-
donnés sur la base, c'est-à-dire la surface HOPN, sera donnée en rec-
lignes, on aura donc sa quadrature.

Soit, comme second exemple, ba- — a'' = e'' l'équation constitutive
de la première courbe. La somme des e^ ordonnés sur le diamètre b
ost donnée, donc la somme des produits HE-.ED ordonnés sur la base.
Mais HE-.ED est en expression analytique e-a; égalons ce produit à

b-u, et supposons, comme ci-dessus, EP = ;/. On aura — ^ =a; si

donc, au lieu de a, on substitue sa valeur — 5-, et qu'on suive les

règles de l'analyse, on aura b'' u'- e- — e^ = b° u'^ , équation constitutive de

:>:«»

ŒUVRES DE FERMAT.

[274, 2751

la nouvollc courbo HOPN dorivoe do la première, et pour laquelle la
souiino (les produits />-ii, ordonnés sur la base d, est donnée. Divisant
par//-, la somme des ;/ ordonnés sur la base d sera donnée, donc la
quadrature de la ligure HOPN. La méthode est générale et s'étend à
tous les cas indéfiniment.

Mais il faut remarquer et observer avec soin que, pour les transfor-
mations de courbes dont les ordonnées au diamètre décroissent vers
la base, les analystes doivent suivre un autre procédé qui diffère du
précédent.

Soit {//g. i^G) la courbe primitive IVCBTYA, de diamètre AI, d'or-
données MV, NC, OB, PT, QY. Cette courbe est supposée telle que ses

Fig. i4(

i.
Y

X

F

o\

V

^^^-^

ordonnées MV du côté de la base décroissent jusqu'à la base, en sorte
que MV<;NC; que, d'autre part, du côté de A, la courbe s'infléchisse
suivant CBYA, en sorte que CN>BO, BO > PT, PT>QY, etc., en
sorte que l'ordonnée niaxima soit CN.

Si, dans ce cas, nous cherchons la transformation des carrés MV-,
NC- en produits sur la base, nous ne les comparerons plus aux pro-
duits IR.RV, comme précédemment. Car le théorème général suppose
que la somme MV-... + NC- est égale à celle des produits VG.GN,
puisque CN, l'ordonnée maxima, peut et doit être regardée comme
base par rapport ii la courbe dont le sommet est I. 11 faut donc, dans
une courbe dont les ordonnées décroissent vers la base, comparer les
carrés MV-. ..NC- aux produits GV.GN, c'est-à-dire, pour arriver sur
cette figure à une équation analytique : si nous posons MI = RV = a,
MV == RI = e et CD = GR = s donnée (cette droite menée parallèle-

[275,377] MÉTHODE DE QUADRATURE. 231

ment au diamètre par l'extrémité de l'ordonnée maxima est facile à
trouver par nos méthodes), on aura GV.GN = se — ac; par suite, la
somme des carrés MV-...NC- jusqu'à l'ordonnée maxima sera com-
parée à la somme des produits ze — ae, ordonnés sur la base ID. La
somme des autres carrés CN-, BO-, PT^ sera comparée à la somme des
produits YF.FN, soit en expression analytique ae — ze. Cela établi, on
dérivera facilement de la première courbe une nouvelle sur la base;
on observera la même règle pour toutes les autres puissances des in-
connues.

Pour bien montrer que notre méthode fournit de nouvelles quadra-
tures, dont aucun des modernes n'a encore jamais rien soupçonné,
soit proposée la courbe précédente, dont l'équation est

Il a été prouvé que la somme des f?' est donnée en rectilignes. En
les transformant sur la base, on aura, d'après la méthode précédente,

—r- =a; substituant la nouvelle valeur de a, et achevant les calculs

suivant les règles, on arrivera à la nouvelle équation e'+ ;/^ = heu,
qui donne une courbe du côté de la base. C'est celle de Schooten, qui
en a donné la construction dans ses Miscellanea, section XXV, page /(qS.
La figure courbe AKOGDCH de cet auteur sera donc facilement car-
rable d'après les règles précédentes.

Il y a également lieu de remarquer que, des courbes dont la somme
des puissances des ordonnées se trouve donnée, on peut déduire des
courbes facilement carrables, non seulement sur la base, mais aussi
sur le diamètre. Supposons, par exemple {fig- i45), l'équation consti-
tutive déjà prise h^ — 0^ = e-; non seulement on en dérivera une nou-
velle courbe sur la base ayant pour équation b'-e- — e^ = b'-ir, mais
encore une nouvelle courbe sur le diamètre en égalant la puissance de
l'ordonnée e- à un produit bu. Car la somme des produits bu, ordonnés
sur le diamètre, sera donnée; donc, en divisant par b la somme
des u ordonnés sur le diamètre, on aura la quadrature de la courbe

•23-2

ŒUVRES DE FERMAT.

[277, 27>S]

dérivée ilo la primilive sur lo cliainMre, et dont l'équation s(M"a
Ir — a'- = bu. 11 est éviihMil que cette nouvelle courbe sur le diamètre
est une parabole. Une transformation de cette sorte, non seulement
donne des courbes nouvelles dérivées des premières, mais conduit
facilement des paraboles aux hyperboles et des hyperboles aux para-
boles, comme l'essai le fera voir.

3Iais, de même que des courbes où est donnée la somme de puis-
sances des ordonnées, l'analyse précédente dérive des courbes où la
somme des ordonnées simples est donnée, de même, de courbes où
csi donnée la somme des ordonnées, on arrive facilement à des
courbes où est donnée la somme des puissances des ordonnées.

Soit, comme exemple, la courbe dont l'équation est />-<?^ — e'' = è-M^
équation où, comme je l'ai établi, la somme des u est donnée. Si l'on

pose H = -j-j et qu'on substitue à u sa nouvelle valeur -t-j on aura

h'-e- — e'= à-e-, et, en divisant tous les termes par é-, Ir — e- = a-,
ou bien b- — a'- = e'-. Dans cette nouvelle courbe, qui est un cercle, la
somme des e- sera donnée.

Si de la première courbe où est donnée la somme des ordonnées, on
veut en déduire une nouvelle où soit donnée la somme de leurs cubes,
on se servira toujours de la même méthode, mais en prenant des puis-
sances conditionnées des inconnues.

Ainsi, soit proposée la courbe que nous avons plus haut déduite
d'une autre et dont l'équation est b^ ir e'- — e^ — b" ii\ et où il est
établi que la somme des u, c'est-à-dire des ordonnées, se trouve
donnée.

Pour en déduire une nouvelle courbe où la somme des cubes des

ordonnées soit donnée, on posera n = -y^» et on substituera à u sa

nouvelle valeur; en opérant conformément aux règles de l'art, on aura
l'équation ba'- — a' = e^, qui donnera une courbe où la somme des e%
c'est-à-dire des cubes des ordonnées, se trouve donnée.

Cette méthode, non seulement conduit à la connaissance d'une in-
finité de quadratures jusqu'à présent ignorées des géomètres, mais

1278,279] MÉTHODE Dt QUADRATURE. 233

oncoro fait découvrir une infinité de courbes dont on obtient les qua-
dratures en supposant celle de courbes plus simples, comme le cercle,
l'hyperbole, etc.

Par exemple, dans l'équation du cercle b- — a'-^ e-, on a, données
en rectilignes, les sommes de tontes les puissances des ordonnées
dont l'exposant est pair, carrés, bicarrés, bicubes, etc. Quant à la
somme des puissances à exposant impair, comme celles des e'', e'%
elle n'est donnée en rectilignes que si l'on suppose la quadrature du
cercle. Il est facile de démontrer ce que je viens de dire et de le
réduire en règle, comme corollaire de la méthode qui précède.

Il arrive aussi souvent que, pour trouver la mesure d'une courbe
proposée, il faille réitérer l'opération deux fois ou plus souvent
•encore.

Soit proposée, par exemple, la courbe déterminée par l'équation
suivante :

Si la somme des e est donnée, ainsi que la droite b, on aura aussi
comme donnée celle des rectangles be. En inversant la méthode que
nous avons exposée au début de celte Dissertation, posons be = o- ,

d'où y = c. Substituant à e sa nouvelle valeur, il viendra

Nous avons là une première opération, inverse de celle indiquée au
début de la Dissertation, et qui a conduit à une nouvelle courbe où il
reste à chercher si la somme des o- est donnée.

Il faut donc recourir à la seconde méthode qui de la somme des
carrés des ordonnées conduit à la somme des ordonnées simples.

D'après la méthode précédente exposée en seconde ligne, posons
-^ = rt et substituons à a la nouvelle valeur que lui assigne celle

o

méthode. Il viendra b' — b'-u'- = b'ir, et divisant tous les termes
par b-, b- — a- — ir, équation du cercle. La somme des ii est donc
donnée, si l'on suppose la quadrature du cercle.

Fermât. — III. 3o

23i ŒUVRES DE FERMAT. fîso, 281]

Si nous ronioiitoiis à la pi'oniii'i'c ooiirbo : h' ^ a'^c -h h'-e, il en
résulte que l'aire de cette coui'li(> peut cMre carrée en supposant la
quadrature ilu eercle, e( nous sommes facilement et rapidement
arrivés à celte conclusion par noire analyse, au moyen de deux
courbes différenles de la précédenle.

L'utilité de tout ce qui précède sera immédiatement reconnue par
un analyste subtil, tant pour l'invention de droites égales à des
courbes, que pour nombre d'autres problèmes qui n'ont pas encore
été assez approfondis.

Soient (/ig- i^S) AB une parabole primaire, CB son axe, CD l'or-
donnée égale à l'axe CB et au paramètre BV. Prenez BP, PL, LG

K 0

Fis- <iS.
S X

./

N

R

V

^^^

AT

/

D

/"

M

(J

/'

égales entre elles et à l'axe CB, et portées sur son prolongement.
Menez à CD les parallèles indéfinies BX, PS, LO (qui seront données)
et par un point quelconque F de la courbe, menez à l'axe la paral-
lèle FXSOK rencontrant les droites BX, PS, LO aux points X, S, 0.

-rrr-- Prcnaut de même les points D, E,

DR _ RN EQ _ QM
RN ~~ NI QM ~ MH ■

.-, ., r. FX + XS XS

haïtes entin — ^ — ou ô^t

faites ^ = ^ et ^ = ér^- Imaginez par les points G, H, I, K, . . .

une courbe indéfinie qui aura pour asymptote la droite indéfinie LO.
Cette courbe GHIK est celle dont l'espèce est définie par l'équation
j)récédente, 6' = a'-e -+- è-e. Je dis donc, d'après la réitération indi-
quée ci-dessus des opérations analytiques, que l'aire KIHGLMNO, qui
se prolonge indéfiniment du côté des points K, 0, est égale au double
du cercle ayant pour diamètre l'axe BC. C'est ainsi que nous avons
immédiatement résolu cette question que nous proposait un savant
géomètre.

[281,283] MÉTHODE DE QUADRATURE. 235

Par la même méthode j'ai carré la courbe de Dioclès ou plutôt j'ai
ramené sa quadrature à celle du cercle.

Mais le redoublement des opérations est surtout élégant lorsque
l'analyse passe des plus hautes puissances des ordonnées aux plus
basses, ou au contraire des plus basses aux plus hautes; cette méthode
s'applique en particulier pour trouver la somme des ordonnées dans
une courbe quelconque proposée, ainsi qu'à beaucoup d'autres pro-
blèmes de quadratures.

Soit proposée, par exemple, la courbe dont l'équation est

b- — a-^ e-,

et qu'on voit immédiatement être un cercle. On demande la somme
des cubes des ordonnées, c'est-à-dire la somme des e'.

Si la somme des e' est donnée, on peut, par les méthodes précé-
dentes, en raison de la nature de la puissance, déduire de cette courbe
une autre sur la base, où la somme des ordonnées soit donnée. Soit

posé, d'après la méthode, — ^ = a. Substituant à a sa nouvelle valeur,
il vient b-e'* — e" = h''o- , équation d'une courbe où, dans l'hypothèse
que la somme des e'' de la première courbe est donnée, la somme des o
sera donnée.

Puisque, dans cette nouvelle courbe, la somme des o est donnée, on
peut en dériver une troisième où l'on cherche la somme des carrés des
ordonnées, et non celle des cubes comme dans la première courbe.
D'après notre méthode pour les carrés, nous poserons, comme on l'a

vu, -j- = o; d'où h'-e* — e" = h'-e-ir. Divisant tout par é-, il viendra

()'-e- — e'' = b'-ir, courbe où la somme des e'- doit être donnée. Partant
de cette courbe, cherchons-en une où soit donnée la somme des ordon-
nées; posons par exemple e'-=èy; la dernière équation deviendra
hy — v''= ir- Si donc, dans la précédente, la somme des é- est donnée,
dans celle-ci on aura celle des by, donc celle des j.

Or dans cette dernière courbe, qui est évidemment un cercle, la
somme des j est donnée, en supposant toutefois la quadrature du

•23G ŒUVHES DE FERMAT. [282,284]

corolo; donc, en romontant de cette dernière courbe, où finit notre
analyse, à la première, il est clair cjne dans le cercle la somme des
cubes des ordonnées est donnée, si l'on suppose la quadrature du
cercle. De nu-me pour les puissances cinquième, septième et les
autres de degré impair indéfiniment, comme il est facile de le voir.
Seulement le nombre des courbes se multiplie à mesure que s'élève
le degré de la puissance dont il s'agit. On passera sans difficulté de
l'analyse à la synlbèse et au véritable calcul de la figure h. carrer.

Au reste, il arrive souvent qu'il faut étrangement promener l'ana-
lyse par un très grand nombre de courbes pour arriver à la simple
mesure pour une équation de lieu proposée.

h- a — h»

Soit par exemple :

ri''

Supposons donnée la quadrature de la figure correspondant à celte
équation; la somme des a est donc donnée, donc celle des ba, et si

l'on pose ba = o'- , celle des o- . On aura d'ailleurs a

d'où l'équa-

iion

e-.

De cette nouvelle courbe, par l'autre méthode que nous avons indi-
quée si souvent, on en déduira une troisième. La somme des o- étant

, , bu ,, , ,. //"^_6'-

ilonnee, posons -^ = e, on aura l équation = = ir.

C'est la troisième courbe où l'on aura la somme des o, et par con-
séquent des u. Mais si la somme des a est donnée, on aura, d'après la

première méthode, celle des produits bu. Soit bu = j-, d'où y- = u,

nous aurons l'équation =^ = y', quatrième courbe où sera

donnée la somme des y-. Par la méthode ordinaire, déduisons-en une
autre; soit — = o; achevant les calculs suivant les règles de l'analyse,

b'y'i- — b''Y''''^ i'", cinquième courbe où sera donnée la somme des
Y, donc celle des /.

Maintenant, par la méthode contraire, déjà souvent employée, cher-

i

[281,285] MÉTHODE DE QUADRATURE. 237

chons une autre courbe où l'on connaisse la somme des carrés des

ordonnées; soit 'r = v (car à défaut de voyelles rien n'empêche de

reprendre celles qui ont déjà été employées), on aura h'^a' — «° = l)'-i\
sixième courbe où la somme des r est donnée.

Ramenons aux racines par la méthode connue et déjà employée
plusieurs fois; soit r = be; on aura la somme des be donnée, et une
septième courbe ^-«'' — a" = 6^c-, où la somme des e est donnée,
donc celle des a.

De là on en déduira une autre, où la somme des carrés des ordon-
nées sera donnée.

Posons, d'après la méthode, y- = e, d'où b'-a'' — a" = b^a-o-. Divi-
sant tous les termes par a-, il vient b'-cr — a" =^ b'-cr, équation d'une
huitième courbe où la somme des a^ est donnée. Ayant la somme des
a'-, on peut déduire enfin une autre courbe où l'on ait la somme
des ordonnées. Soit a- = bu, on aura bu — u^ = o- , dernière équation
qui donne une neuvième courbe, où la somme des u est donnée. Mais
cette dernière courbe est évidemment un cercle et la somme des u n'y
est donnée qu'en supposant la quadrature du cercle. Donc, en remon-
tant à l'équation de la première courbe, la quadrature en sera donnée
si l'on suppose celle de la dernière courbe ou du cercle.

Nous avons ainsi employé neuf courbes ditTérentes pour arriver à
la connaissance de la première.

•2.J8

ŒUVRES DE FERMAT.

[285, 286]

FRAGMENT SUR LA CISSOIUE.

Soi! la cissoïdo EAPS {fig- i'\[)) dans le demi-cercle LYABE, dont
il est le centre, LE le diamèlre, HA le rayon perpendiculaire au dia-
nu''lre; soit LU la droite perpendiculaire au diamètre et asymptote de
la cissoïde.

l'iK.

My-

G FE

Je dis que l'aire comprise entre EL, la cissoïde EAPS et son asym-
ptote LB prolongées indéfiniment est triple du demi-cercle LAE. Si
donc on fait la même construction dans l'autre moitié du cercle, l'en-
semble des deux aires, dont E formera le point saillant, sera égal au
triple du cercle total.

La démonstration, loin d'être pénible, est assez élégante.

Je prends sur le diamètre deux points I, G quelconques, mais de
part et d'autre du centre et à même distance; on aura donc HI = HG,
et par suite LI = GE. En I et G j'élève des perpendiculaires qui ren-
contreront la cissoïde aux points P, Y, le cercle aux points V et B.
Par ces derniers points, V, B, je mène les rayons HV', HB et les tan-

[286,288] METHODE DE QUADUATURE. 239

gentes VM, BD, qui rencontreront le diamètre en M, D. Au delà de I,
je prends une très petite longueur IK arbitraire, et au delà de G,
GF = IK; en K et F, j'élève au diamètre les perpendiculaires KN, FC
qui rencontreront les tangentes aux points N, C, desquels j'abaisserai
sur les droites VI, BG les perpendiculaires NO, CQ.

Cela fait, il est clair que l'aire de la cissoïde est égale à la somme de
tous les rectangles PI x IK et YG x GF que l'on peut construire de la
sorte; ces rectangles ont des bases égales. Kl = GF, et leurs hauteurs
sont les ordonnées à angle droit de la cissoïde. Mais, d'après la pro-
priété de cette courbe, ^f = Tn> d'autre part, IE = 1H + HE= IH + HY;
donc rn — iTTr = 1^- Maintenant les triangles HVI, VMI, VNO donnent

IH + llV El
IV NO

, KI(^NO) JE ,, ,
^; donc ^^,-p^ = jp, don

Hl-i-UV NV+VO'

IP X IK = TE X NV + lE X VO.

D'un autre côté, d'après la propriété de la cissoïde, f-p = p-y- Mais

GE = HE — HG = HB — HG; donc jrv-, — tjtt = ^tt?- Mais, en raison
de la similitude des triangles, on aura aussi

Br. QC GF

BU - lia ~" BC — BO BC — BQ '

on en conclura que YG x GF = GE x BC - GE x BQ.

Mais comme par construction HI = HG et Kl = GF, on aura évidem-
ment VN = BC et VO = BQ. Par conséquent, si l'on prend les deux
rectangles correspondants,

PIx lK + YGxGF[=YGx IK]
z= lE X NV -h GE X BC [= LI x NV] + lE x VO - GE x BQ [= GE x BO] ;

mais

lE X NV + LI X NV = LE X NV,

et

lE X VO - GE X VO = IG X VO = 3lH X VO =: 2 VX X VO;

donc

PI X IK 4- YG X IK = EL X VN -H 2 VX X VO.

.••.0 (EUVRES DE F i: RM AT. |28S]

()i- l:i soiiiiiic lies produits du diainîirc Kl. par les segments VN des
taiiiçeiites dans le (|uarl de cerele LVA représonto lo produit dti dia-
nu'lre par le (|iiart de circoni'éreiice L\A, c'est-it-dire le doiilile dn
denii-eerele LAK; d'autre |)ar(. la somme des reelangles liVX x VO
ou. si l'on mi'ue OZO parallide au diamètre, des rectangles -iW x XZ
représente le demi-cercle LAK.

Donc l'aire de la cissoide qui est équivalente à la douhle série de
ces rectangles vaut évidemment le tripl(> du demi-cercle.

[m] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 241

OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.

i. — Porismes de Bachet, Livre III, définition 6.

Il Un Iriiingle rectangle en nombres (c'esl-à-dire l'ensemble de trois nombres rnlio-
nels (I, h, c, lies par la relation : n-= b--^ c-) est dit forme des deux nombres p et 7, si
l'on a

(( =/J--t- c/'^, h =: p- — q-, c = 2/;r/. »

Nous pouvons former un triangle avec trois nombres en progression
aritlimétique, en le composant, selon cette définition 6, avec le terme
moyen et la différence de deux termes; car le produit des trois termes
et de la différence sera égal à l'aire dudit triangle, et, par suite, si
la différence est l'unité, l'aire du triangle sera représentée par le pro-
ilnit des trois termes.

•2. — Diophante, II, 8.

« Résoudre on nombres ralionels l'équation indéterminée : .r'+j?^^ a-. «

Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux
cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance
(luelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré;
j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que
cette marge est trop étroite pour contenir.

3. - Diophante, II, 10,

(C Résoudre : j:-+r-= a- -h h-. «

Un nombre, somme de deux cubes, peut-il être de même partagé en
deux autres cubes? C'est là un problème difficile dont la solution a

l'ERMAT. — Ul. 3l

212 ŒUVRES DE FERMAT. [292,293]

certainement été ignorée par Bachet et par Viète, peut-être par Dio-
phante lui-même; je l'ai résolu plus loin clans mes Notes sur le pro-
blème IV, 2.

4. — Diophante, III, 10.

0 Résoudre : .r + j -I- « = n. r H- ^ H- « = D. 3-H.r + a = n, ■r-hj-i-z-i-(i = 0. »

J'ai indiqué, dans ma Note sur le problème V, 30, comment on
peut trouver quatre nombres tels que la somme de deux quelconques
d'entre eux, augmentée d'un nombre donné, fasse un carré.

s. — Diophante, III, 11.

« Résoudre le problème précédent, en supposant a négatif. »

Ma Note sur V, 31 montre comment on peut trouver quatre nombres
tels que la somme de deux quelconques d'entre eux, diminuée d'un
nombre donné, fasse un carré.

6. — Diophante, III, 17.

« Résoudre : xy ■+- x + )■ = □, rz -t- r -h c = [j , ;.r -h 3 -s- .r = □ . »

Il y a dans Diopbante un autre problème, V, 5, sur le même sujet (').
Cependant on ne sait pas s'il a omis, tout en le connaissant, le pro-
blème suivant ou s'il n'en avait pas, plus probablement, donné la solu-
tion dans un de ses treize Livres :

Trouver trois carrés tels giie le produit de deux quelconques d'entre
eux, augmenté de la somme des deux mêmes carrés, fasse un carré.

Je puis donner de ce problème des solutions en nombre indétini. En

1 , , ■ ,3 âoA 384 2 01 Q 2^1 ,

VOICI une, nar exemple; les trois carres : — ^, — -, — ^, — , 4, satis-
' ^ loi 401 2o3 401

font à la condition proposée.

On peut d'ailleurs aller plus loin et étendre la question de Dio-

('} V, 3, Diophante suppose que les inconnues du problème III, 17 sont des carrés : il
ajoute de plus les conditions : .ri 4- 3 = D, J- + -r = Q, zx + y = Q.

[293,294] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 243

pliante. Ainsi j'ai traité généralement le problème suivant et je puis
en fournir des solutions en nombre indéfini :

Trouver quatre nombres tels que le produit de deux quelconques
d'entre eux, augmenté de la somme des deux mêmes nombres, fasse un
carré.

On cherchera, d'après V, 5, trois carrés tels que le produit de deux
quelconques d'entre eux, augmenté de la somme des deux mêmes carrés,
fasse un carré. Soient par exemple les trois carrés donnés par Diophan te:

2.Î 64 iq6 , , I , . . , ,

— ) — ) -^—; nous les prendrons pour les trois premiers nombres de

notre problème; soit x le quatrième; en fai'mant son produit avec
chacun des précédents et en ajoutant la somme des deux facteurs,
nous aurons

34 20 _ 78 6A 2o5 106

9 9 9 9 9 9

équation triple, que j'ai enseigné à traiter dans ma Note sur VI, 24.

7. — Commentaire de Bachet sur Diopbante, III, 22.

Tout nombre premier, de la forme f\n 4-1, est une seule fois l'hy-
poténuse d'un triangle rectangle; son carré l'est deux fois, son cube
trois, son bicarré quatre, et ainsi de suite indéfiniment.

Le même nombre premier et son carré sont, d'une seule façon,
somme de deux carrés; son cube et son bicarré le sont de deux façons;
sa cinquième et sa sixième puissance de trois façons, et ainsi de suite
indéfiniment.

Si un nombre premier, qui soit la somme de deux carrés, est multi-
plié par un autre nombre premier, qui soit également la somme de
deux carrés, leur produit sera, de deux façons différentes, somme de
deux carrés; si le multiplicateur est le carré du second nombre pre-
mier, le produit sera somme de deux carrés de trois façons diffé-
rentes; si le multiplicateur est le cube du second nombre premier, le

241 ŒUVHES ])E FERMAT. [29i, 29Gj

jiroduif sera somme de deux carrés de qualre façons diderentes, et
ainsi de suite indéfiniment.

Il est, d'après cela, facile de déterminer de combien de façons diffé-
rentes un nombre donné peut être hypoténuse d'un triangle rectangle.

On prendra tous les diviseurs premiers de ce nombre qui seront de
la forme !\n-\-\; par exemple 5, i3, 17.

Si le nombre donné est divisé par des puissances de ses facteurs
[)remiers, il faut d'ailleurs prendre ces puissances au lieu du facteur
simple; supposons par exemple que le nombre donné soit divisé par le
cube de 5, par le carré de i3 et par 17 simplement.

On prendra les exposants de tous les facteurs, à savoir : pour 5, l'ex-
posant 3 du cube; pour i3, l'exposant 2 du carré; pour 17, l'unité
simple.

On ordonnera, comme on voudra, lesdits exposants; soit, par
exemple, l'ordre 3.2. i.

On multipliera le premier par le second, on doublera et on ajoutera
la somme du premier et du second; il vient 17. On multipliera 17 par
le troisième, on doublera et on ajoutera la somme de 17 et du troi-
sième; il vient 32. Le nombre donné sera hypoténuse de 52 triangles
rectangles différents. Le procédé sera le même quel que soit le nombre
des facteurs et quelles que soient leurs puissances.

Les autres nombres premiers, qui ne sont pas de la forme 4« -i- i»
ainsi que leurs puissances, n'ajoutent ni ne diminuent rien au nombre
qu'il s'agit de trouver.

Trouver un nombre premier qui soit hypoténuse d'autant de façons que
l On voudra.

Soit à trouver un nombre qui soit hypoténuse de sept façons diffé-
rentes.

Je double le nombre donné 7; il vient i'\. J'ajoute i, ce qui fait i").
Je prends tous les diviseurs premiers de i5, qui sont 3 et 5. Je
retranche l'unité de chacun d'eux, et je prends la moitié des restes;
j'ai 1 et 2. Je prends maintenant autant de facteurs premiers que

[290, M7] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2'>5

j'ai ici de nombres distincts, à savoir doux, et je multiplie entre eux
ces facteurs premiers en les affectant des exposants i et 2; pourvu que
ces facteurs premiers soient de la forme ^n-\- i, j'aurai ainsi (en mul-
tipliant l'un par le carré de l'autre) un nombre satisfaisant à la (|U('s-
tion proposée.

Il est dès lors facile de trouver le nombre minimum qui soit liypo-
ténuse d'autant de façons que l'on voudra.

Tromer un nombre qui soit somme de deux carrés d'autant de façons
que l'on voudra.

Soit proposé de 10 façons; je prends tous les facteurs premiers du
double 20 : j'ai 2.2.5. De cbacun de ces nombres je retranche l'unité;
il vient i.i.'i. J'aurai en conséquence à prendre trois nombres pre-
miers de la forme f\n-\-i, par exemple, les nombres 5, i3, 17; ii
cause de l'exposant 4, je prendrai la quatrième puissance de l'un de
ces nombres, je la multiplierai par les deux autres, et j'aurai ainsi le
nombre cherché.

Il est d'après cela facile de trouver le nombre minimum qui soit
somme de deux carrés d'autant de façons qu'on le voudra.

Pour reconnaître de combien de façons différentes un nombre donné
est somme de deux carrés, voici la méthode.

Soit proposé le nombre 32). Ses diviseurs premiers, de la forme
t\n -+- I, sont : 5 par son carré, i3 simplement. Je prends les expo-
sants : 2. I. J'ajoute leur produit à leur somme, ce qui fait 5; j'ajoute
l'unité, ce qui fait 6; je prends la moitié, 3. Le nombre donné sera
somme de deux carrés de trois façons différentes.

Si l'on a trois exposants, par exemple : 2.2.1, voici comment on
opérera. Je prends le produit des deux premiers et j'ajoute leur
somme, ce qui fait 8. Je multiplie 8 par le troisième et j'ajoute la
somme des facteurs, ce qui fait 17. J'ajoute enfin l'unité, ce qui fait
18, dont la moitié est 9. Le nombre proposé sera somme de deux
carrés de /le;//" façons différentes.

Si le dernier nombre dont on aurait à prendre la moitié se trouvait

2V6 ŒUVRES DE FERMAT. [297,298]

impair, on en retrancherait l'unité, et l'on prendrait la moitié du
reste.

Le problème suivant peut encore être proposé : Trouver un nombre
entier dont la somme avec un entier donné fasse un carré et qui,
d'autre part, soit l'hypoténuse d'autant de triangles rectangles que l'on
voudra.

La question est difficile. Si, par exemple, on demande de trouver
un nombre qui soit 2 fois hypoténuse, et qui, augmenté de 2, fasse un
carré, 2023 est un nombre satisfaisant à ces conditions, et il y en a
une infinité d'autres, comme 33G2, etc.

8. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 2.

. r. ■ j 1 ■. ■> Il 3a3i -iah"

n 1. Pour résoudre : j;3-t-j3= q3 — 0', on posera ,r= — j-r — b,y = a-

Four que les deux nombres x,y soient positifs, il faut que l'on ait «■''> ib^. »

En réitérant l'opération, il est facile de s'afTranchir de la condition
et de résoudre généralement aussi bien cette question que les sui-
vantes, ce que n'ont pu faire ni Bachet, ni Viète lui-même.

Soient donnés les deux cubes G'i et 1 20 ; on en demande deux autres
dont la somme soit égale à la différence des deux cubes donnés.

D'après le procédé donné par Bachet pour son problème 3, page sui-
vante, on cherchera deux autres cubes dont la din"érence soit égale à

celle des deux donnés. Bachet a donné ces deux cubes, — .. " ; et

?.5o 047

Par construction, leur diff"érence est égale à la différence des

25oo47

deux cubes donnés; mais, après les avoir trouvés par l'opération indi-
quée pour le problème 3, comme le double du moindre ne dépasse
pas le plus grand, on peut les transporter dans les données du pro-
blème 1.

On aura ainsi deux cubes donnés, cl on en cherchera deux autres
dont la somme soit égale à la différence des donnés; la condition indi-
quée pour le problème 1 étant satisfaite, la solution s'obtiendra sans
difficulté. Mais la différence des deux cubes trouvés par le problème 3

[.-98, 299] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2W

est égale à la différence des deux cubes primitivement donnés G\ et
123; ainsi rien n'empêche de construire deux cubes dont la somme
soit égale à la différence des donnés G4 et i25, ce qui sans doute éton-
nerait Bachet lui-même.

Bien plus, si l'on passe circulairement par les trois problèmes et
qu'on réitère indéfiniment les opérations, on aura une infinité de
couples de cubes satisfaisant à la même condition; en effet, après
avoir trouvé en dernier lieu nos deux cubes dont la somme soit égale
h la différence des donnés, nous pouvons (problème 2) en chercher
deux autres dont la différence soit égale à la somme de nos deux
cubes, c'est-à-dire à la différence de ceux primitivement donnés; de
la différence nous repasserons à la somme et ainsi de suite indétini-
ment.

9. — Même commentaire.

or. • j 1 -, 1 ;•. ^"^^ "ia^b ,

(1 2. Pour résoudre : jc^ — r^ = a^-\- w', on posera x= —, p- +«, y = r- — o.

"ia^b 3ab^

3. l'our résoiuirc : .c' — > s = ^,3 — /,3_ |^n posera .r = — p b, r =

«3-1-^3 ' - a> -h />3

Pour que .c et j soient positifs, il l'aul que rt'< ih^. «

La condition, imposée pour la solution de ce problème 3, n'est
pas légitime, ainsi que je le montrerai en opérant comme pour le pro-
blème 1.

Bien plus, d'après ce qui précède, je résoudrai heureusement le
problème suivant, dont Bachet a ignoré la solution :

Partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes,
et cela d'une infinité de fa(,'ons, en répétant continuellement les opé-
rations, comme je l'ai indiqué ci-dessus.

Ainsi soit à trouver deux cubes dont la somme soit égale ii celle des
deux cubes 8 et i. Je chercherai d'abord (problème 2) deux cubes

dont la différence soit égale à la somme des donnés; je trouverai ^^

et -^y- Comme le double du moindre dépasse le plus grand, on est
ramené au problème 3, d'où l'on passera au problème 1, et on aura
dès lors la solution.

o',8 ŒUVRES DE FERMAT. [299, 300]

Si l'on on veut une seconde, on repassera par le problème 2 et

ainsi de suite.

Pour montrer que la condition posée par le problème 3 n'est pas

légitime, soit à trouver, étant donnés les deux cubes 8 et i, deux

autres cubes dont la dilTérence soit égale à celle des donnés.

Racbot dirait, sans doute, que le problème est impossible; je n'en ai

pas moins trouvé, par ma méthode, les deux suivants dont la ditfé-

,, ,^ , , ^ 2024284625 . 1081 380216

rence est 7 = 8 — i. Les deux cubes sont ^^^^g^g et -^^TTgr^^'

, . ,1 26.5 , I 256

et eurs racines sont — ^^3- et „,, •
i83 ibJ

10. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 11.

j'S _L- \-3

« Bachet : Résoudre ' — ^^ = «, en supposant que a soit des formes p"- ou 3/)^. »

Lotte condition doit être complétée de la façon que j'ai indiquée
plus loin pour celle du problème suivant [Obs. 12]. Il n'y a pas à
s'étonner que Bachet n'ait pas aperçu la méthode générale, qui est
réellement difficile; mais il aurait au moins dû avertir le lecteur que
celle qu'il donne est seulement particulière.

11. — Diophante, IV, 12.
« Résoudre : .r' — j'=.'' — r. »

Si l'on cherche deux bicarrés dont la différence soil égale à celle de
leurs racines, on pourra résoudre la question en employant l'artiticc
de ma méthode.

Qu'on cherche, (n\ olFet, doux bicarrés dont la difFérence soit un
cube, et tels que la dilTérence de leurs racines soit i. On trouvera,

par la première opération, les racines — — et — • Le premier de

ces deux nombres étant affecté du signe —, on réitérera l'opération

suivant ma méthode, en égalant la première racine à x — -, (^

[301,302] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2W

seconde a x -h —, et l'on obtiendra ainsi des nombres positifs satis-
faisant au problème. v

12. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 12.

J|^3 y3

« BvciiET : Résoudre ■ — = n, en supposant a des formes p- ou 3/j-. »

La condition n'est pas légitime, parce qu'elle n'est pas générale. II
faut ajouter « ou que le nombre exprimant le rapport soit multiple
d'un carré par un nombre premier de la forme 3/n- i (comme 7,
i3, 19, 37, etc.), ou par un produit de nombres premiers de celte
forme (comme sont les produits 21, 91, etc.) ». La démonstration ol
la solution du problème dépendent de ma méthode.

i;i. — Diophaiy.e, IV, 17.

» Késoudrc : xj -h j^a + -2^3 = D , .r f + .r^ = □ . .r^ _,. .j-^ = q ^ ^2 ^ ^^ _ q _ „

O problème peut, peut-être, se résoudre plus élégamment comme
suit :

Posons Xf= jc, X2= 2x -h u en sorte que x^-h x., = n- Pour x^,
choisissons arbitrairement le coefficient de x et le terme constant, de
façon que o'^ + .r., = a; par exemple soit .r^ = ^x -+- 3.

On a ainsi satisfait à deux conditions; il faut encore que l'on ait

x, + x-, 4-^-3= G el j?5 + j?i = n-

Mais

jr, -4- ^2 + a;3^7 j? + 4, ^1 + Xi^iôx^ + 25x -h g.

On a donc une double équation où les termes constants sont carrés,
dont la solution est facile par suite, en ramenant ces termes ii èli'c
égaux à un même carré.

Par le même procédé, on peut étendre le problème à 4 nombres
et même à autant que l'on voudra; il suffit de faire en sorte que la

Fermât. — ni. 32

•250 ŒUVRES DE FERMAT. [302, 303J

somme des termes indépendants de x, dans les expressions des divers
nombres, fasse un carré; ce qui est très facile.

14. — Diophante, IV, 18.

« Résoudre : .rj -t- .Cj + J^a = D , -^^i— J^a = D , ^\ — -^3=0, ^l — .r, = D . »

Le mode de raisonnement que j'ai employé pour la précédente
question permet de résoudre également celle-ci et de l'étendre à
autant de nombres que l'on voudra.

15. — Diophante, IV, 20.

« Résoudre : Xix-i-^ i = \Z\ , x-ix^ -(-! = □, ,r., j-i + i = D ■ »

Soit proposé de trouver trois nombres tels que le produit de deux
quelconques d'entre eux, augmejité de l'unité, fasse un carré, et que,
Ac plus, cliacun de ces trois nombres eux-mêmes, augmenté de
l'unité, fasse un carré.

J'ajouterai une solution de cette question, qui a déjii été traitée.

Soit une solution indéterminée du présent problème de Diophante,
choisie de telle sorte que, pour a;, et x^, les termes indépendants de
.r, augmentés chacun d'une unité, fassent des carrés. Soient, par
exemple, les trois nombres indéterminés :

169 i3 722.5 85

5 184 36 0184 36

Il est clair qu'ils fournissent une solution de ce problème IV, 20;
il faut de plus maintenant satisfaire aux conditions

c'est-à-dire à une triple équation, qu'il sera facile de résoudre par ma
méthode, le terme indépendant de x, après l'addition de l'unité, se
trouvant carré dans chacune des expressions.

[303,305] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 251

16. — Diophante, IV, 21.

« Résoudre : ■ri.v.2-{-\= 13 , ^t^3-i-'= ÏD ■ ■i^i-ri,-h\—0 , .'"2-''3 +i= D , .r2.r4+i= D ,
.r3.r4+i = □ . »

Cherchez d'abord trois nombres tels que le produit de deux quel-
conques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré; soient, par
exemple, les nombres 3, i, 8.

Cherchez maintenant un quatrième nombre tel que son produit
par chacun des trois nombres déjà trouvés fasse un carré après addi-
licHi de l'unité. Soit x ce nombre ; on aura

triple équation dont la solution s'obtiendra par la méthode que j'ai
inventée. Voir ma Note sur le problème VI, 24.

17. — Diophante, IV, 23.

« Résoudre : .ri .rj .13 -1- .ri = D ■ -ri .r-i-ri + J'; = D , -ri ■'•■,.1-3 -H .rj = D • »

Ce problème peut se résoudre non seulement sans le lemme de Dio-
phante, mais même sans double équation.
Posons

nous satisferons à deux des conditions du problème.

Pour obtenir x.^, il faut maintenant diviser XtX.,X3, c'est-à-dire
r- — IX, par x^x.,, c'est-à-dire 2x; il viendra a?3 = ^a; — i, et, en
l'ajoutant AXtX.,x.j, nous aurons

, 3

ar^ X — I ^ □ .

2

Il faut d'ailleurs que la valeur de x dépasse 2, en raison des posi-
tions déjii faites; on formera donc la racine du carré D, en retranchant

2.v2 ŒUVRES DE FERMAT. [305,300]

(le X un nombre arbitrairement choisi qui soit plus grand que 2. Le
reste est évident.

18. — Commentaire de Bachet sur IV, 31.
Il B.vciiET (proposition empirique) : Tout nombre est soit carré, soit somme de 2, 3 ou

carres entiers. »

Bien plus, il y a une proposition très belle et tout à fait générale
que j'ai été le premier à découvrir :

Tout nombre est : soit triangle, soit somme de 2 ou 3 triangles;

Soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés ;

Soit pentagone, soit somme de 2, 3, 4 ou 5 pentagones;
et ainsi de suite indéfiniment, qu'il s'agisse d'hexagones, d'heptagones
ou de polygones quelconques; cette merveilleuse proposition pouvant
s'énoncer en général en raison du nombre des angles.

.le ne puis en donner ici la démonstration, qui dépend de nom-
breux et abstrus mystères de la Science des nombres; j'ai l'intention
de consacrer ii ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à
cette partie de l'Arithmétique des progrès étonnants au delà des
bornes anciennement connues.

19. — Diophante, IV, 35.

(( Résoudre : .rj -)- .r., + .v^ = 6, T] xj + .rj = □ , xi .r, — .rs = D • »

On peut opérer plus facilement comme suit : Partagez arbitraire-
ment en deux nombres le donné 6; soient, par exemple, les parties
5 et I. Divisez par le nombre donné, G, le produit de ces parties,
diminué de l'unité, c'est-à-dire 4; il vient f. Retranchez ce quotient
tant de 5 que de i; les deux restes ^ ^^ i peuvent être pris pour les
deux premières parties du nombre à partager; la troisième sera dès
lors ^.

[30G,308] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 253

20. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, Ai.

0 Résoudre : {xi-h Xi-h .r3).ri= — '; {j:i-i- x.2-h j:3).r.,= P'- ; (.rj-l- To-l- .r3).r3= y':

avec la condilion que a soit entier, .vi, .r^, x^, p, •( pouvant être simplement rationels.
Si l'on pose .r, ■+- x-i-h xj = x- et p = x^ — z^, on arrive à la condition

°^^^-— -!-^ =2 32.r2— y' — ;'; d'où (2a + i)2=if,;^r"— Sy^— 8;i+i.

On résoudra en égalant cette dernière expression à (izj-~ 3)2; mais a ne peut guère
être obtenu entier qu'en prenant o = i. •>

Bachet n'a pas fait des essais suffisamment rigoureux. Prenons en
effet [pour y'] un cube arbitraire dont la racine soit de la lornic
3 /? 4- I .

Nous aurons, par exemple, à égaler 2x- — 344 î» un triangle '^^ — -
etiGa;-— 2701 à un carré [(2a + 1)'"] ; or on peut, si l'on veut, pi-rnilrc
pour racine de ce carré ^x — 3, etc.

Rien n'empêche, en effet, de généraliser la méthode et de prendre
au lieu de 3 un autre nombre impair tout h fait quelconque, sauf à
choisir le cube en conséquence.

21. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 45.

« Diophante enseigne dans ce pioblème à traiter la double équation
rt.2;-l-i = G, 0|.r-f- /;, = G ,

pour le cas où a et «1 sont différents et où d'ailleurs le rapport de a a ai n'est pas un
carré, mais en supposant que h ot b^ soient des carrés inégaux; Bachet montre que la
solution est également possible, b et bi étant quelconques : 1° si, en supposant a > «,,
le rapport de ab^ — bii à a — a^ est carré; i" si, avec la même hypothèse rt>(7i. lo
rapport de a^li — bya à «, est carré. »

Mais que l'on propose, par exemple, la double équation

on pourra prendre les carrés iG = 20; + 5, 3G = Ga; + 3; et il v en a
une infinité qui satisfont de même à la question. Il n'est pas d'ailleurs

•234 ŒUVRES DE FERMAT. [308,309]

difficile de donner une règle générale pour les problèmes de ce genre,
(Ml sorte que les conditions posées par Bachet sont à peine dignes do
lui, car on peut aisément étendre à une infinité de cas, bien plus à
tons les cas possibles, ce qu'il n'a trouvé que pour deux cas seule-
ment.

22. - Diophante, V, 3.

« Uésoudrc .rj.rj + « = D , ■^'s-^s + « = D ^ .r3.r,+ a = □ , .ri+ « = □ , xj -i- <7 = □ ,
'•r; -1- rt = n • »

De cette solution, il est facile de déduire celle de la question sui-
vante :

Trouver quatre nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre
eux, augmenté d'un nombre donné, fasse un carré.

Soient pris en effet, pour trois de ces nombres, ceux qu'on aura
trouvés pour le problème de Diophante et qui satisferont dès lors, en
outre, à la condition que chacun d'eux, augmenté d'un nombre donné,
fasse un carré. Soit a; -f- 1 le quatrième nombre à chercher; on aura
une triple équation facile à résoudre par ma méthode. Voir la Note
sur le problème VI, 24.

Nous aurons ainsi une solution de la question proposée par Bachet
sur III, 12, et outre que le procédé est plus général, il a sur celui de
Bachet cette supériorité que les trois premiers nombres, augmentés
(diacun (Ju nombre donné, donnent des carrés.

Toutefois, je ne sais pas encore si le problème peut être résolu en
posant la condition que le quatrième nombre, augmenté du donné,
fasse également un carré; c'est une recherche qui reste h faire.

213. — Diophante, V, 8.

» Construire trois triangles rectangles numériques dont les aires soient égales. »

Mais peut-on trouver quatre ou même un plus grand nombre, allant
jusqu'à l'infini, de triangles de même aire? Rien no paraît s'opposer

[300,311] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 253

à ce que cette question soit possible; elle est donc à examiner plus
profondément.

J'ai résolu le problème; bien plus, pour un triangle donné quel-
conque, j'en fournis une infinité ayant la même aire. Soit, par
exemple, G l'aire du triangle 3.4-5, en voici un autre de même

aire : —•- — •— — > ou, si l'on veut le même dénominateur :

10 7 70

49 1200 1201

70 70 70

Voici le procédé qui peut, sans exceptions, s'appliquer indéfini-
ment. Soit un triangle quelconque, d'hypoténuse z, de base h, de
hauteur ri. On en déduira un autre triangle non semblable, mais de
même aire, en formant ce nouveau triangle avec les nombres :;- et
■ibd, sauf à diviser par izlr — izd- les expressions du quatrième
degré qui représentent les côtés. Le triangle ainsi obtenu aura tou-
jours une aire égale à celle du triangle dont il dérive.

Du second triangle ainsi déterminé, on en déduira, par la même
méthode, un troisième; de ce troisième un quatrième; du quatrième
un cinquième, et on aura ainsi une série indéfinie de triangles dis-
semblables et de même aire.

Pour que l'on ne doute pas qu'il soit possible d'en donner plus

de trois, à ceux de Diophante : 40.42.08, 24.70.74» i5.ii2.ii3,

j'en ajoute un quatrième dissemblable et de même aire : hypoté-

1412881 , 1412880 , , 1681
nuse 3 — ; base 3 — : hauteur — r^-

1189 II 89 1189

Si l'on réduit tous ces nombres au même dénominateur, on aura,
en entiers, les quatre triangles suivants de même aire :

10 47560, 49 938, 68962;

2° 28 536, 83 23o, 87986;

3° 17835, i33 168, 134357;

4° ' 1681, 1 412880, I 412881. ,

On pourra en trouver une infinité de même aire en poursuivant
l'application du procédé, et dès lors étendre le problème suivant de
Diophante au delà des bornes où il l'a restreint.

•256 ŒUVRES DE FERMAT. [311,314]

Voici, obtenu par un autre procédé, un triangle dont l'aire est le
sextuple d'un carré, comme celle du triangle 3.4-5 :

2896804, 7216803, 7776435.

24. — Diophante, V, 9.

« Trouver trois nombres tels que le carré de chacun d'eux, soit augmenté, soit diminué
de la somme des trois nombres, fasse un carré. »

D'après ce que j'ai dit ci-dessus, il est clair que je puis résoudre le
problème :

Trouver autant de nombres que l'on voudra, tels que le carré de chacun
d'eux, soit augmenté, soit diminué de la somme de tous ces nombres, fasse
un carré.

Bachet n'a probablement pas connu la solution de ce problème;
sans quoi il aurait généralisé la question de Diophante, comme il l'a
t'ait pour IV, 31 et ailleurs.

2o. — Commentaire de Bachet sur Diophante, V, 12.

« Doutes sur la question de savoir si un nombre qui, comme 21, n'est ni carré, ni
somme de deux carrés entiers, peut être partagé en deux carrés. »

Le nombre 21 ne peut être partagé en deux carrés fractionnaires. Je
puis le démontrer très facilement; plus généralement aucun nombre
divisible par 3, mais non par 9, ne peut être somme de deux carrés,
soit entiers, soit fractionnaires.

26. — Même Commentaire.

n Sur les conditions imposées au ciioix du nombre donné a pour la possibilité du pro-
blème :

Voici la vraie condition, c'est-à-dire celle qui est générale et qui
exclut tous les nombres ne pouvant être choisis :

Il faut que le nombre donné ne soit pas impair, et que la somme

[314,315] OBSERVATIONS SUK DIOPHANTE. 257

de son double et de l'unité, après division par le plus grand carré qui
y entre comme facteur, ne puisse pas être divisée par un nombre pre-
mier qui soit inférieur d'une unité à un multiple de 4-

-2'. — Commentaire de Bachet sur Diophante, V, 14

« Sur les conditions imposées au choix du nombre donné « pour la possibililé du pro-
blème :

•r -(- j 4-3 = 1, « -t- .r = a , « -i-r = D : fi -h z = C . y>

La condition posée par Bachet n'est, elle-même, pas satisfaisante;

bien plus, il n'a pas fait ses essais avec assez de soin, car sa règle

n'exclut pas le nombre 3-], qui ne peut cependant être pris.
Voici comment on doit concevoir la véritable condition :
Prenons deux progressions géométriques suivant la raison 4' ft

dont les premiers termes soient i et 8; supcrposons-en les termes

comme suit :

I, 4, it>. *J^> ^•■'j'j) 1024, 4096, clC,
8, ?,2, 12S, 5i3, 2048, 8192, 32768, elc.

.le considère d'abord le premier ternie de la seconde progression, 8 ;
il f'aul (|ue le nombre donné ne soit ni le double de i (terme super-
posé il 8), ni égal à la somme d'un multiple de 8 et du double de i.

Je considère en second lieu le second terme de la seconde progres-
sion, 3-2, et je prends le double du terme 4 superposé; j'ajoute à (■<•
double, 8, la somme des termes qui précèdent dans la même progres-
sion, celle du dessus (dans ce cas, cette somme se réduit à l'unilé);
j'ai ainsi 9.

Prenant donc les nombres 32 et ;), je dis que le nombre donné ne
doit être ni 9, ni la somme de 9 et d'un multiple de 3^..

Je considère maintenant le troisième terme de la seconde progres-
sion, 128; je j)rends le double, 32, du nombre 16 superposé; j'ajoute
la somme des termes antécédents dans la même progression du haut,
c'est-ii-dire i et 4; j'ai 37. Prenant donc les deux nombres 128 et 37,
je dis que le nombre donné ne doit être ni 37, ni la somme de 37 et
d'un multiple de 128.

Kkiimat. — Ul. oi

•238 ŒUVRES DE FERMAT. [315.317]

Je considère encore le quatrième terme de la seconde progression;
le même procédé me donne les nombres 5i2 et 149. Il faudra donc
que le nombre donné ne soit ni 149, ni la somme de 149 et d'un mul-
tiple de 5i2.

Voilà la méthode uniforme dont l'application doit se poursuivre in-
définiment, et qui n'a pas été indiquée par Diophante dans sa généra-
lité, ni reconnue par Bachet lui-même; les essais de ce dernier ont
même été fautifs, non seulement pour le nombre 37, comme je l'ai
déjà indiqué, mais aussi pour 149 et les autres, qui tombent égale-
ment dans les limites des essais qu'il déclare avoir faits [jus-
qu'à 325].

28. — Diophante, V, 19.
K Résoudre :

(.r,-4-r2-+-.r3)3 — .ri= a?, (Xi-h .r,-\- Xi)"— r,= n?,, (.r,+ .r^-i- .ra)» — .r3= ai}. »

Ou bien le texte grec est corrompu, ou bien Diophante n'a pas
exprimé le moyen par lequel il a obtenu sa solution. Bachet croit qu'il
a été aidé par le hasard, ce que je n'admets guère, car je pense que sa
méthode n'est pas difficile à retrouver.

Il s'agit de trouver un carré plus grand que 2, mais plus petit que 3,
et dont la difTérence avec 3 se partage en trois cubes (').

Prenons, pour racine du carré cherché, une expression composée
d'un terme en ,2? et de — i, par exemple : x — i. Si je retranche de 3
le carré de cette expression, il reste : 2 -+- ix — x-, qu'il s'agit de
décomposer en une somme de trois cubes de façon que l'équation se
réduise à deux termes de degré consécutif.

On peut y arriver d'une infinité de façons : soit 1 — ^j; la racine de
l'un des cubes; pour celle du second, prenons i+x, afin que la

(') Si, d'après la marche de Uioplianle, on pose .ri -+- jto -i- Xs = ;, a,= — 1 a., = — .

;«i ' in-i

a3= — , on arrive à la condition :- ( 3 — ) =1. Diophante suppose

'«3 \ nt\ mi inj /

-^ H i H ; <i; le carré -- doit donc satisfaire aux conditions indiquées par

ini ml m^ ' ;2

l'ermat.

[317,319] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 259

somme de ces deux cubes donne ix pour le terme du premier degré ;
la racine du troisième ne devra comprendre qu'un terme en x, qu'il
faudra d'ailleurs affecter du signe —, pour que la valeur de .x reste
dans les limites assignées; mais il ne sera pas difficile de choisir le
coefficient de ce terme en x de manière que la solution tombe effecti-
vement entre les limites en question.

Cela fait, il est clair que notre premier cube sera plus petit que
l'unité, comme nous le désirons; au contraire, le second est plus
grand, et le troisième est affecté du signe — ; il s'ensuit qu'il faut
trouver deux cubes dont la somme soit égale à la différence du second
et du troisième; nous arrivons ainsi, comme Diophante, à sa seconde
opération.

« Mais nous avons », dit-il " dans les Porismes, que la différence
de deux cubes quelconques est aussi la somme de deux cubes. »

Ici Bachet est de nouveau embarrassé et, comme les Porismes de
Diophante lui font défaut, il soutient qu'il y a là un problème qui
n'est possible que sous une certaine condition ; il enseigne en effet à
partager en deux cubes la différence de deux cubes, mais seulemen(
lorsque le plus grand des cubes donnés surpasse le double du plus
petit, et il avoue franchement qu'il ignore comment on peut en général
partager en deux cubes la différence de deux cubes quelconques, .l'ai
exposé plus haut, à propos du problème IV, 2, la solution générale de
cette question et des autres relatives au même sujet.

2il. — Diophante, V, 24.

<i Trouver trois carrés tels (\ae h produit des trois, plus l'uu quelconque d'entre eux,
fasse un carré. Le problème est ramené à trouver trois triangles rectangles tels ((uc le
rapport du produit des bases au i)roduit des hauteurs soit carré. »

Voici comment je restitue et j'explique la méthode de Diophante,
qui n'a pas été comprise par Bachet.

Ayant pris comme premier triangle : 3, 4- 5, pour lequel le produit
des côtés de l'angle droit est 12, Diophante dit : « On est ramené à
chercher deux triangles tels que le produit des cotés de l'angle droit

2C0 ŒUVRES DE FERMAT. [319,320]

do l'un soit 12 fois le produit des cotés de l'angle droit de l'autre. »
La raison eu est que si l'on multiplie entre eux ces deux produits, on
aura un nombre plan semblable à 12, et que dès lors, en multipliant
ce dernier nombre par 12, on aura un carré, ce que demande le pro-
blème proposé.

Diopliante continue : « Or l'aire de l'un de ces triangles sera 12 fois
celle de l'autre », ce qui est évident de soi-même. « Mais au lieu de
12 fois, on peut prendre 3 fois »; en effet, 3 étant le quotient de 12
par le carré 4. Ifi multiplication générale des bases et des hauteurs
donnera toujours un carré, puisque, si l'on divise un carré par un
carré, le quotient est encore un carré.

La suite du texte de Diophante ne donne pas la solution cherchée,
mais je la restituerai comme suit :

Dans le cas proposé, on formera l'un des deux triangles des nom-
bres 7 et 2, l'autre des nombres 5 et 2. Le premier triangle aura son
aire triple de celle du second, et leur couple satisfera à la question.

Au reste, pour trouver deux triangles rectangles dont l'aire soit
dans ui> rapport donné, voici la règle générale.

Soit - le rapport donné, en supposant /->■,?. On formera le plus

grand triangle des nombres 2r4- 5 et /■ — s, le plus petit des nombres
r-l- 2^ et r — s.

On peut encore former les deux triangles des manières suivantes :

Le premier de 2r — s et /• -+- s, le second de 2.1 — r ol r-\- s;

Le premier de Gr et 2^- — s, le second de 4'+ ■? et 4^— 2^;

Le premier de r -h ^s et 'ir — lis, le second de 6s et /• — 2^.

On peut déduire de ce qui précède une méthode pour trouver trois
triangles rectangles dont les aires soient proportionnelles à trois nom-
bres donnés, pourvu que la somme de deux de ces nombres soit qua-
druple du troisième.

Soient donnés, par exemple, les nombres r, s, /, et supposons
r-{- i ~ 4'^- On formera les trois triangles comme suit : le premier de
'• + \s et ir — ]s, le second de 6* et r — 2^, le troisième de 4^^ + ' l't
4* — 2t. (J'ai admis / > /.)

[321,324] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 261

On peut également on tirer un moyen de trouver trois triangles
rectangles en nombres, tels que leurs aires forment un triangle rec-
tangle.

On ramènera en effet la question à trouver un triangle pour lequel
la somme de la base et de l'hypoténuse soit quadruple de la hauteur.
Ce problème est facile, et le triangle cherché sera semblable au sui-
vant : 17, i5, 8. Quant aux trois triangles, les nombres générateurs
seront : pour le premier, 49 et 2; pour le second, 4/ et 2; pour le
troisième, 48 et i.

Enfin on aura également le moyen de trouver trois triangles dont
les aires soient proportionnelles à trois carrés donnés, en supposant
que la somme de deux de ces carrés soit quadruple du troisième. On
pourra aussi trouver de même trois triangles ayant leurs aires égales;
enfin nous pouvons construire d'une infinité de façons deux triangles
rectangles, ayant leurs aires dans un rapport donné, en nuiltiplianl
l'un des termes du rapport ou les deux termes par des carrés don-
nés, etc.

30. — Diophante, V, 25.

« Trouver trois carrés, tels que le produit des trois, moins l'un quelconque d'entre eux,
fasse un carré. Le problème est ramené à trouver trois triangles rectangles tels que le
rapport du produit des hypoténuses au produit des hauteurs soit carré. »

De même que pour le précédent, Bachet a traité ce problème en
laissant de côté la méthode de Diophante, qui reste. donc à éclaircir et
à expliquer. Il s'agit ÎJ cet effet de trouver deux triangles rectangles
tels que le produit de l'hypoténuse et de la base dans l'un de ces trian-
gles soit dans un rapport donné avec le même produit pour l'autre
triangle.

Cette question m'a longtemps tourmenté, et quiconque essayera de
la résoudre pourra reconnaitre qu'elle est vraiment diflicile; j'ai enfin
découvert une méthode pour la solution générale.

Soit à chercher deux triangles tels que le produit de l'hypoténuse
par la hauteur, dans l'un de ces triangles, soit double du même pro-
duit dans l'autre.

262 ŒUVRES DE FERMAT. [324,325]

Soient a el h les nombres générateurs do l'un des triangles, a et d
cpiix (le l'autre.

Pour le premier, le produit de l'hypoténuse et de la hauteur sera
a/^a' -h ih^ a;

Pour le second, le même produit sera 2(ia'-\- id^a. On demande
que le premier de ces produits soit double du second : par consé-
quent

Divisant tous les termes par «,

ba-+ b^—%da-^id';

transposant :

nd^ — /*' zr: ba- — 2 da'^.

Pour résoudre la question, il faut donc que le quotient de id* — b'^
par b — id soit un carré.

Il s'agit par suite de trouver deux nombres, b et d, tels que l'excès
du double du cube de l'un sur le cube de l'autre donne un carré, si
on le divise ou si on le multiplie (car cela revient au même) par l'ex-
cès du double du second sur le premier.

Soient j" 4- I l'un de ces nombres et i l'autre. L'excès du double
du cube du premier sur le cube du second est i -i- 'ox -{- Q>x- -^ a j?' ;
l'excès du double du second nombre sur le premier esl i — x. Le
produit de i -f- (3a- + 'ôx'- -i- ■ix'^ par i — .r doit être un carré. Or ce
produit est \-^ ^x — [^x^ — ix'', qu'on peut égaler au carré do
1 -H I^F — x-^'- Le reste n'offre plus de difficulté.

Pour étendre cette méthode au cas d'un rapport quelconque, il
suffira de prendre, pour l'un des nombres, la somme de x et de l'excès
du plus grand terme du rapport sur le moindre ; pour l'autre nombre,
ce même excès; c'est ce que nous avons fait au reste pour le rapport
do 2 à I . De cette façon en efîet le terme indépendant de x dans le
produit final sera un carré, et l'équation pourra se traiter facilement;
sa solution conduira à deux nombres représentant b et d e( l'on
remontera ainsi au problème primitif.

Kn revoyanl ce que j'ai écrit ci-dessus sur cette question de Dio-

[325,326] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 263

phante, j'ai été sur le point de tout effacer parce qu'en réalité ce
n'est pas elle qui se ramène au problème dont j'ai exposé la solution ;
cependant, si je me suis trompé en réduisant une question à une
autre, cette dernière n'en est pas moins valablement résolue; mon
travail a donc été plutôt mal placé que perdu et je laisse tel quel ce
que j'ai écrit dans la marge.

Quant à la question même deDiophante, je l'ai soumise à un nouvel
examen et en employant toutes les ressources de ma méthode, j'ai
enlin obtenu la solution générale; toutefois je ne vais donner qu'un
exemple, dont les nombres montreront suffisamment par eux-mêmes
que ce n'est point le hasard, mais une méthode régulière qui a permis
de les trouver.

Diophante propose en fait de chercher deux triangles rectangles,
tels que le produit de l'hypoténuse par la hauteur pour le premier
soit au même produit pour le second dans le rapport de 5 à r.

Voici deux triangles satisfaisant à

Premier triangle. Second triangle.

Ilypoléiuiscs 48 34^ fiCg 109, 4'^ 636 yîa ()38,

Bases 3G 083779809, 41990695480.

Hauteurs 37,472275380, 7394200038.

31. — Diophante, V, 30.

B Résoudre .r; -)- .rf -h a = D , j-| -+- .rj + o: = D , -'i -^ -rf -+- « = D . »

Grâce à ce problème, nous obtenons la solution d'une question qui,
autrement, paraîtrait très difficile : Etant donné un nombre, en trou-
ver quatre tels que leurs sommes deux à deux, augmentées du nombre
donné, fassent des carrés.

Soit donné le nombre i j; on commencera par chercher, d'après la
solution de Diophante, trois carrés tels que leurs sommes deux à deux,
augmentées du nombre donné, fassent des carrés. Soient 9, j^, |||
ces trois carrés; on prendra, pour le premier des quatre nombres
cherchés : x- — 15 ; pour le second : 6a; + 9 (9 étant l'un des carrés
trouvés et G, coefficient de x, le double de la racine de ce carré); d'à-

264. ŒUVRES DE FERMAT. [320.327]

près le même procédé, on prendra pour le troisième nombre :
\x -+- ~, et pour le quatrième : —a- + f||.

Grâce à ces positions, on satisfait à trois des conditions de l'énoncé ;
car si l'on fait la somme du premier nombre et de l'un quelconque
des trois suivants, et que l'on ajoute i5, on a un carré.

Il faut encore qu'on ait des carrés en ajoutant i5 soit à la somme
du second et du troisième, soit à celle du troisième et du quatrième,
soit à celle du second et du quatrième. Nous aurons ainsi une triple
équation, qui sera facile à traiter, parce que, grâce à la construction
dont nous avons emprunté l'artifice au problème de Diophante, dans
chacune des expressions à égaler à un carré, le terme constant sera
un carré, et qu'il n'y aura en outre qu'un terme en x. Voir à ce sujet
ce que j'ai dit sur le problème VI, 24.

32. — Diophante, V, 31.

« Késoudre .r; + .rj — « = □ , -r-, -h .rj — ri = O , .i"; -h ■''{ — fl = D . "

Un artifice analogue à celui que nous avons employé sur la précé-
dente question, pour trouver quatre nombres tels que leurs sommes
deux à deux, augmentées d'un nombre donné, fassent des carrés,
peut servir pour passer de la présente question de Diophante à la
recherche de quatre nombres tels que leurs sommes deux à deux,
diminuées d'un nombre donné, fassent des carrés.

On prendra pour le premier nombre : .r- -i- le nombre donné; pour
le second, on ajoutera le premier carré trouvé d'après Diophante à
un terme en x ayant pour coefficient le double de la racine de ce
carré; etc. Le reste est évident.

33. — Diophante, V, 3i.

" Rc.soudre : .r,' -i- ,r| -r- xj = D .

Pourquoi ne cherche-t-il pas deux bicarrés dont la somme soit un
carré? C'est que ce problème est impossible, comme notre méthode
de démonstration peut le mettre hors de doute.

[327,329] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 265

34. — Diophante, VI, 3.

« Trouver un triangle rectangle en nombres, dont l'aire, augmentée d'un nombre donné,
fasse un earré. » — Viète avait supposé à tort, comme le remarque Bachet, que le nombre
donné devait être la somme de deux carrés. Dans les proDlèmes suivants, l'aire doit être
diminuée ou retranchée d'un nombre donné.

Voici sans doute l'origine de l'erreur de Viète : cet illustre savant
aura égalé l'aire ii la différence de deux bicarrés ('), comme x* — i.
pour en faire un carré, en y ajoutant le quintuple d'un carré, 5 étant
le nombre dqnné.

Ce dernier nombre étant somme de deux carrés, on peut en effet
trouver un carré, dont le quintuple, diminué d'une unité, fasse un
carré. Prenons pour racine de ce carré k quintuplera; + i (le coeffi-
cient de X pourrait être pris différent de l'unité); le quintuple du
carré sera 5x- -h jqx + 5; en ajoutant l'aire, a;' — i, on a la somme
x'^-\-5x^-\- iox-h/\, A égaler à un carré, ce qui est aisé, le terme
indépendant de a; étant carré, par suite de l'hypothèse ajoutée comme
condition.

l\Fais Viète n'a pas vu que le problème peut se résoudre tout aussi
bien en prenant pour l'aire, non pas j;' — i, mais t — r' ; car alors la
question se ramène immédiatement à faire que le nombre donné, 5,
G, ou tout autre quelconque, multiplié par un carré, fasse un autre
carré, après addition de l'unité; ce qui peut se résoudre très facile-
ment et sans exception, puisque l'unité est un carré.

J'ai résolu cette question, ainsi que les deux suivantes, par une
méthode particulière, qui permet, si nous cherchons, par exemple,
un triangle dont l'aire, augmentée de 5, fasse un carré, de donner un
(el triangle en nombres minimi : f, x- V' l'i''"*' P^t 20, et en ajou-
tant 5, donne le carré 2.5.

(') C'est elTeetivemeut la marche que suit Diophante, et qui revient à supposer carré le
rapport des deux nombres générateurs du triangle. La solution de Viète {Zetct., V, 9)
est présentée sous forme synthétique el correspond à une combinaison particulière : le
nombre donné étant supposé de la forme r'^ + s^, il prend pour nombres générateurs

(> H- s)2 et {r — r )2 et divise les côtés du triangle par i{r -^ .t)(r — .v)^.

('ERMAT. — l\\. 34

■im ŒUVRES DE FERMAT. [3:9,331]

Mais ce n'est pas ici la place de développer le principe et l'emploi
de celte méthode; la marge n'y suffirait pas, car j'aurais bien des
choses à dire à ce sujet.

33. — Diophante, VI, 6.

(i Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée de l'un des côtés de l'angle
droit, fasse un nombre donné. »

Ce problème et les suivants peuvent être résolus autrement :
Qu'on forme, pour celui-ci, un triangle avec le nombre donné et
l'unité, et qu'on divise les côtés par la somme du nombre donné et
de l'unité, les quotients constitueront le triangle cherché.

36. — Diophante, VI, 7.

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée de l'un des côtés de l'angle
droit, fasse un nombre donné. »

Qu'on forme un triangle avec le nombre donné et l'unité, et qu'on
divise les côtés par la ditférence du nombre donné et de l'unité, on
aura le triangle cherché.

Au reste, cette question est susceptible d'une infinité de solutions,
par le procédé qui nous permet d'en trouver indéfiniment aux doubles
équations de cette sorte ; j'ai indiqué plus bas l'emploi de ce procédé,
sur la question 24.

Bien plus, on aura de même une infinité de solutions pour les
quatre questions suivantes, ce qui n'a été reconnu ni par Diophante,
ni par Bachet. Mais pourquoi ni l'un ni l'autre n'ont-ils pas ajouté le
problème que voici ?

Trouver un triangle rectangle, tels que l'un des côtés de l'angle droit,
diminué de l'aire, fasse un nombre donné.

Us semblent bien n'en avoir pas connu la solution, parce qu'elle
n'est pas immédiatement fournie par la double équation; cependant
on peut la trouver aisément avec notre méthode.

Ce troisième cas peut être de même ajouté aux questions suivantes.

f33l,332] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 267

37. — Diophante, VI, 8 et 9.

(( Trouver un triangle reclangle, tel que l'uire, augmentée (diminuée) de la somme des
côtés de l'angle droit, fasse un nombre donne. »

Avec notre méthodo, on peut ajouter le problème que voici :

Trouver un triangle reclangle tel que la somme des côtés de l'angle
droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre donné.

38. — Diophante, VI, 10 et 11.

(( Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de la somme de
l'hypoténuse et d'un des cotés de l'angle droit, fasse un nombre donné. «

Avec notre méthode, on peut ajouter le problème que voici :

Trouver un triangle rectangle tel que la somme de i hypoténuse et
de l'un des côtés de l'angle droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre
donné.

On ajoutera de même le suivant aux commentaires de Bachot ( ')'.

Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse, diminuée de l'aire,
fasse un nombre donné.

39. — Diophante, VI, 13.

(1 Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée de l'un ou do l'autre des
deux côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. »

Diophante ne donne, comme satisfaisant à ce problème, que des
triangles d'une seule espèce; notre méthode fournit une infinité de
triangles d'espèces différentes, lesquelles dérivent successivement de
la solution de Diophante.

Soit, en effet, déjà trouvé le triangle 3.4- j satisfaisant à cette con-
dition <( que le produit des deux côtés de l'angle droit fasse un carré,

(') « Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de l'hypo-
ténuse, fasse un nombre donné. »

■IGH ŒUVRES DE FERMAT. [332,333]

si 011 lui ajoute le produit du plus grand de ces deux côtés par leur
(lifTérenceet par l'aire du triangle ». Il s'agit d'en déduire un autre
jouissant de la même propriété.

Soient 4 le plus grand côté de l'angle droit du triangle cherché et
3 -h xle plus petit. Le produit des deux côtés de l'angle droit, si on
lui ajoute le produit du plus grand des deux côtés par leur différence
et par l'aire du triangle, fera 36 — iia- — 8x'-, expression qu'il faut
égaler à un carré. D'un autre côté, les côtés 4 et 3 + a: étant ceux de
l'angle droit d'un triangle rectangle, la somme de leurs carrés doit
faire un carré; or cette somme fait 25 -h 6x -h x-, seconde expres-
sion qu'il faut aussi égaler à un carré.

On a donc une double équation, qu'il est facile de résoudre, savoir

36 — I2a7 — 8x^=[Il, 25 + 6^ + a;^ = n-

40. — Diophante, VI, 14.

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée do l'un ou de l'autre des deux
côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. »

Avec notre méthode, on pourra résoudre la question suivante qui.
autrement, est très difficile :

Trouver un triangle rectangle tel que chacun des deux côtés de l'angle
droit, diminué de l'aire, fasse un carré.

il. — Diophante, VI, 15 et 17.

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée (augmentée) soit de l'hypo-
ténuse, soit de l'un des deux côtés de l'angle droit, fasse un carré. »

On peut, avec notre méthode, essayer la question suivante qui.
autrement, est très difficile :

Trouver un triangle rectangle tel qu'en retranchant l'aire, soit de l'hy-
poténuse, soit de l'un des côtés de l'angle droit, on ait toujours un carre.

[333,335] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 269

42. — Diophante, VI, 19.

'I Trouver un triangle rectangle, tel que le périmètre en soit un cube et que la somme
de l'aire çt de l'hypoténuse fasse un carré,
a ... Il faut trouver un carré qui, augmenté de 2, fasse un cube. ... 0

Peut-il y avoir, en nombres entiers, un autre carré que 25 qui, aug-
menté de 2, fasse un cube? Cela paraît certainement au premier abord
difficile à discuter; cependant, je puis prouver, par une démonstra-
tion rigoureuse, que aS est bien le seul carré entier qui soit inférieur
à un cube de deux unités. En nombres fractionnaires, la métbode de
Bachet fournit une infinité de tels carrés, mais la théorie des nombres
entiers, qui est très belle et très subtile, n'a pas été connue jusqu'à
présent, ni par Bachet, ni par aucun auteur dont j'aie vu les écrits.

i3. — Commentaire de Bachet sur Diophante, VI, 24.
n Ce commentaire est consacré à la théorie de la double équation. »

Là où ne suffisent pas les e'qiialions doubles ou ot7iXotT6'UY]':£ç, il iaut
recourir à des équations triples ou TptiiXotcroTyjTEç, découverte qui m'ap-
partient et qui conduit à la solution d'une foule de très beaux pro-
blèmes.

Soit, par exemple, à égaler à des carrés les expressions

a; H- 4, 2.r + 4,' 5x4-4,

il y a là une équation triple qu'il est aisé de résoudre par l'intermé-
diaire d'une équation double.

Si, en effet, on substitue à x une expression qui, augmentée de i,
fasse un carré, par exemple x--i-/\x, les trois expressions ci-dessus à
égaler à des carrés deviendront

d^'^H- 4.Z' -I- 4, 2x--h8x -h \, 5x-+ 2o.r-f- 4-

La première est un carré par construction; il reste donc à satisfaire
aux conditions

2x-+8^ + 4 = n, 5.r2-t- 20j?-i-4 = n,

■2-0 ŒUVRES DE FERMAT. [335, 3,KiJ

c'est-à-dire ;i une équation double qui, à la vérité, ne fournira qu'une
solution unique, mais de cette solution on pourra en tirer une autre,
de cette seconde une troisième, et ainsi de suite indéfiniment.

A cet effet, lorsqu'on aura trouvé une valeur pour œ, on substi-
tuera à .T le binôme formé de x plus la valeur qui vient d'être
obtenue. Ce procédé fournira une infinité de solutions dérivant cha-
cune de la précédente et venant s'ajouter aux antérieures.

C'est grâce à cette invention que nous pouvons donner une infinité
de triangles de même aire, ce que Diophante semble n'avoir pas su
faire, comme il ressort de son problème V, 8, oîi il chercbe seulement
trois triangles de même aire pour résoudre le problème suivant avec
trois inconnues; mais cette dernière question, d'après la découverte
(jui m'est due, peut être étendue à un nombre indéfini d'inconnues.

44. — Même Commentaire.

A ce traité des équations doubles, nous pourrions faire de nom-
breuses additions sur des points ignorés des anciens et aussi bien des
modernes. Mais il suffira, pour établir l'importance de notre méthode
et en montrer l'usage, de résoudre ici la question suivante, dont la
difficulté est incontestable.

Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que l'hypoténuse soit un
carré, ainsi que la somme des côtés de l'angle droit.

Le triangle cherché est représenté par les trois nombres suivants :

4687298610289, 4565486027761, 1061652293520,

et il est formé des deux nombres 2 i5o 900 et 246 792.

■l'ai, par une autre méthode, trouvé la solution de cette autre ques-
tion :

Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que le carré de la diffé-
rence des côtés de l'angle droit, moins le double carré du plus petit de ces
côtés, fasse un carré.

[337,340] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 271

Le triangle ijaj, lory, ijG, formé des nombres Sq et 2, est 1111 de
ceux qui satisfont à la question.

J'ajoute d'ailleurs avec confiance que les deux triangles ci-dessus
sont les petits en nombres entiers qui satisfassent aux questions pro-
posées.

Voici quelle est ma méthode : Cherchez, suivant le procédé ordi-
naire, la solution de la question proposée. Si, après l'achèvement des
calculs, l'opération n'aboutit pas, parce que la valeur à donner à l'in-
connue se trouve affectée du signe — et doit être regardée comme
plus petite que zéro, j'affirme hardiment qu'il ne faut pas désespérer
et rester à bayer, comme dit Viète, mais comme il l'a fait après les
anciens analystes; il faut an contraire essayer de nouveau la question
en substituant à l'inconnue le binôme x moins le nombre trouvé dans
la première opération comme valeur affectée du signe de soustrac-
tion. On aura ainsi une nouvelle équation qui conduira à une solution
en nombres vrais.

C'est par ce moyen que j'ai résolu les deux questions ci-dessus;
autrement elles sont très difficiles. J'ai de même montré qu'une
somme do deux cubes peut être décomposée en deux autres cubes, et
j'ai donné la construction qui peut nécessiter la réitération de l'opé-
ration jusqu'à trois fois; il arrive en effet souvent que la vérité cher-
chée oblige l'analyste le plus habile et le plus industrieux à recom-
mencer plusieurs fois le calcul, ainsi que l'expérience le fera aisément
reconnaître.

irî. — Problème 20 de Bachet sur Diophante, VI, 26.

« Bachet. — Trouvei' un triangle roctangls dont l'aire soit un nombre donné. »

L'aire d'un triangle rectangle en nombres ne peut être un carré.

Je vais donner la démonstration de ce théorème que j'ai découvert;
je ne l'ai pas trouvée au reste sans une pénible et laborieuse médita-
tion; mais ce genre de démonstration conduira îi des progrès mer-
veilleux dans la science des nombres.

272 ŒUVRES DE FERMAT. [340,341]

Si l'aire d'un triangle était un carré, il y aurait deux bicarrés dont
la différence serait un carré; il s'ensuit qu'on aurait également deux
carrés dont la somme et la différence seraient des carrés. Par consé-
(luont, on aurait un nombre carré, somme d'un carré et du double
d'un carré, avec la condition que la somme des deux carrés, qui ser-
vent à le composer, soit également un carré. Mais si un nombre carré
est somme d'un carré et du double d'un carré, sa racine est également
somme d'un carré et du double d'un carré, ce que je puis prouver sans
difficulté. On conclura de là que cette racine est la somme des deux
côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont l'un des carrés
composants formera la base, et le double de l'autre carré la hauteur.

Ce triangle rectangle sera donc formé par deux nombres carrés,
dont la somme et la différence seront des carrés. Mais on prouvera que
la somme de ces deux carrés est plus petite que celle des deux pre-
miers dont on a également supposé que la somme et la différence
soient des carrés. Donc, si on donne deux carrés dont la somme et la
différence soient des carrés, on donne par là même, en nombres en-
tiers, deux carrés jouissant de la même propriété et dont la somme
est inférieure.

Par le même raisonnement, on aura ensuite une autre somme plus
petite que celle déduite de la première, et en continuant indéfiniment
on trouvera toujours des nombres entiers de plus en plus petits satis-
faisant aux mêmes conditions. Mais cela est impossible, puisqu'un
nombre entier étant donné, il ne peut y avoir une infinité de nombres
entiers qui soient plus petits.

La marge est trop étroite pour recevoir la démonstration complète
et avec tous ses développements.

Par le même procédé, j'ai découvert et démontré qu'il n'y a aucun
nombre triangulaire, sauf l'unité, qui soit un bicarré.

[311,34^] OBSERVATIONS SUR I)IOPHA\TE. 273

46. — Commentaire de Bachet sur Diophante Nomb. polyg 9.

« Trous'or un polygouc, le coté en étant donné, et inversement, u.

Je metirai ici, sans démonstration, une proposition très belle et très
remarquable que j'ai découverte :

Dans la progression naturelle commen(,'ant à l'unité, le produit
d'un nombre quelconque par le nombre immédiatement supérieur
fait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur est
le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la
[tyramide du premier nombre; si c'est la pyramide du nombre immé-
dialenient supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du
premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une règle
uniforme et générale.

J'estime qu'on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui
soit plus beau ou plus général. Je n'ai ni le temps ni la place d'en
mettre la démonstration sur cette marge.

47. — Bachet. Appendice. II, 27.

« I — I ^, 3 H- 5 = •>.', - -(- Q -~ I 1 = p. I ■) -H I ■) ~ I 7 — I <) = i'i • ■ • "

Voici comment j'énoncerai celte proposition d'une façon plus géné-
rale :

Dans toute progression constitutive de polygone, l'unité constitue
la [iremière colonne; la somme des deux nombres suivants, diminuée
du premier triangle multiplié par l'excès sur '( du nombre des angles
du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres
suivants, diminuée du second triangle multiplié par l'excès sur 4 du
nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi
de suite indéfiniment, suivant la même loi (').

(') Soit la progression aritiimétiqne commençant à l'unité, et de raison k — i.i.
i-*-(/f— 2), i-{--i{k — -?:), .... i'^ {li —\){k — 'x), n-«(/. — 2), ...; le«"""poIy-

Fi:rmat. — ni. 3.5

•2-i ŒUVRES DE FERMAT. [342]

48. — Bachet, Appendice, II, 31.

[ll(n -r- 1)1'^

11 suit lie là que le produit du cube du plus graud nombre [(/?a)^|
par le uouibre des termes [n\ est plus petit que le quadruple de la
somme des cubes [S"(/îrt)^].

gone d? /. ani;lo.-i est la somme des // premiers ternies

Pi= -[„(k — -2) — (k- ',)) = «+ ^ ■

Si. dans la mûmc progression, on désigne par S,,, la somme d-'s /;; Lermos ijni siiivenl

m (m — 1 )
les iiromiers, on aura

, , I; - ■->.
-'«= K,m -.-11— '',,,,.-,-11= '" -^ — -'«(/«^— I 1.

Dès lors, d'après l'ermal, la m""" colonne, Lcrnio qu'il a forgé :

nnni — i) r mUti — i){k—i)\-
'.,„ - -,„ — (/' — 4 ) ^ = '" m H ^^ ;

c'est le produit par m du polygone ayant //; pour côté.

En supposant k = 4, le polygone ayant m pour côté devient le carré m-, et la colonne
C,„ = »2'; on retrouve donc comme cas particulier le théorème énoncé par Bacliet et qui
était déji\ connu dans l'antiquité.

TRADUmON

DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATIN .

DANS LA COHRESFONDANCE DE FERMAT.

TRADUCTION

DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATIN

DANS LA CORRESPONDANCE DE FERMAT.

N° 3 (').

(Leitre <le Fermât à Mersenue. du 1 juin i636.)

4. ... Soit dans le cercle ('NB {fig. 4) la spirale AMB dont la pro-
priété soit telle que, si l'on mène une droite quelconque, par exemple
AMN, le rapport de la circonférence totale du cercle à l'arc NCB soit
égal au rapport de AB' à Ai\P.

Fig. 4

Cette spirale diffère de celle d'Archimède en ce que, dans cette
dernière, c'est au rapport de AB à AM que se trouve égal le rapport
de la circonférence à l'arc NCB.

Je dis que l'aire comprise entre la spirale et la droite AB est la
moitié de l'aire du cercle; en second lieu, et c'est là une propriété
bien remarquable, que l'aire engendrée par la première révolution,

(') Pour le n" 2 de la Correspondance ( Proposition géoxtatique), voir la iradiiclion par
Mersenne, Tome II, pages lo et 1 1.

278 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [13,23]

aire marquée N {_fig. 5), est la moitié de l'aire M engendrée par la
seconde révolution, tandis que l'aire C engendrée par la troisième

Fig. 5.

révolution est précisément égale à cette aire M, et qu'il en est de
même pour chacune des autres aires engendrées par les révolutions
suivantes; toutes ces aires consécutives sont donc égales entre elles.

N" 5.

NOUVEAUX THEOREMES IIE MECAMOt F..
1>VR M. DE FIÎR.MAT.

1. Il y a déjà longtemps que je soupçonnais qu'Archimède n'a pas
établi avec assez de rigueur les fondements de la 31écanique; il est
clair en effet qu'il suppose parallèles entre eux les mouvements de
chute des graves et, sans cette hypothèse, ses démonstrations ne
peuvent subsister. Je ne nie pas au reste qu'elle ne soit en accord,
autant qu'on peut le désirer, avec l'expérience sensible; car, en
raison de la grande distance du centre de la Terre, on peut sup-
poser parallèles les lignes de chute des graves, de même qu'on sup-
pose que les rayons solaires sont parallèles entre eux. IMais, pour qui
recherche la vérité intime et précise, une pareille hypothèse ne peut
être satisfaisante.

Il semble donc qu'il faille considérer en général, pour un lieu quel-
conque du monde, les propriétés des leviers, et, pour les déterminer,
recourir, en Mécanique, à de nouveaux fondements empruntés à des
principes immédiatement vrais. J'énoncerai seulement les proposi-
tions de cette nouvelle science, me réservant de donner les démon-
strations en temps et lieu.

123,24] THADUCÏION DES PIECES LATINES. 279

2. J'imagine ou plutôt je considère deux genres de leviers : l'un
dont le mouvement est seulement recliligne, non pas circulaire;
l'autre dont les extrémités décrivent des cercles, et qui est le seul
dont les anciens se soient occupés; ils n'ont pas, au contraire,
reconnu le premier, qui pourtant semble beaucoup plus simple.

J'éclaircis par des exemples les propriétés de ces deux genres; le
centre du premier doit être supposé le même que celui de la Terre,
tandis que le centre du second doit au contraire être. nécessairement
situé en dehors de ce centre.

3. Soient donc i^fig- lo) A le centre de la Terre, CB une droite qu'on
imagine passer par ce centre et constituer un levier; en B et C je sup-
pose des poids B et C en sorte que l'on ait : : poidsB : poidsC : : CA : AB.
Je dis que le levier CB, dans ces conditions, restera en équilibre.

Fig. lo.

G ^ O

B C

Si, au contraire, on diminue tant soit peu le poids B, le levier se
mouvra en droite ligne vers le côté B, tout en passant toujours par le
centre A et ce mouvement continuera tant que les distances au centre
ne seront pas dans le rapport inverse de celui des poids.

Voilà nvA première proposition, d'après laquelle on peut dire que la
Terre est un grand levier, en imitant Gilbert qui l'appelle un grand
aimant.

4. Cela posé, j'énonce une autre proposition plus singulière, à
savoir (|ue les graves seront d'autant plus .facilement soulevés par
une puissance (agissant soit sur la surface de la Terre, soit ailleurs)
qu'ils seront plus près du centre de la Terre.

Fig. II.
A_^ ?

Soient A ce centre {fig- 1 1), C un point en dehors. Je joins CA dont

280 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [24,25]

je prends un point quelconque B. Si en ce point j'imagine un poids B
(|ui soit suspendu par un til ou une lige CB, la puissance en C néces-
saire pour le soutenir sera à ce poids B dans le rapport AB : AC.

De lii on déduit très facilement et l'on démontre que les graves ne
pèsent point au centre de la Terre, proposition que l'on a. au reste,
déjà cherché à prouver.

5. Le second genre de leviers peut être désigné par le nom A'Archi-
rnéde; mais le rapport inverse entre les distances et les poids (démontré
|)our le levier simple) ne peut avoir lieu ici et, par conséquent, les
propositions VI et VII d'Archimède ne peuvent subsister.

C'est ce que J'affirme avec confiance. Je considère au reste ce levier
en général, que les bras soient ou non dans le prolongement l'un de
l'autre, qu'ils soient parallèles h l'horizon ou inclinés sur lui.

Une seule démonstration résout toute la question : Soit, en dehors
du centre de la Terre A, un levier DBC (/?^. 12) de centre B, de bras

BD et BC. Menons les droites DA, BA, CA et supposons des graves
placés en D et C en sorte que l'on ait

poids C DA angle RAD
poids D CA angle CAR

Je dis que le levier DBC, suspendu au point B, restera en équilibre.
J'affirme la vérité absolue de cette proposition, comme celle des
précédentes, et je suis en mesure de l'établir par une démonstration
tirée de la Géométrie et de la Physique la plus pure.

125, 2C, 33] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 281

6. Par là tombent entièrement les détinitions des centres do gra-
vité d'après les anciens; on ne peut en effet trouver, si l'on excepte
la sphère, aucun corps qui ait un point tel qu'en suspendant par ce
point le corps en dehors du centre de la Terre, il garde la position
qu'on lui donne.

Il convient donc de définir le centre de gravité d'un corps comme
un point situé à l'intérieur de ce corps et tel que, si on le fait coïn-
cider avec le centre de la Terre, le corps garde la première position
qu'on lui donne; c'est, en effet, le seul cas où il y ait réellement un
centre de gravité.

7. Enfin je puis montrer et réfuter l'erreur de Guidobaldo et autres
qui croient que le levier peut être en équilibre, même si les bras ne
sont pas parallèles à l'horizon.

N" 7.

(Lettre de Fermai à Roberval, août i63C.)

3. ... Soient A le centre de la Terre (y?^. 1 5), CNB un levier sui-
vant un arc de cercle décrit de A comme centre avec AN pour rayon.

.le suppose égaux les arcs CN, NB et, placés en C, B, des poids égaux.
J'admets que le levier GB, suspendu en N, restera en équilibre et
qu'il en sera de même si d'autres poids égaux sont placés en d'autres
points quelconques des bras CN, NB, pourvu que ces points d'attache
soient à égale distance de part et d'autre du point N; en effet, des

Fermât. — III. 36

•282 GÎUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE. [33,34]

poids égaux également distants, d'une part, du centre de la Terre,
d'autre part, du centre du levier ou de la balance, ne peuvent détruire
l'équilibre.

Soient encore A le centre de la Terre {^fig. i6), EFBCD un levier en
arc comme ci-dessus, de centre ou milieu B. Qu'on place un poids B
en B, ou que, le divisant en poids égaux K, F, B, C, D, on place ces
parties aux points E, F, B, C, D à des intervalles EF, FB, BC, CD

Fis. 'G.
B

égaux, j'admets que le poids B, placé en B et supporté par ce point B.
y pèsera autant que l'ensemble des parties E, F, B, C, D placées sur
le levier suspendu en B.

Il en est ainsi parce que, EFBCD étant un arc de cercle, les parties
du poids B sont toujours à la même distance du centre de la Terre
que le poids total B. L'erreur d'Archimède consiste à n'avoir pas fait
cette remarque et ii avoir supposé parallèles les lignes de chute des

graves.

Ces suppositions faites, je puis démontrer ma proposition. Voici
seulement le cas dans lequel le centre du levier est à la même distance
que ses extrémités du centre de la Terre (ce cas ne suppose pas la
vérité du principe du premier levier géostatique, vérité que vous
paraissez mettre en doute).

Soit FHN { fig. 17) un levier dont le centre H et les extrémités F. N
sont à la môme distance du centre de la Terre A. De A comme centre,
avec AH pour rayon, je décris l'arc de cercle FHN qui relie les extré-
mités du levier. Si l'on a :: Poids F : Poids N::Arc HN:Arc HF, je
dis que le levier FHN, suspendu au point H, restera en équilibre.

[34, 52]

ti;vi)l;ction des pièces latines.

•283

Ilxist clair que le rapport des arcs est le même que celui des angles
au centre A; il vous sera facile, d'après la construction et les deux

axiomes qui précèdent, d'arriver à la conclusion du théorème

N" 9.

(Lettre de Fermât à Etienne l'asc:il et Rol)erval, du i'i août i63().)

4. Axiome I. — Si un grave en repos est suspendu en un point

quelconque, il pèse suivant la ligne droite qui joint le point de sus-
pension au centre de la Terre. La vérité de cet axiome est évidente,
car autrement le grave ne peut être en repos.

Axiome II. — Dans un levier en arc de cercle, suspendu par son mi-
lieu, si de part cl d'autre du point de suspension et en des points à
égale distance on place des graves égaux, le corps composé de tous ces
graves et suspendu par son milieu restera en repos.

Axiome III. — Dans un levier en arc de cercle, moindre qu'une
demi-circonférence et ayant pour centre celui de la Terre (ce qu'il faut
toujours supposer dans mon levier), si le point de suspension divise
inégalement le levier, et que de part et d'autre du point de suspen-
sion, sur les points d'une division du levier en parties égales, on place
des graves égaux, le corps composé de tous ces graves ne demeurera
pas en repos, mais s'inclinera du C(Jté du plus grand bras. Ceci est
évident, même dans vos hypothèses ; car, si le levier est plus petit que
la demi-circonférence, le sinus du plus petit arc sera plus petit que le

284 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [53.53]

sinus du plus grand arc; vous ne nierez donc pas que l'inclinaison
ne se fasse du côté du plus grand arc.

Cela supposé, représentons par une figure le levier DEG {fig. 3o)
et achevons la construction à l'exemple d'Archimëde. Le grave en D,
si on le divise en parties égales suivant les arcs BC, CD, DE, EF,
pèsera toujours suivant la droite DN; car si D est le point de suspen-
sion, l'ensemble reste en repos (axiome II); donc il pèse suivant DN
(axiome I). Donc, soit que le grave soit tout entier en D, soit qu'il soit
tlisfribué également par parties sur les arcs BC, CD, DE, EF, il pèse
toujours suivant la même droite DN.

Fi-. 3o.

De même, le grave en G, qu'il soit tout entier en ce point, ou qu'il
soit distribué par parties égales sur les arcs FG, GH, pèsera toujours
suivant la droite GN. Mais, comme les graves disposés sur les arcs
égaux BC, CD, DE, EF, FG, GH sont égaux, l'ensemble total pèsera
suivant la droite EN; la conclusion s'ensuit évidemment, ou bien il
est aisé de l'établir par une réduction à l'absurde, en se servant de
l'axiome III.

Il est certain qu'Archimède a raisonné d'une façon tout à fait sem-

Fig. 3i.
B c n E F

blable; car il prend, par exemple, en C {fig. 3i) le centre de gravité
de la droite BD pour prouver que des graves égaux, situés en B. I).

[53,54] TRADUCTION DES PIECES LATINES. 285

pèsent suivant la droite CN; mais ^lypothèse qu'il fait à cet égard
n'est vraie que pour la balance DEF perpendiculaire à la droite EN :
elle est fausse pour les autres qui sont rencontrées sous des angles
inégaux par les droites issues du centre de la Terre. Dans mon levier,
cotte difîiculté ne se présente pas, puisque toujours et en tout point
la droite issue du centre de la Terre le rencontre normalement.

Soient DCB une balance {fig. 32), A le centre de la Terre, C celui

de la balance; décrivez le cercle de centre C et de rayon CB. Joignez
DEA, Bx\, CFA et CE. Supposez en B et D des poids égaux, et soit
l'angle ACD plus grand que l'angle ACB; je dis que la balance, si elle
est suspendue au point C, s'inclinera du côté de B, et cela suivant les
suppositions mêmes d'Archimède.

