— T e D A es B OCC * D E f A Uu E d TET ENS UT 2 i E eo 3 Er LE ULL ARE NP ET TODO * n e 2, fl A A hi od NN us LE1 inexdemdar euravil £555 LEOMIARDI EULERI OPERA POSTUMA MATHEMATICA. ET. PHYSICA id ANNO MDCCCXLIV DETECTA QUAE ACADEMIAE SCIENTIARUM PETROPOLITANAE | OBTULERUNT EJUSQUE AUSPICHS EDIDERUNT AUCTORIS PRONEPOTES PAULUS HENRICUS FUSS rr MCOLAUS FUSS. E - TOMUS PRIOR. T PETROPOLI, 1862. . P'etropoli Hizae Lipsiae apud Eggers et Socios; apud Samuelem Schmidt; apud Leopoldum Voss. Pretium : 6 Rub. 85 Cop. — 7 Thlr. 18 Ner. "Typis Academiae In Y FK NN: bes aor vl s RM AK 71i Sur M bali PRAEFATIO. Anno 1844, tum in tabulario Academiae scientiarum Petropolitanae, tum inter privatas gentis Eulerianae schedas, inventi sunt Leonhardi Euleri tractatus complures, bene limati et ad umbilicum adducti. Primum quidem his manuscriptis nulla tribuebatur attentio, quae jamdudum publici juris facta esse nemo non putaret; mox vero nihildum earum commen- tationum typis descriptum esse diligentiore inquisitione facta intellectum est. Proinde ne viri docti carerent tanti auctoris operibus postumis, Paulus Henricus Fuss, Academiae scientiarum Petropolitanae secretarius perpetuus, coetui auctor fuit ut editio operum om- nium Euleri institueretur. Arridebat sane hoc consilium, sed, ratione habita magnarum ejus rei impensarum, me- lius visum est edere collectionem non omnium sed minorum tantum Euleri operum, ita ut his recens detecta adderentür. Itaque congestae sunt et suo ordine dispositae commenta- tiones Euleri tam editae quam ineditae; et ex omnibus eae quae de theoria numerorum agunt prelo subjectae sunt. Tandem anno 1849 in lucem prodierunt volumina duo sic in- scripta : Leonhardi Euleri commentationes arithmeticae collectae. Auspiciis Academiae Imperialis scientiarum. Petropolitanae ediderunt auctoris pronepotes P. H. Fuss et Nicolaus Fuss. ln- sunt piura inedita. Neque tamen inchoata tali modo minorum Euleri operum collectio continuari potuit, quippe cum neque statuti Academiae reditus sumptibus operis pares essent, neque extra- ordinarias opes tum temporis sperare liceret. Videlicet per Academiam non stetit, quominus expleret pietatis quoddam officium viro debitum, qui per plus quam quinquaginta annos L. Euleri Op. posthuma. T. I. a DS coetus Academici quondam fuérat sodalis optime de litteris meritus. Át si coepta editio ad finem perduci non potuit, illis tamen quae Eulerus reliquerat scriptis viros doctos destitui minime fas erat; quare Academia opera postuma Euleri seorsum edenda statuit. Facta est negotio longior mora varias per causas, sed jam lector ante oculos habet hos tomos duos operum postumorum Euleri. Quae his continentur, erant hucusque inedita, exceptis nonnullis quae ex altero tomo commentationum arithmeticarum repetenda erant et quorum conspectum subjicimus : à Opp. post. t. I. — Comm. arithm. t. II. 1. Tractatus de numerorum doctrina ......... lees. p.9—75. p.501 — 575. 2. Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres, par rapport à la somme de leurs diviseurs .. ....... acp. 76 — 84. p.639 2-680. Ji De /numetis' amicabilibus...:« 0-34 97V Hs E So LUNA p. 85— 100. p. 627 — 636. À. Fragmenta commentationis cujusdam majoris de invenienda relatione inter latera triangulorum, quorum area ratio- aalitét exprimi; possite4 «iust cho UA iHi d ode da p. 101 — 104. p. 648 — 650. 9. 6. Recherches sur deux problémes de l'analyse de Dio- ' pliante!)uiise zuo id. n vdipa du)ben «ele d AES Pa Mis p. 105 — 127. p. 603 — 616. 1. Considerationes circa analysin Diophanteam . ......... p. 128 —139. p. 576 — 581. 8, De. quadratia;niagieis.. «. suede pibe dor a 099 can p. 140 — 151. p. 593 — 602. 9. Theorema arithmeticum ejusque dánicnabcadó GT BUR erp p. 152— 156. p. 588—592. Praeter scripta postuma .ab Eulero ipso elaborata et maximam partem ipsius manu exarata exstant volumina tria, quibus titulus est: Adversaria mathematica. His adversariis administri et discipuli Euleri inferre solebant theses quasdam et sententias breves, quas quidem à magistro acceptas ipsi fusius et accuratius explicaverant. Ex his thesibus selectae sunt graviores, quae operibus postumis suo loco insererentur, et primum quidem nonaginta dignae visae sunt quae typis describerentur. Deinde clarissimus Tschebyscheff, perlustratis iterum dictis voluminibus, invenit alias sex theses quas addendas esse censuit; has tomus ^; Haec duo problemata novum poscebant examen, quod suscepit clarissimus Tschebyscheff, uti dictum est in praefatione ad Commentationes arithmeticas. C Aem prior exhibet sub Numero XXIII, pagg. 487 — 493. In hunc praeterea ex adversariis illatae sunt theses geometricae octo, theses analytici argumenti quatuor et duae ad calculum integra- lem spectantes: ita ut omnino tomo priori 110 theses ex adversariis depromptae contineantur. Complectitur igitur tomus prior ea quae de theoria numerorum et de analysi Eulerus scripta reliquerat; tomus alter scripta de mechanica, de astronomia et de physica. Quum vero tomus alter multo plures impleturus esset plagulas quam prior, placuit Paulo Henrico Fuss adjicere huic tomo litteras quasdam Euleri ad N. Bernoullium, Fride- ricum II Borussiae regem et Lagrangium datas, quas quidem litteras editor alio consilio collectas habuit. Jam totius operis haec est dispositio. Tomus prior sistit sectiones tres, quarum l""" efficiunt a) Arithmetica, quae quidem in «Commentationibus» jam habebantur, in hac au- tem collectione operum postumorum Euleri omnium repeti debebant. 5) Nonaginta theses ex adversariis supra dictis depromptae ac secundum materias digestae. Harum singulae no- men prae se ferunt discipuli, qui unamquamque exposuit et codici intulit. Sectio II^ pertinet ad analysin et comprehendit undecim dissertationes varii argumenti, porro commentationem majorem, cui titulus: «Institutiones calculi differentialis. Sectio III» Commentatio haec praebet continuationem operis jam dudum typis vulgati «de calculo dif- ferentiali». Sectio I1I^ affert varia. Leguntur hic viginti theses, ex illis, quae supra commemora- vimus, adversaris transcriptae. Harum sex de theoria numerorum agunt, octo sunt geo- metrici argumenti, quatuor analytici et duae calculum integralem spectant. Tum sequuntur litterae illae ab Eulero datae ad N. Bernoullium (6), ad Fridericum regem (2) et ad Lagrangium (18). Tomus alter exhibet commentationes de mechanica, de astronomia mechanica, de astro- nomia (pura), de physica; in fine adduntur varia. Hoc loco non possumus non laudare studium a civibus Basileae exornando huic operi adhibitum. Curaverunt enim imaginem Leonhardi Euleri, viri immortalis et civis olim. Ba- sileensis, de tabula picta, quae in eorum urbe servatur, aeri incidendam: exemplaria chartis impressa Academiae dono miserunt, quae in fronte operis collocarentur. Ita hoc opus quasi monumentum exstat communi duarum splendidarum urbium opera Euleri memoriae de- dicatum, qui utriusque urbis decus fuit et gloria. c MS In edendo opere frater meus Paulus Henricus Fuss, Academiae scientiarum Petropo- litanae secretarius perpetuus, atque ego versati sumus. Quum jam in eo esset ut tomus prior prelum relinqueret, frater meus praematura morte litteris, officio et suis ereptus est. Paulus Henricus Fuss die 10"^ Januarii anno 1855, aetatis 56"*, gravi morbo, quo per sex menses continuos laboraverat, succubuit. Gesserat per 29 annos studio indefesso munus illud gravissimum perpetui Academiae secretarii; rebus Academiae prudentissime et impigerrime consulendo laudem et gratiam sodalium sibi comparaverat. In testimonium grati animi collegae voluerunt imaginem defuncti tomo alteri operis nostri praefigi; cujus adspectum speramus jucundissimum fore plurimis qui memoriam fratris dilectissimi colunt. Mihi superstiti petenti mandavit Academia, ut editionem operis ad finem perducerem ; neque ego labori peperci ad rem ea qua par erat fide ac diligentia absolvendam. Nicolaus Fuss. "ODE TSTSX84n——tmmnn n.) - L. EurEn: Operum postumorum Tomi I Index. Arithmetie a. l. Tractatus de numerorum doctrina capita XVl, quae supersunt $$ 1 —587 ........ Caput 1. De compositione numerorum $$ 1 —55 ......... 1—8 2, De divisoribus numerorum $$ 585 — 81.......... 8 — 11 3. De summa divisorum cujusque numeri $$ 82 — 110. 11 — 15 h. De numeris inter se primis et compositis $$ 111—139 15 — 18 9. De residuis, ex divisione natis $$ 140 —166...... 18 — 21 6. De residuis, ex divisione terminorum progressionis 10. 11. 12. 13. 15. arithmeticae ortis $8 167 — 191 .............. 21 — 23 . De residuis, ex divisione terminorum progressionis geometricae ortis $$ 199 — 949. .............. 23 — 30 . De potestatibus numerorum, quae per numeros pri- mos divisae, unitatem relinquunt $$ 243 — 263.... 30 — 32 . De divisoribus numerorum formae a"-t- b" $$ 264 BOSE 4L NES ou, Tuque. lu AER, ee 33 — 35 De residuis, ex divisione quadratorum per numeros prios orte $$ 9895 —— 370. 5: I lel uerus 35 — 46 De residuis, ex divisione cuborum per numeros pri- incé Bate IEEE e dA Loire A p RaairnA Rhe 46 — 52 De residuis, ex divisione biquadratorum per numeros primos orüs $$ 4$12— 462.......... ee Hes e. $52 — 58 De residuis, ex divisione surdesolidorum per nume- ros primos ortis $$ 463 —501 ..............- 58 — 64 De residuis, ex divisione quadratorum per numeros compositos ortis $$ 502 —550 .......... len. 65 — 69 — vil — Caput 15. De divisoribus numerorum formae zac yy $$ 541 —510 2:572 9-24 UA ade QENDES T Y 69 — 73 16. De divisoribus numerorum formae aa -4-2yy $8 571 — BRTURCDIE Ge aod p 5:3 V NU SCC TREGUA RE UR eC dV A 13 — '15 Il. Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs $$ 1 —13 ............ leen nt ng 16 — 84 HE. De numeris amicabilibus 8$ 1— 1 ......,5.5 249r oir ps aS a hi 85 — 100 IV. Fragmenta commentationis cujusdam majoris, de invenienda relatione inter latera triangulorum, quorum area rationaliter exprimi pos- dt55/27.4- 35; 49 20055 000. OESDQWA CP die x3 a 5 9 QV MR 101 — 104 V. Recherches sur le probléme de trois nombres carrés tels, que la somme de deux quelconques, moins le troisiéme, fasse un nombre carré 1$1-39...... v sooner RS Quo s i es LUPA o. dE RD 105 — 118 VI. Recherches sur le probléme de quatre nombres positifs et en propor- tion arithmétique tels, que la somme"de deux quelconques soit toujours un nombre.carré. $$ 1 —— 28... «2 eo p s onr ro ETSI USA 119 — 127 VII. Considerationes circa Analysin Diophanteam 88 1 —31 ............. eese 128 — 139 VIII. De quadratis magicia $65 4. — 98... 5. 565 uin opta IRAE DOM e dH eR n 140 — 151 IX. Theorema arithmeticum, ejusque demonstratio .......... ie nnn 152 — 156 X. Fragmenta arithmetica ex Adversariis mathematicis deprompta NN.1—90 ........ 157 — 266 A. Divisores numerorum NN. 1—31............... Lee 157 — 190 a) De numeris formae mc --^»yy ejusque divisoribus NN, Ee-B. vouuo de D T SEA RSEN 157 — 160 b) De divisoribus numerorum formae fa" -- gb" NN. 10 sci esie Ea c i scee ra e 160 — 169 c) De numeris formae zP 3-1 NN. 14 du. RENE 169 — 178 d) De divisoribus et residuis numerorum quadratorum NN,19— 283.2. CAREERS VAT A S CO NOME 178 — 185 e) Diversa NN. 2| -— 91. s YR qu ier E DS 185 — 190 B. Partitio numerorum in summas polygonalium NN. 32 — 36 . . 190 — 204 C. Analysis Diophantea NN. 387 —83, F. 1............... 20^ — 263 4) Quaestiones ad resolutionem unius aequationis du- centes NN. ST — 99 10 CETT REA Maie e E 204 — 252 b) Quaestiones ad resolutionem plurium aequationum ducentes NN;/10 — 885/125 70015 0901127, 49, 20 9252 — 263 D. Miscellanea NN. 8& —90.............. 24 LIV 263 — 266 Analysis. p. 267 — 486 XL. Sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires $$ 1 — 34... .......- 269 — 281 -—-— IX o— XII. Problema algebraicum de inveniendis quatuor numeris ex datis totidem XIII. XIV. XV. XVI. . XVII. XVIII. XXI. XXII. XXIII. productis uniuscujusque horum numerorum in summas trium reliquorum... 0 * VALUUN QUEE USSWUVMUR UU es Series maxime idoneae pro circuli quadratura proxime investiganda Enodatio insignis cujusdam paradoxi circa multiplicationem angulo- mau n8. vices ev OU VIRAA SIS ViIO10222. 8A Vera aestimatio eóétis ià ladis.. 4.5.4... so 41S Réflexions sur une espéce singuliére de loterie, nommée loterie ge- MENTUMVEL TL a TME Y AT VAM er. rw rnm teo o ehh Analyse d'un probléme du calcul des probabilités. .............. Institutionum calculi differentialis Sectio HI. F. 2 — à7.......... Caput Il. De calculo differentiali ad lineas curvas applicato in ge- nere $$ 1 —35. Fig. 2—5 ............ "rire pelos ll. De tangentibus linearum curvarum $$ 1 — 36. Fig. 5 — III. De tangentibus linearum curvarum, quae per alias lineas curvas utcunque determinantur $$ 1 — 50. Fig. 21 — 37 IV. De tangentibus curvarum, in certis locis inveniendis B T5 FM. 9388122705 OIL Da lao ee ies ru V. De inventione ramorum in infinitum extensorum $$ 1 — ^ . Problematis ex theoria maximorum et minimorum solatio Fig. 48, 49 Considérations sur quelques formules intégrales dont les valeurs peuvent étre exprimées, en certains cas, par la quadrature du Deni EUUUASEUM Leehes «rq Fesser De lineis curvis, quarum rectificatio per datam quadraturam mensu- l4 s Relr0 042 0. L80 Wf RM De comparatione arcuum curvarum irrectificabilium Sectio I"? | — XVII. De comparatione arcuum circuli et parabolae $$ 1 — 33. Sectio secunda I — XI. Comparatio arcuum ellipsis, hyperbolae et parabolae cubicalis primariae $$ 1 — 70. Fig. 55 —60...... Waria. Continuatio Fragmentorum ex Adversariis mathematicis deprompto- ma NN) EM 061—008 L1. e ceezeu rtg L Supplementa numerorum doctrinae NN. 91 — 96... .. Il. Geometria NN. 97 — 104. Fig. 61 —68........... Ill Analysis NN. 105 —110................ les. DoDU unt 282 — 987 32. 2E 288 — 298 Mots 399 — 311 Xi ih 315 — 318 314, 2t 01 319 — 335 aU 336 — 341 A UA euo: 342 — 402 342 — 351 351 — 367 367 —383 383 — 401 409. Cr xu 403 — A07 IPEA 408 — 438 eid dns 439 — 451 Pe, 452 — A86 p. 487 — 588 eem 487 — 518 487 — 493 95 — 504 504 — 518 —oX o — XXIV. Supplementum editi 4. MDCCXLIII commercii epistolici (Correspon- — 11 AS dance mathém. et phys. St.- Pétersb. 1843. 8?. T. I, II) varias ip- j mop Ute us ac hucusque ineditas, sius Ill. Euleri litteras, postea detectas, continens Fig. 09 7:96 obit Eras erobrodq- VOAHAT I- VN EO vlqi Ir ocd0 Sis DN A. Sex litterae ad Nicolaum Bernoullium II, Basileensem J. U. D. datae 1749 ad 1745 Fig. 69 — 75....,.... 919 — 549 B. Duae litterae ad- Fredericum II; Regem Borussorum, datae annis 1749 —1763.............. sess. 580 — 554 C. Octodecim litterae ad Cel. Lagrange datae annis 1755 - ad 1715 Fig. 16-86, .. oL 4L 4. v VAT A DODAT MOD ai riemta at 4 Dr ra E) AR ay VECES 1 H E * ü ji H E x | * * i x rn i * bos dT. n ! i — Ej d $11 L! z T | it un» L4 I J L DT à * ^ 1 HA HT: , Er L x DU AU by rt : T H |! En A à Vei TA TE Fd eru X ( * ! ! m) p Dm Jie diti n Lid e 3 N ; m MOCUMN jaa Jd l MO Ml .; I. | "Fractatus de numerorum docírina Capita XVE, quae supersunt. Caput K. De compositione numerorum. 1. Numerus est multitudo unitatum. 2. Quilibet ergo numerus indicat, quot unitates in eo contineantur. 3. Ab unitate incipiendo numeri. sunt 1, 2, 3, ^, 5, 6, etc., quorum quisque praecedentem unitate superat. ^. Quia quemque numerum unitate augere licet, series numerorum in infinitum progreditur. 3. Cum primus, scilicet unitas, praecedentem etiam unitate superet, praecedens nihilum 0 sit necesse est. 6. Hic tantum de numeris integris sermo est, ad quos definitio est restricta, -unde fractos multoque magis surdos. hinc. excludi oportet. 1. .Si numerus quicunque sit a, erunt eum sequentes & 4-1, a-31- 2, a-34-3, a -- ^, ete., quorum primus & 4-1 datum « superat ünitate, secundus a 4- 2 duobus unitatibus, tertius a -- 3 tribus, etc. ! 8. Simili modo, proposito numero a, antecedentes erunt a — 1, a — 2, a—3, a — k, etc., quorum primus 4 — 1a dato « unitate deficit, secundus a — 2 duabus unitatibus, tertius a — 3 tribus, et ita porro. — 9. Si numero a tot unitates addantur, quot numerus b continet, oritur a 3-5; sin autem a numero a tot unitates auferantur, quot numerus b continet, oritur .a —40: illo. casu numerus b numero a additus, hoc vero ab eo subtractus. dicitur. joiüg 4 10. Si idem numerus « sibi ipsi addatur, oritur ejus duplum a-- a, quod ita scribitur 2a: si idem denuo addatur, prodit triplum 3a; tum eodem numero a insuper addito, ejus quadruplum ha, et ita porro, quae in genere vocantur ejus. multipla. i 11. Multipla ergo numeri a sunt 2a, 3a, ^a, 5a, etc., quorum quodque smessiai superat ipso numero a; horumque respectu ipse numerus a simplum vocatur. i 19. .Si a esset unitas, ejus multipla omnes plane numeros praeberent; at. .si.a non est unitas, sed multitudo unitatum, ejus multipla non. omnes. numeros praebebunt: hocque casu dabuntur numeri, qui non sunt multipla ipsius a. enaid 92 ai 4 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 13. Cum multipla ipsius « sint 24, 3a, *a, 5a, etc., inter ea primo non reperiuntur omnes numeri ipso a minores, qui sunt 1, 2, 3,...(a— 1); totidemque non-multipla occurrent a quovis multiplo usque ad sequens. 11^. Si ergo fuerit « numerus minor quam 4, tum neque « neque hi numeri a-i-«, 2a-i- «, Ja-r-«, ha-i-o, etc. inter multipla ipsius a reperiuntur. | 15. Quia ob « «a, est 2a — « minus quam 2a, simulque majus quam a, numerus 2a — c non erit multiplum ipsíus a, neque ullus horum numerorum a — o, 2a — «,3a — «, ha — a, etc. inter multipla ipsius a continetur. 16. Proposito ergo quocunque numero b, qui non sit multiplum ipsius a, is vel ipso «a erit minor, vel ita superabit aliquod ejus multiplum, ut tamen minor sit multiplo sequente. 17. Cum multipla binarii sint 2, *, 6, 8, 10, etc. (ejus simplo non excluso), numeri reliqui ab his unitate differunt. Simili modo ob ternarii multipla: 3, 6, 9, 12, 15, etc. reliqui numeri ab his vel unitate, vel binario distant. B 18. Duplum cujusque numeri a, scilicet 2a, est etiam multiplum binarii. Cum enim a sit multitudo unitatum 1 4- 1 -4- 1 -i- 1. etc. duplicatio ita repraesentetur qQ — 4 3 1 2-4 a 1 c etc. q — 1 a- d 1 e 1 a- ete. unde additione prodit 2a — 92 34-2 4- 2 -1- 2 4- etc. 19. Vel cum numerus «4 sit multitudo unitatum, numerus a duplicabitur singulis. unitatibus bis sumendis, unde oritur multitudo binariorum. Ex quo patet duplum 2a toties continere bina- rium, quoties 4 continet unitatem. 20. Simili modo triplum 3a toties continebit ternarium, quoties ipse numerus -a4. continet; uni- tatem, eritque itaque 3a multiplum ternarii, quod' etiam: de omnibus. multiplis est. intelligendum. 21. Index multipli vocatur numerus indicans , quoties multiplum: in se contineat simplum, ita index dupli est binarius, tripli ternarius, quadrupli quaternarius, etc. adi 22. Si numerus a toties sumatur, quot numerus n continet unitates, multipli inde orti index - est n, ipsum autem multiplum hoe ita exprimitur na, ita ut na denotet multiplum ipsius a, E y index sit n. 23. "Tale ergo multiplum na ipsus « est etiam . multiplum indicis n, quandoquidem toties in se continet indicem, quoties ipse numerus a continet unitatem. 2^. Hinc ergo patet multiplum numeri a, cujus index sit n, congruere cum eo multiplo numeri 2, cujus index sit a; quare cum illud multüplum per na, hoc vero per an exprimatur, erit na — an. | : 25. Cum in quovis multiplo na tam numerus a, eujus multiplum sumitur, quam index multipli n inter se permutari queant, hi duo numeri « et.n sine discrimine : factores appellantur, multiplo autem ipsi na nomen producti seu facti indi solet. :qi 26. Quemadmodum quisque numerus est multiplum unitatis, cujus ipse est indes, ji ita etiam est sui ipsius simplum, indice existente unitate. ^ In: posterum ergo tam multipla unitatis: quam. simpla cujusque numeri a denominatione multiplorum segregabimus. : | it ip Tractatus de numerorum doctrina Cap. |. : Y 27. Multipla ergo nobis erunt ejusmodi numeri, qui cujuspiam numeri, praeter unitatem, sunt multipla (excluso simplo), constabunt ergo duobus factoribus, quorum alter alterius respectu tanquam index spectari' potest. 98. Factum ergo ab, cujus factores sunt « et b, est multiplum tam ipsius a quam ipsius 5. Quatenus est multiplum ipsius «, index est b, quatenus autem est multiplum ipsius b, index est a. 29. Multipla hujus facti ab simul erunt multipla tam ipsius a, quam ipsius b. Sit nab tale multiplum, cujus index sit n, et quia etiam est multiplum ipsius n, erit multiplum uniuscujusque horum numerorum n, a et b. 30. Hinc patet etiam in facto ex tribus factoribus constante, tres factores inter se esse permu- tabiles, atqué tale factum abc non solum esse multiplum singulorum a, b, c, sed etiam factorum ex binis ab, ac, bc. - ^91. Si in serie numerorum f, 2, 3, ^, 5, 6, 7, etc. omnia multipla deleantur; reliqui numeri non erunt multipla ullius numeri (quandoquidem simpla excludimus), hique numeri vocantur simplices, vel primi. 32. Deletis scilicet multiplis binarii ^, 6, 8, 10, 12, etc. restat haec series 1, 2, 3, 5, 7, 9, 1 1, 13, 15, 17, 19, 21, etc.; hinc porro extinguantur multipla ternarii 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc. quae quidem adhuc adsunt, et restat 1, 2, 3, 5, 7, 11, 123, 17, 19, 23, etc.; ita relinquentur tandem numeri primi 1, 2, 3, 5, 7, 11; 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, h1, ^3, ^7, 53, 59, etc. 33. Si ergo p sit numerus primus, is neque inter multipla binarii neque inter multipla cujus- quam alius numeri occurrit, neque ergo hujusmodi facto ab ullo modo exhiberi potest, nisi sit vel q — 1, vel 0 — 1, quos autem casus exclusimus (26). 3*. Omnes numeri, qui non sunt primi, vocantur compositi;: unde patet omnes numeros com- positos esse multipla aliorum numerorum minorum, qui cum iterum sint primi, vel multipla aliorum denuo minorum, multipla autem cujusvis producti sint simul muitipla singulorum ejus factorum, sequitur omnes numeros compositos tandem reduci ad multipla numerorum primorum. 35. Omnis ergo numerus est vel primus, vel multiplum cujuspiam numeri primi; quo posteriori casu cum numerus sit compositus, omnis numerus compositus exhiberi potest producto, cujus singuli factores sint numeri primi. 36. Iuter numeros compositos primum occurrunt ii, qui constant duobus tantum factoribus primis. Veluti si p et q denotent duos numeros primos quoscunque, productum pq in genere exhi- bebit ejusmodi numeros compositos primae speciei, qui duobus tantum constant factoribus primis. 37. Talis ergo numerus compositus pq erit tam multiplum numeri q, indice existente p, quam multiplum ipsius p, indice existente q, neque vero ullius alius numeri erit multiplum. Si enim esset multiplum alius cujuspiam numeri a, indice existente 5, hi numeri a et 5 ejus essent factores, contra hypothesin. 38. Hujusmodi autem productum pa, cujus quidem factor p est primus, alter vero a com- positus, factores habens «, 2, y, etc., non solum erit multiplum numerorum p et a, sed etiam inter multipla numerorum «, 2, y, etc. occurret. 6 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 39. Post numeros compositos, duobus factoribus primis constantes, considerandi veniunt ii, qui - tribus factoribus primis constant, cujus ergo speciei forma est pqr, denotantibus p, q, r numeros primos quoscunque. 40. Tum vero sequentur numeri compositi, qui sunt producta ex quaternis numeris primis, quorum forma erit pgrs. :Sequentes autem species erunt producta vel ex quinis, vel senis, vel * . " SUMA E s " " . L ! B LI ; H fM iu 11 eio ] e septenis etc. numeris primis constantia. "-—! | qii es ^i. Hinc omnes numeri ita in classes distribuentur, ut prima contineat omnes numeros primos singulos; secunda, producta ex binis primis; tertia, producta ex ternis primis; quarta, ex quaternis; J quinta, ex quinis, et ita porro. ^2. Post unitatem ergo numeri primae classis, seu primi centenario non majores sunt: 9, 3, 5, 7, 11, 12, 17, 19, 23, 29, 31, 37, M, 43, V7, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 19,83, 89, 97. 43. Numeri vero secundae classis centenario minores sunt 2. 9— h, 3. 3— 9, 5. 5—9295, 7. 1—99, 2. 3— 6, 3. 5 — 15, 5. 7—35, TAa m, ! 8 a09 08 25140; 3. 7—91, 5.11— 55, 1.43294; 5! 1 Wmapasss SN op. 3.11 — 33, 5.13— 65, " oddbs m 2.11 — 92, 3.13 — 39, "P 547H-85,C ,£ 5,11 Ha 2:19 — 265 9.722991) 9.19 25:95, Id 9.17 — 35, 3.19 — 57, | | | r eil 2 19— 15. 3.23 25 49: Xr 19.932246, :3.29 — 87, 9/29 —:58; 3:34—93, ! 28,/31:2— 602; 9.394999, i1 2.11 — 82; .9. 3 —86, S AT 9, 15. Tum vero numeri tertiae classis centenario inferiores sunt 2.9. 9— 8,'- eodp dog ng Songs, aoub 3.3. 3—97,. 9:3. —142, ^ 70 0M CPUS 3.3. 5— 5, 2.9. 5 — 90, lgugsiof Zuag, cuteoquoo 22170849 017 6dl 9.9. P upgggy i vio cullegugig4qozsrggins vp oid 3.3.1199, - 2.9 442 y ^ Cou dd. ud9:$749i 7g odi. (o ) 2.9.13 — 52, 3.5. 5585 2.9.(7—68, NT M rr (i 9.2.19 — 76, 2.5. 7 — 10, 2.9.93— 92, 2.7. 1—98, Tractatus de numerorum doctrina Cap. 1. -I 5. Quartae autem classis numeri infra 100 sunt 2.2.2. 22: 16, 2.2.3.3— 63, 2.3.3.3 — 5^, 2.2.2. 3—2, 2.2.3.5 — 60, 2.3.3.5 — 90, 2.2.9. 5 — 0, 2.2.3.7 — 8^, f | 2.2.2. 756; j 3.3.3.3 — 8t. 2.2.2.11 — 88, 2.2.5.5 — 100, &6. Quintae classis numeri centenario non majores sunt 2.2.2.2.2 — 32, 2.2 2.2.5 — 80, 2.2.2.2.3 — 48, 2.2.2.3.3 — 12, 47. In sexta classe hujusmodi numeri duo occurrunt 2.2.2.2.2.2— 6^, — 2.2.2.2.2.3 — 96. Sequentes autem classes nullos continent numeros centenario minores. 48. Cujusque classis numeri charactere peculiari distinguuntur a numeris aliarum classium , et quilibet numerus ita ad certam quandam classem pertinet, ut non simul ad ullam aliam referri possit. 49. Quodsi ergo p, q, r, s, etc. denotent numeros primos, formae harum classium ita exhiberi possunt : Forma classis L...p | « F Das pq; « IlI...pqr, « IV...pqrs, « V ...pqrst, | « VI... pqrstu, etc. 50. Quoniam in his classibus omnes numeri continentur, si seriem numerorum naturalem 1, 2, 3, '*, etc. usque ad n continuemus, ita ut multitudo numerorum sit — n, ac multitudo . numerorum primorum jn hac serie contentorum sit — «, multitudo numerorum secundae classis — (9, tertiae classis — 7, quartae —Àà, et ita porro, necesse est sit a -- B a- y 3- Ó 2 etc. — n. Ita vidimus, si sumatur n — 100, fore « — 26 (unitate inter numeros primos comprehensa), g-23, y —92, 0— 12, £&— ^, 5 — 2, x — 0, estque utique 26 - 3* -4- 22 -i- 12 4 & 23- 2 — 100. 531. Si n denotet potestatem binarii, multitudo numerorum cujusque classis ad numerum a usque ita se habebit: | | sumerud multitudo numerorum n & B y 8 € 6 2 9 n x 2 3 í 4 3 1 8 bi 9 1 16 ri 6 9 1 32 12 10 T 2 1 64 19 22 13 7 a1. 4 128 32 42 30 14 1 9 1 256 55 82 60 34 15 1 2 1 512 98 157 125 71 36 15 7 2 1 1024 173 304 256 152 riri 97 15 1 9 1 8 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Aadl. 59. Si indolem numerorum attentius contemplemur, facile pereipiemus, ab initio numeros primos frequentissime occurrere, compositos autem rarissime interspersos esse debere. Quo longius autem progrediamur, eo plures reperientur numeri compositi, contra autem pauciores primi. 53.. Deinde etiam notari oportet in progressione numerorum primorum 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. nullum plane ordinem apparere, unde lex hujus progressionis definiri possit, etiamsi in genere certum sit, quo longius progrediamur, minus frequentes eos esse debere. 5*. "Tabulae habentur, in quibus numeri primi secundum centurias sunt dispositi; atque in prima centuria ab f ad 100 sunt 26 numeri primi, in secunda 21, in sequentibus vero pauciores; neque tamen eorum multitudo continuo minuitur, sed potius admodum irregulariter modo crescit, modo decrescit. Sic a 200 ad 300 occurrunt 16 numeri primi, at a ^00 ad 500 sunt 17, totidemque adhuc a 15400 ad 1520. Porro a 79700 ad 79800 tres tantum reperiuntur numeri primi; hoc tamen non obstante in centuria a 90000 ad 90100 adhuc 13 numeri primi deprehenduntur. 4 Caput E. EE Jj De divisoribus numerorum. 55. Quatenus quidam numerus est multiplum alius numeri, eatenus hic illius dicitur divisor, et index multiplicitatis vocari solet quotus ex divisione ortus. 56. lta si numerus / fuerit multiplum ipsius a, indice existente n, ut sit JV — na, numerus a erit divisor numeri JV, et index n praebebit quotum. Scilicet si numerus /Y—na per a dividatur, quotus erit n. - | | : 57. Cum numeri n et a inter se sint permutabiles, hocque respectu factores appellentur, numerus N— na etiam divisorem habebit n, quotusque tum erit a. In genere ergo divisor per quotum multiplicatus ipsum numerum divisum reproducit. | 58. Cum quilibet numerus sit sui ipsius simplum, unitas cujusque numeri est divisor, ipseque numerus quotus. Tum vero quilibet numerus est sui ipsius divisor, quoto existente unitate. 39. Quilibet ergo numerus JV primo unitatem pro divisore habet, eritque tum ipse numerus /V quotus. Deinde etiam quilibet numerus V se ipsum habet pro divisore, quoto existente unitate. 2 60. Nullus numerus alios habet divisores, nisi quorum est multiplum. (simplo ex idea multipli hic non excluso); si enim alium haberet divisorem, eo ipso hujus futurus esset multiplum, quoto praebente indicem multipli. ! 61. Cum igitur numerus primus nullius alius numeri, praeter unitatem, sit multiplum, numerus primus alios non habet divisores, praeter unitatem .et se ipsum. Scilicet si p denotet. numerum primum, ejus divisores erunt 1 et p, neque praeter hos ullos habet alios. 62. Numeri ergo primi, seu primae classis, duos tantum habent divisores, excepta unitate, quippe quae unicum habet; quam ob causam etiam unitas numeris primis non accenseri solet. 63. Numeri secundae classis, qui constant duobus factoribus primis pq, quia sunt multipla utriusque, praeter divisores 1 et pq etiam divisores habent p et q, ita ut omnes eorum divisores sint 1, p, q et pq. ——'oÓ—— EEEPNÜÁÓ Ae Or V IERCRURECPRIENS Y Tractatus de numerorum doctrina Cap. 2. 9 6, Casus autem hic seorsim est perpendendus, quo ambo factores p et q sunt inter se aequales, quoniam eundem numerum non bis inter divisores numerare licet. Hinc numeri pp, qui sunt quadrata numerorum primorum, tres tantum habent divisores 1, p et pp. .65. Hanc ob causam numeros secundae classis in duas species subdividi convenit, quarum prior continet, numeros formae pp et divisores habet tres 1, p, pp; altera vero species continet numeros formae pq, denotantibus litteris p, q numeros primos diversos. Lllujusque speciei numeri habebunt quaternos divisores 1, p, q, pq. 66. Simili modo classis tertia subdividi debet in tres species, quarum formae sunt p?, p*q, pqr, siquidem p, q, r denotent numeros primos diversos, vel enim omnes tres factores sunt aequales vel bini tantum, vel omnes tres inaequales. 67. Pro tertia autem classe numerorum speciei primae — p? divisores erunt quatuor 1, p, p, p?, secundae p*q sex 1, p, q. p^. pq, pq. — tertiae — pqr. octo — 1, p, q, r, pq, pr, qr. pqr, neque praeterea alii divisores locum habere possunt. 68. Classis quarta, quae numeros quatuor factoribus primis constantes continet, prout horum factorum bini, vel tres, vel omnes quatuor fuerint aequales, subdividenda est in quinque species, quarum formae sunt lI. p*, Il. p?q, III. p IV. p*qr, V. pqrs. 69. Jam facile erit omnes divisores cujusque speciei in classe quarta enumerare: Speciei: divisores erunt quinque: 41, p, p^, p^, p*, AL pq. octo: 1, p, d, p^ pq; P» P d» P4, HH. p'q* novem: |— 5, p, q, p^» pq» q*, pq» pd^, p q^ IV. p*qr duodecim: 1, p, q, r, p', pq, pr, qr. pq, p^r, pqr; p'qr, V. pqrs sedecim: — 1, p, q, r, 5$. pq, pr, ps, qr, qs, rs, pqr, pqs, prs, qrs, pqrs. 70. |n classe quinta, quae numeros ex quinque factoribus primis compositos complectitur, ob - aequalitatem aliquot factorum, sequentes species constitui oportebit: La, HE pgs Hpw,; P y'de;- V.pqir, VE p?grs, VH. pqest. 71. Tum vero singularum harum specierum divisores ita enumerabuntur: Speciei: divisores erunt Ey sex: 1, p, p, p*, p*, p*, HH. pq decem: 1, p» q, p^ pq, p^ p'q» p*, p'4, p'q, HI. pig —— duodecim: /— — 1, p, q, p^, pq, q*; p^, pq, pq^, p'q, p'q^, pq". IV. | p*qr sedecim: 1, p; qs nr, p^ pq, pr; qr, p^, p'q, pr, pqr, pq, pr, p^qr, p^qr, V. p'd'r octodecim: 1; p, q, n, p*, pq, pr, q*, qr, pq, pr, pq, pqr. q^r; pq p'qr, pq*r, p'q?r, VL p'grs . viginti quatuor: 1, p, q, r, $, p^, pq, pr, ps, qr, qs, r$, p'q, pr; ps, pqr, pqs, prs, qrs, p?qr, p^qs, p^rs, pqrs, p?qrs, L. Euleri Op. posthama. T. I. 2 10 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. VIL —. pqrst triginta duo: 1, p, q, r, $, t, pq, pr, ps, pt, qr, qs, qt, rs, rt, st, pqr, pqs, pqt, prs, prt, pst, qrs, qrt, qst, rst, pqrs, pqrt, pqst, prst, qrst, pqrst. | 72. Simili modo reliquarum classium species constituentur, singularumque specierum divisores ommes assignabuntur. Simul autem hac ratione patebit natura singulorum divisorum, atque tam classis quam species, quorsum singuli sunt referendi. 13. Si numeri NW divisores sint: 1, «, 2, y, 9,...N, isque multiplicetur per numerum pri- mum p, qui in eo nondum contineatur, tum productum Vp praeter illos divisores 1, c, 8, y, 0,...N insuper eosdem per p multiplicatos p, «p, £p, 7p, Óp...Np pro divisoribus habebit, ideoque numerus divisorum duplo erit major. 7^. At si ille numerus V per quadratum numeri primi p, qui in ipso non insit tanquam factor, multiplicetur, numerus divisorum triplicabitur. Primo enim productum Np* eosdem habebit divisores quos numerus JV, tum vero eosdem per p multiplicatos, ac tertio eosdem per p? multiplicatos. 75. Simili modo si p sit numerus primus in V non contentus, numerusque JV per p? multi- plicetur, productum Vp^ habebit primo omnes divisores numeri JV, deinde eosdem per p, porro eosdem per p^, ac denique eosdem per p* multiplicatos, quo pacto multitudo divisorum producti Np? quadruplo major est quam numeri XV. 76. Atque in genere si numeri JV multitudo divisorum sit — m, isque per potestatem p^ numeri primi p multiplicetur, producti |Vp^ multitudo divisorum erit (A -1-4) m; ubi notasse juvabit ipsius potestatis p^ multitudinem divisorum esse À -- f. 71. Hinc patet regula facilis multitudinem. divisorum cujuscunque numeri definiendi: Sit enim p^q"r"s forma numeri propositi; et quia numeri p^ multitudo divisorum est A-1- 1, erit numeri p/q" multitudo divisorum (A-- 1) (z 4- 1), hujus vero numeri p^q"r" erit (A -- 1) (Qc 1) (v-4- 1), porroque hujus p^g^r"s* erit (A 4- 1) (gc 2- 1) (v a- 1) (E a- 1). " Classis autem, ad quam hic numerus est referendus, indicatur numero A 4- A a-v--E, qui est summa exponentium. 78. Infiniti ergo numeri exhiberi possunt, quorum multitudo. divisorum sit data. Si enim a—1 multitudo divisorum sit — «a, existente a numero primo, numeri quaesiti in hac forma p^—* con- tinentur, denotante p numerum primum quemcunque. 79. Si a, b, c, d, etc. denotent numeros primos, pariter ac litterae p, q, r, s, etc., numeri, quorum multitudo divisorum est ab, sunt vel p^-—':, vel p^—:q"—'; quorum autem multitudo divisorum est abc, ii sunt vel p^*—, vel p'^—t9*—, vel p*—!4^—!, vel p'*—:9^—!, vel a—1 b—1 .c—1 p^ q^ r -—, ubi litterae a, b, c, etc. eundem quoque numerum primum significare possunt, dummodo litterae p, q, r, etc. significent. diversos. 80. linc si multitudo divisorum sit — 2, soli numeri primi satisfaciunt, seu numeri in hac forma p contenti. Tum vero si fuerit TOR CERRAR NU NRI AR A. DR p eo. Aid Tractatus de numerorum doctrina Cap. 3. 11 multitudo divisorum: erit forma numerorum: 3 p d p^, pq j p* 4 6. p^, pq 1 p* 8 p^ p'q, pqr 9 p^, pq* 10 p^, p*q 11 p* 12 o p» pq, pq par. 81. Cognita ergo forma cujusque numeri, classe scilicet ejusque specie, quo est referendus, non solum multitudo divisorum, sed etiam ipsi divisores ope regularum traditarum assignari possunt. . Caput NE. De summa divisorum cujusque numeri. 82. Proposito quocunque numero n, summam omnium ejus divisorum hoc modo /n designemus, ita ut haec scriptura // denotet summam divisorum numeri n. 83. Cum ergo unitas alium divisorem praeter se ipsam non habeat, erit /1 — 1; cujusque vero alius numeri summa divisorum se ipso erit major, erit scilicet //n 7 n, nisi sit n — t. 8*. Pro numeris primis p, quia alios non agnoscunt divisores praeter se ipsos et unitatem, erit /p — p -4- 1. Tum vero pro potestatibus numerorum primorum erit os .pp—1! fp'—pp-ep - 1 — 4, Es d f ph — p) a- p^4- p 2-4 — p et in genere fp^ —p^--p^—!4-p^—?-4-...-- 1 — 85. Cum numerorum in forma. pg contentorum divisores sint 1, p, q, pq. erit eorum summa fot p o qo pq (19 p) (14-4), ideoque | f pg — (p a- 1) (q e 1). Simili modo erit ex classe tertia J pq — (pp-i-p-1) (q--1) et. /pqr — (p 4-1) (q3-1) (r- t). 86. Eodem modo in reliquis classibus divisores in unam summam colligere liceret; verum quo indoles harum summarum clarius perspiciatur, consideremus in genere numerum JN, cujus divi- sores sint 1, «, 9, 7, 0,...N, quorum summa sit /Y. Multiplicetur ille per numerum primum p, * c 12 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. in eo non contentum, et productum Xp praeter illos divisores insuper eosdem, per p multiplicatos, habebit, quorum ergo summa erit p /N, unde colligitur fore //Np — (p 3- 1) //N — /p/N. 87. Eodem modo ex $ 7^ colligitur, si numerus JV per quadratum numeri primi p, in ipso non contenti, multiplicetur, producti Np? summam divisorum fore (t--p-3- p) /N, seu /Np —/N./p' eodemque modo fore /Np* — /N./p* et ita porro. 88. Hinc pro singulis classibus et speciebus, divisorum summae ita exprimentur Jp /— dp Jp —4-p-ep Jpqg | — (12e p) (1 2 4) Jp ^ —4cpptap Jpq4 —(t-p-p) (1-- q) Jpqr. — (1-2 p) (1274) (1 2 7r) Jp puppy Jpq / —(1-- poc p* a- p?) (1 q) Jpq* — (17 pac p?) (12- q2- g*) Jp'qr — (1- p - p?) (127 4) (t a- r) Jpqrs — (t p) (12 q) (12e r) (12 5) etc. 89. Ex his formulis deducimus sequentes conclusiones: Jp* — phe fp—14 oc p/p Jp! — p! 2e fp! — A o p/p* — A n pe pp Jp! —4 c p/p! —1-2- poc p'/p* —4-pa- pa-p fp Jp — 4 e pf pi — d poe p fp — d pac p? IP — epp fp etc. unde patet esse in genere Jp —1--pfp -—1ipHeg yp 90. Proposito ergo numero |V, cujus summam divisorum assignare oporteat, resolvatur is in — 1-2 ppp /p"^* etc. n—2 suos fac!ores primos, sitque | N — p^q'r"s, quo facto erit f/N—fy . fq . fr". fs. 91. Dummodo ergo tam numerorum primorum ipsorum, quam eorum potestatum summae divisorum assignari queant, omnium plane numerorum summae divisorum definiri poterunt. 92. Pro ipsis numeris primis p, cum sit /p—p -- 1, summa divisorum semper erit numerus par, nisi sit p—2, quo casu est. //2—3. Si enim sit p — 2a — 1, erit. /(2a — 1)—2a. At ob fp'-—p'--p--1, summa divisorum quadrati cujusvis numeri primi semper erit numerus impar, ac subinde adeo numerus primus, veluti /2?—7, /3*— 13, /5*— 291. : —— o————"—Ó Tractatus de numerorum. doctrina. Cap. 3. 13 93. Deinde si N sit cubus numeri primi, seu N-—p*, erit fp'-1--p-tr pp -t p* — (1—2- p) (1 a- pp), ideoque numerus compositus, ac nisi sit p—2, ad minimum erit summa divisorum divisibilis per i, quia uterque factor 1 --p et f --pp est par. Erit ergo. p? — (1 - pp) p. 9^. Si numerus WV sit potestas quarta numeri primi, seu AN — p*, erit summa divisorum f p* — 4 a- p a pp A- p 2-p*, ideoque semper impar, fierique adeo poterit, ut ea sit numerus primus, veluti /2* — 31. | 95. Si sit NX — p^, quia est. /p? — 1 -- p -- pp 2- p? -- p* -- p^, erit summa divisorum Jp! — (1 a p a- pp). (1 2 p*j — (1 2 p) (1 27 p 4 pp) (1 — p - pp); ideoque numerus compositus, qui ex summis inferiorum potestatum ita componitur, ut sit Jp! — (t — p - pp) /p- /p*- 96. Proposito autem producto MN, cujus factores M et N nullum habeant factorem primum communem, erit /MN — /M. /N, quae ergo summa divisorum eo magis erit composita, quo plures numeri primi dispares ingrediantur. 97. Proposito numero quocunque JV, cujus summa divisorum sit /'N, si is per numerum primum p multiplicetur, summa divisorum producti Np semper major est quam p//N. Nam //Np primum complectitur omnes divisores numeri N per p multiplicatos, quorum summa est p /'N, ac praeterea etiam eos divisores numeri V, qui per p non sunt affecti. 98. Hoc etiam ita bipartito ostenditur. Primo si numerus primus p non contineatur in V, erit utique //Np— /p. /AN— (12-p) //N—p/'Na- /N, quo casu sine dubio est. Np — p /N. 99. At si p jam contineatur in N, ut sit NV — Mp", erit / A— / M. f/p^; sed /'Np—/M /p"**. Ex superioribus vero constat esse //p"* '—1--p./p", unde colligitur /Np— /MA-p /p" / M, ita ut sit /Np—p //NA- / M, ideoque /Np — p /N. 100. Numerorum naturali ordine progredientium summae divisorum ita se habebunt: f 1-4 f13— 14 35 —31 f31— 38 f^9— 51 f2—3 fA 6 — 28V f26 242 f/38— 60 f/50— 93 f3— Jf15 — 2b f 21 — 0 f39— 56 fub. T f —1 f16 —31 /38 — 56 f*0— 90 f59— 98 f52—6 KAVAC X [29 — 30 f*1-— ^42 f532 5^ f $—12 f18— 39 30 — 12 f^2— 96 f 5^ — 120 J12— 8 /19 — 20 f31-—32 f^3-2 M 99 — T2 f 8—15 f920 — 42 /f32 — 63 f*h-— 88 f/56 — 120 f 913 f21 — 32 /33 —48 f*5-— 18 f51— 80 f 10 — 18 [22 — 36 yf 3 — 5^ f*6-— T2 f58-— 90 Jii -—i2 f23 — 94 f35 —48 fwi- 48 f359— 60 /f12 — 28 f2&— 60 - //36 — 91 f^48 — 194 //60 — 168. 101. Inter has divisorum summas non omnes occurrunt numeri, sed usque ad 60 excluduntur sequentes: 14 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 2, 5, 9, 10, 11, 16, 17, 19, 21, 22, 93, 25,.26, 27,29, 33, 35, 35, 37, M1, 13, ^5, ^6, ^7, 49, 530,,.51,. 92,(,53, 53, 38;.99. Numeri autem, qui summas divisorum exprimunt, sunt: ^um bí 1, 3, ^, 6, 7, 8, 12,13, 4', 15, 18, 20, 2^, 28, 30, 31,32, 36, 38, 39, ^0, ^2, ^5, ^8, s. 56, 51, 60. 102. linc patet duos pluresve numeros quandoque eandem divisorum summam praebere, veluti f 6—J/f11- 12 fih —/45 —/243— 25 " f/10 —J/ 17 — 18 f 20 — f26 — fM — M2 f16 2/25 — 341 4/33 2/938 —— [1 — MB [921/31 — 32 | 2b c2 38 — 799 — 60. f3& 2/53 5 [98 —/39 35 | 103.. Problema hic proponi solet, quo quaeritur numerus, qui ad summam divisorum suorum habeat datam rationem: scilicet ut sit V: /N — n : m, sive a — i ubi quidem primo necesse est ut sit m — n; si enim esset m — n, foret X — 1. 5 10^. Ratione m:n in minimis terminis expressa, numerus N vel ipsi n, vel cuipiam ejus. mul- tiplo aequalis erit. 'Statuatur ergo N— an, eritque N — fan — am. — Àt nisi sit a — 1, est fan 7 afn, hinque m 7 fn. Quocirca si fuerit m —— //n, nulla solutio locum habet, sin autem m — fn, unica datur solutio, scilicet Y — n. 105. Nisi ergo sit vel m — /n, vel m — //n, problema solutionem non admittit. Priori qui- dem casu numerus quaesitus |V ipsi n aequabitur, neque praeterea ulla alia dabitur solutio. Posteriori vero casu, quo m — //n, numerus JY aequabitur multiplo cuipiam ipsius n, puta /V— an, siquidem ulla solutio locum habet. Dantur enim utique ejusmodi rationes m :n, quibus nequaquam satisfieri potest, etiamsi sit m — //n. j | 106. Numerus perfectus est, cujus summa divisorum ipso duplo est major. lta si fuerit f/N-—92N, erit N numerus perfectus. Qui si sit par, erit hujusmodi 2"4, existente 4 numero impari, sive primo, sive composito. -Cum ergo sit N-—2"4, erit /'N— (9^*1— 1)/4 —92"*:4, unde gi n--1 E: . $n--1—1 numerator unitate tantum superat denominatorem, excedere 9n -r-1 — gn--1—1' 107. Quia hujus fractionis nequit summam divisorum denominatoris; erit ergo vel aequalis, vel minor. Posteriori casu nulla datur solutio, prior vero existere nequit, nisi sit. 2" ' —1 numerus primus. Quare quoties 2^7! —1 fuerit numerus primus, ei / aequalis capi debet, eritque numerus perfectus —9" (gn1.— 4). 108. Omnes ergo numeri perfecti pares in hae. formula 2^(2"*!—1) continentur, siquidem 2"*'—1 fuerit numerus primus, quod quidem evenire nequit nisi n-1- 1 sit numerus primus; etiamsi non omnes primi pro n--1 assumti praebeant 2"77!— 1 primum. Utrum vero pragtét. hos numeros perfectos pares, dentur quoque impares, nec ne? nemo adhuc demonstravit. 109. Si daretur numerus perfectus impar, omnes ejus factores impares sint necesse est. Sit ergo — A4BCD etc. oportetque fieri ÁKA.f B. f C. | D—2ABCD numero impariter pari. Quare inter Tractatus de numerorum docírina. Cap. . ^. 15 summas divisorum ' / 4, /B, /C, /D unica debet esse impariter par, reliquae omnes impares: omnes ergo factores 4, B, C, D, praeter unum, erunt. potestates pares numerorum primorum, unus autem ille vel numerus primus formae ^n -r-1, vel ejusdem potestas, cujus exponens sit 44 -1- f. Sicque talis numerus perfectus hujusmodi | habebit formam (^a - 1) ^^^ * PP, existente P numero impari, et 'n-1 primo. 110. Plurima alia problemata huc referenda, quibus alia proponitur relatio inter numeros inve- stigandos eorumque summas divisorum hic praetermitto, quoniam ex traditis principiis methodus. ea solvendi non difficulter elicitur. —— MÀ ——À Caput IV. De numeris inter se primis et compositis. 111. Duo numeri, qui praeter unitatem nullum alium habent factorem seu divisorem communem, vocantur numeri prüni inter se; qui autem praeter unitatem alium habent divisorem communem, vocantur compositi inter se. ta 8 et 15 sunt numeri inter se primi, at 9 et 15 numeri inter se compositi. 112. Unitas ergo est ad omnes numeros primus. Scilicet denotante n numerum quemcunque, numeri 1 et n sunt numeri primi inter se, quia praeter unitatem nullum alium admittunt divisorem communem. "n — 113. Pari modo duo numeri unitate differentes n et n-1- 1 sunt primi inter se; quoscunque enim divisores habuerit numerus n, nullus eorum dividere potest numerum n-- f. Namque si p sit divisor numeri n, numerus proxime major per p divisibilis erit n -- p, neque vero n-i- 1 divisionem per p admittet. A 11^. Numerus primus p ad omnes numeros, nisi qui ejus sunt multipla, est primus; hinc numeri a et p sunt primi inter se, nisi sit vel a—p, vel a— np. Ergo numerus primus p ad omnes numeros se minores est primus. 115. Multitudo numerorum, dato numero a minorum, est a — 1, inter quos quot sint ad a vel primi, vel compositi, operae pretium est definire; quoniam inde judicium ad omnes numeros ipso a majores facile extenditur. 116. Sit enim b — a, ac si b et a. fuerint primi inter se, etiam omnes hi numeri b aq, b -- 2a, 6 -1- 3a, etc. ad a erunt primi; ac si b et a habuerint communem divisorem, idem erit divisor numerorum b 4-a, 6 -- 2a, etc. 117. Si ergo a sit numerus primus — p, quia omnes numeri ipso minores ad eum sunt primi, horum multitudo est — p — 1. 118. Si sit a — 2p, ab f ad a dantur p numeri pares, qui ergo ad a non sunt primi, deinde ipse numerus p ad a etiam non est primus. Auferantur hi a numeris omnibus ab f usque ad a, quorum multitudo est — p, ac relinquentur p — 1, totidemque ad a erunt primi. 119. Si sit a — 3p, inter numeros ipso non majores primum ii, qui sunt per 3 divisibiles, ad eum non sunt primi, quorum multitudo est — p, deinde insuper p et 2p ad a non. sunt primi: reliqui, quorum multitudo est 3p — p — 2 — 2 (p — 1), omnes ad a — 3p erunt primi. 16 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Moda: 190. Simili modo si « — 5p, numeri, qui cum a communem habent divisorem, sunt. primo omnes per 5 divisibiles, quorum multitudo est — p, ac praeterea qui per p sunt divisibiles, nempe p, 2p, 3p et p; ipse enim numerus 5p jam ante est notatus: unde multitudo numerorum ad a compositorum est p-1- ^, ideoque multitudo numerorum ad a primorum — !p-——^-— ^4 (p — 1), qui scilicet ipso a non sunt majores. 121. Generalius si sit a — pq, existente utroque factore p et q primo, ab unitate ad « dantur p numeri per q divisibiles, scilicet q, 2g, 3q...pq; deinde dantur q numeri per p divisibiles, scilicet. p, 2p, 3p,...qp, quorum ultimus gp jam est numeratus. Multitudo ergo omnium numerorum a non superantium, qui ad a sunt compositi, erit — p 3- q — 1, unde reliqui, quorum multitudo est —gp—p-—4--1-—ip— 1) (q — t). ad a erunt primi. 122. Hic autem pro p et q numeros primos diversos, sumsimus. Nam si esset a — pp, alii numeri ad & non essent compositi, nisi qui sunt per p divites, quorum multitudo cum sit — m. reliquorum, qui ad a sunt primi, multitudo erit — pp — p — p (p — 1). 123. Simili modo si sit & — p?, quia alium divisorem primum praeter p non habet, omnes numeri ab 1 ad a, ad a compositi sunt p, 2p, 3p....p'p, quorum multitudo cum sit p?, rei numeri omnes, quorum multitudo est p* — p^ — p^ (p — 1), ad a erunt primi. 12^. Hinc in genere patet, si « fuerit potestas quaecunque p" numeri primi p, multitudinem numerorum ad a primorum, qui quidem ipso a non sint majores, fore — p"! (p — 1). 125. Sit a — p'q, existentibus p et q numeris primis diversis, et cum « alios non habeat. divisores primos praeter p et q, numeri ad « compositi vel erunt per p divisibiles, qui sunt p, 2p, 3p...pq.p, multitudine —p4, vel per q divisibiles, qui sunt q, 2q, 3q,...p^.q multitudine —p^. Inter hos vero occurunt, qui ibi jam sunt numerati pg, 2pq, 3pq...p.pq multitudine — p, ita ut multitudo omnium ad « compositorum sit — pq -1- p? — p. Quare reliqui, quorum multitudo est — ppq — pq — pp -- p — p (p — 1) (q — 1), omnes ad a erunt primi. 126. Sit «a —pqr, existentibus p, q, r numeris primis diversis, ac numeri ad a compositi - sunt divisibiles 1) per p, scilicet p, 2p, 3p...qr.p multitudine qr 2) per q, (78529, 99. pr-U « pr J» per. (40 5 RS ARP os Me T gU oar Mic autem bis numerantur divisibiles per pq multitudine r, tum divisibiles per pr multitudine q ac denique divisibiles per qr multitudine p, qui inde auferantur; at hoc modo numerus ipse pqr penitus tolleretur, qui ergo iterum est adjiciendus. Sicque multitudo numerorum ad a compositorum erit qr 4- pr 4- pg — r —q—p-- 1; unde reliqui, quorum multitudo est. i A31! pqr — qr — pr — pg 4- ra- q- p — 4 — (p — 1) (q— 1) (r — 1), ad numerum 4 — pqr erunt primi, 127. Ex his colligetur pro omnibus numerorum generibus fore —— POPE E ger Z Tractatus de numerorum. doctrina. Cap. 4. 17 Si sit numerus multitudinem numerorum ipso a minorum propositus ! ad eumque primorum a —p p—1 ap p (p — 1) a — pq ga Qua 5.0 a p p'(p — 1) a — p*q p (p — 1) (q— 1) a — pqr (p — 1) (q— 1) (r — 1) a — p' pp — 1) a — pq p'(p — 1) (q— 1) a — pq p (p— 1)4 (q — 1) a — p*qr p (p—1) (4—1) (r — 1) a — pqrs (p — 1) (q—1) (r—1) (s— 1). 128. Quo autem haec conclusio firmius corroboretur neque inductioni nimium indulgeatur, consideremus hanc formam a — Mp, ubi M sit numerus quicunque, et p primus in M non contentus. Ponamus autem ad 1 ab M multitudinem numerorum ad M primorum esse — y, ideoque multitudinem numerorum ad M compositorum — M — y. 129. Cum ergo ab 1 ad M sint M— 4 numeri compositi ad M, ab 1 ad Mp erunt p(M—u) numeri compositi ad M, qui ergo etiam erunt compositi ad Mp, sed praeterea ad Mp compositi sunt is: p, 2p, 3p... Mp, multitudine M, unde autem expungendi sunt ii, qui jam ad M sunt compositi, quorum multitudo est M — 44; sicque tantum relinquentur z numeri, qui tantum ad Mp, non vero ad M sunt compositi. Quare ab 1 ad Mp omnino ad Mp compositi erunt tot: p (M — 4) zu, et reliqui, quorum multitudo est Mp — p (M — 4) — u — (p — 1), ad numerum Mp erunt primi. 130. Simili modo ostenditur, si numerus propositus sit — Mp", existente p numero primo in M non contento, atque 4 fuerit multitudo numerorum ad M primorum, qui quidem inter limites 1 et M contineantur, tum multitudinem omnium numerorum infra Mp", ad hunc ipsum numerum Mp" primorum, fore — p"—! & (p — 1). 131. Quaeramus enim numeros compositos ad Mp", qui vel ad M, vel ad p erunt compositi. At ab t ad Mp" multitudo numerorum ad M compositorum est — p^(M— 4), qui vero ad p sunt compositi erunt: p, 2p, 3p...Mp" '.p, multitudine — Mp". Hinc autem excludi oportet eos, qui jam ad M sunt compositi, quorum multitudo est p" (M-—,) sicque multitudo eorum, qui ad Mp", non vero ad M sunt compositi, erit — Mp"—! — p"—'(M—— 4) — p^—- 4, unde omnino ab 1 ad Mp" multitudo numerorum ad Mp" compositorum est — p^ (M— 4) -- p"! &. Quocirca reliqui, quorum multitudo est Mp" — p"^(M — 4) — p^—7! — p^—,(p — 1) erunt ad Mp" primi. 132. Cum ergo multitudo numerorum ad p" primorum ipsoque minorum sit — p" ^! (p — f), ex praecedente propositione summo rigore concludimus: Si numerus propositus sit — p^q"r^s^ etc. fore multitudinem omnium numerorum ad eum primorum ipsoque minorum —p^-!(p— 1).q"—!(q — 1).r ^! (r — 1).55— (s — 1) etc. L. Euleri Op. posthuma. T. I. 18 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 133. Si igitur M et JV fuerint numeri inter se primi, atque multitudo numerorum ab 1 ad M, primorum ad M, sit — m, multitudo vero numerorum ab 1 ad NV, primorum ad XN, sit — n, tum multitudo numerorum ad productum MN primorum ipsoque non majorum, erit — mn. 13^. Hinc patet multitudinem omnium numerorum primorum, quemadmodum jam Euclides demonstravit, finitam esse non posse. Si enim ultimus et maximus numerus primus esset — p, statuatur numerus M aequalis producto omnium numerorum primorum M —2.3.5.7...p, qui ergo ad omnes plane numeros esset compositus: cum igitur idem numerus M ad M — 1, vel M-- f certe sit primus, patet assertionem esse absurdam. 135. Ex superioribus autem patet, inter numeros ipso M minores non solum numerum M— 1, sed etiam plures alios ad M certe esse primos, cum multitudo horum numerorum ad M primorum sit — 1.2.*.6...(p — 1), quae eo est major, quo plures numeri primi in se invicem multiplicentur. 136. Ponamus m — 1.2.*.6...(p — 1), existente M — 2.3.5.7...p; et cum ab 1 ad M tot sint numeri ad M primi, quot ;z« continet unitates, hi vel ipsi- erunt primi, vel compositi ex primis, qui sint ipso p majores. 137. Si ab f ad M fuerint m numeri ad M primi, ab 1 ad 2 M erunt 2n numeri ad M primi, et in genere ab 1 ad VM erunt Nm numeri ad M primi. In quovis enim intervallo 1...M, M-2-1...2M, 2M--1...3M, 3M-r-1...^* M, etc. - multitudo numerorum ad M primorum est eadem. 138. Si N designet alium numerum quemcunque, atque ab 1 ad NW fuerint n numeri ad NN primi, ab 1 ad MN erunt Mn numeri ad N primi. At in eodem intervallo sunt Nm numeri ad M primi. Qui autem sunt primi ad MN, ii quoque sunt primi tam ad M quam ad XX. | 139. Ante autem ostendimus, si hi numeri M et NV fuerint primi inter se, tum in intervallo 1....MN tot dari numeros ad MN primos, quot mn contineat unitates; hique numeri in utraque A praecedente multitudine Mn et Nm. occurrunt. (*) Caput V. De residuis ex divisione natis. 1*0. Si numerus a non sit multiplum numeri b, divisio illius per hunc non succedit, et excessus numeri a supra multiplum ipsius b proxime minus vocatur residuum ex divisione ortum. Ita si sit a — mb 2 r, erit r residuum ex divisione numeri a per b natum. (*) Notae Ill. Auctoris margini adscriptae. De maximo communi divisore ejusque inventione. — Si A et P sint numeri primi, inveniri potest multiplum ipsius A, quod per 7 divisum relinquat datum numerum €. — Qui numeri inter se fuerint primi, eorum potestates quaecunque inter se erunt primi. — Si A sit primus ad B, atque etiam ad C, erit quoque ad BC primus. — Si productum AP sit divisibile per primum p, alteruter factor per eum erit divisibilis. — $i 4 et P sint primi inter se, inveniri possunt numeri m et .—— n, ut fiat mA—nB—41, vel alii cuivis numero dato. — Si sit yp maximus communis factor numerorum A et B, tum -4 et P. erunt primi inter se. — Si a per 5 divisum det residuum r, tum na per nb divisum dabit residuum nr. — Si a per b divisum det residuum r, communis factor numerorum a et 5, si quem habent praeter unitatem, simul erit factor residui r. Vicissim, sib et r babeant communem factorem, idem quoque factor erit ipsius a. — — Si a et b sint numeri inter se primi et a7», erit a—mb--p; et b7»p, tum vero b—np--q et p7»q, sicque tandem ad unitatem pervenietur. dractatus de numerorum doctrina Cap. 5. 19 i^i. Hinc patet residuum r semper minus esse numero b seu divisore; si enim esset aequale, seu r— b, aucto indice multipli m unitate, foret a verum multiplum ipsius b, scilicet a— (m-- 1)5; el si esset r 7 b, augendo indicem m reduceretur infra 5. 1^2. Proposito ergo divisore quocunque 5, si dividendus a fuerit multiplum ipsius b, residuum erit — 0; sin antem a non fuerit multiplum ipsius b, residuum erit vel 1, vel 2, vel 3, vel quicunque alius numerus minor quam b, ita ut multitudo residuorum, quae oriri possunt, sit b — 1, vel adeo b, si cyphra simul numeretur. 1^3. Pro quovis ergo divisore b omnes numeri in tot classes distribui possunt, quot b continet unitates. Prima nempe classis continebit omnes numeros multiplos ipsius b, seu formae mb; secunda eos, qui per b divisi pro residuo relinquunt 1, tertia eos, qui 2, quarta eos, qui 3, et denique ultima, qui relinquunt b — t. 14^^. ]ta sumto 2 pro divisore, duae habentur classes, quarum prima continet numeros formae 2m, altera vero numeros formae 2m-r-1. Numeri prioris classis vocantur pares, posterioris vero impares. 1*5. Si ternarius pro divisore assumatur, omnes numeri in tres classes distinguentur: prima complectitur numeros formae 3m, secunda numeros formae 37n-- 1, ac tertia numeros formae 34-2. 1^6. Si divisor statuatur — ^, quaternae classes omnium numerorum his quatuor formis comprehenduntur: l. m, H. &m-- 1, HI. ^: --2, IV. ^m--3, ubi prima classis nomen sortità est numerorum pariter parium; tertia vero numerorum impariter parium. Ai secunda et quarta numeros impares in duas classes subdivisos exhibent. 1*7. Simili modo divisor 5 has quinque numerorum classes suppeditat: L 5m, IL 5m f, Ill. 5: 2-2, IV. 5m -- 3, V. 5m -- !: ac divisor 6 praebet has sex classes: L 6m, 1]. 6m--1, IL 6m--2, IV. 6m--3, ^V. 6m--^, VL 6m--5, et ita porro pro quovis alio divisore: 148. Sic igitur quilibet numerus pro quovis divisore ad certam quandam classem refertur, seu eerta quadam forma exprimitur, quod, cum divisorum numerus in infinitum augeri queat, infinitis modis fieri potest. xU | ; 149. Si enim numerus fuerit minor divisore proposito, ipse ut residuum spectari potest, indice multipli evanescente: ita si sit a 5, erit a — mb -- a. existente m — 0, numerus ergo 3 respectu divisoris 5 pertinet ad classem 5m -- 3. 150. Quaelibet classis infinitos continet; numeros in arithmetica progressione crescentes, secun- dum differentiam divisori aequalem. ta in genere si divisor sit b et residuum r, omnes numeri ad classem mb -i- r relati sunt: r, b-À- r, 26 -À- r, 36 -i r, &b-- r, 56-2 r, etc. cujus progressionis arithmeticae terminus generalis est ipsa formula mb -4- r, unde est nata. 151. Formula mb -i- r etiam hoc modo (m-i- 1) b —5--r potest repraesentari, sicque residuo positivo r aequivalens censendum est. residuum negativum — (b — r), unde patet ideam residuorum latius extensam etiam numeros negativos complecti. » 20 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 159. Hinc divisore 0 existente — 2, formula numerorum imparium 2m-1-1 «etiam ita 2m—1 repraesentari potest; atque si divisor b sit — 3, classis numerorum, qui per 3 divisi relinquunt binarium, etiam formula 3; — 1 continetur; sicque omnes numeros in una harum trium formularum 3m, 3m 34-1 et 35n — 1 contineri necesse est. 153. Quare si residua negativa admittere velimus, omnes formulas mb -- r ita repraesentare poterimus, ut residuum 7 semissem divisoris b non superet. Si enim esset r 235, pro r sumamus í 1 i — (b — r) eritque b — r «5 6. | 15^. Simili modo cum sit mb -i- r — (m — 1) b -À- b -i- r, residuo r etiam aequivalet residuum b- r, vocabulo in latiori sensu accepto. Generatim ergo residua minus proprie ita dicta 5b -i- r, 2b -r- r, 35--r, etc. aequivalent residuo r proprie sic dicto. 155. Scilicet divisore existente b, omnis numerus, etiamsi sit major quam 5, tanquam residuum spectari potest, qui ad residuum proprie ita dictum reducetur, divisorem b inde toties auferendo, quoties fieri licet, quod adeo negativa admittendo infra semissem ipsius b deprimi poterit. 156. Ita si divisor sit 6 et residuum 16, hoc residuum improprium reducetur ad proprium ^, atque adeo ad negativum — 2, sive istae formulae 6m -- 16, 6m 2- ^, 6/1 — 2 pro aequivalen- tibus sunt habendae, quia omnes numeri in una contenti simul in reliquis continentur. 157. Circa residua plures insignes proprietates perpendi oportet. Si numerus 44 per divisorem d divisus, praebeat residuum «, numeri quoque 4--d, 4--2d, 4-4-3d, etc. idem relinquent residuum c», at numerus .4-:- 1 per eundem divisus dabit residuum &-:- f, et generaliter numerus A4 -- n residuum dabit «-- n, quod si excedat divisorem d, eo subtrahendo quoties fieri potest, ad minimam formam reducetur. 158. Simili modo, si sumto divisore d, numero ./ residuum conveniat «, numeri quoque 4 —d, 4—2d, 4— 3d, ete. idem relinquent residuum, at numero 4 — 1 residuum conveniet €& — 1, et numero 4/ — n residuum « — n, quod si forte sit,negativum, additione divisoris d ad positivum reducetur. | ; 159. Sumto divisore d, si numero 44 conveniat residuum co, numero vero B residuum /, aggregato horum numerorum 4 -i- B. conveniet residuum «-4- 9, quod congruit cum « 4- |? — d, si forte sit &-- 9 7 d. Hinc patet si sit & - 9 — d, fore 4 -- P. multiplum ipsius d. 160. lisdem positis, differentiae numerorum 4 — B conveniet residuum « — /2, vel etiam & — [9 -1- d, si forte sit (9 — c. Unde si sit « — 9, seu si numeri 4 et B paria relinquant residua, eorum differentia erit per divisorem d divisibilis. 161. Sumto divisore d, si numerus 4 praebeat residuum «, ejus duplum 2 4 dabit residuum 2e, vel etiam 2« — d, triplum vero 3 dabit residuum 3o, cujus, si sit majus quam d, minima forma erit vel 3« —d, vel 3« —2d. Atque in genere multipli cujusvis n4 residuum erit na, sive nc — md. ; bd 162. Si divisore posito — d, numero 4 respondeat residuum «, numero vero P residuum j, producto 4B residuum conveniet o, quod i forte majus fuerit quam divisor d, reducitur ad - «9 -—d, vel «9 — md. Tractatus de numerorum. doctrina. Cap. 6. 21 163. Erit enim. 4 — md -i- « et B — nd -- £, unde fit productum AB — mnd*? -— (m8 -- no) d -—o8, cujus partes priores cum sint per d divisibiles, postrema «5 pro residuo haberi potest. 16^. Hinc colligimus, si numerus A4 per d divisus relinquat residuum c, ejus quadrato 4? respondere residuum «c, ejusque cubo A4* residuum c?, et potestati cuicunque 4" residuum «^, quod, divisione per d. facta, porro ad minimam formam reducetur. 165. Quare si numero 7/4 per d diviso relinquatur residuum — 1, omnes ejus potestates AP, 45, 4*, etc. per eundem divisorem d divisi idem residuum relinquent — 1. At si residuum numeri 4 sit — 1, aequipollens ipsi d — 1, potestatum parium ^, /4*, 45, 4*, etc. residua erunt -i- 1, imparium vero — 1. 166. Denique notandum est, si numerus 4/ per d divisus praebeat residuum «c, tum fore 4 — « per. numerum d divisibile. Unde cum A^ pro divisore d det residuum c", erit quoque 4" — v" per d divisibile. Caput VI. De residuis ex divisione terminorum progressionis arithmeticae ortis. 167. Incipiamus a serie numerorum naturalium, cujus termini 1, 2, 3, *&, etc. per divisorem quemeunque d divisi, dabunt residua 1, 2, 3, ^, etc. donec perveniatur ad terminum d, cui resi- duum convenit — 0, sequentes vero termini d -1- 1, d 3-2, d 4-3, etc. eodem ordine residua 1, 2, 3, etc. reddent, usque ad 2d, cujus residuum iterum evanescit, et ita porro. 468. Sit jam proposita progressio arithmetica quaecunque 4, ab, a-- 29b, a-i- 3b, a b, a 5b, etc. eujus singuli termini per divisorem d dividantur, et ex primo oritur residuum a, quod idem ante non recurret, quam perveniatur ad terminum 4 -i- nb, cujus pars nb per d divisibilis existat, et post hune terminum residua eodem ordine prodibunt atque ab initio (*). 169. Primo quidem statim liquet, hinc plura diversa residua resultare non posse, quam divisor d contineat unitates. Unde, si ab initio jam tot diversa residua prodierint, necesse est, ut deinceps priores iterum redeant. Semper autem terminus a-:-dó, cujus index est d—— 1, idem praebet residuum ac primus a. : 170. Si differentia progressionis 5 fuerit factor divisoris d, vel si saltem b et d communem habeant factorem q, ut sit b — By et d — Dq, tum antequam ad terminum a db perveniatur, primum residuum a revertetur, scilicet hoc continget in termino a-:- Db, cujus index est D f, quoniam Db — BDq — Bd per d est divisibile. - | 171. Hic ergo duos casus evolvi conveniet, alterum, quo divisor d et differentia progressionis a sunt numeri inter se primi, alterum vero, quo sunt numeri inter se compositi, seu quo habent 'quempiam factorem .communem, praeter unitatem. (*) Script. ad marg. Haec residua excedent numero a residua orta ex progressione 0, 9, 2b, 35, &b, etc. quare hanc evolvisse sufficiet. 22 L. EULERI OPERA POSTHUMA.. Arithmetica. 179. Si divisor d et differentia progressionis b fuerint numeri primi inter se, primum residuum a ante nonrecurrit, quam in termino a-1-db; si enim ex termino quodam antecedente resultaret , puta a 4- (d — n) b, esset (d — n) b, ac proinde etiam nb per d divisibile, ideoque etiam n, quod foret absurdum. 173. Ad definienda ergo residua considerari oportet terminos progressionis, a primo a usque ad a-- (d — 1) b, quorum multitudo est d, quos terminos ordine dispositos cum suis residuis ita repraesentemus : Indices: £,58057 3, lh, 5, d Progressio: 4, a--b5, a--26, a-—-36, à--hb,..........a-- (d — 1) b Residua: E. d y, , 8, | À 175. Primum ergo observo cuncta haec residua, quorum multitudo est — d, inter se esse diversa. Quemadmodum enim primum « non amplius occurrere ostensum est, ita etiam secundum /2 semel tantum adesse docetur. Si enim ex termino a 3 nb, existente n — d, idem oriretur residuum, foret differentia terminorum (n — 1) 5b per d divisibilis, ideoque et n — 1, quod repugnat. 175. Cum igitur omnia residua «, 8, 7, 0,....A sint inter se diversa, eorumque multitudo sit — d, inter ea omnes numeri ipso d minores una cum cyphra occurrent, numeri scilicet 0, 1, 2, 3,....(d — 1) occurrent, quorum multitudo pariter est — d. 176.. Quare si r fuerit numerus quicunque minor quam divisor d, dabitur certe progressionis terminus a- nb, existente n - d, qui per d divisus relinquat residuum r. Ac sumto r- 0, dabitur ejusmodi terminus a -4-7zb per d divisibilis. | 171. Si terminus a-inb residuum praebeat r, erit a-1nb — r per d divisibile. Unde si 6 — et d sint numeri inter se primi, et a — r denotet numerum quemcunque, semper dabitur numerus | n minor quam d, ita ut numerus a — r -&- nb fiat per d divisibilis. 178. Sit a--mb terminus per d divisibilis, existente m «C d, ac terminus sequens a-1- (m-- 1) b residuum dabit 5, praecedens vero a-1-(m — 1) b residuum — b, seu d — b. Sit porro a nb terminus, qui per d divisus unitatem relinquat, atque illo numero hinc ablato differentia (n — m) b etiam unitatem relinquet. 179. Ponamus n — m — p, ut numerus pb per d divisus unitatem relinquat, sumtoque termino &-i-mb per d divisibili, termino & 24- (m -4- p) b. conveniet. residuum — 1, termino a - (m 3- 2p) b residuum — 2, termino a-:-(m--3p)b residuum — 3, et in genere termino «(m -4- np) b residuum — n. 180. Si m-- np fuerit majus divisore d, hic toties inde auferatur, donec remaneat numerus k — d, et terminus a -- kb per d. divisus relinquet residuum — n. 181. Facilius autem termini data residua relinquentes definiri possunt, dum innotuerit pro- ductum pb, quod per d divisum relinquat. unitatem. | Cum enim terminus primus a relinquat «, ter- minus a 4- npb relinquet c -- n. | 182. Si ergo datum residuum fuerit — r, ponatur « -- n — r, et ob n—r—«, invento p, terminus residuum r praebens erit a --(r — c) pb; vel etiam generaliter a -- ((r — c) p ud) b, ubi 1 ita assumere licet, ut fiat (r — «) p -t- ud «— d. Tractatus de numerorum doctrina Cap. 1. 23 183. Totum ergo negotium hue redit, ut numeri b id investigetur multiplum pb, quod per d divisum unitatem relinquat. Cum itaque pb —1 per d sit divisibile, posito pb —1—4qd, numeros p et q investigari oportet, ut fiat pb — qd — 1. Semper autem p infra d assignari poterit. 18^. Saepe ejusmodi productum 75 facilius reperitur, quod per d divisum relinquat d — 1, seu — 1; tum autem hoc productum (d — zx) b residuum praebebit — -- 1, ita ut invento z futurum sit p — d — x. "Tum igitur terminus a -- ((z — r) x -- 4d) 0. datum residuum r relinquat. 185. Consideremus nunc etiam residua, quae oriuntur si differentia progressionis b et divisor d non fuerint numeri inter se primi. Atque jam vidimus, si factor communis sit y, ut sit b —Bq et d — Dy, jam terminum a -- Db idem praebere residuum, quod primus a. 186. Quare si q fuerit maximus factor communis numerorum b et d, quoniam primum resi- duum a, vel « demum in termino a-1- Db recurrit, plura residua diversa locum habere nequeunt, quam numero D: neque ergo omnes numeri divisore d minores inter residua occurrent. 187. Quo haec residua facilius scrutemur, ponamus esse a — 0, sintque termini progressionis cum suis residuis: | ; Indies 1 2 3 hk D Termini 0, By, 2B, 3Bg..... (D — 1) Bg Residua 0, 5g, 9$. p, Àg manifestum enim est, si hi termini per d — D dividantur, residua quoque per q esse divisibilia. 188. Nam si mB divisum per D praebeat residuum r, erit mB — nD--r, ideoque mBg —nDgA-rg. Unde si mBg per Dg —d dividatur, residuum erit rg, multiplum ipsius y. Cum igitur pro r omnes numeri ipso D minores prodire queant, etiam inter illa residua omnia multipla ipsius y, quae quidem divisorem d — Dy non superant, occurrere debent, quorum multitudo utique est, — D. 189. Si ad singulos terminos adjiciamus numerum a, eodem singula residua augebuntur, quae ergo ita se habebunt, existente b — By et d — Dg: Indices 1 2 3 hk ) D Termini a, 4--b, a-4-2b, a--35, a--hb..... a 3- (D — 1) b Residua a, a-—-09, a--yg, a--0g, a--t9, à -r- Àg ubi series 2, y, 0, £...A4 omnes numeros ipso D minores continet, 190. Hoc ergo casu ex serie residuorum excluduntur omnes numeri, qui numero a minuti non sunt divisibiles per y, seu maximum communem divisorem differentiae b et divisoris d, 191. Cum numeri J£ et D sint primi inter se, ejusmodi multiplum prioris, puta mB, exhiberi potest, quod per D divisum, datum relinquat residuum r; tum autem nostrae progressionis terminus a- mBg, seu a mb per Dg — d divisus, relinquet. residuum a 2- rg (*). Caput VII. De residuis ex divisione terminorum progressionis geometricae ortis. 192. Progressionem geometricam in genere ita repraesentamus: a, ab, ab^, ab^, ab*, ab^, etc. (*) Script ad marg. Methodus definiendi formulam az--b, ut ea per datum numerum d fiat divisibilis. 94 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Aritindi cujus termini, si per numerum quemcunque d dividantur, ejusmodi dabunt residua, quae facile ex residuis hujus progressionis 1, b, U^, b^, etc. colligi possunt, his scilicet. per a multiplicandis. 193. Haec ergo de residuis quaestio ad meras potestates revocatur, ita ut residuum. definiendum sit, quod potestas quaecunque 5^ per datum numerum d divisa relinquit. Ubi quidem casus distingui convenit, quibus numeri b et d sunt vel primi inter se, vel compositi. n—1 19^. Si sit 6b — pp et d — q9, quaeratur residuum ex p"g ortum, si per q dividatur; illudque per y multiplicatum dabit residuum ortum ex divisione numeri p^g^ per qp, hocque modo deducimur ad divisionem ejusmodi potestatis b^ per d, ubi b et d sint numeri inter se primi. 195. Sint ergo b et d numeri inter se primi, et residua ex divisione potestatum ipsius 5 oriunda ita indicentur: | Potestates 1, 5, 0?, b*, 65, 55, 55, b", etc. Residua (797 y 7990» ig;retu 5j, etc. quae omnia ad divisorem d quoque erunt prima, quia d ad omnes potestates ipsius 5 est primus. 196. Quia haec residua 1, «, 9, 7, Ó, etc. omnia sunt minora quam d, ea omnia a se invi- cem diversa esse non possunt. Quin si multitudo numerorum; ad d primorum eoque simul minorum, sit 7^, plura residua diversa resultare nequeunt, quam , continet unitates. 197. Cum ergo innumerabiles potestates paria praebeant residua, si ponamus b" et 5"-*" idem dare residuum, harum potestatum differentia 5" "^ — 5" — 5" (5^—1) per d erit divisibilis. Quia igitur 5" ad d est primus, sequitur 0"— 1 per d esse divisibile, seu potestatem ^ dare residuum — 1. 198. Quia plura quam ,4 residua diversa occurrere nequeunt, si progressio ad terminum 0". continuetur, ob terminorum numerum — --1, unum saltem residuum bis occurret, sicque casus ante positus contingat, antequam m --n superet ;, unde potestas b" residuum —— 1 reproducens dabitur, ita ut n non superet . /199. Ponamus post unitatem 5b" infimam esse potestatem, quae per d divisa unitatem relinquat, : atque sequentes potestates 577 !, 5^7. 5^--5, etc, eadem praebebunt residua, quae potestates initiales b, D^, b5, etc. donec perveniatur ad potestatem 0?", quae iterum unitatem pro residuo relinquet. 200. Cum igitur.a potestate 5" progrediendo eadem residua recurrant, atque ab initio, non solum omnes potestates. 5?, b", b?", 59", 5", etc, idem relinquent residuum 1, sed etiam hae b, po, qi) pif p^—-! s ete. idem habebunt residuum, quin etiam istae 0", 5", p?n-em. 5?"-*". ete, per d divisae aequalia residua relinquent. 201. Posita ergo 5b" infima potestate unitatem pro residuo relinquente, ita ut n non excedat 4, multitudinem numerorum ipso d minorum ad eumque primorum, omnes antecedentes potestates . 1, 5, 0?, 55,....0"—* disparia praebebunt residua, quae deinceps eodem ordine recurrent. Si enim duo eorum essent paria, minor valor pro m haberetur, contra hypothesin. 202. Quodsi ergo in residuis omnes numeri ad divisorem d primi eoque minores occurrant, quorum multitudo est — ,«, erit n — 4, atque b" — 1 per d erit divisibile — Sin autem non omnes illi numeri ad d primi inter residua occurrant, necesse est, ut sit n «C 4. Ostendemus autem his casibus n esse partem aliquotam ipsius z. I halls di a Lr t n - Dc PTERQUCCODVW. MM Tm En " Tractatus de numerorum doctrina Cap. 7. 25 203. Si non omnes numeri ad d primi eoque minores, quorum multitudo est — z, inter residua, quorum multitudo est — n, occurrant, eos, qui ex ordine residuorum excluduntur, nomine non-residuorum appellabo, ita ut multitudo residuorum n cum multitudine non-residuorum exhaurire debeat numerum p. 20^. Si in serie residuorum 1, «, 2, 7, etc, occurrant numeri r et $, in ea quoque occurret numerus rs, seu residuum ipsi aequivalens. . Si enim residua r et s respondeant potestatibus b? et b^, potestati 0*7*^ respondebit residuum rs. Hincque inter residua occurret numerus r/s*, sumtis exponentibus f" et g utcunque. | 205. Vicissim si potestati b^ conveniat residuum r, potestati vero 5*^*^ residuum rs, vel r$— Ad, tum potestati b^ conveniet residuum s. Nam producto bs conveniet residuum rs, idem quod potestati b^ ^; hinc differentia 5^" —b*s— 6^ (b^—s) per d erit divisibiliss Quare cum 5* ad d sit primus, necesse est sit b^ — s per d divisibile, sicque potestati b^ respondebit residuum s. 206. Si ergo numeri r 'et rs inter residua reperiantur, certum est et numerum s ibidem repertum iri. Quodsi jam series residuorum 1, «, 9, y, Ó, etc., quorum numerus est — n, non omnes numeros ipso d minores, ad eumque primos complectatur, quorum multitudo est — 4, dabitur unus pluresve, quos in classem non-residuorum referri oportet. 207. Sit » tale non-residuum, ac manifestum est etiam hos numeros ez, x, yz, Óx, etc. inter non-residua reperiri, nam si cx in residuis inveniretur, quia « ibidem extat, etiam c ibidem reperiri deberet, contra hypothesin. Ex unico ergo non-residuo necessario sequuntur tot non-residua quot habentur residua, scilice& numero n. Sunt enim haec non-residua inter se aeque disparia ac ipsa residua 1, c, 2, y, Ó, etc. ac si ibi duo aequalia darentur, etiam hic talia esse deberent, quod foret absurdum (*). 208. Statim ergo atque est n «C 4, ad minimum dantur n non-residua, quae si omnia com- plectantur, erit tam residuorum quam non-residuorum numerus — n --n, ipsi 4; aequandus, unde [14 . B D L B k . . fit n — 3? hinc si n — 4, fieri nequit, ut numerus residuorum n semissem numeri z superet. 209. Si in modo expositis non-residuis 2, «x, 9, yx, etc. non omnia occurrant, sit y numerus — d ad eumque primus, qui neque in his non-residuis neque residuis reperiatur, atque simili modo etiam hi numeri «y, y, yy, etc. a praecedentibus diversi, ad non-residua referri debent, sicque denuo » numeri ad non-residua accedunt. 210. Si his duobus ordinibus nondum omnia non-residua exhauriantur, novus ordo accedet, pariter n terminis constans, ac fortasse denuo novus totidem constans terminis; unde colligitur numerum omnium non-residuorum, nisi sit nullus, vel ipsi numero n, vel ejus duplo, vel triplo, vel in genere multiplo cuicunque aequari. 211. Cum igitur omnia non-residua una cum residuis multitudinem omnium numerorum ipso divisore d minorum ad eumque primorum exhaurire debeant, erit vel n — 4, vel 2n — 4, vel 3n — 4 eic. sicque semper exponens m est pars aliquota numeri z. (*) Serip. ad marg. Si x et y non-residua, erit y — ez et zy — «zz; jam si numerus non-residuorum — numero residuorum, demonstrandum est xx inter residua contineri. L. Euleri Op. posthuma. T. I. h | 96 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 219. Quodsi ergo b et d sint numeri inter se primi, et ,; denotet multitudinem omnium numerorum ad d primorum ipsoque minorum, tum vero b" fuerit minima potestas post casum n—0, quae per d divisa unitatem relinquat, tum erit vel n — u, vel n aequabitur parti cuipiam aliquotae " e * . H& . LÀ Li c . ipsius /, ita ut sit n — -» existente m divisore quopiam ipsius u. 213. Cum autem post potestatem b" etiam omnes istae 5?", b*", 5'", etc. unitatem pro residuo agnoscant, semper potestas 5^ — b" per d divisa unitatem relinquet. Hinc dum 5 et d fuerint numeri inter se primi, haec formula b^ — 1 semper per numerum d erit divisibilis. 21^. Si praeterea etiam c et d fuerint numeri inter se primi, quoniam c^ — 1 divisionem per d admittit, harum formularum differentia b" — c" semper per numerum d erit divisibilis, dummodo uterque numerus 6 et c ad d fuerit primus. 215. Si pro d sumamus numerum primum p. erit 4; — p — 1, atque haec formula 5^—!— 1. semper erit per p divisibilis, nisi ipse numerus 6 fuerit multiplum ipsius p. Fieri autem potest, ut forma simplicior 5" — 1 etiam divisionem per p admittat, ubi autem necessario requiritur, ut exponens n sit pars aliquota ipsius p — 1. : 216. Si divisor sit d — pq, existentibus p et q numeris primis inaequalibus, neque 6 alter- utrum horum numerorum complectatur, tum ob 4 — (p—1) (q— 1), haec forma 69 —9? (—9 — 4 per d erit divisibilis. ds 217. Ac si existenübus p, q, r, $ numeris primis inaequalibus, fuerit d — pq" r's., ac b numerus quicunque ad d primus, tum posito | mn — p^ (p — 1) q"—* (q —4) "7! (r— 1) $—' (s — 1), haec forma 6"— 1 semper per d erit divisibilis, atque interdum fieri potest, ut formula simplicior b^ — 1, existente n parte quapiam aliquota ipsius m, divisibilis evadat. 218. Sed retineamus divisorem generalem d, sitque 1 multitudo numerorum ipso minorum ad eumque primorum, pro 5 autem sumatur numerus quicunque ad d primus, cujus minima potestas per d divisa unitatem relinquens sit ^", atque vidimus necessario fore vel n — 44, vel n-— $a, vel nc, vel n -— jt vel n — A siquidem , tales partes aliquotas admittat; quos casus diligentius evolvi conveniet. 219. Statim quidem suspicari licet, hoc discrimen ab indole numeri U pendere, ita ut pro dato divisore d, certi numeri pro b sumti praebeant n — &, alii h— i, alii n —— Hu, alii n—— uU, seu adhuc minori parti aliquotae ipsius ,. 220. Quaecunque autem n sit pars aliquota ipsius 4, si binae potestates b" et c" unitatem - relinquant, etiam composita (be)" unitatem relinquet. ^ Deinde etiam manifestum est potestatem (b3-Ad)" per d divisam, esse relicturam unitatem. 221. Cum potestas b" semper unitatem relinquat, quaeramus numeros pro b sumendos, ut TE LÀ . LÀ L4 eliam 52^ unitatem relinquat, quo casu ante omnia necesse est ut ; sit numerus par, quod quidem semper evenit nisi sit d — 2. pu rv Tractatus de numerorum doctrina. Cap. 1.. 21 , . " " . ; uu 222, Si jam capiatur b — ee, ita ut e sit numerus ad d primus, certum est 5?"—e^ unitatem relinquere, quod etiam evenit si b — ee-*- Ad. Minores ergo numeri pro b sumendi sunt residua, quae ex divisione numerorum quadratorum per d resultant, si modo quadrata ad d fuerint prima. 223. Simili modo potestas ys" per d divisa unitatem relinquet, si fuerit b — e^, et generalius si b — e*-- Ad. Minores ergo valores ipsius b idonei sunt residua, ex divisione cuborum ad d pri- morum per ipsum numerum d orta. Evidens autem est hoc evenire non posse, nisi numerus sit per 3 divisibilis. 221. Si uL per ^ sit divisibile, tum potestas "EXE per d divisa unitatem relinquet, si fuerit b — e*, et generalius b — e*-- Ad. Minores ergo numeri sunt residua, quae ex divisione biquadra- torum per d oriuntur, iis scilicet tantum biquadratis sumendis, quae ad d sunt prima. 225. In genere ergo, si numerus 4 divisibilis sit per », potestas bv per d divisa unitatem relinquet, si capiatur b — &", vel adeo 6 — €" 3- Ad, ita ut idonei numeri pro 5 substituendi sint residua, quae ex divisione potestatum ordinis » per numerum d oriuntur, potestatibus illis ad d existentibus primis. - 226. Sufficit ergo pro b numeros sumsisse ipso d minores, qui quidem ad eum sint primi; atque unitas quidem pro & sumta omnia residua unitati aequalia reddit, ita ut hoc casu semper sit n — 1, seu PE Casus autem iste solus relinquitur, si capiatur divisor. d — 2, quippe quo fit & — 1. 227. Sit divisor d — 3, erit / — 2, et praeter casum 6 — 1, quo n — 1, habebimus casum b — 2, unde oritur progressio geometrica cum suis residuis : Progr. geom. 1; 23, 2*' 2V' 25 ett, ubi est 1 — 2, Residua En Ww 1h 1, de, su ont. 998. Sit divisor d — *, erit , — 2, et praeter casum b — 1, quo n— 1 — 4, habemus casum b — 3. Progr. geom.: f£,:'3,. 35, 3*, 3', etc, hine ergo fit n-—2—,u Residua EU i, 93, 14d, te. 229. Sit divisor d — 5, erit 4; — *, et habebimus hos casus | b—1 b—29 b—3 | b —h Progr. geom. 1, 1 E, 4 foeda. 4$..94 $, hk Residua - OR 3 4 8 3. ;Po rp 17a aed red p TE nh n -—h Á R2 duobus ergo casibus hic est n — '*, uno n — 2 et uno n — 1. 230.. Si divisor d — 6, erit », — 2, et duo erunt casus - Progr. geom. Residua wx So o-- m CN w í 1 1,55, 9* r 1 28 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 231. Si divisor d — 7, erit 4 — 6 totidemque habentur casus b -— bn EA bind Progr. geom. — 1, 1 4 «4 0*5 3! Aue nidis dnos NMNGS DNLLAME Residua 1,71 Pas Ci MOL 34 o 4 4:5 $4 1 I. OA n —1 n — 3 n —6 n3 De b —6 Pet gw [£$, 5, 8; $5.95 9 V 1, 6, € Residua lá. 0; OV oA odor 625 74 eus hz 232. Si divisor d — 8, erit 4 — '* totidemque casus z— bz24 5239 NO Prog. geom. 1, 1 1 34 ee E Lo TIAE Residua 1-1 PONE LI fn : nct n2 n-2 n — nullo ergo casu erit n — 4, sed tribus n 4, ei uno casu n—. Hu. 233. Si divisor sit. d — 9, erit 4, — 6 totidemque casus b —1 bos b—h Prog. geom. 1$. 3 t8 72s o 909 uw" 1, 5h, 9 ME Residua 12 1 la S4 B; 804 do $»M 1 $, o7; n —1 n—6 : n —3 b-——5 bz bz8 : Progr. geom. ft $5, 95 $2, 1^ 1. FE tL T T 1, 48, 0 Residua Ls 55 d464u t 6 dw 4,93 n6 n —3 nz 23^. Si sit divisor d — 10, erit 4, — ^ | b —1 b 23 bz1 b —9 : Progr. gom. — 1, 1 4:73, 34 3 "3 í, 7).M9 95 0 m 1,391099 9 Residua 6; 4 475109 $4 3,09 HE 4, 92720 n —1 n -—M nh nz | 235. Sit d — 11, erit 4 — 10 totidemque casus 4 | b ——1 b —2 b —3 | Progr. geom. 1, 1 1, 2,795425 9*5 25- 96 97.95. 94.904, $9 93 COMI Residua i; 4. 14; 2: 855 00i Xa 7,- 97 ted 1,3, 9,.5, ADM n — n3 10 n —35 Tractatus de numerorum doctrina Cap. 1. 29 b —^ | Dz—5 Progr. geom. Ó2 5, Wh OM, MS OS í. 5, M Ice» Residua 1. h, 9, 9, 3, 1 1, 5; P h, 9, 1 n zm n5 b —6 bzsd Progr. geom. 1, 6, 6*, 65, 6*, 6*, 65, 67, 65, 65, 6? 1, 7, 7, 75, 7*5, 75, T, T", T, T, 719 Residua 1,9, 3,. 71,9, 10, 5, 8, MM 9^4 15:4,5; 2,79, /10,.5,.6,. 9, 8,..1 n — 10 n — 10 $6—8 Progr. geom. E.o85552N. $8, 87 q^ Wu R^c5 95,90 Residua 1, 8 o NS UEuL Eo: 30; 9,994094 08.39. qo 4 n -——10 L9 b — 10 Progr. geom. ES" 48. 95 7» £49 1 Residua I $5 X uUUX "1 1$, 54094 icy n2 236. Sit d — 12, erit 4, — * totidemque casus : b —1 d m9 5-1 b — 11 Progr. geom. 1,. 4 SNO UE Eo oT T 1; Inu Residua | 11i I$ i1 G 7T t 5 n 1! Nu n—12 n -— : n —2 hic ergo semper est n — &, tribus casibus scilicet nrc H4, et uno n— [3 237. Si sit divisor d — 13, erit 4 — 12, et pro minima potestate b", quae per 13 divisa relinquit unitatem, reperitur | : si 0—1, 2, 3, &, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, e n—1, 12, 3, 6, 9, 12, 12, 5, 3, 0, 12, X. 238. Quemadmodum semper si ó — 1 fit n — 1, quicunque fuerit divisor d, ita etiam sumto b—d-— 1, fit n—2, seu (d — 1)* per d divisum relinquit unitatem, quod in potestate prima nunquam contingit. De reliquis autem valoribus pro b assumtis difficilius est judicium. 239. Quoniam potestas (kd -- 1)" per d divisa relinquit 1, si fuerit kd -- 1 — bc, et potestas b^ per d divisa relinquat eliam unitatem, tum quoque potestas c" unitatem relinquet. Cum enim b" relinquat 1, productum b"c^ relinquet c", ac per hypothesin b"c^ relinquit 1; ergo in aestima- tione residuorum c" aequivalet unitati, seu c" per d divisum unitatem relinquet. 2^0. Quare si 5" fuerit minima potestas per d divisa unitatem relinquens, sitque bc — Kd - 1, minima potestas ipsius c unitatem relinquens vel erit c^, vel adhuc minor, exponente existente parte 30 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Masken n aliquota ipsius n. At si minor potestas ipsius c, puta c v, relinqueret unitatem, etiam talis potestas ipsius b relinqueret unitatem, quod cum sit contra hypothesin, sequitur, si b" fuerit minima potestas unitatem relinquens, etiam c" fore minimam potestatem 1 relinquentem. 241. ]ta posito d — 13, quia 5* est minima potestas unitatem relinquens, si sit 5c— 13k 1, erit quoque c* minima potestas unitatem relinquens. "Verum ut fiat 13k--1 per 5 divisibile, sumi debet k — 54 —2, eritque c— 132, — 5, cujus minimus valor est c — 8, ita ut etiam 8* sit minima potestas per 13 divisa unitatem relinquens. 242. Quicunque autem fuerit numerus b minor quam d ad eumque primus, semper quoque dabitur numerus c, etiam minor quam d ad eumque primus, ut sit bc — kd -4- 1, neque plures. Si enim duo dentur, ut esset tam bc — kd -- 1, quam be — (d -- 1, foret bc — be — b (e — e) per d - divisibile, unde ob 6 et d primos, esset c — e per d divisibile, quod cum c et e sint minores quam d, fieri nequit, nisi sit e — c. Hoc autem evenire potest, ut fiat c — b, quod semper contingit, si sit vel b — 1, vel à —d — 1. —— Caput VEN. De potestatibus numerorum, quae per numeros primos divisae, unitatem relinquunt. 243. Quodcunque residuum potestas a" per numerum d divisa relinquit, idem etiam relinquent ommes potestates ejusdem exponentis (a-i- Ad)", atque si n fuerit numerus par, idem EHE relinquet. etiam potestas (Ad — a)", unde judicium residuorum ad numeros a divisore d minores . revocatur. 24^. Sit jam divisor d numerus primus quicunque, et quia binarius nullam habet difficultatem, ponatur d — 2p -- 1, eritque 2p multitudo numerorum ipso d minorum ad eumque primorum. Jam si 4 sit numerus quicunque ad d primus, quod fit dummodo « non sit d ejusve multiplum, vidimus ejus potestatem. 47 per d — 2p 3- 1 divisam semper unitatem relinquere. 9N5.- Saepe autem evenire potest, ut etiam potestas inferior a^, existente n —— 2 p, per eundem numerum d —92p 1 divisa unitatem relinquat; tum autem exponens n certo est pars aliquota ipsius 2p. Quod ergo si evenit, non solum formula a7 — 1, sed etiam formula a^ — 1 per numerum primum 2p 4-1 erit divisibilis. ! | | 216. Quod si ergo formula a"— 1 fuerit divisibilis per numerum primum 2p -- 1, erit etiam formula «""^—-1 divisibilis, unde cum formula a?" — 1 certo sit etiam per 2p -i- 1 divisibilis, erit etiam differentia a"" — a?^, seu a? (q""—?? — 1) divisibilis; quare cum factor a?^ divisionen non - admittat, alter a""—7^ — 1 divisibilis sit necesse est, quicunque numerus pro ;» sumatur. 217. Sit À maximus communis divisor numerorum n et 2p; ac si formula a^ — 1 fuerit divi- sibilis per numerum primum 2p--1, etiam haec formula a^— 1 per 2p-- 1 erit divisibilis. Sit enim n — «À et 2p — /24, ut « et /9 sint numeri primi inter se, et quoniam tam qeiopy quam a^^ — 1 sunt multipla ipsius 2p -a- 1, etiam hae formulae a^^^— 1 et a"?^ — 1 erunt multipla. At ob « et /9 numeros primos, ; et » ita accipi possunt, ut fiat jc — »/9 -4- 1, unde differentia erit c Á No E NINE URN YN ENS IERI NINOS I ERE TTE Tracíatus de numerorum doctrina Cap. 8. 31 ———————————s————— ———— q'9A-- 4. q*9A — q"V (a^ — 1), quae cum sit divisibilis per 2p -- f£, necesse est sit a^ — 1 per 2p -- 1 divisibile. | 918. Si ergo n sit numerus ad 2p primus, forma a" — 1 divisibilis esse nequit per numerum primum 2p-i-1, nisi sit a — 1 per eundem divisibile. Unde si a — 1 non sit multiplum numeri primi 2p -i- 1, formula 4" — 1 per eum divisibilis esse nequit, nisi n et 2p sint numeri inter se compositi, quorum si maximus communis divisor sit 4, adeo haec formula a^ — 1 per 2p 4- 1 erit divisibilis. 249. Si igitur a^ fuerit minima potestas ipsius a, quae per numerum primum 2p --1 divisa unitatem relinquit, tum certe est n pars aliquota numeri 2p. Tum autem si fuerit ab — Kk (2p-- 1) 4- 1, erit etiam 5" minima potestas ipsius b, quae per 2p -3- 1 divisa unitatem relinquit. .250. Si n sit numerus primus et formula a" — 1 divisibilis- per numerum primum 2p - t, vel erit n pars aliquota ipsius 2p (quia alius communis divisor locum non habet), vel si fuerit ad | 2p primus, numerus a— 1 per 2p -i- 1 erit divisibilis. Quare praeter divisores ipsius a — 1 formula a" —1 alios divisores primos non admittit, nisi hujusmodi formae 2p -- f, ut 2p sit multiplum ipsius n. Unde omnes ejus divisores primi in hac forma 2mn -- 1 continebuntur. 251. Quare haec forma a*— 1 praeter divisorem a — 1 alios divisores primos non admittit nisi formae 6mi-- 1, qui sunt 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97 etc. Cum ergo aa3- a-- 1 sit factor ipsius a^ — 1, etiam is per nullos alios numeros primos est. divisibilis. 252. Simili modo forma a? — 1 praeter divisorem a— 1 alios non habet, nisi qui in forma 10m -- 1. contineantur, quales sunt 11, 31, ^1, 61, 71 ete. Quare etiam tales numeri | a5 4- a? 2- a? 4- a 2 1 , | nisi sint primi, alios divisores non admittunt. 253. Quoniam numeri perfecti inveniuntur, quoties formula 2" — 1 est numerus primus, primum patet hoc evenire non posse, nisi n sit numerus primus. At si n fuerit talis, formula 2^— 1 certe alios non habet divisores nisi formae 2n -- 1, unde éxploratio utrum sit primus, nec ne? faciliori negotio absolvitur. 25*. . Cum a?" — 1 semper sit divisibile per numerum primum 2p-- 1, illa autem forma constet factoribus a^ — 1 et a^-1- 1, necesse est ut alteruter per 2p-- 1 sit divisibilis. Vidimus autem, si sit a — ee 3- A (2p 4- 1), fore a" — 1 divisibilem; his ergo casibus formula a^ -4- 1 per 2p 3-1 certe non est divisibilis. 255. Hic quaestio oritur, num forte semper formula a^" — 1 per 2p--1 sit divisibilis? ideoque nunquam altera &^-1- 1, quod casu, quo p est numerus impar, statim negandum esse patet. Quia enim tum a/-i- 1 factorem habet & 4 f, ista formula sumto a — 2p manifesto per 2p-- 1. fit divisibilis. | 256. In genere autem sequenti modo ostendi potest formulam a^— 1, existente n —— 2p, non semper divisibilem esse per numerum primum 2p-i-1, sed dari utique ejusmodi numeros pro 4 adhibendos, quibus divisio formulae a"— 1 non succedat, quod per deductionem ad absurdum sic commodissime demonstrabitur. 32 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 257. Qui enim hoc negaverit, affirmare debet omnes has formulas 1" — 1, 2"— 1, 3^— 1, 4^ —1, 5^—1,....n"— 1 per 2p-3i-1 esse divisibiles, ideoque etiam earum differentias tam primas 9^..1, 39"^— 2^, 4^— 3^, 5" — M', ete. quam secundas 3" — 2.2^-— 1^, ^ —2 3" 4- 2^, 5" — 9.4" -,1- 39", etc. et sequentes omnes. 258. Differentiae autem ordine n sunt constantes, quae si littera JV indicentur, ita exprimuntur ut sit V — (n 4- 1)" —n.n"4-— 3 ii (n — 1y—* s A » iis. (n — 2)" 4- etc. cujus expressionis valores pro variis valoribus ipsius n facile colliguntur : Si n—í1 estt N—2—1-—1 n-2 N—3'—92.212.-1—2—1.2 " n-—3 N—545—3.3*2-3.25——1—6 — 1.2.3 n—h N5*.—4.4525-6.3!— 4.2*--1—2* — 1.2.3. etc. 959. Ad quod clarius ostendendum sit, pro n scribendo n 1, | Pu (n a- "ewdis p (n 2 1) (n a- p e n^i —e e D (n SS t) n--1.1. otc. et a termino anteriori incipiendo r n — 1) "*! — etc. (n 4- 1) n P (n A- p't'— (n 4 1) uut e nt At valor ipsius V ita repraesentari potest m n j4n--1 " prt n--1,. f(n-4) N — (n 2- 1) n Wer (n — 1) 13.3 uae per n-r- Í multiplicata praebet valorem ipsius P, ita ut sit P — (n -- 1) N. q Pp p p p (n —2) "7^! ^- etc. 260. Cum igitur casu n—1 sit N— 1, casu n — 2 erit V— 1.2, casu n—83 erit X— 1.2.3, T7 et in genere pro numero quocunque n erit N— 1.2.3....n. At haec differentia ordinis n non est divisibilis per numerum primum 2p-i- 1, ob n — 2p, unde sequitur non omnes terminos seriei $ 257 expositae per eum esse divisibiles. L 261. Sit 6p-1- 1 numerus primus, et cum forma a$"— 1 per eum sit divisibilis, nisi a ejus sit multiplum, dabuntur casus, quibus etiam a" — 1 per eum dividi poterit, scilicet sumto — : a — e&52—À (6p - 1). Tum vero etiam dantur casus, quibus formula a?"— 1 non erit divisibilis per 1 istum numerum primum 6p 3- 1, uti ex demonstratione modo allata patet. ; ' 262, Cum ante ostenderimus formulam a? — 1 fore per 6p -- 1 divisibilem, si fuerit q — cc -- À (6p a- 1), , nunc colligere licet, si numerus & simul in hae forma cc-- A (6p -- 1) et in hac c?-€ 4 (6p - 1) contineatur, tum etiam formulam: a? — 1 per 6p -i- 1 fore divisibilem, id quod quoque continget si. fuerit a — c5 zt- À (6p 2- 1). 263. Si sit &p-i- 1 numerus primus, ut a*^ — 1 per eum sit divisibile, tum adeo a^ — 1 per eum dividi poterit, si fuerit a— c* 3 4 (p 4- 1). Dantur vero etiam casus, quibus formula a^— 1 divisionem non admittet: iis ergo vel a?-- 1, vel a?^-4- 1 certe per p -- 1 erit. divisibile. —— SH Trüctatus. de numerorum. doctrina. Cap. 9. 33 Caput EX. De divisoribus numerorum formae a" 2- »", 26^. Posito 2p -- 1 numero primo, dum a et b ejus non sint multipla, tam haec formula q"— 1 quam ista 0"7— 1 per eum erit divisibilis; ideoque etiam earum differentia a*— b?" semper per numerum primum 2p -i- 1 divisionem admittet. 265. Ponamus jam numerum a"—-6b" divisibilem esse per numerum primum 2p -i- 1, et ut exploremus, quomodo hoc fieri possit, ponamus q» esse maximum communem divisorem numerorum n et 2p, ita ut posito n — «gq et 2p — 9«, numeri « et /9 futuri sint primi inter se. 266. Cum autem « et 9 sint numeri primi inter se, fieri potest í« — v/ -i- 1. Quare cum a^? — b"? per. 9p 2-4 sit. divisibilis, etiam a""?— b"^?, hoe ' est a"? 9 — 508-9 ?. erit. divi- sibilis, tum vero ob a?^—406??, quoque hic numerus a'"/?— b'??, nec non idem per a? multiplicatus, scilicet. aU? 77 0? — q? "97, ! 267. Auferatur haec posterior forma a praecedente, et differentia a?5"P?— p 0? D9— b"? (aT — b) divisibilis erit per numerum primum 2p-1- f. At b'"/? per eum non est divisibilis, ergo alter factor a? — b? divisibilis sit. necesse est. , : 268. Quare si numerus a"— b" divisibilis sit per numerum primum 2p -i- 1, fueritque cg maximus communis divisor numerorum 7 et 2p, etiam hic numerus a? — b? per 2p -- 1 divisibilis erit, et nisi posterior divisionem admittat, ne prior quidem admittet. ,.4,,209. Quodsi ergo n et 2p fuerint numeri inter se primi, seu unitas maximus eorum communis divisor, nisi a — 5 sit. divisibile per 2p i 1, etiam a^— b" per hunc numerum primum divisionem non admittet. | | 2970. ' Divisores ergo primos numeri a"— b" investigaturi, praeter divisores ipsius a — b, qui sponte se offerunt, reliquos quaerere debemus inter eos numeros primos 2p 3- 1, in quibus 2p ad n non est primus, sed compositus. 271. Unde si n sit numerus primus, omnes divisores numeri a" — b^ praeter eos, quos a — b continet, tantum inter numeros primos hujus formae An-1- f quaerere debemus, siquidem a et b sint numeri primi inter se, quam conditionem adjici debere manifestum est. 272. Pro variis ergo valoribus ipsius m divisores primi formae a^— 65" praeter a — 5 quaeri debent, ut sequitur: (*) formae . divisores quaeri debent inter hos numeros primos: a —bw 22 -- 1...3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, nullis exclusis a? — b? 34 -1-1...2, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, etc. T AEN d 54 -- 1...11, 31, ^1, 61, 71, 101, etc. a' —b |" 732€ 17.789, 43, 71, 113, 127, etc. qti —pu | fIX-E T. 7793, 67, 89, 1997 331, "ete. etc. (*) Seript. ad. marg. 4. Ad divisores formae a" — /" etiam accedere potest ipse numerus m. 2. Ex ugs Sequitur numerum da -t- ab -4- b alios divisores habere non posse nisi-34 -4- 1; ergo 34 — 1 certe non sunt divisores. ^L L. Euleri Op. posthuma. T. I. 5 314 L. EULERI OPERA POSTHUMA.- Arithmetica. |. 273. Si n non sit numerus primus, sed productum duorum primorum, puta n —«/, divisores primi formae a^?— b^? praeter a — 6 continentur in forma 2p-i-1, existente 2p ad «2 non primo, unde, prout vel «, vel ,7, vel adeo «9 fuerit maximus communis divisor, forma divisorum primo- rum erit vel Ac -4- 1, vel Agi, vel A«9 -4- 1, in quarum prima A non debet continere 2, in secunda autem non c, in tertia vero non limitatur. 27h. . At divisores formae A«-4- 1 simul divident a^— 06^, et divisores formae 2/9 -4— 1 simul hanc a? — i£, siquidem in priore A sit numerus primus ad /2, in posteriori autem ad. o. 275. Quare si formulae a^?^— 40^? ii tantum divisores desiderentur, qui non simul dividant vel a^— U^, vel a?— UP, ii quaeri debent inter numeros primos formae A«/2-1-1; sin autem tantum divisores formae a^— b^ excludere. velimus, reliquos inter numeros primos 4/59-1-1 quaerere debemus, 976. Sit &—2 et /9 — 2, atque omnes divisores primi hujus numeri a*— 5*, qui non simul dividant a?— b?, continebuntur in forma ^44 -4- 1; hique ergo divisores erunt mumeri a?-— 6^; unde patet numeros formae a?-- b* alios divisores. primos non admittere, nisi qui sint formae ^44 -- 1. 977. Sit c — 3 et 9 — 2, atque omnes divisores primi numerorum a*— b*, qui non simul dividant a?^— 5?, continentur in forma 24-1- 1; qui autem insuper quoque non a*— 5? dividant, in hac 64-1; hi ergo erunt divisores formae a*— ab -i- 0*, neque tales numeri alios divisores agnoscunt. - | 278. Ex his in genere colligimus, si definiendi sint divisores numeri a*"— 0*", qui non simul sint divisores numeri a" — p": hoc ést, si desiderentur divisores numeri a" b", eos inter numeros primos hujus formae 24m -4- í quaeri oportere. Hine autem excluditur divisor a5, si m sit numerus impar. / T E 279. |ta pro variis valoribus ipsius m faciamus hanc tabulam: Numerorum divisores quaeri debent inter numeros primos formae formae a? a- tU hÀ-r-1 qui sunt 5, 13, 17, 29, 37, ^1, 53, 61, 73, 89, 97 a5 A- b5 BITS 7, 13, 19, 31, 37, ^3, 61, 67, 73, 79, 97 a* 4- b^ Eel s s 17, 44, 73, 89, 97, 113, 137, 193 a5 -- b $03, 7 0 11, 31, 14, 61, 71, 101, 131, 151, 181 a* a- 56 inco ct 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193 T ag Xu ncm 29, 43, 71, 113, 197, 197, 211, 239 a* -4- b* 161-—1.........17, 97, 113, 193, 241, 257, 331 etc. hic casus, ubi exponens est potestas binarii, prae reliquis sunt notandi, quia in reliquis generatim divisores assignari possunt. Tales ergo numeri a" 4-6? alios divisores primos non habent, nisi qui in forma 2"*'2 4-1 contineantur. : 280. At a" — b" dividi poterit per numerum primum zmm-1-1, si numeri a et 5 ita fuerint eomparati,. ut «x"-—— by" iat. divisibile per mn 4-4 ; dum scilicet pro & et y numeri assignari queant, quibus ista conditio adimpleatur, tum certe a"— b" per mn 4-1 erit divisibile. "UOrTEETXroPK—eeye-perww mre m—meryrcanunpap merry, RT SPRES qu CEN THEN MS TEC DAPLPISCUSCRNTSOITY ST aC RIDE WEST. THIRRRESOPRD- NEP TOUT mem Tractatus de munerorum doctrina. Cap. .A0. 35 281. Si enim ac" — by" sit. divisibile per mn -- 1, tum etiam a^a" — b"y"^ erit. divisibile. At semper divisibilis est haec forma a" y"", ideoque etiam ista a"^a"^ — g"y"", quamobrem etiam differentia a^y""— 6"y"^, ac proinde a"— 6" per numerum primum mn--1 divisibile erit. 282. Si ergo pro a et b ejusmodi numeri assumantur, ut. à^-— ". non sit. divisibilis per nume- rum quempiam primum mn-i 1, tum nulli numeri pro c et y assignari poterunt, ut aa" — by" per eundem numerum primum mn--1 divisionem admittat, nisi quidem uterque numerus c et y sit ejusdem multiplum, statuuntur autem a: et y primi inter se. 283. Sic cum 2*— 1 tantum per 3 sit divisibile, fueritque 2m-i- 1 numerus primus, tum nisi sit m — 1, nullus numerus in hac forma contentus 2:" — y" per illum numerum primum 2; - 1 dividi poterit: ita posito nullus numerus divisibilis erit per in 9 gy? — y? 9 m —3à3 9g*5—»y* - 1 m — 5 2x5 —— y* 11 m — 6 25 — y$ 13 etc. "M Caput X. De residuis ex divisione quadratorum per numeros primos ortis. 28^. Quod residuum relinquitur, si quadratum a^ per numerum quemvis d dividatur, idem quoque relinquitur, si haec infinita quadràata (nd 3-a)* per eundem numerum d dividantur. 285. Quare si residua examinare velimus, quae divisione numerorum quadratorum per datum numerum d relinquuntur, sufficiet quadrata considerasse, quorum radices sint ipso hoc divisore d minores, ideoque haec ! 125 59.16 54d. (d—3)5, (4—23), (d—1), quorum numerus est d — 1. | 286. At quadrata extrema 1 et (d—1)*, et quaevis bina, ab extremis aeque remota, paria dant * * L4 1 residua; unde si d — 1 sit numerus par, plura residua diversa resultare nequeunt, quam -; (d — 1), . » J* . » 1 et si d — 1 est numerus impar, ob unum in medio positum, quam ;d. 287. Sit jam. d numerus primus, et quia binarii judicium in promtu est, ponatur d —2p- 1, cum nunc omnia residua ex his quadratis resultent 1,7, 9,...(p—2)', (p— 1), p', eorum numerus major esse nequit quam p, unde manifestum est non omnes numeros ipso d — 2p 1 minores ,quorum multitudo est 2p, inter residua occurrere, sed ad minimum eorum semissem excludi. 288. Primum autem dico, omnia residua ex his quadratis 1, ^, 9...p* oriunda inter se esse inaequalia; si enim duo quadrata ipso p* non majora, puta m^ et n*, idem darent residuum, eorum differentia m*— n?, ideoque vel m — n, vel m-i- n per divisorem primum d — 2p 3- 1 esset divisi- bilis, quod, cum, ob im ud el n« 34, sit m 4- n minus quam d, fieri nequit. 36 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 289. Cum igitur omnia residua, ex divisione quadratorum 1, ^, 9...p* per numerum primum d — 2p -- 1 orta, sint inaequalia, ea ita repraesentemus: radices png - gooV oogeM6o)s 1 p quadrata " 1 "&^'"9 1625 36..;...p* residua (ow ggeu ungr due tl 7" et multitudo horum residuorum erit — p. 290. Cum jam multitudo omnium numerorum ipso divisore 2p -- 1 minorum, qui simul ad eum sunt primi, sit —2p, patet horum numerorum semissem ex ordine residuorum excludi, quos ideo non-residua appellemus. Erit ergo multitudo non-residuorum pariter — p, quae litteris germanicis. X, 95, G, (D, etc. indicemus. 291. Si ergo pro quovis divisore primo 2p-r-1 haec non-residua invenerimus, affirmare poterimus, nullum dari numerum quadratum ax, ita ut ax — ?( esset per 2p 2 1 divisibile, deno- tante ?( non-residuum quodcunque. Ac tales formulae o — X( per 2p -- 1 individuae tot semper exhiberi possunt, quot p continet unitates. 299. Pro quovis ergo divisore primo 2p3-1 numeri ipso minores distinguuntur in duas classes, quarum altera residua, altera vero non-residua complectitur, et utraque totidem continet numeros, ita ut quasi cuivis residuo suum respondeat non-residuum. Indolem ergo harum duarum classium . accuratius scrutari conveniet. 293. Si in ordine residuorum occurrant duo numeri m et n, in eodem quoque occurret eorum productum mn, seu residuum ei aequivalens. Oriatur enim residuum m ex quadrato a^ et n ex U^, atque ex producto a^b?, quod pariter est quadratum, orietur residuum mn. 29^. Si ergo inter residua sit numerus quicunque zm, ibidem quoque reperientur omnes ejus GHI potestates m?, m?, m*, etc., vel residua iis aequivalentia. "Tum vero si praeterea adsit numerus 7, in eodem residuorum ordine quoque aderunt numeri mn, m^n, mn? et in genere m"n*. 295. Ordo ergo residuorum 1, «, 9, y....7, pro quovis divisore primo 2p -- 1, hanc in- signem habet proprietatem, ut in eodem quoque producta ex binis pluribusve terminis quibuscunque occurrant, siquidem secundum indolem residuorum ad minimos valores' revocentur. 296. Hoc eo magis est notatu dignum, quod ordo residuorum determinato terminorum numero constat, quorum scilicet numerus tantum sit — p, exclusis totidem numeris non-residuis. Hoc tamen non obstante, quomodocunque residua per multiplicationem inter se combinentur, tamen. perpetuo numeri in eodem ordine jam contenti occurrunt. 5 (11/5 297. Sit m numerus quicunque in ordine residuorum occurrens, divisore primo existente 2p-1- f, ac supra vidimus, si termini progressionis geometricae 1, m, m^, m?*, m*, etc. per 2p 3- 1 dividantur, ;nter residua quoque omnia producta ex binis contineri; sicque in residuis harum potestatum nulli occurrent numeri, qui non simul in residuis quadratorum reperiantur. T 298. Cum igitur multitudo residuorum, ex potestatibus oriundorum, superare nequeat multitudinem ex quadratis ortorum, quae est — p, manifestum est vel potestatem m^, vel adhuc inferiorem residuum Tractatus: de. numerorum | doctrina. Cap.- 10. 37 praebere —1. Quod quidem jam ostendimus, nam si m ex quadrato aa oriatur, erit jn — aa — k(2p3-1); et m^— 1 manifesto per numerum primum 2p — 1 est divisibile. 299. Sed ad residua quadratorum revertentes notemus, si ibi occurrant numeri m et mn, tum eliam necessario ibidem numerum A reperiri debere. Si enim residuum m oriatur ex quadrato da, et mn ex quadrato bb, ex naa quoque residuum mn nascetur, unde bb — naa per 2p 4- 1. erit. divi- sibile, existentibus a et b ad 2p -i- 1 primis. 300. At si 6b — naa divisibile est per 2p -4- 1, etiam (5 -2- k (2p -- 1j)? — naa. erit. divisibile. Semper autem Kk ita assumere licet, ut fiat b -4- k (2p -- 1) — ac, seu ut k(2p -i- 1) per a divisum relinquat b. Dabitur ergo numerus c, ut sit aacc — naa, hoc est cc — n per 2p-- 1 divisibile, quare quadratum cc dabit residuum n. | 301. Si in ordine residuorum sit numerus «, non-residuorum vero numerus Y, productum «( in ordine non-residuorum certe reperietur. Si enim in ordine residuorum esset, ibidem quoque foret 2(, eontra hypothesin. 302. Si in ordine residuorum occurrat productum mn, ejusque alter factor m in ordine. non- residuorum, alter quoque n certo in eodem ordine non-residuorum reperietur; si enim hic nm esset in residuis, eodem quoque m pertineret. 303. Si duo non-residua ?( et $9 in se ducantur, productum incidet in ordinem residuorum. Nam eum in ordine residuorum omnia quadrata occurrant, primo evidens est omnia quadrata 2(", .98*, G?, etc. ibi esse; quod vero etiam producta binorum ?($5 ibidem reperiantur, ulteriori indiget probatione jam instituenda. | .30^. Cognitis residuis 1, c, 9, 7, etc., quorum numerus est — p, divisore primo existente 2p--1,. non-residua quidem eo ipso dantur, cum sint reliqui numeri minores quam 2p-3-1, quorum numerus itidem est — p. At dato uno non-residuo ?(, reliqua omnia ex ipsis residuis ita determi- mantur, ut sint 2(, c, (92, 7), etc., reductione scilicet ad minimos terminos facta. Sunt enim hi numeri inaequales inter se, et eorum multitudo — p. 305. Duo igitur quaecunque non-residua &» et ($ spectari possunt tanquam hujusmodi producta 09( et £)(, existentibus Ó et s residuis, ?( vero non-residuo; unde productum duorum quorumvis non-residuorum erit $X$ — 0:20, ubi 2s utpote productum duorum residuorum in ordine residuorum reperitur. 306. Tum vero in ordine residuorum occurrit etiam (f, quia in eo omnia plane quadrata, seu residua aequivalentia reperiuntur. Quare cum tam Oe quam Q(Y( sit residuum, eorum productum quoque $X* residuum sit necesse est, sicque productum duorum quorumvis non-residuorum certe in ordine residuorum continetur. 307. Combinatio ergo duorum numerorum pro indole residuorum et non-residuorum ita se habet: 1. Productum ex duobus residuis est residuum. 2. Productum ex residuo et non-residuo est non-residuum. 3. Productum ex duobus non-residuis est residuum. 3g L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 308. Non mediocriter haec illustrabuntur, si residua. et non-residua ex divisione quadratorum per numeros primos contemplemur: divisor 3 ) 1 t1 residua : 1, ^ 1,8... 2 ji d6o95:5usi non-residua ;9 2, 3 35525, 5 2j oSyiblo Sp M divisor !3 17 | residua 1, h, 9, 3, 1 2, 10 1, ^, 9, 16, 8, 2, 15, 13 non-residua $,403,A f 045 08, M 3,1494. 9657, 0104. Mos fel divisor 19 23 residua 1, M, 9, 16, 6, 17, 11, 7, j 1, h, 9, 16, 2, 13, 3, 18, 1t, 8, 6 non-residua 2, 3, 8, 10, 12, 13, 1', 15, 18 5, 7, 10, 19, 1^, 15, 17, 19, 20, 21, 92 divisor 29 residua 1, 5. 9, 16, 25, 7, 20, 6, 23, 13,0050]0445,398 NN non-residua 8,:,:395:08,5::104.. 14. 049,5 4, 545,0 149.018, 19,124; 1086, cog TO. 309. Complementum residui vocemus numerum, qui cum residuo faciat: divisorem; ita si divisore existente — d, sit quodpiam residuum — r, ejus complementum erit d — r. (i 310. Si cujuspiam residui complementum occurrat in ordine residuorum, etiam omnium resi- duorum complementa ibidem occurrent. Nam si in ordine residuorum 1, «, 2, y, Ó, etc. occurrat d— «, divisore existente d; hoc residuum. d — « etiam per —« — — í.« repraesentari potest, quare cum tam c quam productum — 1.« sit residuum, etiam — 1 erit residuum, ideoque etiam —8,—*y, —0, ete. quibus aequivalent complementa reliquorum residuorum.. 311. In serie ergo residuorum vel nullius, vel omnium complementa occurrent. Ex superioribus exemplis patet, si divisor sit vel 3, vel 7, vel 11, vel 19, vel 23, nullius residui complementum in residuis reperiri; sed ea esse non-residua. Sin autem divisor sit 5, vel 123, vel 17, vel 29, in ordine residuorum quoque singulorum complementa inveniri. 319. Si divisor sit 2p -4- 1 primus, atque in residuis quoque singulorum complementa occurrant, quoniam bina ita inter se cohaerent, ut alterum alterius sit complementum, neque idem sui ipsius complementum esse potest, ob 2p 1-1 semissem non admittentem, numerus residuorum necessario erit par. | "vsu 313. Cum igitur numerus residuorum sit — p, nisi p sit numerus par, fieri nequit, ut residuorum complementa sint etiam residua. Quare si p sit numerus impar, certum est nullius residui comple- mentum in ordine residuorum contineri, ideoque omnium residuorum. complementa ordinem nonc residuorum constituent. Mr 31^. Sit igitur p numerus impar —2q—-1, ut divisor primus sit E $6 atque omnium residuorum complementa erunt non-residua. [ta si quodpíam residuum sit «, ejus complementum (*) Seript. ad marg. Divisor: 59. Residua: 1, —2, 3, &, 5, —6, 7, —8, 9, — 10, — 11, 12, — 13, — 15, 15, 16, 17, — 18, 19, 20, 21, 22, —23, — 2^, 25, 26, 27, 28, 29. Ergo 8i $n—1 est primus, vel cz--myy, vel talis forma zx — myy per eum est divisibilis. Tractatus de numerorum. doctrina Cap. 10. 39 Aq — 1 — « erit non-residuum, seu nullum datur quadratum, quod per ^q — 1 divisum, relinquat hq — 1 — a. 315. Cum igitur c quodeunque quadratum denotare possit, puta nn, nullum datur quadratum, quod numero ^q — 1 — nn minutum, per ^q ——1 dividi queat. Hinc mm — (^q — 1 — nn), seu mmn--nn nunquam per numerum primum formae ^&4q—1 divisibile existet, nisi forte uterque numerus m et n seorsim per eum sit divisibilis. 316. Demonstratum ergo est summam duorum quadratorum inter se: primorum dividi non posse per ullum numerum primum hujus formae ^q — 1. Quodsi ergo talis- binorum quadratorum summa habeat divisores primos, ii certo erunt hujus formae ^4q-- 1, remoto scilicet binario, qui etiam quandoque divisor esse potest, ambobus quadratis sumtis imparibus. 317. Quando residuorum complementa inter residua deprehenduntur, complementa non -resi- duorum etiam erunt non-residua; ac si unius residui complementum fuerit non-residuum, omnium residuorum complementa erunt non-residua, atque complementa omnium non-residuorum vicissim erunt residua. 318. Si divisore existente 2p -4- 1, sit p numerus par, his solis casibus evenire potest, ut residuorum complementa quoque sint residua; quod autem semper sint residua, hinc nondum est evictum. Ad hoc autem comparari debent haec residua cum. residuis ex serie potestatum ortis, ab eodem divisore 2p -- 1, si series potestatum ita fuerit comparata, ut multitudo residuorum aequalis sit multitudini non-residuorum. . 919... Sit. 1, a, a^, a^, etc. hujusmodi series potestatum, quae p residua diversa praebeat, divisore existente primo. — 2p -- 1, ita ut omnia residua futura sint 1, a, a? , 45,....a^-!, ipsas scilicet potestates tanquam residuis aequivalentes adhibendo. Non-residua autem sint totidem numero, ita expressa: 4, 4a, 4a, 4dà),.... dal —*. 320. Hic jam residua, pariter ac residua quadratorum, ita sunt comparata, ut 1) ab unitate incipiant, 2) producta binorum residuorum quoque sint residua, 3) producta ex residuo et non- residuo inter non-residua occurrant, unde concludere licet producta ex binis non-residuis iterum in ordinem residuorum transire. 321. Si a"— 1 divisibile sit per 2p 4- 1, tum a certe est residuum quadratorum. Si enim esset. non-residuum, omnia reliqua residua, quae sunt ae, a9, ay, etc. eandem haberent proprietatem, ideoque omnes numeri z ita essent comparati, ut z^— 1 per 2p-i-1 dividi posset, quod est absurdum (f). 322. Cum enim in residuis quadratorum res ita se habeat, ubi numerus non-residuorum aequalis est numero residuorum, si in residuis potestatum secus eveniret, et producta ex binis non- residuis iterum darent non-residuum, multitudo non-residuorum superaret multitudinem residuorum, contra hypothesin. ! 323. Hoc autem firmius ita ostendi potest: Cum 4 quodvis non-residuum denotare possit, ac tum aliud quodvis. non-residuum ita repraesentari possit, ut sit 4/4", productum binorum non- (?) Hic paragraphus in autographo margini adscriptus est. A0 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. residuorum erit 4a", quod si esset non-residuum, aequivaleret tali formae. 4a", vel tali 44a" *?P, ita ut m majus sit quam n, ideoque differentia 4a" — 444a" foret per 2p -- 1 divisibilis. 394. Cum autem neque 4 neque a" per 2p-- 1 dividi queat, foret a"-—7"— 4 per 2p 2- 1 m-——n divisibile, seu potestas a per 2p -- 1 divisa relinqueret. residuum /. Cum autem 4 non sit residuum, sequitur hanc hypothesin esse absurdam, ideoque productum duorum non-residuorum non in forma 4a", quae omnia non-residua complectitur, contineri, ideoque necessario inter residua occurrere debere. 325. Quare si «a sit ejusmodi numerus, ut a^ sit minima potestas, quae per numerum primum 2p-i- 1 divisa, unitatem relinquat, ideoque ex divisione terminorum progressionis geometricae - 1, a, a^, a?, a*... a"-—* tot residua diversa oriantur, quot p continet unitates, totidemque dentur non-residua, certum est omnia producta binorum non-residuorum in ordine residuorum contineri. 326. Cum autem omnes numeri divisore 2p -1- 1 minores vel in residuis, vel in non- - residuis contineantur, singulorum quadrata in ordine residuorum certo occurrent, quod cum etiam eveniat in residuis ex quadratis ortis, sequitur ambos ordines residuorum, tam ex quadratis quam ex supe- riori progressione geometrica ortos, plane inter se congruere. 327. Quodsi ergo pro divisore primo 2p-i-1 sint residua ex quadratis orta 1, «, 2, y, Ó, etc., tum vero ?( fuerit quodvis non-residuum , hie numerus ?( etiam inter non-residua reperietur, quae progressioni geometricae 1, d, a*, a*,....a^— respondent, si quidem «^ fuerit minima potestas unitatem pro residuo praebens. à 328. Jam supra vidimus, si a fuerit residuum ex quadratis ortum, fore a^— 1 certo per 9p -i- 1 divisibile; nune autem patet, si a fuerit non-residuum respectu quadratorum, tum «4? non esse minimam potestatem ipsius a, quae per 2p a- f divisa, unitatem relinquat. Ergo vel unitatem non relinquet, vel dabitur adhuc minor a*, quae unitatem relinquet. CHRHEOUMM 329. Si sit a ejusmodi numerus, ut potestas ejus a", per numerum primum 2p -- 1 divisa, relinquat unitatem, tum a certe inter residua quadratorum continetur. Hoc evidens est, si a" sit minima potestas istius indolis. Sin autem non sit minima, id eo magis verum esse videtur. Nam si detur minor, ex residuis illis, numero p, quaedam transeunt in ordinem non-residuorum. Si enim a3? sit minima, tum « adeo inter residua biquadratorum, sin a? , inter residua potestatum sextarum etc., ergo semper inter residua quadratorum continebitur. 2 330.. Si ergo «a fuerit non-residuum ratione quadratorum, tum a^— 1 certe non est divisibile per 2p 3 1, unde si a sit complementum cujuspiam residui, puta a — d— c, ponendo d — 2p-k 1, tum (d —«)'— 1 non est divisibile per 2p3-1, at «"—1 certe est divisibile, ob « rot UM unde differentia (d — «)" — o" etiam non erit divisibilis. 331. At haec differentia esset divisibilis, si p esset numerus par, quare nisi p sit numerus impar, illa conditio, qua (d — «/" — 1 indivisibile per 2p -À- 1 assumsimus, hoc est qua de est i eng eg non-residuum, subsistere nequit. 332. At si p sit numerus par, complementum cujuspiam residui «, puta d — a, certe es residuum, propterea quod (d — 4)"— 1 per 2p-- 1 est divisibile; . si enim esset non- -residuum, haec divisibilitas locum habere non posset. Tractatus de numerorum doctrina. Cap. 10. 4l 333. Si ergo sit p — 2q9, numerusque primus divisor propositus — 'q--1- 1, tum inter residua quadratorum, etiam singulorum complementa deprehendentur, hoc est, si residua fuerint 1, v, 2, y, etc. etiam residua erunt — 1, —«, — 9, — y, ete. 33^. Pro quovis ergo quadratorum, ex hac progressione 1, ^, 9, 16...':gq assumto, dabitur aliud, quod ad illud additum producit summam per ^q 1- 1 divisibilem, seu cum multitudo horum quadratorum sit — 2q, et quodlibet habet quasi suum conjugatum, dabuntur q paria duorum qua- dratorum diversa, quorum summa sit per 'q-1- 1 divisibilis. (*) 335. Et quia singula quadrata non superant ^qq, binorum summa certe minor est quam 8qq, unde si talis summa per ^4q-i-1 dividatur, quotus certe erit minor quam 24. Hic autem quotus nisi sit — 2, etiam erit vel numerus primus formae ^u -- 1, vel talium aliquod productum (316). 336. Quoties ergo divisor primus est formae ^q-i-1, toties inter residua quadratorum occurrit 1q, ideoque etiam qg, tanquam complementum unitatis, cui aequivalet — 1: parique modo ibidem etiam occurrunt omnia reliqua .quadrata negativa — ^, —9, — 16, etc., ita ut residua constituantur complexa, tam quadratorum ipsorum, quam eorundem negative sumtorum, una cum productis ex binis quibusque, quorum tamen omnium numerorum, si per divisorem ^q -i- f ad minimam formam perducantur, multitudo erit — 2q, ita ut totidem excludantur. 337. Contra autem, si divisor primus sit formae q— 1, tum —1 et omnia quadrata negativa inter non residua referuntur (**). Si enim — 1 esset residuum, foret (— 1)^?—'— 1 divisibile per !q —1, quod autem fieri nequit. Praecedente autem casu, si — 1 esset non-residuum, divisore existente !q -- 1, tum (— 1)'7 — 1 non esset divisibile per 4g -- 1, quod perinde est falsum. 338. Sola autem quadrata semper in ordine residuorum reperiuntur, reliqui vero numeri, pro ratione divisoris, mox inter residua, mox inter non-residua cadunt, quemadmodum modo vidimus — 1 esse residuum, si divisor sit q -- 1; at — 1 esse non-residuum, si divisor sit &q — 1. 339. Pro ceteris numeris non-quadratis simile discrimen observatur: Scilicet numerus -4- 2 inter residua reperitur, quoties divisor primus est vel hujus 8q-i- 1, vel hujus formae 8q — 1, seu 8q4-17. Reliquis casibus, quibus divisor est vel 8q1- 3, vel 8q9-:- 5, numerus 4-2 inter non- residua locum occupat. (***) 3*0. At numerus —2 inter residua occurrit casibus, quibus divisor primus est vel 8q —- f, vel 8q-:- 3; idem vero numerus — 2 inter non-residua cadit casibus, quibus divisor primus est vel 89 -- 5, vel 8q 2- 7. 3*1. Numerus porro - 3 est residuum, si divisor primus sit vel 12g -- 1, vel 129-1- 11; at idem erit non-residuum, si divisor sit vel 1294-5, vel 1294-7. Verum numerus —3 est residuum, si divisor primus sit vel 12g 2— 1, vel 129 -À- 7: at — 3 erit non-residuum, si divisor sit 12g -i- 5, vel 12q 4- t1. Seripturae ad. marginem: (^ Semper duo exhiberi possunt quadrata, quorum summa divisibilis sit per numerum primum 5g - 1, et quidem alterum quadratum ad lubitum assumi potest. (*) Non ergo datur summa duorum quadratorum per talem numerum primum 4q— 1 divisibilis. ("*) Hoc autem non, ut praecedens, demonstratione muniri potest. 6 LE. Euleri Op. posthuma. T. I. EC 49 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 342. Numerus 4 & semper ad residua refertur, et de — ^ idem est judicium ac de — 1. Numerus autem 3 reperitur inter residua, .si divisor. sit; vel 20q 3-1, vel 209 -24- 9, vel 20q —- 11, vel 20q -- 19; at — 5 inter residua deprehenditur, . si divisor sit vel 20q -- 1,. vel 20q -- 3, vel 20q 2- 7, vel 20q 2- 9. 343. Colligamus haec, ut uni conspectui exponantur: Inter residua üg . : . ] erit numerus si divisor primus fuerit | | -- 1 hq3a-(t1, 3) — 4 qc 1 " -2- 2 8q-- (t, | 7)(*) — 2 8q-- (1, — 3) -- 3 199 -— (1, 11) — 3 12q-—- (1, — 7) -- 5 20g-- (1, 9, 11, 19) — 5 20g9-2-(t, 3, 7, 9) -2- 6 25q -- (1, 5,. 19, 23) — 6 Okg oiloih dea ihromdiowuan -4- 4d 28g3-(1, .3, ,9, 19,29, , 21) — 28q-3- (t, 9, 11, 15, 239, 25) -2- 10 10g i-T 03, 0 9^*49; "277 0915 995" 39) — 10 h0q ed, opio 9)» obt,i 35049,5253; 3T) -- 11 hàq- (1, 9, 25, 5, 7, 317, 39, 1944595, 43) — 11 hg (1... 9,,25,::. 5, 135, ba 195523, 215, 3. -1- 12 48q-- (1, 11, 13, 23, 25, 35, 37, M7) — 12 48g -:- (1j. 13, 29, 94 1, 19; 93, NV -- 15 58q4(1,^ 9,779, 19,7795, ' 85, 0445: 791, 43) V7; 058,5 38y — 1^ 56g -4- (1:3: 59, 13, 125,1 58,02 3p 495,719, 93/0/91, 5939) 4- 15 60g--(1, . 7. dL 1L, E 19. 2 — 15 . 60q- (1, 17, 59, 53, 19, 234, 3L $005 etc. 34^. Haec autem hactenus tantum inductione nituntur, atque ad demonstrationem investigandam juvabit sequentia observasse. Primo, numerus quicunque —- inter residua reperietur, si divisor primus fuerit formae "nq -- f, vel adeo '^nq-:- ii, denotante / numerum imparem quemcunque. Scripturae ad marginem; *) ax —2yy alios divisores primos non admittit, nisi formae 8q -1- (1,7). . (* 1)Si zx—mn-A-r, tum quadratum zx tam per m quam n divisum, idem relinquet residuum r. Ergo 8i residuum r convenit divisori m, conveniet etiam divisori n. 2) Si divisor inter non -resid. residuum hn — 1 —1 8n — 1 —2 --2 8n — 3 3:2 12» — 1 —3 4-3 12» — 1 -t8 8n 2-3 -r-2 Hoc demonstrari potest; at si divisor 8n-4-1, inter residua est -1-2, quod autem hinc non demonstratur. Tractatus de numerorum doctrina. Cap. 10. 43 Deinde etiam mumerus positivus -1-n erit residuum, si divisor primus fuerit formae ^aq — 1, vel generalius !nq — i; pro his autem divisoribus numerus negativus — n inter non-residua reperietur. 3*5. Si numerus positivus m sit residuum pro divisore d, erit etiam residuum pro divisore primo quocunque formae aq -d, vel adeo ^nq -- dii; at si numerus negativus — n sit residuum pro divisore d, erit is quidem residuum pro divisore &aq-i-d, at non-residuum pro divisore iq —d. 316. Si numerus positivus n fuerit residuum pro divisore d, deinde etiam pro divisore e, erit eliam residuum pro divisore primo quocunque formae Anq-*-de. At si numerus negativus — n fuerit residuum pro divisoribus d et e, erit. quoque residuum pro divisore quocunque primo formae &nq -1- de; pro divisoribus autem '«ng — de inter non-residua referetur. 317. Si numerus positivus n fuerit non-residuum pro divisoribus d et e, certe erit residuum pro divisoribus primis omnibus formae ^4zaq-*- de; at si numerus negativus — n sit non-residuum pro divisoribus d et e, is erit residuum pro omnibus divisoribus primis formae nq -- de; pro divi- soribus autem formae ^uq — de erit non-residuum. 3^8. Quicunque numerus --7 proponatur, erit is semper residuum, si divisor primus fuerit in aliqua talium formarum ^aq -- Al, nq -- B, nq 3- C, etc. contentus, quarum numerus aequatur semissi multitudinis numerorum ad n primorum eoque minorum. Sin autem divisor in reliquis formis contineatur, erit is non - residuum. 349. Hic autem excipi debent casus, quibus numerus n est quadratus, quippe qui semper inter residua occurrit, quicunque divisores accipiantur. Ac si n sit quadratum negativum, eadem ratio valet ac pro — 1. ! 350. Primum igitur demonstrari debet, si divisor primus sit ^1nq-1- i, existente ; numero impari, inter residua quadratorum semper occurrere tam numeros n et q, quam eorum negativa —n et — q. Sit i— 2m -— 1, et quia divisor nq -- 'unm A4- 'un 3- Íí. est formae *p--1, inter residua continetur quadratum negativum — unm —un— 1, ideoque numerus ^nq, et ob ^* residuum, etiam numerus nq, itemque — nq, quare vel ambo numeri n et q simul inter residua, vel ambo simul . inter non-residua occurrere deberent, unde dum alteruter fuerit inter residua, et alter ibidem repe- riatur necesse est. 351. Si n non esset residuum, nullum daretur quadratum ax, ut «x — n divisibile esset per hnq A imm A- m -- 1... Si ergo demonstrari posset dari hujusmodi quadratum, evicta esset veritas propositionis. Vel si n esset non-residuum, haec expressio n*^77- ?^""7-?" — 1 non esset divisibilis per numerum primum, quare si contrarium demonstrari posset, haberemus quod intendimus. (*) 352. Deinde si divisor primus sit !ng—nm —n—41, inter residua quadratorum occurrere numerum 7, inter non-residua vero numerum —, demonstrari oportet. Pari autem jure inter (*) Script. ad marg. Si n esset non-residuum, foret quoque non-residuum nzz, ideoque etiam zenzzzy(nq-r- imm em 4-1), quae expressio, si uno saltem casu esset quadratum, propositum constaret. Quod ob signa ambigua semper uno saltem casu evenire debere videtur; idque eo magis, cum etiam n et q sint permutabiles, quin etiam verum est, etsi divisor non sit primus. Dubium, si n—3, q—5, 2m-r-1—5, 2-32z2-85y, vel 2-5z2--85y quadratum effici nequit. Ergo demonstratio ita est adornanda, ut divisor statuatur primus. z A4 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. — residua erit numerus q, et inter non-residua —4q. Cum autem inter residua certo sit (2 - 1)*, ibidem erit ^nq, ideoque etiam nq. 353. Concessis ergo his propositionibus, etsi demonstratio nondum patet, posito i numero impari et !ag-*- primo, pro divisore primo ^aq-4- ii, cum residua sint n et — n, item naa et — naa, semper ejusmodi quadratum aw dabitur, ut sit à — naa divisibile per ^nq-- i, deinde etiam ejusmodi quadratum yy, ut sit yy -- naa. divisibile per nq - ü 35^. At divisore primo existente nq — ii, ob residuum naa, semper datur quadratum ax, ut sit. ar — naa divisibile per ^q — ii; nullum autem existit quadratum yy, ut yy-1-naa fiat per &nq — ii divisibile, quia hoc casu — naa est non residuum. 355. Cum ^aq-- ü sit numerus formae ^p -i- í, semper dabitur summa duorum quadratorum If -- gg. per eum divisibilis, quorum alterum ff pro lubitu assumi potest. Quare si cx — naa divi- sibile sit per ^gq-i- i, inveniri potest quadratum yy, ut fiat cx -- yy per ^aq-1- ií divisibile, ac tum erit etiam yy -- naa per eundem divisibile. 356. Cum ^aq—i sit formae ^hp— 1, nulla datur summa quadratorum per nq — ii divisibilis; quare si zc — naa fuerit per ^nq-— ü divisibile, fieri nequit ut yy 2- naa per eundem divisibile existat; foret enim quoque summa zz -- yy divisibilis, quod est absurdum. 357. Sumto divisore primo d — nq-- i, quia datur forma xx-i- naa per eum divisibilis, dabitur etiam forma yy -3-qaa per eum divisibilis, unde etiam gcc — nyy. Dabitur vero etiam forma yy — qaa divisibilis, ac propterea quoque talis forma qc A- nyy. | 358. Si divisor primus sit d — &nq — ii, quia dantur tales formulae zx — naa, item yy— qaa, per eum divisibiles, etiam haec forma qc» — nyy per d erit divisibiliss Cum autem talis forma yy --qaa non per d sit divisibilis, nulla quoque hujusmodi forma qxx -- nyy per d erit divisibilis. 359. Verum etiamsi haec propositiones demonstrari possent, reliquae, quas supra observavimus, nondum essent evictae. Ex 3^5 si detur quadratum, per d divisum reliquens residuum positivum n, dabitur quoque reliquens naa; tum autem. existente 'ng - d. numero primo, dabitur quoque quadratum zz, quod per ^ng--d divisum relinquat idem residuum, seu zx — naa divisibile erit per ^nq--d. 360. Scilicet si fuerit bb — naa per d divisibile, semper talis numerus ox — naa dabitur divisibilis per numerum primum /!^q-*-d. Quin etiam denotante i numerum imparem, ejusmodi forma ax — naa exhiberi potest, quae sit divisibilis per numerum primum nq t dii. 361. Si detur quadratum &b, quod per d divisum relinquat residuum negativum — n, vel — naa, dabitur etiam quadratum 2», quod per numerum primum aq 4- dü divisum relinquet. — n, vel — naa. Scilicet si d sit divisor formae 65 -i- ncc, dabitur 2, ut sit à» -- naa. divisibile per numerum primum /&q -1- dii. 362. Verum si d divisor formae hujusmodi 6b -i-ncc, nulla dabitur hujusmodi forma zx -1-naa, quae sit divisibilis per talem numerum primum nq — di. Veluti si sit n — 3, sumatur d — 7, quia 2*-4- 3. 1. — 7, atque certum est hujus formae ac -1-3aa numeros nullos admittere divisores talis formae 12g — 7ii, cujusmodi sunt: 5, 17, 29, ^1, 53, 65, 77, 89, 101, 9, 21, 33, ^5. . ADS me Tractatus de numerorum doctrina Cap. 10. 45 363. Ex $ 3^6 sequitur, si d et e fuerint divisores cujuspiam numeri hujus formae aa— nbb, tum semper dari quadratum a, ut ax — ncc sit divsibile per numerum primum nq —- deii, quod quidem ex praecedente deduci posset, demonstrando si aa — nbb habeat divisorem d, aliaque similis forma ff— ngg divisorem e, dari etiam Ah — nkk divisibilem per productum de. Hoc patebit, si residua quadratorum, per numeros compositos divisorum, perpendemus. 36*. Denique notatu dignum est, quod numerus m, ac propterea etiam naa inter residua qua- dratorum occurrere nequeat, nisi divisor primus sit hujus formae !nq-1-«, ubi « non omnes numeros ad !n primos eoque minores significat, sed eorum tantum semissem, altera semisse penitus exclusa. Sicque omnes divisores primi formae ax — naa talem habent formam ^aq-1- «, denotante « aliquot numeros, totidemque exclusis. 365. Similis est ratio numerorum formae ax --naa, cujus divisores primi adstringuntur ita ad formam ^4aq-i-«, ut totidem numeri excludantur ab «, quot admittuntur. Utroque autem casu omnia quadrata imparia Z4 pro c valent, et si « valeat, etiam «ii valebit. 366. Ut demonstrationes has desideratas tentemus, consideremus divisorem primum ^p-i-1, et cum duorum quadratorum summa aa -1- bb exhiberi queat per eum divisibilis, ita ut alterum pro lubitu assumi possit, auferatur (^p -i- 1) bb, eritque aa — ^pbb per ^p -- 1 divisibile, seu dabitur quadratum aa, quod per ^p-: 1 divisum relinquit ^pbb, dabitur ergo quoque relinquens p, seu . dabitur forma aa — pbb per ^p - 1 divisibilis. 367. Cum etiam detur forma aa — bb per '5p-1- 1 divisibilis, addendo (5p -i- 1) bb, dabitur etiam talis forma aa -1- pbb per ^p-i- 1 divisibilis, quae quidem jam inde patent, quod si quadrata per numerum primum ^p -r- 1 dividantur, in residuis tam -1- p quam — p reperiantur. 368. Sit autem divisor primus ^/fp-i- ii, denotante / numerum imparem, et quia tam forma , aa 34- bb quam aa — bb per eum divisibilis exhiberi potest, hincque iaa 4- iibb et iiaa — iibb; inde auferendo, hinc vero addendo (^/fp -4- i)bb, habebuntur formulae iaa — ^[fpbb et iiaa 5 Mffpbb per ^*ffp-i- ii divisibile, seu inter residua quadratorum erunt 3-^ffpbb, ideoque etiam -'-p. Dabuntur ergo numeri tam hujus az -1- Dy, quam hujus cc — pyy formae per ^ffp - ii divisibiles. (*) 369. Si ergo concessis superioribus observationibus, divisor primus in quapiam harum formu- larum contineatur: hrq.3-1, hrq-a-co, hrq--/29, hrq-- y, q--Ó, etc., ubi numeri 1, «, 9, y, O, etc. sunt primi ad ^r eoque minores, quorum tamen tantum semissis hic occurrit, tum inter residua qua- dratorum certe occurrit numerus r; similique modo pro residuo — r tales formulae divisorum habentur, quae cum illis conveniunt, si divisor sit formae ^p -i- 1, ab iis autem discrepant, si divisoris forma fuerit ^p — t. b À " . vTr-a-pyy — 0. | suis iciee. (* Seript. ad marg. Prius manifestum; nam NEAR as int. si z—1, y—92f; ut zz — 2yy divis. sit per &1, 2 —"I, 10, 13, 154, 17 4222, (3058; 4, 11 ut zx — 2yy divis. sit per 17, Mz12, 5 11, 6 10, 7 16, 1 17, & 9s 1 3 5. A6 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. | 370. Observari etiam meretur, ex formis !rq-!«un-- f. semissem excludi tam pro residuo -a-r, quam -——r, quorum divisores pro hae forma sunt communes. | At ex forma rq-i- hm — 1 semissis valet pro residuo -1-r, alter pro residuo — r, et qui divisores pro altero residuo valent, pro altero excluduntur. Caput XI. De residuis, ex divisione cuborum per numeros primos natis. 371. Divisore primo existente d — 2p -À- 1, quod residuum relinquit cubus a?, idem relinquent etiam hi cubi (a-1- d)?, (a-1-2d)*, ete. et generaliter (a-i-nd)*, ex quo sufficiet eos tantum cubos ' eonsiderasse, quorum radices sunt ipso d minores, qui sunt: ! 1; 8,:97;:8b,:.:(d —)*, (d——3), (de). (die t)* a^, relinquit, et manifestum est cubum 379. Sit r residuum, quod horum cuborum quicunque, (d — a)* relicturum residuum — r, seu d — r. Quare si inter residua. cuborum occurrat numerus quicunque r, ibidem quoque occurret ejus negativum — r, seu d — r, quod illius complementum vocatur. . ied 373. Sint 1, «, 8, y, Ó, etc. residua ex divisione cuborum per numerum primum d — 2p-1- 1 orta, quorum si omnia a se invicem fuerint diversa, numerus erit — d — 1; ideoque omnes numeri ipso d minores ibi occurrent. Sin autem qui numeri bis vel pluries occurrant, inde quidem numeri excludentur. inter non-residua referendi. (*) 37^. Investigaturi, an fieri possit, ut idem numerus r inter residua bis occurrat? ponamus ex cubis a? et b^, quorum radices & et b sint ipso divisore d minores et inaequales, idem residuum r resultare, atque eorum differentia 55 — a?— (b — a) (aa -4- ab -- bb) per d erit diyisibilis. Cum autem, ob d primum, ad eum factor b — a sit primus, necesse est alterum factorem aa - ab 4- bb esse divisibilem per d. 375. At si cubus b idem praebeat reds ac cubus a?, cuivis alii cubo c? respondebit cubus e*, idem quoque atque ille residuum relinquens. Si enim cubi a? et b? idem residuum prae- beant, etiam hi a*a* et b?a* ad minimos valores reducendo, seu (ax — md)? et (bx; — nd)? idem producent residuum. Quia vero «a et d sunt numeri inter se primi, semper a et m ita accipere licet, ut ax — md dato numero c aequetur, hincque erit e — bx — nd, diversus ab c et ipso d minor; si enim esset e — c, foret ax —- md — bx — nd, hincque (a — 5) « divisibile per d, at nec a — b nec « est divisibile. — 376. Statim ergo atque unum residuum bis occurrit, omnia bis occurrent ; ideoque multitudo diversorum residuorum ad serhissem deprimitur. Hoc autem evenire nequit, nisi divisor d sit divisor talis formae aa -- ab -4- bb, existentibus a et b ipso d minoribus. Sin autem non fuerit. divisor talis formae, omnia residua erunt diversa eorumque multitudo — d — 1 — 2p. 377. Praebeant cubi a? et 6? idem residuum r, ita ut a?--ab 4-0? sit divisibile per d, eritque etiam. 3a^-1- 3a^b -- Jab? per d. divisibile, auferatur a*— 06?, ut habeatur () In his residuis occurrunt omnes cubi ipso d? minores, ad minimos valores reducti, tum etiam producta ex binis, ternis, etc. —— — Tractatus de numerorum. doctrina Cap. 11. AT | ! 225 4- 3a?b -4- 3ab* -i- b5— a*-- (a a- V) - per d divisibile. ..Quia ergo «4? relinquit. 7, relinquet cubus (a -- 6)? residuum. — r, hineque cubus hic (d.—. — 6), vel (2d — a — 5)* dabit residuum -- r. 387. Statim ergo ac duo habentur cubi a? et 6?, idem residuum r relinquentes, dabitur quoque: tertius (d — a — 5)*, vel (2d — « — 6)* idem residuum relinquens, cujus radix minor quam d ab utraque praecedentium & et 0 erit diversa. Neque enim esse potest d — a — b — a, neque 2d — «— b —a; foret. enim b — d — 2a, vel 6 — 2d — 2a, ideoque 5? relinqueret residuum — 84^, vel — 8r. Quia vero per hypothesin relinquit r, haecque duo residua r et — 8r aequi- valentia esse nequeunt, ob differentiam — 9r non divisibilem per d, praeter casum d — 3, qui per se est perspicuus, sequitur duo residua aequalia semper tertium assumere. 379. Si ergo duo cubi a? et 5b? idem praebeant residuum r, dabitur eo ipso tertius c? idem residuum exhibens, cujus radix ita est comparata, ut summa omnium a-1- b -4- c sit vel — d, vel —9d, ob ce—d—a— 06, vel c— 2d —a — b, quia singulae sunt minores quam d. Sicque ex duobus semper facile reperitur tertius. 380. Hinc autem colligere licet, infra cubum d? plures tribus cubis a?, 55, c? nunquam dari, qui idem residuum relinquant; si enim daretur quartus ab iis diversus e?, etiam hi: (Ad —a — e), . (4d —b—e)', (Ad —ec— ey, idem praeberent residuum, forentque a praecedentibus diversi. Nam si esset Ad — a — e — b, foret a -- b -i- e divisibile per d, ideoque e— c, contra hypothesin; non solum ergo quatuor, sed adeo septem haberemus cubos idem residuum dantes. | 381. Hinc autem, binis combinandis, denuo plures elici possent cubi ipso d? minores, idem residuum relinquentes, ita ut tandem omnes cubi essent prodituri. Cum autem concesso uno residuo r, aliud detur diversum — r, manifestum est non plures tribus dari cubos ipso d? minores, qui idem residuum exhibeant. 382. In serie ergo residuorum 1, «, 9, y, etc., quorum multitudo est — d — 1 — 2p, vel omnia sunt inaequalia, vel terna inter se aequalia; quod posterius fieri nequit, nisi 2p sit numerus per 3 divisibilis. Quare si p non divisibile sit per 3, certum est omnia residua inter se fore inaequalia, ideoque omnes numeros ipso: d minores in residuis occurrere. 383. Cum omnes numeri primi, exceptis 2 et 3, in alterutra harum formularum 6q -- 1 et 6q — 1 contineantur, si divisor primus sit 64 — 1, in residuis omnes numeri ipso minores occurrunt, neque ulla dantur non-residua. Sin autem divisor sit 6q-1-1, fieri potest, ut multitudo residuorum diversorum sit tantum 2q, sicque ^q dentur non-residua. 38^. "Vidimus autem. praeterea hunc ultimum casum locum habere, si divisor sit talis formae 4a -1- ab -1- 05, unde patet, ut supra jam animadvertimus, talem formam alios divisores primos non admittere, nisi formae 6q- 1. At quadruplum illius aa -4- hab -- ^bb — (2a -- 0)* 4- 30? redit ad hanc formam aa-1-3bb, cujus divisores primi illa insigni proprietate gaudent. 385. Quaerendi ergo ii sunt divisores quadratorum, qui pro residuo relinquunt —3, vel —3bb, qui supra observati sunt (31) in his duabus formulis 12q -4- 1. et 129 -i- 7, ad hanc unam 6q-1 - AS L. EULERI OPERA POSTHUMA. ——— Arithmetica. redeuntibus, contineri, unde vicissim concludere licet omnes numeros primos hujus formae 6q- 1 illa proprietate praeditos esse; verum plena hujus rei demonstratio adhuc desideratur. 386. Hoc autem concesso, consequimur hanc propositionem: Quoties divisor primus fuerit formae 6q-- 1, toties residua cuborum ab 1 ad 2164* non omnia inter se sunt inaequalia, sed ob terna aequalia, multitudo residuorum inaequalium tantum est 2g, eruntque reliqui numeri divisore minores, quorum multitudo est !qg, non-residua. Quoties vero divisor primus non est formae 6q -i- 1, toties omnia residua inter se sunt inaequalia, neque ulla dantur non -residua. 387. "Tantum ergo divisores primos formae 6q-1- 1. perpendi opus est, pro quibus multitudo non-residuorum duplo major est quam multitudo residuorum. Casus autem simpliciores evolvamus: pro divisore: 1 13 19 residua : t;U6 1; 08; ooguio (^ 8^ 7» £dd, 4 M 2.53 9,009958, (68 2 sgjo joo o non - residua : : le . 11079749, 4 17, 16^ 15, 13, 29. Í18 pro divisore: 31 residua: 1; t NM, A2 Wu 1$ AM «& MM 9 2^ ^ 5 8M n w5 WM I5 "M JA T" non residua: à | 8, 26, 25, 9^, 2922, 21, 20, 19, 18, 17 pro divisore: 37 ! residua : 1, 8, 44, 1&4 3L 1 5 2 A 1 AM s j 5 5 1 9 (OQ Hn I a M ug 3 non -residua: i : 29,. J., 99, 44.409 425 ^29 EM ML. ML NL IN pro divisore: : | 43 residua: í (8. 27, 214, 39, 4&4, &.39 m$. I1 5 39 uu 3...5, 6, 7,:.9,-40,. 129,.19, 4X: 34 45 4 a EX 38, 31, 936, 35 339, 34, 30, 25, 28, 26, 95 24 non residua 388. Pro quovis ergo divisore primo formae 6q-31- 1 in residuis occurrunt omnes cubi eo minores, deinde eorum complementa 6g, 6q—7, 694—926, 69—63, etc. Porro etiam producta ex binis. Tum vero etiam, si ibi sit quodpiam productum mn cum altero factore m, ibidem quoque alter factor n reperietur. 389. Si enim a* relinquat mn, et b* relinquat m, posito divisore 6g -- 1 — d, fieri potest a—f'b—9d, ideoque f?b* relinquet mn, at nb? etiam relinquit mn, sicque f'*5*— nb*, ac propterea quoque f?— n divisibile erit per d, seu f? relinquet n. : 390. Si divisore primo existente d — 6q-1- 1, inter residua cuborum occurrat numerus v, tum a*7— 1 erit per d divisibile, Unde residua, quae ex divisione progressionis geometricae 1, «, o?, a*, a*.....077 per eundem divisorem oriuntur, convenient cum residuis cuborum. 391. Vicissim autem ostendi debet si a'"?— 1 divisibile sit per divisorem primum 64-4 f, numerum 4 certo inter residua cuborum occurrere, quod quidem si 2g non sit divisibile per 3, facile - Tractatus de numerorum doctrina Cap. 11. 49 TESTI patet. Si enim sit 2q — 3k -- 1, cum a*7— a inter residua cuborum occurrat, utpote unitati aequivalens, ibidem vero sit a?^, ibidem reperiatur a necesse est. 392. Superest ergo, ut ostendatur, si sit 29 — 3k et a^ — 1. dividi queat per 694-1 — 9k 1, tum « fore inter residua cuborum (*); a*^ ibi quidem certe reperitur utpote cubus, sed inde demon- ET stratio peti debet, quod residuum a^ unitati aequivaleat. 393. "Verum cum residua potestatum 1, «a, a^, a?, etc. diversa, sint numero 2g, pariter atque in residuis cuborum, et ambo ordines. incipiant ab unitate et communes habeant terminos a?, a, 4^, etc., tum vero reliquae proprietates ipsis sint communes, ordo potestatum nullos terminos ab altero diversos continere potest. hj 397^. Si autem ad non-residua cuborum, per numerum primum 6q-:i-1 divisorum, attendamus, id quidem certum est, si mn sit residuum, at m non-residuum, fore quoque n non-residuum. Non vero vicissim omnia producta ex binis non-residuis praebent residuum: at omnia producta ex residuo quocunque in non-residuum sunt non -residua. . 395. Primo enim quadrata singulorum non-residuorum quoque inter non-residua continentur; scilicet si 4 sit non-residuum, quoque 4^ erit non-residuum, hoc vero non-residuum A? per non- residuum 4 multiplicatum certo dat residuum, quia est cubus. 396. Si enim ./? esset residuum, foret ,4'7— 1 divisibile per 6q- 1; at cum 45? — 1 certe sit divisibile, foret etiam 45? — 4*7, hoc est 4"7— 1 divisibile, ideoque 44 esset residuum cuborum, contra hypothesin. Quare si 4 sit residuum, etiam .4 erit residuum, et contra si 4 sit non- residuum, erit quoque 444 non-residuum. | 397. Si ergo divisore primo existente — 6q-1- 1, residua cuborum sint 1, «, 9, y, Ó, etc. atque unicum habeatur non-residuum ./, primo omnes hi numeri Z/, 4c, 48, 4y, etc. deinde etiam isti 4^, 4?«, 4*8, 4^y, etc. erunt non-residua, qui numeri cum omnes a se invicem sint diversi, manifestum est, quod jam demonstravimus, multitudinem non-residuorum duplo esse majorem quam residuorum 398. Hinc etiam patet, si divisor primus sit 6g-1- 1, tantum 2q residua diversa locum habere posse; si enim omnes numeri inter residua occurrent, in genere a*/—1 esset per 6q-:-1 divisibile, quicquid esset a «— 6q 4- 1, quod cum sit absurdum, ideoque unum saltem datur non-residuum, eo ipso ^q non-residua sequuntur. | | 399. Cum igitur ex unico .non-residuo 4 siiüidastur duo ordines non-residuorum, prior A, Aa, AB, Ay, etc. et posterior 4^, 4^«, 4*8, 4^y, etc. uterque tot continens terminos, quot ordo residuorum, producta ex binis ordinis alterutrius in altero ordine reperiuntur, et producta ex binis utriusque ordinis fiunt residua. ^00. Si adhuc dubitemus, an hoc modo omnia non-residua ex uno obtineantur? sit B non- residuum in neutro ordine contentum, et non-residua erunt tam B, Bo, BG, By, etc. quam () Script. ad marg. Si enim a esset non-residuum, reliqua non-residua omnia, quae.sunt a, ac, af, ay, aó, et a*, a*a, a*B, a*y, elc. eadem proprietate gauderent, ut eorum potestates exponentis 2g, unitate minutae. essent divisibiles per 69-1-1; ergo omnes numeri hanc haberent proprietatem, quod esset absurdum. L. Euleri Op. posthuma. T. I. , : 1 50 L. EULERI. OPERA. POSTHUMA. QUPHRNER B^, B?o, B^, B?y, etc. utrobique totidem numero, quot dantur residua, et omnes hi numeri. a praecedentibus erunt diversi. Praeterea vero vel 4B, wel A4B* non erit residuum; altero . certe existente residuo, altero- non-residuo.. (*) ^01. Si. 4B. non est residuum, binos ordines non-residuorum ita. repraesentare: poterimus: ....-: Ordo prior: Wa, Wig; Ay, aurons) po uqgocpgoupg,isc ute 99 oil Ordo posterior: ^ 4^; ^o, P8, ^y, ete; 007 B* B^u, B^ 9, B*y, cete. | egaiie et quivis numerus ordinis prioris /, per quemlibet posterioris multiplieatus; praebet residuum; et quidem per quemlibet diversum; unde plura residua prodirent, quam revera sunt, quod esset absurdum. ^09. Cum ergo ex divisore primo 6q-- 1 tantum 2q residua existant, dato quovis cubo as, dabitur alius 55, minor quam (6q-4- 1), quorum differentia per 6g 3— 1 erit divisibilis, ideoque ad -1- ab -- bb. per eum quoque erit divisibilis: Omnis ergo numerus primus 6q-4- 1 est divisor talis numeri aa -- 35b, vel talis aa-- 3, vel 3aa ^ 1. HOVRUE C M ^03. Speciminis loco sit divisor 373, et tam residua cuborum, quam non-residua utriusque ordinis ita se habebunt: Residua - : Non - residua a | Ordinis L -- Ordinis II. 3- 5. UTA B5 2 3, 5, 1^ 16, 2Í b, 6, 9, 10; 1t, 15 [5 [15.90 92, 94 OE 6, 359 D 25, 98/09 "39" aevtb te 2r 36 3h 3$ 38, 99 ^49 "AP" A" 49, 43; 48: $59:183 "1099 h5, ^9, 50, 55, 56 kL 546.523 594 "WM 68; "70, "H7 7355 qbus 58,- 6*4, 67, 74 75 59, 60, 61, 62, 65 Tb, or» 78, 79 dj 81 (86, 87, 91, 96 66, 69, 81, 82, 83 88, 92, 91,:109, 103 «s 97, 10^, 109, 111, 113 85, 89, 90, 93; 95 |" 105, 106, 108, 114; 147 119, 125, 196, 199, 133 98, 99, 100, 101; 107 | 118, 120, 122, 12^, 197 136, 137, 139, 1&0, 142 | 110, 112, 115, 116, 191 | 130, 131, 132, 138, f&t «p 1, 155, 156, 152, 155 193, 198, 13*, 135, 197. | 153, 159, 153, 159, 162. 156, 157, 158, 160, 161 158, 150, 151, 155, 165 16*, 166, 170, 171, 473... | 163, 167, 169, 176, 18^. | .168, 172, 17^, 179, 181 175, 177, 178, 480, 183. v 185. 182. 186. numero 2.62 — 125. numero — 12. numero — 124. ^0^. , Cum igitur divisore primo existente 6g -- 1, multitudo non-residuorum duplo major sit quam multitudo residuorum, etiam pauciores erunt divisores, pro quibus datus numerus inter residua contineatur. [ta datus numerus a erit residuum, si divisor fuerit factor talis formae a -*- ay*, vel etiam talis z*-- aay?; si enim sit 25——- zy*— dn, cubus a? per d divisus residuum dat ay?, sicque eliam «a erit in residuis. ; UL (*) | Seript. ad marg. Demonstrari debet, ambo simul non esse posse non-residua. Si AJ est non-residuum, vel in ordine A, vel B, vel .A?, vel B? continetur. At singula sunt absurda, ergo esset AJ residuum. Tractatus de mimerorum doctrina. Cap. 11. 51 ^05. Quaeri ergo debent numerorim a?-*- ay*. divisores primi, et pro nostro quidem instituto ii tantum, qui simul sunt formae: 6q-*- f. Hoc modo posito a — 2, binarius inter residua repe- rietur, quoties divisor formae 6q -- 1 fuerit numerus hujus seriei: 31, 43, 109, 127, 157, 223, 229, 977, 283, 307, 397, ^33, 539, ^57, ^99, 601, 6^3, 691, 727, 733, 739, 811, 919, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, etc. ^06. Si ergo sit 6n-1- 1 talis numerus, tam 2 quam 2? erit residuum; tum 2*"— 1 per eum erit divisibilis, ideoque vel 2"— 1, vel 2"—4— f. At si 6n-r 1 fuerit vel formae 8m-i- 1, vel 8m-- 7, hoc est vel n— ^m, vel n — m 4- 1, tum etiam 2*"— 1 per 6n-i-1 est divisibile; unde patet his casibus, quibus n vel m, vel &m 2—- 1, fore 2"^— 1 per 6n - 1 divisibile; casibus autem, quibus m est vel 1m -4- 2, vel m -&- 3, non 2"^— 1, sed 2"-4- 1 per 6n 4- 1 divisibile erit. » 407. lta superiores numeros huc transferendo per divisibile est per . . divisibile est : 31 219 — 1.et:;95.— 4 ^99 | 21!*— 1 et 3*5 -- 1 43 915 — 1.:«,97 --.1 601 Menge y igtoo cg 100- | 2" —[ à pr 6^3 Qiii o 4 « 91974. 4 127 9:2 — 1 « 2?!— 1 691 QUE L (cv dim s. 157 4,999 — 4 E: ^e 721 adc 1 « gni 4 223 5 i.a ud 733 914 4 «9m. 299 r^, 9€ 15 1. e 99tu 1 139 0MS rar gus hu a. 211 2?? — 1 « 2'94- 1 814 | 2'"—1 « 9!*:4- 1 283 9*5 —1 « 2-1 949 |. 2'"'—1 «.21:9—] 307. .| 9i 4 « 95. 1 997 959. 4 q 9156 , 4 397 9151. d..« Q*6-,— 1 1021 - 92599— £4 « QU, 433 git — £4 « 97 — 1 4051 9559 4 q 9U5 , ( 439 9216— 4 « 97— 4- 1069 QS LS wigtiiu. 1 A51 . Q1V.— 1, « 9'C— 1 1093 9366... 4.- 4. 929. 4 M08. Si hos divisores, quibus binarius pro residuo convenit, attentius perpendamus, observa- bimus eos omnes resultare ex hac forma 27pp -4- qq, quoties ea fuerit numerus primus; verum hanc observationem demonstratione confirmare nondum licet. ^09. Si eos divisores primos formae 69-1 1 quaeramus, quibus inter residua 3 conveniat, eos reperiemus : . — 61, 67, 73, 103, 193, 307, 367, ^39, 577, 1021; etc. qui, si conjecturae locum relinquamus, in forma 3pp-1- qq continentur, si fuerit vel p — 9n, vel p 3 q — 9n: : ) | | ^iÓ0. li autem diwisores primi formae 6q -- f, qui in residuis cuborum habent 5, reperiuntur ex forma a?-t 5y*, cujus divisores esse debent 13, 67, 127, 181, 199, 2^1, 187, 739, etc., quos in forma 3pp -- qq sub his conditionibus contineri- observamus: 1) si p — 15n,. 2) si p — 3m et (q — 9n, 3) si p3- q.— 15n et &) si p -- 2q — 15n. 52 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. —— Arilhmetica. ^11. Si inter residua occurrere debeat 6, divisores reperiuntur 7, 37, 139, 163, 181, 2&1, 307, 337, 359, 379, 631, 727, 751, 997, etc. qui in forma 3pp -i- qq contineri deprehenduntur, si fuerit vel p — 9n, vel 2p q— 9n. Harum autem observationum veritas tantum conjecturae innititur, neque inductione ulterius commode pro- gredi licet. (*) | ——— — Caput XIX. De residuis, ex divisione biquadratorum per numeros primos ortis. - 442. Si divisor primus sit d, quod residuum a biquadrato a* relinquitur, idem non solum a biquadratis (d -- a)*, (2d -- a)*, etc., sed etiam a (d — a)* relinquitur, unde si d — 2p -- 1, plura quam p residua diversa resultare nequeunt. ^13. Si residua sint 1, «, 9, 7, Ó, etc., quorum multitudo major esse nequit quam p, in iis occurrent omnia biquadrata, ad minimam scilicet formam reducta, quae insuper hac gaudebunt pro- prietate, ut producta ex binis in iisdem reperiantur. ^i^. Haec ergo residua nascuntur ex biquadratis 1, 16, 81, 256,...p*, quae utrum pro dato divisore primo 2p -- f omnia inter se futura sint diversa, nec ne? diligentius inquiri convenit. ^15. Ac primo quidem patet, si unum bis occurrat, scilicet ex biquadratis a* et 55, tum ob b*— a* per d —2p-- 1 divisibile, fieri poterit b — md -- na, unde et n*a* — a* erit divisibile, sicque eliam Ne 1. Tum ergo quoque c* et n*c* paria producent residua, singulaque residua bis occurrent. ; ^16. Si ergo d sit divisor formulae b*— a*, sumtis a et b minoribus quam id,' ideoque formulae 5?-i-a?, quia neque b — a, neque b-i-a per eum divisibile esse potest, tum singula residua bis occurrent. Contra vero, si non sit factor talis formae 5*-1- aà?, omnia residua erunt diversa. h17.. At per $ 279 omnes divisores primi formae b5-i-aa in forma ^4q-- 1 continentur, quare si divisor propositus fuerit formae ^q — 1, ex divisione biquadratorum certe 2g— 1 diversa residua emergunt, totidemque habebuntur non-residua, neque plura. Quos casus primum evolvamus. 118. Sit ergo divisor primus hq—41, et residua diversa ex biquadratis oriunda 1, c, 2, y, 9, ete., quorum numerus erit 2g — 1, non-residua autem sint 44, B, C, D, etc. totidem numero. Ac primo patet, si 4 fuerit non-residuum, etiam 44«, 408, 4y fore non-residua. Si enim ;4a* esset residuum, ex biquadrato b* ortum, foret b* — 4a* per d divisibile. At est b—ma-'-nd, unde et m* a* — Aa*, ideoque m*— 4 esset divisibile per d, et m* relinqueret 4, contra hypothesin. ^19. Haec proprietas adeo ad omnes divisores extenditur, ita ut semper productum ex residuo in non-residuum sit non-residuum. At productum ex duobus non-residuis, 4B, si quidem divisor primus sit ^q — 1, certe est residuum; si enim esset non-residuum, conveniret cum termino 7fa*, 1 € ita ut 4a* — 4B, ac propterea a* — B per d esset divisibile, contra hypothesin. ( Seript. ad marg. Ut 1 sit residuum divisorque 3pp-i- qq, debet esse vel p—3m et q— 7n, vel p-- q—21n, vel 4p 3c q—"n, vel p—21m, vel p3-2q4—7n. — Ut 10 sit residuum, pro divisore 3pp-1-qq debet esse vel p—5n, vel q— 5n. -———— DOTT seme —X om v nee Iw RB . : " : Tractatus de numerorum doctrina. Cap. 12. 53 ^20. Hoc ergo casu, quo divisor est — ^q — 1, residua biquadratorum eadem praedita sunt proprietate, atque residua quadratorum, quin. etiam cum iis plane convenirent pro eodem divisore. Omnia enim residua biquadratorüm in residuis quadratorum continentur, et cum multitudine sint paria, prorsus eadem sint necesse est, unde hic de residuis et non residuis eadem valent, quae supra exposuimus. 421. Sit jam divisor primus ^q -i- 1, et residua 1, «, 9, y, Ó, etc. omnia hanc habent pro- prietatem, ut o?—-1 divisibile sit; per 4q-- f. Haec quidem residua etiam continebuntur in resi- duis quadratorum pro eodem divisore ^4g-i- 1; at vicissim, non omnia residua quadratorum simul sunt residua biquadra'orum, quod ita ostenditur. ^22. Quodvis residuum quadratorum per c^ potest repraesentari, quod si esset residuum biqua- dratorum, foret a^?—1 divisibile per *q-i- 1, denotante z numerum quemcunque minorem divisore; nempe 1*7— 1, 2?7— 1, 3'7— 14, 14?7— 1,....(94)'7— 1 dividi possent per ^q 3- 1, quod cum fieri nequeat, non omnia quadrata in residuis biquadratorum occurrunt. | 4h23. Si a^ in residuis biquadratorum non occurrat, ibidem non occurrent quoque ex^, a", ya^, 0m, etc., quae cum sint residua quadratorum, patet in residuis quadratorum, quorum multitudo est 2g, tot ad minimum esse non-residua biquadratorum, quot fuerint residua biquadratorum; unde patet multitudinem residuorum biquadratorum vel esse — 4, vel adhuc minorem, quod posterius autem fieri nequit.. 1 421. Quo haec facilius evolvere liceat, divisores simpliciores formae *q-1- Íí examinemus, et tam residua quam non-residua biquadratorum consideremus: pro divisore E 13 17 29 residua - 1 1 31.8 5 uncle 1, 16, 23, 2^, 20, 7, 25 2 2 6, 5 3, 19, 5, 1h 2, 3, 17, 19, 11, 15, 21 non-residua * h, 19, 10 9, 2, 15, 8 $6.4. 9 99 98 143 3 35 1t Y ER . iL. 4 8, 12, 10, 18, 15, 27, 26 pro divisore | 37 | residua EIS OO. 43 95 I 95 35. 7 2, 39, 1^ 231, 29, 15, 2^, 20, 18 non-residua E. 925 ST 30 1f ^ 3 36 ECH, 494 1 5 2$ 294. 6, 35 425. Ex his exemplis videmus numerum residuorum esse — q, quem jam demonstravimus majorem esse non posse. Non-residuorum numerus triplo est major, quae in ternas classes distinximus, cum cujusvis classis numeri peculiaribus proprietatibus gaudeant. 426. Has tres classes commodissime ita constituere licet: cum dentur quadrata in residuis non occurrentia, sit 2a tale quadratum; et certum est neque cz, neque za? in residuis reperire posse. Si ergo residua sint 1, «, £2, y, Ó, e, etc. ternae non-residuorum classes erunt: L -, ex, ÓÜco, yc, Óc, etc. H. zx, ex?, Ha?, ya^, Óx?^, etc. lll 2*, az*, 8a?, yz, Oz, etc. 53 — !L. EULERI OPERA POSTHUMA. . l0, diei. h27. Quaevis classis tot. continet. terminos. quot sunt residua, et omnes termini harum classium sunt a se invicem diversi. Ejusdem quidem classis termini manifesto sunt diversi; diversitas autem terminorum in diversis classibus ita ostendetur. 428. Si ex aequivaleret ipsi $27, foret /ga^— ox, ideoque 2: — « per q-i- t divisibile, unde cum «c sit residuum, /29: quoque esset residuum ipsi aequivalens, quod esset absurdum. Simili modo si «x, vel ox? conveniret. cum /2z?, foret vel .& — (8a?, vel o — /8a;: divisibile per 4q-4- 1, ee a^, vel..92c in: residua. transiret, contra hypothesin. |. . " nq ^29. Hinc si numerus residuorum sit — n, numerus non-residuorum erit. 3n, vel saltem non erit minor quam 3n. Ac si in tribus memoratis classibus omnia non -residua contineantur, necesse . est sit multitudo tam residuorum quam non-residuorum junctim sumta — ^q, ideoque n — q. 4230. His classibus ita ut fecimus dispositis, manifestum est producta ex binis non-residuis tam primae quam tertiae classis in classe secunda contineri; deinde vero producta vel ex binis terminis secundae classis, vel ex termino primae in terminum tertiae in ordinem residuorum transgredi. Productum autem ex termino primae in terminum secundae classis reperitur in tertia classi, at pro- ductum ex. secunda: classe in tertiam. reperitur in prima. ; te ^31... Hinc intelligitur neque ia prima, neque in tertia classe numerum quadratum locum habere posse, quoniam is inse ipsum ductus foret residuum. Sola ergo secunda classis continet, quadrata; et quoniam residua etiam ut quadrata spectari possunt, multitudo omnium quadratorum est — 2n. 532. Si secunda classis cum residuis omnia quadrata complectatur, quae ut residua diversa respectu divisoris !^q-i- 1 spectari possunt, quorumque numerus est —?2q, ut in residuis quadratorum vidimus, ob 2n — 2q, ideoque ^n; — ^q, omnés numeri ipso divisore minores habentur, neque ulla i dabuntur non-residüa in hostris tribus classibus. non contenta, eritque n — q. | "T 433. Si ergo quis dubitet, an in nostris tribus non-residuorum classibus omnes occurrant numeri, qui non sint residua, hoc dubium tolletur, si ostendamus nullum dari quadratum non- residuum, quod non in secunda classe contineatur. Si enim yy esset tale quadratum, inde statim tres novae classes non-residuorum emergerent, foretque jam numerus non-residuorum — n, ac si ; . ; ;E ^ H EX US2971 nunc non-residua essent completa, foret 7n — hg. ; ^3*. "Verum quod tale quadratum yy, ires novas classes non-residuorum post se trahens, non detur, ita ostenditur: Sint tres clássen ex tali quadrato oriundae et prioribus adjiciendae IV- y,.oy, By, yv, ete, V. yay" Hy. wy, vebe, e WE st oup. By?, yy etce., quarum. singulae n terminos continebunt, ac duos casus examinari oportet, alterum quo ay esset residuum, alterum quo esset non -residuum,. & (n - ^35. Sit zy residuum, atque omnes termini classis quartae per a multiplicati, scilicet ay, «xy, ay, yay, elc. numero a, erunt residua. Verum etiam omnes termini classis tertiae per « multiplicati, scilicet. x*, «x^, /9a*, ya*, etc. sunt residua totidem numero, atque ab illis diversa; - nam si cxy et //z* convenirent, foret «y — ja? divisibile per divisorem, et «y caderet in classem teram, contra hypothesin. Prodirent ergo 2n residua diversa; quod cum sit absurdum, fieri nequit ut xy sit residuum. VONPTNCES NOR RSPTTWISUTERETNEUNT NER UTRRONNE. SB RESPON PP YRU EFI WIRISEEN Tractatus. de mumerorum. doctrina. Cap. 12. 95 ^36.. Remoto ergo casu, quo ay est residuum, ponamus ay esse non-residuum, et cum in sex classibus omnia non-residua comprehendantur, in una earum ay occurrere deberet; sive autem ponamus ay ipsi ec, sive cx*, sive cax?, sive «y, sive «y^, sive. «y aequivalere, sequeretur absurdum, dum y vel esset residuum, vel in classem I, vel II non-residuorum caderet, vel.etiam c esset. residuum, vel in classem IV, vel V caderet. PO . 137. Cum igitur. sex classes non- residuorum admitti nequeant,: vel tantum tres sunt. ipai trend et volumus, vel plures quam sex. Quod posterius eveniret, si nondum omnia quadrata non-residua in classe II et V occurrerent. Sit ergo zz non-residuum. in neutra harum classium contentum, et ex eo resultabunt tres novae classes, singulae. n terminis constantes: VIL... z, oz,: Oz, ete. VHL. 22, :02?,/8z?, ete; IX. z5,.027, 827, etc. ^38. Nunc vero, ut $ ^35 ostendetur, neque xy, neque ez, neque yz esse posse residuum, quia inde. plura residua, quam revera sunt, sequerentur. Deinde si cy in quapiam sex primorum classium contineretur, eadem incommoda orirentur, quae ante; ex quo «y in quapiam trium postremarum classium esse deberet. Videamus ergo, num ay ipsi «z aequivalere posset, 1 4h39. At si xy ipsi ez aequivaleret, cz, quia certe est non-residuum, vel ipsi y, vel &y?, vel.gy? aequivaleret; quare cum ay — ez et «ez — (8y', denotante » vel 1, vel 2, vel 3, essent divisibilia per q-1- 1, foret z (zy — «z) — y (xz — y^), hoc est gy" * — «ez? quoque. divisibile, sicque «z^ aequivaleret ipsi y^ **, ideoque in alia classe contineretur, quod aeque esset absurdum. 4^0. Sic igitur demonstratum est, si divisor primus fuerit 'q—- 1, residua diversa biquadratorum fore numero — 4, neque plura, neque pauciora, non-residua autem tribus classibus comprehendi, quarum quaelibet constet q terminis. ^*1. Quare. cum residua diversa ex biquadratis 1, | 25, h*,....169*,. quorum multitudo est — 2g, oriantur, bina debent esse aequalia. Hinc si a sit numerus quicunque minor quam 2q, dabitur semper alius b, et quidem unicus pariter non major quam 2q, ut 2 et a* aequalia relinquant . residua, seu ut 5*-— a* per ^q -- 1 sit. divisibile. . 442. . Cum autem tam & — a quam b -- a minus sit quam ^q3- f, erit 5b -3- aa. per ^q a 1 divisibile. Hinc proposito numero primo ^q -- 1, semper summa duorum quadratorum aa -- bb per eum divisibilis exhiberi potest, ita ut neutra radix superet 2q, et quidem alterum quadratum pro lubitu assumi potest. M43. Supra autem jam ostendimus summam duorum quadratorum aa -i- bb. inter se primorum, praeter binarium alios divisores primos non admittere, nisi formae n 1. Unde concludi posse videtur, omnes numeros primos formae !*q-1-1 ipsos esse summas duorum quadratorum, certe autem vel 2 (hq.-4- 1), vel 3(&hq- 1), vel 13 (&hq -4- 1) ete- erit summa duorum quadratorum. ^^^. Etsi jam evietum est, plura duobus biquadratis, quorum radices 2q non excedant, non dari, idem residuum relinquentes, tamen hoc etiam seorsim demonstrari potest. Sint enim tres numeri 4, b, c, non excedentes 2q, ut tam aa -2- üb, quam aa-i- cc et bb -1- cc per q-- 1 essent. divisi- bilia, atque etiam differentiae aa — cc, aa — bb, bb — cc forent divisibiles. At cum neque a — c, neque a-31-c per hq 3-1 dividi possit, productum quoque aa — cc dividi non poterit. 56 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ' anale ^45. Nova ergo ratione demonstravimus, si divisor primus sit 4q-i- 1, multitudinem residuorum diversorum ex biquadratis oriundorum esse — q, neque minorem esse posse; unde non-residuorum multitudo erit 39, in ternas classes supra memoratas distinguenda. 446. Residua ergo biquadratorum, quae sint 1, «, 9, y, Ó, etc. ex divisore primo &qa- 1 oriunda, hanc habent proprietatem, ut o/— 1, /57— 1, 5?—-1, etc. per eum numerum primum hq-:-1 divisionem admittant. Utrum autem omnia residua huic proprietati refragentur, nec ne? videndum est. ) h7. Sit cx non-residuum, et c atque c? pariter erunt non-residua. Jam si (xx)?— 1, seu a*?.— 1 esset divisibile per ^q -21— 1, omnes termini ex^, (92^, ya^, etc. eadem proprietate gauderent, qua cum per se gaudeant ipsa residua, omnia quadrata ab 1 usque ad ^gq eadem proprietate - essent praedita. ' | ^48. Omnibus ergo numeris ab 1 usque ad 2q ista conveniret proprietas, ut eorum potestates exponentis 2g, per !q--1 divisae, unitatem relinquerent; sicque omnes differentiae inter binos terminos hujus seriei 1, 2?7, 3?7, 4?7....(29)'7 per &q--1 essent divisibiles, quod autem absurdum - esse jam supra ostensum est. | 4^9. Hisce conficitur id, quod erat propositum, scilicet si quadratum zz fuerit non-residuum, tum a?/—- 1 certe non esse divisibile per 4q-1- 1. Multo minus autem, cum 2 et x* etiam sint non- residua, hae formulae a?7— 1, vel a77— 1 divisibiles erunt per ^q-i- 1, unde patet si a?— 1- divisionem admittat per ^4q-1- 1, tum numerum « necessario inter biquadratorum residua reperiri. ^50. Quando ergo potestas a?, per numerum primum ^q - f.divisa, unitatem relinquit, tum *, a*, etc. orta, in nostris residuis biquadratorum con- omnia residua, ex serie potestatum 1, a, a^, a tinebuntur. Et vicissim, si a non sit residuum biquadratorum, formula a?— 1 certe non erit divi- sibilis per ^q 1. h51. Si q sit numerus impar, inter residua non occurret numerus — 1, vel ^q, quia (— 1)7— 1 certe per ^q 1 dividi nequit. Hoc ergo casu, si residua sint 1, «, 9, y, Ó, etc., eorum negativa — 1, — «, — 9, — y, etc., seu 4q, hq-- 1 — «e, hq-- 1—40, ^q--1——-y, etc. certe inter non-residua reperientur. in 452. .Hinc sequitur, si q sit numerus impar, non dari duo biquadrata a* et b*, quorum summa a*--b* esset per numerum ^q-1-1 divisibilis. Si enim residuum ipsi a* conveniens esset c, alterius b* esset — «, quod autem fieri non posse modo ostendimus. 453. Contra autem, si q sit numerus par, inter residua biquadratorum certe occurrit — 1, si enim esset non-residuum, non esset (— 1)7— 1 per ^g-1- 1 divisibile. Cum igitur sit divisibile, patet propositum, scilicet inter residua biquadratorum simul singulorum negativa, seu complementa contineri. h5^. Si ergo q sit numerus par et hq-1- 1 numerus primus, seu si 8g-3- 1 sit numerus primus, proposito quocunque biquadrato a*, aliud dabitur b*, ita ut eorum summa a*-- b* sit. per. 8q 3-1 divisibilis. ]ta dato numero a, semper inveniri potest numerus a, ut biquadratorum summa a*-w a* divisibilis sit per t7, vel 41, vel 73, vel 89, vel 97, etc. adliazslk MENSCH OSTEPEUNV vrac Tractatus de numerorum. doctrina Cap. 12. 297 ^55. Contra autem, nulla dabitur duorum biquadratorum summa, quae esset divisibilis per ullum numerum primum hujus seriei 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, etc.; multo vero minus per ullum numerum primum formae *4q — 1, quia ne summa duorum quidem quadratorum per talem numerum est divisibilis. | ^56. Summa ergo duorum biquadratorum inter se primorum, praeter binarium, alios divisores habere nequit, nisi qui contineantur in forma 8q 3 1, ita est: | f4- 2'— 17 2'-—- 3— 97 h*-- 5* — 881 7*-—- 8*— 73.89 1 2c 3'— 2.41 2'a4- 5'— 6^1 h*-4- 75 — 9657 7*-- 9*— 2.8481 f &'— 257 2*..- 711— 9817 h*-- 9*— 17. 401 7*-1-10*— 12501 1 -2- 5'— 2.313 2*-,4- 9*— 6577 5*-1- 6*— 17.113 8*-- 9'— 10657 1 4- 6'— 1297 3'-- &—337 .55-4- 75 — 2.17.89 9*,4-10*— 16511. 1 -e 7*'— 9.1901 3*-- 5*— 2.353 5*-2- 8:— 4721 f -- 8'— 17.244 3*-- 7:— 2.17.73 5*-,- 9:— 2.3593 1 4- 9'— 2.171.193 3*-- 8'— h177 6*-2- 7*5 — 3697 1 -—-10*— 73.137 3'--10*' — 2.17.593 457. Si jam quaeratur, quibus divisoribus binarius in residuis reperiatur, id quidem in casibus evolutis $ 425 nusquam evenit. At ubi 2 occurrit, ibi etiam 2o occurrit; ideoque divisor ^q -- 1 factor esse debet talis numeri a*— 925*, seu 2b5*—-a*; unde concluduntur hi divisores: 73, 89, 113, 233, 281, 353, 593, 617, 937, 1919, 1889, 2273, 2393, 4177, M121, ^801, 6529, etc., qui numeri in forma 6^pp -- qq contenti videntur. (*) 458. Numeri autem in formula 6^pp -- qq contenti sunt: 13, 89, 113, 233, 257, 281, 337, 353, 517, 593, 601, 617, 881, 937, 1033, 1049, 1097, 1153, 1193, 1901, 12519, etc., | ubi cum omnes praecedentes occurrant, et reliqui quaesito satisfaciant, nihil est, quod de veritate conjecturae dubitemus, et cum omnes hi numeri sint formae 8n-i- 1, in residuis tam — 2 quam -3 2 reperietur. ^59. Omnes divisores primos formae *q-1- 1 usque ad 101 examinando, inter residua semper occurrit numerus q, ita ut esset g^—1 divisibile per 'q-i- 1, quod si. generatim esset verum, simul inter residua forent numeri q, q?, q?, 16q, 81q, 256q, 169g, 81qq, hineque — ^, q— 20, — 6, — ^q. ..^60. Haec observatio per supra S 389 allatam confirmatur, ubi animadvertimus numerum 2 inter residua quadratorum esse, si divisor primus sit formae 8p-i- 1, esse autem non-residuum, () Script. ad marg. Ut 3 sit residuum, divisor esse debet pp-i-qq. ut sit vel p—12m, vel p—3(2m-r-1 et q—/n-1-2. Ut 5 sit residuum, divisor fit — 100pp-4- qq. . L. EKwleri Op. posthuma. T. I. : 8 58 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. .. parre pem si. divísor sit formae. 8p--5, quare. .2*^— 1 est divisibile per 8p-31- 1, at. 2*^** — 1 non est divisibile per 8p-1i- 5, quare. cum .2*^* * — 1; sit divisibile, necesse est sit, 27^ *-1- 1 per 8p -4- 5. divisibile. ^61. Hinc cum forma /!4q-- 1 ad. 8p-- 1 redeat, si q sit numerus par, hoc casu 239 eid, seu &?7— 1 per ^g-i-1 est divisibile, ideoque numerus ^, ejusque etiam megativum — ^ inter residua biquadratorum reperiri debet. At si q sit numerus impar, quo casu 5q-- f ad 8p 5 redit, erit 9?7.,. f, seu À7-4- 1, vel quod eodem redit (— &)/— 1 per ^q-- 1 divisibile; ita ut etiam hoc casu — "* inter residua biquadratorum occurrere debeat. — bn ^62. Pro divisore ergo primo ^q-1, sive q sit numerus par, sive impar, in residuis biquadratorum semper reperitur — ^, unde cum ob 1 etiam — ^q adsit, quoque q adesse debet, sicque altera observatio per alteram confirmatur. ; — Ww — ,C€aput XE. De residuis, ex divisione surdesolidorum per mumeros primos ortis. ^63. Si divisor sit d, et a^ relinquat c, tum (d — a)' relinquet — «, sicque omnia residua nascentur ex his potestatibus 1, 25, 35, 4^...(d — 1), quae si omnia fuerint diversa, eorum nu- merus est —d-—1. : j | Á ^6h. Sint f, o, 9, y, elc. omnia residua diversa, et in iis occurrent producta ex binis; quin etiam si quod productum "ma ibi adsit cum altero factore ;, etiam alter n aderit. Nam si n nascatur ex 4*5,' ef. ex 55,- ex Ab? nascétur etiam! mn; "eritque. a5— nb* :divisibileper d. — At fieri potest a — fb -3- gd, ideoquo a* idem. relinquit. residuum, quod f?6?, sic cum f^55-— nb?, ac propterea f" — n divisibile sit per d, in residuis erit n. : 465. Si in residuis est a, ibi erunt quoque a?, a?, a*, sed a* quidem semper inest. Hine vicissim, si in residuis sit a?, ibidem quoque erit a*— a*:a^; et ob a* quoque residuum, erit etiam a residuum. . Ergo quaecunque. potestas a" (dum à non fuerit multiplum quinarii) fuerit residuum, ejus omnes potestates «, a^, a?, etc. erunt simul residua. ^66. Sit ; multitudo residuorum 1, «, /9, y, Ó, etc. pro divisore primo 2g-1-1, et si omnes numeri divisore minores in residuis occurrant, erit m — 2g, ac tales quidem casus dari mox patebit. ^67. Si fuerit m — 2q, dabitur numerus non-residuum, cujusmodi sit 4, hincque primo non- residua erunt 4, 4«, //8, etc. numero m; tum vero quia /4?, 4?, 4* sunt non-residua, ex quoque m nova obtinentur, ita ut unum non-residuum 4 involvat quatuor classes non-residuorum I7 47 Mas «49, "My ,cetel HL. £6; 455, 498, 4*», ete. 110300 Tl. A" "Paru g. v ete. | IV. 4*, A*o, 4*8, A*w; etc. TM *68. Statim ergo atque unum non-residuum habetur, simul oriuntur 4;m non-residua, quae si fuerint omnia, mecesse est ut sit m-*-!un-— 29g, ideoque 5m q. et m, nisi ergo q multiplum quinarii, non-residua adess? nequeunt. | NM ^69. At si praeter quatuor classes novum daretur non-residuum 7, ex eo denuo quatuor classes orirentur: Tractatus de numerorum | doctr ina. Cap. 13. 59 V. .DB, Bae, B8, By, etc.: VIL^- B5; B?o, B*3, B^y, etc. VL B*, D*o, B* 9,. B3, etc. : VIIL.. B*,. B*o,, B*38, B*», etc. Jam sive 4B dicatur esse residuum, sive non-residuum, absurdum sequitur; unde omnia non-residua, si quidem dantur, a quatuor prioribus classibus: exhauriri. necesse est. M10. Certum ergo est, quoties in divisore primo 2q-- f numerus q non fuerit multiplum quinarii, loties omnes numeros in residuis occurrere, eorumque multitudinem esse — 2g. Neque ergo dantur duo numeri a et b, minores quam 2q-- 1, ut a*— 6* esset per 2q 3- 1. divisibile; hincque etiam a* 4- a^ b -1- aabb -1- ab? -1- b* per nullum numerum primum 2q-- f dividi potest, in quo q non sit multiplum quinarii. ^71. Omnes ergo divisores primi numerorum hujus formae a*-- a?b-4- a*b? - ab*-4- b*, seu hujus a^— 55, excluso divisore a—5b, in hac formula 10p-i-1 continentur, iique numeri nullo modo dividi poterunt per ullum numerum in aliqua harum formularum f0p -4- 3, 10p-i- 7 et 10p -i— 9 contentum. M72. At si divisor primus sit f0p-i- 1, non omnes numeri in ordine residuorum occurrent, si enim omnes occurrerent, foret a^"— 1 semper divisibile per 10p a- 1, quicquid fuerit 2, seu differentiae omnium harum potestatum 1, 27^, 3?^, 9^... .(2p-1- 1^ per 10p--1 essent divisibiles, cujus absurditas jam supra est ostensa. — | ^73. Quare si divisor primus sit 10p -4- 1, numerus residuorum diversorum tantum est — 2p, et 8p habebuntur non-residua, unde semper quini dabuntur numeri ipso t0p-i- f minores, a, 5, c, d, e, quorum potestates quintae paria producunt residua. T*. Scilicet proposito numero quocunque a, quatuor semper assignari possunt alii b, c, d, e, singuli divisore 10p -À- 1 minores, ut per eum divisibiles sint hi numeri ac propterea isti quoque b5 — a? b* -— ab? -- a? 0? —- a? b A- a* c* — a5 c* -- ac? -— a? c? 2— a5 c 2 a* d? — a? d* 24- ad? 4- a? d* ^- a* d 4- a* e* — a* e* -- ae? -- a? e 4— a? e A a*. Haec eadem demonstratio ad praecedentes potestates accommodari potest. M15. Differentiae ergo etiam harum primae, a tribus sequentibus, per eundem divisorem dividi poterunt: hae autem differentiae, cum sint divisibiles per b — c, 6 — d, 6 — e, abeunt in has b* b? c i bc? -— c*4- ab? 4- abc - ac? a- a? b a a? c a a^, 09 a4— V d ^ bd? a d? 4- ab? - abd. - ad? -- a* b - a* d 4- a^, b5— 0*6 a be? i e a ab? 4- abe - ae* - a^ 6 a- a^ e i a^, ^76. Porro vero harum differentias, sigillatim per c — d et c— € divisas, etiam per 10p-i- 1 divisibiles esse oportet, quae sunt: * 60 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. c? 2 cd d? 4- be —- bd A b? 2- ac 4 ad ^- ab a- a*, c? -— ce -— e* a- be 2 be -— b* -— ac 4 ae A- ab -- a*, harumque denuo differentia, quae per d — e divisa est, e a- d A c a- b a- a. M11. Hinc apparet quinos numeros a, 6, c, d, e, quorum potestates quintae, per numerum . primum 10p-i-1 divisae, paria relinquunt residua, ita esse comparatos, ut eorum summa a2 b 2- c-- d 4- e etiam per eundem sit divisibilis. Cum. autem singuli minores sint quam 10p-i- f, eorum summa est vel 10p-i- 1, vel 2(10p -- 1), vel 3(10p a- 1), vel ' (10p —- 1). 178. Cum numeros negativos etiam ut residua spectare liceat, haec summa a-i-5-3-c-- d -e ut nihilo aequalis considerari potest, unde datis quatuor.a, b, c, d, quintus sponte datur, scilicet e — —a—b— c— d, qui cum sit unicus, patet plures quam quinque non dari. 419. En ergo novam demonstrationem, quod numerus residuorum diversorum pro. quocunque divi- Li sore primo 2gq-- 1 sit vel —2q, vel — et quod prius quidem semper eveniat, si q non sit. mul- tiplum. quinarii, posterius semper, si fuerit q— 5p. . Priori casu omnes numeri divisore minores sunt residua, posteriori tantum quinta eorum pars. 480. Posito igitur divisore primo 10p -- 1, multitudo residuorum diversorum est — 2p, inter quae cujusvis residui negativum quoque occurrit, ex quo eorum multitudo est par. Tum vero idem. residuum quinque potestatibus diversis, quarum radices sint divisore minores, convenit, quas notasse juvabit. 481. Tales divisores cum sint 11, 31, ^1, 61, 71, 101, ete. consideremus primo divisorem fOp -4- 1 — 11, quo fit p— 1: Residua | ex potestatibus - : - .Classes non-residuorum I. H. III. IV. 1 ge 25 .5, VR. 2 . 8 9 10 25, 65^ 75 85 10: $5.3 2 6€ ^82. Sit divisor f0p-i- 1 — 31 et p — 3, habebimus Residua ex potestatibus Classes non-residuorum . i I. II. III. IV. IL 25. Wr S. nu 9 7R& 6 & NÉ 5 Jh 145 195 295. 9 10.20 -'9 "1g 26 CAEN wet cado Hm a JU "44 297 49 6 11*, 135, 215, '99* 26* (2 ^» 9k WT 3 25 95-95 «1405 48» 06s 19 7. 14& 98 30 15*, .039! 4917* ..90*. 30! 29 97. 23 . 15 ^83. Sit divisor primus 10p -- 1 — 41, ideoque p — ^, erunt ——————— aw 9 - Tractatus de numerorum doctrina. Cap. 13. 61 Residua ex potestatibus Classes non-residuorum I. It. III. IV. r 1* 105 16' 18 37 2-5 «8 — 40 &" 939*' 435* 'J1i', X0! 39 5. .9 3 (4*, 19' 28', 3", 38' (.34 4 . 1 "odi 3*5 T 135 295 30 35. 99 17 3^ 9 B 8.59,.495 39 48 36. 31 . 21 32 2* 90', 32', 393', 36' 93 - 5 10 90 1^ MV. Nae NNS 0, 95 98 15. 30 19 27 6* 1595. 17' 19*', 26' i9 9 ^ 39 ^85. Sit divisor primus 10p -- 1 — 61 et p — 6, erunt Residua ex potestatibus Classes non-residuorum hu»o Jb HL IV. 1 ISUCOwW, 4. ww € 2 8 16 60 35:975, .&4*5, . 525. :60* 99 5:57; 393 5 13 12^,255, AQ, VIS ST 26 52 H3. 25 &8 "8500195 195 36* 19' 35 9 18 36 t 550039*^ &54 65, -A48* 98 156 Á51 ; M M | 33';245*, 165 29* 56 33 *; 5 10 5 20 1t | 8^,0911*, .285,. 37',. 38*' 22 4 27 5h 50 235 019V^, 39$ 505- 53* 39 *47 (3^ 1 21 - 110, igAT*,.; 990...31 5 35* 5 ^2 23 56 21 M 26*, 30, 325, &4*, 51' 19 38 15 230 29 - B A AS 4 98 53 H9 JJ 32 XU DIN Wa m 3 eec qm 485. Proposito ergo quocunque divisore primo formae f0p-i-1, dabitur numerus a, ut a* — 1 per eum sit divisibilis, quam proprietatem quoque habebunt numeri a^, a?*, a*, quorum potestates quintae etiam unitatem relinquunt. Sequentes termini a*, a5, etc. ab his non sunt diversi, cum sit a* — n (10p 2- 1) -- 1, sicque a* ipsi 1, a? ipsi a, a" ipsi a? etc. aequivaleat. 486. Cum quinque numeri, quorum potestates quintae per 10p-i-1 divisae unitatem relinquunt, ita repraesentari queant 1, a, a^, a?, a*, si 0? det residuum «, quinque habebuntur numeri b, ab, a*b, a?b, a*b, quorum potestates quintae, per f0p —— f divisae, idem relinquunt residuum a. 487. Quia idem ad altiores potestates extendi potest, proposito quocunque numero primo mn- 1, semper dabitur numerus a, ut a"—-1 per eum sit divisibile; ejusque potestates omnes eadem praeditae erunt proprietate. : Erit autem. a minor quam divisor mn 3-1, talesque numeri diversi tot, quot m continet unitates, exhiberi possunt. 488. Proposito porro divisore primo mn-t 1, si per eum potestates 1", 2", 3", M^, etc. nm dividantur, usque ad (mn)", plura residua diversa non relinquentur, quam n, ideoque dabuntur (m — 1) n numeri divisore minores, qui non sunt residua. 62 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 489. Si post unitatem « sit minimus numerus, €ujus potestos a", per mn--1 divisa, unitatem relinquat, cujusmodi numerus semper datur et quidem unicus; tum si potestas b" relinquat c, omnium horum numerorum 6, ab, a^b, a?b...a" ^b, quorum multitudo est —;n, potestates expo- nentis m idem residuum « relinquent. | . i3 490. Si m-— 2, minima potestas a^", quae per numerum primum 2n--1 divisa, relinquit — unitatem, est ut sequitur 2n -- 1 n a* 3 1 2* 9 ? jg? 7 3 6? & 11 9 10? et ita porro; hoc ergo casu semper est aq — 2n. &k91. Si m — 3, potestates a?, quae per 3n -1- f. divisae, unitatem relinquunt, sunt 3n 4-1 nc potestates (0 9302-1 n potestates | 7 2 £5, 7095 a5 61 20 D, 43 aT | 13 ] 0735 9 67 22 05 9295 37 | 19 6 i OOT5 ds 13 9h 05, 8 6v 31 049 it — 042, 6955, 955 19 26 15, 995, 55 | 37 12 0£*, 405, 96* 97 32 15, 355 61* Él 13 T 15, 65 36 103 3^ 05, A65 56*. ^92. Sit m — '* et potestates a', quae per &n-1- 1 divisae, relinquunt unitatem, sunt ^————'Áá— Él in-r1 n potestates hn 4-1 n | potestates 5 1 i» 24 uS T 53 I 1,934 520 13 3 tope que We 61 45 15 1i* 60*"' 59f 17 " 9auP cqannpua. Tad 73 TH 1*5, ^ dm. inguina Ld 29 1 i5 295 329" 49m 89 22 i5. 34*, 85' 33" 37 9 [UUge 3605 73] 97 2s í* 2905 965" 75€ et 10 QU Wm 101 25 1*, 10*, 1005 9p ^93. Si m—25, potestates a^, quae per 5n-r-1 divisae, relinquunt 1, sunt, ut ante jam vidimus, 3n 4-1 n . potestates | 11 9 0-9 35. 95 055 | 3 6 15 95 ^M 85. 16 | T 8 (5, 105, 18* 165 37 61 12 £, 95 905, 58, 3v 71 Ta 15^ 55 255 59, 57 bii 101 20 1, 365, 895 955 875 : Tractatus. de. numerorum. doctrina. Cap. 13. 63 M95. Sit m — 6, et senae potestates a5, quae per 6n-1- 1 divisae, unitatem relinquunt, sunt 6n-- 1 n potestates 7 |. E diu 8. 85 13 2 8. 25 .28*. 195. 105... M1 /49 3 Á S o2. Hand, 494, 495 9 hic scilicet eaedem potestates, quae pro casu m— ortae, sunt adjiciendae. 3 prodeunt, quibus totidem, ex radicibus negativis 595. Sit m — 7, et potestates a", quae per 7n-1- 1 divisae, unitatem relinquunt, sunt 7n-4r-1 potestates 29 ^h 1900 15:45:04 598 ,.093'55. 160", 725 43 6 Ü, OV, 46€, 915 AC, 35, 440£0 14 £0.51» 42,5891» &39p 8*3, »39Vo9g* (13 16 ÜU, 14€, 230, 98' 1097", 49", t06". ^96. -Jam observavimus, uno horum numerorum cognito, reliquos ex ejus potestatibus oriri. Verum methodus talem numerum investigandi haec promptissima videtur: Proposito divisore primo et b^ idem residuum. praebentes; tum quaeratur x, ut quaerantur duae potestates a^ b-- p(mn 2-1) mn 3-1, st c— » et c" unitatem relinquet. Semper. autem p ita capi potest, ut a fiat nu- merus integer. ^97. Si divisore existente mn ae 1, potestates exponentis m nitatem relinquentes sint 1", «^, 9". "^ " etc. numero m, tum 1, «, 5, 7, 0, etc. erunt residua ex progressione geometrica 1, «, o", o?, o*, etc. orta; erunt ergo etiam ex serie potestatum 1^, £59, 5^. 6^, etc. nata. - 498. En ergo methodum. facillimam. unum saltem numerum « inveniendi, ut o"— 1 per posgni fiat divisibile, scilicet pro « semper sumi.potest 2^, seu residuum ex hac potestate binarii reliqui facile ortum, quin etiam valores idonei ex 3", 5", etc. peti possunt; cognito autem uno, innotescunt. ^99. Si divisore primo existente mn -i- 1, in residuis potestatum 1, 2", 3", 4^, etc. occurrat numerus /V, ibi quoque occurret numerus Va"; dabiturque numerus z, ut z"— Na" per mn - 1 fiat divisibile, eritque etiam V" — 1 per ma 34- 1 divisibile. 900. Vicissim autem, si NV" — 1 per mn-- 1 est divisibile, erit N residuum potestatis cujus- omnia reliqua non-residua pari essent praedita proprietate, |, 9"—1, 3"—1 dam zx"; si enim esset non-residuum, ideoque omnes numeri; forentque omnes hi numeri 1^" — , etc. divisibiles per mn -- 1, quod autem fieri nequit. 301. Posito divisore primo mn-- 1, sint potestatum 1'', 2", 3", 4^, etc. residua 1, 4, B, C, D, etc., pum yero i^", 2", 3", &^, etc. residua 1, «, 2, y, Ó, etc., ac potestates omnes v a" E nm: y", Ó", residuum relinquent 1; hae vero potestates 1^, 24^, p^, i etc. residuum relinquent 1, ideoque hae formae o" — 4^ erunt divisibiles per mn -- 1. 64 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. Pagina intercalata. Tentamen. demonstrationis, quod si divisor primus sit 8q-4-7, in residuis reperiatur 2. Ponamus esse in residuis 2, et cum ibidem sit (29 4-m)?, erit quoque 80q-34- 8mq-4- 2mm, hincque * * P MEL ue ue ous 8mq-1-2mm — 14. et 2mm — 1m — 14 et 2mm — Tm--q4- , I1 quod si nunquam fiat non-residuum, patebit propositum. At non-residua repraesentari possunt per quadrata negativa, . quorum dupla etiam erunt residua per hypothesin; sit ergo 2mm — Tm--q 4-7 — — 2aa4-80q-4— 1b, fietque |. 9aa-i-2mm — 7m 4-1 — Tb ... (4a)? 4- (4m — 7)* 1z: 8b —1 ü npn Ari ? foretque 89-i-7 divisor ipsius (ha)?