Transportons en effet le poids D en E; d'après Archimède, le poids
agit toujours comme s'il était en D, puisqu'il reste sur la droite joi-
gnant le point D au centre de la Terre. Si donc on suppose qu'il est
retenu en E par la droite CE, les bras CE et CB seront en équilibre, si
l'on suppose que CB et CD soient en équilibre. Les angles ECF, FCB
seront donc égaux, car un triangle isoscèle, aux extrémités duquel on
place des poids égaux, doit se mouvoir tant que la perpendiculaire à
l'horizon, c'est-à-dire la droite qui joint le sommet au centre de la
Terre, ne bissecte pas l'angle au sommet; c'est au reste ce dont té-
moigne l'expérience. Mais l'angle ECB est double de l'angle en D ; donc
l'angle FCB est égal à l'angle en D. Donc les droites CA, DA sont
parallèles, ce qui est absurde; donc la balance ne restera pas en équi-

28C ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [Si, 55, g3, 04]

libre, mais elle s'inclinera du côtp de B, puisque l'angle BCF est évi-
demment plus grand que l'angle ECF.

7. Soit une parabole AB {fig- 35) de sommet A; si l'on fait tourner
la ligure DAB autour de la droite DA prise comme axe fixe, on engen-
drera le conoïde parabolique d'Archimède, dont le volume est à celui
du cône de même base et de même sommet dans le rapport de 3 à -i.

Fig. 35.

Mais si l'on fait tourner la même figure DAB autour de la droite DB
prise comme axe, on engendre un conoïde d'un nouveau genre; on
demande de trouver le rapport de son volume à celui du cône de
même base et de même sommet, question qui n'est pas sans diffi-
culté.

.l'ai démontré que ce rapport est celui de 8 à 5; j'ai également
trouvé le centre de gravité du même conoïde.

N" 12.

(Lettre de Feniiat à Merseniie pour Sainte-Croix, septembre i636.)

Mon Révkuend Pèuk,

1. Quoique j'aie à dire que je ne suis point un OEdipe. mais un Dave,
et que j'avoue très volontiers que je ne suis point parvenu à résoudre
la question de M. de Sainte-Croix, je vous demanderai la permission
de vous adresser, en échange des nombres qu'il a divulgués, la solu-
tion de votre problème, et de lui proposer à mon tour quelques ques-
tions qu'il ne débrouillera pas, je crois, de si tôt, malgré les promesses
qu'il vous fait et la singulière puissance de son esprit.

[(,5, GG] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. -287

2. Pour rendre donc l'éprenve plus honorable, ainsi (ju'il le dit,
en choisissant des problèmes plus difTiciles, voici ceux que je pro-
pose :

i" Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que son aire soi!
un carré.

2" Etant donnée la somme de l'hypoténuse d'un triangle rectangle
en nombres et du produit des trois côtés, trouver les limites entre
lesquelles l'aire se trouvé comprise.

Ne vous étonnez pas de l'addition d'une longueur et d'un solide;
car dans les problèmes numériques, comme on le sait, toutes les
quantités sont homogènes.

3" Trouver deux bicarrés dont la somme soit un bicarré ou deux
cubes dont la somme soit un cube.

4" Trouver trois carrés formant une progression arithmétique dont
la raison soit également un carré.

3. A ces quatre problèmes, j'ajouterai deux théorèmes que j'ai
découverts et dont j'attendrai la démonstration de M. de Sainte-
Croix. Si mon attente est vaine, je donnerai cette démonstration.
Les deux propositions sont d'ailleurs très remarquables :

1° Tout nombre est la somme de i, 2 ou 3 triangles; de i, 2, 3 (lu
'\ carrés; de i, 2, 3, 4 ou .) pentagones; de 1, 2, 3, /\, 5 ou G hexa-
gones; de I, 2, 3, 4. 5. 6 ou 7 heptagones; et ainsi de suite indéfini-
ment.

Diophante paraît supposer la seconde partie de ce théorème et
Bachet s'est efforcé d'en confirmer la vérité par l'expérience, mais il
n'a pas donné de démonstration. Je crois avoir été le premier à décou-
vrir cette proposition si générale et si belle; mais je ne sais pas si je
puis, à titre de réciprocité, demander qu'elle soit admise.

2° Si l'on retranche l'unité du produit par 8 d'un nombre quel-
conque, on a un nombre qui est seulement somme de quatre carrés,
non seulement en entiers, ce que d'autres peuvent avoir reconnu,
mais même en nombres fractionnaires, ce queje m'engage à démontrer.

288 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [66, C7]

Cette proposition entraîne des conséquences remarquables, qui
|)euvent être à la main de M. de Sainte-Croix, mais semblent en tout
cas avoir inutilement tenté le génie et les elForts de Bachet.

4. Avant de résoudre la question que vous avez proposée sur les
cubes, je répondrai à ce que vous me demandez pour le nombre 672,
que je ne crois nullement qu'il soit le seul ii satisfaire à la condi-
tion imposée; mais, avec ma méthode, c'est le seul qui se présente
après r2o.

Cependant, dans les questions de ce genre, rien n'empêche qu'avec
une autre méthode on ne rencontre d'autres nombres satisfaisant à la
condition proposée; si M. de Sainte-Croix en a de la sorte obtenu
d'autres, je serais très heureux qu'il voulût bien me les communiquer
en même temps que sa méthode. Les questions de ce genre sont, en
efïet, très belles et très difficiles et personne, que je sache, ne les a
encore traitées; j'ai obtenu, par un procédé particulier, des solutions
pour un nombre indéfini de questions.

5. Quant au problème sur les nombres 3 et 11, j'avoue qu'il me
parait des plus difficiles et qu'après beaucoup de tentatives je n'en
possède pas encore la solution. Je croirais, jusqu'à preuve du con-
traire, que cette solution est plutôt due au hasard qu'il la Science:
mais je me trompe probablement plutôt que M. de Sainte-Croix. S'il
consent à faire connaître les nombres qu'il a trouvés, je lui deman-
derai d'ajouter le procédé suivi pour les construire.

6. Enfin, pour votre question des cubes, voici comment je la con-
çois :

Etant donnés autant de nombres en progression arithmétique que
l'on voudra, et connaissant la raison de la progression et le nombre
des termes, trouver la somme de leurs cubes.

7. Premier cas : le premier terme est i, et la raison de la progres-
sion est également l'unité.

[67,68] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 289

Soient proposés autant de nombres que l'on voudra, par exemple

I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, g;

la somme de leurs cubes est égale au carré du triangle ayant le
nombre des termes pour coté. S'il y a 9 termes, comme dans le cas
proposé, le triangle est 45. et son carré, 2023, sera égal à la somme
des cubes.

Cette proposition, pour ce premier cas, a été démontrée par Barhel
et par d'autres; les cas suirants ont été trouvés par moi.

8. Si le premier terme est l'unité, la raison de la progression étant
un nombre quelconque, par exemple 4 dans la progression

I, 5, g, i3, 17,

je prends le triangle ayant pour côté la somme du dernier terme et
de la raison moins l'unité. Ce triangle est 210 et son carré 44ioo-

De ce carré, je retranche :

i" La somme des cubes d'autant de nombres commençant à l'unité
et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de
la progression moins 1 ; cette somme doit être, d'autre part, multipliée
par le nombre des termes.

Dans l'exemple proposé, le produit à soustraire d'après cette règle
est 180.

2" Le triple de la somme des carrés d'autant de nombres com-
mençant à l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités
dans la raison moins 1 ; ce triple doit être, d'autre part, multiplié par
la somme des termes de la progression donnée.

Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle
est 1890.

3° Le triple de la somme d'autant de nombres commençant à l'unité
et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins i;
ce triple doit, d'autre part, être multiplié par la somme des carrés des
termes de la progression donnée.

Fermât. — Ml. 87

290 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [68,69]

Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle
est 10 170.

Ainsi la somme des nombres à retrancher de 44' 00 est 12240; le
reste est 3i8Go; je le divise par 4. raison de la progression, et j'ai
ainsi le nombre 7965 qui est la somme des cubes des nombres 1,0,9,
i3, 17.

La méthode s'applique toujours de la même façon et dans tous
les cas.

9. Mais je n'ai pas encore dit comment on doit calculer tant la
somme des nombres i, 5, 9, i3, 17 que la somme de leurs carrés, ce
qui est indispensable pour effectuer la seconde et la troisième opé-
ration.

La règle pour le premier calcul est donnée par Bachet dans son opus-
cule Des nombres polygones ; quant au second, on opérera comme suit :

Prenez la somme des carrés d'autant de nombres commençant à
l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la somme
du plus grand terme de la progression et de la raison moins i.

Le calcul de cette somme est facile, d'après ce qu'Archimède en a
dit dans son livre Des spirales.

De cette somme retranchez :

1° La somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité
et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la
progression moins i . Vous aurez multiplié cette somme par le nombre
des termes;

2° Le double de la somme d'autant de nombres commençant à l'u-
nité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de
la progression moins i. Vous aurez multiplié ce double par la somme
des termes de la progression donnée.

Après ces soustractions, vous divisez le reste par la raison de la
progression, et vous aurez la somme des carrés des termes.

Des règles données pour ces deux cas vous pourrez immédiatement
ou sans grande difficulté déduire celles qui s'appliquent aux autres.

[69,70] ÏIIADUCTION DES PIÈCES LATINES. 291

10. Au reste je n'ai pas voulu m'arrèter là, mais j'ai résolu le pro-
blème qui est peut-être le plus beau de toute l'Arithmétique, c'est-à-dire
celui où l'on cherche, pour une progression quelconque, non plus
seulement la somme des carrés ou des cubes des termes, mais celle
des puissances quelconques, pour tous les degrés jusqu'à l'intini,
bicarrés, carrécubes, bicubes, etc.; la méthode étant aussi générale
que possible.

11. Pour que M. de Sainte-Croix sache que je n'attends à cet égard
ni un sphinx, ni un OEdipe, voici la solution du problème pour la
somme des bicarrés. On peut l'énoncer comme suit sous forme de
théorème :

Soient pris à partir de l'unité autant de nombres que l'on voudra
en progression naturelle; si l'on ajoute i au quadruple du dernier et
qu'on multiplie la somme par le carré du triangle qui est la somme
des nombres, après avoir retranché du produit la somme des carrés
des termes, on aura le quintuple de la somme de leurs bicarrés.

Exemple : Soient pris les nombres i, 2, 3, 4; en ajoutant i au qua-
druple du dernier, on a i8, qu'il faut multiplier par loo, carré du
triangle somme des nombres; du produit i8ooon retranche la somme
des carrés des termes, c'ost-à-dire 3o. Il reste 1770, dont le cin-
quième, 35/|, est égal à la somme des bicarrés.

Jeirésous de même le problème pour une progression quelconque,
en imitant la construction qui précède.

Si vous ou jM. de Sainte-Croix le désirez, je vous communiquerai
la méthode générale pour les puissances quelconques jusqu'à l'infini.

12. En attendant, j'ajouterai une très belle proposition que j'ai
trouvée et qui m'a fourni la lumière pour les questions de ce genre :

Dans la progression naturelle, on a le double du triangle ayant
pour côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le nombre
immédiatement supérieur; on a le triple de la pyramide ayant pour
côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le triangle du
nombre immédiatement supérieur; on a le quadruple du triangulo-

292 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [:0, 74]

triangle du dernier nombre, en multipliant celui-ci par la pyramide
du nombre immédiatement supérieur; et ainsi de suite à l'intini, par
une méthode uniforme.

13. Pour votre proposition des triangles rectangles, elle me semble
énoncée dans votre lettre avec quehjue peu d'obscurité; je la résou-
drai peut-être, si vous me la proposez plus clairement.

Votre tout dévoué,
Fkum.vt.

N" 13.
(LeUre de Fermât ù Roberval, du n septembre i6'i6. )

6... Si autour de la droite DA (_/ig'. 38) on fait tourner la para-
bole qui a B pour sommet, BF pour axe et AF pour ordonnée, on

Fiff. 38.

engendre un conoïde d'une nouvelle espèce qui est tel que, si on le
partage en deux parties égales par un plan perpendiculaire à l'axe de
rotation, sa moitié sera au cône de même base et de même hauteur
dans le rapport de 8 ii j.

Si au contraire on le coupe en deux j)arties inégales par un jtlaii
|)erpendiculaire ii l'axe de rotation, soit en K par exemple, le rapport
du segment de conoïde ABCE au cône de même hase et de même haii-

5ED"-t-2AE.ED+DF.AE , , . , . ,

leur sera rrrrr^ ; et de même le rapj)ort tlu segment

di\ conoïde DCE au cône de même base et de même hauteur sera

5AE'+aAE.ED + DF.DE
ÔAE^

ISfi, S71

TRADUCTION DES PIÈCES LATINES.

:>!):',

N^' I.),
(I,eltre de Fermât à Uolierval, du \ iiovombrc ifiîli;)

7. Soit la parabole ACDF (Jig. 4'| ) d'axp DR, de base AK. Mcikhis
une droite ('B parallèle à DE et par suite perpendiculaire à AF. Si fou
fait tourner la figure ADE autour de DE comme axe. on engendre Ir
conoïde d'Areliimède; autour de AE comme axe, on a an l'ontrairi'
mon conoïde.

Si maintenant on fait tourner la figure M'Ai autour de AH comme
axe, on aura un segment de mon conoïde; mais autour de CB comme
axe, on engendrera encore un conoïde d'une autre espèce. On demande
le rapport de son volume ii celui du cône de même base et de même
hauteur.

.l'ai résolu ce problème : j'ai même trouvé mieux, un ellipsoïde (ei
que si vous trouvez le cône de même volume, je donnerai la quadra-
ture du cercle. Alais ce sera |)onr une autre fois.

9. Soit ABt; ( //g. /( ) ) une conclioïde de pôle B et d'intervalle il.\.
Soit B un point donné sur cette conclioïde.

Fis. ',-K

Je dis eu premier lieu que cette courbe doit être représenlée n

)\\-

294. ŒUVKES DE FERMAT.- CORIIESPONDANCE. [87,88]

vexe vers le bas de la figure, quoique Pappus et Eutocius aient jugé
(lifleremment.

En second lieu, je construis comme suit la tangente : Joignez FIB,
abaissez la perpendiculaire BD; construisez DN par la condition

BFx FI + BD^=BD x DN

♦ nv 1 • . ID BD

et D\ par la suivante • îûv = ïyy"

La droite YB sera tangente à la conchoide.

N° 16.

Objections de M. de Fermât contre une proposition mécanique
DE M. de Roberval.

Si cette proposition mécanique de M. de Roberval était vraie, que
dans un levier quelconque les poids doivent être, pour l'équilibre,
en raison inverse des perpendiculaires abaissées du centre du levier
sur les lignes de direction, la proportion qu'il donne, dans son Traité,
entre le grave et la puissance sur le plan incliné, ne pourrait sub-
sister. Je le démontre manifestement :

Soit {fig- 46) un point N sur la surface de la Terre, H le centre de
la Terpe, Je joins NH, et je mène ANGF perpendiculaire à HN; cette

droite ANGF est une des parallèles à l'horizon pour ceux qui sont au
point N. Soient enfin des sphères de centres B, G, D, tangentes en N,
G, F à la droite ou au plan par ANGF.

[88,89] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 295

En premier lieu, il est clair que la sphère B sera mise en mouve-
ment par une puissance aussi faible que l'on voudra, ce que M. de Ro-
berval ne nie pas; que, d'autre part, si elle est placée au point N.
elle y sera en équilibre; mais, au contraire, elle n'y restera en aucun
autre point du plan.

Achevez la figure comme ci-contre. La droite HG, qui joint le
point de contact G au centre H de la Terre, fait un angle obtus avecCG ;
donc la sphère G se mettra en mouvement dans le sens GN. Il en sera
de même pour la sphère D. Soit donc en Z une puissance retenant la
sphère C par une tendance parallèle ti ANGF, c'est-à-dire suivant Z(].
Imaginez un levier de centre fixe G et abaissez sur HC la perpendicu-
laire GI.

La tendance de la sphère C au mouvement naturel est dirigée sui-
vant CH, celle qui la retient est dirigée suivant CZ, droite à laquelle
GC est perpendiculaire. Donc, d'après l'hypothèse de M. de Roberval.
GI :GC :: PuissanceZ : Poids C. c. q. f. d.

Mais pour retenir la sphère D, il faudra une puissance supérieure,
et cette puissance devra être d'autant plus forte que la sphère sera
plus éloignée du point N (ce qui est remarquable), tandis que M. de
Roberval admet que le rapport de la puissance au poids ne varie pas
pour un plan donné. Il peut voir combien cela est éloigné de la vérité.

Soient {fig- 47) B le centre de la Terre, ACDE un plan incliné. Qu'en

A et en C la puissance nécessaire pour retenir le grave soit la même,
cela pouvait paraître rationel aux yeux de M. de Roberval.

Mais, si l'on abaisse la perpendiculaire BD, puisqu'il y a équilibre

■m-, ŒUVRES DE FEUMAT. - CORRESPONDANCE. [ 89, !)0, !)o ]

(Ml I) ol que la puissance qui y retient est aussi faible que l'on voudra,
comment sa proposition peut-elle subsister?

>Ia démonstration est d'ailleurs valable pour un plan quelconque,
car fout plan est parallèle à un certain horizon.

Ainsi ce qu'a démontré M. de Roberval est renversé et une voie
(rcs facile s'ouvre pour établir une nouvelle proportion en rapport
avec SCS hypothi'ses.

.le voulais ajouter une seconde figure pour exposer ce que je pense
de sa dernière proposition, mais je n'ai pas le temps.

N° 17.

(Lellre ilo fermai à Koberval du 7 décembre iOjG.;

1. . , Soient BDC un levier (Jig. 48), D son milieu, A le centre de
la Terre, DA perpendiculaire au levier. Soient en B et C des poids

égaux, tendant naturellement vers le centre de la Terre suivant les
droites BA, GA; que le levier soit suspendu en D et maintenu par une
puissance quelconque; je dis que les corps B et C pèsent autant que
s'ils étaient réunis en I) et soutenus par la même puissance.

N" 18.

(LeUre de Fermai à Rolicrval du iG décembre if)3G.)

8... Pour les paraboles cubiques, carrécubiques et ainsi de suite
indétiniment de deux en deux puissances, la méthode dont je me suis
servi ne donne pas le rapport desconoïdes aux cônes; j'ai au contraire

[.)5, 97] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 297

uno méthode qui donne le centre de gravité pour tous les conoides
sans exception; votre proposition permettrait donc, de trouver leur
rapport aux cônes.

10... Soit un levier CAB (/%■. 49)» dont le milieu A est joint au
centre N de la Terre par une droite AN perpendiculaire au levier.
Soient en G et B des poids G et B égaux et semblables, qui lendenl
vers le centre suivant les droites GN, BN.

D'après votre principe, si ces droites NC, NB étaient perpendicu-
laires au levier, celui-ci serait maintenu en équilibre par une puis-
sance en A égale à la somme des poids B et G. Mais» puisque ces
droites font des angles aigus NCA, NBA, il faut en A pour l'équilibre
une puissance qui sera soit la même, soif plus petite, soit plus
grande.

CAB

Si la même puissance détermine l'équilibre, le principe dont je me
suis servi dans ma dernière lettre est vrai; or, si vous accordez ce
principe, la démonstration de la proposition de mon levier s'ensuit
immédiatement.

S'il faut une puissance soit plus grande, soit plus petite, dans le
premier cas, cette puissance devra être d'autant plus grande que les
angles des droites CN, BN avec le levier seront plus petits; dans le
second cas, elle devra être d'autant plus petite. Soit supposé comme
sur la figure, au-dessus du point A, le même levier suivant la même
direction; les angles des lignes GN, BN augmenteront évidemment;
donc la puissance nécessaire en A pour maintenir l'équilibre variera
avec la distance au centre de la Terre, et par suite le poids composé
des deux graves B et C variera lui-même avec cette distance,

l'cnii AT. — III. ' 38

:>!)8 ŒUVRES DE FERMAT. [97. 'J8J

Vous ne pouvez accorder la première partie du dilemme, sans que
votre proposition no tombe aussitôt; il vous faut donc admettre, ou
bien que la puissance eu A varie avec la valeur des angles ou bien
(|ue, tout en étant toujours la même quelle que soit la valeur de ces
angles, elle est différente de la puissance qui soutiendrait le levier si
la direction des poids était perpendiculaire à celui-ci.

Quelle que soit l'hypothèse que vous choisissiez, il sera prouvé
très clairement que dans votre démonstration s'est glissé un paralo-
gisme que la vérité que nous cherchons ne permet pas de dissimuler
et que peut-être vous-même devrez reconnaître.

11. Sur la première figure {fig- 5o), qui est la quatrième de votre
Lettre, voici ce que vous dites (') :

C'est là-dessus que repose toute votre démonstration.

Kig. 5o.
r ^ r

h;e

■■■'0

Mais en premier lieu, si vous dites que, pour toute valeur des angles
égaux, la puissance nécessaire ii l'équilibre est toujours la même, je
démontrerai immédiatement ma proposition du levier; il vous faut
donc accorder que cette puissance varie avec les angles.

Ceci admis, soit sur la figure N le centre de la Terre, où concourent
les droites CE, BD, et soient en E et D des graves dans le rapport
donné, ce qu'on est libre de supposer, d'après votre construction.

Au reste elle n'a pour objet que de trouver le rapport des poids sur

(') Fuir le texte français, t. II, p. 79, ligne 10 à page So, ligue i.

[98.99] TRADUCTION DES. PIÈCES LATINES. 20!)

le levier en équilibre au moyen de puissances imaginaires qui pour
toutes leurs parties agissent toujours suivant une même direction; car
autrementdes puissances de ce genre, qui n'existent nullement dans
la nature, seraient absolument inutiles.

Vous supposez en H et G des puissances égales aux poids E et D et
agissant pour toutes leurs parties suivant une même direction. Puis
vous concluez, par votre premier axiome, que les efTets des puissances
H et E sont égaux; la puissance H agissant en C suivant HC perpendi-
culairemeht au levier, et le poids E agissant suivant la même perpen-
diculaire, ces puissances étant égales, agissant suivant la même
droite, suivant le même angle sur le levier et à la même distance de
son centre, l'action du poids E ne peut, suivant vous, différer de celk'
de la puissance imaginaire H.

Si vraisemblable que paraisse cette conclusion, elle ne peut que
paraître très fausse ti qui recherche la vérité intime'des choses.

Supposons, par exemple, que le poids E soit sphérique; toutes ses
parties tendent vers le centre N suivant des droites qui concourent i>
ce centre et dont les prolongements rencontrent le levier AC sous des
angles aigus. Par conséquent, elles forment un ensemble de puis-
sances agissant de part et d'autre du point C à des distances égales
deux à deux, suivant des distances obliques par rapport au levier.
Au contraire, toutes les parties de la puissance H étant supposées
agir suivant une même direction, elles forment un ensemble de puis-
sances agissant de part et d'autre du point C à des distances égales
deux à deux, mais suivant des directions normales par rapport au
levier.

Or, puisque la somme de toutes les parties de la puissance H esl
égale à la somme de toutes les parties de la puissance ou poids H
( puisqu'on suppose que la puissance H est égale au poids E), il s'en-
suit, d'après ce qui a été établi, que les effets des puissances H et E
agissant en H et E sont inégaux; par suite, ce que notre démonstra-
tion conclut justement pour la puissance H est étendu à tort au
poids E.

;îoo

(EUVRES DE FERMAT.

[100, lor

N'- 19,

(Lollrc (le Fermât ;i Rnberval, do février 163;.)

1. Soient ilomiés autant de points que l'on voudra, par exemple
<in(}, A, G, F, H, E {fig. ^i) (mais la proposition est générale), on
demande de trouver un cercle tel que, si d'un point quelconque de la
circonférence on mène des droites aux points donnés, la somme des
carrés de ces droites soit égale ii une aire donnée.

Je joins deux points quelconques A, E; des autres points donnés
j'abaisse sur la droite AE les perpendiculaires GB, HD, FC. Je prends
une fraction conditionnée, le cinquième dans l'exemple choisi, de la
somme de tous les segments limités sur AE d'un côté par le point A,
(le l'autre par les points donnés ou les pieds des perpendiculaires;
ainsi soit AO = |(AB 4- AG + AD -t- AE); en 0 j'élève une perpendi-
culaire indéfinie ON sur laquelle je prends 01 égale à la même frac-
tion conditionnée par le nombre des points (ici un cinquième) de la
somme des perpendiculaires GB, FC, HD. Je suppose enfin menées

Fig. 5i.
N

les cinq droites Al, GI, FI, HI, El. La somme de leurs carrés doit être
inférieure à l'aire donnée; retranchez-la donc de cette aire et soit par
exemple Zp' la différence. Prenez-en le cinquième (c'est-à-dire la frac-
tion conditionnée) et construisez le carré équivalent M-. Le cercle
décrit de 1 comme centre, avec M pour rayon, satisfera à la question;
c'est-à-dire que, quelque point que vous preniez sur sa circonfé-
rence, la somme des carrés des droites qui le joignent aux points
donnés sera égale à l'aire donnée.

[ 101, in-2]

TRADUCTION DES PIÈCES LATINES.

301

J'ajouterais bien la démonstration, mais elle est assez longue; et je
préfère vous inviter tous deux à la chercher.

2. Je n'ai pas seulement trouvé ces propositions, mais en général
toutes celles des lieux plans, et même beaucoup de lieux dont Apol-
lonius n'a rien écrit et qui cependant sont très beaux. Par exemple :

Etant donnés trois points A, B, C {fig- ^2) en ligne droite, trouver
une circonférence de cercle telle que, si l'on en prend un point N
quelconque, AN- + NB- — NC^ soit égal ti une aire donnée.

J'ai également fait de nombreuses découvertes sur les lieux solides
et en surface.

Je n'ajoute pas les cas du premier lieu plan ci-dessus; ils se dis-
tinguent immédiatement. Si les points donnés sont au nombre de
trois seulement et forment par suite un triangle, le centre du cercle
formant le lieu est le centre de gravité de ce triangle, proposition sin-
gulière et assez remarquable.

Fis. rj.

3. Mais je ne m'arrête pas lii. J'établis la proposition sous une
forme très générale et j'en ai fait la construction :

Trouver le cercle lieu des points tels que si l'on joint l'un d'eux à
autant de points donnés que l'on voudra, et que l'on augmente ou
diminue dans un rapport donné chacun des carrés des droites ainsi
menées, la somme des carrés ainsi augmentés ou diminués soit égale
à une aire donnée.

Exemple : Soient donnés, sur la figure précédente, les trois points A.
B, C; on demande un cercle tel que, si l'on prend sur sa circonférence
un point N quelconque, jNA^ + 2BN- + 3CN^ par exemple, fasse une

302 ŒUVRES DE FERMAT. [178, I8n. :oi, 2C7]

iiii'o donnée. Etendre la construction à un nombre quelconque de
points et à des coefTicients quelconques.

Apollonius ne semble pas avoir connu cette proposition qui est cer-
(ainement très belle.

N" 36.

(Lolti-e (Je Fermât à .Merseniie, du •>(') décembre i038.)

4. Si autant de points donnés que l'on voudra sont joints à un
même point par des droites et si la somme des carrés do ces droites
est égale à une aire donnée, leur point de concours sera sur une sur-
face de sphère donnée de position.

N" 37.

(Lettre de Fermât à Mersenne, du «o février iOSq.)

4. " .2-^ — 90;- 4- i3.r = y/288 — r5.

On demande la valeur de x. Ce problème reçoit (rois solutions doni
nous donnons la première, 3 — y/â, qui satisfait exactement à la (jues-
lion. Qui donnera les deux autres sera pour nous un grand oracle. «

Ces deux antres solutions sont : 3 4- v 18 et 3 — v8.

N" 42.

(Lettre de Fermai à Hol)erval. août lOin.)

6. Par un point donné à l'extérieur ou à rintérieur d'iiiie [)ara-
bdlc, mener une droite qui détermine un segment de parabole d'aire
donnée. Si le point est intérieur ;i la parabole, déterminer l'aire *
niinimaqui peut être ainsi retranchée de la parabob' par une droilr
passant par le point donné.

N" G2.
(Lettre de Fermât à Gassendi, lOJli?!

1. Galilée a défini mouvement uniformément accéléré celui dans
lequel, à partir du repos, les accroissements de vitesse soni égaux
|)(uir des temps égaux.

[26S,200] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. :W3

Quant à celui dans lequel les accroissements de vitesse seraieni
égaux pour des espaces parcourus égaux, il dit qu'il convient d'au-
tant moins pour représenter le mouvement de chute des graves, que,
suivant cette hypothèse, le mouvement se ferait dans un instant,
comme il pourrait, dit-il, le démontrer très facilement.

On peut, ])ourvu qu'elle soit vraie, accorder à ce perspicace lyn-
céen la conclusion qu'il n'a pas démontrée. Mais s'il a, du premier
coup d'œil, vu ou cru voir dans l'obscurité la démonstration, on ne
s'étonnera pas qu'elle soit réclamée par ses lecteurs, qui ne sont pas
lyncéens.

Pour maintenir donc l'honneur de Galilée et pour faire qu'il n'v ail
|)lus de doute sur sa proposition et qu'on n'en dispute plus en invo-
quant des raisons seulement probables, je vous envoie cette démon-
stration suivant la méthode d'Archimède.

2. Si aulant de droites ([iie l'on voudra, issues d'un même |)oin(,
sont eu progression géométrique continue, leurs dilTérences seronl
également en progression suivant la même raison.

Soient, par exemple, les droites AK, BF, CF, DF, EF, etc. (^/ig- 7;) )
en progression continue, leurs différences AB, B(", CD, \)E seron( en
progression suivant la même raison.

Fig- 79-
B r T) E

En eti'et, si AF : BF : : BF ; (]F, et que l'on retranche respeclivemcnl
chacun des deux derniers termes du premier qui lui correspond, on
aura dans le même rapport AB : BC : : AF : BF, et de même pour les
autres. On prouvera de même que AF : CV : : AB : CD; que

BF:DF:: BC:DE, etc.

3. Si l'on imagine un point se mouvant de V vers A (/ig. 80) d'un
mouvement continuellement accéléré suivant le rapport des espaces
parcourus, et que l'on prenne une série de longueurs en progression

30i ŒUVRES DE FERMAT. [200, îto]

l'ontinue, comme AF, BF, CF, DF, EF, etc., le temps dans lequel l'es-
])ace DE sera parcouru sera égal au temps du parcours de l'espace DC;

Fig.
c

en un mot, chacun des espaces ED, DC, CB sera parcouru dans un
mémo temps.

4. Je prouverai d'abord que les espaces CB, BA sont parcourus dans
le même temps, d'après l'hypothèse faite sur le mouvement.

Si le temps pour AB n'est pas égal en etTet au temps pour BC, il sera
soit plus grand, soit plus petit.

Supposoné-le d'abord plus grand. Le rapport du temps pour AB an
temps pour BC sera donc celui d'une longueur plus grande que BF ti
BF. Soit Z cette droite, on aura : Temps AB :TempsBC :." Z : BF.

Prenez entre AF, BF autant de moyennes proportionnelles RF", ;\iF,
NF qu'il faudra pour que la plus petite, soit NF, soit inférieure à Z.
Qui ne voit que ce résultat sera nécessairement atteint soit par l'in-
sertion d'une seule moyenne, soit par le redoublement de l'opération
effectué autant que de besoin?

De la sorte, AF, RF, MF, NF, BF forment une progression continue,
et, comme on a AF : BF : : BF : CF :: AB :BC, on peut continuer la
même progression suivant le même rapport, de façon à avoir un même
nombre de termes BF, OF, VF, XF, CF, de BF 'n CF.

Ceci posé, considérons chacun des espaces AR, RM, 3IN, NB, et
comparons-les respectivement aux espaces BO, OV, VX, XC, chacun
il chacun, c'est-ti-dire AR ;i BO, etc.

Si, sur l'espace AR, le mouvement était uniforme selon le degré de
vitesse acquis en R. et si, sur l'espace BO, le mouvement était égale-
ment uiwforme suivant le degré de vitesse acquis en O, on aurait

Temps pour AR AR ^ Vitesse en R

f Temps pour BO ~ RO ~ VUesse en R'

J

[270,272] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 305

co qui est bien connu et a, au reste, été démontre par Galilée lui-
même, prop. 5 du Traité du mouvement uniforme.

Mais, par la première proposition, AR :B0 : : AF :BF, et d'après
l'hypothèse de l'accélération du mouvement suivant les espaces :
Vitesse en B : Vitesse en R : : BF : RF. Donc

Temps pour AI{ AF BF AF

Temps pour BÔ "^ ÏÏF ^ RF ~ RF'

Si maintenant on suppose, sur l'espace RM, un mouvement uniforme
suivant le degré de vitesse acquis en M, et, sur l'espace OV, un mou-
vement uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on prouvera

de même que

TempsMR : TempsOV :: RF : MF,

De même, considérant les vitesses aux points N, V :
TempsMN : Temps VX :: MF : NF.

Enlin, considérant les vitesses aux points B et X pour les derniers

espaces :

Temps NB : Temps \C :: NF : BF.

Mais, d'après la construction, les rapports AF : RF, RF : MF, MF : NF,
NF:BF sont égaux; par suite, en sommant les temps suivant AB et
suivant BC, le rapport de ces temps totaux pour des mouvements dé-
finis comme nous l'avons dit sera égal au rapport AF : RF ou NF : BF.

Mais le temps du mouvenient accéléré sur AR est inférieur au temps
du mouvement uniforme sur AR avec la vitesse en R; en effet, par
hypothèse, la vitesse croit continuellement de R à A; donc, dans le
mouvement accéléré, le mobile va plus vite de R en A que s'il par-
courait l'espace RA avec la vitesse qu'il a en R.

On })rouvera de même que le temps du mouvement accéléré sur R.M
est inférieur au temps du mouvement uniforme sur RM, avec une vi-
tesse correspondant à celle acquise au point extrême M.

Enfin on établira que, pour le mouvement accéléré sur la ligne
totale AB, suivant l'hypothèse faite, le temps sera moindre que pour
KtBMAT. — ni 3g

;30G ŒUVRES DE FERMAT. [Î72, 273]

(•(> mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes, avec
(les vitesses correspondant à celles acquises aux points extrêmes des
espaces AR, RM, MN, NB.

Mais, au contraire, le temps du mouvement accéléré sur BO est plus
long que celui du mouvement uniforme sur BO avec la vitesse au
point B, parce que la vitesse croit toujours de 0 à B dans le mouve-
ment accéléré, d'après l'hypothèse; elle reste donc toujours inférieure
il la vitesse correspondant au point B.

En raisonnant de même, on conclura que, suivant l'hypothèse faite,
le mouvement accéléré sur la ligne totale BC demandera un temps plus
long que le mouvement imaginaire composé de mouvements uni-
formes avec les vitesses correspondant aux premiers points des
espaces BO, OV, YX, XC.

Ainsi le temps du mouvement accéléré sur AB est moindre que le
temps du mouvement imaginaire sur AB, et au contraire le temps du
mouvement accéléré sur BC est plus grand que le temps du mouve-
ment imaginaire sur B(]; donc le rapport des temps des mouvements
accélérés sur AB et BC est moindre que le rapport des temps des mou-
vements imaginaires sur les mêmes lignes AB et BC. Mais le premier
de ces deux rapports a été supposé égal à celui des droites Z:BF; le
second a été démontré ésjal il celui des droites NF ; BF. Donc

Z : BF < NF : BF,

i-e (jui est absurde, puisque Z >> NF.

Donc le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas plus grand
([ue celui du mouvement accéléré sur BC. On démontrera avec la
même facilité que le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas
plus petit que celui du mouvement accéléré sur B(].

Supposons-le en etîet plus petit s'il est possible; le rapport des
temps des mouvements accélérés sur AB et BC sera donc égal à celui
d'une droite inférieure à BF et de BF. Soit G cette droite inférieure ii
BF, et par suite : TempsAB : Temps BC : : G : BF.

Entre BF et CF intercalons une série de moyennes. jiroportionnelles

[273,274] TRADUCTION DES IMECES LATINES. 'M~

dont la plus grande OF soit plus grande que G. Kn employant \v
même raisonnement que dans la première partie de la démonstration,
et en comparant les espaces sur AB entre les extrémités des moyennes
avec les espaces analogues BO, OV, VX, XC, en changeant toutefois
les vitesses uniformes, et en supposant, par exemple, que le mouve-
ment sur AR se fasse avec le degré de vitesse acquis en A; que le mou-
vement sur BO se fasse avec la vitesse acquise en 0, et de même pour
les autres espaces; il est clair que toutes les vitesses sur AB seront
augmentées par la substitution des mouvements uniformes, tandis
que sur BC elles seront diminuées, contrairement à ce qui avait lieu
d'après les suppositions de la première partie de la démonstration. On
conclura dès lors que le rapport des temps des mouvements uniformes
sur AR et BO est égal à celui de RF à AF, puisque, si les vitesses aug-
mentent, les tem|)s diminuent.

De même, pour les mouvements uniformes :

TempsUM : TcinpsON : : MF : MR,

et enfin le rapport des temps des mouvements imaginaires composés
de mouvements uniformes sur AB et BC sera égal au rapport RF ; AF,
puisque tous les rapports des temps partiels sont égaux ii ce niènii'
rapport, qui vaut d'ailleurs OF:BF, d'après la pr<'mière proposition.

Mais sur AB le temps du mouvement accéléré est plus grand que le
temps du mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes,
puisque nous avons supposé que, dans ces mouvements uniformes;
les vitesses sont augmentées (on a pris en effet celles qui répondenl
aux premiers points des espaces AR, RM, etc.); au contraire, sur BC le
temps du mouvement accéléré est moindre que le temps du mouve-
ment imaginaire composé de mouvements uniformes, les vitesses dans
ce cas étant diminuées et répondant aux derniers points des espaces
BO, OV, etc.

Donc le rapport du temps des mouvements accélérés sur AB et BC
est supérieur au rapport des temps des mouvements imaginaires sur
les mêmes droites AB et BC. Mais le premier de ces deux rapports esl

308 ŒUVRES DE FERMAT. [37'.. 275]

supposé égal au rapport G: BF; le second a été démontré égal au rap-
port ()F: BF; donc G : BF > OF : BF, ce qui est absurde, puisque
G < OF. par construction.

Par conséquent, le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas
inférieur au temps du mouvement accéléré sur BC; mais nous avons
prouvé qu'il n'est pas non plus supérieur; donc ces deux temps sont
égaux.

Par la même raison, il est clair que le temps du mouvement accéléré
sur CD est égal à celui du mouvement accéléré, soit sur AB, soit sur
BC, et, en continuant indéfiniment le même raisonnement, que tous
les espaces sans exception sont parcourus en des temps égaux.

5. Cela établi, une troisième proposition va révéler la pensée de
Galilée ou montrer la vérité de son affirmation.

Imaginons le mouvement d'un grave tombant du point A, où il est
en repos, jusqu'en H i^fig- 8i), par exemple, et supposons, s'il est pos-

Fig. Si.
n C D E F G H

sible, que la vitesse de chute s'accélère en raison de l'espace déjà par-
couru. Admettons que le mouvement de A à H ait demandé une mi-
nute ou tout autre temps déterniiné, et supposons que le mouvement
se continue de H en K; je dis que le mouvement sur HK se fera en un
instant.

Si, en effet, il ne se fait pas en un instant, il demandera un certain
temps déterminé, qui pourra être multiplié par un nombre tel que le
produit dépasse le temps employé pour parcourir AH. Supposons que
ce multiplicateur soit 5, c'est-à-dire que 5 fois le temps du mouve-
ment sur HK fasse plus que le temps du mouvement sur AH.

Prenez GA troisième proportionnelle aux droites KA, HA et conti-
nuez la série des proportionnelles suivant la même raison jusqu'à ce
que le nombre des espaces entre leurs extrémités surpasse 5; soient

[275,270,282] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 30!»

par exemple au delà du point H six espaces donnés par cette progres-
sion continue, HG, GF, FE, ED, DC, CB.

Comme on vient de le démontrer, le temps du mouvement sur H(i
est égal au temps du mouvement sur HK; il en est de même du mou-
vement sur GF, etc. Donc le temps du mouvement sur HB sera six fois
le temps du mouvement sur HK; mais cinq fois le temps du mou-
vement sur HK fait plus que le temps du mouvement sur AH; donc.
a fortiori, le temps du mouvement sur HB dépasse le temps du mou-
vement sur HA, ce qui est absurde.

Donc l'assertion de Galilée est vraie, quoiqu'il ne l'ait pas démon-
trée.

6. Je vous ai écrit, illustre Gassend, en termes brefs et familiers,
voulant seulement vous éviter de nouvelles ditricultés de la part de
Cazré ou de tout autre adversaire de Galilée; on en viendrait ainsi ii
des volumes sans tin, alors qu'une seule démonstration peut, de
l'aveu même des auteurs, renverser leur travail ou le rendre inutile
et superflu.

N" 67.

(Lettre de Fermât à Âuzout"? i6iS.)

Faire toujours disparaître les irrationelles dans les équations algé-
briques est une opération difficile et qui jusqu'à présent n'a pas été
suffisamment travaillée par les analystes.

Supposons, par exemple, plus de quatre radicaux dans une équa-
tion dont il faille faire disparaître les irrationelles suivant les règles
de l'art. L'analyste ne pourra guère se tirer d'embarras; plus il pous-
sera ses calculs, plus la difficulté augmentera, jusqu'à ce que, fatigué
de répéter sans fin les opérations, il reconnaisse qu'il n'a rien changé.
L'Anlalyse doit-elle s'arrêter à cet obstacle et se laisser ainsi imposer
silence par les irrationelles? Il faut que les savants étudient cette
question et découvrent une méthode satisfaisante.

310 Œ U V R E S 1) E F E H M AT . [ ■:h2, 28ô , 'l'j?,]

Soit proposé par exemple :

\' {>a — a- + \'c^-t- f/n -h a- + \ nia 4- \, d- — a- — y'/'n -j- a-^ (> ^ a.

(Juc l'analyste opère sur cette équation suivant les règles de l'art e!
qu'il se débarrasse des radicaux, ou bien qu'il reconnaisse l'insudi-
sance des règles.

N" 68.

(LolliX' de Formai à Carcavi, du 20 août i65o.i

2. Soit quatre ternies irratioiiels homogènes, dont la somme soit.
dans le cas proposé, égalée à une droite, suivant l'équation

\J z'-a — d" -i- sj b'' — (/- ba -(-«*+ s] ba — a"- -k- '\J a^ — b' a ziz b + a — e.

On demande la tangente en un point donné de la courbe dont cette
équation [en a et e] représente la propriété spécifique .

N" 70.
(Le lire de Pascal ù Fermai, du ■,!o juillet iG5.i.)

4. Soit un nombre quelconque de lettres, par exemple les huit A.
R, (>, D, E, F, G, H; formez-en toutes les combinaisons !{ à 4. > à 5.
() à (i, jusqu'à celle des 8. Je dis que, si l'on ajoute à la moitié du
nombre des combinaisons 4 «i 4 (savoir 3j, moitié de 70) le nombre
des combinaisons .> à 5 (qui est 5G), celui des combinaisons (i à (i
(qui est 28 ), celui des combinaisons 7^7 (qui est 8), enfin celui des
combinaisons 8 ;i 8 (c'est-à-dire i), on a le quatrième terme de la pro-
gression géométrique commençant à 2 et ayant ] pour raison; je dis
le quatrième, parce que 4 est la moitié de 8.

Les termes de cette progression géométrique, commençant à 2 et
ayant 4 pour raison, sont en effet : 2, 8, 32, 128, iii-i, etc. Le i" est
2, le 2* est 3, le 3^ est 3-i et le 4^ est 1 28 ; or

1 28 = 35 -H ô6 -I- 28 H- 8 + I ;

ce terme est ainsi la somme des nombres des combinaisons de 4. ^. <>•
7 et 8 lettres.

I ».)(!, 297,333] ÏR A 0 UCTI ON D ES P 1 ÈCES L ATI NES. :5II

8. ... La difTérence de deux cubes consécutifs quelcoiiques, diiiii-
luiéc de l'unité, est égale au sextuple de la somme des nombres jus-
qu'à la racine du plus petit cube inclusivement.

Soient R et S les deux racines, qui diiïèrent d'une unité; je dis (jue
!{■! _ S" — I est égale au sextuple de la somme des nombres depuis r
jusqu'à S.

Soit S = (t, et par suite R = rt + i,

|{' ou (a 4- i)''i= a'-h 3rt--f- 3rt -f- i' cl S^ on w^—a'.
La difTérence R' — S^= '] ci- -h ) a -h \'\ et en relrancbant l'iinilc.

Mais, d'après le lemme, l.e double de la somme des nombres dcjtnis
I jusqu'à S ou a est a(a + i) ou «--+- (i. Donc '\a- + ia sera le sex-
tuple de cette somme.

Or jrz- 4- 3a = R' - S^ — I ; donc R^' - S' - i est le sextuple de la
somme des nombres depuis i jns(|n';i S ou a. <;. n. v. d.

N" 79.
PREMu:ii i)i;ri aux .M.\riu;.MAri(',n..Ns,

3 JANVIER 1657.

B. Proposez, si vous le voulez bien, à Wallis et aux autres malbé-
maliciens anglais, la (juestion nnméri(|iie suivante :

1. Trouver un cube qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes
lasse un cube.

2. Par exemple, 3'|3 = -^ Les parties aliquotes de ce nombre sont :
1 , 7, '19; si l'on ajoute 3'|3 à leur somme, on a 4oo = 20^. On demande
un autre cube ayant la même propriété.

3. On demande aussi un nombre carré qui, ajouté à la somme de
ses parties aliquotes, fasse un cube.

312 ŒUVRES DE FERMAT. [333,335]

J'attends la solution de ces questions; si elle n'est fournie ni par
l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la
Narbonnaise, qui l'offrira à Sir Digby et la lui dédiera en gage d'une
amitié naissante.

N" 81.

SECOND DÉFI AUX MATUÉMATICIENS,

FÉVRIEll 1657.

Il est à peine 'quelqu'un qui propose des questions purement arith-
métiques, il est il peine quelqu'un qui sache les résoudre. Est-ce
])arce que l'Arithmétique a plutôt été traitée jusqu'il présent au
moyen de la Géométrie que par elle-même? C'est la tendance qui
apparaît dans la plupart des Ouvrages tant anciens que modernes,
et dans Diophante lui-même. Car s'il s'est écarté de la Géométrie un
peu plus que les autres en astreignant son analyse à ne considérer
que des nombres rationels, il ne s'en est pas dégagé tout k fait,
comme le prouvent surabondamment les Zélétiques de Viète, dans
lesquelles la méthode de Diophante est étendue à la quantité con-
tinue, et par suite à la Géométrie.

(Cependant l'Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la
théorie des nombres entiers; cette théorie n'a été que très légère-
ment ébauchée par Euclide et n'a pas été assez cultivée par ses suc-
cesseurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans ces livres de Dio-
phante, dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens
ont donc à la développer ou à la renouveler.

Pour éclairer leur marche, je leur propose de démontrer comme
théorème ou de résoudre comme problème l'énoncé suivant; s'ils y
parviennent, ils reconnaîtront au moins que des questions de ce
genre ne le cèdent ni pour la subtilité, ni pour la difTiculté. ni
pour le mode de démonstration, aux plus célèbres de la Géométrie :

Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité
de carrés déterminés tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un
d'eux par le nombre donné, on ait nn carré.

|:î.î5, 344, 346] TR AD UCTI ON DES P lÈCES L \TINES. 313

Par exemple, on donne 3, nombre non carré.

3 X 1^-1-1= 4 (carré),
3 X i6 -+- I = 49 (carré).

Au lieu des carrés i et r6, on peut trouver une infinité d'autres
carrés satisfaisant à la condition proposée, mais je demande nue
ri'gle générale, s'appliquant à tout nombre non carré quelconque
qui peut être donné.

On demande par exemple un carré, tel qu'en ajoutant l'unité à son
produit par 149 ou par 109 ou par 433, etc., ou ait un carré.

N° 84.

(Lettre do Fermât à Digby, du i '1 aoi"it ifi:)7.)

4. Un nombre, somme de deux cubes, étant donné, le partager en
deux autres cubes.

Ce problème n'a été résolu par Diophante que pour les carrés; il ne
l'a pas essayé pour les cubes, au moins dans les livres qui nous
restent de son grand Ouvrage.

Par exemple, je propose le nombre 28, somme des deux cubes
I et 27.

Il s'agit de partager ce nombre 28 en deux autres cubes ralioncls et
de donner la solution générale de ce problème.

8. Diopliante a proposé de partager un nombre carré en deux car-
rés, et de même, étant donné un nombre, somme de deux carrés, de
le'partager en deux autres carrés.

Mais ni lui ni Viète n'ont essayé d'élever la question jusqu'aux
cubes; pourquoi hésiter ou différer de traiter une proposition pour
laquelle l'honneur de la solution a été réservé aux analystes mo-
dernes?

Je propose donc de « partager un nombre cube en deux cubes
rationels »; de même : « Ktant donné un nombre, somme de deux

I'ermat. — ni. /lO

314 ŒUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE. [34fi, 4U2, 403]

t'iihos, le partager en deux autres eiibes rationels », et je voudrais
savoir ce qu'on pense de ce problème en Angleterre et en Hollande.

N" 96.

( LelU'o de Fermai à Digby, juin i6J8.)

1. Que les très illustres S" Vicomte Brouncker et John Wallis aient
enfin donné des solutions légitimes des questions numériques que
j'avais proposées, je le reconnais volontiers; bien plus, j'en suis très
heureux. Cependant, si vos éminents correspondants n'ont pas voulu
avouer que les questions proposées les aient jamais embarrassés,
même un seul moment, j'aurais désiré qu'au contraire ils aient bien
voulu reconnaître de prime abord que ces problèmes étaient dignes
d'être étudiés en Angleterre; leur triomphe eût été d'autant plus
éclatant que la lutte eût paru plus dilficile. On peut faire cette conces-
sion à la fierté d'une nation aussi illustre et aussi féconde en grands
génies; mais pour agir désormais en toute franchise, si les Français
avouent que les Anglais ont satisfait aux questions proposées, que
les Anglais à huir tour reconnaissent que ces questions valaient bien
la peine de leur être proposées, et qu'ils ne dédaignent plus d'exa-.
miner attentivement et de pénétrer la nature des nombres entiers,
qu'enfin ils appliquent la puissance et la subtilité de leur esprit à de
nouveaux progrès dans cette théorie.

2. Pour qu'ils me l'accordent plus volontiers, je leur proposerai
un exemple tiré de Diophante et de son célèbre commentateur
Bachet.

Dans la plupart des questions des Livres IV et V, Diophante sup-
pose que tout nombre entier est ou bien carré ou bien somme de
deux, de trois ou de quatre carrés. Dans son commentaire sur le pro-
blème IV, 31, Bachet avoue qu'il n'est pas parvenu à démontrer com-
plètement cette proposition. René Descartes lui-même, dans une
lettre qui sera prochainement publiée et dont j'ai eu récemment con-

[403,4041 TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 31.i

naissance, avoue ingénuemeiit qu'il ignore la démonstration et déclare
que le chemin pour y parvenir lui paraît des plus difficiles et des plus
embarrassés. Je ne vois donc pas que l'on puisse douter de l'impor-
tance de cette proposition. Or j'annonce à vos éminents correspondants
que j'en ai trouvé une démonstration complî-te.

Je pourrais ajouter nombre de propositions très célèbres dont je
possède également la preuve irréfutable; par exemple :

Tout nombre premier, de la forme /in -hi, est somme de deux car-
rés; ainsi 5, i3, 17, 29, 3-j, 4i, etc.

Tout nombre premier, de la forme 3rt -f- i, est somme d'un carré
et du triple d'un autre carré; ainsi 7, i3, 19, 3i, 37, 43, etc.

Tout nombre premier, de la forme Sn-+- i ou 8«-f-3, est somme
d'un carré et du double d'un autre carré; ainsi 3, 11, 17, 19, 4'.
43, etc.

Quant à la proposition de Bacbet ci-dessus, je l'ai proposée autre-
Ibis généralisée à M. de Sainte-Croix, et j'ai également la démonstra-
tion pour cette extension que voici :

Tout nombre entier est soit triangle, soit somme de 2 ou 3 triangles;
soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés; soit pentagone, soit
sommé" de 2, 3, 4 ou 5 pentagones; soit hexagone, soit somme de 2,
3, 4. 5 ou 6 hexagones; et ainsi de suite en continuant indéfini-
ment.

3. Tous ces théorèmes que j'ai découverts comme une infinité
d'autres concernant les nombres entiers, et dont je possède des dé-
monstrations générales, je pourrais les proposer à vos éminents cor-
respondants et leur créer ainsi au moins quelque occupation. Mais il
sera plus dans la franchise de ma nation de leur soumettre au con-
traire des énoncés dont j'avouerai que j'ignore la démonstration, quoi-
que je sois persuadé de leur vérité.

On sait qu'Archimède n'a pas dédaigné de travailler sur des propo-
sitions de Conon qui étaient vraies, mais non prouvées, et qu'il a su
les munir de démonstrations d'une haute subtilité. Pourquoi n'espère-

316 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [404,400]

rais-je pas un semblable secours de vos éminents correspondants,
pourquoi, (lonon français, ne Irouvorais-je pas des Archimèdes
anglais?

i" Toutes les puissances du nombre 2, ayant pour exposant un des
termes de la progression géométrique suivant la raison du même
nombre 2, donnent des nombres premiers, si on leur ajoute l'unité.

Soil la progression géométrique snivant la raison 2, avec ses expo-
sants :

1 2 3 4 5 G 7 8

■?.. 4. 8. 16. 32. 64. 128. 256.

T.e premier ternie 2, augmenté de l'unité, fait 3, nombre premier.

Le second terme 4> augmenté de l'unité, fait 5, nombre premier.

Le quatrième terme 16, augmenté de l'unité, fait 17, nombre
premier.

Le huitième terme 256, augmenté de l'unité, fait 207, nombre
premier.

Prenez en général toutes les puissances de 2, dont l'exposant est
un terme de la progression, il en sera de même. Ainsi, le seizième est
65 536; ajoutant i, on a 65 537, 'ï'^' est premier. De cette façon, on
peut déterminer et calculer sans difficulté un nombre premier plus
grand que tout nombre donné.

Je demande une démonstration de cette proposition, qui est certai-
nement très belle, que je crois très vraie, et grâce à laquelle on peut,
comme je viens de le dire, résoudre immédiatement un problème
autrement très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque,
trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela donnera peut-
être à vos éminents correspondants la clef pour pénétrer tout le mys-
tère des nombres premiers, c'est-à-dire étant donné un nombre quel-
conque, reconnaître, par la voie la plus facile et la plus courte, s'il
est premier ou composé.

2" Le double de tout nombre premier, de la forme Sw — i, est
somme de trois carrés.

Soil un nombre premier quelconque de la forme 8« — i, comme 7,

(405,406] TRADUCTION DES PIECES LATINES. 317

23, 3i, 47' <?tc. ; je dis que chacun des doubles i^, 4^» ^2, 94, est
somme de trois carrés.

J'affirme que cette proposition est vraie, mais seulement à la façon
de Conon, attendant qu'un Archimi'de la démontre.

3" Si l'on fait le produit de deux nombres premiers, terminés par
3 ou par 7, et de la forme 4« + 3, ce produit sera la somme d'un carré
et du quintuple d'un autre carré.

Tels sont les nombres 3, 7, 23, 43, 47> ^7» dc- Prenez-en deux, par
exemple 7 et 23; leur produit 161 est la somme d'un carré et du quin-
tuple d'un autre carré. En effet 161 = 81 -1- 5 x 16.

Je dis que celte proposition est vraie en général et j'attends seule-
ment la démonstration. D'ailleurs le carré de chacun de ces nombres
est également somme d'un carré et du quintuple d'un autre carré, ce
que je propose également de démontrer.

4. Pour ne pas paraître trop pauvre en démonstrations, j'ajouterai
une proposition que je puis prouver :

Il n'y a aucun nombre triangle, sauf Tunité, qui soil un bicarré.

Tout le monde siiit que les triangles sont : i, 3, 10, i5, 21, 28, 36,
45, etc.

Il n'y a absolument dans toute cette série, indéfiniment prolongée,
aucun bicarré, sauf l'unité.

<

5. Enfin, pour ne pas paraître me réfugier dans les nombres faute
de propositions géométriques, en voici quelques-unes, qui ne rougi-
ront pas de se montrer en Angleterre. Les deux premières sont tirées
de ma restitution des porismes d'Euclide.

Soit sur le diamètre AB {^fig. 90) le demi-cercle ANB; prenez en N
le milieu de la demi-circonférence ANB, joignez NA, NB, el élevez en
A, B les perpendiculaires AD, BC, égales à AN ou NB. Prenez sur hi
demi-circonférence un point quelconque E, joignez DE, EC, qui cou-
peront le diamètre aux points 0 et V. Je dis ([ue dans ce cas on aura
AV--^BO- = AB^

318 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [406,407]

Dans mon Traité, j'ai énoncé ce théorème ou problème sous une
forme plus générale, mais, pour le moment, il suffit de ce cas parti-
culier.

Fig. 90.

Soient une parabole quelconque AMC {fig. 91), A, B deux points
quelconques pris sur cette parabole, MN un diamètre quelconque.
Prenez sur la parabole un autre point quelconque C et joignez-le à A
et B. Vous couperez ainsi le diamètre toujours dans le même rapport.

Fig. 91

(lar si vous prenez un autre point quelconque, tel que D, vous aurez
MO : OV:: MI : IN; les segments interceptés sur le diamètre seront
toujours dans le même rapport.

Voilà des propositions que j'ai découvertes et démontrées et que
j'offre en échange du théorème sur le tronc de cône oblique.

6. Mais je n'hésite pas au reste à proposer aussi en cette matière
aux Anglais des questions que je n'ai pas encore complètement ré-
solues.

Etant donnés des points, des droites et des cercles, trouver une

I

[107,408,410] TRADUCTION DES PIECES LATINES. 319

parabole ((iii passe par les points donnés et touche les droites ou les
cercles donnés.

Il suffit de quatre données. Par exemple : Étant donnés deux points,
une droite et un cercle, trouver une parabole qui passe par les points
donnés et soit tangente à la droite et au cercle donnés. Il y a en tout
quinze problèmes.

Je propose la même chose pour les ellipses ou les hyperboles; mais,
dans ce cas, il faut cinq données, points, droites ou cercles : ce qui
fait en tout 21 problèmes.

Dans mou Traité des conlacls sphériques, j'ai autrefois traité les pro-
blèmes analogues pour la sphère et notamment résolu avec bonheur
la question suivante : Etant données quatre sphères, en trouver une
cinquième qui soit tangente aux quatre sphères données.

Vous pourrez trouver ce Traité complet chez M. de Carcavi.

J'inviterai enfin vos éminents correspondants à mettre de côté tant
soit peu les formules de l'Analyse et à traiter les problèmes de Géo-
métrie par la méthode d'Euclide et d'Apollonius, car il est à désirer
que l'on ne voie pas se perdre peu à peu, dans les constructions et les
démonstrations, cette élégance à laquelle visaient surtout les anciens,
comme le prouvent assez les Données d'Euclide et les autres livres
d'Analyse énumérés par Pappus, livres dont j'ai jadis complété la res-
titution en ajoutant aux travaux de Viète, de Ghetaldi et de Snellius
mes Traités des lieux plans, des lieux solides et de ligne, des lieux en
surface et des porismes. Traités que M. de (]arcavi a également tous
entre les mains.

N" 106.

(Lettre de Fermât à Carcavi, juin 1660.)

1. En supposant la quadrature de l'hyperbole, on peut obtenir un
cercle de surface équivalente à la surface courbe engendrée par la
rotation d'une parabole autour d'une ordonnée.

Soit donnée la parabole AD {fig. gS) ayant AE pour axe, DE pour
ordonnée ou demi-base, ABC pour côté droit. On demande de cou-

320 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [44G. U']

slniiio un cercle dont la surface soit équivalente à celle de la surface
courbe du solide engendré par la rotation de la figure ADE autour de
l'ordonnée DE.

Prenez en B la moitié du côté droit AC, prolongez l'axe AE d'une
droite EF égale à AB ou à la moitié du côté droit, et joignez DF. Con-
struisez à j)art {fig- 96) une droite IQ égale à l'axe AE et prenez-en
le (lonl)le IR. Faites FE ou AB : DF : : QI : QH, et par le point H

Fig. 96.

e-

inenez HG perpendiculaire à HIR et égale à DE. Décrivez une hyper-
bole IG ayant I pour sommet, IR pour axe transverse, Q pour centre et
passant par le point G. Décrivez également à part une autre hyper-
bole ayant pour axe transverse MN égale au ([uart du côté droit de la

[lis]

TRADUCTION DES PIECES LATINES.

321

parabok' (c'ost-à-dire que MN = {AC), pour centre V, et pour côté
droit OVP égale à l'axe transverse. Soient MK cette hyperbole, M son
sommet, ML son axe qu'on prolongera jusqu'à ce qu'il soit égal à l'axe
AE de la parabole, enfin LK la perpendiculaire ou ordonnée en L.
Construisez un carré égal à l'excès du rectangle QH x HG sur la
somme des deux aires hyperboliques IGH, MKL, dont on suppose la
quadrature. La diagonale de ce carré sera le rayon du cercle équiva-
lent à la surface courbe dont nous cherchons la mesure.

2. Soit la cycloïde primaire ANIF {/îg- 97) d'axe AD, de demi-
base DF. Construisez ii l'intérieur ou à l'extérieur d'autres courbes
telles que leurs ordonnées soient dans un rapport constant avec celle
de la cvcloïde.

Par exemple, GFD, HIC, MNB étant des ordonnées de la courbe
extérieure AWHG, je suppose que le rapport GD : DF est donné et que
l'on a GD ; DP : : HC : CI : : MB : BN. De même pour la courbe inté-
rieure AROE, je suppose donné le rapport FD : DE avec l'égalité des
rapports FD : DE : : IC : CO : : NB : RB.

Je dis ((ue les arcs des courbes extérieures, comme AMHG, sont tou-
jours égaux à la somme d'une droite et d'un arc de cercle; que les
arcs des courbes intérieures, comme AROE, sont toujours égaux à
des arcs de paraboles primaires ou d'Archimède.

Je vous communiquerai, dès que vous le désirerez, l'énoncé du
théorème général et sa démonstration. .

ItUMAT. — ni.

4i

TRADUCTION

DE

L'INVENTUM NOVUM

Di Vi-.\\\: Jacques ih; BILL Y.

NOUVELLES DECOUVERTES

DANS

LA SCIENCE DE L'ANALYSE,

RECUEILLIES PAR LE RÉVÉREND PÈRE JACQUES DE BILLY,

PRÊTRE DE LA SOCIÉTÉ DE JÉSUS,

DANS LES DIVERSES LETTRES QUI LUI ONT ÉTÉ ENVOYÉES, A DIFFÉRENTES ÉPOQUES,

PAR MONSIEUR PIF.RRE DE FERMAT,

CONSEILLER AU PARLEMENT DE TOULOUSE.

Savant lecteur.

Il suint qu'en tête de cet Ouvrage apparaisse le nom de Fermai,
pour que vous attendiez quelque chose de grand; un tel homme n'a
rien pu imaginer qui soit petit, rien même qui soit médiocre; son
esprit était illuminé de tant de clartés qu'il ne souffrait rien d'obscur;
vous eussiez dit un soleil qui en un instant dissipe les ténèbres, et
dont les rayons innombrables portent une éclatante lumière au sein
même des abîmes. Jusqu'à présent Diophante a provoqué, et cela ii
juste titre, une admiration universelle; mais, pour grand qu'il soit, ce
n'est qu'un pygmée par rapport à notre géant, qui a accompli le tour
immense du monde mathématique et parcouru de nouvelles régions
inconnues à tout autre; Viète a été célébré par tous ceux qui, pendant
notre siècle, se sont occupés des opérations algébriques, et pour la
renommée de quelqu'un il sulïït qu'on puisse dire de lui que, dans
l'Analyse, il a pénétré la pensée de cet auteur; Viète cependant n'a
pas atteint le sommet de la Science, comme le montreront les nom-
breux exemples développés ci-après; si Claude-Gaspar Bachet n'avail
pas été pour moi un intime ami, je n'en aurais pas moins une con-

3-26 ŒUVRES DE FERMAT.

è

stante admiration pour la singulière subtilité de son analyse; ses tra-
vaux sur Diophantc montrent assez clairement jusqu'à quel point sa
vue était pénétrante dans les questions numériques; cependant elle
est encore faible si on la compare ii celle de notre Linceo, qui lui dé-
voile ce qu'il y a de plus abstrus.

Mais pour ne pas recommander par son nom seul ce petit Traité, je
veux dès maintenant dire en quelques mots quelles récentes décou-
vertes lui sont dues et quelle en est la portée. En premier lieu, il y a
certaines équations doubles difficiles pour lesquelles les analystes
n'ont pu jusqu'à présent trouver qu'une solution unique; Bacbet lui-
même affirme qu'on ne peut en trouver deux, tandis que Fermât va en
donner tout à l'heure une infinité, sans être arrêté par les' nombres
faux et plus petits que zéro qui se présentent souvent dans les calculs
de ce genre; il les soumettra en effet à un subtil traitement qui les
réduit immédiatement à des nombres vrais. En second lieu, personne,
que je sache, n'a encore résolu d'équation triple, à moins de l'avoir
d'avance formée artificiellement et combinée de telle sorte que la solu-
tion en apparaisse immédiatement, même aux yeux des novices; Fer-
mat a trouvé une méthode singulière pour résoudre les équations arbi-
trairement proposées de ce genre, en exceptant un seul cas que nous
indiquerons ci-après. En troisième lieu, qui jamais a donné autant de
solutions que l'on veut pour les expressions composées de cinq termes
de degrés successifs? Qui, des racines primitives, a su en tirer de déri-
vées du premier ordre, du second, du troisième, et ainsi de suite
indéfiniment? Personne sans doute; à Fermât seul appartient cette
découverte. Il n'a pas puisé ces inventions dans les ouvrages d'autrui.
comme ont coutume de le faire certains arrangeurs, il les a tirées do
son propre fonds, élaborées lui seul; et puisqu'il m'a fait l'amitié de
me les communiquer dans ses lettres, je crois devoir les livrer à l'im-
pression, en commençant par reproduire textuellement, pour ne dé-
vier en rien de sa pensée, un abrégé de toute sa méthode, auquel il a
donné pour titre : Appendice à la Dissciiation de Claudc-Gaspar Baclici
sur les doubles équations de Diophante. Voici ses propres paroles :

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 327

« Le subtil et savant analyste Bachet a distingué assez heureuse-
ment, à propos de la question VI, 24 de Diophante, les divers modes
et cas de l'équation double; cependant il n'a pas moissonné tout le
champ ouvert devant lui; en effet, rien n'empêche de donner des solu-
tions en nombre indéfini pour les problèmes auxquels il n'en trouve
(ju'une ou deux tout au plus. Bien plus, il est aisé d'accomplir ce pro-
grès et d'obtenir ce résultat par une opération facile.

» Soit proposé le sixième mode qu'il détaille assez prolixemonl
pages 4^9 et 44" ; tous les cas qu'il a énumérés ('), grâce au pro-
cédé que je vais indiquer, sont susceptibles d'une infinité de solu-
tions qui dérivent successivement de la première, si l'on réitère indé-
finiment la même analyse.

» Voici ce procédé : Cherchez la solution de la question proposée,
selon la méthode ordinaire, c'est-à-dire celle de Bachet ou de Dio-
phante; ayant ainsi obtenu une valeur numérique de l'inconnue, re-
commencez l'analyse, en prenant, pour valeur de la nouvelle inconnue,
X plus le nombre trouvé précédemment comme solution. Le problème
se trouvera ainsi ramené à une nouvelle équation double dans laquelle
les termes indépendants de x se trouveront carrés, en vertu de l'emploi
de la première solution; par suite la différence entre les deux expres-
sions se trouvera composée seulement de termes en x'- et en x, c'est-
à-dire de degrés consécutifs; cette nouvelle équation double pourra
donc se résoudre d'après la méthode de Diophante ou de Bachet. La
seconde solution ainsi obtenue permettra, par le même artifice, d'en
calculer une troisième, celle-ci une quatrième, et ainsi de suite indé-
finiment.

» Cette remarque, qui a échappé à Diophante, à Bachet et même ;i
Viète, comble la plus grave lacune que présente actuellement l'ana-
lyse de ces questions. Mais le principal intérêt de ma découverte res-

(' ) Le sixième mode de Bachet correspond à l'ensemble des différents cas pour lesquei!;
il obtient une solution de l'équation double sous sa forme générale :

□ , n'j:-4- //.r + c'= □ .

.828 ŒUVRES DE FERMAT.

sort surtout dans les problèmes, pour lesquels la première analyse
donne, comme valeur de l'inconnue, un nombre affecté du signe —,
('( qu'il faut par suite regarder comme plus petit que zéro. Ma méthode
s'applique en effet dans ce cas, non seulement aux problèmes qui se
traitent par des équations doubles, mais à tous en général, comme on
peut le reconnaître à l'essai.

» Voici la façon d'opérer : Cherchez, suivant le procédé ordinaire,
(i'OiA- page 271, lignes 6 à 16) une solution en nombres vrais. « Ici
s'arrête cet Appendice de Fermât.

Voici maintenant la matière de mon petit Traité; il est divisé en
trois Parties : la première concerne les solutions en nombre indéfini
des doubles équations, solutions qui peuvent d'ailleurs se présenter,
soit avec le signe +, soit avec le signe — ; la seconde Partie s'élève
aux triples équations et révélera des secrets dont jusqu'à présent on
n'a rien soupçonné; la troisième enfin aborde le problème de rendre
égale à un carré une expression formée de cinq ou quatre termes, et ,
donne le moyen d'obtenir des racines en nombre indéfini, qui déri-
vent successivement des primitives.

PREMIÈRE PARTIE.

DES SOLUTIONS EN NOMBllE INDÉEIM D.VNS LES DOUBLES ÉQUATIONS.

1. Il convient tout d'abord de rappeler brièvement la méthode ordi-
naire pour traiter une double équation. Voici en quoi consiste cette
méthode : On prend la différence des deux expressions qui doivent
séparément être égalées à un carré; on choisit deux facteurs dont le
produit forme cette différence, puis on égale soit à la plus grande
expression le carré de la demi-somme des facteurs, soit ;i la plus petite
expression le carré de la demi-différence des facteurs; on obtient ainsi
la valeur de la racine qui, substituée à l'inconnue dans chacune des
deux expressions, donnera des nombres carrés. Je vais donner des

TRADUCTION DE LIN'VENTUM NOVUM. 329

exemples pour (rois cas seulement, les aulres pouvant être aisément
ramenés à ceux-là.

a

2. Premier cas : Les expressions à égaler à un carré sont composées
seulement d'un terme en x et d'un terme indépendant, comme les
deux suivantes :

La différence de ces deux expressions est 7 = 7x1; la somme des
deux facteurs est 8, et le carré de la demi-somme est 16. J'égale donc
iG = 2a;-!- 12, d'où 2pour la valeur de cC dan s chaque expression. Autre-
ment la différence des mêmes facteurs est G, le carré de la demi-diffé-
rence est 9, que j'égale à la plus petite expression, aa; ^- j; d'où la
même valeur x = 2.

Les deux expressions donnent nécessairement, par substitution, les
carrés 16 et 9.

3. Second cas : Les expressions sont composées de termes en x",
en .r, et indépendants; de plus les coellicients de x^ sont carrés. Par
exemple :

La différence est iG.r h- iG = \ x {-ix + /j); la somme des facteurs :
ix -i- 8, le carré de la demi-somme : ^x^ -+- iGo; -+- iG. En égalant à la
première expression, on aura x = 2.

Remarquez que dans ce cas, parmi les couples, en nombre indéfini,
des fadeurs dont le produit donne la différence ci-dessus, il faut
choisir celui où le coefficient de x est double de la racine carrée du
coefficient de ,r- dans chacune des deux expressions (on le suppose
le même dans l'une et dans l'autre); c'est ainsi que nous avons pris
\x, pour que le carré de sa moitié fasse 4-^^-

Les deux expressions donnent, après substitution, les carrés 64
et iG.

4. Troisième cas, celui qu'il importe surtout dé remarquer, car c'est
KiiKMAT. — m. 42

330 ŒUVRES DE FERMAT.

celui qui nous servira le plus souvent : Dans chacune des deux expres-
sions, le lerme indépendant de j; est un carré; ce peut d'ailleurs être
le même carré, ou bien il peut différer de l'une à l'autre, comme'si
l'on a, par exemple,

a:"- — 8^ + 16= a, 3x-— 48x + 64 = ^•
.Mais alors on divisera le plus grand carré par le moindre, 6^ par iG,
et l'on multipliera la plus petite expression par le quotient 4; on aura
ainsi deux expressions, dans lesquelles les termes connus seront des
carrés égaux :

4x^ — 32,r + 64 = n, 3x=— 48x-t-64=n.

Leur différence x^+ iGa? = x(^x -H iG). Remarquez que je prends iG
comme terme connu du second facteur, parce que c'est le double de 8
qui est la racine du carré commun aux deux expressions. La somme
des deux facteurs est 2a;-t-iG; le carré de leur demi-somme est
X- -\-i<ox -^^\; je l'égale ii [\x- — "iix -\- (j^; et j'obtiens a; = iG.
D'où, en substituant dans les expressions proposées, les carrés i44
et G4.

Règle générale pour obtenir en nombre indéfini des solutions
de doubles équations.

5. Prenez la valeur de la racine obtenue par la méthode ordinaire,
et joignez-la \ix, en lui maintenant son signe, soit +, soit — ; substi-
tuez hiX cette nouvelle expression de la racine dans les termes de la
louble équation donnée; vous aurez de nouvelles expressions à égaler
à un carré; cherchez alors la valeur de x par la méthode ordinaire,
suivant le troisième cas que je viens de donner et sur lequel j'ai
appelé l'attention; cette nouvelle valeur, qui rend carrées les nou-
velles expressions formées, devra maintenant être jointe à la première
valeur obtenue, en tenant compte des signes -1- ou — ; on obtiendra

II

I

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 331

ainsi une seconde valeur de x rendant carrées les expressions primiti-
vement proposées.

6. Soit par exemple la double équation (')

!^x -^ i^z[2, x- — 2.r-i-i=zO.

En dehors de la solution immédiate a; = 2, on trouvera encore, par la

3 . .

méthode ordinaire, j: = 7- Je vais me servir de ces deux valeurs pour

4

en tirer de nouvelles solutions; je prendrai, en premier lieu, suivant
la règle, comme nouvelle représentation de l'inconnue, x -\- 2. Sub-
stituant à X dans la première expression égalée à un carré, c'esl-
à-dire ^x -+- 1, j'ai 4^^ + 9 (si en effet x devient x -+- 2, ^x deviendra
\x-\-8 et en ajoutant i, terme connu de l'expression, il vient
'\x-h()). De même, substituant x -h 1 a x dans la seconde expres-
sion; x^ — 2x +■ 1 , on aura à égaler à un carré la nouvelle expression
.r^+2j; + 9 (-). Si l'on en retranche la précédente, c'est-à-diro
\x -+- 9, et qu'on achève l'application à cette double équation de la

règle ordinaire, on obtiendra x=-^; en y ajoutant 2 (puisque la

nouvelle représenlation de l'inconnue est x -+- 1), on aura y- comme
nouvelle valeur de l'inconnue pour le système proposé.

3

7. Je veux maintenant, de l'autre valeur 71 en déduire une nou-

4

3
velle; je prends pour inconnue x -\- j, et je substitue cette représen-

4

tation à x dans les expressions 4>^ -t- ' et x'^ — ix -^ ^ ; il vient

4^ + 4 et x- ^ H — -r- Les termes indépendants de x étant carrés

2 it> ^

( ' ) Billy prend absurdemenl pour seconde expression : x^ — a.r + i, qui est identique-
ment un carré.
(2) Erreur de calcul, le résultai de la substitution étant .r^-t-ax + i. Néanmoins la

35
valeur — satisfait à la double équation, par suite de la circonstance signalée dans la note

précédente.

332 ŒUVRES DE FERMAT,

de part et d'autre, la double équation pourra être résolue comme il a
été dit n"4 pour le troisième cas; on trouvera x = ~-, et en ajoutant
7 (puisqu'on a pris x -\- y pour représenter l'inconnue ), on obtiendra

— r^ comme nouvelle valeur de l'inconnue dans le système proposé.

8. Nous avons ainsi des secondes valeurs dérivées des premières;
de CCS secondes on peut en tirer des troisièmes en employant exacte-
ment le même procédé. Ainsi, soit à dériver une troisième valeur de

35 ., .
la seconde —; j'ajoute celle-ci à x, de façon à représenter l'inconnue

o r

par a--i-— , que je substitue à x dans les expressions l\x^i et
X- — IX -\- \, ainsi que j'ai déjà expliqué; j'obtiens ainsi

4^ -+-36 et x-H x+—^,

2 ib

expressions où les ternies indépendants de x sont carrés; j'en déduis

82450078808 ., . , 35 1, , I . . ,,.

■^ ~ ~~ /c: Q % — ; ,1 fijoi'te — ) d après la position pour 1 inconnue,

, ., . ,, . 31S6240667 , . I ,-. • j I

et I ai, pour celle-ci, H , , - , ' > valeur qui, substituée dans les

•■ ' 2012440476 '

expressions proposées, donnera des nombres carrés (').

9. On voit ainsi qu'on peut trouver un nombre indéfini de solu-
tions; les premières en procurent en effet du second ordre, celles
du second ordre en procurent du troisième et ainsi de suite indéfini-
ment. Dans l'exemple donné, nous avons de la sorte obtenu cinq solu-
tions différentes, et des dernières on peut de même en tirer de nou-
velles; par conséquent, toute double équation a un nombre indéfini
de solutions, c. q. v. d.

(') Billy aurait dû supprimer les facteurs communs: il aurait trouvé ainsi pour l'in-

1 ■ 35 9i5r?. 808(17 „ ,. , . ,, ,. .,

connue la valeur : ■ ^ = ■: : ■ Les divers exemples ne peuvent être atlnuuos

4 ''■»7''9 3107(1

à Fermât.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 33:5

// ne faut pas se décourager, si V on rencontre comme solution
des nombres faux ou plus petits que zéro.

10. Il arrive assez souvent que les calculs conduisent à des nombres
faux; dès lors, faute d'expérience, on perd aussitôt courage et on se
tigurc être tombé sur un cas d'impossibilité. J'affirme, au contraire,
avec notre Fermât, que même alors on peut déduire une solution du
résultat obtenu.

11. Soit, par exemple, proposée la double équation

— 2X4-1 = n, 2.r-— 4.r -h I = □.

La méthode ordinaire conduit à la valeur x = — /j, qui, substituée
dans les expressions, donne effectivement les carrés positifs 9 et f\().
Cette solution est, je l'avoue, un faux nombre; cependant elle peut
servir à trouver des nombres vrais. Prenez x — 4 comme nouvelle
position de l'inconnue, et substituez dans les expressions proposées;
elles deviendront — 2a? + 9 et ix- — 20a; + 49 (en effet puisque ix
donne ix — 8, si l'on retranche ce binôme de i, comme l'exige le
signe —, il viendra pour la première expression transformée 9 — ix\
de même ix'- devient 2j;- — iGj? -1- Sa; [\x donne 4-^ — 16, qu'on
doit retrancher de 2 j-- — i6j- -f- Sa après avoir ajouté i à ce tri-
nôme, sehuî la composition de l'expression primitive; on a ainsi
2J:-- — 20j; + 49). Dans les expressions transformées, les termes
indépendants de x sont carrés; la méthode de Diophante permet
donc de trouver une valeur de x; j'en retrancherai 4> puisque j'ai
pris X — ^\ pour représenter l'inconnue; j'aurai ainsi une solution

5 — r ~"^, pour le svstème proposé. Ainsi le faux nombre a permis d'en
39150049 t^ •! r i r

trouver un vrai qui satisfait au problème, comme on peut le vérifier.

12. Soit encore proposée la double équation

334 ŒUVRES DE FERMAT.

On trouvera facilement les solutions — 2 et — ~; mais, comme ce

7

sont de faux nombres, je prends x — n comme nouvelle position de
l'inconnue; je substitue à x dans les expressions proposées et j'ai les
transformées

pour lesquelles la méthode de Bachet donne la valeur x = ~; j'en

24,

7
retranche 2 (puisque j'ai posé x — 'i pour l'inconnue) et j'ai, pour le

svstème proposé, la nouvelle solution, h Un faux nombre en a

7

donc procuré un vrai satisfaisant à la double équation. Il on est de
même pour tout autre faux nombre, et l'on peut même obtenir par
l'intermédiaire d'un faux nombre une infinité de solutions, au moyen
de dérivations successives.

13. Je prendrai pour troisième exemple la double équation

2a?^+ 2jr 4- I z= □, 2,z---t- 6x H- 1 = D-

La méthode ordinaire donne la solution — .\\ il faut donc recom-
mencer l'opération, après avoir substitué x — f\ '& x ei avoir ainsi
obtenu les expressions transformées

ix^ — i4x + 25 et 2.x- — lox-t-g.

Comme les termes indépendants de x sont carrés de part et d'autre,
la méthode de Diophante fournit une valeur de x pour ces dernières
expressions; j'en retranche 4» d'après la position prise pour l'in-
connue, et j'ai ainsi pour le système proposé la solution vraie et

réelle h — J^.^ °'^- Il ne faut donc pas se décourager s'il arrive que

98831999 1 »

l'on rencontr§ de faux nombres; les exemples qui précèdent montrent
comment on peut en tirer des nombres vrais.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 335

Pour ce procédé de résolution des doubles équations, il faut que la diffé-
rence des expressions égalées à des carrés soil formée d'un terme en x'-
et d'un terme en x.

14. Il arrive souvent que, dans les doubles équations à résoudre, la
différence des expressions soit constituée seulement par un terme
en X. Si, par exemple, on a

X- — X -h i z= '^2, ,r-— 3a; -f I — n;

en retranchant la seconde expression de la première on a, pour dif-
férence, IX. Il peut arriver aussi que la différence soit formée d'un
terme en x ei d'un terme connu; si l'on a, par exemple,

gx-— 21X -h i5 = n> gj;- — 48-p -+- 24 = n,

suivant que l'on supposera que la première expression soil l;i [)liis
grande ou la plus petite (ce qui est assez souvent indifférent) la dif-
férence sera i-jx — 9 ou -^ 27a; -t- 9. Mais, pour appliquer la méthode
de Fermât, il faut avoir soin que la différence des expressions soil
formée d'un terme en x- et d'un terme en x, autrement le calcul
n'aboutirait nullement à fournir une nouvelle solution; pour que
d'ailleurs la différence soit constituée d'un terme en x- et d'un terme
en X, il faut ramener à l'égalité les termes connus, qui sont carrés,
en procédant comme je l'ai montré plus haut (n° 4).

15. Soit proposée, par exemple, la double équation

.r^-l- j;+- 2 = □, X-+ 3.r H- 3 =□.

La méthode ordinaire donne a? = — 2; il faut donc, d'après le procédé
de Fermât, substituer x ~ i'vlx, ce qui donnera pour les expressions
transformées : x- — 3j; -i- \ et .r- — j? + i. Si l'on prend la différence
20; — 3 ou 3 — -ix (suivant que l'on suppose que la première expres-
sion est la plus petite ou la plus grande) et si l'on décompose cette
différence en facteurs, de quelque façon que l'on s'y prenne, l'on

336 ŒUVRES DE FERMAT.

n'avancera en rien. Pour parvenir au but désiré, il est nécessaire de
ramener les deux expressions à avoir le même carré pour terme connu ;
pour cela, on divis(>ra.le plus grand carré par le moindre et on multi-
pliera parle quotient l'expression où figure le moindre carré. Ainsi,
dans l'exemple proposé, divisez 4 pai" i» multipliez par le quotient '(
l'expression r- — .z- -i- i;'vous aurez les deux expressions disposées
pour être traitées par notre procédé : /i-r^ — \.t -+- \ et .r- — 3j:- + \.

16. Soit encore proposée la double équation

a-'-_8,r-t-i6 = n, 3x^-4-48.r + 64 = n.

La méthode ordinaire (') donne la valeura-= iG. 11 faut donc sub-
stituer a- -)- iG à j; dans les deux expressions qui, ainsi transformées,
deviennent

j.'^-f- 24j^ -H 256 =: n . ■3j"--i- i^^'^? H- '6oo ^ n •

On ne peut pas prendre pour difTérence -ix- + iiox -{-i'5!\'\, puis-
qu'il serait impossible d'arriver ainsi à la solution. Que faut-il donc

faire? Ce que nous avons déjà indiqué et répété : divisez iGoo par 2jG

■>5 ,
et multipliez par le quotient -. l'expression x'- + i[\x -}- 2 jG; le pro-

•>5 V . ,

duit ^x'- ->r i.joa- + iGoo avec l'autre expression ?ix'- -1- i-\'\x -+- iGon

donne un système dont la différence sera formée de termes en x-
et x; il sera donc possible d'obtenir une nouvelle solution.

Ce procédé est applicable à la solution non seulement de la double
équation, mais aussi d'autres équations quelconques.

n. C'est un champ très fertile que celui que nous avons commencé
à cultiver; car la méthode de Fermât peut fournir une infinité de

^ (') Billy s'est encore trompé ici, probablement en prenant la solution du n° i pour un
système où la valeur absolue clos coelTieients est la môme. Cette solution satisfait ici acci-
dcntellomont ; mais, en opérant la substitution dans la première expression (laquelle au
reste est identiquement un carré), Billy a do plus commis une erreur de calcul, puisqu'il
aurait dû trouver : x"-\- 'i^x + 144.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 337

solutions non seulement pour les doubles équations, mais encore
pour les autres. Soit par exemple proposé de trouver un nombre dont
le produit par 12, retranché de la somme de 8 fois son carré et de 8,
fasse un cube. Soit x ce nombre; il faut que ^x- — 1237 + 8 fasse un
cube. Prenons 1 — x pour racine de ce cube ; on aura

8 — i2x + 6x- — a;'^8j;^ — i2j? + 8,' d'où a? = — 2,

faux nombre qui satisfait à la question. Pour en avoir un vrai, substi-
tuons X ~ i\x dans l'expression proposée 8a;- — 12a; -1- 8 ; la trans-
formée sera 8^;^— 44^ -t- 64 à égaler à un cube. On prendra pour

racine de ce cube 4 — —^(4 étant la racine cubique de 64, terme

connu de la transformée, — x est le quotient obtenu en divisant l\[\x,

terme en a; de la transformée, par 3 fois le carré de la racine cubique 4,

c'est-à-dire par 48). En formant le cube du binôme ci-dessus, j'ai

jo, i33i
64 — 44^ + —-^' ôic' à égalera la transformée 8a;-— 44a; + 64,

12 IT2o ^

d'où je tire x = 2 -^|j-- Si je retranche 2, puisque j'ai pris a; — 2 pour

représenter l'inconnue, j'aurai pour celle-ci la valeur ^^ • C'est le

nombre cherché; si l'on forme son produit par 12 et si on le retranche

de la somme de 8 fois son carré et de 8, on obtient le cube ^^^■°"*>

1771301

dont la racine est

121

18. Supposons encore qu'on demande un triangle rectangle dont
l'aire, ajoutée à l'hypoténuse, fasse un carré. Je forme ce triangle
des nombres a; + i et a;; les cotés seront 2a;- + 2;r + i, 2a" + 1,
2a"- + IX. J'ajoute l'aire 2a;'' + 3a;- + a; à l'hypoténuse 2.r^ + 2.r + 1 ;
j'ai 2a;' + ^x"^ + 3aT + I à égaler à un carré. En prenant pour racine

de ce carré i + -a;, j'obtiens a; = — -7 •
2 •• 8

Substituons donc a; — -g- à a; dans l'expression à égaler à un carré;

Kebuut. — m. 43

338 ŒUVRES DE FERMAT.

nous arriverons, pour la valeur de l'inconnue dans les premières posi-

.. , 2673

19. De même, si l'on demande un triangle rectangle dont l'aire,
ajoutée à l'un des côtés de l'angle droit, fasse un carré, vous formerez
ce triangle comme il a été dit sous le numéro précédent; vous ajou-
terez l'aire 2.x^ -\- 3x'- -h ce au côté 2.x -h i . On trouvera .r = — ^^

o

3
Substituez donc x — -^k x dans l'expression à égaler à un carré. La

transformée sera

3 „ 5 1 4q • / 7 5 (

4 32 25b \i6 28

et la valeur de l'inconnue primitive ^-^, d'où le triangle cherché

'^ io68 °

10988674 6927424 853oo5o
2458624 ' 2458624' 2458624"

Nouvelle mèlhode pour la solution des doubles équations.

20. Soit proposée la double équation

7.ôa:-+ liX — 6 t= n , 9x^-1- 20X — 6 =: □ .

La méthode ordinaire consiste à ramener à l'égalité, par le procédé
indiqué au n" 4, les coefficients de x^. Toutefois cela n'est pas néces-
saire; on peut prendre immédiatement la différence 16a;- — 16a:, puis
la décomposer en deux facteurs tels que la somme des termes en ,i-
soit loj; (double de la racine de 25^;-). Ces facteurs seront 'èx ol
2a; — 2; en égalant à la première expression 25a;- + 4a; — 6, que
nous avons supposée la plus grande, le carré de la demi-somme de ces

facteurs, on trouvera ic = -•

2

21. Supposons maintenant la double équation

121 , I2IO ^ o ,. „

x^ a7-(-j2i = n, X*— 2ba; -4- i2i ^ n.

9 y

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 339

Les termes connus sont des carrés égaux; la différence, — œ- — '-^x.

oit d'après la méthode ordinaire, être décomposée en deux facteurs

88
99

'^ X et -^ X — 11, ce qui fournit une solution. Fermai prend les fac

. 8jC . l4 122 1^1 .22 122 , 11

leurs -ô- et Y^ ï-' dont la somme est y a; tt-- Le carre de la

moitié de cette somme étant éa;alé à —x"^ ^~x + 121, on obtient

_ 658

° 9 9

22. Soit encore à résoudre la double équation

i69x^+ 5746X H- 169 nr □ , j;-+ 10a; + 169 = D •

On peut en obtenir trois solutions; la première en prenant la diffé-
rence des deux expressions, qui est 168a;- + 573637, et en la décom-
posant en deux facteurs dont le binôme aura pour terme connu 26,
c'est-îi-dire le double delà racine de 169; c'est là la méthode ordi-
naire. En second lieu, on peut ramener à l'égalité les coefficients
carrés de x"^, en multipliant par 1G9 les trois termes de la seconde
expression, comme je l'ai expliqué au n° 4. En troisième lieu, on

peut prendre comme facteurs \[\x et \ix A > dont la somme,

comme terme en >r. aura l'ox, c'est-à-dire le, double de la racine de

i6nx^ C'est là la méthode de Fermât qui donne la valeur a; = ^^""."^ •
'' ^ 2o56o

23. On pourra dire que cette méthode est ingénieuse, mais inutile,
en tant qu'elle procède seulement avec des facteurs trouvés par arti-
fice et combinés de telle façon que leur produit donne la différence
des expressions à égaler à des carrés et que dans leur somme figure
un terme double de la racine du terme en x- de la plus grande des
deux expressions. Mais on ne peut faire cette objection que si l'on
ignore que c'est cette méthode qui a fourni la solution d'un très beau
et très difficile problème, lequel a fait le tourment de tous les ana-
lystes et qui serait demeuré sans réponse, si par son procédé Fermât

310 ŒUVRES DE FERMAT.

ne fut arrivé à délier le nœud gordien. Celui qui accuserait cette mé-
thode d'inutilité peut au reste voir la solution de divers problèmes
donnés ci-dessous n°* 45, 47, 48, 50. Il est d'ailleurs facile de recon-
naître comment on doit former les facteurs en question; il suffît en
oITet de prendre le double de la racine du coefficient de x- dans la
plus grande des deux expressions, et de partager ce double en deux
nombres dont le produit fasse la ditrércnce des coefficients de x'-.
Ainsi dans le premier exemple on prend lo; on le partage en deux
nombres dont le produit est i6. On trouve ainsi Set 2; de même pour
les autres cas.

Après que l'Analyse a trouvé les solutions primitives, on en obtient
de nouvelles en réitérant l'opération.

24. 11 arrive assez souvent que dans un problème le calcul conduise
à de faux nombres; j'ai déjà montré ci-dessus comment l'artifice ana-
lytique de Fermât remédie îi cet inconvénient, mais je vais donner
aussi un moyen singulier dont les résultats sont innombrables : ce
moyen c'est l'opération réitérée; toutefois, pour qu'elle aboutisse, il
faut emprunter à Tx^nalyse les nombres primitifs à prendre dans la
seconde opération.

25. Soit, par exemple, à chercher un triangle rectangle dont l'hy-
poténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle
droit. Je forme ce triangle des nombres simples x + i dix; les trois
côtés seront dès lors : ix- -1- 2a? h- i, 2a; + i, ix- -\- ix. Il faut égaler
à des carrés, d'une part l'hypoténuse 237-+ 20^+1; de l'autre, la
somme des côtés de l'angle droit : ix'^ + [\x-\-\. La méthode ordi-
naire donne la valeur a; = -■ Les deux nombres générateurs du

triansle seront donc et -, ou, si l'on prend les numérateurs

seulement, pour avoir des entiers, — 5 et — 12, d'où le triangle :
169. 1 19.120. J'infère de là que, pour résoudre le problème, il fallait
d'abord trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse fût un carré.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 341

en même temps que la différence des cotés de l'angle droit. Cette con-
clusion résulte forcément de l'analyse qui précède et ce triangle est :
1G9.1 19.120, formé de — 5 et —12 ou de +5 et -1-12. Je réitère
donc l'opération et je forme le triangle cherché des nombres a: + 5
et 12. J'arrive ainsi, grâce à ce triangle primitif, comme on le verra
plus clairement sous le n" 45, à une double équation qui ne donnera
plus de faux nombres, mais bien des nombres vrais.

26. Soit encore à chercher un triangle rectangle tel que le produit
de l'hypoténuse et de la somme de l'un des côtés de l'angle droit et de
la moitié de l'autre fasse un carré, après que de ce produit on aura
retranché l'aire du triangle. Je le forme des nombres simples i et

X -\-\; les cotés seront x- ^ nx -^ 1% x- + ix ; ix -h 2. J'ai donc à
multiplier x- -h 2.x -h 2, par a?- 4- 3 j? -i- i , et à retrancher du produit :
x' -+- rix^ -+- Ç)x'- ■+- Sx + 2, l'aire : x^ -+- 3x'^ -\- 2x. Le reste

est à égaler à un carré; je prends pour ce carré

et j'obtiens x = Si nous nous arrêtions ici, le second côté du

2

triangle, x- -h 2x, serait plus petit que zéro et la solution inaccep-
table. Je réitère donc l'opération en formant le triangle des nombres
X -^ i et 2; les côtés sont dès lors : x^ -ir 2x -{- S ; x'^ -\- 2X — ?>;
l\x + f\; le produit de l'hypoténuse par la somme de l'un des côtés
et de la moitié de l'autre, donne, après retranchement de l'aire,
j?*-f- 4^^' + ôj;' + 20J7 + t que j'égale au carré {1 -\- 10 x — x-)- ;

j'obtiens ainsi un nombre vrai, x=^ —■• D'après les positions, il faut

donc former le triangle des nombres ^ et 2, ou, en prenant des

entiers, 29 et 12. Les côtés du triangle cherché seront 983.697.696.

Nous serions arrivés au même résultat en substituant x 'à x dans

a

3i2 ŒUVRES DE FERMAT.

roquation x^ -+- [\x^ -\- 6j?* + 6a; -t- 2 = a, qui devient par cette sub-

3 5 I / 1 \^

stitiition x'' -\- 2J7'+ -x'^ -^ -x -\ — tt = D, soit ( y -\-Sx — x^\ ; d'où

2 2 10 \ i /

2o I ■ I '7

x= — • En retranchant -> j'ai — pour la valeur de l'inconnue dans
12 2 •' 12 1

les premières positions, d'après lesquelles j'aurai en conséquence à

former le triangle des nombres entiers 29 et 12.

27. Soit entin à chercher un triangle rectangle dont l'hypoténuse
soit un carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit.
Si je prends les nombres j? -1- i et i pour générateurs du triangle, les
côtés seront : x^ + ix + 1; x"^ -\- ix; ix + 1. Retranchez le dernier
IX -\- 7. du moyen x- + ix; j'ai la différence : x- — 1 qui doit être
égalée à un carré, aussi bien que l'hypoténuse x- -\- q.x -\- 1. Cette

double équation me donne x = -— —; par suite, d'après les positions,

5
les nombres générateurs du triangle seront et i, ou, en faisant

disparaître le dénominateur, — 5 et -1-12. On pourrait réitérer l'opé-
ration pour trouver le triangle demandé, mais on remarquera qu'il est
immédiatement fourni par la formation de 5 et 12. On a en effet ainsi
le triangle rectangle 169. 1 19.120 dans lequel l'hypoténuse est un
carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit.

Kachet trouve une impossibilité là où Fermât donne une solution facile.

28. Je dois avouer qu'à la vérité la méthode ordinaire donne une
infinité de solutions pour nombre de questions, quand, par exemple,
dans la double équation, les expressions sont formées de termes en x
ditrérents et d'un même terme connu carré; il est aisé, en effet, dans
ce cas de trouver autant de solutions que l'on veut; c'est pourquoi
Bachet, dans ses remarques sur Diophante, VI, 24, après avoir donné
une solution unique par son second mode de solution des doubles
équations, en fournit une infinité par son quatrième mode. Mais il y a
d'autres doubles équations moins maniables pour lesquelles les mé-

I

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 343

thodes ordinaires ne fournissent qu'une solution ou deux au plus; et
par suite, le célèbre commentateur de Diophante dit, au même endroit,
qu'on ne peut obtenir qu'une solution unique lorsque les expres-
sions sont composées de trois termes et que leur différence n'en com-
porte qu'un seul; ou bien lorsque les expressions sont formées l'une
de trois termes, l'autre de deux seulement, le terme carré étant d'ail-
leurs le même de part et d'autre; ou enfin lorsque les expressions
sont seulement formées de deux ternies, l'une d'un terme en x- et
d'un connu, l'autre d'un terme en x et d'un connu; il ajoute encore
qu'il y a deux solutions lorsque les coefficients de x- et les termes
connus sont des carrés. Tout en respectant ce grand mathématicien, je
puis dire que dans tous les cas qu'il a ainsi énumérés la méthode de
Fermât procure une infinité de solutions; les exemples suivants vont
le faire voir clairement.

29". Soit tout d'abord la double équation

j?-H-3x-<-7=n, x''— 5,r-f-7 = n.

La difTérence des expressions ne comprend qu'un seul terme, Sx; et
l'on trouve x = ?t. Bachet, avec sa méthode, chercherait inutilement
une autre solution. Mais qu'on substitue x-\-3'à x, les expressions
transformées deviennent x- -\- gx -\- 23 et x--\-x-\-i; les fermes
connus étant carrés, on peut toujours résoudre cette double équa-
tion; si l'on rencontre de faux nombres, il n'y a pas à s'en effrayer,
car j'ai déjà donné plus haut le moyen d'en déduire des vrais.

30. Comme second exemple, je prendrai la double équation

OÙ il n'y a que deux termes dans la seconde expression, et que Bachel

5 . 5

a résolue en donnant la valeur unique : x = y Substituez x -h j h x;

14 4

les expressions transformées sont ^x- -+- gx -+- 1 et 4^^ + 2.5x -+- id ;

les termes connus étant carrés, on peut trouver une seconde solution

42o5
qui sera -,t7-
' i344

3W ŒUVRES DE FERMAT.

31. Soit, pour troisième exemple, la double équation

ir2+9 = n, 24x-f-9--=n;

vous trouverez deux solutions, qui sont ~ et — z; on peut en déduire

une intinité d'autres en substituant x -h -:r ou x -\ 1 a x; \c me con-

tente de donner cette indication.

32. Enfin Bachet dit que l'on trouve deux solutions pour les doubles
équations où les coefficients de x- et les termes connus sont des carrés,
comme dans celle-ci :

Les méthodes ordinaires donnent en effet les solutions % et j- Mais si

i 4

l'on en demande davantage, Bachet s'arrête, tandis que notre Fermât
se dégage aisément de la difficulté, et fournit une infinité de valeurs.
J'ajoute que, même dans ce cas, Bachet ne donnera pas toujours deux
solutions; sa méthode n'en fournit, en effet, qu'une seule pour telle
double équation, comme

Bien plus, il arrivera souvent qu'il ne pourra même en donner une
seule comme pour la double équation

4 4

où la valeur sera affectée du signe —..l'ai déjà dit comment la méthode
de Fermât donne toujours une infinité de solutions, même quand on
tombe sur de faux nombres.

33. Diophante, IV, 29, étant arrivé ii l'équation

gx* — 4'^'+6x^ — i2x + iz=D,

Bachet dit qu'elle ne peut être résolue que de deux manières, en choi-
sissant la racine du carré de façon à éliminer avec les termes en .r* et

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3io

les termes connus, soit les termes en x, soit les termes en x'^, de façon
que dans l'équation finale il ne reste soit que des termes en x^ et en x-,
soit que des termes en x- et en x. Il trouve ainsi seulement les valeurs

8 i5

- et -^ pour J7. Fermât en trouve au contraire une infinité, et en pre-

9 i3 » ^

mier lieu il élimine aussi les termes en x'- de façon à laisser subsister
dans l'équation soit seulement les termes en x'' et x^, soit le terme
en X et le connu. D'autre part, Bachet remarque que si l'on prend
pour racine du carré : 3x- -\-&x ~ i, on tombe dans l'inconvénient
d'égaler à zéro i!\x- + [\ox'^ . Cet infconvénient n'arrête pas Fermât.
En troisième lieu, cbaque valeur trouvée est pour lui la source d'une
infinité d'autres, comme je l'ai déjà expliqué.

34. Enfin Bachet, sur Diophante, IV, 28, dit qu'il est impossible
d'égaler à un cube 8x^ — x'^ -\-%x ~ i; il en donne comme raison que
l'on ne pourrait prendre que le cube {ix — i)^ afin d'éliminer le
terme en x'^ et le terme connu; mais, avec tout le respect que je lui
dois, cela est inexact; car tout d'abord on peut prendre le cube

(i;X — I j et trouver ainsi x = ^- En second lieu, rien n'empécbe
de prendre le cube ('ix — i)'', car, si l'on trouve ainsi x = , on

peut faire une substitution en partant de cette solution. Au reste, je
développerai plus longuement ces questions dans ma troisième Partie.

Fermât a dépassé Vie le.

35. Viète a nié trop précipitamment qu'il fût possible de partager
un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes; Fermât (')
enseigne comment ce problème peut être résolu d'après le commentaire
de Bachet sur Diophante, IV, 2 (ce dont pourtant Bachet lui-même ne
s'était pas aperçu). Soit en effet 9, somme des deux cubes 8 et i, à
partager en deux autres cubes. On cherchera d'abord deux cubes ayant

(') J'oir ci-dessus, Observations sur Diopliciiite, 8 Cl 9, pages 24G et suiv.

l'criMAT. — m. 44

3^6 ŒUVRES DE FERMAT.

pour difTérencc 9; à cet effet, on appliquera la règle suivante : Faire
le produit de chacun des deux cubes 8 et i par trois fois la racine de
l'autre; diviser les deux produits par la diflerence des cubes; ajouter
la plus grande racine au plus petit des deux quotients; retrancher
la plus petite racine du plus grand quotient; la somme et la diffé-
rence ainsi obtenues donneront les racines des cubes cherchés. Dans

l'exemple choisi, ces racines seront donc — et — ; les cubes ~-^ et

7 7 ^4^

-T/T-- En second lieu, deux cubes étant donnés, on peut en calculer deux

autres ayant la même différence; voici la règle à cet effet : Faire le pro-
duit de chacun des deux cubes donnés par trois fois la racine de
l'autre; diviser les deux produits par la somme des deux cubes;
retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et la plus
grande racine du plus petit quotient; les restes seront les racines des
cubes cherchés. Mais ceux qu'on a troiivés en dernier lieu ont pour
différence 9; les autres cubes ayant la même différence 9 auront donc

1 88 470 . 36 520 , , . 6605500842626230 ,

pour racines — 5--^ et — 5 — > et ces cubes seront — ^SW^o—^tttt — ^ et
^ 90091 90091 708542037646471

A8 707 io3 808 000 T-i /> •! . • •< '1 . 1

To g/ i-n cr , — tnnn il v a une troisième règle pour trouver deux

738542607646471 •' or

cubes dont la somme soit égale à la différence de deux cubes donnés;

la voici : Faire le produit de chacun des deux cubes donnés par trois

fois la racine de l'autre; diviser ces deux produits par la somme des

deux cubes; retrancher la4)lus petite racine du plus grand quotient et

le plus petit quotient de la plus grande racine; les restes seront les

racines des cubes cherchés. Or nous avons trouvé en dernier lieu

deux cubes ayant 9 pour différence; si l'on cherche, par la règle

ci-dessus, deux cubes dont la somme soit égale à cette différence,

, I • 1 I 1 243 617 733 QQooû4 S36 43i

on trouvera pour leurs racines les nombres -5 — ,. .''. /^ / ^, —

^ 009623030076107297449

, 487 267 171 714 352 336 56o

609623335676137297449

36. Viète a résolu très habilement le problème proposé par Adrien
Homain à tous les mathématiciens de l'univers, mais il ne l'a fait que

TUADUCÏION DE LINVENTUM NOVUM. 3i7

dans le cas où le nombre auquel doit être égalée l'expression proposée
est inférieur à 2; il a d'ailleurs employé les sections angulaires, ce en
quoi il a montré toute la puissance de son génie et ce qui lui a attiré
une renommée immense et universelle. Mais notre Fermât (') a résolu
le même problème dans le cas où le nombre donné est supérieur à 2,
et où alors les sections angulaires ne peuvent être d'aucun secours.
Soit, en effet, à égaler à un nombre donné quelconque l'expression
45a? — 3795^-' + 95G34a;'etc., telle que l'a proposée Adrien Romain;
c'est bien là en effet à quoi revient le problème, ainsi que Viète l'a
reconnu et a corrigé l'énoncé. Soit 6 4- v'*^ le nombre donné, supé-
rieur à 2 par conséquent; Fermât affirme que la valeur protogène de
l'inconnue peut être facilement représentée au moyen de racines uni-
verselles et qu'elle est dans ce cas

V 3 4- v/2 + V 10 + \/']-i -t- yS + v/2 — V'o + v'72-

Si maintenant le nombre donné est 4. Fermât affirme que la valeur

de l'inconnue sera y -i -\- \J^ + y 2 — v/3, et il obtient ainsi des solu-
tions pour tous les nombres supérieurs à 2, quels qu'ils soient, alors
que, même en employant les solutions angulaires, Viète n'en pourrait
donner une seule.

37. Viète, Zetet. V, 9, a traité peu heureusement le problème de
Diophante, VI, 3. Ce problème consiste en effet à trouver un triangle
rectangle tel que la somme de son aire et d'un nombre donné fasse un
carré, tandis que Viète l'a restreint au cas où le nombre donné est
somme de deux carrés.

Fermât a donné une infinité de solutions pour un nombre proposé
quelconque. Soit, par exemple, le nombre 3, un des triangles cher-
, , 2441889 1897825 34

410 160 4'o '"O 4o

(') Foi> ci-dessus pages 164 à 1 08.

3V8 ŒUVRES DE FERMAT.

Fermai dépasse Diophante sur nombre de points.

38. Diophante, V, 8, donne le moyen de trouver trois triangles rec-
tangles dont l'aire soit égale; mais, si l'on en demande davantage, il
peut d'autant moins satisfaire à la question, qu'il n'a jamais indiqué
le procédé pour trouver un triangle rectangle de même aire qu'un
triangle rectangle donné. Fermât résout ces deux problèmes par une
même opération. Soit, par exemple, à trouver un triangle rectangle
dont l'aire soit 6, comme celle du triangle rectangle 3.4-5. Soit 3 un
des côtés d'un certain triangle rectangle; x-\-'\ l'autre côté; la somme
des carrés de ces côtés donne a;- + 8a; 4-20 pour le carré de l'hypoté-
nuse; cette expression doit donc être égalée à un carré. D'autre part,

3
l'aire de ce triangle, -x-\-Çt, doit être 6 fois un certain carré (puisque

l'on demande que l'aire soit 6). Donc le sixième de l'aire ci-dessus
doit faire un carré, et il en doit être de même du produit de ce
sixième par 36. On doit donc égaler à un carré ç)x -+- 36. On a ainsi
une double équation

o-'-l- 8 a; + 25 r= □, gx-t-Sô^D,

où les termes connus sont carrés; on trouvera donc facilement pour r

, , 60 53o 4oo ,, , , 2896804 ,, , -.II- 1

la valeur ^^ — -, — > d ou x + 4 = ,'c ^. — ; 1 autre cote de I anarie

21000409 2 4o5 bol "

droit est 3; la somme des carrés de ces côtés fait un carré dont la

racine sera l'hypoténuse, ,\ t — ; nous avons ainsi le triangle rec-
•'1 2 4o5 6oi °

I 7776485 2896804 o 1 . p • 1 . I Jt . ■

tangle , . ,. rV,^ — 3, dont I aire sera le sextuple d un certain

0 2403 001 2400001 '

, , . 724 201 ,, , . , S5i T^- • .»

carre, a savoir , - ^ — > dont la racine est -^^-- Divisons par cette

2 400 001 IDOI ^

racine chacun des côtés du triangle rectangle que nous venons de

, , . , , 1 , 12 061 828 ? 35 4'!iQ2q43oo4 4 653

trouver, nous aurons le triangle cherche — -, — -r-r-r- ; \.g ,. — 0^^ •

" 2o47ib64t)i 2047166451 Soi

dont l'aire est 6. On remarquera que nous avons trouvé ce triangle en

partant du triangle donné 3.4-5; mais celui que nous avons trouvé

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 319

peut, par le même procédé, nous en fournir un Iroisième, cclui-ei
un quatrième, et ainsi de suite indétiniment. Voici, au reste, quatre
triangles rectangles ayant pour aire H40; le premier étant 58.40.42,
le second 74.24.70, le troisième i i3.i5. 1 12, le quatrième sera

22 606 096 26 896 22 606 080
19034 19024 19024

39. Diophante, VI, 6, tombe sur la double équation

.)"-^+i=a, i4x-M = a.

Elle peut être résolue de deux manières, qu'on suppose d'ailleurs que la
première expression soit la plus grande ou la plus petite des deux. On

trouvera pour x les deux valeurs — et -^; demandez-en une troi-

^ 7 288

sième i\ Diophante, il ne la donnera pas. Fermât peut en fournir une in-
tinité; par exemple, substituons .r H- ^ à .r dans les deux expressions
■r- + i et i4a; -t-i, la transformation donnera les expressions suivantes

, 48 62.5 . , , ^ , \ . . .

X- H — -a>+ -7— et xlix + 4o, dont les termes connus sont carres; on

7 49

peut donc les résoudre par la méthode connue et l'on y trouvera pour

, , 1 22:3 258 01 1 25o â • . 24 I ,• I

x la valeur — 5^75 — -r^-. — -r- Aioutez — > vous aurez pour solution de
■ 3j8 3ib6i4 144 7

, , , , , ,. , 20802660706

la double équation proposée + — j — v-^ — - — 5-
^ ' ^ 2507310299008

40. Diophante, après les problèmes Vi, lô et 17, a omis un troi-
sième cas, la recherche d'un triangle rectangle tel que si l'on
retranche son aire soit de l'hypoténuse, soit de l'un des côtés de
l'angle droit, on ait un carré; problème d'une rare subtilité que Dio-
phante n'a omis, comme je l'ai dit, que parce qu'il est arrivé à de
faux nombres dont il n'a pu se tirer. Fermât en donne une solution
très remarquable; tout d'abord il reconnaît par son analyse qu'il faut
trouver un triangle rectangle tel que le produit de l'hypoténuse par la
somme de l'un des côtés de l'angle droit et de la moitié de l'autre,

:5oO ŒUVRES DE FERMAT.

ildiiiie un carré, après soustraction de l'aire; il trouve ensuite ce
triangle, par le raisonnement etlescalculsquej'ai indiqués plus haut,
n" 26, où j'ai dit que le triangle 983. 697. 69G satisfaisait à la condition
proposée. En troisième lieu, il multiplie les côtés de ce dernier
triangle par l'inconnue, et prend ainsi pour le triangle cherché :
985^7.097^7.696^7, dont l'aire est 242.556^7-. Retranchons-la de l'hy-
poténuse 9830; et du côté 697a;, et égalons à des carrés les restes :
()S^)x — 242 5j6j7^ et 69737 — 242 5j6j7-. Prenons enfin pour ce der-
nier carré celui de 69737, et posons en conséquence

485809-^^=697^ — 242 556a;-;

1)11 aura x = — t^-' et le triansle primitivement cherché sera
io4o ^ '■

980 697 696

1045 1040 1045

Voilà où Diophante n'a jamais pu arriver. Nous donnerons encore plus
loin nombre d'autres exemples de problèmes qu'il a omis, parce qu'il
n'a pu les résoudre.

Douze problèmes sur l' application des mél/iodes indiquées ci-dessus.

41. Les exemples que nous avons déjà donnés constituent autant
de problèmes très dilïiciles, que l'Algèbre ordinaire est impuissante à
résoudre. Ainsi le premier (n" 6) relatif à l'équation double

4x4-1 = n, ,r-— 2.r -t- 1 = n,

pourrait s'énoncer comme suit : Trouver un nombre plus grand que 8,
dont le quadruple ajouté à l'unité, fasse un carré, et dont le carré,

augmenté de l'unité, mais diminué du double du nombre, fasse éga-

35
lement un carré. Le nombre cherché sera -7--

4

Le second exemple (n" li) peut être proposé comme suit : Trouver
lin nombre dont le double, retranché de l'unité, donne un carré, el
dont le quadruple retranché de l'unité ajoutée au double du carré du

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3al

nombre, fasse également un carré. D'où l'équation double

I — 2 X = G . I — 4 -^ -1- 2 .!■-=□ ,

, , 1 , . 5 333 24o
et la solution ^ — = — i--
39 loo 049

Enfin le troisième exemple (n" 12), celui de l'équation double

Sx^-h i6j: + 4 = G > 2j;--(- 4j" + 4 = a ,

peut être proposé comme suit en problème : Trouver un nombre tel
qu'en le multipliant par 16, ajoutant 8 fois son carré et le nombre 4.
on ait un carré, et que d'autre part, son quadruple, augmenté du
double de son carré et en plus du nombre 4, fasse un carré.

La solution sera — •

7

J'omets les autres exemples pour aborder quelques autres questions
plus brillantes.

Trouver indéfiniment deux nombres tels qu'en retranchant leur produit
soit de l'un quelconque des deux, soit de leur somme, soit de leur dif-
férence, on ait toujours un carré.

42. Soient a; et i — j; ces deux nombres, positions qui satisfont aux
deux premières conditions; reste à satisfaire également aux deux der-
nières. Je suppose que x soit le plus petit des deux nombres; si l'on
retranebc leur produit, x — x-, de leur différence i — ix, on a pour
reste : x'- — 'ix -\- i. Si l'on retranche le produit des deux nombres de

leur somme, i, on a d'autre part le reste x- — x-Jr-i. En égalant les

3
deux restes à des carrés, on a par la méthode ordinaire : a; = 5; les

3 5
deux nombres cherchés seront donc k et ô- Je substitue maintenant

o o

X- -I- g à a; dans les expressions des deux restes ci-dessus ; les transfor-
mées seront

4 04 4 04

Comme les termes connus y sont carrés, on peut trouver, pour ces

35-2 ŒUVRES DE FERMAT

, ,. , 12450200600 T^ • , . 3 , ,

Iraiistormees, x = \ — ^^ût' En aioutant 5, on aura la valeur

219798010360 J 8

(If l'inconnue dans les expressions primitives, et on obtiendra ainsi

I j I '^^gST^iOT ,535ii7 7r5 tx 1 ? , . 1

les deux nombres -^~ — ^ et -^7 — '-^ — De la valeur trouvée en der-
784 992 9'2 784992912

nier lieu, on peut d'ailleurs déduire une troisième valeur, de cette

troisième une quatrième, et ainsi de suite indéfiniment.

Voici deux autres nombres satisfaisant à la Question : ,'" ' '.' et

^ 01 8b J

4' 449
5i 865'

Trouver indéfiniment trois nombres tels qu'en retranchant leur produit,
soit de l'un quelconque d'entre eux, soit de l'une quelconque de leurs dif-
férences, soit du produit du moyen par l'un des extrêmes, soit du carré
du moyen, on ait toujours un carré.

43. Posons j?, I, I —a; pour les trois nombres cherchés. Leur pro-
duit, X — x^, laisse un carré si on le retranche, soit du premier, soit
du troisième, soit de l'excès du second sur le premier, soit de l'excès
du second sur le troisième.

Pour satisfaire aux autres conditions, il suffit d'ailleurs que l'on ait

expressions identiques à celles de la question précédente. On trouvera

3
donc a- = ô' et les trois nombres seront 3, 8, 5, en supposant 8 pour

dénominateur commun. De même les trois suivants : io4i(>. Ji 8G5,
4 1 449 (avec 5 1 865 pour dénominateur commun) ; ou encore les trois :
249875 19.7, 784992912, 535 1 17 715 (avec 784992912 pour déno-
minateur commun) satisferont aussi au problème.

On aurait pu le proposer so'us cette forme : Partager 2 d'une infinité
de façons en trois parties, telles qu'en retranchant le produit des trois
de chacune d'elles, de chacune de leurs différences, du produit de la
moyenne par chacune des extrêmes, enfin du carré de la moyenne,
on ait toujours un carré. En effet, pour chaque ternaire des nombres

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 353

ci-dessus, la somme des trois nombres est toujours 2. Remarquez
d'ailleurs que ^lar partie moyenne, je n'entends pas celle qui est plus
petite que la plus grande et plus grande que la plus petite, que je tiens
seulement compte de l'ordre de situation, tel qu'il a été observé ci-
dessus. «

Trouver indéfiniment deux nombres tels que si l'on retranche la différence
de leurs carrés, soit du plus grand, soit du plus petit, soit de leur diffé-
rence, on ait toujours un carré.

44. Soit I — 2a; la somme des deux nombres, ix leur difTérence;

ces nombres seront donc - et -ix, et la différence de leurs carrés

2 2

sera 2,r — [\x^. Qu'on la retranche, soit de la somme, soit de la dillé-

rence, elle laissera toujours un carré. Mais il faut encore qu'il en soit

de même si on la retranche soit de l'un, soit de l'autre des deux

nombres. On aura donc la double équation

liX-—2x + -—n, liX-—\x + -=U,

2 2

et l'on trouvera x = y^- Les deux nombres cherchés seront - et -7-
48 2 24

Pour en trouver une autre paire, on substituera x -\- jô à ^r dans les

deux expressions ci-dessus, et l'on poursuivra l'opération suivant les
règles données plus haut, sans se laisser arrêter par la rencontre de
taux nombres, car j'ai dit corfiment on peut les ramener à de vrais
nombres.

Trouver deux nombres dont la somme fasse un carré et dont la somme
des carrés fasse un bicarré.

45. Ce problème est tout à fait le même que celui que nous avons
énoncé ci-dessus : Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse
soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit; notre

FERMAT. — ni. 4â

354. ŒUVRES DE FERMAT.

Fermât Fa d'ailleurs proposé à nombre de savants mathématiciens
sans qu'il ait été résolu par eux. On partira du triangle primitif
trouvé ci-dessus (n°25), à savoir: 169.119. 120, qui est formé des
nombres 5 et 12. Si l'on forme un nouveau triangle avec les nombres
.r + 5 eài2, il aura pour côtés : j;- + ioj; + 169, o;^ + ioj:; — 119,
24^7 4- 120. Or il faut égaler à des carrés tant l'hypoténuse :
.T--h loa; + 1G9, que la somme des côtés de l'angle droit : 0^^ + 34^ + 1 •
Si l'on multiplie cette dernière somme par 169, la double équation

sera

lôgx'-t- 5746 .r + i69^=n, x-+ lox -h lôg^O;

c'est celle qui a été traitée au n" 22. On a donc x— — "^.^j ; d'où,
^ 20 obb

d'après les positions prises pour les deux nombres générateurs, on
aura le triangle cherché

4687298610389. 4565486027761. 1061602293520,

dont l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la somme des côtés de
l'angle droit. Dès lors les deux côtés de l'angle droit sont deux nombres
dont la somme est un carré et dont la somme des carrés est un bi-
carré, c. 0. F. T.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré
et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit,
on ait encore un carré. ,

46. Soit 3 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres
a; -I- I ot I ;Ses côtés seront : a;- + 2a: -1- 2, x--h ix, 2x -+- 1. Multi-
plions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, 6a; + 6, au côté
intermédiaire; il vient .x--+-8a; + 6 qui doit être un carré, en même
temps que le côté intermédiaire : a;--i-2a;. En résolvant la double
équation à la manière ordinaire, on trouvera x = — > et, d'après les
positions, le triangle cherché sera, en nombres entiers : 3i3. 25.3i2.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 355

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carre
et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle
droit on ail encore un carré.

47. Soit encore 3 le multiplicateur donné : on partira;' coninie
triangle primitif, de celui qui a été trouvé dans la question précé-
dente : 3i3.25.3i2. Les nombres générateurs en sont i3 et 12; on
formera, en conséquence, le triangle cherché des nombres x— i3
et 12. Les côtés seront : x- — 26a;-!- 3i3, x^ — 2637+ 25, il\x — 3i2.
Multiplions le dernier par 3 et retranchons le produit du côté inter-
médiaire, il reste a;- — gS-r -1- gôt, qui doit être un carré, en même
temps que le côté intermédiaire, ir^— 26.37 + 25. On a donc une
double équation, pour laquelle il convient, suivant ce qui a été dit

au n° 4, de multiplier la seconde expression par ^; on aura ainsi

2

^a;-— ^^^^^c + gôi =:G, .2-2— gSjT-i- 961 = 0.

La différence des deux expressions est

q36 , 22536 26 /36 11 268

20 2.) D \ 5 65

T^ ,. i - !• 1- • , 27 681 73i I ,

hn continuant a i ordinaire, on trouvera x= , „ .. — ; les nombres

010 i'jo

a? — i3 et 12, si l'on chasse le dénominateur, deviendront en entiers
23 542 921 et 3 820 440. On en formera le triangle cherché :

568 864 871005341. 539673367418641. 179888634210480.

Je donnerai plus loin (Partie III, n"36) une solution du même pro-
blème par une autre méthode.

Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse soit un carré et
qu'en retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné
de l'autre côté on ait un carré.

48. Soient a; 4- I et i les nombres générateurs du triangle; les
côtés seront : x--i-2x-{-2, x--\-ix, ix-hi. Si l'on retranche le

336 ŒUVRES DE FERMAT.

double de ce dernier côté, c'est-à-dire !\x -^ l\, de x--\-'i.x, il res-
tera X- — IX — [\ qui devra être un carré, en même temps que l'hy-
poténuse : X- -\- IX ->r 1. Cette double équation donne ic = -; par

suite x + \ et i, on chassant le dénominateur, auront les valeurs
entières — 5 et 12, dont on forme le triangle : 169. 119.— 120. Recom-
mençons donc l'opération, en prenant, pour nombres générateurs du
triangle, x — 5 et 12. Les côtés du triangle seront : x- — \ox + 109;
.r- — loic — 1 19; 24^ — 120. Si l'on retranche du côté intermédiaire
le double du dernier côté, le reste a;- — 58j; -t- 121 devra être lin
carré, de même que l'hypoténuse x- — loic-i- 169. En multipliant le

reste ^-— 58a; + 121 par le carré — > on aura comme expressions

'ramenées à avoir un même carré pour terme connu :

169 , 9802 r- ^ ', C ^

x' — X-(-IOQ = n, X- — IOX-|-IDQ=n.

121 12 1

La différence des deux expressions est

48 , 85q2 2 /24 42q6\
121 121 II \ II " /

En égalant à la plus grande expression le carré de la demi-somme des

facteurs, on trouvera x = '^ '^ ' , ce qui, d'après les positions, con-
duira au triangle

19343046 1 13 829. 18732418687921. 4821 817 4oo 400,

lequel satisfait à la question.

Trouver un triangle rectangle tei qu'un des côtés de l'angle droit soit un
carré et qu'en ajoutant à l'hypoténuse un multiple donné de l'autre
côté de l'angle droit on ait encore un carré.

49. Soit 2 le multiplicateur donné. Si l'on forme le triangle des
nombres x -\- i et i, ses" côtés seront : ^-+20; + 2; x- -^ ix;
2x-h2. Supposons que le côté intermédiaire, x'--\-2.x, soit un
carré, et ajoutons à l'hypoténuse le double, ^x -h 4, de l'autre côté:

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 337

la somme x- -h 6x -h 6 doit être également un carré. On a donc

D'où ^ = 7- En nombres entiers, x -h i et x deviendront 5 et 4> qui
forment le triangle cherché : 4i-9-4o. On résoudra par là même le
problème suivant : Trouver un triangle rectangle tel qu'un des côtés
de l'angle droit soit un carré et qu'en ajoutant ii l'hypoténuse soit
l'autre côté simplement, soit son double, on ait toujours un carré. Ce
triangle est, en effet, celui que l'on vient de trouver : 4i-9-4o- Si l'on
taisait ajouter à l'hypoténuse, soit l'autre côté simplement, soit son
quintuple, on aurait le triangle 3o.i6.34, formé des nombres 5 et 3.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un des côtés de l'angle droit soit
un carré et qu'en retranchant de l' hypoténuse un multiple donné de
l'autre côte de l'angle droit on ait encore un carré.

50. Soit encore donné le multiplicateur 2. Prenons comme triangle
primitif celui qui a été trouvé pour la question précédente : 4i-9-4o,
formé des nombres 5 et 4- D'après l'analyse qui précède, on for-
mera le triangle cherché des nombres j; — 5 et 4- Les côtés seront :
x^ — iox -^ l\i; X- — lox -\- cf; 8j; — 4o. Egalons à un carré le côté
intermédiaire : x- — lojî + g; d'autre part, retranchons de l'hypoté-
nuse le double du dernier côté, '6x — [\o; et égalons à un carré le
reste, qui est a;'- — 26^ + 121. La double équation

semble pouvoir se résoudre de plusieurs manières, mais on n'en trou-
vera guère qui procure une solution effective, à moins de recourir à
la nouvelle méthode exposée, n" 20 et suivants. Si l'on ramène, en
effet, à l'égalité les termes carrés connus, en multipliant la seconde

• J 2 I

expression par — , on aura la double équation sous la forme
121 12 10

X^ X + I2I=n, .27*— 26vC -!- I2I = n.

i7 y

358 ŒUVRES DE FERMAT.

J.a différence des deux expressions est

112 , 976 8 /l4 I22\

9 9 3 V 3 3 /

En égalant à la première expression le carré de la demi-somme des
facteurs, on trouvera x = ^^, et en en retranchant 5, on aura-^- Les
nombres générateurs du triangle seront par suite 493 et i32, et dès
lors le triangle cherché sera 260473.225625. t3oi52.

On résoudra de même le problème suivant : Trouver un triangle
rectangle tel que l'un des côtés de l'angle droit soit un carré et qu'en
retranchant de l'hypoténuse, soit l'autre côté pris simplement, soit
son double, on ait toujours un carré. Ces conditions sont, en effet,
satisfaites par les nombres donnés ci-dessus, et il ne faut pas dire que
celle que nous venons d'ajouter est sans objet, comme remplie d'elle-
même dans tout triangle; car si elle est effectivement remplie pour
tout triangle (primitif), il n'en est pas de même pour leurs multiples;
ainsi, dans le triangle 624.576.240, l'un des côtés de l'angle droit
est bien carré, de même que l'excès de l'hypoténuse sur le double de
l'autre côté; mais la somme de l'hypoténuse et de cet autre côté, pris
simplement, n'est nullement un carré.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant
l'aire du carré de la somme des côtés de l'angle droit.

51. Soient x et 1 les deux côtés de l'angle droit; la somme de leurs
carrés, a;- 4-1, fera le carré de l'hypoténuse et si, du carré de la

œ

— »
2

somme des mêmes côtés, on retranche l'aire du triangle, qui est

3
on a pour reste x- -\ — x-\-i à égaler de même à un carré. Cette

55 . . 55 ,

double équation donne a; = — -^- Je substituerai donc a; — yg à a?

dans les deux expressions égalées à des carrés; les transformées

seront

„ ta i36q „ , 55 5320 ^

24 23o4 24 23o4

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 359

En multipliant la première par -^' je ramènerai à l'égalité les
termes carrés connus, et j'aurai les deux expressions

5329 , ioi25i 5329 , 55 5329

i369 32856 23o4 ' 24 ' 23o4

dont la différence est •

3960 . 2i63 36 /iio 2i63\

1369 2738 37 \ 37 2664/

On en déduira a; = ^-^ — 77; en retranchant -7^' on aura, pour la
5200744 48 '■

valeur de l'inconnue dans les premières positions, -~^- Les côtés

' '^ 129548

de l'angle droit, qui ont été posés égaux à a; et à i, seront donc en
nombres entiers 'igôSa et r 29648, et l'hypoténuse 135577. C'est le
triangle cherché.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côte de l'angle droit soit carré,
aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit et que, si l'on re-
tranche le double de l'aire de l'un ou de l'autre des côtés de l'angle
droit, on ait toujours des carrés.

52. Soient j; et i —x les côtés de l'angle droit; le double de l'aire
est X — œ'-; si on le retranche de l'un et de l'autre des deux côtés, on
a les carrés x- et x^ — 2x -\- i . D'autre part, la somme des côtés est le
carré i. Il faut encore que le second côté, i — x, soit un carré, aussi
bien que la somme des carrés des côtés, c'est-à-dire 2x- — 2a: 4- i . On

trouverai; = y-. Le trianele cherché sera donc 7— • -r- • t--

49 ^ 49 49 49

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un cube
et que, si l'on en retranche l'aire, il reste un carré.

53. Soient x et i les côtés de l'angle droit; de la sorte l'un d'eux
sera cube; de ce cube, je retranche l'aire -x. 11 reste i x qui doit

360 ŒUVRES DE FERMAT.

être égalé à un carré, en même temps que x^-h i. Cette double équa-
tion me donnant x ^ — ~, je substitue x ^ à x dans les deux

225 "• 2^5

expressions égalées à des carrés; les transformées sont :
36i I „ , 544 12460Q „

t 225 2 220 5oD25

Les termes connus y sont carrés; je les ramène à l'égalité et j'ai ainsi

,^2 544^ ^ 124609^ 124609 124609^ _

225 5o625 ' 50625 162450

La différence des deux expressions est

268 i5q / 268 l5n

162450 \ 162450/
1' 1 187 QI7 462 543 ., . , 272 , ,

,1 en conclus x= a — 5 — -^; I <?n retranche -~ pour trouver la

80970928200 •• 225 *

valeur de l'inconnue dans les positions primitives; j'ai ainsi

90082 607 1 19
80970928 200

et le triangle cherché sera

121087412881 90082607119

80970928200 80970928200
SECONDE PARTIE.

DE LA TRIPLE ÉQUATION ET DES SOLUTIONS EN NOMBRE INDÉFINI.

1. Il est vulgaire de rendre égales à des carrés deux expressions rem-
plissant certaines conditions; mais jusqu'à présent il a été inouï de le
l'aire pour trois expressions. Fermât assure cependant hardiment que
non seulement cela est possible, mais qu'il est même facile d'y par-
venir; il donne à cet égard des règles précises qui, pour être appli-
quées, demandent seulement qu'il y ait un même carré dans chacune

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 361

des expressions; elles peuvent d'ailleurs comprendre, soit des termes
en jr et des termes connus, soit des termes en x'- et en ar.

Règle générale pour résoudre les triples équations.

2. Si vous avez trois expressions à égaler à des carrés, et que le
terme carré soit le même dans les trois, prenez pour l'inconnue la
somme d'un terme en x- et d'un terme en x, dont les coefficients
soient déterminés de façon qu'en multipliant cette somme par le coef-
ficient du terme en .r dans une des expressions données, et en ajou-
tant le terme connu de la même expression, on ait identiquement un
carré. Substituez à x cette nouvelle position de l'inconnue dans les
deux autres carrés, vous aurez ainsi une double équation ordinaire,
d'où vous tirerez une valeur de x satisfaisant aux trois équations
Iransformées; substituez cette valeur dans les termes en x- et en x
(|ue Vous avez posés pour représenter l'inconnue, vous aurez ainsi la
valeur cherchée satisfaisant îi la triple équation proposée.

3. Soit, comme exemple, la triple équation

.le représente l'inconnue [)ar ./•'-+ 'ix, binôme qui, si on le multiplie
|)ar I, coefficient de x dans la première expression, fait x- + ix, et
après addition de i, donne le carré x" -\- ix -\- i = (j^ -i- i)'-. Je sub-
stitue X- -^ix à X dans les deux autres expressions, i + aa- et
\-\-AX\ j'ai ainsi les deux transformées

(|ue je traite par la méthode ordinaire; la ditréjence des expressions
est "ix- -t- Ga- = 3a; X (^ H- 2). En égalant le cari'é de la demi-somme
des facteurs, c'est-à-dire l\x- -in l\x -\- \ , h la plus grande expression
3x- -f- loa- + I, j'obtiens la valeur a- = — G (faux nombre qui donne
des carrés dans les trois expressions transformées). Je la substitue
dans la représentation de l'inconnue, c'est-à-dire dans x- -\- -ix. Pour

Fermât. — III. 46

362 ŒUVRES DE FERMAT.

cela je prends le carré de — G, qui est 36; je l'unis au double de — G,
c'est-à-dire à — 12. J'ai ainsi + 24, valeur de x pour les trois expres-
sions primitives, qui donnent en effet les trois carrés : 25, 49. 121, en
prenant x = i/\.

4. Soit encore la triple équation

2.r 4-4 = 3, 3jr-!-4 = n, 6x-)-4 = n.

Je représente l'inconnue par -x'--hax, de façon qu'en multipliant
par 2 j'aie x- -+- 4 -c qui, ajouté à 4. fait le carré x" -+- 4-c + 4- Conti-
nuez comme ci-dessus, vous trouverez pour solution de la triple équa-

I I 20

tion X = -:

029

5. De même encore, si l'on propose la triple équation

(in substituera x--i- 6x à ic et l'on aura trois expressions transformées

dont la première sera identiquement un carré ; les deux autres, traitées

(Suivant la méthode ordinaire pour la double équation, conduisent à la

solution '-•

121

5/ les termes connus sont des carrés différents, il n'y a pas plus de difficulté
pour résoudre la triple équation.

6. Qu'on donne, en effet, la triple équation

x-^i — U, 3x-i-4 = D, 2j;-f-9=n,

on ramènera les trois carrés à l'égalité, et on poursuivra comme je l'ai
expliqué. 11 est d'ailleurs facile de ramener les trois carrés ii l'égalité
en faisant leur produit; la triple équation précédente deviendra de la

sorte

36^-t-36 = D, 27a^-t-36i=n, 8j' + 36=:D.

En effet, comme dans la première expression on a multiplié le terme

r

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3G3

connu, I, par 36, il faut de même multiplier par 30 le coefficient de j'
dans la même expression ; pour la seconde, le terme connu, 4> Pst mul-
tiplié par 9 pour obtenir 36; il faut donc multiplier par 9 le coeffi-
cient 3 de X. Enfin le dernier carré, 9, doit être multiplié par 4 pour
donner 36; il faut donc, dans la même expression, multiplier par 4 le
coefficient 2 de x, ce qui donne 'èx. D'ailleurs la triple équation trans-
formée conduit à la solution x = ^?^^; la même valeur satisfera dès

744 709

lors à la question proposée.

La même règle s étend au cas où des coefficients de x
seraient négatifs.

1. Par exemple, soit proposée la triple équation
En substituant x^ -+■ 'ix ii x, on aura la transformée

I -(- 2x -»- x- = □ , I — 4^ — 2j;- = n, 1 + loj? -1- 5^2= n •

La première expression étant identiquement un carré, il suffit de
considérer les deux autres, qui conduiront à la valeur j:- = — , d'où,

pour la triple équation proposée, la solution -^•

On peut obtenir des solutions en nombre indéfini
pour les triples équations.

8. Je vais le montrer par un exemple; j'ai dit plus haut (n" 3) que
la valeur a- = — 6 satisfait à la double équation

Je substitue x — i^ k x dans les deux expressions ci-dessus et j'ob-
tiens ainsi les transformées

r 9 r „ 242 „ 2420 »

5^^— 50J" -t- 121 =□, -; — x^ -, — x^^\2i^r\-

49 49

3Ci ŒUVRES DE FERMAT.

La mélhodo ordinaire me donne pour solution un certain nombre.

dont j'ai à retrancher 6 (puisque j'ai substitué a- — Gh x); j'obtiens

. . ii5o4 3S5 8iG p , , . . • •,• / o o.

ainsi —, — jr^. Comme les trois expressions primitives (n° 3)

14716382219 1 1 ^ •'

étaient .r + i, -ix -+- 1 , 5a; 4- 1 et qu'on avait substitué x- -\- -ix à x, il

faut maintenant que je prenne le carré du nombre trouvé ci-dessus,

et que j'y ajoute le double du même nombre : j'obtiens- ainsi la valeur

470956770729578397264 ■ .•(•■. i-,-

x= ^TT-? — '^' Z / — „g, ^ ; qui satislait aux conditions proposées,
216071900010699363961 ' ^ *

car avec cette valeur

_ ^26 220768 o35\-
•^"^'~' 14716382219; '

34 o36 53 1 067
14716 382 219

_/ 50708537341 y

'•^ + '-U47'6 382 2.9r

Lorsque, dans une triple équation, le plus grand coefficient de l'inconnue
est égal à la somme des deux autres, la solution est impossible par la
méthode ci-dessus ( ' ).

9. Soit, par exemple, la triple équation

IX -^ \T=\2, 3x-i-i = n, 5^4-1 = 0'

Substituons 2a;- -\- ixhiX, pour que la première expression se trans-
forme dans le carré \x- -\- [\x -\- i. Les deux autres expressions, après

O) Dans une noie sur un de ses manuscrits conservés à la Bibliothèque de Dijon
( Ms. ■2G(5''. folio 21 verso), le Père de Billy revendique pour lui-même en ces termes la
remarque de ce cas d'impossibilité :

« Anno 1660 jun. 27, Dominus de Fermât, Sonator Parlamenti Tholosani, significavil

inihi liabero se niethodum generalem resolvendi triplicatas œqualilates in quibus occur-

runt tanlum quadrati et radiées et numcrus quadralorum est quadralus : ul si a^quentur

quadrato

iAA^-2A, 4AA-+-6A, 9AA-1-6A, •

potest variari quoinodo liliet niimerus radicum. Ego correxi Dominum de Fermât et ostendi
<|uod, si duo minores numeri radicum ;cquentur majori, impossibilis est solutio per ipsius
methodum : quod ipse postea l'assus est ingénue se non animadverlisse. »

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 363

siihslitution, devieiinciit

6j;-+ 6,r + I = 3, io.z'--t- ioj: + i = D •

Si l'on fraitc cette double équation par la méthode ordinaire, on
aura, comme solution des transformées, a;= — i, valeur qui, substi-
tuée dans la représentation 2x^-h 2X de l'inconnue, donne o, c'est-
à-dire la négation de tout nombre positif.

10. On doit dire la même chose pour toute autre triple équation de
même sorte. Remarquez cependant que j'ai dit que, dans ce cas, la
solution est impossible parla méthode que j'expose, car on peut pro-
poser nombre de triples équations du même genre qui, en elles-mêmes,
ne seront pas impossibles; par exemple la suivante

5,r-(-i = n, i6a;H-i==n, 2iJ"H-i = n,

oii, en substituant la valeur j? = 3, on trouve les carrés iG, 'jc), 6'|.

11. Il faut encore observer avec notre Fermât que la triple équation

est impossible à la fois dans son essence et au point de vue de la
méthode; dans son essence, parce qu'on démontre qu'il ne peut v
avoir quatre nombres carrés en progression arithmétique, ce qui,
dans le cas d'une solution, aurait pourtant lieu, en prenant l'unité
comme le premier de ces quatre carrés; au point de vue de la mé-
thode, parce que, quand bien même la triple équation serait possible
en elle-même, on ne peut la résoudre par la méthode exposée ci-dessus,
puisque le plus grand coefficient de l'inconnue est égal à la somme des
deux autres.

12. Enfin, il faut entendre l'exception comme n'ayant lieu que si le
terme connu est un même carré dans les trois expressions; car autre-
ment, si les termes connus étaient des carrés différents, le plus grand

366 ŒUVRES DE FERMAT.

coefficient de œ peut très bien être la somme des deux autres; par
exemple, pour la triple équation

x-^i — U, 2j;-f-9 = n. 3j:-i-4 = r],

notre méthode donne la valeur x = ,, \ •

ikk 769

Une triple équation peut encore se résoudre si les expressions sont exclu-
sivement composées de termes en x" et en x, pourvu que les coefficients
de x"^ soient des carrés (positifs).

13. Soit, par exemple, la triple équation

x^-\- x^n, a:--h 2x = \J, ■ .r- -h 0 X =1 O ;

on peut ramener les expressions à ne renfermer que des termes en x
ou connus, et l'on obtient ainsi la triple équation déjà traitée plus
haut

pour laquelle x= 24. En divisant l'unité par cette valeur, j'aurai la
solution cherchée pour la question proposée, savoir — ■ La raison en

est que si, dans la triple équation primitive, je substitue - k x, la pre-
mière expression, x'--hx, deviendra -^ H — ; la seconde, — H — ;

' X^ X X- x'

la troisième, —, -\ — ^- Mais, en les égalant à des carrés, je puis les mul-
tiplier par X-, ce qui me donne

.ï + i^n, 2x + i = n, 5x-hi-=c.-

En effet, le produit d'un carré par un carré est toujours un carré. De
la sorte, la triple équation constituée avec des termes en x- et en a; a
été ramenée à une triple équation constituée avec des termes en x ou

connus; comme d'autre part on a substitué - à a;, il y a lieu de diviser

l'unité par la valeur obtenue pour x dans la transformée.

ÏRADUCT£(3N DE L'INVENTUM NOVUM. 367

14. Soit proposée la triple équation

on la convertira en la suivante :

pour laquelle on trouvera a; = ; divisant l'unité par cette valeur.

on aura ^^ comme solution de la triple équation proposée. De même,

si l'on a

j;-H-2j; = C !ix^-h 3x = Q, i6x- -h gx :=r2 ,

la conversion donnera

2x-(-i=n. 3x-i-4==n. 9J:- + i6=:n,

,, , iio656 . ,, ,- . ,. -., << 1 S2q I

d OU a;= -^ ; si 1 on divise I unité par cette valeur, ^ sera la

029 ' 110320

solution cherchée. Soit enfin

X--hX=:[J, ■iX--i- 3x=zQ, 9^-+2x=n,

la conversion donnera

x--hx = [j, 3j?-f-4 = n, 2x + 9 = n,
,, . 260280 ,. . 1 1» •»• ,t I 744769

d ou 37 = ,, r ; divisant 1 unité par cette valeur, on aura ' „-
744769' • 269280

comme solution de la triple équation proposée.

15. Remarquez que l'on peut abréger les calculs dans le cas où les
coefficients des termes en x- sont les mêmes, mais différent de l'unité,
en les ramenant précisément à l'unité sans toucher au?^ coefficients d.es
termes en a?; on n'aura qu'à diviser plus tard la valeur trouvée pour x
par le carré donné comme coefficient des termes en x'-. Ainsi, soit pro-
posé

gx--\- Qx^=\J, 9a;--t- 24j7 = D, 9x-H-72^ = n;

substituons x- à 90;" sans toucher aux termes en x, il vient

j7-H-9x = n, jc^-i- 24.Ï' := n, x--h "j^xz^r].

368 ŒUVRES DE FERMAT.

d'où X = 3. Divisant par le carré 9, nous aurons „ comme solution de
la triple équation proposée. Si l'on divisait la même valeur 3 par le
l'arré iG, on aurait -^ comme solution de la triple équation

il en sera de même dans les autres cas semblables.

Au moyen de la triple équation, on peut résoudre des équations
quadruples, quintuples, etc. à l'infini.

16. Soit proposée, par exemple, la quadruple équation suivante

2oa^-i-64 = G, i2jr-t-i6 = n, 8j:-+-/i = G, 2.r-i-i = D.

Si l'on ramène à l'égalité, comme il a été dit, les termes carrés, on a,
comme nouvelles conditions,

2oa;-l-64 = n, 48j:-t-64 = n, i28^ + 64 = D;

substituez - x- -h x h x et traitez par la métliode indiquée la double

équation qui restera à satisfaire, vous obtiendrez, comme solution,
S320 (en debors de 4. solution immédiate).

n. On peut de même combiner une quintuple équation avec des
coefficients différents pour les termes en x et divers carrés comme
termes indépendants, en s'arrangeant de façon que, les carrés étant
ramenés à l'égalité, on ait trois expressions identiques et deux autres
distinctes, comme par exemple :

ajr-Hi = n, 8xH-4=n, 32a:- + i6=n, 2ox + 64 = n. 36x+3D6=n;

, , , 10177 024

on aura comme valeurs 4 et \: „ •

' ioi8o8t

On combinera de la même façon une équation centuple et ainsi de

siiile indéfiniment.

1

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3G9

D après ce qui précède, il est facile de résoudre d'une injlnilé de façons
des questions que Diophante et Bachet ne résolvent que par des pro-
cédés très compliqués.

18. Soit proposé

Substituez j:;- + 8j: à x, ce qui, pour la première expression, donnera
le carré oC- H- ^x + iG = (j:--i-4)''. La seconde deviendra 20^-4-1 6a; -i-i(i
qu'on égalera, par exemple, au carré de l\ — ix (le coefficient de .r
pouvant être pris arbitrairement). On trouvera a; = 16; comme on a
substitué x--\-%x, on prendra i()--+-8 x 16 = 384, Pt l'on aura la
solution cherchée.

19. Soit proposé encore

16 — .r = □ , 16 — 5 .r =r □ .

Substituez '6x — x'-, les transformées seront x- — %x-\-\i\ et
^x- — !\ox -H iG : la preniii're est un carré ; il reste donc seulement à

égaler la seconde à un carré, soit à celui de 4 — 7-^; d'où j- = — ■
(^(unmc on a substitué %x — x^, on prendra 8 x ^ — ( — ) = ^— •

20. Soit encore, comme tr'oisième cas :

i6-i-x:=n, 16 — j; = n •

Substituez x'- -+- 8x; les transformées sont : la première iG -h Sx-hx-,

qui est un carré; la seconde iG — 8j" — x^ à égaler à un carré, soit

8
celui de 4 ^ 2j;; d'où x= z- Puisqu'on a subslitué j-+ H.r, on pren-
dra, pour la solution cherchée : 8 x r -+- ( r ) = -^ ■

Douze questions concernant ce qui a été exposé Jusqu'ici
dans cette seconde Partie.

21. Tous les exemples que nous avons donnés sont autant de pro-
blèmes résolus. J'en indiquerai un seul : Trouver un nombre, différent

Fermât. — Ml. 47

370 ŒUVRES DE FERMAT.

il(> 2\, et tel qu'en ajoutant l'unité à son simple, à son double et à son

([uintuple, on ait trois carrés. On trouvera ci-dessus, sous le titre des

I • i.(. • / ,. „\ 1 1 470056770720578307264

solutions en nombre indenni (n" 8) le nombre -^. — - c ^ / ,^0 ^

^ '' 216071900610699363901

satisfaisant à ces conditions. Bien plus, si l'on veut proposer la ques-
tion en nombres entiers, on pourra l'énoncer comme suit : Trouver un
carré entier autre que l'unité, tel qu'en y ajoutant le simple, le double
ou le quintuple d'un certain nombre entier, on ait trois carrés. Mais
j'ajouterai encore ici d'autres problèmes nouveaux.

Trouver trois cubes tels qu'en ajoutant leur somme à des nombres
proporlionels à ces cubes on ait trois carrés.

22. Prenez les trois premiers cubes i, 8, 27, dont la somme est 36;
ajoutez-la aux produits par x de chacun des trois cubes; vous aurez

36H-.r=rn, 36 + 8x- = n, 36-4-27xi=n;

remplacez x par x'--\-]ix, ce qui donnera, pour transformée de la
première expression, le carré (jr-i-G)-. En achevant l'opération, on

220 320 , 1 ,,.

aura -^^ comme valeur de 1 inconnue.

5029

Trouver un nombre différent de 4 et tel qu'en ajoutant à cinq carrés en
progression géométrique ses produits par 1, 8, 3'.>., 20, 30, on ait des
carrés.

23. Prenez les carrés i, 'i, iG, Gl, 256; vous aurez une quintuple
équation

H-2x = n, 4 + 8.r=n, i6 + 32x=:n, (i4 + 2ox=L\Z^, 256 + 36.r=:n.

Ramenez à l'égalité les termes carrés, les transformées des expressions

sont

256 4-5i2.r, 2o6 + 5i2.:c, 256 + 5r2.r, 206 + Box, 206 -H 35a:;

c'est donc comme si l'on avait seulement une triple équation; la mé-

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 371

thode ci-dessus (a" il) donne x= '°'77o^4^ solution de la quintuple
^ ■^ loi 8 081 ^ '

équation posée tout d'abord.

Trouver trois nombres carrés tels qu'en ajoutant leur somme à chacune
de leurs racines on ait des carrés.

24. Choisissez trois carrés dont la somme soit un carré et tels que la
plus grande racine soit supérieure ii la somme. des deux autres; tels
sont l. 3G, 81, dont la somme est 121. Prenez pour les trois carrés
cherchés fijc-, 36j--, Hix'-; leur somme, ajoutée séparément à chacune
des racines, donne

121 X--I- 2.r ^ □ , I 21 ,r^-f- Gj:- =r n , 121 .z'-+ gj" ^ r] •

On Irouvera jc ^ 2 — — (voir n" 14); en suhsiituani cette valeur dans
02 920 ^ '

les expressions ci-dessus, on trouvera des nombres carrés, et le pro-
blème sera résolu.

Trouver trois carrés différents tels ijuen leur ajoutant trois nombres
en proportion harmonique, on ait trois autres carrés.

25. Il l'aut avoir soin que le plus grand des trois proportionels har-
moniques soit supérieur à la somme des deux autres; on pourra de la
sorte poser •

n-2j- = n, 44-3x = n, i6-H6j; = n;

ou, en réduisant les termes carrés à l'égalité suivant la méthode ci-
dessus,

i6-!-32.r^n, 16 + 12. t = D, i6-i-6.r=:n.

Remplacez x par -, x'- -^ t, x ç\ achevez l'opération comme nous l'avons

indiqué {Cf. n° 14), vous trouverez pour solution de la première équa-

lion triple ^v— I —
'^ 4761

372 ŒUVRES DE FERMAT.

Trouver trois nombres tels que la différence des deux plus grands soit
dans un rapport donné à la différence des deux moindres, et que.
d'autre part, leurs sommes deux à deux fassent des carrés. On donne
le rapport de 3 à i .

26. C'est la question IV, 45 de Diopliante, et il n'y en a pas que cet
auteur ait traitée d'une façon plus prolixe et plus embrouillée. Prenez
un carré arbitraire, 4 par exemple, pour somme du nombre moyen et du
moindre; soit 2 -t- x le moyen, 2 — j:- le moindre; leur différence sera
ix; si on la triple (puisque le rapport donné est de 3 à i), on aura Gx
et, en ajoutant le nombre moyen, on aura le plus grand 24-73-. 11 faut
de plus que la somme du plus grand et du moyen, c'est-à-dire 4 -1- 8x,
et la somme du plus grand et du plus petit, c'est-à-dire 4 -l- Gx, fassent

des carrés. Remplacez x par —--[- ^x, de façon qu'en multipliant par G

(coefficient de x dans la seconde expression, on ait x- + [\x, dont la
somme avec 4 fera le carré (2 -f- x)-\ en multipliant la nouvelle forme
de l'inconnue par 8 (coefficient de x dans la première expression), et

ajoutant 4. on aura ^\ -^ -ir- x -^ '^ x- à égaler à un carré dont on peut

former la racine d'une infinité de façons. Soit par exemple ( 2 -1- 7 x j .
On obtiendra une valeur qui,' substituée dans l'expression de la pre-
mière inconnue, donnera — ; les trois nombres cherchés seront '

121 121

402 82

Trouver deux nombres tels que leur somme, soit augmentée, soit diminuée
de la différence de ces nombres ou encore de la différence de leurs carrés,
fasse toujours un carré.

27. Soient - -\-x Qi- — xces deux nombres; leur différence, aussi

3 2

bien que la différence de leurs carrés, sera ix. Il finit donc que la

i

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 373

somme des deux nombres, plus ou moins ix, fasse un carré. On a
donc la double équation

n-2.r=:n, I — 2x=n-

Remplacez a- par -.r'-^x, de façon qu'en multipliant cette expres-
sion de l'inconnue par 2 et en ajoutant l'unité, on ait, d'une part,
i-i- 20; + J7* qui est un carré; de l'autre, 1 — 2.r — x- à égaler à un

carré, soit à (i — 3>r)-; d'où .r = ^- Comme on a remplacé x par

-j?--!-.r, on prendra -\~] 4- ^ = ^> valeur d'où l'on déduira, ixnir

2 ' 3 \D/ a 2.J '

les nombres cherchés, d'après les positions, ^ et ^-•

Trouver quatre nombres dont trois soient carrés et tels que le produit de
deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré.

28. On cherchera d'abord, d'après Diophante, V, 27, trois carrés
tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de

l'unité, fasse un carré; tels sont -^> -7-» -5—- Ces trois carrés étant pris

10 4 "■

pour le premier, le second et le troisième des nombres cherchés, soit
.r le quatrième; dès lors, les produits du premier nombre par le se-
cond, du second par le troisième, du troisième par le premier donnant
des carrés, si on les augmente de l'unité, il suffît qu'il en soit de même
pour les produits du quatrième par chacun des trois premiers; on a
donc les conditions

9 ^ 25 „ 256 „

10 4 ol

Remplacez, suivant la règle, x par — x- + — ; dans la première ex-
pression -^x devient j;- + 20-, qui, augmenté de l'unité, donne h'
carré {x + i)-; effectuant la substitution dans les deux autres exprès-

■i-ï ŒUVRES DE FERMAT.

sions, on aiii'u la double équation

400 , 800 4006 , 8102

00 00 729 729

où les termes indépendants de x sont carrés (aussi bien que les coef-
ticienls de x'-'); on pourra dés lors la résoudre par la méthode ordi-
naire, et en déduire la valeur de l'inconnue ou du quatrième nombre
cherché.

Trouver un triangle rectangle tel que le produit de l'hypoténuse par la
somme des côtés de l'angle droit soit un carré, aussi bien que les sommes
obtenues en ajoutant au carré de l' hypoténuse, soit le double de celle-ci,
soit r un ou l'autre des côtés de l'angle droit.

29. Prenez un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré
aussi bien que la somme des cotés de l'angle droit (première Partie,
n" 45); multipliez par x chacun des côtés de ce triangle, vous arriverez
à ce que vous cherchez.

En effet, le produit de l'hypoténuse par la somme des côtés de l'angle
droit sera un carré; si, d'autre part, au carré de l'hypoténuse, on ajoute
séparément le double de celle-ci, puis^l'un et l'autre des côtés de
l'angle droit, on aura une triple équation, qui se résoudra comme il a
été dit au n" 16.

Jrouwr un triangle rectangle tel que l'on ait un carré, en ajoutant au
carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle droit, soit
un multiple donné de l'hypoténuse.

30. Soit proposé, comme multiple donné de l'hypoténuse, le double;
prenons, pour le triangle cherché, "ix, 4-f, 5a-. On aura

• Kn procédant comme il a été dit au n" 13, on trouvera x— ir-, — tt
' ^42144

, I , . I , , . 4563 6084 7605

el le lriant!;le clierclie sera .77 — rr» 57 — tf' 5v — n'
° 342144 342144 342144

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 373

Tromper un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en multipliant
r hypoténuse par la différence des côtés de V angle droit, aussi bien qu'en
ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle
droit, soit un multiple donné de l'hypoténuse. Soit proposé, comme mul-
tiple donné, le double.

31. Prenez, pour triangle primitif, 119, 120, 169, dont l'hypoténuse
est un carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit.
Multipliez par j: chacun de ces côtés; leur somme sera !\o9>x; en ajou-
tant séparément ii son carré chacun des côtés de l'angle droit et le
double de l'hypoténuse, on aura

166 46^x^4- [i9.r=rn, i6646.'ix-+i20x=:n, i66464a;=+338^ = n;

le reste est facile d'après le n° 13.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en multipliant un
des côtés de l'angle droit par la différence entre l'aire et ce côté, aussi
bien qu'en ajoutant au carrg du périmètre, soit un quelconque des côtés
de l'angle droit, soit un jnultiple donné de V hypoténuse .

32. Prenez (première Partie, n" 53) un triangle rectangle don! un
côté de l'angle droit soit l'unité, et dont la différence entre l'aire et
cette unité soit un carré ('); multipliez par x chacun dos côtés,
prenez le carré de périmètre et ajoutez-y séparément chacun des côtés
de l'angle droit et lé multiple proposé de l'hypoténuse; la solution
s'achèvera d'après ce qui a été dit au n° 13.

(') Celle soliilion esl évidemmeiU erronée; soit «- = //--r-i le irianglo primilif supposé
où T est un carré; le triangle, cherché d'après les indications de Bill;-, satisfait à la

condition .r l.i- — ] = D > c'est-à-dire que le produit de l'un des côtés de l'angle droit

par la ditTérence entre ce côté el la moitié de l'autre ( non pas l'aire) esl un carré.

376 (EU VUES DE F EH M AT.

Trouver un triangle rectangle tel ifiie l'on ait un carré en multipliant
un des côtés de l'angle droit par la somme de ces deux côtés, aussi bien
qu'en ajoutant au carré du périmètre un quelconque des trois côtés du
triangle.

33. Prenez un triangle rectangle dont la somme des côtés de l'angle
(h'oil et l'un de ces côtés soient des carrés; par exemple, le triangle
'io, 9, '\\. Multipliez chacun des côtés par j* et ajoutez-les séparément
au carré du périmèti'e; vous aurez

8iooj;---l- 4o.r ^ n , 8100X--I- go? =: n . 8100 j:-+ 4i.r = n •

Le problème pourra ainsi être résolu. Il ne faut pas dire au reste qu'il
y ait là une contradiction avec la remarque des n'"' 9 et suivants,
d'après laquelle la méthode de Fermât ne s'applique pas au cas où le
plus grand des coefficients de x est égal à la somme des deux autres ;
quelqu'un pourrait croire qu'il y a encore plus impossibilité lorsque
le plus grand coefficient est inférieur ii la somme des deux autres;
mais du moment où il y a inégalité, quelle qu'elle soit, le problème est
possible, comme tout patient analyste pourra le reconnaître.

TROISIÈME PARTIE

COMI'RKNANT LE PROCÉDÉ POUR OBTENIR DES SOLUTIONS EN NOMBRE INDÉFINI
DONNANT DES VALEURS CARRÉES OU CUBIQUES A DES EXPRESSIONS OÙ ENTRENT
PLUS DE TROIS TERMES DE DEGRÉS DIFFÉRENTS.

1. Je traiterai ici particulièrement des expressions comprenant les
cinq termes en x'', J7% ir'-, x et le constant; mais, \ cette occasion, je
parlerai aussi des expressions de quatre termes. Ces termes pourront
d'ailleurs être, soit tous positifs, soit entremêlés de termes négatifs;
l'objet proposé est de donner à ces expressions des valeurs carrées
(pour celles de cinq termes) ou cubiques (pour celles de quatre), et
cela d'une infinité de façons; or, en général, on peut dire qu'il est né-
cessaire,.pour les valeurs carrées, que au moins le coefficient du terme

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 377

en x' uu le terme constant soit un carré; pour les valeurs cubiques,
que le coefficient du terme en x^ ou le terme constant soit un cube.

Egaler à un carré une expression composée de cinq lermcs
et où le coejficient de x'' seul soit un carré.

2. Il faut tout d'abord avoir soin que les coefficients de x'', x'^ et as-
soient les mêmes dans l'expression proposée et dans le dév(doppement
du carré qu'on lui égale. Pour cela, on |)r(Muli'a fout d'abord la racine
carrée du terme en x^ ])()ur former le premier terme de la racine du
carré clierclié ; puis on divisera le coefficient du terme en x' par le
double du ])remier coefficient ainsi trouvé, et en multipliant le quo-
tient par X, on aura le second terme de la racine du carré cherclié ;
après quoi on preiulra la difTérence entre le carré du coefficient de ce
second terme et le coefficient de x'^ dans l'expression proposée; on
divi-sera par le double du coefficient du premier (ernie, el l'on aura
ainsi le troisième terme de la racine du carré cbendié, celiii (|ui esl
indépendant de a-. En égalant le carré de cette racine (rinoine à l'expres-
sion proposée, on obtiendra la valeur de l'inconnue. Ainsi soit proposé

.r ' H- 4 x' -t- 6 X- + 2 j -+- 7 = n ;

en observant les règles qui viennent d'être exposées, on prendra, |)our
le carré à égaler à cette expression,

( ,r - -H 2 j:- H- I ) ^ x' H- 4 ■*•' -H 6 x- H- :j ,r + 1 ;

l'équation donnera x— 3, et en substituant dans l'expression propo-
sée, on aura le carré 25() (').

(') Les règles de Billy reviennent, étant proposée l'expression v

a- .t''+ b .r^ -!- ex'' -+- dx + (? = □,
à lui égaler

tA

b{\a''c — b^-) (fta^-c — b^y

\ n.r^-i .V -. ' — / = ti-x'' -H b.f'-+- c.r'^ -

\ 2(1 La J

8 «4 ' 64 «6

Les termes en x'% ./;■<, x"- s'éliminant, on a pour x une valeur rationelle,

■'' ~ 8 a'- [6(4 rt-'f — /^-' ) — %a'*d\ '
Fermât. — UL • 48

378 ŒUVHES DE FERMAT.

Egaler à un carre une expression composée de cinq termes,
et oii le terme constant seul soit un carré.

3. II faut remarquer que dans ce cas, contrairement au précédent,
les termes qu'on doit rendre égaux de part et d'autre sont le constant
et ceux en x et x"-. On prendra donc, pour premier terme de la racine
du carré à égaler, la racine du terme constant de l'expression proposée ;
(in divisera par le double de cette racine : en premier lieu, le coeffi-
cient de X dans l'expression proposée, et l'on aura le coefficient du
second terme de la racine cherchée; en second lieu, la différence entre
le coefficient de x- dans la proposée et le carré du dernier coefficient
trouvé : on aura ainsi celui de^'- dans la racine du carré à égaler. En
formant ce carré et achevant l'opération, on aura la valeur de l'in-
connue. Soit, par exemple, proposée l'expression

en observant les règles qui viennent d'être exposées, on prendra, pour
le carré à égaler:

(3 -f- j; -H 3x-)^=9 -\- 6.r + 19X-4- 6.r''-i- ()x'';

l'équation donnera ^7 = 2, et en substituant dans l'expression propo-
sée, on aura le carré 289.

Egaler de différentes façons à un carré une expression composée de
cinq termes, et où le terme constant est carré en même temps que le
coefficient de x'* .

4. Tout d'abord on peut former la racine du carré à égaler, de façon
il éliminer les termes constants, ceux en x et en x'. Ainsi soit pro-
posé

x'' -+- [\x'^ -\- iox°--v- 10X -)- I = n .

Formez (i -f- loa; -h j7-)- = i + 2o.r + \oix- -\- lox^ -\- x^; les termes
de trois degrés disparaissant, il restera l'équation — 920^-= iGj-', d'où

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 379

.r = — Y = — V- Kn subslituanf dans l'expression proposée, on aura

, , 14062.5

le carre — ^7;— •
2.J0

5. Kn second lieu, on peut former la racine de façon à éliminer les
ternies constants et ceux en x et x-. Ainsi soit proposée la même
expression

a:'' -+- !\x'' -\- io.r^-t- lox -f- i =1 □ .

On prendra (i + \nx — '(jJ?')"; en développant le carré et en établis-
sant l'équation, il ne restera que les termes en x^ et.cr*, de degrés im-
médiatement consécutifs; on tirera donc >r=-Fô; la substitution

I 1 . 224706

donne le carre -~^ —
64009

6. Troisièmement, on peut formel' la rai'ine de façon i) éliminer les
termes constants et ceux en x^ et x" . Soit toujours la même expres-
sion

On prendi'a {x- + -ix -\- i)- ; il ne restera dans l'équation que les
lernu^s en x- et .r; et l'on tirera x= — 4, d'(u'i la valeur carrée 81 pour
l'expression proposée.

7. Quatrièmement, on peut former la racine de façon ii éliminer les
termes en x'' , x'\ x'-. Soit encore

x'' + 4 '^'^ -t- I o j:'- -t- 20 J" -t- I = n •

On prendra {x- -h :lx -\- 3)- ; après élimination, il restera seule-
ment des termes en x ou constants; on en tirera x = i, d'oîi. pour
l'expression proposée, la valeur carrée 36.

8. (linquièmemenl, on peut former la racine autrement que nous ne
l'avons fait plus haut, de façon à éliminer les termes constants et ceux
en X et x\ Avec la même expression, on pourra égaler

x'*-i- .\x^-h ioj;--i- iox -f- I — (i -t- lox — .'■-)",

:58() ŒUVRES J)E FERMAT.

et l'on aura x= --■> d'où, pour l'expression proposée, la valeur (—- ) ■

9. Sixièmement, on peut aussi former la racine autrement que nous
ne l'avons l'ait plus haut, de façon à éliminer les termes constants et
ceux en .r' et ,r'. Ainsi on pourra, avec la même expression, former
l'équation

J?*+ 4-^^ -t- IOX-+ 20X -I- I = {J7-+ 2X — l)-,

d'où ;r = — 3, et, pour l'expression proposée, la valeur carrée 4-

10. Je laisse de côté les autres racines que l'on pourrait former,
comme — x'- — ix — 3, i — -ix — x-, x- — loa:- — i, ^hx-— lox — i,
— i — 2x — X- ; car, si elles donnent des solutions, ces dernières ne
diffèrent pas de celles que nous avons déjà obtenues.

Ce que sont les solutions dérivées et comment on les obtient.

11. Il y a deux sortes de solutions : les unes, en effet, sont primi-
tives; les autres, dérivées. Les primitives sont celles que l'on déduit
immédiatement de l'expression proposée, comme celles que nous
venons de calculer; les dérivées sont celles qui proviennent des primi-
tives; elles peuvent d'ailleurs être du premier degré, si elles sont im-
médiatement déduites des primitives; du second degré, si elles sont
déduites de dérivées du premier degré; du troisième degré, si elles
sont déduites de dérivées du second degré, et ainsi de suite indéfini-
ment. Remarquez d'ailleurs que de solutions fausses on peut en tirer
de vraies et inversement, comme on le verra clairement ci-après.

Déduire les solutions dérivées du premier degré d'une solution primitive

quelconque.

12. Ajoutez il X la solution primitive, avec son signe + ou — ; sub-
stituez i> l'inconnue le binôme ainsi formé dans les divers termes qui
i-omposent l'expression proposée; égalez le résultat de cette substitu-
li(m à un carré dont on formera la racine comme il a été dit ci-dessus;

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM.

;58i

ajoutez la valeur qui en viendra pour x ii la solution primitive, vous
aurez ainsi la solution dérivée que vous cherchez.

Soil, par exemple, à trouver une solution dérivée du [)renii(M' deui'e
pour l'expression proposée ci-dessus

jc'' -h '[.r^-h lOX^-i- 20 ,r -f- 1 = n ;

[)renez — 3, l'une des solutions primitives; ajoutez-la îi x, vous avez
.1- — 3, que vous substituez ;i x dans les termes x'', /\x^, loa:^. lox, et
vous ajoutez le terme constant, comme ci-après :

.)■•

4.r^'

10X2

■xo.r

•c''— I2.r'-i-54.r2— io8x+ 8r

-1- j.f-' — 36. r^ -h 108, r — 108

-t- lo.r- — Oo.r -(- go

H- 20X — (io

■+- 1

Total

.c''— 8.r' + 28.rî— jjo.i- -f- /,

13. (lelte somme doit être égalée à un carré; torniez-en la racine
comme suit : x- - f\x — 2; il viendra x= -; comme on a substitiu-

X — 3, retranchez 3 de -, il reste - comme valeur de x dans l'exijres-

■?. 2 ■

sion proposée; la substitution de cette valeur donnera comme résultat

22;) / 1.)

14. (*n peut encore égaler la même somme au carré de{x-— \0x-h2),
l'oii x= -—; retranchants, reste -rr- comme valeur de a; dans l'expri^s-

36481 /'9'

sion proposée, et celle-ci deviendra — ;:; — ^

9

I-

/

15. Prenez le carré de (2 —]ox — x'-); il viendra x==— ^; reIran

:^8

7

chant 3, vous aurez la ttolution — — qui donnera à l'expression [)r(

7

/999\
V 49 ^

, I , qc)8 001 » , - 1 • / 999 \ "

posée la valeur ^^ > c est-a-dire ^-- l

' 3401 \ 4m

:{8i ŒUVRES DE FERMAT.

16. Quatrièmement, prenez le carré de (2 — ioj? — iSj:;- ); il vicn-
(Ira J7 = — —' d'où, retranchant 3, vous aurez la solution — -r-é'

On pourrajt encore former les carrés

(j2_4_^^2)^ et (— .r'--H4a'— 2)%

mais ils conduiraient à la valeur a: = 3, d'où, en retranchant 3, la so-
liilion o, qui est illusoire et hors de notre propos.

n. J'ai dit, d'autre part, que l'on avait également comme solution
primitive — 4: on peut de même en tirer des solutions dérivées, en
substituant x — 4 à x dans l'expression proposée

tout comme on a substitué x — 3 dans cette expression.
Le résultat de la substitution sera

a;' — 1 2 x^ + 58 j;2 — 1 24 X + 8 1 = n .

En prenant pour carré (x- -—Gx — 9)-, vous obtiendrez la solution i-

Le carré [x'^ x -\- q] donnera la solution irr^- Le troisième carré

62 427 o\' P -, 86 507 /,\ r , •. / 62 ., \^

n X -h ^^-^ X- lournit .., ^„ (' ). Le quatrième o x — x- )

9 729 / ^i OJt) V / 1 V' 9 /

donne — ^- On pourrait encore former les carrés (x- — 6x -+- q)- ou

2(jl '^ \ . ,

(— x'- ■+ 6x — 9)-, mais on en tirerait x = 4. d'où la solution o, qui
nous est inutile.

18. Comme solution primitive, nous avons encore — ^- Substi-
tuons donc x — ^- à x; l'expression proposée deviendra

iii5 „ 733q I '10625

^8 16 200

. rv-.i III ■ ' 138 704
( ' ) Billv donne la valeur erronée : —nr~^

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. ;58a

Vous obtiendrez les solutions :

— par le carre (x^ -x r' ) >

7 I - / ., "Q 375 \ 2

-f-. par le carre { j- '- j: -\ — v !

ib ' \ 3 10 /

144233 , - / , -339 375\2
par le carre jr^-h '—^ x '— ' ■

42375 ' \ 700 16

,. , , lJ>n'i 733q 45 075 o33 o\ p

pniin le carre -^^ —^x-\-^ — , . „ ^ x-\ en rournira une (lua-

\ 16 700 02 734 370 / '

Irièmo.

19. Voilà pour les solutions primitives affectées du signe — ; on

procédera de même pour celles qui ont le signe +. Ainsi, comme 4-1

est une solution primitive, on substituera j; -h i et on aura la (rans-

f'orinéc

x4+8x=-i- 28jc2+56j-i-36 = n.

D'oîi les nouvelles solutions :

— -- par le carre ( a--+- -:^x + Ç>\ ;

23 , . / o i4 -.\'

H- w- par le carre [œ- -^ x — %\ ;

'77' 1 - Z/' '4 '4 ,

r4rr Pi'r le carre 6 + -„- .r h ./•■

:iii \ 3 27

20. Comme autre solution primitive, nous avons ^^ subsliinons
donc j? + y; la transformée, obtenue comme il a été dit au n" 12, sera

, 56 , 1212 „ 12200 47324

39 27 81 "-■

Les solutions dérivées seront : -r par le carré {œ-+^x-^

3 ^ V 3 9

1 ■ / •> 28 2l8\= , , / , 28 2l4\ =

par le carre [— x- — -^x ^ j; i par le carre \x^^ -ipX ^, \ ;

r. 120978 , , /218 3o5o ,

entin ^ par le carre 1- -5 — x— x^

1 10 833 ^ \ 9 327

:}8i ŒUVRES DE FERMAT.

21. Enfin, la dernière solution primitive conduira à la substitution

de .r -] — ^> et en égalant la transformée de l'équation proposée a un

carré, dont on formera diversement les racines, comme on l'a fait pour
les précédentes, on obtiendra de même de nouvelles solutions.

Obtenir les solutions dérivées du second degré, celles du troisième,
du quatrième, etc. à l'infini.

22. De même que les solutions primitives nous ont fourni des solu-
(ions dérivées du premier degré, de même les dérivées du premier
degré peuvent nous fournir des dérivées du second degré. Ainsi,

puisque nous avons - comme solution dérivée du premier degré, nous
substituerons x -\ — k x dans l'expression proposée

œ'' -^ 4*'' + io.r-+ 20.r -i- i;
le résultat de cette substitution sera x'' -+- ûx^ + —x'-^ — ~x -^ — =r •

a 2 10

j-' -h 3 .r + -^ ) > et nous obtiendrons

ainsi la solution — '^--^ qui est dérivée du second degré, puisqu'elle
provient d'une solution dérivée du premier degré.

23. De cette solution du second degré nous pouvons en dériver
encore une autre, toujours par le même procédé. A cet effet, on substi-
tuera X — — '^A X dans l'expression proposée; le résultat de cette sub-

stitution est x^ — ô\5x^ h -^x- ^ x h ^;-^: on 1 égalera au

367 \^ . , 873 , ,

carre | x- — ïÇ)x ~- i > ce qui donnera -/^^ comme valeur de x\ en

21
2

retranchant — > on aura, comme valeur correspondante dans l'expres-
sion proposée, -^j solution dérivée qui est du troisième degré, puis-
qu'elle provient d'une solution dérivée du second degré. On pourra de
même obtenir des solutions dérivées du quatrième degré, du cin-
<}uiême, du sixième, et ainsi de suite indéfiniment.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 385

Égaler à an carré une expression composée de quatre termes, pourvu
quelle comprenne un terme, soit indépendant de x, soit en a;',
lequel soit carré.

24. Soit proposé : 200?'' -+- 3X- -^ l\ox 4- 16 = n •

Prenez (4 + Sa?) pour racine du carré; vous aurez des deux côtés
les mêmes termes en x et indépendants, et vous obtiendrez x =^ i
comme solution. Cela posé, de cette solution vous en dériverez une
autre, en substituant à x, comme précédemment, x -\- i dans l'expres-
sion proposée 20a;'' -+- 5a;- -1- 40a; -t- 16; le résultat de celte substitu-
tion est 20iC'' -H G5a?- + 1 100- + 81; on doit l'égaler à un carré, dont

on formera comme ci-dessus la racine (9 H — - ^)- ^^'i trouvera, comme

valeur de a;, dans la transformée, ^1 et, dans la proposée, — ^•

En troisième lieu, de cette solution dérivée du premier degré, on en
déduira une du second degré, en substituant x — h-; on aura, comme

résultat de cette substitution, une nouvelle transformée que l'on éga-

I , /4oi itii /Iq5 \- , 1, ■ 1 .■ I

lera au carre 1 — ' x , et 1 on arrivera, comme solution du

V729 3609 y

, , . . 1 I 177 3oi 255 266
second degré, a la valeur -^ ^

" 2 1 10 oao 722

25. Supposons maintenant le terme en x"" carré, et soit proposé :

Prenez pour racine du carré : {x- + ix), de façon h éliminer les
deux termes de plus hauts degrés. Il viendra : 70;'-= "xx, d'où, en

dehors de l'unité qui est une autre solution, la valeur a;= -• On

7

pourra donc substituer ti x, soit x -\ — , soit a? -t- i, pour obtenir des
racines dérivées.

26. L'absence d'un des termes intermédiaires n'empêche pas d'égaler
à un carré une expression composée de quatre termes. Ainsi l'expres-
sion 16 -f- 24a;- + i6a;' + 5a;^ peut être égalée au carré (4 -l- Sa?-)-,

febmat.— m. 49

38C ŒUVRES DE FERMAT.

ce qui donne a; = 4» flou l'on pourra substituer x + ^ pour obtenir
une solution dérivée.

De même, si l'on propose j:;' + 6ooa;^+ 8000^ -t- Soooo, on for-
mera le carré (a:--{- 3oo)-, et l'on obtiendra œ = 5. On pourra donc
substituer ar + 5 pour obtenir une solution dérivée.

On peut égaler à un cube une expression composée de quatre termes,
pourvu que le terme indépendant de x, ou bien le coefficient de x^ ,
soit un cube.

27. A cet effet, si le terme indépendant de x est un cube, on en
prendra la racine cubique comme terme indépendant de la racine du
cube à égaler. On divisera ensuite, par le triple carré de cette racine
cubique, le coefficient de x dans l'expression proposée, et on aura ainsi
le coefficient de x dans la racine du cube à former; la racine cubique
et le quotient doivent d'ailleurs être affectés des signes convenables.
Ainsi soit proposé d'égaler à un cube l'expression ix^ + x"^ -\- 3a; + i ;
on prendra, pour racine de ce cube, i +a:; (i étant la racine cubique
de l'unité, et x le quotient de 'ix pour 3, qui est le triple carré de i).
En égalant à l'expression proposée le cube de cette racine, à savoir
x^ -+- "ix- -t- 3a; + I , on aura x ^ 1, et en substituant a: h- 2 à a;, on
pourra obtenir la solution dérivée.

28. Si c'est le coefficient de x^ qui est un cube, on prendra sa racine
cubique comme coefficient de x, et en divisant par le triple carré de
cette racine le coefficient de x- dans la proposée, on aura le terme
indépendant. Ainsi soit proposé d'égaler à un cube

on prendra, pour racine du cube, 2a; + 2 (2a; étant la racine cubique
de 8a;' et 2 le quotient de il\ par 12, triple du carré de 2); le cube de
cette racine sera 8a;' + 24a;^+ 24a'' + 8; en l'égalant à la proposée,
on obtiendra x= —, et l'on passera ensuite au calcul des solutions
dérivées.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 387

Si le coefficient de x^ et le terme indépendant sont tous les deux des cubes,
il y a trois manières d'égaler à un cube l'expression proposée.

29. Soit proposé, par exemple, d'égaler à un cnhe x^ -\- ix'^ ^ l\x + \ .
Si nous prenons, pour racine du cube, x-^i (c'est-à-dire la somme
des racines cubiques des deux termes cubes), on aura à égaler l'ex-
pression proposée à x^ ^'^x- ^"ix -\- i, d'où x=^\. Nous pouvons

encore prendre, pour racine du cube, x -{- ^ de façon à éliminer les

termes des deux degrés les plus élevés; l'équation ne subsistera dès
lors qu'entre les termes des deux degrés inférieurs, et l'on en déduira

a; = — ^- Enfin on peut prendre ii-\--^x\ de façon qu'au contraire
il ne subsiste dans l'équation que les termes des deux degrés supé-
rieurs; on obtiendra ainsi la solution x ^ — tt-; chacune de ces trois
racines primitives fournira des dérivées, comme ci-dessus.

Réserve sur ce qui vient d'être dit.

30. Toutefois il peut arriver qu'une expression composée de quatre
termes, dont l'un des extrêmes est cube ou dont les deux extrêmes sont
cubes, ne puisse pas être égalée à un cube; c'est dans le cas où, après
la réduction des termes semblables, l'équation subsiste entre trois
termes (') ou bien où l'on n'a plus qu'un seul termC;, égalé à zéro.
Ainsi soit proposé : i + 3 j? + 3 j?" -H l\x'^ ; on ne peut procéder autre-
ment qu'en formant le cube (i-f-a;)': mais l'équation se réduit à
3a;''=:o; il est donc impossible d'égaler à un cube l'expression pro-
posée. De même, soit proposé : x^ + ix- + 3a; + i ; on ne peut trouver
qu'une seule solution immédiate et primitive, en prenant, comme ra-
cine du cube, X -\- ^-j car si l'on prenait a; + i , on aurait x- = o. Pour

(') Il est clair que ce n'est pas à supposer.

388 ŒUVRES DE FERMAT.

un motif semblable on ne peut égaler à un cube l'une ou l'autre des

expressions

x^ — 3j"- — Sx — I, x' — Sx^-t-Sx + i.

L'équation se réduit toujours à celle d'un seul terme au zéro.

Douze questions sur ce qui a été enseigné dans cette troisième Partie.

31. Ce que j'ai dit jusqu'à présent fournit une riche matière, d'où
l'on peut, comme d'une mine d'or, tirer un trésor de problèmes sans
fin. Ainsi on peut demander un nombre tel qu'en le prenant 20 fois,
ajoutant 10 fois son carré, 4 lois son cube et enfin l'unité, on ait un
carré. Si l'on demande en outre que ce nombre soit plus grand que 8 et
plus petit que 10, il faudra nécessairement, d'après ce qu'on a vu plus
haut (n° 23), partir de la solution primitive — 3, en dériver une autre

du premier degré : -; puis une du second degré : ; enfin celle du

troisième : ^) qui satisfait à toutes les conditions proposées. Mais ce
sont d'autres questions que je veux résoudre ici.

Trouver en nombres rationels entiers un triangle rectangle, tel que
son hypoténuse soit un carré, aussi bien que la so/nrne des côtés de
l'angle droit.

32. J'ai- déjà (première Partie, n° 45) résolu ce problème par la
double équation; mais comme il peut être abordé également au moyen
d'une expression composée de cinq termes, je vais le traiter de cette
seconde manière. D'après ce que j'ai dit à l'endroit précité, je forme
le triangle des nombres a? 4- 5 et 12; les côtés sont par suite :

57^-1- 10. r -H 169, ;r^+iox— 119, 2\x -h 120.

L'hypoténuse : a;-+ loa; -h 169 et la somme des côtés de l'angle
droit : x^ -+- 3/iX -+- 1 doivent être des carrés ; < le produit de ces deux
expressions, soit a;^ + 44^' ■+- Sjox- -+- B-j^Gx -+- 169, doit donc être

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 389

un carré >• que je forme en prenant pour racine i3 h ^o; -— x-; il

vient X = ^''^ ^ • D'où, pour les côtés, d'après les positions ci-dessus,

les nombres 1061652293520,4565486027761, 4687298610289,
qui sont les mêmes que ceux trouvés précédemment.

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un nombre donné en
retranchant l'aire de la somme de i hypoténuse et de l'un des côtés
de l'angle droit.

33. Soit 4 le nombre donné. Cherchons d'abord un triangle rec-
tangle tel que i'on ait un carré en retranchant le quadruple de l'aire
du carré de la demi-somme de l'hypoténuse et d'un coté.

Soient a; + i et a; les nombres générateurs du triangle; les côtés
seront : ix- + 20? + i ; 20; H- i ; 20;- -H ix. La somme de l'hypoténuse
et du côté suivant est ix'- -H [\x -f- 2; sa moitié est a;- + 2a; + i, dont
le carré x'' 4- [\x'^ + 60c- + 4-^^ + 1. diminué de quatre fois l'aire, c'est-
à-dire de %x^ -\- I nx- + l\x, laisse comme reste ar* — 4-2^' — 6a;- -1- i .
Égalons ce reste au carré {^x^ — nx-^ i )= = a;> _ 4 j;^ -i- 6a;'- — 4a; -+- 1 .

L'équation donne a;=^- D'après les positions, les deux nombres
générateurs du triangle seront ~ et ,) ou, en prenant seulement les

numérateurs, 4 et i; ils donnent. le triangle 17, i5, 8. Prenez ces
nombres comme coefficients de x. Les côtés du triangle cherché étant
ainsi supposés être 17a;, i5a;, 8a;, nous aurons l'équation

32.1; — 6oj?'=4, d'où x^^-k-

Le triangle cherché a donc pour côtés -~i -1^1 ô> et il satisfait à la

condition proposée. Cette question a été omise par Diophante après
ses problèmes VI, 10 et 11.

390 ŒUVRES DE FERMAT.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré
et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit
on ait encore un carré ( ' ).

34. Soit 3 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres
X -\-i et I ; les côtés seront x'- -{- ix -\- -i., x--\- ix, ix -+- 2. Multi-
plions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, 6a; -i- 6, au côté
intermédiaire, il vient a;- + 8a; -i- 6 qui doit être un carré, en même
temps que le côté intermédiaire. Faites le produit de cette somme,
X- -^'ix + 6, par le côté intermédiaire, x"^ -^ ix\ vous avez

x'' -\- 10 X^ -\- 11 X"^ -\- MX

à égaler à un carré, soit à

(x^-h3x — - I ^x'- -\- 10 x' -h 11 x^ — i5a:-i-y-

V ay . 4

Il vient X = —•

12

D'après les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers :
3i3, 25, 3 12. La même solution peut être obtenue par la double équa-
tion

a^^-f- 8.r 4- 6 = 0, x^+ix = n-

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré,
et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle
droit on ait encore un carré.

35. J'ai déjà donné une solution de ce problème (Part. I, n" 47),
mais par une autre méthode. Soit donc proposé de retrancher du côté
qui est carré le triple de l'autre côté de façon à obtenir un carré. Pre-
nons comme triangle primitif celui qui vient d'être trouvé pour la
question précédente, savoir 3i3, 20, 3i2, formé des nombres i3 et 12.

Formons le triangle cherché des nombres a; — i3 et 12; les côtés

(») Cf. Part. I, n''46.

TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 391

seront x- — i^ox -i- 3i3; a;- — rt&x + 25; l'^x — 3i2. Retranchons du
coté intermédiaire le triple du dernier, il reste a;- — 98a; + g6i qui
doit être égalé à un carré, aussi bien que le côté intermédiaire
x^ — i^x+ 23. Égalons en conséquence à un carré le produit de ces
deux expressions, savoir x'* — 124^;' H- 3534a;- — 27 436j;,+ 24025,

et formons la racine de ce carré : x- — 2. x + i55. De l'équation

100

on tirera x^= „ „ ' — : les nombres a; — i3 et 12, si l'on chasse les

dénominateurs, deviendront 23542921 et 3 820440; et en formant de
ces nombres le triangle demandé, on aura les côtés

568 864^71 oo5 84 1, 589673367418641, 179 888 634 210840,
satisfaisant à la question.

Trouver un triangle rectangle tel que l' hypoténuse soit un carré cl qu'en
retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné de
l'autre côté, on ait un carré. Soit 1 le multiplicateur donné ( ' ).

36. Prenez a; -1- i et i comme nombres générateurs du triangle; les
côtés seront : x- + ix -\- 2; x- -\- -xx; ix + 2. On devra donc avoir
a--+ 2a; -i- 2 =n et, en retranchant du côté intermédiaire le double
du dernier côté, a;-— 2a; — 4=n. Cette double équation donne

x = —■ par suite x -\- i et 1 deviennent et — > ou, en ne pre-

12' ^ 12 12 "^

nant que les numérateurs, — 5 et 12, dont on forme le triangle pri-
mitif 169, 119, 120.

Il faut dès lors recommencer l'opération, en prenant pour nombres
générateurs du triangle a; — 5 et 12; les côtés seront : x- — ioa;+ 169;
X- — loa; — 119; i^x — I20. Si l'on retranche du côté intermédiaire
le double du dernier côté, soit 4^^ — "240, le reste x^ — 58a; + 121
devra être un carré, de même que l'hypoténuse a;^ — loa; + 169. Éga-
lons à un carré le produit de ces deux expressions, c'est-à-dire

(•) cf. Part. I, n°48.

392 ŒUVRES DE FERMAT.

X* — 68a;'' + 870a;- — 1 1 oi 2a' -I- 20449 t't formons la racine de ce

,o 55o6 o -1 • 1 4503455 T,, .

carre : i4j jttoc + x-; il viendra 3?= .^ .„ ■ Mais nous pouvons

143 46046 '■

aussi suivre une autre voie, en ramenant les deux expressions à avoir
un même carré pour terme connu, on aura'

— -x^—- a;-i-i6Q = n et j"- — lOd" -i-i6q = n .

121 121 ^ ^ <-•

La différence des deux expressions est — x- — — ^a-, et on peut,
comme on l'a vu Part. I, n°21 et suiv., la décomposer en deux facteurs

2 , 24 42q6 . j . , . 1 I 4593455 „,

— xei—x — qui conduisent a la valeur x = . ,? 7^ • D après

1 1 1 1 1 1 ' 46 046 •

les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers :

19343046113329, 18 732 4i8 687 921, 4 821 817 4oo 400.

Trouver deux nombres tels que le produit de leur somme par la somme
de leurs carrés soit un cube.

37. Soient x ci i — x les deux nombres cherchés; leur somme, 2,
multipliée par celle de leurs carrés, qui est 2a;- — 4^ + 4. donne
4a;-— 8a; + 8, qui doit être un cube. Formez la racine de ce cube :

2 — ^a;, et égalez-le à l\x- — 8a; + 8; il viendra x— — ^- le substitue

en conséquence x —- 'n x dans l'expression [\x- — 8a- + 8 ; la trans-

/.- 44 \' ,
formée est [\x- — 44^ + • 25. Je l'égalerai au cube ( 5 — ^^ a; j , et j'au-
rai ainsi

r ,, 58o8 , 85 184 , , ,,
125 — 44 -f H -^ — 7 — ?r^ =4 •37" — 44-^-1-123,

1120 42107a

d'où a; = a^ Q/°i J*' retranche de cette valeur -> puisque j'ai substitué

a; — -; j'ai pour valeur de x dans les premières positions — ^.- Si,

d'après la position pour le second nombre cherché, je retranche cette

valeur de 2, il reste '^^\-
21 290

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 39:$

Remarquez : i° que les numérateurs 26793 et 10799 satisfont à la
question.

2° Que l'on a résolu de fait le problème suivant : Partager le nombre 2
en deux parties, de façon que le double de la somme des carrés des
parties soit un cube.

3° Que l'on peut résoudre de la même façon cette autre question :
Trouver deux nombres tels qu'un multiple quelconque de la somme de
leurs carrés fasse un cube. Ainsi, si l'on demande que le quintuple de
la somme des deux carrés fasse un cube, vous poserez x et 5 — ce pour
les racines cherchées et vous continuerez comme ci-dessus.

Enfin de cette solution on peut déduire également celle d'un très

beau problème : Trouver deux nombres tels que leur différence soit

égale à la différence de leurs bicarrés. Si l'on prend en effet les deux

nombres trouvés ci-dessus, 26 798 et i5 799, et, comme dénominateur

commun, la racine du cube produit par la multiplication de leur somme

et de la somme de leurs carrés, racine qui est 34 54o, on aura les deux

1 i, 1 ■ 26703 , 1570Q

nombres cherches „. ', - et „,i; ■
34 540 34 o!^o

• ♦

Trouver deux triangles rectangles ayant une même différence entre leurs
moindres côtés, et tels que le plus grand côté de l'angle droit de l'un
de ces triangles soit égal à l' hypoténuse de l'autre.