-24- (m — 7)*, quod cum fieri nequit, sequitur ex residuo 2 nullum deduci aliad dum, cujusmodi necessario resultare deberet, si 2 non esset residuum. (*) Theorema. Si divisor 1201-11, erit 3 residuum. Ponamus 3 esse residuum, ac si nullum absurdum inde sequatur, pro vero erit habendum. Erit ergo — 3 non- residuum, et omnia non-residua — 3aa. At residuum est (2q4-m)? et 1299 -2- 12mq-1- 3mm, hincque 3mm— 11g— 11m, item. 32mm-1-q — 114-11, quod nunquam potest esse non-residuum — 3aa: ponatur enim t- fu 0g 3mm — 11m4-11 4-9 — — 3aa-1- 12593-1105, erit : x As e 2 44? Te " po e 11m2a- 11 T uide di 1994-11 — (6? -1- (6m — 11) EAE 12b —1 19b — 1 quod cum sit absurdum, 3mm — 11m-1- 11 -À-; nunquam inter non-residua continebitur. " vur iud Vel ita pro divisore 8q- 7. pis T4 Si 2 esset non-residuum, in genere 2mm — 7m — 7q-- «(80-1-7) esset non-residuum; in genere autem resi- duum est (Aq-1-2)? — 169g 4- 8nq-31- nn —8nq-3-nn — 14q—nn — 14q — 7n — nn-4-2q — "n A-1& 2 G( i-o omnes . ergo numeri continerentur in alterutra harum formularum: Ev... 2mm — 1m — 143-0 (80-—1) : | P9 nn —'In — 14423- 8(8q94-1). 24304200 Si unicus assignari posset numerus, hic non contentus, demonstratio esset perfecta; vel si idem numerus in utraque contineretur, quod fit si, posito m—f-1-g, n—f-4-29, fuerit [ — 2993-7937 divisibile per 8931-7. HILGTI () Seript. ad marg. Si 2mm —'1m-4-9-1- 7 ponatur. — — aa, fit n | 9 (9a)* a- (4m — 7)* "eis 8b —1 : E nunc demonstrandum restat 2xz-1-yy nunquam divisibile esse per 804-7. Nota allera, ut videtur, huc pertinens. 8xa — (2y-4- 1)* alios divisores primos non habet, nisi formae $n — 1 et 8n-- 1 A eee inl d rz T7a-1i.- A mu f2230-1, - ci int. si z — 31a 2 2 » 4 29 ORI 8r — ^R lis M ! o. rcsMMaddA. MESA (ma ac-ífad-7.:5 COROS 0 ce RE 47 jon 17 AA Tractatus de numerorum. doctrina. Cap. 14. 65 Caput XIV. De residuis, ex divisione quadratorum per numeros compositos ortis. 502. Sint 1, «, 9, y, Ó, etc. residua, quae ex divisione quadratorum per numerum primum 2p -- 1 oriuntur, quorum numerus est — p; ac videamus primo, quaenam residua oriantur, si divisio fiat per duplum 2 (2p -i- 1), atque hic quidem excludamus quadrata paria; tantum enim ea quadrata, quae ad divisorem sunt prima, consideremus. : 503. Multitudo autem quadratorum, quorum radices sunt divisore minores, est — 2p, et quoniam. quadrata aa et (hp-i-2 —4)* idem relinquunt. residuum , multitudo residuorum diversorum major esse nequit quam p; erit ergo vel — p, vel minor quam p. 30^. Minor scilicet esset, si darentur duo quadrata «aa et bb, ut non esset b — ^p -1- 2 — a, quae idem relinquerent residuum. Foret autem tum. bb — aa — (b — a) (b-1- a) divisibile per 2 (2p-4- 1), et alter factor per 2, alter per 2p -- 1 divisibilis esse deberet. At uno existente pari, alter quoque erit par, ideoque per totum divisorem divisibilis, unde foret 6 — 2 (2p 2 1) — a. 505. Multitudo ergo residuorum diversorum, quae quidem ex quadratis ad divisorem primis oriuntur, erit — p, totidem numero, quot ex divisore primo 2p -4- 1 nascuntur. Ác si residua, ex divisore 2 (2p -i- 1) orta, sint 1, 4, B, C, D, etc., eorum numerus est — p, et ibidem occurrent |». producta ex binis. | 506. Dantur autem 2p numeri ad hunc divisórem primi eoque minores, unde cum eorum tantum semissis residua constituat, alter semissis dabit ordinem non-residuorum, quae si sint ?f, $5, G, $, etc., eorum numerus erit — p, et producta ex horum binis iterum fient residua. 907. Contemplemur quaedam exempla, in iisque tam residua, quae ex divisore primo 2p 1, quam ex ejus duplo 2 (2p -i- 1) nascuntur, simulque apponamus non-residua ad divisorem prima: divisor 3 6 $& 10 1 1^ residua 1 1 E 1, 9 1, 2, 5 i CRko$4 non -residua 2 5 o. € v5 6 3$, 78-13 divisor 11 22 residua [Dog wer 1 NEUcy cim, 49 non-residua -2, 6, 7, 8, 10 Axe) c weg coen p 4 s divisor Vtde, t. 26 residua p787 c9 *497*19 (739m, a3, "9$ non - residua 2. 2159:60;: 0455 15:8] - 544 'q 5051750042575) :49j 7. 9f divisor 17 3^ | residua - LU US 8.4 1, 15 16 E $ 14 45. 19, 9/50 M non-residua — 3, 5, 6, 7, 10, 1f, 12, 1^ 3.. 5, 5111, 23... 27, 295531 908. Repraesentemus rem in genere: divisor |». 9p-- 1 | 2 (2p 4- 1) residua 1, «o, 0, y, Ó, etc. 1,44 cB, Cy AMVurwe non - residua Bicba c, b, v, eil (43, $5, €, $, 6C, etc. L. Euleri Op. posthuma. T. I. : 3 66 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. et primo observamus omnia residua divisoris. 2 (9p -- 1), vel ipsa, vel numero 2p-:- 1 minuta constituere residua divisoris 2p -4- 1. 509. Scilicet vel 44, vel 4—(2p--1) in residuis 1, «, |2,.y, ete. occurrit. Cum enim detur quadratum impar ac, ut sit aa—4 per 2 (2p 4-1) divisibile, erit quoque per 2p-1-1 divisibile, unde A etiam inter residua divisoris 2p-4- 1 reperiatur necesse est, vel 4/—- (2p -1- 1), si fuerit 47» 2p-1-1. 510. Numeri porro impares seriei 1, «, 9, y, etc. in serie 1, 4, B, C, D, etc. occurrunt, pares autem ibi non reperiuntur, at vero iidem aucti numero 2p -:-1. Sit enim « numerus impar, et cum aa — o sit divisibile per 2p-r-1, erit aa —ce —n(2p-- 1). Jam a vel est par, vel impar. Si impar, erit aa — « par, ac propterea etiam n par, sicque aa — c divisibile erit per 2 (2p a- t). | 511. At si a sit par, erit 2p-i- 1 — a impar, atque etiam (2p -i- 1 — a)! — « — n (2p 1), ubi n fiet par, ita ut haec formula quoque per 2 (2p--1) sit divisibilis; unde si « sit numerus impar, certe inter residua 1, 4, B, C, etc. continebitur. : 519. At si « sit. numerus par, ejus loco inter residua divisoris 2p -1- 1 considerari potest «--9p-- 1, qui cum sit impar, ob rationes allatas etiam inter residua divisoris 2 (2p -- 1) re- periri debet. | * — 513. Datis ergo residuis 1, «, /9, y, etc., ex divisore primo 2p -- 1 ortis, ex iis statim concinnari potest series residuorum 1, 4, B, C, etc. ex duplo divisore ortorum 2(2p -- 1), illorum scilicet, quae sunt imparia, ipsa ponendo, paria autem numero 2p 1-1 augendo. 51^. Simili modo ex serie non-residuorum a, b, c, b, etc. divisori 2p -1- 1. respondentium formabitur series non-residuorum divisori 2 (2p -4- 1) respondentium, dum imparia ipsa sumuntur, paria vero numero 2p 34- 1 augentur. De divisore ^ (2p 4- 1) —d. 515. Multitudo numerorum hoc divisore minorum ad eumque primorum est 2.1.2p — p, et non solum quadrata aa et (d — a)? idem relinquunt residuum, sed dantur praeterea duo alia bb et (d — b)*. Fieri enim potest 5b — aa — (b — a) (b -1- a) — ^n (2p 4— 1), sumendo b — a — 2n et b -i- a — 2 (9p -- 1), unde fit à — 2 (2p 4- 1) — a, sicque quaternorum quadratorum, idem residuum relinquentium, radices sunt: a, 2 (2p 4- 1) — a, 2 (2p -- 1) 2- a, * (2p a- 1) — a. 516. Plura autem quam quatuor dari non possunt, unde hoc casu numerus residuorum tantum est p, uti pro divisore primo 2p-1- 1; at numerus non-residuorum est 3p, ut ex subjunctis exemplis videre licet: divisor 3 12 9 20 ri 28 residua E [ PN Hh c8 NT 4, 590: 8 5 jut j 3, 97,49 non-residua — 2 7 2 3 (1, 19 3,.5, 6 5, AT7pb49 14 13,41 11,:0157- 99 e oT NGUTME SITUE C M UMANE WE ME m. 9. UR PE C RE EIL WT NIENE NENNT m SES RR FOREN QN T inm Tractatus de numerorum. doctrina Cap. 14. 61 divisor 11 hh residua 1; (35:09). 0085568 $^» :9,588,.05, 91 36»87,,:9455 15,098 non -residua S ub. di 140 Zu 49i. Àh3, 25, .29 | 13, 29, 17, 21, ^ divisor 13 | 59 residua i, ^,^ 5, 5 97:19)9 , 9, 95, 49, 99, 17 1 $3, .91,.99; M9, 35, 4 , h5, 91, 37, hi, 33 11, 19, 31, ML 145 non -residua 2, 35, 6 "T,*»9^ 11 S—-— CN 517. Sint pro divisore 2p -- 1 residua 1, «, /2, 7, Ó, etc. et pro divisore '& (2p -4- 1) residua 1, 4, B, C, D, etc. multitudine aequalia; ac primo patet ex his residuis illa reperiri, scilicet ex serie 1, 4, B, C, D, etc., quae sunt minora quam 2p-i-1, ipsa in serie 1, «, 9, y, Ó, etc. continentur; quae vero sunt majora, minui debent numero 2p-i-1, vel ejus duplo, vel ejus triplo. 518. Deinde observo inter residua 1, 4, P, C, D, etc. nullum numerum hujus formae ^49 — 1 contineri. Cum enim quadratum aa, demto numero !q— 1, nequeat esse divisibile per ^, fieri non potest, ut sit «aa — (^q — 1) multiplum ipsius '* (2p -i- 1), unde numeri 3, 7, 11, 15, 19, 23 semper sunt inter non-residua. ! 919. Si in serie 1, «, 9, y, Ó, etc. occurrat numerus impar formae ^4q-:-1, idem quoque in serie 1, 4, B, C, D, etc. occurret; nam si aa — (^q 3- 1) sit divisibile per 2p - 1, quoque divi- sibile erit (2p-i- 1 3- a)* — (*q3- 1); et quia numerorum a et 2p-4- 1-*- a alter certe est par, alter impar, sumatur « impar, et aa — (^q - 1) per ^ erit divisibile, unde etiam per ^ (2p - 1), ita ut pro hoc divisore ^q 3- 1 futurum sit residuum. 520. At si numerus impar ^q — 1 sit residuum divisoris 2p -À- 1, non erit residuum divisoris & (2p 3- 1), uti jam vidimus; tum vero 2 (2p -i- 1) 4- ^q — 1, quia redit ad formam ^r -- 1, certe inter residua divisoris ' (2p -— 1) continebitur. - 521. Si numerus par 2q sit residuum divisoris 2p -i- f, tum vel 2g--2p-- 1, vel. 29. -— 3 (2p ^- 1) erit residuum divisoris ^ (2p -- 1), prout vel hic, vel ille numerus fuerit formae *r-i- f, alter enim formae ^r — 1 semper excluditur. 522. Scilicet si sit p — 2m, et !un-i- 1 numerus primus, si iq sit residuum divisoris 5n f, tum ^4q-—'u 3-1 erit residuum divisoris * ('m-i- 1); at si !q-- 2 residuum divisoris m -- 1, tum Aq -- 2 2- 3 ('im ^ 1) erit residuum divisoris '* (kin A- 1). 523. Sit p —2m —— 1 et !un-—-1 numerus primus: Si !&q sit residuum divisoris m — 1, tum 4q- 3(m— 1) erit residuum | divisoris /& (hm — 1). At si *q-1- 2 sit xesiduum divisoris hm — 1, tum Aq 4- 24- him — 1 — iq a- m a- 1 erit residuum divisoris & (hm — 1). — * 68 | L. EULERI OPERA. POSTHUMA. TRUM 52^. Ope harum regularum ex singulis residuis divisoris primi 2p-i-1 totidem residua divisoris h (2p 4- 1) reperiuntur; unumquodque enim vel ipsum, vel auctum numero 2p -- f, vel 2(2p -- 1), vel 3 (2p -2- 1), ut prodeat numerus formae ^q -1- 1, erit residuum divisoris * (2p 24- 1). 525. Ex quovis autem residuo divisoris 2p -4- 1 unum quoque non-residuum pro divisore ' (2p 3- 1) elicitur, formae !q — 1; tum vero ex quovis non-residuo divisoris 2p -1- 1 bina non- - residua pro divisore !*(2p -4- 1) prodeunt; si enim illud sit par, addendo 2p -- 1 et 2(2p-- 1), sin sit impar, addendo 0 et 2(2p-4- 1) duo non-residua obtinentur. De divisore 8 (2p-- 1) —d. 526. Hic semper octo dantur numeri minores quam d, quorum quadrata per d divisa relinquunt idem residuum, scilicet uno numero existente a, reliqui septem sunt 2(2p-3- 1) Ea, ^(2p-1-1)3-a, 6(2p-2- 1)-*a, 8(89p-- 1) —a neque plures exhiberi possunt. 327. Quare cum multitudo numerorum, ipso d minorum ad eumque primorum sit —/. 1.2p— 8p, horumque octoni idem praebeant residuum, manifestum est numerum residuorum diversorum fore — p, non-residuorum vero — 7p. 528. Deinde patet inter residua occurrere non posse ullum numerum formae ^q— 1, vel alterutrius hujus 8g — 1, 8g — 5; neque vero etiam inter residua esse potest numerus formae 8q-1- 5, propterea quod forma ac — (8q-1- 5) nunquam per 8 neque ergo per 8 (2p - 1) dividi potest, quia est à»: — 8n -- 1 ob x imparem. 329. Alia igitur residua non locum habent, nisi quae sint formae 8n -- 1, et quia divisor est í6p-1-8, pro n sumi possunt omnes numeri ab 0 usque ad 2p. At ex forma 8n--1 excluditur vel 2p-3- 1, vel 3(2p -4- 1), vel 5 (2p -- 1), vel 7 (2p 2- 1), quae scilicet est formae 8n 1, ita ut tantum 2p hujusmodi numeri relinquantur, quorum autem semissis solum residua constituit. | 330. Ex his autem numeris formae 8n-i-1, quorum multitudo est 2p, si unicus constet, qui sit non-residuum, eo per singula residua multiplicando obtinentur reliqua non-residua numero p, praeterea vero reliqui numeri impares sive formae 8n 4- 3, sive 8n3- 5, sive 8n a- 7 suppedi- tant adhuc 6p residua. 331. Divisor ergo 8(2p-1- 1) totidem praebet residua, quot divisor 2p-1- 1, quae si sint 1, e, B, y, Ó, etc. ex singulis residua divisoris 8(2p -4- 1) elicientur, addendo ejusmodi multiplum ipsius 2p -À- 1, ut aggregatum fiat formae 8n -- 1, veluti ex hoc exemplo videre licet: Pro divisore 13, residua 1, 3, hh: 9, 410: 18 adde (0, 6.13, ..12,.. 0, 3.13, 13 pro divisore 10'^, residua 1, 81, Á17, 9, 319, 25. 332. Si pro divisore 8(2p-1- 1) fuerit residuum 4, erit 4^ — 1 divisibile per 8 (2p -- 1); ac si hoc evéherit, erit .4 vicissim residuum quadratorum. - Scilicet si. 4^— 1 sit. divisibile per 8 (2p -- 1), semper assignari potest quadratum «x, ut sit ax — 4. divisibile per. 8 (2p -- 1). Tractatus de numerorum doctrina. Cap. 15. 69 De divisore 3(2p-- 1) — d. 333. Multitudo numerorum hoc divisore minorum et ad eum primorum est — 2.2p — ip, inter quos duo ad minimum sunt, quorum quadrata idem residuum relinquunt, scilicet a? et (d — a)?, unde numerus diversorum residuorum major. quam 2p esse nequit. 93^. Praeterea vero cum « per 3 non sit divisibile, vel 2p -- 1 — 2a, vel 2 (2p -i- 1) — 2a per 3 erit divisibile, sit quotus — ;, et quadratum numeri 3m 3- a idem relinquet residuum, ergo vel 2p -- 1 —2a, vel 2(2p-- t) —a, indeque praeterea. vel. 2(2p -1- 1) 4- a, vel 2p - 1 -—- a idem quoque residuum relinquet. 535. Hoc modo cum semper quaterna quadrata idem dent residuum, numerus residuorum di- versorum erit tantum — p, ideoque idem ac pro divisore 2p -4- f. In residuis autem nequit esse ullus numerus formae 3n — 1, cum nullum quadratum, tali numero minutum, per 3, neque ergo per 3(2p -2- 1) dividi queat. / 536. Omnia ergo residua divisoris 3(2p -i- 1) erunt numeri formae 3n-- 1, et si residua divisoris 2p -- f sint 1, «, 9, y, etc. quodlibet vel ipsum, vel numero 2p-i- f, vel 2 (2p ^ 1) auctum, quo prodeat numerus formae 3n 3- 1, erit residuum divisoris 3 (2p ^ 1). Pro divisore (2p -- 1) (2q 4- 1) — d. 537. Sint pro divisore 2p -1- 1 residua 1, «, 9, y, Ó, etc. numero — p, et pro divisore 2g -3- 1 residua f, 7, o, 6, 7, etc. numero — q, ac numeri utrique ordini communes erunt residua divisoris d — (2p 4- 1) (2q4- 1). . 538. At ad priorem ordinem pertinere censendus est numerus m(2p-i-1) -- «, ubi m ita potest definiri, ut fiat aequalis vel n (2q3— 1) 4- 1, vel n (2q-3- 1) 4- 2, etc., sicque ex quovis residuo divisoris 2p -i- 1 producuntur q residua divisoris 2g -- 1, sicque omnino pq residua diversa pro divisore (2p E 1) (2q 2- 1) obtinentur. 539. Sit hujusmodi divisor compositus 5.7—35, et cum sint residua pro divisore 5 haec duo f, ^, et pro 7 haec tria 1, 2, **; ergo pro divisore 35 residua erunt 7n 2a- 1, 7n 3-2, 7n-A-&, quae scilicet vel in forma 5m -- 1, vel 5m-:-'* continentur. Erunt ergo haec residua numero sex: 1, 99; 9, 16; ^, 11. : : 5^0. Cum pro divisore (2p-i-1) (20-1- 1) tantum dentur pq residua diversa, quaterna quadrata idem praebebunt residuum, quorum unum si sit — aa, reliquorum trium radices erunt: (2p -- 1) (20 34- 1) — à, m(2p-- 1) —a, n(9p3- 1) a, sumendis numeris m et n ita, ut m(2p -1- 1) — 2a et n (2p 4- 1) 4- 2a dividi queant per 2q t, quod ob 2p-i-1 et 291-1 primos inter se, semper fieri potest, (üt m et n sint minores quam 2q-- t. Caput XV. De divisoribus numerorum formae xz--yy. 5*1. Hinc primo excludo casus, quibus numeri x et y habent communem divisorem; si enim maximus . communis . divisor esset — y et c-—pg et y —qq, ut p et q forent primi inter se, haberetur aa-- yy — (pp 4- qq) 9x, et inventio divisorum reduceretur ad formam pp -- qq. 10 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 542. Sint ergo o et y primi inter se, atque evenire potest, ut ax-i-yy fiat numerus primus, cui probando vel unicus casus sufficeret, quorum simplicissimus est 2. Ut autem ax -i- yy fiat numerus primus, statim excluduntur casus, quibus ambo numeri c et y sunt impares. 5*3. Ponatur ergo alter par, alter impar, et evidens est omnes numeros primos. ox a- yy in hac forma &n-1- 1 contineri debere, sicque nullus numerus formae !-— 1 duorum quadratorum summa esse potest. 344. Sin autem xz et y sint numeri impares, seu 2 — 2p -1- 1 et y — 2q. 2- 1, fieri poterit 7-99 2 ut semissis — — 2pp -4- 2p 4- 2qq 4- 2g 2- 1 fiat numerus primus. At est 2pp -t- 2p -1- 9gq 1- 9g 1- 1 — (p - q - 1) a- (p — 9)", iterum summa duorum quadratorum, quorum alterum par, alterum impar, ob summam radicum 2p-i- 1 imparem. — ! 355. Si summa duorum quadratorum «a -- bb per aliam summam duorum quadratorum cc-- dd multiplicetur, productum (aa -3- 65) (cc -- dd) iterum erit summa duorum quadratorum, cum Sit — (ac -t- bd)* 4- (ad 4: 6c)", quod ob ambiguitatem signi duplici modo evenire potest. 556. Hic inversa propositio se offert: si summa duorum quadratorum pp -- qq divisionem ul: mittat per summam duorum quadratorum aa-1-bb, fore etiam quotum duorum quadratorum sumi eujus veritas autem inde non sequitur, sed peculiarem demonstrationem requirit. 5*7. Ad hoc demonstrandum primum animadverto formam pp-i-qq per aa 4-bb esse divisibilem ; quanticunque sint numeri p et q, semper eos reduci posse ad numeros minores quam da -3-bb, atque adeo quam ri (aa -A- bb), cum si pp 4- qq sit. divisibile per aa -- 6b, etiam : (2c o (aa -- bb) 2t p)* 4- (2 8 (aa -- bb) 3 q)* divisibile evadat. 948. At si E im LM sit summa duorum quadratorum ec -4- dd, seu p — ac-- bd .et 2:9: sumendo p — ac -- " -- & (aa -- bb). et. q — ad — bc -- 9 (aa. -i- bb) , tum. pp-i- qq. utique. per aa -4- bb. divisionem admittet, eritque quotus — cc 4- dd 4- 2o (ac 4- bd) -À— 26 (ad — bc) 4- («a -— (9,8) (aa - bb), qui etiam est summa duorum quadratorum (c -- «a — 90)? a- (d. - ob -- Ga)". 3*9. "Verum haec altius sunt petenda; dico ergo. primo, si divisor aa-1-5b sit numerus primus, per quem forma pp --qq sit divisibilis, quotum esse summam duorum quadratorum; quod etsi in genere verum est, existente «aa-1-bb etiam numero composito, tamen demonstratio ab hoe casu derivanda videtur. | 530. Cum a et b sint numeri primi inter se, ad eos p ita referri potest, ut sit p — ma — nb, pp-1- qq 7 omm --nn; at si non sit idque infinitis modis, jam si esset q — na-*- mb, foret utique — na -- inb, ponatur q — na -- mb 2-$, eritque pp -3- qq — (aa -A- bb) (mm -- nn) 4- 2$ (na -- mb) a ss. 391. Cum ergo 2s(na-i- mb)--$$ sit. divisibile per aa-- 6b, vel s, vel $-4- 2 (na - mb) divisibile sit. necesse est. Priori casu ponatur $—— t (aa -- bb), . erit | ; icd quc -— L^ t Tractatus de. numerorum doctrina Cap. 15. | p pp -- qq aa -- bb — mm -i- nn -- t (t (aa 4- 65] 4- 2 (na -i- mbj) — mm -- 2mbt 4 tibb 4 nn 4- 2nat A- aatt — (m -- bt) - (n 4- at)*, ideoque summa duorum quadratorum. 332. Altero casu ponatur $ -4- 2 (na -4- mb) — t (aa -- bb), erit s — t (aa -À-bb) — 2 (na-i- mb), pp 3- qq aa -- bb ideoque — mm -- nn -- (t (aa -— 65) — 2t (na -4- mb) — (m — bt)? -- (n — at)?, ita ut utroque casu quotus sit summa duorum quadratorum. 353. Si ergo pp-1-qq sit divisibile per numerum primum aa -i- bb, demonstratum est. quotum esse quoque summam duorum quadratorum. Hinc si quotus non esset summa duorum quadratorum, divisor non foret numerus primus formae aa -i- bb, hoc est, vel si esset primus, non esset formae aa -1-bb, vel si esset. formae aa -3- bb, non esset primus; vocabula autem quoti et divisoris inter se permutare licet. 35^. Denotent, brevitatis gratia, litterae 4, D, C, D, etc. numeros primos formae aa-1-b5, et si summa duorum .quadratorum pp -i-qq divisibilis sit per talium numerorum productum ABC, pp -3- q4 A quotus quoque erit summa duorum quadratorum. Est enim — rr -4- $$, lum. vero tt T —it-A- uu, atque UA T Gu -- yy, unde fit TAG m yy. 355. Si ergo summa duorum quadratorum pp -- qq divisibilis esset per numerum non-summam duorum quadratorum, quotus, si esset primus, non foret summa duorum quadratorum, et si esset compositus, non foret productum ex talibus numeris primis, qui singuli essent summae duorum quadratorum. 556. Quare si summa duorum quadratorum pp -1- qq unum habeat factorem, qui non sit summa duorum quadratorum, inter reliquos factores primos ad minimum unus, qui etiam non sit summa duorum quadratorum, reperiatur necesse est. 557. Nunc igitur investigemus, an summa duorum quadratorum pp -i- qq inter se primorum per ullum numerum ?(, qui non sit summa duorum quadratorum, divisibilis esse queat. Ad hoc sumamus pp -3-qq divisibile esse per talem numerum ?(, atque etiam (p— m20)* À- (q— n?0)*. divisi- bile erit per 2f (*). 558., Poterit ergo talis summa duorum quadratorum pp--qq exhiberi, quorum radices p et q minores sint quam ?(, quin etiam minores quam 1?(; cum etiam (?( — p)*a- (?( — q)* divisionem admittere debeat, quorum quadratorum radices minores erunt quam j?f, si p et q eo essent majores. 559. Dabitur ergo summa duorum quadratorum pp -:-qq minor quam j?(X (cum sit p — 3X el. q — 1M) per numerum X divisibilis; ponatur quotus — $5, qui etiam vel ipse non erit summa duorum quadratorum, vel factorem talem habebit, eritque $5. «— i. 560. Cum jam. pp-i- qq. divisibile sit per 95, exhiberi "poterit summa duorum quadratorum rr- $$ minor quam 19595, divisibilis per $5, et quotus G, qui erit minor quam 525, pariter non erit summa duorum quadratorum, per quem cum divisibilis sit rr 3-55, dabitur tt -- uu — 16GG divisibilis per €, et quotus 4 — 1G itidem non erit summa duorum quadratorum. (*) Seript. ad marg. Quorum radices, si p et q sint primi inter se, etiam erunt primae inter se. - f* 12 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 561. Hoc modo tandem pervenietur ad summam duorum quadratorum quantumvis parvam, quae foret divisibilis per numerum non-summam duorum quadratorum, quod cum sit absurdum, necessario sequitur, summam duorum quadratorum inter se primorum non esse divisibilem per ullum numerum, qui ipse non sit summa duorum quadratorum. 562.. Proposito autem numero primo quocunque formae ^n -i- 1, quia inter residua quadratorum est — 1, vel ^41, semper summa duorum quadratorum per eum divisibilis exhiberi potest, unde sequitur omnes numeros primos formae ^u -1- 1 esse summas duorum quadratorum. 563. Deinde cum numeri formae ^n — 1 nunquam esse possint summae duorum quadratorum, nulla summa duorum quadratorum inter se primorum per ullum talem numerum '« — 1 divisibilis esse potest. ) | 565. Desideratur autem demonstratio succinctior, qua probetur, si summa duorum quadratorum pp--qq divisibilis fuerit per summam duorum quadratorum aa -:-65, quotum necessario quoque esse summam duorum quadratorum, quod sequenti ratiocinio perficere tentemus. 565. In divisore aa -- bb. numeros a et b inter se primos assumere licet; si enim non essent primi inter se, sublatione communis factoris tales redderentur; erit ergo aa 34-656 tam ad a quam ad b primus. Unde quicunque numeri fuerint p et^q, ii ita repraesentari poterunt p-—m(aa--bb)--fa et q-—n(aa- bb) 3- 95, id quod infinitis modis fieri potest. 566. Cum igitur pp--qq Sit divisibile per aa 3- bb, etiam ffaa-1- ggbb per aa -- bb. erit divisibile, atque ob illas infinitas resolutiones, omnes casus, quibus ffaa -i- ggbb per aa -- bb. divi- sibile evadit, prodire debent, ergo etiam casus g — f' prodeat necesse est, quoniam hoc divisio succedit. (*) 567. Hoc concesso habebimus p — m (aa -- bb) 3- fa e& q — n (aa t, bb) 3- fb; unde fit ppa-gg. (mm (aa. 3- bb) - 2fma Rf nn (aa -- bb) -- 9fnb quae expressio est — (f/—- ma -- nb)*-- (-- na 4- mb)?, ideoque summa duorum quadratorum. aa4a-bb — 568. Hinc ergo statim sequitur, si quotus non sit summa duorum quadratorum, neque diviso- rem talem esse posse, neque ergo productum ex duobus numeris, quorum alter est summa duorum quadratorum, alter secus, summa duorum quadratorum esse potest. 569. Conjunctis cum hisce, quae ante $ 558 et seqq. sunt proposita, evincitur summam duorum quadratorum inter se primorum nullos habere divisores, nisi qui ipsi sint summae duorum quadratorum, tum. vero omnes numeros primos formae «n -i- 1 esse summas duorum quadratorum. | (*) Seript. ad marg. Hic dubium esse potest, an casus g—f necessario ex divisibilitate formulae pP sequatur. Hoc dubium est fundatum, nam sit . q—'1, b—^, p—1T7, q—6, erit :aa4-00—65, pp-1-00— 325; fieri autem nequit 17 — 65m -- 7f simul 6 — 65n 2- 4f, unde haec posterior demonstratio rejicienda. 17?4-6? 7.43 — 1^ -E2', etsi nullo modo sit 17—1. 72-2 &, vel 17—2.7 3c 1.4. Tracíatus de numerorum doctrina: Cap. 16. 13 570. .Si numerus quispiam JV duplici modo est summa duorum quadratorum, scilicet Co s N.22aa-- bb — cc 2 dd , tum non est primus. Cum enim sit .aa — cc — dd — bb, erit d 4-6 - a meto ét d'ici nte, unde b-- "69. 75679, "hine qu LL (nma nn) EN hw] dr. | Ammnn (mm - nn) sr "(e c)* 2 (b a- d)*), (nn (a — c)* -- mm (a 2- c)?) — ubi denominatoris factorem tollere nequit. (*) Caput XVI. De divisoribus numerorum formae zz --2yy. 571. Sumtis c ef y inter se primis, vel ambo sunt impares, vel alteruter tantum par, ergo vel z, vel y erit par; ex quo tres resultant casus considerandi, qui cujusmodi numeros ratione paritatis et imparitatis praebeant, investigasse juvabit. 572. Si ambo numeri z et y sint impares, eorum quadrata sunt numeri formae 8a f, fietque à -- 2yy numerus formae 8n 1-3; sin autem a impar et y par, ob - ax —8m--1 et 2yy —2.!n, fiet 2x -1- 2yy numerus formae 8n -- 1. 373. Si c sit par et y impar, ponatur & — 2z, et fiet à 4- 2yy — 2 (2zz a- yy); jam cum y.sit impar, prout z fuerit vel par, vel impar, erit vel: ax 3 2yy — 2 (8n-4-1), vel dii -odiria ifl, Ade 97*. Omnes ergo numeri in forma ax -i- 2yy contenti, dum «c et y sunt primi inter se, vel saltem non ambo pares, si fuerint impares, pertinebunt vel ad formam 8n 1, vel ad 8n 2- 3; sin autem illi numeri sint pares, vel ad formam 2(8n-- 1), vel ad 2 (8n 3- 3) erunt referendi, et casu hoc posteriori eorum semisses, scilicet 2zz —— yy sunt etiam numeri formae cc --2yy. 575. Numeri ergo impares, qui sunt vel formae 8n -i- 5, vel formae 8n -4- 7, certe non sunt numeri formae cx -1-2yy, neque etiam dupla earum formarum in hac continentur, unde infiniti dantur numeri in forma ax -i-2yy non contenti. 516. Productum autem duorum numerorum hujus formae in eadem forma continentur; est enim (aa -- 265) (cc -1- 9dd) — (ac 3- 26d)" -- 2 (ad 4- bc)*, unde simul patet talia producta duplici modo in ista forma contineri. 577. Jam demonstrandum est, si numerus pp -1-2qq dividi queat per aa -i- 2bb, fore quotum (*) Seript. ad marg. (a-43-c)(a — c) — joe b) — pqrs, TWSSCPU gc bcd pr, d —b—45; pq-rs pr-—24s pee L. Ealeri Op. posthuma. T. I. 10 a — aa-- bb — "Y 1 (pp-s$) (qg 4- rrj. 74 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Avilhemetien. etiam istius formae. Notetur hic ob.à et b primos àd.aa -4- 205, infinitis modis fieri posse . p — m (aa -- 26b) 3- fa et. q — n (aa A- 200) 3- gb, hincque fore ffaa -- 299g0b per aa -- 26b. divisibile. 578. Si concedatur hoc modo omnes formulas ffaa -- 299gbb per aa -- 2bb divisibiles obtineri, ibi etiam continebitur casus gg — ff, seu 9 — -- f, unde prodit pp--9gqq — |mm (aa 3- 96b) 3-2mfa aa3-90 ^ |2nn (aa -i- 2bb) 3- ngb 4c ff — (f3- ma 3- 2nb)*-—- 2 (mb 4- nay. 579. Hoc autem, quod concedendum postulavi, ita confirmari potest. Sint 1, «, £2, y, Ó, etc. residua, quae ex divisione quadratorum per numerum aa--2bb oriuntur, atque in istis residuis continebuntur tam omnia quadrata, quam — 25b, et — 2, seu omnia quadrata negativa duplicata, hoc est — 2, — 2o, — 28, — 2», etc. 580. Jam quodcunque residuum quadratum qq per aa -1-2bb divisum relinquat, cum poni. possit q — n (aa 4- 200) -€- gb, id per ggbb exhiberi potest, et residuum, ex divisione ipsius 2qq ortum, per 2ggbb; quadratum ergo pp per aa -i- 2bb divisum relinquere debet — 29965; cujus loco poni potest adgg, sicque quadrata pp et aagg paria relinquent residua, sicque fieri polest p — m (aa -- 260) d ag. 981. At haec demonstratio est rejicienda, nisi sit aa -- 2bb numerus primus, nam si sit primus, ob ffaa-1-2ggbb et ggaa-i- 9ggbb divisibile: per aa-4-2bb, necesse est sit ff — gg, ideoque vel f — 9, vel f2- 3 divisibile; utrovis autem casu, ob aa 4- 2bb jam in altera parte contentum, prodit vel g — -- f, vel 3 — —f; quae conclusio locum non habet, si aa-1- 20b sit numerus compositus, cum tunc f— g per alterum ejus factorem, et f'A-9g per alterum divisibile esse posset. 582. Si numerus pp-i-2qq per numerum ?(, qui non sit formae cx -:-2yvy, dividi queat, quotus non erit numerus primus formae zz -1-2yy, quare si quotus sit primus, non erit formae Xx -1- 2yy; at si sit compositus, certe non omnes factores primi erunt hujus formae. 583. Denotent enim 4, B, C, D, etc. numeros primos formae ex -- 2yy, ac si pp - 244 esset. divisibile per .4B CD etc., quotus certe esset formae ac-1i-2yy; ergo si quotus, seu alter multiplicator non sit formae ac -1-2yy, fieri nequit, ut alter factor sit productum talium nu- merorum primorum. 38^. Quare si pp-1- ?qq dividi queat per numerum ?( ex forma ax -- 2yy exclusum, quotus, si sit primus, non erit hujus formae, vel si sit. compositus, factorem certe habebit non hujus formae. (*) ! 385. Denotent ?(, $95, G, QD, etc. numeros primos ex forma ax -1-2yy exclusos, et vidimus pp 2qq non esse posse A4?(, neque A4B?)(, neque 4BC?(, quare certum est, inter factores primos numerorum pp -4- 2qq vel nullum, vel duos ad minimum numeros ?(, $9 contineri. - C) Seript. ad marg. Ergo pp-i-2gq per nullos numeros primos formae 8n-i-5 et 8n-4-7 dividi potest; unde si quadrata per tales numeros primos dividantur, inter non-residua erit — 2. aaazcz — nnbbyy " aa-a-nbb — Si ec--nyy aa -4- nbb bxx — aayy : Nem . —c- integr ri —c nt. tegro, erit Lens t -—int. et Tractatus de numerorum doctrina Cap. 16. T5 586. Hinc autem nondum concludi potest, si unus factor, etiamsi sit compositus, ipsius pp--9qq fuerit formae ax -1-2yy, etiam alterum fore hujus formae. Demonstrandum restat nu- merum pp-i-2qq non esse posse formae vel 9($5, vel A495, vel 4B?($5, quod si esset, foret utique ($5 numerus hujus formae. . 987. Visuri autem an pp-:-2qq per numerum ?( non formae zc 4-2yy dividi queat, quod si fleri posset, foret p — i?( et q C 12(, unde pp--2qq-Ci?0(, quotusque -—3?(, qui esset vel ipse numerus non az --2yy, vel factorem talem haberet 95, qui cum etiam factor esset ipsius pp--2qq4, minimus talis numerus $9 assignari posset, divisor formae cujuspiam a -1- 2yy, quod cum fieri nequeat, numeri pp -:-2qq nullos habent divisores primos, qui non ipsi sint formae acr --2yy. | 16 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. It. Découverte d'une loi tout. extraordinaire des nombres, par rapport à la somme de leurs diviseurs. (Exhib. Berol. 17/7 Junii 22. Conf. Comment. arithm. Prooem. pag. XVIII. N. 57 et Suppl. Prooem. N. 1.) - $ f. Les mathématiciens ont táché jusqu'ici en vain à découvrir un ordre quelconque dans la pro- gression des nombres premiers, et on a lieu de croire, que c'est un mystére auquel l'esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s'en convaincre, on n'a qu'à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers, que quelques personnes se sont donné la peine de continuer au-delà de cent-mille: et on s'a- percevra d'abord qu'il n'y régne aucun ordre ni régle. Cette circonstance est d'autant plus surprenante, que l'arithmétique nous fournit des régles süres, par le moyen desquelles on est en état de continuer la progression de ces nombres aussi loin que l'on souhaite, sans pourtant nous y laisser apercevoir la moindre marque d'un ordre quelconque. Je me vois aussi bien éloigné de ce but, mais je viens de découvrir une loi fort bizarre parmi les sommes des diviseurs des nombres naturels, sommes qui, au premier coup d'oeil, paraissent aussi irréguliéres que la progression des nombres premiers, et qui - semblent méme envelopper celle-ci. Cette régle, que je vais expliquer, est à mon avis d'autant plus importante qu'elle appartient à ce genre de vérités dont nous pouvons nous persuader, sans en donner une démonstration parfaite. Néanmoins, j'en alléguerai des preuves telles, qu'on pourra presque les envisager comme équivalentes à une démonstration rigoureuse. $ 2. Les nombres premiers se distinguent des autres nombres, en ce qu'ils n'admettent d'autres diviseurs que l'unité et eux- mémes. Ainsi 7 est un nombre premier, parce qu'il n'est divisible que par lunité et soi- méme. Les autres nombres qui ont, outre l'unité et eux-mémes, encore d'autres diviseurs, sont nommés composés: comme par exemple le nombre 15, qui, outre l'unité et soi-méme, est divisible per 3 et par 5. Donc en général, si le nombre p est premier, il ne sera divisible que par f£ et par p: mais si p est un nombre composé, il aura, outre 1 et p, encore d'autres diviseurs; et partant, dans le premier cas, la somme des diviseurs sera — 1 -1-p; dans l'autre cas, elle sera plus grande que 1-i- p. Comme les réflexions suivantes rouleront sur la somme des diviseurs de chaque nombre, je me servirai d'un certain caractére pour la marquer. La lettre / qu'on emploie dans l'analyse des infinis pour indiquer les intégrales, étant mise devant un nombre, signifiera la somme de tous ses diviseurs: ainsi //12 signifie la somme de tous les diviseurs du nombre 12 qui sont 1 -i- 2 -À- 9 -À- ^ -À- 6 4- 12 — 28, de sorte que //12 — 28. Cela posé, on verra que f60—168 et /100— 217. Loi relative à la. somme des diviseurs des nombres. riri L'unité n'ayant d'autre diviseur que soi-méme, on aura /1 — 1. Le chifre 0, au contraire, étant divisible par tout nombre, la valeur de /'0 sera infinie. Cependant, dans la suite, je lui assignerai, pour chaque cas proposé, une valeur déterminée, conyenable à mon dessein. $.3. Ayant donc établi ce signe /^ pour marquer la somme des diviseurs du nombre devant lequel il. est posé, il est clair que, si p marque un nombre premier, la valeur de /p sera — t -- p: excepté le cas oü p — 1, car alors nous avons /1 — 1, et non pas /1— 1-1; d'oü lon voit quil faut exclure l'unité de la suite des nombres premiers; étant le commencement des nombres entiers, elle n'est ni premier ni composé. Or, si le nombre p n'est pas premier, la valeur de /p sera plus grande que f-i-p. Dans ce cas, on trouvera aisément la valeur de Jp par les facteurs du nombre p. Car soient a, b, c, d, etc. des nombres premiers différents entreux, on verra aisément que: pl ab. — 4 -2-a2- b a- ab — (1) (1 2-5) — fa. fb Jabe — (t4- a) (1-- b) (1 4-6) — fa. b. fc J'abcd — (4 -- a) (& 4- b) (4 a c) (1 2- d) — fa. b. fc. fd .21 ] oo ete. noup Pour les puissances des nombres premiers, on a besoin de régles particuliéres, comme: 3 a? —1 ; Sua didi aW. f'a*— 1-2 a i-a? zs 70H35 »—- | 2 ^ Mbit nd. fà) — 1 4- à 2 a? a — EAT : é 1 fs t | | n ql 4 et généralemen goat "pud CE Et par le moyen de celles-ci, on pourra assigner la somme des diviseurs de chaque nombre, tout composé qu'il puisse étre; ce qui sera clair par les formules suivantes: fab. — fat. fb, fav -— fa. fW, Lfeb e — fau. fe fal e d? &— fa". FP. fe. rd. fe. Ainsi, pour trouver la valeur de /^360, puisque 360 se résout dans ces facteurs 2*.3*.5, j'aurai //360 — /2*.3^,5 — f'9*. f/3*. £5 — 15.13.6 — 1170. et généralement $ ^. Pour mettre devant les yeux la progression des sommes des diviseurs, j'ajouterai la table suivante, qui contient les sommes des diviseurs des nombres naturels depuis l'unité jusqu'à 100 fíi—ti yT—8 Jia-—i ^ f19—90 " f295—31 . "y3í1—32 /31— 38 ya f 8—15 /fi1&—2. /20—149 f96—49 f32—63 /38— 60 y39253 Vy 1 onjynig 2 43 ^^ eguiao. 9g 77 Pagus $e? "yao eo 49" y33— 48 " 39 -5 56 f- f10—418- fi16-31 ../22—36 . /28—356 /3&—5h& . f 40— 90 f5- fii-12. ]/17—48 . f93—92& . f/99—30 . f/35—48 . fM-—82 Jf9—129 /19—98 /18—39 /9&4—960 . /30-—372:/5/36— 91 5/42 —96 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 18 Arithmetica. fA3— M ^— J53- 5& ^^ J63-210& ^ f73— 7& — 83— 8 ^ j93—198 fAk— 8& —— /5&—120 ^ /6&—197.— JT& — 119 /8«—99& ^ /9y — 4898 fh5— 78 — f55— 790 — Jf65— 8& /T75—19& — /85—108 — /95— 120 f^6— 72. ^ f$6—190 ^ f66—14. ^ 7/76—140 ^ /86—132 ^ /96—952 f^1— A8 —y51— 80 — /61— 68 — /771— 96 f81—190 791— 98 /48—19. —— /58— 90 /68—126 ^ /78—168 — /88—180 — /98—1TI f^9— 51. f59— 60 | /f69— 96. /79— 80 . f89— /f 99 — 156 f50— 93... /60—168 .. /70—184& . /80—186 . /90—23« | /100—217 f5t—. 19.609 :162..:. 712.79. f/81— 1915. /91— 112 f389— 98 /62— 96 /72—195 /82—196 /92— 168 Je ne doute pas que, pour peu qu'on regarde la progression de ces nombres, on ne désespére presque. d'y. découvrir le moindre ordre, vu que l'irrégularité de la suite. des nombres premiers s'y . trouve entremélée tellement, qu'il semblera d'abord impossible d'indiquer une loi quelconque dans la progression de ces nombres, sans qu'on sache celle des nombres premiers; et il semble méme qui y a ici beaucoup plus de bizarrerie encore que dans les nombres premiers. $ 5. Néanmoins j'ai remarqué, que cette progression suit une loi bien réguliére et qu'elle est. méme comprise dans lordre des progressions que les. géométres appellent recurrentes, de sorte qu'on peut toujours former chacun des termes par quelques-uns des précédents, suivant une régle constante. et J(n — 1) , J (n — 3) f (n —3), /(n — 9), /(n — 5), etc. les termes précédents, je dis que la valeur de /nh est toujours composée de quelques-uns des termes précédents suivant cette formule: fn — f (n — 1) 4-/(n — 2) — (n — 5) — (n — 7) 4-/ (n — 12) a (n — 15) — / (n — 22) E a -i- f (n — &0) — f (n — 51) — f (n — 57) 2 f (n — 10) -- f (n — 11) — f/(n — 92) — f/(n — 100) etc. Car si /h marque un terme quelconque de cette progression irréguliére , Dans cette formule il y a à remarquer: Ll. Que dans l'ordre alternant des signes -- et —, chacun se répéte deux fois de suite. Il. La progression des nombres 1, 2, 5, 7, 19, 15, etc. qu'il faut successivement retrancher du nombre proposé n, deviendra évidente, dés qu'on prend leurs différences: Noo! $558 Bio uds 45,:92,496,5 355. 480,51, 2.57, 5:205 27,09855400. MEN Diff. 4 3 42$. AÀ n.o*5 4 5h o1L V uL LO BO car alternativement on aura tous les nombres naturels 1, 2, 3, ^, 5, 6, etc. et les nombres impairs 3, 5, 7, 9, 11, etc. Par ce moyen on pourra continuer la suite de ces nombres aussi loin que l'on voudra. III. Quoique cette suite aille à l'infini, on n'en doit prendre, dans chaque cas, que les termes depuis le commencement jusqu'au premier terme supérieur à n, et qui, par conséquent, donnerait, aprés le signe /, un nombre négatif. Loi relative à la somme des diviseurs des nombres. 19 IV. S'il arrive que le terme /'0 se rencontre dans cette formule, comme sa valeur est indéterminée en elle-méme, il faut, dans chaque cas, au lieu de /'0, mettre le nombre pro- . posé méme. $ 6. Ces choses remarquées, il ne sera pas difficile de faire l'application de cette formule à chaque nombre proposé et de se convaincre de sa vérité, par autant d'exemples qu'on voudra déve- lopper. Et comme je dois avertir, que je ne suis pas en état de donner une démonstration rigou- reuse de cette loi, je ferai voir sa justesse par un assez grand nombre d'exemples: fJ A-—f 0-1, KS oe 526 ui ect Reid, f 3-y 2--y 1—331-—b, f ^—fà3--f/2-h&--3-—1, fis foy Jolg uagaly ep Lo, —25 52370] f 6—f 5-2-f Muiyey og quqiciy 549 f/7—f6--/5—/2—/0-12-- 6— 3— 21— 8, did ex] UI efe / Rio fent 8 rd. V 145, Un-B de (aac pUUJ ds f quesasu: gis Tu. gert$, f10-J 9--/:6—:/" héuy-9 249 t8—- 6-2 — 48, fM —/(10-2-/9-—f 6—f &—184-13—19 — 7-— 19, J12 —/'11-- /10 —/ 7 —/ 5--/0 —12--18— 8— 6-- 12— 28, J/13 —/12 -4- £/141 — / 8—/ 6--/1—238-2-19 — 15 — 122-1 — 15, f1& —/13-2-/19 — / 9 —f 1-2 /2 —18-- 98 —13 — 824- 3— 94, J15 —f1^* 4a- /13 — /10 — £/ 8-- /3 2 /0 — 2 2- 14 — 18 — 15 -—. & 2 15 — 25, | fJ16 —/15 -- /1& — /14 — f. 9 4-/h 4- /1 — 28 24- 9& — 12 — 13-2. 74- 1— 31, /fA7 —/16 2/15 —/19 — /10 4-/5 4-/2 — 31 4- 2& — 98 — 18 --. 6-- 3 — 18, f18 —/17 --./16 —/13 — /114-/6 4-/3 — 18 4- 31 — 1 — 12 4- 12. & — 39, f19 —/18--/17 —f 18 — 19 a-f/1-- f — 394-18 — 94 — 98 4- 84- 7 — 20, //20 — f/19 24- /18 — /15 — /13 4- /'8 4- £/ 5 — 20 4- 39 — 2&4 — 1* - 15 -- 6 — 82. Je crois ces exemples suffisants pour prouver que laccord de ma régle avec la vérité ne peut nul- - lement étre attribué au hasard seul. $ 7. Si néanmoins on objectait, que ces exemples ne prouvent que la justesse des six premiers | termes de notre suite: 1, 2, 5, 7, 12, 15, et non celle de la loi de progression, telle que je l'ai indiquée, il suffira de choisir, pour vérifier cette loi, quelques exemples de plus grands nombres: l. Soit proposé le nombre 101 dont on veuille chercher la somme des diviseurs, et on aura: 80 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. f 101 — f 100 4-99 — ^96 — /98s 4-89 a- /86 — /79 — f"15 2/66 -- 61 — 50 — f Me /314- /28 — £9 —1— 4- 217 4- 156 — 252 — 1^4 2- 90 4- 132 — 80 — 124 -2r- 154 -À— 62 — 93 — 8 -À 32 2 60 — 13 — 4 ou, additionnant ces nombres deux à deux f 101 — 373 — 396 4- 222 — 20^ -i- 906 — 177 3- 92 — 14, ce qui donne /101— 102, d'oü lon conclurait que 101 est un nombre premier, si on ne le savait d'ailleurs. IL Soit proposé le nombre 301 dont on veuille savoir la somme des diviseurs, et l'on aura: /f/301 —/300 4- /299 — //296 — //294 4- 289 4- //286 — /979 — /915 4- / 966 A- 261 — / 250 —- /2&& -4- /231 -— 29. — /209 — /201 4- /18^* 2i 175 —/156 — f 186 2/195 4- /11& — /94 — /79 4- 5h 4- AM — f/1& —)70 oü il est clair, comment par le moyen des differences, on. peut aisément former cette suite pour chaque cas proposé. Or, substituant les sommes des diviseurs, on trouvera; //301 — -- 868 — 570 -À- 307 — ^16 -i- 480 — 468 3— 38* — 940 4- 360 — 392. 156 - -— Im 4- 336 — 68^ a- 504 — 372 2 390 — 43^ 1 504 — 272 4- 948 — 222 -,4- 940 — . 80 -4- 120 — 2^ | » 4-42 — 301 | SG ou //301 — -4- 54939 — 1587 — 352: d'oü l'on reconnait que 301 n'est pas premier. Or, puisque 301 — 7.^3, on aura [301 —/7./83 — 8.48 — 352, comme la régle vient de le montrer. $ 8. Ces exemples que je viens de développer, óteront sans doute tout scrupule qu'on aurait pu encore avoir sur la vérité de ma formule. Or, on sera d'autant plus surpris de cette belle pro- priété, qu'on ne voit aucune liaison entre la composition de ma formule et la nature des diviseurs, sur la somme desquels roule la proposition. La progression des nombres 1, 2, 5, 7, 12, etc. parait non seulement n'avoir aucun ràpport au sujet dont il s'agit, mais, comme la loi de ces nombres est interrompue et qu'ils sont mélés de deux progressions réguliéres différentes, c'est-à-dire ^ ^. de 1, 5, 12, 22, 35, 51, etc. et de ,2, 7, 15, 26, ^0, 57, ete., il semble presque qu'une telle irrégularité ne saurait trouver lieu dans l'analyse. De plus, le défaut d'une démonstration n'en doit pas peu augmenter lintérét; vu quil serait presque moralement impossible de parvenir à la découverte d'une telle propriété, sans y avoir été conduit par une méthode certaine, qui pourrait tenir lieu d'une parfaite démonstration. J'avoue aussi que ce n'a pas été par un simple hasard, que je suis tombé sur cette découverte: mais une autre proposition d'une pareille nature qui doit étre jugée vraie, quoique je n'en puisse donner aucune démonstration, m'a ouvert. le chemin pour parvenir à cette belle propriété, Et bien que cette recherche ne roule que sur das nature des nombres à laquelle l'analyse des infinis ne parait guére étre aplicable, c'est pourtant par le moyen de différentiations et de plusieurs autres détours que j'ai été conduit à cette conclusion. - — Loi relátióe à la somme des /diviseurs dés nàmbres.. uS Je souhaiterais qu'on trouvát un chemin plus court et plus naturel pour y parvenir, et peut-étre que la considération de la route que j'ai suivie y pourra conduire. $ 9. Il y a long-temps que je considérai, à l'occasion du probléme de la partition des nombres, celle expression: (1— 2) (1 — 2?) (t — «*) (1 — 2*) (1 —2*) (t —2a*) (1 —2") (1 —2*)..... la supposant continuée à l'infini. J'ai multiplié actuellement un grand nombre de ces facteurs ensemble, pour voir la forme de la série qui en résulte, et j'ai trouvé cette progression: 1 — 2» — a? -- a* -—- x! — x! —À g15-e gae u$ Ls gi 55 gio iiL. oü les exposants de a sont les mémes nombres qui entrent dans la formule précédente; et áussi les signes -- et — alternent deux à deux. On n'a qu'à entreprendre cette multiplication et à la conti- nuer aussi loin qu'on jugera à propos, pour se convaincre de la vérité de cette série. Aussi n'ai-je pour toute preuve qu'une longue induction, que j'ai du moins poussée aussi loin, que je ne puis en aucune maniére douter de la loi d'aprés laquelle ces termes et leurs exposants sont formés. J'ai long-temps cherché en vain à démontrer d'une maniére rigoureuse, que cette série doit étre égale à lexpression proposée (1 — 2) (1 — a7?) (1 — a7)... et j'ai adressé la méme demande à quelques-uns de mes amis dont je connais la force dans ces sortes de questions; mais tous sont tombés avec moi d'accord sur la vérité de cette conversion, sans en avoir pu déterrer aucune source de démon- stration. Ce sera donc une vérité connue, mais pas encore démontrée, que si l'on pose: — (1 — 2) (1 — a?) (1 — 2?) (f£ — «*) (1 — 27) (1 —2*).... la méme quantité s pourra aussi étre exprimée en sorte: ; | $— 1 — 2» — a? -- a5 2 x — gi* — qi5-e go gs 55 9... Car chacun est en état de se convaincre de cette- vérité par la résolution actuelle à tel point qu'il souhaitera, et il parait impossible que la loi qu'on a découverte dans 20 termes par exemple, ne soit pas également vraie pour tous les suivants. $ 10. Ayant donc découvert que ces deux expressions infinies sont égales, quoique l'égalité ne puisse étre démontrée, toutes les conclusions qu'on pourra déduire de cette égalité seront de méme nature, c'est-à-dire vraies sans étre démontrées. Ou, si l'une quelconque de ces conclusions pouvait . étre démontrée, on en pourrait réciproquement tirer une démonstration de l'égalité mentionnée; et c'est dans cette vue que j'ai manié de plusieurs maniéres ces deux expressions, par oü j'ai été conduit - entrautres à la découverte que je viens d'expliquer, et dont la vérité doit étre aussi certaine que - celle de l'égalité de ces deux expressions. Voilà de quelle maniere j'ai opéré. Ces deux expressions - étant égales: : | L s—(t—a2)(t—2a? (t1—2* (t —2*) (f —2*) (1t —2*) (1 —27").... IL s—1-——2a-—a*-—- 252-2 — x1? — gi5-4- 2 cg — gy a.u. pour délivrer la premiere des facteurs, j'en prends les logarithmes, d'oü je tire ls — (1 — 2) d- L(1 — à?) 2- L(14 — a9) -- L(14 — 2*) a- C(1 — 232) —.... Maintenant pour éliminer les logarithmes, j'en prends les différentielles, ce qui donnera cette équation: L. Euleri Op. posthumo, T. I. ^ MES 82 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ; Arith metica. fAcacs uod 9xda 32? dz Az? dz bx*dzr Bs I—2s- 46a" d-—- E-R" Ten B - -—— 6098 que je divise par — dx et multiplie par &, pour avoir: zds. am UP 95? Py 32? Ges Az* NER Ba s sd» | 1—c 1— az? 1—23 1—az* 1 —az? La seconde valeur de la méme quantité s donne par la différentiation: ds — — dx — 2xdx 2- 5z*dx 2- 1235 d» — 19x!!d» — 152!*dz -—...., de laquelle, en la multipliant par — « et divisant par sd», on tirera une autre valeur de — | 1 vds — r--9z*— ja5 —'"1z7 a- A221? - 15:71 5 — 922?? — 96228 4- .,, qui sera sdm ^ — 1— 2—i2z?--x5-27 —g 1? g15.- 22.4 526... j ds ^e T $ 11. Soit la valeur de — MÀ — (, et nous aurons deux valeurs égales pour cette quantité ( I pc ai osog. 9z? ni 32? - Ax " bf 625 1—z*? 1— a? 1—2az* 1— ^ 4—z 2o «29x? — a5 — "1x7 4- 1921? 4-152! $ — 99522 96526 4. ... I IL 1 4—2z— z?-2- 75-5 -37-— gl? g15.4-$522.,4 $326... Je résous chaque terme de la premiére expression en une progression géométrique par la division ordinaire, et j'obtiens: o cu (—c-- m^*—.mXa- a*-a- g'd-. a*a— q«—— gq'a- qa qU- qq g'éALDD 2-92? -2- 92* -1- 2x6 -1-9a* -- 299 -4- Qa tuas 3-32? -1- 328 ; 4-92? --73e* 41A -L- a -- ha? -p uer... -r- 5a -- Dai? Jis een 4r 625 J- 62-2 1. T -2r- 1a -1- 82? -1- 92? 2r 102:1? 2-112! 4i9ri*a- oü il est aisé de voir, que chaque puissance de a se rencontre autant de fois, que son exposant a de. diviseurs, puisque chaque diviseur. devient un coefficient de la méme puissance de a. Ainsi, réunissant. tous les termes homogeénes dans une méme somme, le coefficient de chaque puissance de a sera la somme de tous les diviseurs de son exposant. Et partant, exprimant ces sommes de diviseurs par la préposition du signe /, ainsi que je l'ai fait ci-dessus, j'obtiendrai pour t la série qui suit: (— fA.2 2- f/2.2?4- f£/'3.a?4- f£ ^ a*- f/5.a2- f£ 6 a9 1. aL. L. dont la loi de progression est tout à fait manifeste; et, quoiqu'il semble que l'induction ait quelque ' part dans la détermination de ces coefficients, pour peu que l'on considére l'expression infinie précédente, on s'assurera aisément de la nécessité de cette loi de progression. Aq SANT NINISCANN, I NENNIPS NI ERU RENT AIR REESE RE: Loi relative à la somme des diviseurs des nombres. 83 $ 12. Substituons cette valeur au lieu de £ dans la seconde expression de cette méme lettre 1, qui, délivrée des fractions, se réduit à cette forme: t(1 — c — a3 a5 a — gm gita guit or.) $ — q — Q92x*4- 5z'-- Ta^ — 1921*— 152!'-- 923?*-- 263?*.,.. ... | TT WT Maintenant la valeur précédente étant mise dans cette équation, nous trouverons: 9 — f 1. a- /2.a*a- f/3.a94- fh a4 f 5. aa- 6:253 1. a7 f/ 8.292 [9a LL. — v —f1.2?— f/2.a*— f/3.x'— f'h.at— f£ 5.a*— f/6 a — f/ 1. — f '8.m—.... — Qa? — f1.a5— f/2.ag*— f/'3 .a0— fh. a*— f£ 5. a — f£ 6.x*— /1.X—.... 4r Sa*a- f/1.254- /2.27-4- /3.ax*-— fh. ag... -r- Ta? a- f/ A .a*-— /'2.a?-—.... etc. Ici il est aisé d'observer que les coefficients de chaque puissance de c sont les sommes des diviseurs d'abord de l'exposant de cette puissance méme, et ensuite, des autres nombres plus petits qui résultent si lon óte successivement de l'exposant les nombres f, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, etc. Ensuite, si l'exposant de la puissance de c est égal à un terme de cette série numérique, alors ce méme terme accompagne encore les coefficients. En troisiéme lieu, l'ordre des signes n'a besoin d'aucun éclaircissement. Ainsi, on conclura en général que la puissance a^ aura ces coefficients: fn — f (n — 1) — (n — 2) a- f (n — 8) 4- f (n — 7) — f (n — 12) — / (n — 15) 2. ... jusquà ce qu'on ne parvienne à des nombres négatifs. Mais si l'un quelconque de ces nombres devant lesquels se trouve le signe /, devient — 0, alors il faut mettre à sa place le nombre n méme, de sorte que dans ce cas, il y a. /0 — n et le signe de ce terme suit l'ordre général des autres. - $ 13: Ainsi donc, puisque l'expression infinie du $ précédent doit étre égale à zéro, quelque valeur que l'on donne à la quantité c, il faut de nécessité que les coefficients de chaque puissance à part, pris ensemble, soient égaux à zéro, et partant nous aurons les équations suivantes: L /1—1-0, f[121, lH ya—/i-ese-u, ! f8 —J/1--2, Hl /3—/23—/1-90, f3 —J28 --ft1, IV. /4—/3-—/2-90, ou 4 f —/3 4-/2, V. f5—f&—f3--5—90, f5 —fh--f3—5, Vl. /6—/5—/^h-4-/1-—0, f96—f5--f*—ft1, VIL /7—/6 —/52-/2-- 7 —0, f12f6--f5—/f2—1, etc. etc. et généralement nous aurons: Q — /n — f (n— 1) — (n — 2) A- f (n — 5) 4- f (a — 7) — f (1 — 12) — f (n —15).... et par conséquent 84 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. : 5 ibd fef (n and insurer on (nil) aen Moe o 45) 1 4 qui est la méme expression que j'ai donnée là-haut et qui exprime la loi, selon laquelle les sommes ! des diviseurs des nombres naturels procédent. Outre la raison des signes et de la nature de la progression des nombres: 4 $5.5 LOMA 3d AA 36 44 JA JL O5 7 ThE Ow" on voit aussi, par ce que je viens d'avancer, la raison pourquoi, dans les cas oü se trouve le terme /f9, il faut mettre à sa place le nombre 5 méme, ce qui aurait pu paraítre la chose la plus étrange dans mon expression. Ce raisonnement, quoiqu'l soit encore fort éloigné d'une démonstra- tion parfaite, ne laissera pas pourtant de lever plusieurs doutes sur la forme bizarre de l'ex- pression que je viens d'expliquer. De numeris amicalbilibus. 85 III. De numeris amicabilibus. (Conf. Comm. arithm. Prooem. pag. XVII. N. 56. nec non Suppl. Prooem. N. 1.) $ 1. Inter omnia problemata, quae in mathesi tractari solent, nunc quidem a plerisque nulla magis sterilia atque ab omni usu abhorrentia existimantur, quam ea, quae in contemplatione naturae numerorum et divisorum investigatione versantur. In quo judicio hodierni mathematici a veteribus non mediocriter dissentiunt, qui hujusmodi speculationibus multo majus pretium constituere sunt soliti. Etsi enim Veteres non ignoraverunt ex indagatione naturae numerorum parum utilitatis ad eam matheseos partem, quae applicata vocari solet, et in investigatione rerum ad physicam potis- simum pertinentium est posita: tamen nihilominus in scrutandis numerorum proprietatibus multum studii et laboris consumserunt. Praeterquam enim, quod ipsis investigatio veritatis per se laudabilis atque humana cognitione digna videretur, probe etiam senserunt his rebus ipsam artem inveniendi mirum in modum amplificari, mentisque facultates ad graviora negotia expedienda aptiores reddi. Neque etiam ipsos in hac opinione deceptos fuisse, summa incrementa, quibus analysis ab his tem- poribus est locupletata, manifesto testantur; maxime enim verisimile videtur hanc scientiam nunquam ad tantum perfectionis gradum perventuram fuisse, nisi Veteres tantum studium in hujusmodi quae- sionibus evolvendis, quae hodie ob sterilitatem tantopere a plerisque contemnuntur, collocavissent. Hincque eo minus dubitare licet, quin his rebus ulterius excolendis etiam in posterum analysi in- signia incrementa afferantur. $2. Antiquissimis jam temporibus Euclides multas praeclaras numerorum proprietates collegit, veramque rationem numeros perfectos inveniendi tradidit, ut mirum sit, plures recentiores mathema- ticos in hoc genere tam misere esse hallucinatos. Ex Diophanti autem temporibus luculenter apparet, tam Graecos quam Arabes plurimum studii in numerorum doctrina excolenda posuisse: quod idem institutum post restauratum in Europa litterarum studium primi matheseos cultores summa industria sunt prosecuti; hocque ipso viam ad altiores investigationes praeparaverunt. Cartesius certe, cui praecipue partes promotae analyseos merito debentur, speculationes numericas minime est aspernatus, atque multo magis in hoc negotio elaboraverunt Fermatius et Freniclius, qui etiam acutissimum mathematicum Wallisium quasi invitum ad hoc studium excitaverunt, quemadmodum ex commercio epistolico, secundo ejus operum tomo inserto, abunde perspicere licet. Inter eos vero qui in Germania sese primo ad algebram applicuerunt, Michael Stifel imprimis magnam laudem est adeptus, qui 86 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. dido: temporibus Lutheri vixit. Hic, ut specimen singularis analyseos afferret, cui enodando communia alge- brae praecepta non sufficerent, mentionem fecit problematis, quo duo numeri ita affecti quaeruntur, ut omnes partes aliquotae minoris numeri, simul sumtae, majorem numerum, ac vicissim omnes partes aliquotae majoris numeri, simul sumtae, minorem numerum producant; talesque numeros invenit 220 et 28^. Cartesius etiam hoc problema dignum judicavit, in quo solvendo vires suas exploraret, aliosque insuper hujusmodi numeros elicuit, qui ista proprietate gauderent: atque regulam investigavit, cujus ope plures istiusmodi numeri reperiri possunt, quam Schotenius in Exercitionibus mathe- maticis exposuit, Neque vero haec regula est generalis, neque plures quam tres solutiones sup- peditare valet. $ 3. Pertinet igitur haec quaestio ad id genus, quod in contemplatione partium aliquotarum versatur; quae doctrina cum a natura quantitatum continuarum, ad quas analysis proprie est accom- modata, plurimum abhorreat, prorsus singulari modo tractari debet, nisi tentando solutionem expe- dire velimus. Quanquam autem Schotenius ad hujusmodi problemata solvenda certam methodum sibi proposuisse videtur, dum usum calculi analytici introducere est conatus; tamen si ejus ratioci- nium attentius inspiciamus, praecipua solutionis pars in mera tentatione consistit, atque- omni funda- mento destituitur. "Temere enim pro hujusmodi numeris certas assumit formulas, in quibus numeros idoneos contineri suspicatur, cum tamen eodem jure quasvis alias assumere. potuisset: atque in harum ipsarum . formularum evolutione plurimum casui et fortunae tribuitur: unde Stifelium immerito reprehendit, quod putaverit, solutionem hujusmodi: problematum in certa methodo comprehendi non posse. Quin potius igitur erit fatendum, eam analyseos partem, quae in scrutatione quantitatum discretarum versatur, maxime adhuc esse imperfectam, certaque principia, "quibus ea superstruatur, etiam nunc desiderari. Atque ob hunc ipsum principiorum. defectum ad hujusmodi problemata numerica resolvenda plurimum solertiae et perspicaciae requiritur: et plerumque singulari ratiocinii genere opus est, in quo maxima ingenii vis cernitur. ^ Hancque ob causam, etiamsi ipsa horum. problematum solutio in analysi parum utilitatis habere videatur, tamen methodus, qua tot tantaeque difficultates superantur, fines analyseos non mediocriter promovere est censenda. Quo plures enim diversae viae ad veritatem indagandam aperiuntur, eo majora incrementa ipsa ars inveniendi cepisse est, existimanda. $ *. Quemadmodum in universa analysi/ usus idoneorum signorum plurimum valet, ita etiam in hoc genere, quod circa divisores et partes aliquotas numerorum instituitur, non parum utilitatis a commoda designandi ratione erit exspectandum. Numeros igitur, quos hic vel contemplamur; vel quaerimus, litteris alphabeti minusculis indicabo, litteris vero majusculis utar ad summas divisorum eorum numerorum, qui respondentibus minusculis exhibentur, repraesentandas. ta si a denotet numerum quemcunque integrum et affirmativum, cujusmodi numeros in hoc negotio semper intelli- gere oportet, littera majuscula respondens 4 indicabit summam omnium divisorum numeri a. Simili modo litterae P, C, D, etc. expriment in posterum summas divisorum numerorum 5, c, d, etc. scilicet si sit a — 10, erit ;4 — 18, et si 6 — 50, erit P — 93. Cum igitur cujusque numeri pártes aliquotae sint ejusdem divisores, ipso illo numero excepto, qui, etsi sui ipsius est divisor, tamen partibus aliquotis non annumeratur , summa partium aliquotarum numeri a erit —.J-—a, nisi sit a — f. NUN ON. MENRON CN NI BRIAN CAPIO PERPE Rn Duc-——9 dius duidumignd: De numeris amicabilibus. 81 Hoc enim casu, cum unitas cujusque numeri tam divisor quam pars aliquota censeri soleat, erit quoque 4 -— 1 et partium aliquotarum summa —- putatur. Verum cum unitas in hujusmodi quaestionibus non inter numeros collocari soleat, haec exceptio nullam difficultatem afferet. $ 5. Hoc igitur litterarum significatu praemisso, cum numerorum primorum nulla detur pars aliquota. praeter unitatem, et quilibet numerus primus alios non habeat divisores praeter unitatem et se ipsum, si « fuerit numerus primus, erit 4/—a-1- 1. Atque si « fuerit quaepiam potestas numeri primi p, summa divisorum ejus 4 facile assignari poterit. Sit enim a — p?, erit utique 4-—1--p--p' ae si a— p?, erit. / — 1 -- p a- p?-i- p*.. In. genere autem, si denotante p numerum primum quemcunque fuerit a — p^, erit 4 — 1 -— p a- p?4-. ..... --p", qui divisores L L LI LI pc! fTT 1 cum constituant progressionem geometricam, erit quoque: 4 — jr as pa—4t quaecunque numeri primi p, quicunque sit ejus exponens, erit semper 4— rM : 7 sin potestas quinarii, * Unde si a fuerit potestas - Si igitur sit « potestas binarii, erit // — 2a — 1; sin sit a potestas ternarii, erit 4 — " 5a—1 erit 4 — 7 et ita porro. $ 6. Quodsi a fuerit productum ex duobus diversis numeris primis p et q, puta a — pq: erit summa divisorum 4 — 1 --p -i- q -À- pg — (1-2 p) (1 4- q). Simili modo si plures habeantur nu- meri primi diversi p. q, r, s, etc. fueritque a — pqr, erit .4 — (f 2 p) (1 - q) (1 - r), et posito a— pqrs$, erit 4/— (tp) (f-- q) (1 -- r) (t2 s). Cum autem sit p-- 1 — P, q--1— 0, r-1—R, eic. si fuerit a—pq, erit 4—PQ, et si sit a—pqr, erit 4— PQR, etc.; quae expres- sionum similitudo non solum locum habet, si p, q et r sint numeri primi diversi, sed etiam dummodo fuerint numeri primi inter se, ut praeter unitatem nullum alium divisorem habeant communem. Si enim sit P summa divisorum numeri p, et Q summa divisorum ipsius q, atque hae summae P et Q praeter unitatem nullum numerum communem contineant, tum productum «a — pq primo eosdem habebit divisores, quos factor p, quorum summa est — P; deinde divisores quoque habet numeri q, quorum summa est — Q; in quibus quoniam unitas bis occurrit, summa utrorumque divisorum erit | -P--Q0-— 1. Tertio productum pq divisibile erit per singula producta ex binis divisoribus numerorum p et q, exclusa utrinque unitate; horum autem compositorum divisorum summa erit —(P— 1)(Q—1) — PQ — P — Q-i- 1, quae cum summa simplicium P -- Q — 1 facit PQ; ita ut posito a — pq, sit 4 — PQ. ; $ 7. Cum igitur omnis numerus sit vel primus, vel productum ex aliquot primis, eorumve potestatibus, ex resolutione numerorum in factores facile eorundem summa divisorum cognoscitur. Positis enim p, q, r, etc. numeris primis, omnis numerus in hujusmodi forma continebitur: . * LÀ LÀ LÀ *. m--i.. 4 * . a—p"4"r'..... Cum igitur factoris p" summa divisorum sit Durs et factoris q^ sit 1 pÀ--1.4 1 - 1 "m Mc R. ob istos factores p", q^, r*, m nk primos, erit numeri propositi a — p"q" r . summa divisorum V Bis. orcaitiame A. itilisn-) Melle ACT (p— 1) (q—1) (c—1) Hocque modo ut ipse numerus a per factores exprimitur, ita quoque summa ejus divisorum, per ER adum Aen L ; ipsiusque r^ summa divisorum sit — inter . se factores expressa, reperietur: quod in plerisque hujus generis quaestionibus resolvendis non parum 88 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - —— Arithmetica. habet utilitatis. Quo igitur facilius summae divisorum quorumvis numerorum inveniri atque ipsi per factores exprimi queant, in tabula annexa non solum omnium numerorum primorum millenario minorum, sed etiam eorum potestatum, quarum quidem usus occurrit, quantumque calculi molestia id permisit, summae divisorum exhibentur in factores resolutae: ita ut ope hujus tabulae omnium numerorum compositorum, nisi fuerint nimis magni, divisorum summae facile excerpi queant. [ta si propositus sit numerus a — 7560: hic numerus primo per factores primos exprimatur hoc modo «— 2*.39*.5.7. Deinde horum factorum singulorum summae divisorum in tabula quaerantur, qui erunt: 3.5; 27.5; 2.3 et 27: hisque invicem multiplicatis prodibit summa divisorum numeri pro- positi a — 7560, quaesita 4 — 27.3*.5?— 28800. Ex quo exemplo usus istius tabulae in summis divisorum quorumvis numerorum inveniendis abunde perspicitur. $ 8. Hinc inventio numerorum perfectorum nulla laborat difficultate: cum enim numerus perfectus vocetur, qui aequalis summae suarum partium aliquotarum, si numerus perfectus ponatur — a, oportebit esse a — 4 — a, ideoque 4 — 2a. Jam numerus perfectus a vel est par, vel impar; priori casu ergo factorem habebit 2, ejusque quampiam dignitatem. Sit igitur a — 2"b, erit 4 — (2^*!— 1) B, ideoque (2"*!— 1) B —2"*'!6, unde fit T E —— ad minores numeros reduci nequeat, necesse est ut sit vel 5 —92"*'— 1, vel 5 — (2 *'— 1)e. Prius autem fieri nequit, nisi sit 27-7 !.— f£ numerus primus, quia summa divisorum esse debet Cum igitur fractio — 2", ideoque summa partium aliquotarum — 1: quoties vero est 2"**!— 1 numerus primus, toties posito b — 2^ * ' — 1, erit B — 2"*!; hincque numerus perfectus erit a — 2"(9^- 1 — 4). Sin autem pro b sumeretur multiplum ipsius 2"*:— 1, puta (2^*'— 1)c, ejus partes aliquotae forent 2*'— 1 et c; unde omnium divisorum summa P certe non minor esset quam Q1 pea bi . LJ . . . . LÀ B : LÀ talis. enim. foret, si tam c quam 2^*'—1 essent numeri primi. Fractio ergo , non minor esset 9na3-l 4-c-4- b 9n! (4 4- c) —T Qí09n77 10 2. e) futura quam. — —- —— » pte Gxicpe 9 ob 6 — (2**'— 1)c. At fractio (FI 1e necessario major est quam ;;,;—, unde pro numero b sapi ipsius 2^**' — 1 accipi nequit. Quamobrem alii numeri perfecti pares reperiri non possunt, nisi qui contineantur in formula prius inventa a — 2^ (2"* * — 1), existente 2"! — 1 numero primo; haecque est ipsa regula ab Euclide praescripta. Utrum autem praeter hos dentur numeri perfecti impares nec ne, difficillima est quaestio: neque quisquam adhuc talem numerum invenit, neque nullum omnino dari demonstravit. Sin autem hujusmodi numeri perfecti id or ii necessario in hac formula: (!un-i- 1)*"* ax continerentur, ubi 4 34- 1 denotat numerum primum et c numerum imparem. . $ 9. Longe difficilius autem reputatur problema de numeris amicabilibus inveniendis, in quo requiruntur bini numeri, quorum alter aequalis sit summae partium aliquotarum alterius. In hoc problemate solvendo etsi Schotenius summo studio est versatus, tamen plura quam tria hujusmodi numerorum paria non invenit, quae sunt: 220, et... ...,, 28^ 17296 et 18*16 936358* et 9137056 LOCUS MRONRTS * "Bert TV EC ' H1 |^ i i a De numeris amicabilibus. 89 atque methodus, qua est usus, ita est comparata, ut vix plures numeri satisfacientes ejus ope inveniri queant. Assumsit enim pro numeris amicabilibus has formulas generales 2"z et 2"yz, in quibus numeros c, y et z ponit primos, sumtisque successive pro n numeris determinatis, tentando investigat casus, quibus numeri primi pro c, y, z substituti quaesito satisfaciant. Nemo autem putabit, omnes numeros amicabiles in his formulis contineri, quippe quod non solum a Schotenio non est de- monstratum, sed etiam sequentes numeri amicabiles, quos equidem inveni, abunde declarant. Namque praeter tria illa paria modo mox explicando, sequentes adeptus sum numeros amicabiles: A.5.131. et M. 17.53 /h.5.951 et — 5.13.107 16.17.5119 et — 16.239.383 h.11.17.263 et .11.53.107 32.37.19671 et 32.227.2111 4.93.827 et — ^.93.5.137 quin etiam numeri exhiberi possunt impares, quod quidem multo.magis mirum videri queat, qui praescripta proprietate sint praediti, cujusmodi sunt: 32.7.13.5.17 et 33.7 13.107, 3*.7*.43:5.M. —eti 3*:22.13.251, ex quibus satis liquet. numeros amicabiles quot esse copiosiores, quam numeros perfectos, qui in Serie numerorum rarissime occurrunt. $ 10. Hi autem numeri aliique satisfacientes non difficulter ope modi signandi ante expositi eliciuntur. Sint enim a et b'bini numeri amicabiles quicunque, quoniam eorum summae divisorum sunt 4 et D, summaeque proinde partium aliquotarum. .4—4 et B—b; conditio horum numerorum praebet has aequationes: 4 —a—hb et B — b — a, unde fit 4— B — a-- 6. Ambo ergo numeri amicabiles eandem habent divisorum summam, quae simul summae amborum numerorum est aequalis. Quo autem ad aequationes idoneas solutio perducatur, ponamus numeros amicabiles esse pz et qy, - existentibus c ei y numeris primis, ita ut sit a — pa: et b —qy, eritque A4 — P (42-1) ^et Bi Q(y 2-1): unde fit P (va- 1) ——Q (y 4-4) — pz a- qy. Ponatur P (z-- 1) — Q(y -- 1) —PQ:; erit, e -- 1 —Qz et y -- 1 — Pz, seu c — Qz — 1 et y—Pz-—-1. Cum vero esse debeat PQ:--pz--qy, erit valoribus his pro 2^ et y substitutis: p--q PQz — Qp: - ww) -- MA — 4, ideoque dew em ny quere ut formulae assümtae po et qy praebeant numeros amicabiles, esse oportet : ; 2 2 Q(»r-9) —— P(p--$) a^ dE uan pda t T 0C EE aee RF Sit n maximus communis divisor numerorum pr et gy, ponaturque p — na et q— nb, ut sit P—NA et exar de et. pro. numeris .amieabilibus has habebimus formulas nao eb by, in | quba c ei y esse debent numeri primi, qui ex-his aequationibus definiantur: L. Euleri Op. posthuma. T. I. 12 90 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. nÁ(a-4- b) nB (a -- b) Bna-- Anb — NAB ? Bna a- Anb — NAB / q$-24-1-— y--1-— Sumtis ergo pro a et 5 pro lubitu numeris determinatis erit: (a -- b) Bn et PUT gm (a -- b) An (Ab -4- Ba) n — ABN (4b -i- Ba) n — ABN Ld q--1-—— ubi pro n ejusmodi sunt quaerendi numeri, ut « et y non.solum fiant numeri integri, sed etiam primi, $ 11. Cum autem hae formulae nimis sint generales, eas specialiores reddamus; ponamus ergo a — 1, eritque 4/4 — 1, et formulae numeros amicabiles exhibentes fient ij j no et nby, pro quibus c et y ex sequentibus aequationibus definiri debebunt tit ics; kc qc de 3» il 42-0n |. (B -4-b)n — BN Sit praeterea b numerus primus, ut sit. B — b -- 1; fiet (M4-0)n im (1 2-b)n 1 (42-9b)n —(A--0) NV (9n — N)b — (NA — ) f'uaget meris Si jam insuper pro m potestas binarii accipiatur, ut sit V — 2n — 1, proveniet (4 -i-0)n b—(n—1) 2-1 b -—-1 n s quae Yoriiulae eos praebebunt numeros amicabiles; qui per methodum Schotenii et Cartesii inve- niuntur. Ponantur enim successive pro nm potestates binarii, erit RM 24-1 9(0a-b). pro, n 52, oigo T8231 bmog aa 5 22-1 40-5 TM pro n—^, Lp —y4-— m Ei $21 — || 8(0 2-0) pro.n 28, |. 44.05 n domm. etc. JJ Possunt vero pro n commode accipi alii numeri, ex quibus differentia 2n — JV apte exprimatur; sic si capiatur n — 92, erit V — 168, 2n — 18^, et V —n — 76, uude fit: zd ( 990-0) | 930-1) ! ba 7.3075 5.39826 (495749 Ato ab Hic si ponatur 5 — 5, erit: Ei ME — UU 138 et 2-2 1— 828, - opportune autem hinc fit $e 137 et 2 — 827, uterque numerus primus, ita ut numeri amicabiles sint 92.827 et 92.5.137. | Similique modo ex his formulis alios numeros satisfacientes elicere licet. $ 12. Jam non sit amplius a — 1, sed denotet tam a quam b numerum quemcunque primum, eritque 44 — a-3- 1 et. B —5b--1; atque formulae nac et nby dabunt numeros amici sequentes nen pro c et y praebeant numeros primos: o me NURUUENUNUTNNERRUEMNS ENAROPNE TRO TEE VU CSTPNPTEPY | De numeris. amicabilibus. | 91 z-1 y-—1 — n(a--b) b--1 a--1 77 (9ab3-a-3-b)n — (ab -i- a -1- b -i— nv? RÀ yn n (a - b) b--1^ a--i^ (àn— N)ab — (N —5) (44-0) — N seu Hic jam iterum, si pro n sumatur potestas binarii, ut sit V — 2n — 1, erit: 24-1 ope oo n(a -1- b) b--1 ^ a--1 —ab— (n —3) (a4-b) — —3n-1! quae fractio ante omnia ad numerum. icm. est reducenda, idoneis ad hoc pro a et b numeris primis assumendis; sic posito n — ^, erit: | 23-1 xs 920513... 4 (a-4- b) baci. a--1 - ab—3(a--0)—1. Ponatur b — 5 et habebitur: 22-1 L.y1 4(a-5) — 2(a--5) 6:5/05,02-1::, 98 —929 7. :a— 11 Tententur jam successive varii valores:pro a, uti ponàtur a — 13, erit: — — 18, unde fit 2$ — 107 et y —251, uterque primus; ita ut numeri amicabiles hinc prodeant ^&.13.107 et 4.5.251. In iisdem formulis ponatur porro a — 17, fietque : sd. gi. 19.99 TIS p 6$ ^g ^. € qzh39,oy 131, iterum uterque primus, unde nascuntur numeri amicabiles 4.17.3 et 5.5.131. Possunt vero etiam pro m assumi, praeter potestates binarii, alii numeri convenientes, uti n— ^, ut sit V—85; et Xin — 21: 11, unde fit: za: oy 700 41 (a3-5) b--1 NL T e 10 (a-1- 0) — 21? ubi positis b —17 et a— 83, pro c et y numeri primi resultant. $ 13. Possunt etiam pro a et 6 producta ex duobus pluribusve numeris primis substitui. Sint enim p et q numeri primi, ac ponatur a — cp et b — dq, ut numeri amicabiles sint nepz: et ndqy; ob 4-2-Cp--C et B—Dq-- D, erit 4b -- Ba — (Cd 4- Dc) pq 2- Cdq 4- Dep. et As | AB — CDpq a- CDp - CDq 4- CD, 22-1 d y4-1 Td n(ép-- dq) - unde fiet * .D(q--1) .C(p-2-1) (Cd-rDo)npq- Dcnp -- Cdng — CDNpq — CDNp — CDNq — cDx? ubi pro € et d numeros quoscunque, sive primos, sive compositos substituere licet. Sit exempli gratia c — 5 et d — 11, erit C — 6 et D — 12, numerique amicabiles: 5npae et finqy, fietque: e--1 " yel — n (5p- 149) 12(42-1) — 6(p--1) - 136npq- 60np--66ng — 72Npq — 12Np — 12Nq — 72N^ seu vet us DE n(8p-i- 149) 2(p7-1) ^ p--i — (g1n—13N)pq— - (012N — 109) p — (19 — 119) 4—12 quae expressio, ne fiat negativa ob JV P4 n, necesse est ut sit 21n — 12V, seu 7n 7 NY. Sit igitur primo 1 — 2, erit ya3 atque EM 92 | L. EULERI-OPERA. POSTHUMA. Arüiavilite. za-4 — yl —— Sp Mq wn "opo — 3pq—8p—14q— p? ego 3p Ó& e p 5. Po ww 5a d -—1) 8 474—314 y — 15, non primum. Quodsi vero ponatur n — 1^, ut sit V — 2^, prodibit: Sit p — 7; erit ; unde numerus integer oritür, si q— 61, qui vero dat ^ ca-1 — y — 7 (5p 3-144) 9(g31-1) ^ p--A (3p— 62)q— 7Àp — 144 ma — ya — T(M5a-119) | q21 ^ 19 84-923 i Hoc igitur modo pluribus substitutionibus faciendis, plures numeri amicabiles erui. poterunt. [1d et facto p — 23, $ f Quamquam autem hoc modo multo plures inveniri possunt numeri amicabiles, quam methodo a Cartesio et Schotenio usitata, tamen hic casui plurimum debetur, cum plures positiones plerumque frustra instituantur, antequam pro c et y numeri primi prodeant. Aliam igitur aperiam viam, ab hac ita diversam, ut inventio fortuita numerorum primorum non requiratur: quae derivatur ex.ea numerorum amicabilium proprietate, qua uterque eandem habet divisorum summam. Facile autem est ope tabulae annexae hujusmodi numeros quot libuerit invenire, quorum summa divisorum sit eadem. Sint igitur v et u duo istiusmodi numeri, quorum utriusque summa divisorum sit eadem — y: quod si'ergo esset quoque /—*-1-u, numeri e et u forent amicabiles. Sin autem haec proprietas locum non habeat, tum saepe eorum multipla reperire licebit, quae hac proprietate gaudeant. Ponamus ergo numeros amicabiles esse: ae et. au, erunt-utique- divisorum summae 4P et AV aequales, dummodo a respectu utriusque numeri e et u fuerit primus: reliquum ergo est, ut. Á sit AT — ae -A- au, seu pl th ex qua aequatione idoneus valor pro a ita quaeri potest. Reducta 9-r-u fractione — ad simplicissimam formam, necesse est, ut q per ejus denominatorem sit divisibilis La LJ . LJ t LJ A B r scilicet si fractio L^ perducta sit ad de ponatur 4 —2nb; erit 4 — NB et ALUONPO - unde y : n $ : — | [] nb fit T-— - Similiter porro b divisibile erit per denominatorem hujus fractionis, atque operationem ut ante instituendo, tamdiu continuetur, donec solutio vel perspiciatur, vel impossibilis evadat. Notan- dum vero est pro a non solam multiplum numeri ^, sed quoque ejus potestatis —— assumi T posse: ita ut investigatio plerumque pluribus modis institui queat. ^. ''- — UN $ 15. Sumamus ergo pro ? et u duos numeros, quorum eadem sit divisorum summa, ponaturque eT. 4u25.11,- erit. 2 T2 2—-9* .3*, ?--u 496 ** 7 ! au 2L —y F7. --4,' Unde patet, numerum & factorem habere debere /& seu 2^, vel. etiam altiorem potestatem. ipsius binarii, Sit igitur... ^. : ME RP : dos A ita, ut numeri amicabiles sint 71a et 55a. Erit ergo. — — Aa, 09 : Mili. d Aa AUN LA p^ Bt 4b 9 60 ——5 BIEN q:-9*5, ent 7D" 274 74? ideoque hai Hinc igitur obtinetur b — 1; ae propterea 4— , prodeuntque numeri. amicabiles: h.11-:28& et 4.55 — 220. | Neque vero altior binarii potestas pro factore ipsius a assumi potest, posito enim / gii 5 M, N UA. i «86, fil 4—15B et uua ELXTLGESTIS 8b T y unde De numeris amicabilibus. — 93 quae aequatio est impossibilis, cum nullus numerus ad suam divisorum summam rationem tajoris inaequalitatis habere possit. Simili. modo si statuatur: : uw e-5.131— 655, uz 11.93 — 7391, erit. P. 9*.9*.11, et numeri amicabiles 655a et 731a; debebit aütem esse A U--u 1386 77 7 —— —-—- 4.5 X. 2.39.4 144 4 inde ut ante fit a — '«; ita ut numeri amicabiles hinc reperiantur h.655 — 9620 et ^.731 — 2921. Pari modo cum sequentes numeri eandem divisorum summam. habeant: ^ e- 5.951. et u— 13.107, erit enim. 7 —25.35.7, unde si numeri amicabiles statuantur: / 5.2514 — 1255a et 13.107a — 1391a, erit ———3535; 73? unde iterum fit a — ^, ita ut numeri amicabiles sint futuri: | 95020 ^et 556^. $ 16. In his exemplis inventio numeri a nibil habebat difficultatis; sumamus ergo exempla, ubi a plus laboris requirit. Statuatur - 92-827 et iau. 137, ex utroque fit puripogung BR » . £2 v-—w — 1519 49 Mes ; Quaeratur ergo multiplicator communis a, ut sit E413 Cum igitur 23 sit factor ipsius a, ponatur a — 2365, erit t 1 '" A5 95.35 ' 9.3:7.. B 4—29'.3B, ideoque ——— Am o w^ "ole unde fit, ut in superioribus exemplis, b — '« et a — 4.23, ideoque numeri*amicabiles erunt: 4.93.827 — 7608* . et .93,5.137 — 63020. Deinde cum numeri 17.263. et 3.107 eandem habeant divisorum summam 2*.35.11, ponatur | 11.963 — 71; et u— 53.107 — 5601, erit. /— 25,3541, | A 9079 25.347 — 9b atque "a —943311 — $3*.3.14 MH. tm . A 1258 21 p. b Ponatur ergo — 149p? erit Wr 1p E Ti et: Meque p b —5, a— *.11 — M: sicque numeri amicabiles erunt: | ^5.11.17.263 — 19672 et 1. 11.53.107 — 209844. Afferamus aliud exemplum, sitque : A 199 16 e—5.112 85; u — 101, erit Vizg.3, ergo uoce: a —3*b A 138 16 B 16 . Ponatur ergo Amigas un IUe, "t X54 : : B | 4C 16 e^ 8 Fiat porro b — 13e, erit B—15C et ^1&74, P oTI—.; 94 L. EULERI OPERA POSTHUMA. deilnelion: unde fit c — 7, 6— 7.13 et a — 3?.7.13. Quare hinc numeri amicabiles nascuntur: $3 ats 13. 95 70 $9615 et 3?.7.13.107 — 87633. Si posuissemus Mr 0k alb s P 5D, prodiisset P? unde foret 5—5 et a—3* .5; at cum $3 «4 ad utrumque numerum 9 et u debeat esse primus, iste valor ob factorem 5 cum e communem, est inutilis. L2? fi $ 17. Evolvamus adhuc exemplum ultimum, quoniam in eo quaedam artificia notanda occurrunt, quae in aliis similibus problematibus solvendis utilitatem habere possunt. Assumamus ergo pro e et u ins sequentes numeros, qui communem habent divisorum summam: e—5.411—9205 et u-—251, erique /— av 3". T. Hinc ergo nascuntur numeri amicabiles 205a et 251a, si fuerit A o ueIT Ay Ergo numerus a divisores habebit 3 et 7, Ponatur ergo: a -—3b: erit B Aud: 4 AB! b ^ 3.7 quae aequatio jam est impossibilis, cum 19 sit minor quam summa divisorum ipsius 2.7, quae est 24. Numeri autem multipli ipsius 2.7 multo adhuc minorem tenent rationem ad summas suorum divi- sorum. Ponamus ergo: | ; aos! — *b- - B 95 w * erit Fr du Me Az13B , 1.13 ideoque b factores habebit. 7 et 13. Ponatur nunc b —c " C Pe n | B—sc' erit ...— Tes! * quae aequatio iterüm. est impossibilis, ob. 3.19 C summa divisorum ipsius ^. 19. ibas ulterius tentetur haec positio: 08. Yl.z b —T?c 2M : 2268" erit; — — unde fit c — 13; hincque b — 7*.13 et a — 3*. 15.13. . Numeri ergo amicabiles ex hac positione orti erunt: |... SIVE. 205 — 1175265 atque. 2" T. 43. 954 — 1438983. . His igitur praeceptis observatis - non difficile. erit tam hoc: problema: de numeris amicabilibus quam alia similia copiosius resolvere. : i as tun o Sequitur tabula exhibens summas divisorum numerorum primorum, millenario inferiorum, eo- rumque potestatum: | LR ^—— ——— De numeris amicalilibus. Num Summa divisorum. Num. Summa divisorum. Is: Summa divisorum. 2 |3. 3* | 9*5. 5. 11* | 43. 45319. 29* | 7. 3* | 11? 11? | 2*, 3. 61. 7321. 2* |3. 5. 3* | 93:7. 13. 11* | 7. 19. 1772893. 2* | 3t. 3* | 1093. 11? | 2?. 3. 5. 3921. 13521. 95 | 9. 7. !39* | 9*. 5. M. e 9* | 197. 3* | 13. 757. 13 | 2. 7. $2" | 3:32 17! 3* | 92. 117. 6f. 13* | 3. 6f. 2* | 7. 73. 3'^ | 23. 3851. 13* | 22. 5. 7. 17. 9* |3. t1. 31 3!! | 95. 5. 7. 13. 73. 13* | 30941. | 219 | 23. 89. 31* | 797161. 13* | 9. 3. 7. 61. 157. Q' | 33.5. 7. 13. 3!5 | 9? 547. 1093. 135 | 5229043. 2'* | 8191. 3'* | 41?. 13. 5561. 137 | 2*. 5. 7. 17. 14281. 2!* "3. 43. 127. 3'* | 95, 5. 17. &1. 193^ ! E LUE Rin dd 17 |2.3* 915 | 3. 5. 17. 257. $34 17? | 307. 91€ | 431071. - P lm is 17* | 2? 32, 5. 29. 91 | 35. 7. 19. 73. ui ELE 17* | 88744. 18 | . à 5 $ P —— E EE exe 175 | 9.35, 7. 13. 307. 929 ]: 1d Mz 9" | 19531. 19 | 2?, 5. "S RSpua S Mee 5' | 95. 3. 13. 313. 19: |/3. 197. A .dc983089; 683. 5* | 19. 31. 829. 195-2. 8! 94, ET UM. 5* | 2. 3. 11. 71. 521. WiILn Eu 235 | 32. 5. 7. 13. 17. 2&1. 1 OMS gw | sx eot: BOE 7 |»5. 19* | 92. 3. 5. 75. 197. 925 | 3. 2731. 8191. 7^ |3. 19. 33 | 95 3. 9*5 | 7, 73. 962657. T" | 2t. 5*. 233 | 7. 79. 91 | 3. 5. 99. 43. 113. 197. | ^ | 2801. 235 | 9*, 3. 5. 53. 2? | 2933. 1103. 2089. 7" | 2*. 3. 19. ^3. 23* | 992561. 91* | 32. 7. 11. 31. 151. 331. | ^^ | 29. 733. 29 | 24.748367. — 7* | 2*. »*. 1201. P s. 3. 5 25! | 3. 5. 17. 257. 65537. | "^ | 9". 19. 37. 1063. B [O9 9n 1. 23. 89. 5994.79. 7 25; 1t. 191. 2801. 29* | 2*. 3. 5. M2. 9*5 | 3. 43691. 131071. T'* | 329551457. 31 | 2*. 2" | 31. 71.497. 42292(1 1 a. y 31? | 3. 331. 2'* | 3*.5:7.13:19.37.73.109] | o qc 315 | 2*. 13. 37. 2| 29- 616pf9 477. 11* | 25. 3. 61. . 37 | 2. 19. 3 |922 11* | 5. 3221. 37? | 3. 7. 67. 3* | 13. 11* | 22, 3*. 7. 19. 37. 375 | 22.. 5.. 2603. L. EULERI OPERA. POSTHUMA. 2*, 5.1, 9661. 96 Arithmetica. — pmt———————N Num Summa divisorum Num. 'Summa divisorum. . Summa divisorum. | ki |2.3. 0, 89 | 9. 3*. 5. 149 | 2. 3. 51, M4? | 1723. 89? | 8011. 159*| 7. 24. 109... , $5 | 2228: 715; 995 89* 2*. 3*. 5.0. 233 1449*1 2*3, 9* HLHE als ib s. 97 | 9. 7*. 051. 2*5. 19.—— &3* | 3. 631. i 973| 3. 3469. 151?| 3. 7. 1093. k35] 25.55.0033) 975| 9*. 5, 72,984. 151*| 2*. 13. 19. 877. wr |2* 3. 401 |2. 3. 17, 157 | 2. 79. MI? | 37. 61, 101? 10303. 157? | 3. 8269. | 175 | 2*3. 5. 13. 17. 101*| 2. 3, 17. 5101. 157* | 2*. 5*, 17, 29. 19. 53 | 2. 3*. 103 | 9*. 13. 163 | 2*. &4.- 533 | 7. ^09. 103?| 3. 3571. 163? | 3. 7. 19. 67. 539* | 2*. 9*. 5; 98f. 103*| 2*. 5. 13. 1061. 163* | 2*. 5. 41. 2057. 59 | 23. 3.5. 107|25 35 — 161 |2* 3. 1. ou 59? | 3554. | 107?| 7. 13. 127. 167^| 98057. Via 59* | 25..3.. 5. 4754. 107*|:2*.-.3*. 5^; 955. 1675| 2*. 3. 5. 7. 2789. e1 | 2. 31. 109| 2. 5. 14. 173 | 2.3. 99. 6i* 1 3,13. 9L... 109*1 3. 7: BE do. 6 173*| 67. &49. 61* | 2*. 31. 1861. 1095. 9*. 5. 11,13. 557. 173* | 22,:3) 599,08 4,573; € 6: | 95 15. 113 | 2. 3. 19.- 179 | 2*, 3*. 5. ' 67* | 35T".*81, 1135.13. 991. | 179*| 7. à603.- m 67* | 25. 5. 17. ^49. 113*| 2*. 3. 5. 19. 4971. (79*. 2*. 35. 5. 94, R33. 1 E 74. 2595 127] 24..— 181 | 2. 7.13. G 71? | 5113. 197?| 3. 5519. 181? 3. 79:139: | 71* | 2*.:.3*. 259 197*. 2*. 51613. 181*| 25:57: 130463040 — '"6 221243 134 | 9*. 3. £4, 191 | 2*3. ws. 73* | 3. 1801. 131?| 17293. | 191*| 7. 13*. 3f. : 735 | 2*. 3643,:32, Nt. 131*| 95, 3. 11. 8581. | 1917 | 27. 3. 17. 59. 37. 79 | 9*. 5. 137 | 2. 3. 23. 193 | 2.97. G 79* | 3. 75. 43. 13757. 31-13. 193*| 3. 7. 1783. | 79* | 2*. 5. 3121, 137*| 2*, 3. 5. 23. 1811, 193? | 2*. 5*. 97, 149. - 8$ |.2*. 4. T. 4299 2. 5 1.. IrEE w wu kr 83* | 19. 367,.:a . 139*| 3. 13, ^99, 197? | 19. 2053. :gl.g J| 83' | 2*. 3:307. .13::53. | 439" 197*| 2*. 3*. 5. 11. 3081. *£] VANS UNT PRCRERSR CNN "s tT er Num. Summa divisorum. Num. De numeris amicabilibus. 97 Summa divisorum. Num. Summa divisorum. 95. 52 269 | 2. 3*. 5. 337 | 2. 13*. 3. 13267. 269?! 13. 37. 151. 337?| 3. ^3. 883. 2*. 5*. 19801. . 269*|:9?::35.: 5..97. .373. 337*| 9?; 5. 13?.. M. 977: 9*. 53. 971 | 2*. 17. 3*7 | 2*. 3. 29. 3. 13. 31. 37. 271?| 3. 24571. 347^| 7. 13. 1397;« 2*. 53. 113. 197. 271?| 25. 17.36721. 3175| 95.:3::5. 29. 19051. 9g. 7. 4. TN 977 | 9. 139. 349 | 2. 5*. 7. 3. 16651. 271?| 3. 7. 19. 193. 349?| 3. 19. 2143. 99; 5.7. 8973. . 271"| 9*. 5. 139. 7673. - 3495| 29?. 5?. 7. 62901. 93. 3. (9.. 281 | 9. 3. «7. 353 | 2. 3. 59. 13. 109. . 281? 109. 727. 353?| 19. 6577. 297*|/2*113.:5. 19.175153. 281?| 2^; 3. 13. 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Summa divisorum. | | | 613 | 2. 307. 677 | 2. 3. 113. 757 | 2. 379. - | 613"| 3. 195561. 677?| 159007. 751? | 3. 13. 19713. 6135| 92. 5. 53. 307. 709.'. |677*| 9?. 3. 5. 113. ^5833. | 757*| 29?. 5?. 73. 157. 379. 617 | 2. 3. 103. 683 | 9?. 3?. 19. 761 | 9. 3. 127. 617?| 97. 3931. 683*| 7. 66739. 761*| 579883. 617*| 9*. 3. 5. 103. 38069. |683?| 95. 3?. 5. 19. 46619. 161*| 2*. 3. 17. 127. 17033. 619 | 2?. 5. 31. 691, 2?. 173. 169 | 2. 5. 7. 41. 619?|. 3. 19. 6733. 691? 3. 19. 8389. 169*| 3. 31. 6367. : 619*| 25, 5. 13. 31. 1*737. |691*| 25. 173. 193. 1237. 7695 | 9*. 5. 7. 11. 71. 17393. 631 | 95. 79. 701 | 9. 3*. 13. |T73 | 2. 3*. 43. 631?| 3. 307. ^33. 101? 192103. 113* |. 598303. 631*| 2*. 79. 199081. 1015, 9?, 3*5. 13. 17. 97. 1^9. | 7735 | 9?, 3?. 5. 43. 59753. 641 | 2. 3. 107. 709 2.5. 74. .— T897 | 2*. 197; 6^1?| 7. 58789. 109? 3. 7. 93971. 1871*| 3. 37*. 151. 6^1*| 9?. 3. 107. 205^41. 1095, 9?. 5. 37. 71. 6793. 1815| 95. 5. 197. 2^1.. 957. 6^3 | 9?. 7. 93. 719 | 2*. 3?. 5. 197 | 2. 3. 7. 19 65*3?| 3. 97. 1523. 719?*| 487. 1063. 191? || 157. 051. 0^3*| 9*. 5*. 7. 23. 8269. 719*| 25, 3*. 5. 53. 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EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. Num. Summa divisorum. Num. "Summa divisorum. Num. Summa aiio]: 829 | 9. 5. 63. 883 | 2*. 13. 17. 9v7 | 9?, 3. 79. 829"| 3. 911: 1087. | 883*/' 3. 260191. . 97? 7. 917. 63. 829|.92.-5. 17*, 99. ^4. 83: | 8833|.9*. 5. 13. 17. 77969. | 9v73|-95..3. 5. 79. 89681. 839 | 2*. 3. 5. 7. 887.| 2*. 3. 37. 953 | 2. 3*. 53. 839"| 70V761. 887?| 13. 60589. .:,:/ 953*| 481.5022... i 839*| 2*. 3. 5. 7. 109. 3929 | 887^, 2*. 3. 5. 99. 37. 2713. |953*| 2*. 3*. 5. 53. 90821... | : 853 | 2. 7. 6t. 907 | 2*. 227. 967 | 25. 11?. 853| 3. ^3. 5697. 9072| 3. 7. 39217. 967^. 3. 67. 1657. | 853*| 2?. 5. 7. 13. 29. 61. 193] 907*| 25. 5*. 927. 16553. boz* 2*. 5. P9. (9. Tad s 857 | 2. 3. 11. 13. 911 | 2*. 3. 19. | 971| 22. 35. | 857"| 735307. 911"| 830833. 971?| 13. 79. 919. 857| 9*. 3. 5*. 11.13.37. 397] 911*| 9*. 3. 19. 29. &1..349. | 971*| 95. 35.197, 9393. 859] 2 573. 919 | 25. 5. 23. p771.2. 3. 358. 859"| 3. 216247. 919?| 3. 7. 13. 19. 163. 977| 7. 136501. 859*| 2*. 5. 43. 137. 2693... | 9197| 2*. 5. 23.37. 101. 113. | 977*| 2. 3. 5. 53. 163. 1801. aós [94e | 929 | 2. 3. 5. 3t. 983|/25/3. 4d. : 8632| 7*. 15217. 929?| 157. 5503. 983*| 103. 9391: .* '* 049 8635| 25. 3*. 5. 13. 17. 337. | 929*| 2?. 3. 5..31.:531521::..| 983? 2*. 3.5. 13. 1. 78337 877 | 2. 439. 937 | 2. 7. 67. 991] 2*. 30. hos. 877*| 3. 7. 37. 991. 937?| 3. 292969. 991?| 3. 7. 13?. 277. 877| 2^. 5, ^39. 76913. 9375| 2?. 5. 7.67. 87797. | 991*| 2*. 31. 591051. 881 | 9. 3*. 7. 91 | 2. 3. 157. 997 | 2. 499. : 881?| 19. 10897. 941?| 811. 1093. 997" 3. 13. 31. 823. 881 2, 3?, 77. 388081. 9415 997*| 2*. 5. &99. 99101. Fragmenta. [3 101 lv. Fragmenta commentíationis cujusdam majoris, de invenienda re- latione inter latera triangulorum, quorum area rationaliter exprimi possit. (Conf. Comment. arithm. Prooem. pag. X: N. €) 27. Problemate igitur proposito ita soluto, ut nihil ultra desiderari possit, siquidem solutio tradita latissime patet. Verum praeter animadversiones jam allatas, solutio adhuc alias rationes suppeditat, quarum evolutio non parum ad analyseos incrementum conferre videtur. n hujusmodi enim quaestionibus non tam solutioni ipsi, quam usui in reliquis analyseos partibus intentos nos esse. convenit. 28. Primum igitur observo, etiamsi in formulis pro lateribus trianguli $ 8 latus a longe alio modo ac reliqua b et c exprimatur, tamen ea inter se ita esse permutabilia, ut nulli prae reliquis ulla praerogativa tribui possit. Ita in casibus S 12 evolutis videmus latus a casu primo esse. 1, cum in casu tertio, qui idem triangulum praebet, numerus 1^* lateri c conveniat. Simili modo latera a et c in casibus congruis 27^ et 9". idem A'^et 135^ inter se permutantur. 99. Haec permutabilitas, non obstante expressionum diversitate, omni attentione digna videtur. Quae quo clarius agnoscatur, ea non solum in lateribus triangulorum, quae problemati proposito satisfaciunt, locum. habere deprehenditur, sed. etiam generatim in omnibus triangulis, quorum area rationaliter exprimi potest; in formulis enim pro hujusmodi triangulis $ 5. datis similis disparitas inter latus a et duo reliqua 5 et c observatur. 30. Ad hoc ostendendum contemplemur rationem ternorum laterum hujusmodi triangulorum, quorum area est rationalis, quae ita se habet: (ps3-qr)(pra-qs) , pp-3-qq , rr-- ss : pqrs pq 075 a:b:c— ubi latera b et c semper eam inter se tenent rationem, quam duae fractiones hujus formae T. i -- UOTE abhorrere videtur. 1n hac quidem signa ambigua adhibui, a qua tamen fradif quoniam binis lateribus b et c gemini valores lateris a conveniunt. 31. Docendum ergo est etiam latera à et 5 semper talem rationem inter se tenere, qualis est ff--98. fg inter binos numeros formae Cum igitur sit 102 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. pen (ps-t-qr) (przi- qs) a: & pp -^- 44; dico eandem proportionem ita exprimi posse, ut sit a:b — Tr-- $$ pav yy T5. — ay convenientia enim perspicua reddetur sumendo a — ps --qr et y — pr qs. 32. Posito enim 2 — ps-t- qr et y — pr zi: qs, erit. & -— yy — (pp qq) (rr 55) et. ay — (ps qr) (pr 3- qs), Tr--$$ zX--yy — Trü-€35.| (pp- qq) (rr 4- ss) unde fit r$ ^ ay — 75 — (ps-cqr)(pra-qs) . vr-a-58. 22-3-yy .. (ps-*-qr)(pra qs) , ideoque lino tse - !pp--34, quae est ipsa ratio, quam formulae nostrae inter a et b praebuerunt. 33... Quare si. a, b, c sint latera trianguli, cujus area rationalis, inter bina quaeque alia. ratio LJ LÀ 5.1. . 3 . . qe * . existere nequit, nisi quae. intercedat inter. binos numeros formae PE. Ac si duo latera aliam inter sé teneant rationem, nullo modo tertium latus inveniri potest, quod cum illis aream rationalem includat. 3*. Quomodo ergo hae rationes, quae inter bina latera trianguli aream rationalem habentis intercedere possunt, sint comparatae, ét quaenam hinc excludantur, haud abs re erit diligentius If--99 f[3-99 n vel potius in hac —— inquirere. Considerari ergo primum oportet fractiones in forma ' 2 fg contentas. 35. Haec autem fractio ed pro numeratore habet hypothenusam trianguli rectanguli ratio- nalis pro . . . * . LI . id . LI LI LI . . LI . . LÀ 49. Huic problemati affine est istud: T7 Invenire. triangulum, in quo rectae, ex singulis angulis ita ductae, ut. latera opposita bifariam secent, per nuineros rationales exprimantur ; noides quod autem illo ideo difficilius est judicandum, quoniam non generaliter solvi patitur. Positis d, b, c lateribus trianguli, negotium huc redit, ut tres istae formulae 9aqa-.- 96b — cc, 2aa-- 2cc — bb, 9b a- 9ec — aa reddantur quadrata. 50. Si in hunc finem ponatur a — (m a- n) p — (m —n)q, 6 — (m—n)p-A-(m-n2)q, c 2mp —2nq, ut formula prima quadrata evadat; pro reliquis ad quadratüm revocari. debent. hae. formulae .. : up ' (3m 2- n)* pp — 2 (3ijnm -- 8mn — 3nn) pq -2- (3n — m)* qq... e (3m — n)? pp — 2 (3nn - 8min — 3mm) pq 4- (3n 4- m) qq Fragmenta. | 103 quorum productum sufficiet quadrato coaequasse. Est vero productum -t- (3m — nn)* p* — 8n (21mm -i- 13nn) p*q io se , -- (9nn — mm)? q* — 8mn (2'1nn -4- 43mm) pq* 6 (3m —9Wnmnn -- 3n*) ppqq. 51.. Si radix statuatur (9mm — nn) pp — Mure pq —- (9nn — mm) qq , elicerentur hi valores: po (nun 2 na) (9mm — nn) et. .q — 2mn (9mm -- nn), ex quibus sequentia triangula simpliciora concluduntur a— 81, a4—197, ^ 'a—901, a — 881, a — ^63 bz 85, b — 131, b — 328, 6 — 650, ^ b — 1582 e:-e98. 0128, pzkid55. exs569, és 589. 52. Cum hic invenienda sint tria quadrata, ut binorum summa duplicata, tertio minuta, fiat quadratum, simili modo facile solvitur quaestio de tribus quadratis, quorum binorum summa ipsa, tertio minuta, fiat quadratum. Quo in genere facillima videtur quaestio haec: Invenire tria quadrata, quorum binorum summa sit quadratum. Verum tentanti mox patebit, hujus solutionem multo majoribus difficultatibus implicari. Si enim positis his quadratis aa, bb et cc, statuatur 9mn 9 ou a ei c— —H mm — nn PP — gg , ut tam aa 3- bb, quam aa -i- cc fiant quadrata, superest, ut haec formula mmnn (pp — qq) - ppqq (mm — nn)* aequetur quadrato; cujus tractatio frustra suscipitur. 53. Commodissima autem methodus hoc problema solvendi videtur statuendo : aa — &mnpq, ó—mmp—nq et c—np—umq, ut. fiat - aa -3- bb — (mp -- nq)? et. aa -- cc — (np a- mq). Quo igitur et bb -i- cc fiat quadratum, fiat i sie mp — nq — 2 (mm — nn) rs — b, np — mq — (mm — nn) (rr — $5) — c eritque bb -i- cc — (mm — nn)? (rr 2- ss)*. Cum autem hinc prodeat — 9mrs — n (rr —$s$) et q—2nrs — m (rr — ss), habebitur 1 — mm nnr* — 2mn (mm -- nn) r*s 4- 2mmnn rrss 4- 2mn (mm A- nn) rs*2- mmnns*. 5*. Ad hanc speciali saltem modo resolvendam fingatur a gy —mnrr — (mm 4- nn) rs a- mn$$ 104 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - E elicieturque r — 'unn et s — mm -&- nn, unde humeris. m et. n arbitrio. nostro relictis, consequimur sequentes numerorum à, b, c valores bus | 3» a — 2mn (3mm — nn) (3n — inm), b — 8mn (mm — nn) (mm -- nn), c — (mm —.nn) (mm — "mn -- nn) (mm -- mn 2 nn). 55. inc simplicissima solutio eruitur sumendo zi — 2 et n — 1, unde resultant hi numeri: . a M 0) qa c 4936 aa -- bb — 59536 — 28? | U — 2^0 bó — 51600 dà -- cc — 15625 — 125? | üup x9 c— MT,,; 06-2 13689...— b -i- ec — 71289 — 267*. [ P j r i 4 : ; ) 3 ; aW Uum PT MPNTETPTRSOTMINNE T ada eem 2 A Problema Diophanteum. ; 105 | Recherches sur le probléme de trois nombres carrés tels, que la somme de deux quelconques, moins le troisiéme, fasse un nombre carré. 1. Soient «, y, I les racines des trois carrés, les équations seront Y zz — au — pp, | (ha ku-y—Wq 0 0 5 -—10) aw yy z:crr. | 'Si l'on ajoute ces équationa deux: à Mn elles prodüirónt les équations suivantes: Q4 (be Zn. pp A-qq — 2t, pp rr —2yy, qq 3- rr — 22x, d'oü lon vojt qu'en résolvant notre probleme, celui-ci sera aussi resoli: trouver trois nombres carrés tels, que la demi-somme de deux quelconques d'entre eux: produise aussi un-earré; puisque 5- -r rr -ETE cinis. L— 2 s e et Li mx 2 AU" pt 2 .. 2. De plus il est évident, qu'ayant trouvé les trois nombres a, y, z, tous leurs multiples satis- feront pareillement,. savoir; nz, ny, nz. De sorte que tous ces cas ne renferment qu'une seule solution, et par conséquent, nous ne chercherons, dans la suite, que trois nombres tels, qu'ils n'aient aucun diviseur commun. D' oü il est d'abord évident, que tous les trois nombres cherchés ne seront pas pairs. Or, avec quelque attention, on verra de suite que ces trois nombres doivent étre tous impairs;"car tout carré pair est de la forme ^aa, et tout carré impair de l fornie ^ (aa2- a)--1; done si nous supposóns deux de nos carrés pairs, c'est-à-dire- ! :9À A qu — bau, yc bb et le troisiéme impair: zz — ^ I rc c) 2- f; i ! résultera pour dq a-yy — 22 cette expression ^ (aa bey s pd ec —€)— 1, qui ne saurait jamais étre un carré. Li nous supposons ensuite deux seulement impairs et le troisiéme pair, comme ) ax — V (aa -- a) 4-1, y — V (bb a- 0) a- 1, z—he6, nous aurons pour ax -- yy — zz cette expression ^ (aa 4- a 4- bb -- 6 — cc) 4- 2, qui ne saurait non plus étre un carré. Mais posant tous les trois carrés Mnptins, par exemple - ex —h(aa-ra)--1, yy-(bba-b)-- 1, z— J (ce -- c) a- 1, L, Euleri Op. posthuma. T. I. 1» 106 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. nous aurons pour ax -i- yy — zz la forme !(aa-3- a - bb 34-6 — ec—c) 2-1, qui peut représenter un carré. 3. Cette considération nous montre d'abord, que si l'on voulait chercher quatre nombres carrés tels, que la somme de trois moins le quatriéme fasse un nombre carré, la recherche serait inutile, puisque la question est absolument impossible. Pour le prouver, on n'a qu'à parcourir tous les cas par rapport aux pairs et impairs. En effet, 1) si trois carrés sont pairs, savoir: ex — haa, yy -—hbb, zz— lec et ve— M (dd--d)-—-1;,... on aura pour ax -4- yy -3- zz — ee la valeur !& (aa a- bb -4- cc — dd — d) — 1, qui ne peut jamais étre un carré. 2) Soient seulement deux pairs et deux impairs, ou bíen qu —had, yy-—hbb, zz—h(cccrc)--1, 9 — t (dd a- d) 4- 1, on aura pour zc: — yy -- zz-i- ee cette formae !& (aa — bb -— cc -- c - dd -- d) -À- 2, qui ne peut jamais étre un carré. 3) Supposons à présent un seul carré pair, savoir | TE ax — haa, yy —(bb-- b) -- 1, zz (ce2- c) à 1, ee — (dd A- d) a- 6 : nous aurons pour yy -i-zz -i- ee — o la forme ! (bb -- 6-1- cc-- c 4-dd -À- d — aa) -21- 3, qui encore n'est jamais un nombre carré. M) Enfin soient tous les quatre nombres impairs, c'est-à-dire. ! U ab c3 — (aa -—a)-1, yy-—h (bb - b) a- 1, zz (cc2-0)-9-1, 9 —) (dd. -i- d) 2-1; on aura pour zx-i-yy-i-zz — ee la valeur !& (aa 3- a a- bb -4- b -1- cc -À- e — dd — d) -À- 2, qui ne peut non plus représenter un nombre carré. *&. Aprés ces considérations, examinons de quelle maniére on pourrait arriver à une solution du probléme proposé. Pour cet effet je remarque, que nos deux premiéres équations peuvent étre représentées sous cette forme générale TINI T Or.A4-- BB2-294B est toujours un carré parfait; donc, comparant cette formule avec la pricidonis zz-- (yy — cx) — à un carré quelconque. nous aurons zz — 44 -- BB, yy — 4x — 24D, et. pour rendre 44 -- BB. un carré parfait il. ne faut que supposer 44 — aa — 56, B —2ab, et nous aurons zz — (aa 4-505); done z — aa 2 bb. D'aprés ces suppositions, la valeur de yy — ax sera &ab (aa — bb). Mais yy — «c étant le produit de y -Á- & par y — &, et ab (aa — bb) le produit de 2ab par (244—265), on vérifiera l'équation yy — «x — ^ab (aa — Ub) en prenant y 4- 2 — 2ab, y —« — 2aa — 20b; done qg —bb--ab —aa et y — aa -t- ab — bb. Ainsi, en prenant pour les valeurs de c, y et z les expressions bb -- ab — aa, aa -1- ab — bb. et. aa -1- bb, qQeu———————áx«ÉUAPU "Nu n TP Ce Tommy m PL RSEN RI wmm) "—L-—— elici 4c aruis ONUS Wy" y3. ow 5. ru OPERI REPE PUPPI a PLUIE CUR y mw, Problema Diophanteum. 107 les deux premiéres équations seront satisfaites. |l ne s'agit donc que de satisfaire aussi à la troisiéme équation qui, par la substitution de ces valeurs de z, y, z, devient qu -r-yy-—zz-— a*-- b* — &kaabb — rr. 5. Tout revient donc à trouver pour a et b de tels nombres, que la formule a* 4- b* — ^aabb devienne un carré. ll est facile de remarquer que cette condition sera remplie, si l'on prend a— 4206. Pour trouver une autre solution. de l'équation a*-i- b* — haabb — rr, posons a — 5 (224-2), et nous aurons. a*-i- b* — haabb — b* (z* -À- 825 -À- 20z?-1— 16z 2- 1). Supposons que la racine de cette expression soit b? (zz -1- 8z -4- 1). En comparant le carré de A5 (zz-- 8z-i- 1) avec b* (z*-i- 82*2- 202^ 4- 16z 2- 1), on trouvera 8:*-2À— 4622 — 0; d'ou lon tirera z— —-25 b . IT . * ', par conséquent z-1i-2 -—5 et act. Or, puisqu'il est indifférent que les valeurs de a et b soient positives ou négatives, nous prendrons a — 15, 6 — ^, et nous aurons z — 159, y — 269, z — 2*1, qui paraissent étre les plus petits nombres cherchés. De là, par conséquent, nous irouverons p-—329,4—89,r— 191. | 6. Comme cette solution est tirée de l'équation yy—2ac— ab(aa—0bb), par la décomposition du second membre en ses facteurs 2ab et 2(aa— bb), il s'en suit qu'on pourrait exprimer générale- ment les valeurs de y et a de cette maniére: y-a — 2" qb et y —« — ?* (aa —bb). Mais, aprés des calculs trés pénibles, on ne parviendrait qu'à des solutions trés particuliéres. La supposition la plus simple est y -i- z — 2a (a - b), y — x — 2b (a — b); d'ou nous tirons | | yy 4- ax — 29 (a*-i- 2a5 b -1- 2aabb — 2ab5 a- b*). De là, pour la valeur de rr — yy -4- «x — zz, nous trouvons a*-- ha*b-4- 2aa bb — ^ab?-i— b*. qui est le carré complet de aa -1- 2ab — bb; donc les valeurs de a et b sont entiérement arbitraires. Mais si l'on considére les valeurs de a, y et z, qui sont aa -- bb, aa -4- 2ab — bb et aa i bb, on irouvera que c et z sont égaux, et par cette raison la solution ne.saurait étre admise. 7. On pourrait employer encore bien d'autres méthodes pour la solution du probléme. Mais toutes ces méthodes ont le grand défaut de ne donner que des solutions trés particuliéres, et cela aprés des calculs trés longs et trés difficiles. C'est. pourquoi j'exposerai ici quatre méthodes tout-à- fait singuliéres, et qui, sans beaucoup de peine, fourniront une infinité de formules générales pour exprimer les trois nombres c, y et z, lesquelles, à leur tour, donneront une infinité de solutions. Cependant, il s'en faut de beaucoup que toutes ces formules contiennent toutes les solutions possibles. Méthodes faciles pour trouver des solutions plus générales. Premiére méthode. 8. Si nous supposons $ — ax-- yy 3— zz, nos équations (1) deviendront $— 2xxz — pp, ou s-—pp--2zc, $—2yy — qq, ou s—qqJA-2yy, $— 2:2 —rr, ou s-—rr--2zz, d'ou l'on voit que s doit étre, de trois maniéres différentes, la somme d'un carré et d'un double carré. * 108 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 9. QConsidérons donc plus soigneusement les nombres contenus dans cette forme aa -- 2bb. Je remarque premiérement que, lorsqu'un tel nombre. est premier, il ne peut avoir cette forme que d'une seule maniére; car s'il était résoluble.de deux maniéres, de sorte que s — aa -- 26b et aussi aac o 9 (d —b (d— b) Or dub y-—pr puisque ces deux fractions sont égales, supposons qu'aprés avoir été réduites aux plus: petits termes, $— cc 9dd, il s'en suivrait que aa — cc — 2dd — 2bb. et. par. conséquent ellés soient v De 1là nous aurons t uA, ou 4 -- co mf, d 5 — nf; yareillement DI - et d—b — mg, a—c-— ng, et par conséquent 2a — mf'-i- 92ng, 9b — nf — mg. Mais puisque !is— ^aa -1- 80b, en substituant, au lieu de 2a et 2b, leurs valeurs, nous aurons - ks — ff (mm -- 2nn) -À- 29g (mm -- 9nn) , ou bien ^s — (ff-i- 299) (mm-1-2nn), ce qui ne peut avoir lieu, $ étant un nombre premier. 507] ffQ 10; Il suit de là que $ ne saurait étre un nombre premier, et il est démontré qu'un nombre de.la forme aa -i- 2bb ne peut étre divisible que par des nombres de la méme forme, lorsque a et b sont premiers entre eux. inel s est le produit de deux ou de plusieurs nombres premiers. de pas pour produire une triple résolution; donc s doit avoir au moins trois facteurs premiers. de. la forme aa 4- 2bb. | 11. Observons ici que tout nombre impair de la forme aa-4- 2bb est toujours de la forme 8n-— 1 ou 8n-- 3, et que lorsque le nombre est pair et de la forme aa 3- 2bb, il est le double de l'une ou de lautre de ces deux formules. La forme aai 2bb se rapporte au premier cas, lorsque a est impair, et au second, quand « est pair. Ainsi, tout autre nombre impair ou P de la forme 8n-—-$ ou 8n--7 est entierement exclu du nombre des diviseurs de la forme aa -1- 2bb. Donc tous les nombres qui sont divisibles par quelques-uns de ceux-ci: 5, 7, 13, 15, 21, 23, 29, 31, 37, 39, ^5, V7, 53, 55, etc. ne peuvent pas étre compris dans la forme a4 -- 9bb, oü nous supposons a et b premiers entre eux. 19. Il est trés remarquable que tous les nombres premiers, tant de ]a forme 8n ad v 8n 4- 3, sont toujours réductibles à un carré plus le double d'un carré, mais d'une seule mániére: en voici des exemples 8n 24- 1 8n -- 3 17 —3?--2.9? — 1?-3-29.1*? h1—3?--2.? 11 — 3?--9.1? 73—1?--2.6?* 19— 1?-- 2.3* 89 —9?-.- 2.2? k3—:524-9.3* 97 —5?--2.6* 592 3'-2-2.5* 113 — 9? 4- 2.4? 672— 74-2.3! 137 —3*? -4- 2.8* 83— 9?-- 2.1* 107 —.3?-- 2. 7* 131— 9?4-9.5 139 — 11*-4- 2.3* iov nol eb MI CUUUESS T— "TW B PDT —-É——ÓO c -" " - MV Ne NOR EPOR TERTTUAIE PIU, UA Dem ORE E Ne RR DODRTMMEACUTAPTTEE ZO nS ÁN Problema .Diophanteum. 109 -13... Dans toutes ces décompositions on mne saurait découvrir le moindre ordre, et pourtant il n'y a pas de doute que cela n'ait lieu pour tous les nombres de la forme 8n -- 1 ou 8n 3-3, et c'est ce qu'on peut méme démontrer rigoureusement. Pour. cet effet, il ne s'agit que de prouver qu'étant proposé un nombre quelconque, premier,. de. la. forme 8n-- f ou 8n- 3, on peut toujours assigner un produit de la forme aa--2bb5 qui; admette .l'un ou l'autre pour facteur. Cette démonstration se tire d'un trés beau théoréme de Fermat, savoir: que la forme c?" — 1 est tou- jours divisible par le nombre 2m-:-1, lorsque celui-ci est premier et ne divise pas c. Par conséquent, si le nombre 8n -- f est premier, il sera toujours un facteur de la formule c*^— 1, quel que soit c, pourvu quil ne soit pas un multiple de 8n-:- 1. Mais comme la quantité c^ — 1 a deux facteurs qui sont (c*"2—-1), (cf^— 1), il faut donc que l'un ou l'autre soit divisible par 8n--1. Par conséquent, si nous prenons pour c un nombre qui ne rende pas c*'"— 1 multiple : de 8n-- 1, le nombre c*"-i- 1 sera nécessairement divisible par 8n -- 1. Mais la formule c*^-- 1 peut étre écrite ainsi. (c?"— 1)*24-2c?^; donc le nombre 8n--1 est diviseur de la forme aa-i- 20b. 1*. Quant à l'autre formule 8n-:- 3, chaque nombre premier de la forme 8n-4-3 est um diviseur de c*^***— 1 et par conséquent de c*^*'-—(, ou de c*^*!— 1. | Soit c—2, la formule c*^--1— 4 revient:à la suivante 2; 95^—.1, qui me peut jamais étre divisible par.8n--3, parce que tous les diviseurs de la forme 2/ff— 1 sont ou 8n 2-1, ou 8n — 1, et jamais 8n3- 3.. Donc 2'^7-:.,. 1 ou 2.2'^-,- 1 qui est de. la forme aa -- 26b,. sera nécessairement divisible par 8n -- 3. Aprés cette digression. qui ;paraít m'étre pas inutile," revenons-à notre probléme. Nous avons vu que la somme $ doit avoir.au moins trois facteurs, ainsi. posons-la égale à (aa -4- 25b) (ce 2dd) (ff -— 299) et, pour abréger le calcul, soit (aa -1- 255) (ec 4-9dd) — mm -i- 2nn, alors nous aurons 19y Uf | m — aé -- 26d, n — bc 4 ad. | De là notre somme $ sera exprimée ainsi: s — (mm - 2n) (f 4- 29g), que nous — - à zz-:-2ee, et nous aurons pareillement z — mf'3- 2ng et e — nf 4- mg. 15. Substituons maintenant, au lieu de m et n, les valeurs trouvées, et nous aurons quatre valeurs différentes pour z et e', savoir pour z: | 1) /f(ac-- 25d) 4- 29 (bc — ad), 2) f (ac-- 25d) — 29 (bc — ad), 3) f(ac — 95d) 4- 2g (bc 2- ad), - &). f (ac — 2bd) — 9g (bc - ad), et. pour v: 1) f(be— ad) — g (ac 3- 26d), 2) f(bc— ad) -- g (ac A- 26d), 3) f(bc-r ad) — 9 (ac — 25d), M) f(bc-3 ad) 2- g (ac — 264). 46. ' Voilà don tan valeurs différentes, de z et v. Mais comme il n'en faut que trois, à cause des trois conditions $— pp-12zc, s-—qq--2yy et s— rr--2zz, que nous avons à 110 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. remplir, nous ne prendroms que les trois premieres valeurs dé z et e; nous trouverons ainsi | "f(ac a- 20d) 4-99 (bc — ad) — p, f (ac 4- 20d) — 29 (bc — ad) — q, f (ac — 26d) -i— 29 (bc -i—. ad) — r, f(bc — ad)— g(ac-- 2bd) —«, f(bc — ad)-- g (ac A- 96d) — y, f (bc -- ad) — 93 (ac — 25d) — z. 17. Cherchons à présent, par le moyen des valeurs v, y, z, la somme de leurs carrés qui aura cette forme Zff 4- Bgg 4- 2Cfg, oà | | A4 — 3bbcc — 2abcd -— 3aadd , B. — 3aacc A- habcd -— 19bbdd, C — — (bc -1- ad) (ac — bd). La différence entre cette expression de la somme s et sa valeur précédente $ — (aa -- 2bb) (ec 4- 2dd) (ff 4- 299) — [f (aacc -- 9bbcc -- 2aadd —- hbbdd) -- 2gg (aacc - 2bbec -4- 2aadd —— bbdd) nous conduit à l'équation Fff 4- Ggg -- 9Cfq — 0, . oà F — bbcc — 2abcd -- aadd — aacc — ^bbdd , - G — aacc 3 habcd -— &bbdd — hbbcc — f^aadd, z— — (be -- ad) (ac — 2bd). | Nous voilà done parvenus à la solution de notre probléme; car il ne s'agit plus, dans l'équation Fff -- Ggg 4- 2Cfg — 0; qui renferme les six lettres a, 5, c, d, f. 9, que de trouver des valeurs convenables pour les six lettres, afin. de satisfaire à notre égalité, et de là nous trouverons c, y, z, comme aussi p, q; r. 18... Etant. donc arrivé à l'égalité Fff-- Ggg -- 2Cfg — 0, qui donne f — —C-XY(cC— F6) ROSE NOUS il faudrait chercher de telles valeurs pour a, 5, c, d, f, g, que CC — FG devienne un carré. Mais cela nous conduirait à de trés grandes difficultés, que nous voudrions éviter. Heureusement nous sommes tombés sur un cas, oü l'équation Fff-- Ggg 3- 9Cfg — 0. se réduit facilement au premier degré, savoir quand F est égal à 0; alors on a Ggg 4- 2Cfg — 0, ou bien LIA "C Tu" G . Ü. «e Ainsi, en réduisant — — aux plus petits termes, si l'on prend le numérateur pour f et le déno- minateur pour g, toutes les formules trouvées ci-dessus seront exprimées en nombres rationels. C'est en quoi consiste le mérite de cette méthode. 19. Remarquons maintenant que la valeur bb6cc — 2abcd -- aadd — aacc — hbbdd, trouvée pour F, peut étre exprimée comme produit de deux facteurs de la maniére suivante: F — $(b- a) c a- (a 4- 20) di $(b — a) e 4- (a — 20) di. eob 9eHJ99 4 solution. Problema .Diophanteum: 111 Ainsi on pourra égaler à zéro ou l'un ou l'autre de ces deux facteurs, pour que F devienne zéro. : " c —a-— 9b 9b —a Du premier on tire 7 — 45 ——» $—2 nation pour les lettres c et d, par conséquent aussi une double solution du probléme. du second l- * I] y aura donc une double détermi- 20. De la méme maniére nous pourrions faire évanouir la valeur de G, et puisqu'elle est égale à aacc -- &abed -- &bbdd — ^bbcc — &aadd, ce qui est le produit de ces deux facteurs (a 4- 26) c — (2b -- 24) d, (a — 256) c — (2b — 2a) d, nous aurons, pour la détermination de c et d, l'équation T mE rg ou I — a ne conduiraient pas à des solutions nouvelles; ainsi il suffira de nous en tenir aux valeurs tirées de F— 0. . Mais ces valeurs 21. "Voilà donc une solution assez simple du probléme proposé, et qui fournira en méme temps une infinité de solutions particuliéres. - Pour cela, il n'y aura qu'à suivre les régles suivantes: 1) Aprés avoir pris à volonté les deux nombres a et b, cherchons les valeurs de c et d par lune ou lautre de ces deux formules 5. — res A ou Lem uris d b-r-a d b—a ; puisque chacune conduira à une 2) .Cherchons ensuite les valeurs de C et G d'apres les formules ! 5 — (be 4- ad) (ac — bd), G — (aa — hbb) cc -- (&bb — ^aa) dd -- &abcd , el nous aurons ; f. (0a— Abb) cc-i-A (0b — aa) dd-i-Aabcà g 2 (bc-1- ad) (ac — 2bd) c'est-à-dire, aprés avoir réduit cette fraction à ses plus petits termes, il faudra prendre f égal au numérateur, et g au dénominateur. 3) Ayant ainsi trouvé les valeurs de f'et g, on aura immédiatement celles de c, y, z par les formules q — f (bc — ad) — g (ac -- 26d), y — f (bc — ad) 4- g (ac 4- 9bd), z — f (be -&- ad) — g (ac — 26d), qui sont les racines des trois nombres cherchés. | |. À) Enfin les lettres p 94$.r se trouveront aussi d'aprés ces formules p — f' (ac 4- 26d) -- 2g (bc — ad), q — f'(ac 4- 25d) — 2g (bc — ad), | r — f' (ac — 26d) -- 2g (bc -1- ad). Eclaircissons ces régles par quelques exemples... Exemple 1. Soit a — 1 et b — 1, alors T sera égale, dans le premier cas, à — - et dans 1 1 n E ; . "Rr 51. le second à 4» ce qui ne conduit à rien. Ainsi supposons c — 3 et d.— —8; Lt sera — — 11? soit f— 51 et g — — 1^. Alors 112 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. qi 51(3--2)--15(3— 4) — 24M, (spe —51:22:98.5 5 191, y 251 (3 4-2) — 1 (3.— 5) — 269, q——51-2-28.5—. .89, z— 51(3 — 2) -- 1^ (3 4- ^) — 159, r-— 91.4728 —.,. 329, enfin $ — 3.17.2993 ou — 3.17.51.73. Exemple 2. Soit a— 1 et 5b —2, alors flo ou ES développons done lum et | lautre cas. Cds 1. Soit c— 3 et d — 1, on aura Last et, par conséquent, [-— 99 et 9 — 1h; de là nous aurons | dies " 2299.5 — 184.7 — 397, p — 99.7 4- 28.5 — 833, 02 9b i505 99.5 -- 15,7, — 993, 6s, 2— 99.1 — 28.5 2:553, H z2—99.45-2-4'*h. ——3407,. 5| (55 n2 — 994-28.2—:591; « lana ef | | ' $2 9.11.10193,. ixl Cas: 9. Soit c —— 9 et.d ——3, on aura fs et, par conséquent, f—381, y-—mesd de là g «€ — 387.13 — 238. 7 — 3365, p — 387.— 1 — 2.238.13 — — 8897, o8 3 y — 387.13 4- 238..7.— 6697, 054—387. — 7 2- 2,238.13 — 3919, z—387. 12-238.17— 6755, 556 ne381, 41—2.9298. 7— 3247, s — 9.48.263057. Exemple 3. Soit a —3 et b — 1, on aura f-—1 ou -— Il faut remarquer ici que le dernier cas est déjà traité dans l'exemple précédent, puisque «, 5, c, d sont permutables. C'est pourquoi nous ne développerons que le. premier cas, oà €—95 et. d — —^;. I- d : d'ou. f— 621, g — 322 et, par conséquent, 4 t Jizró end $—697.:47— 322. 7 (088905, 5 | pe 627. 7-2 69V. 17-—s. 145337; y 22627. 11-34-9292. 7 — — 12913, —627. 7— 6844.17 — — 6559, - z—627.— 7.—392.93—-—11795, ^ ^ r-2697.93— 044. 7— — 9913, $ — 11.57.6005497. 22. Ces exemples suffisent pour montrer comment, par ces régles, on peut facilement, trouye autant de solutions qu'on voudra. Nous nous contenterons ici d'exposer les. résultats - plus simples, et pour lesquels les norbres &, y,z ne n pas mille. '' t I 8n IH IV M g — 92M gor) V^ —- MS 595 493 y — 269 593 3713 '' T69 191 z — 149 707 205- oaiplonp 19999 950 enc ano p — 191. 833 93 1081 1f. 0 2 yd Sog ypooqueé d^ am pop ru t EN p.s 235 97 527 119 ^^. 989 Io — dioe Problema Diophanteum. 113 Seconde methode. 23. La solution de notre probléme a été réduite à cette équation carrée Fff -À- Ggg -- 2Cfg — 0, oà C — — (be -— ad) (ac — 25d), F — (bb — aa) ec -- (aa — &bb) dd — 2abcd , G — (aa — bb) ce -— (hbb — ^aa) dd -- habcd, f. 10 —C2EY (CC — FG) et enfin à la formule ; ; » dans laquelle CC — FG doit étre un carré. Suppo- sons donc CC — FG — VF, de sorte que T rm T 7. Substituant dans l'expression CC — FG les valeurs de C, F et G, nous aurons VV — (aa — 2bb)* c* 4- 8 (aa — bb) abc? d — & (aa — 25b)* cedd — 16 (aa — 2bb) abcd* -i- (aa — 2bb)* d*, expression qui, étant divisée par (aa — 2bb)' et abrégée par la substitution de m au lieu de — deviendra assez simple, savoir: - s € P^ ca 8mc! d — 'cedd — 16mced* -— &d*. 2^. Maintenant, comme cette formule doit étre un carré, supposons sa racine égale à s 3 ee — hncd 4- 2dd, et de là, en les comparant, on trouvera l'égalité suivante: 2mc—d—92mmd —0 et, par conséquent, i-e. Ainsi, soit c — 2mm -- 1 et d — 2m, notre formule deviendra -— (2mm -4- 1)* — 8mm (2mm -- 1) -À- 8mm — mm 4- 1 — 12m*. .25. A présent il me s'agira plus que de prendre pour a et b des nombres à volonté, et l'on aurà m — si lon substitue les valeurs déjà trouvées dans celles de C, F, P, on aura L- —E-r On voit par là que les lettres f et 9g peuvent étre déterminées de deux maniéres dans chaque cas. Or, ayant trouvé ces lettres, on pourra déterminer aisément tant les valeurs de 2, y, z, que celles de p, q, r. Le cas le plus simple se prévoit, et se rapporte à la supposition de «— 1 et b — 1; alors m——1, c—3, d— —92 et F— 0; mais ce cas est précisément celui de la premiére méthode. Voici d'autres exemples: ' Exemple 1. Soit a —2 et b — 1, alors m— 1, c—3, d —2, f—28, g —51 et enfin pz o 89, p- 383, y — — 538, ds 118, | z— 998, r— — 658. Exemple 2. Soit a —3 et & — 2, alors m — 6, c— 13, d — 12, f. — — 7, g — 17 et enfin c —35309, p — 1811, *à y — 3169, q— 5609, z — M81, r — 991. L. Eulezi Op. posthuma. T. I. 15 TT. L. EULERI OPERA POSTHUMA. pem 'Troisiéme méthode. 96. Ayant posé, comme dans la. premiere méthode, la somme. des rois carrés cherchés $ — (aa 4- 20b) (cc 4- 2dd) (f 299). je supposerai le premier facteur aa -1- 20b résoluble de deux maniéres différentes en un carré plus le double d'un, carré,. savoir «« -- 25/9 — aa 3- 2bb. Prenons la premiére forme ua -4- 25b pour la détermination des lettres 2, y, p, qd, comme nous l'avons déjà fait (16), et la-derniére «c 2- 22/2. pour la. détermination de z et r, en sorte que gc — f (bc. — ad) — g (ac - 2bd), p — ff (ac 4 2bd) 2- 29 (bc — ad), y — f (bc — ad) 4- g (ac a- 20d), q — f (ac 4- 26d) — 2 (bc — ad), : z — f'(8c -i- ed) — 9 («c —2,24), r — f («e — 23d) 4- 2g (de 3- ad). Tirant de là la somme des trois carrés ax -- yy -4- zz — $, nous aurons cette formule s — Aff 4- Bgg — 2Cfg, oü "s — 9bbcc — habed -- 2aadd (3/8cc -33- 2acd -- audd, B — 2aacc 24- 8abcd -- 8bbdd -— «ace — ya Sed A Vien ; i k C — (ac — 26d) (8c 4- ad). ais Soit de plus —— (aa 4- 9bb) (cc -- 9dd) — jaa db bo-i Quad Vbbdd; nous aurons pen -- 2bb) (cc -1- 2dd) (ff -À- 299) — Dff - 2Dgg. '€ Retranchant cette valeur de s de la./formule. 4ff-- Bgg — 2Cfg, nous obtiendrons l'équation x , Fff 4-699 —2€f9 — 0, 0à. F—4—D, G—B—2D,.. H ah et par conséquent "m (8,8 — aa).ec a- (a — hbb) dd — habcd -1- 2o8cd, €— Ru — (c — hbb) cc -- 8abcd — ho ged 2k uel "i dd, ue valeurs qui peuvent étre représentées ainsi qu'il suit: ; F — (( 3 a) € 4- (e 4-26) d) ((8.—:4) c - (4 — 90) d); | À WE G — ((« 4- 2b)e — 2 (8.——a) d) ((«—20)c—2(8 — a) d). nu — 27. JD'aprés ces équations il est. évidént qu'on rendra F — 0; en posant ML NR. »ipsio egeb ses - Mgeaei ocu 0 un MAE. TET Alors notre équation deviendra Ggg—2Cfg —0, d'oü L—a Cette formule est assez compliquée à cause de la valeur de G, mais nous la rendrons plus simple, en remarquant que F étant égal. à zéro, la quantité G peut étre remplacée par 2F-1- G, et cette quantité, d'aprés les équations pré- cédentes, est égale à (2 (88 — aa) 4- «a — &bb) (ec -i- 9dd) — — (aa. -- 96b) (cc -- 2dd); : d su n TURN ge AN 3 par conséquent d emt a ac — 983) (P5 nd" d'ou il suit — (aa -- 9bb) (ce Ju 2dd); g — — 2 (oc — 23d) (8c -&- ad). kguox 98. Si l'on voulait substituer ces valeurs de c, d, f, 9 dans les formules finales de 2, y, z et p, q, r, elles deviendraient assez compliquées. Mais on peut en tirer une regle trés simple pour trouver les nombres z, y, z et p, q, r | —MÓ—ÉTr—m— " - icu diam ier NTC Problema Diophanteum. ! 115 Régle pour trouver autant de solutions qu'on voudra de notre probléme. 29. Ayant pris à volonté deux nombres p et n, dont m doit étre impair, qu'on en tire ces trois: quantités $ — mm -- 2nn,. ( — mm — 2nn et u — 2mn; cela posé, les valeurs des six lettres €, y,z, p,q et r seront q — s (s -- u) (3s 2i ^u) — tt (s 4 2u); 6o pm st (3s -- fu) a St (s 2 u) (s 4— 2u), y — s (s A- u) (3s 2i ^u) a- 2tt (s 4- 2u); (oq st (3s hu) — ht (s a u) (s 4- 2u), z — st (3s -i— hu) 4- 2t (s 4- 2u)* eoo mm $(8-- 2u) (3s 4- hu) — t (s a- 2u). 30. En considérant ces six formules, on voit de suite qu'elles ne donnent point de solutions différentes de notre probléme, soit. qu'on prenne t positif ou négatif; puisque le changement de t en —( ne fait que changer les signes de z, p'et q. Mais si l'on prend u négatif, ces formules subiront un grand changement. D'oü l'on voit que chaque paire des nombres m et m donnera deux solutions. différentes, selon qu'on prendra m et m positivement ou négàtivement. En voici des applications. Is :nodi Exemple: 4.. Soit (m — 1. etn 2-1; alors $— 3, t— 1, u— 3-2. Soit. premiérement u — — 2, nous aurons $-i- u — 1, $-- 2u — — 1, 3s-1- hu — 1 et, par conséquent, g —3.1.1--2—5, p— 3—^à-——1, y—o3 2-4, q— 3--^4—1, É—s623 sg-2-5 pLm——33---h^-—1. Mais ici deux des nombres cherchés sont égaux, c'est pourquoi cette solution ne saurait étre admise. Si l'on prend u — 2, alors $-- u — 5, s$-1- 2u — 7, 3s -i- hu — 17 et, par conséquent, 2 —3.5.17 — 9.7 — 9M, jT ak. qe 191, y —3.5.17 4- 2.7 — 269, 0 g— 3.17 —5.5.27— — 89, z— 3.17 --2.549 — 149, pj223.7.14— 17 — 29. Exemple 2. Soit, dans cet exemple, m — 1, n — 2; alors s — 9, t — — 7, u— --*. Prenons premiérement u — — ^; on aura $-- u — 5, $4- 2u — 1, 3s-i- hu — 11. et. enfin g3"9.9.1 1] 39 — "9T. p——97511—5.7.5.1 — — 833, yz 9.5.10-- 98 — — 593, q— —9.1.112- 5.7.5.1 — — 553, "ic5——7.9.14—2.7 — — 107, | pz 9.1.14 —h.7.7.1 — — 97. Soit, pour le second cas, u — ', alors s-i-u — 12, s-i-2u — 17, 3s-i- hu — &3 et, par conséquent, "xg 9.129,52 —.98.17,—.... 3265, pz—1.9.853—5.7.13.17 — — 8897, y- 9.13.432- 98.17 — . 6697, Qoo 1,9. 3-5. 1.43.17.—.... 3419, ,, z ———'1.9.413 — 2.1.17?— — 6155, ro. 9 4£7.43— 5.75.17 — — 3297. Démonstration de la régle. précédente. 2n :91.. Posons aa -- 25b — «a -4- 2/98 — s, a«—2b(9 — t et ad-1- ba — u; on aura ss — tta-2uu. Prenons les valeurs trouvées ci-dessus (27) de c et d, savoir c — «— 26, d.— 8 -- a. Pour ; * 116 J p. EULERI OPERA POSTHUMA. Ariimegea. ce qui concerne les deux autres, elles dérivent de celles-ci en prenant a et b négatives. On aura ec a- 2dd — 3s -- &u,. ac -- 2bd — — t; «c — 26d — — (s--2u), . be — ad — — (s-Y- u), et Bc -1- ad — t, et enfin, d'aprés (27), f — s (3s 4- &u) et. g — 2t (s 4- 2u). 39. Substituons maintenant ces valeurs dans les formules rapportées ci-dessus (26); nous trou- verons les expressions suivantes: q: — $ (s -- u) (3s a- i) — 2tt (s 4-2u), y — s (s a- u) (3s 4- fu) a- 2tt (s -4- 2u), z — st (3s -i- fu) 4— 2t (s a- 2u)*, p — st (3s -— fu) A- M (s A u) (s 4 2u), q — st (3s A- ui) — WM (s 2 u) (s 4- 2u), r — $ (3s -- hu) (s 4- 2u) — Mt (s — 2u), qui ont été rapportées dans la régle. 33. Enfin, puisque les trois lettres s, t, u ne sont assujetties qu'à vérifier l'équation ss—tt--2u, on n'a qu'à trouver les nombres s, £, u qui remplissent cette condition; alors les formules précédentes donneront immédiatement les valeurs des nombres cherchés. Quant à celles de s, t, u, qui remplissent la condition ss — tt —- Quu,. voici les plus simples: s 94—97?47T. 1294 217. 329—938! ':4— ? 49 4 1 7 1 17 23 17 31 23 1 aes 2o Hed! 436—610 do-98 09-7 30. Quatriéme methode. 34. Nous avons vu, au commencement, du Mémoire, que les équations yy zz — oa —pp, zz -- qp — yy — qq seront satisfaites, si l'on prend : | z—aa4-- bb, yy— ax — hab (aa — bb), p —2aa-2ab — bb, q— aa — 9ab — Ub; d'ou il est facile de remarquer que ces équations seront, vérifiées , Si nous supposons ( zc-mn(aa-- bb), yy — ax — unmnn (aa — bb) | et p— mn (aa -- 2aàb — bb), q — mn (aa — 2ab — bb). Il ne restera donc qu'à remplir la troisieme condition de notre probléme, savoir: ga--yy—zi -—r. 35. Maintenant, pour que les trois nombres c, y, z n'aient point de facteur commun, prenons y 2i— à — 2mma (a 4- b) et y — « — 2nnb (a — b); ; pour abréger l'expression, soit aa -4- ab — 4 et ab — bb — B, de sorte que y 4-c — 2mm4 et y —«—2nnB; par conséquent, puisque 4 — B—aa--bb, nous trouverons z — mn (4 — B). La somme des carrés de y -i- 2 et y — a nous donne 2yy 4- 9a — hin* 44 - Ant BB; donc yy--z«— 2m*'44--9n' BD; retranchant de là la valeur de zz, on trouve cette expression pour rr rr — 2m* 44 -- 9n* BB — mmnn (4 — Dy. 36. Pour rendre cette formule plus traitable, supposons m — f-- g, n —f—9i- de^ on obtiendra rr — of'* - 8f*g-- yffgg -&- 9f g* -- &g*, oü ) ari Problema Diophanteum. 117 a — 244 -4- 2BB — (4 — By — (A -— By, 8 —844 —8BB, — 12 (44-- BB) 4- 2 (4 — By. En substituant ces valeurs de «, 9, » dans l'équation précédente, nous aurons , rr — (4 2 BY f'a- 8(44 — BB) f" g - [12 (44 A- BB) 2- 2 (4 — B)*] fgg -2- 8(44 — BB) fg?2- (4 -- By g*. 37. Pour ramener à présent cette formule à un carré, supposons que sa racine soit r — (4 - B) [f 4- & (4 — B) fg — (A4 ^- B) gg, d'oü il suit | rr — (A a- B f*2-8(44 — BB) fg —2 (4 -- D)' [fgg -- 16 (4 — By ffgg — 8 (44 — BB) fg*- (4 4- Dy g*. Retranchant de cette expression la précédente nous obtiendrons 0 — 32ABf[fg -—- 16 (44 — BB) fg*, his uw ol f | AA— BB d'ou l'on tire | 17 —5 : et, par conséquent, f—44-—BB, g — —24ADB. C'est ainsi qu'on trouvera les nombres f et g d'aprés les valeurs de 4 et B qui sont déterminées par les équations 4 — aa -- ab, B — ab — bb. Puis, on prendra m — f'-À- 9, n — f — g, et l'on aura les valeurs de «, y, 2, p, q, qui, d'aprés les équations précédentes, sont vc — mm4 —nnB, y — mmA -- nnB, .z — mn (A — B), p — mn (aa -4- 2ab — bb), q — mn (aa — 2ab — bb). Quant à r, nous avons eu : | | r — (4 -- B) ff -- & (4 — B) fg — (4 a- B) gg, et cette équation, à cause de m — f'-À- g, n — f — 9, devient r — mn (4 -- B) -i- (mm — nn) (A — D). Donc, il est aisé de développer les valeurs de c, y, z et p, q, r pour chaque valeur des lettres a et b. 38. "Voici la maniére de s'y prendre pour trouver autant de solutions qu'on voudra. Aprés avoir pris à volonté a et b, on formera 4 — aa -- ab, B — ab — bb, puis f — 44 — BB et g— —24B, de là m—f--9g, n—f—g. Ainsi, ayant déterminé ces valeurs, les nombres cherchés seront donnés par les formules suivantes: c — mm4 — nnB, p — mn (aa -- 2ab — bb), y — mm - nnB, q — mn (aa — 2ab — bb), z— mn (4-— B), r — mn (4 -- B) 4- (mm — nn) (4 — B). Rapportons ici quelques exemples. Exemple 1. Soit a—1, 6 —2; nous aurons 4 —3, B — —2; delà f—5, 9g — 12, m-—417,n— — 7, enfin les nombres cherchés seront: 118 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Arithmetica. gp —17.11.3-2—- 17.7.9 22965; p —47.7.1 — — 119; y —17.17.3— 17.7.2 — 169, q——411.7.—71-— 833, L£——17.7.5—— 595, Pm——1.117.12-250.5 — 1081. Cette solution se trouve déjà rapportée plus haut (22). Exemple 2. | Soit 4 b — 1; nous aurons 4 — 6, b— f. [f—35, g — — 12, enfin m-—23, n— M1, et par conséquent, 2—93.93.6 — V1.91.4 —— 965. p—23.&7.7 — 7567, —93.93.6 2- 47.7.1 — 5383, 8 Mone o 108L, | . — 93.A7.5 — 55905, r — 23.47.12 — 1680.5 — — 833. a4 39. I| faut observer qu'il serait superflu. de prendre les nombres a et b tous deux impairs, puisqu'alors les nomhres 4 et B seraient pairs, et par conséquent réductibles à de moindres nombres, Exemple 3. Soit a — 2, 6 — 3; nous aurons 4 — 10, B — —3, f—91, 9 — 60, m—151, n — 31; d'oü résulte | q — 151.151.10 2- 31.31.3 — 230893, p — 151.31.7 — 32767, Ww y — 151.151.10 — 31.31.23 — 225127, q— 151.31.— 17 — — 79517, 2.—2 151.31.13 — 60853, ; r—151.31.72-21840.13 — 316687. .— Observons ici que toutes les solutions trouvées par cette méthode, différent essentiellement de: toutes celles qu'on tire des méthodes précédentes. | / eol ue — ie 3 PERRA Problema: Diophanteum. ( 119 VI. Recherches sur le probléme de quatre nombres positifs et en proportion arithmétique tels, que la somme de deux quel- . comques soit toujours un nombre carré. (Exhib. 1781 April. 23.) 1. Soient 4, B, C, D les quàtre nombres cherchés, disposés selon l'ordre de grandeur, en sorte que 4 soit le plus petit et-.D le plus grand. Les six conditions à remplir seront: . Ac Bxpp, d € — 44; A4-- D-—rreB--C, B--D-—ss, C-2- D—tt, ! de là 2rr — pp -- t£ — qq -4- 5$, et enfin, les: quatre nombres : cherchés. seront exprimés par les quantités pp, qq, rr de la maniére suivante: 3 odia ] 24 -——pp--q4q—rr, | 2B— pp--rr — qq, : 2€ — qq rr —pp, | : 2D — 3rr — pp — qq. | Le nombre 4 étant positif, i] faut que pp -— qq 7» rri quant.aux. nombres P, C, D, ils seront de méme, positifs d'aprés la condition 2rr — pp -4- tt — qq 3- $$, si l'on prend p t, q «s, ce qui doit avoir lieu d'aprés les expressions précédentes de pp, qq, tt, 85, oü, par iypemite, | | A-CB-—C-D. 2, De plus, on voit que r doit étre égale à la somme de deux carrés; ainsi soit r — zac-—- yy, nous aurons rr — (zx — yy)* 4- (2zy)?, et par. conséquent 2rr — (2 (zx — yy) — 2ay)* 4- (2c (ax — yy) 4- 2ay)*. De là il est facile de prévoir que l'égalité 9rr — pp --it, ainsi que la condition p«Ct sera remplie, si l'on prend p (xx —yy) —2ay, (— -€ (xx — yy) 2- 2xy, oü nous admettrons celui des deux signes --- qui rend cz — yy positif. De méme, pour les. nombres q; s, vérifiant. les. conditions . : : 2rr — qq -- 55, q«s, nous trouvons ces expressions ods b. 190p B lu q—-*(ax—yy)-—9xy, s--(aw-—y'y)--22zy' en admettant pour r cette autre décomposition en deux carrés c a' -- y y. ^U | Ayant: p 2 zt (zx — yy) — 2zy, r — zz -— yy , nous en tirons pp — (ea — yy)" zc ay (zx—pyy) -- axyy — (za yy)* 2 ay (zo—yy) — rr 2e Way (zo— yy): De — les équations q—- (x2 —)'y") —92a'y', r—a'a -- y' ' nous donnent qq —rrAhxy (z' a! — y y^). 120 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Doo Daprés ces valeurs de pp, qq, la condition pp -4- qq 7 rr devient rr ey (xz — yy) hw y (cx —yy), oü des deux doubles signes -* nous admettons ceux qui rendent cz — yy, &'& —y'y positifs. 3. Puisque r doit étre la somme de deux carrés de deux maniéres différentes, il doit étre le produit. de deux facteurs de cette méme forme. Posons donc r — (aa--b5) (cc-1-dd), oà nous supposerons 47b, cz» d. Pour diminuer le nombre des lettres, soit T-— f, x" f et z étant des quantités qui surpassent 1: on aura r — bbdd (ff -- 1) (zz -À- 1), oü nous pouvons supprimer le facteur carré bbdd qui sera commun à tous les termes de l'inégalité que nous aurons à considérer. Ainsi nous aurons r — (ff 4- 1) (zz 2 1), | d'oü, pour les valeurs de z, y, z', y', vérifiant les conditions Upcmm-eyy,; r-couwuyy, nous tirons Ug fai, g-—fr—i1,; o y-i—f, yf, Qu et de là ay (ax — yy) — (fz - 1) (x — f) ((f-— 1) z —f4- 1) ((f — 1) z-- f 1) — M, a! y! (ga! y^^) 5 (fa — 1) (e fF) (P 1) 2 f— 10) (f—1)2— Bars unes U- ce qui change la condition | rr ly (e» — yy) i^y (za — y'y*) dans la suivante: rrc—.kMÓEAN, ici, comme plus haut, on gardera ceux des deux doubles signes -*- qui rendent -t- M et t N: dac ^. Pour que ces formules soient plus commodes, soit € —.e étant, ainsi ^ f E. quantité plus grande que l'unité, Introduisant cette quantité dans les valeurs de Tam E q— a tirées des équations. précédentes, nous. aurons — (fs 4- 1) (s — f) (eg — 12) (s ) — P (f— C$ gem 1) f) 106—909. | de I 9 de sorte que la condition à remplir sera | de | ' gag E ORP 3 9), | (1018351 eto fo oü il faudra toujours prendre les signes de maniére à rendre — P, -*- Q positifs. 5. En considérant ces formules, on doit remarquer d'abord que les deux lettres. f. et. sont permutables entre elles, puisqu'en les remplacant l'une par l'autre, la valeur P se change en Q, et f--1 --1 [—1 ; —1 détermine par l'autre de la méme facon; puis, ces deux lettres se déterminent réciproquement. l'une réciproquement. En effet, ayant 9 —-—.» on aura aussi f -— : de maniére que l'une se par l'autre par cette égalité fo — o — f'— 1, ou bien (f— 1) (o — 1) — 2. 9x) 22D Observons ici que, dans le cas oü f'— 0, on a f— 1-9 — 1 — Y2, et par conséquent f—09--1--Y2; dans tous les autres cas, l'une sera plus petite et l'autre surpassera ce nombre. Próblénd /DiópRastéuih.| 3:1 | 121 - Ainsi supposant Q 7» f, nous aurons f 1-— V2, 97» 1 2. Quant au éas f 1, la valeur de o devient infiniment grande. 6. Ayant posé r — (ff - 1) (zz 4- 1), on aura rr — (ff 4- 0* Gz a- 1* et delà to. 0 (fF--1) (z-1)* Ue (f—4)* Or comme RS 2 -— on obtiendra . done to (fFa-1)* Gx- 1)? za en D 2 (f—1» T: P )? (f—1) (o — "oes -- 0), ce qui donne — CE * z (f 4- 1) (og A- 1) (zz 2 ty, la valeur du opum (f— 1) (p— 1) étant égale à 2, comme nous 'stons vu... Substituant cette expression de pt» dans l'inégalité précédente, nous trouverons que la condition à remplir sera la- suivante | (If 2 1) (oo — 1) (zz -— 4)? 8 (2 P -— 9). 7. Développant les valeurs des lettres P et Q, nous aurons P — fos*-e (fo -i— 1) (o— f) z!— (ffoo - 1 —(— f f?) s (fo-i-1) (ef) e fü Q — fez'— (fo 3-1) (e — f£) z— (foo a 1 —(o — £)) zz 4- (fo 2 1) (e — f£) z 5 fe, oü le coefficient de. zz peut se réduire à une forme trés simple; en effet, puisque - 1 (e—f y — (ec fy —Mfe; ce coefficient s'écrira ainsi: ffoo -- 1 4- &f'o — (o -- f). Mais nous avons vu (5) que 9-4-f —fo—1: done (o 2a- f) — foe — fo M, » conséquent, ce » coefficient se réduit à cette forme trés simple 6fo. Ainsi nous aurons P — foz-- (fo 3-1) (o 3f) ale fozsic (fo 5) (o —f) zx fe; Q — foz*— (fo 3-1) (o — f) z— 6fozz — (fo -- 1) (e — f) x fe. 8. Les valeurs de P et Q étant déterminées par ces équations, nous aurons à remplir cette condition c0 offe 1) (op A 1) (zzi 1) 7.8 (2-. P. 3- 9); de cette maniére nous sommes conduits au probléme suivant: | 9. Probléme. Le nombre f, et par conséquent aussi; Q, étant. donnés, iroueer toutes les valeurs de la lettre z qui puissent remplir la condition mentionnée. C'est E là qu'on parviendra à une solution TE du probléme principal, attendu que la lettre r-- L- donnera les nombres a et b, et z — 7 ; pareillement c et d, desquels on tirera ensuite z,y,c,y qui conduiront aux valeurs de p, q, r et enfin à celles de 4, B, C, D. .10. Solution. Commencons par observer que les valeurs convenables de z sont comprises entre certaines limites, tantót plus et tantót moins étroites, selon la valeur du nombre f qui est toujours plus grande que 1 et moindre que 1 -3- V2, ou bien, selon la valeur de em qui surpasse toujours 1-1 2. Ces limites peuvent étre facilement assignées, lorsqu'on connaít les cas dans lesquels le premier membre de notre formule devient. égal à l'autre, ou lorsqu on connait les racines de l'équation (ff24-1) (991-1) (zz-- 1) — 8 (-- P-- Q), en ne tenant compte que de celles qui surpassent l'unité; car nous supposons z — f. E L. Euleri Op. posthama. T. I. 16 122 : LL. EULERI.. OPERA .POSTHUMA. Aridnetica, 11. Comme cette équation renferme. deux quaniitás connues f. et.Q, lifes | entr bas pir l'équation . [f--1 REN ini pO y il sera utile d'introdüiré à leur place une seule lettre, qui puisse exprimer également l'une et l'autre fA 0943-1 quantité, ainsi soit Wr 2n, jagen qNE z 2n. D'oü nous tirons pour les valeurs de f' et Q cette expression (^omnck Y (nn — 2n — 1). Or, comme. f' est plus petit que o, nous prendrons- ó f —n-— y(nn —2n —1), 9—n-- Y (nn — 2n — 1), et de là nous tirerons 3 f--0-2n, 9 —f-—2y(nn—2n—1) | et enfm |. fo — 2n a- 1. Soit ensuite y/(nn — 9n — 1) — k, de sorte que f— n — k, o — n-- k, o— f — 2k. ^A présent il n'est pas difficile. d'éliminer de notre équation les deux lettres. f' et .Q; | 19. Cela posé, commencons. par le premier membre de. notre équation, et comme (fF3- 1) (oo -- 1) — (fo — 1)*2- (F2 9*- et que f/--o—2n et fo—1— 2n, le premier membre: prendra cette forme 8mn(zz-r- 1)", et l'équation à résoudre sera nn(zz4-1)'— -t- P-*- Q. Prenons maintenant en. considération les valeurs xe P et Q, savoir Q — fex'— fo 1) (o — f) *— fen (Po -r,0Q — l'ont comme fo — 2n -—1, 9—f.— 2k, ces valeurs deviendront P — (9n 4- 1) z*-- e (m 4 1) kz3— 6 (2n 2 1) zz — 'v (n a- 1) kz 4- 2n 2 1, Q — (9n -- 1) z! — ^ (n e 1) kz* — 6 (2n 2- 1) zz a- ! (n - 1) kz a- 2n a- 1. 13. Pour découvrir maintenant les valeurs de z| dans notre équation, il faudra. considérer avec soin les signes -- et — que doivent avoir les lettres P et Q. Remarquons premiérement que lorsque z — o, l'une et l'autre expression (^) sont positives; donc on les prendra avec le signe —.- Mais si z est plus petit que f^, alors P. devient. négatif et. (Q aussi, et par. conséquent il faudra leur donner le signe —.. Enfin, si z se trouve entre f et Q. la lettre P sera positive et Q négative. D'aprés ces. considérations on voit que, selon que z est plus grand que o, ou plus petit. que f, ou enfin contenu entre Q et f, on aura trois cas à développer, nommément les suivants. | Premier eas. » Recherche des valeurs de z plus grandes que o. 1^. Comme les deux lettres P et Q ont le signe -i-, nous aurons P —4- Q — 2 (2n 2 1) z* — 12 (2n 2 1) zz -— 2 (2n 2 1), et notre équation développée à résoudre sera gs nn (z* 4- 2zz 4- 1) — 2 (2n -- 1) (z* — 6zz -- 1), «9 Przo£a:t-fífocts Días) zo testam Far o alise RU ERN Problema | Diophanteum. | 123 ou, lorsque nn — 9 (2n -- f), le premier membre surpassera toujours le second, et par coriséquent toutes les valeurs de z, depuis e jusqu'à l'infini; répondront à notre but, et nous aurons toujours pp--qq — rr. Cela arrive lorsque. à 7 2 4- y/6." Or, dans le cas de n —2-4-/6; on aura. ^ k — V (nn — 2n — 1) — Y (54-26) — y3-- y2, "og2-n-a-k—(y3--y2) (v2 a- 2» b-855.9 (f—n—k-—(y3-2-y2)(Y2 —1). ! Donc cela aura lieu quand. | | "pir "e e2(Y3--Y2)(V2--1, f«c(Y3--Y2)(Y2—1), ou bien, en réduisant en fractions décimales, lorsque Q0 — 7,59575^1 et f — 1,303225^. Ainsi, toutes les fois que f«1,303225^, ou 97» 7,59575^1, la quantité z peut étre plus grande que o jusqu à l'infini. | | ^ cu Passons maintenant au "cas, oü nn 2 (2n 4- 1), ce qui arrive. lorsque n «2 -4- y 6, ou lorsque f (Y34- y2)(V2— 1) et, au contraire, o— (3 2-Y/2) (V2-- sis Si nous retranchons dans notre équation le premier membre du second, nous aurons (m -- 2 — nn). z -— (25n 4- 129 2- 2nn) zz 4- hn -- 2 — 9nn. 4n2a-9—mn Soit, pour abréger, , il viendra, aprés avoir divisé par n a- 2 — nn, z— 9 zz 4-1í— 0. En bci cette égpations 0n à zz— AzY(ut— 1, ou enfin z — Yer Ce Or, de ces quatre racines de l'équation z'— 2.42z -À-t — 0, la plus grande VS ) - Y(* y est la seule qui surpasse 1, et de là nous concluons que toutes les valeurs, "p Q jusqu'à ce terme, fourniront des valeurs convenables pour z. da: 16. Supposons x et par conséquent Q 5; nous aurons RES! pO 4 —12,52112 & as 676056, 471.5 16056, eüfin west — 92,60, zy 2/40, et de là z — 5, eed z ne saurait surpasser Q que-d'une fraction extrémement petite. ? e - : Iu. 1 ) :5jid Bol ) 490 26ü017U&£ PUO, fSjeceond cas. Recherche des valeurs de z qui se trouvent au | dessous de FL |——"- eftO80! j £e 11. Ici P et Q sont négatifs, et notre équation i à | résoudre sera nn (zz-1).— Lr —Q— — 8 (2n--1):* nete rne Xn M --1. ER S car alors on aura : nn (eo -- 1)? — 2 (2n 2 1) (v* Leod ey; laquelle peut. étre réduite à la précédente, en faisant z — f1011 - '" Óbservons ici que lés deüx lettres v et z dépendent lune de l'autre de la méme maniire * que r el [3 de sorte qu'on aura semblablement ez — e - z 2 1. ^48. "Ainsi nous aurons ici, de méme qu'auparavant, les valeurs convenables de e AME: les limites. de 9 et oo, lorsque o 77 7,59575*1, ou f/— 1,303225^,; et par — zt * pourra étre pris entre les limites de f et 1. 124 | — L EULERI OPERA. POSTHUMA. andientis, 19. Pour abréger, mettons au lieu des nombres rapportés 7,59575^1 et 1,303225!'* simplement. ceux-ci: T,5-et 1,3. D'aprés cela; on arrivera à cette conclusion importante: toutes les fois que..o se trouve entre les: limites. 7,5 et oo; ou bien f' entre 1,3 et 1, on pourra toujours prendre le nombre z, ou entre les limites Q et oo, ou entre celles de fet 1. : 20. Examinons à présent le cas oü 9 — 7,5, ou f 1,3, et commencons par le cas de o—f— 1--y'2. Puisque fo; on aura k—0 et nn —2n—1-—0, ou nn—2n--1, par enim 4-— | ^n-- 6 (2n4-1) AS LER - 9(9n-i- 4) — "n nn x enfin Uo e--1 DI TOV o TES o4 neve E Pour simplifier, nous remplacerons les nombres 3,7320508 et, 1,7320508 par 3,73 et. 1,73, et nous tire- rons cette conclusion: dans le cas, oü f—9—1--Y2, on pourra toujours prendre z, ou entre es | - limites Q et 3,73, ou entre celles de f'et 1,73. Il ne sagit plus Pu de rechercher les cas oü e se trouve dans les limites 7,5. et 1 2- /2, ou f entre celles de 1,3 et 1-2 2. 21. Le cas traité précédemment. par la supposition de f— HM et Q— 5, nous donne e — 5, o B a a 3 T" i» e d'ou il suit que z — 3? Cest-à-dire que, dans ce cas, z ne pourra differer de f que d'une vi. fraction extrémement petite. Il suit de là que lorsque l'on diminue o au dessous de 7,5 vers le terme 5, la valeur de z diminuera de plus en plus jusqu'à devenir sensiblement égale à "n E Troisióme cas. Recherche des valeurs de z quise trouvent entre Q et f. 22. Dans ce cas, la valeur de P sera positive et celle de Q négative; et l'équation à résoudre sera nn x 1)'— P — Q, ou nn (zz 4- 1) — 8 (n- 1) k (z — z). . Supposons ici SD — ou 2k (n-1- 1) — 9; - 15 s^ nn , nous aurons cette équation bicarrée z'— MhÓz*-1- 9:: -— hÓz -— 1 — 0, laquelle pourra étre résolue sans qu'on ait recours au cube. 23. Supposons z* — &0z* -— 2zz -- T» A d — (zz — az — 1) (zz — 8z — 1); le produit des facteurs du second membre est z* — (a-4- 8) z5-1- (ug — 9) zz 4- (a4-/9) z --1 , lequel étant comparé MIU avec le' premier membre, nous donne ces deux conditions &-- 9 — 9, ag — qug" ou bien «o —H, de là a— jg —'y((a-- 8) — ho) — ky (99.—1),' ce qui prouve l'impossibilité ide Jéquation nn (z*-- 2zz 4- 1) z: 8. (n -- 1) k (z5— z). dans le cas oà 9 «1. Donc, pour 9 —1, on aura toujours nn (z'-1- 2z -- 1) — 8 (n -- 1) k (z*— z), et par conséquent toutes les valeurs de.z depuis f jusqu'à Q vérifieront la condition mentionnée (8). 2^. Pour trouver les valeurs de: n qui rendent 9 — 1, nous prendrons l'expression de 2 qui est Bex, . Tug $790 Kk — V (nn — 2n — D: Ainsi, pour la détermination de. ces valeurs. de n,. nous aurons cette condition Problema Diophanteum. |... 125 SIMI M ou bien Vipsi ciem n "—3 «0, qui se réduit à l'inégalité n* Ee : (2n a- t; de laquelle nous irons Tc) D ia M. acd sierenfin sagit 1a- Y'3 —2,7320508.- Il suit de là que, tant que n est plus petit que 2,7320508, 9 sera al petit que 1, et toutes les valeurs de z depuis f' jusqu'à Q satisferont à notre but. 25. Passons maintenant.au cas ou $ 7 1; alors, aprés avoir trouvé a-4a- 8 — M9 et o—](9 — &y (99 — 1), nous aurons a — 294-2 (9.9 —1), B edad da ainsi les deux facteurs de notre bicarré seront zz— 2 (0 V (90 — 1) z 7-1 Yet bL db vd " (99 — 1) z—1; qui. étant égalés à 0, donneront les quatre racines de notre équation: 9 -- y(99 — f) -- Y (29 (9 4- Y( 09. — t) )l]. 9 -- y (909 — 1) — Y [29 (9 a- V (99 — 1))], $ — y (09 — 1) 4- V [29 (9 — Y ($9 — 0), 9 — VABO 1) — Y [89 (9 — y (99. — 1) Y. Mais L n'est pas difficile de remarquer que $2 y (9o — 0 — (Y (221) je rays donc les expressions trouvées pour les racines de notre équation se réduisent aux suivantes: : 9 24- V (89 — 1) -— Y (9(9 ^- 1)) 2a- Y (9 (9 — 1)), TW oo eV (89 — 1) — y (9 (9 a- 1)) — Y (9 (9: — 1), 9 — V (099 —4) 4- Y (8(9 2 1) — Y (9 (9 — 1), ai ie 2- — Y (80 — 1) — Y(9(89 a- 4) 4- Y (6 (9 — 1). De ces quatre racines nous n'aurons à considérer que deux 1 9 -4- y (99 — 1) a- V(9( -- 1) ) -- Y (9 (9 — 1), s — Y(89 — 1) a- Y (9( (9 a- 1) ) —Y(98 (9 — 1), car les deux autres sont plus petites que f. D'aprés ces valeurs de z, qui rendent " "ens, nn (zz 4 1)*— 8 (n - 1) (9 — 2) — 0, il h'est LI difficile 'assigner les limites des valeurs de z qui vérifient la condition : nn (zz 4- 1*2 8 (na 1) E (25 2-1 E X -... Pour cela, ,nous remarquons. que la plus grande valeur de,z, qui. rend. | nn(zz-- )*— 8 (ne 1) k(z—z) — 05; est. 9 4- y (09 — 1er (9 9:2 10) nn du (9 —84); done toutes les valeurs .qui Surpassent cette limite donnent '... ied... 66, e. 20... Fo 00n (zz a- 1) — 8 (n a- 1) k(27— 2) 7.0 et par conséquent remplissent la condition nn (zz A- 1)* 7 8 (n.-- 1).k (2? — z).. . Toutes les valeurs de z qui.sont au-dessous de 9 —— y/(899 — 1) 4 Y (9 (9 -.1)) 4- V (9 (9 — 1)), et qui ne sont pas inférieures à l'autre racine de l'équation na (zz a- 1)*— 8 (n a- 1) k(z2— 2) — 0, * 126 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ^ Ariühmetica. .—- qui est 9 — V (99 — 1) 4- V9 ((9 4- 1) — Y (8 (9 — 1)), rendront e 0Omn (zz 1) — 8 (n a- 1) k (z225— z) — 0, et par conséquent ne vérifieront pas la condition nn (zz a- 1)? — 8 (n -i- 1) k (z* — z). Mais, passé cette limite, toutes les valeurs de.z rendront de: nouveau nn (zz-1 1)'— 8 (n 2 1) k (z— z) positif, et par conséquent rempliront la condition nn (zz43-1) 2 8(n--1)k(z—2z). | .-5 Done, cette condition ne sera remplie que pour des valeurs dez comprises entre les limites 9: -a- V (99 — 1) 4- Y (9 (9 2- 1 ) 2- Y (9 (9 —4)),..- | 9.— Y (80. — 1) -— y (9 (9. -- 1)) — Y (9 (9 — 4). . 96. Nous sommes en état maintenant d'assigner, pour chaque. valeur. proposée de f. ou:de Pr des valeurs convenables de z- entre f et o, en cherchant 2n 2. P5, qu om E Abs ORE DADA (E na-T)k 4073 .Jugió IUD — »-—» qui déterminera puis k — y (nn —2n — 1), ou bien k —n—f —90-—n et enfin 9 — les limites de z par ces formules irrationelles: i" 8 4- V(98 — 1) a- V (9(9 2- 1) a- Y (8(9. — 1), dint - y (99 — 1) 2- Y (9(9 4- 1)) — Y (9( 9 — 1). 27. Ayant déterminé; d'aprés ces formules, les valeurs de z pour plusieurs nombres f ou Q, et les ayant jointes aux valeurs de z tirées des deux recherches précédentes, nous avons construit une table qui donne, pour certains nombres o, les limites des valeurs de z, qui remplissent la condition. (8). .:.: 4 Á€ | agob C'est ainsi que nous parvenons à la solution compléte du probléme: principal. Si la fraction 5 est. plus grande que 1-2, on la cherchera : dans la premiére colonne de notre table, et alors l'autre déterminera les limites du rapport z ED Quant àu cas de 2 «1 4- 2, on prendra f , e cherchant dans la premiére colonne la valeur de e— I on aura de méme les limites des valeurs de "E 2 ! T EN j E Table fs qui représente, pour certains nombres Q, les limites pour z.. P2 Q Limitos de z SAX (t. [ — . Limites de z 2,44 undite E o 30 . 4 81... 1,98. 825. 10 E 3,0 : (dE. RAE 7,5 1400...1,36, 6,50.... 00 3,5 66... 100. s $,0 100...1£30, . 6,96... 09 1] 3,75 1,6&...9,24, "*6s7p. 40^ 775* 550089 100...1,35,^ 6,68:... 65 50— 9) 54,94 (1. 4,89, 07 8,89 (. 8,85 10 1,00... 1,34, 6,92... 69^ &,5 - 155. 188 £40, &.90 | T »ü0i55. 4,9357. -XOle2uut oO0b 5,0 1,50...1,50, — 5,00... 5,00 43 ::)58,00..:45,32, - 7,94. 2,00 ecdbor enl eof d 46,857: 1 L205:59. 4 « 45 1,00...1,32, «.7,30....00 « «6,0 4,31. ../ 1,89, 0059984. 16/4. 075 oo 1,00, 4,30, 7,59 1... 00:5 6,5 1,299...1,40, ^. 6,09... 7,82 j i»igalai Problema. Diophanteum. | 127 98. D'aprés cette table, on ne pourrait point assigner la valeur convenable de z — lo lorsque Q — — 5; car, pour o — 5, les limites de z, à un centiéme prés, concourent l'une vers l'autre. Mais, plus nous nous éloignons de ce cas singulier, plus aussi s'étendront les limites entre lesquelles la fraction I pourra étre prise. Pour éclaireir notre méthode par un exemple, prenons T h, ou bien E —- $ l'autre - AEG ME. on aura d 323? qe 591 [UTT--—2 q— hk. 751.2 —30 | a/— 4.7 — 1.2 — 926 y-4.9—7.1— 1 | y —5.9-- 7.1— 15 vx —yy —899 | a'a'— y'y'— h51 2xy —60 |: 22 y' — 180 X2X— yy—22zy 839 |. -x-—yy—2aey —-— 329 On prendra donc p — 329, q—9839 et r sera —30?-1- 1?— 26? 4- 15*— 901, et d'aprés les valeurs de p, q, r les nombres cherchés 4, PB, C, D seront exprimés ainsi: : ; PCR pp--qq—rr — 361 B ...Bp--rr—qg X 916121 a mq: u—— ande Bhd Curr? MOT p —??r—5»-m 1623241 fis gi Waeupifusa disud 7o gsp meer à ces nombres étant multipliés par ^, donneront pour la solution de notre probléme les quatre entiers suivants: ert i 722, 39242,. 2814962, 3246482. 128 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. : didibeidins VII. Considerationes circa analysin Diophanteam. 1. Saepe ac multum mecum cogitavi, an non liceret eam analyseos partem, quae Diophantea appellari solet, veluti reliquas matheseos disciplinas, ad certa capita revocare, quibus constitutis universus hujus analyseos complexus perspici, et cuique problemati caput, ad quod referri oporteat, assignari queat, ut hinc principia statim innotescant, ex quibus cujusque problematis solutionem peti conveniat. Verum postquam complures quaestiones huc pertinentes omni studio pertractassem, sin- - gulas fere sibi prorsus peculiares methodos et calculi artificia postulare deprehendi, ut propemodum totidem hujus analyseos capita constituenda videantur, quot problemata particularia in hoc genere proponi possunt. Ex quo nullo, adhuc :modo intelligere. licet, quomodo. pro bac analyseos parte principia generalia constitui, eamque in certas partes distribui oporteat. | ! ^ 2. Divisio quidem hujus analyseos in duas partes statim se offert, quarum altera ejusmodi problemata in se complectitur, quorum solutiones ita.per formulas generales exhiberi queant, ut omnes plane solutiones in iis contineantur, ex iisque derivari queant. Altera autem pars ejusmodi . quaestionibus solvendis versatur, quarum solutio generalis neutiquam in certis formulis comprehendi potest, sed ita institui solet, ut ex qualibet solutione jam inventa aliae novae deduci queant, quo : Í: f ^ , í TE. 24545 in negotio tamen iterum fere infinita varietas pro diversa problematum indole cernitur; et quoniam nunc quidem maxima pars problematum, quae in analysi Diophantea tractari solent, ad hanc alteram partem est referenda, multo minus methodi ad ea solvenda accommodatae ad certas classes revocari posse videntur. : ! 3. Neque vero illa divisio problematum inde petita, quod alia solutionem generalem, in certis formulis analyticis contentam, adníittant, alia vero tantum solutiones particulares recipiant, quae tamen continuo ad alias novas perducant, tam certo est stabilita, ut haec duo problematum genera ob suam naturam penitus a se invicem dirimantur, eum utique evenire queat, ut problemata, quae ad posteriorem partem referenda videntur, certis adhibitis artificiis: generaliter resolvi queant. Cujusmodi est problema de tribus cubis inveniendis, quorum summa sit cubus, cujus solutiones antehac tantum particulares sunt datae, donec equidem ejus solutionem generalem .exhibui, ita ut hoe problema nunc primae parti accensendum videatur, ^. Cum igitur hactenus plura problemata Diophantea sim perscrutatus, unde multitudo ac varietas methodorum, quibus ad ea solvenda uti convenit, maxime elucet, nunc aliud ejus generis problema, quod quidem apud auctores passim occurrit, contemplabor, quod ita se habet: C. -—-——— MREPPIPSEN T MS REN —HM hic exposuisse juvabit. Problema Diophanteum. 129 — Invenire tres numeros v, x, y, quorum binorum productum, summa eorundem auctum, producat numerum quadratum, ita ut hae tres formulae vxx--v--x, Vy-i- Y2-y, Xy-t-X3- y quadrata reddi debeant. Deinde vero eandem quaestionem ad quatuor bujusmodi numeros extendam, quandoquidem tum maximae difficultates occurrunt, dum haec quaestio, uti est proposita, generaliter resolvi potest, ac solutio tantum in numeris integris certa artificia postulat. 5. Ad hoc problema resolvendum, ponamus 6-11 — 4, c-—1—B et y--1— C, ut sequentes tres formulae 4B — 1, 4C— 1 et BC-—1 quadrata fieri debeant. Statuamus igitur primo 4B — pp 4- 1, 4C — qq-3- 1. et BC — rr 2- 1, eritque 4BC — Y (pp3-1) (qq--1) (rr-1). Quo jam haec formula facilius rationalis efficiatur, litteras p et q ut datas spectemus, ponamusque (pp -- 1) (qq 4- 1) — mm -- nn, ut sit m — pq 3- 1, et n — p 4 q, fietque ABC — y (mm -i- nn) (rr 4- 1) — Y (mr 2- n2- (nr — m»), quae radix statuatur — mr-rn--t(nr— m), ut prodeat nr — m — 2mrt 2- 2nt ^ nrtt — mit, Te /— om (tt— 1) — 2nt hineque Re du LLL (mm A-nn) (tt4- 1)? et ABC — (mm -- nn) (tt 1) 6. Erit ergo rr4- 1 — ; unde ob BC-—rr-- f, (n (tt — 1) -- 9m2b)? n (tt — 1) -2- 9mt reperitur A Seba Rn et ob mm -- nn — (pp -- 1) (qq ^- t), 1L Gpa-1)(tt-3) uM CIS aa Lu (92-1) (tt4- 1) Mar n(tt — 1)3-2mt existente m — pq 3- 1 et n — p 4- q. 7. En ergo solutionem maxime generalem nostri problematis, in qua adeo binos numeros p et q pro lubitu accipere licet, ita ut binae formulae AB —1 et 4C — 1. datis quadratis aequentur; et cum littera & etiamnunc arbitrio nostro permittatur, pro tertia formula BC — 1 infinita quadrata reperiri possunt, unde hoc problema sine ullo dubio ad primam partem, ubi solutiones generales exhibere lícet, erit referendum. Verum cum hoc modo terni numeri quaesiti plerumque prodeant fracti, si solutiones in integris desiderentur, alia artificia in hunc finem adhiberi conveniet, quae LI Solutio problematis per numeros integros. 8. Quoniam numeros p et q ut datos spectamus, solutio ita facilius obtinetur. Posito dB ppp ut et Mg qu ied ut sit p 8i et c— mm, i i uta (pp 2-1) (qq 4-4) | mm--nn — AA erit statim BC —1-— y —1-———— quae forma cum esse debeat quadratum, sumatur 4 — n — p — q, seu p — q -- A4, fietque qq-1 » 992-1 ^ar idi n — A unde numeros 4 et q ita accipi conveniet, ut ./ sit divisor ipsius qq-- 1. Quare necesse est pro L. Euleri Op. posthuma, T. I. 17 B — 4 -- 29 -— E 130 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - dieit. "4 capi summam duorum quadratorum, ac tum semper pro q infinitos. valores assignare licebit, ut qq-:- 1 divisionem per. 4 admittat, veluti ex sequentibus exemplis patebit: 1) Sit 4/— 1 et q— u, erunt tres numeri quaesiti 4 — 1, B —uu-r-2u3-2 et € — uu-1. 2) Sit 4 — 2, sumique oportet g — 2u — 1, unde prodeunt numeri quaesiti: 4-2, B-29uu--92u--1, € — 2uu — 2u A- 1. 3) Sit 4 — 5, sumique oportet q — 5u - 2, unde duae resultant solutiones 4—5, B-5uu-r-14u-— 10, C — 5uu A- hu a 1 Wu, B — 5uu - 6u-3- 2, pe sicque buts A et C duplex valor ipsius B respondet, scilicet 4-—5, C-5uua- hu a 1, B — 5uu 4- 1 -—- 10 vl B-—95uu— 6u-A- 2. M) Sit 4 — ff-—9g et k minimus numerus, cujus quadratum unitate auctum per 7 sit divisibile, ut sit 41. 4, . Jam ponatur q — (ff-4- gg) u -- k, eruntque tres numeri quaesiti 113-99 A — ff4-99,. € — (ff--gg) uu- 2ku-h. et. B — (ff4-99) uu-- 2 (ff 4-99 A- k) ua- ff 4- 99 4- 2ka- h, ubi observo, si ambo numeri Kk et u capiantur. negative, ut valor ipsius C maneat idem, tum pro B alium insuper prodire valorem B — (ff 4- gg) uu — 2 (ff 4- gg — k) u A- ff -— gg — 2k a- h. 9. Alio autem modo prorsus singulari solutiones in integris facile inveniri possunt, qui ita procedit: Capiantur binae fractiones S et » iam parum a se invicem discrepantes, ut sit --a ad — bc — -—- 1; inde formetur tertia ——^, quae ad utramque priorum simili modo erit comparata. ; q q p ju zm Quo facto tres numeri quaesiti ita se abehdt: A —aa-- 6b, B —cc-- dd, | C — (cc ay -- (d 3- by, namque ob ad — bc — 3-1, erit 4B — (ac 3- bd) a- 1, AC — (ac cz àa & bd 3c bb 4-4; BC — (cc 3- ac a- ddt- bód)* a- 1. 10. Hinc simpliciores solutiones obtinentur sequentes: q^ ccut c EI B C " T 2 1 ff - A ff5- 2f-- 2 4, ciis, nitide ori oiriioe entfuie afi qi o 1o ffagoogfcgacit P E eX j ff — Mf -- 1 »ffa- ef-- 2 EE "- 33 3 Sff—^f-2-1 5ff — 1^f -— 10 bo okpoq«i eL dof6f450| qoffeitife 8 r xit Aa | 10 10/f — 6f -- 1 10/f — 26f 2- 17 unde patet has solutiones convenire cum praecedentibus. OLEO TNETSANSRREN D SEEMS — 2 -— TONGUE NEQU ISP Problema Diophanteum. 131 11. Datis autem duobus numeris ,/ et B, ut sit 4B— 1 — [ ] — pp, tertius C infinitis modis inveniri potest sequenti modo: Cum tam A4/C — 1 quam BC — 1 quadratum esse debeat, statuatur primo productum 4BCC — (4 -- B) C 4-1 — (mC -- 1)*, unde reperitur AA B -i-9m LL (4m) —— (B-e-m* C — "wm unde fit 46s d e e BC-—. MEE. murs Tantum ergo superest ut 44B — mm — pp -34- 1 — mim reddatur quadratum puta — nn, seu ut sit mm -i- nn — pp-1-1. Hunc in finem sumantur duae fractiones a et «, ut sit aa-1- «c — 1, fiatque m —ap--c et n— «ep —4a, ex quo habebitur UM A-- B -—-9 (ap -- «) vos (pa ubi sumtis pro lubitu duobus numeris f et g, capi oportet ff— 9g 9f - x t [T3- 99 t «dine [3-99 gg 12. Hinc adeo plures valores pro C in integris inveniri possunt; sumto enim f — 1 et g — 0, prodit C — 4 -i- B 3- 2p. Deinde posito f — 2p et g — 1, prodit € — (A -- D) (pp 4- 1)*-2— 2p (pp 2 1) (^pp A4- 3). Tum vero etiam sumendo f— pp --1 et 9g — 2p, fit C — (4 -- B) (16p*-- 12pp -— 1)*-- 2p (16p*-i— 12pp -- 1) (16p* -i- 20pp 4- 5). Porro, positio f— 8p*-i- ^p et g — pp -1- 1 dat quoque duos novos valores integros. Ex quo intel- ligere licet, in genere formam tertii numeri C fore € — (A 2 B) M?-2- 2pMN, . ubi quantitates M et JV has series recurrentes constituunt: M—--1, "pp--i, 16p'--12pp-i- 1, 6^p'-À- 80p'-i- 2*pp 4 1, etc., N—--1, ^pp3-3, 16p'-i- 20pp 2 5, 65p51- 112p* -i— 56pp -- 7, etc., quarum utriusque scala relationis est pp 4- 2, — 1, ita ut in genere sit Bi a (Y a-pp) 4-p)?^7-! 4 (V a- pp) — p)? ^! a N — (pp! — (/d--pp) — 9*7. 2Y (12- pp) xa 9p is Vel posito 2p — q, et denotante n numerum parem quemcunque erit (n—1) 4— (n—2)(n—3) 4. —3)n—4)(n—5) ,— M-—q-——— 1-4 LI. UR. wit. adii. e q 4 adit E q"—$-r etc. Nona Dp dtes (n1 —3) qna y. (0700-94 ena. te; 13. Problema 2. lnvenire quatuor numeros, ul. binorum productum una cum summa eorun- dem binorum faciat: quadratum; seu, quod eodem redit, invenire quatuor numeros A, B, C, D, ut binorum producta, unitate minuta, sint quadrata, sicque hae sex formulae AB—1, AC—1, AD—1, BC—1, BD—1, CD—1 fiant. quadrata. Pro solutione hujus problematis spectemus duos numeros 4 et B tanquam datos, ut sit AB —1-—pp, seu AB —pp -- 1, : 132 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ——— Arithmetica. A4A- B 4-92 (ap A- 2) Pega Simili modo sumto ac sumto aa --«« — 1, statuatur tertius. numerus C — A-- B 4-9 (bp A- B) ^(Bp—* bb -— 9, — 1, ponatur quartus numerus D-— sicque jam erit satisfactum his conditionibus AB—1-—([]) 4€C—1-—[) BC—1-L[), AD—1-—[], BD—1-[], ita ut tantum restet sexta conditio implenda, qua esse debet CD — 1 — [ 1, | quae propterea dat (4 A- B)*a- 2 (4 A- B) ((a 4- b) p 4- « a- 8) A- ' (ap 4- o) (bp 4- 9) — (ep — a) (8p — b)* — L1, cui ita.satisfieri oportet, ut simul fiat 4B — pp -- 1. 1^. Praeter a, «, b, 9 spectetur etiam p ut datum, et cum sit 4 : AA 1 * pt" WR Aum quadratum effici debebit haec forma: A* -—- 94? (a a b) p 4- 24^ (pp J4- 1) 4-24 (pp A- 1) (a 2- 0) 4- (pp 4- 1)* -- 24* (a -- 89) -- 4? (ap a o) (bp A- 8) 2i 24 (pp -- 1) (« 2 8) — 4^ (ep — a) (8p — by, cujus radix statuatur - 4A -- A (a b) p — pp — 1 2- 4 (a -- (8), unde nascetur haec aequatio 44A (a -- b) pp -- 344 (a -- 5) (e -- 8) p -- 44 (a -- 8)? | Rad Di x. 1) — ^4 (pp -- 1) ((a 4- 0) p - e - 8), — 44 (ap -- &) (bp - (8) -- 44 («p — a) (8p— b)* ex qua elicitur aai: A(pp-i-1) (fa-i-0) p a-i-) : ((a-3-0) p3- « 4- 8)* — A (pp 2- 4) — 4 (ap-4- a) (bp 2- B) - (ap — a)? (Bp — b)* 15. Quanquam baec solutio neutiquam est generalis, siquidem ex formula quarti ordinis est derivata, tamen quoniam numeros a, «, 6, /9 cum p pro arbitrio assumere licet, dum sit 44-1 «x —1 et bb-r/608—41, innumerabiles suppeditat solutiones, circa quas nil aliud desiderari videtur, nisi quod numeri pro- deant non solum fracti sed etiam praemagni, ac subinde etiam negativi. Simpliciores autem solu- tiones ex casu quo « —0, 9-0 eta—1, 65 — —1 obtinebuntur, ubi fit C—4--B--9 et , D — 4 -- B — 2p, existente 4B — pp - 1; tum igitur erit CD — 1 — (4 2- B) — &pp — 1 — []. Quare si statuatur (4 -- B)*— qq -- pp 2- 1, erit (4 — B)^— qq— 3, ex quo fiat 4—B — q—r, rr--3 3—rr ut prodeat q——— u«4—B-— E -. Jam invento q sit 4 4- B — 2p -i- s, fietque Problema Diophanteum. 133 WE nalunsd 5 qq2- 32-55 p—-— et 4-- BM. Si hic capiatur r — 1, erunt numeri quaesiti 8531-252 5 20 $8—92s-i- 5 5 4, EM B-——Às— C—- Iss e, Posito r — 2, ut sit q — i' habebuntur 16ss 4- 8s - 65 . A6ss —8s-- 65 65 A — "Us eip-— Hx 50-——91, ^ C 16s 120 — $, * . . 1 qui fient omnes unitate majores sumto s — *3' : 989 333 65 7 4 — B — 334 C — ge? D-—3:» 15 4 13 13 15 et sumto $ — 7: 4 — P-—1 C—1u p. 16. Praeterea etiam solutio particularis notari meretur, qua sumtis b — —a et (9 — — c fit B A-- B 4-2 (ap -- «) et Hi 4s — 9 (ap -4- c) "* ple C em-9 (p—a* ^" ud prodit haec aequatio 4* 4- 94 4 (pp A 1) 2— (pp 2- 1)? à — 44 (ap A- a)* — [, — A4 («p — a)* qua reducta ad hanc formam (44 — pp — "dis 44 (ap — — ay (& — (ap —2a))-— [], evidens est hoc fieri sumendo «p — a — 2, seu p Lit » hineque- ne prf NERA Lo 6 (Aa- B)2i- Aa 4- 2 t pus & (A-t- B) — 4a — à egeat n : Cop . T. Aa " Aa ubi adeo 4 pro lubitu accipi potest. 17. Si hic ponamus a —L et « — E et pro m et n sumamus numeros quoscunque, quatuor numeri quaesiti prodibunt sequenti modo expressi: 4 — mU a nf 9). M 9nfg . -— ^ 9mf — Qmd Rem ng py c (n 9 famen gg dea 8mnfg * dao 8mnfg quae solutio, etsi est particularis, tamen satis late patet, ob quatuor numeros f, g, m, n arbitrio nostro relictos. Sit, exempli gratia, f'— 1, 9 —2, et m — 5, n — 6, erunt numeri satisfacientes 839 . 933 653 d TA B —1 C — 50" D —3430? unde fit AB —1 — (Ty, 4C—1 — (D» 4D —1—($) » BC—1 — (2); Bb—1-— (y; cb —1—(28y. 134 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. Cum autem hae solutiones omnes in numeris fractis consistant praeter simplicissimam, quae est A4A-4, BRL OE D 1, quaestio oritur satis curiosa, num praeterea non aliae solutiones in numeris integris reperiri queant? 18. Problema 3. Jneenire qualuor numéros, ut binorum productum dato numero n auctum sit numerus quadratus. Sint 4, B, C, D quatuor numeri quaesiti, et cum 4B -i- n. esse. debeat quadratum, ponatur A —naa —bb et B —ncc—dd, ut fiat 4B — (nac—bd)*—n(ad—bc)', quare dum sit ad—bc—-*1, haec conditio adimpletur. Quare ejusmodi fractiones " et - investigare oportet, ut sit ad—bc— 1, : . FUP NISI a--c a—c ; 9h quod cum facile praestetur, idem eveniet in fractionibus ;—; et ;—7 cum utraque illarum con- junctis. Statuamus ergo A — naa — bb, B — ncc — dd, € — n (a 4- c — (b 2- dy, D — n (a — c)* — (b — dY*, nihilque aliud superest nisi ut CD -i- n reddatur quadratum, hoc est nn (&à& — cc)'— 2n (ab — cd)* 4- (bb — dd)* — 2n (ad — bc)* : Ne Eli -4- n : : seu ob (ad — bc)* — 1, nn (aa — cc)* — 2n (ab — cd)*4- (06b — dd)? | me — JU, ped " quae autem aequatio tantum solutionem particularem continet. 19. Solutionem autem generalem, ut supra impetrabimus ponendo AB — pp — n, tum quia pro € esse debet tam 44C-À- n — [] quam BC-i- n — [ ], ponatur productum nn 3- n (4 A- B) € A- ABCC — nn A- 2nCz 2- CCxx, zd o TAE fe C163) a Ape n ara, t£2—AB —- quadratum esse debere. Statuatur ergo unde patet cc -——4B-wr—pp-r-n-snyy, seu cxx — nyy — pp — n. Simili modo ponamus e? — nzz — pp — n, ut obtineamus Gui os Det, ac superest, ut reddatur quadratum (4 2- B)! — 2 (o 2 €) (4 2- B) - nyyzz a- hae. At ob B —7—7* & A-- Bo SELPRLÁ, habebitur Problema Diophanteum. 135 A! — 24" (c 4 6) 4-244 (pp — n) — 94 (pp — n) (e -- €) 4- (pp—ay* -- n4Ayyzz -- h4 dao quadrato aequandum. Statuatur radix 44 — 4 (a 4- v) — (pp — n), eritque AA (a -i- e) — &44 (pp — n) — nAAyyzz — &44av 2 4 (o 9) (pp — n) — 0, 4 (zv) (pp — n) ^(yy —1)(s:— 1)2-9av--9pp— 34? 99" 3o 4(z3- v) (pp — n) 2 ^ nyyzz — 2n (yy A- zz) A- (v 2-2)? NS 4(r--v)(pp — n) AN "- uli ooo oper emm i sme seu. A— 20. Solutio particularis satis concinna hinc obtinetur ut supra sumendo e — — c, ut fiat A-- B — -- 9r et p—4t»- zse-y aque C— , existente 4B — pp —n-—ax—nyy: cum enim quadratum esse debeat haec forma 4* 34-244 (pp — n) 4- nd Ay* — &4 zx -— (pp — ny, seu — (44 — pp 4- n à- n4dAyy (yy — ^), evidens est hoc fieri sumto y — 2, ut sit pp — zx — 3n. Ponatur p — x — t, fiet tt-- 5n. | 9n — tt 9m — tt |o 9nac-tt sspe. eti p— Q ^ $9u p——3, € vc— me " 20 Qmac— tt) (9nux — tt) hine AD — E : Quocirca habebimus fimm — tt) (000p n gne — t) rn 9gtw ^ — Ln 9ftu ) ( — 2505395 — (970. p — 5-395 m — (9 iss Sfytu Kw Sfjtu * Circa hanc solutionem notari convenit esse € -À- D — A ; 21. Problema 4. invenire quatuor numeros, ut binorum producta singula, summa, nume- rorum aucta, ftant numeri quadrati. Inventis, per problema praecedens, quatuor numeris 4, B, C, D, quorum binorum producta dato numero n aucta fiunt quadrata, statuantur numeri quatuor quaesiti m4, mB, mC, mD;. et cum sit mun (4B n) quadratum, seu mmAB -- mmn — [], efficiendum erit tantum, ut numerus mmn aequalis fiat summae horum quatuor numerorum m (4 -- B -- C 4- D), unde statim reperitur mul- tiplicator quaesitus uH A--B-i-Ca- D. Quodsi ergo numeri 4, B, C, D ex S praecedente accipiantur, ob C--D—77 habebitur sut 3(A4-B) — 3n(ffA-99g) w« — 3 (-- g9) u 9n Anfgtu Hic igitur non solum quatuor litterae f, g et t, u, sed etiam numerus n pro lubitu accipi possunt, ita ut haec solutio latissime pateat, etiamsi non sit generalis. 136 L. EULERI OPERA POSTHUMA. pm 22. Quoniam autem hic numerus n arbitrio nostro relinquitur, ex aequatione $ praecedentis : m : App — 3 pp — «x — 3n statim sumamus n PP; ut sit 4B — P " 7? hinc ponamus 20 em et B4 mm. erit 3g f VEN M 9 (fr-11-399) p4- ((F — 399) 2 3fg hse C 2 (ff-1-399)p - e 6fg — 399) fy p — 2002-309 » Q1 6f — 399). is 12fj . Nune igitur ob .4 -- B-— C -- D — ri iba n qr -30)? | , erit multiplicator communis . 6(F2-399)p 2- 3(7— 399). Ws 9 fg(x — pp) 93. Possunt hic adeo bini numeri 4 et P pro lubitu assumi, unde fit 9p-i- a — 77 et 2p—z— ^, hinc |o 3ag-Pf o. . 84g —Bff m et Piu atque n — (949g — BfT) (A99 — BT) 16/fgg , tum vero is i 93Agg — Bff aet B AS 34gg-1- Bff "nd rr "eR Af ac denique multiplicator m — Can Si hic ad fractiones tollendas ponamus A-—hafg e& B—hbfg, erit, C — (a a- 0) fg 3- 3agg — Uff. et. D — (a a- 0) fg — 3agg- Uff, did A og e 6 (a-4- b) fg . atque n — (9agg — off) (agg — Uff), ium vero m Gag MP Gg UP 2&. Si sumamus f— 1 et g—1, erit /—a, B—h5, C—ha, D—2b—2a et multiplicator 2. 9(a--b | ,. $(a--b) n — (9a—i(a—5) (6-20 —99). qui ut fiat positivus, capi debet b — 9a; sit ergo 0.) a—41, b—10, erit 4—5h, B—50, C—h, D—18 e mS LT. Hm i hona a "m id 8:13.49 2) Var S erit A4-—, B -—M, C—M, D 20 el me-103 1 | 3) a—1, b—13, ert 4—5, B—52, C—^, D—92W et n—L — unde quatuor numeri quaesiti erunt integri m4 —", mB—91, mC-—7, mD-—-512, quorum summa est — 1^7. Hic autem desiderari potest, quod duo quaesitorum numerorum sint aequales, quod etiam evenit sumendo f — 33. : Problema .-Diophanteum. 137 25. Ut igitur numeros inaequales nanciscamur; $umamus f — 2 et g — 1, fietque zi: A S Ld E T T 12 (a 4- b) MT 12 (a 4- b) 4 —8a, B-—8b, C—5a—2b, D-—6b—a e Pi 7 (9a— 46) (a — 4b) — (db — 9a) 4b —a)' unde. casus simpliciores erunt beef) oam 5,2 6—4, hinc 42 10, 85.8, 6223, D — 4. et ECC -OTq4 inu 9) a— 1t, b—9, hinc 4-88, B—16, 2100 dam x m, * iL viis . d). 59 à» 0 39r o ER: ^ irn p 56, ( ME dn D—39 et. m Ponamus etiam f— 3 et 9) ut consequemur - 4-921, B-L955, CO 18a —30, D - 456— 6a" ^ 36(a-4-b) - : ty 4(a-- by : 9da — — b) (4a — 90). . (da — b) (4a- — 7m et ; m — sicque . patet. hinc praecedentem solutionem enasci. 26. Verum'sólutió adeo in' yu UM ponendo f — 5 et: E ' unde fit 8 a uw rx 30 (a-4- b) : 4—9, B—230, Cl.8a— 3205, D— 3059 3a e a D — Gs Sas 5 Sumatur jam a — 19, 6 — 1. deiqui- A : i. ! 4— 380, 'B—130; C 542, D 248—et n—T Vm quatuor numeri quaesiti erunt. CO ET US | : I VS, CJLo175, — HE £5, — IV. 310, quorum summa est 975 — 95.39. Alii. numeri. integri. sunt. ER y ( ! Joe, BR. 96; Rb 364uues IE, eiliteos : quorum summa est — 900. 21. ken etiam solvi polest hoc problema, | | quo | quaeruntur quatuor. numeri ejusmodi, ut bipirtm producta , — omnium minuta, fiant numeri quadrati, 9 ^ "5 gie Solutio enim ex praecedente facile deducitur, dee pro multiplicatore 5i numerus capitur Mic tivus. Unde in numeris integris sequens solutio obtinetur: | I—80, HI—24, II—8, IY —5, quorum summa est 156; quibusque hoc modo " quaestioni satisfit 80:94 — (56 -: 4764 -—A9* ^ "80.8 — 156 — 48y 2302" 80.414 — 156 — 3364 58^," 24.8— 156 — 36 — 6", 2y NS C 456 22:900 22 30*; 8.4 2— 156 — 196 — T. :J L. Euleri Op.posihuma. T.I. 18 138 | L. EULERI OPERA. POSTHUMA. 5 MN Appendix, 28. Adjungam hic problema prorsus singulare, o'im mihi propositum, quod vires analyseos Diophanteae oimnino transeendere. videtur, quandoquidem solutio ad formiulam sexti gradus quadrato aequandam perducit, dum adhuc operationes istius analyseos non ultra quartum gradum sunt pro- motae. Problema autem hoc, cujus tandem unam solutionem sum adeptus, ita se habet: Invenire duos numeros, quorum productum ita sit comparatum, ut. sice addatur, siee subtrahatur tam summa quam differentia eorum, semper prodeant numeri quadr..ti. anal Positis ergo numeris quaesitis T et - ; requiritur ut sit tam. ay - n (a -- y) — quadrato quam ay -t ? (z — y) — quadrato. | Cum nunc sit 44 -- DB --94B quadratum, capiatur ay ita, ut duplici modo in duo quádrata resolvi possit. Hunc. in. finem posito. zy — (pp -- qq) (rr ss), erit duplici modo : vell 4-—pr--qs et B-ps—qr, vel 4 — ps 4- qr et B—pr—4qs; quare statuatur n (e 4- y) — 2 (pr--qs) (ps—qr) ^ et n (a —y) 2 2(ps 4-qr) (pr— qs), ut fiat Y (zy. A- n (aq -- y)) — pr 2 q5 -2- ps — qr V (ay — n (ac A- y)) — pr 2 qs — ps 4- qr Y (oy -- n (az — y)) — ps 2- qr A- pr— qs V (ay — n (e — y)) 25 ps -— qr— pr qs 29. Jam factae positiones praebent ay - (pr-- qs) (ps — qr) pprs-i-pqss — pqrr —qqrs$ c peeÓ ral erre ? 2$—y (ps-- qr) (pr — qs) pprs — pqss-- pqrr — qqvs c — rs(pp— 99) dm unde fit i ecd Ponamus ergo 2 — mrs ( pp qq) et y — mpq (s$ — rr), eritque e - y — m (pr 2- qs) (ps — qr), i 2 : P ideoque. n — — . ut numeri quaesiti fiant. c 1 . y mmrs (pp — qq) et ^ x 3 "mpg (ss — rr). Nune ob diy sis (pp -1- qq) (rr 3- $$), habebimus hanc aequationem resolvendam mmpqrs (pp.— qq) (ss — rr) — (pp -- 44) (rr a 55), quae utique ita est eomparata, ut per nulla artificia adhuc. cognita confici possit. 30. Facile autem perspicitur id effici oportere, ut haec fractio quadratum evadat pq(pp— qq)(pp-3q9) — rl rs(ss— rr)(rr--ss)) ^ —" DP MERC UTC RR "ppm yumena m HNPT Problema Diophanteum. 139 tum igitur ob Inn — pus ie T. : erit ms... (pp -- qq)(rr-i- ss) up oo. (pp 2- qq) (rr a- ss) n 9pq (ss — rr) n 9rs(pp — qq) dummodo formulae pq (pp — qq)( pp 3- q3) et r$(s$ — rr) (rr -- $$) rationem. quadratam inter se teneant. | 31. Ad hoc praestandum alia non patere videtur via, nisi ut simplicioribus numeris pro 4 et B assumendis, hujus formulae 4B (44-—— BB) (44-1- BB) plures valores evolvantur, donec duo occurrant rationem quadratam inter se tenentes. Hoc modo vm istam conditionem impleri sumendo ditm: q— 1, $— 16 et r — 11, unde fit 34 p t qdy (pp SE qqy ae —.3.5.11.13.29- et .r$ (5$ — rr) (rr 2— s$) — 185.3.5.11.13.29. Quamobrem ambo numeri quaesiti sunt [ot 5.13.29.29 4, 13:841 "E. [—-— . 45, A35... 8.81 y ..5.13.99.99 — 5.84 — p n - 32.11.11.13 32.1294 ' qui duo. numeri si dicantur .4 et D, fit | 29.99 9544. 99.33 ..:.39 V(AB - 4 -a- B) — s — NL VB — 4 may 16.9.11 — ds M.3 — 84 VB-- 4— P) — gi das Y(4B — 4 -&- B) — ie3di Tim. B L. EULERI OPERA. POSTHUMA. : Arilimetica. VII. De quadratis magicis. (Conv: dead. exhib. 4776 Oct. 47.) ^. "vocet ced eeoeen $ f. Quadratum magicum dici solet, cujus cellulis: mumeri--naturales ita - sunt. inscripti; - ut summae numerorum per omnes fascias tam horizontales quam. verticales, tum vero etiam per binas diagonales prodeant inter se aequales; ita si latera quadrati in 2 partes aequales dividantur, numerus omnium cellularum erit zx, et singulae fasciae tam horizontales, quam verticales, qe etiam binae T3210 0fü 5 5 diagonales continebunt z^ cellulas, in quas ergo omnes numeros naturales 1, 2, 3, ^. qmi disponi oportet, ut summae per'omnes fascias memoratas evadant inter se aequales. pe igitur ' ac (1-7 200) 2 or unde si fuerit &» — 3. summa per singulas fascias erit — 15. E rob ipp $ 2. Hine ergo in quotcunque cellulas totum quadratum fuerit duisim, summa: numerórum per singulas fascias dispositorum .fàcile assignari poterit, unde istas summas pro singulis hujusmodi summa omnium horum numerorum, ab 1 usque ad zz, erit » summa uniuscujusque i erit. — quadratis per omnes fascias assignasse juvabit Ing "NL p P a. edem) (A Sore 9 1 r 2 E 9 3 9 15 h 16 3^ 5 25 65 6 "wm 111 r1 49 175 i 8 6^ 260 9 81 360 etc. ^ ubi x denotat numerum partium, in quas latera quadrati dividuntur, cx numerum cellularum in quadrato contentarum et i'c(f-r2ax) indicat summam omnium numerorum per singulas fascias dispositorum. ; $ 3. Ut jam certam regulam investigemus, hujusmodi quadrata magica omnium ordinum con- struendi, plurimum intererit observasse, omnes numeros àb 1, 2, 3, etc. usque ad cx hac formulo IWb-i- n repraesentari posse. Si enim loco m accipiamus successive omnes valores 0, 1, 2, 3, usque ad x — 1, tum vero pro n omnes numeros f, 2, 3, ^.....«, manifestum est hinc omnes vraie, ! De quadratis magicis. | 141 plane numeros ab f usque ad a provenire, siquidem cum omnibus valoribus ipsius z& singuli valores ipsius n ordine combinentur.' Cum igitur hoc modo omnes numeri quadrato inscribendi per formulam mo -rn exhiberi, ideoque per duas partes repraesentari queant, in sequentibus perpetuo. partes priores. mz simpliciter litteris latinis a, 5, c, d, etc., partes vero posteriores nm litteris graecis &, 9, y, O, etc. designabimus, ubi evidens est pro quovis numero a multitudinem tam litterarum latinarum, quam graecarum esse — c, quandoquidem valores litterarum latinarum erunt Oz, iz, 2x», 3c usque ad (x-— 1)», graecarum autem valores sunt 1, 2, 3, 4... .a. Neque vero hic certus ordo in istis litteris um latinis, e graecis stabiliri est censendus, cum quaelibet litterarum latinarum. pro lubitu sive 0m, sive 1a, sive 2m, etc. significare. possit, dummodo Singulis valores Yer tribuantur; quod. idem de litteris. graecis. est tenendum, bab) dx | '$ ^. In posterum. igitur quilibet pumerus quadrato inscribendus per. aggregatum ex littera latina. et. xg repraesentabitur veluti per dide sive per a d etc. ita, ut singuli numeri per duas partes. sint repraesentandi , tum enim si singulae | litterae. latinae cum singulis graecis conjungantur manifesto omnes plane numeri ab 1 usque ad ax resultare debent, um vero etiam perspicuum est ex diversa harum litterarum combinatione etiam su pat diversos numeros oriri, "m ullum. nume- wf í | I ( 9 rum duplici modo exprimi posse. $ 5. Cum igitur omnes numeri per aggregata ex littera latina cum graeca repraesententur, pro constructione quadratorum magicorum haec regula principalis constituatur, ut primo litterae latinae singulis quadrati cellulis ita inscribantur, ut earum summa per omnes fascias eadem prove- nidt, ubi cum istarum litterarum numerus sit —-, cellularum autem omnium numerus — xc, evi- dens est quamlibet litteram z^ vicibus repeti. debere. Simili autem modo quoque graecae litterae cellulis ejusdem. quadrati. ita inscribi intelligantur, ut earum quoque summae per omnes fascias eva- dant aequales. .Sic, enim .etiam. summae omnium numerorum ex littera latina et graeca compositorum per omnes fascias inter se erunt aequales. Tantum igitur superest, ut in. hac, dispositione singulae litterae latinae cum singulis graecis conjungantur, quandoquidem. hac; ratione nullus. numerorum ab 1 usque ad zc praetermittetur, neque ullus bis occurrere poterit. $ 6. His regulis in genere traditis singulas species quadratorum pro cellularum numero per- tractemus, ubi quidem statim apparet, a novem cellulis: esse incipiendum, quandoquidem in quadrato in quatuor tantum cellulas diviso talis dispositio locum habere nequit. Praeterea hic in genere animadvertisse juvabit, cum pro qualibet specie numerus litterarum tam latinarum, quam graecarum sit — c, omnes autem fasciae totidem. cellulas contineant: praescriptae. conditioni satisfieri, si singulis fasciis omnes. diversae |. litterae. tam latinae, quam , graecae, inscribantur. 5in Mtem, ergniat, ut in quapiam . fascia eadem littera bis vel ter .gecurrat,. semper , necesse est, ut, summa omnium Jitterarum in eadem fascia occurrentium aequalis sit summae omnium litterarum s sive latinarum ae b-ccd-cete., sive graecarum «c -- 9 4- y 2- Ó 2 etc. | ^ I. Species quidratorum i in 9 cellulas dicisorum. S 7. Cum igitur pro hac specie sit 2:— 3, totidem. habebimus litteras latinas a,.5, c, totidemque graecas «, B, y, at vero litterarum latinarum valores hic erunt 0, 2, 6, graecarum vero f, 2, 3. 142 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. Nunc igitur a laünis a, b, c incipiamus, ac facile erit eas nostro quadrato, in 9 cellulas diviso, ita inscribere, ut in singulis fasciis tam horizontalibus, quam verticalibus omnes hae tres litterae occurrant; veluti ex hoc schemate videre licet: a | 5 (c b|ca i e|a|5 t£ .x8 199? ubi etiam in altera diagonali eaedem tres litterae a, b, c reperiuntur, in altera vero eadem littera c ter repetitur; facile autem intelligitur fieri plane non posse, ut in ambabus diagonalibus. simul omnes litterae fiant diversae; haec autem circumstantia nihil turbat, dummodo summa istius diagonalis scilicet 3c aequalis sit summae reliquarum fasciarum a -- 6 -4- c, hoc est dummodo fuerit 2c —a--b. Unde manifestum est pro c sumi debere 3, litteris vero a et b assignari valores 0 et 6, sic enim fiet 2c — a-1- b. Pro lubitu autem poni poterit sive a — 0, sive 6 — 0; hoc observato summa pa singulis fasciis resultans est a 3- b -- c — 9. oue ns $ 8. Simili modo litteras graecas in tale quadratum distribuere licet; talem autem figuram, ordine. inverso repraesentemus: C D ye T T e r8 e «|» RS ubi necesse est ut sit 2» — «-31- 9, ideoque 7 — 2. Sic enim si singulas cellulas prioris figurae cum Singulis hujus figurae ordine naturali combinemus, patebit, quamlibet litteram latinam cum singulis graecis combinatum iri, ita ut ex hac conjunctione omnes numeri ab 1 usque ad 9 "-— tent; haec autem combinatio sequentem producet figuram: m ay | 58 | ce bo | cy | a8 c8 | aa | by ubi notetur binas litteras junctas non productum, sed aggregatum designare. I)» c dé $ 9. Cum igitur in hac figura sumi debeat c — 3 et y,— 2, ita ut litteris a et b valores 0 et 6, litteris autem « et ,9 valores 1 et 3 tribui debeant, si sumamus a — 0 et b —6, tum Yero « — 1 et (2 — 3, sequens orietur quadratum magicum: 2/94 E 1/,95|93 De quadratis magicis. 143 ubi quaelibet fascia nec non ambae diagonales summam dant. 15. Si valores litterarum « et 5, item « et 9 permutare velimus, facile intelligitur, inde tantum situm quadrati mutatum iri. $ 10. Haec quidem dispositio tam latinarum, quam graecarum litterarum per se satis est per- spicua, sed praecipuum momentum in hoc est positum, ut facta combinatione, singulae litterae latinae cum singulis graecis conjungantur, id quod in nostra combinatione casu evenisse videtur. Ut igitur in hoc negotio nihil casui tribuamus, ante omnia observemus ordinem litterarum graecarum «, 8, y nullo modo ab ordine latinarum a, 5, c pendere, unde pro qualibet fascia definita cum litteris : latinis cognomines -graecas combinare licebit, ita ut c cum a, / cum b et y cum c combinetur; ita si prima fascia horizontalis statuatur ac, 52, cy, quoniam in nulla fascia sive horizontali, sive verticali eadem littera graeca bis occurrere debet, facile patet secundam fasciam horizontalem fore by, cc, a8; tertiam vero c, ay, 6c; unde hoc quadratum resultet: a« | bB | ey 5| 5y | ca | a8 c5 | ay | b« ubi quia in diagonali sinistra eadem littera graeca « ter occurrit, necesse est, ut fiat 3u—a«-1- 9-1 y, ideoque 2& — 8 -- y, quamobrem hinc valor ipsius « determinatur, seilicet « — 2, quemadmodum vidimus sumi debere c — 3; hinc autem nulla nova quadrata magica nascuntur. $.11. Quanquam in hac prima specie dispositio litterarum. graecarum nulla laborat. difficultate, tamen pro quadratis plurium cellularum plurimum intererit, certam regulam tradere, secundum quam litterae graecae rite inscribi queant, postquam latinae jam debite fuerint dispositae; hunc in finem eligatur fascia quaepiam media sive horizontalis, sive verticalis, sive etiam diagonalis, ita ut ad utramque partem istius fasciae in cellulis inde aeque remotis, ubique duae litterae latinae diversae reperiantur, veluti hie evenit in columna media verticali, circa quam in prima horizontali reperiuntur litterae a et c, in secunda b et a, in tertia vero c et b, ubi binae litterae diversae sibi ubique respondent, $ 12. Postquam autem talis columna media fuerit inventa, in ea singulae litterae latinae cum graecis cognominibus combinentur, tum vero in locis utrinque respondentibus litterae graecae eog- - nomines permutentur; hocque modo ista figura resultabit: ; ay | bG | ce ba | cy | a8 c8 | aa | by ubi certi sumus eum singulis latinis litteris omnes graecas combinari. Ceterum, ut conditioni diago- nalium: satisfiat, necesse est, quemadmodum jam notavimus, ut sumatur 2c — a-1-b et 27 — «-- 3. Haec autem figura non discrepat ab ea, quam supra $ 8 invenimus. Denique hie observasse juvabit, quomodocunque fasciae sive horizontales, sive verticales inter se permutentur, inde in summis tam 144 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. -— Arithmetica. fasciarum. horizontalium , quam. verticalium nihil. mutari... In:diagonalibus autem hine ingens discrimen nasci poterit: ita si. prima: columna. verticalis. auferatur. et:ad sinistram: apponatur, orietur haec figura :- [68 cx |ay | ; ; t | ! (1i 1 IC TI (680 1525 | , Pl jiqe Cybotid | ber ['uriasaauinoo .ei»seTa cilusaie mu scade ac | by | eG 6 Í 121 nT Qi (i i6ftititl í1 I i 3A ubi.ob fascias/diagonales sumi debebit:.2a — à c et.29 — « y, id: quod in. omnibus: transposi«: tionibus est notandum, quae observatio in.sequentibus speciebus maximi erit.inoménti, /— 050105 1 i tipJaoxmod AH. Species quadratorum: in. 16 | cellulas: dicisorum. '0l teoleiuoxinod $ 13. Cum ergo hic sit & — ^, quatuor habebimus litteras latinas a, b, c, d, quarum valores sunt 0, ^, 8, 12, totidemque etiam litteras graecas «, /2, y, Ó, quorum valores erunt f, 2, 3, &. Primo iguor tali quadrato quatuor istas litteras latinas ita inscribamus, ut tam in omnibus fasciis horizontalibus, quam verticalibus, omnes hae. quatuor litterae occurrant, atque ut hoc etiam, si fieri potest, in ambabus diagonalibus usu veniat. | iib ni siup. idu $ 1^. Quoniam igitur. inter in^ litteras « 4, b, €, d nullus ordo praescribitur, eas in e. columna horizontali ordine inseribamus,,. tum vero etiam fasciae diagonali sinistrae, ubi in cellula T | uasa enmgbiv secunda hujus fasciae diagonalis vel litteram c, vel d scribi oportebit, scribamus igitur c, et jam reliqua "omnia determinabuntur, dünimodo caveatur, ne 'eadem littera bis" in eandém. faséiam. sive i Lee 4 UTI Cp ailpibenp id iotng liorizotitalem ; sive" veiticalem inferatur; lioc modo nanciscemur sequentem figuram: "^"? "s - 1; beste alid "T (upiao (1 iiioédi 53i 9655619 5519Hl[ ftp od a iq "a 5'*ia tih MT (ftGiqo6up Bi: hl iuinailo ET 2ij a. u p ullaa "T o£i^as! 2ullei £194316Q 9 pmau13g bs 523142 idcoibiex sibes 6uüs0105 ni Jinovo anl Boy idasroqet il sdaft dd 6 (4 Gidr nifisl ai 15 6 5huagooa nb 9 39 » sg1oMlil T2 d: EL E nanioo eis] nasius (t5upleo* €i 2 - 0155 í L | T "e 0 FIT H Iioft295 el i)9sT3 ubi m ihn altera iriicsen, omnes quatuor litteras -eontiuet, m ut hic nulla. conditio: circa É valores litterarum a, b, c, d praescribatur. Hic aud cellulae diagonalis secundae anra Me€—— potuissemus litteram d, verum figura hinc resultans, ;non aliter nisi situ ab hac figura discregum ita ut haec figura omnes casus possibiles complecti sit censenda. $ 15. Jam pro litteris graecis inscribendis, quoniam nulla datur fascia media ^ neque inter horizontales, neque verticales, fasciam diagonalem a, c, d, b pro media illa accipiamus, mox autem . deprehendemus, in: cellulis: utrinque aeque: remotis::et; respondentibus ubique:-binas. litteras inter ;se: diversas reperiri; unde regüla' supra: $ 11. data tuto: uti. licebit, Primo: igitur litteris: in'.haé: diagonal dispositis -jungamüs graecas cognomines;:deiüde in cellulis: respondentibus litteras —— cognomines permutemus; hocque modo sequens figura: formabitur: : isiaosiod ovie ci»est oupüassobomenp V «M KUC1HDe! qiiadratis: imagietis. | i03 145 , *, , ' . *1 TE TT , * " Sibom sie eumruiq ostetimil! osariol aono. eli 9|enioe£] aehyenie eq cemumue oie9lhaso: idu 4 a« | 60 | 68 | dy ! B3olod inel muisaunloo qmenoiliezoqenr! 150 d8 | cy | ba | aà| 9vi» ,ei59iMo" »vie etnmuloo eslugaie 19H — 3) 9 099 sisloeds moie ov spo .€1 - " . ' " : (44 . . " ; mol aamulo» eul gi aieile rmármov "S. a8 | dà T if 95H 06) 9f eon(imo eolsfuoxitod tie emus mures obomtmb ,11n5iborgni| ede uje| ignc ovie os19Hil oscid mulaei Mu ,32940q apqo ensdiTiluooq eudimoileT9qo ,eibuaobno3 zr gn m»oJgs ibomeuiud o14 .100!5u ióe » 16. . In hac. Agitur. figura. omnes , quatuor |] litterae ,tam latinae, quam, graecae. in omnibus fasciis » , |] tam. directis, quam diagonalibus. occurrunt; unde quaterni valores numerici his litteris pro lubitu. sine ulla limitatione tribui possunt. Cum i igitur quatuor litterae 2 variations recipere.queant, hinc omnino 576 fne figurae formari poterunt, ubi poda plures tantum ratione situs a se invicem disei)abünto 3-9 — b a-» 55e» omiw emmuiple eunnb muiquero zinoieT9qo eujud 3J 0€. $ 17. "niii vero hinc concludere licet, in hac Es omnia plane quadrata iliagica: hujus speciei contineri. Praeterea enim plurima alia exhiberi possunt, ubi non in singulis fasciis omnes quatuor litterae tam latinae, quam graecae reperiuntur, nihilo vero minus conditiones praescriptae adimplentur, tales autem formae per transpositionem columnarum sive horizontalium, sive verticalium oriri possunt, veluti si in superiore figura prima columna verlicalis in finem transponatur, orietur haec figura: ! bà ca dy. ac imoInaosgib 19 499£19 rris 2 odii oq éylbea'|dg| trie e619end o0 j eftt ?usd e»nu» (dbmnpobüsup ."03090i4d(009. T5TrIDIUTTZQO 0797323 ciniel 21013) — etis doe.| ay: bg: cà: 150 poe I)DAHg ,"8ine* ubi quidem in omnibus fasciis tam horizontalibus, quam verticalibus omnes litterae tam latinae, quam graecae etiamnunc reperiuntur, verum in diagonali a sinistra ad dextram descendente duae tantum litterae latinae occurrunt scilicet. b et c, praecae autem pariter tantum duae « et à. Contra vero in altera diagonali tantum hae duae litterae latinae à et:;d, graecae vero ut ante, tantum « et ÓO. $ 18. Ut igitur haec figura conditionibus. praescriptis satisfaciat, non amplius singulis. litteris singulos valores numericos tribuere licet, verum haec limitatio adjici debet, ut pro litteris latinis fiat-b-À-c — a--d; pro graecis autem ut pariter sit &--0 — /2-3-y, quamobrem si sumamus & — 0, statui oportet: d — 19, ut fiat.b — etc —— 8, vel vice versa € —& et/b — 8. Simili modo pro graecis litteris si sumatur c — 1, fieri debet Ó — &, tum vero 8 — 2 et y — 3. Unde nascitur Gb] istud quadratum magicum determinatum 5 | 4| 5[^ 8| 48 9 5 - P - . L 2.2 "TL $ 13. E P " 12. 01 sh «241 uni T A ed o30p52 i25 IDORISBIUD .»Decevu TIB* i ; TRITT] TEDTEATIEETIU B5Hub56 £911 1 L. Euleri Op. pesthuma. T. I, ^ 19 146 L. EULERI OPERA: POSTHUMA. Arithmetica. ubi manifesto summa per singulas fascias est 3. Tales autem formae limitatae plurimis aliis modis, per transpositionem columnarum formari poterunt, ión5 ind i xa 1 Ob | E $ 19. Neque vero etiam absolute | requiritur, ut. per singulas columnas sive verticales, sive horizontales omnes litterae tam latinae quam gr'aecde Occurrant, verum etiam in his columnis fieri potest, ut tantum binae litterae sive latinae; sive graecae ingrediantur, dummodo earum summa sit semissis omnium que Pro his veg autem figuris Ponsia a, tL ione deme yc 2115216] ane! qq TRU - Bae tti l S£ nl at 7 est, pro quibus" vix certae regulae. praescri i , Possunt, 0 litterae tam Jatinae,. quam graeca WNOHDIII 2f 10 ins € "rtt 05 ih itéuUp A Lael. f ita dispoliattür, Wb non "solum per omnes ; füscias lin summam "efficiant, sed etia TEYT I€ ;op15Hil 1601 ret pu 2200 -idii ace pHu latinis: omnes graecae cotübiuentur. à; à: mesivni a m euli onoDBsT dmulas! aetulq ambisp idu ,imwitoq Hhenriol ss1uslb oszTevib 9YG onimmo $ 20. Ut hujus tien exemplum demus, statuamus primo esse ecd - 5 utl latinas, ita. disponamus, ut: tem ewrell. sd mb .1355il o1»bplono». onid oov mapu»! .Y1. 2 : i * à " EY eT t Pe : e^ ftttio eitoerl 2i Uti am nom idu ifila20 WEHHFENEU! mniiulq tiiiffíio 5623159435511] i1amdmoos 191252 o£lqtiesniq eonoillhses apfim ov olhdin.sulnuifeged ogabete méesp ,5e0015| qui. 501914] TODP5Up 4 *a : [| 4 " E í , , ^ p " "Ct " "e « iissid : muiilgoiti M 57i UIUHSHIONITOLRG ovi2. füLDEOTH T d. 40: 4. nu 199 55mgtlol.fusy6 95154 , unidnoiqmibe 11515110 ."J6tioqaneu iani (1 2i1pnijnay nig vog a ems yTorioque (i i2 ijulov iünezoq, mmo :s1ugi! 9nd e) Y " fS ubi per omnes plane fascias summa numerorum. .est. eadem, pro litteris autem graecis per diagonalem. sinistram cum singulis litteris latinis graecae vi rr 9 combinentur, quandoquidem circa hane fasciam utrinque binae litterae diversae dispositae " reperiuntur, quibuscum igitur litterae graecae permutatae conjungantur, unde sequens náscetur figura di£sUp .o£ads!i nct 561931] eonmo eudilssi iq ios dg igy pod nis) efiose] endimamo ai titobiup idi unlasi ocpob ejaobassssb miedzob bs euekre-4e— ee hA mudov aedngrpoqor Snosumsito 5659618 dà | ag | ay i [r1 sp " . o19* £13no.) 156 » o6pgb mmwiugc! 191 15q mos p6ooRTS L5 |3 d 155iline Juut10250 £nilel 3$£315Hil jo » muins) ju 3g oTov o529512 |hb&»| boscógillcfstoth! ssmb osd mulas! ienogsib solls "ni 2ia5Mil eilsmnie znilqme non ,Jeisleise eilqeBppesur d nad ibuoo siggH »ocd duisi 3J .8t 2 Je9H sewdiii sosiTuuun z510l6v sohrgnie ubi ideis siii itai graecis necesse est, Vibo pn er ita:si capiamus q — 0, bi, (6058, :d 2:42 etie M ;. d: 2, ore 3.66 0.— I -orietur istud. quadratum amagiéumsisogo iiele uiisesn aba] .£-— «Je € — t, otov mi—y— deb, nol ,1-—» asismue ie emi] sisssye f| [18 45 muienimedob musigenm muderbeep baei |413 | 16 2 23 * NES. H $t » - X PNE H»Te P rYWY; ; PITHT e19351] 0«q Ju ,.3959D ID9I[D6 9 26mt )9:60 (107195 pos i 61 5 BN FRIES i2? e?|5f o8 $ 21. Plures aliae hujusmodi figurae 'formari* possünt, cujusmodi est sequens: el : OY .666089eq 0 d19I]1203 /aJ asm 4H ToDe! quadratis magicis. 3.1 | 147 L jit» aij eilesit rov eibomr eanuloo »bnp . b. g^ dil aa ay iodob iie sibosm £iulloo doe »baistl ac Jasbbxr-bacabMreqe onis] enspile* oov mu) ,cioiquio» bà | cy | bo | c8 euimeTobiegoo ie boe 9192018005 nisle no onbres bs]4es-puqo mon eiosTg ehoHil ev4 2€ 7 i $ , P | : a ' ' 3e ,gi19Hil aee19vib esaid eunmibuedstqob. eoditfióbu Ud l| a, ii oupahuu ,meibom molcoih v menato» -ia09251 ei»ol ni 19 , 29ttiftioraoo &B99 TS 2 0 by. "eot B8! eiHil eilugnie si»esl ond ni mudombsup —mi»sl] ewe) ni.mpbombsmorp .zUmoIDmoq e»nimomaoo er995Ta ep19!!ii eudilasb ubi manifestum est pro litteris latinis sumi debere a-1-d — 5-:-c, pro graecis autem «--Ó — /24- y, unde sí; "ut "ante; valófes Sümabtur; orietur sequens" quádratui Wiagicum: 10Ji9i 5&d nl 0€ 7 -&iughsq OSE smisiil asaiup iugo etspp e»il 5tToqi»o5 imuitasbaoqe»1 muno1omumn Jodileonp eioori9 oq Jileediq iib &bebilny 004414. oinuo. nud. .Tacilimbs 2d01! uuiley. eiduurpoq ez 1Tojui eolsoifjiov ovie 8|[414:5.[40]: esi»eBb id ime ibóp(Q .T€ -Jleoq eonoHWeniemdsb 26m» oppitoIq 245 43l 9 (& "T m 55Up eutirdeiieqori eb Im " 2 6ili g iq :nüri0] enondpse "üdorto: , "Mierioqenpigdiead ni elis: di? 6mudo9 6m dul iei» fuudel 12,724 91.6 ; , | ' XUI NETRRON $ 22. In his omnibus formis tam litterae latinae, quam graecae per omnes fascias eandem 1651|30 x5 | Ob | »5 summam constituunt; fieri autem. potest, ut ne: hoc quidem usu veniat, verum tamen summa omnium debitum .valorem obtineat, cujusmodi anomálias Pecénsere' eo magis inutile foret, cum pro talibus casibus nullae certae regulae tradi queant, quamobrem, ex, sequentibus speciebus eos casus potissimum contemplabimur, quibus significatio litterarum lam bendi quam graecarum nulla restrictione limitatur | 69, | xb] 5d. | 59: Gn muypv :Mipiuoo osi LEE oSpecies..quadratorum àn25 .cellulas ,divisorun. eydincao ni mobiup idu $ 23. "Hic^igitur octurretit tani quihque 'litteràé latinae "a, 6; c; d, e; quàm graecae 4;"B, y, à, e, quarum illarum valores erunt: 0, 5,,10, 15, 20, harum vero 1, 2, 3, ^, 5, ambos igitur harum litterarum ordines cellulis quadrati ita inscribi oportet, ut in singulis fasciis tam —— quam gm atque etian díagohalibus omnes littérde occurrant. "77 Comes qme $ 2*. Primum igitur huic quadrato pet supremam fasciar horizontalem litteras latinas ordine inscribamus, deinde fasciam diagonalem sinistram. litteris compleamus,. ita; ut, in nullis reliquarum fasciarum eadem littera bis occurrat; id ,quod plus uno modo fieri potest. E Hac c autem fascia constituta, » Z - E altera diagonalis sponte. dboietur, ut in "figura annexa videre licet: aup .ocadch osT9Mil mj mieose mui: niup. ii jog iise sibom esdimiq eudinoiiboo^ eudinp ae | bà | cy |d8 | emi !u .ug1i9Joq t"i*su:mbjeb &H 96599519 . dà ay |.be, o »& (& $ -4- 5 —— X (1 bo | et E74 TES eudiToiw esdesb je» mige easbiv E (e! c )--5 Obtt'^»rtuue 1 boun bi , 3ü£pJiJefio9 6 a. aiio." —aX (4 E Y 9 mesilemdiie mdoieesTQoTq 5 o n9, e»doiJibaos »sypiler s&ob ; 0€ —^* 1» G3 senilis sdoiegsT201q Bi X 9 .5 ut figueib|oripio ped 46595jg os&ToMi[ ie ,Tvrinpdolqmibs H H 2 | Y €t. bo dy » ) o! i L et mutetbeup bptei 109/510. 9bau 60 39 ——6],& 6|! -2-» obnosemse Joil boup b) ,3n6bo '01q Us L. EULERI OPERA: POSTHUMA. Arithovetica. Deinde sub cellula media scribi debet a. et super ea. d j uode columna media verticalis jam erit Y completa, tum vero reliquae fasciae sponte se produnt. $ 25. Pro litteris graecis non opus est ad bucin- diagonalem confugere, sed si consideremus columnam verticalem mediam, utrinque in cellulis: respondentibus deprehendimus binas diversas litteras, quamobrem in hac fascia singulis litteris latinis adscribamus graecas cognomines, et in locis respon- med petiópi Seve — Jes. qutm in apre fecimus. | nem mH 8 26. In "ele igitur figura ys plane. limitatio. praescribitur sed tam pro litteris latinis, quam pro graecis quoslibet numerorum respondentium accipere licet, quare cum quinae litterae 120 permuta- tiones admittant, hinc omnio 1*^00 variatione$ oriri possunt. $ 27. Quodsi etiam hic fascias sive 'horizontales, sive verticales inter se permutare velimus, plures alias formas impetrabimus, quae autem .ob diagonales plerumque certas determinationes postu- labunt, veluti si hic prima columna verticalis in finem transponatur, orietur sequens forma: a Ü i P bà | cy | dB | eo | ae "m 5 T ITE ZRATE T* 2Wirol s2odigito eid ni ^P / ca | dó | ay | 6e | e Í 1519 )5piti5v DUeUu| fI 11 230 | 511 1j iplo i-fuoibe rion ;duniiego2 qnsmamgg i ol olnnm i ront 0 ey b 4€€ 4,40. da. iboi 2U[U ) iconildo imnetolcv- mutidsb (t ifite TN MT. 20257. 2045. 21HKI' P604 2Urdilitó) a5 (Died 61H HIAOAIDD..1051J 9510991 5&1193: apiini A dt28692 | j ) di "4 eó ca by Hj . : [1 D aoiionieo* alius nmüorre qesp .mienileL—Rei—enucihuedi oissüineie eudinp ,1Turdidelqnodmo» aj! ee | ba | dy | cà uide iail ubi quidem in omnibus fasciis tam horizontalibus ,''quam ' verticalibus omnes: litterae occurrunt; verum ut simul diagonalibus, satisfiat, tam haec summa. 3€ t- b -- d.-- Putdinp isla (e 2 e ( — »yolew caielli mi 50b y 0 vldulr VN "Sa-- b7- c See a an B7 POEM . udi RJAIovini ftit Hc i1 T , (10 1 ulrioani-4 T iie 5nÓmm» "T ull» 291f8i0'10 (1101 5191 miirint] praescriptam summam omnium initam et graecarum. literarum. scilicet. . apis ,eudilnoitryv- tup b d -4- e 4- "Nu ! uu nisl a6193H]. not: ftoi Tufodn PVT tds teg vf nie iuum X " tib. ameioesl obniob .emuediToeni conficiat, ere hri hinc naseentur hae düáe &eqtiatioties ioisnog Tru 2 Í | (ttibo mireinant : bc-c00— acre cea ky et Banda ceed NA 6zonícs 6l oti ni dg i qe e: snoecib 619416 quibus conditionibus pluribus modis satisfieri poterit, quin eliam seorsim tam litterae latinae, quam | graecae ita determinari poterunt, ut fiat i) 2e—a--e, — 2) 2a — d'r- e; s3)»902-a--y e' 4) 29:—y-- 9. Evidens enim est duabus prioribus satisfieri, s? hae litterae"d, b, a, c, e progressionem arithmeticam constituant, id quod fit sumendo d—0, 5b — 5, 4—10, c Cz— 15 et e— 20; duae reliquae conditiones adimplebuntur, si litterae graecae hoc ordine. ipn " 8, 9, s, y in progressione aritlimetica " procedant, id quod fiet sumendo «— 1, 9—2, 0— 3, £— et y— 5, unde oritur istud quadratum: visse atv À. H ] ] De "quadratis: magicis. [4 " 149 .|^8|20|!9 21 44 16|/3|15/:9]|22 25/77/49 | 13|! 1 0M [14 [93 |47 | 40. 19|2*].6|:/5|18 bic ; scilicel ubique. eadem, summa, prodit, 2:568... i545 uiosenlus motus melee cd 6t $ 28. Talis autem distributio litterarum haud exiguam operam et "Circunispectioném postulat, praecipue in speciebus superioribus, ubi. plura elementa prorsus arbitrio nostro relinquuntur, ita ut numerus. talium figurarum continuo fiat major; verum si eam conditionem omittere velimus, qua nulla plane restrictio inter valores litterarum praescribatür, labor satis commodus reddi potest; si enim litterae c valor medius, qui est 10, tribuatur, reliquae vero arbitrio nostro relinquantur, eadem littera c alteram diagonalem complere poterimus, unde reliquae litterae ordine naturali sequantur, quemadmodum ex hac figura perspicietur ( " * 0l -—3 do g'Uatu ienossib 07H] itiobiip bec die uw tilfeortiiao» £12» nimio! i (ift 60 Lu »- 2 uc VES Jnnt r! -— - "1 - - 1 —— " f* WP 2 » j ' 6 — 6! —» ,Ue — b 2U c9 0195Y [111073 eT t H (dte— 3$ AED C ——- : Y )|uw E 5-0 J9d5óbD 38 51? Ts ETSI imrudeibeup imugeqi. 04 euditolsv endiup zi .*pdineypsa insup -.9/odge 960 fu i5) "^u uev] eu ei aumngl :ibomeautd e6!5 se9101d .0£ 7 TED TT E10 5 qIWIDEH ^ " "T - * JJ *isbhvos (t T sh rs — T (3d 4. - i SFI9430 r9: 5h HNIERASDEGCHE (E 00 ro59r Hl inidakis25di AHIiCAIDO5DD GUTHGUSOY 5:1HTU «3904 MIL aut 9m fr nmuToo iein ts ient ro 8 Midi 29HHf(n0O 20Í!L ,2Uffí"iget Nunc in fascia. media horizontali singulis 1 litteris latinis graecae El, adscribantur, tum vero dd 2516 T^f(10* 2 ero n 9j 4291 Hr .Ubg651i9DIi25D 39101 (112 Dis irf TH Lead He HTC P144 circa eam utrínq jue £oghomines Sec permutentur;. dincque. orietur — forma: n ieqii X] i£ 51D A. AI M)pDgÀE "de M . "gine Iebornmíaio9 (itiioilog ia tHa21! T bd njugeesa26 19229 od fino aidmop: sj de ea ag dy i o12. migs. ausnimodolo" 199519] be | co | d | ey | aà .Atgto23 nb vni Ma: 2L 5 i ^10 ibus x 233^ y ^, 2i ac | 58 | cy | dó| ec oiiidT6 29noiieuianejsb semilla 1o UtreERITTT WHO TQmOiiev euíonmua oid memos —d dinis SEOPHE NURSE "T (|a "Ce ?695813 fü5bp 9500! m65j 58194 ssp .im9iejo$qgd msjuosT uuiinel 1 asmeors ,"TuJIÍouspaios oi'eon he Jp .1T0J005ód:58 2910!16v. e5l6?- einitel dy :&9: |.ae |- boi: c3» inoqeib /autideb monmib1o mnm li»«! -iliarne bs miüo muJ :6-1« 3-4 OÓ z— l-4-- 9 20595123 0Tq Obotfi 90 ilimie .b4-5-59--9-—Y--: e unde patet déicitestidis ; valorem, .. qui m accipi . debere; . quodsi ergo hic; sumamus. ordine weil sqpupgr 1p4id- qEPÉ0; 2545; ez9599 uw uy gi29,ylL$ png). orietur sequens quadratum magicum: 150 L. EULERI. OPERA..POSTHUMA. . Arithmetica. 1^|20 91]029|58. |40|411/417|23 m TERT 43 |19|25 |92|:8|:9 | 5| 46. 148 2&05 /6 19. g* E $ 29. Per regulam autem vulgarem circa formationgri quádratórüm "ipariuti; quae abiqué tradi solet, ista figura formatur . | GTIHIPOQ HISIEONOSQ?EIIDOTIOD 35. fn61500 T0565170129 burcd ff1i1165123 i*T DUM ES. f. »- Mei da! 2i SSSP' T e] *». fil oiudieib imofos est |.8€ 2 " , ' ZPO "d , Pec lislenes .v ryealo ee E ( M HERI TISIT. ipae oxlsons ortiulis5 21 ET "9A wr o0 73 fup UNIUS. dS4PO — HOS 0010110405. füE6d—— HÓEER|Z- "eR In Souidroroque egdoiseqe ni -ouqioseqq Mil eusiiuoo murured ouilet vuqoniuf - m * 45 us sbhha: ! "1 F 52x. 829/0q 10591 PfbOmemo» 2iliee. 10dàl 4h AUC 8. 18 i Hil. eo1olsy 19101. oijorge»? n»a5lq slug qibes- ulmemptile: otleon ohdidis otv |wqnbilgi| agipgd;)) 90 "umsupos, ierujsen snüibtTo 515i! osupipyr 905g 2] mi vog stolqmoo molenogeib meris 5 erHil il A 8 23| 6 (9| 2/15| leioiqeioq sure »ed zo mubombsmosp $]15|5]^5 quae num in forma nostra contineatur dispiciamus: ac, primo statui debet à — 1, «— 2, y — 3, e — et HW tum. à Ex quibus valoribus hoc ipsum quadratum nascitur. IT y i M 1 $ 30. Plures alias hujusmodi formas satis , regulares quidem pro diagonali sinistra ob e — 10 vero 5 2:0, d 520, a— 15, eS. tam in hac specie, quam sequentibus excogitare licet; unde numerus dua drMoi din. magicorum facili negotio in immensum augeri poterit. Vix autem unquam certi esse possemus, nos omnes casus possibiles exhausisse, etiamsl eorum numerus LEG " (ttu .» Ud 111 )2b& e MIHTIOITSO» )96T2 certe non sit infinitus. Maxime autem sine dubio foret &ariol edegpoe 3ujonrio. ospoadid z30599nfs »! ad usum practicum accommodatae detegerentur, ne opu "d ailironio, Hednosrto si cpecl ai Qf esiderandum, ut regu ae magis generales et 98595rT9 enüimodoeo^ 53 mdirtiy (aeo. $j115 sit plerasque opérationes quasi palpa peragere. Pulcherrimum enim certe incrementum theoriae combinationum hinc esset accessurum. «9| 65! »9 | 3 M f. $y TI c LT Y A AT 1 M , L] L * IV. Species quadratorum in 36. cellulas divisorum. 5» 16b «91 $4 »»| $ 31. Quoniam hic numerus variationum nimis est magnus, et plurimae determinationes arbitrio »b My Q nostro relinquuntur, afferamus hic tantum regulam specialem, qua litterae tam latinae quam graecae . facile in ordinem debitum. disponi queant; litteris scilicet: sex latinis tales valores tribuantur, ut sit a-- f—b-—-e-—c--d, similique modo pro graecis x -- P- g--6— y--à; tum enim ad simili- tudinem $: 20 ;sinpülis fasciis; horizontalibus bias litteras latinas:'conjugatas iinseribamus, in coluninas vero verticales ejusmodi binas litteras graecas dispomamus,, hocque. modo ,obtinebitur sequens figura: :muoisenur mjcibeup enoupoe 1045/10 | 323 isp ,egibsmr 1olov 5$ 55619M1] tulo P. m AETHER qubd Fd maiis 15. 1 t31 * v s ? E- * » .oiifitienomob nei pee pbi omis cievsosii T dt | da | de | cB | cà | cy : eioie mi» -— T9q mobisq owe uiuos e1ieromob ss e150q90iq 5id bomp .so10241 ain$. 32 , Hine, autem, jam. satis. clare. , iptelligitur,, talem Brigrgrun, "Po TU 2 mh qme; eiebus paribus; cum successu. adhibere. posse, pro, speciebus autem imparibus. "ticis rt b rm $ qua litterae medios valores tenentes per ambas diagonales continuo UA um uae, vero [itt erae hinc in ordine, naturali, se » jnsequuntur,, ita, ut quotcunque — Aye o proponantur, semper in. nostra. potestate. sit, plurima, quadrata. magica, construere, etiamsi regulae. hine traditae maxime sin pesitletsusoiios swese p vvsgut sebo ehwasQób awwdiruwo ds o werowboiq sHpespio - : -Mü$ :s5odap3X sp B ET, n ; : ! 3i. C oi9 (b 2) (d—2)(8—29) . 5.909 (b — d) (2— d) (s —4) . ol» (b — 5) (9— 8) (d — 2) Aoapon ola 3. dial qoo ot scM Fs4yyo Dt uM Hue ied obi aoavidarsl 1Tos)sup ,B .Y ,€ S iomon id Jaie iieoqotw .BinTg iq .ie nh : i ! RS ! FERSOCTLGG —'€4-3 5^ ';ld-i- | | " widwopbsr eed bs osup Es i K.5.0 "WR 7 WERT "BA —— zil£imtToold). iv 9upliro et. 0r pu nat ; WiMieogeib tu ,$250q iqisesq £H mpsuolosTh murred oismto! 18551» mrileolom einoleasen sngie 9 eujo lodilomp ot?q ,obneneoT»»b sviz , obu^nestT9 ovie einibudinmosir nmnibro eubnusse eileb. errem |- -etipn eile euditoloniconob ox onpeid ,wiasoub üesivui 5e ni muYonpilet eilugaia & ocioislib Jus iascdi-mileamXs —- io.-F- nügi& zo] ogid zpdinoioni) .oieHaug sf055ixo »10153 juie UieoqoTq imimum ie ifulo V 8r ,Yr .6) Sr Q8 .6 qninesilles HH aoTodegimoneb zisreuie x^ dii Su" ^ COQMERE ER dELGLOR O5 0|08 oro 009QgP — 01.8 .Y 4 & |.8 QGE —9 à .£ 4 6 | & £i. —6 € 6 Tes ' 08]! —t Xt. do 00TQ "zr 1.9 t CI 81 152 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Arithmetica. 5» » AV Theorema arithmeticum ejusque demonstratio. 735 L:35 Theorema, quod hic peponere ac demonstrare constitui, jam pridem per litteras cum amicis - communicaveram , quibus id mon parum elegans ét omni attentione dignum est visum, praesertim éum ejus demonstratio minime sit obvia, ac LE a x erique frustrá — Seius auteni modo istud? theorema enunciavi: ^" — ^ € "sets MM Si fuerint propositi numeri quotcunque inaequales ' a, b, e, d, etc. et e singülis ejusmodi formentur 'fraciiones,' quarum humeratór communis sit unitas, denominator "vero cujusque productum ex omnibus differents ejusdem numeri a singulis reliquorum; ita üi ' hae fractiones sint: | 1 1 1 (a—b)(a—c)(a—d)ete.? (b—a)(b—c)(b—d) ete? . (c—2) (c — b) (c — d) etc. ? tum summa omnium harum fractionum semper est nihilo aequalis. etc. Ita si, exempli gratia, propositi sint hi numeri 2, 5, 7, 8, quatuor fractiones inde formandae sunt 1 nasdi B 1 —4.—8.-8'.' o8 Pd —— 4A quae ad has reducuntur eritque vi theorematis t2 d on "790 "18 10 i8 Ne signa negationis molestiam creent, formatio harum fractionum ita praecipi potest, ut dispositis z 0. numeris datis secundum ordinem magnitudinis, sive crescendo, sive decrescendo, pro quolibet ejus differentiae a singulis reliquorum in se invicem ducantur, hisque pro denominatoribus sumtis, nume- ratore existente unitate, fractionibus hinc factis signa -- et — alternatim tribuantur. Veluti si numeri propositi sint 3;:7708,/49,:715;: 17:48 ex singulis denominatores ita colligantur : ex 3 | 5 9.12. fh. 15 — 113500 E 5. T7. 9.10— 12600 12 9. &. 3. 5. 6— 39859 | 15 | 12. 7. 3. 2. 3— 1512 17 | 1d 9. 5. 2. 1— 1960 18 | 15.10. 6. 3. 1— 2700 Theorema arithmeticum. 153 i 1 463 1 1 EU 1 dien 0 eritque 113300 713600. *.3340 — 1513 *- 1360 — 2700 — 9 seu singulis per 36 multiplicatis: 3150 330 90 (49 235 2" 1—94-35 — 7 —1 ! quod, d ad eundem danominstórem 3150 reductis, ^ SUE : —( per se est manifestum. Casu quidem, quo duo tantum numeri proponuntur, theorema demonstratione non eget, cum sit me esse -L oz; casus autem trium numerorum «a, b, c jam magis est reconditus, ge enim statim liquet esse oT VES T eos ai, d B0; («-9a—9 * 6—20—9) (c— à) (c — 1) sed pro pluribus numeris, , atque adeo in genere, quantacunque s sit eorum multitudo, vix quicquam ! juvat in casibus simplicioribus veritatem ere Verum etiam hoc theorema multo latius extendi et sequenti modo proferri poteit: Theorema: generalius. ^ Si propositi fuerint numeri inaequales quoteunque a, 5; c, d, e, f, etc., quorum multitudo sit — m, et ex uniuscujusque a reliquis differentiis sequentia formentur producta: (a — 6) (a —.c) (a — d) (a — e) (a — f") etc. — 4A, (b — a) (b — c) (b — d) (b — e) (b — f) ete. — B, . x (c — a) (c —9) (e— d) (e—e)(e — f)ete.— €, ^ t 10] (d — «) (d — t) (d — c) (d — &) (4— ff) ete. — D, . e ye (e— b) (e — c) (e —d) (e — f) ete. — ES I2diq. ( etc., quorum uev. in zd facioripps constant; tum erit non solum ut ante s 2t. : MA : -L—- dh -e-goc ele. — 0, A , C D E sed etiam hoc modo generalius: —— Lees | p" a" yt e" a" e^ V. pug uua v JW TOI —— -F ete. — 0; dummodo exponens n sit numerus integer positivus minor quam m-—— 1. lta in exemplo supra allato, quo numeri propositi sunt 3, 8, 12, 15, 17, 18, non solum ev wt ux: po E buugerda Y boue ' 113400 —— 12600 . 3240 ... 1512 .4260. 7.9100 ind etiam — in sepientibus fractionibus. aeque: liabet. locis ftod Nuslv £moi [ l b8vp ) i 8 nq 12 3i1:45 -— 17 AH 18 aM SMBOSE" dium M3400 7 12600 32407 1512. . 1960 .92700 ...— aM unu dud 05? —— a7 ast —0 113400 ^ 13600 * 3340 1512 ' 1960 3:00 L. Euleri Op. posthuma. T. I. : 20 154 L. EULERI ÓPERA POSTHUMA. : Arihenetica. 3? A os 2-1 au 4 our 18? 113400 77 12600 7 3249 77 1313 7* 1360 7 2799 7 $* 85. 4 MAS dh ato | 06 Tq eilugtis Hee 113400 ^ 12600 ' 3240 . 1512. 1260 2700 Buts neque vero ad altiores potestates uroeyedi licet, cum qunbet Rasw Mor ex quinque DONE cond up init Doniauetunto iri-aug endi ppen 195 d hetéona hoc nactus sum ex considerstiolis ingus "fensmiie quam constat, dummodo exponens nm sit numerus integer positivus, minor multitudine factorum in denominatore, semper resolvi posse. in hujusmodi fractiones simplices: D yi p - y7t- -1- etc., r-—a x—b 2—c z—d h " 3 i ab x non pendeltes. quorum ed os sequenti modo viel licet. Cum forma proposita, his fractionibus simplicibus sit aequalis, per z — a multiplicando habebimus ; gn is B (x — a) € (1 — a) D (x — a) ZUG —5u zd. ct z—b un c—c D r—d t eic. quae. aequalitas, subsistet. quicunque valor. ipsi ac tribuatur, quandoquidem litterae, B, C, D; etc. ab c non pendent. Vera ergo erit ista aequatio, si ponatur a —- «a, unde. fit la a? | nc (a — c) (a — d) etc. B) yr sicque valor ipsius- 4 innotescit, similique. modo. intelligitur esse h Mya... ! VEN A. /1 -— 3r d V (0— a) (6 — c) (0 — d) etc. ? dieu ope (c — d) etc." sicque de reliquis. Cum igitur fractionibus simplicibus ad alteram partem transponendis sit z^ ; oc A i B : € ) D : t A 0 olnaata anTopmp (v—a)(s—b)(r—c)(s—d)et. 'a—2;' b—a ' ez ' d—z ^ € Gi -REUMS 4 habebimus utique, numero x tanquam postremo horum numerorum a, 5, c, d,....« spectato : LCS HOQIH udton0imiis 98 a?" p" c" (a —8) (a — e) (a— d)..-(a—&) (hex a) (—6) 0 — d)... (6 — 2) dea) te — 5) (e — d). —. (6 8) DESC e? —L— ze - zr , : to said (r—a)(z—b)(r—c)...(m—v) — , 00D denotante e numerorum illorum penultimum. Haec est demonstratio theorematis propositi , quae neutiquam ita est obvia, ut ista veritas inter vulgares, quarum ratio facile perspicitur, ' referenda videatur, nisi forte alia demonstratio facilior reperiri poterit; quod autem ob-eam rationem :;minus sperare licet, quod hoc theorema veritati non est consentaneum, misi exponens nm sit amer integer positivus, minor multitudine factorum in . t LLL singulis denominatoribus. cw (z — a) (xz —b)(z—ec) (x — d) ete. ^. à SIRE ORUM SET NTHUANCNE srl d e MEE 1 a m mE FM La le DEO sainte. 17 Theoréma, arithnelicum. 7 | 155 Cum igitur sumto pro » numero majore, summa illarum fraetionum non amplius evanescat, ex ipso fonte, unde hoc theorema hausimus, pro quovis, casu valorem istius summae assignare poterimus, scilicet posito factorum numero —7m — 1, ideoque numerorum omnium propositorum d, b, c, d, iom multitudinem — m. Si fuerit n — m — f, vel Az m, vel ncm fractio in demonstratione assumta (2) a unu i9 o, wo! wn tanquam: spuria spectari debet, quae partes quasi integras in se éomplectatur, atque huic ipsi parti integrae : summa illarum fractionum. formatarum aequalis. sit necesse est. sis -J0Up riri Ita casu, quo n—m-—1, pars integra est: unitas, ideoque summa . illarum fractionum — 1. Ín exemplo igitur supra tractato, ubi secundum. demonstrationem signa mutari oportet, erit. 185 ua dfi Melon 85 disc? rot 9700 — 1260 1512. 3240 12600 - 113400 : Sin autem sit n — m, pars oiii ex "fraetlóne illa eruta, est eene e ene dos etc., seu summa omnium numerorum propositorum. Cum ergo. in superiori. exemplo sit summa numerorum propositorum — 73, erit Di adea Ja i s 35 2700 1260 ' 1512 3240 ' 13600 113400— —tL »:Hine: facile. colligitur, quomodo- hae summae ulterius sint inveniendae." Numerorum scilicet pro- positorum 4; b, c, d,...2 primo; suniatur summa, «quae sit. P, tum summa productorum ex binis, quae sit — Q, porro summa productorum ex ternis, quae sit — I, item ex quaternis — S, ex quinis — T, et cetera, quo facto-formetur series- — "ur-—39—' 37e 8- Ge 9e nto, aut sit Roms oes, 6 — 8P—w0-e n, $ — GP — 9Q -- XR — S, ete. atque | casu erit summa nostrarum fractionum n—m-—1 1 GA c TR. E a n — m 3- 1 $8—P-—no n — m 4-2 —P-—2PQ--hR n —m--3 $—P'—3Po--2Ph--Q' —S n — m -- ^ G — P—MpP0--3P*n--3PQ* —2PS —20R -- T etc. Vel si ponatur summa ipsorum numerorum — 5B, summa quadratorum — £&, summa cuborum — t, summa potestatum quartarum — GC, quintarum — 3. etc. erit ut sequitur | a m n qe cem 41—9,. 8—;9'--;0, mr mms oc -— $—19.--ig0.10--i9--168, ete. mo qui valores hae lege progrediuntur, ut sit: 4 A Dent 156 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 3 — 9 EE de G — 3 (D3B-- 3L a- 0) (9 $ — ^ (BG a- 0:5 a- 909 2- €) etc. i : . ii Theorematis nostri veritate stabilita, baud » re fore arbitror, si indolem formularum, « circa quas theorema versatur, accuratius invesligavero. Quaeritur igitur, si propositi fuerint numeri quet- eunque a, b, c, d, etc., cujus indolis sit futura formula (a — b) (a — c) (a — d) ete. * quae ex . differentiis cüjusque a reliquis in se invicem multiplicatis producitur. Sit igitur multitudo po. numerorum propositorum — n, et assumta quantitate indefinita z, inde formo hoc productum (z— a) (2 — 5) («— €) (s—4) (s — 9) etc. : quod mültiplicatione evolutum praebeat | gl gin A2y. qu;n—àl G2 524. gyzn— 4. ete. Dividendo ergo per z — a habebimus n. n1 3 NR A Ul (z ms b) z— €) (z—d) etc. — cie "s HUP ez -:- etc. Quod si jam hie. ponamus. z — «,. orietur. ea. ipsa forma (a — b) (a — c) (a — d) etc. quam supra littera 4. indicavi. - Tum. vero ad alteram partem tam numerator quam denominator in — abit, ejusque propterea valor erit | & ie nup na^ —! — (n — 1) 9(a" —? 4- (n — 2) 8a^—5 — (i3) (Ga^—* -- ete. iui qui cum sit q"— S(q^— !- ^i- e moni Ga^— $a" —* — etc. — 0, (Conclusione caret.) h - Fragmenta. ex Adversarits. depromta. 157 QUumEL- - Fragmenta arithmetica ex Adversariis mathematicis (* depromía, | A. Divisores numerorum. a) De numeris formae mxx -- nyy eorumque divisoribus. JoesE di 1. musiened (J. A. Euler.) TükonEMA, Si formula maz-i-nyy casu z—a et y—b praebeat numerum primum c, tune « omnes numeri primi in formula &--'&mnp contenti simul erunt numeri formae mzx-i-nyy. Quin etiam omnes numeri primi in hac formula «qq2-&mnp contenti simul erunt numeri formae mxx-rnyy. .. NB. Demonstratio adhuc desideratur. node * 3 A. m. T. I. p. 13. ) 2. ; | (Lexell.) Si dapeidós anzac-- ny divisibilis fuerit. per numerum integrum 4, infinitae aliae similes forsiíilse per eundem divisibiles exhiberi, possunt. In genere enim haec formula m(aca-5-(2)*-1- n(ay3- yi)? per i erit divisibilis, quicunque numeri integri pro c, B. y accipiantur; semper autem numeros &, 8, y ita accipere licebit, ut quadratorum radices ambae cx — 58i el ay — yi infra $3! Uepri inus, quin etiam altera cx — 5i ad unitatem revocari poterit, quum ma numeri x et i dentur pro fractione cf? quaeratur in numeris minoribus fractio illi proxime aequalis rx ita ut sit qz — i—-2-1, quo casu invento sit altera radix cy — yi—r, atque hi duo valores »—1 et y—r quasi princi- pales spectentur, tum vero reliqui ordine in hac tabella exhibentur: | s | r 2r — ài 3r — ài hr — ài i 5r — i | Jam pulchra hic occurrit quaestio, quinam horum valorum pro z et y producturi sint minimam formulam (m-i-n)ié, quotus certe minor erit quam 3 nen), ideoque erit vel 1, Q9 ow I9 mzz--nyy, quae cum minor sit quam vel 2, vel 3 etc. " : Exempli gratia, sit formula proposita 322-1-2yy et sumatur z—7, y—32, ac prodit numerus 155, cujus divisor sumatur —i—31,.ut jam proxime fiat WT pm sive &—9 et $—82; tum enim fit 0 Tomus I p. 1 ad 316, ab A. 1766 ad med. Apr. 1725; tomus It * r ad 246, inde usque ad Junium 1779; tomus ui p. 1 ad " 484, inde usque ad mortem Euleri, 1783. 158 .L. EULERI. OPERA POSTHUMA. | uidibmbiita cx — i—63—62---1, et altera radix gy —yi— 18—31 — —13 — r, unde fiat sequens tabula: Sf NR 4 » 96 I1 y 15 0$ 9 »— & 5. Minima formula hinc nascens erit secunda:: 3.2?-1-2.5?— 62, quod per 31 divisum dat quotum minimum 2. lU À. m. T. I. p. 94. 95. "ir l2: ww * 39. ; : Tnronkwa. Si fuerit numerus primus formae p—$n4-5, constat semper dari formam aa--1 per illum numerum p divisibilem, tum vero nulla hujusmodi forma a4--ayy unquam erit per p divisibilis. Contra autem pro numeris primis formae p—8n-1-1 datur etiam forma dd-34-l per p n tum vero dabuntur formulae ax--ayy per p divisibiles. T "^ | Demonstratio eo nititur fundamento, quod priori a numerus a semper sit non-residuum, in posteriori vero residuum; illud autem inde ostenditur, quod numerus residuorum sit 14-2, inter quos quilibet numerus utroque signo -- et — occurrit, unde multitudo diversorum residuorum erit 2n-1-1, scilicet impar; sin autem numerus ille « inter residua esset, haec multitudo; prodiret.par, quod esset absurdum. Am. T. T. E ti n dax du ilu91d09 «qnit? D siut LS itaq A. | i: i iol KiSu i y 214059 Utour - wa siano 551i (N. Fuss IL.) ; ; "a j QU PUE ARN NUIT "uneisbiesbp sudbg oilgiedouan — Vu. . TukonkMA. Si formula naa-4-bb divisibilis sit per numerum p, semper dari poterit formula n-rqq divi- bi sis , 1 sibilis per eundem numerum p, ita ut q «— P DrwoNsTRAT:(O. Quaeratur primo formula generalis nza-1-yy per numeruiá p divisibilis, quod fit su- mendo z-—-«a— Bp et y—ub-— p; tum enim sta formula. erit: '&a (naa -A- Ub) — -Vep(hadpa-ubp -Epp(n88-3-yy), quae ergo per p est divisibilis. Jam semper numeros « et 8: ita giai Jicebit; ut fiat ca — Bp-—1, ideoque rxel; quaere scilicet fractioneii E proximi aequalei ips 2. Cum igitur it jut Tlümeérum y ( n15Hif65 394 j Ms i X C semper ita accipere reg ut fiat y non solum minus quam p? sed etiam minus quam aP- Tue D: Pv € E PnosLEWwA.. Quando. formula aa 4-05: divisibilis: est per numerum: »; quotum ex: siibidéno: resultantém: per . formulam: integram exprimere. 5; o6 0jii" T Hi Beh nID )Ik z$t — 13) Soruri0. Cum igitur detur numerus 4, ut sit hic dd divisibile per p; pohatur' MUN E r suntirque ) — qaA-pd eritque naa 3-bb — naa-t- qqaa-3-2pgad 3-ppdd, quae ob »—pr-—4qq abit in düebangedecs. quae ergo per p divisa dat raa-i- 2qad -4- pdd. Quod autem. poni possit b — qa--pd, sive ut LE semper sit numerus integer, inde patet, quod etiam detur formula n--qq per p divisibilis, ideoque etiam naa-i-aaqq, quarum diffe : rentia bb —aagq per p'divisibilis erit, unde cum p "süpponatür numerus primus, vel b-1-aq, vel be aq per p divisibile, utrumvis perinde est. . quia ,ergo integer sit. zd, 3c ed poni Semper poterit. b dp-t- pa. TILET ! riür^5u fi pj IODUI itipl. 1 Ar m. (T. - is 209. 9E ee , SG TIT TEM ; T si y : H f 4 . s Ul 34 1 IT (1 iod I 525719 a2UIOUD i Huasup . UOHRTOB » : »1 '] L] : Wa] AUI o | | & da C"TugOREMA: Omnis nüterus prinrus forihiàe " $21 semper in. foriil ca 4:9jy. continetur. iqmoza Dro NT ATO. :- Sufficiét ^ ostendisse * semper exhiberi poske forni 4*3. Dp?! per '8n -4- 1^ divisibilém. Demonstratum autem est, hanc formam a*" — 5$ uf semper divisibilem esse per 8n e 1, , quicunque. numeri pro "m » d et p accipiantur, acilicet primi ad Ced p a^ — pn, xil a. p erit . -divisibilis,, Facile. Sui demon- s e T | Fragmenta ex Adversariis: depromta. —. 159 stratur non omnes numeros a!" — ^^. divisibiles esse. Dantur.ergo éasu&, quibus forma a*"-4- /*" est divisibilis. Habebitur ergo summa duorum biquadratorum. divisibilis 4*-—B*...Quare. cum sit. 4*-4-6* — (aa — bb)? 4- 2aabb, propositum est demonstratum. — dta -cum 97. in forma 8n-1-1 contineatur,. reperitur. 97 — 5*4-2.6?. TukonEwA. Omnis numerus: primus formae 8n-1- 3 simul in forma zx -1-2yy continetur. DrwowsTnaT:O. lterum sufficiet ostendisse, dari formam A^4- 2p* per 8n-1- 3 divisibilem. Cum igitur haec forma a5"--?— )*^-*?* semper sit divisibilis, quicunque numeri pro a et b accipiantur, erit vel a.a*"— b. b*^, vel a.a*"-4-b. M divisibilis. Jam sumatur a—cc et b — 9dd ut. a.a^". fiat quadratum A* et 5.5*^ duplum qua- dratum, puta 9p*, sicque vel forma yy 2p*, vel A*4- 2p* divisionem admittet per 8n-1- 1. At vero demon- stratum est ;;formam A* — 2B? alios divisores non admittere; nisi vel formae 8n -- 1, vel formae 8» — 1, unde sequitur alteram formam 4*-1-23* divisibilem esse. lta cum sit 107 — 8.13-4-3, reperitur esse 107 —3*-4- 2.7?, hocque semper unico modo, quod ita demonstratur: Sit Peces simulque P—cc-2-2dd, numerus P necessario est compositus. .Cum enim sit de ae ceqeee cnionp von Toga HTOB SL cé7a- 9d, erit ad — ec — 9 (dd — Wb), a-3c- — 9(d—b) p ka —Àáà Fed. 435 "" it Erit ergo a--e— ap et d4-b— eq, d — b — (8p et a —c—:284. Hinc 2a — ap - 4- 28q et 9p — zi aq — Bs. quare cum Mp — — laa 4- 2.Abb erit XP — (aa 4-238) (pp -i- 2449), sicque &P certe duos habet faclores, quorum neuter unquam esse potest neque 1 neque À; sequitur P ad minimum duos baleR lectoris 3—174-2.1 59 — 3*4- 2. 5* 11 —3*4- 2. p 67 —7*-- 2.3* 19 — 1249.35 A (01832 924-21? ke MIN namot leq DeL ous ha iar a o 7407 — 374-9. 7*. Notandum hic, praeter cásum primum, in omnibus feliquii alterum. quadratum semper per 9 esse divisibile. Nn zz .sobag-- ba (ur 25; Y —( Tec A. m. T. III p. 180. 181. am d 5 "TukonEkMa. Propositis numeris quibuscünque a, b, e, d, si numerus formae abpp-1-cdgq multiplicetur per numerum formae acrr--bdss,- tum. prodüctum semper continebitur in: hac forma bera -r-adyy. ,DiwonSTRATIO facile patet. Sumito enim a — apr 24- dqs et 3j — bps — eqr, postrema forma bcaz -- adyy reperitur producti binarum praecedentium. | A. m. T, III. p. 182. (Golovin.) . Tuxonxkxa. Productum ex, duabus. hujusmodi : formulis . aa -- ab -A- b. et. cc4- cd A4-.dd semper ad. similem "seine rentia reduci potest. Est enim duplici modo: ame BERE ET 3 vel ax -—ac--b(cAa-d) et marem — lc vel etiam» — ad-i-b(e-i-d) et. y — ac — Md. Ita si fuerit a—3 et 5 —2, tum vero c—1 et d— 5, erit aa -4- ab 4- bb — 19 et ce-i- cd - dd — 31 ; prior igitur resolutio: dat à — 45. et. y 13; hincque: im iratis — 589. A. m. T. II. p. 204. - (Lezell.) * TugongMa. Si formula &aa-4-28ab-1-ybb per rin sui similem edant td multiplicetur, productum e hujus.formae ^ (500 0 s o6 [4 idi luoupos V ! cniin jay m ay eritque Moeqpailoghe et pcipeiih Mis ConorLAnivUM. [ta si fuerit az ja x d. et Mz, erit (aa -t- ab -- 0b) (pp 34- pq 3- qq) — c -- vy 4 yy existente; z api bq et y — aq- bp 4- q. /ota Editorwum. Casum specialem, quo 9 — 0, vide Comment. arithm. T. II, p. 201. A. m. T. I. p. 26. 160 : L EULERI OPERA POSTHUMA. - pem TuronrEMA. Si formula acpp-i-bfgq. ducatur in. formulam abrr-4-cfiss, productum erit : ab (aapprr 4 8 8qq55) --a( (e.crppss-4- bbqqrr) — ob (apr 3 893)*--a5 (eps :&& br)? mer ergo producti forma est abza-i-aByy existente a» — apr-- 8gs. et. y — aps a-bqr. (Conf. pro casu a — b. —1 Comment. arithm. T. IT, p. 901.) PnosLEMa. Formulam aczz--0fyy in aliam ejusdem generis transformare. SoruTio. Ponatur x — bmp-i- nq. et y—anp — «mq et prodibit ac. bb mmpp A utm qq 3- bB aannpp A- bf c. mm qq — ab mm (abpp 3 op qq) )-t- ann (a qq I ara ab mm -- aj nn) ) (ab -- c q). | ; . : is 6) ii m A. m. T. L. p. 130. - ILU " T j UAE : ] : pose (N. Fuss 1.) ' A , ; ue Turonkwa. Si numerus formàe xa-i-nyy divisibilis fuerit per numerum pp-1-n44, quotus gempet erit nu merus ejusdem formae A*a-nB?. mes " H DrwoNsTRATIO. Cum numeri z et y ad pp a-nqq- debeant esse primi; et p et q quoque sint primi inter se, quicunque fuerint numeri cz et y, semper per p et q ita repraesentari possunt, ut sit- a — ap pa et ne y — yp-3-0q. Hoc modo formula vax--^»yy abit in hane: pp EPA PON NT) )--9pql apre. quae ME pp--ngq divisa praebeat quotum A, ita ut eit pp (ca A- nyy) -r gi (BB -A- n98) 4- 2pq | (ad 4- nz) ) — App -i- nAqj. Hinc igitur patet fore A — ac--nyy; nA — 88-1-n00 et &8-1- ny) — 0, unde jam patet formam ipsius A esse p^ Ponatur ergo ca -- nyy.. Tum etiam erit nA — //8-1-n00 et c8 -4-nyÓ — 0. Ex ultima fit Pm ó—uauf. et. — — nyf, erit. 88 -n08 — nff(aa -- nyy) — nA, unde A— ff (aa A- nyy). Cum igitur sit À — «c -4- nyy, sequitur fore f — -t 1. His valoribus fit c—o0p--n7myg et y — yp. 3 eq. - M NEDTTT Hinc fit 00 d eO ny —— pp (a 4-yy) H-nqq (a - nyy) — (pp--n9q) aen o» aseo! würrsoum sicque: quotus. uti jam. vidimus. À — «oc 4- nyy. Acn. T. HI. p. 194 minrsqex TüronEMATA DEMONSTRANDA. L Si fuerit 4dma-41-bb numerus primus, erit semper hujus formae z4 — ayy. II. Si fuerit 4na — bb numerus NERA: erit semper hujus formae ayy — zz. bd ! A. m. T. II. p. 154. 7] ; / " 9. t | 1 ) !3 &H M T LI LJ LÀ nb TureonEkMwa. Si numerus m»ff--9gg divisorem : habeat priam gi: 8s ij mcc 3 ndd A ExrricaATIO. | Quaerantur primo duo numeri 4 et u, ut sit Aa — up—-2-1; deinde ut formula mnff-1-9g 4 divisione ortus, erit quoque ejusdem formae scilicet q— divisorem admittat p, alteram litteram f pro lubitu accipere licet, tum vero altera g ita esse debet comparata, mcc--ndd — ,. : : "add litterae c et d sequenti modo determinantur j ng Kd si yp 3 i| c—npbf —va et. d —muyaf -- vb — AA. ut sit y — nAbf — vp, quibus notatis cum: sit. mnff--gg — pq existente —- -A. m. T. II. p. 2414: -——» tum etiam. quótué q, ex: hac - io eie cain CHPPETNPERC - Fragmenta ex Ado ersar iis: deprómta. 161 spu8 svb)o De dieisoribus numerorum forinae: fa^ gb^. " - - » oec £M (0 (55 " ' ( ,hA s . | b Mb.SBE O6. £8 dé. jj dT £9 (£6 44 0E Ocaidenf! PnonrtEMa. Si formula fa^ A- 9b" divisorem - d, invenire. m alias similes formas fx"-1-gy" per 'd eundem numerum d divisibile$;! . 11 09 2009 256 20 ud SoLvr10. Capiatur z;— ma t ud, et yj mb 3 yd, et quaesito. salisfiet ; 8i enim y et » —0, res est manifesta ; sin autem multipla ipsius d accedant, omnes termini post primos ex evolutione nati, per se sunt divisibiles per d. PnosLEMA. Invenire omnes divisores primos formulae T f 4-y*. Cuni haec formula sit factor hujus z*— y*, demonstratum est, omnes ejus "divisores contineri in forma dn-4-1, quod etiam hoc modo ostenditur: Cum formae ee omnes divisores sint formae ina-1, ponamus formulae aa--bb divisorem primum esse 4n-1- 1—4; tum ergo 'eliam omnes formulae aa--yy per eundem numerum erunt divisibiles sumendo 4 ?— ma - ud, y*— mb vd. Pro — ergo casu x ambo numeri debent esse quadrati. Pro priore sumto u—0, hoc fiet si m— app, ut fiat z—ap. Superest. ergo, ut et haec forma y "—abpp 3-vd fiat quadratum, idque sive positivum sive negativum. Ponatur ergo abpp-t-yd— 3-qq et res huc redit, ut abpp 3- qq divisibile fiat per d, et quia statui potest a*-1-5?— d, qe ergo quipes casibus formula abpp-- qq divisibilis fieri. possit. per d. Varios ergo — evolvamus: 986 .AH dn i . Sit d—5, | erit a—2 et ket. unde formula. 9p qi divisorem habere deberet 5, id quod fieri ne- quit, neque vero 5 continetur in forma Se; atque hinc vicissim concludere possumus, neque 2pp-*- 44, nec 2pp— qq wnquam divisibile esse per 5. gredi FM WO .AM. Sit 4— 13, erit edi et »—3, et nune quaeritur an formula 6pp--qq. divisibilis esse possit per 13, id quod negari debet, quia 13 non est formae 8n4-1. * ] a NL Sit d—17, erit a—1 et b—, nunc quaeritur. an pp qt divisibilis. esse eem per 17, quod utique afürmandum, verum est etm t7— 82-1. ; : " IV. Sit d—99 erit a—2. et bos, et quaeritur an | 10pp-- qq liintia esse possit per. 29, quod quia 23 non est. Bn--1, negari debet. 5 | Ye | oak Lip 1. Hic ergo distingui yea duos casus, prouti existente 5 nupmero impari, numerus a fuerit vel impariter par, vel,pariter par. Priori casu, divisor d non erit formae 8n-i-1, sed formae 8n4-5, ideoque hic casus est excludendus. Sit igitur | oct cina] amma ze 2. età — kd 3-1, | eritque aa 4- bb — 16 (a* 4-89) ac 160: 3.88 4-5. iin per talem divisorem nunquam divisibilis erit baee forma (1608-4 (a -- 25) 3- 2) pp -- qq. Per numerum *rgo primum 16 (c? 8?) 4—16o 1-88 2 5. talis formula: 1605 4-4 (28 24- a) 1-2 nunquam est. divisibilis. : . e ConortánrUM 2. Sin autem manente P2Apac 1 (ubi 2 etiam negative capere licet) sit 4— o, erit aa-t-l —16 (oa -- 09) P BERE et nunc certi. sumus, » SM formulas Aet mr pp 3- qq, quae divisorem ha- béant: 16 (ac -- 5) )ESgun di ate AME : n | ConoLLARiUM. a Si igitur verum est, TT numeros primos formae $n-- 1. "divisoles esse posse for- hülae 2t yt e sequitur nostram formulam 16 (a "e f*--88--1 omnes s plane numeros 8n3-1 in se continere ai twn primi. Aequemus ergo. has formas et. reperimus. »A Ee nez 2 (a*- FP) YR 19 -- u )jiBD0 : : 17H i P.» ubi » denotat omnes plane numeros saltem eos, qui faciunt 8n -4- 1 primos: noun Di ! [ t (fbi o ri? ! , il 8, ! 18, 32, 50, i 72, 98 Sox 208 qnem i? ulistsb 54,5111, 22, .37,! 56,..79,.106 5.2. 4,:,16..25. 1&...01.,28 L. Ealeri Op. posthuma. T. I. 21 162 L. EULERI OPERA POSTHUMA. porem sive 2(0?-4-8?) 2-8 — 0,:: 1,3; 6, 40, 15, 21, 38,36, &5, 55, 66,78, 91, 105 | 2, 3, 5, 8, 12, 47, 23, 30, 38, ^7, 57, 68, 80, 93; 107 8, 9, 11, 15, 18,23, 29, 36, 44, 53, 63, 7^, 86, 99 5 18,:19,:21, 21,28; 33,39, 46,.554,:63,.73, 85, 96,109: osos 32, 33, 35, 38, 42, 47, 53, 60, 68, 77, 87, 98«lidizivib b mmronura- robe 50, 51, 53, 56, 60, 65, 71,78, 86, 95... 71, 72, 1, 77, Ao R M win s | » 98, 99 . d Hic omnes numeri non occurrunt, sed eiefidiutwr A, "T, iu 46, E 22, 25, 26, P etc. at, s vero ex. . his "E 01119 NRI | «15108 nia nibus $n -4- 1 non fit primus. ' t c ürio *4 Si igitur A denotet numerum imparifer parem 1n--2 et |; numerum pariter p parem sive dn, et C numerum 9 0TT9 imparem 2n -4- 1, tum haec duo habentur theoremata: I. Per numerum primum A*-1- C? neutra formula ACpp - qq unquam dividi potest; eque etiam summa iH duorum biquadratorum, unde sequitur, si singula quadrata per A'4-C * dividantur, qe in residuis ; neque 4-AC, neque — AC occurrere, sed certo esse non-residua. I To5"p II. Sin autem divisor primus fuerit B?-4- C?, tum semper datur formula BCpp 4-qq per eum divisibilis ac propterea etiam summa duorum biquadratorum, atque in residuis quadratorum, we eundem. numerum iih: Up3t Hp primum J*--C* divisorum, tam -- BC, quam — JC reperientur. , NU PnaosrLtEMa. Invenire omnes divisores primos formulae fa^ 4-9y*. Cn " TI Cüm ommes constent divisores. formulae faa-A- gbb, qui sive in formula faa.-3-98B, sive in M ac-- fog continentur, sit quilibet eorum — d, per quem formula [ua 4- gh sit divisibilis ; tum sumto X. — ma 3- ad et . Y — mb3- 8d, ut formula fX?-4-gY? etiam per d fiat divisibilis, jam reddatur primo X quadratum, quod fit si m-—app; tum vero erit Y — abpp--8d, quod etiam quadratum reddi debet, quod. sit cEqq et nunc oportet, ul abpp3-qq divisibile fiat per d, eritque Y—2- qq et X—aapp, quare sumto &—áap et y—4 fiet [c*--gy* per d divisibile. Huc ergo redit quaestio: quibus casibus formula ipta ne dividi vam per memoratum divisorem d, qui est vel fec.3-988, vel «a-fg BB. ; à; ! 9 " ExkMP»rUM Í. 'Sit f—1 et POM ideoque d—a&a 4-98, qui numeri sunt vd 85-1, vel $n-1-3, quos valores percurramus. Sit » ^u :suposbi L d—3, per'quem formula aa4-2bb divisibilis fii; si 4—1 ét 5—1, unde POS. an formula pp-tqq divisibilis fieri queat, per 3, quod cum :eveniat, etiam 3 erit divisor formulae .2*-4-2y*.....:05 05 4 o II.. Sit. d—:11, erit (4—3. et b—1, hinc. nostra. formula 3pp 3-qq divisibilis. per 11, at ipsius 3pp-i-gg divi- - sores sunt formae. 19n-1, A2n4-7, formulae autem 3pp — qq divisores ,sunt. vel 12n--1,. vel 12n — 1, ideoque postremus .casus quaestioni satisfacit, ergo. datur formula a*-1-2y* per. 11 divisibilis. . — d doa HL Sit d—17, a—3, 5b—2, ergo formula nostra per 17 divisibilis erit 6pp-3-gq,. at prior pese. non est divisibilis, neque etiam posterior, unde sequitur nullam formam 2*-4-2y* dividi posse, per C LUND SE IV. Sit d— 19, erit a—1 et 1—3 et formula per 19 divisibilis erit 3pp --qq, id quod fieri potest ponendo ex. causa p—41 et q—454, hine »—41 et y—4^4, atque formula x -2y^ erit divisibilis per 19. V. Sit d— M, erit 4—3 et b—1, et haec formula nostra per 41 divisibilis reddenda fit 12pp3- qq, sive haec 3pp--qq, at 41 in nulla harum formularum 12n3-1, 12n-1-7 continetur. Ergo non vwd d^ pt 44 divisibilis. "Um EN — — VI. Sit d—43, erit a—5 et 5— 3, hine formula per 43 divisibilis 15pp3-q44, sive etiam 5pp--344, id quod succedit, cum sit 43—3.4?— 5.1*, ergo dafür forma & "e .per.43 divisibilis. Si z —ap —20, y — 5, sive ees, ges 1. "pia - dili o sau uad prem Fragmenta ex: Adversariis depromla. ! * .168 s VIL.Sit. d:— 59, eril 2:2 3 et 5.— 3, «hine formula: 45pp 4:94, sive nlgpcidern ubi. manifesto .15.2* — 1, etin órgesd .et/forimula 2*-:2y*. per 59. divisibilis. ..... «7. qma ,nab» i 77» Gonorramrow 1. Videtur ergo, quoties fuerit d z— 8n-£-3, tum fore divisorem formae 2*-4-2y*, nee non et hujus abpp-t- qq, at vero^tum fiunt ambo numeri a et: impares; quoties ergo aa-1-2)5 fuerit numerus ptite eonim abpp-- qq per eum divisibilis, sive'inter residua quadratorum reperietur vel e, vel — ' Coxottinrow 2." Contra aufém non omnes nümeri &n-e1 ékehiüduitie, quia numerus 113 — 3*-4- 2.9*. VIII. Sit d 61, ax, b 3, formula 21pp *- 9d rel Tpp 5 390, p —5, q— 9, vel 2 — 35, y — 18. d ExEMPLUM 2. Sumatur r —1 et 30-3. ut quaerantur divisores formulae d *2- 3y* et divisor d erit , da-3- 30b, erit eo vel formae 12m 4-1, vel 12m A- T. I. Sit d —1, erit a—2 et MF et Bern irte a. p po quia. 1—3; 2 —4, unde p — 2, gli Pig 3-—»Àos "» fmnrmietbstp. eit/bie»t j D 1 Iul ) iJ i "JL "Sit 42-13; erit aàz—1 eCo 2: 2^8 formula: rca, quae: est impossibilis. ,,.ML. Sit d — 19, erit a, et bi. et formula * - 2 quae. succedit: p —9, q— 1, x — 36 et y—1. M pl ^ IV. Sit d — 31, erit à 9'et i3 et formula iem "yel S D aq — 18, y — 5. — noms] ,I-—?*£.€—TE Iuuia !o ARmR ) E) sas» € Sit. d—31, fit, am 5 et. pen m formula EI ,vel e ps i, 4728, 27225, 9 —8. VI. Sit 4—43; ent ac ep d fórniula Pese vel: n xad 4-19, 4—98, $—93, y—2. Hic igitur maxime est mirandum, quod solus numerus 13 hic sit exclusus. PnaonLEMA suPERIUS de divisoribus fz*-1- gy* ita concinnius resolvitur: Sit d divisor hujus formulae, qui necessario erit divisor talis formulae fa*-34-95^. Cum igitur hae duae for- -mulae faa-1-gbb et fz*-i-gy* habere debeant communem divisorem d, multüplicetur prior per z* et posterior per 41, horumque productorum differentia, quae est gbbx* — gaay* — g (bx* — ay*) (bx* -- ay?) etiam nunc erit divi- . sibilis per d; unde si d sit numerus primus, per quem neque: f, neque jg divisibilis esse potest, ob 01 4 bba* 2— ady* — (ba? i ay?) (b? — ay?) , necesse est, ut horum factorum alter bz?-- ay* sit divisibilis p per d. Quare proposito numero primo d, qui dividat formulam faa -4-gbb, quoties .ássignari" poterit! forinula à bra "n b and jper d;divisibilis, tunc etiam formula fz*-1- gy* per eundem numerum d divisibilis erit; ^^^ — 7 Heu j , cU QR otEXR TUM. 'St dátur formula ba 2j per d'divisibilis, etiàm' baee formula zz-cabyy divisibilis erit &üinto"z 0; hoc autem eveniet, si inter residua ' quadratórüm [ per d divisorüi; oecurrat mümerus -* ab. EE v1 13 10 Quoties divisor primus d füérit formae ini; isque dividat formulam —— tum semper dabitur formula fia gy per d divisibilis: gr 5735 my ; ' fürrol intrTs | ia 5bay FN2O90 11916 Ooón2i» ospodisy DrwoxsrnATIG. , Cum divisor d sit formae dn - — 23; .sive in 3, si quadrata singula. per eum dividantur, quiinp: 2 TH itdtelvib & di AL ) wer : residua € omnes 28. numeri occurrent, .sive RE plus, s sive. minus affecti, ergo etiam occurret numerus 4 fun9 mno "e i 5 clenrol 592 is) .ealidisivib: fron dis Gonotanix. AJ si. id fuerit iris ME n quia. in p e al non omnes numeri occurrunt, semissis, adeo e itus exc datur, sive ositive Siv negative capiantur, utique 1 firi potest, ut. -- ab. inter i 36on, Pent: n " , Se negauve, cap! 19 Ho70 pum occurrat et ium eniin dabitur formula f«* 4- gy^ per d divisibilis. Observatum autem est (nondum vero demonstratum) omnes divisores formulae axa 3- byy contineri in tali forma A&abn 3- kk. * 164 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. —— ^ Arithmetica. Hic jam duo occurrunt càsus considerandi; prout. vel'ambo numeri a et b sunt impares, vel unus par et alter impar. Priori casu, semper possibile videtur, ut divisor. d in hàe forma cóntineatür;. at vero'si a fuerit numerus par, puta 2c, forma divisorum erit Sbcn-A-kk, quae. reducitur .ad formam.8n-4-1. Quoties ergo hoc casu divisor.d formam habet 8n-1-5, tum casus. est. impossibilis, unde. sequitur haec.conclusio: 5 4. 000 5 Quoties, ergo d —8n 4-5 fuerit divisor formulae faa--gbb, énsuperque alteruter numerorum à: et.b. par, tum: nulla dabitur formula fx* -4-gy* per d divisibilis. . ; o [or itd Turonrwa., Si numerus primus formae Àn-1-3 dividat formulam faa-1-gbb, sive aa-1-fgbb, tum nulla da- bitur formula faa — gbb, sive aa — fg bb per d divisibilis. DrwowsrRATIO. Si enim formula aa-4-fg bb divisibilis sit per d, ium inter residua quadratorum reperietur — fg, at fg erit non-residuum, unde etiam nulla formula aa — [jb divisibilis erit petté 0 TnuronEMa. Si numerus primus formae /4n--1 dividat formulam faa i glo, sive a RU tum etim semper dabitur formula faa —$9bb; sive aa — fgbb divisibilis perd. NX CB MLIM x DrwoxNsTRATIO. Quia d dividit formulam aa-i-f;0b, in residuis quadratorum occurret — fg; ideoque ob. formam 4n-3-i, ibidem quoque occurret -1-fg, ergo dabitur formula. faa — gbb, sive aa — fgbb itidem per d divisibilis. zi Ls Comorramiuw. Quoties ergo evenit, ut formulae faa-4-9lb divisor d——4n-4-1,; non simul dividat formulam fz* -4-gy*, tum quia idem divisor est quoque formulae fa&—:gbb, forte erit divisor formulae fx*—gy*. Hoc au- tem secus evenit casu f—1, g—2. et d—17. Etsi enim 17 —3*4-2. 2 et simul 17—2.3* — 1, tamen neutra harum formularum' z*3-2y* et x*— 9y* per 17 est divisibilis. Quo. "hoe accuratius scrutemur, éolisidéremus residua ex divisione biquadratorum mata pro;divisoribus 4n-34-1, quae semper tantum numero m. . ;- Divisor ; Residua VENE : s. $$ LUE. MS ^s splsuagot aiia: vosiih inp ,nelonriil wid. nui. gia H ui 1, —4 : rad pides ^ Mot onluir wu C 54) vas quedo | ECT ENT. €: we -49y'pas 1595-749 ePEIPIN j " iin eilidia Ap, 7, 0-9 9, 2-10, 2- 12, 2- 16 y : ia q Ahditte die es 26s ; B Y - TE ir 2, 4-10, 2-16, 4-18 p^ (aulici DMNE —1, —h, —10, —16, —18 - fid beni s ELI. Hinc ergo: discimus; si divisor fuerit: formae 8n-2- 5, . dum numerum. residuorum esse 2n-1, S NTTN imparem, unde nullum. utroque. signo occurrit; unde, si formula :fz*-1-gy* fuerit. divisibilis, altera. fz*-— gy* certe non. erit divisibilis, quod autem vicissim non valet, quia numerus non- -residuorum triplo major est, quam residuorum. Pro tali ergo divisoris forma vel neutra formularum fa - gy : vel unica. saltem est divisibilis. - | TUS At si divisor fuerit formae 8n-4-1, quodvis residuum utroque signo affectum occurrit, unde si una harum pM imkes pare d fuerit divisibilis, etiam altera erit divisibilis, sive vel réque, vel neutra divisibilis erit. Hinc sequitur primo si divisor primus m $n- 5 dividat formulam faa-4-glb, quo casu etiam dividet formulam fa a — 9r, illinc autem pro biquadratis formula acc -3-byy per d fuerit divisibilis, tum certe formula a ata y * non ef erit divisibilis. Deinde 5i fuerit Fi it * et pibus -— formulam plici adi —— fd a— -- Vs tum ' si à formula j ih ^C acm CR S e m TIMITTIO: aeb viatores Fragmenta ex. Adversardis: depromta. 165 Mwdinenpos. on: anizpilsnoo anslidal obonr ilia WP (V. Fuss 1.) £T] PnosLEMAa. Invenire omnes — binorum biquadratorum z*-- y*, quae sint divisibiles per datum nu- merum pritium formae 8m --1 — A. : Sorvrto. Cum haec formula z^"-1-y" alios divisores non: admittat nisi formae 2in--1, sequitur formulam q* a y* alios divisores habere non posse nisi fomáe 8i-i- 1. Táles autem numeri dnt, 17, M, 13, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, 257, 281, 313, 337, 353, A01, etc. qui numeri: cum: omnes' sint summae duorum quadràátorum; sit..A — aa-1- bb. Deinde cum alter numerorum x et y pro lubitu. aetipi queat, sumatur x —a, et pro y inveniendo quaeratur numerus quadratuá formae i4 —- ab, qui sit pp atque sumi poterit. y — p, vel in genere PEST! -- p. Cum enim sit pp — iA 2- ab, neglecto multiplo ipsius 4, quippe quod. seniper adjici potest, erit y rA t— aabb, hinc ergo erit x 5 4- y'— aa (aa -4- bb) — aaA, ideoque x* yt , ivisorem habebit ÀÁ. Idem valor yc p valet quoque pro z—b; tum enim erit 04 €À i£ 798 ag e* — bb (aa -- bb) — b5A. bp A- id L— unde valor ipsius Praeter p autem dabitur alius valor q, ut sit. p:q— a:b, ideoque qus , S!ve q— "semper. erit integer. Sumto enim, . a6 -— b6 et ob p*—aabb, erit 2*-- y*— b 454 dde ad At vero a54- b semper hàbet factorem aa -4- bj — A. "Eodem modo patet, sumto x —b et y — q, etiam x*-- y* factorem A esse habiturum. Sumo igitur sive d sive b pro z, tum pro y sumi poterit sive p sive q; unde patet, 8i 1 pro £a capiatur vel na vel nb, fum pro y sumi debere vel «p vel nq, qui valores, cum semper multiplum ipsius. A. auferre liceat, omnes hos. yalores infra 4a deprimere licebit. Praeterea. vero ad singulos hos valores quaevis. multipla ápsius A addi possunt. Hoc. modo pro. ;quevis, divisore A tabula construi poterit duabus constans edeseis quarum prior binos. valores ipsius z, altera vero binos ipsius y exhibebit, ü quod exemplis illustremus. |. ED'Sit A—47 —4?2- 1?, erit a— f et 5 — y. (Nune igitur erit pp —. dn z , unde statim sumi potest hz etp--2etob 1:&—p:g erit q—8. Hinc : fits) ids ; ixi ur — ad 1 san 2 1T h 4 2451 [ 1ni195. 65b. ingmpor ein 1. o 2, 8 2.8 b, 1. ! $9 3 * ! Sd aoio(«u aolyemia (LE o wr oot | ,in-t- ba ín i yo fff ii 21 ubi, quia z et.y.sunt. permutabiles, secundi valores, utpote in primis jam contenti, omitti possunt, ita ut tabula duos tantum casus involvit, scilicet pro 2, 1, & et 3, 5, et pro y, 2, 8 et 6, 7. lta v. gr. sumto z — 5, sumi, poterit. — 6; quia igitur. 51— 625 et 6*— 1296, erit. z^-- y^ — 1921 — 17.113. cOCWS Sit AM LAM 5, eritque a— et 5-5, ideoque pp — Mn -- 90, ideoque n — & et p — 12. Jam :5-——12:4, ergo q— 15: Frirans deg divisore &1 nostra — erit: ; | ; 15.9 | 8314 | $18 | 6, 13 : kh 5 12, 15 laoJoq ibbox p. roquos do7,-49- 51:086) 20 ía &I .,.3e0Joq dl, ümisrbssup à T tL 8,. 10. 1; U. Jtà«sumto a — fet y 253, erit-z*--:y*—822—M 125 00 000501 os — i9 C" i L. EULERI. OPERA. POSTHUMA: Arithmetica. Simili modo tabulam construximus pro sequentibu& 4A—713 4-89 cM 9] a y [ Biedio hid dennc T y 1, 27 | 10, 922 1,73]. 42, 37 1,:92,:.|-.33,.7 um T TUN Tm TT RETE 2, 04:93, . 2 19 | 920, 29. idneuafe 1 LM MEL Eo mN Sem $$ 4L I &, 32 | 30, M | 5, 13 | 29, M & 39^ [933,45 ZoWw d pw d) SCPGLIT Te Wp.ae d 4 sg 65046:5]5 13,5 1bcio(1 6,96 clo Moe onioch asidiadSsoqdud Spo omn dup lodi, dbsau: p 95d DDoii3is nom utes Map idis Ülidol eG 12,.32 ;| 29, 28. ;; WS LE. MEI ap AME NN iem 48, 25 | ,34, 31 UR ME S GALE AL SAM A iude We 39 025499. ^ — 19 9. | 25 VW - 2 onpasp Jp" R-gq lev mobl -b. idoded apgosvilbo t de m oap V zc: (85 -4- mn) dd ^ 28, 3& | 492, A6 Sit. 4-89 sumto. a: — 3 9L-g 2 eril. 25-4- y522:3026:- 89 38. i5 i0 (9 volor anila qwlidob moins q d9198fl Cum hae tabulae facillime ex positione litterarum a, b, et p, q construantur,, istam positionem pro singulis divisoribus x hic apponamus:.;.. A dé «' "- Je Ala, b T» q d & bl-s cr Lo IA RI f Ala. NET S 17,| 5.4.2 (8.193, 17,12. qos: 89. ,,993,|. 8, 17 |, 131, 146.| .569.| 43, .20 |, 150, 187. M5. 5,12, 15| 233 8, 13 |,77, 96 | 501, 1, 20| à 98| 577, 1, 2k 152186 733, 8|. 7,.30| 9M | &, 15 |.32, 190 | 409 | 3, 20 | 39, i98| 593| 8, 93 121, 171 89|5, 8| 7, 99| 957 | 1, 160 A, 6k | 433 112, 17 | ki, 2| Got | 5, 9 | ofv, 995 97 'À, 9| 6,35 | 981 | ^5; 46 | 49, 117 | "449: ^7; ^20 | "44; 195 | ^ 617 | 16," 19 | 173; 9E - 1127, 8| 13,731 | ?312 | 12; 13 | 16; ^65 | "VoT | &, 21:786; 293] 69 |: 8; 25!| 10:958 137.| &.41 1:27, 40] 337 5:9, 16, |:42,..91 .|..520 | 11, :20/1.48,-182:| 673 |. 12, 23 |.-95; 126 Hic igitur praecipuum negotium in inventione quadrati pp — ná3- al/ consistit, quod. autem: sequenti- modo haud difficulter praestabitur. Cum enim semper dentur numeri p'et q, minores quam g^ eorum complementa etiam erunt «7 ÀÁ, semper ergo dantur quatuor tales numeri minores quam A, quorum duo erunt pares et duo impares, atque cognito uno, reliqui tres facile inveniuntur. 4 Quaeramus igitur numerum imparem pro p eL Cum sit pp —nA23-ab, tum vero pp «AA, singulos numeros à (entando nón ultra ^&—4A progredi Opus est. Deinde, quia A — ad-£-bb 8m: 1, numerorum a et'b alter erit pariter par, alter vero impar, unde productum ab habebit vel formam 8-14, vel 8i. 'Pró priore casu, "quo ab — 8i4-^, quia A est 8z4-1, quadrata aütém impária: formam habent 8/-4-1; üt talis forma oriatur, sumi débet n5, vel n —8a-1-5, sicque casuum examinandorum: numerus ;octies erit. minor. Pro altero casu, quo abz—&m, numeri pro » sumendi erunt 1, 9, 17... 8i-t-1.. Inter hos autem. numeri etiam; statim. excludi possunt. ii, qui desinunt in 3 vel 7, tum etiam ii, qui sunt formae 3i— 1. Praeterea vero etiam ipsam formam pp — nA-tab in alias similes transformare licet. Si enim fuerit ab-1- «A — ffA, erit pp — ff (nA23- A); tum vero si fuerit €À-3- A — ggB, erit etiam pp — ffgg (nA B) et ita porro. Inter quas plurimas formas plerumque casus sponte . se produnt, quibus quadrata emergunt. Ex his autem egregia theoremata deduci possunt: L Si fuerit A— aa--bb — 8m--1, haec formula ná-cab semper quadratum reddi potest. Il. Si fuerit A — aa-4-bb — 8m-1-5, tuni -ista formula nA-t-ab nunquam quadratum fieri potest. Ita si ÁÀ — 5, ob «—82 et b—1, haec forma 5n2-2 nunquam esse potest quadratum ,. quod. per se.constat. OEEP EPI PERPRINEII qon RIPE ES "WENT. ——— 99M IMS I COE OMIRCU CEU UPERSCRINSERUNSISENEM Fragmenta: ex: Adversar iis deprona. - ; 167 bimor Ji Deiide Sumto a7 2, 5 —3 et 4 —413, haéc forma 13n--6 nunquam quadratum esse »-— Item 8i 422299; ob a—: 2; b; liec forma 29m -- 10 nunquam fit quadratum. ' ALIA sape pone praecedeiti Sit 8m--1 ——aa--bb — A esseque oportet T—— n PPP PP QUII TOT RAP dU Jam sit proxime l— , ita ut sit a8 — —b«— E14. sit nune q—c et sumatur 9 — MfA^- ec et q— ds et^ cum sit da ap—bq 'el y yy— — aj y, erit. att -- (ia 4^) (pp-3-44), erit itaque zz — (a8 — ba) ce — ec at yy— (dai) fA ai-V- tfo quod érgo esse débet quadratum. Sit nunc cc—n4A--d, fiet yy—i4--( (ac-4-08)4. ExzuPlvM $. sit 22-0 — fA — 4, erit a—5 et )—À, hinc 1-4 , proxime hinc & — 1 et B —1. Sumatur porro c — 1, eritque d —1, ergo y —Mi$—0 , unde sumto i— 0, erit y—3 et z—1, eritque z*-,- y*— 82 — 2.41. ea ExxrkwrPrvw 2. Sit d— 2601, erit a—2^ et b—5, tum vero & —5 et 8— | A Sumto ergo £51, erit d-—41 et yy — 601i a 125, "hinc sumto — 6, erit y—59. Jam a pro lubitu. sumi potest, verbi ge get erit y — 59e 2 6011, unde omnes valores redigi possunt infra 300. veis best : : REIR . Am. T. III. p. 171—174. | c ad dien: — De divisoribus: primis formae: a* -- 2b*. Primo patet hanc formam alios divisorés habere non. posse, nisi qui dividant formam a*-3-2??, qui omnes continentur vel in hac forma $n24- 1, vel in hac 8n43. Ac primo quidem omnes numeri primi hujus formae 8n 4-3 possunt esse divisores cujnspiam numeri formae a*-i- 2. Longe secus autem res se habet de altera forma '8n 4-1. "Non enim. omiies numeri primi in hàc forma contenti divisores esse possunt formae a*-i- 9)*, sed tantum sequentes: 7 3,89, 113, 233, 257, 981, 337, 353, 577, etc. Hinc ergo excluduntur hi numeri ejuüs- dem formae: 17, 41, 97, 137, 193, 911, 313, 401, 4109, 433, 449, 457, 569, etc., neque tamen ulla ratio Moz qua has duas species numerórum formae 8n-1-1 a se invicem distinguere liceat. ivi ! Ad divisores formae a*-1-24* supra allatos et in formula 8n-t-1 contentos insuper accedunt 601 et 617. Est enim 601 divisor ipsius 15*-4- 2.5* et.617 divisor ipsius 16*-&-2.7*. D. - 1$ et i , - | A. m. T. HI. P. 181. 182. 13. PnosrEMa. Invenire exponentem 2 ut formula a'— Jf D datum numerum À fiat divisibilis, si quidem numeri a et b sint primi ad A. n ; how SorvT10. Sint Pid, f. numeri primi, et considerentur sequentes casus si A—py,. erit, &—p—1 s * Api. o9 we—p(p—1) l3 aBiiibdbiamis sacs ERE ATA) 6r Az j 5 ez 1 24) t (Amp 2000€ ez (p—1t)(4—1) idnb oupnusip som ewiud ez pgr . iint i calis lm Udiup ,n»-3- mf is Aemp^ qr! ois —p i 1(p—1)g 7 (4—1)59 7 (r—1) dpi e 1. Hinc si loco a scribatur a^ et 5? loco b, etiam haec formula: a^* — bÓ* erit per A divisibilis. "- | tad | '9v epa 9! 168 L. EULERI. OPERA 'POSTHUMA. dein. ConoLLARIUM 2.. Hinc si exponens e. divisorem habeat: n, ut sit e — dn, tum. semper dari. poterit forma d et. y — Ud, vel-etiam x — a4 2- «A: x"— y" per À divisibilis. Cum. enim «^ dn... dn. sit divisibilis,, sumatur 4 — a^ et rd 8A, vel adhuc generalius c zu 43-oA et y z [3 3- BA. | bn. cc NB. In his formulis , ubi productum . (94) (q—1)(r — 1). nit, enffcit ejus AS minimum commune dividuum numerorum p — 1, 1—1, f scribere. T p esr H JT ons 2 Quoniam formula a^—y^. qraeter f —y. nullos habet, divisores,. aisi i in forma iicet ontentos, s sic Pe 5» —.5. formae a—y, praeter € —y, divisores Sunt 54-11 hoc est: A1, 31, M, 61, 71, 101, 131, ,ete. $i ergo proponatur formula g5— 1, eaque cag 7-6 divisorem habeat 52-1, eundem divisorem. habebit. casibus T —a?, y — a? : g —ai " ete. i sicque ex uno casu reliqui omnes deduci. possunt, cum Ssit ks ; z — a^ 3- M (54 4-1), " MP d unde sequens tabula est confecta: i dH | ' | Div. pr. p " | Valores T ie : | 2; generatim | : 211:41,,1-—:2-24- 4&--. 32- S-2- etc. (—.,2) 3: 41M. 31 1-- 2-r- ^-- 8-r 162- etc. (4a- 2)'2- 31M h1| 1— ^-r- 164- 18-- 10—- etc. (— Ay MM er ( Cr UU E MEMO ATEM d 3)2- 61M 71 | 124- 54- 95— 17— 1L2- etc. 5)4- 71M 1041 | 1—7 764-536 14 47-éte; | "(— 6)"2-101M » exoacidi3faudbi ApHuB Hii Sino lon dOdiaeier diui MI dab Massd 1 (11*)...121 |. 1-7.;.325.:.92-, 27-4- 814-ete; (|. (4-3) 191M. (a1 1331 |, 17161-5632 — 5961-121. etc. (4-191 2- 1331 M. * l*1 minimus imis valor ipsius 2 ex proprietate supra allata reperitur.. Ita. si divisor. —21, quia a9 —4 divisorem habet 31, sumatur a — 4$, fiet 5 — 1. Sumatur a— 2, erit 2—642-9.31 , unde minimus —42. Ita si p—101, quia a!^? — 1. divisibile per 101, sumatur a*—4.a'9??, sive. 2/93: 10M... 00 505 0 osse ss Ut formula x5a- y* divisibilis fiat per 37, numeri zx et y ex sequenti schemate: ... 05 55 o sep (d, 140,2 Mc | 19 adioiBy sao. f8 j b hA co (Dp. RS MSeaisoi sov (86,1512, 9 iaqi. Toaivib 109. animo -Ja8 3 o0 uo 13, 18, .5 scilicet ex eadem linea horizontali sumi debent. At ut z5-—j* divisibile fiat per 61, v et y ex sequenti schemate sumuntur | 1;:43,5: 14 11, T 32 à 0 19 ^ onum 2, 96, 98 | 22, 19, 3 » pong r5 4 lij 33 7g ^ *|1, 30, .24 | —477 Ml". .99 8,..195. 10. 7 97, 15, 12^ singulis autem -his numeris adjici intelligenda est 2- 61M. Hinc casus simplicissimus est 25-1-3*. Singuli autem hi terniones in unica forma comprehendi possunt, quae simplicissima est kn, n, 9n,. vel in hac 1n, 13a, 14». PnosrLtEMA. Ut formula z*— 1 divisibilis fiat. per divisorem idoneum A, , valores ipsius x definire. 3-- "Sorvumi0. Divisor A necessario debet-eontineri in hac formula A — eujus factor quicunque dabit valorem idoneum pro A; tum: autem. tres; habebuntur vàlores principales pro 2, qui sunt 1, --a, -caa, quibus adjici. potest. 2-.MA. Ita .si sumatur a—32, erit Ar cp ideoque 'vel A—3,;vel A—7, et tum erit. »— 1, 2, ^. 642-1 272-1 Si a —3, erit áz——D ideoque vel A— 7, vel A— 13, eritque z—1, 3, 9. Si a— 54, erit AU "——máÁÁPÁPEPRESRI -e— Fragmenta ex Adversariis depromta. 169 ideoque vel 4 13; vel 4 — 2153.7; tum z —1, 4, 16.. Si 4 —5; erit mU ideoque 4591, vel 42-34, xz —1, 5, 25, etc. , Uonp- a915*] PnosrtEMA. Ut formula z'?— 41 divisibilis fiat per A, valores ipsius z assignare. 5 ) " , Sorur:0. Hic debet esse At, ac tum quinque habentur valores principales pro z, scilicet 1, a, aa, a^, a*, quibus adjici potest MA. Sic. .sumto . a —2, erit. A-— TURCD vel 4— 11, vel A—31, eritque z—1,92;8,8, 16. Si 2-3, etit i eni ideoque. vel 4—61, vel A— 121, hinc z—1, 3, 9, 27, 81. $i 6-5, rit 4 E. vel 4— 305, vel 4— 340 — 11. 31 et 2—1, , 16, 6h, 256. Si a— 5, erit 3s - r1, ideoque vel 4— 321, vel A— T8 — 14. 74, 2— 1, 5, 25, 125, 695, etc. NB. Omnes divisores primi hic sunt formae 10n-1- 1; Dato ergo tali divisore, veluti 131, quaeri debet numerus a, ut a*3-1 divisionem admittat per 131,..quod hoc casu non. evenit, nisi sumatur vel a — 42, vel a — 53, vel a— 58, vel 4— 70; tum enim habebitur x» —1, 42, 70, 58, 53. Quando autem divisor A datur, in forma 10» -1-1 contentus, valor litterae a hoc! modo" eruetur. Cum A debeat esse divisor. formae a*-— 1, capiatur a —5: 5", erit'a*— b5", semper autem est 5!?"— 1 divisibile per 102-3:-1, ideoque vel 5*"-4- 1, vel 55"— 1, quocirca sumi debet «—". Ita pro casu A—131 est n —13; ideoque ds G—Db!*; sumto ergo 5—2, erit 5'*— 8192, quod divisum per 131 relinquit 61, et valores ipsius zx erunt 1, 61, 61?, 61?, 61*. Est vero 61?*— 3721, quod dat 53, et 61.53 dat 42, et 61.42 dat 58. Sicque x — f, 61, 53, 42, 58. Eodem modo si proponatur A— 151, erit n — 15 et a — 19, a*— 59, a*— 6^4, a*— 8. Ut formula x*4-y* v eim fiat per n numeri x et y ex sequenti tabula desumantur c "" [ - d "n -1- m, 1 EX ] 14 33, 2» BM" c" AUG LP 235 1 34 3 5. "$8 WF. 36; 2E hu nS Ai du mol QM ME ELTE RR. & 3*-— 344 Eo VC CAR. gu, H* 10, 39, 26, [9 — ——- fuh'2£. 1, 3j 16,13, AZ 28 ^ ^ —.- $9719 ab, 36 ita casus simplicissimus est 55-1- 75. DL m UE UNTER E Ut formula z!?— 1 dividi queat per (TOS valores. ipsius zx erunt Jw "cf, ME, u96, v5, "IU. Cum enim. 35— 1 — 2.11?, ponatur z — 3--I*y, eritque 25— 1 — 2. 1174-5.3*. 11? y-- etc. quod divisum per. 11? dat Pac da-5. 3'y-t-etc. Tantum ergo y ita sumatur, ut Le» :81y divisibile sit per 1, sive 2— 2y, vel 1—y. Sumatur y — —10, eril z — 1297 —1 125. A. m. T. II. p. 162—164. cov 7s €) De numeris: formae x^ - 1. Ed | (Lezell.) PnaosLEMA. Invenire numerum formae 2"-1-1, qui habeat datum divisorem. Sorvri0. Divisor repraesentetur per simplices potestates binarii, .et quotus quaeratur sequenti modo per partes; ubi tenendum est, quoniam tandem omnes minores potestates binarii in producto excludi debent, si ex aliquot partibus quoti: prodierit productum 1-4-2^-1- etc. tum sequentem quoti partem esse debere 27, deinde tantum notetur esse 2^4-2^— 2*7 1, . | ! | | le ad L. Euleri Op. posthuma. T. I. : 22 110 L.EULERI.OPERA POSTHUMA. ^ die ExxruPuun I. Sit divisor —— 1-4-2'4-2^, ae prima pars- quoti erit 1, et operatio sequenti modo instituetur: Partes quoti Productum 4 4. 2-2" 2-2? y —juüíE oc i-e. 21 9s 25 , 28, -- ,215 4-217 -,-. 910 910 ,2!9-- 2" -- ,29-p-72! uj ue 9u 2H a- 915a. S90 4.,21*4- on 212 ,2!? -4- ,919-,1-,2?1 -..A- 913.,4- 92? 913 ,2!5-4- ,2?9-,.- ,29 4- ,2" -- b^ aif PAM 2" -4- 27-L 2*5-.- A uw g18 25-- 2255-2 9? 99 9?1 2214- ,2?84- ,299-- 2f 9?2 27-r- ,2*?? 2- 2U9 CT 932 ergo forma est 2??-4-4, cujus divisor est 1 -4- 27-4- 2? — 644 et quotus —1 -- 27-4- 25-4 210.,4- 911.4. 212.4. 9134. QV a4. 915.4. 9?1.4. 9?2, . ExkMPLvum Il. Sit divisor 73 — 1 -4- 2*-4- 2*5. ! | 801 Partes quoti Productum , Ü "ue . 1. 1 2? 2-25 a - "19 ,.19 3 3 6 99 4 7 : e 2 2* --,2* --,2* -.-,2* 2-2 2t (425 2—,97. 2. ,219 4-25. 4. 2* 6 9 10 11 12 25 ,9* 2,95 -1-,211-,-,2* -,1-,29 -4-,219.,-. 211 4-2 2! 29 247,2. -4-,21?-,-. 27. 4,21? 2' 2! .-4-,219-4-,213.4-,2* 4-,214 À 2* ,25 --,211-4-,214,-,99 4-210 -4-. 211 4-21? 4-215 2u ,2!? 24-,21 5 -4-, 218 4-213 4-216 6 19 14 17 2H ,213 247,219 4-219 -,.-. 2144.2 15 18 19 20 21 214 214-3! a- 279 a-,215-4- Q1 Ac D e 2*7 3-2 215 ,215-4-,218..,-, 921.4. 918... 222 : Qis | ,916.,- 219... 922-4. 217 -,- 9*3 : 2" ,21 4,279 4,213 47,215. 21? 4-210 4-231 4-9 g? ; ,2?14-, 921 4-2? 4. 222 4. 275 B 122,4, ] 0,272525, 27* -.- 9**4- 2** 2 25 ,Q?3-4- 9*6... 929... 924... 927 4. 228.4. 229.4. 230 gp ,?4-4-,2?1 -.,.A-..230-,-. 925, 931 9?s ,9*5-4-,9?8-,-,231.,-. 926. ,.. 232 2s ,2154-,229 4.992... 911-4-,22* 4-229 -4- 210 4-29? P 930.,- 933.,- 235... 231.,- 234 P E i D Plane non datur talis forma per 73 divisibilis. ExrwPLvM HL Sit divisor 41 —1 -i- 2? -1- 25, erunt partes quoti| - productum 1 1 2-,2?-4- ,2* ; isis 95 ,234- ,95-i- 9. 2^ - 2* ,9* 4- ,9" 4- ,99-,- ,25-,1- .96-,- 97.28... 294-210 ergo forma 1 4-2!? divisibilis est per &1 et quotus erit 1-1- 2*-1- 2*— 25. Cp-.---———Ó—m——— y — Fragmenta ex: Adversaritis depromta. 171 ExrwPLuw IV. Sit divisor 11 — 1 -4- 2'-4- 2*, erunt i ih partes quoti — prodüetum | p. L ! (4 7083 "o fat254-t9 i- 2 OE qot ac dien oll. or. s. 2^4 25 | unde 1--2:— 1 (1 2) ExxwPLua V.. Sit divisor 13 —1 4- 2*7, erunt ( partes quoti | , productum NET 4:74 8. *4-,235, G i 9 ,224- ,95-i- 95a- 23 2*a- T unde 25-4«1—-13(14-27?). 0 0000 1 — ExrupLuw Vl Sit divisor 722 14-9.4-9*; àuàt ^ 7000 005 007 partes quoti | productum KT T diam t5] EA a 14.9 -42* T 3 EL LLL PRDS duipecdt-bats 9r ceil] a "9979 o8]. 37. - 99. 17047, 799^ o Pot que Atm Sp FUA aen anro ri la «0-6 9r bras |. à 795-95. rap. 994-9774. 95 ^ 3 9via ,5 Jidel upiest h 7H "OP aUbi gex4- 9s. (1 guo» gto? cud saiel rd oie SÉ | oooly .minbeoonq ompau gg ülioitr ooy Ug Bao ge are gio gn etos og a " er 1 wosenxder qs gd difsidiene, cuisses ver v d liar qaadr Pro hoc ergo divisore non datur forma binomialis 1 4-2", ' dantur autem trinomiales: Mr -1--2-- 2?, 1-- 2*4- 2*, 1 2-2, 4 -- 95-9, 41 rErP 1 a2 Qn, 4 4-210, 911, (Kraft) PnosrLEMAa. Invenire numerum formae 2"— 1, qui habeat datum divisorem. SoruT10. Primo notetur esse . 2^»— 1284-84: 212-2) 24... Dam, sicque omnes potestates ab unitate usque ad miaximam occurrere debent. Si igitur, ut ante, quotus per par- tes quaeratur; in producto ex aliquot partibus orto notetur minima potestas, quae adhuc deficit, eaque ipsa erit nova pars quoti. Exrw»Luw | Sit divisor 23 — 1 -4- 2 -4- 2?-4- 2*, erunt - "partes 'quoti ^ | "^" "'produetum " ^ ^ — ^ er inieusD. LT WIS 34 : ..4 272 -- 2*4-,2* 7 - ; 99. ^ --p* 7 934-934. 954. 9! 4-954 9* 2^ udi. 3-7». x 294 224. 214. .28., 2 95 T. 5 202-009.,4- 95... div! - unde erit » — 11 sicque 2! —1 divisibile est per 23 quoto existente (s de 2 gre ar 89. Nota. Forma numerorum perfectorum est 2" '(2"— 1), quoties fuerit factor posterior 2"— 1 numerus primus. , — ExrMrLuM Ó]L Sit divisor. Vf — 1 -- 2 4- 2?-- 2*4 25, erunt 172 :L. EULERI. OPERA POSTHUMA. Arithmetica. partes quoti | productum — i555 1 ua TE soe a s43 ug V I S. PuM e 2s B5, 4« 29 --. 2" 4-28. 1-219 4-2? x Bra n 98. 98 4. 99 .,. gro... gii... gis. ,. Que 9n Qn... 912.,. 919... 9n ,- ae 2 a DIENPL 912 Q1?.,. 913.,. 914 ,. 9l. y. 917. y. . nue grs 916 4. 9 a 9is ' 13 Qui. 9us ais /Qu624 7 gIB.,. 916.,. 9I7.,. O19 915 215.4. 916... Pos 918, ,-! 920, 4: 915... 919.,. Qr0., Q1 917 Qua. gre. Aui S, -pfü cdi AS ergo n —23 et 2**— 1 divisibile est per 17, quoto. existente - Q1! 4-915 4. 913.4. 912, 911.4.95.4:95-1.9* 45 1 — 118481. (Lecell.) Verum haec ommia multo facilius atqué adeo multo generalius per sequentem methodum expediri possunt: PnaosLtEMa. Invenire exponentem z, ut formula 2^— a datum habeat divisorem — p. SorvT:0. Quaeritur ergo potestas binarii 2^, quae per numerum p divisa relinquat residuum — a; notetur autem pro residuo « in genere scribi posse a-1-4p,. loco a igitur. sumatur a3-p, qui numerus cum sit par ac fortasse per majorem binarii potestatem diyisibilis, ponatur «cp — 2^b, atque potestas 2*^-^ dabit residuum b, cujus loco sumatur iterum 52-p, quod. sit — 9fc,. sicque potestas 2* — *— D residuum dabit c, sive c-t- p, quod sit — 27d, sicque potestas 2* IT irn; y residuum dabit d, atque hoc modo eo. usque procedatur, donec ad residuum perveniatur — 1, quod cum sit residuum potestatis 2?, evidens est ultimum exponentem € — 0€ — 8 —y—0 — eic. esse debere — 0, consequenter. habebitur . Aat q — 0 - B A- y 3-9 e etc. To(a haec operatio sequenti modo commode disponetur: Pro divisore -—p potestates residua .|:. sive 2" irotoaivtb. mul 960 Uum ez p 3& 28b adere b p a-p — 9Pc 9aa9 «nid .orT408 27—4^7P i9. Leto a ae Ropa d ( A abr d .Juodobl 12 f$550 dubios 5, us. Sjelinu. d j8jaoioq asdao onpoia ) ; ioaUp a9) 4 ) x T g*—oi T7 9 --4o jo o4 zr yr Ó4- ete. [ wg pE ExrwPLUM Ll: Quaeratur formula 2*-1- 1, quae divisorem habeat 641. Pro hoc divisore potestates residua :.. |. «. , sive : 2* *oazu A aj, 640 —4128.5 — 2".5 4*76 408 d so n 636 e 2.159 gr? 00022488. |, so —.800 ze 25.25 | gun — 25 | --916— 2- 2?.11 S BO SEEN pecori - Wy 4a- 71 — 56. — — 2?.1M4 . gr — —Tu [ 4-500—--2.125 "mes C73 125 — $16 — — 9?.129 " " - dian. — 129 512 — -4- 2?.1 9x — 32 1 -*4 Tí | ergo: c-— 32 / yes pic) ExxEnuPrLuw Il. Exxwu»rrvw Ill. WWW Rye mm. mon potestates g* CAM gc» r 9r 9s —1 9x —11 m "potestates i , 9x iun 9*—* «ogfram 25 -FN« HT] ranis PnobBLEMA GENERALIUS. potestates | residua dia ins. Loi gr—r m yt —2 geo 3 sdb iodi A. PnosLEMA. .; Fragmenta ex Adversartis depromta. 173 .Quaerere formulam. 2*-1- 1, quae divisorem habeat 29... Pro hoc divisore potestates residua s sive. 2* —1 —14.29—28—2*7 T1 ri -t- 36 — 2.9 XEeeodi 9 (—290— —2*5 - m$ |^ 9—2.3 2"—* * 1332-04 wm —Ó— m ess. Quaerere formulam 2*-1- 1, quae divisorem habeat 73. Pro ' divisóre "a potestates , | residua sive » g* ; —1 9 ge gus sida c9 — 64 — — 9*.1 — MES —1 72 —CT 250 gc E — 64 — — 25.1 a |j. -1 Ur Md EXEMPLUM , E Quaerere formam 2" 11 4 mn l7 .,1 4nde apparet hanc quaestionem esse dugouilden. ExEMwPLuM IV. Quaerere formulam 2*— 1, quae habeat divisorem 23: residua sive 1 24—. 2*3. 3 —20— —2?.5 —5 —28— —9?1 —-1" 19m 7av4 1 ergo v — 11. — 3, quae habeat divisorem 19: residua CV give s du |—16——2*1 —1 — 20 — — 2?*.5 domui, coolbuio ^o lem 953 qm: M6 25:1- 9: J- NT g—6-A4)-y--0-pete. sive [23555 031 —10——5.2 15— 5.3 20—- 5.5 20-3025 — 5.6. i Invenire exponentem z, ut formula 2**-1— 2*-,1- 1 datum habeat. divisorem p. ExEMPLUM.- Quaerere formulam y", quae divisorem habeat 17. | pótestates 5* 1-4 mide gr—8 sge—3ae. residua 26. —8 —1 1 | "uL -T Invenire exponentem a £, ut formula AK^— a datum habeat dde —p. , SonvTi0o. Numerus ergo AK* residuum dare debet —a, cui aequivalet az jp—K*&, unde numerus AK* —4 residuum dare debet b, sive bip — KBd, sicque numerus Ak*— 2-8 producet numerum c, sicque hoc modo "— donec — " numeruni A, quód quia nascitur ex A4K?, manifestum est esse debere 174 | -"L; EULERI OPERA POSTHUMA. AMriinibéica. Sorvrro. Cum érgo forniüla 2*^4- 2" residuumi habere debeat —1, sive — 1-£:4p, ponamus potestatem 2* habere residuum r, atque ejus quadratum 2** residuum habebit rr, — illius formae residuum erit rr-i-r. Quaeratur ergo r, ut fiat : rr4-r — —1-rAp, sive Arr-a-eA-1 — (2ra-1) — &p—3, unde 2r4-1-— Y (&p — 3); À igitur ita sumi debet, ut Mp— 3 sit quadratum. ien, autem r quaeratur potestas 2" residuum habens r, quod est problema superius. Sit verbi gratia divisor p — 19, et. quadratum esse debet 164—3, quod fit si 4— 3, ergo 2r-3-1 dE consequenter vel r — «3-7, vel r — —8.. ^l Pro r—--7 2"... resid. -i- 7 á T 12—-—2*3 256—*.039 3 00 16—2: pxgir*13.. 1 v Qhine 2 —6 ideoque 2!?-1- 254- 1 divisibile*pér 19— -* IL Pror— —8 .. ':9* — gegid. —8 egt qoae" gum e 1 "—90— —9?5 oil snis —5 «ili dispodzut. gdng: axsaórtasn: ! aba, pit anos sib igndpd 96 - 469^ : i 5] 9x — 18. 1 cnbiaet 7. L5 pnieiastóq ideoque 2**-,- 21*-,- 1 divisibile per 19. | f Nite * EE M ; 51 Aum. T. I. p. 143—149. 15. (J. A. Ewler.) ! PES tpe Cum sit a?P— 1 divisibile per 9p-1-1, si 9p--1 faerit numerus primus, tum vel a?—1, vel aP-i-1 per eum dividi poterit. Duplicis ergo generis sunt potestates a^, prouti vel formula a? —1, vel a?-1-1 fuerit divisibilis per 2p4-1. mee TuEOREMA. Cujus generis:füerit potestas-a/" ejusdem generis quoque érünt omnes istae q'a-Bp, giarrp; q 0--P "eti "genere a^^ P7 ubi a debet esse poe ad 2p3-1 é n quoque potest esse numerus negativus. . Praeterea vero etiam ejusdem. generis erunt hae potestates : ns Pri ui "E ,q"-—P-1'et in genere - qa—p—c bic autem EARS tantum valet, si a fuerit numerus. positivus; si enim sit negativus, hae posteriores potestates: ad alterum genus pertinent. Ratio hujus exceptionis manifesta est: si enim p fuerit numerus par, perinde est sive capiatur -1- a, sive — a; sin autent p sit impar,.loco,.a sumendo —a, ipsa potestas.fit negativa. .Sieque si formula (--.a^3- 1 fuerit per uide divisibilis, tum (—a)^-3- 1 divisibilis erit. ^ txfbiss e^injasioq ExrwrrtvM. "Quia 2!-E1- e 2.1-1-1 — 3 est divisibile, ubi à — 2 et jii. ad ideni genus pertinebünt hae potestates ^^ * D! 9s gQ» gis Qi7^9ol , . Qancci i tta deinde etiam istae 92.96 910 914 918. 922 , Q4n-e-2 t-—*g Examinemus casum 2?!', an 2?!-,-1 divisibile sit per 43, sive an 2** per- 43 divisum relinquat — 1, quod ope methodi supra expositae ita fiet 0008 oos | Dnnpqe me ny " i shades d ^ (nHIHHa1 Fragmenta. ex: Adversariis depromta. — 175 divisor: 43. P 921—242 921—7 — 9nn—23 agen | aic i. : P T quod cum sit verum, etiam prima formula est vera. Examinetur jam potestas 2!?, num per 37 divisa relinquat — 1. divisor: 37 gis 918 — 2 918 — 4 918—9 92.18 residua Um $—53——514— —2*.11 — 11 443 — 329—254. 1. Capiatur. cubus. : . At . Dividatur vel — 0 o T w- Calculus ita fiet residua —1--37 — 2?.9 --9—317——2*,41 —1—31-—-—2*.41 — 11 — 1331 — -21- 1, quod etiam est verum. ExxkwPLUM. Sit a—3 et p—2, erit 3*-,1-1 divisibile per 5; hujus ergo generis erunt omnes hae potestates: 3*, 3*, 3^, - and 33, 3?, 3!5, 9?! Examinetur 3*5 an per 53 divisa relinquat. — 1: í divisor: 53 3?6 av vel. 320 gi? — 26 vel 3 3 35 3? quod cum. sit falsum, residuum non adí 1. vel Ik 1. .Examinetur 3** an per 67, divisa relinquat. -4- 1. , divisor: 67... 335 35. 3" vel » quod quia est falsum, nostra regula pontemetur, 326... 39n-* 2, item hae gi, pio gms residua 42-1 -1- 53 — 3?*.2 4-2 -a- 4-8 "T 3-16 24-198 vel 29. AA vel r9. ' residua | 2-134 — 3?.5 5 25 125 vel —9 — 225 vel —2& 4-216 vel 4-15 — 135 vel — 1 . ExkMPLUM. Sit a—6 et fieri nequit p—1, quia neque 64-1, neque 6!—1 per 3 est divisibile, ilias excluduntur exponentes 1.,13,, 25,. 97, 49, &tr., tum etiam - 10, 22, 34, A6, 58, etc. At 6-4 est per 5 divisibile, sive 6* per 5 divisum dat residuum -4- 1, ergo p—32, et idem dabunt hae potestates 176 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 6*5, 6**. Examinemus potestatem 65^ num per 101 divisa relinquat -- 1: divisor: 101 6*9 61? 6015 6*5 6? I: 6* 5 6! quod quia est verum, patet regula. Examinetur potestas 65? an'per 67 divisa relinquat -4- 1: divisor: 67 TUM 632 ai Utra formula a?2-1 per numerum primum 2p-1-1 sit divisibilis sequens tabella ostendit: 2p -- 1 proa—2 8a--1 — 9?—1 8n-2c-3 2P-4-1 pro a—'1 28n2- 1 . 7P—1 28n-- 3 "7P—1 28n23- 5. 7P--1 28n2- 9 — 7P—1 28n 3- 11 792-1 28n 2-13 TP-4- 1 2p 4- 1 pro a—3 12n 2 1 3?—1 12n2-5 374-1 pro a—8 32n2- 1 8"— 1 32n-- 3 ^ 8/7--1 32n2- 5 8"--1 32n2- 7 | 8"—1 32n-- 9 8"—1 32n2- 13 8^--1 32n --15 8?—1 Arithmetica. 6?*, 659, 69?, etc., tum etiam 65, —6?!, -6?3, 655, 657, etc, residua 4- 1 24- 101 — 102 — 6.17 47 — 101 — — 6.14 —14—202— —216— — 65. — 1 : up diagiuundn gopq culo von mir» boup | naizir t: | loq um J 4- 1^ — 196 4- 202 — 24- 6 residua -— 4-619. "db fpc 6725 6:13" — 1324-67 —24- 6.9. ML 4-81 vel -E 44 7 4-196 vel —5^' ^ 24- 25 -4- 350 vel 15 4 135 — 134 vel 4- 1 2p 4-1 2p 2- 1 pro a—5 proa-—6 790n2c1 "594^ 2in- Y Up '90n-€3 " '"5P2p1 "24a ap o4 20n--7 ^. 9"-1 94n2- 7. 67-1 2002-9 —— y—1 9&n 2c 11 674-1 pro a—10 pro a— 11 h0n-- 1. 107—1 hnc- 4^ 147—141. h0n-- 3 10P—1 hhn2d- 3 — 1174-1 h0n2- 7 — 1074-1 hnc 5. — 1MP—1 &0nd- 9 — 10"—1 hncc 7. 1I—1 hÓnz-ciL — 1073-1 Anc 9 1P—1 &0n2513 ^ 499 —1' "|" "Xacmig, "nemgy "A0n-c17 ^ 10/31 "Ahn E15. 1492-1 h0n2-19 — 1074-1 Macc o aqq de uf en Mncc19.— 117—1 eq 8 eria alioi rib a adoro. ergab d now Aen Fragmenta ex^ Adversariis depromta: rir ede pro à—12 mq idu |^ pro ámmA3 iom) lsdo ses pro a1 £ 4-48 / ba proia.— 45. ai &ünzis dos M9Pesq oos] 15) 437—450 1| os 962»29 4 o0 147—115 [ins G0n25. os 457254. &8n35 5- . A9P4-1. i|. 06 8n 3-5 437b oo [1o9682- 3 — AP di Ei 6n t- CT. 037 — 4 kSnzis 7:5. 494-15 sooo BB ood Ie dosc| ooi nz 5 c MP dus 5 and ondiilicd A8n-e 11: .A9?— 1: eio B2ncss Tos d3)4-1 0| od60zE 9. MMIM ioo: 0082512, 0:4574-1 &8n--13 — 19/—1 59nd- 9 — 1Y"—1:55|os 96-514... 17—4 on G0 A7 i 492—1 &Snst- 1070 Aedes )ni44o 4371s] 5602-13 4 41. ioos60n3249 5: 4574-1 &8n2c:19....1274-1... |... ^ 526-2€15. 437-94. 7| o5 9602 15,5 197-1 5.4: 6002-23, 4974-1 4k8nz523:./. 427—154: clan c dT CAMS esie ss 96nzt47 .:; 1-1 TED TIT 60n3-29 157-1 andato cbocd EI ring [iiimoB6R 249. dM mop 1i? mz) sodonp. Ldiravo 92n--21. 0137-1 — |: :56n2c23 147-4 1 52n2-23 013—145: |: (B6n2c95 — 1A7—1 a T ES go e 52n2-25 . 13"—1 — B6n2-97 147-1 PT A. m. T. I. p. 211—213. 215. 216. (zt LN SX) s loy ..€. lov... 8 . [a : 4. 16. . xaivib. 1 'm oginmnol 1J - "IREOREMA. Si: oio. 3 per N.divisa bee. r, at pies a LER. $, , tum. formula , SP r?, per Aer divisibilis,, ^ oo Jas. üb—a T - Simili E" cum as sit i divisibilis | per N, etiam ou ei y A^ PETENTE DR m npe divisibile per N. Hinc si r — 1, tum s7—1' erit divisibile. ;, «..—. Tuk&onEMA. Si; fuerit r-- AN — a^s,. tum v ^— s est divisibile per X. Hic ergo est r—a 1s — AN et Su oloabp 8s —(a*s- mA T N divisibile. fo erit ergo À. m. T. I. p. 214. Ue:obissb oieenommeb. anjua. a 220581 euo dri íà bota) o0 vh mpilo nud sz mfft)oó marioietbeup nbiao: 75)0i b ed0sivib oq i? -^'r Si^ fuerit p numerus. impar,' tum -— 'Semper est nümeérus m - — p est numerus piena videtur: etiam^esse"numerus^primus, id quod examinetur. | 0 50000 0000) 0p09 i; iuriolstb Ponatur Mrd ss y; erit sequens Tu et. ^ At ex priore est "€ 34 i unde - sequens erit 43,259" ioa AnaBsbiaon auvonim. (o - aur eq amomumd ao Y-r- A obigulorr argon formetur, sequens, series Ian. rtropbierr obuiidlun T ia.mnb. .£-t-d i. S Ls. 0A. b. AMA (45), $4 aoi ax ; -ett. 235 huc * aud Uo qibm.A...1, 3, 11, 43, (171,.. 682, 2731, . (10923), 13691, 174763, etc. Hinc suspicio confirmatur usque ad ultimum 174163 , qui sit — a, ita, ut sit 3a— 2!?-1- 1; at hic numerus continetur in forma .2f 2a- j^, quae alios divisores a habet, nisi in eadem forma contentos; necesse ergo est, sit. 174763 — 2r^-i- s* idque unico.modo.. Si ergo. hic numerus unico modo in forma 2r*-i-s^. contineatur, certo erit primus; sin autem: pluribus modis .contineatur, tum demum niei id quod non adeo. difficile est explorare, .Est autem... ! (jq muromuu 79q i sibiesi-noa 1419763552. 2981:4- 7132994 1891 cadi 293*-«- 3065. 02.1715 342)... j i51 ^ (Lexell.) | 151 ''"At'sine tanto calculo demonstrari potest hunc. numerum esse primum. Si enim haberet divisorem, is primo minor esset, quam radix quadrata hujus numeri, quae est 418, sive «719. Secundo divisor iste continebitur L. Euleri Op. posibuma. T. Ll - 178 | L..EULERI- OPERA. POSTHUMA. . Arihmetica. in fomia-velc8n-:-1, vel 8n--3. / Tertio divisor etiam formam liabebit 192-1-1, ubi A primo esse debet. par, erit-érgo vel 41 —582, vel 8n-£2, vel 8n-i-&; vel. 8n-2-6. Prima dat forinam 8n-1-1, quae congruit curi priore; A2: 8n-&:2 dat 8n4-39, ideoque 4 — $8n-i-2 excluditur; similiter 4 — 8n-1-&. dat 8n 4-5, unde A —— 8n excluditur; at. '4:58n-31- 6. dat 8n-1- 3, quàe "valet. Duae ergo formae relinquuntur pro A, 8n et 8n*4«6j '^Wergo ex priori 194-1-1 habentur: 41, 153, 305, 457, ' et'ex posteriori 192-1-1: 115, 267, 4119... Hi-autém nümeri;' minores quam 419, ommes sunt compositi. — *- um [— SI, £p d ^ Néque veró propositio supra memorata ést' vera, plures enim. casus assignari possunt, quibus fallit. 'Cum énim Aumerus pritmüs 2p-1-1 quoties fuerit formae 8n-1-3, sit'divisor formmlae 2734-1, ob p—-Aa-4-1 utique feri pótest, àt-p Si numerus primus; iis ergo casibus etiam formulà d divisorem habebit 8n-4-3, hóc itaqué evenit, quoties tam 4n-1-1 quam 8»--3 fuerint numeri primi, ciüjismodi ane 'sunt : v55,"49, 41, 53; "89 ! —M 44:540, 83, 107; 409. 6&-t | Mw hes tz PO SEI QS u- at ; A. m. T. I. P. 917. DIS .GIS CAMS - HS aq ST un uA 18. (J. A. Ewler.) Ut formulae 2*3-1 divisor sit 17, erit ..,. 53... sen. $2, vel 8, vel 9, vel 15. Ut! ejüsdeim "formuülaé' divisor sit ^ ^1; erit 1/2. 2.0 27D. geirib V. c 3, vel 44, vel 27; ^ vel 38, « « « vi RET, MESES RUN 1E Lern $—410, vel 22, vel 51, vel 63, tW u15il9. quio. oilidigretb- Jo '89, rit 50» 200. ;7. ag, e pa Me cea ur 37)! 'vel 52; "vel Th In omnibus seilicet casibus, si fueiii $2, Wr time) ^ (70609 .Y. 1:99 £üdievih Ha s-—V»- mus obom illae r—aq et fons et oil gtoo ud (Eds suH /— 0 19q slidisivib jo KA — à^» —— * de9 Ogi15 oatH / (oq etdiatvib Jao & —7 7 NS, nul ,a?9 LÀ t i5: A; m. T. 4. p. 904. : ARR PURI l9 ;:3-—q-—p d) De divisoribus et residuis numérorüm quadratorum. 19. TnurEonEMA, cujus demonstratio desideratur. Si pro divisore d inter residua quadratorum occurrat: --r, tum etiam pro divisore &ar-i-d, si fuerit numerus primus, .inter,xesidua, quadratorum idem quoque. residuum. ztr. occürret.,..]ta si.sit. d.— 7, inter ;residua: qua- dratorum occurrit 2; ideoque quoties 8n-1-7 fuerit numerus primus, (eo diyisore)..inter residua. apti re eriatur 2 necesse est. ] 4-9. Ef e Pp »íi pp T Lu , & " Pu - , Enn :no04 Ratio in eo quiste videt, quod si Sn--7 est numerus primus, um 1 numerus " residubrum semper est hn-31-3, dum si non fuerit primus, multitudo -dnidqucuS mnlto est. ininór:' &cilicet" pro 9n 2-187 uiniiigdo residuorum non est 7, sed' titur s. ; I q VEA *jan '04 ) H A x t "PEU 4 ( ! i 1 ^ i3 f . 1 A. m TA P. 910. euloutsn od I6 ;T--*"'t Ha is 5H w-— lia E Yl D : ; i91024 Tit 295 0q79 9657 Th EOREMATA'DEMONSTRANDA. 777 "Toetvi | iil gr 039009 E/Si per mameruni "pfimurm 72-1 omnia quadrata dividantur, inter residua oceurret non solum ipse nu- UU meérüs , sed 'etiám omnes ejus divisores 'et quidem. singuli utroque signo affecti. wu ST II. Si per numerum primum /»— 1 omnia quadrata dividantur, inter residua non solum "occurret dpáe are merus », sed efiam omnes ejus üivisores signo -&- affeeti; iidem -enim signo — affecti erunt non-residua. Haec duo theoremata ita generalius proponi possunt: Denotante i numerum imparem quemcunque, ow Lisi aper numerum: primum latii quadrata. dividantur, inter ; residua occurrent omnes. divisores numeri n, "sam signo -- iquam signo — gaMfecti...— éromun apiud asibzup xibesr, menp:' Jose rogi : weisse Ac Fragmenta | ex Adv érsartis /depromta. |. 179 ConorrtAnrUM. Hinc si 4n-i-/i est numerus iios et d — divisor numeri n;: semper. dari poterit formula 2t dyy | per. illum: numerum Jn -4- éi. divisibilis. :. Lacs) ospeobi ..S-r-q£ Iv. 10-uE T T og IIl. Si per numerum primum 4a— £i quadrata dividantur; inter residua. iooctrent; omnes divisorés numeri n positive sumti, iidem vero megative sumti erunt non-residua.: 8 "ib t-q£u OH "CokorramruUM. Ergo si d fuerit divisor quicunque numeri «, semper dabuntur Nahe "— — per numerum primum 4a -—ii divisibiles: contra vero nulla dabitur talis formula zu -1-dyy per. hune numerum primum divisibilis. p poen $E gu Sag api) en lidi vilior; er id iA mi «l.p. 924. PSU) Óf]]ss weld sshen « ( I--q08- P por, C ] : - Qiraft). ans Esq ics d | PnosLEMaA. | Invenire omnes numeros primos formae 4n-1-1, per quos si iidiela P dnb inter seda occurrat datus numerus 28... . Tu eliditivib -oabérasot?: : t T SorLuT10. Ante vidimus, si Pici primus |. ferit Map-t-ii inter Lxedidon cerio occurrere bn .Btatpatur ergo &n-1-1 — kap-i-i, et quia 4 est, impar, :ponatur. 2 — 2c--1, ut prodeat pao 99 Manes dos ap cis ee o1, 800. n — ape 3-6. 0 08 1 us Quoties ergo fuerit a — ^ac wat uieungne; numeri pro .c: et, p statuantur, tum numerus T) satiafaciet, siquidem. fuerit primus. diejvib oslumidl ;Yo-;ttom lRe-ie boe jba-.Qu- 4 cin AN eo . ConorLAniuM,,. Simili modo, patei, ut. divisori. primo. 4n —1. sms. in petet numerus. 7-4, tum sumi. debere n — ap — ee. 2 Formula autem c?--c hos. beris. numeros: n 2, y 12, 39, 30, 3 56, elc. quibus p per.a. a. divisis sit $t: 'si fen eit Pid: et, hem epers, jugi! àn. libus Ades per gesto joe sevi numeri, 3-6. €i. — a, ideoque. dabuntur. fomes TUM me et a?—ay* per n4-1. diphiiee ium xero etiam formula, q^ 1, quoque erit, divisibiliss: e oeste cete ip eric di-diio IL 'Existente 4n-1-1 numero primo; si fuerit A— eg vie in. reni, poca neque. 4-4 neque —-4 oceurret, et neutra formula. a*-esay?* ,et a?—.^, neque etiam haec a? —4 erit divisibilis. per 2n-44-1; cum ergo a*^—1 sit divisibilis, sequitur, formulam a^*-31-1 fore divisibilem per Àn-i-1.. Midi indie cuins d IIl. Si divisor primus — 4n —1 atque n — ap—r, tum in residuis quadratorum occurret -34-a, non vero — a, ideoque dabitur formula apt urs hn—1 divisibilis, non vero 22-1-0y; tum vero formula a?^ —! — 1 M érit^ pé rali rh. ia ip .ebnowonnp Jao-» Domus slobet ni sigiioiDib eujud oiloa moine si» CIV. Si^ divisor primus. A»-— 1; at "yz ap 2i gi" inter residua quadratorüm "nón "occufret 24-6; séd' —a; dd dàbitur - formüla ^ai dyy: tiisibiis per »-— 4, et jam formüla: Napa sia quiet divi- dibtiis^ egh'gep. dapiun.:3oo10q 0193005. oboi, isilqub. bi, 1--sE iumirq aurem 194 Ms oilidisivib à — ^"^"In his autérr theórematibus praecedetitia fére ómnia continentur, ád- "— sec ong a ostendaniuà "—— UT) Sit'a:2;'ért r0 et o — 1; unde sequitur ^ » ) ailidiaivi pro 1. T" — divisor n-4-1 — e raa A dabuntür: formülae ie act — inp 098242292 52 209g? iet rop acA JBMdt m oru : - pro: n. mee 'érgo /i-£:1 — 8p-4-5, per quem numerum scilicet primum neutrà — Dar do et | q&* — 2y*, at vero 2*P7*?4- 1 erit divisibilis; v da 5. fg pom acia divisor yen vw— j per dam divisibilis Digit dud dade 3" tum: vero" etiam 5—d»i gt1-— uus [LE un. molss nia. Dot »5-—-rqmusup mel murielsibi iubeas" ni nm) ,(aoueqmi al IV. n2 9y-- f^ et. divisor &kh—1 | 5; sive — " it divisibiles erunt formülae dum et )829d4 'g1P 73:4 45; ive iP 7m 4424., : j fuubnon b qsbinn i TL H ..P--:58€ 1998 95229 ) - * 180 L. EULERI -OPERA :POSTHUMA......: | isnt. Itt: / yi iSi, a: 37 ubi r0; 2: et: py! ergo !5 unntiq emm: jeo 364-9 à wüuM ^ wurm)23J08200 pro L »—3p--0, vel 3p2-2, ideoque !n-1-1 — 12p-&:1;: 12p-1-9, ubi casus. és 'est: rejeiendus, áta,' & bunnit eitokndp- 1-—12p--1;' per quem: divisibiles sunt: 2*23-39*.et 3*^—1; 0005 tiieiómmt x pro IL. à —3p-i-1 et divisor 4n-1- 1 — 12p«-5;: per» quem: divisibilis est. formula Sinets hia 9vilisoq pro» HI: 25 3p4-0//2; et divisor 4w— 1— ep «sive ^ — quod — excidit, per quem: "u-— divi- iunmisibilesiz?« 39*-et 9?^75:3 o4 ;- rofideb eli otov. eio lidizivib 3$— «4 mgunnubrqp our;nnm "499 proHIV..s.2—:3p—4, hinc 4a —1 — "€ formulae divisibiles z?-4- 3y* et 3?^— 1 4- 1, aitidiaivib dirti 3) Sit a—5, ubi r—0, 2, 1et 9 —3, 5, sive — —1, —2. Pro l. n—5p--0, 1, 2; 4n2-1—20p-4-1, (5), 9; fortiulae divisibiles x3 5y* et 5?^— 1; pro IL. n —5p—1, —2; &n4-1— 920p —3, — 7; fórniüla divisibilis 5?"34- 1; pro Tm: 3/228 59259, hoc 4g eng 2-905 —1; (29 / —9;' formulae divisibiles Vetro n ad pro IV. n—5p-i-1, 2; 4n —1 — 20p2-3, 7, formulae divisibiles c ies et iilii omui: «uleb leTu30 2 nsagysieSic yl $1 pu0, (et 9247 3» g*gpypiJusg) iuaruqp sosivib de awmübiv eA —.orTU40€ Pro L. »—6p4-0, 2; in4-1 — 21571; formulae divisibiles p wp d Qn 1p, Jo. 62r qnà — F-Oos) ope pro Il. n — 6p-i-1, 3, —2, 3; 3a-E1—2Wj^i-5, 12, — 7; formula divisibilis 6^4- 1; pro TI^ — 65-0; 9e 42 1 dug, 9; formulae divisibiles 4? 226y*^ et gri-a my o9pb og soDoyQ pro IV. & —6p —1, —3, --2, 4-1; kn —1—2hp—5, —13, 4-7; formulae divisib. ztae6y et 62r 1a Ubi! notanduti "e&t; "unitatem hic! perperam referri ad o, "valores enim litéraruni r eto intér' &é aequales esse debent et oporteret 1 ad r referre, ita ut pro 1 sit etiam 4n -31- 1 — 2&p3-5, T - remit Fésidüa; si" eiiim 21220, pro^divisore 5 utique occurrit residuum 6; utpote 124-57 ^^ Sirena d Idem itéonvehiens occurret; quoties m est humerus 'pár; id vero incongruum ita'diluenddii videtur: bo per 'divisorem 6 dividi débeant' numeri 0, 9; 6, 1; 90, etc. utrinque 'diviso per 2; habebuütur nümeri 0; 4, 3, 6,10," etc. per 3 dividendi; unde inánife&to oritur residuum 4 práeter' praecedentia, "quod érgo eX 6 expungi debet: Ita si a— 10, primo pro r reperimus hos valores 0, 2, 6; per binariüm autein gnivnnd insuper àece- düüt'ad 7-1, 3; ità; üt valores ipsius r'jam sint^0, 1; 2, 3, 6, ergo ipimgigt mun 2 Jaja - . H 4,5, 7, 8, 9; &r--1 — 1, (5), 9,13, (2 2 Ao --1——17, 21, 29, 33, 3, sive Phil — wp i: hic ergo etiam numerus 9 ab Q ad r est transferendus. ^ : die " O01o9v ton ,.9»-P jorigu2s2»o- cimroigibi era DiAOT (T f -—qulcz 4 omis e—« - mmi oret i dH /- Leaello) A | d- uriid h af wahr p. emario! 03 idtUl :;vvu5-L-Xxe ox39v ior P —d TOUR vU -— wx Inrmiot Vera autem solutio hujus difficultatis in indole numeri a est quaerenda, qui si fuerit. primus,.. nire pro r,et. o;,supra assignati recte, se habent; sin autem est. compositus, valores quidem pro. r.. oriundi recte se habent, sed ;, non, omnes, per. regulam supra datam, reperiuntur, . sed aliunde; insuper, alii. accedunt... Ut.enim formula (ab)" — 1 divisibilis sit per numerum primum 2z-1-1, id duplici modo contingere potest: priori quando. a^ 1 et;b 7,4, divisionem, admittunt;,.si, enim .a*— 1. est, divisibile, .erit etiam. (ab) — 5^; . addatur formula, divisibilis D*—1, prodit formula divisibilis (ab)" — 1, atque hos casus regula, nostra suppeditat. |Praeterea.vero formula M E (ab) o 4 ierit | diyisibilis, . $i. istae, a1. et. 573-1, fuerint divisibiles; cum , enim ex priori sequatur (ab)"-i-b7 divisibilis, auferendo hinc 5b*-1-1 remanet (ab)" — 1 divisibilis. Hinc. igitur novi valores ad r accedunt, qui supra. ad: perperam. fegant. , relati,;, Totum, igitur ..hoc Male accuratius .sequenti modo. simulque ete nius pertractatur. : ; 5; Denotet, 20m -- 1- semper; numerum. primum, ; et, supra . Min idit Si fuerit Brur-deidiérali denotante; numeros impares), tum in residuis quadratorum tam -1-a quam —a reperiri ; sin autem fuerit 2m-1-1 — hab — ii, tum ,tantum 4-4, in. residuis occurrere ;. utroque autem casu, hoc est si 2m-- 1 — ab 3c ii, formulam a" —4 divisibilem esse per 2m -1- 1. Hujus quidem demonstratio nondum perfecta habetur, sed tamen non longe abesse ' »ili "po g^ ^ O'I9 ]j "wt -— "vw. fail 1 p Iii i |—' "n^0915 "n:e usati AE ar E eee eMe E bitsmlird. Fragmenta: ex. Adversariis depromla. 181 vid emur, cum enim. quadrata per numerum 2m-- 1. dividi. debeant, ut residua eruantur; per 2m--1 — hab ü dividatur ipsum quadratum i, et;residuum erit —.^ab, ideoque etiam |— ab, et. quia divisor.est formae 4n-i-1, etiam -i-ab erit residuum. Superest igitur tantum, ut demonstretur, tam -i-a quam --b seorsim (inter residua occurrere; si enim amibo essent non-residua, . nihilominus. productum. a. foret. residuum. Ad hoc dilucidandum, proponatur divisor primus 2m-£41 c hab-t- (2c-t- 1)*,. ita. nt. ab. certe. sit. residuum ; iquoniant hic, nuinerus-plü- ribus aliis modis similiter;;exhiberi: potest: ;.:Statuamus, 2m-1-1 — lp-- (294-1), t, nunc etiam p certe erit residuum. Aequentur hae duae formulae inter.se,. et reperiemus p-— ab--ce-t- 6: 44.— 45 (ubi: q» pro: lubitu assumere licet, sicque plura alia residua prodibunt, inter quae si occurrat alteruter numerus a vel b, etiam alter certe erit residuum, Ut ho& ubérius explicetür, .notasse' jüvabit;' inter" residua primum omnia occurrere qua- drata; deinde:si occurrant.numeri,c, f,y, ete. etiam producta .ex. binis. vel. pluribus oceutrent:: Et si occurrant nümeri; c: et «y, etiam. y. oecurret, et. si occurrat. «y^, etiam : ,occurret;: hoc. igitur - Amet állustremus: : :' «iv» Ex guPtUM LUSitaz-2, 5-2; ideoque 2nta-1 —1164:(9c4-1)*: (p »oromua dnà mu mobinp osup ipm 1j Sit e—0 eritque Lb ii din, bli - " 6, - "Hine "eapiatur DC 229179 do d cette eit inp ; 1 "tediddüih ^ toit (" » T ofi ) j "£i alyLorfumm gto ia 28 ET ETT eli: "9j Sil 96 pO LL $ "erit gentes spes 10— veh ": 6, 12) et sumto I dpt Lien -2. ^ ergo 2 residuum. ^" ' iinowpeos . lab w:o: 4 ! | Tm — diui 'Sit c —'& sive 2m--1 — 97; inde p24- q0]—4; 'süratur p» erit p Ls ideoque. 2 residuum. ""ExzgwPLuM HL. Sit a—2 etó-—3et m 4-1 — 9&4 (De a- Tj. Sit £2 3, ut fiat 2n-1— 13, ergo (9323 p — 64-12— 4 — m ra erm 40 — 4; sumatur t ied fit Es. A ergo et " et 3 residua. 019v 400] | 1 -H4— 350. 315a Modi RXEMPLUM. ui. Sit (3 et i3 et 3m 1 — 36-- Qe 1. | Sit e—0, ut fiat 30-131, ergo ) —9—94— Mm$— (6, 2, 6 6); sumto 1—2, P3 Sit deinde 0—2, unde. 2m-i-1 — 6I, him ,.,.. ilieoquauo- mins sema p—9-6— a. —42515 — (0. 2, 6). ergo. 2—45—142— 3. TIR. soil Ex EMPLUM W.. Sit. ab — 2.3.5, ideoque .2m-- 1 —8.3.54-(2c21-1)*. Sena eon sit 2m-4-1—241, erit : p —2.3.52-30 — qq — 4 — 60 — (0, 2, 6,12, 20, 30; 42, 56); doo eon At 60— 6 dat 54—:6.9, ergo 6 est residuum, :ergo: et 5; deinde: poen 3-3. 16, unde 3 est residuum et 2, sicque singuli factores 2,3, 5:sunt- regdlugt ,09 ,IG ,Eb[,G m 12-94] ExEMPLUM V. Sit ab —3.5.7 — 105, ideoque: dud Ios B Lou: Su rs ni 2m--1 — A21, unde p — 105 — q (q-4- 1) — 105 — (0, 2; 6, 12, 20,30, 42, 56, 72, 90, 110). Hine 105 — 30 — 75 — 3.25, ergo 3:est residuum; ideoque:et 35. Deinde p — rrimdepat 63 — 7.9, ideoque 1 residuum ut et.5; sicque singuli factores sunt residua. K£6 .& 64 &I—I--9l Ep e Hinc ergo tuto concludi posse videtur, quotcunque etiàm factores babeat productum &4b, singulos semper quoque — residua occurrere, quod.idem simili, modo :de 'alterà: forma A&ab — (2e-- 1)*- pt posito enim do. VÉ kab:.— (2e34- 1)* —— &p — (29 4- 1)?, . ; erit: der: z— ab—cc—cueqq; ubi p certo est residasumcO! .10] 28 .£Y ,.69 .IO0 .Yc|.H 08 .Ie P EI dba j! " ExEwPruw I. :Sit à. —2.2, 2in -3- 1— 16 — (2c " sumto .e — 1, m E24 ergo - $5 TQ. te^ Xp EN M 4 diinsode* datei E ror] unde si q—0, patet/2 ésse residuum. ^ ^ PEN domine beu ExEwPLuM IL Sit.ab — 2.3 — 6, erit 2m-- 1 c QAPH posito e—:0, nd is — 23, ergo " p —62- qq71- 4-5 6.2 (0; 2, 6; 12,20), unde pz—6-2-2—8—2.5, ergo 2 residuum, ideoque et 3, sive p—6-4-6 —12-3. L, ergo 3 residuum. — ^ 91 P ExrwPLvw HL Sit-ab — 2.2.3.5 —60 et 2m-1- 1— 240 — (2e-4- f)*; posito ' , e— 0, 2m4-1— 239, unde. p — 60 -- (0, 2, 6, 12,20, 30, 42, etc.). ^ 14 2 iO Se e. r?to |. 3433 —Á — 182 -E; EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. Hinc y — 60212 2—72 — 2.36, ergo 2 est résiduüm: Porro p 60-1: 20—5:16; érgo: 5 residuum, ideoque: étiam 3, Sive sumto- dye age 9j; ergo 40 Near hinc etiam 5: Sumto: autem c3 fit 2m 421 191 primus; ergo t^ 16) uroti»nomob du. .eolael nudes jaogoqum — .anonbiaot duo 05-25 melt Ipod eli ginem ioci meti 2;:6,: 12, 20,30, A9). f ia lo1eeimoo0 - Hinc statim p — 48—-3.16 dat 3 pro résiduo; deinde p — 50 — 2.25 dat 2'pro residuo. Porro ^: 5-074 u p-^8-£9 42 — 90 — 10:9,- ergo 10 residuum, ideoide^ etiSulimis eibom aiiis aud "Quamquam haec — certà videntur, tatnen dermofistràátio- bsutónimimdi sub osi 1uigeuypoeA .nundiass " : Eíirrlq suni ! 9'T19£/eef , lenior, eoidentia -fotmelqe ponte moe i s ior Jm spo adii ubi primo itia mibi casibus «a intér residua' repériatur. Quia i'seinper' est numerus: formae hr-i-1,^ nostra formula ita referetur ab3-(yr-4-1); at formula" 4£2t-1^ continet primo: omnia. quadrata: imparia, quae quidem cum A4ab numeros primos dare.'possünt, majora auiem. infra Aa deprimi possunt, dum.ab iis sub- trahitur Aa quoties.fieri. possit, hocgue, modo, pro quovis casu numeri,a, formula /r-t-1, certos sortietur valores minores , quam ha, ac si a fuerit numerus primus, hoc modo omnes prodeunt idonei valores pro .; her 4 1, qui autem numeri hujus "formae non occurrunt, | eos formula. &o-1- 1. indicemus, | atque, his. numeris utriusque generis hr 4-1 et Ào-1- 1 pro quovis numero primo a definitis, sequentia habebimus theoremata. —, - L Si fuerit med — abe (r-r1),. tum. formula. a^—1 semper erit divisibilis per decr oo casu signi superioris tam -I-a quam —4 inter. residua quadratorum reperientur, casu. autem signi inferioris, Aantum -i- a. erit residuum, et — a non-residuum. Jm. IL. Si fuerit 2m 4-1 —hab a (h9--1). tum semper formula. a" 4 4d dividi poterit. pe 2m - 4 tum vero peo sigrio- superiore -- neqüe a nec —a erit residuum, sive neque ta-- ay nec a—ayy unquam per m1 dividi poterit. ^Pib signo Msn LL M —, inter residua. erit. —a, sive ' formula aa -4- yy divisibilis e i» per 2m-1-1; probe autem hic notétür £^ haec" táhitüm 'vàlere; 8i a fuent nülnerüs primus; numeri enim compositi aliam-- requirunt . evolutionem. :: Nünc. igitur pto* densa miutheris: — a 'exhibeámüg nuieros illos: duplicis generis in formulis 4r--1 et ko-19£. éDhtónitog. 0» — 09 —5y — Qo — bae ELE E jio ju 2233 jr er 9;- 47,» 95) 3$, Nu dp ju9, 0, ogro. ,0;9 — 42 " 9 —00314 hg 4-1 — 5,|13, 21, 29, 37; h5;:59,^*61, . eto." «919! 4 ihren onpota ,€ jo mturubten we d gsm 4; i /95;- 97j 249] 649 78/petbi .201 — T.U:£ — d» di& LV wuasia acl Aid 182-55; 47, 29,0044) 99| 05; 17;-eib) — ti i-o — 001 — q obrui: 1 eder £; dee 29, *45:59,:61,:69,781,:897. eté^ «55. £ — C7 — 06 — C01 mH 4o-1-1—13, 17,133, 37, 53, 973779; T1; 93097, beris »npsis c0 19 18 usbiag T dT i hee 1/549) 25; 29, (8Uj9 58;p:5T,;06p, S1jobte. 2ccoq Toriodos oim os79 sni TN 4g E21 — 5,- 43, 47,1 33;14,:/45; ^61, 69; 73; eleo 5 ioo smbiad 1518] "empotip iu [metn 4; —5 —9j» 25,4 p h5, 49, voee ig! Mn -93,!97, etc. ! hg-1-1—413, 17, 21, 99, 41,|57, 61, 65, 73, 85,| 101, 105j5«etei os c5 o9 q He umi 4, .9,-17, 25, 29, 49,|53, :61, 69, 77, ^81, 104, etc. 1 «oov ho-31- 1 — 5, 21,.33, 37, 44, 45,|57; 73, 85, 89, 93, 97, etc. bergera séwis 1, 9, 13, 91, 95, 33, 49, is 71,:.:81, 89, :93;:401, ete: » 1 56s — 1402-122, 29,92, 14 -&5,- 92, 61:05, |73, .97,- 105, —éte. io 1H oon xd ir Anges 5 -9,, 92:35, 45, 49; 61; 73,1 77,; 81; 85; etc. 49-21- 1 —12,,21,,29; 334. 31, 541, 553, 65j 63; | ete. ,£ 325 s0poobi - ,euinbiaaer € Ote TS d MAN 79, .43/525,0 89, 1,i:.59; 18 047, :81, 5.85,- ét. IH rra 49-17 1—:,5, 47, 21, 33, 37, ^5, 53,57, 61; 65, :89, etc. tibi dib din m Den n m M MEC De ECC MR M MR "5 nodsmdind Fragmenta ex | Adversar iis. depromla. 183 Geminas has series pro quovis numero primo « facile in infinitum :continuare licet, eas :autem . in . periodos distinximus, quarum prima, continet numeros. formae. 4n-1-1,. minores. quam ^a, secunda periodus continet eosdem numeros -i-&a. Tertia continet numeros. secundae periodi -1-^a et ita porro. Hinc igitur pro casibus, quibus a est primus, judicare licet, utrum formnla a"— 1- an a"4-4. per nume- rum primum 2m-1-1 sit divisibilis; prius, scilicet eyenit, quoties fuerit 2m-t-1 — ^4ab-- (kr-1- 1), posterius vero quoties fuerit 2m 4- 1 — lab 3- (o 4- 1). ;.Circa; has. series notari oportet, in qualibet periodo contineri "Y terminos, ita. ut in ordine ko-t-1 t totidem sint termini quet in 4r31-1; deinde omnes termini ordinis Arai vel ipsi sunt quadrata, vel tales, ut. hr--14- lan fieri possit quadratum. Contra vero numeri LESEN omnes ita sunt comparati, ut formula hg-t-1-- an nunquam fieri possit quadratum, quicunque numerus pro.» capiatur. PnosLEMaA. Nunc videamus, quomodo judicium institui debeat, quando numerus a habet factores, scilicet tum etiam investigemus tàm Séfufils irae me ie itt tuli numeto. a. congnientes. Y S80 '.TO £i 5 Budd Sit a — fg et f et. g numeri primi. Quaerantur primo pro f numeri tam formae 4r-31-1 quam ko-1- 1, qui ita designentur fir-i-1) et, fi (ko-31-1), eodemque modo pro numero g habeantur formulae 4(Vr-4-1) et &(&9-1-1), quo facto. excerpantur omn numeri binis formulis fir 4-1) et £(kr-1-1) communes, cujusmodi sit P, et ex praecedentibus patet, si divisor fuerit &fp-- P — 2m-1- 1, tum formulam f" — 1 fore divisibilem per 2m3-1. Simili modo pro divisore 2m-1-1 — 4gg2- P formulam. 9" — 1 esse divisibilem. Fiat nunc p — gn et q—fn, ut prodeat communis divisor &fgn3-P, per quem ambae formulae f" — 1 et ;" — 1 erunt divisibiles, unde sequitur, quoque formulam (fgy^—1 — 4" foré'divisibilem: Praeterea cum '"-:1 quoqué sit divisibilé, &i tam f"--1 quam 9"-1-1 dividi queant, id quod evenit, si ex ordinibus f(ko-1-1) 'et'&(&ko-1-1) termini communes excerpantur; quam::ob:'rem. pro numero proposito a—-fg ordo 4r-3-1 primo continebit omnes terminos communes ordinum //r--1) et £(kr-1-1), praeterea vero-etiam terminos communes ordinibus /4o-1- 1) et 8(ko-31-1). Reliqui vero- numeri formae /4a-4-1 «hic non. occurrentes. ad ordinem 4o-1-1 sunt referendi, ubi ergo ocenrrent primo termini communes ordinibus fdr-4-1) et & (hg-i- 1) tum vero etiam communes ordinibus (kr-i-1) et f(&o-x-1); hoc igitur modo pro numero a — fg facile colligentur numeri ordinis hr-i-1 et 5o 1. ConmorraniuM 1. Si fuerit 9 — f, ita üt. a fiat duditelpln Sy tum pro ordine lr-i-1 omnes plane nu- meri ordinis 4n-31-1 occurrent, alter vero ordo Àog-i-1 plane manebit vacuus, id quod etiam inde manifestum est, quod si a fuerit quadratum —ff, semper formulam q"—1 — f?" —1 esse divisibilem per numerum 2m--1. CononraniUM 2. Sin autem factores f et g fuerint dispares, ex praecedentibus ordinibus serierum facile pro quovis numero a — fg termini utriusque ordinis colligentur, quemadmodum ex sequentibus exemplis patebit. : ExrwPLUM I. Sit a— 92.3, ideoque. ha — 2, et terminus communis ordinum ? (r-1-1) et. *hr-1-1) est. 1 cum sequentibus 25, 49, 73, 97; at vero terminus ordinibus *(ko-1-1) et.*(ko1-1) communis est 5, unde in primo ordine tantum occurrunt 1, 5, at pro ordine (4o-31-1) terminus communis ordinibus *(hr-1- 1) et *(ko-1- 1) est 17, ordinibus autem *(kr-1- 1) et ?(ko-31-1) communis est 13. Qui ordines ita referantur kr3-1 — 1, 5,|25, 29, 49, 53, 73, 71, 91, 101 a6, ha — 24 ko-1- 1 — 13, 17, | 37, ^1, 61, 65, 85, 89 ExrewPLUM 2. Sit a—2.5 — 10 et ha — 89. Hic termini communes ordinum ?(Àr-1-1) et *(hr-1- 1) sunt 1, 9, at termini communes ordinum "(ho -i- 1) ) et (ho -1- 1) sunt. 13, 37. At pro ordine &o-1-1 sunt termini communes ?(hr--1) et *(ko-i-1), 17, 33, at ordines 5(r-4-1) et (ko 4-1) communes habent 21, 29, unde fit redo 4, 9, 13, 37, 144, 49, .53, 77, 81, 89, 9 aiat; iio] nee Aoc Pe di | | ! 2 4Q4-1.—47, 21, 29, 33, | 57, 61, 69, 73, 97 186 L. EULERI OPERA POSTHUMA. à; Antkmetion. —* fa - QW. Fam L) Tasoarwa. membris oos 2 di ze oues phum (ermarR Dzrwexsraáarso. S& emum ia formel mulipheetur per z"— 1, productum 1*1 semper est divisibile per r^— 1. meoque etam per zr-ea3-1; box or T CR RD — | famulum exe Awuddem Q ed a Tmzeazwa Haec forzmmha Tema aite semper est drvimbils per r*4—4-z^734- 73-1, dum- mede exponens a mon far melpham ipuums 3. Duxmossrmairio zs praecedenti —— Tsrenzrwi SS capiuntur ameulus -—( ex). ———— per hame zr— 2r eos3--1. A. m. T. L p. 3285. E. 1 26. M — Turonzwi, cujms dememstrato etfiammume desxderatur. Si haec formula lami-:-mas-1-2)) foerit numeras prumms. puía P. tum semper acxirmari possumt mumeri r ei y. ui Bai murra — P. ONES Su -—3. s—2. a—1 e b— 1, eru m2 — 5 e bankb-a4-5— 24E4-5. — — — 533 et exe dehehü 3rr22.4— 33. su z—1 e& y4—35 Plerumque quidem tales mumeri pro z ei 3 dantur Gern umterdum tamen mon Bis fracios asncacre cet, velut s fueril m — 7 et »— 2. praeterea vero 4—1 e b—1, ia mt zt P— 56-9. unde cumio b — & $t P —233, qui mumerus im imieeris esse nequit —Tzz—A AL p z—315 erü 213—523 29. ergo aO — UE e — » Ue g—. 4 gu A. m. T. L p. 300. ey 2. 2i Tmzoarwa. Nom damtur tria Büquadrata, quorum summa cszet divisibilis vel per 5. vel per 29. quae ula endis Am IGgLRdébo 2x. Ossravirio Progeso quocumque memero pumo p—2»23-1. | —Mr—9 1. 2, 3, &...2». semper tah oriime dispomi possumt, wt certs multipli ipsims p suci, progressionem geome- trrzm comsfumamé ae tales assirmari possumi mameri r. wi progressiomis geometriae 1, z, 23", r5 2^ a9 Z sumpuh iermum per p divi deprimomtur., ommes mumeri ipso p mümores prodeamt, uti ex sequentibus exemplis pace Natetur imtem potestatem 17" hoc medo semper dare umitztem. propterea quod z^^ —1 semper per p dmah potest, umde sequentes potestmes f?" 3073, 2932) 093 i dn ib mte L S&p—3232:12—1 et progressio geometrica erii 1. z. zr. NEdSduimmes esi 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ete. E E SE p—3 e£ 2—2 et progressio geometrien 1, z, 27, 27, eie. Bibt anui acid eos "x - 1,2.5.3.1.2, 5, 3, 1, etc sunie ame zr—2. e£ 02 1. 2 $ 2 1 2.14 2 BL etc ! Hi Su p—7et2—3. eri progreso 1. rz, r7, 7, z^, eic. Hume sumo r— 2. eri ea 1,2. 5. [s wmde paie hunc ionímum lermxmes pares ec. wmde zr 2 sumá debet, u £st z1—2 — jm. ideoque r—3, e praes seumeir2 0x 1.3.2, 6. 5,5. 1.23.2. e Loco z auiem ciiam sumi posset alia potestas ad, - — Fragmenía ex Adversariis deprómta. 187 |. 4 melo 1 ad 6 faerit pomo; its sui 525, — NN nde oir 1,5. RU, quae ot TW. St p— 11 et —5, at sumío z— 2 erit progressio i $5 2 5$ 8& 5 19 $ 7, 3 - Py"y"-—-— Hic autem primo etiam retrograda valet- 16737,2519 $29 1721 Praeterea posito r— z?, z7, z". qui mumeri sumt 8. 7 et 6. tum erit progressio - i "19 2€5 NN 3 2.5 Lt cujus refrograda oritur sumto r — 7. v. Sit p — 13 et 1 — 6, at sumto z — 2, erit progressio 1 2, & 8 3, & 12, 11, 9. 5, 106, 7. 1! E .9—4 4&0 7] B 9 "5 HM UTAH AMNES Ay qe Sumio igtur z—6. ea erit 1, € 109 8 9 2 12 7, 3 5 & 1311 babedasa didigiqdd 1. Perpetuo hie potestati z^ comveniet numerus 2n. Cum enim ejus quadratum 27 det 1, erit 2^—Y1, ergo. 2^— —1—5—1—2». 2. b enia 2 actin E tum potestati "7 ^ respondebit mmmerus p—2— 2n--1—« Cum enim sit -f^ — z^—-rs e z"— —1. erit g47—9— —a4—p—a—2n»--1—2a. Sufficit erzo seriem usque ad medium 2» contimmare. quia sequentes sunt e»mplementa priorum. L 3- Posito z — «, ejus reciproemm vocemus —, sive A ut prodeat numerus mteger, quem desiguemus T Du Mii 3 diee ii RE oo di Ka cass p — 13, si fuerit 2—2. $ & X 6 T. ete '- 4—7T7i19 2, 8&1 2 5. QesistiodasnipindS. PEICUT tum erit z?^— ^— c, propterea, quod productum potestatum est r?"—1, adeoque az— 1. Deinde vidimus esse 27 4— p —a. erit istur 2^— ^— p — e; ia uí cognito ume Sit p —19, 3 —9 1 : 8—^ qx 18 a, id a z9 | 149—a« zr IL» b rz 19—é - zs e x z'* | 19—c a^ d z" |! 19—4d e p—3 az*.j 3 zt P—T at T zo[ s—g Loser ibi. zl p—ec zr e Hie igitur notetur esse debere à — a*. e— a?, d—— a*, ete. S& erro sumatur « — 2. erit &— &. «—8. d4— 16. tum veró &« — 18, 2—5. ,; — 12. 8 — 6, unde formatur haee progressio geometrica * 186 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Arithmetica. 28. (N. Fuss I.) TnuronrkMa. Haec formula x?^-4- z"-1- 1 semper est divisibilis per 42 -1-:-41- 1, dummodo a non sit mul- tiplum ternarii. : DrwowNsTRATIO. Si enim illa formula :multiplicetur per z"— 1, productum: z*"—1 semper est divisibile per:xz*— 1, ideoque etiam per xx-1-2-31-1; quia ergo multiplicator z"— 1 non est divisibilis, necesse est ipsam formulam esse divisibilem. Q. e. d. : : TuronEMa. Haec formula M M semper. est divisibilis per z*--2*2-2*-4- 231-1, dum- modo exponens « non fuerit multiplum ipsius 3. H ; o DxMoNssTRATIO similis praecedenti. TurkonEMA. Si capiatur angulus ier x) 3602, eet formula «*"— 2x" cosQ-4-1 semper est divisibilis per hanc 22 — 2x cosó4-1. 5 | | : A. m. T. L p. 285. Li ^ 26. , TnuronrMa, cujus demonstratio etiamnunc desideratur. Si haec formula Amnk-i-maa-4-nbb faerit numerus primus, puta P, tum semper assignari possunt numeri 2 et y, ut fiat mazz-r-nyy — P. : 8it4—3, 9 —24 821 et b— 1, erit maa-i-nbb — 5 et mnk--5 — 2&-4-5.. Sumatur. k — 2, -erit P —53 et esse debebit 32a 4-2yy — 53, sit z—1 et y— 5. Plerumque quidem tales numeri pro o et y dantur integri, interdum tamen non nisi fractos assignare licet, veluti "si fuerit. m et 5 — 2, praeterea vero amd et 5 — 1, ita ut sit P — 56k-1-9, unde pma, k —^ fit P —233, qui numerus 5 integris esse nequit —Izz--2yy. At si capiatur 2 erit 233— 7 --2yy, ergo iia e ergo iB. et ye 2^. TnurkonkMa. Non dantur tria biquadrata, quorum summa esset divisibilis vel per 5, vel per 29, quae sola excipiuntur. A. m. T. II. p. 161. 28. — OssEnvATIO. Proposito quocunque numero primo.p —2n-1-1, omnes numeri eo minores, qui sunt 1, 2, 3, 4... 2n, semper tali ordine disponi possunt, ut certis multiplis ipsius p aucti, progressionem geome- tricam constituant, sive tales assignari possunt numeri x, ut progressionis geometricae 1, 0, 4^, a?, g". 5. qi si singuli termini per p divisi deprimantur, omnes numeri ipso p minores prodeant , uti ex sequentibus exemplis patebit. Notetur autem potestatem z?^ hoc modo semper dare unitatem, propterea quod z^" — 1 semper per p dividi potest, unde sequentes potestates a*"—-!, 4g?^—-?, 54?^-5, etc; eosdem reproducunt numeros, uti ab initio. | : : - L Sit p —3 et n — 1 et progressio geometrica erit 1, z, xx. Sumto ergo » — 2, progressio geometrica erit 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, etc. 2d A Il. Sit p —5 et n —2 et progressio geometrica 1, «c, z?, «?, etc. Hinc sumto x — 2 habetur V 1, 2, 4,.3, 1, 2,:4,-3,.1,.0te. sumto autem 2x -—-3, erit ea 1, 3, ^, 2, 1, 3, &, 2, 1, etc. i IIl. Sit p27 et » —3, erit progressio 1, «c, z*, «?, w*, etc. Hinc sumto »—2, erit ea 1, 2, &, 1, unde patet hinc tantum terminos pares oriri, unde a^ ita sumi debet, ut fiat za —2 — 7m, ideoque x — 3, et progressio geometrica erit 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, etc. Loco x autem etiam sumi posset alia potestas z^, — ve! , 1 P , H * 1 Ü- E | à ] , s y E FM UD PESRENLMORL TC SEU enTrACSÓSSC9 UE mmm Fragmenta ez Adversarits deprómta. 187 si modo 4 ad 6 fuerit primus, ita sumto 4 —— 5, capi poterit ii 5, unde oritur 1, 5, &, 6, 2,3, 1 quae est . prioris retrograda. Semper autem series retrograda aeque satisfacit. IV. Sit p— 11 et n— 5, at sumto v — 2 erit progressio | PG OE RS 3 ^ $5 ! pug amen oy: petam Hic autem primo etiam retrograda valet: Ew w NS I. 659'wxXt Praeterea posito z — a*, «", z*, qui numeri sunt 8, 7 et 6, tum erit progressio: i4. $ € &L I» 5 L1 cujus retrograda oritur sumto z — 7. V. Sit p — 13 et » — 6, at sumto 2 — 2, erit progressio 5kc2*2 748 $06. 1$ 11, 9 5» 10.7, 1 Y 18-98. 48 9::- T1785 9.530; 14 Dein pro z sumi possunt numeri 6, 11, 7. Sumto igitur z —6, ea erit 5:5 0406.8 9:2. 41. 71, .5 od REFLEXIONES GENERALES. 1. Perpetuo hic potestati z" conveniet numerus 2n. Cum enim ejus quadratum £"" det 1, erit z"— Y1, ergo a" — —1—p—1-—2n. 2.. Si potestati z^ respondeat numerus:g, tum potestati z"7-^ respondebit numerus p—a — 2n-- 1— a. Cum enim sit z^—--a et q^— —1, erit 247^ ^— —a—p—a-2n-4-1— a. Sufficit ergo seriem usque ad medium 2n continuare, quia sequentes sunt complementa priorum. re 3.. Posito x kei ejus reciprocum vocemus 4, sive » ut prodeat numerus integer, quem designemus per. «, ut sit « — —, eodemque modo gu , j-a etc. [^ casu p — 13, si fuerit 8-223198 4 A & T, ete. Verl. 2—1,1:9, 1209; 8, 15, 2 Notetur enim complementorum reciproca etiam esse complementa. i; &. Constitutis his reciprocis, si fuerit z^——a, tum erit «*^— ^—o, propterea, quod. productum potestatum est z*"—1, ideoque ax—41. Deinde vidimus esse gh-rÁ- pla, erit igitur 2"^— ^— p —«; ita ut cognito uno termino, simul quatuor innotescant, quod exemplis illustretur. Sit p — 19, » —9 | potestates| numeri testates| numeri 1 1 x? 18 x! a [n 19 —a T ad b gi 19—5 x? c g" 19—«c g^ d g? 19 —4d az? p—ó O1 D x5 p —y m5 y a p—8 at B z* p—« - hd a Hic igitur notetur esse debere 0 — a*, e — a?, d — a*, ete. Si ergo sumatur a — 2, erit po, 6-8, d—16, tum vero & — 10, 8 — 5, y — 12, 0 — 6, unde formatur haee progressio geometrica 188 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 1,: 9; .4,:8; 16,513,572, 5 14, 9,518, 1 1,7, 515, 14.535165, 4 04.40 1.9 3 4 5 6.5.5. A A M 3 A8 MM M . Loco cz autem quoque sumi possunt numeri potestati «^ respondentes, si modo A ad 18 fuerit primus. Cum autem 18 — 2.3?, multitudo numerorum ad 18 primorum est 6 et valores pro A sunt 1, 5, 7, 11, 13, 17, unde pro 4 sumi possunt hi numeri 2, 13, 14,|10, 3, 15, unde sex progressiones geometricas formare licet, quarum tres erunt priorum retrogradae. ExxwPLUM. Sit p — 44 et n — 20, et sumatur z — 2, unde progressio geometrica oritur 14,.2, &, 8, 16,.32, 23, 5, 10, 20, 49 (03 3 1 97 1 R8 9 » unde pro 2? prodit 24-1, ita ut sit 2?9— 41-1, unde patet esse zz — 2, ideoque &—Y (2-1-&1m) — 17 (posito fm — 7). Factum hinc est sequens schema: | M) Pr r | 17 11 | 11 21 | 23 31 | 30 2 12 | 23 22 | 39 32 | 18 3 13 | 22 23 | 4 33 | 19 14. | 5 24 | 37 3^ | 36 21 15 3 25 | 1^4 35 | 38 8 16 | 10. | 26 | 33 36 | 31 13 17, 6 27 | 28 37 | 35 16 18 | 20 28 | 25 38 | 21 26 | | 19 | 12 29 | 15 39 | 29 10 | 32 20 | 40 30] 9 40| 1 Jam ad 5^0 valores ipsius A primi sunt 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, unde pro z accipi poterunt sequentes numeri: 17, 34, 13, 26, 11, a. 6, 12, 24, 7, 28, 15, 30, 19,,35, 29. Si sumsissemus z — 3, prodiisset progressio ho» — ww 15 8 233 4 voc wx go» ". ; T 3 sequeretur 3*— x*?, ergo 3— x*. Supra autem invenimus esse 2 — z?, ergo & — x*, unde oritur z — ru : 93 41m sve xc-— 4 tante 4 numero quocunque, ista formula $?9—1 dividi poterit per 41, si fuerit b — aa, h. e. si füerit bM. Quoniam igitur a*9— 1 — (a*?— 1) (a?9-1-1), prior vero factor a?9— 1 divisibilis sit casibus a—a?^, sequitur, reliquis casibus, h. e. casibus a— g?^--, formulam a?9-1-1 divisibilem esse per 41, h. e. si fuerit a—17, 3^ 27, 13, 26, 11, 22, 3, 6, 12, 24, 7, 14, 28, 15, 30, 19, 38, 35, 29. Porro quia a*?— 1 divisibile per 41 si «ck M erit 5'?— 1 divisibile per 41 si b — x*^; hinc sequitur for- mulam )!9-4-1 divisibilem: esse per &1 si b — 2*4 ?, Porro a*—1 divisibile per 41 si a—az59. At a*—1^ divisibile per 41 si a— 2!9^, ergo a*4-1 divisibile per 41 si a—z*, z!5, x?*, a5, etc. h. e. si a— 21947 5, Consequenter formula a*--1 divisibilis per 41 his casibus: a — 27, 3, 1^, 38. Porro quia a*— 1 divisibile per M, si a—29^, et a*— 1 per &1, si a—2?9^, sequitur fore a^4-1 divisibile per &1, si a fuerit g1943-19. qui casus sunt a — 32 et 9, hoc est in genere 8i a — &41m--9. . [ A. m. T. il. p. 170. 171. 29. Rxaura rAciLIS explorandi numeros formae lum-i-1, qui desinunt vel in 3, vel in 7, utrum sint primi, nec ne? Sit N talis numerus, et a 2N subtrahatur quadratum proxime minus, desinens in 5, cujus radix sit 5, sitque residuum — AR. Ad hoc continuo addantur numeri 100(n— 1), 100(n— 3), 100(n — 5), 100(n — 7), etc., .——11. Cum igitur formula a'?—1 semper dividi queat per 41 h. e. si fuerit aa, deno- n ERIT Sd L - URINE II TI RAIN 2 P RR SR AEN Fragmenta ex: Adversariis depromta. 189 ut prodeant sequentes numeri: R, R--100(n— 1), A-1-200(n—2), R-2-300(n — 3), etc. Quodsi jam inter hos numeros unicus occurrat quadratus, tum numerus propositus XN certo est primus, vel per hoc quadratum divi- sibilis; sin autem vel nullus occurrat quadratus, vel duo pluresve, tum numerus X non est primus. Sit N— 637, erit 2N—127^5. Proximum quadratum in 5 desinens erit 1225 — 5?.7?; ideoque n—7 et numeri addendi nu- mero A— 49 erunt 600, 400, 200, unde prodit 649, 1049, 1249, inter quos numeros unicum occurrit qua- dratum 49, unde numerus propositus vel erit primus, vel per 49 divisibilis. EN Sit N—1073, erit 2N—2146, proximum quadratum in 5 desinens —2025—5*.9?, unde n—9 et R—1921. Numeri. addendi sunt 800, 600, 400, 200 eritque 921, 1521, 1921, 2121, inter quos sunt quadrata 121 et 1521, | ideoque numerus non est primus. Sit. N— 697, 2N—139^, proximum quadratum in 5 desinens 1225—5?.7?, R—169 et numeri addendi 600, 400, 200; inde prodeunt 769, 1169, 1369. Hic duo occurrunt quadrata 169—13* et 1369—37?, unde numerus ille non est primus, est enim 697 — 17.41. Sit N— 1697, erit 2N8— 3394, proximum quadratum 3025 — 5?.11?, hinc A— 369 et numeri addendi 1000, 800, 600, 400, 200; hinc prodeunt 1369, 2169, 2769, 3169, 3369, inter quos unicum est quadratum 1369—37*, unde numerus est primus, quandoquidem per 1369 non est divisibilis. : À. m. T. II. p. 188. ^. 80. (Golovin.) TaBULA exhibens per sipvallim 420 omnes numeros, qui restant, deletis numeris sequentium formarum: 3n--2, ^na4-3, 5n--1, 5n-r-h, 752-3, 7n-2-5 et 7n4-6. 0 78 | 148 , 232 | 310 , 373 18 85 162 238 312 378 22 88 165 240 322 382 ^ 25 93 , 168 252 330 385 : : 98 | 100 | 172 | 253-| 333 | 393 30 102 177 268 337 400 * 37 105 | 190 210 340 A03 À 42 | 112 | 193 | 273 | 345 | ^08 51 120 205 211 350 417 .. 58 130 210 280 | 352 420 60 | 133 | 217 | 282 | 357 70 1412 225 288 358 72 145 228 298 372 A. m. T. II. p. 195. 381. QV. Fuss 1.) - TuEOREMATA NUMERICA. NB. Denotet hoc signum :: divisibile, ita ut a:: p denotet, numerum a per p esse divisibilem. TuHEOREMA FUNDAMENTALE, a me olim: demonstratum. Proposito numero quocunque P, atque ab 1 usque ad P reperiantur zr numeri ad P primi, qui scilicet cum eo praeter unitatem nullum habeant factorem com- munem: tum semper (a7— 1):: P. Hinc fluunt sequentia theoremata: L Si fuerit p numerus primus, cum semper sit (a?—a)::p, si fuerit a—^ erit (&?—a) : :p*.. At si fuerit a—lPP, erit (à^— a)::;p*. Et in genere si a—ÀP" erit (aP—a) pt *. 190 L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Arithmetica. IH. Si p, q, f, s, etc. fuerint primi inter se diversi, fueritque à —547 —- erit (aP — a) ::pq. Porro si q zm p G— 9 erit (aP— aq):pqr et ita porro. III. . Si fuerit tam. (z?7——4)::P-quam (z"-—y")::P, sitque mln, erit quoque Merimry PS i; quidem z et y sint numeri inter se primi. DgwoNsTRxXTIO. Posterior formula ducta in 2"'7" a priore gubtrahati£; erit residuum gc hnc gms (gm nn, quod ergo etiam est divisibile per P, et quia y" non est divisibile, necesse est ut (x ^^ — y"): P IV. Si ut ante tam (x?"—9":: P que (a"— y^)::P atque inter numeros. m et » maximus communis e visor fuerit A. tum etiam (x4— y4) :: P. DrmoNsTRnATIO. Ponatur m-uÁ et n—vÀ, et quia A est maximus communis divisor, erunt j et y primi inter $e. Dari igitur poterunt numeri & et 8, ut sit «p — 9v —1. Hinc igitur quoque erit (gn — 9m: p similique modo (xP^— yf^).: P, unde per praecedens theorema erit (x7? — Bn. —.am — BY. D... Est vero exponens um — fn «uÁ— BÀ — A, consequenter erit (mA — y4):: P. B. Partitio numerorum in summas polygonalium. 32. (Léonard Euler.) Caractóre général pour juger, si un nombre entier quelconque N est somme de trois triangles , tous les nombres l plus petits étant tels. Soit N— A un nombre moindre quelconque qui soit égal à ces trois triangles: Ap-i-Aq-1- Ar; ensuite, pre- . nant pour a et b des nombres quelconques et posant A——ab, s'il arrive que p —4, oü p—r, ou q—r soit égal à a—b, alors le nombre proposé XN sera somme de trois triangles, et un seul cas de a et b suffit pour cela. - (Lexeell.) DEMONSTRATION. Ayant posé N.— ab —Ap-i-Aq-3- Ar, soit p —q—a— b, et pour cet effet mettons p——2--a et q—2az-1-b, de sorte que ^ AN— ab — A (11-2) 4- A (z1-0) 4- Ar. Alors je dis qu'on aura : N— A (a-4-a-4-b) 4- Ac -4- Ar; car puisque A(A- a- 1-9 2530 t Dic erre oreet " on aura Ness 1 (ac-4-2 (a-4-D) ac 4- (a-4- b) 4- c 41- a-4- D) -- T -r ár. Mais la premiére formule donne T i d Scc ID TNR PES Py d , ce qui étant óté de celle-là donne ab—ab, ce qu'il fallait démontrer. Conorr. 1. Puisque p—4—a —b et p—c-4-u et q—2--b, on aura i g—p— a—q-—5, donc z-FaA-b-p- Hb qa; par conséquent, dés qu'on aura j | IN — ab Ap--A(p —a--0)-1- Ar, il s'en suit T ORPBBRCBQUURMAS i Conorr. 2. Qu'on prenne b—-a, et dés lors il arrive, que N— aa——4Ap-t-Ap-- Àr, c'est à dire que si deux de ces triangles sont égaux entre eux, on en déduira N — A (p--a) -- A (p — à) -- Ar. Ex EM PLE. Prenons N — 17 et successivement a1, 2, 3, h, elc. nous aurons Y ; CA. m. T. HE-p. 474. 175... &c -—— FRRUPASPORT VIUERE EN Fragmenta ex. Adversariis depromta. 191 a—1 donc; 47— 1—10--3--3 ou . 17—10--6-4-1 a4—2, on aura 17 — /—13—1--6--6 done 17—1-:1- 1-15 a—-3, on aura 17— 9— 8—6-r-1--1 done 17—6-:10-4-1 a4—^, on aura 17—16— 1—1-r-0-2-0 donc 17—1-- 12-15 mwwm»- Caractéres semblables pour la. résolution des nombres en quatre carrés. Soit le nombre proposé —JN et un nombre plus petit quelconque N—2ab qui soit —pp-1-qq-1- rr-ss.. S'il arrive que p—4q—a-—b, ou bien p—2q4-4-a— b, q—p —a-4-b, alors on aura N—(p--b)*a- (q — a)*a-rr4-ss; car celle-1là IN— 2ab-i- pp -- pp — 2p (a — b) -3- (a—by4-rr 2-52. .et celle-ci ^N— pp-3-pp -- 2pb— 2ap --bb-1- aa-4-rr -4- ss sont évidemment égales. UNS ConoLr. Prenant b—a, si parmi les quatre carrés dont la somme donne I — 2aa, deux se trouvent égaux entre eux, de sorte. que N — 2aa—329pp a-rr-- ss, alors on aura N— (p4-2)* A- -- (p —4)?--rr4-ss. ExrkwPLEs. Soit proposé le nombre N— 71 et soit 1. a—1, on aura 71—2—69—144-4-4-364-95 d'oà l'on concluf. 71—9--1--36-4-25. 2, Prenant a—32, on aura 71 —8—63—9-1-9-34- 924-36, et partant 71—36-1-9-1-1 21-25. 3. Soit 4—3 et puisque 71 — 18—353—49-1- 4 1-0 24-0, il s'en suit 71—49-1-4-1-9 4-9. A. Soit a—5; puisque 71— 32—39— 36-1-1-4- 1-1, il y aura 71—36-4-1-- 254-9. 5. Soit a—5; puisque 71 — 50—21—14.4-5-1-4-1-9, donc 71—9--4-- 494-9. ; xii .— A. m. T. L. p. 92. 93. ! 33. — (N. Fuss I.) ' PRonLEMA. Si omnes numeri minores quam AN sint resolubiles in tres numeros trigonales, ipsum nume- rum XN etiam in tres trigonales resolvere. SorvTi0. Sint v, y et z radices numerorum trigonalium, quorum summa aequetur numero N, ita ut. sit |oylLumdew | yyse-y | 254-2 A 4 RC Jam consideretur numerus minor quicunque N—p, pro quo radices trigonalium sint a, b, c, ut sit aa- a AX- bb 3- b cec-r-c 3 3 * 3 Suniamus autem hic- -esse b—a--d; tum vero statuatur z——e, ita ut esse debeat N—p»— a--- yy-—-y aa -i-a bb a-b à). C. 3 -- p. Fiat nunc z—a—^ et y—b-r» eritque. : 4r--2c—aa—(2n—1)a--n(n—1) et yy-r- y — bb-- (Zn 4-7 1)b 4-7 n (n 4-1), quibus valoribus substitutis prodit 2p —2bn —2an-i-2nn, sive p—(b—a)n--nn. Cum igitur sit b— a-i-d ideoque b —« — d, erit p—dn-i-nn. Hinc pro variis valoribus litterarum d et littera p sequentes accipiet valores. Sit primo »—1 erit p— d-4-1 ! existente. &» —2 fiet p — 2d--^ $3 p —3d--9 s S 24 nh p — &d4-16 9 n—5 (p 92-25. Ae - L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 192 Inde pro p sequentes oriuntur valores d cze2,£3:590)—1,-—9; 3 ^ !5 n1: pc 0 --—12—À, —9 -& 05,28 »—32: ps 20—8,-—-8, 9| 10,: 42, 35 n—3: pez /9j.0-06 — 9, 112, -15; 18, 21, . 25 8 —: »-.8. .12, 16 20, 25.29, 32 A5 etc. etc. Unde pro diversis valoribus ipsius p resolutio numeri JV in tres trigonales succedet, si fuerit pro numeris minoribus | tum erit et N—41:b—a a —a—1 y —b4-1 |» (b—a42-1 | 4—a—1 y-b--1 N—2 b—a—1 $—a—2 y-—b--2 b —a--2 z—a—1 L——b-r-1 N—3 b—a—2 c—a—3 y—b--3 b —a42-3 z—a—1 y—b--1 aab z—a—2 —b--2 b—a—3 yz—a—hk y —b-- His positis ambarum z et y inventio succedet, si inter ternas radices a; b, c, primo pro numero N— 1 fuerit b — a, sive si duae fuerint aequales. Secundo si pro numero IN — 2 fuerit vel b — a-3-1, vel 5— a—1, hoc est si differentia fuerit inter binas —1, tum vero duplex solutio locum habebit. Tertio si pro N—3 fuerit vel 5 —a--2, vel b — a—2, hoc est si binae radices binario discrepent. Quarto si pro numero AN — 4 fuerit vel —a-4-3, vel b—a, vel b—a— 3, hoc est si differentia inter binas radices fuerint vel —0, vel —3. Quinto si pro numero N—5 fuerit b — a3-4 h. e. si differentia inter binas radices fuerit — --&. Sexto si pro numero N—6 fuerit vel b—àa3-5, vel b—2a-2-1, hoc est si inter radices binas occurrat differentia vel 1, vel 5. Quamobrem si demonstrari' posset, semper- unum saltem horum casuum locum habere debere, tum demonstratum foret, omnes numeros esse summas trium trigonalium. | Quod cum de minoribus numeris certum per se sit, pro ma- joribus autem continuo plures casus examinandi occurrant, eo minus dubitari potest, quin resolutio: semper sit locum habitura, idque plerumque pluribus modis, quo accedit, quod pro majoribus numeris fere omnes numeri N—p pluribus modis in tres trigonales resolvi possint. Quod quo clarius pateat has resolutiones ab ipso initio numerorum secundum ternas radices contemplemur: radices numeri | a, b, c | vel radices | vel radices à 1 0, 0, 1 Hinc ergo examinemus numerum —413 et habebimus 2 8. 4. 1 P é oS 3 E1116 b 3 pro N—1 — 12: 0,- 3,..3- VOTATO : $4, 5 EUESGJ 2:429, 208 6 0, .2; 2 1-4; pro N—2-—11: & A ^ t Geil todbs pro N—3—410:. 0, 0, 8 Lo4$3 | ME E - 9 4 $3 2|€*5 € i; 0 pro N—^— 9: 2, » 3 iu EE e RE LG xU eu E ME 11 0, 1, 4 | pro N—5— 8$: L' n 12 E-2M-3 1, 1, V 1 3, 23, ;8 etc. etc. ; ' | | ! | : : Fragmenta ex. Adversariis depromta. 193 PnosLEMA. Si omnes numeri minores quam XN fuerint summae quatuor quadratorum, ipsum numerum JN in quatuor quadrata resolvere. SoruTi:0. Sint pro numero quocunque minore N— p quadratorum, radices a, b, f, g, unde pro numero NN statuantur radices 2, y et f, g, ac ponatur z—a--c« et y—b--0, eritque ab hoc N— p subtracto p — 2aa 2-oa 3-208 4- 88. Jam sumatur «— —n et P ut fiat p—2n(b — a)-i-2nn; quare si fuerit b—2--d, habebitur Ml Oen qui numerus duplo major est quam casu praecedente, pro numeris trigonalibus; unde eadem criteria locum ha- bebunt, quae ante, si modo numerus p duplo major capiatur. lta resolutio numeri N—p succedet si pro numero N—2 fuerit b—a .. tum erit 2—2a— 1, —b--1 N—A b—2a4-1 z—a—1, y—b--1 N—6 b—a-4-2 az—a—41, y—b-4-1 LINES SR 1—23-3 vnd obgekg-— 7 yneba-i Lecta dons PM MEM L Re EE LR dolum - oro MNoeidühus. zusletta-Ausacieeds: Mié nom. sotuptítu | etc. . . elc. Hic ergo patet, pro hoc casu numerum criteriorum esse duplo majorem quam. casu praecedente: Verum quia hic quatuor occurrunt radices, etiam hic multo probabilius est, inter quaternas radices occurrere duas, quarum differentia sit vel 0, vel 1, vel 2, vel 3, vel ete. Quin etiam plerique numeri pluribus modis in quatuor qua- drata resolvi poterunt, unde hoc judicium aeque certum esse potest ac praecedens. PnosLEMA. Si omnes numeri minores quam XN fuerint resolubiles in quinque numeros pentagonales, ipsum : numerum XV in tales partes resolvere. : ..SoLvTi9: Sint pro numero AN — p radices quinque pentagonalium a, b, f; g, ^, unde pro ipso numero JV statuantur quinque radices c, y, f, g, ^ ac ponatur 2 ——4a--c. et Wigs eritque & | 0 8zm—2m 3aa—aN — 6aa--3«c — a t T" — (RR 658 A 388 — LE ueniibo aurebald Sdiexaldeent 25 ipe SB E bus vox "unde fiet. p — an a. 207— 3 epa adis Sumatur nunc «— —n et rwn dte eritque p—3n (b — a)--3nn quare 8i fuerit b-—a-1-d, fiet p—3 (nd4-nn), ita ut hoc casu p sit triplo majus quam pro, trigonalibus, unde eadem criteria locum Babebunf, si modo ipso p valor triplo major tribuatur; hinc igitur resolutio, semper succedet si 2. numero XN Sox fuerit b—a qub axusout) -3bsoony Siio9. t cc OUNLIGUS 57»mxguc1 oon Rog omae b—a--3— b—a xa ex quibus criteriis; si unicum tantum: locum - habuerit, : resolutio numeri AN certe succedit... Hic quidem. triplo pauciora habentur criteria. Verum. inter. quinque radices. reperientur binae, quarum differentia sit. vel 0, vel 1, vel 2, vel 3, etc. Praeterea vero etiam plerique numeri .multo pluribus modis in quinque, pentago- nales resolvi possunt. Pygüvhs iueqdegneme s o: | Ly M PnuobLEMA GENERALE circa nümeros polygonales quoscunque, quorum laterum numerus sit — 7r. Si.omnes numeri minores quam N résolri queant in 7 numeros polygóniales, etiam ipsum numerum "Nin talis resolvere. ' vd L. Egleri Op. posthuma. T I. 25 194 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - Arithmetica. SornuTi0. Sint pro numero quocunque minore, N— p, radices polygonalium a, b, f, g, h, i, k, ete. Tum vero pro ipso numero XN radices x, y, f, g, h, i, k, etc. Sit autem in genere z—a-t-«, y-b--0, et quia radicis » numerus polygonalis est 1 1 posito z — a-1-«, iste numerus polygonalis erit & (t — 8)aa-i- (v — 2) an -1- 5 (02) an — gu— V)a— z (1-9). unde si subtrahatur polygenalis ipsius a, remanet . , (t — 2) aa -- g (r—3)««— $c —4)a; hinc ergo si N— p ab XN subtrahatur, relinquetur (x — 2) aa -i- 1 0r — 2) o — 5 (1 — 8) a-t- (0 — 8) 0 27 07 — 2) 88 — (0r — V) f. Sumatur nunc «— — n et j—--n fietque p—n(r — 2)(b — a)--(r —2)nn; quamobrem si fuerit b—a-1-d, erit p-—n(r —2)d-r (x —2) nn — (x — 2) (nd 4- nn), ideoque zr — 2 vicibus major quam pro numeris trigonalibus; quocirca criteria ita se habebunt: Si pro numero N— (r—2), fuerit b——a N—2(r—2), b — a--1 N—3(r—2), b —a--2 b —a--3 N—^(r—2), 1 b—a etc. etc. Nisi ergo omnia haec criteria fallant, numerus X certe in 7? numeros polygonales resolvi potest. Pro theoremate igitur Fermatii demonstrando requiritur, ut demonstretur, fieri omnino non posse, ut omnia plane haec cri- teria simul fallant. | | | ScuoLrow. Quemadmodum haec criteria deducta sunt ex consideratione binarum radicum z et y, cum . binis datis a et b collatarum, ita etiam simpliciora eriteria exhiberi possunt, si unica radix z cum a compa- retur, manente y — b. Tum igitur erit p—(r —8) an -- 5 (1—8) aa — (x — e; ^, ; * ! 1 quare si capiamus &—0, fiet ! 1 1 Pp—- (c —2) ax o S Ur — a. Quod si ergo pro numero unico N—.5p occurrat unica radix — 0. resolutio etiam certe suecedet. Quocirca dispi- ciendum erit, num pro aliquo horum. numerorum ipso A minorum: N—1, N—z,.N—(3r—3), N—(6x —8), N— (10x — 15) etc. inter ejus radices una occurrat — 0: Quod si semel tantum evenerit, numerus N certe resolutionem admittet. Sin autem hoc criterium unquam succedat, tum demum superiora criteria examinari poterunt. Scmorrow. Talia criteria possunt etiam derivari ex comparatione ternarum radicum x, y, z, ponendo & —a-2-06, y —b-- B et z —c4-y, tum enim erit 1 Y 1 p — (z — 2) (aa.-3-b B -1- cy) 4 T (x — 2) (x«a-4- 88 -A- y) — 3 (t — &) (a4 8 y), unde si sumatur «-1-5-1-y — 0 simulque fuerit ac--5-1- cy — 0, obtinebitur p 3 (1 —9) (ea 4- BB A yp) TX NUM UTEACP HERRREUERETEDERUSURSWPBIP CERNIT GC YONTTIUSIR ETT PTT IRI Fragmenta ex Adversariis depromta. 195 Cum autem sit y — —«— 8, erit ac--b8 — cc — c — 0, unde fit | 93a-2-bB. ps &--p ^ quam ob rem, si pro numero N—p inter ejus radices, quarum numerus est z, tres reperiantur a, b, c, ita : b comparatae, ul sit em 2 c tum igitur erit. p — (r —2) (ca 4-68 4-85) ; , tum resolutio certe succedet. Sumatur ex. gr. «—n et f—n, eritque e sive a-i- b —2c, vel a—2c— b, ex qua conditione sequitur, numeros b, c, a esse in progressione arithmetica, quia hinc fiet: c—à — a— c. Quare si pro, numero N—p — N— 3nn (r —2) inter ejus radices ternae sint in progressione arithmetica, numerus JN semper erit resolubilis. Similique modo multitudo criteriorum pro lubitu augeri poterit, quorum si unicum successerit, resolutio numeri E locum habebit. Totum ergo negotium huc est reductum, ut demonstretur, nunquam fieri posse, ut omnia ista criteria simul fallant. In quo negotio imprimis erit perpendendum : in omnibus numeris minoribus N— p omnes plane combinationes radicum 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., quarum quidem numeri polygonales simul sumti numerum X non superant, occurrere; unde demonstrandum erit: fieri non posse, ut in omnibus his combinationibus omnia nostra criteria simul fallant. Tum vero etiam hoc erit perpendendum, in numeris minoribus pro V assumtis resolutionem semper locum habere, ita, ut de- monstratio tantum pro majoribus numeris sit suscipienda; ubi non solum numerus criteriorum major evadet, sed etiam numerus omnium combinationum. Quodsi enim nostra criteria unquam fallerent, id maxime metuen- dum foret in numeris minoribus. Aliud tentamen in theorema Fermatianum inquírendi. Sit series numerorum polygonalium 0, 1, A4, 7, C, D, etc., ac posito numero laterum — 54-2, erit A-—n-2-2, B—3n--3, C—6n--4, D—10n--5, E-—15n2-6, F—21n--7, G—28n--8, etc. et in genere pro radice z numerus polygonalis | 1 1 1 —3us—3.; (n — 2) m. Quibus positis videamus, quot numeris hujus seriei opus sit ad singulos numeros producendos. Ac primo quidem ab 1 usque ad A quilibet numerus N, minor quam A, componitur ex XN unitatibus, unde pro numeris ab 1 ad A ad summum opus est A. Nunc ad intervallum ab A ad BP progrediamur, et quia A-1-1 constat ex duo- bus, A-1-2 ex tribus, A-1-3 ex quatuor, usque ad 4-1-n-:-1 qui est primus qui postulat n-i-2 partes, prae- cedentes vero omnes ex paucioribus constant; est vero A-1n-3-1 —2n--3, unde videtur sequentem numerum 2n-1-& requirere. n-4-3, quia autem est 2n-4-4 —24, hic numerus tantum duos postulat; sequens igitur 2n-- 5 postulat 3, 2n-- 6 postulat k, 2n-r-7 postulat 5 etc. et 24-4-n. postulat n3-2. Est vero 24-i- n—3n--4 ; at vero hic numerus est B-1-1, ideoque tantum postulat duos; unde patet usque ad 7 unicum esse numerum sci- licet 2n34-3, qui n-1-2 partes postulat, omnes reliqui pauciores. Nunc a JJ ad € progrediamur, ac manifestum est, hinc omnes numeros minores quam J-:-2n --3 ad summum requirere 134-2, numerus autem J-4-2n-1- 3 —5n 4-6 videtur n3-3 partes requirere; est vero 5n-34-6 — 34-1-2n — A-1-n —2, ubi &A constat quatuor partibus et n—2 ex n—2 partibus, unde ipse numerus &4-i-» —2 constat ex n-34-2. Verum hic excipiendus est casus, ubi n«2, quia n«72 foret negativum: hoc autem casu numerus noster B-1-2n-1-3 fiet — C— n-1-2, unde casu n—1 erit C-31-1, ideoque duabus tantum constat partibus. Casu autem n—2 fit 5n-1-6— C, ideoque ipse. est numerus polygonalis; reliquis vero casibus, ubi »7»2, iste numerus 5n-1-6 secundus est, qui n-31-2 partes postulat, dum minores omnes praeter 2»--3 paucioribus constant. Sequens autem numerus 5a-4-7-—24-1:- B, ideoque tribus tantum constat partibus. Hunc sequens, 55-18, constabit quatuor, ac tandem 5a--7--n — 1 constabit ex n-4-2; est vero 5n-3-2-1-n — 1 — C-1-2, ideoque constat tantum tribus. Nunc a € ad D progre- diamur usque, ubi primum occurrit C-1-2n-4-3, qui dubius videri polest. Est vero C 4-2n4- 3 — 8n 4-7 — 2B --2n 4-1 — 2B 4- A--n — 4, 196 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. EPOD quarum partium numerus est n-i-2, qui ergo est tertius numerus n-31-2. partes postulans. Quia. deinde ab 2n-i-3 usque ad 5n--6 omnes numeri postulant partes pauciores quam n-f-2, numerus sequens dubius erit C-4-5n 4-6 — 114-10, qui autem jam superat D et ad sequens intervallum pertinet. Simili modo progredientes a D versus E, ubi primum numerum dubium reperimus D-i-2n-4-3 — 12n4-8 — 2C, qui ergo duabus tantum constat partibus, unde ulterius progredi licet, usque ad 2C-1-n, d constabit ex n-1-2. | Sequens est E 2C 4 na- 1 — 13» 4- 9, qui videtur n-31-3 partes requirere: est vero 13n--9— D-i- B4-1, qui ergo in tres partes resolvitur. Hinc pro- grediemur usque ad 14n-31-9 — 2C--2n-1-1 — 2C3-A-1-n — 1, sicque partium numerus reducitur ad n4-2, sequens vero numerus 1n-4-10 — D2-4n 4-5 — D-- BÀ sicque tribus constat dpa ume progredi licet ub usque ad 141a-3-10-2À-n — 1 — 15n-34-9 quod jam superat... . 0. s. s s ss s or ono | A. m. tu p. 336 T T SL. | : t9 (Lezell.) i Demonstratio sequens ardua Viro Celeb. 1a Grange debetur: ; i£03 D$98 Si fuerit. Aa—pp-i- qq-1-rr-4- 55, ubi sumere licet pp-i- qq, ut cum a communem non habeat divisorem. Ponatur pp-t-qq——t et rr-1-5s — w, ut sit Aa——t- uw, et per / multiplicando Aat — tt 4- tu. Cum, nunc sit tu — (pp-4-qq) (rr-1-55), erit summa duorum. quadratorum; ergo ponatur —:4x-1-yy, eritque à —pr-tqs et y — psze qr, ila ut. sit. Aat — tA rey. Jam quaerantur numeri à, 8, y,.O, ut fiat... i198 q —i1aX--ay et. y —tf-4-a0, t£-—u $£—-nazl quod cum infinitis modis fieri possit, casu simplicissimo « et 8 capere licebit. minores quam g^. eritque ;; Aat — tt (1 34-& 4-8) 4- 2at (ary 4- B9) -i-aa (gy-A-98). Debet ergo primum membrum 1-1-56-1-88 factorem habere a,,quia autem 1 ad « est primus, necesse est, ut 12-00 99 divisibile sit per a; ponatur ergo 1-17 00-4 88 — aa. , ita ut nunc habeamus . dé . T At — at 4-21t (oy A (09) --a (yy 4-00), | «cufmmue! bs. iden , quae per a multiplieata fit | Aa t —a' a tt4-2a' t (ey A- 00) -4- aa (yy 4-00), : ! ra" E 4 ud formula per t divisibilis. In ultimo membro loco aa" restituatur 1-41-66-1-58, ut habeamus |] Aa! t — a a' t-4-9a' t (ey -A- 8) -- (0: 3- B) (yy-4- 90) aep 308; cujus formulae ad dextram tria priora membra manifesto reducuntur ad Mm | (71a a a- [9^ 2- (fy — ob) ita ut nunc habeamus Aa' t — (a (4-0: A- B0): -4- (By — o8)* 4- ry 4- 80. Supra autem vidimus 7yy-1-00 per ! esse divisibile, unde etiam summam, duorum priorum. quadratorum (a^1 A &y -- 88)? -— (&y — 0)? i per 4 divisibilem esse oportet, ita ut uterque quotus fiat summa duorum quadratorum, quare si faciamus . Tm 8)? — a8)? 88 PNE a) myyedd et it ib itai gt habebirius Aa —pp-r-q q--rr-r-ss eolit summae quatuor quadratorum. Hic vero imprimis notandum 1-5 aa A- BB uijenoq est fore aa. Cum enim sit a'— . ac ut vidimus a2 vu et 82a, erit 1 4- aa -- 8 «2 1 -- Trai, 1165 : 1 , : : à unde sequitur fore a «a a, ideoque certe minor quam a, vel a «aed. Consequenter si productum Fragmenta ex | Adversariis. depromta. 197 Aa fuerit summa quatuor quadratorum, etiam hoc minus productum Aa' erit talis summa, hocque modo con- | tinuo ad minora hujusmodi. producta. Aa", Aa" etc. progredi licet, sicque tandem necessario pervenietur ad pro- ductum A.1, ideoque A summa quatuor quadratorum. Quae est demonstratio insignis illius et demonstratu dif- ficillimi theorematis, quod si quispiam numerus. A fuerit divisor summae quatuor quadratorum, quae quidem 1 inter se factorem non habeant communem, tum ipsum numerum A fore quoque summam quatuor quadratorum. seu, quod eodem redit, summam. quatuor -quadratorum alios non admittere divisores nisi qui ipsi sint summae quatuor quadratorum. | (Krafft.) Ejusdem theorematis demonstratio mea (scil. Euleri). Lrwwa L $i N et n» fuerint numeri inter se primi, tum quicunque numerus A ita potest repraesentari, ut sit 4 — Nr-i-ny, et quia hoc infinitis modis fieri potest, dabitur casus, quo an. Sit enim A — Nf-4-ng, | erit etiam | A — N (f — An) a-n (g-3- ^N), unde, quantumvis magnus fuerit numerus f, ita accipere licebit 4, ut fiat f —4n-7n; tum vero si f etiamnunc fuerit 2g" tum f—n cerle minus erit, quam g3' hie enim ipsi numeri spectantur, et perinde est, sive sint positivi, sive negativi. Lrwwa H. Productum ex binis numeris, quorum uterque est summa quatuor quadratorum, in quatuor quadrata resolvere. i3 Sit hujusmodi productum (a? 4- 9? 4 cta d^) (à? -4- 8*1- y*a- 0*), ac sumatur QA -Icax--bf -1-cy-i- dà, — B — i-a — ba, — c8-4- dy Tum Ie TERN cM BECSEUSEPPPEHERSNANERONERPSTA Se m" CI MR RIS IB RN, PSI TENE RAM I € — --ay-- 58 — ca — df, D — -r-aó — by-A- c8 — do, quorum quadrata si invicem addantur, ommia duplicia. producta ex binis se mutuo tollent, et quodvis quadratum 1 latinarum literarum multiplicatur per omnia quadrata litterarum graecarum, atque hinc manifesto fiet E | (a? -4- 5? 1 c? - d?) (i34 8? 4 ^ — 0?) — A? - B? 4- C? A- D. -» TurkonEeMa. Si numerus primus XN fuerit divisor summae quatuor quadratorum P?-1- Q?-3- R^-1- S?, tum TES VS S ille ipse numerus X erit summa quatuor quadratorum. DrewoNsTRATIO. Quantumvis magni fuerint numeri P, Q, R, S, eos semper deprimere licebit infra EX nam si loco P scribatur. P —42N, summa illa etiamnunc erit per A divisibilis; quod etiam de reliquis Q, A et S vpn rROPRERC valet, sicque singulae radices infra N deprimentur, ac si P adhuc majus fuerit quam 3^ ejus loco scribatur N— P, quod certo erit minus quam ;N Sit ergo p^-1- q?-4- r?-4- s? ista quatuor quadratorum summa per N divisibilis, ita, ut singulae radices minores sint quam 3 ac denotet » quotum resultantem, ut sit - E , Ns —ypt-pga rus et haec summa minor erit quam N?, sicque certo erit n N. Jam sequenti modo istae quatuor radices ex- hibeantur secundum lemma I: : ; p- Na--no, q-— Nb-a-nB, r-— Ne-a-ny, 5— Nd--n6, E- ubi litteras a, b, c, d ita assumere licebit, ut sint minores quam 2s sive hoc fiat negative, sive positive. His jam valoribus substitutis habebimus IXn — IN? (a? 4- 0? -4- c* 4- d?) 4- 29:Nn (aà -4- bB. -4- cy -- d) A— n? (a* 4 8? 2 y* A 0*), : ubi notetur esse, per lemma II, ac. -4- bB -4- cy -i- dà — 4A. Duo posteriora membra sponte sunt divisibilia per n; |. ergo necesse est, ut etiam primum per ^ sit divisibile. At AN? dividi nequit per », ergo necesse est, ut a*-4- b*-,1- c*-41- d* sit per » divisibile. Ponatur ergo XOT TAE OST RUP 198 L. EULERI OPERA POSTHUMA. SRTAPSISIRU a^ 4- 03 -4- c?-4- d? — n',.— et quia a n, ben, ens d gn erit summa a?-4-b*a-c-a- d*-7?, ddeoque &n'em?, ergo n'en, nisi forte sit n — 1. Divisa ergo per ^ illa aequatione, prodit N — N?n' 4- 2NA A- n (o*4- B? -4- y? 4-0*), quae per »' multiplicetur, ut habeamus In — N*n* 4- 9 Nn' A -- nn (eni p*a- $^ a- 8*; quia autem aa — a?-4- 0*4- c?-1- d?, ultimum illud membrum abit in (a? -4- 0? 4 c? 4 d?) (o? A4— 8? 4- y* -—- 0?) — A? -- B? 4- C? 4 D* per lemma Il; consequenter. Nn — N?n'?4- 2Nn A A- A?2- B? 4- C? 4—- D* — (Nw! a- A)? A- B? 4—- C? A- D*. Sicque formula X»' etiam erit summa quatuor quadratorum, existente »'«7 n. Eodem modo pervenire licebit ad formas ulteriores Nn, Nn" etc. ita, -ut sit n «^ n', nn" etc. sicque tandem perveniri necesse est ad formam N.1, quae ergo etiam est summa quatuor quadratorum. Q. E. D. Hinc etiam sequens TurontEMa facilius demonstrari potest, quam hactenus est factum: Summa duorum quadratorum inter se primorum alios non admittit divisores, nisi qui ipsi sint summae - duorum quadratorum. Lrwwa. Productum ex duabus summis duorum quadratorum ipsum in duo quadrata resolvere. Sit productum (a*-4- 5?) (a*-4- 8*), et sumtis A — ac -4- b et B — ag —ba, erit à (a? -4- 0*) (a? --. 8?) — A* -—- B?. Si nunc N fuerit divisor formae p*-1- q?, posito quoto — n, habetur Na — p?-4- 4?. Nunc igitur p et q ita ex- hibeantur, ut sit p — Na -- no. et q— Nb-i-nB, ita, ut a et b sint minores quam $5 hincque a*- tac n?*, quo substituto fit In — N? (a*4- 9?) -- 2:Nn (ae -4— bf) A n? (o* -- 87), quae cum per ^» divisibilis esse debeat, statuatur a*-1-0?— nw/, et diviso per n erit N — N?w 4- 2NA 4 n (o? A- 8?). Multiplicetur per «', erit Nn'— N?n^* -- 2 Nw A A- nn' (a*4- 8?) at nn' (a^ -4- 8*) — A*-1- B?, ergo Nu/— N?n'?4- 2 Nw' A -4- A? 4- Pon (Nn. a- A)* 4- B*, | sicque An est etiam summa duorum quadratorum, ubi n ec n. Hocque modo ulterius progrediendo mox "m venietur ad N.1. Consequenter JV certo erit summa ec quadratorum. Alia demonstratio simplicior ejusdem theorematis.- Si numerus quicunque JV fuerit divisor summae quatuor quadratorum P?-1- Q*-1- R?-4- S*, quae singula seorsim per eum non sint divisibilia, ille ipse numerus quoque erit summa quatuor quadratorum. DEgwoNsTRATIO. Ll. llla quadrata semper ad alia reduci possunt minora. quam ZM. Ponatur enim P—39N-p», Q-—]9N-4, R—GN--r, S—DN-:, ubi literae 9(, 95, €, 3 ita assumi possunt, ut numeri p, q, r, s infra semissem numeri N deprimantur, quibus substitutis evidens est, formulam p*-r-g*-:1- r'--s?, quae utique minor erit quam JV?, diyisibilem fore per JN et quotum fore minorem quam X. | II. Sit ergo iste quotus —, ut sit Nu —p*-r- g^4- r?-1- s, et ratione hujus numeri n radices istorum quadratorum ita exhiberi poterunt | : | p—a--oen, q—b-r-n, r—c--yn et $zcd-r-Ón, 00 UNE ARN MS Re CNPHTONU ND NINE BR a PR PRI. wVocIDPWUqwue—v—deUe —Omnmnm Fragmenta ex. Adversariis depromta. 199 ubi si pro a, b, c et d etiam valores negativi admittantur, hos numeros itidem infra a" deprimere licebit, ul sit a^-4—- 5* -4- c* a- d* 7 n?. IIl. His autem valoribus substitutis fiet INn — a? 4 0? -.- c* 4 d* 4—- 2n (aà A b -4- ey 4 dà) A— n* (a? -4— 8? y* 4- 0*), quae formula per lemma praemissum abit in hanc In — a* -- b? 4 c? -4- d* 4- 2nA -- n? (a? 2-. 8? -4— y? 4 0?), quae cum sit divisibilis per n et bina posteriora membra jam in se sint per a divisibilia, necesse est, ut etiam pars prima a*-4-5*-1-c*-1- d* factorem habeat ».. Quare ponatur a?-- b*-1- c? -i-d? — »»'. et. dividendo per n habebimus IN — n 4- 2A -- n (o7 - 8? 2 y*4— 0?) IV. Multiplicemus nunc in »', et in postremo membro loco nn' substituamus valorem a*-4- 5? 4- c*-4- d*, ut prodeat Nn'—n/ 4- 9n' A -4- (a2-4- 93 4- c*-4- d?) (92 4— g*-- y? -— 0*). At per lemma praemissum hoc postremum membrum transformatur in A?-i- B?-1- C?^4- D?, ita, ut nunc ha- beamus Nw — n" -4- 2n' A a- A?-4-. B?-3- C?-3- D? , sive Na! — (n' 4- A)* 4- B?-4- C? -- D* — summae quatuor quadratorum. V. Cum autem sit nn'— a*-- 0* -4- c?-4- d* — n?*, utique erit n'c n. Quemadmodum igitur ex forma Nn, quae erat summa quatuor quadratorum, pervenimus ad hanc minorem Xa', etiam aequalem summae quatuor quadratorum;:ita ulterius pervenire licebit ad formulas Nn^, Nn'" etc. itidem quatuor quadratis aequales, ita, ut numeri n', n^, n", etc. continuo diminuantur. Tàndem ergo haec diminutio usque ad unitatem deducetur; ita, ut tum futurum sit N.1, hoc est ipse numerus propositus V aequalis summae quatuor quadratorum. Q. E. D. ConorrLtaAniuM 1. Haec adeo demonstratio locum habet, etiamsi N non fuerit numerus primus; dummodo ergo numerus quicunque JV fuerit factor vel divisor summae cujuspiam quatuor quadratorum, tum certe is ipse . numerus quoque erit summa quatuor quadratorum. ConorrLtAnivM 2. Quodsi ergo demonstrari posset, proposito quocunque numero X, semper exhiberi posse summam quatuor quadratorum per eum divisibilem, tum utique completa haberetur demonstratio theorematis illius Fermatiani, quod omnis numerus sit summa quatuor quadratorum, vel etiam pauciorum. TuronrEMa. Proposito. quocunque numero primo XN, semper exhiberi possunt quatuor quadrata, singula minora quam IN, quorum summa per illum numerum sit divisibilis. DzgwowsTRATIO. IL. Ratione numeri propositi /V omnes plane numeri in aliqua sequentium formularum erunt contenti AN, AN--1, AN-—-2, AN--3, AN-r-5,....AN-- (N— 1), quarum numerus est — XN. Singulae autem hae formae non omnes continent numeros quadratos; dantur scilicet inter illas ejusmodi formulae, quae numeros quadratos involvunt, reliquae vero quadrata prorsus excludunt. Seposita enim prima forma AN, quae ipsa multipla numeri N continet, reliquarum primae AN-- 1 et ultimae AN -1- N—1,. vel (4-24- 1) NV— 1. quadrata in. eadem formula continebuntur, nempe AJN-- 1. Eodem modo qua- drata secundae et penultimae formulae continentur in formula AN -4- . Simili modo quadrata tertiae et ante- penultimae continebuntur in formula AN -1- 9, quarum formularum multitudo est H (N—1), quae scilicet in se complectuntur quii Reliquae formulae omnes ab his diversae quadiata dile excludunt, quarum nu- . merus itidem est $ (N—10 Il. Sint SH illae quadrata admittentes: AN-r-a, AN -A-b, AN-- e, AN-1- d, ete., quarum numerus est Pl 1 (N—1) et modo vidimus, inter hos numeros a, b, c, d, etc. reperiri quadratos 1, &, 9, 16, etc. quamdiu scilicet sunt minores, quam X. Majorum enim residua ex divisione per XN relicta sumuntur. Formulae autem p penitus. excludentes. sint: A4N-- à, A4N-- 8, A4N--y, AN 2-0, etc., quorum numerus itidem est gU V. 200 L. RULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. Ill. Facile autem demonstrari potest, binas formulas prioris classis in 8e. multiplicatas etiamnunc. ad prio- rem classem pertinere, scilicet cum prior classis contineat formas a, b, c, d, etiam continebit producta ex binis vel quotcunque horum numerorum. Scilicet producta ex binis numeris prioris classis etiam in priore classe occurrent, cujusmodi sunt aa, bb, cc, ete. "Tum vero productum ex numero prioris classis in numerum poste- rioris classis cadet in classem posteriorem. Denique productum ex binis numeris. posterioris classis etiami cadet in classem priorem. IV. Jam si in prima classe occurreret formula AN —«, sive quod eodem redit, 4N-4-N—4«, darentur qua- drata formae AN-r-a et AN—a, quorum ergo summa foret per JN divisibilis. Quare si. quis: neget, dari summam quatuor quadratorum per X divisibilem, multo magis negare debebit, dari adeo summam duorum quadràátorum divisibilem. 1 i V. Quo igitur nostrum theorema demonstremus, sumamus tantisper, non dari summam quatuor vel pau- - ciorum quadratorum, quae non esset divisibilis per numerum propositum NV, atque ostendemus hinc maxima absurda esse secutura. ! , opina VL Ista igitur opinione quasi adoptata, quia numerus —« vel N—« in priore classe non occurrit, certe " occurret. in. posteriore. classe inter numeros c; Bs y. 9; ergo inter numeros &, 8, y, Ó occurrent numeri — a, —b; —c, —4d; ideoque etiam negativa quadrata —1, ——/, —9, — 16. f "m Á 3 9BUp VIL... Eodem modo ostendi potest, numerum —a. —b certe non.in priori classe contineri; si enim ibi |gon- tineretur,: darentur. ttes numeri quadrati formarum. AN-1-a; AN-1-b et AN —a—5, quorum summa esset per N divisibilis;: quod eum hypothesi. repugnet, hic numerus. — a — b in posteriori classe reperiatur. necesse est. P YHIL Quia, autem in. posteriori classe reperitur td. productum ex —1 in —a —b, id est -1-a -4-b in prima. classe continetur; sicque in priori classe jam occurrerent numeri 1, 2, ^, 3, 8, 9, 0: 13; , eorundem f 0€ " L| autem negativa occurrent in élasse posteriori. D TTEEE IX. Cum ergo formulae AN-4-1 et AN-1-2 sint prioris classis, ibidem non continebitur formula. AN—3. quia alioquin haberemus tria quadrata harum formularum, . quorum summa foret per N divisibilis. - Quia ergo (11155 — 3 non in priori classe continetur, continebitur in posteriori ; ejus vero produttum in —1, hoc est 4-3, con- y inasilenrro D amd tinebitur in priori. X. Sit autem generalius f numerus quicunque primae PATE, atque dico, in priori classe" formulam AN — f —1 non contineri, quia darentur tria quadrata, scilicet 22V-1- 1, ANA-f, et AN — 1 — f, quórüm summa foret divisibilis per IN; unde numerus — f —1 in elasse posteriori reperiatur necesse est; ejus vero-negativum --f--1 in priorem classem cadet, 1 . eb ' imolio9 Jaume XI. Admissa ergo illa hypothesi, si formula quaecunque AN-- f in prima classe contineatur; ibidem quoque oceurret' formula ANA fA; quocirca in" prima classe: occurrerent omnes istae formulae: ^00 90 odaí UANG-A, ANAG2,U2N328; AN A- 5, "ete. q mio slaoqed hoc est omnes plane formulae forent prioris classis, simul vero in classem posteriorem ingrederentur. omnes 'istae formulae: ; AN —4, 2N — 9; 41N— 3; AN 254, ^l ete. ulinaeq 19 esbansos. sib hoc esí omnes jláne formulae tam in priore quam "in posteriore classe occurrerent. "Quare cum ante sit' osten- sum, in priore classe tantum occurrere 3 — 4) formulas et totidem in posteriore, absurdum: est manifestum, quod inde ortum est, quod falso d ocE, non dari summam trium quadratorum per N divisibilem ; quam- obrem verum erit; dari summas. triuni quadratorum per JV divisibiles.. Multo. magis ergo dantur: suinmaé: qua- tuor quadratorum per N divisibiles. Q:; E. D. . /& un. bor —1)4 ConorranivuM. Cum ergo, proposito numero primo quocunque, «dentur summae- non. solum. quatüor sed etiam trium quadratorum per illum divisibiles; ipse ille: numerus JV erit: quoque- summa. quatuor .quádra- torum, vel et pauciorum, et eum producta ex binis vel pluribus numeris, quorum singuli sunt summae quatuor anms Fragmenta éx ' Adversariis dépromta. 201 . quadratorum, sint..etiam summae quatuor quadratorum, p Veyrondne demon est, omnes plane nu- meros esse summas quatuor quadratorum. (5.555 sees sees) ceebes bove Totes mele OnsERYATIO SINGULARIS. Cum productum .ex binis numeris, quorum. terque est summa duorum qui- dratorum, etiam sit summa duorum quadratorum, tum vero etiam productum ex duobus numeris, pee uterque est summa quatuor quadratorum, quoque sit summa quatuor quadratorum. Hinc concludendum videtur, idem etiam de summis trium quadratorum valere, quod autem longe secus se habet, neque etiam eo modo, quo in lemmate superiore sumus usi, talis forma (a* bc ) (6*4 8*7?) ad tria quadrata revocari potest. Fieri enim saepe potest, ut productum ex binis summis trium quadratorum nón in pauciora quam quàátüor quadrata resolvi possit, veluti 3 — 1-1- 131-1. et 21 — 1-1-4-1- 16; horum tamen productum 63 nullo modo in pauciora quam quatuor quadrata potest resolvi, qundoqiden est numerus formae 8n —1 sive 8n--7. | 5M: A. m. T. L p. 177 — 186. . Qe ye rt -—1 (N. Fuss 1.) TutonEMA. Nulli numeri in npe formulis contenti in duos numeros trigonales resolvi possunt : j à | n E ls) ru oilglot | eíg»a 2ujt ini Ho?» imnahion vn meia »9Meq : inu1siparich mi:eH obqp ügpapag. ^50:89) 26/:83,:60p916 0 9 oq ocheuuriob sed «onmo sip 19 .! — - TWÓRüÓq T9 .x9 HL 81n-- A7, 7& B eus | OPMR IV. 121n-- 8, 19, 41, 52, 63, 7h, 85, 96, 107, 118 andi V. 361n--14, 33, 52, 7T, 109, 198, 117, 166, 185, 205; 993, 242, 261, 280, 299, 318, 337, 356. Specimen DEMONSTRATIONIS pro formula A9n 2a 19: ; A Pedo TiNEt--) Tha erit multiplicando pru - 1. aae Te — 892m -i- 153 — Vaa -i- ia -- Mb AD, 1 ergo —— ideoque summa duorüm veiticusis T. numerus 392» a- 154 Ma 1 mu. Sit 49n -4- 19 — factorem habet 7, ideoque duorum quadddomm summa esse vut, -- P8 rf. ] PROBLEMA. Numeros in hac. forma, contentos x4 -- 1 in quatüor quadraia resolvere.- SoruTi0. Formula zz-i-7 transformatur in has: | (z—1)'234-2z 234-6, vel (—2) 4-52 4-3, vel. (x — MP 2,.vel (r—5-3-8x—9,. vel in genere ex (x, — n)*- nz—m 4-7, | unde si 2nxz—nn-r-7 in tria vel pauciora quadrata resolvi potest, qüsésito satisfiet. Plerumque statim una harum formularum . priorum. negotium c conficit. Verum antur etiam. casus, quibus longe progredi oportet. Veluti si a fuerit; 75, usque. ad. n Mr aes Aporíet,, gm. enim, fit... oiasadaes T — V 834 5 senidt ai inia .üironollufos Jaltiféoa niové Tae om 08 2e 1650 — 121 X88 1536. . : Mum, 2 ER mcWhe waohelrE unde quátuor quadrata erunt m SN $i 16*4- 32*-4- 16*. " j gea Aliud exemplum p 'notabilius 71 quo gl 181; "tuin enim Ln supra datae frastre tentantur du . perveniatur àd » —53; "(um autem fiet 5immrrol "nissnbes .13 181? 4- 7 — 128? 4- 19186 — 2802 — 128* -1- 16384 — 128* -- 128*. Sicque "hic numerds ad! 'duo quadrata. est reductus, neque ullo alio modo vel in bbs vel in plura adliuc" qua- drata resolvi potest. aba * CENE Hac occasione sequens theorema omnem attentionem meretur. | TuronEMA. Omnis potestas binarii 2" semper est numerus in hac formulaà contentus: zz 4 7yy. L. Evleri Op. posthuma, T. I. 26 309 — L. EULERI: OPERA. POSTHUMA.. | Arithnetica. DEMONSTRATIO. "Sumto enim qruisebo et yd T prodit zz -4- 7yy — 2. ^ Notüm autem 'est- omnes pote: po states fete n in eadem VET, ig contineri , quandoquidem elti/olcibisup.t60pi6np agmugs «s^ aT gin ni puma ja | "p^r (aa Ti) (cc -- dd) — (ae 5E Td) T Vid o. Ui ft17701] i : nnm Ji msi mivitoiest Hinc igitur, per factores jmaginarios. erit ) 5 "mma a9 Speed 12-7, 1 - 4— "etin 7 aa » p-ar ei — " " t. ; erit — e (ep y , | isl» mobi I ; P US ijsvos jeu oun ü d imo m Binomii autem pep potestates sequenti modo próginiiubier: dicas iu 5 jii 1Mag5q si oBom olfss £O manhsbo:g names 32-Y-—7 o - — xl. t- E & üulov T aou ioa iriol : 4&1 daojoq &isib&sp dgOUiSDp mSHD lbid: 1 iy eI 1—3Y—7 :. vini CUM.) etc. ete. ., Harum formularum ambae partes seriem recurrentem constituunt, cujus scala relationis est 1, E s de si ex. gr. ponatur des ciii — A, et quia omnes. hae formulae per 2 diyiduntur,: istae. formulae sequenti modo - V. continuantur: iX Ww-n-anm du 2A—1--Y— 1 eti 124b om 35i Vem Tia e) 3 axe I ; add e —3e- Mum: cu saBÁAMzER M ÁAAV TU es r£ gia; & Sis u4-P T , 2A —571.—11Y—7 HUS 24*—1 — 3V—7 24'1— 67 4-22Y— 7, | T $614u—y-1 " SM$UIn. EP wepys ttem | 24—9.:V y Cc» v» wimLCME y cT — (4I a- AQOE- aciomeon iA 9ATaselssifgun- FO uad saca osgtebl C a 45 4-71 E 5€ (bas 8EUE oyid Cum igitur sit : Mods LET osbz FAM ERN (EY T) uS LT, e rit. PORA, queste indeque ..2!* — upoxsid ergo... 2!5— 181^ 4- T, iino Ys nisenrip d — corru 0C Ratio autem &cálae relationis in hoc sita est, quod si ponatur té ch (S — 5). for : 4-99 Una (My 2 : y-3 yiouoo ai lev Wie eod fit VÉ TUHWsp agiusq lov si! ni-V--s- xS in obay et ¨is quadratis erit zz — z —2, unde" nascitur &cala relationis f; — 2. In supériori Béogréséicne; "ibi órtines termini in forma a a- b Y — 7 — ii casus maximé 'sunt notatu digni, "quibus b- ést Vel 4, vel 2241; quibus casibus pars rationalis fit n maxima. Hincque sequeiis problema oninino peculiarem postulat solutionem. IM oe al I 0151 . : ) : Fa P^ -- Y — PnonLEMA. Cum sit uti vidimus Je y x4 Lo v investigare eos exponentes n n, pro quibus, fit. 9 i (0p bau bà, id. .quod fieri observavimus casibus | rof 2. 3, 5. 13. — Y igitar. M— sequentes. hir og qoare bird & "n, . 1^xzn boite Cum esse debeat b ui, velut Side I ad hanc Sica -p(cosq-a- V 4 Vai. eritque i j 1 P0059 y et psinge- 5 V1, unde fit tangg —YV7, bincque dingi- et. cog — -—yi 8" sicque erit p— Ya. Invento igitur angulo 9, ut sit tang. — V7 erit prio laotoq: ivkoen "m y-7 (^ (N« n ion 1Gttgife i GUY T3! 1 M) mEesneacY— Lsinag. os m ina die EUM — V2(coso 4-V—4. ind ideoque ( UN Ox . ) ET Fragmenta ex. Adversariis depromta. 203 Quaestio igitur huc redit, ut membrum imaginarium fiat quam minimum, id quod evenit, quando angulus no quam minime differt ab ;, vel 2;, vel ete. vel ir. Qnod si ergo statuamus ng — i erit Tt -L quamob- rem quaerantur fractiones proxime aequales ipsi EN earumque numeratores dabunt valores pro n. Cum igitur sit tang o — V1. erit. .tang q — 0,225490, unde p — 69" 17 43/— 219463. | - 648000 n. — 219463 — Evolvatur ergo haec fractio per continuam divisionem, diadiqud quotientes d 1, 1, 2, 16, 7. Ex his quotis formentur sequentes fractiones. At vero c — 180?— 618000", unde d wo aco NEC GUA DR 24-9) N (d »8 -? 9. » " 89". ex quarum numeratoribus statim. patet, quaesito satisfieri casibus 1, 2, 3, 5, 13, unde | tuto affirmare licet idem evenire casu n — 213. Consideremus casum n — 13, eritque a , m i E: yu . 139 — 900? 50^ 19^— 180? 50" 19^. 13 Nunc vero est i2* — 1,9566950, 13 ' Ur 'Imre hh unde fiet i2* — 1,9500990^ "qus ere t 1511 92€ 2. 1,9566950 (cos 139 — 9,999953... ... .,,.. (sin 139 — 8, 3.1651040 1,9566484 .0,1220990 13 cg) om ME 1 o M 2* sin 139 — — 1,32— — 4, VT, eritque TS T SR din — ——365 3Y-7 7, unde patet esse ipsas is ek i t Cum sit 1817-4- 7 — 2 (27), erit 181?— 2:3 — 7. Consideretur formula: "DPA — — —— z —2y-r-z eritque yy -À- 8yz -à-22z, eujus radix statuatur eg ini Tur 8gq — 2pq Statuatur ergo y — pp —2qq et z — 8gq— 2pq, eritque radix illa quadrata 8pg — pp — 29g, in qua ergo forma contineri debet 181, quod fit si q— 5 et p — hq — 13, ideoque p—33, vel ts ergo y — —1 et z — 130 et z — 128. Eritque ergo 181?— 2.128? — 7, uti habuimus 1817-4- 7 —2 (27). y 4- FE eritque 8y -4- 2z —Ty E Pus unde fit. " E sim: A. m. T. II. p. 110—449. 99 (J. A. Ewler.). Hujus seriei: 17, 37, 67, 107, 157, etc. ad minimum. duodecim. termini-conjungi debent, ut omnes numeri prodeant. At seriei sii ' us Tu Wa s i qu M, eMe ad minimum tot termini jungi debent quot indicat haec formula : 3" rn ubi pro - numerus integer proxime minor capi debet yd domom SuxEu A 6 [A 8, fit .D—-1,55,:9, 19, /37, . 73, 143, 219; Pro numeris — litera 7 ita se babet: 204 L. EULERI. OPERA POSTHUMA. - Arithmetica. 5 iH ns bacr] TIE HT T-i UA imm (qduun.15y T, 6 unmjiagdiía £Mbena. 204 Tm 1 i! ud «2. : 3. b... .6 nia; ndi 3 5.. [* "e v 2. (A, 12-2. 1 2- 2a. , 1-4 3a , 5 €i a neun 54.43. 6. 10..15.,21 ..8.. |. 1.5..,9.,16,,25,.| & | 1.2272... 3 23- 38.. b 55993 uuo mot 1. 4. 10. 20. 35. 56 | 5 | 1. 5. 14. 30. 55 | 6 | 1. 32a. 6-1 ^a. 103-10 | a^ 1. 5. 15. 35/70 ^ (72 | 476. 20.507 105 178 | 1. & 329. 1032 52. 20-58 || 4-6 "s. CÓ Ord, NA l d 1. 3 2- a. 15 4- 6a. 35 -- 21a | a43-8 o19« .3À | 23 "i 3: | ] - 4910 otn | (Krafft.) : orat ih ilio) "I HT TE 5^55ü 0 ) uiteviovat Omnes illae superiores series numerorum figuratorum. sequenti forma generali comprehendi possunt ^ " i" ^ar hM (n-i- D (n-i- 24). (n3) (0-2) (n--3à) ' (hi 4- 1) (04-9) (n-4- 3) (n-- 4a) od huboan didit (1.9.3.4 MN j' hn itii eitdi usse, oHaa6np olea mdlsje apinoleiompon mnirTeup X9 pro qua superior littera T fit Zo. kh Uus ois | vane enmenbiauo) dicia ee SERE TE JUS Y. : A. m. T. L*p. 234. 935. — HP C — ic eaact! I ECA j«o crav- umm C. . Analysis Diophantea.. . Tow, om peu a) Quaestiones ad Fésolutionem. unius aequationis diei. ME A l 97. íg : t1 OYN "eflec OPE EE ii (a. A. Ber) CUP LL EE 202*€ PnonLEwA.. Si fuerit, z*—m, et proposita sit formula aza---52-1-c,, invenire p RO PO cg paz-a-qz-4-r, t eH AM 4 | EM ipirt ut productum [ daaac4- bac -- c) (pac 4 qx --r) : Fari. o fiat. numerus. absolutus non. amplius involvens ., posito.scilieet x*— m... 0: 00 000000181 ie enm Sorur10. Productum ergo erit wisuisia ribsw eujus .22E 4-248 4. yy anpliis 3 yE — qs - mpi -t (ag ^- M m ^r -- p) ez. Tn à ye Arzt e a Anon Y Nile — - M pilos siepe et — 0, tum enim prodüctuni düc E y omo quimutsle m (ag --tp) er. 5 Y m i& JH bosp .1481] jJodsb frontiaos & Yo IRE d E "18fL og19 onptiid .8€] — x de Fitiautem ; « 5 v ME EE ma € unde fit bor sop sc HMM c hinc per dtes rna cope consequenter d be maa 4 - T —7 mab — e "we Capiatur ergo:q —— be— maa, r — mab — cc, erit viii ita ut multiplicator quaesitus.sit ^ ^ - (ac — bb) ac -- (be — maa) x -- mab — cc ; irme M. /——anbodg. ac tum productum erit 3mabc — m? a? — mb? — c?. w^ ; t "^5 15 Wit u *" donum ninim m A. m, T. I. p. 50. 51. 88. 19. idu PnosrtEMa. Invenire numeros z et y, ut fiat ay (x z— wann, existente & numero primo: "wi i casus sunt notandi: i f | IL Si «—7, sumatur NUM et y — 9, tum énim' fit ay (2z — y) — 7. 16. 9. 25. IL. Si « — 13, sumatur z — 325 et y — 36, erit zy (zz —yy) —4183. 25. 36:361. 289. 005 7? NOWECTPAN Fragmenta ex | Advensárirs dépromta. 205 IL Si «— 23, sumatur a — 156" .et y — 1337, erit ay (4$. — yy) — 23.156". 133*. 289. 12025. IV. Ut «—M, capiatur g—21 et y — 20*, erit 2y (25,77 M- 21*. 20. aeris V. Ut fiat a — 31, sumatur. 2—W et y — 9?, fit enim - ah (G2. yi s 31.95: 497. T 4127 ^ VI. In genere si capiatur 2 — ppqq et qum pp — 92): ian. P7 7 LEV ay (vo — yy) — (pp— sten (2pq — pp -- q9) - o. Unde si sit 2pq-1- pp —qq—aa, fit Peor 'at illa formula 2pq -t- pp —44 fit quadratum. sumendo He "10H91 sri, | Q2 2rs^et presSrpAoss yg y auoyloads .obom iasup: 19 "Vit. "Deinde vero si "sumatur & — (Bp Ug y (2pp — — u^ fiet | try (2 — yy) — Spp. qd '(8p*-i- 295) n- (pt TmQ0,)0 | | daba noiibsup. iobor ogg 254541 ue 2" (Op 4* 2pg 34 qq): (àpp — 3pg - qd) ct sarda aedi Unde si fuerit 2pp -4- 2pq -À- qq — (5, tunc erit & — 3pp — 2pq -- qq. "Atillud event" " ^ si p—2rs et q—rr— s —n, unde fit '& — pp -i- (p— qy. VIII. Ex casu VII, si p — 5 et q—1, capiatur g l9? et gels erit a. o9 et any (a ze zs) 209915 vel si capiatur x — 29.13* et ym -— 4 9 pu ; Pag Pec és OcC ql E amdüius uoa Jan) .Juwaeoq Jutsiat wiidu! cp a, Y, jesoqaido 2,089.90 5C .9 4 .T m 2 39. (Lecell.) " PnosLEMA. Invenire numeros x, y, z, ut fiat Q12z-Óyy — yzz, siquidem cognitus fuerit casus v.19 € 195b suisaeraa6 991/092 i80J .AA eff -- Bgg — yhh. » ed 1 b» Mir ie Sorvrio. dininin 002 -- Byy — (eff -- 899) (epp -- 849)", tum enim erit . - aeq e ns aaa -- yy — yhh (epp -- 894)? , sicque. erit, z —A( (epp 3- Bag); onrimPaRo illud autem hoc modo per factores praestetur. Sit zVo 4-9 —6— - (fVa e gY — 8) (pVa.--qV — BY, *. tum enim sponte fit x Ya —yY — 8 — (fVa—sV — 8) t Yu—4V— f quarum. formularum productum ipsa est aequatio supposita. Prior autem evoluta dat — ; AN zYa-jY--8-cfppVa —Bfqq Va-c2Bgpq Va 4- agpp V — 8 — Bgqa V — 8-1-2«fpq V — 8 & — f (epp — 844) — 20gpa y — g (epp — Bqq)3-2ofpq ac tum erit $i z —h (app-^- 84). I! Verum haec solutio nondum est. generalis, eodem modo enim ponere potuissemus ticae ndi s 1 Puy — (ff -^- bg) ) (pp -A- a9)". i unde fit z — h (pp-i- aqq). Pro hoc ergo casu statuatur co amVa--yY —8 — (f Vo 4:gY— Bp a-qV app; cujus evolutio praebet etum diis Mm : y — g(pp — «f qq) 3-2 fe pq. . Verum ne hi ambo quidem casus AoRdoddis praebent. generalem, cum. sine dubio ejusmodi casus dentur, qui- - bus z non per A fit divisibile, quare pro solutione generali statuatur : 3 aaa -- fy — (off -- (9g) (amp -i- fnqq* ,. unde fit. 2 — n (app a- 899), — ubi forte n potest esse fractio denominatoris À. Statuatur igitur & Ya 4- y V. — 8 — (fV -- gY — 8) (pVan 4- qY — fn)", cujus evolutio praebet 206 L: EULERI OPERA POSTHUMA. UNSIREUNS ipai ips qu Bnqq) —20ngpq; * y —9 (amp - fai) quisi -» dE d 1 Videamus igitur an esse "possit n — à manentibus x et y integris. Cum igitur | si " | É3 4 i] 3 IS .. f(app — 894) — roni TE, 1G e gar P) Sofpr. "M h die daa h quod evenit si p et q ita sumantur, ut t fü-i-gp Tat per h divisibile. - " " : (qr. kh Kraft.) à; COMMNDONETNENOEPA S S Problematis supra eogedit solutio facillime sequenti modo absolvetur, siquidem congtej; unus casus, quo sit cff -1- gg — yhh, ubi scilicet v—f, y—3 et z—h. Statuamus x — fp-1-gq. et, y—gp — ofa, tum enim erit caca -- (yy — pp (off 7 ffaj) 4- ofiqq (ff -r- gj) — yhh (pp 34- «8 94). Sicque aequatio adhuc resolvenda erit Ah ( Pp - &6aq) — — Zu, ita ut pp «qq debeat reddi quadratum, qnod fit capiendo p — rr — oss et q—2r5,, tum enim fit. ! pp 3-of qu —( rr -- afssy*. Ideoque z — À (rr -4- .8ss). Ipsarum vero a et y valores erunt iia de-5bmnJ a — f (rr — ofiss) )4- 9fgrs, y—g (rr — afiss) )— 2ufrs,. ubi numeri r et s pro lubitu assumi possunt. (Conf. Comment. arithm. T. I. p. 556.) iE A. m. T. I. p. 95. 96. 98. 99. : AQ. : : abiupie Pers ce A. Eule)) Hi X wow a019iMU 975 ül ,x«3480n94. TuronEMa. Si fuerint. naa -- pbb — n — ee et nff 4- qjg — n — hh, tum semper assignare licet x et y, ut sit ncc --pqyy —- D zz. jp0o guae du. t- qu «D -4- 1) c uy ot von irlesieie Ortu 104 DrwoNsTRATIO. o sit pbb — cc —nta et m Mz wff. erit qe : 15 10601 *j5u (otis b Hi pglbgy — (6o — naa) ) (hà mf) - Jet [eh naf — n. (afe. Be "e ! . (v 1H. 91noga unde 'manifestum- est fore n (ah -4- fe) 2.4 pgbbgg — (ch -4- naf )* ; sicque erit —eeee S z—ah--fe, y-bg et z-cheraag. Ü : | | A. m. T. L p. 430. CAN UY Fun L) mut s PnosLEMA. Resolvere aequationem Axz — tit -- vy, ex cognito pasu Ace taa -- vb. | Sorur:0. A priore aequatione in cc ducta subtrahatur posterior in zz dueta, eritque I4 (ecara —«25) d- Y (eeyy—bbza), M(ecr-as) — rae). T y^ bz —cy —— d —as sive Ib (cc aca — aa zz) — v (bbzz —ecyy), nh lov5 auum i] Utraque haec fractio statuatur — — et ex priore elicitur — bs] Q -- 1 —-— 4 120 enrobrnin ime. dd itr 15 V Hcqx-t- pcy et ex alterà gui A ycqy. irobim ie trirT5 bp — nag " , »bg-r-ap / idi WT n" M *341 H1 a and qui duo valores inter se aequati dant — — — T^ " Lb uvbegq-3-9u acpg — bepp iu id rz gvacqq-—9rbepq — —aepp Msnimonsb oti»et sese lesjoq s e " "i Statuatur ergo c-Lqawagq--9ybpg--app et' y -— uvbqq 4- 2uápq — bpp, sive xr—a(urqq—pp)— 2vbpg et y — b (uv qq— pp) -- 2uapq. ) eio SS A" Fragmenta ex Adversariis: depromta. 207 Cum autem sit - (bp — uaq) — uqa 4 py — ijv aq? — uv bpqq A- uappq — bp? — pag (uv qq--pp)i— bp (uv qq-1-pp) — (uv qq-1-pp) mr ^ hine EC iuisid astro et z 22 7e (ur qi 4- pp). S540 554 'Atrs SorvmiOo. Quia: &emper. "à g, h invenire licet; ut sit: ew u'gg, per hane aequationem mul- Acc cognita Ace — uaa -4- ybb eritque ' T innui ip9dca 'Aechh — paa ff gvybbgg -i- vbbff 4 upvaagg 2 p(af i vbgy*-t- v (Uf — nag*: Cum igitur esse debeat Azz — uzzx--vyy, capi poterit z — ch deinde ga. »bg et y — bf— hag, at vero ui fiat à — ff -t- uvgg, debet esse. olauose od IS HE wettt- 4* | f — uvqq—pp . et — Pw ——— s mibsnsp Jo £1 consequenter formula proposita ita resolvetur (ex 1 z —a (urgg—pp)--2vbpq et y — b (eqq —pp) — ua pq. et HEwqi». -.ConorrARiuM. Haec solutio duóbus- modis variari potest , prouti aequationes propositae. aliter. disponuntur, acil primo. uaa — Azz —»yy et juaa — Acc — vbb. -: Ad. quein casum solutio praecedens revocabitur si loo , AÀ,.. .Y4.2; X, y, 6, a. b ponatur " dis A eie a, "ns vy "i M. n Unde si i loco p e q 'scribamus ret s obinebims — ^ ^ - i Ems e (din py pg yzb(— dogravw y. yin, "*l-a(2Aeurn o8 Eodem modo si formuláe datae ita disponahtur vyy — Azz — uaa et 9bb — Aec — ud, unde" , 8i loco Ày HyssYÀss Ey G4» s 0, 0,5 . ponatur "», À, —u, y Xo wn Je sca tum loco p et q, 1 et u, obtinebitur ^S * m. e We z — e (—Auuu —10)— 2uatu sia ont ci y -——b(—Auwuu -- tt). Has ed tres solutiones ita aspectui eppenamma: «poet m i. ogio d ' i T —w uwbemn . — 48)! I "m (— COUP Bv qq pp) — 2uápq; ^ (uy qq--9p) | a(rr—4Avss) | Gora m 5 A rrae-Ayss)2-2Aerss osos oen ss) vb rs . Hl a (tt-- 4. uu)3-24ctu , 9 b(tt—AMuw)s. c1: uis c(tt-4- Au uu)-- 2uatu be zaexeih-dh oibliscid a 2E ll coss 9MTEPP il or— ie rr -- Viss-i- ors, a p d rr-- Viss-i- rs WEE --10uu--10tu, tt—10uu, — T4 tA 1n -- Mu. Ubi notatu dignum, quod ternae formulae in qualibet'columna eosdem numeros praebere queant, dummodo LU fuerit Acc — Tm j "n TETX g ! M hh Yo fi TITRTI T! HEAT, pU 245 3.1, is. e E aii d. "idi inn iudi ces S in tabella hic supra apponamus. Hino si p.— 1 et q—— 1, erit z —11,.—1 etz—7; si p—1 et. q— — 1, erit 2 — 1, 9 et z— 7, qui valores satisfaeiunt. Sit porro pro secunda. solutione: r— 1. et s — 1. eritque xz — 3-14 seu -E7, y — 26 seu 13 et .z — 22 seu 11. Unde fit 5zz — 2xz-1- 3yy sive 605 — 98 4-507... Sit. r — 4 et 5 —.— 1, ut sit a —1 seu 7, y. 6 seu. EH el z —.10 seu 5. Pro tertia sit (—1 et w — 1 et erit .z —21 seu. 7, ndm seu 3 et 2 — 15 seu 5. . Sit (——1 etu — — 1 fietque e — 1, y — -€9 et z — 7. | A. m. . T. I. p. 299. 300. , 208 L.EULERI OPERA POSTHUMA. arinetica. j ME i Y 4 e qu go on A92. — Uu t t-C5ov E — 3 i Jis tinius mii. " qd — M q Á H ev M "i a i L o9 — Y Euler. )o T )oh n Criterium ad dignoscendum, utrum Mp aequatio. fxx yu lx - hzz sit possibilis, méc ne? Si.,est. possibilis, casu. h —4, tunc etiam erit. possibilis casu. À — erm «hic ;scilicet pro p ejusmodi nu- merus sumi debet, ut pp -1-fg divisorem habeat a, fuerit nempe pp -4-fg — ab et sumto q—« etiam. casu A—b erit possibilis. Tum vero pro b eodem, modo operatio iitntpt, i sicque continuo. ad minores numeros perve- nietur, donec tandem judicium fiat. facile. ibat. A5 22i pdloq apii V Ca- di DUE ExkwPLuM. L Sit 72x-1- 113yy — 1í^zz, quae aequatio an sit ("possitis quàeritur; "Hic est f—'T7, u 9 — 113, et quaeritur an sit:possibilis casu 4 114 — 2.3.19? 'Statuatur sip LL MÁ(pp3- 791) pde noeei 414:800 di:nmriol "23050p52005 peclew Wow ohs et sumto "SS. et Marme: ,prodit | casus [S 1600 —3ST. 4E Nunc: iterum fiet 4 — TECTUM et fiat. icd divisibile per 49, Éà si fieri potest, dabitur casus. quo p «19. Ut;/ex. gr. pp-t-12 fiat divisibile per 49, débet esse p — 8, unde sey pe 15:6» omi fios IIl. Quaestio ergo huc est reducta, an aequatio Tz Ay — 1352s sit possibi s? quae hoc modo reprae- 113 156104 sentetur 15zz— 72x — 113yy, ubi f —15, ges, fg — — 105. gt. hzc 143. . Nunc fiat, à DET Aou reddatur pp — 105. divisibile per 113, quod. fit sumendo p —52, tum. autem. fiat. mo SA, ergo quadrato sublato fit. 4 — 23 et gnagstio huc esl redncta,, an. aequatio: 1522. 742 .— 23yy sit. possibilis. IV. Fiat ergo À Low — 93.69 | sitque pp—413 per 23 divisibile, Sive pp — 23s 13, quod fit si »n—1 BUOCNG et p — 6, ergo Àh — — — 3. Habetur igitur bc aequatio I mar lostido i jd5 a ia f£ o^ol - aoswsios Mg — Tam — 3yy,, sive , Tax —3yy em 1927. ubi [—1, Mbspai el fg — —?1. h — 15. eumicaoqgqo inioq26 bli aonoinloa saxi crrllod ac H 45 (pp — 91) —145.5 V. Fiat nunc h— * Sumatur p—^, erit h— : D quod actu evenit si EX et y — z, atque hinc sequitur ipsam aequationem propositam esse possibilem, Nota." Wévera aütem est possibilis: si enim 'capiatur z — 2 et y — 1, fit US T NR H Stems eis Tax -4-143— 456. sive CIza — 33 et zc 5 9 c T - Ita semper 'Joquatio si fuerit possibilis, ad talem formam reduci poterit. fo ass, cui rou Gi — "3 manifesto satisfi sumendo y — 0 et ia. d imf) f -4- 4I —n ooo S ME ERO T 48 ut obomtmub .1Ggosp o:dasefq aoTomsa mobaos earao(Kraffileup i onltoaniol scni01. bosp .suimagib. sielon id.J Judicium hoc reddi potest adhuc facilius hoc modo: Ac -1- boy — 55À. Jr &'op Cg dip i 2-3: 19 07-790 5 c iie '5 ini" ap. 3-791 divikibile fiat "per 2:319. "Prinio aütehi fit di- visibile" pér 2, "si p doo ;^geiNdeg gegegr Redi visbne, - br-pi-igd f - Utruinqd? ddtár "obtietur,! xi p-——6nigí. Restat, ut p?--791 'sit per' 19 divisibile; quod" fit; si p?" per 49 divisum: relinquat 7; sivé^ debet ésse p?— 19n-i-7, ergo 195-17 debet esse quadratum; quód fit; si? —' 3; eritque p—8:' I genere erdo hoe fiét '5i p—19n3-8, hoc ést casibus p-—8, p— 11, p—927, 30, p-—46, p249, p2—65; etc. inter quos nu- meros reperitür statim 11; qui est formae 654-1. Sümátur ergo p—1t, - eritque p*44- 791 — 912 — 111.8, 4?*.8 ! ; 45 B DOW jog. 1 «Mala, ! | Ji? ,.£ u3. Zl. 49 f wm -—— et sublatis quadratis 4|— 2. Res ergo eo redit, an sit 727-34 113y*—2:^. Quia hic est 4—39, Me pns Ponatur p—7, erit (at: du ergo ink iy. ce sumatur Heram kae — 105. Si sumsissemus p—3, prodiisset —-—3, ergo aequatio 7x — 3yy— —32zz, Fragmenta | ex Adversarisés depromía. 209 P [| , ^ P 2 z— 1, etjam quaeritur, utrum possit esse 72*-4-113y* — z?. Sumatur ergo h — m et sumatur : 1 pO, eritÀ-— : m et cum quaestio sit de forma 72*-1- 113y? — 7.113z?; debet esse z — 113v, ideoque 7.1139*4-y*— 7z?. Felicissime succedit, si in aequatiohe .& — p? -4- 791 capiatur p— 7.5. Tum erit $ 2 po 7346--7.3 — 7.998 5 qq qq ergo ventum est ad 72*-1- 113y* — 7:7, quod fit si y—0 et — ergo propositá aequatio est possibilis. ly ,,; Maec solutio isti innititur principio :.8i fuerit fz^-1i-gy^ — z^, multiplicetur utrinque per p*-i- fj" fietque h (p*3- fgq*) ^ — fp" &* - gp y* a f*gq^ &* - fg* d y — f(pz - gqy)* -- g(py — fac". Ergo si ponatur z— pxr-39qy et y — py — fqe, erit fa a gy — h(p* -- fqq?) z^; adeoque si aequatio proposita fuerit possibilis, etiam haec erit poitea et vicissim. | Jam sumto q—41, habebitur praecedens fora h (p? --fg) Si nunc p ita sumi potest, ut p*-1i-fg divisorem habeat À, quod semper eveniet valore PM : À, et ponatur p*a-fg — MW, ita ut loco A habeatur A*A' , iive omisso p p simpliciter A. gps loco - " prodiit novus valor À' illo multo minor; cum enim sit pz. - h, erit A& — — t Ma-fg, ideoque Mec LA acf. nem mem esse lugoalbifen non dutifa hoc judicium inverti' potest; dantur enim cásus; quibus aequatio Sin autem pro p talis valor non detur, indicio id erit, Mini nihilominus est impossibilis ; veluti evenit in hoc exemplo 2z*-1-3y* — 7z?, ubi f—2, 9—3 et 4 — 77. Hinc movus valor orietur 4 —7 (p* 7-6) ei sumto p—1 fit ^ — 1, unde novus valor erit 4 — 1(p?31-6), qui dat valores 7, 10, 15, etc., qui autem omnes nullo modo satisfaciunt ; nam facile ostendi potest, aequationem 94*-,4- 3y*—z? esse impossibilem , sive 2x*-i- 3y* quadratum esse non posse, vel enim z est divisibile per 3, vel nón. Priori casu y non erit divisibile per 3, quia alioquin tota aequatio per 9 dividi posset, et posito Lm 3v formula erit 18/*-4-3y*, quae divisibilis est per 3, non vero per 9, ideoque quadratum esse nequit. At si 2—3v 5-1, erit z* numerus formae 3n-i-1, ideoque 22*—3n--2 et T» formula 2z?-4-3y* erit numerus formae 3n4-2, quae forma quadratum esse nequit. — ; ^ Simili modo judicari poterit, utrum hujusmodi aequatio generalior "'—9Í —hkz* possibilis sit nec ne. —— enim utrinque per p*-3-gpq-i-fhq^, ut habeatur ! (p^-*- gpq -t- fha^)( (fa* i gey hw) —k(p*-- gpq - fq?) z^, ubi notandum, prius productum semper reduci posse ad formam IN *3- gX Y --ÀY?, quod cum non tam facile - adpareat, per factores. irrationales sequenti modo ostendetur. Quaerantur factores formulae fa*-- gy - hy? quod fit ponendo hanc formulam —0O et radicem extrahendo, unde fit xz — - mi Id HL M unde factores erunt g; fe m Vg — Moo) (afe e gy— y V(g*- Mfh)) Cwive i ea ame 32 — f9) (fe -- $t — Vg 4g — f». et posito brevitatis gratia 7 4 hy —fh-l, ut. fiat [z* -i- gay - hy — 7 (fes qu y VO (fz 4-5 qy— y V0. Simili modo erit p*-4- nidis se Pitt (p--3 gq— 42V) .. et (X? - XY 4-MY! — ; (fX-- 5aYA- Y V) (fX-- g1Y — YV); L. Euleri Op. posthuma, T. I. 91 € 210 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. haec ergh forma aequalis. esse. debet producto ex binis praecedentibus, nud fiet aeqyando sliemtzust factorem producto ex binis praecedentibus, scilicet | T Om [X5 gY 4- YVI — (fid gy yVI) (p 4-i 9g -- qV1; sic enim sumto V/ negative, sponte fiet ' eie fX g Yo Pai (fac sig gu e yVID) (pci 5 9— qVl) .. sufficiet ergo alterutram ità evolvis&e! ut nienlbra rationalia et 'irrationalia seorsim inter se ieiuentu: ! Tum igitur fiet | | OM dir " esos 9) ska: — v 19 voy uioneq i» oyid —pfr-- 3 gpy - ; TTE 2 j'qy— fiy lh das " por baee ;" posterior. valor in priore substitutus praebet fX — pfx — fhay, - hinc X— pa dy et Á ipra fq - 90 - PV. "e ir AN ri Pai idilar: idpsdhetdsis ex dato. valore A. alius. investigetur Kk, ,ut. sit kx (p? dk -gpg -- fhq?), e omissis. factoribus Arr : quadratis, capiatur autem .q— 1, ut fiat k — k (p*-1- gp a- fh), et si aequatio. est. possibilis, loco p semper ejus- . modi valorem reperire licet, ut. formula. p?-4-gp-*- fh. factorem. habeat k, qus posita —— kk dabit noyum valorem k';. quod, si succedit ,. talis valor ipsius, p semper dabitur, minor, quam gh dum. scilicet p tam negative. quam - positive. accipiatur, et sic valor k/. multo minor erit quam E, unde iini; ad. minores yalores pervenietur, donec judicium facile. reddatur. voe Res exemplo. illustretur: :32?-1- 16ry - Ty, ubi f picti UE. 16, "e — A . casum sordidis quo k-- 1. quippe qui oritur,,si £—1 et y—1, ita. ut sit. 5a 1- 162y-1- Ty — 75^, qui autem maxime. est. obvius, sumendo r—(0 et y—z. Ergo alium eligamus sitque 5a? -- 16xy 4- Ty? — 99z* ut sit k — 59. Jam quaeratur k — k(p* E 16p-1-35) et capiatur p ita, ut factor 59 tollatur, odes fit si p — 10, k— 39.295 — 5.99*,. unde k—5 qui casus est obvius sumendo y—0 et z—c. nece E BH E PnaosrEwa. Invenire numeros f et g, ut fiat fas 3-9) Tul con SorvT10. , Erit ergo fy — fa? Eo POI *; addatur ^st. eritque (f — y^) (g—«* )ezaty* er e p f—y-—axy— " erit g — x* —ay--p, ideoque [—y cy — p et qme my p, unde si f detur, ob H IS2180 ibs pity -raxy — f. erit g—a* Ey *4-2ay — f. sive f--g — (x-i-y)* —]Qü. ediiee sum fep fuerit quadratüm, problemati satisfit ; satisfiet ergo quoque , dummodo fuerit fm*-4- gn? —g. TuronkwA. Si fuerit fz?-1-gy*— sz? casu, quo s—4; tum eliam aequatio subsistere potest, quoties fuerit s—hz fg, dummodo hic numerus fuerit primus... — . Hujus theorematis demonstratio etiamnum desideratur. ExrwPLUM. Sit 2z*4- 3j —s quod. fieri ;potest &i.s—5. Idem ergo praestari potest.si fuerit s—5-1-24a, unde hi numeri primi oriuntur: 5, 29, 53, 101, 119, 173, 197, 269, etc. Cum ergo sit 2z*-4- 3y* — 101z?, ita, ut in superiori caleulo sit 4 — 101;. erit s — 101(p*-34-6). Fiat p?4-6 per 101 divisibile, sive p*— 101a — 6, unde nascetur haec progressio arithmetica ; 0 *4 9 g 6€ gn M e RILN —6 95 196 297 398 499 600 etc. ex qua vero illi numeri ^ valores exceluduritur, qui habent sequentes formas | s 3g2-1, ha, AÀa-a-1, 50-1, 5a--2. . Casui nostro satisfit si p—1^, unde fit s—32; qui vero casus 9554-37 —9;* est obvius; fit enim y —0. Pro dafs vn CUENTEN T uum eC. ur P Fragmenta e». Adversarits depromta. 211 eodem casu fit s— 149; unde alius 149(p*34-6), ideoque 119n — 6 debet esse quadratum; unde excluduntur: 3«--1, ^c, ha--1, 5a--1, 5a«-2-2, i ; remanent pro » ergo 3e, 3«-1-2, etc. et in numeris 3, 14, 15, 23, ubi p —21 satisfacit, seu n —3; s— 1419.3.149 — 3, unde iterum nascitur. casus obvius. Omnes autem numeri primi pro s, quibus formula 2x*-1- 3y* — sz^ subsistere potest, continentur in his duabus formulis 24n 4-5 et 24n 24- 11, quibus adjungi debent 2 et 3 et praeterea nulli alii satisfaciunt, Ma, ut satisfacientes ordine sint : 2,3, 5, 44, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 119, 173, 179, 197.. Aliud judicium, utrum talis aequatio fx^-1- gy^ —hz* sit possibilis, Dividantur omnia quadrata per numerum et notentur residua, quae sint 1, a, b, c, d, etc. et quadratum z* det residuum a, y* vero det b, sicque formula fc^ gy* dabit residuum af--bg, quod cum per A debeat esse divisibile, fieri poterit af-1-5g—0, ideoque b, ergo quodvis residuum si per ; multiplicetur, iterum erit residuum. Quia autem ud est fractus, ejus loco scribatur T, ubi n ita sumatur, ut nÀ— f fiat divi- sibile per g et quotus sit k, qui si inter residua reperiatur, aequatio erit possibilis; sin: secus, impossibilis. Sic proposita aequatione 22 3y* — 29z*, ubi f —G. t. 3:0t.d — 29, Ainperentur residua quadratorum per . 