38. Formez le premier triangle des nombres a; et i; les côtés seront
.r'-f- r, X- — I, IX. Donc le second triangle aura x- _-\- i comme plus
grand coté de l'angle droit, et le plus petit s'obtiendra en retranchant
la dilférence des deux moindres côtés du premier triangle, c'est-à-dire
.X- — IX — i, ce qui donne 2x + 2. Reste à satisfaire à la condition
(a;-+ r)-+ (2a; -I- 2)- = n. En développant, j'ai comme somme des
carrés ir''H- 6.r- + 8a; -H 5 que j'égalerai à (.r--f-3)-, ce qui donne

x'' + Qix- + n = .r' + 6j;- H- 8 j:- + 5. D'où x = -•

2

D'après les positions, en chassant le dénominateur, les nombres

entiers générateurs du premier triangle sont i et 2, mais le premier

ni. — Fersht. 5o

:?9V ŒUVRES DE FERMAT.

('s(, infcriourau second, en sorte que l'on aurait un nombre faux comme
coté du triangle, ce qui est absurde. Il faut donc, pour remédier à cet
inconvénient, recommencer l'opération, en formant le triangle des
nombres a* + i et 2.

Les côtés du premier triangle seront donc j""+ 2.r + ^•,x--\- ix — 3;
!\x + 4. Pt les moindres côtés du second x- -h 20- -h 5 ; !\x -h 12. La
somme des carrés de ces deux derniers côtés fait

x'*+ 4"t''+ 3o j---)- I iGx -+- 169,

et doit être un carré. On peut en former la racine de plusieurs façons.

Prenons ( i3-f-^ a- — j;-j ; l'équation donne j: = — -^7-^- Les nombres

entiers générateurs du triangle seront, d'après les positions et en
chassant les dénominateurs, — 979 et 1092. On peut s'en servir
comme si tous deux étaient vrais et former le triangle des nombres io9<
et 979. On aura ainsi les deux triangles

2i5o9o5, 2i38i36, 284023,
2i65oi7, 2i5o9o5, 246792,

qui satisfont à la question.

Tromer deux triangles rectangles ayant une même somme pour les côtes
de l'angle droit et tels que l'hypoténuse de l'un soit égale au plus
srand coté de l'angle droit de l'autre.

39. Formez le premier triangle des nombres .r -f- i et 1 ; les côtés
seront : x'- -\- ix -h •2; x'--i-2x; ix -1- ?.. Le plus grand côlé de l'angle
droit du second triangle sera égal à l'hypoténuse x--\- 2.1-1-2, et, si on
le retranche de la somme des côtés de l'angle droit du premier triangle,
il restera ix pour l'autre côté du second triangle. La somme des carrés
des côtés de l'angle droit de ce triangle fera dès lors

^'•-\- l\ X^ -+- I 2 X- -t- 8 X + 4 ■

I

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 395

Je l'égale au carré (.r- -^ ix -\- 4)" = x'' -\- ^x^ -h 120;-+ iGj; + 16; il

vient j'= — -.
2

3 ,
Je substituerai, par suite, x 'kx dans l'expression

x'' + !\ x^ + 12 x"- -\r % X -{- !\\

la transformée est a;'— ix^ -\ x- — —x^ — et je l'égalerai au

2 2 16 •' "

carré i^ ^x 4- x-\ ; l'équation me donne a- = — ; si j'en retranche

> j'ai —. pour valeur de x dans les premières positions. Par consé-
quent, en nombres entiers a; -1- i et i deviennent, si je chasse les déno-
minateurs 29 et 2G qui engendrent le premier triangle cherché iSiy,
i6.5, i5o8. On en déduira le second : 1.52.5, i5i7, i56.

On peut arriver autrement ;i la solution en partant de la valeur

3
.r ^ - — trouvée en premier lieu. Si on la substitue dans les expres-
sions .r -+- I et I, on aura en entiers : — i et 2. On prendra dès lors
comme nombres générateurs j; — r et 2 et l'on recommencera l'opéra-
tion. Les côtés du premier triangle seront a:-- — ix -1- 5; x- — 20- — 3;
[\x — 4; les côtés de l'angle droit du second : x- — ix ^ 5; l\x — 12,
la somme des carrés de ces derniers fera x" — 'iX^ ^'iox- — i rGj--i-i()f)

l't on l'égalera au carré ( i3 ijX-\-x'-\ ; d'où x z= - ■ Dès lors, en

entiers, x — i et i deviennent 29 et 26. c'est-à-dire les nombres trou-
vés i-i-dessus et conduisant aux mêmes triangles.

Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, et tel que
la somme de l'un des côtés de l'angle droit et d'un multiple donné de
l'autre calé soit également un carré.

40. Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle cherché des
nombres j" et 1; les côtés seront j'^ + i. x^ — i, 2x; ajoutons /^x,
double du dernier coté, au premiei' côté de l'angle droit; il vient
x'- -h 4j? -' I qui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse ir-+ i.

39<i ŒUVRES DE FERMAT.

La difTéreiuo de cos doux expressions est 2 — 4'^. Pt l'on trouvera, par

suite, la valeur x = —• Mais x doit être plus grand que l'unité; il faut

donc recommencer l'opération, en prenant pour nombres générateurs
.r + 5 et 12.

Les côtés seront : j"- -1- i om- -1- 1 69 ; ^-+ioj— 119; 24-r-i-i2o.
Ajout(ms au côté intermédiaire le double du dernier, c'est-à-dire
48 j- -+- 240; il vient j:-- + 5Sjc + 121 qui doit être un carré aussi bien
(|ue l'bypoténuse x" -+- tox -+- 1G9. Egalons à un carré le produit de ces
lieux expressions, soit x'' -h G8x^ -+- S^o^r- + i ioi2j: -f- 20449» *"' '"'""

/ ,0 55o6 6262708 A- ,

nions ce carre : 140 H pr^ — r^ — -^ ; on trouvera

V 143 2924207 J

I 991 780 029 642 496

3o 670 462 287 36o

Les nombres entiers l'ormant le triangle seront 2 i45 082 34i 079296
et 368045 547 448 320; il est facile de le calculer.

Trouver un hirarré tel que son triple, ajouté à un autre bicarré
que l'unité, fasse un carré.

41. On demande que le second bicarré soit dillerent de l'unité,
parce (ju'autrement la question serait trop facile, puisque l'on a
3 X I + I = 4 et 3 X 16 + I = 49- •'<- prends pour racine du bicarré
cherché le nombre x — i. Son bicarré est x^ — !\x^ + &x- — 4-f + ' •
Triplant et ajoutant j-\ j'ai '\x'' — 120-' -1- i8a" — la.r -t- 3, quej'égale

au carré ( 2J"- — 3j:' + j\ , d'où a" = -3-- D'après les positions, en

V 8

nombres entiers, la racine du bicarré sera 3; en triplant ce bicarré, 81.
cl en ajoutant le bicarré ii64i du numérateur 11, on aura 14884.
c'est-à-dire 122-.

On ])eut aussi prendre le double de 3, c'est-à-dire 6, tripler son bi-
carré et ajouter 22' (bicarré du double de it); on aura 238 i44 ou
',88-.

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 397

De mémo, en triplant 3 et i i, ce qui donne 9 et 33,
3 X 9' + 33* — I 2o5 6o4 — 1 098'- ;
el ainsi de suite indétiuiment.

Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carré en ajoutant
le carré de i hypoténuse à un multiple donné de Vaire.

42. Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres
a; et i; les côtés seront : x- -\- i\ x- — i\ -ix; le carré de l'hypoténuse
est .r* + ix^ + i; en ajoutant le double de Taire, c'est-à-dire a.r'' — 2.r,

y,\\ x'' -\- ix'^ -\- IX- — IX -\- \ que j'égale au carré ( .r- -4- -r + - j . Il

vient j'=: -y-, mais, cette valeur n'étant pas supérieure à i, on ne pciii
4

former le triangle sans tomber sur des nombres faux; il faut donc

recommencer l'opération en substituant x -\- -, ii x dans l'exitression
> 4

égalée à un carré.

La transformée est j"* -f- 3^-' + 4--K'' %x-\ — S que j'égalerai an

8 16 256 ' •' °

/i3 9 5077 „\2 ,, . , ,,, 2o5i2544 • . . I
carre ( — -^ x -*— — *^" • ■' t-irtf»^ i ^ \ ^ — zz

^ ^^ -{ -^-x- . Il vient (') x= -, — —; ajoulant 7' n

16 26 2197 / -' 20949120 ■' 4

cause de la substitution, on aura, comme valeur de .r dans les premières
positions g — „ "*' • Les deux nombres générateurs du Irianule rectanijli'

' 5 237 280 0 fi r>

seront donc en entiers 6437 456 et 5 23^ 280. Il y a un cas uiii(jne
pour lequel le probli'me est impossible ('-).

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranclutnl
l'aire du carré de l'un des côtés de l'angle droit.

43. Formez ce triangle des nombres x — i et 4; I<'s côtés seront :
X- — 2J7 + 17; X-— IX — i^; 8.r — 8. En retranchant son aire,

(') Los nombres qui suivent sont entachés d'une erreur do calcul; il faut corriiçoi'

22 202 54 4

■r — — — , ce qui pour les nombres irénérateurs du trianele donne 6 85q aSti el

20 949 120 ' '^ '^ " •' ^

5 237 280, ou en nombres niinimi, 57 1 603 et 436 44o.

('^) Cette remarque parait se rapporter au cas où le multiplicateur donné est 8.

:J!)S ŒDVHES DE FERMAT.

\j^' — i2.r- — )2a.'-(-()o, (In carrr du socontl i-ùtr, i-'cst-à-diro de
,r* — '(./■•' — aG.r- +()o.2- 4-22.), il reste x'' — Sx'' — 1 'j j:-- -1- 1 i 2 a' H- 1 G5, à

égaler il un carré, soit à (i"' — ir — 1^)'. Il vient .r ^ ^- Je snl>-

sliln(> par snile x '- dans l'expression à égaler à un earré ; la (rans-

,. . , . ..^ ., 1007 ., 5431 81220 , p. I

tonnée est x — inx' H x- x H -r- ■ Je I egali' au earre

■î a I h -

( •> 385 \'- ... , 5428 . . , I.'. , 1 ,

( X- — i()j' 7- I • H vient x = — ^ ; si je retranelie — a eause de la

>ul)stitnln)n. puis l'unité, d'après les positions, les nombres génér;:-
teurs du triangle reetangle seront en entiers Oooi et 2280. Le triangle
elierehe sera '|i 210401, 3o8i3Gai, 27 3lJ1 jtio.

TRADUCTION

DU

COMMERCIUM EPISTOIJCUM

Di; VVALLIS.

CORRESPONDANCE

RÉCEMMENT ÉCHANGÉE

SUR CERTAINES QUESTIONS MATHÉMATIQUES

entre les très nobles

Lonn William Viccmïe Broincker, Anglais,
Sir Kenelm Digby, chevalier, Anglais,
M. Fermât, conseiller au Parlement de Toulouse.
M. Frenicle, gentilliomme, de Paris,

et

Sir John Wallis, professeur de Géométrie à Oxford,

M. Prans Van Schooten, professeur de Mathématiques à Lcyde,

et autres.

Éditée par .lolm Wallis, docteur do Théologie, professeur en la chaire de Géométrie
de Savile à la très célèbre Académie d'Oxford.

Oxfnrd, imprimé par A. Lichficld, typographe de l'Académie,
aux frais de Th. Robinson, i658.

[Réédité dans le Tome second des CEuvres de Wallis, Oxfnrd, iiigî.]

I

DEDICACE

DE

JOHN WALLIS

AU TRÈS ILLUSTRE ET TRÈS NOBLE

SIR KENELM DIGBY,

CHEVALIER EN ANGI-ETERnE.

TllÈS ILLUSTRE ET THÉS NOBLE CHEVALIER,

Chaque fois qu'à pari moi je repense aux nuilliples obligations que je vous
ai, je désespère entièrement d'égaler mes titres à vos faveurs; il ne uie reste
pas même à compter pouvoir, pour de tels bienfaits, acquitter ma dette de
remercîments. J'oserais plutôt me croire capable de triompher de toute autre
difficulté, que de celle de vous témoigner une reconnaissance digne de vous
ou égale à mon devoir. En tout cas, je dois considérer comme un honneur
insigne, inappréciable, que votre faveur ait daigné venir me chercher sans
que j'aie eu à l'implorer et quand j'étais loin d'y prétendre; mais bien |)lus,
vous m'avez de vous-même recommandé, moi et mes travaux, à d'autres per-
sonnages de premier ordre; et pour mes intérêts vous avez montré autant de
sollicitude, pour ma renommée, déployé autant de zèle, que s'il se fût agi de
vous-même.

Ainsi donc cela est de vous, cela vous est entièrement imputable, que j'aie
été appelé à correspondre avec vous et en même temps avec ces autres per-
sonnages illustres; que vous ayez obtenu d'elles à mon endroit de tels éloges,
qu'ils dépassent tout ce que je pouvais, je ne dis pas me promettre, mais
espérer d'elles; qu'il me sera impossible de me les arroger, sans enfreindre
les règles de la modestie. Si en effet, pour nous conformer à vos désirs, nous
avons, le très honorable Vicomte Brouncker et moi, abordé quelques pro-
blèmes, tant d'Arithmétique que de Géométrie, proposés par les célèbres
Fermai et Frenicle (que la France, ainsi que vous le dites, estime les pre-
miers en ces sujets); si nous en avons donné la solution, nous ne prétendons
point pour cela, je dirai mieux : nous n'avons jamais espéré ni* nous faire

KtnM\T. — III. 3 1

W2 ŒUVRES DE FEHMAT.

traiter d'Hercules ou de Sanisons, ni vous voir mettre au rang des premiers
maîtres de ce siècle ('), éloges par lesquels des hommes aussi supérieurs que
nos correspondants ont su nous l'aire rougir. Je parle pour moi du moins:
car je ne voudrais eu rien rabaisser les titres du très noble et très savant
Vicomte.

Mais de telles personnes ont droit, elles aussi, à des remercîments que. je
vous prie de leur adresser en mon nom, pour avoir daigné in'iionorer de leur
commerce et me traiter avec tant de bienveillance; car il ne faut uullemcut
tenir compte de quelques expressions, parfois un peu sévères, échappées
dans le cours des discussions. Je voudrais les prier à mon tour de vouloir
bien e\cuser ce que nous avons pu, le très honorable Vicomte et moi, écrire
de notre côté un peu trop librement; si, de même, nous avons manqué à leur
accorder tous les titres auxquels a droit leur rang, c'est que j'ignore les
usages et les dignités de leur pays; j'aurai, bien contre mon gré, commis
une faute à l'égard de personnes aussi illustres et aussi émiuentes.

De vous enfin, très illustre Chevalier, de vous que, rendu toujours plus
audacieux par votre faveur même, nous avons tant de fois fatigué, c'est de
l'indulgence que je réclame, non pas un éloge. Ne dédaignez pas, je vous en
prie, d'accepter l'offre que je vous fais de ce qui vous appartient, car presque
tout en a été écrit par vous ou à vous.

Mais vous avez, nous le proclamons, également ilroil à la reconnaissance
p(djlii|ue pour avoir, cette fois comme ailleurs, défendu avec autant d'ar-
deur la nation anglaise, montré autant de souci pour sa gloire; à part du
moins cette erreur pardonnable tl'avoir appelé, pour lutter contre de pareils
athlètes, uu champion aussi chétif, aussi peu exercé que moi. Car si, en cette
alfaire, je ne m'en suis pas tiré trop malheureusement, je ne voudrais pas
qu'on jugeât des forces des Anglais sur l'échantillon de ma faiblesse.

Adieu, très insigne Seigneur, ])uissiez-vous rester longtemps encore l'actif
promoteur des belles-lettres et l'ornemenl de la nalion anglaise.

( ' ) Expressions do Frciiicle. — l'olr ci-api'ès les Lellres il, i2 el 43.

CORRESPONDANCE

RECEMMENT ECHANGEE

SUR CERTAINES QUESTIONS MATHEMATIQUES.

LETTRE 1.
Vicomte Brouxckek a John Wallis, a Oxford.

Votre lettre du 22 fevrier/4 mars, clarissimc professeur, me lai(
profondémentscntircombien je vous suis redevable et par quels liens,
plus forts de jour en jour, vous m'attachez à vous; car la bienveillante
acception que vous avez daigné donner à la liberté dont j'ai usé à
votre endroit est pour moi un véritable bienfait dont je vous rends
grâces du fond du c(eur. V'ous trouverez dans ce pli un papier que
j'ai reçu hier de iM. White et qu'il m'a prié de vous faire parvenir. La
proposition est, je crois, plus dillicile qu'elle ne parait au premier
abord; car, autrement, elle ne mériterait guère le titre que je lui vois
donné. En tous cas, je ne doute point que vous n'en trouviez promp-
tement la solution, qu'obtiendra peut-être aussi quelque jour

Votre très fidèle et très respectueux ami,

Brouxckeu.
5/i5 mars 1656/7.

Le papier inclus était ainsi conçu :

« De!ft de M. Fermât pour M. Wallis avec les vives recommandations
du messager, Thomas White. »

(Voir la pièce 79" de la Correspondance de Fermât, Tome II, page 333 ;
traduction, Tome III, {)agc 3i r.)

W)i ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIOiVS.

LETTRE II.
.loH.N Wallis a vicomte Brouncker, a Londres.

Très honorable Mylord, j'ai reçu la nuit dernière votre lettre datée
do la veille, et en même temps le papier inclus de M. Fermât. La ques-
tion est à peu près du même genre que les problèmes posés d'ordi-
naire sur les nombres dits parfaits, déficients, ou abondants; ces pro-
blèmes, et autres de même espèce, ne peuvent guère ou ne peuvent
pas du tout être ramenés à une équation générale, embrassant tous
les cas. Quoi qu'il en soit au reste de celui dont il s'agit, il me trouve
trop absorbé par de nombreuses occupations, pour que je puisse lui
consacrer immédiatement mon attention. Mais je n'en ferai pas moins,
pour le moment, cette réponse :

Le seul et même nombre i satisfait aux deux demandes.

Qu'il me soit également permis de proposer une question sem-
blable :

Trouver deux nombres carrés tels que, si ion ajoute à chacun d eux
ses parties aliquotes, on ait la même somme.

Par exemple : i6-i-8 + 4 + 2 + i = 3i = 25-i-5-i-t.
Il s'agit de trouver un autre couple semblable.
Je souhaite la meilleure santé à Votre Seigneurie, je l'assure de
l'empressement de mon respect, et je vous prie de voir en moi.

Très honorable Mylord,
De Votre Seigneurie le très obéissant serviteur,

J. Waixis.

0\f()rd, 7/17 mars 1656/7.

Immédiatement après l'échange des lettres qui précèdent , on remit à
Mylord vicomte Hrouncker une troisième question (') de la part du même

(') La pièce 81 de la Correspondance de Fermai, t. Il, p. 334, '• III, p. 3i2.

COMMERCIUM DE WALLIS. 405

.1/. Fermât, qui semblait ainsi abandonner les premières , résolues dans
l'inlen-alle, parait-il, par M. Frenicle. Mylord indiqua la solution de cette
troisième question, en même temps que celles des deux précédentes, sous
une forme très brève, dans un écrit qu'il remit à M. White, lequel lui
avait transmis le message; ce fut, je crois bien, dans ce même mois de
mars. M. Whilefit parvenir cet écrit à Paris ; mais comme Mylord Vicomte
n'en a conservé aucune copie, nous ne pouvons l'insérer ici textuellement :
le sens en sera toutefois reproduit ci- après. Lettre IX. Il s'ensuivit que
nous ne nous attachâmes plus dès lors à une solution ultérieure des ques-
tions précédentes, que leur auteur lui-même nous paraissait négliger,
puisqu'il leur avait substitué un troisième problème, dans lequel il mettait
plus de confiance; or ce problème avait été, presque aussitôt, résolu par
Mylord Vicomte.

LETTRE III.
Vicomte Brounckhk a John Wallis.

La lettre ci-incluse, ciarissime professeur, a été écrite par M. Fermât
au très illustre chevalier Kenelm Bigby et m'a été remise la nuit der-
nière par M. White; j'ai cru devoir saisir la première occasion pour
vous l'envoyer.

Que M. Fermât ne soit pas encore pleinement persuadé de la vérité
de votre quadrature du cercle, je le crois sans peine; car, si je ne me
trompe, il n'a regardé votre Traité qu'à la légère. Autrement il me
semble qu'il eût remarqué, dans les propositions loi, 102, io3, 104,
io5, le contraire de ce qu'il paraît vouloir donner à entendre, en par-
lant de ses hyperboles infinies, à savoir que vous n'auriez pas considéré
ces figures.

Mais ce qu'il dit de leurs centres de gravité indique bien qu'il mérite
vraiment la réputation qui est venue jusqu'à nous, et je crois qu'il
vous sera aussi agréable qu'à moi de voir la démonstration et la règle
générale qu'il annonce à ce sujet.

Comme cet envoi est autographe, je crois que M. White s'attend à

iOG ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

ce que je \c lui rende; je vous prie donc, clarissime professeur, de le
retourner à

Votre très fidèle et très respectueux ami,

Brouncker.

, 3o mai ,,
Londres — ^~. — 1637.
9 juin

«

LETTRE W

(incluse lians la prucédentc).
Fermât a Ke.velm Digbv. chevalier en Amjleteiire, a Paris.

De Caslres, le 20 avril 16J7.
(Voir la Correspondance de Ferma/, n° 82, t. II, p. ^i~- )

f

LETTRE V.

.loH.N WaLLIS Al' TIIÈS ILLUSTRE CHEVALIER SiR Ke.NELM DiGBY.

Ce n'est pas pour moi, très noble et très savant chevalier, une mince
récompense de mon travail que de vous voir daigner examiner par
vous-même le modeste fruit de mes dernières veilles et, comme s'il en
valait la peine, demandei' à son sujet le jugement d'autrui. Le nom
célèbre de Digby, le parfait savoir de celui qui le porte, ne peuvent
être ignorés de personne, après les écrits (pour taire le reste) que
vous avez donnés au public et qui sont pleins d'une science univer-
selle; ce n'est donc pas une petite gloire que d'avoir pu, sinon satis-
faire entièrement un tel homme, au moins accomplir un travail qu'il
estime assez pour ne pas le dédaigner entièrement. Mais ce qui
rehausse le plus votre insigne clémence, compagne de la véritable
noblesse, c'est (jue vous avez comblé de cet honneur immérité un
homme tout à fait obscur et que vous ne connaissiez aucunement d'ail-
leurs.

Ainsi par cette lettre que vous a écrite le très noble M. Fermât, el

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 407

que, dans votre parfaite courtoisie, vous m'avez t'ait communiquer
par M. Wliite, obligeance qui me fait votre débiteur, j'apprends que
vous avez et demandé et obtenu le jugement de Fermât sur mon
Ouvrage. J'en dois également de la reconnaissance à ce très noble
savant, qui a daigné parcourir ce Traité, qui en a porté un jugement
assez honorable pour moi, enfin qni veut bien estimer et l'œuvre et son
auteur; je ne puis qu'apprécier hautement cette faveur d'un tel
homme, si habile en mathématiques.

Votre très noble Correspondant pense que je n'ai aucunement eu
vent de ce qu'il avait dès longtemps trouvé sur la quadrature des para-
boles et des hyperboles; cela est si vrai que, si je m'en souviens, je
n'avais même jamais entendu prononcer le nom de Fermât (laissez-
moi confesser ingénument mon ignorance), avant que ce que j'ai
publié sur ce sujet n'eût été écrit depuis longtemps ou même déjà
imprimé; sans quoi je n'aurais pas dissimulé ce que j'en aurais pu
savoir, .le regarde même comme un privilège d'avoir pu, par là, con-
naître un tel savant, et suis bien loin de vouloir rien diminuer de ses
inventions; je voudrais bien plutôt le voir mettre au jour et ne pas
cacher jalousement au monde savant les découvertes qu'il garde à part
lui, et qui, j'en suis bien persuadé, sont tout à fait excellentes.

Mais pour ce qu'en contient sa présente lettre, j'ai bien peu à dire.
Les nouvelles hyperboles, comme il les appelle, carrées par lui, ce sont
précisément les figures dont, dans mon Ariikméllque des infinis, j'ai
enseigné la quadrature prop. 102; de même celle de ma prop. 103 est
une véritable hyperbole, comme je l'ai indiqué prop. 95. Quant à celles
qu'il exclut comme n'étant pas susceptibles d'être carrées, je les ai
également exclues prop. 104; car lui et moi parlons exactement des
mêmes. Toutefois (je ne sais s'il y a suffisamment fait attention), ces
courbes de la prop. 104 ne diffèrent point de celles de la prop. 102;
elles leur sont au contraire identiques, sauf qu'elles sont prolongées
de l'autre côté; ce que j'ai indiqué prop. 10.).

J'ai également montré comment il se fait que, parmi de telles figures
prolongées à l'infini, les unes sont infinies en grandeur, les autres

vos ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

sont au contraire de grandeur finie et par conséquent peuvent être
égalées à des aires finies; le scholie de la prop. 101 donne, si je ne
me trompe, la raison naturelle et immédiate de cette merveilleuse
propriété; cette raison est-elle bien la même qu'assignait Fermât,
écrivant à Torricelli? Je ne pourrais le dire, à moins de connaître ce
([u'il disait.

Cependant, si votre très noble Correspondant voulait bien indiquer,
soit sa méthode de quadrature des paraboles ou des hyperboles, soit
encore ce critérium qui distingue dans l'es figures de ce genre les infi-
nies des finies, j'entends la véritable raison de cette propriété, cela
me ferait le plus grand plaisir. Car si ma méthode m'a suffi, comme
je l'ai dit, pour ce double objet, je n'ai pas coutume d'avoir pour mes
découvertes tant de prétentions, ni tant de partialité non plus, que je
croie pour elles devoir négliger celles des autres.

Je ne puis penser autrement pour les spéculations qui concernent
le centre de gravité, sujet que j'ai, à dessein, complètement omis. En
effet, ces mêmes principes dont je me sers permettent de déterminer
sans difficulté le centre de gravité, tant des paraboles de tout genre
que de la plupart de toutes les autres figures, planes ou solides; j'ai
même eu un moment l'intention de m'y arrêter; mais, pour ne pas me
perdre dans les digressions, pour ne pas trop rompre le fil des théo-
rèmes etfatiguer le lecteur par l'excessive variété d'une matière entre-
mêlée, j'ai cru devoir m'abstenir entièrement de cette spéculation
comme de bien d'autres qui auraient eu leurs attraits. Je me suis con-
tenté d'indiquer parfois du doigt (dans les scholies) ce que j'omettais
à dessein, et souvent je n'ai même pas donné ces indications.

Votre très noble Correspondant veut bien promettre courtoisement,
pourvu que j'en exprime le désir, de me communiquer ses décou-
vertes à ce sujet. Qu'il croie bien qu'à moins qu'il y trouve quelque
ennui, il me ferait de la sorte le plus grand plaisir; car je ne puis
attendre de lui rien que de parfait et de sublime.

Enfin, pour la quadrature du cercle que j'ai donnée, il indique
qu'il n'en est pas pleinement persuadé, remarcjuant particulièrement

COMMERCIUM DE WALLIS. M9

que ce qui se déduit par comparaison en Géométrie ne procède pas
toujours sans s'écarter parfois de la vérité. J'admets sans peine qu'il
garde quelque défiance là-dessus, tant qu'il n'aura pas plus soigneu-
sement examiné la question; je n'ignore pas qu'on est là sur une
pente glissante et où un faux pas se fait bien vite. Alais précisément
parce que je le savais très bien, j'ai été d'autant plus prudent et atten-
tif, j'ai cherché à être aussi clairvoyant que possible tout le long du
chemin pour ne pas me laisser surprendre de la sorte et entraîner
dans quelque erreur. Aussi, j'en ai la confiance, mes précautions ont
été telles que je ne me suis nulle part servi d'aucune comparaison
qui ne puisse supporter l'examen géométrique et qui ne soit assise
sur le fondement d'une légitime démonstration. J'ai bien pu ne pas
toujours en donner les prolixes développements; je cherchais h m'é-
pargner nn travail pénible, à éviter l'ennui au lecteur; mais ce qui
peut arrêter, je suis en mesure de le suppléer facilement.

Quant au fond de la question, ce qui fait d'ailleurs que je ne suis
pas trop inquiet sur la vérité de mes propositions, c'est que le très
honorable Seigneur William vicomte Brouncker, si compétent dans la
matière et dont j'aurais dû faire mention, dans les termes les plus
élogieux, à la prop. 191, ayant entrepris une vérification numérique
et conduit son calcul jusqu'au dixième rang, a trouvé que tout allait
à souhait. Car il a obtenu pour le rapport de la circonférence au dia-
mètre

plus que de 3, i4i jg 26535 ôq. . . . /

à I,
moins que de 3 , 1 4 1 39 26o36 96 ... . )

ce qui concorde avec les nombres de Ludolf Van Keulen et autres;
de plus, dans toute la suite du calcul, il a trouvé, comme il le fallait,
un rapport alternativement en excès et en défaut; je ne doute donc
pas que je ne sois arrivé à un résultat véridique.

Voilà ce que je crois, très noble Chevalier, devoir dire sur la lettre
de Fermât; vous pourrez lui en faire part, si vous le jugez à propos.
Il me reste, après vous avoir témoigné ma reconnaissance pour l'hon-
febmat. — m. 52

ilO ŒIVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

ncur que vous avez bien voulu nie faire, après vous avoir fait mes
meilleurs souhaits, à me déclarer.

Très noble Seigneur,
Votre très respectueux et très obéissant
J. Wallis.

Oxford, 6/1 G juin 1657.

LETTRE VI.

Kenelm Digbv a John Wallis.

ThKS liONOUÉ ET ILLUSTRK MONSIEUR,

La lettre que vous m'avez fait la faveur et l'honneur de m'écrira le
G juin est arrivée pour moi dans cette ville quand j'en étais absent,
et, immédiatement après mon retour, j'ai été pris d'une maladie (reste
d'une plus forte que j'ai eue à Poitiers) et de la sorte empêché jus-
qu'à présent de vous adresser ces humbles remercîments et de m'ac-
quitter des respectueux égards que je vous dois. Et maintenant que
je suis hors d'affaire, je me trouve dans la crainte de rester bien au-
dessous ou de ce que je désire ou de ce que je dois faire. Car, à consi-
dérer que la mesure de toute civilité ou reconnaissance est à prendre,
soit de la dignité de la personne qui la rend, soit du mérite de celui
qui la reçoit, je trouve de part et d'autre une disproportion si énorme
(pour le cas qui se présente à moi), qu'il n'y a ni obséquiosité de lan-
gage, ni politesse d'expressions qui puisse en faire la balance. Je ne
m'embarquerai donc pas moi-même dans cette tâche impossible; mais,
voyant que c'est simplement votre bonté qui vous a disposé à être
ainsi bienveillant et favorable pour moi, j'aurai recours à cette même
bonté, en vous suppliant d'accepter la profession que je vous fais ici
en toute vérité et sincérité, que, de même que j'honore très haute-
ment vos grands talents et mérites, ainsi que les nobles productions
de votre puissant et savant esprit, qui fait de vous l'honneur de notre
nation et l'envie de toutes les autres, de même je vous attribue le

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 411

droit de me commander toujours tout ce qui pourra dépendre de moi
pour votre service et en toute occasion je l'accomplirai avec une aussi
prompte exactitude que vous pouvez le désirer du plus dévoué ami et
serviteur que vous ayez.

Ma santé ne m'a pas permis d'écrire à M. Fermât jusqu'à hier(')
(jour de poste pour Toulouse); je lui ai d'ailleurs envoyé alors copie
de la lettre que vous m'avez adressée. Ce que je recevrai de lui en
retour, je vous en donnerai aussitôt connaissance, et je me considère
comme très heureux et très honoré d'être l'intermédiaire de la com-
munication entre deux aussi grands personnages. Je compte que
M. White vous enverra la copie de la dernière lettre de M. Fermât à
moi (°), copie que je lui adresse maintenant pour qu'avant de vous la
faire parvenir, il la montre à Mylord Brouncker, dont il y est t'ait
mention. Je crois assez que les lettres de Mylord n'ont pas été bien
traduites à M. Fermât. Mais quant à son doute, que la solution de son
problème par Mylord ne serait pas bonne, parce qu'il l'a traité à la
légère, ce n'est pas un bon argument, comme M. de Frenicle l'a mon-
tré par expérience. Car, ce même problème lui étant montré comme
un déti à tous les mathématiciens de l'Europe, il donna immédiate-
ment à la personne qui le lui apportait quatre solutions (en quatre
nombres différents), et il lui en envoya six autres le lendemain matin
et, de plus, à résoudre un problème tiré de son fonds, problème où
l'autre trouvera, je crois, une rude besogne pour lui.

Je ne dois pas prendre congé de vous, avant de vous avoir dit un
mot ou deux de votre digne collègue, le Docteur Ward. H y a déjii
quelque temps que j'avais entendu parler de son livre contre
M. Hobbes, et M. White l'avait envoyé par ici pour moi, pendant que
j'étais en Languedoc; mais je ne l'avais pas vu jusqu'à présent, où je
viens de le dévorer d'un bout à l'autre avec beaucoup de plaisir et de
contentement. Seulement, là où il lui a plu de parler avantageusement
de moi au delà de mon mérite (excessivement au delà), le sang m'a

( ') Mardi 3i juillel 1CJ7.

(-) N" 83 de la Correspondance de Fermât, t. II. p. SJi.

412 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

monté aux joues; j'ai rougi de honte de ne pouvoir répondre à l'idée
qu'il éveillait de moi, et la honte étant une sorte de chagrin, vous
croirez aisément que ces éloges immérités doivent m'étre pénibles.
Pourtant, à vous confesser la vérité, je ne peux pas me sevrer telle-
ment de la vanité que je ne sois ému et charmé (et cela très profondé-
ment) par tout ce que dit favorablement de moi un homme si instruit
et si excellent.

Je terminerai ce point qui le concerne en vous suppliant de lui
offrir mon très humble service (car, je pense, vous le voyez souvent),
avec de très vifs et respectueux remercîments pour son excessive civi-
lité à mon égard, comme aussi avec l'assurance que je l'estime et
honore de tout mon cœur. C'est un illustre triumvirat que vous deux
et le Docteur Wilkins exercez en littérature et en tout genre de mérite.
Vos noms sont fameux au loin ; j'entends parler de vous de divers
côtés, mais jamais avec plus d'abondance ou plus d'affection que par
M. White, que vos. bontés ont rendu entièrement vôtre et qui l'ex-
prime amplement en toute occasion. Mais je vous détourne trop de vos
grandes et multiples occupations; je vous en demande instamment
pardon et vous assure que je suis et me montrerai toujours,

Illustre Monsieur,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Kenelm Digby.

Paris, lo i'-' août iCiSj.

LETTRE VII.

■loiiN Wallis a Ke.nelm Digby.

Très noble Monsieur,

Sur le vu de votre lettre si courtoise du l'^'^aoùt, que j'ai eu l'hon-
neur de recevoir il y a deux jours, il n'est pas aisé de dire combien je
me suis trouvé surpris, sachant combien peu j'ai mérité d'une si noble

COMMERCIUM DE WALLIS. MB

main et quelle chétive part m'était due de ce que vous vous êtes plu à
m'attribuer si libéralement. Je fus honteux, je l'avoue, de penser
combien peu je pouvais prétendre à cet honneur que vous me faisiez
et j'aurais profondément rougi, si la soudaineté de la surprise ne m'a-
vait pas autant stupéfait. Et quand j'ai pensé à vous répondre, j'ai
trouvé que vous m'aviez prévenu de telle sorte, en disant tant de ce
que je devrais vous dire, qu'à moins de transcrire et de vous retourner
vos propres mots (de meilleurs, je ne pourrais), il ne me reste rien à
répliquer. Et même je n'oserais pas, de peur de profaner, avec ma
plume trop rude, ce langage, que je ne puis prétendre à imiter. Si
vous vouliez seulement me faire assez de faveur pour relire attentive-
ment la copie de votre propre lettre, et en interpréter la plus grande
partie comme dite par moi en reconnaissance de ces politesses que je
ne pouvais mériter et en désaveu de ces mérites que je ne puis m'at-
tribuer, vous y trouveriez une meilleure réponse, en un langage plus
convenable à votre noble personne, que vous ne pouvez certainement
l'attendre de moi sous aucun rapport. Car, quoique je ne puisse me
vanter d'aucune adresse à la paume, je sens très bien que je ne puis
souffrir, fût-ce au plus grand risque pour moi, qu'un langage si obsé-
quieux, de telles expressions d'obligeante bonté, restent devant moi,
sans que je les retourne à la même main dont elles me viennent; et,
quoique je ne sois pas capable de les retourner avec cette grâce et
cette dextérité qui ont accompagné leur envoi, je vous supplie hum-
blement de croire que ce n'est pas par défaut quelconque de réalité
d'affection ou de bonne volonté que je reste en dessous de ce que je
dois à quelqu'un que j'honore autant.

Je dois avouer que je n'ai pu sans ressentir une agréable satisfaction
[neque enim mihi cornea fibra est) (') me voir moi-même si haute-
ment honoré, malgré mon indignité, sous d'aussi^ beaux traits tracés,
quoique si peu ressemblants, par une main si excellente; ainsi parfois
les dames se plaisent à voir leurs portraits les flatter. J'en aurais été

(') « Je n'ai pas des entrailles do corne».

vu ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

extrêmement fier, sans la conscience que j'ai du peu de ressemblance
(le ma propre personne; car l'autorité du si galant homme à qui j'ai
cette obligation est capable de donner crédit à son opinion sur moi.
Dès le retour ici des deux autres personnes auxquelles vous voulez
bien m'unir dans votre bonne opinion, le docteur Wilkins et le doc-
leur Ward, je leur ferai connaître combien ils vous sont redevables de
l'honneur que vous leur faites. Pour le moment, je puis seulement,
d'après le grand respect que je sais qu'ils ont pour vous, vous assurer
qu'ils sont entièrement vos serviteurs. Et nous devons tous nous
reconnaître extrêmement endettés envers M. White qui s'est plu, non
seulement ii juger si favorablement de nous, mais encore à nous repré-
senter h vous sous des traits assez flatteurs pour qu'ils aient obtenu
une place si avantageuse dans votre opinion.

Le problème dont vous parlez, proposé par M. Fermât comme défi
à tous les mathématiciens de l'Europe, est, je suppose, celui dont j'ai
reçu de Lord Brouncker une copie en ces termes :

{Voir Correspondance de Fermât, n° 79 B, t. II, p. 333; t. III.
p. 3ii.)

A ce problème je no donnai, pour le moment, d'autre solution que :

Le seul et même nombre r salis/ai/ aux cleuœ demandes ; j'ajoutai

d'ailleurs, comme renvoi, un autre problème de même nature, que

vous trouverez à l'essai, si je ne me trompe, aussi difficile que les

deux de Fermât :

Trouver deux nombres (voir plus haut, p. 4o4. lignes i6 à 19) ...
couple semblable.

D'ailleurs j'ajoutais que je regardais des problèmes de cette na-
ture, dont il est aisé d'imaginer un grand nombre en peu de temps,
comme demandant plus de travail qu'ils n'ofl'rent d'usage ou de diffi-
culté.

Depuis lors je n'y ai pas davantage repensé; car je fus précisément
alors obligé de m'absenter, par la mort d'un ami intime, et, avant
mon retour, j'appris que Mylord Brouncker avait résolu les deux ques-
tions et aussi une troisième sortie de la même main et ii laquelle.

COMMERCIUM DE WALLIS. 413

laissant aller ses premières demandes, M. Fermât paraissait s'atta-
cher davantage, comme plus importante que les précédentes. Mais
ce problème ayant été reçu et ayant trouvé réponse, avant que j'en
eusse eu avis, je regardai comme inutile pour moi de m'occuper
d'une chose déjà faite. Ce qu'était la solution du dernier problème
par Sa Seigneurie, je ne suis pas capable de le dire, ni davantage ce
qu'était le problème lui-même; car je n'ai copie ni de l'un, ni de
l'autre. Mais je connais si bien Sa Seigneurie et sa dextérité toute
spéciale en choses de cette nature, que j'ai une très forte présomp-
tion en faveur de l'exactitude avec laquelle il a dû procéder en cette
affaire.

Quant à cette autre lettre de M. Fermât à vous-même, de laquelle
vous m'informez que je puis attendre une copie de M. White, elle ne
m'est pas encore parvenue; il est possible qu'elle se trouve mainte-
nant entre les mains de Mylord Brouncker, à qui elle devait être com-
muniquée en premier lieu. Je ne puis que vous offrir, pour cela
comme pour toutes vos autres nobles faveurs, mes très humbles
remerciments, n'étant pas capable de vous donner quelque revanche
qui vaille; mais vous n'avez comme récompense que la conscience de
votre généreuse inclination à combler de faveurs ceux dont vous ne
pouvez attendre aucun retour.

J'ajouterai seulement quelques mots avant de baiser vos nobles
mains. Ce n'est rien que ceci : puisque vous avez bien voulu vous
donner la peine et à nous l'honneur, d'établir communication écrite
entre M. Fermât et moi, je ne regarderai pas comme tout à fait incongru
d'ajouter ici un théorème que, si vous le jugez à propos, vous pourrez
lui envoyer à démontrer; non pas en défi, ni comme une matière de
difficulté extraordinaire, je ne le prends pas pour tel; mais la solu-
tion, s'il ne la connaît pas déjà, lui suggérera probablement un joli
ensemble de spéculations qui seront peut-être bien venues pour lui.
Voici ce théorème :

Soit un tronc de pyramide ou de cône, limité entre deux plans
parallèles, tel que la plus grande base soit égale au carré de la

it6 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

droite A, la plus petite au carré de la droite E, et dont la hauteur
soit F. Je dis que, si avec A et E (ou leurs égales) comme côtés, on
construit un angle de 120", qu'on complète le triangle et qu'on y cir-
conscrive un cercle, le carré du rayon R de ce cercle multiplié par la
hauteur du tronc, (R'F), donnera le volume du tronc.

Quant à la démonstration, comme tout ce en quoi je puis jamais
être capable de vous servir, vous pouvez la demander à votre gré à
celui qui répute à grand honneur d'être et de compter pour.

Très noble Monsieur,

Votre affectionné et très humble serviteur,

John Wallis.

Oxford, 3/1 3 septembre 165-.

LETTRE VIII.
Vicomte Rrouncker a Sir Wallis.

J'ai reçu hier, clarissime professeur, votre lettre du 5 courant {'),
comme aussi celle à Sir Kenelm Digby que je lui ferai parvenir le
plus tôt possible. Quant à celle dont vous me parlez comme envoyée
par Sir Kenelm Digby à M. White, pour nous la communiquer, je ne
l'ai pas encore reçue et je n'en avais jusqu'alors eu aucune connais-
sance. Dès que je l'aurai entre les mains, j'aurai soin de vous la trans-
mettre.

En attendant voici la troisième question de Fermât que vous me
demandez, et aussi le précis de la réponse que j'y ai faite; quant au
texte même, je ne puis le reproduire, n'en ayant retenu à part moi
aucune copie, comme je l'aurais fait, si j'avais pu croire que M. White
enverrait cette réponse telle quelle. Vous pourrez, si vous le jugez à

(') Celte lettre manque.

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 417

propos, transmettre la solution en latin, pour que la langue anglaise
ne suscite plus de nouvelles plaintes ou de nouveaux embarras.

Tout en vous remerciant de vos nouvelles faveurs, aussi bien que
des précédentes, je veux vous dire combien je suis vraiment,

Clarissime Professeur,

Votre ami très fidèle et votre très humble serviteur,

Brouncker .
11/21 septembre iGSj.

lù écrit de M. Fermât était ainsi conçu : (je ne l'ai reçu d'ailleurs que
plus tard , la lettre précédente n'en contenant que la dernière partie,
c'est-à-dire l'énoncé même du problème).

{Voir la Correspondance de Fermât, n" 81, tome II, page 334;
tome III, page 3 12.)

LETTRE IX.
John Wallis a Kenelm Digby.

Tri's xoiiLE Monsieur, '

Après vous avoir envoyé ma dernière lettre, datée du 3 septembre,
j'ai reeu du très honorable Mylord Vicomte Brouncker, avec la solu-
tion qu'il en a donnée, le problème que M. Fermât lui a envoyé. Comme
il se peut faire, ainsi que vous le soupçonnez, que cette solution ait été
mal exposée à M. Fermât, je crois bon de la reproduire ici, pour l'of-
frir avec cette lettre à Votre Seigneurie.

Problème de M. Fermât.

Étant donné un nombre quelconque non carré, il y a une infinité
de carrés déterminés dont le produit par ce nombre, étant augmenté
de l'unité, fait un carré.

Exemple : 3 x iG + i = 49 = 7 x 7.

On demande la règle générale pour trouver les carrés de cette sorte.

KEf,JliT. — 111. 53

418 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Voici doux règles do ce genre : la première est de Mylord Vicomte
Brouiicker.

Soient « un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier
ou fractionnaire); q un autre carré quelconque (entier ou fraction-
naire) dont la racine soit r. Soit enfin d la différence entre y et «, à
savoir soit (j — n, soit n — q.

Règle : ^ = \~7[i ^^^ "" nombre carré, dont le produit par n,

étant augmenté de l'unité, fait un carré, n~ -+-i = '^" ,, — -•
° d- ci-

En effet :

4 qn -\- d- ^qn -h q- — 2(jn + n^ q

d'^ q'^ — ^qn-hn^ q

^-+- 2qn -t- n- f Ç ~^ "\'

^ — iqn -\- n- \q — n /

La seconde règle, qui est de moi, est un peu plus générale quant à
la forme du procédé; mais elle revient au même, quant aux nombres à
trouver.

Soient n un nombre d(>nné quelconque; a un nombre quelconque
arbitrairement choisi; q un carré quelconque et m son quotient par
a; p un autre nombre quelconque; enfin </ la différence (en valeur

absolue) entre 7— et pn.

' kp '

Règle : — est un nombre carré dont le produit par «, étant aug-

,, , ,, .,./>., . inn mail -\- d-

mente de 1 unité, tait un carre, n-jr + i =

d-

En effet :

m-a- \ , „

man -\- d^ ibp- 2

d- m-a- I „ „

— ; ma/i -+- p'n-

ibp- 2

d-

/ ma
.1 ^P

+

pn

ma

\4.

—

P"

11 y a lieu de remarquer ce que Mylord Vicomte Brouncker a ajouté
à sa solution.

Au sujet des deux premières questions de M. Fermât, il a observé
que non seulement le nombre i y satisfait également, mais aussi (au
cas où les fractions seraient admises) le quotient du nombre i par la

COMMERCIUM DE WALLIS. M9

sixième puissance de tout nombre entier; en effet, ce quotient est h
la fois carré et cube et il n'a aucune partie aliquote.

D'autre part, la première question est satisfaite, non seulement
par le nombre 343, indiqué par M. Fermât, mais encore parle quo-
tient du même nombre divisé par la sixième puissance de tout entier,

343
par exemple -^- En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas

d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est

3/ 3
le tout, le cube ci-dessus -~- n'aura pas d'autres parties aliquotes que

h' h' &'' l^squc^'^s, ajoutées au même nombre -~-^ font^> nombre

carré.

Voilà donc, très illustre Seigneur, le précis de ce qu'avait depuis
longtemps répondu à ces problèmes le très honorable Vicomte. Il me
reste, si ces remarques importunes doivent vous occasionner quelque
dérangement, à implorer humblement pardon pour.

Très illustre Seigneur,
Votre très respectueux et tout dévoué

John Wallis.

^ . ,27 septembre ..

Oxford, -i î— -; 1657.

7 octobre

LETTRE X.
Vicomte Brounckeii a John Wai.lis.

Clarissinie Professeur, j'ai reçu hier les deux lettres ci-incluses,
apportées par M. White de la part de Sir Kenclm Digby. Il m'en a
montré une troisième, où il était dit que M. Frenicle méprise l'Ana-
lyse ou du moins l'estime très peu; qu'il a d'ailleurs résolu une des
propositions mentionnées dans les lettres ci-incluses.

C'est, si je ne me trompe, cette même question dont nous avions
déjà entendu parler, mais que nous n'avions pas vue, à savoir :

Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale à deux
autres nombres cubes.

420 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

Voici les solutions de M. Frcnicle :

1729=: 9^-1-10^= l'-i- 13% 4io4= 9'+ l5'= 2^H- 16',

i3832= 18^+ 20^— 2^+24% 32832= i8^+ 3o'=4'^-32^

39312= i5^ +33''= 2'-^3-',^ 4oo33= 16=4-332=9^+ 34\
2o683 := 19=-+- 242= 10'+ 27^

Mais quant à la dernière partie de la proposition : Trouver deux
nombres cubes dont la somme soit cube, il n'en est rien dit.

Après avoir lu les lettres ci-jointes, j'ai jugé à propos d'arrêter
votre dernière à Sir Kenolm Digby, si toutefois il n'est pas déjà trop
tard;, j'ai écrit dans ce but à M. White. Je voudrais y substituer une
réponse plus complète au problème de M. Fermât, que celui-ci pose
maintenant sur les seuls nombres entiers, ce qu'il n'avait pas fait
auparavant. Je vous ferai savoir avant peu ce que pense à ce sujet

Votre très fidèle ami et très attaché serviteur

Brouncker.

3/i3 ûclobro iGSj.

LETTRE XI

(iiiuluse dans la précédente, comme l'était aussi la suivante).

Fermât a Kenelm Digby.

De Castres, le 6 juin 1657.
(Foî/- la Correspondance de Fermât, n" 83, t. Il, p. 34i-)

LETTRE XII.
Fermât a Kenelm Digby.

De Castres, le i5 août iGii;.
( Fo/r la Correspondance de Fermât, n" 84, t. Il, p. 342.)

COMMERCIUM DE WALLIS. 421

<< P.iS. (' ) >. En relisant ma lettre, j'ai trouvé que je devois
ajouter un mot sur le sujet de la descente naturelle des graves.

J'ai toujours cru l'opinion de Galilée très probable et très ingé-
nieuse; elle < n'a > point pourtant < de > démonstration, et la
nature, qui est mille fois plus subtile que les esprits des hommes,
pourroit parvenir à sa fin < par > une infinité de proportions diffé-
rentes de celle de Galilée et que l'expérience ne pourroit jamais con-
vaincre de fausseté. C'est ce que je me charge de démontrer quand
vous voudrez; mais, parce que la voie de Galilée est la plus simple, il
est vraisemblable, non démonstrativement, mais probablement, que
la nature suit cette sorte de mouvement.

Cette matière a produit des disputes sans fin entre défunt M. Gas-
sendi et un jésuite nommé le Père Cazré, sur ce que ce dernier soute-
noit que les vitesses ou vélocités d'un (-) corps qui descend gardent
la proportion des espaces parcourus, contre le sentiment de Galilée,
qui soutient que cette proposition est si absurde que, si elle étoit
vraie, il s'ensuivroit que le mouvement se feroit en un instant.

Galilée ne se contente pas d'en demeurer là, mais il prétend dé-
montrer que, si cette proposition étoit vraie, le mouvement se feroit
en un instant. Le Père Cazré assure que Galilée ne l'a point démontré,
et M. Gassendi au contraire que < la > démonstration de Galilée est
très parfaite, et, sur cette contestation, ces deux grands personnages
ont fait de gros volumes, qui lassent la patience des lecteurs.

J'ai tranché tout ce différend en trois ou quatre pages; et première-
ment je fais voir que l'opinion du jésuite est fausse, mais que pour-
tant Galilée n'a point démontré qu'elle produisit comme une consé-
quence nécessaire ce mouvement instantané, de sorte qu'en cet article
le Père Cazré n'a point de tort. Mais enfin, pour les mettre d'accord

( ' ) Ce pnst-scriplum qui ne figure pas dans la première édition du Comincrciuin a été
inséré dans la seconde, avec cette note :

I Sequentem appendiccm, cum similibus aliquot, ut quas rem hic agitatam non specta-
bant, in editione prima omisimus, sed hic utcunque reponimus, ne videar quicquam sub-
licere vellej.

C^) D'unJ des W.

422 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

et rendre en même temps office à ces deux grands hommes (Galilée et
Gassendi) et donner du secours à la vérité, je démontre, par la voie
légitime et selon la manière d'Archimède, que si la proposition du
jésuite étoit vraie, le mouvement se feroit en un instant, et qu'ainsi
Galilée a eu raison de dire que cette proposition produiroit par consé-
quence le mouvement instantané, quoiqu'cn effet il n'ait pas démon-
tré la vérité de cette conséquence ; ce que j'ai fait dans mon écrit, que
j'envoyai à feu M. Gassendi pendant sa vie et dont M. Carcavi (que
vous trouverez logé à l'hôtel de Liancourt, rue de Seine, au faubourg
Saint-Germain) garda la copie ('). Si vous avez la curiosité de la voir,
je ne doute pas qu'il vous la communique, dès que vous lui ferez voir
ma lettre. Mon écrit finissoit par ces mots : Hujus itaque unicœ demon-
strationis bene/icio tôt et tanta prœclarorurn viroriim volumina aut re/el-
lentitr aut inntilia et superjlua ejficientur.

LETTRE XIII.

Vicomte Bucuncker a .John Wallis.

La présente lettre, Clarissime professeur, n'a pour objet que de

vous informer que le papier de Fermât ci-inclus m'a été apporté par

M. White, hier après-midi, pour que je vous le fasse parvenir; il

l'avait oublié en envoyant les autres. Il demande au reste qu'on lui

rende et ce papier et les autres. 11 me reste à vous prier de continuer

votre amitié à

Votre très fidèle et très respectueux,

Brouncker.

G/i6 octobre 1G57.

(') Il s'agit (lu 11° 02 de la Correspondance de Fermât. Si l'on rapproche de ce pas-
sage la lettre de Gassendi à Monsieur de ***, qui a été reproduite tome II, page 267,
note I, il devient clair que c'est à Carcavi que fut adressée cette lettre, et que si ce der-
nier communiqua l'original de Fermât à Gassendi, il se lo fit remettre. La copie que
Gassendi s'en fit faire et sur laquelle la lettre a été publiée en premier lieu existe d'ail-
leurs dans le manuscrit do la Bibliotlié<]ue Nationale, latin nouv. acq. lOSj, f" -iGi. Elle
porte, sous forme do note, l'adresse " De la Poterie, chez Monsieur de Montmor », qui
est celle d'un commensal et quasi-secrétaire de Gassendi.

Il semble que Fermât n'avait pas conservé de minute et qu'il cite de mémoire (assez
inexactement (pianl à la forme, ce qui se comprend dés lors ) la dernière [ihrase do son écrit.

COMMERCIUM DE WALLIS.

^23

REMAUQUES SLR L ARITHMÉTIQUE DES INFINIS DU S. .1. WALLIS.

( Voir la Correspondance de Fermât, n" 85, Tome II, page 347.)

LETTRE XIV.
Vicomte Brouncker a John Wallis.

Clarissime professeur.

Après avoir reçu la lettre de M. Fermât, que je vous ai récemment
adressée, et qui limite aux seuls entiers le problème auparavant pro-
posé, j'y ai quelque peu réfléchi et je trouve que les carrés en nomhre
infini qu'il demande (ceux dont le produit par un nombre donné non
carré, étant augmenté de l'unité, fait un carré) tombent dans une série
comriie suit :

Savoir
de mémo

2 X Q : 2 X 5
8 X Q: I X 5

18 X Q:4x33
32 X Q : 3x 33

3 X Q: IX 3
12 X Q : 2x i3
27 X Q : 5 X 5i
48 x Q: I X i3
75 X Q ; 3 x5i

5 X Q :4 X 17

- 5 ,29 160

X 07; X ^~ x5 — ?x.
204

35

.5 .20 „ i6q

X 0^ x D5I X 0 — y X.

o 35 2d4

,33 „T 1121
X 33 q- X 3o — — X . . . ,
34 II 55

33 ,, 112'

X 33 5-T H- 33 — ^ X . . . ,

34 iio5

,3 II 4i

X 37 X 3— x3p-; X..

4 10 5o

,i3 ,181

X i3-T X i3 — p X . . .,
i4 195

„ 5i
X ai -- X . . .,

52

, i3 „i8i
X i3--^ X i3 — p X . . .,
i4 195

. 5i

X 01 ^ X. . .,
52

17 3o5

42i ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

^ I 17 3o5

2oxQ:2x.7-x.77|x-73^ x...,

80X Q: I X 17- X 17-4 X 173^ X...,

r rx I 9 89 881

fiX Q:2X Q-X 9— X Q— XQ -=— X . . . ,

' ^>o -99 980

, „ I 0 89 881

24 X Q I X 9 - X 9 — X 9 - - X 9 — — X . . . ,
1 'o ^99 980

96 X Q : 5 X 97 - X . . . .

Dans ces séries, le numérateur de chaque fraction est égal à son
dénominateur diminué du dénominateur immédiatement précédent,
et le dénominateur est égal au numérateur du terme précédent réduit
en fraction impropre.

Si l'on connaît la série correspondant à un nombre quelconque
non carré, on peut en déduire la série correspondant au multiple de
ce non-carré par un carré quelconque; il suffit de diviser la série
trouvée par la racine du carré multiplicateur.

Quant aux deux premiers termes de chaque série, il fau^ les trouver

grâce à notre règle générale -Jl; j'entends que, toutes les fois que d-

est une partie aliquote de 47> ou d partie aliquote de 2r, on a un
carré entier satisfaisant à la question. Autrement, si l'on substitue

-j à 7 ou bien " à r et que l'on aie par suite r/ = j y — « ] = -^ — « ,
c'est toutes les fois que \^ — n ou d est une partie aliquote du

e'

nombre ^~ ou 27-, ou encore, en multipliant de part et d'autre par e-,

toutes les fois que ' a- — ne'- j est une partie aliquote dé ciae.

La question est donc ramenée à trouver un carré dont le produit
par le nombre donné non-carré difière d'un certain autre carré d'une
partie aliquote du double produit des racines; ce qu'on pourra cher-
cher par une induction convenablement établie.

COMMERCIUM DE WALLIS. 425

Voilà ce qui, sur cette question, se présente pour le moment à l'es-
prit de,

Clarissime professeur,

Votre très fidèle et très respectueux ami,

Brouncker.

'>■>, octobre

1657.

1°' novembre

LETTRE XV.

JoHM Wallis a Vicomte Broi'nckeu.

Voici enfin, très illustre Seigneur, ce qu'après mon retour (car
vous savez que j'ai été quelque temps absent) j'ai cru, en somme,
devoir rédiger comme réponse aux Remarques et aux Lettres de
W. Fermât; si Votre Seigneurie le juge à propos, elle pourra le faire
parvenir au très illustre Digby, à qui l'écrit est adressé. Ne vous
étonnez pas toutefois ou ne regardez pas comme une faute, si j'y ai
omis certaines choses qui peuvent paraître au moins aussi ou même
plus importantes que certaines autres qui y sont insérées; je l'ai fait,
d'une part, pour que la lettre ne fût pas trop volumineuse, de l'autre,
parce que j'ai pensé qu'il ne fallait pas tout dévoiler en même temps.

Ainsi j'ai cru devoir taire (pour commencer par ce qui vous appar-
tient) la série des racines, exposée dans votre dernière lettre du
11 octobre, que vous m'écriviez lorsque je me préparais à partir d'ici.
Ce n'est point que je la considère aucunement comme négligeable,
alors qu'elle est pleine de subtilité, comme le sont toujours vos inven-
tions, et qu'elle est entièrement digne de la sagacité de votre esprit.
Mais c'est que je crois qu'il suflit de ce que j'ai mis sans en parler;
car le problème ne demande pas tous les carrés, mais seulement des
carrés en nombre infini, et je juge qu'il sera peut-être plus avanta-
geux de réserver pour plus tard l'énoncé de cette série.

Il ne faudrait pas d'ailleurs que Fermât pensât qu'en donnant
maintenant des carrés en nombre infini, nous croyons que ce sont
là tous ceux que l'on puisse donner; je me suis mis en garde de
KjiiiMAT. — ni. 54 ■

i26 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS:

ce côté, on lui en promettant encore davantage, s'il en demande
d'autres.

,1'ai jugé bon de taire également les méthodes, soit de vous, soit
do moi, pour obtenir par induction le premier carré et sa racine; la
partie du problème, relative aux carrés à donner en nombre infini,
m'a en effet paru beaucoup plus considérable; d'autre part et sur-
tout je n'ai guère vu de moyen d'exposer clairement ces méthodes,
en sorte qu'elles soient facilement comprises par autrui, sans un
appareil de mots et d'exemples que cette lettre ne me paraît pas
pouvoir comporter. Si Fermât s'arrête là-dessus, nous pourrons faire
cette exposition à part ('). Pour le moment, il suffit de dire en général
qu'il faut regarder à ce que d ovi\n — q\ soit une partie aliquote du
nombre ir, ou bien | na- — e- \ partie aliquote du nombre lae. Et, en
effet, alors les carrés que donnent nos règles seront entiers.

Quant au centre de gravité et à ce que réclame Fermât de moi à ce
sujet (^), vous verrez qu'il manque beaucoup de choses que je vous ai
déjà exposées là-dessus. Ainsi vous trouverez une proposition que je
vous avais énoncée sous une forme plus générale, limitée ici plus par-
ticulièrement, de façon à satisfaire seulement à ce qui était demandé,
à savoir le centre de gravité des hyperboles infinies de Fermât (pour
employer son langage) dans la situation même qu'il leur a donnée.

J'ai omis ce qui concerne le centre de gravité dans les paraboles et
les paraboloïdes (^) de tout genre (qu'il ne demande pas); de même
dans les hyperboles sous une autre situatiqn; de même dans les semi-
paraboles, semi-paraboloïdes et semi-hyperboles (infinies) de même
genre.

Je l'ai fait pour ne pas trop m'étendre dans un exposé dépassant ce
qui était demandé; d'un autre côté, j'ai préféré énoncer tout d'abord
ces questions à Fermât sous forme de problèmes; car elles ne me
paraissent nullement inférieures à ses demandes.

(') Voir ci-après la Lettre XVII.

(') Tome II, page 343 (Lettre XII du Commercium).

(') Wallis entend ^d.v paraboloïdes les paraboles de degré supérieur.

COMMERCIUM DE WALLIS. 427

Au reste tout cela est, en tout cas, laissé à votre jugement, et si

vous croyez qu'il faille ajouter ou changer quelque chose, ce sera

fait par,

Très illustre Seigneur,

Votre très humble serviteur, toujours prêt
à vous obéir,

J. Wallis.

. . ,21 novembre .^
Oxford, — - — ~, 1657.

i" octobre

LETTRE XVI,

incluse dans la précédente.-

John Wallis a Kenelm Digby.

Très noble Seigneur,

Depuis que je vous ai envoyé ma dernière lettre du mois de sep-
tembre ('), le très honorable Lord Brouncker m'a communiqué ses
solutions des problèmes de Fermât. Après les avoir vues, j'ai été
amplement confirmé dans l'opinion que j'ai émise en ma lettre pré-
cédente. Quoi qu'il en soit de l'écrit qui aurait été mal traduit à
Fermât, comme vous l'avez dit, écrit que je n'ai jamais vu et dont
je ne puis aucunement juger, ces solutions sont telles, à mon avis,
qu'elles répondent très exactement aux demandes. J'ai donc cru de-
voir vous les adresser aussitôt, après les avoir mises en latin, afin que
désormais une mauvaise Interprétation ne puisse tromper personne;
je vous ai ainsi fait, le même mois, l'envoi d'une seconde lettre (-),
mais je l'ai fait revenir, ayant reçu dans l'intervalle les lettres de
Fermât, et désirant répondre à ce qui s'y trouve indiqué à nouveau.

C'est donc dans le mois suivant, en octobre, que j'ai reçu, de la part
de votre Seigneurie, les deux lettres que lui a écrites M. Fermât en
date du 6 juin et du 1 5 août, puis quelques jours après ses Remarques

(') Lettre VII.
(2) Lettre IX.

4.28 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

sur mon Arithmélique des Infinis; nouveaux bienfaits dont vous me
comblez sans cesse. Mais il ne me reste aucun espoir d'échapper aux
liens de la reconnaissance, qui me tient enchaîné à vous; je n'ai plus
d'autre refuge que votre clémence; je n'ai, comme unique ressource,
que de la supplier d'accepter mes très humbles remercîments pour
tant de faveurs, et de me continuer, malgré mon indignité, l'affection
que vous voulez bien me montrer. Puis, sans vous arrêter à de trop
longs préambules, je me mettrai aussitôt à répondre à ces lettres,
après vous avoir cependant demandé excuse si mon importun bavar-
dage interrompt vos sérieuses occupations.

La première lettre de Fermât se plaint de la difficulté de saisir ce
qu'a voulu dire le très honorable Vicomte dans sa solution des pro-
blèmes; la faute en est attribuée à une mauvaise traduction de l'an-
glais.

Pour éviter de nouvelles plaintes de ce genre, j'ai cru devoir em-
ployer, en m'adressant à vous, la langue latine, qui n'a pas besoin de
traduction : je l'ai fait d'ailleurs pour le cas où vous jugeriez à propos
de communiquer cette lettre elle-même.

Mais Fermât ajoute qu'autant qu'il peut en juger au travers des
nuages de cette obscure traduction, le très honorable Lord n'aurait
nullement satisfait à sa question. Je crois précisément le contraire, et,
à moins que Fermât n'ait pas bien encore compris ces solutions, je ne
vois pas sur quoi il pourrait, soit en douter, soit le dissimuler.

Le premier problème était double.

Trouver un cube (p. 3i i , lignes 21 à 27) fasse un cube.

J'ai répondu sur ce problème que le nombre i satisfait aux deux
questions; il est, en effet, à la fois carré et cube, et il n'a pas de par-
ties aliquotes.

Lord Vicomte Brouncker a ajouté à cette solution qu'on pouvait
également satisfaire aux deux questions (dans le cas où les fractions
seraient admises), au moyen du quotient du nombre i par la sixième
puissance de tout nombre entier; d'autre part, que la première des

COMMERCIUM DE WALLIS. 429

deux questions seulement pouvait aussi être résolue au moyen du
quotient de 343 par un semblable diviseur, par exemple -^■

En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties
actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est le tout, le cube
ci-dessus -rn- n'aura pas d'autres parties aliquotes que g7' ^' q7' l^s-

,, . ,, . , 343 p . 4oo , , 20

quelles, ajoutées au même nombre ^! lont -^> carre de -g--

A la vérité, Fermât s'explique maintenant en disant qu'il ne sera
satisfait que par un nombre entier. Mais, même ainsi, on ne peut nier
qu'il ne lui ait été donné satisfaction. Car, en dehors du nombre 343
énoncé dans le problème, il n'en demande qu'un seul autre, et il ne
promet d'en donner lui-même qu'un seul autre. (Je demande un
autre, etc.; et s'il répond qu'en entiers il n'y a que le seul nombre 343, je
vous promets de le désabuser en lui en. exhibant un autre) ('). Or nous
avons donné un entier satisfaisant au problème, à savoir le nombre i.

Si je n'en donne pas d'autres, ce n'est pas que j'estime qu'il n'en
existe point; mais c'est qu'il n'en demande pas davantage et que je ne
juge pas l'affaire de telle conséquence (car à quoi bon?) qu'elle soit
digne d'une recherche minutieuse, et encore moins que l'Angleterre
tout entière, avec les Gaules Celtique et Belgique, qu'il provoque
toutes ensemble, se livrent exclusivement à cette étude. La question
n'est pas plus importante, du moins à mon sens, que celle que je
pourrais poser avec une pareille ostentation, en donnant deux nom-
bres carrés, 16 et i5, qui font la même somme, si à chacun d'eux on
ajoute ses parties aliquotes :

16 -t- 8 -+- 4 -t- 2 -4- 1 = Si = 25 -t- 5 -h I,

et en demandant deux autres carrés jouissant de la même propriété.
Fermât peut, s'il le veut, s'attaquera ce problème, ou, s'il le préfère,
le négliger; mais je n'y attache pas une telle importance que je l'en
juge plus habile, s'il réussit, ou moins, dans le cas contraire.

(') Lettre de Fermât à Digby du 6 juin 1657. Tome II, page 342, ligne 337.

i30 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

L'autre problème était ainsi conçu :

Étant donné un nombre (page 3i2, ligne 3 en rem., à page 3i3,
ligne 7) qui peut être donné.

Lord Vicomte Brouncker a fait usage d'une règle de ce genre, qu'il
a munie de sa démonstration.

Soient n un nombre (page 418, lignes 3 à 10)

7

^'/ — «/

J'ai voulu en ajouter une autre de mon crû, un peu plus générale
quant au mode de procéder, mais revenant au même, pour le fond.
Elle est également munie de sa démonstration.

Soient n un nombre donné (page 4i8, lignes i4 à 20)

En effet,

m- „ 1 „ ,

,„ man -\ — -;. — r a- nian -1- p^n^

mail -\- a- lop- 2

m- „ I . ,

-7; — ; a^ man -h p- n-

ibp- 2

m- , 1 , „ o

-; a- H man + p'- n-

16 p-^

-,a^ man ~\- p- n-

\&p- 2

Fermât peut choisir de ces deux règles celle qu'il lui plaira; il est
clair qu'elle répondra à la question proposée. S'il en désire davantage,
nous lui en promettons autant qu'il en voudra, mais elles coïncideront
avec les deux ci-dessus, qui fournissent, en effet, non seulement des
carrés en nombre infini, mais tous les carrés possibles qui jouissent
de la propriété demandée.

On doit d'ailleurs lui faire remarquer que la limitation, que le
nombre donné ne soit pas carré, est superflue, dans les termes où la
question est posée. Car la règle s'applique aussi bien aux nombres
carrés qu'aux non carrés.

Enfin il n'y aurait pas plus do difficulté s'il avait dit, en général,
en ajoutant un nombre carré quelconque, et non pas en ajoutant l'unité.
Il ne resterait, en effet, qu'une simple opération à faire, qui serait

COMMERCIUM DE WALLIS. Wl

de multiplier, par ce carré à ajouter, le nombre carré donné par les
règles précédentes.

Ainsi soit b^ le carré à ajouter.

Avec la première règle, au lieu de ^, il faut prendre ^-^•
Avec la seconde, au lieu de -rf > il faut prendre — r,— •

On a, en effet, de la sorte, d'une part -^ h è^, de l'autre

nianb- , „ ,

— -T, h 0-, nombres carres.

a-

Voilà ce que je vous avais écrit dans cette lettre dont je vous ai
parlé, mais que j'ai cru devoir faire revenir, en raison des nouvelles
indications que Fermât donne seulement aujourd'hui. Il y a, en effet,
lieu de compléter quelque peu ce qui précède, eu égard à la nouvelle
limitation requise, dont il n'était nullement fait mention dans l'énoncé
antérieur.

Fermât dit maintenant qu'il a voulu parler des seuls carrés entiers,
non des fractionnaires; qu'en fractions, les solutions sont si faciles
qu'elles peuvent être fournies a quolibet de Irivio arilhmetico ( ' ).

En tout cas c'est déjà quelque chose que votre très noble correspon-
dant reconnaisse enfin que la question qu'il avait posée est de celles
que peut facilement résoudre quilibet de Iràio arithmeticus ; il n'y a
guère qu'il en jugeait tout autrement et pensait même qu'elle n'avait
pas été résolue par le très honorable Vicomte, parce que celui-ci ne
l'avait pas trouvée difficile (-). Cependant on pourrait peut-être se
demander si Fermât lui-même, pour ne pas parler de quilibet de trivio
arilhmelicus , avant l'énoncé de nos règles, en connaissait une générale,
donnant non seulement des carrés en nombre infini, mais tous les
carrés possibles, tant entiers que fractionnaires; s'il pouvait démon-
trer que cette règle était telle.

( ' ) « Par le premier venu des calculateurs do la rue. «

( 2) Il est singulier que VVallis oppose entre elles, comme successives, deux déclarations
de Fermai contenues dans la même lettre du 6 juin 1637 (Pièce n" 83 de la Correspon-
dance).

432 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Mais je ne sais si nous ne pourrions nous plaindre avec quelque
raison de ne pas avoir été loyalement traités. Qu'il s'agît d'entiers, il
n'en était pas soufflé mot dans l'énoncé de la question; rien ne nous
pouvait faire deviner que nous avions à la comprendre ainsi. Dans le
long préambule mis en tête, Fermât cite Diophante et égale au moins,
s'il ne les préfère, ses questions arithmétiques aux problèmes géomé-
triques des autres; il se donne comme imitant Diophante dans la ques-
tion qu'il propose. Mais partout, chez Diophante, comme nombres
carrés on entend indifféremment les entiers et les fractionnaires. Qui
donc, même après avoir regardé Diophante plus ou moins rapidement,
pouvait soupçonner ou bien qu'il n'y a pas de carrés, à part les entiers,
ou bien qu'une question ainsi proposée devait être entendue des seuls
entiers? Nous avons donc résolu la question proposée au sens de ses
termes, tout à fait comme ils devaient être compris, et ce n'est pas
notre faute, si, quand Fermât entendait les seuls entiers, il s'est ex-
primé autrement (').

Mais puisqu'il propose maintenant sur les entiers celte question qu'il
avait auparavant proposée simplement sur les carrés; en d'autres
termes, puisque, cette question étant résolue, il en pose une nouvelle,
nous voulons bien le suivre encore sur ce terrain. Nous allons donc
aborder ce

Nouveau problème : Faire la même chose pour les nombres entiers.

Nous remarquons d'abord que la question ainsi limitée est moins
générale qu'auparavant, et il est immédiatement clair qu'il faut, ainsi
que le fait Fermât, la restreindre au moins à des nombres donnés non
carrés.

Si en effet, d'une part n, de l'autre -J-. sont des nombres carrés

entiers, -Jf sera aussi un carré entier, et comme -^ -4- 1 doit être

(1) Wallis semble de fait avoir à peine regardé le préambule du second défi (Pièce
n' 81 de la Correspondance). Dans le deuxième alinéa, en effet, Fermai pose très claire-
ment la question comme concernant les nombres entiers et comme difTérant en cela des
problèmes conservés de Diophante.

COMMERCIUM DE WALLIS. 433

carré, on aurait deux nombres carrés entiers qui ne différeraient que
(le l'unité, ce qu'on sait être absolument impossible.

Dans le cas où la chose est possible, nos règles donnent non pas
les seuls, mais cependant tous les carrés entiers. Elles donnent en
effet tous les carrés demandés possibles, tant entiers que fraction-
naires. Pour ne pas paraître parler au hasard, je vais le démontrer.

Soit/- un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée;
on aura nf- + i égal à un carré, soit /-.

Prenons maintenant /== -—ï^' je dis que/- sera jl> que donne la

règle ci-dessus exposée. On a en effet : q ~ r-

r-

Maii

nf- + I = /-. Donc /- — i =^ nj- et n —

t'ziZ2l-hJ

d=\g

f-

P

r

Par conséquent,

2/ qz 2

1 1 ^I 2

et par suite, comme ir = — . >

2 / rp 2

il—

P

=f--

2/-
-d'

OU l)icii /'

Ainsi la règle précitée fournit le carré /-, c'esl-à-dire un carré
quelconque satisfaisant à la condition proposée.

(La démonstration se ferait de même, mutalismutandis, pour l'autre
règle.)

La règle précitée fournit donc une infinité de nombres carrés satis-
faisant à la condition proposée et d'ailleurs, dans le cas où la chose
est possible (c'est-à-dire si le nombre donné est non-carré), une infi-
nité de carrés entiers.

Il faut, de plus, que -~ =p soit entier et il faut fournir une infi-
nité de tels carrés.

Pour cela, parmi le nombre infini que donne la règle, on choisira
arbitrairement un carré entier quelconque, satisfaisant à la condition

FivniUT. — m. 55

43i ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

proposée, et qu'on peut d'ailleurs trouver de toute autre façon; grâce
à ce seul carré, on en fournira une infinité d'autres, comme suit :

Soit/-, par exemple, ce carré ; par conséquent nf- + i = /-.

2// sera la racine d'un autre carré satisfaisant à la condition pro-
posée. De la même manière, connaissant ce second carré, on trou-
vera la racine d'un troisième carré, puis d'un quatrième, d'un cin-
quième, etc., il l'intini.

Exemple : Le nombre 3, multiplié par le carré i, si l'on ajoute l'u-
nité, fait un carré.

3x1 + 1 = 4.

Le double produit de 1 et 2, racines des carrés i et 4» ""st
2X1X2 = 4» qui sera racine du nouveau carré 16 satisfaisant à la
condition proposée.

Et coiume 3 x 16 -(-1 = 49,

2 X 4 X 7 = 56 sera racine d'un nouveau carré 3i36 satisfaisant éga-
lement à la condition.

Comme d'autre part 3 x 3i36-i- 1 =9409, carré de 97,

2 X 56 X 97 = 10864 sera encore la racine d'un nouveau carré satis-
faisant à la condition.

Et ainsi de suite. On aura donc une infinité de carrés entiers satis-
faisant à la condition.

.le n'ignore pas d'ailleurs qu'en dehors de ces carrés on en peut
encore trouver d'autres; par exemple

3 X 22.5 H- I ■=. 676 = 26*,

et autres que nous pouvons également fournir en nombre infini. Ainsi
tous ne peuvent pas être immédiatement induits de la sorte d'un seul;
mais on ne demandait pas cela; car il n'a pas été proposé de fournir
tous les carrés entiers satisfaisant à la condition, mais d'en fournir en
nombre, infini, ce que nous avons fait.

Fermât voudra-t-il changer encore les fermes de sa question pour la

COMMERCIUM DE WALLIS. 433

proposer sous une troisième forme? demandera-t-il que les carrés
entiers satisfaisant à la condition soient fournis, non pas seulement
en nombre infini, mais absolument tous? Cela, nous pouvons également
le faire.

Qu'il en soit d'ailleurs ainsi que je l'ai dit, pour ne pas parler vai-
nement, je vais le démontrer.

Il a déjà été prouvé que -|- satisfait à la condition ; reste donc à faire

que -j7 = f- soit un nombre entier, par suite que sa racine

/

soit un nombre entier, ou autrement, que d =\n — q\ soit une partie
aliquote du nombre ar.

Or il peut se faire que 2r, et dès lors ^q, ne soit pas entier; substi-
tuons donc à a, -^i et à r, -• Nous aurons

f-

ir

a

1 -
e

I a- — në-

Ainsi,y'sera un nombre entier toutes les fois que | a^ — ne- \ sera une
partie aliquote du nombre lac; en d'autres termes, toutes les fois
que la différence entre un carré et le produit d'un autre carré par le
nombre donné sera partie aliquote du double produit des racines <le
ces carrés.

Or ceci peut arriver de mille manières différentes, mais a évidem-
ment toujours lieu en particulier, si cette différence est i ou 2; car i
est partie aliquote de tout nombre entier, et 2 l'est du nombre lae.

C'est ce qui arrive évidemment dans notre cas. Puisqu'en effet, sui-
vant la condition exigée, nf' + i = /-, la différence /- — nf- sera i;
si donc par cette différence on divise 2//, le quotient sera le nombre
entier 2//, et ce sera par suite un nouveau nombre/ satisfaisant à la
condition. Et ainsi de suite indéfiniment. c. q. f. d.

Je crois superflu d'en dire plus long sur cette question, quoique
j'aurais beaucoup de choses prêtes à ajouter; mais je crains déjà de
m'ètre trop étendu.

4.36 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Une autre question proposée par Fermât (') n'est parvenue que tar-
divement entre mes mains. L'énoncé en est :

Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale à celle de deux
autres nombres cubes.

Il me sutBra d'en dire quelques mots. Elle a été, à ce que j'ap-
prends, résolue de diverses façons par M. Frenicle; j'ai vu quelques-
uns de ses nombres; Fermât les ayant déjà reçus, il est inutile que je
les répète. J'en ajouterai d'autres qui viennent d'ici.

■1 \ 2/

™^3

.3+8^ =(4^) +(7

0'' ^'-^^°' =("ïï)'^(^'i

63+,o3 =(,if +f,o^y', 32^+66^ =.83 +68%

20'+ 5^3 _ 383 _^ 48%

3/ V 3

+ '7' '^(7;) -t-('6-)> 3o3+66' =4' +68%

60»+ i32= =8^ + i36%

5'+ II' =r ( ; 1 +(ii

•3/ 4^+483 --363 +4o%

^-j-^"' =*■ *rîj' «.+f6iY =(3!) .,.,

0

i; + i^3

,3/

= 33 +5% 3o3+8i» =573 +72%

8^+643 =363 +6o% 483+993 =273 _ I023,

63+483 =273 +453, 53+603 ZZZ453 +5o3,

i)"

^î) (îT- <^\

Si ces nombres ne suffisent pas, j'en fournirai autant qu'il le vou-
dra; et cela si facilement qu'en une heure de temps j'en promettrais
bien cent, entiers ou fractionnaires, à son gré. Ce que j'ajoute pour
qu'il ne dise pas encore qu'il ne veut que des nombres entiers, alors
que l'énoncé de la question ne fait nullement mention d'entiers.

Après avoir résolu ces questions, et si du moins votre très noble

(') Foir ci-avanl la Lettre X du Commercium, page 4i9- — Wallis se contenle ici de
donner des nombres proportionnels à ceux do cette Lettre, calculés par Frenicle, sur le
vu de la question de Format (Lettre du i5 août 1657. n" 8i de la Correspondance. 7 1.

COMMERCIUM DE WALLIS. 437

correspondant trouve qu'il ait désormais suffisamment éprouvé nos
forces, je voudrais le prier de ne pas trouver mauvais et de ne pas,
non plus, attribuer à quelque épuisement de notre vigueur là-dessus,
que nous ne nous montrions pas à l'avenir très préoccupés de ré-
soudre des questions de ce genre. Il semble les aimer singulièrement,
mais j'avoue (à dire ce qui en est) que, pour mon compte du moins,
elles n'ont pas un attrait si puissant que je sois porté à leur consacrer
beaucoup de temps ou de travail, et que je ne les estime pas assez
importantes, pour que, négligeant les autres recherches en Géométrie,
qui me plaisent davantage, je me détourne vers ces spéculations sur
les nombres. Qu'il ne croie pas toutefois qu'en parlant ainsi je veuille
en rien diminuer la juste gloire que mérite son habileté dans la pour-
suite de ces mêmes spéculations; je voudrais plutôt l'exhorter, s'il
trouve dans ces matières quelque secret intéressant pour l'avance-
ment général de la Science, à le publier ouvertement dans un Traité
méthodique. Mais ce que je veux faire comprendre est seulement ceci
que, ne pouvant m'occuper également de tous les sujets, je m'attache
depréférence à ceux qui me séduisent davantage et me semblent avoir
une utilité, tandis que je laisserai aux autres ce qui peut leur plaire
au contraire plus qu'à moi; ainsi les uns et les autres pourront jouir
chacun de son domaine.

Ce sera ma réponse aux nouvelles questions qu'il propose mainte-
nant ('), par exemple :

Partager un nombre cube en deux cubes rationels ;

Et partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres
cubes rationels.

Si le très honorable Vicomte Brouncker veut s'y essayer (et, s'il
essaye, je ne doute pas qu'il n'obtienne un heureux succès, en tant du
moins que la nature de la chose peut le permettre) ou si quelque autre
a le même désir, je ne veux aucunement l'en détourner; mais moi du
moins, je n'en ai ni le temps, ni l'intention.

(') Lettre du lî août iGj;, n" Si de la Currespondance, i et 8, ci-avant, p. 343.

i38 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Il ne m'a certes pas été désagréable, sur le désir exprimé par votre
très noble correspondant, d'engager une, deux fois la lutte avec lui
et de descendre dans son arène; mais cet illustre savant n'attend pas,
sans doute, que je continue toujours le même exercice, et que,
comme si je n'avais rien autre chose à faire, j'aborde sans cesse de
nouvelles questions, perpétuellement renaissantes.

J'en dis autant pour ses récentes propositions négatives, que :
en dehors de 2.5, il n'y a aucun autre nombre carré entier qui, aug-
menté de 2, fasse un cube; ni, en dehors de 4 et 121, aucun qui, aug-
menté de 4» fasse un cube. Si cela est vrai ou non, je ne m'en soucie ■
pas extrêmement, alors que je ne vois pas quelle grande conséquence
peut en dépendre. Je ne m'appliquerai donc pas à le rechercher. En
tout cas, je ne vois point pourquoi il en fait montre comme de choses
d'une hardiesse étonnante et qui doivent stupéfier soit M. Frenicle,
soit aussi les Anglais; car de telles déterminations négatives sont très
fréquentes et nous sont familières. Les siennes n'avancent rien de
mieux ou de plus fort que si je disais :

11 n'y a pas (en entiers) de cubocube (j'entends une sixième puis-
sance) ou même de carré qui, ajouté à 62, fasse un carré.

Ou : En dehors de 4. il n'y a aucun carré qui, ajouté au nombre 12,
fasse un bicarré.

Ou : En dehors de 16, il n'y a pas de bicarré qui, ajouté à 9, fasse
un carré.

Ou : 11 n'y a pas en entiers de cubes dont la différence soit 20, ni, à
part 8 et 27, dont la différence soit 19.

Ou : Il n'y a pas de bicarrés entiers dont la différence soit 100, pas
plus (pour le dire en une fois) qu'aucun autre nombre pair, à moins
qu'il ne soit divisible par 16.

Il est facile d'imaginer d'innombrables déterminations négatives
de la sorte.

Pour ce qui concerne mon Arithmétique des Infinis, dont il parle
dans la même lettre, il avoue que les propositions que j'ai découvertes
sont les mêmes que les siennes; sauf donc que je n'ai pas parlé du

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 439

centre de gravité, remarque sur laquelle je reviendrai tout à riieurc.
j'aurais ainsi produit ce que, dans la première lettre que j'ai vue do
lui('), il vantait comme miracles de la Géométrie. Il n'y a en oiTof
rien de ce qu'il indiquait dans cette lettre que l'on ne puisse voir dans
mon Traité, comme je l'ai montré en citant les endroits.

Mais, à ce qu'il semble, il regrette (reproche que je n'aurais jamais
présumé devoir être dirigé contre moi) que la méthode dont je me sers
ne soit pas celle qui prouve seulement la vérité des découvertes par
démonstrations apagogiques ou réductions à l'impossible (comme elles
sont fréquentes chez Archimède et comme il convient d'en user si l'on
veut moins se faire comprendre qu'admirer du lecteur); que ce soif
au contraire cette méthode qui montre en même temps la marche des
recherches.

S'il me rappelle l'exemple d'Archimède, exemple qui, à vrai dire,
m'eût sufTisamment justifié, si j'avais voulu employer la même mé-
thode de démonstration, je ne crois pourtant pas que votre savant cor-
respondant ignore que les hommes les plus sérieux et les plus doctes
regrettent précisément, et sont bien près de considérer comme un
défaut, qu'Archimède ait caché de la sorte les traces de ses procédés
de recherche, comme s'il avait voulu par jalousie priver la postérité
des moyens de découvertes, tout en voulant lui arracher l'aveu de ce
(ju'il avait trouvé. Mais Archimède n'a pas été le seul; la plupart des
anciens ont tellement dérobé aux yeux de la postérité leur Analytique
(car il est hors de doute qu'ils en avaient une) qu'il a été plus facile
pour les modernes d'en inventer une nouvelle de toutes pièces (ce qui
a été fait dans le dernier siècle et dans celui-ci) que de retrouver les
traces de l'ancienne.

J'aurais certes plutôt attendu des remercîments qu'une accusation,
pour avoir indiqué ouvertement et loyalement non seulement oi^i j'étais

(') Dans la Leltrcdu 20 avril 1637 (n°82 de la Corretpo/tdanec, T. [I, p. SSg), Fermât
n'applique précisément cette expression do miracles qu'aux propositions relatives aux
centres de gravité des aires comprises entre les hyperboles et leurs asymptotes. Il est
d'ailleurs le premier à dire que ses énoncés sur la quadrature des mêmes aires peuvent
se tirer de l'Ouvrage de Wallis.

WO ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

arrivé, mais encore quelle route j'avais suivie; pour ne pas avoir été
rompre le pont sur lequel j'avais passé le fleuve; d'autres peuvent le
faire, mais on s'en plaint assez.

Votre très noble correspondant avance encore que certaines de mes
propositions peuvent être démontrées par la méthode d'Arcliimède. Je
n'en doute nullement; j'ai même indiqué plusieurs fois (Arithm. In-
Jiii., pag. 38, 83 et ailleurs) qu'il était facile de le faire; mais j'ai dit
aussi pourquoi je ne l'avais pas fait moi-même; il n'a donc pas sujet
de s'enquérir des raisons du choix de ma méthode, quand je les ai in-
diquées dans le cours de mon Ouvrage.

Il n'y a guère, je crois, personne, je ne parle pas des arithméticiens
(le trivio, mais aucun géomètre un peu exercé (à plus forte raison
quelqu'un de tel que lui) qui ne puisse facilement, sur mes démon-
strations, en forger à'apagogiques et semblables à celles d'Archimède.
Aussi, pour sa promesse de le faire lui-même, je n'ai certes pas h
dédaigner son travail là-dessus, mais aucune nécessité ne l'oblige h
se charger d'une telle entreprise, alors que ce qu'il annonce devoir
faire a déjà été précisément accompli par Cavalieri, dans son Traité
De l'usage des indivisibles dans les puissances cossiques ('). Cependant,
s'il veut apporter son sufl"rage, je n'ai pas à le récuser.

Si enfin il repousse comme une forme de preuve illégitime l'induc-
tion, qui a été suffisamment employée tant parles Anciens que parles
Modernes, plus souvent peut-être qu'il pourrait le penser de prime
abord; s'il veut même écarter l'emploi des notes algébriques, partout
répandues aujourd'hui, je n'ai certes pas à être aucunement préoccupé
de rédiger une apologie sur ce chef. J'ai agi dans mon droit, suivant
la voie qui me plaisait; il a de même le plein droit d'en suivre une
autre, s'il le préfère ; mais je ne doute pas que ce qu'il blâme, d'autres
le loueront.

Il reste encore un point que je dois prendre surtout à cœur; j'ai, à
propos du centre de gravité, à dégager ma parole et à détruire l'accu-

(') De icu ('.oritndi'iii iridwisilnUiim iii polcstatibus cotsicit est le tilro de la iiualrième
(les six E.vercUalio//e\ gei/melricœ publiées par Cavalieri en 1647.

COMMERCIUM DE WALLIS. 441

sation de fausseté qu'à la vérité votre très subtil correspondant ne
porte pas vraiment contre moi, mais qu'il semble réserver dans ses
doutes.

J'avais dit, dans ma lettre du 6 juin, que les mêmes principes dont
je me sers dans V Arithmétique des Infinis permettent de déterminer
sans difficulté le centre de gravité tant des paraboles de tout genre,
que de la plupart des autres figures, planes ou solides; que, toutefois,
pour ne pas me perdre dans des digressions, j'avais à dessein omis
toute cette spéculation sur le centre de gravité. A cela votre très noble
correspondant réplique qu'il n'en sera pas persuadé, et qu'il désire
dès lors (comme si j'avais particulièrement énoncé ce point) que je
détermine les centres de gravité dans les hyperboles infinies, en dis-
tinguant celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il demande
qu'au moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstra-
tion. Sinon, il laisse penser qu'il me regardera comme ne connaissant
nullement une chose que pourtant, d'après lui, j'aurais avancé con-
naitre; enfin il n'enverra pas auparavant ses spéculations qu'il a pro-
mises depuis longtemps, de peur sans doute que je n'y trouve quelque
chose que je ne sache pas déjà.

Je ferai donc ce que demande votre très noble correspondant, tant
pour ne pas paraître accusé justement de mauvaise foi, que pour qu'il
voie que ce qu'il considère comme des merveilles, dont il se croit
peut-être le seul possesseur, m'appartient en fait également. Bien
plus, ce qu'il ne demande pas, j'ajouterai, suivant mon habitude, et la
méthode de recherche et la démonstration; il verra ainsi qu'elles pro-
cèdent directement de l'art d'invention que j'ai exposé. Je ne suis pas
pour moi si jaloux de mes découvertes que je ne les communique pas
aux autres, et je ne serai nullement fâché si le très savant Fermât y
apprend quelque chose qu'il n'aurait pas remarquée. Je le laisse d'ail-
leurs libre de faire ou non connaître les spéculations auxquelles il
fait allusion et ses procédés de démonstration; je ne réclamerai pas
l'exécution de sa promesse, s'il la regrette.

Ses hyperboles infinies ne sont autres que les figures construites sui-

Kehmat. — III. 56

k'*2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

vaut les séries que j'appelle réciproques, et dont j'ai enseigné la qua-
drature prop. 102, 103, 104, 105 Arithm. Injîit.;]?à déjà montré cette
identité et il la reconnaît lui-môme.

Soit donc, par rapport à la droite infinie AAo {/ig. i), une figure de
ce genre répétée, de part et d'autre, de telle manière qu'il y ait con-

Fig.

d b

A

M

V..__^

A "

C

/-^

gruence entre AâBD et kZbd, par exemple. La figure double ainsi
formée est celle que Fermât appelle hyperbole infinie (') et dont il
deman-de le centre de gravité.

Comme les droites parallèles à Ao (en dessous et au-dessus) for-
ment une série réciproque, dont par conséquent l'indice "est négatif,
soit — p\ comme, d'autre part, les moitiés sont proportionnelles aux
lignes entières, et que par conséquent les milieux de ces droites, ou
leurs centres de gravité, doivent être regardés comme suspendus à la
balance Ao à des distances du point A (supposé le centre de la ba-
lance) proportionnelles aux grandeurs des droites elles-mêmes; les
moments, dont la raison est composée de celle des grandeurs et de
celle des distances, formeront une série ayant pour indice — ip.

Ainsi la figure totale est au parallélogramme inscrit D6, comme i
est il — p -+- 1, et la somme des moments de l'une est à la somme des
moments de l'autre, comme i à — a/» -f-i. Mais le centre de gravité du

(') Fermai ne s'est pas en réalilé exprimé d'une façon si impropre; mais la figure de
Wallis n'en répond pas moins à celle du Tome II, page 338. — Le nombre p de Wallis esl
l'exposanl de.r dans l'équatien j/'j; = A de l'hyperbole bo rapportée aux axes .\o (des x)
et Xd (des j). D'autre part sa /igiire totale comprend le rectangle DBbi/.

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 443

parallélogramme est, comme on sait, en son point milieu; le parallé-
logramme Hb doit donc être regardé comme suspendu en M, milieu
de AA, dont la distance à A est AM = - Al.

Mais le poids de la figure totale, dans sa position ('), étant au poids
du parallélogramme, dans sa position, comme i à i — 2/j, si l'on prend
sur l'autre bras de la balance, la droite AP étant à AM comme i à
I — ip, le parallélogramme suspendu en P fera équilibre à la figure
totale suspendue comme auparavant. D'autre part, la grandeur de la

figure totale étant à celle du parallélogramme comme i à i — /?, si l'on

I AP

fait = —-, C étant sur l'autre bras que P, et les distances étant

i—p A<. ^

réciproquement proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le

centre de gravité de la figure infinie, si toutefois il y en a un.

I \P

Mais, dans le cours de l'opération, on a dû prendre =; thi;

1 ^ i — 2p AM

il est donc clair que, pour qu'il y ait un point P, il faut que l'on ait

2/) < t ou p <. -■

Autrement i — ip serait nul ou moins que rien, et dès lors il n'y
aurait nulle part ni point P, ni point G.

Ainsi nous avons trouvé, pour toutes les hyperboles infinies de
Fermât, qui en ont, le centre de gravité, et nous avons distingué
celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont point. Ce qui était
demandé.

J'ajouterais bien davantage sur le centre de gravité, tant de ces
figures, que d'autres formées de différentes façons; n'était que Fermât
borne là sa demande, et que je dois me souvenir que j'écris une
lettre, non un volume.

Mais, si jusqu'à présent je me suis conformé à ses ordres, je lui
demanderai en retour de traiter la même question sur ses hyperboles,
dans le cas où les courbes, de part et d'autre de l'axe, ne seraient pas
des hyperboles de même espèce, et cela en général.

C) C'est-à-dire le moment par rapport à A.

ŒUVRES DE FERMAT.

TRADUCTIONS.

Par exemple : Que, dans la figure AoBD {^fig. 2), infinie au sens de
Fermât, on inscrive autant de parallélogrammes AG que l'on voudra;

de même, dans la figure kZbd, autant de parallélogrammes A^ que
l'on voudra ; mais que d'un côté on ait

et de l'autre

FG' X GH = Bd' X BE,

fg X gh T^bd X be .

On demande de trouver le centre de gravité de la figure totale, si
toutefois il en a un, et de déterminer, en général, quelles figures de
ce genre en ont un et lesquelles n'en ont pas.

S'il avoue qu'il ne le peut faire, je m'engage à donner la réponse.

Enfin, et après ses autres lettres, j'ai reçu à part du même Fermât
quatre Remarques sur mon Arithmétique des Infinis. Je pourrais sans
inconvénient les passer sous silence, si votre illustre correspondant
ne pouvait penser que je le dédaigne ; en tout cas, je suis porté à croire
qu'il a écrit ces Remarques à la hâte et sans grande réflexion, que
peut-être même, s'il a lu aujourd'hui le reste de l'Ouvrage, il préfére-
rait ne pas les avoir faites; tant on y reconnaît mal la pénétration d'un
si grand homme, tant tout y est àirpoaoïovuda (').

I. Dans l'Epitre, en tête de V Arithmétique des Infinis, j'expose l'his-

(') Ne touchant pas à la question dont il s'agit. — Les Remarques en question forment
la pièce n° 83 do la Correspondance de Fermât.

COMMERCIUM DE WALLIS. 4i3

toire de mes recherches et notamment comment j'ai appliqué à mon
sujet la Méthode des Indivisibles de Cavalieri. En effet, de même que :

La raison de la somme de tous les cercles dont se compose (au sens
de Cavalieri) le conoïde parabolique à la somme d'autant de cercles
du cylindre est la raison du conoïde lui-même au cylindre; et que la
raison des sommes respectives de tous les diamètres de ces cercles est
la raison de la parabole au parallélogramme; raisons qui sont connues
l'une et l'autre;

Que la raison de la somme de tous les cercles dans le cône à celle
de tous les cercles dans le cylindre est la raison du cône au cylindre,
et que la raison des sommes respectives des diamètres de ces cercles
est la raison du triangle au parallélogramme; raisons qui sont encore
connues l'une et l'autre;

De même, la raison de la somme de tous les cercles dans la sphère à
la sçmme de tous les cercles dans le cylindre est la raison de la sphère
au cylindre, et la raison des sommes respectives des diamètres de ces
cercles est la raison du cercle au parallélogramme; ce que Fermât
d'ailleurs ne nie aucunement.

Mais ici la première raison est connue depuis longtemps, la
seconde ne l'est pas. J'ai donc dit que je me proposais de cher-
cher si par quelque moyen je pourrais, en partant de celle qui est
connue, arriver à celle qui est inconnue jusqu'à présent.

Fermât réplique : « Mais elle ne peut être connue, à moins de con-
naître la quadrature du'cercle. » Ce qui est parfaitement juste; carrer
le cercle c'est précisément trouver cette raison, et du moment où je
me proposais de la chercher, je me proposais de chercher la quadra-
ture du cercle. Au reste, je l'ai dit là-même en propres termes.

II. J'avais dit, après avoir indiqué la formation de la série des

nombres

I, 6, 3o, i4o, 63o, . . .,

que je cherchais quel terme moyen devait être intercalé entre i et 6.

Il répond que le moyen géométriquement proportionnel ne satisfait

pas à la question, comme n'ayant pas correspondance avec les autres

U6 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

termes de la progression. Ce qui est juste, puisque la série exposée
n'est pas formée de termes en proportion géométrique; le moyen
terme cherché ne peut donc être un moyen géométriquement propor-
tionnel.

Mais quand il infère, de ce que le moyen géométriquement propor-
tionnel ne convient pas, qu'aucun autre ne peut convenir, il n'y a pas
même là une ombre de raison; pas plus que s'il avait avancé la même

chose sur la série

I, 6, II, i6, ....

Personne n'ignore qu'entre i et 6 on doit intercaler le moyen

terme 3-; non pas comme moyen géométriquement proportionnel,

mais comme le moyen que comporte la série d'après sa nature, c'est-
à-dire le moyen arithmétiquement proportionnel.
De même, dans la série des nombres triangulaires

I, 6, 1.5, ...,

si quelqu'un alfirmait qu'entre i et 6 il ne peut y avoir de moyen
terme comporté par la série, par ce motif que ni le moyen arithmé-
tique, soit 3-> ni le moyen géométrique, soit \/6, ne conviennent,

il est certain qu'il se mécompterait puisqu'il y a un terme intermé-
diaire, le nombre triangulaire 3 que comporte la série; de même
qu'entre 6 et i5 on doit intercaler lo.
Si maintenant dans la série

1 , 3, 6, 10, 1 5, ...

on demande quel terme intermédiaire convient entre i et 3, j'ai

montré, page 170, que c'est i ^•

Mais, comme l'interpolation dans de pareilles séries revient très
fréquemment dans tout le Livre, surtout depuis le scholie de la pro-
position 165 jusqu'à la fin; comme c'est, en fait, l'objet principal de
tout l'Ouvrage, il eût été impossible, s'il l'avait lu entièrement et

I

COMMERCIUM DE AYALLIS. khi

qu'il eût tant soit peu réfléchi, qu'il pensât que je voulais parler de

moyen géométrique proportionnel.

Au reste, j'ai entrepris, entre autres, l'interpolation de cette même

série

I, 6, 3o, i4o, ...,

et j'ai montré, proposition 167, que le terme moyen à intercaler entre
I et G est an; ce que signifie ce symbole, je l'ai complètement expliqué
sur la proposition 191 (').

111. J'avais dirigé la recherche dans le premier lemme (prop. 1) de
telle sorte qu'elle fût conforme à la marche à suivre dans les autres
lemmes semblables, mais plus compliqués, des propositions 19, 39,
43, etc., et qu'ainsi elle put les éclairer.

Fermât montre, par une longue discussion, qu'il est capable de
donner une autre démonstration. Je n'en aurais douté en aucun cas:
car qui donc, même arithméticien de trk'io (à plus forte raison un tel
homme) peut ne pas savoir prendre la somme d'une progression arith-
métique? Je ne pense pas qu'il se figure que je serais dans ce cas; je
le renverrais à la Prop. 2 Con. Sect. et h la proposition 45 dn Cha-
pitre XXVI 1 de ma Malhesis Universaiis.

Je dois faire remarquer à votre très subtil correspondant que, dans
l'endroit dont il s'agit, je ne m'occupe pas de démontrer la proposi-
tion que j'ai énoncée, mais du moyen de découvrir la chose demandée,
comme si elle était inconnue; je veux, par cet exemple de recherche
dans une question facile, préparer à des recherches semblables dans
des questions plus difficiles.

S'il avait voulu que sa remarque portât, il aurait dû montrer qu'il
n'y avait pas là une méthode légitime de chercher une chose inconnue;
il ne l'a point fait; il avoue même qu'elle est utile pour chercher dos
choses cachées, toutefois avec les précautions nécessaires. Mais il ne
niera pas, je pense, que la quadrature du cercle, que je cherchais

( ' ) Le symbole □ de Wallis signifie le rapport du carré du diamètre à la circonférence
voir, Tome II, la note de la page 348.

U8 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

entre autres, ne soit ehose assez cachée; il n'indique nullement,
d'autre part, que j'aie employé cette méthode avec assez peu de pré-
caution pour commettre une erreur; je ne vois donc pas à quel titre
il peut justement blâmer ma méthode de recherche.

Voulait-il qu'après avoir légitimement découvert la chose, je la con-
firmasse a posteriori par des démonstrations apagogiques? J'ai sufh-
samment dit pourquoi je ne le faisais pas, tant à la propositions, Con.
Sect. qu'à la proposition 43, Arith. Infin. et ailleurs. C'est que je n'en
sentais pas le besoin, et je ne le sens pas encore.

IV. Enfin, lorsque, sur la proposition 2, il indique que la restric-
tion serait faite à tort, votre clarissime Correspondant se trompe abso-
lument sur le sens de ce que j'ai dit; il n'a pas assez fait attention à
mes paroles.

J'ai affirmé cette proposition dans toute sa généralité, et je crois
l'avoir démontrée généralement, en tant que besoin était; en tous
cas, elle ressort de la recherche précédente. Oui, il est universelle-
ment vrai, et je l'ai universellement affirmé, qu'une somme de termes
arithmétiquement proportionnels, commençant à o (série qui sera
toujours comme o, i, 2, 3, ...) quel que soit le second terme, sera
toujours, comme i est à 2, à la somme d'autant de termes égaux au
plus grand. Et cela est vrai sané aucune restriction.

Mais j'avais ajouté, à titre d'explication ou, si l'on veut, comme
corollaire :

Si l'on pose a pour le nombre des termes, / pour le dernier, quel

que soit le second, la somme de tous les termes sera -al, c'est-à-dire

la moitié du nombre des termes (-«) multipliée par le dernier

terme (/).

Cela est encore affirmé sans restriction. Mais j'ajoutais :

Si d'ailleurs le second terme est r (et autrement, il n'en serait pas

de même), le nombre des termes sera l-\-ï, c'est-à-dire snpérieur

d'une unité au dernier terme. Dès lors la somme des termes sera

^^ l; car dans ce cas vaudra autant que -a, la moitié du

COMMERCIUM DE WALLIS. 4W

nombre des termes, laquelle, multipliée par /, le dernier terme, doit
donner la somme totale.

Or que dans ce cas, le seul que j'aie énoncé sous restriction, il
faille bien en l'aire une, votre très savant Correspondant ne peut le
nier. S'il est vrai que, par exemple, dans la progression

o, I, 2, 3, 4,

ilonl le second terme est i, le nombre des termes est /-i-i, c'est-
à-dire 4 + I = 5, dans une autre, dont le second terme ne soit pas i,
comme

o, 2, 4. 6> 8,

le nombre des fermes n'es! pas /-f-i, c'est-à-dire 8-1-1, mais bien

8 . •

- -f- I = .j .

Or mes expressions ne |)euvenl avoir aucun autre sens, cl on ne
peufJes interpréter autrement sans leur l'aire une violence excessive.
Car, après avoii' alTirmé en général (\\iunc somme de termes orilhmé-
liquement proportionnels et commençant à o est à la somme d'autant de
termes égaux au plus grand comme i est à 2, j'ai immédiatement ajouté
en toutes lettres : .4 savoir, si le premier terme est o, le second i {car
autrement la conclusion devrait être modifiée'), et si le dernier est l, la

somme sera / (car. en ce cas. le nombre des termes sera / -f- 1 ) ; ou

2 ^

autrement (en posant a pour le nombre des termes, (pwlle (pie soit d'ail-
leurs la valeur du second') -al.

Cela est dit si clairement qu'il est étonnant que quelqu'un, pourvu
(ju'il y fasse suffisamment attention, puisse le mal comprendre. On ne
peut donc qu'attribuer à la précipitation qui l'a entraîné, que votre
illustre Correspondant ait pu se méprendre sur ce que je voulais
dire, alors qu'il a d'ordinaire une telle pénétration et une telle linessc
d'esprit.

Voilà ce que je pense devoir dire sur ces Remarques, pour ne pas
paraître les mépriser. Mais si Fermât a depuis trouvé assez de loisir
pour examiner à nouveau ces questions et pour y réfléchir un peu

l'i-.riMiT. — in. •>!

V.ÏO (l'LlN UES \)E FEU, M AT. -- TH A I) UCTIONS.

|)liis adontivemeiit , je ne doulo |)as (|u'il n'ait déjà do Iiii-mèmo
trouvé satisfactioti.

Votre très iiohlc Con'ospoii<fent a pris plaisir à provoquer en champ
clos (on pent le voir dans ses lettres), non jias un ou deux niatliéma-
lieiens dn commun, mais et l'Angleterre tout entière, et la Helgique
et le reste de la Gaule, sauf la Narbonnaise; il ne trouvera dès lors pas
mauvais, je crois, que nous lui rendions la pareille; et cela, non pas
sur une bagatelle, mais sur une question où personne ne puisse nier
que le nœud ne soit digne d'une telle' main, ni, s'il le dénoue, que la
chose en valait la [leine. Je ne veux donc pas parler de la question par
la([Uidle j'ai répliqué h sa premii-re et qui est de même nature; ce
n'est pas un sujet qui me semble mériter une anxieuse application. Je
ne pense pas davantage à la question dn tronc de cône; comme je l'ai
dit alors, je ne l'ai pas proposée comme dilficile, mais comme élé-
gante. Pas davantage à celle qu'il a rappelée dans sa lettre, à savoir :

Klaiit donnée la série des nombres

I, 6, 3o, i4o, G3o, elc,

Intiiver entre i ('/ G le terme intermédiaire que comporte la séiie.

Cependant c'était là, à le proposer pour la première t'ois, un pro-
blème suffisamment ardu, puisque même encore votre très noble Cor-
respondant le considère comme insoluble. 3[ais puisque j'en ai déjà
donné la solution dans un livre publié par moi, je n'ai pas à le pro-
posiM" de nouveau.

Toutefois j'(-'n choisirai %\\ tout semblable; à savtVir :

Etant donnée la série des nombres

5' , 3i :>.o9 I !\- 1 1062J
1',' y.i' 5-1 --'- > -^, — ' ' elc,

() 00 I4O 000 ■X']']'l

trouver entre 1 et -: le terme intermédiaire que comporte la séné.

Qu'il ne [)cnse p'as' là-dessus, comme il semble l'avoir fait pour
l'autre série, ([ue je demande une moyenne géométrique pas plus

COMiMEKClUM DE WALLIS. iot

qu'iino moyenne arithmétique; je ne lui demande pas de tant s'appli-
quer pour trouver -^ ou \/,.; il s'agit d'un terme convenant à la na-
ture de la série et ayant correspondance avec tout l'ensemble. Il ne
lui suffira pas non plus de dire que ni la moyenne géométrique, ni la
moyenne arithmétique ne conviennent à la série; car on ne demande
pas quel terme ne convient point, mais quel est celui qui convient.

Ou'ii ne croie pas non plus que je lui propose cela comme plaisan-
terie, et que ce soit une bagatelle; s'il résout légitimem-ent cette ques-
tion, je promets en retour un enjeu assez précieux, la quadrature de
l'hyperbole. Et si la Gaule Narbonnaise ne le peut, ce sera tourni ii
quel(]ae jour par l'Angleterre, grâce à la faveur divine.

.Mais il y a déjà trop longtemps que j'ennuie votre Seigneurie, et
(|ue. rendu trop audacieux par votre clémence, j'enfreins les lois de
ruri)anité; et cela ;> tel point que je ne |)ourrais, sans une faute n(ui-
velle, implorer le pardon de celle (jiie j'ai commise. Mais du moins il
me reste l'espoir que, dans votre insigne complaisance, vous daigne-
rez interpréter avec assez de bienveillance ce que j'ai pu mal faire,
pour que je ne sache pas trouver auprès de vous un meilleur avocat
(]ue vous-même, un meilleur défenseur, soit de moi, soit de notre
nation. C'est dans cet espoir que jose encore, m'appuyant sur votre

laveur, me dire,

Tri's insigne Seigneur,

Votre très obéissant et très respectueux,

J. Wai.i.is.

,, „ , ■;ii novembre

Oxford, : i 11)3-.

1°' (Jecuaibre

./(Il cru à propos (l'ajouter ici. pour (/iic la (jueslion tout c/iticrc suit
plus complètement exposée au lecteur, ce (jui a été indiqué ci-dessus comme
omis ou changé dans la lettre précédente, au sujet du centre de gravité
{roir page 14i, ligne 4- à P'^g^" -t'i-l' ligne ii : suit une première
rédaction ).

Fermât exige de moi que je fournisse le centre de gravité dans
toutes les hyperboles infinies qui peuvent en avoir un, et que je dis-

ÏM ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

tiiigue celles qui on on( d'avec celles qui n'en ont pas. 11 désire qu'au
moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstration.

Je ferai ce que demande votre très noble Correspondant, et même,
ce qu'il ne demande pas, j'ajouterai la démonstration; il verra ainsi
qu'elle procède directement de l'art d'invention que j'ai exposé.

Voici la proposition :

Si à l'axe AD (Jig. 3), dont le sommet est A, se trouve rapportée
(des deux côtés), une figure soit plane, soit solide, dont les ordon-

nées (soit des droites, soit des surfaces planes semblables) forment
une série de termes soit égaux, soit suivant les premières, secondes,
troisièmes, etc. puissances, soit suivant les sous-secondes, sous-troi-
sièmes, etc., soit quelque autre série formée de tels termes combinés
entre eux comme on voudra, soit enfin une série réciproque de l'une
quelconque des précédentes (ce qui comprend ce qu'il 'appelle hyper-
boles infinies); que l'on divise l'axe AD au point C, en sorte que ^-t-

soit égal au rapport de l'unité à l'indice de la série augmenté de
l'unité; C sera le centre de gravité de la figure.

Si la série est telle que l'axe puisse être divisé de la sorte, la figure
aura un centre de gravite; autrement, non.

Pour que l'axe puisse être ainsi divisé, il faut que l'indice de la série
soit plus grand que — i; autrement non.

Suit la démonstration :

Supposons d'abord que le point A du sommet soit au centre de sus-
pension de la balance, et que l'axe AD soit dirigé suivant les bras d<'
cette balance.

COMMERCIUM DE WALLIS. .433

Soil/j l'iiidice tle la série suivant laquelle procèdent les ordonnées
(droites ou surfaces planes); cette série sera donc, comme i à /; + i ,
à la série des termes égaux correspondants, en partaril de A.

11 est clair, d'autre part, que leurs distances au sommet, donc au
centre de la balance, sont proportionnelles aux abscisses (ou plutôt
sont ces abscisses même); c'est donc une série de termes de la pre-
mière puissance, dont l'indice est i .

Or la raison des moments entre eux est composée de la raison des
grandeurs et de celle de leurs distances au centre de la balance. La
série des moments, composée dès lors des deux séries correspon-
dantes, aura donc pour indice p + i, qui est la somme des indices des
séries composantes.

Par conséquent, la somme de tous les moments (c'est-à-dire le poids
de la figure entière ainsi suspendue) sera à la somme d'autant de
moments égaux au dernier (c'est-à-dire à la ligure correspondante

formée de termes égaux, et suspendue en D) dans le rapport -■

Si donc, sur l'autre bras de la balance, on prend le point P en sorte

\P I

(lue T-fi = ' Pt qu'on v suspende cette fiarure correspondante

' AD /j -H 2 1 ' ' " ^

formée de termes égaux, elle fera équilibre à la figure proposée, sus-
pendue comme auparavant, et le centre de gravité des deux poids
ainsi suspendus sera le point A.

Si donc on supprime le poids suspendu en P et qu'on prenne C, en

sorte que = Vtt (c'est-à-dire les distances dans le rapport in-

^ /j -+- 1 AL ^ '1

verse des grandeurs), ce point sera le centre de gravité du second
poids.

Mais AP=— ^AD; donc AC = ^^^^ AP = ^^^ AD ; dès lors

/J + 2 I /> H- 2

CD = AD et rrrr = c. Q. F. 1).

/3 -H 2 CD I

Si maintenant ^ est — i ou ■< — i (comme — 2,-3, etc.), p -+- 1
(c'est-à-dire alors — i-i-r, — 2 + r, — 3 + i, etc.) sera soit o, soit
moins que o; il n'aurait donc aucun rapport avec l'unité.

D'oii ressort la distinction.

V,ï'.. (OUVRES 1)1-: FKHMVT. - THVDUCTIONS.

Kciiiial (lira pcul-èlri' : « Do cette manière on trouve bien le centre
(le iii'avit('' (entre autres) des mêmes figures que j'appelle hyperboles
iiiftiiies. mais non pas dans la nuMiio situation. « \in effet, il ne les sup-
pose pas prolongées à l'intini des deux côtés du diamètre limité AD,
mais des deux côtés du diamètre infini Ao; or c'est dans celte position
(|u'il demande le centre de gravité.

.l'avoue que cela est vrai; mais je réponds que ma spéculation n'est
pas moins curieuse que l'autre, et si je ne me trompe, elle est nou-
velle ; je ne sache pas du moins que Fermât ou quelque autre l'ait déjà,
je ne dis pas atteinte, mais seulement entreprise. Au reste, afin qu'il
ne se plaigne pas (fue je ne lui aie point donné satisfaction, puisqu'il
iIcMiandait le centre de gravité dans une autre situation, je ne refu-
serai pas de m'astreindre ii lui répondre, même sur ce j)oinî.

Les droites parallèles à AAc { J/i^. \) (tant dessous que dessus) f'or-
nienl une série réciproque d'une directe dont l'indice sera p. par

l'is- 1-

d b

A

M

A

P

C

/
/

D D

exemple, (k'tte série réciproque aura donc pour indice —p. tiomme
d'autre part les moitiés sont proportionnelles aux enti(U's, les moitiés
de ces droites parallèles formeront de même une série d'indice — p\
et par consé(|uent les milieux de ces droites ou leurs centres de gra-
vité devront être regardés comme suspendus à la balance Ao à des dis-
lances du centi'O de la balance A, proportionnelles aux grandeurs des
droites elles-mêmes. Donc les moments, dont la raison est composée
de celle des grandeurs et de celle des distances au centre de la balance.

COMMKUCIUM DE WALLIS. Voo

siTonl eux-mêmes en raison double des grandeurs; ils formeront donr
une série réciproque d'indice — 'ip.

Ainsi la figure totale sera au parallélogramme inscrit comme i à
— /^ + I ; et la sommo des moments do l'une sera à la somme des mo-
ments de l'autre (dans cette situation) comme i à — -j/v -+- i. .Mais le
centre de gravité du parallélogramme est, comme on sait, en son point
milieu, le parallélogramme inscrit doit donc être regardé comme sus-
pendu au milieu de AA, soit en M, dont la distance au centre de la
balance est AM = ' AA.

.Mais le poids de la ligure totale, dans sa position, étant au poids du
parallélogramme inscrit, dans sa [)()sition, comme i à — 12/j + i , si
l'on prend sur l'autre bras de la balance, au delà du centre .\, la
droite AP qui soit à .\M comme 1 ;t — 2/> 4- 1 , le parallélogramme
suspendu en P fera é<|uilibre à la figure totale suspendue commii

au|)aravant. D'autre part, la grandeur de la figure totale étant à celle

I AI'

du naralléloaramme comme 1 ii — /^ + i. si l'on fait ^ '--,

' " ' —/.<-)- 1 A(,

('. étant pris sur l'autre bras que P, et les distances étant récipro(|ue-
ment pro[)ortionnelle>> aux grandeurs, ce point Csera le centre de gra-
vité de la figure proposée.

.Mais AP= ' AM et AC = ~^^' AP= "''^^ AM. Par

— 2/) -i- l I — 2/> -t- I

(•onsé([uent,

t-3/? _ A M
i — p " AC '

11 faut daiïc que 1 '^ ip on p <i -. autrement [ — -ip serait nul, on
même moins que rien.

Je dis do'nc (^seconde proposition) que :

Si de part et d'autre de l'axe infini .\o, dont le sommet est A, se
trouve une figure plane, telle que, par ra|)port à l'axe conjugué D.\(/.
limité de part et d'autre et également prolongé à partir de son mi-
lieu A, les ordonnées forment une série réciproque quelconque (dont
l'indice sera, en tout cas, négatif), — c'est là ce que Fermât appelle

VoG ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Iiyperboles infinies, — si l'on prend un point C, tel que le rapport du
donl)ie (le l'indice de la série plus l'unité au même indice, plus l'unité,
soit celui de AM (distance du sommet au point milieu du parallélo-
gramme inscrit) à AC (pris du même côté sur l'axe A c), ce point C sera
le centre de gravité de la figure, si toutefois elle en a un. Or elle en

aura un si rindi(;e de la série est supérieur à , autrement, non.

On peut remarquer au reste que le même mode de raisonner s'appli-
(|uerait absolument, même si les deux semi-hyperboles DAo, û?Ao, au
lieu d'être disposées des deux cotés de la droite Ao, de façon à pro-
duire une figure hyperbolique infinie en pointe, comme ici, étaient
situées de part et d'autre de la droite DB, mise en coïncidence avec dh,
de façon à produire une figure avec creux. Au lieu de chercher, comme
tout à l'heure, le point C sur la droite Ao, ou le chercherait de la
même manière, mais sur la droite DB prolongée.

On arriverait encore au même résultat pour une figure composée de
deux semi-paraboles ou semi-paraboloïdes, semblables et semblable-
ment placées, soit de façon à être tangentes à Ao au sommet commun,
soit à avoir DB comme base commune. On aura, en effet, toujours

?/) + ! , , ... AM ., , DM

— égal soit a -— r soit a ^^777-

p + i ^ AL DC

De la sorte il est surabondamment donné satisfaction aux demandes
<le Fermât; mais il eût été facile, en partant des mêmes principes, de
<léterminer le centre de gravité, non seulement dans les paraboles ou
paraboloïdes entii'res, mais aussi dans les semi-paraboles et semi-
paraboloïdes; bien plus, dans la moitié des figures de l'espèce que
Fermât appelle hyperboles infinies; ce à quoi je ne sais s'il a jamais
pensé.

.l'entends la figure formée par les droites AD, DB limitées, Ao in-
finie, et une seule courbe. En effet, ayant trouvé les points C, tant sur
la droite AD que sur la droite Ao, si l'on en mène des parallèles à AD
et à Ao, leui' point de rencontre sera le centre de gravité de cette
figure.

D'où l'on conclura facilement de même, si besoin est, le centre de

COMMERCIUM DE WALLIS. 457

gravité dans une figure formée de semi-paraboles de ce genre ou semi-
hyperboles infinies, mais dissemblables.

(le qui vient d'être montré au sujet des hyperboles planes de ee
genre peut être étendu également (mulatis mulandis) aux figures
solides formées, lorsque les ordonnées sont des surfaces planes sem-
blables parallèles et rapportées à des parallèles soit à AD, soit à Xo.
Mais je. dois me souvenir (ju'en ce moment j'écris une lettre et non pas
un Traité complet.

LETTRE XVII.

John Wali.is a \ icomte Brouncker.

Très illustre Seigneur, puisque vous le demandez (et je ne puis
qu'obéir il de tels commandements de votre part), je vais formuler,
aussi brièvement que possil)le, la méthode de rechercher les nombres
requis pour la solution du problème de Fermât, telle que nous l'avons
pratiquée jusqu'à présent; j'imliquerai en même temps et le fonde-
ment de cette méthode e(, lii où il conviendra, les divers abrégés des
opérations, puisque, autrement, la recherche peut tourner en lon-
gueur.

Le problème demande que : étant donne un nombre quelconque non
carré, soit n, on trouve un nombre carré, soit a-, tel que son produit par
Ir nomJjrc donné, étant augmenté de l'unité, fasse un carré, soit

De plus, il fa ut fournir une infinité de carrés tels que a'-, quel que soit le
nombre non carré n qui soit proposé.

Alors qu'il n'était nullement question de nombres entiers, nous
avions déjà résolu ce problème en fournissant tous les possibles, (ani
entiers que fractionnaires. M. Fermât a ajouté après coup qu'il ne
voulait que des entiers; ainsi il a demandé qu'on fournisse une infinité
de carrés entiers satisfaisant à la condition. C'était changer complète-
ment le problème primitivement proposé en un autre d'une tout autre

Fermât. — Ml. 58

158 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

nature. Néanmoins, j'ai cru devoir admettre ce changement et aborder
la question en nombres entiers. Voici le résultat :

J'ai jugé devoir partir de la règle générale précédemment énoncée.
A savoir, si nous appelons « un nombre donné quelconque (carré ou
non carré, entier ou fractionnaire); q un carré quelconque; d sa dif-
férence avec ii; ^ sera un carré requis. Nous avons déjii démontré

antérieurement que non seulement cette règle est vraie et donne une

infinité de carrés satisfaisant à la condition, mais encore qu'elle

donne absolument tous les possibles tant entiers que fractionnaires.

Cela posé, pour la nouvelle condition ajoutée, il suffît de faire que

~i et par conséquent sa racine ^, soit un nombre entier, ou autre-
ment que d soit une partie aliquote du nombre 2R. Toutes les fois, en
elfet, qu'il en est ainsi, le carré fourni par la règle est évidemment un
nombre entier.

Or, ayant un entier de ce genre, une méthode sûre en donne aussi-
tôt une infinité d'autres, pour ne pas dire tous; ce qui sera exposé

plus loin. Cependant, comme il peut se faire, ce qu'il ne faut pas

2R

dissimuler, que 2R soit un nombre fractionnaire, même quand --r est

entier, nous poserons

R

et, par conséquent,

l = Ti^

et aussi

d ^=:\f] — /i I =

— — n

Ainsi ce sera la même chose de diviser soit 2R par d, soit — par

— — > ou, en multipliant de part et d'autre par r-, 2.yrpar \nr^ — s-\.

Par conséquent, si, d'une manière quelconque, on trouve, entre le
produit du nombre n proposé par un carré quelconque et un autre
carré, une différence qui soit une partie aliquote du double produit
des racines de ces deux carrés (c'est-à-dire si | ur- — s- \ est partie ali-
quote du nombre isr), le quotient de ce double produit par cette dif-
férence donne un nombre entier, racine du carré cherché.

COMMEUCIUM DE WALLIS. 43!»

Vous direz : ^lais comment trouver ce carré dont il faut partir, cl
qui, multiplie par n, doit difFérer d'un autre carré d'une partie ali-
quote de ce double rectangle? C'est ce que je vais exposer maintenant
à ma façon.

L'entier /2 proposé étant non carré, soit le carré entier immédiate-
ment supérieur

c-=«4- b.

Si l'on multiplie le nombre n par un carré quelconque, soit a-, on
aura

na''-z= c'a- — ba- ^ {<■(')' — t'.a-.

trest-à-dire que le nombre donné n, multiplié par le carré du nombre «,
donne pour produit le carré du même nombre a pris autant de fois
qu'il V a d'unités dans la racine du carré immédiatement supérieur au
nombre donné, moins le carré de ce même nombre a, après sa multi-
plication par la difTérence b entre le nombre donné et le carré immé-
diatement supérieur.

Par exemple, soient : n ^ -j et, par suite,

Cz=3=z\fçf et h ^= c- — « =: 2.

Quel que soit maintenant le nombre pris pour a, on aura

/ia-== c^a- — ba-^= (ca)- — O.a-,

c'est-à-dire

7a-i= (3«)- — a a-.

Si nous prenons dès lors, pour a, les nombres successifs : i, 2, 3,
4, etc., on aura un Tableau comme celui ci-contre, où il est clair que
les nombres a du premier membre : 1,1, 3, 4. etc., étant en progres-
sion arithmétique, les nombres ca du second membre : 3, G, 9, 12,
suivront également une progression arithmétique, dont la raison con-
stante sera c= 3, et enfin les nombres Im'- qui viennent en troisième
ligne, 2, (S, 18, 32, etc. (multiples égaux de nombres carrés consécu-
tifs), auront des différences suivant une progression arithmétique dont

WO ŒUVRES DE FERMAT. - TRARUCTIONS.

la raison sora -ih :

n

.rt^ =

{car—

h.a^

j

..^ =

3^ -

1
6

i

2-.=;

6^ -

8

10

j
j

3^ =

^2

9"' —

12^ —

i8

32

i8

7

5^ =

i52 —

• )0

En elFot, on sait que les carrés consécutifs se forment par l'addi-
tion continue des nombres impairs 14-3 + 5-1-7, etc.

I =rl,

4 = 1+3,
9 = 1 + 3 + j,
16 = 1 + 3 + 5 + 7,

Par suite, leurs ditrérences croissent suivant une progression arith-
métique de raison 2; dès lors leurs équinuilliples auront des ditTé-
rences croissant suivant une progression arithmétique dont la raison
sera l'équimultiple de 2. On a, en efîet, évidemment

I /> = I 6,

4 ^ = I ^ + 3 />,

gi^iZi + S/^ + oZ»,

De ce fondement dépendent tontes les relations qui suivent pour
les progressions arithmétiques, et il sera inutile de le répéter davan-
tage par la suite.

(jcla posé, si b = i, il est clair qu(> le nombre a = 1 est un des
carrés cherchés; car alors

«rt^=c-a- — ba-'-=c- — i;

I

COMMERCIUM DE WALLIS. WH

C'est ce qui arrive pour les nombres 3, 8, i5, etc., inférieurs d'une
unité à un carré.

Si maintenant h est supérieur à l'unité, il est clair que ha- l'est
également, et qu'on chercherait vainement le nombre i dans la co-
lonne correspondante des nombres à retrancher (quoique, ainsi
qu'on le dira plus loin, il puisse s'y trouver parfois un nombre qui y
conduise).

Il faudra donc passer à une seconde colonne etde là à une troisième,
une quatrième, etc., suivant les exigences do la question, jusqu'à ce
(|ue l'on trouve enfin le nombre £ dans quehfue colonne, ou du moins
un autre nombre qui y conduise, comme je l'expliquerai plus loin.

Or on passera à une colonne suivante, dès que, dans la colonne
considérée, le nombre à retrancher sera égal ou supérieur au double
de la racine du carré adjacent. Alors on prendra la racine immédiate-
ment inférieure, et l'on diminuera le nombre à retrancher de la somme
des lieux racines :

7.1^= 3^— 2

6
-.22= 6^-^ 8

10
7.3^= 9=— 18= 8-- I
■ >4 8 .

7. 4' = 12- — 32=ztr- — 9

18 12

7.5- = iJ'-' — 5o=:i4- — 21
16

7-6^ = = 172-37=16-- 4,

i/i

7-7' = = '9'- "8

18

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, relatif au nombre 7, on trouve à la

troisième ligne

7. 3-^=9^-. 8.

Or 18 est double de la racine de l'adjacent 9; par suite dans la co-

V()-2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

lonne suivanle, à 9" — 18, je substitue 8- — i, et je rencontre immé-
tliatcmcnt, comme nombre à retrancher, 1 que je cherche. Dès lors, le
carré du nombre 3 est un des carrés cherchés; et, en effet,

7.32 = 7x9 = 63 = 8^-1.

Si je continue dans hi même colonne, je trouve à la sixième ligne
T7- — 37, à quoi je substitue dans la colonne suivante, iG-— ^,

puisque

17^- i6'= 17 + 16 = 33 = 37 — 4

(et ainsi toujours. Car la différence de deux carrés immédiatement
consécutifs est égale à la somme de leurs racines).
Je vois donc ainsi que

7.6''=: 2.12 =: 16- — 4-

Or, comme le nombre à retrancher, 4- P^t partie aliquote de la
racine adjacente 16, il est clair que ce même nombre 4 est, a fortiori,
partie aliquote du double produit des. racines G et iG. Si donc je divise
par 4 le nombre 2 x G x iG = 192, le quotient 48 sera racine d'un
autre carré cherché. En effet,

7.48- = 7 X 33o4 = 1G128 = 127-— I.

On a donc ainsi un autre-carré cherché; mais immédiatement au
déiiut, nous avions, dans la première colonne,

7x2^=6^-8,

où il est clair que le nombre à retrancher 8 divise le double produit

(le 2 et G;

24
2x2x6 = 24 cl — =3,

o

racine d'un carré déjà trouvé.

Encore dans la même colonne, qualrième ligne, on a

7.4"-'=r>J— 32,

et comme le quotient par 32 de 2 x 4 X 12 = 9G est 3, on retrouve
pour la troisième fois la racine du même carré déjà connu. En y fai-

COMMERCIUM DE WALLIS. 163

sant attention, on reconnaîtra que cette colonne donne souvent coup
sur coup le même résultat, car il se présente à toutes les lignes paires
ou dont le rang est multiple de deux. Mais bien plus, dès la première
ligne où le nombre à retrancher, 2, est partie aliquote du double pro-
duit 2 X I X 3, le quotient est encore ce même nombre 3; toutes les
lignes de la première colonne devront donc fournir cette même racine
pour le carré cherché.

Il faut noter que non seulement les différences G, 10, l'j, 18, etc.
de la première colonne, mais encore celles de la seconde, 8, 12, iG.
20, etc., de la troisième, l'i. 18, 22, 2G, etc. et ainsi de suite dans
toutes les autres, sont en progression arithmétique, avec la même
raison \ que dans la première; il est donc très facile de prolonger
une colonne quelconque, sans avoir à s'embarrasser d'aucune extrac-
tion de racine.

D'autre part, ces mêmes différences, prises obliquement, comme
10 et 8, r4 et 12, ou 18, iG, i4, etc. sont toujours en proportion
arithmétique, et leur commune différence est toujours 2 (ce qu'on
reconnaîtra d'ailleurs, mutatis mutandis, quel que soit le nombre //
proposé). 11 est donc de même facile de passer de colonne à colonne.

Il l'est encore, pour les mêmes raisons, de donner à volonté un
nombre quelconque, dans une colonne quelconque, sans calculer les
intermédiaires, ou encore, si cela parait expédient, d'effectuer les
opérations par bonds. Mais tout cela se présente de soi-même à qui
a une pratique suffisante de la nature de la progression arithmé-
tique, et il n'est pas besoin de le prouver plus longuement.

Au reste, ce que j'ai montré jusqu'à présent, en prenant le carré c'^
plus grand que le nombre n proposé, arrive également en prenant le
carré inférieur. Je ne veux pas dire que l'on obtienne immédiatement
le nombre cherché (comme dans le premier cas où l'on a 7.3- = 8- — i),
mais on a une différence partie aliquote du double produit (comme,
quand sur 7. 2- = G"— 8, ou a trouvé le nombre 8 partie aliquote du
double produit 2 x 2 x G, d'où l'on déduit le quotient 3 comme racine
d'un carré cherché). En effet, il est simplement requis que la diffé-

W* QÎUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

ronce \nr- — s- \ divise le double produit irs, sans qu'il y ait nécessité
(juL- ///■- ou X- soit le plus grand des deux termes; c'est donc la même
chose, pour la (|uestion, que nr'- soit supérieur ou inférieur d'une
unité à un carré.

Par exemple, soit proposé le nombre i3,

/ia-=(cay--h ba^
i3.i^ 3-^4- 4

6^ + l6:

etc.

: f-+ 3

■ 4

22

i3'-+ 39 = 14^

i72-(-36 = i8'-+i.

On. trouvera, h la cinquième ligne, quatrième colonne (ou troisième
il partir de la première).

Or I, différence des nombres i3.5- et 18^ divise le double pro-
duit 2 X 5 X 18 = 180, et donne pour quotient 180. Ce sera donc la
racine d'un des carrés cherchés.

En effet,

1 3 X I 80- ^ 4^ ' ^00 =: 649- — I .

Si enfin, jusqu'à présent, nous avons pris pour c- le carré soit immié-
diatement supérieur, soit immédiatement inférieur au nombre donné,
cela est tout t\ fait arbitraire et sans nécessité; car tout autre carré
supérieur ou inférieur eût donné les mêmes résultats; ce qu'il faut
également entendre de ce qui suit.

Il semble que de la sorte nous ayons suffisamment traité la première
partie du problème, îj savoir la recherche d'un au moins des carrés
demandés, (^ar, s'il en existe un, il est impossible qu'on ne le trouve
pas ainsi, par l'un ou l'autre mode, ou au moins par le premier.

Mais, comme il peut parfois être long d'y arriver, à moins d'om-

à

COMMERCIUM DE WALLIS. 165

ployer un abrégé, il convient, pour faciliter le calcul, d'enseigner,
entre beaucoup, quelques abrégés de ce genre.

L'un, qui est excellent, a déjà été indiqué; il se présente lorsque la
diiïérence | nr'- — s- 1 divise le double produit 2.rs. Cela arrive toujours
quand cette différence est soit i, soit 2, c'est-à-dire si nr- est supé-
rieur ou inférieur, de i ou de 2, par rapport à un carré quelconque s'-,
car 1 divise tout nombre et 2, tout nombre pair, donc -irs. Mais cela
se présente souvent aussi pour d'autres différences.

En voici un autre : à moins de rencontrer éa- = i dans la première
colonne, ce qui résout immédiatement la question, pour trouver i
comme nombre à retrancher, il faut passer aux colonnes suivantes
et en prendre une ou plusieurs, comme j'ai dit. Mais quel que soit le
rang de la colonne où l'on trouvera i, de ce rang connu on déduira
aussitôt la racine du carré cherché. En effet, si, dans la première
colojine, la racine du carré essayé est ca, elle sera, dans la seconde,
ca — 1, dans la troisième, ca — 2, etc. (^ela est évident dans le pre-
mier mode du procédé, où l'on prend le carré c- immédiatement supé-
rieur à n; quant au second mode, j'en parlerai plus loin.

Ainsi, il est clair que la racine du carré, dans une colonne quel-
conque, est inférieure à la racine du carré correspondant dans la pre-
mière colonne, d'autant d'unités qu'il y a de rangs d'une colonne à
l'autre; appelons rf cette distance ou différence. La racine du carré
dans une colonne quelconque sera ca — d et son carré

c- a- — 2 cda -+- d-

étant, par rapport au carré c'^a'-, supérieur du nombre 2cda — d-, il
faudra diminuer d'autant le nombre à retrancher ba- pour retrouver
en tous cas la même différence iia'-. Ainsi ce nombre à retrancher
sera ba- — icda-\-d-. Mais je voudrais que ce nombre ainsi déter-
miné soit I. Il faut donc poser

ba- — 2 cda 4- f/- = 1 ,

el, transposant,

(/- — I =r 2 cda — ba-,

\\\. — Fermât. Sg

V66 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

d'où

b ~ ' b
el résolvant l'équalion

-a — a-,

_cd _^ le'- d- — bd"- -\-h _cd± \J c- d- — bd'- -+- h _ cd ± \,'nd'- -+- b

""T-y ¥ ^ b ~ b

à cause de c' = n -\- b, d'où c" — h = n qI c''-d'- — bd'- = nd-.

Ainsi, connaissant d, on connaîtra a.

Cela posé, pour connaître d, il faut chercher, de la même manière
que l'on a montré pour a, un carré dont le produit par le nombre
donné, étant augmenté du nombre b qui a été pris, fasse un carré, en
sorte que \Jnd'--h b soit un nombre rationel entier. Cela peut paraître
à première vue aussi difficile que la première recherche proposée;
mais, en fait, il y aura un grand abrégé, parce que d (nombre des
colonnes suivant la première) sera toujours moindre que a (nombre
des unités dans la racine du carré cherché), comme cela est évident.
On parviendra donc plus tôt au nombre à retrancher b qu'au nombre
à retrancher i.

Par exemple : soit proposé le nombre l'i et, par suite, soit

i3.K='r-3.

On ne trouvera pas i avant la ligne i8o, où

i3. iSo-= 649'— I,

et par conséquent a = 180. Mais on retrouvera le nombre à retrancher
b = 3, au moins dès la ligne 7 1 , car

18.71^= 256- — 3,

et par conséquent f/= 71, d'où l'on conclura a = 180, comme précé-
demment. Le calcul est donc abrégé de plus de moitié.

Si cependant il arrivait, ce qui peut se faire parfois, que le
nombre d, ainsi trouvé en premier lieu, donnât un nombre «, non
pas entier, mais fractionnaire, et par suite impropre à la question

COMMERCIUM DE WALLIS. 4(i7

proposée, on en chercherait un second, ou même un (roisième, enfin
quelqu'autre d donnant a entier. Ce qu'il faut aussi entendre pour ce
qui suit.

Que si cette réduction des opérations ne paraît pas encore assez satis-
faisante, et qu'on ne parvienne qu'avec trop de lenteur au nombre d
Iui-mème,*dans ce cas sa recherche peut aussi être abrégée par le même
artifice. Précédemment, pour trouver a, nous avons cherché le rang
de la colonne renfermant le nombre à retrancher prescrit i ; mainte-
nant il faut chercher le rang de la colonne renfermant le nombre à
retrancher h. Or, comme, à cause de c- — n -\- b, on a

nct-=c-d-—bd\

et que le nombre à retrancher bd- est trop grand (h moins que l'on
n'ait /> = !) puisque celui qu'on cherche est b, il faut diminuer le
carré c'-d'- (comme nous avons tout à l'heure diminué le carré c'-a'-),
de façon que le nombre à retrancher, étant diminué d'autant, devienne
égal à b.

Ainsi, de même qu'à la racine ca du carré nous avons substitué
CCI — d, à cd nous substituerons maintenant cd — e, e étant le rang de
la colonne où l'on trouvera le nombre à retrancher b. La différence
des carrés de ces racines sera iced — e'-, et en la retranchant du
nombre bd', il restera

d'où
et

et, résolvant l'équation,

hd--

—

■2 ced -+- e-

= 6,

e"-

b

= iced —

bd-

b

b

2 ce ,
= b '^-

-d'-.

ce±\Jc"e^ — be'^ -\~ b- ce zh \/ne'^-\- b-

fi ! ! .

b - b

Par exemple : soit proposé le nombre i3, on trouvera à la ligne 28,

13.28-:= lOI^ — 9,

et, comme 9 = b-, on aura e = 28, d'où d = ji et « = i8o. Ainsi le

/iC8 (ElIVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

travail, (h'jà réduit auparavant do la ligne i8o à la ligne 71, se trouve
maintenant réduit à la ligne 28.

Mais la même méthode peut encore le réduire davantage. En effet,
on montrera de la mémo manière, s'il est besoin, comment cette
réduction doit se faire, et de même que l'on a trouvé

cd ± \j n(P -

— a.

: \ ne'

b"-

=.d.

on trouvera

cf±<Jnp-^ti'

Ci' ±\'/i,;

-=/.

ch ±\'n/i^--h h'

et ainsi de suite.

Ainsi on est ramené à ceci : en commençant à procéder comme pré-
cédemment, on observera si l'on rencontre comme nombre à retran-
cher, soit I, soit 2, soit quelque autre diviseur du double produit 2rs
ci-dessus mentionné (car dès qu'un tel cas se présente, la question
est aussitôt résolue, comme il a été dit); soit encore b ou une de ses
puissances quelconques, b-, b^, etc. Si l'on rencontre ainsi h, on aura
cl; si l'on rencontre b^, on aura e; si b",/ et ainsi de suite.

Un de ces nombres étant connu, on aura évidemment les autres en
rétrogradant, à moins que l'on ne trouve ainsi des nombres fraction-
naires; dans ce cas, il faudra, comme je l'ai indiqué, poursuivre
encore la recherche commencée.

Par exemple, soit proposé, comme auparavant, n = i3,

4— 3.

8'-— 12
.3^-27 =
16^-48 =
elc.

z.i^- 4

=i5^ — I-

'9'— 36

23-— 61=22-— iG
26^—39

3o2— 68 = 29=- 9
33^— 36
37- — 69

4r- — io8 = 4o-

COMMERCIUM DE WALLIS. 469

On trouvera, à la ligne ii, colonne qualrième à partir do la pre-
mière,

i3.ii°-=4o2— 27,

et, comme ici 27 = b^, on aura/=: i r , d'oîi e = 28, (1= nj^ a = 180.

Mais nous négligeons, dans la première colonne, tant 3 à la première

ligne, que 27 à la troisième; dans la colonne 3 après la première,

ligne 8, nous négligeons 9; parce que l'un quelconque de ces nombres

donnerait a fractionnaire (de faito ou 7, ou — j, et par conséquent

impropre à la question.

Ainsi l'opération a été réduite de 180 à 11. Avec le nombre pro-
posé, on ne peut d'ailleurs obtenir une nouvelle réduction, à moins
de passer à des colonnes antérieures. En effet, puisque l'on a /= 1 1 ,
comme j'ai dit, on doit le trouver ii la ligne 11, colonne \ après la
première; car §•= ], et l'on a d'ailleurs

i3.4'-=i7=-8i;

mais on ne peut trouver cette puissance dans aucune des colonnes ci-
dessus; il faudrait prendre celle qui est immédiatement antérieure ii
la première, puisque 17 = (cay-hi. La même cbose est à dire, (ifor-
tiori, des nombres suivants h, i, etc.

On peut, il est vrai, prendre ^ = 8'|, puisque

i3.84^=:3o3^— 81,

et que ce nombre donne, en effet, aussi bien/= 1 1 que/= 21 3, mais
on voit qu'il se trouve plus tard que le /cherché.

Il n'est peut-être pas sans intérêt de noter que, de même que si l'on
connaît d, par exemple, on peut en déduire a, de même réciproque-
ment, si l'on connaît a, on peut en déduire cl; de même pour les au-
tres. En effet, comme on l'a montré,

ba^ — 2 cda -(- c?* =: i ;

d'où, ordonnant et résolvant l'équation,

cd ± \Jnd^+ b

WO ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS,

comme on l'a déjà vu, et

d =: ca ±1 ^na^ -\- i .

Do même, puisque

bd- — 2 ccd + e^ = i,

on aura à la fois

d = — • et ez^cd±\/nd'-j- b;

et ainsi de suite.

Mais il s'ensuit aussi que

bo^ze et semlïlal)lemenl bd=:f, be^zg, elc.

En effet, puisque

cd±Jnd:^-^ h
« = 1 ',

on aura

baz= cd± ynd'^ -h b =: e,

et de même pour les autres.

Il y a toutefois ii faire cette distinction que le signe, qui est double
dans les deux cas, doit être pris de deux façons différentes, le supé-
rieur convenant mieux à la question pour l'une des quantités, l'infé-
rieur pour l'autre. Par exemple, si l'on prend

Oa = cd — \/nd^ -+- b ,

a sera un nombre fractionnaire, à moins que b ne divise le nombre
cd — \Jnd-+b, ou bien, s'il est entier, il se trouverait encore plus
tard que d ou e, dans la recherche dont il s'agirait. Au contraire, si,
pour e, on prenait la plus grande quantité

e ^cd -\- \/nd^ -+- b ,

quoique dans ce cas le nombre soit bien entier, comme il est plus
grand que a, il n'arriverait que plus tard, dans la recherche faite pour
le trouver le premier.

Ce qu'on vienrt de dire pour « et e s'applique également ii d et /, h
e et g, etc.

Ainsi, si par exemple, après avoir trouvé e, on remonte par les éga-
lités ci-dessus à rf et à a, il faut prendre les quantités les plus grandes;

COMMERCIUM DE WALLIS. 471

si, au contraire, on veut avoir les suivantes/, g, etc., on prend les
moindres, comme mieux appropriées à la question.

Les procédés abrégés, que nous venons d'indiquer pour chercher
na- inférieur d'une unité à un carré (et en prenant dès lors c'-'^ n),
s'appliquent de môme, miUalis mutandis, si l'on veut chercher na- ou
nr^ supérieur d'une unité à un carré (en prenant pour c'- le carré im-
médiatement inférieur) ou encore na- ou nr-, ayant avec un carré une
différence de 2, en plus ou en moins. Quoiqu'en effet, dans ce cas, «-
ne soit pas le carré cherché en premier lieu, il le donnera toutefois,
comme j'ai dit plus haut. Les relations se présentent ainsi :

na- inférieur d'une unité
à un carré.

cd± \l nd- -+- b

b

d=

ce ± \/ne^ -+- 6^

b

e =

cf ± \Jnp + b'

b

/ =

cg±\Jng'^+ b''

b

cil -±z\Jnh'--\- b'

na'-

supérieur d'un
à un carré.

•e un
cd

ité

a

_ \Jnd-

— b-

b

ce

d

\/ue'

^- b'-

b

«/

e

_ \^nr

- b'-

b

cg-

S

_ \!'Kt("-

-t-6*-

b

cil

\'nh-

-~b'~

0

b

na- inférieur de deux unités. na- supérieur de deux unités.

cd

± s/nd'-

-4- 2b

ce

b

fi —

± \/nd'

■+-2/;»

c/

b

± ^'np

+ 26=

cg

b

f =

±V/^

+ 2*^

ch

b

±L \Jnh'

+ a6'

sJnd'' — 26 — cd
a = ^ ,

V "-e' H- 2 6- — ce
d= ^ ,

_ \/np—ib' — cf

c — ; >

\/nff'--hib"—cff
J - ~b •

\l nii- — -xb^ — ch

i7-2 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

On procéderait, do même, pour chercher na- différant d'un carré
d'un nomhrc quelconque, en plus ou en moins. J'entends en tant que
la chose est possihle, car il n'est pas universellement vrai que pour un
nombre quelconque, même non carré, son produit par un carré entier
puisse avoir, soit en plus, soit en moins, une différence donnée quel-
conque avec un carré. Mais comme, dans la question posée, il est cer-
tain que I et i divisent toujours irs, que cela n'est pas de même
assuré ou universellement constant pour les autres nombres, il suffira
de porter son attention sur ce qui suit : à savoir si, en instituant le
calcul indiqué, on trouve na- ayant avec quelque carré pour différence
le nombre i ou 2, ou quelque autre partie aliquote du double produit
des racines; ou bien inférieur à un carré du nombre h (différence
entre le nombre donné et un carré plus grand), ou d'une quelconque
de ses puissances, ou du double d'une quelconque de ses puissances;
ou encore supérieur à un carré du nombre b (différence entre le
nombre donné et un carré plus petit), ou de son double ou d'une
puissance quelconque impaire de b ou du double d'une telle puissance ;
ou entin, dans le même cas, inférieur d'une puissance paire de bon de
son double.

Si, en effet, quelqu'une de ces circonstances se présente, on aura,
soit le nombre a, racine du carré cherché ou qui le fournira immédia-
tement, soit quelqu'un des nombres d, e, f, qui, par rétrogradation,
conduiront à a, à moins que le nombre a ainsi trouvé ne soit fraction-
naire, auquel cas il faudra pousser plus loin la recherche, comme il a
été dit.

Par exemple, soif proposé le nombre n = 149, et soi( pris

c = i3 el par conséciueiU 6 = 149 — 144 = 5;

on trouvera, à la ligne 17 de la colonne troisième ou 2 après la pre-
jp-ière (ear il n'est pas nécessaire d'aller plus loin),

149. 17-= 206^-1- 6^5 ;
et dès lors, comme G2J = />*, on aura ij- = 17, d'où, en rétrogradant.

COMMERCIUM DE WALLIS. 473

on trouvera

fr=82, e = 397, ^=1922, enfin a ou r = 93o5.

Le produit de ce dernier nombre par n dépasse un carré d'une

unité; car

2 2

1^9 X qSoS =12900870725 = 113582 -i-i = s2_|_,_

Le double produit

2 /'i = 2 X 93o5 X 1 1 3582,

divisé par

donnera

21 13761020,

racine du carré cherché dont le produit par n ou 149 sera inférieur
d'une unité au carré du nombre

25801741449.

On' aurait obtenu le même résultat si, passant la ligne 17, on
était allé jusqu'à la ligne 82 ou 397, etc., où l'on aurait eu/= 82
ou e = 397, etc.

Ainsi, dès la ligne ly, nous avons le nombre qui, par la méthode

exposée, conduit au nombre cherché, lequel est passablement élevé,

puisque le plus petit des carrés satisfaisant à la question doit être écrit

avec 19 ligures. C'est

446798564967 I 44o4oo,

carré de

2113761020,

comme je l'ai dit; et ce carré, multiplié par 149, est inférieur d'une

unité à

6657 2986 1 80 1 o446 1 960 1 ,

carré du nombre

258oi74i449.

En voilà sans doute bien assez sur les procédés d'abréviation de
la recherche; je n'ignore pas qu'on peut ajouter encore d'autres
remarques, qui abrégeraient cette abréviation même; mais je crains
d'être trop prolixe.

^'ehmat. — Ul. 60

Wi ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

J'avais pensé notamment à indiquer une autre méthode abrégée. Il
s'agit de montrer comment nous pourrions poursuivre par sauts l'in-
vestigation dont j'ai parlé, ce qui peut être utile, quand elle traîne en
longueur, comme cela arrive parfois; de la sorte il ne serait pas même
besoin, en certains cas, d'examiner une ligne sur loo'. Mais cela ne
me parait pas nécessaire, et je ne dois pas en mettre trop; ou bien,
si vous désirez que je traite aussi ce point, ce sera pour une autre
fois.

Désormais, ayant longuement exposé la méthode de recherche d'un
carré quelconque propre à notre objet, c'est-à-dire tel que son pro-
duit par un nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse un
carré, il reste à montrer comment nous en fournirons ensuite une
infinité de même espèce, pour ne pas dire tous les possibles. Là-
dessus je serai aussi rapide que possible, car je n'ai pas à être pro-
lixe, en vous exposant ce qui est de vous.

Comme je l'ai déjà dit plus haut, toutes les fois que la différence
\nr^ — s-\ est une partie aliquote du double produit ^rs, le quotient
de ce dernier par cette différence sera la racine d'un carré satisfaisant
à la question.

Soit donc déjà connu (par la recherche ci-dessus développée) un
carré quelconque satisfaisant à la question et que nous désignerons
par r-. Puisque dès lors, par hypothèse, nr- -h- 1 est un carré, soit ^'-
ce dernier. On a donc

«/•-+!=: 5-, d'où \ nr^ — i-|^i.

Comme i divise tout nombre entier, il est clair que cette diffé-
rence, \nr- — s-l = 1, divise le double produit 2rs; etle quolientrésul-
tant de cette division sera la racine d'un second carré satisfaisant à la
question. Grâce à ce second, on en déduira de la même façon un troi-
sième; de celui-ci un autre, et ainsi de suite à l'infini.

Toutefois, si cette solution satisfait largement à la question, de
fournir une infinité de carrés de l'espèce, elle ne donne pas absolu-
ment tous les possibles.

COMMERCIUM DE WALLIS.

475

Par exemple, soit donné le nombre 3, la racine du premier carré
sera i ; on en déduira pour celle du second 4. puis successivement

56, 10864, 408855776, ...,

et cependant on passe sur de nombreux carrés intermédiaires, à savoir

ceux des racines i5, 209, 780, 291 1, 4o545, i5i3i6, 564719, 2107060,

7865521, 29354524, 109552575.

Ces racines intermédiaires seront fournies par la règle suivante :
Soient n le nombre donné, r la racine du premier ou plus petit

carré satisfaisant à la question, supposée trouvée par la méthode

exposée ci-dessus, et / = 2 \Jnr- -^ i ,

la racine du premier sera . .
celle du second » . .

» (lu tioisième » . .

» du quatrième » . .

» du cinquième » . .

et ainsi de suite, selon la série ci-cont

/• ou /XI,

r X t,

r X {t-— 1),

r y. {Û—2I),
rx {(•—3r--+-

1).

■e

/•XI,

/• X 1,

*>

t,

t-—J,

u.

l^—2t,

X,

i*_3/'-H-i,

X'

t''-—f,i'-^3t,

•^)

t'^—5t''-h6l-—t

a,

La construction de cette série se reconnaît de prime abord; il sullit
d'indiquer que les coefficients sous-entendus, sinon inscrits, des pre-
miers termes sont les unitaires i, i, i, etc.; ceux des seconds les
linéaires i, 2, 3, etc., engendrés par l'addition successive des uni-
taires i + i-f-i, etc.; ceux des troisièmes termes sont les triangu-
laires I, 3, 6, etc., formés par l'addition successive des linéaires
I -h 2 + 3, etc.; ceux des quatrièmes termes sont le? pyramidaux i.

WC ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

4, lo, etc., formés par l'addition successive des triangulaires
I + 3 + G, etc., et ainsi de suite.

Ou bien si, à /, /- — i, /' — 2/, etc., nous substituons /, u, x, etc.,
on aura

u ziz tt — I,

X ^= lu — l,
y —tx — u,
z —tx—y,

c'est-à-dire que chaque terme est le produit par t du terme immé-
diatement précédent, si l'on retranche de ce produit le terme pénul-
tième.

Ou enfin (figuration qui pourra trouver des préférences) la série
aura la forme suivante {voir Lettre XIV) :

Pour le nombre donné 3 :

•) 1 'j o' t3 r,ii „4i oi53

3 par le carre de ix3-x3yx3^x3— tx3 — x . . . ;
I 4 13 30 209

ou pour 2 :

, . . r ' r 5 r 29 r '6q „ q85

2 par le carre de2x5-x5;;X57T?x5 — 7 x o -^^— r- X

1 6 00 204 1109

Ici connaissant, comme précédemment, la première et la seconde
racine, on forme les autres de telle sorte que, dans les fractions suc-
cessives, le numérateur de chacune soit égal à son dénominateur
moins le dénominateur immédiatement précédent, et que chaque
dénominateur soit égal au numérateur du terme immédiatement
précédent réduit en fraction impropre.

Si ce que je viens de dire ne suffisait pas surabondamment pour la
question à traiter présentement, on peut encore ajouter ce qui suit.

Si l'on a trouvé une série quelconque comme ci-dessus, convenant
pour un nombre non carré donné, par exemple n = 2, on aura immé-
diatement les séries convenant aux multiples du même nombre par
un carré quelconque, soit à nm-; pour cela, il suffit de diviser la série
des racines déjà trouvées par la racine m de ce carré.

COMMERCIUM DE WALLIS.

477

Ainsi l'on

a

:

2 par le carré

de

2 X

5

8 »

1 X

5

i8 »

4x

33

32 »

Sx

33

5o »

i4 X

'97

72 »

2 x

33

98

„ 5 -20 - i6q _ q85
X 5 -X 5 ^xo — 7x5-^2— -X.
6 35 204 1189

_ 5 r 2Q . i6q „ q85
X 5 ^x 5 ri X 0 — 7XD-2-— X,
6 35 204 II 89

,„ 33 „„ 1121

X 33 157 X 33 r^X...,

34 IIOO

„, 33 3^ 1121
34 ii55

197
x.97-^x...,

,„ 33 „, II2I
X 33 V7 X 33 — ^ X .

34

'97
x.97 7f§x.,

ii55

128 »

162 »

200 ' ))

242 »

288 »

c'est-à-dire

2

8

18

32

5o

72

98

128

162

200

242

288

10x197

5i X . . .,
i54o X. . .,

7Xi97;x.97^x..

1260 X . . .,

33

X 33- X 33 ^ X 33—-. x.
I 34 ii5o

2 par le carré de 2.12.70.408.2378.13860.

i. 6.35.204. I 189. 6930.
» 4 • " ' 36 . » 4620 .
» 3. » 102

» » i4. »

» 2. » 68.

» » 10. »

» » » 5 1 .

» » » »

» » 7 .

i)

» » )) »
» I . » 34 .

» 3465 . .

» 2772. .

M 23l0. .

» 1980. .
» «

» I 540 . .

» i386..

» I 260 . .

» I i55. .

Il est facile de voir que la division en question peut s'effectuer
tantôt sur tous les termes, tantôt en les prenant de deux en deux,

V78 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

ou de trois en trois, ou de quatre en quatre, cinq en cinq, etc. De
même pour les autres nombres.

Il ne sera pas mauvais d'avertir de ce que j'ai déjà indiqué plus
haut, quoique la chose soit étrangère au sujet à traiter présente-
ment.

Si, dans la question proposée, au lieu de dire, étant augmenté de
r unité, on avait dit : étant augmenté d'un nombre carré quelconque,
soit k'^, les séries des carrés que nous venons de trouver seraient à
multiplier par ce carré k-, ou, ce qui revient au même, les racines des
carrés seraient ti multiplier par k.

Par exemple : étant donné le nombre n = i, on demande que na-
soit inférieur d'une unité à un carré. On aura alors

na-^= 1 par le carré de 2. 12.70. . . .

Mais si l'on demandait que na- soit inférieur du nombre 9 à un
carré, on aurait

na'-^i 2 par 9 fois le carré de 2. 12.70. . . .

Cette série fournit une infinité de carrés satisfaisant toujours à la
condition proposée, toutefois elle ne les donne pas toujours tous.
Cette remarque doit suffire.

Voilà les principales choses qui m'ont semblé à dire sur ce sujet;

je les ai réunies dans ce résumé pour obéir à vos ordres. 11 me reste

à vous prier d'excuser avec bonté ce qui pourra n'être pas en tout

conforme à votre désir, et de ne pas vous lasser de continuer vos

faveurs accoutumées.

Très insisnc Lord,

au très respectueux serviteur de votre Seigneurie,

John Wallis.
Oxford, 7/17 décembre 16J7.

.l'avais déjà écrit tout le reste, quand l'idée m'est venue d'ajouter
encore, sous une forme tout à fait différente de celle ci-dessus, votre
méthode de rechercher le premier carré. ( Voir Lettre XIX.)

1

COMMERCIUM DE WALLIS. kV.i

Soit, par exemple, proposé le nombre non carré « = i3, et soit a'- Ir
carré cherché, tel que i3a'- -h i soit carré. On aura

ou bien

4a^+ 1 = 6fl6-t- b-;

par conséquent

ib> a> b.

Soit a = b ^ c; et, par suite,

4 6' -h 8 6c + 4 c' + I = 66= + 6 ^>c + //-,

ou bien

2 6c + 4 c- -r I = 3 6- ;

2C > 6 > c.

b = c -h d :

2c--h 2cd-^- [iC^-i- i=^3c--h 6cd -i- 3d-,
3c*-t-i = 4cc? + 3(;-;
2 f/ > c > rf.

r = û? + e :

3«?- + eye + 3e2 -t-i = 4^^- + 4 rfe + 3f/S

2rfe-f-3e=+i = 4'5?S-
2 e > rf > e.

2e=+2e/+3e'+-i=:4e'-4-8e/+ 4/-,

e2+i = 6e/+4/';
7/>e>6/.

56/'-+ i2/ff+g'-+i = mp + 6fg + A/,

6/^ + ^'-i-i== 4/';

■^g>f>g-

f=g+h:

&g'^+ 6gh + g'^-\-\r= ^g--\-8g/i -+-4/'',

3o-=+i = 2-A + 4/'-;

ih> g>h.

480 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

g = h+i:

3 /j2 + 6 A< + 3 /' -+■ I = 2 7*2 + 2 A/ + 4 A',
4A<+3«"2 + i=/i%

21 :=z h, « = I.

Par conséquent,

i= I, A= 2, ^= 3, /= 5, e = 33,
d^3S, c=7i, 6=109, a^i8o.

On procédera de la même façon pour tout nombre donné non
carré.

LETTRE XVIII.
John Wallis a Kenelm Digby.

Très illustre Seigneur,

J'ai reçu avant-hier soir très tard et j'ai parcouru hier le Traité de
M. Frenicle sur les problèmes de Fermât, Traité que votre Seigneu-
rie a récemment adressé au très honorable Lord vicomte Brouncker,
et que ce dernier a bien voulu me communiquer; je ne l'avais pas vu
auparavant et je n'en avais même jamais entendu parler, avant d'avoir
reçu à ce sujet la lettre du très honorable vicomte.

Il est certain, d'après ce Traité, que son clarissime auteur, ou bien
n'a pas vu, ce que j'aime mieux croire, la lettre que je vous ai adres-
sée à Paris, ou qu'il n'a pas loyalement agi : dirai-je avec nous ou avec
notre nation?

Il commence tout d'abord par insulter notre nation, et non pas elle
seulement, mais aussi les Belges et même les autres nationaux de
France,

« Voici », dit-il, « que Lutèce vous fournit, très illustre Seigneur,
» la solution de problèmes que ni vos Anglais, ni les Belges, n'ont
» aucunement pu procurer; la Gaule Celtique est tîère d'enlever la
» palme à la Narbonnaise, etc. »

Et bientôt après, il répète à plusieurs reprises, que « la plupart des

COMMERCIUM DE WALLIS. 481

» autres mathématiciens, tant d'Angleterre que de Batavie, s'atta-
» client à les résoudre », ou même « y dépensent leurs sueurs », mais
qu' « il a vainement attendu quelque chose des Anglais ou des Ba-
» taves, quoique la plupart aient sué là-dessus », et autres phrases
pareilles.

Pour les Français et les Bataves, ce qu'il convient d'en dire, j'ai
d'autant moins à m'en soucier que j'ignore davantage ce qui s'est fait
chez eux; mais, pour vos Anglais, je puis en parler.

Tout d'abord, quand les Anglais n'auraient rien t'ait sur la question,
on n'aurait pas pour cela à triompher de notre nation; car il n'y a pas
un de ses mathématiciens sur cent qui ait, je ne dis pas, sué à résoudre
ces problèmes, mais les ait seulement abordés, ou même qui en ait
entendu parler. Je ne sache pas, en eiïet, à part Lord vicomte Broun-
cker et moi, <{n'il y ait en Angleterre un mathématicien qui v ait
dépensé une petite heure, ou même qui y ait pensé tant soit peu; au
moins tous ceux que je connais, d'après mes informations actuelles,
les ont absolument ignorés ou bien ne s'en sont pas occupés. Si leur
très noble auteur a pu dire dans une lettre particulière qu'il les propo-
sait à tous les mathématiciens de l'Europe, il ne faut pas croire que
tous, je ne dis pas : se soient aussitôt mis à la besogne, mais même en
aient eu immédiatement connaissance.

Quant à nous deux, nous avouons qu'il peut bien se faire que votre
clarissime correspondant ait résolu ces problèmes, au moins les deux
premiers, avant l'un ou l'autre de nous. A cela, il n'y a rien d'étonnant
puisqu'il les aurait résolus deux mois avant qu'il en fût rien parvenu
ici. Il dit, en elfet, avoir trouvé la solution dès le 23 janvier (nouveau
style), alors que ces problèmes, quoiqu'ils semblent m'être adressés
personnellement, n'ont pas été vus de l'un de nous deux avant le
4 mars (vieux style), soit huit semaines entières, moins deux jours,
plus tard. Ce fut là, au reste, la date de leur arrivée de Paris à Lon-
dres, et ils ne parvinrent à Oxford qu'un peu plus tard.

Ce que nous avons fait sur ce sujet, il est inutile de le répéter lon-
guement à nouveau, puisque je vous l'ai déjà exposé à plusieurs

Fermât. — U\. 6l

V82 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

reprises dans mes lettres précédentes. Toutefois, comme cela se trouve
épars et mêlé à d'autres choses (car le même M. Fermât nous a posé
d'autres questions et nous avons répondu sur plusieurs points de plus
d'importance), il parait utile de faire le résumé de ce que j'ai déjà
écrit à ce sujet, et de le donner à voir d'ensemble, pour qu'on puisse
juger combien à tort on croit triompher de nous ou de notre nation.
D'ailleurs, comme on semble parfois accuser notre lenteur, j'ai cru
bon de marquer les dates.

Les deux premiers problèmes étaient conçus en ces termes :

Proposez (^?o^>page 3ii, n° 79, à page 3 12, ligne 4) d'une amitié

naissante.

Pour qu'on ne nous accuse pas de lenteur, je dirai que M. White,
qui devait nous apporter ce papier de Paris, l'a remis à Londres à Lord
vicomte Brouncker, le 4 mars (vieux style); celui-ci l'envoya le lende-
main à Oxford, où il arriva le 6 mars, le soir à une heure avancée. J'y
fis aussitôt une réponse, en sorte qu'elle pût être emportée par le
courrier partant le lendemain de grand matin pour Londres. Voici le
résumé de cette réponse:

Les questions proposées sont à peu près du même genre que celles
que l'on pose sur les nombres dits parfaits, déficients ou abondants, et
ne peuvent guère dès lors, ou ne peuvent pas du tout être ramenées à
une équation générale embrassant tous les cas. Mais le seul et même
nombre i satisfait aux deux questions, puisqu'il est à la fois carré et
cube, et que d'ailleurs il n'a pas de parties aliquotes. J'ajoutais en
même temps un problème très semblable à ces questions, et pour
lequel je n'ai encore rien reçu comme réponse.

Trouver deux {i^oir^. \o[\, lignes 16 à 19) semblable.

A ma solution, le très honorable vicomte ajouta ensuite la sienne, à
savoir : non seulement le nombre i, mais (au cas où les fractions
seraient admises) le quotient du nombre i par la sixième puissance
de tout nombre entier; et, de plus, pour la première question, le quo-

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 483

343
tient du nombre 343 divisé de la même façon, par exemple, -777-- En

effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles

3A3
que celles qui sont dénommées comme le tout, le cube ci-dessus -^

n'aura pas d'autres parties aliquotes que ^j ^) ^. lesquelles, ajou-
tées au même nombre -7^) font -^, nombre carré. Ainsi ni M. Fre-

64 64

nicle, ni M. Fermât ne peuvent dire qu'aucun Anglais n'ait satisfait
aux questions, puisqu'au contraire les seuls qui les aient abordées, au
moins que je sache, les ont résolues.

Comme cette solution était immédiate et qu'on ne demandait qu'un
seul nombre de l'espèce, je n'ai pas jugé à propos de poursuivre des
recherches dans l'infinité des nombres. La question ne me paraissait
pas d'assez grande importance pour l'exiger, et l'eussé-je voulu faire,
je n'en aurais pas eu le loisir. Car le problème me surprenait au milieu
des occupations les plus pressantes et alors que je me disposais à
partir pour assister à l'enterrement d'un frère que je venais de
perdre.

Je n'étais pas encore de retour (mon absence dura deux semaines,
si je me souviens bien) que, dans un entretien k Londres avec le lord
vicomte, j'appris de lui que, dans l'intervalle, il avait déjà reçu, du
même M. Fermât, une autre question, dans laquelle l'auteur avait une
plus grande confiance, tandis qu'il semblait abandonner les autres»
déjà résolues, à ce qu'on sait maintenant, par M. Frenicle; le lortt
avait répondu à cette question et donné, avec les précédentes, cette-
réponse à M. White ; celui-ci les envoya immédiatement à Paris, comme'
on peut le reconnaître, et l'on ne peut non plus sur ce point nous
reprocher un retard.

Or cette troisième question, après le préambule (// est à peine
quelqa un qui propose des questions purement arithmétiques, il est à peine
quelqu'un qui sache les résoudre, etc.), était conçue en ces termes :

Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de
carrés déterminés, tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'eux-

'.8i ŒUVRES DE FERMAT.— TRADUCTIONS.

par le nombre donné, on ait un carré Mais je demande la règle géné-
rale s' appliquant à tout nombre non carré quelconque qui peut être
<loniH\ Ole.

Cette règle générale qu'on demandait fut fournie par le très honoré
vicomte, et appuyée de sa démonstration.

Soient n un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier
ou fractionnaire); q un autre carré quelconque (entier ou fraction-
naire) ; d la différence entre n et q; à savoir soit n — q. soit q — n.

Règle : n-^ -h i est un nombre carré. En effet,

a- a- q- — iqn -^- n- \q — n

Que cette solution soit légitime, personne n'en doutera, à moins
(|u'il ne la comprenne pas; et la démonstration, qui n'était pas récla-
mée, est certainement tout aussi régulière. Cependant, pour qui serait
embarrassé des notations analytiques, la voici en d'autres termes :

Si le quadruple d'un carré quelconque est divisé par le carré de sa
différence avec le nombre proposé, le quotient sera le carré cherché;
car son produit par le nombre proposé, étant augmenté de l'unité, fera
un carré.

J'ai envoyé moi-même à Paris une autre règle semblable, mais plus
lard, car alors je n'avais pas eu pleine connaissance de la question.

Soient n un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque
arbitrairement choisi, par lequel on divise un carré q quelconque, ce
(|ui donne le quotient m. Soit, d'autre part, o le quotient de m par ^p
(c'est-à-dire par le quadruple d'un nombre quelconque); soit enfin d
la différence entre oa et pn.

—rr-: disais-je, est le carré cherché. En effet.

d- '

nian man -\- d- o' ar -^ \tnan -\- p- li^ ^ oa -\- pn\'

d' d- o'-a- — \man-\-p-n- \oa — pn )

Que Format prenne l'une ou l'autre de ces règles, il n'aura pas seu-
lement une infinité de carrés, mais bien tous les carrés possibles

COMMERCIUM DE WALLIS.

t8o

entiers ou fractionnaires, dont le produit par le nombre donné (d'ail-
leurs carré ou non carré, car il n'y a pas de raison pour restreindre
aux seuls non-carrés la question ainsi posée), étant augmenté de
l'unité, fera un carré. Et cela même a déjà été démontré par nous,
comme suit :

Soit/- un carré possible quelconque (satisfaisant à la question);
on aura donc, par hypothèse, n/'--i- i égal à un nombre carré, soit /-.

Prenons maintenant

/m

V7 = '• =

/

on aura, disais-je pour la première règle,

4 'y

d'

= P-

Kt. en elTel.

Mais

,if'--i-i = r-;

par conséquent.

/- — I = nf- cl ~yi~ — " •

Dès lors

d^

1 7 — " i =

/^ZP2/-M l'--\

2 1 q: 2

P P

" P

Mais, comme ir

2 / rp 2
=31 — ,

c'est-à-dire

/

r- - H

J — Ai'

C. Q. F. I).

La même chose peut être prouvée de même, s'il est besoin, pour

antre règle.

Ainsi nous avons dcMiné la règle générale demandée pour obtenri-,
étant donné un nombre quelconque, une intinité de nombres carrés

486 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

dont le produit par le nombre donné, étant augmenté d'une unité,
fasse un carré. On ne peut donc nous accuser de ne pas avoir résolu le
problème.

Je montrais encore, par surcroit, que la question se serait résolue
avec la même facilité si, au lieu de l'unité, on eût proposé d'ajouter
un nombre carré quelconque, par exemple, b-. Il eût sufB, au lieu de

^> de prendre ^b-. Mais c'était là un hors-d'œuvrc, puisqu'on ne

demandait que ce qui est donné par la première règle; or celle-ci fut
envoyée à Paris, aussitôt après la réception de la question, toujours
dans le mois de mars, si je ne me trompe; on ne peut donc nous
reprocher ni de ne pas avoir résolu le problème, ni d'y avoir mis
quelque retard.

La vérité est que ce fut seulement au mois d'octobre que j'eus com-
munication d'une Lettre écrite par Fermât à Votre Seigneurie, où il
faisait entendre, d'une part, qu'il n'avait pas bien saisi ce qu'avait
voulu dire le Lord Vicomte (car il n'avait pas bien compris les solu-
tions, écrites en anglais, puisqu'elles étaient adressées h M. White,
un Anglais, et il n'avait pu trouver quelqu'un assez au courant de ces
questions pour lui faire une traduction lidèle); d'autre part, il vou-
lait que les questions proposées fussent entendues des seuls nombres
entiers; c'était là changer absolument l'état de la question, car jus-
qu'alors il n'avait pas été soufflé mot d'entiers; enfin il proposait
nombre d'autres questions, tout à fait étrangères à la précédente, et
auxquelles il demandait une réponse, qui lui a été donnée. Mais à
cette époque j'étais occupé d'autres affaires, et sur le point de faire
un voyage, en sorte qu'il ne m'était pas possible de me mettre à cette
besogne avant mon retour, en novembre; ce fut donc dans ce mois
(par la lettre que je vous adressai le 21 novembre) qu'il fut longue-
ment répondu sur les uns et les autres points, tant en mon nom qu'en
celui du très honoré Vicomte. Pourvu donc qu'on nous fasse grâce
sur ce délai si court et en tous cas indispensable, il n'y a encore là
aucun reproche à nous faire.

COMMERCIUM DE WALLIS. ^87

Si d'ailleurs votre illustre correspondant a mal compris notre langue,
le problème n'en a pas été, pour cela, moins résolu, et on ne peut pas
plus reprocher au très honoré Vicomte d'avoir écrit en anglais à un
iVnglais qu'à votre illustre correspondant d'avoir rédigé en français
presque tout ce que nous avons vu de lui.

Qu'enfin il limite maintenant aux seuls carrés entiers ce qu'il avait
proposé sur les carrés en général, cela ne peut nullement nous faire
tort. Car nous ne pouvions deviner qu'il fallait entendre ainsi la ques-
tion, surtout quand il disait qu'il y cherchait à imiter Diophante, chez
lequel par nombres carrés il faut toujours entendre indistinctement
les entiers et les fractionnaires.

Admettons pourtant qu'il s'agisse de nombres entiers. Nous disons
que, même dans ce cas, les questions sont résolues. Car pour la pre-
mière et la seconde nous avons donné le nombre i, entier qui satis-
fait à l'une et à l'autre. Quant i\ la troisième, nous avons donné la
règle générale demandée, qui fournit tous les carrés satisfaisant à la
question, soit entiers, soit fractionnaires.

Fermât peut nous dire qu'il voulait seulement des entiers et qu'il
les voulait en nombre infini; mais quoique auparavant je n'en eusse
rien su ni rien pu soupçonner, il lui a été donné satisfaction même
sur ce point, comme il ressort de ma lettre de novembre.

Nous avons, en effet, montré que la proposition ainsi entendue est
moins générale que dans les termes oii elle était proposée tout
d'abord, et qu'il faut la limiter au moins aux nombres non carrés,
ainsi que l'a fait Fermai. Car si, en effet, n est carré entier, comme

-??' -^ sera aussi un carré entier, et sa différence avec un autre
a- bi-
carré entier ne pourra être la seule unité.

Nous avons montré de même que, dans le cas où l'on peut donner
un certain carré remplissant la condition prescrite, on peut aussi en
trouver une infinité d'autres, et nous avons indiqué comment, d'un
seul connu, les autres se déduisent en nombre infini. C'est là un
point qui ne paraîtra pas à négliger, même, je crois, à M. Frenicle,

488 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

qui a passé tout cela sous silence (quoique ce semble être la princi-
pale partie du prohlème); qui n'a donné aucune démonstration de
tlicurcme, ni aucune construction de problème se rapportant à ces
carrés à fournir en nombre infini; or nous avons donné et démon-
stration et construction.

De même nous avons montré comment, dans l'infinité des nombres
carrés que donnent nos règles ci-dessus, nous distinguons les entiers
des fractionnaires.

En effet, toutes les fois que -— est un nombre entier, c'est-à-dire

toutes les fois que d- est une partie aliquote du nombre 4y. et dès
lors en prenant les racines, d ou \q — n\ une partie aliquote du

nombre 2R, ou encore, si l'on pose y = ^ et R = -' puisqu'il peut

se faire que (/ et R soient des nombres fractionnaires, toutes les fois

que

s-

n r,

/ -

est une partie aliquote du nombre -J-> ou, en multipliant

de part et d'autre par r"-, toutes les fois que la différence \nr- — s'^\ est
une partie aliquote du double rectangle irs\ toutes les fois, disais-je,
que cela arrive, le carré donné par la règle énoncée est un nombre

entier, dont la racine est 1 — ^ — ^•

\nr-—s-\

Or ceci a lieu de diverses façons et en particulier de la suivante :
I nr- — s- 1, différence entre le produit par le nombre donné d'un carré
quelconque et un autre carré quelconque, sera soit i, soit 2. Car i
divise tout nombre entier et 2 tout nombre pair, tel que 1rs.

Et cette seule règle renferme l'ensemble de tout ce qu'a donné
là-dessus M. Frenicle. Car le nombre de la quatrième colonne de sa
Table est précisément le nombre r, puisque son carré, multiplié par
le nombre n, diffère en plus ou en moins d'avec un autre carré (qui
sera s^^, soit de 1 ou de 2, soit au moins d'une partie aliquote du
nombre irs. Ainsi trouver le nombre de sa quatrième colonne, c'est
justement trouver notre nombre r; or il n'enseigne nulle part com-
ment on peut le faire et il laisse ainsi toute la question non résolue;
il ne donne que des exemples sur les nombres particuliers non carrés

COMMERCIUM DE WALLIS. 489

jusqu'à i5o, mais ne donne nullement ce qu'exige le problème, c'est-
à-dire la règle applicable à un nombre donné quelconque. Quant aux
préceptes que renferment les dix pages suivantes, et qui enseignent
à trouver, d'après le nombre de la quatrième colonne, celui qu'on
cherche dans la seconde colonne, nous les renfermons tous ensemble

dans celui-ci : que ■. — „ ' , . est le nombre cherché, c'est-à-dire celui

dont le carré remplit la condition proposée.

Quant à l'abrégé qu'il indique comme particulier aux nombres paire-
ment pairs, c'est-à-dire divisibles par 4 (cas où il n'a pas recours aux
nombres de la quatrième colonne), nous avons montré en général que
cet abrégé s'applique aux nombres divisibles non seulement par 4.
mais encore par tout carré quelconque.

Tout cela, avec d'autres choses se rapportant au même sujet, a été
déjà longuement exposé soit dans ma dernière Lettre de novembre à
Votre Seigneurie, soit dans celle (XVII) que j'ai écrite peu après
au Lord Vicomte Brouncker, avant d'avoir en tout cas, remarquez-le
bien, vu le Traité de M. Frenicle; vous recevrez une copie de cette
Lettre en même temps que la présente.

Je ne voudrais pas au reste que vous pensiez que, dans ce qui pré-
cède, j'aie voulu manquer en rien aux très illustres et très nobles
Fermât et Frenicle, rabaisser leurs travaux ou leurs connaissances en
la matière; je respecte, comme il convient, des personnages aussi
éminents, mais j'ai voulu vous montrer que vous n'avez pas non plus
à rougir des Anglais vos compatriotes. Je laisse à Votre Seigneurie
à apprécier ce qui a été fait sur la question tant par le très honoré
Vicomte, qui a joué le rôle principal dans l'affaire, que par moi qui
suis intervenu comme suppléant et qui reste

De Votre Seigneurie le très respectueux

John Wallis.
Oxford, iG/26 décembre 1657.

Fkiimat. — Ml. 62

4.90 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

LETTRE XIX.

John Wai.lis a Vicomte Rrounckkr.

Voici, très illustre Seigneur, ce que je pense sur la seconde méthode
de l'induction à instituer, méthode que je crois devoir développer un
peu plus longuement que je ne l'ai déjà fait {voir l'Appendice à la
Lettre XVII). Ce n'est pas que vous n'ayez suffisamment saisi mes
brèves indications (un mot vous aurait suffi); mais puisque la chose
doit être soumise à d'autres yeux, qui peuvent être moins familiers
avec ces questions, je crois utile, et il me semble que vous-même le
réclamez, de donner une explication un peu plus développée.

Je reprends donc le même exemple qu'auparavant : étant donné un
nombre non carré n = i3, dont le produit par un carré a^ doit être
inférieur à un carré d'une unité, il s'agit de trouver ce carré a-.

Puisque, par hypothèse, i3a^-f-i est un carré entier (le problème
étant désormais posé pour des nombres entiers), il est clair que ce
carré doit être inférieur à (4a)'=i6a^, supérieur à (3a)- = 90^
Si en effet a est enti.er, on a évidemment

i6rt->i3«2+i>9a-.

Soit donc ce carré ou bien (3a -i- b)'- ou bien (4« — b)'-, en sorte que
b soit la différence de la racine du carré cherché avec celle du carré
immédiatement supérieur ou inférieur.

Il est indifférent de prendre l'une ou l'autre expression; choisis-
sons la première.

Ainsi

1 3 a- H- 1 =: ( 3 « H- 6 )- = 9 rt- + 6 «6 + 6-

et, supprimant de part et d'autre les termes égaux,

4a-+ I = &ab -\- b^.

Cela posé, il est évident que la quantité h est inférieure à «, supé-
rieure à -a, c'est-à-dire que

ib> a> b.

à

COMMERCIUM DE WALLIS. 491

Si, en effet, l'on avait b = a, on aurait 3a -i- 6 = 4«. nombre déjà
reconnu comme trop fort; donc b<^a. Si, au contraire, on avait ^= - a
et dès lors a = Q.b, on aurait, à cause de l'équation 4«' -i- i =(3a6 + b-
posée ci-dessus,

ce qui ne peut avoir lieu en aucun cas. Par conséquent A >■ - et

ai > n> 6.

Puisque l'on a donc 2/>>a>/>, on peut arbitrairement de la même

façon poser

soil az^ib — c, soit « =; 6 -h c,

en sorte que c soit la dilférencc entre a et soit nb, soit b. Le ciioix
entre ces deux positions étant libre, prenons a = è + c et par suite,

en raison de l'équation

4a--hi = 6ai-l-i-

posée ci-dessus,

46^4- 86c -H 4e' -M =r 662 _,- 66c -I- 6^

et, supprimant les termes égaux,

26c -1- 4c- H- I = 36-.
D'où l'on conclut, comme ci-dessus,

2C > 6 > c.
De même, posant è = c + f/, on conclura

2 rf > c > c?.
Posant c = f/n-e,

2 c > rf > e,

ainsi qu'on peut le voir en opérant suivant l'exemple déjà donné.
Posant enfin r/= e +/, on a

e^ + '=6e/-^4/^

d'où, évidemment,

7/>«>6/.

W2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Si, on ofTot, on avait e =^ -jf, on aurait

(6e/+4/^)=46/^ = 49/=+. = (e^+i),

tandis que le premier membre de l'égalité est plus petit. Au contraire,
dans le cas de e = 6/, on aurait

{6e/+ 4/^) = 4o/'-= 36/=+ , = (e'-+ ,);

le premier nombre est au contraire plus grand. Dès lors e est supé-
rieur à 6/ et inférieur à 7/. De même pour les autres relations.

Il ne faut pas d'ailleurs croire qu'il faille de nombreux essais pour
reconnaître ces limites, comme 7/ et G/, entre lesquelles doit être
compris le nombre e, il ne faut pas redouter que cette recherche ne
devienne fastidieuse. Cette crainte s'évanouira si l'on remarque que
l'une des limites est pour ainsi dire toujours obtenue en divisant le
coefficient du produit par le coefficient du carré dont on cherche les
limites. Ainsi, dans l'exemple en question,

en divisant 6 par i, on a le quotient G; par conséquent G/ sera une
limite ou au moins le nombre immédiatement voisin de celle-ci. Si
l'on fait l'essai en remplaçant e par 6/, d'où 6e/par 36/-, on aura

6e/+4/'=4o/S nombre plus grand que 36/=-m = (e=+ i):

il est donc clair que ^e est plus grand que/, ou e>6/. Que de même
c> 7/ cela est aussi évident; car, posant e = 7/,

6e/+4/==:46/'- plus pelit que 49/^+ i = (e=-r i).

Ainsi on connaîtra les limites

et 'de même dans les autres cas.

Mais il est évident que les différences h, c, d, etc. sont des nombres
entiers et qu'elles décroissent continuellement; on arrivera donc néces-
sairement à une certaine différence de cette suite (au plus tard si elle se

COMMERCIUM DE WALLI8. 493

réduit à i) qui sera une partie aliquote de la précédente. C'est tout de
même ainsi que, dans la réduction des fractions à leur plus simple
expression, c'est-à-dire dans la recherche du plus grand commun divi-
seur, suivant la proposition VII, 2 des Éléments d'Euclide, en divisant
successivement les diviseurs par les restes, on arrive au même résultat;
cette recherche est, en effet, tout à fait voisine de celle dont il s'agit
ici. Dès qu'on sera arrivé à ce point, au lieu de limites comme

lf>e>&f,

on aura une égalité. Ainsi dans l'exemple proposé, lorsqu'on arrive à

si l'on prend h = ii, car h est évidemment, d'après cette équation,
supérieur à i,

4/(/+ 3j2-f- I = 8r-h 3i-+ I = I W-^-H I = {3/i = ) =: I2{%

équation qui peut évidemment avoir lieu, si l'on pose t = i. La valeur
du nombre i est ainsi déterminée. En revenant sur nos pas, on en
déduira la valeur des différences h, g, f, e, d, c, h, et enfin de a= i8o,
racine du carré qu'on se proposait de chercher.

Ceci doit suffire pour expliquer la forme du procédé.

Il est facile de conclure de là la vérité du théorème : Etant donné
un nombre quelconque non carré, on peut déterminer un certain
carré, dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fasse
un carré, et l'on déduira de là une infinité de tels carrés, comme nous
l'avons antérieurement démontré (XVI). Mais cela est vrai, non pas
seulement si l'augmentation est d'une unité, ainsi que l'énonce Fer-
mat, mais si elle est d'un nombre carré quelconque, comme nous
l'avons d'ailleurs prouvé antérieurement. Car, de même que, par
exemple, en proposant d'égaler à un carré i3a-+i, on arrive à
I W-+ 1 = I2J-, d'où i- ~i; si l'on avait posé tout d'abord i3a-+ g,
on serait arrivé à 1 1 r 4- g = i2r, d'où i- = 9, et l'on calculerait à^
par rétrogradation, comme ci-dessus. De même, pour tout autre carré
ajouté au lieu de i ou de 9.

k9k ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Mais si l'on ajoutait un nombre quelconque, j'entends non carré, le
théorème ne serait plus universellement vrai, ainsi que nous l'avons
déjà avancé et qu'il est facile de le prouver. Mais, dans le cas où la
chose est possible, on résoudrait la question tout à fait de la même
façon, en substituant, au lieu de i, ce nombre possible quelconque.

On doit également remarquer qu'on procéderait encore tout à fait
de même, si, au lieu d'ajouter un nombre quelconque, on devait
retrancher un nombre quelconque (possible, bien entendu). On sub-
stituerait seulement à + i, — i ou tout autre nombre possible. Celte
remarque est essentielle pour ce qui va suivre.

Jusqu'ici nous avons sans doute sufTisamment mis en lumière ce qui
a un rapport nécessaire à la question. Mais nous ajouterons d'autres
développements qui peuvent rendre les calculs plus aisés.

En premier lieu, nous avons dit plus haut qu'il est indifférent de
poser au début, soit

i3a'-h 1 = {^a — by=i6a'- — 8ab -h b-,

OU bien

i3a--t- I-— (3rt -t- 6)-= ga^+Gab -h b'-.

Cela est vrai absolument; cependant il est avantageux de choisir la
position pour laquelle h est le plus petit. Ainsi dans l'exemple pro-
posé, où il est clair que \'ia--h i est plus près de i6a* que de ga-,
puisque la différence est d'un côté 4«' + i. de l'autre 3a- — i, il est
plus avantageux de poser

i3a- -\-i=zi6a- — 8ab -\- b^.

De même, pour ce que nous avons dit ensuite que, en posant

i3 a^ -\- i z= ga"^ + Qab -i- b-,

on trouve a plus grand que b, mais plus petit que -ib, et que l'on peut
poser indifféremment

soil fl = 26 — c, soit a^b-hc;
quoique cela soit absolument vrai, il est cependant préférable de

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 49o

choisir la position à laquelle correspond la moindre valeur de c. Et
puisqu'ici a est évidemment plus voisin de h que de ib, on posera
avec plus d'avantage

a^b + c que a^ib — c.

Il faut entendre la même chose pour les autres difîérences d, e, f, etc.

La raison en est toujours la même; il s'agit de ramener à l'unité ces
différences b, c, d, etc., toujours décroissantes. On y arrivera plus
vite, en prenant toujours les plus petites différences et non les plus
grandes. Ce qui peut s'appliquer aussi à la méthode connue de réduc-
tion des fractions à leur plus simple expression par la recherche du
plus grand commun diviseur. Cette remarque se présente d'elle-même,
si l'on fait la moindre attention, quoique je ne croie pas qu'on ait cou-
tume de s'y conformer.