29 divisorum, quae sunt numero 14, nempe: 1, h, 9,- : | 46, 25, 1, 20, 6, 23, 13, : 5, 28, 24, 22. Quaeratur ergo md: posito n — 1. Quia ergo 9 inter residua occurrit, haec forma est possibilis. . Sin autem oponente: 2a -3y": cem re ; "apiadrata per 17 divisa dant residua * 1, à 9, 46 8, 2, 15, 13. Nunc debet 2 ar — numero integro 9, qui cum non sit inter residua, indicat aequationem « esse impossibilem. . Hoc vero judicium non certum videtur, nam si aequatio hac forma exhibeatur Iz —2a!— 3y*, ubi f—11, 3n — 17 -- 9^ dendo prodit 1, quod est residuum, et tamen aequatio est impossibilis. g— —2 et h—3, residuum quadratorum est unicum 1; at vero IST aci et denuo per 3 divi- "A Notari meretur tequatio 72*-34-2y* — 23z^, quia ipse numerus 23 non in forma T^ -9)? continetur, siqui- dem a et b sint integri; at si a-— et a-m. fit utique 1g —239. Per regulam primam autem ex 23 prodit alius 23(p*-4- 14). Sumatur p-— 2-3 proditque witas. Q. 4. Euler.) ES Ut dubinin circa criterium postremum tallatur. observandum est primum, criterium eo redire, num irter residua quadratorum per A divisorum occurrat numerus —[fg, sive mh—fj, qui si non occurrat, aequatio frxz--gyy— hzz certe est impossibilis; sin autem occurrat, plus inde non sequitur, quam vel hanc ipsam aequa- tionem fazx-1-gyy — hzz, vel istam xax--fgyy — hzz esse possibilem; *unde fieri potest, ut prior non sit possi- bilis, tum. autem certo posterior fit. possibilis. .. E A. m, T.I, p. 201 — | a3. uw eu ; Je nins ^pa *; 6 (W. E. Kraft.) ; —PhosLEMA. | Formulam.mz*-4-» quadratum reddere ex. casu. cognito: ma*-- n— bb. Sorvrio. , Ponatur x — a4-y et formula proposita fiet 461 bb -1- 3inaay 4 3mayy A- my*— O1, 112 — L.. EULERI- OPERA . POSTHUMA. —— an cujus radix ponatur ku ; v: hujus quadratum us 4 e - m Aa Sog 4- — yy. praebet ^ 9ma*: : /0/'9a(bb — n) Vobus je RA i-e 3a X 9an a ...9an Si b £ 35 f b unde y — — *^3g €" TTE HE in autem radix ponatur Gina j JC PW. erit "s 9m : 3mpaay? " 3mayy -- my? — 2bpyy -- — D — e T NP 9mma* — | - 9am (bb — n) Jam fiat dee 2bp -- E Wu 2p P PEREN uLw | iu Xs 9am (bb — n) 3ma 9amn " id vi — 3ma TOTEM TT. — "T Up Abb , ergo : ML ces UM d (di m. b. 9a tw c. t E Superest haec aequatio Loup d- 1e. ergo olidia (uolstibeup. 6l uius p.08 3 TX | (d nipaá leone iod P9 7. 9pea -7U. CBS 27a -— A TS LL MCN "n b Sbb 8b* 8 8bb ^. 8bb.... Sb* ott : ib. .€ "T 1 ..9n.,- 27nn Ue ( 1 18n ae) ES E OB. emn M WeN L.MI [ " (Lexell.). Annotatio ad superiorem formulam men D. by ea e casu ma*4-n — L— bb ope pee nde elicuimus novum casum. "Omni attentione dignum videtur, quod si n Rit numerus quadratus —khk, ex càsu dog ma: "4 kk — b immediate duo alii elici queant hoc modo: Ponatur x — az, ut habeatur ma?*z*--kk — (3,. hoc est. (bb —kk)z*Aa-kk — (j—5 yy, ita ut sit (Db — kk) z? — yy — kk — (y--E) (y —k. — ^ Resolvetur ergo formula (bb— kk)z? etiam iu duos factores, quod duplici modo fieri potest: L Sit unus factor (b--E) zz — yk, eritque. alter (b—kjg— y—k, "haec aequatio ab illa subtracta. relin- dien (b-i-k)zz— (b —k)z—2k, cujus una radix manifesto est z-—1, unde pro altera fit n "X - Pih 1 0 9k : — 3ak. LO RA Enbil- cade P. IL. Sit jam prios fito (b—Bz zz — y — k, et alter dabit (b-4- kF) z — y-1- k, unde " emm " : (bj —kjzz —(b--z 2 —24; 777 T | cujus una radix est z—41, et altera. RUP. . p dp em e Unde conficimus istud egregium: Tt&ónEMA: ) op mono Si formula maz?-i-kk fuerit quadratum casu z — a, ita ut sit ma*--kk — bb, tum etiam: quadratum erit his duobus casibus: : — 9ak -1- 2ak primo: z—4--r» et altero: £—X—k : " ^ ENS : 1 49 : Exempli gratia, cum formula 902*-1-1 fiat quadratum casu f—3; fiet enim 90. — -i- 1—31) ubi est 1 7 " : 9 9 —10.8 153 Lz——.k-— — Vbi iuvat aie riam Es PEUT NIME 1 i ES A2— «cups 1 et ) g^ bini casus derivati erunt z— $ UOWEDEden dt mm fit $8 "—$g" ; .8 18.8 169 A dais, ' iiace et ex posteriore ———dA1-—-— : , potio wot m A. m. T. I. p. 130. 191. ci ace: IV CM D uu MIR E s |i Lotte Dm La da E oneri, Fragmenta! ex Adversariis depromta. 213 Ru p.79 Hu "f » 1. Ant) 1 ' AM. E nimm i^ Rv ) 15 i D ii Omni attentione digna est haec forarula: 181*4-7 — 32?; nam etsi 32 — 574-7, tamen'nullo modo est 1814-V —7 — (5- V — 7), verum tamen est - Hibiria sisdtsis d" 181 vr (E Dae Tj. [^ i Notandum autem est Lear i- 22S A 1; unde patet evolutionem illam: per factores imaginarios pro- fundiorem investigationem requirere... TET » PnosrEMAa. Invenire in integris ' quádratum' et cubum, quorum differentia - valde parva, veluti 39:— 181?—7 et 953?—40*— 9. Cum proxime esse debeat z*— y*, ponatur.« — p*-1-a, hineque. fit id b. aeq Leld. - ; 3 Pom -pp FE " - unde si p et a ita Pf SN ut haec farsi iieintiipe sequetur numero baee y. P na erit solutum; veluti sumio d — 3 et p— 2, formula illa dat y —5 et z —11, fit autem 11? proxime — 5?. À. m. T. I. p. 127. U si^ Wer riubesd sursb aarbsü nx geldxinecosb T pPrw (J. A. Euler.) : Si debeát esse 4322 4- 12—0, valores pro & erunt Jac LUE E quorum ordo ita se habet X IRE "i pb «eus buw I- 2) b-4-xvo bir zo — 424-3 rm: 9i —23, '—2, Ft, -—13,....p, 4. f existente r — 11g —p, ubi numerus 11 inde oritur, quod sit. — Y(13. S D. - Si debeat esse 5a -1- 44 — (3, valores. pro, z erunt... »t : $ 23 À8 T. 1. "M. 127. NUN quorum ordo ita se habet m —€— € 4-- [qut — poSo vr — 50, — 19, —", —2, 2-1, --5, -r-15, 4-37, 57.0? p? 79; f^) - verumtanorc Es Ut 3r —1&3 — C) debet esse 2 — 7, 8, 9, 12, 16,23, 98, quae multitudo est notatu digna et inde venit quod 143 — 11.13. EPMRUR ^ RD REENSIORMSRP A. m. T. I. p. 135. 136. . A6. PnosuEMa. Datis numeris a et 5, invenire omnes numeros z, ut haec formula ac 2-5 fiat quadratum. Ponatur z — ayy -- 2py 4- q et quadratum: esse debet aayy -4- 2apy -- ag 4-0 — C), quod fit, si p — V (aq 4-4). epis ergo unico casu, qui sit ag -- b — pp, erit ec ayy 3t T py 4- q, quae formula omnes solutiones. continet. 214. — LL. EULERI OPERA POSTHUMA. | 200 Arithmetica. ExkMwPLUM. Sit a —7 et b —2, et formula noét£a- 7z-3-2. Quia 7.1-À-2 — 3?, erit q(—1 et p — 3, ergo omnes. casus .sunl. 27— 7yy -- 6y 41, quae formula. praebet. hos numeros pro c: T | .T158 Existente y prodit — x 0 mMPRENILDULN 1 1 73 62-1; 2 vel 14 iarilli monoint iq 29 19; — ^ 47, vel - Mo nous minbanlol 3 6^ 2 18; &6 vels:8295po9 mosods (oi enorodfart D mih a ,113 2 2^;...,.., 89, vel. 137. " vesdi $m etc. TuS LI | Lem progressionis valorum pro x : 1, 2, 14,""7, "Jr ,M. .82, ,.89. 137, ete. b . 4 4») 3^ A5 ^» TJ 3B 9. € d | AT. Zwei Táógondliabil zu finden, deren Produkt wieder eine Trigonalzahl sei. Also | Tu aeg oder m(r-ei)y(y-e1)— 2:6, oder 00s pq . 2c (x A5 4) y (y-- 1) — 2z (z- 1) . pg. Nun mache man pz(y-1-1)— 2qz und qy(x-i-1) — p (z-4- 1), so wird aus dem ersten Satze jt, nd aus dem. andern: bafi 0. ds i ale Daher 2qqy (x3-1) — 2pq — pp (y- 1); ^ welches sich auch so darstellen lüsst | Tm y (2gq — pp) -1- 2qqy — 2pg —ppo — 0. das sa am obo imtveup Es sei nun 24q— pp — a, so ist axy -t- 2qqy —ppx —2pq — 0, und hieraus y BF; adtdic «i . ar--9g9Qq ^ -* ——— SER iyu: DAC S "aen Mae PUT SML, mr ee m i. € y dE a v Dom hiitay - Nun setze man az -1-200— f, Es sei nunmehr 2ppqq — 2apq—2pq(pq — a)— fg, so haben wir pp— ay— az 99q 80 wird pp— ay — $9, folglich yc t und gm wo leicht zu machen, dass a — 1 sei. Ex&MPEL. ! Man nehme put.g- », 9 zem 80 ist fg — 3*.70 — &.5 1. 17. Daher wird : rao ad E r—[—50 und? y 49259. Es sei g — 20, f — 119, so ist "^ ^ -2—69 und. y—29;. : also die zwei Trigonalzahlen 35.69 und 15.29. Da nun , "iet D. ig Aj ig - ing ^ did Z£--r-X à —1549.725, welches in der That — 69.35,29.15 ist. irit apip * Á — Fragmenta ex ! Adversáriis depromía. | 215 Es sei ferner f— 85 — 5.17, 50 wird. g —4. 7 —28,. c — 35, y —21; mithin die beiden Trigonalzahlen 35.18 und 11.21. Es ist aber z — 7.7.11 — 539, — I-4 i-i ; — 539. 210 — 35. 18.11.21. * À. m. T. I. p. 254. " wi : ^ 3 HH IF * My - Dont "wort o 1 ——— ——— ————— eus A » e gen "T I i1 - er (Qv. Fuss L) i - ? PROBLEMA. Invenire numeros integros x et y, ut. fiat azx — by — A Soruri0. Primo notandum est hoc fieri mon posse, nisi fuerit A — aff —5gg; deinde quaerantur per pro- blema Pellianum numeri m et. n, it fiat, mm — abnn 4-1, sive. m — Y (abnn-i- 1). Cum ergo sit. mm — abn» — 1, erit quoque (mm — — abnn)^—1; ponere igitur licebit x (aba — by 2 (aff — bg) (mm bw, 2x] quae forma'in-faetores irrationales resoluta dabit a Va 4- y Vb — (fVa -4- gVb) (m a4- nVab)^ quod posterius productum evolvatur et termini signo Va affecti aequentur ipsi z Va; reliqui termini signo Vb affecti aequentur ipsi yV5, hocque modo. tam z quam y per. numeros integros determinabitur, quod exemplo ' illustremus: . "n Do mi&ibilamid ExkwPLUM. Quaerantur numeri x et y, ut fiat 342 — yy—2, ubi a—3 et. 5 —1; erit autem 2—3ff — gg sumendo f —1 et g—-*1; quia igitur ab — 3, fiet m — Y (3nn-- 1). Sumendo n — 1 et m —42, unde nostra formula erit Re ero eped (2-- V3 d iconos ttp we y odisse att 7-3 i* 18-9, erit "2 Y3--y — Y34-1. À—1 eo-Vàieyc 3V32-5 À4—2 ^. mzV3--y— 11V3 a- 19 » dbbsi du 2e omis 09 quee go cuir Mg ay em MM Va TU À—^ «4 —xV32o-y —153V3 a- 265. Ceterum valores tam ipsius zx quam ipsius y ootsbteant series recurrentes, quarum. ultimus quisque. terminus per 2m multiplicatus demto penultifao , praebet sequent sic in nostro. exemplo, ubi 2m — ^, litterae x et y ita procedant — 2224,,.3,, 11, M, 453 piis ss | tog Do quoo; quIPtA 4o Ser t6 Dos m Occasione problematis Pelliani, seu formulae m — Y (abnn - 1), praeter casus, ubi est vel ab — «c 3- 1, vel ab — «« 3- 2, etiam sequentes casus generaliores locum habent; scilicet si fuerit ab — «a -€ 8, fiet nn ——^ae et 1» — 2« et m — 2aa5 - 1. Deinde si fuerit ados asa af erit n—a et m—aa -t 1. 0$ 455,5 204, ae j | Acme ELO I us , 49. ) E PxosrtEMA. Invenire duos numeros p et q, ut fiat (pp -- 24- (gg i- 1)? —LU i Sorvuri0. 'Ponatur pp 4- 1 — zz — yy et qq-4- 1 — 2cy ced pp — m et qn 1. Sit jam p—r—z, erit 2yz — zz — yy-- l, unde fit » ! 216 L. EULERI OPERA- POSTHUMA, Eo deu mph. Ko rsesriede Apitadb writ d . Statuatur nunc y — nz fietque qq — nzz-.- n zz--n — 1. eter ergo. es ut sit tecti erit qq — 10z*-4-1, cui satisfit : 7, Tum igitur formula et p—1 1) Si vos tum erit «—T. ergo q— y Porro ye. unde :— 3 , itl) $1). erit quadratum radicis zz Pau (i6 C A 39 —144 * 9 — 144 $5. 8249)... MA A 4 uei — 401 2) Sumatur gg erit qp 17$ tum vero $$ etg ——.1—-—g^ UE boL qyé— wx» du Jit a9 nmmvnl aw q Lao 2 os | k. ifia T2U8A 22] 784 » mubnualón oml .orr)308 5 3) Sumatur z 2-6, erit qq — 361 et q— 19, porro: denies et 2T et pec -— io nami 1097. i 1812 "ur xg) (361 4-1 — (s -- "-— "HOT Lx í1J 2i p^ j "m 90... 11í2 "PROBLEMA DIFFICILLIMUM, ^" ^ ty geqi unesppos Dosis quo quatuor biquadrata quaeruntur, quorum sumnía itidem sit biquadratum, t-$H8 ücah V ecu op uou. qu * enun subnersmiA) UdeMM - ; . Mit 1 - 4 I " "I TT. ' d " m ^ " " t Bos oh TINTA ! siquidem fieri potest, sequenti modo tractandum videtur: 3, en ^ ? i uL i" slam ^ 1 Statuatur scilicet — 42—? CL, 2. ; cum , et. Mii ; tum enim fiet i cil Ud mi * 4 'po —Pp--q9-3-Tr-- $5 E : LO ita, ut haec quinque formulae quadrata reddi debeant.. Incipiamus a prima et ultima, ita, ut reddi debeat | | coS -- fp$Ueqe-etri 660. 4 : I t Vo WP Ll. : ; E Cum igitur Sit aa-1-b52-:2ab — (, statuatur ^ | V enmadt n-$. agizqat nm:5) agquolsv auimis dee | , T id [ [^77 aa (1 [3 : . t " (af ái Jiinnin "S - "n PEE. oe Priami ed e. 30, TN d ai 'asheasósq. aii HEIMILMII qd 5 fit ergo ss —2nab — (I. Sit 2n — «f et statuatur ac cff.et b — gg eritque ar BS Af fago | ero. Po qoo fos IET o3 o tum véro esse debet BPCEREETT s gap ac Bggh. cio St: n» e dm n :4& 19 -q om Pro reliquis. conditionibus faciamus d — hpfg — xr, unde p — $ porro E Nh — Mrs Ma. qum 9rs quarta — — hrfg — zz, habemus r— Hine superest ista aequatio pp -—— — aof*-- Bbs*, , Sive pp-iqq-4-rr— 1 «B (acf *-- 889*), et loco »,4,tf r valores inventos substituendo z* yt E DPS*'PBp'*PpSBM E «p (acf *-e- Bg sive 3-47 yo a! — ofi ffgg (nof 889). T N Fragmenta ex. Adversariis depromta. 217 Quodsi jam hic. restituamus «ff — a et 8gg —, colligitur z*-1- y*-- z^ ab (aa -i- bb). Quaeritur,ergo num huic aequationi satisfieri possit; tum autem fiet —19. s — 9nfg vel «fg, et »—7, 0—3 et rM atque hinc porro A—a-—b et E—a-rb, B—2x, €C—29y et P325, verum ne his quidem. ambagibus est qpus, cum enim fieri debeat B*-1- C-- D E*— A*.. Statuatur s A—a-—b et E—2a; fitque E*— A*— Sa*b -1- Sab — Sab (aa -&- bb), ergo utrinque per 1 16 dividendo prodit B*-i- C52- D^ 4 E 4 L—--y--z. 16 y g ab (aa -- 00) — A. m. T. I. p. 284. | 53 Notatu digna est haec formula: d--z:— 8, quae fit quadcitali adio :—5; qui tamen valor per re- gulas vulgares non elicitur. Hinc ista quaestio: i ud dn J'dividiceski duas partes z et 2— z, quarum productum 2x— zz sit numerus formae *—27; tum enim erit 1—2-1- zx — 1-1- z — z?, ideoque 1—2z—YV(1-2-z—2?) Sumto ergo 14 : LEE 10 oid 44 gg erit 1—2—3 hinc q—3', et altera pars 2—2— quarum productum est 13931 141 440 i- 1 i EL 4 LES NL 2x ax -— "LR at vero z 7— 39 9 37€ 9 A. m. T. I. p. 295. 82. . TmEonkMa.L Si p denotet numerum primum quemcunque, falis aequatio z*—py*-*- ppx? semper est impossibilis j gioia | ERN DrwowsTnATIO. Quia enim esse deberet z* divisibile per. p, ideoque s pA, unde fieret ndn y px*, sive y*— ppA? ac pz?; foret igitur etiam y divisibilis per p. Sit ergo y — pB, unde fieret ppB*— pA?-- z^, hinc ergo etiam z divi- . Sibile esse debet per p; hincque ponatur x — pC; unde fiet ppC* — A*—pB*; foret igitur eodem modo 4 — pD, foretque ppD*— pC*-1- B*, tum vero etiam B per p divisibilis esse deberet, porro etiam C, D, etc. in infinitum. Hoc ergo modo singulae litterae z, y, x non solum per p, sed etiam per pp, per p? atque adeo per p^? de- berent esse divisibiles; quod cum sit absurdum, veritas theorematis est evicta.- TukgonEMA I. Si numeri a, b, c fuerint primi ad p, ita ut nullus eorum per p sit divisibilis, tum etiam haec aequatio az a-bpy? c cppz* — 0 semper est impossibilis. DrwoNsTRATIO. Quia enim a per p non est divisibile, z deberet esse divisibile, tum vero etiam pari modo y et z, sicque ad eandem aequationem perveniretur, unde patet impossibilitas, uti casu praecedente. ConorLAmiUM, Eadem demonstratio. quoque habet locum, si p fuerit productum ex duobus vel pluribus numeris primis diversis, veluti si sit p — 2.3, vel 3.5, vel 3.5.7, etc. L. Euleri Op. posthuma. T. I. Ee 28 218 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Eom TukonkMA HIE. Si p: sit vel. numerus primus, vel: produetum.. ex aliquot' numeris primis: diversis; "tum vero numeri a, b, c, d, etc. sint numeri ad p primi, tum etiam haec; aequatio semper est impossibilis: j und az! py! epa s dpt y! — 0. Quia ob rationes superiores singuli numeri z, y, c, v, etc. non solum per p, sed per omnes potestates ipsius p deberent esse divisibiles. Taliaque theoremata ad potestátes altiores extendi possunt. NB. Hae autem demibiradools vim perderent suam, si esset p —1, quis omnes plane n numeri divisibile. sunt per omnes potestates ipsius 1. A. m. T. Il. p.10. 141. i 53. ,,PRoBLEMA.. Reddere hanc formulam quadratum: (4 -- Bz) (a -- bz -A- ezz p: dz?). . Soruri0. Statuatur hoc quadratum. — (A 4- Bz)? (p 4- qz)? fietque T App | --2Agq 4- Aqq -- Bqq TUS —u --Bpp »z --2Bpq)zg ^ | —d.). sl. bx — b —€ | ; : : pos ow (Lb — Bpp 4 2 6— Aq —9Bpq- ubi duae solutiones sunt considerandae, primo si pp —-, sumatur pen 25.2 tum erit g— 3-42 - Altera solutio locum habet. si qq — tum sumatur a — pe eor HE —P LL. 6— Aqq a 9Bq j;eritque . z— PnonsLEMA. Si proposita fuerit haec formula (A -4- Bz 4- Czz) (a -4- bz -1- czz), eam reddere quadratum. Sorvur10. Ponatur hoc quadratum — pp (a -a- bz -- czz)* fietque A -- Bz -— Czz — ppa -- ppbz 4 ppezz. : ; a A : ppb — B : TRU [» ; app — À H IlI—— eme i L—m— e s ic ergo si fuerit pp 4» statim fit z c Secundo si fuerit pp z» ent z— p IN TDY t ug db BfA- C In genere autem si sàtisfaciat valor z — f, quo casu fit inire tum semper alius valor deas inveniri; quoniam enim habetur haec aequatio quadratica : joy - D —app A. ü "ER — PP aca PP, € — epp € —cpp eaque per hypothesin radicem habeat pub erit quoque z —g existente "t app bpp D quam fiL, , y alid tain A-4509 - unde duplici modo alter valor g reperitur. Hoc adhuc clarius ita ostendi potest. Cum esse debeat . A 2- Bz -- Czz — pp (a -4- bz -- ezz), ! s E tum vero A a- Bf 4- Cff — kk (a -4- bf -- cff), semper alius valor pro z assignari potest, existente pariter p — k. Dividatur prior aequatio per posteriorem x TTL A Bz 4- Cxz | 2c bz c25 i A-2- Bf A- em aA-bf -— eff! " subtrahendo utrinque. unitatem et: dividendo. per. z —f prodit emi B-a-C(z--f) | ba-c(z--f) A-4a-B[2-Cff | aJ-bfa-eff. fietque unde f facile definitur. TET Fragmenta ex Adversartis depromía. 219 Hac methodo insuper duo alii valores reperiri possunt.' Cum enim sit | A--Bz-- Cu — a-a-bia-cis sA-O-Bfa- Off. — aa- bfa- eff ? multiplicetur utrinque per 1, ut habeatur Af-- Bfz-- Cfsz — af-i-bfz i efsz Az -- Bfz-- Cffs — ax a- bfz A- effc A(f— 9) ^- €fs (3— f). a (£— 2) efe (5— f) et sublata unitate erit Az-— Bfr-a- Cffs — — az- bfs A eff ; À A—Cf a—ceft | ms A--Bf--Cff a [3- eff? If unde tertius desumitur valor. Porro multiplicetur utrinque per aro ut sit A(f-5) 2- Bfs —| a (f z) -- bfz A--Bf--Cff ^.) a--bf--eff Azz-- Bfzz-v- Cffit — azz - bfzz -— e[fuz Aff-3- B(fs A- Cffss— aff-1- bffz - effez et unitate utrinque sublata Horum valorum quilibet pro f assumtus praebebit duos novos valores, ita ut hoc modo infiniti valores reperiri Y 9 -i- 3 — zz ; queant. Sit 4—2, B3 —3, €— —1, a—3, b — —1, c — 2, ut debeat esse —— — — — m. Cui primo T i 9 — z -- 25z satisfacit z — 1. Sit ergo f— 1, erit secundo posent unt, unde z —1; tertio 2--z — 3—2z: unde EE quarto 2 -4- 2z -4- 3z — 3 -1- 32 — z, unde dant m Interim tamen haec methodus nihil plane juvat, sed tantum duos valores ostendit. Cum enim f sit numerus 1 - Au- Bz-- Cut ar bz-r cus " delisitus, aequatio 35. ou 7n LL eracam admittit valores. Interim tamen haec methodus cum successu adhibitur in resolutione hujus formulae simpli- manifesto est aequatio quadratica determinata, quae tantum duos "dee TENE LIE. MEE cioris a -4- bz -- cezz — pp, comaque constet, quo a -34- bf -a- cff — kk, erit igitur CT -w a Jam sumatur primo pp — kk, fietque b -- c (z-4- f) — 0, unde z Tm —r . Deinde sumatur I — eritque ppff — kkzz, ideoque . aff "^ bffz -- effzz — azz 4 bfzz -- effzz, | T bus | —af unde fit a (f -A- z) A- bfz — 0 atque. tias: 7 qui posterior valor loco f assumtus denuo novum valorem praebet, et ita porro. Verum hoc casu solutio generalis ita reperiri potest. Sumatur p — k -4- v iz — f), ut sit a-bz-rezz — kka-9khe(z— f)A- vv (s — f)? a--bf--cff — kk ' Subtrahatur utrinque unitas eritque b--c(z--f) — D9kea-ve(z — f) kk »x-. kk i — fo». —b— € , unde reperitur pondie Lira » . . . . . k unde prior oritur posito v — 0, posterior vero boot epepéte a A. m. T. II. p. 155. 156. 8A. e TuronkMa. Si fuerit p numerus primus formae &»-£- 1, semper dabitur numerus z, minor quam m, ut fiat px —1— a. DrwoNsTRATIO. Cum sit p—An-r-1, erit p —aa-1- bb. Jam quaeratur fractio —. proxime aequalis fractioni n ita, ut sit ad — bc — -- 1, eritque z —cc-1- dd. Semper enim numeri c et d infra semisses nume- rorum a et b assignari possunt; tum autem erit pr—1-—(ac-r-bd). Erit enim fj L. EULERI OPERA POSTHUMA. pz — (aa -4- bb) (ec -1- dd) — (ac -i- bd -- (ad — bc)* 220 Arithmetica. at ad — bc — 2- 1 per hypothesin, unde pz — 1 — (ac -- bd): ExEMPLUM. Sit p — 193, erit a — 129 et à — 7, porro e — 5 et d — 3, unde fit y —3^ eritque px — 1 —81*. i À. m. T. II. p. 167. 55M Y HEOREMA NUMERICUM PROFUNDISSIMAE INDAGINIS. Si m, n et z denotent numeros integros positivos, tum ista formula - lmnz — m —n nunquam evadere potest quadratum. Hoc theorema inde est derivatum, quod inter divisores formae mz -- yy occurrat formula !unz-i- 1, unde sequitur, formulam /unz— 1 nunquam esse posse divisorem illius formae mac -i- yy, vel saltem hujus ma unde haec aequatio (knz—1)n—m--yy : semper erit impossibilis. Sit —— signum impossibilitatis eritque (mz — 1)n —mzr y sive (unz — 1)n — n2 B. Verum hoc fundamentum nondum est rigide demonstratum, ideoque demonstratio hujus theorematis plurimum desideratur. Interim tamen evidens est ejus veritas casibus, quibus est m-- nM -4-2, quia tum, fit Iumnz — -—2 numerus impariter par, a quadrato abhorrens. Dein etiam casu m--^» — i--1, quia tum prodit forma &umnz —hi—1, sive forma &A—1, quae nunquam esse potest quadratum. Demonstrandi igitur tantum restant duo casus, alter, quo m-i-n — M, alter vero, quo m 4- n — ki-4-3, vel &i— 1. Pro casu priore m-E-n —MHi sumi poterit i — 2i —k et & —2i--k, unde erit (20 — k) (2i-i- k) z —icr- 0, eive (Wi —kh)z —izr n. Pro altero casü, quo m-1» — 4—41 sumi poterit | VENE m-—9i—k et n —32i--k—1, eritque. 4 (2; — k)(2i-i-k — 1)z — &i-1- 137 D, ((i — 1)? — (2k — 1?) z — i--1— n. Hinc innumerae formae speciales derivari possunt, veluti ex priore forma (6 —kk)z—i-1- 0, unde casu i—1 sive hoc modo prodit hz—1-rn, 3z—1--D, qui per se sunt manifesti casu i—2: 162: — 2n, 15;—23-n, 12: — 24-6, 7:—2-—u0 Maior i casu 4—3: 36z —3—-n, 35:30, d2:—3-0| ZE—3-0D,; 99» 1íz—dj-can casu i—A: 6&z— 2:0, 63:—.-r0, 60:—.-n, B554—hÀ-ru, A8z—hà-rn, 39;—5&-rn0 28: —. n, 15z:—^-—n. : Hic autem veritas singularum ostendi potest, at vero ex principiis diversissimis. Eodem modo formulae speciales ex altero casu oriundae : (Qi—1?*—(2k—1?)z—h-Q-12zm« "T sunt casu i— 1 casu i—2 . casu —3 8:— 32-0 A8: —'1—n 120: — 11 —— n 40: 2 Ta-n 142: — 142-0. 21; —12:n0 962 — 112-0 72: — 11--an0 Mz— 112- a8 A. m. T. II. p. 211. 919." d^ Fragmenta. ez: Adversariis depromta. 221 , 56. I dT. T I " Proposita hac formula ad quadratum reducenda: (gg —pp)* - (ppgq — 1)? —5 O;; statuatur q—p-r-z, et per- venietur ad Mapstionem, unde per. regulas. cognitas reperitur uz cPP D ande fit je» 3p*—1 2| 9pf—1 ^ i C ubi p pro lubitu accipi potest, si modo excludantur casus p — 0 et gu 1. Ita sumto p —2 fit (—5. "és 17 U. 99 Ba. 190.68 Si p—3 fit 1—1g Si P—3 érit d— a Iia sumío p—2 et 1—45 erit pp—44 ——,7,-. et ob jm erit ppgq — (E | Quadratum ergo fleri debet 120*. 68*-1- 5*. 99*— 15(8*. 68.1335), quod con- tinetur in forma &aabb-i-(aa — bb)*. Fit enim 8. 68— 9a) ergo ab—.. 68— 16.17 et 33—2aa — bb —(a-1- b) (a — b). Proposita tali formula qq(pp —1)*-- pp (qq —1)?— &, duplex solutio institui potest: j prio: ponatur q — np-- » —1, tum enim erit q- 4 — (pa- f), aliera: | ponatur qm tum enim erit q-1- 1 da 00D ot et y iigos. 2D (a7: D, mre aS pn Praeterea notetur, hanc formam P. ret eric | [^ — pp*- b —1y reduci ponendo p— fg et q— I, unde etiam solutio praecedentis formulae hic adhiberi potest. Fluunt autem istae formulae ex solutione hujus pro- ; d 2 blemátis da-4-00— n1, àa-1-cc— c, b6-1-cc — à. Primo enim sumatur 5— *^ :. a, erit aa -- i — (P0) 2p et e— : .&. Tertia formula evadet qq(pp — 1)?-1- pp (qq — 1)*. Altera solutio ita se habet: Sumatur a — 2fg et b — ff— gg, satisfiet primae conditioni. Pro secunda statuatur c—ffgg —1; erit enim aa-4- cc — 2ffgg 4- f^ g* 4- 1. Tertia ergo postulat, ut sit ig j ff — 99) 3- (ffgg — 1* — A. m. T. III. p. 9. 97. PnaosrEMa. Formulam 2z*— y*— zz ad hanc 8p*-1- 4*— rr reducere. SoLuTr0. Ponatur 2z*4- y*— v, erit vv — z*— 82*y*, unde fit 8x*y*-i-z*— vv, sicque erit py, q— et r — y —2xz* 4r y*. | Generalius ergo hoc fieri potest, nempe si qac* — gy* — zz posito ax*-- RT v, erit yy — zt — Saf a* y E ideoque $y —z ^3- 8aBa* y* PnosrLEMAa. Formulam 8p*-1-* — rr ad formam Qyi— y — zz reducere. Soruri0. Cum ergo.sit 8p*— rr— q*— — (r-1-q4) (r— qq), manifestum est esse q et r numeros impares. Hinc sequitur, numerorum r--ggq et r— qq alterum fore impariter parem, alterum pariter parem, unde nascuntur duo casus: ; ! L Sit r2- gg impariter par — 2c, alter vero r — qq pariter par — 49; erit ergo 8p*—8«8, ideoque cf —p*, unde quia « et 8 sunt primi inter se, uterque debet esse biquadratum. Sit ergo « — s* et 8 — ^. fiet p — st et r-1-qq —2s* ét r —qq — M*, unde oritur 9gq — 25* — M*, sive q*— s*— 2t*. ". I. Sit r—4q impariter par —2« et r4-gq pariter par — &8, eritque 8p* —8a8, ideoque p*— a. Sit nunc & —s* et —i*, eritque p — st; ac nunc r-4-qq— M* et r —4g —2s*, ideoque qq — 2t*—s*. — Posteriore ergo tantum «casu reductio praescripta .fieri potest. Interim tamen formula f*-1-8g*— AÀ semper ad formam 25*— y* reduci potest. Quod si enim sumatur z—f*--2fgg — gh et y—f?— &fgg -A-gh, semper erit 2z*— y*— zz. existente z — f *-1- fgg 4- 24 ffg* — 8g* — 6f * gh. | Y 299 . L. EULERI OPERA. POSTHUMA:: iiia. ANALYSIS, qua haec rediiétió est inventa. Posito 2x*— y*— zz, debet esse - zz —pp-2-qq, yy—pp--2pq—44, tum enim fiet || 2: — qq-4-2pq — pp. Hic ergo p et q ita definiri debent, ut ax et yy fiant quadrata, — sequenti modo — potest : Cum sit : yy — ax —2q4(p—49)— (y A- «) (y — 4), jam statuatur E. agit dmt. $1 9€ 9y—2—-(p — q). Sic enim fiet yy —2zx —2q(p—4) Addantur rw quadrata, fiet ab : 3yy a- 2e — gg a- Dp — S pd-- ced - At vero ex primis formulis fiet 2yy 1-222 — pp - pq, qui valor illi aequatus et multiplicatione facta per aabb dat (04 — haabb) pp — pg (b*-1- 2aabb) -i- (0*-1-ha*) qq — 0. Hinc radicem extrahendo fit : OA PE TugonEkMa. Si fuerit ma*— nb*—5 cc, inde assignari potest talis forma: z*— mny* — zz. DrwoNsTRATIO. Posito enim ma*-i- nb*—— A, erit. AA — c*-1- umna*b*. At. in altera formula si ponatur c4 — pp --mnqq et yy —2pq, fiet z —pp— mngq. Jam statuatur p — rr et q—25s, ut fiat y — 2rs, hinc fiet ic —r*-a-mns*. Facta ergo comparatione erit z—À, r—c, s—ab, unde fil y —2ábc, 2—— c* — Mmna* b^, Hinc ergo necesse est ut fiat - Ug*— mny*— zz. : A. m. T. III. p. 129. 1314. — 98. OssERvATIO. Ut formula e fiat quadratum, sumatur . : p— aa bb c (^ 7— 44 -- bb q — 2aa — bb s — 9bb — aa . hinc pq — 3aa f $ — 3bb p—4-— 2b — aa. r — s— 2aa — bb substituendo fit formula rm — - Aliter, sumi etiam potest p — bb — 2aa r — 2bb — aa q — 6aa s — bb -i- haa hinc — p-i-q— b 2 &aa r -- 5 — 3bb | p—34-—bb — 8aa r — $ — bb — 8aa pq(pp—qg) | aa ac sibetitudndo : up Ita sumi potest p — 7, 4 —6, r — 1^ et s — 13, Ns 9g (pp — qq) — 546, rs (rr — ss) — 4914 hinc formula if : / em s-(s Y): | "€ A. m. T. 1. p. 995. — 89. EvoLuri0 GENERALIOR formulae: py(pp—39) D-—n. BMC r$ (rr — ss) ; " Hic ponatur q— o et s — t, tum vero p — vr, unde reperitur Med Fragmenta: ex: Adversariis depromta. . 323 3 uu acf Cni "oo o y—nf* Nac 547 d unde oritur haec aequatio e x! E 4 nf? ov — ——R(À 5 zt — — 0 — n8 — nB* zz -- --ee VEZ — Aug VE — unde patet 8i v — 0, fore z — -t- Le at si z — 0, tum erit 9 — AR, unde sequentes valores inveniuntur ope B / B 3,53 harum formularum 8e. meTO, we d^ az (2nB"-1- a." z) T SA ut c ff *-- 3a? z : bus ^ — nf? 4a8 — nnf* At vero si sumamus v — 0o, erit 5— 9a 7 "— "$aa3B5 ^ Quia hic litteras « et 9 pro lubitu assumere licet, fortasse hinc novi valores élicfuntar, quos praecedens me- thodus non dat. : Si ex. gr. «— 1 et 9 —2, ut sit q— d et s — 91, tum vero - P Laid .i [75001 P3 ! diis. rl - »/ A(z2-16) uus et T —-—s: erit z-1-2 —2» et VH-V — ES. Hinc sumto » — 0, erit i—Bl at si z —0 erit m. Praeterea si v — oo, erit z— —& et sequens 91 . : eec ue em uc ex quibus casibus sequentes valores oriuntur . Riu or. cM iE. cr s lia Mes qiio ua fa dif Qon Kec wy. m emp comma rta srt gam | T ow "sg 7 19 tum vero sz, dint 5 3x21, P 5" rud y—Àis z ue 35. uz porro z—0, (—— 3. z——1, v—2, z——3, RE z£——32, y—1 etc 1 "" T! p T (dads 1 Wladd Q6 L—Uu, ipae p 93' Tu Sm Casu n — 1, valores v et z ita se habebunt: 8 104 y —90, 1, 0, 1; 3" 1, 105! 1 1 : TI: 11 £1, 1, —1, 3, "T L MT. & Ma s E 8 tum vero £0, 2, Cg" 5$? v AP : 0, —2, b, ux d 4 3 -97 M 5 55 9 —1, B2 1, 55" | 1, —1, 1, 3' 1, L7 T Ux : 7 q(0085 04 7 MSS 04 77 1.19.97 — 90871 - v—0O0 "154 $'ubedü-—3i496 — 7 7 — ddBe^a (Co 163108) 7298 L-.Ài P$ | &-4—.1 m A. 153 teo. nw. Ica ^ Bu go Ita ex casu PN oce E ET valores prop, q, r, s erunt: p — 3.5.97, 4— 2521, r — 16.7.13, s — 2521, 1456 16.7.13 Mis cu p4-4—8. 7.11, p—4—2.13.M, r-i-$—14.97, r—5—3.5.71, ubi factores utrinque se mutuo destruunt. A. m. T. III. p. 143. 294 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. PnosrLEMa. Invenire duo triangula téclangula in numeris , quorum areae . | A—pg(pp—44) et. B—rs(rr— ss) datam inter se teneant rationem. scil. a:b, ita ut sit es a . Hoc problema. methodo adio frustra: tractatur, unde ad solutiones particulares cónfugere necesse e&t cujusmodi sunt sequentes : ned LI. Sumatur r —p et s—p—4, erit rd Sp— , et T npn unde fit | B-—yi—24 (2p—g) q lim ,00— ima ja oro" M b hineque.-g-mm4, cQ yrs? pota s Ben rts. Heenuo dq UwuIus Wade haec solutio nascitür.: i50 p-a--b rd dan odi q—2a — b s—42b—a. Il. Sit r —2)p et. Meist erit r-4-5 — 3p-t- et fepAu fs 1 hinc R3» (c) (3p-3-4) (p —4), ergo d ES MEOS : Cd" » c b —9a E boh s Wb erit hj 6e, indbifio 7 7 a." d quocirca capiatur : p—b—2a r-— 2b — ka q—6a. A: $—b ha. IL Sit r —2p et s— p—g, erit r-i-s— 3p —4; et r—s — p-i-q, hinc : a dox q TUM : dis p b--92a P dp—- X sicque bg — 6ap— 394, ergo Ua iet We. add quocirca capiatur pro ista solutione — p — b-1-2a - r — 2b-- ka L q—6a. : dw —^a.. TU NA ( : oT10q IV. sit r—p4-q et $— p, erit. ae peg et (714 hincque , | 2 - p—q4 Bg di i3 "c ree us 1i unde colligitur ob - pM APA a eoe ergo capiantur p-——aa- joo r—9b—a q—5b—3a $—a b. [3 roisv ,P zn was V. Sit r—p-4-4 et s— 8, erit r4a-5—p--9q et r5 9p, unde fit A »—4)44 p. 92a. ! j dme ^oc inde bp — — bq — ap--2aq, hinc. EY P. quocirca capere | p —2a--b . r—a-C-2b ) : q-—6-—a (szb—a. "- VL Sit r —p-r-q et s—2É, erit r8 — p43-34 et [reu d; unde fit 4 Ks Jr v 6 pe: 6a | Fry C" ria $. unde ob bp — : Zap-1-6ag, erit QUEE | ideoque hic : «capere oportet... p — 6a r—ka4-b q—5 — 2a 6Fosz9b—ka; VIL | Sit r—p—4q et $—q, erit r-is— p et r—s— p—2q et erit. B X ideoque "rec band hinc PL xbT D itaque ut capiatur necesse est — p-——5-1-2a C. F£z2b5--a ah É q-—a—b $— a —b. Fragmenta ex. Adversariis depromta. 225 VIL Sit r—p-—4 et s—24, erit r--s— p--q et r—s—9p— 34, hincque b ion p LL w dz- T. xe. : ? AFER 6a B 75$-6 R unde ob p — 2ap — 6a4 invenitur "Cm ESL ideoque capere oportet ben p — 6a pi—b --*ha 4—2a—h $— ha—9b. IX. Sit r—q et s—p—q, eril r-i-s— p et r—s—2q9— p, unde fit A- p*q ^a p. 9a—b (P5 h-:1 —, ideoque aes :Saq—ap, ergo 17a quocirca sumatur 4 pz2a—b: 13 b-4- asd .' IET ET T M (0$z20—3Bb. . X. Sit denique r —2q4 et s—p— 41, erit r--5 —€— et r—53—3g—p, unde Feperitut X —x C ; s ob bp— 6ei— 2ap, erit 2 Eh quo notato manifestum est, ut esse debeat ^ p — 6a r — 2b-1- ha q —b -1- 2a s — ha — b. : Has jam omnes solutiones in sequenti tabella. uni conspectui exponamus. | ' A. 4 "ar 8 I a4 b... 2a —b à-—-b 9b—a n b — 2a 6a 20—ha | ,b--ha JH. ..i:02-22,; 1,68. 120-42 «|. b—Àa IV a-1-b b —2a 2b —a a-1-b V (| 2a2-b, b—a a-a-9b | b—a VI 6a b—2a | &a--b | 9b—ha VII b -4-2a a—b 2b5-1-a 2 a—b VIII 6a 9a — b b--ha | ka—9b du TUR UIEME OE EUREN x 6a b--20 | 9b-a | hab Hic numeri p et q dicuntur genitores trianguli A, et r et s genitores trianguli B, de quibus notandum, si qui eorum prodeant negativi, eos in positivos converti posse, dummodo "majores litteris p et r, minores vero litteris q et s tribuantur. Quo observato aliquot exempla evolvamus: ExEwPLuMw 1. Sit a— 1 et 0— 1, exclusis triangulis inte se similibus, oritur haec una solutio: p—6 r—35 q—1 sz$&:2. | ExrwPLuw 2. Sit a—2 et b — 1 et solutiones orientur in hac tabella contentae Eu d. docct. Bc 1^ 3 6 «Wt 9 T QUO FHNNEEUHBIOME 94 ] ( Deletis autem iis casibus, qui bis occurrunt, sequens tabella exhibet solutiones diversas: " " G uU Q L. Euleri Op. posthuma. . T. I. 29 226 L. EULERI OPERA POSTHUMA. a-3- 2b b-1- 4a b-1- 8a 2b —a |. 3a b—8a b — a nascitur, quas igitur paribus litteris graecis insignivimus. ExEMPLUM 2.. Sit a—3 et 5b —2, OQ) c» $9 3$ "UU 0 8 8 EE Ó €». 09, à "e$ "O00 R S8 p q r 3 3 6. 0 5 1 6 n 12 3 15 9 15 12 5 10. 17 - et oriuntur solutiones in hac p q r ca: I i La E A 9 7 18 & |j | 9 2 11 ri 11 48 UU» 16 i 9 A 8 13 5 13^ p q r 2 i 3 &. 3 0 (3 3 r 1 7 5 6 3 (9 a 3b - Inter has octo solutiones quaelibet habet suam &0ociam, quae scilicet ex numeris genitoribus p-t- g et p—4 m (€ O0 Mo w ^ To b-1- a b — ha 2a —b b-1-2a 8a — b 8a-31- b ExxwPLUM 1.- Sit a — 2 et à — 1, octo solutiones ita se habebunt: 3 $ 100705 e) Ct C Qo 4 Q0 CQ m 4 om —MÓ—— —" ExEMPLUM 3. Si a— 1 et $— 1, sequentes oriuntur solutiones: 90 Ww Qo dO ow CO o o - ^ "Mw O,$ wo» wo" O8 "UO R 3 tabula expressae: Arithmetica. imdad Fragmenta ex: Adversariis depromla. 227 Si ambarum arearum productum AJ debeat esse quadratum, tantum sumi oportet pro numeris a et 5 quadrata: sit igitur a — & et b — 1 eruntque solutiones p q r s 1 5 5 9 " 12 9 ri 3 9 $: 6 3 , e pl iani pipe l & P. 3 1 y 24 7 17 m (y 31 17 31 3 à de 9 18 p 8 3 6 5 8 14 5 rr 1 | A. m. T. L p. 996 — 298. Nora EpiTOnRUM. Huic praecedenti fragmento in Adrersariorum Tomo I Patris manu inscriptum est : «Omnia haec jam redacta» (Dieses ist schon ausgeführt); cum tamen in nullo cognitorum Euleri ope- rum has investigationes detegere nobis contigerit , quae hanc ob rem et in recentissima editione Com- mentationum. arithmelicar.. desunt, «esse utique potest eas in. quapiam rarissima seu oblita collectione typis expressas reperiri. Hic saltem sufficiet remittere lectorem ad commentationem, cujus frag- mentum supra in pag. 101 hujusce tomi Opp. posthum. reperitur, et in qua idem fere, aut simile argumentum tractatum fuisse videtur. : 61. TukonEMA. Haec formula aaz*-r- bxzyy-t-ccy*, quadrato aequanda, semper reduci potest ad productum quatuor factoribus simplicibus constans, pariter quadrato aequandum. . DEMONSTRATIO. Formula proposita aequetur huic quadrato (asa - wy. 2): fietque i er ce(q3-p)a—p» — bggarze -i- ceggyy — 2acpqa -i- ceppyy , unde fit Ie EE n. . Quadratum ergo esse debet (q-t-p)(q —p) q (acp —bq). Simili modo, si radicem illius formulae posuissemus eyy -i- azx.— , prodiisset —- — pen rd " yy aa(sa-r)(s—r) quadratum ergo debet esse (s-1-r)(s— r) s (2aer — bs). Deinde, quia per utramque positionem est Mc T , &m —C$(q—p) noi sctitoa dat s -.. iba ed" wa 9. ^ apo -en)" ideoque debet esse cs (q— p).aq (s —r)— a. cr . -ConorrAnRiuM. Pro km nacti sumus sequentes tres valores: ec (q-- p) (q — p) s(2acr — bs) cs(q —p») : q (2aep — bq) ; aa (s-7) (s — r)" aq (s — r) ex quorum comparatione relatio inter rationes r:s et p:4 deduci potest. Erit enim y: smt q—p:q--p; wel erit etiam p: gm (1): n $-r. A. m. T. III. p. 136. ^ 998 'L. EULERI. OPERA. POSTHUMA. pe 62. : " — bbád PnosLEMA. Invenire quatuor quadrata aa, bb, cc, dd, ut haec fractio fiat quadratum fom gari Sorurio0 duplex dari potest: Pro priore ponatur c — ab, d — aa— 2bb, eritque ac -t- bd — 2b (aa — bb), ac— bd — 205, ad -i- be — a (aa — bb), | ad — bc — a (aa — 3bb), "^ at ergo fieri debet . 35 tum enim fiet ac-i-bd — c (cc-1-3dd),; ac — bd — c (ce-1-dd), ad-1- bc — 2d (cc -1- dd), ad — bc — 2d?, ergo fieri debet es D, sive tantum cc -i- 3dd — GB. — D, sive tantum aa —3bb — n. Pro altera solutione fiat a — cc -4- 2dd, b — cd, A. m, T. III. p. 150. 63. ) aabb — ccdd PnosLEMA. Ad quadratum reducere hanc formulam — —— --. aacc — bbdd dd(a* — ec) — a*— cc aa(cc— d*) — ec— d** .Ponatur porro c — aa — 2dd , erit. formula Soruri0. Ponatur b — ad, erit formula kar iae demto quadrato ih numeratore fii — i elis quae demto quadrato. um | VETUUSAUT ias bosi T a* — A4aadd -4- 3d*' p a — pp--3qq et dus pe erit. forma ETE hincque porro: prodit c—p*—2ppqq-3- 94*. et 0 — 2pq (pp Ar 394). Hic quaelibet positio solutionem suppeditat praecedentis problematis (*). Sit p—1 et q—1, erit a—8^, b—8, c—8, d—2. Sit pzz2 et 9 ——1, ert q—17, bz28,-—-1T, de—,. unde oritur solutio supra data problematis praecedentis. Sit pz—4 9t 4—2, ert az13, b——942, c — 131, d —. Sit p —3 et q-— 1, erit 42:19, P-—72, c— 72; d-6. Sitp—2etq—3, - erit a—31, /—2:372, c2 673," d— 12. Sequenti autem" modo praecedens problema ad praesens reducitur: Cum esse debeat a pst ps, ponatur A -4- B — ax et A— B — (iy, tum vero € 4- D— yx, C — D —0y, fiet «8 (aac -- yy) — y (yyacm A- 00yy). ibsgtQ ; L aqu j69 — «53 ie : ; Hinc oritur nm EIU. unde haud difficulter superior derivatur. A, m. T. III. p. 161. 162. (*) Resolutio hujus aequationis 4*— B*—4C* — D*. Comment. arithm T. I p. 473. 64. TuronkMa. Si fuerit .X — (a — ba)? (p — q)*4- (c — da)? (r — sac)? — nn (a — ba)* (c — dac)*, statim sex valores habentur, quibus X fit quadratum. Primo enim fiet X — (a — ba)? (p — qx)*, si fuerit c— de —0, ideoque g——, et si fuerit 1 (r—sz)* — nn (a—bz)!— 0, hoc est r—sx — -n(a—bz). Simili modo fiet X —(c— da)'(r—sz)* faciendo a— bz — 0, seu. x m—— ;tum vero si p— qc — 23 n (c — dz). A. m. T. III. p. 166. T Fragmenta ex Adversartis depromta. 229 65. o^ TugonEMA. Ut in. quadrilatero, circulo inscripto, quatuor latera a, b, e, d cum ambabus diagonalibus 2 et y numeris rationalibus exprimantur, necesse est, ut hoc productum. (ab -- cd) (ac -4- bd) (ad -4- bo) reddetur qua- dratum. Quod fiet sumtis quinque numeris pro lübitu. f, g, h, p, q, si capiatur a — (gh(qd —pp) .. b — g (fp-1-g0)* — hMhqq, c — 2fghpq-3-h (ff 4-99 — M)qq,. d — f(gp-- fq)? — Mq, tum enim erit a — f(fg(pp-1-9d) 3- (ff-3-99 — ^) pa) y —g (fa (pp-4-q9) - (ff-gg — hà) pq). Sin autem insuper requiratur, ut etiam area quadrilateri fiat rationalis, tum. hanc formulam quadratum esse oportet (a-4-0-4- c — d) (a-3-b-1- d — c) (a-1-0-4-d — D) (b-1-c-31-d — a), quod autem per illas formulas. nullo modo. effici potest. . Àt vero sequens PROBLEMA generaliter resolvi potest: Dato circulo polygonum quotcunque. laterum inscribere, cujus omnia latera una cum omnibus dia- gonalibus, atque adeo area numeris ràtionalibus exprimantur. | SoruriO. (Fig. 1.) Posito radio circuli — 1 sint arcus AB —24, BC —2B, CD —9C, etc., eritque latus AB—2sinA, BC—2sinB, CD—2sinC, etc. Tantum ergo opus est, nt horum angulorum sinus sint rationales, simulque etiam cosinus, ut etiam diago- nales fiant rationales, si quidem est AC — 9 sin (A -2- B) — 25sin A cos B -1- 2 cos A sin B. * * . ab aa - -— At vero si fuerit sin A — 2 z- ; aa 3- bb -—- bb hocque modo non solum omnia latera; sed etieis diagonales fient rationales atque adeo area, cum posito centro O sit area A4OB — sin A cos A, quod de omnibus reliquis valet. Possunt enim singuli hi anguli 24, 2B, etc. , erit cos Ae 'tales igitur formulae pro sinibus et cosinibus accipiantur, usque ad ultimum pro lubitu assumi, ultimi vero sinus erit sinus summae reliquorum, et cosinus — — cosinui summae reliquorum. A. m. T. III. p. 159. 160. 66. mee Tu EOREMA. si a fuerit numerus quicunque non quadratus, et b et c numeri quicunque ad illum primi, tum ista formula a (bbac* 4— aaccy*) nunquam esse potest quadratum. DrwowsTRATIO. Hic assumi potest numerum a etiam per nullum quadratum esse divisibilem, si enim esset a — off, quadratum esse deberet & (bb! -1- axcef* y*), ubi si loco fy scribatur y, habetur formula prior, quin étiam numeri z et y sunt primi inter se. Quoniam igitur a est factor nostrae formae, necesse est, ut alter factor bbz*-i-aaccy* etiam habeat factorem. a, sed pars posterior jam habet factorem a, ergo pars prior erit divisibilis per a, ex quo z factorem habebit a, ideoque y non erit divisibile per a. Ponatur ergo z — az, atque nunc haec forma quadratum esse debebit " a (bba* z*-4- aaccy*), seu a (bbaaz*-t- ccy*). Quod ob eandem rationem fieri nequit, nisi y esset divisibile per a, qui casus cum jam sit exclusus, formula nostra nullo modo quadratum: esse poterit. à À. m. T. I. p. 51. 67. VARIA CONAMINA AEQUA TIONIS a^-4- b^ — c^ IMPOSSIBILITATEM CASU A7» 2 DEMONSTRANDI. | 1. (Lezell.) TukonEMa. Non dantur tres numeri z, y, z, ut fiat zazy -- 2zz -- yyz z— 0. 990 - L. EULERI OPERA POSTHUMA. dMdleidios. Sumi potest numeros z, y, z communem divisorem non habere; si enim haberent, per divisionem ex hac aequatione tolleretur; interim tamen bini communem divisorem habere debent. Hinc ponatur a maximus com- munis divisor numerorum cz et y, b ipsorum zc et z, et c ipsorum y et z, atque tum bini horum a, 5, c erunt inter se primi. Ponatur igitur « — ap, y — aq, eruntque p et q primi inter se. Deinde sit z — br et z —bs. denique y —ct et z — cu, ita ut sit 2 — ap — br, y — aq — ct, z — bs — cu, quibus valoribus substitutis for- - mula nostra est: abcprt -&- abepsu -- abeqts — 0, sive — prt -4- psu -4- qst — 0. Cum autem sit a —br, sive Wy m erit p — ib, r —la; deinde ru unde q— me et t— ma, et ob. " p T a p t a € ' "i ^ €. $— nc, u—cnb,. ia ut. sit. — lab, grmieio cube; ubi notandum numeros me, ib esse inter. se primos, nec non [b et nc, et ma et nc. ^ Aequatio autem nostr hanc habebit formam: honp llmaab ——- nnlbbe -t- mmncca — 0. Hinc ergo ib divisor esse deberet membri mmneca, quod ob conditiones memoratas esse nequit. ^ 8. (J. 4. Euler.) NB. Haec donapurao non succedit. Caeterum hoc theorema huc redit, ut demonstretur esse. non posso S RS : 0 Hoc autem sequenti modo demonstrari posse videtur: y Posito - et nostra aequatio fiet di T "Inai- —(, quae forma similis est propositae... Cum numeri £, y, z sint inaequales, sit z maximus, S medius et c minimus, sive negative, sive positive. .Jam cum. sit C1 — z manifestum est fore v «7 «.. Unde patet, si terni numeri z, y et x satisfecerint, tum etiam hos y, « et v satisfacturos, quorum. y jam erit maximus, xz medius et v minimus. Ponatur. jam y — Ts eritque "eC v quare etiam hi tres numeri x, v et w satisfacerent. Si porro ponatur y, erit ! « v, atque. etiam. hi. tres v, « et t satisfacerent. Hocque modo continuo ad numeros minores perveniretur; quare cum in minimis hujus- modi numeri non dentur, etiam in maximis tales non dantur. Manifestum vero est hos numeros semper fore integros. j ) : COROLLARIUM. Hoc modo. demonstrari posset fieri non posse — -- z —Q.. Si enim r et ponatur p p y y P y - erit v «7 x, et tum prodit L— — 0, quae posito denuo x AT p uc v et "n —0, quo aiit pacto iterum ad numeros continuo minores perveniretur. ; ; : e z z : : "wy ; Eodem modo etiam demonstrari potest esse non posse dut daa — (0. Posito enim tnl (ubi « LY. ; : as à dd ^d Cte EA z i z fuerit numerus. maximus et v. minimus, w«C erit v) similis aequatio. prodit. scilicet quete PRESE ex numeris minoribus formata; hocque. modo continuo minores invenire liceret. (ow i»6] vadis Conorraniuw 2. Cum igitur aequatio vay -i- zzz -- yyz — 0 sit impossibilis, inde vero prodeat — yy Y (y* — 4a? y) 9x ? sequitur formulam y*— 4z*y quadratum nunquam esse posse. PA -. ConornLAniUM 3. Ex aequatione supra allata pro quatuor numeris sequitur VVZ -- CX ZV A yyav A- zzay — 0 -— (zcz--yyr)e — zzmy hinc ppl yz j et ficia ie a (az A- yy) 37 Y (a (ez A- yy)? — Az? yyz) IL , « 9ys unde haec formula zz (rz--59y)*— &z?yyx nunquam quadratum fieri potest. $ Rino i medina RU UT EPUN Y ENLANRE SE NRI Ea NS Fragmenta ex Adversariis depromta. | 231 Sit verbi gratia z — x et haec formula fiet ac (zi --yy)'— e*yy, vel (xm --yy)* — hey NB. Verum nostrum theorema in casu quatuor numerorum non amplius locum habet, quia utique in minimis numeris casus dantur possibiles: veluti si fuerit z — x et y — — v. Quod ergo de quatuor numeris hic dictum est, neutiquam valet. "T. ] j TurkonEgMA. Neque summa neque differentia duorum cuborum potest esse cubus. DrwoxsTRAT!O l.- Si p, q et r denotent numeros integros, sive positivos sive negativos, demonstrandum est hanc aequationem nullo modo subsistere posse: : p*2- q)2a- r*— 0. Tum enim dividendo per pqr foret B amd. nih ideoque etiam — ——— -4- —— -- ^—— —0 qr pr pq M li atque hinc etiam si ponamus ppg—£, qqr—y et trp — z, foret c . L1 r3. 4 E 343.5780. Vy z c Hoc autem nunquam fieri posse ante est demonstratum. DrwowsTRATIO ll Demonstrabo hic hanc formulam ab(a-* b) cubum esse non posse. Primo: enim nu- meri a et ) non solum integri sed. etiam primi inter se assumi possunt. Quare cum hi tres factores a, b et a -b sint inter se primi, unusquisque foret cubus, unde posito a — a?, b — y?, foret z?-- y*— cubo. Quod autem formula ab (a2 b) cubus esse nequit, ita ostendo: Si esset cubus, ejus radix statui posset — Tum ergo foret ab (a 2D) nu a TK , Nel m*ab — m?(a 3c b)* — m? (aa a- 2ab -4— bb). Hoc enim si esset, numeri a et' b forent inaequales. Sit igitur a major et b minor, et ponatur a — o eritque $35 156 c« b, tum autem foret t.c Me aa), sive ne — m) 3 9e i o) ubi 5 7 e, ergo si porro ponátur b ss, erit.c 7» d; hincque iterum. foret n? cd — m? (ce 3c 2ed.-1- dd); hocque. modo. con- tinuo ad numeros: minores. perveniretur.. Unde. quia res in. minimis. numeris. non succedit, etiam in. maximis succedere non posset. NB. Hic vero vitium ingens inest, quoniam ob numeros a et b inter se primos, c non est integer, neque etiam sequentes d, e, etc. Quocirca ex parvitate horum numerorum nihil concludi potest. Interim tamen etiam ne prior demonstratio valet, etsi enim omnes tres numeri non habent communem divi- sorem, tamen: bini quivis necessario communem habent factorem. Quamobrem ex aequalitate —qr—z£ 3 EP Ww concludi nequit, esse z partem ipsius ty, quia fortasse fractio A ad minores ter- minos reduci potest, cujus . demum denominator divisor esse debel ipsius ay. A. m. T. L. p. 51 —54. Uu ' | «8. (erelL) ! TurzonrkMA Fermatii, quo neque summa éuborum potest esse cubus, neque summa duarum potestatum quintarum potestas quinta esse potest, nec in genere summa duarum potestatum .altiorum similis potestas altior, facile ita. transformari. potest, ut certae formulae quadrata esse nequeant. Si enim a*4-0*— c?, ponatur mz-r-y — a? el m-—9-—b5, foretque .2z — a5a-b5— e? et or — yy — a*b* el —QÀ a5 5*5 M ee ar is ideoque potestas quinta, pro qua scribatur - hinc igitur foret 2 L 232 L.EULERI OPERA POSTHUMA. —— Arithmetica. A seu -— ita ut foret — à multiplicetur per Az*, fietque x5— x*yy — az*, sive x9 — kyz*5— x*yy— n. MAR Quare si demonstrari posset formulam z*— 4cy* quadratum esse non posse, simul demonstratum est formulam a*-1- b? potestatem quintam esse non posse. Si enim esset x5— hay? quadratum, ob factores x (x* — 44*) inter se primos, ulerque quadratum esse deberet. Sit rond a — pp, et e" factor p'?^— 4y* deberet esse quadratum, puta qq; foret ergo ! , : p!9— qq — y*— M5s*— (p*-i- g) (p — 9), ideoque p--q4—9r5 el p—q— 95, unde addendo foret i 2p5—2r*-1- 25?, sive pi r5 ac : b ias Simili modo formula a*--b?— c? transformabitur in hanc aéquivalentem 2^—Mey'—n. Hoc postremum theo- rema etiam hoc modo repraesentari potest, ut nunquam fieri queat a?-1- (x -1i- aj — (e -— b)*, ubi manifesto 5 7 a. ul eupié Foret ergo a? — (ay -- b)? — (a 3 aj—3 (b — a) xa -- 3 (8 — 4a) 44-3 erat demonstrandum ergo est hanc aequationem nunquam habere radicem rationalem. Ad hoc observetur, cum pole- rius membrum factorem habeat b —a, etiam x? talem —' habere debet, et perspicuum est 5 —a vel ésse . cubum, vel noneuplum cubi. ; m dértenoniotT. Hn o3 a td Sit primo fone et erit 23 iz a P (070) 8^ Pb A ab ^ ad) nou $;4e M Ponatur.ergo x — fy, eritque p 3ffyy - 3 (b 3- a) fy 3- bb -- ab -- aa, ideoque. y debet esse factor formulae bb -A- ab -1- aa. | Sit secundo ^ b—a-—9f?, et ultimum membrum fieret (ob à — 9f?--a) vict ^o929^ un p 93 f*-1 3,9*af5-41- 3.90 f*— 27(*(22f* 4 9af*-- ad), 5 ss e so Hl unde fit à? — 27f? zx -- 21? (b -1- a) x a- 21f? (27f*-- 9af* -1- aa). Ponatur 2 — 3fy, erit y! — 9ffyy a- 3fy (b i -- 27[5-1: 9af* 4— aa. Pro utroque casu limites assignari possunt; pro priore enini manifesto: est y 7» 3ff , et pro altero y 7» 9ff, qui limites sunt nimis parvi; nimis magni autem hoc modo reperientur: Consideretür aequatio in;genere ^^ «^ - y'ssagy -3- Byci-r. aoq nbu wobei ubi c, f, y sint positivi; ac primo erit y 7 «; deinde cum sit yc gigi Po 4-7 0g in membro posteriori loco y scribatur «, hoc membrum fit nimis magnum, erit ergo yc ua. Ls eos ponatur hic limes cd ut Sit y — A, eritque vicissim ya aL. ExrEMPLUM. Sit pro casu priori f —1 et a— 1, erit 5 —2 et z—y, hinc y^—3yy 4- 9y24- 7, ubi statim y 7 3, hine y 7, hine y iz, y« 5. radix ergo rationalis deberet esse 5, quae cum non sit divisor ultimi termini . ..... pag. 93. 94. 4. (W. L. Krafft.) | wM.OND , 1257 wa TE PnosrtEMA. Invenire numeros x et y inter se primos, ut formula x*-1- ny? fiat numerus. quadratus. |....:5 SoruTi0. $i hi numeri non essent primi inter se, quaestio foret levissima; positó enim z-—pr et y-—qr, formula nostra prodit r?(p*-1-n9*), quae aequetur quadrato r*ss, ita ut hinc statim fiat ELSE et ye i nid $ icd rILLUUM. , unde fit z— qmm Fragmenta ex. Adversariis depromta. 233 Quod uti est fieiftinsue ; ita casus, quo € et y sint inter se primi, maxime est difücilis. - Fofmulae istius — —1--yY —3 UEweR , tum lentia. radix cubiea erit «c. Hinc formulae nostrae z*-1-ny* alius factor simplex erit a--oyYn, ac tertius simplex est a 4- yVn, et si & denotet unam radicem cubicam unitatis, ita ut sit &à?—1, quam constat "— 20€ ita ut formula nostra futura sit productum horum trium factorum (z -- y Vn) (x - og Vn) ( -- any Vn), qui singuli factores reddantur quadrata, hoc modo, quo statim patet, si unus fuerit quadratus, etiam reliquos fore quadratos. Posito enim 2 -- yYn — (p qYn 4- rVnny, per naturam rei fiet Qd oy Vn —Iíp-- oqVn -4- aarV an)? et zx-- cay Vn Lp aaq Vn u- ar Vn). Productum ergo, quod est x*-1-ny?, etiam erit quadratum, et quidem rationale, quippe cujus radix erit p? -— nq? -- nnr? — 3npqr. Tantum igitur opus est, primam illam positionem supra datam evolvi, ex qua consequimur | g -- JY — —ppu- 2pqVn -- .9pr Van a- Digys: arr Vn-A4- qq Yon, unde statim sequitur fore cm pp 4- 2nqr, y —2pq-r- nrr. Praeterea vero esse oportet 2pr-i-gg—0, unde r — xd Sumatur ergo p — 2aa et r— — bb, x2 q—42ab, Ld E consequenter valores satisfacientes sunt «c —ha(a?— nb?) et y —b (8a? — nb?). - Aliter. Si ponatur p — aa et r — —2bb, erit q— 2ab et x — a (a? — 8nb?) et y — b (a?)-1- nb*), ubi a et b pro lubitu assumere licet. | ExrwPLUM. Quaerantur duo cubi inter se primi z? et y?, quorum summa fiat quadratum, cujusmodi quidem statim sunt obvii 1 et 8. Hic ob à — 1, erit c -—a(a*—8b?) et y — ^b (a?- *). Sit a— 3, 6 — 1, erit z —57, y — 112, quorum cuborum summa fit quadratum, cujus radix — 1261. Sit « — 2, b — —1, erit x — 32, y — —28, sive 2 —8, y — — 1. In hac tamen solutione, etsi generalis videtur, casus quo x — 1 et y — 2 non continetur, cujus ratio sine dubio in eo est quaerenda, quod hoc casu numerus ^ ipse sit cubus, ideoque irrationalitas evanescat. Quod clarius patebit ex wi gros | ME directa, nam ut x*-1- y? fiat quadratum, ponatur z-- y — p et 2—-—15, LS. , unde fit u —— t sit 2— 3 et y— e p*--3pqq — (ppa- 3qq) p- 3 SMEEN SL Aum soyesbi cw quae formula ut reddatur quadrata, debet esse p (pp-1-344) quadratum, «unde si hi duo factores sint inter se primi, uferque factor quadratum esse debet. Posterius vero tantum locum habet, si p divisibile sit per 3. Hinc duos casus evolvi convenit. IL Sint hi factores inter se primi, atque ut pp-1-39q fiat quadratum, vidimus sumi debere p — ff— 39g et q—2fg; at vero ut et p fiat quadratum, capiatur f— hh --3kk et g — 2k. Ergo solutio hinc nata erit Mt 483 E. GAME 1-199932 OA — A3 k — Ghhkk — 19Ak?- 9k* oz 9 , ^ MN g e L. Euleri Op poshuma, T.I. 30 934 .L. EULERI OPERA POSTHUMA. | poc IL. Sit p —3r et formula nostra erit r (3rr -4- 44); fiat igitur q — ff— 39g et r — 2fg; fiet ! 3rr 4- qq — (ff - 399)". Jam ut et r fiat quadratum, sumatur f — 24 et g—kk, ut fiat r—A&Ahkk, ideoque m et jM 3i*. Sem If At vero etiam alia -solutio pro hoc casu locum habet, ponendo q— —7;— et r— fg; tum vero etiam f — Ah et g — kk. Si h——1 —R, erit f—1 elg—1, hinc q5—4 seco 4, JU £2 et y—1, qui est casus cognitus. | vida TN 4 4 SEE. et roc hikk, p 3M, A In genere autem q — 2 S ;*-e 6MAER — A* 2 6Mkk — 3k*a*. — y x 4 ; Supra observavimus, ut foret d*-a-D— $9, fore quoque z*— zz! — C et vicissim. ' Cum ergo quadratum esse debeat 2 (x5—/z?), unde uterque factor debet esse quadratum. . Reddatur primo posterior 2*— 4z? qua- dratum, pro quo casu est &»— — ^, unde colligitur. & — a (a*-4- 320?) et y — Ab (a* — 45?). Ut ergo et c fiat quadratum, debet esse a (a^-1- 320^) — r1, ergo uterque factor deberet esse Q D, ideoque a*4-320*— 0.. Loco 2b scribamus —«c et formula erit a(a?— 4c?); quocirca si in maximis numeris formula c (23 — ht) esset D, hoc modo ad aliam similem formulam deveniretar a(a*— c?) etiam quadratum, ubi numeri a et c manifesto multo forent minores, quam illi x et y. Deinde ex his « et c simili modo deduceremur ad alios multo minores, puta d et e, ita ut similis forma d(d'— 4e) esset Ci et ita porro; unde certe proditura esset in minimis numeris talis forma quadratum; quare cum in minimis numeris talis forma non detur, ne in maximis quidem talis existit. Casus autem obvius, quo e—90, hic nullam facit exceptionem; ad eum enim perveniri non potest, nisi jam in "a prima forma fuerit z — 0, id casus ne in quaestionem quidem cadit. 4 PnosrLEMA. Reddere formulam raa cubum. Sorumi0o. Statim menifestum est, ad hoc statui oponen z 4-yYn — (p 4- qVn 4- rV any; tum enim ipsius formulae x*-r ny? radix cubica erit pa-ng?^A-nnr? — 3npqr. "Facta autem evolutione reper P4. -- 9ppq -- 3ppr -- Ónpqr — -- 3nprr Vn TS 3pqq à; Von | -4- n4? -- 3ngqr -r- 3aqrr | -r nar? hinc | oj ze T 6npgr -- nq? 4- nnr? y — 3ppq -- 3nprr 2 3nqqr Q — 3ppr 3- 3pgq 3- 3nqrr, —gq3-Y (q* — dr) ex qua* aequatione fit pc : ^ unde quadratum esse deberet formula qíg*— 4nr?), ideoque uterque factor seorsim. Sit ergo q — ss debetque esse 5"— lnr* — Lr —tl,. sive. s? — 1t — hnr'— nf*9?. . Fiat ergo. s*--4 — 2f*. et. s? —1— 2ng*, unde. oritur - s*— f*-- ng?, quae formmnla similis est ipsi propositae, ubi.litterae f et g sine dubio multo sunt minores quam c et y. Quare si in minimis numeris talis casus non datur, ne in maximis quidem dabitur. - ani . P. 99— 103. 5. (Lezell.) | ' Ad TnuronkEMA Fermadii supra memoratum, quo aequalitas a Aa g— c^ locum habere nequit "praeter casus 4— 1 et 4 — 2, reductio ibi tradita hoc. modo. facillime obtinetur: Si esset c À— a^-4- b^, foret Fragmenta ex Adversariis depromta. 235 c*À — ka? b^ — (a4 — 0^ — n, ideoque pro ab posito d, talis formula c*^— 44^ deberet esse quadratum, cujus igitur impossibilitatem ostendi oportet, praeter casus 4— 1 et 4 — 2. 4.—a^ deducitur ComorranruM. Simili modo ex formula p^-——c b2^-4- hc^ a^— (c^ 4- a^*— n quin etiam 24 4c? b^— n, quae ergo formulae. etiam. sunt impossibiles. Demonstratio.pro casu saltem A4—43 ita tentetur: Cum sit. a*-1- 0? — c?, erit (a-4-0) (aa — ab-4-bb) —c?, quos factores ut primos inter se spectemus, cum casus, quo divisorem communem habent 3, nullam novam difficultatem implicet. Sit igitur uterque cubus a-1-5—p* et. aa — ab-1-bb — P?, fietque c — Pp; tum vero erit p*— P? —3ab, deinde ob 53— c?— a*— (c — a) (cc-1- ac-1-aa), fiat iterum c—a-—q? et cc-r-ac-Ai-aa — Q?, fietque b — Qq. et. Q?— 45— 3ac, denique ob q3——c5— p3— (6 — D) (ce-t-bo--Db) sit e— b—r? et cc-t-bc-1-0b — R* unde a — Rr et Rà — rh 3b. Introductis igitur litteris p, q, r et P, Q, R, ob c—Pp, b—0Qy et a— Rr , sequentes conditiones sunt adimplendae : L .— p*— Rr 2- Q4, H. g$-—2Pp—Rr,. HI. r'—Pp—Qq, IV. P*'—RRrr— RrQq-34- QQqq, .... V... Q?— PPpp A- PpRr 2- Rr, VL. R— PPypp 2- PpQq 4— QQqq, quibus praeterea adjungere licet VIL*—P —30gRr, — VH Qi—4*— 3PpRe, — IX. R'—r— 3Pp0r. Denique etiam notasse juvabit Q?— P?— (e — ) (a -He-9 b) — (Pp -- Q9) (Rr -- Pp— Qq). Totum ergo negotium hnc redit, ut in his conditionibus contradictio detegatur. p. 113. 6. -TInkonkwA DEMONSTRANDUM. Non dantur plures quantitates rationales veluti A, D, 6 D, etc. quarum summa A -i- B -À- C 4- D etc. per productum ABCD etc. multiplicata producat unitatem. Sive si hoc signum —— - denotet impossibilitatem aequalitatis, theorema hoc complectitur sequentes formas: L-AB(A--B)-r1, 1L ABC(A--B-a-C)-r4, — HL. ABCD(A-i- Ba- C2a- D) c1, ete. Hae formae etiam ita. exhiberi possunt porum 1 E. 1 I. A-r B gs II. sueco oT dd III. A -r B -- C D -- Ayo etc. Hinc si postremae formulae fractae referantur littera O, sequentes formae sunt notatu dignae: L A-rB-:0 existente ABO — 1, - IH. A--B-r-€-—0 existente ABCO— 1, HI. A-—- B-1-C-- D 3:0 existente ABCDO —1, etc. Porro quia litterae A, B, C, O sunt fractiones, si ponamus b AL. B-—-—-, C——-, etc. sequentes habebuntur relationes impossibiles: a b c a b [] d a b. c d e I pu, I dnahrue. de ichr 2 Hl Ich oh : : At si hujus theorematis demonstratio haberetur, inde facile sequentia theoremata demonstrari possent: TuxkoneMA l.. Summa duorum cuborum esse nequit cubus, sive p*-r- g?—: r?. 236 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Arithmetica. DrwoNsTRATIO. Facta divisione per pgr, ut habeatur dps ds » Sive A-- Bal. quod cum impossibile sit, deem : pp . * i ubi si faciamus eoim, 9S —B, erit. AB P i pr rr "U hujus theorematis veritas est evicta. TuronrwA Il. Summa trium biquadratorum biquadratum esse nequit, sive p*-i- q*4- r*— s*. DrwowsTRATIO. Facta divisione per pgrs habebitur g? » s? qrs — prs — pgs — pqr A ubi € 0 ubi manifesto. est ABCO — 1: Quod cum sit impossibile, etiam hoc theorema est demonstratum. TukonkwA III. Non dantur quatuor potestates quintae, quarum summa sit potestas quinta, sive p*2- q5-- 52i $57 05. DrEwowsTRATIO. Facta divisione per productum pqrs? et comparatione cum superioribus litteris 4, B, C, D, O instituta, hoc modo qrst ^ prst — pgst — pqrt — pgrs ; ——- A-- B--C--Dz0 E: hic statim apparet esse ABCDO — 1. Sicque etiam hoc theorema est demonstratum. TuHronEMA GENERALE. Existente » exponente potestatis, non dantur n — 1 tales potestates, quarum summa esset similis potestas. | ComorrtAnruw 1. Hine multo minus » —2, vel n—3, vel n— &, etc. tales potestates dantur, quarum sunima esset similis potestas. Hoc érgo modo theorema illud F ermatii in multo majori extensione adeo esset demonstratum. e... | 2i ConorraAniUM- 2. Quia potestates impares aeque negativae ac positivae esse possunt, litterae illae p, q, r, $, Sive A, B, C, D utcunque ratione signorum variare poterunt, id quod hoc modo referri potest: 7 L x»p'4gt s. E. pUkg'u umo unndrpo we ConorLAniUM 3. Hoc autem nullo modo valet pro potestatibus paribus, quoniam -—p* non est potestas quarta, unde hoc theorema non ad hanc formam debet extendi: p*-i- j*— r*— s*, quandoquidem statim in oculos incurrit casu. q —r hanc aequationem subsistere non posse, quemadmodum modo supra vidimus talem formam revera resolvi posse. | Huic fragmento manu J. A. Euleri inscriptum: ' Hujus autem falsitas infra fusius ostendetur. pag. 115. 116. 7. Ecce quatuor numeri, quorum tam summa quam productum unitati aequatur: unde superior illa conjectura omni fundamento destituitur. PnosriEMA. Invenire quotcunque numeros, quorum summa multiplicata per productum producat unitatem. Fragmenta. ex Adversariis depromta. 23'1 1. Si desiderentur duo tales numeri, ut sit ab(a-1-?) — 1, ponatur a — «b eritque ab*(z -1- 1) —1, sive b? —drp' sicque «& (x -*- 1) debet esse cubus, quod fieri nequit. 2. Si tres desiderentur numeri abc (a 4- b -— c) — 1, ponatur a — « (b -1- c), ideoque a--ba-c—(12-0) (04-6), ergo c (z-4- 1) bc (0 1) — 1. Nunc ponatur b — fc eritque (b--ej*—ee(1 2 B)*, ideoque af (a-1- 1) (84-1)! &— 1, sive. A — af (a - 1) (9 2- 1. Sumatur « — 86 4-28, et debet esse 1 T 1 p dd 7 (8 4-2) (8 4- 5 sive e (Ba-1) — (8 4- 2). - E - E Sit 8 — pp —2, unde ean PP p—2*. ergo eB 3 — —p (pp— 2), quod fit quadratum L si sumatur p —2; tum enim erit ibep—25 deinde ]Bx2.4-4. 02 x b— 3» a— ^. QConsequenter tres numeri quaesiti , b 5» quorum summa est HM et productum. 93: Deinde $ : . 1 49 p(pp—2) fit quadratum sumendo p Erit enim p (pp p —2)—4- ie hinc ES ure d porro 8B—1ig zs 9E oes 915 a eS aeiique e 49.91.8 7.37 ergo tres ioderi: Nia n. baedon as ato eed ioneddUP oup emo sadi XM eic VEA. omixun T T: 33 os. 05. 65? 91.32 gr 33 productum - TT LR AL1A SoruTi0. Sumatur B-—p -—1. ut fiat E —a (c1) (pp—1), jam sumatur c —p —2, unde 1 —(p—3) (p-- 1) (p—1)*, statuatur (p—2) (p-i- 1)—(p-i- 1)*gg, unde p—2 — (p -i- 1) gg ep, di 1-2-9qq 1. 39122 : | p--1 — p—1-— Lig ideoque Vies A Superest ergo reddi quadeatum 34(1-31-299), quod 1 , 1 : manifesto fit sumto q — 3 hinc wo Wh pacQ. wze4, Bew—8. e—-g» ergo tres numeri sunt a-— b—3. eum $ quorum summa est — 3 et productum — $ Deinde solutionem praebet positio 1—3 Aliter, sumto statim «& — 1, fit aj 38 (8 4:1)*; sumatur f — 9pp, fiet r dp — — 2p (2 1); tisfacit p— 82. | phe p (2pp-3-1), cui » isfacit p 3. Si desiderentur quatuor numeri, ut sit. abcd (a 4-0 -4- c 4- d) — 1, ponatur a — G (bcd), b — 8 (c-t- d). et c— yd; unde b—B (y 3-1)4, a— «(8 -1-1)(y-3- 1) d et summa omnium (c -3- 1) (B -- 1) (y 4- 1) d, Ti Wem vero ay (B - 1) (y A- 1? d*. ee ergo 'esse «y (t -4- 1) (8 - 1)* (ra d dil. Sumatur y-—f eritque «88 (a3-1) (8-34- 1d? — 1, ideoque (g-- f d — oen " : PESU . 3 o. a (ai 4)* aa (a-4- 1)? Sumatur porro (89-1) d—— D fietque &! m—ÀÓ53a- i B-——3ádá—. 2 ubi « et k pro arbitrio sumi possunt; tum autem habebitur p-2€er9. hinc - 238 . p. EULERI OPERA POSTHUMA. drimatico. khi (cc o eaae 1)? "chup pec nes T cp TSUNIERIE NU IH a-—a (8 4- V) (y 4- 1) d. & otpoia. e " : 9 " ExkMPLUM. QCG-1, kí, erit 8 — — y, d-t sro 2, a. dKiomdiisiidnt dius : 5 9 46-5 "c : Xin meri sunt: 3" 2, 5" 10 sale summa est — 5, et "mm —L. A. Si desiderentur quinque numeri, ut sit abcde (a -4- b -- c -i- d 4- e) — 1 ,- ponatur d—0e, c—y(0-1-1)e, b — B (y 3-1) (8 4- 1) e, a— à (B 1-1) (y -&- 1) (8 4- 1)». Hinc summa omnium — (c1) (84-1) (y3-1) (01-1)e et productum oy (81-1) (y-i-1)* (84—1)*e5, | ' ergo &8yO (o - 3) (B. 4- T)? (y A- 1? (--1)56—41. Sumatur à—48. et y—pp—41, erit c68(pp — 1) (c1-1) pf (8-4-1)9 e5— 1. -- Sit p(g-i-1)e— eritque aff (pp — 1) (z-4-1)—4*. Fiat (x41) (pp—1)—«gg, inde mi ERE o fq—k, k? " Nt k? e A4 T i bep ergo 9 — E. Sit p —2 et 42-2, hinc & —3, 0 — vu Ponatur k—2, erit B—-—39, e—3 d—-7, RS Ces a —'; consequenter quinque numeri 7 2 M nes guest uorum summa ési — "g ro- B Au - — T Ug" oatar! det 3 TUR ductum omnium E. : 98 Lj x Conjectura igitur supra proposita maxime fallit, ita ex casu ultimo, quo volebamus demonstrare non dari quinque potestates sextas, quarum summa sit potestas sexta, tum demum. demonstratio haberetur, si ostendi posset, quinque illos numeros a, b, c, d, e nunquam ita definiri posse, ut eorum quilibet, "per quemcunque reliquorum divisus, praebeat potestatem sextam. Si igitur demonstrari posset omnes has fractiones a a a a b! "WP PP 35. e non esse posse potestates sextas, tum simul] demonstratum esset, non dari quinque potestates &extas, potestati sextae aequales. 8. (J. A. Euler.) Ad casum superiorem secundum pro tribus numeris, quo formula a o8 (a -A- 1) (B -4- 1)* debet esse biquadratum, sumatur 9 — Lc («-1- T), eritque formula 2 "IPTE 215 Mh : du 1 hao (03-1)? (2a. 4- 1)* — a ergo 2a(a-4-1) (2a -4- 1? — s sve 2c (a 1) — En Debet ergo 2«(«-1-1) esse quadratum. Ponatur ergo 2« (x -4- 1) — aopp, erit —À 4 hincque fit h LN . amu 1 ap perum ^p oed d 2 (p —2»* Gap p— 3). — o(Ra--DP'. ^8? 9-9 educ) "cümo-iio DiSq "AMORE Porro 6 — Gtpr unde tres numeri ies pp-e-2 4p (pp —2)* vig n. v y Poe nd ucl p(pp — 2) j pp 4-2" T p(pp-1-2) ExrwPLUM. Sip—2 fita— APO" aene d Summa 5-3, productum — 1. a^ $ 6 E 3 Eodem redeunt sequentes solutiones | | : Kragmenta ex. Adversariis depromla. 239 Sk rmS 1. — Gu —1y -» et g—?2kk, sive B—3 por (348—141) ——. 78K 2. ó—gauci) € Bu Su o j£we B— aui Nam si fuerit « (a -- 1) B (B 1 1)*— biquadrato,, casu 9 —b, tum erit etiam casu 8 — L- 3. Si krz(mrzxz--")-— tU casu xa, tum etiam erit quadratum casu p. PnosrtEMA Invenire tres numeros p, q et r ita, ut formula (pp — qq)(qq — rr) fiat biquadratum: veluti evenit L 5ip—ó5l, ne e £z; n si p— 15, q—13, r—11; Lsip—29, q—25, r—23 Hic notasse juvabit ex casu quovis cognito facile erui alios, scilicet / / /, p-—p-r2q—r, ^q—p-cr,, r-p—92q4—r, sive etiam p —p-r-2q4-r, d— p—f rn— p—24-5cr. Hoc problema facillime ex praecedente, quo numeri illi a, b, c sunt inventi, resolvitur. Sumatur enim q—a-r-b et p Y (gg) et r—a-—Lb. 17 1 ExEMPLUM. Sumto PER ECL erit ^edgy DESRLIE rz BUNC Gi sive p—19, g 3 g 4t pr—Yg 4—11 e P — f; Mine alii erseer p —52, q — 90, r—16, sive - | 2covcqo pea 043 —5, rk, vel etiam. p—5, ded r— 15, sive E p—921, q—9, I—4. E 28k | (235 18 Ex solutione generali sumatur a — 9t (i-e 3) et 5 — Bk (kkca-3)'" fietque 200 (Ma-23)* 0 B—19H-4 (kk-4-9)* a 2021-2* (Hka-9) — — sdRe3" ^ 03-43) ^ P V AM * Qk—3) jb vel p — (kk 2 2)*, 'q ak 9) (a a 95 r—üu— 2) (k 4 — 19kk -- 4). ANALYSIS, qua haec. so]utio innititur, ita se habet: ' Inventis ternis numeris a, b, c, ut supra, sumatur q—a-4-b et r—a-—b et p —a-- b -- 2c; tum enim fiet pp.— qq — heci- he (a 4-0) zmde(acb-e), at qq—rrohab, ergo (pp — q9) (qq — vr) — 16abc LU cc Hinc porro colligimus p '— 2a 4- kb -1- 2c, vel 7 , p—a--2b-ec, g-—a--e, r-a—e, vel etiam — p—2a-4-b64-c, | q—b--c, — r'—b— c. ALIA ANALYsIs. Loco a, b, c scribantur -, c et —, ut debeat esse ayz (t yr z) — s*. Jam fiat primo s*— (x 2- y -- Z*pp, eritque zy£ — (x -4- y 2 z) pp, hinc' ILQt9. d rd-J--£— 9 PS ergo s; — Pe) ay — pp ay — pp Ty—pp — 240 - | .L EULERI OPERA POSTHUMA. BS os Ponatur porro z — "qq et y — nrr, fietque 2 .. n? qqrrp (qq-4-rr) sive; 2 "P (rrr) ^ nnggrr—pp ^ nnggrr ^ mnnqqrr —pp. Ponatur nunc anqr — p — k (qq -4- rr) eritque p — nqr —k (qq -4- rr), ergo $$. mnngr—nk(qq3-rr) — n(k(gq-i-rr) — ngr) nnggrr. — k(9ngr—k(gg-4-Tr)) ... k(k(gq-4-rr) —9nqr) $$. ":qqa-rr—92qr |. (q—7)? nnqqrr — qq-A-rr —Aqr —.qqA-rr — Aqr. Casus L' Sit & —92k, erit Sicque quadratum esse debet qq aA- rr — qr, cujus radix ponatur 13-Ir, ita ut fiat mr x qa p vel. ggr. — ggg — 2fgg -- ffr. vel — (gg—ff)r— (kg -.-2fj q, sive $ — 29—T r .— Agg-3r-9fg Sumatur ergo q— gg —ff et r — gg -4- 2fg, eritque : s (é-—H* s dl. o v ang e MM ME 9k (gg—fr) gg ^- 9) (3gg-1-ff -- 9f) pn —— — L— M t — . mam (og py ? Quiieoque" ues pef SUPCR 3 s 99 3- [I Afy g g ne Quocirca erit p — 9kqr — k(gg-i- rr) — — k(q—r)*, ideoque x — 2kqq, y —krr, z — oss S4 s. qq--tr—gr. kkqqrr ^ — (q—rT)? Casus II. Sumatur » — E, erit Sit Vg i-r —ar) —42- Ir. erit 9f "T : Qo 0gg-—-fm —qr— ea M l ggr— ggq — 2fgq-- ffr, hinc -* — Mong mU dat iR MN TN PUITS E Sumatur ergo 4 — gg — ff et r — 9g -1- 2fg, ita ut sit MH 9g 3- fg -- ff E ou 9. 878 0-4. : nos a c ET ob hincque erit p—kqr—k(qq- rr), vel p — k (gr — qq — rr), indeque y — krr, x —kqq, onm. og CEP -) ss , pa 3 y) ERES ALiTER. Cum sit s$— "o wipes per cy, eritque acepto Sumatur Py "Her 9zy (z a- y)? : i (ipe m P a Superest ergo. ut. 2xy fiat quadratum. . Sumatur « — 244 et y — rr fietque : T 4qqrr(2qq--rr)* — , '9gr (29q--Tr) ; Aqqrr $8 ——c —— B L—— (29g — 755:- ideoque s— drca hincque p roe . : : ( (9gq 2- rr) indeque — z—2gg q— aem ap Om m. 1 Ie qmm o TOR pp ^ (2qq — rr)* ? L 9.3.290.17 " ^ 2 ExEMPLUM CASUS PRIMI. Sit 9 —2 et f — 1, erit 0——Àd q—3,7—20, p —17T*k, 2—2.9 k 818. 1744? 9.AT4k j | d | 5— 499.137. "9. 5 43r 5 hine NNUS, 3.13 II. TUN Lf 1? 7 * 2M ue fe deiiüos adus A RE m y. 13.17 quorum productum est 3.39 9t summa . . . . falsa! Fragmenta ex: Adversariis: depromta. 211 9. QN. Fuss 1.) TENTAMEN DEMONSTRATIONIS THEOREMATIS FERMATIANI, quod esse nequeat z"-41- y"— z^, statim ac n superat binarium. Pro casu n — 3 res eo redit, ut demonstretur hanc formulam ab(a-1-b) cubum esse non posse, ubi a et b sint primi inter se. Ponatur ergo ab (a-1- b) — x? eritque ^4a*b -1- haabb — haz?, sive (aa -- 2ab)? — haax*-4- a*, unde aa -- 2ab — V (haa? 4- a*). Quoniam hic x et a ,Ron, sunt-numeri primi inter se, sit d maximus eorum communis divisor, ac ponatur a— dp. et z dz sicque petz erunt primi inter se, et quia a et b etiam sunt , primi inter se, erit quoque ) primus ad d et p, tum igitur erit 2dbp -i- ddpp — di V(pz*-1: p*), ideoque "V(pz*a- p*)2- P c. pp. Erit ergo - I numerus integer. Quia ergo b primus ad d, necesse est, ut F sit integer; ponatur ergo p— dq, erit V(kdgih a- d*4*) — 2bq -1- ddqq. Unde quia radix factorem habet g, at z ad q primus, necesse ut d habeat factorem. Sit ergo d—qr eritque V(hqqrz*-- g*r*) — 2bq -- q*rr,- seu. V(hrz?-a- qr*) — 2b -- q?rr.— Sicque erit r factor quantiíatis post signum, dum alter factor est 4z?-1-g^r?, unde necesse est r— DO. Sit ergo r—ss, erit. Y (Az*2- qi5)——-- gs. At vero rs numerus integer esse. non potest, unde patet aequationem nullo modo subsistere posse. Sicque impossibile erit, ut sit ab (a 4- b) — a5, neque ergo unquam esse poterit a? -4- b?— g. Facile autem patet, hoc modo rem de altioribus potestatibus demonstrari posse. Verum haec concipsio Ju maxime est incerta, cum fieri posset tam s — 1, quam 's — 2. Ceterum theorema Fermatianum huc redit, ut demonstretur nunquam fieri posse, ut haec formula 1 -i- kz", vel etiam 1— lkz" unquam evadat qua- dratum, simul ac exponens ^ binarium superaverit; hic autem 2 omnes numeros rationales tam fractos, quam integros significare potest. Reducatur enim res ad numeros integros, ponendo x — A ry?" 3-Ap"q^ — n, cujus radix statuatur r"-1- 2v, ita ut v primus ad r, erit et formula evadet r?^ a. 49^ g^ — p?4- hor" 3- hw, unde erit pos Ar sive p"g"— v (r^ 9), , qui duo factores sunt primi inter se, unde uterque debet, esse potestas exponentis ». Capi ergo poterit v— p^, tum autem erit r"-1- v — q^, ideoque r^-- p" — q^. Quare si haec formula 1 a^a" fuerit impossibilis, etiam impossibile erit ut r"-- p^— q^. i 1 A. m. T. II. p. 161..— 10. (J. A.. Euler.) : 3a* — b* ^ 9 " Ut fiat 2*-1-,*— tj, sumatur z--y--3aabb, »—y-— Summae vel differentiae duorum cuborum, ; quae sint quadrata: | L 2'w-£—3*, 0L 8'-7—13*, — IL 6554-56'— 676, — IV. 79— V7 — 5897. Ant i * - v .$ 11. (Lexell.) - V.., 31? 11*— 228*, VL 71:— 23*— 588". Proposito problemate, quo quaeruntur duo cubi inter se primi, quorum summa z5-4- y? sit quadratum, m casus sunt perpendendi, alter, quo ambo numeri x et y sunt impares, alter vero, quo unus par, alter impar. L. Euleri Op. posthuma. T. I. 31 212 L:EULERI OPERA POSTHUMA. | | Arithmetica. Pro casu priori erit x—a--b et y—a-—b, numerorum « et b altero existente pari, altero impari, hinc autem fit 23 -4- y — 9a*-4- Gab — 2 (aa -i- 300), ubi iterum duo casus occurrunt: prímo vel 2a el aa-i-3bb sunt primi inter se, quia aa-1-3bb est impar, ergo uterque factor seorsim esse debet quadratum, unde patet a esse debere parem, b vero imparem; ponatur ergo . 2a — cc, et quadratum insuper esse debet aa-1-30b — Ac*-- 30b — C1, quod facile fit; vel secundo 2a et aa -4- 30b communem factorem habere possunt 3, quod fit si a sit divisibile per 3, existente a pari; sit ergo a — 6c, fiet 12c (36cc-4-305) — à, hine Ae(12cc-4-b0) D. Sit ergo c — dd, fierique debet: 12d*-&:05— ri, quod facile fit/2- Pro posteriori casu poni debet piiem et jtm, ubi uterque a et b impar; tum igitur quadratum esse b " » 'íi ud War s dii o debet mr emn, sive a(aa-31-3bb) — rà. Hic iterum vel a non est divisibile per 3, vel divisibile per 3; illo casu sit'a— cc, ideoque c*-4- 30b —:, hoc vero casu sit a— 3cc,. unde 3ec(9c*-1- 350) — à, sive 3c*-i- bb — 8. ü -: À. m. T. I. p. 199. 12. (N. Fuss L) b | i2 amerojogi Si esse ta*—5*-1-c?, foret a* —45? c*—(p* —c? )". Hinc ergo si demonstrari posset nunquam esse d si md theorema foret demonstratum. Quoniam igitur haec forma a $ Aq? continetur in hac A*— dp", etiam ejus radix quadrata similem formam habeat necesse est, quae ergo sit pp — dqq. Ergo AUS — pp- p? L— —p A Th "Hine prior factor p debet esse cubus —r*, et alter factor r?-i- 7? pariter eub. Unde si foret 0? — cub, i03 alius casus hinc deduceretur r?-- q? — cubo. À. m. T. LA TM dMdiounio. noy dits ooinodliell. Maja iumvie aoTpS9id OsskEnvaTIO circa theorema Fermatii, quo-affirmat,-hanc aequalitatem a"-41- b"— c" semper esse impos-- sibilem, simul-ac exponens n excedat binarium, cujus .autem; demonstrationem nemo adhuc invenire potuit. .... Reduci potest ista forma ad formulas, «quae quadrata. fieri debent. Multiplicetur enim formula proposita per ka" et utrinque. addatur b?^. prodibit | ; mr NDS (2494: ny? 2 4 qnem Ac troie qom, iin iolosk oub "iup Simili modo erit 45" c"-4- a?" — A44, item c*" — 4a" 5" — CC. "Totum negotium ergo eo redit, num impossibilitas harum formularum ostendi possit. Ceterum apparet sufficere; casus examinare, quibus n 'est Humerus primus; nam si a"--)"- c", erit etiam a^^ 4-52? *7-e^^, Bicque n spectari poterit ut numerus impar; tüm auiem formula a"-4- 5" factorem habet a-1- b. Debet ergo etiam esse a-i- b — p^, similique modo c—a —q" et c—b — r^, Quod si ergo hae córiditiones -eum' praecedentibus conjungantur, impossibilitas fortasse. facilius ostendi poterit. Non solum.igitur ostendi .oportet. hane formulam, 44"c"--.2*" non esse posse quadratum ita, ut simul a-4- b — p^. D | Pro casu a — 1 et b —41 fit illa formula &c^-4- 1 — 3, quod in integris nunquam evenire posse ita ostendo, - quod quidem manifestum est si n est par. Pro imparibus autem statim patet c non esse posse numerum mparem. Sit igitur par — 2d, erit formula 9"--?q^-,- 1, cujus ergo radix esse debet [a-2^— 4, Q^-F*qn- 1 — 1 4-2^7*? 4-919528, «unde | g?^— s-4- 2? ss — s (2^ s 4- 1), qni factores cum sint primi inter se, debebit esse s —(", alter vero factor erit 2"/"-4- 1 — (21)"-4- 1, quod est " (1 O1 t ) p 45 O0011 vJa v Pronnaa odan onp mila "pens — I. posten Fragmenta ex Adversariis depromta. | .— 2899 M. TuronrkMAa. Formula 1-227? nullo casu fit quadratum, neque in integris, neque in fractis, praeter - casum cz — 0. DrwowsTRnATIO innititur huic fundamento, quod omnes cubi per 7 non divisibiles sint formae 7n - 1. Hinc ergo omnes potestates sextae erunt formae 7n-11. Deinde omnia quadrata sunt vel 7n, vel 7n-3- 1, vel 7n--2, vel 7n--&, ita ut nulli numeri formae 7n--3, 7n-1-5, 7n-r-6 sint quadrati. Jam forma 1 -4- 2x? in integris quadratum esse non potest. Si enim x per 7 non sit divisibile, forma numeri 1-1-2z? erit 7n--3 et 7n-4-6, quorum neuter quadratum esse potest Sumto autem z-—-7a, erit 1-4-2.7?.G?— zz. Foret ergo 2.'7*.a3 — zz — 1 — (z-- 1) (z—1), ergo factorum z-4-1 et z—1 alter debet esse cubus, alter duplex cubus. Sumamus z — 1 — 7?.0?, ideoque z — 1-1 7?.0?, unde 24?*— 2/?-1-7?.5*, unde patet esse debere a—be, erit ergo 9,9 — 2 -1- 7?.0?. : At si x est numerus fractus, ejus denominator debet esse quadratum. Ponatur ergo x — A , fieri debet 5*-1- 2à? — 0, ubi nisi b— 7n, semper erit 55— 7n -1- 1 et aà*— 7n2-1 (si a non est 7n), ergo. b5-,- 993 — 7n -- 1 zd K hoc est vel 7n-4-3, vel 7n — 1, neutro casu quadratum. Sit a—7c erit 05-4- 2.7?. 9 —:zz. Sit z — /?4- 2. 73d, hinc c?— 2/*4d*5,-2.7*.d* et sumto e——de erit e9— 254-2. 7?.d*, ergo &?— 920? divisibile esset per 7, quod fieri nequit. Verum rigida demonstratio postulat profundiores indagationes. TukonkwA L Si fuerit 25*-1- 1 — Cà, dari poterunt duo cubi, quorum summa vel differentia sit cubus - quadruplus. DrwowsTrnATIO0. Loco z scribamus —- fietque 2a?-i-y*— zz. Jam ponatur x — ab fierique debet zz— y*—2a*0*. Fiat ergo z -4- y*— 2a? et z — y*—1*, unde fit 2y*— 24*— /?, ergo 0— 2 (a? — y*). Fiat 5— 9e, erit 4c? — a* — y?*. | TuronrMa Il. Si dentur. duo cubi, quorum summa vel differentia aequetur cubo quadruplo, dari poterit cz, ut sit 22*-4- 1 — ni. DrwowsTRATIO. Sit a*-4-53— hc), erit ka5-1-a* b*-41-55— 16a? 5? -41- 5— C. Jam. sumatur ze erit eO —92z*-- 1. | TuronrMa III. Non dantur duo cubi, quorum summa vel differentia sit cubus quadruplus. DrMowsTRATIO. Si enim fuerit z*-1- y? — 4z*, evidens est ambos numeros xz et y esse debere impares, unde ' statui poterit z—-a--5 et y—a-—b, ita ut numerorum a et b alter sit par alter impar, unde fiet 2a* -1-6abb — z*, sive a(aa-1- 35b) — 2z*, ubi aa -1-3bb erit numerus impar, unde patet a esse debere parem et b imparem. Hinc porro si ambo factores a et aa-4-3bb fuerint primi inter se, debet esse a—32p? et aa-1- 3bb — q*. At vero si a sit 3c, ambo factores communem habebunt divisorem 3, eritque 9c (3ec -- bb) — 2p? q? unde 9c debet esse duplus cubus veluti 2.27d*, ita ut c—2.34*, ideoque a—2.9d*. Tum vero bb--3cc debet esse cubus, unde casus duo sunt considerandi: prior, quo a—2p* et aa-4-305—4?; alter, quo a—32. 9p? et aa-4-3bb — 34*, sive posito a—— 3c debet esse bb-4-3cc —1?. Quod autem uterque casus sit impossibilis, demonstrari potest ope sequentis lemmatis. 244 L.EULERI-OPERA POSTHUMA. - Arilkmetica. LrwMa. Si fuerit zx-1-3yy — cubo, certum est éjus radicem ejusdem fore formae, puta pp 31- 3qq, ita ut € -- 3yy — (pp 344). Erit ergo z--yY —3 —(p-4-qV — 3), a —yY —3 -—(p—4V—3)f, hoc est | 2 4- V — 3—p'— 9pqi - (3p — 80) Y — 8, unde fit a p—39pqq..et:.y — 3ppq —34*. DEMONSTRATIO CASUS PRIORIS. Cum igitur aa-1- 355 — cubo, per lerinia erit a—p*— 94g et 5—3ppq—3q*. Quam ob rem debet esse a — p 1— 9pgq — 2 cubis, unde hoé productum p(p — 3) (4-3) cubo duplo aequari debet, et cum numerorum p et q alter sit par, alter impar, erit p par, ideoque p-——2cübis. At vero q33q et p —3g — cubo. Ponatur ergo p-i-3q — r* et p — 34 — $9, erit 2p — r?--59— 45, quod fieri nion — quia " i & n LE si darentur tales numeri a?-1- 2? — &c?, nunc darentur multo minores r?-4-s?— At?. ique DEMONSTRATIO ALTERIUS CASUS. Cum fieri debeat Db-1- 3c — cubo, erit [e CIN et eai — 8r. Cum igitur a — 3c, erit a — 9 (ppg — q?) — 2.9s?, sive q (pp — qq) — 25?, ubi q erit pr ideoque ponatur p-a-1—8Ü et p—4—, erit 2g — i? — ui — &y?, E Unde si magni darentur numeri, etiam in minoribus dari deberent, ut fiat 2z?-4- 1 — D, quod autem cum im minimis non fiat, etiam in maximis non succedet. ! ! A; m. T. TII. p. 167—169. 3s g 15. Jiupai ial PnosrLEMA. Invenire duos cubos, quorum summa aequetur. dato multiplo enjuspiam cubi, sive. wt sit : ie d a -4- y? — nz?. Sorvmio. Ponatur n — afy et fiat x — a-1-b et y —a—b; tum vero z — Bv, erit a (au-i-300) —— ae Fiat. aa-1- 30b — (pp-4-39q)* et vidimus fore azp(pp — 949) et b —3g(pp — q4), esseque oportebit m rom "ui : Sumatur v — fgh (pp ^4-39q), ut. prodeat. a — af? 9* ?.-. Cum igitur. sit. a —p (p 3-34) p — 34), fiat P5 . of?, p-r-39 — 20g? et p —3q —2yA?. Hinc erit p — (89?-4- y&?. et 3q— fg — M. Hinc ergo debet esse — |... | pfe ck ion idus odb aniesb iP - M 2MMRRL NOR quad si ergo | sé fieri potest, etiam MPH xeciediE erit confecta. din sumtis f, 9, ho 254; solutio locum- habebit si fuerit c — 8 3-y. Sumto f— 42, g—b—4i solutio locum habet quoties ; fuerit 8e — 23-y... Tali 8g? — 3 et £L — 3q(pp—94), ex quibus denique a —a-4-b et y —a—.. Tandem autem erit z — 2v — 2fyh (pp-1- 394). autem casu, quo aft mn -r yh3, invento, erit p — of? et q— , unde porro deducitur a — p (baeo ExrwPLUM 1.. Sit. 6 — 3, 6 —2, y — 1, ideoque n— 6, fiet 3/*— 29*-4- I, quod fit si f— 1, 471, gp unde. deducitur a — 2^ et. jc. XErit ergo 2:0 — 27:10... Sit ergo 4—27 et b—10 eritque 2—37, j-— 17, ms Cum jam sit PH —mey (rar — wj-E- yy) bo. et ob z—y—20, ergo zx — 9j a- yy — A00 et tX — ry-- yy — 1029, ergo ahy? — 5.1029 — 6: 39:75. -4P- wn ExruPLUM 2. Sit &—5, $—3, y—1, ideoque n— 15, fiet p — 5*— 3j^-- A^, quod fit si pl g— —1 et f—1,; tum erit p—5, q——5, unde à — 5.96 et bs ie Sumatur a — 540, à — 143, h —4, tum autem. erit p — 3. et.q — £ —683,,y — 397. fietque. 2? 24- y? — 152. Au S duo anhgub.ssas Jedeb (^ abam OnsERYATIO^MAXIMI MOMENTI: Arbitratus sum, si fuerit. bMbSgco us "y etiam. fore. «5 | & y Yn 2—(p--qVn et z2yVaz( Mv —qYn)*, unde facta evolutione fiat z — p*-i- 3npgqg et y — 3ppq-i-nq?. — At nuné se "mihi casus obtulit maxime discrepáns Fragmenta ex: Adversariis depromta. 245 16?—3.932— (1.2 3:2*); unde deberet: esse 164-23 1/3 — (1-122 3); quod àutem^heutiquam: contingit. Simi- n gm deberet esse: 16 —23 V3 — (1— 2V3).... Interim: tamen. productum. priorum . .: v J5 Y owq amilés oos i7 Y| incluigiitao ge giis: 158.92 a 372 — 3:307. Revera igitur hoc remedium afferri debut! Si fueril zz — nyy — (pp —n44)*, tum sumtis facioribus dábuntür numeri f et g, ut sit z--yVn — (fA-gVn)(p-i-qVn) atque 2 —yVn—(f—9gVn)(p—qVn)y,. ubi necesse est, ut sit ff—n9g — 1. Haec ergo applicemus ad casum observatum, ubi est » — 16, n —3, y — 23, deinde p—1, q—32, et facto calculo litterae f et g ita determinantur, ut AN IT — ast et g— — unde revera fit ff —3gg9 — 1. Unde patet hujusmodi coéfficientes riullo. modo divinari posse. Sequens autem consideratio me ad hunc casum-deduxit: Quaesivi numeros x et y, ut (a -- y) (zx -4- yy) fiat cubus, et vidi esse debere z-1-y — A*. et zy — 2B*.- Posui ergo 22-4 yy — 2(aa-- bb)? et inveni z —a(aa—3bb) et y — b (3aa —bb). Hine. porro inveni hanc. solntionem y — —9. ét z — 13, deinde ex hoc casu elicui x — 7.37.61 et y — 9.13.229. — At vero valores litterarum 1 et E multo simplicius exhiberi pos- sunt, uti ex rege pute e j PnoRLEMA. nyenire numeros inter se in c et y, ut sit cx — 3yy cubus. Sor.vzio. Primo haec. conditio. est adjicienda, ut. numeri z et y sint primi inter se: si enim compositi admittantur, solutio esset facillima sumendo a $ —a(aa—3bb) et y —b(aa—3bb); tum enim foret zx — 3yy — (aa — 30b)*. Ponatur igitur ax — 3yy — (pp —344) et sumtis factoribus fiat n vd miesbewp enb sb dev scogiaeg V3 em (f a- g V3) (pq V3)* shi diddo- "d yV3 — (f — gY3)(p — qY3y, &ic enim X z2—3yy — qr— 390) | (pp — -3g)*. Necesse igitur est, ut sit ff— 3j — 1, quod infinitis modis pe^ inten Primo f —1 et g—0; secundo [2e 4—41; tertio [—T ei g —5; quarto [— 926 ét g — 15. et in genere f]Y3—5 ; -i- V3y' 4- 20- yay f— V3. (24-3) — — ; 8— y3y. His notatis cum sit (p-i-gV3) — ie: se gps eei Ponatur brevitatis gr. Fp--9e) P et dii re] 0r art pde — et^(p—4Y3*— P—30Y3. Hinc ergo erit j ' j dL V3 PAPA aQY3 n. unde fit, z—fP--9gQ et iecur: 3fQ; "ubi notetur litteras £f e« L tam — quam xs mend gorii pen. 'Sit nunc p—41 et 2-2 erit P—37 et Q— 10, ergo z— 37f e 90g. et ieiiads 30f; quare nio f—1e6t 5—90, erit d et y — 30. At sumto [7 —82 et £723 erit g — 164, y37. Sumto. vero f — 2 et g——1 erit 4 —16, y-—23, qui est ipse casus supra tam difficilis visus. Hoc ergo modo omnes casus possibiles pro x et y erui potect., ui xx —3yy fiat cubus, dummodo litteris f et g omnes valores tam po- sitivi quam negativi successive tribuantur. Eodem modo problema generalius solvi potest, ut fiat za — nyy cubus, qui sit (pp— gg)? et sumto- "i f[—"94 —1 erit. 2€ yYn —(fA- gn) (p qV»)*, ubi erit (pA-q4Vn?— p (pp - 3nqq) [— P] -1- q (3pp -4- nqg)Vn [— QYn]. Hinc ergo erit 246 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. qp yVn zm fP -- gPYna- fQVn --ngQ,. ideoque |. 6 — fP. -À- ngQ. et. y —gP -- fQ, quod ergo infinitis modis. fieri potest, si modo fuerit ff—ngg — 1, id quod semper praestari potest quoties n fuerit numerus positivus. At si a» fuerit numerus negativus, evidens est formulam ff-1-ngg, saltem pro f et g integris, aliter unitati aequalem esse non posse, nisi sit f —1 et g — 0. p. 169. 171. 68. (Leaell.) PnaosrLEMa. Datis numeris m et », item à et 5; invenire 2 et y, ut fiat mdà — nbb —nxx-—myy, sive m(aa-- yy) — n (bb -t- zx). Sonuri0. Ponatur » — mpa-i- qb. et y — qa-34- npb, unde fiet | maa — nbb — m (mnppaa — qqaa) -4- n (qqbb — mnppbb) — maa (mnpp — qq) — nbb (mnpp — qq). bi Oportet ergo jit mnpp — qq — t. Manifestum ergo est hoc problema solutionem non admittere, nisi UL m et » sint summae duorum quadratorum. Quoties autem fuerint tales, ope problematis Pelliani semper invenire licet numeros p et q, ut fiat mnpp — qq-*- 1, sive mnpp —1 — a. (J. A. Euler.) Excipiuntur tamen casus, quibus vel mn. est ipse numerus quadratus, vel in duo quadrata inter se prima resolvi nequit; cujusmodi sunt: 8, 18, 20, 32, 40, A5, etc. Sic si mn — 13, erit p — 5 et q— 18; nam 13.5?— 18?-1- 1, et si mn — 125, erit p — 61 et 4— 682, nam 125.61?— 682?-31- 1 etsi 195 — 100 4 25, quae non sint prima inter se, sed notandum est esse 125 — 11?4- 22, quae utique sunt prima. : À. m. T. I. p. 199. - 69. (N. Fuss L) En PaonBLEMA. Resolvere aequalitatem ab (a -- b)*— cd (c 4-:d)*. Soruri0. Ponatur m (a-t- b) — n (c 24- d) fierique debet nnab — mmced. Porro sit , a — mmps, c — nnqs, b—qrs, d—prs, 84. 48 fo pu unde prior aequatio erit m*p-i-mqr.— n?q-i-npr, unde fit E rt Ut ergo fractiones evitentur, sumatur s— mq-—np eritque in numeris integris | 2 a-—mmp(mq—np b—q(mq—m*p, c—nng(mg—np, d—p('g—m'p. Hinc enim fit : b a -- b — n (nnqg — mmpp), — c 4- d — m (nngq — mmpp), | i quae solutio est generalis. Notetur autem, si litterae a, b, c, d sint quadrata, veluti a — A*, b — B*, c — €?, d — D*, tum aequalitatem propositam accipere hanc formam AB (AA -- BB) — CD (CC 4- DD), ad quam igitur solvendam illae quatuor formulae quadrata fieri debent. Primo ergo quadratum erit Fragmenta ex Adversariis: depromta. | 241 a ,I | : o7 Wa Meque —gp, sive pq—cn. Praeterea vero quadratum esse debet |. .. a, nb (nig 2: m EET e n* q — m? p hocque modo omnes erunt quadrata, unde eadem solutio prodit, quae supra est data. RresorvTiO0 succincta aequalitatis (aa -4- bb) ab — (cc -4- dd) cd. Sumtis pro m et » numeris quibuscunque capiatur i zig e tum vero sumatur - p—Bf*4- yj — 35, q— M*-- fgg 39) et. 5— &f* — Sfgg, tum habebitur a — mp, b — ns, c— ms, d—nq. Veluti si sumatur m— 3 et n — 1, erit L-i , ideoque f) y5*, Mane Mf -- gg — 116, ergo »—388, q4—712, $—— 100, seu p— 97, q— 193, s —25, unde fit a—291, 1—25, c— 15, d — 193, hic scilicet numeros p. 4. 5$ per 4 deprimere licuit, quod semper evenit quando g numerus par.. Duo numéri-a et b assignari possunt, ut fiat 10a5 (aa -4- 0b) — 53, quod utique in numeris integris fieri nequit. Hoc dutem evenit sumendo a— et E tum fit aj T et 10) — 72 — E: tum ob ac et ERA erit diac Mee. ideoque 10a) (aa -4- bb) — 53. 30 30 : ' "RrsorvTi0 hujus formulae ab (maa -4- nbb) — cd (mec -4- ndd). an — mq—np? pq u siyoi Posito bp et d— ga, E Lee — mpo-mi! hw p—34--2) et 71-5», porro q— 4t» ambo: wameri r4 et k sibitrin relinquuntur. Tum sumatur "s - dé. eritque a—h (f^ — fog), ) — k (f? fgg -- 399) c — h (Vf? -4- fgg — 397), 4— kf*— Sfgg) 2 IL c f--g : 'w Cum —- e "E [p erit Ecc 18 "maa Db em (Bff 59) (uff -— 899) (8*4 fgg 399 : oo nemee -- aídd —— mn (2ff — gg) (Mff — 399) (Mf? - fgg -- 39") ias oudünid dd epos. hes d -eleorish uuo penceni. LA n erit igitur '- ed — Af? -e fgg — 99? 9b mecci-ndd — Af5-a- fug ac 3g Ceterum hic putet, peristtatis numeris À et k sumtoque jg hégativo; litteras a et b abire in d et c. je51o0 ] ;ipb3b5 01 1t1O H5 I19010 ) 4) — ^aa ARA Hrsoturio formulae —— cc 2 SP pro qua supra posuimus q— p 3-2). TÀI 0 e—— 5 — bie - o —— n5 Nunc vero pmine potnpo mp tum enim prodit 4 0)0p54-5-— LN (01 pi—p—m(p—10) ec (cont (pem Diae nip (p 4) 3nnpp(p — 1) p" -—P. ubi commode per p —1 dividitur Losum Dp--p — nn ; s CÓ TY 3i p(p 23) Rp a- pp p Hoc modo habentur duae formulae ad quadratum reducendae scilicet ' . n*pp-i-n*p-1-n? ^ et. n*pp-1-3n*pp-i-3nn -4- pp — (2n* 4- 3n* — 1) p - n*. Necesse ergo est, ut sit (nn -1- 1)?— C31, ideoque eliam nn-4- 1. Sit igitur nn -i- 4 — mm eritque 248 L. EUEERI- OPERA: POSTHUMA. Arithmetica. L pp -rp—mm - 1. ec mÜpp — 9mm (mm — 1)3 pa- (mm — p" ——. hujusmodi autem binae formulae supra sunt resolutae.. Ita si sumatur m —:9, ut sit 4——4p — 3, hinc reperitur 8999 P— $4.3.5.T statim ab initio scribi debuisset mm—1 loco an. Hae autem solutiones diversae erunt ab iis, quas prior solutio suppeditaverat. Ceterum hie £L SoLUTIO GENERALIOR. Loco p et q scribatur P et i et formula resolvenda erit : PLI. Jam ponatur p-1-2-oz, q—12-fz et ud WE et habebimus 3« — 8 — 9y-4- (8ütn — 98y — 77) s -4- (a3 —py)s 98 —« — 27-- (388 — 2«y — 5) s2- (9 — ay) zx Hic igitur tantum opus est, ut fiat ; y uit mm d Uu iuntidodsd amid 3a po3) ^R À Boii e. abe (3a — Bygg — (8B — aYir 9g — ff | i 2 Bgg—íf —— 49g Weg. H d dit P1433 el 3 —473. Veluti si &—2 et -1í1., fü y —— L— , oc modo prodit -- z | B ! isi es de w-mt! n Ergo si unde fit 1 TT M | ifs iu hp 3.64 a- 433: 2 98722... 3.16--132z-—- 94A —— y et [272 il e d. jjedque y— Ceterum hic nil impedit, quominus sumatur. vel & — 0, .vel —0,. vel y — 0; tantum sumi non debet 8 — o. : : NE s a . A -4- Bz -- Czz :; ^ A- Quovis. autem casu simplicissima solutio ita reperitur: Cum fiat a^ bacon NEN in qua ei iRg wen i — per A hypothesin — r3, ponatur hoc D a indeque prodit ; zx. Sequens solutio imprimis est memorabilis dt di ff p—(-22.€yz, i 1 -r-4, ac per artificium modo memoratum reperitur : — 9p4 idi aeo onde di dii 9n* -4- nn -2—- 1 et e. -Ln Mt 20 (nn 2a- 1) (nt— Snn 4- " Maie 3nn ; : ED 3n* j unde pro solutione formulae ab (aa-4-bb).— ed (cc-4-dd) statim. habetur a — 3n*,..à — n*— 2n*-4- nn-34-1, c — 3nn, d — n (n5 -4- n* — 2nn -4- 1), quandoquidem posueramus b — cp, d——aq, hinc autem colligitur nf, hineque " — n?. Quodsi jam pro casu simplicissimo sumatur n — 2, fit a — 96, 5 — 37, c— 12, d—- 146 hincque erit ab — 95,3,31, cd — 29.3.73, aa 3- bb — 5.29.73, . cc -- dd — &.5.29.37. Ra (1111939. ) TukonEMA. Ex qualibet resolutione aequationis ab (aa-1- es cd (ce-33- dd) semper alia solutio deduci potest. DxwowsTRATIO. Quia ab (aa -- bb) — cd (ce -4- dd), erit. (a--by— SAC AE 5)* — (c -i- d)* — (e — d) hinc (a 4- bj* — (c A- d)* — (a — b)* —(c— d)*, seu (a -&- b -- c -- d) (a apice seqi (ti acid ink Mood - 09 (aee reria- I LOEO. Quamobrem si ponamus a teas d et )'—a-b—c-—d; dein etiam e—a--b—c—d et d'a Opi - erit a b (a a 4- b b) —c d (cc Ad d). Quia igitur. erat. à: 291, bz595, c—'15, d— 193, erit a/— 585, b'— A8, c— 38^, d'— 148, qui per & depressi dant m a 2446, 1 —12,. 6 — 96, d 22 37, quae est solutio posterior minima. [i maio suponhi , Fr T. wmijia JU .la» ogte sss z v ^ AU ND Wie col EE e Deom te s sys Ned Ts Fragmenta ex | Adversartís depromta. 249 . "Füarmulae-sàt eoncinnae . . ^ 1 pro — formulae ab (aa -p- bb) —'ed (éc 4- dd ) | : i-a Sumtis pro lubitu binis quadratis ff et gg, capiatur Gm Exe i s CAPS a —f(a f) (a 3af 4- B5) b — g (85 5o BB A kao — 2o) c — g (a 4- (8) (x — 308 2 B8) qe | obnsbtvib anii aNAG — wA — sd 3f (9^ igi t 9088-00^ * i vel si ponatur (c -- 6) (za — 3o 3- B8) — 4A, erit | ! " : (a-fA, b-g(A-3m(u—By), e—94, d—f(A—38 (a— Bj) Pro numeris « et. construatur haec tabula: 1953 | f g odi? e : 2 5 1. 13 goo mend "* E yen Lo p 9 T 3 T i 315.4 -24i : É2ode A9. 4-19 p 3 "m. 4 NE ) XX -4- MA 5 As 1 t 19 | * | ies cA TUS n erai Pg ! y StTH $01 2yiti) 5» ol gei 594 ^43 Í lot—YcH 5 h 91 73 Hiné si [253 eC5 2 f; erit &— 7 et 9— 3, hincque A — — 50; unde" /g22159,^82- 386, «5230; 155 582, sive per 2 deprimendo a — 75, 5 — 193, c—25, d—991. Sit f—5 et jc, erit ^a — 19 "et B 2-1, unde 4 — 286, a — 1430, 0 — 1922, c.—. 286, d:— 13690. sive a —— 715,:5 —— 3961, c — 143, d zs 6BAs; Himé per theorema alii reperiuntur hoc modo: Hb.«nigo sup) a' — 2966 ,; 28918, . d 2481 ' dI—38 86^. A--Bz -- Czz -- Dz? DG -——W ; à i 1 i" wn :o unl Tii ii no*t 3 MN 1 yu » » oDi5Hoqd "19UJ5JU n5 n9 PnosrtEwA DrornawTEUM. Cognito uno casu, quo haec formula fit quadratum, ex eo E-- Fz alium casum derivare. joajlina ,aoisupose inia ai | 9a "inui im PEMNPEIIES , m s^ ws eggrrol ror asl SoLv£to. Ponamus esse casu z—e, » — kk, tum sibater ) 4 E--F M c a Lad oan da " facto. ali us casns eri id ' C-9pe En Fe ^ ie 9k (E-- Fe) R* ] m CAN S ND Lo! T * Á- Be Cus Dii ; : : tum. enim. ei. «o sss oos ino——————zm——— m (him e$ e-sz)*. Rroldon 1uvlose1 sn" : Hoc. ergo modo ex unieo casu innumerabiles alii successive deduc piane ipe SN] A-- Bz-- Czz- Dz? ! ANaALYsiISs. Ponatur b 2 EGO Coal (z -9y et facta evolutione erit H 1 ] -- A 2 Bz A €zz -- - Die Ek -- 2kEs PS a Es a—e"- "d Fils t 2Fiss (a — e) a- Fez (—e. hinc subtrahatur aequatio A -- Be -t- Cee -- De? — Ekk -— FH et dividendo per z—e prodi 11 diae Cit o) -E D (zz -4- ez A- e) — Els -- Fl-- En 2 —)-- 2Rtc -r- Fssz (£e). Jam ponatur z — e-4- v, unde terminis ad eandem partem translatis erit L.Euleri Op. posthuma. T. I. 32 250 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. B 2 2Ce -- 3Dee — 2Eks — Flkk — 2Feks me Co oe 3Dev — Esse — Fssev — 2Fkso |. — 0... -- Dvv — Fssve Nunc littera s ita determinetur, ut prima linea evanescat, hoc est ponendo B a- 9Coa- $Dée — FH 9k (E -- Fe) tum dividendo per v reperietur bina m ) íz-Co- 9De — Est — 2Fls rM Fss— D i | : F- A ndt - 3, 11B8BUO0q0 [5 P9y LL C27 8De — Ess — Fsse — 2.Fks eid Fss— D 1 A 4- Bz - Czz -—- Dz? SNC Y ETE 2 mem ——(k—es sz). tum igitur erit Jo Cm ga- 314 ; A A- Bz 4- Czz ALIUD PROBLEMA. Ex cognito casu, quo fit quadratum, | invenire alium casum, quo idem M D-- Ez -— Fzz obtineatur. A 2- Be -- Cee |. A2 Bz A- Czz Dobis UM hant m SornuT10. Sit z — e casus ille cognitus, quo fiat A-4- Bz 4- Ciz — Dkk 4- Ekkz -- Fhkzz hinc subtrahatur aequatio A Be -4- Ceo — Dkk -- Eekk -- Feekk — et facta divisione per z—e prodibit | Ekk -— Fkke — B — Ce € — Fkk 3 Verum hoc modo unicus alius valor reperitur, namque ex invento iterum pristinus valor prodiret. ! : A. m. T. II. p. 157—161. B -— C (z A- e) — Ekk 2 Fkk (z 4 jj unde statim elicitur z— .TuronEMa.. Hae duae rore «ab (aa -4- bb) et cd (cc — dd) ita inter se conveniunt respectu factorum non. E gpai ie ut altera in alteram. transformari possit. . Fr TY punixusli € ux ^aa , Prior enim' in "posteriorem. transmutatur : ponendo ^ a —2ed et^ b —cc— dd. — Vicissim autem- posilifor dn priorem transmutatur ponendo c— aa -2- bb. et d — 2ab; tum enim fit :oboqi. 20d. iyinurmqon, fils; emeqondi '9cd (cc — dd) 2— kab (aa 4- bb) £2 GE RIGEHH | . LTETIATMTI bil 011 T , h i A5Tj 1 j "t "3 * — &rrisb maso munie Tres numeri formae xy (ar — yy) infinitis modis. dari. possunt, qui. inter se prorsus sint aequales . scilicet L g-—ff--3ggy et y—My; IL a —f[-- 39g et -— ff x- 9r; HL 2—ff-a-3gg et y— 39g— ff —2fy. His numeris resolvitur problema, quo «quaeruntur tria | triangula. rectangula, quorum areae sinl inter: se aequales: Nam in triangulo ABC sumtjs cathetis. AC —2xy. et..BC — zc — yy, erit hypotenusa. AB —a 4- yy. et area — xy(cx—qyy). Ex ise Low T fit area Mfg (ff-- 3o) g- ) f[—30 f--5 (3-39. : | Ex secunda et tertia L7 ug "Éado investigationis haec est : laY.IA&w KA oilatrpos 1016do1)dua »aid Ponatur pr (p -- r) (p —r) — qs (q -- s) (q— s) et sumar peas erit r (pp — tr) —5 (pp — 59), unde Lr AE ae (8 — Y pH Ap IMPO ( 4 io HE) . 3 1 pp—rr--rs--$5, sive. pp — 4:58 (ra 3:9). SS Mee —ÉOAPV— Fragmenta ex. Adversariis. depromta. 291 Erit ergo 9r cs Vip — 38) — 25-5, unde Pm. Sumatur ergo p — 4 L ff-- 3gg et s OR Afg eritque - 9r-i- s — 2r -4- Mfg — 2 9 (ff -i- 39g) — Mff, hineque vel r— 39g —ff—2fg, vel r—3 (gg — ff) — 2 fg. Varii numeri formae ay(xx— yy), qui eosdem factores non quadratos involvunt, sub littera F contentos, in hac tabella exhibuntur: j^ Vna com or F c | y 2 qu 2.3 25 2k 5 9 23.57 | 6 1 8 1 : 6 je 2354t] ..8 3 27 29 : 9 2 2.7.11 18 BS 14 n 3.5.7.11 ie 4 Cow3ECTURA. Posito xy (rx —9y) — A*F, inter numeros F videntur omnes numeri primi, vel ipsi, vel eorum dupla, vel ambo interdum occurrere, excepto scilicet binario, uti ex hac tabula colligere licet: GF |] E a. -...V 2.3 2 E 5 ——S * 7 16 9 2/7 1-9 1 / 2.11 BR A9 13 325. 1... .36 2.17 9 8 , 2:19 1250 , 289 23 156" | 1398" 2.23 .121 23 29 29.13*. 70* 31 1600 81 . PnaonsLEMA. Invenire numeros p, q, 2, y, ut sit Pq(pp — qq) — nay («x — yy) n, pro quolibet numero dato n. Sorur:0 tantum particularis tradi potest, et calculis satis molestis expeditis inveni sequentes valores p — s*— 20nsstt — 8nut* p 3-4 — 2 (ss — ntt) (ss — hut) q — (ss 3- 2ntt) (ss 4- 8ntl) p — q — 6ntt (5ss A- utt) a — s*— 20nsstt — Snni* & p y — (55s -- enit) (ss — ntt) y — ^ (ss — ntt) (ss -4- 29ntt) - & — y — 3ss (ss 4- 8ntt). Hic enim rejectis factoribus quadratis formula ay(ax — yy) omnes continet factores alterius pg(pp — qq). ac prae- terea factorem m haec posterior continebit. "Notandum hie est numerum a tam positive quam negative accipi posse. Deinde etiam valores singularum harum litterarum semper positivi capi possunt, etiamsi prodeant negativi. * 059 LEULERE OPERA POSTHUMA. — —— Arithmetica. Jta sumto s—1 et (—4 pro casu. ^^ 25B uerit pIÉ 4-85; w—571,:3—3:20. Hie'lodó'p et q eorum semisumma et semidifferentia sumi possunt fietque p—82. 3. 13. et Q3. Hinc enim fiet. PR ; - Ww OZ iu pa (pp— —9) 28.5.7413. I7. 71 et ay [en v) — 3-5: 49. 17. 71. Pup Me: OTTPYLITT Sin autem sumatur. a——2 manente espe d. prodit. p—9, 1—5. 9, sive P1 et dms, sive. etiam »p—3 et 1-2, tum vero erit 203-9, pou; sive psi et y—, tum enim erit. Edrs alisdes sud HHGIMAZO Du205J) 3S5 pg (pp—44)—2.3.5 et «y (arat — yy) — ^ | , A. m. T. III. p. 191—193. & Co LE ^^ b) Quaestiones ad. resolutionem plurium aequationum ducentes. ' "70. (W- L. Kraft.) e PnosLtEMA. Efficere, ut. fiat &-2-y-kz—n e ays s ideoque rmm ^ Y - Sequentes SOLUTIONES particulares prodierunt - 1 - 3 i v z ic 9 , yg -— 9 , s li b 2 BN Ab. Y. 6£.£ 8l * re pO | 19r n 291 n ii red 018 (E nc A^ ss 999*— x5) y» ohisofl iau Tos140) [loo nladeJ asd zo iu 35 i id 1:898; jan oir o: cauisroses odia 9? Slqub. murio 2 cc É 95 | whos ou | Ai D 9 V LL o— LL ——— ien - rude c 2; y g^ (I4 E ( ' 1". VI. 2—t, 7? i2 0E — T2. Si ratio z ad y sumatur a:b, et ponatur 4 — ma et y — mb, erit p unde fieri debet Ld m (a "-Ó)-e r0». sive n (a3 )4-—.—n, seu — 4n? aabb (a 4- D) 4- ab. — n. " rh Td ide A. m. T. 1. p. 491. as B à ios 2 PENES à 71 ioyüi ellibodxe ailalom »i (Lenell.) TTXEROINNMUBIUSEILLT TI Ut formulae aa-1- Mbb et áa-4 ND quadrata reddi queant, posito a mu 'eapiatur V — (epp -4-m) (e4q-1- 4), Sicque pro dato numero M infiniti valores idonei pro N reperiuntur, veluti s M—1, ideoque m-—aüc i erit. N — (epp 2 1) (aqq 3 4 E. '8i PT, erit AN 2 (a e 1) (aqq 2 1), cujusmodi. formulae sunt WU [| pro q — 1, N—2 2 (gq -i- 1) rogas guiutsoweazgt9gaci- T); vo dggunsi eisrberrp. sudirotost e iu - &2-3; 7 INS (39g 4 4); ^^ 2 (3g i po 1000908 mood] Bw "m MISSUM un o sm M, ow-—5 (gd - 1); 1 3 (gg 2 4) ya aorol: mieilo osbniot] oq EIN Fragmenta. ex! Adversariis: depronita. 553 Ut formulae aa-t- mmbb et àa-4-mnbb reddi possint: quadrata, numeros qm etn. ex talibus formis: eumi oportet, (ubi quidem ratio inter m et » est definienda) : - i e-— ?"yh* . j: p(qgrr—13), q(pprr—1), rí(ppqgg— 1); ppgqg—rr, " ppr-—44 — d aos |, LEA o [| -— 5X o — b -— A HT H — t 27 ppqqrr —4 , bo j A AN quae formulae omnes ita sunt comparatae, ut si earum quadratis addatür idem quadratum App4qrr, ;proveniahit L| "n1 | quadrata. ! ; 4oMelilampos aub "ER | : À. m. T. I. p. 122. u PnosrEMa. Dato numero A; invenire | conditiones n numeri N, ut 'ambae istae formulae die -PAgy; ea a- Nyy &ifra] fieri^ possint (quadrata, t-(35— bh) $253 * 0. — b5*h obsorssup m arothL. ulonianld Sorvrio. Ponatát" Ae pro, casu. scilicet, quo .habet. factores, et priori. formae satisfiet sumendo € — yupp—»qq et y —9pq. iuín enim erit Sm -- Ayy — (upp -vqq). Simul vero etiam altera formula evadet quadratum, si füéric N Z5 * Winppág 5- di (üpp — vqd); tum enim erit^ ^" — nA Hw ene qz 4- Ny — (upp—*qqf s enppag (pp —vqq) -*- Manmp* q^ — (upp — vqq -- 2mppqg)*, erit ergo V — tunppqg -i- e (upp —vi) übi m pro lubitu üssumere licet. "Quin etiam pro m fractiones assumere licet, ita ut pro X nihilominus prodeant. numeri integri, 'sumto- énim 4i — n "xps tum enim fiet VE aq HEU sor, 4 Nez (n2- T) (nppqq -- upp) — (npp 4 v) (nqq 4- g). À. m. T. I. p. 128. M — 7. gi (N. Fuss L) PnosLtEMA DioruawTEUM. Büveniré numerum "ut his duabus conditionibus satisfiat c3 9ar- mme — ceto A Q9br 34^ ne £0; cujus solutio particularis est :;« «isbssp sibbbs 5n ivo 0 eme —— (nna — mmb)? — mmnn m vasi 3 a- emn -—n)(na—mb).. Ita si proponantur hae duae formulae: gae Dar cc D et V da RU" Q, sumatur m—1 et n»——1 A. m. T. II. p. 154. "aT "de ^ PnaonsLEMa. Resolvere has duas aequalitates* « nstib otuios sss pog r-r(pl-ogyy— AA et (23-90) zz 4- (2— 95) yy — ABB. ""Sorere. nc ergo primo erit k4-i- kB*-— (& -3- 2 (a -&- 0)) zz 4 (k — 2 (a-1-D)) yy; posito ergo 4-3 b — 2c, erit A*-1- B?— (1 2- c) xx 2 (1 — c) yy. Deinde vero erit 44? — &B*——- 2(a— b) (rx — yy), unde posito a — 5 — 24, erit A*— B*—d(xx—yy). Statuatur ergo A4-B — ze eritque! A— B — d(x —y). Addantur quadratà eritque i 2A? -- 2B? — (e -& y)*-&- dd (e — y) — 2 (1 -& e) à 4- 2 (1 m yy, quae evoluta fit (fc dd) iex a- (1 — dd) 2iy -- (1 -4- dd) yy — 2 (f 4-6) $a 4- 2 (1 — 6) yy, sive (dd — 2c — 1) za — 2 (1 — dd) ay - (dd -4- 2c — 1) yy — 0, [an .À^ — sive (dd — 1) (rz — 2xy -- yy) — 2c (x — yy) — 0, 254 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. quae commode per x—y divisa fit (dd — 1) (die y) Ba(m- og) 0, unde reperitur v —^dda- 9c — 1 y — di— 9c — TN Sumatur ergo z — dd-i-2c —1 et y — dd—2c— 1, fietque. j A-- B —2(dd—1) et A—JB —h«d, ergo ics dibeiflclinido M ue: di Sd Haec autem solutio tantum: est particularis.. | *] ji abümo - og PnosLEMA. Resolvere has duas aequalitates: "br dx --2axy A-necyy — A? et ax -- 2baoy 1 nddyy — B*. Soruri0. Eliminetur littera 2, quaerendo A*dd— B*cc — o (dd — co) 3- 2xy (add — bcc)... Ponatur | nunc Ad -- Bc — 2 (d-i- e), MAP Ad — Bc — « (d — e) -1-2y Wine e bec unde erit 24d — 2dz -- 2y . d unde fit y MT, iei quo. valore substituto erit iban add — bcc f D rg d(dA-c) 2ax -- nccey — 2x . dd — bcc)? — ncedd (d A- c)? * d i. e (a 1 ; | | ,)9^01l bus. anm y 2cd (d -i- c) (ad-4- bc) | A. m, T. II. p. 157. 74. Baéontgio aequationum 020 -- lus distr d* et xx --2bzry -- dyy — B*. Cum sit A?— B?— 2(a — b) zy -- (c — d) yy, sumatur. A — B — (a —5b)y, erit. | A-- B — 2s y, hinc additis quadratis erit »iq oiwloa amus 2 (44 2- BB) - hai -4- V . td e m) P" -t- (a —b)*yy Cum igitur 2(A4A -- BB) — x -- ^ (a -4- b) zy -- 2 (c -- d) yy, inde sequitur A. —€— V (a A- b) )e- [(225 5) --(— —by —2 (c4) |y—0 ; hineque fit z —— (c—d)*4-(a —0)*— 2(c4-d) (a—b)* E 4 (a — b) (aa — bb —c-1- d) Sumi ergo poterit z —(e — d)? -4- (a —5)*— 2 (c -4- d) (a —b)* et y — &(a — b) (aa — bb — c-1-d). Haec solutio differt ab ea, quae supra est tradita, ubi loco c et d habuimus ncc et ndd, quod mirum. non est, cum utraque solutio tantum seit particularis. Eodem etiam modo hae aequalitates resolvi possunt NSW NP NEU (2-4-a) xx -- (nn — M) oy -- (2 — a)yy.— A? et iin dita ndeialie dn us ps Bt. j : Bc Facta enim simili operatione, dividi poterit per. 2 — y, ac reperietur inde a — n*— 8nn 2 (a— b)? -- 2nn(a-1-b) et. .y — n*— 8nn-- (a — b)* — 2nn (a-1-D). ííové À In his autem formulis continetur casus supra tractatus, quando » — 2. À. m. pu I. P. 158. (q-—r--t reperitur r — Fragmenta ex Adversariis depromta. 255 994-9 ogro 6 d e on ' 75. PnosrEMa. Invenire quatuor numeros positivos 2, y, z,' v, inter- e primos, quorum tam summa quam summa quadratorum sit biquadratum. d SoLvr10. , Positis a — aa -i- b -- cc— di, y — 2ad, z —9bd, v —92«d, erit £2 A Vy -- zz HA vv — (aa -k- bb -1- cc -- ddy*. Ut vero fiat biquadratum, sumatur a — pp -- qq -4- rr —s$, b — 2ps, c — 24$, icclirs eritque al dab sacr. Apt Me iie Ut vero etiam ipsa summa 2 -t- y -- z 4- v fiat didam, hoc fiet sumendo p — .$-- : r — q.., Hoc enim RR erit Va -4- y -A- z -2- v) — 290 — 3qr — 2qs - rr -4- 5rs 1-255. Quae. quantitas ut denuo fiat quadratum, posito wu — 9tt 4- 9ts — 2ss t 4- 35 A- 3« ; hocque modo problemati satisfiet. Hinc sequens exemplum p—10 a—3 c — 09 1—167281 ^ "wy zy — 625 —— 5* q—2/ b —20 y —2k ET uw 1. 22b 4 y e zz -- vy — 91*. fu ez z — 160 z?— 25600 aus d—h dis v^ 221024 PnosLEMa. Invenire quinque numeros positivos et inter se primos z, y, z, v, v, quorum tam summa quam summa eain icem sit biquadratum. | Sorvr1o, Statuatur a — aa--Db--cc-- dd — ee, y — ae, 4 — le, p ——2ce, u — dde eritque summa aq? --y* 4c e*t ac ut — (a* 4 03 -4- c? 4- d*-4- ety. . Praeterea capiatur a— -Pp mapeme ss — tt, b — 2pl, e —2qt, d—2rt, ex 2s; hocque modo fiet "ey 4-2 tace (p* "4 erts a- Y: Jam: ut - etiam; dpsa. summa fiat. pi sumi debet p--4-t rudis atque radix summae erit Dp -- qd -k- rr H- 58 (L2 2st, quáàe denuo evadet quadratum posito r —q-1-s-1-g, si capiatur 25 6er Mo 2gt — 2ft -- 29g — pt (0n. SDUIOSUUAT. HH lao 92292911. ?- p. 1005 I1 03f—3. j ubi quatuor litterae 4, t, f, g nostro arbitrio de ioa, quas facile ita accipere licet, ut numeri quaesiti fiant positivi. A. m. T. III. p. 125. 126. 46... ^, Pnonz MA... Invenire..duos numeros positivos. et.inter se. primos, « et y, quorum summa sit quadratum, summa autem quadratorum cubus. 3 zm Tales numeri She S sunt, z — 29601 — 9. 11.13.23, y 25624—8. 3203, unde 6a yr, ax -4- yy — 1153*. ANALYSIS. Cum debeat esse rz--yy—p?, necesse est, ut sit p—aa-1-bb; tum vero evadit a —a(aa — 3bl) et y — b (3aa — bl). Hinc autem erit £-- y — a*4- 3aab — 3abb — $3— (a — b) Cadres Fiat igitur | a—b—ec — & -i- y — cc (bb -t- bee -- 0") — Dn. Sit igitur yeéhesai s n deii 7 y» unde haec E. | idet. (—9. 9«9—0 —— 9gg — am — 3ff— 999 246 L. EULERI OPERA POSTHUMA, Arithmetica. Quia numeri x et y debent esse positivi, necesse est, ad;sit aa 7» 30b, sive a7 b V3, ergo b -a- cc $5 b V3, sive 1 ce b (V3.1); ideoque. P5 etie ep tla. : Ponatur. ágitur »oiorintr "onj6mo ougev ud Vai es L et. dn qnt ona € Mfg — ol Huic éatisfit, sunto oe 1] et TT vel. etiam sumto Í[- -3 et xcd uds fit Men a 4-8, | a— 33, hinc z — 29601 et y — 25624. — cs " | 2 " : , . We eps f- 048 --4-- 55 Si quaerantur tres numeri zc, y; z, positivi at, primi inter se, quorum summa sit quadratum, — vero summa éubus; tales Wahierisühponmua Tal ood ,amisibarp isi «-1-s -t- y -- s sia saqi duis otov JU 35-4«9--525 7*0: 385a- 94 BI MSS 6-6 ey es dm Simili medo etiam... 05 0198959 — 9^. et. 074-9 20— 195; nya vem) at vero methodus tales numeros inveniendi adhue latet. ^. DIEA n à x ! * lb o : : - oa Aen i A. m. T. III. p. 198. rir "'Pnonrirewa. Has duas formulas zx -r-abyy et [Aon c ad quadralum reducere. — € bti BUT BIIDIH (ib . SoLuTIO. Pro priore ponatur $t (app — 593), erit y— 2ipg; pro itera Donstur a —1 (err — dss , eritque 4p — ors. Ponatur igitur pg — nra — (nfl, jtdue pof erit du! et rh el $— c Qui valores pro z substituti praebent sé . i E bai, jp Ereff-A- bkk. Ah — 4 tyaffa-dkk vel posito i—2, quadratum esse delét 9 (Qeff -— bkk) (Paff E dkk), yel lico Q scribamus —, fieri debet m (ueff 4- vbkk) (ua ff --vdkk), quod si reddi queat quadratum; ' "tune "étiam "ambae formulae" Fecplditad' it quadrata. En scilicet litterae f, k, u, v pro lubitu m possunt. E- $ ens. * OMaog muledbsip Alas X, bn OR PN t-—59 qujsi:085 &519519 ;id Quadratum ergo esse debet E: Creff- 2 Uk) (Enaff -1- dkk), Mec Av C9 EP pg Ut lise duae formulae MORI. et yy A- nad dd quadrata reddi queant, necesse est, ut numerus a in sequenti formula !'contmeàtur:oi555 5j: 556] sesp o ruscp Mlór otidas o*0u 9 Y ,* .» osrMil socjeup idu E naiadun — yy) (s — ax -- yy) (s -i- dx i yy) (s 5- 2o — yw» Avifieoq ins Assaacyy Quodsi fuerit n—aa-1-3, tum ambae formulae quadrata reddi possunt; tum enim sumto a—-a-11 et y—a—1 fiet naa -4- yy — (aa -4- a 4-2) et nyy A- aa — (aa — a2 2). Hinc solus casus a — 1 excipitur; tum enim ob nM foret y—- 0. "Praeterea vero. innumeri alii: dantür casus"pro w; pro S acea qiodieee quaeratur nümerus | vra-yy dd —1. e— ; tum enim semper erit n — cc — dd 4- 1. eudm queioicTDRGp- GISTUR BITICIUIR 2d wy ; , WT DI n aoi T TukonEMA. Hae od Eu ma d- ny el yy -- nza Ar quadrata reddi nequeunt, nisi n -- 1 sit £t -—u-y 3 summa duorum quadratocum. | , 1 i ' , : . [| ! ! ai ry ' 4 53 pot M ed 8&9 1599! (nt (AA X À DEMONSZRATIG. "Bosito zx a-nyy — pp el FEE erit p. 4- qq—t (n --. j( aa -4- yy). ,Constat, autem . summam . duorum quadratorum. pp -i- qq, 2 alios. divisores non continere. posse, nisi qui. ipsi. sint summae - duorum quadratorum. Quoties ergo ipt, non fuerit summa duorum quadratorum, ned fit his numeris pro n assumtis : - - T ere e oitslot " UM e uu . Qe — ov t^ Fragmenta ex. Adversariis depromta. 25 2, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 1^, 17, 18, 20, 21; 22, 23, 26, etc. ambae formulae simul quadrata fieri nequeunt. Cum his formulis 7a -4- yy — pp et 7yy -i- «x — qq satisfiat sumendo z —3 et y — 1, unde fit p —8 et q— ^, innumerabiles alii dabuntur valores pro x et y, ex quibus magno labore hos eruimus: x — 1121 et y — V17, unde fit p — 300& et q—1688, uti ex hoc. schemate apparet: aa — 3256641 daxx — 8196487 Tyy — 1592703 yy —. 221529 qq — 2849344 pp —: 9021016 q—16088 p — 3004. A. m. T. Ill. p. 146. 77. PnaosLtEMa. Invenire quatuor quadrata xx, yy, zz, vv, ut sit mayy— zzvp — A*, axazz—)yev — B^, yyzz — xzvy — C^. SoruTi0. Quaeratur formula F, quae addita producat quadrata. Talis est í F— z*-- y* -- z* — 2xzyy —2xo2zz — 2yyzz A- 2yzvv A- 2yyvv 2- 2zzvy 2 v*, cui si addatur &zayy — &zzev prodit. quadratum (a -4- yy — zz 4- vv)*. Si addatur '' Azazz—Ayyvv oritur ^ (zx -- zz —yy A- vv)? et addito Ayyzz—zcxvv — prodit — (yy 4- zz — ezA- vv)". Hinc ergo facto F— 0, erit (0 4E -- yy — xz -- ve 2 GU --ír—yyo-vv LOWyck ir px vv Ao 1 9 , zJ B -— A 9 , C— 9 Fiat igitur F— 6, et per extractionem quaeratur vv, eritque yy — a —yy — zz a- 2 Y (xxyy a- q2z -r- yyzz). Ponatur ergo V(xayy 4- zazz A- yyzz) — S, ut fiat yp — 2S— xz—yy— zz. Fingatur autem. S — zy -t-(z, ita ut .SS — xayy -A- 2aytz -- tizz — axyy -- axzz --yzz, unde fit ; DU! tt HEU, VEL. hincque pou am -- yy — tt zx --yy — tt Verum hi valores substituti pro vv dant expressionem inextricabilem. Fieret enim sex dimensionum. Necesse ergo est, ut rem ad formulas simpliciores reducamus. Casvs L Sumatur (—z—y fietque z—z—y et S—xz— ay A- yy, hincque porro pp — 0, qui ergo casus prorsus est inutilis. 9o | ! 3 Casus Il. Sumatur (— y fietque d et $797 A. ALIUS CONATUS. Ex aequatione F— 0 quaeratur valor ipsius zx, qui est ap — yy 2 za vv -— 2V(yyzz — yyvv — zzvv) — 2S 2- yy A 22— vv. Quia hic yy multiplicatur per zz—vv, pro z et v tales valores sumantur, ut zz— vv fiat quadratum, quod fit 225-4 tt . 935— tt sumendo z — 5 et v — 3; tum erit S—V(16yy —225) — &y —!, unde. y — —,— et $— ^5 — Tum igifur | 39* erit. za — yy.-4- 16.2- 2$... Sumatur (——5, erit yi et. $— 20, ergo au s Ue 16 2 M args ergo L. Euleri Op. posthuma. T. I. 33 258 L.EULERI OPERA POSTHUMA. — — po 2—2., y—7. z—05 eto —3;. sivé x» — 39, y — 25, 2— 20, » — 12: Tentemus etiam casum £-— 3: erit y et $—36, ergo xx — p^r ergo a, unde prodit casus praecedens. ^ ^" ' ^ Possemus etiam sumere z — 5 et v —/&: erit S — Y(9yy s 4.00) —3y-—t, hinc tt i4 400 -— t S200 ét et; ór7 hinc yx —3yy 2-92: 28... Mt sbne Cod sew — Sumatur / — 10, erit y—7 et S— 15, hine àz — incongruo. e ) Sumatur x—5 - e ^ ; ; Otzy — ay (c? A- y? a- y pp—2S — ax —4y—zz ex — c Ex priore solutione — —4ny istente z— MOS S M eure mms t 90 (41 4- tt . 1 "T ; : 7 et y—À, fiet z — i : - 7 et g — 10 Og. | Porro. si t— 3 , Solutio snpra data oritur, ex quo casu derivavi TT "B (385 Qutaue 2-718913. & — 5.496997 sequentem: — 153 1 — 115693 — 115693 ' A. m. T. III. p. 117. 1418.- 78.- " PnosLEwE. Trouver trois-nombbres 2, y, z tels, que le. carré .de chacun. avec le: produit des: deux. autres fasse un carré. SonvTi0N. Qu'on pose, pour les deux premiéres conditions ad -4-yz —pp et yy-I-az — qq, et l'on. aura pp—44 — (x —y)(z3-y—2). Soit donc p—g4— x—y.et p-i-q — x--y —2, d'oà Yon tire p—2— 3^ Cette valeur eubstituée dans la premiére équation donne z — (x -34- y)... Maintenant la troisiéme. équation sera 16 (z -- y) a- ay — D. Tr 2 olosl oie oniH »b& Donc la racine sera plus grande que ^&(x-1-y) Soit cette racine "hx--hy--s, etil y aura 8sz -1- 8sy — 2y — — ss. Ajoutons de part et d'autre — 6/ss, pour avoir b wsfigi JaPs ^^ — (€ — 8s) (y — 8s) — 65ss — - ec : x ! r- annees v onte qTulenod LI Soit x — 8s A et y—8i—- D, et pour óter les fractions, supposons s—íu, et l'on aura z-—8tu -- 5t et y —8tu 2- 13uv.. De ]à z — (a -1- y) — 64&tu 4 201t 24—- 52un. ' ExguPLE.- Soit (— 1 et u — 1; et il y aura z— 13, y — 21, z 7436, car alors 136/47 13:215 1375," 9121713.136 —47*] 4337 24 136 — 55. T" — V5. pour avoir REN ic 2] $C PSY asimsn V E INA e CQ — (y 4- pz)*, d'ou l'on tire (ti " aiwICup ZH e59 AUTRE SOLUTION, Pour la premiere formule qu'on prenne x — 9syy -- ysz — ssz 9s La seconde yy 4- xz — 3. donne . 9ppsz -- 55 E D (pzz -&«9s$): i 1 ime .H 184.) LET z — Áps ho r—t ,. et de lp Ces valeurs étant substituées dans Ja 'troisiómé équatión 'zz -4- zy — n; cdllezei'Wüviéndrh 6774405 à nad ' g*-.- (Sp*— 8p) s£* 4- 17ppss zz -: &p* s? z 4- 9ps*— B." Pour rendre carré le dernier terme, jé prends p —2, ea fortülé era '' —:» "oq 0toilqihoun ww oii atto x e T ; obama 25-: 10523-,4- 8562z -4- 3989 z gp dat p. 0 0n Mais on .8'apércoit d'abord. qu'elle est carrée et que sa racine est zz -- 8sz:-4- ss; pat conséquent ':z de meut ^ P d i" jae^ O09 T——HEy Dp P Fragmenta ex Adversariis. depromta. 259 | beniimiénn: Mili. arbitraire. Done puisque p— —3, nous au rons y— s: - P sdb Azz-- seems ded O1 d LE : dans ces formules tau lien de. " et ainsi .on pourra multiplier tous ces nombres par (— 8s et l'on aurá et pour óter les fractions, mettons g — h (I) 8s), y —5s(8t-31-s) et z —1((— 85), " d'oü il est clair que pour / il faut prendre une valeur 7258s. En prenant 5—1 et 1 —9, on aura z — 328, qu.£12:9, plus grands que les précédents. | j ,.,Cependant. les deux solutions s'accordent ; mais pour avoir le cas le plus simple, il faut prendre (— 13 et $—1; car alors on aura $2080, 4-100, 4-65, ou ben .2— 136, y-—21, 2—:13. T A. m. T. III. p. 145. M (11H ' harm dii ) 1 T ) ^10 o. e 1 i ) H MIHI - "1 79. T: tbi & Edd ET. uL ^ du ó-- e ; Ad PROBLEMA, quo quaeruntur tres numeri £, y. 2, ut quadratum. cujusque una cum n producto reliquorum faciat quadratum, cujus solutio specialis facile invenitur haec a — aa aa — $ab, y— bb -- 8ab, z — Maa 2 &bb. .,.,, Generaliter. statui potest qaa -4- 9b, CM nm — (ab— A), quibus satisfit duabus conditionibus 4X -d-yz — D, yy-- zz — O0, et.ut tertiae quoque zz -- ay n satisfiat, fieri debet 35 a* V — (Ba? — 2) 0*1 17a? 0*-1- hab 3- 2a? — r1. Hinc istos valores inveni: 1:— 33, y — 185, 42-608; tum vero a — 297, y — 371, 2-320. A. m. T. III. p. 176. . " , - "T i BD (mni ! (1t í 1153 ilivp Í 80. .60 PnosLEMA. Invenire tria quadrata pp, qq, rr, ut semisumma binorum sit quadratum, scilicet pp-qq ,, — pp-rr qq t "r — yy, g Phu Hinc solutiones simpliciores hujus problematis 'érunt hae quinque bul aut T sz o8 3 7 "HW 34, —d7 q-—190, 553, 833, 289, 697 r— 329, 833, 44081, $527, 1127. Directa autem hujus icshlomatia solutio ita se habet: p- (ff — 299) (ss — 2), q— (ff -- 29g 3- My) (2tt -- $5 -A- ^st) — Sfgst Quia hic. omnes litterae . tam negative. quam positive accipi possunt, haec wm plures admittit variationes, inem à 7* reddatur quadratum. Prae- quarum una pro 4, altera pro r. accipi potest. Quo facto necesse est, ut terea vero notetur, quemlibet numerum formae aa — 2b infinitis modis. per similes formas exprimi posse. [ta formula aa — 9b infinitis modis fieri potest — 3-1, scilicet ponendo &-z1, 3,'7, 17, M, 99,. ete. | i: 2... 1, 3, 5, 12, 29, 10, etc. Cum igitur. numeri ff—29g et ss— 2tt infinitis modis per similes formas exprimi queant, formula .pro qetr data infivities infinitis modis variari poterit. Si enim fuerit 5 aa.— 2bb — 2-1, erit | ff —29g — (af -: 20g: — 2 (ag 2t: bf)*, 260 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. ita tamen, ut p eundem valorem..retineat. At vero hoc modo quaelibet solutio particularis satis difficilem postulat evolutionem; unde praecedens solutio longissime praecellit, cum sumtis numeris c et d pro lubitu, valores jam evolutos pro litteris p q. r suppeditet. Hic etiam notasse juvabit infinitis modis fieri posse aa — 2bb — 2cc — Cum enim fieri debeat aa-1- dd — 2 (bb -1- cc), hoc fiet sumendo a — b -31-e et d— b —c. Erit ergo c—a—b et d—2b—a. À. m. T. III. p. 178. 179. 81. (Lexeli.) PnosLEMA de inveniendis quotcunque numeris p, q, r, $, t, etc., quorum quilibet ductus in summam reliquorum faciat quadratum, facile tentando sine analysi resolvi potest. Sit enim S summa omnium, et cum p (S — p) debeat esse quadratum, ideoque p 23 pp i B, evidens est tam p quam S esse debere summam iet rum quadratorum, ideoque pro S sumi conveniet talem numerum, qui pluribus modis in bina quadrata se resolvi patiatur, cujusmodi est S — 130, qui in binas partes secari debet, quarum productum sit | quadratum, quandoquidem si una pare sit p, altera erit S — p, tales resolutiones hoc modo exhibemus: Hen PDmUE OH 4 uL oe M C-Y.Y S—p | 128, 195, 117, 101,..98, 90, 81, 65 ji ubi notandum, valores ipsius p ex utraque columna sumi posse, ex his igitur excerpi oportebit vel ternos nu- meros, vel quaternos, vel quinos, vel senes etc., quorum summa faciat 130, ut sequitur: ternio 32, 49, 49. Sicque quinque habemus numeros 2, 5, 26, 32, 65, quorum quilibet in summam reliquorum ductus, producit quadratum. Alii quini: 2, 13, 26, 40, 49. Alii numeri idonei pro S assumendi, qui plurimas resolutiones . admittunt, sunt 2210 | : t.— 3j: £3 $— 9210, P S—Fy | 2209, 2905, 2197... À. m. T. I. p. 112. | 82. CONSIDERATIO CIRCA QUADRATA MAGICA. / I. Quadrata magica facile eo reduei possunt, ut summae per columnas tam horizontales quam verticales evanescant, quod fit admittendo etiam numeros negativos; scilicet si quadratum fuerit impar, numeri inscribendi erunt 0, 3- 1, 2-2, --3, --L&, etc., sin autem quadratum fuerit par, numeri inscribendi erunt 2-1, 23-3, E --7, elc. Quodsi enim ad singulos addatur numerus quidam impar, et summae per 2 dividantur, orientur numeri naturales; ita si ad singulos illos numeros addatur 9, semisses dabunt hos numeros ordine A, 5, Y 6, 9. T$ $8, 1. Il. In omni quadrato magico quaterna loca connexa voco, quando duo pro lubitu in columna quadam ho- rizontali accipiuntur, quorum illud primum, alterum secundum voco, duo reliqua vero in alia columna horizon- tali ita accipiuntur, ut primum et tertium, itemque secundum et quartum in ea columna verticali existant, sive ut lineae 1...2 et 3.... & sint horizontales, rectae vero 1....3 et 2....4 verticales. Jam sumtis hujusmodi quaternis locis, si primo inscribatur numerus quicunque -x-a, secundo — 4, tertio —«a et quarto -i-a, hoc o ERBRECHT RES TRETEN ERR l. Fragmenta ex Adversariis depromia. 261 . modo nec summa horizontalium nec verticalium mutatur; hic enim nondum respicio ad eam conditionem, qua etiam summae per diagonales eaedem, hoc est nostro casu — 0 esse debent. III. Proposito igitur quadrato, in areolas quotcunque more solito diviso; omnes areolae hoc modo litteris inscribantur, ubi nihil impedit, quominus in eandem areolam quandoque duae, vel tres pluresve litterae hoc modo inscribantur: tot scilicet litteras hoc modo inscribi oportet, ut deinceps omnes numeri revera inscribendi . obtineri queant, simulque proprietas diagonalium adimpleatur. ' IV. lta si proponatur quadratum novem areolarum, litterae inscribantur, ut in schemate adjecto videre est — -r-d Ab j —b —b EC | b: -—( — 6 --c | -ra 5 —aü pro diagonalibus autem praeterea esse debet 2a —5— c—0, 2a-1-25-1-2c —0, unde sequitur a—40 et b-1&-c— 0, seu 'c-—— — b; unde quadratum ita se habebit S Lueb T-— |. s|—- QUA ep | -rEb | —b 0 " hinc autem numeri propositi obtineri nequeunt. V. Commode autem in hoc quadrato areola media vacua relinquitur, scilicet cyphra implenda, ac tum inscriptio litterarum ita se habebit --a —b —a 4a-b H^c 0 —c —c --c —b | 2b ua —a. ubi diagonales dant 9a -- b 4- c — 0, ideoque c — —2a—b, et numeri inscripti erunt L a--b IL —.5 Hl. —a IV. —2a—b V. 0 VL. 2a-4-b VH. a | VHI. 4-5 IX, —a—b Nunc quaerantur numeri: pro a et b sumendi, ut prodeant numeri 2-1, 2-2, -—- 3, --&. Sit igitur a — 1 et b—2 et habebitur hoc quadratum ^ 269 — ^ LL EULERL OPERA POSTHUMA. Arilenekica, n " , $31la^il ii |^ OUR 104 uid idu DISMOSR) 3 —2|-—1 * ' A. : H- ) 4 41113 WE onpíinirHdorp agioovn D6m It 0j aov ii ' "nt v9 í ohang | 5d (i4 i I" idu H diroysqi ac si ad diogubk. à numeros addster 5, oritur qund oliin TN vuaib adibieduá (dhia nios DEN uü «oil 3audelodp 4 on bras 1DPsioqord' i p 4. 5 9 "Ww t 5e- E 9 VI. Tentetur quadratum sedecim areolarumi. Proprietas diagonalium hic dat 9a -1-9b-4-2e-i- 9f[— 0, 2a-31-2b4- 2g-1-2h — 0, ergo f2z—(a-- b-a-e) "et. Ah — — (a-- b a g) et numeri inscripti sunt Ó l a-r-e lH. c—e . HL. —a—b—c—g IV. b 2-g Ves de: up: VL, 64€ ei-35 - wf Vllá -a e- godob. 525 . VIII. m4 mb mgmdosg IX. —d-r-3 X. —b—9 XL —a-e 92 3i EP T Uc bie dee ss XII. —a—$) XIV. —c-r-g XV. a-2-b--c--e XVL ibm Notentur ii, quorum negativa non occurrunt: IL. Em II. Hn, NS ORAS V. d—e, VII. —a—b5—9g—d, IX. —d-4-g, X. —b—g, Xll. a-4-b-- d-&- e, XIV. — c2 9, XV. a-r-b-1-c 4- e. Ut horum cuique $0- cius comparetur, statuatur g — e, et nunc bini socii junctim repraesententur: - - L. a-r-e, ILc—e, lll. —a—b6 —c—e, IV.b-1-e XL —a—e, XIV. —ce-2-e, XV.a--b--c-4-e, X. —b—e V. d—e, VL. b--e, VII a-e : IX. —d-re, XVI. —5—e, Xlll. —a—6: 509 VIII. —a—b—d—e | XII. $3 ee » í "y Hic autem quidam bis occurrunt. Yaoi haec euetbódili acoliiiülioroll iolodienens hostulet, nnt ond ! | A. m. T. I. p. 98— 30. S3. N. Fuss I. Eine LEicH TE REGEL, alle magische Quadrate von ungeraden Zahlen, die sich nicht durch 3 theilen lassen zu verfertigen, in welchen nicht nur alle Horizontal- und Vertikalreihen nebst den beiden Diagonalen, wie gewühnlich erfordert wird, sondern auch die den Diagonalen parallel gezogenen Zahlenreihen, wenn man sie nümlich durch die gegenüberstehenden, gleich weit entfernten ergánzt, einerlei Summen geben, und wobei man lGnmoogiD Tag zugleich nach Belieben in iiem Fache anfangen kann. Dies geschieht vermittelt des bui Springerganges im Sehachspiel;; nach welchem man immer in die folgende Vertikalcolumne abwürls fortgeht,, wobei zu merken, dass, wenn man unten an das Ende gekommen, man von da hinaufspringt, und ebenfalls, wenn man àuf der rechten Seite ans Ende gekommen, wiederum in die: erste Columne linker Hand einschlügt. : Wo aber die Stelle: schon. besetzt. ist , prallt. man. links. nach eben dem Gang abwürts zurück, wie aus folgendem Schema zu ersehen: intaibaup sod müfdaded m QeES MONLR | Fragnénta: ex! Adversariis depronta. 263 1 |15 | 92 | 10 | 18 i GV dw ) ! Hq 25..8.|16 L 12 M | 19| 2 115123 |! 6 ! "Vw 43|90| 9 | 17 5 ias BENCEIFQEREIEIM Hievon wird die Ursache deutlicher werden, wenn man eben diese Operation auf eine allgemeine Art mit latei- nischen Lettern 4; b, c; d,'eé und griechischen &, f, y; 9, & anstellt, und dabei diese Ordnung beobachtet, dass man nach ac, a8, ay, a0; a8 auf ba, bg, by, u. s.-w.. fortgeht. «5: 7. | eM |bB | de | ay | c sn T ohibbn js : ^ dy ac | e3 | eB be — Wi "ef — 5v x eB |. ec, | by | de | aà / ! ! i I ba - ». ey -U aid] ae (ey |em.,,00. |. dB | P ui ti t b i i ixi. *& i a i 011 A. m. T. II. p. 937.938. . 1e T- am : sp zxtowp ox Tujekqeo Jo i tb — 33. J D. Misc el lane 2g. . muxroltoy gurrod rnurisjis iu, Jinove 19322 FTO DER à SA. bun A. Buen) i —Wie/blos.aus den dreieckigten Zahlen alle vieleckigten Zahlen leicht Sida werden kónnen. Wenn die m-eckigte Zahl für die Seite n gefunden werden soll, so suche man die dreieckigte Zahl für eben die Seite » und auch die vorhergehende dreieckigte Zahl, für die Seite n — 1; diese multiplicire man mit m—3 und zum Produet Lund man jene, so hat man die vc Maus og! Zahl. : j nur i0 i T3: M Denn für die Seite n dst die Areieckigte Zahl T. und, für die oL picada Seite n—1 ist die 93 po» --bi At F^»6!: pP d" | Laf Dreieckzahl —"5 ?; also dicáb mit m—3 moltiylicirt gibt (m—3 Je : yy. bles ET addirt gibt eme máriosb sms Hio € 4x" mano im sm) nn (m n HuiaSb w4 € -4- 80 -4— M i- 50 -4- 0r Ü 3A. utume ; Also. ves dp 365- -eckigte Zabl von 12 verlangt wird, L4 ist m—i— x2, die Dreicckszabl für PT ist 78, die für 11 ist 66, also die gesuchte 7. Zahl TS sein p "r | hnoonm) auusmug Wo ? ,362. 66--78— an. um 059) wx i dH oswnat : E | abt iii sss A. m. T. I. p. 237. 6D 6 -d- 36. E-F-»6 Q-4- 96E —- Dh» (T 1a. e -b- xco& mmo Rid - 264 | —L. EULERI. OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 85. (N. Fwss I.) TukonEMATA CIRCA PROBLEMA PreLLIANUM. L Si fuerit nff —1— 99, erit n (2fg)*-4- 1 — (29g 2- 1)*. DEwoNsTRATIO. Cum enim sit nff — gg -1- 1, multiplicando per 49g fiet hnffgg — &9* 1- gg et addendo unitatem lnffgg -t- 1 — ^49*-1- ^99 -- 1 — (29g 4- 1)?. .lL... Si fuerit nff — & — gg, erit nffgg 4- — (gg. 4- 2)". Ms 4 b fui QUEM DxwoxsTRATIO. |. Cum enim. sit nff 99 - V et per gg multiplicando. et 4 addendo prodit ... . |... í nffgg 3- ^ — g* P 4g 41-4 — (gg -- 2)*. Q. E.D.- i^ nM asm 42 : d. 2 HL Si fuerit nff 4- & — gg, erit afr ( 5) AU ) NT DrMoNsTRATIO. Cum sit nff — gg — ^, multiplicando per e) et addendo 1 fiet g—dN e "P .19*—69*--9gg; — (g*—3g9V* aff (E) --1— (gg — 9 (B7) c1 1 — (DP) Hinc si n — 13, quia 13.1?— 4 — 9 — 3* in theoremate secundo habemus f— 1 et ; — 3, unde sequitur 99 — 13.3*-- 4 — 11?. Nunc pro tertio theoremate habemus f—3 et 9 — 11, hinc wie et "- z59; g*— 3g hinc I: — 649, ex quo sequitur fore: 13.3*.60*-,1- 1 — 649?— 13.180?-4- 1. ; ; A. m. T. I. p. 981. 86. TukonkMA. Si habeantur duo casus hujusmodi qq— app — k et ss — arr — -- k et capiatur z — qr 2 ps et y — qs 3c apr, erit yy — axa — -- kk. At si k sit numerus primus, semper evenit, ut alterutri horum valorum, scilicet 2» — qr -- ps et y — qs -- apr. fiant. per k divisibiles, sicque habebitur www kk i A. m. T. I. p. 289. m k E iada TukonkMA LI. Si x fuerit nnmerus trigonalis, tum etiam mt erit numerus trigonalis. Sit enim p erit Mie uS Est. vero orc ee 2 (oe 1 ideoque TE WT | ip en 9x -1- 1 erit numerus trigonalis, cujus radix est 3a -i- 1. ConotLAmiUM 1. Si ergo x fuerit summa duorum trigonalium, tum etiam 9a -1- 2 erit summa duorum aa--a — bb--b , 9aa-1- 9a 24- 9. — 9bb 4 9b 4-2 -4- , erit 9z -4A- 2 — -- . N ubt 3 2 9 ConoLLARIUM 9. "Simili modo si x fuerit summa trium trigonalium , tum etiam. erit $2. summa trium trigonalium. Si enim sit 2 — A-4- A-4- A^, tum erit 9z 4- 3 — 94 4- 1 -3- 94 4- 1 -4- 94 4-1. EA. trigonalium. Sit enim x — TnukonkMA ll. Si z fuerit numerus trigonalis, tum etiam 25x 4-3 erit numerus trigonalis. Sit enim z —"* 7, eri 35g ,- 3 —. Moe iet $ — Est vero 25aa 4- 25a 4-6 — (5a-1-2) (5a-1-3), unde Fragmenta ex Adversarits depromta. 265 radix trigonalis erit 5a 4-2. Hinc si x fuerit summa duorum trigonalium, erit etiam 25 -1- 6 summa duorum trigonalium; ac si x fuerit summa trium trigonalium, tum etiam erit 25x -4- 9 summa trium trigonalium. TuronEwMa lll. Si fuerit z numerus trigonalis, erit etiam ^92 —1- 6 numerus trigonalis. aa -- a 49aa-1 49a-34- 12. (7a-1- 3) 7a - 4) 2 2 Ne 2 est Ta 4-3. Hinc si x fuerit summa duorum trigonalium, erit etiam 49a -1- 12 summa duorum trigonalium; at Sit enim » — , erit 49x -4- 6 — numerus trigonalis, cujus radix si fuerit » summa trium trigonalium, erit itidem 492 -- 18 summa trium trigonalium. TnukongMA IV. Si fuerit x numerus trigonalis, erit etiam 81x -- 10 numerus trigonalis. aa --a 81aa-31- 81a 4-20 (9a 3- 4) (9a 4- 5) Sit enim x — ; , erit 81x -1À- 10 — — : ; numerus trigonalis, ejusque radix — 9a -- ^. etc. etc. Ex his igitur sequitur, si numerus 9x -1- 3 nullo modo in tres trigonales resolvi queat, tum etiam nume- rum zc in tres trigonales resolvi non posse. Simili modo si numerus 2524-9 resolutionem in tres trigonales non admittat, etiam numerus x non admittet. Ac si numerus ^92 -1- 18 non admittat resolutionem in tres tri- gonales, numerus ipse x etiam non admittet. A. m. T. II. p. 25 26. ^ 8S. Tut&onEMu. Si productum P —2x (9n — 1) (2n —2) (2n — 3)... .(n-1- 1) dividatur per potestatem 2", quotus erit productum ex omnibus numeris imparibus: 1.3.5.7.9...(9n — 1). dene Dr&MowNsTRATIO. Cum sit gy 1.2.3.4....2n Cae P1334... n multiplicetur supra et infra per 2" eritque 0 .9^.4.2.3.4....2n 784,6,8:,.;. 2n ac divisione actu facta fiet P —2".1 3.5.7...(2n — 1). Q. E. D. P À. m. T. Il. p. 60. 89. TursonEMA NUMERICUM. Si sumantur quotcunque numeri pro lubitu, veluti quatuor p, q, r, s. hincque formentur bini ordines totidem aliorum, hoc modo «q—p, b—p-r-4q4, c—p--q--r, d—p-r-4--r--5 similique modo «—5s, f-—s--r, y—s-r-r--q, 90—s-er--q-t p. 1 1 1 1 wm tum semper erit 23e anta aab. a Veluti si fuerint nuweri dati 1, 2, 3, b erit.a— 1, b — 3, c — 6, d — 10, & — b, (9 — f, y — 9, 0 — 10, eritque 1 1 1 1 1 13.610 5 1.3.0(3 C 1.3.47 1.3.59 * 477.939 — 9 À. m. T. II. p. 208. L. Euleri Op. postbuma. T. I. * 34 266 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Arithmetica. 90. TukonkMA. Si proposita fuerit haec formula zz — aa -4- 9abx -4- max? -4- 2dea? -4- eex*, in qua sit m — bb -4- dd — ff. tum eadem forma sequentibus modis repraesentari potest: 1) zz — (a -- ba)? -- ax (exc - d A- f) (ex -4- d — f) 2) zz -—mcm (ex -- d)* -- (a A (b — f) x») (a 4- (b — f) x), unde sequitur z — a 4- 5x si fuerit vel x — — ie f vel x — — Ex altera . . — — 0 z—cm(exr-rd) si fuerit vel x— bas vel; 2— P—Ü Praeter hos quatuor valores operationes vulgares praebent adhuc sequentes sex valores .. 2ae 4- ff — dd .... 2a(b — d) .... 2ae 2- ff — dd vis 2a (b -- d) Lose arp H a8 apu cM umrm —apgugpeidio omm TAL NC Le 1. 3aade -- 4ab (ff — dd) $2 (ff — bb)? — 4aaee (ff — dd? — 4aaee — . Sabee A- 4de (ff — bb)" À. m. T. II. p. 163. .* F , * D LI * 1 * ^ , e " ^; . * erg - B ; * L ' * * B ^ * | d is | Sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires, (Conf. commentationem de eodem argumento in Actor. Acad. Berolinensis tomo V. A. 1749 pag. 139.) $ 1. Dans le commerce littérare de MM. Leibnitz et Jean Bernoulli, on trouve une grande controverse sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires, controyerse qui a été traitée, de part et d'autre, avec beaucoup de force; sans pourtant que ces deux grands hommes fussent tombés d'accord sur ceíte matiére, quoiqu'on remarque d'ailleurs entr'eux une trés parfaite - harmonie sur tous les autres points de l'analyse. Cette dissension parait d'autant plus remarquable qu'elle roule sur un article de cette partie des Mathématiques qu'on nomme pures, et qu'on ne croit ordinairement susceptible d'aucune contestation, tout y étant fondé sur les plus rigoureuses démon- strations. Car on sait, que les autres questions, sur lesquelles les mathématiciens ne sont pas d'accord, appartiennent: à la partie appliquée: des Mathématiques, oü les diverses: maniéres d'envisager les objets et de les ramener à des idées mathématiques: peuvent donner lieu à des controverses réelles; et on se. vante méme souvent qu'elles sont tout à fait bannies de l'analyse ou des mathématiques pures. ^o $ 2. -En-effet,.la gloire d'infaillibilité que cette science s'est acquise, souffrirait une grande atteinte, ;s'il| y avait des questions sur lesquelles les: sentiments seraient non seulement partagés, .- mais ou il serait, méme impossible de découvrir la vérité par une démonstration évidente qui puisse * mettre fin à toutes. les disputes. . Comme il n'y:a aucun doute qu'un tel accommodement entre les divers sentiments de MM. Leibnitz et Bernoulli n'ait lieu, je vais examiner l'un et l'autre, en pesant. les. arguments. que chacun .allégue tant pour la confirmation de son sentiment que pour la réfutation du contraire, et. j'espére bien développer cette matiére et la mettre dans tout son jour, de [. sorte. qu'il n'y reste plus aucun doute, et que l'une et l'autre partie sera obligée de reconnaitre la solidité: de.la.décision que je donnerai, et qui mettra fin à toutes les disputes qui pourraient encore naitre sur cette matiére. dés: 3. M. Leibnitz donna le premier occasion à cette controverse avec M. Bernoulli, . quand il avanca dans là CXC épitre que la raison de 1 à —1, ou de —1 à --1 était imaginaire, puisque le logarithme, ou la: mesure de cette raison était imaginaire, oü il supposait évidemment que les. logarithmes des nombres négatifs sont imaginaires ou impossibles. . Là-dessus, M. Bernoulli déclara, . dans. la CXCIII építre, qu'il n'était point du méme avis, et qu'il eroyait méme que les loga- rithmes des nombres négatifs étaient non seulement réels, mais aussi égaux aux logarithmes des 2170 . L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. mémes nombres pris affirmativement. Il soutient donc que l| (4-2) — L(—2), ce quil veut prouver par l'égalité de leurs différentielles, vu que dio t et de méme di (—2)-— -——--t. c — c xc Contre cet argument M. Leibnitz réplique, que la régle commune de différentier ler logarithmes, en divisant la différentielle du nombre par le nombre méme, n'avait lieu que pour les nombres affirmatifs, et que, par conséquent, cette différentiation diaz — n'était juste, que lorsque c mar- quait une quantité affirmative. Mais j'avoue que cette réponse, si elle était juste, ébranlerait le fon- dement de toute l'analyse qui consiste principalement dans la généralité des régles et des opérations qui sont jugées vraies, de quelque nature qu'on suppose étre les quantités auxquelles on les applique. $ ^. Mais quoique la regle de différentier les logarithmes soit généralement vraie, de sorte que diz — —, soit que a füt une quantité affirmative ou négative, l'argument de M. Bernoulli "me prouve pas ce qu'il veut prouver. Je dis que de ce que les différentielles des quantités ia et L(— a) sont égales, il ne s'ensuit nullement que les quantités mémes soient égales entr'elles ; puis- qu'on sait que deux quantités qui different d'une constante ont la méme différentielle. Ainsi les différentielles de z -- 1 et de ::— 1 sont l'une et l'autre — dx, saus qu'on en puisse conclure une égalité entre les quantités z-i- 1 et 2 — 1. Outre cela, M. Bernoulli aurait prouvé par le méme raisonnement que [2z — lx puisque | digg — 2e — T — dle, | ; et en général, il s'en suivrait que ina — l&, n marquant un nombre quelconque. C'est pourquoi de l'égalité entre les différentielles des Lx et ((— 2) on ne peut rien conclure, sinon que ces deux logarithmes different entre eux d'une quantité constante. Et en,effet, (—2) à cause de —*—4.—— 1, n'est autre chose que la -4-(L— 1). Il est vrai que M. Bernoulli prétend que L(—1)—/1—40, auquel cas il serait sans doute L(—2)— (4-2), mais c'est justement. ce que M. Leibnitz avait nié et que M. Bernoulli voulait prouver par cet argument; de sorte que, de ce cóté-ci, rien n'est encore décidé. $ 5. Dans le méme passage que je viens d'examiner, M. Bernoulli se sert encore d'un autre argument, mais qui ne difféere du précédent que dans la maniére de le proposer; quand il soutient que la courbe logarithmique a, des deux cótés de son asymptote, deux parties égales et semblables; de: sorte qu'à chaque abscisse ou logarithme répondent deux ordonnées ou nombres égaux, l'un affir- matif, lautre négatif. Car, considérant l'équation de cette courbe ydr — ady, oü x marque labscisse prise sur l'asymptote de la logarithmique, y l'ordonnée et a la sous-tangente constante, il en parait suivre, que si à la méme abscisse c répond la valeur. y —u, il y répondra aussi y —-—u; puisque, si -- uda — -«- adu, il y aura aussi — uda — — adu. Mais ce raisonnement est semblable au précédent, et il en suivrait de méme qu'à l'abscisse — c, répondrait aussi l'ordonnée y ——2u, et généralement y — nu, de sorte que cette courbe aurait non seulement deux ordonnées y — wu, et y — — u qui répondraient à l'abscisse — «, mais le nombre des ordonnées serait infini; conséquenee . qu'on est pourtant bien éloigné d'admettre. D'oü lon voit que cet argument ne prouve pas que la logarithmique ait deux branches pareilles des deux cótés de son asymptote. — à MEM. Sur les logarithmes des nombres négatifs et. imaginatres. 271 .$ 6. Mais on m'objectera peut-étre que c'est pourtant le plus sür moyen que de juger de la figure d'une ligne courbe et du nombre de ses branches par son équation, et que c'est par ce prin- cipe que les Géométres déterminent les formes de toutes les courbes algébriques. A quoi je réponds que cette méthode n'a lieu que lorsque l'équation pour la courbe est algébrique, ou du moins concue en termes finis, et que jamais une équation différentielle n'est propre à ce dessein. Car on sait qu'une équation differentielle est toujours. indéterminée, à cause d'une quantité constante arbitraire qu'elle renferme et qu'on doit introduire dans l'intégration: de sorte qu'une telle équation embrasse toujours une infinité de courbes à la fois. On n'a qu'à regarder l'équation différentielle pour la parabole 2ydy — ada, et l'on verra qu'elle contient non seulement cette équation finie y?—4az, mais aussi celle-ci y?— ax 3- ab, quelque valeur qu'on donne à la quantité b. Par conséquent, en ne considérant que l'équation différentielle 2ydy — adx, on devrait conclure qu'à la méme abscisse —« répond non seulement l'ordonnée y — Y'ax, mais encore y — Y (ax-a?), et en général y — Y (ax-ab). Cette réflexion est suffisante pour faire voir, qu'on ne peut guére juger de la forme d'une ligne courbe, en ne regardant que son équation différentielle. $ 7. Or M. Bernoulli aussi bien, que plusieurs mathématiciens qui soutiennent encore le méme sentiment, táche de prouver encore par d'autres arguments que l'asymptote de la logarithmique est . en méme temps son diamétre. Ces arguments sont fondés ou sur la construction de cette courbe, ou sur l'analogie. On se sert de l'analogie, en considérant, au lieu de l'équation pour la logarith- mique dz —", celle-ci qui est plus grande dz — 7; et dont l'intégrale est à» — C— Vp: on y remarque que toutes les fois que n est un nombre impair, la courbe a sans contredit un dia- métre, ou deux branches égales et semblables. Cela remarqué, dit-on, qu'on suppose n — f, et puisque f est un nombre impair, la logarithmique doit avoir la méme propriété. C'est, à mon avis, le plus fort argument qu'on ait apporté jusqu'ici pour prouver que la logarithmique a un diamétre; or, je ferai voir néanmoins que cette conclusion qu'on en veut tirer, n'est pas assez süre. $ 8. Quand il s'agit, dans l'analyse, des cas d'intégrabilité, ou dans la géométrie, de certaines propriétés des lignes courbes, on trouve rarement des propositions assez générales, et il y faut presque toujours excepter un'ou plusieurs cas, auxquels on ne peut pas faire l'application. On peut bien dire que cette formule a" da est généralement intégrable, quelque nombre qu'on mette pour z, pouryu qu'on en excepte le cas n — — 1. Et il en est de méme de plusieurs autres formules géné- rales dont on ne peut presque jamais affirmer, qu'elles soient intégrables dans tous les cas sans ex- ception. Ainsi, quand on dirait que l'équation docu représente toujours une courbe algébrique, quel- b. que nombre rationnel qu'on mette pour n, cette proposition ne souffrirait qu'une seule exception, celle du cas n — 1. Donc, puisque ce cas est si particuliérement distingué de tous les autres, qui sera garant qu'il ne faut pas aussi faire une exception à la régle mentionnée à l'égard d'un diamétre qu'on voudrait attribuer à la courbe comprise sous l'équation dz: — Fi Car, dans tous les autres cas oü n est égal à un nombre impair, nous reconnaissons avec évidence la nécessité d'un diamétre, puis- — que dans ces eas, l'équation est intégrable: mais dans le cas n—1 cette évidence cesse entierement, à | cause de l'impossibilité de l'intégration. Par conséquent, on est au moins obligé d'avouer que la con- celusion qu'on veut tirer de cet argument n'est pas assez süre. 272 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. : dina. $ 9. On doutera peut-étre que le jugement de la propriété. d'un diamétre soit. assujetti à de semblables exceptions qu'on doit reconnaitre dans. les. intégrations: mais je ferai voir trés clairement que, méme dans les courbes algébriques, il faut souvent admettre quelque. exception par rapport à la propriété des diamétres. Qu'on considére par exemple: cette. équation générale: y — yaax 4c y (a? (b -1- &)), et on n'hésitera pas de conclure qué cette courbe a toujours un diamétre, puisqu'en la' réduisant à la rationalité, on parvient à une équation du 8* degré oü tous les eXposatits des puissances de sont pairs. Cependant, quelque süre que paraisse cette conclusion, on en doit excepter le cas. oü b — 0. Car alors, si l'on délivre l'équation y — yas A- Va*a de l'irrationalité, on aura précisément "Hub y "— 2y Vac -- ax — y'a? c oU Y "-t- az — (2y -i- a) Va. : EC et partant, prenant encore les carrés y Hq51 y'2- 2axy? a- a? à? — &axy?-- ha? oy -i- à? 00. y*— 2axy? — ha? ay z aia!— a*y —, DIL qui, à cause du terme ^a?ay, est destituée de diamétre. Donc, puisque dans les courbes algébriques on est obligé de reconnaitre quelquefois des. exceptions, comment peut-on étre assuré que le cas en question n'en exige pas aussi? Et partant, il s'en faut de beaucoup pour que l'argument apporté prouve invinciblement que la logarithmique ait un diamétre. | eue $ 10. La méme incertitude se trouve dans les autres arguments qu'on tire de la construction de la courbe logarithmique par la quadrature de l'hyperbole. Car quand méme on tournerait Sette construction en sorte, qu'il en résulterait nécessairement deux branches de la logarithmique, on aurait encore des raisons assez fortes pour douter que ces deux branches appartienent nécessairement enserüble an et qu'elles ne constituent qu'une seule ligne continue. Pour le prouver, je pourrais rapporter plusieurs exemples de constructions par lesquelles on obtient deux lignes courbes différentes qui ne sont. pas | liées ensemble par le lien de la continuité. Car, comme on peut toujours comprendre deux lignes io courbes, quelque différentes qu'elles soient, sous une équation, en multipliant leurs équations ensemble, on n'a quà imaginer une telle construction qui convienne à cette équation composée, et elle foürnira i$ £i. les deux courbes proposées, comme si elles ne formaient qu'une seule ligne courbe. Ou bien, ayant décrit sur le méme axe les deux paraboles 9? — ac et u*— a?a,- qu'on en construise une nouvelle Hn yt courbe dont l'ordonnée y, qui répond à la méme abscisse c, soit égale à la somme des ordonnées jo ?-1-U des deux paraboles proposées; or chacune, de ces ordonnées pouvant étre prise. tant affirma- d PTS ] OTR] i ; timor 9gp tivement qüe négativement, on trouvera pour chaque abscisse o quatre ordonnées e -r-u,. $£—u, —*$-1-u, et la courbe construite aura un diamétre. Néanmoins l'équation rpm RE a M |— n3 Bb VN nous fait voir que la courbe n'a pas de diamétre, comme je viens de: remarquer "- Varticle précédent, $ 11. De plus, comme il y a des constructions, - desquelles. on tire: deux ;courbes. différentes, il y a aussi des constructions défectueuses qui ne donnent. qu'une partie d'une ligne courbe. Car. soit décrit. un cercle dont le diamétre — a, sur lequel prenant l'abscisse..— c, l'ordonnée ..y'. sera — y(ax—x*); qu'on prolonge ensuite chaque ordonnée, jusqu'à ce qu'elle devienne: égale à. la corde Y (az?- y?) — Vac, et cette nouvelle-.ordonnée . qui. soit nommée z — 'YY/ac. marquera une Sur les. logarithmes des nombres négatifs. et. àmaginaires. , 3 une parabole. Mais cette description. de la parabole ne s'étend. pas au-delà du cercle, quoique la parabole méme s'étende à l'infini. Cette circonstance prouve encore, qu'il n'est; pàs toujours sür de juger de la vraie forme d'une ligne courbe et de toutes les parties qu'elle renferme, par quelque construction qu'on en puisse donner. Ed $ 12. D'ailleurs, la méthode méme de juger de toutes les parties qui appartiennent à la méme ligne courbe, n'a proprement lieu que dans les courbes algébriques. Car, aprés avoir délivré l'é- quation qui exprime la nature de la ligne coürbe de toute irrationalité, on considére l'équation rationnelle qui en résulte, si elle renferme des facteurs rationnels, ou non. Dans le premier cas, on juge que la courbe est composée d'autant de courbes différentes qu'il y a'de facteurs:- mais si l'é- quation- n'est pas résoluble en facteurs rationnels, on conclut que tous les points qui sont marqués .par cette équation, appartiennent à la méme courbe. C'est pourquoi, quand il s'agit de eourbes trans- cendantes, puisque l'équation méme n'est pas algébrique, on ne saurait pas méme former la question, si elle a des facteurs rationnels, ou non, et partant le jugement des parties qui appartiennent à la méme courbe n'a plus lieu, si ces parties ne sont pas immédiatement liées ensemble. Et partant, on n'est pas en état de décider si la logarithmique a deux branches égales qui se rapportent de part et. d'autre à la: meme asymptote, ou non. Au moins doit-on convenir, que cette décision, quelle qu'elle soit, n'est pas nécessairement liée avec le sujet en question, de savoir si les logarithmes des nombres négatifs sont réels ou imaginaires. $ 13. Les logarithmes sont fondés sur un nombre constant, pris à volonté et dont on suppose le logarithme — 1. Soit ce nombre e, et que « marque le logarithme du nombre y de sorte que y —ly, et alors on aura y—e*. Donc le logarithme & d'un nombre proposé — y n'est autre chose que l'exposant de la puissance de e qui est égale aàü nombre y. Dans les tables vulgaires, on sup- pose ce nombre arbitraire e— 410, et alors c sera le logarithme du nombre y, si 10* — y, et dans les logarithmes qu'on nomme hyperboliques et dont la propriété est que, si o marque une fraction infiniment petite, le logarithme du nombre 1 -i- 9 est égal-à o, le nombre e, dont le logarithme "x 1, devient égal à 2,718281828^59. | Or, quelque valeur qu'on donne à ce nombre e, pourvu qu'elle soit — 1, on voit de la formule y — e^, que, toutes les fois que y est un nombre affirmatif, il est possible d'assigner à c une valeur. réelle, de sorte que e* devienne égale à y. Mais il est aussi évident que, si y est un nombre négatif, on ne saurait trouver pour 2 une valeur réelle, de sorte que la puissance e* devienne négative et — à y. . $ 1^. Il est vrai cependant que si c est une fraction d'un diocdibáfen: pair, la puissance, ou plutót la racine e" puisse étre prise tant affirmativement que négativement, de sorte que, si le loga- 1 rithme a» est — re le nombre y, dont le logarithme — k , puisse étre aussi bien. — — 'Y/e que eye. . Mais cette ambiguité ne se rencontre que dans les cas oü a est une fraction dont le dénominateur est un nombre pair: et si le logarithme a était — 2, il serait certainement faux, que 2 füt le logarithme de A — ee, puisque — ee n'est nullement égal à ee: et partant il faut au ' moins avouer que les logarithmes des nombres négatifs en général ne sont pas réels. Mais pour ce qui regarde l'ambiguité de la formule e*, dans les cas oü c est une fraction d'un dénominateur pair, | L. Euleri Op. postbuma. T. I. 35 214 . ^os LS EULERI OPERA POSTHUMA.- 5 - Ánolyna. je me sais pas si on la peut admettre dans les logarithmes.:; Car, ayant égard à la mature et à l'usage. des logarithmes, il semble qu'à chaque: logarithme ne puisse répondre qu'un seul nombre. $ 15. Quoi qu'il en soit, on ne prouvera jamais, par de semblables raisonnements, que le logarithme de — 1 est égal à celui de 5 1 ou à zéro, puisque e ne peut avoir d'autres valeurs que. —- f. Si. quelqu un disait..que. e^ peut étre regardé comme e?. et partant, comme Ve ou yY1, ce qui serait tant.— 1 que -i-1, on pourrait, par la méme raison, prouver que c' étant —2? serait égal tant à --2 qu'à — 2»,.et de plus que a-:-a serait la méme chose que a—2, et on pourrait soutenir, par le méme argument, que toutes les quantités sont égales entre 'elles.: Mais si le loga- rithme-de —- 1 n'est pas —0, il sera nécessairement imaginaire ; et puisque —y —-——1. y, nous au- rons L(— y) 4 (—1) «ly; d'ou il est. clair que, le log. de a étant réel, le.-log. de. —y - absolument étre imaginaire. $ 16. La thése qu'à tout logarithme a^ ne puisse répondre qu'un seul nombre y; sera eneore cohfirmée, quand on considére la résolution de la formule e* en cette série aiii- o. siia de : Nu ga g^ | 28^. 08. a" i n 9 (dE e m dra rrt rp sd 1.3.3.4 DOT ROCE WA Li i We € étant. le nombre dont le logarithme hyperbolique est — 1. Cette série étant regarde dni l'hi- -]yse comme tout à fait équivalente à l'expression: e^, on ne saurait. douter. que sa valeur me soit dé- - terminée, dés qu'on donne à v» une valeur donnée, puisque cette 'série est toujours convergente, quelque grand. nombre qu'ou substitue pour a. Et par cette raison, on est, en droit, de soutenir, qu'en tant que l'expression €" marque le nombre dont le log. — a, elle ne renferme jamais. aucune ambi- guité, et que sa valeur est toujours unique, et affirmative, quelque fraction qu'on. prenne pour 2, de sorte que, bien que c soit une fraction comme 5; l'expression de e^ n'aura toujours qu'une seule valeur affirmative. 3 17. Si lon voulait insister, que la formule e", au cas ms eüt une doyble; valeur, et que füt le. logarithme tant de — Ve que de -f Ve, il s'en suivrait. que les: logarithmes : itles ibt imaginaires sont. pareillement réels. ;Car supposons a zx, et l'on sait que la formule es renferme trois valeurs ! | HOT 29» "p : : ; 1 de chacune desquelles le log. serait — y Supposons Em et les valeurs de y — e? seront... Y, — ye, 4y-1vVe, odds t ye. Donc nous aurions |..." LY AY) e CY — o) : am dfi Mais Lye — le , d'oü il .suivrait que 1 — 1 — 0. Or M. Bernoulli ayant fait cette belle s OMIT découverte que LN marque la quadrature du cercle, puisque Yt est imaginaire sans contredit, il faut que. 2'Y/— 1 le soit aussi, et personne n'aura moins de droit que M. Bernoulli lui -méme, de soutenir désormais que | Y. — 1 soit — 0. r1 "nU 5 p- Sur les logarithmés: des nombres. négatifs e£ imaginaires. 275 $ 18. Ayant donc fait voir, que personne n'a encore suffisamment prouvé, que les logarithmes des nombres négatifs soient réels, mais que plutót le sentiment opposé, selon lequel les logarithmes des nombres négatifs sont. imaginaires, est conforme à la vérité; je proposerai les. difficultés qu'on rencontre de part et d'autre, soit qu'on. soutienne: que les logarithmes des nombres négatifs sont réels, soit qu'on les. prenne pour imaginaires. Ces difficultés paraítront si fortes et méme tellement remplies de contradictions, qu'on 'comprendra à péine, comment il sera possible de se tirer d'affaire - et P mettre la théorie des logarithmes à l'abri de toute attaque; or j'espere. néanmoins en venir à bout. er dM 19. Si l'on veut avec M. Bernoulli, que les logarithmes des nombres négatifs soient les mémes que. ceux des nombres affirmatifs, ou, ce qui revient au méme, que L(—1) 0. 0H trouve la diffi- culté suivante: Qu. il est vrai que la* — «la généralement, ou non: s'il est vrai, il y aura de méme | ! L(— 1) — al (— 1) —0 ce dont on sera aisément d'accord, si & est un nombre entier. Mais si 2 est une fraction, on aura aussi |'y/— 1 — 0, et par conséquent, la réduction de M. Bernoulli des arcs de.cercle aux loga- rithmes imaginaires serait fausse; ce qui serait absurde, puisque cette découverte est établie. sur les plus solides démonstrations de l'analyse. Mais si l'on nie que la^— «la, on renverse toute la théorie des logarithmes: car quoiqu'on. voulüt admettre la résolution la^ — «la aux cas que cz füt un nombre entier, elle deviendrait pourtant tout à bis inutile, . si c marquait un nombre en général ou inconnu. |. . , ..$ 20. . Qu'on dise. donc. avec M. de Leibnitz, que les bibi des. nombres négatifs ne sont point réels, mais imaginaires: et lon s'apercevra bientót qu'on retombe dans le méme embarras. Car soit 1(—1)—p, de.sorte que p: soit un nombre imaginaire, et l'on ne. pourra nier que - ijo-s id surtout quand nm est un nombre entier. Soit donc-n—2,. et nous aurons ] L(— 1) —4(4- 1) — 2p. Mais dans..la denies des.logarithmes, c'est le premier principe que Z (4- 1) — 0; par conséquent , il y aurait 3p r3 et. partant p — 0, ce qui. est contraire à l'hypothése. On prouvera de méme que ly —1, ES et les logarithmes des plus hautes racines. de l'unité devraient tous également étre —0, d'oü résulteraient les mémes contradictions qui se sont; rencontrées dans l'hypothése. précédente. .$ 21. Voilà done des contradictions assez palpables:qu'om rencontre, de quelque cóté qu'on se tourne; je ne.doute pàs, que la plupart des mathématiciens ne s'en soient apercus, bien qu'ils n'aient pas jugé. à propos dé. publier leurs doutes sur cette matiére, de peur de rendre l'analyse trop suspecte, s'ils n'étaient pas en état de sauver la théorie des logarithmes.. Car ce serait sans doute . une tache indélébile dans l'analyse, si la doctrine des logarithmes était tellement remplie de contra- dictions, qu'il. fàt Hnpossiple de trouver une conciliation. Aussi y a-t-il long-temps que ces diffi- cultés m'ont tourmenté, et je me suis fait plusieurs illusions là-dessus, pour me satisfaire en quel- que maniére, sans étre obligé de renverser tout à fait la théorie des logarithmes. Je me suis imaginé, que de méme qu'une quantité admet toujours deux racines carrées, trois racines cubiques, quatre racines biquadratiques etc. ainsi une quantité pourrait avoir ume double moitié, un triple tiers, um quadrüple. quart etc. dont l'un seulement serait réel, les autres imaginaires. Ainsi posant ly —a, je t ! j T * - 216 »—"—L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Analysis ' 1 : UJ" concevais que Uyy —329 e l(— yy)—3* et que € et qe puissent étre différents, quoique le double de l'un et de l'autre. soit, le. méme — g. De la méme maniére, pour les trois racines cubiques de y, il serait. -— -— 3 , —1—y-—3$:3 1 , Iyy la, Ld yy e et 0L—3— Yy—gm . 3* r . 4 ; oü A ix et La" soient des nombres différents, le premier o réel, et les deux autres 3€ 3 3 3 et 3 imaginaires, bien que le triple. de chacun soit — a. Cette explication me paraissait bie extrémement paradoxe. et insoutenable, mais pourtant moins absurde que les contradictions que jau- rais été obligé d'admettre dans la théorie des logarithmes des nombres négatifs et imaginaires. $ 22. Ayant fait bien sentir l'importance de toutes ces difficultés qui se trouvent dans la doctrine des logarithmes et qui méme paraissent des contradictions ouvertes, on aura de la peine à com- prendre qu'il soit, possible de lever toutes ces difficultés, sans porter aucune atteinte à la certitude de l'analyse et des régles sur lesquelles elle est fondée. Cependant la vérité est trop solidement établie, pour qu'elle puisse étre assujettie à aucune contradiction, et ce ne sont que les maniéres peu justes, dont nous l'envisageons, qui peuvent nous éblouir. Souvent, il est si difficile de s'a- percevoir de ce défaut de justesse qui se trouve dans nos idées et qui nous fait voir de si grandes difficultés, qu'il nous semble tout à fait impossible de sauver la vérité. Cela est précisément le cas oü nous nous trouvons par rapport aux logarithmes des nombres négatifs et imaginaires; car, aprés avoir bien pesé toutes les difficultés que je viens d'étaler, j'ai trouvé qu'elles ne viennent que de ce que nous supposons que chaque nombre n'a qu'un seul logarithme. Car si cette supposition était. vraie; il serait bien certain, qu'on ne saurait guére trouver le moyen de se tirer de l'embarras oü- cette matiére nous jette. Mais, dés que nous accordons qu'un nombre peut avoir plusieurs, et méme une infinité de logarithmes, alors toutes les difficultés mentionnées perdent leur force et s'évanouis- sent tout à fait, et l'on reconnaítra la plus parfaite harmonie entre toutes les vérités. - A $ 23. Je dis donc que, quoique le nombre dont on suppose le logarithme — 1, soit déter- miné, chaque nombre a néanmoins une infinité de logarithmes, * dont tous , à l'exception d'un seul, sont imaginaires, si le nombre est affirmatif; mais s'il est négatif ou imaginaire, tous ses logarithmes seront également imaginaires.: En: conséquence de cela, le logarithme de l'unité sera non seulement — 0, mais il y aura encore une infinité de quantités imaginaires, dont chacune tient aussi bien lieu. du: logarithme de M que 0. .Soient done tous les logarithmes de l'unité : )qeiya "Mo iud y» 0, ^ sn 9); DAR etc. | et puisque le logarithme de la racine carrée est la moitié du log. de la puissance, y^ étant ' tant -- 1 que — f, les logarithmes de la aep valeur -4- 1 seront Tm 1 1 Mna F 90. 0, A $ à, 35» 395 etc. T p. et. les logarithmes de l'autre valeur — 4 seront; ! lene. valo lY £o 54 | boc 39 i^ 295 3^ etc. | E Sur les logarithmes des nombres négatifs e inaginatres. 91 qui "sont. différents des: précédents, quoique leurs doubles donnent les logarithmes de l'unité. De méme, prenant les racines cubiques, il y aura: T DPe-34, $^ * * etc. vene a za, yia 37 ete. —1—Y-3 1 1 1 bz 3—1—36 35 3?; etc. et cette considération détruit déjà la plupart des difficultés qui nous ont embarassé auparavant. $ 2^. Pour prouver cette pluralité infinie des logarithmes qui répondent à chaque nombre, on n'a quà regárder le grand rapport qui se trouve entre les logarithmes et les arcs de cercle: puis- qu'on sait que les arcs. de cercle se peuvent exprimer par logarithmes imaginaires, et réciproquement, les logarithmes. par les arcs imaginaires du cercle. Donc, parce que les sinus ou cosinus répondent aux nombres et les arcs aux logarithmes, comme le méme sinus se rapporte à une infinité d'arcs différents, ainsi il s'en suit que le méme nombre se doit rapporter à une infinité de logarithmes dif- férents. Nous connaissons mieux le cercle que la courbe logarithmique, et par cette raison, la con- sidération du cercle nous conduira à une plus parfaite connaissance des logarithmes, que la logarith- mique méme; de plus, dans le cercle nous pouvons déterminer tous les ares qui répondent au méme sinus ou cosinus, et quoique ces ares, dans le passage aux logarithmes deviennent imaginaires, ils ne laisseront pas, en nous eonvainquant de l'infinité- des logarithmes, - de nous donner à connaitre leurs expressions et les espéces de non-réalité, sous lesquelles elles sont comprises; et c'est tout ' ee qu'on peut souhaiter pour l'intelligence d'une quantité imaginaire. $ 25. Soit y un arc quelconque. d'un cercle dont je suppose le rayon — 1. Soit c le sinus de cet-arc, et y son cosinus, de sorte que y — Y/(1—2?); donc, nommant la périphérie de ce cercle — 925, ou l'arc de. 180? — z, il est clair, que tous les arcs compris dans cette expression générale -t2nz-rg auront non seulement. le méme sinus —2, mais aussi le méme cosinus —y — Y (1 —«?), pourvu que n signifie un.nombre entier queleonque.' Or, puisque dg — z T yu qu'on sup- ds Y —1 —JÁd aun. Mais on sait que Iram icbrGV dh )2- z) 2- C. Par conséquent, nous aurons p — y/.— 1 L (V (1£—2?) 4- RE C, oü il est clair que la constante C est, — 0, .puisqu'en mettant 2 — 0, l'arc. g doit s'évanouir de. méme. | Ayant donc pose 2 — zy — t, et l'on aura dg ^q-—Yv-—t1 T depen rae d nous aurons ps vat (V(1 — 2?)-- e Y — 1) ou bien y^ 9— Y Le 2 Y— ). $ 26. Cette équation que nous venons de trouver, exprimant le rapport entre l'arc g et les sinus el cosinus, aura aussi lieu pour tous les autres arcs qui ont le méme sinus c et cosinus y; par conséquent nous aurons g 3t 9n — 7 L (y-2- 2 Y — 1). et. partant Jor q y — 1) — (q -& 2na) Y — t. D'oü il est clair qu'au méme nombre y 2 y — 1 répond une infinité de logarithmes, qui sont tous compris dans cette formule générale (y 3- 2n) y/— 1, oü à la place de n on peut mettre tel 978 ^k. BULERI OPERA -POSTHUMA; PSESENM nombre entier qu'on voudra. Puisque x est le..sinus et y le cosinus' de l'are. 9, posons aq — Sin et y — cos p, et nous aurons cette égalité | j | l (cos.g;, --.sin Y — jyak. (phis vy Lug. $ 27. De cette équation j'examinerai les cas principaux: qui. fourniront assez d'éclaircissement sur cette matiére. Soit done premiérement: q —0; et'il y aura c0 g —1 et sing —0, et l'équation trouvée nous donnera: gab ha gl. df riàb. nodebieno». addidi DN : | : Lim zt aix Medii silss isygen] 4 | Donec, posant pour m successivement tous les nombres entiers, les logárithmes de l'unité seront dU --O9a4y—1, -Ehay—1, -c6n y—1, 3€ 8my-— 1, ete "" "p d'oü nous voyons que, quoique le logarithme de 1 soit — 0, comme tout le monde Ie. sait, il y en a une infinité d' expressions imaginaires dont chacune est aussi bien le logarithme de l'unité, que : Q. ; HE 8d ib $.28.. Cette seule considération nous met en état de donner tous les logarithmes. de chaque nombre. aífirmatif qu'on puisse proposer. Car soit a le nombre. proposé et o son. logarithme hyper- bolique. qu'on trouve par les méthodes ordinaires; et puisque. /a — 01 4- la — «2 l4, 19s, les, do; garithmes. du. nombre a seront: | icd odioaó 2d ANN la —a, ad:9ny—4,. 623-hn yY—1, oact65n yY—1, .ez58an y — Áx. flfassviclisn dont tous, excepté le premier «, sont imaginaires. 1l faut remarquer, que je ne: parle ici. que. des logarithmes hyperboliques, auxquels on est conduit par lintégration; mais; puisqu'on sait. que. les logarithmes de diverses espéces observent toujours un rapport constant entr'eux, tout €e que je viens de diré et tout ce que je dirai des — hyperboliques s'appliquera aisément aux: xidógas rithimes tabulaires oà l'on met 110 —: f, ou à toute autre espéce- de logarithmes. ' $ 29. Soit maintenant l'arc proposé q de f80*, ou soit q — 7, et nous aurons sin .g»— 0. et cós p — — 1. Cette supposition faite, l'équation générale trouvée se changera en cette forme... a L(— 4) — (s 2 8na) V 1 (1E 9n) y md d 3 deg d'óü noüs tiróns toute l'infiité des logarithmes du-nombre négatif. — 1, car nous aurons ...5 s) L(—4) 292E a V 4, ick y e dy o V — d, cR Y — 4, o]tes o0 et de là nous voyons-clairement, que tous les logarithmes de "P sont. imaginaires et tous différents des logarithmes de -4- 1. Cela non obstant, les logarithmes de (— 1)? qui seront -F- 95. V «— 43 -k 6n y — 1, -- 102 Y — 1, etc. dob go sont visiblement contenus dans les logarithmes de -- 1; ce qui suffit pour sauver les couitaditons TM H 2 T. apparentes dont j'ai fait mention là-haut, quoiqu'l n'en suive pas réciproquement que les moitiés e tous les logarithmes de -i- 1 soient logarithmes de — 1: ce que la nature méme des quantités ne permet pas, puisque — 1 n'est pas la seule racine carrée de 3— f. i v ' $730. On s'assurera à présent aisément, :que-togs les logarithmes:de.tous les nombres négatifs sont imaginaires. Car soit —4« un nombre négatif quelconque, et soit .« le logarithme, trouvé par les 1 —— Sur les logarithines des: nombres négatifs et inaginaires. - 219 méthodes ordinaires, du nombre affirmauif --4, de sorte que L(--4) — «, et parce que L(—«) — la-i- L(— 1), nous aurons tous les logarithmes du nombre négatif — a exprimés: ainsi: L(—«a)—a-ny-1, a-3ny—1, att Sa y —1, a-E Tx V — 1, qui sont tous imaginoires. Par-1à done 1x question, agitée entre MM. Leibnitz et Bernoulli, de savoir, si les logarithmes des nombres négatifs sont réels, ou imaginaires, est décidée en faveur du premier, qui les soutient imaginaires, et toutes les objections que M. Bernoulli a élevées contre ce sentiment, n'ont plus aucune prise. sur cette décision. $ 31. Je vais plus. loin, et aprés avoir déterminé les logarithmes. des nombres tant affirmatifs que négatifs, je passerai aux nombres imaginaires. Soit, pour cet effet, 9-6, et nous aurons €05g 20 et sini — 1, d'oü-nous tirons | d'uky | , Ly —1— (3n -t9n2) Y —1 — (£2n--,) 5 y —1, et partant tous les logarithmes de -- Y. — 1 seront Ape Y 2) 45 Y— : c8 Ye .4Y—1, icc li n LL etc. . Mais si l'on wn om cause de cos gp — 0 et sin — — 1, nous aurons: i K-v- )— (C peb m) yt, et par conséquent ; j d 1 3 5 » vata L(—Y—1)——37 Y—4, ey Ku TUj* y-—1,; A9 Yy-— 1, etc. D'oü il est évident, qu'ajoutant les logarithmes de --/— 1 et — Y/— 1 ensemble, pour avoir les logarithmes-du produit —--1, on obiient les mémes logarithmes que nous avons trouvés pour -i- 1. Et si l'on soustrait les rm de —Y/—1. des logarithmes, de -—Y/— 41, pour avoir les ie : "rithmes du quotient cic ei on aura les: "e trouvés p — 1. "mv $ 32. Soit, outre eel, "d , - t ; 1 " X. " H " D i "a P. fede rl 5 et il y aura agio et snp.» - d'oü nous tirerons ^ta wie qe dies T o — ($a ins) y—1, nir 3. , de sorte que les logarithmes de — ———^ seront amd feni. NU INTUS E . —inaYy—1, —5a —1, —5aYy— 1 9 3 "$5 Y— 1, --ay— 1, 4-32 Y— 1, etc. . Soit y — — A et l'on aura cos 9 —1 et sin y -—H, d'oü nous obtiendrons 880 — - | L. EULERI OPERA POSTHUMA. .. - Analysis beef iod hie: pre e duy a y d 4 d n" | " et partant - d ——4^Y—1, 4-52 Y—1, y f "37 Y—1, —in"Y—A4, — $a Y-—A4, —S$2Y—1, etc. TT , Y3 Soit 9-— 1 de sorte que cosg —— et sing — ^7, et nous aurons —EL-y-— .9 l g- -—(g3-9mmy-—1, '"« —1--Y— 2 4 101^ 16 / , »: —34"Y—1, ny, ur Sell Pai — n 1, : 4-3 1Y—1, ana Y—4, 2 y—1, etc. LA D 4 . Enfin mettant p — — I4 on aura cos g — — 5 et sing ——* 7, ce qui donne 3 ' | | ! - (—5- -E2n)az y— 1, e | - p-Y-9——$ay—i, -- $2Yy—1, "n y—1, a 21 Y—1, x — $2 Y—1, a e bn etc | Puisqu'on sait que | PEDE NE et m Ade. sont les racines cubiques de -i- 1, qu'on fasse toutes les épreuves à cet égard, et l'on trouvera constamment un merveilleux accord avec la. vérité. ' S 33. Pour avoir les logarithmes des puissances, on n'a, suivant la régle commune, qu'à mul-- tiplier le logarithme de la racine par l'exposant de la puissance. Mais, puisque la racine a une in- finité de logarithmes, on en peut ajouter ensemble autant.de valeurs différentes que l'exposant de la puissance renferme d'unités. Ainsi, les logarithmes de (— 1) étant trouvés | cms y-1,; -E3s y—1, 5n Yy— 1, za y — 1, etc. non seulement les doubles de ces logarithmes donneront le log. du carré (— 1)', mais aussi les sommes de deux quelconques, et par ce moyen on obtiendra toutes ces formules M" 0, -t2s y—1,' -EMEy—1, X 60nV —Hd, -—-8ry—1, eic. qui sont tous les logarithmes de -- 1. De méme, joignant trois à trois les logarithmes de —1--Y —3 jak do —4—Y-—3 mes EE » on obtiendra également tous les logarithmes de -- 1, puisque pw (CE ze (CES est égal à l'unité, Sur les logarithmes des nombres négatifs et imagmaires. 281 $ 3&. Cette facilité de trouver les logarithmes des puissances est aussi confirmée par la for- mule générale trouvée au $ 26; car il est démontré que (cos q 2- sin p Y — 1)" — cos uq -- sin ug Y — 1 donc il y aura | TIT l (cos q -- sin p Y — 1)" — l (cos ug -- sin ug Y — 1), Cette formule étant semblable à la premiere on n'a dans le logarithme, qu'à mettre &g au lieu de q, et puisqu'il est permis. de mettre g -t- 2mz pour q nous aurons: . l(cos g -i- sin o Y — 1)" — (ug 2 9,umn zt 2nz) Mn o . et lorsque l'exposant est une fraction ^, nous aurons l (cos q -- sin p Y — £)?— (up 3 2mm 3- 2vnz) Y — 1 les lettres m et n marquant des nombres entiers quelconques..Par conséquent, dans les cas q — 0 el q — 7, nous aurons E D £— 3 (aigu togra)n Y — 1 et [ (a) ds zt 2um Jd 2»n) n y — 1. Et ayant égard à ces circonstances, toutes les difficultés qui se pourraient encore rencontrer dans cette matiére, disparaitront entierement, et la doctrine des —À sera mise à l'abri de toutes les NT L. Enleri Op. pothum& T.Ll. — : 36 282 ... 1. EULERI OPERA. POSTHUMA. Analysis, XII. Problema algebraicum de inveniendis quatuor numeris, ex datis totidem productis uniuscujusque horum numerorum in sum- mas trium reliquorum. Si quatuor numeri inveniendi. ponantur e, v, y, z, habebuntur sequentes quatuor aequationes: ? (m -a- y--z)-—a & (o yu z)-—6 | y (e 2-2-z)—c. z (e -- & -- y) —d Ex his aequationibus per regulas vulgares successive tres incognitae eliminari, et quarta ad resolu- tionem aequationis perduci poterit. Verum cum nulla sit ratio, cur unam. potius quam aliam quamvis eliramus, quae ultimo determinetur, nullam earum per aequationem finalem determinari convenit, sed ejusmodi introducenda est nova incognita, quae ad singulas aequaliter pertineat, et ex qua in- cognitae definiri queant. Sumamus ergo summam numerorum inveniendorum in hunc finem ? -- 2-5 y--z-— 2t, atque hinc aequationes superiores abibunt in has: e(21— v) 2a—2te —*, inde e—t— y (tt — a) g (2t — ») — b —2t» — a? q —1t— y (tt — b) y (24 —y) — c —2ty —y* yet-—Y (ue) z (2t —2) —d—2t —z? z—i— Y (tt — d). Eousque igitur solutionem jam produximus, ut ex unica quantitate £ omnes quatuor numeros quae- sitos expedite determinare valeamus, quare tantum superest, ut hanc quantitatem t investigemus, quod fiet ex aequatione ?-- 0$ -Ly--z-—2t substituendo loco e, ac, y, z valores per / modo inventos: t — Y (t — a) — y (tt — 0) — Y (i — o) —Y (t — à) 2x o unde oritur ista aequatio 2t — y (tt — a) 4- y (tt — 5) 4- Y (tt — c) 4- y (tt — d), ——""r PA mt3sÀA——coswor cwn . Resolutio aequationis quatuor. incogmitarum. 283 quae quidem methodo Newtoniana ad rationalitatem perduci posset, at labor foret maxime molestus. Alio igitur modo resolutionem hujus aequationis- tentemus. Ponamus V(tt—a)-—p, eri e—t-—p; simili modo V(tt—b)—9,;.. , -—t—4 y (tt — c) —r, y-ct—r. Y (tt — d) — s, z—i1—s$/ eritque p -À- q-i- r -i- $ — 2t, quae aequatio ob irrationales p, q, r et s in aliam debet transformari, in qua litterarum p, q, r et s potestates exponentium parium tantum occurrant, quo, per substitu- tionem loco litterarum p, q, r et s faciendam, nascatur aequatio rationalis, ex qua valor incognitae t definiatur. In hunc finem formemus hanc aequationem . X'— AX*-- BX* — CX-- D— 0, cujus quatuor radices sint quantitates datae a, b, c, d. Erit ergo per naturam aequationum: 4 —a--ba-e-- d | : B — ab 4 ac a- ad A- bc -- bd a- ed C — abc -i- abd 2- acd -- bcd | D — abed. Ponatur jam Y — tt — X, seu X — — Y -- it, habebimus facta hac substitutione istam aequationem: Y'— uY?4-65Y? —4A65y --e0 - -- AY? —34tt Y? 4- 34t* Y — At* -- BY* — 9BuY -- Bt* ) — 0. -—- CY. — Ct is ia Cujus aequationis quatuor radices ipsius Y erunt E tt —2a,:.tt—5b, tt—c, tt—d. Loco hujus aequationis ponamus brevitatis gratia hanc Y:— PY?--QY'— RY-- $—0 ita, ut sit P — Mt— 4 Q — 6i — 34tt 2- B R L—M5— 3415a- 2Btt — C | | 0 $2zP— Att52- Bi— Ct a- D. Sit porro Y — Z?, seu Z— -- V Y, habebimus , £*— PZ5*-- QZ' — RZ? 2- $— 0, eruntque hujus aequationis octo radices. sequentes --y(t—a)-—--p : — y (tt — a) — — p 2 Y (tt — 0) — -- q — y (tt — 5) — —4 -4- Y (tt —c) —--r —Yy (tt —c) ——r -- Y (tt — d) — -- s | — y (tt — d) — — s. 284. L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Aequatio haec octo dimensionum resolvatur in binas biquadraticas, quarum alterius radices sint --p, -- q, -- r, -4-$, alterius auteia —p, —q, —r, — 5$, quae sint Z'— aZ*a- 82* — yZ -- 0 — 0 Z* 2- aZ? 4- 92? -a- yZ -4- 0 — 0, in quibus erit per naturam aequationum & —p-r-q--r--$ (9 — pq 2 pr A- ps 2- qr A- q$ a- rs y —pqr -- pqs -- pr$ e qrs d m pqrs. Quoniam igitur productum ex his duabus aequationibus biquadraticis illi aequationi octo dimensionum aequale esse debet, erit P—o*-—28 Q — 8? — 9a, 4- 90 R—3!-— 280 g'i Et cum sit « — p -- q -i- r 4- $, erit & — 2t, ideoque o?— Mt, unde fit o? — 29 —ME—92928 —P-—Mt— 4A, ergo (9 — — Secunda aequatio Q — 9? — 2«y -1- 20 dabit 6 — 34tt -- B — 4 LL yba- 20, ^ A? B. sive 0-30 — 2 4t -- 2t — 5 2-55 Tertia vero aequatio R — ?5?— 2/90 praebebit M5 — 3415 4- 2But — C — y! — 40, sive 40 — — 52-3406 — 2Btt a- C a- y? hinc cum superiori fit 6 3 2 : Lu M —d tt 2- 94 yt — ^ -r- 9 Bit m 2 z^. — € Extracta radice quadrata obtinebitur 1 1 1 j y — Atzt (utha- (2B — S 4) tti À— S 4 S 4B — C) hincque : 1 1 1 NT 1 1 à—3t'-—-. Att — 4e V Bt V(we (BS) aei ,4Pb-— C) cujus quadratum erit Resolutio aequationis. quatuor. incognitarum. 285 950- 346 — T Pim T us 4 (042p 7 5 E 2- 14 Bt* -—- — ABu— 4? B 12-240 vo V(wt*-- (2B — 3 4*)u— 3 452- £ 4B — 0) — Ctt -— 1 p quod aequale esse debet ipsi $, seu huic expressioni: 1*—— 415-1- Bi* — Ctt 2 D; unde resultat haec aequatio 2u5-4- kA —5 4p "— A^ tU - ES s -1- 1915 4-102 4-2 Apu — 4p. — )--240. [. 3 2 8^ - V (w*-- (9B — 5 47) t—— & 452-1 4B — C): — 3Ctt 4p. —$4u | —D -i- 2Dt | quae ad rationalitatem reducta dabit 34 C R4 dT rec di 97. 9 1 — 1242 B s —84*B — M 4^ B —. 4B oo—as 4B 4-9 4C ac [ 4 unc 4C 2 15; 4* B? bx. t? : . —48D --424P| — LP "r4 P: —3,4:D — 84D LOC RAAD Vul 4D —d4: AP —o 3 — 12pc | — 14BC ——- 4^ BC 4 4? BD 3 1 — 3B* e pe 16 B* -4- 9€? — 5 ABD —- BD — 90BD ---;-B*C -a- D: | -i- 6CD Ponatur brevitatis gratia E — i4 — B et u — 2t, erit 4-34? E --94*E . 2-94? E? -2- 124 E? -2- &E* --64C Vu — --V4C -- 28 ACE 4-804 DE — 32DE? y — 0. — 12D -- 124 E? » u$ 4-80DE su -A- 96C D LA -- 64 D? — 84D -i- 36 C? -2- K0CE? -- 12 CE -- 12 E? 286 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Haec ergo aequatio quatuor habet radices affirmativas, totidemque. negativas, ipsis aequales; ita ut resolutio aequationis per aequationem biquadraticam perfici queat. Sunt autem 4, B, C, Det E quantitates cognitae ex datis a, b, c, d determinatae; est nempe 4 —a --b-—-c--d B — ab -—- ac -- ad A- bc 4 bd -— cd C — abc -- abd -- acd. -— bcd D — abcd oup itemque E — 4 41— B. Invento autem quocunque valore pro u erunt quantitates quaesitae i -—'"e-9, | $-tue-m £3 qua iil : du tue rad Alia Solutio. Problema etiam hoc modo solvi potest: Ex primis aequationibus est a —b — (e—a2)(y--z) b —6 — (z — y) (v4- z) S WE a — c — (e — y) (* -- z) o0 6 — d — (za —2z)(e4- y) i. & — d — (e —2z) (» 2 y) c —d — (y — z) (e 2 «) ex aequationibus prima et ultima nanciscimur i Ec a—b "^" e—d ut: 9 -——g-—.——, 9-2 -———. | ; y--z y—z Sit erre, erit À —ex— yz et facto A Vk erit k —— ea c ey e oz amy A- vx a ys, ergo k —h —2yz a- (e A- e) (y 2- z), 9dy — 9ez Ly seu k—h gy; a" C -€--d, ergo 2yz— seu yyz—yzz-dy-—ez, quae aequatio posito yz — t abit in hanc (d—1)y—(c—1)z—0.- Ponatur nunc dy — cz — u, eritque | I [0 (e—0u | NNCEDL X "7 (e—4)t eu Ee adc qui valores in t — yz substituti praebent PRER, indi. bL m d pem (0 4e-—4)u ^ pos unde prodit dese i Hi — V(cd — (63-4) t6 Resolutio ML quatuor incognilarum. 281 quo substituto in valoribus pro y et z supra inventis, habebimus (à— 9 Yt I (e — t Yt ' V (ed — (c- d) t- tt) ? T (— Y(ed— (e--) t2-t) ac addendo et subtrahendo et ll z— (c-- à — i» vo e Ayi- (e — d) Yt EstdiPo enr Y(ed—(c--d)t2-t) — — LPS cha Y (cd — (c2-d)t2- t) Hinc porro deducitur — (c-4- d) t-- tt) —— (a— b) Y (cd — (c3- d) ttt) iEEGG : VOLTA us $035) 01 (c2i- d — 21) Yt isl: denuo addendo et subtrahendo, positisque brevitatis gratia, b--c--d—a-m et a--c--d—b —n ; prodeunt ten valores pro v et c | et des PROME puewsd Y (ed — (e-4- d) ttt) "^ (n—90 Y (cà — (e-1-d) titt) IL. | €T 2 (ca-d— 910) Yt 9 (c-i- d — 80) Yt Cum autem Supra invenerimus À — ex — yx. hinc substitulis poe,a,y,z eorum valoribus | et facta evolutione prodit, pro determinando valore ipsius t, haec aequatio quatuor dimensionum — Mt (h i 0) (c 2- d—2)— (m — 2t) (n — 26) (c — 1) (4 — £). 988 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis XIII. Series maxime idoneae pro circuli quadratura proxime invenienda. 1. Antequam Analyseos infinitorum principia essent perspecta, nulla alia via rationem peripheriae ad diametrum explorandi patebat, praeter considerationem polygonorum circulo cum inscriptorum tum circumscriptorum. Ex quo fonte primum Archimedes notissimam proportionem 22 ad 7, tum vero Metius veritati propiorem 355 ad 113 elicuit; donec tandem Ludolfus a Geulen hanc pro- portionem ad 35 figuras in partibus decimalibus produxit, quem stupendum et molestissimum labo- rem certe vix ulterius prosequi licuisset. Deinde vero, cum, Analysis infinitorum ope, series idoneae rationem diametri ad peripheriam exprimentes essent exhibitae, multo minore labore ratio Ludolfiana multo longius, primo scilicet a Scharpio ad 72, tum vero a Machino ad 100, ac denique a Lagnio ad 128 figuras decimales est continuata; ex qua ratione si circumferentia circuli, cujus diameter distantiam stellarum fixarum maxime remotarum superaret, computaretur, ne millesima qui- dem pollicis parte a veritate aberraretur. 2. Assidui autem hi calculatores, quorum industria summam meretur laudem et admirationem, omnes usi sunt serie, qua arcus circuli ex tangente definitur, ita ut posita tangente —£, radio existente — 1, arcus respondens sit r 1 38 .85—.IU--l 9 — 3 5 9 i etc., —l— quae series utique maxime convergens reddi posset, si tangentem £ pro lubitu diminuere liceret. Verum cum hinc ratio diametri ad peripheriam concludi nequeat, nisi arcus ille ad totam periphe- riam assignabilem et cognitam teneat rationem, vix minorem arcum in hunc finem accipere licet, quam 30?, cujus tangens est 1. unde denotante z peripheriam circuli, cujus diameter est — 1, fit Y3 S act: 1 SLAP - : -4- : : 4 ete.) 6 —ys( $8 $095 T7294. 1L?» v. 1 r 1 E 1 seu 2—(1—;3-Rps—rs-»*—nactte)V12. Etsi enim angulus 18?, cujus tangens est y/(1 —2y), seriem multo magis reddat convergentem, duplex tamen irrationalitas calculum tantopere molestum reddit, ut nullum inde compendium sperari possit, quae molestia pro minoribus angulis multo magis increscit. inen Series maxime idoneae pro circuli: quadraturá: proaime. invenienda. 289 3. Exercitatissimus etiám calculator Lágnius, qui hunc calculum longissime est prosecutus, angulum 30^ aliis minoribus in hoc negotio praeferendum censuit; verum antequam ipsius seriei terminos evolvere posset, ex. numero 12 radicem quadratam ultra 128 figuras decimales exactam extrahere erat coactus; quem laborem certe. 12 horarum spatio expedire haud potuit, quin potius crediderim auctorem ei aliquot ddeo dies insudasse; quandoquidem summa, qua opus est, attentio, eum relaxationem tum revisionem pluriumque operationum repetitionem postulat. Hoc autem labore exanthlato ipsius seriei 265 terminos ad minimum evolvere debebat; primo igitur numerum Yy/12 ad 198. figuras expressum continuo 965 vicibus per ternarium dividi oportebat, ad quod negotium, si cujusque figurae inventioni et scriptioni unum : minutum secundum tribuamus, quinque horae vix sufficiebant. Deinde.quotos hos singulos respective per numéros impares 3, 5, 7, 9, 1t, 13, etc. dividi erat necesse, quae opera, ob divisores continuo majores, ad minimum tempus duplo majus, ideoque 10 horarum postulabat. Denique additio cum terminorum affirmativorum, tum negativorum utraque seorsim breviori quam quinque horarum: spatio expediri haud poterat: sicque totus labor intra 37 horas omni adhibita diligentia neutiquam potuerat absolvi. Nullum autem est dubium, quin auctor tempus duplo imo triplo majus impenderit. - ^h. Quemadmodum autem hic labor mirifice sublevari potuisset, jam pridem ostendi, ubi angu- lum semirectum in duas pluresve partes. dividere docui, quarum tangentes sint rationales. Ita cum sit pue tang f — Ang. tang y pedi tang g» erit per duas series ^: A wow 1 : | VS TE rn "ue 9. A — ete.) ! T od Ho Ness *s- Mer durE T $i ;— ete): quarum adeo prior magis convergit, quam Sidi, ex tangente anguli 30? petita; neque hic ulla extractione radicis opus est, quae' sola in cáleulo praecedenti laborem 12' horarum postulaverat. Deinde. prióres utriusque seriei termini :sàltem multo minore labore evolvuntur, cum vel paucis con- stent figuris, vel periodum in iis agnoscant, unde calculus admodum fit expeditus... Etsi autem hic duas series in unam summam colligi oportet, tamen quia magis convergunt, multo paucioribus opus est terminis: ita si fractionem. decimalem pro 5 ad 128 figuras justam desideremus, . prioris seriei terminos 210, posterioris. vero 132 capi. conyeniet, qui totus labor,. praecedente ratione. aestimatus, vix zd horas requirere videtur. 01059... Deinde. ex. eodem. principio, . cum sit. in. genere ^ Ang.tang iul Ang. tang 4 E Ang. tang a t erit, Ang, tang " — Ang. tang E -i- Ang. tang 1 » ideoque (muli EE yu) on 1 ! 1 — 2 Ang. tang — -- Ang. tang "i muni loni ul 'ulyo r^ $3 1 222 unde per duas series magis convergentes fit L. Eüleri Op. posthuma, T. I. 31 290 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - ; Analysis. 8 ^. nbl 1 & I «adalieicn: edili T put jhime ien — L3. c0 Qo 4- ete.) p.92 — 7.99 ' 9.913. 141.95. 1 1 1 1 uni À 1 (4 il x ani M T$. 491774197 ete.) Hinc ergo.si valor ipsius z ey 198 figuras justus, colligi dat: prioris seriei 132 terminos, . poste- rioris vero tantum 75. terminos evolvisse sufficiet, horum. autem. 207. terminorum. evolutio certe multo. minorem operam requirit, quam calculus a Lagnio subductus, extractione radicis, quae. sola tertiam partem. insumebat, exclusa. Ex quo totus hic labor. vix 18 horarum esset, aestimandus, . nisi divisio per numerum ^9 aliquam molestiam crearet. | ui VIT ^: andiditis 6. Simili modo loco Ang. tang i sí non satis abis videatur, minores introducere poterimus, ivib servatoque altero habebimus Ang. tang ; — Ang. tang ;o- Ang. tang gu? ideoque - | " —9 Ang. tang 21-3 Ang. tang.» — et 7 Mesa Jm ang n^ | ng. tang LM e 4 Ali anic dé 1(191.. 103949 dde 2—. 4 — eti.) ! "amer TRINE 3. m BE EU TOM 9.121* t p.a NEUEOGUME ebli ei^ muissddies D Verum etsi hic multo — terminos p uiodini dits divisio tamen. per majores: numéros A9 et 121 omne fere lucrum adimere videtur. Neque adeo haec transformatio: din Pe tom. in | tang x t i tan UR que praebet g- 8 11 pui g. 8 7 g- à g 19 41795 Ang. tang Foe 2 AME 79 calculo contrahendo. inserviet; etiamsi enim. series pro altero angulo vehementer. eonvergat, ;: tamen . L4 . 3 . . LJ * LJ - 4 3 « indoles fractions. 7. laborem. non. mediocriter . adauget, ita ut: praestare videatur seriebus longe Em oii dusda minus convergentibus uti. Bn 9e 2h ub *. Quando autem calculo. pumerico est consulendum, non p ad convergentiam serierum, | ^ (1t OTT '* je» quarum termini in summam colligi | debent, respici convenit, E! potissimum ad facilitatem, qua sin- t4 y 41 ICE ^ 9j guli termini per operationes arithmeticas evolvantur: dta si. seriei progressio geometrica sit admixta, calculus facillime expeditur, si hujus termini in ratione vel decupla; vel centupla, vel LN E decrescant. Quamobrem seriei, qua angulus; cujus: tangens est, '— y ac multo' magis ejus; ^ cujus tangens est — € termini non sine ingenti labore evolvuntur, qui. forte. tantus est, ut quilibet ma- luerit multo plüres terminos serierum pro angulis, quorum tangentes sunt H et i expedire, nequa- quam enim major convergentia laborem, quetiüi singulorum terininorum postalat evolutio,' compensare videtur. Sin autem ejusmodi angulis uti liceret, quorum tpgentets essent b, T, LL, ete, nullum 10" 50" 100 est dubium, quin praeter majorem convergentiani, etiam calculus singulorum terminorum mirum in modum sublevaretur. Hl 22ígo2 197 noe | 19q shy p-— Ur Ww mr í Series maxime idoneae pro circuli quadratura: proxime. inventenda. 291 8. Hunc autem usum egregie praestat alia; seriei forma, qua arcum circularem.ex data ejus tangente exprimere licet. Deduxi autem hanc seriem ex consideratione formulae differentialis | dz "A ' Y $oududi ejus integrale ratas (1 — za). Hinc enim fiet differentiando ^" ! in | do d: (1 —22) — adu, seu e (4 — a2) — z:— 1 — 0. Statuatur nunc z— 4r-- Ba? -- ^ Cara: Daz'-— Ea? -- etc. atque hine colligemus E Lu -3Bra--35Cz*24- Taf e- 9 Ex* -- etc. er p : Aaa — 3Bz*— 5 Cx5 — 71Dx5 — etc. w-drik o AID NEN EN Bw. etx. A PRCxt Singulis ergo terminis ad nibilum redigendis invenitur 4 6 8 A x1, B—34, CEP D— 7C, E — D. etc " 3 : 2.4 2.3.6 2.4.6.8 ita ut sit — Ang. das cuM red Au 3.y Le *t$5 - 2^ aug 3-6 T. gt -- etc.). 