L'exemple ci-dessous montre suIRsamment qu'il résulte du procédé
indiqué un abrégé notable. Le calcul est d'un tiers plus court, pour le
même nombre x3, que si l'on prend toujours, comme auparavant, les
différences les plus grandes. Dans ce cas, on doit le continuer jus-
qu'il i'; ici il suffît d'aller jusqu'à/:

n

Sab-b'--.3a^-, c = 8d-e ■^^'

^b>a>2b 6icP-i6de + e'-+i=6fid^-8de-3d'- ^°"*^ « - '^

,6b- -+- 8 bc-~b'= 12 b'-+i2bc + 3c'-i ■ie>d>2e c = 38

b-'=i2b^-+i2bc + Zc'—i ■ie>d>2e _

3b^+: = f,bc + 3c^ d = ^e + f *-^'

2C>b>c ,2e2+,2e/+3/^ + i = i6e^ + 8e/ — e^

« =:i8o

b ^= 2C — d

4e/+3/^=3e2-!

Pour prouver maintenant que cette méthode peut servir non seule-
ment pour chercher des nombres petits ou ordinaires, mais même des
nombres suffisamment considérables, nous en montrerons l'essai sur
le nombre proposé, non carré, 109, qui demande le plus grand carré

WC ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

(le tous ceux que traite M. Frenicle, et pour lequel celui-ci avoue
n'avoir pu trouver la solution, que M. Fermât lui a communiquée. On
aura

« = 109,

logrt^-l- I =: ioo«-4- 20 «6 H- b-,
9«2-l- I =: 20 «6 + b'^,
Zb "> a'> ib,
a =iib -\- c,
36 6' -I- 36 6c + gc' + 1 = 4o i= -h 20 bc + b-,
i6ècH-9C^^ 5 b- — I,
4c>6>3c,

b—liC-ci,

64c-— i6cc?+ 9c^= 80C-— 4oc(i-t- od^— i,
i[\cd — 5 6?^=: 7c- — I,
4«f >c> 3<y,
c^=Zd -<r e.

l'on conclut

• • 1

y =

I,

/ =

20 »l H- « r=

17 4o5 432,

œ = iy =

2,

A- =

2 ^ + W =

35 662 389,

(' =: 4.2; + / =

9.

i z=

4/.- +/ =

160054988,

t =: 3 (' — a" =

25,

Az=

3/ ~/.=

444 5o2 575,

s r= 5f + ç' =

>34,

g =

5/f +/ =

2 382 567 863,

r = 7 s — < =

913,

/ =

is-i^ =

16233472466.

y = 7 /• + s =

6 525,

e =

If +S =

116016875 120.

p =59--/- =

31712,

af =

5c -/ =

563 85o9o3 iSg,

0 = 3/) + 7 =

lOI 661,

C ;=

3f/ -}-e =

I 807569584602,

rt := 4° — /* =

374932,

6 =

4c — «: =

6666427435249,

m == 3 « + 0 =

85 1 525,

« =

2^ -f- c =1

i5 140424 455 100.

Nous voyons ainsi que le nombre a, racine du carré cherché, a au
moins i4 figures, que son carré en a au moins 27 (nombre passable-
ment élevé) et qu'il a réclamé 22 positions. On ne peut guère nier que
sa détermination ne soit passablement abrégée, eu égard à la nature
de la question.

Mais il y a encore un autre abrégé qui peut souvent supprimer au

COMMERCIUM DE WALLIS. W"

moins la moitié du travail, grâce à la rrglc antérieurement énoncée,
il savoir que si la différence entre le produit du nombre proposé par
un certain carré et un autre carré quelconque est une partie aliquote
du double produit des racines de ces carrés, le quotient de cette divi-
sion sera la racine du carré cberché. Or cela arrive nécessairement
toutes les fois que la différence est i ou 2; si donc on trouve un carré
dont le produit par le non-carré donné soit, par rapport à un autre
carré, en excès de l'unité ou de 2, ou en défaut de 2, il est évident que
l'on pourra en déduire le carré cberché. Or cela arrive très souvent
dans les opérations, surtout quand il s'agit de nombres un peu forts,
pour lesquels surtout il y a besoin d'abrégés.

Par exemple, prenons, comme tout à l'beure, // = i'3; puisqu'en
posant

r 3rt- + I r^ ifirt- — 8a/; + b-,

on arrive à l'équation

3^=-t-i = 4^c.-|- 3c'-,

d'où l'on conclut

2 c > i > c,

si l'on avait posé tout d'abord i3«- ~ r, on serait arrivé à

3//-— i=:46c-f-3c^;

d'où l'on aurait conclu

Le carré de ce d(>rnier nombre donnant avec i3 un produit supérieur
d'une unité au carré du nombre i8, il s'ensuit que i8o = 2 x ') X i8
est le véritable nombre a cherché, celui dont le produit du carré par

i'3 sera inférieur d'une unité à un carré, à savoir G4<) .

De même, pour le nombre proposé 109, en opérant comme ci-des-
sus, c'est-à-dire en posant

io9rt'-+ I =: ioo«--t- 20a/> + b-,

on arrive à

16 Al -+-51- :- 9 /,"- — I , d'où 3 ; > /,■ > a /;

l'KIIMAT. — m. 63

498 ŒUVRES I)K FERMAT. - TRAUICTIONS.

mais il osl clair que si l'on eut posé en commençant logrt-— i, on
serait arrivé h

i6/.7 + 5/-=()A-24-i, d'où /,= ../, / — I,

p(, (Ml rétrogradant, a = 8,ji 5-25, nombre dont le carré, multiplié par
io(), sera supérieur d'une unité à un carré. On en conclura, de la façon
expliquée, que le nombre a cherché, dont le carré multiplié par 109
est inférieur d'une unité à un carré, a pour valeur i5 i4o424455 100.
Ainsi le calcul, qui a été poussé jusqu'à y, pouvait être arrêté à /.
De même, pour le nombre non carré proposé l\'y5, si l'on pose

en poursuivant les opéralions suivant la marche prescrite, on arrivera

à l'équation

80- -I- I = 38 o/j + 9/*-, (J'oi'i 5/) > o > 4/-'-

Par conséquent, si au début j'avais posé 4^^^' — 1. j'aurais

80- — I := 38oy( -h 9/j-, il'où opzzio, f =^ 1 , o = 5, elc;

p= 1, A— 4/— w— 601, e=z!i/-hg— ^309442,

o '— ùf ^= 5, «'— i3A-t-/= 7 97^» rf = 3e — /= 6 36i 385,

/i=40 -^P^ 21, /i ir^ 3 i H- /,■ =; l655l, C=2rf+e= l5o322l2,

m:z= m -^ o zjL 47 , g = ih — ï =^ 4 ' ^']^i li ^^ f\c + d =^ 66 490 233,
/ z:; 3 «t -T- « := 1 62, f ^^\^g — /( :^ 566 9 'il, a ^^ h b -\- c =z o!\- 41^3 377 ;

d'où a = 347 4>^3 377, nombre dont le carré 120 744 ^97 291 324 i2().
uiultiplié par 433, donne 32 2824^3 927 i43 347 S57 qui surpasse
d'une unité le carré du nombre 7230G60G84. Par conséquent,

5 020 068 784 834 899 736,

double produit des racines 3474*^3377 et 7230660684, est le
nombre a primitivement cherché, dont le carré

25 201 016 292 322 095 858 y83 909 617 172 869 696,

multiplié par '133, donne

10 933 819 954 575 467 5o6 94o 045 854 235 852 578 368,

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 49!)

qui est inférieur d'une unité au carré de io4 564 907 85^ 286693 713.
Ainsi le carré cherché, d'au moins 38 figures, se découvre après i5 po-
sitions, en continuant les opérations jusqu'à /> seulement.

Je m'arrêterais ici, sans une ou deux remarques qu'il me reste à
ajouter comme bon poids; non qu'elles soient en rien nécessaires au
sujet, mais parce qu'elles n'en seront peut-être pas moins intéres-
santes.

En premier lieu, quoique l'abrégé qui vient d'être exposé tout à
l'heure pour trouver a au moven d'un a ou a accessoire (dont le carré,
multiplié par n, soit supérieur d'une unité à un carré), d'où l'on passe
à V(i vrai (dont le carré, multiplié par//, soit inCérieur d'une unité à
un carré ); quoique cet abrégé soit absolument valable et pratique, si.
néanmoins, il plaisait de le négliger et de poursuivre le travail com-
mencé jusqu'à ce que l'on arrive à Wi véritable, il sera facile d'y par-
venir sans calculs pénibles parce que les mêmes équations reviennent
dans le même ordre. Par exemple, pour le nombre pris ci-dessus 109,
après avoir trouvé les équations qui concernent «, h, c, d, etc. jusqu'à
m ('qui a pour valeur 85i 5-20, c'est-à-dire celle de l'a ou a succédané),
on retrouvera les mêmes équations pour m, n, o, p, etc. qu'aupara-
vant pour (I, I), c, (I, etc., en exceptant toutefois les deux dernières
pour X et V, auxquelles on s'arrêtera, mais qui, si l'on n(^ veut pas
s'arrêter là, n'en seront pas moins reconnues conformes à celles pour
/• cl /. Ainsi le calcul institué pour trouver les équations pourra être
arrêté dès que l'on sera arrivé à / ou m (c'est-à-dire au point où r(ui
déterminerait l'a ou a accessoire). Celui qui voudra employer ce
moyen pourra donc, sans grande perte de temps, négliger l'abrégé qui
a été indiqué en dernier lieu.

L'autre remarque que je voudrais faire est c(dle-ci. Nous avons jus-
qu'à présent exposé le mode de recherche de la racine du premier
carré, grâce à laquelle on peut tri's facilement, suivant la série anté-
rieurement exposée, trouver successivement les racines de tous les
carrés en nombre infini. Mais, si l'on ne voulait pas employer celte
série, on pourrait obtenir les racines de ces autres carrés par le même

SOO ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

procédé qui sert à déterminer la première (toutefois avec un travail
un peu plus long). Il sulfirait de continuer les opérations commen-
cées jusqu'à ce que l'on arrive à la racine du second, troisième, qua-
trième carré.

Ainsi, par exemple, prenons, comme ci-dessus, n = i3. Etant arri-
vés à l'équation

4 e/ -(- 3/- = 3 e- — i ,

nous en avons conclu ci-dessus que l'on pouvait poser e= 2/, en sup-
posant d'ailleurs/— i , et de là en rétrogradant, nous en avons déduit
les autres valeurs jusqu'à celle de a, racine du premier carré. Mais si,
au contraire, on pose /'>>i, on aura e<2/et, par suite, posant
p = 2/— g, il faudra poursuivre jusqu'à ce que l'on retombe de nou-
veau sur une équation semblable, ce qui aura lieu quand on arrivera
à /, m, et, en effet, on trouvera

4 l/>i + 3 /» - = 3 /'- — I .

Posant alors m = i, on aura /= 2m = 2, d'où, en rétrogradant,
« = 233640, racine du second carré. Mais si, au contraire, on pose
encore, non pas m^i, mais m^i, on aura /<< 2/«. Posant donc
/= im — //, il faudra poursuivre jusqu'à ce que l'on retombe encore
sur une équation semblable, savoir

4 /'i -t- 3 s- = 3 /•- — I ,

d'où posant s = i, on aura r=2 et a = 3o326j54o. Si l'on posait
autrement * > i, procédant toujours de même, on aurait la racine du
quatrième carré, puis celle du cinquième, etc., ad lihUuin,

« = 1 3 ;

s— I, »j=8w— o ^^ 1369, f—-8ff — h= 177(1961

r=: 2, l =Lim — « 1= 2 558, e ^ 2/ — g=^ 33202S2

— 2r-t-.ç= 5 a. k=^2l +m:=L 6 485 p. rf=;2e -)-/=: 8417525 y.

pz^Sq — r= iS, i—8k—l = 49322, c—Sd—e— 64019918,

o = 2p — q=']i, h = 2i—k=i 92169, ft = 2e — rf=i 1 19622 3ii,

n=z20 -hp—i8o A. g^ih+i =23364o B. a = 2 ft -t- c = 3o3 264 54o C.

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 501

Au reste, poui" ce calcul, comme auparavant, dès que l'on aura
obtenu le premier a, les opérations seront facilitées par le retour
constant des équations semblables, comme on le voit dans l'exemple
ci-dessus, où l'on a tant les a vrais (que j'appellerai A, B, C, etc.) que
les a succédanés (que je désigne par les lettres a, j5l, y, etc.), c'est-
à-dire tous ceux dont les carrés, multipliés par le non-carré donné,
sont soit inférieurs, soit supérieurs d'une unité par rapport à un carré.
Si, en effet, lii où par exemple se trouve 5 = i, on pose/= i, on aura
a, la première racine, là où est n\ si, au contraire, au lieu de 5 = i,
on pose w = I , on aura, là où est g, « = B racine du second carré, de
même que l'on a maintenant « = C racine du troisième carré. Au con-
traire, en répétant toujours les mêmes opérations, on obtiendra D, E,
F, etc., tant que l'on voudra. Ce qui, mutatis mutandis, doit aussi être
entendu de a, p, y, 0, etc.

On peut cependant remarquer que de même que de a, lorsqu'il est

connu, on peut, par la règle donnée ci-dessus, déterminer A (puisque

de i3 X 5- — 18- = I, on conclut 2x5xi8 = i8o = A), l'on pourra

par A connaître B; par j3, C; par B, D; par y, E; par C, F, etc. Le

plus souvent, il en est absolument de même; il n'y a que parfois une

légère différence. Ainsi par exemple si l'on prend le non-carré 21, et

par conséquent

21 a^-l- I =; aSrt- — loab -h b-

oubien = i6a-+ 8a0-\-lj-,

nous aurons dans un cas les nombres 1.2.3.12 ou bien 1.2. 3. 5. 12.
dans l'autre i .2.7 .i 2 ou i. 2.5.7.12 ou bien encore 1.2. 3. 5. 7. 12,
suivant que nous prendrons de différentes façons les différences soit
additives, soit soustractives, soit des deux sortes. Mais en tout cas on
aura a = 12 pour la première racine; et les autres s'obtiendront suc-
cessivement en poursuivant comme ci-dessus. On remarquera cepen-
dant que non seulement les carrés des nombres A, B, C, etc., mul-
tipliés par le donné 21, sont inférieurs d'une unité par rapport à
un carré, mais que les produits par 21 des nombres a, [3, y, etc.
sont supérieurs à un carré, non pas cette fois d'une unité, mais du

502 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

moins (riinc j)arlic aliquoto du double produit des racines des deux
carrés, partie qui peut servir, comme on l'a vu, ii trouver la racine
d'un carré cherché. Par exemple,

/J <3C= = 2 I X 2= := S.'i = 8 1 -h 3 = 9- -+- 3.

Donc

2x2x9 . , , ,

-3 — 12 — A racine cliercliee,

et de même pour les autres. Ainsi a fera connaître A; A, B; p, C; B,
D; y, E, etc. Et il en sera ordinairement de même pour les autres
nombres. Toutefois il peut arriver que l'on ait seulement A, B,
C, etc. Mais il n'y a pas à s'arrêter plus longuement à ce sujet.

/; = 2 1 ;

c z=.ld =z

I,

2 a.

f =

rr - —

I 0 « — 0 :^

le — a^TTi

■2.J + e -

I 10,

218 (3.

55i,
i320 B.

i r= lo/t — ff= 12649,

A — 2 / — /( r= 28978 y.

6 = 2C + rf =
(7 =1: 26 + c =;

5,
la A.

l = 3 /.-!-« =r 6o6o5,
m-- 9.1 -f-/: = i45i88 C.

Voilii, très illustre Lord, ce qui m'a paru devoir être dit pour expli-
quer cette solution du problème de Fermât.

Ainsi le très noble Fermât (pour en finir) a son problème résolu
par une méthode si multiple à la fois et si heureuse que je ne crois pas
qu'il ait pu être traité plus complètement, je ne dis pas par M. Fre-
nicle, lequel a déjii publié ce qu'il a fait là-dessus, mais par Fermât
lui-même. Je ne veux pas aller plus loin, car je ne pense point que ni
l'un ni l'autre prétende triompher soit de nous (au moins de Votre
Seigneurie), soit de notre nation. Mais il me reste à féliciter Votre
Seigneurie qui, provoquée par le très noble Fermât à un coup de lance
lidérairc, a su maintenir sans tache l'ancienne gloire acquise autre-
lois par les Anglais contre les Fran(>ais, qui a su prouver que les
champions de l'Angleterre sont aussi puissants dans la science que
dans la guerre. Voire très noble adversaire a pu croire que ces ma-

GOMMER CIL. M DE WALLIS. 503

lières lui étaient réservées et qu'elles seraient inaccessibles pour les

autres (car toute terre ne porte pas tout fruit); il avoue cependant qu'/7

sera pourtant /rwi d'être détrompé par cet ingénieux et suivant Seigneur;

il aura donc, lui aussi, à vous féliciter. Pour moi, je ne puis que vous

rendre très humblement grâces d'avoir jugé digne d'être appelé à

prendre part à cette victoire.

Très insigne Lord,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Joii> Wallis.

Oxford, 2o/jo janvier 1637/8.

LETTRE XX.

Vicomte Brouxckeu a .Ioii.n ^> allis.

Monsieur, j'ai reçu hier ilc Sir Kenelm Digby, avec les deux ci-
jointes, une lettre ii mon adresse qui ne renfermait que des compli-
ments et un renvoi aux deux autres. Je ne suis pas fâché de voir
qu'en somme le désir que 31. Frenicle a évidemment de nous faire
toute l'opposition possible, n'aboutit qu'à des objections aussi tri-
viales que celles que renferme sa Lettre. Mais je regrette que sa pas-
sion l'ait égaré au point qu'il se soit exprimé aussi incivilement. Ses
arguments sont si faibles qu'ils méritent à peine une réponse. Sa chi-
cane sur votre solution par le nombre i est bien mauvaise; car
chacun sait que quelques-uns sont de l'opinion que i n'est pas un
nombre; mais ceux-là même savent tout aussi bien que, dans l'opi-
nion des autres, il en est un. Et que soit i\L Fermât qui a proposé le
problème, soit M. Frenicle, qui fait maintenant celte objection, aient
pris I comme nombre, cela est évident d'après leurs écrits. Mais que
1 iVit une solution telle que l'attendait l'auteur du problème, per-
sonne ne peut le supposer, et cette solution n'était pas donnée comme
telle, mais plutôt pour montrer combien le problème, tel qu'il était
énoncé, pouvait être facilement résolu; il aurait dû être conçu autre-
ment ou bien il fallait faire l'exception. Quant à la chicane contre

50^ ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

ma solution, elle provient de ce qu'il n'en a pas saisi le sons que
vous avez pleinement exprimé; car autrement il n'aurait aucun motif
pour son objection, les parties aliquotes étant restreintes aux parties
actuelles exclusivement. Que je ne me sois à aucun égard mis d'ac-
cord avec l'exemple 343, cela est parfaitement vrai ; mais le problème
ne le demandait nullement et il est tout aussi vrai qu'aucune de ses
solutions ne s'y rapporte davantage. Car si le cube i n'a pas de parties
aliquotes, aucun des siens n'est cube de nombre premier, comme dans
l'exemple donné 343 est cube de 7 nombre premier. Quelques amis,
en compagnie desquels je suis maintenant, ne me permettent pas de
vous dire autre chose, sinon que je suis.

Monsieur, votre très fidèle ami et serviteur,

Broi^nckf.u.

18/9.8 février 1(157/8.

LETTRE XXI

(jointe, ainsi t|uu la suivante, à celle qui précède).

Kenelm Digby X .John W.vi.lis.

Très honoré Monsieur, je puis sembler être un de ces débiteurs qui
se sont mis si fort en retard qu'ils ne peuvent espérer satisfaire leurs
créanciers ni oser se présenter devant eux; car il y a maintenant près
de quatre mois que j'ai reçu votre très obligeante Lettre du 3 sep-
tembre dernier (vieux style). Je pourrais m'excuser, et avec vérité,
sur ce que j'ai longtemps été hors de la ville, et imputer ainsi mon
silence à ce motif. Mais il n'y a là qu'une excuse qui, pas plus que
l'embarras des déplacements ou le dérangement des voyages, ne peut
être alléguée pour justifier suffisamment la vingtième partie du retard
que je mets à reconnaître humblement, comme je le dois, l'excessive
faveur et les politesses infinies de celte noble et généreuse Lettre. Le
plus sage pour moi est aussi le moyen le plus candide; c'est d'avoir
recours à la pleine et absolue vérité, qui ne manquera jamais de sou-
tenir qui l'aime, aussi longtemps que ses intentions sont sincères et

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 505

respectueuses. Qu'elle fasse donc valoir ce moyen en ma faveur! Les
obligeantes expressions de votre Lettre étaient tellement hors de pro-
portion ou de possibilité pour mon mérite que je jugeai que des remer-
ciments purs et simples seraient un trop mince retour pour une si
haute faveur. Je fus désireux de mettre en compte avec moi quel-
que autre qui pût vous offrir quelque chose d'assez agréable pour
pouvoir rendre bienvenue ma Lettre y servant d'introduction. D'après
cela, j'envoyai à M. Fermât votre ingénieux et noble théorème sur
le segment d'une pyramide ou d'un cône, le priant de m'en donner
la démonstration pour que je pusse vous la transmettre. Et là-dessus,
jusqu'à ce que j'eusse sa réponse, je diflërai de vous écrire, car je
pensais qu'il me l'enverrait par le premier ou le second courrier.
3Iais, depuis ce temps, je n'ai rien eu de lui que des excuses succes-
sives, me remettant toujours à la prochaine fois. Il est vrai que j'étais
précisément tombé sur l'époque du déplacement des juges de Castres
à Toulouse, où il est juge suprême à la Cour souveraine du Parlement;
et depuis, il a été occupé par des causes capitales de grande impor-
tance, dans lesquelles il a fini par donner une sentence qui a fait
beaucoup de bruit et a été très applaudie ; il s'agissait de la condamna-
tion au feu d'un prêtre ayant abusé de ses fonctions. Cette affaire vient
seulement de finir et l'exécution s'en est ensuivie. Mais ce qui peut
être une excuse pour un autre ne l'est pas pour M. Fermât, qui est
incroyablement vif et pénétrant en tout ce qu'il entreprend. Aussi,
si pendant tout ce temps il n'a pas donné la démonstration de votre
théorème (ni aucune autre réponse, mais seulement de grands éloges
et applaudissements, toutes les fois que je lui ai écrit à ce sujet), ce
m'est maintenant une preuve évidente qu'en fin de compte je ne dois
pas en attendre de lui. Je ne dois donc pas espérer de voir ma soif sur ce
point satisfaite autrement que par votre obligeance ; et pour cela, quand
j'aurai le plaisir de vous rendre mes devoirs à Oxford, je vous deman-
derai humblement cette démonstration. Car certainement, dès que je
serai de retour en Angleterre (ce qui, je l'espère, ne sera pas long),
un des premiers voyages que j'ai l'intention de faire est celui de ce

KtRMAT. — ni. 64

o06 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

célèbre séjour des Muses et des sciences les plus profondes, afin que
je puisse vous témoigner de vive voix la grande estime et l'extrême
respect que j'ai pour vous, afin que je puisse également recevoir la
fincur de saluer, sur votre présentation, vos dignes et nobles col-
lègues et amis les Docteurs Wilkins et Ward, que j'honore infini-
ment.

Comme j'étais ainsi désespéré de recevoir ce que j'attendais de
M. Fermât, et que je me résolvais donc à rompre mon silence, et à
vous supplier humblement de l'excuser, en vous en disant la véri-
table cause, j'ai reçu de vous une nouvelle faveur : votre très obli-
geante Lettre du 21 novembre dernier, qui ne m'est arrivée que très
tardivement, par suite, à ce que j'ai compris, de l'absence de Londres
de Mylord Brouncker et aussi par le fait de M. White; car elle n'est
parvenue ici que par la dernière poste. M. Frenicle était à dîner avec
moi lorsqu'on me l'apporta; là-dessus quelques affaires indispen-
sables me forcèrent à m'absenter pour quelques heures; pendant ce
temps, je la lui laissai à sa disposition, après l'avoir seulement par-
courue rapidement à part moi. A mon retour, je trouvai qu'il avait
écrit à la hâte et dans ma chambre, où je l'avais laissée, quelques
réflexions sur la première partie de votre Lettre, et sous forme d'une
épitre adressée à moi-même; il se réservait d'ailleurs de m'envoyer
ou m'apporter ses considérations sur la seconde partie de ce jour-là
en huit; car il allait quitter la ville le lendemain matin pour quatre
ou cinq jours, .l'ai longtemps discuté avec moi-même pour savoir si
je vous enverrais ou non son écrit, où il exprime des sentiments si
différents des vôtres. En dernier lieu deux raisons m'ont convaincu
que le mieux serait de vous l'envoyer; d'une part, il désirait très
sérieusement que je le fisse; si je ne l'avais pas fait et que dès lors vous
n'eussiez pas su quoi y répondre, il aurait pu mal juger votre silence
et se complaire dans la croyance à son avantage dont, je ne doute
pas, vous ne serez pas longtemps à le détromper. D'un autre côté,
la variété des opinions entre des hommes éminents et savants ne fait
pas peu pour le progrès de la Science, en donnant occasion de décou-

COMMERCIUM DE WALLIS. 507

vrir de profondes et abstruses vérités. J'ai donc t'ait copier par mon
secrétaire cette Lettre adressée à moi (car elle était écrite tellemeni
il la hâte par une main française que vous n'auriez jamais été capable
(le la lire) et je vous l'envoie ci-incluse, comme je ferai pour sa pro-
chaine, aussitôt que je l'aurai reçue.

Après vous avoir si longtemps importuné à ce coup, je serais trop
blâmable, si je prolongeais davantage votre ennui, en vous faisant
une apologie de mon procédé. Je ne puis mieux l'amender qu'en ne
continuant pas à mal faire; je coupe donc court, en marquant moi-
même que je suis vraiment,

Noble et illustre Sir,

Votre très humble et très affectionné
serviteur et admirateur,

Kekelm Digby.

Paris, 6 février i658.
(Nouveau style.)

LETTRE XXII

(jointe à la précédente)

DE Fremcle a Kenelm Digby.

Il me parait véritablement étonnant, très illustre Seigneur, que des
mathématiciens, d'ailleurs éprouvés, aient pu se méprendre dans leur
réponse aux deux problèmes numériques du clarissime M. Fermât, sur
les cubes et carrés à ajouter à toutes leurs parties aliquotes; qu'ils
n'aient pas hésité à présenter pour la seconde et la troisième fois l'unité
comme une solution, ainsi qu'on peut le voir dans la lettre du claris-
sime Wallis, datée d'Oxford le 21 novembre, que vous avez bien voulu
me donner à lire. Car quel arithméticien, même du vulgaire, même
des apprentis les plus novices, ne rougirait pas de donner cette solu-
tion, quand bien même l'unité résoudrait parfaitement la question?
C'est qu'elle contient en soi tous les degrés et toutes les figures des
nombres, en sorte que, sans être nombre elle-même, elle les repré-

508 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

sente fous en quelque sorte; mais aux problèmes dont il s'agit, l'unité
elle-même ne peut satisfaire. En voici les énoncés :

I. Trouver un cube (p. 3ii, lignes 21 à 23) propriétés.

II. On demande aussi (p. 3i i, lignes 26 à 27).... cube.

Ainsi on demande un nombre qui ait des parties aliquotes; mais un
nombre est une pluralité d'unités, et l'unité elle-même n'est pas un
nombre; elle ne résout donc pas la question, où l'on demande un
nombre, non pas quelconque, mais qui ait des parties aliquotes qui
puissent lui être ajoutées et qui soit de même nature que le nombre
343, dont les parties sont énumérées. Mais quelles sont les parties de
l'unité? Il est clair que si elle n'en a pas, ainsi que l'avoue Wallis lui-
même, elle n'est aucunement de la même nature que le nombre 343,
cube ayant des parties aliquotes, qui, ajoutées à ce nombre, en don-
nent un autre carré.'

Si d'ailleurs on veut, pour les parties des nombres, aller jusqu'aux
tractions, l'unité, comme aussi bien tout nombre quelconque, a une
infinité de parties (si l'on prend les fractions comme des parties) que
dès lors on ne peut additionner. On est donc si loin de la question que
je suis stupéfait et honteux de voir un pareil savant, non seulement
accepter cette réponse comme une solution, mais encore la louer et
l'approuver; bien plus, oser affirmer que cette prétendue solution
répond très exactement aux questions.

Venons maintenant à l'autre solution du très noble mylord Êrounc-
ker, par des nombres fractionnaires, et examinons si elle peut être
admise.

J'ai dit plus haut que si l'on reçoit les fractions comme parties, on
peut à tout nombre, entier ou fractionnaire, assigner une infinité de
parties.

On ne peut donc faire aucune 'addition de ces parties. Si, par

3A3
exemple, on prend pour le cube -t^j pourquoi, à côté des parties énu-

mérées, tj-t» ^■> ^,, ne pas compter tout aussi bien 3-» —., 3» etc.,

^) -~7> 5> etc., ou même — :;? Car il n'est nullement besoin, pour
32 it) 8 128 ^

COMMERCIUM DE WALLIS. 50!)

avoir des parties, de conserver toujours le même dénominateur. En

regard de celles qui sont données, j^-r^ ^^ 1^1 il en ressort nécessaire-
^ ^ 64 64 64

ment, pour le même nombre -77-, d'autres : -> 7-) ^7^ qui, ajoutées
' 04 7 49 343 J J

aussi avec ce nombre, ne donneront pas un carré.

Mais quand il n'y aurait pas pour -^ d'autres parties à considérer

légitimement que celles qui ont été données et qui gardent le même
dénominateur, qui ne voit qu'il n'y a là que ce même nombre 343
donné par M. Fermât, sauf un tout petit changement, et que la solu-
tion est absolument dérivée de la sienne? Si, étant donné le triangle
rectangle 3.4.5, on en cherchait un autre pareil, sufllrait-il, comme
solution léffitime et disne d'un homme de science, de fournir son
multiple 6.8.10? Pourquoi aussi ne pas, de même, donner avec des
fractions un nombre carré qui, ajouté à ses parties, fit un cube? Il n'y
a pa,s évidemment d'autre motif, si ce n'est que M. Fermât n'a pas,
pour le carré, donné d'exemple comme pour le cube. Mais maintenant
que, dans l'opuscule écrit en latin et qui, très noble Seigneur, vous
est dédié, se trouve un carré satisfaisant à la question, il sera facile,
par le même moyen, en divisant ce carré par des carré-cubes, d'en
fournir autant qu'on voudra.

Je ne suis pas plus satisfait du motif allégué pour ne pas fournir
plusieurs cubes : parce que Fermât, dit-on, n'en demande pas plu-
sieurs. Quant à regarder ce problème comme ne valant pas la peine
de recherches ultérieures, cette dernière excuse pourrait être admise,
si l'on n'avait pas consacré ses veilles à la question avant de feindre
qu'on la néglige. Il y a dans cette ville de très éminents mathémati-
ciens, qui, quoique nommément provoqués par M. Fermât à la solu-
tion de ces problèmes, ont préféré se taire plutôt que de faire quelque
réponse déplacée (seul Frenicle les a abordés et en a obtenu la solu-
tion ; chacun peut se glorifier de ce qui lui est particulièrement donné;
il a cela, d'autres ont autre chose; il faut reconnaître qu'on peut dire
franchement : Nous ne pouvons pas, tous, faire toutes choses); mais ce
silence n'a causé aucun préjudice à leur réputation. Mais quand Wallis

310 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

présente à plusieurs reprises l'unité comme étant le cube cherché, et
(]u'il néglige d'en rechercher d'autres, parce que Fermât n'en demande
pas plusieurs, il est inexcusable, puisqu'en donnant l'unité, il ne
donne en fait aucun cube. II est d'ailleurs aisé de déprécier ce à quoi
on ne peut atteindre; mais il ne convient guère à un professeur de
Mathématiques de demander à quoi peuvent être utiles ces problèmes;
on pourrait tout au plus nous pardonner ce langage à nous, qui ne
faisons pas profession de ces sciences, mais nous y exerçons pour
notre seul plaisir.

On aurait aussi bon droit de demander à Wallis à quoi bon, et pour
quel profit, la peine qu'il a prise si longtemps à la recherche malheu-
reuse de la quadrature du cercle, ou même à la composition de son
Arithmétique des infinis; rien de tout cela ne peut servir à aucun usage
mécanique; mais à quoi bon presque toute la Géométrie et l'Arithmé-
tique, si l'on excepte quelques faibles parties, d'ailleurs les plus vul-
gaires, et que méprisent les savants, tandis qu'elles servent aux calculs
des géodètes, des arpenteurs, des marchands, ou des praticiens des
deux architectures, et autres pareils? Car tout le reste, plus secret et
plus précieux, ne regarde que la subtilité et la perfection de la Science ;
mais c'est le propre de l'intellect humain que de rechercher la vérité,
il n'y a pas d'autre motif qui ait engagé tant d'hommes éminents à
s'adonner à l'étude, et l'on ne peut traiter d'inutile, en Science, l'ac-
(juisition d'aucune vérité.

Allant plus loin, je vois qu'il propose un problème assez élégant; il
demande, en effet, les nombres carrés qui ajoutés, chacun à la somme
de ses parties aliquotes, font le même nombre ; comme sont i6 et aS,
dont chacun, ajouté à la somme de ses parties, fait 3i. Mais il semble
avoir proposé là, à peu près au hasard, la première question qui lui
venait à l'esprit, comme s'il avait cru que Fermât eût procédé de la
sorte en posant ses problèmes; je demande donc à Wallis s'il a de tels
carrés, ou du moins s'il sait d'une façon certaine et démonstrative
qu'il y a ou qu'il n'y a pas, dans toute la multitude des nombres, d'au-
tres tels carrés premiers entre eux que i6 et 25. Après cela, il aura

COMMERCIUM DE WALLIS. 511

une réponse; car il ne doit pas ignorer si ce qu'il propose est impos-
sible ou non, et un mathématicien ne propose pas à la légère et sans
mûr examen ce qui lui passe tout d'abord à l'esprit, à moins qu'il ne
le fasse, pour son instruction, sur des questions qu'il aurait vainement
essayé de résoudre.

Au reste, si, dans cette première partie, Wallis n'a guère réussi, il
n'a guère été plus heureux dans le reste; il l'a même été encore moins,
alors qu'il donne comme solutions différentes des nombres multiples,
et que n'ayant rien fait que multiplier par 2, 3 ou un autre nombre, il
se vante d'avoir montré là-dessus une suflîsante preuve de ses forces.
Il me serait très facile de le faire ressortir avec nombre d'autres absur-
dités; mais je n'ai pas maintenant le loisir de tout discuter en particu-
lier; cependant votre bonté et vos faveurs me font tellement voire
esclave que je ne puis refuser aucun travail pour accomplir vos ordres
ou me prêter à vos désirs; vous me trouverez donc toujours tout prêt ii
vous obéir. Je vous salue.

Paris, 3 février i6J8.

LETTRE XXIII.

John Wallis a Kknelm Digdy.

Très illustre Seigneur, votre lettre datée de Paris, 6 février style
nouveau, m'est arrivée le 19 février vieux style, au moment où j'allais
me coucher, envoyée par le très honoré vicomte Brouncker, qui l'avait
reçue la veille, en même temps que la lettre y incluse de M. Frenicle à
vous : dès le lendemain, je préparais ma réponse, mais j'ai différé de
l'envoyer jusqu'à présent, parce que vous me faisiez espérer, pour la
semaine suivante, l'envoi d'une autre lettre que nous n'avons pas
encore reçue; je croyais donc pouvoir répondre à tout ensemble, et
cola d'autant plus que, quand vous avez écrit votre dernière, vous
n'aviez pas encore reçu, comme il semble bien, la mienne datée du
26 décembre, ni même celle que vous a envoyée un peu auparavant le
vicomte Brouncker. Je ne puis faire autrement que de vous remercier

512 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

très humblement de la très grande faveur dont vous continuez à m'ho-
norer, et me féliciter, en même temps que notre Oxford, de l'espoir que
vous nous donnez de dissiper bientôt par votre présence la tristesse
que nous cause la mort de votre si savant ami Longbain ; perte presque
irréparable, survenue le 9 février i\ la suite d'une pleurésie. Voilà, en
bien peu de temps, trois hommes incomparables, Armagh, Selden,
Longbain, disparus au grand dommage de la Science et aux amers
regrets de l'Angleterre.

Quant à la lettre du très noble Frenicle, que renfermait la vôtre, je
suis embarrassé pour répondre. Car s'il s'agit d'injures, j'aime mieux
me taire que de donner la réplique.

Que le nombre i n'ait pas de parties aliquotes, cela n'est pas nou-
veau et je ne l'ignorais pas. Mais que i ne soit pas cube, qu'il ne soit
pas nombre, j'aurais bien pu croire que quelque autre l'eût dit, mais
non pas Frenicle, qui l'a déjà donné et comme nombre et comme cube.
Car, si la renommée ne m'a pas trompé, il a fourni, pour un autre pro-
blème de Fermât, i et 1 728 comme deux nombres cubes dont la somme
est égale à celle des deux cubes 1000 et 72g. Il l'appelle encore nombre
dans le livre qu'il a publié et que j'ai la reconnaissance de devoir à
votre obligeance. Page 6 : « Soient posés, dit-il, les deux nombres i
et 7 » à un endroit où il parle de cette même question. Il l'appelle
i;arré, page 17, en reproduisant les paroles de Fermât, dans l'exposi-
tion de la seconde question : « Le carré i, multiplié par 3, après addi-
tion de l'unité, fait l\. » Et Frenicle, page 21 à la fin, confirme cette
expression par ses propres termes, qui énoncent la même chose. De
même, page 23, « produit de 5 par le carré i » ; page 25, ligne 19 : « ie
nombre 7 multiplié par le carré i », et, ligne 23 : « Le plus petit nombre
sera donc carré, à savoir g, et le plus grand, 1 1 , multiplié par le carré i . »
De même, en d'autres nombreux endroits. Comment donc, s'il avoue
(ju'il est carré, nicra-t-il qu'il soit cube? ou bien si, pour les claris-
simes MM. Fermât et Frenicle, il est aussi bien nombre que carré et
cube, je ne vois pas pourquoi il ne le serait pas pour nous.

Quand nous ne serions, moi et le très honoré Vicomte, qucdesanz/i-

COMMERCIUM DE WALLIS. 313

méliciens du mdgaire ou même des apprentis les plus novices, nous ne
pouvons bien comprendre ce qui peut étonner, faire rougir ou rendre
stupéfait et honteux y oivQ cX&YiiûmQ Correspondant. Le problème pro-
posé était bien de trouver un cube tel qu'ajouté à la somme de toutes
ses parties aliquotes il fît un carré. Or je dis que i est cube, qu'au
moins Frenicle doit le tenir pour tel, et qu'ajouté à la somme de toutes
ses parties aliquotes, qui sont nulles, il vient toujours i, qui est aussi
carré. On demande aussi un carré tel qu'ajouté à la somme de toutes
ses parties aliquotes, il fasse un cube. Or je dis que i est encore carré
(du moins il doit être carré pour Fermât et pour Frenicle, puisqu'ils
l'ont assez souvent affirmé comme tel), et qu'ajouté à la somme de ses
parties aliquotes, qui sont nulles, il vient toujours i, qui est cube.
Pourquoi donc craindrions-nous d'affirmer non pas deux, trois fois,
mais quatre, cinq, s'il le faut, qu'un seul et même nombre i satisfait
aux deux questions?

J'ignore absolument ce qui peut émouvoir la bile de votre clarissime
Correspondant, qui n'a pas été mis en cause, je ne dis pas provoqué,
et avec qui, quand j'ai écrit la lettre qu'il attaque, je n'avais jamais eu
aucune affaire; dont je n'avais jamais vu le Livre, dont je n'avais rien
entendu dire; que je suis donc bien loin d'avoir blessé en quoi que ce
soit. Ce n'est pas parce que, soit lui, soit Fermât, ce dont je ne puis
douter, attendaient quelque autre nombre, ou parce que lui-même (ce
que j'ignorais alors) en avait donné d'autres, qu'ils doivent être fâchés
de voir qu'on leur fournit ce nombre inattendu, que Fermât, propo-
sant le problème, n'avait pas prévu, et contre lequel il ne s'était donc
pas précautionné, ou que Frenicle, dans sa solution, n'a pas aperçu et
n'a donc pas produit. C'est de même que Fermât n'a sans doute pas
prévu et que Frenicle n'a pas découvert que la troisième question
pouvait être résolue par des fractions; que, par suite, il demandait
simplement des carrés, alors qu'il ne voulait que des carrés entiers.

Pour ce que dit votre clarissime Correspondant des parties aliquotes
d'un nombre fractionnaire, sur ce que nous avions seulement avancé
hypothétiquement (à savoir si Fermât y admettait aussi des parties ali-

Feumat. — III. 60

6V* ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

quotes), je ne veux pas déterminer s'il faut l'attribuer à la chaleur de
sa passion ou plutôt à sa hâte; mais j'ai bien peine à croire qu'il ait
réfléchi posément, lorsque, comme parties aliquotcs du nombre ~- »

il demande qu'on compte ^-> -td ^> etc., ou encore ,-> -—, ^, etc.,
' ^ 32 16 b 82 16 8

I 7 4q
non moins que ^7» g/' g?-

Que ces parties ne doivent pas être regardées comme aliquotes (pas
même pour la quantité continue, et non seulement pour la disconti-
nue), cela est certain tant par Euclide, VII, déf. 3 et 4, que par V,
déf. 1, où, pour la nature de la partie (aliquote), il est spécifié qu'elle
doit mesurer le tout, c'est-à-dire que, prise un certain nombre de fois,
elle doit lui devenir égale; or cela n'a pas lieu pour celles qu'il pro-
pose. Par exemple, le nombre ^j pris 6 fois, est inférieur au nombre

3A3

Yt; mais, pris 7 fois, il lui est supérieur. 11 n'en est donc pas une

partie aliquote, mais bien aliquante, ou, autrement, il en est plusieurs
parties, suivant le langage d'Euclide; de même pour les autres. Quant

à ^j qu'il prétend de même être une partie aliquote du même nombre

-^5 on peut, h vrai dire, soutenir cela sous un meilleur prétexte, puis-
qu'il faut au moins l'admettre pour la quantité continue, au même
titre que - sera tenu pour partie aliquote du nombre i, ou - pour

partie aliquote du nombre 3. Mais pour la quantité discontinue, on ne
doit pas l'admettre. De même, en effet, que celui qui compte comme

unités 343 (ou — j suppose séparées en acte ces unités, mais non

3 ' 3
pas les moitiés ou autres parties des unités, de même pour -^i celui

qui compte les (i'j""^^ suppose ces 6_V"^' (en tant que comptés) sépa-
rés en acte et dénombrables ; mais il ne fait pas cette supposition
[)our les 128'"** qu'on peut bien dire exister en puissance et comme
mesurables (de même que les moitiés dans les unités), mais non pas
distingués en acte.

COMMERCIUM DE WALLIS. 515

Si j'ai négligé de pousser plus loin la solution du problème proposé,
j'en ai donné plusieurs fois les motifs. Si votre clarissime Correspon-
dant n'y ajoute point de foi, on ne peut guère croire qu'il le fasse alors
que je les répéterais encore à nouveau.

Mais, puisqu'il insiste d'une façon si importune, en allant presque
jusqu'aux injures, pour le cas où je ne le ferais point, je veux bien
(pour la première fois) lui donner satisfaction en abordant sérieuse-
ment cette question du cube dans le sens où il la prend. Il verra ainsi
que ses mystères des parties aliquotes ne nous sont pas inaccessibles
et il n'aura pas à répéter son : « 11 est facile de déprécier ce que l'on
ne peut atteindre. » Nous disons donc :

1. Il est clair qu'une puissance quelconque d'un nombre premier,
ajoutée à la somme de ses parties aliquotes, est la somme d'une pro-
gression géométrique (soit i .R.R'.R^ctc), dont le premier terme (A)
est i', tandis que la racine ou raison commune de la progression (R)
est ce nombre premier, et que le nombre des termes (T) est supérieur
d'une unité à l'exposant de la puissance en question.

2. On sait également qu'en général (^voir notre Malhesis unwersalis .
prop. 68, Chap. 33) la somme d'une progression géométrique est

~ - A; que, par conséquent, dans le cas présent, où A = i, elle sera

R-t '

3. De même, puisqu'il s'agit d'une puissance cubique, et dès lors
3""', G'"", 9'"'' ou autre, dont l'exposant est divisible par 3, il est clair
(jue le nombre T des termes, en tant que supérieur d'une unité à l'ex-
posant de la puissance proposée, sera 4. 7» lo ou quelque autre nombre
supérieur d'une unité à un multiple de 3.

4. Si donc nous divisons la puissance 4""'> 7""^' io"'% etc. d'un
nombre premier quelconque, diminuée d'une unité (à savoir R^— i),
par l'excès sur l'unité du même nombre premier (soit R— i), nous

516 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

aurons la somme d'une certaine puissance cubique (3™*, 6™^, 9™^, etc.)
de ce nombre, et des parties aliquotes de cette puissance.

5. Traitant d'après cette règle tous les nombres premiers plus petits
que 100, je trouve que, pour le nombre 2, le cube ajouté à ses parties
aliquotes est i5 = 3 x 5; que son cubocube (ou puissance 6"*), aug-
menté de même, est 127 nombre premier; que la 9""' puissance, aug-
mentée de même, est io23 = 3 x 11 X 3i .

De même pour les autres, suivant le Tableau ci-dessous, où les
sommes avec les parties aliquotes sont décomposées en facteurs pre-
miers.

Cube ajouté à la somme
Racine. de ses parties aliquotes. Racine. Cube augmeute. Racine. Cube augmenté.

47 2X2X2X2X2x3x5x 1 3xi;
53 2X2x3x3x3x5x281

59 2X2X2X3x5X1741

6i 2X2x3ixi8Gi

67 2X2X2X5X17X449
71 2X2X2X2X3X3X2521

73 2X2x5xi3x37X4i

79 2X2X2X2X2X5x3121

83 2X2X2x3x5x7X13x53
89 2X2x3x3x5X17X233
97 2x2x5x7x7x941

(lelui qui le jugera utile pourra, de la même manière, faire cette
détermination pour les cubes de davantage de nombres premiers ou
pour d'autres puissances cubiques de ceux-ci.

6. Il est clair, d'après un tel examen de ces cubes, qu'il n'y en a
aucun qui seul puisse satisfaire à la condition proposée, Èi l'exception
de I et du cube du nombre 7. Comme en effet il n'y a pas de nombre
premier, sauf i, qui puisse être carré, on ne peut attendre un autre
carré, si ce n'est là où tous les facteurs sont par paires; ce qui a bien
lieu pour le nombre 7, où l'on a 2.2.2.2.5.5; mais nulle part ail-
leurs.

(') Dans la seeondo édition, 2603 est remplacé par le produit 19 x 137.

I

I

7

2X2X2X2X5x5

2

3x5

11

2X2X2X3xGl

2X2

127

i3

2X2x5x7X17

2X2X2

3xiix3i

17

2X2x3x3x5x29

2X2X2X2

8191

>9

2X2X2X5X 181

2X2X2X2X2

3x5x17X257

23

2X2X2X2X3x5x53

)

2X2X2X5

29

2X2X3X5X421

3x3

1093

3i

2X2X2X2X2X2X13x37

3x3x3

2x2x11x1 ixGi

•^7

2X2x5x26o3 (')

5

2X2X3X13

41

2x2x3x7x29x29

5x5

19531

43

2X2X2X5x5X1 1X37

5x5x5

2x3x 1 1X71x5-21 '

COMMERCIIJM DE WALLIS. 317

7. Ainsi, pour avoir un autre carré égal à la somme d'un cube et de
ses parties aliquotes, à moins d'examiner les cubes d'autres nombres
premiers ou d'autres puissances de ceux-ci, il faut prendre un cube
formé par les puissances cubiques de deux ou plusieurs nombres pre-
miers.

8. Si l'on multiplie entre elles des puissances quelconques de deux
ou plusieurs nombres premiers, le produit augmenté de ses parties ali-
quotes est égal au produit des puissances composantes, augmentées
chacune de ses parties aliquotes. Si, par exemple, on multiplie
a' + a- -(- a + I par b" -\- h -h i , on aura la somme du nombre a' h'- et
de ses parties aliquotes; en multipliant par c+ i, on aura la somme
du nombre a^b'-c et de ses parties aliquotes. Ce qui peut d'ailleurs
s'étendre en général à deux nombres quelconques premiers entre
eux.

9. Par conséquent, un cube formé de deux ou plusieurs des cubes
ci-dessus (pourvu qu'ils ne proviennent pas du même nombre pre-
mier), après addition de ses parties aliquotes, sera égal au produit des
cubes composants, augmentés de même. Par exemple, le cube du
nombre a, ainsi augmenté, est i5 = 3 x 5; celui du nombre 3 est
4o = 2 X 2 X 2 X 5; donc le cube du nombre G ou 2x3, ainsi aug-
menté, sera égal au nombre Goo = i 5 x 4o = 3 X 5 x 2 x 2 x 2 x 5.
De même pour les autres,

10. Dès lors, pour qu'un cube ainsi composé, augmenté de ses par-
ties aliquotes, fasse un carré, il faut prendre des cubes composants
tels qu'en prenant tous les facteurs premiers de ces cubes ainsi aug-
mentés, ils soient doubles, ou autrement que chacun de ces facteurs
premiers se présente un nombre pair de fois.

11. Or, parmi les facteurs des cubes augmentés ci-dessus, les nom-
bres premiers 41. 71. 127, 137, 181, 233, 2,57, 281, 421, 449» 52i,
941, 1093, 1741. f8Gi, 2021, 2603 ('), 3 121, 8 191 et 19531 ne se pré-

(') Ce nombre 2603 a été supprimé dans la seconde cdition, qui a ajouté 137.

518 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

sonlent qu'une fois; il est donc clair que les cubes où ils figurent, c'est-
ii-iliro les cubes des nombres 19, 29, 37, 53, 09, Gi, G7, 71, 73, 79,
89, 97, le second, le quatrième et le cinquième cube du nombre 2, le
second cube de 3, et le second et le troisième cube de 5 doivent être
immédiatement éliminés comme impropres à la question (tant que
l'on ne fora pas le calcul pour encore plus de cubes), puisqu'il ne
pourra y avoir de paire de ces facteurs dans aucune combinaison des
cubes ci-dessus. Mais si l'on élimine le cube du nombre Gi, il faudra
aussi éliminer le troisième cube du nombre 2, puisque le facteur 3i
ne se rencontre pas ailleurs. A la suite de cette dernière élimination,
il faudra faire celle du cube de 43, dont le facteur 11 n'aura plus de
j)areil; car il ne se rencontre nulle part ailleurs que dans le troisième
cube du nombre 3, où il est déjà en double. Après cette élimination,
on fera encore celle du cube du nombre 3 r , où 37 sera désormais soli-
taire. Enfin on éliminera le cube de 17, car nulle part ailleurs on ne
trouve 29 solitaire (car il est double pour le cube de 4')-

12. Des cubes qui restent, il est clair que celui de i, qui ne change
rien dans la multiplication, est inutile pour la composition. De même
celui du nombre 7, où les facteurs de la somme sont tous par paires;
toutefois quand nous aurons trouvé un autre cube satisfaisant au pro-
blème, ce cube de 7 pourra nous servir, puisque son produit avec
l'autre satisfera également, un carré, multiplié par un carré, donnant
un carré (remarque qui doit d'ailleurs s'entendre de deux cubes quel-
conques premiers entre eux et satisfaisant au problème); en atten-
dant toutefois cet autre cube, il faut écarter celui de 7, dont les fac-
teurs étant tous par couple, ne peuvent s'accoupler avec aucun autre
facteur solitaire.

13. Examinons donc les autres cubes séparément. Le facteur 53 ne
se rencontre (jue pour les nombres 23 et 83; il est donc clair qu'il faut
combiner les cubes de ces nombres ou bien les éliminer tous deux.
Mais, en réunissant les facteurs en regard de chacun d'eux, on trouve,
en dehors de 2 pris six fois, 3, 5, 53 pris chacun deux fois, les soli-

J

COMMERCIUM DE WALLIS. 319

taires 2, 7, i3; on cherchera donc ailleurs des facteurs pour les cou-
pler. Comme i3, parmi les facteurs déjà éliminés, ne se rencontre que
pour 47 et 5, essayons ces deux nombres; si aucun ne réussit, il faudra
éliminer 83 et 23.

Au nombre i/. on trouve, outre les paires 2, 3, 5, i3. 17 qui,
réunis aux trois solitaires précédents 2, 7, i3, couplent bien 2 et i3,
mais donnent désormais comme solitaires 3, 5, 7, 17. Réunissons-les
aux facteurs en regard de i3, où l'on peut seulement espérer de cou-
pler 17, comme là 5, 7, 17 sont solitaires, il ne reste plus que 3
d'isolé. Si nous lui cherchons un double dans les facteurs au nombre
\\, 7 restera solitaire sans espoir désormais de compagnon; si nous
prenons les facteurs pour 5, i3 sera de même cette fois abandonné à
lui seul. Allons au nombre 11, il restera comme solitaires 2 et Gi;
pour le dernier de ceux-ci, nous pouvons bien trouver un compagnon
dans le troisième cube du nombre 3, mais 2 n'en restera pas moins
isolé sans espoir d'appareillage. Au premier abord, on pourrait croire
qu'on peut recourir au premier cube de 3, mais on doit se l'interdire,
puisque le troisième cube du même nombre 3, qui a déjà été pris, com-
prend le premier. Si enfin (seul espoir qui nous reste), pour trouver
un compagnon au solitaire 3, nous allons au nombre 2, il viendra
comme solitaire 5; et cherchant, pour coupler celui-ci, au premier
cube de 3 (le seul qui, n'ayant pas encore été rejeté, puisse nous
donner espoir), il restera le nombre 2 solitaire et sans espoir de com-
pagnon ; car, pour la raison déjà indiquée, on ne peut recourir au troi-
sième cube de 3 pour trouver le second de la paire. Ainsi il ne reste
aucun moyen, comme le prouve l'inspection du tableau; donc, des
nombres 47 et 5, le premier ne réussit pas.

Il reste donc à essayer le nombre 5 pour trouver, s'il est possible,
des compagnons aux solitaires 2, 7, i3 ci-dessus mentionnés. Or on y
trouve, outre les doubles, les solitaires 3, i3 qui, réunis aux soli-
taires 2, 7, i3, laissent encore comme solitaires 2, 3, 7. D'ailleurs 7
ne se trouve nulle part ailleurs qu'aux nombres i3 et 4i, dont aucun
des deux ne peut satisfaire. i3, en effet, laisserait solitaire sans espoir

520 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

de compagnon le nombre 17, qui nous rejetterait inutilement au
nombre 47 déjà écarté. 4i. au contraire, permettrait de doubler les
nombres 3 et 7, mais 2 resterait toujours solitaire sans espoir de
compagnon, si ce n'est par les nombres 3 ou 11, séparément et non
ensemble; or 3 laisserait comme solitaire 5, auquel on ne peut trouver
de compagnon que par 2, qu'il faut abandonner sans espoir, car il
laisse à son tour le solitaire 3, et nous renvoie inutilement à 1 1 comme
seul moyen de trouver le compagnon cherché. On ne peut davantage
prendre 1 1 au lieu de 3 pour coupler le facteur 2; car il resterait alors
comme solitaires 3 et Gi , et si pour le dernier on peut se procurer un
double au troisième cube de 3, pour le premier, 3, il n'y en aura pas;
car on ne peut l'espérer de 2 qui laisserait 5 à abandonner solitaire.
Ainsi, tout pesé, il est certain qu'on ne peut trouver de ressources ni
par 5 ni par 47; il 'aut donc éliminer et le nombre 83 et tout aussi
bien le nombre 23.

14. Prenons maintenant le nombre 47; on y trouve, outre les
doubles, les facteurs solitaires 2, 3, 5, i3, 17; or 1 3 ne se rencontre
pas dès lors ailleurs qu'au nombre 5, ni 17 ailleurs qu'au nombre i3;
il est donc clair qu'il faudra soit combiner ensemble les cubes de 5,
i3 et 47. soit les éliminer tous ensemble.

Or 5 fournit les facteurs solitaires 3, i3, et le nombre i3, les fac-
teurs solitaires 5, 7, 17, tandis que 47 nous donnait les facteurs
solitaires 2, 3, 5, i3, 17. Réunissant tous ces facteurs, il reste, en
dehors de ceux qui se doublent par la réunion, les solitaires 2 et 7.
Parmi les nombres non éliminés, 4' est désormais le seul où l'on
trouve 7 ; il faut donc combiner ce nombre avec les trois autres, ou les
éliminer tous quatre ensemble.

Mais 4'» outre les doubles, donne les facteurs solitaires 3 et 7, qui,
réunis aux précédents 2 et 7, permettent de doubler 7, mais laissent
encore comme solitaires 2 et 3, auxquels il faut désormais chercher
des compagnons. On peut les trouver de deux manières ditférentes,
sans plus.

COMMERCIUM DE WALLIS. 521

En premier lieu, le nombre ii fournit, outre les doubles, les fac-
teurs solitaires 2, 3, 61 qui, unis aux précédents 2 et 3, les doublent,
en ne laissant comme solitaire que 61, pour lequel on trouvera un com-
pagnon au troisième cube de 3, où 61 est le seul facteur solitaire. Par
conséquent, si avec les quatre cubes des nombres précités 5, i3, 41.
47, on combine celui du nombre 11 et le troisième cube ou la neu-
vième puissance du nombre 3, le cube formé par cette combinaison,
étant augmenté de la somme de toutes ses parties aliquotes, fera un
carré dont les facteurs premiers seront les mêmes que ceux des cubes
composants augmentés de même; ces facteurs premiers seront donc :
2 seize fois, 3 quatre fois, 5, 7, i r, i3, 17, 29, 61 deux fois.

D'ailleurs si ce même cube, ainsi trouvé, est multiplié par le cube
du nombre 7, le produit sera encore cube et, augmenté de ses parties
aliquotes, il fera un carré qui aura de plus que le précédent les fac-
teurs 2 quatre fois, et 5 deux fois.

D'ailleurs le cube ainsi composé ne laisse d'intact, parmi ceux du
Tableau ci-dessus, que le cube i qui ne change rien, et le cube du
nombre 2 qui, augmenté de ses parties aliquotes, fait 3x5, nombre
non carré; en effet, le premier cube du nombre 3 se trouve compris
dans le troisième et ne peut rentrer dans la combinaison; dès lors il
est clair que le cube ainsi composé ne peut plus être combiné avec
aucun de ceux du Tableau, en sorte que le produit ainsi formé, étant
augmenté de ses parties aliquotes, fasse un carré.

En second lieu, on peut cependant compléter autrement le cube
formé par la combinaison de ceux des nombres 5, [3, 4i. 47» tj'ii.
comme j'ai dit, laissent comme solitaires les facteurs 2 et 3; mais il
faut cette fois laisser de côté le cube du nombre 11 et dès lors le troi-
sième cube de 3, qui doivent être, comme ci-dessus, pris ensemble ou
écartés ensemble, à cause du facteur 6t qui ne se trouve pas ailleurs.
Le cube du nombre 2 fournira les facteurs solitaires 3 et 5, et le prez
mier cube du nombre 3 les facteurs solitaires 2 et 5; de la sorte, les
facteurs solitaires précédents 2 et 3 trouveront des compagnons, et j,
rencontré de part et d'autre, sera doublé. Ainsi, en combinant avec les

Fermât. — III. 66

522 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

cubes clos nombres 5, i3, 4i. 4? ceux de 2 et de 3, on aura un cube
qui, augmenté de ses parties aliquotes, fera un carré dont les facteurs
premiers, les mêmes que ceux des cubes composants augmentés de
même, seront : i quatorze fois, 3 et 5 quatre fois, 7, i3, 17 et 29 deux
fois.

Le même cube, multiplié par celui de 7, donnera encore un cube
jouissant de la même propriété, et aux facteurs du carré déjà énu-
mérés, il faudra ajouter 2 quatre fois et 5 deux fois.

D'ailleurs le cube ainsi composé ne laisse d'intact dans le Tableau
que celui du nombre 11, à écarter, comme on l'a dit, à moins que l'on
en prenne en même temps le troisième cube de 3, ce que l'on ne peut,
puisque le premier cube de 3 est déjà entré dans la combinaison. Il
est donc clair que le cube ainsi formé ne peut plus être combiné avec
aucun de ceux du Tableau de manière à en donner un nouveau satis-
faisant à la condition imposée.

Mais il est également manifeste que les facteurs solitaires 2 et 3 qui
restent, comme j'ai dit, après la combinaison des cubes de 5, i3, 41.
47, ne peuvent trouver de compagnons que par le cube de 11 avec le
troisième cube de 3, ou par le cube de 2 avec le premier cube de 3;
car il n'en reste après ceux-là plus d'autres .que les cubes de i et 7,
dont ni l'un ni l'autre ne peuvent satisfaire. Ainsi il n'y a pas d'autres
manières de compléter ce cube, en debors de celles qui ont été indi-
quées.

15. En écartant d'ailleurs les cubes des nombres 5, i3, ^i, 47 qui,
comme on l'a montré, doivent être soit pris ensemble soit mis de côté
ensemble, il est impossible de composer avec ceux qui restent le cube
demandé. En effet, si l'on écarte, pour les raisons précitées, les cubes
de I et de 7, il ne reste que ceux de 2 et de 1 1, avec le premier et le
troisième cube de 3. Si l'on prend le cube de 1 1 et le troisième cube
de 3, puisqu'on doit les prendre ou les écarter ensemble, à cause de
61 qui s'y trouve des deux côtés et n'est nulle part ailleurs, il restera
comme solitaires 2 et 3, qui ne peuvent être doublés tous deux par le

COMMERCIUM DE WALLIS. 523

cube de 2, tandis que le premier cube de 3 ne peut être admis, puis-
qu'on a déjà pris le troisième. Qu'on écarte au contraire le cube de 1 1
et le troisième cube de 3, les deux qui restent, celui de 2 et le pre-
mier de 3, ne peuvent évidemment, par leur combinaison réciproque,
satisfaire à la condition imposée; les facteurs 2 et 3 resteraient en
effet solitaires.

16. Ainsi, tout considéré, il est établi que, parmi les cubes du Ta-
bleau, il n'y en a pas de simples, sauf ceux de i et de 7, qui, ajoutés à
la somme de leurs parties aliquotes, fassent des carrés. Il n'y en a pas
non plus de composés de ces mêmes cubes, qui jouissent de ladite
propriété, si ce n'est les quatre déjà indiqués, dont le premier est
formé du produit des cubes des nombres 5, i3, 4' . 47» 1 1.3, 3, 3; le
second, des mêmes et du cube de 7; le troisième, des cubes de 5, i3,
4i, 47. 2.3; le quatrième, des mêmes et du cube de 7.

Celui qui voudra davantage de cubes de ce genre et le croira utile
pourra, de la même façon que nous avons fait pour les nombres pre-
miers inférieurs à 100, examiner davantage de nombres premiers, ou
du moins davantage de leurs puissances. Qu'il me suffise en tout cas
d'avoir donné la véritable méthode de recherche, afin que Frenicle
apprenne que, si j'ai négligé cette question plus tôt, ce n'est point par
impuissance.

Ayant d'ailleurs effectué les calculs, je trouve que les quatre cubes,
composés ci-dessus, sont identiquement les mêmes que les quatre don-
nés par M. Frenicle, et peut-être trouvés par le même procédé..

La méthode exposée pour la question du cube, qui, ajouté à ses
parties aliquotes, fait un carré, peut, mutatis mutandis, s'appliquer
entièrement à l'autre question du carré, qui, ajouté à ses parties ali-
quotes, fait un cube. On examinera, à cet effet, aussi loin (jue l'on
voudra, les puissances quadratiques (2'"", 4™*, G""^, etc.) des nombres
premiers pour voir quel nombre on obtient, pour chacune d'elles, en
l'ajoutant à ses parties aliquotes, et comment ce nombre est composé
en facteurs premiers; puis, on combinera ces puissances quadratiques

524. ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

en sorte cjue les facteurs premiers qui leur correspondent puissent se
grouper, non plus par 2, comme tout à l'heure, mais par 3.

Enfin la même clef, maniée avec intelligence, révélera d'autres
mystères semblables sur les parties aliquotes; je les laisse à ceux qui
se plaisent à s'exercer sur ce sujet.

Quant.à la question que j'ai proposée, d'ailleurs en passant, et non
pas à M. Frenicle, mais à M. Fermât, à savoir de deux nombres carrés
qui, ajoutés à leurs parties aliquotes, fassent le même nombre (par
exemple 16 et 20), je dirai que, quand M. Frenicle s'informe de la
possibilité, il s'informe de ce qui est demandé. Il m'est indifférent ou
bien qu'il résolve le problème, ou qu'il le montre insoluble (les deux
cas compteront également pour une solution légitime), ou encore qu'il
le néglige entièrement; car je n'y attache pas grande importance et,
qu'il le résolve ou non, il n'y gagnera, ni n'y perdra grande gloire.
Cependant puisqu'il le demande, qu'il sache que la question que j'ai
proposée est susceptible de solution et que je le sais d'une façon cer-
taine.

Enfin, pour le théorème que j'avais proposé depuis longtemps et
dont vous n'attendez plus, dites-vous, la démonstration d'ailleurs que
de moi, je mettrai ici, d'après votre désir, et ce théorème et sa démon-
stration.

Théorème. — Soit un ^ro«c (page 4i 5, ligne pénultième) le volume

du tronc (page 4i6, ligne 5).

Démonstration. — Soit X la différence des droites A et E i^fig. 4).

Fig. 4.

c'est-à-dire X = A — E. Posons

X A E

^ = ■£ := „; s sera la hauteur totale

r s P

COMMERCIUM DE WALLIS. 525

de la pyramide (ou du cône), P celle de la partie retranchée du côté du
sommet. Par suite, SA- sera le triple de la pyramide ou du cône, PE-
le triple de la partie retranchée; enfin SA- — PE- sera le triple du

tronc restant.

FA FE

Mais onaS=^jP=-Y; donc le triple du tronc

F A3 FF3 A3 ps

SA^ - PE'- = î^^-^^ = ^--|- F.

Or A^" - E^ = (A- + AE + E=) X (A - E); donc

A3 F3

A — t.

et le triple du tronc sera (A- -+- AE + E-) x F.

Mais, si l'on forme le triangle comme il a été dit, soient ï sa base et
R le rayon du cercle circonscrit, on aura T- égal d'une part à

A^+AE + E^

de l'autre à 3R-, égalités qui seront démontrées tout à l'heure. Par
conséquent le triple du tronc sera T-F ou 3R-F; donc R-F sera le vo-
lume du tronc. c. o. f. d.
Quant à ce qui reste à prouver, à savoir que

A^-)-AE-+-E'-=T^=3R2,

voici comment je procède :

Si le triangle est inscrit dans le cercle, comme on l'a dit, l'angle
formé par les côtés A, E est un angle à la circonférence de 120"; il
comprend donc un arc de 240°, et la droite T qui ferme le triangle est
corde d'un arc de 240°, donc d'un de 120° (différence avec le cercle
entier); c'est donc le côté du triangle équilatéral inscrit; donc
T- = 3R^

Mais, d'autre part, on montrera que

A^ + AE + E2=3R^
Si la droite A est considérée comme sous-tendant l'arc simple, la sous-

526 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

A'
tendante de l'arc triple sera 3 A — j-,- Si, an contraire, E est la sous-

tendante de l'arc simple, celle de l'arc triple sera 3E — r^- Mais c'est

une seule et une même corde, soit C, qui sous-tend, soit l'arc 3A, soit
l'arc 3E. Puisqu'en effet A + E forme le tiers du cercle, 3 A + 3E fera
l&'Cercle entier. Dès lors la corde, qui d'un côté sous-tend 3A, sous-
(endra de l'autre 3E, différence entre le cercle entier et 3A. On aura

donc

A3 p3

d'oîi

3R^\-A= i=3R2E-E%

3R^\ — 3R2E==A' -ES

3R'=^r^^' =A'-+AE4-E'-. c. q. k. n.

A — El

On peut abréger comme suit, sans employer la droite T, dont il n'a

été fait usage que pour plus de clarté.

T.- A-E A E 1,11,

Puisque — p — = — r,^ — = — jTp — ) on a, pour le triple du tronc

A— E A— E

de cône,

FA^ — FE^ A^ — E^
A-E ~ A— E

xF.

Mais, à cause de l'angle de 120°, la somme des arcs A h- E fait le
tiers du cercle; donc 3 A + 3E fera le cercle entier, donc 3 A et 3E au-
ront la même sous-tendante, et, par suite,

i3 V3

^\ — — — "^F— —.
^^ K'-^^^ R^

Donc 3R-A - A^ = 3R-E - E' ou 3R-A - 3ï{Hl = A' - E», et

A3 ps

A — E

Donc le triple du tronc de cône sera 3R^F, et le tronc de cône R-F.

c. Q. V. 1).

Il me reste à vous demander pardon de ma prolixe importunité et à

COMMERCIUM DE WALLIS. 527

vous supplier, si vous le voulez bien, de ne pas dédaigner de continuer
votre amitié à celui que vous vous êtes gagné, et qui est,

Très illustre Seigneur,
Votre très humble et très dévoué serviteur,

John Wallis.

Oxford, 4/i4 mars 1657/8.

Pour l'allusion de votre très noble Correspondant à ma recherche
malheureuse de la quadrature du cercle, je ne saisis pas bien ce qu'il
prétend. Voici la quadrature que j'ai donnée :

Le produit des carrés des nombres impairs, 3, 5, 7, 9, etc. à l'infini
est au produit des mêmes carrés diminués chacun d'une unité, comme
le carré du diamètre est à l'aire du cercle.

En quelque point d'ailleurs que l'on veuille arrêter cette multipli-
cation de carrés, on tombera entre les limites suivantes : Si le produit
des carrés est multiplié par la racine carrée de la somme de l'unité et
de la partie aliquote de celle-ci, qui a pour dénominateur la racine du
dernier carré, on a une quantité trop forte; si, au contraire, le déno-
minateur est la même racine augmentée d'une unité, on a une quantité
trop faible. Ainsi

Q X 25 X 4q X Si X v/i i

3 z-^ — T- est plus grand que le rapport du carre au cercle,

8 X 24 X 4*^ X 80 f 0 ^ fi

q X 3.5 X 4q X 81 X v/i tV

' :; T-^ — TTT — est, au contraire, plus petit.

8 X 24 X 48 X 80 ' '

J'ajoute que ce rapport est également celui du rectangle des axes
conjugués ou d'un parallélogramme quelconque circonscrit à l'aire de
l'ellipse.

Si votre très noble Correspondant regarde cette quadrature comme
fausse, qu'il la réfute, s'il en est capable. Qu'il montre, veux-je dire,
que le rapport du cercle au carré du diamètre est plus grand ou plus
petit que ce que j'ai assigné. Mais s'il n'a voulu faire qu'une insinua-
tion moins grave, parce que cette quadrature ne lui plait pas ou qu'il

528 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

la juge indigne de son estime; je veux lui rappeler ses paroles: « Il est
facile de déprécier ce qu'il n'est pas possible d'atteindre », ou plutôt
celles-ci : « Si vous savez quelque chose de mieux, donnez-nous-le de
bon cœur. »

LETTRE XXIV.

Vicomte Drouncker a John Wallis.

Sir, je vous envoie ci-joint une copie (lettre XXVII) de ce que j'ai
écrit à sir Kenelm Digby, après avoir lu attentivement les autres let-
tres, qui viennent de lui ; je désirerais que ma réponse partît avec votre
dernière, ou au moins la suivît, si vous avez déjà fait l'expédition. Je
n'ai pas le temps de vous rien dire, si ce n'est, ce que je ne puis ou-
blier, de vous assurer encore que je suis.

Sir, votre très fidèle ami et serviteur,

Brouxcker.

i3/?.3 mars 1657/8.

LETTRE XXV

(jointe ainsi que la suivante à celle qui précède).

Kenelm Digby a John Walt.is.

J'espère que vous avez déjà reçu ma lettre que je vous envoyais le 6
de ce mois, et dans laquelle j'avais enfermé copie d'un écrit à moi
adressé, que M. Frenicle avait rédigé à la hâte, immédiatement après
avoir vu la lettre dont vous m'avez fait le plaisir de m'honorerleai no-
vembre dernier, et qui est restée si longtemps en route. Cet écrit ne
contenait que ses réflexions sur la première partie de votre lettre, le
temps ne lui permettant pas d'en mettre davantage. Le lendemain
matin, il quitta la ville pour quelques jours; mais, à son retour, il me
demanda à étudier de nouveau votre lettre, et le matin suivant me la
rapporta avec le papier ci-inclus, en réponse à la seconde partie. Il l'a
rédigé comme s'il était écrit par une personne tierce, et il désirait me

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 529

voir cacher son nom; c'est pour qu'on ne puisse pas croire qu'il fasse
vanité de posséder des connaissances extraordinaires dans une Science
dont il prétend être très ignorant, n'y ayant jamais eu aucun maître et
ne l'ayant même que peu étudiée, mais s'en étant seulement occupé
pour se récréer et satisfaire à la propension de son génie. Mais moi qui
fais profession de candeur et manières franches en toutes choses et
pour toute personne, je ne voudrais pas que vous restiez à ignorer qui
est votre antagoniste, du moment où je le connais. Or, quoiqu'il ne
soit, à son idée, qu'un très mince mathématicien, aujourd'hui, pour la
partie qui concerne les nombres, toute la France (même M. Roberval
et M. Fermât, de même que M. Descartes quand il vivait) le reconnaît
comme le maître, supérieur aux autres à une énorme distance. Et sur-
tout, ce qu'ils font avec beaucoup de travail, nombre de circuits et
d'opérations, il le fait immédiatement au vu de la question, sans opé-
ration, comme s'il avait une connaissance intuitive de ces choses, et
tout son embarras est pour le mettre sur le papier. Cependant j'ai
longtemps débattu en moi-même si je vous enverrais ou non ces deux
derniers papiers; car, quoique les expressions y soient modestes et
courtoises en comparaison de ce que les savants hommes de ce pays
écrivent l'un contre l'autre (comme vous pouvez le voir dans les
disputes entre Gassend et Descartes, Morin et Gassend, Descartes et
Fermât, Fermât et Frenicle), je réfléchis qu'elles sont plus aigres qu'il
n'est d'usage en Angleterre, et que celles que j'emploierais certaine-
ment, dans un cas semblable, pour une différence d'opinion. Mais ce
qui a principalement fait pencher la balance pour me décider a été la
considération que, si je ne vous faisais pas voir ce que ces personnes
disent contre vous, et que par suite vous ne leur répliquiez pas, elles
pourraient penser qu'elles triomphent de notre nation et de notre Uni-
versité, ce que, j'en suis sur, vous empêcherez bien, dès que vous sau-
rez ce qu'on objecte contre vous. D'autre part, j'ai pensé qu'il rentre
dans les égards que je vous dois et que je professe à votre endroit, que
vous soyez informé de quoi que ce soit que j'apprends et qui vous con-
cerne.

l'ERlUT. — NI. 67*

530 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

Il m'est dur d'arrêter ma plume quand je cause avec vous, tant j'ai
de plaisir à garder, présente à ma pensée, une personne aussi émi-
nente. Mais je ne dois pas tant m'aimer moi-même que j'abuse, pour
ma satisfaction, de votre patience et de votre fatigue. Je ne veux donc
pas vous incommoder plus longtemps aujourd'hui, si ce n'est pour
prendre congé de vous en vous baisant les mains, et en restant

Votre très humble et très affectionné serviteur,

Kenelm Digby.

Paris, 20/10 février 1657/8.

M. Frenicle désire beaucoup savoir quelle solution vous donnez au
problème que vous proposez vous-même; vous pourrez voir alors ce
qu'il pense à ce sujet.

LETTRE XXVI.

Frenicle a KE^ELM Digby.

J'aurais préféré, très illustre Seigneur, garder le silence sur ce qui
reste encore, dans la Lettre du Clarissime Wallis, à discuter touchant
les nombres, et ne pas avoir à m'arrêter à chaque détail ; mais, puisque
vous attendez de moi que je vous fasse connaître mon opinion sur ces
questions, il ne serait pas juste d'éluder vos désirs.

Il s'agit maintenant d'un autre problème du Clarissime Fermât.

Tout d'abord Fermât (comme le dit la Lettre de Wallis) expose en
ces termes un certain théorème :

Étant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de
carrés déterminés tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'eux par
le nombre donné, on ait un carré.

Il donne comme exemple le nombre 3 dont le produit par le carré i
ou 16, étant augmenté d'une unité, fait le carré 4 ou 49; il aftirme
qu'il y a une infinité d'autres carrés dont le produit par 3 satisfait à
la même condition. Or, pour trouver ces carrés, Wallis donne une
méthode légitime.

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 531

A la vérité, pour les carrés servant au nombre '6, il a mis un nombre
pour un autre; mais cette erreur est excusable, car elle vient non de
l'ignorance, mais d'une inadvertance; il a en effet multiplié 56 x 97
non par 2 suivant la règle, mais par 3. Il faut donc, au lieu de

3x56x97=16296, lire 2x66x97 = 10864 (')•

Mais, soit dit sans le fâcher, cette affirmation, qu'il y a une infinité
de carrés dont le produit, par 3 ou un autre nombre non carré, donne
ainsi un carré, c'est le théorème énoncé que Fermât dit avoir démontré
et qu'il n'avance que pour l'exemple et le préambule; ce n'est point le
problème qu'il demande de résoudre. Car ce qu'il s'agit de trouver, ce
sont les carrés qui, multipliés par un nombre quelconque non carré,
donnent, par l'addition de l'unité, des carrés, de même que les pro-
duits par 3 des carrés i et 16, après addition de l'unité, donnent
des carrés. Il est d'ailleurs assez clair par là que les carrés demandés
doivent être entiers.

(Certainement Wallis pourrait s'excuser si Fermât n'avait proposé
aucun exemple ou s'il avait indiqué des nombres fractionnaires aussi
bien que des entiers. Mais l'exemple n'étant donné qu'en entiers, il
était assez compréhensible que la question portait sur des entiers,
ainsi que Fermât l'a plus tard expressément déclaré. Ne demandait-il
pas des nombres tels que 3 et 16? 11 est donc bien clair que Wallis
cherche des équivoques pour éluder le problème, qu'il a choisi ce qui
était le plus facile et s'est dérobé devant ce qui était le plus ardu.

Mais on demandait des nombres carrés et je ne vois rien dans la
solution que des species, lettres ou caractères, dont plusieurs ne me
sont pas familiers, et qui représentent les nombres et les carrés, sans
que les carrés demandés soient aucunement exprimés; tous, au con-
traire, restent inconnus; je ne vois donc pas qu'on ait satisfait à la
question qui demandait certains carrés déterminés. En effet. Fermai
proposait, comme exemple pour les autres à chercher, de donner les

(') f'oir page 434, ligne 18, où je n'ai pas conservé dans la traduction [rindicatlon du
lapsus ultérieurement corrigé.

532 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

carrés dont le produit par les nombres 6i, log ou 127, étant aug-
menté d'une unité, fait un carré. Et certainement, si tous les carrés
quelconques étaient également faciles à trouver, comme cela arrive
pour les fractionnaires, il n'eût pas choisi ces nombres-là plutôt que
d'autres.

Maintenant, pour les entiers, que nous donne Wallis? En tout cas,
aucun carré de ceux qui sont demandés, à savoir dont le produit par
un nombre autre que 3, pris comme exemple par Fermât, étant aug-
menté de l'unité, fait un carré. Il reconnaît que la règle donne non
pas les seuls carrés entiers, mais tous indistinctement, tant entiers
que fractionnaires. Sans doute, s'il avait trouvé une méthode pour
séparer les entiers des fractionnaires, il aurait résolu la question.
Mais il y a une infinité de fractionnaires pour chaque entier, et les
carrés entiers sont en très petit nombre par rapport aux fraction-
naires; si donc il n'y a pas une méthode quelconque pour opérer la
séparation et qu'il faille livrer au hasard une pareille recherche, c'est
comme si l'on donnait à chercher une perle ou un diamant dans tout le
sable de la mer, ou comme on dit communément, une aiguille dans
une meule de foin. Si, au contraire, Wallis a une certaine méthode qui
puisse servir à trouver les carrés pour les différents nombres, puisque
dans l'opuscule latin de Frenicle ces carrés sont donnés pour chaque
nombre non carré jusqu'à i5o, qu'il poursuive jusqu'à 200, ou s'il n'a
pas le loisir de pousser aussi loin, que le clarissime savant s'exerce
seulement sur le suivant i5i; je ne parle pas de 3i3 qui, peut-être,
serait au-dessus de ses forces; autrement je ne serai jamais persuadé
qu'il a obtenu la solution du problème, qu'il a en général tous les
carrés pour chaque nombre ou du moins un carré pour un nombre
quelconque; car je n'en demande qu'un soit pour i5t, soit pour 3i3.
Il dit qu'il démontre que sa méthode donne tous les carrés; mais il
n'y a pas de meilleure démonstration que de fournir les nombres eux-
mêmes, surtout quand on en demande aussi peu.

Ou bien qu'il fasse, par quelque méthode certaine, la déduction
des carrés qui servent pour les nombres 61 et 109 et qui sont dans

COMMERCIUM DE WALLIS. 533

Ics.colonnes 2 et 3 du Tableau de l'opuscule précité de Frenicle; ou
encore qu'il recherche les nombre^ de la colonne 4 dudit Tableau,
nombres grâce auxquels il est très facile de construire les carrés;
ceux-ci se trouvant dans le Tableau, il y a certainement beaucoup
moins de difficultés pour ce que je lui propose ici.

Reste la dernière solution de Wallis, dans laquelle il donne, de
nombreuses manières différentes, deux cubes dont la somme est égale
à celle de deux autres cubes. Cette question doit être très facile, car
vous savez qu'elle a été résolue de diverses façons aussi aisément;
cependant, quoique Wallis ait donné de nombreux couples de cubes,
il n'en a pas fourni d'autres que ceux qu'il a déduits, par une simple
multiplication ou division, de ceux que vous lui avez communiqués
comme venant de Frenicle. Pourvu que vous ayez un original de
votre Lettre à Wallis qui renfermait ces cubes, vous reconnaîtrez
aisément qu'on trouve, parmi eux, les cinq combinaisons suivantes
sur lesquelles repose toute la série des cubes donnée par Wallis :

Racines da cubes.

1° I -(- 12 = 9 -1- 10,

2° 2 -H 16 =_- 9 + i5,

3° 10 + 27 = 194-24,

4" 2 + 34 = i5-h33,

5° • 9 + 34 = ir3 + 33.

Les vingt-deux autres, en effet, qui suivent ci-après sont celles que
Wallis dit différer de celles de Frenicle; or, à côté de chacune d'elles.
a été indiqué le numéro de celle des combinaisons ci-dessus qui lui a
donné naissance et le nombre par lequel, pour la construction de ses
cubes, Wallis a multiplié ou divisé les cubes qu'il avait reçus de votre
main; le mot e« marque la multiplication, le mot/?rt/-la division.

33 4-

ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

:\

-Ht:

.36 =C

27 -t-C.

3o,

i"

on 3,

c. l + c

. 6

= C

• 4,

- + C

• 5,

I "

par î.

.

-f-

8 =

4i +

„ 1
/ 2'

2°

par 2,

64-

10

=

j

- +

lof.

2°

en 5,

1

+

•7 -

7i-

•6i,

4°

par 2,

5-h

1 1

=

2
3

-+-

ni,

40

par 3,

'41

-i-

'7 =

8 +

i6i,

5°

par 2,

1 +

5^

=

3

-T-

5,

2°

par 3,

8

+

64 =^

36 +

60,

2"

en 4,

6-H

48

=;

27

4-

45,

2"

en 3,

3

-1-

.,i =

II +

51,

5°

par 3,

lO-f-

80

=

a5

4-

73.

2"

en 5,

5

-)-

4o =

22 1- +

37i

2°

en 2i,

32-t-

66

=

18

4-

68.

5°

en 2,

■20

-i-

54 =

38 -)-

48,

3°

en 1,

3o-i-

66

—

4

+

68,

4°

en 2,

6o

^

.32 =

8 +

i36,

4°

en 4,

4 +

48

=

36

4-

4o,

l '^

en 4.

8

-+-

6i =

3i +

9.

3»

par 3,

3o4-

81

=

57

-H

72,

3"

en 3,

48

4-

99 =

27 +

102,

5"

en 3,

5-H

60

=

43

-t-

5o,

1"

on .).

Vous n'avez donc pas à vous étonner s'il s'engage si facilement à
fournir jusqu'à cent combinaisons pareilles dans l'espace d'une heure.
Quoi do plus facile que de multiplier ou de diviser ainsi de petits
nombres? Une seule combinaison de cubes en fournira très aisément
plus de mille sans aucun embarras. Car, dans cette opération, il n'y a
pas d'autre fatigue, il n'y a pas d'autre recherche subtile ou d'autre
habileté que de multiplier les termes d'une combinaison donnée
quelconque, soit par exemple la première i, 12 = 9, 10, par chaque
nombre 2, 3, 4, 5, successivement aussi loin qu'on voudra aller; ou
bien, ce qui est encore plus facile, que de diviser par chaque nombre
les racines des cubes, ainsi que l'indique le Tableau suivant, et cela à
l'infini; sans qu'il y ait aucun besoin de multiplication ou de division,
si l'on ne veut pas faire les réductions.

12

y
12

T

9

4'

9
5'

10

J

10

-7- 5
\

10

12 4-

4o =

3i -h

33,

12 -h

5i =

38 +

43,

8 +

53 =

29 -H

5o,

•7 +

55 =

24 -f-

54,

9 +

58 =

22 +

à;.

3 +

6o =

22 -f-

•5q,

COMMERCIUM DE WALLIS. 335

Il n'y avait donc pas besoin d'embrouiller de telle façon ces cinc]
combinaisons de cubes, à moins qu'il ne voulût déguiser davantage
ses solutions factices et dérivées d'autres connues. Il eût mieux fait ou
de garder absolument le silence ou de donner quelques combinaisons
nouvelles et non multiples d'autres connues; ce qui était d'ailleurs
très facile à trouver, comme les suivantes, données aussi par Frenicle
et dans lesquelles les termes n'ont aucune commune mesure :

C. 17 + C. 39 = C. 26 + C. 3o, C. 3o-i-C. 67 = C. 5i -1- C. 58,

42-1- 69= 56 -t- 61,
17 -+- 76= 38-1- 73,
5 -H 76 = 48 + 69,
i5h- 80= 54+ 71,
5i -T- 82 = 64 + 75.

Il ne lui convient donc pas de se vanter d'avoir prouvé ses forces
dans des choses aussi insignifiantes, qui mériteraient à peine quelque
éloge à de petits enfants, ou du moins il n'a pas à les faire prendre
pour un effort gigantesque.

Au reste, il me parait avoir reculé devant la solution de ces pru-
blèmes où il n'y a aucune ambiguïté sur la nature des nombres entiers
ou fractionnaires, comme : Diviser un nombre cube donné en deux cubes
ralionels, et Biiiser un nombre, somme de deux cubes, comme 28, en
deux autres cubes ralionels, problèmes où il est assez clair qu'on ne
peut toujours satisfaire à la question en nombres entiers, où il faut
donc aussi employer les fractions.

Voilà, très noble Seigneur, ce qui m'est venu à l'esprit au sujet
des solutions données par Wallis aux questions numériques de Fer-
mat; voilà ce que j'en pense, mais que je n'aurais jamais entrepris
d'exposer, si je n'avais pas voulu obéir à vos ordres, auxquels vous me
trouverez toujours absolument préparé. Je vous salue.

53G ŒUVRES DE FEUMAÏ. - TRADUCTIONS.

LETTRE XXVII.

ViCOMTli BUOINCKER A KenELM DifiBY.

Sir, il y a environ quinze jours ou trois semaines que j'ai reçu la
lettre du 6 février, dont vous vous êtes plu à m'honorer, et pour
laquelle je vous remercie tri?s humblement. Et hier j'ai eu votre lettre
du 20/10 février 1G58/7 au D' Wallis, dont, avec la liberté que vous
me donnez, j'ai pris connaissance en même temps que de celle dé
M. Frenicle qu'elle renferme. J'ai appris de la sorte que vous n'aviez
pas encore reçu la dernière lettre du D"" Wallis, écrite, je crois, très peu
de temps après la mienne, qui a eu la bonne fortune d'arriver entre
vos mains; cependant à l'absence de M. White, le D'' Farrar s'était
chargé de vous faire sûrement parvenir cette lettre du D"' Wallis.

Autrement je suis assuré que M. Frenicle aurait omis au moins la
plus grande partie de ce qu'il lui a plu de dire dans ses deux écrits ;
car cette lettre vous présente une méthode bien aisée, claire et cer-
taine pour la solution en entiers du problème en question ; car, quoique
M. Frenicle se plaise à dire : « Puisque dans l'opuscule latin de Fre-
nicle ces carrés sont donnés pour chaque nombre non carré jusqu'à
i5o, qu'il poursuive jusqu'à 200, ou, s'il n'a pas le loisir de pousser
aussi loin, que le clarissime savant s'exerce seulement sur le sui-
vant 13 1; je ne parle pas de 3i3, qui peut-être serait au-dessus de ses
forces; autrement, etc. », dans l'espace d'une heure ou deux au plus
ce matin, en employant la méthode exposée dans cette Lettre, j'ai

trouvé que

2 2

813x7170685 — I =; 126862868 ,

et ensuite que

8i8 X ( 2 X 7 1 70685 X 1 26862868 f ,
c'est-à-dire

3i3 X i8i988oi58564i6o h- i =: 82188120829184849 ,
ce que je crois pouvoir me contenter de vous écrire, afin que M. Fre-

COMMERCIUM DE WALLIS. 537

nicle puisse savoir par là qu'il ne manque rien pour la parfaite solu-
tion de ce problème. Il ne me reste maintenant, noble Sir, qu'à vous
assurer que mon père et ma mère ne peuvent pas, qu'aucun autre ne
peut qlus vous honorer et vous estimer, ou être plus fier de votre
amitié que ne le fait celui qui est,

Sir, votre très humble et très fidèle serviteur,
Brouncker.

i3/23 mars 1637/8.

LETTRE XXVI II.
John Wallis a Kenelm Digby.

Très illustre Seigneur, j'avais déjà répondu à la Lettre en date du
6 février, dont vous m'avez honoré, et en même temps à celle de Fre-
nicle, qui s'y trouvait renfermée, avant de recevoir les suivantes du
20/10 février, qui m'arrivent à cette heure. Je reconnais en même
temps et à mon grand regret que, lorsque vous avez envoyé ces der-
nières, vous n'aviez pas encore reçu celle que je vous avais adressée
en date du 26 décembre. Si M. Frenicle l'avait vue, il n'aurait certai-
nement pas écrit, sinon sa première lettre, au moins sa dernière, ou
en tout cas la plus grande partie de celle-ci.

En ce qui regarde le problème de M. Fermât, sur les carrés en
nombre infini, dont le produit par un non-carré est inférieur d'une
unité à un carré, et quant au théorème préliminaire, nous avons et
démontré le théorème et résolu le problème; tous les deux étaient
proposés, du moins à nous; je ne sais pas s'ils l'ont été de même à
Frenicle, mais il n'a pas à me reprocher d'avoir traité ce théorème
hors de propos. En tout cas, nous avons résolu le tout, non seulement
en fractions, mais aussi en entiers. Une fois, en effet, que Fermât a
eu précisé sa question, en la bornant aux entiers, nous avons enseigné
à séparer ceux-ci des nombres fractionnaires, et nous avons fait tout
ce que réclame aujourd'hui Frenicle; ce qu'il ne niera plus, une fois
qu'il aura vu cette lettre du 26 décembre. Nous n'avons pas donné

Fermât. — Ul. 68

538 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

seulement les règles, ce qui pourtant eût suffi, mais nous en avons
aussi montré l'application, non pas à la vérité sur les nombres 6i,
109, 127, qui avaient été, ce semble, proposés à Frenicle, mais bien
sur d'autres qui ne sont en rien plus faciles, 109, 149, 433, que
Fermât nous avait proposés. Lord vicomte Brouncker vient également
d'appliquer ces règles au nombre 3i3, que Frenicle nous a proposé
comme insurmontable. On le fera avec autant de facilité pour iSr et
pour tout autre. Frenicle ne doutera plus, quand il aura reçu la lettre
ci-dessus mentionnée, que nous ne soyons parfaitement maîtres de
toute difficulté là-dessus.

Quand il avance que, pour fournir diverses combinaisons de cubes,
par couples dont les sommes fussent égales, je me suis borné à mul-
tiplier ou à diviser par un môme nombre quelques autres combinai-
sons de ce genre, il dit une chose qui est parfaitement vraie, mais il
n'a pas à me la reprocher, puisque lui-même m'a précédé dans cette
voie. Voici, en effet, les nombres qui m'étaient communiqués comme
venant de lui.

(1) 1729=1 9'+ io^= l'-f- 12',

(2) 4io4= 9'H- l5^;= 2^-4- i6S

(3) i3832 = 18^-4-20== 23-^-24^

(4) 32832= 183+30'= 4^+ 32%

Il est clair que les nombres des combinaisons 3 et 4 nt' sont autre
chose que des équimultiplcs de ceux des combinaisons i et 2. Si Fre-
nicle n'ignore pas que la chose est facile, il ne voudra pas, je l'espère,
prétendre que je ne pouvais le savoir. Si l'on connait de fait une seule
combinaison de ce genre, déduite de l'inspection de la Table des
cubes, ou choisie parmi celles que Frenicle a indiquées, ou enfin
obtenue de quelque autre manière, il est certain que l'on pourra im-
médiatement en fournir une infinité. Que l'on ait, en effet, par
exemple,

a'4- 6^= c^H- cP,

* \

COMMERCIUM DE WALLIS. 539

on aura aussi

a' e^ -h b^e^=i c' e^ + rf' e^,

quel que soit le cube e\ entier ou fractionnaire. De même, si un cube
quelconque peut être partagé en deux autres, un cube donné arbi-
traire pourra l'être également; car si, par exemple,

on aura

J'ajoute qu'il en est de même pour la question que j'ai proposée.
Ainsi, par exemple, iG et 20, ajoutés chacun à ses parties aliquotes,
donnent des sommes égales; il en sera dès lors de même de iGe'- et de
236^, quel que soit e-, pourvu que, d'une part, e- et 16, de l'autre, e-
et 25, soient des nombres premiers entre eux; chose que, j'en suis
persuadé, M. Frenicle sait parfaitement.

Quant à la faute de calcul qu'il signale, je la reconnais; je l'avais
déjà remarquée depuis longtemps et corrigée sur ma minute; si elle
ne l'a pas été sur la lettre même, il n'y a là qu'un lapsus dû à la trop
grande précipitation de ma plume, et n'importe qui peut le corriger
d'après le contexte. S'il en trouve d'autres pareils, j'espère qu'il les
excusera de même, à charge de revanche. Car il a commis une sem-
blable erreur, si je ne me trompe, page 4 de son Inqiiisitio. Pour le
second cube, il met 653359 au lieu de G55359 pour le compte des
parties aliquotes. Or là le lecteur n'est pas averti par le sens de la
phrase, et l'erreur ne peut être remarquée que par quelqu'un qui
sache calculer les parties aliquotes d'un grand nombre et reprenne
l'opération dès le début.

Enfin, pour le problème de Fermât, du nombre cube qui, ajouté à la
somme de ses parties aliquotes, fait un carré, je l'ai débrouillé dans
ma dernière lettre en date du 4 mars; votre très noble Correspondant
n'a donc plus à insister sur ce sujet. Pour que d'ailleurs il ne me
reproche pas encore de donner seulement les méthodes, et non des
nombres qui, au moins, soient différents des siens, j'ai mis ci-dessous

540 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

six cubes tels que, ajoutés chacun avec leurs parties aliquotes, ils
donnent des carrés :

Racines des cubes. Racines des carrés.

2x3x5xi3x 17x31x41x191 2'2 X 3' X 3^x7x13x17x29- X 3-

2x3x5x7Xi3xi7x3rx4'Xi9i 2'*x3'x5'x7Xi3xi7X29-x37

3'x5xiixi3xi7x3i x4i X 191 2'5x3'x5 X7X iixi3xi7X29-x37x6i

3'x5x7Xiixi3xi7x3iX4ixi9i 2'» x 3' x 5- X7X 11 x 13x17x29^x37x61

17x31x47x191 2'" X 32 X. 1x13x17x29x37

7Xi7x3ix47X 191 2'-x3'^x5-x 13x17x29x37

J'ajoute que le second et le quatrième de ces cubes satisfont à la
question des deux cubes posée par Frenicle, au bas de la page 3 de son
Inquisitio.

Ce que je pense des recherches de ce genre sur les nombres, je l'ai
déjà dit, et je ne répète pas à quel point c'est malgré moi que je m'y
laisse entraîner. C'est là, il est vrai, une excuse que je ne devais pas
invoquer quand il s'agissait de satisfaire aux sollicitations pressantes
de deux clarissimes savants, et, avant tout, d'exécuter vos ordres. Mais
cependant, si je puis le dire sans les blesser, je ne vois pas ce qui
pourrait mieux profiter réellement à la Science que l'exposé métho-
dique qu'ils pourraient faire au monde savant de ce qu'ils regardent
comme leur appartenant en propre, plutôt que de proposer à d'autres,
ainsi qu'ils l'ont fait, de trouver à nouveau ce qu'ils pensent avoir in-
venté; ils ne retireraient pas moins de gloire d'une façon que de
l'autre. Je vous salue, très noble Seigneur, et je vous prie de continuer
à accorder vos faveurs à

Votre très humble et très obéissant serviteur,

JoHs Wallis.

Oxford, 15/25 mars 1657/8.

Sir, je vous demande la permission d'ajouter un mot. Nous avons
pensé à publier toute cette Correspondance que nous venons d'avoir
en France, si toutefois vous donnez votre approbation à cette idée et

COMMERCIUM DE WALl,IS. 541

si vous la croyez bonne (l'avance prise sur nous par M. Frenicle nous
fait juger la chose nécessaire); toutefois, il peut convenir d'omettre
dans vos lettres un ou deux passages, où vous établissez une compa-
raison entre ... et ..., et dont je ne sais pas si vous ne regretteriez pas
la publication. Si vous voulez bien m'honorer de vos ordres, j'aurai
soin de m'y conformer exactement.

LETTRE XXIX.
Wallis a Vicomte Brouncker.

Il y a quatre jours, très illustre Seigneur, que je vous ai envoyé
une réponse à la seconde lettre de M. Frenicle; j'ai écrit cette réponse
à la hâte après dîner le jour même où j'ai reçu la lettre, le courrier
devant partir dès le lendemain matin; je n'ai donc eu le temps de
vous rien dire à ce sujet. A quel point M. Frenicle épluche, rabaisse,
raille et méprise tout ce qui vient de nous, vous n'avez pas besoin
qu'on vous le fasse remarquer, et qu'il le fasse d'ailleurs sans motif,
vous le savez très bien. Faut-il l'attribuer au caractère de l'homme ou
à celui de sa nation, je ne le rechercherai pas; je pense même qu'il
est préférable de ne pas faire attention à ce qui regarde ses procédés;
car aux yeux des hommes sérieux, au moins en Mathématiques, tout
cela n'a aucune signification, et tout cela s'évanouira, de son propre
aveu, dès qu'il aura vu nos lettres précédentes, si du moins vous avez
transmis celle que je vous ai adressée le 20 janvier, et qui déve-
loppe amplement l'appendice de celle du 17 décembre.

Vous vous souvenez, je pense, de la chaleur qu'il a mise, dans sa
première lettre, à repousser notre réponse aux deux premières ques-
tions de Fermât; il soutenait qu'en indiquant Y unité, je ne donnais ni
un carré ni un cube. Vous pouvez donc voir combien il est peu d'ac-
cord avec lui-même, quand dans sa seconde lettre, comme s'il avait
oublié sa cavillation, il donne à son tour l'unité comme un cube, puis
comme un carré, une et deux fois.

Vous n'ignorez pas non plus avec quelle confiance il se persuade

542 ŒUVRES JDE FERMAT. - TRADUCTIONS.

que nous n'avons pu, que nous ne pouvons encore résoudre à son sens
ni CCS deux questions de Fermât, ni même la troisième; comment il
nous insulte en vérité, triomphant de nous et s'en jouant comme d'en-
i'ants.

Mais vous savez aussi combien vaine est cette confiance, puisque
nous avons satisfait, même h son sens, h toutes ces questions. Pour
ma part, j'attendrai en silence qu'il sonne sa retraite, quand il aura
reconnu qu'il a sonné la marche triomphale avant la victoire. Cepen-
dant vous pourrez ajouter à ma dernière lettre, si vous ne l'avez pas
encore expédiée, ces deux nombres qu'il demande, dans le cas où
votre lettre antérieure se serait perdue par quelque hasard :

3i3 X 1819880 i58 564 i6o +-1 = 32188120829134849 ,

1.51x140634693 -4-1=1728148040 .

Mais vous pouvez voir que les soupçons du clarissime savant ne se
rapportent pas seulement aux questions de Fermât, mais aussi aux
nôtres. II désire absolument savoir ce que j'ose affirmer sur le pro-
blème que j'ai proposé en passant, des deux carrés qui, étant ajoutés
chacun avec ses parties aliquotes, font la même somme; il nous croit
peut-être assez peu dégrossis pour ne pas comprendre nos propres
questions. Il ne fait pas seulement cette réclamation dans sa première
lettre, mais il y revient par l'intermédiaire du très noble Digby. Vous
voyez ce que j'ai dit là-dessus, quoique je pense qu'il est à la charge
de celui qui résout le problème, de déterminer si la question est sus-
ceptible ou non de l'être; mais comme il m'interrogeait là-dessus, j'ai
répondu qu'elle est soluble; j'ajouterai même, s'il le veut, qu'elle est
soluble à son sens. De plus j'ai montré que non seulement 16 et 2.5,
nombres que j'avais donnés, satisfont à la question, mais qu'il en est
de même des équimultiples de ces nombres par un carré quelconque
premier avec chacun d'eux, comme, par exemple, iG x 9 et 20 x 9,
ou encore 16 x 49 et aS x 49» etc.

11 répondra peut-être que cette solution n'est pas légitime et ne

I

COMMERCIUM DE WALLIS. 543

convient pas à un homme de science. Mais pourquoi cela? Parce qu'elle
est facile et qu'elle revient simplement à multiplier par 2, 3 ou quel-
qu'autre nombre, etc. Mais un problème n'en est pas moins résolu,
pour être facilement résolu. 11 dit qu'étant donné le triangle rec-
tangle 3, 4. 5 (c'est-à-dire un triangle dont les côtés soient respective-
ment proportionels aux nombres 3,4, 5), si l'on en demandait un
autre pareil (entendant dont les côtés fussent exprimables en nombres
rationels), il ne suffirait pas de fournir le multiple 6, 8, 10 : peut-être
bien, car alors ce ne serait pas un triangle d'espèce différente, mais
bien identique, puisque si les côtés sont respectivement proportionels
aux nombres 3, 4. 5. ils le sont également à 6, 8, 10, etc. : cependant
si, étant donnés les trois nombres 3, 4. 5, dans lesquels le carré de
l'un est égal à la somme des deux autres, on en demandait d'autres
pareils, on répondrait très bien et tout à fait en mathématicien, que
les doubles, les triples, les quadruples et les autres équimultiples
quelconques de ces nombres ont la même propriété; car on ne peut
nier que ce ne soient là d'autres nombres. Et celui qui ne voudrait pas
de cette réponse devrait l'exclure par une condition expresse, ou
autrement on le regarderait comme ayant proposé sa question d'une
façon imparfaite et peu exactement; car les problèmes mathématiques
sont de droit strict, comme le sait bien le clarissime savant. Il est cer-
tain qu'au contraire celui qui saisit la possibilité d'une réponse aisée
ne doit pas être accusé de l'avoir fait; il faudrait plutôt le traiter de
peu clairvoyant, s'il ne le faisait pas. Et en vérité, si le clarissime
savant ne reconnaît pas la vérité de ce que je dis, je ne puis que
m'étonner de sa subtilité. Quant à moi, s'il avait ainsi répondu à mon
problème, comme je n'avais pas exclu cette réponse, je serais si loin
de ne pas la considérer comme satisfaisante, qu'au contraire j'attri-
buerais à une simple inadvertance qu'il ne la fit pas. C'est absolument
comme si, à qui demanderait un nombre divisible par 2 et par 3, il
donnait 126, i32, en négligeant 6 et 12.

Mais si vous me demandiez vous-même s'il n'y a pas encore d'autres
carrés, en dehors de 16, 25 et leurs équimultiples, qui jouissent de la

SH ŒUVRES DE FERMÂT.- TRADUCTIONS.

même propriété, je vous répondrais ouvertement, très illustre Sei-
gneur, et même si vous jugez bon de ne pas le tenir plus longtemps
dans l'incertitude, je ne refuse nullement que vous informiez Frenicle
qu'il y en a encore d'autres et en très grand nombre, en sorte que je
ne suis nullement tenu de les donner. Mais, pour ne pas paraître dire
cela sans preuve, j'ajoute que les carrés des nombres 8 x 3 x 37 et
2 X 19 X 29, ajoutés chacun à ses parties aliquotes, font la même
somme; ce qui sera de même également vrai pour leurs multiples par
un carré quelconque premier avec chacun d'eux.

Racines des carrés. Somme des carrt's et do leurs parties.

8 X 3 X 37, i27Xi3x 3 X 7 X 67,

2 X 19 X 29, 7 X 3 X 127 X i3 X 67.

De même

3x4x11X19x37, i3x3ix 7 x 19 x 3x127x3x7x67,
7 X 8 X 29 X 67, 3 X 19 X 127 x.i3 X 67 X 3 X 7 X 7 X 3i.

Si Frenicle se plaint encore que ces carrés ne soient pas deux à
deux premiers entre eux, je ne vois pas ce que cela peut faire pour
la question dont il s'agit, en tant qu'ils ne sont pas équimultiples de
16 et 23, et ce sont, je crois, les seuls qu'il prétendait exclure; mais
en voici deux autres, premiers entre eux :

( 2 X 3 X 5 X 37)% 7 X i3 X 3i X 3 X 7 X 67,

(29x67)% i3x67X 3x7X7x3i.

Deux autres encore, premiers de même entre eux :

(3 X 5 X II X 19 X 37)% i3 X 3i X 7 x 19 x 3 x 127 x 3 x 7 x 67,
(7x8x29x67)% 3 X 19 X 127 X i3 X 67 X 3x7X7x3i.

Si, en dehors de ceux-là et de leurs multiples (comme je l'ai dit),
on en désire encore d'autres, on peut les chercher à peu près par la
même méthode {miitatis mutandis) que celle que j'ai employée pour
rechercher un cube qui, ajouté à ses parties aliquotes, fît un carré. Si
jamais ceci tombe sous les yeux de Frenicle, il donnera, je crois, son

COMMERCIUM DE WALLIS. 513

assentiment et à l'avenir, ses jugements seront plus réservés; il ne
pensera plus que ce qui lui appartient soit tellement à lui que d'autres
ne puissent y parvenir; c'est ainsi que, si je ne me trompe, Fermât a
déjà reconnu ce qui en est.

Quant à ce qui regarde ces deux très nobles savants, Fermât et
Frenicle, et les relations que nous avons jusqu'ici eues avec eux, rela-
tions dans lesquelles leur première attente a sans doute été trompée,
ils me paraissent, autant que j'en puis juger par leurs lettres, d'un
caractère opposé. Pardonnez-moi, si je vous exprime librement ma
pensée, confiant dans votre indulgence accoutumée. Je crois Frenicle
plus adonné à l'Arithmétique, recherchant les questions particulières
(qui ne se ramènent que très difficilement ou même ne peuvent se
ramener à une équation universelle, embrassant fous les différents
cas), et spécialement celles qui concernent les parties aliquotes; aussi
a-t-il laissé sans y toucher tout ce que nous avons fait en Géométrie.
Fermât au contraire n'est pas moins habitué aux questions géomé-
triques; il recherche des règles générales ou des théorèmes univer-
sels; et peut-être reconnaitrait-il plus volontiers le mérite d'un adver-
saire. Peut-être l'un a davantage la gravité des Espagnols, dont il est
voisin, l'autre la vivacité française. Je reconnais volontiers la péné-
tration de leur esprit et leur haute valeur; cependant (quoi qu'on
puisse penser de moi), je ne crois pas qu'ils aient à dédaigner notre
nation, si ce n'est en ce que nous serions moins fanfarons.

Vous voyez, très insigne Seigneur, avec quelle liberté j'en use avec
vous, grâce à votre bonté qui me le permet. Mais il ne faut pas que
cette liberté semble dégénérer en une trop grande licence, et je ces-
serai de vous importuner plus longtemps, quand j'aurai fait profes-
sion d'être.

Très illustre Seigneur,

Votre très humble, très obéissant
et très respectueux

John Wallis.

Oxford, rg/ag mars iGSjS.
ni. — Fermât. 69

oi6 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

LETTRE XXX.

Vicomte Bhounckeh a John Wallis.

Sir, les papiers que je vous adresse ci -joint m'ont été envoyés,
depuis un jour, par leD'Scarbrough. J'imagine, à les voir, que M. Fre-
nicle a chez lui une grande Table de nombres (carrés, cubes, etc.) avec
la décomposition en facteurs premiers de la somme de chacun d'eux et
de ses parties aliquotes; ce qui lui rend aisées de pareilles solutions,
presque à la simple inspection, en suivant d'ailleurs la méthode que
vous avez dernièrement indiquée pour résoudre ces problèmes et qui
est universellement applicable à tous ceux de même nature. Mes hom-
mages à votre femme, et soyez bien assuré que je suis.

Sir, votre très fidèle ami et
humble serviteur,

Brouncker.

G/iC) avril i(i58.

LETTRE XXXI.

FltEMCLE A KeNELM DlGliY.

Voici, comme vous me l'avez demandé, très honoré Chevalier,
quelques solutions du problème du clarissime savant Wallis; il n'y
a pas là toutes celles qui se sont présentées à moi, car elles sont si
nombreuses que je ne serais pas parvenu à les écrire. Pour plus de
brièveté, j'avais jugé à propos de réduire le calcul à peu de nombres
qui devaient me les fournir; mais de ce peu de nombres j'ai vu sortir
tant de solutions si variées que j'ai été obligé d'y mettre une borne,
car les premières en faisaient naître toujours de nouvelles, indéfini-
ment diversifiées; de la sorte, je n'ai pu, en aussi peu de temps, les
ranger dans l'ordre que je m'étais proposé, ce que je ferai, avec l'aide
de Dieu, au premier jour.

Voici quel était le problème : Trouver deux carrés, tels que chacun

COMMERCIUM DE WALLIS. 5V7

d'eux, ajouté avec toutes ses parties aliquotes. fasse une même somme.
Comme exemple étaient donnés les carrés i6 et 25, dont chacun,
ajouté à ses parties aliquotes, fait 3i. On en demande d'autres soni-
hlables.

Ainsi on ne demande qu'un couple d'autres carrés, ce qui ne pré-
sente évidemment aucune diiïiculté, si, pour ce problème, on admet
les carrés multiples. Or Wallis n'aurait pas, pour lui, le droit de les
refuser, puisque pour un certain problème de M. Fermât, relatif à un
nombre, somme de deux cubes, à décomposer en deux autres cubes
(comme 1729, somme des deux cubes i et 1728, peut être décomposé
en deux autres cubes 729 et 1000); puisque, dis-je, pour la solution
de ce problème très facile, il s'est contenté de fournir des multiples
de nombres communiqués.

Voici donc une règle qui permettra de résoudre facilement le pro-
blème de M. Wallis. Qu'on multiplie les carres iG et 2;^ par un autre
carré quelconque impair et non divisible par 5; on aura deux nou-
veaux carrés satisfaisant à la question. Ainsi les carrés des nombres
12 et i5, 28 et 35, 36 et \^, 44 fit 5j, rio. et 65, etc., forment des so-
lutions. Qu'on ajoute, en effet, à ses parties aliquotes chacun des
carrés i/i4 et 225, on a pour somme 4o3. Les carrés 784 et 1225 font.
de même, 1767. Les carrés 1296 et 2025 feront, toujours chacun avec
les parties aliquotes, la somme 3751; et ainsi des autres. Mais cette
solution est indigne d'un mathématicien, et la question, entendue
dans ce sens, est telle qu'elle n'aurait pas dû être proposée. Il faut
donc croire que, dans son problème, 31. Wallis a eu une autre inten-
tion, et qu'il s'attend à une autre solution, sans pouvoir consentira
celle-ci.

Supposons donc le problème proposé comme suit :

Trouver deux carrés premiers entre eux, tels que chacun d'eux,
ajouté avec ses parties aliquotes, fasse une même somme.

Voici maintenant les cotés de carrés satisfaisant à la question.

Si, en effet, on ajoute à ses parties le carr^ du nombre 326, on a
pour somme 187 i3i; de même, le carré du nombre {07, ajouté à ses

oV8 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

parties, donne la même somme 187 i3i. Après les six premiers cou-
ples, cette somme est donnée par ses facteurs.

|N. B. — Il a paru désirable, pour la commodité du lecteur, de ré-
soudre en leurs facteurs les nombres composés donnés par Frenicle, et, en
même temps, de faire disparaître quelques fautes; on pourra ainsi, plus
aisément, se rendre compte de tout le procédé et en examiner l'applica-
tion.\

Somme.

24 126447 5i3
(= 3.7. 19.37.61 .73.367)

3, 3i, 37, 49, 73, i>.-. 169

7-2 i3=
3, 19, 3i, 37, 49, 73, 169

Côtés, des carrés.

Somme.

Cotds des carrés.

326

146 3u

(= 2.163)

1S7131

( = 11.47-283)

407

(=3.7^19.67)

147 823

(= H. 37)

(= 13.83. 137)

627

36i 232

(=3.11.19)

65S 749

(= 2'. 107.21 1)

749

(= 3.7.13.19.127)

497 173

(=7-107)

(= 19.137.191)

i5io

111408

{= 2.5. i5i)

4 980 801

(= 2'. 3. II. 211)

1809

(=3.7^31.1093)

i83 169

(=33.67)

(=7.137.191)

i3o66

343952

(= 2.47.139)

307 4C4 339

(=2^7-37-83)

14 001

(=3.7.13.37.61.499)

507419

(=3.13.359)

(= 11. 163.283)

10686

724 l52

(=2. 3.13.137)

314S58271

(=2'. 3. II. i3. 211)

17351

(=3.72.13.37.61.73)

1193 941

(=47-373)

(= 7.19.47-1911

3'- 7- >9'^

9- 49' C7. 73. 36i, 367

V- i3»

7, g, 19, 31,37, 61. 127, 169

\suivaient ici 27 autres paires de carrés.^

On peut trouver davantage de couples de carrés, mais il vaut mieux
passer à autre chose; car on peut obtenir la même somme en ajoutant
à leurs parties, non seulement des carrés pris deux à deux, mais aussi
des carrés pris trois à trois, quatre à quatre, cinq à cinq, six à six, etc.
et d'ailleurs premiers entre eux. .l'appelle premiers entre eux des
carrés pris trois h trois, quatre à quatre, etc.. quand aucun nombre

COMMERCIUM DE WALLIS. 549

ne peut les diviser tous. Ainsi les carrés 9, 16, 225, 824 seront dits
premiers entre eux, parce qu'il n'y a aucune mesure commune aux
quatre, quoiqu'il y en ait trois qui aient g comme commune mesure.

Assemblages de troLt carrés.
Côtes des caiTés. Somme.

24 J 828 (= 2^. U.37. i5i ) i33 i5i 753 i33 (= 3-.7^. ii).3i .67. (iji)3)
294867 (=35.67.163)
307285 (= 5.1 1 .37. i5i)

Côtés des carrés. Somme.

589734 (=2.33.67.163) 34 486 3o4 061 447 [nombre inexact, auquel

614570 (=2.5.11.37.151) il faut substituer

736263 (=35.11.37.67) 932062271931 (= 3-. 7*. 19.31 .67. 1093)1

^suivaient 2(3 autres groupes de 3 carrés. \

11 me reste encore bien d'autres assemblages de trois carrés satis-
faisant à la question et que j'ai bien trouvés, mais que le défaut de
temps ne m'a pas permis de ranger de façon, très noble Seigneur, à
vous les présenter; de môme, pour les assemblages de quatre, cinq,
six, etc., que vous recevrez, quand ils seront prêts, avec ceux de (rois
précités; cependant, pour vous donner au moins un ou deux (>xem-
ples de ce que je vous promets, je mettrai ceux-ci en attendant les
autres.

Assemblages de quatre carres.

Côtés des eari'és.

(2-. 7. 107 =) 29960 Somme : 20 421 219 = 3.7. i3. 19.31 . 127

(2^.3.11.19=) 25o8 Ysuù'aient trois autres assemblages par

(3 .5.11.19=) 3i35 quatre.]
( 5.7.107 =) 3745

Assemblages par rùuj.

1 39 9 54 38 1 710 (= 2.3.5. 1 1 . i3. 19,83. IJ7. 1 5i )
1 65 476 277 890 ( = 2 . 5 . 7 . 1 1 . 47 . 1 07 . 1 5 1 . 283 )
167 186334770 (= 2. 5. 7. 13.83.107. 137. i5i)
198242772651 (=35.7 II .47.67. 107.283)
200291 443443 (= 33.7. 13.67.83. 107. 137)

Somme 13.27.31 .37.61 .73. 127.361 .367. 1093.2401

(' ) Frcnicle avait donné, par faute de copie, 2296.

550 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Assenihlngcs par six.

79188991 l3o (=2.3.5.11.19.29.47.67.139)

82 718 076 012 (= 2-. 3. 1 1 . i3. 19,37.191 .359)

95 075 206 3 10 (= 2.5.7.29.47.67. 107. 139)

98 8i3 i4o 244 (= 2^.7. 13.37. 107. 191 •■5^9)
io3 397 595 01 5 (= 3. j. 1 1 . 1 3. 19.37. 191 .359)
123 5rfi 4'''> 3o5 (= 5.7. 13.37. "57- '9' -359)

Somme 19.27.37.61 .67. 127.499.961 .2197.2401

Voici d'autres assemblages de carrés par deux, trois, etc.

\ suivaient ici de nombreux assemblages de carrés envoyés plus tard, à
savoir : par deux, 6; par trois, 02; par quatre, 20; par cinq. 3; par
six, 5; puis, par deux, 5; par trois, 5; par quatre, 7; par cinq, 3;
par six, G ; par sept, 4 ; par huit, i ; par neuf, i ; puis, par cinq, i ; par
six, 3 ; par sept, 2 ; par huit, 2 ; par neuf. 3 ; par dix, 1 ; par onze, i ;
par douze, 2 ; par treize, 2 ; par quatorze, i ; par quinze, i ; par dix-
neuf, i . J'ai cru sans intérêt de les reproduire tous, pour ne pas remplir
plusieurs feuilles de nombres; cependant, j' en ai relevé le compte, pour ne
pas paraître vouloir faire tort à l'auteur. |

I // s'est d'ailleurs, dans la Lettre XLIII, excusé sur ta hâte de son tra-
vail de nombreuses fautes de calcul ou de plume, qui se sont glissées dans
ses chiffres; cette excuse est d'autant plus valable qu'une partie de ces
fautes peut être dit fait du copiste. Remarquons toutefois que Frenicle
s'est écarté de la règle qu'il nous avait proposée, à savoir que les carrés fus-
sent premiers entre eux. Cela n'a pas lieu pour les siens; quand, par
exemple, il propose un groupe de six carrés, il regarde comme suffisant
qu'aucun même nombre ne divise tous les six, tandis qu'il n'y aura pas un
seul couple de deux carrés premiers entre eux { ainsi qu on le reconnaîtra
immédiatement et comme lui-même l'avoue) ; c'est de la sorte qu'il a pu
donner autant de groupes. En ce qui me concerne, dans mes solutions de
la Lettre XXIX, pour composer les racines des carrés. Je n'ai employé que
les nombres premiers inférieurs à i 00, jugeant inutile d'aller plus loin; et,
dans ces limites, il n'y a pas d'autres combinaisons que celles que j'ai
données. Toutes celles que Frenicle a données, ainsi que Je l'ai vérifié.

COMMERCIUM DE WALLIS. 551

comprennent au moins un facteur premier supérieur à loo et pouvant
aller jusqu'à près de 5oo (comme si pour des nombres inférieurs la com-
binaison était impossible) . C'est ainsi qu'il a pu fournir autant de solu-
tions. I

LETTRE XXXII.

John Wallis a Vicomte Brountker.

Vous avez eu la bonté de m'envoyer et j'ai reçu la semaine dernière,
très illustre Seigneur, les solutions données par Frenicle au problème
que j'avais jadis proposé sur les deux carrés qui font la même somme
par l'addilion avec leurs parties aliquotes. Je vois par là que le très
noble savant a non seulement résolu cette question, mais qu'il y a
pris beaucoup plus d'intérêt que je n'avais fait moi-même.

Sa première solution est la même que ma première; car un carré
impair non divisible par 5 est exactement la même chose qu'un carré
qui soit à la fois premier avec i6 et avec 2j.

Quant aux autres solutions, je crois qu'elles ont absolument la
même origine que les miennes, qu'elles ont été trouvées par une
méthode tout à fait semblable ou du moins à peine meilleure.

Si ces solutions sont si nombreuses, il ne faut guère s'en étonner,
du moment oii il a jugé l'affaire digne de ses peines. Car si je ne me
trompe, et comme vous le pensez aussi, il doit avoir à sa disposition
une Table suffisamment étendue donnant jusqu'à peut-être 5oo ou
même au delà les carrés, cubes (peut-être même d'autres puissances)
des nombres premiers, avec la décomposition en facteurs de la somme
de chacun et de ses parties aliquotes; de la sorte il est facile, de la
manière que j'ai indiquée, d'obtenir un certain nombre de solutions.
Qu'après en avoir trouvé suffisamment, une personne aussi sagace
puisse, en les combinant, transformant et mêlant ensemble de diverses
façons, en déduire beaucoup d'autres, on ne peut en douter, dès que
l'on sait de combien de manières on peut transposer sept ou huit
lettres ou changer les rangs d'autant de cloches. Quoi qu'il en soit, je

S52 ŒUVRES DE FERMAT- TRADUCTIONS.

suis convaincu que la découverte de ce mystère, qui nous appartient,
et d'où, avec ces problèmes, en découlent une infinité d'autres, ne
sera pas moins agréable aux mathématiciens que ne le serait, sans
l'indication de la méthode, l'énoncé de mille nombres de la sorte.

Au reste, je n'ai jamais pensé que Frenicle ne résoudrait pas cette
question que j'avais proposée d'ailleurs à un autre que lui. Puisqu'il
avait dès longtemps résolu celles de Fermât, il n'était pas douteux
qu'il ne réussit aussi facilement sur la mienne, qui dépendait du
même principe.

En tout cas, j'aurais préféré qu'il se fût au moins épargné la peine
de former en nombres les racines des carrés par la multiplication suc-
cessive des facteurs qu'il a évidemment trouvés tout d'abord; car il
aurait été d'autant plus facile d'examiner, si on l'eût voulu, les
nombres qu'il a donnés, ce qui ne peut maintenant se faire qu'en
détruisant son travail; mais je ne m'embarrasserai pas de cet examen,
qui n'est pas si important. Pout-ètre a-t-il craint que. s'il avait exposé
la chose aussi simplement, j'en eusse conclu sa méthode qu'il croyait
que j'ignorais.

D'autre part il lui a plu de changer la question que j'avais pro-
posée, en introduisant la condition que les carrés à donner soient
premiers entre eux. Il a voulu ainsi éviter qu'on eût la grande facilité
de donner les multiples do iG et 25, qui satisfont à la question, par
un carré quelconque premier avec l'un et l'autre. Je ne regrette pas
absolument cette condition, mais j'ai deux motifs pour ne pas la
regarder comme tout à fait nécessaire. En premier lieu, la limitation
dont il s'agit exclut plus de carrés qu'il ne faut, car il est clair que,
même étant connus i6 et 25 comme satisfaisant à la question, il y a
beaucoup d'autres carrés, même non premiers entre eux, dont la
recherche n'est en rien facilitée par cette connaissance ou même par
celle d'autres carrés premiers entre eux. Ainsi je le fais juge s'il est
en rien plus facile de trouver 8 x 3 x 37 et 2 x 19 X 29 ou bien
3 X 4 X 1 1 X 19 X 37 "et 7 X 8 X 29 X 67 que j'ai donnés, quoiqu'ils
ne soient pas premiers entre eux, que s'ils l'étaient. En second lieu.

COMMERCIUM DE WALLIS. 333

quoique la chose soit facile pour Freniclc (en tant qu'il sait qu'un
nombre formé de deux ou plusieurs nombres premiers entre eux, si
on l'ajoute à ses parties aliquotes, donne une somme égale au produit
de ces nombres premiers entre eux, augmentés chacun de ses parties
aliquotes; ce qui est le principal mystère dans les questions de ce
genre), celui qui ignore ce principe n'aura pas plus de facilité pour
reconnaître, comme propres à la question, les équimultiples des
nombres donnés plutôt que d'autres carrés premiers entre eux; au
contraire, celui qui connaît le principe n'aura pas beaucoup plus de
facilité pour trouver la méthode de recherche applicable aux autres
carrés premiers entre eux.

Enfin il donne non seulement des assemblages par deux, mais par
trois, quatre, cinq, etc. Mais le très noble savant sait très bien que, à
part la peine du calcul, il n'y a là rien de nouveau par rapport à la
question que j'ai proposée; les assemblages de (rois, quatre, etc.,
voire même de cent, se trouvent en efl'et par la même méthode abso-
lument que ceux de deux; et même, dans le petit nombre de ceux que
j'ai indiqués, il trouvera trois carrés remplissant la condition dont il
s'agit; savoir ceux de. 3 x ^i X 1 1 x 19 X 37, de 3 x 5 x 1 1 X 19 x 3;
et de 7 X 8 X 29 X G7, puisque chacun d'eux, ajouté à ses parties
aliquotes, donne comme somme

3 X 3 X 7 X 7 X i3 X 19 X 3i X 67 X 127.

Il n'y aurait non plus rien de nouveau si ce que j'ai proposé pour les
carrés l'eût été pour les cubes, bicarrés, etc.; si ce que j'ai proposé
pour l'égalité des sommes l'eût été pour leur relation dans un rapport
donné (possible). Dans des cas de ce genre, le calcul peut être plus
long avant que le but soit atteint, mais les solutions dépendent tou-
jours du même principe, et sont à chercher toujours par le même pro~
cédé; ce que sait parfaitement notre si sagace Correspondant. Cela
peut au reste s'appliquer aux autres questions de ce genre en nombre
infini.

Il me reste encore à vous dire que je viens précisément de recevoir

KenUAT. — Ul. 70

554 ŒUVRES DE FERMAT.— TRADUCTIONS.

de Hollande une lettre que m'a écrite M. Schooten et que je crois
devoir communiquer à V. S. Après l'avoir lue, je suis absolument
dans la croyance que la méthode dont s'est servie M. Frenicle pour
la solution de la troisième question de Fermât (celle du carré dont le
produit par un nombre donné non carré soit inférieur d'une unité à
un carré) ne vaut pas celles qui ont été données d'ici, au moins la
seconde. Je vois en eiïet qu'il a hésité sur le donné non carré 109, ce
((ui est clair même d'après son traité imprimé, où il dit que le carré
({ui se rapporte à ce nombre lui a été communiqué par M. Fermât; je
vois aussi que cette méthode montrée, semble-t-il, à M. Huygens, lui
a paru tellement pénible qu'il a reculé devant l'application; la notre
au contraire est si commode qu'en très peu de temps elle peut fournir
des nombres très considérables. Mais de fait je n'ai pas encore vu cette
méthode de Frenicle, qu'il a jugé à propos de taire dans son Traité
imprimé, et je n'en puis parler que par conjectures; je ne veux donc
faire aucune aiïîrmalion téméraire. Quant à la lettre de Schooten, s'il
plaît à V. S. qu'elle soit jointe aux nôtres lors de l'impression de
celles-ci (ce qui me paraît intéressant et ce qu'il désire lui-même), je
vous prie de me le faire savoir et m'empresserai d'accomplir, autant
que possible, votre vœu, comme.

Très illustre Seigneur,

Votre très obéissant et très respectueux

John Wallis.

0>rf'ord, t3/23 avril i658.

LETTRE XXXI II.

François Schooten a J. Wallis.

Clarissime savant, l'exemplaire de la première partie de vos OEuvres
mathématiques que vous m'avez destiné, en même temps qu'un autre
pour Huygens, m'a été parfaitement remis par M. Thrommje; je vous
en fais mes meilleurs remercîments, tandis que j'ai le chagrin de voir
que mes Exercilaliones ne vous ont pas été remises, quoique, au

COMMERCIUM DE WALLIS. 333

moment où elles ont p;iru, j'en aie donné un exemplaire ii l'imprimeur,
qui devait l'envoyer à Londres avec d'autres et le faire de là parvenir
à Oxford à votre adresse et en mon nom. Je suis très heureux d'ap-
prendre qu'elles ne vous ont pas déplu, et que vous avez également
apprécié ce que le très noble Huygens a ajouté à la fin sur les raison-
nements dans le jeu de dés. Votre jugement à cet égard nous est, plus
que mille autres, un clair garant que nous n'avons ni l'un ni l'autre
mal employé nos efforts en essayant soit de rétablir soit de pousser
plus avant les Mathématiques. Mais surtout je suis charmé du mutuel
accord qu'on peut immédiatement remarquer entre vos écrits et les
miens, comme en autres choses sur ce que nous avons dit l'un et
l'autre des progressions et oîi l'on dirait que nous nous étions com-
muniqué nos pensées à l'avance.

Vous me parlez des questions de Fermât proposées l'année dernière
à tous les mathématiciens de l'Europe. Voici ce qui m'est arrivé à ce
sujet. Ce fut le 26 janvier de l'année passée que le très illustre M. Guil-
laume Boreel, député auprès du Roi de France Très Chrétien par les
Provinces-Unies, envoya de Paris aux professeurs de Mathématiques
de l'Académie de Lcyde une lettre qui renfermait deux questions
numériques avec ce titre (') :

« Deux problèmes mathématiques proposés, comme s'ils étaient in-
solubles, aux mathématiciens de France, d'Angleterre, de Hollande et
du reste de l'Europe, envoyés le 3 janvier 1657 par M. de Fermât,
Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse, à M. Claude Martin de
Laurendière, Docteur Médecin, et reçus par celui-ci le 21 janvier. »

« Premier problème. — Trouver un cube (^voir page 3i i , lignes 21 à
20) .... propriété. »

« Second problème. — On demande (zJOiVpage 3ii, lignes 26 à 27 )
.... un cube. »

Cette lettre fut reçue par M. Golius le 7 février, la veille du jour où

( ' ) J'oir la Pièce 79 de la Correspondance de Fermât, T. II, p. 332.

556 OEUVRES DE FERMAT.— TRAnUCTIONS.

il devait déposer les fonctions de Recteur Magnifique; il l'ouvrit en
ma présence seulement le 1 1 du même mois. J'y fis alors la réponse
suivante et aussitôt après l'avoir communiquée à M. Golius, je l'a-
dressai le 17 février audit M. Boreel à Paris, avec une lettre de trans-
mission et deux problèmes sur le même sujet que je proposais en
retour à M. Fermât ( ' ).

« Réponse aux questions proposées aux mathématiciens de toute
l'Europe par M. de Fermât, Conseiller du Roi au Parlement de Tou-
louse. »

« Pour résoudre la première question, où il s'agit de trouver un
nombre cube dont la somme avec les parties aliquotes fasse un carré,
je cherche à partir de l'unité 4> 7. 10, i3 ou davantage de nombres
en proportion continue (en augmentant successivement de 3 leur
nombre), tels que leur somme fasse un carré; le dernier des termes
proportionels sera le cube demandé. Quant au second terme propor-
tionel, je prends successivement les différents nombres premiers, en
commençant par les plus faibles. »

« Puisque les proportionels

1.2.4.8, 1.3.9.27, 1.5.25. 125

donnent comme somme les nombres i5, 4o, i56, qui ne sont pas
carrés, ayant pris pour seconds termes de ces séries les nombres pre-
miers a, 3, 5, je prends maintenant pour second terme le nombre
premier 7 et j'ai les proportionels : 1.7.49.343, dont la somme est
400, carré de côté 20. Je trouve ainsi que 343 est de fous le plus petit
cube qui satisfasse à la question ; c'est d'ailleurs celui qui a été donné
par M. de Fermât. Prenant ensuite toujours quatre proportionels dif-
férents, et employant successivement tous les nombres premiers de 2
il 97, je n'ai rencontré aucun aulre carré que celui déjà indiqué; et
j'ai reculé dès lors devant la poursuite de ces calculs, ne poinant

( ' ) La Lettre qui suit se trouve ôgalemont publiée (en latin) clans le Tome II des OEm-res
cumplèles de Cliristiaan Ui/rge/is (n° 377 do la Correspondance).

COMMERCIUM DE WALLIS. 557

d'ailleurs reconnaître une voie plus abrégée pour parvenir sûrement au
but ('). »

» Si l'on prend de même sept proportionels

I. 2. 4. 8. i6. 32. 64.,
I. 3. 9. 27. 81. 243. 729.,
etc.;

les sommes 127, logS, etc. ne sont pas carrées; mais je n'ai pas eu le
courage d'entreprendre de plus longues recherches sur 7 proportionels
et la fatigue des calculs m'a de même empêché de les tenter sur 10, i3,
16 ou plus de proportionels. Mais je n'en ose pas moins juger que,
quoique les cubes en question doivent être en nombre infini, à ce que
je pense du moins, personne ne peut en trouver facilement au delà
d'un certain nombre, comme 5 ou 6, eu égard à la grande distance qui
les sépare. »

« M. de Fermât reconnaîtra d'ailleurs que le moyen de trouver ainsi
ces nombres est infaillible, dès qu'il saura que, pour déterminer les
proportionels précités, je me sers des expressions analytiques a', a",
a", a'-, etc., ou s'il s'agit de nombres ayant 10, 27, 39, [\^, 5i, 63,
G9 ou 7J etc. parties aliquotes, je me sers, en outre des notations pré-
cédentes, de celles-ci : a^b^, a^b^, a^b^, a'^b''', a'-b^, a^b^c^ ou a''b^,
a*b'^ ou a'^b'\ etc., comme pouvant être utiles {)our cette affaire, c'est-
à-dire pour représenter les nombres cubes à trouver. Mais, comme ces
expressions indiquent, pour trouver les nombres cherchés, des calculs
encore plus fastidieux, je ne crois guère que cette voie puisse être
heureusement tentée. Mais je n'ajouterai rien, car, en dehors des
moyens indiqués, il n'en existe pas pour trouver certainement ces
nombres, à moins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé, poni-
établir les égalités, quelques abrégés qui pourraient diminuer singu-
lièrement l'embarras de cet examen; il ferait certes, en les communi-
quant, une chose qui me serait très agréable. »

(') Les mots en italique sont indiqués comme à supprimer.

358 ŒUVRES DE FEUMAT. — TRADUCTIONS,

« De même pour résoudre la seconde question, où on demande un
carré tel que sa somme avec ses parties aliquotes fasse un cube, je
cherche à partir de l'unité 3, 5, 7, 9, 11, i3, etc. ou davantage (en
augmentant toujours par 2) de nombres en proportion continue, tels
que leur somme fasse un cube, et, pour second terme, j'essaye un
nombre premier quelconque, comme il est indiqué par

1 .a .a-.i.a .a-.a^.a''.i .a.a-.a'.a'.a^.a'^. etc. »

Si, en effet, cette somme est un cube, le dernier proportionel sera le
carré cherché. Ainsi je me sers de a-, a'', «", a*, a'", etc. pour trouver
les nombres ayant 2, 4. 6, 8, 10 parties aliquotes, ou bien encore de
a-b^ pour ceux qui en ont 8, de a'b'^ pour r4 parties, a'b- pour 20,
rt'è' pour 2'i, a'-b'-c'- ou a^b- pour 26 parties, etc. Mais, comme ces
dernières expressions correspondent à des modes de recherches de
plus en plus difficiles pour ces carrés, j'ai peine à croire qu'elles puis-
sent servir heureusement pour parvenir au but proposé. »

» En montrant l'existence de tous ces modes, par lesquels il est évi-
dent que l'on peut certainement obtenir les nombres cherchés, pourvu
qu'on ne recule pas devant le travail d'examiner successivement,
comme j'ai dit ci-dessus, tous les nombres premiers en commençant
par les plus petits, j'espère avoir satisfait pleinement au désir du cla-
rissime Fermât. »

« Écrit à Leyde, le 1 7 février 1637, par moi, François van Schooten,
professeur de Mathématiques à l'Académie de Leyde. »

Suivent (') deux problèmes du même genre, proposés en retour à
M. de Fermât :

« Premier problème. — Trouver deux cubes dont la somme fasse un
cube ou, s'il ne peut les obtenir, montrer que le problême est impossible. «

« Deuxième problème. — Montrer si i on peut , ou non, trouver d' autres
nombres parfaits que ceux que fournil la méthode d'Euclide (IX, prop.
dern.), c'est-à-dire la progression suivant ta raison double. »

I ' ) Pièce 378 de la Correspondance de Hurgens.

COMMERCIUM DE WALLIS. o5!)

Voilà ce que j'ai répondu alors, et les questions que j'ai proposées à
mon tour.

En traitant ces questions, je m'étais seulement proposé d'indiquer à
leur auteur la façon dont elles devaient être résolues. Il sera facile à
votre perspicacité de reconnaître que j'atteignais ce but, puisqu'on ne
peut donner aucun nombre qui ne soit pas soumis à quelqu'une des
conditions précitées (comme on peut le déduire de mes Exercita-
liones, section 3), ou ne puisse être trouvé par les modes indiqués.
Quant aux nombres eux-mêmes, ils ne me paraissaient pas avoir tan(
de valeur que la métliode pour les trouver certainement ne dût suffire
à M. de Fermât. C'est aussi ce que j'avais surtout en vue pour les deux
problèmes ajoutés par moi, en sorte que, si les nombres que je deman-
dais ne se rencontraient pas aisément, il suffit de montrer l'impossibi-
lité du premier problème, et de prouver que le second ne peut êli'c
résolu par un moyen différent de celui d'Euclide. Mais à tout cela,
rien que je sache ne m'a été répondu par M. Fermât, ou du moins au-
cune réponse ne m'est parvenue; je n'ai pas cru cependant devoir
aucunement le presser à ce sujet, afin de ne pas sembler prétendre à
une grande gloire pour la solution d'un problème qui n'a évidemment
aucun usage, ni aucune utilité. Ainsi je ne sais même pas si M. de Fer-
mat a reçu ou non ma réponse, ni quel jugement il a porté sur eli(>
dans le cas où il l'aurait reçue.

J'avoue d'ailleurs qu'à cette époque il ne m'est venu à l'esprit aucun
des abrégés qui auraient pu, comme je le croyais, servir à diminuer
considérablement le travail; c'est pour cela que je disais à Fermât,
qui, sans aucun doute, devait posséder ces abrégés avant tout autre,
que, s'il en connaissait de généraux touchant cette matière, il ferai!
une chose très digne de reconnaissance s'il voulait bien nous les com-
muniquer.

Après avoir ainsi résolu les questions de Fermât, j'ai cru devoir les
communiquer au clarissime M. Hudde et lui proposer de les résoudre.
Voici ce qu'il me répondit, le 23 février, d'Utrecht où il était alors :

« Quant aux questions proposées par M. Fermât et à la solution que.

o60 ŒUVRES DE FERMÂT. - TRADUCTIONS.

» vous en avez donnée, j'avoue que les problèmes ne me déplaisent
» pas, mais qu'il n'en est pas de même de la raison par laquelle vous
» vous efforcez de me persuader que je dois, moi aussi, m'efforcer
» d'en chercher la solution; à mon avis, ce qui est le plus nécessaire
» et utile doit passer avant ce qui l'est moins; si donc j'ai encore
» quelque loisir à consacrer à la Science, j'ai la confiance de pouvoir
» le dépenser sur des questions, non seulement beaucoup plus utiles,
» mais aussi beaucoup plus générales et plus intéressantes, et qui
» semblent promettre une gloire plus brillante au savant qui les étu-
» diera. Aussi je n'ai pu prendre sur moi de m'appliquer à la solution
» de ces problèmes; cependant, pour l'amour de vous seul, je me suis
» résolu, au détriment de tous mes autres travaux, à leur consacrer la
» journée d'hier pour vous faire part de ce que je parviendrais ii dé-
» couvrir, pour l'abrègement du travail, et cela dans le cas où vous
» n'auriez pas encore envoyé votre réponse à Paris.

» Voici la règle que j'ai choisie entre beaucoup et que j'emploierais
» pour la solution de la première question, où il s'agit de trouver un
» nombre «ube, tel qu'ajouté à toutes ses parties aliquotes, il fasse un
» carré. Qu'on prenne un carré (en commençant par les plus petits),
» tel que son double, moins l'unité, soit un nombre premier; que de
» ce dernier nombre on retranche i, et qu'on multiplie le reste par le
» carré que l'on a pris, ou bien, ce qui revient au même, par la plus
» grande moitié de ce nombre premier. Si, en ajoutant i au produit,
» on a un carré, le nombre premier précité sera le coté du cube
» cherché.

» Par exemple :

COMMERCIUM DE WALLIS.

561

Racine. Carré.

Doubl.'

le carré

carré

ou la

moins i .

NombrL'

plus grande

—

premier

par moitié

Nombre

moins

du nombrii

premier.

l'unité

premier

3

9

' /

16

4

i6

3i

3o

5

25

})

))

6

36

y ^

70

7

49

97

96

8

64

127

126

|(

Si

)»

»

lo

lOO

'99

198

II

121

241

240

i>.

i44

»

»

i!

169

■537

336

i4

196

»

II

i5'

22 5

149

i48

i6

256

).

»

'7

289

^77

576

i8

324

647

646

19

36i

»

»

■lO

400

))

}}

>. I

441

881

880

'?.'>.

484

9O7

966

■j3

529

)i

»

donne

9

144

16

480

))

»

36

2520

49

4704

64

8604

100

19800

121

29040

»

H

169

56784

H

«

225

100800

»

)i

289

166464

324

209304

»

))

il

»

441

388o3o

484

467544

qui
plus

donne

25, carré; donc 7 est
le côté du cube
domando.

ne donnent pas do
carré.

» Les places vides dans ce Tableau sont celles qui ne correspondent
n pas à des nombres premiers, comme le demande la règle; mais, ce
» qui peut-être excitera votre étonnement, tous les nombres corres-
>) pondant à ces places sont divisibles soit par 7, soit par 17. En tous
» cas, si j'ai bien calculé, il est certain par là qu'au-dessous du ,
)) nombre cube de ii5o, soit iSaoSySooo, il n'y a qu'un seul cube,
» 343, qui satisfasse ii la question, en ne comptant toutefois que ceux
" (|ui ont trois parties aliquotes, c'est-à-dire ceux auxquels la règle
» est appropriée.

» En effet, le premier nombre que nous trouverions ensuite est su-
» périeur à i i5o, tandis que le côté 7 du cube 343, trouvé par le pre-
ferjut. — m. 7 '

o62 ŒUVRES HE FERMAT. - TRADUCTIONS.

» niior carré, est précisément celui du cube donné par l'auteur comme
» satisfaisan( au problème.

» Maintenant, quand je pèse vos paroles : Prenant ensuite, etc.
» (p. 556/;) ... sûrement au but, je n'ai aucun doute que le procédé
» que j'ai indiqué ne soit plus facile pour atteindre le résultat proposé,
» puisque je suis arrivé à ii5i en une heure et demie environ; et, si
» j'avais eu sous la main votre Catalogue des nombres premiers, je me
» serais épargné à peu près la moitié du travail. Aussi il vous sera
1) facile, si vous le jugez intéressant, de poursuivre la recherche pour
» des nombres encore plus grands.

)> Le calcul suivant indique comment j'ai trouvé cette règle :

» Soit r/' le nornbre cube à trouver, a étant un certain nombre pre-
» mier.

» Les parties aliquotes de ce cube sont i, <7, a-, dont la somme
» avec à^ fait r -f- a + à- h- a'', qui doit être égale à un carré.

» Posons donc

14- « 4- fl- H- a' =: [( 1 + rt ) />]■- ;

» divisant, de part et d'autre, par i + « :

,, , 1 -I- (7- ,., 2 , .,

" d ou = b' ou rt — t H = b-.

I -\- a a -+- I

» Mais, puisque a doit être un nombre premier, pourra être

» divisé par 2 (haut et bas). D'ailleurs cette fraction, ajoutée à l'en-
)i tier rt — t, ne pourra, comme il le faut, donner un carré, si son dé-

" nominateur — h - n'est pas lui-même un carré. On tire de là une

» grande simplification, puisque tout d'abord il sulfit de taire (jue

» - + - soit carré, c'est-à-dire que a + i ~ an ou « = ^n — i- C'est

■?, 2 ^

» de là que j'en viens à dire dans ma règle : Qu'on prenne un carre
n tel que son doublemoins l'unité soit un nombre premier, et que je passe
» celui qui n'a pas cette propriété, comme ne pouvant servir pour le
» but proposé. Cet artifice permet de diminuer singulièrement le Ira-

COMMERCIUM DE WALLIS. 3G3

') vail, non seulement pour a', mais encore pour les autres expres-

» sions. »

» Voilà, mon très cher ami. à quoi mon temps s'est dépensé, en

» sorte que, pour la solution de l'autre problème, je n'ai rien qui vaille

» la peine de vous être communiqué, non plus que pour les autres

» modes de chercher les cubes, soit par a", a", a'-, etc., soit par a^b^,

» dans les cas où les parties aliquotes ne forment pas une progression.

» comme dans les précédents. »

Quand j'ai reçu cette Lettre, j'avais déjà envoyé la mienne à Paris;
mais j'apprenais qu'entre i et 1020875000 on ne peut trouver aucun
cube, sauf celui déjà connu 343, en se servant de la voie la plus
facile, celle de a^; les autres voies par «", a', etc. ou «'/»', a'^^', etc.,
devant être regardées comme plus dilJiciles, nous avons pensé, moi et
M. Golius, qui s'était également proposé de résoudre ces problèmes,
devoir nous abstenir de recherches numériques ultérieures, jugeant
que nous pouvions mieux employer de bonnes heures aux Mathéma-
tiques.

Peu de temps après, à savoir le 9 mars, j'ai rei,'u de la Haye une
lettre du très noble Huygens, laquelle en renfermait une autre à moi
adressée de Paris par M. Mylon, jurisconsulte, et en même temps une
page redemandée depuis par Huygens, qui m'écrivait là-dessus (^') :

« Voici une lettre pour vous de notre ami Mylon, et aussi une page
') dont il a voulu que je prisse également- connaissance; je vous
» prierai, en raison des questions de M. de Fermât, de me la ren-
» voyer à votre commodité. »

Voici ce que contenait cette page (-) :

« M. de Fermât a proposé à tous les arithméticiens par M. Digby.
» 1. Trouver un cube (voir page 3i i, lignes 21 à 20) .... la même
» propriété.

( ' ) f'oir Correspondance de Huygens. n° 373.
(-) f'oir Correspondance de Huygens. n" 374.

564 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

» 2. On demande aussi (voir page 3i i , lignes 26 à 27) fasse

» un cube.

» >r. de Frenicle a résolu ces questions et M. Martin, qui en a les
» solutions, les fait imprimer, à ce qu'on m'a dit.

» Depuis ( ' ) peu M. de Fermât a écrit ceci à M. de Frenicle.

[Suit la pièce LXXX do la Correspondance de Fermât, Tome II.
page 333.]

» A quoi M. de Frenicle a envoyé l'ordre qu'il tient pour résoudre
)) ces questions, dont le calcul est extrêmement long. »

En répondant là-dessus à Huygens et à Mylon, je priai M. Mylon de
présenter à M. Frenicle mes très respectueuses salutations et en même
temps j'envoyai la page 426 de mes Exercitaliones, page que je venais
d'avoir imprimée et où l'on peut voir combien je lui portais d'égards,
à ce point que, pour ces questions auxquelles mes autres études ne
m'avaient pas permis de consacrer assez de temps, je témoignais que
je lui concédais volontiers la palme. Mylon répondit le 12 avril (-), et
le 21 du même mois (•'), Huygens m'envoya de la Haye cette réponse,
où, entre autres choses, il disait :

« J'envoie à M. de Zuylechem les pensées de M._Frenicle touchant
» les propositions numériques de M. de Fermât et vos solutions, et le
» prie de vous en faire part. »

Voici quelles étaient ces pensées de M. Frenicle [^'' ) :

« M. Frenicle trouve que c'est plus tôt fait d'examiner tous les
» cubes de suite pour voir ceux qui satisfont (qui est la question
» proposée par M. de Fermât) que de se servir de la méthode de
» M. Schooten. Néanmoins, pour s'en servir, il donne ce théorème :

» Il n'y a aucune puissance dont la racine soit un nombre premier

(') Correspondance de Huygens, n° 371.
(-) ^ot> Correspondance de Huygens, n° 382.
(3) iToir Correspondance de Huygens, n° 38G.
{'*) Correspondance do Huygens, n" 383.

COMMERCIUM DE WALLIS. 565

» et l'exposant un nombre inipairement pair., qui puisse avoir un
» quarré pour la somme de ses parties.

» Donc M. Schooten doit exclure ces nombres de sa méthode. Il en
» peut encore exclure beaucoup d'autres, savoir ceux où les propor-
» tionelles sont en multitude impaire, car leur somme ne sera point
» un quarré et n'a pas besoin d'être examinée, si le nombre de la pro-
» portion n'est pareil à 79, 199 et autres dont il se trouve fort peu,
» se trouvant plusieurs milliers de nombres où il n'y en a que cinq
1) ou six.

)) Davantage le second nombre de la proportion continuelle doit
» être un de cette progression (')

I. 7. 4i. 289. 1893. 8119. 4733',

a . h . c . d,

» et entre ceux-là il n'y aura que ceux qui auront ces deux pro-
» priétés :

» La première, que ce soit un nombre premier;

( ' ) En cclli' progression

G fois (I — 1 =6,

6/1 — a = c,

elc.

Les nonilires de la précédente progression se trouvenl encore aulremonl par la seule
iuldilioM, comme on celle qui suit, en laquelle il n'y aura que ceux de la colonne /( qui
sont vis-à-vis des impairs de la colonne g qui soient utiles.

La construction de celte Table est
aisée par addition, car

I -t- I font ■/. en ^■

■i + I font 3 en /(

3 + 2 font 5 en g-

j -h -1 font 7 en //

~ -T- 3 font ij. en g

12 -h 5 font 17 en /(
etc.

1

1

■>.

3

5

7

12

'7

29

.-S'

70

99

169

239

408

577

985

1393

2378

3363

5741

8119

{Noie lie- Freniclc.)

566 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

» La seconde, qu'il goit moindre de l'unité qu'un double quarré.
n Or, par les lettres finales et autres propriétés des doubles quarrés,
on peut voir aisément qu'il n'y en a aucun qui puisse satisfaire,
outre 7, si le cube n'a plus de 60 lettres. Il se trouve par ces
deux propriétés qu'il n'y a que deux nombres à examiner s'ils
sont doubles quarrés pour aller jusqu'à la racine de ce cube de
60 lettres. Et cet examen est d'ajouter i et prendre la racine
quarrée de la moitié, car les autres ou sont composés ou leurs
finales montrent qu'ils ne sont pas doubles quarrés moins i.
n M. Frenicle propose ce problème :
» Trouver un nombre triangulaire, dont le sextuple plus 1 soit nombre

» cube.

» J'écris de l'autre part ce que j'ai pu tirer sur-le-champ de M. de

» Frenicle, touchant les propositions numériques de M. de Fermât;

» je vous supplie d'en faire part à M. Schooten, etc.

» Voici la solution de M. de Frenicle pour les nombres suivants :

l'our

i3 e

csl

c qviarrc

de...

649

Pour

33

c'est le

luarré

de

19

17

1 70

»

37

il

»

33

»

))

n

ai
•5 3

»

»

55
99

))

43

47
53

»

))

29

»

quarré

quarré

do...

H

1)

H

»

3i

>J

quarre

de. . .

l520

)J

59

»

»

<23>

73

>.o49

34 S'?.

48

()6î49

53o

1) Pour 61, c'est le quarré de 1766^19049, lequel quarré, étant

diminué de i, donne le quarré de 226153980. Or le quarré qui

satisfait à 61 a 19 (' ) lettres, quoiqu'il n'étoit besoin, pour le

trouver par la méthode de M. Frenicle, que de 54 18, r i4i8, 23718

et 29718.

)) Pour 109. il n'y en a point au-dessous de 25 lettres.

'1 Pour 127, c'est le quarré de 4 730624. »

Là-dessus, Huygens ajouta ce qui suit :

« ,Ie vous laisse à examiner ce que Myloii m'a écrit des pensées

( 1; Lise/. 17.

COMMERCIUM DE WALLIS. 567

» de M. Frenicle sur la question proposée par M. Fermât. Il parait

» donner, pour la recherche des cubes dont il s'agit, certains abrégés

» importants, plus peut-être que vous n'aviez cru qu'on pût les

» trouver, mais il conviendrait de rechercher sur quelles raisons il

» s'appuie. Quant à l'autre question, proposée par Fermât, trouver

" un quarré dont le produit par un nombre donné, étant augmenté

» de l'unité, etc., je l'avais résolue par une certaine règle indiquée

» pour cela. J'estime que c'est la même dont Frenicle s'est servi pour

» trouver les nombres que Mylon m'a envoyés, mais le travail était

» immense et tel que je n'aurais pas voulu l'entreprendre. »

Quelque temps après, savoir le i8 mai, MyloÊi m'écrivait la lettre
suivante (') :

« Monsieur, j'ai fait voir ii M. de Frenicle votre petit papier imprimé
i> dont il vous remercie. Un de ses amis veut ici faire imprimer le défi
» de M. de Fermât et la solution du dit S'' de Frenicle. Il y prétend
:> joindre la vôtre avec les abrégés, exclusions et théorèmes de son
» ami. .l'ai prié qu'on ne le fit pas sans savoir votre volonté. Prenez
» donc la peine de me mander, par la voie de M. de Zuylechem (puis-
» qu'il a cette bonté), si vous trouverez bon d'être nommé ou non, ou
» si vous ne désirez pas que votre solution soit imprimée. Je tâcherai
» de faire suivre en cela votre intention, étant, etc. »

Au-dessous se trouvait ce qui suit (-) :

« M. de Frenicle vous envoie ces théorèmes sur votre dernière ques-
» ti(m :

« 1. Pour les nombres pairs parfaits, il n'y en a aucun que ceux
» qui se trouvent par la méthode donnée par Euclide.

» 2. Pour les impairs, s'il y en a aucun, il doit être multiple d'un .
I) quarré par un nombre premier, pairement pair plus i.

( ' ; Comparez Correspondance do Huygens, n° 388.
(■-) Comparez Correspondance de Hiiygciis, n° 389.

568 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

» Théorème. — Il n'y a aucun quarré qui, nuiltiplié par 19, surpasse
» do l'unité un quarré multiplié par 7. »

.le répondis par la lettre suivante ( ') :

« Monsieur, puisque vous avez eu la bonté de me mander qu'un des
» amis de M. Frenicle veut faire imprimer le défi de M. de Fermât et
» la solution dudit S'' de Frenicle, et qu'il prétend d'y joindre aussi
n la mienne avec ses abrégés, exclusions et théorèmes que M. de Fre-
» nicle a inventés pour la raccourcir, je n'ai pas voulu manquer de
» vous en remercier et de vous écrire que tout ce qu'on fera me sera
i> agréable, soit qu'on l'imprime ou non. Car, n'ayant employé guère
» de temps pour la chercher et remarquant qu'il eût fallu faire grande
» opération pour trouver les nombres requis, je me suis contenté d'y
» enseigner seulement les chemins par lesquels je voyois clairement
» que les mêmes nombres, s'il y en avoit plusieurs tels, se dussent
i> trouver infailliblement, en cas qu'on voulût prendre la peine d'exa-
» miner généralement de suite tous les nombres qui y pourroient
» aucunement servir, sans penser particulièrement quels nombres en
» fussent exempts, de même comme a fait M. de Frenicle; de sorte
» que ma méthode n'étant que analytique, c'est-à-dire expliquant
« comment on peut par le moyen de l'Algèbre découvrir les chemins
» par lesquels ces nombres peuvent être cherchés, je serois d'avis
» que, si on la veut faire imprimer, l'on y ajoutât ces mots :

» Moyen analYtique de chercher ces nombres, trouvé par François de
» Schooten, ou bien

» Suit le mode de recherche de ces nombres par l'Algèbre, comme la
» trouvé Fr. de Schooten .

I) Ce qui la feroit plus recommandable, seroit d'y ajouter de plus
» les abrégés, exclusions et théorèmes de M. de Frenicle, afin que
)) cela ne semble pas être trouvé pour rien, mais y serve pour embel-
» lissement et plus grande perfection de cette matière. Je vous en

( ' ) Cette Lfittro de Si-lioolcii est cm français, s^aiif les mois impriim-s en italique.

COMMERCIUM DE WALLIS. S69

» laisse tout le pouvoir. Dans ma solution, je voudrois bien que ces
» mots en fussent effacés :

» ne pouvant d'ailleurs reconnaître une l'oie plus abrégée pour par-
» venir sûrement au but,
» et au lieu de ces mots

» à moins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé pour établir les
» égalités quelques abrégés, etc.
» j'aimerois plutôt ceux-ci :

» à moins que M. de Fermât n ait peut-être imaginé pour établir les éga-
» lités quelques abrégés généraux (qui en tout cas ne se sont pas pre-
» sentes à mon esprit).

n En finissant, je demeure, etc. »

De Leydc, ce 29 de mai 1657.

Les choses en étaient là quand enfin parut h la lumière le Traité in-
titulé : Solution de deux problèmes, etc., et qui est, je pense, le même
que celui dont vous m'avez parlé dans votre Lettre; le susdit ambassa-
deur prit soin do nous en faire expédier deux exemplaires, le 26 oc-
tobre, l'un pour moi, l'autre pour Huygens. Dès que je l'eus vu, je ne
pus que m'étonner de l'orgueil de l'auteur, qui, dans sou avant-
propos, adressé à M. Digby, ne rougit pas de s'exalter en ces termes :

Très illustre Seigneur, voici que Paris donne cette solution de problèmes
que ni vos Anglais, ni les Belges n'ont aucunement pu trouver; la Gaule
celtique est fière d'enlever la palme à la Narbonnaise, etc.

et autres semblables plus loin ; comme si ce fût une affaire d'État que
de connaître ces nombres et que chacun dût attacher tant d'impor-
tance à cette solution qu'il ne sût où employer plus utilement son
temps. A voir le titre même, je n'ai pu ne pas ressentir une certaine
indignation en voyant l'auteur de ce Traité y amener une certaine In-
quisition sur ma solution; car je n'avais jamais attendu de France au-
cune Inquisition; et je croyais même l'auteur trop sensé pour faire ou
laisser faire, sur une chose aussi indifférente et de si faible impor-
Fermat. — ni. 7^

570 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

tance, rien de pareil contre quelqu'un qui ne lui avait, que je sache,
fait aucune offense; qui, au contraire, avait témoigné des plus grands
égards pour lui.

Peu après que ce Traité fut parvenu dans mes mains, je reçus de la
Haye une lettre de l'illustre Huygens, à qui, comme je l'ai dit plus
haut, un autre exemplaire avait été envoyé de Paris. Dans cette lettre,
il me disait entre autres choses (') :

« Les problèmes de Frenicle vous ont été, je n'en doute pas, en-
» voyés par l'auteur. En les voyant, je ne puis que m'étonner de la
» diversité des goûts des humains. »

Mais, quant ii ce qu'y affirme l'autour, que la plupart des mathéma-
ticiens tant d'Angleterre que de Hollande s'occupent de la solution de
ces problèmes, en ce qui concerne les Hollandais, je ne connais guère
personne qui ait jugé intéressant de les aborder; au contraire, les
plus exercés, à qui je les avais proposés, n'ont semblé y reconnaître
aucun usage ni aucun profit, et personne ne s'est trouvé parmi eux
qui ait estimé assez la gloire à en retirer pour vouloir prendre la
peine de rechercher la solution.

Vous me demandez, très honorable Monsieur, à quel point on s'est
franchement comporté avec moi dans cette affaire; je crois que ce qui
précède suffit pour vous le faire connaître. J'ai cru devoir vous tout
exposer, avec plus de longueurs peut-être que n'en réclamait le sujet,
surtout parce que j'ai compris à votre lettre que vous aviez l'intention
de faire imprimer tant vos solutions que les lettres que vous avez
reçues à cette occasion. J'estime que la mienne, ou au moins une
partie, rentrera dans votre plan et dans votre narration. Si donc vous
croyez devoir en imprimer quelque chose, vous ne le ferez certaine-
ment pas contre mon gré.

J'ai cru devoir communiquer à Huygens ce que vous avez remarqué
sur la lune de Saturne et sur l'aspect de cette planète ; il y pourra

(1) Le 23 novembre iGJ- (Correspondance de Huygens, n° 431 ).

COMMERCIUM DE WALLIS. 571

reconnaître votre soigneuse et excellente application sur cette matière,

de laquelle il est lui-même, je crois, attentivement occupé pour le

moment. Mais, pour ne pas vous retenir trop longtemps, je mets fin à

cette lettre, en vous souhaitant tout bonheur et toute prospérité.

Adieu,

Votre très affectueux et très respectueux,

Fl\. DE SCIIOOTEN.

Leyde, le iH mars i658.
St. grég.

Je suis heureux que vos remarques sur le texte de Pappus, d'après
les manuscrits grecs, correspondent exactement à mes conjectures. Si
je les avais connues plus tôt, j'aurais pris soin de faire imprimer en
même temps ce véritable sens de Pappus, ce qu'il faut maintenant
réserver pour la prochaine édition, s'il y a lieu d'en donner une. Ce-
pendant je vous remercie à cette occasion et vous recommande de tout
cœur au Dieu qui peut tout donner. Encore une fois adieu.

LETTRE XXXIV

(à laquelle étaient jointes les quatre suivantes).

Vicomte Brolnckeii a Sut Joii.\ Wallis.

Sir, étant pressé, je ne puis que vous adresser les lettres ci-jointes
comme elles me sont arrivées, et vous dire qu'ayant résolu, dans le
propre sens qu'il lui donne, cette proposition qu'il semblait estimer la
plus difficile, je ne me regarde pas comme obligé en aucune façon
d'essayer la solution de ces autres qu'il envoie, comme présumant que
la précédente aurait dépassé mes forces. Autrement, je ne les regarde
pas comme si difficiles, et je crois que si j'en avais le désir et le loisir,
il pourrait aussi là-dessus recevoir pleine satisfaction de.

Sir, votre fidèle et humble serviteur.

Brouncker.

i/ii mai i658.

572 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Quant à ce qu'il dit concernant vous-même, je ne pense pas que
cela mérite la moindre réplique. Le lecteur sera sans doute pleinement
satisfait par ce que vous avez déjà dit.

LETTRE XXXV.
Kenelm Digbï a vicomte Brolncker.

Mylord, j'ai reçu il y a deux jours la lettre que votre Seigneurie a
bien voulu m'écrire le i3 mars, et, en même temps, deux autres du
docteur Wallis à moi, et une du même à votre Seigneurie. Je vous fais
mes très humbles et très sincères remercîments pour la vôtre, que j'ai
reçue avec un excès d'allégresse, de joie et de respect; en premier
lieu, pour votre excessive civilité et bienveillance à mon égard; en-
suite, pour votre noble et savante réponse à la requête de M. Frenicle.
Maintenant, ni lui, ni M. Fermât n'auront plus k chicaner ni votre Sei-
gneurie, ni le docteur Wallis; j'écris, à ce dernier, longuement (eu
égard à la difficulté que j'éprouve maintenant pour écrire beaucoup),
et je prends la liberté de vous demander de bien vouloir lui faire
remettre ma lettre, que je laisse ouverte, pour que vous puissiez y
jeter les yeux à votre fantaisie.

Mais surtout, Mylord, je vous félicite de tout cœur pour l'heureuse
étoile qui a présidé h votre naissance, et qui, dans une qualité et un
rang si élevés, vous a gratifié aussi d'une part si excellente d'intelli-
gence que vous pouvez être justement envié par les plus émincnts de
ceux qui font leur tâche de l'étude et de la Science. Ma lettre ci-jointe
pourra faire connaître à votre Seigneurie avec quel retard j'ai reçu la
dernière lettre du docteur Wallis. Si vous voyez le D' F., je vous prie
de lui reprocher la précaution hors de propos qui lui a fait garder si
longtemps cette lettre. Si je n'étais pas tout à fait épuisé (tant je suis
débile maintenant) par ma lettre au D"^ Wallis, votre Seigneurie ne
serait pas si facilement délivrée à cette fois de l'embarras que je lui
cause; mais la raison que je viens de dire m'empêche de poursuivre

COMMERCIUM DE WALLIS. 573

plus longtemps, si ce n'est pour baiser humblement votre main et me

dire,

Mylord, votre très humble et très obéissant serviteur,

Kenelm Digby.

Paris, 4 mai i658.

LETTRE XXXVI

(jointe à la précédente).

Kenelm Digby a John Wallis.

Très digne et très honoré Monsieur, la lettre que vous m'avez fait
la faveur de m'écrire le 2G décembre ne m'est parvenue que tout der-
nièrement, en même temps qu'une autre écrite, vers la même époque,
par vous à mylord Brouncker; celui-ci semble les avoir remises au
D'' F. pour me les envoyer, par ce motif que M. White n'était pas alors
à Londres. Le docteur (comme toujours quand on se met à négliger)
gardalalettrepar devers lui jusqu'à ce que, plusieurs mois après, ayant
été informé de la chose, je lui écrivis, le priant d'aller trouver Mylord
et s'accuser devant lui de son oubli, pour me disculper moi-même, et
en même temps de m'envoyer immédiatement la lettre.

Il me la fit, en effet, parvenir par le premier courrier, en me disant
qu'il avait été voir Mylord pour me décharger de tout blâme de négli-
gence ou de manque de respect. Je vous déclare, ainsi que je le fais à
tout autre, quand l'occasion s'en présente, que j'admire singulière-
ment le grand fonds qui vous fournit (comme il ressort de votre ré-
ponse immédiate) une si étonnante abondance de matière que, dans
l'espace d'une nuit, vous écrivez plus que n'aurait fait un autre en un
mois entier. On admire justement saint Jérôme, pour avoir achevé en
une nuit le Traité qu'il nous a laissé contre Jovinien; mais vos ré-
ponses numériques étaient sur tel sujet, demandaient telle méthode
pour le traiter, qu'un effort beaucoup plus prolongé eût dû être
attendu. On peut comparer cela à un fil qui est couramment et aisé-
ment tiré du lin qui le donne tout prêt; ce fil glisse et se tord par le
facile travail de la simple rotation du rouet. Mais chaque trait de votre

374 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

plume demandait, dans cette occasion, une nouvelle taille de pierre en
forme dans le bloc hrui, pour assembler la voûte que vous bâtissiez;
assemblage qui, pour la moindre partie, réclamait l'exactitude la plus
stricte et la plus parfaite dans le tout et dans le détail. Là-dessus l'ad-
miration est justement acquise à l'aisance avec laquelle vous avez ac-
compli ce travail d'Hercule, en vous jouant vraiment. Quand je le con-
sidère sous ce rapport, je suis en vérité troublé d'avoir quelque peu
contribué à vous en charger (quoique je n'aie été qu'un instrument
passif); mais à le voir sous une autre lumière, à reconnaître ce qui en
est en vérité, je veux dire combien peu il vous a coûté, quel progrès
il a réalisé et quel honneur en rejaillira sur notre nation, j'avoue alors
que je suis heureux de l'opposition qu'on vous a faite; non que j'ap-
prouve l'aigreur qui, parfois, accompagne les disputes, et spécialement
en Mathématiques (où l'on ne doit considérer que la démonstration, les
parties ne devant s'occuper que du seul sujet en question). Jlais le
genre et le style de ce pays leur fournit une excuse; on y est d'ordi-
naire dans les discussions très aigre ou plutôt méchant (à mon sens),
de part et d'autre, et si vous n'aviez pas été un étranger, et, de fait,
quelqu'un pour qui ils ont une grande estime, ils auraient encore été
moins sans gène à votre égard, -car, à leur compte, tout ce qu'ils disent
dans ce goût n'est qu'une ronde et habituelle familiarité, loin de toute
injure ou offense. M. Fermât m'a envoyé, il y a quelque temps, une
lettre où il revient sur quelques points de vos envois antérieurs; il
s'en rapportait à ma discrétion pour vous communiquer ce qu'il écri-
va i t .

Aussi longtemps qu'il m'a laissé le choix, je ne vous en ai point
envoyé copie; mais maintenant, parle dernier courrier, il me demande
de le l'aire; je vous adresse donc une transcription de cet écrit. Certai-
nement vous avez la satisfaction d'avoir ad'aire en même temps aux
deux |)lus grands hommes de France (de l'aveu de tous les plus émi-
neuls), et je ne doute pas que vos dernières lettres des 4 et i5 mars
(que j'ai reçues précisément ce matin, en même temps qu'une de vous
du même temps àMylord Brouncker) ne vous assurent de leur part et de

COMMERCIUM DE WALLIS. 575

celle de tout le monde une pleine et entière déférence. Quoique, depuis
que j'ai reçu ces lettres, je n'aie eu que le temps de les parcourir
rapidement, tandis que de tels morceaux ont besoin d'être examinés
sérieusement et à loisir (spécialement pour un joueur aussi faible que
moi dans ces parties), je vois assez la lumière qui y éclate pour la sa-
luer comme un Soleil, non pas à son lever, mais à son midi en culmi-
nation, au plus haut point du zénith. J'ai la confiance que ces derniers
écrits ne susciteront plus de chicanes contre eux; je vais tout aussitôt
m'empresser de les envoyer à M. Fermât et à M. Frenicle, et je vous
transmettrai de même immédiatement ce qu'ils m'en diront.

Votre précédente lettre, celle qui est restée si longtemps dans les
mains du Docteur F., a été envoyée par le dernier courrier à M. Fre-
nicle, qui est dans cette ville, mais que mon indisposition ne me
permet pas d'aller voir moi-même. Il m'a répondu un mot par mon
homme, me disant qu'il écrirait à cette occasion quelque chose que
j'aurais aujourd'hui avant le départ de la poste pour Londres. Je vais
garder mon paquet ouvert jusqu'au dernier moment, qui n'est pas
bien éloigné, et si quelque papier me vient de M. Frenicle, je le com-
prendrai dans l'envoi.

Je vous fais donc mes très humbles et sincères remercîments pour
la belle démonstration que vous avez bien voulu m'envoyer. En vérité,
elle m'a infiniment plu et je suis sûr qu'elle plaira de même à tous
ceux qui la verront. Je vous aurais demandé la permission de la rendre
publicijuris en la faisant imprimer, mais le post-scriptum de votre lettre
du i5 mars me fait connaître que vous avez l'intention de publier ce
qui s'est passé entre vous et ces Messieurs, par mon entremise; si vous
le faites, j'espère et désire très vivement que cette excellente produc-
tion de votre seul cerveau trouve là une place, qui sera certes plus
belle et honorable si elle est accompagnée de plusieurs sœurs du
même père et assistée d'un cortège venant des familles des deux plus
riches seigneurs de cette nation en ce genre de trésors, que si elle se
présentait toute seule sans compagnie ni entourage. Quant à ce que
vous avez bien voulu me demander très civilement et très obligeam-

576 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

ment mon avis à l'occasion de la publication de ces lettres, je ne puis
que vous remercier très humblement de votre égard par moi. Si j'a-
vais imaginé qu'elles devaient survivre à leur lecture par vous, moi
qui les écrivais, comme si j'avais été à converser avec vous de vive
voix, j'y aurais certes marqué avec plus de soin et d'attention le res-
. pect que je professe pour vous.

Si ma santé et ma force me le permettaient, je vous entretiendrais
de diverses particularités que je suis obligé de remettre à une autre
fois, quoiqu'on vérité vous puissiez raisonnablement trouver cette
lettre assez longue et fastidieuse pour avoir plutôt besoin de pardon
et d'excuse; mais j'ai tant de plaisir à vous entretenir qu'il me coûte
beaucoup d'en finir. Comme je viens seulement de me relever d'une
maladie qui m'a retenu près d'un mois dans mon lit, je ne suis pas
capable d'écrire plus longtemps ; c'est d'ailleurs la première fois
depuis que je suis levé, que j'emploie ma plume pour une affaire
de quelque importance. En envoyant hier votre lettre à M. Fermât,
j'ai été obligé d'employer la main de mes secrétaires. Je vous sou-
haite tout bonheur et, prenant respectueusement congé de vous, je

demeure,

Digne Monsieur,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Kenelm Digby.

Paris, 4 mai i658.

LETTRE XXXVII

(renfermée, avec la suivante, dans la précédente).

Fermât a Kenelm Digby.

Toulouse, 7 avril i6JS.
(Voir la Correspondance de Fermât, n° 91, Tome II, page 374.)

COMMERCIUM DE WALLIS. 577

LETTRE XXVIII.
Frenicle a Kenei.m Digby.

Je m'étais proposé, très illustre et très honoré Seigneur, de ne plus
rien écrire à propos de ces disputes qui me sont fastidieuses et aux-
quelles je répugne grandement; cependant, cette fois encore, j'ai cru
devoir vous adresser quelques remarques pour vous faire comprendre
que le clarissime Wallis, dont je connaissais déjà la science, me fournit
surtout un sujet d'étonnement, quand je vois qu'un homme aussi péné-
trant a pu s'ouhlier assez lui-même pour donner des solutions telles
que celles qu'on lit dans sa lettre du 21 novembre et qu'il soutient
encore comme légitimes. Il n'a pas d'ailleurs à me reprocher de ne
pas avoir d'estime pour lui ou pour ses œuvres; il en est tout autre-
ment; mais si j'ai eu de lui une opinion autre que celle qu'il méritait,
qu'il s'en accuse lui-même; car c'est bien lui qui avait été la cause
de cette fausse appréciation, en présentant comme choses sérieuses
de vraies plaisanteries, s'il m'est permis de le dire. Sans doute il
n'avait pas voulu appliquer sérieusement son esprit sur ces matières;
car, à voir ses dernières solutions et sa dernière lettre, je le reconnais
comme très habile et très perspicace, quoique trop attaché à défendre
les opinions qu'il a une fois émises; il ne réfléchit pas combien il est
habituel aux hommes de se tromper et combien il est honnête et
louable de reconnaître son erreur et de s'abstenir d'un entêtement
hors de saison.

Qu'il n'estime pas non plus que j'aie prétendu triompher de lui ou
lui faire quelque insulte; mais ma réponse à sa lettre était bien en
rapport avec celle-ci; aussi suis-je prêt à lui donner satisfaction pour
tout ce que renferment les deux épîtres dont il se plaint et à montrer
qu'elles ne contiennent rien qui ne s'appuie sur des raisons qu'il faille
admettre, rien qui ne réponde justement à sa lettre précitée du 21 no-
vembre. Il n'a pas à m'objecter que j'ai dû avoir une fausse opinion de

Febmat.— UI. 73

578 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

lui, puisque je n'ai pu lejuger autrement que par ses œuvres : « A leurs
fruits vous les connaîtrez ». Et il n'y a pas de mathématicien qui ne
juge que, du moment où je ne gardais pas un silence absolu, j'aie fait
preuve à son égard de plus de courtoisie qu'il n'était en droit de s'y
attendre. Et en vérité, si dans ces réponses il y a quelque chicane,
elle a eu au moins cette utilité qu'elle a pu faire connaître en partie
ce qu'il vaut vraiment, soit à moi, soit aux autres qui ont vu sa der-
nière lettre, car c'a été pour lui un aiguillon qui l'a forcé à examiner
plus attentivement les questions et à s'en rendre maître. Il est clair
en effet désormais qu'il possède la troisième de Fermât et la sienne;
quant aux deux premières de Fermât, il reste un doute jusqu'à ce qu'il
ait fourni, en dehors de l'unité, un autre cube et un autre carré qui,
ajoutés à leurs parties, fassent l'un un carré, l'autre un cube, ou
jusqu'à ce qu'au moins il résolve le problème posé pages 3 et 4 de
V Inquisition de Frenicle sur la solution de Schooten et trouve en nom-
bres les trois cubes et le carré exprimés analytiquement.

Le clarissime Wallis doit aussi faire attention à ne pas prendre le
silence de Fermât comme la reconnaissance qu'il a eu satisfaction et
qu'il admet de pareilles solutions; car il en est tout autrement. Ce
silence vient de ce que Fermât le voit seulement attaché à ces solu-
tions non acceptables et qu'il préfère le laisser dans cette fausse
estime et dans la vaine joie qu'elles lui donnent plutôt que d'essayer
en vain de le détourner d'elles.

Enfin, dans la dernière lettre du clarissime Wallis du 19 mars, il y a
un point où il ne me parait pas agir franchement, quand il soutient
que de mes deux épitres précitées la seconde contredit la première,
puisque, dit-il, la seconde reçoit l'unité comme cube et comme carré,
la première la rejette. La première en effet ne refuse nullement à
l'unité le caractère de cube ou de carré qui lui est communément
attribué; mais, comme l'unité n'a pas de parties, on nie qu'elle puisse
être présentée comme le cube ou le carré cherché, qui doit être ajouté
à ses parties, qui doit donc en avoir. Si donc dans la première on dit
que Wallis, en donnant l'unité, n'a pas donné un cube, il est plus

J

COMMERCIUM DE WALLIS. 579

clair que le jour qu'il faut entendre, non pas que l'unité n'est pas un
cube absolument parlant, mais bien qu'elle n'est pas un cube satis-
faisant à la question.

En ce qui concerne ces solutions, qui sont tellement faciles qu'il
suffise pour les trouver de multiplier par 2 ou 3 un nombre donné, je
ne sais si, dans votre Angleterre, on a coutume de les admettre; mais
ici on ne le ferait pas, et s'il est vrai que le problème est imparfaite-
ment proposé quand on peut y satisfaire de la sorte, contre la pensée
de l'auteur, cependant nous ne croyons pas qu'il faille astreindre les
mathématiciens à faire leurs propositions avec une précaution absolue,
surtout quand elles viennent de savants comme l'est hors de doute le
très docte Fermât et quand elles sont énoncées seulement à la hâte et
pour faire plaisir; c'est à celui qui donne la solution à la fournir juste
et digne d'elle-même. Si quelqu'un proposait au contraire un pareil
problème, ayant en vue une solution aussi simple, on prendrait cela
pour une injure; car le proposant paraîtrait tenir son correspondant
pour tout à fait inhabile, à sembler regarder comme suffisant de lui
proposer ce qu'on ne devrait pas même demander à un enfant.

Voilà, très illustre Seigneur, ce que j'ai cru devoir vous faire remar-
quer; vous saurez par là ce que je pense maintenant du clarissime
Wallis, comme vous savez que c'est malgré moi, sur votre invitation
et forcé par vous (car pour moi vos désirs sont des ordres), que j'ai
porté un jugement sur sa lettre, et que je serai d'ailleurs et toujours
votre très attaché et tout dévoué. Adieu.

LETTRE XXXIX.
John Wallis a Kenulm Digbv.

La lettre que vous m'avez envoyée, très noble Seigneur, en date de
Paris 4 mai, style nouveau, a été reçu par nous le 3 mai de notre style;
autant j'ai été heureux de cette rapidité, autant j'ai regretté le retard
qu'a au contraire subi la lettre que je vous ai adressée. D'autre part,

380 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

quelque plaisir que devait nécessairement me faire la vôtre, surtout
en me témoignant la bienveillance que vous m'accordez et l'honneur
que vous me faites, je ne puis vous dissimuler que sur un ou deux
points je n'aie été fâché, et surtout en apprenant le mauvais état de
votre santé. Qui sait ce que vous valez pour le progrès des Sciences
doit nécessairement s'inquiéter vivement de votre santé, car il n'ignore
pas ce qui en dépend. Mais la divine Providence sera à remercier de
vous avoir conservé sain et sauf pour l'avantage des Belles-Lettres dont
vous serez encore l'honneur et l'ornement. Je regrette encore, en lisant
les éloges que vous me prodiguez et que je dois à votre bonté, non à
mon mérite, d'être incapable non seulement de m'en rendre digne,
mais même de vous en remercier comme je le devrais. Car la facilité
de votre style, la vivacité de votre esprit dans le rôle de la bienveil-
lance sont de telle nature que je ferais preuve de toute imprudence
en voulant lutter là-dessus avec vous, en essayant d'égaler mes expres-
sions aux bontés dont vous me comblez. J'avoue donc à quel point je
suis impuissant et je me prosterne vaincu, n'ayant rien à répondre
pour témoigner la gratitude de mon cœur humblement dévoué ; croyez
bien qu'elle est au-dessus de tout ce que je peux dire, accordez à mon
aveu la grâce qu'il implore et daignez me continuer la faveur que vous
m'avez jusqu'ici accordée. Je vais rapidement achever ce qui me reste
à dire.

Pour la lettre de M. Frenicle, incluse dans la vôtre, je me plais à en
reconnaître l'amabilité, mais je n'ai guère à y répondre si ce n'est pour
le remercier de l'opinion qu'il a désormais conçue et qu'il professe sur
mon compte. J'admets avec joie l'excuse ou la défense qu'il présente
pour ses lettres antérieures. Je ne disputerai pas pour le voir encore
juger d'entêtement hors de saison ce que j'ai regardé comme une
juste défense de moi-même; ni pour le voir douter encore si je puis
répondre aux deux premières questions de Fermât; quand il aura pesé
mes lettres des 4 et 1 5 mars, ce doute s'effacera. Enfin je n'examinerai
plus si dans ses lettres précédentes il a, oui ou non, nié que l'unité fût
un carré ou un cube. Tout cela ne vaut pas la peine de contredire ce

COMMERCIUM DE WALLIS. 681

très noble Seigneur. Enlin notre question (de carrés qui, ajoutés à la
somme de leurs parties aliquotes, fassent une même somme), que
nous avions jadis proposée en passant à Fermât, je vois, par une lettre
récemment reçue, que Frenicle l'a résolue et qu'il y a même attaché
beaucoup plus d'importance que je ne l'aurais fait. Mais on devait
bien attendre qu'il la résolût très facilement, puisque la solution dé-
pend tout à fait des mêmes principes que celle dos questions de Fermât
qu'il avait déjà trouvée.

Je ne pense pas non plus devoir longuement répondre à la lettre
de M. Fermât. Deux points suffisent. D'une part, il dit que j'aurais
avancé, ou au moins que je n'aurais pas douté que mylord vicomte
Brouncker ne puisse résoudre, pourvu qu'il veuille s'y essayer, ce
problème du cube donné à partager en deux cubes rationels. Mainte-
nant il affirme que la proposition est impossible, et je me serais donc
avancé à la légère et bien témérairement. Je répondrai à votre claris-
sime Correspondant qu'il ne cite pas exactement ce que j'ai avancé;
car il passe sous silence ce que j'avais ajouté : du moins en tant que la
nature de la chose peut te permettre. Si j'avais précisément fait cette addi-
tion, c'est que je soupçonnais déjà de prime-abord que la chose était
impossible; mais, ne l'ayant pas examinée, je n'avais rien à affirmer.
Je ne parlais donc de solution que suivant ce que permettait la nature
de la question,* c'est-à-dire l'exécution si la chose est possible, sinon,
la reconnaissance de l'impossibilité. Au reste, je ne me trompais pas
dans mes conjectures, puisque, bientôt après, le très honoré Lord me
faisait entendre ce que dit maintenant Fermât. La lettre qu'il m'écrivit
particulièrement porte, en effet :

« Sir, cette nuit passée j'ai reçu votre .... Votre opinion concer-
» nant M. Fermât est effectivement la même que la mienne, spéciale-

» ment au sujet de son dernier papier Ses déterminations négatives

» sont, à mon avis, sa plus grande gloire, et c'est là où il se regarde
» lui-même comme singulier. Autrement il ne proposerait certaine-
» ment pas une chose impossible comme : Partager un nombre cube
» donné en deux cubes rationels, ce qui ne se peut. Cette question ne

582 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

» doit pas être confondue avec l'autre, déjà résolue au moins de plu-
» sieurs manières, par M. Frenicle, comme vous savez

Le second point concerne ce que M. Fermât dit des hyperboles; il
pense que je n'ai pas foi à ses assertions sur le centre de gravité dans
les hyperboles infinies. C'est tout le contraire; je n'avais aucun soup-
çon que votre très noble Correspondant n'eût pleinement dit la vérité
en affirmant qu'il avait approfondi ce sujet depuis de longues années,
au moins dans les hyperboles entières et peut-être aussi dans les semi-
hyperboles, quoiqu'il n'en eût pas encore parlé. Je ne doute pas davan-
tage qu'il ne puisse résoudre la question ci-dessous qu'il propose; je
crois amplement qu'il a nombre d'excellents théorèmes, soit sur les
hyperboles, soit sur les autres matières élevées de la Géométrie, soit
même en Arithmétique, et il en a déjà donné assez de spécimens.

Voici la question qu'il propose : Etant donnée la vraie hyperbole
ABC {fig. 5), ayant pour asymptotes NM, NO, à l'une de celles-ci, soit

Fie. 5.

NO, on mène des parallèles MA, HB. On propose de couper la figure
AMHB (limitée par la ligne hyperbolique et les trois droites AM, MH.
HB) au moyen d'une droite QR parallèle à HB et MA, en sorte que le
segment RQHB soit au reste AMQR en raison donnée.

Voici ma solution : Si la raison est énonçable en vrais nombres
entiers, soit comme de 3 à 2 ou de a \\e; entre les droites NH, HM, on
cherchera autant de moyennes proportionelles (du moins celle qui
sera utile de ces moyennes) qu'il y a d'unités dans la somme des deux
nombres moins i (par exemple, 4 = 3 + 2 — i ou a + e — i); soit de

COMMERCILM DE WALLIS.

583

ces moyennes NQ la 3"" (ou celle dénommée par a) à partir de NH, ou
la 2"" (ou celle dénommée par e) à partir de NM. Je dis que la droite
QR, menée parallèlement par Q à HB ou à MA, résout le problème. Si,
au contraire, la raison n'est pas énonçable, on pourra obtenir une
approximation au moyen des logarithmes, mais non pas une solution
rigoureusement géométrique.

Quant au reste, ou j'en ai déjà sufTisamment parlé auparavant, ou
bien on peut le passer sous silence. Je n'ai, en effet, pas le loisir et je
ne crois pas intéressant de descendre aux minuties de détail.

Cependant, pour donner un retour à votre très noble Correspon-
dant, je désire lui proposer une question qui ressemble à la sienne
ci-dessus et qui n'est peut-être pas moins élégante.

Étant donnée la conchoïde AO {fig. 6), dont A est le sommet, P le
pôle, CRH la règle (coupant à angle droit AP au point C), on décrit de
C comme centre le quart de cercle AR du côté OH.

On propose de décrire une figure de même genre que la figure con-
choïde indéfinie OARH (entre la droite RH indéfinie, la conchoïde AO
indéfinie et le quart de cercle AR), telle que cette nouvelle figure
wapY) soit en raison donnée avec la proposée.

Ou, s'il préfère un énoncé sous forme de théorème, pour ne pas
sembler proposer des énigmes, je dirai :

Le rapport de la figure conchoïde indéfinie OARH à une autre quel-
conque wapY] du même genre est composé des rapports CA à xa et CP
à xt: (les lettres a, x, tt, p, y), w dénotant dans une figure les mêmes

584 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

points que dans l'autre A, C, P, R, H, 0), quelle que soit d'ailleurs la
variation du rapport des droites AC, ÇP.

,1p lui communiquerai, s'il le désire, soit la recherche, soit la dé-
monstration.

11 me reste encore à vous dire, très illustre Seigneur, que je com-
prends par votre lettre que les deux personnages avec lesquels nous
avons eu affaire sont très considérahles. Il se peut donc bien qu'un
étranger comme moi, n'étant pas suffisamment au courant des choses
et des dignités de ce pays, les ait traités un peu plus familièrement
(ju'il ne convenait à leur dignité, que j'aie agi d'ailleurs pour mon
compte ou pour celui du très honoré Vicomte. Si j'ai fait quelque
faute de ce genre, c'a été contre mon gré et j'espère que vos très nobles
Correspondants, qui ont daigné d'eux-mêmes descendre avec moi dans
l'arène, ne s'en prendront pas à quelqu'un plus habitué à la poussière
des écoles qu'à celle des Cours. Que cette excuse me serve aussi à votre
endroit, si j'ai pu me rendre coupable envers vous, car en tout je vou-
drais avoir observé les lois de la convenance, en tant que je suis.

Très illustre Seigneur,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

John Wallis.

Oxford, 5/i5 mai i658.

LETTRE XL.
John Wallis a Vicomte Brouncrer.

Très illustre Lord,

J'entends que vous avez reçu, en siireté, ma dernière lettre ii en-
voyer ii Paris. Quant aux démonstrations que vous me demandez, les
voici :

La solution du problème de Fermât (de l'espace hyperbolique ii par-
tager dans un rapport donné) se démontre comme suit {fig. 5, p. 382) :

Si l'on prend sur l'asymptote les droites NH, NI, NK, NQ, NL, NM

COMMERCIUM DE WALLIS. 585

en proportion géométrique, que des points H, I, K, Q, L, M on mène
des droites parallèles à l'autre asymptote, l'espace hyperbolique ABHÎM
est divisé en cinq parties égales, comme l'a démontré Grégoire de
Saint-Vincent, Livre X, je crois. Par suite, si l'on a d'un côté deux
parties, de l'autre trois, il est clair que QR divise dans le rapport 2

il 3. c. O- !'• !>•

Quant à mon problème ou théorème de la figure en conque, en
voici une brève explication {fig. 6, page 583).

Soit la conchoïde AOO, dont P est le pôle, A le sommet, CHH la
règle; CAR le quart de cercle, DM une ordonnée quelconque du quart
de cercle, DO, de la conchoïde; et le reste construit comme dans la
ligure. Posons, pour plus de facilité dans le calcul,

HO = CA = CR = CM = /•, CP=/^, CD = c et ^\)-p-vc—l,

par conséquent

pd' = /-.

A cause des parallèles et des triangles semblables, on a

(I ou

D'ailleurs, par Euclide, I, 47.