9. Sit jam jd nga jus anguli eujus sinus positus jest, — a, ^uam "t E mu —! Y (mm 2- nn) e va Te e. oe ita ut irrationalitas jam ex calculo excedat fiatque aq l - oi "mn 9mm c ' 149.4. m* ü -9. 4.6m* LE tang " PI | mm-icnn eer) T, 3.5 (mm--nn)* ^ui 3.5. 7 (mm-i-nn)* -- eic. ) .quae series non solum/A magis Éodvergt quam ' vulgaris ante usitata - CTI il i | Ape (T mro mene) sed etiam singuli termini fere pari facilitate evolvuntur, quoniam continua multiplicatio per fractiones » e 2 etc. nón difficilius instituitur, quam divisio per numeros 3, 5, 7, 9, etc. "Tum vero, in quo maximum commodum cernitur, in eo constat, si numeri mm -4-nn ad dividendum fuerint. aptiores, quam simplices potestates ipsius n, quod commodum imprimis in angulis suprà exhibitis locum habet. Haud minimi etiam. in hac nowa serie est momenti, quod omnes terminos invicem addi conveniat, cum in volgari altersaiinm atom addi et subtrahi. 10. Bienidot bane - novam. seriem angulos : supra exhibitos evolvamus, atque obtinebimus: 3 $'(T v4 a: X46 1 "n áp Ang. ung y— "Er 5 *3.5 8* * 3.5.7 grt ete) inm) inen h Q3 1 2. 9.4.6 1 bs mula ma Ang. tang 5 — Lr ew d "10 53:8" 1938 *355 ips cree.) 292 ^v^ "&. EULERI OPERA POSTHUMA. : s vos Analysis. Mile BnMoct4 5192994. 6mvdr 3 Ill. Ang. tg z Se 5 E e C5 5 MERE 5o! cree Wages 3 237 29 9 29.4 9? 9.4.6 9? | : IV. Ang.tangz, — coo VA 773 "ga59 7.3.5: 62507 3. 5.7 635 git. ete): quae series ad calculum arithmeticum máni(dsto multo magis sunt accommodatae quam. praecedentes,: cum prima exigat continuam divisionem per 5, secunda "per 10, tertia per 50 et quarta per 6250, 14 6950 — 100000 quae ideo est perquam commoda quod b ca ob causam has series mene longissime anteferendas esse censeo. ue 11. Denotet more Newtoniano in quavis-serie littera P terminum "M quo facilius pateat, pepe: EE. inde elici xs del terminum nonem atque prima forma 5 — ^ Ang. tang -; ind Ang. tang — las series - 8 9 1 1 ING IEECUPSII OCTPONSCNICP PORT ACA En- 3 1 1 6.1 É x ELM Bes dw t$ jio P bo Apt A—qPyaqPeee i154 i9 2 rode 1 1 Secunda autem forma z — 8 Áng. tang , - ^ Ang.tang — dat 341 € id Bad [Ri siu x 3 U Ji az —-r- icq PPpPBRSLP Y jg P ^ ete 599 *-ge9 44 ag (Fargo engod yetiyodl | 1 $ at ex tertia ; — 20 Ang. tang — -i- 8 Ang. tang zj dito y 9t BO god eH 98 9 1 4 1 6 1 8 1 4 AW-— 10 *w 50 P ga So P Tt wet "Xa v vy 50 ie NU ME: 144 4 M Pa. i444 p, 8. 14 P ete, 3195 ' 3 ' 100000 3$ '100000 /7,,400000......9 100000. ui esiroe SRüp. In his postremis seriebus prior ita convergit, ut quilibet terminus sit fere quinquagies minor prae- cedente; posterior vero ita, ut quilibet terminus sit fere septingenties praecedente minor; ex quo hoc commodi assequimur, ut non sit, opus in terminis. primum sequentibus .cyphras antecedentes scribere, quoniam nullum est. periculum, ut. in locis decimalibus, ubi, quivis. terminus incipere debet, "fallamur, hincque caleulus non. mediocriter sublevatur. uum , , ud d 12. His perpensis non dubito pronunciare rationem peripheriae ad diametrum, seu valorem ipsius: 7 commodissime et promtissime obtineri ex his duabus seriebus /— (5575 000005 006 ua oed i; " " "TU. H 6 inu» ,Meigovaos ibbs T — 2,8 P... 100 TP. 100 P. qo) -t eic | * . 1 » i . : i P 1 I ALB HILDH Ye t 9 — A4 4 AM 6. 14 4- 030336 tc P... y. i009 * P^ L— E E 7. j9o0oo "t tf^» neque enim certe aliae exhiberi possunt series, quae tantopere, convergant, simulque singuli termini tam facile per caleulum arithmeticum evolvantüt. ..| Hinc 'ergospeciminis loco valorem z tantum ad SELL — Series maxime: pro circuli: quadratura. prozime-invenienda. — 293 20 notas" decimales" dedueami; et'/quo calculus certior reddatur, éum ad 22 notas extendam, 'in'sin- ralis autém terminis fiheni tantum 'motabo, ut nota 29^ sit; ultimá; quoniam: hie initium 'sponte T ein patet. "Prioris ergo seriei terminorum 'evolutio ind fiabebit | 9T fidsluJeoq enbmesaiito» esion &uqo Je» og ivlovo iurr esiulq obnu'. 5e9199b 04:1 »üolg: ai msoni L. ... 88000000000000000000000 di. per 3 | 9333333333333333333333 o0 0 T etis i tite ars qvia mult per i , £ 45 imn 0U0 DOR hf Sgt dom 313333333333333333333. div. per 5 ] 71066660666066066606 ^ 1:998666666666666606666 - mult. per i5 1 u.s... , 993333333333333333. div. per 7 — . )— Rmo 51 46000000000000000 mult. per EA ? |" div. per 9 ^ 200 M3TTTUTTTTTTTTTT | PTT 910222222292:2222 mult. per 55 Y eo o . 182014 44LLLAAARA div. per 11 E sur o gu — 05465891919191919 ! 165194959595959& mult. per j—. 9" nm ses 33098989898989 div. per 13. / 9516076156076 ^s —750080559913752913 mult. per ij à VM. .uessi a4 n2 , 611058275058 div. per 15. EHEUE CUN ' 10737218337 870321036721 mult. per 45 NHLOS Uso. S91774330642113&. div. per 17 670965949 ! üb Q009RtÜg AL T enz 2 /. 10735155185 mult. per 5 BE. nee ..... 9191709103 div. per 19 (02018. .11300479 2034108625 mult. per v xi! wq vio twee. 28068172 ' div. pér 21^ Sm 193722 2 3874450 mult. per i; WR Us ^D. V. V Ra . T1489 div. per 23 - 3369 i; Hue ATO | .., 24120 mult, per MAII er Lind Ed T4 anivloro MAI ls du ay 2 x 2, ,82 di. per 23 . PERS 1423 mult. per. io 01719 294 Li L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Analysis. Hujus. ergo. seriei. 13. termini sufficiunt pro viginti duabus. notis, expediendis, ; unde concludere. licet, si calculum ad 22n notas continuari oporteret, omnino. 13n. notas, sufficere: ex quo caleulus.ad 128. notas continuandus postulabit 76 terminos... Postremi autem, proxime. constituunt progressionem geo- metricam in ratione 1:50 decrescentem, unde plures eorum evolvi non est opus. 13. Altera autem series sequenti calculo compuütabitur: Hujus ergo seriei pro viginti duabus notis tantum opus est octo terminis, unde 22n L .. . 0,3033600000000000000000 1011200000000000000000 2022100000000000000000 .... . 2912256000000000000. 582151200000000000 2329801800000000000 Bou 3354918912000000 s 47927130285711 281756.181714285 e. « M *-.A» 9 2 * 1110928185668 160103165074. 3680825320591. .... 5300388161 481853196 4818534965 "a col cer oes, 0938690 ) 9.9 » * Wb * WW e 533745 641041945 div. pr 3. 144 mult. per . 100000 div. per 5 144 div. per 7 ihult er ME * P** 155990 div. per 9 44 mult. per i div. per 11 144 mult. per ——— 100000 div. per 13 mult. per toon; div. per 15 . LI A44 mult. per ijs notae circiter postulabunt evolutionem 8n terminorum, hineque pro 128 notis sufficiet evolvisse ^7 terminos. 1^. Utriusque ergo seriei terminos inventos seorsim in summam colligamus, ac prior quidem summatio ita se habebit: - Series. maxime pro circuli quadratura: proxüne: invenienda. 295 I. 2,8000000000000000000000 II. 373333333333333333333 III. 5973333333333333333 14V. 5/770 77402500000000000000 us MISIT 655! 482058 LA, » (£yipoe, t . 33098989898989 mrwis 2,5379110920210101010101 VII. 611058275058 i6 Mae 11106421131 | ! IX. quem 211709103 i1oq essobuloyot "86i 3o. dash 7^! M968172 XL 71489 XII. 1482 2,83791109208327845625710 Simili modo addantur termini slPUS seriei ^eslkeani. 3033600000000000000000 II. 2912256000000000000 E 3354918912000000 : IV. 1110928185668 NA . 5300388161 M y 6938690 "vir. 9223 1 15-9,3036515615065157822055 , prior | 2,837941109208327854562570 m— 3,115926535897932381625 qui numerus sola ultima nota excepta justus deprehenditur, totusque hic caleulus laborem unius circiter horae consumsit; ex quo intelligere licet, si quis tantum laborem, quantum Lagnius im- pendere velit, eum valorem peripheriae z facile ad 200 figuras decimales, esse exténsurum. 15. Ceterum ad calculi ulterius continuandi- compendium - notasse juvabit, in utriusque seriei terminis prioribus revolutiones notarum. occurrere, . quibus semel observatis hos terminos quousque libuerit, facillime continuare licebit, . ita prioris, seriei termini, priores. omissis in quoque cyphris initialibus, sequenti; "e procedent; ihi notas x periodica deinceps PMID ragetendas uncinulis inclusi : -U L 2,800 etc. IL |-37333 ete. ; HM ur" "919390900 000000000000005 18208 L7 T6042 1c: IVi - :qUDM6 cetéi 6.29160 Te doa Tee CEQOU GOES L4 E90 V. 1820^4^^ etc. VL . 330(98)(98) etc. VI. — 611(058275) (058275) ete. oos VIL — 11406 (421134) (421134) etc. ov IX;oc 91870 (9103706750765374295986059691942014883221335380938) (9103 etc. i autem posterioris termini priores in infinitum continuati sunt: 296 Dbstssitst L. EULERLI OPERA. .POSTHUMA. Diu á (oc | Analysis. IL — 0,2032600. ete. 550056 J M. 291225600 etc. 7077 i! HI. :335491891200 etc; t IV. 4141092848566 (857142) (857149. pte. V. 3300388^616557 (711285) (714285) etc. VI. .693869034980391 (896103) (896103) etc. » VA. 9223120711123978^ (33656) (313656) etc. VIII. 123958742351506270157 (874125) elc. ET ^ Colligamus nunc octo priores terminos in infinitum continuatos in unam summam, ut ea statim qui calculum ulterius continuare voluerit uti queat, et pariter revolutiones periodicas in utraque summa indicemus: Summa-8 priorum terminorum seriei prioris Lo o Il. 313333333333333 35333233333); inia 193 4:305bbs obo. ilimil IIl. 5973333333333 33333333333 IV. — -. 102100000000 00000000000 V. 18201 AAA AAA VE. .....33098989 89898989898 ..,2,8379110920210101 01010101010 VH. :Goag£b, 611058 27503827505 Vlll. | eoo 11406 42113114113 , -; 2,8379110920832565,70629370629 seu .2,8319110920832565,706293,706293, etc. "Pro posteriori serie ^L 030336 | dis ses dii d. "m às 2912256 d 191/5349 HL. 3354918919 ^ idqit | Jilov svobseq FOIT |.1415092848566857142. etc. dr |... 0,3036515615059810185668571128571412857142 etc. : 3 n 53003881616537711287112857 " gulovos endriohq enmmmey 0.30365156150651108713022720000000000000 - unilgoo ullis! eredi xmi o1 ^55 /938690319803918961038961:038961:038961:03:/ 5. 00000381 VII. 9223120711123978434365 634365 631365 63 - lanis VIII. 19395871235706270157 874125 874125 87. 69479258663892786457^348^ 541132 31452 5^ " | 0,30365156150651/10871130227200000000000000 000000 000000 00. 0,.30365156150651478220560935892786457 43485,5474532,997452,5V | hinc summa octo priorum terminorum est sid; n " i 78 0,30365156150651/7782205609358927 86157 348^, 5V7832, ey at terminus sequens nonus sub nota demum: vigesima quarta quae . est.9. ineipit; -— facile accura- tiores approximationes indagare licet, ERU UUTESUUEUÁU S poumm 4 ORT MM 17 cla i)" Series mazime 4doneae pro circuli quadratura proxime. invenienda. 29' ^47. . In evolutione. quidem. terminorum ulteriorum divisio per .majores numeros impares moram eds potest, ita ut ad has operationes multo majus, tempus sit impendendum, quam supra ad minores spectans divisores- aestimavi. Verumtamen haec difficultas in serie vulgari ex angulo 30? petita multo est major, propterea quod ob plures termirios 'evolvendos, etiam majoribus: divisoribus opus est conficiendum, praeterquam quod antequam haec operatio suscipi queat, tam taediosam ra- dicis extractionem absolvi oportet. Quamobcausam dubium plane nullum superesse potest, quin cal- culator his binis novis seriebus utens longe facilius et promtius rationem peripheriae ad diametrum pro quovis praecisionis gradu definire queat, quam. si caleulum more consueto institueret; et quan- tumvis temporis spatium in hunc laborem insumere cogatur, certum est more m tempus plus quam duplo majus requiri. | ! 18. Ceterum observassé adhuc- juvabit seriem hic pro arcu ex tangente traditam etiam directe ex serie consueta 3 1 Tha Asi T ut $ sit areus cujus tangens —t, elici posse; cum"enim sit. sco qu t? E Varab. v Ta) ele eiaddemdo (emi— —— (epP—gyyt pU pete V 3 3.5 5.7 7.9 : x: t 100 Cco2009 X. f MHE££CO0BEC ; li D x D , ; 9 G 50t T 9 : j — - 3 yard 5o 7 "MnadE A. PUER Porro t & -Ld) s— : 4 : 3 pexUe..! etc 3 t t — — -——- : 226 "9:11 [ :du | IAE : XE Do ul 2 3.4 3.4 9.4 3 e— *-— s : Ae Lr 7 c — . et addendo —.. (1-0) EP LEAD QboR ifta P ^ pigisq7di 15 Sohdiois o simili modo reperitur ulterius: E T ou wo BN t pro cw VR 2.4.6 Bal À 2 TM 3 E] 7 9 (1 2- 1t)? s — C (t a UP 3 8(1 cen) sz! "cag! g;si cte it 9.4.6 3.4.6.8 P Mesi CUL 3 4. 5 1 (1 2 tt) s — t (1 2 t)? a- s; (1 2 tt) a St (12-2) a- s 276-7 pi nee. sicque continuo progrediendo evidens est de Lot M Xp RET os edtln —1-a* 3 af ' 3.5 du) ' 3.5.7 (12-0) Á su s—.—(1 E WES M AEEE CE -- etc.) m 12 3'1--t 3.5 (42-0)? — 3.5.7 (A a- t? quae series ponendo p cum ante exhibita congruit. 19. Quoniam seriei prioris terminum nonum exhibui, cujus revolutiones periodicae ^8 figuras complectuntur, seriei quoque posterioris terminum nonum hic subjungam IX. 16800055435025555673161 (293291951035376388317561/7881530234471110941999177) (293 etc. eui 23 cyphrae sunt praefigendae, antequam ad comma, partes decimales a loco integrorum separans, perveniatur, ita ut prima hujus termini periodus in loco nonagesimo quarto terminetur. Si loco L.E«uleri Op. posthums. T. 1. ; 38 298 —— -L. EULERI OPERA POSTHUMA. .. | Analyeis. / notarum periodicarum velimus fractionem ordinariam adjicere, hic terminus nonus ita finite: bqrtietur: 73 gogo god $3 IX. 16800035135025555673161 15. saa l7 4H7-3a$. al Simili autem modo prioris seriei terminus nonus expressus est | | 91002 | | ago $ATOT LS. p Deinde summas octo terminorum supra exhibitas ita repraesentare licet bs 353 14 mat , 1 ot Prioris seriei 1 ) [ : i 4" ! ej tj Summa I...VIII 2,8379:10920832505 — 104 i -—ÓÀÀ A— 431 H' 1 i "— — diis — 21002 iiio assiiod. Sls. : terminus IX (oii (MEO BU 21879 | 779 a-up— Pads ül ; i2 X5 19893 summa I.. Es 2,837911092083278081 5 Er Posterioris seriei 5. | 5 euyois die & ds Jis. 4. VIE 20, 3036515615065147822056093589278615743181 Ed o : .—— 16800055135025553673161 27. -: : 16 m bn soc flotrdd 2434 ^ obgsbbs tir f... IX 9. 3030515613065147820501 t038054080760041920613 "o . 44307 - 3 1 B - i ubi notetur esse dp mg uwta- m ^ a unde hujus fractionis evolutio: est in: promtu. Parque niodo 'est' prior fractio "o og tot witoMu tudbbqer obour iine 301979 5 9 "M 7 13 AT, n 1 [7 t1] — — áitbüdiieuil ies &nasbiro obnusiberge1q ongsigo9 ogpols 9 : F- i " i .C i tío? milidra shuüs mum — — Y obienoq esi19a 9ADD di ; 24 did (fti: I id 1153 itd ioitoe ióouronpQ Ed [: H n E ipdeoq 9uUmolp ioi122 1uifniuj23lquio2 (t£étó4edeeces rortYigdéeeceOcreJz2c00980t. XI TR o5f50.. cminoy bs mbupetas 55i ioci Juue sdsudqu) CM Nm uboheq iain? esjud £m u £h ,wlsaevieq -abaosbbs 49 ^! puge" "unde concluditur fore in genere Enodatio - insignis. cujusdam. paradoxi circa. multiplicationem. angulorum. 299 XIV. Enodatio insignis cujusdam paradoxi circa multiplicationem angulorum observati. 1. Singularis est proprietas formularum, quibus cosinus angulorum multiplorum per cosinum anguli simpli exprimuntur. Si enim anguli simpli y» cosinus ponatur — 2, angulorum multiplorum cosinus ita se habent: | cos 0g — 1 cos 1p — c cos 2 — 2x — 1 €os 3g — a? — 3x cos Ig; — 8x! — 8a -- 1 í cos 3g — 16a? — 90a 4 5a; cos 6g — 32x5 — 48z* -- 18rx — 1 cos 7g — 62" — 11225 4- 562? — 7a: cos 8p — 19825 — 95625-i- 1602 — 322a a- 1 etc. n(n — 3) n—4, gn ^(n—4)(n— 5) n-—6 EN reni, uu n—3 n—29 n-—5 Cos nq — 2 a —12 nz" ?-—2 i:2 $3 -r- ele. , seu LE i LL gn—14n((4 P ua, 0-3) ,—4, n(n—4(n—5 s. n(n—5)(n—9(n—7) s cosnp—2"7 c (1 AT n5 MN w AU A mL ouuiura ARAB ete.) ubi. ratio. progressionis facile perspicitur. 2. Neque vero hinc concludere licet, hane seriem eadem lege in infinitum continuatam cosinum anguli mq exprimere, ita ut istius, seriei infinitae summa futura sit —2cosnq; sed quoties n est numerus integer, seriem eousque tantum continuari oportet , donec ad exponentes negativos ipsius a perveniatur, quippe qui termini omnes, sunt. rejiciendi, iis solis ab initio seriei terminis retentis, qui con- stant potestatibus positivis ipsius a, et numero absoluto, qui si n sit numerus par, est vel 4-1, vel — f. Nisi haec cautela observetur, in errorem delabimur, quin etiam casu n — Ó expressio generalis ve- ritati adversatur; prodit enim gg cum tamen sit cos0g — 1, quod certe insigne est paradoxon. À * - 900 von E. EULERI OPERA: POSTHUMA. .- z Analysis. 3. Quo clarius etiam in reliquis casibus falsitas formae generalis perspiciatur, ponamus n — 1, et haec forma evadet Gramm oce caa vc DAE 1.4.5.6 c-k baa e m id) red 31893 Casa Po T Wo PRÉ 4:8.13.16.30 quae cum sit — c, cum veritate certe consistere nequit. Ut autem hujus seriei valor verus explo- retur, ea ad hanc formam reducta: a (1 Anh pEoct o MbROct (ERR CA LOGER I enel.) d QUE ga oir 4t 4.4.6.8 ^ 5^ 4.4.6.8.10 C OTT TADEEUR ita exhiberi potest: 1 pm. QT S £,1,.9 9 1.06:23.5 125958 &——2(. -L--—a -- ——— Qc 2 -i- ete, J). Cum jam sit (1 "vp aeqne i M dc 0. pog 3 (Lo sil 6 Ra | ad 2 2.4 2.4.6 - 9.4.6.8: ; "1 irang nostra series hac finita forma continetur: | eiMte05 1 SMSENOOIAY Bode we NDA e—g«(1— (1—2 Lini de aimi oo (0 -4- Y (rz — -D $ 2 Quin etiam, cum sit c « 1, patet seriei in infinitum continuatae summam adeo fore imaginariam. ita ut casu n —1, seriei nostrae generalis summa futura sit — -, cum tamen sit cos ig-a. ^. Idem etiam de quolibet alio valore ipsius n ostendi potest, unde eo magis mirandum est, expressionem nostram generalem, si justa limitatione adhibeatur, ut omnes termini exponentes nega- tivos ipsius c habituri rejiciantur, veritati esse consentaneam, et valorem ipsius cos nq praebere; cum tamen omni extensione sumta et in infinitum continuata longe aliam atque adeo imaginariam summam sortiatur: cujusmodi singulare phaenomenon nescio an in aliis analyseos partibus jam. sit observatum. Praeterea vero etiam, quod haud minus est mirandum, notari convenit, ' limitatione quoque illa adhibita, ut potestates negativae ipsius a rejiciantur, veritatem non obtineri," nisi n sit ; numerus positivus integer; si enim .& esset numerus negativus, ob omnes potestates ipsius o pro- deuntes negativas, error foret manifestissimus, cum-sit cos (— nq).— cos ng... | ume ^ 202 5. Sin autem pro n accipiatur numerus positivus quidem seü fractus, nullo modo inde veri- tatem elicere licet. Sit enim A —-5» et expressio nostra generalis hanc. induet.formam:;:; —* e mi v i: 1.5 TE 1.7.9 "gt 1.9.11.13 —58 ie ) p£n- AN 3 wgas 8.16 508.16:94 ^5 1:08.16. 94.39 C. ] roelai amtaMRE unde etiamsi termini negativas potestates ipsius c complexuri, omnes poen praeter ame pungantur, tamen neutiquam inde obtinetur 085.9, quippe cum sit cos LR ym Mültomínus 55 9e61[ imi autem reliquis terminis admissis veritati consulitur, dum series prodit. formulae ues, minime aequalis. - 6€. Hinc igitur abunde liquet, quid de forma illa canonica Ho 705616 T Enodatio. insignis cujusdam paradox circa, inultiplicationem angulorum. 301 noberu n —? n(n—3). 5 | &(n—4)(n—5) —9. n(n—5)(n—6)n—7) —8 cos ng — 2"—'g (1—1* DOE T TE. AME T m ERA a — ete.) apud plurimos auctores mirifice laudata, sit judicandum. Ea scilicet. veritati nunquam est consen- tanea, nisi hae restrictiones adhibeantur: primo, ut n sit numerus integer positivus, ubi quidem eliam .cyphra: est ' exeludenda; | deinde , ut termini, iin quibus exponens. potestatis. 2. fit negativus, penitus extinguantur.. Qui huie formulae plus tribuunt, eamque adeo ad casus, quibus n. est nu- merus negativus vel fractus, extendere volunt, maxime. decipiuntur et in gravissimos erioità illa- buntur. Quae cum sint adeo manifesta, mirandum videtur, quod istae tam necessariae cautelae, quantum equidem: memini, a nemine sint animadversae. 7. Haec consideratio occasionem mihi praebet duplicem investigationem suscipiendi. Primo scilicet in veram summam nostrae expressiónis generalis, siquidem in infinitum continuetur, sum in- quisiturus, ut pateat, quantum ea quovis casu .a valore cosz diserepet. Deinde. similem .expressio- nem generalem investigabo, quae revera valorem cos ng. exhibeat, et nulla restrictione adhibita veros cosinus angulorum multiplorum ipsius q praebeat, ita ut singulis casibus, quibus n est numerus integer, formulae initio allatae prodeant, simulque veritas, quando n est numerus fractus vel nega- tivus, obtineatur. 8. Quo utrique instituto facilius satisfaciam,. considero hanc formulam $8 — 4 (x -- Y (eo — 1))^ valorem ipsius s per seriem evoluturus, quae secundum potestates ipsius a* procedat. Cum igitur sit observo terminum. primum futurum esse — 2"4"; in sequentibus autem exponentes potestatis c continuo binario decrescere, ita ut series hujusmodi habitura sit formam $ — aa" -—- 9a —? A ya — 5-4 0a" — 9 -4— 60" —754- etc. ubi quidem est « — 9^ 4. : - 9. Ad hanc autem seriem commodissime eruendam, observo aequationem assumtam per diífe- rentiationem in aliam converti oportere, in qua tam potestas indefinita quam omnis irrationalitas absit, simulque quantitas s ubique plus una dimensione non sit habitura; hujusmodi enim aequatio facillime per seriem certa lege procedentem resolvitur. Hunc in finem primo logarithmis sumendis obtineo | ls — L4 -- nl (x A- Y (xx — 1)); tum vero differentiando: P os (ndz a LI) : (e V (a — ))— mE Hic. sumtis quadratis erit ds? — nndz? : S ———— . Seu (aem-—1)ds*-— nnssda?, r zr—1 ' quae aequatio denuo differentiata, sumto elemento dx constante, et per 2ds divisa dat 302 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ^. — : . Analysis. ' ilio — 1) dds - vdzds — nnsda?, quae jam buon habet. desideratam, ita ut quantitas $ nusquam plus una dimensione habeat, et quantitas z ab omni irrationalitate sit immunis. 10... Quia. hie quantitas zin. aliis terminis duàs, in uno vero nullam. tenet, dimensionem, facta hujusmodi distinctione, ut sit í | fiaes N01 ! tédds ^ vdards — nnsda? Ldds—9. | miei nm —4 ponamus $ — oa" 4- : a n 8 7*1. 2. P ue m-—iy. yg? —1—12 A. etc. et facta substitutione, potestas 2" —/—? talem accipiet. coéfficientem v (m —i—2)(m —i— 3 sun pear d m Moe d (m — i) (n— i— "n à qui eum evanescere debeat, quantitas »'ex zz ita definitur, ut sit 2o (m—ü(m—i—t!) Beto 7 (m—i-—23)—n ^o —Ü qué Statuatur jam pro initio ;— — 2, ut fiat » — « et j: — 0, proditque « — mm- —mn littera ut maneat indefinita, esse oportet mm — nn, ideoque vel m — n, vel m — — n. 11. Nostro autem cásu est, ut supra vidimus, m — n, atque o —9"4 quare posito n—i n—i—29 $— aa! -- o^ 73 -. yam ms -r ua" 2 yy -t- etc. . (n —1) (n — i — 1) (n — i) (n — 1— 4) eh MT (aci — m (c3) sig) unde AMÉS e prodeüni codfficientium determinationes: - — n (n—1) —n SPADA Lb un v (n—2)(n—3) 4 | .-—n(n—3) giu qp emen 7 (n—4)(n—5) ^ |» —n(n—4)(n—5) dx 12(—3) |? — 4.8.12 p (n — 6) (n — 3) 4r n (n— 5) (n.— 6) (n — 7) à UT ons Miis dius 4.8.19.16 " etc. : 19. Posito ergo s 4 (o a Yom — 0)" , ob «—92"4, habebimus hanc seriem, qua quami titas s exprimitur: i^ » AU —? n(n—3) —* nm(n—4)(n—5) —9 | n(n—5)(n —6)(n — 7) aps 2 £—2 4e (1 4 55e EL i4 aM T C MM ete.) : Hi 1 . DD * LRRDOEO . E : . Quare si pro 4 capiatur -g? orietur ipsa illa forma, quam initio pro cos nq assignavimus, existente €&-—c0sg, atque nunc quidem patet illius expressionis.in infinitum continuatae verum valorem esse $ (z "T" Y (vo — ). ; | - Enodatio. insiqnis . cujusdam. paradoax circa. multiplicationem. angulorum. 303 sicque ratio aberrationis a valore cos ng» est, manifesta, atque nunc quidem evidens est, cur sumto n — 0, prodeat summa nostrae seriei — 5 reliquis vero casibus summa fiat imaginaria, si quidem — 03 sit & «1. At si sumatur 2—-1, quicunque nümerus pro 'n accipiatur, summa semper est à eritque: propterea | | , L— -n (1— — — ior We) n (ni—4) (n 2:5) 10 n (n5) (4 — 6) (n — 7) 4.8. i 4.8.12 Dy hi 4. 8.12.16 — ete.), quod certe est theoremà non. inelegans. . UO 43. Alio módo 'eoneinnius valor ipsius. $' exprimi potest; cum enim sit 4 — cos 9, erit (€—Á sing, r et ex notis sinuum proprietatibus (cos q 2- Pr 1 .sin digo cos i4 nt iiie 1.sin ng: Quare posito cós ga — E, edt" NO eA, i, L1 ges DE ia I. dior (n —3) cft. P "e 4-8 -— uAME Y X TY a cete) cos n dmi sin ng s (1 PE: LN unde RU summam hujus seriei in infinitum. continuatae esse imaginariam, nisi sit g — 1, Seu 9 -— 0. Realis quidem semper erit dum sit c4; sed his. casibus non amplius ad sinus et cosinus referri potest; — Veluti-si a — 2, ob $— 4 (t. a-y2y erit. - ye Loo, 00A.) n3)! n(n—4(n25 | &(—B)n—6m—7 NV QR Come g" CEKTES 8.16 7... 8.46.2!" — 8.16.24.32 ete.) 2y - z 1 i ob L— e 202 £34] I At si ponamus a4 Y (za—1) —y, fit e — '—, unde obtinetur sequens summatio non contemnenda: à: -1— " on (n— 3) y* n(n— 4) (n—5) T» dean quae cum etiam vera. sit sumo n ^ negativo, erit s EN 1. à X "k(na-3) y 0. n(nae4) (na-5) ^ sy dec yy jf Ss '(y--1) ^ 1.2. " (yy- * S4 (04.2.3 * (yy3-1 11 j ; i 6 »-* etc. ^ Sit porro m -—i,Qe t npepier « i Q2M9 — -o, e o TN pm dien Ps A "a-s Kerl Ms ( oam ^ (n--4) (n2-5). (s—14)? z^ za4 --...— d ——23 3——- - dde * 2. — ua agi jg FREE c» ubi pro n omnes numeros assumere licet. " ly 6j | 0j soni P j|Q9n es9fsi2z2ajoq idu ^ - a E - ——— "3 : e 55DOW] JJ EAbÓ4sp . ] S101 [ H -1- eic. 1^. Hinc etiam alteri requisito satisfacere poterimus, quo ejusmodi expressio infinita deside- ratur, quantitatem cosng sine ulla restrictione exhibens. Sumatur enim exponens n negative, et cum sit cos (— ng) — cos ng et: sin (— Bay mi in Ah, ét ex superiori forma "T" bs : MEI o. n(na- 4) (n24- 5 cos ng — y—1. sihi ng s a (1 3987 Lopes M. Sa 17881 d ae ete. addendis his formulis pars imaginaria tollitur, et summae semíssis dabit ^^ 304: L. EULERI. OPERA. POSTHUMA. Analysis. e nq ins e— go" (1 uu M Y — Bg as — " eng eU ede » —23 n (n--3) — ^n (n- 4) (n--5) iig , | gana. 4.8 4.8.13 zo teet) Hae scilicet binae series conjunctae verum valorem ipsius cosng, existente cos y — x», exprimunt, idque sine ulla.restrictione, ita ut pro. n. omnes numeros tam negativos quam positivos, tam integros quam fractos assumere liceat. " Ubi quidem per se est perspicuum, sive ipsi n tribuatur valor nega- tivus quicunque, sive idem positivus, easdem binas series ordine mutato resultare. « ^. «5 505 15. Jam binae hae series conjunctae pro: quovis numero. integro. n eosdem .cosinus per for- mulas finitas exhibent, fiat cos 0g — 5 — 1. l. Sit n—1 eritque |... Reliquos igitur casus simpliciores evolvamus : quos initio recensui. Pro casu quidem m — res est manifesta, cum inde a «(i A 73.48 77467 4A 79 L5. 71 ete?) ! ;O zl 4 ^a 4.8.19 7. 7 4.8. 13.16 J , eia e Ls apk m 4.5.6——9 4.6.7.8 qe rne 4. r* 48.137 4.8.12. 16 - poses negalivie ipsius a sponte se destruunt, uti ex x sequente repraesentatione fit perspicuum: ^ - Y» nowqlie: (o as 1. NS 1.3.4; 1.4,5.6 xm Hae ; fae 4 4.8 iadg7 77 349.19 7 77 ele. | "rise e (€ —n Qa sumi. deb qma M he 1.1.5.6 QU net ES Zz6.,0XM. IT. 4.4 4 : 4.4.8 vC 4. 4s 8.1 ita ut sit cos gue : £r 102 f! TH e t r L UL 6t 4 PA dL Sit A2 eritque. : 5.690 —3 ^ 944 -m6' $.4.3 .—91-09)3.4.5 —8 1 ow € Eun n iw C49 COE CORN. — ete.) risit ; ME (teil itn12. 960p is cad. à aí2:5 uiu ub —$ Mies cnet) qv 1 j 4.8 4.8.43. Eni 8 19.16 1 1 Jo mE " " j quae —— series ita pa Tf exhibeantur: H4ud3udbadddl 15 T0 im. doe -Q7e393 7 9.3.4.5. —8 - diss 7E 414.2 7 04 24,2. 5 M: nodi d. i1 " 8.1.8 Q$ ^ --elc.» "i potestates negativae omnes tolluntur, ita ut prodeat cos $9 d : Soc -— & 5 Sit n2 ) ériiqué i2g[» ODD .— ;eDIOITI oMenrper malis meile Qul .11 »'Hbe ar ómnmoi»rniaa I T &205 tüisfilttieUD Tul él 7 3.1.9 —$ ^ 3.9.3.4 —s5 üSsUp - 1 - 3p - i (^ —45. m5 e. " 7—34:8.13 5 — 58.8.12;16 $63 —1 e «07 da qui Mb i-i un T6 ,3.8.9.10 "m ) | ET (247. VET ic paag d rt a ogg He rte quos qui termini hoc modo in ordinem redigantur: snmmo 4 oq idu | , i9 ,aullel &iwmigemi zieq eilumol eid. aibasbba -—— Enodatto. insignis cujusdam. paradox circa. multiplicationem. angulorum. 305 ! . — 3.1.2 "23 3.2.8.4 r-b — 5$: 7 -— mr, 5. AEN de^ mem — L9 PL POR. cos 3g — bx 3r -3-0c . TR ON. h * 3.8.13.1g * ete. -A- i e 1 d ru: 16 4 16' 3 € -retc. bhincque cos 39 — ^a? — 3a. 16. His autem exemplis casu evenire videtur, ut potestates negativae se mutuo tollant, neque id pro terminis ulterioribus patet. Quamobrem, ne ullum dubium relinquatur, firma demonstratione evincendum est, singulas potestates negativas ipsius a: in utraque serie paribus coéfficientibus signisque contrariis esse affectos, ita ut certum sit omnes se mutuo destruere. Hunc in finem utriusque seriei terminum generalem contemplemur, ac prioris quidem seriei ita repraesentatae $4. & —3 n(8—n) —* n(—n(5—n).—9. »(b—"n)(6—n(r—» —* qe (1—41« 4.8 4.8.1 ^.* 7. 73.8.12.16 — ele.) terminus generalis colligitur fore: LL gn— 4n—a4. u(e-1—3) (393—3) (C88) 3 91-1 — 5) | f (AW NRI IIAMEUSUMS 4a ita, ut potestatis 2" —?^ coéfficiens sit : gn—1 n (a--1 — n) («1-9 — n) (44-8 — n)... (a —1 — n) " | WCTONCMEL ERROR 4a Quando ergo haec potestas est negativa, seu 2& — n, patet hunc terminum evanescere his casibus: 2a —n--1, 2« — na- 2, 2 — n 4- 3, usque.ad 2«& — 2n — 2, si quidem « fuerit numerus integer. Unde in priori serie omnium potestatum negativarunr coéffieientes sponte evanescunt, nisi sit 2o — 2n — 9, seu « 7» n — 1, quocirca docendum restat, si fuerit & 7 n — 1, istas potestates negativas per alteram seriem destrui, ita ut solae potestates »positivae ipsius c relinquantur. 17. Alterius autem seriei, quae ita se habet P n —? n(3--m) —^* n(A-a-n)(5b--n) —9 nm(5-en) (62-5) (7 4-n) -—- porin(togn z* mao j*boyUr. 8. M. 4.8.19.16 — ^ Acte.) terminus generalis colligitur ^: b: cdi i ' z—^—?D0 n(8--1--n) (B--2-2i-n) (823-2) . . . (28 — 432-) gnaci ^ 4.8.12.16 ;. . . . A8 unde potestatis negativae 2 —7^-— ?? coéfficiens est ' Y n (8 -4- 12-5) (8 2-2 À- n) (82-32) . ... (98 —14 3n) | - 4.8.19.16 .. .. 48 " Statuatur jam haec potestas praecedenti 2"—?^ aequalis, seu n—2« ——n— 248, fitque «—n--48; - sicque ipsae illae potestates negativae majores prodeunt, quarum coéfficientes in priori serie non sponte - evanescunt. Ostendi ergo oportet, harum potestatum coéffieientes ex utraque serie ortos inter se esse aequales et se mutüo destruere, ubi quidem jam sponte patet alterum esse positivum, alterum negativum, ex quo utriusque aequalitas demonstrari debet. c 18. Cum sit & — n -4— 8, erit n — « — 9, ideoque demonstrandum est fore L. Euleri Op. posthama. T. 1. 39 306 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Analysis. g«—5—3/, (02 (8:9 (9-3)... (4-78 1) 7, gie tcn Dicet aee. «(2-8 1). 4.8.42. 16 .. . 4a 4.8.19. 16... 4B seu utrinque per 92-81 multiplicando 91a "ca s Ms (a7 B — 4) —938. n (a3- 1) (44-2) («4-3) . . (iB — 10. 4.8.19.16... 4a 4.8. 19.16... 48 Cum jam in priori forma factorum denominatoris numerus sit — c, singulique per quaternarium sint divisibiles, hos factores ita repraesentare licet T rà bo d AS xiu gms d 2] simili modo denominator alterius formae ita exprimi poterit M. u.s oct dis Su 3oaiagf unde haec aequalitas ostendenda superest n (843-1) (83-2) (83-3) ... («3-8 —1), n(a2-1) («2-2) (4-3) . . . («-À- B — 1) 1.9.3.4... D. 1:9.3.4.... 8 ix quae per crucem multiplicata manifesto utrinque praebet idem productum n.1,2.3.&,.. (nt Bo 1). 19. Paradoxon ergo initio propositum satis distincte explicatum videtur, simulque ratio patet, cur haec aequatio: lie TUR MEAE T PRETI cos ng — 2 a ^ e ete.) tum demum sit. veritati consentanea, quando n denotat numerum integrum positivum, simulque omnes potestates ipsius x exponentes negativos habiturae. expungantur, . et. cur. his. restrictionibus non observatis, haec expressio in errorem praecipitet. 20. Nunc autem pro casibus, quibus nm est numerus fractus, veras series exhibere possumus, quae cosinus angulorum subntultiplorum exprimant. Quod ut ostendam, sit primo n eritque 5s e(t en AG uu 65,7 40059. 179 14.9. (laii ae) 1133 I ik ialon T P dina 8.16 8.16.24 8.16.24.32 j (4 xs AU FT, 19. Pup^dis ^ 41.13.45 x "a ete.) — sig; 8.16 8.16.24 8.16.24.33 d i6 quae in ordinem secundum descr redacta dat M rir 1 Lari y 0.9 7 1.9.1 ete.) 0539 — ya "veio 2.823 ^ 8.16x4 " 9.8.1625 — 8.16.9425 ' 9.8.16.94z* ubi, si quilibet coéfficiens per praecedentem dividatur, haec resultat series: : 'ssieie 4 Y * 5 7 9 ' 14 dtc : "71MM 2^ "1s 3" 8 19? i2? 14? : | i65 i 1 Yz po—5004.4:07350 0444.3: 73 0 4.4.3:5 74 unde fit cos —q ——- ( on ) ; $$9 —— 4a! 729 7 3.4 à 68 3.4.0.88 5.66 E ideoque manifesto habebitur cos 9 m ( I 2- 1) dm Hint J^ uti constat. Enodatio insignis. cujusdam. paradox circa. multiplicationem. angulorum. 307 ^ 21. Evohpmus etiam casum a-—3g g» ac reperimus — " 1 Ya 4037 4.8 0c 44144. —85 0444.43.90. £09 3.9.77 s (toast — 12.94 .. 77. 33;34.36 "^ 7 13:94.36.48 * — ete.) 2Y/2a 12 ja. 12.94 12.24.36 12.94.36.48^ C * e.) quae binae series ita conjungantur: 1 Ey wy) - — o H 5 7 1 1 —* 1 m d 1 ri E 1.8 e E 1.10 — L—wo "— -- o —.—————dq -A4Eo—————-—- — etc. VA6 1294 121/16 12.94Y4 — 49.94 Y/16 cos ig —3 , YA 1 $ Jam ad irrationalitatem tollendam statuatur a3 — yV^, seu z — hy*, ac prodibit cos 20] El g EIS Ell Lo Isa.bl. ouk (PB. 7 180 3$, T LARA Pd 3 Pr-T 4y 19.4? y5 12.4? 7 12.94.4* y! 1 19.94.4519 12.94.36. 48y AT Sit porro y — - erit 1 x 1 1 1 14.8 BUD 4.30 4.11.14 1.13.16 €0$ 39 — q 7*3, 6,5 * 65 — 3,8.6:)1 3.9.6513 7. 8,3.6.9:011/ .373.6.938 3 7 A4: u ms ud aMrt WM MID CMM SO bu o. 3 , dass V c^ 3: 327 8.6;!! 3.621* 3.6.9:z!* 3.6.92? Í 22. In genere autem casus EET unde fit q — 60, seu pz 1, denotante z semicir- cumferentiam circuli, cujus radius — 1, omni attentione dignus videtur. Nam ob 2x — 1, fit pd C: d Ld n(n—3) n(n—4)(n—5) n(n—5)(n—6)(n—7 — 0084 7— 13 (1 E .vot c xg K3.3 «2 1.9.3.4 ete.) nud H (1 n n(n-2-3) | n(n--4)(na-5).. n(n--5) (n4-6) (n-2-7) s ete.), MANET TU Ue E LN 4.2.3.4 ubi notari convenit utriusque seriei, summam seorsim sumtam esse imaginariam, et quia utraque est divergens, minime licet eas pro lubitu combinare. Veluti si termini ordinate conjungerentur, prodiret nn 9nn nn (nn -- 107) p $^— b $39» 6:334 C09 unde séqueretur fore cos -. 7 1, quod tamen est absurdum. [Interim tamen binarum illarum TM 1 | Un prioris summa est 1 cos 3 "-—-y— 1. sin ; ^) posterioris | vero g(cos 37 — y—1. sin 27 sicque nullum est dubium, quin ambae colijunctim praebeant c0s —;:, etiam si non pateat, quemad- m | a- ^ modum hic valor ex conjunctione facta elici possit. Hinc ergo denuo insigne paradoxon resultat, cujus explicatio haud parum ardua videtur; sine dubio autem ex serierum divergentia est petenda, et series signis alternantibus ita scribenda, terminorum numero neque pari neque impari reputato: ea 1 4 —n) (5 — 4 5 dd acüc lel — P e DAT Maas ciet^ eua — te ita ut sit 308 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Analysis. j n - L : RC uc dod 3—» 3—» , 4—5(6—n») dn) | 6—9)(6—(—» n kie RE EC 1.9.3. 1.9.3 ! 1.3.3.4 : Incommoda aütem effugere non licet, nisi quantitas 2 indefinita relinquatur, ac seriei termini secun- dum ejus potestates disponantur. 23. Verum etiam hoc. modo haud leves difficultates relinquuntur; si enim numerum n sumamus L] infinite parvum, ut sit cos ng — 1 — ! nngg, ob "d anup 1 dana 2 3 Í — ni2z 2a- Inn (122? i v. ann 2^3 — 1 -i- ni2x Bi nn ([22)* — et habebimus, in singulis terminis potestates ipsius m quadrato altiores negligendo, 1 n 3n--nn 90n--9nn 910n4- 107nn E — D, Ll x x? — —MÀ — — peo — . dices *(i e CH n )(i Aus 4.823 . À,8.1925 ^ 4.8.19. 1629 ete.) 1 n | Ss dcak 20n 4-9nn 910n3-107nn --(1 — T Rr 2 Spe (1 nl 2 -- — nn ([22) (1 nab'"koe nouae ow "S Er, o o te.) ;o2M4ÓD Atque facta evolutione tam partes finitae quam infinite parvae ipso numero n affectae se mutuo destruünt, reliquae vero per nn divisae praebent — 9122 (7 -- P1 dé ea a -x -- etc.) | )$- wea p 4er . 4&.85* à$:4.8.194* ^ 4.8.19.16295 7 " ; : 1 9 107 ; —2 e 7* 3.8.1925 0 4,8.12.1628 ete.) — (12«) existente z — cos p. Ad legem hujus progressionis clarius percipiendam, ponamus 2a — y, ut sit Do : 3 ron — 1 EI: :| y—2cosgp et g74-—3 dits —4 4.5 10 | TAS | 3 5.6.7 35 1 1 4 107 p» Tamen 3 3.3.4 Cris id C 6. 3J «wi ptr ib 6.7.8.9 126 1 1 1 55 434.7 Dy? Dis tobgcuem x.t AB etc etc e D a- 4C2- ; BB , 5Dfi : 1 A B € D eritque gg — ly (7 m Eg ey He ors Ht- ele.) ePFionq 9 " 8 "i ; ^i ubi si brevitatis gratia statuamus | laxo eum ET xoci r» e d P oL ———---—----—p---—, 24- eic. rise do yy y y y fit «|. gp — 2Ply — PP — (ly, seu. gp — — (ly — Py, quod est absurdum. - has bat rorum accuratius contemplari: Enodatío insignis. cujusdam: paradoa circa. multiplicationem. angulorum. 309 21. Omnino autem notatu digna est relatio, quam hic inter numerorum 4, B, C, D, etc. et numerorum «&, 9, y, Ó, etc. ordines observavi, et quae commodissime ita referri potest, ut sit a -i- Bz -&- yz? 2 0z? ^ etc. -—4 (1 3 dz A- Bz*-— Cz? -— Dz* -- etc.)*, cujus demonstratio haud parum arduáà videtur. Operae igitur pretium est indolem horum nume- 4——Éud «4 -— ERE AL jT Ted 8 —B(1--.)—1.4 C — $347 12 r6 (be) tae Lad D— 253—510 HD titit3)—i 04m | po iiri, aieo Pw pud uar ur) (gà. Le Lap : ete. - | S ortae vot 25. Consideremus hanc proprietatem in solis numeris integris, ac formemus has binas pro- gressiones: íi 9 —3 acm. 8—5.5 $—eB(e ng 6—5.6.7 mr ma m ME $—6.7.8.9 i CREADA) € —7.8.9.10. 11 5d or 5 $1 * 1) $-— .9.10. 11.12.13 !-8 rinde dá. ed d | etc. eritque ut sequitur q—3.55, 5-394, cL 1082-657; 2-556-- 1098, 6 —69-- 15316 -- 20777, | f— 16 -- 21919 4- 35:8G, su 9[—7.1G-- 7599 05 mg 705468 c 1751, Ec cy gu unde lex progressionis est. manifesta. : Vel erit | fa bea er 4 MAL ae — E (1-e V e Po eder g ne): Q9 *3.3 "3.3.4 ' 3.3.4.5 910 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Analysis 26. Pro insigni autem hac .proprietate sequentem. inveni demonstrationem, qua. simul indoles hujusmodi formularum penitius perspicietur. .. Ponamus brevitatis gratia 9 a ut sit cos y — ay atque ex superioribus habebimus | n (n4-3) 3) 4, n"(n4-A) inddi " cos nq — Iob 364 vorn e P rt :X 4e cone p y*-- ete. ). Evolvatur haec series secundum potestates. indicis n, fingaturque - cos ng — Y — 1. sin ng — y"(1 -— nP -- nnQ -- n* R a- n! S a- etc.), quae forma quo facilius intelligi possit, novo signandi modo utamur, scilicet propositis quotcunque numeris «, 9, y, Ó, etc. diaec seriptio --t- denotat. ^ - Lc (o, B, y, 9, etc.) summam singulorum o 4- 9 2 y -- Ó 2- etc. (v, 8, y, à, ete.) ?! summam productorum ex binis i (a; 8, y, 9, etc) *?' ' summam productorum ex ternis ; "Á | (e, 8, y, 9, etc.) ^ summam -productorum ex quaternis - ia "* ete, | -ubi: observo si index.suffixus aequalis sit, multitudini. numerorum, . hac scriptione omnium productum exprimi, tum vero semper esse («, Q, y, Ó, etc.) '? — 1. Hoc autem scribendi modo adhibito erit (30 PL Das (5.6.79 , — (6.7.8.9) ;,, p—iüe4 se Ure eid gree- (90 , — (4.50) 6 5(5.6.700 ^, — (6.7.8.909) ,, Q—-3 e yr | 3.34 angor es — Qe.50 | (56m) L4 - (6.7.8.9. TN RUE»; TUS ERA | ef ypiy ret .- (5.6.7) (9? (6:7.8.9)) Sm T 3i D LEES y Ty For Ayr no 7:8. (0) ; ] T- e UE: etc. " etc. ' k 27. Nunc autem observo: fore simili modo | 15 cos Ang — Y — 1 . sin Ang — y" (1 a- AnP a- 2* n? 0 4- fa ? Rc ete.) Cum autem sit, uti constat udigpes dn seul cos Ang — Y — 1. Sin Ang — (cos Ag — Et. sin ng), j bg d erit quoque cos Ang — Y — 1. sin Ang — y^" (1 a- P. - n* Q a- a! BXsete. y E ideoque 1 4- AnP A- 2? n? Q 2 2? n? R 2— etc. — (1 -- nP a- n? Q a- n? Ra etc.)^, quae aequalitas. subsistere nequit, nisi sit ' | PES e 9 IS Q— P, RP, $— UP rpg m egtojé2o19o1q xal bau Atque hine porró colligere licet, cum sit . PET X x ————————"" ————s (—À ———————— : Enodatio insignis. cujusdam. paradoax eirca. multiplicationem angulorum. 311 ; —n$9Y —1 cosng — Y —1.sinnpg—e nunc autem invenerimus P cos ng. — Y — 1.sin ng — rec 15 aid fore — y y — 1 — P 2- ly, ideoque qq — —(P-A- yy, quod cum. videatur absurdum, ita résdbi oportet, quod P' semper sit quantitas imaginaria; sicque explicatur paradoxon supra $ 22 allatum. 28. Verum ut ad propositum revertar, cum sit Q- pp, si brevitatis gratia valores $ 24 explicatos introducamus, erit P — yy a- Ay* a- By 4- Cy5 4- Dy*? -i- etc. e Q— ay*-i- Gy a— yy* a- oy'^ -- etc. unde valoribus Q et — ! pp aequatis nanciscimur supra observatas relationes, scilicet TR B—4A,; y eB 44, Ó — C -- AB, ez D--4C4- 7 g BB et ita porro. Hac igitur demonstratione confecta, aliarum similium formularum complicatarum reso- lutionem coronidis loco subjungam. 29. Problema, Hanc formulam e (1- y(1 —a))" in seriem infinitam resolvere secundum potestates ipsius a progredientem. Solutio. Statuatur z —a (1 4- Y 4 —2a) )"^ et posita serie, quae quaeritur, z — 4 a- Bo -- Cr a- Dx? 4- Ex 4- etc. evidens est fore 4 — 2"a, unde sequentes coéfficientes simili modo ut supra definire licebit. Sumtis logarithmis habemus /z — la A- nl (1 4- V (1—) ) et differentiando dz . ond — Multiplicetur numerator ac denominator per 1 — i — a) prodibitque ; dz "ndz(| — Y(4 —2) ndr ndz *& 9rzY(»—a) X 9s 3$sY(--a) et irrationalitatem tollendo ; "dz — dz nndz* 9e ^ x) -. Azxr(0—ao) n .., dX dv ndx de nndz* Ponatur z — x? o, ut sit — — —— a fietque T cQr seu ^am (1—2)de* — nneedz^, quae aequatio differentiata et per 2dv divisa praebet hax (1 — 2) dde 4- 2» (2— 32) dede — nneda? — 0. dz TL— "es eri differentiando EM C Cum nunc sit — — ^ at 312: m L. EULERI OPERA POSTHUMA. (vb Analysis. de? T üx* c ndads., "nda? "D m pr ergo ddv — ddz ndzdz | n(n--2)dz* atecaf n galicti se e c 9 qx qz 4cz unde facta substitutione: haec (1 — 2) —ÓÓ (1 —2) E a-n (n -- 2) (1 — 2) da? dazdz zo h(2— 3«) da? ue, IE -i- 2x (2—32) — nnda? Jugis | qz kac (1 — «) ddz — (n — 1) dedz 4- 2 (2n — 3) xdaedz — n (n — 1) zda? — 0. Cum hic variabilis x partim unicam, partim nee dimensiones obtineat, distinguendo hos terminos -- hzddz Bbersr éieiar drdz | " | — hacddz -- 2 (2n — 3) ededz — n (n — 1) zda? — 0. statuamus z —4^-Ba--Cexz--Dz*-- 25 20.2 2— Ma Nat? -- etc. ortoq 63i Je et potestatis a" co&fficiens erit | -r- N (ui (i27 1) — * (n— 1) (i4-1)) 4 M (— Wi ((i—1) -À- 2 (2n — 3) i —n (n — 1)), qui cum evanescere debeat, habebitur i 7 Qi—n) (B4 — na-1) Ne 4 ((é2- 4) (£ — n -- 1) M. Nunc autem novimus esse 4/ — 2"a, quare sequentes coéfficientes erunt jl je5 éasbios 000m (n 4) " ii1e90l 22 0 (06—2(0-3 p: 150-3 ies 8(n — 3) vicc Du 48 4 (000 (—5(n—5 ,. — ^(—4(n—5) st 12 (n — 3) C zi 4.8.12 4 etc. Sumatur a — 27^, ut fiat 4 — 1, eritque 1-2-Y 4 — 2) "Uu. n n (n —3) n(n—4)(n—5) , n(n—5)(n—6)(n—7) , (^74 )-71—ie— Gu. 73. 4g LU. qeuN COMM quae est series quaesita. 30. €oroH. 1. Sumto c negativo, sequentis seriei n n(n — 3) n(n—4)(n—8) s , n(n—5) (n—6) (n—7) 4 i-E.EU CTS 4.8.13 jade Qt € uM n erm » ex.cujus combinatione. cum praecedente, alternis tantum terminis summa erit -—( sumendis, summa assignari poterit. —SEP— REPE 9 Enodatio. insignis. cujusdam. parados eirca. multiplicationem. angulorum. 313 31. Corol. 2. Si exponens n negative capiatur, binae sequentes series ad summam revocabuntur n n(n--3) n(n--4)(n--9) s . n(na-5)(n--6)(n--7) , i-g;t612 | 7 74.8.13 GLEISMG . 5 6 0 ; 2d |ofA-—Y(0—2w-—" g4f1—Y(4 —2^ hujus seriei summa est -(——) 2 (S * Tum PRÉC) n (n3) d n (n 4) (n 4- 5) " Meno reet pi ete., 4775-73: 771 48.18 ^. 4.8:12.16 cujus summa est, — 2" (9 ty. 32. Problema. Hanc formulam Ya enti -oy in. seriem infinitam resolvere, cujus termini secundum potestates ipsius a progredirentur. Solutio. Posito z -— acera my erit quadratis sumendis zz — cem hineque DO RLW EAT EL ELA quae forma in priori continetur, simodo ibi loco c et n scribatur ax et 3? quocirca colligitur statim series quaesita: n(n—6) , n(n—8)n—10) & | n(n—10)(n— 12) (n — 14) $. 8.16 ^ "SHUT 8.16.24.32 dba cas n 1 — 3 €t quippe cujus summa est. — (C Agr -»y. 33. CoroH. Sumto n negativo, ut prodeat haec series Li / n n(n2-6) , | n(n--8)(n3-10) g . n(na-10)(n3-19)(n-1- 14) s "—PÁ E. C TRE CUT. FEET Te hujus summa erit — (eoa —2y ", quae reducitur ad hanc formam: (cs --2) " Ya-— JT. 3*. Scholion. Omnes series istas, quarum summam hic assignavi, in hac forma complecti licet : n (n--3) n(na-4)(n--5) |. 5 n (n4- 5) (n 4- 6) (n-4- 7) 1.2 1.2.3 1.9.3.4 s—1--tly-- y^ -r- etc. eritque s -(EEEMy^ unde patet si fuerit y — 1, seriei summam esse imaginariam; realem 1 autem, si sit hy — 1. Casu autem y — —- erit, uti jam supra observavimus, 4 n n(n3-3) | n(n-a-A)(n--5) .— n (n-4- 5) (n-1-6) (n-4-7) — disi d4ES CO xgémor o SERWMEBNEIUS OL NER diuini: Verum illa series pluribus modis transformari potest, ex quibus hunc solum casum affero, qui oritur differentialibus sumtis, erit scilicet L. Euleri Op. posthuma, T. I. TU 314 j L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Analysis. ds 3 4 5 -5 6 x TET "e ^y a Member y T n (n-- Dern ya E ONT " TN 12-Y (4 — Ay) mr tg Quare per n dividendo, hujus seriei $3 Sue y 4- Tn da Por AE RM eit ei: ED 1--V(d —4)N—^—* summa est "yu 3- Vel scribendo n — m — 3, hujus seriei (m 1) (m4- 2) y (m-4-92) ke nasse 39 (m -i- 3) (m 2 4) (m -- 5) (m 2 6 - ) 4 ; Eget 1.9 1.3.3 1.9.3.4 "Y 7t. eto. 0 ye-ya od Wm 9 ; summa est xx Vd - 4) qUUUN Uwe Fra aestimatio. sortis in. ludis. 315 XV. Vera aestimatio soris in ludis, Multis laborat difficultatibus mensura sortium seu expectationum, quas habent collusores vel de deposito certantes, vel victi victori designatam pecuniae summam solvere obligati. Ea nimirum mensura, cujus fundamenta Paschalius posuit, et post eum Hugenius, Jac. Bernoulli aliique celeberrimi viri insigniter excoluerunt.. Secundum. horum sententiam non imprudenter ago, si ludum suscipio, quo aeque facile evenire potest, ut centum rublones vel accipiam, vel perdam. Sed si omnes meae opes tantum 100 R. valent, imprudentissime mihi acturum. videor hunc ludum suscipiens, lucrum enim respectu damni, quod aeque facile accidere potest, nequaquam satis est grande. Casu secundo consequor 100 R., eoque ergo duplo ditior fio; casu adverso vero teneor meos 100 R. alteri tradere, hoc igitur in extremam paupertatem pervenio, . et. infinities pauperior fio... Quis autem. sanus se ex- tremae paupertati et deterrimae. conditioni exponere volet, ut duplo tantum ditior reddatur? Sin vero bona mea multo essent majora et fere infinita, tunc minus dubitarem hujusmodi ludum. inire, cum casu secundo tanto fere efficiar ditior quanto adverso pauperior. Maxime hujus rei veritas evincitur sequenti ludo: Promittitur ipsi ^4/ jactus tessera instituenti, si mumerus punctorum fuerit par, solvere 1 R.; si secundi jactus numerus punctorum fuerit par, pro eo solvere 2 R.; pro tertio, si punctorum numerus itidem par sit, R., pro quarto 8 R. et ita porro, quoad impar accidat punctorum numerus, quo in casu nihil accipit /Z, ludusque finitur. Quaeritur expectatio ipsius 44. seu quanti hanc conditionem alii. vendere fas sit. Invenitur autem ex regula ab auctoribus citatis tradita, expectatio ipsius ;/ valere infinitum rublonum numerum. Egregie vero hie interrogat clariss. Nicolaus Bernoulli, quis tam esset stolidus, qui non mallet 20 R. accipere, quam propositam conditionem. Ex quo maxime elucet. discrepantia inter aestimationem sortis secundum regulas et eam, quam sanae mentis homo esset facturus, quippe regulae requirunt innumeros rublones tanquam aequivalens ludi propositi, hie vero viginti rublonibus merito se contentum esse posse putat, eumque amentem existimat, qui vel 20 R. tantum pro hac conditione soluturus esset. Sed in hac quaestione, ut in omnibus aliis praecipue attendere convenit ad opes ejus, cujus sors quaeritur, quo enim quis- .que plus habet, pluris etiam hujusmodi conditiones aestimabit, et cui infinitae sunt opes, is ludum 316 L. EULERI OPERA POSTHUMA. .. Analysis. propositum infinito pecuniae numero emere ratione posset, parte tamen infinitesima tantum suarum opum. Regulae igitur aestimandarum sortium expositae ad opulentissimos pertinent homines, aut si id, quod ludo acquiri et amitti potest, rationem habet minimam ad opes collusorum. Si vero col- lusoribus opes sint finitae et lucra damnaque rationem finitam ad opes teneant, regulae illae cor- rectionem desiderant. Nisi enim hoc praestatur, homines ad eas aestimandae sortis suae causas confugere tuto nequeunt, et ita illae nullius prorsus essent usus. Quocirca ad veram cujusque sortis existimationem indagandam necesse est, praeter ludi conditiones etiam opes ludentium considerare et conclusiones ab iis pendentes conficere. Is ergo ludus mihi non aequüs videtur, quo « vel lucror vel perdo, sed is demum justus est censendus, quo « vicibus vel ditior. vel pauperior reddor, siqui- dem utrumque aeque facile accidere potest, et in hoc casu mihi perinde est ludum sive suscipere sive recusare, ad illum vero ludum nullo modo accederem, nisi essem ditissimus. Sed id etiam multo magis est certum, eum esse stultissimum putandum, qui mecum secundum posteriorem con- ditionem ludum suscipere vellet, et mihi. 100 v. gr. R.- habenti, si lucrarer 100 R., solvere; si vero perderem tantum 50 R., a me recipere esset contentus. Ex hoc igitur injustitia omnium ludorum perspicitur, nisi instituantur ab hominibus infinite divitibus. Quantae autem cujusque sunt opes et divitiae, non tantum ex argenti et bonorum quantitate, sed praeterea ex ejus studiis et facultatibus, ex quibus ei quoque foenora affluere possunt. Hoc igitur modo cujusvis hominis opes determinari convenit, simulque pecuniae quantitas aequivalens definiri potest. Quamobrem opibus cujusvis certam quandam argenti quantitatem substituere licebit, quam status ejus nomine in sequentibus appellabo, atque propterea quispiam in duplo meliorem statum pervenire dicetur, cujus opes duplo fiunt ma- jores, vel potius qui censet se duplo opulentiorem esse factum. Is enim demum duplo ditior est aestimandus, qui aeque proclivis est. duplam argenti summam erogare in casu, quo antea simplam tantum expendere non dubitavit, His ergo praemissis, qui in ludo, vel negotio quodam duos casus habet objectos aeque proclives, quorum altero in statum 6, altero in statum c reducitur, ejus status valere putandus est y/bc. Hic enim status tanto esse debet minor altero b, quanto est major altero c. Qui igitur eum in statum yc collocare promiserit, ei sortem suam cedere jure potest. Simili modo, qui tres obvios habet casus, quorum- unus ipsum in statum 5, secundus in statum c, et tertius in statum d constituit, ejus status valere y/bcd Deer me est, aut ab alio, ut illi sortem suam cedat, in hunc statum Vbcd constitui debet. ! 'ATERHE Regula ex his habetur haec: ommes status, qui singulis casibus evenire possunt, in se invicem multiplicentur et ex facto radix dignitatis tanti gradus, quot sut casus, extrahatur, erit haec" valor status expectationi aequivalentis. Secundum methodum hactenus usitatam oportet ommes status, qui singulis casibus evenire possunt, in unam summam conjicere, eamque per casuum numerum dividere. Discrimen igitur inter has duas methodos in hoc consistit, quod nostra multiplicatione utitur, quando altera additione; item elevatione, quando haee ipsa multiplicatione; sive nos operationes geometrice instituimus, illi: vero arithmetice, ita ut quas operationes hi ad ipsos status accommodant, ' nos easdem in statuum logarithmos transferamus, ejusque quod prodit logarithmi numerus respondens, nobis indicat statum ludentis quaesitum. ^ Sint m casus, quibus in statum 4, n casus, quibus in 5, m— — horum factum est 4-1 Vera aestimatio sortis 4n. ludis... : 311 p casus, quibus in c ete. constitüor. Erit status meus medius, seu expectationem: meam repraesentans mn P ui Y. a^ b^ ch; nam m-i-n-3i-p est numerus omnium casuum, et a" b" c^ est factum omnium statuum, qui singulis casibus evenire possunt. Status medius vero ex regulis Hugenianis est .ma -- nb -- pc m--np cui similis nostrae formulae logarithmus ma A nlb ^ plé m -- n-- p Valeat status meus 4 et oblati mihi sint casus m, quibus a lucror, seu quibus in statum ^ -a constituor; casus vero n, quibus 0 lucror, seu in statum 4 -- b pervenio, casusque p, quibus c lucror, ideoque statum 4 -i- c adipiscor, erit status meus expectandus "Y'a EE p (4 4- ay (4 a- 9 aestimandus igitur sum lucrari my Y" (A2-a)" ác -4- b)" (4 -i- c) — 4A. Si ponatur 4 esse infinities majus quam a, 6 et c, erit m-Encp.. AERTEP OV ny rrqut-p. (4 ta 2) zur dd m-r-n-p ; n n Heareogl... aute! / (4 afr LL amp, ndm t m-r-n--p et woo yy) orem 28 GOES p4m2--p c (4 4- c)rtmep o (PI REP A É : --n--p -- nb-r ma | : / prr. a quo si auferatur. 4 habebitur p--n--m ma -- nb -i- pc m--n--p quod est valor lucri mei, atque eadem est formula, ac si lucrum expectationis meae ex regulis Hugenii deduxissem. Ex quo id perspicitur, quod initio annotavi, si status colludentium infinite sint magni, regulas traditas veram cujusque expectationem praebere. In formula vero nostra, ex- pectandum statum praebente, facile perspicitur, si litterae a, 5, vel c loco lucri detrimentum signi- ficent, iis signum — praefigi debere. Sit unus casus, quo ego bona ./ possidens adipiscor a, et unus, quo perdo b, erit status meus expectandus — Y/(4 -- a) (4 — 0), qui valor, si major fuerit quam .4, lucrari spero, et hic ludus statum meum meliorem efficere censendus est; gratis igitur conditionem hanc alii non cedo, sed ab eo postulo, ut mihi solvat Yy/(4 3- a) (4 — 0) — 4, quo in statum speratum collocer. 318 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Contra autem si^ V (A4 -- a) (4 —b) minor fuerit quam 4, ludus ad meum damnum dirigitur, ideoque optarem ludum deserere, vel alium in meum locum constituere, cui ut suscipiat etiam A — Y (A -- a) (4 — b) persolverem, non vero majorem summam, quia vel hanc persolvere, vel in ludo | manere. mihi. perinde esset. Quando vero tum ludus. mihi prorsus est indifferens, .neque dubito eum suscipere, neque alii relinquere. Accedit vero hoc, quando est Aa — 4b --ab, | vel PP. a—b i. e. si excessus lucri super damnum est ad damnum, ut lucrum ad meum statum. Hujusmodi igitur ludus mihi aequus est existimandus, non is in quo est a — b. Si enim lucrum a aequale est damno 5, aeque proclivi, ludum semper, nisi sint mea bona infinita, ad meum damnum suscipio, et tantum susceptio ludi aequiparanda est damno : to uii 1 a 1 a* 1 a5 5 a8 SEEN. 2 umline .. — 9 —— -— — — D. A4 — y (A E "uua utt ia » ox -1- etc. Réflexions. sur une espéce siguliére de loterie. 319 XVI. Réflexions sur une espéce singuliére de loterie, nommée Loterie zénoise. (Lu à l'Académie de Berlin le 10 Mars 1763.) SII Un Italien proposa autrefois un projet d'une espéce de loterie qui paraissait fort au goüt de la plupart des hommes, à cause des gains trés considérables qu'on y pouvait faire sans presque rien risquer: Le plan était entierement différent des loteries ordinaires, parce que chacun pouvait | déterminer non seulement sa mise, mais aussi la grandeur du gain auquel il voulait aspirer. ll y avait plutót quelque ressemblance avec le jeu de Pharaon, à l'égard des mises arbitraires qu'on peut mettre sur telle carte qu'on veut; mais il est pourtant différent par rapport aux prix que chacun peut choisir à volonté. L'arrangement de cette loterie dépend uniquement du calcul de probabilité, et l'entrepreneur, au lieu d'en tirer un profit fixe, risque de perdre trés considérablement, quoique selon le plan dont je viens de parler, il soit probable qu'il gagne une bonne partie de tout l'argent qui y aura été mis. C'est à peu prés comme si je m'engageais à payer à un autre 100 écus pour un qu'il m'aurait donné, dans le cás quil jetterai avec trois dés, la premiere fois, trois six; il serait trés possible que je perdisse à ce jeu 99 écus. Or la probabilité de gagner un écu étant 215 fois plus grande que celle de perdre 99 écus, l'avantage est de mon cóté et est estimé valoir : écus, ou un peu plus qu'un demi-écu. (C'est à dire, si je m'engageais de cette maniere envers 1000 per- sonnes dont chacune m'aurait donné un écu, je pourrais estimer mon avantage à 537- écus, quoiquil soit possible que je perdisse 99000 écus. C'est sur ce pied qu'on pourra évaluer l'avan- tage de celui qui entreprendrait. la loterie mentionnée, en comparant la mise de chacun avec la probabilité qu'il aura de gagner. Description. de cette loterie; Cette loterie consiste en 90 billets marqués des nombres 1, 2, 3, ^, etc. jusquà 90, desquels on se propose de tirer au hasard 5 à un temps fixé; et alors ces cinq numéros feront gagner ceux qui en auront auparavant choisi un, ou deux, ou trois, pour y attacher leurs mises. Car on peut participer à cette loterie de plusieurs maniéres différentes. 4 320 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. I. Ou on choisit à volonté un nombre qui ne surpasse point 90, et on paie aussi une somme d'argent qu'on jugera à propos. Alors quand ce nombre se rencontre parmi les cinq qui seront tirés, on retirera un prix qui sera un certain multiple de la mise. II. Ou on choisit deux nombres à la fois, auxquels on attache une certaine mise, et en cas , que tous les deux se trouvent ensuite parmi les cinq tirés, on recevra un.prix assez considérable à proportion de la mise. Or si l'un d'eux seulement se trouve parmi les cinq, on recoit aussi un prix moindre. Ill. Ou on choisit trois nombres à la fois auxquels on attache à volonté une certaine mise, et l'on peut s'attendre à un prix quelques mille fois plus grand que la mise, en cas que tous les trois nombres se trouvent parmi les cinq tirés; mais les prix seront moindres, lorsque deux des nombres choisis, ou un seul s'y trouve. j Je ne me souviens plus de la grandeur des prix en détail qu'on paie en chaque cas, ce qui n'importe rien aux recherches que je me propose de faire; mais on comprend aisément qu'ils pegvent étre trés considérables pour le cas oü trois nombres qu'on aura choisis, se rencontrent parmi les cinq tirés. Et si l'on voulait admettre des quaternaires, le prix fixé pour le cas oü tous les quatre nombres se trouveraient dans les cinq billets sortis, pourrait au delà de 100000 fois surpasser la quantité de la mise. j : D Il est évident que ni le nombre 90 des billets, ni celui des 5 qu'on tire, n'est essentiel à la nature de cette loterie, et qu'il est absolument libre d'établir un nombre de billets quelconque, et d'en tirer enfin plus ou moins que cinq, ce qui me mene à des recherches plus générales qui peu- vent servir ou à former d'autres plans de telles loteries, ou à examiner ceux qui pourront étre pro- - posés par d'autres. ! Posons done n pour le nombre de tous les billets marqués des nombres 1, 2, 3... . . n, et qu'on en tire au hasard t, et tout revient à déterminer la probabilité que d'un certain nombre de numéros qu'on aura choisis, il se trouve ou un seul, ou deux, ou trois, ou enfin tous dans les £ billets qu'on va tirer. Or, selon le nombre des numéros, la détermination de la probabilité qu'on. cherche, se réduit aux problémes suivants: i1. Probléme 1. Le nombre de tous les billets étant — n, dont on doit tirer au hasard t billets, trouver la probabilité qu'un nombre choisi à volonté s'y trouvera. Solution. ll est évident, par les premiéres régles de la probabilité , que pour que le nombre choisi se trouve parmi les t billets qu'on va tirer, le nombre de tous les billets étant — n, la pro- babilité est — -, et pour quil ne sy trouve pas, la probabilité est ——. Donc la solution fournit: que le nombre choisi ^ se trouve parmi les billets tirés, la probabilité est E ^n—t qu'il ne s'y trouve pas « yr v 2. €orollaire 1.: Donc, si le ponis de tous les billets est 90, et qu'on en tire 5, comme dans le cas proposé au commencement, * itin oen AU EE ERE EE EE sain Réflexions sur: üné espéce singuliére de. loterie. 321 vro dH cis cs! qu'un nombre choisi . ' ..|;.la probabilité est oq not , 5 1 es siddedow s! Q7 esse Ürouve; parmi les 5. billets... T E rnob a | Uu b 15 3 4' l , 1 erexit I 2 o90gpout ! 1; 85... 157 | x qu'il ne s'y trouve point »— iu Milidgl Corollaire 3. g.' $i lon établissait" 100 billets, et qu'on en voulüt tirer 10, ayant AT un hombre à volonté, alot ^'^" «^ T Ine vol ' que ée nombre se trouve: est. qno Hg probabilité est ! X idolo t — parmi les 10 billets Uis) i08 io ug qu il T sy trogve pas Eo RA ,100 40... ds Probléme 2. Le nombre de tous les billets étant —j dont on va i t billets, si l'on a choisi deux nombres, trouver la probabilité ou que tous les deüx à la fois, ou qu'un seul, ou qu'aucun ne se trouve parri les billets tirés. Solution. Distinguons les : deux nombres choisis, l'un par 4, lautre par B, et que A4 se trouve parmi les : billets urs Regulis est —A et. quil ne sy trouve point, MP, mu 4 4 Supposons que 4 s'y trouve, déjà, et pour voir si P s'y trouve aussi, ou non, il faut considérer que de n — 1 billets on tire dischi 1-——1, et que P s'y trouve, la probabilité est €: et qu'il ne s'y trouve point, C— . Donc que "tous les deux noibres f et P 8'y trouvent à la fois, la ' probabilité est, — E p et que le seul nombre 4. s'y trouve, la probabilité est — coda IY La mene | probabilité est pour que le Lu nombre P s'y trouve; donc que l'un-ou l'autre sy trouve sans distinction, la probabilité .est..— D 1. Or, «qu'aucun des: deux ne s'y trouve, ou que tous les deux restent parmi les: ! — 4 nombres non tirés, la probabilité ser Tec, d'ou nous. tirons les con- €lusions suivantes: e que de deux nóinbres' choisis | là probabilité est. tous | les deux | sy trouyent : , eT . qu'un oup $y trouve: ! d ; | *01 101 qu 'aucun ne s'y trouve - ACE? A i 5. Problóme 3. Le nombre de. tous; les billets étant —n, dont on va tirer au hasard t billets; si l'on a choisi trois nombres, déterminer la probabilité ou que tous les trois, ou deux seu- lement, ou un-seul, ou aucun ne se trouve parmi les billets tirés. Solution, Distinguons les trois nombres -— T. les lettres 4, P, C, et que les deux, A et P, se.trouvent parmi les billets tirés, la probabilité est xu sd et qu: 'aucun ne s'y trouve, aa potinet Supposons que les deux nombres 4 et B- sy trouvent, et nous aurons encore à considérer n — 2 billets, et à chercher la probabilité que.le nombre C se trouve parmi les ?-— 2 billets qui en sortiront; or, cette probabilité est évidemment Li et que € n'y soit point, la probabilité est L, Eu le ri Op. posthuma. T. T. , hi L4 392 -L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. N —— Donc, pour que tous les trois nombres 4, B, € se trouvent parmi les billets tirés, la pro- t(t—1)((—2) . n(n— 1) (n—2)? : Mais il sera également probable qu'on. y. trouve seulement les deux 4 et C, ou les deux sans C, la probabilite est babilité est — | | t(t—3) (n—1) 7 »(n—1)(n—2) B et. C; donc, pour que deux seulement, sans distinction, se trouvent dans les t Milicta tirés, la probabilité — St (t— 1) (n—?) —; mais que les deux est — a a ,le nombre . de tous devant maintenant n(n—1)n—2) autres B et C se trouvent parmi les. billets restants. — £, (n— t0) (n—t— 1). (n —1) (n — 9). et puisque chacun des deux autres, B et C, peut or, que seulement 4 et P s'y trouvent; Ensuite, que le nombre 4 s'y trouve, la probabilité est —. á ; donc, pour que le seul nombre A la probabilité est, — t(n — t) (n — t — 4) n (n/.— 1) (n —2) ? la probabilité qu'un seul, étre regardé comme n — 1, s'y trouve, la probabilité est — s'y trouver aussi problablement , quel. qu'il Soit, Sy trouve, est — 8t(n —1t) (n —t— 1) sid . 3 D'oü nous concluons n(n—1)(n—2) e. : / $m "me que de trois nombres choisis a probabilité est — Y EA. tous. les trois sy trouvent. . - vA que deux seulement s'y trouvéiit XADES | T | eol. inrieqd | vg i quun seul s'y trouve | . e M ac$ NUES Ww quaucun ne Sy .trouye. « . e ps EE inéq oruoWWe. ü Le nombre dé tous les billets étant -—— n,'dont on va tirer t billets: si ou que trois, 0ü 6. Probléme 4. l'on à choisi quatre nombres, déterminer la probabilité, ou que tous les quatre, Qu.aucun d'entre:eux: me se trouye dáns les billets tirés. | 550004 6d Désignons les quatre nombres. choisis par les lettres 4, B.C, D, et ayant. déjà ou deux, ou un. seul, nous. n'avons quà combiner avec chacun de ces cas deux seulement, ou un: seul, Solution. déterminé la probabilité que des trois nombres 4, P, C, ou tous les trois, ou aucun ne se trouve dans les billets ürés, la probabilité que le quatrieme nombre. D s'y trouve aussi, ou non; ce qui nous fraiera le chemin de pousser aisément nos recherches à aütant de nombres choisis qu'on voudra. Reprenons donc les formules trouvées pour trois nombres A4, B, C, et joignons y la probabilité que le quatrieme JD s'y irouve, ou non: que le quatriéme . D que des nombres 4, B, C il à 4 : F * TLR [» se trouve dans les billets tirés | là probabilité 'est s'y trouve | ne s'y Cice pas iH t n M 1 ATEM T 23 £d : TOM YES | t—3 | n—t tous les trois. . . "IUDN TY METTI sema dé Heb !agrol 3t (t — 1) (n — t) t—92 n—t—41 e — seulement .. .. ael qan Lem. 9 0 "3:(n—2)(n—t—43) t— natzuguoroti sa n . : [ un seul n (n — 1) (n — 3) | 0x$— n-3 uii BUGUB obi. ictu mto 200i Dan Mifostodis ón fezcaullid dis n n (n—1)(n— 2) "—3 n—3 De là nous déduisons la probabilité : to. Mioaasbivs des COMM DNE NEN RO. NEUTER TN zi d nc NL n - mime Réflexions sur. une: espéce: singuliéré de loterie. 393 vio :que.les trois 4/;:.B,' C. avec. le quatriéme I) s'y ttouvent mom o[ emptum s onpeiq ,solwuriob(aw)(egisyte—moq cile soia sd moo eb exddioá SC b OA A nzier2:072 Il. que les trois 4, B, C, sans le quatriéme D; s'y trouvent, et que deux des 4, B, C avec le nombre D s'y trouvent t(t—1)(t-9)(n—?) ^ 3t(t—13) ((—9)(4—1) 2 n3,9173) 0-9 n (n—1) (n—2) (n —3) donc que trois quelconques des quete 4, B, C, D sy trouvent, la i probabitié est At (t 1) (t—9) (n— t). n (n — 1) (n — 2) (n — 3)" 'Uo'Li ) IIl. que deux seulement des trois 44, B, C, sans le quatrieme D, s'y trouvent —6-D (n — t) (n — t — 4) ^n (n — 1) (n — 2) (n-— 3) la probabilité est. — et qu'un seul des trois 4,. —— dle quatriéme J) s'y trouve. . 3t (t— 14) (n — t) (n—t— 1) à (n—1) (n—3) (n—3) la Praten - -- done que deux quelconques AT M des quatre nombres 4, B, C, D se trouvent dans les billets tirés 1, 6t (t—1) (n — t) (n —t — 1). n (n— 1) (n— 2) if 2 Mitidi ! i id el eu b Bp IV. qu'un seul des trois nombres A, B, C, sans le quatióme ) D, LIA trouve la p sera — *"St(a—)(b—t—1) (n2 t9) la probabili est. dia n(0—1)(n —3) (n —3) et que nul des trois 4, B. e mais le quatriéme ]) seul s'y trouve f(n—1) (n—t— D (n—t-—92y P probi est ^is- "e-D)e-$6-5 ^ donc qu'un seul quelcónque de. iius les: quatre A4, B, C, D, se trouve dans les billets tirés ? 4t (n — t) (n — t—1) (n —t2-9y Mi 9'H&Up ieioid HIEY d /1 n(-0)0-30—3 ids la probabilité Sera — cb T. eufig, qu aucun us trois P . B, C, ni le quatriéme D ne se trouve dans les billets tirés yi) Jp. et eUO ji iit Jut 9 (—t—1)(0—:—9) (—1—3) á la probabilite s sera — : a(—D6-38—3- 7. Probléme n "Le nombre de tous les billets étant — n, dont on va tirer £ billets, si lon a choisi aütánt de nombres. qu'on véut, déterminer la probabilité" de toüs les cas Qa qui peuvent avoir lieu. I (À ! | " Solution. La iéthode que je 'viens d'expliquer dans la solution du pridie précédent sert .à découvrir successivement les probabilités de plusieurs nombres choisis, et. la loi:de leur progres- : ' iE I6 wj ^ : 324 sb. EULERI- OPERA: POSTHUMA: dash. sion étant évidente, nous n'avons qu'à mettre ici devànt les yeux: les: formules-pour-ehaque nombre de numéros: qu'on aura choisis. Mais pour.abréger|ces formules, puisque n marque le nombre de tous les billets, et ^ le nombre de ceux qu'ón en vá tirér; désignons par r le nombre de ceux qui restent, de 'sorte' que«r p — tj: ou m ——t-r.susop si ense QOL us ou cs] sup LH juóvuod va « srdmon »i l. Ayant choisi un seul nombre: |. | Ale S x3 4) m /4 -— ink (Let Fa - i m T dans les billets tirés 'a aedi est | lea. 5difidedoda. sl c diermoitiv a (C |. 7,9. s P deup: eab ;esapao: Manp eio sup 5nob se trouve có Bomba... V uv í£.— — 14! , (3 -— $ LINE -—5A)M b Vi -. 3 ( T *. . . i—— md A quil ne sy trouve Ma | i: L | Jaovuod! v2 (i emórispp 9| senes , . X. zio13 295 Dern 9e xy9b 5p JH Il. Ayant choisi deux Mos de | (b —3—358) 6-8 (0 -—3 T" que dans les billets tirés, « | i. :Já "probabilité" esp s : ] : J*E C -—L--T it t — e f & se trouvent tous les deux. e Q oin 5S10H6 )Bp 4? jd. NoD. Cim: 2 124 13 3o e»b Iusz nt "p 15 (E ere) mE (3) 38 —tis M | el E : — 34; 5H í ji un seul . . . B . » (&- - $$) ( «e. Sp i I — 66) aM, vt 2 END. ipie n(n—1) . agb fnsvix 1 à» Q( C 8 X 2eeddmon o:gqup m Wpurdyos ^2 pypesoieen zyob gp. omob nu . . . H LI . L] . . . V We » : n(n—13) 25115 ejo[lid IIl. Ayant choisi trois nombres:! -:—:)965—5)(9—99 Milidadoq 5l | ' EB oe s)(S m 8)(E n Nd | d que dans les billets tirés " la probabilité est so ve .( smoienp 9I enge T) £qu quat e y" 23b hme nu pp VI se trouvent tous les trois. . . EID 5— x 4 (€ —3—59 (1 —1—40--2)X T 2 Pasa ji L— cx de» sHlidedotn al ] (€ -— «(€ -— w) (Tj Sc) i t(t—1Tyr FS deux 9SMIBeNU 71V 4. 3. m 1 e 3 46" mbUoU ve lu5e (V satoifsup 5! D 3^4 V 2ioti e9b lire up. i tr spice " CaR un seul . $1 e L v. . if n — à Á— M * An 354) Qt52)dfo nl ét 6 — «(€ OT]-—-um sx "Y r (r — 1) (r — 2) ,, Pul e$! Znób a*nuo »& 430,97... V VU m(n —4) (n— 2): etis [noe nu "up nob. IV. Ayant choisi quatre nombres:., : 560 i19e ddilidedoq " : —— DIOE S4 5001 , D $)(f -9)mn que daus les billets ürés ^ |. ' ]a probabilité est 41 »ellid »a| eneb. svuod se 9n (À ombordsop ll ia ^ & HL gi e yq ^m up. qiias . se trouvent tous les quatre . a "PU EL) —1p* n MET (gu ) (S — 370) (1- uon) (Y — $0) ü [idi fo ^q gl A - . - x 52 1 M * j $ (& -— $1] T- ev S (t - $8) 0 meni "" » tris seulement . . . . ; . ) d )r —h.p: - s ' n (n — 4) "i: 2)(n—3) . efollid Yoewid svo Jgob 5 — 3065 sJodid eM eno] ob exdmonu 51 5 snmi$Edos Y : x i t(t— 1) r(r— 1) Mas. - "up eoldieeo eux seulemeni:;!;4o:« o6 senierrpob E m -m6:D? ioiodo & ao T . .uoil iov dire tr(r—1)(r—9) - iov isvimq. un gl 1.727 DTI pas —&pD' hee inobóoiq emóldow ub nmoüsnuloe ni eneb Tenpiljxe'b emeiv TIm )e sBifisd? c1 -anothutos vaapge smesosab 6 -av1901q Tuo| oindb! s 5 ..2)5i0d» 253dmon ziusied Li Qr EP" CRENE-CPEWRUUPS PPP TIPP ÁN OT DNI ENTIS . Réflexions. sur une espéce 'singuliére de: loterie. (335 V. Ayant choisi cinq . nombres: ane ar wy e mt eerqprueun impo r3 5— —q que: dans Nen tirés ue Lei 5 da probabilité. est "à AEn Mi. tr vent tous. goi t(—06—9—56—5 "À 6 -— ," NA! p rou T ; AT 9t cing e "À : * ; ( "» 2 3" (n —4) (n — 2) (0 9) (n — G-- ó ft 6-8 6 (5 t(t—1)(t—92)(—3)7 quatre seulement . . . . . . S. (n —1y(n—3) (—3) (n —4) 9upedo emsb 40b. gyitog. eapupisii e»9 esiu01 9b jiusieg mp5b Z3) (3 -—pPe Mipedo eHeb 300m. seulement ' inii 299 e3300] "9b Pu 10. zs: de d ES DdPES 9ppsilo 95 1hqg^e in dDp ti 1.5 '& Ja». — :eeritibire "ín m$ oc)er 9) TIEI AO "^00 deux seulement: ;/:50.^ Jnoja»tosi] pqbuod $0. I PENR Bas 22. qo E *»s psu — sg: E11 iE tr (r — 4) (r — 2) (r — 3) .rus seuliuiogenm) quo psriepenl sppib(r eso jajoq,onao1q oc ao op 9b169 o1hnodq did 5535 e3P or 92, mr 3) (r 7:2) (r3) (04) zq4go *h | n (n — 1) aros (n — 3) "n oIdsdosi Je9.:lii 3aobh: eotomnn. 225b. etdero 9]. 3iomsIg22 3091 rpasru el6E-. .29»11 [ 9D ?JH620q295 VIL. Ayant choisi six nombres: | Gem A "- : r , s E. 3 - ' " - LAM . T 4 9b ef j nul^. t ie0f179, e4D D9i, JIQIUIRIT IUn 24:5 51H 2Jeild 291 itu01160 .269 5UDp&5io no .Jüoviod! se eil iH 9b esldieeQq 253 ,que, dans les Metacinthein Sifadeie ja E probabilità, fS oso 11 JMimurT-5 [895 $d "tédüvent toüs fes? sit ^! POM ") obnai vot (t 4) (t — 2) (€ —- 3) (£— 4) (t —5) sciam 25-007 30-—-90—40— 5— xa ode (—1)6—9)6-96-5c * ! |. (n — 1) (n — 2) (n —3) (n — 4) (n— 5) 4. ax ..16—0—9) (—3)£(r—) 3 n Re ^ (15-1) (n — 3) (n —3) (n — 4) (n — 5) -—6F' cinq seulement. . . . . aen ( SF quatre seulement ; .'.;. trois seulement "— M M. e deb (t — 9) r (r—1) (r — 9) —20F? | UU va gebogiy "n(n—1)(n—2)(n—3)(n—4)(n—5) Sdellid 5 1911! sgetdg Seülemenelid s» sb sHo9)6 pr sg45id (t5) r(r—1)(r—2)(r—3)* — .- 2 x gs ge à I a - De S030) sr ausb eJasqioiFieq xue Tov6q 9b sgildo Jes no'up ,oJilkgo b io rütiotno ri915b j : (r—1)6—3,—3 (r—4 » 1 un seul . . . . " " " . 6. MURUS ENCCÓU- P 51 6F ) etTuo[poj eim "el amoeoqque .9eim el & 5anolhroqo exojmol, 2 xy £u joe nt 2c eL at Conte «is 36 )(F—- 8) 28) ( — ye 2sy 9p riw e»| £191491 uo li ,àveq ss. insetti) ad sll agp fmclm m m Y LE -59e "1979D1285052 Jusl il , 12115 125 TUN J iie 9^ | "ete 2^ £n Jü ra^rriolno» rummtoléb enolis eagon 99 ,291 KImom . 319 (21 BD Uo 2101] DUO ,. ib HIJO. tiu iei ott 5 "'Hi5 Ineqisihneq 3l O0 &£93 £^! f151 a Pour abréger, | j'ai dondil à chaeune de ces formules une cislàine marque. dont je. me servirai ii dans . $9JII5 Y HU? la suite. C'est donc, de là 15 v'il , udra losioyrs rer da signification de a $8, marques. 8. Corolaire4. lest évident;:'comment les!valeurs des marques de cliáque ordre se peu- vent aisément trouver des valeurs : des marques de l'ordre précédent;''La' müámiére $üivante semble la xg simple: Ü "S F : .0. 4 —e|q.9vpoU ve sq^li üp En'3 — Va9 ^gnlusvg goa gio ,, nei o1idos. on Tirvp "b ,ulaa. n siii yt li'up 'V »gob Ja» 5ijilidsdo1q s.l ———. 4" B'———45, p , : :] L—— " ' J ME n t , | L—»'*. jioz li'tp »aob frzf i.t sei te Non aslu: Lm iul -.5ile251 eb $5hle51 2| naoles inp $3—— —-p3 $o ^ NS ELE EPT zfes9 Job zit sb Je C— —SB. Cm —,P, CB d | st 326 ^L; EULERI OPERA POSTHUMA: indlpiis. D——c, pi— 05 — 2 cdi —C ; D* aso; in iái — D i—— (c geapuri pas 2o— rà ALRGR t—3 o o r4 E* ——,D^ E NC Og AEST can , E) L— z^ d-— d ee rh pu Dur pss c t—5 '5 ue , 5 UE 4 3. .7—2 ps 9. .7—3 po "Reb 177 LoT —5 po Fg : FE "m5. phLE', Kee n— uL essi ver (o Feci etc. | M sse $$) 9...Corollaire 2, Le calcul des valeurs de toutes ces marques pourra donc, dans chaque cas, aisément $e faire par le calcul dés logarithmes. C'est à cette fin, que j'ai séparé de chaque marque son coefficient numérique dont on tiendra facilement, compte;:.aprés- avoir trouvé la valeur de la marque. | Mm MEET 10. Corollaire 3, l| faut donc bien prendre garde qu'on ne prenne point ces marques pour des. puissances, puisque les nombres, qui tiennent lieu des exposants, neisont pas de vrais exposants de puissances, mais ils marquent seulement le nombre des numéros dont il est probable ,c * ON'Tíéo CIE OV ETT rio i2inid e 4 ? ! J quils se trouvent, en chaque cas, parmi les billets tirés. —— — - vidmton Tie feiodo dug " 11. Corollaire 4. Puisque les probabilités, prises "ensemble, "dé tous fés cas possibles de chaque ordre, doivent doner ') 'üne Mertikude compléte, leur somme. sera.toujours égale à l'unité. Ainsi l'on aura: 14'-2—- 14*— 1 ,. Maonislusa AB? -- 2B'-- 1BD^ — 4 3624:3C?4- 3C! 4- 10 —14 1D'-2-&D?-- 6D* 2 &D'-- 1D*— 4 etc. .12. Probléme 6. Ayant ' établi une telle loterie de n billets, dont on.va tirer billets, : éMirulac les prix, conformément à la loi d'égalité, qu'on est obligé de ponds aux participante. dans , chàque eas, par rapport à leur mise, ^ - 7 499 Solution. Puisque le prix est toujours proportionné à la mise, supposong. la mise toujours d'un écu, de: sorte que, pour chaque écu que le participant aura payé, il en retirera les prix que nous allons déterminer conformément aux régles.de l'égalité. Pour cet effet, il faut considérer sé- parément les cas oü le participant aura choisi un, ou | dh ou trois, ou quae, etc. nombres, ce 1025 i091 ^ Jod qui nous méne aux recherches suivantes : : zT le9' -.9iua £$ L Si le participant n'a choisi qu'un nombre , et qu il en ^al payé u un du : " " en cas que dans les billets tirés ;;.|;;la probabilité étant |.:soit.le: prix.» ce nombre: se trouveh4osw, eibiol. ob donpisai efbd iustior edb 19v040- 1n952l6 noy quil ne sy trouve ps . . . . . 14" 0. :siquiie euq- nl La probabilité est donc A! qu'il retire a,;et. 4^ qu'il ne retire fien, d'ou. son avantage est — d'a, qui selon les régles de l'égalité, lui. doit valoir autant quis mise 1. 1l faut donc qu'il soit 4'a— 1, et partant le prix doit etre: a ed tap tt a song deep Mot: r & -—w —" P" — Réfeczciohs kr uiid. dabüGé einduliórd délloerie. — 397 Il. Si le: participant a choisi: deux nombres et qu'il en ait payé un éeu, en cas que dans les billets tirés la probabilité étant soient les prix se trouvent tous les deux - n Aces 1 qund 0B a LAU Pestoranr 2 Mame UR D n C: de b ME ETE 1a aB 0 L'avantage du participant sera donc TET qui doit étre. égalé à.la mise 1, de sorte que nous ayons 1 B^a-- 2 B'b — 1, d'oüà, lon peut déterminer les deux prix a et 5 par ume infinité. de manióres différentes, car, quelque valeur qu on prenne pour l'un, on trouvera celle de l'autre. Mais, puisqu'il faut éviter les cas ou l'un s'évanouirait, ou deviendrait méme négatif, on remplira cette condition le plus commodément:en. partageant l'unité en deux parties « et 2, de sorte qu'il soit et. b — 9p & 4-8 — 1, et alors on aura les prix en général: a — 1 js JL Si le participant a choisi trois nombres et qu'il en ait payé un écu, à en cas que dans les billets tirés | la probabilité étant | soient les prix $e trouvent tous les trois. . . .| Vul ic E: deux seuement . . . . 360 b 14 UnSeül, i25 2i de aivi9 la 3C' D (0 els de" M Opt 1C? 0 L'avantage du participant étant donc 10?a-1-3C?b34- 3C'c,. il faut. qu'il soit équivalent à la mise 1. Pour cet effet, partageons la, mise f à volonté en trois parties «, 2, 7, de sorte qu'il y ait a -- 8 -1- y — 1, et de là nous aurons, en général, les déterminations suivantes des prix d'ou l'on voit que ces trois prix peuvent étre variés à l'infini. IV. Si le punietpant a choisi quatre nombres et qu'il en ait payé un écu, "1151 ri en cas que. dans les billets tirés la probabilité étant soient les prix ; dn se trouvent tous les quatre VP P PRA LU NL a B tois seulement . . . . KD? b deux seulement . . . . ; —$D*. c E WM v up. & Dp d MÉeSITUIUSUETTI FU Type" , 0 Partageons maintenant l'unité en, quatre parties égales ou-inégales, comme on jügera à propos, ou |. posons 1 — «-:- 9 -i- y -- Ó, et les valeurs des prix seront ia a 8 : I y MI. s ME su 6— 1. ap? 6 — gp? dc p V. si le Velidisil a choisi cinq nombrés et qu'il én ait payé un écu, 328 «^ LS EULERI- OPERA. POSTHUMA. ^ Analysis. en cas qué dans les billets tirés :. |.la probabilité étant |.soient les-prix |^ —.!! se trouvent, tous les cinq. , vM cg bU roy | a Euer quatre dins AM ES BEto Ul ESR D trois seulement . eap n aaa c 4. "Henr seulemené , ". [4-58 CIÓOET s T ug qun me qu hor ME. "$E! xe 8 tdul . »1525 5115 dob, un M ! EUN à Msqipinsq. nb. agsdngxid Qu'on ' partage à volonté l'unité en cinq parties, de sorte qu "il soit d-eeja- y-e-re, et l'on HibD e91 SIT I51fi aura, en à génén al, la pm détermination de ces prix | d ed i o palu sedet Sd 8 ilr FROM (EUPEUNTUSE: is . T pgb?! i | 7 Spa ?i € — 0g? —77J30£82??^ € — gpi* 9 8 (1013104102 Cette détermination est si aisée, qu'il serait; superflu d'aller plus loin, et il n'est pas probable qu'on fasse jamais usage de plus de 5 nogibres,. à cause des prix. wop. exorbitants Ui on devrait "frere £. 13. Corollaire AL Ce n'est donc que dans le premier cas que le prix est. déterminé a — ^d dans les autres cas, on ped d'autant plus varier les prix, que le. nombre. des billets choisis est grand. Cela dépend de la division de 1 unité en autant de parties qvi i ya de prix en chaque cas. 1*. Corollaire 2. La premibre mhaniére de diviser l'unité est celle: Toon des parties égales, et alors on a ^ à E c E! "EU ; T9 $. " I "Y "pour le second. cas ^ « — B 3 : lsqiotheq ractasvn ud D 950" 2 i (d 4 1004 .t aim. pour le iroisieme — ;& — 6 — y , 110135 j x ( — C FL pour le quatrieme — & — --— yzàó— E n, STU 1 pour le — erodihos y -— o A 6— ] : 3 | aio ) r t0] nol d'ou l'on tirera des prix déterminés pour ehaque cas. 'd $2 Corollaire 3. E^ Tos juge que, Ha cette facon, les. rrr prix eye cas s supérieurs devien- nent trop grands, les coefficiens numériques nous fournissent uue telle maniere de diviser, qui en rendant les formules plus simples, semble produiré une 'espéce d'égalité. On pourrait prendre ^ S | - | pour le ll cas: - "On h | E cas; x — rom l 2 Inicm etio»o6J104 [ eo e 2i cis dV veas: Li nr EFEUOUNMDLILLAILELIE But 5 i & | s [» | S ll & s 1 ga mie je) cp bn ll | 2 lI: - o» V cas: . - ) wx c mg 1 - T 16. Corollaire 4, Si l'on voulait diminuer d'avantage les hauts prix pour rendre plus con- sidérables les autres, on' pourrait se servir des divisions'suivantes: ^^ 5 00009] 91 ID uU NNI. MATE NUT RT NINE IRANIAN REOR TT Réflexions sur: une espéce siguliére de loterie. 329 . Hl cas: SIT: B——4gs Ya. Á id 8 44:48 L2 16 dv cas: — RÀ g—u | LU " ó — 43 à 1 10 30 40 95 Y, 85:1, 80496 (d agg? col 7739.5. Tig noi 77 39g 17. Sceholie. Représentons à la fois les prix que fourniront ces trois maniéres différentes de partager l'unité en chaque cas: | En cas que dans les billets Les prix d'aprés la Ayant. choisi tirés se trouvent I maniére | II maniére | IIÍ maniere - HPTET 1 ^" 1 un nombre ..le nombre fau ^T e ou non 0 0 0 : : 1 1 1- deux nombres . . tous les deux gp: ze ET un seul 1 E E 2 Ty . AB! 3p! 5p! nul 0 ..0 0 "trois nombres tous les trois gs 1] ud 3c? 7C3 16c? | ;E 1 2 deux seulement 9c? ze 16c? dnb. 2 dne DECR 9c! 7c | 46€! el & 01805 zi | nul c9 9 0 B Nr tous les quatre . E iere quatre nombre tous les quatre z» |. dap jast 2 1 1 9 j * trois seulement. ...| ;ic5s |: ^35ps^ jo 33p$ TL » e$: 325 j H I 4 i | 1 23. d | deux seulement BS Ua 15D* - XRDÉ m : m t 1 ^ n À - 91 T: 35 i01 6l 4 ) f 31D, SEV. 13] i15 1 j 16D! 15 IXTT 15D! j 43D! ghieg J9 ,6— 3 ,06 4 nul iens 2949 |» » v " ^einq nombres " | " toüs les cinq qp qn E. a — 1 5ES ^ 31ES. 106E* d | REANO Pew emen oo] oxigigeup [onte 106£* 0iS seulement ETY 3153 106 £5 eux seulemen EoES ET 106 E? 1 p 5 md C pos 0g. s 1-0 0 L. Euleri Op. posthuma. T. l. : v 330 — JL. EULERI OPERA -POSTHUMA. : A- 18. Probléme 7. Ayant fixé les prix d'une telle loterie selon. la loi de V'égalité, trouver la diminution de ces prix, afin que l'entrepreneur en retire un profit possent, Solution. Par rapport aux frais que' l'établissément d'une íelle loterie exige, il faut rabattre quelque chose des prix que là loi de l'égalité a fournis, comme cela.se pratique: dans les loteries ordinaires. Outre cela, une telle loterie ne saurait étre permise que pour des besoins importants, et à cet égard la diminution des prix doit, étre plus considérable.: Mais, puisque le profit n'est pas certain,..comme dans les autres loteries, et. qu'il. pourrait. arriver. que. l'entrepreneur,:.. malgré, toute la probabilité, y perdít trés considérablement, il est bien juste que le.rabais.des prix;soit, plus grand qu'à l'ordinaire oü l'on se contente de 10 pour;cent. Cependant, comme ce ne sont que les grands prix qui pourraient ruiner lentrepreneur,'il est raisonnable .qu'on augmente le rabais seulement dans ceux-ci, et qu'on laisse celui des petits prix à dix pour - cent. Un plus grand rabais dans les petits prix sauterait aussi trop aux yeux, et dégoüterait les participants, au lieu que, dàns les grands prix, on ne s'apercoit presque point de la diminution, vu que:peu de personnes sont en état d'en calculer la juste valeur.: Or pour procurer à Ja caisse un profit de 10 pour-cent sur les moindres prix, on 9 B - - * Li * io^ Ce seraient donc les prix de chaque cas qui répondent à un seul nombre. Pour les prix qui répondent à deux nombres, on pourrait bien les multiplier par na quà les multiplier . par - 40 .-; qui produirait un profit de 20 pour-cent, sans qu'on s'en apercoive aisément. Et lorsque trois nombres se rencontrent dams les billets tirés, on pourrait, avec autant de.raison, multiplier les prix 7 par .—- LÀ LJ A] 6 * LÀ LJ * LJ jg» €t ceux qui conviennent à quatre nombres par 1» * enfin celui qui convient à cinq nombres 5 . , LÀ * ^ | LI ar —, ce qui est équivalent à un profit de 50 pour-cent. Mais, en chaque cas, on pourra régler par 19 q q p Pp , q p 4 la diminution des prix comme on jugera le plus à propos;' ét on aura principalement en vue d'ar- rondir les nombres autant qu'il sera possible. Ayant donc fait le plan sur les prix conformes à la loi de l'égalité, il sera aisé d'y appliquer les dupanopé les plus convenables qui remplissent le mieux les conditions qu on aura en vue. ; : 19. Probléme $. Xe nombre. de tous les billets 'étant' 90 dont on doit tirer en son temps 3, dresser le plan des prix qui conviennent à tous les. cas, selon la loi de l'égalité. Solution, lci est renfermée la loterie projetée autrefois et dont j'ai parlé au commencement, Nous verrons bientót quels prix elle pouvait promettre, en assignant ceux que la loi d'égalité exige. - Or, pour appliquer à ce cas nos formules Masi nous avons n — 90, £— 5, et partant r— 485, 1 18 les marques suivantes. Mais, puisque nous avons besoin de ces valeurs renversées, je m'en vais les exprimer en sorte, de méme que leurs logarithmes, pour en faciliter ensuite le calcul: d'oü nous tirons d'abord 4'—.— et 40 — 24 et ces deux valeurs nous ménent à celles de toutes — L4? — 0,0218236 1:4?— 1,0588 — l4! — 1,2552725 1:4'— 18,0000 — LB* — 0,0199343 1:B^— — 1,1218 — B! — 1,2752436 1:D'— 18,870 — LB? — 2,6026025 1: B? — 00,5000 ————mc !aeezib tr Réflexions 'sür- wne éspéce smguli?re de loterie. 331 — 1C? —0,0753389 «5 iso MC meon 4,1890 55 ont —1€' —1,2955570 : 1:05 E 10014$9,7 M5 — iC? — 2,6176663 1:2 —.05:23$.,689&0q 1 — 1C? .— 4,0699659 (469m o 44758,058- —ID* — 01010543 1£:D? —— 1,262 (41D! —1,3158882 55 4: D'— 20,695 — ID? — 2,6329063..:5 «1 4D? £o; A99) C T cooomr 1D*—4,0800649 .... 4:D*— 190285 7. . 4D 5,7088532 5.5.55 :4:D* 511038 — lE? — 0,1270578 4d:ES-— 1,350 — IE' — 1,336578 £:E'— 21,705 —liE?-:26483967 aERI &4,96 — oom LES — 8,0902884 1:ES--149310,5 —TE'-— 5,135338 ^ 0E 511051 —lE5— 1,6529517 1: E?—13959268 Voilà donc le plan de cette loterie selon les trois maniéres différentes: I maniére Il maniére IIl maniére ] cas :: 1 po 8 18 18 ll cas 2 ! 200,25 133,5 80,4 1 ! 4,712 6,289 7,539 IH] cas 3 3916,02 - 1678,99 734,95 (92 ^. Me0fk 59,934. 51,830 [n 2 2,1938 2,8206 3,7021 IV éas Hh - .A2TIS9. 310692 — | 11815, T ATEM 801,063.— 559,28 - 2 : 17, 893. 28,629 29,961 1 1,2934 1,3791 1,9951 V cas! 5 | 8789853,6 11417718,3 h15615,7 3 246,210 397,113 358,410. | AGE 8,899 — 1&353 16,791. " i gi Lb i Hs een. 0,7001 1,0238 22711 '29.- poses fien 1 Pau ces trois ipai sont nid conformes: à- la loi de duh rien dite qu'on ne mette en usage toutes les trois.à la fois, et qu'on n'accorde aux partici- 332 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. pants la liberté de soumettre leur mise-à celle qui leur plaira le mieux. Ainsi ceux qui choisiront deux ou plusieurs nombres, seront les máítres de se déterminer ou pour.la premiére maniére, ou pour la seconde, ou pour la troisiéme. 21. Corollaire 2. la premiére maniére, pour le cas oü l'on choisit cinq nombres. Cependant, il sera de l'intérét de l'entrepreneur, d'exclure entierement Car, en cas-qu'on attrapperait pré- cisément tous les cinq nombres qui seront tirés dans les 'cinq billets, -le prix de presque 9 millions . füt-il diminué jusqu'à la moitié, pourrait ruiner la banque. Scholie. Or en diminuant ces prix selon les régles expliquées ci-dessus et en arrondissant les nombres, on pourra former le plan suivant qui doit probablement apporter à profit trés considérable, sans qu'il paraisse désavantageux aux intéressés. Ayant choisi Plan d'une telle loterie 'en cas que dans les billets tirés à 90 billets dont. on. doit, tirer 5. lentrepreneur un on retirera, pour chaque écu qu'on aura mis, l'un des prix suivants: se trouvent écus . ,écus. oid s écus 1 nombre ce nombre 16 f 16 ! d : : «i 5ü J Ó , 2 nombres tous les deux 160 106 6^ un seul s 5i 6i 3 nombres tous les trois 2151 1175 513 2 seulement 36 vi M... j un seul .2 23- P nombres tous les quatre 16655 2081 7130 3 seulement 526 561 391. ! 2 seulement £c 221 2h un seul 1 11 1l 5 nombres | tous les cinq — | 4394995 | 708859 | 207305 ' ^ seulement 19409 | 10007 - 5853 3 seulement 172 | 278 ^ 983 2 seulement i io 113 I. 54930 un seul . 4 hi mmo: B, On pourrait encore mieux arrondir « cés nombres et augmenter, par ce —— insensiblement d'avan- tage le profit de l'entreprise. 23. Probléme 9. Le nombre de tous les billets étant 100, dont on doit tirer en son temps 9, dresser le plan des prix qui conviennent à tous les cas, selon la loi de l'égalité. Solution. Le nombre des billets qu'on doit tirer, étant ici plus grand qu'auparavant , E prix.pour le cas de' 5 nombres choisis ne deviendront plus si ce qui. rendra. l'exécution: moiüs dangereuse: ^ 8i exorbitants - detis le plan: p— Li fi Hi TIML (115 í1 n5it De ces valeurs on formera, selon les trois maniéres, "Ayant doné iei n — 100, t— 9 et partant r — 91, nous "avons d'abord ron et 4? — d'ou nout tirerons les valeurs des marques suivantes. ob us : Réflexions sur une espéce singuliére de loterie. —lE'—5,5162810..— — lE? — 5,116352 1: E* — 32830,8 1: E? — 591520 le plan suivant: —14* — 0,0809586 4:49 — 1,0989 —lA* — 1,0857575 1:4! —777 14,001 "— LB? — 0,0823513 0:B9— 1,2087 |— [DB* — 1,0823513 sq. p — ^ ^ 49,0879 — iB? — 92,1383027 1:D?— — 137,50 5L q09 — 00981875 ace 1,3340 - qC! — 1,1193389 1:€*— 5 43,1625 10? —2,170487h 4:22: 0488,077 — C? — 3,2844308 1:C* — «.1925,0 (— [D*— 0,166765 1D? — 1,4671 — ID' — 1,1567166 1:D'— 153555 — iD? — 2,2030166 1:D?— — 159,595 — ID* — 3,3121611 *:p*-— "9051,92 —1D*—5,5930512 1:D* — 31120,833 —([E*— 0,2092283 1599 uiid tol aea go in — IE! — 1,19535051 1: E! — 15,6497 — E? — 2,2358978 4:E?—.4792,186 — lE? — 3,3101898 1:E?— 2188,72 Cas sortent I maniére II maniére III maniére I (^ ETEIT 11,111 11,111 Ii 2 68,75 285,83 5 27,50" ! £ 2 /13,022 &,099 4835 Ill 3 * - 651,66 215,00 120,3125 ig! 16,553 21,155 ^ 18,509 " . A, 462 1,880. 2,468 . IV... y. 7180,208 207,722 723,70 3 y 198,240 : 136,795 . 95,439 a| 1S4 6,689 ;. 10,639... 11,135 s ' |: 0,8966 : 0,9564. . 1,3344 FVTCE 119505, 1927484 636,981 Hai 9 au] 74313232 7^$959,06 ' 619,450 ^^ E 3 ! N3,775^ 70,605 ^ 61,985 ^ ^ 9 3,43. "q 5553" 6,496^ 1 0,626 -— p 19:019,505 0,738 ^ 333 91 100" 334 L. EULERI OPERA. POSTHUMA.. 2h. Corollaire X. Pouryu. qu'une. telle. loterie. ne. soit. tirée jusqu'à. que la mise ne surpasse pas un écu.. 25. Analysis. ce;que le fonds: ne se soit accru au delà de quelques centaines de milliers .d'écus,. l'entrepreneur ne risque; pas. trop. de se ruiner, vu que les plus hauts prix, aprés tre diminués, ne monteront pas à 100000 écus, supposé- € Corollaire 2, Mais en cas quon voudrait aimer une telle. dites en petit, et que le fonds entier ne monterait pas à 100000 écus, on devrait bien retrancher a premiere maniére du cas de cinq billets choisis. 26. Corolaire 3. | faut aussi remarquer que de. telles loteries doivent étre tirées à plu- sieurs reprises, l'entrepreneur. somme proportionnée aux prix qu'on veut admettre. 21. drons ce ayant choisi en càs que dans les billets tirés Plan d'une telle loterie à 100 billets dont. on. doit tirer 9. on retirera; pour.chaque éeu-qu'on aura. mis, l'un des prix suivants ;8e trouvent; .. . écus écus .;écus — | en général 1 nombre 'ce nombre - 10 10 10 - a 2 nombres tous les deux 55 36 22 b un seul - 23 3i- i t 3 nombres tous les: trois 49 192... 8^ " ime 2 seulement 13 17. 15 e un seul 11- 1 5- 7 f & nombres tous les quatre 4668 1245 M3 3 ii 3 seulement . 90 96 66 E 2 seulement 541 84 96 NC un seul.:: i E 416 k 5 nombres tous les cinq 59752 9637 28184 l M seulement/ "^| 788 635 3712 m 3 seulement '' 302- 9 43 1- n 2 seulernent | gs. d 5 p un seul Xs dE 3 Al re 28. Scholie 2, tres répartitions des prix que nous avons marqués en général dans ce plan; à cóté, par les lettres afin que si une avait trop favorisé les participants, les autres puissent dédommager Or chaque fois on peut tirer la loterie, aussitót que- le fonds surpasse une certaine Scholie 1. Diminuons ces prix suivant les régles données ci-dessus, et nous obtien- Outre ces trois maniéres, on peut. faire. pour chaque,cas, une infinité d'au-- a, b,.c, d, etc. ; Si lon veut que: ces: prix soient. déjà diminués dans la:méme raison que nous avons diminué:les autres, il faut les:déterminer par les équations suivantes: —TJo o zo MwÁ—T«RSeaoeoeoup—e—— vec Réflexions sur une espéce singuliére de lóterie. — — 335 I. $5.4 — 1, ou 0,1a4— t; II. .9.B ac. 2B —1, ou 60,00909095-— 0,1838383c — 1; Im. 7 d. C* a- e. 3C* a- P f. 3C — 1, ou 0,000742115d--0,02532567 e- 0,25329^67 f — 1; IV. e 9. D'2- Dh. &D*a-i.6D* a- P k D 4 , 0u 0,009933 EPA Aq; 0,002289 565 ris. 0 Pg 071096129 5 5 4. V. gU E*-- m. SE*a- Tn. (0E? a- p. 10E?4- Dg sE'— 1, ou 0,0000033^7168 7 -1- 0,000253827 m -1- 0,00652698 n -i- 0,07261263p 4-0,3549952q — 1. De ces. formules on pourra tirer les prix suivants qui semblent commodes pour la pratique dilidsdo14. 6l. obaemo! 0... 2 9 «— 10 . rovyion 3] 2-50," £23 d—200, e—20, f—1 (871000, .A— 100, i—10, k—3 [— 5000, 4-500, n—50, p-—5, q—375" Par un tel plan la banque ne risquerait pas tant que suivant la premiére ou la seconde maniére. T 336 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - Analysis. XVII. oe Analyse d'un probléme du calcul des probabilités, Il y a, dans une urne, quatre billets a, b, c, d, dont on tire un au hasard, et aprés LI. avoir remis dans lurne, on en tire un de nouveau, et cela à n reprises: on demande la probabilité que le.billet a ne sera jamais tiré, ou qu'il ne sera tiré qu'une seule fois, ou deux fois etc. ou enfin, quil sorte à chacun des n tirages., 5 1. Le billet donné ne. sortira. ann au premier tirage: p! vbabilité . . . 1 | : 4 ; —— 4 ; : ni au second £^ « ESAE. ( ) ni au troisieme « «- —— P (3) tO " ur H | etc. . Er : 3N^ il ne sortira point du tout . . . . . i) « H L] L . à 1 3 n-—24 2. ]l ne sortira qu'une fois sur les n tirages. . . . . . . . de e .n. 2 —2 ^U 3. ; deux fois « 6 ll. : 5 E ) ( n su "s & Rn süfá à chacud Us W NEL. 0777. lo MTM L1. TOS (3)- Si des quatre billets a, b, c, d, on en tire deux chaque fois, à n reprises différentes, 1. ]le billet donné a ne sy trouvera jamais: probabilité. . . . . . ^ . LI Li 1 1 n1 2. il sy trouvera une fois « mM Pope (S) (3) : Le nombre des billets a, b, c, etc. étant — N; qu'on en tire m billets à la fois et qu'on répéte cette opération n fois: | 1. le billet donné a ne se trouvera jamais parmi les billets tirés: probabilité (1 —): 2. il sy rencontrera une fois i s s (1 —). 3. « deux fois » v zb 163) (1 E 1 M. « à chaque tirage , G ) Analyse. d'un probléme du calcul des probabilités. |.831 Exemple. Le nombre des billets étant 50000. dont on tire à chaque reprise 8000, et cela cinq fois de suite. Il y aura donc : — $0000,.. 0 —: 8000, n — 5. 1.13 billet donné a ne sortira point. du. tout. Probabilité : (Ss aes 0,1182120, 2. il se rencontrera dans un ful des cinq tirages : € 5 um (S '- 0,3982950, 3. « | deux tirages « 10 (z) (ss p 0,151730, M. « irois tirages « 10 (a) € ^ — 0,028906, »: « quatre tirages .« 5 (5) € — 0,002752, 6. « ! dans tous les cinq tirages — « (a) — 0,000105, Le nombre des tirages, n, étant le méme, on demande la probabilité que deux billets a et 5 ne se rencontrent jamais ensemble si, de JV billets, on tire chaque fois NX — m. f. Au premier tirage, a n'est pas au nombre des N— billets tirés. Probabilité: -m b n'y est pas non plus. « *a-i^* 2. les deux manquent au second tirage « e, 3. « au troisieme — « e, b, « à tous les tirages « e", On demande la probabilité que A billets donnés ne se rencontrent dans aucun des nm tirages. On n'a quà poser — m(m—1)(m—2)...(m—A4-- 1) N(N—1) (N —2) ...(N —A-2-1) et la probabilité cherchée sera — e^. Dans l'exemple précédent on aurait NX — 50000, NV — i1 — 8000, m — 42000 et n — 5. Si de 10 billets qui se trouvent dans une ürne, on en tire 2, il en restera 8. Quand, aprés . les avoir remis, on répéte l'opération encore une fois, il est certain que six billets au moins ne seront pas tirés; mais il est possible que le nombre des non-tirés soit méme 8. Il s'agit d énumérer les cas, oà 6, 7 et 8 billets seront restés intacts. Il y en aura six. Supposons qu'au premier tirage soient sortis les numéros 1 et 2. Au second tour, les deux numéros doivent étre de 3 à 10, donc la probabilité est dp " Il y en aura sept, lorsque 1 ou 2 sort de nouveau au second tirage, c'est à dire qu'on ait au second tirage f, 3, ou [1, ^, ou 1f, 5, etc. huit chances favorables ou bien 2; 3, ou 2, ^, ou 2, 5, etc. autant de chances. 10.9 9.8 1.2 10.9 L. Euleri Op. posthuma. T. I. ^3 Or le nombre de tous les cas possibles étant — —-» la probabilité sera — 2. 338 "VL. EULERI OPERA POSTHUMA. ....: preces Jl y en aura huit si, au second tour, sortent. les mémes. numéros. 1 et: 2, qu'au premier: seule chance favorable dont la probabilité est 5 re , | a WP Donc, pour que le nombre des billets restés intacts soit ^ ^6, ou 37, ou &8 » "RR 8.7 8.9 1.9 la probabilité respective sera 10:9 240.9 Y Quand on tire trois fois de suite, il y aura ou ^, ou 5, ou. 6, ou 7, ou 8 billets de non-tirés. I. Que le. nombre des non-tirés soit 8. Au premier tirage étant sortis les numéros 1 et 2, il faut que ces mémes numéros sortent au second et au troisiéme tirage; la probabilité de la pre- 4,9 [X Y et celle des deux chances Gs 3E II. Pour que le nombre des non-tirés soit ^^, il faut qu 'au second tirage il sorte deux billets miére de ces chances étant différents des numéros 1 et 2, ce qui donne pour mesure de la probabilité xs et pour qu'au. troisieme tour il en-vienne encore deux billets autres, que les quatre déjà tirés, la probabilité sera o 08.7 .6.5 — 10.9 10.9 IIl. Pour que le nombre des non-tirés soit 7, il faut considérer les quatre cas suivants: premier tirage ab ab ab ab second — « ab ac dc ac troisiéme | « ac ab bc dc osp6s la probabilité de chaque cas particulier est 2. AUR donc la probabilité totale est... . 8. iS qas IV. Pour que le nombre des non-tirés soit 6, il faut considérer les 7 cas suivants: premier tirage ab ab - ab . ab ab ab ab second eC ab cd cd ' qc ac cd ac | Woisieme « cd ab cd ad ed | ac bd dont les probabilités respectives seront | 8.7.9.4 8.7.9.1 8.7.9.1 8.7.9.9 8.7.9.9 8.7.9.9 8.7.9.9 et par conséquent, la probabilité totale sera 8.7.38 10.9.10.9 V. Soit le nombre des non- iris 5, les trois cas à considérer sont: premier tirage ab ab. ab second — « ac cd cd pe S toisieme — « de ae de Ds 8.7.6.2 Y la probabilité de chacun de ces cas est 2.15571 3. 8.7.6.2 et, par conséquent, la probabilité totale 6 519.930 9" e: Analyse: d'un. probléme du calcul. des probabilités. 339 En résumant tous ces cas, nous obtenons le tableau suivant: Nombre des billets non-tirés probabilité n 8.7.6.5 idodo oi " (10. 9)? 8.7.6.2 j 6. (40.9)? . 8.1.38 6 (10.9)? 8.9.1.9 E: ES B - "0.97 1.9.1.9 I. (140.9)? Si au lieu de 10 billets, il y en a n, dont on tire deux, à chaque reprise, on aura: L En tirant deux fois. pour le nombre des billets non-sortants la probabilité 41.9 . n—42 n(n — 1) (n — 9)9 & n—3 ' n(n — 1) E (n—2) (n—3). n" n(n — 1) Considérons maintenant les iatnératenes de ces différents cas, et en posant , pour plus de simplicité, n—2 — m, ils seront 2, &m et m (m — 1); leur somme nous donne la valeur m*-i- 3m -4- 2. et par conséquent, l'équation 4 3- Bm -- m (m—1) — m? 4- 3m 4-2, qui doit-subsister pour toutes les valeurs de z, nous fournit les valeurs des coefficients 4 et B. IH. En tirant trois fois, on aura: pour le nombre des billets jényqictine "(e—3 la probabilité — E a-—3 sdotq el pom DATA 2 g (n—2-2 $54 c8» .(n— -36-3 Rau e. e— nus 3) i" 4).2 n—6 (n — 2) C UE (n—5) En posant de nouveau n — 2—m , les numérateurs de ces différents cas-seront k, 32m,. 38n(m— 1), 12m(m-—41)(m—2)..et m(m—1) (n— 2) (n— 3). dont la somme: nous donne la. valeur (m*-i- 3m-3-2)?/ et, par conséquent, l'équation pour- déterminer: - les coefficients &, 32, 38 et 12 sera 4 ^ Bm -- Cm (m — 4) 4- Dm (m — 1) (mc Qd (0 4) (m9) Poenos iiia 340 L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Analysis. . Conclusion. nd Ainsi on peut conclure que, si le nombre des billets est n, dont on tire deux, à chaque re- prise, le nombre des tirages étant p -1- 1, on aura: pour le nombre des billets non-sortants la probabilité n—2 d. | | RP n—3 TP EET RAS RE | | m d etc. etc. et les coefficients 44, B, C, D, etc. seront donnés par l'équation | A A- Bm -- Cn (m—1) 4- Dm (n —1) m — 2) a-... m (m— 1) (m—2) .. .(m—2p — 1) — (m* -- 3m 4-2)" qui est indépendante de m — n — 2. Ainsi en tirant quatre fois par deux, on trouve pour le nombre des billets non-sortants la probabilité 8 n—2 n3 (n — 1)* 208 (n — 2) M9 n* (n — 1)? -659 (n— 9) (n — 3) dapi e n? (n — 1)? 576 (n— 2) (n — 3) (n — 4) mud n? (n — 1)? 188 (n — 2) (n — 3) (n — 4) (n — 5) ^ rates n? (n — 4)? 94 (n. — 9) (n — 3) (n — 4) (n — 5) (n — 6) xui n? (n — 1)? . «a. (n — 2) (n —3) (n — 4) (n —5) (n — 6) (n— 7) n? (n — 1)? Si on a n billets, dont on tire trois à chaque reprise, en tirant deux fois de suite, on aura pour le nombre des billets non-sortants la probabilité ni28 1.9.3 n (n — 1) (n — 2) 2.3.3.(n—3) seed. n (n —1) (n — 2) (n — 3) (n — 4) md. 9.2 cub ey (n — 3) (n — 4) (n — 5) ao f n (n — 1) (n — 2) En considérant les numérateurs, leur somme 6 -4- 18m -i- 9m (m — 1) -À- m (m — 1) (m — 2) se pré- sentera sous la forme (m -i- 1) (m 4- 2) (m 4- 3) , ici m — n — 3 et par conséquent, l'équation iden- tique, qui sert à déterminer les coefficients 6, 18 et 9 sera A -- Bm -- Cm (m — 1) 4- m (m — 1) (m — 2) — (m 4- 1) (m 2- 2) (m 2- 3). —T"'-———— ———M———H—— Analyse. d'un. probléme. du calcul des probabilités. 341 En tirant trois fois de suite, l'équation identique, pour déterminer les coefficients, sera de méme A -- Bm -- Cm (m — 1) 4- Dm (m — 1) (m — 2) 4- Em (m — 1) (m — 2) (n — 3) 4- Fm (m—1) (m—2) (m—83) (m—) 4- m (m—1) (m—2) (m—3) (m—&) (m—5) — | (m4-1) (m4-2) (m4-3)]? et ainsi de suite. Régle générale. Toutes ces recherches nous conduisent à la régle suivante. Si on a n billets, dont on tire p à chaque reprise, et cela q fois de suite, on demande les probabilités des différents nombres des billets non - sortants. A cet effet, on commence par chercher les coefficients 4, P, e, etc. de l'équation identique. A -- Bm 4- Cn (m— 1) 4- Dm (m— 1) (n— 2) a-..... m (m— 1) (m— 2) (m—3)...(m—p(q— 02-1)] 2 ((mn - 1) (m - 2) (m a- 3)... (m a p) | 77! alors les numérateurs des probabilités respectives seront 4, Bm, Cm(m—1), Dm(m—1)(m—2)..... m (m — 1) (n —2) :.. (m — p (q — 1) - 1) om étant — n — p, et le dénominateur étant pour toutes le méme | n!—! (n— 17! (n—2)1—'..... (n — p 1)- *. Voici le tibléau: Nombre des billets non-sortants probabilités den n$— (n — 10/—! (n — 3 een pat ae or i n7—1 (n — 19—1 EN eee (n— pa-1)7—1 n—p—2 n7— (n— pe. ss wu 7 ^ h——p—3 n7—! (n 3 Ye 54 ntn ^—N SU rer Te ge e cp Den 342 .. L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. XVIII. Institutionum Calculi differentialis Sectio EE. (Conf. Inst. C. D. Part. II. Cap. XL $$ 282. 283. 286.) "Caput X. De calculó differentiali ad lineas curvas applicato in genere. 1. Quanquam in libro praecedente jam insignis Calculi differentialis usus in ipsa analysi est ostensus, tamen ejus, vis maxime ;perspicietur in doctrina de lineis curvis, quae. post, hujus calculi inventionem tanta accepit incrementa, ut quae antehac fuerunt detecta prae his fere penitus . ne nescant. Equidem in Introductione ad Analysin infinitorum plurimas linearum curvarum proprietates, quae vulgo calculi differentialis ope erui/ solent, per sola analysis finitorum praecepta invenire docui; verum et ibi quaedam non obscura calculi infinitorum vestigia latent, atque illa investigatio ita est comparata, ut nisi prius eadem alia methodo fuissent cognita, vix unquam reperiri potuisse videantur. Quin etiam in illo libro id mihi praecipue erat propositum, ut, cum quae vulgo per analysin infinitorum pràáestari solent, eadem sine hoc subsidio explicavissem, summus consensus universae analysis eo luculentius ob oculos ponatur. ( rin 2. Cum igitur principia calculi differentialis ex differentiis finitis functionum derivaverim, ex eodem fonte applicatio -hujus- caleuli ad doctrinam de lineis curvis petenda videtur. Quae enim de functionibus sunt wadita, ea in lineis curvis amplissimum locum inveniunt. .Nam etsi, sumta qua- piam linea, puta abscissa, pro quantitate variabili, natura lineae curvae per indolem unius functionis, puta applicatae, determinatur; tamen in eadem linea curva innumerabiles aliae functiones concipi possunt. Quaelibet scilicet linea per curvam determinata, quae variata abscissa simul vel crescit vel ' decrescit, tanquam functio abscissae spectari poterit , cujusmodi sunt cordae séti subtensae, tangentes, normales, et lineae quaecunqüe aliae, quarum vel positio, vel magnitudo ex quantitate abscissae determinatur. Tum etiam ipsius curvae longitudo et area tanquam functiones spectari possunt, ac praeterea innumerabiles aliae quantitates, sive sint lineae, sive superficies, sive solida. 3. Ordiamur a simplicissimo et. maxime consueto naturam curvarum exprimendi modo, qui relatione inter coordinatas orthogonales continetur. Sit (fig. 2.) recta 4P axis, ad quem natura curvae refertur, in quo sumatur abscissa 4/P — v et applicata ei normalis PM — y; natura autem curvae exprimatur aequatione quacunque inter c et y, ita ut sit y functio quaecunque ipsius v, quam primum assumam uniformem, ut singulis abscissis unica respondeat applicata. Dum igitur abscissa UT PM sc PE C, TNRNWELSgSS KMMKMUJAMMMR PTATAer ame wuuxP agas? Institutionim | Calculi: differentialis Sectio. III. | 343 * incrementum. capit 2/2, applicata y incrementum accipiet. Z/fy, quod ex natura functionis y et quantitate. incrementi Z/a assignari: poterit. Scilicet dum c abit in z-1-/, applicata y abibit in.y-fy. Quare si in. figura capiatur abscissa alia 4p — 2 -4- 4x, erit. applicata respondens pm y 4a- Ay. Cum vero sit 4P — x et PM —y, in figura erit Pp — zfz, sicque Pp denotabit incrementum abscissae Z/z. Deinde si ex M axi parallela ducatur Mn, ob pn — y, erit mn — Ay, sicque . linea. mn. repraesentabit incrementum applicatae 7/y, quod convenit incremento abscissae Pp — 4a. *. Quo haec facilius intelligantur, sit curva BM parabola hac aequatione expressa ay — zz. Cum igitur posito. 2 -4- 4» loco c, abeat y in y 4- Z/y, habebitur haec aequatio ay 3- aL y — ao - 2x zv -- dor, j quae ob ay — «c relinquet hanc aZy — 2a zx -— Za da. Sumto ergo in axe abscissae incremento Pp — 7f, erit applicatae incrementum i 4y — ER Ar Ar E. "UE. arum ms omite Perpetuo ergo si detur natura functionis y, ex ea relatio inter incrementa abscissae et applicatae inveniri poterit. 5. Non solum autem ad datum abscissae incrementum 7c inveniri poterit incrementum respondens applieatae y, sed etiam cujusvis alius quantitatis, quae per a et y definitur. Sic cum hypotenusa 4M exprimatur per Y/(ax-1- yy), postquam abscissa c incrementum 7/x, et applicata y incrementum fy accepit, hypotenusa Yy'(zx 2E yy) abibit in /((xA- Zfz)*-a- (y -- 4y)"), qua formula exhibebitur hypotenusa Jm, quae cum sit —Yy (zs dy) -- Zl Y (wo -- yy), erit A y (gx A yy) — Y ((z -- dj? a- (y - 4?) — Y (a2 -i- yy), hujusque ergo valor per methodum. differentiarum supra expositam inveniri poterit, Si igitur centro 4 radio 4M describatur arcus circuli Mq ab 4m abscindens partem q — 4M, erit pars residua mq — AY (xc --yy). Simul vero hinc patet, quomodo cujusvis alius quantitatis per & et y deter- minatae incrementum assignari atque in figura repraesentari debeat. 6. Quin etiam figura nobis exhibet incrementa quantitatum, quae saepenumero nequidem per a et y finito medo exprimi possunt. Sic si area curvae, abscissae 4P respondens, ponatur — P, area respondens abscissae Ap erit — P 4- 4P. Verum si prior area a posteriori subtrahatur, re- manebit figura mixtilinea PMmp, quae propterea erit incrementum areae P, seu erit 4/P — PMmp. Haec area commode dividitur in duas partes, quarum altera est parallelogrammum rectangulum PMnp — yz, altera triangulum mixtilineum Mum; eritque ergo Z/P — yz -3- Mum. — Simili modo si longitudo curvae PM, seu potius, quae toti abscissae AP respondet, ponatur —$, erit incrementum hujus lineae curvae. Z/s aequale arcui Am, qui cuni sit major ejus subtensa — Y (Za Zi -- Zly 4), erit utique Z/s — Y (fx Zac - Zly 4Ly). 1. Si curva BM circa axem AP converti concipiatur, ut inde oriatur solidum rotundum, hujus iam soliditas, quam superficies in considerationem veniunt, quarum utraque, dum. abscissa ex P in p 344 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. extenditur, certum incrementum capiet. Facile enim patet, si figura PMmp circa axem Pp rotetur, oriturum esse solidum, quo incrementum superioris solidi. rotundi repraesentetur. Simili modo super- Íficies conoidica, quae conversione arcus Mm circa axem Pp generatur, aequalis erit. incremento superficiei solidi illius rotundi, quod conversione portionis curvae propositae, quae abscissae a respondet producitur, dum scilicet abscissa c incrementum capit Pp — fa. : 8. Ponamus nunc incrementum Pp — 7/z, quod hactenus tanquam finitum consideravimus, fieri infinite parvum, seu in nihilum abire, àtque exhibebit Pp differentiale ipsius abscissae a, seu erit Pp — da. Hic quidem imprimis monendum est, cum in figura quantitates evanescentes reprae- sentari nequeant, iisdem nos quantitatibus, quae ante incrementa finita designabant, ad differentialia repraesentanda uti. Requiritur ergo ad hoc animi fictio, qua non tam ipsa linea Pp, quam ejus quasi pars infinitesima differentiale dz exprimere concipienda est. Punctum scilicet p. continuo propius ad P admoveri fingendum est, et tum, cum in P revera incidit, atque adeo intervallum Pp evanescit, praebebit Pp differentiale dc. Quanquam ergo intervallum Pp in figura finitam habet magnitudinem, tamen id mente tanquam infinite parvum et evanescens concipi oportet, hocque modo. quaevis differentialia, etiamsi revera sint nulla, per figuram repraesentare licebit. 9. Si igitur intervallum Pp tanquam infinite parvum concipiamus, ut sit Pp — da, incremen- tum applicatae mn, quod ante erat finitum — fy, nunc differentiale dy repraesentabit, ita ut sit mn — dy. | Quamvis. autem, utraque linea Pp et mn sit infinite parva, tamen ratio, quae inter eas locum obtinet, erit finita, quoties differentiale functionis y ad differentiale dz finitam tenet ratio- nem. Ratio enim dy:dz plerumque est finita, atque eandem rationem habebit mn ad Pp seu Mn, eliamsi utraque concipiatur infinite parva seu nulla. Ex quo perspicuum est, etsi in calculo diffe- rentiali praecipue quantitates infinite parvae seu evanescentes tractentur, tamen ex iis quantitates finitas, quae scilicet rationes differentialium metiantur obtineri, sicque conclusiones, quae inde formantur, ad genus quantitatum finitarum vicissim revocari posse. 10. Quoniam igitur intervallum Pp evanescens concipitur, puncta curvae M et m infinite parum a se invicem distabunt, sicque elementum curvae Jm erit infinite parvum, ac propterea quavis assignabili quantitate minus. Unde hoe commodi nanciscimur, ut hoc curvae elementum Mm tanquam lineola recta considerari possit. Fingatur enim per puncta M et m duci corda Mm, hujus longitudo eo minus a longitudine arcus Mm discrepabit, quo magis arcus Mm diminuatur, hineque isto arcu in infinitum diminuto, omne discrimen inter ipsum et cordam subtendentem evanescet, abibitque ratio arcus ad cordam in rationem aequalitatis. Continuo enim diminuendo distantiam punctorum M et m, quamdiu curvatura in arcu Mm deprehenditur, ulterius distantia Mm diminuatur, ex quo manifestum est, si distantia haec in infinitum fuerit diminuta, rationem aequalitatis inter arculum. Mm et ejus cordam intercedere debere. ! à 11. Hac ergo consideratione ad infinite parva translata, triangulum 7mm, quod quamdiu in finitis versabamur, erat mixtilineum, nunc evadet rectilineum, ideoque ejus hypotenusa Jm per theorema pythagoricum assignari poterit. Cum enim in iriangulo Mnm ad n rectangulo sit | MncsPpcsuo, e muy, erit hypotenusa Mm — y'(da?-a- dy?). Exhibet autem haec lineola Mm differentiale ipsius lineae 3 BRE SCAM tu iS M sme es Institutionum: Caleuli: differentialís: Sectio IIIJ Cap. 1. 315 lineae curvae: £M, et hanc ob. rem etsi ipsa linea.curva plerumque per. quaütitates 2 et. y. exprimi mequit, tamen ejus. differentiale .per. quantitatum c et:;y. differentialia: commode | exprimitur. .. Quo commodo. cum. differentiae. finitae careant, perspicuum.;est, quantam utilitatem analysis — sit allatura.:- 5 oon ue | EO idit T 12. .Cum y sit — ipsius a, ejus. diffetentiale ày hujusmodi formam vds liabebit, ubi: p erit. functio. ipsius à». per. differentiationem: cognoscenda; Quare -ob./ dy — pd»; differentiale ipsius lineae curvae Y/(daz? -4-.dy?) induet banc. formam d: V/(1 -- pp). ..Quodsi ergo: longitudinem. curvae, abscissae 4P — « respondentem vocemus — $, etiamsi haec quantitas s plerumque finito modo per v et y exhiberi nequeat, tamen ejus differentiale facile assignatur, cum. sit. ds — da (1 -- pp). Hinc igitur vicissim via patet ad longitudinem lineae curvae s inveniendam; id enim solum requiritur, ut quantitas investigetur, cujus differentiale sit — dry (1a- pp), haecque quantitas longitudinem. lineae curvae $ exprimet. Hoc autem opus ad calculum integralem pertinet. | | ! i 13. d in infinite parvis triabgulum Mnm fit rectilineum, ejus. area a Mnm. assignari poterit, eritque — 3 d«dy. Cum igitur totius areae, quae linea curva et coordinatis c et y includitur, differentiale seu incrementum infinite. parvum sit trapezium , PMmp, | id. quoque. exhiberi. poterit, draprainm enim PJMmp constat duabus partibus, rectangulo. PMnp, cujus area est. — yd, et triangulo Mnm — 5 de dy, unde. area. trapezii, atque adeo. differentiale areae erit — ydz 3 dedy. Ostensum autem est supra terminum 5 dzdy ep ydc evanescere. Cum enim sit gdsaó) 3 dedy — (y Jldyyds et y-7t-5 ! dy — y, ob dy—0, erit areae curvae ditfsreiiale — yda; iai quantitas, cujus differential z- bd exhibebit aream inter um curvat et coordinatas c et Y contentam. | " Hine etiam infinitarum aliarum quantitatum , quae ipsae per c et y exprimi nequeunt, sni assignari poterunt. Coricipiatur curva B/M circa axem 4P converti, ut generetur soli- dum rotundum, atque hac rotatione trapezium PMnp. generabit conum truncatum, cujus soliditas praebebit differentiale illius solidi rotundi; superficies autem convexa istius coni truncati differentiale superficiei solidi rotundi. Ad haec differentialia exprimenda sit. 1: ratio diametri ad peripheriam, seu radii ad semicircumferentiam, erit circuli, radio PM — y descripti, peripheria — 2;ry, et area myy; eireuli autem radio pm — y a- dy descripti peripheria — 2 (y -- dy) et area —— zm(y 4- dy)*. Jam' pro "differentiali superficiei erit semisumma circumferentiarum utriusque basis coni truncati —mcy-r-nz(y--dy)-?52y, quae per latus coni Mm — Yy'(dx*-- dy?) multiplicata dabit differentiale superficiei solidi rotundi — 9nyY (da? a- dy?) — 91ydxYy(1-- pp), posito dy — pdz. 15." Soliditas autem hujus coni truncati, quae dat differential soliditatis solidi rotundi, secun- dum regulas stereometriae reperietur, si ad summam basium zyy -- z(y a- dy)" addatur media pro- portionalis inter easdem "ry(y 4- dy), eritque aggregatum — 3zyy a 3ay dy 4- ndy? — 3ayy, ob reliqüos terminos prae 3zyy'evanescentes. Deinde triens hujus summae zyy multiplicari debet per - altitudinem 'coni scaleni Pp — da, eritque productum "yy dz soliditas coni truncati, simulque diffe- rentiale soliditatis solidi rotundi; unde ope calculi integralis vicissim tam volumen istius solidi rotundi quam ipsius superficiei inveniri poterit, — L. Euleri Op. posthuma T, I. b^ 346 | S^ LUEULERT OPERA. POSTHUMA. m :16.. Praeterea hic quoque diligenter observandum est, in caleulo' omnia differentialia perpetuo tanquam affirmativa spectari, Scilicet quantitas variabilis quaecunque 'z in statu sequenti proximo semper: in z-i- dz abire assumitur, sive ea crescat sive decrescat; et cum -differentiale sit. differentia, quae remanet, si quantitas variabilis z a suo valore sequente z-1- dz subtrahatur, erit -1- dz semper ejus differentiale. «. Nihilo: tamen: minus hoc modo omnium quantitatum, 'sive sint crescentes sive decrescentes, : differentialia distincte exhibentur; si enim. z crescat, ejus differentiale dz affirmativum, T—de 54] » unde manifestum est. quantitatem z z decrescere, dum x crescit. Hac autem hypothesi Inaltitur cónstanti . ; PE Y :í L L . H H 1 * , sin. decrescat, negativum valorem habere invenitur. Sie si sit z — — erit -4- dz — regularum àánalysis infinitorum, unde summus usus in calculum redundat. 17. Quodsi autem figurae veritati conformiter delineentur, atque in iis s dilferentialia modo ante exposito repraesententur, saepenumero ea a calculo discrepare videbuntur; neque tamen hine. ulla confusio, si ad principia sedulo attendamus, oriri poterit, quin potius, si ab hac lege recederemns, maximis difficultatibus implicaremur, unde nos extricare non possemus, nisi novis calculi, differentialis regulis stabiliendis. Sic si quantitas variabilis c (Fig. 3) linea recta AP repraesentetur, eaque in sita proximo abeat in 4p, haec linea 4p per ac-1- dz designari debebit, eritque propterea Pp—4p —A4P—— dz. Si quis autem hoc decrementum Pp per dx exprimere velit, atque ideo Ap — a — dz statuere, is contra principia calculi differentialis stabilita peccaret, vel aliis regulis ad caleülüm prosequendum uti deberet. Praeter necessitatem autem. has regulàás. multiplicare ridiculum. foret. 18. Omnis autem ambiguitas evitabitur, si, postquani singulas quantitates in calculum ingre- dientes suis litteris denominaverimus, easdem quantitates in situm proximum translatas iisdem litteris suis differentialibus auctis designemus. In figura autem, si lineis principalibus . litteras majusculas adscripserimus, iisdem in statum proximum translatis, easdem litteras minusculas adscribemus. Sic si (Fig *) in curva B.M ad axem AP relata vocetur abscissa AP—a, e applicata PM—y, in situ proximo erit abcissa p —«-1-da, et applicata pm —y-1- dy. Unde manifestum est fore Pp— 4p— AP —da, et ducta mn axi parallela, erit. particula Mn — PM—pm— — dy. lmprimis igitur attendendum est ad quantitatem variabilem primariam, cujus reliquae tanquam functiones spectantur, qua cautela adhibita omnes difficultates, quae alias subnasci possent, sponte evanescent. 19. Neque etiam opus est, ut omnes quantitates variabiles ab eodem axis puncto initium trahant, a quo abscissae computantur; sed nihil impedit, quominus reliquae quantitates. variabiles ad. aliud principium referantur. Sic etiamsi abscissarum. 4P (Fig. 2). initium in axis puncto 4 collocetur, fieri potest ut, exempli gratia, area curvae &PM ab alio puncto fixo B aestimetur. Positis enim coordinatis 4P — «c, PM — y, si vocetur area BPM — e, erit puncto. P in situm. proximum .p pro- moto, 4p —2--do, pm —y dy, et area Bpm — e -4- de, unde cum.sit de — PMmp, erit. ut ante de — yda. Simili modo, si (Fig. *) sumtis abscissa AP. — a, PM — y, area CD MP a puncto fixo C computetur et ponatur — €, fiet omnibus in situm proximum. translatis, area CDmp — 9 de, eritque ergo de — — PMmp — — yda.. Atque si arcus DM positus: fuerit. — s, erit; Dm — $ ds, et, ds — — Mm — — Y (da? 4- dy?)... Haeque, animadversiones . sufficiunt. ad ; calculum ; eum . figura conjungendum. A EH fà Y 0c PS Yu UN NENERRRSETRNSM db M VT ONES T Ee P RAE TS T": dos" cadre a a MR: RNC ^^ v T Institutionum. | Calculi. differentialis Sectio : II. Cap. 1. 341 ^16:90.: Quae: hactenus. de. differentialibus: applicatarum, arearum: et arcuum. curvae: sunt trádita proprie. tantum ad. ejusmodi. curvas. pertinent, quarum applicatae sunt. functiones uniformes. abscis- sarum, ita ut unicuique abscissae unica tantum applicata respondeat. Si enim eidem abscissae plures applicatae. respondeant, alii abscissae, priore. scilicet «quapiam quantitate aucta, totidem applicatae respondebunt, atque applicatae: incrementum multiplex esse: oporetbit: quaelibet; namque applicatarum priorum,:a qualibet posteriorum subtracta, relinquet residuum, quod applicatae incrementum repraesen- tabit.. Simili-modo hoe casu eidem abseissae plures respondebunt. areae, ac propterea eidem abscissae incremento mülto plura arearum incrementa; sicque apparet: functionum . multiformium . incrementa esse. quoque: functiones multiformes. . His. ergo casibus, si ex:dato abscissae incremento quaeratur incrementum. applicatae vel. areae, quaestio non. erit. determinata, sed plures. responsiones postulabit. 21. Quae quo clarius perspiciantur, ponamus applicatam y. esse: functionem, triformem ipsius abscissae a, seu eidem abscissae (Fig. 5) 4P —2a: respondeant tres applicatae PM, PM' et PM", quae omnes - in valore litterae y contineantur quod evenit. si. y. per hujusmodi aequationem cubicam exprimatur y'—Py'--Qy—nhn-—0, existentibus P, Q,:.R, functionibus quibuscunque ipsius s». Hujus ergo aequationis pro abscissa 4P — x tres radices erunt. PM, PM' et —PM", propterea quod ultima in regionem negativam cadit. Quare ex natura aequationum erit | | P—PM--PM'—PM" : Q—PM.PM'—PM.PM" — PX. Pa" | s enc PMIPNUPME SS o o 92. Ponamus. jam abscissam c incremento, ac primo quidem finito da augeri, ita ut a 4p — 2 -- x et Dp off: Applicata ergo y abibit in JY-oe4y, quae in figura denotabit tres applicatas. pn, pm, —pm'. Cum igitur y* designet quamvis ex applicatis. PM, PM' et — PM", differentia Ay exhibere debet singulas differentias inter has et illas applicatas, unde 4y sequentes novem denotabit valores: Br 1. pn — PM , ^. p! —PM , 7. —pm" — PM 9.'pm-—PM', ^5. pm'— PM'; ^ "8. — pm" — Py' 3. pn-a- PM", — 6. pm'- PM", ^ ^9. — pm" 4- PM". Quamobrem necesse est ut Z/y per aequationem noni gradüs determinetur. . Scilicet si ipsa. quantitas y eliminetur, prodibit aequatio, in qua quantitas: Z/y ad nonum gradum: ascendet. 23. Ad hanc aequationem inveniendam ponatur in aequatione pro curva y?— Py? 4- Qy — R — 0, q-- Zl loco c, et y-i-Zly loco y; et cum sint P, Q et R functiones ipsius 2, eae, si pro a pona- tur z-r2/r, abeant in P-e4P, Q-—4Q et RAa-Z4R. Sicque prodibit haec aequatio " y?2-3y? Jy -- yd y? A- Ay? ; — Py? —9Py Ay —PAy? —y?* AP —29yAPAy — AP Ay? -- Qy 2- QAy -——»ydQ-- 4Q4y —R — AR ! * 348 || «LL. EULERI OPERA POSTHUMA: .— Analysis. Si jam ex hac: aequatione éum priori conjuncta. littera y eliminétur, et'Zfy tànquam incognita spectetur, orietur aequatio novem dimensionum; cujus. radices erunt novem: illae fili supra exhibitae. - m i» id. Jeshn t &teoilquae. nad T | 24.. Si quis bunc eliminátionis laborem in se- suscipere velit, revera ad. aequationem. novem dimensionum perveniet. Neque vero hac: eliminatione est 'opus; cum enim: y per priorem aequationem cubicam detur, unde tres nanciscitur valores, qui si tanquam cogniti spectentur, ex altera aequatione pariter. cubica incognita Z/y erui poterit, quae pariter: ternos-sortietur valores." Quia:aütem: in: hos tres valores ingredietur variabilis y, quae jam per se triplicem: habet valorem, si ejus loco hi valores seorsim substituantur, omnino" novem: ipsius - Z/y povenient valores, qui erunt ii ipsi valores; quos süpra exhibuimus.: Ad hoc autem. commodius paestandum prior. 'aequatio: a dico subtrahi. Me sicque — " — aequatio | | —y?*4P -- 3y? Ay --3y Ay? Um | abis gae s. ondeisedi Coey 4Qu—9Py4y—— PAy" C 5 iao3- enasiil sTolev M —oA4R-—39y4PAy — — Q -- "Um UU E QAy lise, P : | einoilegpon adQay : o5 75 eu$eti .1 Hi ;» (19904991 ii l - i i 25. Quemadmodum igitur, si y fuerit functio triformis. ipsius c, seu si definiatur per aequa- : tionem cubicam, ejus incrementum Zfy novem induit yalores, ita si aequatio, qua applicata y deter- minatur, habuerit quatuor dimensiones, ejus incrementum Ay, quod. pariter, nisi y eliminetur, ad quatuor dimensiones exsurgit, omnino sedecim habebit valores diversos. Atque i in genere si ápplicata y per aequationem . n. dimensionum definiatur, ejus inicrementam y aequatione totidem dimensionum determinatum reperietur, totidemque. habebit valores, in quibus etiamnum inerií y, quae cum ipsa habeat n valores, incrementum Z/y omnino An sortietur valores, qui erunt differentiae. inter singulos 141 valores ipsarum y et Xct Ay. 26. Ne igitur tanta sit valorum. ápcremenhi: mb multitudo, coMidetupmk aequationem quadratam, quae duos tantum ipsius y. exhibeat valores, 'sitque. : Phu dpoci gc " o xym2PBys-Q m0... | sieut ubi P et Q sint "Earl i quaecunque . abscissae a,. et. y .denotet dedii Ex hac. ergo. aequa- tione commode ambo valores ipsius .y. exhiberi feuESi. qui. sunt | yz Pu y(P'—Q) et y — P-—y(P-— .Q).. Crescat. nunc abscissa a. incremento Za, hincque ejus. functiones P et Q incrementis AP. et AQ, applicatae vero y incrementum sit Ay, quod propterea hac aequatione exponetur Yr. 9M. —9Py —2P4y —9y4P —94PAy | 0 de 4- Q ! | -- 4Q ; a — . vel priori aequatione ablata, hac Institutionum! Calcul. differentialis ' Sectio III. Cap. 1. ! 349 enudixols:» emavon: x9 tu 27101 iPapéralódicin dii MÀ mb oni i | yb. slsihamisllih. euj Minh d c2ogPAy cospy aures ctiodlui ! p : ; c4 —94PAy: | mang E "ii "Quodsi jam ex hac aequatione quaeratur incrementum ty, réperietür- moMUN IO egi 4y — Ty-cPa Pi y — By -- P!-- 2PAP A- 4p: — 40] qui bini valores, si loco y ejus valores ambo. ante inventi sulstituantur, abibunt in quatuor valores ipsius Ay, qui his. binis formulis continebuntur be darc Ay — AP 35 Y (P! — Q) 4- Y (P — QA 2PAP AP — -4Q),. 4y AP a y (P — Q9) — y (P— i 2PAP 4- 4P! — - 4Q).. seu in unica formula erit: | pieqi andas! 4y — 4p ay (Ps 9j yp bebo asd Ph — 40) 28. Ponamus jam incrementum ipsius c, qdad in his' valoribus finitum est assumtum, fleri infinite parvum, eruntque foiitiosinm. P et Q incrementa 4P et " peu infinite parva, abibuntque in dP et dQ. Hinc erit Fev DOW ; (P! — Q--2P dp a- dp — "o- vino rg unde (sro ipiins Zly | valores. erunt. : DAT tus cde e ase mon | 4j — (P 0 --dp— rm d í I FH d $ EFI Ee Ex his apparet binos priores valores ipsius Z/y non obstante incrementi da parvitate infinita, esse finitae magnitudinis, binos autem posteriores esse infinite parvos; hisque casibus ob V (P* —4Q)—y — P; o0 ys . 9P4P- Q^ -9ydP—Q- —— RUE RIA T RR qui valor quoque per differentiationem consuetam eruitur. 29. Scilicet si ponamus binos ipsius y. valores iu figura esse PM et PM', qui abscissae AP — x respondeant, atque abscissae. suo. differentiali, auctae |.4/p — c -1- do. respondere applicatas pm et. pm, quae. per; Y 4y exprimentur, incrementum: z/y hos quatuor: habebit valores muao eid z3 .. dospn— PM, 3. pn'— PM . suis liusyp «29. pm — PM',.. s, pm! — PM. quorum duo, nempe secundus et tertius, erunt finitae magnitudinis, primus autem et quartus infinite parvi. llli ergo duo valores, cum. sint. finiti ,.-non . pro- differentiali ipsius y haberi, neque per dy exprimi poterunt, sed soli duo postériores, qui cum sint. infinite parvi, differentialia utriusque appli- catae repraesentabunt. | Ductis: nimirum axi. ,4P' parallelis lineolis Mn: et. M'n', erit. mn. differentiale applicatae: PM, et' — m'n' differentiale alterius applicatae. PM". 950 | so IEULERI OPERA. POSTHUMA......- Analysis .30. Simili modo, si uti in figura "applicata y ires habeat valores, tum ex novem valoribus ipsius Z/y tres erunt infinite parvi, deba pro incremento. abscissae sumatur ejus differentiale da. Isti scilicet tres ipsius Z/y valores iifinite parvi. erunt: pm — PM — mn, pm/— PM'— —m'n. et — pm" 4- PM" — — mn, jsnía videlicet, applicatae. pm". et. PM" sunt negativae. . Hae. igitur tres lineolae ma, —m'n, —m f praebent valores differentialis ipsius y, ideoque per dy designari possunt. Reliqui autem sex valores ipsius Ay hic in considerationem non veniunt. Atque in hoc ipso denuo insignis calculi "diferentialis usus includitur ,- quod vales ipsius Ay. ad propositum facientes facile a reliquis inutilibus segregare liceat; nam nisi differentia 7far infinite parva 'statuatur, tam facile ex novem illis ipsius: Ay valoribus, qui. omhes essent. finiti, ii, qui- differentias duarum applicatarum in eodem vürvae ramo sumtárum- denotant, separari non possent. ' 31. Cum igitur hic ii tantum ipsius Z/y valores requirantur, qui sint; infinite parvi, et locum m" dns tenere us distin Sisi 4er et dP, "e et. dR pro AP, 4Q et AR, negli) Minas. idi: Q 49 *k nmndolionul onpiüpTe muris adii dá yp dp b ydQ - — dB -- * dy — 2Py dy -- Qdy L— 0 y db — yiQc- dii ex qua fit; dye any Yi Quanquam autem hic unicus duntaxat pro dy valor invenitur, tamen quia: ipsa applicata y" triplicem | "A b- ui habet valorem, hine etiam tres yalores-pro dy oriuntur. . Scilicet si pro y ponatur PM, tum prodit dy — mn; sin ponatur PM' n y, tiet dy — —m' n ; at si pro y substituatur — PM", invenietur dy — —m' n. — : rs 32. Hine perspicitur has applicatarum differentias infinite. parvas dy, quae prodeunt dum abscissa c suo differentiali da: augetur, per regulas. consuetas calculi differentialis inveniri. Si enim aequatio proposita | wes alhüoi adélivu Xm Ir n Qy - Ru, SERRE T differentietur,. prodibit | oos edd 34yy dy — BPyMi- y*dPa- Qdy 4 ydQ du ditas - 0, unde oritur, uti modo invenimus: - dm EQ Quocirea' caleulus differentialis etiam functionum multiformiuni eà ipsa praebet differentialia; quibus opus habemus. ^Neque enim" quasvis requirimus differentias inter singulos applicatarum valores praes cedentes et sequentes, sed eas tantum, quae ad unum eundemque ramum pertinent. Ex his enim differentiis determinari debet positio -tangentium et. normalium aliarumque quantitatum a curvatura pendentium. 9 b tnuTObp 33. "Quoteunque ergo applicatae in eadem linea curva eidem abscissae respondeant, uniuscujus- que- incrementum "vel: decrementum assignari sicque plures rami, ex quibus. linea. curya componitur, tanquam totidem lineae simplices eonsiderari- possunt. Quaecunque enim: fuerit aequatio inter. abscis- sam c et applicatam y, ejus differentialis erit hujusmodi dy — Zdz, denotante. Z- functionem. ipsarum —À MÀ MIRROR ERREUR Institutionum: Calcul: differentialis! Sectio 1I. Cap. 2. . 951 "I y.' Quodsi ergo valores ipsius y fuerint p, q; r, $, etc., Si'in functione Z pro y ponatur valor p, prodibit incrementum applicatae p; similique modo $i pro: y' successive ponantur valores Q,'F; s; ete, quantitas Zdz harum applicatarum: differentialia exhibebit, Hinc ergo magis confirmantur et illustrantur, quae in libro: superiori de differentiatione functionum -multiformium sunt tradita; ^^ 3*. Quoniam ergo pro differentiali dy totidem valores nanciscimur, quot ipsa applicata y diversos sortitur valores, totidem inde quoque resultabunt expressiones pro differentialibus singulo- rum curvae ramorum. Scilicet; eum ante invenerimus elementum seu differentiale lineae curvae per Y (da? 4- dy?) exprimi, si pro dy substituatur valor mn, tum Y/(dx*-4- dy?) praebebit elementum Mmi, quod est differentiale areus. EM; sin autem pro dy substituatur — m'n', eadem expressio dabit differentiale arcus D M'; ac si fiat dy. ——m"n^, tum y (dz? -À- dy?) exhibebit. differentiale arcus EM". Simili ergo modo quoteunque linea eurva habuerit ramos, eidem abscissae respondentes, hinc singulos istos ramos seorsim dimetiri' licebit; quod argumentum fusius pertractabitur, ubi de dimensione linearum curvarum sermo instituetur. ' - | 50135. Quae hactenus explicavimus ad eos tantum casus, quibus natura curvae aequatione inter binas coordinatas orthogonales exprimitur, pertinent. Interim tamen ex his quoque facile perspicitur, quemadinodum, si coordinatae non fuerint normales inter sé, .Séd ad datum quemvis angulum incli- natae, differentialia ad figuras transferri debeant. Quin etiam, si matura curvae alio quocunque modo: exprimatur, applicatio ' ealeuli 'ad figuram nullam fere habebit difficultatem; atque Si ulla supersit, ea in sequenti tractatione prorsus tolletur. Ceterum in hujusmodi investigationibus omnis vis in eo est posita, quod differentiale ipsius lineae curvae tanquam lineola recta spectari possit; idém' enim modus, quo hoe pro coordiuatis orthogonalibus est ostensum, aeque ad omnes alios modos naturam curvarum exprimendi patet. | " 4 De tangentibus linearum curvarum. 1.. Iu capite. praecedente | vidimus : particulas. infinite ;parvas cujusvis lineae curvae tanquam lineolas rectas spectari posse. EHancobrem omnis linea curva instar figurae rectilineae, cujus latera sint. infinite: parva , considerari poterit; definitio autem nostra. infinite parvorum, qua ea prorsus evanescentia nihiloque aequalia statuimus, ommes difficultates, quae vulgo contra hanc propositionem allegari solent, penitus. tollit. Quando enim dicimus lineam curvam per multisectionem in infinitum repetitam in:partieulas rectas secari, nihil aliud. affirmamus, nisi hoc sectionis modo nunquam prorsus ad particulas, quae sint lineolae rectae, perveniri ; sicque ab ii$ non dissentimus, qui negant ullas linearum. curvarum particulas, quantumvis sint exiguae, unquam recte pro lineolis rectis haberi. Quamprimum autem particulae infinite parvae considerantur, eae a particulis infinite parvis lineae rectae omnino discrepare non: possunt. ^9... Quo. haec clarius intelligantur, primo quidem: nullum est dubium, quin ommes partes lineae rectae, quantumvis sint. parvae, sint pariter lineolae rectae. Quocirca quando dicimns particulas 352 e o0 BUEULERI OPERA: POSTHUMA.....-..-: Ániipüh. infinite parvas linearum. curvarum pro: lineolis rectis haberi posse, . nihil. aliud dicimus, nisi particulas infinite parvas. linearum. curvarum ;a particulis infinite . parvis lineae rectae; non-differre, . Quo ulterius enim linea curva dividitur. et in | minores. particulas secatur, eo magis discrimen a. curvedine ortum diminuitur;:si enim. arcus. cujusvis. curvae ;corda subtendatur, quantumvis sit . discrimen . inter. arcum et ejus cordam; hoc. discrimen: continuo fiet minus, quo minor arcus capiatur. Hincque. recte con- cluditur, . si arcus. in infinitum diminuatur, discrimen. inter. eum; ejusque cordam. penitus. evanescere, —— adeo particulam infinite parvam. cujusque. lineae curvae. pro. lineola: recta. infinite, parva. haberi oec 5nrlo fd 7i aw Tolov "035Bdiedus «5 | rs (0b 2i "VE idum principii etiam. insignis solet esse usus in geometria elementari. .. Ubi enim. quadra- tura drigiá invesligatur,. ibi assumitur area. circuli aequari .polygono. infinitorum laterum, circulo vel inscripto ,.. vel .circumscripto. ..Dum enim circulo polygona: regularía. inscribuntur, mox apparet omnia quidem . circulo; esse minora; interim tamen. quo. plura | ea. habeant, latera, eo. minus ea a circulo discrepare. Unde colligitur, si numerus laterum polygoni in infinitum. augeatur, tum discrimen inter ejus: aream. et. aream circuli omnino evanescere; quae: convenientia. quoque contrario modo in polygonis circumscriptis locum. babet.: Neque. vero solum area. polygoni infinitorum laterum sive inscripti. sive circumscripti aequalis est. areae circuli, sed. etiam ejus. perimeter aequalis censetur peripheriae circuli; quod. admitti :non. posset, nisi arculi circuli infinite parvi. suis, cordis ; essent. aequales. | is d. «Contra, hanc. arculorum. circuli infinite parvorum cum suis cordis. convenientiam: ab iis, qui in. mechanica: sunt. versati, grave. argumentum allegari | solet. .. Cum. enim. descensus corporis: gravis super. arcu. circuli usque. ad: ejus. imum . punctum. investigatur, deprehenditur .Aempus. descensus.;non evanescere, etiamsi arcus in. infinitum .. diminuatur, quo .casu suae subtensae. fit aequalis. :.. Deinde omnes descensus corporis super singulis cordis in imo circuli puncto terminatis aeque, diuturni. .in- veniuntur, neque tamen si et arcus et corda infinite parva statuantur, tempus descensus super arcu aequale est tempori descensus super corda. Hocque vero casu is valde falleretur, qui arcum et cordam, etiamsi utrumque sit infinite parvum, inter se confundere vellet. Verum cum hic tempus descensus super arcu quamvis infinite parvo, tamen sit finitum, hoc ipso investigatio ab infinite parvis ad finita est traducenda, ita ut haec objectio in praesenti instituto nullam vim retineat. Hic enim plus non affirmamus, quam inter arcus et; cordas evanescentes rationem aequalitatis intercedere, quam: ista objectio non: infringit. TR ogeoq Pw i391 esloanil 5. Quamvis elementa infinite parva cujusque lineae. curvae aliter nisi pángta concipi nequeant, ideoque. in. illis nullae dentur. partes: ullam longitudinem constituentes; tamen: calculus nobis cujusvis elementi: directionem exhibet. Dum. enim (Fig. 2) triangulum Mnm continua diminutione intervalli Pp: in infinitum. diminuitur atque. in rectilineum abit, ob rationem inter ejus latuscula finitam; anguli ad M,.n et m erunt cogniti, hincque inclinatio: elementi. Mm :ad elementum n; quod axi ,4P' paral- lelum concipitur, innotescet, Etiamsi igitur. revera elementum: Mm tanquam punctum in^se- nullam habeat directionem, tamen si cum sequente consideretur, plaga, secundum: quam cum eo connectitur, directionem determinabit. Hanc: directionem quoque hoc modo concipere licet, dum triangulum Mnm | adhuc est finitum, intelligatur. in. eo ducta corda Mm cujus. directio ergo erit nota; jam triangulum Mnm,;diminuendo, directio. cordae continuo « inutabitur. |. Sed. ita^; tamen | ad ^ certàm quandam: E d I HEAR 7 UNTEN CT DNISRINIPNI I RR I e S RSRPARENIO RI RERIRE RR Re ERRRMERRERPCTREEDEX Institutionum : Calculi: differentialis | Sectio III. Cap. 2. 353 directionem jugiter propius accedet, quam attingere.censenda erit tum, cum triangulum in infinitum erit diminutum. 6. Omnes autem difficultates penitus evanescent, si genesin linéarum curvarum ita imaginemur, ut motu puncti super plano incedentis describantur. Sic enim linea curva BM erit quasi via, secundum quam punctum ex P in M est progressum. Hoc modo linea recta describitur, si punctum in motu suo perpetuo eandem servat directionem; linea curva autem, si ejus directio continuo immutatur. [n quovis autem lineae curvae: BM loco punctum istud deseribens certam habebit directionem, sine qua motus consistere non posset; atque in triangulo infinite parvo Mnm hypotenusa Mm repraesentabit directionem, secundum quam punctum illud, cum in. M pervenerit, motum suum prosequitur. Hancobrem angulus mJn monstrabit inclinationem illius: directionis ad axem AP; ex angulo autem Mn constabit, quantum directio puncti lineam curvam describentis ad applicatam PM inclinetur. 7. Ducatur, per punctum curvae M linea recta indefinita TM, quae ad axem AP (Fig.6) vel rectam ei parallelam Mn eandem teneat inclinationem, quam in triangulo infinite. parvo Mmn habet hypo- * tenusa Mm ad basin Mn, atque-haec recta TM ita «exprimet, directionem, puncti motu suo lineam * curvam 4M describentis, ut si hoc punctum eandem directionem, quam in JM habet, invariatam retineret, ipsam lineam rectam M descripturum esset. Hujus ergo lineae rectae TM elementum infinite parvum. Mm, quia ad Mn earidem habet inclinationem, quam tenet elementum lineae curvae Mm, cum hoc elemento congruet, atque adeo elementum Mm commune erit lineae rectae TM et curvae 4M. Quamobrem ista linea recta TM/ tanget lineam curvam in puncto MM; linea recta enim tangens lineam curvam ita definitur, ut cum linea curva in eo puncto, ubi est contactus, eandem directionem habere dicatur. d | | ^ & Si igitur pro coordinatis orthogonalibus 44 P et PM vocetur abscissa 4P — zc, applicata PM — y, in triangulo infinite parvo Mnm erit Mn — Pp — dx, mn—dy et Mm — y (da? - dy?), et angulus mMn metietur inclinationem tangentis T'MP ad axem AP,.eritque si tangens axem in puncto T. secare ponatur, angulus PTM -—mHMn, unde ob. angulos ad P et n rectos, triangula TMP et Mmn inter. se. erunt similia, ac propterea latera proportionalia. Fiet ergo mn (dy) : Mn (dx) — MP 9): PT (T5); ideoque PT —"7. Hinc in axe definiri potest punctum T, ex quo, si per punctum JM agatur linea recta TM, ea futura sit tangens lineae curvae in puncto M. Vocari autem haec linea PT' solet substangens. 9. Inventa ergo pro quavis curva, cujus natura aequatione inter coordinatas orthogonales exprimitur, subtangente PT—U-, tangens curvae in puncto JM expeditissime ducitur, ducendo scilicet per - puncta T, M linea recta TMV. Longitudo autem ipsius lineae tangentis MT erit 2 2 LM ran, Aliis quoque modis punctum T, quo tangens determinatur, assignari potest: sic 41230095 1iy . LI . t . Lat ad, L ejus distantia a puncto 4, seu intervallum 4T erit — cem Sin autem punctum T nimis longe excurrat, commodius in linea recta 4B ad axem, normali definitur punctum .$, per quod tangens transit. Namque ob triangula similia T.4 S, Mna, erit dz : dy — AT: AS, ideoque ob L. Euleri Op. posthuma T. I. A5 354 Li EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. jr zitie ei ggg gittis phot | Vel ducta MQ axi AP parallela, ob 4Q — PM — y, erit QS —5. Hinc invento puncto $, linea recta per ambo puncta MM et ,S ducta curvam in M tanget. 10. Cognita tangente ad curvam, facile linea recta duci poterit, quae cum curva angulum quemcunque constituat; quaevis enim recta ad lineam curvam in dato puncto aeque inclinata cen- setur, atque ad tangentem in eo puncto. Sic si per punctum M linea recta duci debeat, quae sit ad curvam normalis, totum negotium absolvetur, si ad tangentem MT in puncto M normalis educatur MN. Hujusmodi recta MN, quae in geometria sublimiori frequentissime occurrit, normalis appellari solet, et portio axis P.N, inter applicatam et occursum normalis cum axe intercepta, sub- normalis vocatur. Cum jam triangula Mmn, MXNP sint pariter similia, erit dz:dy— PM:PN ideoqe PN—"Z. Facile ergo per differentiationem invenitur subnormalis PV, hincque recta per puncta M et N ducta erit normalis ad curvam in puncto M, quoniam ad tangentem est, perpendicularis. 11. Ponamus ad curvam in puncto M duci debere rectam MO, quae eum eurva angulum quemeunque datum OMT constituat. Sit iste angulus TMO — y, et ponatur angulus T MP — o, dz. Y (dz? -- dy?) Y (dz? 2- ày?) " erit in triangulo PMO angulus PM0 — q — o, atque cos (p — 9):y —sin (y — c): PO, unde fit P0 — y tang (p — o aue Une p — npo) ita ut sit sin o — et cos o — 1 -2- tang 9. tang o U^. dy tan — daz y(dy sin o — dx cos y (dy tang 9 ) seu PO-— (dy sin 9). dy 3A- dx tang 9 dy cos 9 -- dz sin 9 At est tang 9 — LÍ ergo PO — Hinc sequitur si angulus OMT — g. debeat esse rectus, ob sing —1 et cosg —0, fore PO— PN— "t. Sin autem angulus y debeat esse nullus, seu MÓ in ipsam tangentem incidere, ob sing» — 0 et — erit P0 — — Es — — PT, uti pro tangente invenimus. 129. Hoc modo non solum tangentes et aliae lineae rectae ad curvam utcunque inclinatae duci possunt, si applicata fuerit functio uniformis ipsius abscissae , sed etiam quotcunque curvae puncta eidem abscissae puncto P respondeant, ad quodvis punctum duci poterit tangens. Si enim applicata y tres habeat valores, puta PM, PM' et — PM" (Fig. 5), ex aequationis resolutione non solum singuli cognoscentur, sed etiam M nis differentiale dy. Habebuntur ergo tam pro y quam pro dy tes valores, qui in formula * z substituti dabunt subtangentem pro quovis puncto. Vel si sit dy — pda, existente p functione rationali ipsarum c et y, formula 2: si ponatur y — PM, dabit subtangentem pro puncto M; sin autem pro y substituatur vel valor PM' vel PM", prodibit sub- tangens vel pro puncto .M', vel pro puncto M". : 13. Regulam pro inveniendis tangentibus, si natura curvae "exprimátur aequatione inter coordi I- natas orthogonales, aliquot exemplis illustrasse juvabit: | 1 Exemplum 1. Si igitur curea AM (Fig. 6) parabola 4ppolloniana, cujus natura inter coordinatas AP — x et PM — y hac aequatione yy — 2ax eaeprimitur. | | P9————— OU OUUMUMTMIMKMEERRRENERERPEEE dnstitutionum Calculí. differentias Sectio. III. Cap. 2. 395 Cum sit. yy — Sax, erit differentiando ydy — ad, ideoque 1,75 et subtangens | PT—USILM gs, ob yy — 2ax. Tenet ergo perpetuo sübtangens PT ad abscissam /P rationem duplam. Deinde cum sit subnor- malis PV vt, ob ydy — adz, fiet PX — a; Meoque in parabola subnormalis perpetuo aequalis est semissi lateris recti. Cum porro sit resecta 4T — A4P — c, erit AS— iy; hinc si in puncto $ ad tangentem M T ducatur normalis SF, erit 4F — yy: la; ideoque punctum F est fixum et 3 incidit in focum parabolae. Quae proprietates, cum aliunde- sint notissimae, veritatem regulae non mediocriter confirmant. Exemplum 2. Sit curea AM parabola altioris gradus hac aequatione y" ^ ^ — a" x^ expressa, cujus tangenlem invenire oporteat. Si aequatio differentietur, prodit (m 4- n) y "*"^—' dy — PPAIRN dc, unde fit dr — (m4a-ny"77*^—! LLL (mas) y" 4 aet et subtangens PT— cnr bm err E m-—-n dm oby"*"-a"c" um Pr et AT — "Tar ideoque abscissa 4P ad resectam AT rationem habet constantem ut n ad m. Tum vero erit substangens PT ad abscissam 4P ut m--n ad n. Praeterea cum sit dy —— — na" Pres ydy ^ na"5n—1 na? z^ y? | da mocaj yr en—1 erit subnormalis PN — Ter denos y FACIT nein] aj ER 2 3 Substituatur hic a" ze" loco y"-*" fietque PX — —^ —. (m-- n) x Exemplum 3. Sit (Fig. 7) curta AMB circulus. centro C radio AC —a deseriptus, cujus « natura inter AP — x et PM — y hac aequatione yy — 2ax—xx exprimitur. Haec aequatio differentiata dat ydy — adz — «dx, unde fit dz " "S. — — —.. et substangens PT — iet. tinc GL dy a—zao " ' a—a a—2a a—a ' Quoniam véro est 4B — 2a, erit BP-—2«a-— v, e& ob CP —a — x, erit PT Deinde est resecta PATE. nc, RR anre P 47 ; a—a2ao üa—c CP 1 2 Porro erit epic. a—ao a—zaz. [9] Denique cum sit ydy — ad» — «dz, erit. subnormalis St —a—mv-—CP, unde patet normalem per centrum C transire. Quanquam hic pro abscissa 4P-—c applicata y duplicem habet valorem, alterum PM, alterum — PM', tamen quia neque in expressione subtangentis neque subnormalis in- est y, tam utraque tangens MT et M'T axem in eodem puncto T' secat, quam utraque normalis MC et .M'C. per centrum C transibit. Quae quidem sunt. notissimae circuli proprietates. Exemplum 4. Si naiura curvae. AM (Fig. 6). hac aequatione exprimatur yy — X, existente. 4 X. functione quacunque ipsius x, ejus tangentem in quovis puncto. M invenire. Sit dX — Pda, et aequatio differentiata dabit, 2y dy .— Pd, unde fit T e — I snbtapgens PT! Im. prs dy ! 356 « sCESEULERI OPERA POSTHUMA. Asi. eu gy Deinde cum sit mm t P, subnormalis erit. PN — ip, qui valores tam subtangentis quam sub- normalis pro utroque itdn valore —-yYX Lcd quod quidem per se est perspicuum, cum partes curvae ad utramque axis partem sitae sint inter se similes et aequales. Exemplum 25. - Positis (Fig. 8) abscissa AP — x et applicata orthogonali —y. Si. natura cureae hac aequatione expressa yy — Say 2xy — aa -i- xx, ila ut unicuique ehiciane AP e x | binae respondeant applicatae PM et — PM. | | Aequatio differentiata dabit. "wi ydy — ady -- «dy -— ydz - «da unde fit de uy SEA dy yc ideoque erit subtangens da —ay— ay A-2y — aa -A- ox ! j bs a(y — a i. anbe rgei es Aie Ag ancir atque .resecta orm do mm ei: dy yc y--cx dy yc Jam ob binos valores ipsius y" duo reperiuntur puncta T et T', quorum illud tangenti in M, hoc LI . a PM—a . vero tangenti in M' respondet. bnt nempe, si y — PM, dT Tr sin autem y — — PM', ; a (PM'-- a 4-c i erit. 4T" — A MEE m Simili modo. ob 2 ess use! erit. subnormalis | ia AP — PM y—a— aoi ydy — yy yx L. 2ay -- 3yr — aa -- ca aod dr — y—-a—-oz — y—a—zac , quae praebebit intessolfui PN si. ponatur ye PM; sin autem PN y—— PM', prodibit inter- vallum PN' respondens puncto M*. | ' ' Exemplum 6. invenire subtangentem. in. lineis tertii ordinis hac aequatione contentis y? 2 ay?x 2-9 yx? 2 yx? Oy? -- eyx 2 £xx 2 y A Ox 2 4 — 0. Aequatione hac differentiata obtinebitur — dy (3yy 2- 2ayo -- 82a: -4- 20y - 6x 3 1) 2 dinis -- dod. 3n -r- £y. 2- 9a -r Pee à unde fit subtangens : ydz —. —3y5— 9ay*a — (lyez — 98yy —cyr — ty dy — eyyd-28yz4-3yrz-2-:y-3-9622-0 — ^ -— yd» — ay*z-r-9Byrz 1-3 yz? 4-8yy 4-9cym - 3Emz 4- 97y 4-902 4 3 dy — -. ayy--9fyx-- 31sa--c- 252-1-0 Si hinc abscissa « subtrahatur, temalibbit resecta ydr ^ — cta By A-cym tem A: 9j 4-907 4-37 dy ii ayy-i- 9Byz 4- 3 ja 4- cy 3- 9.5230. Kx Quodsi. jam bie; pro y.ejus varii valores substituantur, prodibunt axis portiones . aia T pro singulis curvae punctis abscissae c. respondentibus. i | ume 1^. Formula ES non solum quantitatem subtangentis, quae est portio axis inter applicatám et tangentem intercepta, ostendit, sed etiam ejus positionem demonstrat. Si enim - affirmativum habeat valorem, punctum T'ad eandem partem applicatae PM cadit, in qua reperitur initium abscis- sarum. Scilicet si abscissae 4P'a puncto 4 dextrorsum capiantur, subtangens P si ejus valor . . "o , " L] Po. m " L L] da L . fuerit affirmativus, a puncto P sinistrorsum. capi debebit, et contra, si valor ipsius P fuerit negativus. Institutionum. | Calcul! differentialis: Sectio II... Cap. 2. 351 Subnormalis autem PX — "?". si fuerit affirmativa, a puncto P dextrorsum capi debebit, siquidem dz abscissae c ab initio ;4 dextrorsum progrediantur; hocque 'casu subnormalem, si fuerit negativa, sinistrorsum sumi oportet. | 15. Nullum autem dubium relinquetur, si punctorum . T et N distantiae ab initio abscissarum 4 computentur, unde in unam axis plagam abscissae affirmativae, in alteram negativae vergunt. Ponamus (Fig. 9) tam punctum T quam N in regionem abscissarum affirmativarum incidere, et cum, positis * AP —a, PM—y, sit PT-UT e et PRI, erit AT—a— UT et 4 ydy dz * . zd — L B . B Quoties ergo expressio DE Miei tenet valorem, toties intervallum. 4T a puncto 4 in azdy — ydz dy regione abscissarum affirmativarum capi debet. Sin, autem . — cd, H L L] LI . L L . L 1:3 — affirmativum, intervallum 4T in regionem abscissarum negativarum incidet.. Simili modo distantia AV M si sit affirmativa, in regione axis affirmativa, sin autem sit CP negativa quantitas, in regione axis negativa capienda erit. Cujus discriminis aliquot exempla subjungamus. habeat valorem negativum, seu Exemplum 1. Sit (Fig. 7) propositus circulus centro C radio AC—a descriptus, et abscissae CP—x a centro sinistrorsum capiantur, ut sit yy — àa — xx, invenire subnormalem et subtangentem. Cum sit yy — aa — «x, erit ydy — — «da et omen, unde fit - quae expressio cum sit. affirmativa, punctum T in parte. axis. affirmativa sumi debet. Sin autem abscissa z sumatur negativa, uantitas ariter fit ne ativa, ideoque in axe a uncto C dextrorsum e q P e q pu capi debet. Deinde pro normali. cum sit ydy.-i- 2dz 0, erit quoque ote IN 0, unde patet normalem perpetuo per ipsum punctum C, quod est abscissarum initium simulque centrum circuli, transire. ; Exemplum 2. Sit (Fig. 10) linea curva ellipsis super axe AB. centro C: descripta, unde sumtis. eoordinatis CP — x et PM — y, ejus natura. hac. aequatioie aayy —aacc — ccexx eapriünatur. Erit ergo: a semiaxis transversus C4 vel CB, et c semiaxis conjugatus. Differentiata aequatione erit | aaydy — — ccxdo .et fom atque T —— s e fit t E CT uu IRR WEE da, cadit ergo intervallum CT in partem axis abscissis affirmativis destinatam. Deinde cum sit -ydy: demo 3 Lo iydy-r- zdm (aa — co) m. E iem. erit C N— E ones Hoc est, si. fuerit a 6 intervallum CN erit affirmativum, sin autem sit a — c, intervallum CN sinistrorsum . Biblkodehet., it Da cres VOS EMG qn | gos | ^» Exemplum 3. $it (Fig. Th die curea uri cujus natura inter. deusinai: orthogonales * AP—x, PM — y hac aequatione exprimatur: yy — 2c y -- aa. : 398 — » L. EULERI. OPERA POSTHUMA. Analysis. Hic unicuique abscissae c duae respondent applicatae PM et. P M eritque PM —2x a- Y (aa ax). et — PM — e — Y (aa a- a2), atque in initio 44 fit AB — AB'—a. T Ad tangentes jam in punctis M et M' inveniendas differentietur aequatio, prodibitque ydy — «dy -- ydv, | unde fit i ——— , et iblangens PT—y-—a. ' Unde si y — PM, erit PT— PM — AP; sin autem y — — PN, quia punctum T' in regionem aem cadit, erit — PT'— — PM'— AP, seu PT'— PM'-- AP. Cum autem sit y — e -* y (aa 4- ea), erit subtangens -— "y (aa -- v), eujus ambigui valoris prior -4-Y/(aa-4-axw) dat subtangentem PT, alter T ETE (— — — PT', erit pu PT — PT'. Subnormalis porro PN-— yy 2g 0302-92 - Y(aa--zz) Y (aa 4- zc) -- 2s, ' et altera subnormalis — aa — 9zx " aa -3- 9za - —PpN-— Ups meer seid seu PN'— T Mnnea — 2. Exprimi quoque potest tam subtangens quam subnormalis per applicatam, y. Cum enim sit 2y y yy2- aa^. qM, e PTT WTu ou PL unde pro duplici valore ipsius y gemini quoque valores pro punctis T et inveniuntur. Exemplum 4. Sii curea BM (Fig. 9) logaritlunica ad' suam asymtotam AP tanquam aem relata, cujus positis coordinatis AP — x, PM—y, natura. hac aequatione exprimatur x6 bus DU Mndacn hac aequatione erit dot, ideoque "oe, unde subtangens logarithmicae PE — 7 ubique. ejusdem. est quantitatis, quae est hujus curvae proprietas notissima, Hine cum subnordüifl semper sit tertia proportionalis ad subtangentem et applicatam, erit subnormalis py "i Ex hoc autem exemplo perspicitur, quomodo curvarum transcendentium tangentes inveniri oporteat. 16. Vulgo in-elementis linea tangens ita definiri solet, ut. omnia- puncta. praeter unicum, quod punctum contactus vocatur, extra lineam curvam posita habere dicantur. Haec autem definitio non nisi in circulo et sectionibus conicis aliisque curvis, quae a lineis rectis in pluribus quam duobus punctis seeari nequeunt, justam. tangentis: ideam. praebet. Ita. si. (Fig. 12) eurva..4/MN alicubi. cursum suum inflectat, linea recta T MAN eam in puncto M tangere potest, etiam si eadem alibi in IV curvam secet; hocque modo fieri potest, ut eadem linea recta curvam tangat simulque in pluribus pu intersecet. Casus autem íste nostram definitionem non turbat, qua diximus lineam tangentem in uno puncto cum linea curva ita convenire, ut ibi utraque communem habeat directionem. " Seu cuim etiam in minimo curvae elemento directio wore debeat, linea — nil aliud. erit, nisi hoc elementum utrinque productum. | M k Xi discria ! MEL Institutionum. Calcul differentialis Sectio III. Cap. 2. 359 17. Alias quoque idea tangentis ex idea linearum secantium derivari solet, ita ut (Fig. 13) linea. & secans TMm in tangentem abire censeatur, cum binae intersectiones M et m in unum punctum conve- niunt. Haec idea non solum cum ea, quam supra dedimus, perfecte congruit, sed etiam eandem regulam pro inveniendis tangentibus suppeditat. Posita abscissa 4P — x, sit applicata respondens PM — y functio quaecunque ipsius 2; tum consideretur recta T'Mm per punctum quodpiam axis T' ducta quaecunque, eritque posita 4'T— aequatio pro recta ista hujusmodi y — n (t-- x), quae ob y functionem ipsius c, tot habebit radices, quot fuerint intersectiones hujus rectae cum linea curva. Si jam ponamus duas intersectiones in unum punctum coalescere, aequatio y — n (t-i- x) duas habebit radices aequales; ac propterea per ea, quae in praecedente libro de aequalitate duarum radicum sunt demonstrata, erit aequationem y — n (t-1- 2) differentiando, posita sola quantitate c ejusque functione y variabili, dy — ndz, unde fit m Qui valor si loco n in illa aequatione substi- (t -&- 2) dy daz tangente PT invenimus. tuatur, erit y — et (£3 2) — PT—L^. quae est esdem expressio, quam supra pro sub- 18. Patet ergo ex hoc consensu, si elementum lineae:curvae, quod etiamsi sit infinite parvum, tamen determinata directione non caret, utrinque producatur in directum, lineam rectam hoc modo oriundam fore tangentem lineae curvae in eo elemento. Quamobrem perpetuo positio lineae tangentis ex directione elementi curvae, quae per minimum triangulum JMnm (Fig. 6) determinatur, recte definietur. Cum igitur hoc praestiterimus, quando natura curvae per aequationem inter coordinatas orthogonales definitur, superest, ut quoque alios modos naturam curvarum exprimendi perpendamus, et quemadmodum lineae tangentes inveniri queant, ostendamus. Cognita autem tangente, simul omnes aliae lineae, quarum positio ab ea pendet, cujusmodi sunt normales in curvam, aliaeque lineae ad curvam utcunque inclinatae, facillime innotescent. 19. Quoniam hactenus applicatas ad axem normales assumsimus, cial nunc applicatae MP cum axe 4/P angulum quemcünque constantem 4/PM, qui sit — £; voceturque abscissa 4P — a, . applicata PM — y. Sumatur jam alia abscissa aliquanto major Z/p — &-:- Zz, sitque respondens applicata pm — y 4- Z/y. Ducta ergo linea Mn axi parallela, erit Mn — Pp — zz, et mn — 4fy, atque triangulum mixtilineum Mn; abibit in rectilineum, si incrementum Z/z statuatur infinite par- vum. Fiat igitur //z—dz et //y—dy, atque in triangulo rectilineo Mnm, ob data Mn— Pp-—dz, mn--dy et angulum Mnm — £, dabitur positio lateris. Mm, quae producta praebebit tangentem curvae MT in puncto M, quae si axi in T occurrat, triangula Mnm et TP M erunt similia, unde oritur mn (dy): Mn(do) — P M(y):P T, erit ergo intervallum PT — P3 ; Sicque innotescit punctum T, per quod si ex M ducatár recta M T, ea futura sit cürvae tangens quaesita, unde patet subtan- gentem PT ab angulo Z non pendere. 20. Definiri hinc quoque possunt differentialia tam areae quam arcus curvae. Si enim ponatur area 4P M—u, erit atea. Zpm-—u-i-du, ideoque du-—trapezio PpmM, quod cum constet duabus partibus, parallelogrammo scilicet Ppn.M et triangulo Mnm, erit area parallelogrammi ba arde 4 et area trianguli Mnm — 5 dedy sin £; hincque fit elementum areae du — yd«sin£Z -- — 5 dady sinc, quod est differentiale areae completum. In'quo cum terminus posterior prae priori » dli erit 360 L.EULERI. OPERA POSTHUMA. - : VOR du — yda sin Z.. Deinde,. si. areus curvae. 4 M. ponatur. — 5$, erit Mm — ds; verum ex. triangulo Mn | reperitur Min — y (da? — 2dvdy cost dy), unde erit Pd geni cost a dy?). an Quodsi ergo quantitates assignari possent, quarum differentialia sint. ydesint et y (da?—2dzdy cos £ dy?) earum altera aream curvae u, altera arcum $ esset exhibitura. i 91. Ex cognita positione tangentis MT determinari poterit angulus, quem linea utcunque per punctum M ducta cum linea curva constituit, quaevis enim linea cum curva eundem angulum con- stituere censetur, atque cum tangente. Hinc ergo vicissim duci poterit recta MO, quae cum curva in M angulum datum constituat. Sit iste angulus TMO0 —40, ac ponatur tantisper angulus TMP — Min-: 9, erit angulus PMO — 0 — , atque ob 4PM— 7, erit 40M— eee Hinc ob cognitum in triangulo P MO, praeter omnes angulos, latus PM —y; erit ej sin 40M: PM—sinPMO:PO, ideoque fiet Tu ——— XELOr ap cong 6 $ dz sint At est (ong. gi 75: 826 Map m asm dint? ideoque C TARPUM a ob s EENLOR : Meo bu (0 j deseo gobniv engem MAG. 2) dy sin — da sin (5 4-6). j I5 — ; PIU dy — da cost 2- da sint tang dy cosó — da cos (t 1-0) , i . Quamobrem reperietur y (dy sin0 — dz sin(£ 4-6) ET la dy sin (£ — 0) 4- dz sin Si ergo linea MO ad curvam debeat esse normalis; ob 0 — 90, erit pov ope NE — dy cos£& 4- dz normalis MN ad alteram partem applicatae MP cadat, erit id | ; y (da cost —ày). PN— dz — dy cost Exemplum. Sit curva. 4 M (Fig. 10) ellipsis, vel alia sectio conica quaecunque, cujus sit AB diameter et PM applicata alteri diametro conjugatae parallela. Positis ergo 4P —a, PM E», | et angulo APM-—£, erit ex natura sectionum conicarum: yy —2az — naa. Hinc fit um dy | a—na ydy-—adoc— nodo, seu do i V TIL Quare erit subtangens Pg l0 eius ptu cb. dy a—nza ü—na Sit C centrum sectionis conicae, erit 4C — - *á AD 24 ex quibus obtinetur 99 . ; T ! .vt(AB—z) AP.BP AC? : PT- AC—-c' 1" cp ^ ei CT-— uoa CP" Deinde si MN fuerit ad curvam normalis, erit | (aO SPON PN— y(a — nz — y cost) y — (a —na) cost" i6 inj bem Institutionum | Calculi: differentialis : Sectio TII. Cap. 2. 361 cujus lineae valor erit duplex, prout y sighificet vel applicatam superiorem PM, vel inferiorem PM. Quia autem inferior superiori 'est equis, pro pope M' fiet y negativa, eritque ergo pro subnor- mali puncto M' respondente f» — y(a—na-- y cost) PN — y 2- (a — na) cos£ " PM(CP.PM—4AP.BPcot) PN'— PM(CP. PMa- AP. BP cost). AP.BP—CP.PMcot - AP. BP &- CP. PMcost unde in lineis erit Pss 22. Sit j jam (Fig. 15) angulus 4PM, quem applicata PM cum axe AP constituit, uteunque variabilis, « seu éxprimatur per functionem quampiam abscissae A4P, cujus eum quoque applicatà P M sit faünctio, pro assumta qualibet. abscissa: 4 P, tam angulus 4/P M quam longitudo applicatae PM determinabitur, sicque punctum 'eurvae-M innotescet... Sit ergo abscissa 4P —, angulus. 4.PM — q et. applicata PM-y, atque.si tam g quam y detur per xc, hinc;facile aequatio pro curva inter coordinatas orthogonales eruetur. Nam demissa ex JM in axem 44 P perpendiculari. MQ, ponatur AQ —p et QM—q, eritque q—ysing et p—— ycosg, unde aequatio inter p et q elicietur, qua inventa positio tangentis MT sine difficultate definietur. Cum enim sit QT—U? ob q—y sing, dq. ' dp — de — dy cos p -1- ydo sin $ et dq —dy sin o A- ydg cos , erit Q T— y sing (dz — dy cos -i- yd y sing) ndm dy sing A- yd 9 cosg- Addatur PQ — y cos prodibitque intervallum pipi. $agingio-ydo)s dy sing -3- yd 9 coso 23. Definiamus autem. sine . iniadie. hujus. reductionis positionem tangentis MT, ex sola con- sideratione differentialium. In hunc finem concipiatur applicata proxima pm, ita ut sit Pp—dz, ang. Apm-— g-a- dq. et pm — y - dy. Producantur hae ambae applicatae, donec sibi; occurrant in /, et cum in triangulo PPp sit Pp— dz, anguli /Pp — y, FpB — q-4-dq, et propterea angulus / — d, fiet sin T; WP sin (ip 2- dg):PF — sing:pF. -— ób sin. d We. sin (9 4 dg) — sing -- d e cosq, eo-quod cos do — 1, erit PP- dz'sin -4- dzdpcósg - Y" prt dí dg Ducta j jam Mn a axi AP sa a erit PF: pr — PM: DN, hineque Nec ydrsinp: -. ub ysino "- ydo cosg. Lider 7" sing -- drdg.cosg erre owe — mia deinde ob PP7:d« — Vu: Mn erit Mn — dz 4- Map. Est vero pm — y a-dy, ideoque erit .- w- a d cos Meran .Singp . Jam tooeula Mrs et TMP sunt inter se similia, quia discrimen inter (riangula TMP et Tmp est infinite parvum, seu nullum; hincque erit 3j L. Euleri Op. posthuma, T. I. 46 362 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. —. Analysis. mn (0t Mn: zPM: PT dq cos d dz sin o -—- yd dy 4:3? LT PP La ABRE RP 9 3 yd 4) sin o sin 9 dy sing -4- yd 9 coso quae congruit cum expressione ante inventa. 2*. Ex hoc ratiocinio intelligitur quantitates infinite parvas prae finitis non semper abjici licere; quanquam enim inveneramus P/— z (sin p -1- dp cos p), tamen in altero factore sin p -- dg cos posterius membrum prae priori perperam negligeretur. Negligi quidem sine errore posset, si lineae PV quantitas absoluta quaereretur. At cum differentia inter eam et lineam p/ in computum sit dac ie ducenda, ob p/ — neque propterea cum differential Pp €omparari posset. Hinc ergo simul perspicitur, quibus casibus differentialia prae finitis quantitatibus rejicere liceat; hoc scilicet fierí potest, si valor absolutus quantitatis cujuspiam finitae investigatur. Verum si quantitas ejusmodi sit. definienda, cujus deinde - discrimen ab alia finita sibi aequali considerari debeat, isthac rejectione -uti non licebit. Non magis dz sing dz sino dcrdg coso 9 dg Ap-— c-r dc valor x». Quoniam enim comparatio inter infinite parva est instituenda, etsi ea revera ; cum: sit revera enim pro valore lineae 7 P accipi potest sint nulla, tamen suis debitis expressionibus designari debent, ut comparatio institui possit. Contra dz sino 9 vero in determinando valore lineolae Mn pro P'/ recte adhibitus est valor » quia nusquam differentia inter eam et aliam sibi aequalem in computum ingreditür. ydo 25. Cum in triangulo Mnm sit Mn—de--l et mn — dy 4- !2? 9? jí5" aique ang. Mnm- , erit area hujus trianguli (da sin o -i- ydg) (dy sin o —— yd 9 ak 2sing 1 ^ — 3g Mn.mnsing — quae quia est. differentialis secundi ordinis, prae differentialibus primi ordinis evanescit. Quare si hüjus curvae area 4PM ponatur, — u, erit du — apezio P Mnp — M $ p -- Mn) MQ, unde erit (2o du y de sin 93-$Yydg.. Si porro arcus curvae ;4M dicatur —.$, erit dis — Mm, cujus; valor ex: triangulo Mnm reperitur. . — y (Mn? — 2 Mn.mn.cos q 4- mn?) — - y (de!— 2daody C05 qp -- dy*4- 2ydvzdg sing -- y? dg?) — ds Definiamus nunc quoque normalem MN in curvam, quae. ex coordinatis fnperiore n — QM —q, ita est pes ut sit qdq yssin (dy sing -4- ydq cósg) dp: .d& —dy coso -- ydg sin qui valor a PQ — y cosg subtractus relinquit: PN— y (d cosp — dy) (7 [702 -— dy cosg a- yd p sing 26. Denique notari meretur pro quavis abscissa punctum 4 ex quo applicatae divergunt; erit autem | (Uhb ppc et recta ME — PR. LL wvvad eiiai ai lg^5 » si idem valor pro P7 quoque assumeretur, differentia prodiret nulla, - » quam pro Institutionum | Calculi - differentialis : Sectio. III. Cap. 2. 363 Ad hoc punctum alio modo determinandum. demittatur: ex eo in axem perpendiculum / X, eritque ob pp a ppylg pyudete oq. pylzsdrühecsos ang, fp p pou a dr tionem do do do dg Cognito autem puncto hoc 7, subtangens P T ita definietur, ut sit P T — a las Hinc Sis " dy sing -&- yd cosg- apparet, si fuerit qas ob do —— 75! fore /X — — b et 4X —a, ita ut hoc casu omnes applicatae se mutuo constanter in eodem puncto 7 decussent. Quod idem quoque hinc intel- ligitur, si ob punctum V constans ponatur 4X —a et /X — — b, erit enim P/— sje et sin PX——L ideoque AP —e a ew€ E uti ante assumseramus. 27.. Cum relatio inter abscissam 4P — c» et angulum 4PM — q data ponatur, ex ea cognos- dz sin dg Ponamus nuuc applicatam P M — y perpetuo cetur pro quavis abscissa 4P —« (Fig. 16) punctum 7, quia est P/ — MY.ydo À dy sing -À- yd cos o ?; hincque tangentis T'M positio ita simplicius exprimitur, ut sit. P T — esse constantis magnitudihis, ex qua hypothesi conchois vulgaris resultat, si punctum 7 statuatur fixum. Quamvis autem hoc punctum 7 utcunque sit variabile, dummodo sit PM — y —c, tamen tangens expedite determinatur; nam ob dy — 0, erit PT— Ducatur ergo ad MP normalis M$, et. per 7 axi AP parallela FS, illi MS océurrens in S, erit S x quare.si ex S rectae 7M paral- lela agatur ST, fiet PT S atque recta MT curvam in puncto M tanget. Hinc si punctum praeterea statuatur fixum, tangens conchoidis facillime invenitur. 28. Si natura curvae exprimatur aequatione inter rectam CM (Fig. 17) ex puncto quodam fixo € ad curvam ductam, et angulum 4C M, quem ista recta C.M cum recta data C44 pro axe assumta constituit, hic casus quidem in praecedente continebitur; verum quia saepissime natura curvarum hoc modo exhiberi solet, methodum ducendi tangentes hic seorsim trademus. Sit igitur recta CM — y et angulus 4CM — g; concipiatur ducta proxima Cm, erit Cm — y -- dy et 4m — o -- dg, ideoque angulus MCm — dg. Centro € radio C.M déscribatur arculus Mn, qui cum sit infinite parvus, pro lineola recta haberi poterit, quae simul in. Ci erit, perpendicularis. Erit ergo mn — dy, et cum sit s — dg, erit Mn — ydq, atque triangulum Mnzm erit rectilineum simulque ad n rectan- M gulum, cujus hypotenusa Mm producta dabit positionem tangentis MT. -99. Demittatur nunc ex C in tangentem MT perpendiculum CP, et si triangula Cm P, Mmn inter se comparentur, ea similia deprehendentur, propterea quod ambo sunt rectangula et angulum ad m communem habent. Quia vero triangulum C MP a triangulo CmP infinite parum tantum, hoc est nihil differt, triangulum quoque CMP simile erit triangulo Mnm. Cum igitur in triangulo Mmn sit Mn — V (dy*-e y do), erit Mm: CM — Mn:CP — mn: MP ideoque . yydo Fn ydy an Yüs-y4,; " MP—yay -- y! dg?) Si ergo super CM tanquam diametro describatur semicirculus, in eoque ex .M corda applicetur MP — vua : Y (dy* - y* dp*) dabit ea tangentem curvae in puncto M. | | 364 :L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. 30. Alio autem modo facilius punctum T in axe inveniri: potest, per quod tangens MT transeat. In hunc finem ducatur per M recta Mt axi parallela, atque ob angulum C Mt — g, et Mtm --dg, in triangulo C Mt erit sin Mtm | : CM — sin MCt: Mt — sin CMt: Ct st Á j adi — ydo e .* ; ysing sin q -4- dg cosq T rta 'sinpa-dgcosp — — | sing 4- dg cosg d d Erit ergo Mt — ——r —-*. quia enim differentia lineolae Mt ab alia sibi aequali nusquam sing -4- dcos o sino in computum venit, in denominatore terminum dg cosq prae sing tuto rejicimus. At cum Ct. subtrahere debeamus ab Cm, et differentia haec ipsa sit infinite parva, praecedentem omissionem facere non ysin o D. ydq cos —y————— -*. licet, eritque. Ct — Quare- cum sit sing -3- d 9 cos o sinp . Cm — y 2- dy, fiet-mt — di ue E. 2 Nunc igitur wiangula mtM et MCT similia dabunt mt: Mt — MC:CT, "- obtinetur aie. yydo CT— dysin o -4- ydg cos o f. Exprimatur nunc (Fig. 18) natura curvae B.M aequatione inter rectam CM, ex puncto quodam uu C hi curvam ductam, et portionem rectae 4/P positione datae, quae a recta illa C.M abscinditur. Consideratur scilicet haec recta .4P instar axis, in quo punctum Z, ubi recta C4 ad axem est normalis, pro initio assumatur, voceturque 4P — «c et CM — y. Ducatur recta Cm ipsi C.M proxima; eritque //p — x -4- dz, ideoque Pp — do et Cm — y 4- dy. , Jam ex triangulo C4P. rectangulo, posito C4 — a, erit, CP — y (aa -- 2), et ex natura differentialium | id Cp — Y (aa-- a) Bur crum] Hinc ducta Mn axi parallela, ob triangula CPp et CMn similia, erit CP : CH — Pp: Mn — Cp: eh ydz C ymda unde fit Ad | Mn — veas) et Cn —y M " Hanc ob rem erit mn — dy — 7^7 .. Qum nünc ducta tangente MT triangulum pet ideoque aa 3- voc et PMT simile sit triangulo nmM, erit mn: Mn — PM: PT, ideoque | "neg PT-— (y. — Y (aa 4- 22)) ydo ycdac Y (aa 4- z2) 32. Ponatur PM -—z, dataque sit aequatio inter z et z, unde aeque ac in casu praecedente, j "URS de rdc curva cognoscetur et construetur. Erit ergo y — z-r y (aa -- ex) et. dy —dza- Y(aa a a2) A22) bes dyY (aa A- 2a) — zdz (z A- Y (aà a- a2) dzY (aa 4- az) — szda : Y (aa a- a). sive affirmativa, sive negativa, curva erit conchois vel exterior, vel interior; hocque. casu si ponatur bus valoribus substitutis obtinebitur PT zÉz—c6 ob dz —0, fiet prat cue seu erit PT-— LL CM. CP. ec: Y (aa-3- ao) c aq AP ita ut sit 4P : CP — CM: — PT, unde pro tangente conchoidis invenienda eua. oritur r constructio, quam jam ante dedimus. 33. Referatur nunc (Fig. 19) proposita curva EM ita-ad duo puncta fixa 4 et B ceu polos, ut inde. ad quodvis curvae punctum M ductis rectis 4M et D M relatio inter istas: rectas exprimatur aequatione Si statuatur z. constans Institutionum: Calculi. differentialis Sectio III. Cap. 2. 365 quacunque. Sit igitur 4M — z, BM — y, et concipiatur punctum m ipsi M proximum, ad. quod ductis rectis 4m et Bm erit- 44m — x -4-do et Bm— y --dy. | Tum centris 4 et B descriptis arculis Ma, Mb, qui cum sint infinite parvi, pro lineolis rectis in /m et Bm normalibus haberi poterunt, erit ma — doe et. mb — dy; sicque super communi hypotenusa Mm duo habebuntur triangula rectangula Mam et Mbm. Jam ex quovis tangentis puncto T demittantur in 4M et BM perpendicula TP et TQ, quae cum quoque in 4/m et Bm futura- sint normalia, erunt triangula Tpm seu TPM et Mam, itemque triangula. Tqm .seu TQM et Mbm inter se similia, ideoque Mm; MT — ma: MP.— mb: MQ, unde erit. MP : MQ — ma: mb — dao: dy. Cum igitur ex aequa- lione. inter z et y detur ratio da:dy, in eadem ratione capiantur intervalla .MP et MQ; quo facto, ex punctis P et Q ad 4M et. BM normaliter ducantur P T et Q T, sese in puncto T in- tersecantes, eritque recta M T curvae tangens in puncto AM. 3*. Quantitas autem elementi curvae 7m sequenti modo determinabitur:. Sit angulus 4MB seu 4mB — g, qui ex distantia punctorum 44D dabitur; sí enim ponatur haec distantia . wa . LET yy—aa A4B-—a, erit cosg A Tum juncta ab ob angulum amb — g, erit ab — y (da?-- dy? —92dxdy cos y). Describatur nunc (Fig. 20) super diametro Mm semicirculus, erunt puncta a et b in ejus peripheria, et in cordam a6 ex . . . Li d b LI . centro c. demittatur perpendiculum cd, erit ang. acd — amb — q, ideoque Lg sin q;. hinc . : j dit girone dz? 4- dy? —9dzd eni Mm — L. "Quare habebitur elementum curvae (Fig. 19) Mm — Eire zdy eo e), sin o —u K E: Y (da? 4- dy — 9 dz dy cos : dz cos o — d, dz — dy cos o 35. Invento elemento Mm — "4 zT 2L reperietur Ma—— 7 —^. et Miro 12 qui iidem valores geometrice quoque inveniuntur, si ex a.in Jm, item ex 5. in 4m demittantur . perpendicula puta a« et b, quae quidem in figura non sunt expressa. Erit autem ba " mo — dz cos et ba — da cos p — dy atque. 77—- — sin g, similique modo erit. m — dy cos et a9 — dc —dy cos q atque E — sin g. Jam ob triangula MPT et maM similia, si MP pro lubitu capiatur, atque ex P ad 4M normalis usque ad tangen- tem MT ducatur, erit ma: Ma — MP: PT, ideoque PT— ap: S506 ctv dz sin o bes oad. dead similique modo anguli B.MT tangens erit Hinc ergo angulus AMT cognoscitur, quippe cujus tangens — dz sin 9 e *. Bisecetur angulus 4/MB recta- MC, et cum sit angulus 4 MC — 29 , erit 1 ! |^ "tag CMT — rra) à M" seu tang CMT . tang AMC— — Quia vero est ^ cosg — 227-99 — 7^, qu (0039. yo rut (92, ileoque 2oy "aniio (a — z2-y)(a--2—y) Wu Mp 027—439 (x a- y ia) (2 4 y — a) tang CMT — dz A- dy (a — 2 a- y) (a3- 2 — y) Exemplum E. Sit mz- ny — b, erit curva, si m — -* n, sectio conica circa focos 4 et B descripta; in genere ergo cum :sit mdc -3- ndy — 0, fiet-d&:dy — n:— m. Quare sumtis in rectis 4M, BM portionibus MP : MQ — n: —m, concursus normalium PT, QT in puncto T dabit 366 | EULERI OPERA. POSTHUMA. ^ Analysis. Geqnolen; Quod si autem angulus 4M B. ponatur. — 9, erit tang AMT-TU9US t tàng BMT-zcMUMt S n sin 9 : m sin ? C (m 2 n) cos 2 9. (n — m) sin $9 quod fit in ellipsi, angulum. CMT esse rectum; sin, autem 1 — — n, » quod fit in hyperbola, ipsa Ducta vero recta MC angulum A4MB bisecante, erit tang CMT — ; unde patet si m—n, tangens MT angulum 4 MB. bisecabit, uti ex elementis constat. ! | iq Exemplum 2. Sit mox -rnyy — bb, erit modao--nydy—09, ideoque dz: dy —ny:— ma, unde si capiatur MP: MQ—n.BM:— m.A4M, concursus perpendiculorum in 7T' determinabit i ARS i C NACURK DT positionem tangentis MT. Posito autem angulo 4MB — q, qui ex aequatione 60$ p n PT -- datur, erit tang 4M T — 22/7? * "7? et tang B MT — —"! —"^77. ieatur ang /MT — 6, ut ny sin 9 mz sin q : * : ny cos p a- mao E : 8 a-a*— y? . sit tang Ó — "FTT et angulus B 4M — p, ut sit cosp — gag ^ atque concipiatur recta CM ad tangentem MT normalis, erit angulus 4MC —90?"—6. et BCM—90* —6--p.. Hine erit sin BCM: 4M— sin 4MC: 4C, seu 4C — Te es dudo mpbos dias xg Ubhs At est sing :sinp—a:y, ; unde fit sin p tang Ó iis Motu ma MT LEER binegiie inde na /— na , 9ax " . y sin 9 ideoque sin p — —— COS p -t- sin p tang 9 — 22.4 2. (29e, Ex quibus efficitur 4€ — —* et BC — "^. Pune- Th -3- n m -—-nu tum ergo C in recta 4B erit fixum, :ex quo cum omnes rectae ad eurvam ductae in eam simul sint normales, manifestum est hane curvam esse circulum centro C descriptum;. quod idem ex elementis facile demonstratur. Radius ergo hujus circuli erit recta C M, cujus longitudo reperitur ex analogia hae: | : | sin 4 MC:4C—sinp:MC, unde fit Meran stesihP 02109 sin eo; (m -- n) cos 0 (m -- n) cos 0. Est vero [ 9 qq "Ata ny sin o ny sin no : rie nysin o cos Ó — Y (m? 2? a- n? y? 2- 9m n zy cos "1 seu cos 0 — Y (m (m -- n) zz --n (m -- n) yy — mnaa) —— Y ((m-- n)bb—mnaa). ereo erit radius CM o me nibo maa) | | obo HU 8 ted m--n : n" ue cum Sit dz :dy— ny:— mz, erit elementum curvae ' q J —Eer: , My 2: da Y (n? y2-4- m?2? -1- 9mnz y cos 9) LL, dzY ((m -r- n)bb — mnaa) TM ny sin 9 ny sin 9 " est vero y sin g— Y (9 (m "u n) riui cras russe ie 36. Referatur nunc quidem, ut ante, curva ad duos polos fixos 4 et B, quorum distantia sit AB —a; verum detur relatio inter angulos B.4M — p et 4B M — q. Hinc angulus 4MB, qe ante vocavimus q, nunc erit — 180*— p — q, ita ut sit sin — sin (p--q) et cosgq — — cos(p -t- ). Ex triangulo ergo 4 MB erit eL dM Xn da en a sin p i sin (p ^- 9) Hinc erit MNCLUNTWMUU LA IU ECLS NESNSNP MEC er MSN RS TY S Institutionum | Calculi! differentialis Sectio. IIT. Cap. 3. 367 dz |. dq sin p — dp sin g cos (p -4- q) et dy — dpsing —dqsin p cos (p -- q) PUN sin? (p -4- q) a sin? (p -- q) Li qui valores in formulis supra inventis substituti dabunt dq ld dp di tang 4 MT — , ung EMT $i sure (dp 3- dq) cot (p -i- g) —dq cot g Quodsi autem tangens MT eousque producatur, donec cum A/D producta concurrat, atque angulus iste ponatur — , reperietur dq sin? p -i- d p sin? q dq sin p cos p — d p sin q cosq tang t — Ex hoc angulo t vicissim relatio inter incrementa angulorum p et q cognoscetur, erit enim dp:dq — sin p sin (t — p) :sin q sin (t -- q). At elementum curvae, si in superiori expressione loco da et dy valores hic inventi substituantur, aY (dp? sin? q 4- dq? sin? p — 2dp dq sin p sin q cos (p-1- )). sin? (p 4- g) Sin autem angulus 4MB recta MC bisecetur, erit reperietur .— — Mm — dq sin p — dp sin 1 tang CMT dp sind eot. 5 (p - q). Exemplum. Sit summa angulorum p et q perpetuo eadem, puta p-i-q— 0, seu q—Ó0— p, erit | | tang 4M T— PEN lang q; ^ cot(0 —p) ang q5 ideoque ang. 4 MT — ang. 4BM et ang. (— p — q, quae cum sit proprietas circuli, manifestum est curvam esse circulum per puncta ambo 4 et B transeuntem, quippe quae circuli proprietas ex elementis constat. Caput EE. De tangentibus linearum curvarum, quae per alias lineas curvas utcunque determinantur. 1. Curvas, quarum tangentes in capite praecedente invenire docuimus, vel per coordinatas, sive 6 orthogonales sive obliquangulas, vel per alias lineas rectas, utcunque ductas determinatas assum- simus, ita ut in determinationem illarum 'curvarum solae lineae rectae exclusis curvis ingrederentur. Cum autem saepenumero constructio linearum: curvarum. jam. alias lineas curvas requirat, in hoc capite methodum trademus. earum quoque. linearum curvarum. tangentes inveniendi, quarum natura per alias lineas curvas determinatur: quod cum innumerabilibus modis fieri possit, hic tantum prae- cipuos commemorabimus, quibus tam plerarumque linearum adhuc tractatarum proprietates contine- antur, quam simul via aperiatur ad alias quasvis determinationum rationes enodandas; 2. Sit igitur- (Fig. 21) data curva quaecunque AL ad axem AP applicatis LP sive normalibus sive ad datum angulum inelinatis relata. Ex hac autem curva ita generetur alia 4M, ut ejus applicatae P.M ad illius curvae applicatas PL, datam teneant rationem, siquidem ad eandem abscissám. 4: referantur. Si jam ponamus curvae datae 4L tangentes LT in quovis puncto L esse cognitas, hinc. positionem * 368 0 SULSEULERI- OPERA | POSTHUMA..:5 Mibi. tangentium alterius. curvae :genitae : 4M. investigemus. - Ponamus dieiteen abscissam 4/P — », quae utrique curvae est communis, 'applicatam curvae datae PLI u, ejus subtangentem PT-—t, erit, FB wda sive applicatae sint normales sive ad datum angulum inclinatae , (UE Pro curva autem genita AM vocetur applicata PM — y; et quia ratio P M: P.L est constans, Sit.ea. —n:1 eritque y — nu, unde, quicunque. valor numero ,» tribuatur,. ex. curya.. data 4L altera. curva . genita. 4M. facile construitur. TADT E. —e6goq dei 3. Cum igitur sit y — nu, :erit dy —ndu, ideoque: elementa applicatarum mn et lk inter se eandem tenent rationem, quam ipsae applicatae. Subtangens itaque curvae genitàe 4/4, quae est ydaz e munem . habere. subtangentem ,P T,. pro eadem abscissa AP,. atque tangentes in L et M axi in uda » ob y —nu et dy —ndu, abit in i unde patet utramque curvam Z4L et 4M com- "EH dc eodem puncto T' occurrere. Cum. igitur curvae. 4M subtangens . Ld. non à ratione n: 1 £15^f pendeat, si ex curva AL infinitae hujusmodi cürvae 4M concipiantur genitae, omnes pro eadem abscissa 4/P eandem habebunt subtangentem. Si curva A4 L fuerit! semicireulus, "curvae hoc' modo genitae érunt semi-ellipses super eodem axe descriptae, quae igitur omnes eandem habebunt subtan- [X 1 " cH a LE 12 4 2 gentem, uti constat.. ! : iN. , udu E MABSSR emp gone h. Curvae autem datae erit subnormalis PK — 4 curvae genitae autem subnormalis erit py. Cum igitur sit y — nu, erit PN— seu erit PV: PK —nn: 1 — PM": P " subnormales ergo multo magis.sunt inaequales quam applicatae PM et PL. Porro cum areae. APL elementum sit — uda, et areae 4 PM elementum — ydz — nuda, haec elementa arearum eandem "2 inter se rationem tenent, quam ipsae applicatae, quae quia est constans, areae quoque ipsae eandem inter se rationem habebunt, eritque area 4PM: aream A4PL-—n:1. Quare si curvae datae area . APL assignari poterit, curvae quoque genitae 4PM area habebitur. Hinc si area circuli exhiberi posset, omniumque quoque ellipsium areae forent cognitae: Secus vero est comparata ratio arcuum AL et AM, illius enim-si applicatae' sint orthogonales; 'elementumr est Li — y/ (da?-4-du?), hujus vero Mm — y (da? -- dy?) — y (da? -- nndu?), cujus ad illud ratio non est constans, neque ideo ex rectificatione curvae AL rectificatio curvae AM Soo : / : 1210 "ja 5... Ex.his jam facile. perspicitur, .quemadmodum.. curvae. iin: y M imt M T inveniri debeat, si applicata PM — y rationem: quamcunque: variabilem ad applicatam P.L —:u. habeat, .seu.;Si y fuerit functio. quaecunque non solum ipsius u, sed étiam ipsarum aet u conjunctim. Sit enim differentiali sumto dy — Pda a- Qd "1 erit curvae genitae 4M subtangens — V1? |... et -stbnors Pdz - Qu Pá d f TOIT: urinaalq. m] j malis — X i d At si curvae datae 4L ponatur subtangens emm d, ut sit da: :du—t: u, mm UMITÉ per quantitates finitas reperietur curvae genitae AM subtangens AT — e ae et subnormalis PN Py 2 Ex quibus formulis saepe concinnae constructiones elici possunt: ita si fuerit yy au -- uu, ideoque — et I noui curva data 4L et.genita. A M. communem habebunt subnormalem, a5 4X « Ivonp ni ^"! jasosasd AY. »eieb onvaua innoq au ie " z : -— M TRUE LU E TA NIS LI e TOR Te NRI Te WR S —— FNN MITT Institutionum. Calcul? differentialis Sectio! HT. : Cap. 3. 369 "sbn6; Neque etiam: inventio-tangentis fit. difficilior si (Fig: 22). ipsé arcus A4/L. curvae datáe in expres- * sionem applieatae: PM. ingrediatur, .«DBonamus: curvam 44 M:ex curva»dàta. AL ita. formari, ut:perpetuo sit applicata; PM — PL: arcu. 4L. Sic autem :curya: il M - erit; cycloóis, si;pro curva data:44 L::aéci- ;piatur circulus centrum in axe ,/P habens. Sit vero curvà:/4 L: quaecunque, ac ponatur abscissa ejus AP 22, applicata PL—u ,et arcus 4 Lu LE erit ejus. elementum ds — Y (da? 2- du*), siquidem applicatae statuaptur ad a axem 4P. perpendiculares. Atque si ijs cürvae normalis ducatur LJ, i udu uy (das dEy| uds o rien nn Paso! n | bna dro et Apes . des dedu | Ex. A erigatar. ad. axem ^, nornalis. A0, ducaturque. LQ — AP—a,. Pri de i cii i: inuóis LR occurrat. in R, erit ob similitudinem. Hiapaniétim 4 LPJ et. LQR, QR — qa et Ue. uude relatio differentialium, des du et.ds per lineas, finitas LP, PJ * seu 10, Qn, LR: exprimetur,.. 7. Cum jam ponamus. esse. PM--. PL-AL Lu MT quoniam , ,et...curyae genitae. -abseissa est 4 P — v», ponatur ejus. applicata PM-—Yy, —— dires d et dy — du-- ds. Ducta itaque tangente M T, erit subtangens ppewue t sc Cum' autem ditférenbialibus do, du, ds sint pfoportióiales" Fette LQ, on; Ln; rit ps ó x- 21 d. Juhgatur ergo" v QR" in diréctum i Ma "5 enieqi. ((1930/ AA uq». bs. 38 ! RS—LR, ut sit 'QS—QR-e LR, erit prlae, seu QS: LO -— PH: PT, s patet triangula SQL et MPT esse similia, Mooque tangentem MT rectàe LS parallelam. Si curva AL ' Sit Circulus; erit. Rf — AER] "ac recta L S fiet corda E 'éui igitur tàigeis' — MT 'erit uL — dwn:W V see» Jao iuuleolinenr gero motus 20H .. 3i mionibplilimie ei esHioilg oup ,5 — ia d uti constat. ^ ^ y priis pé ene: — P aisi 'dnventa positione tg ctis MAT spohté 8e offert positio. normalts' MN; iütérini tamen imme- "n satis succincte exhiberi poieh, D Zum. enim. sit Subnormalis m e erit 1 151 ! 5 | [t | SSH J 51 gJomm hU Shb"LADE a Kup 9159 dàng PMN — 2 T CA ONU .95!5b fusbiug » Differentialibus autem de, du, ds. proportionales sunt rectae LP, PJ A eee loco bem wg E Q A.) BBHHUPSO A L-— ^ , b i i sitiilob £g i5 )5J 5f substitutis. erit ien tang Pax — d 5 sbnios(.. .X (—À 39 £5 SEP . 3J ft TU ) Sumatur. ergo in axe. IK Uf s erit PK PI - LJ,. et giae LK, aine. —M » «A ((93f19(151 bs X) PouD Jy tàng PM 75 — tang PLK.: ) my» W. 2noonet caopp Prodit ergo angulus PMN — ang . PLK, ideoque normialis- MN parallela ést Tectae LK. Quodsi ergo curva: 4L, füerit: circulus; erit J ejus:centrum ; Ld;fadius ; idéoque .K: altera. diametri extremitas, ad quam. si ducatur! corda -E-K, -erit «ei :constanter parallela. recta. MN, : v 'ad.ccyeloidis pnm M ducitur normalis. Jia. 19JipimuD v: 64e» — 40 2MO — AY: SM di9 100-49. &Y2 cilii 9., . Ponamus jam. (Fig; 23).ex curva data. am formari aliam, 4M ita; ut. etiam. abscissae. yarientur. ; xd Sit in curva proposita am abscissa ap— t, M qi. Put eoque ipblangens pt—á et subnor- U6tY--»——NE:nW malis pa » Siquidem coordinatae £ et u fuerint normales. "In" éürva autem formata 4M vo- centur coordinatae /P — e, PM — y; unde fit subtangens P TU et subnormalis 2 n L. Euleri Op.posthuma, T.l. M7 370 £ aL. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Ponamus igitur primo: cürvam. 4 M. ex data: am ita: formari, ut. tam abscissae quam applicatae eandem perpetuo: teneant :rationem:. sit scilicet: — nt ety —nu; qua proprietate continetur natura simili- tudinis, ita ut curva £M similis futura sit curvae ^am dipipenm M etm WMERT Cum ver sit — da — ndt et dy —ndu,. erit . 19x. H6. .eu bk. 5x6 fi (919055 eng» Ir C pplme et. Vues ey seu PT-—n.pt et PN—n.pn, — EDT ow natura sinilitudinis post. , 19 10. Sin autem utraque quidem. ratio AP :ap et PM: pm fuerit constans, sed non eadem, seilieét o — mf et 3 y—-nu, curvae non erunt. similes, sed. tamen arcta quadam affinitate ita " coi- hire - jütifuntur, ut eas affines. appellari conveniat. n his igitur curvis cum sit dz — mdt et dy 2: ndi, du dz — mát — fari rationem &ibscisdrun tenéant..* Verum ob py. pn, ert ^ agio. —— . habebitur bid eris DO dara batisaani bct seu' PT: pt — AP :ap, ita ut AP. PNC ap. pn d . - PM C opmt F 4119 77 *jto8085] NT pns PN? ap bir AP pen Porro..cum elementum: areae, 4 PM. sit yd; hid erit. ipsa area. 4PM. ad aream. apm. ut. mn ad t; dec: est, ut t AP. PM t ap. pm. Elementum autem pins arcus 4M, quod. est fid] y (da? a- dp? PN V (n? df a- mdi?) * non tenet. constantem rationem . iad elementum ,arcus am; PN est. — Y (dit? 4- du?),. jradidt^s po m — n, quo affinitas in similitudinem abit. Hoc autem casu manifestum est esse 4M: am — AP ; :p. 11... Contemplemur, nunc. (Fig. 2^) applicatas CM. ex puncto quodam. fixo C exeuntes, sitque data quaecunque curva BL, cujus. tangentes QL cuique applicatae CL respondentes constent. Tum 9x hac curva formetur alia 4M hac lége, ut intervallum LM in recta CL producta sumtum semper aequale capiatur rectae cuidam datae, eritque curva 4 M 'ex conchoidum genere, quia, si curva data BL sumatur, recta, .hoc,,modo : prodit, conchois. vulgaris... Quo. igitur, curyae AM hac, ratione ex. curya data BL formatae tangens MP definiatur; ponatur. in curva data CL —y et angulus CLQ — 0, ita ut demisso ex C in tangentem LQ perperidiculo & Q, sit € oz —ysinó et LQ — -—ycosó.. Deinde e ponatur intervallum "Constans" ZA Za; ut sit eurvae quaesitae ápplieata CJ — d -- y; angulus Wero CMP, quem tangens MP cum CM. cónstituit, - - vocetur 2 ip; "ta ut ducta CP ad — MP normali, sit CP — (a -4- y) sin o et. , MP — (ay) 60989 YA. adc | - ilu T US 159 ibo .?49.:^ Concipiatur jam: ducta "applicata proxima CUm; :centroque € :describantur arculi 2 et Mu pro: rectis habendi; ^ob mz LM 2— aet. Aj —— LM —ay:cerit mii [A — dy; atque ob: triangula similia CLA et CMu erit Mu: LÀ— CM:CL-—a--y:y. Cum igitur sit -:sellnaroi, uiopb — MR Sri dà et! v-— teras en OL Sn età e -doüdue 39 ..— — Mq 2g»2n5tdu£ suposbi 5 ;^ yz». segipaeds sm njieoqoiq swum; n.i erit | e mes. [^7 tang à — M^: rr — Mu: dts m po Mere ideoqué 4 cilcurioaduz 1» A ess "d Aang p iz — —— NM Qu —M uuo XX ostenibioos. 10899 ur wu aL Ae o c aa EE — per M ducatur cg M D erit. deee tangens quaesita, .. basis inel Institutionum | Calculi- differentialis. Sectio : HT. Cap.. 3. 311 Hinc... ergo. definitur. tangens anguli: € MP, | cum .sit; Mani tang aliia qae ido. eme "enmt MP. detérminaturJ. pda Ipolane .».-—.106n0q Y. eibsti es[sa ,e0Jqi1522b ego1s oupau»iu» inod»nnl eil; €P "cQ 1429'1 1036 ^ CM. Mp C 25 eg. .ro^ 203168 "njenoq — C L, vel 2951920563) eu Ij I ya. t »b MP, 1.055 ! Bt € -. 5 fl1 iff Pup oi ü 2695 Í oq 22 BTE U Heri gnis M ad tesólütióneim' et: — d Aum geometriei ést perducta. f MET dà. "Commoda autem. hinc Consiructio sequenti "modo Adorari potest. (Fig. 25) Àd applicatam * CEM in C constituatur "perpendicularis "CRS tangentem « curve datae LR Secans in Ah erit qao. nfelenoihoqotq 2. su sa Hie Gto ed pet M: ducatur recta Me jp LR yinitón leriiciiqe 510J09711 - SGL: [s E 68, / ideoque. "gg rr 6H D0innypon 1o rnoiimie Quodsi 'j jam dueatur: recta. LS, 'erit: dap CLS:tang CLR— CS: CR — CM:CL, Mibeqie ibn à 1 "ang Obs — ; ang CLR-— "Ix Quamobrem erit tang CLS — tang $, ideoque € C Art :g. angulus. ergo CMT aequalis esse y^ angulo CL$. Hinc per M ducatur rectae LS parallela. MT, eritque haec. M T tangens curvae for- matae 4/M. Sicque facilis modus. omnium curvarum conchoidalium tangentes invehiendi habetur: ducatur scilicet ad CM normalis: /€ S; et. per M tangenti LR parallela MS, junctaeque rectae LS "m Prodit ergo haee succincta. tangentium binis. si prenant LM. sidilino datae magnitudinis capiatur; sin autem LM ad applicatam ' CL in data ratione sumeretur, manifestum est curvam 4M ipsi BL similem esse futuram, atque tangentes in punctis L et M. fore parallelas. Generatim autem problema ita proponi posset, ut sumta. CM — functioni cuicunque ipsius CL, positio tangentis, in /M investigaretur, neque solutio difficilior. foret (Fig. 21). Positis enim * init ang. CLQ — 0 atque CM—z e ang.CMP — 9, erit TRES el my — dz. Hinc fiet - tang Lu hos obo P et atf arg o ae unde habebitur haec analogia ... " i : ie ' tang g : ^viiopi c L^ ies 5 dnas :1, ob m Bibsidie y j^ dz dy dz dy Ds , AA at sit. : " | E TL ;tang ó. Quare si constituta (Fig. 25) CR ad. CL normali, capiatur CR: C$—4: - recta LS »ditu * erit tangenti quaesitae MT. dis "* 45. Huc quoque referendae sunt ejusmodi curvarum descriptiones, ubi recta CM non functioni ipsius .applicatae CL, sed functioni arcus J.L curvae datae aequalis assumitur. Ex quo genere imprimis sunt notatu dignae eae curvae, quae hoc modo ex circulo nascuntur. Sit itaque curva data * 3192 5 n AJ:LSEULER I. OPERA: POSTHUMA. . / Analysis. * cireulus (Fig. 26); cujás 'tentruin: in. ipso: puncto €:sit positum; ; Detur igitur circulus 4 BE' centro C descriptus, cujus radius 4C ponatur — a, sumtoque puncto .4:pro:initio; a quo arcus S com- putentur, ponatur arcus A Sem ac «per .,$, agator recta. C5M aequalis functioni cuicunque arcus AS; sicque puncta M posita erünt in quàdam curvà CMD 'hoc^rhodo: describenda, cujus tangentes in. singulis punctis ...M.. determinari oporteat... Manifestum autem ..est. . hujusmodi ..curvas..C MD |. fore transcendentes, cum earum constructio, a rectificatione circuli pendeat. Atque ex. hoc genere, non- nullae. lineae. curvae a ,geometris. diligentius. sunt ,exploratae. et propriis nominibus distinctae, quas hic evolvi conveniet. : 16. Primum ergo ponamus rectàm" C M perpetuo ipsi areui A4 proportionalem capi, sicque orietur curva CMD a primo inventore spiralis-. Archirhedea "appellata. Haec enim curva, postquam ex C exierit, spiris continuo. : divergentibus. in. infinitum gyratur. Deinde arcubus A/$ sumtis negativis, haec constructio praébebit. alterum curvae ramun CI priori. CM similem et aequalem, ita ut recta! CD..ad: 4 C. normaliter. constituta hujus: curvae. futura: sit: diameter... Cum. igitur positis. c: dC eru, AS s eh CM y; sit Ys Si tota peripheria hujus . circuli. ponatur — c, sumtis arcubus $, € 3-8, 2c-- $, 3c-2- 8, etc., rectae CM respondentes. eandem. positionem tenebunt, atque . ideo recta CM producta spiralem i in infinitis - AL 5 punctis secabit, seu : longitudo CM infiitos habebit valores, qui. erunt qe (es 9). Qe) b(36 4-9). lolty aeq tee id amm , etc. , ! L ] , "ITIc 1i!65gb ideoque in progressione arithmetica, cujus differentia est — IM 2 procedunt, quae est. proprietas "aun "m | pic: Arndhimédpib ini ie .oB»muedos mu qus y oqu. AHbert, uM UJi tron 17. Ad tàngentem "hujus. curvae inveniendam consideretur — próxtinus £n, ducatütque | sa cv T0 arculus Mp. Ji ob 8:— ds, erit ! it »i ^ ri ( "ur | si103u6 miedo]eg | yds — bsds bds . i20 lo eu TEE ets mu es dy cct, T351629 Z ua e j ed e pm : ex quo fiet FS I m H1 eX LE Mu — is. j "m —— $$ C3 DSL : ' MÀ Y à Quare si ad radium 5st. -normalis jungatur. C — are 4$ — s, erit; €8$: CF —a:s-—myg :Myu, ideoque angulus FSC- "aequalis erit angulo Mm —CMT. Hinc si rectae. SP per M , parallela ducatur MT, haec tanget spiralem Archimedeam in puncto M. Facilius "autem normalis àd' "Curvalà MO definitur: Si enim-recta. CO. sit; ad CM normalis, erit - 4 : ELT | Mu : mpi — MC:CO, hoc est ob MC erit siae; CO, unde fit CO — b. | QT5 Jie, .d0..0i Quare si radio MC cd gie: normaliter jungatür * recta ToS tum recta MO erit in curvam normalis. "Ceterüin eum: sit tang CMT zt "perspieüuti' est' angulum CM T; quem 'rádius CM' cm . curva facit, continuo crescere: in ipso enim: puncto €, pro quo fit 45 — 0, Tie ünpulus evanescit, ideoque: ipsa: recta C. 4: ibi: spiralem; tanget; In; puneto D; ubi: fit sis dsetito 59107963, an- gulus: CDM: fit. 97*34' 66/7; potui Ó 'eontinuo ^ fiunt — — 'spiris iüifinitésimis eun rectis cónfütidartur; "^ ^^ 30 onwp.ocvum »59 osngib uialon aue. simigquei TOWMUYCWUNUN C UWMAEVOL Ac OMIT MM C CPP —- va] Institutionum 'Calculi. differentialis Sectio! HI. Cap. 3. 313 18. Exhiberi quoque: potest; pro hae éurva aequátio ad: perpendiculum | CQ :ex (€ in tangentem MT demissum. Si.enim ponatur:CQ — p et..MQ — 4, ut sit pp -qq — yy, quia est M 19006] YW imer aoi erit. . qms. bp —qY yel YT yg il onpogsiH ogw x i 9 agant ugs WO webs maop, Y1h bpupsti ilmen 5gT'102 unde fit fm - (b6-e ry)pp atque p-— Y93 vj) P 17 Yee y), ipe nt ndi & ("bnns) '1iq ? eb53HiU 591n5 8v iJ : Quin etiam inqditio abili inter eoordlitats orthogonales. C P —Z4« et d Ms —z dari poterit. Ponatur enim uite ujo12b | D 19J1 12211 üf ; Q j muliu»ib i9015f br "HT p m E bg et. PTung 9. itemque f—sng. et —-— €084, )UDDI2 jd — "rv Ó lÍ— '*auau. qos itowe i 345 fm n zd ü oU bi t " ai x 33,0 pidoerdn bgo guo dateded. oposbi x ' " n : E44 y " à -- fno £1559* : ó 20m OUlodi | (i. (HH (oq | 0219 un yox — : dy : 'Wsdy ! At-est sol ."1T019701191 (fti de —r ergo : yda c ady-—7 OO —'t 90pol56] Jen weóoBsto|^ 1) $1551 seqi Jn dinovnos- 6H 1 etolmres imu nei gi 5 | [gr cdz--zdz jit "o —À arm 15 9Hqoiq 11 795./819e* ,p 1105 "eppds .fo»ob 1 6103 pr Eu — t(rda-eadi) atqve impon ,"ipi»9nci 1, X22 edy— IY(rd-d-zx)o 10105 : dz cd Quamobrem inter coordinatas c et z haec eruitur aequatio differeniialis Yer - B pt quae | naturam TM Archimedeae: exprimit. [9 $a fi 19. "Quemadmodum ante applicatae CM a arcui AS directe proportionales sunt positae, ita nune easdem : arcubus reciproce proportionales statuainus. ' Sit igitur (Fig. 27) — circuli C4 —a, * arcus 4S2 et curvae quaesitae applicata CM — y, erit pró hac curva y -umy seu CM. 4S — ab; ob eujus aequationis similitudinem cum hyperbola ad asymitotos Telàta, haec curva a' Cel. Joh; Ber- ioullio spiralis' hyperbolica ést appellata. Cum igitur posito $—0' fiat 'y2oo, evidens: est radium CA :*productum cum curva in. infinito convenire. ... Dehinc: crescentibus: arcubus s; .applicatae CM — y continuo decrescunt,.neque.;tamen .penitus. evanescent, .. nisi: fiat s — oo, ex quo perspicitur hane curvam infinitis gyris circa genteum C set peres. qui: perpetuo fiant minores, donec tandem post in- finitos circumitus in ipsum centrum incidant. Porro etiam sumtis arcubus negativis, uti casu prae- cedente intelligitur; radium CB similiter fore mesa rectamque. ex: C ad; B'^hormaliter erectam fore hujus curyae . diametrum. nie $1201 *YgJie| "105Jobnulee» &5isidogis sva [ duy.) ; 505/90; Jam ad tangentes; hujus; curvae. its ducatur. nds proxima Cn pedir erit Mu — — dy; et obvSs— ds: fiet; mu —— yi -ideoque—erit^ Mycz pm e —dy:* m. Cum igitur sit yx Aa erit: dggsig, ideoque. Mg: um — PIG m41$.. Dueatur, ad radium CM normalis cT tangent occurrens in T, eritque. ob. triangula similia M,j«m et MC T, MC:CT-a:s. Quare per $ ducatur. tangenti, i parallela "Sy; erit.CS$ : CP a : $, dinde üb C524; érit CF -: y — 46. Ac. propterea vicissim" si'radio "CS jungatur ; normalis: C P: areui 45S, rectaeque' -. V - parallela 91A | vL. EULERI OPERA. POSTHUMA. Analysis. agatur MT, erit haec tangens curvae in puncto M. Vel bes cumositósponp nedidzd |.81 ! Up CC BC S677 CDU Ta 5, 6t oq afiaside- ^ ameet Hincque fit € T b.; Ergo perpetuo- radio MC S ordanie jungatur eT s by eritque MT tangens b] : curvae. Anguli itiqqe CMT, quem radius CM cum. curva un. Aangens | erit —— Hic ergo 4 . angulus continuo fit major, et postquam curva cirea € infinitas "—— absolverit, — abibit in rectum, dltimaeque spirae fient circulares. siomibroos 19)ni euobmsoené) «^ üpos. emtito -mipQ 21. Si noie curvae aequatio ad perpendiculum CQ ex C in tangentem Pelr iust vocetur' CQ — p «et MSS ut sit a erred Erit etgo P.— ting eT Sed quia est yc erit l— ideoque habetdr IS v. et rcm bas seu ppyy — bbyy — bbpp, sicque e by bp erit p — (Tia et y Yi apy - Patet ergo perpendiculum p perpetuo minus esse recta con- stanti b; factoque y — oo, qüo, casu. punctum "M 'per^ E- in- dnfinitum removetur, fore pb. Non itaque haec curva in infinito cum asymtota. CF ita convenit, ut ipsa recta CF ejus.fiat.tangens; proprie ergo non tam. ipsa. recta: CF, : sed «alia -Tectà huic;;ad intervallum. — 6 parallela erit istius curvae àsymtota. Sit JK ista recta intervallo PA áb AB ducta, atque curva, secus ac figura indicat, ad hanc lineam continuo "propius. - accedet ;. atque in infinito -ab ea Vangetur, neque etiam $^ habebit. nctum. flexus ontrarii. . usquam: ET € tfi rudo meg 22. Ex hoc casu ad nonnunquam summa circumspectione. opus. esse, Si. ex. ola .curvarum genesi earum asymtotas definire velimus. Quod quo clarius perspiciatur, lineam A8 fingamus, rectam ad .CF normalem, .continuoque; rectam. CM. ita accipi, ut rectangulum CM. 48 sit constans, exquo sequi videtur si sumatur 4S — 0, . quia fit CM infinita, hane in. ipsam. gectam,. CF incidere, cur- vaeque;fore asymtotam. .Rem autem. secus.se . habere. exeo. ,statim.. liquet. , quod. Sistentias; ul continuo. crescant, deerescentibus 4 S.. Sit. enim. ;C P. — e, PM 5. stud Cn 4, erit. 4S BR o -— CM — y (eo -- zz); unde erit zy (mo zz) — bo atque: aec "Hine ergo — est — posto? TE ios sed facto zb fieri a» — oo; etiamsi hoc easu ipnituien 2b oues loy dl. iagni ,dueyag PE ven e crr ! ilr dedu qi59. ori ao» mueqi ni eudimuoio. gol PRA rectam JK ipsi € F poclisiem et ab ea intervallo zzxili: dist dibomn eet veram: asymtotam... 23. Cum ista curva algebraica confundetur igitur nostra spiralis iyperbolica' ín "infinito ciFta asymtotam KJ, quia arcus 4$ minimus in réetam abit, "Sin autem pro. hac eurva: aequationem- inter coordinatas. CP — x et PM-—z invenire velimus; ponamus angulum. ^; 5 — — 8 ds Aesaurtu. erit per et — " dmi lia "foi à | | T TAI taro "up: iit19 32 ^ UJ 2zileartoa Erit vero -.z--ysing et wy cos g, unde a Ege m de. cg m t — 153b. 2. 153 ipi Hinc'ergo habemus hanc aequationem yy dz — zy dy --bo dy 0,:.Cum vero.sit/ 50 s — —— 9 "—— AT Institutiomit.: Calcili! differentialis : Sechio III. ' Cap. 3. 315 ^ cda --zdz m — ydy — vd --zdz et NAMMIIESU) W:olnpq minh doors) "Y M. 0j55* n5 | | 23^ T : t r dz -- zd : erit vzadi — veidz- d nim » 7 0, " , Yea 3-22) o. 512521. ii Iamdibotd 155 (i16 d: brda À edi). quae; pera. divisa dat. ide — Pe ferae ape ien herbalia naturam ,expli- 2^.. "Consideremus nune a Pic parabolieam, (Fig: 28) in qua sit perpetuo applicata CM radici quadratae ex arcu A/S proportionalis. : Posito igitur radio circuli, C44 —4, et arcu quocunque 4/$— s, bds — bds q. ! sit CM — —Y2s, et, ma "EE RC cue. Si ergo centro C describatur arculus Mz, erit totiadusipileqeq : riup- Vt Macr "2. et Mu: me 3». LEAN ab — 25: 4; unde erit tang Mmj— tang CMT — 3, unde positio tangentis J MT facile denar, Sin. autem. ducatur ad spiralem gomalie .MN, atque radio CM jungatur.. normalis. £N. erit. My : mp —! CM t CN, hoc est yy: ab—y: - erit ergo C5 seu CM.CN — ab. Crescente ergo arcu. 4S: Dy angülus [47 T continuo fit major, donec AN post infinitàs spiras fiat rectus. "Ceterum militum est haré curvali cifeà C duas habere. partes CM et CL similes et alternatim: aei Mme & sj9eT fessi | 2^ Quamvis autem. Jaéc 4 curva " gpiralis parabolícae nomen mereri yideatur, tamen a Jac. 1 Bernoullio hoc nomen aliae. curváe est tributam, quae oritur ,. si axis parabola juxta peripheriam circuli Jncurvetar, atque ápplicatae: ad axem interea: normales manere " topcipientar. on — AS circumplicari ila, ut. in 'curva- "hoe id — A UE si capiatur arcus 45 aequalis. abscissae as, recta. SI M círculo normaliter insisteris "futura sit ' aequalis applicatae sm. Quod si ergo in curva Tnt "3 proposita am ponatur abscissa as—ce applicata '"sm-2, in curva autem descripta sit primo radius circuli Ce tum vero arcus AS22 et recta CM — —y; facto 48 — Tur fa erit LA 55A) us COSHZ- im — s, ideoque. CMzy—ai — ex "—— inter » ét z dáta dabitur aequàtio.pro curva 4M inter 4$ 2$ et CM — y. Patet; autem; si,.cürva ;data (mi. secundum - axem 44^ in: infinitum excurrat, curvam patn AM infinitis Spiris, eirca, centrum. €, circumyolvi, sicque. ad :spiralium. genus pertinere, : (115 96. .; Ad tangentem. bujus; curyae. M T inveniendam; consideretur radius proximus Cm, erit (a2a-2)dmg |... |... ^w TS EXON E " js VÀ metotmves Tol oui qne em dyo—ods cet Muss "HUN E Tri Hinc 'si | br "$ ad radium es" normalis duca ur s T tangenti in JD occurrens, ob P trngula mM et MAS da r9 £üpjJialai mi XM o6v102 eviber 09bs 5ppoü .6Jinilm Ne us m seu 3; 6b xs IE da utat $T— MCN n , je adz eiei1iqe doquo50 :raüu»ol munis .epmivg 15bienon ^4 ng [5'tiqe 1 In;.curya. autem, data, «m; jet subtangens C i rit Plan e $t. Producatur. ergo applicata: ns :in. £j.,'ut sites —— CS — a, et-ex' e per t' ducatur recta ci rectae. mu, quàe per m axi 376 ? oOLSEULERI OPERA: POSTHUMA. :..::: Anal. az as parallela sit acta, occurrens. in-u.: Quoniam dgitur'est-es — a et-cm —a-- z, erit mu — "LL Consequenter si recta ST sequili statuatur Asti lineae nt recta M T tanget spiralem ín puncto M. -- x55: 15 27. Aliae spiralium tam parabolícarüm quam. iyperboliarum species prodibunt, si recta CM indefinité éuipiam "potestati arcus 77 S"próportiónalis statuatur. — Si igitur posito ^ Fadio' circuli 44 C: (Fig. 26) vocetur arcus 4S — s et recta CM — y, formetur ista aequatio y — Cs". Hinc igitür d erit.myc — dy n6 ds et My Mi LUE unde. fit, my: Mg —: na 25; eritque ergo ^ € (102011 tang Mii — "adpéM TI ils aoro qo1tq rA pot15 x5 onisbemp b V3.3 Quare : si angenti M T per S parallela dicatur SY quaé "teétae C V ad. radium 6s berpendiclrie ductae occurrat in Y erit CP — a tang Ós y- — Unde. si constituatur € y- y ? 48, dh ypo- tenusa SJ erit tangenti WT paralfela ^ sicque m in quovis. harüm spiralium pig" M posit tangentis défimitur, éx qua porro réctás ad' curvam vel nóritiales, vel'àd datüm angulum" iüclinatas ducere in promtu est. d i. MA au M 28.. , Hae autem curyae ad genus parabolicum, perünebunt, ;8. , exponens; fuerit DoDerys. affir- mativus, quibus. c casibus. curyae initium. in ipso centro. € erit. Posito. enim, $—40. fiet quoque. Y-9 et cum arab CMT tangens s Qe $—0 evanescat, recta CA simul natas erit, ugue in detur, Sin. autem. n * 753 numerus . negativus,. posito. pets Tecta. £u Lv —Y. fit pom A crescente. $ continuo. decrescunt. et post. infinitas spiras. in centro qn eyanescunt, Neque vero, ut jam supra. vidimus, recta CA, etsi in infinitum continuata, ad. curvam pertingit, ideo erit curvae asymtota. 15r: yo Sed. ad. veram. asymtotam inveniendam quantitatem. perpendicoli €Q,. ,quod . ex C in tangentem. euryae denittitar, definiri oportet ; hujus « enim quantitas, | Si ponatur . $— Y indicabit. distantiam qsmtotae . | verae KJ a recta. [7 (Fig. 2)... Hanc autem asymtotam. rectae. [7] esse » parallelam e exinde inta j a5. 1 (toq 94» 6e quod angulus, quem. radius. CM cum .eurya facit, , evanescat posito :— 0. dd mais ad (539 7513-8 5 29. Cum igitur anguli .CMQ. . Jangeus. insenta., sit..- —5à erit : ejus sinus — WM 5y cài propterea ; perpendiculum... CQ —. ACEPTAR iin agitis Sit jam .n numerus ; negati vus, , puta z2mjsepit:6Q- vit Sinon distantia: asymtotae: K Jab. radio Cf» posito:s e 0':erit Cr — ^", unde perspiéitur] $i exponens m faerit unitate Minor, tum asyüitotam KJ cüi 'ipso radio CA próduéto éónveüire,"quod ergo evenit iilis spiralibus hyperbolicis | ufo "Sim 2-1. Serum si m—1, qui est casus spiralis hyperbolicae .supra , tractatae, erit, intervallum m asymtotam KJ et C radi m € — uti am supra invenimus. .Si aut m ex nens : uerit .unitate major, M w« slu jane d M E 1s ja Pus, Mit onn (111 uno L fí1 it. unitate ajor i? 9f tum distantia asymtotae kJ erit Infinita, neque p. iim curvae ME in infinitum excurrens, asymtotam habebit, sed 'ad- genus, ramorum parabolicorumi . pertinebis !'h» 30. Inter curvas Seis quas hactenus pem ultimum locum occupet spiralis logaritlitüieà "seu logistica; quaé haé' definitur proprietáte üt: "üt arcus ciréuli 4 S" sit lógarithmo réctáe €: M sproportionalis;:: Si;igitur^ posito radio: circuli; 40 — a, "voeeidus- arcum uf $—s; et; rectam »$ (92 T4 : eM -— 4 M , LY $8 i Institutionum | Calcul: differentialis Sectio III. Cap. 3. 3TT CM —y, aequatio inter s et y pró hae eurva erit s — 51. LI atque hine 'si fiat yap erit $—0, seu'eurva per ipsum punetum 4, unde arcus 4S cóttipitàntür, tránsibit.'" Quodsi ergo signum 7 denotet logarithmos hyperbolicos, atque e nuierum, cujus logarithmus byperbolicus : — 1, erit Kos ae. Crescentibus, ergo $ in. ratione. arithmetica, applicatae y in ratione geometrica augebuntur, sicque curva per J. infinitis ,Spiris. a circulo recedet. Sin autem arcus s negativi capiantur versus E, distantiae y continuo decrescent, atque si $——00, demum evanescent, unde haec curvà quoque per infinitas : Kap tandem. in centrum € incidet. ! "St. Quaelibet ergo recta 'C M, e centro € educta, logarithmicam spiralem in . infinitis punctis secabit. Posita enim tota circuli peripheria. — e, recta CM in eandem positionem revertetur, si arcui AS sequentes valores tribuantur: "E 62s, 92c2c$, 3c 5$, hc $, etc. 6 itemque hi nega- tivi Aadig zg- $7? 22/9 e qu gat! Loir eigxty 55D A ec $ —etc. Valores ergo rectae offi per idem punctum JM ductáe erünt- numero infiniti, scilicet: ODp Z9 ,6YX. — 15 96:09 .— 9 —(ow- 341b 551 9c $5):b 3- s (3e- $):b: 9 ats 30b (*——»— NE. ., ae 9 ) "m ) ; ae ) , e ide , ec. 29 f item ae ans: , a6 —P , 4€ qe "er. de DL ^i ,ete. Hi itaque valores progressionem. geometricam. constituunt, . cujus denominator est — e^ ;j lique tam ascendendo, quam descendendo in infinitum multiplicantur. Hanc curvam, quae plurimis elegantissimis proprietatibus abundat, , primus investigavit Leibnizius, ac post eum Jacobus Bernoullius tantas . in ea detexit praerogativas, ut eam ad suum symbolum adhibuerit. 32. Praecipua autem. hujus éurvae proprietas in tangentium lege. est sita, quippe ex qua reliquae omnes facile consequuntur. Ad positionem «ergo tangentis MQ inveniendam, concipiamus rectam Cm — y 3- dy ipsi CM proximam, dieque centro C arculo Mu. erit My — !5* et mu—dy. Cum autem sit s — bl. ? érit. ds mii Y idéoque Mus, éx quo anguli Mm, seu ipsius QMC Mu b tangens erit. —. TU Qui angulus. cum sit. constans; perspicuum. est hanc: curvam; omnes * : B * f 3 L 1 . . . c b A : L] radios CM sub eodem angulo secare. [stius igitur: anguli C.MQ erit. sinus "iss 9j 06 cosinus — Vas ci unde. si ex C in. tangentem CQ :demittatur : perpendiculum C Q, erit CQ — yia ici) etMQ ous !Quódsi' ergó" fuerit.a 6; "ingulus--C MQ-fiet' semirectüs, quo' casu. haec spiralis logarithmica semirectangula vocari solet. /33. Quia angulus -— "est, constantis quantitatis, triangulüm Mm; 2d erit specie datum; atque ob. mi — dy et Mu — v», fiet hypotenusa Mm — "y (aü A- bb. Cum. igitur incrementum arcus spiralis ie ad. iücreisentom. radii mi éonstaitéin (E Falionem, atque facto y — 0 ipse arcus evanescat , "necesse ,est ut tota spiralis e centro C computatae longitudo eandem teneat, rationem ad totum radium. C A — zu —. Erit. ergo spiralis longitudo € CK 4 M— : Y (aa - bU), quod. eo magis est memorabile ; "ed haec cürva infinitis s, spiris circa centrum € ovem any atque adeo ista spirarum multitudine infinita non obstante longitudo 'spiralis finitam habet quantitatem, quae ex longitudine L. Eüleri Op. poshuma, T. L. 48 318 s oO BUEULERI-OPERA POSTHUMA. "^ nnne radii. C.M facillime definiri. atque. linea recta finita ipsi aequalis . exhiberi, potest. . Scilicet si radio MC .normaliter jungatur recta, | atque. tangens, M(Q ad ejus occursum usque eontinuetur, ium. ea aequalis erit. longitudini spiralis-;C.K.4 M. vur;dum s. oupis 20 | adii 'ogah 3*. Est igitur spiralis logarithinieá curva FOCUIIUADIIN, quod. eo magis est. "Birandum, quod inter praes has ipse circulus tanquam Species continetur, qui tamen rectificationem non adnittit. ) B Si' enim angulus CMQ, quem radius CM cum curva constanter facit, sit rectus, quod evenit. si — H T 1 fiat infinitum, ob ds ——2, fiet dy — 0, atque. adeo radii CM ejusdem perpetuo. erunt magnitu- dinis, quae est proprietas circuli. Ad. hoc ergo paradoxon. explicandum ponamus. in genere arcum (y — a) Y (aa b 5) spiralis AM — e, erit. MS— -—-—4. ei cum sit. AM; MS — Mm: mj, eri e — —— —7 5. UN. iUt Unde casu ys quo fi y.—a4, eri e-—0.o0o,.quae expressio finitum . valorem exhibet, ;ad quem inveniendum in subsidium ducatur aequatio y — ae "eu quae.;ob..& — oo dat.y —4 (155) et y—act : Est. vero eodem : .casu. y (aa 3- bb) —, unde . fit 0 — s et: 4M — 4S, ex quo perspicuum est hoc solo casu, quo b—oo, rectificationem curvae cessare atque ad mensuram arcuum circularium redire, tt5li ^ wm | Superest ut hujus quoque curvae meimorabilis* aequátionem" inter dod edindti otthiogoriales éxliibeamus. ^ Hünc in finem sumatur radius CA pro àxe, ac vocetür abscissa URBS " applicata uac endilgeloltq01 PH -—:. Ponatur angulus liodnin un erit Lig iiu et ey cos 9» hicque. n nd 3 (0359610 dix9)9D $2 m ydz —zdy zd dx. EM NA qu ig .Seu — eydg.. nSgipasid. 9f eioi6 qiero: Gebpaeuovir a6d oie ftinnoijiet | ds "ud ió9ano» 'ali5st esurmo ontrpilea Est vero ini j g—— e üg-cc Miioabit . Mu 8 — : Wi. J£0I9- 338. 0J ; (43 9ppoJ9uD .(diomizoTq 163 gei v3 ^ Y — i DIBISE iivÜ | dy TT . bdy "-" bzdy Quare cum. sit, "TAL UTR erit pna el c yüip — sra — M6 ——* die moine mu) it üt hábeatür hec aeqtüatio ydzz-zdyzzhem : ^E&t autem Pa yQenr et P. HD qrzz) quibus? ius substitutis émerget haee aequatió:!3| (008 00996 olugss mobos dus WOY enfbes "T : | Qa (9x D adayiesie du dicun: OU uu f sazc-b4y "TL Ju unde indo si. bó— —0oo, fore. e dae zdz-—0,.. .curvamque. propterea abire. in..circulum, cujus-centrum sit in C. Joloe iimoov slugnelootinme soimiliiiea 1 "eile tiqe ..:,36.. ,Curvarum, quae ex. circulo originem .ducunt,..unum adhuc exemplum afferamus,: quadratricem scilicet. Dingsuatin, Une ita ex circulo -£oniingicholes, ut (Hig- 32) sumto, apeu quocunque. dh, nde quadr Dinostratis. "Vocetur Mircali oo 4c — - BC: —a E 2 ed 468 — T - posito. toto iq uUfbe (0401 quadránte - ASB seu potius angulo: recto —e( fiet CP opes et. cum angulus BCS sit — E isi i Hi 2 | eidintini py 25£ mm 1G TO CO E a9 cos o QGRilbuiisaol xo. osup NUT NUPNCM el, PM -— T^UUWRgC Jedo.. aen. elJiailai oaibuditlum Institutionum. Calcul? differentialis Sectio HI. Cap. 3. 319 Si ergo coordinatae orthogonales .ponantür €P— a, PM —c. idit ae "t et.z:z— 25 7. unde esing * constat si q —0, fore »—40 .et ob sin g — et €0s g, — 1, esse 2 CD. Punctum ergo D, .ubi curva radium 4C secat, ita se habet ut sit 4$B:4C— 4C:CD. Si itaque hoc punctum D ássignari posset, inde haberetur eripbén& circali, adeoque et ejus quadratura, hancqué ob rem liaec curva quadratrix est. appellata. ' Hoc odi as 37. Quia sumto angulo g negativo, valor ipsius a fit megativus, ipsius z vero idem manet, qui ante, perspicuum est radium 44€ fore hujus curvae diametrum orthogonalem. Quemadmodum autem haec curva ex ]) per M'ét B ulterius procedat, ex.sequenti tabella perspicere licet: si 9 —0 erit 2 —0 et iniri 65^ Kd n3 MN Hg mri. Tig T g G-—-«s za ! E5105 9 -——- weg 22 g 4 q — 20 y -—O9q z— óo aiu 2.5 sadi Ai. d cud a z— [// 9—23o $ —3a z-— É-. 7 lad. 9 —30* we. Z£-— 94 -— 9 —to -chbog hago (0 z-00 based : i , ete. Habet. ergo haec. curva. infinitas asymtotas. Ff; ase invicem intervallo. diametro aequali distantes radioque. AC puse : | .38. Tangens hujus curvae M T. iam ex cidatique inter a. et z, quam ex aequatione. inter ae e'sin.g AS —s et CM — y definir poterit. . Posteriori modo cum sit s — ag et y — » erit "Sr drnadg et p-dy- aiia d9, 11. apdpcosg. "alla psing o sin* g T noidgup- 5 14); ; yds 34 apdp unde lenos oTi0d «ii x1 * ; Mu! — ydg — psi. a» 1 J :uupe99N: gsip Hinc ergo obtinetar i tall dnjwrTor4 e sin 9 )"r- 195 In puncto iterios D, dii est 2-9, sin o — 9—3 « 9^ et cos g —1— 19^ erit tangens anguli, quem recta CD cum curva: facit. unde iste angulus erit recti et Ae in D pclisdibontih ad radium AC. Ceterum quoties q —29, vel o, vel 60, vel etc. aàngulus € MT evanescit; casibus vero q» — 9, 9 —30, 9 g — 35e, etc., ob cos. — 0 erit tang CM T — q. ste denique angulus praeter punctum D fiet rectus, si fuerit o — tang y, quod evenit in quadrantibus tertio, quinto, septimo, nono, etc... 380 Y L. EULERI OPERA POSTHUMA; . Analysis. 09 0 1 4 r. M sino ^ taggo " E c ES - 39. Cum. inventa sit tang CMT — E OE ig o angulus autem: 4. C M. sit; — q; erit tang CTM— "x 9— singcos p" í3 idu quod idem ex aequatione coordinatarum invenitur. Denittatur enim ex P in 4C psriehiiciud dz MQ; quia posuimus CQ: et MQ a —**, erit subtangens. QT— — :., At. est 25 do sU: /1980d9 ovi iJaedg x olugus oJanfe gut... V6 dao — T? e | : e Ay tang p. T | " : eii | in? (1 ids rwolewwua ridi * unde fit ; ^»! soqesur £95dyi E89: oet; [LN CTMA- 2 P y tnter iio 0901 qom e tang 9 | esin^o QT i "Pepd Apa — Cum autem sit es E Lent QU annt i y. seu CT— E. . etang o id esin^ 9 esin^ 9 ea^ y* L— yy. Cum ergo At posito CM — y, est g —t et sing — 74 - ex quo obtinetur CT— sit CD-— erit ubique. C D: CM — CM: C T, quae est proprietas . non inelegans hujus curvae qua- dratricis. Promoto autem puncto. M usque in B, quia ibi est im. erit CT—2Qa— quadranti ASB. ^0. Aequatio denique differentialis pro hac. curva quadratrice inter coordinatas CP— MQ—« - et PM — CQ — z exhiberi potest, in qua angulus [2 amplius non insit. Cum enim sumto d dz — zd CM o V (ze *t- &£) sit diee Ss et c9s g — 7». erit dg cos g — e TELLE At est dp — a unde ESSO RONCVIPOR PANES AG Qy?zdao — ay? do — acydy. Quia vero yy — ax -a- zz et ydy — «dao A- zdz, erit eiie cre quae per z divisa abit in hane g(va - zz) dà — a(zdk-—— dz). "Vel si intervallum? CD — m ponatur b(zdz—zcdz). qx -- zz 91p9oilyrt —bdp ; positoque brevitatis gratia z — pa, erit oda P "Unde vicissim per caleulum — ipsae formulae superiores a quadratura circuli pedites erüuntur. ^" zb, erit dac - ^i. Loco circuli, ex quo hactenus alias curvas formavimus, "alias quascunque lineas. curvas adhiberi licet, atque praecepta tradita sufficiunt, ad tangentes linearum, inde. utcunque constructarum inveniendas. Sit enim (Fig. 33) data quaecunque curva AL, cujus natura exprimatur aequalione inter rectam, ex puncto fixo C ad curvam ductam CL — u et angulum ACL — g. Ex hac porro construatur alia curva BM, sumendo, distantiam CM — y functioni cuicünque ipsius .u. aequalem. : Ducatur. recta ipsi CLM proxima Clm, yis C fiant arculi LÀ et Mus ob ang. MCm dg, erit. LÀ—Uudg, Mu-ydg e LX — du, mu —dy. |n L et; M ducantur tangentes LF et MT rectae CF, quàe ad LC sit normalis, occurrentes in 7 et T; erit. C P — diss; T et CT iei Hinc ergo erit. 099p du CP guts. OU su cr er— d. ad - du^ dy yy. wu ES euleac 5421^9b09 z Sin autem normales ad utramque curvam nto LK sans rectae CV, ad LC perpendieu- lari, oecürrentes in K' et N, erit CK r4 et CN — P —-jideoque CK: €N—du:dy. ^ Cum igitur ratio dy : du' detur, ex positione normalis DK deftniétur" positio nórmalis' MN. v 77 "i CETERO PETPERGCON TInstitutrotim | Calcul: differentialis | Sectio III! Cap. 3. 381 -^ A9; Superfluum esset exemplis hanc regulam per se: facilem'illustráre: quare ad: alios genera- tionis modos progrediamur, in quibus applicatae : non. ex - puncto: quopiam fixo. egrediuntur, sed alio modo definiantur. Ubi cum infinita varietas locum habeat, ex ea ejusmodi casus eligamus, in quibus proprietates prae ceteris:notatu dignae. oceurrunt. Ac primo quidem proposita sit (Fig. 3*) curva quae- * cunque 4L, ex qua ita. formetur alia BM, ut rectae LM, quae curvae datae normaliter insistant, ubique ejusdem longitudinis capiantur. .Hoc. modo manifestum, est; si linea 4L fuerit, recta, alteram quoque rectam illi. parallelam esse futuram;. ac si linea 4L. sit circulus, alteram. B M. pariter fore circulum ipsi concentricum. . Generatim ergo cum lineae 4L et B M ubique aequis intervallis a.se invicem distent, parallelae. inter se erunt censendae , . quae est. idea; maxime. adaequata parallelismi ad lineas curvas accomodati. | ^3. Quia lineae ML et. nl ad curvam AL oria X iie É aane inter se aequales sunt, eaedem. quoque in. alteram curvam genitam. M. erunt normales... Producantur. enim hae. duae. lineae, donec concurrant in. puncto .O,. et ^quia lineae OL. et Ol sunt ad.curvam normales, elementum. L4 confundetur cum arculo circuli centro O descripti, eritque. ergo OL — 0l; unde cum sit LM— m, erit quoque 0M -—0Onm, , quocirca et hae lineae OM et Om ad curvam genitam B M erunt normales, sicque et in. hoc communis parallelismi natura locum habet, ut quae linea in alteram curvarum A4 L et B M sibi parallelarum sit normalis, eadem alteri perpendiculariter insistat. Hinc ergo porro sequitur tangentem curvae genitae MT parallelam fore tangenti curvae datae LV, ita ut si curvae datae tangentes. ducere valeamus, in promtu sit curvarum, | hoc. modo inde genitarum tangentes determinare. | ero | | M. Praeterea. autem à affinitas barum. curvarum singularis est notanda, quae in hoc constat, ut longitudo curvae BM aequalis sit arcui curvae datae 4L una cum arcu quodam circulari sic defi- niendo. Sit recta 4B ad utramque curvam normalis, cui productae normalis MZ occurrat in M. Ducatur Lz ipsi im parallela , erit mj — Ll, ideoque Mm — Li 4- My. Jam centro JV radio EN —LM-— AB describatur arcus circuli ES, atque ducatur Ns ipsi nl parallela, erit utique My — $5, ideoque. Mm — LlA- $5. Cum igitur sit Mm differentiale curvae PM, et LI differentiale curvae AL, atque $s differentiale arcus circularis ES, "ert d. BM—d :4 L--d.ES, ideoque et integralia aequalia esse oportet, unde fit BM —4 L-- ES. Differentia ergo inter arcus BM et 4L aequalis. est arcui circuli, cujus radius — 4B — LM, respondenti angulo BVM, quem rectae in terminis curvarum normaliter- ductae BN et MN inter se constituunt. Atque hinc duae lineae curvae exhiberi possunt, quarum differentia aequetur- arcui circulari. | 45. Sit (Fig. 35) curva data ZLG, ex qua ita formetur altera curva BM, üt rectae LM, quae tangit cürvam datam in L, certus tribuatur valór sive constans, sive functioni cuicunque a puncto L pen- denti aequalis. Ponatur ergo arcus curyvae- datae AL — s; sitque longitudo tangentis LM — y. Dueatur: secundum eandem: legem. ex puncto próximo 4 tangens im — y dy, et quia haec recta lm cum elemento curvae LL in.directum jacet; ob. Li — ds, erit linea Lm — y a-dy --ds... Ex M'in-Lm demittatur perpendiculum Mz, quod non differet; ab arculo : circuli centro L descripto, eritque propterea: Lu — LM-—y, unde fit. mz — dy--ds. | Si--jam innotesceret lineola Mz, haberetur in triangulo Mm, angulus Mm, cui aequalis est'angulus L'MT, quem tangens curvae A 382 s LS EULERI OPERA. POSTHUMA. Analysis. genitae M T' cum recta 1;M constituit. ; Verum cum lineola Mj pendeat ab-inclinatione: mutüa tan- gentium proximarum 7M et: dm; quam infra: — investigare constituimus; hunc casum in genere hic evolvere: non licet; | (E11 t JU n! ^6: Quandó autem ita" determinatur pers, ut sit dy d$ — 0; erit mj: — 0, unde 'quo- modoeunque se habeat valor lineolae Mz, angulus Mripg erit rectus, atque tangens JT ad rectam LM erit riormalis, huneqüe ergo casum hic evolvere licet. Sit igitur yce-s, eritque dy a- ds 0, ; et'curva genita P'M ita erit^comparata, ut ejus tangens MT ubique: sit ad rectam LM normalis. Quodsi. ergo sumamus curvam 4L G — c, erit areus GL — € — $, ideoque LM — LG. Quamobrem genesis curvae BM ita describi poterit, ut (Fig: 36) curvae Z4LG- circümplicetur filum, idque suecéssive incipiendo ab G evolvatur. Filum enim hoc modo evolutum si tendatur, perpetuo curvam LG tanget, ét pars'à curva jam extensa LM aequalis erit portioni €urváe relictae LG. "Unde si filum altero terminó" M fuerit stilo instructum, iste stilus. deseribet cürvam' GMB, qe 'evolutioné curvae GLA nata vocatur. De quo curvas describendi inodo infra fusius explicübitür, 007 006^ l7. Si ergo curvae ALG hoc modo filum circumplicetur, idque in G stilo munitum evolvatur, describet curvam GMB, quae ex evolutione curvae GLÁ4 nata dicitur. : Hujus igitur curvae hae sunt proprietates, ut primo recta LM, quae curvam datam in. | L tangit, sit normalis. ad curvam. genitam GMB: tum vero ut haec recta LM aequalis ubique sit. aru GL. Si porro filum longius capiatur, atque evolutio in puncto g incipiatur, perspicuum est curvam hoc modo genitam fore !gb parallelam curvae GMB, recta enim LM producta simul in novam istam curvam erit normalis, et 1110153 dH portio producta sibique aequalis erit arcui Gg; sicque hae duae curvae Sibi erunt. parallelae, prorsus ut ante (142) parallelisihum descripsimus. Quamobrem vicissim curvae parallelae ex evolutione qus- ' dem lineae curvae P LG nascuntur. jade Unas 8. Quemadmodum hie ex evolutione fili: uni cuidam curvae circumplicati, nova curya est for- mata, ita facta. quadam mutatione duae curvae pro. arbitrio assumi possunt, ex quarum evolutione conjunctim nova producatur curva. Sint enim (Fig..37) datae duae curvae ZLa et BKv. , Capiatur filum satis longum, cujus alter terminus. in 4 alter in B firmetur; tum extendatur hoc. filum ope stili in M immissi ita, ut filum ad utramque curvam maneat applicatum, quoad in L et K, ubi curvae a a filo tanguntur, in directum extendatur. Hoc modo si stilus continuo promoveatur, ita ut. f ilum perpetuo tensum teneatur, stilus describet curvam .C Mc, cujus natura cum a longitudine. fili,. tum a natura utriusque curvae ALa, BKb, tum a situ relativo harum duarum curvarum pendebit.. Ac statim. quidem. perspicitur, si utraque curva 4 La, BKb in punctum . eyanescat, hoc modo descriptum iri ellipsin, focos in utroque. hoc puncto habentem, cujus axis transversus aequetur. longitudini fili. . A9. Ponamus totam fili longitudinem- 4L MKB —«, atque. in: praesente situ sit .portio, curvae Za. applicata, 4 L —$, et: portió alteri curvae: Bb. applicata: B.K — r.-. Tum;.sint: portiones án directum .extensae : LM. — y. et. KM — z, erit g- yraei-— a. Jam stilus. in. situm: proximum m promoveatur, quo puncta contactus transferantur in [ et k, erit. 4L — s-i- ds, Bk —r--dr, ideoque .LI — ds et Kk — — dr. Porro im y--dy et kmzM4-dz, aique; 54 500 dé-r-dy--dra-dze202 77005 oo doni josodasd vorn tur v puqourq "DE PE TIMES qu ^ ly c PP Institutionum: Calcul? differentialis Sectio III! Cap. &. 383 Ex T inim et ex m in KM: démittantur perpendicula: Mp et mq; et iu — et kM-—2z-—dr.. Jam ob Lp-—LM: et kq m km fiet ti ym c fn85i9 b. !Qi« | 80151111 mp-—Lm-—LM-dy-eds et Mq — KM —kni — — dr code, unde erit pp — Mq. Cum igitur triangula rectangula Mpm et mqM praeter communem "liypoteüusam: Mn, habeant latera -— LE imi. 'sETUHN, erunt I — ac siniiia, ideoque Mp — mq et - Mmp — ab . mM. 50. Quodsi j jam. ducatur tangens. TMY, erit ang. Mmp — LMT, et ang. mMq — KM ; hancque ob rem ang. LMT — KM , ita ut tangens TMF utrinque aequaliter inclinetur ad directiones fili ML et. AK. Cum igitur radii lucidi a superficie reflectente ita reflectantur, ut angulus. incidentiae aequalis sit angulo reflexionis, manifestum. est. si curva CMc | proprietate. radios. reflectendi gaudeat, atque LM fuerit radius incidens, fore MK radium reflexum. Ducatur ad curvam CMc in puncto M normalis M0, eritque hu .LMO —KMO. Quare si angulus: L'MK bisecetur recta MO, erit haec recta MÓ normalis in curvam CMc, atque si ad MO normalis ducatur TMFE, haec curvam tanget in puncto M. Haec ergo proprietas, quae ex descriptione ellipsis per focos demonstrari 'solet, com- munis est omnibus curvis, QN. hoc Hide per duplicem, evolutionem. ex duabus curyis quibuscunque producuntur. up diede (duofü590c) — (5H nit TET ' (Caput. 1v. . muiiir muyeqg! 94 3S8S7;025. efi9215 D ; ro —5 oegi9 oie01 ."laumue De anges curvarum , in certi locis inveniendis.. 1. Etsi praecepta hactenus (ol RM patent, atque tangentibus ad singula cujusque curvae puncta inveniendis sufficiunt, tamen dantur casus, quibus expedit regulis particularibus, ad eos: casus-accommodatis;:'utiquam. regulas: generales :eo- transferre. Hi autem casus potissimum oécur- runt, quando alterutra. binarum quantitatum - variabilium, vel evanescit, vel in infinitum excrescit, Si enim in bis locis positio tangentis investiganda sit, non opus est, ut omnes aequationis termini con- siderentuür, totáque aequàtió differentietur,, 'sed quia his casibus jlureg" termini respect reliquorum evanescunt, his práetehlissis operátio ' Suniibüperé 'conttáliifur,. et, "quamvis àequatio "t maxime coinplicata, tanicü facili negotio hiis casibus, quibus altera vari übiliam. vel evanescit, vel - infinitum 6 xs i2 ^H [tu f TI. BM : abit, positió angehtis dofiüietur: ^ TET 04 iYOd eUIti Suoiisupos.. x5 DOUp js lido d ;.miionujmoo. eorg1 ibomeuiud -.ov2asül q eoni ,259., Cum . igitur. in. hoc | capite duo, gecurrunt. casus orn prout altera voriabilium yel evanescit, ,vel infinita. ponitur, tractatio. nostra erit. bipartita. Primo ergo alteram, var iabilem nihilo aequalem assumamus , hocque. casu, uti jam. in Introductione. abunde. est, ostensum, atque. statim uberius explicabitur ,,tota aequatio, quantumvis fuerit composita, ad duos tantum terminos revocabi- tur; ita ut curva proposita in loco, quem consideramus, ubi scilicet. a — 9, eandem habitura sit tangentis indolem, quam habet curva, eujus aequatio duobus tantum constat terminis. Cum igitor omnis ' aequatio inter. ' binas variabile * et y ssi alterutra evanescens ponatur, ad duos terminos Füvo )c cetdl; in háne abibit forinai | ym s 1 (oan. 'unde ad nostrum institutum sufficiet, positionem. an- gutis harum curvarum nosse, quando vel 2 vel y nihilo aequalis. assumitur. | 984 M 4 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. 3... Perspicuum aütem | porro est in. liac aequatione. y" — Ca^ exponentes m et n non solum esse numeros integros, sed etiam primos inter se. Si enim essent fracti, per evectionem potestatis ad integros. perducerentur, sin autem inter.se essent. compositi, seu communem. divisorem. haberent, hic per extractionem radicis tolleretur. His igitur casibus omissis, quemadmodum . pro. ceteris. positio tangentis, quando, vel a: vel y nihilo aequalis ponitur, . sit comparata, erit, dispiciendum. Ac primo quidem, si uterque exponens m etn fuerit numerus affirmativus, manifestum est posito Y fore quoque y 250, et. vicissim. Sin autem horum exponentium m et n alter fuerit affiriativus ' alter negativus,' tum posito c —0, erit Y — oo, ac vicissim, si sit y—0 erit. q — oo. Probe autein recordandum est, utrum aequatio X — Ca" ex aequatione proposita Sit nata facto a —0, aiv vero 15 ó A, ] D255 i y —90, quo. eadem. hypothesis in tangentis investigatione retineatur. í ; , DUI NR RnE A. Ponamus igitor. aequationem propositam quamcunque posito . D evanescente e coaluisge. in hanc x s Ca" , et utrumque exponentem ;. etn esse affi irmativum, ita ut simul sit r58. Ad Vangen- tem ergo hujus curvae, inyeniendam, differentietur aequatio: habebitur. olocna dyog fCafti ud «nat. wuuonyodinimo dea itm -uxiauh 72 nümaoWiuiey ineuog - ui ood fWsp e iuonVgdinim my dy—nCz" ^ d, unde fit 7 xy nm isi : : Hir Doqq ? dy ^ X mn—m "E 1:m ,,n;m -i , necati - Meu "| m. At est yet. ideoque erit ;-— — C"« dà " . " J . E: tangentem anguli, quem tangens curvae facit cum axe, in quo abscissae c sumuntur. Posito ergo x —0, quoniam fit quoque yc 0, tangens curvae per ipsum initium Exprimit autem * . ! j 4 " " P. a . . i . 1142 7 | ^. abscissarum transit, atque cum axe angulum constituit, cujus tangens erit ML l^ n—m I d 5H !' àndaoj5git ! qo255'tq ie13 v zem— C^ m^. posito m-0.. .:m VERPISQVUE gu - | m 211 2l : noti5) Jf DHige enuodovutr $3oduq 95 v109 Hic igitur angulus erit "— si "und rectus autem fiet si sit m «^ ms;' sin autem 'sitn —m; iste 1 Í i en Jf 85 angulus erit obliquus, quippe cujas tangens fit finita T 1^ siquidem. m—1. 2 eid^ ni "mds 9. Quando ergo in aequatione. ML - Ca^ : ad quam petes g evanescente pervenitur, am m. quam n fuerit numerus afürmativus,. p Adeo curva. in Apso. abscissarum . principio axem..s ecat, - tres occurrunt casus considerandi, quorum primus. est st nmm. seu sh Hom casu (Fig. 3 pe 4m vel 4n, vel etiam binos iare hujusmodi ramos conjunctim "habebit, v^ ex aequatione generali est decidendum. Lex continuitatis autem postulat, ut curva Semper ad minimum - duos hujusmodi arcus habeat, et si plures fuerint, eorum numerus perpetuo par. sit necesse est. Quod cüm Rhatüuram éurvedinis sumus evoluturi, clarius patebit. Cuin enim hic tantur positionem tangentis investigemus, quonam tractu curva ülterius procedat, hic: non curamus, sed iafra cautiones, quibus iti (1 O0*1d ' IE T in hac wien ii P utendum est, accuratius tradentur. Y Mobni eMüsnded ,. e. Secundus casus est, si fuerit. m. n . atque tangens curyae (Fi ig. 39) in » puncto A normalis s erit ad axem A B. His. igitur casibus recta DAT. axem in E perpendiculariter trajiciens curvam j ibidem tanget, unde rami curvae ex 4 ulterius progredientes erunt vel Ang ,Yel AL, . vel Am js its UFI5YiUS IIHJISE Ci 6 RC CROCI T e oerte Dot RR emo 4 ent nma" Institutionum | Caleuli. differentialis Sectio: HT. Cap. 4. 385 quod ex aequatione completa est. dijudicandum. : Tertius. denique casus existit si m — n, quo casu aequatio. y" — Cz" abit.in hane y — Ca, naturam lineae rectae exprimens. XTangens igitur curvae, ex qua posito 2 —40 haec aequatio y — Cc est nata, (Fig. &0) ad axem AB erit inclinata angulo 5.4 D, eujus tangens est — C, sicque recta D T curvam in puncto .4 tanget. Figura igitur curvedinis prope 4 erit. vel 4M vel. .4N,; vel 4m, vel. 4n, atque vel. ex duobus, vel quatuor, vel sex etc. hujusmodi ramis consistet. . De vero autem. curvae tractu tam antecedentia quam consequentia. versus hic nihil certi statuere licet, nisi reliquorum quoque aequationis. terminorum hic neglectorum. ratio habeatur. Interim tamen binc ad quemcunque horum. casuum aequatio curvae facto z — 0 perdu- catur, positio tangentis in hoc loco facillime. definitur. i 1. Diximus supra si in aequatione y" — €a" exponentes m et n. communem habeant divisorem, hanc aequationem per extractionem radicis ad' simpliciorem formam deprimi posse. Hoc autem ita intellirendum est, nisi extractio ob signum quantitatis € impediatur. Si enim communis divisor fuerit numerus par, et coéfficiens: C' sit, quantitas negativa, extractio radicis deduceret ad imaginaria; ex quo intelligitur, abscissis c, si iis valor finitus tribuatur, nullam plane respondere applicatam. Sic si habeatur y?— — a? vel. y*— — aücc,, vel y6— — aac* seu. y$— — a*za etc. singulis waloribus finitis ipsius c. nullae applicatae respondent;. interim. tamen facto a — 0 manifestum est fore et y — 0. His Agitur casibus aequatio pertinet ad. unicum punctum in initio abscissarum positum, et curvae, ex quibus hujusmodi. aequationes pro z— 0 proveniunt, nullos habebunt ramos .per punctum 4 Wranseuntes, sed ibi habebunt punctum separatum, quod conjugatum vocari solet, cujus tangens concipi nequit. Quod idem indicat formula ante pro positione tangentis inventa, quae ob 1 " C", si C est quantitas negativa et m numerus. par, imaginarium, assignari omnino nequit. 8. Sin autem in aequatione binomia y'"— Ca^, ad quam posito c— 0 pervenitur, exponens n fuerit numerus negativus, tum valori :—40 respondebit valor y—oo, sieque (Fig. 1) applicata in puncto 4 erit infinite magna. Tangens autem anguli, quem tangens in hoc loco cum curva constituit, n-——mn a erit uu — Cha m. quae ob n numerum negativum, positó z — 0, semper fit infinita, isque angulus rectus. Ipsa ergo recta EAF, axi in 4. normalis, erit tangens curvae, ejusque idcirco asymtotos; ex quo curva ad minimum duos ejusmodi ramos, cujusmodi sunt MP, NQ, mp, nq, ex infinito rede- untes habebit. Sin autem, ut ante meminimus, uterque exponens m et n fuerit numerus par, et € gmpptitas negativa, tum aequatio casu quoque c — 0 erit imaginaria, nisi forte dicere velimus cur- vam in distantia infinita rectae 4E vel 4 F habere punctum solitarium conjugatum. ^. 9....Casus igitur evolvimus eos, quibus posito 2 — 0 applicata y vel quoque: evanescit, . vel. in infinitum excrescit. Sin autem y posito z — 0 finitum obtineat. valorem, puta y—a, tum iste | easus ponendo y — a -i- z ad priorem reducitur, quippe z evanescet posito : — 0. Cum autem haec substitutio, praesertim si aequatio proposita pluribus constet terminis, non parum molestiae pareret, mox modum trademus, cujus ope sine hac substitutione tangens definiri queat. Ceterum -aequationes binomiales hactenus tractatae viam nobis aperiunt ad aequationes, quae pluribus constant terminis, progrediendi, tam quod in hoc genere sint simplicissimae, quam quod aequationes uteunque compositae L. Euleri. Op. posthuma T. I. k9 386 ) SULSEULERIE OPERA. POSTHUMA. c — Asini. casu &—4(Ü ad. binomiales reducantur. Quemadmodum: ergo: haec reductio sit instituenda, hie clarius explicemus, | atque. ejusmodi. regulas pro 'disponendis «terminis aequationum tradémus,- quarum: ope deinceps quoque natura :curvedinis ramorumque inflexio facile definiri queat... 7 0000 0o 5 | 10. Ac primo quidem quaecunque aequatio proponatur inter a^ et y, si ponatür 2—0, ommes quidem termini z' continentes evanescerent, "nisi y valorem" induat infinitum, sed inter hos "ipsos terminos evanescentes gradus distingui conveniét, qui inter se rationem infieitiag^t Venent. Hujusmodi progressionem constituunt sequentes termini. ^ ITE NUR SNHIROORENT riouigle i155. Tidig iei 4,0) 3 x55 gw x5, xét, o ^ T a6 -caiyotal- -uinoded sicut enim casu z — 0 prae 1 evanescit c, ita prae a^ evanescit 4/2, et a? prae e, ita ut quisque terminus sit. infinities. minor. praecedente. infinitiesque major... sequente. ;.; Similiter. erunt: comparatae .Sequentes series, quicunque. valor. alteri variabili. y.conveniatz 5055 oos o bees seed | yy oy, ahy yid*y ; cy y & y joeteiy dze der 4e» qiuubnosdisfn y.alol i oy? ; ahy; ay 3, diy; cay etocjoi 1805 Jo creq eimoenan. dasgt. (ioa od iodion 'et generaliter eli de | emoeiaei»ads, ,TuMigilletai oup X9 g^ ag - ety" aity j wyftp a ys "aelov ts — cte Ip »id 11. Quaecunque érgo aequatio 'algebraica inter q ety habeatur, postquam ea iam ad rationa- litatem fuerit perducta quam à fractionibus liberata, singuli ejus. termini in istis seriebus cóntine- untur. Quo igitur ordo terminorum, secundum quem alii prae aliis evanescunt, / fücilius perspiciatur, t i il» i j A 132 HH TH Fejectis coéfficientibus constantibus termini ita disponantur | ; ü : : (i 21i] f i buf ib .31DD511 (294095 4190n6] 0, i4 ? 29 ? 3 , U , 5 , 6 , 1 Ub i22. ) i2 z wy agregue, inu aet ang cg RS [cade 4s sioywmy*.myhey', ey)jdyfigieys ui motos aid 8 Ch. vai) 5 9. m, aio anys 9? yt, a yl, ah yty elegi i enromprn: Triogis IA05 ffl» Ok 3. a?, m d^ ei^, gy, a? y, a? y^, git, eic... ajinini Jv: Y o ftin] 5e m, aty, ath y*, g'y, atyl, ahy", art yt, "onus tun M Ns t a^, ahy, asy, ei dit) qty; ; a yt, ete Magis. rM &g ootnbi- m q' agvda : pio91 08139 &eqi 200991] 6. d ay, aryl, ahy ay, ihi aSy, 'ete., "Wie UN cT T " 7 48 1 P 7 o5 67T(10*.0gHD 1. e, dry, M Pup Ker RET MA het ode ! ete; etc; dte, "etel" ete; "ete/" ete ded. 2odag 12. "erminis ergo aequàtionis hoc Inodo dispositis , manifestum est posito a — — in qulibél serie verticali orines terminos inferiores prae superioribus evanescere, ita ut hoc casu supremi tantum . termini - cujusque seriei : verticalis. relinquantur ;: ác. reliqui rejici; queant, In hoc. àutem schemate assumsimus in aequatione proposita: omnes terminos occurrere, ita ut-hoc' casu;: quo 2:0, termini: supremae .seriei. horizontalis: omnes remaneant; ex. qua y obtineret unum pluresve valores finitos. Sin autem in aequatione: proposita aliqui. termini. desint, eorum. loca: in. hoc schemate: vacua relinquuntur, atque. ob superiorem. rationem pro. casu a— 0 in qualibet serie: verticali supremi tantum termini in computum venient. ; Sicque: contingere "eve ut termini — non in. New d horizontali sint. constituti. w hair) u- | üé' fü is Sod uc! ibasibatgotq ""N j ) O i1«!In3 i3 . 45 P uU TY Institutionum | Caleulé : differentialis Sectio. HI. Cap. 4. 387 ^43... Termibis.hoc modo superfluis expunctis tot remanebunt termini, quot. habebuntur series verticales; sicque aequatio plerumque: ad. satis paucos. terminos reducitur. Horum autem. terminorum residuorum non ommes semper.inter se erunt homogenei, sed denuo: aliqui prae reliquis evanescent. Quomodo, igitur. isti termini, qui.prae ceteris evanescunt,, sint. dignoscendi, nobis explicandum restat. Vionamus itaque. supremos. cujusque columnae; verticalis: terminos relictos esse. | olteepen Tales apo y ay, a ya y, af y^, my, cete. quorum ' —" sint inter: se^ homogenei, vel: prae reliquis evanescant, dispiciamus. ^Fingamus duos quosvis" terminos, : püta'&^.'et: ^y^ inter se esse" homogeneos, statimque patebit, utrum reliqui termini el ; his' sint homogernei ,' vel'iis infinities minorés,' vel infinities majores. 'Qui autem fuerint homo- genei ómnes erunt retinendi, qui infinities miriores rejiciendi; sin autem nonnulli reperiantur infinities majores , "hi soli; retineantur, cum prae his et illi; quos 'assumseramus; evariescant. ^ (8; ^ Ad Tóc aute judicium. rite 'institüendum Botasse sülficiet,- si in pFogréssioné geometrica duo quicunque termini fuerint homogenei,' símul 'otnes tam "antecedentes quam medios et sequentes iis foré'homogeneos. "Terminos enim homogeneoós vocamus, quorüm est ratio: infinita; hine'si in progressione! geoinetricà 'düo' termiüi^ habuerint' rationem finitam, 'mecesse est, üt singuli inter se ratiotiem quoque finitam téneant. " Quare si termini ^ et ay: sint Éoniresii omnes termini fore prógressionis &eometricae "inter se "eruit homogénei 5000 077 í ! sini ip .(dps- zoninriol Lu a phy) 428 —4. — «M I ibi 3H Quodsi j LN in n ierhino. "ary" fu erit y — p a, hic terminus illis 2i .et a 3y erit homogeneus;. sin autem 'sit v2 38—a, terminus "elyr prae 'ilis 2 a" 'et ay evanescet; sin autem y «28—a, tum illi leriiiti a a^ et Lol prae hoc ay ah ipsi evanescent, similique modo reliqui. termini dijudicabuntar. 2ZO11H IUIS J AIU lá toto 11 15. Sin alios duos quoscunque | terminos homogeneos fingere. vilioms, ut afr et a^ y', ex his primum progressio geometrica.ad singulas potestates ipsius: y. est. formanda, e igitur erit í fed o! lin o" e aft |o «Bee $t uiii n ru |!aed- B^ [50D1£59D 1 er ii Offiptii^ 113r:91 ic 3 3 M inimrioj ense101 q. illüg Mc: qt vli d5d5b $,ub Xn E. E^ ete. £1551. 55i Ii 1690D qv? -It If:q 2ni vid en tasigovífo: $ e$ 4 mn HEB OT. 9-9 iut ey, ahy ePrt etc... l2 n5 j 1AI38129 qui igitur. jemii eii. cum. superioribus. congruunt; ii. litis itoseddit erunt homogenei: Sin. autem ;exponens, ipsius a. in: quopiam:-termino inferioris seriei major fuerit quam in respondente superioris, . ille terminus. prae. superioribus, evanescit; Sin; autem alicubi im serie inferiori | exponens ipsius. a minor. ipti .quam.in termino Herstenios Aum..prae eo ,omnes. termini superioris seriei eyanescent. .- u init eidolhsupas aonío ig [onf i .115m16;7» Si - igitur. easus iste. mitimnz) quo ::aliquis terminus: iimfàsiorig seriei infinities major existit terminis superioris, nusquam occurrit, rejectis terminis. évanescentibus remanebit aequatio inter ter- | 3 minos mere; homogeneos, quae; naturam, curyae jin, loco. 2 — 0. exprimit. Sin autem quis terminus in. seriei, inferiori fiat infinite, magnus respectu. superiorum, tum. is in.locum binorum illorum. :termi- Dorum, ex quibus. boc judicium petivimus, .assumatur, eademque operatio denuo ids pde termini. propositis infinities, majores occurrunt, tam.diu reiteretur. donec omnes termini... Jüsgsesnuevo eiejbs ovon »b eil T un ay, a yty. afa? fles, roD. — 036i 388 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. eum binis assumtis vel prodeant homogenei, vel prae iis evanescant. ;Hocque modo tandem. perve- nietur ad aequationem duobos :pluribusve terminis constantem; ' qua: naturà curvae in loco 2 — 0 exprimetur, ex qua deinceps non difficile erit tangentis positionem: definire. 17. Quodsi ergo hoc modo plures termini relinquantur, ii progressionem geometricam consti- tuent, atque ex hac considératione facile est istos terminos mechanice determinare, eo scilicet modo, quem Neutonus per parallelogrammum et regulam tradidit (Fig. 2). Si enim termini aequationis omissis coéfficientibus modo. ante exposito. in. cellulas parallelogrammi | aequaliter divisas inscribantur, atque in unaquaque cellula punctum medium. notetur, facile. perspicitur, terminos, qui in. ratione geometrica progrediuntur in directum fore. dispositos. |. Sic. linea. aa. per. puncta. media | cellularum transit, in quibus reperiuntur termini. isti progressionem 'geometricam. tenentes: &5, ey, a*y?, a? y?*, my*, y?. Linea autem bb transit. per puncta media cellularum. 2?, 2? y?, &y^, y, et linea cc per puncta media cellularum o, a? y?, c*y, x y^, atque linea dd. ducta est per puncta media cellularum, quae hanc praebent progressionem geometricam: y, cy^, «^y^, «^y^, qv), q5v5 . un ien adi 18. Si igitur puncta. media cellularum.. pro veris locis singulorum terminorum habeantur, et linea. recta. utcunque per. hoc. parallelogrammum traducatur, ' termini, in. ista linea. constituti progres- sionem geometricam formabunt; ideoque si eorum. duo: fuerint homogenei, omnes: erunt. homogenei, Deinde ex ante expositis facile liquet, omnes terminos, qui supra hujusmodi. lineam. rectam. cadunt, respectu eorum, qui in ipsa hac linea sint positi, fore. infinite magnos, terminos autem, qui infra hanc lineam cadunt eorumdem respectu futuros esse infinite parvos, ideoque prae iis evanescere posito scilicet € — 0. Si enim series verticales interpolentur, termini . interpolati omnes, quorum loca in lineam rectam incidunt, progressionem geometricam constituent, quorum respectu. Superiores omnes sunt infiniti, inferiores infinite parvi. Sic recta bb osi gpl instituta per ^n n kr ees H E ; I a, a? y, eset ay oe ahy, yt. | | oizeoYgo1q unit 19. Si igitur ejusmodi termini desiderentur, quorum respectu reliqui. omnes pro nihilo haberi queant, linea recta per duos ejusmodi terminos duci debebit, ut. süpra eain nulli prorsus termini existant, Unde si aequatíonis propositae singuli términi in éellulas ipsis convenientes hujus paral- in'aequatione desunt, vacuae relinquantur, per La lelogrammí inscribantur;" ét ellulae, quarum termini in ejusmodi. duos supremos" terminos in duabüs columnis" verticalibus linea recta duci; vel ipsis regula applicari debet, ut super ea nulli prorsus termini appareant. ' Hoc enim facto bini illi termini, ^ vel plures, si qui in istam eandem lineam rectam cadant, nón solum progressionem geometricani for- mabunt, sed ita erunt comparati, ut prae iis reliqui omnes aequationis termini negligi queàánt. "His ergo terminis in aequatione -expunctis. ii ;. qui. sunt; residui; naturam curvae in-loco a— 0 expriment. 20. Si linea recta hoc modo' ducta: duos tantum terminos exhibeat, habebitur aequatio binomia pro curva in loco & — 0, ejusque ergo tangens per práecepta ante trádita invenietur, nisi linea 'illà recta fuerit horizontalis, quo casu applicata y^ vel finitum vel tmaginariüm obtinebit valorem; priorique casu tangens ex his duobus terminis definiri nequit. Hoc ergo casu regula motu sibi paáralléló'proz moveatur, donéc unum pluresve novos terminos attingat; hique 'ad illos adjiciántür, et ex aéquatione resultante tangens definiatur. Cum .enim reliqui termini prae his de novo adjectis evanescant, a. PEE o) PESCE cupa Pr ouod rhc t £^, 0 PUITS n0 rio PAR n aces liso n e om Yan Barue Institutionum Calcul. differentialis Sectio. III. Cap. &. 389 aequatio pro curya erit completa in loco a — 0, nisi forte et isti novi termini evanescant, si ipsi y valor ante inventus tribuatur. His ergo incommodis ut remedium afferatur, expediet, si ex terminis primo inventis valor finitus pro y puta y — a fuerit inventus, ut substitutione y — a --z utamur, hincque aeqüationem inter & et z modo supra descripto examini subjiciamus. 21. Verum si hanc substitutionem y — a -3- z evitare velimus, invento valore finito y — a, differentietur tota aequatio proposita, quaeraturque ratio zs Tum in expressione inventa fiat ubique g—0ety —a, sicque prodibit tangens anguli, quem tangens curvae in isto puncto cum directione axis constituit. Hoc modo etiam, si forte applicata. T; plures habuerit valores finitos, puta y — a, y —b, y —c, etc., pro singulis ex eadem formula 7 — 2. positio tangentis reperietur; cum si subDsti- tutione uti voluerimus, . pro. unoquoque . valore bafis y peculiarem substitutionem fieri oporteret. Plerumque etiam in differentiatione aequationis plures terminos omittere licet, ac saepenumero sufficit ope regulae proximum terminorum ordinem. adjicere; | cum. tamen dentur . casus, quibus ad ultimum usque terminorum ordinem procedendum est, consultius est totam aequationem differentiare,, quam omissione terminorum errorem in determinatione tangentis committere. 22. Facilius autem judicare licebit, utrum aliquot aequationis terminos omittere liceat, si aequatio proposita secundum dimensiones ipsius c disponatur, atque Acores harum potestatum in divisores Fésolvántür. ]ta si hujusmodi aequatio fuerit proposita ' 4 (a—y)!— 3(a—y)*z 4- 2 (a—y)*aa — — (a—y) g?-- gy — A ubi posito z — 0 fit y —.a, in differentiatione nulli termini praeter "ultimum. rejici poterunt, sicque quinque terminorum ordines, quos promotio regulae horizontaliter deorsum facta indicat, assumi oportebit, Fiet enim | o—Hhkdy(a—y)*-2- 9dy ra — d f (duia yy 2 dvibesla pocta uc we 3a2de(a—y) - hat da — Á : z* L dy .S(a—y)* — Mn (ar-iibo- 3zr(a—y)— Asia P dz a —Á(a—y)? 4- 9 (a—9)* 2 — 4(a—y) zz 4-2? seu. statuatur jam y —4a et q -—.0, et quia in singulis terminis cyphra tres habet dimensiones, praeter 5z* DM "hune solum rejicere licet. | 23. Quia igitur hoc casu tam numerator quam denominator evanescit, atque omisso termino 5z*. m reliquorum. terminorum nullus prae ceteris rejici potest, ad tangentem definiendam aliud reme- dium non superest, quam ut substitutione y — a — z seu a — y — z utamur, qua facta aequatio pro curva transit in hanc formam: 5 " T 2'— 3z?a -i- Ozz3m — zz?--.a*5— x His autem terminis in parallelogrammum Tem regula indicabit i terminos, quibus natura curvae casu a — 0 "ees — 3z?g Q»áWw Ls za?-ra'-—0. 390 SLSEULERIE OPERA. POSTHUMA. PO Ponatur z pa, ut: sit. p* — 3p?-&: 2pp — p -&- 4 — 0, cujus radices, quarum .duae sunt reales pc—4:s ct ip-2,2055 proxime ;.. dabunt /aequationes .pro lineis rectis, quae. erunt tangentes totidem curvae ramorum per initium abscissarum .transeuntium, | radices vero binae imaginariae. indi- cant punctum conjugatum,..pro quo.g —0. et z— 0. Atque. ex hoc. exemplo. patet. tutissimam tangentis inveniendae methodum saepe in substitutione esse sitam, ... vid 3 " | anide Me Cum igitur haec substitutionis methodus sit tutissima neque. unquam investigationem in. ambiguo relinquat, eam prae ceteris commendamus. Quoties ergo c evenit, ut regula n situ horizontali terminos aequationis eligendos indicet, quo casu utique semper supremis cellulis erit applicata, cum aequatie semper unum 'saltem terminum ex serie suprema contineat, quia alias per a foret divisibilis, toties valor finitis pro y inde' resültans ope 'substitutionis eliminetur, atque aequatio intet z^ et: novam variabilem 'introductam denuo ad parallélogrammiüm' eéxátinetur. "Hoc 'érgo modo situs répulde horizontales, qüi tangentis' positionem. non déterminant, exeluduntur, atque^ómmis investigatio ad situs regulae: obliquos: reducitur, :ex: quibus: valor 5t y semper vel. —60 vel —:oó: elicitur; quibus casibus .determinatio, tangentis est..in. promtu. (0.05 "T *q inmetüb aimo . 9upaly. ^ 25. Si enim regula secundum. praecepta ante tradita meti: vg KR per Medus vel..duos vel plures suppeditabit, lerminos, ex quibus, aequatio. utramque variabilem zm ety continens conficitur, ex qua propterea ! tangentis positio determinatur; si enim duos. tantum praebeat, terminos; aequatio inde hujusmodi orietur: y" — — ^ 2, 9X ,qua. ,tangentem jam. supra . definiyimus, Sin. autem ues pluresve terminos libeat ii erunt in progressione. geometrica, atque hujusmodi aequi pro (MM) —— (en *4 fe »lb6 —-— curva "— Si abt d. WA ,Jüntoj TUNE Ba" y^ edere eger Eu" y 4L etez 07 -'6 njizóq idis quae positi ip Mas indaücthanelforaiiod ociloos: obomotTq eoup ,codibio munoniaris) Supatup A4 - Bp 2- Cp? a- Dp*A- i- Ep! -r- etc. — 0. mino Jod —.idobhioqo Ex hac .eliciantur. omnes. radices. reales: ipsius p, .qui, sint, ES e... p. e Ap ey soto; undeitotidem prodibunt aequationes inter a et y binomiales... leet eam abit | ;; aa e oy a" y^ Dj at y? —» etc., quibus totidem curvae rami, | cum: tangentibus assignantur. '' Radices ,autem imagioaride absentiam applicatarum, quae abscissae c — 0: respondéant; indieant, wel puncta onjugata, "uti ante jam mo- nuimus. . Binae: autem | rádices imaginariae-punetà cónjügata: sine. tángéntibus indicabunt;'. "7 09199 26. Interdum autem fieri potest, ut regula duobus pluribusve .:müdis:.ità:: duobus supremis terminis applicari. queat, ut nulli termini Supra eam compareant. . Quod. evenit si gurva. ,plpres. habeat ramos abscissae XN respondentes, sicque singulorum horum ramorum tangentes innotescent. - Quae (iy — — investigatio. tangentium, quo facilius pertpinüdtur, simulque usus -paralclogrammi Netoniani "uberius explicetur, exempla aliquot àdjungamüs, 'in quibus omnes 'isti casus diversi océürrant; ita ut lioc mo facile cognoscere queamus, quot curvae rami abscissae a — 0 respotideant; ^ et quales Habitüri sint tangentes in hoc loco, sive rami in-infinitüm: excurrant; sive-'in'spatio finito subsistant. ,,,EXempltum 1. ,. Proposita. curea hac. ,aequatione contenta... sols di irioi dieiué sil] 1 — xy a- 2y*2- 9x — 3x y —3x y —2xy'-a- &x!y! — 2x Mino my J — invenire tangentes ejus ramorum. abscissqe x — 0. Vetpoadantium ds - ——— "cem: c due E ecu vans e P XRRLU NEM prc "VY v E ; Institutionum | Caleuli : differentialis Sectio III. Cap. 4. , 991 '*Rejectis coéfficientibus, si termini hujus aequationis in parallelogrammum modo anté descripto inscribantur, apparebit regulam triplici modo ita ad duos terminos applicari posse, üt supra ean nulli. prorsus. termini appareant, quos regulae situs in figura ^3. lineae .4a, :Bb, Ce, repraesentant. Primus situs 4a,.qui terminos zx. et cy praebet, indicat curvam propositam ad abscissarum initium ramum. habere aequatione- hae. $a — ay — 0: (reliquis, nempe terminis omnibus: neglectis) expressum, qua per. divisa. concludimus rectam hac aequatione a»— y.— 0 contentam fore hujus rami tan- gentem. .. Altera regulae. positio. b. terminos y?. et cy* tantum relinquit, unde. aequatio :nascitur 2y3— 2ry— (0 seu d — ay —40, quae aequatio cum sit pro hyperbola,:- pátet hanc hyperbolam pro casu «.— 0. €urvae. propositae. partem. coüstitüere; fit nempe applicata y infinite magna simulque tangens. curvae existit... Ex. tertio. réguláe situ oritur aequatio his. duobus | terminis. contenta: —ROmy5-i- ha^ y — 0, seu, 1 — 22? y — 0, :et linea. hyperbolica hac aequatione :contenta: naturam aliorum. ramorum: hujus. curvae. pro ;2 —0 repraesentabit. Geminas ergo haec curva:habebit. asytiitotas ad axem in initio abscissarum, , normales, alteram naturae 1 — zy —/0, alteram .1 — 2x5 y. — 0. Praeterea vero ramus axem in initio abscissarum sub angulo semirecto intersecabit, cum ejus tangens sit. recta hac aequatione. g — y expressa, Exemplum. LS Proposita curea.. hac aequatione c contenta TY | x! — 3x?y -- x*y 1 (1 a- xx) 4- 2xy* (1—3*) 4- xy (1 a- xx) — Ay (eX) o da^ d SX y 1— 0 invenire tangentes ejus ramorum, qui. abscissqe x —0 respondent. Terminis n aequationis in 'cellulas parallelogrammi dispositis, , regula iterum viplici modo binis termiriis ita applicari potest, ut nulli reliquorum supra promineant (Fig. M. Ac prima quidem positio 4a hos tres terminos praebet , " "P ay v unde haec aequatio oritur E. 1 3a*y a- 9zy? — 0 seu c |— jazy-egyi-i0, cujus curva cum proposita. pro casu qp — 0 congruit. . Complectitur autem haec aequatio primum lineam réetam que 1255, quae ergo erit tangens curvae in abscissa- rum initio ; tum vero aequationem ax -— Say —$yy— 0, seu s—y(t --y3), unde denuo duae tangentes ad axem obliquae resultant, ' dia ut. hinc curva proposita tres obtineat ramos in axis initio ' concurrentes. Altera regulae positio Bb dat. terminos zy? et y^, seu hanc aequationem gay rise di — 0 sive gyy e, unde tangens quoque ad axem perpendicularis oritur, et ramum Curvàe per axis initium perpendi culariter trajicientem indicat. Tertia regulae positio dat terminos y* et a5y7, hincque aequátionem. hahé: Tay? -p/a5y' — 0, seu €5y?*— X, unde in initio axis fit applicata y^ -t- oo, quae ergo simidl érit ásymtota curvae propositae, ideoqüe tangens. Pro initio Sur abscissaruni' quataor rami cürvde Se mutuo intersecant, sicque punctum quadruplex constituunt. 704. "Ex his ergo éxemplis' satis apparet, 'quemadmodum ex regulae, secundum praecepta tradita applicatae, positionibus indoles earum &urváe partium, quae abscissae evanescenti c — 0 respondent, sit dignoscenda. Hac nimirum ratione quantitas omnium 'applicatarum, quae abscissae z — 0 con- veniunt, innotescit: primo. enim cum- quaelibet. applicata vel sit. evanescens,: vel. finitae magnitudinis, vel infinite. magna, haec: diversitas. indicatur per. inclinationem linearum 4a, Bb, Ce; quae situs regulae repraesentant, siquidem bina parallelogrammi latera, prouti tabula refert, habeantur pro horizontalibus; reliqua. pro. verticalibus, Lineae enim 4/a,4B5, Cc, quae situs regulae pro casu v$—( exhibent, a sinistra dextrorsum sunt ductae, ac primo ascendunt ut 44a, tum vero descendunt 392 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. ut Cc, fieri quoque. possunt. horizontales, quem autem casum; cum positionem tangentis non: simul indicet, ob rationem ante allegatam removimus. 28. Quo clarius intelligatur, quomodo ex regulae inclinatione judicium sit ferendum, sit (Fig.5) - EF linea horizontalis et lineae Ea, Ec, Ee referant situs regulae a sinistra dextrorsum ascendentes, AB situm regulae horizontalem, et 5 F, cF, fF situs regulae descendentes, Jam igitur manifestum est situs regulae ascendentes applicatas: semper. evanescentes praebere, ita ut quot hinc reperiantur aequationis radices, tot curva habitura sit applicatas evanescentes, quae abscissae c—-0 respondeant, Situs autem regulae horizontals 4/ B. indicabit applicatas finitae magnitudinis, quae abscissae a«— 0 respondent; at situs descendentes omnes bF, cF, fF praebebunt applicatas infinite magnas; axis initio insistentes, quae ideo totidem. ramos curvae in infinitum extensos declarabunt. Hine ergo omnia curvae puncta, quae ad abscissam evanescentem 4 — pertinent, una. quasi operatione inve- niuntur, sive ea in axem incidant, sive ab eo intervallo finito sint remota, sive infinito. iis 29. Quoniam autem hic non tantum ipsa curvae puncta, quae abscissae c — 0 respondent, spectamus, sed etiam positionem tangentis, quae curvam in quolibet horum punctorum tangit requirimus, hoc quoque ex situ regulae colligere licet, misi is fuerit horizontaliiss Nam ante jam animadvertimus, si situs regulae fuerit horizontalis velut 4B, ex aequatione, quam termini a ^ regula trajecti constituunt, cum sit hujus formae - | 0 —o-- gy-- yy? 3-0y -i- £y * -i-. etc., nihil aliud concludi posse, nisi tot curvae extare puneta ab axe intervallo finito distantia, quot haec aequatio habuerit. radices reales finitas; radices enim, si quas forte habet, evanescentes ob « — 0, simul per reliquos regulae situs indicantur. Cum igitur radices hae finitae per hujusmodi formulas yea, yc-b, y-—c etc. indicentur, praeter distantias horum punctorum curvae ab àxe nihil cognoscitur, neque inde positio tangentium definiri potest. Ex quo jam supra praecepimus. his casibus positionem axis statuendo y-a-rz, vel y —6b--z, etc., immutandam esse, ut. haec puncta in novum axem incidant; tum enim novà hac aequatione in parallelogrammum disposita, ista puncta per situs regulae obliquos indicabuntur, unde tangentis positio colligi poterit. ! | | "me 30. .Si enim situs regulae fuerit obliquus et quidem ascendens velut Ea, vel Ec, vel Ee, iis non solum puncta curvae in axis initium incidentia indicantur, sed etiam tangentium directio inde colligitur, unde tractus ramorum curvae, qui per axis initium transeunt, innotescit. .Ex constitutione enim parallelogrammi, si ejus cellulae fiant quadratae, facile. perspicitur, si regulae. positio Ec cum linea horizontali EF angulum semirectam FEc comprehendat, tangentes indicari. obliquas; namque termini, qui a regula trajiciuntur, aequationem homogeneam hujusmodi :Ja»ilqqe m -—.4 Aa" A- Ba" y a- Ca" 7? y? Da" 7? y?-- ete — 0 omgib die dabunt, cujus. factores. simplices. reales «c --/29y — 0 totidem praebebunt lineas rectas ad axem obliquas, quae erunt curvae tangentes in axis initio. Factores autem imaginarii, qui continentur in factoribus realibus secundi ordinis, veluti «a2 --,9*y -- yyy —0, quia iis positis &—0 et y —0 tamen satisfit, indicabunt puncta curvae .conjugata, ^a tractu ramorum ' separata, in quibus proinde x W tangentium conceptus non habet locum. wg rr ww! Institutionum | Calculi. differentialis: Sectio III. Cap. 4. 393 31. Si regüla- sursum! vergens Ka: majorem semirecto angulum: cum. linea. horizontali EF con- stituit, termini, qui ab ea trajiciuntur, erunt hujusmodi Ll. 42^-1 By — 0, IL. 4a? -1 By — 0, VL. 2) e By? — 0, IV. dn! By. 0, V. Adm* e Ba? y e Cy^ — 05, Vl. Af By? — 0. ete,, in quibus numerus. dimensionum ab c et y ortarum. decrescit secundum progressionem arithmeticam, siquidem plures, duobus fuerint termini, His, casibus. quidem semper. punctum , curvae, in axe. ob q — 0. et XY —0 indicatur, sed tangens tantum exhibetur, cum aequatio non. fuerit imaginaria, , manifestumque est. tangentem, si quae, datur, in. ipsum axem incidere... Quodsi. aequatio. ut. V pluris duobus..constet. terminis, in factores erit resolvenda, qui singuli si sint reales, ramos, curvae axem n initio tangentes declarabunt;. sin. autem ; sint. imaginarii, bini. praebebunt. puncta . conjugata, : quae autem alius erunt naturae atque ea, quae :ex..$. praecedente sunt orta, siquidem. discrimen inter puncta .conjugata. statuere. licet. : 5:39... Si. regula. sursum vergens.| Ee cum: horizontali EF faciat angulum semirecto minorem, - in | cxctieteset inde: ortis . dimensiones: ipsarum .z et y aequabiliter-erescent, eruntque hujusmodi: EL P wrote m ; MK--A4va- By?—0, HI. 42?4- By*—0, IV. rine: gut. L4 Aa pa y^: cy —0, VL 42? By*-— 0, ete, quae omnes puncta curvae in axe- designant, ranórumque eo desinentium tangentes, siquidem fuerint reales; ád' axem: erunt perpendiculares; sin autem aequatio pluribus constans terminis uti V' factores habeat imaginakios, puncta. "tantum" conjugata ' 'sine tangéntibüs indicabüntür. Apparet. ergo singulas regülae. positiones Sursum vergentes Ea, Ec, Ec cuncta cürvae puncta in. axis principio sita praebere, atque etiam inde tángentes singulorum curvae ramorum. ibi! cóncurréntium ^ cognosci; sic regulae positiones Ea praebent eos ramos, qui ab ipso axe tanguntur, positio Ec eos, quorum tangentes in axem sunt obliquae, ac denique positiones Ee eos ramos, qui axi perpendiculariter insistunt. | 33. Quemadmodum si regulae positio AB fit horizontalis, ea curvae puncta abscissae me 0 respondentia prodeunt, quae ab axe intervallo finito distant. Ita si regulae directio deorsum. vergat veluti AF, cF, fF, puncta curvae ab axe in infinitum distantia, vel pro quibus fit y —oo existente a —0, ,, exhibentur, atque natura ramorum, hic in infinitum excurrentium, ; quatenus ad abscissas minimas c referuntur, exprimetur. hajusmodi aequationibus hyperbolicis: 4-- Bay —:0,:4-- Bx?y—0, A -- Bxy*— 0, éx quibus intelligitur. ipsam. applicatam in axis principio ductam fore-horum éurvae ramorum. asymtotas. Fieri quoque potest, ut hujusmodi aequatio- veluti a*-&-aay y — 0 imaginaria complectatur, cum inde sit y ——y—1, sicque nulla. tangens indicetur. Interim tamen cum 0.Y/ — 1 sit — 0, erit quoque d Ta ideoque infinitum, ita ut nihilominus his casibus applicata y posito 2-0 fiat infinita, etiamsi. punctum curvae ea notatum tangente destituatur; affirmare à itaque Ii liceat in intervallo infinito ab axe extare ,quoque puncta conjugata.. iU 35. Hoc modo ergo ope parallelogrammi tangentes ramorum curyae, qui abscissae. a» — 0 respondent, inveniuntur, iis tantum exceptis casibus, quibus, huic abscissae evanescenti applicatae . finitae magnitudinis respondent. ; Verum .etiam .bis' casibus ope- differentiationis, qua valor fractiouis 3 E i eruitur, positio tangentis definiri- poterit, nisi curvae ibi existat punctum duplex vel multiplex, L. Euleri Op. posthoma T. I. 90 394 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | P : : : : : " . TUE. | uti jam supra annotavimus. Sit enim y — a posito x — 0, atque in fractione finita Q' quae pro d e . . LN : r. est inventa, ponatur tam in numeratore P quam in denominatore Q et z —0 et y — a, ac valor resultans, si fuerit determinatus, indicabit et punctum curvae ibi extare-simplex, ejusque simul tangentem. Quodsi autem hac facta substitutione et numerator P et denominator Q evanescat, indicium hoc erit punctum curvae esse duplex vel adeo. multiplex, quo casu aequatio ponendo y — a - z ad alium. axem erit reducenda, in quem id curvae punctum incidat, ut deinceps v^ parallelogrammi natura ramorum in illo puncto concurrentium investigari possit. 35. Altera pars instituti, quod hoc capite suscepimus, versatur in investigatione ramorum, i abscissae infinite magnae v — oo respondent, quod negotium etiam facile ope parallelogrammi expediri potest. Postquam enim (Fig. 42) singuli termini aequationis in cellulas parallelogrammi fuerint dispositi, manifestum est, in qualibet columna verticali omnes terminos prae infimo evanescere, ita ut ad hanc investigationem sufficiat ex singulis columnis solos terminos infimos retinuisse.. "Tum vero aeque evidens est atque in casu praecedente, si regula ad hos terminos infimos: ita applicetur, ut. nulli termini infra eam promineant, prae terminis, per quos regula transit, ommes terminos superiores evanescere casu z — oo, ita ut singulae hujusmodi regulae positiones praebiturae sint terminos aequationis inter se homogeneos, prae quibus reliqui omnes rejici queant. MOS 36. Proposita ergo aequatione. quacunque pro curva inter coordinatas c et y, si scire velimus puncta curvae, abscissae « in infinitum abeunti respondentia, tum singuli aequationis termini, ut ante est praeceptum, in cellulas parallelogrammi inscribantur, et quoties fieri potest regula ad terminos binos infimos ita applicetur, ut nulli terminorum reliquorum infra regulam cadant, quo facto una- quaeque hujusmodi regulae positio eos monstrabit aequationis. terminos, prae. quibus reliqui omnes casu c — co rejici queant, indeque natura ramorum curvae in infinitum excurrentium, qui quidem abscissae & — oo respondeant, colligetur. Hinc scilicet. patebit, utrum applicatae y valores, ipsi 4 — oo respondentes, evanescant, an sint finitae magnitudinis, et an ipsae fiant infinitae; quod discrimen ex diversis regulae positionibus respectu horizontalium laterum parallelogrammi colligetur. 37. Quemadmodum autem judicium institui. oporteat circa naturam hujusmodi ramorum in infinitum extensorum facilius exemplo quodam evolvendo quam praeceptis tradendis doceri potest. Exemplum. /ncenire naturam ramorum pro abscissa x—oo eureae hac aequatione expressae Q — 2a!?xy — 3a? x? -i- 2a* x? y? — 3a? x* — 225 x* y? 4- a x" y — 93? x5 y! — 4 a? x* y?-- 2ax* y? 2-15 y — 3a?y?-i- ka* y^. —— a? x*y 4- 3a? x" y' — a'x5y? — 3a?x? y? (o0 hax$ ys — x6 y$ — 935x?y5 : "cu Dax *yt- doonoo -1r. a? xy? : Dispositis terminis hujus aequationis in cellulas parallelogrammi. (Fig. 46), rejeetis coéfficientibus, regula binis terminis in quaque columna verticali infimis quoties fieri potest ita applicetur, ut infra eam nulli termini appareant, sicque progrediendo a dextra ad sinistram quinque regulae situs prodibunt, qui indicantur in figura lineis Gg, Hh, Ji, Kk et Ll, quarum duae priores deorsum tendunt, duae posteriores vero sursum, at media Ji ést horizontals. Jam singuli hi situs sequenti modo evolvantur. I. Situs Gg praebet terminos x^y? et a9y5, ex quibus formatur haec aequatio: ini ^5lHMI uns MP 2ac'y! — z9y5—0 seu: 2ay — vc, Bede Nee E Institutionum. Calculi. differentialis Sectio III. Cap. 4. 395 pro parabola, unde. concluditur curvam habere pro abscissa « — oo ramos in infinitum extensos parabolicos, qui in infinito ..cum | parabola hac aequatione 2ay — «a« contenta confundantur, ita ut abscissae z—^oo respondeat applicata y —oo, quae eadem abscissae & — — oo conveniat. | Hi. igitur rami asymtotis rectis. destituuntur. | | IL. Situs Hh, qui ad horizontalem angulo. semirecto est inclinatus, praebet terminos ay. et «^y^, unde. oritur aequatio c*y* — a9 y* — 0 seu X2:—yy-0 quae resolvitur in. has. duas Qq--y-—0 et z—y-0, utramque pro linea recta ad axem angulo semirecto inclinata, altera quidem inclinata, altera reclinata... Utraque igitur ostendit asymtotam rectam, ita ut haec curva duas habeat asymtotas, quae. vel in ipsas illas rectas aequationibus cy-0ecr—y- expressas, incidant, vel ipsis erunt parallelae. ; Quanto autem intervallo ab iis distent, hinc definiri nequit, quoniam ad hoc reliquorum terminorum aequationis ratio est habenda. [Inclinatio ergo tan- gentium ad axem tantum hic indicatur; puncta vero, ubi axem secent, hinc non cognoscuntur. Ceterum hinc apparet tam. abscissae &— -oo quam az -— — oo geminas convenire applicatas y —-r-00 et y — — oo, atque has duas asymtotas se invicem ad angulos rectos intersecare, cum utraque. ad axem angulo semirecto inclinetur. —.. ] T 5 Ill. | Situs horizontalis Ji per tres terminos a*y!, ay? et cy? transit, indeque emergit haec aequatio 2? y*-24- 2az*y? — aaa? y? — 0 seu y?-i- 2ay — haa — 0,. ex qua. resultant; duo: ipsius y valores constantes: y — —a-i- qy/ 5 ety — — a — aV 5, qui indicant duas rectas axi parallelas ab eoque bis intervallis. distantes, quae simul ipsae erunt curvae asymtotee; nam cum abscissaé 2«—oo, vel etiam. a: — — co valores finiti ipsius applicatae y respondeant, manifestum est hos válores lineas rectas formare, quae. adeo ipsae futurae sint curvae asymtotae. Hoc ergo cásu non solum inclinatio linearum, quae curvam in infinito tangunt, innotescit, sed etiam ipsa harum linearum. positio designatur. — | 4à *jofui . IV.. Situs regulae Kk transit per terminos. a^y? et a*y, ex quo formabitur aequatio —haja*y!a-aía]y — 0 seu a!— hay, unde colligitur posito &—-oo fore y — 0. Sumta ergo abscissa c infinite magna, ramus curvae in ipsum axem incidit, eritque. ideo ipse axis asymtotos, perinde. atque in hyperbola aequatione 4a — ^y contenta. V. Situs denique regulae Ll terminos dat z"y et z^, unde obtinetur aequatio - 3a? deg senio nreiqeu Gia yo 3e'a*— 0. seu. x?y — 34?, quae dat y — max Fit igitur: pariter y: 0 posito z — -- co, sicque hine ipse axis denuo erit asymtotd lineae curvae propositae. -.. Sed .hi;curvae rami, qui ad axem coüvergünt, diversi sunt ab iis, quos situs praecedens regulae. suppeditavit, quoniam horum indoles: ad hyperbolam cubicam aequatione cay — 3a? accedit, cum illorum uatura per hyperbolam conicam indicetur. ^ | 38. Ex hoc exemplo intelligitur, quomodo in genere ex ratione situs regulae dé natura ramorum in infinitum .porrectorum sit. judicandum. Scilicet. si situs regulae a dextra ad sinistram progrediendo examini subjiciamus, primo. occurrunt ii, qui deorsum: vergunt ut Gg, Hh, tum horizontalis, si quis adest, ut Ji, denique sursum: vergentes ut; .KKk et Li. | Ac primo quidem si regulae situs est hori- zontalis, qui. est quasi medium inter descendentes et. ascendentes, ex eo proveniunt. valores finiti applicatae. y; qui.abscissae infinitae &» respondeant, hocque casu-inveniuntur asymtotae curvae, quae * 396 ^ ooLSOEULERI OPERA POSTHUMA. s Analysis axi sunt parallelae, ab 'eoque- intervallo: finito: distantes, atque hujusmodi asymtotae tot prodibunt, quot aequatio ex hoc regulae situ-nata "habuerit. radices reales; Ubi nótanduim "si duae pluresve radices fuerint aequales, totidem asymtotas'in unàm coaléscere. L 39. Quando autem, ut primo loco assumsimus, regula deorsum vergit ut Gg vel Hh, tum abscissis infinitis applicatae . quoque" infinitae" convenient, et^eurva ramos habebit ab axe in infinitum divergentes. Praeterea vero'bhinc-dijudicari: potest, utrum hi-rami "sint" hyperbolici^ seu 'asymtotis - praediti; an' vero parabolici. |Seilicet'si angulus; ' quo situs regulae uti Gg ad horizontem inclinatur, major fuerit semirecto, ramus etit parabolieus "axem versüs convexus, ejusque natura exprimetur aequatione: parabolica, y"— 42^, in 'qua-exponens ipsius a "major est exponente ipsius y. '' Contra vero, si-angulus inclinationis regulae deorsum: vergentis:ad horizontem minor fuerit 'semirecto; "arcus itidem provenit: parabolicus, sed concaávitate'axem respiciens; et in aequatiorie" parabólica ipsi conve niente: y" — z^ :eritm 77 ni: Priori/casu Aangens cürvae in punctis abseissis infinitis respondentibus, axem. in distantia: infinita mormaliter- secabit,: posteriori. vero casu axi ad "intervallüm "infinitüin "erit parallela.:^52:5!ni e0j9wt eoluans bs imosivai e enlofmyen enubD end 0upis ,cO — —— X 19 o9 -- ^0. Si regula sinistrorsum et deorsum vergens cum horizontali faciat 'angulum semirectum 'ut Hh, ea per omnes terminos hómogeneos. summae perm n transibit, atque^ aequatio ex hoc regulae: situ. orta erit. hujusmodi — «s: — 555 à] ! ep VN üsppos 4 pq i bah e Bat ty cL Cg 24 a7 931 dtep 0. & (65)aoienos eetONY Hujus igitur radices, sunt investigandae quotquot.habuerit reales, quoniam 'imaginariae nihil nisi "forte - punéta:conjugata: in infinitum distantia indicant. Radices. vero reales. quotquot fuerint inter' se in- aequáles, cum: hujus:'sint formae : «2.- /9y — 0, "inclinationem tangentium in^ infinito indicabunt, eandemque inclinationem :'asymtotae habebunt, "etsi ipsa asymtotarum positio" hinc mon definiatur: Radices autem aequales vel plures asymtotas coalescentes, vel etiam inter se parallelas mofistrabüt, siquidem in;spatium finitum»cadunt; sin autem-'ad axem-in intervallo /finito" mon "accedant, tum. aequalitas plurium :radicum ramos parabolieos,: quorum 'àxes eandem: teieant inclinationem, ' declarabit; quos ' proinde: peeuliari: ratione 'indagari oportet; ^^ : TUNE T ir oui x seeioedg 0219 ^1. Quando vero regula sinistrorsum "aé''sursum est diretta) uti Kk vel Lt, tiéqaltiónas inde suppeditatae semper indicant 'abscissis' infinitis respondere - applieatas-'evanescentes; rami" igitur 'éurvae per has aequationes. denotatae in spatio infinito. cüm axe: confundentür;—eritque propterea ipse axis asymitota, horum. arcuum; .. Quin. etiam .diversa;. inclinatio regulae. simul..diversam naturam: horum ramorum. .hyperbolicorum monstrabit,... sive cum. hyperbola. appolloniana : conveniant, quod - evenit.si regula. ad, angulum. semirectum . est. inclinata; sive 'ad . naturam aliarum ;;/hyperbolarüm superiorum ordinum sint referendae. Quare hoc casu circa, indolem ramorum . curvae. in infinitum: excurréntium nihil, praeterea. desiderari potest, |... s ses i ooocs anligillolai. olqmoza- 20d x3. BÉ 42, Quoniam: casü,. quo. tángens curvae in punétis, quae" abscissae infinitae respotidenit;' ad ' axem obliqua est inventa, in dubio: relinquitur; utrum:'ea cum axe alicabi oncurrat, nee ne? Dubium lioe resolvetur si. aequatio -curvae^ ad: alium; axeni revocetür tangenti illi parallelum;' seilicet? si pró tangente: inventa: fuerit. haec aequatio: &az — /2y — 0, vel-si plures radices "sint. aéquales; "liae? (uae; — By y! — 0... Ducatur ad; axem: oblique; recta 'aequatigne: o — 2 y/— 0 "expressa háecque pró' .. om ER (EL m d IT me PME I Leo " ^ m —— m Oe tei o 1t TO m Lade ! Institutionum: Caleuli. differentialis | Sectio: III. Cap. À. 397 axe "assumatür; "in odd abscissae Sint'-— f, et applicatae ad eum normales — w; quo facto fiet (a . VW omi "n 3p. ut-e Bu q- » ona " m | Yan a- BB) sicque..natura curvàe exprimetur aequatione inter. has. novas coordinatas. t. et uw, —— lermini si in cellulas parallelogrammi disponantur, loco faetoris compositi (xo — 9 y)" nunc:prodibit factor: simplex (—wy(«u-- 358))*, qui' cum aliis adhüc' terminis, "quos regula: ostendet, comparatus . dabit. hujus- modi aequationem. yu eO I in qua erit m i, ex qua perspicietur. utrüm tangens cürvae, quàe novo axi est parallela, ab eo intervallo finito. listet, quod. eveniet si m— 0, eritque id inter- "TES a1 Í j 1! 1T1U ) (dH vallum. Am T da an vero innito, quod. evenit si m «s 0. lllo casu recta axi parallela ab .eoque intervallo 'u uy ducta erit éufvae asymtota, et ramus eurvae fiyperbolicus; posteriori ' vero casu ramus asymtota destituitur, ac parabolicus vocatur. Intelligitur hinc etiam fieri posse, ut asymtota adeo- imaginaria evadat, veluti si & —— 0, haecque aequatio 'obtineatur: uu --aa — 0, quam posten axis- permutationem 'eoneludere nón" liéuérat. ' Ex quo: Mir sci map TE dequatiónis ad lium" axem" subsidii afferat bd natüram. Cürvae' accuratius cógiios cendam. i U* seus : qii Hi. I^» eins H2522555s5Y 4:157 ATI at | EL à 2H i i m i | t 102 . f! Ufii .| H1 j 1 43. Fieri etiam potest, ut asymtota hoc modo inventa An ipsum. novum axem incidat, seu in- - "di tervallum u evanescat, quod. cum ex formula. yu QUAE, — exempli gratia. assumta minus appareat, notandum. est. jaegutionem, quae. hoc. casu ex. situ. regulae. derivatur, hujusmodi habituram esse formam generalem yÜ u ^e 00 '— 0, - ut sit. m «ha, unde manifesto: ires casus oriuntur. a. mane] Primus si k « m, ideoque yw ^- t '—, ex quo concluditur. facto 1—oo fore quoque u—oo, b. sicque. tangentem a.novo axe, cui cest parallela, infinite distare, Tamumque curvae fore propterea ^ i45 parabolicum seu asymtota destitutum; ubi quidem notari. convenit, hunc casum locum habere non posse nisi sit n 7 f, hoc est nisi in wii evolutione secundum $ ^0 facta, seqnatio ! b2 i^e da o137 mfi piod Bi Dh5 In gunt: Uir«i md2a E Bat sy etc. — -0 ; " uisil 1 : duas plaresre radices habeat. aequales, quia. n assumsimus ad numerum aequalium hujus aequationis .* mm 0GO If AIT TE radicum. az By denotandum. Quare, ut ibi Jam monuimus, nisi plures radices fuerint aequales, ramus curvae parabolicus esse nequit. . Secundus casus est. si k — m, quo . ' formula superior abit. in yu a- 8-0 et indicat intervallum asymtotae. curvae a E novo axe, cui est parallela. Tertius casus locum. habet. si. k E m, quo fit yt mu 0-0, hocque manifestum est. facto (—oo fieri u—0, ideoque | ipsum. novum axem. fore curvae asymtotam. Neque Yero solum hinc concluditur istum ramum curvae in infinitum protensum esse dypecblitem, sed etiam natura hyperbolae, quacum congruit, cognoscitur e ex aequatione yi^ u^ 4-0 — 0. WR | | /M&, Sin autem tangens curvae in infinitum sibus ejusve asymtotà non in ipsum axem incidat, Séd ei in dato"intervallo 'sit parallela, uti éasu sécuüdo $ praec. atque etiam $ 38 usu venit, quo situs "régulàe fit hórizohtalis, tuin. hàc niéthodo: quidem distantia asymtotae ab axe, cui est parallela, invenituE. ^ Sed natürá Támf curvae ad istam asymtótam. tonvergentis. non agnoscitur, seu hyperbola, quacum conveniat, non definitur, uti eo casu, quà asymtéta cum ipso axe confunditur. Quanquam 398. L. EULERI OPERA. POSTHUMA. . Analysis autem ad praesens institutum nostrum sufficiat positionem tangentis determinasse, -tamen levi negotio ea quoque hyperbolà assignari potest, ad quam natura rami curvae proxime accedat. Ponamus enim vel ex prima aequatione inter zx et y, vel ex jam immutata inter f£ et u prodiisse pro casu & — oo vel 14 — oo hanc aequationem y vel u — à, tum haec ipsa recta ab axe intervallo — a. distans pro novo axe assumatur, statuendo y vel u — a-4- €, sicque obtinebitur nova aequatio inter abscissam c seu t et applicatam e, quae ad parallelogrammum reducta hunc curvae ramum per situm regulae a dextra ad sinistram sursum vergentis veluti Kk seu Ll exhibebit, ex quo non solum constabit hunc novum axem ipsum esse curvae asymtoton, sed etiam regula aequationem pro hyperbola illa suppe- ditabit, quae naturam rami curvae in infinitum excurrentis continebit, quemadmódum jam supra $ ^i annotavimus. Hocque ergo modo omnes curvae rami ad abscissam infinitam relati non solum invenientur, sed. etiam parabolae. vel hyperbolae, quae. proxime ad eorum naturam accedant, indicari possunt. | ^5. Cum igitur aequatione quacunque inter coordinatas orthogonales a: et y. proposita, curvae per eam. expressae: natura, tam. iis in locis, quae abscissae 2—0, quam in iis, quae. abscissae infinitae respondent, definiri queat, manifestum est, commutandis his coordinatis, curvae naturam quoque cognosci posse in iis locis, quae applicatis y. vel evanescentibus vel in infinitum abeuntibus respon- dent. Neque ad hoc opus erit, ut novum parálielogvammum construatur, cum idem, in quo termini aequationis modo ante exposito sunt inscripti, etiam judicio ad. applicatas accommodando inservire - possit. Quemadmodum enim ante, ubi abscissa erat proposita (Fig. ^6), latera parallelogrammi PQ et SR erant tanquam horizonti parallela spectata, ita nunc, proposita applicata altera, latera PS et QR ' situm horizontalem occupare sunt existimanda, atque plagae laterales dextra et sinistra inter se com- mutandae, quo facto eaedem conclusiones, quae ante ex situ regulae pro abscissa vel evanescente vel infinita sunt derivatae, iisdem verbis retentis pe applicata - -€: evanescente vel in reme abeunte valebunt. TH e 5220 ^6. Hinc igitur perspicuum est. ida: parallelogrammi figuram ad judicia Hia pro abscissa 2, uti hactenus fecimus, quam pro applicata y adhiberi posse. Quare si utrumque judicium conjunctim instituere velimus, regulam continuo ad binos terminos figurae extimos ita applicari oportet, ut pulli termini extra promineant, quemadmodum in figura videre licet, ubi lineae 4a, Bb, €e, Dd, Ee, Ff, Gg, Hh, Ji, Kk, Ll et Mm has regulae positiones indicant, in quibus omnes, quae quidem occurrere possunt, continentur. Harum enim sunt quatuor lateribus parallelogrammi parallelae: Ce, Ff, Ji, Mm, reliquae vero his inter jacentes obliquae, inter quas porro hoc discrimen est notandum, quod aliae cum lateribus horizontalibus angulum semirectum constituant , aliae majorem , aliae minorem semirecto; videmus enim ab hoc discrimine maturam curvae plurimum p— Ee O05 cellulae: parallelogrammi quadratae efficiantur. M. Omnino ergo sedecim. diversae regulae positiones occurrere possunt, - figura M ralione inclinationis earum ad latera parallelogrammi repraesentat. Incipiendo scilicet ab ea, quae ad sinistram. est perpendicularis, ut 4/B in Fig. &7 et Mm in Fig. ^6 atque circuitum sursum. dextrorsum absol- vendo, hae sedecim positiones ita: ordine procedent: sodio Institutionum | Calculi. differentialis Sectio IIT. Cap. &..— 399 |l. AB perpendicularis ad sinistram In Fig. ^6 convenit Mm Il. EJ plus semirecto ad horizontem inclinata € o« — « 4a IIl. EF semirecto ad horizontem inclinata MP ur Mo D . IV. EK minus semirecto ad horizontem inclinata | « « — « Bb V. , BC horizontalis superior « « — « Cc Vl. JG minus semirecto ad horizontem inclinata | «..«. — « Dd VIL. |. FG semirecto ad horizontem inclinata € «i— o Ee VIII KG plus semirecto ad horizontem inclinata « «, — « — IX. .CD perpendicularis ad dextram E^ «re Ff X. GL plus semirecto ad horizontem inclinata €« « — | € Gg XL. GH semirecto ad horizontem inclinata . "iy Es « Hh XIL |.GM minus semirecto ad horizontem inclinata &.« — « M XIII. 2D.A horizontalis inferior — . « «€ — « Ji XIV. LE minus semirecto ad horizontem inclinata || « « .— s « — : XV. HE semirecto ad horizontem inclinata E [m « Kk XVI ME plus semirecto ad horizontem inclinata || « .«, — — « | LI lana quasnam conclusiones singulae hae positiones pr? natura curvae. suppeditent, exponamus. .18. Primus regulae situs 4/B' praebet pro applicata y — 0 omnes valores finitae magnitudinis abscissae z, seu omnes abscissas finitas indicat, quibus respondet applicata evanescens. Indicat quidem etiam-abséissas evanescentes, si aequatio fuerit per a^ ejusve potestatem divisibilis; sed hi casus per sequentes regulae positiones clarius exhibentur. 'Tangens autem in his curvae locis non indicatur. e Secundus regulae situs EJ ea' curvae puncta indicat, pro quibus est tam 2 — 0, quam y — 0, simul autem ostendit tangentem in nnt axem incidere, seu in*his punctis curvam ab axe tangi, et natura curvae accedit ad parabolam a" — Cy" existente m 7» n. Tertius regulae situs EF iterum ea puncta curvae exhibet, pro quibus est tam c — 0 quam y —0, sed quorum tangentes sunt ad axem obliquae, earumque simul obliquitas: indicatur. Quartus regulae situs EK etiam nunc ea curvae puncta exhibet, pro quibus est tam à—40 quam y — 0; hinc vero concluditur tangentes curvae in his punctis esse ad axem perpendiculares, et natura curvae exprimitur parabola y" — Cac" existente m 7 n. 49. Quintus regulae situs B.C pro abscissa z— 0 praebet ommes finitos valores applicatae y, neque vero tangentes curvae in his punctis indicat. ! Sextus regulae situs JG. indicat posita abscissa x — 0, fieri applicatam y infinitam, ita ut recta ad axem in principio abscissarum normalis sit curvae asymtota, ideoque ramus hic curvae hyperbo- lieus, eujus natura aecedat ad hujusmodi hyperbolam a"y^ — C, ubi sit n 7» m. Septimus regulae situs FG pariter indicat posito & — 0 fieri y—2oo, sicque ipsam hane appli- catam fore curvae asymtotam, ejusque ramum hyperbolicum ad naturam hyperbolae conicae zy — € accedentem. 400 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Analysis. Octavus. regulae.situs KG quoque pro z — 0 praebet y;— 00,. at rami curvae, qüi ad hanc applicatam tanquam asymtotam convergunt,.'ad naturam hujusmodi .hyperbolae à" y^— C referuntur, ubi sit m — n. d 50. Nonus regulae sitüs CD éos abscissae a valores fi nitos exhibet, quibus respondent appli- catae y infiite magnae, haeque efgo erunt simul tangentes et dsymtotae curvae, Natura autem hyperbolica, àd' quam 'isti cürvaé rami pertineant, hine non cognoscitur. | h Decimus "régulae "situs G L declarat abscissis a infinite" magnis respondere applicatas. quoque infinite magnas, quae simul sint curvae tarigentes, sed cuim totae sint in infinitum dissitàe, rami hi curvae non hyperbolici censentur, sed Pareboliei, sque ad hujusmodi naturam parabolicam accedunt E ser Cx ubi sit m 5 n. ;, Jar di. ' Undecimus regulde situs GI pro abscissis infinitis applicatas y pariter infinitas praebet, per hujusmodi aequationes y — «2, ex quibus colligitur tangentem curvae ad axem fore obliquam. Verum hine neque axis punctüm, ubi tangens incidat, innotescit, neque natura rami curvae in infinitum Md sive sit Jr pee qe sive , pasa posterius enim evenire potest, si duae ploresye radices vei: d | Duodeciuhl regulae situs G.M Pariter ac Vr PISIS pro abscissis & infinitis applicatas y quoque infinitas. ostendit p hüjusmodi vm gaepécóe y"— Ca" ubi m — n, M simul intelligitur sax Mi agi oco 4 emdün t toed I0 1 "s 51. Decimus tertius regulae situs D 4 pro abscissis « infinitis applicatas y finitae magnitudinis. offert, unde 'colligitur rectas axi parallelas, quae ab eo intervallis —y' sint; remotae; fore curvae tangentes ejusque asymtotas. Verum natura hyperbolica, ad quam isti curvae rami referantur, hine non innotescit. | | ; 95 | | jt Decimus quartus: regulae situs LE ad abseissas a* infinitas refert applicatas y" evanescerites, dum hujusmodi praebet aequationes x"y"— € ubi m 7 nm, eritque ergo ipse axis tangens curvae ejusque adeo asymtota, ae simul natura hyperboliea hujusmodi curvae ramorum innotescit.:; 5 ^ 0 Decimus quintus regulae 'situs HE' hujusmodi praebet aequationes ay — C pro abstissis a-in- finitis," quibus: ideirco: applicatas. nihilo aequales réspondere. manifestum est. «Erit ergo ipse axis tangens et^asymtota curvae, cujus "natura "hyperbola: coniea' exprimitur. * Decimus sextus denique regulae situs ME: itidem: pro 'abscissis- infinitis a ostendit: applicatas y | evanescentes, per hujusmodi aequationes z"y^— C existente, m — n, ita ut axis. quoque. sit tangens el asymtota curvae, cujus natura hyperbolica hinc. simul erit, manifesta. - 529, Quo. hae conclusiones, quas singuli isti sedecim regulae situs suppeditant, clarius perspi- ciantur, in tabula: subnexa pro unoquoque. tam. valores. coordinatarum ,quam.:positionem. tangentium, et curvae naturam. sive .parabolicam , sive . hyperbolicam , .siquidem: .ex.situ. regulae | innotescit; exhibeamus: "a ' us qual nt ED MM b xd "teni deor NODE T paco - qot qm tC Qoo PA orn E mae Meise ampie C c ME PU Ce, Institutionum | Calcul. differentialis Sectio. HI. Cap. ^. 401 Situs regulae Coordinatae Tangentis inclinatio | Natura rami parabolica seu hyperbolica. nilud lesen. v2 0, Too -. |. — C 2 ILEJ|z—0 |y— in axem incidit a" — Cy" ubi m n III. EF *e— y —0 | ad axem obliqua |] — 2 m IV. EK e y ue ad axem perpend. | j^— Ca^ ubi m n T. bC €$—0 | y— fin. — — ris A VI. JG ru I y-—oo | ad axem perpend. q"y"—C ubi m —n VIL FG | »— y — oo | ad axem perpend. ey Vl. KG | »— y — oo | ad axem perpend. | 2"y^— C ubi m —- n IX. CD | x—fin. | y —oo | ad axem perpend. —7 — - X. GL |.» —00 | y —oo | ad axem perpend; | .a"z— y^ übi mn XL'GH'z—oo' | y—oo | ad axem obliqua — — CUXH. GM| »—o9 | y— oo | axi parallela qpooy" ze Ca" ubi m 7n XHL. D4|»-—oo | y-—fin.| axi parallela. mid2ov ni idolis XIV. LE | » —oo | y —0-' | in axem incidit op" y^— C ubi-m «n OUXVSHE|c—oco | y-—0.|in axem incidit ay-—6 XVL ME, »-oo | y—0O. |in axem incidit |...|.| 2" y"— C ubi m 7 n 53: Hi igitur regulae situs omnia curvae puncta indicant, pro quibus alterutra coordinatarum vel evanescit vel in infinitum abit; quare si cum axe principali, in quo abscissae capiuntur, conjun- gatur alter axis, ad quem applicatae referuntur, quoniam hos duos axes inter se commutare licet, regulae situs omnia ea curvae puncta ostendunt, quae vel in alterutrum axem cadunt, vel intervallo infinito sunt remota. Atque haec investigatio. aeque locum habet, sive ambo hi axes sint ínter se norniales, uti assumsimus, sive obliqui, quo posteriori casu eae tangentes, quae axi principali perpen- diculares sunt inventae, alteri axi parallelae sunt dicendae. Ex quo perspicuum est, cum axes isti pro lubitu immutari queant, hac ratione E applicationem regulae ad — — omnia curvae puncta satin pase. 5h. Neque vero, uti jam observavimus, ad omnia curvae puncta, quae ! hoc modo reperiuntur, simul tangentes ducere licet; excipiuntur namque ea, quae primus et quintus regulae situs exhibet : tum vero etiam pro iis, quae situs undecimus praebet, inclinatio quidem tangentis ad axem colligitur. Sed vera. ejus positio, seu ejus concursus cum axibus hinc definiri nequit. Denique natura curvae circa haec puncta, quae. boc. modo reperiuntur, seu aequatio vel parabolica vel hyperbolica ejus in- dolem proxime exprimens, non, ex omnibus regulae sitibus colligi potest, excipiuntur enim situs I, Il, V, IX, bu et XIII, Sed quomodo hi. defectus per relationem curvae ad alios axes suppleri possint, jam clare exposuimus. Diligentius. vero etiam hanc indagationem evolvere conabimur in sequentibus capitibus, ubi accuratius in Baturam linearum cuürvarum, caleulo differentiali: in subsidium vocato, — inrsem 3 | JUe62 L Euleri Op. posthuma. T I. RSS. | 51 42 . L. EULERI. OPERA. POSTHUMA. nie. Caput V. De inventione ramorum in infinitum extensorum. 1. Si pars quaepiam lineae curvae in infinitum extenditur, ejus puncta a principio axis inter- vallo infinito distant, quaecunque etiam linea recta pro axe assumatur. Hinc si abscissae c, quibus rami infiniti respondent, vel evanescant, vel sint finitae magnitudinis, applicatae y necessario erunt infinite magnae; ac vicissim, si applicatae sint vel evanescentes vel infinitae, abscissae erunt infinite magnae. Saepenumero etiam evenit, ut tam abscissae quam applicatae in finitum : abeant. Quare quacunque linea recta pro axe assumta, omnes curyae rami in infinitum exeurrentes invenientur, si coordinatarum c et y vel altera vel utraque infinita ponatur. Sic in enumeratione. situum regulae circa finem capitis praecedentis facta, sextus cum sequentibus omnibus ramos in infinitum extensos indicat. 2. Quanquam autem haec ramorum in infinitum extensorum inyentio in capite praecedente jam exposita videtur, ubi per regulae applicationem. ad parallelogrammum .Newtonianum indolem eorum curvae ramorum, pro quibus vel alterutra coordinatarum vel utraque in infinitum abit, investigavimus, tamen saepenumero accuratiori investigatione opus est, cum ad veram tangentis positionem, tum ad naturam ipsam illius curvae portionis definiendam, uti jam supra innuimus. Quin etiam fieri potest, qui casus imprimis sunt notandi, ut per situm regulae ramus eurvae in infinitum extensus indicetur, qui tamen si reliquorum aequationis terminorum ratio simul habeatur, fiant imaginarii. Denique usus parallelogrammi ante expositus tantum ad curvas algebraicas, quarum aequationes ad rationalitatem jam sint perductae, patet; unde si aequatio vel irrationalitate sit implicata, vel adeo transcendens, peculiari methodo opus erit ad hoc negotium expediendum. 2 3. Quoties curva est algebraica ejusque aequatio ad rationalitatem revocata, parallelogrammum Newtonianum summa cum utilitate adhiberi potest, non solum ad veram tangentis positionem. et curvae naturam pro iis quoque casibus eruendam, quibus superior methodus insufficiens est visa, nisi axis curvae immutetur, sed etiam ejus ope eos casus dignoscere licebit, quibus rami infiniti, qui primo intuitu per situm regulae indicari videntur, fiunt imaginarii. Dari autem hujusmodi casus, unico exemplo curvae hac aequatione expressae (yy — a2)'-- aay y -3- a^ — 0. probasse sufficiat, pro qua ex parallelogrammo eliciuntur rami in infinitum extensi, quorum natura exprimatur aequa- tione yy — az — 0, cum tamen ex tota aequalione appareat nullam plane linearum curvarum ei respondere: reperitur enim yy — ac —aYy—(aa--yy), ita ut nulli plane applicatae y abscissa realis respondeat. ^. Intelligitur ergo ad naturam curvae in infinitum expansae accuratius investipgandam, eorum quoque aequationis terminorum, qui prae iis, quos regula trajicit, erant neglecti, rationem esse ha- bendam; si quis enim. horum terminorum, etiamsi pro infinite parvis haberi queant, imaginaria invol- b ; . E LI . . LI . LÀ . " . . LJ a vat, tota aequatio imaginaria erit censenda. Sic etsi posito c infinito, in hac aequatione irmirsi 7 terminus - prae L rejici queat, ita ut haec aequatio casu c — oo congruere existimari possit cum hac yi, tamen si terminus rejectus seu ejus coéfficiens b sit imaginarius, tota aequatio fiet. imaginaria, atque applicatae abscissis infinitis respondentes erunt imaginariae, neque ergo hoc casu aequatio y — ad curvae indolem investigandam adhiberi poterit, — — — — — ——ÁuÁu» 9 «m XIX. Problematis ex theoria maximorum et minorum solutio, Problema. (Fig.-^8) Super: recta: AB constituere. triangulum AOB, ut si ex. dato puncto V in * sublimi posito ducantur rectae VA, VB. et. VO, sit. summa: binorum triangulorum. AVO-1- BVO minima. Solutio. Ex P in planum trianguli quaesiti-demittatur perpendiculum: P €, et ex C in rectas quaesitas 40 et BO productas agantur perpendiculares CP et €CQ: erant rectae VP et VQ in easdem perpendiculares. Hinc colligitur area 4 4 V0 — 5 A0. VP e& 4 BF 0— B0. FQ, Meoqy minimum effici oportet —'- | ! AOY (CV? -4- CP?) A BOV(CP* - € Q?). Statuamus nune reetas datas C4 — a, CB—06, A4B-—c ec CF—h, itemque angulos datos CAB—o ei CBA— B, hincque quaeramus binos e BAO —u, ABO —v, ideoque A0N— B0M— uo, unde. colligimus | "PO dis esin» Jm N Bo — c sin 4 sin (a.1- 9). sin (a «- »). et ob angulos CAP —a— n et CBQ— -B—v fit : CP — a sin (a — d) (eto CQ —bsin (8 — ») quare ob c constans minimum esse debet: sin » Y (hh 4- aa sin? TA NEAL sin p Y (hÀ -4- bbsin? (8 — ») à AL -- sin (u -4- v) sin (n -4- Y») mo ergo formulae differentiale, positis u et » variabilibus, nihilo est siqeaum Est vero sinv — ^ dvcosv xii s- an Pietas pone. dv sin u — dy isum (0o d 'sin(u--») sin(ua-v») ^ ^ —— sin?(uw--») AS sin? (u 4-v) sin j PT du cos n ut i er) Qa) * sin (u--») sin(u--») : — 7 si? (u-») E sin? (u -- v) Tum vero posito Y (hh 4- aa sin* (a— 4)) — P. et VM -e- b b sin* (8—»)) — Q erit dilfeseatianda UT M —aNi sin (d eos (4) a d9— mi m sin LE (8 —— P quibus uiteibys sübstitutis prodit differentiale nihilo iniabduspel 404 .. L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Pdv sin u — Pdy sin v cos (u 2 ») aad yu sin v sin (« — u) cos (« — u) sin? (u -- v) P sin (u A- v) ? Qdy sin v — Qdv sin u cos (u 4- v) bbdvsin u sin (8—»v)cos(8—»v) — 0 sin? (u -- ») x Q sin (u A- ») Bois ubi termini elementis d, et d» affecti seorsim evanescentes reddi debent, ita ut hae binae obti- neantur aequationes finitae per sin? (; -i- ») multiplicando L P sin — Q sin j« cos (u A- ») — Ob ino sin (o0: 0) safer et ous. qu r^ ^ . "^a sin y sin (u -- ») sin (a— &) cos (a—y) Il. Qsin » — P sin » cos(u A- ») — - —. P Formetur hine ista combinatio I. ie sip duran proditque nu sin » — bb sin (u--»)sin (8 —») cos(8 —») -1- aà sin (4 -- v) sin (& — 4) cos (« — 7) 0 at est PP — QQ — aasin? (a — u) — bb sin? (8 — »),' ideoque . ih orvoq edd. aa sin (c — 4) (cos (u -1- v) sin (e — je) -- sin (ge -- ») cos (e— u)) —— 56s (PP — iv cos s (u -r- ») bb sin (8 — v) (cos (u« a- ») sin (8 — »),a- sin (& 3-7) cos (8 —»)) ^. 0 oos quae aequatio per reductionem sinuum abit in hane . | - TUN. aee a a sin (c — jc) sin (& -i- v) — bb sin (8—») sin PER ud "i mosbi cujus vis quo distinctius perspieiatur,. notetur in figura esse v —u-— CAM, a v—CND, 9—v» —CBN, 8--u —CMA, - unde manifestum est fore x Qv sin(x—&) — sinCAM CM t sin (8 — ») gi siaC BN ii | à cmm AL QN sin(f3-4) — sin CMA CA . T (r2a-») sinCNB CB. aequatio ergo nostra gon (o2 tO cn) fit CA: CM— CB. CN seu C4: dert CN: CM, sin (B -- 1) sin (a 4- ») ita ut recta MN futura sit rectae 4B parallela. Atque hinc porro concludere licet, si ex € per punctum ÓO recta ducatur C 0J, ab ea rectam 4B bisectum iri, quod cum non sit ádeo obvium, ita -- ostenditur. Ob intersectionem rectarum 4M et CJ jn puncto O est. AJ: 0J— AB. CM: B M. CO, . similique modo: ob rectarum BN et. JC intersectionem in O BJ:0J— AB .CN: AN. CO, unde alternando .et. multiplicando. fit AJ: BJ—CM. AN: CN. BM. | At ob rectam MN ipsi-4 B parallelam 'est. «...—. bue dM ; 19x: quad ,CM;CN-BM:4N seu CM. AN— CN. BM | ideoque 4J — BJ. Sicque unam conditionem jam elicuimus, qua novimus punetum quaesitum ÓO in rectam 0J, qua 4B bisecatur, cadere; : ] iq eludiedgs ei inv 'endimp » etus 5UD " i Aiay yon Problematis: ex: theoria mdaimorum. et: minimortüm solutio. 405 Solutionis pars altera. | Restat ergo; xit. conditio haee- inventa in altera aequationum supra inventarum substituatur, indeque ambo anguli incogniti z et », quorum jam quaedam: relatio: constat; determinentur: hoc autem mos R- Om NUS intricatos delaberemur, quam ut inde solutio commoda derivari posset. Expediet ergo novam resolutionem huic conditioni, quod punctum quae- ! | — 0 certo in recta CJ lineam. datam 4 B bisecante "EN, m , 3 A [AA 2-9 " "fig. 49. In hac ergo recta CJ sit 0. punctum. quaesitum. Ex 4 et B in eam pem * perpendicula AF« DG, atque ob dj BJ erit tam 4F — BG quam JF— JG. In calculum igitur introducamus has quantitàtes cognitas: *oy —e, AF— BG —f, JF— JG — g et altitudinem CF — h. Tum vero sit intervallum ipeeitm Jo —z, erit. CO—e—i Hine ob 0F—z --g et 0G —z:— g habebitur | Sa ^ — 40— -yfa- sg) et .Bo— - ydf a-i —9?) simulque perpendicula ex. C. in rectas AQ et. B , demissa ;sic facile obtinentur 40: AF CO:CP et BO:BG—CO:CQ, ut sit fe—2) f(e — 2) CP — PT? et cQ — 89, " unde fi&^::40; FP — V(hh. 40^ Wo LU CS UAE eL ?a-ffec-us BO.VQ—y(hh. Odo decidi miu c———" quorum productorum summa debet esse minima. Lac] 131 e MS Ad caiculum contrahendum. statuamus ,. Th 2c jghha- eeff — E, fa- hh —.F, eff — gh — G, eff 4- ghh — H, ^ ut haec expressio minima. sit efficienda - - V(E — 862 Fra) -- (E — Hs Fs) ofla unde differentiando colligimus ' Fz—g i Fz—H Y(E—929Gz--Fzz) | Y(E—O2Hz--Fzsz) L0. -oet irrationalitate sublata : ]. ^ wt —— j H H CH mU FÀ (E 3s e Ps) — (I — Fo (E— 36s -- Fz2), (quae bri arde. luerodx aupmdale - nmeie afe p us | a ü EGG—2GGHz--FGGzz |o 0059s sp EHH —9GHH:zA-FHHzz —9EFGzr--&FGHzz-—9FFGz* 5 000 ye0 L—Á9EFHza-8FGHiz—2FFHI5 6 -2- EFFzz — 9FFHz?--FuE) 5055 o—EFFzz — 9FFGZÓ-- Ff $ - et contrahitur in hanc. formam PACTI T FEM * WE rd i i ,E(66— - HH) — (66H. EFG — -GHH — EFI: - F(66 — HH)zi— 9.. aU lu ; - Facta divisione per G — H nanciscimur 406 o8 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. E(G 4- H) — 2(GH -- EF)z -- F(G 4- H)z2 — 0 et radice extracta ou GH-- EF-EY(EF—GG) (EF— HH) F(G 2- H) Jam vero est M (F-ff--hh, G -- H — 2e, EF — eeff ff - hh) 4- hh(ff--g9) (f-i- hh) Gil — ecf* — gg ^, GG — eef* —9effghh -- ggh*, HH — eeff* - 2effqhh -- ggh* unde fit. GH -- EF — ff (2eeff 4- eehh a- [fh -a- gghh -- h^) EF — GG — ffhh((eA- g? A- [f A- hh) EF — HH — ffhh ((e — g?-- ff -- h h) sicque elicitur 9 ee[f -- ehh -- (hh -- g gh -- h 5 hh (ff A hh -4- (e-4- g)*) (ff 4- Ah -- nd 2e(ff2- hh) ' A (e& — ff — gg — Mh) -& Wh Y (fF À e (0-35)? (fA AA (e—g*) 2e(ff - M, Transferamus has expresiones in figuram, huncque in . finem ad CJ normaliter jungatur recta DE, in quam ex 4 et P demittantur perpendicula 4] et BE junganturque 7D et FE. Cum nunc sit CV —h, CD— CE —f, erit, DV — EF — y (ff 2- hh), 4D — 6-9, BE — e — g, hincque AF — V(ffA- hha-(-—g*), BF— VIT WC RSEN. ) et AD. BE — ee — gg. Ergo ob CJ—e habebitur | | how nte 002. AD.BE—DY.EV--AYV.BV : T., 467 DY.EV z ubi perspicuum est rationem triangulorum 4D et BEP praecipue teneri, quae ad D et E sunt rectangula. Quodsi ergo vocentur anguli D.4/ — 0 et EB — e, erit DF -—AVsinó, 4D — AV cosÓ atque Pcr e BE-— BY ciii » ood d quibus introductis conficitur £ — hineque porro C0 — L Co — cV cos) cosc—sin8 sine-t- 4. — CY? cos(8 4 ) 1 ; 2 9€CJ sin 9 sin « — 9€4 í sin 9 sin € ew Duplex igitur hinc nascitur solutio ; xh 8-r T RR ( a4- 3 L co—t**. v) lE tUa. A pis m CJ ; sin 8 sin e A Von "nd sin 8 sin e quarum prior dat punctum Ó inter puncta C et J, uti problema postulat; posterior- vero praebet punctum Ó in recta JC ultra C producta, cui quidem *etiam minimum convenit, sed non tale, quale - in quaestione desideratur, quia aequatio inyenta etiam quaestionem resolvit, ubi. differentia triangulo rum 4/0 et BO minima quaereretur. Quocirca sola solutio prior locum wien est censenda. Coroll. 1. -Si-ergo ponamus /ff-- A — kk erit : z—e— gai (ee—gg — kk a V (khe (e 2- g?) (kk (eg) | 'et130093 19 unde patet si altitudo CJ — A evaheseat, fore z —e, seu punctum 0 in C cadere, quo casu utique ambo triangula 47/0 et BVO evanescunt. : TUE " enoieivib eds Problematis ex theoria maximorum et minimorum solutio. 4071 hh CoroH. 2. Sin autem altitudo C/ — h fiat infinita, quo casu etiam ke-oo et .;— 1, tum formula irrationalis fit Y (k* 2- 2 (ee 4- gg) kk) — kk 2- ee 2 gg ideoque z — e— zu u -2ee — 0. Punctum scilicet O in J cadit; unde perspicuum est, quemcunque altitudo À valorem finitum sortiatur, punctum O inter C et J cadere. Coroll 3. Aequatio quadratica primum inventa praebet 9 (G H-i- EF): G--H 9?(EF—GG) , ie 6G--H E--Fzz— Hinc fit. is i E—26Gz a- Fzz — P. ck a- (6 3- g?)2, E— Hz -- Fzz — T pott 5 (Ic a (e — g)*)2, unde prodit quantitas minima facta p y; QO (kk a- (e - 9?) 4- Y (kk 2- (e.g?) quae aequatur duplae areae triangulorum 470 et BVO. C€oroH. 4. Sin autem intervallo JO alius qniculun valo J0—« ent. eorumdem triangulorum summa duplicata fit eo qur. e (e —2)*. fy (1 4- " ) 4- fhY (4 4- PHI) qua superior semper est minor, nisi sit 2 — z. Hie autem sumto c — 0, fit ista quantitas E * fiy a- 9 ae 9) — gy (fu 4- gghh -- eeff) m autem capiatur x — e, seu O in C capiatur, erit ea hy (ff 4- (2-9?) 4- mat -- (e— Ws 408 cos ob EULERI OPERA: POSTHUMA. ^ fouhéihi. i i11 15 Up OUB5JUDSl JB lou e | Considérations sur ducas PLETLAPA intégrales, dont les valeurs peuvent étre exprimées, en ecrtains cas, par la quadratüre du cercle, ipo I obfng 1. Toute formule différeütielle:rationellé peut" étre intégrée) par le moyen des logarithmes et. de la quadrature du cercle. Or ces intégrales sont, pour la plupart, reufermées dans. des. formules d'autant plus compliquées, que la variable contient. de. dimensions; cependant. quand on donne à la variable , aprés l'intégration, une certaine valeur déterminée, il peut arriver que. les inégroles, quelque compliquées qu elles soient, se réduisent à des formules assez simples, qui semblent arse 1 une attention particuliére.. T y a aussi des formules intégrales qui, en général, surpassent toutes les quadratures connues, et qui, cependant, . en certains cas;. sont réductibles .à..la. quadrature du cercle. Je me propose ici de considérer quelques-unes de ces tota diéje et d'examiner les consé- quences qu'on en peut tirer pour l'avancement / de lanalyse. - | | 2. Je commencerai par considérer cette fórmule: intégrale Er Aro "4 ?' er cherchànt són 'intégrále dans le cas, oü l'on pose aprés l'intégration poo, ayant j pris Pudd3e en sorte, qu'elle s'évanouisse - en posant a — 0. Dans ce cas, on trouvera que la partie de l'intégrale qui dépend des logarithmes E sévanouit, et que l'autre, qui dépend de la quadrature du cercle, se réduit à une expression fort simple. Car posant x pour la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est — 1, de sorte que » marque en méme temps la mesure de deux angles droits, on trouve, en posant aprés l'intégration q-—— OQ: * do —. s : da as f. zdo —8 9r. " 4--2z2 29 4 d- aho — 8y3! 4--2? 3y3" da *ui m. mcde.. - ccdo PO id 1--a5— 3y3! Jia 7 4) Jaca ay3? LN -. zdz 0m. oda A UR z?dm m sida! mc 0--2a 7 3' J'ix28 —3y3 JYaxzw. 77. Jixc.9-—ays;)? Jis s 3. Ces cas particuliers semblent déjà suffisants pour pouvoir en tirer, par la voie d'induction, une conclusion plus générale. Car, dans les cas Ku dénominateur 1 - 2, le radical V3 fait voir que le sinus de l'angle 5 y entre; et dans ceux des dénominateurs 1-1 x*, le radical 1/2 y est Formules. intégrales réductibles à. la. quadrature du cercle. 409 sans doute, parce que sin—- T ce méme soupcon se confirme par les cas oü le dénominateur est 1-2 z^. De là nous pouvons conclure qu'il y aura: dr. — - 4-27 - nsin — : Li et encore plus généralement | pm N J1--a^ ^ — mm "sin - ! pourvu que le nombre m ne surpasse pas n. Car dans les cas oü m7» n, on sait d'ailleurs que ces formules demandent un développement particulier , puisque leur Mee oen renferme alors une MT algébrique. | 4. Cette conclusion se trouve tout à fait confirmée, quand on se donne la peine de dévelop- per l'intégrale des formules og ,— zdr vczdcr 1 Tue 1--25 J1--as! etc., de sorte qu il ne saurait rester aucun doute là-dessus. On remarque encore un parfait accord dans les cas oà m —n: car, puisque alors sin 77 —sin a —0, l'intégrale dans le cas « — oo devient effectivement infinie; ce qui est évident, car | | jjJ—— ni té (4 2- an, et posant c — oo, la valeur de l'ntégrale 'devient infinie. Le méme accord s'observe lorsque n — 2m, et partant sin ^ — sin 7 — 1, car il est clair que coget da «5 paa] 7 $m en posant » — co. On n'a quà mettre z" — y, pour avoir an—l dg Ap dy ] " csim m a [pagg m I tang yi maintenant posant. $ —oo 'et partant. aussi. y co, À cause » arc. "tang Go s-- : T'intégrale sera L4 — Qm Ce sera donc une vérité suffisamment constatée, que E^ gMecida: rn UU oy Mias - en posant aprés l'intégration c — pourvu que m ne soit pas plus grand que n. 5. Cependant cette vérité se peut aussi déduire de l'intégration indéfinie de la formule a n—ldg uu dont igi se trouve exprimée en sorte: : i m" ; x E cz sin — — Len LE — tacos e na) a Sin a fang i: je—2c$6- L. Euleri Op. posthuma T. 1. : 52 410 ^ vL. EULERI- OPERA: POSTHUMA: s Analysis. l 1:3 3z | iO 252 13402 592. tto' quo (Sgt 55 . ; TIT ssh ss 5juob ege 1 Tar 3m 9.. 3m Ae in^ 14 — ia coe o co) 3 sin? are ang — dia mo? envi von: £D "d je» . — cos — "x V j mua S cd u * si 5zx n 1 4&sn —— . 1 bmz "B, "$^. bm n mme MC LU — 9 cos ^. ga -i- 7 sin 27 are, iud idem. JaslustfP ung ouiq etooge je Ll 9^ " th^" 1 amit. "s * 1 l c ^ 1 7mm Ar E.d a 7m n — —cos —[(1 — 2« co8 1 e aa) —— sin ^ arc. tang ————-—- etc. A " ERROR a: TERME AM | pun , EUN » trail [1 «c et io "T Tr " i g7" 26quig ^ (1 uU "ifr (10(1 Hi 90D DnvA? 104] et i faut. continuer. ces formules, jusqu'à. ce ' que l'angle Lu oü i marque un nombre impair quel- 1 | 9ftri51 MI ) nig jasb00609D — g51DfITTO d conque, commence à surpasser 7. Or quand n est un nombre impair et que, dans. le. dernier ia Ia 216 » membre, on a i—n, et partant cos ria — 1, il ne faut prendre que la moitié du deruier membre, -qMIT 29 üi9«[ 6i 00025 um urueaos Jie 6 301 savbot) sa noienionoo »359) 4 ou mettre (1 -4- à) au lieu de Iu a c-xa) | eoiuuriol eob al PT" 3tail 1799 6. Tirons de là les intégrales pour " me particuliers, et^ d'abord si n m et m — 1, nous 4- ] &e-1!' aurons: . à " * | H Y n " * "v f E [i 11? r zi T ero D'"0256 JH5rq gi 51709095 590p'T$íf15 (de. YS ee » Bh )D (u5g5 19J251 jiee2g 20 i| Bp 5] 102 ob 1--2 "TS 3 . v? nt M " » isipeh. Qo —aus 2£2 4l en5h algro5jat] U-cd»-e me . fiia e'tol6 9HUp2uM| ."—525 :$5 —« HO 253 .£9l IL. Soit n — 2 et nous aurons! ^ "ed. mi vae^ S oesdii er Eo 152. Jub i'ifsid b iy p. 4 » :5inilai inotttavil2allo , DM. dv 132 : EMTIASN UP sedg uc ^ (We 2] Vos tie oen cev fuse: üyvadosm NN Er: pni — :24 Jd gta). "P T ; ni NE hüssoq - v" en 1 , " . : - "AP i. PECTTY X -—— T e— ; FIT. L i a - j -— wu - ^ T M m » -— -— "r4 E - - P z z III. Soit n — 3 et nous aurons: oup * ; 5 ' E c sin — 1 9 Nc 3 si m1: fia — 34 008-5 pru d dert Beides Digass ta u - we 5u9muUg 5H» 5&5 no OO IS In$aoq i u 3 cos 77 ;! a | 3. 4 3 i T: ). vb | *h d , Vic dd Ow ed Va 7o Mg d. | 2 sin —— c 1 9x 9 9x 3 i nifi iege —Recsecr)eqsn aet I AM - / : * 25 15J9002 taomatüneillue o$ji5yY sf 200b ; * LZ 1 6r PD , | (tipellli i1 í 10D 579328 94 P — 4 cos — L(1 -i- a), j mg &, I1. Yt : p E | - y! c sin — ccdac 1 i 9 Er 3 i m—3:].———— —i 0S sin arc. tan si m 3:] 57 Pd 7 L(4 cc Fi 3 g r- : : à; ,,: 720 008 08 * sup bets dh &£q dioe em wv oup nviueq ,oo — m molera»ail e51q6 Saneoq NS 10] s! sb sinüábsi n 10H88 1 coit (4 "affdtob i226 jusq 5e jji$v. 9195 iebaoqo & * * LU ou bien a. cause de: :0 308 f15 TUTTCTRT ix9 *y'r Hoi "ne 9I t Aint f inob zb sd . ec 9z 1 ——1; s —1 et sin ?* — 9 et C08, L——) Eu , eo » 9 ü . 3 vnm $ i 9 à MIT d yn i£ ( -£03 «€ — 03 — zc E] Jt 3 Lp epi 0e e Tet Va aa, ec à AIO gensdisoq a0 Paslag 2I OUO SPHRTHREME NE SRHENURENERCE TOS WERTE Jylonh Formules. intégráles réductibles: à. la/quádráture: du. cercle. 411 sup: diy gps, tous* ves cas. particplisrg, 4l, est. aisé Ade, oir que; posant, 2, — oo, leg. intégrales. de- Wb 292 viennent parfaitement. d'accord. aye ec, la formule , générale. donneé ci-dessus; mais pour démontrer son accord. en. général. il faut faire ,yoir que Aoutes. les parties logarithmiques. se détruisent Bécessai- HS AUR » JH P rement, et .que. les autres, qui. renferment des arcs de ba, se réduiseht : à — — Pour cet effet, (p T mo an5i .515 2060:916 pgTU6 O ,OÓ-—'* lugo: P2402 [eom — T ^ il faut ici dístirigüer deux eas, selon" qué^n est^ün nombre pair óu impair. ^ Soit done premiéreimetit n — 2k, et posant a — op puisque, jous » lggarithmós, geyienmenp) égéux, il faut montrer que la somme de cette cip ases M -— y 0: Uy - |. ,94108 sin- UC b p n i E "aw .. mE mm San NU ale G 49k T mmt6bo Qum. os QA - Dm ——— * * * ss * - Lac PRIN A COS - -4- €08 ^, .— 24€08 5. -i- COS foi m etoizesT9otg aub zs» ob ommos sl 19*001! ob suob Higs'e il mn étant un nombre entier. Posons pour abréger 2&7) et il s'agit de démontrer que -£9T301q 514 ó itn "nq £l (D m iUm m inceoq 15 ES mW Jo 1isq 55 iem om ng s dagemotlóig n91q io? 01 cos qp /&- cos 3 -i- cos 5 -- . ...--- cos (2k — 1 pem a £152 noie 8. Posons, pour.eliercher la some de cette- progréssion;" "^ v0 S — cos q -- cos 3g -- cos 5g -—- . L2 i- cos (2 ke — iéló lleupsi et multipliant par sin(g, ;à. gaps -de, sing cos dg — ib vyhdga - sin (c -- 1) p, nous aurons: y.ai? $ — ^ Ssin 9 — si 25 4- i sin vod sin eb. ) Tie Dein NT eus. »n1i gol sob 1 * 5t 209 — 4 AE 209 — I 1 t — j sin 2g — 3 sin tech TEE -— sin (2k — 2)g, et puisque tous les termes à Lialdption du dernier se détruisent :amesb-is $vgod Jjasvs .30 SE nie L] 2321 1 . vod — vSsimg &— sin 2ko . done «S' Es I- p 202 Or, ayant g Sr? nous aurons 9kg — ma, et puisque ;z est un nombre'éfitier 50557 inoviflib si $áÀ£ : Af 202949 — PT — X o y (1 — sit 2iqo 3— sin. mv — 0,.. »&üie C -- wd € nie £ -i- op tiia de sorte que la somme de la progression "ye ad est. effectivement — 0. . ei le nombre n est impair ro enoiee»1801g rxgob »s0n.,4 — AS sb sesso 5 Jo .—— — e Jn6us!nism 200204 —32k--1, meni 31791 il. faut démontrer que: " /oCW m mia "e$ 09 i vost BÓ ? cos 9cos3g "E L.-.cos (Bk— — Dg-e y coma — ze. à | ^ne —- iiie 4 Jj Or, par la sommation précédenté, cette somihe est^ , à :9nmaob aoilopbó1 sl nob sin 9kg 1 mM r ^ AL ---z C0sImm — 305. 2-1 : .0 —2 menia 95 segno f jo düo 1 Sm a dd -r et à cause de sin 2kg — sin (2ka-1)g ion — odi (2'K-I- 1) y si sing" " cette somme sera " Nego e qe: x bnsgp ,»v501) s2 Tuü^Ísv sm gl | in j : 1, oon : y l i (b. slioV — .1i Loy s C LPEN OL NU Nr E MN &l .aoi»gbni 15q nlonoo Zb enovs! eqon omp ieni& «———— oo — $$ jügeoq d - 9. Ayant donc démontré, que posant z — co, les parties.. ruben de notre inbgrdle : fias ftis -détruisent, ^il: faut; chercher 1a'/valeur'totale: dés paitiés::qui» rehferment::les: ares. de »* A12 L. EULERI OPERA POSTHUMA. PERI feel cercle. Or, chacun de ces "ares étant compris dans cette somme arc. tang ,— ; On voit que, posant a&—( ces arcs s'évanouissent, comme la condition de l'intégration l'exige; lait en augmen- tant c jusqu'à la valeur — » cet angle devient droit, et si l'on augmernite z au m il faut —sing t sin 1L — arc. tang — cup 7 12—9 qu'il devienne obtus. Donc, posant »—oo, on aura arc. tang 1-300) ei partant, toutes les parties qui renferment des arcs de. cercle, prises ensemble, seront 9 29m: * Dax mx - "1 " ' —-— Y PX sin ^7 -4- sin 7 -4- sin *77 -- sin etc.), | OS 2x. NU 2E . Tm — (sin -a- 3 sin 27 a 5 sin hd dod d iin X etc.). "n n le - n " WPNIPU" n Il s'agit donc de trouver la somme de ces deux progressions. 10. Soit premiérement n un nombre pi ou n— 2k et posant 5; — g, a premiére progres- sion sera: ! | sin p 4- sin3g a-sin 5g... ...-- sin(2k — 1)9 — 5$, laquelle, étant multiplieé: par sin», donne: E 1. 1 M 1 - q 7399929 — 3 costg —-; c0569 ... — ? cos 2kg | 1 — $8iDn e1tOo"ute -t- 5 cos 2g -- 1 1 9 L'xedi Rut Pohi Fu eo. 2 -2 d'oü l'on tire ! : 1—cos2kp — 1—cosmzx 9 sin mT mz « 2 sin 3 $ — Or, ayant trouvé ci - dessus: . sin 2p ^. 9sin Pl cos qp -i- cos 3) -i- cos Sg. «3$ 2E: C05 (2k — 1) p — la différentiation donne: S a En AS enoius eUod .;— — Muere A sin g -i- 3 sin 3g 4- 5 sin 5g. . «i (2k — 1) sin(2k — 1) p — 2 a euim kd ; ; iQ. ie » - ' Tut "iq 6i : f 102 Posons maintenant gq — —; et à cause de 2k — n, nos deux progressions seront: 9x 1—cosmz 9r /—ncosmmt — sinmc i d TA xi $4 — T : PP edad 9 sin? — n n. oisi" "i dont la réduction donne: E ^ "sinm- m "ur i ( — CR » à cause de sinmz — Q0. L mm eomm .Omm fi sin — nsin — /. ^ sin — z n n n3 8 15 La méme valeur se trouve, quand n est un nombre impair. 11. Voilà donc incontestablement démontré que l'ntégrale de notre formule différentielle am—! da - d e posant qonoo est ENT » ainsi gue. nope T'avons déjà concla fer induction. La n méme::valeur aura donc aussi lieu de. eididlün - on transforme la formule diftiseniat: ii" oe RS Mir. i " " Formules. intégrales réductibles à la. quadrature du cercle. 413 posons donc 2 — ; oü l'on remarque que posant z — 0, on a aussi e — 0; mais c croít Y (4 — 2^) à l'infini en posant z — 1, et nous aurons de — T ' 12-2" —1—5,; donc Y (a — my dro dz et am—ldg 207—114; j 1 -- 2" Ya —z) 1 2-2" Ya — yn Par conséquent, posant aprés l'intégration z i-i aprés avoir pris l'intégrale en sorte qu'elle s'éva- nouisse au cas z — 0, on aura, pourvu que m ne wi psn "iy dL lal n :12. De là nous tirons, pour des cas pridie les suivantes valeurs intégrales, posant toujours, aprés l'intégration z — 1. ditm. 2 " f dz 2 - e 5 zdz m Ya-u. ITA JYalss TL [a ia^ : ge Lis : Y4-£). 4s. Yüos) 4s f dz SN. E f zdz GN - : xad mE: rud CY4—5 Sia Yu) pamm f. zzdz £ f. z? dz - d Ya—^?*. ssa "Ya-s5* sa f LONE EL. St ab n Ya—25) 6 sin —- o Yat) sin 77 Ces intégrales sont d'autant plus remarquables, qu'il nous manque encore des méthodes pour les trouver assez promptement; car la sommation des progressions dont je me suis servi, paraít un peu -- Á— à ce sujet. - isque don ede d ct inique fe posant z — 1, cherchons la sin a-2zy" codd i sp. ^ imigrale par une. série, qui, à cause de In ies 2331 idiedri. —m a—2 ^ —1-4-7 -z nac Pe on ee, fournira pour P cette série: ^s$in— PTT. A14 ov s LLUVEULERI OPERA. POSTHUMA... Analysis. -T. 1 NETT m(m-a-n) | 23mm "i RERO UNT — Ago ee SR T 4) Un. Sn (m -- 2n)" Thr MS D r — tf do inlaoll À Ensuite la méme formule intégrale ges d étre exprimée par le ecd R d'une - infinité de facteurs, : m: nous aurons aussi ^noh - 1 nn Ann. ' ^ Y. Sun V naad 7 ncm Um (2n —m) ^ Seen fone Mcr in) (4 — m) i — "n Se 2 8 Li La etc., mns s) N que, (*s— DY autre, ex ressi n étant, c ntin ée à infini De là, renant, m — et n— l'une et. det ] TA d "^ J; NÉ 41 x T4 "s Un lteoq 2, up^sdos se de ^5v5 e sil» Up 5310 KT Move sin 4 zm d, nous tiro d'abord l'expression. de, Wallis, pour. la. quadrature, du.. vae, i mà eB E x c vg 44 i 8.8 51040. 3 Ugy)g. SEQ UT INED : nie s S tir bod 7. 1 Or, mettant m — 1 et n— 6, à cause dé dnf.ox d, on aura lü6eoq ,25[e1993n! ewlsv esiderise eol .eloifiou hd es 9b 1uoq .eoTi) euod &| od Si : m. 3 6.6. 12.19. 18.18 | 94. eiui! 25196 2100004 3. 5 1-4. T7T«7— 13.95 19- y dert "ou bién: 4 18 6.19 19,48 E c 5g 30 L———-——e * —————— e Li vue m 1.4 f3.17. 19.93 925.29 etc. ir " Ahsl f^. Ces produits étant: Jes mémes. que: dd: que. Jai (Wrouyés . .dans mon Introduction, nous voyons déjà une autre route qui nous bid cünduire à » Vues de ces intégrales. Or * ebzzr 4 "X javais trouvé: ji | mor sinl D y^ "TLLA LA 2 | —. bos ie E fe» us Pests etc., » à mx " " dv 4mm : ida eg eges — (f my C - (t: Ft" sin. (4 — etc., formes dont la fre donne zb fs ) E :brá 4 VU MEO c - $1 p 4 E gis d an(: ap y. *(* m etc mE I (o (n—m)(na-m) (2n— mj(2n--m) (3n — m) (3n-2- m) » n s " | n ou, si nous mettons n—m au T de: f -püisque ipft ian , nous aurons: es| 1U0q 25bodjóm eb 510 )9go buprmimmiotn li'up4ansidenpicdmer98miq jasiggb joe solerghini e»d t ] etc., Uq ili He wq , TAL asini HIE * TM o tta n)(3n "utbelitata 9 (^1, 182 "P rmmo!qiroiq X222 39Vij0'H .- Joiue o2 & »152041!5 qoT qui est la méme que celle que nous venons de trouver. Nous serions doüc parvenus aux mémes ihtégrations; si inous: ayions..d' abord: cherché: sine; formule intégrale dont la aléur;:; dàn$. un*éertain cas, serait égale à ce produit infihi dé facteurs. Or, j'avais autrefois dont lime méthode pour exprimer la valeur de quelques formules intégrales, en*éertaitis cas; pàr: dé "tels"produits; "et iT xi s'agit V'eottà heure, que de renverser este p d et de neuer. de tels produits à des formules intégrales. -"u - , 98. 225 Det - " (*s n E bn p 15. Or, j'avais PPAR que posáut prés rl itégration & —41, il y aura: y—Jj ':5he sii99 «— — '300q cimo L fed C —a")* bd. | 73 uar»). 9u(z-4-v-2-u) | 3u(a4-»-- 94)" ** —À v a(u--») (a4-u)(Qu-4-») (a--24) Gun)" NETT Formules. intégrales Tductibles à là quaürature'du. cercle. 415 ensuite; j'avais 'aussi^ exprimé -le- rapport-de deux formules -€ÓÀ par: un. te] produit, et. posant aprés l'intégration a — 1, 9D, RUI2 505 i2 6 zm ob 155lev £l omiiqto ligbotq 9ntótt 92 5gp JHov -— (i8 t T-—vmEEÓÉÜHEH*w TENUIT y—u Jat"—làz(A—z") ^ (a4-v) (8-1 1) (a-- v a- u) . (62-2) («-v2-9 u) X 200i fab — da (dra) E ott er» err [s Ge 3o) . - sm-——neÜ ma-—nnh mm-—nam n indem et encore plus généralement: & (— h: "m di Tíimt-— $0) " t1ie 3D 5eUJf i60 3Jj9 fat— ds (A — ah) 1 L4. Ba) 2). (83-1) (44-73-14) (4-92) REP RERO TEE e : "icc e eo deeaiecien epa, (c0 Didi 39) G-08 5) faB—1 dz(1 — Qi) a pm — Donc un tel produit étant proposé, on pourra dploquemedt troüiver une formule intégrale, ou le rt de deux, dont la. yaleur au cas g —1 lui soit égal "2 " : 1 "boa it»... 217101 rm egon.i3 2 x [a T U- it ég e tar pe miu ge -— : - PTT LJ WAS , 16. Soit donc Meo. ce produit infini Tl DO -——x BDU » inii 89 qn nn 2n.2n 3n.9n — Dn m(3n m). "(n-cs) Gh —m). (rccan) n — 3A ks - (n —9)H ^ SENE dont nous savons la valeur — -——— 77; et que nous composerons avec celui-ci: * 2sn— —.infni JinboTq ssbmt 59 iiüomuo3 iesus enovov eisM —.61 n(aevy un(e cer n) ^U Su(aa-v2r- 24). «(Een fa) uen (eso 2y rev) «nie ^en dont la valeur est — Vat do (aime) ^ CiS m 2574; et püisijue l'accrolssettent" des facteürs: est là — n; et-ici -—'j, nous aurons: d'abord- & 2n, :done '« 2» — n; et pour. le . dénominateur. [ €U «—m et u-- » —2n — m, ou u-ev—m et o —2n-—m.- Dans le- premier-cas, -nous; avons («€—iIm; u—n; v —n-— m, et dans.lautre o EMIT p —n,v»-—um-n;de sorte que nous [ n (" ws * f st | ayons alictct | Me cem. | j dia " í E | gh 5 anc d n " ou (n — m) [-—— : in m 9up shoe 9b ;1-—:x à65 P 100q — Mis i iaob olsrg5ini nof S Cwe ioi- 3u219 1097500 u005b »|[ einn Aat eviuusb $ esq sn5m en sle059 edi n— e &.l Lu ho mig ; liubó 52 mnoilera»ui 93399 5le:5g93 s0Íq ei ooihers dai o qot sh ed ear li 3uabnsqo» ;ed6oiisTg5lui « i [ uz 9l f i í1»9 dg 25 í ünol zg»b esolailul| .8] o 9h 1U$35V eg9 9| ensb 19 [noon s5 e»lgga Ww JU q E - formul es dont la derniére ne saurait avoir lieu, ih. que PN ou n m, puisqu'alors l'inté- ] -grale renferme encore une partie. vong TNE- uwsep. " ("1 dort C7 (m xb! ^. ns 17. Voilà donc une autre fout pour montrer que la valeur de cette intégrale f au (it te fte p) (Peg eR S)sn (t - 0) (8-5) stt m 345 5 . (4 — 2")n : (E -A- Hg) (nE -t- 3) (6-0) (8 5). (m m (a o] eas q —1, est — — —, Me par la réduction des intégrales À des produits infinis; o Qn; anra ; Lob: s sab een | D. à cause de o -—m,pu-—n,vYwlÍ- Tu ch ou N 4 sl mc um, (ma n) (u — n) p27— 4e | 14 n.n 2n.9n 3n.3n «is J ^ n—m m(dn—m) "(ma-n)8n—m) (m2-22) (4n — m) - (4 — a) 416 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Ensuite, par la résolution générale en facteurs, que ji enseignée dans lIntroduction à l'analyse, on voit que ce méme produit exprime la valeur de -— Si nous mettons n—m au lieu de m, nous n sin — aurons: | D | ismserumi. 26 2 nn '4nn ^"^ 9nn ete iz ^ nn—mm 4nn—mm 9nn—mm V" 4—27)n " , | (n—m)po — ., mm et par conséquent, à cause de sin — —— — sin 7- [ [nu DoCpOn—m—ldde ow ees M os WM. ( eyn- ^ reo : aot n j - ; 4 VIOGOR! Posons ;— — x: *——— 2-2, 0ü g^ — [5 de sorte que 2: —1 si z — co, et nous aurons en posant (4 —a^) : | aprés l'intégration z — oo: ma ids en ds | NI agi 124-2" 1-- z^ Y Om ^ Sin -—— 18. Mais voyons aussi comment ce méme produit infini: nn /^c4nn.: 9Onn nn-—mm. HORREA. P TER etc. — — m Á ^ sin — n peut étre | exprimé . par. le rapport de deux formules intégrales. Pour cet effet, il faut poser B(a-c») ^ mn e(g--y — nn— mm j l'on tire «— n—m; Q —n;v»—im et u-—net partant: -cwc- je fm UD » donc B —A; «-r-»-—nj &-n-—in e (--»-n--m; dou poca et mr o fat—Vag(4—aza zem 5 20075 . mx "n ut mais le dénominateur étant ici intéz Qbis son Micde. donne ^a pour le cas 2 — 1; de sorte que cette intégration se réduit à la précédente. La formule. Je générale ne méne pas à d'autres intégrations; cependant il y a d'autres moyens de rendre Ces. intégrations plus générales. : H fm 19. Multiplions deux formules nere en général et dans le cas & — 1, la valeur de ee | ados 65h di e htt ecl ae ee c Lac efs Mil cm produit MEAN MEAE : "-- iss j un jnoti 5i9Ta b: vn f[2^^1da ( —2") pis jc f'aftttdus (a La» ^ gera: - S [. X3 nn (a-i-5) (a-i- v). Miete 4-9 Ff (sb d c9) io uno (479) (een) (a a- n) sad 2n) — eim lequel soit posé égal. à celui-ci: "e Uns ron Eie. | 4nn m ETSI wem qi. TA UCE jb saga. | ^ j gesteÁáÁT ; Formules intégrales réductibles à la. quadrature du. cercle. 411 Soit pour cet effet & — n — m; a— n -- m; et posons outre cela: €&-3I-»—v»-r-n—m--nu--n; à--n—mn--n--m-»--n; a " : 1 1 d'oü nous tirons » —n — m. Soit donc » —k-- 5n et m—k— 5m; et nous aurons, en prenant pour k un nombre quelconque: 1 21-i-m—2n 2À—m-——2n » (kk — t mm) Je-**d6 (4—2") ?^ : farmi da (é— m un —— Omm n sin — n 20. Voilà donc un produit de deux formules intégrales, qui, dans le cas oü l'on met 2 — t aprés l'intégration, devient — in et partant on pourra prendre k en sorte que l'une de ces n sin —— n deux formules devienne intégrable, et alors l'intégration. de l'autre se réduira à l'expression M n sin — * E ) n Ainsi, posant 2k—1m-i-2n, à cause de f qntm—dy— i yu kk — i1mm-—n (n-i-m), on aura: (0 nmo 4 "n-— » ib mco n fa"— ! do (1—27)" — dr . 5 ^" Sin — , : n Or si l'on prend 2k —m-- ^n, puisque. | | 1 1 n Bn dz(1—2")— na-m nam (n--m) (2 n-4- 12) et kk — 5 mm — 2n (m -i- 2n), on aura: 2n mm mc —- fan——!dz(1—2") ^ — : | n -r- m mc n sin — n , Done, posant aussi n — m à la place de m, on aura: " n m ^n n—m de ia. TERES da € —a") nud Rees dz 4 —q") ^ et . mr m n—m "n sin — 1 n - 9 mn 9nn Es ag m [277 de(t—a") ^. fe" d«(1—2") mz m(n — (n—m)(2n— m) n sin —— "n 21. Or, puisque fe**-— d n x c 2m m—1 n c Yu: & (1—2") —ÀJu- fa"'ds(0—a") , si nous substituons cette valeur, nous aurons: Ra 21--m—2n 21—m—2n - (k— x mn) Jat dx (4 U a") 2n fan! dz (1£—27) 2n — x mz n sin — n et cette valeur demeure la méme, quoiqu'on écrive 2 — m au lieu de m. Soit m — 1 et n—2, et l'on aura: L. Euleri Op. posthuma T. I. 53 M8 —..L. EULERI OPERA POSTHUMA. ED 21—3 2i—5 3 (k—4) [dx (1—2?) * -fdae(1—2*) * —;. oü il est remarquable que cette égalité a lieu, quelque nombre qu'on mette pour k. Soit par exemple k — 1, ou Kk — 2, et l'on aura: 1p dez f. dc Edo — ——2 3-ya-a Yü-t 3 4 dz 7m — [ de y (4—a? —— yf doy Urna: Y (a—a* et posant k — 1 4- V2 Ys—á4 Y—2 E fd« (1 —2?) 3 . fae -e) 2 —OQy23 Cette égalité est remarquable, à cause des exposants irrationnels. 22. On peut encore transformer. de plusieurs manieéres les formules que nous venons de trou- 1—n ver: car, posons 1 — «" n. yan. de sorte que z-—Yy(i —y?") et dz —2y?—!dy(1—y*") ^ les termes de lintégrale, qui étaient auparavant o — 0 et c — 1, sont à présent renversés, savoir: — 1 et y — 0 ce qui revient au méme. De là nous concluons: bus. IIT — (&k—2m) f y?"—dy (14-y?^) ^ NE remus tn dy(1—y?^) "^ — aei n sin — quand on aura mis y — 1 aprés l'intégration; ou bien (&k—mm) f[5547—tdy (iy?) * «fy tdy i my 5 n sin —— par la réduction de ces intégrales, Donc si m — 1 et n — 2, nous aurons: L—2 (&k —2) [A "dy [vaca et partant, si k — 1, vod yw —* yüa—y) Jva—y) 4 23. Or, puisque l'angle T dépend du seul rapport des nombres m et n, nous aurons . LE L] 1. 1 3 , . L , ^d . 1 sin ,-— 1, si m— 5n, sans qu'on ait besoin de déterminer mn. Soit donc m — n, et pour éviter les fractions, 2k — m -1- 4; d'oü nous tirons ce théoréme: j 1404-3. pay 0s Ya-9y Ya-we mE yn ! dy Aa n 7 Pru 722) Jv 'dy (1i—r )F auper De méme, posant plus généralement 2k — A -i- m, on aura: fr "y (a — ym s fy) dy (1520) ^ 7, ou : 94 n sin — Tn n E ^ j h| j A Formules intégrales réductibles à la. quadrature du cercle. 419 ^ MSRP dy (1i—7») * . fy 7 dy (1— y") — odd m : An (42-2 m) sin -- n oü le nombre À est arbitraire, de sorte qu'on puisse méme lui donner une valeur irrationelle. Soit m-— uk e& n—»vk, et lon aura: [yii ay im fyitap imm) T —— 55 ftn dy (1—y2) 9. " c t dy (1 Ly Fo DT Av (A--9,k) sin r4 2^. Posons de plus: 2k — « pour avoir cette égalité —h 2 o [v * 4r (0t)ts frs dx n) t -——, ra sib dont on aura ces cas principaux: | pte y ag x J yüa—y* Jyüa-y 34a RM [3 — dy id / oye d) LN. y39)? —, MaY3' poc HE dy —— 9x ^ »a— y?2 ^Pa— y?) — S4aY3. "m dy . [z— "P p dy. [t dy - 5xYacyes ^ja- y^) "P 34aYa 25. Comme l'expression infinie du sinus. nous à conduit à ces intégrations, traitons de la méme maniere —€— trouvée pour le cosinus, qui se réduit à cette forme: D ane LL. (n— 2m) (n 4- 2m) ,(n—2m) (3n--2m). (5n — 9m) (5n 4- 2m) etc.; n n.n 3n.3n DOn.5n oü puisque ni les numérateurs ni les dénominateurs ne contiennent des facteurs selon la progression 1, 2, 3, ^, 5 etc., nous n'en saurions exprimer la valeur par une seule formule intégrale. Cherchons done deux formules dont le rapport exprime cette valeur, et l'on voit d'abord qu'il faut mettre p — 2n. Soit donc ca ccce, et nous auróns « — n; (9 — n — » et » — 2m; de sorte que 9 — n —2m. Par conséquent, en posant aprés l'intégration & — 1, nous aurons: m-—n cd ACA — cos ^ — sin (eriam ii-I-n "noc 2n Jammu dz (1 — gon Donc posant m — A,& et n — A», nous aurons ; p— [dt chasa ey Ti quur gg tnn 2v far —2Àn—1 dz (1— aM»»yoy- 420 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ^" Analysis. 96. Considérons en les cas les plus simples: MT L IT, AE s aiu ar — cos 7 — 0. j dac Lh E J7a—25 n IL. Si nm— 1, n—3: TE) - -S eos I. 2 Jdz(1—a9) * | V NECK HI. Si m-—3» n 29: Tedn uA — cos T. " 3 fdz(A—zm) 5 eene IV. -Si MS n ENRC P Ld. esae odo o X aal E] dando adi 9, v d. Jfdc(4—a9) 9 De la seconde nous tirons cette égalité: la troisiéme se réduit à et la quatriéme à ya —g*)* 27. Ces formules peuvent étre changées, de sorte que la condition de l'intégration denieure la méme. Ainsi l'on trouve: da IN 3 da : 3 * " ; Or TATEITE ip fL——- d n en posant xz? au lieu de 1 — zz, p 'Y(0—2zz)? ue dz 1 da ^ —Ü e en osant q? au lieu de 1— qe, "^ a "m et partant nous aurons ces égalités: | andi 3b T daz 2) dz ds ds : fs inis Un awe -—--9 i: a5)? 4 PT ET |y 2 J^ | o inr ai ro r 3 |293Y3 f. 4« -——TL daz Yü—az — -Y—29 — 4 ^$alcasoo 9 ^y € - -— Poil dori umow e 7. o cir- EuNSVO-U Formules intégrales. réductibles à la. quadrature du cercle. 421 28. Par la méme transformation nous trouvons en général: [f 27—5 da AMA ge quts mc parete 4 vim zm—1 da te ET et iet] F J eed 9 (4 —a20) 5 TY. a —a em (4 — an) i2 et. partant: : REL de -— eds "I gm—1 d; y (1— z^) n Y (4 — anyna-2m Donc puisque la formule fra Y zi, -— est la plus simple, comme ne prm que le signe radical carré, nous aurons ces réductions pour le cas e — 1: £ a^—1 da t faces qz 1—1l da JEaaTy—m * Ya 2» iecem da i 1 pac de Y (L5- ato) og ena s Passa " -i n K rax 5 P ud ge g/n—1 dg JV aL anyseam 1 qmm! Yan n dont la premiére est évidente d'elle méme, mais les deux autres renferment la nature des cosinus. 29. J'ai aussi trouvé dans mon Introduction ce produit infini: SSmo ppl ig o mnm). vcre m). (An -- m) (6n —m) A ra k(2n—k) (2n--E)(An—k) (An-r- E) (6n— E) 9n qu'on peut réduire à un rapport de deux formules intégrales. ' Pour cet effet, il fiit poser 4 —2n et etc., B(ac-3). Koc a(B3-») —. k(2n—k) B)? ce qui se peut faire de quatre maniéres: y—u Lad —m—k 'ENNEDNC lL «—k;-—m;v—2n—m-—k; y—u m—k—92n "Lp" E DF im ll; oz k; B-—9n—m;v-m-—k; y—u k—m—2n Lu - Er lil. —9n-—k;fg-—m;v-k-—m;. IV. «—9n—k; 8 —2n — m; » -m--k — n; Viris d'oü nous aurons: " . y—u 3 AS, Lad Ja"—ldz(1—a") ^ ^ " 2m , — kx y—n IPS cbe JaB—Vds(8— ah) m^ cR gs et par la transformation: " a—pu EP, cin fa s (4 — a^) P -w ern 3i fn kx Ja2?—! dz (A —2^) 4 2n L. EULERI OPERA POSTHUMA. 30. Cette derniére formule fournit les réductions suivantes: 422 Analysis. .Okm qain—m—k—1dg ^. mmo pam—m—k—idsg sin z^ « f —sin2. f , Ya -— gn yin —á Ya — gyan—m d kz p mn—hk—1 ds sin ^* precem dz 20 J Ya 2nyon—k fa 9n J va —ginyn K .okm gf —m—3 d Qm r g—m—1 45, LA axi TN n Ya— ip?n)t va — gin)an—m kx gm À—20—41 d» . ^x gn —2n—1 dz sin 9a |f 2n —- Sin 94 d f zn Y (4 — 2n) Y (4 — z?"y" Or, je ne m'arréte pas à donner des exemples; il est aisé de voir qu'on en put tirer des réduc- tions assez remarquables; comme si k — n — m, on aura: : 1 n—1dg f a?t—! daz mzow oc z -- tang 57 * Jas J Ya Ue: gnyn-m 31. Considérons encore un produit infini, que j'avais trouvé pour la tangente d'un angle: mz o mm .An—m)* .3n--m. 3(4n— m) Lsagidioias3 $774" ice wj. MORIS e) a RUP acm et que nous répresentons en sorte mc |. 9n. 2n(na-m)(3n—m). 4n.An(3n-- m) (5n — m) " mz n.3n(gn— m)(2n-- m) 3n.Bn(An— m) (An-t- m) Te 9 (n — m) lang ,— qu'on peut réduire à un produit de deux formules intégrales, qui étant en général | n—m " m »—u vn [x^— dz (1—2") 71 fa? do (1—2 pm(a--»)(a-i- n) 2u.9m(a-- v4- p) (a7 n m) i &a(u -v) (m 2-0). (a a- u) (a a- m) (24 a- ») (2m A- n) elc., oü l'on voit d'abord qu'il faut. prendre £ — m — 2n, et ensuite il reste à rendre: NI (n A- m) (3n — m) m ouq(aut 9) (a 4- n) ^.3n(9n—m)(2n--m) A &à (u -- v) (m a- n) Qu'on prenne done «-i-»—n-- m et a-i-n—3n—m, on trouvera les quatre solutions suivantes: I: »-—m;n-—-—m;oa-n;a-dà3n;pu-2n;mc-2n, IV. »—m;n--n;a--n;aq—2n—m,u-2n; m—2n, y——n;n-— —m;o-—-2n--m;a-3n; u—2n; m2, y— —n;n--n;cze-2n-rem:a-2n—m;u-z22n;m 2n. 32. "Voilà donc les quatre réductions qui s'en suivent: f a?—! da f g9n—l da - cot" ' 9 LI — 19 Ya xs gn yan—m Ya Me ginyzn--m 2m (m ne n) 2n K a"—! da I da cm bot mx 9, LI —Ój Ya E gn) 2n—4in EZC "w qn 2n (n — m) Formules intégrales réductibles à la. quadrature du cercle. -423 Ya- "ms "ca- a?") 2n-rmn Ur. 2n(n -— m) 2n d | [mn da f pda 7 - der et m 5 Ya atn Ya —aginy * 9nn(m — n) 9n oü il faut remarquer que: g39n—1l dg f ja a7—1 dz 7 adi 1 | | , v. Ahi Ld N AM a — aeny2na-m VA — znyn leri et dz — —m gm— dz !yamammm us Yen 33. Ces substitutions nous fournissent les formules suivantes: f a27—! dz . E : mra. n k uu A» ^ 9n(n— m) pot Tn Y (1 — 2*"):n—m 7 — ganyn | g/?—1 da £m daz $4 x a de 7a gig Ya —a2n) 4 8 9n(n— m) f* 1 dz pote da ef p 4 . t mz JY -—2 x "7a f ginym d. 2n(n — m) po 9s ' 27! dz gam áo. »" LL Jy am J yü-aP) — 3a(n—m) 93a! qui se réduisent à ces formules plus simples: ( ^ n dz f daz nc »- " -— , "ü-asr—^ "Ya-ssm 30-9 ^ 3 dz q2n—m— da nn P : picea Ja —aayn—n . J Y (4 — a2?) " 9(n— m) c9 9s rz daz E dz A: c Eus -— JY a — m ONEE Ya- —mzy" 9 (n x m) g/n—1 1 n—m-——1 , f dz "f? dr — - cot? Jya—amJ yü—sm) - 3a(n—m) ^ 2n 3^. Or par des substitutions ultérieures, on trouve f daz q7—l d —n aam EZ —gzyn—m K dz Lion gat dr Yac.ap*. . co em - De sorte que toutes nos formules se réduisent à la derniére qui est la plus simple, puisqu'elle ne t renferme que le signe radical carré, laquelle, si nous posons m—n —K, se change en cette forme — assez remarquable "ME | gat da, pam Mag | f decr "n y(t— aim c7 v a, tang 5- 3n 4c d i4. p, 4 E. | d'oü, si k— 0, à cause de tang ;- 3s 3," on obtient: E. rz—! daz z"—ldz sx Jy —am)'Jy(n —zt") ^ Ann. 424 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 35. Considérons quelques cas particuliers: ]l snmíf, hk9: recen am à It. sia 9' ? ens ja TH fou 5r tang 2 lll. si n—2, kz4; La a lass 4 ang IV. si n— dA k— T baci p.i t ang - V anc bk Ift s ftat VL sin—3, kd: feme fua mum y BE S Vll. si n—3, k-—2 frate ato tmt 3" VIL. si a koi: roten facem DERI dx inci koi: pte pete aig X. si n— Kg: Facun faz 7 ag 08 XL s Wc, AK--1 Fa ) ie $ ung XIl. sii n—^*, k—3 bácus Joc T tang ^ XIII. si n k— s^ fra bam ^. tang L» XIV. si n- 3 k- zi acum fas Dems XV. s n k— 5 oes fat- tang is» XVI. si n--$, kes9- Ge. CTS qas de XVIL.. si nz 5, kan fraus Íracas ;; ang t3 XVII. sin 6, k— t: n pes ung S XIX. "si.nz6, k 55: press gt facus— E 4, tang 17» 36. La formule Pag Fay iis eem. posons «4 —n pour avoir: :o- dz pa^ da e 7 J Ya —am) in —gn) "84e que nous avons trouvée ci-dessus ($ 29) : | Analysis. TUUM NT PRISE: PRISE ARE MON minh. Formules intégrales réductibles à. la. quadrature du. cercle. 425 Or la formule que nous venons de tronver étant 7 7 77 T daz pan — " Rs FYazam LJ yacam 77 T d si nous posons À — k, nous aurons: ise, [v Lx i ad 43 ray zm zuo NR el si nous posons 4 — n — Kk, " lh Y (4 -* js *ya 3m) — E. C AV ES 5 i tui: -: 37. Or pour rendre ces —9 ps see x | posons. — c^ pour avoir suivant le $ 24: Ang. t hs 3, 3 &e E CT Fa Ya eb -.i- s — Binh a 2 | Soi ^^— — k, et nous trouverons B méme formule que ci- dessus, et la position A — n — k ne produit rien de nouveau non Mara Voyons done ? quelques cas particuliers: -j9 2e55vgotd 515 i00 iu rtr d5ldmb? iaoe moda £..5 »Xt ag uhi— M Soit. ion et k—0; s^ Qf ze id b ase de JYa-ss-. 3e - spot: ioi'np-aibqg) qiuacr. S NIA Quicoh gulidmol 25 rimb sbiuben el 1 "o s sar Soror A A eae5 — Cos es» 5b méquiq si oupeiu'be Tradtfé: fito D fiam tne [ TY 91 E. TELTM. hrronns2 9f ' " , 3 : ' 39u0:2095$:08 ?eDi] 79155 03 e5l- 5l : iavpon 3j | in eüsie 5| o15rrb ssi sideidiy kil: ftat [- "* s Pméc jum es oj ,15lls .819ih19 Orion e9b. 1 ib. Nace Aaa se tn : et vs Jac po E et x i 4 IAN Ll e5iUmHnO! 29D f1)0059100254 —.i1 Tf —— My a v . Et en voilà encore ppm autres D — à fzzdmo . pzPdsya ueom nodsrbofl .Hi fece "ure Alpe : m fracug ung qrrdzYz —q r*àdm JYQ-—a' wey f sde s. dh aclebifl VI JY - z$)' raza mes a9b moibubesl .Vl L. EuTeri Op. posthuma,. T. l. 9h 9.b *x ^ 426 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - | Analysis. z^dc f zde 0. z rac: : Jas) - 4E 6" f 2ecrdc : podms JY (4 — 28) * Jy (1 — 2) — tang Ar z*dao : f 254m E. " hse fa * Jyamas 77 9 tang y» fa d es E tang - i Lacs ' J'Y (4 —219) 10 X à c5 da 1 naL fis L yüLa Aue 77 ng 457 z? da í r eda ind » JY (1 —a10) L JY (1 —a10) ne ang I3 a*dz c pzr'da ^ 3, - JY(4A—az1)* Jy(gS—a1) 9 tang 6' z*dao af dz (n zm Jya-as yas B3 aSdaz sup et da T L4 i37 0017 qeu. lio? va-en yas T h' ! t 38. Ces formules sont semblables, par rapport à la forme, à celles 'qui ont été trouvées ci- — dessus $ 3^4: toutes ces formules: étant. comprises dans cette expression générale: v —- : Mais ci-dessus, c'était le produit de deux telles formules dont j'avais assigné la valeur, tandis qu'ici nous avons des quotients qui résultent de la division de l'une par l'autre. Mais dans l'un et l'autre cas, il est. évident que l'intégration de l'une se réduit à celle de lautre. Puisque la plupart de ces réductions sont tout à fait nouvelles, il vaudra bien la peine de les considérer plus soigneusement. Pour cet effet, je les distribuerai en classes selon. l'exposant de la vàriable a derriére le signe radical, m et m étant des nombres entiers. np IE n D, i "M. i g m—1l —: |. Réduction des toria u-—s Yü- TI UN. da Wash g n8 'g —3y53 gm 1—25* cordc 4a LL. oun" ni uim. Yyü-e^ vacat — a ES a gi n—1l -— Il. Réduction des bebilós fo Y i 5 £liov ae 34 3 lil. Réduction des formules ; Team. LER rrdz f zdc . 29 Ld Jygas vaa 88 497 z3da. nor 3v Xl 3- Jara Frac 1 DB 19 2 —1 det ya- PM IV. Réduction des formules: Formules dntégrales réductibles à la quadráturé du cercle. f zSà4m» ^ fv mdr 3 x A "Jvü-ay Jae. S ig ("P a* da f[.42^ 3 - ELA "dyüacae Jva—aS 7 13 998 3^ frau faa PE bas EI TM ^ V. Réduction des formules re 10 VI. VIII. ; eiTO'l VII. Réduction des formules Iva-s Yü-sy Réduction dn Eoiiides f rxLAN f a? da : foxidz 4 9x JYd—z* Nx 9v, ; T ü 1137112 " da ef Xm 52 a Yyd—s?) rica — nBas Réductioh ri Ade n [nd f a*da f rrdz E -—a) JY ü-25 z*5dme — cdz gj ha —as) lYà—25) : "E 4 r. | afda Jyaza5) fra —357 SOR » ! s" s | (f rcrdaz f da Jya—a5)' Jya- Ex TUM ga 8 aidz yoc6das ix sls Vor: 2 (4—285) - "t - tang 7- Pu —1 da. ; a*dc z*dz ci —39)' m pese LIT a?dz T T5 "Vice — 6* [| a5dr : ;97 n - Rd y vii f iu M m * à : 2 e 3 z'dz Bos /|do eu Sm bran Jya- 2^7 — 3 ung 17 18" :] f asdz bs ue — Jya-—a' Jya- ae 77 zi 12 a5dz 2 - —3 Jya— aj 998 y 5" 421 428 ^^ ^ LSEULERI OPERA POSTHUMA. | Asdhji z'da zdso m 3x race ' JVa —ai6j 77 39 DB 49? [: W e daz Vo tan 9z aes JY(4—a9)' 40 TB E ac3daz da m (2 Y c9)^ Jy( —2j — DB qo? zrdc zdz C z Y — 219) " [oa —419 tang t a5dz rc da zm ha (4 — 210) ra — a9) A tang 19* f z$dc .. 5t z'dz t Y(4 — 219) Vera me $e 39. En combinant les quotients avec les produits. de chaque classe, on en peut former de nouveaux produits, ce que je ferai voir en général; car ayant ce produit: m daz ponen dz ls - Y(4 — z*^) J Ya-—a?)^ —s ng 9n' et outre cela, ces deux quotients: N $5] da : —— dz Yü-es: ' Jya— gi 5 a7] —1 da; — p a? n—B— dg, ns n—B Bx Lf Ya jf TT E L. — tang 5? TA —g?n) " Ya — g?^) Combinons le produit avec le premier quotient, en posant «— n — k, et nous aurons en les g^ —1 da Id. $ ms * / Y —a?^). icio nk | Ensuite, pour le bétbui quotient, posons B nk, et en ERR nous aurons: multipliant g?n—Lh—Àd dz (án. tS : 35 Yü—a?) 'J Y (4 — a?") — $n(n—A)' ^ qui ne differe pas du précédent. Ainsi, pour- chaque. classe nous aurons deux prodruits généraux: gc A—1 a g——1 dz — I Fac. tÉ Yyad—a») [a 5E das opa — da, - J ya -aP) f Y (a.—z?^) — 9nk* gui ng s; 3. II. dont le dernier convient avec ceux que javais déjà démontrés autrefois. &0. Développons ces produits pour "a cas, oü n et k sont des nombres entiers, el nous aurons les réductions suivantes pour le cas e —'1: : ; —1 I. Produits de la. forme ey 7c bass Det mt. vfu ^ Y d — 24) aces m p 4 "R53 P EU tr P gear T REPRISE CAPRIS MEIN Formules intégrales réductibles à la quadrálure du cercle. 429 d Produits de la forme fyc cda sta mo C faces Vds — s nt $ — iys* 2 E tdeo -- rta mo m (0 a-55 vus er InB^y —34y3*. EN xag PET f£ de | | JY (1 —a$) "Jyva-as-— s? z*da M zdr./ (0 La aces JYü-) 1008 9b ;5.;£. : 8555 zm—1 : - qm Produits de la fornie Piae . UUSt pt 1U^ " t "AN. —3. ! c M-»g : — : ax : ) iuombeis o1 suo ,6i 5 : Jae Joe a8) s ang 8* z5da TE m * : Jat ung p -a5 mii LL £ az6dz A dz RES 3z ass Aa-s c UTE Pu. Ecc fri 8! adi v VW pour S EX. ; pes T fes M, cd Yu —z8) Jy(4—a9)" 24 IV. Produits: de là forrüe" [X-a- : js Y — a9) z?dc- VT 5523 m — pa —a) Jof un — a "T tang 10 ri [z 6d zy dat de i - Iu Y — a6) dyü-as — a9 DB 5» :nkr R z'dc | zdz "ED. 1! 3m 2069 1] LA yá-ss— 3o (n8 49 a*5da ^S AMAA AME CEA AMioso/ — 209) —i ung ww Ggpmdms podes | —— (j JY (4 — 219) WYa-sa9 a95dmo f zdz eer JY —29)'Jya-—ze" di [44 35 oa RE 39*. . adr |. "a*dz La » f, YA —a9) Jya—szo)- 49. 430 j L. EULERI OPERA POSTHUMA. 3 ..— Analysis. h1. Aprés ces intégrations des formules, qui: sont toutes comprises dans cette formule générale fa"—'da (1—2«7)* et qu'on peut nommer algébriques, puisque dz y est multiplié par une fonction algébrique de zc, je passe, comme: je me suis proposé, à considérer encore quelques formules intégrales oü le différentiel da est multiplié par une fonction transcendante de c, et dont l'inté- grale, dans un certain cas, se peut exprimer algébriquement, ou par la quadrature du cercle. Ces cas sont d'autant plus remarquables, qu'il nous manque encore des méthodes pour les traiter, et partant les observations suivantes serviront peut étre à découvrir de telles méthodes. 42. Je ne m'arréterai pas ici à cette formule intégrale assez connue f da (Lys, dont on sait que la valeur, au cas qu'on met aprés l'intégration p — 1, devient — 1.2.3..n; de sorte que cette valeur peut étre assignée, toutes les fois que l'exposant n'est un nombre ten Mais quand n est une fraction, la valeur est beaucoup plus difficile à assigner. Ainsi, si nem j'ai démontré que la valeur de l'intégrale / day L^ au cas $ — f, est —iY. De là, on tire aisément ces intégrations qui en dépendent: puisqu'il y a en général 1 m 1 m " 1 In— [da Y — 6 LEER Ananias donc posant aprés lintégration à — 1, à cause de pi 0, on aura: 1 NE I 1 Hn— [de (0) zmjfdeQ yt. &3. Cette intégration du cas. ir se peut exprimer de cette maniére: 1,0 — 44 dx c TOR f[d« o2 mV "remi posarit wi 1, et pour les autres fractions mises pour n, j'ai trouvé les réductions. suivantes: 1 3,1 z?dz da (| Lf -— f / Nocwrrc dac. . f dc, f zcdcz Y —a*i ^a any Lo , X Yos Formules iniégrales réductibles à: la. quadrature | du. cercle. 431 jeo.. Uupen "( da py gab 22s 37^ is d I4 da n 4| ^5nob 6lio i ( —- Pars zy "Ta- - | "d RUE y al odr dtdá por jt. Ait. di | TTJy0- dá 14 Law fe mpdac. a rrdz rz / 0s) dies Ya-e5* ig e d Ya —25) El Ya-ene ; JE *q 2 "d 215 A4 uh aolu rot fae at - 2Yy « 1 " CIC, APR cfr ge "Pr ay da Msc z : Ta as Yya-— a5) Ya-e L2 T " fas ült-svi ac?daz JJ n f lae " ditas ge 5 Yat a5 Ya- eon Ya-ae» 'Ya-as: ia [N i) t: PE bem PY N( Tu -DX 1 4.4 ",.5,6 z?dm ^ z/dz zlldz zl56dz de(l js —Vy sf ee eis f. / Wee ROLE Du s — a5) irm mw , h^. Puisque parmi ces formules, il s en 'a owe o oü Vexposant de $ est plus grand dans le numé- (x*—15 | ratur, que dans le dénominateur, si nous déprimons ces exposants par le secours de cette réduction: f vrtde (Een Sm fan-as(í— ah, . mous trouverons les brad: suivantes: . ES [4« - ced EN LX f dz. f *àdc Mac C as - e e fast oai fe m & je HH JYa-2) Yos) fao ib ci da Ji rdc c] t8 à X AME en P Yes ^a — ais — mia OE €(* — DN 72. 3. dz mda rzrdaz de (1$ —3y Lf f uf f à« (D -— 2 | Er pete -K zrdz Y va eret Mia Y —at) 4 f d« (iy my. Dig (9 DT mde f z$da f 24x x Ya eg aet "ya — a5 EE asy | À facütyem ay ise dm. in S Gne 2 z?dz z9?da ; " : "aas "Y(—as? "v(—a9* "Y(t—as* thx * ho» * | 2 dz E E 3y: - LN Diets ptm og a*dz fi (L7) B a- au aa JVa-ey Vae AIL NL " wt olagriiot, Maiqtilugr daga giügos o o6 f da i—)5— a E qu) — aed sin: dien 5 acus ic bos o2 iul 94. ,9idmoeuo sibto 432 9 ub, BOLBR. b GPHRA POSTHUMA. . . Analysis. 45. Voilà donc les valeurs de la tnit intégrale transcendante f/ da (t )', lorsque n est une fraction réduite à des valeurs des formules intégrales, oü da est multiplié par une fonction algébrique de c. Or, parmi ces derniéres formules, il y en a toujours une qui renferme la qua- drature du cercle, puisque : i e dz 2 - Aa ze unyn "o Sin vin Ensuite, pour pouvoir mieux composer les autres ensemble, posons .dans les formules du $ 2t: 9k—2n--m—24 pour avoir: | cecdragr oaa | Partes i09 9 bI T d "Va—emy—" "Ya—a — n(n-2)sin 7 de là nous aurons; .—: 05. -— E)N (x i » S d d " " . "»"*€*—717 I, T 2 "i e — icrieq smpoigM 44 Y — a?) Yd-e sin Missi ] t " "1m Ltd ig iusksmnimonsb el aasb egp 105181 —— IL sine fes] - ——— | Ya-e) Yü—2)* Ban k zcdac f daz a Ux ^ ya-a9 "Yace Ain e. cdc T cda: E: Zi "faa Ya 2 "o Adm : Ill. $i n ;: KK a9dao ! y^ daz &-— ex zx - l 3a —55) - Ja-ew - J5 sin — Xii Bl FUE (màe..s p,o de Col "va ii o ii a— W^ 10 sin H e S : * on Ts " - ^ ES 23d - Ir du gs m Rea CMM Ms d iint EZ a— 1€ fin, LM t i " U $3 v 222^ ( x *— 1) (^5 -p bad : y mds Qum -z i J$ : 2z' MT sean; Ya ^ Er sb 15 j A^ 9 KE sas. d E. e. dt n , sb» uot cYace "valen. ETIN J f &da r düo Men A M va -ex E ) «b iH 46. De là nous. voyons que — toutes. les. formules. du; méme. aic: ensemble, le produit se réduit ,à la quadrature. du cercle; ainsi, nous. aurons: Formules. intégrales réductibles à la. quadrature du cercle. 433 | fà (1 9 $ Ya, | f4« (5) fas ql 2 ——.4— ws. rn 1 aa faz (15) fas 3) fas qt s ms s em 4! sin 05 | 4aEov.-32" 7 M yen Ret fth fett fiet t coti : Jin: fac (5 fae a5 fas a5! fae (5 fas a1 — t mim ae Vor. : ! 6 sin - sin Y De là nous concluons qu'il y aura en général: i E: "t une I d 1£n—1 fae aLy fas qty... fàc 05) " Z9. acis yes "e. CET I "asc OU SMÉE Moms e- pense lequel théoréme est. tout à fait digne d'attention. UkT. Là comparaison dé ces formules peut étre poussée plus loin, en Ape ce théoréme général: [i 2s fat—P0—! da. Vaca o cya amne d'oà le théoréme précédent tiré du $21 se change aussi en d'autres formes. Ensuite, les formules du $ 29 fournissent les cómparaisons suivantes: r 5 dz Fa W usw ^ enn de . kx i [, * Jn — Sin 2 : sin » » d Ya —anyna-k Y —anyna-k zí—ldz ^ qt miae mr o. kk K 25 I sin .: 8n 9 Y —2^yuebeh "ya awyeek—m: v pos! ds r. cz0—áz mIDHE, uskE Ju * Jn —-sin "a sin ys Ya-— gn yn-i-m—& "Ya-— gnyt-ie-m— poat de Quat do kx Jn ; LI sin — : Sin E V — 2^)2n— m—k ya — amnem —& dont les derniéres se déduisent de la premiere, puisqu'au lieu de m et k on peut mettre n — m et n—k. 48. Maintenant, puisque f 27—1 dg Ed rem M : Yacanymrks "onyam anne on aura encore cette comparaison: L. Euleri Op. posthuma T. I, : 55 434 z4—1 dz .L..EULERI OPERA POSTHUMA.: n—k kz f: (—x et prenant pour m un nombre négatif: 0m 1 quum daz nyn--k j Ya Es q?yma-E pea f zI—4d4s - pan—m—à da . 7T E sin — ?Ssin — "n n "yan Van d'oü nous tirons les comparaisons particulióres suivantes; 4 Y(a4— zda ; de .- ier " cent, 2 E : sin Ya f corda CN do SI S — : Jara LE (4 —25)* j 5 ft (—25 K- 2dz o "Ya —a5y f CY (amu E TRIN bad "es 5 z?*da f z?dz Ya —asj . : y ^ f zd2 o5 z z3dz ^Y —as) " : TY d —hy ds 49.. Pour faire voir, l'usage. de. ces réductions, . considérons. les jormglete particuliéres. qui entrent dans les expressions des formules 3b Ya PA c Sb TA MG [aes fde qt fast rs. fae qr et.:d'abord. le nombre de toutes. les. dites formules..étant 46, il. y.a !k qui dn ;de. la: quadraz ture du cercle. inta . 5 ?, F— : sin — —.: 8l — 5 sin €: :sin 5" i — — EBORE REPRDREN " om 1: y2 "ibl 9x € 5 E : 2410503 logpel :i 1515 2*9 ^i : e^dttt " etit Hi2e21 riot es Q ub K da hu - D f cda » mo : $ **-^7x— — c V 25): |o sin ig — Ha- —asp. A baia tt 1 T 4 $ (Cos T DN ! "és. DN. fan - Zoe Ds [dp d Wd aA i 3x Js à (4 —25) Dsin—': Bsin—- c CUPSC eg Bsin — 5 5 5 Pour les autres 12 la réduction générale. fournit: » a ug f. sad nn de : ; Ya m ec "n5 pr ^ fs yw WM EM Py p a*da ed f da u 5 Y nay Ya- Eabyn: ib se. 2ai^imtob el 3aob f. zds [. cds — A adis JV —a) | [/ -9dx : DIT Jvya perm - ZU a5). Ensuite nous venons de trouver: " G0 185 £20 UUE*STKCu —————H0Ünmverurprcn mtt cM, WWE ST RNE- UNES UY MONTRER T m S hri Ass nhe EO TI NES NUNPEHIPANET MR ^UE S AERA QESRIISABI, Potete diedbum Formules. intégrales réductibles: à là | giadrüture. du cercle. 435 . f. rrdz —" ity dz. ^ $^ J Y a5 sin $7 Ya —325)i "t K c — "hf, K ,d* aujubob eno ae - sm iz Ya- —- É of zrdz x 9 siu i 1 a* dz : p» Ud : sin dd Ya zy à; : ^ E(* ede: NL i (ine ^Y — a5) sin $7 ^Y à — 25) aüxquellés on peit ajouter les produits de deu" télles fortiules riipsidés au yv pour d le cas pez. vA / 1 50. Si nous examinons toütes ces égalités, nous trouvons que ces 12 formules se réduisent à deux: posons pour abréger ^ - yv | P ! ^ y:5;——3á a bsine (g sin Y 2) et toutes nos formules peuvent &tre réduites. À la quadratere, dy. poros et à ces deux /yydz et fy*da, de cette maniére [r'àe— 7 [rràe; feriis — fpdo: fetridecfyrdm fe'r'do— ji. &bl. -3) si fer! do — 5, [vx y dat fa P de is fae iy — 6242, V^ 32 d: BB. DE o0 fus quotum SY sut) ) sb 8 4 fa« (i j- TT MIT sPaP E t. "m — Sms Ü . 2 fasoDt- 175.148 T d » La 1215272 G , | [rde—ga [zyde— gyyus *à "de ii fe'rde — i7, ras! soit donc /yydz—4 et f rds — B, s s - Valeürg de. nos forinules transcendantes seront: 5DUbesHIdH SIA :j 5s 91...De là. nous. voyons. que .non seulement le.produit. de toutes ces quatre formules dépend uniquement de la quadrature du cercle, mais aussi;.le produit. de:.deux, .dont les exposants font ensemble l'unité, savoir: r -* AS os wh n a prsg-di 92 *iüil (101689157 436 ) L. EULERI OPERA POSTHUMA. | fà y. - fáe (t5 ipe. "A 5 Outre cela, nous en pourrons déduire ces égalités: (feeit, y): [da e (L. 9i s ee an C C J- vasi fa us Analysis. 92. Si nous joignons ces NAECNUR aux BNCHESR nous en pourrons tirer les .conclu- sions générales suivantes: fà (1 X. Ir Miu iss amont 2 iei 2* sin fd 0) fine! e eet 2 GR 9^ inc, fs 031. fas 1 59E— 3z z 7 4? Pas d yt. Just n 2e ck | fiant Jes ept- — pie et en général: : W d, fae L5)^.. fáe,) ^. TELA uL nn sin — : ; donc puisque pem na nx iems , 227—7 fde (L2) : nous aurons: his i fd» a iy. füe us 3 — TT ó cx Ev ^nob 1192 53. Cette derniere égalité 'sé peut'aisément démontrer immédiatement en Dd le cas le plus simple; oü l'exposant est; un nombre entier: ^ [de 05Y 21.2.3.,..... A. Or, cette expression finie se peut exprimer par un produit infini, comme: TINI ipiffg Jom £13 L NAT E Ra UE MEANS NP UL EIN De T e VOR e LA T P PROS ORC Formules .intégrales. réductibles à la. quadrature du cercle. 431 | yd asi149 q45 nailounyg.^s! 9 it. 5112: 3i fdz7) —G) iua tkac 3-4 4e Posons maintenant À— — pour avoir: et faisons aussi m négatif: P.A-R 0 A9sBA 359 sy$. 2 39 4m i53 [ds zy YA TAL) o mima 6») 03x 5^ Le produit de ces deux formules donne évidemment: onn Ann 9nn mc . * etc. I nn—mm 4nn—mm 9nn—mm boyasgtitf 36 n sin — n 9*. Nous pourrons pousser plus loin ces recherches, car puisque os fasaty — yr. (nrbs de etc., IIT" Pa es oauPl Vo ict ML EA uaa. Ms ; ! esu docs da '"Sa-eq Cn Ae RR Pu coa SCIL INE SMMIE i | fes»? wine t bise e 1r ego ies de. Le produit des deux premiéres divisé par la derniere, donne: 1 P 1 X | 5607 Jeu) (C n(n2- pr q) , 9n(2n a- p a- g) ete | nm —— (n—p)(n--g (2n--p)(Q2n--9) ^" 1 — Jde (1—) ^ dont la valeur est re ldz uc »4 p 20—dx c dod fox dz Y(—any—.; P*ü^yqlay—. P1 yaoay—? 0u bien aussi: | | : | —3q f a7—' da y (1—a"?)? —p/al-'dz Y 4—a^y, .. formule qui conduit à la précédente, quand on pose p — m et q— — m. De méme, on trouvera . la valeur de Ld p q Tl T Pr d m)". —)". —)^" f 2(1—)" «dz (1—) Jda (1) pqgr p oaP—ldz pzP-—— de Ez -oBOdgrt^yalany Cyaany— Jda(1—) " [t 438 soy i da EULERE OPERA. POSTHUMA. ..... ". Analysis. 55. Enfin, pour finir cette matiére; la. sommation des séries réeiproques des puissances nous fournit encore la valeur des formüles trkliscendantés suivantes, quand on met aprés l'intégration gu: suovs 190q ^ LA lasasiaistt engoeoa z dz z? Je DR Ea A [FL 2-8 :lüsg^g s deer emoeis] de et ces autres, plus composées: qim pases pep Pee tg PIE rc, un zs; ges p rw -— e95 5b Jiybotq ed ^ Or, il ne parait aucune route Migde qui nous: poürrait: mener à ces déterminations, ce qui mérite, par cela méme, d'autant plus d'attention. E - , — ^em di Í una j i 15" t: "t ) fü : «q 12€ :Boq ZOTI!INOg 2U0fi. EI B E! í S8 " ! "m t8 b" P | 1 Y ? | 28 | » €* 8X m E " H 1 "" . SES !1 . " : : 3 g/^ yn l : | E L í tW —— n» Qum — ——- T yt : : - E « t. E AS : "Am i 1 i Er t -Á ( i ; j 1 " 1J 1 1 aenaob .9315:012b. 6] 35698 »20vib esxóun. IG xb 291) Jubotq 3I ; A V b! E " (^ ; l & : . & j d ( l 9t. »: [y j L ! i (v -1 i ) " Y--0 j i^ , A) 5l Lj 129 *golsv si 3uob M I [- à "^ X : e Y. | | A» " ( i i " Ae t ! 9^ (^ h f^ 1 j * Lj . :ieeus maid mo k [. X - x " — i UA, 1 »- MECTMS E f -— ) 1 | no i 1 q si & 310002 iUp o[unrol | Lj 1 1 * "V 5b. 309lav.sl * * t 1 , "u I | 4 à; Y ( 1 ( $) " | BE. B 53 ee Y iH : , " ] : 1 | ! Y ! à j Pn ETE I rt ONERE VERERSA SESS ls XXI. | De lineis curvis, quarum rectificatio. er datam quadraturam * mensuratur. . *. It i^ 1.' Satis notum est problema inter Geometras olim multum agitatum, quo lineae curvae quae- rebantur, quarum rectifieatio a datae curvae quadratüra pendeat, cujüs solutionem etiam Hermannus beatae memoriae contra exspectationem summorum 'Geometrarum ita feliciter expedivit, ut non solum infinitas curvas. algebraicas; quarum. réétificatio a data quadratura penderet, exhibuerit, sed: etiam hanc conditionem adjunxerit, ut istae curvae unum duosve atque adeo tot, quot lubuerit, haberent arcus absolute. rectificabiles.... Cum autem methodus, qua Hesnnueun erat usus, nimis videretur recondita, neque ad uberiorem usum in Analysi satis accommodata, aliam methodum planam. ac facilem investigavi, cujus ope non solum hoc problema, sed etiam omnia, quae hujus generis occur- rere queant, expedite resolvi possunt, Complectitur ista methodus quasi novam Analyseos speciem, eujus elementa, quae multo latius patere videntur, dilucide pani 5 in Novis Commentarii Academiae rines Petropolitanae. i ^9. 'Hujus methodi beneficio, si proponatur quadratura seu formula integralis quaecunque f'Zdz, existente" Z functione ipsius z quacunque, innumeràábiles curvae algebraicae definiri possunt, quarum rectificatio ab ista formula ita pendeat, ut ejus integratione concessa omnes harum curvarüm arcus indefinite definiri queant, : Per. variabilem. scilicet -z. ejusmodi expressiones algobraicae . pro coordinatis a et y assignantur, ut inde formulae y (d a? 4— d y?). integratio. perducatur. ad. hujusmodi formam «/ Zdz--F, ubi F sit functio algebraica ipsius z. Verum haec quantitas 7 non arbitrio nostro relinquitur, etiamsi infinitis modis variari queat: atque.hinc ope methodi a me traditae, pro- blema non ita resolvi potest, ut curvarum inveniendarum arcus absolute per. formulam | propositam. f[2dz ejusve multiplum « "P Zdz ,exprimantur. ! 3. Maxime igitur diversum . est problema, quo quaeruntur curyae algebraicae, quarum arcus per propositam quampiam formulam integralem /Zdz simpliciter, sine adjunctione cujusdam func- tionis algebraicae exprimantur. Atque adeo hoc problema saepenumero ne solutionem quidem admittere videtur. -.]ta- si.sit Z — 55 et curva algebraica sit investiganda, eujus arcus per a f L4 z — seu aiz exprimatur, vehementer dubito, num quisquam unquam hujusmodi curvam sit reperturus? 440 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. B c Quaestio scilicet huc redit, ut ejusmodi binae functiones algebraicae ipsius z inveniantur, quae pro. . coordinatis & et y substitutae praebeant y/(da*-- dy!)-- 7. Postquam equidem hoc problema multis modis tentavi, aliisque insignibus Geometris enodandum proposui, neque ego, neque quisquam alius solutionem assequi potuimus: cum tamen in genere si quaeratur curva algébraica, cujus recti- ficatio a logarithmis pendeat, problema sit facillimum, atque adeo parabola conica ei satisfaciat. Unde concludendum est hoc problema vel omnino nullam solutionem admittere, vel methodum ad- huc plane nobis incognitam requirere. UE h. Evenire quoque posse videtur, ut hujusmodi problemata unicam tantum solutionem admit- tant, neque plus una curva exhiberi queat, cujus arcus per datam formulam integralem. exprimaguue. Equidem hoc sum expertus in formula race qua arcus circuli exprimitur: nullam. enim aliam - lineam curvam algebraicam .invenire potui, cujus arcus per eandem formulam exprimeretur. Sic nulla videtur extare curva algebraica, cujus arcui cuicunque aequalis arcus circularis exhiberi queat, etiamsi innumerabiles lineae algebraicae. sint, notae, quarum rectificatio, a. rectificatione. circuli. pendeat. Statim enim atque hae curvae a circulo sunt diversae, .earum. arcus aequantur aggregato ex arcu quodam circulari.et linea. geometrice assignabili, quae nonnisi. certis casibus in nihilum abire: potest. Idem tenendum est de formulis [oaitss et [i ape in quas illa formula ih fr eda 1 per substitutiones transformari potest. : ) 9d 5. Dantur tamen etiam ejusmodi formulae f'Zdz, pro quibus innumerabiles curvae algebraicae exhiberi possunt, ita ut infinitae curvae algebraicae assignari queant, in quarum una si capiatur arcus quicunque, in reliquis omnibus pares arcus abscindere liceat. Huc imprimis pertinet problema olim 91 a Celebb. Bernoulliis tractatum, quo curva algebraica quaerebatur, cujus rectificatio cum rectifica- 5 d tione curvae elasticae conveniret, seu per hanc formulam Tuscus exprimeretur: invenerunt. enim. lineam quarti ordinis, ob figuram lemniscatam dictam, quae huic scopo satisfaceret. Ostendam autem praeter lemniscatam infinitas alias exhiberi posse. curvas algebraicas, quarum. arcus. generatim per . eandem formulam exprimantur. Cum igitur lemniscata, docente lll. Fagnano, hanc habeat. insignem: proprietatem, ut in ea perinde atque in circulo, arcus quotcunque aequales abscindi queant, eadem: proprietas quoque in omnes curvas, quarum arcus per eandem formulam etus i exprimuntur, competet; quae ergo merentur, ut diligentius evolvantur. ol 6. Methodus quidem, qua hanc investigationem suscipio, per se satis est plana, et ope ealeuli angulorum facile expediri potest. Si enim arcus cujuspiam curvae per lianc formulam /Zdz debeat exprimi, vocatis coordinatis orthogonalibus » et y, atque introducto angulo w—— 9, statuatur toit E et dy —Zdzsing | sic enim prodibit arcus elementum ieoqo1q 79 V(da?-- dy?) — Zdz, ipseque arcus — /Zdz. ! sigo Unde quaestio huc redit, ut quemadmodum arcus q ad variabilem z comparatus. esse debeat, in- vestigetur, ut ambae formulae Zdz cos et Zdzsin q evadant integrabiles: . quippe. quod. conditio, 15a o A PAR TS Si tud gyprrQTPeU——mmwec$L De curvis, quarum rectificatio per. quadraturas mensuratur. 441 qua curvae debent esse algebraicae, postulat. Hunc in finem illae integrationes per solos sinus et cosinus angulorum sunt absolvendae, neque ipsi anguli, qui formulas redderent transcendentes, sunt admittendi. De curva lemniscata. 7. Propositum ergo sit curvas algebraicas investigare, quarum arcus indefinite per hanc. for- : d : - ^st : mulam integralem Ibn exprimantur, et positis coordinatis orthogonalibus & et y statuamus "a aadz aadz da — vis 008 9 et dy — y (a —, 9 9» quas formulas absolute integrabiles reddi oportet. Ut partem Vac) quoque ad calculum angulo- rum.perducam, pono zz — aa sin Ó, ut fiat Y/(a*—z*) — aa cos 0, et ob z — a Y sinó erit bé ..., ad6 cos 0 it aadz X. ad0 - 9Y sinó ' y(a$—:5) — 9Y sinó Hinc itaque nostrae formulae integrabiles reddendae sunt -— — quu ad6 cos o . ad6 sing vao 2Y sin - dy — 4 sin Ponamus ergo o — nÓ, ut sit | |. Q9dz dócosn 9dy — d0sin n8 "eger o NV ra a Y sin 8 " a Y sin 0 et videamus quinam valores pro n sumti has ambas formulas integrabiles reddant. 8. Consideremus in genere has formulas d0 cos m0 " d6 sin mÓ Y sin 0 Y sin 0 et perpendamus quomódo ad simpliciores revocari possunt. ^ Talis enim- reductio unica via esse v.detur ad casus integrabilitatis eruendos. — Statuamus ergo primo | P. — cos (n — 1) 0 . Y sin 0, et differentiando habebitur . : dP "à —(m—1) d6 sin(m—1)8 L E H dÓ cos (06 40 » COS "E sin 0 Cum autem sit sin « sin 9 — i cos (c — 1)0— cos (s 4- 1)8 et cosaóÓ cos 0 — 3 cos (a — 1)0 u- cos (a -1- 1)8, som — (2m — 3) 46 cos (m — 2)0 2- (2m — 1) d0 cos m9 ere AY sin 0 d erit unde obtinetur fd0cosmO0 — Acos(m—1)0Y sinü — 9m—3 f d cos(m—2)6 J Ysa6 — 9m —1 ^ aui Yn 9.. Si deinde simili modo. statuamus | Q — sin (m — 1)6Y sin, erit differentiando ; Min 4 L. Euleri Op.pósthuma T I. 956 442 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ... Analysis. dQ- Num mee MN Pap CN Y sin 6 Cum vero sit cos e Ó sin 0 — — g sin (a — 1)0 -- sin (e A- 1)0 et sinaó cos 6 — -i- , sin (« — 00-3 sin (« -- 18, erit per has substitutiones (99 L 3) 0 sin (m — 9)0 i- (3m — 1) d6 sin m6 »8Q AY sin 0 | T pg luloeds enjumeiol aegp Unde singulis partibus integratis consequemur ... . t z- 2i 00g. .080b1254 GE fdósinm0 — 4sin(m—1)0Y sinü ^. 9m —3 fdósin (m—92)0 J Ya ^ — — M—R 9m —1 J Y M "n D^ ; ; ^ui : ; 0 r hincque ergo patet, si formulae propositae n .et C EEG fuerint inegnibügh casu n — 4, tum etiam integrabiles esse futuras casibus - je à , ' 0319. euidenod n — à -2-2, MC d n —À -2- 6, etc., sicque ex uno — resultare. casus dents ere : 55 Ti sgdms and ' : Y fev i ID eDOISS ibi? la 10. Ex his autem reps ci statim unus se offert casus absolute integrlilis, scie quando 2m — 3 — 0 seu e, 2 unde obtinemus do 3 3 2578s ELS NL ILC OE wi Rd rienbanqueq'ide , 255 4 8 quidsbow Deinde integratio succedet casu m—y 5 seu Sm cR Jo unde fi | d Dueb. ] ia d 7 2 9 I Fox 2j TN Lor Lev c——.c08 — i pum ien mitdsdead obusilaeadilhil : 7 sin $ C08 d g Cos EE OY sin; T jmib aa amada 9 ! [7 ,; sin ng30— in fU sind 2. Us so 1 Y di c | i NE») 8094— — — gez Ny ftia. Sym die INFR Hine progressus patet ad casum —— seu. duas 11, EL rU. : s dó MM, io d "P m 735599930 g c9 $ Y sh 0 Vie j' s $ 2Y sin 2-- 2.10 cos 5 Gy sin 6, xb i19 f, sint o— 2 3 oy in 9! de 5 9y sing --2 3. 4 gin ; 0Y sino, | Y sin 0 2 $5 3. 5 Y .5 'Liris(u3 do SDagd et sequens casus m — praebebit I Een L| it $7,048: 3*8 d d iH Vembaphimiduions o Vl bog: — -o f d$ — (3 un 4.6. 9, 3.4.6 « T 4.6 d ; LET (T sing 4 yug Pn SE ur PA $4-2.5 3.5.7 91 y P) V,Sin Gic is |. esuditón «Q0 De curvis, quarum rectificatio per. quadraturas | mensuratur. 443 11. Ut in co?fficientibus angulorum fractiones evitemus, ponamus 0 — 20, ut sit * . zz zz—-aasin2o, seu sin 29 — red unde erit u sino 5 Y (12 2) — 5 y (1 — 7) et cos e Y (f 4-2) 4 Y (f — 2): Atque infinitas curvas algebraicas exhibere poterimus, quarum arcus seu valor integralis JG d »f^d ( aad: Y (a*— E af rii sin do Ac curva quidem prima eaque simplicissima his continebitur doordinatis praecise fiat aequalis formulae ,, 5.4005 9Y sin 20. et. y —a sin e Y sin 2c, ex edis fit aa - yy—aasin2e et. y (vx--yy)-—2a4Y sin2c. Hinc ergo porro elicitur DIM ilo o aM ipu 5g ber Y(er--w) i os Y(zz 3a-wy)" LH . imum B m 9 zy " . . i Ji H Li ideoque sin 2» — 2 sin e cos o — y ADR Quo MT substituto habebitur aequatio inter solas c et y pro curva "v (em :Saany, . quae est ipsa aequatio lemniscatae. " 12. Secunda curva algebraica, cujus arcus per eandem formulam aadz —— do » Vy(Ri-3 75 a 7 i" hf exprimuntur, continebitur his:coordinatis a e "e 5o-- 2 cos o) Y' sin 26, y— s (sin Soo -i B sin o) Y sin 2o. | Tertia porro curva aeque saifaciens his: 4 4.9 ez $ (oso cs Sac. e05o) Y Sino, ou * (dni ba: t sin 5o 4-5: sing) Y sin o. Quarta vero his: ad a — — (cos 1304-7 cos 9o -i- LR mL LL E t cos o) Y' sin 20, 6 6.4.2 $- — 7 (sin f3o-e 5 sinbo-e T: jsn$o PT 3. ; sin o) Y sin o. t L| Quinta hinc solite formari potest 444 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. - : Analysis. "T c 8.6 8.6.4 8.6.4.2 q — 3 (cos i16 3: 9 60843001,:8:8 cos 90 -- — —. cos dala LCD 7 7.5 1.5.3 — & p. 8. 8.6 . 8.6.4 y — g (sin 170 a- 7 sin 130 34- — sin 99 4-777 sin e) Y sin 2o. 13. - Sic igitur infinitas nacti sumus curvas algebraicas, quarum rectificatio plane congruit cum rectificatione lemniscatae, ita ut cuique arcui hujus curvae in omnibus illis arcus aequales abscindi possint; vix tamen asseverare ausim, praeter has nullas dari alias curvas algebraicas, quae eadem praeditae sint proprietate. Methodus enim, quà sum usus, non ita est comparata, ut pro generali haberi possit, propterea quod in formulis $ 7 angulum g tanquam 'iultiplum anguli 6^ spectavi, cum tamen fortasse alia relatio inter eos intercedere possit, quae ad integrationem aeque sit acco- modata. Hoc inde suspicari licet, quod si aliae formulae integrales //Zdz proponantur, eaeque pari modo ad angulum quempiam O reducantur, integratio non succedat pro angulo g multiplum anguli Q assumendo, cum tamen saepenumero aliae relationes negotium conficiant. Hujusmodi casus probe notasse-juvabit, quoniam "inde forte methodum latius patentem talia: problemata tractandi derivare licebit, si cunctae operationes , quas varia problemata singularia requirunt, diligenter per- pendantur, atque inter se Conferantur. Quem in finem unam atque alteram solutionem similium quaestionum. adjungam. poobi in De Parabola. viia 1^. Propositum itaque sit alias curvas algebraicas investigare, quarum rectificatio conveniat cum rectificatione parabolae, seu quarum arcus indefinite exprimatur per hanc formulam: ^^ [| uw rd / E V(da 2). (uo 55i 8 £viu $bnpo9oe i Necesse igitur est, ut coordinatae ortliogonales ita se habeant q — [7 9** V(aa a4- z2) et y — [555 y (aa zz); i09 Idm iique ubi definiendum erit, qualem relationem, angulus: q ad. variabilem . z tenere debeat, ut ambae istae formulae integrabiles reddantur. Tosnm. ergo L— uem E 0, ut fiat Y'(aa -4- zz) — a sec 0 — —— x odas c LL et cum sib. —— —37 erit arcus Y net Y (aa -- vie — - fm et coordinatae: co gn dÓ cos p a désnp * Pi e " M raid P. Jet atque hic iterum observo, certa beni anguli 0 pro angulo g exhiberi posse, quibus ambae formulae integrabiles evadant.: -Statuatur, ergo '.— n0;'-ut habeamus: pro coordinatis sequentes expressiones: | | o1 sap) d cos n0 d sin n6 m t arg. et RADI TUN. 15. Jam per reductionem formularum integralium, quali gupra qum. usus, reperiemus fim 9 sin (n— 1) 0 LL (2-1) [6 cos (n —9) 0 piodnnt 5 gout Dd (na 1) d0 sin (n — 9) 6 cos? 0 (n—3)cos*0 . n—3 J cos? 0 "- 4 eos0 ^" (n—3)cos?0 mes ams 0$ «0830... De curvis, quarum. rectificatio per. quadraturas mensuratur. 445 unde patet, si integratio suecedat casu quocunque à — A, eam quoque succedere casibus n-—A--9, n-—AÀ--MV, n—42--6, etc., sicque infinitas curvas algebraicas ex unica. impetrari. Patet autem si sit n — 3, fore T cos0 — sin 20 put -— cos 90 : cos? 0 ^ 9 cos? 0 cos? à 7... 9 cost 0" sve ft cosÓ — sin6 m" I2. sinü — 1 cos?0 ^ cosQ .. cd —. . 3 cos 0? quo càásu prodit . .asin6 t pt a "nia cc . a sin? 0 7. cos Ó ? X — g cos? 0 $9. à; — à cos? 0" v i I1 a . F- hincque Y —34,--g» quae est aequatio pro ipsa parabola. .16.. Verum etiamsi hic unum casum integrabilitatis, quo. q? — 6 seu n — 1 habeamus cogni- tum, tamen singulari fato ex eo nulli alii casus elici possunt. Si enim statuamus n — :3, ob deno- minatorem n — 3 evanescentem, integralia inde pro casu q — 3Ó0 minime reperiuntur. Casu autem n- —1 formulae praecedentes redeunt, ita ut 'propter hoc incommodum nullus aditus ad curvas magis compositas pateat. Videri ergo posset parabola pari conditione praedita ac circulus, ut praeter se ipsam nullas alias agnoscat curvas algebraicas secum. commensurabiles. Ex ipsa verum angulorum compositione manifestum est, quicunque numerus integer qwepta unitate pro n statuatur, formulam FAT nunquam integrabilem evadere, sed semper per integrationem ipsum angulum 4 induci. Interim tamen .alia methodo quaesito satisfieri potest, unde 'non difficulter talis curva eruitur | ^ — zYy(barzz) et y—' y (ha-zz), seu y*— (zc--yy), pro qua est Y (da? 3-dy?) — dzy (14-22). De Ellipsi. 17. Progredior ergo: ad curvas-algebraicas indagandas,:quarum arcus cum arcubus ellipseos ' Sint commensurabiles. Quaestio €— huc redit, ut curvarum inveniendarum arcus exprimantur per hanc formulam /dzYy/(1 Mb n quae est formula pro arcu elliptico abscissae z respondente, dum applicata est — my Mut, Pro curvis ergo, quas quaerimus, statuamus coordinatas e fdi cos gy (1 -- 2*5) et y — fdzsin py (1 a- 7725, e videamus quomodo angulus 9 capi debeat, ut ambae istae formulae fiant integrabiles. Ponamus .z—sinÓ, et hae formulae erunt p — n cos 9 Y (cos? 0 -r- mm sin? 2) e y— f/46 sin g Y (cos? 0 -- mm sin? 0), ubi manifestum est, quaecunque multipla anguli 9 pro q^ statuantür, has expressiones nullo modo ad integrationem perduci posse. Aliis ergo artificiis erit utendum, siquidem certum est dari curvas algebraicas quaesito satisfacientes. ! 