CM" - Cd' — dm"' = r^ - c=
et

- DO'^PO ~PD'=:^-/^=^^V^=^-^'^

CD

c

PC p

PD

/

HO

/•

~ PH ~ ^ "^

c

po^=^^C-

PO"

ç

Par conséquent.

c c c '^

Mais

V'/--

D0 = DM+M0, 1)M — \//'-—c', donc MO

Fermât.— III. 74

S86 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

(^ela posé, si dans des conchoïdes différentes AO, Aw, la quantité CA
reste toujours la même et que, par suite, r et c ne changent pas, tandis
(|U(> PC, ou /) devient -, on aura toujours

MO

V'/--— c-

P

Mco

71

Par suite, la somme de toutes les MO à celle des Mo, c'est-à-dire, en
raison de la hauteur commune de part et d'autre, la figure RMAO sera
à la hgure RMAw comme/» à u.

Si maintenant PC ou p reste, au contraire, sans changement, tandis
que CA, donc CD changent, soit r en p et c en x, on aura

v//-- — c- \'r-—c'-
MO c '' c

r

Mw ^/p-i _ .^2 ^ ^p2 _ y_i

y. ^ A

p

En effet, la somme des y/r" — c^ est à celle des \/p- — x-, c'est-à-dire
le quart de cercle est au quart de cercle, comme r- à p-, ou en raison
doublée des ravons. De même, on a toujours - = -. Par suite, la

" •' X p

■ \/r- — c* . . , , I Jp^ — X- /•- , p- , , - 1 ■

somme des est a celle des -'^ » comme — a — > c est-a-dire

c • X '■ p

comme rh p.

Si enfin il y a changement tant dans la quantité PC que dans la

quantité CA, soit de /? en t: et de /• en p, la somme des MO ou — 7 — p
sera à celles des aw ou — -, c'est-à-dire la fisure RMAO sera à la

' X °

tigure pfjiaw en raison composée de /> à - et de r à p, c'est-à-dire dans

le rapport — ou du rectangle PCA au rectangle r./.y.. c. o- i". d.

r.p

lA'la connu, il sera facile soit de partager dans un rapport donné la
figure en conque RMAO, soit de construire une autre figure qui soit
avec elle dans un rapport donné.

COMMERCIUM DE WALLIS. 587

Enfin, vous me demandez la solution d'un troisième problème qui
ne concerne pas les lettres de Fermât, et qu'un de mes amis, au com-
mencement de février dernier, me donna par écrit un soir que je le
rencontrai par hasard. J'ai récemment appris du même ami qu'elle a
été imprimée sous le titre :

(c Les professeurs de Mathématiques les plus en renom et les autres
» célèbres mathématiciens d'Angleterre sont instamment priés par
« Jean de Montf'ert de vouloir bien résoudre ce problème. »

» On donne, en nombres, dans une ellipse : les diamètres extrêmes,
» la distance du centre ii un point de l'axe transverse, et l'angle avec
» l'axe d'une ligne qui le coupe en ce point. Trouver en nombres les
» segments de cette ligne prolongée, s'il est besoin, et compris entre
» l'axe transverse et l'ellipse.

)) Etant données {fig. 7)

AC =; 1,00000,
aC =0,76604,
CB =: o,5oooo,
CBD=70°,

)i on demande BD et BF. '

Je crus que cette question était de mon ami, car il n'avait donné au-
cune indication contraire, et je ne lui demandai pas de qui elle était.
Je la résolus le lendemain matin un peu plus généralement, à peu
près sous la forme qui suit, car je ne m'en souviens pas exactement.
Je ne m'en suis plus occupé, la chose ne me paraissant offrir ni grande
difficulté, ni grande importance; au reste, à ce que j'apprends, elle a
reçu de divers diverses solutions, que, du reste, je n'avais pas encore
vues.

On donne dans une ellipse les diamètres extrêmes (ou bien deux
diamètres conjugués quelconques avec l'angle de leur inclinaison) AP,
ap. L'un d'eux, soit AP, est rencontré en un point donné B (soit en
dedans de l'ellipse, soit en dehors sur le diamètre prolongé) par une
droite DF qui coupe l'ellipse aux points D et F. Trouver les droites
BD, BF.

588

ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Des points D, F, au diamètre AP, menez les ordonnées DE, FE.
Posons, pour la commodité du calcul.

AP=2d,

ap:

DE ou FE = rt, BC =zb, CE = c.

Par conséquent, BE = | c — 6 |, différence entre BG et CE. Nous sup-
posons, en effet, que FE et DE tombent au-dessus de la droite ap, en
sorte que si DE tombe au-dessous de aCp, il faut réputer CE comme
une quantité négative, ou bien, ce qui revient au même, on aura
BE = czç b, ce qui ne troublera pas le calcul.

Dans les triangles DBE, FBE, on donne encore les angles (l'angle
en B étant donné et l'angle en E droit ou au moins donné), donc on
donne le rapport des côtés, qui est celui des sinus des angles opposés ;
r= - . Comme BE = 1 c - 6 1 et DE (ou FE) = a.

soit donc

BE

n
m

DE(ou FE)
_ \c-b\

|c-6|

m.

b- — icb

Or, dans une ellipse, l'ordonnée DF ou FE est, ou bien moyenne
proportionelle entre les segments AE, EP du diamètre (si aC = AC),
ou est, h cette moyenne proportionelle, dans le rapport aC à AC.
Donc, les carrés étant proportionels aux carrés,

AC(=rf)

v/AE.EP

aC(=ô) ~ DE(ou FE = a)
Mais
AE X EP = (iAP - CE) X (iAP

et

AExEP

CE) = (fi?— c) X (rf-hc)=rf»— C

COMMERCIUM DE WALLIS. 589

Donc

(fi d^—c"- , (/»— c',,

0^ a^ d-

Puis donc que

on aura

et

et

— — ô2= a'-= r OT%

f/'â2„2_ c2 52„2 - C2rf2m2+ 6»(^2,„2_ 2cM2/M^

m^b^d^ — «'rf^â-= ^nf-bd^c — m-d'-c-— n-o-c^,

m^ b- d- — n^ d- o- i m^ bd-

c — c'.

Résolvant l'équation :

w' bd^ ± ndo y/w' d^ + «'3' — m^ b'- _ _ pp

Il faut remarquer que des quantités ainsi désignées avec ambiguïté
par les signes ±, la plus grande, correspondant au signe +, est la
distance CE du point E le plus éloigné du centre; la plus petite, cor-
respondant au signe —, est la distance CE du point E le plus proche,
lequel est d'ailleurs situé au-dessus du centre vers B (comme le sup-
pose la figure), si la quantité est positive, c'est-à-dire si

m* bd^ > ndà \/ m^ d^ -^ n^ à'- — m- b^ .

Il sera, au contraire, au-dessous du centre, si l'inégalité est renver-
sée, et, par suite, la quantité négative, ou enfin si, par suite de l'éga-
lité entre ces deux termes, ils se détruisent réciproquement, E sera
au centre. Il peut même arriver, si B est pris en dehors de l'ellipse,
que

m^b'->ni'-d'+n'-è';

auquel cas l'équation est impossible, preuve qu'alors la droite rencon-
trant sous l'angle donné le diamètre prolongé au point donné B, est
tout entière en dehors de l'ellipse, et que les points D et F n'existent
pas. S'il y avait égalité, que m'^b- se détruisît avec m'^ d- -{- n- o- , la
droite ainsi menée toucherait l'ellipse sans la couper, et les points D,

590 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

F coïncideraient. Tout cela est assez clair, pour qui connaît bien la
nature des équations, et n'a pas besoin d'être plus longuement ex-
pliqué.

Ayant désormais les points B donné, E trouvé, on aura BE coté du
triangle DBE ou FBE et, par suite, connaissant aussi tous les angles,
comme on l'a dit, le côté BD ou BF; on aura, en effet,

sinD(ouF) BE

sinE BD(ouBF)

(;. Q. D. F. . .

Voilà, très noble Lord, ce que, pour obéir à vos ordres, devait vous
présenter

Le fidèle exécuteur de vos volontés,

John Wallis.

1 1/2 1 mai i658.

LETTRE XLL
Kenelm DiGBY A M. Tu. White.

Très honoré Monsieur, je vous remercie humblement de votre lettre
(lu 1" avril, et je vous assure que j'ai été très charmé de ce que vous
m'avez envoyé de la part de mylord Brouncker et du docteur Wallis.
Ils se sont maintenant montrés effectivement tous deux de très grands
personnages. J'ai rencontré quelques-uns des plus capables mathéma-
ticiens, depuis que j'ai reçu leurs lettres; je les leur ai montrées et ils
ont maintenant pour eux la plus grande vénération. En fait, c'est
.M. Frenicle qui a été l'occasion de ces visites, car il parlait si haute-
ment de ces lettres qu'il a donné le désir de les voir; car, quoiqu'il ne
veuille rien abandonner de ce qu'il a écrit pour les discuter, mainte-
nant il divulgue à tout le monde l'estime qu'il en fait, ce que je tiens
pour la marque d'un noble esprit. Je laisse ouvert mon paquet pour
le docteur Wallis; vous pourrez le lire et le donner ainsi ii mylord
Brouncker, que je prie, une fois qu'il en aura vu le contenu, de le
sceller et de l'expédier au Docteur.

COMMERCIUM DE WALLIS. 391

J'ai écrit par la dernière poste à sa Seigneurie; aussi ne veux-je pas
le déranger encore par une lettre spéciale pour lui; mais je vous prie
de lui présenter mes humbles respects. En vérité, ces dernières lettres
de sa Seigneurie et du Docteur ont amené un grand changement dans
les opinions sur leur compte. On les regarde maintenant comme les
plus grands mathématiciens du temps, et laissez-moi vous le dire en
particulier, je demandais h M. Frenicle, combien il était estimé dans
la balance contre l'un ou l'autre; il répondit aussitôt qu'il ne pesait
pas devant eux, qu'il n'était qu'un mauvais écolier en présence des
plus grands maîtres du temps. Je ne veux pas vous retenir plus long-
temps, mais je reste

Votre très humble et très affectionné serviteur,

Kenelm Digby.

Paris, 8 mai 1058.

LETTRE XLll.
Kenelm Dir.BY a John Wallis.

Très honoré Monsieur, quoique je vous aie ennuyé d'une longue
lettre (la quatrième de ce mois) par le dernier courrier, je ne puis
encore m'empècher de vous en adresser une nouvelle aussi tôt; c'est
un effet de l'excessif contentement que m'ont procuré les vôtres des 4
et i5 mars; je suis encore obligé de vous le témoigner en un ou deux
mots. En vérité, depuis bien longtemps, rien ne m'a fait autant de'
plaisir que ces lettres, tant ce que vous avez envoyé en même temps à
mylord Brouncker, que ce que sa Seigneurie m'a également écrit, avec
tant de science, de profondes et subtiles spéculations. Vous venez de
faire paraître ici nos mathématiciens comme des Samsons, qui peuvent
aisément rompre et mettre en pièces toutes les cordes et tous les
pièges des Philistins qui vous assaillaient chaudement. Et les plus
grands hommes d'ici sont maintenant forcés d'avouer que l'Angleterre
ne le cède à aucune nation du monde en ces nobles spéculations.
M. Frenicle dit maintenant bien haut et bien fort combien il révère

592 ŒUVRES 'DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

vos profondes connaissances; il se plaint seulement que vous l'ayez si
longtemps laissé s'enfoncer dans son erreur, en badinant si longue-
ment avec lui comme s'il eût été un joueur trop faible pour vous, avant
d'en venir avec lui à votre meilleur jeu et à l'emploi de vos forces.

Il m'a promis de m'envoyer aujourd'hui une lettre pour exprimer
ces sentiments dans ce sens. Aussi vais-je garder mon paquet ouvert
jusqu'à la dernière heure, si sa lettre n'arrive pas avant, afin que vous
puissiez l'avoir par ce courrier. Car je crois qu'il ne vous déplaira
pas de voir un aussi grand personnage en cette matière reconnaître la
vérité comme il devait le faire et s'y soumettre franchement. J'ai aussi
envoyé vos lettres à M. Fermât, et, si je reçois son sentiment sur elles,
je vous le communiquerai.

.le baise vos mains et reste, digne Monsieur,

Votre très humble et très obéissant serviteur.

Kenelm Digby.

Paris, 8 mai i658.

LETTRE XLIII.
Fremcle a Kknelm Digby.

J'ai lu les dernières lettres du clarissime Wallis, en date des 4 Pt
i5 mars, que vous m'avez communiquées, très illustre et très honoré
Chevalier. Elles m'ont clairement fait connaître maintenant combien
Wallis a fait de progrès dans les Sciences mathématiques; mais mon
esprit demeure en suspens quand je me demande ce qui a induit un
homme aussi savant à vouloir être aussi longtemps méconnu par nous.
Quel motif pouvait-il avoir, quand c'est de son devoir et de sa profes-
sion de faire connaître la Science? Je l'avoue, j'y ai été quelque peu
trompé; mais, si j'ai commis quelque faute, elle doit lui être imputée,
non à moi. Tel il se montrait, tel il devait être jugé, et pourtant ce
jugement défavorable, je ne le portais pas de mon plein gré, mais à
regret. Aussi, tant qu'il y avait lieu de blâmer, je n'aurais pas voulu

COMMERCIUM DE WALLIS. 593

que le blâme parût venir de moi, j'aurais désiré que mon nom fût
caché et que ce que je disais parût un avis plutôt qu'un reproche; je
ne voulais pas sembler m'ètre attaqué, même avec quelque raison, à
une personne aussi illustre. Mais puisqu'il faut passer à l'approbation,
ce n'est plus en secret et à contre-cœur, mais ouvertement et avec joie,
que je paraîtrai, sous mon nom, à la face de tout le public savant.
J'avais jugé Wallis endormi, j'ai plaisir à l'apprécier éveillé. J'avais
déjà vu un Hercule, mais jouant avec des jeunes filles; aujourd'hui je
le contemple triomphant des hydres et des monstres; d'abord pour-
suivant de frivoles et puérils amusements, il accomplit maintenant
des labeurs effrayants et gigantesques. C'est au reste le clarissime
Schooten que visaient spécialement les problèmes sur les cubes à
ajouter à leurs parties; mais il a été prévenu par la sagacité de l'il-
lustre savant, par la puissance de cet Atlas auquel convenait bien une
pareille preuve de sa force, qui doit se consacrer à de tels exercices
et'non pas à des minuties.

Que la Hollande cède donc à l'Angleterre, Leyde à Oxford; si les
Gaules Narbonnaise et Celtique pourraient disputer la palme au Kent
et à l'Oxford de la Bretagne, si elles pourraient lutter à forces égales,
ou même peut-être supérieures, ce n'est pas à moi à le décider; je
laisse à d'autres à le juger. Jusqu'à présent le combat n'a pas été
égal et les chances n'étaient pas les mêmes.

Je prie votre clarissime Correspondant de m'excuscr si j'ai écrit à
son sujet plus librement que je n'aurais dû. Vous savez ce qui m'y a
poussé, vous savez que je ne voulais lancer contre lui aucune injure,
aucune invective, que je ne voulais rien ternir de sa réputation; j'ai
tenu cachées les lettres dont il se plaint, j'ai refusé de les montrer
même à mes amis qui les demandaient; j'aurais désiré, s'il eût été
possible, que Wallis seul les lût. Vous savez que je n'ai agi que pour
le stimuler, afin de pouvoir éprouver son mérite, et certes il l'eût
mieux fait paraître, s'il eût donné les solutions des cubes avant d'avoir
reçu l'opuscule latin que je vous ai dédié, très noble Seigneur, s'il
n'eût eu par suite aucun secours. Car il ne manque pas de gens qui

Feiimat. — Ul. 70

594 ŒUVllES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

auront des soupçons et qui peuvent dire que le clarissime Wallis s'est
fatigué à la recherche de ces solutions, mais que son labeur n'ayant
pas réussi, pour produire au moins quelque chose, il a donné comme
solution l'unité au lieu des nombres cube et carré qui auraient résolu
réellement les questions; il a été facile, ajoutent-ils, à un homme,
d'ailleurs sagace, de marcher par un chemin déjà frayé, par une voie
battue et aplanie; lorsqu'il a pu voir les parties cubiques des cubes
donnés et considérer les parties de la somme des mêmes cubes décom-
posés, il lui a été aisé de fabriquer sa méthode. Si je répète ces imagi-
nations, ce n'est pas que je veuille rien ôter ni dérober à la gloire due
à Wallis, mais tout cela ne parait pas absolument dépourvu de raison
et on conjecture que mon opuscule ne lui a pas été sans utilité pour
trouver sa méthode. Mais pour mes lettres, ce qui y a semblé méchant
et dur pour Wallis a tourné à son avantage; car si mes piqûres no
l'eussent aiguillonné, si j'avais approuvé sa solution, peut-être, con-
tent de celle-ci, n'aurait-il pas été j)lus loin. Que votre clarissime
(Correspondant ne continue donc pas à m'en vouloir, comme si mes
attaques ne lui avaient pas été vraiment utiles, ainsi qu'à tous les
savants avec lui; qu'il avoue au contraire que j'ai bien mérité de
lui et des autres, en dissipant par la bourrasque de mes chicanes
les nuages qui couvraient encore à nos yeux la brillante lumière
que possède Oxford et celle, non moins éclatante, qui resplendit
sur Londres. Que le clarissime Wallis ne croie pas davantage que
je porte envie à la gloire de quelqu'un, ni que moi, qui vénère le
mérite oii qu'il soit, méprise quelque nation, la vôtre surtout; car
j'ai visité autrefois votre Angleterre et j'ai toujours eu pour elle un
penchant particulier. J'ai même eu grande joie de reconnaître enfin
l'erreur que je partageais avec quelques autres, si j'ai été tant soit
peu fâché que votre clarissime Correspondant ait voulu nous cacher
si longtemps ses forces. Qu'il ne pense pas enfin que je prise tant
ce que je fais; au contraire, j'en fais d'ordinaire bien peu d'estime,
ce qui peut amener que je m'étonne si d'autres, qui s'occupent des
mêmes questions, n'y parviennent pas, et que j'aie honte de les voir

COMMERCIUM DE WALLIS. 593

parfois s'égarer bien loin. Mais assez là-dessus; venons à ce qui
resrarde la Science.

Je regrette que votre clarissime Correspondant nous présente encore
l'unité comme une solution légitime et ne veuille pas faire attention
que, comme je l'ai souvent répété, si l'unité n'a pas de parties, elle ne
peut leur être ajoutée. L'unité, dit-il, est un cube qui, ajouté à ses
parties aliquotes, c'est-ii-dirc -à rien, redonne t, qui est carré. Jo
réponds : Si l'unité peut être ajoutée à ses parties, celles-ci sont
quelque chose; si elles ne sont rien, comment v aurait-il des parties?
Je m'étonne comment un savant aussi perspicace s'en tient à une con-
tradiction aussi évidente, surtout quand il s'agit de nombres, non
pas d'irrationels; s'il se refuse à admettre ce que je dis, qu'il reste
en paix, je n'insisterai pas davantage. Laissons donc une vaine dis-
pute sans importance et venons à la défense de ce que me reproche
votre clarissime Correspondant. J'ai à montrer brièvement comment
j'ai pu regarder l'unité comme cube et comme carré, même comme
un nombre, mais comment en cela je n'ai pas exercé une tyrannie ii
l'égard de Wallis en lui refusant le droit d'en faire autant. Que l'unité
soit universellement regardée comme un cube et comme un carré, je
n'ai pas à le nier, mais il ne s'agit pas de cela, que je n'ai jamais con-
tredit; mais qu'on la prenne pour un nombre, cela n'est pas accordé,
et l'on conteste notamment qu'elle puisse recevoir l'appellation de
nombre, alors qu'elle est solitaire, quoique, pour plus de brièveté,
quand elle se trouve avec un ou plusieurs nombres, il soit préférable
de dire nombres au pluriel et non, par circonlocution, tels nombres
avec l'unité.

J'arrive désormais à ce qui regarde les parties aliquotes. Dans ce
que j'ai avancé à ce propos, je voulais seulement indiquer que pour
les nombres fractionnaires il n'y a pas proprement de parties aliquotes
en nombre déterminé, qu'elles devraient être considérées comme en
nombre infini ou indéfini et que par suite on n'a pas à les admettre.

Si donc j'ai énuméré ^-j -^ dans les parties aliquotes du nombre yt'

S96 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

je l'ai fait parce qu'elles ont avec leur entier une relation par nombre
de même qualité que le nombre entier lui-même, puisque de part et
d'autre on a un nombre joint à des fractions; j'ai donc pensé qu'elles

ne devaient pas être écartées. Pour m'expliqiier plus clairement, le

3A3 ^ 23 , 23

nombre -77- =5^; c'est donc le nombre 5 avec la fraction -^■, les rela-

04 04 D4

• ,. I .III » I' » » 343 343 343 , •

tils des parties 17-» —--.^ „ sont d autre part — > —f--, -^-> ou bien
' 32 16 8 i 3 4 8

171-, SS-jy 423' c'est-à-dire des nombres entiers avec des fractions
'2 4 8

(»u de même nature que le nombre entier auquel se rapportent ces par-
ties. Ces nombres doivent donc être admis comme parties à aussi bon
droit que ceux donnés par le très noble, très savant, et très honoré par
moi lord Vicomte Brouncker, ornement de la ville de Londres. Ces
derniers ont en effet des relatifs qui diffèrent de leur nombre, savoir
343, 49. 7' nombres entiers alors que le proposé est entier avec une
fraction. Si donc chacune des parties assignées par moi n'est pas vrai-
ment une partie, mais fait plusieurs parties, le nombre aussi auquel
elles se rapportent n'est pas une, mais plusieurs parties. D'un autre
côté, je reconnais dans chaque nombre entier une propriété qui fait
défaut aux parties aliquotes données par l'illustrissime Vicomte, c'est
que chaque partie aliquote d'un nombre composé quelconque a comme
relatif une autre des parties du même nombre ou du moins elle-même
(si le nombre est carré), sauf toutefois l'unité qui a pour relatif non
une partie, mais le nombre total. Or dans les parties indiquées dont il

est question, la première ^7 correspond au nombre 343, la suivante ^
au nombre 49» la dernière enfin au nombre 7. Ces relatifs, qui de-
vraient être des parties du nombre, se trouvent plus grande que lui.
Je rends grâces au clarissime Wallis de m'avoir averti d'une faute
due à la négligence du typographe; peut-être sans lui ne l'aurais-je
jamais remarquée; vous savez au reste que ce lapsus ne m'est pas
imputable et que dans l'original vous pouvez lire le nombre exact et
tel que le clarissime Wallis l'a corrigé. Cependant je dois craindre
d'avoir laissé échapper des fautes du même genre dans les solutions

COMMERCIUM DE WALLIS.

597

de la question du très savant Wallis, car je les ai données à la hâte,
au fur et à mesure que je les trouvais, et sans les revoir; je demande
donc (ju'on veuille bien m'excuser s'il y a lieu; je substituerai les
nombres véritables à ceux qui seraient fautifs.

Puisque enfin le clarissime Wallis a trouvé comme moi, quoique
nn peu aidé pour les deux premiers, cinq cubes donnant un carré,
je lui en envoie un sixième, le plus éloigné de tous, et qui est noté
analytiquement page 4 de l'opuscule latin précité ; j'y ajoute un second
carré. Mais comme il est peut-être occupé à de graves spéculations,
pour ne pas le retenir longtemps à leur examen, je les donnerai en
parties avec les parties des sommes relatives à chaque cube ou carré
partiel.

Racines

(les

culies partiels.

32
2,1 I

46-

2(3

73

3i

5

7

Parties des sommes dos cubes partiels
et de leurs parties.

4

8
3-2

4
64

4
i6

»

17

))

»

»

))

.57

)}

»

»

»

ii3

»

257

.3

»

»

»

li-i

193

»

»

17

»

41

»

.93

))

i3

))

37

41

»

}>

»

i3

U

37

y

)t

))

»

i3

»

))

»

»

u

»

25

Racines

des

carrés partiels.

499
263

'91
4
5

67

439

37

i63

Parties des sommes des carrés partiels
et de leurs parties.

109

7

»

»

»

»

49

i3

»

»

»

7

73^

»

3i

n

)>

))

»

3[

))

»

»

))

3i

»

49

»

»

3i

»

H

H

»

37^

67

7

»

))

J)

67

7

))

'9

»

67

7

)i

19

»

»

)>

»

19

»

»

Mais quelque plaisir que je prenne à abuser de votre patience, pour
vous occuper si longtemps h cet entretien, très illustre Seigneur, pour

o98 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

qui j'ai autant de respect que d'afTection, je u'oserais certes pas le
l'aire si je n'avais pas tant de confiance en votre bienveillance pour,

Très excellent Chevalier,

Votre très dévoué et très obéissant

B. Frenicle de Bessy.

LETTRE XLIV.

John Wallis a Kenelm Digbv.

Je vous rends très humbles grâces, illustrissime Seigneur, pour
votre lettre du 8 mai, que j'ai reçue avec celle de Frenicle y incluse.
Si je ne puis revendiquer comme m'étant dues les louanges dont vous
m'accablez (car qui peut les mériter pour la solution de quelques pro-
blèmes d'Arithmétique ou de Géométrie?), je ne puis estimer peu de
chose de recevoir de vous de tels éloges spontanés. Qu'ils viennent
d'une appréciation dont chez de telles personnes le poids est toujours
considérable, qu'ils ne soient dus qu'à l'afTection, on doit également
priser soit l'estime, soit l'amour des grands hommes, et si je puis du
moins être assuré de l'une ou de l'autre, je dois le reconnaître avec
gratitude. En tout cas je suis heureux, illustrissime Chevalier, d'avoir
heureusement répondu, soit ii vos désirs, soit aux questions de vos
clarissimes Correspondants, et s'il reste encore quelque point où ils
ne croient pas avoir encore entière satisfaction, comme j'ai résolu
leurs principales propositions, et donné les méthodes de solution
'(que d'ailleurs le temps me manque), je ne crois pas que le reste
vaille la peine de nous embarrasser d'escarmouches sans fin. Je ne
doute pas en effet qu'ils ne pensent bien, an vu de nos solutions, que
nous pouvons également résoudre le reste, pourvu que nous ayons le
désir et le loisir de nous en occuper; et je ne crois pas non plus
que vos très nobles Correspondants exigent que nous le fassions. Car
ils ont négligé toutes nos questions, sauf celle des deux carrés qui.

COMMERCIUM DE WALLIS. 599

ajoutés à leurs parties aliquotes, fassent la iiièine somme, point sur
lequel j'ai eu ample satisfaction; ils ne doivent donc pas se fâcher si
je ne réponds pas à quelques-unes de leurs demandes.

Cependant, pour ne pas paraître tergiverser, voici ce que je dirai
à la hâte sur les deux questions qui restent dans la dernière lettre de
Fermât.

En premier lieu, il demande deux cubes rationels faisant la même
somme que les deux donnés i et 8. Je réponds que les cubes du nombre

positif — et du négatif — donnent la même somme que i et 8, car

8ooo /ipi3 8087

Le même moyen qui m'a donné un cube positif et un négatif ou, ce
qui revient au même, la différence de deux positifs égale à la somme
des deux cubes donnés, ce même moyen fournira aussi deux positifs;
mais le couple ci- dessus s'est présenté d'abord. Certes, votre très
savant Correspondant ne peut estimer plus dilOcile de trouver deux
cubes rationels qui fassent une somme donnée (possible) que deux
qui fassent une différence donnée (possible), quoique le calcul puisse
être plus long soit d'une façon soit de l'autre. Au reste, dans le cas
proposé, il ne s'agit que de trouver deux cubes dont la somme fasse
neuf fois un cube; en prenant une Table de cubes et en employant
des abrégés qui se présentent d'eux-mêmes à un homme exercé, et
analogues à ceux que nous avons déjà mis en œuvre pour le troisième
problème de Fermât, il n'y a pas une grande difficulté pour qui veut
entreprendre le calcul, car ces cubes, divisés par le troisième, don-
neront pour somme le nombre 9 = 8 + 1. Telle est la méthode à
employer pour toute somme ou différence possible de cubes à cher-
cher.

En second lieu, il propose de démontrer ce théorème : // n'y a en
nombres aucun triangle rectangle dont l'aire soit un nombre carré.
Voici comment je le prouve :

Dans la figure ci-contre (fig- 8), dont le tracé est immédiat, les côtés

000 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

(lu (riangio rectangle BCD ne peuvent être énonçables en nombres, si
AD ot DE ne sont pas entre eux comme des nombres plans semblables
(autrement leur produit no sera pas un nombre carré, et la racine BD

Fig. S.

ne sera pas énonçable) ou comme des nombres carrés. Soient les
nombres -la^, 2e^. Dès lors CE, CD, BD seront proportioneis ka^ -\- e'-,
a- — e^, o.ae, et CD, ^BD le seront à a- — e'-, ae. Dès lors, comme la
différence de deux carrés et leur moyen proportionel ne peuvent être
des plans semblables, leur produit ou Taire du triangle ne peut être
un carré. <;. q. f. d.

Au reste, je n'ai rien appris du sentiment de Fermât sur nombre de
nos lettres, car pour toutes celles qui ont suivi la date du 5 novembre,
le silence est complet.

Quant à votre dernière lettre et à celle de Frenicle, je n'ai qu'à

vous remercier pour mettre enfin un terme à ces discussions et aussi

à l'ennui qu'elles vous ont occasionné liors toute mesure et dont je

demande pardon pour,

Très illustre Chevalier,

Votre très humble, très obéissant .
et dévoué serviteur,

Joii> Wallis.
Oxford, ïo/jo juin i6J8.

COMMERCIUM DE WALLIS. 601

APPENDICE AUX LETTRES PRÉCÉDENTES o.

LETTRE XLV (47).

John Wai.lis a Vicomte Brouncker.

Très illustre Lord, les lettres qui précèdent étaient déjà imprimées
et commençaient à être distribuées quand j'ai reçu aujourd'hui, par
votre intermédiaire, une lettre de l'illustrissime chevalier Dighy,
datée du 19 juin, qui en renfermait une autre de M. de Fermât. Celle
du 25 mai dont il parle doit être perdue avec ce qu'elle pouvait ren-
fermer, ou du moins rien ne m'est parvenu. Mais pour celles que je
viens de recevoir, en raison de plusieurs propositions de Fermai,
élégantes et dignes de lui, je les ai aussitôt envoyées à l'imprimerie,
pour les joindre comme appendice aux autres, au moins dans les exem-
plaires qui ne sont pas encore parus. Ainsi le public pourra connaître
des spécimens d'un tel génie, bien dignes d'un homme aussi supé-
rieur, et ce sera une raison pour forcer cet illustre savant de mettre
au jour ce qu'il garde jusqu'à présent pour lui. Il est bien établi que
dans ces matières il est au premier rang, qu'il s'est particulièremenl
occupé de questions sur les nombres généralement négligées jusqu'à
présent, qu'il a fait aussi en Géométrie des recherches d'une admi-
rable subtilité; on ne peut donc permettre qu'il garde pour lui et les
siens tout ce trésor qui serait d'un si grand prix pour l'univers savant.
Je suis siir que là-dessus votre Seigneurie est entièrement de mon avis,
comme elle le sera pour les remercîments à lui faire en raison de l'afTa-
bilité qu'il nous témoigne et de l'éloge dont il nous honore, éloge que
nous avons plaisir à lui retourner. Mais il faut ou ne pas répondre à sa

( ' ) Dans la seconde édition du Comincrcium, la dislinction comme appendice a été
supprimée, et les lettres suivantes sont imprimées dans l'ordre XLVI, XLVII, XLV; leur
nouveau numérotage est indiqué entre parenthèses et en chiffres modernes.

Fermât. — MI. 7"

602 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

lettre ou différer de le faire, puisque nous avons eu à peine le temps

de la lire avant de l'envoyer à l'imprimerie, pour suivre le reste déjà

terminé. D'ailleurs ce qu'il a déjà fait lui-même, il n'est pas nécessaire

que nous le fassions à notre tour; là où il peut être arrêté, si notre aide

pouvait lui être utile, nous ne la refuserons pas. Après vous avoir écrit

à la hâte, il me reste à me dire,

Très illustre Lord,

A^otre très respectueux et très obéissant

John Wallis.
Oxford, 3/1! jiiillel iGiS.

LETTRE XLVI (45).
Kenelm Digby a John Wallis.

Noble Sir, j'ai dernièrement reçu de M. Fermât le papier ci-inclus
avec prière de lui de l'envoyer à Mylord Brouncker et à vous-même.
J'espère que vous aurez reçu mes lettres des 8 et 20 mai. Mais le prin-
cipal objet de celle-ci sera de prendre congé de vous pour plusieurs
mois; car je vais entreprendre un long voyagii qui me prendra au
moins tout cet été. Si je retourne à Paris, je vous en informerai en
vous présentant mes humbles respects. En même temps je cesse de

vous importuner et je reste.

Noble Sir,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

que vous honorez grandement,

Ke.nelm Digby.

Paris, 19 juin i6JS.

LETTRE XL VII (46)

(jointe à la précddenfe).

Fermât a Kenelm Diubt.

(Voir la Correspondance de Fermai, n" 96, Tome II, page ^loi:
Tome m, page 3i4.)

COMMEHCIUM DE WALLIS. 603

RÉPLIQUE ANONYME AU COMMERCIUM.

[A lu suite de l'exemplaire VgiS du Commerciam Epistoliciim de Wallis à
la Bibliothèque Nationale, et dans l'un des manuscrits de Bouliiau (Bibl. Nat.
franc, n" 13040) se trouve un imprimé anonyme de trois pages sur une demi-
feuille petit m-\°. Celte pièce, qui constitue une réplique au Commercium.
étant 1res rare ('), j'en reproduis ci-après le texte latin, suivi de la traduc-
tion. Quant à l'auteur, si la (jnestion est posée entre Frenicle et Fermât, il
ne peut guère, ce semble, y avoir de doute, f|uoique Libri ait hésité un mo-
ment {voir Tome 1, Avertissement, pages xxni, lignes g à 12), et que, dans
ses Recherches sur les manuscrits de Fermât, M. Ch. Henry se soit, contre
Libri, prononcé en faveur de la seconde hypothèse. J'estime, en effet, que
Fermât doit être absolument écarté, si l'on considère le fait même de l'im-
pression, le ton de la réplique, enfin certaines particularités de l'orthographe;
tout, au contraire, nous indique Frenicle, si ce n'est qu'en tous cas l'auteur
aura voulu déguiser sa personnalité. C'est, en effet, Frenicle lui-mènic qui est
désigné dans la pièce sons l'initiale « F. », tandis que Fermât est indi(|iiépar
l'expression « amicus fîbsler ». On ne peut donc exclure absolument la pos-
sibilité que l'imprimé anonyme soit dû à un troisième mathématicien français,
plus ou moins lié également avec Digby (par exemple, Carcavi, Mylon ou
Marliii de Laurendière); mais il aurait alors été au moins inspiré par Fre-
nicle; la pièce doit donc valoir comme de ce dernier.]

Illustrissimo et clarissimo viito D. K. D (-).

Commercii Epistolici tandem data nobis tuo beneficio est copia, in
qua primufti illud inquirenduni venit an in commercium publiciim
cadere debuerint epistola' privatte, non solum non consentientibus,
sed ne suspicantibus illud quidem aut scientibus earum autboribus :
bac enim in re aliquam saltem juri gentium vim factam nemo merito
inficias eat. Sed nil forsan expedit qua?stionibus mathematicis ethicas

(') La réédilion, donnée par M. Ch. Henry dans ses Hecherclies (pages 178 à 180), a été
faite, en réalité, sur une copie d'Arbogasl, et présente par suite quelques inexactitudes,
(2; D(omino) K(enelm) D(igby).

601 ŒUVRES J)E FERMAT. - TRADUCTIONS.

immisceri : detur itaque venia illustrissimge et doctissimse nationi,
quse gloriam suam intra septa nimis angusta noluit contiiiere. Vieil
nempé amor patrise, cujus fainam extendere enixe semper et cupiuiit
et laborant boni cives. Sed an ipsi salis liac in parte ab illis consul-
tum sit, videntur aliqnantiiliim ambigero nostrates et ad illud poetae,
lontabundi licet ac dubitabundi, qiiadamtonus respicere.

Quoiidam eliam viclis retlil in pra>cordia virliis,
Vicloresque cadunt Danai ( ') ....

An autem instaurare ipsis prselinm liceat aut, aliqua saitem ratione,
victoi'iœ a se dedecus amoliri, tiuim ( Vir clarissime), postquam ha;c
paucissima legeris, erit judicium.

Quse hactenus viris vestralibus proposila sunt, in duas commode
species dividi possunt : vel enim in probleniataspecialia, vel in theore-
mata aut problemata universaiia et gcneralia. Ad priorem speciem
spectanl problemata de partibus aliquotis, et spéciales qusestionis de
quadratis unitate dimin.utis casns. Horiim legitimam solutionem ab
ipsis accepimus : attamen prsecesserat libellas Domini F. (-), cujus
ope cum facillimum fuerit numéros ab ipso exhibitos àvaX-Jciv ('),
et constructionis formam et processura inde nullo negotio elicere,
iitiyouui ('•') nonnulli et, ad removendum, si quis supersit, scrupU-
lum, demonstrationes theorematum generalium, quœ estsecunda pro-
positarum quœstionum species, et in qua nullum aut spécimen aut
auxilium à nostris habuerunt, ab ipsis merito exposcunt : qua in parte
quid aut tentaverint aut produxerint vestrates, en accipe :

Theorema prsecipuum hoc erat : Dato quovis numéro non quadrato
in integris, dantur infiniti quadrati in integris, qui in datum nume-
rum ducti, adscita unitate, conficiunt quadratum. Verba autem in iri-
legris hic addimus; licet enim, ex iis quse in scripto amici nostri (/ )

( ' ) Virgile, Enéide, II, 367-8.

{') La Solutio duorum problematum etc. qui est perdue.

(') àvœWiJJiv I.

(>) ràex.01 I.

(5) Pièce 81 de la Correspondance de Fermât : Iradiiolion ci-avanl p. 3i2.

COMMERCIUM DE WALLIS. 605

praecesserant, liice clarius sit de integris tantum ibi quœstionem esse,
tollere tamen omnino arabigua non gravamur. Hujus theorematis de-
monstrationem facilem sibi author Commercii asseritpaginisSa et83;
imo hanc ibi continori diserte innuit; sed analyste nostri ne vesti-
gium quidem deinonstrationis illic agnoscunt.

Secundum theorema negativum hoc erat : Nullus numerus ciibus in
duos cubos rationales dividi potest. Hujus cum demonstrationem non
dederit F. in libello ii se anno 1637 edito ('), — iicet in eo qusestio-
ncm proposuerit huic consimilem his verbis : Invenire 2 vel 3 vel
4 etc. hexagona (^) centralia quorum latus unitate tantum différât, et
eorum summa sit aequalis cubo. Qua^stio enini illa ad problema nos-
trum (^) reduci potest, in quo datum cubuni in duos cubos rationales
dividendum proposuimus, modo unitas, ut vuit ipse F. exhexagoni ('' )
definilione, inter haec hexagona (^) non computetur ; — debuerant
vestrates huic statim demonstrationi incumbere. Sed nescio qua ra-
tione factum sit ut negiexerint omnino ea in quibus nostrates ipsis
non pra'iverant.

Tertium theorema générale, quod sub forma problematis concipi
potest, hoc erat : Datus quivis numerus de (°) duobus cubis composi-
tus in duos alios cubos est divisibilis; — vel, si problema universalo
proponendum mavis : — Datum numerum ex duobus cubis composi-
tum in duos alios cubos rationales dividere ; quae divisio per nos potest
infinities variari. Huic autem propositioni non tantum canon nullus
generalis datus est, quem tamen inquirebamus, sed in speciali proble-
matis in numéro 9 propositione, loco summse quae profondae et ab-
strusse est disquisitionis, data est dilTerentia tantum; in quo casu nul-
lam aut Vieta aut Bachetus in Diophantum agnoverant dilTicultatem,

( ' ) La Solutio précédemment mentionnée.
(2) Exagona I.

(') Le problème avait été proposé par Fermât (Lettre LXXXIU, traduction ei-avanc
p. 3i3), maxi nostrum doit s'entendre : « de notre compatriote ».
(') Exagoni I.

(5) Exagona L

(6) Sicl.

OOC ŒUVRES J)E FERMAT. - TRADUCTIONS.

cum problema nostrum ne attingerint (') quidcm, imo illud difiicilli-
inum vidoanlur judicasse (-).

Quartum problema negativum hoc erat : Nullum in numeris est
triangulum rectangulum ciijus area sit numerus quadratus. Hujus
domonstrationem existiinat autlior Commercii dédisse in pagina sui
libelli ultima : sed ne hîc quideni demonstrationem ullam deteximus.
Supponit quippe pro medio demonstrationis tlieorema sequens : Dif-
ferenlia duorum quadratorum atque eorumdem médius proportionalis
non possunt esse plani similes : qiiod nihil aliud est quam obseurum
par obscurius aut saltem «que obseurum probare. Licet enim verum
nobis esse constet theorema illud suppositum, cur tamen illud non
demonstraverit author non video, cum non minorem ipsius demon-
stratio, quam demonstratio theorematis, habeat dilficultatem.

Vides itaque (Vir Clarissime) quos evelli nostratibus scrupulos ab
authore illo operse pretium sit, ut omni ex parte victoriam conse-
quatur. Major certe (^) viise pars ab ipso jam peracta est, nec Phi-
listinis ulla satis tuta latebra aut effugium est" contra Samsonem.
Etfice (') igitur (Vir Clarissime) ut tanti et tam célèbres viri fractos
jam et labantes adversarios ab bis quatuor vix satis fidis propugna-
culis actutum dejiciant, quo peracto plenae vestratium victoriœ, con-
sentientibus vel nostratibus, plenus etiaui triumphus accedet. Nec
addictum me minus aut jussis vcstris obsequentem aut tu, Vir Illus-
trissime, aut ipsi quoque in posterum cxperientur. Vale.

A U'ILLUSTRISSIMK KT CLARISSIME Sui KeNELM DiGBY.

Grâce à vous, nous avons enfin eiilre les mains ce Commrrciiun epis-
tolicum qui soulève une première question, à savoir si des lettres par-
ticulières auraient dû être livrées au public non seulement sans l'aveu

( ' ) Lisez dtliffcriiit. . '

(2) iiidioassi! 1.

(3) cerUi' 1.
(') Effige 1.

COMMEUCIUM DE WALLIS. 607

de leurs auteurs, mais même à leur insu et avant qu'ils en eussent
conçu le moindre soupçon; personne ne pourra contester ajuste titre
que dans cette occasion le droit des gens n'ait au moins subi une cer-
taine atteinte. Mais il ne faut peut-être pas mêler des questions mo-
rales à des sujets mathématiques; souffrons donc une pareille licence
à une illustre et savante nation,.qui n'a pas voulu limiter sa gloire par
des barrières trop étroites. C'est l'amour de la patrie qui l'a emporté;
les bons citoyens désirent à tout prix étendre sa renommée et con-
sacrent leurs efforts à ce but. Mais a-t-il été, dans ce cas, complète-
ment atteint? Nos compatriotes semblent quelque peu en douter et.
quoique avec hésitation et sans assurance, se rappeler ces vers du

poète :

Mais parfois le courage revient au vaincu,
El le Grec triomphant suecoiiibo à son tour.

Peuvent-ils renouveler la lutte ou, pour quelque motif au moins,
éviter le déshonneur de la défaite? II vous appartiendra d'en juger,
quand vous aurez lu ces quelques lignes.

(](' qui, jusqu'à présent, a été proposé à vos compatriotes peut être
aisément distingué en deux classes de questions : d'une part, les pro-
blèmes particuliers, de l'autre, les théorèmes ou problèmes univer-
sels et généraux. Dans la première classe rentrent les problèmes des
parties aliquotes et les cas particuliers de la question sur les carrés
diminués de l'unité. Nous avons reçu d'Angleterre une solution légi-
time pour tous les problèmes de cette classe; cependant elle avait été
précédée par l'opuscule de .M. F(renicle), grâce auquel il était très
facile d'analyser les nombres qu'il avait donnés et de déduire ainsi
sans aucune peine le mode et le procédé de construction. On peut
donc suspendre son jugement et atîn d'écarter tout scrupule, s'il en
reste, réclamer à bon droit de vos compatriotes les démonstrations
des théorèmes généraux qui constituent la seconde classe des ques-
tions proposées et pour lesquels ils n'ont eu de notre côté ni modèle
ni secours. Or qu'ont-ils tenté ou produit à ce sujet? Je vais le dire.

Le principal théorème était le suivant : Étant donné un nombre

608 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

(Mili»M" non carré, on peut déterminer une infinité de carrés entiers,
tels que le produit de chacun d'eux par le nombre donné, après addi-
tion de l'unité, fasse un carré. J'ajoute ici le mot entiers; quoiqu'en
effet, d'après ce qui précédait dans l'écrit de notre ami (Fermât), il
soit plus clair que le jour que la question portait seulement sur les
nombres entiers, je n'ai aucune raison pour ne pas écarter désormais
toute ambiguïté. Or l'auteur du Commercium affirme, pages 82 et
cS'^ ('), qu'il peut facilement démontrer ce théorème; bien pins il
fait entendre que la démonstration est expressément contenue dans
ce passage; mais nos analystes ne peuvent en reconnaître aucune
trace.

Le second théorème était celui-ci : Aucun nombre cube ne peut
être partagé en deux cubes rationels. Dans l'opuscule qu'il a publié
en 1G57, F(renicle) n'a pas donné la démonstration de ce théorème;
cependant il y a proposé une question analogue en ces termes :
Trouver deux, trois ou quatre, etc. hexagones centraux, tels que
leurs côtés diffèrent seulement d'une unité et que leur somme soit
égale à un cube (-). Cette question peut en effet se ramener au pro-
blème précédemment énoncé, partage d'un cube donné en deux cubes
rationels, pourvu que l'on ne compte pas l'unité parmi les hexagones
centraux, ainsi qu'au reste l'entend F(renicle) d'après sa définition
de l'hexagone. Vos compatriotes auraient donc dû s'attacher aussitôt
à chercher la démonstration désirée; mais je ne sais comment il se

(') Voir ci-avant pages 433 à 435.

(') Frenicle entend par hexagone central de coté n, le nombre

-V6(« — i) = /('—(« —i)'.

La somme do/> liexagones centraux consécutifs (des côtés // à n^p — i) sera donc

{„^p — iY—(n — i)K

Demander qu'elle fasse un cube, revient dune à proposer de résoudre en nombres
onliers l'éipialion

(n -h p — ly = {)i — 1)3 -t- (7'.

Frenicle exclut naturellement la solution n = i, p = q.

COMMERCIUM DE WALLIS. GO'J

fait qu'ils aient absolument négligé les questions pour lesquelles ils
n'ont pas été devancés par les nôtres.

Le troisième théorème général, qui peut être conçu sous forme de
problème, élai( le suivant : Tout nombre donné somme de deux cubes
peut être partagé en deux autres cubes; ou si vous préférez la propo-
sition comme problème général : Un nombre somme de deux cubes
étant donné, le partager en deux autres cubes. Nous pouvons faire
varier ce partage à l'infini. Or pour ce problème aucune règle géné-
rale n'a été fournie, comme nous le demandions, et dans le cas parti-
culier du nombre donné 9, au lieu de le donner comme somm(\ ce
qui demande une profonde et abstruse recherche, il n'a été donné que
comme différence; chose à laquelle ni Viète ni Bachet sur Diophante
n'ont trouyé aucune difficulté, tandis ((u'ils n'ont pas même abordé
notre problème, qu'au contraire ils semblent l'avoir trouvé très dif-
ficile.

Enfin il y avait un quatrième théorème général négatif : 11 n'y a eu
nombres aucun triangle rectangle dont l'aire fasse un nombre carré.
L'auteur du Commercium estime qu'il en a donné la démonstration à
la dernière page de son Livre ('); mais nous n'avons pas davantage
pu y découvrir aucune démonstration. 11 suppose, en effet, comme
moyen de démonstration le théorème suivant : La différence de deux
carrés et leur moyen proportionel ne peuvent être des plans sem-
blables [c'cst-i>-dire des nombres dans le rapport de deux carrés
entiers]. Mais ce n'est là que prouver ce qui est obscur par une autre
assertion encore plus obscure ou au moins aussi obscure. Nous recon-
naissons à la vérité comme exact ce théorème supposé, mais je ne vois
pas pourquoi l'auteur du Commercium n'en a pas donné la démon-
stration qui certainement présente autant de difficulté que celle de
l'énoncé proposé.

Vous voyez ainsi quels scrupules cet auteur doit encore écarter
pour remporter sur les nôtres une victoire complète. Sans aucun

(') Lettre XLIV, page 600.
KEniin. — Ul. 77

«10 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

(louto il a déjà accompli la plus grande part de la route et, contre
ce Samson, les Philistins n'ont plus ni cachette ni refuge assez sûr.
Obtenez donc que des héros aussi justement célèbres délogent encore,
de ces quatre derniers retranchements à peine solides, leurs adver-
saires déjà épuisés et chancelants; cela fait, les vôtres auront pleine
victoire et plein triomphe, de l'aveu même des nôtres. En tous cas
vous me trouverez toujours aussi dévoué et obéissant à vos ordres et
je ne le serai pas moins à l'égard de nos adversaires.

ERRATA.

Tome I.

Avertissement. pa.KC xii, ligne 20 : La lettre en ([ueslion porte seulement 1 intitulé :
« Clarissimo Gassendo P. F. S. T. » ; le nom de Fermât nesl donc iudi(iué (|ue par la
phrase de Sorbière citée Tome II, page 268, note.

Avertissement, pages xix et xx, voir Tome III, Avertissement, pages i\-\v.

Page 237, note (1), voir Tome III, page 2o3, note (iV

Tome II.

Page a5, ligne 6 : ati lieu dr B et C, lire D et ('.

» 26, ligne dernière de la note 2 : au liru de Nicalaus, lire Nicolaus.
» i5i, titre courant : nu lieu de XXX, lire XXI.\.
'» 180, ligne dernière : au lieu de 3 — y/iS , lire 3 — \/s.
)) 272, ligne \2 : au lieu de B ad O, lire O ad B.

)) 346 : ajouter à la lettre LXXXIV le Po.tt-.seriptui/i. Tome III, page 421.
)> 359, note I : le passage do Galilée dont il s'agit se trouve à la première page de la

quatrième journée dans le Dialogue des IMaxaiini Sistenn.
n 407, ligne avant-dernière : corriger quartam (te.rle de U'allis) eu quinlam.

Tome III.

Page 78, ligne 10 en rem. : au lieu de K.\B, lin- KAC.
" 1 19, ligne 7 : au lieu de par, lire |)our.
u 124, titre courant : au lieu de [13"), 137 |. lin- \ Kili, \'Xi\.
» 4>5, ligne \o : au lieu de il, lire Elle.
> 427, ligne 9 ; au lieu de i" octobre, lire i" décembre.

FIN DU TOME TROISIEME.

PAItîS. IMPUIMKRIE GAUTIIIEK-VIMAUS ET FILS,

'.ïoljfin (.)M;ii dos GrnnHs-,Vii:iiislin<. V».

jiwm ^^

11^ Kjcm

y d *'v..- V L^ ,_

\

ŒUVRES

DE FERMAT

PUBLIEES PAR LES SOINS DE

MM. PAUL TANNERY et CHARLES HENRY

sous LES AUSPICES

DU MINISTÈRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME TROISIÈME.

Traductions par M. Paul TANNERY :

1° Des ÉCRITS et fragments latins de Fermât; 2° de i.'fnvenlum novum

DE Jacques de Billy;

3" DU Commerciuni epistolicum de Wallis.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,

Quai des Grands-Augustins, 55.

MDCCCXCVI

Frofn

KEGAN PAUL, TRENCH, TRÙBNER & CO. Ltd

PUBLISHERS AND BOOKSELLERS.

MEMO RAN DU M.

To

Paternoster House, Charing Cross Road,

./M....-S.'..lmù LONDON.

C_/

/. ^.

Please address ail Letters to the FIrm.

4^^^r/W7 y^^>^t< ^^^in^ ^&^cU/ ^.c/zJ^ yr<:t^

a^

Q^/

ftr % /^ ^fA --Jf/?^ ^¥yf.l^^j

/>

^!y.

ŒUVRES

DE FERMAT.

PARIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS.
Quai dos Grands-Augustins, 5ô.

ŒUVRES

DE FERMAT

PIUMKES PAR IJiS SOINS 1)K

MM. PAl L TANNEUY et CHAHLES HENKY

sous LKS AUSPICES

DU MINISTERE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME TUOISIÈML

Traductions par M. Paul TANNERY :

1° Dus KCniTS KT I''I>AOMIiNTS LATIXS DF, FERMAT; '" DE ].' //IVCII I II III IIOVII/II

DE Jacques de Billy;
3" DU Cominercium epistoliciiiii de Wai.lis.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRLMEURS-LIRRAIRES

DU BIREAU DES L 0 iN G I T U D E S . DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,

Quai des Gramls-Augiistins, '>'>.
M DCCC XCVI

TABLE DES MATIÈRES

DU TROISIÈME VOLUME.

Pages

Avertissement ,x

PREMIERP] PARTIE.

TRADUCTION DES ÉCRITS LATINS DE FERMAT.

Ri3stilutiûn de deux Livres des Jieux plans d'Apollonius de Pergo :

Livre I ' 3

Livre II 27

Des contacts sphcriqucs /q

Fragments géométriques :

Solution d'un problème proposé par M. de Pascal 67

Deux porismcs -i

Porismes d'Euclide : leur théorie renouvelée et présentée aux géomètres mo-
dernes sous forme d'introduction -î

Proposition de M. de Fermât sur la parabole 79

Démonstration du lieu à trois droites 83

Introduction aux lieux plans et solides 85

.\ppondice renfermant la solution des problèmes solides par les lieux 96

Introduction aux lieux en surface 102

Dissertation en trois parties : sur la solution des problèmes de Géométrie par les

courbes les plus simples et convenant on particulier à chaque genre de problèmes. log

Ma. rima et miiiimn :

I. Méthode pour la recherche du maximum et du minimum rai

Des tangentes des lignes courbes i2'.>,

II. Centre de gravité du conoïde parabolique, d'après la même méthode 124

m. Sur la même méthode : Je veux, au mojen de ma mélltode, etc 126

IV. Méthode du maximum et du minimum i3x

V. Appendice à la méthode du masinmm et du minimum i36

VI. Sur la même méthode : La théorie des tangentes, etc i4o

VII. Problème envoyé au R. P. Mersonne le 10 novembre 1G42 148

VIII. Analyse pour les réfractious 149

IX. Synthèse pour les réfractions i5i

Fermât. — III. h

VI TABLE DES MATIERES.

{Méthode d'élimination). Nouveau traitement en analytique des inconnues secondes

et d'ordre supérieur i 57

Appendice à la mélliode précédente i Sg

Sur le problème d'Adrien Romain ifi^

Réponse aux questions de Cavalicri 169

Propositions à Lalouvère \-;>.

Dlixertation géométrique : de la comparaison des lignes courbes avec les lignes

planes 181

Appendice 204

(Méthode de r/uadratiire). Sur la transformation et la simplification des équations de
lieux pour la comparaison, sous toutes les formes, des aires curvilignes, soil entre
elles, soit avec les rectilignos; et, en même temps, sur l'emploi de la progression
géométrique pour la quadrature des paraboles el liyperboles à l'infini 216

Fragment sur la cissoïde 238

Observations sur Diopbante 2 { 1

SECONDE PARTIE.

TRADUCTION DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATIN
DE LA CORRESPONDANCE DE FERMAT.

Lettre n° 3. Fermât à Mersenne, 3 juin i636 (fragments) i-;

» n" S. Nouveaux théorèmes de Mécanique 278

1) n° 7. Fermât à Roberval, août i636 (fr.) 281

» n" 9. Fermât à Etienne Pascal el Roberval, 23 août i636 ^ fr.) iSi

» n° 12. Fermât à Mersenne pour Sainte-Croix, septembre i636 2SG

1) n" 13. Fermât à Roberval, 22 septembre i()36 (fr.) 292

1) n" 15. Fermât à Roberval, 4 novembre i636 (fr.) 293

)) n° 16. Objections de M. de Fermât contre une proposition de Mécanique de

M. de Roberval 294

)i n" 17. Fermât à Roberval, 7 décembre i63(j ( fr.) 296

» n" 18. Fermât à Roberval, 16 décembre i636 (fr.) 290

» n° 19. Fermât à Roberval, février 1637 (fr.) 3oo

» n° 36. Fermât à Mersenne, 26 décembre i638 ( fr.) 3o2

» n° 37. Fermât à Mersenne, 20 février 1639 (fr.) »

)) n° 42. Fermât à Roberval, août 1G40 (fr.) »

» n" 62. Fermât à Gassendi, 16^6 »

11 n" 67. Fermât à Auzout? 1648 309

» n" 68. Fermât à Carcavi, 20 août i65o (fr.) 3io

I) n" 70. Pascal à Fermât, 20 juillet i654 (fr.) »

n n° 79. Premier déiî aux mathématiciens. 3 janvier 1657 3i 1

TABLE DES MATIÈRES. vu

Pages

Lettre n° 81 . Second défi aux malhcmalicions, février 1667 3ii

0 n" 84. Fermât à Digby, i5 août 1G57 (fr.) SiS

1) n° 89. Fermât à Digby, juin iG58 3i4

)) n" 106. Format à Garcavi, juin 1660 jiy

TROISIEME PARTIE.

TRADUCTION DE LINP'ENTUM NOrUM DU PÈRE JACQUES DE BILLY.

Proluce .- 3.25

Première Partie. — Des solutions en nombre indéfini dans les doubles équations.... 828

Seconde Partie. — De la triple équation et des solutions en nombre indéfini 36o

Troisième Partie, comprenant le procédé pour obtenir des solutions eu nombre indé-
fini donnant des valeurs carrées ou cubi(]ucs à des expressions où ciUrciit plus de
trois termes de degrés difi'ércnts , 370

QUATRIÈiME PARTIE.

TRADUCTION DU COMMERCIUM EPISTOLICUM DE WALLIS.

Dédicace de Wallis à Kenelm Digby 401

1 . Brouncker à Wallis, (5 mars 1637 4o3

2. Wallis à Brounclier, 17 mars 16 J7 4o4

3. Brouncker à Wallis, 9 juin 1637 4o5

il. Fermât à Digby, 20 avril 16J7 40(1

5. Wallis à Digby, 16 juin 1637 »

G. Digby à Wallis, i"'' août 1657 410

7. Wallis à Digby, i3 septembre 1637 412

8. Brouncker à Wallis, 21 septembre 1O37 4ifi

9. Wallis à Digby, 7 octobre 165- 4it

10. Brouncker à Wallis, i3 octobre 1657 41 y

11. Fermât à Digby, 6 juin lOS; 420

12. Fermât à Digby, i5 août 1657. — P. S »

13. Brouncker à Wallis, 16 octobre lôS- 4'22

14. Brouncker à Wallis, i"' novembre 1657 423

13. Wallis à Brouncker, i" décembre 1657 425

16. Wallis à Digby, i" décembre 1657 427

17. Wallis à Brounker, 17 décembre 1637 457

viii TABLE DES MATIERES.

Pages

18. Wallis à Digby, 26 décembre 1657 480

19. Wallis à Brouncker, 3o janvier i658 490

20. Brouncker à Wallis, 28 février i658 .io3

■2[. Digby à Wallis, 6 février i658 5o4

22. Frenicle à Digby, 3 février i658 107

23. Wallis à Digby, 14 mars i658 On

24. Brouncker à Wallis, 28 mars r658 528

2.T. Digby à Wallis, 20 février i658

26. F'reniclc à Digby, . . . février i658 53i>

27 . Brouncker à Digby, 23 mars i658 53f>

28. Wallis à Digby, 25 mars i658 537

2'J . Wallis à Brouncker, 29 mars i658 541

30. Brouncker à Wallis, 16 avril i658 54(5

31 . Frenicle à Digby, 1 1 avril i658 «

32. Wallis à Brouncker, 23 avril if)58 55i

33. Schooten à Wallis, 18 mars i{J58 554

34. Brouncker à Wallis, 1 1 mai i658 371

3.T. Digby à Brouncker, 4 niai i658 572

36. Digby à Wallis, 4 mai i658 573

37. Fermât à Digliy, 7 avril i65S 576

38. Frenicle à Digby, 4 mai '658 577

39. Wallis à Digby, i5 mai i658 379

40. Wallis à Brouncker, 21 mai i658 584

41 . Digby à White, 8 mai i658 5t)o

42. Digby à Wallis, 8 mai 16^8 591

43. Frenicle à Digby, 2 mai i65S 59'.

44. Wallis à Digby, 3o juin i658 598

APPENDICE.

43. Wallis à Brouncker, i3 juillet i658 <ioi

46. Digby à Wallis, 19 juin i658 602

47. Fermât à Digby, juin i658 »

Réplique anonyme au Commercium :

Texte latin 6o3

Traduction (ioG

Errata Ou

FIN DE LV TABLE DES MVTIKRES DU TO.ME TROISIEME.

AVERTISSEMENT.

I.

Comme il a été dit dans l'Ayerlissement, en tête du Tome 1 de celle édi-
tion, page XXXIV, la Commission de publication dos Œuvres de Fermai a
décidé qu'un Volume spécial serait consacré à des traductions des Ecrits et
Fragments latins de Fermât, de Y Inventum novum du P. de Billy, enfin du
Commercium epîstolicum de Wallis.

Si j'ai accepté la tâche ainsi déterminée, il ne m'en sera pas moins permis,
je l'espère, de réclamer d'autant plus l'indulgence pour mon travail, que
j'aurais désiré personnellement, pour une traduction des Ecrits de Format, la
publication en regard du texte. .J'estimais, en effet, que, dans ces conditions,
il eût été plus aisé de faire une œuvre plus utile et moins sujette à critique.

Une traduction d'un auteur mathématique peut être faite de deux façons,
très différentes l'une de l'autre : ou bien elle sera rigoureusement conforme à
la lettre et aux notations du texte, en sorte qu'elle puisse, au point de vue
historique, le remplacer absolument pour ceux qui ignorent la langue origi-
naire; ou bien elle reproduira seulement, avec toute la fidélité possible,
l'ordre des idées de l'auteur, mais en transcrivant ses notations et ses expres-
sions techniques d'après le système courant; elle servira alors plus utilement
le mathématicien qui ne s'attache qu'au fond du raisonnement, sans se pré-
occuper de la foi'Uie des symboles.

Le premier mode est naturellement le seul auquel on puisse penser quand
il s'agit d'un auteur contemporain; il n'exige d'ailleurs, de la part du traduc-
teur, qu'une connaissance suffisante de la langue de cet auteur : il est donc de
beaucoup le plus facile à suivre. Au contraire, si l'auteur à traduire est ancien
ou déjà assez éloigné de nous pour que son système de notations soit essen-
tiellement différent du nôtre, le second mode doit, en principe, être préféré.

S'il s'agit, en effet, du point de vue historique, aucune traduction ne peut,
quoi qu'on fasse, équivaloir au texte, quand il est l'œuvre d'un génie vérita-
blement créateur, tel que ceux f|ui méritent d'être traduits. Car il n'y a pas à

X AVERTISSEMENT.

considérer que les notations, il faut tenir compte des concepts; or ceux-ci
sont intimement liés à la langue dans laquelle ils sont formulés. Et ce n'est
jias parce qu'un mathématicien, comme Fermât, se sera servi de deux langues,
qu'on aurait raison de penser que la maternelle a dû, pour lui, être naturel-
lement l'instrument de ses conceptions; à une époque où l'instruction se
taisait en latin, où la presr(ue totalité des Ouvrages malliématiques étaient
composés dans cette langue, c'était celle-là qui servait principalement à
penser en Mathématiques, et il ne me paraît pas douteux que Fermai n'ait
conservé jusqu'à la rtn de sa vie une habitude qui est évidente pendant la
féconde époque de sa jeunesse (').

D'autre part, si l'on vise à avoir un texte réellement intelligible, si l'on veut
faire œuvre véritable de traducteur, il faut bien remplacer jiar les termes
techniques en usage ceux qui sont tombés en désuétude, il faut bien traduire
aussi sous la forme moderne les notations obsolètes; sans quoi la traduction
ne ijrésenle, pour ainsi dire, aucun avantage sur le texte, surtout lorsqu'il est
en latin, puisque la connaissance de celte langue est encore assez répandue,
même parmi les mathématiciens, auxquels il suffit d'en savoir les premiers
éléments et de posséder un vocabulaire très restreint.

Mais, dans ce mode d'interprétation, la tâche du traducteur, s'il veut rester
tidéle, présente de sérieuses difficultés; l'emploi de nouveaux termes tecli-
ni(|ues, surtout leur substitution, souvent indiquée, à des périphrases qui
alourdissent le style, tendent à faire attribuer à l'auteur des concepts qui lui
sont réellement étrangers et dont il peut être nécessaire de bien marquer le
défaut pour rendre compte de la véritable marche des idées; d'un autre côté,
il arrive souvent que l'emploi des notations modernes fait apparaître immé-
diatement une conclusion qui, avec les anciennes, exige encore des dévelop-
pements plus ou moins longs. On se trouve ainsi amené à des suppressions
plus ou moins graves.

11 y a donc, et cela pour ainsi dire à chaque instant, à choisir entre deux ten-
dances, dont ni l'une ni l'autre ne peut être sacrifiée en principe : Cherchera
être le plus clair possible en tenant compte des habitudes modeines; suivre
assez fidèlement le texte pour ne pas en donner une simple paraphrase. J'es-
time que, dans une traduction en regard du texte, ces difficultés disparaissent
en grande partie; il est possible alors de prendre plus de libertés et de viser

(') Descartes, tout au contraire, comme malliémalicicn, travailla on français, sinon dés
le début, au moins de très bonne heure, tandis qu'en Mclaphysiquo, il trouve certaine-
ment plus commode d'écrire ses Mcditciiion'i. par exem|ile, en latin, do so servir d'une
langue toute faite, plutôt que d'en créer une.

AVERTISSEMENT. xi

avant tout à la clarté; le lecteur est immédiatement averti, par le voisinage du
texte, de l'importance des modifications apportées, et il est, pour ainsi dire,
invité, toutes les fois que la question peut l'intéresser, à comparer l'interpré-
tation avec les expressions de l'auteur.

Dans une traduction publiée séparément, et surtout dans un Volume sus-
ceptible d'être vendu isolément, j'ai cru devoir tenir un plus grand compte
du texte de Fermât, et refondre par suite une traduction déjà complètement
faite pour mon usage personnel. Je ne me dissimule pas que, du compromis
que j'ai essayé entre les deux tendances indiquées plus haut, il ne pouvait
résulter une œuvre complètement satisfaisante au point de vue de l'un el de
l'autre des deux buts cherchés. Suivant ce que chacun désirera trouver dans
cette traduction, il me reprochera nécessairement, soit d'avoir trop conservé
des formes anciennes, soit, au contraire, de ne pas les avoir assez respectées.
.Je ne pourrai réfiondre qu'une chose, c'est que j'ai fait de mon mieux et (|ue
je suis le premier à reconnaître les imperfections inhérentes au système suivi
ou plutôt à l'absence d'un système précis et rigoureusement observé.

Les remarques que je viens île présenter ne s'appliquent pas entièrement
au^ autres traductions qui suivent dans ce Volume celles des Écrits de Fer-
mat. En particulier, pour VInvenlum nfn-inn du P. de Billy, je ne crois guère
que personne attache un intérêt spécial à l'élude des notations (') et des
formes de langage de cet auteur. Je n'ai donc conservé que les expressions
typiques, comme celles de nombres vrais on faux (au lieu de positifs ou né-
gatifs). Je n'ai eu, au contraire, aucun scrupule, par exemple, à traduire ter-
minus An moyen de l'expression toute moderne de forme (algébrique), qui
lui correspond assez exactement.

L'Inventum novum a, en tout cas, une importance réelle; il fait connaître.
d'une faron bien détaillée, toute cette partie des recherches arithmétiques de
Fermât, qui intéressait le plus ses contemporains, tandis qu'aujourd'hui elle
est à peu près complètement négligée. Vlnventum est donc un complément
d'autant plus essentiel des OEuvres de Fermât qu'il donne la clef de nonibre
des Olisenrttions sur Diophante, el présente la solution de plusieurs pro-
blèmes numériques réellement difficiles. Four un Ouvrage secondaire de ce
genre, que sa forme rend assez malaisément abordable dans le texte original,
une réédition de ce texte eût été sans objet, une traduction peut rendre de
véritables services.

(') Ce sont celles de Fermai dans ses Uù.scivatioii.f sur Diophante, c'est-à-dire celk's
ipie Bachet avait adoptées dans sa traduction latine de l'auteur grec.

XII AVERTISSEMENT.

En ce qui concerne le Commerciuni de VVallis, il ne s'agissait que de faire
mieux connaître en France une série de lettres très importantes au ])oint de
vue historique, mais qui est suffisamment répandue soit dans l'édition prin-
ceps, soit dans celle des OEuvres de Wallis, pour qu'une réimpression fût
sans intérêt; d'un autre côté, ces lettres sont assez faciles à lire, les notations
n'y jouent qu'un rôle tout à fait secondaire, et d'ailleurs se rapprochent déjà
beaucoup des nôtres. Il me suffira de remarquer que qui voudra réellement
connaître toutes celles qu'employait Wallis devra recourir aux sources; c'est
ainsi, pour ne citer qu'un exemple, qu'au symbolisme : ao^b pour désigner
la dilférence, prise en valeur absolue, des deux nombres a et b, j'ai substitué
le suivant •.\a — b\.

II.

.l'ai à remercier les mathématiciens qui ont bien voulu m'indiquer quelques
fautes d'impression dans les deux premiers Tomes; elles sont signalées dans
l'Errata à la fin de ce Volume. J'ai l'espoir que le même concours bénévole
ne me fera pas défaut pour le Tome III, qui sera suivi d'un Supplément d'une
vingtaine de feuilles d'impression, renfermant, avec divers extraits concernant
Fermât et tirés des écrits de Mersenne et des Lettres de Descartes et de Huy-
gens, les index annoncés dans l'Avertissement du Tome I, index qu'il sera
plus commode de manier dans un fascicule séparé.

Comme pièces nouvelles et inédites, je ne puis, jusqu'à présent, en
annoncer que deux pour ce Supplétnenl : i° la lettre à Mersenne de Cava-
lier!, contenant les questions auxquelles Fermai a répondu par la Pièce
insérée Tome I, pages igS à^gS; cette lettre de Cavalieri est datée du aS no-
vembre 16/41; 2" une lettre sans date, mais postérieure à i65i, adressée à
Fermai par un M. de Magnas et décrivant une aurore boréale. .Je voudrais
espérer qu'avant la fin de l'année 1896 quelque découverte plus importanie
permettra de combler une des nombreuses lacunes qui subsistent malheu-
reusement dans la correspondance du géomètre de Toulouse.

Avant de terminer, j'ai à signaler deux rectifications concernant les deux
premiers Volumes, et qui sont assez importantes pour être mentionnées en
dehors de l'Errata.

Tout d'abord dans le second Volume, nous avons omis, pour la lettre de
Fermât à Digby, du i5 août 1657 (n° 8i de la Correspondance), un long posl-
scriptum que Wallis n'a inséré que dans la réédition de son Commorciuin.
On le trouvera ci-après pages 421-/I22.

En second lieu, dans l'Avertissement, en tête du premier Volume (p. xix-

AVERTISSEMENT. xiii

XX ), pour reproduire le billet autographe de Fermât conservé djiiis le Vo-

lurne -|=- de la niblioihèf|ue de la Ville de Toulouse, je m'étais servi du

texte déjà publié par Libri, en prenant soin de le faire coUalionnei' sm' l'ori-
ginal; cette précaution, on le verra, était insuffisante. D'autre part, siu' la foi
de M. Charles Henry qui affirmait (') l'identité des écritures d'après un fac-
similé que lui avait adressé le bibliothécaire de Toulouse et non, il est vrai,
d'après l'original, j'ai indiqué Carcavi comme ayant écrit la note au bas du
billet, comme étant par conséquent le destinataire. .J'ai même, dans cette
hypothèse, essayé d'expliquer l'éloge hyperbolique dont Fermât a gratifié ce
destinataire, en lui offrant les Massimi Sistemi de Galilée.

Des doutés m'étant survenus à ce sujet en raison de la nature des rela-
tions entre Galilée et Carcavi (-), j'ai demandé et obtenu la communication
du Volume de Toulouse, et j'ai tout d'abord reconnu que le texte de Fermât
n'avait pas été exactement reproduit. En dehors des différences orthogra-
phiques, il y en a une autr(> assez importante (parce qu'elle prouve une sin-
gulière intimité entre Fermât et celui auquel il s'adresse); la véritable lec-
ture est indiquée en italique dans le texte nouveau que je donne ci-après :

« Peust esire croirés nous (|ue pour me mettre en i-eputalion et per purgar,
1) comme on dit, la mala lama, ic prelens m'eriger eu donneur de liures. Vous
» en croirés ce qu'il nous [)lairra, mais si c'estoit par hasard uostre jiensée,
n asseiirés nous, mon cher, que nous n'auès pas touché au but. !<■ ne songe
» en nous offrant les dialogues Italiens du système de Galilée qu'a faire une
» aciion de iustice, et a nous rendre maistre de l'ouurage d'un aulheur (|ui
» ne passeroit, s'il uiuoit, que pour uostre disciple. Receués, donc, ce pre-
» seul, comme nous estant deu, et ne me considérés point en ce rencontre
» comme un adroit negotiateur mais comme un bon iuge, ([ui rejette comme
» une tentation lidée de uostre grande et fameuse bibliothèque el ne se
» souuient que de la passion qu'il a d'estre tout à nous. »

Suit, d'une écriture inconnue, la note :

u Ce billet est de Monsieur de fei'mal coer au parlemani qui ma fait presant
» de ce liure. »

( ' ) Rcclierclws sur les iiiii/iii.\crilx de l'icnn de fermai, page lo.

(-) Avant même de quitter Toulouse, Carcavi avait formé le projet de douiuT nue édi-
lii)ii des CEuvres de Galilée, et il a eiUrotoiui, dans ce but. avec ce dernier, une Corres-
pondance qu'il a poursuivie étanl à Paris. 11 est dès lors presque certain qu'il a possédé
lie bonne heure le Dialogue des Mussimi SUicnd et (pie Formai ne l'Ignorait pas; d'autre
pari, l'éloge liy[)erbolique, ailressé \\ un éditeur ou tradueleur. aurait été une maladresse.

KlilUIAT. — III. c

XIV VVEHTlSSEiMENT.

Le N'oluiiic qui conlient ce billet ne présenle aucun indice qui puisse l'aire
roconiiaîlre par qui il a élé possédé après 1642, dale de la morl de Galilée; il
porte au contraire la marque de la hililiollièque du célèbre érudil Peiresc,
UKirl eu 1G37. Celle circonslance, et, lout aussi bien la rareté de cette édition
de l'Ouvrage condamné par l'autorité ecclésiastique, peuvent expliquer l'ex-
pression « adroit négociateur » dans le texte du billet de Fermât.

Quant à l'écriture de la note au bas du billet, elle offre avec celle de Car-
cavi des ditrérences assez marquées, ainsi que J'ai pu le constater en com-
parant une lettre autographe écrite par lui à Mersenne le 17 mars 16/18 et
actuellement conservée à la Biblothèque nationale (français nouv. acq.(j-20i,
p. 2g(j). IMais, pour identifier avec certitude cette écriture inconnue avec celle
d un ami intime de Fermât, possédant une bibliothèque d'une certaine impor-
tance, j'ai (ait de nombreuses tentatives qui sont restées infructueuses; je ne
puis donc soumettre au lecteur que des probabilités.

Je dois en tout cas témoigner ma profonde reconnaissance à deux amis qui
m'ont secondé avec ardeur dans cette recherche et m'ont procuré des photo-
graphies de spécimens d'écritures difficiles à trouver, M. Baillaud, directeur
de l'Observatoire de Toulouse, et M. Ilochart, de Bordeaux.

La circonstance que d'une part, après la mention « conseiller au parle-
ment », le siège de la cour ne se trouve pas indiqué; que d'un autre côté le
Voliuue offert par Fermât se retrouve actuellement dans la bibliothèque de
Toulouse, font présumer a priori que l'ami du grand géomètre habitait cette
ville. Mais dans ce cas, il faut admettre que l'éloge hyperbolique est en fait
une plaisanterie adressée à un intime pour un motif dont nous n'avons pas
le secret, et d'autre part, à moins de supposer que l'écriture ne soil celle
d'un secrétaire (ce qui rendrait le problème à peu près insoluble), on ne
peut la rapproclier que de celle d'un seul personnage, Gaspard de Fieubet,
qui fut nommé en i653 premier président du parlement de Toulouse, où il
était auparavant procureur général.

L'écriture de Fieubet est bien, au premier aspect, du même genre (|ue
celle des deux lignes au bas du billet de Fermât; toutefois, dans le détail,
pour la forme de certaines lettres, il y a des différences sensibles; Fieubet a
possédé, de fait, une bibliothèque importante; mais il est plus que douteux
(pi'il ail jamais été assez intime avec Fermai pour (|ue celui-ci, s'adressant à
un procureur général, ait pu lui écrire « mon cher ». Et même un rapport
secret de l'intendant de Toulouse, adressé à Colbert en i663 {Correspon-
dance adniinistraUse sous le rès;ne de Louis AIV. Tome H, page 853) signale
Fermât comme n'étant pas des amis du premier président.

AVERTISSEMENT. xv

Si l'on écarte les nioiil's qui l'ont croire ([ue le donataire devait être Tou-
lousain, il est un ami certainement très intime de Fermât au(|uel on peut
penser. C'est Etienne d'Espagnet, conseiller au parlement de Bordeaux, et
lils (in piésiileni .Jean d'Espagnet, avec lequel on l'a ijarl'ois confondu, et qui
avait commencé à former une bibliothèque considérable. Érudit en toute
science, Etienne d'Espagnet ne s'est pas seulement occupé, entre autres
choses, comme son père, de philosophie hermétique, il réussit assez bien
dans la fabrication des verres de lunettes astronomiques, pour que, dans
une lettre inédile à Boulliau du 2 décembre 1667 (Bibl. nal. fr. ISOii, f° 2^4
verso) Tilo-Livio Buratlini mentionne Auzout et lui comme étant ceux qui
ont parliculièremenl réussi en France à obtenir des verres « esquisitissimi ».
Ne serait-ce pas là précisément la clef de l'éloge hyperbolique?

Les spécimens de son écriture dont M. Hochart a pu me procurer une
photographie remontent à i635, c'est-à-dire à une époque sensiblement
antérieure à celle du cadeau de Fermât. Il n'y a pas de différences sensibles
dans le détail, mais l'écriture est notablement moins grosse, ce qui peut
s'expliquer par la différence de l'âge.

En résumé, je considère la question comme n'étant pas résolue, mais j'es-
time (|ue la |)robabililé penche [lonr l'irlentification avec Etienne d'Espagnet,
el je serais tenté de rapprocher la date du billet des dernières années de
Fermât (').

( ' ) l'.-.S. — Je dois à l'obligeance de M. Favaro le renseigneniciU siiivaiU : D'après une
lettre fie Hcinsius à Léopold de Médicis, en dale du 4 mars iliGi (publiée par Targioni
Tuzzetti dans ses Nntizic clegli aggrandimenti delte tcienze fisic/ie occaduti in Toitcatia,
Florence, 1780, page ioi), Golins, Interrogé sur les manuscrits inédits do Viète, dont la
communication avait été promise aux Elzevirs par Espagnol, aurait répondu que ce der-
nier, tombé on disgrâce, avait été exilé de Bordeaux, et qu'il ne savait plus où le trouver.
— Cet exil dut être la conséciucncc du rôle assez important joué [lar Espagnol pendant la
Fronde. Se serait-il, pendant |ilus ou moins longtemps, retirée Toulouse? En 166'., cepen-
dant, il clail rentré ;i Bordeaux, el, en 1G66, son fds aîné, Jean, le remplaçait dans sa
charge ( indications que je dois à un jeune érudil bonielais, M. Dast de Boisville, et qu'il
a tirées des Archives dc]iart('inciUalos de la Gironde).

Paris, le l'i février liicjd.

Pai'l Tanxekv.

LISTE CHRONOLOGIQUE DES PIECES DE LA CORRESPONDANCE DE FERMAT,
QUI SERONT PUBLIÉES DANS LES VOLUMES II ET III DE SES ŒUVRES (')•

La'significalion des lettres désignant les sources est la suivante :

A Manuscrit Arbogast, appartenant au prince Bonconipagni ;
B Manuscrit Vicq d'Azyr, appartenant au prince Bonconipagni;
D Lettres de Descartes, édition de Clerselier. Volume III (1667).

(Les chiflres après D indiquent les numéros des lettres dans cette édition.)

F Varia Opéra matheniatica D. Pétri de Fermât (1679).
(Les cliifl'res après F indiquent les pages de cette édition.)

H Manuscrits de la Correspondance de Huygens à Leyde (ou l'édition de cette Correspondance

publiée par la Société hollandaise des Sciences);
P Œuvres de Biaise Pascal, édition de la Haye (i7"9);
\V Coir.mercium epistolicum éd. Wallis (i658).

Les autres cotes se rapportent à des manuscrits de la Bibliothèque Nationale à Paris.

•LETTRES DE

Fermât à Mersenne.
Proposilio geostatica
Fermât à .Mersenne.
Fermât à Mersenne.
Nova in Mechanicis Tlieo-i
remata.

Fermât à Mersenne.

Fermât à Roberval.

Et. Pascal et Roberval à/

I Fermât.

, Fermât à E. Pascal et Ro-

I berval.

Fermât à Mersenne.

Fermât à Roberval.

Fermât à Mersenne (pour
Sainte-Croix).

Fermât à Roberval.

D.\TE.

36 avril

i636

■?

3 juin

i636

j'i juin

i636

1 9

i5 juillet i636

•?

|i6 août

i636

(23 août i636

16

septembre iG3()
septembre i63f)

22 septembre i636

PREMIERS MOTS.

SOURCE.

Je vous reste beaucoup obligé

AB

Sit centrum Terra; B

F.143

J'ai reçu votre lettre

F.I2I

Je suis marri de n'avoir pu

F. 122

Fundamcnta Mechaniccs

F. 142

Puisque j'ai été assez heureux

F.. 4'.

Pour les lieux plans

AB

Après vous avoir remercié

F.i33

Le principe que vous demandez

F.. 24

J'ai lu avec grand soin

F.i3o

La lettre dont vous me parlez

F. 123

Je me trouvé ces jours passés

F.134

Quamvis id agam

AB

Je surseoirai avec votre

F.i3G

{') Le premier Volume des Œuvres de Fermât, publiées sous les auspices du Ministère de l'In-
struction publique, vient de paraître; il contient l'ensemble des écrits latins. La Correspondance sera
comprise dans les Volumes suivants. En donnant ici la liste des pièces de cette Correspondance, telle
qu'elle a été arrêtée par .M. Paul Tannery, nous espérons provoquer des rectifications et des indica-
tions complémentaires qui seront accueillies avec reconnaissance. Nous prions d'adresser les Commu-
nications à MM. Gauthier-Villars et fils, à Paris.

LETTRES riE

U

15

16

17
IS
19
20
21
122
23
24
25

26

27

28

29
30

31 *

liolicrval
l'Vrniat à
\ Objecta
I mec/i.
Kermal à
rcrnial à
Fermât à
Roberval
Fermât à
Fermât à
Descartes
Descartes
F'crmat à

a l-'ermat.
Roberval.
contra pr

Roberval.
Roberval.
Roberval.
à Fermât.
Roberval.
Mersennc.
à Mersennc.
à Mersennc.
Mersennc.

op.\

Fermât à Mersenne.

Descartes à Mersennc.

Fermât à Mersenne.

Roberval à Fermât.
Fermât à Mersenne.
Méthode des maxiinis et

1 1 octobre ifi.ili
'4 novembre i636

9
■; décembre i636

G36

16 décembre

mars 1637

4 avril iGSj

20 avril 1637

2 novembre? ]637

3 décembre 1637
18 janvier i638
•j5 janvier? i638

20 avril iC38

3 mai i638

mai? i63S

I juin i63S

PREMIKnS MOTS.

32
33
34
35
36
37

38

39
40
41
42
43
44
/i5
46
47
48
49
50
51
52
53

) de minimis.
Descartes à Fermât.
Fermât à Mersenne.
Descartes à Fermât.
Fermât à Mersenne.
Fermât à Mersenne.
Fermât à Mersenne.

Fermai à Mersenne.

Fermai à Mersennc.
Fermai à Mersennc.
Roberval à Fermai.
Fermât à Roberval
Fermât à Freniclc (fr.
Fermai à Frenicle.
Fermai à Mersenne.
Fermai à Mersenne.
Fermai à Mersenne.
Fermât à Frenicle.
Frenicle à Fermai.
Frenicle à F'ermat.
Fermai à Mersenne.
l'ermat à Mersenne.
Fermai à Carcavi.

27 juillet i63S
10 août i638
ib septembre i638
22 octobre i638
26 décembre i038
20 février 1639

1 avril 1640

?
?

4 août 1G40

•?

■?
18 octobre iC'jo
20 décembre 1640
26 mars iG"!?
i5 juin iG'|i
i5 juin ? iG4i

2 août i64i

G septembre 1G41
10 novembre 1642
i3 janvier iG43
9

Je vous envoie la démonstration
Me réservant à vous écrire

Si vera esset propositio

Après vous avoir assuré

Je viens de recevoir

Je trouve assez de loisir

Quoique j'eusse reçu dés lundi

Je ne pus pas vous écrire

Vous me demander mon jugement

Vous me mandez qu'un de vos amis

Je serois bien aise de ne rien dire

J'ai vu dans la lettre de M. Descaries

Je vous suis extrêmement obligé

/Outre le papier envoyé à R. et P.
Il y a déjà quelques jours

(J'ai appris par votre lellic

/Je serai bien aise de savoir
Puisqu'il est vrai qu'il n'y a
J'avois déjà fait un mot d'écrit

La méthode générale

Je n'ai pas eu moins de joie
Je ne vous écris à ce coup
Je sais bien que mon approbation
Je reprends le style géométrique
Pour les nombres je peux
Vous m'avez envoyé 36o
(Je vous dois deux réponses
/Pour la méthode que j'oppose
Je trouve plusieurs abrégés
J'ai reçu avec une grande satisfaction
Encore que depuis prés de trois ans
Après avoir remercié
Soit par exemple la progression
L,es vacations qui m'ont éloigné
Je languissois dans l'altenle
Los occupations que les procès
Je tâche de contenter
La proposition fondamentale
J'étois dans l'impatience
Votre règle pour trouver
Bien que la colère du refus
J'envoyai par le dernier courrier
\'f)us m'obligez toujours

F.i38
F.146

F..4.

F.. 47
F.148
F.iâi
F. 1 52
F.i53
D.37
D.39
D.56
D.40
D.36

A
D.60

AB
D.67
F.154

AB

D.63

AB

D.G'i

AB

AB

B

F. 173

B

B

F. 176

F.i65

F.161

A

F. 162

AB

AB

AB

B

F.i66

F. 169

AB

A

F. 1-8

— 3

54
55
56
57
58
59
60
61
6-2
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
8î
83
Si

85

86

89
90
91
9-2
93
94
95
96
97

LKTTKF.S IIK

DATE.

PREMIERS MOTS.

SOURCE.

Fermât à Mersennc.

'/

Je vous rends mille grâces

.\li

Fermai à Mersennc.

i(i février iG^'J

.le vous remercie de vos soins

AB

Fermât à Mersennc.

7 avril 16^3

Vous n'eùles pas de mes lettres

AB

Fragmen t sur les nom hres

■?

Tout nombre impair non carré

A

Fermât à Freniclc (fr.).

3i mai i6.'13

Donner le sixième triangle

li

Fermât à Mersenne.

août? 1643

Vous m'écrivez que la proposition

Al".

Fermât à Mersenne.

1 septembre 16^3

J'ai vu par la lettre de M.

AB

Fermât à Carcavi.

ifil5?

Je suis marri de la perte

F.r78

Fermât à Gassendi.

16^6

Pronunliavil Galilcus

F. 201

Fermai à Mersenne (IV.).

'1 juin i6'|S

\'oiri la construction

B

Fermât à Sé!;uier.

t) juin i6|8

Je sais que la vertu

Fr. 17388

Fermai à La Cliamlire.

iS aoùl 165s

Je ne vous ai point entretenu

Fr. 1 7390

Mémoire poUlique.
Fermai à Mersennc?

décembre i6'|8

L'arrèl que le parlement
Asymmelrias in Algebraïcis

Fr. 17390
D.83

Fermât à Carcavi.

■>o août iGJo

Ma lettre par malheur

1 a t . 1 1 1 gii

Fermât à Pascal.

i65',

.Si j'entreprends de faire

P

Pascal à Fermai.

29 juillet i6.5'|

L'impatience me prend

l'.F.t79

Fermât à Carcavi.

9 août i654

J'ai été ravi d'avoir eu

[•

Pascal à Fermât.

^'l août 1654

Je ne pus vous ouvrir

P.F.184

Fermât à Pascal.

11) août 1C54

.\os coups fourrés continuent

P

Pascal à Fermai.

25 septembre i654

N'appréhendez pas

P

Pascal à Fermai.

:!7 octobre i65.'|

\olre dernière lettre

P. F. 188

Fermai à Carcavi.

i656

J'ai reçu un très grand

Fr. 20945

Fermai à Carcavi.

juin i656

Si .\ et B jouent avec deux dez.

II

Carcavi à llnygens.

28 septembre iRV;

Il y a déjà longtemps

II

Problemala numericn.

■is janvier 1607

Proponalur si placet

\V.F.i8S

Fermât à Frenicle (fr.).

■?

Tout nombre non carré

W.H

Problemala numericn.

•>

Quesliones pure arilhmeticas

W.F.190

Fermai à Disby.

50 avril 16.37

Puisque vous voulez

W.F.189

Fermai à IJiî,'liy.

20 juin 1657

J'ai reçu votre dernière

W.F.iqi

Fermai à Dij^by.

i5 aoùl 1657

J'ai reçu avec joie et satisfaction

W.F.igi

Sur Varilhmdliquv des
1 infinis.

?

En son épitre il déclare

\\.K.i93

Fermât à La Chambre.

août 1637

Je n'avais garde de vous obéir

D..5o

Digby à Fermât.

5 décembre 1657

Je me donnai l'honneur

F. 196

Digby à Fermât.

12 »

Depuis que je me suis donné

F. 197

Digby à Fermai.

i3 février i6J8

Je suis sur le point d'entrer

F-I97

Fermai à Clerselier.

3-10 mars i658

J'ai reçu votre lettre avec

1).',3 et 44

Fermai à Digby.

7 avril i658

J'ai reçu les nouvelles

W

Digby à Fermât.

i5 mai i65S

Haurai temulo d'infastidiro

F. 198

Clerselier à Fermai.

1.

Je ne veux pas m'arréter

D.45

Rohaull à Fermât.

"

Je ne sais si le P. Mersennc

D.46

Fermai à Clerselier.

2 juin i658

Je suis si passionné

D.47

Fermai à Digby.

juin i658

Ulustrissimos viros

W

Fermai à Clerselier.

16 juin [658

Nous laissâmes dernièrement

n.48

- i

.N".

LETTRES DE

DATE.

PREMIERS MOTS.

SOURCE.

98

Lalouvèrc à Fermai.

31 juillet i658

Decem nunc dies sunt

(Dédicace)

99

Cleiselier à Fermai.

21 août i658

Je me trouve aujourd'hui

D.49

100

Fermai à Carcavi.

i() février ifjji)

Je suis embarrassé

P

101

Découvertes en la science
des nombres.

août i65()

Et pour ce que les méthodes

H

102

Fermai à Billy.

2(i août 1659

Je suis bien aise que mes solutions

lat. 8600

103

Fermai à Carcavi (Ir.).

septembre i65g

Si la ligne spirale n'est pas

AH

104

Fermât à Carcavi (Ir.).

))

J'envoyai l'année passée

AH

105

Fermai à Carcavi (fr.).

février ifitio

On peut consiflérer les roulettes

H

106

Fermai à Carcavi (fr.).

juin ii;6o

Data quadratura hyperboles

H

107

Fermât à Pascal.

•jj juillet 1660

Dés que j'ai su que nous sommes

P

108

Pascal à Fermai.

10 août ifi6o

Vous êtes le plus galant homme

P.F.200

109

Fermai à Huygeus.

décembre 1660

J'ai appris avec joie

H

110

Fermai à Carcavi (fr.).

1661

Soit la courbe de Diocle

H

111

Fermai à Séguier.

i3 décembre 1661

J'ai déjà pris la liberté

Fr. 17398

112

Fermât à La Cliamljrc.

I janvier 1662

Il est juste de vous obéir

D.5i

113

Clerselier à Fermai.

6 mai 1662

Ne croyez pas que ce soit

D.52

114

Clerselier à Fermât.

1 0 »

C'est par l'ordre de l'assemblée

D.53

115

Fermai à Clerselier.

21 »

Vos deux lettres du ti' et du i'i°

D.54

UG

Fermai à iVI. de ■".

1664

Puisque M. de ... parle

F.I56

117

Démonstration.

»

Soit la droite AFM

F.i58

118

Saporta à Fermai.

Je vous rends ce qui est vùlre

(Dédicace)

(Extrait <lu Uullclin des Sciences malliematiqucs, t. XIV; juin 1890.)

leoô9 Paris. - Imprimerie GAUTHIEIt-VILLARS ET FILS, quai des Grands Auguslins, ».

:s^ \\

:::^

1 1< <<( «

- -, C! «S ^
,' « « > ^-

; <L<. *> «

:C ce « «

«sucl. _- • -^

H

v<;i:

'^'^^

.■■ • «

«Me.

a£^

^c

•-*^-e •

^^

«ac

ÉS<

^V^

«K

. <j^\

^'

^^T

«ec

.«^;

ît -^ '

vf:^

«SI. .

ife'^

^-^t

"Vr

«1

^¥'--

^'

^

'$.

1:^5 ^

>•

««:i^

-îSe

^^i

^

^:^^ -^^

^^\'.

-5"

'^N =«5i

^T^

^

"^

"t C «L ^^

^C^^

■ ^^

•f^^o^ ^

'ï^^-i^,'V^e^

^-^

^

Cr cr OCO^oc" «S- «^ ^- - •-■■ ^■
S 'te Mtj^i ce «3C ^ ^S'^"-'

"^«fCC c<

i

im:^

cet cr'*r
CC> . <
ç_ cet '

' cet,

< C <2Etr

•^-^j'

Li'^fs/;

«ce: ■<!<:
^ «ce-

«3? ce;

ce

ce

<^::'i^ c:<s^:'s

'^^

^<^

.j;^^- c«_o_

".<^^<it:-

ç:c c <^ ^^^

t JJtSv Ce,

,THOM&CO.

(LTD.),

DUBLIN.

^'<c^^' ce c

ce Cî -

4:^

-^!?^?^

^^^H^«.

y;:?-C:an,

*i?,i

»*»R«i(!^

:*^^%

%i^^^-'

^^:^0^.'^^A•

/^W/^.

'!*ft'.

■'P-^~C:%9*^r.'.

hr'r.h/\-'.

^,rf>f\^^r^

f^^^^h^f^.^..

-mmm

|,SfM^Ç^^i*ii*«^S5,

:^fs?^:H^

f^'&.î

'^^K

;■!^i

,A??-c.j.,r^-',,^,,^« ,.

'^^^K^^