446 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | . Analysis. 18. Quoniam irrationalitas negotium turbat; ad ejus speciem. saltem tollendam pono miang Ó tang e, ut sit mm sin? 0 — cos? O tang? o, . 2 *9 "y cos 0 l LI —— . hineque Y (cos* à -3- mm sin? 6) eos 0 Y(1 -t.tang? à) — —— Hac substitutione facta nostrae coordinatae erunt 0 cos 0 cos dO cos 0 sí q — uu AE ?^ et y-— [—— : cos o * cos o. ubi notandum est angulos Ó et cita a se invicem pendere, "ut sit . mdO - do ibo | 7m n — tan T . iE. D: | mda gÓ-tango, ideoque —7; a M. s Statuatur jam q —nÓ0 —o0, et ob cos q — eós nó 608.9 -: sin hÓ-sin c et. siny e 64 AP qUURPCME NE iif coordinatae ita exprimentur, ut sit ob tang o — m tang Ó | - q —— f'dÓ cos 0 cos nO -- f/dÓ cos Ó sin nO tàng o —— J'dÓ (cos 0 cos nÓ -- m sin Ó sin uc —fd6i €os Ü sin AO — //dÓ cos 0 cosnÓ tang o — f'dÓ(cos 0 sin nO — m sin Ó cos 48," quas deni quicunque numerus pro n assumatur praeter unitatem, gnantiestum, est semper « esse — sin Ó cos nÓ — integrabiles. iq : Tt 19. | Cum quu sit cos cos nó — e cos (i-—1)0 2- $ eos (n-4-1)5, sllpa tügeqi se v— )z9 19 i " " 4 sin 6 sin nÓ t cos s (n— 1)0 — cos itat eei --— i: 1 Vogt (,,C08 sinn —— 3s iier v dea g S90 (not- 1)0, o inioial | .donbni : 9 sin (n—1)6 — sin (n2-1)0, substituendis hís valoribus habebimus "X me (zr | | «— 3 fd0 ((i -- 1) cos (n — 1)0 — (m — 1) cos (n -- 1)0), y —5'f40 ((m -- 1) sin (n — 1)0 — (m —— 1) sin (n -&- 1)0); unde valores integrales sponte fluunt: qp — -- (m a- 1) sin (n — 1) 0 (n 2 45 hin (n 3- fo (n — 1) no 9(n-- 1) . : à 61592; q (6 aub. y xx d ael, emos eta JL BRE dl d diede 2 (n— 1) .O9(n-e1) Hineque c cum pro n numeros quoscunque rationales praeter unitatem accipere liceat, innumerabiles - lineae algebraicae exhiberi possunt. — A — À 20. . Cum igitur unitas pro n. dis S: nequeat, casus simplicissimus. prodihit, si ponatur p quo ergo habebitur p —-. eii naim UM Ter WEP, y zem 1 (m 4- 1)c050&- 5 3 (m — 1) cosó — meos 6, NS oup esoinqdoglá unde fit din kc dug sen 1 J- ubi quidem valorem ipsius Y negative sumsi. Similes fere je Maps prodeunt, si ponatur n2, cune gna 1)60s.3 0 2 3 (m — 1)6055.0,... m (ni — 1) 092.6 a 2- (m - 1) cos 4 6. De curvis, quarum rectificatio per. quadraturas. mensuratur. AAT unde fit mma -- yy — mm, ideoque — quae est. aequatio pro 'ellipsi proposita, cujus arcus ob 2 — sinó — z utique est / dzy(1 as T, uti requiritur, erit enim ics x et «doris ia Aliae vero curvae, quarum eadem est rectificatio, prodibunt, si numero m praeter unitatem alii valores tribuantur. Sit igitur n — 2, atque habebitur | m — 1) cos 36, g hls. s aid : (9-05 iori ndi 36 (m — 1) —$ (mm — 1) cos 20, seu ca --yy— jme $ mL — (nm — 1) cos 28. Verum praestat. uti formulis illis pro. 2 et y inventis, quia. ad enguoscendam et construendam curvam sunt maxime idoneae. ^'^ 91. Antequath in evolutione horum casuum ulterius progrediar, notari conveniet, quantitatem m tam negative quàm affirmative capi posse, propterea quod in expressione arcus quadratum mim fantum inest. Verumtamen iidem casus resultant, si numerus n négative capiatur, ita ut quan- tilàte m 'ambigüa assumta, non opus sit pro n valores negativos. statuere. "Hinc ergo quilibet numerus positivus pro n sumtus duas praebet lineas algebraicas, prouti m vel affirmative accipitur, vel negative; sicque post ellipsin has duas habebimus: curvas satisfacientes A — 3 (n^ f) sna — $ (n — t)sin 36, : dp— ign 1) sinó— 4 (m -- 1) sin 36, diurna eig, Folia Rcs A ye (m — 1) cós 9— « (ni 1) cos 36, 2 unde quoque hae duae curvae oriuntur - ber Arti raa ep Di à — (m —— 1) sin. 0 — - (m a- 1) sin 5.6, ye(n-e esr 6. 3 (m — gray | y —-(n—i) C09 2 * y (n 4- 4) cos 8. Atque evidens est dliüninkado arcu Ó has quatuor aequationes ad busdam, ordinem esse ascensuras. "ga. Ponaihus n — 3, hincque duae nascentur curvae istae — (n -e 1) sin 20— £ (n — 1) sin d, ws FRIR SH Made Re 1 y 4 (na- 1) cos 20 — s (n—1) cos i ! Ana dm ii Aag kÓ, blüe 6. ied At si ponamus voe non multum absimiles hae curvae nascuntur : "gs (m £)sin 2 0 — 2 (m— 1) sin 7 0, g— 4 (m—1) sin 5-0 — 5. (m -- 1) sin 7 g; gui 3 E 3 3 448 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. | Analysis. . . - M . Omnes enim hae quatuor curvae tantum ad ordinem linearum quartum: referuntur. . Ex quibus per- spicuum est, quomodo ex quavis hypothesi quaternae curvae elici queant, ad eundem. ordinem referendae, nisi quatenus forte casu ordo deprimi possit. Haec ergo infinita linearum algebraicarum - multitudo, quarum arcus omnes per arcus ellipticos absolute mensurantur, omnino est notatu digna, idque eo magis, quod pro omnibus coordinatae c et y binis tantum terminis exprimuntur; ünde earum constructio haud parum concinna adornari potest, etiamsi plerumque curvae ad altiores linearum. ordines referantur. * i d 23. De his autem omnibus lineis imprimis est notandum, eas ad classem Epicycloidum - et Hypocycloidum pertinere ac per motum volutorium circuli super peripheria alterius ' circuli, sive extus sive intus describi posse. Hoc autem hae curvae:a vulgaribus epicycloidibus et hypocycloidibus differunt, quod in circulo mobili punctum describens non in ejus peripheria, sed sive extra sive intra eam assumi debet. Si enim in peripheria caperetur, quo casu epieycloides et hypocycloides vulgares prodirent, curvae: descriptae absolute essent rectificabiles, neque ideirco ad^ nostrum "insti- tutum essent accommodatae: sin autem punctum describens in ipso, centro. circuli* mobilis. assumere- tur, curva descripta perpetuo foret circulus. Verum sive punctum describens. capiatur extra,..sive. intra peripheriam circuli mobilis, hoe modo semper curvae. describuntur, quarum rectificatio per arcus ellipticos absolute confici potest. Nostrae ergo curvae prodibunt, .si distantia. puncti , deseri bentis a centro circuli mobilis sive major fuerit sive minor quam. ejus semidiameter, . oaa 2*. Natura autem hujusmodi linearum accuratius perpensa, curvae, quarum arcus. per arcus datae ellipsis mensurantur, ita describi posse deprehendentur. Sit in ellipsi proposita ratio amborum axium principalium —1:m, ac posito radio circuli mobilis —rn, capiatur distantia puncti descri- 1 1 bentis ab ejus centro sive— ——— r, sive— — — r. Tum si ist&^ circulus super quocunque. alio m-—1 | m-2-1 - circulo sive extus sive intus provolvatur, ab utroque puncto describente semper ejusmodi. curva describetur, cujus rectificatio cum rectificatione ellipsis propositae conveniet. Quo autem curvae hoc modo descriptae fiant algebraicae, necesse est, ut radius circuli mobilis ad radium circuli immoti rationem teneat rationalem, quae quo fuerit simplicior, eo minus curvae descriptae erunt, compositae: ac constituto quidem circulo immoto, sive mobilis extra eum, sive intra volvatur, tum vero sive punctum describens extra sive intra circulum mobilem accipitur, quaternae illae curvae describentur, quas conjunctas inveneramus. »nptA 25. Operae pretium fore videtur harum linearum epi- et hypocycloidalium proprietates prima- rias, quatenus huc pertinent, ac praecipue earum rectificationem attentius contemplari. Sit igitur (Fig. 50, 51 item. 52, 53) C centrum circuli immoti 4/Q, ejusque radius C4 — CQ — a, super cujus peripheria. volvatur cireulus OL RQ7, cujus radius. QQ — OR — r; sitque. punctum . describens M in radio OR, ac vocetur OM — pr, ita ut sit sive um -— M descripta sit curva DM, cujus initium D ei respondeat circuli mobilis situi, quo 'Puacluin R . Hoc modo a stilo . m » Sive 4 — — tangebat circulum. immotum in 44. Hinc ergo ex natura motus volutorii erit arcus Q It aequalis arcui QA4. Quare si dicamus angulum 4C — 9, ob arcum 4Q— QR -—ag, erit angulus Q0R—- g. Vocemus autem brevitatis gratia hune: angulum QOR— «, ut sit oL. —Tum De curvis, quarum rectificatio per. quadraturas mensuratur. 449 vero ex punctis M et O ad rectam C4 pro axe assumtam demittantur perpendicula MP et OS, itemque ex M in rectam MT axi 4C parallelam, sintque coordinatae orthogonales curvae descriptae CPzzeowuPM-y. 26. Cum jam sit angulus 4/CQ — y et CO —a-*- r, ubi signum superius pro curvis epicy- cloidalibus, inferius vero pro hypocycloidalibus valet, erit CS — (a-*-r) cos et OS — (a-*-r) sin g. Deinde ob ang. COS — 90^ — y et CO Ii — ag, erit ang. MO T — (« A- 1) y — 90? pro epicycloi- dalibus (Figg. 50, 51), at pro hypocycloidalibus (Figg.52,53), ob COS—90^ —g et COR— 180^ —og, 4 erit ang MO T — 90? — (a—1) y, unde ex triangulo OMT ad T rectangulo, ob latus OM — pr, obtinebimus pro utroque casu PU U»-— Q—— y n -— ".—1.-— curvarum epicycloidalium Fig. 50 et 51: curvarum hypocycloidalium Fig. 52 et 53: MT — — ur cos (a A- 1) g, MT — ur cos (« — 1) g, E- OT — -- ur sin (e -- 1) 9, OT — ursin (c — t) g, 1 ergo CP — (a-i-r)cos —,rcos(a3-1)g —2, | ergo CP — (a—r)cosq-a-urcos(a—1) —, : PM-— (a-r)sin y —jgrsin(a3-1)g —y. P M — (a—r)sing -- ur sin («—1)g —y. Consequenter pro utroque casu conjunctim UP zd (air) €05 q -4- 1er cos (1 d) 9; PM — y — (a-t-r) sin o zc pr sin (1 E) q, 27. Hinc ergo videmus totum discrimen inter has curvas epicycloidales et hypocycloidales c . tantum in signo quantitatis r esse situm, ita ut omnes his expressionibus pro coordinatis CP — a: . et PM —y possimus complecti EB : qg — (a a- r) cos p — ur cos (1 4- —) 9, * . a : y — (ac r)sin e — ur sin (1 4- —) g, : . quae proprie ad epicycloidales pertinent, sed sumta quantitate r negativa simul ad hypocycloidales extenduntur. Differentiando ergo habebimus dao — — (a--r)dg (sin q — u sin (1 L) q) | dy — -- (a 4- r) dq (cos — u cos (1 a 1)g) - unde elementum arcus hujus curvae V (da?-i- dy?) — ds reperitur d$ — (a4 r) dp Y (1 -- uu — 24 cos E qv), - et radius osculi in M ita erit expressus: 3 (a 4- 7) (La- 4i — 99 cos — 9)? 12-45 — s (24- MIL 28. Quaecunque igitur hujusmodi curva descripta dabitur ellipsis, in qua arcui curvae D M — arcus aequalis assignari poterit. Sit (Fig. 5&) «dbe haec ellipsis, ejusque axes orthogonales ab et de; , . wocetur semiaxis minor ca — có — c et semiaxis major ed — ce — mc, sumtaque super illo a centro mimnzz ) ; — € abscissa cp — z, erit applicata pm — m V (ec — zz) et arcus ellipticus dm — /'dzY(t -- ^. cc — zi $ Statuatur z — c sin Ó, eritque hic arcus L. Euleri Op. posthama T. 1. 51 450 bi EULERI OPERA POSTHUMA. .... "—— bd dm — fed&y(1 - (m mm — 1) si d) — f'edüY(5. (mm -- 1) — (nm 1) cos 26), quae forma ut illi pro d's inventae aequalis reddatur, fieri oportet EMAE.. UN. mm-4-1 4--unu Lr, Meet QG-—4:9-—3Q00Rh e. y » seu mob mm —41 2u vel, quod eodem redit, capiatur EU: in Figg. 50, 51, 52, 53, eritque arcus ellipticus d -— fig: V ct unu cos. g). Superest ergo, ut sit —a-:- r, unde semiaxes ellipsis fiunt. ac 9 (u — 1)r 9 (u -- Dr(aa-7) a et cd —'ce-— üg zisppog 9 (u — Rant 29. In genere ergo habebimus hane constructionem pro ellipsi quaesita: | 2YM.CO Wu " semiaxis ca ARMICO et semiaxis ed ce: ——ILÉ—— LL m —————— | C€Q cQ 3 qua descripta circa centrum € radio ca — cb delineetur circulus A tum dubai radius en ita, | ut sit angulus fen — $ Q0, et per n ducta recta pnm axi majori de parallela, erit arcus ellip- 1 ticus dm aequalis arcui curvae supra descriptae DM. Unde patet, si circulus mobilis jam per. semiperipheriam fuerit provolutus, quod evenit cum punctum /J7 circulo immoto applicabitur, tum longitudinem curvae descriptae aequalem fore quadranti elliptico dna... Cum autem cireulus. mobilis integram revolutionem absolverit, tractus curvae descriptae semiperipheriae ellipticae dae erit aequalis; Sicque uti ellipsis est curva in se rediens, ita provolutione continuata. longitudo .eurvae continuo crescet. : 30. De his curvis adhuc notari meretur ipsam quoque ellipsin inter eas comprehendi. Si enim pro hypocycloidalibus sumatur radius circuli immoti aequalis diametro circuli mobilis seu a — 2r, vel si in nostris formulis $ 27 ponamus p d, habebimus 2 É eS | (15179 qi» Lacosg-- I URAp sein p) rop, i y* gsm p — y na sing —— (1— p) rsin g, unde prodit | ccc yy ücap aoa Ur quae est aequatio pro ellipsi, cujus semiaxes sunt (u — Ür et (u--1)r seu. MR et MP, Neri ea | ipsa ellipsis, cujus arcubus nostrae curvae mensurantur: nam ob CQ — 2C0 fit utque ca — RM | 1 et cd — V M. Potest itaque quaecunque ellipsis provolutione circuli intra peripheriam alterius | cireuli, cujus radius duplo est major, describi, ubicunque enim tum stylus in circulo mobili figatur, ab eo ellipsis describetur. | | ir) 31. innumerabiles autem curvae, quae sint cum arcubus parabolicis commensurabiles, quarum | supra unam exhibui, seu ut positis coordinatis à» et y, sit ide Y (da? -- dy?) — d zy (1 2 zz), ufu: d . De curvis, quarum rectificatio per. quadraturas mensuratur. 451 sequenti modo se habebunt. Ponatur Dl tang 9 seu tang y —n ac statuatur ... 9sinngo ... 9cosngo ^ nn cos? o X — an cos? g" erit semper, quicunque numerus pro n assumatur, /^y (da? -- d y?) — /'dzy (1 4- zr). Facile autem 9 ang. p eliminatur ob Y (ea -- yy) — ias unde fit y2 : - y €0S 9 — ——— —— hincque —cosnq. vere ME ventspmeens At si variabilem z retinere velimus, erit Agri lids Mun Ser Dos 3) inis cuin (00(0—-20-23(020:02 uc 1 1.2.3 3.56 1.9.3.4.5. 33 mq , n—2 (roe) t 4 4 : ESGILTT. NA &(n—41) mnnzz n(n— Dn- 9-9. Lou isl us : MCHIUPPFUM 7*5 7843:9.3.4 77 10368777 Kar k. b —.22 9. 0 ER T de decal debere M | . quae formulae, quoties n sumitur.numerus integer. positivus, finito terminorum numero constabunt. . Verum priores semper, etiamsi pro n. statuatur numerus fractus, ad aequationem finitam deducunt. — Veluti si n — 55 cum sit — dicere reteetis; i cos p — 4 [UE et ; es 9 S I, i Y (ez--yy) | E: LENA D , " T. | diu Et. cm. 27 . erit hinc cos — —3 .—4— ANTES unde obtinetur r. zc --yy cr--yy 64 | | (yy—a» zr--yy — (zz--yy* seu. er- — jani. 65 (ea -i- y y)? ( pro linea ordinis octavi. | Aid B e ffi -. A wd 8 2M 25. eun jdielisd a |a , | B Fd x | I^ E ] B.3 ( h 4 eem METRE TDI 459 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Analysis. XXII. De comparatione arcuum curvarum irrectificabilium. Sectio prima continens evolutionem hujus aequationis: 0—2--2/8 (a y )2- y (e84- y y) 3-90ny. : I. Si ex hac aequatione sigillatim utriusque variabilis 2 et y. valor extrahatur, reperietur — — 9-3 — B — 0z - Y (BB — «3-9 8(8—) 2 - (89 — yy) aa) y : ; ;s Lu m8 8y — Y(88 — «y--986 — 92-09 — yy). a * [ " Ponatur brevitatis gratia 9/9 — «y — 4p, 8(0— y) — Bp et. 00 — yy — Cp, eritque | B 2 yy a- 9m — 2 Y (4 4-9 By a- Coix)p, B -2- ye A-Óy — — Y (d a- 2By a- Cyy)p. a. Litteris jam 4, B, C. pro lubitu assumtis, ex iis litterae e, 8, y, Ó et p sequenti modo à. . . B B . . . E finientur: Primo ex aequalitate secunda fit Ó — 5 — —, qui valor in tertia 9-4 A substitutus q y-—7q y—36-. dat 82 y mE ita ut sit DES y xrUP.- Bp Pegqyeea] eu ceRU ed Hinc autem aequalitas prima abit in hanc Ca« Ba« 88 — SEP e TP os dp 2 ex qua definietur p— S ri po indeque porro 3 — 8(ACB 3- BB B — BCo) t .. BB&( AC — BB) — . B(84B— B«) e* V TT pa odiuk Sic ergo litterae « et | arbitrio nostro relinquuntur, quarum altera quidem unitate exprimi poterit, altera vero constantem «arbitrariam, a coéfficientibus 4, B, € non pendentem, exhibebit. De comparatione arcuum. curvarum irrechficabilium. : 453 III. Differentietur. nunc aequatio proposita, ac prodibit ! do (8 -- yo -- y) A- dy (8 -— yy 4- 92) — 0, unde conficitur haec aequatio da Ms — dy B-—79--92^ B 72--8y! quae substitutis valoribus in articulo I inventis, abibit in hanc aequationem differentialem: dz : dy 0 —— Y(Ao-28z--Czz) Y(A--2By--Cyy) - eujus propterea integralis est ipsa aequatio assumta. . ( "4 Proposita ergo vicissim. hac aequatione dilfferentiali da dy (RS Y(A--2Bz--Cza) Y(A-a-9By--Cyy) 0, ejus integrale semper algebraice exhiberi poterit, quippe quod erit BB(AC — BB) (zz -A- yy) 4- 28(ACB -- BBB — BCo)zy B(2A8— Ba) /02co-4- 28 (z-4-y) 4- et quia hic continetur constans ab arbitrio nostro pendens, erit hoc integrale quoque completum aequationis differentialis propositae. Erit ergo retentis litteris graecis - : vel yu —8—92--Y(A--3Bz-- Coz)p L4 7 3 E —8 —8y —Y (A4- 9 By 4- Cyy)p " vel a2— i V. Quemadmodum autem istarum formularum integralium, differentia tà dz ^ dy Y(A--28z2-Cz2) — JY (A--2By-- Cyy) est constans, siquidem inter x et y ea relatio subsistat, ut sit .0—2a-2-248 (x -- y) -- y (xo A- yy) 4- 20oy, ita etiam eadem manente relatione, differentia hujusmodi formularum $5 21» ads f y" dy IAICECQACC Y (A -- 9 By 4- Cyy) J. commode exprimi potest; quos valores indagasse operae pretium erit. VE Posito ergo exponente n — 1, statuamus — mda $8 ydy agy Y(A2a-2Bz-2-Czz) Y(A-a-3By--Cyy ^" |j eritque valoribus initio traditis pro his formulis irrationalibus substituendis » A5A L. EULERI OPERA POSTHUMA...- m oe cdzYp ydyVp — dF. B 7y2-92 B--j2-2-8y ^? seu. cde (8 -- yo - Oy) a- ydy (8 a- yy 4-02) — 7 (8 - yy -02)(8 a- y*$--0y): at est (B-i- y y 4-02) (8 y A- 0 y) — 8 8-8 (y 4-9) (e3-y) 4 yX(za-t-yy)2- (y 2-99)ay. ne | scat Quo hanc formulam facilius expediamus, ponamus z--y — t et cy —u, erit à: q$c--yy-ii—2u eV a?-- y? — 0 — 3tu, sicque aequatio abit in hanc formam 5s 8 (ndo A- ydy) -- Y (eode D -- joy (di -pdy)- L4 Y (8/8-4- 81 (y-4-0)t2- y 8tt 4- (y — 8) y . |psa autem aequatio assumta fit: 0 — & - 2/8t a—- ytt -- 2(0—»y)u, et penitus introductis litteris t et u habebimus 8 (tdt—du) A- » (tdt -iténeendi) -r Oudt — t — a -- (y —0O)t a- (y y —09)u), geu dt(Bt -i- ytt — (y—9)u) — du(8 3-1) — Awimbsddd (y —8) t -- (yy—-88)u).. eut: VIII. Ex aequatione autem. assumta si differentietur, fit dt(g4- 1) — (y —9)du, |. unde aequationis ultimae prius membrum transformatur in | : j C 88— B Qr 2-9) rer tEng (epo ju quod cum aequale esse debeat huic formulae — 7; * (88 4- B ( (y-4-0) ERU ILE ?u), | ; | dy — is commode inde oritur : iue oak F-— Y». » Yp )— 8 ? —6 ! IX. Cum jam sit ( — 2 4- y, habebimus sequentem aequationem integratam , 125 Won f. ydy it (c y) Yp. J/ Y (AA-9Ba a- Coz) Ivac asy oy 0n. T6 existente 0 — «4-26 a --y) -- y (eo -- yy) 4- 90 my, siquidem relationes supra - exhibitae inter litteras 4, B, C et o, 8, y, Ó ac p locum habeant. Hinc ergo eadem manente determinatione variabilium x et y erit generalius: f. do 7 3a) f. dy QUA- 88y) a Conet. J SB(s--y)Yp. 5D6ti909 JY(A--9Bz--Czz) JY(A--9By--Cyy) ous y—8 | x. " Progrediamur porro, ac statuamus rccrcdc ju . yydy edi Y(A--9Bz--Czz) Y(A--29By--Cyy) - d nite — —J"-—»——-—- De comparatione arcuum: eurvarum. irrectificabilium. | 455 erit posito brevitatis ergo B8 eif rts CDU e Le u — T, si loco istarum formularum ^ surdarum valores ante reperti substituantur | ' vcdo(8-c- yo 2- Óy) errdy (oe ypyddpya —— existente ut ante £— p--y et u—ay. LEE P. Cum nunc sit 2*-- y —(*— itu 2uu, erit eliminatis variabilibus 2 ety B(ttdt — tdu — udi) a y (dt — ttdu — 21udt 4- udu) a Qu(tdt — du) — 24 sive dt (8tt — 8u-- yi — 2»tu -- 9u). — du Uifee Tira Dick: Óu) — S Cum autem sit du — zo, erit ] hae facta substitutione | " ctt Y» " dt | 28V, i7 Tt $C 881— 8 (y2-0) tt — neis Vie PN) SS —X CLP! ? 4,7 4Y/. —tdt plo tYp : sicque erit — 75 UP m purs | NM, — ———— t - Hine ergo adipiscimur sequentem aequationem integratam BER GIU sedare RM D J|vY(Aa-9Bz-2-Czz) — JY(A2-2By- Cyy) 7 2$6—38) ' . atque in genere concludimus fore | P al ba ME "Á dy(3I Aa- By a- Gyy) B(r--yYp — G(z --y?Yp - Y(A2a-29Bz--Caa) | — Const. — Y(A2-9By--Cyy) y—8 9(9—8) ^" : — fuerit 0 — « -- 28 (x -- y) a- y (eo 2 yy) 2- - 2Óay. Erit autem ex relation) supra p —p Yp 9A8—Ba 3 assignatis SR BYp sive T9484 7 — VI ay - 6a) XIII. Ponatur jam in genere z" da y"dy Y(A--2Bz--Czrzs) Y(A--2By--Cyy) - d FK, eritque ponendo T: 88 ci- a (y2-9)1 us. yótt 2- (y —0y u, a"da (B -- yer) --y^ dy (B -- yy 4- 92) — 7 E -oat ob 2--y—t et cy-—u habebimus dp rim m k: Mm dieque MPERETEREDTEEUTSEPY B c jy 0g 5 360-01 6-9 Y 49 XIV. Differentiando autem habebimus dtY (tt — Aw) 4- tdt — 9du 2Y (tt —4u) dtY (tt — Au) — tdt 4- 9du da 2y (tt — 4u) L| 456 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - Analysis. dt(B 3-1). y—8 ' quo valore substituto prodibit at ante vidimus esse du — dg MB ze) (09) Y (t4) 26 2(y —8) Y (tt — 4v) dv — HGB (0-8 (9) Vtt — 49) dnm 2(; —8) Y(tt — 4w) Hisque valoribus substitutis —dt(488-3- 48(y 3-8)ta- 4y0tt-i- 4(y —8)*w) — — Tdt 4(y —8) Y (tt — Au) ^ (—9)Y(t—4w). da (B - y& 2a- Óy) — -- Tdt j—9)Y (tt — Au). do | XV. " Nostra ergo aequatione per T divisa habebimus et dy (8 a- yy 3- 02) —: —dt(a—y" — ay Q—85)Y(t—4w) — Yp L2 cYp f(dt(z"— y") e Fue y—398J Y (tt —4u) j - existente dbi. et ye e ee atque Ee n: unde V(t2- ka) —- RES TEUE UE 9 - Unde valores i P 2 —V'. ex sequente progressione colli i oterunt: q9— V0 ea yér-4w—. 9 g!—y! Yea b g?-— y? 2d à ; à Y(tt—4w) ? a—y* | (2—238)tt —28t—a verzaeg nmm 3-5 Aims SORT PNE | —980 —48tt —9at Y (tt — Au) cprocdti ss .9(y —8) : g$—y5 ic Qo 7 (72-278 — 498) — 48(825—38) (0 2- (A88 — 4a 2-649) tt- 4a 8tA- «a ICT Pri 3ttu -- uu — 4G —5 etc. etc. 1 XVI. Nanciscemur ergo formulas sequentes integratas admo c f o y*dy EE Yp 1 2 .; E [va-csse x css; acc SE, acc, UE — go paa 0 — 89) -ey) —B(r-texy o ) | z'dc " " yidy ge Yp 1 P*€- 3 E P Jra-csss ces) — lraccaBy cy) ^ 0008 -- oo Ca 0 (0-1)! 2-3 Pise)! a- 3 o(e- quae scilicet locum habent, si variabiles 2 et y ita a se invicem pendent, ut sit Q — o 2 2 8 (z-A-y) A y (o9 A- yy) a- 20xy, atque hi coéfficientes pariter atque p secundum praescriptas formulas ex datis 4, B, C determinentur. - esr e^ isnt De comparatione arcuum | curvarum irrectifiabilium. A5'T 3enoq oTtoq-ie 5A. (55 — Pr p58$. W — 34.4 XVKH. .5- 4Ulrroq mon emm] nbi? . Hinc ergo infinitae formulae- integrales exhiberi'possunt, quae etsi ipsae mon 'sint- intégrabiles, earum tamen differentia vel sit constans, vel geometrice seu algebraice assignari queat. Quae com- | paratio cum in analysi insignem habeat usum, tum imprimis-in arcubus curvarum irrectificabiliutn inter se comparandis summam affert utilitatem, quam. in aliquot exemplis ostendisse juvabit. De — arcuum Circuli. 1. Sit radius circuli — t, in eoque abscissa a centro sumta —i erit arcus ei respondens raus cujus propterea sinus est —z Ut igitur nostrae formulae lijusmodi | arcus circuli exprimant, RA^ debet 4 — 1, D —0, c— —— LU os facto habebimus. has enim determinationes ab ipsa origine peti oportet, quia ob p— 0, Sdn inventi fiunt i incongrui. Jam ex formula secunda sequitur vel Ó— y — 0, vel 2 — 0, quorum ille valor à — 7 formulae tertiae adversatur. Erit ergo 2 — 0, dur ii idi ét. — . Ambae ergó quantitates con- stantes ? et p arbitrio nostro t mac TRU eR m ET jd adonde 2. Quo formulae nostrae fiant simpliciores,- ponamus y zetp-ée, eriique | o — 7 05, 8 —9, J/ et à— —— Y (1 — ec), ac nostra aequatio canonica, oa UR váriabiliüni" c ety oce fiet 0 — — cc c à c yy — 22y Y (1 — eo), | ex qua colligitur ——— e. zy (1 —«) 3 ts MAL —2). Xr 3. Quodsi ergo iste valor ipsi y tribuatur, erit f da aü»d dy isa; . JY(i—sz) JY(—y» peapus Denotemus brevitatis gratia haec integralia ita dz | | Ja ctad —]Il.o .et "id 3 £y atque IT. 2 et IT. y indicabunt arcus circuli, abscissis seu' sinibus 2 et y respondentes. Quocirca erit II . c — II . (c V( A C p RA Me E T h. Ad constantem. determinandam ponatur- eel. .et ob I. 0—0, fiet Const. — — II.c.sicque erit II. c a- I. 2 — II. (cV (4 —66) a- cV (1 —22)); . unde arcus assignari poterit aequalis. summae duorum. arcuum quorumcunque. . Ac si c capiatur negativum ob II.(— 2) — — II. c, erit Miblódeiq 523 fiut Il .c— II. o — IH. allis abad adeo noit. qua arcus, differentiae duorum arcuum aequalis, definitur. Jni19j0q feioes -. b. Fuleri Op. posthuma T. 1. 58 A5 s EEULERI OPERA: POSTHUMA:-- übiiyiis. 5. Si in formula priori ponatur z — c, .erit. 2IJ. c —IT.29c V (1 — cc). Ac si porro ponatur q. — 2cV (1 —cc);. ut sit. IT. 2. — 2I . c; erit ob. V(1—oex)21—2e064 ise om seil -t109 opu() dn ninügiees, oSieriogie Sul, esiste Bop 1o Vet)cisnoo die Inv sitgovsllib nou) ames Posito autem ultra q-39c-—Ne9, "erit 77 1i. , | neieni ievisas ai íos$ oidewq MIT c 2H. (y (462 ec) 3- cy (6 — wa)y ebuswsqmo» se Tolub 3 unde multiplicatio arcuum circuisriane est drei P 1 De comparatione ; arcpum Parabolae. f. : Ha 3 x avus xd A DN ! ! "n "Existente (Fig. 55) AB parabolae axe, sümentur abscissae AP. in tangente verticis 4f, , sitque Sirimeior parabolae —2; unde ,yocata abscissa quacunque AP —a, erit applicata Pp Miro Zz arcus 4p —/dzYy( 1-c22), ue expressio ut ad nostras formulas reducatur, in hanc ahi t f ens Y 42-zz) baud feri tit 4—1,. p 0 et €—1, unde. ut ante Jabebimus. H f; b mimus esü- auc? cis cds sit. ergo. y —. et p —66, itqie sodes risiboen d inter. get y P fEME auiseivhs seed 3 0—-—cc-- ez a-yy — 2xyV(cc- 1), seu y om x Y (d eec) ct 6e a)ss sigle ^ 7. Deinde ob Yp-—e et dis P dile £5 , facto 9[— 1, 288 — 0, et (6— 1, erit ex formula XII data usa ido) py ey UU elpacyyes ^ lor t ud MH —l Ye) Ww). gei Coist. — á ERE TET. M 9 oljaupes exis UI At est 2 2 y — « (1 &- Y aeo) e eY kr om). ergo | (r 2- y? — 222z (1 ae cea- Y| t zik 00) a ce - (1 x 4- ce) Y (1 crga): Quare formularum istarum integralium differentia brit Const. — exa y (4 4- cc) — ce y Au) — Const. —- Cay, ooo ieboÜ) 2d 8. Indicetur arcus parabolae, abssissae. cüicuaque. z Fespohdens Jdzy(1- zz) per IT.z, et nostra aequatio hanc induet formam: : id - II . à — HI . (e V (A266) a- cV (4 2-282)) — — II. 6— es (a V4 ec) )a- eV (1 "- $a), sive — II.c-a- IT. — IT. (&y'Ut-c0) Ay (i-o) ) cir (V (1-6) ) 4- cY (1 2-22). Datis. ergo , duobus arcubus quibuscunque, tertius. arcus assignari potest, qui a summa illorum: deficiat quantitate geometrice assignabili.. Vel quo. indoles hujus gequaqquis clarius perspiciatur , erit II. e 3m. y — eaxy juo £ Í $70 l2tto 3^1 Uc Jano» bÀ A siquidem fuerit sdb. y a Vu as eo d- cya c2). 1 9. Cum sit y — c, sint in figura abscissaé 4E c, AF adt 4ü— y, erit arcus 4e— II.c | et àrcus fg — II . y — IH .2;' hinc: ergo habebimus «5 ERE ügiee ensis abad d Arc. de — Arc.fg — coy, seu Are Hf A cfr emy). V do mivilgsn 1 existente y — cy (1-- cc) - ey (1 -1- ec). Ex. his igitur- sequentia. problemata circa parabolam — resolvi poterunt. "s aasdlinilsb.-;elloupsk- wawgy16 quhreub eciduotallib ape M i ! i óq qO ila 33 JI — INS uisillo» .sup x9 elinJivo^id eumetonstI 3 palco em pe——mwgrovn Ere ——————yyt cr c mien De comparatione arcuum curvarum árrectificabilium. 459 v 1510.. Problema I. Dato arcu. parabolae. Je, in. vertice: 4. 'terminato..a puncto quovis f; alium abscindere arcum fg, ita ut differentia horum arcuum 'f3 — 4o: geometrice assignari. queat; 057 Solutio. Ponatur àrcus. dati. 4e abscissa - AE T26,,04 abscissa, termino. dato f arcus quaesiti fg respondens, AF — f; abscissa. vero alteri lermipo g arcus quaesiti respondens, AG — g, quae ita accipiatur, ut sit g — f Y 4 :4- ee) a:ey' (4 4- ff; eritque existente — parametro — 2, ul constanter assumemus: Arc .fg — Arc, de — ef... (x des P. ) WO AÀ puncto autem f quoque retrorsum | arcus abscindi potest Uusiy qui. superet arcum lide imatitató algebraica: ob signum radicale y/(1.-- ff) enim ambiguum, cápiatur QV ATL ID PytP2a eg 3D eee dT) — oi | Bos eritque Arc. f;— Arc. de fy. Q. E. I. -U^ mui!r. 3i | E no't6 on!ní! mi Corol. | 1. Inventis. ergo bis. duobus. uictis g ety, erit | quoque a arcuum n fy et f» dif- IE een assignabilis; ert enim ^ — | Pa u- Hp £í193 10 ate ( p SU E fg — Are. y eg — " ^) IVI5 | — eOEDIESZOEC 95p2eI9edg 2 (t0q2e21 .51 Ij936 "wIUU&ERII24009 55)0G6&R16Q( 95171 15 g B ff a : a "AN j At. est. Fig menor unde e ARES Tun; . VéTO... PE iq pnr Mace gy sive Y (1 4- ee) — ; unde eliminanda e fit ; Lag 2? Wr .mspe: (41) eum M E : A» pacato: 4d 2... aeu (rae Lg erem arp : Fit ergo I hein d. at a- 2f) --8fVd -- fh ) gg. tib eiinfiveud s2mmegród 129. Coro. 2. Dato ergo arcu quocunque fg, existente y; 3. et 4G —9g, a puncto f - retrorsum arcus fy abscindi potest, ita ut arcuum fg et P iiri fiat geometrica. Capiatur scilicet 4T — y/22 — 9 (1 a: 2ff) a of (b a Hf) )(t a- g9) eritque ^ inileise ilemkdo wg ju : ,S Are . (pe dh Frocabier ue qe — fil ea)" Ya fr. .Horum ergo ; ésum differentia evanescere nequit, nisi sit vel T hd. quo casu fit pum — 9, vel g— —f, quo casu uterque arcus f3 et f? evanescit. siluoTodib rmuqodeniurij9b dus i1 13. CoroH. 3. Ut igitur positis 4E -—e, | AF — f, AG — g, differentia arcuum fg et. ,|Je fiat geometrice assignalili scilicet Arc . fg — Arc . 4e — efs, oportet. sit... | ENUL [Y 4 2 ee) a eV a a fP, seu ex trium quantitatum e, m. g binis datis tertia íta determinatur ,- ut at^ vel g — f'Y (12 ee) aA- eY (1 a ff), gossdei. Cue: f. m g V -i- ee) —ày (3:99). vel ;^rz y 48) — Er Hes bac : 44. Cori. 4. "Cum sit. -— - f'Ya a- ee) «- ey c a- ID, "YE Yt 2 39) ef 2 V (4 -- ee) (1 ie unde colligitur g 3- Y (4 2 gg) — (e € Y 4 - e0) (f Y 2 ff). Ergo ut arcus [y superet arcum 74e quantitate algebraica ef, Bp uii 9o: oeupool -g-- Y( -r 99) yi) de (L.-4- 6). 460 oL. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. 45. Corolk 5. Haec ultima formula ideo est notatu digna, quod in eà Tu 6; ad et 3 functiones sint a' se invicem separatae. Quod si ergo ponatur bain &i — Á f-—-Vt--ff)—F, g--Y(2- 99) —G, EETd | BUD R OR GG —a ; v e ———— igi 1 4g E; 8F Ks -ís .96 [ y 4i S .Uigiqis958 erit G Quare si S eapiatur. F -—E, erit arcuum differentia 28 der 4 (86 2 X unis oloauq A X. fg — rc. 4e — efg — - Jia ed a indi »wem (d, LL WXEF n3) (66 —1) (GG — FF) | fg(GG — FF) seu Iscr HA : 4:5. D am 214 ip4 ,, 16. Problema 2. Dato arcu parabolae quocunque fa, a puncto poabulilo dai p alium ab- scindere arcüm pq ita, ut differentia horum duorum arcuum f9 et n fiat geometrice assignabilis. 4 Solutio. Pro arcu dato fg ponantur abscissae 4F— f, 4G —g; pro arcu autem quaesito sint abscissae .4P—p, 4Q-—q. Jam a vertice parabolae concipiatur arcus ,/e respondens abscissae AE — e, eujüs defectus ab utroque illorum arcuum sit geometrice assignabilis. | Ad hoc autem-vidi- mus (1^) requiri, ut sit bs. ilo 5 Ande. 3-41- DN xig : E ; g--Y(42-99) — q 3- Y (4 2 4) fx vla m — £a- Y (tct- eo) "6 gav(cm) 63 Vac. Ponamus brevitatis gratia — .... ' AME SUAE SL — Yu po Y(44a-pp —P t5 Y 2g — yt | DE Gm .Q atque ut problemati satisfiat, necesse est sit LEN f. Porro uteri «cum sit ex. "M k. 1o5ilise An foL. fü(GG — FF) P(90 — PP) | Arc. fg T] Arc. 4e qi E similiterque. Arc. pq — Arc. dt emot PE erit arcuum determinatorum differentia à hx 16, 9gprioi ATI doAdlibauz-A x. fas P€(00 — PP) (6/66 — Ey 5) m diosoD £1 Arc.pq — Arc.fg — Y I2 . ideoque geometrice assignabilis. Q. E. I. ó DON udiie di abs eda mi iw, Lr. d d 17. Corol.:. Cum autem sit Ea Shop mu em unde differentia . arcuum determinatorum prodit . 4 : | (pq — fg) (GG — FF) Arc.pq — dea f3.— Usb PT. FF —1 ec t iN Bgm (Meng GP Est autem f'— P^ ——4-—.'4TMLÀT n D WS ob Ei erit 5 i168 PP — FF : 9FGP i LU P 18. CoroNH. 2. Erit ergo | v ossi | (PP — 1) (GGPP — FF) (FF. — 4) (66 — "HN uL. paq— TievPU et fy: e ARE T ideoque — OMA AN MY UT MK.APR YO EA APRES — » De comparatione arcuum curvarum irréctificàbilium. 461 o adiab. aug15 -2i lig, 92i PP — FF) (GGPP —1 e pg — fg -; €E— P GSPP 0, Hinc arcuum differentia prodit G6 — FF)(PP — FF) (G6GPP — 1 Arc . pq — Arc .fg — * en. r3 19. Coro. 3. Ut igitur arcus pq arcui fg adeo fiat aequalis, esse oportet vel GG—FF-—-0, vel PP — FF—0, vel GGPP —1 0. Primo autem casu arcus fg ideoque et pq evanescit; altero casu punctum p in f,- ideoque et q in Jg. cadit, arcusque ergo- P1 non prodit diversus ab —pryü cy) s Mots 93.— unde fit p——344-—— f, ita.ut pq in. alterum. ramum parabolae cadat,. arcuique f. ES arcu f3; tertius autem casus dat P seu p-Y (4 A-pp)— et ""-— prodeat. E . 90. CoroH. 4. Hinc. ergo: sequitur, in parabola non | exhiberi posse duos arcus dissimiles, qui sint inter se aequales. Interim proposito quocunque arcu fg, infinitis modis alius abscindi potest P4; qui illum ' quantitate algebraica superet, vel ab eo deficiat. Superabit Miet si fuerit P : F, seu 4 P AF; deficiet autem, si P — F, seu AP TAM J 21. Problema 3. Dato, parabolae arcu quocunque. f7, a dato puncto p alium arcum abscin- dere pr, qui duplum arcus fg superet quantitate geometrice assignabili. Solutio, Positis ut ante abscissis 4/F — f, 4G — —9, AP—p, 4Q-—q, sit P; piv. deno- tentque litterae majusculae F, G; P, Q, R istas functiones f. Y 1 -2-fD, g--Y(1-- 99) etc. minuscularum cognominum. Primum igitur si -^ ars d E: — x » erit | | (n fi) (66.— Fr) JAre. pq — Are fg — 7 T v4FS. Simili autem modo si statuatur qp EE ETC (r— fü) (G6 — FF). 4 Arc. qr — Arc. fg — ————7$ | Addantur ergo invicem hae duae aequationes, erit LL (4 2- 4r — 2fg) (6G — FF) Arc. pr —2 Arc, fg —-——— ERG 7 Ut jam. ex calculo eliminentur litterae q et Q, erit primo piro p tum. vero est.q — Lr Li F(PR — 1) || PP—1 Q6 PP — gp | seu q——32:$5 ^ et ob p — "y? et r— 2FGP' erit b (FFa-6G)(GGPP FF) Pt : REFGGP. iio ma Em. i (FF 5- 66) (66 PP — FF): 30r-n(66—). —— pq-gr— -Aer—'u€ 3fse- i6 GG : Sumto ergo rin arcus pr superabit. duplum arcus fg quantitate algebráica. Q. E. I. 22. CoroH. X. Punctum igitur p ita assumi poterit, ut excessus arcus pr supra duplum arcum 2/4 sit datae magnitudinis; definietur enim P pt aequationem epe d extractionis j radicis quadratae tantum. i " P 462 ';L..EULERI OPERA. POSTHUMA..... Analysis. 23. CoroNH. 2, Fieri igitur: poterit; ' ut' ar&üs pr. praecise sit duplus arcus dati fg, quod evenit si P definiatur unde elicitur. ex hac aequatione is s libotq siprwihi ib mus»t1s »nill iss EN Cid . 8 (Hf.— 0) (66 — 1) FFGG PP (GGPP — Py HAC — YT iA 6G PP cud Gg ios V0 - 0(655D. 4 (isi JJ .& .Moxo2 .el » pe bi TT Ni FF--6GG gi !— 4322 lor ,0 4 —943 foy ooek 1 ü Yee viera 1 arcae: D. FR igi q mulonsuq sec t "tls 91. Corol. 3. Hass autem determinatio arcüs düpli pr —— fit obsia; si arcus E ín vertice A' incipiat: tum enim ob F——1 fit Gp. F,'seu. [E (ogg — g- Le icupos ergo p— —g et R— G, ideoque r—$g. Moc scilicet casu arcus pr in parabola. circa verticem €— Segen extendetar, sicque Thanifésto fit dujlus árcus s propositi ij Jodioso)0 .0€ 45a "194ni Juie 25. .Coron. 4. Fieri. quoque potest, . ut arcus pr in dpso puncto. 4 , terminetur, Sicque upmhe ] arcus, simplus fg e duplus pr, evadant contigui. Hoc. nempe . evenit. si A ooa .quo. casu haec | habetur aequatio quae per PE GG ha: PA dudé elicitur pen | peto - f arua parece 659, Sssoldoseu .1$8 | oor i9qua eX emot mulqub ivp ,*q 9x9b slut jg 2Jieo4 .oibzfos er - SEFGS a- 2iréG e 0.. d .A oslusenuijem 515Hil sugpiaed ( J FF — GG (G' — 1) 4- agita — Lau! 0) TS TE yis G- 1 TRU d LG we A 17 ; *YT DI | G? x1 $, 410J56035!a ie obom molgs ilimid 26. Coroll. 5. Quantitas ergo G, seu parabolae punétum 9 pro lubitu assumi licet, in quo duo arcus terminabuntur, quorum alter alterius exacte erit -duplus." Cum autem sumto g affirmativo, ideoque G — 1, prodeat F — G, punctum fa yertice, magit. erit remotum quam P'pehum. da AR vero reperitur "i - í9- ÍRRIA S (66 0) V (gt Vaf Ser LE ahüna4Éo D 963 ag: cujus valor euim 'sit megativus, 'pehPtum rn álterüm parabülae Fanum incidit. p it er d Li dispositi, ut habet figura 56, eritque R NITE. in dk US 10 4 [. 2 e. :* gua Arcus gr —2 V dg * 73 (C 27. coron. 6. Sit g valde. parvum, erit. G — zem uc) 399» hincque G?— 1 24- 2g -- 299, G'——1-4-3g-€ 249. p t^ ^g-4- 89g et G8— r! rr às 1: 3277; uhde V ouposbi ergo f—- x tL A Ü Fzd(53|ue 299) (1263): gj) t a- i ig, (cow Cg ohmudg € 4 ü ilo«v »» .e8g — hg; porro R— 1 —35g 35 qd» ales Fina: Quare (Fig; 36) si gm valde parvum, erit proxime 4F — & AG et AR — 94G, ita ut sit quoque GE z 9GE jo o ! L i h. E E iud tik oc pEdI e TE SONOS IP NUERDU Un. 5 £y De comparatione arcuum. curbarim érrectificabilium. 463 928. Scholion. Antequam ad ulteriorem arcuum parabolicorum multiplicationem progrediamur, etiamsi ea ex formulis datis non. difficulter erui queat, tamen expediet differentiam algebraicam arcuum parabolicorum commodius exprimere. "Cum igitur (fig. 55) positis abscissis 4E —^e, AF— f, 4G— 9 invenerimus (13) Arc. 4g — Arc. Af — Arc. Ae—cfg, existeite e—93Y (1c P) Py (0-99), videndum est, num quantitás ef non-possit- transformar in- terria: membra, quae sint singula func- tiones certae ipsarum e, f et g, ita ut sit efg — funct. 3 — funct. f£ — funct.e;, sic erm. quaelibet harum functionum cum arcu 9ggnogjine ' comparari posset. Cum autem sit efg —fggv (t PF) — flgva eg) e V(4 ose) — Yd of (12799) 1- 45... erit eY (1 a- ee) — g Y (999) 2- 2ffgy a 2 gg) — Y (4 -- (D) — 215g Y (1 - f. hincque f3g V4 If) — ffg Y (1 3 99) —efg 1g V (19999) — 3T V4 a f) — $6 V (1-00); quae est expressio talis qualis -desidératur.- -Quàre- si. istas abscissarum e, f, g functiones brevitatis gratia ponamus qu (ose) — G,: 5 f£ (1 ——D-68. et 9 Y (4 - gg) —(G9, habebimus. . Arc. 4g — Arc Af 3L Arez dé — 19 — 8 — G 2 Aré.f'3 — Arc. 4e. Si porro hae functiones cum illis, quibus ante usi sumus, comparemus, scilicet. ! a 19d9b .imoq e- Y (1 2e) 2E; f V(1 ff) —Fj 9g V(12- 99) — G- et W-uE 0) es pono ilios iion sq et ex natura horum ardlibin est Be go s jam | simili i indo pro arca Pg procedamus, e et. ex abscissis AP. — p et 4Q — q- has dort functiones. ! ! il pret npe P, cod P Yüce nis VON qeYa d) 0 20, 880 -«)—8. erit simili modo Arc. pq — Áre. P $8 — €, . existente $-E Hinc si illa aequatio ab hac - subtrahatur, )dwamtsn Are. py— Are. fg —- (à7- T805— —8. si modo fuerit S - e : . 99. Problema "m "Dad arcu t parabolae quocunque fy. abscindere. arcum sin p e ad arcum 13 sit in rec ralione n:d. | | Solutio. Positis abscissis AF E AG—g, éapiantur aem abscissa AP-p, 4Q— q. AR—r, 4S — $, et, ultima 4Z — 2, ex quibus formentur. geminae. functiones, litteris majusculis- eum latinis tum germanicis cognominibus denotandae, scilicet : f--Yau--ff-F. 79 Vn 94) 5756 : MEC C T etc. : | 3fYa--f—8 35 Y (1 -- 99) —6, os gh epp) 5. ete. j à G A sitque primo: D uo n . pre | Arc. pq — Arc.fg — (à —3B) — (8 —$. A64 ^ L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Analysis. : Tw. mia Deinde sit ge seu i52 75, erit | Arc. qr — Aic. fg-i &— 78e d qua aequatione ad. priorem addita fit s MUSAE Arc. pr 2Are fg s (58) — 2(8— 8. »o. Ju well o ndi xa pu ^63. s^ téinadi pM Sit porro ' Sum, '"seu p — ny ento oc -* domua 02 0M Àrc. 77 Arcfg — (6590 (8— d / ; » ( qua iterum ad praecedentem adjecta 'obtinebitur | "Arc. ps — 3Arc. fg (e -— 3? —3(9— aye 0s DNS ji15 T7 i G Xr [e / , k oi NP. Simili modo si: ulterius panatur. —— rs seu' Tp qa? arie — (oo -r- PN V — (Ne N Arc. apkioe deAges f9—(&—39])—^*(86—3$8.. s) oi ja) 9ogpp Unde perspicitur] ssi z sit ultimum! punctum 'areus pz qui quaeritur, et posita Az— ifeioq nina —zd-Y(b--zz) et 3 —gV2V -- ZZ). Z poni debere - a , Ü tumque foré ^^ . a ieg Jus epndiup ;eilli m9 e»noilongl nil ov1oq ud Arc .pz—nArc.fg—(8 —$9)—n(8—$y Nunc ut sit Àrc. pz — n Arc. fg, reddi oportet Agde. e ^At est p*—1 G^ — 4 2 H5 866. Eft .z9 [T9 Vérem ob Z— 77, qi g-: EP Es caleilbsiiudedind uiretur aequati erum ob Z — ^» erit 9— 5.555555 Quibus valoribus substitutis: sequens acquiretur aequatio resolvenda | TEN. Qi pà- pa^ a4. n(GG — FF) (4 -- FFGG) ' CE PEST NR x FF6G sive | Q—G?"(g?"— pan) P^ 4- F?^(g2^— p— La pir ins (ei s (P? G 4- 1) PP, pi EsPhe— remet pim uA « iliis divo uum | FiG* (e p^) sach e. : seu 02s Quocunque ergo assumto mullipicatisnks indice n, sive numero integro, sive fracto, ex hac aequatione semper definiri potest P, unde arcus quaesiti pz alter terminus p innotescit. Quo invento pro altero np 3) 15 ; á à; G termino z erit Z — —-» sicque obtinebitur arcus pz, ut sit pz — n.fg. Q. E. I. . : ng 30. €orol. 1X. Si loco P' quaerere velimus Z , in ultima aequatione substitui oportet: p prodibitque | 5iou fio rag dui gi n6U (Gh P) ehe q)zz — Gm C mn? Fig? (gm — pim) [7 ubi litterae F et G pariter uti P 'et Z sunt inter se commutátae. 31. Coroll. 2. Cum G?"— F?^ dividi queat per G?— F?, pro vàriis valoribus ipsius n; for- | mulae inventae ita se habebunt. : ' cef plex abaibala aes. L sec * E De comparatione arcuum curvarum irrectificabilium. 465 P 4 p | r , P sie 1,0 opm E —G etoZ-y : 9F?(r?G*2-1)P? — r* GP — a ose — 08 ——— 9 nz ; a er G*(G--F) 6t E AN p. ^ 3 F* (F? G? 4- 4) P? r* Gp thee ; ptm Mc P bibe IcORE "n P — GN GCFRERA- FS — 6s et oZ—7a REB 4. AF (FG)rP Pad 6p a nes, P "7 6*(G92-r?G*-- F*G?*-- F9) — G* e Z— po eic. á etc. 32. Coroll. 3. Ex solutione ceterum apparet pari modo pro arcu dato quocunque f4 inveniri posse alium pz, qui illum arcum n vicibus sumtum data quantitate superet, vel ab eo deficiat; ut enim sit Arc. pz — n Arc.fg — D, resolvi oportebit hanc Y a 3— ga (9 — — $8) -—- D, quae non habet plus difficultatis, quam si. esset D — 0. 33. Scholion. Haec quidem, quae de circulo et parabola hic protuli, jam dudum satis sunt cognita, et quia utriusque rectificatio quasi in potestate est, (quae enim vel a quadratura circuli vel a logarithmis pendent, in ordinem quantitatum algebraicarum propemodum recipiuntur) nulli omnino difficultati sunt. subjecta: ea tamen nihilominus aliquanto uberius hic exponere visum est, quod ex methodo prorsus singulari consequuntur. Quod autem imprimis notatu dignum est, haec methodus ad comparationem aliarum quoque curvarum manuducit, quarum rectificatio per calculum solitum nullo modo expediri potest; ita ut ex eodem quasi fonte plurimae eximiae affectiones tam cognitae quam incognitae hauriri queant, ex quo Analysi non contemuenda incrementa accedere censeri debebunt. A. Sectio secunda continens evolutionem hujus acquationis: Q — o -- y (xx - yy) 4- 20 y A- Cox yy. I. ' Extrahatur ex hac aequatione sigillatim radix utriusque quantitatis variabilis x et y, ac reperietur 20 — 82 a-Y (88a — (a 4-22) (y 4-22) LM y) 6aoc p iycixe Y (88yy — (e. 79) (3-5 yy)) ?-- tyy Ponatur brevitatis gralia — «y — y 00 — yy — at — Cp et — yt — Ep, eritque yY -—- 0c -- Cay — V (4 -- Cro -- Ex) p y2* -—-0y a- Cayy — — V (A 2- Cyy a- Ey*) p. II. Si igitur coéfficientes 4, C, E fuerint dati, ex iis litterarum graecarum valores facile defi- niuntur. Erit enim | Sm £s : AE —, p-—r et à — V (yy a- p - —À 77) L. Euleti Op. posthuma T. I. 59 c L— 466 DENS L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. Valores ergo y et p arbitrio nostro relinquuntur, atque alterum quidem sine ulla restrictione ad lubitum determinare licet. Ponatur ergo yy — 4 et p — cc, fietque q— ——66yA4, y—YA, ó— ed M A et aequatio canonica hanc induet formam Q — — 4cc 2 A (ox mum) e 2ay y (4 -i- Ccc Ev) 4 — Ecco yy. Til. Antequam autem his litteris majusculis utamur, differentiemus ipsam aequationem propositam da FUN UA eR NE (yy 4:02 a agye- 9, dz —dy '"e0q quae abit in hane zs | : 239-7 9a2-C^t6xxy | yoc-276y--tayy " n5 Substituendo ergo loco horum denominatorum valores surdos uum inventos, habebimus ac yp multiplicando dc dy Y (A 2- Cxa -- Ez^) ius Y (A 2- Cyy 4- Ey) IV. Proposita ergo hac aequatione differentiali Pirat bodies do... 4 dy Y(A--Cax-- Ez?) — Y(A-- Oyy 4- Ey) ejus aequatio integralis erit Q — — Acc A- 4 (wx -— yy) 2 9xy V (A A- Ccc 2- Ec*) 4 — Eccoxyy, quae eum constantem novam c ab arbitrio nostro pendentem involvat, erit adeo integralis eco Inde autem oritur | Lo m a (4o Coe o EPA 3- e Y (4 e Con a En!) * dino A — Ecczz : | ubi quidem signa radicalium pro lubitu mutare licet. V. Cum igitur posita nostra aequatione canonica sit i dz f dy id : Ira a-Cmma-Ez*) | JY(Aa-Oyya-Ey) — Const. 5 ponamus ad alias integrationes eruendas | ax da yydy M i regis ase EA i ERE erit ergo loco radicalium. valores. praécedentes: restituendo - ard yy dy [14 -i- — 7 yy 92 --£occ0y yc --68y--tcyy Yp hineque porro- T ax da: (ye A- 0y aA- Ca yy) a- yy dy (yy A- 02 A- Cay) — | Tulagig 7, (72 (aao A4- yy) -- (yy -- 00) ay -- C5a* y? a- y Cxy (mw -- yy) -- 206m yy). De comparatione arcuum. eurvarum árrectificabilium. — — 461 VI. Ponamus ad hanc aequationem concinniorem reddendam a -i- yy — (t et ay — u, ut sit 0 — « -- ytt-A- 20u 2- C uu, et aequatio nostra differentialis erit Uy (a* da i- y? dy) -- Óu (xdz i ydy) 2- Cuu (»da 4- ydy) -— 7, (r8tt-- (yy 2- 08) u A- y Cttu 4- 20£ uu A EC u*). At est edo -- ydy —tdt, et. ob a*-- y^ —1* — 9uu, erit à?dx -- y?dy — Pdt— udu. Porro aequatio canonica differentiata dat yidt -i- Ódu -À- Cudu — 0, ideoque tdt — mt unde fit — zdz -- ydy — — 2 du — udu et a?d»-—-y?*dy—-— M ttdu — —- ttudu — udu. VII. His igitur valoribus substitutis obtinebimus , du (— àtt —— Cttu — yu ;' — muy 0 wy Gt ae (yy i 00) u i Etui: 0t uu 3- EC un; . zv *. . — j^ d PE T- LE. diim : 2 LL: quae sponte abit in 75 iiu dit vim "e HN sa Facto ergo p — cc, erit p. 3 ANTH ud — Const. — 29. JY(A-- Crz-A- Ex*) | JY(A--Cgy-- Ef) "^ YA siquidem fuerit 0 — — fcc a- 4 (xx A- yy) a- 2xy V (A - Cce 2 Ec*) 4 — Eccacyy, seu CY (A-- Cox -i- Ez*) A — 2 Y (A -- Ccc -- Ec*) A TE A — Eccoz VIII. Quo nunc rem generalius complectamur, ponamus : i z^ dz f y^ dy — n I ! E yu mms Ez*) !yY(A-g-Oyya-Ey) ^? E erit | z^ da (yz a- Óy -— Cayy) A- y^dy (yy 2- Óz -- Cay) — y; (tt (ry 3- 99) u i yCttu a- 2L un a EEw'), posito ut ante za -i-yy — tt et zy — u. Erit ergo vo —yy— y (t*— tuu), unde pepe c " 2l no 2 1 1 1 1 seu | g — 3 Y (tt 4- 2u) a- 5 Y (tt — 2u) et y — 3 Y(ta- 2u) — 3 V (tt — 2u). Quare differentiando habebitur : E w cogiad tdt 4- du tàt—du — du(jy—8—tw) — du(jy-1-8-- Ew) 4 TERT C 9y (tt -- 9u) p 9Y(t—9w) . 97Y (tt-1-9u) 9 Y (tt — 2) 468 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Analysis. IX. Porro vero est ya--Óy A-Loyy i Uu (y-0) 2- X 300v tt3-2u)24-( 5 1t —3) ) —3 Cu) Vt —2u), unde colligitur dc (yo -- Óy a- Cayy) — P (y x9 Du) (y — 9 — tu) 2 (y — 9 — tu) (y — 9 — £u) —$5(—3— £u) (7.379 - Eu) — iy a 9. £u) (y Sac E. seu - da (yài i Oy a Ly) — e gi (00 2 yu i (yy 7 09) u a 20E uu n CCu*) j^ 7 et quia dy (yy -r- óc -- Daay) — — da (yao -- Óy a Cooyy), erit dy C-EGM Ai (pL —Yp f(? —y?)du Vp — yY(t* — Aux) « T Í Y (t* — Aux). X. Ut haec formula evadat integrabilis, ipoHtél pro n scribi numerum parem, ut etiam usus — formae plerumque exigit. : Quare | s n0, eri m'—440..,. 0 v. s tib e ceat o wt s V — Const. n2 | g—y-—y(t*—h^u)...2..... EET: po. n—Hh ci— y'eity(t—hu)..... eee y ——7* fudu n-—6 aS y — (—uu)y(t—^uu)......... y — —* f(— wi)du n q5— y$— (6—231tuu) V(t—^uu) ....... Ks -»* f(s— 2ituu) du etc. 'etc. , | robispii XI. Cum vero sit goto er | ftdu — eS EBE AS. PT Lu e ? 3y f (t — uu) di 2-4 u ac 388 iac G9 edet) ae 84:93 a E, 0? » Do y 5" Ex his introductis litteris majusculis 4, C, E una cum constanti 3 ATDRPAQE c, aequatio in fine art. VII data satisfaciet huic aequationi integrali | M i pene Mean. T A TUN 245 — fS LOO ze ad — Y (A-i- Cz -- Ex) Y (AA4- Cyy 4- Ey*) Unde sequentes curvarum comparationes adipíscimur. Comparatio arcuum Ellipsis. 1. Expressio simplicissima. ad hoc .genus pertinens est utique curva lemniscata, sed quia com- parationem areuum ejus jam satis prolixe sum persecutus, hic statim ab ellipsi incipiam. — Sit igitur De comparatione arcuum. curvarum. ?rrectificabilium. 469 (Fig. 57) .4CB. quadrans ellipticus, cujus alter semiaxis CA — 1, alter CB — Kk. — Eritque. posita abscissa quacunque. CP — z, arcus ei respondens Bp — fa: yi- E "^ Sit brevitatis gratia ^£ — kk — n, ita ut 'Y/n denotet distantiam foci a centro €, hineque fiet Arc. Bp — f3 T 2. Reddatur formulae hujus numerator ralionifis] ut prodeat i dz (1 —nzz) Arc . Bp — [7 — a 1): a n2)' . àd quam formam ut formulae superiores reducantur, poni oportet / — 1, C— —n—1, E—n, 9(—1, G— — n, €— 0; quo facto habebimus pro differentia duorum arcuum ellipticorum f[d« yv— — [dy Y — Const. -- nexy siquidem abscissa y ex abscissa v ita determinetur, ut sit dv — ea) (14 — nzz) — e Y (1 — cc) (1 —^ee). 1—nceoz sive 0 — ec-e ase yy 22 Y (4 — 6) (1 —ne9 — preqarx. 3. Denotet II.z arcum ellipsis abscissae z respondentem, ac nostra aequatio inventa hanc induet formam II . à — II . y — Const. -- ncay, posito autem 2 —0, fit y — c, unde Const. — — IT. c. Ergo II. c 4- IT. — II. y — ncay. Sin autem sumto y'(1 — ec) (1 — ncc) negativo, ut sit [4 f — a2) (1 — nz) 4- 2 Y (1 — ec) (14 — nec) X : 1 — ncezz fiet IT.y — Il.c — IT.c — — nczy, sive. IT. — (II.y — II.2) — neay, ut ante. ^. Ternae autem quantitates c, &, y ita a se invicem pendent, ut habita signorum ratione inter se permutari possint; si enim ad abbreviandum ponatur y(1 — ec) (1 — nec) — C, V (1 — ex) (1 — naa) — X, Y (1 — yy) (1 —nyy) — Y. eX -- zC 4 P9 y€ —cY n yX—aY 1— nccaz ! — 1—neeyy? — 1—nazyy? . erit y-— Jo ex quibus per combinationem eliciuntur sequentes formulae yy —2oo—c(yX--2cY) g X a- y Y — (nceoy -- C) (y X -i- « Y), yy — ec — x» (yC -- cY) c€ —oX-— (nexyy — Y) (x€ —cX), cec—cc—y(rC—cX) | 00 o€C 2e y Y — (nceaoxy -- X) (y € a- c Y). k ace denique Qxy C — ax$ -A- yy — cc — nececyy Qcy X— ec -- yy —om$ — nccacyy — 9cxY — cc -- ox — yy — ncecaxyy. eme: A'"10 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. . Analysis. 3. Problema X. Dato arcu elliptico Be in vertice B terminato, abscindere a quovis puncto: dato f alium arcum f3, ut eorum differentia fg — Be geometrice assignari queat. I086f .. Solutio. Sint abscissae datae CE — e, CF —— f et quaesita Cg — 9, erit Arc. Be — Il.e et Arc.fg — II.g — II.f; ut igitur arcuum fg et Be differentia fiat geometrica, necesse est, ut sit I.e — (II.g — II.) — quantitati algebraicae, | Hoc autem, ut vidimus, evenit si | LeYa —f) (0 —nf) 4- f Y (4 — ee) iade 1—neeff vn bs '. Quodsi. ergo ; abscissae..CG — g hic tribuatur valor, erit Arc. Be — Arc.fg — nefy, posito | scilicet - CA — 1 et CB — k, atque n — 1 — kk. e E. I. 6. Coroll. 1. Poterit etiam a puncto dato f versus B iotsdondo ejusmodi arcus ". abscindi, ut differentia Be — f7 fiat idein Posita enim abscissa CT — 5 capiatur iupia TY — ee) a — S] — ev a —f) a —nff) 1—neeff * eritque Arc. Be — Arc. I T p U T Goron.w. Érit ergo quoque arcuum fy et fg differentia geometrice — habe- bitur enim Arc.f'7 — Arc. Iscr MPH Est autem "a obai evan (4 —nff) | SD 757 — £m dagpl oblur 9 — x 41. .0.— 8 metge soliidg sive cum sit .. 9fg Y (1 — ee) (1 — nee) — ff-- 99 — ee — neeffgg et - 4- 9f» Y (1 — ee) (4 — nee) — ff 4- yy — ee — neeffyy, — erit moie, tid ee— 0. gy 2y( — P) — ff) E — v9) 0 —nffye) aque — i irfeectie f) ile 39) V FE — lE Yi s — cR CM 5i :8.:€oroll, 3. Cum: sit | | SE. Ya—ma —nff) fn: — sal T —ne). 1— neeff plica o MRNA, V Le) - ip - strane -aip erit »( mi bre d1—neeff es ir y Da) 5 wefY d v) u « Vrae eese hare TE | oda C3 g 5 0eYQ —e) d —nf) a- fY à — f) (O — nee) hineque o e Yaü—sa-.- : 4 — ee — ff A- neeff Y &—ngg).-.. Y 4 — eo) (4 — veo) (1 — ff) (4 — nf) a- (&.—m) ef Y(»—gg 1 — ee — ff-i- nee ff gYva —ngg) — e(V—2n[f-i- nf*) Y (a — ee) (1 — nee) -- f (1 — 9mee - ne*) Ya —/f 0 —nfp Ya—gp . G-.4—- abico ie SM d ef ($n (ee-1- fF) — (n-i- 1) (4 À- neeff)) 2 (4 - neeff) Y (4 — eo) (4 neo) (1 —) ($ —f)- Y (1—39) (1 —n9g9) — d — nf . De comparatione arcuum. curvarum. érrectificabilium. ATI Hujusmodi autem formulae inveniuntur, si simpliciores in verso quoque exprimantur; sic erit 1 LL Y & — eo (1 — neo) — eY 4 — fna-np — g f[— ee 4. Y(a— eo) & — f) 4- ef Y 4 — neo) (1A —nff) Y(0-—gp) 1—e-—ff--neff 1 - Y — ne) (1 —n ff) 4- nef Y (Y — ee) (A — P) Y(A—ngg) .— 1 — nee — nff-- n eeff 9. CoroH. 4. Has formulas ideo evolvere visum est, ut si fieri posset, ex iis ejusmodi re- latio inter e, f, g determinaretur, ut functio quaepiam ipsius g fieret aequalis producto ex functio- .hibus similibus ipsarum '€ et f: Verum hujusmodi expressio, qualis pro parabola est reperta, hic pro ellipsi non tam facile erui posse videtur. Simpliciores autem harum formularum combinationes dant V (1 — 99) - ef'Y (1 — ngg) — Y (1 — ee) (1 — ff) V (1 — ngg) 4 nef Y (1 — 9g) — Y (1 — nee) (1 — nff). | 10. CoroH. 5. Ut igitur sit Arc. Be — Arc.fg — nefg, relatio inter eiae e, f, 9 ita | debet esse comparata, ut sit | eY d — fr à —nf) -- rY( — e) d — ne). vel «049 VZaRE 7T- - f. 1/4 —e) d — ne neo) — eY 4 — gg) (1 — nag) 1—neegg vel e 14 —D à—nf) — (Y — 99) (0 —n99) 1—^ffgg 7 11. CoroH. 6. Si punctum g statuatur in vertice 4, erit g — t et f — Y: LL qui est r casus a Com. Fagnani datus. Nunc igitur hoc problema de duobus arcubus einines, quorum : differentia sit geometrice assignabilis, multo generalius est solutum, cum dato arcü Be, alter ter- minus arcus quaesiti ubi libuerit, accipi queat. : E. 19. Corol. 7. Effici autem omnino nequit, ut horum arcuum differentia evanescat; ita ut . duo arcus dissimiles ellipsis inter se aequales exhiberi queant; ut enim hoc eveniret, vel e, vel f, vel g evanescere deberet, unde vel arcus evanescentes vel similes prodituri essent. : 13. Problema 2. Dato ellipsis areu quocunque fg, a puncto quovis dato p alium arcum "m * abscindere, ita ut horum duorum arcuum differentia sit geometrice assignabilis. | Solutio. Positis abscissis pro arcu. dato CF — f, CG — 9, et pro quaesito CP — p et C0—4, quarum quidem altera, vel p vel q, pro lubitu assumi poterit. In subsidium nunc vocetur arcus Ze . abscissae CE — e respondens, qui per problema 1 ita sit comparatus, ut fiat Arc.Be.— Arc.fg — nefg- e& Arc. Be — Arc.pq — nepq. - Hoc autem ut eveniat, necesse est ut. sit gY à —f à —^f) —fY 4 — gj) à —g9) XC - 1—n[/gg j pltitepine :. ans qY (1 — pp) (A —npp) —»Y (Y — qq) (A — nq) 1 1 —nppqq " 2 " 3 LM EMIT dd I i. EN Rd f 4'12 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. Andi His igitur duobus valoribus- inter se aequatis determinabitur .q pet f,9g et p, uti problema exigit; | et quia abscissa e est cognita, erit . Arc.fg — Arc. pq — ne (pg — f3). Sicque differentia arcuum fg et pq est geometrica; et arcus quaesiti pg alter terminus ab arbitrio nostro pendet. Q. E. I. 1*. Corol. 1. Datis ergo punctis f, g et p, quartum punctum q, seu ejus abscissa CQ —q ex hac aequatione debet definiri gY à — f) à —f — fY ( — 99) à — gg) por conn eorom PAM MA. 511i otf] 1—^ffgg. 1 —"npp qq : vel, quia haec formula non parum est complicata, quantitas e ex hujusmodi aequationibus imi ribus eliminari poterit UM Y (4 —ee) — fg Y (1 — nee) — Y (1 —ff) (14—499) et Y (1 spo dissi sae e e ya —pp) (1 —qq) y (t —nee) —nfg Y (1 — ec) — Y (1—nff)(1i—ngg) et V/ (1—nec)—npqY (1—ec)—Y (1—npp)(1—1q4); unde elicitur i i Y 4—1fP)( 1—99) — pq Y (1 —n[f) (1 —n99) — | Y (1 —pp) (t T — fg Y (1 —npp) Cpu ue vel etiam Y (1 —nff) (1 —n9g) — npq Y (t —Íf) (4—399) — V(1—npp) (1—nqq) — nfg Y (1 —pp) (41—44)- 15. CoroH. 2. Ut ambo hi arcus fg et pq fiant inter se aequales, oportet sit pq — f3. Ponatur pp 4- qq — t, et ambaé postremae aequationes dabunt | | Y (1 — f) (1—39) — fg Y (1 — nff) (1 — ngg) — Y (1 —t- ff99) —fgv( —nta- nnff gg) Y (1 —nff) (1 —ngg) — nfgV (1 — ff) (1 — 99) — V(1 —nt a-naffgg) — nfg V(1 — ta- fgg), quarum haec per fg multiplicata ad illam addatur, ut prodeat ! d : (1 — nffgg) V — ff) (14 —99) — (14 —nffgg) Y (4 d idt 1. ttim seu 1— ff—3g 4- fgg — 1 — t-- ffgg, ideoque t — ff gg — pp-3- qq. Unde eo arcum pq similem et aequalem futurum esse arcui fg. ^s onb4 16. Problema 3. Dato arcu ellipsis quocunque f, abscindere a dato puncto p alium arcum Fe qui deficiat a duplo illius arcus f' quantitate algebraica, seu ut sit 2 Arc.fg — Arc.pqr—-lineaé rectae. Solutio. Sint abscissae ut ante CE—e, CF—f, €G—4, CP —p, CQ-—q et Ch—r; ubi^ Be est areus a vertice D abscissus, ab arcu fg dato geometrice discrepans; a quo eliam arcus pg et qr Jdiscrepent quantitatibus geometrice assignabilibus. Erit ergo ZIU Uisgp L .—9?/4—-nü-sn—frva—sa—mp ^ US — 1 —^ [fgg | Ip d dep cinta —PY (3. (19). rs udi am 1 —nppqd RN ll, c — " 4— 445) 2Y m d-m, RE 1— nqgqrr Hinc si primum definiatur abscissa e, ex eaque porro abscissae q et r, erit De comparatione. arcuum. curvarum | érrectificabilium. 413 Are.fg — Arc.pg — ne (pq — f9) "Arc.f3 — Arc.qr — ne (qr — f9), - quibus aequationibus additis habebitur (t eil 2 Arc.fg — Arc.pqr — ne (pq 4- qr — 2f9). .Q. E. I. | 17. CorolH. 1E. Quoniam dato arcu fg etiam areus Be datur, spectemus e tanquam quan- - titatem cognitam, eritque x5 ; L. qY 4 — eo) ( — née) — eV (& — qd) (Y — nag) 1 —neeqq r — 0/0 —«9 d — ne) 4- eY (1 —qq) (1 —nqq) 1 —neeqq unde fit p ij rds SM bee —neeqq . 18. CoroH. 2. Differentia ergo arcuum 2/3 et pqr hoc modo determinatorum erit e — ee) (4 — nee) ui eem 2 Arc.f'g — Arc.pqr — 2ne . Ut ergo arcus pqr exacte aequalis fiat duplo arcus f3. oportet esse fg neefg -i- Y (A — ee) (4 — nee) qqY (1 — ee) (4 — neé) E "4. 1 —neeqq : unde definitur qq — hincque porro inveniuntur p etr. | 19. Corol. 3. Relatio WüteBl abscissarum e, f, g hac aequatione exprimitur ff 4- gg — — ee -- neeffgg Aa 9fg Y (1 — ee) (1 — nee); - unde facillime duo areus in ellipsi, quorum alter alterius sit duplus, hoc modo determinabuntur: s . Sumta pro lubitu abscissa e, capiatur quoque pro lubitu valor producti fg, ex hinc reperietur summa 1 - quadratorum Íf-—- 39g, unde utraque abscissa f' et g seorsim reperietur. Inde vero porro colligitur ; | abscissa q, ex eaque denique abscissae p et r, ut arcus pqr fiat duplus arcus f. . 20. Coroll. 4. Nihilo tamen minus arcus fg pro arbitrio assumi potest, nec non alter ter- - minus arcus quaesiti vel p vel r, ex quo deinceps definiri poterit alter terminus, ut arcus pqr fiat - duplo major quam arcus fg. Sed haec operatio multo fit molestior, et calculum requirit prolixiorem. 21. Corol. 5. Si priore operatione utamur, qua quantitatibus e et fg arbitrarios valores a pn. cavendum est, ne inde valor ipsius q prodeat unitate major, seu CQ — C4, sic enim : E ad imaginaria. Ut autem prodeat q — 1, capi debet fg cy ; at si capiatur TE . Hoc a casu arcus fg in 4 tpi; et arcus pqr utrinque circa. 4 aequaliter protenditur, uti est obvium. /1— ee 1 — ee : T—w xxn *., fit ge 6 fV. (ic. 94—1; hineque p i-r — 2V', e Weir i cum 22. Exemplum. Ponamus n—4 et ee—ZLl, ut semiaxis conjugatus ellipsis prodeat CB— V3 j 9 9. : altero existente CA — 1. Quia nunc esse debet fg — y» statuatur fg—-; - $m ad ac repe- 4Y3 2y9 "evt y10 fietur f yg" gsm d z^ ium pe dy g ? Porro autem elicitur p -- r — —^ et r—p-—-7^» unde fit dA rdi & M apu TM Te 10. Hic 'cásus Fig. 58 repraesentatur, ubi arcus fg terminus « L. Fuleri Op. posthuma T. I. 60 - aims e Wai mM L. EULERI OPERA .POSTHUMA. | dades. g fere in verticem / cadit, punctum vero ultra f'versus B reperitur, at punetum r capi debet in ellipsis parte inferiori; ita, ut arcus pfg.r alterum arcum 79, cujus ille est duplus, totum in se complectatur. 23. Seholion. Si libuerit alia hujusmodi exempla expedire, in quibus radicalia non inter se ' implicentur, casus prodibunt simplicissimi ponendo f — e, unde prodit. : 2 g Tia — ee) (1 — nee); " lh iss UR. og (A—Yü0-n qx. tum vero reperitur qq — 1——7—» Ata ut esse oporteat 2ee — 1 -i- ne*, seu ee 7 quta" SEMEN: alioquin loca p, q, r fuerint imaginaria. Hinc itaque pro terminis arcus quaesiti pqr elicitur i ] HU r-- p, V2(1— e) (1 — nee) (1 -i- ne*) r—p —L (i — 92ee 2- ne^) (1 — 2nee a- ne^) eritque ut desideratur Arc.pqr — 2 Arc.fg. Si ponamus semiaxem conjugatum 133 | 1. 20—e6 ii BP ER... 1 Ca ks Acgs 2 Ust n-4—Rkk eisque mi pleraeque irrationalitates evanescunt, fiet enim : f auia (00. supo] 2e(1— 2ee 2e (4 — 2e)? yaoi! (1— 2e0). T ( ) UU Sea4A s 10774 4e d I-A 92ey (92 —8 9et 6 E atque eun p-- Sn oie tao »sl. bate pp 2e — eo Ya —162) | ; pe 1—3ee a- 4e "080 Debet ergo sumi hee — 1, ne loca p et r fiant imaginaria. Imprimis autem notari meretur casus, quem in problemate sequente evolvam. UM uiam 2&. Problema 4. In quadrante *elliptico ACB abscindere arcum f 9, qui sit semissis M arcus quadrantis Bf3A. | | (E£TIRT debent definiri, ut punctum p in B, et punctum r in 4 cadat, Erit ergo p— 0 et r ago unde fi at e—q et e— Y m E ya ^ Seu 1 — 2ee-r- ne* — 0, ideoque €e — aad Cum autem Miu o e ER A UG to e ENEMY posito CB — k sit n — 1 — kk, erit ee — ,—. — 4—-,: sicque habebimus e — q — vati" T vero quia esse oportet, 2fg — pq -- qr, erit Lane x0 0 2fg — ese Tu r2 atque ff -- 99 -» be Aa- X net a- e'Y (1 — ee) (1 — nee), AY (4 A- X) SA fiet sive IF 98 4 nd ijs ergo. ob. 2fg — De comparatione arcuum curvarum (rrectificabilium. —— A15 (fa- 9» ET EE -- Kk) e" (g2z Lfa- 5a- n pa -—). ergo (03/5 2- 3k— Y (9 4- 14k a- 9 kk) -4- Sk a- Y (9 4- A4 k -- 9 kk) f — V 8-2- 8k e gv 8-- 8k í Sicque puncta f'et g determinantur, ut arcus fg sit semissis quadrantis 4B. Q. E. I. 25. €Coroll. ». Quo hae formulae simpliciores evadant, ponatur semiaxis conjugatus im 4m Ln lk eritque f— MES et g—0CG— Vit mtem, 26. CoroH. 2. Vel in subsidium vocetur angulus quidem c, cujus sinus sit med D md Ak 4Y (4 A- &) 5--3k . Seu Sing — ———— eritque CF — f — sin ipYi—m et CG — g — cos íg 27. Corol. 3. Si sit k — 1, quo casu ellipsis abit in circulum, erit Meis ideoque q — 5?, et ob Vs 1, erit. CF— f — sin 223" et CG — g — cos 221?— sim 671*, ita ut arcus fg prodeat 45^, qui utique est semissis quadrantis. | 28. CoroH. 4. Si ellipsis semiaxis conjugatus CP — Kk evanescat, prae CA — 1, fiet f'— el g — 1; sin autem CB — k sit quasi infinitus respectu CA — 1, erit, f —( et g — V3, unde applicatae Ff— k et Gg — £k; ita ut bi duo casus eodem recidant, utroque enim ellipsis confun- ditur cum linea recta. 29. Coroll. 5. Si fuerit k — 5, m f—YVi et g— Vi. At si generalius ponatur mz.i-í", qq gu uem y fit FE y 7 et je qon: Jam ut utraque expressio - fiat rationalis, sit u — 1 — 2f, fietque |14—5f-2- Aft ; LY G-—10f--8f*) Ang pr qon big rotas 1 Ergo f ita pus determinari, ut 3 — 10/f -— .8f * fiat quadratum; quod cum eveniat casu f/'— f, . ponatur f— x eritque - 1 —920:z -:1- 86:2 — 20:? 2 £4 3 — 10ff- 8f* — d di r Cujus - numerator- ergo quadratum effici debet, ita tamen ut prodeat f «^ 1, seu z affirmativum et . , 3 : ; . unitate minus. Statim quidem apparet quadratum prodire posito z — —1ig) quia vero hic valor est f - y—3 23 negativus, ponatur z— ^,^» eritque numerator ille a, ism 21243 2- 10454 yy — 77108y 3- 391.391. 10000 1 — 20z 4- 86zz — 20z? 4- z^ — 106 y 4- 391 » ; 1 2 Wy 1446 918 3637 yy — 106 y 4- 391 Posita hujus radice — idi ; Bi yz so e€62— 39io? f-— 41853 ** 9 — 805a —9p) a: — 106y 4-391 — 1002: — 1000: 4- 82 647 "i 3-— Marg us 200(6: — 1 — z:) -. 5986 A6 L. EULERI OPERA POSTHUMA. w-— Sicque casus exhiberi potest, in quo tam semiaxes ellipsis quam ambae abscissae f et g numeris ra- tionalibus exprimuntur. 30. seholion. Simili etiam modo, si detur (Fig. 57) arcus ellipsis quicunque fg, a puncto quovis dato p;alius.assignari poterit arcus pz, qui datum multiplum arcus fg, puta m.f3, superet - quantitate algebraica; si enim abscissae ponantur CF— f, CG —9, CP —p, €Q—4, CR—r, CS — s, CT — t, et ab abscissa CP numerando fuerit CZ —z, ultima indici m respondens; tum in subsidium vocando arcum Pe, cujus -abscissa Ce — e, ut sit Ud — n a — «n — fY (4 — gg) 4 —ne). 1—nfgg | 5:5mjdtT9 ex data abscissa p sequentes ita determinentur 5. pY Aire) (8 — ne) "e Y (4 — pp) (M i nen) 1 —neepp .,2Ya — ee) (4 — nee) aA- eY (4 — qq) (4 — ^q) 158 1 — neeqq MES. — ee) (4 — nee) -- eY (1 — rr) (4 e) 1 —neerr etc. vx "nns 1 donec perveniatur ad ultimam z, quae a p numerando locum tenet indice m notatum. Quo facto erit 42. m. Arc.f'g — Arc.pz — ne(pq3- qrAa- rs . . . 4- yz — nfi). : * oe h Ho . i t — i526 Hinc igitur quoque punctum p ita definiri poterit, ut haec quantitas algebraica evanescat, seu fiat. : pq a- qr ers e. . .2- yz — mfg, quo casu arcus pz exacte erit aequalis arcui fg toties sumto, quot- numerus m continet unitates, seu erit Arc.pz — m.Arc.fg. Dato ergo ellipsis arcu quocunque fg, alius assignari poterit pz, qui ad | illum datam teneat rationem,. puta m: 1. . Quin etiam m poterit esse numerus fractus, seu ista ratio ut numerus ad numerum 4:»; nam quaeratur primo arcus pz, ut sit pz — &.fg, tum quaeratur - alius zo, ut sit vo —». f3, eritque pz:z0—44:». Verum quo longius hic progrediamur, E formulae continuo magis fiunt complicatae, ut calculum in genere expedire non liceat. 11 ao 31. Problema 5. In dato ellipseos- quadrante AB arcum abscindere 3, qui sit tertia pars. totius quadrantis AB. Solutio, Cum in genere fuerit determinatus arcus pqrs, qui sit triplus arcus fg, dum bic' arcus tanquam cognitus est spectatus, nunc vicissim. calculus ita instruatur, ut punctum p in B, et. punctum s in 4 incidat, seu ut sit p — 0 et s—: 1. Formulae ergo modo exhibitae abibunt in has. | MILI. 2e Y (4 — ee) (A — nee) RE: e — e) 4 — ne) aed — rr) — ner) 1 — »e* : | — neerr q —e€te, reu seu ry 1 — ee sh r 34)£Yd — ee) (A — nee) — e Y (4 — ss) (1 — ne) 1 — nee? «4 — neess unde fit .2e(1 — nec) — 1 — ne*,. " seu 1 —2e-1- 2ne* — ne* — 0, existente. semiaxe. C4 — 1, p k et n—1-— kk. Primum ergo ex hac aequatione biquadratica definiri debet valor ipsius e, quae resolutio commode ita succedit. "1 De comparatione: arcuum. eurvarum vrrectificabilum. AT Sit e es, ^ut habeatur &'— 22*2-2nac — n — 0, ac ponatur ad secundum terminum tollendum qc —y--i, prodibit | M o 8. | y! —4y-- (8n—41)y —$.—0, cujus factores fingantur yy -- «y -1- 9 et yy — «y 2- y, eritque 8 y —a0—3 y-8-— LM et gy — i6 unde elicimus "(9n — 1? 3 | ideoque — o*5— 3a*-- 3o? — (2n — 1)*; subtrahatur utrinque 1, ut cubus fiat completus (za — 1)5— nn — &n,. ergo. aa—1 -- YR (n — 4) — 1 — Y'nkk. et. « — V(1 — Y'nkl). Invento ergo c erit 2A, (on-8 0 (48s 1) « 346 3. (n— 0) g—.«24—- ga el gv9 ree 1 8.7 4 9n—1 — aat Y (34a — ai-9 (9n —1 indeque y — $e Y (4 — Aaa f - 5 1 as" (3aa — « (2n )a) 2a x ; 9 unde obtinetur e — 3p Qr Porro debet, esse 3fg — pq 2- qr 4- rs, seu 3fg — (1 9) AS. ideoque fg — (4 —- 6) Ex. /. ex quo obtinemus dar s Jiei, prt nn 1 — ee) (pes iso Aot) M —49 ff -- gg — e - nee (1 -- e)? - - Cognitis igitur valoribus fg et ff-- 9g, seorsim abscissae CF — f^. et CG -—g reperientur, quae 4 arcum determinabunt fg praecise subtriplum totius quadrantis 4B. ..Q. E. I. Comparatio arcuum Hyperbolae. 32. (Fig. 59). Sit C centrum hyperbolae, eujus semiaxis transversus Cl — k, et semiaxis con- .. jugatus — 1. Hinc sumta super axe conjugato a centro € abscissa quacunque CZ — z, erit appli- J eata Zz — k Y (1 -- zz), unde X 1-2-(0 24) — dz (4 -i- (1 -i- Kk) zz) AO: Az [d Y 4 zz "E —— 33. Ponatur brevitatis gratia 1-1- kk — n, ita ut n sit numerus affirmativus unitate major, eritque arcus hyperbolae quicunque dz (1-i- nz) 4z — [ra -- (n-1-1) zz 2 nz*) Poni igitur in $ XI oportet 4 — 1, € —n--1, E— n, 9(— 1, G— n et &— 0. Unde si fuerit LI f (O €Y (a 2i az) (4 a- naa) — z Y (4 -i- ce) (1 2- nec) 1 —ncceoz . 1 1 habebimus fado E UL fdy y: IM — Const. — ncay. 1-r- zc A78 (^0 ob; EULERI- 0PERA-POSTHUMA. | dniigei 31. Denotet. ].« arcum abscissae «respondentem, .et IJ.y arcum abscissae y respondentem. Quia facto & — 0 fit y — c, erit IT. — II. y — — II.c — nczy, seu —T.y — Il.x — Tl .c — ncay. 35. Ob Yy(1-- cc) (1 -À- ncc) ambiguum, poni quoque poterit IY -i- 2) (M7 naz) 47 a Y (1 4- cc) ac E) 1—neczm eritque IT. yecm c — II.c —neay,. secundum ea, uon de ellipsi $ 3 sunt ,etposita; alque hinc sequens problema solvi poterit. LU 36. Problema 6. Dato arcu hiyperbolae de a vertice sumto, abscindere a quovis dato puncto f alium arcum fg, ut differentia horum arcuum fg ét Ae sit geometrice assignabilis. FU GIR Solutio. Ponatur arcus propositi 4e abscissa éE Ls, abscissa data CF——f et quaesita CG—9; statuatur porro Maeva eY 4 -- ff) (& 4- nff) A- f Y (A ee) (4 -4- nee) 3g 1—neeff eritque II. — H.f — He nefij: At est uL BOR SENI, As EM Il.g — Il.f— Arc.fg et Il. e — Are. 4e, unde Arc.fg — Arc. 4e — nefq. Puncto ergo 9 hoc modo definito erit arcuum f. 9 et 4e differentia geometrice 'assignabilis. Q. E.I. 37. Corol. 3. Si ergo f ita' capiatur, ut sit 1 — neeff — 0, seu f-.. abscissa CG —9 fit infinita, ideoque et arcus fj erit infinitus, qui etiam arcum fe excedere reperitur quantitate infinita nefg ob g — oo. Ut E casus, quemadmodum figura repraesentatur, substituere possit, necesse est ut capiatur f — 38. Corol. 2. Sin autem sit f - v fiet g negativum, ^et IJ.g pariter fiet sign üiind 1 unde si fuerit .. eY (à 2- ff) (& a- nff) A- fV (A a- eo) (A -- nee) LUTTE — sneff — 1 habebimus : H.e a- H.f A- H.g — nefg — Ae -- Af -- 49. Tres ergo arcus exhiberi possunt e Af et 4g, quorum summa geometrice assignari queat. 39. Coroll. 3.. Casus hic, quo. summa trium. arcuum hyperbolicorum rectificabilis prodiit, eo magis est notatu dignus, quod similis casus in ellipsi locum non habet; ibi enim terni arcus II.y — I.e — II.z — — nexy (3) nunquam ejusdem signi fieri possunt, propterea AM nccax uni- ie 3 tate semper minus existit. ^0. CoroH. 4. Horum ternorum arcuum duo inter se fieri possunt aequales; sit enim ) ) 9eY (1.-&-ee) (1 -- nee) | :-0Jioi igo [5 Wang S ap^ : unde prodit 217.e3- ]l.g — neeg, seu 2Arc.4e-- Arc. 4g — quantitati geometricae. Si igitur insuper fiat g — e, habebitur arcus hyperbolicus, cujus triplum, ideoque et ipse ille arcus erit recti-. ficabilis, qui casus cum sit maxime memorabilis, eum in sequente problemate data opera evolvamus. De comparatione arcuum. curvarum 4rrectificabilium. A19 ^4. Problema 7. In hyperbola a. vertice 4 arcum abscindere /fe, cujus longitudo geometrice assignari queat. Solutio. Posito. hyperbolae semiaxe. transverso Cl — k, et conjugato — 1, ita ut posita ab- » scissa CE — e, sit applicata Ee — ky (1 -- 66); brevitatis gratia autem sit n — 1 -1- kk. Sit ergo — ——— eA c nmm ISDEM" NUR m aU Y Nee aee B CC Re SSEORET USOS — CE — e abscissa arcus ^fe quaesiti, cujus rectificatio desideratur; quem in finem statuatur in $ praec. g — e, ut st | un 9ey (4 € -L- nee) eritque 3II.e — ne? , seu Arc. e — ne ideoque rectificabilis. — Abscissa ergo "hujus 'areus .CE — e. determinari debet ex hac aequatione ne* — 1 — 2 V (1 2- ee) (1 4- nee), quae abit in hanc - nne* — 6ne' — & (n -1- 1) ee — 3 — 0. Ad quam resolvendam faciamus ec — - ut prodeat d DES baden — n (Pe ib —3nn — 0, cujus factores fingantur (ax -i- «2 3 9) (ac — «c -- y) — 0; unde comparatione instituta orietur 2 RS t y— duy f RT UN Quare cum sit (y 4- 9? — (y — 8)? — /8y — — 19nn, fiet T: : - A6nn (n 4-1)? et y — —3nn. ;* — 19 nac A- 36nn — — — 12nn, | sive " a$— 12no^-- K8nna« — 16nn (n -- 1y?. Subtrabatur utrinque 6. n, ut fiat - («« — os 162? (n — 4, seu. ag — n -- Y f6nn (n — 1)*, ergo o — y (kn 4 y 16nn (n—1) ). Invento nunc valore ipsius c, erit porro 9n (n 2- 1) B — au — 3n a- 07. et y — ua — 3n — hor et quatuor radices ipsius c erunt | d Bp. EAESNBL. 2n (n -- 1) q—33«y(3n—- «st ——.)- nee, seu cum valor ipsius « tam affirmative quam negative accipi queat, erit aa 9 (n A- 1) m MC *YG — du ue) flic igitur valor si i tribuatur abscissae CE — e, erit arcus hyperbolae 4e — ine Q. E. I. ^2. CoroN. z. Si loco unitatis semiaxis conjugatus ponatur — 5, ut abscissae cuicunque CP — a: respondeat applicata Pp — KY (1 A), erit . AN ""L.EULERI OPERA POSTHUMA. Analyeis. a — y (bb (bb -i- kk) a V AGb^ k* (0b -i- ky?) tumque sumta abscissa P - 9b 9 bb (25b -- kk) y CP — e — Vest Y en a(b--H) ated. erit ^ arcus 4p — x » 2^ | ^3. €oroNH. 2. Si hyperbola fuerit aequilatera, seu k — b — 1, poni debet n — 2, fietque & — 923 et arcus rectificabilis 4e abscissa prodit — CE E 2 ye e 2y'3) et ipsa hujus arcus longitudo reperitur TER y3-- a 4- 2y3) y»a- -- Yo -- 29Y3) h f£ D 1 a- Y (5 4-4) 3 » signa radicalia cubica ^^. Coro. 3. Si ponatur ^n (n — 1) — 5?,. ut sit. n — ex calculo evanescent; prodit enim | gc V (3 cess a 2008 nen) — y 4 — $2 5$) a- Y (1 2 8), unde fit (cea 43 N ; , vef V b rateta | . 1 ahi) * T , J SAC --$) --,Y( — $2- $$) -y(t: — diss Y( — — s 2s) Y 4--5)-- (42-4 g 5) Va-eeal) Y (Mh a-5) Y (8. — 52$) 3 V (4 — 55 4Y 4 2-5) a- 2 (2 — 5) Y (1275) 4-2 (9-5) Ya —ies) 1 4- Y (4 A- s9) , sive ee — ^5. CoroH. 4. Pro hyperbola aequilatera, ubi n — 2, si radicalia per fractiones decimales evolvantur, reperitur CE — € — 1,461935 et. e— 1,52$83686, seu Arc./4e—2,0830191, semiaxe tansverso existente C4 — 1, quos numeros ideo ;adjeci, quo. veritas hujus rectificationis facilius perspici queat. ^6. CoroH. 5. Casus etiam satis simplex prodit si s— 1 et n mir —1 -- kk, ita ut sit k — Aci !, hine enim fit | Y9--1--Y(9--6Y8) - f: Be xr 1--Yy29. 4- Y3. (12-Y2) (4 4-Y3) Y (1 --Y3) [n | fractionibus Ergo sumta abscisa CE — y (1-1 y/3), erit arcus 44e — decimalibus fit À — 0, 45509, e — 1,635289 et. Arc. 4e — 1,81701. 6 !T. CoroH. 6. Si sit s — - 0, quo casu fit n — 1 et Kk — 0, hyperbola autem abit in lineam , rectam CE, erit e€— 3 et e— Y/3 — CE, arcusque e evadit — V 3— CE, uti natura rei postulat. ^8. Problema $. Invenire alios arcus hyperbolicos rectificabiles. Solutio, Sumta abscissa CE—4(2, capiantur aliae. duae abscissae CP—p et CQ —q, ut sit Lev -- pp) (4 2 npp) 4- p Y (A -- ee) (4 d-nen) 5 x: SAI 1 — neepp De comparatione arcuum. curvarum. irrectificabilium. | A81 erit| 21.q —11.p— Hl .e-—nepq. Quia ergo II.q— Il. p — Arc.pq. et Il.e— Arc.4e, erit Arc.pq — nepq -- Arc . Ae. Quodsi igitur abscissae e is tribuatug valor, qui in problemate praecedente est definitus, ita ut arcus Ae sit rectificabilis; hunc scilicet in finem posito a — y (hn A- V 16nn (n e 1)*) capiatur e—V(s - V($ — E Lien) 4nn na LIS 1 Li * . . . LJ eritque arcus 4e — -ne?. Hinc sumta abscissa p pro lubitu, ex superiori formula ita definietur abscissa q, ut prodeat arcus rectificabilis JN C ^ dd T Arc. pq — nepq -i- ne^. Verumtamen p Hr accipi debet, ut sit neepp «1, seu p «y, cum igitur sit ne* » 1, capienda est abscissa p minor quam e, et quidem oportet sit j H We. 2044 9n(o-- 1) ? » V ($a V n qaa a. 097). Dummodo ergo punctum p non capiatur ultra hunc terminum, semper ab eo abscindi potest arcus pg, eujus longitudo geometrice assignari queat. Q. E. I. ^9. Coroll. 1E. Quodsi capiatur P ob 1 — neepp — 0, fiet abscissae q valor infinitus, ideoque ipse arcus rectificabilis pq erit. infinitus. (3 4- 2Y/3) 50. CoroH. 2. In hyperbola ergó aequilatera, ubi n — 2 et e — prey 3 » prior : sys ^ 1 i abscissa CP — p tam .parva accipi debet, ut sit p — Y (V3 &-Y (8 a-2v3))' seu p — 0,583678*. Sumta igitur hac abscissa tam parva, semper alterum punctum q assignari poterit, ut arcus pq sit rectificabilis. - 51. Seholion. lnsigni hac hyperbolae proprietate, qua reliquis sectionibus conicis antecellit, contentus, non immoror investigationi ejusmodi arcuum, quorum differentia sit algebraica, vel qui - inter se datam teneant rationem, cujusmodi quaestiones pro ellipsi evolvi; cum enim talia problemata pro hyperbola simili modo resolvi queant, ea ne lectori sim molestus, data opera praetermitto. Hanc igitur dissertationem finiam comparatione arcuum .parabolae cubicalis primariae, cujus rectifi- cationem constat pariter fines analyseos transgredi. Comparatio arcuum Parabolae cubicalis primariae. 52. (Fig. 60). Sit 4efg parabola cubicalis primaria, 4 ejus vertex et 4EFG ejus tangens in vertice, super qua sumta abscissa quacunque ,/P —z, sit applicata Pp — 3 z*, unde arcus 4p reperitur | dz (13-i- 23) , — faxva esty iy L. Euleri Op. postbuma. T. f. à; 61 " A82 -.— ocv4& EULERI OPERA POSTHUMA. : ^ . -— Ansdiei: 53. Quo igitur formulas nostras: huc accommodemus, poni oportet PUN C—90,; E-1 9( — 1, $—3 0 et. (& — 1, ita ut. sit .$ MRCCCRIIUU eu quo facto erit fae (4 3a) — [ dy (1 - y*) — Const. — cay (ce - ay V (1 -i- e*) -- s eemz yy) | sumto tam Yy/4 quam c negativo in formulis N* VII et. XI expositis. ! - 5^. Quodsi ergo tres capiamus abscissas 4E -—, AF —f et 4G — 9, ita ut sit cumy ta 2- f*) -- fY 4 -- "- 1 — eeff erit Arc. Af — Arc. 4g — — Arc. 4e — - ef (is -- ^s Y c e*) a Leeffgp), s 5 ; Arc.fg — Arc. 4e — effg (ee - fuv 1 4- e*) 4- 3 eelfgg). Dato ergo iaovis: arcu Ze, a dato puncto f'abscindi poterit alius arcus f3, ut horum arcuum l.i: ferentia .sit rectificabilis. 55. Si capiantur arcus .e et f' negativi, ita ut. sit eeff » 1 et . eY (4 a- fS) a- fY (4 5. j gun eeff — 1 et arcus abscissis e, f, g respondentes denotentur per I.e, II )A II.9, erit IT.e a- Il.f 4- II.g — ef (ee — fg V (1 aed fon a eelfag). : : | eY (4 a- f*) --fY (1 rara Sin autem sit. — ge m erit II.g —II.f — ILess ef (ee - fg Y (1 e) sella). 56. Cum sit hoc posteríori casu ff-4- gg — ee 4- 9f'g V (1 «t- e*) a- eeffqg; erit Tout Lr gj — HI. f II.e — yefg (ee 4- ff À- 9g — s ellog)- Casu autem altero pro summa arcuum, quo eY' (4 4- (52 4- fY (4 4- et) 3— "wm er erit II.e a- H.f 4- II.9 — gi (e v fP-e dg — s eeliop. É Á- 1 57. Problema 9. Dato arcu 4e parabolae cubicalis primariae, in ejus vertice 4 terminato, ab alio quocunque puncto f abscindere in eadem parabola, arcum f3, ita ut horum arcuum differentia fg — 4e sit rectificabilis. Solutio. Positis abscissis 4E — e, " f, 4G — 9, quarum illae duae dantur, haee vero | eY (1 4- f5) a- fY (4 -e- 1—eff ita: accipiatur, ut kis g-— ? eritque horum arcuum differentia 9 Arc.f'g — Arc. 4e — 5 ef'g (e&-i- ff--gg — - eeffgg) ISERNIA TH P P NORHRUTSMPET PNE RTEUU UM RUE De comparatione arcuum | curvarum irrectificabilium. —— 483 Verum cum. data sit abscissa e, altera abscissa fita aceipi debet, ut sit eeff — 1, seu f'— z ne abseissa 4G — g prodeat negativa. Sin autem detur punctum g, inde.reperitur uet ; bs f-— .9Y et —eYa-e gt) ; 1 — eegg . unde si g tam fuerit magna, ut sit eegg — 1, seu g 7 2 erit * da Yang) carat eegg — 1 simulque necesse est, ut sit g 7 e, ne f fiat dicetivuni. À dato ergo puncto f siquidem sit f c arcus quaesitus fg in consequentia vergit; a puncto autem 9, si'sit g — ii et simul g — e, arcus quaesitus fg retro accipietur. Q. E. L. 58. CoroH. 1. Cum sit applicata Ee — 3^ seu A4E?— 3 Ee, erit parameter hujus parabolae —3, ideoque unitas nostra est triens parametri... 59. Corol. 2. Si ergo sit e — 1, abscissá data f seu g vel debet esse minor quam 1, vel major quam 1; dummodo ergo punctum datum non in e cadat, ab eo semper vel prorsum vel retror- ' sum arcus quaésito satisfaciens abscindi poterit: prorsum scilicet, si abscissa data minor sit quam e, retrorsum vero, si major. At si abscissa data esset — 1, altera vel infinita vel — 0. prodiret. * 60. Corol. 3. Si sit e — 1, ideoque e — -. altera abscissarum f' vel g, quae datur, vel minor esse debet quam vel major quam e; alioquin arcus problemati satisfaciens abscindi nequit, quod ergo usu venit, si abscissa data inter limites e et 4 contineatur. " . . L4 1 * . 61. CoroH. 4. Sin autem sit e — 1, ideoque M alteram abscissam datam vel minorem 1 B 1 : . L L HJ 1 esse oportet quam —. vel majorem quam —;. dum ergo non sit aequalis ipsi -—» quo casu arcus quaesitus vel fieret infinitus, vel ipsi arcui 7e similis et aequalis, reperietur semper arcus proble- mati satisfaciens. | 62. Coroll. 5. Hoc autem casu, quo e — 1, fieri potest, ut a dato puncto f in utramque partem arcus problemati satisfaciens abscindi queat; hoc scilicet evenit, si abscissa data intra limites 1 : * : un. zx. e et — contineatur: tum enim ea tam loco f quam loco g scribi poterit. 63. Corol. 6. Si arcus fg debeat esse contiguus arcui //e, seu si sit f— e, reperictur i m 9 ey (1 4- e*) / ? 21—e* hoc ergo fieri nequit nisi sit e — 1. Hoc ergo casu erit arcuum differentia . k : ^ Arc.f'g — Arc. Mua" (9— M a. 6^. Problema 10. Dato in parabola cubicali arcu quocunque f); alium. invénire arcum. pq, qui illum superet quantitate geometrice assignabili. 484 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - - Asatjsi Solutio. Sint abscissae datae J/F — f, 4G —g, quaesitae 4P —p et 4(Q —9q, et in sub- sidium vocetur arcus 4e, cujus abscissa 4E — e, sitque | (ey (a ac ft) a- f'Y (4 a- e*) " —L eY (1 a- p*) -- pY (1 2- e) iyd 1 — eeff : vm 1—eepp erit Arc.f'g — Arc. de — s efg (ee 3- ff 4- gg — s eeffgg) — M 5 1 1 et — Arc.pq — Arc.4e —- epq (ee--pp - qq — -;-eeppqq) — NN, ergo: Arc.pq — Arc.fg — N— M. Eliminemus autem utrinque e, reperieturque —.9Y0 4- f (Yd -- 79 «Y (t-- 99 — pYQ qo. Pt 1— ffgg 1— ppqq unde si f, g et p dentur, obtinebitur q hoc modo: q— |g 1 — ffgg -- flfpp — ggpp) V(A o- f *) (1 ^- p*) —f ( —ffgg 5- gg pp — ffpp) V (1 s 9*) (1 -p*) -- p (1 — ffpp — ggpp -- ffgg) V 3 f*) (1 5 g*) — fap (ff -i- gg -- pp 5- ffagpp) |: [ (t — ffag — ffpp —439pp)^ — Mlggpp (f[- 99 - pp) | ; | qui valor quoties non fit negativus, praebebit a dato puncto p arcum pq, ab arcu proposito f3- | geometrice discrepantem. . Q. E. I. 65. Coroll. I. Ambo abscissarum paria ita pendent ab e, ut sit If 4- 99 — ec (1 -- [fgg) 4- 2fg y (1 -- e^) pp 3- qq — ee (t 3-ppqq) a- 2pq Y (1 -- e), unde reperietur BEC pa (4-99) — fg(pp3-44) av Gp 2-49) (4 2 fgg) — (frA- 99) (Y 2 pp qq) Ter rur Se ANA 2o S Es 3(pa— fj) — fü pa) et hinc penitus eliminando e habebitur (t —ffgg) (pp-1-qa) -- (L— pp qq) (fF 99) — v — fg pa? (tpa — fg? - (93-39) Up 3-99), vel ((1 — ffgg) (pp -- qd) — ( — pp qq) (f-1- 99) — pq — f) (t — fgpq dP-929) (Qp--q9). 66. CoroH. 2. Hinc ergo dato quocunque arcu fg, infinitis modis alii determinari possunt arcus pq, quorum differentia ab illo f sit geometrice assignabilis. Erit autem haec differentia 1 1 Arc.pg — Arc.fg — 4 e (ee(pg—f 9) (1 — s ppqq — s fpa — fTog) --pa (pp--aq) — f'2(/f ^-gg)) . e (pa — fg) (/-À- 9 ^- acad s dne &pq (pq 4- 9fg) (1-99) — 1 f'g (fg -2.pq) (pp-1-q2)). 2 (1 — fgpQ) 67. Coroll. 3. Casus hic duo peculiares considerandi occurrunt, alter quo pq — f3, alter quo fgpq — 1. Priori casu fit pp -4- qq — ff -— 39, ideoque gi et q— 9; ita ut arcus pq in ur arcum fj incidat. eorumque differentia fiat — 0. Alteró' vero casu fit ve" 0X Kup vm" De comparatione arcuun. curvarum irrectificabilium. — 185 € dus za 2-99 (t — ffag) (pp - qq) -- (1 — 7.) (F-2-99) — 0, seu. ppc qq — 7, unde colligitur p—T et q— qui est casus a Celeb. Joh. ferpe ultio b. m. primum in Actis: f Lipsiensibüs A. 1698 expositus. 68. pa 4. Hoc ergo casu Bernoulliadno, quo p q—- » àc proinde pq - et- g ad P erit arcuum differentia pp -- qq — 77 : 1 peu (3 df 4- 99) (-effog) ) — ee (1 — ff39?); . at est e (1 — [T99) — Y (1--f*) —f'Y(1--9*), unde colligimus ee (t — fgg? — (ff 3-99) (1 2- fg) — 2fg Y (1 f") a 4- g^), quibus valoribus substitutis erit | Ya2-r?— fva Arc.pq — Arc. fy — y M PHP an -- [f99) -- fg Y 4 -- f *) (t 2 9)*), quae abit in hanc formam a--f)Ya-ef) — aeg) Yet). 3r 35? Arc.pq — Arc.fg — quae est ipsa horum arcuum differentia. a. Cel. Bernoullio exhibita. :69. Seholion. Simili modo dato quocunque arcu parabolae cubicalis f3, alii arcus inveniri poterunt, qui a duplo vel triplo vel quovis multiplo arcus fg discrepent quantitate algebraica: quin eliam. hi arcus ita determinari poterunt, "ut differentia evanescat. Hinc ergo proposito arcu quo- cunque fg, alius in eadem parabola assignari poterit, qui arcus istius sit duplus vel triplus, vel alius quicunque multiplus. Ex quo vicissim pro lubitu. infinitis modis ejusmodi arcus assignare licebit, qui inter se datam teneant rationem. Ut autem duo arcus sint inter se in ratione aequalitatis, alii . assignari nequeunt, nisi qui sint inter se similes et aequales. Quod quo clarius appareat, sit fg —m, pq — u, ff4-gg —n et pp-i- qq —v, : erit primo - |o n — ee(1 2a mm) a- 2m y (1 a e*), - tum vero | » — ee (1 3- uuo) 2- 2 0 Y (1 A- e*). - Unde ut arcus pq et fg inter se fiant E kd oportet esse - ee (u — m) (1 — 5 uu — $g"i— 5 mm) -- uv — mn — 0. 1 At pro n et v illis valoribus substitutis fit uy — mn — ee (u — m) (1 a ju a- m. -- mm) 4-2 (i. — m) (u A m) Y (1 A- e*) : unde debet esse, postquam per 4 —m fuerit divisum, 2 ee (1 a- utt a-3 mu -- 5mm) 4 2 (u a- m) Y (1 2- e) — 0, 3 - quae quantitates cum sint omnes affirmativae, solus prior factor s — m — 0 dabit solutionem, 486 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. diis eritque f'—p et g —9q. . Ad multo illustriora autem progredior ostensurus in hac curva etiam arcus rectificabiles assignari posse. 70. Problema EE. In parabola cubicali primária a vertice 4/ arcum exhibere /fe, eujus tog: gitudo geometrice assignari queat. Solutio. Assumtüs tribus abscissis 4E — e, 4F—f' et 4G — 9, supra idünds, si sit. eY (A a- f 4) a- f'Y (A A- e*) g , ee ff — 1 E ri d fore . I.e a- HI.f 4- II.g — s efg (ee a- ff 99 — 5 eeffa9). Statuantur nunc hi tres arcus inter se aequales, seu e — f — 9, eritque | MEA c nia seu e— 6e! — 3 —0 ; . hincque e* — 3 -4- 2:y/3. Sumta ergo abscissa 4E — e— Y(3 4- 2/3), erit 1 3 Arc. de — $ e(3 —ie) — € (6— 2y3), sive. Arc. de — 4. (3 — V3) (3 3- 2/3) V(3- 8/3) — 5 (1 a V9) (8 4- 2/3). pio — —— Fragmenta ex: Adversariis depromta. 481 XXII. Continuatio Fragmentorum ex A d versariis mathematicis depromiítorum, (Conf. supra pagg. 157 ad 266.) 1l. Supplementa numerorum doctrinae. 91. (Lexell.) PaosrEMa. [nvenire numeros p, 4, r, s, ut haec formula A (pp -- $8) (qj A rr) pqrs (pp — ss) qq — rr) * fiat quadratum. Sorvr:0. |. Primo ponatur pp -3- ss — (aa A- bb) (xx A- yy) et qq -- rr— (cc -4- dd) (xa -- yy) eritque p-—ax--by et q— cr 2- dy 8$ — bx — ay r— dx —c€y; quo facto, quadratum esse debet haec formula : À (aa -- bb) (cc 4- dd) pqvs (p - s)(p — s) (q3- 7) ig — 7) Il. Ut numerus factorum diminuatur, statuatur r — s, sive c a —Ux dx — cy — bx — ay, unde EU fiat ergo x—a-—c e y—b—d, unde colligitur p — aa — ac 4- bb — bd, q — ac — cc -- bd — dd. et $8 — r — ab — bc — ab -4- ad — ad — bec, hineque p 5 — aa — ac -«- ad -4- bb — be — bd, q-- r — ac — bc — cc -- bd -&- ad — dd p — s — aa — ac — ad 4- bb -- bc — bd, q — r — ac -- be — cc -- bd — ad — dd. Formula ergo quadratum reddenda erit À (aa -4- bb) (cc -i- dd) ; pq (p a- s)(p — s)(g 4-7) (q — 7) Il. Fiat porro p — cc -i- dd, sive cc -4- dd — aa — ac - bb — bd, ad quam resolvendam statuatur d — a, eritque cc — — ac -- 0b — ba, sive Q0 — — cc — ac -- bb — ab, seu cc -i- ac. — bb -&- ab — 0, quae per c -- à divisa dat a -1- c — b — 0, unde fit c — b — a existente d — a. Habebimus ergo p — cc 2- dd, q — (3a — b) (b — a), r — s — aa a- ab — bb, unde fit p -1i-s— a (3a— 5), p —s— (b —a) (20 — a), q-3- r — (2a— b) (25b —a), q—r —a (306 — &a). Consequenter formula quadratum reddenda erit À (aa -- bb) (3a —b)(b—a)a(3a —b)(b — a) (8b a)(2a t)(9b — a) a(36 — 4a) p* 488 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Analysis. diop hantea. À (aa -4- bb) 2a — b) (8b — 4a) À (2a — b) (30 — ^a) (aa -i- bb) — n. — p, ita ut habeatur haec conditio quae reducitur ad hanc formam ( Nora. Si N? Ill posuissemus d — — a, habuissemus cc — bb -1- ac — ab — 0, quae per c — b divia praebet c 4- b -- a — 0, sive c — — a — b, unde porro fit p — (a-- b)* -4- aa — ec 4- dd, q — — (3a-- b) (a4- 0), r — s — — (aa — ab — bb) p-s—(2b-1- a) (b3a-a), p—s—a(3a- b), q-À- r— — a (ha b), q—r— — (2a 4 6) (2b-21-a) Unde quadratum esse debet haec forma | A (aa -- bb) | — (3a A- b) (a a- b) (2b -- a) (b -— a) a (3a -- b) a (4a -- 3b) (2a a- b) ataca sicque quaestio reducitur ad hanc formam — 4 (aa -1- bb) (2a -- b) (ha -4- 3b) — c. Hic imprimis notatu dignum occurrit, quod per positionem tertiam, qua fecimus p — cc -t- dd, praeter expectationem, quatuor paria simpli- cium factorum ex caleulo discesserunt. : Conditioni tertiae p — cc -4- dd sequenti modo generaliter satisfieri potest : Quum sit | cc -t- dd — aa — ac -A- bb — bd, erit cc -1- ac — aa — bb — bd — dd, sive (2c -4- a)? — 5aa — (2b — d)? — 5dd, sive (2c -31- a)? — (2b — d)* — 5 (aa — dd) et 1 (2c -- a — 2b -- d) (2c -4- a -À— 2b — d) — 5 (a -- d) (a — d) — 5mntu ; unde colligitur 2c -4- a — 2b -4- d — nu, 2c -4- a4-2b — d — mt et a-1-d — mu et a— d — nt. Ex his concluditur mu -- nt mu — nt a ME Ug ; 9 2 inde vero 4c -- 2a — 5mt -4À- nu et 4b — 2d — 5mt — nw, unde fit c — m — n) t--(n —m)w ot p e (óm —»)t—(n—m 1 : L á em 4 | i | E Hinc p — [5 (5mm — 2mn -4- nn) tt — 2 (5mm — 2mn -- nn) tà -- (5mm — 2mn A nn) uu] « 16 q — [— 5 (5mm — 2n -- nn) tt 4— 6 (5mm — 2mn -- à) tu — (5mm — 2mn -- nn) eel Dmm — 2mn -r- nn sive ps 16 (8tt — 2tu -t- uu) yas i. NE RE (55.22 t-d- uh d s OC Rm (t— v) (5t — v) ASA ae 5mm — 2mn 4 nn (ic Ir aat). ; 1 16 Sit brevitatis gratia Leeds tm z- 6, ut guit p — € (Stt — 2tu -a- uy), q— — C (t —u)(5t—w, r-—s- €(— 5t -- uu) eritque p-es-—2Cu(t— wv), p— s — 2Ct (5t — u) q 3 r — — 2Cu (3t — uv), q — r — 92€t (bt — 3v) aa 4 bb — C (Stt -- 2tu -i- uu) ; quare formula quadratum reddenda est A (btt -— 2tu -a- wu) (t — wu) (5t — wu) . — 2u (t — wu) 9t (bt — wu) . — 9u (8t — wu) 9t (bt — 3w) : quae reducitur ad hanc conditionem : 4 (5tt -- 2tu -4- ww) (3t — wu) (94 — 3u) — D. Statuatur v — v — t, fietque À (Mt -A- o). (M — v) (8(— 3v) — 0; seu posito 2t — w erit A (ww -4- vv) (29w — v) (kw —3») — n; quo facto habebitur p — ww -4-(w—w q-—(w—v) (3w—v) et r2—s-—vv—vw— ww. Quae solutio cum praecedente prorsus congruit, ex quo patet illam solutionem multo esse generaliorem, quam . initio videbatur. Fragmentorum ex. Adversariis continuatio. 489 Hinc alius modus solvendi colligitur: Ponatur p 4-s— af, p — set, q--r — ay, q — r —er; tum vero q—fi. Hinc ob r— s fit jene ideoque sumatur « — 7 — £ et e —y — f; deinde 205 — ay -- ez, ha- bebitur 285 — 2»y — yb — 8 et S. -—£4 *, Statuatur ergo — yu, C —5—í6, ea ent, "m | nct 4581-5, rmm —t—E, consequenter | pps ci GE Gr m Gee) uem cmo mercem, ] unde praecedens solutio nascitur. Imprimis hic notetur, totum negotium pendere ab his tribus rationibus: &:6, B:y, et £:1, neque ipsas quantitates absolutas in computum venire. | Sjolutio generalior. Maneat p--s—ag, p—s—d, q-c-r—oy, q—r-—eg, ut sit ap -- «€ eB: .1,9)2-8) c) —o —L— 9 2 $ — 9 , — 9 » r— - a at sit r:s—f:g et q— 05; erit primo ay —:0B —d —f:g; fuf —ft—gny—gm e a 8 n—* (f$ — gn) Ponatur ergo & — ft — gr et « — ff — gy; deinde habemus 2185 — ay -- er —fy6 — 2gym 3- [8n, unde — 8 (25 — fr) — y (ft — 2n). Ponatur ergo 9 — ft — 295 et y — 2&5 — fr eritque a—ft—gp e s—([—89 E fg. Hinc ergo consequimur : prs — [ftt — 3fgtn -- 299m, p—s — (ff — 29h) tt — fgtn atque q 3- r — 2fhit — (ff - 99h) 6n -- fg, q— v — ([— 29h) $n — fg; unde fit. (op — (ff — gh) £6 — 2fg5n A ggnn $ —g (h56 — f5n A- gu) q — Ab (ft — 291) r — f (A56 — f6n 3- g77) pp 3- 5s — (f* — 2ffgh - 2g9hA) £* — 2f (2f — gh) £*n -- 1 [[ggbenm — 6fg? 5r? - 29*n* qq - rr — 2([hAC* — 2fh (ff -- 29h) C*n -- (f* -- 2/[gh -1— kgghh) Germ — 2f^g5n* 3 ffagn*. quae forma ut divisibilis fiat per p — (ff — gA):5 — 2fg55; -A- gg. hae duae conditiones requiruntur: Primo ff-3Y- gh — 0, secundo — 3f* -- ffgh -- kgghh — 0; tum vero quotus erit ' [fin 3- T P L &- At prior conditio dat gh — — ff. vel et altera conditio, quae est (f 3- gh) (hg — 3ff) — 0, eo ipso impletur. . lta ut habeamus À — — f, tum vero quotus erit [fur -- Mie. Deinde vero ob gh — — [f, formula pp -- ss fit L.Eu leri Op. posthuma T. I. 623 490 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Ada. z— bf*t^ — ef*g£*n a "1 f[ggbenm — Ofgh En? 1 29*n* cujus fattore sunt (ff££ -- 99:1) (5[[6£ — 6fg5m -4- 2999). Quibus valoribus substitutià formula nostrà quadratum reddenda fiet : À (bffz£ — 6fgt -- 29922) (fft£ -- ggyz) (ffr -- hheE) y hf, (2h65 — f1) quae ut solubilis fiat, necesse est, ut bini superiores factores fió--ggmm et fum A- &A5C | coalescant, quod fit ponendó ff : hh — 9g : ff, quod sponte evenit ob f[— — gh, ita ut res huc redeat A (frt — Gfytn -- 999)... — A Sfftt — Offen i 99g). fo (f; — 2h£) gz (2ft - gr) | quae iterum a praecedente non discrepat, nisi quod hic sit ff et gz quod supra erat £ et r. id À. m. T. I. p. 17 — 94. ibd 92. E p | (J. A. Eüler.) TuronEMa. Si formula acpp -4-b9qq ducatur in formulam abrr -1- oss, productum erit aac fpprr -1- acc ppss -- abbqqrr -- eb 8 8995s — ab (aapprr -- 864455) -2- ap (eppss -r- bbqqrr) — - ab (apr 3- Bqs)* -4- a (eps z- bgr)*. | Hujus ergo producti forma est dbzz --afyy existente x c -—apr--(qs et y-—opsz bgr. | 93. (Lexell.) PnosLzMa. Si fuerit 2»*.— a et proponatur formula fex -- gu -t-h, quaerere multiplicatorem pza--qv-t-r, ut productum fiat numerus rationalis. Sorvrio. Cum productum sit. fpa -- (fq -- gp) ac? -- (fr -- hp A gq) ex A- (gr A- hq) e A hr. ob z? — a, hoc productum reducitur. ad. sequentem formam : rob oup (fr -- hp 4 gq) a: A (fpa -- gr 4- hq)o -- fq A- gp A- ^r —0 unde ru——E TN, LACE LIRE ^ fs Anposp oq99 NM A i Ag h N h-— atque hpg -- g*q — f'pa A- figs p (hg — f) —a (fh — 9*5 um i $ hinc p — fh — gg, q— hg — ff, r—gf — hh, atque productum quaesitum erit — 3fgh — f* — g* — A?*. Hujus ope radices cubicas numerorum licebit ad fractiones continuas revocare. Exempl. Proponatur a — 2, 3 | ut sit 2 — V2; notetur esse proxime c — t4 et wp 135 et nunc more consueto fractio £e in fractionem continuam convertatur.... À. m. T. I. p. 176. TT ; IDEA Fragmentorum. ex: Adversaritis. continuatio. 491 94^. (N. Fuss.) Si fuerit » — z* — 6zz 4- 1 et y — hz? — hz, erit 2x -- yy — (zz -- 1)*.. Af vero Pini! ac Bi eek o Ra - f, | quae formula resolvitur in hos factores [zz -i- (2 2- 2V2) z — 1] [zz -i- (2 — 2V2) z — 1] quod si jam x -1-y debeat esse quadratum, fiat uterque factor quadratum ponendo zz 4- (2 4- 2V2) z — 1 — (z -- p -À- qV2)* zz -- (2 — 2V2) z —1— (z-A- p — qV2)* tum enim erit z-1-y — (zz -A- 2pz -À- pp — 244)". Jam evolvatur alterutra harum positionum, et termini ratio- nales inter se seorsim aequantur et irrationales: 2; — 1 —9pz -- pp -- 2gq | . 2;V2 —9qzV2 -4- 2pqV2. Prior aequatio dat 2z — 2pz — 1 -1- pp -1- 2g, unde z — UIT ex altera autem aequatione per 2V2 di- visa fit z— qz 4- pg, hincque P—( qui duo valores inter se aequati praebent ptt m D. Si hic capiatur ; — 13, fiet p — vel 18, vel —— Poni etiam posset 4 — — 13, fieretque à 2 432:939. &' Ma om EE 4^ hinc vel p—24, vel -U. Si sumatur q— 13 et pii, reperietur 12 M, Haec methodus ad sequentem redire videtur, quae resolutione in factores non indiget et ita se habet. Sit formula proposita quadratum efficienda in genere z*-1- az? -1- bzz 4- cz 4- d, cujus radix ponatur zz-- pz 4r, ita ut fieri debeat z* -.- 9pz? -A- 8rzz -4- prz -- rr -- ppzz * —z2*5— agy— bz— cec—d-—0 ubi cum primi termini se destruant, termini secundi et tertii ad nihilum redigantur, unde per zz dividendo fiet (2p — a) z -- 2r 4- pp — 6 — 0, ideoque z — LL Simili vero modo termini quarti et quinti conjunctim tollantur, unde fiet (2pr — c) z -- rr — d — 0, indeque i — Hi duo valores ipsius z inter se aequati dabunt E r—— c bp — p? 2 V (ec -1- a (ad — be) 4- bbpp -- acpp — &dpp — 2bp* -- p). Nostro autem casu erat a — &, b — — 6, c—.— &, d — 1; hinc formula radicalis evadit V (— 65 -2- 16pp -i- 129p* -À- p*). sive V (pp 2- &) (p* 41- 8pp — 16), quae autem formula nullo modo tractari potest, unde patet priorem methodum non reduci ad hanc posteriorem, ideoque eo magis attentionem merere. A. m. T. I. p. 276. 977. 499 L. EULERI OPERA POSTHUMA. 95. (N. Fuss.) Methodus facilis hujusmodi quaestiones solvendi: Quaerantur numeri zx et y tales, ut formula mz* 4r ny* divisibilis fiat per datum numerum XN. Primum observandum, hoc fieri non posse, nisi fuerit vel IN — maa -4- nbb, vel N — aa - mnbb.. Pro casu priore quaeratur quadratum kk — AN 3- ab, quod si fieri nequeat, quaestio est impossibilis. Sin autem k inven- tum fuerit, erit | z -—aN-- ap, vel etiam z — «N- kq y — N zx kp y — 8N 2 bg ubi «, 8, p, q pro lubitu: sumuntur. Pro altero casu. quaeratur quadratum kk — AmN 2 mab, tum vero erit ut ante z—aocN--ap et y—QN-2c kp, vel etiam a — o«N -* kq, y — BN 3- bq. Sit m — 2 et n — 1, ut formula 2x* 4 divisibilis fiat per A—42aa-4-bb : Sumatur a — et 0 — 1, erit N — 33. Quaeratur ergo kk — 334 -*- &, quod fit si 4 — 0, eritque k — 2; erit ergo | $— 33a € hp et y — 330 2 2y. | A. m. T. II. p. 148. 149. 96. - (N. Fuss.) DzriwiTi0. Proposito numero quocunque integro a, denotet zra multitudinem numerorum ipso a minorum ad eumque primorum; ita erit zz1 — 1, z2 — 1, 7:3 —2, zt — 2, z5 — &, 7x6 — 2 etc. Unde patet, si a fuerit numerus primus, fore zta — a — 1. Quo magis autem numerus «a fuerit compositus, eo minor erit za. Quem- admodum autem pro quovis numero «a inveniri queat valor za, regulam quidem olim dedi, ejus vero demon- strationem multo simpliciorem hic sum traditurus. j Lzwwa4. Proposito quocunque numero a, si formetur progressio arithmetica totidem terminorum, cujus . differentia ad eum sit prima, ejusque singuli termini. per « dividantur, omnia residua inter se erunt diversa, N in iisque ergo occurrent omnes numeri ipso a minores, scil. 0, 1, 2, 3, 4... a — 1. DrzMowsTRaTIO. Sit p primus terminus el q differentia ad a prima, erit progressio arithmetica p,p--34,p2-24,... p-i- (a —1)3. Quod si jam singuli termini per a dividantur, facile patet omnia residua inde orta inaequalia esse debere. Si enim hi termini p -- ug et p -4-vq, ubi ,, et » minores sunt quam a, idem praeberent residuum, eorum diffe- rentia, quae est (u — v) q, foret per a divisibilis. At quia q est numerus primus ad a, deberet u — v, hoc est numerus ipso a qe per eum esse divisibilis. Cum igitur omnia residua sint diversa , eorumque numerus — a, in iis necessario reperientur omnes numeri 0, 1, 2, 3 etc.... a — 1; semper igitur unus horum nume- rorum per « erit divisibilis. | ! " PnAEPARATIO AD DEMONSTRATIONEM. Sint 1, c, f, y omnes numeri ipso a minores ad eumque primi, quorum ergo numerus per hypothesin — ra, inter quos ergo primus erit 1, et ultimus a — 1. Hinc constitu- antur sequentes series: : A z L he- 1 e ax 3 - 1 1 i. P iw 2 * Fragmentorum ex Adversariis continuatio. 493 1 e p y 9: 0a4—1 a eet .« à -- Q a -i- B a3-y.... a—1 2a 2a -i- 1 2a -- & 2a -- 8 2a -.- y .... 3a — 1 3a 3a 4-1 3a -i- & 3a A- 8 3a4-y.... ha—1 ka (n — 1)a--1, (n — 1) a-- c, (n —1)a2- B, (n— 1) a-i- 7... na — 1 || na Quemadmodum igitur hic prima series horizontalis continet.omnes numeros ad a primos ab 0 usque ad c, ita secunda series continet omnes ad a primos usque ad 2a, tertia vero omnes numeros ad a primos ab 2a usque ad 3a, hocque modo hae series continuentur usque ad ultimam (n — 1)a-1- 1- Omnes igitur, conjunctim prae- bent omnes numeros ad a primos ab 0 usque ad na, quorum ergo numerus est m;za. Singulae autem series verticales erunt arithmeticae progressiones differentia a crescentes. His praemissis sequentia problemata facil- lime solventur. : PnosLrMa. Proposito numero quocunque a, investigare valores formularum zra*, zra?, za*, et in genere ;ra"". Sorvrio. In schemate superiore sumamus n» — a, ut quaeratur zra^, atque manifestum est omnes terminos illarum serierum , quia sunt primi ad «, etiam primos fore ad ae. Quare cum earum serierum numerus sit »-—a, et cujusque terminorum numerus — za, omnino habebimus a.:;ra, cui ergo aequalis zraa , ita ut sit. Zraa——a;za. Deinde sumto n — aa, ut sit na — a*, quia iterum omnes termini sunt primi ad a?, eorum nume- rus erit aaa, ideoque za? — aaxa. Atque in genere si sumatur n — a" — !, ut fiat na — a", multitudo om- nium numerorum ad a"' primorum erit qut» Comorr. Si igitur « numerus primus, ideoque zra — a — 1, erit za*—a(a—1), za?—aa(a—41) et ...za" — a" — ! (a — 1). PnaosrEMa. Propositis duobus numeris a et b inter se primis, pro quibus habeantur formulae ;ra et 75; invenire multitudinem omnium numerorum ad productum ab primorum ipsoque minorum, sive investigare valo- rem z;rab. Sorvri0. In schemate superiore sumatur n — b, ut fiat na—-ab; et quia series horizontales continent omnes numeros ad a primos ab 1 usque ad ab, quorum ergo numerus est b;a, jam consideretur prima series verticalis, quae est 1, a-1- 1, 2a 34- 1, .... (b — 1)a-1- 1, quae quia est arithmetica, ejusque differentia a est prima ad 5, numerus terminorum ad 5 primorum — 7:5. Hoc idem valet de reliquis seriebus verticalibus, qua- rum quaelibet zb continet terminos ad b primos. Quamobrem numerus omnium terminorum simul ad a et 5 primorum, ob numerum verticalium — ra, erit —7ra.7:b, ita ut sit zrab — 7a . ztb. Hinc jam tabula pro omnibus numeris condi poterit: 312631 ASPERA 1 «9236 2113 — 12 z2-—1 . 6—2 710 —. z14 —6 39-3 z4-—6 z11 — 10 z15 —8 zn&z22 "5 WScca4 ^wAdc-a ^^ m16—7 ete " Hinc porro patet, si fuerint a, 5, c, d numeri inter se primi, tum fore zabed — 7ta . zb . 7t . ztd. Hinc similiter, si proponatur numerus a^)Pc/d? — N, erit zzN — a^— ! zra . D — ! zrb . c? —! zrc , d) —! zd. A. m. T. III. p. 182 — 184. 494 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Geometria. II. Geometria: . 97. (Golovin.) PnosLEMa. Invenire duas superficies, quarum alteram in alteram transformare liceat, ita ut in utraque singula puncta homologa easdem inter se teneant. distantias. | Sorvurro. Pro priori superficie sit (Fig. s Z punctum ejus quodcunque determinatum per tres coordinata ATEPE TUS) UZ — v. .In altera vero superficie idem punctum Z doisrainitudi sit per ternas coordinatas CX — 2, XV — y, V2: E E Et quia per naturam superficierum quaelibet coordinata debet esse functio binarum variabilium, sint r "v s hae " duae variabiles a se invicem non pendentes, harumque functiones sint nostrae coordinatae. Nunc considerentur -1 in utraque superficie duo puncta r, s, ipsi Z proxima, quorum illud r prodeat ex variatione solius r, alterum vero s oriatur ex variatione sola ipsius s, ac per conditionem problematis terna intervalla infinite parva Zr, 5, Ts utrinque debent esse aequalia. Pro pue. autem r in prima figura. ternae coordinatae erunt (tei e verde)» TS (7 Simili modo pro puncto s in prima figura ternae coordinatae erunt d du deN : ta i (2) ua- di (S) v di (Z5): Hinc quadrata memoratorum intervallorum TE dy*- dr e G ) ae (C 55 Mp niter (Cose 2 «(re - «ey | a | quod postremum quadratum reducitur ad hanc formam rg? — Zr? a zs - sea (d 2) C2 C) (5 a- .e (2) Quodsi jam loco 4, v, v prac litterae a, y», habebuntur eadem intervalla pro altera figura, quae cum utrinque inter se debeant esse aequalia, habebimus has tres aequationes «Gy er- e «e - y 0-00-00-00-00-00 in quibus tribus aequationibus continetur solutio nostri problematis. Quemadmodum autem per methodos cogni- tas iis satisfieri oporteat, neutiquam patet, opusque maxime arduum videtur.. Huc autem superior analysis sequenti modo traduci poterit : Sint litterae J, G, H, item L, M, N functiones prioris tantum variabilis r, et statuantur nostrae coordinatae | s priores t —/ Jdr -- Js posteriores q — f Ldr -- Ls u — f'Gdr -- Gs y —/ Mir -- Ms p — f/ Hdr -- Hs g — f Ndr -- Ns Fragmentorum ex Adversariis continuatio. | 495 unde differentialia eliciuntur e JE J «T X. G 2)- — J, sicque de —Ó Unde tres aequationes, T^ sa- tisfieri oportet , erunt ; G- 2) «(ty - (em (e meme (e IL J?--G* -- I — IP? -- M? -- IN? m. T1) m" (s ta ze tad et m ae) N(N -- 2) quae titiiftpto ad tres sequentes aequalitates reducuntur I J?a-G e Ha Max Il JdJ -- GdG -i- HdH — LdL -- MaM -- NàN HL dJ*-4-4G* 4- dH* — dL? -- aM? 4- àN* quarum secunda jam in prima continetur; ita ut tantum duae conditiones ddiniplendáe supersint. ' Quo hae formulae magié evolvantür, statuamus: J* -4- G* -- H* — pp , ' erit quoque L?-i- M* 4- N* — pp. Quocirca ponamus E uo art G —p cos m sinn, H — p cosn L—psin u sin v, M— p cos p sin v, N —p cos v. Hocque modo alteri conditioni jam erit satisfactum. Pro altera autem habebimus: (dp sinmsinna-pdm cos m sin n-i-pdn sinmcos n)'--(dp cosmsinn—pdmein msinn-t-pdncosmeosn"-.-dp cosn—pdnsinn)*— (dpsin u.sinv 4-pdj.cos ui sin y --pdy sin u cosv)?-4- (dp cos p sinv — pdji sin jt m-rM cos jt co8 »)? -4- (dpcosv — pdv sin»)? quae reducitur ad sequentem formam multo simpliciórem dp? -4- p*dm? sin?n -- p*dn? — dp? -4- p*dy? sin*y -- p?dy? sive ad hanc dm? sin*n -4- dn? — du? sin*v -4- dy?. Sumere igitur licet quatuor angulos m, n et p, v, utcunque a variabili r pendentes, dummodo sit , dm? sin*n -&- dn? — dy? sin?v -4- dy? Y (dm? sin?n -4- dn? — dy?) sive tribus m, n et » pro arbitrio assumtis, quartus gu ita definiatur, ut sit dy — ege . Vel . . 7 . . . . . d0? — 2 — etiam introducto novo angulo [/ functione ipsius r, tantum capi poterit dm — dena m du X MLAD. : s Quo facto ternae coordinatae ipto: utraque superficie quaesita erunt : pro priori: (4 —Jpdr sin m sin n -- ps Sin m sinn; pro posigtiorl; g — /fpdr sin ji sin y -4- ps sin u sin y... f uM u — fjdr cos m sin n -- ps cos m sin n; os oou oou 7 pPlr cos gu sin v -4- ps €os u sin v y — fpdr cos n -4- ps cos n, at, z — fjdr cos v -4- ps cos v. ubi denuo pro p functionem quamcunque ipsius r capere s diets ApwoTaTIO. Probe autem notari convenit hic alteram superficiem non-pro data assumi licere, en non patet quomodo functiones p, m. et n quum. debeant, ut prior superfieies datam obtineat figuram v. g. sphaeri- cam. Cum enim in utrisque formülis -binae variabiles r et s in infinitum augeri queant, facile patet utramque superficiem necessario in infinitum pfotendi, meque lane extenéionem per quaépiam imaginaria tolli^ posse. Quamobrem figura sphaerica neque ulla, alia. figura in.spatio. finito subsistens. in -his formulis contenta esse potest. Quod autem ad figuras terminatas seu undique clausas attinet, judicium. de iis aliter instituendum vi- detur. Statim enim atque figura solida undique est clausa, nullam amplius mutationem patitur; quemadmodum ex notis illis figuris corporeis, quae: eorpora regularia vocari solent, intelligere licet. Unde quatenus superficies sphaerica. est integra, nullam mutationem admittit. Hinc patet, eatenus hujusmodi figuras mutari posse, quate- 496 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Geometria. nus non sunt integrae seu undique clausae. Interim patet hémisphaerii figuram certe esse mutabilem; cujusmodi autem mutationes recipere possit, problema videtur difficillimum. ; A. m. T. I. p. 10 — 13. 98. (Lexell.) PaosrtEMA. Ex datis aliquot applicatis aeque distantibus, aream interceptam curvae proxime definire. d (Fig. 62. L Area AaBb — AB (^ i- ) I... C^ Ac 2S ac (0 ss e e | ; "Pe pe PNE I7 cedens ^ 3Cc 4- [V. "Lea — AR (1407-920 - -i- 32Dd 4- 1 et ita porro. Sit area AaXz — AX («Aa -- 8Bb -- yCc -- 9Dd -i- ... -- Xa) erit L oco--8-ry43-0-1 etc. —1 IL 8-r-2y--38-r- 4e. etc. LllFT * d IL 8-4-2'y2-350--Ve-i. et. — 7. IV. 8--2*y-1- 330 -- e -i-.— ete. -—-5 "WV. 8 2-2*y 4- 3:0-- h*c -i-.— etc. l£ et sic porro. A. m. T. l. p. 198... (J. A. Euler.) | & In logarithmica (Fig. 63), cujus subtangens AD — 1, ab applicata AB — 1 longitudo curvae in infinitum exten- Y 9 2-1 2 et PM — y, erit y —e^ ^, hine dy — — e^ "dz, et elementum arcus — da V (1 -- e—7?^), hinc BM — AP — fx (V(1 2i e ?*) — 1) quod integrale ab & — 0 usque ad x — co extendi debet. | | Ponatur V(1 4-e—?^) — 1—z, fiet e ^?* — 27-1. z; et — 2x —(9z-i- zz); ubi pro x —0 habemus | z—Vy2—1,et pro x— oo fit z —0; hinc differentiando ; dz (4 -- z) 9z -A- zz sae BU superat axem AV etiam in infinitum productum quantitate 2 — 1 — 1 - Nam sit abscissa AP — x dz (4 -i- £z). E ;:9--z » et formula nostra fit - quae integrari debet ab z — V2 — 1 usque ad z — 0, vel nostra formula erit -a(t bust ) ergo integrando — z -4- ((2-1- z)aà- V2 — 1 — ((1 -À- V2). 9 --z Nunc fiat z — 0, et quantitas quaesita erit — | 9 ? Y2—1--i2—1(1-- Y2,—Y2 — A l7, Us A. m. T. I. p. 258. Fragmentorum ex. Adversartis contmuattio. 491 . 100. (JJ. A. Euler.) l PnonsLEma. (Fig. 65.) Pro hyperbola , cujus semiaxis AC — a, posito AP — x, PM — y, sit ny— V (az--zz), et ex M ad asymtotam €N ducatur MN axi parallela, invenire excursum rectae CN supra curvam AM, quendo punctum M in infinitum promovetur. : Posito z— co fit ny — x, hinc tang ACN——. et sin ACN — 7——— —— —— —-- a? ergo CN — yY a a- nn), Tum vero habemus nnyy -- aa — (a -A- &)*, ergo 2 — V (nnyy -t- ad) — a, unde — -r- aa) ' nnaa nnyy -4- aa binc arcus AM — /dy Y (1 -- nn — * Hinc CN — AM paver TES nnyy -- o) » Ponatur nunc y — y (nn 4- 1) — y (nn 4-1 — » erit nnyy - ai) — nnaa' Au m Me 2v Y (nn-i- 1) -À- vv, sive | : zo. 1, ergo 3vy (m -- 1) — vv — aa nn! Tg POE E foliit 4L mt ars n 2v Y (nn 2- 1) — vv Per logarithmos autem erit - : 21ly — 2la — l (nn — 2v y (nn -- 1) AUEW: 2In — 1 (2v V (nn a- 1) — vy) dy — — deY (Ra-nn)-- de — deY (nn a- 1) a- ed» y nn—2veY (nna- 3) -- vo. 2vy' (nna- 1) — vv hinc autem vix quicquam concludi poterit. . Ineamus ergo aliam viam: Cum sit CN — AM— Y (m 2-1) fày (1 — Y (1 — i)? nn-r-1 nnyy--aa CO Mnsnaee ! — cos?o, erit nnyy -1- aa — wn4-1 nwy--aa — 95 9, &l dd Mi nnaa (nn 2- 1) cos?p » hinc .,L. aY (nn sin?p — cos?) " "y 7. eos gY (nn A- 1) ubi casu y — 0 erit cos*g — — , € 0059 — Vos et sin o — Vere tang 9 — da hinc 9 — ACN, et | pro y — co erit 9 — 902. dia late debet a 9 — ACN, vel tang 9 — : usque ad o —2909, vel tang o—oo. aY (nn tang?p — 1) Y (nn 4-1) - 5 t ; gp —v ann V 0 Hinc CN — AM —Y (13-nn). OO) rea —n - d) vel Est autem ny — .Ponatur tang o —1 et LEER a dais usque ad /— co; at ain c2 3 d FI x É nnttdt CN — AM. V(nntt — 1) — * VERE (ed 23 1 —L 4 4 1 " L. 545 j 2.4 4. BE V. a Mp LR CE: dt pale L Brit CV — AM— na (.- Fara 13 fa Vos-5 Pi fes Vara s)s Ubi notandum si ; L. Euleri Op. postbuma. T. I. 63 NU 498 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Geomitria. : 1 dt "us —du . «v 1 . dots cA scribatur 1— 7» fore J- yn. f y De cos —- — Arc. cos 7-» et facto (— co erit hoc integrale v c L———e D d g einde y diete cies E — wudwu f. : át rl — u*du f. dt -[ — u$Sdu dw —1) 4 Yn — wu! 5y (nntt. — 1) Y(mn —)! . J Y (nntt — 4) J Y (nh — uu) wA ?d. — | etc. Pese f7 Yen) — A ff. eres -- Bu^ ^ ! V (nn — ww), ubi terminus algebraicus fit — 0 tam si u—n quam si v — 0, ergo ob Az, Ecko erit | — w^ -*- 2du |. Q 2- 1) nn | Y(n —wu) | A4-9 ft d Cum nunc esset fr z? erit ustS oui. — utdwu 1.3 — uu du grt - TI EC ES A Ag w5du —— 1.3.5 ERI UE. t : | Y(n —ww) 2 Ug Is J'Y(nn — wj (nn — ww) 2.4 2 ny Von —w) 3.46 39 T" s | quamobrem habebimus | 1 "aud ub9 2 14.5.7 18.5 | CN — AM — "(s rs T "nap; UC. Ttt ete.) Unde excessus in problemate quaesitus CN — AM pro infinito erit - * m (d Mose d Dai 5 AR T. * 9' 92'4 3/43'76 gupwW towns e) quae si » fuerit unitate minus, valde convergit. i: Sequehti autem modo hoc problema elegantius solvetur. Cum sit gi có heh a pea))* |--nn mnnyy-r-aa ponatur A —m et ——————— uu, erit ios diia, P i hineque y — H EIS iio. atque nn-4-1 nnyy -t- aa wu " u j 4 2 T 3 din "wy au -— ""L ubi pro y —0 habemus. m-— et pro y — oo, PIS Unde fit du (1 — Y (1 — muu)) CN — AM — 7 uuy(l—ww) ^ MN -- T ds Eid —w). — du re U YU a) ubi [5 A ZXS - Pro altero:amembro aw. y a — muu) zx — muy). d, —— " habebimus i ja et — du Ws s Y — ww) (& — mu mdu — uw) ^ fsirá — ww) Z5 imt de EI Y(L—mw) — muwu) (c Dd a Y (A — uu) gura — eia - mus) uy (1— im)N. flncqui "CN — AM» - (- : "77 Vi JS At si w evanescit, fit V (1 — mu) —1— E * muw, et pars integrata sponte evanescit, ita ut jam sit 2 CN — AM— — ay m p ep Y (4 — mu) quod integrari debet a termino w—41 usque ad w — 0; sin autem integremus ab w — 0 usque ad « — 1, ha- . bebimus CN — AM—aYm es e d a — mau) jj 51 cujus valor per rectificationem sectionis conicae assignari potest, uti constat. Quemadmodum revera est dilfe rentia inter asymtotam et arcum hyperbolae. vide Nov. Comm. T. VIII pag. 13^ cas. II. Hrs s Fragmentorum ex Adversariis continuatio. 499 (N. Fuss.) Erit enim CN — AM —aCY m — ——Ài (1 — «Y m) I7, ubi. II est arcus a vertice sumtus sectionis conicae, cujus semiparameter — 1 et semiaxis transversus — a, pro terminis integrationis supra stabilitis. (JJ. A. Euler.) ' Haec formula T | (4 — wn) : Y (1 4 — | — muw) duplici modo in seriem evolvi potest. 1 : 1 1.3 1.3.5 : I. . 2.— mn?u* 34,6 i Tena Cum sit (1 muw) zx ---— g Um v epp Us -1- etc. et E T SEN A : zc dii V — E? Ji ia ui EE pa d jg a ubi postremum membrum ab « — 0 pre ad * 1 sumtum evanescit; quare cum sit fduV( — ww) — erit fete T A iod (1 — uu) — 2 ! [ei ae) — e ete. cónsequenter fit CN c7 4M T a a3 mE. 16" i as: e Er ? 4 ete.): Hic nnde si fuerit m — 1, fore CN — AM— ipia ut den debeat CN — AM —a, unde sequitur fore ut 1 8. 3 R71 E AER 24 PT WA "»! ideoque haec series — z. Alter casus, quo n—0 et m — 0, manifesto prodit CN — AM — 0. - IL. Monvs. Ponatur v — sin , ita ut integrari oporteat a 9 —0 usque ad 9 — - et habebimus pis dg cos?g ay. T dg (1 4- cos 99) Mg ieri fsa- oe Yu e rmeeÜp) nn 9 -i- nn ck et 1 . . Sit nunc brevitatis gratia 3 1 (£N — Au— i-i pcerrapidie ned *. Jam vero est tU -tb eap RT EIE Li cof - (191 PAN obnagumnilo VAT, 131155 2111711 q Festo eic. Porro notetur esse phos T 4 ri cos?2i — 3. eos A -d- 4 cos 6g -* ] Eo omo pach Cae Lei , cos!dg —— 5 cos 2 -i- v cos 6g -I- 1 cos 109. 900 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Coieiráa. cos52p — nd -i- etc. cos"2o — 2. d cos 2p -1- — etc. cos*2o — Ls -- etc. Deinde notetur esse fi dy cos 249 — 37 : 5in 249, nd casu o — 90? fit — 0; unde patet in evolutione omnes ter- minos sin 249 continentes omitti posse, unde nostra formula summatoria erit 2 ^ 4 Jdp 1 -t- k cos 29) — fáp (12 5 3 bk-- Is "3 8^ 2 k 7 ee) - 1 , * eos —4. gx 1.3.5. 1.8 1.9.5.7,9. 1.9.5, ^ pm -—À — 9 — — ————— —— . — — 3 le — Ji cos 2 (1 -1- k cos 2g) —/fis ( 3'3*-—34.6 i47 3.4.6.8.10 2.4.6. ete.) consequenter CN — AM — 1 1 COTYSS Sb CERT, C LEERES gei (1 z'taacadah t axusst UOXISEDU* ete.) casu ergo, quo » — co, fit k — 1, hic vero valor fieri debet — «a, unde sequitur » A037 03:5, 03.5 5 T 4.4 — 4.4.8 ^ 4.4.8.8 ete.). d j 1 | Proposita autem vicissim hac serie, ejus valor ita investigari potest. Fiat k—— zz et ponatur 134, 71.8 5:7 — 8 , E AW EIE LAM T ; | UE, E3516 * 4£3:5:7.9 115 dai sd AST DEAE. M TM ita ut s — 1 praebeat nostram seriem. Hinc erit dic gc 49:57 pas. inq 7 aca. t uut ume du 18 zo T Iu, o ds -—ca FP WM UP ERU IM e CE E ds b» hinc zd( 4- (dz ——. Porro 2 ; ds 4 Q,19.5,, | 1.3.5.7.9 TIS *- 4.4 4.4.8.8 MORI: ! d.tzz — ga 1.3.5 EU un E. a 04 Jg m em etc. — —;- B hinc zzdt -4- 2tzdz — z*ds -- sz*dz. En ergo has duas aequationes, ex quibus eliminando ds reperitur Ufa quae zdz L4 E a e 3) c (— AN 2:) d: zz . / E -4- dt (2 — x) ddt (4 — z^) unde ds — zdz — zzdtl -- tzdz ; unde resultat haec aequatio Fragmentorum ex Adversariis continuatio. 501 Q — zzddt (1 — z*) 4- zdzdt (1 — 5z*) — tdz* (& -- 32*), (—5)à | ($—29t. zdz zz Illa autem aequatio ad differentialem primi gradus reducitur potio t — 6/0, dum. erit dt — e, d* vdz "unde si inventum fuerit t, tunc erit s— et. ddi — e/d* (dvdz -4- vvdz?), quibus substitutis reperitur ' zzdy (1 — z*) 4- zzvvdz (1 — z*) 4- vzdz (1 — 52*) — dz (& -- 32*) — 0. — pu ^ ^ a d Em — Lo ; quibus substitutis nanciscimur Statuatur v — Pa erit dy — qqd : dz (4 -- 325) MEE z(—3H3) x Lrwwa. Notetur haec reductio /z77^7^"— !gz (1—254—1——^ Jf? — dz (1 aM si integretur m 4- kn .a z—: 0 usque z— 1. ALIA METHODUS EANDEM SERIEM INVESTIGANDI. Quaeratur separatim series ihn MÀ 1.3:5.7..4 $2 Pel] VT SP etc. : 1 13.544, , 13.5.7.9 ,, et (—3 kis EXP WR. pd etc. Pro priore consideretur formula E 1.5 1.5.9 : M 4 I em MN. 4 4^8 -.- 6,12 (1 kkz*) 12-4 kkz Tygt 71.833" -- etc. hinc erit : —4 fdp(1—kkz*) *—f dp - kkf/3*dp - t M fxdp a- etc. Nunc fiat vo y fifdp um i fdp, et fxzdp— iJ. Zdp, et /z'*dp— u x*dp, erit ^y M : Jüp 4.4 4.4.8.8 . : 4m-1- 3dz TU n-— idz Ex superiore lemmate habemus f y-— T 1 5» unde fit (4 — 25 a —aA f z8dz 3 f zzdz V gi0d:; 7 z$dz " | exce i 3? deinde f ET. z . Unde patet sumi debere dp — dete » consequenter erit a -— g1)4 : ; zzdz zxdz * pH : , sz ff- s A | 4 — 25)! à — Mz) m i5 NEKYTXL 4 ^5 -4..8 * 3.4.8.8.13 k*-L o ete. px y n "a — gi k5 -- etc. Consideretur 1.5.9 4.8.19 kz s z5--.——— — kigi a. etc. | - Fiat /z*dp — i fitdp, fa! dp — &*dp ete. Hinc dp — - 3» unde sequitur B NE Lao 500.-——— ^ L EULERI OPERA POSTHUMA. . Geometria. dh: - dz((4 — kkz*. | *— 4) dz [s : . 3 kzz(4 — 259 (4 — :45* Hinc autem neutiquam patet quomodo haec series commodius exprimi possit. 101. | | b (N. Fuss.) Si trianguli latera fuerint a—rs(qq-- 0), — - b——qt(rr t ss), c — (qr -- st) (rt — qs) E & erit area — qrst (qr -- st) (rt — qs). At si quadrilateri circulo inscripti latera fuerint 2 "ü n a —f —pqr, 0—f—p!uÜ C3cp- a. d—f—ru MPEEW S QONRPP ER NR TRIP TLF UR OP Re RR RR POS WV NES bU | existente f — zf (qr -- st) 4- 3" (qs -- rl) , hic scilicet est f semisumma laterum; tum vero area quadrilateri erit A — pqrstu. — . À. m. T. I. p. 396. dii mno pe cosgodila i» oid 102. 1 (N. Fuss.) : L ^an x TuronkMA cEOMETRICUM. (Fig. 65.) Si quatuor puncta A, B, C, D utcunque fuerint sita, eorumque bina jungantur sex lineis rectis AB, AC, AD. BC ; BD, CD, inter has sex lineas talis est relatio, ut sequens aequatio locum obtineat: : AB? . CD* (AB? 4- CD?) — AB* . CD* (BC? -t- BD? -- AC? -À- AD) -À- BC? . BD* CD. 4- AC? . BD? (AC? -4- BD?) — AC* . BD? (AB? - AD* -- BC? 4—CD?) A- AC? . AD? . CD* 2 BC* . AD? (BC? -- AD?) — BC* .. AD* Y E 4c 2- BD? 4- Cp") -- AB. . AD . BD? | 2- AB?. AC? . 5C? — 0 ubi in tertiae columnae quovis termino tres rectae triangulum constituentes regen, 3 in pieta autem "ma x 4b columnis ratio compositionis est manifesta. Dzwow&TRATIO. Sint latera AB — a, BC —b, CD—c, AD—d et diigonalos AC—p et BD—4q. Con- siderentur anguli x et y, et ex triangulo ABC erit.cos y au TAE —2 a, et ex triangulo ACD erii dos.ajacs Doc Pe 9 : m 92dp "am 1 ) At vero ex triangulo ABD erit — cos (x -- y) — ; aa -3i- dd — 49 jaji ^ 5 hinc ergo erit E TT dn T y Vil ^) ee fyc Mere sing c Verf B qo39A ae B- qo^2x Jai g et c8 cy if | s " | 1 Fragmentorum ex. Adversariis continuatio. | 503 unde fiet sin (^ 3 L— y? "e ^E mu -- ya -—- 2 -—» | s--N y 202-9: ya—290—95 et ee ( à ) L- y' 1 -— y , At vero ex teria aequatione sin (2: — y! 3 7 et cos Cz ") E is z 7 , unde nascuntur hae duae aequa- Ya — 8) (1 2- a) -- Y (1 —ae)(1--8)—Y2(1—y) et YV(1--o) (12-8) — V (1 —o) (1 — 8) —Y2 (12-7). Sumatur- prioris quadratum et reperietur V (1 — ««) (1 — 9) — «f — y, hineque denuo sumtis quadratis : 1 — ac — 88 — yy -1- 2afy — 0. Hic igitur tantum opus est, ut pro «, 8, y valores substituantur, scilicet PUB, dope p jM . qa-3- dd — 44. NE 2ap mam 9dp LA" ae 9ad , quo facto et per denominatorem A&aaddpp multiplicando, si termini in ordinem redigantur, erit ' aacc (aa -- cc — aacc (bb -4- dd -4- pp 4 qq) 4- aabbpp -i- bbdd (bb -- dd) — bbdd (aa -4- cc -4- pp -4- qq) -4- ceddpp -i- ppgqq (pp -- qq) — ppqq |aa -- bb -- cc -- dd) -- aaddqq | -4- bbeeqq — 0. Multo brevius autem hoc negotium fieri potest, posito a -4- y — 2; erit cos z — cos 2 cos y — sin x sin y, ergo sino siny — cos 2 cos y — cosz et sumtis quadratis sin?z sin*y — cos*a cos?y — 2 cos x cos y cos z -a- cos?z at est sin*x sin?y — 1 — cos*z — cos*y -1- cos?z cos*y, ideoque 1 — cos*z — co&^y -i- 2 cos x cos y cos z — cos*z — 0, hoc est - 4A — ae — 88 — yy 4- 2a8y —9; reliqua manent, ut ante. Cum igitur sit dd -- pp — cc Xx aa -- pp — bb y | aa -- dd. — qq Z —MÀROUUUUCRSZ m 2 Wer £p Rmi Y ge — ddp o E—— E ie E a. PCR - ATIS Exk d xd: i; r. qe fiet 1— lae " gaapp — jand 2*1 EDEN et per &kaaddpp multiplicando kaaddpp — aaXX — ddYY — ppZZ -- XYZ — 0. M | Sumto nunc (Fig. 66) in triangulo puncto quocunque, ex quo ad singulos trianguli angulos ducantur rectae * 1 a, y, z, erit aaa (aa -i- 22) — aaa (bb -4- cc -- yy -4- zz) -4- aabbec | 5 -- bbyy (bb -- yy) — bbyy (aa -X- cc -- ax -- 22) d aayyaz -r cczz (ce -- zz) — ccezz (aa -- bb 1 aoc yy) A bboozz -r- cexayy — 0 .. quae ita disponi potest i aaz* — xayy (aa -1- bb — cc) — aaa (bb -4- cc — aa) -&- aabbcc -- bby* — aazz (aa -4- ec — bb) — bbyy (aa -1- ce — bb) --c0z* — yyaz (bb -1- cc — aa) — cczz (aa -- bb — cc) — 0. A. m. T. I. p. 345.346. N L. EULERI OPERA. POSTHUMA. | Geometria 103. (N. Fuss.) PnosLEMA. (Fig. 67.) Angulum ACB, an arcum AJ in » partes aequales proxime dividere. Sorvuri0. In AC producta capiatur Ca — L—— 2 AC; deinde - in radio CB capiatur Cur sae CB tum per 9n — 1 puncta a, b agatur recta arcum secans in O, eritque nó proxime — ! AB. Ita si — debeat trisecari, ob n — 3, erit Ca — - AC et C6 — 7 CB. 4 - DN À. m. T. Il. p. 26. 104. (N. Fuss.) Tnronxxa. (Fig. 68.) Si arcus circuli quincunque ab in duobus punctis p et q utcunque secetur, semper erit sina. ag. sin n . bp — sin n . ap .sin n . bq 4- sinn . ab. sin n . pq ubi pro » numerum quemcunque accipere licet. Hinc si fuerit » numerus valde parvus, erit aq .bp — ap. bq -- ab . pq. . A. m. T. II. p. 132. III. Analysis. 105. (Lexell.) Criterium pro dignoscendis radicibus rationalibus aequationum cubicarum. Quum aequationis cubicae ternae radices ita exprimantur: ; | Iac Vr, H.c—)— Y 9p, Tb pr, I. bos SN 3 p— icy »j, hae tres dude rationales esse nequeunt, nisi Y et Yr sequenti modo exhibere liceat : PENNE et Yr-s—1y —8; tum enim fiet J.x—p--2s, Il.g—p—s—93t1, Ill. —p— $-- 3t; tum autem ipsae litterae 4 et r similes formas habebunt; erit scilicet q — u- V y-—3etr-—u—wv Y- 3. His praenotatis, consideremus aequationem cubicam: a? — 3v 4-29, cujus radicem constat esse ay (rr Vas — 1) 8 Yo — Yon — 7)- Ut ergo omnes tres radices sint rationales, ob g y (gg — f^) er, ABE vy — 8, evidens est. esse debere Ji — e y (gg — f?) — vy — 3, ideoque v y-ucf f z coe. , A fuerit quadratum, etiam omnes tres radices fore rationales. et f? — 9g — z$», sive —[u; unde concludimus, quoties ExrwPLux. Sint radices 7. c —3, II. x —7 et I1. x — 10, unde aequatio resultat x* — 79x -1- 210 — 0, sive 2^ — 79x — 210, ubi [27 et g — — 105, hinc p EU et jg — 11025, ergo f! — gg — —5-— NS | ios. ES m : a VP — gg 449 consequenter —; —3! unde fit v — e el u— — 103. Fragmentorum ex. Adversartis continuatio. 505 Hoc idem autem in genere ita ostenditur: Sint ternae radices — a, » — 0, z — — a — b, ita ut aequatio sit at— : (a* zc aba 0) x — ab (a-- b). Hinc fit ' po. otoimisidi el zy —— n- a .-t- 3a5b -4- 6a*b? -- 7a*0* 1 6a?b* a 3ab* -- 98 bendi M Eis a 27 eso as a3b* 2e 9a3b a- a^ | f? —93? . 4a5 4- 12a*b — 3a*b? — 96a?b? — 3a?b* -- 19ab5 -,- 4p6 — m r D ELT 781.4 ariRi ofl»5nün !39 ) f ; - EMEN dis nid A 9a? 24- 3a?b — 3ab? — 913 (a — D) (2a- V) (a 4- 99). hinc US yez: 9.2 "t 18 O»sruvarro L. Quum es pts triplum quadratum scilicet 3vy, sive f? — gg -i- 3vv, certum est hoc fieri non posse, nisi ipse numerus f jam habeat formam similem mm -- 3nn, unde sequitur, si numerus f in suos | factores primos. resolvaiur, unumquemque fore formae 6o -i- 1, cujusmodi numeri primi sunt T. 13, 19, 31; 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97; unde statim ac numerus f factores involverit vel 5, vel 11, vel 17 etc. certum. est eda Rd omnes : "en" non esse enia: | » dude nad E -t: 3qq) — (ep i 7 3 (04 ze: ep ; erifci? £112 ia (eo -1- 388)? — (ea 2- 388)* -— 3 («8 2 8o)? — («« — 388)* a4- 3 (208)* porro (cc -3- 388)* — (à? — 3o88 3- 6208)" -1- 3 (2a08 2 «8 a 305? ideoque vel | (c -- 388)? — (a? -4- 3o88)* ^ 3 (ee.8 A4- 36?* vel ^ (ee 2- 388)? — (o? — 9a88)* a- 3 (3aa8 — 38*)". Hinc quum sit f? —9g-1 3v» , erit 9g — -- (à? — 988) et » — -- (3««8 — 30?); quare si in aequatione z* —3fzr-1-2g fuerit f — «a -4- 38. atque insuper g — -- (&? — 9&8), tum omnes tres radices erunt ratio- nales, et nisi simul fuerit f — cc -4- 308 atque g — -- (x? — 9a/88), omnes tres radices rationales esse non possunt. Ossenvario lll Sin autem f et 9 "tales habuerint formas, ut sit 2? —3 (aa -t- 398) ) € 4- 2a («« — 988), radices certe erunt rationales, quippe quae erunt 2 2a; c --— «4-38, et r— —«-— 30. Hinc igitur ve- ritas nostri criterii ita est stabilita, ut non solum praesentia criterii tres radices rationales indicet, sed etiam rationalitas radicum ipsum hoc criterium involvat. ! ' OssznvarrOo IV. Videamus autem quoque , dicio. hoc criterium ad formam generalem aequationum cubicarum applicari debeat. Proposita igitur sit forma generalis 1? 2p Pz* ae Qz-3- R — 0; primo ergo ad for- mam praecedentem revocetur-ponendo :z — x — $35 et aequatio resultans erit Da! (o P acr g, jP yere RS 0; H : Lb ^ nS —— edis AY sive s (P 9)« 5; P*-- y PQ R, . .unde pro criterio nostro habebimus Un pt-— H 3 et g— —a A piu s PO -— 3 R, unde fit | ü—u | PPQQ0 — ar 9 -LiPRa POR — E $ x-95.56 s : ergo per 325 multiplicando, criterium nostrum ine ut sit quadratum sequens forma ! | , A, m, T. I. p. 109. 110. L. Euleri Op. postbuma T. I. 64 | 506 | -L. EULERI OPERA POSTHUMA..- B c Continuatio. Sit cubica aequatio z?— fx-1-g omnes radices habens rationales, quae sint c, 6, y; quia earum summa —0, erit y z& — & » f. Jam. sint o, radices hujus aequationis zz — pz-i- q — 0, ubi propterea erit pp — &q quadratum, haec ergo per z-1-p, hoc est z 4- c -1- 8. multiplicata, ipsam propositam producere debet, quae ergo fit z* -- (q — pp) z - pq — 0. sive. z$—(pp — 4) z — pq; quocirca erit f— pp — q et 9 — — pg. Quum igitur sit pp — &q— 0, quaeritur quomodo eadem haec conditio per f et g exprimatur, quae est quaestio peculiaris MA i£ naturae. Multiplicetur pp — &4 per quadratum p*-1- 2appq 3Y- «o.4q4, ita ut etiam productum ! p? -i- (2& — 5) p*q -t- (t — 80) ppqgq — &eo4? — 0 — esse debeat; manifestum autem est similem formam nasci ex formula f*-1- gg; prodit enim p* — 3p*q-1-( 3 4- 6) ppqq — e-— D; MIT ro identitate igitur litterae «, / sequenti modo definiuntur: « — — : "EL qu qui valores etiam postre 1 p g q 3 ma membra identica reddunt, ex quo pro rationalitate trium radicum hoc criterium requiritur, ut sit f? — z gg-n. De hoc autem criterio duo sunt notanda: 1? f? — 3 gj debet esse quadratum integrum; 9o hujusmodi aequa- tiones s? — &fv -i- 8g ad formam simpliciorem ponendo v — 2x debent reduci g* — fo -- g. Nr. E A. m. T. L p. 143. 115.— 106. (Krafft.) q PRonLEMA.. Si habeatur haec. series T EE -- : 1 -- s t | SEl nima. Lune buda let dio 1:210 " ejus quadratum s* commode. per seriem exprimere. Erit autem. | la 1195 asoiber g I4 : us DN E s eic. npo ^v. (1-o-af? — (142-2ay . (1-4-3af : led E 2 " oborta | ; ITUNES (0-2-2a)0 2-22) . doe30) 0--38) iuis sd gré P €i : - 2 "kr 2 -1-. elc (— -- 2D) | didi | 1.(12-9a) ^ (i--a)(1 2-38) - (1- 2a) (4 a- 4a) yy Hx E E NAE 9 : d ^ 14.(12-3a) (i2-a)(1--4a) (1-&3a)(4-3- Da) — deviens 9) etc. i "8 Erit vero F Y A. H- — : jug) : iw etc . —1--a (k-2-a)(A--92a) — (1-9) (1 4- 3a) ; : dis : UEFA 04. eg 5. 1 1 ) | | evt . A sem "iua baa. 10-35. 139 AM I. mn ergo A-——.1. Similiter des 1 4 i oin ive es aie] — 9a x3 "4 Gaia T€xs "i546 "ids . a ertated 1 ergo Bza "n » Eodem modo 1--a CEN . IPC . Fragmentorum éz Adversariis continuatio. — 907 [ i ] x6. bc LN LM S uod o: ix" ^ 7 96eNVÀ1 4--9e 1--a. 1--4a 1-198 1--5a — 1--3a 12-62 ^ etc.) ergo C — xr Du ms et ita porro. Quocirca fiet 1 1 4 oiipa dco *ü-c3-p "3.5 9€ s? — 1-- UICMPISC. PIS. BUNAOF DUM CHNPRCENS NN Fn adiit i 905::57;5) 9€ XA... 3-56 Ja N41 ^ 1--a. 12-2a n cujus partis posterioris valor ita investigetur: Ponatur [a— 2159. irae t Xu etc peat i 4d. 4AU-« x E ; De - : 4.7 92? 1 ent si | a——2 40 (1- EN -- eic. &j | i - 1 | eT act) . etc. adeoque Li dni amet. Esa EE L- -- etc » dv A a4 GaG(l--a) a(1--22) ; Ponatur z — y^, ut habeatur — 6. 0--y)à ^ 392. ,9y" y?" ST ay^—1idy a "aü--a) a(l--3a) a 98 I -- *1a(1 "di [ : It (1-2-y)àd: —— 92y 2"! Lal - ^. 7 pMepppeppwpet: ne FI. ALT i - y^— dy a ?a 3a P m. dj —L —2-r-2y*-— 2y*"-1.249^ — etc. Tt eau P0) e 9y^ T7 dy. e- dy ergo qr —2 E e di-— "oap Ji a- yh consequenter jJ 94 iE f. y - Lar 3s. dk. JA ay ^i. . Posito ergo y —1 erit quadratum quaesitum me Rice Áo -sz1-- : -- : H^... elc... 2. (A--aj " (12-9ayf ; Hic vero occurrit casus. memorabilis, quando a—:2, ideoque $—1— $*y—4 ete. m p. — EL dx in dy n dy zOMM "EE B Sae: tum mtem fit : UT mat : Ure Mar) eA qo i NUS ded, croR Aes MS. A IU et unde tandem oritur S8—Qit.,wtgctgu: ete 16 E mud Y E- vs 2 . adeoque T ie tA es d jte. c ue ^ SUUS gl : 8 "d Sin autem fuerit. a — 1, ideoque ha d ien ^ed mni i» sbaüu .5J5 5$, T. Ü MA tri sicion m ete. hg. L bs suaoq isubir' armi $inblq es 'Wiltog (te) «11e 450^ enj M) 161 IO ( E based aT 7 ey (£7) e ponendun erit post "— 5 erítque 96 .2Bf ad T m $ 1 rn à fate. $? — (log .2) -—4upV 41 etc. —2 yda-y - * 308 L. EULERI OPERA POSTHUMA.. Analysis. . 107. (N. Fuss.) - 0939 TuronzMwa. Proposita serie potestatum quacunque Pp — 1 2 a ae P ae a a- a a- etc. ejusque sumatur potestas exponentis 4, nempe P^, in qua evolüta occurrat terminus In] a^ " ejus — [n] ita pendebit ab aliquibus praecedentium, ut sit laovnr sli 0Íev atroirelaoq ailigq aufm 2- Aa "a mte ? Bii tat icta 12 yi o nce pct bU. quae expressio eousque est continuanda, gay; numeri n — &, n —, n — y, eic. nón Bunt negativi. "n AaP DxuosxsTnRaTIO,. Ponatur P^ — S; erit 1S — AIP. et eee » hincque P4S — ASdP, quae aequalitas ita ads adP | | repraesentetur P. —7- - 4S. i," Cum igitur eit p 142" ac aB a gae etc. erit omposhe czdP mjsadsd hrs 1ui6nod. ds Or e Ba? -— et -I- 0x? -.- — etc. 4-1) Jam in serie S occurrat lestis [n] «", praeter quem "eoüliderdntur eae » potestales, quae per E multiplicatae producere possunt potestatem z", qui termini jta repraesententur uale € Tn am ua » S$2.....[n]«" I q^ — ^ [n — 8] qnt 'efc. Hinc ergo erit aP aS ripe en Harp eet etc. ogr5' Deinde cum ex iisdem terminis sit xà wee AR Edo EL MEIN AUS dm mn [n] c 4r- (n o) [n o]a -r (n 8) [n — 8] a tme, ele i zy og19 olJiaod quae in P ducta, pro potestate z" praebet sequentes. terminos ^s p" n [n] &" -4- (n — c) [n — c] a" 4- (n — B) [n — B] a? -— (ni y) [n m y ae Ae netdbrooo oy OU Hi igitur termini-xz" utrinque debent pini aequales, . vitia: erit. T a d xut n [n] -- (n —«) ln — a) n — Bh - — 8-i-(n — ln — 1 * ete; z— Aa [n — e] 3A In —Bl-eArls -nra in 8e etc. i - AE ap s AL xem uto nibas) obs unde conficitur 9? jo s i£ ig 73b Do mmspda LS "I— d ap-dctÉ 2a ria A OCED ^ weld Conorr4AniuM. Cum in serie P exponentes ipsius. & sint 0, c, 8, y, O, etc., in serie iz — p? gliáe — non occurrunt, nisi quarum exponehtes 'sunt summa À terminorum hujus seriei 0, c, 8, y, 9, ete. unde si in hae serie S omnes plane potestates ipsius x occurrant , id erit indicio omnes plane numeros reduci posse ad Ir mam 4 terminorum istius seriei 0, c; B, y, Ó, etc. Át.si quaepiam: potestas x" non occurrat, tum ejus coé ciens [n] aequabitur nihilo. Manifestum autem est, nullum «coéfficientem fieri. pósse negativum.;;o 50909008 19- * e .5fo ue oq- o 4- l- 4s Eod. Home m Dh 55NE |] uos mu) SCOOTER TRES TROP 7 N " bi E LN Fragmentorum ex: Adversariis continuatio. 509 108. (N. Fuss.) i Tronzna. "s hujus seriei S — 1 — A (1 " i) L (1— 3 digi DT Li ILI etc. 9 2 3 A5 4 biis 2 est: S — o E SEA Xs | | DrwowsTRATIO. Colligantur primo ultimi Map cujusque. membri; qui erunt: 4.5191 1 zm "innt Sack dad 5-2 cete. ET Z - ; r W , Deinde his terminis exclusis, colligantur denuo termini extremi cujusque membri: uc M x Mol dés ncs t.255ii rur daos Mero « T s ae ER His deletis colligantur denuo ultimi termini, qui sunt , 2 | B-o li Fit tom | T Ca 44A XR 46 FUND qj» aifaeupsz 2-320311 Simili modo ultimi sequentes -erunt.- Lm lc BE | Sue p oH E e 1 LyÉEWTSO$6 49 4947 Y oer ie ! T Eodem modo sequentium. summa erit -- P iQ s Xie 3 Lg- Wi sicque porto. iow si | statuamus i-e im Dein beber nme Tm - erit Bex —1. Jam istam seriem postremam ita repraesentemus: citata TOME TOT (e rd 33 Raga unde sumto x —1 nostra series t 2ridit: Nunc d fiel — [ X. —a- p] -1s L -- — M —— v o— dt 4 M 5.1 ( G6 3.] Ly 276 e(t s 1^ (cet e3 8 iadhem A [u ceras 1si&si5ia^ .919 — [ — —— ij 4- d -Á4-:)—- — Pe. cV uam Qc &á ino odül .oTiou 6i unde termini wn singulorum tériinorür junei dant. udi A | JS MEL E E adbumswir m A ' P 3 iw 1 » L1 e n A j " y" 7 L] Hi iim E — r 1 — 4 -- aa — ca zd uud o y) XE 1--cz ra ode 2a , a 5h. se —[ i-o EE RICE) tha 1 : e e^ 9 Colligantur porro secundi - rring (a - bn Suc: -dt — -ai-- Sas ——Lez inim) ibmuosd '* - .55.4-'$& -— X 5-3 HiBD LD5slio3 iimr9) ünrm[ 15555 2j mM 1 | , T Xs. ii dabi —- (am —ax 4 a5 -R. ete). ———. Tertii dabunt | -- pem -q?-1-x* — 5-1. etc.) Tw Y 1 1 í MY —— — a? -- — c à 31D "1 3J091IiD9. Sequentes erunt * etc. Quamobrem erit í 1 1--c 14-2 ire d P. ' 1 ES d -- d a $9 3 a " |" -d——-x 44 o— —aX- Q.— -— dt 2i y'$2-14 dn b dz — 4-4- c iie .b.z v odas wulbdb "Ux xus) 331! A (LA t Y —Yy 191957 fractio, cujus mumerator — —— E iae -- 1), sicque d o CR Cum igitur - e er ye —— , per 5 ; n y . 3 T d zm 191iE ero" TE wr partes erit U-'fpy 4 ro A HEpSRSO) og c - à; E € g 510 — . ^ L-EULERI OPERA POSTHUMA.. - 00 ^ Anal. dz | dz cujus posterioris membri integrale est — 3 (La g)!—-— i (12)* PA Pro primo membro f - L(1 2- 2), id erit : 153 2r 1- c M 865 085. 401 ai ete.) ML d sio api. n a* — a i RS sad iud | CECI 3-14 | AU Unde facto x» — 1, erit haec pars vA j Kus 1 Um qti "P$ animi] sid ebnigü ^ Wer ed uU 16 ^, 9 943: Consequenter habebimus (—3— $ (L2, ergo summa seriei propositae. E » ANE ze A 2 [ab aii 5 ux 13 ^3 ! (9) À TurongEMa. Sequentis seriei e 1 » 1 CON 1 4.1 $) gu Te $—1—5 (1-3 (1 3*3) ; (i p*os duiue s; «poa dtejii: obom dre summa erit S9 e DeMONSTRATIO. , Colligantur hic iterum termini postremi singulorum. membrorum: 4 bad * 1 J : nigsmeupoe O08 mio 4 1 1 f Ar EP DEN SA. -- etc. Je His deletis reliquorum ultimi termini colligantur; qui 'eünt AOL Be E E NC PE Ne OE T 1 — $ Jio n3 38. 57. pru 1 NT UK d RE Ri Sequentium ultimi dant "cista. ee Xin -d- i sadi erunt 1 " E d L3 má A EU OprSERO Be Rut wear: i et ita porto: Hinc erit ST ih daiatpntl ized - M —— 4 (1- -L its (t3 uf E --F Ld 25. ep. Statuatur. P MIEL UE (mat T (nat yet (reg -1)- etc. fitque : end E 3 "s 5 se (i es (c gut T« Les ? 5 -ibnausa. Oh iujassriteg c : cujus seriei primi termini cállooti disi q— Pu — a -- etc. — [214 Secundi termini: pur 3 $ 7 3 c c c 1 a ; — — MES v — — 9 ii!T91 3" 3 73 -ES- dbícl— emer 1 g* à. L] . " » . iM» sequentes dabunt -- —*.———» sicque erit a . E i it .$ 1-r-ac- NOSGOD UNUS à; ; 2: 2 : 19 ire"udomenO -5l5.., Dot Juss aoimonpés AE MESS t pEi- rst | | Tro EU oM Lh QUU NE, I POR. Polen 7L. Àrc. tang c etfi« dz ; i-em, MM muU peer cv id E Mi (2 VE gg HON. integrale t — -gp ne pos vi m iow x " zsdi dila K Su v UM ono pat mr — Oum ny: 6— 311677 38? Hali $7 wol hox OG — jivo aohreq 23 Fragmentorum ex Adversariis continuatio. 5H ConorLAmivM. Inventa hac summa si ipsam seriem — ita tractemus: Se-t(i-.*s(ritp- d$ — x -— ut fiat — 1 ace(1 — ;)-e7 (1 -3 4 5) etc. 1 AMET OUM mrs st. - .lermini primi dant 1—acr--c £^-1- etc. nem : : , APTA a s 4 dS secundi: 3'1-cz! i ob 5 1-czx ideoque 7 — dez. —zc 1 1 a | 3 : Est vero Le pear cione. yrunmi ergo | da. da j sra PEN ERAS: inii Ebo: 3 2 54- - Cum igitur sit — | hg. eq rcnt -I- etc. | : i fpdm p dm 29 a5 ^a -. erit : E PRAE m T e ete. Posito ergo 2 — 1, erit da 1 4 5.3 zu [5 f oz uu etc. — 3zz 4 gar —c cda dz wd * Quare cum $ ——— ; erit 33 ^3 — fms ug unde sequitur 32 E E quem valorem non video quomodo directe erui posset. PaosrEMa. Hanc seriem, secundum numeros primos progredientem, 1 TS 1 1 1 1 1 dari Cad dee "uod oat um etc. ubi numeri primi formae n — 1 habent signum. --, reliqui formae &n-*-1 signum —, in Seriem convergen- - tem convertere. ; Sorvrio. Hoc duplici modo fieri potest. Cum enim primo sit productum 4, Ag18. 12, 12 4 3 $177 733 etc. o d ubi denominatores sunt numeri primi, numeratores vero pariter pares, unitate vel majores vel minores, sequi- tur fore t. - 1 - 1 4.4. LÀ 4.4.8. -T (1 Po30-73)es 3 5-1)-3(- 3.5 4 -g(t- 3.5.7" ra - — Deinde cum sit X S SB. 20 Tus etc. 1, hinc se itur fore | hogoig ug ong 29^ - 9.6 m 1 .6.6 7 u-—.7: 1—3($— -1)— s(-3: $)— 1 9 —1)-1u 3.5.7 9 1) 9.6.6.10 zx C —]J- etc. 5 1 8.5.7.4. 3 |. quae ambae series manifesto valde convergunt. Tuzonrma. Potito 14 si summae sequentium serierum ponantur: 519 L. EULERI OPERA POSTHUMA...: oe 1] b. ai dnsiisdhows fiaiddi "s | UC Y BUOTTS TTL etc. LUI A xcuzd'uaati a5 1-73: gickgzk ut qq etc 2 Bqq 1 1 1 1 " 1 fis, 3 ; 'ad Hj 1 1 1 quo - : Ineb unir Bum. i-e3ictuuctgu E UM etc. —82Dq4* 1 ^ etc. coefficientes ita a se invicem pendent, ut sit | | , m UMEUPSE : Lo . visv Ma AB AC 2- BB AD--9BC ' AEA FR PN IE P E 2 DE - is Id oun pit CHE etc. 4 : 6 8i! 10 unde colliguntur isti valores | E , ? ó nmi m 1 4 5 1 17 Ac? B:izsds C D—3 E —3)p F—15 € — rao? — 315 etc., * - P ooa à TL ubi insuper litterae seorsim per 1, 2, &, 8, 16, 32 etc. multiplicari debent. Hinc istos numeros ulterius con- tinuavi, quos ergo cum potestatibus ipsius q sequenti mico repraesento. Prior columna valet 'pro potestatibus imparibus, posterior vero pro paribus: P l | Aq —41.4 | - Bg* 2 (ap ues Ne eis 1 — IMS : —:$,1mus sq950 (i — Ww 7 ds | cbe -ilgs ul * id. E Lc) H — dris | obiv aos aotolàv meup Gy — qst Ébdloibotsotr socii Hg? —g1.. 287. «iio» ons P asieodi M —uB. x 956g eeci Ter. 13 qe— E -gnage | à qq Quo BON Y pigri iernilot «eae nOn agli o d D : 1 etc. ünjantog. la-og: "TT ete. 5i dk iqi H .orr2408; Quodsi kr: posterioris columnae ordine dividantur per hos numeros 2.3, 2.15, 2.63, etc. prodeunt meae - fractiones: rt : ete. - ups à; 2 TY Y ACT TY ——— Ó——— Supra habuimus haec duo product 2$ ! 101 013 m, 4g ia! gal iban: 2 Xefyut ad 14 115. * 2S A g'ytppgtieeci)u 353p aug 2e cH horum prius per posterius divisum dat: 1 » s I2 TERT 14 An -: : ete. EST ' Haé fràciodil ed | et sumantur Jogarithmi, eritque — | ; EMEN ME TO AM eto ies o ML 8 "42 West unt P — Cum igitur sit / :: —I xi g— l 1 , ete. evolutis logarithmis semissis dabit hanc aequatiotini: - eps y rinoge| ciusoien moiusupae un ec oMjod .wsaoxa d 1 "a wp 192 Fragmentorum: ex Advérsariis continuatio. , P143 ) 42 «5 - OF Hinc ergo erit 1 : r db M ; s "S da- 9n) Ops p Gegen tog ^) 1 n 4-46 1 o. 4 AM. (63. — b Cá x Tunt 84) r : . b. " "— ia Ur. fn | e— 1 T - "Affe n de " ^ -— ied sbas ,'» 4e0— 99 — qq 19. SNC xb (6x — D) — qup — pha i905 £N $$ — 9 J9 Xx -- 1 —« Hinc porro - $Xs5--(22-4- 6 9P — (M — p») SN (ss — D) - n -— 1 1 1 "aTE (4? Mir ear ($3 i (€ (x4 -£- (x* -t- D» Hou Mio dor Hb ocio os 1 1 1 1 1 1 (tuirtarg, Vs Tope n7 qe agit ete.) | dis doas; eo mhoa? Abaglosukb msl1sti1muojobnt o4 iod initad di u— Uu Mn i Lime | nt nr ete.) Aslidsgüiloe1 18/2: 65ip 2i5ig1055! eqdi vius xibstottio vii ob-ondisldodq miisoqo« 1e Und 16 9nplym .Mmdob. 9a45,95 95vp jog m «nfrieeing ibomatjud os)nib1o05 pnt de sequitur BOSrAm seriem (9 aliquantillo majorem esse inam x ; | E Tülidodgd nopjg «2 zzz 3a. 9c p 6 59629 B jin IDp .(U y^ OssrnvarrO. Per similes rationes inveni, si omnes numeri primi in düas partes dividantur unitate diffe- rentes, ac pro. numeris primis formae. 8n-1-1 vel 8n.-4- 3 partes, majores pro .numeratoribus, minores vero pro denominatoribus sumantur; pro his autem numeris 8n — 1 vel 85 — 3. minores. pro. numeratoribus .et. majores ..— pro, denominatoribus, sumantur, productum, omnium harum fractionum erit —1, hoe.est |. i. 5 os : s Lsdend Y : 7e : Ded ea a | 5 sad eBlilonpos ttórisJzoq 989p. « ——— E 2 x $ £o $4 9.40 eéiéu»2n-»39ba5q m9IvüI 9à 5 e55IDOGUp 50 yeos qb.74- Lig 5 1 8. 9 B Y : 1 ^ 0081 IH MELIA L0 d TEXUT — 7 00205 q» j COROLLARIUM. Transformatio seriei Fd s — L4 4 : ia -- etc. etiam. hoc modo referri -- — »u «i iaqi oli: M (mx ? lov Ji ig 3T. E lo Tá hii 5. n" P "T 10 "uM 198, 25 s] FT IB p 40] potest : ütup v ni ie Qu t ds! -03609 i B3 ;: £1 ig la. TMCIL ud 4 mS —: m 'ü t oH (ui ymloqru [a ERI (ee 32r rela ee)) -93. 410. noieidey dc 26 — Jio 8 5i. — ibt: SES : mm e T [i956 t un dis : (o TU (1— —g) (1357;) (ete. —1- 5775 ad nd 4 oq aumifsded íusSlus 6hHNv 5651 yu ooi: a dfetrse Ny ico Mop ortg try ene one Y 7 Jastoq 'ionfieb silidasiitost e»ie 145 6 4m a Hioipess nfWdul o1 979 « Taj A155; etc. ubi P — &Cq*, Q — 16 Ej', R-—6^Gq', etc. (Moza.J) f inen BIrdiuloa ,3o5buoq ocTuisibsup rigb- 5 ;oilesiliiooT1 aniuo- ^, 85i81d9215 so À. m. T. TIE p. 104 — 107. L. Euleri Op. posthuma. T, I. 65 914 ^LSEULERI OPERA POSTHUMA. Cale. integr. D.) Calculus integralis. x Go $ á a E. 109. MOL | * - ed ^A. Euler) . x , $ m : (aa — bb) (pp - —- qà) - (ap a ho: ; bp: " Si ponatur y — TL erit 1 — -ws ft Y (aa — bb) (pp — i) ap -3- bq 15 -idégque "m na ài) érgy dp) (ap 3-0g)* -va RU 'et ^ cay cim Vias j15 ow ful |. (pdq — qdp) Y (aa — d " i Hinc fit Tus , : qw (ap 3- bq) Y (pp — 44) "wtuatarpmovtt (a e Y (aa — bb) EUR 0 2— Mo oir. UMÉ mpm. d DP Fes f rus bea Roo EX J(a A4- 62) Y (4 — a: rtg (1 am ó ] d - IL. Sit p—1-r-zx et q—2Yy2, erit pdg — qdp — (1 — ««) dz y? et pp — qq —1 «- z*, unde fiet fz dz (A — zz) Y2 (aa — bb) - b (1 -2i- zz) A4- az Y 9 ovrq aiH (a (& 2i a2) 2- by 2) Ya Ini : is a (1 aa) -rbeY2 , pa ] ):2 £- €-—' "VS. c ER ^ RP 5 Ue NR. BON (0 td el ii L. Sit p 1 et pos, erit —c Arc. sin "1 "eun NS, Ir NM AI ' 310. "Of€E5idgt uae : /;) Gi A Euler) à ^J Specimen .iethodi iie ial infinitorum indeterminatam tractandi. 4. Sit propositum problema de inveniendis curvis; algebraicis , quae sint rectificabiles. Sint coordinatae hujusmodi curvarum c et y, quae ergo ,gnantitptes algebrgicae. e« esse debent, eritque aret t15115041. "IHIIUT98 : curvae —/"V (dz? -4— dy*), qui etiam quantitas algebraica. esse "debet; 'quae sit — s, atque habebitur ib oisiiug "1glanbirib: aalteg V. (da? ia dy?) ds: aive dz? A ay? i—ds?. asnlimia 19T. ;irTrAY 434240 | 9. Ponatür "ergo di Wi'tós dj iet^d. di Sin p; übi sin$ et cós ^glgebraice exprimit" debetit." Ponatur a5: 8/008 p Jf; et 7i 2 8 sini -1: 4; atque ut^ hine fiat-dz — d$ 60s Qj. et dij — ds Sing, non obstante variabilitate quia p, q et o, WeécéBse est-ut 'sit "— gin d "icd et ides o dq 220)" unde patebit; " quomodo " P" T ue ires Cr dpsinp | dpcog eme d c08 9 — — dq sin 9, bincque (ang pz pn a . » quae posterior aequalitas ^od ít ilie -i- ! — p ioi *'158 oil 5f£t1101 xot T IE UJ E £ T AJ080. J | d. " Sumta ergo inter ancien jet q Velatiohe Look algebraica, ita ut sit vel q functio ipsiüa Ps loq vel p functio ipsius q, erit etiam ^1 bean: sigebrepe- capi "i debet lg Mr ca bei tem sin 9 "— ; 4-1) ( gt & ) dr. UT ) t: )4 , ideoque " 8 eri quantitas agn uti re- .515 — A — b — 535 Z s dp cos definitur tum ero accipi d b —— d ; M P " et V E ", "T tos 9 — oos — o -— Jo ] i l -- quiritur. QUAM JITWEBEIT. ia. 1 CES J Ned JM C 7 138 Te —) (1019) A. invesio. autem $ habebimus Jpro curva quaesita! Le 234098 ? f| et y735 sing 4 g. Sicque ex aequa- tione algebrdica quacunque intet p et q pro lubitu AT sempér curva algebraica^ rectificabilis deduci potest. 9) ) (Lexell.) $19 "MOI 939] — Qo 3 ÓlI—Widi 95. - At si. eurva "desideretur algebraica, — rectificatio a data quadratura pendeat, solutio ita institui poterit : EE UA Fragmentorum ex Adversariis continuatio. 915 Ponatur dz* -4- dy* — ds^, ita ut jam. s. mon debeat esse quantitas algebraica, ac statuatur dy — ndz, eritque ds — day (1 4 nn), integralia vero.statuantur y — na -- p et s — c'y/(1 2- nn) 4 q, atque habebimus, zdn -- dp -— nzdn E dp dq Y(124- se) Y(i--nn) — dp $e et Yüa- 25) -i- dq — 0, unde fit qu— 3a " dua Lyr er porro —— —— — 47» ergo obtinebimus na ut áp et y/(1 da Vai -rapy, Quo valere ipsius n invento pro curva quaesita colligimus. DM ICI M IMIEE E 6. Hic ergo q non debet esse quantitàás algebraica, sed tamen. ejusmodi, ut quantitas -—- ,; fat quantitas al- gebraica. Ad hoc praestandum sit / Pdp quadratura illa, a qua rectificatio pendere debet, ita ut summa Pdp non sit quantitas algebraica, ac ponatur q— /. Pdp, unde tamen fiet AP, hinc autem fit ^—Ja—EF5 et 1 ya -- nn) — —————— yd — PP et nunc curva quáesita his: formulis Mu |eid :Je NE L2 2 ono Pdp(d ph) c NUI TTA Eu dP ? quae sunt quantitates algebraicae; at.vero arcus curvae prodit - dp (1 — PP) sdb A x Pdp. 1. Haec solutio Em generalior reddi potest; sumía enim pro 7T lusikise quacunque algebraica i ipsius d p, $i capiatur qg—Ta- J- Pip; tum z ac propterea etiam s fiet quantitas algebraica, ac proinde etiam z et y, at vero pro arcu habebitur kane XXE ny T 4- f Pp. n Tor .8. At solutio adhuc generalior reddi potest, si pro.v accipiatur functio quaecunque 'algebraica ipsius p; tum vero Y ejusmodi fanctionem algebraicam: ipsius p denotet, ut d Vdv quadraturam praescriptam involvat; problemati enim satisfiet ponendo q——T-4-f Vdv. : 9. Si insuper haec conditio adjiciatur, ut non obstante, iud. curva non sit rectificabilis, tamen unum, vel duos, vel tres, vel quotcunque volueris habeat arcus absolute rectificabiles. Hic scilicet totum negotium huc redit, ut in postrema solutione s x Vdp certis casibus evanescat, seu exhiberi debet ejusmodi curva alge- braica, cujus area in genere sit JF: Vd», quae tamen certis casibus evanescat. 10. Quadratura proposita est area certae abscissae respondens, ac pro abscissa — — z designetur area per II : z, ita ut sit II: z — —fi Zdz siquidem 1 applicatam denotet. Aream autem ita definiri ponamus, ut sit II: 0 — 0. Quodsi jam area desideretur, quae casibus p — «, p—4, p—/ evanescat, tantum capiatur Z—(p—a) (p— 8) (p—73 quocirca in solutione superiori postrema sumatur » —(p.— o) (p — B) (p — y) ete. vel generalius bj i: y — (p — €) (p — B)(p — y) etc. P; tum enim sumta pro V tali functione ipsius v, ut proposita quadratura obtineatur, tum curva ibi descripta ab- solute erit rectificabilié icasibus p — e, —— 8, p —— y, ete. . | | LI His expositis aggrediamur simili ratione problema nostrum principale, quo debet esse dz*sin*y -i- dy? — dr?, ubi litterae z,'y et r sunt arcus circulares, quorum sinus cosinusve demum fiunt quantitates algebraicae.. Nunc autem analysis nostra ordinem retrogradum teneat. Incipiamus igitur a positione dz sin y——dr sin € et.dy— dr cos o; quia autem non y, sed sin y vel cos y debet esse quantitas algebraica, posteriorem aequationem ita referamus: dy sin y — dr cos o sin y, et integrale debet esse algebraicum. Quod.ut fieri possit statuamus cos Q sin y — p cos r 4- q sin r, 516 OULSEULERI "OPERA POSTHUMA.: Cale. integr. ut sit^ SXxbs — vb 1035016]a 98 ,55i5T sdy sin y pdr 608 f 4 qdr Sin r^^ jer Ju 5H "wb -— "wb -1- "eh *"uliscotd cujus: seg o RM pii 2- -jdir ip y. aut aem pnr, ésseque debeat! ' ^ — * —-— (nn: t DC of q^ L sett imiideaikdo oet19 P. m Vs Ls Jj -dq'. T Sbui UI oh pee : — 3: y^ «— sinr. /dp - -- cosr. .dq-60 seu angr— x mice D) . ipw eillio?) fjreontÜyD BYIUS Ou! 0] TOM EU 5 tole, 1l NEN UT eges qst e ] N 195 ;* i: Ld Deinde ob'cos y inventum etiam sin y innotescit, E ex E hy pothesi-cog àr sin y — p cos r -i- q'sin r obtinemus poor t 4- quas. cos Q — dup -(Si haec. cum NEC cempareptahs xXidemug pre. ic cos, p— — sin Ü cos p, "de pes coy s, a6) i5up ij Ibortaggo 4,00 oin r — sin feos cos... 93. P prid sin y 5 5» * gi jkdeb nom » ox: 9H .9 lundi, aui q oHMs»üioetr ssp & .eili ewie:bansp quA Ha: mubnelesstq 0d bA .s5inido9 deinde etiam slegantar CondenQt valor "E H) nijse oni ,W& — — 394b nome. abet Oq 2& ,RB95i is1doxls enlilcnup Jia d045 — : !dismb ' 1 tang r — - e —————À ^ : NI b silio ,.(; d (Sind. cosy)... 3. 3üut. Jo. 1. — t ADU we DW prorsus etiam ut supra.) Videamus nunc etiam quomodo. T siti "parte do raticiiuni prosequi debeat: Erat autem ET — » dr sin o da sin y — dr sin o, ai fit a "T MNT j : npo DUHE) 8816 5singi? s5inTdagis esielilnosp Jaue 960p at jam' invenimus Vei eie 3. " * quà A -- s ii Ai. idiinn ** ^ . ; ; cos r a- q sin r c08 y — qcosr — psinr "i sin y — dE -d- 2p sinr r cós r — qq o -— pp sin r) et coso — rs E: s | i opem üoaul Y ox«q «mius sius :)291]0q-ibbsr 10ile19mog osuidbs iuto: 358H .Y EUER 1— d unde sing ez 4 — PP — D aq daz y c xg bars irum. preme sohtopen, erat S6 O09 Ch i885089 90i "siny Dh ; jam autem inyenimus api —— cma düjidedei 915 o1q ov 16 i st . 0 — d$ -1- dp eritque dp — dg suo , | i ÉL on] 917 LL SILa , (T Di $14 ? L] ibi | oi [i an 4 etiaqtospiy mode m diti Redi Tem diii 3 y d — qo, ua joilaisuda xU " erlovai ralqkoeoedq ibenp. sb TA 121od29D 4 agis iq mninuisgls - fi adio ibormmei o Xv uoiov tüny^ YQ —p —2D. p Y — p» — «0 C081) — — zo Siny -— »: tang ——. ge 7 Yu — qi) Nncno 0 idit Mu os xi consequenter . iidesdiUvrt Ha nom eu. bhosp..9100]ado.. nog. Jo. .urioisubs oilibaos assd. 19quani 18 e : ; io] Je»ilioa 5iH — .29Hdgoflilosg auo: ade ausdidsadsl 2i niov- oupnutoup. loy. ,228 lov ,e0gb.. la. lc nv1no ibomeujs Jedob i:didxo n' d cana —- [X Vert ufo £mo1lzeq. m. Mu bini ud « quo valore substituto colligitur ala trio inarofdoq - (n . 91575 dias» ei^ nonu 951p Jia 91599 ..nt. 6016. ati09 odio. E cda ! wu sat MEdEP Ao s p. das ^ - pci c üdprdg.m dqddp -- di iN u- d do — f — LL *)nt )- 5" as il s dé Q9 o— do Yd - e - bp — qi) 1 I. dg? 4- dp* Yeu qu XC EE. dp) lea ARS f 691A. .19Janab mhli M raebiu — 2:1 quod. novimus esso » differentiale arcus É eujus « cotangens est ^ lovofiinob envoi RN —^ Bv vx—Ww,.zq.-qamdieno ooUp "uotisbiaseb &o16 « s fal B s dp f n : AO AL m T WEN . ; 5128: (V m — qf |gotte 609192120q: Fiblroqie «08011 nt sor. bor" 8A D 4g) pq . ovp av TP. TEE Quarum, Forme evolutio nimis Aa p ; . " (CHO. (0j) uud 5135155 PD sitáoqeiq )u ju-ariaqi uooul dep onq- dietas ama wr r : Ari» TENTAMEN., "itk esse "debis dx — ^in? ponamus day — puse Brifqueiidaoniie: M5 shloa 9 3ad5h. oup. ,aísqiontig: mula aote. Himia wnicibeyges alin Tm eillodauá 121i ad d dcs os ior assido dr sin o u TE! siny^ miri atiyit- J6nà ida! vt oxoogrenib. dd 1 t4 ubi £ et o sunt etiam arcus; quare dividatur per big "habeatur ^'^ 1s eaib'to erl«on etaviéts qula E. Adr Laer "T h i 1 i rd 30D 992 ) 1gh We! 19 f (t!à D9aà e ' poe. dé I5 ad Ali G^ : dp : vid d. ; à ia n trot 'alaf eC " neis] sin2é" Mei T ai J9 M. (t2 Q 309 n N t11à vh W. son mous up" quod ergo integrabile esse debet. In hunc finem statuatur... |. 55 TECTA Fragmentorum: &x. Adversartis continuatio. 917 sin o . o q-130»(yp — ! 2 2 Inn LOT 1309 sin y sin££^ sin?r (yy — «q — 1) übi w non involvat r, simulque intopnlo- fingalür — toti. — u coL r A- t5. . unde differentiando fit P i- 1363 $4! t )(v$ — D a i» udr do t^ — ——— — du cotr-1- di — —— — — otrpinoD sind ^ er Pha sir sin*£" : " d « cosr — tsinr 2 sicque erit du cot r — di — Ex quo eangtlür dij — C. cit r- — : di sin"£, "—- cot $— ae ; hinc olusiso x9 * — w6) muo fes qb orov auris Jesi oid y 'eisijase(sDib m lu .Jidov sap bono» id . sin 3 w cos r — tsinr anijoq bua vbssinif a » ME: tos. — S Titesobssidis Y (si E^ (reos — ri) ium Cy Gier cosr — fms) : :Jideoil 915muesss uk Ton obs. «snp. .ami3)99g* «m6)iín (neupast d 9lstilaensp "Jai megcol Es sin : " J O0 posueramus — — —. ubi loco sin valorem substituendo.- TEMO P — " inu ente s — akt :3 Íx — -— ] Í Xx .sin 2 Ic cos^£ T ies sin r cos r - -( -t- (I) sin DPB cusiny "P t F111* , 11! I » - t 191] IDidil 23 l : (ov — y [Ej t e at vero praecedens opétitis praebuerat Ren 2L - WE dba diiiliwdna (uu cos*r — 2 tu sin cos v -4- ü -&: tt) sin?r) (1 (£.— pp — qq) - wsin*gy 2 w (1 4: 2pq. sihi reos r — pp sin*r — qq cos?r) ex qua aequatione relatio inter p, q et t, w debet definiri, ubi imprimis nofasse juvabit, has. qnantitates p, q, t, v angulum r non involvere debere; unde sequitur aequationem. Jam diede oap did sive pese r—(0, sive |; SnDnud MJ 5018 tiia ( 2 d f ;nl e r— 909. At positio r —0 dat uu Y (4 — pp — qj —utt - mos ks "—rva EN: 5 altera. positio r — 90? — pp — qq) praebet (1-1- (/) V(1 — pp. — q) — «(t — PD) quae in illám: ducta dat y (1 2- if d —Bm p) -m (1— a) 2nOI& "0]81 ) Sbmntstl 1 unde . au t- 2 "ti ' *DU idodad esvni 0:127 aq ——— - Pj. — 105: 0112 iu, eiie HE eTIOGO. $4 iH Je Yü—r»-—3) dis - s T I Sicque 1 et w definimus per p et q, atque jam omnibus conditionibus greens est satisfactum, praeterquam quod adhue valor -— 9 debet. determinari; Verum supra invenimus ' !onummeil molus oiH .W o JB mn n Mn eden dij s Vert ARE? ca ce o MAE At cum sit do ,muir]i ) 90d bÀ .680imu!ob vh jo Ud UU eA. JUR iit ota "ag QBT.qsmo MARZY(T-—PP-—q) P E an et. nat re sceaeichiil aae a Iq9Z9 15 TOlÉbus!xó ] | d pp — qp? | wi gdp aj) — pda (i o) olg a wb jo Vo smnilailugethb ongr meud ey .-—19058) ira boup e»19Mprvtq 109 i pileteroa est MEETS et to RT erit S. pon e gd : | - Da! D». "na » ; | ducor— EYE pif — q) — ripe ECTS m. bassimissb emp ebmu ,"p-- E — po (ns t^ 0 ad ua pplitggi: * , — ' In superiori tentamine omnia manent usque , ad yalorem ipee. t, qui cum inventus sit ex aequatióne quadra- P tica sumi debet d. La B oe inis vows Yo pp 990^ (p cot?r (1 — qq) — q cot r (1 -3m—e)eeetr — qq) -- p (4 — pp) - , unde statim prodit | j 1 | jd 3H L| du cotr — dt— dq. d — pp— m I1 / quae posito dp — dq cot ?/ abit'in ^ ! z w— 1 — Y *$18 du cot r — dt — pdq t cor (1 — qq) 4- 2pg cot r-t- p (1 m. eps pp v «2? 518 cL: EULERI OPERA POSTHUMA. ... Calc. integr. (4 — qq) sotr-ept, n Y —r»—349)- CP a Cum vero cot $ — «w cot r — t — ib h. mim ebd T 1754D —. 94 .. 611i HIT " tov le mom s tdi enne "1 EY ü — Pp-r 9pq cor a a — p n unde denique fit i SN do pág —ü —)YQ — pp — a2 E Ubi commode usu venit, ut solum differential dq hic insit, alterum vero dp una cum tangente r ex calculo excesserit; hanc ob rem non p per j ita definiamus, ut haec formula ad arcum circuli. reducatur, sed potius relationem inter quantitates q et dn tanquam cognitam spectemus, quam adeo pro ipae assumere licebit; dp dy Baod .— 015 Í T35 r —- erit quantitas al ebraica el. vocetur P o—s, alque ex aequatione s — deter- a sn " " dq * 1 Q—2) và- — p» — qi) 'minemus quantitatem p; quia iblni yu - — pp — 4j) — TAM aep $5 —pp-—q-— TED potest p et sequens solutio cómipleta- concluditur: — YT tshooóedn aERLN , p^ reperiri j * - LJ LJ . LJ d . 1... Constituta relatione quacunque algebraica inter sin o et q, positoque. d s, quaeratur quantitas..p p 4 ta TONQAEUN 2 aic ione pus Ky T RS 364 ; "A RN " i 10HI i6 5UDp x93 ex hacé aequatione V( "n 4Q) — Tw - | | t y * mulmus 2. Inventa hac quantitate jp sumatur LA aique. hinc porro, IT LIT: ) Ó $1 (MO -Vs VELIIROG iT . 7i» 1-g pig MES NEU -OYa-m-2 MAE "pena TN. QUE) Jae 3. Deinde quaeratur arcus y; ut sit eos y — q cos r — p sin r. À. Hinc porro angulus $, ut sit cot É— w cót r — 1,-quo angulo invento habebimus a — £ -- 9, sicque ,, problema expedite est solutum. | ) j iiniob. w Jo y empoil NB. Hie autem etiamnunc desideratur criterium; ex quo pateat. in formbla dg — (du eot.r — dt) sin*$: quan titatem cotr ex caleulo tolli; in hoc ipso enim. vis methodi consistit, ut r ex calculo excedat, propterea quod tang per dp et dq determinatur. Ad hoc ergo criterium, ob Jia mo jJÀ pes - : » 1 , o MA 1 --tt - 9tu cot r -t- 4« cot?r requiritur, ut ostendatur ex expressione ' dq cet-r — dt wu cot?r — 92tu cot r 4- 1 a- tt do — | dau. uia iedegf ue omnino tolli cotr, propterea quod sit tangr— hine- enim etiam ratio differentialium df et dw quantitatem cot r involvet, sed quomodo? Supra invenimus wV (1 — pp — qq) — 1 — qq, (12-t!) (| —pp — qg) —(1— pp) (1— 49). (1 a- ti) V(1 — pp — qd) — " (1 — pp), Anm E ILU M ( —p» p 1c A E $—ppesqies e 1 a t6 — qq (1 -i- it 47 uu) — 1 — 29q 4- d*, unde pro determinando 4 haberetur haec, aequatio rorioque ni 3 &—qü-—i-—wIu 7n niarca9) hroisaq nita 54] Unde patet praestare loco ! et w valores per p et q introducere, uti feimess ubi' ob doc di p stalim se - prodidit criteriim quàesitum. | "; | | Er. ; Notatu etiam epum est, quod prodeat d — — id 25 ubi jam neque p neque w jnest i ita ut ?2, Is dg latione i: s habeatur 1 — — sq (1 — 44). n m. ; I. P. 31 — 44. SA die s-La-sscE 2 0 "UH ORAYT?UZ Supplementum editi 4, HDCCCXILIII Commercii epistolici (Correspondance mathém. et phys. St.- Pétersb. 1843. 8?. T. I. ID), varias ipsius Ill. Euleri litteras, postéa detectas, ac hucus(ue ineditas, continens. 4 2b51H hm A. Sex litterae ad Nicolaum Bernoullium II, Basileensem, J. U. D.") datae 1742 ad 1745. , I- ] 3 Viro Consultissimo atque Amplissimo Nieqjeo-Rerenulii S. P. D. Leonhardus Euler. : Cum acutissimum ingenium Tuum semper plurimum sum veneratus , tum me Tibi, Vir Celeberrime, maxime obligatum agnosco, quod non solum olim insigni me benevolentia sis complexus, sed etiam mea qua- liacunque inventa mathematica digna judicaveris, quae examini Tuo exquisitissimo subjiceres. Ne igitur graveris gratiarum actionem debitam, etsi sero, tamen: ex animo. officii plenissimo profectam benevole accipere, vehe- menter. etiam atque etiam rogo. Ad hoc peropportunam occasionem mihi praebuit Vir Clarissimus Hagnauer J. U. D. qui hinc in Patriam reversus a me litteras commendatorias petiit ad universitatis nostrae proceres, praecipue Jureconsullos: quem itaque Virum Tibi, Vir Consultissime, tantum commendo, quantum mea com- mendatio valere potest. t ,..Profundissima Tua investigatio summae. seriei 1 dix 3 ^g $t — jg^* ete. quam Sextanti quadrati ipsius 7r, Papery 1:7 rationem diametri ad peripheriam, died inyeneram, non: solum me maximo affecit gaudio, sed etiam universa Academia Petropolitana auctoritatem Commentariorum plurimum. amplificari est arbitrata, si illud schediasma Tuum insereretur: id itaque Tomo IX -esse insertum aegre haud feres, cujus Classis Mathe- . matica, cum Petropoli abirem, jam typis erat expressa. Sine dubio. jam inspexisti-methodum meam, qua sum- mas hujusmodi serierum altioris cujusque potestatis weed definivi, quamque ex divisoribus aequationis infiniti gradus derivavi. Interim tamen fateri cogor, nisi consensum summarum illarum cum veritate aliunde essem expertus, me non ausum fuisse eas pro veris venditare. Cum enim aequationis illius infinitae - E $5 ltboja .1 ax Aj mir egg, cmo) boiq B 39 etc. i965 HIDU 4 10iIbÓDD Juinu inter arcum circuli s ejusque sinum z, a posteriori infinitas radices ipsius s cognoscerem, dubius tamen hae- rebam, an ista aequatio . nen alias. radices imaginarias , ' praeter assignatas , involvéret, quod si usu veniret, summae inventae cum veritate consistere non possent. Quamquam autem nunc quidem demonsifare possum, hanc expressionem " 2:05 7 " Filium Niectaii summorum geometrarum jJ acobi et Johannis fratris, adk (orm traltatus De: Arte conjectandi. ín jure, natum d. 10 Octobr. 1687, mortuum d, 29 Novembr. 1759. 520 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. " s5 s? Apri: 1t "8 (quoniam ad hoc binomium i (1 aman (1 .9 reducitur, existente » numero infinito, | atque bujusqiquyr binomiorum omnes divisores assignari possunt), esse productum ex his factoribus jilojeiqo Loos D- Baca y(e- En) ho auiuosiiqque. : unde;in genere hujus.sqgiel ;T..*9:.C28l-;das]ó d: Ja adigi VR 'og t us .modism 99nsDtroqagrro.J) 1-- gn-t 3m -- uu. etc. eu»mi 5 C "n - 1: m m 2fodcifao yi i59fsb 20q ,e£19)i] 1151051 (E enieqi esimev a summa, si m fuerit numerus par, vane potest. Tácel huic methodo is magis genuinam, a me nuper detectam, praefero, quam sublimi judicio Tuo, Vir Amplissime, omni observantia submitto. e ,9 sivi | per solitas pinte rationis regulas integrale hoc TB a: kr $2 d [. 6G 4 "T f 1 kd )..L utoanooltsrtl .Il saniligoitaatfi iassiosiV. bs. 25122911. x0854À aP—1ldz ^ 1-27 | " : idque partim a E gps partim a quadratura circuli ita pendere deprehendi, ut si addatur : Toll eubtedaos.I .( .d .2 ilingogzapLog]poi7. ou feeildraA oupis omiasillysno ouV 1 4-27 9) *3iV ,id * dep, mun iul EU M. put niigojont mnimiea Hio mtu.) in "integral summae partes a iogafitlmis pen entes se poo siruant, eae vero, quae quadr rauram circuli M i "i ioni. enilo n eom 'ai T". |OJD .O9e0i96 inda ildo omizgtt postulant, Auplicentar. Tvestigavi igitur integrale. hujus formulae iuis as199i di n Haippzo- oul titi » e uosibni amgib salemedism.-alaayaj oupaussik P UETRE Uy Unde : ic : ^ ; " y 91 " 9 i IBBjo9Ao'Iq -Od sinfic s UE -dems) .o19& i»)o .melidob modoil»s "mites Tg üalt [H5 LL h/ fil&i ilo 51IpD36 t16119 P. 1n94tt ita sumtum, aut evanescat posito 4 "1 -— zio; quo. facto, | posui. c xm -1, atque | inveni integrale hoc casu ad hunc va 23193014 5511eod esMair)vinu ba jijeq bao à il 9m $5 ane19vot iners nb uud imp 4 . -f$509 £»u: mpjaeup .obasmíro9 miae) .oniiael — idi T. iuri d oupsh momp : «offuanosequt suqinamq P7. iila Pt , a9loq slew oitebaom : "EPA : 9. 9e da T . ] ! ; m &n reduci, ubi ^ dénotát 'éircumferentiam éirculí cujüs radfüs — 1, in quo edidi circülo: La arcus 27" accipi eri 10e modo: demonstiavi ip ttd bujus fonimepos .(eordqiq bs buosnsib r9asoile1 wx :] sjueloqob i .B)pilidin 3e9 iigoüilquuo mumiru iq en ui dgosqnoggumapoliqo!»us ncsliloqotJ9( simobssA saovias mudo bea oil)sM. aiaanlO en(uo .251:91 bued o:555 muMtosmi cbe SMi-om oT oUpni bi :a0)o1919edi wo T mesibsdsa bullt pi ;9 aiqv si .meonde iloqo19* Nu eótém^ '6asuj' quo P eoim: poniturcz 2 1; ee iniqzo 15:9 aiqv!) que] ,mwrida iloqonue'l muro Bolt. «Non E h , v *g "e n üian aiolleup: eudiosi z9 9SIDpfic5Hp .UIyitob arimsq,1)5]29)00 9uUp HU[n2 ei toiiÍs murra ib: (niepud u-— k 1 px ! i " pir muwiveb, aed "or 4. Mein M E P ^ $5235 9SbApilg 9]56J/19Y £659 tmirIBlll IüIIGfÜONMIS fUNASETOS lei 0905 1r19]61 196] n i151 A6 vi19b subs | ————————— — ? a5halab aei] eindMsunom mido med ati bao r-ah0v oid $69 ssi insti omn Sm .aniaqzg »4 Ilii el u elui05n555p95. mnm ^q. sin. d I12Y - 211297 FVIq e5 ID 6n [61 Ju Quodsi ergo illae formulae per series integrentur; atque tum- ponatur 4 — 1, prodibunt duarum harum seri- erum summae:, . s " 1 . à : "ug : tiottibl eut i a95ibot at] " rioti9]»oq 6 x - a 9upau[o » iinou mu 19]0f - 1 1 1 B jedidoy. umma imb üuemL uem mrmem:- iy - 1, e debe. o6 ood p p p —^p 2g]g-—»p: mj — "gres dq—np T sin A P^. ' a 1 E E (ti 1 1'anompb HT mo)us d.iBupDIISUC dre n i»t05 olei Y d105 O61in9v0( SGnIMUS ud inanoiaestriqx9,9u z cos AP : a q ER 1 1 1 1 1 1 1 ——— "- D "d -- eic 3bstptosutes aon A?Z M p ) q m p nh. "UETTS p cidem fi mold rnios 3ac-P.- Aq m p. V. moii Ü yw d ' 1deovoY: Q9 .i ou)r004: .V8OE 40150 OP D amie. , st "b. Litterae ad. N.: Bernoullium. datae. | 521 Si igitu? ponam — z, quicunque valor tribuatur ipsi z, semper hae summae erunt veritati consentaneae: wr q aM T ixagun dis: | : : Eti 3. 1 1 1 - * sin Axz z pu ;mpEUTgzy*tgri".2.t etc. et m cosAuz Od" CUIR "i supo p ^ 1 í 1 sin Cum veritate ergo consensus manebit, si differentientur quoties libuerit. Quare cum sit : d.sinAmz-—zdzcos Axmz, et d.cos mz — — zdzsin Aztz, - prodibunt, divisione per dz utrinque facta, sequentes series 091 PIS i zz cosAmz; 1 1 :| 1 1 1 (sinAmz? ^ zz (1—:)? (1 s-3 (3— 2;* Q7 9-3 etc. et Ed : mel e tii. 1 1 -(sin Amz)? ^ moa t ae (2 — x *ga3 tg " Qt etc. Inventis hoc modo summis serierum reciprocorum quadratorum, secunda. differentiatio ad summas cuborum de- ducel, atque reperietur - 1 1 i 4 z? Az*(cosAmz)? 1 | gsm Az: ^ (snams! — 25050-2535 —8—25' à * 95 9z*cosAzz — 1 1 1 1 1 JGimass 4 425740235 8—23 8-39. sieque ultefius pergendo ad summas quarumvis altiorum potestatum progredi licet. - Si haec, Vir Celeberrime, examine Tuo. digna judices, id Te maxime rogo, ut me responsione dignari ve- lis, quam vel Magnificus Vir Patruus Tuus, vel Filius ejus Celeb. ad me expedire haud gravabitur. Sin autem mihi sperare liceret, Tuo commercio directe frui, me Tibi devinctissimum agnoscerem. Unicum adhuc Te, Vir Celeberrime, rogatum velim ,. quoniam: novi. Claris: Wenzium Tibi familiarem esse, ut ex ipso scisciteris, utrum meam professionem Petropolitanam vacantem accipere non dubitaret: equidem jam de hoc nil certi pol- liceri audeo, quia nondum mihi constat, quantum praesentes perturbationes Academiam affecerint. De cetero, si maluerit in aliqua Universitate Regia provinciam Juris vel Matheseos obire, mihi persuasum habeo, me ejus commendatione apud nostros Àcademiarum Protectores magnam gratiam esse initurum. Me autem potissimum Tuo. favori ac. patrocinio plurimum commendo. Vale, Vir Amplissime, mihique fave. Dabam. Berolini: d. .16. Ja- nuarii A. 1742. | (Responsionem vide Corresp. T. IL. p. 681.) *. Viro Consultissimo atque Celeberrimo N. B 'S. P. D. L. E. Nihil gratius mihi esse poterat, quam litteras meas per Drm Hagenauer ad Te datas tam benevole a Te esse acceptas, mihique tam luculentum insignis Tui. erga. me favoris testimonium Mere. Quamvis autem 'profundissimae Tuae meditationes de summatione seriei - " ' Ingo : 2M etc. pariter ac de intégraiione ACRAS differentialis ga 7 erp ta? L. Euleri Op. posthuma T. I. 66 : dax 522 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. summo me gaudio affecerint, tamen vehementer doleo Te, aliis negotiis tantopere obrutum, tam parumetemporis ad res in mathesi absconditissimas excolendas impendere posse, neque nisi rogatum, cum otium fueris nactus, quicquam suscipere solere. Quod si autem rogationes fantum apud Te, Vir Amplissime, valent, equidem de scientiae amplificatione maxime mereri videar, si Te frequenter rogarem, id: quod lubentissime facerem, nisi Tibi rogator importunus videri vererer. Ego vero Te rogare non cessabo, quoniam (anta praemia in scientiae augmentum redundant, et ob hanc causam confido Te institutum hoc meum non. aegre laturum, tantumque ro- galioni meae tribues, quantum voles et quantum otium permittet: ego cerle quicquid a Te impetravero, lautis- simi muneris loco habebo. Quod igitur primum ad methodum Tuam summandi seriem 1 1 i-e MET v ete. attinet, quam Petropoli sum nactus, àtque ob summum acumen communi Academiae suffragio Commentariis in- serendam curavi, equidem. nihil omnino invenire potui, quod contra eam objici posset, neque adeo causa erat nobis dubitandi num publicationem aegre sis laturus? Majoris autem erat momenti objectio, quae mihi facta est contra meam methodum ex serie ie d 3 5 0—i—^ 0T etc. petitam, quam etsi statim praevideram, tamen aliter initio tueri non potui, nisi monstrando, summas hac via in- ventas cum summis, quas varii approximandi modi suppeditant, apprime convenire. Omnino autem cuncíae objectiones tolli mihi videbantur, si demonstrari posset, aequationem infinitam ij 3 E 0—5— 7-19 etc. alias radices in se non complecti, nisi quas natura circuli indicaret. Quodsi enim. fuerit | bang cif etc. —s.(1—2) (1 —3áx) (1— 57) éte., seu — 1— — a Rad — etc. — (1 —£) (1 -— iz] (1 — ss) etc. certe coéfficiens secundi termini — E aequalis esse debet summae coéfficientium ipsius ss in singulis factori- bus, seu LS ji Aree cd uds -- elc. Y 6 amm Anm 9zzc - atque coéfficiens tertii termini -1- i20 aequalis erit summae factorum ex biris terminis seriei 1 1 —5.3 ——5 — etc. ; nz^ Azuzm 9zmx! d hincque si hujus seriei duplum subtrahatur a quadrato seriei A. aa bougie Tong «asiquans MM mu 4nzz . dd Cm remanebit series quadratorum singulorum terminorum 13. 1 1 t (5M. M uM Lora mu Eb tc mt pai t gua ct 9. — 3677 (30 90' Kil. -8 M» Sin autem expressio . 1————.— etc. .OMAAXCON UNOMNIS OMSPRKSREN IAMeee-- ue "E WNITNREN zi j Literae ad .N. Bernoullium datae. 523 praeter hos factores indicatos, alios factores in se complecteretur, id quod in serie pro ellipsi mihi usu venire videtur, tum hoc ratiocinio nullae verae summationes obtineri possent. Quamobrem nulli dubio locus super- esse mihi videbatur, si demonstraretur expressionem s? $5 L] r3 -- 139 etc esse productum ex his factoribus 8$ 8$ $$ Demonstrationem autem hanc tandem ita sum adeptus, ut ostenderim hanc expressionem 8$ s* n ADR $3'*9477799 - 9 qua cosinus arcus s exhiberi solet, esse productum ex his factoribus (759 6-2) (-dm) e 1-— natum. Cum enim sit s 355 056 1 sy—4P /— 4 sy /—4V/—., dux wb mud. ue etc. —3 : ) 3 (1- a ) MET E T 1. L atque generatim hujus binomii: a" -1- b^ omnes factores sint contenti in » aa — 2ab cos A2* — 1 z.,. bb siquidem pro k omnes numeri integri substituantur: fiat vanis jon et 0 —1 a: Sub. erit aa-- Bidgoi e uw 969. 38, : n n . nn nn hincque factor generalis formae s n 86 : $$ 5s 9k—1 Lice Was cGmE Nen etc. erit 1 ---(1 -z) cos À ok ud seu ad formam 1 — pss, cujusmodi omnes factores esse debent, reducto, erit - 124:605425 7 15 1—— ME roR A4 —À : LO ^ A factor generalis illius expressionis, posito n — co. Quia vero est n — co, erit arcus "1 7 infinite parvus, et idcirco : ES k—19» M 1 TU dra DRIN Li. ias et 1 4- cos A ?* ig 9; n 2nn unde factor ille generalis fiet 1 — SEC Iuue Quamobrem loco k substituendo successive omnes numeros in- tegros fiet pa DE Roe aic ue (1 2) 1 e) 1- 32) etc 2 294 790 NL Nu cca ( 7 9zx ( 95 zx ; - ideoque j — summae terminorum A oscura hs zz. 9zz^ 95zz! ams 1 1 — aie uat g4 ^7 summae factorum ex binis his terminis; Ag — summae factorum ex ternis, etc. unde' summae potestatum cujusvis exponentis integri eorundem terminorum, seu seriei 524 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. p EL: vio onc ie - etc. 9m gyn 497 Ex poterunt exhiberi. Possum itaque summas harum omnium. serierum 1 1 1 1 "E gack gn ak zac. ete. ac proinde etiam harum lo "V iuo | 1-4- act gn à -- 7; P2 T etc. | invenire, si quidem ^ sit numerus par. Sin autem n fuerit numerus impar, nunquam affirmavi me series has ad summas revocasse, quod ideo moneo, quoniam vidi. Te, Vir Amplissime, in ea versari opinione, quasi eliam | summas hujus seriei, si n sit numerus impar, assignare me: posse.putem. Hocque ipso dubium, quod circa al- | teram meam methodum attulisti, sponte evanescet. Praebet enim haec methodus utique pro omnibus potesta- | tibus summas, at si exponentes fuerint impares, tum numeri tantum impares in denominatores ingrediuntur, ato que signa alternatim sunt affirmativa et hegativa. Scilicet omnes series, quas hoc modo summavi, in hac forma 1472 ; 4^7 147? 147 147? eda ; ' Cr n)et (rs) vm) sms) tios) tO continentur. Seriem ergo generali: MEINT 1 1 1 1 & 5 a9 p id ii nrui$q9699 üupla Tatats jg: ele. i adhuc ad summam revocare non potui, dien jam pridem in hoc negotio elaboraverim ; tantum quidem mihi. constat ejus summam per z? exhiberi non posse, et suspicor fere.72 ejusve potestatem. insuper ingredi. Multum - * 1 " — -—- EE bed 2" sd aaa d etc i $79 8 W' Ys quoque in hoc.sum versatus, an summam seriei " 1 , *H DUX aliis casibus praeter z — 3- 1 eruere possem: unicum vero quo $—-y adhuc sum nactus, invenique esse BER Se WEST UL zz 4 1. gg DE 4 233—302. qc gab git qgide 9asogar sito moagqo a. Maxime autem sum admiratus operationes Tuas, per.quas integrale formulae ap —31 3e gg p—1i | 13727 da cum in genéeré tum casu z — 1, invenisti, quas sane difficillime- comprehendere. potuissem , nisi ipse. tantopere in hac investigatione elaborassem. Si integranda sit formula differentialis s dr. in qua M et N functiones quas- . . . : 35 . . D ; . M * L * cunque ipsius x rationales denotent, praecipuum quaestionis caput in eo versatur, ut fractio XO ejusmodi simpliciores resolvatur, quarum denominatores. sint. binomiales, formiae c -1- 3, numeratores vero constantes. Quam resolutionem ita instituo: Sit p-4- qx factor denominatoris X, nempe N — (p 4- qa) S; sitque pars fractio- 2^ et pa lt li REESE zE da ! pars a e(t Telia m ITE nis ES hoc factore orta — ROW OE NDA Moe qr) — AN M — AS is aeo Mm AS. pM " N pq o N(p 2 qc) - S(p-r-qa) q C p--qc do "o Quare cum P sit quantitas integra, erit M — AS divisibilis per p -4- qx. Posito ergo ; p.-- qx i— "seu 2e fiet. .M— AS — 0, ideoque Amp m ED: ' ES Hujus autem fractionis, facto 2——7, tam numerátor quam. denominator evanescet, ex quo erit mre" pape Mmm , "Mai f as TOP DEREN UCUPEHLTUUS S ie - Literae ad. N.. Bernoullium. datae. : 525 | PERULIOLUETUA |] X dN it igitur TELE 'iomira. odibaodeP 7 D af mcm. Sit igitur | ' | * -. peu - et. denominator habeat. factorem. 1 -4- o, qui praebeat fractionem integrantem — erit 3 226622) dM -- «Mdz L— , .4àN posito a -— ; ideoque erit Az zMás app l1a$—P—!) at (qe da Fus qa. Sy GER bens - ga] —! q & xs & Hoc igitur. modo inventis pro singulis .fráctionibus integrantibus numeratoribus , integralis partes elicui, quae cum essent imaginariae, binis colligendis ad quadraturam circuli sum deductus, Videtur autem mihi omnis aequatio algebraica non solum radicum imaginariarum numerum parem habere, sed etiam has ipsas radices ita comparatas, ut binae in se multiplicatae productum reale praebeant, quae proprietas mihi quidem verissima videtur, etiamsi eam generaliter demonstrare non valeam. Theorema nempe ita se habet: Ut omnis expressio algebraica « -- a -4- yz? -- 0x? --. ete. quotcunque fuerit dimensionum , si non in factores simplices p-4- qx omnes reales resolvi queat, ea saltem in factores trinomiales p-1- qx -1-rzc, qui omnes sint reales, semper resolubilis existat. - E C j ' Probe autem agnosco, si aliunde demonstrari posset, esse sin A . zz — zz (1 — zz) (1 — 18) (1 -3 zz) etc. . tum tanto apparatu integrationum non esse opus ad serierum memoratarum summas investigandas, sed eas im- mediate ex hac formula deduci posse. , Inveni quidem jam pridem hanc ipsam expressionem pro sin A.7rz; at hoc ipsum ex summis illarum serierum jam cognitis. concluseram: averem igitur methodum videre, qua ista pro sinu expressio independenter a seriebus his possit inveniri, quam ut mecum benevole communicare velis etiam atque etiam rogo. Usus autem sum his expressionibus sin A . zrz — zz (1 — zz) (1 —34 3) (1 —3) etc. et jio | cos A ma om (1 — 022) (1— 3 25) (1— 5 is) etc. 1 9 25 ad. logarithmos sinuum et cosinuum commode exhibendos, ipsis sinibus etiam incognilis. Dum autem haec scribo, video totum negotium huc reduci, ut demonstretur esse a^—!ldes | m (4— 2)" " sin A.nzx si post integrationem ponatur z — 1, id quod mihi demonstratu facilius videtur. Inveni enim complures non inelegantes formularum differentialium, quae alias inter se comparari non possunt, relationes casu quo post in- pu ponitur z—1. Sic productum harum duarum formularuüm zi — 1dr z2/-- £ — dz aries; —a$ a f Y (4 — a?8) 8i in utraque ponatur z — 1, erit — —— : hinc pro curva elastica erit productum 1 m 4 va — a) TU — gu Simili modo hoc theorema latius patens 526 L. EULERI OPERA POSTHUMA. | Varia. PST gae mb— lg, 5 at— da ga -- nb —14, [i— C ri (4 — 29 —n —fataa— d — 2m semper locum habet, si post integrationem ponatur v — 1, quicunque numeri loco a, b, m, n, substituantur. Cum ante aliquot annos considerassem modum ex secantibus arcum circuli vero proxime investigandi, incidi . forte in expressionem, quae circumferentiam circuli 7r, cujus diameter — 1, proxime praebeat, neque tamen, id quod magnopere mirum videbatur, absolute erat vera. Denotet « numerum pro arbitrio assumtum integrum, ac ponatur : 4 PRU LUE 4a Sd 4a s 4a d 4a 2a - aa Ga-2-1 aa--4 aa-4-9 ttt T aos (à — A)*- as 4-28 : | dico fore proxime | AES 1 1 5 : 35 1 43867 1 | mutas 6 €" qu 6 ^ 345801.239 — 9 '967.15.013 " 49 ^ 35.9 19. a18 [ 4 | l 854513 - 1 76977927 1 "] 6 , 919.11 23.a?? nt 9 j 912 13.97.4026 m- etc. - neque enim, eliamsi haec series in infinitum continuetur, ad veritatem pervenitur; sed tamen, quo major acci- pitur numerus d, eo propius valor ipsius zr reperitur. Caeterum fractiones illae, quae irregulares videntur: E i si est. sunt alternae ex hac fractionum serie 4 1 4 3 5 691 35 3617 43867. 1929977 854513 1181820455. 76977927 *'*o e'i 6 30 $3. WW. MW .. - € M 3 ned cujus seriei usum multifariam sum expertus in summatione serierum. Ex his autem fractionibus formari possunt summae seriei 1 1 1 1 "act 35 *g.tct eie... si n fuerit numerus par quieunque. Hae namque summae ita progrediuntur rires gae 047 big pn mg m M T Eee ge regu rtg ote ot omm tig gigilo ios hc go gr Saot o Mero moo op 1 1 1 H3 9556 1 1 1 3 9755 i-ctcotataen eco: 0 0 Kt. C9» shots DN Ope harum ergo fractionum summae istae ad potestatem 26 continuari possunt, atque ulterius continuari possent, si haec fractionum series magis produceretur. Legem autem progressionis harum fractionum non nimis diffici- lem inveni. ; : Deinde etiam hae fractiones occurrunt in expressione generali; qua summam cujusque seriei ex termino generali assignari docui. Sit enim series quaecunque proposita 1 2 3 4 E A-- B--C4a-D-2-,....-- X—8S seriei scilicet, cujus terminus indici z respondens est — X, summa erit 4 1 dX 1 d?x 1 d*X 3 P FIL d*X z —Xisa- XK---3'1.3.3.à2 6 1.3.3.4. 54a! 6 4.3... 1ds7 . 10 1,2...9da! * 6 4.9... Mida E Dum autem hic de lege progressionum sermo est, non possum quin Te, Vir Excéllentissime, consulam super serie quadam, quae in natura concinnam progressionis legem observare videtur, interim tamen ab aliis serie- bus adhuc tractatis plurimum abhorret : 1 -21- 15 2- 90? -4- 20? -1- 5 n* 21-1 n5 25 11 55 -4- 157 -241- 998? 7 305? -1- 42019 -4- 56n!! -4-.— etc. cujus quilibet coéfficiens indicat, quot variis modis exponens ipsius » per additionem produci possit. Sic coéf- ficiens ipsius n? est 7, quia 5 septem diversis modis per additionem resultare potest, nempe QV CRESCE SR " . CH? TENET NASA E T NEHME Sc a — o im m nr ES Jo eme MR PEUT "AL dA ; Literae ad. .N.. Bernoullium. datae. 591 inicit1-3$3511 40a uei gcreredicitat. Oritur autem haec series per divisionem, si unitas dividatur per | (1 — ») (1 — ^?) (t —55 (1 —»* (1—2*) etc. quod productum, si actu evolvatur, dat hanc expressionem 1— Rus iid qaa. — n!* — n! 5 -- n?? -- a?8 — 835. ete, in quam quemadmodum exponentes progrediuntur ex natura seriei perspicere non. potui, per inductionem autem . Aa conclusi alios exponentes non occurrere, nisi qui in formula itm contineantur; hocque ita, ut potestas ipsius ^ habeat signum -1-, si ejus exponens ex numero pari pro z substituto nascatur. Deinde etiam nuper ad hoc theorema sum deductus: Si fuerit sue Ede e itore d e -4- - - -- et AT n--1 $n--1.* 3a--1 ána-1 * $n-c1 " erit 8$ VET a 1 aa 4 1 a3 1 1 1 2 74*.-3 (1 uu) "*asa-3 (1 oi gei) * s poe Rer) "— cujus veritas quidem per probationem, sed tamen difficulter elucet. Demonstrationem vero nonnisi per diffe- rentiationem et integrationem adornare possum. Posito enim a — x", quia est a^ gio 000 gin | — v xl asd tii etc. sit i— pr ( - -4- Lam 1-- - en 4 )-- etc : "19 .on2-2N 253) deca &--1 2n--1 : ^ LO ttg 1 g*n-c-2 E 1 ent kxsdusid Lai ft 4-9 (12-4) ai rur (1-- — n 22) "T 'ele d.zxz — | des 1 ) 2n -A- 1 1 1 ) $n -- 1 : Es vno d m4 dudes e 4- x [Attori gan -d- X 2r ete.) ete. — L7 rt 9n--1 3n-2-1 Da 1—a^ : Or 4-at* ; gt q*n--1 At ob 8 mE SItoauep etc. , h d. — s " des Wis da — erit - 1 -2-zx"-- ax?" --. etc. ive seu pg d. | ; ; srdz J : Ergo d.zaz—4i o 90d. sm, et integrando e g (o —r ergo pm De Clar. Wenzio ab Academia Petropolitana nihil etiamnum accepi, neque enim Imperatrix adhuc restau- rationem Academiae confecit; et Curatores Regiarum Academiarum, qui me rogarunt ut ipsis viros in mathesi versatos indicarem, ex hoc tempore nihil amplius requisiverunt: dabo autem operam ut Ipsi mea commenda- tione utilis esse possim. Vale, Vir Amplissime; mihique favere perge. Berolini die 1 Septembr. 1742. (V. respons. Corresp. T. II. p. 690.) 528 . L. EULÉRI OPERA. POSTHUMA. E ^ S8. Viro Celeberrimo atque Amplissimo N. B. S. P. D. L. E. Quantopere me non solum delectent, sed etiam erudiant litterae Tuae acutissimis meditationibus refertae, verbis Tibi, Vir Celeberrime, vix exprimere possum; quamobrem quo majores Tibi debeo gratias, eo magis Te oro atque obsecro, ut ne graveris litteras meas frequentiores benigne accipere, meque profundissimis Tuis responsionibus exhilarere. Qua quidem petitione id tantum vereor, ne Tibi importunus videar, hincque roga-. tionem meam repeto, ut plus mihi non tribuas, quam otium concesserit , Tibique persuadeas, etiam ea, qe Tibi levissima videantur, apud me plurimum ponderis habere. j Ac primo quidem non satis capio rationem, cur neges seriem " "LY — —— -— — LÀ $ 6." 139 etc. aequalam aestimari posse sinui arcus s, vel producto à (t —z) —a] etc. nisi simul ejus convergentia demonstretur. Cum enim haec series * hs. 1 " 1 $ or meto etc. per legitimam integrationem inventa. sit — sin s, haec certe ejüs erit summa, sive sit convergens sive divergens: " sicque altera illa series s — áp etc. mihi quidem recte videtur .sinum arcus elliptici s denotare, etiamsi sit divergens. Longe alia autem est quaestio , si quaeratur an Series ' Peer P us etc. aeqwivaleat producto | s (1 — £z) (1 et ) etc. 6 120 cu Ann) | hic enim. non sufficit monstrasse ' | " 1— 7,1. -"., ete. esse divisores expressionis s — c 4 dein eie. ; zu Anm | 6 , 120 LI -—— 1 om sed simul doceatur necesse ne eam alios divisores seu factores praeter hos assignatos non continere. Ita alte- rius expressionis ex A. nataé» -:- ' ^ ; ; ; | TÉ ! i m uc $— ——u- debe. concedo Teecs esse 5 1— —»1— ——» ete., 6c mm Ázm, sed nego in his formulis omnes omnino itus expressionis factores contineri; scilicet meo judicio praeiel "bU factores alii inerunt, ut 1 -4-c55, 1-4- fss, etc., ita ut sit.—— : C5 3 5 , Nac u—nx€vLVU- per ete, —s (1 ) (1 ix) etc. .... (f -1- 655) (1 2 Biss) etc., : atque ob hos factores incognitos perperam inde concluderetur 1 1 EA i dabei d : : LILIm—--L—-r ; ; 1512910 19 R 6*4 am 4nzx ele. : cum ex natura aequationum revera sit TU RIMIS M B. Laeli miens M ^ Lc. | : | T o5 7 gra Uy 32 anzi Bimmdtome eoo . modoues LJ neque hic, si c, 8, y, etc. essent cognitae, absurdum sequeretur ullum. Atque hoc modo non divergentia' seriei 3 IU $— gi -t- etc., sed ignoratio plurium, ac fortasse infinitorum factorum in causa est, cur non similia consenid- ria circa summationem serierum inde deduci queant. Quod caeterum haec series Literae ad N. Bernoullium datae. 529. $— : -4- n —- etc. aequalis sit. producto . ; $5 ' $88 ((1—2) (1— 1) ete. jamdudum mihi constitit, ejusque demonstrationem habui cum innixam theoremati Cotesiano, tum secus; sed ita tamen, ut ipsa demonstratio mea hujus theorematis veritatem evincere. Rogare itaque Te volui, Vir Cele- berrime, annon magis popularem atque ex solis calculi integralis principiis petitam habeas demonstrationem? video autem Te simili modo hanc transformationem ex factoribus binomii . (te 2) — 2 —9^) gy —1 n elicere, sine subsidio theorematis Cotesiani, quo ego sum. usus idem subsidium vitans. Habeo. enim metho- dum universalem factores trinomiales, seu duarum dimensionum ex. qualibet expressione proposita eliciendi, quae simili fere negotio absolvitur, quo vulgo aequationes algebraicae tractari solent. Sit quantitas A-r- Bx -a- Cz? -4- Dx? --. etc. cujus quaeritur divisor trinomialis, quem quia potissimum ad ejusmodi divisores respicio, qui divisores simplices imaginarios involvant, pono f — 2a'y/fg. cos -t- gez, quo nihilo aequali posito, si brevitatis ergo fiat [/4 2 3 sy, fit 2 —cosg - 7—4 sing, &* — o* cos. 3: ,^—, sing, &* — a? cos 39 2 y—sin39, et generaliter n Mer ZP --— 1 E £^ — v" cos ng 3- 7 — sin ng Quodsi ergo hi valores ambigui in quantitate proposita substituantur, ea evanescere debebit: fiet ergo ob signo- r rum ambiguitatem tam ( — A -4- Bo cos o -4- Ca? cos 29 4-. etc., quam. 0 — Ja sin g -4- Co? sin 29 -1-. etc., ex quibus duabus aequationibus saepe satis expedite coéfficiens c et angulus o definiri possunt, ita ut omnes di- visores trinomiales innotescant. Sit v. g. proposita haec quantitas a" -1- z", cujus factor trinomialis assumatur f — 2xVfg .cos 9 -- gxz, seu Gx — 2x cos o -- «x. Habebuntur ergo hae duae aequationes 0 — a" -4- o^ cos ng et 0 — o"sinng, seu sin ng — 0, unde erit np — 2üír vel ng — (2i — 1) 7r, denotante zz arcum 180?. Priori casu fit cos ng — -1- 1, posteriori cos ng — — 1; ex quo prior aequatio fit 0 — a" — c", ideoque &—a et 9— d : quamobrem formulae a" -1- x" divisor erit i— aa — ax cos d Ls -Jr- x2, sumendo pro i numerum integrum quemcunque. Cum Tibi ante scripsissem, Vir Celeberrime, omnem expres- sionem algebraicam quotcunque dimensionum, .si in factores simplices reales resolvi nequeat, eam saltem sem- per in factores trinomiales c -1- 9a: -4- yx reales resolubilem esse, expresse addidi me perfecte demonstrationis compotem non esse, sed tamen de hac propositione tam certum esse, ut de ejus veritate non dubitem. Demon- strationem tamen habeo rigorosam, si summa potestas quaternarium non excedat, quare cum exemplum quan- titatis z* — az? -i- 222 -1- a -1- huc pertineat, a priori certus eram, eam in duos factores quadraticos esse resolubilem, quos etiam. ex radicibus aequationis a* — ha? -- 9zm -- & 2 -2- & — 0, quae sunt I.z:—1--y (2--Y —3, IHl.2—1—Y(2-- y —3), III à —1--Y (2 — Y — 3), IV.o—1—Y(2—Yy — 3) L. Eu leri Op. posthuma T. I. 64 530 *L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Varia. elicui. Sunt enim 7 et IJI, itemque 7/ et IV ita comparatae, ut earum tam summa quam productum fiat reale. Nam est | I-- IL —2Y84y-34-Yà— y —3)—2-2-y (& 4- 2Y'7), : et I. Il —1-- y ( (& 24- 2Y 1) -- Y'1; sicque expressio z* — a? -4- 2a -- xz 3- hos habet factores reales a — (94V (& -- 2Y 7)) x 4- 1-2 Y/1 2 y (& 4- V7) ^et zz— (2— Y (k -À- 2Y2)) e 12 7 — Y (kv a- 2Y2). L4 Si ergo similis resolutio perpetuo succedat, certum quoque foret, quod affirmavi, . omnem formulam differentia- lem rationalem^ - concessa circuli et hyperbolae quadvotigd integrari posse. Cum igitur illud theorema, kn circa resolutionem cujusque. expressionis algebraicae rationalis in factores trinomiales reales proposueram, tanti sit momenti, magnopere Te rogo, ut nonnihil temporis in id impendere velis, vel ejus veritatem evicturus, vel falsitatem ostensurus. A Mathematicis Gallis ante aliquot annos celebratum est theorema analyticum, quod ab auctore mox Bouguerianum mox Fontanianum appellabatur. Declarabatur autem in eo singularis proprietas for- mularum differentialium duas variabiles. continentium, quae quidem sint ortae per differentiationem alicujus qusa- titatis finitae, at theorema quidem variis modis proponi potest; sic autem enunciabo: Si ex differentiatione quan- litatis finitae, seu functionis ipsarum 2 et y, prodierit Pd» -4- Qdy, erit semper differentiale ipsius Pdz, posita sola y variabili, aequale differentiali ipsius Qdy, posita sola x variabili. Cum igitur de inventione hujus theo- rematis utilissimi inter se certarent, meque .de eo certiorem facerent, statim quidem respondebam, hoc theo- rema jam pridem mihi notum fuisse, cum id jam in' Tomo Comment. VII inter alia inseruissem, gloriam inven- tionis tamen non mihi, sed Tibi, Vir Amplissime, deberi. Memineram enim, Te olim, cum de trajectoriis ortho- gonalibus disceptaretur, verum hujus theorematis fundamentum exhibuisse. Cum enim quaestio esset de' diffe- rentiali ipsius fPdr, si praeter x etiam a (tanquam parameter) variabilis ponatur, Tu demonstrasti differentiale quaesitum fore Pdx-1-da/Rdx, existente Rda differentiali ipsius P sumto zc. constanti, quod jam est id ipsum theorema; de cujus inventione Domini Bouguer et La Fontaine inter se certabant, aliis tantum. verbis ex- pressum. Posito enim /Rdx — Q; ut differentiale quaesitum sit Pd: -- (da, erit differentiale ipsius Pdz (posito a variabili tantum) — Atdadz, et differentiale ipsius Qda (posito z- variabili tantum) erit — Rdadr, quoque ob Q —/Rdz. Consequuntur autem ex hoe. theoremate, quod Tibi acceptum est referendum, plurima insignia sub- sidia in calculo integrali, quae Ipse vel jam nosti vel facile prospicies. NOS 2d Plurimum autem me delectarunt, quae de partitione numerorum (sic enim appellabat hoc problema Clar. Naudaeus, qui id mihi primum jam Petropoli- proposuerat) mecum communicare voluisti. Per solutionem enim hujus problematis deductus sum ad seriem 1 -1- 1n -4- 2n? 4- 35? -1- 5n* -1- etc., cujus occasione mihi tam prae- clara et profunda perscribis. Problema autem mihi geminum proponebatur: L. Invenire quot variis modis datus numerus N in n partes inter se inaequales dispertiri possit; vel quot variis modis datus numerus V possit esse summa n» numerorum inaequalium inter se. Sic numerus 50 dispertiri potest in 7 partes. inaequales inler se 522 modis diversis. Alterum problema ita se habebat: I[. Invenire quot variis modis datus numerus JV dispertiri possit in n partes, non exclusis partibus aequalibus. Sic numerus 50 in septem partes sive aequales inter se, sive inaequales distribui potest 8956 modis. Ad solutionem prioris problematis formo expressionem (14 2i- mz) (1 -41-m?z) (4 2- m?z) (1 -4- m*z) etc. quae per multiplicationem actualem explicata- dabit sequentes series Literae ad. .N. Bernoullium datae. — | 531 -—-d2a-mz o -em*zc- mz ce om*zc-- m*z-- etc. ) 00 eq? z*--m* 3* -- 9m5 2? 4-2 m* z* -- 3m? z* --.— etc. -r m* zà asm! gae 9m*. 29-45 3m* 2 24- em!Oz? 4-.— etc. P m!925 24 qM z* 4- 2m *z* 4- 3 m1Y32* a- m ^75 4—.— etc. etc. hic ex natura genesis codfficiens numericus cujusque termini indicat, quot variis modis exponens ipsius m in tot partes inaequales dispertiri possit, quot exponens ipsius z contineat unitates. Est vero mz 3 m3; m*:;? i-m *d-ma-»)'ü-wd-n5ü-m,* t (4 -— mz) (1 2— m?z) (1 -1- m?z) (1 -- m*z) ete. —— 1 2 quod ita ostendo. Sit (1-1- mz) (1 -4- m*z) (1 -4- m?z) (1 -À- m*z) etc. — 1 -- az -- fz* 4-2? -- Óz* --. ete. Jam loco z scribatur mz eritque (1-1- m*z) (1 -4- m?z) (1 -4- m*z) etc. — 1 -1- mz 2- fm?z? -- ym? z? 4— Óm*z* -24-. etc. quae ergo per 1-1- mz multiplicata priorem seriem 1 -r- &z -1- z* -4-. etc. reproducere debet, unde valores coéf- ficientium «, 8, y, 9, etc. delerminantur. Cum igitur hoc pacto diversi exponentes ipsius z segregentur, pro- blema prius pro quovis partium numero solvetur. Scilicet 1 — si evolvatur in 1m -t- 1m* -- 1? -À— 1 * 4 eic. quilibet coéfficiens 1 ostendit exponentem ipsius m unico modo ex una parte oriri, quod manifestum est. Simul vero indicat quemlibet numerum unico modo ex unitatibus meris produci posse. Expressio ; Y ü ram Iw7dbm5 edm! -2m-4-2m'24-»w-a-$mt4— etc. hujus quilibet coéfficiens ostendit, quot variis modis exponens ipsius m in duas partes inaequales dispertiri pos- sit ; simul" vero indicat, quot variis modis idem numerus ternario multatus ex his binis numeris 1 et 2 formari possit. Atque factore ipsius z?, qui est M (1 — m) (1 — m?) ü — m3)" evoluto in 1m* -- 1m? -À- 29m? -4- 3m? -i- m! ? 2 etc. coé&fficiens. cujuslibet. termini ostendit, quot variis modis exponens ipsius m dispertiri possit in tres partes inaequales , seu quot variis modis idem ipsius m exponens senario multatus ex numeris 1, 2, 3, componi queat. Generatim ergo problema de numero N in n partes in- aequales partiendo resolvetur per explicationem formae n (n -3- 1 qm a va (4 —m?)... (4 — m") donec ad terminum vm" perveniatur, cujus coéfficiens v quaesitum partitionum numerum monstrabit. Hinc plura sequuntur compendia hos partitionum numeros expedite inveniendi, et ex jam cognitis. simplicioribus componendi. Sic si haec scriptio (IN) ? sumatur ad numerum partitionum indicandum, quem numerus NN in a partes inae- quales admittit, erit. (V)? — (N — n)? 4- (N — 2)" —?), unde quilibet numerus ex additione duorum jam cognitorum oritur. Est autem (N)) — 1, et si sit n (n 4- 1) NaQu erit (V) 0, sin autem Neé 20D, erit. (N)? — 1. Soluto hoc problemate priori solvitur et posterius, quo partitionum numerus in partes sive aequales sive inaequales postulatur. Evolvatur expressio : Aa! (4 — mz) (4 — m*z) (A — m*z) (A — m*z) etc. et prodibit 532 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Varia. da-mz o -qmüz -4- nz -p gin oes mz -bo qmÜz -- cec. d-mtz * -- m?z? -4- 2m*z? -1- 2m5z? 43m -r-3m'z?-1-.— etc. -- m? z? -4- m*z? -—- 2m5z? -i- 3523 4- m! z* -L-5m*z*-1-. etc -4r- m*z* -4- m5z* -4- 9 m*z* -1- 3m z5 -3- 5m? z* 1 6m?z* -4-.— etc. etc. ubi coéfficiens cujusque termini indicat, quot variis modis exponens ipsius m dispertiri possit in tot partes, quot . exponens ipsius z continet unitates. Singulae autem series horizontales seorsim inveniuntur ex eo, quod AE na mz m?z? m?;? d —-)ü -— x») m). "i-a. Uma re) a " p^ (i —m*)u-— aud -- etc quae aequalitas eodem quo ante modo ostenditur. Hinc si quaeratur, quot variis modis numerus N in a partos distribui possit , evolvatur expressio | m^ : —m( —m*)....d — m") VUNGE STENT NS PSP QNI ERE ERN donec perveniatur ad terminum vm, cujus coéfficiens » quaesitum partitionum numerum indicabit. Cum igitur haec expressio eosdem praebeat coüfficientes numericos, quos praecedens, sequitur numerum XV tot modis in n (n — n partes sive aequales sive inaequales distribui posse, quot modis numerus JV y rbnsec grues partes inaequales distribui queat. Atque si per hanc scriptionem (N)'? indicetur modorum numerus, quibus numerus N in » partes sive aequales sive inaequales dispertiri possit, erit (V)? — (N — n)? 44- (N — 1)" — 9, unde tabula, qua hi partitionum numeri continentur, expedite T—M lubuerit continuari POI, Utrumque ergo problema reducitur ad inventionem harum serierum I H Hn iv^v v vu vH IX X 1--1-2-1--1--1--1-- 1-2- 1-- 1-- 1 1-2-1--2--2--3--3-- k-- 4 5-2 5 1-—-1-1-2-1- 3 -- & -- 5 --. 7-2 8 2- 10 24 12 1--14-2-1- 3-2 5 24- 6 24-9 2 11 2 15 4- 18 124-1 -2- 2 4- 3 21- 5 -- 1 2 10 2a- 13 2 18 4- 23 1 23-1 4-2 4- 3 - 5 4-7 2- 14 2 15 4-20 24- 26 1 24- 1 2- 2 4- 3 4- 5 -—- 7 2 11 2-15 4- 21 4- 28 14-1 4- 2 4- 3 72- 5 E 7. i 110 3- 15 4- 22 4- 29 1 4-1 -—- 2-2- 3 a- 5 4-7 2-11 2 15 4- 22 a- 30 c 9 5 B oROÀI- etc. ^p Harum serierum plurimae leges progressionis dantur, uti attente eas inspicienti mox patebit. Continuavi autem eás facili negotio eousque, ut affirmare possim numerum 125 in 12 partes inter se inaequales distribui posse 61707 modis. Series autem 1 4- 1 4-2 -1- 3 -i- 5 -i- 7 4- 11 -i- 15 4 22 -1- 30 4—- 42 2-. etc. et inter horizontales est infinitesima et oritur terminis diagonaliter addendis. Observavi autem aliam proprietatem, cujus ope singulae series horizontales sine superiorum ope formari possunt ex seriebus quarum terminus generalis est aq (a -- 1) (x -- 2) (x 2- 3) 1.2.3.4 etc. nempe ex serie- 1-1-2-1- 3-43- & -4- 5 -3- 6521-2 -1-. etc. oritur 1-2-1-2-2-1-2-2- 3-1 3-1- h --. etc. ubi bini termini inferioris seriei additi dant terminum superioris. Et ex c Litterae ad. N. Bernoullium datae. 533 1--3--6-- 10-215 -À- 21 -- 28 --. etc. oriuntur L |. 4 -4- 2 -4- A -À- 6-1- 9-4 12-34-16 -I-.— etc. II. 12-1--2-24-. 3-4- k-- 5-- 7-r- etc. ubi bini termini seriei I additi dant terminum superioris, et terni termini seriei II additi dant terminum seriei I. Ex serie 1-:1--2- 10-21-20 2- 35 2 56 -- 8 -iÀ-. etc. oriuntur IL. 1--3-- 72-13 -4- 22 4- 34 -4— 50 -1-. etc. Ill. 1--2-- &-- 7--11-- 16-)1- 23-)À-. etc. II. 1--1-- 2-- 3-- 5-- 6-- 9-r etc. ubi bini termini seriei 1 additi dant terminum superioris, et terni termini seriei II additi dant terminum seriei I, .et quaterni termini seriei III dant terminum seriei II. Quod expressio (I — n) (1 — n*) (1 — n?) (1 — n*) etc. evoluta det seriem 1 — n — n?-4- n* 4- n? — etc., : m , NP ICH : " zin " . , "s " in qua alii exponentes non occurrunt nisi qui contineantur in mm per legitimam inductionem mihi equi- 2 dem conclusisse videor; interim tamen demonstrationem nullo pacto invenire potui, etiamsi non parum temporis in id impenderem. Inveni autem expressionem (1 — a)(f — n?) (1 — n*) (1 — n*) etc. quoque in hanc seriem transmutari posse. n a* 7 n$ put cour hat -9»ü-») d—9»d—»5d- PET etc. eujus adeo valor aequatur summae seriei 1 — n! — n? -4- n5 -i- À? — n!? — a! 5-1. etc. Quare cum lex progres- sionis hujus seriei sit cognita, hinc alterius seriei 1 -- 1n -1- 2n? -- 3n? -4- 5n* -1- 2 n5 -4-. etc. indoles ita de- Scribi poterit, ut sit recurrens, habens scalam relationis hanc 1--1-24-0-2-0 — 1 vorm 1 ipo -gidopl Qui gdodi ue io a5: 23- 9a: etc. eujus ope facile continuatur. Quae mihi scripsisti, Vir — de investigatione — seriei a? 3 1 et c rPIRIR Rm Cad 3ascd t 351 TUR satis declarant, quantopere methodus Tua a priori procedens praestet alteri illi a posteriori, qua usus sum. Ex serie enim, quam pro cubo hujus seriei exhibuisti, difficillimum foret a posteriori ejus summam invenire; eo majores igitur Tibi habeo gratias, quo majorem fructum me ex ea. methodo capturum spero. Caeterum occa- sione illius seriei 1 — n — n? -4- n* -i- n' — n!? — n!* -,1- etc. mihi in mentem venit, quot veritates in mathesi soli inductioni acceptas referamus, praecipue circa proprietates numerorum. Cujusmodi sunt: omnem numerum esse summam quatuor pauciorumve quadratorum; item, omnem numerum primum formae &4n-41-1 esse sum- .. mam duorum quadratorum; item, summam duorum cuborum non posse esse cubum. Simile theorema quoque nuper occasionem praebente Cel. Goldbachio detexi: hanc expressionem &nab — a — b quadratum esseopsse nunquam, siquidem litterae a, b, et n numeros integros affirmativos designent. Quae in superioribus litteris de investigatione factorum .scripsi, non solum insignem habent usum in inte- gratione formularum differentialium rationalium , sed etiam integrari possunt infinitae aequationes differentiales eujuscunque gradus, quae quidem continentur in hac forma Bdy | Cddy | Dà?y Ed*y 0 — Ay 4- — att ua "bg. dai -p etc. posito dx constante. Ad valorem enim ipsius y in quantitatibus finitis expressum inveniendum resolvatur haec aequatio algebraica 0 — A -- Bz -- Cz? -- Dz? -1- Ez* -4- etc. in factores, et quilibet factor dabit partem valoris f ipsius y quaesiti, hoc modo o | L. EULERI OPERA POSTHUMA. | —.. Varia. si factor fuerit | - . erit integralis. pars (f -& z) ce T ; Ubi e est numerus, cujus Ó— uen 3i j (f zy —O(ea- Ba) e - f£ ji | (e 34- Ba -- yo) aiam etc. etc. ff — 2 fz cos o A- zz auf €999 si 4 fà sing 4- quf" 959 cog 4, f* sing (ff — 2 fz cos -- zz? (e -- Ba) dI 0099 fin A. fx sin o -4- (9 -1- 252) e" 0959 eos A. fo sing | hujusmodi enim valores ex singulis factoribus orti conjiciantur in unam summam , sicque prodibit valor ipsius y quaesitus, qui tot quantitates arbitrarias constantes complectetur,.quoti gradus fuerit aequatio: differentialis, uti integrationis natura postulat. Hinc expedite integrari potest aequatio differentialis quarti gradus ydz* z— a*d*y, qua exprimitur natura curvae, quam lamina elastica inter oscillandum (si fuerit muro infixa et ad motum vi- bratorium incitetur) induit. Cum enim sit a*d*y , D E prb . : Tu. oritur haec aequatio resolvenda 0 — 1 — a*z*, cujus factores sunt 1 — az, 1-1- az, 1-1-a?z?, ex quibus obtinetur HRUNUS J'UPAog- THINPOUR S 8 cos. - TU ob cos p — 0 et sin p — 1, ede sequitur tempora singularum vibrationum esse in ratione duplicata mies: laminarum, caeteris paribus. His, cum spatium supersit, plein methodum facilem resolvendi omnis generis problemata, quae ad problema lsoperimetricum referri solent. Quaeratur scilicet inter omnes curvas ea, in qua expressio quaepiam integralis y MdN sit maxima vel minima, ubi M et XN non solum ipsas coordinatas c, y, sed etiam earum diffe- rentialia quaecunque involvant. Ponatur dy— pdx, dp — gda, dq — rdz, etc. atque formula integralis proposita abibit in ejusmodi expressionem /Zdz, in qua Z erit functio ipsarum 2, y et p, d; r, etc. Differentietur Z atque sit dZ — Mdz 3- 9d -i- Pdp -4- Qdq -i- Rdr -1-. etc. et sumto dx constante formetur hic valor 4, 240 Ps. y—N— quem voco valorem differentialem formulae propositae integralis J£dx. Atque hic valor differentialis V nihilo aequalis positus praebebit aequationem pro curva quaesita, in qua /Zdz erit maximum minimumye. Sic cum - nuper mihi Celeb. Patruelis Tuus significasset in curvis elasticis [E — minimum esse oportere, ubi ds elemen- tum curvae et r radium osculi significabat, statim per hane methodum problema resolvi. Sumtis enim z et y pro coordinatis curvae quaesitae, positoque dy — pdx et dp — qdz, erit QUAM 4 - ds—dzV(1-r-pp) et paz Oct, unde fit Z——H—, - (2 pp hincque differentiando M—0, N—0, P——3 « ga. ( -- pp)? 00» ita ut sit dZ — Pdp-1- Qdq. Erit ergo valor differentialis . ? - 4, 240 yL-—-— dna Litterae ad IN. Bernoullium datae. 535 - et pro curva quaesita aequatio 0 — dPdz — ddQ, quae integrata dat Pdzr — dQ — Adx. Multiplicetur per 4, ob dp — qdx , erit Pdp — qdQ — Adp; at ex aequatione dZ — Pdp -4- Qdq est Pdp — dZ — Qdq, quo valore substi- tuto habebitur dZ — Qdg — qdQ — Adp, quae denuo integrata dat Z—Qq— Ap-- B— 21 — 20q -— — 94 | (--ppi Q-eppi — (42-ppj Erit ergo mutato constantium signo 1— 4p - Bj* (1-i- pj * — 2, ergo dp (Ap-i- B) (4 -a- pp pdp dz — (Ap - B) (1 2- pp) et dg — unde cognita jam aequatio pro curva elastica elicitur. Si non absolute inter omnes curvas, sed tantum inter isoperimetras, vel eas, in quas certa quaedam ex- pressio integralis Jf da aequaliter competit, quaeratur ea, in qua sit /Zdz maximum minimumve, tum eadem . methodo quaerantur valores differentiales formularum JfZ dz et /f/Zdz, qui sint V. et V, erit aV 4- 8Y —0 ae- quatio pro curva quaesita. Sic non impeditur haec mea methodus, etiamsi in formula integrali /Zdx praeter differentialia coordinatarum z et y, quoque earum differentialia secundi, tertii, aliusve altioris ordinis insint, "eujusmodi casus dubito an per solitas methodos resolvi possint. At vero si in Z praeter quantitates z, y, p, q, r, etc. etiam formula quaepiam integralis, puta //3dv, insit, tum neque consueta methodus, neque haec, quam modo exposui, solutioni inservit, sed sequenti modo erit procedendum. Cum Z sit functio quantitatum z, y, 53. elc. et insuper quantitatis I1 — /'3dx, sit dZ — LàlI 4- Mdz -- Ndy -- Pdp 4- Qdq -1-. etc. atque dg — dz -- 9tdy - dp -- dq -i-.— etc. "Tum sumatur /Ldr, cujus valor posito & — a fiat H, sitque H — / Ldx — T, erit differentialis valor quaesitus MUS UE ULBI I —N—gr—593- ur etc. De problematis autem huc bactlichcibi notandum est, ea non instar priorum absolute resolvi posse, ut curvae portio quaecunque praescripta maximi minimive indole sit praedita; sed longitudo abscissae simul debet assignari, cui haec conditio satisfaciat. Sic si iste modo inventus valor differentialis ponatur — 0, aequatio pro- dibit non pro eurva, quae inter omnes alias absolute habeat /Zdx maximum minimumve, sed quae inter alias omnes pro dato abscissae valore z — a (cujus ratio jam est habita in T) maximum minimumve ipsius /Zdx va- lorem exhibeat. Quare si haec abscissae magnitudo a immutetur, alia curvà problemati satisfaciens reperitur; qua cautela in problematis prioris generis non erat opus. Ulterius processi, et casus evolvi, cum etiam 3 denuo formulam integralem ;r— /'2dz implicet. Proposita enim formula /Zdz, si sit dZ — Ldll -- Mdz 2- Nar Ph Qdq-1- etc. r existente II — € gdzr, et d3 — €dz -i- Nd -4- 3dy -- Mp A- dq 3-. ete. existente az —J/ dx et d3 —mdz -- ndy -4- edp -4- qdq-4-.— etc. E Sumatur integrale /Ldr, quod sit — H casu quo x —a (ubi a est magnitudo abscissae z illa determinata, cui | maximus valor illius /Zdx respondere debet) sitque IJ — .fLdz — T. Tum sumatur integrale /€Tüz, quod fiat | ——6$ posito » — «, sitque $ — /tTdr — 3. His praeparatis erit valor differentialis formae /Zdx hic d(P--3T--»3) dd (Q A- &T -- 42) i N-4-OQT-4-nni-— - TE etc. 236 L. EULERI OPERA POSTHUMA. — Varia. Ex his aatem quousque libuerit ultra progrédi, atque abstrusissima problemata resolvere licebit. Qua de me- thodo quid sentias, Vir Amplissime, etiam atque etiam rogo ut. mihi indicare velis. Vale, Vir Celeberrime, mihique favera perge. Dabam Berolini d. 10 Novembr. 1742. ( (Responsionem vide Corresp. T. II. p. 101.) A. Viro Celeberrimo atque Amplissimo N. B. S. P. D. L. E. Quoniam ex litteris Tuis maximum semper fructum percipio, eo majores Tibi me debere gratias agnosco, quo minus Tibi suppetit otium ad litleras meas respondendi. Quamobrem Te, Vir Amplissime, etiam atque etiam rogo, ut frequentiores meas interpellationes benevole excusare velis. TEE Quod primum de seriebus divergentibus scribis, earum sutumas dari omnino non posse, quoniam licet in infinitum continuentur, tamen exhauriri nequeant, non mediocriter ' jam pridem. dubitavi, atque etiamnum am- bigo. Interim tamen hoc dubium mihi quidem eximi posse videtur, si ad distinctionem inter numerum infinitum determinatum, atque infinitum absolutum attendatur. Quamvis enim statui non possit poderes neat esse, ntahiu quia hic numerus terminorum etsi infinitus, tamen famquam definitus spectatur, atque adeo series revera den minari censetur; tamen sine errore mihi quidem statui posse videtur 1 1-—cx POE UADUSONES 18g etc. : in infinitum, hoe est seriei nusquam ullo termino constituto. Sic falsum foret 0—1-—3-4-5— 74-9 —...:2- (8 65 4-1), at omni finitionis idea etiam cogitatione sublata, sine errore affirmari potest esse 0— 1 —3-1-5 —7--9 — in infinitum. In hac autem opinione eo magis confirmer, quod nullus mihi adhuc obtigerit casus, in quo ejus- modi serierum summatio me in errorem deduxisset. Quod nunc assertum meum circa radicum imaginariarum proprietatem non solum probas, fur etiam. e monstrationem mecum communicare voluisti, maximas Tibi ago gratias. Concedo enim lubentissime, quod postu- las, omnem radicem imaginariam aequationis quotcunque dimensionum, etiamsi forma ejus penitus sit incognita, tamen considerari posse tanquam functionem hujusmodi expressionum «a -- Y — ». Interim tamen si quis de hac veritate dubitaret, fateor me nondum videre, quomodo hoc Tuum 'assumtum demonstrarem. Me quidem in hoe asserlo non parum confirmavit singularis modus, resolutionem aequationum altiorum graduum absolvendi, similis fere Cartesiano. Sit proposita aequatio zx* -- pz? -4- qx -- rz -4- s — 0, quam resolvi pono in has &X-4-0r-—-]-—0 et xxa-ygx4-0-— 0. Sint autem c et 7 radices hujus aequationis zz 3- pz a4- v — 0, et 8 cum 9 radices hujus zz -- (£z -4- s — 0, est enim & -- y — p et 90 — s. Per has aequationes erit oy — wu, (9 -1- 0 — t. Comparatà vero aequatione: proposita . cum factoribus assumtis erit: p — & -- y, q — (3-0 a- ey, r— 00 -- (y et s 90, seu qtu; deinde ob - r — o9 -i- By erit. eliminando rr — prt 4- ppt ^ ttu — su — 0. Sunt. autem | incognitae ( et w, quarum altera « sublata dat :?— qtt — (pp — pr -i- hs) t — rr -4- &sq — 0. Definitur ergo incognita 7 vel v per aequationem cu- bicam, ideoque semper unus datur valor realis pro ! et pro w — Praevidere autem licebat has incognitas t et « | —- | - Literie: ad. N. Bernoullium. datae. 537 per aequationem : cubicam : definiri: debere; quia aequatio. biquadrata tres tantum diversas. resolutiones admittit. Sint enim a, b, c, d radices quatuor, erunt tres: ipsius t; valores hi: ab -— cd, ac -4- bd, ad. -4- bc. Simili modo .si proponatur aequatio sexti gradus a5 -- pz? -4- qx* E rz? a-. ete. — 0 ejusque factores ponantur am -- om -2- B, gx -- yz 24-0, az-czd-t, | atque ut ante a, y, € ponantur radices aequationis z?-1- Azz -A- Bz -Y- C — 0, et patebit ex varia sex radicum combinatione quantitatem C quindecim diversos valores induere posse, unde resolutio pendet ab aequatione 15' gradus. Generaliter vero resolutio aequationis 2n dimensionum pendebit ab aequatione 1. 3.5...... (2n — 1" gradus, qui gradus cum sit impar, una semper dabitur resolutio realis. "Neque vero hoc ratiocinium adhue ve- ritatem evincit; interim tamen viam ad demonstrationem apodicticam fortasse parare. potest. ^. Plurimum autem Tibi, Vir Celeberrime,. me. obstrictum agnosco. pro. demonstratione elegantissimae Tuae con- struetionis. trajectoriarum .orthogonalium, quam in Actis Lips. 1719 publicaveras. Equidem jam pridem in illius demonstratione eruenda desudaveram, neque. tamen alium casum elicui, praeter eum, quo E z- gs E fit faucilo ipsius parametri a tantum. Quanquam enim quaesivi quantitatem. n, per. quam aequatio 9 — OP y ada divisa integrabilis reddatur, tamen in mentem mihi non: venit, in investigatione ipsius ipsam aequationem pro- positam in subsidium vocari posse. Hac igitur methodo: Tua plurimae aequationes differentiales expedite inte- grari possunt, Sit enim proposita aequatio 0 — Pdz -- Qdy, in qua sint P et Q functiones quaecunque ipsarum c et y, ita ut sit dP — Kdz -- Ldy et dQ — Mdz 4- Ndy. Quaeratur functio A, quae illam aequationem multi- plicans reddat integrabilem, ita ut 0 — PRdz -4- QRdy integrationem adimittat. Debebit ergo diff. PRdz, posito z constante, aequari diff. QRdy, posito y constanti. Sit 4R — Tdz -4- Yay, erit PVdzdy -- LRdxdy — QIéniy becMIMig rot — PTdz? A- MRázdy,. ob .. Qdy — — Pda. spes erit Pdx exc Vdy) — Rdxdy (M — L) — PázdR, ideoque "p dR — : 7 : N Kàdz domui er ia n ME e M ou Ne -. Quoties ergo ex his formulis functio A definiri potest, aequatio proposita integrari poterit. Sit porposita aequatio 3 dy 4- yXdz a-$ nium 0, in qua X et V sint functiones iota ipsius z, erit Q—1, P—yX iniit 3 et E i gnuijn , Mag, N--0, — ipciaay iat; dz Quare erit | "Topo og 0m Xe ae nV! de — Xie — "P — nXüz et IR — (1 — n) /Xdz — nly Uoc 9 Xia et A— " ur ong n Inegrailis ergo erit aequatio | g- n) Xi (1 — n) Xie Fais dy e Xdc ,V n)/Xiz y ir —0 EB , y" - y! 3 integrale enim est: B uus : (1 — n) f Xia e 4 — n) f Xdz ài í dl maie 3e d eg noe L. Euleri Op. posthuma. T. f. 68 538 L. EULERI OPERA POSTHUMA. E A Quae intégratio etsi jam satis est cognita, tamen dumm regülae Tuae utilitatem leeudeister - declarat. binos Vir Amplissime, tnihique favere perge. Dabarm Berolini d. 44. Maii, 1743. (Responsionem vide Corresp. T. II. p. 108.) o. . Viro Consultissimo et Exeellentissimo N. B. S. P. D. L. E. Quanquam desiderium miéüm a Té, Vir Excellentissime, proficiendi summum 'est, tamen tanta erga Te est veneratio miea, dt nisi otium Tibi suppetat, nullas a Te litteras exigam, quoties autem lubuerit mihi respondere, pro hoe insigni munere Tibi gratias maximas habeam. Exquisitissima sunt monita Tua, quae éircà summas se« rierum divergentium affers, Tibique nunc prorsus assentior, eo modo, quo serierum convergentium -summa "sit — quantitas quasi asymtota, ad quam, quo plures seriei termini actu colligantur, eo propius accedatur, ita ut — tandem discrepantia omni assignabili quantitate minor evadat. Scilicet si habeatur series convergens quaecunque | à -- b -1- c -- d 4-. etc., concipi potest Fig. 69. linea eurva abede etc. super-axe AS ita descripta, ut ejus: -— catae ad aequalia intervalla axis constitutae sint — ; Aa —a : i pb—aab | Trib Ce —a-r brc Dd — a c b -- c d ete, ! quo facto manifestuni est hane curvam habitüram esse asymtotam TV axi AS parallelam, cujus àb 'axe distantia veram seriei in infinitum continuatae sumimam: repraesentabit. Sin autem series proposita fuerit divergens , quo- niam hoc casü nulla datür asymtota axi parallela, nequidem Wrafiisimodi 'serierum sunmmas concipere licet, atque. adeo ipsi ideae summae contradicere, qui quantitatem finitam tanquam summam -assignare vellet. . Cum .autem omnis expressio sive fracta, sive irrationalis, sive etiam transcendens in.seriem infinitam evolvi queat, etiam vicissim concedendum est, proposita quacunque serie sive conv ergente Sive divergente, dari expressionem quam- piam finitam, ex cüjus evolutione.illa ipsa series: oriatur. . Quare. $i a. naturali. vocis summae. significatione. ita recedere velirius,: ut cujusvis seriei summam .appellemus .non aggregatum. omnium terminorum, .sed valorem illius quantitatis finitae, ex cujus evolutione illa series resultet, non solum consuetum summandi modum, qui alias contradictionem involveret, .tueri, sed etiam; quemadmodum summatio. serierum divergentium in errorem non inducat, explicare poterimus. Quoniam igitur definitiones vocabulorum sunt arbitrariae (saltem. isi sibi — ipsae pugnent), si hac definitione utar, ut dicam seriei cujusque summam esse valorem ejus expressionis finitae, ex cujus evolutione illa ipsa series oriatur, omms dubitatio atque repugnantia funditus: tolletar. Hocque adeo sensu sine ulla contradictione affirmare licebit esse 4 —:^ -À- 9 — 16 -i- 25 — 36 -24- etc. — 0, quia haec series E i ax Loa 70i similique modo erit 1-- 2-4 k-- 8-- 16 -4- ete, —— 1, Ce- terum vero notandum est, quoties series fuerit convergens, tum novam istam summae notionem cum. consuetà - oritur ex evolutione expressionis. congruere, ex quo nulla confusio ex introductione hujus. novae ideae. erit metuenda. Hoc posito, quaestio non - erit absurda, si quaeram summam hujus seriei maxime divergentis 1 — 2 -1- 6 — 24. -1- 120 — 720 -- etc.; de- sidero enim valorem quantitatis finitae, ex cujus evolutione ista series oriatur, et cum ista quantitas sit: transcen- | dens, sufficiet ejus valorem tantum proxime assignasse. Inveni autem hunc valorem seu summam fore — 0,410478, Sicque minorem quam semissem unitatis. Contra hunc concipiendi modum nihil aliud mihi quidem objici posse . Literae ad. N.. Bernoullium. datae. ; 539 videtur, nisi quod ante demonstrari. debeat, eandem. seriem. ex pluribus diversis expressionibus finctis oriri non posse, at vero hoc mihi extra dubium positum. videtur. | Si concedatur, radices imaginarias aequationum considerari posee tanquam Sfnsünics binomiorum hujus- modi a-- V — b, tum utique. necessario: sequitur, aequationes. imparium dimensionum semper unam ad mini- mum. habere radicem. realem, ac proinde numerum. radicum imaginariarum. perpetuo esse parem. Verumtamen nondum perspicui quomodo, si posterius concedatur, vicissim et prius consequatur: posterius enim mihi de- monstrari posse videtur, nullo habito respectu ad formas radicum imaginariarum, Sit enim proposita aequatio im- parium. dimensionum quaecunque 2^7 ! -4- aa?? -4- 32??— ! 4. ete. :— 0, ponoque. adilido -- az?" -4- ga*^77 * -.- ele. . — z, ^ atque insidifoibéis est, si slatuatur 4$ — co. fore z — co, sin autem ponatur z— — co, fore z — — co. Tri- buendo igitur ipsi 2» successive omnes possibiles valores inter limites -4- oo et — co contentos, littera z induet pariter omnes possibiles valores inter limites -1- co et. — oo contentos. Dabitur ergo valor loco a substituendus, qui litterae z valorem inducat — 0, isque propterea erit radix ipsius x pro aequatione proposita. Cum igitur hoc summo rigore demonstrari possit, optarem, ut simili modo forma functionalis radicum imaginariarum, quam statuis, demonstrari vel ex hoc ipso fonte derivari posset. ! Pro emendatione errorum, quos per festinationem in resolutione aequationis a* -4- px? -- qx? -A- rz -i- s — 0 commiseram , gratias ago. Ceterum, uti probe mones, realitas factorum trinomialium multo commodius methodo Cartesii, tollendo secundum terminum, docetur, atque adeo meo judicio hanc demonstrationem perfectissime ab- .solvisti. Quanquam enim aequationes altiorum dimensionum, ad quas pervenitur, actu resolvi nequeant, tamen ad institutum sufficiebat ostendisse, illas aequationes semper habituras esse unam ejusmodi radicem realem, ex qua prodeant factores trinomiales reales, etiamsi hi rarissime assignari queant. Aequatio enim "I ' n ? gt aepg m ow 4e qum ""wu- dtp, 7-0 uti egregie mones, pro divisore habebit aequationem 7" n n .&* ae aa* 7 am (m* 7? ae ele, — 0, ad quem — m coéffieiens « determinabitur per — tot dimensionum, quot hoc productum con- tinet unitates 9?.m 9^,m —1 y es 9^ (m — 1) 4-1 . * Solar 1 B 3" "an—1 9—à3 Primum autem patet. hoc productum semper exhibere numerum integrum; tum vero quaelibet fractio, siquidem m est numerus impar, reducitur ad ejusmodi formam, ut tam numerator quam denominator fiat numerus impar; ex quo fota expressio evadet numerus impar, atque adeo valor «, cum definiatur per aequationem imparium dimensionum, poterit esse realis: reliqua vero, quae hinc deducis, Vir Celeberrime, negotium, quod agitabam, prorsus conficiunt. Tota enim res perducitur ad resolutionem aequationis a a- qui — 2a. rzr* —39... ete. —0 in qua secundum terminum jam deesse pono. Quodsi ergo hujus bini factores ponantur —1 nh-—1 n—1 nT--—-1 "a -r ax? mb etc. et x^ — ax? i4 ete. L— quia est « aggregatum 2^—' radicum prioris aequationis , -definietur « per aequationem lot dimensionum. quot sunt unitates in hoc numero ! 9^—4... 9*— 9 2 . gn—1 .—1 41 3n—7—359"' etc. POTE L.EULERI OPERA POSTHUMA. * — Varia. donec ultimus denominator sit — 1. Patet autem hunc numerum fore impariter parem, totidemque habebit radices, quot unitates in isto numero continentur, Quia autem inter has radices quaelibet habet sui negativam; omnes potestates impares ipsius 4n aequatione deerunt; ultimus vero terminus absolutus, propterea quod est faetum ex omnibus valoribus ipsius c, inter quos bini inter se sunt aequales et alter alterius negativus, erit quadratum negativum, cujus radix assignabilis erit per coéfficientes q,1,5;' elc. Defihietur ergo « per owes: modi aequationem Nr T ALSHERN OBRA quae semper unam saltem radicem habebit realem; quod sic ostendo: Ponatur q— obi fietque illa expressio o?" 4. fo?" —?-,1-,.. — uu— co. Tum ponatur & — 0, fietque. eadem expressio — —-wu. Tribuendis ergo ipsi « valoribus mediis inter 0 et co, expressio ipsa induet omnes valores possibiles medios inter co et —5" dabitur. ergo. valor loco c substituendus, qui reddet expressions valorem — 0, isque erit radix ipsius c. Casus tantum excipi debet, quo m — 1, sed non dubito, quin ista demonstratio ita adornari possit, ut nihil contra excipi queat. : dbi Non perspicio, quam ob causam Sd an hujus differentialis Phás 4- QRdy integrale exhiberi queat, etiamsi sit diff. PRdx — diff. QRdy, illa scilicet differentiatione ponendo z, in hac vero y constantem. Quodsi - enim hoc criterium locum habuerit, integrale non solum mihi videtur assignari posse, sed etiam revera id sal- tem ope quadraiurarum exhibere valeo. Integretur enim differertiale PRdx spectando y tanquam constantem,,. ita ut integrale evanescat ponendo x — 0, quod integrale sit — Z. Tum in differential QRdy ponatur x — 0, atque id integretur, »ponaturque integrale — Y; quo facto formulae differentialis P Rdz -- QRdy integrale erit — Z 4- Y. Demonstratio per ea, quae Tu, Vir Excellentissime, docuisti, est facilis, namque differentiando Z a--Y Tua methodo, iterum prodit differentiale propositum. Jam dudum autem perspexi hanc speculationem penitus incidere in solutionem problematis: Data aequatione differentiali da — pdy incompleta, invenire ejus completam ' dx — pdy A- qda, quod a, Te primum fuisse solutum admonui' D»o» Clairaut aliosque Geometras Gallos, qui hanc inventionem sibi vindicare voluerunt. Intérim tamen non dubito, quin hic adhuc insignes proprietates la- . teant, quae si essent cognitae, ingens lumen in analysi accenderent, cujus rei, ut nullus dubitandi locus relin- quatur, communicabo Tecum solutionem problematis cujusdam mechanici, cujus evolutio universa ad hoc genus pertinet; neque, antequam natura hujusmodi formularum differentialium completarum uberius examinetur, ad. finem optatum perduci potest. : : Vani Problema hoc est: Catenae uniformis ac perfecte flexilis, si super plano horizontali politissimo jacens utcunque projiciatur, assignare situm; figuram et motum ad quodvis temporis momentum. Solutio. Fig. 70. Sumto in plano horizontali recta quacunque OZ pro axe, pervenerit elapso tempore t catena in situm AMB. Sit longitudo ca- — tenae AMB —4a, positaque ejus portione quacunque AM — s, ducatur ad axem applicata MP, voceturque OP — x, PM —y. Perspicuum jam est c et y esse oportere functiones binarum variabilium s et t, pariter ac angulum AMP qui vocetur — g. Sit igitur adipis dz — ds sin -4- Mdt el dy — ds cos o -t- Ndt, quia pos sito t constante esse debet da? -- dy? — ds?. His positis erit primo, ponendo 4 constans, E. 0a — at 4- B — [———m, Aa — yi 4- 8 — Jess, Q6 — aie ga tn : | snp mi et Bi—ytas 0 a- f, posito post singulas has integrationes s— a. Porro, si fuerit. posito s constante dM — Pdt et dN — Qdt, erit...» sin VP Bes cos p Jon gas" M PREDICT PIGNORE EHE CRM SRUN E "A uif nli dE ea j P . Literae ad. .N.. Bernoullium datae. . m spectando in his integrationibus: tantum. s tanquam variabilem. Aequationes has suppeditaverunt praecepta dy- ramica, iisque problema perfecte resolvitur, ita ut natura curvae AMB in aequatione sinp - /Pds cosp JQds contineatur. Interim tamen hanc solutionem. ad usum accommodare non possum; ita ut hinc motum catenae, si initio figuram quamcunque datam habuerit, ipsique datus motus impressus fuerit, reipsa determinare mihi lice- fet. Pendent autem M et N ac propterea quoque P et Q ab angulo o, quia differentialia illa dz et dy expri- mentia sunt completa. Deinde si ! constans sumatur atque elementum ds invariabile stàtuatur, ultima aequatio evolvitur in hanc differentialem secundi gradus Püdi tis 9 -A- 2Pdg* sin o — Qddy sin 9 -1- 2 Qdg* cos 9 — dPdy PRTHNM PRPIRIIOS Hac igitur de re ut mihi sententiam Tuam aperire velis, etiam atque etiam rogo. Ceterum solutionem proble- matis huic affinis, quod mihi Celeb. Patruelis proposuit, quia spatium superest, judicio Tuo subjiciam. In lo- cum catenae superioris. problematis, substituit filum inertiae expers tribus Apquenhue corpusculis ad aequalia intervalla positis onusti, cujus motus requiritur. Sint Fig. 71. intervalla corpusculorum AB — BC —a, atque tempore elapso —41 pervenerit filum propositum in situm ABC, uinde ad rectam OZ pro axe assumtam demittan- tur perpendicula 4a, Bb, Cc. Ponatur angulus ABb — 6$ et angulus BCc — 1, sitque r —5$-r 5 et s—0i— 1, quibus positis ex theoria motus elicui has aequationes . M AME » UN d LIST rra RP Ue IPIE E MEE Pus 2a — B -1- «cos s (221-05 5)...."). Ope quise ergo ex tempore t definiuntur quantiiátes r et s, ex quibus porro erit T--8 P838 pues - Sitat iem [4 4 7 Denique vero Oa — At 4- B — 5 a sint — x a sin 1; Aa — Ci Ai- D — $a cos — Ta cos q; Ob — At A- BL a sin C — 4 asin qj; Bb — Ct a- D-4- 2a cost — $ acosq; - sit ig rios Coma Dra cos E -1- a cos q. 1 Qc — At -- B -1—— 3 3 3 3 Hoc idem problema be quoque, si plura corpora filo fuerint alligata; tum autem separatio variabilium et construciio, uti hic, mihi nondum successit, Ceterum has qualescunque meditationes, ut benevole accipias etiam atque etiam rogo, mihique favere pergas. Vale. Dabam Berolini d. 4 Febr. 1744. Litterae, quibus Bernoullius ad Euleri epistolam supra datam respondit, cum $n nostra collectione non reperiantur, eliam in Commercio (Correspondance) a nobis editio desunt. Sed ipsarum primum auto- graphum, idque curiose scriptum, inter hasce exstat Ewleri epistolas, quas Bibliotheca Basileensis ex he- - reditate Bernoullii acceptas conservat et, nobiscum liberalissime communicare voluit. Ut jam nexus mutui hujus epistolarum commercii elucescat, pro argumenti gravitate, gratum lectoribus id fore confidimus, quod el responsionem Bernoullianam hoc loco damus, adjecto etiam postscripto, quod a Bernoullio serius Eulero missum est, in epistola Danielis Bernoulli indusum, ———— Editores. *) Vide infra responsionem Cel. Bernoullii. d LEULERI OPERA POSTHUMA. — — duds Viro Celeberrimo: Leonhardo Eulero S. P. D. N. B. Ignosce quaeso quod nondum respondi ad ultimas Tuas litteras ànte annum et quod excurtit scriptas. Repeto excusationem jam aliquoties a me allatam, cui et hoc addere debeo,, quod per lon- gam desuetudinem ita hebes factus sim, ut vix quicquam proficiam, quando Te in profundis Tuis - meditationibus sequi volo. Ne autem diutius in mora sim, postulat donum, quod mihi nuper D. Bousquet jussu Tuo misit, consistens in egregio tractatu Tuo de Isoperimetris, pro quo Tibi maxi- màs ago gratias. Hune librum avide sed obiter inspexi in plagulis adhuc solutis, attente autem perlegam postquam illum a eompactore ligatum recepi. Tantum jam perspexi, ut non possim mon Tibi impense gratulari et applaudere de inventa elegantissima et.genuina methodo hoc problema: in latissimo sensu acceptum tractandi. Ego quoque olim observaveram, methodos ab aliis usurpalas in hoc deficere, quod restrictae sint ad eam hypothesin, quae supponit, minimam curvae particulam eadem qua integer arcus maximi vel minimi proprietate gaudere, quem defectum Tu optime sup- plevisti. Hac occasione Te rogare audeo (quod tacitum apud me servabo) quid sentias de priori 80- lutione directa Patrui mei, quae extat in Commentariis Academiae Regiae A. 1706. Sane ea mihi videtur esse paralogistica, imo nulla. Casu incidit in solutionem .veram problematis Ini, dum posuit di constantem, quemadmodum etiam casu inventurus fuisset veram solutionem problematis 2, si ibi non dí sed dx posuisset constantem. Analogiae, ad quas problemata 1 et 2 reduxit, non sunt verae proprietates curvae quaesitae, sed quibusvis curvis competunt, prout alia atque alia differentialis. pro constanti adhibetur; vel potius nulli curvae competunt, quia hae analogiae dant aequationem ex ter- minis heterogeneis constantem. Deinde Taylorus recte objecit, inepte sumi angulos OF et OgF pro dimidio angulo curvedinis in punctis F et y. Praeterea ipsa hypothesis, per quam 'duo elementa FO -1- Og, et duo elementa Fo-1- oy ponuntur isoperimetra, deducere videtur ad absurditates, ita ut non possit consistere cum inaequalitate seu 'variabilitate angulorum OFJ et oFJ; mihi enim, ex conditione Isoperimetri sequi videtur rationem FJ ad OJ sive angulum OFJ fore constantem, conta hypothesin, quae supponit angulum OFJ mutari posse in angulum oFJ. Altera Patrui solutio, ut et Hermanniana, quae ambae. extant in Actis Lips. À. 1718, quoad fundamentum et methodum conve- niunt cum Fratris Jacobi solutione, nec ab ea differunt, nisi quod in illis prolixus Jacobi calculus eleganti compendio concinnior redditus fuerit. Caeterum doleo Jacobum a Fratre nimis inique nota- tum fuisse, quod plures absurditates et contradictiones.in solutione sua admiserit, cum tamen omnia quae Jacobus dixit sano sensu explicari, et apparentes. contradictiones conciliari queant. Ex. gr. cum dixit, in omnibus aequationibus Tabulae suae litteras p et q augeri minuive posse quantitate qua- cunque constante c, id intelligendum est de maximis vel minimis Ji pdy, pdt, f'qdy, etc. in quibns .p vel 4 significant ipsas ordinatas curvarum, quarum areae debent esse vel maximae vel minimae, non vero de maximis vel minimis d t T [2 I un etc. p p ^ cum enim illa transeant in haec ponendo "u vel E pro p et. q, patet in his non p vel q, sed i i aut E posse augeri vel minui quantitate constante c. Neque etiam eadem assertio ita accipi debet, ac.si aequationes, quae maximum aliquod vel minimum suppeditant, post talem mutationem semper etiam maximum vel minimum respective praebere debeant; possunt enim per talem mutationem maxima degenerare in minima, et vice versa; quamvis ipse Jacobus, sicut ejus frater, ex inadver- tentia hoc non observaverit, Ex. gr. quamvis aequatio OPEP EO 9RT NAT REPERI Literae ad. N.. Bernoullium. datae. * . B9 qerp inde aic: dy — v (aa — pp) praebeat maximum /'pdy, attamen haec aequatio potest praebere et maximun /pdy, et minimum Jpdy, prout p major est vel minor quam ce. Sic quoque aequatio $2 ada - CY (b a- 2bp -1- pp — aa) potest dare maximum /'pd!, etiamsi crescente 2; decrescat p, quiequid contradicat Johannes, quo- . liescunque nempe b — p est quantitas affirmativa. 1ta etiam, quamvis aequatio | | Y (aa -- qd) satisfaciat maximo /'qdy, tamen aequatio generalior T gdt-3- edt DE e Y(aa--qq3-90p 3e —dy eet dare et maximum .et minimum f qdy, illud nempe Si q.3-c fuerit quantitas affirmativa. hoc 8i q--c fuerit quantitas negativa. Ad -has praedictas tres aequationes generales, quae exhibent maxima vel minima Jpdy, /pdt, /qdy, Patruus meus Jacobus potuisset reducere omnes 11 aequatio- nes Tabulae suae. Sed :satis de his. Attingam nunc. paucis quaedam ex Tua ultima epistola, Gaudeo Te nunc mihi assentiri circa ea, quae dixeram de seriebus divergentibus. Gratum facies, si mihi in- dicabis ipsam formulam quantitatis transcendentis — 0,104178, ex cujus evolutione oritur series 1—2-1-6—24-1- 190 — 720 24-. etc. . Ipse modus concipiendi seriem divergentem, tengulim ortam ex evolutione. quantitatis alicujus finitae, . Ail quicquam habet absurdi, ut contra eum aliquid objici possit, et si vel maxime eadem series ex pluribus | diversis expressionibus finitis oriri pgsset, hine non sequeretur ejusmodi concipiendi mo- , dum. esse absurdum; sed hoc sequeretur, ejusmodi expresiones non posse appellari summam, seu valorem seriei divergentis, et hoc magis confirmaret sententiam meam, qua statuo, " seriem diver- gentem nullum habere valorem. Ego vicissim Tibi assentior in eo, quod, attinet ad integrationem aequationis PRdx -4- QRdy — 0. Si paulo attentius considerassem ea,-quàáe in penultima: epistola ipse scripsi, non amplius dubitassem, sed facile vidissem; «demonstrationem. ibi -a- me allatam:inverti posse. Verum quia aliquis haerere posset in sumtione .ántegralis quantitatis PRdx in casu z — 0, mallem ego hunc modum integrationis praescribere: Sit S nota integrationis, quando ;y: ponitur constans, et c nota integrationis, quando . w ponitur constans, Distinguatur PRdx in membra, in quibus y non reperitur, et in ea, in quibus Uy reperitur ; ' vocentur illa- Xàr, haec pdz. Pariter distinguatur QRdy in membra, in quibus z non ^weperitur, t in. ea; in quibus. reperitur; vocentur illa Ydy, haec qdy. :Eritque J PRdz 4- f QRdy — f Xdz A- f Ydy -4- Spdz — /"Xdac -- f Ydy -- oqdy — constanti, -Quod autem sit-Spdz — cqily, sic facile demonstro: Sit. (Fig. 72.) AE— CF-— dz, BE — pdz posita constante; per consequens AG — Spda. Sit AC — FE — diff. AG posita z constante, diff. 4C positis y et dy :constantibus — DB — AC— DB. — FE —'DF — DE — diff. BE, seu diff. pir positi. z et dz 944 . L. EULERI OPERA POSTHUMA. - ae Varia. constantibus. Sed per hypothesin «est quantitas R ita comparata, ut diff. pd positis x et dx con- stantibus, debeat esse ——-diíf. gdy positis y et dy constantibus, ergo AC —qdy, per consequens ogdy — AG — Spda., : " Ad ea, quae dixisti de radicibus imaginariis nihil abeo quod reponaim, nisi quod existimem, ideam quantitatis imaginariae sive impossibilis involvere ideam radicis quadratae quantitatis riegativae, quia eae quantitates sunt impossibiles, quae, neque affirmativae esse possunt neque negativae, qua- rumque quadrata aut ipsa sunt impossibilia, aut saltem negativa. Problemata, quae in fine subjunxisti de projecta. catena vel filo tribus corpusculis onusto, nimis difficilia mihi visa sunt. Malo fundamen- tum solutionis ex Te discere, quam ingeniolum meum hebetatum eorundem examine diu torquere. Quod superest Deum O.'M. rogó, ut luctum: ex B. Parentis Tui obitu. conceptum minuat, Teque cum Tuis quam optime valere jubeat. Dabam Basileae die 20 Apr. 1745. J ; P. S. d. 4 Maji 1745. Postquam misi nuperam epistolam, cupido me incessit examinandi &0- lutionem Tuam problematis de filo tribus corpusculis onusto.- Scribis Te ex theoria motus elicuisse - has aequationes ' di— "AES 78 et puse. A E 2a; — B -A- « coss (2 -- cos s). . reliqua in denominatore, quae a: sigillo epistolae Tuae obtecta sunt, non possum legere. Mihi vide- tur has duas aequationes ita vebestinibedig, A esse 4 dV, 4 — (cos sje za y: 9 — cos $ — BB -1- a cos s (9 7 cos s) (8 « — fiB - a c0s 5) ut sit uus T rz (8 -4- eos s) -»- ^ (B — eos s), et B — 5. (B -^- cos 9). " Disquisitiones , quae jam sequuntur de problemate illo mechanico Joh. Bernoullii, in superiori epistola Euleriana memorato, manu ipsius Nicolai conscriptae. leguntur ín margine primi autographi, quod postscriptum illud jam. ante ad. Eulerfm missum exhibet, et co. magis mentione dignae sunt, quod nunquam ad Eulerum pervenisse videntur. : Editores, | i (Fig. 73.) AB — BC — ab.z- be e$ AD—I1, BE-—p t BD-—m, CE-—1q ll-- mm —1 — pp -a- qq, (dl — — mdm . : & vb. pdp — —- qdq | 1 angl. ABD — 0, angl. BCE—1 dr L3 Aa — dx, ac — dy, Bf —dx--dl, bf — dy 4- dm, Cy — dac -- dl -- dp, cj — dy 4- dm 4- dq tempus per Aa, Bb, e c — dt. Ob. motuum corporum A, B, C, et centri gravitatis tempusculo dt uni- formitatem est | AP TE, es dps Sodl-ae dp Adi hine s—4A( 4 B— lp aa -- bB -&- ey 2 | 1 D epe pariter -3 h. e. dy 4- 3: dm 7 y dq — Cit hino y — Ct--D— 3m — 34 Litterae ad. .N. Bernoullium datae. | 545 da dm — Adt—23dl — $ dp velocitas secundum AD —— Pis z- ; vis acceleratrix secundum " AD — al . is; AF- BEL OR dn c dn, , , i" | AF — am Cy dz--di--dp — Adt-- ldl--2dp scoop un Das ode o antt ELO UP, vis retard, secundum. (6 — Up AU A La x] , » CH—7 E A 1— ad E. uk i. 7] D « CE — liq Posita di constante est incrementum velocitatis secundum AD — CMM — aldt : hin 2ddl A- ddp l — dm ; adt Sh | 9 dd » n n AF d m $dde LÉL— amdt "— " - i r vc dics 2ddp decrementum " » Cy — i 8 * — bpdt y dt p ddl 4- 9 ddp v » aA a4 ) X idu dar momUE- D f » » CH zz ee vaa — bqdt — T ^p Praecedentes aequationes reductae praebent 2 diddl -- diddp -&- 2dmddm -1- dmddq — 0 |... 2mddl -A- mddp — 2lddm — iddq — 0 dpddl -i- 2 dpddp -- dqddm -4- 2dqddq — 0 | qddl -- 2qddp — pddm — 2pddq — 0 | Priores duae «additae -et integrate praebent di? -4- dm? -- dp? -4- dq? -i- ddp -4- dmdq — Const. seu d2?-3-dij*-4- (dldp -- dmdq)— (ob is re dm— — ld$, dp — qd, dq— ph) d^ -4-dr?-4- (pl -A- qm) ddr — d£? 4- dr* -- (ddr, cos (£ — 1); — Const. Ponendo * j T--$ T—sS$ 3 3 C-a-9-—r,bí—14-s, seu b$— E habetur * 9 dr? -4- 2ds? -i— coss (dr? -4- ds?) 2 Posteriores duae aequationes additae et integratae praebent — const, ^h. e. ' dr? (2 -&- cos s) 4- ds* (8 — cos s) — odt?. 2mdl -A- mdp — 2 ldm — ldq-4-qdl 4-2 qdp —pdmn— 2pdq — 2mmd$ -- mqdr 2-2 d$ A- ipd -- mqd$ 24-2 qqdi; -i- lpd; 4-2 ppd —2 d; 4-2 dr 4- (Ip - m4) (d&-1- d7)— (d£--d1) (2-4-cos(& — 7)) — dr (2-1-c05 s) — Const. &dt. : : LM Ww E Viro Celeberrimo atque Amplissimo N. B. s. P. D. L. E. Etsi litterae Tuae, Vir Celeberrime, maximo gaudio me afficiunt, summumque mihi fructum afferunt, tamen quoniam non ignoro in aliis diversissimi generis studiis Tibi plurimum esse elaborandum, ne Tibi sim molestus, frequentiores a Te litteras exigere non ausim, séd hoc tantum a Te etiam atque etiam rogo, ut meas benevole - accipere, ad easque non nisi cum satis otii fueris nactus, respondere velis. Gratissimum mihi fuit ex Te intelligere | opusculum meum de Isoperimetris , vel potius lsodynamis Tibi non displicere; argumentum mihi quidem ita com- M paratum ' videtur, uf in eo non errare sit difficillimum, pe solutione Celeb. Joh. Bernoullii, quae extat in 1 Comment. Academiae Regiae Parisinae 1706, Tecum plane sentio, neque etiam dubito, quin ipse Auctor, si sen- - tentiam suam aperte declarare voluerit, sit dissensürus: "Cum autem ejus defensionem semel tanto ardore susce- L. Euleri Op. postbuma T. I. 69 546 L. EULERI- OPERA POSTHUMA. aiia. ^ pisset, mirum non est, quod. errorem profiteri nunquam- voluerit; Ob: eandem autem causam. omnes occasiones data opera evito, meam sententiam de ista solutione indicandi. Tibi autem, Vir Celeb., maximas gratias habeo, quod Tuum judicium cum tam egregiis animadversióhibus mecum communicare volueris. Saepenumero certe dif- ficillimum est dignoscere, utrum formulae cujuspiam inventae valor sit maximus an.minimus, praesertim si plu- res quantitàtes indefinitae in^ eam ingrediantur. - "fanta-est enim affinitas inter maximum et minimum, ut eadem quantitas. seu functio V, quae formulam A-r- V reddat maximam, eadem hanc formulam solo signo mutato A — V exhibeat minimam. Sic cum aequatio T pdz 4) — Va — pp) praebeat maximum /'pdy, vicissim haec aeqüátio ' A L| Uu 1 3] * dx d d MAPS pda 777 Ya — gp) , quae quidem in illa ob signi radicalis nip mien jam continetur, //pdy faciet minimum, quod clarius patebit : si, uti fecisti, pro p scribatur p 2 c; -Quod ád valorem seriei divérgentis 1—1-4-2 — 64-24 — ne etc. attinet, puto equidem déri lineam curvam, cujus abscissa si fuerit — x, applicata esse queat ; y — x — 1a? 4- 2a? — 6x* -1- 9k x5 — 120 x5 -- ete. unde si in hac curva ponatur-abscissa 4$ —:1, applicata " exhibebit valorem seriei ^u 1—1--2—6-r24—190-- ete. ' ' : Potest autem natura hujus eurvae per aequationem diffétéutiáleni exprimi. Cum enim sit Jj 4 —224-62* — 2a? -4- 1202* — 720 x* -1-.— etc. erit ob utriusque seriei similitudinem Be: s ydv — dz t d L— m ác pe ; seu gus m ms i" quae est aequatio. differentialis pro curva quaesita, cujus integrale, si e denotat numerum, cujus logarithmus — 1, erit 1 1 E spo e da £— wf zz. y c quod integrale ita sumi debet, ut evanescat posito z — 0; erit ergo hinc i- e- *dz uet, I hujusque proinde expressionis valor facto z — 1 dabit valorem seriei propositae. Erit ergo summa seriei propositae E xa ^ ft x a is —3] free L— y « ! f 1511 i21 t*l i Uó L í ' 1 | , aei MID x posito post integrationem & — 1. Ponatur e 7€ e serit posito m0, £50, et poueó q 1, FEET unde - | summa seriei erit — M. 1— i S. |-—dt ü 'moenmqeo var. — i, erit summa seriei — [4 [cid integrali ita sumto, ut evanescat Rofito i tumque im (—0, Jam ob | i , € imiftro:) Gaio das di IP oae. eu dio "wif 1 RT E ' NO La —1) TT t "9 u EST i 4 t etc. )G£& nter meia ; integrali ita sumto, üt evanescat posito z — 0, deinde vero facto ro Sit porro | | »- -— AUS vim Litterae ad. .N.. Bernoullum datae. 4l habebitur. summa seriei. oquim- oupis | [HH ^ 1 siifíonon riu [ost enJoift-eppai —Áopepepee ele." 4b ni 9 «— M. snoil "ib sf e83i15| i 1h Sit LI eo: — L-cai-c fé a- qc a etc. , À v. Ji a i09 | HI. 1 i - "n 5 E] . Ab 114 MU * Fiat jm f. 0, erit seriei divergentis 1- — -1 4- 2— 6-35. — - 190 SH 720. — ete. valor. | Jis 19 .v Ó 41 | z uit d oi 3*4 445] 334 ete Est. ,vero. .series . DA dh peueca ob | [44 . Ww. A^ WA REM EU D LJ LJ c . * . . LI . Bo "8.0 » * 9 . ? m——1: pela 4 "»»-e»*e. - iz - er e, — AE SIS. d BAUVIN., y-e-—m : Cam 3: Ws . AUEEE C tt* B E E 1 1 1 1 j——1— 38—3—4 vss —4 '4 $ 1 E € 4 4 ) vinee qi idesi E E M pot xod c C d 3.40 xa : 9 3 ) pg »— " 5 6; ." » * -—7* 866 — o ey dp pepe, goce ad he! i pis na 55]inio nga auJonr 9 d bieuo» z5 Sii anuf ?, i 5. e. 7i, $4779 etc. : -« :8900il5HD55 25 iit u ergo seriei propositae 1 — e ab. 5. 6g eic. eUN — M oe 8f y 2095 (Q L— —À——— Har. E | asi —1-— i. pee uec aod td ap. Xs uot etc waQ co WARE Po aequ. AMEC HU Ms pont uoa. og 147 f db NÉ umo d vs EV s e m... | varies : Kk E 3 , : 0e 39" E " 84^. 5049" - ü n e : - iBDp Dh ii L2l E , i HE 0 ü , 1 1 1 13 1 1 9 dae es, es EE differentiae 2 6" 4' 30! 360 etc. LOYER b ieu» medal i9 v6] E obe cue, acti etc. EIE 3 8-4 rg pv etc. ini 941 . hujus autem. seriei non difficulter summa vero proxima invenitur, prodibitque fere. 0,59521... Ceterum non. me- diocriter gaudeo, Tibi meum series divergentes considerandi, modum probari, .sic.. utique rectius dixerim. esse 0,59521 valorem illius expressionis finitae, ex. eujus evolntione series givergens, 1—1--2— 6-:- etc. nasca- tur. Vix autem crediderim ullum dari casum, quo nd series divergens ex tont plurium. formularum -. diversarum oriri queat. - Morum Fundamenta solutionis meae problematis de motu catenae, seu lirfum corpusculorum filo connexorum lu- bentissime judicio Tuo, Vir Amplissime, subjiciam. Utor ad. hoc lemmatibus quibusdam, quorum ratio ex dy- 1 namicis facillime constat : n$ -4- 1 »$ 4 P I. Si corpus secundum rectam AB motu quogunque feratur, cujus massa sit A; si tempore : elapso confecerit spatium AP — z, erit. ejus 'eéleritas in p-T ; et vis id in P secundum PB sollicitans qum Vx Less » posito di constante, L- i 548 L. EULERI- OPERA" POSTHUMA. Varia. II. Si (Fig. 74) corpus in linea curva EM moveatur uteunque, atque tempore t elapso versetur in M; quod punctum determinetur coordinatis AP — z; PM — y, corporisque motus resolutus concipiatur se- cundum directiones Mp et iMm aem c ety Mm, erit celeritas in irectione Mp, et in di- d rectione Mm — Tum vero 5i massa corporis sit — A, erit vis sollicitans corpus seco" d 2 Add T Mp — » et secundum Mn -— — 2. 1 His jam praemissis sint (Fig. 75) tria corpuscula L, M, N, filo connexa, quae super plano utcunque moveantar.. Pervenerint ea elapso tempore £ in situm, quem figura exhibet. Sumta recta AB ie axe, ad eumque demissis perpendiculis LP, MQ, NR, vocentur AP — x, PL — yj. AQ —sz, QM m Js AR — z, RN A et sit longitudo fili LM —a, ejus inclinatio ad axem AB — 9, longitudo fili MN—a; ejusque inclinatio ad axem —g'; erit &'— x —acoso, y —y—asing, z^ —a —a cosp et y —y —a sing. Tum vero per lemina sécundum necesse est, ut corpusculum LL sollicitetur . r «auia 1956. eid * ^ "AU 3 MM WIS TO secundum Lp vi LIP, : secundum - Zl. vi — zx corpusculum M vero | Be eM n : ! ; secundum. M; vi — ecd secundum Mm vi — m 2 corpusculum denique N VAUS 6. secundum ANr vi — br ix secundum Ya vi aired : Ponatur nunc tensio fili LM — P, fli MN— — Q, atque a vi?P corpus L urgebitur secundum Lp vi — P cos, secundum L| vi — P sing; corpus M secundum M vi — P coso, secundum MQ vi — P sing. Deinde a tensione Q tili MN corpus M urgebitur secundum Mq vi — Q cosg; secundum Mm vi — Qsin 9; at corpus YN secundum No vi z— Q cos; secundum NR vi — Q sin q'. Hae vires nunc illis, quae ex consideratione motus sunt elicitae, aequales esse debent, unde obtinentur sequentes aequationes: 9 Lddaz 9 Mdda 9 Nddz" "i$ qon] iori98 0915 , i — P cosg, M —(Qcosop — Pcoso, x5 7— Q cos" 2rddj , 9 Mddy 9Nddy" —- ;--— P sin 9, 3MUA Quin g' — P sin 9, X —— Quin g- Quae aequationes cum superioribus conjunctae sufficient ad quantitates P, Q, 9 et 9 eliminandas, atque pro- blema perfecte solvent, uti facillime perspicies. ^ Vale, Vir Amplissime, mihique favere perge. Dabam Berolini d. 17 Julii 1745. P. S. Dum haec de serie divergenti 1 — 1 4- 2 — 6 -4- 24 — 120 4-720 — ete. scripsi, in alium moduii — firiifari,' e quà nascitur, exprimendi incidi, qui ita se habet o9busg TojbpOib "^W ua 2a* — 6a! 4- 9i ai -1206*-1- ett. — TMIPUPCODU ET 1 ! ziv am 1--a . 1 uimniaxiovib 1-2-a 1-2-2a , . QNA C Sal uu í P. Ji 2oil09d 4 24- 3a ) 9 | eiotinan 1 4- 3a 4 -i- 4a | 4 24- Aa .. 4 -- 5a 1 -3i- ba | Literae ad .N. Bernoullium datae. 549 . ex qua expressione facile limites, inter quos ille valor.contineatur, assignantur, qui quantumvis prope libuerit . &d rationem aequalitatis accedant. Sic si a — 1 valorque quaesitus ponatur 1—1--2—6-1-24 — 120 -i- etc. —5, erit 1 9 8 44 300 2420 32460 (Rao rA ry i ur i S gap go 1 gres 134... 990 7940 78040 dp Jd Ds 527 399? !7 146 5 13397 * 7" 130933 etc. Hinc in ^de decimalibus collegi valorem ipsius s contineri intra hos limites 0,5963107 et 0, 35963765, quorum posterior multo propior est veritati, quam prior, ita ut revera quasi sit s— 0 ,5963175922, Fallax ergo fuit modus a me ante adhibitus; seu saltem non nimis. aptus ad appropinquandum, quo inveneram $—0,59521. Hoc itaque valore. ab. 1. subtracto, erit valor (seu uti vocare volueris) seriei 1—2-4-6— 24-- 120 — 720 -2- ete. — 0,5036525, qui in meis praecedentibus perperam erat 0,140478. Simili autem modo inveni fore generaliter 1 — ma -- m (m -4- n) a? — m (m 4 n) (m 4- 2) à? -4—- m (m 4- 5) (m -4- 2) (m 4- 3n) a^ — ete, — | | j 1 - 12- ma " 1a- na Á d3-2-(ma-n)a 4 -4- 25a 1 -- (m 2- 2n) a 1 2- 3na 1 2-7 (m 2- 3n) a 12- 4na. 1 2 (m 24- 4n)a 1 24 etc. ex qua expressione àrbitror, non contemmendas conclusiones derivari posse. Habere autem seriem z — 1z*-- 2z? — 62* -4- 225 — 12025 34- 720z' — etc. valorem determinatum, se- quenti modo mihi demonstrare posse videor. Concipiatur curva, cujus abscissa existente — x, applicata sit i Moe. erit hujus curvae area Nocd cà ia: J 4o 5. 41.9.2 1.2.3.2 —f —15- ^7ucup tü—up u-usk Ue quae cum habeat determinatam quantitatem, sequitur quoque hanc seriem valorem determinatum habere. Quod luctum mihi ex morte Patris mei inflictum consolatione Tua lenire volueris, maximas Tibi ago gra- tias, Deumque T. O. M. rogo, ut Te cum Tuis.incolumem et ab omnibus calamitatibus immunem servare velit! His absolutis.accipio schedulam Tuam litteris Celeb. Dan. Bernoullii inclusam, in qua lapsum formula- rum mearum recte annotas, quem ipse ignoraveram. In scripto enim meo, unde istas formulas exscripseram, aliis usus eram litteris constantibus, ad legem. homogeneitatis nondum accommodatis, quarum loco inter descri- "bendum alias litteras substitui, sicque per errorem evenit, ut alteram formulam ponerem NA 2—coss — der fis Varr? (24 — B-acoss) cum scribere debuissem dco V B (8 — coss) (3-1 eos) (3a — B-- a coss). ita ut mihi sit B. quod Tu per 88 in emendatione exprimis. Sic autem formula prior - SA 2 lasé ds Yd 4 — (cos s) pi dirt! recte se habet. . 550 | L.EULERI OPERA/POSTHUMA. - Varia. /, B. Duae litterae ad Fredericum" Hl, Regem Borussorum; datae annis 1749 et 1763. I Sire, Ayant fait l'examen dé la loterié italienne dont V. M. a bien voulu me charger si: grácieusement,, j'ai pre- miérement déterminé combien chaque joueur devràit payer pour que l'avantage füt égal tant pour le banquier que pour le joueur, d'oà l'on connaitra d'abord, comibien le banquiet om gagner TRU T S 8i le e est obligé de payer plus. que l'égalité du jeu ne demande. — Suivant le projet, on fait 90 billets márqués des nombres 1, 2, 3, 4 etc. jusqu'à 90, dont on ne tire que 5 au hasard, lorsqu'on juge qu'un assez gránd nombre de joueurs s'est engagé. Or on peut prendre part à ce jeu de plusieurs maniéres. différentes, selon que. chaque joueur le trouve convenable. La 1** est: le joueur. choisit; à volonté un numéro des 90. proposés, et il détermine lui-méme le gain qu'il veut avoir en cas que son nombre se trouve parmi les 2 billets qu on tirera .à ]a Joterie; et en proportion du gain qu'il attend, il est obligé de payer. une certaine somme d'argent. Supposant que le joueur fasse pré- tention à un gain de 100 écus; pour que le parti soit égal, il devrait payer la 18*7* partie de 100 écus, c'est à dire 5 Rthlr. 13 gr. 4 pf. Or selon le projet, il doit payer 8 Rthlr. Donc la barque doit s'attendre à un profit de &* p. cent. Il en sera de méme de tous les autres prix que les joueurs demandent par cette ma- niere de jouer. Comme si quelqu'un vouloit gagner. 1000 écus, en cas que son nombre se trouvát parmi les 5 qui se tirent, il serait obligé de payer d'avance, pour obtenir cette condition, 80 écus, et ainsi des autres prix, plus hauts ou plus bas, que les joueurs. pourroient choisir. La 23e maniere de jouer se fait pas les ambes, ensorte que le joueur choisit deux nombres à la fois, et détermine lui méme le prix qu'il veut gagner, en cas que tous les deux nombres se trouvent parmi les cinq numéros qu'on tirera au-jour de la Joterie. La probabilité que deux nombres, choisis: à: plaisir, se rencontrent za dans les 5 qu'on tiré au hasard des 90, w'étant qué "X Ba 001^ pour Ww le" parti -— égal, ilne devrait payer que td pig du prix auquel il iind, c'est à dire, "ri demande un prix de 100 eus, E 1e paie. roit que 5 gr. Te 3 pf. ou 6 gr. X peu prés, Or, selon le projet, la mise, pour avoir ce gain, est m gi donc la banque d 1337 p. cent. Or comme ce profit seroit trop considérable, pour mieux pee les joueurs, on leur accorde M p. cent sur chaque prix qu 'ile gagneront pr: une ambe, cest à dire, au] lieu LR de 100 écus, on leur promet de payer. 120 écus. en cas que. leur ambe vienne à gagner, et partant la banque ii 91 ju " 06201 it MU rati BD AT prefiere probablement. DT: g P: cent, [uoq 3o; a. ddoloDe anni imewE anslobadsa olüison. siduloedbcusli ;La..3/"* maniere. de parie is cette "nct dis pas . ternes, 9: do darem se chaisit 3 nombres. à.la fois, -— : " He wüod meo 2H ai19Hil mut10 &uag eiifg ») esed, ad sequens rescriptum regium: «Sa Majesté le Roi de o Prusso, notre trés gracieux Souverain,. fait one t a5li5 nb ci-joint au Professeur Euler le projet d'une loterie, établie dans la plupart des villes considérables d'Italie, et qui a été présenté à Sa Majesté par un certain jRocrolini,'* pour éxáfiner avec exactitude les calculs algébriques qui entrent dans toutes les piéces de ce projet; mais sourtout de bien approfondir par l'algébre tous: - hasards que l'entrepreneur d'une pareille loterie peut courir, et de méme ; Jes-profits qu'il pourroit faire par là, et d'en faire, aussitót que — se pere, son trés humble Tapport. à Sa Majesi, w Potsdam le E. septembre 1749. . i 4 "194 i in 8 U A n " Signaíuin: Federic. P. S, En cas que le dit Professeur Euler ait encore Mà de quelques lumiéres touchant ce projet, il pourra s'adresser pour cet effet au Lieutenant-gónéral Comte de Mottembourg.» did 51591 vim Litterae ád | Fredericum. 1, regem | Borussorum. 551 sous condition de gagner: le prix en: cás- que tous: ces trois mombres se trouvent dans les 5. extraits, de sorte qu'il'perde; soit qu'aucun de. ses. nombres .ne. s'y. trouve,. soit .qu'il: s'y en. trouve un. seulement, ou deux. iua : 5.4.3 E. s m" ce cas, la probabilité de gagner ponr:de joueur.est — 557.575 9" TI718? de sorte que, pour gagner un prix quelconque, il.n'auroit. qu'à en. payer.]a 11758:5"* partie, pour que l'avantage füt égal de part et d'autre. Ainsi, pour gagner. par une terne -un- prix-de. 100 écus, le joueur 'ne devroit payer que 2 pf. Or, selon le — le yat "e ces 100 écüs est marqué de 15 " ; donc la banque emins -— p. cent. Mais pour * "V." " "* "4529 "5*5 » -ternes, et partant le profit de »: bànqüe seroit 210 p. cent. '* "Ce sont les trois prineipàles maniéres'de jouer; tais dans les' papiers qui m'ont été communiqués, il est fait mention encoré 'd'àutrés tüanieres mélées de eellészci: Comme p. exemple, un jouer choisit 3 nombres avec 'ees conditions que, si- tóüs (les trois se^trouvent parmi les mombres qui seront tirés, il prétend à un prix de 90 écus, par txósple ; mais s'il ne s'y rencontre que deux de ses nombres, ou une ambe, il prétend à 5 écus. Pour cette condition" on trouve; par Ta égle deii cómibinaisóns, que, pour que le parti soit égal de part et d'autre, il faut payer pour la ferne e EC pri, E pour l'ambe 1 IR 18. du prix: Donc celui-là étant suppose 1 138, de 90 écus, et celui-ci de 5 écus, le joueur sera. obligé . de payer, en tout, un peu moins qu'un gros. Je ne trouve pas, combien il faut payer dans ce cas. selon le projet; mais il est à présent trés facile de le déter- miner ensorte, que la banque gagne autant qu' on veut. Comme, si la banque vouloit gagner 100 p. cent, L. joueur devrait payer 2 gros, au lieu d' un. : - ] sera également aisé de déterminer, tant pour ces maniéres de jouer que pour toutes les autres qu 'on peut imaginer, combien le joueur doit payer pour les conditions qu'il exige, afin que la banque en tire un tel profit, ou autant p. cent qu'on souhaitera. Le profit auquel la banque se pourroit. attendre probablement, selon le projet de l'Italien, sera donc assez considérable, puisque sur les simples extraits, elle gagneroit 44 p. cent, sur les ambes 94 et sur les ternes 240 p. cent, On n'est pas méme attaché ni au nombre de 90 billets, ni à celui de 5 qu'on en tire au jour. que la lo- terie se joue. On y peut varier, comme on jugera à propos. Pour le mieux faire voir, j'ajouterai ici un autre projet oà le nombre des billets est 100, marqués des nombres 1, 2, 3, & jusqu'à 100, desquels on tire au hasard 10, et les conditions du jeu pour les joueurs seront les suivantes, pour que l'ayantage soit égal de part et d'autre. | à i NS aos 71. Le joueur ne prenant qu'un nomibre, pour qu'il gagne 1000 écus, en cas que son nombre se trouve parmi les dix extraits, il doit payer à la banque....... 100 écus. Il. Si le joueur se choisit deux nombres , on pourra faire deux cas: 1) pour qu'il gagne 1000 écus,. en cas que tous les deux nombres se trouvent parmi les dix extraits , il doit co Ls Pear Prem ANE An m écus - 2) pour qu "il gagne 4000 écus, en cas qu' un seul de ses nombres se trouve parmi les extraits, il doit pay ...eeeee enn eene ene 1815. écus HL. Si le joueur se choisit trois nombres, on pourra considérer trois cas: R 1) pour qu'il gagne 1000 écus, lorsque tous ses trois nombres se rencontrent dans les dix extraits, il doit payer... ............ .... X o .. 18 gros 2) pour qu'il gagne 1000 écus, lorsqu'il ne se trouve que deux de ses nombres odds oU IE B. LL ET TETOSTOCEZEETER DUOIOLETOLTITOTM D. E 922 L. EULERI OPERA POSTHUMA. - aria. 3) sil veut gagner 1000 écus, pourvu qu'un de ses nombres se trouve parmi les extraits, il doit payer... secessus eee uarie rss. 9T Rtblr. 16 gr. IV. Si le joueur choisit 4 nombres, on pourra considérer quatre cas: 1) pour qu'il gagne 1000 éecus, lorsque tous ses quatre nombres se rencon- trent dans les dix extraits, il doit payer. ...... eee erc d gr. ^ pf. 2) pour avoir le méme gain, lorsque trois de ses nombres se rencontrent parmi les dix extraits, il doit payer ......... eere rrr. 2RIhlr. 21 gr. 3) pour avoir le méme gain, s'il ne se trouve que deux de.ses nombres tirés, IN: ——PrerTMSUeE M A) enfin le méme gain lui revient. si, parmi les numéros tirés il ne se trouve qu'un seul de ses nombres; mais dans ce cas i| faudra qu'il ait payé .... 312 Rthlr. 17 gr. J'ai supposé ici partout le gain de 1000 écus, mais il est évident qu'on. peut appliquer ces résultats à . tous les gains possibles que les joueurs pourroient prescrire; car si le joueur prétend à un gain ou plus grand ou plus petit que 1000 écus, il paiera en proportion ou d'autant plus, ou d'autant moins. Selon les arrangemens marqués, l'avantage seroit parfaitement égal du cóté de la banque et des joueurs, mais il est facile d'augmenter les mises des joueurs afin que la banque gagne tant qu'on veut. Comme, si la banque vouloit un profit de 50 p. cent, on n'aurait qu'à augmenter les mises marquées de leur moitié cha- cune. Si la banque vouloit un profit de 100 p. cent, les joueurs devroient payer le double, et ainsi de suite. I] seroit convenable de se contenter d'un profit médiocre, comme de 20 p. cent, sur les cas ou le joueur est obligé de payer une partie considérable du prix qu'il prétend, comme la 109"* partie et au delà. Mais oü la mise est fort petite par rapport au gain qu'on prescrit, on pourra considérablement augmenter le profit sans que les joueurs en soient découragés. Ainsi, lorsque le joueur ne devroit payer que 18 gr. pour gagner 1000 écus, il ne balanceroit pas beaucoup de payer 2 écus, au lieu de 18 gr., el par ce moyen la banque gagneroit 166 p. cent. De cette maniére le hasard, auquel la banque est exposée, deviendra plus petit; car la banque Bess d'autant moins, plus la somme que les joueurs doivent payer, sera considérable. | Pour le risque de la banque il est à remarquer qu'on ne peut pas compter sürement sur le profit que le caleul montre. Cependant, en général, on peut assurer que plus le nombre des joueurs est grand, plus sera aussi .certain le profit marqué par le calcul. Mais si le nombre des joueurs est. fort petit, ou que quelqu'un fasse prétention à un gain immense par une mise :modique,, il pourroit réussir, quelque petite que soit la pro- babilité, et par ce moyen la banque eourroit risque de foillir. Cette loterie est donc de telle nature qu'il ne seroit pas à propos de s'en méler, à moins qu'on ne füt assüré qu'un trés grand nombre de joueurs y voudraient prendre part, et encore, dans ce cas, la banque devroit étre en droit de ne s'engager point à de trop grandes sommes, On ne doit pas non plus accorder, qu'un trés grand nombre de personnes choisissent les mémes nombres pour gagner, puisque en cas qu'ils gagnassent toutes, la banque souffriroit une perte trop considérable. | Dans la persuasion que ces caleuls avec les remarques y jointes seront DLiaiMiad. à la haute intention de V. M. je suis avec le plus profond respect etc, Euler. — —PÉÓPS PER Literae ad. Fredericum II , regem .DBorussorum. 953 2. Sire, Aprés avoir examiné, par ordre de Votre Majesté, le plan de loterie de M. de Griethausen, je trouve que les avantages que l'Etat en peut espérer pourraient étre encore plus considérables que l'auteur n'assüre, et méme monter à 8 millions de florins, comme je crois l'avoir prouvé dans les réflexions ci-jointes. Tout revient à savoir, si l'on peut bien s'attendre à ce que cette loterie fut remplie: la somme de 100 fl. pour chaque billet, et de 1000 fl. que la continuation pendant dix ans exige, sera toujours un objet trés considérable pour bien du monde, de sorte que la distribution de 50000 billets sembleroit presque impossible, si l'on ne savoit par expérience que de telles loteries réussissent assez bien en Hollande oü le crédit affermit la confiance du public. Personne n'apprendra jamais rien de moi sur ce projet. J'ose profiter de cette occasion pour présenter à V. M. mes trés humbles et trés respectueux remercimenis des assurances grácieuses que V. M. a bien voulu donner à mon fils; j'en suis le plus vivement pénétré, et je meurs avec le plus profond respect, Sire, de V. M. etc. Aoüt 1763. 4 Euler. Plan d'une loterie de cinq classes, chacune de 50000 billets qui toutes doivent étre tirées dans un an, et réitérées pendant dix ans consécutifs. | Mi Nombre Somumpá Reste Viek: d'un lot. Sos ie Bu. des prix. en dépót. 3: I. 10 fl. 500.000 fl. 8000 292.880 207.120 fl. II. 15 250.000 8000 508.967 241.033 Iii. 20 1.000.000 $000 111.480 228.520 IV. 25 1.250.000 8000 1.047.208 202.792 : b 30 1.500.000 8000 1.521.565 || — 25.565 5.000.000 40.000 4,1545.000 855.000 Aprés le tirage de ces cinq classes, le dépót de 855000 fl. est employé à faire, pour une sixiéme classe, des prix de 28^. fl. chacun pour 30000 billets, s'il y en a autant qui n'ont rien gagné dans les cinq classes. Il y a ici une incertitude sur laquelle je fais les réflexions suivantes : *) Responsio ad sequens rescriptum regium: «Le nommé Griethousen en Hollande venant de M'envoyer un plan de loterie qu'il pense d'établir dans le pays de Cléves, pour aider cette province à se débarasser des dettes qu'elle s'est vue obligée de contracter pendant les troubles de la derniére guerre. J'ai bien voulu vous communiquer ci- joint. ce plan, afin AL vous l'examiniez dans tout son détail et me marquiez ensuite votre sentiment, si vous le trouvez solide et équitable pour étre agréable au public, et pour que la susdite province en trouve le soulagement que l'auteur en fait espérer. J'attends le rapport que vous M'en ferez, auquel vous voudrez bien Me faire le plaisir de joindre le plan susdit avec vos remarques. Je voudrois d'ailleurs que vous n'en fissiez point d'éclat encore, ni qu'il en transpirát quelque chose hors de saison dans le public, tant sur ce qui regarde ce plan, que sur son au- teur, Sur ce Je prie Dieu qu'il vous ait en sa Sainte garde. À Potsdam ce 17 d'aoót 1763.» Signatum: «Federic.» L Releri Op poubuns, T, T. 70 554 L. EULERI OPERA POSTHUMA. TERN 1? Si tous les prix dans les cinq classes tomboient sur des billets différents, de sorte qu'aucun n'en gagnát deux, il n'y auroit que 10000 qui entreroient dans la 6*ve classe dont chacun retireroit 28 fl. ce qui faisant 28500 fL, laisseroit un profit de 570000 fl. pour les entrepreneurs ou pour la caisse. 2? Si tous les prix dans chaque classe tomboient sur les mémes 8000 billets, il y auroit 42000 sans gain, dont 30000 profiteroient du bénéfice de la 6"* classe, et 12000 n'auroient absolument rien. Aussi le profit de Lj l'entrepreneur s'évanouiroit. 39 Or ni l'un ni l'autre de ces deux cas n'existera probablement jamais, et l'on peut supposer à peu prés qu'il y aura ordinairement le milieu, c'est à dire 26000 billets sains gains; de sorte que la 6?"* classe ne con- tiendra qu'autant de billets, au lieu de 30000, et par conséquent le profit de l'entrepreneur peut étre censé de 1141000 fl. Lun 49 Ce profit deviendra encore plus considérable par le $ 19 N. B, oü la dixiéme partie de chaque grand lot de 1000 fl. et au dessus doit étre partagée parmi les 9 compagnons de la méme parcelle, et qui, par con séquent, seront exclus de la 6e classe. Comme il y a dans les cinq classes.328 tels lots ou primes, il pour- roit y avoir 9 fois autant, c'est à dire 2957 qui ne concourroient point dans la (5* classe. Mais comme .plu- Sieurs en seront exclus d'eux mémes, en comptant la moitié, 1500, le nombre des participants à la 6?me classe en sera diminué, et partant le profit de la caisse devra étre estimé à 156.750 fl. 59 Les années suivantes ce profit deviendra plus considérable, parce que ceux qui ont gagné 1000 fl. et au-delà, dans les années précédentes, seront à l'avenir pour toujours exclus de la ressource de la 6*"ve classe, quoique leurs lots ne gagnent plus rien. 6? L'auteur met ce profit de la caisse par an à 250000 (l., laquelle somme: pourroit: bien étre trop grande; mais comme c'est le hasard dont dépend cette somme qui pourroit également devenir tant beaucoup plus grande que plus petite, on n'y sauroit compter pour sür. Cependant on le doit regarder toujours comme un objet trés considérable. 7? Cet argent mis dans la caisse peut étre employé pendant les dix ans et fournir des intéréts à 5 p. cent comme l'auteur suppose; mais au bout de ce temps, il ne dit pas ce que doit devenir ce capital lui-méme qui doit monter pourtant à 2.500000 fl. Cette somme, qui semble devoir étre un profit réel pour la caisse, n'est pas comprise dans les 7 millions qu'il suppose rester au profit de l'Etat. L 8" Il] y a encore un autre bénéfice résultant de l'association proposée, oà ceux qui en veulent profiter paient pour leurs lots 10 p. cent au-delà de la mise ordinaire, ce qui fait 10 fl. par an sur chaque lot, et ce surplus doit étre partagé au bout de 10 ans parmi ceux des associés qui auront perdu, pro ra/a de leur perte. ^ Pendant ce temps, cette somme peut étre placée à intéréts qui tomberont au profit de la caisse. 9? Qutre cela, on déduit de chaque gain 10 p. cent, ce qui fait 500000 fl. par an, laquelle somme, avec celles des articles précédents, sera mise à intérét à 5 p. cent, et l'auteur suppose que tout cela pourroit bien monter à 1 million par an dont il rassemble les intéréts qui en écheoient tous les ans, Or, il ne dit pas à quoi ces intéréts sont employés tous les ans: si c'est d'abord au profit du pays pour payer les dettes, ou s'ils doivent rester dans la caisse, auquel cas. ils pourroient bien étre. employés à produire de nouveaux intéréts, " F^. "m ! Literae ad cel. Lagrange datae. . | 555 C. Oetodeeim litterae ad Cel. Lagrange datae annis 1755 ad 1775. 1.- Vir praestantissime atque Excellentissime. Perlectis tuis postremis litteris, quibus theoriam maximorum ac minimorum ad summum fere perfectionis fastigium erexisse videris, eximiam ingenii tui sagacitatem satis admirari non possum. Cum enim non solum in tractatu meo de hoc argumento methodum mere analyticam desideravissem, qua regulae ibi traditae erui pos- sent, sed etiam deinceps non parum studii in hujusmodi methodo detegenda consumpsissem, maximo sane gaudio me affecisti, quod tuos profundissimas aeque ac solidissimas meditationes super his rebus mecum benevole com- municare voluisti, quamobrem tibi me maxime obstrictum agnosco. Statim autem perspixi analysin tuam, quae meas hujusmodi problematum solutiones per sola analyseos praecepta elicuisti, multo latius patere mea methodo ideis geometricis innixa. In universa enim serie valorum ipsius y, qui singulis valoribus ipsius x respondent, donec x dato valori a aequetur, ego unicum valorem ipsius y data quadam particula dy augeri concepi, indeque incrementum in formula integrali /zdz ortum investigavi, dum tu, Vir clarissime, singulos valores ipsius y in- crementa Óy capere assumis, quam ob causam, non dubito quin tua analysis, si penitus excolatur, ad multo profundiora mox sit perductura. Cujus quidem praestantiae jam eximia exempla a te feliciter confecta circa lineas citissimi appulsus ad datam lineam, quin etiam de methodo maximorum ad superficies applicata commemo- ras, quae omnia ut accuratius persequaris etiam atque etiam te rogo. Mea quidem methodo usus, plures hujusmodi quaestiones circa superficies pertractavi in scientia navali, quae duobus voluminibus in A'^ Petropoli pluribus abhinc annis prodiit. Quod autem ad tuam methodum, qua singulis applicatis y incrementa óy tribuis, attinet, antequam hoc ipsum, quod non aperte indicas, animadverti, de consensu tuarum formularum cum meis dubita- veram. Ut enim /'zdr fiat maximum existente: */ .. dz Ndy-r- Pd*y 4- Qd*y A- ..... (ubi quidem pro óx unitatem ponis, non pro z, uti forte lapsu calami notas), necesse est, ut tuo signandi more sit O/zdr, seu /Ózdx — 0. * At vero invenis, ponendo tecum 1 pro x: 8/2 —/(N — 4P -- dQ — dR etc.) 0y a- (P — dQ a ^R) y A- (Q — dR) diy. etc. unde concludis esse debere | N — dP -4- d*Q — d? R — 0. Cum tamen natura maximorum tantum postulet, ut sit: fX — dp 4- 4Q — &R. etc.) ày — 0. -.. Verum perspecta amplitudine ;...... si unicae applicatae y incremen ....... /(N — dP -- d*Q —)Óy alius val ....... partes (P — dQ-- *R)Óy -À-(Q ....... x—5a referuntur evanescere, ....... sensus depre- hendatur. - Vehementer etiam te rogo, Vir clarissime, ut mihi ignoscas, quod ad tuos priores litteras m... ...com- mercium nostrae urbis cum [talia ....... ut aid per mercatores ph estur; NB LV.) possit. Quare 596 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. Quod autem in prioribus litteris de analogia differentialium cujusque ordinis formulae xy et terminorum binomii potestatis (a -- 5)" attulisti, eam jam a Leibnitzio observatam esse memini, quod nisi fallor in ejus cum Bernoullio commercio reperies. Vale et salve Dabam Berolini d. 6 Sept. 1755. Tibi addictissimo L. Eulero *). — 2. d 3j 1 Vir clarissime atque acutissime Binas tuas epistolas, alteram circa finem anni elapsi, alteram vero nuper, ad me datas, summa cum vo- : luptate perlegi, summamque ingenii tui perspicaciam maxime sum admiratus. Non solum enim methodum il- ' lam maximorum et minimorum, cujus equidem prima quasi elementa exposueram, ex veris iisque subtilissimis principiis elicuisti, verum etiam eandem penitus perfecisse videris, ut nihil amplius, quod in hoc genere deside- | rari queat, sit relictum. Quamobrem tibi, Vir clarissime, ex animo gratulor, ac te etiam atque etiam rogo, ut quae in hoc genere tam felici cum successu es meditatus, ea omni studio penitius perscrutari ac perficere pergas. 'Subtilissimae autem hic occurrunt quaestiones, quae non solum omnem ingenii solertiam, sed etiam maximam cireumspectionem in ratiocinando postulant, quandoquidem haec methodus nobis objecta plurimis plerumque cir- cumstantiis involuta exhibet, quas nisi caleulum ad exempla determinata applicemus, vix. distincte perspicere valeamus. lta cum investigatio curvae maximi minimive proprietate praeditae perduxerit ad hanc aequationem L — 0, quae scilicet indicat tractu curvae, paululum immultato, variationem inde ortam evanescere, quemadmo- dum natura maximi minimive postulat, dubito an aequationes dL — 0, d*L — 0, seu L— « vel L — o a- fx ad eundem sub aliis circumstantiis perducere queant. Neque etiam transformatio formulae /Lóy in L/0y — dL/?0y . etc. novas determinationes mihi quidem suppeditare videtur; sed tantum indicare si sit L — 0, fore etiam dL — 0, » quod utique verum est, sed conclusio inversa locum non habet. Nam nisi sit L — 0, ratio maximi vel minimi non amplius versatur; sed fortasse hujusmodi positiones aliis problematis solvendis inservire poterunt. Quod au- tem brachystochronas per tria plurave puncta data transeuntes attinet, crediderim eas non esse curvas continuas, sed a quovis puncto ad proximum sequens arcum cycloidis duci oportere, quo tempus translationis ab altero ad alterum fiat minimum: si enim corpus celerrime singulas has portiones percurrat, totam curvam sine dubio tempore brevissimo conficiet. | 2 Deinde si non inter omnes curvas, sed eas tantum, quae sub certo quodam genere continentur, quaeratur ea, quae maximi minimive proprietate gaudeat, tua quidem methodus ad hujusmodi quaestiones aequo cum suc- cessu adhiberi potest, dum mea nullius est usus, sed evolutio calculi saepenumero maximis obnoxia est diffi- - cultatibus; velut si (Fig. 76) super semiaxe horizontali dato AC infiniti describantur quadrantes elliptici AD, AQ, qui. ratione semiaxis conjugati CD, CQ, differant, inter eosque quaeratur is AD, super quo corpus in vacuo descen- sum ex A incipiens, citissime ad rectam CQ perveniat, aequatio infinita pro specie hujus ellipsis invenitur, unde non nisi appropinquando valor semiaxis conjugati CD definiri potest. Adhibitis autem appropinquationibus, re- peris esse debere: 8CD? — 34C?, seu CD —ACV 3. Literae ad cel. Lagrange datae. 551 scire ergo velim, an haec sit vera solutio? et si sit vera, an ea non directe ope methodi cujusdam certae ob- tineri queat. Litteras tuas tam profundis meditationibus refertas cum illustrissimo praeside nostro communicavi, qui sum- maàm tuam sagacitatem mecum plurimum est admiratus, simulque tibi pro suscepto principii minimae actionis patrocinio, maximas agit gratias: tuoque nomine numerum sociorum academiae nostrae haud mediocriter illustra- tum iri censet, quod munus ut tibi conferatur prima oblata occasione curabit. De eo quoque mecum est allo- cutus, ut ex te sciscitarer, an non sedem, qua Taurini frueris, cum alia in Germania sub auspiciis regis nostri munificentissimi, cui te commendare vellet, permutare cupias; qua de re ut me certiorem facias, enixe rogo; mihi enim certe nihil evoptatius exenire potest, quam si tecum coram communicare, tuaque consuetudine frui liceret. Vale et salve, Vir praestantissime | Berolini d. 24 Aprilis 1756. Tibi deditissimo L. Eulero. 3. . 5 Vir clarissime ae praestantissime Ad litteras tuas mihi quidem jucundissimas prius respondere nolui, quam sententiam tuam cum illustri praeside nostro nunc in Gallia degente communicavissem, qui uti tuum praestantissimum ingenium mecum maxme admiratur, ita mihi mandavit, ut quantocius te Academiae nostrae commendarem, et in numerum sociorum nostrorum adscribi curarem. Quod cum summo applausu hodie sit expeditum, consuetum diploma cum his litte- ris accipies. Caeterum ill. praeses noster mihi perscripsit, se post reditum suum apud regem nostrum omnem operam esse adhibiturum, nt tuis meritis dignam stationem obtineat. Cum is tam propenso in te sit animo, haud abs re fore arbitror, si ad ipsum litteras dare volueris, quas ita inscibere poteris: à M. de Maupertuis, président de l'académie royale des sciences et belles-lettres de Prusse, à St.-Malo, quo loco hyemem commorari de- crevit. Interim Academia nostra profundissimas tuas meditationes summo cum desiderio expectat, quibus in posterum nostri commentarii exornentur. Vale, Vir clarissime, faveque ingenii tui sagacissimi admiratori candidissimo Berolini d. 2 Sept. 1756. L. Eulero. 4. Vir clarissime ae praestantissime Inter tot et tam atroces tumultus bellicos, quibus hic undequaque premimur, tantis curis equidem sum . districtus, ut fere omne commercium litterarum negligere sim coactus, ex quo imprimis te, Vir clarissime, etiam atque etiam rogo, ut ne mihi meam negligentiam in scribendo vitio vertere velis. Quanquam autem Miscel- lanea philosophico-mathematica, quorum exemplar mihi benevole destinasti, nondum accepi, nec fortasse tam cito expectare possum, tamen non potui, quin tibi pro hoc testimonio amicitiae gratias agam maximas, simulque meam laetitiam et admirationem declarem, quod tam felici successu tam sublimes ac profundissimas investigatio- 558 L. EULERI OPERA POSTHUMA. SN nes perfeceris. Litterae tuae mihi demum post obitum dignissimi praesidis nostri sunt redditae, quo casu equi- dem eo gravius sum perculsus, quod optimum fautorem ac suavissimum amicum amisserim: litteras ergo tuas ad illum directas in nostro conventu academico aperiti, maxime optassem, ut ab ipso superstite responsum ac- cipere posses. Nunc quid tibi scribam nescio? Fama est locum praesidis Alembertio cum maximis emolu- mentis destinari, quo casu an tuum excellentissimum opus huc mitti consultum sit, ipse judicaveris.. Quin po- tius operam da, ut quam primum preló» committatur; hie enim his turbulentis temporibus vix quisquam biblio- pola suam operam esset praestaturus. Genevae putem hujusmodi opus commodissime excudi posse, vel Lausannae, ubi quidem summo otio fruuntur. Lubens cognovi tibi meam solutionem cordae vibrantis probari, quam Alem-* bertus variis cavillationibus infirmare est conatus, idque ob eam solam rationem, quod non ab ipso esset pro- fecta. Minatus est se gravem refutationem esse publicaturum, quod an faceret nescio, putat se per eloquentiam. semidoctis fucum esse facturum; dubito an serio rem gerat, nisi forte amore' proprio sit penitus occoecatus. Vo-' luit nostris 'commentariis non demonstrationem, sed nudam declarationem inseri meam solutionem maxime esse vitiosam, ego vero opposui novam demonstrationem omni rigore adornatam, sed praeses noster beatae memo- riae noluit ipsi nostram Academiam tanquam palaestram concedere, unde etiam meam confirmationem lubens suppressi. Ex quo judicabis, quantas turbas, si praesidio decoretur, sit aturus, equidem omnia tranquillus expecto, nihil negotii cum illo mixturus. | : | Analytica tua solutio problematis isoperimetrici continet, ut video, quicquid in hac quaestione desiderari potest, et ego maxime gaudeo, hoc argumentum, quod fere solus post primos conatus quasi post limines tracta- veram, a te potissimum ad summum perfectionis fastigium esse avectum. Rei dignitas me excitavit, ut tuis lu- minibis adjutus, ipse solutionem analyticam conscripserim, quam autem celare statui, donec ipse tuas medita- tiones publici juris feceris, ne ullam partem gloriae tibi debitae praeripiam. Quoniam his gravissimis temporibus ab aliis negotiis vacavi, librum de calculo integrali conscribere coepi : quod opus jampridem etiam meditatus, atque adeo Academiae Petropolitanae pollicitus, nunc igitur jam notabi- lem partem absolvi. Calculum integralem ita definivi, ut esset methodus functiones unius pluriumve variabilium inveniendi ex data differentialium vel primi vel altiorum graduum relatione; unde prout functiones sint vel unius, vel duarum pluriumve variabilium, totum opus in duos libros divisi, ubi quidem pro posteriori vix quicquam est cultum. ' Eo pertinent scilicet" quaestiones de cordis vibrantibus, ubi pro dato tempore t et cordae puncto, cujus situs variabilis, denotetur ejus celeritas et ...... determinari debet: quaeritur enim functio quaedam (r) : : kind : a? d? ; . s indi binarum variabilium ? et s ex data relatione formularum c et s et hujusmodi formulis universa Hydrodyna-. mica innititur. Utilissimum ergo erit hane partem calculi integralis adhuc fere intactam accuratius evolvi, cujus equidem prima fundamenta jam jecisse videor. Incipiendum autem erat a differentialibus primi gradus, ut functio . gy ege : : ; :; dr dr ; r binarum variabilium £ et s definiatur ex data quacunque relatione inter r et has formulas 4 963, Pe dif- ferentiationem inde derivatas. Ex quo perspicuum est fere omnia, quae adhuc de integrandi methodo sunt pro- lata, etiamsi binarum variabilium mentio fiat, ad primam tamen partem referri debere, quia altera ut functio alterius tractatur. Alio forte tempore plura de his commemorare continget. Vale,ac fave Berolini de 2 Oct. 1759. Tibi addictissimo . L. Béjeré, np 314 P. S. Privatam adhuc societatem litterarum Taurinensem mox publicam fieri in augmentum scientiarum. S n * Wu) a x Y i magnopere opto. ) X D Litterae ad. cel. Lagrange datae.: 559 o. Monsieur, Ayant recu l'excellent présent que vous avez eu la bonté de m'envoyer, je l'ai d'abord parcouru avec la plus grande avidité, et je n'ai pu assez admirer l'adresse avec laquelle vous moniez les équations les plus difficiles, pour déterminer le mouvement des cordes et la propagation du son. Je vous suis infiniment obligé d'avoir mis ma solution à l'abri de toute chicane et c'est d'aprés vos profonds calculs, que tout le monde doit reconnoitre à présent l'usage des fonctions irréguliéres et discontinues pour la solution de ces sortes de pro- blémes. En effet, la chose me paroit à présent si claire, qu'il n'y sauroit rester le moindre doute. Supposons " ' . . ' 4" dr. " i. qu'il faille chercher une fonction r des deux variables * et c telle, qu'on ait LL - et il est évident que toute fonctions de t 4- z, tant irréguliére que réguliére peut étre mise pour r: par exemple, ayant tracé a plaisir (Fig. 77) une ligne quelconque 4M, si l'on prend l'abcisse AP — t 24- z, l'appliquée PM fournira une valeur pour r, et il en est de méme du probléme des cordes. À cette occasion j'ai observé, que ma solution n'est pas assez générale; car pour qu'on: puisse donner à la corde àu commencement une figure quelconque AMB (Fig. 78), ma solution exige que dans cet état, il n'y ait pa$ de mouvement; mais je puis résoudre à présent le probléme lorsqu'on a donné d'abord à la corde non seulement une figure quelconque AM, mais qu'outre cela on ait imprimé à chaque point M une vitesse quelconque Mm. Je vois que vous avez traité le cas oüà la corde au commence- ment est tendue en ligne droite AJ, mais je ne sais pas bien si votre solution s'étend aussi au cas oüà l'on suppose à la corde outre, le mouvement donné, une figure quelconque.. Je passe à la propagation du son dont je n'ai jamais pu venir à bout, quelques efforts que j'aie faits pour cela, car ce que j'en ai donné dans ma jeu- nesse est fondé sur quelque idée illusoire pour mettre d'accord la théorie avec lexpérience sur la vitesse du son. J'ai donc lu votre mémoire sur cette matiére avec la plus vive satisfaction, et je ne puis assez admirer votre sagacité en surmontant tous les obstacles, A présent je vois bien qu'on. pourrait tirer la méme solution de la formule à at en faisant usage des fonctions discontinues; mais alors M. D'Alembert me ferait les. mémes. objections que contre le mouvement des cordes. Ce n'est qu'aprés vos recherches que je pourrai faire.valoir cette méthode. J'ai résolu pàr là le: cas oà l'on suppose au commencement non seulement un dé- placement quelconque a autant de molécules d'air qu'on veut, mais oüà l'on donne outre céla à chacune un mou- vement comme dans les cordes; mais en ne considérant qu'une ligne physique d'air, ou bien un tuyau mince et droit rempli. d'air, comme vous l'avez fait. Cette généralisation me parait d'autant plus utile qu'elle nous découvre plus clairement le mouvement dont toutes les particules d'air sont successivement ébranlées. On peut aussi par là résoudre un doute bien important qui m'a longtemps tourmenté; c'est qu'un ébranlement excité en A (Fig. 79) se répand également des deux cótés du point A. Mais étant parvenu en X, il ne se répand que vers E: on demande donc quelle différence il y a entre un ébranlement primitif en 4 et un dérivatif en X, pour que celui- là se répande vers D et E et celui-ci uniquement vers E. Ce doute est levé par la solution générale dont nous venons de parler, et qui fait voir que le déplacement primitif des particules en A, avec le mouvement imprimé à chacune pourrait étre tel que la propagation ne se fit que daus le sens de E; et on s'apercevra ensuite que cette circonstance a toujours lieu dans lés ébranlemens dérivés, ll est bien remarquable que la propagation du son se fait actuellement plus vite que le caleul ne l'indique, et je renonce à présent à la pensée que j'eus 3 a2utrefois que les ébranlemens suivans pourraient accélérer la propagation des précédens, de sorte que plus un son serait aigu, plus la vitesse serait grande, comme vous lavez peut étre vu dans nos derniers mémoires. Il. m'est aussi venu dans l'esprit d'examiner, si la grandeur des ébranlemens n'y pourrait causer quelqu'accé- . lération, puisque dans le calcul on les a supposés infiniment petits: et il est évident que leur grandeur chan- 560 | L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia, gerait le calcul et le rendrait intraitable. Mais autant que je puis l'entrevoir, il me semble que cette circon- stance diminuerait plutót la vitesse. . C'est dommage que ce méme probléme ne puisse pas étre résolu en don- nant à l'air trois dimensions ou seulement deux; car on a lieu de douter que la propagation fut alors la méme; au moins est il certain que les ébranlemens seraient dans ce cas plus faibles, plus ils s'écarteraient de. l'ori- gine. J'ai bien trouvé les formules fondamentales pour le cas oüà létendue de l'air n'a que deux dimensions, ou est contenue entre deux plans. Soit (Fig. 80) Y une particule d'air dans l'état d'équilibre, qui aprés quel- qu'agitation ait été transporté en y; posons AX— X, XY — Y, Xz— Yu-—« et uy — y. Cela posé, tant « que y seront certaines fonctions de X, Y et du temps : et partant de trois variables. Je trouve pour leur détermination les deux équations suivantes: es —a« e d*y et d? ^ . gx? dXdY d?y Qu d?y de d?z d? ay? dXdY AL de là, si je suppose que l'ébranlement primitif se passe en A4 (Fig. 81) et. qu'il se répande de là en ondes circulaires, de sorte qu'une de ces ondes ZV, dans l'état d'équilibre, ait été, aprés l'agitation, transportée en zv; posant AZ— Z et Zz — z la quantité. r sera une fonction des deux variables t et z pour la détermination de laquelle je trouve cette équation d?r d?r & dr 7 atat veas Tu En rejetant les deux derniers termes, il reste la méme équation qui convient au cas oü l'air est étendu seu- lement en ligne droite AE. Or par cette équation il ne parait pas que la propagation se fasse avec la méme vitesse dans les deux cas. Il serait donc fort à souhaiter que l'analyse fut portée au point de pouvoir résoudre ces sortes d'équations; et j'espére que cette gloire vous est réservée. Ce que vous dites des échos est aussi important dans l'analyse que dans la physique. Tout le monde doit convenir que ce premier volume de vos travaux est un vrai chef-d'oeuvre et renferme bien plus de profondeur que tant d'autres volumes des acadé- mies établies; jamais société particuliére n'a mieux mérité d'étre soutenue par son souverain. | Quant aux sons de musique, je suis parfaitement de votre avis, Monsieur, que les sons consonnans, que M. Rameau prétend entendre d'une méme corde, viennent des autres corps ébranlés: et je ne vois pas pour- quoi ce phénoméne doit étre regardé comme le principe de la musique, plutót que les proportions véritables qui en sont le fondement. Je crois encore avoir bien déterminé le degré d'agrément avec lequel on entend deux sons donnés, et de là deux sons dans la raison de 8:9 s'apercoivent plus aisément que s'ils étaient dans la raison de 7:8. Mais je crois qu'ici il faut avoir égard à un préjugé par lequel on suppose d'avance la proportion des sons, et alors une aberration est insupposable; comme celui qui accorde un violon, si deux cordes se trouvent dans l'intervalle d'une sexte, les juge fausses, parce qu'il prétend que leur intervalle soit - une quinte. Ainsi, pour l'intervalle 7 : 8, il sera fort difficile de le prendre tel qu'il est, on s'imaginera tou- jours qu'il devrait étre celui de 8:9, celui-ci étant mal accordé: il ne s'agit que de prévenir ce préjugé, pour mettre en usage l'intervalle 7 : 8; mais il faudrait aussi pour cela des regles particuliéres de composition. Je viens d'achever le III* volume de ma Mécanique qui roule sur le mouvement des corps solides in- flexibles, j'y ai découvert des principes tout à fait nouveaux et de la derniére importance. Pour qu'un tel corps : tourne librement autour. d'un axe, il ne suffit pas que cet axe passe par le centre de gravité (ou plutot par le centre d'inertie du corps), mais il faut, outre cela, que toutes les forces centrifuges se détruisent. Il est bien évident que dans tous les corps, toutes les lignes qui passent par le centre d'inertie n'ont pas cette propriété, - Or j'ai démontré que dans tous les corps quelqu'irréguliers qu'il soient, il y a toujours trois lignes perpendi- culaires entr'elles qui remplissent ces conditions; je les nomme les trois axes principaux du corps, par rapport Litterae ad. cel. Lagrange datae. 561 aux quels je détermine ensuite les momens d'inertie. Cette considération m'a mis en état de résoudre quantité - de problémes qui auparavant m'avaient paru insolubles, tels que celui-ci: ayant imprimé a un corps quelconque un mouvement quelconque, déterminer la continuation de ce mouvement, en fesant abstraction de toute force qui pourrait agir sur le corps. Jespére que vous aurez recu ma derniere lettre; pour celle-ci, je la fais passer par la main d'un ami a Genéve, M. Bertrand'^qui s'est appliqué aux bdo avec un trés grand succés. Jai l'honneur d'étre Monsieur ! Votre trés humble et trés obéissant serviteur Berlin ce 27 oct. 1759. | ^^ L Euler. Monsieur, ' Depuis ma derniére lettre j'ai réussi à ramener au calcul la propagation du son, en supposant à l'air toutes les trois dimensions, quoique je ne doute pas que vous n'y soyez parvenu plus heureusement, je ne crois ce- pendant pouvoir mieux témoigner mon attachement envers votre illustre société qu'en lui présentant mes recherches sur le méme sujet. - Recherches sur la propagation des ébranlemens dans un milieu — Ces recherches commencant par ces mots: edidi. «En considérant le milieu dans l'état d'equilibre, soit etc. et finissant par ceux-ci: *D'ou l'en peut justement juger de l'affoiblissement du son par de grandes distances.» Se trouvent imprimées dans le III* volume des Mélanges de la Société de Turin. . Voilà mes recherches que vous pouvez insérer, Monsieur, dans votre second volume, si vous le jugez a propos. Je les ai abrégées autant qu'il m'a été possible: et si vous y vouliez ajouter vos remarques. ou quelques éclaireissemens, je vous en serai infiniment obligé. Il y a longtemps que j'ai examiné le son des Cordes qui ne sont pas également épaisses, et je viens de lire à notre académie quelques mémoires sur le son des cloches et des tambours ou tymbales, fondis sur la méme théorie, des fonctions discontinues. - Faites bien mes complimens les plus empressés à toute votre illustre société, et soyez assuré que je suis avec le plus parfait attachement Monsieur Votre trés humble et trés obéissant serviteur Berlin ce 1 Janvier 1760, L Euler. 7. Monsieur, Je suis trés flatté de l'approbation dont votre illustre académie et vous en particulier avez bien voulu ho- norer mon essai sur les ébranlemens dans un milieu élastique. L'honneur de ces profondes recherches est L. Euleri Op. postbuma T. 1. 171 562 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. uniquement du a votre sagacité et je n'y ai rien fait que profiter des lumiéres que votre excellent mémoire m'a fournies. Vous y avez ouvert une carriére toute nouvelle ou tous les géométres qui viendront aprés nous trouveront abondamment de quoi exercer leur adresse; et, à mesure qu'ils y réussiront, l'analyse en acquerra des développemens trés considérables. La matiére méme est sans doute la plus importante en physique; non seulement tous les phénoménes de la propagation du son en dépendent, mais je suis assuré que la propagation de la lumiére suit les mémes lois on n'a qu'a substituer l'éther au lieu de l'air et les ébranlemens qui y sont répandus, nous donneront la propagation de la lumiére. || serait à souhaiter qu'on put déterminer les altéra- tions que les ébranlemens excités dans un milieu, souffrent, lorsqu'ils passent dans un autre milieu dont la densité et l'élasticité sont différentes. Je ne sais pas si l'on peut espérer la solation de ce probléme mais je suis convaincu qu'on y découvrirait infailliblement, non seulement les véritables lois de la réfraction, mais aussi l'explication la plus compléte de la réflexion dont la réfraction est toujours accompagnée. On verrait qu'il est impossible que les rayons passent d'un milieu dans un autre sans qu'une partie rebrousse chemin. Peut étre cette considération pourroit-elle faciliter le développement de l'analyse et fournir au moins quelques solutions particuliéres. Mais on rencontrera ici une nouvelle difficulté: comme il faut estimer tant la densité que l'élasti- cité des autres milieux transparens, du verre par exemple, la densité étant si grande par rapport à celle de l'éther sans qu'on puisse supposer son élasticité plus grande, que la vitesse des rayons dans le verre devien- drait extrémement petite; cependant je crois que la réfraction méme prouve suffisamment que la vitesse des rayons dans le verre à celle dans l'éther doit étre dans le rapport de 2 à 3. Si les pores du. verre sont rem- plis d'un éther pur par lequel se ferait la propagation, il semble que la matiére du verre n'y contribuerait pour rien, ce qui est pourtant faux. De là je conclurais volontiers qu'il faut. tenir compte. des particules du verre méme, mais d'une maniére tout à fait différente de celle, dónt nous concevons la propagation des ébran- lemens par l'air oà nous supposons les mémes particules parfaitement liquides. Or il doit y avoir une diffé- rence essentielle entre les particules fluides: et solides dont le milieu est composé; les impressions ne sont trans- mises que successivement par les particules fluides, tandis qu'une partieule solide. étant frappée par un bout, transmet quasi dans un instant le coup à lautre.bout; et je crois là la raison pourquoi les rayons de lumiére traversent le verre avec une aussi prodigieuse vitesse , que si la densité était. des millions de fois plus petite qu'elle n'est effectivement. Cette pensée me semble conduire à l'explication de cet étrange phénoméne que la vitesse du son par l'air est plus grande que le calcul ne nous l'indique, Tous les efforts que vous avez faits pour déterminer la propagation des ébranlemens finis, prouvent incontestablement qu'aucune accélération n'en saurait résulter, comme je l'avais soupconné: il faut donc que cette accélération actuelle que l'expérience-nons découvre dans la propagation du son, provienne d'une autre cause. Ne pourrait-on donc dire, que l'air n'est pas un milieu parfaitement liquide dans. les moindres particules, mais qu'il renferme des particules solides ou rigides, qui étant frappées d'un coté communiquent limpulsion dans un instant à l'autre coté, et que la pro- pagation successive sur la quelle est fondé le calcul, n'a pas lieu dans ces particules solides? Je crois que cette explication pourrait étre vérifióe par quantité d'expériences ou le son est transmis par d'autres corps que l'air. Nous savons que le son pénétre par tous les corps, pourvu qu'ils ne soient pas trop épais: on entend parler à travers des murailles, et on ne saurait dire que la communication se fasse par les particules d'air renfermées dans les pores de la muraille; la propagation du son se fait plutót par la substance de la muraille. Il me semble que tous les corps sont par rapport au son la méme chose que les corps transparens par rapport à la lumiére; et comme tous les corps s'ils sont assez minces, sont transparens,, et que réciproquement, les corps transparens, s'il, sont trop épais perdent leur transparence; il en est de méme de tous les corps à l'égard du son; tous, s'ils ne sont pas trop épais, transmettent les sons, les uns pourtant plus aisément que les autres. Je souhaiterais qu'on fit plus d'expériences sur cette matiére, et qu'on examinat surtout si le son en traver- CYRUS n IRR VENIM QNRORQNIA, NATUR SERAIS RESP T0 SPURS Litterae ad. cel... Lagrange. datae. 563 sant un autre corps ne souffre pas quelque réfraction. Je vois bien que la chose serait sujette à de grandes difficultés, puisque nous ne pouvons pas anssi aisément juger de la direction du son que de celle de la lumiere. La question que notre Académie vient de proposer pour l'année 1762 est relative à cette matiére. On demande une explication mathématique de la waniére dont la représentation du son se fait dans lorgane de louie, explication semblable ou analogue à celle dont on fait usage pour la représentation des objets visibles au fond de l'oeil. ll faut bien que les rayons quasi sonores, qui partent d'un point sOhore, soient réunis en un seu] point dans la cavité de l'oreille. et qu'ils y représentent une espéce d'image ou simulacre, sans quoi il serait impossible que nous distinguassions tant de sons différens. Or une telle réunion de rayons senores, qui sont divergens en entrant dans l'oreille, ne saurait arriver, sans une espéce de réfraction. Voici donc à quoi se réduit notre question. C'est à montrer que les rayons sonores sont assujettis à quelque réfraction sous quelques circonstances. Quelques expériences pourraient nous fournir bien des lumiéres là-dessus; l'angle d'un bastion, par exemple, pourrait y servir. Si (Fig. 82) quelqu'un en A criait bien fort, un autre en JJ devrait juger suivant quelle direction il. entendrait le son. Or ayant. bien développé les circonstances sous lesquelles la direction du son. souffre quelque changement, on ne manquera pas de trouver de pareilles circonstances dans la structure de l'oreille. .Puissiez-vous vous résoudre, Monsieur, à travailler sur cette question; je doute fort que tout autre que vous soit capable de travailler là dessus, Quoique la diminution des ébranlemens transmis à de. grandes distánces suive la raison des distances je crois pourtant que la force du son que nous appercevons soit proportionnelle. réciproquement au carré des distances. Chaque particule d'air étant ébranlée, se meut par un certain espace qui détermine son excursion, et tant cet espace que sa plus grande vitesse. méme qu'elle y acquiert est réciproquement proportionnel à là distance. (Si je ne mé trompe, car j'oublie aisément ces sortes de circonstances et je n'ai pas le temps de consulter mes calculs. Or il me semble que la force avec laquelle une telle particule frappe sur l'organe dé- pend conjointement el de son excursion et dé sa vitesse, ce qui produiráit la raison inverse des carrés. Vous aurez vu sans doute la photométrie de M, Lambert, ou il prouve incontestahlement que la force des lumiéres décroit en raison inverse du carré des distances; mais il parle de la force et non pas de la vi- tesse ou de l'exeursion de chaque particule, et partant je ne trouve. aucune contradiction entre ses expériences et nos calculs. Hr | 1 Ce que vous me marquez, Monsieur, sur les ébranlemens de l'air dans un tuyau conoidal, oà vous sup- posez méme l'air hétérogéne, est extrémement profond; et quoiquil ne puisse servir à nous éclairer sur la ré- fraction, vous pourrez connoitre par là pour les cas ou l'équation est résoluble, s'il n'y a. pas aussi des ébran- lemens répandus en arriere; cela prouverait que dans toutes les réfractions, ou l'orsqu'un rayon passe d'un milieu dans un autre, il se fait toujours quelque réflexion. . Pour les formules que vous avez trouvées pour la figure d'un corps qui sur la méme surface ait la plus . grande solidité, ou p et q doivent étre des fonctions de a et y telles, que cette formule pdr -i- pdy devienne intégrable, j'ai remarqué que l'autre condition se réduit à ce que cette autre formule pdy — qdz ydz r(4 -- p? a- q?) a soit aussi intégrable; mais cela n'avance de rien. Au reste la solution générale doit étre telle que. fesant r — 0 --léquation entre xz et y donne une figure quelconque méme décrite au hasard et sans aucune continuité. Jai l'honneur d'étre avec la plus parfaite considération Monsieur Votre trés humble et trés obéissant serviteur Berlin ce 24 juin 1760. L. Euler. . 964 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. 8. Monsieur, Je dois étre infiniment flatté de la distinction toute particuliere dont la nouvelle Académie royale des sciences vient de m'honorer, en accordant une place dans ses mémoires à mes faibles recherches sur la pro- pagation du son que j'avais pris la liberté de vous envoyer. Je connois tout le prix de cette distinction et j'en suis plus vivement touché, ce que je vous supplie, Monsieur, de témoigner à l'illustre Académie, et de lui pré- senter mes trés humbles remerciments en l'assurant de ma plus haute vénération et de mon attachement le plus inviolable. Mais je ne sens aussi que trop que c'est uniquement à vous que je suis redevable de cette glorieuse distinction; je vous en suis infiniment obligé de méme que des deux exemplaires du premier recueil académique que vous aurez bien voulu m'envoyer. Vous ne douterez pas que je ne l'aie parcouru avec la plus grande avidité et je fus tout à fait surpris de l'excellence et de la richesse des mémoires que ce recueil renferme. Vous en particulier, Monsieur, vous y avez véritablement prodigué vos profondes découvertes; tout autre en aurait en abondamment de quoi fournir à plusieurs Académies et à plusieurs volumes, pendant que vous y avez ramassé en quelques moneaux des sciences entiéres et accomplies, dont la moindre particule aurait routé à d'autres les plus pénibles recherches. Vous ne craignez pas de vous épuiser pour les volumes suivans puisque vos ressources sont inépuisables; je suis tout stupéfait quand je pense seulement que les volumes sui- vans ne brilleront pas moins de nouvelles découvertes quoique je ne puisse pas encore comprendre sur quelles matiéres elles rouleront. Mais je vous avoue franchement que je ne suis quasi qu'ébloui de l'abondance et de la profondeur de vos recherches et bien d'autres souhaiteront avec moi que vous preniez la peine de traiter successivement plus en détail tous les sujets particuliers que vous n'avez fait jusqu'ici qu'envelopper. dans la plus grande généralité. Quelle satisfaction n'aurait pas M. de Maupertius s'il était encore en vie, de voir Son principe de la moindre action, porté au plus haut degré de dignité, dont il ést susceptible! - Dans vos autres recherches, il s'agit principalement d'une branche tout à fait nouvelle de l'analysé qui mé- riterait bien d'étre développée avec tous les soins possibles. C'est la résolution de cette espéce d'équations - dont lintégrale compléte renferme par sa propre nature des fonctions indéterminés, et méme discontinues, contre les prétentions de M. d'Alembert, qui cependant sera bien embarrassé des réponses solides que vous lui avez faites quoique je doute fort qu'il s'y rende. Avant toute chose il faudrait bien chercher des méthodes plus propres à résoudre ces équations. Il paroit que des transformations convenables peuvent beaucoup y con- tribuer. En voici un exemple que j'applique au cas le plus simple. d?r oy d?r d? ^ da Àu lieu des variables ? et zx j'introduirai ces deux autres p et q telles que p — «x -- 8t et q — yz 4- Ót, Pour. cet effet, considérant une fonction quelconque v de t et de z, puisque - ' de de et par les nouvelles variables de afr dv dp. dq je substitue pour dp et dq leurs valeurs et j'aurai: Litterae ad cel. Lagrange datae. | 965 dv dv dv dv dv dv dv dv - dv — adz S 4- Bát * 4- dz 75 a- di t — da [e 2. ]--4[ 5-37] dp * day Ira ng dp! di P ap t oa; d'oü il s'ensuit pour les substitutions dont j'ai besoin, dv — $4de o E - dv | de d dt L— dp dq D" áj onc dr dr de 75, i've dr d?r í07 ua tia "5 an apr SP agat Tag dr — dr dr t Ku 2 dr , dr ds "dp "Y'a € as ap P yap TY ag Maintenant je pose: B*— a*a—0 et ó*—5,*a4—0 ou f-—«ya et ó— —yya ' pour avoir cette équation: 2 (88 — oya) 5. —9 ou bien Lu ? dpdq pdq À présent M. d'Alembert ne saurait disconvenir que l'intégration de cette formule en ne prenant que p variable ne donne: - ^ dr TM d.i T uM *t faisant ensuite varier q r—9:g4-y:pog:(z —tya) a y: (x (Va) ou les fonctions sont absolument indéterminées et dépendent entiérement de notre volonté, de sorte que la construction générale puisse se faire par deux courbes décrites à plaisir; l'appliquée de l'une donnant 9 : (x — tVa) pour l'abscisse z — fVa et celle de l'autre y: (z 4-ty/a) pour l'abscisse z -- tVa. Mais si l'on demandait une intégrale compléte pareille pour le cas ou a serait une quantité négative — 5 je ne vois pas comment on pourrait la représenter par des courbes arbitraires, puis pu'on ne saurait y assigner les appliquées qui répondent à des abcisses imaginaires. La réduction aux arcs de cercle en posant: | | &—vcosp et iVb—wvsino qui donnerait: r — A-- By cosg -i- C? cos 29 -1-.... -- kv sing -2- 6»? sin29 2 .... quelque soit le nombre des termes qu'on prenne, ne saurait jamais produire une solution générale en sorte que posant (— 0 il en résulte entre r et z une relation donnée exprimée par quelque courbe décrite à volonté. Pour le probléme des isopérimétres pris dans sa plus grande étendue c'est à vous que nous sommes re- devables de sa plus parfaite solution et je suis bien surpris de voir avec quelle adresse vous l'avez étendu à des surfaces et méme à des polygones. Vous conviendrez que ces recherches profondes mériteraient un déve- loppement plus détaillé, 1l est facheux que la solution du cas ou l'on demande entre tous les solides de la méme capacité celui, dont la surfaee est la plus petite, conduise à une équation presqu'absolument intraitable: on voit bien que les surfaces sphériques et cylindriques y sont comprises sans étre en état de les en conclure. .. Les corps ont des bizarreries qui ne.se trouvent pas dans les surfaces: quoique tous les cotés d'un polygone .- et méme leur ordre soient donnés, la figure est encore susceptible d'une infinité de déterminations; mais dans un polyédre, dés qu'on connoit toutes les hédres (faces), avec leur ordre, le corps est entiérement déterminé. De plus on ne saurait assigner deux courbes différentes qui aient pour toutes les abcisses des arcs égaux; mais on peut toujours trouver une infinité de surfaces différentes ou les élémens dzdyV 1 4- p? -4- g? soient les mémes. Ainsi les surfaces coniques dont l'axe est perpendiculaire à la base, conviennent avec une surface ^ 566 L. EULERI OPERA POSTHUMA. —— Varia Li plane; et les corps exprimés par ces équations ar— y et 2ar-—— a" -4- y^ ont lenrs surfaces égales puisque p* -- q? est le méme de part et d'autre, on trouve méme aisément une infinité d'autres surfaces de méme na- ture ou l'on peut introduire des fonctions arbitraires et discontinues. Il est plus difficile de trouver des corps : dont la.surface convienne à celle de la sphere. lH s'agit de trouver une équation intégrable dr — pdz -- qdy - telle que l'on ait a? a- y? —gP—y pq —4 Je peux bien définir toutes les fonctions possibles pour p et q mais je n'en peux tirer aucune dont l'équation entre z et r devienne algébrique. C'est encore un sujet qui demande la nouvelle branche de l'analyse qui roule sur les fonctions de deux ou plusieurs variables, étant donné de certains rapports entre leurs différentielles. A l'égard du probléme du mouvement d'un corps attiré vers deux points fixes, en raison inverse du carré - des distances, j'ai trouvé moyen de construire la courbe que le corps décrit lors méme qu'elle n'est pas dans un méme plan, et j'ai observé une infinité de cas ou la courbe devient algébrique, outre ceux de l'ellipse et de l'hyperbole dont les foyers tombent aux deux points fixes. J'ai l'honneur d'étre avec la plus haute considération Monsieur j | Votre trés humble et trés obéissant serviteur Berlin le 9 novembre 1762. | . L. Euler. 9. Monsieur, La gracieuse déclaration que vous venez de me faire de la part de la société royale de Turin devait sans doute faire sur mon esprit la plus vive impression; aussi suis-je pénétré de la plus respectueuse reconnois- sance: ce que je vous prie de lui temoigner, avec la plus forte assurance, que je saisirai avec le plus grand empressement toutes les occasions ou je serai capable de rendre quelque service à cette illustre société, à la- quelle je prend la liberté de présenter les piéces ci-joints, dont deux aussi roulent sur le mouvement des cordes, M. d'Alembert m'a aussi fait quantité d'objections sur ce sujet. Mais je vous avoue qu'elles ne me paroissent pas assez fortes pour renverser notre solution. Le grand génie me- parait un peu trop enclin à détruire tout ce qui n'est pas construit par lui-méme. Quand la figure initiale de la corde n'est pas telle qu'il prétend qu'elle devrait étre, je ne saurais me persuader que son mouvement füt différent de celui que notre solution lui assigne; et si M. d'Alembert soutient que dans ce cas le mouvement ne saurait étre compris sous la loi de continuité, je lui accorde trés volontiers cette remarque, mais je soutiens à mon tour, que ma solution donne ce mouve- ment discontinu, Car les équations différentielles à trois ou plusieurs variables ont pour propriété essentielle, que leurs intégrales renferment des fonctions arbitraires qui peuvent. aussi bien étre discontinues que continues, Aprés cette remarque je vous accorde aisément, Monsieur, que, pour que le mouvement de la corde soif dy d*y dy | da? da* da* extrémités: mais quoique ces conditions n'aient pas lieu, je crois pouvoir soutenir que notre solution donnera néanmoins le véritable mouvement de la corde, car dans ces cas il y aura bien quelqu'erreur dans la déter- mination du mouvement des éléments extrémes de la corde, mais par cette méme raison, l'erreur sera infini- ment petite et partant nulle. conforme à la lois de continuité, il faut que dans la figure initiales les etc. soient — 0 aux deux ^ Litterae ad. cel. Lagrange: datae. 561 Je n'ai plus assez présentes à l'esprit toutes les circonstances de ce probléme, pour oser prononcer plus hardiment là dessus: mais il me semble qu'on pourrait combattre les opinions les mieux constatées par des objections semblables à celles avec lesquelles M. d'Alembert combat notre solution. Je dirais par exemple que la formule /'ydx ne saurait donner l'aire d'une courbe APM (Fig. 83).à moins qu'on n'ait LIS au commencement A oà y —0. Car puisque dans chaque élément de l'aire qui est veritablement — ylz 4-5 drdy, on néglige le petit trinangle E drdy, cela ne saurait plus étre pratiqué au. commencement A oü y — 0, et partant le pre- mier membre ydr — 0, attendu à là le second membre i dody pourait étre infiniment plus grand que le pre- fa ü Y ] mier à moins qu'on n'eüt x — 0. Puisque donc, malgré cette objection, la formule /ydx exprime toujours la véritable aire de la courbe, je crois aussi que notre solution sur les cordes donne toujours le véritable mou- vement, quoique le premier et le dernier élément soient assujettis à un grand inconvénient ou méme à une contradiclion apparente. M. d'Alembert témoigne partout un trop grand empressement à rendre douteux tout .ce qui a été soutenu par d'autres, et il ne permettra jamais qu'on fasse des objections semblables contre ses propres recherches. Javais déjà recu le projet de la nouvelle édition des ouvrages de Leibnitz, et je pense que M. Formey aura déjà remarqué à l'éditeur qu'on vient de decouvrir à Hanovre quantité d'ouvrages manuscrits de ce grand homme, dont on a nouvellement publié les remarques sur Locke. Je ne saurais dire autre chose, sur la fa- meuse controverse touchant le calcul différentiel que ce que j'en ai dit dans la préface de mon calcul différentiel. Le XIV^ volume de nos mémoires est sous presse, de méme que mon ouvrage sur la mécanique qni s'im- prime à Rostock. J'ai achevé, il BE longtemps, mon ouvrage sur le calcul iniégral, mais il n'y a pas d'espé- rance quil soit publié de sitót, faute de libraires. L'Académie de Russie vient de publier le IX*^ volume de ses nouveaux commentaires. J'avais aussi depuis longtemps achevé un traité sur la Dioptrique dont le résultat se trouve dans le XII volume de nos mémoires: mais comme on vient de découvrir de nouvelles espéces de verre, qui causent une réfraction beaucoup plus grande que le verre ordinaire, je suis actuellement occupé à refondre mon ouvrage et à l'appliquer à toutes les diverses espéces de verre, parce que par ce moyen, on peut procurer aux in- struments dioptriques un beaucoup plus haut degré de perfection. Je suis extrémement ravi que le rétablisse- ment de la paix me procure l'avantage de recommencer votre correspondance, qui m'a toujours fourni les éclair- cissements les plus importants, et je me flatte d'en retirer à l'avenir un profit plus grand encore. J'ai l'honneur d'étre avec la plus parfaite considération, Monsieur votre trés humble et trés obéissant serviteur Berlin le 16 février 1765. : P. Monsieur et trés cher Confrére, Je dois commencer par vous demander mille pardons de ce que j'ai differé si longtemps de répondre à . la lettre obligeante dont vous avez-bien voulu m'honorer. Je suis infiniment charmé de ce que notre illustre - société a si bien recu les mémoires que j'avais pris la liberté de vous envoyer, et je suis bien impatient de - voir bientót le troisiéme volume de vos ouvrages, pour y voir vos profondes recherches sur cette nouvelle partie 568 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. de l'analyse, dont les premiers principes méme ont été inconnus avant que vous en ayez entrepris le déve- loppement avec le plus heureux succés: je me flatte que la présente foire de Leipzig me procurera ce présent précieux. Pour justifier mon long silence je dois vous informer, Monsieur, que depuis longtemps je me trouve dans le plus grand embarras, qui m'a presqu'entiérement empéché de m'appliquer à ancume recherche, et j'a- vais honte de vous écrire une lettre tout à fait vide de recherches, Geométriques: et à l'heure qu'il est, je n'en suis pas en état, de grandes raison m'ayant determiné à solliciter ici mon congé pour retourner à Péters-- bourg ou m'appelle la vocation la plus avantageuse de l'Impératrice. Vous savez: sans doute que l'Académie de Russie est depuis quelques temps fort tombée en decadance; mais maintenant sa Majesté Impériale a résolu de retablir cette Académie dans son ancien lustre et de lui donner méme plus d'éclat. Elle y a destiné un fonds de 60,000 Roubles par an. Dans cette vue sa Majesté veut bien m'honorer de sa haute confiance, en m'ap- pelant à diriger et exécuter ce grand dessein, oü il s'agit principalement d'engager de grands hommes dans toutes les sciences de venir s'établir à Pétersbourg et d'y travailler conjointement à l'avancement des sciences. Vous comprendrez aisement, Monsieur, que vous avez été le premier que j'ai proposé à sa Majesté Impériale et je m'estimerais infiniment heureux, si je pouvais vous persuader d'accepter cette vocation qui sera toujours pour vous aussi avantageuse qu'honorable. Je sais bien que le grand éloignement et le climat rude vous cau-- sera d'abord de l'aversion; mais comme je connais parfaitement cet endroit, y ayant séjourné pendant quatorze ans, et que j'y retourne avec le plus grand empressement, je puis vous assurer que la ville de Pétersbourg renferme à la fois tous les agrements qu'on ne trouve que séparement dans les autres lieux et qu'on y a des moyens de se garantir du froid, de sorte qu'on y est beaucoup moins incommodé que dans les pays plus chauds. Je vous prie donc, Monsieur, de faire des réflexions sur cette proposition et de m'en marquer votre senti- ment au plutót, avant que je parte d'ici, ce qui pourrait bien encore trainer quelques mois. | J'ai l'honneur d'étre avec la plus parfaite considération et le plus inviolable attachement, Monsieur, votre irés humble et trés obéissant serviteur- Berlin le 3 mai 1766. L. Euler. 11 ». A St.-Pétersbourg, ce 9 janvier 1767 st. v. Monsieur et trés cher ami, J'espere que vous m'excuserez de ce que j'ai manqué de répondre à la lettre dont vous m'aviez honoré, encore de Turin. La grande distraction que. mon voyage et mon nouvel établissement m'ont causée en est une raison plus que suffisante. Quelque glorieux qu'il soit pour moi de vous avoir pour successeur à l'Académie de Berlin, j'aurais souhaité que vous eussiez été en état d'écouter les propositions que l'Académie Impériale se proposait de vous faire, et je crois que vous y auriez trouvé beaucoup: plus d'avantages et d'agrément. Cepen- dant, je souhaite de tout mon coeur que votre séjour à Berlin soit comblé de toutes sortes de prosperité et qu'il vous mette en état de continuer vos profondes recherches pour l'avancement des sciences. J'attends avec la derniére impatience le troisiéme volume des Mémoires de l'Académie de Turin et je crains beaucoup qu'il *) Hae litterae, ut et sequentes e Petropoli datae, scriptae sunt ab iisdem Euleri discipulis, qui ex Adversariis | lectori jam cogniti sunt: filio scilicet Joanne Alberto, J. A. Lexellio, W. L. Krafítio et Nicolao Fuss, | Litterae ad. cel. Lagrange: datae. 569 ne soit. le dernier, tout à cause de votre absence, que paru que.M. Cigna est aussi. disposé à quitter: je n'ai pas manqué d'en parler à notre Académie, ou. tout dépend des arrangemenis qu'on doit encore faire pour la "meltie sur un bon pied; et jusque là on n'a pu encore penser quà remplir les places, qui étaient actuellement vacantes, dont aucune n'aurait pu convenir à M. Cigna; mais aussitót qu'on pourra lui donner une plus grande extension, on ne manquera pas de faire attention aux mérites de cet habile homme, Je suis extrémement ravi que mon dernier ouvrage sur la Mécanique ait mérité votre approbation, mais 3 suis. füché de n'avoir pas été en état de vous en présenter un exemplaire; car à peine ai-je trouvé un li. braire qui ait voulu se charger de l'imprimer; je fus méme obligé de renoncer à un certain nombre d'exem- plaire pour les présenter à mes amis; mais le libraire n'avait pas tort, puisqu'il n'en a fait imprimer que cinq cents exemplaires et que suivant toute apparence , il n'en debitera pas cent. Dés mon arrivée ici, l'Académie Impériale a bien voulu. se charger de l'impression de mon ouvrage sur le calcul intégral , qui est déjà avaneé assez bien; mais comme il y aura trois volumes in quarto il faudra at- tendre encore plus d'un an, avant que tout soit achevé. . ,Le troisiéme volume renferme la nouvelle partie du calcul intégral dont le public s sera toujours redevable à Yolfe sagacité,, et j'espére que par vos soins, cette partie que je n'ai fait qu 'ébaucher, sera bientót porté à un plus haut point de perfection, | : : ; Tant la faiblesse de ma vue que mon emploi actuel, qui m'oblige de passer tous les matins à la Direction de Y'Académie, me mettent absolument hors d'état de continuer mes recherches sur cette matiére; mais à l'aide de mon fils Albert, je serai foujours en état de profiter des éclaircissements, que vous voudrez bien me com- muniquer tant sur ce sujet que sur tous les autres auxquels. vous vous appliquerez ; je vous en supplie méme. avec le plus grand empressement, dans la confiance que vous étes déjà suffi samment convaincu, que personne ne saurait foire plus de cas que moi, de l'importance de vos découvertes. Je vous prie donc, Monsieur, de me conserver toujours votre amitié et. yotre affection et d'étre assuré, que je serai toujours, avec la plus par- faite considération et le plus. inviolable atiachement, [ is "q eb /|oc08) t. *' Monsieur, eru Votre trés humble el trés obéissant serviteur : ; L. Euler. y ) t | ] í L] | ) )TmITIDTTITTT ! "t TE 7 I uslivise Mueei^do «^1! idend: a5 St.-Pétersbourg «e 5 (16) février 1768. - Monsieur, Votre lettre du 29 décembre de l'année pássée m'a été remise à peu'prés en méme témps que j'ai recu le dernier volume des mémoires de l'Académie. de Berlin, dans lequel je me suis d'abord fait lire votre. excel- lent mémoire sur le tautochronisme, parce que cette matiére m'a autrefois tenu fort au coeur et que j'ai aussi fait une analyse de la méthode de M. Fontaine, que vous trouverez dans:le. Tome: X. de: nos Commentaires, Mais votre méthode est beaucoup plus ingénieuse et la lecture m'en a causé un vrai plaisir, quoique l'espé- rance d'y trouver des tautochrones pour toutes les hypothéses possibles de résistance n'ait pas été entiérement remplie, J'en ai d'abord découvert la source dans la formule L: à une fonction quelconque de laquelle vous égalez le temps pour un arc indéfini, ou bien à une fonction de dimension nulle des quantités X et 4. Mais L. Euleri Op. posthoma. T. 1. i 72 510 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Vea. vous conviendrez aisément, que la supposition d'une telle fonction apporte une trés grande limitation à la so- lution, attendu, qu'on pourrait imaginer une infinité d'autres expressions également propres à représenter le ] | i WiQ4^58 qu'on pourrait supposer le temps égal à une fonction quelconque de toutes ces for- mules ensemble, mais lexécution ménerait à des caleuls presque insurmontables. J'ai aussi remarqué déjà dans temps, comme le II* volume de ma Mécanique, que les cas, oü la resistance serait comme le cube, ou quelque puissanc e plus haute de la vitesse, ne sauraient étre résolus par de telles fonctions de dimension nulle, mais qu' il faut recourir à des fonctions de gertce dimensions et je crois y avoir indiqué la véritable route pour a arriver E d'autres cas que dd ou la vitesse est par elle ine extremement petite. J'ai vu aussi que les trois Méthodes de M. d'Alembert, dans le méme volume de Mémoires, sont assu- jetties à la méme restriction. Au reste je crois devoir avertir que feu M. Bernoulli n'a trouvé la lantochrone pour la résistance proportionnelle au carré de la vitesse, qu'aprés que je lui en eus communiqué n ma solution : et il n'a jamais dit, qu'il en avait fait le premier la découverte. muss Je suis extrémement ravi, Monsieur, que nos recherches sur le mouvement d'un corps attiré par deux autres, de forces fixes, aient mérité votre attention; mais vous n'en avez vu que ce qui a été inséré dans les mémoires de Berlin et qui regarde principalement les. courbes algebriques, que ma solution renferme, - Yai encore composé, sur ce sujet, deux autres mémoires, dont l'un se trouve dans-le X^ vol. de nos Commentaires et l'autre dans le XI*. Dans le dernier j'ai aussi réussi à determiner le mouvement du dit Corps, lorsqu' il ne A se meut pas dans le méme plan et je suis extrémement curieux d'apprendre à d quel égard vous avez donné une plus grande étendue à ce probléme. Si vous avez reussi à donner à l'un des deux centres de force un mouvement autour de l'autre, ne füt il que circulaire et unilorme, je le regarderai comme la decouverte la plus importante dans l'astronomie. : L'impression de mon Calcul intégral avance assez passablement, le premier tome est déja achevé et E: tacherai de vous l'envoyer au plutót, peut étre accompagné du second : il y aura trois volumes en tout, Je n'ai recu qu'un exemplaire du II^ volume, des.Mémoires de Turin, et je en ai déja presenté si je ne me trompe, mes trés humbles remerciements ; comme je suis hors d'état de lire et d'ecrire moi-méme, je suis d'autant plus curieux de profiter des écrits. des autres, et principalement de vos recherches qui sont toujours marquées d'un trés grand degré de profondeur. Je vous prie donc de me conserver toujours votre amitié et votre bienveillance et d'étre assuré que je ne cesserai jamais d'étre avec une trés respectueuse considération, Monsieur, . votre trés humble et trés obéissant serviteur L. Euler. Mes compliments empressés à mon trés digne ami. M. le professeur Nonis : b ET, Monsieur bernoulli aura bien la bonté de düire. parvenir V'incluse à son adresse et nous vous prions, i^f HII Monsieur, de lui présenter nos civilités; my " ui NCTTOEC WERE Litterae ad. cel... Lagrange datae. 511 ^ 13. Monsieur- et trés-cher . Confrére, Je suis extrémement ravi, que vous avez recu avec tant de bonté mon ouvrage sur le calcul intégral; j'ai taché d'y ramasser tout ce que j'ai observé de remarquable sur ce sujet. J'espére vous envoyer au plutót la H^ partie de cet ouvrage ; elles vous appártient presqu'uniquement et je ne doute pas que vous ne la portiez bientót à un plus haut degré de perfection. M. Formey m'a envoyé les feuilles du dernier volume. des Mémoires de Berlin, qui contiennent les excel- lentes piéces dont vous me parlez dans votre lettre. Comme je ne suis pas en état de lire moi-méme, j'ai prié notre habile M. Lexell de m'en faire la lecture, que j'ai entendu avec la plus grande avidité, J'ai admiré non seulement la profondeür dé vos recherches, mais aussi et surtout leur multiplicité, qui aürait fourni à tout autre dequoi remplir une douzaime d'excellens Mémoires différents. Vous savez, Monsieur, que j'ai beaucoup travaillé sur cette espéce d'Analyse, et que j'en cónmais parfaitement toutes les difficultés, et partant jai và avec la plüs grande satisfaction que vous en avez surmonté quelques unes, trés heureusement. La méthode que vous employez pour résoudre l'équation .4 — pp z- J/qq est d'autant plus ingenieuse qu'elles ne suppose rien qui ne soit fondé que sur l'induction, J'ai été curieux d'appliquer d'abord vos méthodes à des exemples qui ont pour la plupart trés bien réussi; mais l'exemple suivant m'a causé quelque embarras ; il sagit de résoudre en nombres entiers cette équation TY LI DE us -. x dMbsr pt dde Selon Votre méthode il faut done chercher un nombre c plus petit que P tel que «c — 13 soit divisible par 101, jai irouré & — 35 et de là A'— 12 — p? — 13.4? , pendant que 4: — 101 et B — 13; d'ou l'on tire p -5 et ]— e-— Et done selon votre méthode on trouverait : nu epB4 2j .35,53- 13 ét ET TESTA Lil Lam c m uim et partant €es notnbres n'étant pas entiers on devrait conclure que ce- cas n'est pas possible; cependant on satisfait .à cette. question en: prenant. p.— 123 et q— 3&, ce qui me faisait croire que votre méthode était insuffisante. [ sl » ] | J9 Mais en écrivant ceci, je vois que je n'ai pas assez bien observé les préceptes que vous donnez: car püisque A'— 12. est divisible par le carré &, il faut' poser Bass — tt — 13«u« ce qui donne / — & et u — 1, d'oü l'on tire » —8et4 —2,e alors on aura 35. 8713.9. 140mp13 (0, . 35.98, 35:&4 — pr or ces Biel) ne sauraient non ii donner dio tviiliin entiers. Cependant je vois bien qu'on parviendrait à ma solution si on prenait p — 47 et q' — 13 parsque 12 — 47* — 13.13* — 2209 — 2197, car on tirerait de la :. : 20 85.47 p 13.13. 2 35.1327 47 13. uq E , ou les signes superieures donnent p — 123 et 4 —3*. Mais quelle raison nous conduit à supposer pM etg-t3? 572 L. EULERI OPERA POSTHUMA. .. "Varia. J'ai aussi fort admiré votre méthode d'employer les nombres irrationnels et méme les imaginaires dans cette espéce d'Analyse attachée uniquement aux nombres rationnels. Il y a déjà quelques années que j'ai eu des idées semblables, mais je n'ai encore rien donné là-dessus ni dans nos: Commentaires, ni dans les Mémoires de Berlin; cependant j'ai publié ici une algébre compléte en langue russe, j'y ai developpé cette matiére fort au long et j'ai fait voir I» p résoudre l'équation , | £0 - nyy — (pp 4- n9)^, on n'a qu'à résoudre celle-ci phnt perd zi (p-a-gY—n)^ 4n»! Cet ouvrage s'imprime. actuellement aussi. en Mieieed: en deux volumes in 8?, et quand je vous expé- dierai le III. volume du calcul intégral j'y. ajouterai un exemplaire. de. cette nlgébye, soit en Russe, soit en Allemand. na Mais je n'y ai pas poussé mes recherches au delà des racines quarrées et Y'application aux racines cubiques. el ulterieures vous a été réservée uniquement. C'est de là que j'ai tiré cette formule trés remarquable . . x? -- ny? A- nnz? — 3nayz dont les trois facteurs sont | 3 A A M xu $-2-yyn--zyw;: TEL d'oà l'on voit qu'on peut toujours aisément déterminer les lettres z. y. z. pour que cette formule devienne un quarré, ou un cube, ou un grrtétquarré,. au quelque puissance plus haute. Au reste pour juger si l'équation. A — pp -- Bqq est possible ou non, jai trouvé cette régle pour les cas ou A est un nombre premier. —— «Otez du nombre A un multiple quelconque - de B et toutes les fois que le reste est un nombre premier *a, l'équation proposée sera possible si celle-ci a — pp -t Bqq l'est; de plus, si le reste 4 — AnB. devient un nombre abb tel, que «a soit un nombre premier; ou méme l'unité, alors. la possibilité ou l'impossibilité de J'équation a — pp — Bqq déclare la nature de l'équation proposée» Ainsi ayant l'équation. 109 — pp — 7.49, puisque 109 — 4.,7.— 81 oüà à— 1 5 — 9, je forme: cette équation 1 — pp — 7.94, qui étant. possible, prouve la possibilité de la: proposée ;: et dans l'exemple: rapporté. ci-dessus, 101 — pp — 13g, puisque 101 — 4.13 — 49 et partant a — 1, le jugement se réduit à cette équa- tion 1. — pp — 1344, qui est possible sans. doute; mais je dois avouer, à-/ma 'confusion, que je ne saurais démontrer cette regle ; et quand méme on en trouverait. une démonstration, cela ne servirait en rien à la. solu- tion actuelle de l'équation A — pp — B4q. | | ob Jattend avec la plus grande impatience le IV" volume des Mémoires de Turin, que vous aurez la bonté, Monsieur, de m'envoyer, ne pouvant douter qu'il ne soit rempli de vos trés, ;excellentes recherches ; je. vous en présente d'avance mes remerciments les plus gmpresate ayant l'honneur d'étre avec la plus peritia consi- deration, Gftot | ; : ! sd. | Monsieur, | À | "ioa sm Votre trés humble serviteur L. Euler. à St. Pétersbourg, ce 16 (27) janvier 1770. | Voici, Monsieur, et trés honoré Confrére, un théoréme de la plus grande importance et un probléme trés difficile à résoudre. . : - Literae. ad: cel. Lagrange datae. 513 'TuronxkMa. Si formula mac -- nyy, cosu z — a et y — b, prebeat numerum primum c, tum omnes numeri primi in formula « -- &mnp, quin etiam in hac formula generaliori «qq 2- &mnp contenti, simul erunt numeri formae mxz -- nyy. y NB. Demonstratio adhuc desideratur. T Paosrirwa. Envenire duos numeros quorum productum, tam summa quam differeetia sive auctum sive minutum, fiat quadratum. zy - £-4-y — 0; zy —2 —y —0; dy-- m — y — Di zy — £--y-—nD. SoLvrio. Quaerantur duo numerorum paria p, q et " $, ut formulae | 2pq (pp — 44) (pP. -- qd) et 2rs (rr.— 5s) (rr. -- ss) teneant rationem: quadrati ad quadratum. Tum enim numerorum quaesitorum: - (pp - ai) (rr 2-55). alter erit, — pr irr) . (pp -À- qq) (rr 59) qpafos poidst ri alter ventos ibidem od Conditio- praescripta — ngu p 12 q— —1;etr-—16,s— 11; tum erit enim (no pm SR 9rs (rr — " Jn u- ss) —À nme sul, —$ ' 13 99? 5. 99? vs Id INTE Hine.« ergo numeri. quaesiti erunt n Y a he yan tempe, [oed que Y. 'ai tn trouvé. une solulion complàte. du pact cii i dr Il s'agit de trouver trois fonctions z. y. z. des deux variables t et «w, telles que posant dz — Pd, pdu; dy — Qdt -&- qdu: dz — Rdt-a-rdu; —— on satisfasse aux conditions suivantes - RA e I. P*-4—-Q?-- R*D-—1, II. Dog -— Ef, II. Pp-- Qq-- Rr —0; Or la inn des différentielles demande encore les conditions suivantes: c2. SEN CUESCT "aO Comme une considération tout à fait singuliére m'a conduit à la solution de ce probléme, que jaurais d'ailleurs cru impossible; je crois que cette découverte pourra devenir d'une grande importance dans la nouvelle partie du Calcul Intégral dont la géometrie vous est redevable. L. Euler. 57 L. EULERI OPERA POSTHUMA. LIUM M. Monsieur et trés honoré confrére, Votre. prompte reponse sur les remarques que j'avais eu l'honneur de vous communiquer. m a. causé bien du plaisir et je vous en suis infiniment obligé. Je me suis fait lire toutes les opérations. que - vous avez faites. sur la formule 101 — pp — 1344, et je suis entierement convaincu de leur solidité ; mais étant hors d'état. de lire et d'écrire moi méme, je dois vous avouer que mon imagination n'a pas été capable de saisir le iedenidü de toutes les réductions que vous avez été obligé de faire et moins encore de fixer dans mon esprit la signifii- cation de toutes les lettres que vous y. avez introduites.. Il: est. bien vrai. que. des. recherches : semblables ont fait autrefois mes delices et m'ont couté. bien du temps ; mais maintenant je ne saurais plus en entreprendre que de celleé que je suis capable de développer.dans ma téte, et souvant je suis obligé de recourir à un ami, pour exécuter les caleuls que mon imagination. projette. . | Pour ce qui regarde le probléme de deux nombres dont, le produit augmenté ou diminué de leur somme ou de leur différence. produise. des |quarrés; il m'a, été autrefois proposé à Berlin. par un Capitaine M. de Happe, qui me dit l'avoir recu d'un ami de Leipzig, qui s'était longtemps occupé inutilement à en trouver une solution et que lui méme y avait épuisé ses forces sans aucun fruit. Il m'a donc demandé, si je croyois ce probléme possible ou non. Je lui repondis d'abord que ce probléme me paraissait d'une nature singuliére et qu'il surpassait méme les régles connues de l'Analyse de Diophante ; en quoi jene erois;pas m'étre trompé; Cependant aprés quelques essais, j'ai trouvé la solution que j'ai eu l'honneur de vous communiquer ; je croyais presque que c 'était l'unique qu'on fut en état d'en donner. Mais depuis que j'ai eu l'honneur de vous écrire, ayant encore fixé mes recherches sur ce beris nd jai dooowvert t une route qui fournit une » infinité de solution: Voici de quelle maniére je m'y suis pris. | [ WT TENE Posant les deux nombres cherchés À et Bj es premiers éffortá fournissent d'abord ce formules [| L| (pb-es)(a-kr) ^^ 5 gceo(qq- rn. Aoc X Ápars 00 (pp — s) (qd — rr) mais i| est nécessaire que cette formule SEMI RNNEOESSE (pp3i-s)) (qq) ——— Spgrs(pp — ss)(qq — rr) L| devienne un quarré, ce qui est sans doute extrémement difficile et au dessus de la méthode ordinaire de Dio- phante. Cependant en employant les substitutions suivahtes Desonol liog5fib ab owuglen. et. 30" p — mm -- (m — n)*; qz mm P mn — nn — s etl r — m (m — 2n) cette formule aprés en avoir oté les facteurs quarrés se réduit à celle-ci bn — 6mhn -4- 9nn : .. 9n (2m n) qu'il est aisé de rendre quarrée; car faisant » 2— 2m — 1, elle devient imm — nl a- 92 | üa lisi gol aonoi50Iantos- odi] Bmdod (Am—39»)4m—» s M y dont le numérateur multiplié par le denominateur donne ce: produit. 16m* — hmn?l -i- 58mmll — 28mi* -- &i* qui doit étre un quarré, et dont la résolution est fort aisée. Literae ad cel. Lügrange: datae. 515 Quoique cette solution paraisse trés particuliére, vó qu'au lieu de quatre lettres p, q, r, s, cette formule n'en contient que deux ; j'ai pourtant lieu de croire qu'elle renferme toutes les solutions possibles. Je serais fort curieux, Monsieur, d'apprendre votre sehtiment sur les deux théorémes suivants que je crois vrais sans pouvoir les démontrer. | I. Outre le cercle il n'y a point de courbe algébrique dont chaque arc soit égal à un arc de cercle. II. Il n'y a pas non plus de courbe algébrique dont chaque arc soit égal à un logarithme. Vous voyez bien qu'il ne s'agit pas ici des courbes —— dont la rectification dépende ou des arcs de cercle ou des logarithmes. |- 4-9] o nf ": Je reviens au probléme, dont je vous .ai parlé dans ma lettre précédente, ou T s'agit de déterminer les trois quantités z. y. et z par les deux variables e u ensoríe- qu'en posant | dao c dldi -» Adu; dy — mdt -4— idu; dz — nidt.-- vdu ; les trois conditions suivantes. soient. remplies, savoir ' bus -- WX — 1. || -- mm A- n»n — 1 oux -» oW IEEE pas que c'est là une, spéculation. entiérement stérible, jai, l'honneur, pe n rm pax cis probléme suivant. m'y a conduit: «Trouver tous les solides dont . la surface puisse. étre développée . sur un plam, comme cela à lieu pour tous les corps cylindriques et coniques. Depuis quelques jours je suis tombé sur la solution suivante, qui me parait assez directe ; l-aliotía ^ Jintroduis une nouvelle variable o et j'en cherche n fonctions p.qetr, — que H :? 1*. Geo ecd, et 2» dp* -4- dq 4 dr? — do? , i» ce qui n'a aucune difficulté ; ensuite je fais fitrato sols noxhtod nd 49h PTS Ü Cp noc e cos Q ; | 5i Izeul de M ] 61190 ) 1123 de. ) i i : libus af: ilqrisr -enklq ob Juct Hi vind reni uiro 4. Soares ub. Hom PRO D E us dr : Vae 1 a- V9 mE FiSin e H- 0-608 3. 00 HM H ula AIOLHDINO) / dob f » ) fà iniüg 104 e£9ohs5d »9l Fus 6&6 D IH j A -—p cos Q -i- 7^ sin Q ; (à a w 08 E es Ed mom, cosQ) c^ S SIRO si- ài -i- 13 |» Hrsaidmnoo : rodibsoo zia Jeull£ 4, dr, TOMILT OUi ibn i eius: "onis di T est: clair que les trois conditions prescrites sont remplies ; il ne reste lind que de — Mee ame -. les trois formules différentielles. Pour cet effet, je remarque que 516 . L. EULERI. OPERA POSTHUMA. Varia. ail T 9e Y. di — do "e (p 2) - ddq dm — .. do cos (o ax) ; dn — . do coso (r oa) do^ i 1 ddp : dA — — do A" o (» * 2s) : ddq du — — do sino (a - o5) dy — — do sino (r -- 772) "n ' de sorte qu 42 0^ c. oqang o, Maintenant. transformons les f ! l rt /de sorte que 7 — 15 — $7 g 9. ormules proposées ensorte que g — lt -- Au — f (tdl -i- udi) — lt a Au — f/(L— uwtango)dl; c üibso» siot) al — mt -- uu — f (tdm 4- udy) — mt 4- iu — /'(| — u tang o) dm; z — nl -- yu — / (Idn. -4- udy) — nt. -- vu — /'(( — w tang o) dn puisque /, m et » sont des fonctions de la seule variable o, toutes ces trois formules deviendront intégrables, si l'on égale la formule ! — w tang o à une fonction quelconque de o, que nous désignerons par fl. De là on tire t — 2-£ u tango; de sorté que le calcul roulé maintenant sur des deax varíables u ba , dont les coordonnées z. y. 4. deviennent des fonctions. ^ il iib. abodióem. ob. asq; Mas qoae B Rp ep Permettez moi, Monsieur, qué je vous parle d'un probléme qui me ' parait fori 'eitieux et digne de toute attention. . Dans un camé divisé en seize cases, il vapt y inscrire dans ces cases, seize nombrés tels, k»|vp 16 799 j "S I XL K-LO TI. P.1-9 Xi. MD 5Jumsi nuS5us bW up 55 que premierement les sommes des quarrés de chacune des bandes horizontales, ensuite aussí la somme des quarrés pris par les bandes verticales, soient égales entre elles et outre cela aussi la somme des quarrés par les diagonales; ce qui donne déjà dix conditions à remplir; mais il faut de plus remplir les conditions suivantes. . 11. AE a- BF a- CG -- DH —— 0, 1429, AT 3- BK 2- CL -- DM — 0; etc. et ainsi, joignant deux à deux les bandes horizontales; ce qui donne six conditions; enfin il faut aussi 1 remplir celles-ci 17». AB -- EF a- IK - NO — 0;: 489. AC -- EG -- IL -- NP — 0 etc. en combinant deux à deux les bandes verticales, ce qui donne.,aussi six conditions; de sorte qu'il faut remplir - en tout 22 conditions différentes, tandis qu'on n'a que seize quantités inconnues. Cependant ce probléme ne laisse pas d'étre infiniment indéterminé et j'ai réussi d'en trouyer Ja, solution. en. général. dont. j'ajoute ici un exemple particulier. f Tksbédinas M dili» jos 100€ Unessfib eeluaryol alo wol i ' Litterae. ad. cel. Lagrange. datae... 9TT ri — |:-68|.—29 | --M 1 —37 | a cade " ii os se8o "ps47 | 31 | 27 791 2:32 [2559.4 28 | — 23 |.-- 61. | pahs gibus $-eb5 giprupoggn J'ai l'honneur d'étre avec la plus parfaite considération, ! 9 li jo Jus057174 iMohieur'" 0. Jui ioa 0m$1094] nced 95 : 98h " "Votre trés humble et trés obéissant &erviteur à St Pélébbourg, co 9 (20) mars 4770. ^ ^ 0 7000 7 7 CUL, Euler -- bàn - " d de roioi'! ind «ort dde15 (Réponds Ae ..:Loreque Monsieur le. Directeur. voudra bien répondre rg cette. » lettre, on le. prie de Pete P réponse a au professeur Formey, ou de ete sous l'adresse du secrétaire de l'Académie Impériale des Sciences. , j 5 I 5 | I | ! f 13. . - , » Monsieur et trés lióiioré Confrére, Comme je suis hors d'état d'écrire. moi méme, et que les occasions "de se servir d'une. autre main se présentent rarement, vous me pardonnerez, si j'ai différé si long tems à répondre à l'obligeante lettre. dont vous m'avez honoré. D'ailleurs depuis enyiron un an, la théorie de la June m'a tellement occupé que je n'ai presque pu penser à autre chose. - Trois habiles caleulateurs ont. bien voulu m assister pendant tout ce tems ; quoique nous ayons rencontré mille obstacles, nous les avons surmonté, presque tous, assez heureusement, de sorte que nos travaux sur cette matiére se trouvent actuellement déjà sous. presse. Jamais recherche n'a demandé autant de calculs pénibles et autant d'adresse dans l'exécution ; il s'en faut cependant de beaucoup que cette matiére soit entiérement épuisée nous devons nous contenter, si les tables que nous, en avons tirées s'accordent mieux encore avec le ciel que celles de MM, Mayer et Clairaut et si leur usage est beaucoup irit plus facile. , Malgré ces pénibles recherches, je n'ai pas manqué de profiter de quelques momens. pour étudier vos excellens mémoires, qui m'ont été comuuniqués par M. Formey; et d'abord, ce qui m'a frappé le plus et que je puis pas assez admirer, c'est Ja beauté et l'étendue infinie de votre théorémie général, sàvoir : lorsque 1 d. 9i? E * dd. gr^ u- 3, 79^ -r ete.... c —1--9(0) 2-5 6 ^ Si l'on. désigne par s; (x) une. fonction. queleonque de x et par y une fonction semblable de ! on aura toujours ya — it a- 9t yt a- - gt? yt a- Qd gi? t -F gud gt 4r etc. en omettant les divisions par les puissances de dí. Ce Théoréme me parait déjà de la derniére importance, sans méme avoir égard à l'équation t — « — ga, dont il: fournit la solution et dont vous vous servez avec le plus grand: succés; pour résoudre toutes sortes L. Euleri Op. posthuma T. 1. 13 . 918 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Varia d'équations. J'avais déjà composé, avant mon départ de Berlin, un mémoire sur le méme sujet, à l'occasion d'une excellente piece de M. Lambert insérée dans les actes helvétiques. Cette idée me parut d'abord suscep- tible d'une beaucoup plus grande étendue, que j'ai taché. de. développer dans. ce mémoire, qui actuellement se - trouve imprimé dans le XV^ volume des nos mémoires ou commentaires. Mais vous avez, Monsieur, poussé - cette recherche beaucoup plus loin, à l'aide de votre admirable théoréme. Aprés y avoir réfléchi tant soit peu, j'ai reconnu que sa vérité est indépendante de la résolution des équations et des rapports qui régnent entre les racines. J'avais formé le dessein d'en chercher une démonstration directe, tirée des premiers principes généraux de l'analyse, mais j'y ai d'abord rencontré de trop grands obstacles. Notre habile académicien, M. Lexell y a bientót réussi parfaitement et il en a trouvé une démonstration qui répondait entierement à mes souhaits. C'est dommage que ce beau théoréme soit tellement caché entre vos nombreuses recherches, Monsieur, que peu' de monde r y observera et en remarquera toute l'importance. Pour moi, je le crois de beaucoup préférable à mon théoréme général sur l'intégrabilité, que j'avais tiré de la théorie des isopérimétres et que vous avez jugé digne, Monsieur, d'insérer dans les mémoires de Berlin, avec une note touchant M. de Condo rcet à cette occasion, j'ai aussi l'honneur de vous marquer que M. Lexell a pareillement donné une trés belle démonstration de ce méme théoréme, que vous lirez dans le XV* volume de nos Commentaires. | Vous avez bien voulu dire à M. Formey, que les extraits des lettres de M. D'Alembert, insérés dans les mémoires de Berlin, ne sont rien moins que ce que porte le titre, mais que ce grand homme vous les avait adressé, Monsieur, exprés pour les publier dans cette forme, quoiqu'à mon avis, elles ne renferment que des observations assez légéres. Comme les derniéres lettres que j'ai eu l'honneur de vous adresser, Monsieur, contiennent quelques articles qui ont mérité votre approbation, il me semble que vous pourriez également les faire insérer dans vos mémoires sous le titre d'extraits, sans que j'ai besoin de l'y mettre moi méme à la téte. Ne doutant pas que vous n'ayez, Monsieur, poussé encore plus loin vos premiéres recherches sur le probléme de deux, nombres dont tant la somme que la différence étant ajoutée ou retranchée du produit. de ces mémes nombres produise des nombres quarrés, je serais fort curieux d'apprendre si vous en avez découvert une solution plus générale que la mienne, à laquelle je suis parvenu par bien des détours. On expédiera d'ici, avec les premiers vaisseaux, le troisiéme volume de mon calcul intégral, ainsi que le troisieme volume de ma dioptrique, qui traite de la construction la plus parfaite des microscopes. Vous verrez aussi le XIV* volume de nos commentaires, divisé en deux parties dont la derniére est presque uniquement remplie des recherches sur la parallaxe du soleil déduite des observations du dernier passage de vénus sur le disque du soleil, que M. Lexell a bien voulu exécuter d'aprés les idées que je lui avais communiquées. ee. méme académicien a aussi composé un traité à part sur la cométe de 1769 qui vient de paraiire il H a quelques mois. Vous voyez, Monsieur, que je profite amplement de la belle occasion que M. Lexell me 1259 fournit en me prétant ses yeux et sa main. , » : Up J'ai l'honneur d'étre avec la plus haute considération, Monsleür, votre trés humble et trés obéissant serviteur à St. Pétersbourg, ce 20 (31) mai 1771. . L. Euler. Intercallamus hic epistolam lll. Lexellii ob arctissimum nexum, quem cum ipsius Euleri litteris habet. '. Lilérde ad cl. Lagrange daíae. 519 Lettre de A. J. Lexell. Monsieur , Ayant appui par la lettre que notre illustre M. Euler a recue de "vous et qu'il a bien voulu me commu- niquer, que vous seriez curieux de voir la démonstration que j'ai donnée de votre trés élégant théoréme, qui se trouve dans le tome XXIV* des mémoires de Berliüi; et M. Eüler m'dyant ordonné de' vous comiühiquer en méme temps quelques-unes des démonstrations qu'il a trouvées pour ce théoréme: je profiterai de cette Occasion, pour vous présenter, Monsieur, les hommages que je dois vous offrir, comme à un des plus grands mathématiciens de notre siécle et pour vous Vamolgney les sentiments d'admiration et de respect que v6à sublimes recherches m'ont inspirés. x Avant que de donner les démonstrations dont je viens de parler,-je remarquerai que les deux premieres ' sont de M. Euler et que la troisiéme est celle qe jai trouvée. Outre ces deux démonstrations. M. Euler en a encore tíouvé quelques aütres, mais celles qüe vous recever ici m'ont paru les plus remarquables. " Dilibnétiation 1. Puisque on aura donc Yà 5b 25199]5 1 | i ibn E ri inSbr91159del , 2 nde. ? q9-—9 —-PU-—TR Q marquant une fonction quelconque de z. Soient p. q, r, eic, des fonctions de ! et P, Q, R des fonctions semblables de c; faison V vr oos dp Spi dee etc. oü A, B C, D sont des fonctions qui ' outre " 4, ads " contidiinent des lbnctions. déterminées de 4. on aura donc DE EE E - (2) e (D * [- Es etc. car en supposant Q' — 4 4- A' lad *-cC s dos ona j..,/20 Ms - à 3 : j -— dA ' dB , "-- " BS MX vedi T j ; 1 - iba mais en prenant la diftrentille dodiplils de Q, on aura err Li dq dq Mal. 4- (4) —- (£9) .- (0E) e. ene. d'oà l'on tire - supposons maintenant / | ys ^ "Rm ro- 9| 358 2— G -— $ -- etc. 580 L. EULERI. OPERA: POSTHUMA. (c il s'en suivra que 115x254 t T daz r , d3t dB TR duc Meo inci r SIMTEOR OMNE par conséquent HL gi Bbpuiodnog shgrn (44) tif (Bytes Syll ta bd sli I dt P sd ($ nd es C) T C) belt on En comparant. les. membres de cette équation, on trouve "^ dA ) 1». [.) c—pyz»9Qq i donc j m in AM UO Mg 9e is «o. àB —— d d.pp^g' ia , dt dt dt , 1, RM | Wer 4 P. a 1. | Apa e dh donc dB — d. pdp.q et. B. .— s d:ppg ; donc — rn ppp 4 — ono d) dB TM : i 35. e Sn dt ttÀ - 34 2 q, ^ donc à [2 1 pq I QUERIES AN "RR V QRDQRUEK iS" vss cune 1.3.3 ^ * v 3.8)39—^ 1:3.5.47 2.2. 96 Ainsi on obtiendra : ion Hd Q — 4 -- pd -- 5 34M 1s 4.5 n 554 0rd -- ete. 1.2 en omettant tous les dénominateurs affectés de dí. Je ne sais si jai bien saisi le sens,et'la force de cette: démonstration; mais javoue qu'elle me parait un peu douteuse. : : t0]. 29b. .,9]9.., t... «4. da9j0€ .6.9D. aipiosio! 01 J su Aysupdesr 4 . Démonstration 2. | Supposons — M [e [M Sy' --. ete, donc pour le cas yo — z, wyt-—t, et. yi — — 1, 5 aura. Q «A Poe dQ e dl 4 PS e PT ce ete (e NÉNQA 710 0s. eus c1 dex s MP 35-4 8 Q inrzoqqua dqo "765 $—1t1--9(r) et (x) — " -4- py- 4- - ag uc di. Rg't ES . Sp - ": "etc. ; on aura P oe dQ e Re PS-e e ge Bed. wir Ry 4- etc. donc 519 11i sl - Jasfi HI 9 *HU P, bep 38 d — d. or; esa. Ap; etc. ou s o [- - pe i; etc peavdst P 9-5 T Ra Démonstration 3. | 4-(—) m9 AL On a, par les principes de landlyse, — — — / 2 dy'z s 8. ddy/z : i MOOS rq yt ym — gr.yim de gn pers Tm 9S pagi t CÓ Litterae. ad. cel. Lagrange. datae. 581 qty —— 9x y'a — a gana 2 dd — 'g) on aura donc 7, TEE, d yt. — yr — ga a -" qz. its — ga*. i2 dos A eu A LER etc. Mo hd om von TA — pa PeYo a ga frr) — ga? P red 4 etc. di omen aeos h Mo iom ne a o ae i1 n VBREENBNIM gu sues umm B. puidide e debe Diui ifi ete; ^ ; "ü 9s doy .« mo | ete. Or du cóté . droit tous les termes placés. dans les E dr ou lignes verticales s'entredétruisent, parce. qu'on a généralement : y^i— E: — - yn ign - a —mcg^ e nis CRPOSE- AR" wee un HC NC ^nilo'l P^ & 1 nous aurons par conséquent : 1 dpt? y/t ^t Lon 2E yt ghi Mit LER A etc. Dans le mémoire que jai.composé sur ce théoréme, j'ai aussi considéré cette. équation plus générale (— x — P, ou P est une fonction quelconque de x et £; et j'ai trouvé qu'on aura encore d Qv/t. yr — Victo tor 1324; 7€ 965 H1 Q0 deuotani une fonction dans lagücllà! se change p en y, mettant a pour i et / pour z, et en introduisant de nouveau aprés la différentiation 7 au lieu de a. Il n'y a que fort peu de temps que j'ai trouvé des formules assez belles à ce qui me semble," pour les différences finies des fonctions à deux ou plusieurs variables. : Soit z une fonction quelconque de deux variables x et y, et — a XN de p et u de q de maniere qu'on ait zm — m2 p,et L — y -- 4; soit bes po z fonction de z', y de la méme maniére wr z l'eet de z, y; on aura ^ ser (rim orn) mn t2) ramas) cna rta) in 3) edat e) n ee —— otn si on supposait que z fut une fonction de trois variables z, y, v; il ne serait pas plus difficile de trouver la valeur de z'. 582 L. EULERI OPERA. POSTHUMA. Varia. Dans le tome XV? de nos commentaires, nouvellement imprimé, se trouve, parmi d'autres piéces de M. Euler la solution. qu'il a^ donné de ce probléme curieux: trouver deux nombres z et y tels que ay -t (c4-y)-— nu et xy -- (r—y) — a il a aussi inséré dans le méme tome une dissertation que j'avais donnée sur les caractéres d'intégrabilité, dont le principal objet est. de démontrer le beau théoréme de Mr. Euler. Quoique la démonstration que j'en ai donnée, me sembloit'fort exacte; lorsque j'étais occupé à écrire cette piéce, j'ai pourtant reconnu qu'elle n'est pas tout à fait concluante; c'est pourquoi je lui en ai substitué une autre, dans un mémoire qui sera imprimé comme une suite du précédent dans le tome XVI. Ayant appris que Mr. de Condorcet a déjà traité le méme sujet, je dois craindre que mes petites recherches n'en ' deviennent tout à fait superflues. Je serais,fort curieux de savoir, de quelle maniere M. de Condorcet a demontré ce théoréme, s'il a employé les principes du calcul des variations, comme l'avait fait M. Euler, ou sil a déduit les démonstrations des principes du calcul différentiel. $e] ! Je souhaiterais aussi d'apprendre s'il a considéré les caractéres d'intégrabilité pour Mà formules intégrales . doubles ou triples telles que //vdz dy ou ///vdxdy dz. Si vous vouliez bien, Monsieur, me fairé la grace de m'en instruire, comme .aussi de me faire connaitre votre sentiment sur les petites productions dont je viens de parler, je la regarderai comme un honneur des plus singuliers qui me soient arrivés de ma vie. Quoique la santé de Mr. Euler se retablisse de jour en jour, il n'a pas encore pu avoir l'honneur de vous écrire; il m'a recommandé seulement de. vous témoigner qu'il est extrémement sensible aux sentimens d'amitié et d'affection que vous venez, Monsieur, de lui témoigner dans'votre dérniére lettre. Je finis en vous assurant des sentimens de respect et d'attachement, avec lesquels jai l'honneur d'étre . Monsieur Votre trés humble et trés obéissant serviteur "96 Pétersbourg, ce 5 mars 1772. ga * A. A Lexefl;, ^ 9! acu I P. S. Voici encore un probléme analytique, fort curieux, de M. Euler, qi 1 a trouvé en traten: des corps solides dont les surfaces peuvent étre deployés sur des plans : ! e «Trouver six. quantités /, m, n, 4, 4; v telles que les formules UR. ld: -- Ady , mde -4- udy , do -- vdy | onu: esb «simi assaedsRifi «soient intégrables et qu'on ait : ; : : j * : | | lU -- mm -- nn — 1, A -- HU o vv is. gi d Jh inia ios Y | p & T Jen ai trouvé cette solution sur une surface sphérique, soit,décrite.(Fig. 85) une. ligne courbe quelconque MO, soit; POQ un grand cercle qui touche MO. en O, faisons PO — MO et PO 2- QO — 909. Soient de plus í trois points A, B, C, tellement. situés que les arc. AB, AC, BC ..soient égaux chacun à 90?; joignons AP, BP, CP; AQ, BQ, CQ. A présent nommant o l'are MO, 'soit s une quantité variable indépendante de à, il faudra faire i - 90 -- s sino et^ y — UO -- s coso qO et vo sont des fonctions queleonques de'o; et les quantités A, u, v seront égales aux cosinus des arcs AP, BP, CP. de méme que /, m, «n le seront àux cosinus des arcs AQ, DQ, CQ. Litterae ad. cel. Lagrange. datae. 583 " 16. St. Pétersbourg, ce 2& 7bre (5 8bre) 1773. Monsieur et trés honoré eonfrére, Ayant enfin recu la traduction francoise de mon algébre, j'ai l'honneur de vous témoigner ma trés parfaite reconnaissance de ]a peine que vous vous étes donnée d'y ajouter vos trés profondes recherches sur l'analyse indéterminée; et je vous prie de vouloir bien présenter tant à M. Bernoulli qu'aux libraires mais trés humbles remercimens, Jai lu avec la plus grande satisfaction les excellens mémoires dont vous venez d'enrichir le recueil de l'académie royale de Berlin, Les belles démonstrations que vous y donner du théoréme de M. Waring m'ont causé un trés grand plaisir; jen ai aussi trouvé une démonstration fondée sur des principes tout à fait différens. Soit 2p -i- 1 le nombre premier dont il s'agit, il est certain qu'il y a toujours une infinité de nombres a, tels que les puissances 1, a, a*, a?...... jusqu'à a*^—!, étant divisées par 2p— 1, produisent des restes tous différens entre eux, de sorte que a*? soit la premiere puissance aprés l'unité qui reproduise le reste 1; d'oü il s'ensuit que la puissance a? donne —1 pour reste; puisque tous les restes mentionnés sont inégaux entre eux leur nombre étant 2p, tous les nombres 1, 2, 3, &k .... 2p y seront compris. Soit maintenant M le produit de tous ces nombres 1, 2, 3, &... 2p, il est clair que ce produit M étant divisé par 2p 24- 1 laissera le méme reste que le produit de toutes les puissances ci-dessus; or ce produit est évidemment aPC€?—), que je représente par cet autre a*^("—!gP, dont le premier facteur a*? 7—) étant une puissance de a?" laissera l'unité pour reste ; mais l'autre facteur a" donnera le reste: —1 ; d'oü il est. elair que le reste qui provient de cette puissance. entiére sera — — 1; de sorte que le produit. M doit aussi donner le méme reste. De là il s'ensuit que la formule M -- 1 sera divisible par le nombre proposé. 2p -- 1. Or pour ce qui regarde le nombre c; il faut qu'il soit tel, que la formule.z» — a ne puisse jamais devenir divisible par le nombre premier 2p-1-1; ainsi, par rapport à chaque nombre premier, tous les nombres se partagent en deux classes, la premiere renferme ceux, que je nommerai b, d'oü la formule zz — b peut devenir divisible par 2p 4- 1; l'autre classe comprend. les nombres a dont.je viens. de parler. Pour trouver dans chaque cas ces deux classes de nombres. indiquées par les lettres a et 5, j'ai trouvé par hazard une regle. trés. facile, qui mérite d'autant plus d'attention, que je ne suis pas en état d'en donner une démonstration rigoureuse. j Pour.cet effet, il faut. diviser les nombres premiers en deux classes, l'une de la forme 4a — 1, l'autre de la. forme 4n -t- 1... Soit donc. premiérement. le nombre premier proposé de la forme &4w — 1, jen forme une progression contenue dans ce terme général, laquelle sera par conséquent. ", n--2, n--6, "n-2- 12, n-2-20, n-1-30, n-- 12, n-r- 56, n-r- 72, etc. et je puis démontrer que tous 'les termes de cette série sont compris dans la classe des nombres marqués par b,. de. sorte. qu'une. formule xx — à puisse devenir divisible par 4n — 1; ou bien tous ces nombres. sont tels que la formule 5?"—' — 1 soit toujours divisible par 4» — 1 ou un de ses multiples. Mais pour ce que je ne puis pas eneore démontrer, c'est que non seulement tous les termes de cette progression, mais encore tous les diviseurs de chacun, appartiennent à la classe des nombres »; et en effet on observera toujours, que si d est diviseur de quelqu'un de ces termes, on rencontrera dans la méme progression un terme de la forme dkk qui est équivalent du nombre 4. 584 |. L. EULERI OPERA POSTHUMA. - Varia. Soit, par exemple, le nombre premier proposé 4n— 1 — 71; partant » — 18 — 2.3* et la progression sera 18, 20, 21, 30, 38, 18, 60, 7h, 90, 108, etc. l'on voit d'abord que les nombres de la classe 5 sont 2, 3,75, 19, 31, 8T. Pour le nombre 2, la chose est claire, puisqu'il se trouve déjà dans le premier terme, multiplié par le carré 9; et le-nómbre-3 se trouve multiplié par le carré 16 dans le terme: Md ensuite le second terme 20 renferme:le nombre 5 multiplié pat le quarré &. - ! )^nirroTobt Pour les nombres premiers de la forme Aa 4- " je su idepiteha la progression au "— de cette formule « — zx — xx; cette progression sera ! "ay sim^bssa n, n—2, n — 6, .& — 12, » — 20, n — 30, ded, t n — 56, a—72, ete. j 1H. S99i*B95 et lorsque ces termes dotiasdit négatifs, on n'a qu'à les traiter comme positifs, puisque si b est buc nombre, non seulement la formule zx —.b mais aussi celle zx -1- b, pourra devenir. divisible par hn d. deis la. méme propriété a lieu, non seulement tous les termes de cette progression mais .encore tout. leurs diviseurs fournissent. des. nombres. de la classe 5, et tous les nombres qui ne s'y trouvent pas sont ceux qui constituent la classe a. Ainsi prenant, par exemple, ki -1- 1. — 89, ou bien » — 22, la progression sera .: 22,.20, 16, 10, 2, 8; 20,.3^, 50, 68, 88, 110, 135; — etc. uel xus of ob dibbosg j SRI d'ou l'on voit d'abord que la CRM. des nombres b contient Vu : 2,.,11,. 17, 67, etc. 11491..9f Le nombre 2 se trouve lui méme dans la série." Pour-le nombre 41 en prenant s — 33, le terme de la progression sera 1100 — 11 . 10. Mais il est trés remarquable que vette -belle propriété n'a lieu que-lorsque- le nombre 4» — 1 ou 4a -4—- 1 est iuter car p par exemple, vw HN ou » — 9, la brun. sera 3 9, 11, 15, 21, 29,39, 51, 65, 81, 99, 119, 1&1, 165, elo. m ici quoique 3 divise plusieurs dé ées' termes, il ne s'en trouvera cependant aucun qui ait la forie 3KK, il en est de méme des nombres 5, 7 et d'autres qui sont multipliés par 3. Je suis persuadé que la considération de ces circonstances pourra conduiré à des découvertes trés importantes. ' ii» amnb Vous aurez vü, Monsieur, dans mon algébre, que le probléme de trouver 4 nombres dont les produits 2 à 2, en y ajoutant l'unité, deviennent des nombres quarrés, m'a fort embarrassé, je n'ai méme pu assigner en général des nombres satisfaisans; quoique. jé'me '4ois presque "souvenu^que'ce probléme a été résolu par Ozanam; mais loccasion de faire des recherches là-déssus m'a manqué. "mir jai trouvé 'cette solution assez générale. Jasu| iq e$ sHlagpsel Ia ; ynslgoo DoMMMEM Prenant à volonté deux nombres m et n, tels. que mn -4- 1 — //, les quatres nombres cherchés seront 4. m. Y 1l. Á ». f III. m --. n - 2l, TE, M, (L -4-.m) ü IL: n), Tir T! orn " h aq 5| ies * oü le nombre /' peut étre pris Vl - ou e yon Peut étre* cette solution se trouve- ". ellé dans l'algébre d'Ozanam. ! s aT — e[d b sDo[pd à olumrol af emp Mais je n'aurais jamais cru' que l'analyse fut suffisante pour étendre cette question à ^5 nombres, et je fus trés agréablement surpris ces jours-ci, lorsque je rencontrai les cinq nombres suivans^ iuseivib "ael nh 3e5 T7480 Azz1, B3, C8, D-——1 e E: (38795 ao iUp Litterae. ad. cel. Lagrange. datae. 985 qui satisfont aux dix conditions prescrites, de la maniére suivante : 1L AB -4- 1,—,2*, 1L.AC.-.- 1 — 39*,. II. AD-- 1— 43?,. IV. BC -- 1 — 5*, V. BD a- 1— 195, VI. CD 4-1 — 35, VII. AE a. 1 — (21) (2 82592 .. (8809? (10079? VII. BE 4- 1 — (Sera) SX CE ed — (au) XoDE--a4— lasso) " et de là je suis parvenu à donner une solution assez générale, mais par une méthode trés indirecte que je ne saurais expliquer clairement. Car, ayant établi par les formules données les quatre premiers nombres A, B, C, D, je fais A -- B -- C -- D — p, AB -- AC -- AD -- BC -— BD -- CD — q, ABC -Y- ABD -- ACD -- BCD — rr, ABCD — s, et alors le cinquieme nombre sera 22 4r -- 2p (s 4—- 1) afi. eap d Voici une propriété fort remarquable de ces nombres; on aura toujours 1 - q-- s — i pp. Cette matiere parait bien digne d'étre mise dans tout son jour, mais je m'y sens incapable. La. résolution de la formule aca -4- 1 — yy. m'a causé autrefois bien de la peine par rapport au nombre a qui demande de trés grands nombres pour c et y, comme 61 et 109 ; mais je viens de trouver un théoréme qui conduit d'abord à la solution de ces cas et d'autres semblables. Connaissant pour le nombre a, les valeurs de r et de s telles que arr — & — ss, que l'on prenne p — rs et q — $$ -34- 2, ensuite x — jp (q—1) et y — : q(q^ — 3) et l'on aura certainement axz 4- 1 — yy ; oü il faut remarquer, que puisque r est par sa nature un nombre impair, les deux expressions de x et y donne- ront des nombres entiers. Ainsi pour le. cas de a — 61 on aura d'abord r — 5, s — 39, et de là on tire les grauds nombres zc et y rapportés dans ma table. M. Lexell et moi venons de remettre à M. le chevalier Triquet quelques mémoires pour les actes de l'académie royale de Turin; il m'a assuré avant son départ que vous y serez incessamment rappellé et que le roi regnant veut remettre son Académie dans son premier état florissant Dans ce cas l'académie de Berlin serait bien à plaindre. Vous voyez, Monsieur, que je vous ai découvert mon coeur tout entier; et je vous prie de me continuer l'honneur de votre amitié, en vous assurant que je serai toujours avec le plus inviolable attachement, Monsieur, votre trés humble et trés obéissant serviteur Leonard Euler. A7. Domino eeleberrimo de la Grange, S; PD, Leonardus Euler. Sequens theorema attentione Geometrarum haud indignum, et Analysin prorsus singularem postulare videtur "Á'F"Hheorema demonstrandum. (z -- 1) dz log 7 z — 1, ejus valor aequalis est logarithmo binarii, ubi quidem logarithmi hyperbolici sunt intelligendi. (Recu le 26 janvier 1775 ; répondu le 10 février.) Si formula differentialis ita integretur, ut facto a — 0 integrale evanescat, tum vero statuatur i^ L. Euleri Op. posthuma. T. I. 586 -.. . EULERI OPERA POSTHUMA. Varia. Is, - A St. Pétersbourg, ce 23 mars 1775. Monsieur et trés honoré confrére, Ill est bien glorieux pour moi d'avoir pour successeur à Berlin le plus sublime géométre de ce siécle, et il est certain que je n'aurais pu rendre à l'académie un plus grand service qu'en prenant mon congé; et à cet égard je puis me vanter d'avoir une grande supériorité sur vous, và que vous ne lui sauriez jamais rendre un tel service. J'ai parcouru avec la plus grande avidité les excellens mémoires dont vous avez enrichi les derniers volumes de Berlin et de Turin; je n'ai pu assez admirer l'adresse et la facilité avec laquelle vous y traitez tant d'objets épineux qui m'ont coüté bien de la peine. Tel est le mouvement d'un corps attiré vers deux Lm points fixes; et surtout l'intégration de cette équation différentielle mix "v ndy Y (AA- Bz a- Czz a- Dz? -a- Ez?) — Y (Aa By 2 Cyy 4- Dy? a- Ey^) toutes les fois, que les deux nombres m et » sont rationnels. Cétte recherehe renferme encore une autre branche, lorsqu'on y ajoute des numérateurs semblables, ou il sagit de trouver un rapport entre les variables c et y tel, que la somme ou la différence de deux formules. pareilles devienne algébrique. M J'en ai tiré autrefois la solution de cette question: Le quart d'une ellipse ABC (Fig. 85) étant donné, y trouver deux points P et Q tels, que l'are PQ soit précisement la moitié de l'arc AJ. Cette matiére me parait avoir beaucoup encore m recessu. 1) dz log x x — 1, m'a beaucoup rejoui, et j'ai vu avec la plus grande satisfaction, que vous avez d'abord pénétré tout B , : . " H c Ce que vous me marquez, Monsieur, à l'occasion du petit théoréme f ( le mystére, et que vous avez poussé toutes ces recherches beaucoup plus loin que je ne l'avais fait dans quelques mémoires composés sur ce sujet. J'ai été frappé surtout de cet excellent théoréme ti (n -- 1) (z"— a")dm —— ^ 8 2r (Ia-4)logz ^. 98 (m a-1):z tang u Me en prenant l'intégrale depuis z — 0 jusqu'à xz — co; de la vérité du quel je me suis d'abord convaincu par SoE-ipas 3 Sd p ; ^ vei a" da: ; : ; des séries infinies, qui m'ont fait connaitre, que cette intégrale a uem depuis » — 0 jusqu'à y» — c, TUR ^ , (n-- D z : . VA dz i NECS ; est toujours égale à log. tang — gm » prés avoir trouvé que bici o Rm depuis z — 0 jusqu'à z — oo est LI , . , j , ' . . g—ldg . toujours égale à 0. Comme vous aurez tiré sanus doute, ce beau théoréme de celui-ci que f eue. depuis . , , * 7 2 ? 2 , s , , * & — 0, jusqu'à x — co est égal à — s. je suis curieux d'apprendre oüà s'en trouve la démonstration ; car r sin — t quoi qu'il me soit connu depuis plus de quarante ans, je n'en ai pu néanmoins trouver une démonstration formelle que depuis peu de temps, et je ne l'ai pas encore publiée jattends avec beaucoup d'impatience, de voir les profondes recherches que vous aurez communiquées sur ce sujet à l'académie royale de Berlin. Le paradoxe dont vous me parlez, mérite sans doute toute l'attention des géométres : i| consiste en ce . Tox Aur d; dz 1 i * 8 que la différence entre ces deux formules intégrales T et Jorio comprises entre les mémes limites 0 et 1 — log2 en prenant mnutébenh fa. cni Le Aia Ae Litterae ad. cel. Lagrange datae. 587 1 LI , A "n -- soit égale à log —1 ; le dénouement de ce paradoxe se trouve sans doute, en ce que l'une et l'autre intégrale devient infiniment grande, oüà leur égalité n'empéche pas que leur différence soit indéterminée ; comme cela arrive dans ces formules plus simples : * et f z prises depuis 0 jusqu'à l'infini, oü la différence peut devenir égale à une quantité quelconque; aussi en prenant y — az on aura sans doute f zcv —— log a. Je suis tombé ces jours ci sur un probléme de mécanique, qui m'a beaucoup tourmenté, quoiqu'il paraisse fort simple au premier coup d'oeil. Il s'agit de trouver le mouvement avec lequel une barre descend en glissant sur un axe cylindrique, comme (Fig. 85) le représente. L'analyse m'a d'abord conduit à deux équations diffé- rentio-différentielles, assez semblables à celles qui expriment le mouvement d'un corps attiré vers deux pointe fixes; mais jusqu'ici je n'en ai pu tirer qu'une seule équation intégrale, en négligeant méme le frottement: et si l'on en voulait tenir compte, je ne vois d'autre ressource que de suivre le mouvement de la barre quasi pas à pas; et c'est sur ce pied que j'ai developpé un eas déterminé. En parcourant le dernier volume des mémoires de Berlin, je ne fus pas peu surpris, qu'il puisse encore étre question d'un satellite de Venus, et méme d'un tel, qui renverserait tous les principes de l'astronomie; je n'aurais pas crü non plus que le principe de la raison suffisante osát encore paraitre sur le théátre. Je suis entiérement convaincu, qu'à moins que vous réussissiez à retrouver les démonstrations perdues de Fermat, elles resteront perdues à jamais. Tous mes soins à cet égard ont été inutiles jusqu'ici, sans en exclure ceux que j'ai pris pour prouver, que cette égalité z^" 3c y" — z" est toujours impossible, à moins que lexposant n ne soit au-dessous de 2. Nous avions cru autrefois que cette impossibilité s'étendait plus loin à ces formules : u b? — Z2; E . gu ou uui, a! od t wot aor etc. Mais il n'y a pas long-temps que j'ai été convaincu que la seconde n'est pas impossible; car j'ai trouvé quatre nombres a, 5, c, d, tels, que a* 24—- 5ó* — c* 4- d*. Vous recevrez en peu de temps le XVII["* volume de nos commentaires; la premiére partie du tome XIX*"* est déjà imprimée. J'y ai donné une idée pour étendre la table des nombres premiers jusqu'au delà d'un million, et j'ai méme donné tous les nombres premiers entre 1000000 et 1002000; un tel ouvrage deman- derait un volume in 4^, de la méme épaisseur que nos commentaires. Je finis, Monsieur, ayant l'honneur d'étre avec les sentiments du plus parfait dévouement, Monsieur et trés-honoré confrére, Votre trés humble et trés obéissant serviteur L. Euler. FS Permettez-moi, Monsieur, d'ajouter encore deux théorémes qui me paraissent vrais, quoique je n'en ài pu trouver encore la démonstration. (0o dMoayoa point. de. courbe. algibrique. dont gu emos siint i . quelconq ue. ls bic asi SV iu19v5bD Juoq 999 totlib. al io anas á iis 4l aiuq: b anei1Q . uh 5 | 3 Théoréme 2. 1 ir Ré Av gol aes A Cd VOS: dub. anas D10b (0 35 2M Momo AV CIAM: , otipugoia rat Hormis le edit il n'y a iunt de courbe algébrique dont un arc quelconque. 80i oth T tP'ilpietip "atsormiod qucsutad &'dr* Hp mp meo m Sb: usdciut ur TH It pibe 55 "Me m PLE o ^ 1 ete 1. ua " KIDGAIPSO H9 PW ge9Ib yT unpodeunr 39v75 u - * -uU otsum gehn abies Drode'b hit "Savtéda^d -simisadqui- 4t aw fuoDhwrov ^adglb àqT)9 mri Vise rw ront vl YE RS q9 * HPHIDHIOTT 0! ^am*tt Hl1BTSOGUSIP no. tuc p Tid sr 9D "oodd etie 61 V-JE20 UO os now ya: ide q. aconearenots b 251 98 ond: ^? h sulasieekt T BOY otp gniom uu: Lu no edBa Du ppeui «gilt 519. i00 brisgà Jon £. enjo« sur avot selét aliam 4$ aidissequi puro uot jag, "2 xb Pap ts Men ile ELTE »pp. erepuotg: 100q* Hol ania IRIIZIDE M nti idiesoaisi HE. 1385 81 aiola 2h ans Rite iua y A. sb srogetb- p «t ^ y » E " LM : í e 1 / AD jj Wess j m - ( $ M kp: D NE e i Ly - ON 1 t. de ! : i POOR - * ; Mosque ui Lead aia ora cd RS Di i yi UNEUT EE : : jS ROI Nd n $2] a n í z f : 1 ze " 3: * L4 " E. » » T j 2 n " AE y. VARY) i6 Ü 365 ; adieeoqmi ex las d ^obirünba2 5 ^5"p aodio vnus 925 ut htip un not grol Td Sb ps te Bep ili ) s E i4 x ud S ; 2o Mab .sieq- eimi 6i .; e»niolaommoo «on. 95 smplov "jt A ^» edraof E Los p ROSE MA dt )b 0h vrpen atirq a9 dimon eob idu &l o10n09]3^ "ifioq aa sic iode nud gh. piffmob. oxgreuo [ui np, 00000819 0000001. 211. UIT ^q avion eol auos t Doy Dx pu Urs db mido. jt E) "nés ui món ni Lob HO CESNNUBE is : ^ : "e - NOME ede ais Bugs rue Joormogorób. xinbisg euig ia M A 996 5 ics Mida odoib 207 "(49 datas ando »^1) 10 olii t eje v UP h eo pa eMe NIA dae s ys. WOES DA C aoi ) | X ewe eee fontem "p. ar Tub f. 274 A. Og. 346. e A LES: frg. 9. ru. 342. e 5B v "od 0 -- : Meo. 6. ag. 252. E drin die "S A I V. Z i A MM | " m du d a 356. ur vpn FR A e m E i Brani bog. UN * n ^ , R3 E a d 2 i teen mate INE DAR m eim E aC EE cres o anne R2 - e mE t T nes t B 2 "UT ER ecd pom ram o e e eS tuy hoo daewxgeMe cet 9T « ] m — dai "5, , MR: ay v ene PPM * M Dd z a y ^ ets "MA L Pw : LE íi * j 2 hl el H ; / ": « 2 : j i E j A tf i : ET Sod NER t j " H SERM i is , 2. X i ^ ER A t Hi $5 ; E Tri ^s " í : i ó LH , em 5a. La "a 1j |: » ^ » r^ e * « h f MIS. E . ^E Fi a i y : H px Í à AN à Be Nus 5t Í x ER » * e Jd H i * : ird ; H : 3 Eq x P o* [du LÀ D Mu INE: n : * det : [E m s ; NUT i en ; S LE t j 3 » D h " " , 1 v v 2 i T e : h ! d s r3 & i M * Eg w ERES: À * E n W-- ' e j * i vB NOE E idt H & n4 E * , H s & . : S EI n3 ^ E j "e Y. * 2 * " d * - a 4 1 í DM - , j] t r [ ] - À à - * 2." 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Bu at s aar a A Regi 5 e: rm ta Ara "e Lege Meu em A jum uae M TIT à me Sa re tu t ur a i -— —— MA En " : € Ld cucel t mem A e t " e aUa im. We c qutd IINE epa ue aqu WI iude t raf trm a hi) amit C e PP a » - pc a vv - Iw nie dn. at rt 3B fender as m imr Bg » -- — — MTPASSSPAD M. tee » Pct m rasoir E -—- TES à ^ e ae epi ei Pit omar MÀ : 4 u v "3 En 7 "* Md cag oo—- —— , MEL dena ran eeu Saar P uam eret : —— rent adm ai a Ed Qe Pa qu Fa nini up s P mino i Sa eit -- t —ÓÁ MA oe € » H3 etas » —À: - x eun uem gate Pe Bimota me PI ; ^ ] a - rents - E - X der ie E P: * ^ dd — 5 - ^ ona e arma * vt Su tr T - - i " » ect: mae na » 9-0: met Tet diede a7 nm I €. 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